Методы математической физики. Том 2 - Курант Р., Гильберт Д.

Author: Курант Р. Гильберт Д.
Tags: математика математической физики
Year: 1933
Similar
Методы математической физики. Том 1
Математические методы физики
Приближенные методы математической физики
Методы математической физики. Том 3.
Text
                    Р.Курант, Д.Гильберт
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, т.2

Этот том, в основном независимый от предыдущего, содержит
систематическую теорию дифференциальных уравнений с частными
производными, рассматриваемую с точки зрения математической физики. В
последней, седьмой, главе приводятся на основе прямых методов вариационного
исчисления доказательства существования решений для краевых задач и задач о
собственных значениях эллиптических дифференциальных уравнений—в том
объеме, в каком эти задачи встречались в предшествующем изложении.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этом томе излагаются некоторые отделы теории дифференци-
дифференциальных уравнений в частных производных, связанные с математи-
математической физикой. Даже с этим ограничением я отнюдь не стремился
к исчерпывающей полноте. Точнее говоря, здесь рассматриваются
преимущественно вопросы, в существо или форму изложения кото-
которых мне, как я полагаю, удалось внести нечто новое. При этом
преследовалась цель сделать важные ветви анализа более доступными
и прозрачными и тем облегчить путь для дальнейших исследований.
Если это удалось, то заслугу я разделяю с моими учениками и
сотрудниками, совместно с которыми я в течение ряда лет ра-
работал над более глубоким проникновением в эту область. Роль
этого сотрудничества—в том, что может здесь показаться бо-
более или менее новым — не исчерпывается ссылками на отдельные
публикации.
Этот труд многим обязан и другим математикам. В первую оче-
очередь это относится к моему уважаемому учителю Д. Гильберту.
Я надеюсь, что в этой книге будет ощущаться нечто от его устрем-
устремлений, всегда обращенных к существу вопроса. Некоторые части
книги стимулированы исследованиями Адамара по теории процес-
процессов распространения. На главу о прямых методах вариационного
исчисления оказал влияние глубокий подход Неймана и Стона
(J. v. Neumann и М. Н. Stone) к линейным операторам в простран-
пространстве Гильберта.
Появление этого тома сильно задержалось под давлением адми-
административных мероприятий1). Когда в моем распоряжении оказалось
свободное время для обработки, я полагал, что не следует еще
дольше оттягивать срок выхода книги. Поэтому я отказался от
устранения многих несовершенств, в частности, не дал систематиче-
систематического указателя литературы. Однако, я надеюсь, что избежал серьез-
серьезных упущений при указании чужих заслуг.
Некоторые важные группы исследований, связанных с нашим
предметом, не подверглись рассмотрению.,. Не считая классических
теорий, назову прежде всего новейшие работы Жиро, Шаудера и
Лерэ, а также Хопфа (Giraund, Schauder, Leray, E. Hopf). Кроме
того, многое из того материала, который первоначально предназна-
*) Намек на вынужденную эмиграцию автора из Германии после фа-
ншстского переворота. (Прим. перез.)

4 ПРЕДИСЛОВИЕ
чался и был подготовлен для этого тома, в частности, по вопросу
о прямых методах анализа, пришлось опустить ввиду предложенного
ограничения объема книги.
О деталях содержания информирует подробное оглавление. Что
касается формы, то я должен сделать следующее принципиальное
замечание. Классический идеал атомистического, в известной мере,
изложения математики требует, чтобы материал был сгущен в форме
постулатов, теорем и доказательств. При этом внутренняя связь и
мотивировка теории не являются непосредственно предметом изло-
изложения. В противовес этому математическую дисциплину можно рас-
рассматривать как непрерывную ткань взаимных связей, при изложении
которых метод и мотивировка выступают на передний план, а кри-
кристаллизация результатов в изолированные резко очерченные теоремы
играет лишь вторичную роль. Там, где синтез обеих трактовок
казался неподходящим, я предпочитал вторую точку зрения.
Нью-Рошель, Нью-Йорк
24 октября 1937 г.
Р. Курант
ОТ ПЕРЕВОДЧИКОВ
При переводе II тома, так же как и первого, были тщательно
проверены все выкладки и исправлены замеченные неправильности.
Для устранения недосмотров и для достижения, как нам казалось,
большей ясности мы позволяли себе иногда некоторые отступления
от подлинника.
Часто встречающийся термин «Anfangswertproblem" нами всюду
переводится, в согласии с общепринятой терминологией, термином:
«задача Коши». В некоторых местах даны для пояснения примечания.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I
Введение. Основные понятия
§ 1. Представление о многообразии решений 14
1. Примеры A4). — 2. Дифференциальные уравнения для за-
заданных семейств функций A9).
§ 2. Системы дифференциальных уравнений 22
1. Проблема эквивалентности систем и отельных дифферен-
дифференциальных уравнений B2). — 2. Системы определи иые, сверх-
сверхопределенные, недоопределенные B4).
§ 3. Методы интегрирования для некоторых дифференциальных
уравнений частных видов 27
1. Разделение переменных B7).—2. Получение новых реше-
решений с помощью суперпозиции (наложения). Основное решение
уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона B9).
§ 4. Геометрическое истолкование'дифференциального уравне-
уравнения в частных производных первого порядка с двумя не-
независимыми переменными. Полный интеграл 30
1. Геометрическое истолкование дифференциального урав-
уравнения в частных производных первого порядка C0). — 2. Полный
интеграл C2). — 3. Особые интегралы C3). — 4. Примеры C4).
§ 5. Теория линейных и квазилинейных дифференциальных ура-
уравнений первого порядка 35
1. Линейные дифференциальные уравнения C5).—2. Квази-
Квазилинейные дифференциальные уравнения C8).
§ 6. Преобразование Лежандра Ш
1. Преобразование Лежандра для функции двух перемен-
переменных C9). — 2. Преобразование Лекандра для функции п пере-
переменных D1). — 3. Применение преобразования Лежандра к диф-
дифференциальным уравнениям с частными производными D1).
§ 7. Определение решений по их начальным значениям и тео-
теорема существования 44
1. Формулировка и разъяснение задачи с заданными началь-
вымн значениями (задачи Коши) D4). — 2. Приведение к системе
квазилинейных дифференциальных уравнений D7). — 3. Опреде-
Определение производных вдоль начального многообразия E0). — 4. До-
Доказательство существования аналитических решений у аналити-
аналитических дифференциальных уравнений E2).

5 ОГЛАВЛЕНИЕ
Дополнения к главе I
i 1. Дифференциальное уравнение для опорной функции мини-
минимальной поверхности 57
i 2. Система дифференциальных уравнений первого порядка и
одно дифференциальное уравнение высшего порядка .... 60
i 3. Система двух дифференциальных уравнений первого поряд-
порядка и одно дифференциальное уравнение второго порядка.. 61
i 4. Параметрическое представление отображений, сохраняющих
площадь 63
Глава II
Общая теория дифференциальных уравнений с частными
производными первого порядка
i 1. Квазилинейные дифференциальные уравнения при двух не-
независимых переменных 66
1. Характеристические кривые F6). — 2. Задача Коши F8).—
3. Примеры G0).
i 2. Квазилинейные дифференциальные уравнения с п незави-
независимыми переменными 73
i 3. Общие дифференциальные уравнения первого порядка
с двумя независимыми переменными 79
1. Характеристические и фокальные кривые G9). — 2. Реше-
Решение задачи Коши (83).— 3. Характеристики как элементы развет-
разветвления. Дополнительные замечания. Интегральный коноид (85).
4. Связь с теорией полного интеграла 87
i 5. Фокальные кривые и уравнение /йонжа 89
! 6. Примеры 91
1. Дифференциальное уравнение (grad и)~ — 1 (91). — 2.
F{ux, uy) — Q (94). — 3. Дифференциальное уравнение Клеро
(9о).*— 4. Дифференциальное уравнение поверхностей каналов
(97).— 5. Соотношение однородности (98).
7. Общее дифференциальное уравнение с п независимыми
переменными 99
8. Полный интеграл и теория Гамильтона-Якоби 105
1. Образование огибающей и характеристические кривые
A05). — 2. Канонический вид характеристических дифференциаль-
дифференциальных уравнений A08). — 3. Теория Гамильтона-Якоби (!09).—
4. Пример. Задача о двух телах A11). — 5. Пример. Геодезиче-
Геодезические линии на эллипсоиде A13).
9. Теория Гамильтона и вариационное исчисление 114
1. Дифференциальные уравнения Эйлера в канонической
форме A14). — 2. Геодезическое расстояние или эйконал, его про-
производные и дифференциальное уравнение с частными производ-
производными Гамильтона-Якоби A16).—3. Однородные подннтегральные
выражения. Геодезические линии A19).—4. Поля экстремалей н
дифференциальное уравнение Гамильтона A21).—5. Конус лучей.
Построение Гюйгенса (Huyghens) A24).—6. Инвариантный интеграл
Гильберта (Hilbert) для представления эйконала A24). — 7. Теорема
Гамильтоиа-Якоби A26).
10. Канонические преобразования и приложения 127
1. Каноническое преобразование A27).—2. Новое доказатель-
доказательство теоремы Якоби A28). — 3. Вариация постоянных (канони-
(каноническая теория возмущений) A29).

ОГЛАВЛЕНИЕ 1
Дополнения к главе II
§ 1. Новое рассмотрение характеристических многообразий . . . 130
1. Предварительные формальные замечания по поводу диф-
дифференцирования в пространстве п измерений A30). — 2. Задача
Коши и характеристические многообразия A32).
§ 2. Системы квазилинейных дифференциальных уравнений
с одинаковой главной частью. Новый подход к теории ха-
характеристик 137
Литература к главам I и Л 142
Глава III
Общие сведения о линейных дифференциальных уравнениях
высших порядков
§ 1. Нормальные формы линейных дифференциальных выраже-
выражений второго порядка с двумя независимыми переменными . 143
1. Эллиптические, гиперболические и параболические нормаль-
нормальные формы (ИЗ).— 2. Примеры A48).
§ 2. Нормальные формы квазилинейных дифференциальных ура-
уравнений ' 150
1. Нормальные формы A50).—2. Пример. Минимальные по-
поверхности A54).
§ 3. Классификация линейных дифференциальных уравнений
второго порядка в случав многих независимых переменных. 156
1. Эллиптические, гиперболические и параболические диф-
дифференциальные уравнения A56) — 2. Линейные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами A58).
§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка и системы
дифференциальных уравнений 159
1. Дифференциальные уравнения высшего порядка A60).—
2. Классификация систем дифференциальных уравнений A62).—
3. Замечания о нелинейных задачах A67).
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами 168
1. Общие соображения A68). — 2. Плоские волны. Отсутствие
искаженияЛ'Дисперсия A69). — 3. Примеры." телеграфное уравне-
уравнение, отсутствие искажения у кабелей A74).—4. Цилиндрические
и сферические волны A75).
§ 6. Задачи с начальными условнами (задачи Коши); проблемы
излучения 178
1. Задачи Коши в теории теплопроводности. Преобразование
тета-функции A78). — 2. Задачи Коши для волнового уравне-
уравнения A82). — 3. Метод интеграла Фурье для решения задачи
Коши A83). — 4. Решение неоднородного уравнения методом
вариации постоянных. Запаздывающие потенциалы A87). — 5. За-
Задачи Коши для волнового уравнения в двух пространственных
измерениях. Метод спуска A89). — 6. Проблема излучения A91). —
7. Процессы распространения и принцип Гюйгенса A92).
§ 7. Типичные задачи теории дифференциальных уравнений
математической физики 194
I. Предварительные замечания. Примеры типичных задач A94).—
2. Принципиальные соображения A99). — 3. Общие замечания о
линейных задачах B02).

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
Дополнения к главе III
Нестационарные задачи и операторное исчисление Хивисайда.
§ 1. Нестационарные задачи и решение с помощью интеграль-
интегральных выражений 203
I. Пример. Волновое уравнение B03). — 2. Общая постановка
задачи B06). — 3. Интеграл Дюамеля B07). — 4. Метод су-
суперпозиции экспоненциальных решений B09).
§ 2. Операторный метод Хивисайда 211
1. Простейшие операторы B11). — 2. Примеры B14). — 3. При-
Приложения к теории теплопроводности B18). 4. Волновое урав-
уравнение B19). — 5. Метод обоснования операторного исчисления.
Реализация дальнейших операторов B20).
§ 3. К общей теории нестационарных задач 226
1. Преобразование Лапласа B26).—2. Решение нестационар-
нестационарных задач с помощью преобразования Лапласа B29). — 3. При-
Примеры. Уравнение теплопроводности и уравнение кабеля для ко-
конечных областей B34).
Литература к дополнениям к главе III 247
Глава IV
Эллиптические дифференциальные уравнения
и, в частности, теория потенциала
§ 1. Основы 248
1. Дифференциальные уравнения Лапласа, Пуассона и род-
родственные им дифференциальные уравнения B48). — 2. Потенциал
распределения массы B52).—3. Формулы Грина и их примене-
применения B56). — 4. Производные потенциала поверхностного распре-
распределения массы B63).
§ 2. Интеграл Пуаесона и его следствия 265
1. Краевая задача и функция Грина B65). — 2. Функция Грина
для круга и шара. Интеграл Пуассона для шара и полупростран-
полупространства B68). — 3. Следствия из формулы Пуассона B73).
§ 3. Теорема о среднем значении и ее применения 278
1. Однородное, и неоднородное уравнения для среднего зна-
значения B78) — 2. Обращение теорем о среднем значении B80). —
3. Уравнение Пуассона для потенциала объемного распределе-
распределения массы B87).—4. Теоремы о среднем значении для других
эллиптических дифференциальных уравнений B89).
§ 4. Краевая задача 293
1. Предварительные замечания. Непрерывная зависимость ре-
решения от краевых значений и от области B93). — 2. Решение
краевой задачи с помощью альтернирующего процесса B96).—
3. Метод интегральных уравнений для областей с достаточно
гладкой границей C02). — 4. Дальнейшие замечания по поводу
краевой задачи C06).
§ 5. Краевые задачи для более общих эллиптических дифферен-
дифференциальных уравнений; единственность решений 308
1. Линейные дифференциальные уравнения C08). — 2. Квази-
Квазилинейные дифференциальные уравнения C10). — 3. Теорема Рел-
лиха о дифференциальном уравнении Монжа-Ампера C11).

ОГЛАВЛЕНИЕ !
§ 6. Решение эллиптических дифференциальных уравнений ме-
методом интегральных уравнений 314
1. Построение решений. Основные решения C14). — 2. Краевая
задача C18).
Дополнения к главе IV
1. Обобщение краевой задачи. Теоремы Винера C21).—2. Не-
Нелинейные дифференциальные уравнения C23).
Литература к главе IV 327'
Глава V
Гиперболические дифференциальные уравнения
с двумя независимыми переменными
§ 1. Характеристики квазилинейных дифференциальных урав-
уравнений • 32S
1. Определение характеристик C29). — 2. Характеристики на
интегральных поверхностях C34). — 3. Характеристики как линии
разрыва. Фронт волны C33).
§ 2. Характеристики дифференциальных уравнений общего ¦вида. 338
1. Общее дифференциальное уравнение второго порядка. C38).—
2. Дифференциальные уравнения высших порядков C41). — 3. Си-
Системы дифференциальных уравнений C43).—4. Инвариантность
характеристик относительно любого точечного преобразова-
преобразования C44). — 5. Примеры из гидродинамики (j45).
§ 3. Единственность и область зависимости 347
1. Основные понятия, связанные с волновыми процессами C47).—
2. Доказательства единственности C48).
§ 4. Метод Римана 352
1. Формула Римана C52). — 2. Дополнительные замечания.
Характеристическая задача Коши C56). — 3. Пример. Телеграф-
Телеграфное уравнение C58).
§ 5. Решение дифференциального уравнения uxy=f(x, у, и,
пх, tty) методом итераций Пикара 359
1. Предварительные замечания C59). — 2. Решение задачи
Коши C61). — 3. Единственность решения задачи Коши C63).—
4. Непрерывная и дифференцируемая зависимость от парамет-
параметров C64).—5. Область зависимости решения C65).
§ 6. Обобщения и применение к системам первого порядка . . . 366
1. Системы дифференциальных уравнений второго порядка
с одинаковой линейной главной частью C66). — 2. Канонические
гиперболические системы первого порядка C67).
§ 7. Общее квазилинейное уравнение второго порядка 868
1. Полная система характеристических дифференциальных
уравнений C68). —2. Решение задачи Коши C74).
§ 8. Общее уравневие F(x, у, и, р, q, r, s, /) = 0 376
1. Квазилинейные системы с одинаковой главной частью C76). —
2. Решение задачи Коши в общем случае C77).
Дополнения к главе V
§ 1. Введение комплексных величин. Переход от гиперболи-
гиперболического случая к эллиптическому с помощью комплексных
переменных 381

10 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Аналитический характер решений в эллиптическом случае . 282
1. Предварительное замечание из области теории функ-
функций B82).— 2. Аналитический характер решений уравнения
Ди = / (х, у, и, р, q) B83). — 3. Замечание относительно общего
случая дифференциального уравнения F {x,y, u,p, g, r, s, f)=0 C87).
§ 3. Дальнейшие замечания к теории характеристик в случае
двух независимых переменных 387
§ 4. Особая роль уравнения Монжа-Ампера 389
Глава VI
Гиперболические дифференциальные уравнения со мно-
многими независимыми переменными
§ I. Характеристическое уравнение 392
1. Квазилинейные дифференциальные уравнения второго по-
порядка C93). — 2. Линейные дифференциальные уравнения. Ха-
Характеристические лучи C97).
§ 2. Характеристические многообразия как поверхности разры-
разрывов. Фронт волны 403
1. Разрывы второго порядка D03). — 2. Фронт волны линей-
линейного дифференциального уравнения как геометрическое место
разрывов высших порядков D07).—3. Поведение дифференциаль-
дифференциального уравнения на характеристическом многообразии. Распро-
Распространение разрывов вдоль лучей D10). — 4. Физическая интер-
интерпретация. Граница тени D13).—5. Коноид характеристических
лучей. Связь с метрикой, риманова пространства D13). — 6. По-
Построение фронта волны по способу Гюйгенса. Конус лучей и
направление распространения волны D16). — 7. Конус лучей и
конус нормалей D17) — 8. Пример. Волновое уравнение Пуас-
Пуассона в трехмерном пространстве D19).
§ 3. Характеристики дифференциальных уравнений высших по-
порядков 421
1. Линейные дифференциальные уравнения высших поряд-
порядков D21). — 2. Системы дифференциальных уравнений. Уравне-
Уравнения гидродинамики D24). 3. Дальнейшие примеры. Кристалло-
Кристаллооптика D27).
§ 4. Теоремы единственности и область зависимости для задач
Коши . . . 429
1. Волновое уравнение D29). — 2. Дифференциальное урав-
уравнение utt—Д«+ — щ — 0 (уравнение Дарбу) D32). — 3. Урав-
Уравнения Максвелла для эфира D33).—4. Теорема единственности
и область зависимости для дифференциальных уравнений кри-
кристаллооптики D34). — 5. Замечания об области зависимости и
области влияния. Необходимость условия выпуклости области
зависимости D36).
§ 5. Гиперболические линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами 437
1. Построение решения D40).—2. Метод спуска D44).—3. Ис-
Исследование решения. Принцип Гюйгенса D46). — 4. Поверка ре-
решения D52).—5. Интегрирование неоднородного уравнения D55).—
6. Проблема излучения D57).—7. Задача Коши для уравнения
Ды -|- е% = ип и телеграфного уравнения D63).

ОГЛАВЛЕНИЕ 11
В . Метод средних значений. Волновое уравнение и уравнение
Дарбу 465
1. Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значе-
значений D66). — 2. Связь с волновым уравнением и решение вол-
волнового уравнения D67). — 3. Задача излучения для волнового
уравнения D70). — 4. Теорема Фридрихса D71).
7. Ультрагиперболические дифференциальные уравнения и
общие линейные дифференциальные уравнения второго по-
порядка с постоянными коэффициентами 473
1. Общая, теорема о среднем значении Асджейрсона D73). —
2. Другое доказательство теоремы о среднем значении D77).—
3. Применение теоремы о среднем значении к волновому урав-
уравнению D77). — 4. Решения характеристической задачи Коши для
волнового уравнения D78).—5. Другие применения. Теорема
о среднем значении для софокусных эллипсоидов D80).
8. О негиперболических задачах Коши . 482
1. Нахождение функции по ее средним значениям на сфере
D82). — 2. Применение к задаче Коши D85).
9. Решение задачи Коши методом Адамара 489
1. Предварительные замечания. Основное решение. Общий
метод D90). — 2. Общее волновое уравнение для случая, когда
число измерений пространства т = 2 D97).—-3. Общее волкопое
уравнение для случая т = 3 E02).
i 10. Некоторые замечания о понятии волиы и проблеме излу-
излучения- . . . 509
1. Общие замечания. Проходящие волны, распространяющиеся
без искажений E09).— 2. Сферические волны E12). 3. Излуче-
Излучение и принцип Гюйгенса E13).
Дополнения к главе VI
I I. Дифференциальные уравнения кристаллооптики 516
1. Поверхности нормалей и лучей кристаллооптики E16). —
2. Форма поверхности нормалей E17). — 3. Поверхность лу-
лучей E20).—4. Приведение системы дифференциальных уравнений
к одному дифференциальному уравнению шестого или четвер-
четвертого порядка E22). — 5. Явный вид решения, получающийся
методом Фурье E24). — 6. Исследование разрешающего ядра
К(х, t)E25).—7. Приложение к оптике. Коническая рефрак-
рефракция E27).
i 2. Области зависимости для задач высших порядков 528
i 3. Обобщенный принцип Гюйгенса и продолжаемые начальные
условия ' • . . . 531
i 4. Замена дифференциальных уравнений интегральными со-
соотношениями. Обобщение понятия характеристик 532
ГЛава VII
Применение вариационных методов к решению
краевых задач и задач о собственных значениях
i 1. Введение 537
1. Принцип Дирихле для круга E37). — 2. Общая постановка
задачи E40).—3. Линейные функциональные пространства с квад-
квадратичной метрикой. Определения E42).—4. Краевые условия E46).

12 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Первая краевая задача 547
1. Постановка задачи E47). — 2. Формула Грина. Основное
неравенство между D и Н. Единственность E48).—3. Минимизи-
Минимизирующие последовательности и решение краевой задачи E50).
§ 3. Задача о собственных значениях с нулевыми краевыми зна-
значениями 552
1. Интегральные неравенства E52). — 2. Первая задача о соб-
собственных значениях E55).—3. Собственные значения н собствен-
собственные функции высших порядков. Полнота E56).
4. Характер приближения к краевым значениям в случае двух
независимых переменных 559
§ 5. Построение предельных функций и свойства сходимости
интегралов Е, D и Н 562
. 1. Построение предельных функций E62). — 2. Свойства схо-
сходимости интегралов D и Н E70).
§ 6. Краевые условия второго и третьего рода. Краевая задача. 573
1. Формула Грина и краевые условия E73).— 2. Формули-
Формулировка краевой задачи и вариационной задачи. Краевая зада-
задача Ш E75). — 3. Ограничение класса допустимых областей E76). —
4. Эквивалентность вариационной задачи и краевой задачи. Един-
Единственность E77).—5. Решение вариационной задачи и краевой задачи
E78).
§ 7. Задача о собственных значениях для краевых условий вто-
второго и третьего рода 57S
§ 8. Исследование областей, рассматриваемых при краевых
условиях второго и третьего рода 581
1. Области типа 9^1 E81).—2. Необходимость ограничительных
условий для рассматриваемых областей E86).
f 9. Дополнения н задачи 588
1. Функция Грина для Ди E88). — 2. Особенность типа би-
поля ES0). — 3. Поведение на границе решения уравнения Ди = 0
с двумя независимыми переменными при краевом условии вто-
второго рода E91).—4. Непрерывная зависимость от области E91).—
5. Распространение теории на неограниченные области G E92). —
6. Применение вариационного метода к дифференциальным урав-
уравнениям четвертого порядка. Поперечные деформации и коле-
колебания пластинок E93).—7. Первая краевая задача и соответ-
соответствующая задача о собственных значениях в плоской теории
упругости E95). — 8. Другой метод построения предельной функ-
функции E98).
§ 19. Задача Плато 600
1. Постановка задачи и общая схема решения F01).—2. Дока-
Доказательство вариационных условий F04).—3. Существование ре-
решения вариационной задачи F06).
Дополнительная литература * 610
Примечания переводчиков .j ........... 611
Предметный и именной указатели 613

Этот том, в основном независимый от предыдущего, содержит
систематическую теорию дифференциальных уравнений с частными
производными, рассматриваемую с точки зрения математической
физики. В последней, седьмой, главе приводятся на основе прямых
методов вариационного исчисления доказательства существования
решений для краевых задач и задач о собственных значениях эллип-
эллиптических дифференциальных уравнений—в том объеме, в каком эти
задачи встречались в предшествующем изложении.
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Начнем с предварительного обзора основных понятий и поста-
постановки проблем.
Основную задачу теории дифференциальных уравнений с частными
производными можно формулировать следующим образом. Дано со-
соотношение
F(x, у, ...; и; их, иу, ...; ихх, иху, .. .) = 0, A)
где F есть функция переменных х, у,...; и; ах> иу, ...; ихх, иху,...
Требуется определить такую функцию и(х, у, ...) независимых пере-
переменных х, у, ..., чтобы выражение F исчезало тождественно отно-
относительно этих переменных, если подставить в него вместо и эту
функцию и(х, у, ...) и далее соответствгнно:
ди да
х ~~ дх ' У ~~ ду ' *""'
дх" ' ХУ ~ дх ov'
Такая функция и(х, у,...) называется решением, иногда такке
«интегралом» дифференциального уравнения с частными произ-
производными A). Задача состоит не только в том, чтобы находить от-
отдельные («частные») решения, но и в том, чтобы получить совокуп-
совокупность решений; ставится также задача и о выделении индивидуальных
решений с помощью дополнительных условий, присоединяемых к диф-
дифференциальному уравнению A).

14 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ.
Дифференциальное уравнение A) с частными производными об-
обращается в обыкновенное дифференциальное уравнение, если числа
независимых переменных равно единице. Порядок наивысшей произ-
производной, встречающейся в дифференциальном уравнении, называете»
порядком дифференциального уравнения.
Мы часто будем ограничивать независимые переменные х, у, .. .
определенной областью пространства х, у, ...; также и функцию F
мы будем рассматривать в ограниченной области пространства х, у,...,
и, Ид,, иу, . ..; это последнее означает, что в положенной в основу
области изменения переменных х, у, ... допускаются лишь такие
функции и(х, у,...), Для которых выполняются соответствующие
ограничения, наложенные на аргументы функции F. Мы делаем раз
навсегда оговорку, что все наши рассуждения всегда относятся
лишь к некоторым областям, которые надо выбирать, примени-
применительно к обстоятельствам, достаточно тесными. Точно так
же мы раз навсегда предполагаем, что рассматриваемые функции
F, к, ... непрерывны и имеют непрерывные производные всех
встречающихся порядков, если только не оговорено определенно
что-либо другое *).
Если функция F линейна относительно величин и, их, иу,...,
ихх, и^, ... с коэффициентами, зависящими только от независимых
переменных х, у,..., то дифференциальное уравнение называется
линейным. Если выражение F линейно .хотя бы относительно произ-
производных высшего, скажем, я-го, встречающегося порядка с коэффи-
коэффициентами, которые могут зависеть не только от х, у,..., но еще
и от к и от производных функции и до (и—1)-го порядка, то диф-
дифференциальное уравнение называется квазилинейным.
Мы будем заниматься большей частью линейными или, самое
большее, квазилинейными дифференциальными уравнениями; более
общие дифференциальные уравнения мы часто будем приводить к этим
типам.
Для многих наших исследований достаточно будет рассматривать
лишь случай двух независимых переменных. Тогда можно решение
и i.xt У) дифференциального уравнения A) истолковать геометрически
как поверхность, «интегральную поверхность» в пространстве х, у, и.
§ 1. Представление о многообразии решений
1. Примеры. У обыкновенного дифференциального уравнения
порядка п совокупность решений (за исключением, быть может «осо-
«особых» решений) дается функцией независимой переменной х, зависящей,
кроме того, еще от п произвольных постоянных; обратно, для всякого
семейства функций, зависящего от п параметров
J) Это относится, в частности, и к системе конечных уравнений.
В этом случае рассуждения относятся к окрестности такой точки, в которой,
например, соответствующий функциональный определитель не исчезает, без
того, чтобы это особо подчеркивалось каждый раз.

§ 1] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О МНОГООБРАЗИИ РЕШЕНИЙ 15
можно получить дифференциальное уравнение порядка п, для которого
и = ® является решением. Для этого надо исключить параметры
еи ..., сп из этого уравнения и из получающихся из него дифферен-
дифференцированием и уравнений:
и' = <?'(х; Су,..., сп),
и(га) = <?(м)(*; с,,..., сп).
У уравнений с частными производными дело обстоит сложнее.
И здесь можно ставить вопрос о совокупности решений или «общем
решении», т. е. таком решении, из которого можно получить все
индивидуальные решения (опять за исключением, быть может, неко-
некоторых «особых» решений) посредством специализации некоторых
содержащихся в нем произвольных элементов. Оказывается, что такие
произвольные элементы у дифференциальных уравнений с частными
производными появляются уже не в виде произвольных постоянных,
но в виде произвольных функций, в количестве, вообще говоря,
равном порядку дифференциального уравнения. Эти произвольные
функции зависят от числа независимых переменных, на единицу мень-
меньшего, чем решение и. Уточнение этих обстоятельств получится из
теоремы существования § 7. Здесь мы ограничимся разъяснением'
вопроса на нескольких примерах.
1. Дифференциальное уравнение
Для функции и(х, у) выражает тот факт, что и не зависит от у;
.следовательно,
u = w(x),
где -w(x) обозначает произвольную функцию
от .v *).
2. uxil = 0.
«Общее решение» получается немедленно в виде
X
u — w (x) -j-1> (У)- Черт. 1.
3. В качестве решения неоднородного дифференциального урав-
уравнения
Uxy = f(X, У)
получаем функцию
х у
oZ/o
с произвольными функциями финн произвольными значениями дг0, у0;
общее можно писать интеграл по области, выбирая в качестве области
интегрирования Q треугольник, изображенный на черт. 1, криво-
криволинейную границу которого составляет кривая С: y — g(x) или
J) Буквами w и v мы ив дальнейшем будем обозначать произвольные
Функции.

16 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
лг = А(у), пересекающая всякую прямую, параллельную оси X или у,
-не более, чем в одной точке. В таком случае
«(*, У)= f f /<S, i\)dldfi + w{x)-\-v{y), B)
«* = J /(*, Ч) *Ч + о»' С*)» S = J /(«, у) Я + в' (.у).
'Частное4 решение дифференциального уравнения, получающееся, если
положить 1Ю (дг) = v (у) = 0, обладает, следовательно, тем свойством,
что для точки л:, _у кривой С
4. Дифференциальное уравнение с частными производными
ыж = иу
приводится преобразованием переменных
Х-\-у = 1, Х~у = % и(Х, у) = <а(?, Ч])
к виду
•откуда получается «общее решение» o> — w(Z), т. е.
и = w(x-\-y).
Аналогично находим совокупность решений дифференциальногв
уравнения
при постоянных а и j3, в виде
5. Пусть g(x, у) — заданная функция от х, у. В таном случае
дифференциальное уравнение с частными производными
т. е. исчезание функционального определителя ~'' ^'. функций и, g
по х, у, означает по элементарным теоремам дифференциального
исчисления, что и зависит от g, т. е. что
yy), C)
где w — произвольная функция величины g. Так как и, обратно,
всякая такая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
ияЕу — иу^ж = 0, то равенство C) содержит всю совокупность ре-
.шений посредством произвольной функции w.
Отметим, что тот же результат справедлив для более общего-
именно, квазилинейного—дифференциального уравнения
uxgy(x, у, ii) — u:,<rx(x, v, к) = 0,

§ 1J ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О МНОГООБРАЗИИ РЕШЕНИЙ 17
где g зависит теперь явно не только от х, у, но еще и от неиз-
неизвестной функции и (х, у). Для функционального определителя функ-
функций и(_х, у) и f(x, y)—g(.x, у, и(х, у)) выполняется соотношение
«Лу — «уЪс = «*?!,— иу?х + «a&Kj, — Uygullx = 0.
Следовательно, и на этот раз общее решение дается равенством
и{х, y)=W(g(x, у, и)), D)
которое мы должны рассматривать как неявное определение функции и
с помощью произвольной функции W.
Например, решение и{х, у) дифференциального уравнения
*(и)Иа,—Р (И) ttJ, = 0
получается в неявной форме а (и)у-\- $ {и) х ~ w (и) или
E)
так что и зависит от произвольной функции W довольно сложным
образом. (Эти рассмотрения будут использованы нами в § 7.)
6. Дифференциальное уравнение с частными производными второго
порядка
приводится преобразованием х-\-у — Ь, х—у — ?1, и(х, _у) —<о(;, т\)
к виду
4»е, = 0.
Таким образом, его общее решение согласно примеру 2 есть
и(х, y) = w(x-\-y)-{~v(x—y).
7. Совершенно аналогично получаем для общего решения диф-
дифференциального уравнения
ихх JT иуу = 0,
при произвольном значении параметра t, выражение
и = w {х -J- ty) -f- v {х — ty).
В частности, является решением функция
в = (
или функция
u = (x — tyy,
т. е. выражение
Должно исчезать для всех значений х и у при действительном t. Но
по известной теореме алгебры целая рациональная функция от t,
исчезающая при всех действительных значениях t, исчезает и при всех

18 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ГЛ. I
комплексных значениях /. Поэтому, если положить ? = /=]/—1, то
дифференциальное уравнение переходит в уравнение Лапласа
8. Дв^Взд-f «„, = 0,
для которого получаем решения
{x — iyy = Pn(x, y) — iQn(xt у),
где Рп и Qn — полиномы с действительными коэффициентами, которые
сами должны удовлетворять уравнению Лапласа*). Таким образом,
при п =¦== 0, 1, 2, ... получаем бесконечное множество решений урав-
уравнения Лапласа, но в отличие от предыдущих примеров пока только
счетное множество.
Переходя к полярным координатам г, 8 при помощи формул
x = rcosb, у — г sin 8, имеем:
Рп (х, у)=ч» cos я8, Qn (?, у) = r« sin я». F)
Функции
Ра (х> У)==г" cos ab, Qa (х, у) = Г1 sin <x&
тоже, оказывается, удовлетворяют уравнению Лапласа при любом
действительном значении а во всякой области плоскости х, у, не
содержащей начала х = у==0; это можно проверить подстановкой
после преобразования Ди к полярным координатам [ср. т. I, стр. 217,
формула F5)]
Д« = кп. + -^ + 4г"&».
Если выбрать две функции ъи (а) и v (а) такого рода, чтобы произ-
производные интегралов
Ь b
Г w (a) ra gos ав da и Г v (а) га sin а8 da
а а
до второго порядка можно было получить дифференцированием под
знаком интеграла, то выражение
ь
j r* [w (a) cos а& -\- v (а) sin aft] da
а
даст многообразие решений, зависящее от двух произвольных функ-
функций и и л.
9. В качестве примера дифференциального уравнения более высо-
высокого порядка рассмотрим уравнение
для которого находим общее решение
и [х, y) = w {у) -f xw1 (у) -j- v (х) -j- уг», (*).
1) Эти решения представляют элементарный пример того общего факта,
что как действительная, так и мнимая часть всякой аналитической функции
комплексного переменного x~\-iy удовдетворяет уравнению Лапласа.

§ 1} ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О МНОГООБРАЗИИ РЕШЕНИЙ 19
10. Если число независимых переменных больше двух (например,
три), то естественно ожидать появления в общем решении произволь-
произвольных функций, зависящих от двух или соответственно большего числа
независимых переменных. Например, дифференциальное уравнение
с частными производными для функции и {х, у, z)
«s = o
имеет общее решение
и «= w (х, у).
2. Дифференциальные уравнения для заданных семейств
функций. Зададимся вопросом, нельзя ли, как в п. 1 для обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений, построить также дифферен-
дифференциальные уравнения с частными производными, которым удовлетворяли
ба все функции заданного многообразия, зависящего от символов
произвольных функций.
Возьмем, например, семейство функций, зависящее от произволь-
произвольной функции w, в следующем виде:
«=/(*, У, ™(g(x, у))), G)
где /—заданная функция аргументов х, у, w, a g(x, у)—заданная
функция от х и у, например, g—xy. Для того, чтобы получить
дифференциальное уравнение этого семейства функций, дифференци-
дифференцированием равенства G) по х и у приходим к двум уравнениям:
Исключая w' из этих уравнений, получим искомое дифференциальное
уравнение
(и* — /*) Г, — (uy—fv) ei = 0, (8)
причем произвольную функцию w, которая содержится еще неявно
в 4 и /у, надо представить себе выраженной из уравнения G)
через х, у, и.
Полученное дифференциальное уравнение принадлежит еще спе-
специальному, именно—квазилинейному, типу, так как оно линейно от-
относительно производных. Следовательно, данное представление нашего
семейства функций недостаточно общо, чтобы оно могло приводить
"ко всякому дифференциальному уравнению с частными производными
первого порядка.
Если будем, напротив, исходить из семейства функций, зависящего
не от произвольной функции, а от двух параметров a, j3:
«=/(*> У, «, Р)>
и составим производные

20 ВВЕДЕНИЕ? ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. 1
то имеем 3 уравнения, из которых, вообще говоря, можно исклю-
исключить аи^ (во всяком случае, если fxjy$—/х^/раФ®)- Получится
дифференциальное уравнение с частными' производными f(x,y, и,
их-> иу) = 0. которое, вообще говоря, уже не будет линейным отно-
относительно их и иу.
Парадокс, заключающийся в том, что более узкое многообразие
решений ведет к более общему типу дифференциальных уравнений,
получит простое разрешение в § 4.
Примеры: 1. Для семейства функций
и = w (ху)
исключением w' из уравнений
ux=yw', uy = x-w'
получается дифференциальное уравнение
хих —уиу = О.
Если переменные л:, у, и истолковывать как прямоугольные коор-
координаты, то каждая функция этого семейства представляет геометри-
геометрически поверхность, пересекающуюся с горизонтальными плоскостями
по равнобочным гиперболам.
2. Совокупность поверхностей вращения, которые получаются
при вращении плоской кривой вокруг оси и, выражается семейством
функций
u = w{x--\-f).
Соответствующее дифференциальное уравнение —
уих — хиу = 0.
3. Совокупность коноидов, образующими которых являются го-
ризонтальные.прямые, проходящие через ось и, представлена семей-
семейством -функций
Соответствующее дифференциальиое уравнение
4. Дифференциальное уравнение всех развертывающихся поверх-
поверхностей получается из определения этих поверхностей как огибаю-
огибающих семейства плоскостей, зависящих от одного параметра. Их
совокупность (с изъятием цилиндров, перпендикулярных плоскости
х, у) представлена семейством функций
причем а надо выразить как функцию X и у из уравнения
'ia). (Ю)

§ 1J ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О МНОГООБРАЗИИ РЕШЕНИЙ 2i
Функция и зависит здесь от двух произвольных функций и притом
довольно сложным образом. Из уравнения (9) находим первые произ-
производные их, иу:
следовательно,
а„ = «/(|О. (П)
Для исключения w дифференцируем еще раз:
а отсюда получаем
— дифференциальное уравнение всех развертывающихся поверх-
поверхностей за исключением цилиндров, перпендикулярных к плоско-
плоскости х, у. '
5. Во всех этих примерах можно, обратно, показать, что все
решений соответствующих дифференциальных уравнений принадлежат
заданным семействам.
6. Совокупность всех однородных функций и(xv..., хп) сте-
степени а от п независимых переменных хг, ..., хп характеризуется
условием
и(txlt ..., txn) = t*u(л-х, ..., хп), A3)
t = —, имеем:
которое должно выполняться тождественно относительно t. Полагая
,...,x-2=±, l),
откуда для и получается выражение
*) A4)
Так как, обратно, всякая функция такого вида, образованная с по-
помощью произвольной функции w от п—1 аргументов, удовлетво-
удовлетворяет написанному выше условию однородности, то в форме A4)
содержится все семейство однородных функций степени а.
Чтобы,для этого семейства функций получить дифференциальное
уравнение с частными производными, дифференцируем A4) по пере-
переменным хи .. ., хп и исключаем функцию w. Таким образом полу-
получается условие однородности Эйлера
Это соотношение можно впрочем получить и непосредственно, диффе-
дифференцируя A3) по t и полагая затем t—\.

22 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
Обратно, из того факта, что функция и (дг1, . .., #и) удовлетво-
удовлетворяет условию однородности A5), вытекает:
аи (^i' • • • > txJ}в 0;
следовательно, выражение -—u{tx^, .. .,txn) не зависит от t, а по-
потому должно быть, в частности, равно u(xt, ...,хп). Но это озна-
означает согласно определению A3), что функция и однородна.
§ 2. Системы дифференциальных уравнений
1. Проблема эквивалентности систем и отдельных дифферен-
дифференциальных уравнений. В то время как у обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений существует эквивалентность между теорией
одного дифференциального уравнения и теорией системы уравнений,
у дифференциальных уравнений с частными производными дело об-
обстоит иначе.
Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
F(x,y,/,y")^0 A)
может быть приведено подстановкой у' = z к системе двух диффе-
дифференциальных уравнений первого порядка для двух функций у{х)
и z(x):
(
z>) = 0, j
г = 0. J
Всякое решение дифференциального уравнения A) приводит
к решению системы B) и обратно. Справедлива и обратная теорема:
система двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка
. /(х,у,г,у',г) = О, g{x,y,z,y',z')=^Q C)
для двух функций у (х) и г (X) может быть приведена к одному
дифференциальному уравнению второго порядка для одной из функ-
функций и к процесса?.! исключения, если предположить, что в рассмат-
рассматриваемой области значений аргументов fzgzr —fz'gz Ф 0.
В самом деле, при этом предположении уравнения C) можно
разрешить относительно z и z':
*"=*{х,У,У), г-И*,лУ)- (За)
Дифференцированием второго уравнения и исключением получаем:
?•(*. У, У') — *» ~ V' — V/' = 0 (ЗЬ)
— одно дифференциальное уравнение второго порядка для одной
функции у(х). Подставляя какое-нибудь решение этого дифферен-

§ 2] СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 23
циальиого уравнения (ЗЬ) в равенство z = <$* (х, у, у'), получим соот-
соответствующую функцию z, которая совместно с у решает перво-
первоначальную систему C) или (За).
Следовательно, при условии /г?-3/—fz'ga^t1^ наша система C)
действительно эквивалентна одному единственному дифференциальному
уравнению.
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение с частными
производными второго порядка для функции и(х,.у):
F(х, у, и, их, иу, ихх, и^у, иуу) = 0. D)
При помощи подстановки ия — р, иу~д мы приходим к системе
трех дифференциальных уравнений с частными производными первого
порядка для трех функций и, р, д:
F{x, у, и, р, д, рх, ру, ду) = 0, |
«а—Р = 0, I E)
иу—д = 0. )
Всякое решение и, р, д этой системы дает функцией и решение
дифференциального уравнения D) и, обратно, всякое решение и
уравнения D) приводит к системе решений и, их, иу системы диффе-
дифференциальных уравнений E).
Итак, дифференциальное уравнение с частными производными
второго порядка эквивалентно системе трех дифференциальных
уравнений первого порядка, правда, весьма специального вида. Од-
Однако, обратное предложение не имеет места. Не всякая система
двух дифференциальных уравнений первого порядка — а, следова-
следовательно, подавно не всякая система трех дифференциальных уравне-
уравнений первого порядка — эквивалентна одному дифференциальному
уравнению второго порядка 1).
Для рассмотрения этих обстоятельств исследуем, возможно ли,
по аналогии с обыкновенными дифференциальными уравнениями, из
двух дифференциальных уравнений с частными производными
fix, у, и, v, их, vx, иу, vv) =¦ 0, J
g(x, д/, и, v, их, vx, иу, vy) = 0 |
для двух неизвестных функций и(х,у), v(x,y), с помощью одно-
однократного дифференцирования и исключения, получить одно эквива-
эквивалентное дифференциальное уравнение с частными производными вто-
второго порядка для одной функции и. Дифференцируя по х и v, по-
получаем еще четыре уравнения^ Для того, чтобы вместо системы F)
получить одно единственное дифференциальное уравнение второго
х) Мы увидим, однако, в § 7, что такая эквивалентность при известных
условиях может быть установлена, если к дифференциальным уравнением
прибавить еще некоторые «начальные условия», ограничивающие многооб-
многообразие решений. Впрочем по вопросу о проблеме эквивалентности ср. допол-
дополнения, п. п. 2 н 3.

24 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [til. I
порядка для и, следовало бы исключить из шести уравнений шесть
неизвестных величин v, %, vy, vxx, vxyt ъуу. Между тем исключение
шести величин из шести уравнений вообще невозможно. Делается
ли оно осуществимым благодаря, может быть, специальной структуре
полученной системы уравнений? Отрицательный ответ на этот вопрос
получается с помощью опровергающих примеров J).
Продолжение процесса подсчета показывает, что и при повыше-
повышении порядка нельзя ожидать возможности замены системы F) одним
дифференциальным уравнением. Если, например, еще раз дифферен-
дифференцировать по х и у полученные после первого дифференцирования
четыре уравнения, то получим еще шесть независимых уравнений,
а всего двенадцать дифференциальных уравнений. Из этих двенад-
двенадцати уравнений следовалд бы исключить теперь десять величин
«> va» *>»> «W. v*yi vyy, vxxx, т)щу, vxyy, <oyyy для того, чтобы получить
одно дифференциальное уравнение третьего порядка для одной лишь
функции и. Но так как в результате исключения десяти величин из
двенадцати уравнений вообще получаются два независимых соотно-
соотношения, то следует ожидать, если мы не имеем дела со специальным
случаем, что процесс исключения приведет к двум различным диффе-
дифференциальным уравнениям третьего порядка для одной функции к.
2. Системы определенные, сверхопределенные, недоопределен-
ные. Общий вид системы дифференциальных уравнений с частными
производными при двух независимых переменных таков:
Ft (х, у, «<¦>, и<4, ..., иС*>, и»), и?>, .... ag»>, вМ, #,...) = 0 G)
т. е. система h уравнений для т функций иA\ ..., «("*) незави-
независимых переменных х^п у. Мы предполагаем, что эти h уравнений
независимы друг от друга, т. е. никакое из них не может быть по-
получено из других с помощью процессов дифференцирования и исклю-
исключения.
Если h — m, то говорят, что система определенная. Если h > m,
то система называется сеерхопределеннрй. Если, напротив,
то она, называется недоопределенной.
!) Уравнения
представляют пример такой системы, от которой нельзя притти процессом
дифференцирования и исключения к одному уравнению второго порядка.
Напротив, отсюда получаются' для и два уравнения третьего порядка:
- и ж) = 0.

§ 2] СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 25
Пример определенной системы представляют дифференциальные
уравнения Коши-Римана в теории функций для двух функций
и(х,у) и v(x,y):
Для этой определенной системы специального вида выводится без
затруднений, с помощью дифференцирования и исключения, что
функции и и v, каждая в отдельности, удовлетворяют дифферен-
дифференциальным уравнениям Ди = 0, &v=0 (ср. п. 1).
Простейшим примером сверхопределенной системы для одной
функции и (х, у) является система
Как известно, для разрешимости этой системы необходимо и доста-
достаточно выполнение условия
Ту ёх~
Другой пример сверхопределенной системы дает нам теория ана-
аналитических функций f(zv 2г2) от двух комплексных переменных
Дифференциальные уравнения Коши-Римана, выражающие аналитиче-
аналитический характер функции f(zt, za) = и -|- и> относительно обеих неза-
независимых переменных, имеют следующий вид:
«0. = —«а*. «и, = — ¦00* >
(8)
Дифференцированием и исключением получаем" из них следующую
сверхопределенную систему для одной функции и:
+ иШУг = 0> \
Сверхопределенность этой системы указывает на то, что теория
функций многих комплексных переменных по существу сложнее,
чем классическая теория функций одного комплексного переменного.
Третий пример сверхопределенной системы дает введение одно-
однородных переменных xt, лг2, ..., хп+1 вместо п переменных х, у, .. ,
с помощью соотношений
Функция и (х, у, ...) преобразуется при этом в функцию co(aTj, лга, .. .),
однородную, нулевого измерения относительно новых переменных и
удовлетворяющую поэтому соотношению однородности Эйлера

26 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫВ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
Частные производные первого порядка функции и (х, у, ...) по
х, у,... выражаются через производные функции ш^, х%, ...)
следующим образом:
Поэтому, если для функции и дано дифференциальное уравнение
первого порядка
f(x,y, .. ,,u,uw,uy, ...) = °.
то оно приводится, преобразованием к такому же дифференциальному
уравнению вида
?(*и х%, .... «о, о)Ж2, со^, .. .) = О
для функции a>(xv лг2, ...), к которому присоединяется еще, в ка-
качестве второго уравнения, соотношение однородности
*1®а>, + *2«Ч-Н . . . = 0.
Вместо одного дифференциального уравнения получается, таким обра-
образом, сверхопределенная система двух уравнений. Очевидно, такая
же сверхопределенность возникает и при преобразовании системы
дифференциальных уравнений введением однородных переменных.
Примеррм недоопределенной системы дифференциальных уравне-
уравнений является уравнение
которое выражает тождественное исчезание функционального опре-
определителя обеих функций и(х,у) и v(x, у). Из этого уравнения вы-
вытекает *), что и и v связаны соотношением
w(u, v)=0,
не содержащим явно независимых переменных х и у. Это соотно-
соотношение можно рассматривать как общее решение недоопределенной
системы дифференциальных уравнений.
Вообще для системы п функций мС1), иB), ..., «00 от независи-
независимых переменных xt, лг2, ..., хп справедлива теорема, что исчезание
функционального определителя
U
= 0 (9)
Ср. § 1, п. 1, пример 5.

fe 31 «методы интегрирования уравнений частных видов 27
Является характеристическим условием существования между п функ-
функциями м^), ..., и(п) зависимости вида
w(kW, .... иМ) = 0. A0)
Следовательно, и это соотношение A0) можно трактовать" как реше-
решение недоопределенной системы дифференциальных уравнений (9).
§ 3. Методы интегрирования
для некоторых дифференциальных уравнений частных видов
1. Разделение переменных. Для многих дифференциальных урав-
уравнений, -встречающихся в математической физике, можно получить
с помощью специальных подстановок, если и не всю совокупность
.решений, то все же семейство решений, зависящее от произвольных
параметров.
Покажем на ряде примеров важнейший, метод этого рода, метод
разделения переменных.
С помощью подстановки
и(х, у) =
получаем:
или
[<?'№=!-If O012.
Так как в этом уравнении правая часть не зависит от х, а левая не
зависит от у, то обе они равны одному и тому же постоянному
числу а2, и мы получаем, таким образом, непосредственно семейство
решений, зависящее от двух параметров:
и(х, у) = ах-\-\/1— cty-f-P A)
С параметрами аир.
2. Соответственно для дифференциального уравнения
для функции и от трех переменных х, у, z, полагая
« = ?(*) + 4'О')+х(*).
получим семейство решений
B)
зависящее от трех произвольных параметров а, р,
3. Подстановка
приводит к цели и у дифференциального уравнения

28 ВВЕДЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
Получим:
«<* л-
где а и р — произвольные постоянные.
4. Метод разделения переменных часто применяется с успехом
после того, как предварительно выполнено подходящее преобразова-
преобразование переменных. Так, встречающееся в небесной механике, в задаче
о двух телах уравнение
k
и1 ~Ь и1 ~ ~р~~ h (г2~х2 -{-уя; k, h — постоянные)
после преобразования переменных х, у к полярным координатам г, &
переходит в уравнение
u\-\--pi.u\—-? — h или r2u2r-\-ul = kr — hr%
для функции и (г, Ъ), в которую перешла и(х, у) в результате пре-
преобразования. Формула C) дает нам семейство решений
7?
о
зависящее от двух произвольных параметров аир.
5. У линейных дифференциальных уравнений, в особенности вто-
второго порядка, часто можно с успехом применить подстановку
и(х, дО =
многочисленные примеры такого рода содержит пятая глава первого
тома (ср. т. I, гл. V, §§ 3—9).
Другой пример дает дифференциальное уравнение теплопро-
теплопроводности
uy^0. E)
С помощью нашей подстановки получим уравнение
' »"(*): »(*)== •/О) :<!><».
Следовательно, обе части этого уравнения должны равняться одной
и той же постоянной, которую можно принять положительной или
отрицательной и обозначить соответственно через v2 или — v2. Таким
образом, получатся семейства решений
и = a sh v (х — а) е'*и,
и ~ a sin v (х — я) е- 'S'J'.
Последнее решение играет особую роль в математической физике,
как выражение распределения температуры, безгранично убывающего
со временем (и — температура, у—время, я—-координата точки).

§ 3] МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ 4АСТНЫХ ВИДОВ 29
2. Получение новых решений с помощью суперпозиции (на-
(наложения). Основное решение уравнения теплопроводности.
Интеграл Пуассона. Из полученных решений линейных дифферен-
дифференциальных уравнений можно получить новые решения с помощью
процессов суммирования, дифференцирования и интегрирования, чему
многочисленные примеры также содержатся в гл. V т. I (ср. т. I,
гл- V, §§ 1—9). В этом месте мы можем поэтому ограничиться
немногими примерами.
Для того, чтобы получить новое решение уравнения теплопро-
теплопроводности, мы проинтегрируем решение e—*v cos vx по параметру v
от — то до -\- со. Получится новое решение
— со
Интеграл в правой части нетрудно вычислить *), и мы получим:
В качестве второго примера, связанного с применением принципа
наложения, дадим решение краевой задачи уравнения Лапласа
Ди = 0 для круга г2 = д:2+_у2 < 1, если для г=.1 краевые значения
функции и заданы как непрерывно дифференцируемая функция g{$)
полярного угла &. Обозначим коэффициенты Фурье функции g (Ь) через
ап~— | g(<?)cosnvdy, bn~— j g(<?)sinn<Ddy;
— к —к
ряд
СО
^ 2 cos v& -\- b4 sin v») r =
(*• у)+*v
1 X
J) Для вычисления полагаем i?j' = X2. Имеем и = —=J(a), где в =
nj(a)= f *~ * cos (al.) dh Для вычисления ^(д), дифференцируя под
знаком интеграла, получаем J' (в) = — [ е~"х* ?isin(e>.)rfX и, после инте-
— с»
грирования по частям, почти непосредственно J' (в) =——J(a). Кроме
того, прямое вычисление дает /@) = | г''й= ~\Гъ. Отсюда вытекает
— с»
4 и, следовательно, формула (в).

30 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЙ (ГЛ. 1
сходится равномерно при г ^ q < 1. Этот ряд, который при г ^ q
можно дважды дифференцировать почленно, представляет суперпози-
суперпозицию гармонических функций Рп и Qn, рассмотренных в § 1, п. 1,
пример 8, а, следовательно, и сам является гармонической функцией.
Но он сверх того решает и нашу краевую задачу. Внутри круга
можно поменять местами суммирование и интегрирование, после чего
получаем:
IS СО
Воспользуемся формулой 2 cos a = efa-]-«-*« и затем просуммируем
геометрические ряды, которые появляются под знаком интеграла, и
после небольшого преобразования мы придем к выражению
7
/ — 1С
которое представляет решение краевой задачи с помощью интеграла
Пуассона (ср. гл. IV, а также т. I, стр. 488).
§ 4. Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
в частных производных первого порядка с двумя независимыми
переменными. Полный интеграф
1. Геометрическое истолкование дифференциального уравне-
уравнения в частных производных первого порядка. У дифференциаль-
дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка для одной
функции и(дг, у) от двух независимых переменных геометрическое
представление вводит уже довольно далеко в теорию интегрирования.
Дифференциальное уравнение
F(x, у, и, р, q) = 0, A)
где для сокращения положено р = иа, q — uy, говорит, что для вся-
всякой интегральной поверхности, проходящей через точку с коорди-
координатами л:, у, и, обе величины р и q, определяющие положение
касатбльнрй плоскости в этой точке, подчинены условию A). Каса-
Касательная плоскость к какой-либо интегральной поверхности в упомя-
упомянутой точке х) не может уже, следовательно, принимать произвольные
положения, но должна принадлежать многообразию, характеризуемому
!) Для того, чтобы подчеркнуть, что в упомянутых выше касательных
плоскостях подвергается рассмотрению лишь непосредственная окрестность
соответствующей точки касания, целесообразно такую точку и окружаю-
окружающий ее произвольно малый кусок плоскости называть поверхностным эле-
элементом и этими поверхностными элементами оперировать точно так же,
как при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений можно по-
положить в основу линейные элементы.

§ 4] .ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛкОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ 31
уравнением (II). Для заданной точки (х, у, и)—это многообразие,
зависящее от одного параметра (например, для уравнения р2 -\- ф = 1
многообразие р ='cost, q = smt с параметром f). Если функция F
линейна относительно р и д, то это семейство возможных касатель-
касательных плоскостей образует пучок плоскостей, проходящих через одну
прямую, «ось Л1онжа». Мы оставляем в стороне этот специальный
случай «квазилинейного» дифференциального уравнения первого
порядка, который будет рассмотрен особо в § 5, и полагаем,
что для всякой интересующей нас точки (х, у, и) наше семейство
плоскостей огибает некоторый конус, так называемый «конус
Монжа-» 2). Таким образом, дифференциальное уравнение геометри-
геометрически изображается ополем конусов», отнесенным некоторой области
пространства х, у, и, подобно тому, как обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение первого порядка изображается полем направлений.
Дать решение дифференциального уравнения означает найти такую
поверхность, которая в каждой из своих4 точек касается соответ-
соответствующего конуса Монжа.
Геометрические соображения, как и в теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений первого порядка, делают очевидным сле-
следующее предложение:
Если зависящее от одного параметра а семейство
и=/(х,у,а) B)
решений дифференциального уравнения F(x, у, и, р, q) — О имеет
огибающую, то эта огибающая тоже является решением.
Действительно, огибающая семейства интегральных поверхностей
имеет в каждой своей точке Р касательную плоскость, которая
касается в этой точке соответствующего конуса Монжа, а именно, •
общую касательную плоскость с той интегральной поверхностью
семейства, которая касается огибающей в точке Р.
Аналитически теорема доказывается следующим образом: для
получения, огибающей надо Из уравнения
/а(Х,У, С) = О C)
выразить величину а в функции от х и у и затем эту функцию
а{х,'у) подставить в /, причем уравнение огибающей получится
в.виде
«=/(*> У, а(х, уУ) = <Ь(х, у).
Принимая во внимание уравнение C), имеем:
% — их =*/ш +/оаж =/„; % = иу =Д, -{-faav=fv
^ в фиксированной точке (х0, у0) значения ty(x0, у0), Цх(х0, у0),
\хо, Уо) равны соответственно значениям f(x0, y0, a), fx(x0, y0, а),
*о» .Уо. а)> г#е й = й(-*го> Уо)- Но так как функция к==/(дг, у, а)
*J Для более подробного рассмотрения ср. гл. II, § 3, п. 1.
) По имени Монжа (Gaspard Monge).

ЗЙ Введение. Основные понятия [гл. t
удовлетворяет дифференциальному уравнению в точке (л:0, у0), то и
функция к = <Ь (х, у) ему удовлетворяет.
2. Полный интеграл. В § 3 мы убедились на ряде примеров,
что для дифференциальных уравнений первого порядка возможно
найти решения, которые еще зависят от произвольных параметров;
в частности, для дифференциального уравнения
F(x, у, и, р, ?) = О A)
с одной неизвестной функцией и(х, у) от двух независимых пере-
переменных можно найти такое решение
« = <?(*, У, а, Ь), D)
которое еще зависит от двух параметров а, Ь. Если и не входит
явно в F, то из семейства решений к = «р (дг, у, а) с одним пара-
параметром можно получить семейство решений и = © (х, у, a) -J- Ь,
зависящее от двух параметров а и Ь.
Семейство решений, зависящее от двух параметров, называется
полным интегралом дифференциального уравнения A), если J) в ин-
интересующей нас области ранг матрицы
На <?яа <?Уа\
\?Ь Та* <?уЪ/
равен двум, в частности, следовательно, если определитель
не обращается в нуль.
Значение понятия «полного интеграла» основано на следующем
фундаментальном факте. Нахождением огибающей к, следовательно,
с помощью одних лишь процессов дифференцирования и исключения
Можно получить из полного интеграла D) семейство решений
дифференциального уравнения C), зависящее от произвольней функ-
функции 2). Для этой цели мы связываем независимые доселе параметры а
г) Это условие исключает возможность, чтобы функция <р содержала
два независимых параметра лишь кажущимся образом, приводясь в дей-
действительности с помощью подходящей комбинации t~g{a,b) к виду
Ч (¦*> У' а' *) = Ф (-*» У< т). зависящему от одного лишь параметра; в этом
случае из соотношений
ЧхЬ =
fa = М
Немедленно вытекало бы, что ранг матрицы М не может равняться двум.
2) Вопрос о том, получается ли этим путем многообразие всех решений,
остается открытым. Что по этому вопросу трудно формулировать общие
предложения, показывает следующий пример. Пусть F(x, у, и, р, q) =
= О (х, у, и, р, q) И (х, у, u,p,q) и <р — полный интеграл уравнения G = О,
не являющийся одновременно решением уравнения // = 0. В таком случае
согласно нашему определению у является также полным интегралом урав-
уравнения F — 0, и существуют семейства решений уравнения F =s 0, а именно —
решения уравнения // = 0, — которых нельзя получить из <р-

§ 4] ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ 33
и b произвольной функцией, например, b = w (а), тем самым выде-
выделяя из нашего семейства с двумя параметрами семейство, зависящее
от одного параметра, и находим огибающую этого семейства. Для
этого представляем себе, что величина а выражена из уравнения
?в + ?ь«'/(в) = О (b = w(a)) F)
в функции д: и у, что предполагается возможным, и подставлена в
и = <р(х, у, a, w (а)) = ф (х, у).
Таким образом получается многообразие решений <5*(лг, у), зависящее
от произвольной функции w. Изложенное разрешает, между прочим,
кажущийся парадокс, упомянутый на стр. 20; если для дифферен-
дифференциального уравнения с частными производными имеется семейство
решений, зависящее от двух параметров, то тем самым дано семей-
семейство функций, зависящее от произвольной функции; при этом, однако,
произвольная функция входит столь сложным образом, что это семей-
семейство функций вообще не охватывается нашей формулой G), § 1., п. 2.
В следующей главе, в систематической теории дифференциальных
уравнений первого порядка мы узнаем, что теорию полного интеграла
можно обобщить и на дифференциальные уравнения для функций
от я независимых переменных и что ее можно привести в тесную
связь с общей теорией интегрирования. *
3. Особые интегралы. Кроме «общего» решения, полученного
в п. 2 посредством нахождения огибающей подсемейства, зависящего
от одного параметра, методом нахождения огибающей можно иногда
получить и другое, «особое» решение. Именно, может случиться,
что исходное семейство интегральных поверхностей с двумя пара-
параметрами и = <э(лг, у; а, Ь) тоже им"еет огибающую *), не содержа-
содержащуюся среди предыдущих. И эта огибающая, которая получается
исключением о и ft из трех уравнений
G)
тоже должна быть решением. Оно называется «особым» решением
уравнения A). В отношении особых решений здесь, как и в теории
обыкновенных дифференциальных уравнений, имеет место замечатель-
замечательный факт, что для их получения на самом деле совершенно не требуется
знания полного интеграла; напротив, их можно получить непосред-
непосредственно из дифференциального уравнения с помощью процессов
дифференцирования и исключения, а именно: Для получения особых
решений надо исключить р и q из уравнений
F(x, у, и, р, ?) = 0, /> = 0, Fq = 0. (8)
В самом"деле, дифференцируя уравнение
у, <?, вда ?j,) = 0,
*) Это, конечно, невозможно, если и не содержится явно в F.

34 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
которое выполняется тождественно относительно а и Ь, по а и по
Ь, имеем:
>?«. + F a? v» = О,
Так как на особой интегральной поверхности <во = ®ь — 0, то для
точек этой поверхности
Если предположить, что определитель Z) = 'f^'-?^—ухь9уа не исчезает
на особой интегральной поверхности, то для этой поверхности
должны выполняться уравнения
Таким образом, особое решение может быть получено исключением
р и q из уравнений (8). Согласно этому особое решение можно
определить, и без ссылки на специальный полный интеграл, как
такое решение, для которого F = Fp = Fq = O (ср. гл. II, § 4).
4. Примеры. Рассмотрим семейство функций, зависящее от двух
параметров,
(х—af-\~(y— ?J + и2=1, (9)
т. е. совокупность сфер радиуса 1 в пространстве х, у, к, центры
которых лежат в плоскости х, у. Эти функции образуют полный
интеграл дифференциального уравнения
1- (Ю)
Полагая b — w (а), мы выделяем из совокупности (9) зависящее
от одного параметра семейство сфер, центры которых лежат в плос-
плоскости а;, у на кривой y — w(x). Огибающая этого семейства, т. е.
та поверхность, которая получается исключением величины а из двух
уравнений:
(х — a)-f w'(а) (у— w
(а)) — 0 }
дает новое решение. Каждая такая огибающая есть поверхность
канала с осевой кривой у — та (х).
Однако, все семейство (9) с двумя параметрами тоже имеет
огибающую, а именно—обе плоскости и=1 и к = — 1, как это
показывает наглядное представление и подтверждает аналитический
вывод исключением величин а и b из уравнений
A2)
х—я =

§ 5] ТЙОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ SS
Так как эти поверхности удовлетворяют дифференциальному урав-
уравнению A0), то они представляют его особые решения.
К этим особым решениям можно также притти, исключая величины
р и q из уравнений
0. A3)
Другой пример представляет часто встречающееся в приложениях
дифференциальное уравнение K/tepo
u = xuw-{-yuy~\-fiua,, uy). A4)
К нему можно притти, исходя из семейства плоскостей
a = ax + fty+/(e. *), A5)
зависящего от двух параметров, где Дй, д) — заданная функция
параметров а и Ь. В силу того, что иж = д, иу=Ь, это семейство
плоско/стей удовлетворяет дифференциальному уравнению ^14), и,
так как D = 1, оно является полным интегралом этого дифференциаль-
иого уравнения.
Общее решение дифференциального уравнения Клеро мы получим
и здесь посредством нахождения огибающей, беря произвольную
функцию b — w {а) и исключая затем параметр а из уравнений
u = ax-)-yw(a)-\-f(a,w(a)), \
0 +' (a) +/+/>' () /
Очень большое значение для приложений имеет особое решение
уравнения Клеро. Оно получается как огибающая семейства плсх>
костей A5), зависящего от двух параметров, т. е. исключением
а и b из уравнений
u = ax-\-by-\-f{a, b), ¦¦
- A7)
Мы придем к тем же формулам, если будем дифференцировать
-дифференциальное уравнение A4) по их = р, uy = q, следуя правилу,
выведенному в п. 3. (Ср. по этому поводу рассмотрения, проведен-
проведенные, впрочем, с другой точки зрения в § 6, п. 3.)
§ 5. Теория линейных и квазилинейных дифференциальных
уравнений первого порядка
1. Линейные дифференциальное уравнения. Линейным диффе-
дифференциальным уравнением с частными производными для неизвестной
функции и (хи ... , хв) называется дифференциальное уравнение вида
п
^ e. О)

36 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [гЛ. I
где af и а — заданные, непрерывно дифференцируемые функции
переменных х1,...,хп; квазилинейным называется дифференциальное
уравнение такого же вида, но в котором коэффициенты могут за-
зависеть не только от независимых переменных хи..., хп, но и от
самой неизвестной функции и.
В этом параграфе будет показано, что теория этих дифферен-
дифференциальных уравнений вполне эквивалентна теории системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений (ср. также гл. II, § 2).
Рассмотрим сначала частный случай однородного линейного диффе-
дифференциального уравнения
itw ==о. о')
Определим в л-мерном пространстве переменных xlt ..., х„
кривые xt = xi (s), как функции параметра s, заданием системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
1ЁГ = «* (*и • • ¦» *Л (*=1,...,л). B)
Эти- кривые называются характеристическими кривыми нашего
дифференциального уравнения. К их общему значению мы вернемся
в гл. II, § 2, когда будем рассматривать квазилинейные дифферен-
дифференциальные уравнения, исходя из'другой точки зрения. В случае я = 2
это—те кривые, которые касаются осей Моижа, упомянутых в § 4,
п. 1 как вырождения конусов Монжа.
Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений мы за-
заимствуем следующие факты: если ввести вместо s в качестве неза-
независимой переменной одну из величин xit то, разрешив общее реше-
решение системы B), зависящее от п—-1 параметров с{, относительно
этих параметров, можно это решение представить в следующем виде:
ci = 9i(xlt х2, ..., хп) B=1, ..., п—1),
где сг — произвольные постоянные интегрирования, a iff — взаимно
независимые «интегралы» системы дифференциальных уравнений. При
этом под интегралом ') у (х1г..., хп) мы разумеем такую функцию
независимых переменных х,-,. которая сохраняет постоянное значение
вдоль всякой интегральной кривой системы дифференциальных урав-
уравнений B).
Из нашего дифференциального уравнелия A') вытекает, что для
значений и (s) = и (xt (s),..., хп (sj) любого решения и дифферен-
дифференциального уравнения с частными производными вдоль интегральной
кривой системы обыкновенных дифференциальных уравнений спра-
справедливо соотношение
Ср. сноску *) на стр. 82. (Прим. перев.)

§ 5] ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 37
Следовательно, наши уравнения выражают следующий факт: на лю-
любой интегральной кривой системы B) обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений всякое решение дифференциального уравнения
A') с частными производными имеет постоянное, т. е. не за-
зависящее от х{, значение. Всякое решение дифференциального урав-
уравнения с частными производными является «интегралом системы
обыкновенных дифференциальных уравнений».
В другой стороны, всякий интеграл
нашей системы B) обыкновенных дифференциальных уравнений яв-
является решением дифференциального уравнения с частными произ-
производными. Действительно, представим себе, что в этот интеграл под-
подставлено вместо х{ какое-нибудь решение X{(s) системы B); в таком
случае, дифференцируя по s,. найдем, что <э удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению A') с частными производными во всех
точках любой интегральной кривой xs-(s). Так как через каждую
точку рассматриваемой области проходит одна из этих интегральных
кривых, то функция ю удовлетворяет в этой области дифференциаль-
дифференциальному уравнению A') тождественно относительно х1г..., хп.
Но между любыми п интегралами
нашей системы дифференциальных уравнений B) должна существовать
зависимость вида
Wr(Ti,..-.?B) = O, D)
так как уравнения
?*&=• <»-« »)
могут удовлетворяться, при неисчезающих одновременно at, лишь
в том случае, если функциональный определитель
E)
д(хи...,х„)
обращается в нуль. Но это и есть характеристическое условие для
существования соотношения вида D). С другой стороны, наверное
существуют п—\ взаимно независимых интегралов срц- • •> ?V-i
системы B), а, следовательно, всякий интеграл должен выражаться
через них в виде
<? (*,,. . . , Х„) = W (?!,..., <pw- j). F)
Так как и, обратно, всякая функция «^(«j,..., »n_i) сохраняет по-
постоянное значение на любой интегральной кривой системы B) и яв-
является поэтому интегралом этой системы, то мы имеем в формуле
F), где w—произвольная функция п—1 аргументов, совокупность

38 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. 1
всех решений дифференциального уравнения A') с частными произ-
производными.
Обратно, с помощью я—1 независимых решений c?i.••.»?»»-1
дифференциального уравнения с частными производными можно по-
получить решение системьРB) обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений, выражая, например, я— 1 величину xt,.... хп-1 из уравнений
<pv = cv в функции независимой переменной хп и параметров ct,.».,cn_t.
2. Квазилинейные дифференциальные уравнения. Тот случай,
когда дифференциальное уравнение A) уже не является линейный
и однородным, но вообще квазилинейно и имеет правую часть
a(xv х2,..., и), на первый взгляд значительно более сложен. Однако,
с помощью распространенного приема, имеющего вообще большое
значение в теории дифференциальных уравнений с частными произ-
производными, этот случай можно привести к линейному однородному
дифференциальному уравнению, но с одним независимым переменным
больше, и- таким образом полностью разрешить. Для этой цели
вводят и = хп+1 в качестве новой независимой переменной, а иско-
искомое решение уравнения A) представляют себе в неявном виде
?(*и *2> • • •> xn+i) —О или общее, с постоянной с, в виде
<?(*!,..., хп, хи+1) = с, G)
где функция if и подлежит определению. В ситу того, что
таз,- I ¦жи+1 щ >
если еще положить a(xv х2,...,xn, и) = яп+1, наше дифферен-
дифференциальное уравнение преобразуется к виду
2 «,?*, = О- (8)
Это уравнение точно имеет форму -линейного однородного дифферен-
дифференциального уравнения для функции <s(x1, .. -,хп+1) отя-|-1 пере-
переменного. Но здесь возникает небольшое принципиальное затруднение:
уравнение (8) не должно выполняться тождественно относительно
Xj, х2, - ¦ •, лгп+1> н0 в силу своего вывода лишь для таких систем значе-
значений, для которых ю= 0 или ср = с. В этом понимании соотношение (8)
еще не является линейным однородным дифференциальным уравнением
с частными производными. Однако, если рассматривать не только
одно единственное решение первоначального дифференциального
уравнения, но семейство решений '¦? = с, зависящее от одного пара-
параметра с, то уравнение (8) будет удовлетворяться дла всех зна-
значений хи х8,...,хп+1 и, следовательно, действительно является
линейным дифференциальным уравнением рассмотренного типа. В самом
деле, если xv xa, ...,хп+1 выбраны произвольно, то нужно рас-
рассматривать значение с, определяемое равенством <s(xu.. .,xni.t) = c;
так как для этого значения с уравнение (8) должно выполняться,
то тем самым оно удовлетворяется тождественно относительно

§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА 39
Если мы теперь найдем функцию <р в качестве решения уравне-
уравнения (8), то, полагая. <? = С, получим, обратно, семейство решений
уравнения A), зависящее от одного параметра.
Таким образом, указанное выше приведение выполнено. Оно
показывает, что интегрирование общего квазилинейного уравнения A)
эквивалентно решению системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
E2L— а dn—a (9)
as —a» Ж —а- {Щ
§ 6. Преобразование Лежандра
1. Преобразование Лежандра для функции двух переменных.
Теория интегрирования некоторых классов дифференциальных урав-
уравнений может быть значительно подвинута применением так назы-
называемого преобразования Лежандра. К этому преобразованию нас
приводит геометрическое истолкование дифференциального уравнения,
если представить интегральную поверхность не в точечных коорди-
координатах, а с помощью тангенциальных координат 1).
Для описания поверхности в пространстве х, у, и посредством
уравнения существуют две двойственно-взаимные возможности. Ее
можно либо задать как точечное многообразие посредством функции
и(х, у), либо рассматривать как огибающую своих касательных
плоскостей и выразить уравнением условие того, чтобы плоскость
была касательной к поверхности. Если j, \), ц — текущие координаты
на плоскости, уравнение которой
U — Ej —
то величины ?, •»], со мы называем координатами плоскости. Касатель-
Касательная плоскость к поверхности и(х, у) в точке (х, у, и) имеет урав-
уравнение
и — и — (х- х)ия, — A;t-j)^==0,
а потому ее координаты
Очевидно, рассматриваемая поверхность будет также определена,
если задать со как функцию от \ и т], тем самым выделяя двухпара-
метрическое семейство касательных плоскостей. Зависимость оэ(?, г,)
находим из и(х, у), определяя из уравнений
^ = их, '(\ = иу
значения х и у как функций от $ и yj и внося их в уравнение
<о = хих -\-уиу—к = х\ -{- ут{ — и.
*> По поводу формальной стороны этой операции ср. впрочем т.
«тр. 226.

40 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. 1
Для того, чтобы вычислить, обратно, по тангенциальным коорди-
координатам точечные, образуем частные производные функции <о($, ¦(]);
в силу того, что ? = «?, и ч\ — иу, имеем:
. ,. дх . ду дх ду
0* = *+ «-дг + Чц— и*Ж~ "уЖ~ Х
и точно так же
таким образом, для связи между точечными и тангенциальными
координатами получается система формул
«(-, 1\)-\-и (х, у) =-- xz -f Г1>
S = иа„ г, = и„,
лг = <oj, y = av
которая ясно выражает двойственный характер соотношения между
теми и другими координатами.
Это преобразование поверхности от точечных к тангенциальным
координатам называется преобразованием Лежандра для функций
двух переменных. Оно носит существенно другой характер, чем про-
простое преобразование координат, ибо оно не относит каждой отдель-
отдельной точке другую точку, а, вернее, систему A) можно так толковать,
что каждому поверхностному элементу (х, у, и, их, иу) она относит
другой поверхностный элемент (?, ч\, со, <oj, ш^).
Преобразование Лежандра всегда выполнимо, если можно решить
систему уравнений иж —!;, иу = ч\ относительно хну, для чего'
достаточно, чтобы функциональный определитель
не исчезал для точек данной поверхности.
Очевидно, преобразование Лежандра отказывается служить для
таких поверхностей, которые удовлетворяют дифференциальному
уравнению
т. е. для развертывающихся поверхностей. Этот результат геоме-
геометрически нагляден. В самом деле, развертывающаяся поверхность
в силу своего определения обладает лишь однопараметрическим се-
семейством касательных плоскостей с прямыми касания, а не точками
касания, вследствие чего невозможно установить взаимно однозначное
соответствие между точками и касательными плоскостями поверхности.
В заключение, имея" в виду применение преобразования Лежандра
к дифференциальным уравнениям второго порядка, найдем еще фор-
формулы преобразования вторых производных функций и(х, у) и
wjji, •*]). Для этой цели представим себе, что в уравнениях 1 = их,
•ц = иу переменные jc и у выражены в функции от $ и ч\ с помощью

§ 6]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА
41
соотношений х = ш», у = шГ). Дифференцируя эти уравнения по
и 'ц, имеем:
0 ==
Полагая для сокращения
C)
получаем:
uxy — I
D)
2. Преобразование Лежандра для функции п переменных. Для
полноты дадим форму преобразования Лежандра в случае функций
u(xt,...t хп) от п независимых переменных. Преобразование Ле-
Лежандра дается тогда следующей системой формул:
B(jflt..., ДГ
¦•¦+*»?».
"a"i == *1 > • • •» "a>i == *п>
E)
Для того, чтобы дать формулы, с помощью которых преобразуются
вторые производные, обозначим через U и Q определители'матриц
а адъюнкты элементов ищх и (oei5fe этих определителей — через Uik
и Q^ соответственно. В этих обозначениях искомые формулы выгля-
выглядят так:
причем QU=l.
Применимость преобразования Лежандра, как нетрудно убедиться,
связана здесь с условием (/^0 и соответственно пфО.
3. Применение преобразования Лежандра к дифференциаль-
дифференциальным уравнениям с частными производными. Рассмотрим диффе-
дифференциальное уравнение с частными производными не выше второго
порядка
F(x, у,.и, их, иу, и^, иху, иуу) = 0. G)

42 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
Преобразование Лежандра относит интегральной поверхности к (л:, у)
этого уравнения функцию ш (?, tq). Уравнение F = 0 переходит тогда
в дифференциальное уравнение для функции со, также не выше
второго порядка, а именно:
G=-F(mb шГ1> ?ше + ^ш,,— со, ?, tj, рштл, — рсо^, ро>к) = О, (8)
где
Р = -—-—г-
Однако, это дифференциальное уравнение дает нам вообще лишь
неразвертывающиеся интегральные поверхности первоначального диф-
дифференциального уравнения, так как к развертывающимся поверх-
поверхностям преобразование Лежандра не приложимо.
Преобразование Лежандра можно применить с успехом, в осо-
особенности для дифференциальных уравнений с частными производными
первого порядка, в том случае, если переменные х, уг и содержатся
в дифференциальном уравнении сравнительно простым образом,
производные же ux, иу — ъ более сложной комбинации.
В качестве примера рассмотрим уравнение
ихиу = х. (9)
Преобразованием Лежандра оно приводится к виду
решение которого можно найти непосредственно:
co
Из фо*рмул преобразования вытекает:
1
и = ?2*] -\- t[w' (•/)) — w
(П)
Исключив из этих трех уравнений ? и щ, получим искомое общее
решение исходного дифференциального уравнения1).
*) Однако, здесь отсутствуют такие решения, на которых выражение
uwx"yy ~ и%у исчезает. Но, дифференцируя уравнение ujiy = x по х и у,
имеем:
т. е. неоднородную систему уравнений, определитель которой и^и J;
может исчезать лишь при иху = UyS = 0. Отсюда вытекает, что недостающие
решения должны иметь вид

§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА 43
Напротив, для дифференциального уравнения
преобразование Лежандра дает
Это уравнение уже вовсе не дифференциальное и показывает, что
на этот раз преобразование непригодно. Все решения уравнения
ихиу = 1 должны быть развертывающимися поверхностями. Это
немедленно подтверждается дифференцированием уравнения по
х и у:
.. _!_.. „ -П * ^
так как возможность их — иу — 0 исключена вследствие того, что
ихиу~1, то для всякой интегральной поверхности должно выпол-
выполняться условие
иххиуу иху •— u )•
Точно так же преобразование. Лежандра отказывается служить для
всякого дифференциального уравнения вида
F(ttx, uy)==0. A4)
Третий интересный пример представляет уравнение Клеро, уже
рассмотренное в § 4, п. 4:
хих-\-уиу—и=./(вда «„). A5)
Преобразованием Лежандра оно приводится к простому уравнению
Отсюда мы заключаем, что единственная не развертывающаяся
интегральная поверхность дифференциального уравнения Клеро дается
уравнением
или, в точечных координатах:
**=ЛB. Ч), )
J=/4G, Ч), A7)
)
с произвольными постоянными а и ft. Это выражение действительно дает
полный интеграл уравнения (9), и из него по правилу § 4 легко вновь
найти полученное выше решение.
*) Впрочем дифференциальное уравнение A2) легко привести подста-
новкой х — -н- к виду (9) и таким образом его решить; его можно также
решить с помощью полного интеграла
¦ 1

44 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
Это заключение подтверждается нижеследующим вычислением: диф-
дифференцируя уравнение A5) по х и у и полагая, для сокращения,
р = Ид,, q — иу, получим формулы:
(х—fp) uxx + (у —/в) иху = О,
(лг —/р) вед -f- (.у —/fl) и^ = О,
откуда вытекает, что для интегральной поверхности, либо
?> = и к — иа =0,
хх уу ху '
либо
Но последняя возможность дает как раз полученную выше исключи-
исключительную поверхность.
Рассмотрим, наконец, в качестве примера дифференциальное урав-
уравнение второго порядка, именно — дифференциальное уравнение мини-
минимальных поверхностей:
0+«P«aa)--2«e«^14f + (l + Bp«w = 0. -A8)
Оно нелинейно относительно производных функции и(х, у) .Это
кажущееся усложнение можно устранить с помощью преобразования
Лежандра, которое приводит уравнение A8) непосредственно к виду
A + -?) %„ + 2^ч + A + Р) «^ = 0, A9)
следовательно, к линейному дифференциальному уравнению. Позже
(ср. дополнения к этой главе, § 1, гл. III, § 2, п. 2 и гл. VII, § 10)
мы для этого дифференциального уравнения, знакомого нам уже из
т. I, стр. 182, рассмотрим другие линеаризации," которые открывают
простой доступ к теории минимальных поверхностей.
§ 7. Определение решений по их начальным значениям и
теорема существования
1. Формулировка и разъяснение задачи с заданными началь-
начальными значениями (задачи Коши). Появление произвольных постоян-
постоянных интегрирования в решениях обыкновенных дифференциальных
уравнений лучше всего характеризуется предложениями о решениях
задачи с заданными начальными значениями. Если обыкновеннное
дифференциальное уравнение порядка п для функции и(х) можно
привести к виду
b(-)=/(jc, и, и', и",..., в(--»>),
то можно для решения и в любой точке х0, например, д:0=:0,
произвольно задать значения и (х0) — cv и' (дг0) = с2,..., кО*-1) (,v0) =!
= сп\ общее решение является «-параметрическим семейством функ-
функций с этими начальными значениями clt..., сп как параметрами.
Такого рода «начальные задачи» играют в математической физике
важную роль, например, в тех вопросах, где требуется определить

§ 1\ ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 45
некоторую функцию состояния и (х), зависящую от времени х и
удовлетворяющую выше написанному дифференциальному уравнению,
по ее начальному состоянию при х = 0, т. е. по ее начальному зна-
значению и начальным значениям первых п — 1 производных.
'Аналогичные задачи с начальными значениями, естественно, встре-
встречаются и в тех вопросах, где искомая величина к зависит не только
от временнбй переменной х, но еще и от других переменных у,....
Разбором таких задач с начальными значениями мы и для дифферен-
дифференциальных уравнений с частными производными достигнем наиболее
отчетливого объяснения многообразия решений, т. е. появления про-
произвольных функций в общем решении. Ради краткости мы в изло-
изложении . этого параграфа положим в основу случай двух независимых
переменных х, у с указанием, что все рассуждения могут быть рас-
распространены без существенных изменений на случай большего числа
независимых переменных.
Разберем сначала несколько примеров.
1. Для дифференциального уравнения
имеем общее решение u = w (ay — $х) с произвольной функ-
функцией w. Положим теперь, что заданы произвольно начальные
значения к @, у) = <э(у); в таком случае функция w определится,
если положить в общем решении х = 0, мы получим решение
2. Рассмотрим более общее дифференциальное уравнение
а (и) и*+?(«)«„ = О
ср. § 1, п. 1, пример 5), где теперь уже аир — заданные функции
искомой величины и.
Мы ставим перед собой следующую задачу: найти решение, для
которого и @, у) — о (v) есть заданная функция.
Общее решение нашего дифференциального уравнения мы нашли
в виде <*-{и)у — р(к)х = w(к) с произвольной функцией w. Эту
произвольную функцию мы и здесь определяем из начального условия,
подставляя в общее решение дг = О и и = у(у). Получим тг>(^>) =
= a(e)_y. Если возможно обратить уравнение u = <s(y) с помощью
функции у*=:'х(и), то произвольная функция w определена равен-
равенством ¦к>(?) = а(9)х(?). Следовательно, искомое решение должно
удовлетворять уравнению
а {и)у — р («) х = а (к) -/ (и)
или же
Если из этого неявного задания определим функцию и(х, у), то мы
тем самым решим нашу задачу. (Один важный для нас в дальнейшем

46 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
частный случай мы в конце этого параграфа на стр. 56 разберем
подробнее.)
3. В § 1, п. 1, пример 3 мы нашли общее решение дифферен-
дифференциального уравнения второго порядка иху—/(х, у) в виде фор-
формулы B). Интеграл по треугольной области, входящий в эту
формулу, представляет то решение дифференциального уравнения,
которое исчезает на заданной кривой С вместе со своими производ-
производными их и иу. (Исчезание функции и на кривой С вытекает уже из
факта исчезания производных их, иу на С, если задано в = Ов одной
точке этой кривой.) Вообще же эта формула B) представляет реше-
решение с произвольно заданными начальными значениями производных
их и и
4. Простейшее дифференциальнсе уравнение колебания
для функции и(х, у) приводит к задаче с начальными условиями:
при л; —0 произвольно задано начальное состояние к@, y) = <s{y)
и ^.@, у) — $(у) (ср. т. I, гл. V, § 3). Из общего решения нашего
дифференциального уравнения u—f(y-\-x)-\-g(y— х) находим
специальный вид функций fug приспособлением его к начальным
условиям: f{y) + g(y) — 'i(y), f'(y) — g'(y) — t((y), откуда немед-
немедленно определяются функции / и g и, наконец, искомое решение и
в виде формулы
y) = v{y -L х) -f ? (у—х) + / ф (*) dk.
Для того, чтобы притти к общей формулировке задачи с началь-
начальными условиями, мы будем предполагать, что заданные дифферен-
дифференциальные уравнения имеют вид, разрешенный относительно высших
производных по х от неизвестных функций.
Рассмотрим раньше всего дифференциальное уравнение первого
порядка
Fix, У, и, р, <7) = 0, A)
где снова положено для краткости
и предположим, что это дифференциальное уравнение A) может
быть разрешено относительно р в виде
P=f(xt У, в, q). B)
Задача с начальными "условиями, или так называемая задача
Ксши, формулируется теперь так: требуется найти такое решение
и (х, у) дифференциального уравнения B), которое при х — 0 пере-
переходит в заданную функцию и@, _у) = <? (у); или, выражаясь геоме-
геометрически, найти такую интегральную поверхность, которая "пересе-
"пересекает плоскость х = 0 по заданной начальной кривой и = у (у).

Щ 7] ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 47
Можно было <5ы поставить задачу общее: отыскать такую инте-
интегральную поверхность уравнения F(x,y, и, р, ^) = 0, которая про-
проходит через заданную пространственную кривую и = о (у), х = ф ?у).
Однако, если ввести вместо х и у новые независимые переменные
? = X й 00, 7) = J И ПОЛОЖИТЬ К (Х, J) == U (? + 4* Gi)> Ч) = <° ('. ^). ТО
дифференциальное уравнение приведется к виду
с начальным условием <о @, ¦»])== <? ("»]). Таким образом, более общая
задача приводится к задаче в ее первоначальном специальном виде,
рассмотрением которого мы и ограничимся в последующем изложении.
При рассмотрении дифференциального уравнения второго порядка
F(x,y,u,p,q,r,s,f) = O, C)
где для краткости, здесь и в дальнейшем, положено
мы тоже предполагаем, что в рассматриваемой области значений
аргументов оно может быть разрешено относительно г в следующем
виде:
г =/(*, у, и, р, a, s, t). D)
Задача Коши для этого дифференциального уравнения ставится сле-
следующим образом. Найти такое решение и(х, y)t для которого при
x — Q функция к и ее частная производная их обращаются в задан-
- ные функции от у:
«(о,.у) = ?О0, «a,@,jO = 4<0')- <5>
Таким4 образом, вместо одной произвольной начальной функции
<?(у), как у дифференциального уравнения первого порядка, здесь
участвуют две произвольно заданные начальные функции о (у) и ф 00-
Аналогичные задачи можно поставить и для дифференциальных
уравнений высших порядков или для систем дифференциальных урав-
уравнений, например, для системы первого порядка
.причем для искомых функций к,.(х,у) произвольно заданы началь-
начальные значения
Если удастся показать, что наши задачи с начальными значе-
значениями, задачи Коши, имеют однозначно определенные решения, то
тем самым будет полностью объяснено появление произвольных
функций в общем решении.
2. Приведение к системе квазилинейных дифференциальных
уравнений. Подробное исследование всех наших задач Коши при.
нимает более ясную и единую форму, если их привести к эквива.

48 ВВЕДЁНИР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ГЛ. 1
лентным задачам Коши для систем квазилинейных дифференциальных
уравнений первого порядка. Правда, мы видели, что многообразие
- решений систем дифференциальных уравнений вообще не эквива-
эквивалентно многообразию решений отдельных дифференциальных .урав-
.уравнений. Однако, мы покажем, что в нашем случае такая эквивалент-
эквивалентность достигается, если рассматривать не просто дифференциальные
уравнения, но дифференциальные уравнения совместно с дополни-
дополнительными начальными условиями. Тогда естественно будет для си-
системы дифференциальных уравнений, которая сама по себе дала бы
более широкое многообразие решений, так специализировать началь-
начальные условия, чтобы, после этого, многообразия решений обеих задач
Коши совпали.
Приведение к эквивалентной квазилинейной (а потому—принци-
потому—принципиально более простой) системе дифференциальных уравнений \мы
выполним сначала для дифференциального уравнения первого йо-
рядка B). Заметим, что заданием к @, у) = <р (у) одновременно пред-
предписываются и начальные значения #@, у) = <о' {у). Далее, уже диф-
дифференциальное уравнение B) дает начальное условие для р, а именно:
Дифференцируя уравнение B) по х, получаем, что три величины
и, р, q удовлетворяют нижеследующей системе квазилинейных диф-
дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка:
1-y>
F)
и начальным условиям
«@, >) = <?(.)), q{,y) ?W, \
1 }
Мы утверждаем, что эта задача Коши эквивалентна первоначальной.
Для этого достаточно показать, что для всякой системы- реше-
решений и, р, q системы уравнений F), G) выполняются равенства
Но из первого уравнения системы F) в силу того, что py — qx,
вытекает
и, после интегрирования по х,
Uy(x,y)=q-\-v(y);
подставляя в это равенство х = 0, находим из начальных условий G),
так как, очевидно, а' (у) = иу @, у), что и(_у) = 0, а, следовательно,
uy=,q
при всех значениях хну.

§ t] ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 49
Далее, согласно третьему уравнению системы F)
«а* = Р* = -д^ /<х, У, и, q);
интегрирование по х дает:
ux = f{x,y, u,g)-\-a(y).
Но так как при х—0, наверно, ux—f, то а(у) = Ь или их^
~/(х,у, и, Uy); следовательно и(х,у) есть решение первоначальной
задачи.
Точно таким же способом можно убедиться, что задачу Коши
для дифференциального уравнения второго порядка D) с двумя на-
начальными условиями E) можно заменить эквивалентной задачей Коши
для нижеследующей системы дифференциальных уравнений с шестью
функциями и, р, q, r, s, t независимых переменных х, у:
Гх=/х + fuP -\-fprJT tqPy + fsry
с начальными условиями:
Ч,у) ч(у), (P,y) ?(y),
г (о, у)=/(о, у,«(у), Ф (у), <?' о, V (у), ч" (у))-
Из заданных в исходной задаче начальных условий и из дифферен-
дифференциального уравнения мы здесь извлекли подходящие дополнительные
начальные данные для q, t, s, г, Точно так же, как и выше, обна-
обнаруживается, что величины р, q, r, s, t совпадают с производными
кж, иу, иХЯ!, и^у, иуу, что мир принимают-заданные начальные зна-
значения я что дифференциальное уравнение r~f(x,y,u,p,qKs,f)
удов летворяется.
Аналогично можно предпринять замену квазилинейной системой
и для дифференциального уравнения высшего порядка или для си-
системы дифференциальных уравнений, о чем нет нужды подробнее
pacnpocf раняться.,
Наши квазилинейные системы дифференциальных уравнений со-
содержат еще в коэффициентах правой части независимые переменные
х и у. Часто оказывается формально удобно произвести преобразо-
преобразование с помощью небольшого технического приема к эквивалентной
новой квазилинейной системе дифференциальных уравнений, в кото-
которую независимые переменные уже не входят -явно и которая, сверх
того, однородна относительно производных. Для этой, цели вводим
формально вместо х и у две новые функции \{х, у) и yj(x, у) с по-
помощью уравнений
^=-V -4* = 0 (8)
с начальными условиями
6@,^ = 0, -ц{0,у)=у, (9)

SO ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
которые имеют одну и только одну систему решений: Ь = х, t\=y.
Так как -цу = 1, то нашу задачу Коши F), G) можно также заме-
заменить новой, очевидно, эквивалентной, системой для пяти функций
и. Р, Я, ?. Ъ'
t „ „ Q (ЛП\
A.=a/eP* + (/aH-P/«)V
При этом в /а, /д., /„ надо вместо jc, у всюду подставить 5, i) я
присоединить начальные условия:
(И)
Тем самым для задачи Коши B) установлена эквивалентная задача,
имеющая желательную форму.
Аналогичное справедливо для задачи Коши второго порядка..
Произведя, как и в задаче первого порядка, искусственную замену
переменных х и у вспомогательными функциями (; и т\, удовлетво-
удовлетворяющими дифференциальным уравнениям (8) и начальным условиям (9),
можно нашу задачу Коши D), E) тоже заменить эквивалентной за-
задачей Коши для системы квазилинейных дифференциальных уравнений
первого порядка, однородной относительно производных, с неиз-
неизвестными функциями к, р, д, г, s, t, I, t\.
Если обозначать неизвестные функции вообще через ии и2, ...,
то мы всегда придем к задаче Коши следующего вида:
«(к1' и* ••••"«> Т^ О' = 1, 2, ..., т) A2)
с заданными начальными условиями вида
«ч(о,.у) = %О0- A3)
При этом коэффициенты Qih {uv ..., кот) зависят явно лишь от
искомых функций щ, но не от независимых переменных х и у.
К такой задаче Коши можно привести по вышеизложенному
образцу и задачи Коши для дифференциальных уравнений выше
второго порядка, а также для систем дифференциальных уравнений.
3. Определение производных вдрль начального многообразия.
Решающим моментом для рассмотрения задачи Коши является сле-
следующий факт: с помощью дифференциальных уравнений и начальных
данных можно дать однозначный процесс для вычисления дальнейших
производных от искомой функции вдоль начального многообразия
в предположении, что такие решения с непрерывными соответствую-
соответствующими производными существуют. Прежде всего вообще заметим,

I i\ ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЙ 51
что вдоль начальной кривой х = 0 все уже известные величины,
а именно и и некоторые производные от и, если их продифферен-
продифференцировать по у, дают снова известные величины, т. е. дальнейшие
производные. Еще недостающие производные, получающиеся диффе-
дифференцированием по х, следует затем определить с помощью диффе-
дифференциальных уравнений.
Например, для дифференциального уравнения р — f(x, у, и, д) вдоль
начальной кривой величины q@, у) = ъ' (у), t@, у) — иур(О, ^) =
— Чу @, у) — ?" ОО и т- п- определяются по начальным данным. Само
дифференциальное уравнение дает значение р@, y)~f(Q, у, <?(у),
<?'(у)\ Точно также затем известно дх = ру= fv-\- fuq-f- /qqy при
х = 0. Для того, чтобы определить вдоль начальной кривой . еще
недостающую вторую производную г = рх = Kra, диффереицируея
уравнение B) по хи получим r^=pw=^fxJrfup-\-f^qx. Теперь,
так как в правой части' при л; = 0 согласно предыдущему
стоят уже известные величины, то и левая часть определена при
Последовательно дифференцируя уже полученные величины, а
также дифференциальное уравнение, получим все дальнейшие произ-
производные вдоль начальной кривой, коль скоро выполняется условие
непрерывной дифференцируемости функции / и решения к.
Аналогичным образом можно определить производные от и вдоль
начальной кривой для задачи Коши дифференциального уравнения
второго порядка D). Однако, для ясности и большей общности мы
сразу рассмотрим общую задачу Коши A2), A3), охватывающую все
встречавшиеся нам частные задачи. На системе этого вида особенно
отчетливо видно, каким образом последовательно определяются про-
производные функций к,- вдоль начального многообразия, т. е. при
х = 0.
Сначала получают из функций ^(у) дифференцированием произ-
производные -~, -jr-* , ... и т. д. на линии х = 0, затем из дифферен-
дифференциальных уравнений—первые производные по х. Дифференцируя
полученные- величины по у, получают при л; = 0 смешанные произ-
производные ¦-. ,* . Дифференцируя затем систему' дифференциальных урав-
уравнений A2) по х, получаем в правой части выражения, содержащие
лишь первые и смешанные вторые производные функций ut no x и у,
а потому известные. Тем самым, следовательно, определены значения
Д2М.
левых чзстей, а именно—¦ вторые производные -~ и т. д. Особенно
подчеркиваем, что при этом последовательном определении производ-
производных применяются исключительно лишь процессы дифференцирования
и внесения (подстановки).
Если допустить, что дифференцирования неограниченно выпол-
выполнимы, то описанным процессом определяются (из начальных данных)

j>2 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ {гл. t
вдоль кривой х = 0, в частности, следовательно, в точке х = 0,
_у = 0 *), все производные функций щ.
Если известно, что решения и{ в окрестности какой-либо точки
начальной линии, например, точки л; —0, у~0, допускают разло-
разложение в степенные ряды, то в силу предыдущего коэффициенты этих
рядов Тэйлора, а, следовательно, и самые функции однозначно опре-
определены начальными условиями.
Естественно теперь обратить эти соображения. Если описанный
выше процесс определения начальных производных неограниченно
выполним,—а именно так обстоит дело, если сами дифференциаль-
дифференциальные уравнения и начальные функции аналитические,—то с помощью
полученных производных, как коэффициентов, можно формально по-
построить степенные ряды и исследовать, сходятся ли построенные
таким образом ряды и решают ли они поставленную задачу Коши.
4. Доказательство существования аналитических решений
у аналитических дифференциальных уравнений. Следуя Коши и
Софье Ковалевской, докажем следующую фундаментальную теорему
существования:
Пусть Wj (у),..., от (у) — аналитические функции от у в
окрестности точки у=у0. Пусть %О>о) —%°- Пусть, далее,
Gih (и15..., ит) — аналитические функции в окрестности щ = щ°.
В таком случае существует одна и только одна система функ-
функций ut{x, у), аналитических в окрестности точки x = Q, y—y0>
которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
G (il »»)
и при х~0 обращаются в заданные функции % (у).
Сообразно с замечаниями п. 2 из этой теоремы существования
тотчас получаем для дифференциальных уравнений первого и второго
порядка: если в дифференциальном уравнении B) {или D) соответ-
соответственно] /—аналитическая функция своих аргументов в рассматри-
рассматриваемой области и если начальные функции <?(у), ty(y) — аналитиче-
аналитические функции от у, то" формулированные там задачи Коши имеют
одно и только одно аналитическое решение.
При доказательстве упомянутой фундаментальной теоремы можно
без ограничения общности считать у0 = 0 и мг-° = 0. В противном
случае можно было бы, не изменяя вида дифференциальных уравне-
уравнений, добиться выполнения этого требования введением у—у0 в ка-
качестве нового независимого переменного и щ — и$ в качестве новой
искомой функции. Выражая теперь предположение аналитического
х) Без ограничения общности можно считать, что точка х = 0,- у — 0
лежит на начальной кривой. См. ниже в тексте, последний абзац этой
страницы, (Прим. перев.)

§ 7] ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 53
характера наших данных, положим, что функции Gilt и ъг даны
в виде нижеследующих степенных рядов:
,^« _ C.vaC
При этом пусть заданные степенные ряды A5), A6) сходятся в не-
некоторой окрестности | щ | <? г, \ у | ^ р соответственно.
Наше утверждение состоит в том, что формулированная выше
задача Коши имеет'одно и только одно решение, допускающее раз-
разложение в степенные ряды
и, (*. .у) ==2! <&**/- A7>
¦Из п. 3 мы знаем, что коэффициенты степенных рядов A7) одно-
однозначно определяются дифференциальными уравнениями и начальными
данными. А именно, значения производных от пока еще гипотетиче-
гипотетических решений щ в точке л; = 0, _у = 0 получаем, просто подставляя
в начальные производные, найденные по указаниям п. 3, частное
значение у~0. Тем самым, однако, коэффициенты cli рядов A7)
определены однозначно.
Если допустить, что формальные, определенные таким образом
степенные ряды действительно сходятся в некоторой окрестности
нулевой точки х~0, у = 0, то на основании известных теорем их
можно внутри области сходимости почленно- дифференцировать и
полученные степенные ряды внести в дифференциальные уравнения.
Выражения, получившиеся в дифференциальных уравнениях, можно
опять-таки расположить в степенные ряды по х и у. Разности левых
и правых частей дифференциальных уравнений оказываются, следо-
следовательно, степенными рядами по х и у, исчезающими в начале коор-
координат вместе со всеми своими производными — это вытекает из са-
самого способа получения последовательных производных функций щ
в этой точке. Следовательно, разность левой и правой частей ка-
каждого дифференциалького уравнения должна исчезать тождественно,
т. е. функции щ пред<*гавляют систему решений. Что эта система
решений имеет предписанные начальные значения, а, следовательно,
решает нашу задачу Коши, тоже непосредственно вытекает из по-
построения степенных рядов A7)—все это в предположении, что они
сходятся. Таким образом, доказательство нашей теоремы суще-
существования бу?ет дано, если сумеем показать, что наши степенные
ряды A7) действительно сходятся внутри некоторой области.
Для того, чтобы это доказать, рассмотрим точнее структуру
коэффициентов сы в их зависимости от коэффициентов я*, bik,.,4 ¦
о * V1 * **
.заметим сначала, что для получений коэффициентов с/ц г рядов A7)

54 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
по методу п. 3 мы вычисляли начальные значения последовательных
производных функций и,- (х, у), причем пользовались только лишь
процессами дифференцирования рядов A5); A6), A4), подстановки
ряда в ряд и внесения в полученные ряды значений х = 0, у = 0.
Но при почленном дифференцировании степенного ряда возникают
новые степенные ряды, коэффициенты которых получаются из перво-
первоначальных, умножением на неотрицательные целые числа; при подста-
подстановке ряда в ряд встречаются исключительно лишь действия сложе-
сложения и умножения. Ясно, что коэффициенты c\i получаются в, виде
полиномов относительно величин а\, #**.'..,•» . Коэффициенты этих
многочленов — неотрицательные числа, которые уже не зависят от
специального вида функций Gik и ©,-. Таким образом, для величин с%.
получаются выражения вида
i ii 0v...^J,( A8)
где p\i обозначает только что описанные полиномы с неотрицатель>
ными коэффициентами. Различные задачи Коши нашего типа с одним
и тем же числом т отличаются не видом этих функций Pja, а только
лишь значениями аргументов а^, ??,...,.» этих функций.
После этих подготовительных соображений мы поведем требуемое
доказательство сходимости на основе классического метода мажо-
мажорант. Наряду с нашей первоначальной задачей Коши, с выражениями
Ом и «,-, рассмотрим новую задачу Коши, в которой функции Gik
и'ср4 заменены другими функциями Ktk и <!*г-. А именно, пусть в не-
некоторой окрестности начала координат
9)
vi v=° Vl
причем.
Другими словами, коэффициенты разложения новых функций К^
и 41,- не отрицательны и должны быть не меньше модулей соответ-
соответствующих коэффициентов разложения первоначальных функций GiE
и %. С этими функциями мы ставим задачу Коши:
та
B2)
и эту задачу будем называть мажорантной задачей по отношению
к первоначально поставленной.

§ 7] ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 55
Если для этой мажорантной задачи вычислить по образцу изло-
изложенного выше коэффициенты Си разложения в степенной ряд гипо-
гипотетических решений
vi{x,y)=-^CiiXkyl, B3)
то новые величины Си выражаются через At и 23v* чт тем же
самым образом, т. е. как те же самые функции
C{i^Fii{A{,Bi\ 4J
от своих аргументов, что и первоначальные коэффициенты с^г от
аргументов а? и Ыв . Но так как эти полиномы Pi, имеют не-
V Vj,...,4m Kl
отрицательные коэффициенты, то, очевидно,
cii>K\-
Таким образом, формальный степенной ряд B3) является мажоран-
мажорантой степенного ряда A7), а следовательно, сходимость нашего пер-
первоначального ряда A7) будет доказана, если сумеем доказать схо-
сходимость такого мажорантного ряда B3).
Для того, чтобы воспользоваться этим замечанием, мы поставим
мажорантную задачу особенно простого вида, решение которой мы
можем дать в явном виде, .в силу чего сходимость мажорантного
ряда будет установлена. Для этой цели мы выберем, как и выше,
два таких положительных числа г и р, чтобы степенные ряды для
G«(Ki> •••>««!.) и ?«00 сходились при |в<|О и |_у|<р. В таком
случае согласно известной теореме теории степенных рядов должна
существовать такая постоянная Ж, что
\<\<к
\Н[
Можно положить М~> —, что мы и сделаем, имея в виду после-
дующую цель. Имеем, следовательно,
Мы, следовательно, полагаем [ср. формулы A9), B0)]:
v=0 v=»0
. ••¦.vm-<!

56 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [гЛ. I
Ряд B5) сходится, если ограничить значения аргументов uv...,uv,
областью
причем тогда его сумма
ряд B4) дает при |^|<р
Ф4 (у) = -^ ¦. B7)
Мы имеем, следовательно, задачу Коши
т
dvs M
1
B8)
в качестве мажорантной по отношению к задаче Коши A4).
Нам остается теперь только доказать существование у этой си-
системы решений Vf (x,y), разлагающихся в степенные ряды в окрест-
окрестности точки х = 0, у = 0.
Так как все функции К.№ тождественны и то же самое справед->
ливо для функции <}if, то естественно попытаться положить
Vi(x,y) = io(x,y),
т. е. что функции vt не зависят от i. Получится дифференциальное
уравнение с частными производными
dv тМ dv_
дх , т су
г
или ( ,
^ 1 _ 4L VJ Vx __ tnMvy = 0 C0)
и начальное условие
*@,.у) = *0 = ^. C1)
Теперь, следовательно, надо еще только показать, что это задача
Коши имеет решение v(x,y), допу :.\ающее разложение • в степенной
ряд в некоторой достаточно малой окрестности начала координат.
Эта задача Коши совпадает с задачей, рассмотренной уже в п. 1,
стр. 45 в качестве примера 2:
причем решение было получено в неявной форме
и = ы у — ~~ х).
1 V «(«) /

§ 1] УРАВНЕНИЕ ОПОРНОЙ ФУНКЦИЙ МИНИМАЛЬНбЙ ПОВЕРХНОСТИ 57
б применении к нашему случаю для решения v получается квадрат-
квадратное уравнение
¦>—М). C2)
Из двух корней этого уравнения надо выбрать тот, который при
х = 0 и у = 0 принимает значение М. Что такое решение сущест-
существует, видно непосредственно из уравнения C2), которое при х=0,
у— О переходит в уравнение
Вследствие условия —<СМ, значение которого здесь проявляется,
оба корня различны при х—у — 0. Поэтому дискриминант квад-
квадратного уравнения C2) отличен от нуля в начале координат, а, сле-
следовательно, и в некоторой окрестности начала координат. Следова-
Следовательно, наш корень в окрестности начала координат, наверное,
допускает разложение в сходящийся степенной ряд по х и у.
И, действительно, нетрудно проверить, что такое решение можно
дать в явном виде:
{
_У_
Р
p /J
т
ГХ
• C3)
Таким образом доказана сходимость мажорантных рядов B3),
а, следовательно и сходимость первоначальных рядов A7) в некото-
некоторой окрестности начала координат. В силу замечания, набранного
курсивом на стр. 53, тем самым дано доказательство существова-
существования для наших задач Коши.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
§ 1. Дифференциальное уравнение для опорной функции
минимальной поверхности
Нелинейное дифференциальное уравнение минимальной поверхности
и{х,у) можно написать (ср. т. I, стр. 171 и 181 — 182) в следую-
следующем виде:
dyYl
="

58 ДОПОЛНЕНИЯ К ПЕРВОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. I
Мы дадим здесь отличный от изложенного в § 6, п. 3 метод
линеаризации, который приводит к уравнению Лапласа. Эта линеари-
линеаризация основывается на введении так называемой опорной функции.
Выражения
О)
очевидно, дают направляющие косинусы нормали в точке (х,у, и)
поверхности. Дифференциальное уравнение можно переписать - также
В виде
ддг "Г" ду ~~ '
выражающем тот факт, что
ady — §dx
есть полный дифференциал. Введем теперь величины а и р в каче-
качестве координат на поверхности и пусть х,у, и выражены как функ-
функции от а, р1). Для минимальной поверхности выражение
х сф —у da = d($x— ay) — (р dx— a dy)
должно быть полным дифференциалом, т. е. должно, удовлетворяться
"уравнение
да * ^ U- ( }
Касательная плоскость к поверхности в точке с направлением
нормали а,р,f имеет уравнение
(X— х) «-f (К —у) р + (U— и) т = О
или
«А-4-РУ+Т^—?(«,Р.Т) = О, C)
где
4 + Т«. D)
*} Для того, чтобы это было возможно, достаточно, чтобы выполнялось
условие ,. фО. Но этот функциональный определитель равен здесь,
"\Х<У)
„2
и —и~
.W . "%.. Если аи — и1, = 0 в некоторой области, то указанный
^1+"* + «»
выбор величин и, р в качестве координат точки на поверхности невоз-
невозможен, что понятно, так как последнее уравнение есть дифференциаль-
дифференциальное уравнение развертывающихся поверхностей.
Таким образом, форма дифференциального уравнения минимальных^но-
вёрхностей, данная в этом параграфе, не охватывает развертывающихся
минимальных поверхностей. Но развертывающиеся поверхности — это по-

§ 1] УРАВНЕНИЕ ОПОРНОЙ ФУНКЦИИ МИНИМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 59
причем надо себе представить, что вместо координат точки касания
х,у,и(х,у) подставлены их выражения через а, р, у из пропорций
9 (а, р, f) есть так называемая опорная функция поверхности, т. е.
расстояние от начала координат до касательной плоскости с напра-
направлением нормали а, р,^. Это — однородная функция первой степени.
. о В
В самом деле, выражая х, у через а, р, f из пропорции — = —=
SB tf
= ——-, мы представляем х,у, и (х,у) в виде функций от отношений ве-
величин а,р,-(. Таким образом, х,у,и(х,у) становятся однородными
функциями нулевого ' измерения, а выражение &х-\-$у-\-%и будет
тогда, очевидно, однородной функцией первой степени от «,p,f.
Далее имеем:
ЙГ\ ._ *>• _ I М . _ 1 ... W •?._ __ L. •/ I It ._ I 11
дх , . „fly , / дх
дх
или, так как f м^ =s — а, ^м^ = — C,
Отсюда вытекает (подставляя i = — ~tf\ — аа—Р2):
ибо ? =» — — и аз^^""- С помощью этих соотношений диффе-
дифференциальное уравнение минимальной поверхности B) принимает вид
р
—79't~?w=s0J
так как <р есть однородная функция первого измерения, то <p.f—одно-
<p.f—однородная функция нулевого измерения, а, следовательно,
и для ср получается уравнение Лапласа
верхности нулевой гауссовой кривизны, а минимальные поверхности харак-
характеризуются равенством нулю средней кривизны. Следовательно, из данной
здесь формы уравнения минимальных поверхностей изымается лишь плос-
плоскость. Случай, когда uxssuvy — м|у —Она некоторых особых линиях или
в некоторых точках, подлежит особому рассмотрению. {Прим. перев.)
1 ) Ср. гл. I, § 6.

60 ДОПОЛНЕНИЯ К ПЕРВОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. I
Это уравнение, которое пока доказано лишь в предположении
¦у = — yi —«2 — рз} вследствие однородности левой части спра-
справедливо при любых а, р, -(.
§ 2. Система дифференциальных уравнений первого порядка
и одно дифференциальное уравнение высшего порядка
В гл. I, § 2 для случая двух независимых переменных мы по-
посредством простого подсчета сделали вероятным предположение,
что систему дифференциальных уравнений в частных производных
с помощью процессов дифференцирования и исключения невозможно,
вообще говоря, привести к одному дифференциальному уравнению выс-
высшего порядка для одной единственной функции. Мы здесь проведем этот
подсчет "несколько точнее и для более общего случая.
Пусть дана система т дифференциальных уравнений
Ft(xu ...,
для функций и, и„ ..., мт_! (хи ..., хп).
Дифференцируя каждое из уравнений A) повторно по переменным
xt, ...,xn, получаем новые уравнения для функций и, uv —,Um-v
в которых, однако, появляются производные порядка выше первого.
Если, например, выполнить все возможные дифференцирования до
порядка г., то из уравнения A) получится система из т (" ~"~ j диф-
дифференциальных уравнений1), в которой надо (в общем случае) ожи-
ожидать появления всех производных функций и, ut, ,.., ит_г до (x-f- 1)-го
порядка включительно.
В частности, число производных от функций 'и1У ..., мт_1, начи-
начиная с порядка нуль до порядка x-f-1, т. е. общее число величин,
подлежащих исключению из новой системы, есть
так что исключение будет вообще возможно лишь в том случае, если
разность
больше или равна 1.
*) Функция от п переменных имеет fn~r*~ \ производных порядка %;
следовательно, общее число производных от порядка нуль до порядка %
включительно есть

§ 3J система двух Дифференциальных уравнений i-ro порядка б!
Описанный процесс приводит к одному единственному уравнению
для одной функции и лишь при том условии, если. D{y) принимает
для некоторого определенного значения х значение 1. Однако, не-
нетрудно убедиться, что при /и>1 это невозможно, если исключить
случай п=1.
Прежде всего, из равенства B) вытекает, что D(x) обращается
в нуль при х = п(/и-—Л)—Л, так что во всяком случае возможно
выразить функции иг, ..., ит_х и их производные до порядка
п (т — 1) через функцию к и ее производные до этого порядка.
Имеем:
% (м-1)(Д—1)),
а, следовательно, D(v.) монотонно убывает при х<(т — 1)(п—1)—2
и монотонно возрастает при у., большем этого числа, а тем более
при у.^.п(т—1)—1. Таким образом, D (х) сначала убывает, начи-
начиная с D@)<0 до «екоторого наименьшего отрицательного значения,
затем начинает монотонно возрастать; при х = п (т—1) — 1, D (х) = О,
а, следовательно, наименьшее положительное значение D (у) принимает
при х = п(/и—1).
Но это значение
1 птпт—1 пт — 2 пт — (п—2)
= -7Г —Г-7Г=Г2---- 2 '
определяющее в общем случае ожидаемое наименьшее число диффе-
дифференциальных уравнений высшего порядка, которые получаются для и,
при п>1 и /и>1 всегда больше единицы.
В проведенных выше рассуждениях, носящих характер чистого
подсчета, мы не обращали внимания на то обстоятельство, что
система, получающаяся из уравнения A) в результате процессов диффе-
дифференцирования, весьма специального вида, так что невозможность
исключения лишь сделана вероятной, но не доказана. Поэтому в до-
дополнение к опровергающему примеру гл. I, § 2, п. 1 мы здесь устано-
установим точнее, хотя • бы для частного случая, условия, необходимые и
достаточные для возможности приведения к одному дифференциаль-
дифференциальному уравнению высшего порядка.
§ 3. Система двух дифференциальных уравнений первого порядка
и одно дифференциальное уравнение второго порядка
Пример дифференциальных уравнений Коши-Римана
A)
показывает, что в специальных случаях может Иметь место эквива-
эквивалентность системы дифференциальных уравнений одному дифферен-
дифференциальному уравнению второго порядка для одной лишь функции:

62 ДОПОЛНЕНИЯ К ПЕРВОЙ ГЛАВЕ [гЛ. t
всякое решение и уравнений A) удовлетворяет уравнению Лапласа
Ди = О, и для любой таков гармонической функции можно найти
сопряженную гармоническую функцию v, так что и и v удовлетво-
удовлетворяют системе A).
Общее, мы ставим вопрос о том, при каких условиях система
Ф {х, у, и, v, их, иу, vx, vy) = 0,
4>'(х, у, и, v, их, иу, vx, vy) = 0
эквивалентна одному дифференциальному уравнению второго по-
порядка L [и] — 0 для одной лишь функции и в том смысле, чтобы
всякое решение и системы B) удовлетворяло уравнению L [и] — О
в чтобы, обратно, для, всякого решения и уравнения L[u] = 0
можно было найти такую «сопряженную» функцию v, чтобы и
и v удовлетворяли системе B).
Сначала рассмотрим линейные дифференциальные уравнения вида
vx~=a(x, y)v-\-A(x, у, и, их, иу), \ C)
Ъу — Ь{х, y)v-\-B(x, у, и, их, иу), J
где А и В — линейные функции от к, и^, иу, коэффициенты кото-
которых, а также а (х, у) и Ь(х, у) — аналитические функции от л: и
у в оюрестности начала координат; кроме того, пусть коэффициент
при их в В отличен от нуля.
Из гл. I, § 7 вытекает, что система C) при заданных аналити-
аналитических начальных значениях в @, у) и г» @, у) в окрестности начала
координат имеет однозначно определенные аналитические решения
и(х, у) и v(x, у). С другой стороны, вместо к @, у) и г» @, у)
можно задать произвольно и @, _у) = о(^) и мж@, у) — ty (у), однако
этими начальными условиями решения в и v системы не опреде-
определяются однозначно. Действительно, из второго уравнения C) полу-
получается для функции w@", у) обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение первого порядка:
«V (о, у) = ь (о, у) v (о, у)+в (о, у, с? о), $ оо, <?' (у»,
следовательно^ однопараметрическое многообразие начальных значе-
значений г» @, у), а, следовательно, и однопараметрическое семейство
решений v(x, у) системы C).
После этих предварительных замечаний докажем теперь следую-
следующую теорему.
Система C) эквивалентна одному дифференциальному уравне-
уравнению второго порядка для одной только функции в в том и
только в том случае, если выполняется условие
ау = Ьх.
Для доказательства дифференцируем уравнения C), первое по у,
второе по х, и вычитая из первого полученного уравнения другое,
имеем:
(ау—bx)<o = L[u\, D)

§ 4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ, СОХРАНЯЮЩИХ ПЛОЩАДЬ 63
где L[u] — линейное дифференциальное выражение второго порядка
с одной лишь функцией и.
И вот, если ау — Ьх — О,то L[u] — Q, что доказывает первую
часть теоремы.
Если же при д; = 0, а, следовательно, и в некоторой окрестно-
окрестности оси у ау — ЬхфО, то из уравнения D) вытекает
тгЩг- >
ау — °х
следовательно, функция v определяется однозначно функцией и.
Теперь, если бы функция и удовлетворяла одному дифференци-
дифференциальному уравнению второго порядка, то и, а, следовательно, на
основании E) и v однозначно определялись бы начальными зада-
заданиями к@, у) и их@, у), что противоречит результату, получен-
полученному нами ранее J).
Наконец, для того, чтобы исследовать общий случай, предполо-
:Цим, что система B) может быть записана в следующем виде:
vx—F{x, У, и, v, Р, #)>
vy=G(x, у, и, v, р, q\
где F и G — аналитические функции своих аргументов и, кроме
того, -д- ф 0. Сравнивая выражения для vxy, получаемые из обоих
уравнений, имеем:
Gpuxx + (Оа — />) ихь — Fquyy -f Gup — Fuq -±-Gx—Fy±
±GvF — FvG = 0.
Это дифференциальное уравнение второго порядка будет таковым
для одной только функции и, если выражения
Fq Gq~Fp Gup -Fuq + Gw-Fy+ GVF-FVG
V —G^' G-p <7>
не зависят от v.
Точно так же, как в линейном случае, можно показать, обратно,
что дифференциальное уравнение второго порядка для и, экви-
эквивалентное системе F), может существовать только лишь при выпол-
выполнении условий G).
§ 4. Параметрическое представление отображений, сохраняющих
площадь 2)
Недоопределенное дифференциальное уравнение
— vxuy=\ A)
х) Заметим, что доказанная выше теорема справедлива и в том случае,
если А и В не являются линейными функциями от и, ax, uy. Если коэффи-
коэффициенты а и Ъ также зависят еще от и, их = р, иу = q, то вместо условия
а Ь возможность привееия вязана с уще
q p p q y uq x\
г) Ср. G. Scheffers, Math. Zeitschr., т. 2, стр. 181.

64 ДОПОЛНЕНИЯ К ПЕРВОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. I
представляет условие того, что отображение плоскости х, у на
плоскость и, v, даваемое функциями
и = и(х, у),
v = v(x, у),
переводит всякую область плоскости х, у в область плоскости и,
¦V той же площади.
В гл. I, § 1, п. 1, пример 5 было получено решение однород*
ного уравнения
зависящее от произвольной функции; для неоднородного недоопрё-
деленного дифференциального уравнения A) можно также дать
решение, содержащее произвольную функцию и не содержащее знака
интеграла.
Для этого целесообразно рассматривать х, у и к, v одновре-
одновременно как функции двух параметров а и р и затем вместо. уравне-
уравнения A) рассматривать дифференциальное уравнение
д (х, у) _ д (и, у) .^
~д (а, р) - а (с, р) ^
для функций х(а, C), у {a, J3), «(ос, C), v(a, [3). Так как все системы
решений х, у, и, v уравнения B), переходящие друг в друга при
преобразовании параметров а, р, приводят к одним и тем же систе-
системам решений и(х, у), v(x, у) уравнения A), то без сокращения
общности мы можем ограничигься отысканием тшь таких решений
уравнения B), которые удовлетворяют условиям
х-\-и — 2а; y + v — 2?.
Такие решения могут быть представлены с помощью двух функций
Р(а, Р) и Q(a, J3) в следующем виде:
х=а-\-Р, и = я — Р,
y = $ + Q, v=$ — Q.
Так как
то уравнение B) принимает вид
p«+Qp=°. C)
откуда для Р и Q получаются выражения

§ 4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ, СОХРАНЯЮЩИХ ПЛОЩАДЬ 65
с помощью произвольной функции ш(a, J3). Следовательно, искомое
решение дифференциального уравнения A) получается в виде фор-
формул
лг == а -{- сор, к —а—(ог?,
у-
не содержащих знака интеграла; при этом, конечно, предполагается,
что определитель
,гр)
нигде не исчезает.

ГЛАВА И
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С
ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Данное в предыдущей главе построение решений дифференци-
дифференциальных уравнений с частными производными с помощью степенных
рядов громоздко и, будучи связано с коренным предположением об
аналитическом характере данных, представляется неподходящим для
многих задач. Поэтому естественно для различных типов задач доби-
добиваться получения, при менее стеснительных условиях относительно
данных, более прямых и по возможности также более простых мето-
методов решения.
Оказывается, что для дифференциальных уравнений первого по-
порядка можно при незначительных предположениях непрерывности
развить такую теорию интегрирования вполне удовлетворительным
образом. Главным результатом этой главы будет эквивалентность
дифференциального уравнения с частными производными первого
порядка некоторой системе обыкновенных дифференциальных
уравнений. Ключ к теории даст понятие характеристик, которое
окажется решающим и позднее в задачах высшего порядка.
Существенно еще раз напомнить, что все встречающиеся произ-
производные мы будем предполагать непрерывными, не формулируя этого
каждый раз в отдельности.
§ I. Квазилинейные дифференциальные уравнения при дбух
независимых переменных
I. Характеристические кривые. Изложение теории характеристик
мы начнем кратким повторением квазилинейных дифференциальных
уравнений, рассмотренных уже в гл. I, § 5. При этом мы некото-
некоторые из рассуждений, проведенных в гл. I, должны будем повторить
с других точек зрения. Сначала мы ограничимся случаем двух неза-
независимых переменных дг, у:
^c, A)
где а, Ь, с — заданные функции от х, _ys и, непрерывные вместе
со своими первыми производными в рассматриваемой части про-
пространства х, у-, и и удовлетворяющие в ней условию а2-\-Ь* ф

§ 1] КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ 67
Это дифференциальное уравнение с частными производными до-
допускает следующее геометрическое истолкование: от интегральной
поверхности и = и (лг, у) требуется, чтобы она в каждой точке Р
с координатами дг, у, и имела касательную плоскость, направляющие
коэффициенты которой их — р, uy = q связаны линейным уравнением
ap-\~bq = c. Согласно этому уравнению упомянутые касательные
плоскости всех интегральных поверхностей, проходящих через точку
(х, у, и), принадлежат одному и тому же пучку плоскостей, ось
которого в точке Р дается соотношениями
dx : dy : du = a : b : с. B)
Наши пучки плоскостей и их оси называются соответственно пучками
и осями Монжа *).
Точку Р с проходящим через нее направлением оси Монжа мы
будем называть «.характеристическим линейным элементом».
Направления осей Монжа образуют в нашем пространстве поле
направлений; линии поля этого поля направлений определяются си-
системой обыкновенных дифференциальных уравнений B) и называются
а характеристическими кривыми» нашего дифференциального уравне-
уравнения. На этих кривых можно ввести параметр s, и их дифференци-
дифференциальные уравнения примут следующий вид:
dx dy , du ._ .
-~-~а, -f- = b, —- = с. Bа)
ds ' ds ' ds ч
Проекции характеристических кривых на плоскость х, у мы
иногда будем называть «характеристическими проекциями».
Интегрировать дифференциальное уравнение с- частными произ-
производными A) это значит найти такие поверхности, касательная плос-
плоскость которых в каждой точке принадлежит пучку Монжа, или, что
сводится к тому же, поверхности, которые в каждой точке имеют
направление оси Монжа своим касательным направлением. Отсюда
вытекает, что всякая поверхность и = и(х, у), образованная ое-
.иейством характеристических кривых, зависящим от еднсяь
параметра, является интегральной поверхностью дифференциаль-
дифференциального уравнения с частными производными.
Обратное предложение также справедливо: всякая иктпральная
поверхность получается таким образом. Эта обратная теорема
доказывается аналитически следующим образом. На всякой ваданной
интегральной поверхности и = и (х, у) дифференциального уравне-
уравнения A) системой обыкновенных дифференциальных уравнений
dx dv ,
где ваий вместо и подставлена функция и(х, у), определяется
однопараметрическое семейство кривых
х) Ср. гл. I, § 4, п. 1.

68 ОБЩАЯ ТЕОРИЙ ДИ4>ФеРЁНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. II
Дифференциальное уравнение A) с частными производными вдоль
каждой такой кривой переходит в — = с. Наше семейство с одним
параметром удовлетворяет, следовательно, соотношениям Bа) и,
следовательно, состоит из характеристических кривых. Но в диффе-
дифференциальные уравнения параметр s явно не входит, и мы получим
поэтому те же кривые, если заменим s через s -f- const. В этом
смысле аддитивную постоянную в параметре s следует рассматри-
рассматривать как несущественную.
Так как решения системы дифференциальных уравнений Bа)
однозначно определяются начальными значениями х, у, и при s = О,
го имеем следующую теорему: всякая характеристическая кривая,
имеющая общую точку с интегральной поверхностью, лежит на
этой интегральной поверхности полностью. И, наконец: всякая
интегральная поверхность производится семейством характери-
характеристических кривых, зависящим от одного параметра.
2. Задача Коши. Для обозрения многообразия решений диффе-
дифференциального уравнения с частными производными рассмотрим сле-
следующую задачу ^Коши. Пространственная кривая С, имеющая проек-
проекцию Со на плоскость х, у без двойных точек '), определена заданием
трех функций х, у, и параметра t, причем х\ -\-у\ф§. Требуется
найти в окрестности Со интегральную поверхность и = и{х, у), про-
проходящую через кривую С; другими словами, требуется найти такое
решение дифференциального уравнения A), для которого и (f) =
t= и (х (f), у (*)) тождественно относительно t. От данных, т. е. от
коэффициентов дифференциального уравнения и от начальных вели-
величин х (/), у (t), и (t), требуется лишь непрерывная дифференцируе-
мость в рассматриваемой области, а не аналитический ха-
характер.
Для решения задачи Коши проведем через каждую точку кри-
кривой С характеристическую кривую, т. е. интегральную кривую си-
системы Bа), что однозначно выполнило в некоторой окрестности. При
этом получается семейство характеристических кривых, зависящее
еще от параметра t:
x(s, t), y(s, f), u(s, t).
Эти кривые образуют поверхность и(х, у), если возможно из пер-
первых двух функций выразить переменные s m t через х и у. Доста-
Достаточным условием для этого является неисчезание функционального
определителя
л = *аЛ—Л*« = «Л — bxt C)
!) Можно было бы впрочем допустить также и двойные точки, кай
у проекции Со кривой С на плоскость х, у, так и у самой кривой С; при
э-roiyt мы имели бы дело с многозначными решениями и соответственно
с интегральными поверхностями, пересекающими сами себя.

§ 1] КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 69
вдоль кривой С. При этом мы пользуемся известной теоремой об
обыкновенных дифференциальных уравнениях *), на основании ко-
которой х, у, и — непрерывно дифференцируемые функции от s и L
Если это условие Д ф 0 выполнено, то и становится функцией
от х и у, и в силу того, что —г- = аих -f- buy, третье дифферент*-
du
альное уравнение ~-=— = с непосредственно эквивалентно заданному
CIS
дифференциальному уравнению с частными производными. Тем самым
задача Коши для начальной кривой С .решена. Единственность ре-
решения вытекает сразу из данной выше теоремы, что характеристи-
характеристическая кривая, имеющая общую точку с интегральной поверхностью,
должна вся лежать на этой поверхности. В самом деле, всякая инте-
интегральная поверхность, проходящая через кривую С, должна содер-
содержать все однопараметрическое семейство характеристик, проведен-
проведенных через точки кривой С, а, следовательно, должна совпадать с к.
Условие Д ф О вдоль С может быть истолковано геометрически
следующим образом. Тангенциальное направление и ^-характеристиче-
^-характеристическое направление в каждой точке кривой С должны иметь различные
проекции на плоскость дг, у.
Если вдоль кривой С имеет место исключительный случай Д = 0 2),
то для того, чтобы задача Коши была разрешима, кривая С должна
сама быть характеристической. В самом деле, в этом случае можно
так выбрать параметр t на кривой, чтобы вдоль кривой С было
а = —гт , Ъ = ~ ; теперь уже дифференциальное уравнение A) дает
с = --^-, а,' следовательно, С действительно является характеристи-
характеристической кривой. Но если кривая С—характеристическая, то через
нее, как начальную кривую, проходит не одна, а бесконечное мно-
множество интегральных поверхностей, которые все пересекаются по
кривой С. Действительно, проведем через какую-либо точку кривой С
другую кривую С', проекция которой нигде не является характери-
характеристической. Интегральная поверхность, проходящая через С, навер-
наверное, содержит характеристическую кривую С, а отсюда мы заклю-
заключаем, что многообразие решений задачи Кощи для кривой С дается
многообразием кривых С'.. Все соответствующие интегральные по-
поверхности содержат кривую С. Следовательно, характеристические
кривые можно охарактеризовать как такие кривые, по которым
пересекаются две интегральные поверхности {линии разветвления),
между тем как через все не характеристические кривые может про-
проходить самое большее одна интегральная поверхность.
1)По поводу этой теоремы ср. аналогичные теоремы с доказательством
в гл. V, § 5.
2) Мы оставляем здесь в стороне тот случай, когда Д обращается в нуль
лишь в изолированных точках или на каком-либо ином подмножестве точек
кривой С.

70 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. II
Полученные результаты мы резюмируем в виде следующей тео-
реяы *).
Если на начальной кривой С всюду Д ф 0, то ладана Коши
имеет одно и только одно решение. Если же вдоль С всюду Д == 0,
то для того, чтобы задача Коши имела решение, С должна быть
характеристической кривой. В этом случае задача Коши имеет
бесконечное число решений.
Мы указываем на то обстоятельство, что решениями задачи Коши
могут быть лишь такие решения дифференциального уравнения A),
которые содержат кривую Сив окрестности С, а, следовательно,
и на самой кривой С, непрерывны и непрерывно дифференцируемы,
lee предположения непрерывной дифференцируемое™ функции и
на кривой С нельзя заключать из условия Д = 0 вдоль С, что С
есть характеристическая кривая. И, действительно, возможны решения
дифференциального уравнения, проходящие через некоторую кривую С,
на которой Д = 0, без того, чтобы С была характеристической кри-
кривой; конечно, в этом случае производные функции и уже не могут
быть непрерывны на С. В таких случаях кривая С является ребром
возврата (огибающей характеристик) интегральной поверхности
и (х, у), или, по меньшей мере, проекция кривой С на плоскость х, у
является огибающей характеристических проекций. В окрестности
проекции кривой С функция и уже не может быть определена как
однозначная функция х и у.
3. Примеры. 1. В качестве иллюстрации полученных результатов
рассмотрим дифференциальное уравнение
иих-\-иу=\. D)
Соответствующие характеристические дифференциальные уравнения
будут
~dI~-~U' ds ~~l> ds ~~1' @)
J) Теорема существования с явной формулировкой всех предположений
гласила бы так. Пусть Go — область плоскости х, у, G — область простран-
пространства х, у, и, получающаяся из Go приобщением значений и, | и К U. Пусть
в, /% с — непрерывно дифференцируемые функции от х, у, и в области G.
Пусть дг(^), у ((), u(t) — непрерывно дифференцируемые функции /при
11К Т (причем х1 + у\ ф 0), определяющие в области G кривую С,
имеющую в Go проекцию Со без двойных точек. На кривой С
дано Д = ayt — bxt zjzO. В таком случае в Go существует подоб-
подобласть G'o, содержащая кривую Со, и в G'o существует непрерывно
дифференцируемая функция и (х, у), которая удовлетворяет в G'o диффе-
дифференциальному уравнению аих-\- Ьи?/= с и на Со — начальному условию:
а (х (.'), у (t)) = и (t). Решение и единственно.
В дальнейшем мы. из методических соображений, не будем давать
столь подробнее формулировки теорем существования. Мы будем позво-
позволять себе различные моменты сложных соотношений подчеркивать в разной
степени соответственно их относительному значению.

§ 1} КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 71
сбщее решение которых
х = хо + ~2 ~~Г "о^5
где л:0, у0, «q — произвольные постоянные интегрирования. В част-
частности, семейство характеристик, проходящих через заданную началь-
начальную кривую С:
х0 = <? @. >'о = Ф @. «о = 7. (О
дается уравнениями
>(*,*) =-НО+*, F)
Определитель
Д (^, 0 == xsyt—
принимает на кривой С значение
Д = Д(О, 0 = Xfc—%• G)
Если вдоль С этот определитель &фО, то из уравнений F)
можно исключить параметры s и t, так что и можно представить
как функцию от х и у. Действительно, прежде всего имеем:
"=*У + 7.(9 —W),
* = ?(О+х(ОЬ'—«Н01 + ly-'*(t)]\
а затем из второго уравнения t выражается как функция от х и j»,
если выражение
d=%~а^+ (у—* @1 (т,—W
отлично от нуля. При приближении к кривой С, у — ^(/)—>0, атак
как <pt—у$гф0, то существует, следовательно, такая окрестность
кривой С, в которой D^O, t = t(x, у), а следовательно,
и = и (х, у).
Если за кривую С выбрать характеристику
х -1
(8)
то уравнения F) переходят в уравнения
y +t
U = 5 + t,
Т, е. в другое представление той же кривой С,

72 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [гЛ. II
Уравнение
x=.^u* + w(u — y) (9)
дает в неявной форме, решение уравнения D) при произвольной
функции га, что можно впрочем получить и по методу § 5, п. 2 гл. I.
Если выбрать w так, что щ>@) = 0 и чтобы можно было выразить и
однозначно из уравнения (9), то поверхность и=и(х, у) проходит
через заданную кривую.
Пусть, наконец, С—не характеристическая кривая
Система F) переходит в систему
Уо = 2«, [ A0)
Определитель Д (s, t) = s исчезает при s = 0 без того, чтобы С была
характеристикой. Исключая s и t, имеем:
-?; A2)
эта двузначная функция представляет эллиптический параболоид,
проходящий через кривую С; при х^>~-, т. е. вне кривой С, она
удовлетворяет дифференциальному уравнению D) с частными про-
производными. Но функция A2) не решает задачи Коши, так как их и иу
неограниченно растут при приближении к кривой С. Эта кривая Ь
не является ребром возврата поверхности и = и (х, у), но она выде-
выделяется на поверхности в том отношении, что в окрестности проекции
кривой С на плоскость х, у функция и уже не определяется одно-
однозначно.
2. Если дифференциальное уравнение A) линейно, т. е. функции
а, Ь, с не зависят от и, то исчезание определителя Д вдоль не-
характеристическо'й начальной кривой С означает, что многообразие,
определяемое системой
x — x(s, t), y—y(s, t), u = u{s, i),
есть цилиндрическая поверхность с образующими, перпендикулярными
плоскости х, у. Если предположить, что на кривой С выполняется
условие
то можно выразить х в функции у и и. Покажем, что эта функция
х~/(у, и) не зависит от и.

§ 2] КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 73
Сначала заметим, что в случае линейного дифференциального
уравнения из Bа) вытекает для определителя & = xsyt — xtye соот-
соотношение
следовательно, если А исчезает на кривой С, то она исчезает везде.
Теперь
а, следовательно,
откуда
= 0 или x =
§ 2. Квазилинейные дифференциальные уравнения с п независи-
независимыми переменными
Если число п независимых переменных xt, xs, .. ., хп больше
двух, то в теории дифференциальных уравнений с частными про-
производными не появляется никаких существенных изменений; в каче-
качестве нового момента присоединяется лишь то обстоятельство, что
наряду с одномерными характеристическими кривыми и с «-мерными
интегральными поверхностями приобретают еще значение характери-
характеристические многообразия С (п—1) измерений. Интегральную поверх-
поверхность можно построить, во-первых, из семейства характеристических
кривых с (и— 1) параметрами или, во-вторых, из однопараметриче-
ского семейства характеристических многообразий (я—1) измерений,
каждое из которых, в свою очередь, производится семейством
характеристических кривых, зависящих от я — 2 параметров х).
Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение
*
(О
*¦ где как коэффициенты аи так и величина а — заданные функции
переменных xt, х2, ..., хп, и, имеющие непрерывные производные,
»
и 2 а? Ф 0- Геометрически это уравнение, очевидно, выражает, что
поверхность и(хи ..., хп) пространства х, и в каждой своей точке
содержит «характеристическое направление» dxt: dx%\... :dxn : du =
~a1: a»:. ..: an: а в качестве касательного направления. Как и
в случае двух независимых переменных, мы и здесь введем опреде-
определение: зависящее от п параметров семейство кривых, которое опре-
*) Можно было бы также рассматривать и все промежуточные ступени
(ср. сноску *) на стр. 107).

74 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. И
деляется в пространстве х, и системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
dxf da ___ Г — 1 "» A\
называется семейством характеристических кривых, принадлежащим
дифференциальному уравнению с частными производными; их проек-
проекции на пространство х-оъ называются характеристическими проек-
проекциями.
Эти характеристические кривые определяются системой диффе-
дифференциальных уравнений B) без ссылки на решения дифференциаль-
дифференциального уравнения A) с частными производными х).
Связь между дифференциальным уравнением с частными про-
производными A) и системой B) устанавливается нижеследующей тео-
теоремой:
На всякой интегральной поверхности и = и(хи ..., х„) диф-
дифференциального уравнения с частными производными сущеспиу'ет
производящее эту поверхность семейство характеристических
кривых, зависящее от п—-1 параметров. Всякая поверхность
и — и(х1, ..., хп), производимая таким семейством, является
интегральной поверхностью.
Далее,
Если характеристическая кривая имеет общую точку с инте-
интегральной поверхностью, то она лежит целиком на этой поверх-
поверхности.
Для доказательства рассмотрим систему обыкновенных дифферен-
d x •
циальных уравнений -—1=*а,(г== 1, ..., п), причем в правую часть
US
at(xlt ..., хп, и) вместо и подставлено решение u(xlt ..., хп)
дифференциального уравнения A). Эта система определяет на инте-
интегральной поверхности семейство кривых, зависящее от и—1 пара-
параметров, которое, следовательно, эту поверхность производит. Вдоль
этих кривых и становится функцией s, параметра на кривой, и мы
имеем:
йи _ vi dxt чг!
~ds~ Zd Uxi~!s ~~ Zi uiVxi'
*) Причина того, 4fo n-\-1 характеристических дифференциальных урав-
уравнений B) определяют семейство кривых, зависящее лишь от я параметров,
лежит в наличии несущественной аддитивной постоянной интеграции в па-
параметре s, не входящем явно в систему B).
Следует подчеркнуть, что в специальном случае, когда коэффициенты щ
не зависят явно от и, уже дифференциальные уравнения -~ = <?i (< = 1,..., п)
образуют определенную систему, которая определяет «характеристические
проекции» как семейство кривых с я—1 параметрами в пространстве ^-ов,
между тем как в общем случае эти характеристические проекции образуют
семейство, зависящее от п параметров.

§ 2] КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 75
а, следовательно,
~ = а, так как и удовлетворяет дифференциаль-
as
ному уравнению A). Следовательно, эти кривые оказываются хара-
характеристическими кривыми. Второе утверждение получается непосред»
ственно так же, как и в § 1, из однозначной определенности хара-
характеристической кривой, проходящей через заданную точку.
Эту связь между дифференциальным уравнением A) и системой B)
мы используем теперь для того, чтобы, обратно, из характеристиче-
характеристических кривых, полученных с помощью характеристической системы
дифференциальных уравнений, построить интегральные поверхности
уравнения'A). Щы исходим при этом из следующей задачи Коши;
с помощью п — 1 независимых параметров tlt ..., tn_x задано
в пространстве л? —{— 1 измерений начальное многообразие С п—1
измерений:
*< = **('i, • •> 'n-i) (i=l, .... я); u = u(tlt ..., *„_!>,
причем предполагается, что ранг матрицы \-gr-j равен я — 1. Проек-
Проекцию Со этого многообразия на пространство х-оъ предполагаем сво-
свободным от двойных точек, т. е. допускаем, что различным» системам
значений tlt ..., tn_t соответствуют различные точки на Со.
В окрестности Со требуется найти такое решение и(хи ..., хп)
дифференциального уравнения A), которое " проходит через много-
многообразие С, т. е. переходит тождественно в u(tt, ..., tn_t), если
величин!ы xt заменить через xt(tu , tn-i).
Для того, чтобы решить эту задачу Коши, найдем для заданной
системы значений tx, ..., tn_t решение характеристической системы
обыкновенных дифференциальных уравнений B) в виде функций
которые при s = 0 обращаются в заданные выше функции от
tu ..., tn_v Эти функции непрерывно дифференцируемы не только
rio s, но и по tv ..., tn_l. Представим себе теперь, что из уравне-
уравнений Х{ = Х{(й, tlt ..., <„_!> величины 1, tv ..., /n_t выражены,
обратно, через хи ..., хп и подставлены в u(s, tlt ..., /n_i), так
что и оказывается функцией от лг1э ..., хи. Введение этих величин
ATj, ..., хп в качестве новых независимых переменных, наверно, воз-"
можно в том случае, если функциональный определитель
dxt
ds
dxt
dxt
дхп
ds
дх„
дхп
x? xn)
d(s, tb ...,^n_i)
C)

76 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРЭВИЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [гл. Н
вдоль С, т. е. при подстановке s = О, не обращается в нуль. На
основании системы B) имеем на С для элементов первой строки
~ — at (Xj, ..., хп, и), причем вместо xt и и в правую часть
следует подставить предписанные начальные значения как функции
параметров tl, ..., tn_l.
Таким образом, функциональный определитель C) тождественен
определителю
| аХ ¦¦¦ ап
дхх дхп
дхп
В предположении Д фО мы получим из «(s, tu ..., ^m_j) функцию
и(хг, ..., л:,,). Уравнение —^- = а переходит в уравнение
CIS
следовательно, и есть решение дифференциального уравнения -A),
и тем самым задача Коши решена. Следовательно, в предположении
Д ф 0 задача Коши для нашего начального многообразия имеет
сднозначно определенное решение.
В том исключительном случае, когда Д ч= 0 вдоль С, наше реше-
ние задачи Коши отказывается служить. Спрашивается: какие даль-
дальнейшие условия следует присоединить, чтобы задача Коши имела
решение и в этом случае?
Прежде всего выразим факт существования равенства Д = 0 еле-
дующим образом:
Существует и — 1 однозначно определенных множителей
непрерывно зависящих от параметров, такого рода, что вдоль С
выполняются линейные зависимости
и—1
V -
dxt
D)
Действительно, это вытекает непосредственно из равенства нулю
определителя Д и из неравенства нулю по крайней мере одного из
миноров элементов первой строки.
Для того, чтобы формулировать искомые условия, введем теперь
понятие «характеристического многообразия (п — 1) измерений* —
сначала, пользуясь геометрическим языком, отнеся каждой точке

§ 2J КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С П НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 77
хг, ..., хп, и пространства х, и «характеристический вектор»
ал> •••> с«> а-
Многообразие С называется характеристическим, если в каж-
каждой его точке соответствующий характеристический вектор на-
направлен тангенциально к многообразию.
Представляя многообразие С с помощью п — 1 параметров
tit ..., tn_x, мы формулируем наше определение аналитически:
С называется характеристическим многообразием для дифференциаль-
дифференциального уравнения с частными производными ^а^х. — а, если суще-
существует п — 1 множителей ^t{tx, ..., tn_1), (г = 1,...,«— 1), такого
рода, что в С выполняются соотношения
т. е. что характеристический вектор линейно выражается через п — 1
линейно независимых тангенциальных векторов с компонентами
Для характеристического многообразия квазилинейного дифферен-
дифференциального уравнения справедливы следующие теоремы:
Всякое характеристическое многообразие п—1 измерений
производится семейством характеристических кривых, зависящим
от п — 2 параметров; обратно, всякое такое семейство характе-
характеристических кривых производит характеристическое многообразие.
Если характеристическая кривая Г имеет общую точку с ха-
характеристическим многообразием С, то она лежит целиком в этом
многообразии.
Для доказательства первой теоремы рассмотрим в многообразии
параметров tt одномерную кривую, представленную в параметриче-
параметрической форме с помощью параметра s: ti'=t{(s)t или, лучше, семей-
семейство таких кривых, зависящее от я — 2 параметров и определяемое
системой я — 1 обыкновенных дифференциальных уравнений
*,(*„ ...A-i)- F)
ds lUl '"'" v'
Тогда функции хг{1х, ..., tn^.l) и u{tlt ..., tn_i) перейдут в функ-
функции от s, для которых
«—1 «—1
dxi \^\ дх.; , du v^ <3M '

t8 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. Л
а, следовательно, на основании определяющих уравнений E) и Eа)
характеристического многообразия
dXf du
Но это выражает тот факт, что наши кривые
u = u{s, tlt ..., ^_t),
лежащие в многообразии С, являются характеристическими кривыми.
Так как они образуют семейство, зависящее от и—2 параметров, то
они производят многообразие С. Обращение этой теоремы само со-
собой понятно, так как многообразие, производимое семействами харак-
характеристических кривых, в каждой своей точке, наверное, касается
соответствующего характеристического вектора.
Вторая теорема вытекает непосредственно из того факта, что ре-
решения характеристических дифференциальных уравнений определяются
однозначно тем начальным условием, что они должны содержать
точку многообразия С, ибо согласно изложенному выше через эту
точку уже проходит характеристическая кривая, полностью лежащая
в многообразии С.
Теперь можно уже формулировать, в качестве окончательного
результата, следующую основную теорему:
Если Д ф 0 вдоль начального многообразия С, то через С про-
проходит одно и только одно решение задачи Коши. Если же вдоль С
всюду А —0, то для того, чтобы задача Ксши имела решение,
необходимо и достаточно, чтобы многообразие С было характе-
характеристическим. В этом случае существует бесконечно большое число
решений задачи Коши, и С является многообразием.разветвления.
Осталось доказать только ту часть теоремы, которая относится
Kv-случаю Д = 0. Из предположения Д = 0 вытекало существование
таких я—-1 множителей Xv, представляющих непрерывные и диффе-
дифференцируемые функции параметров tlt ..., tn_x, что выполняются
соотношения D) или, что же самое, (о). Но можно доказать и не-
недостающее условие Eа) в предположении, что через С "проходит
интегральная поверхность к = к(х1> ..., х„). Для решения и вдоль
многообразия С справедливо равенство
«—1 «—1 п п
ди V * V дм dxi
откуда
так как и удовлетворяет дифференциальному уравнению A). Но это
и требовалось доказать1).
*) Этот результат легко впрочем усмотреть и геометрически без вычи-
вычислений, если заметить, что характеристический вектор должен быть каса-

I 3] ОБЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 79
Обратно, если С есть характеристическое многообразие, то можно
построить бесконечное множество содержащих это многообразие
решений дифференциального уравнения A) следующим образом:
выбираем произвольное многообразие п—1 измерений С, пе-
пересекающее С по многообразию S п — 2 измерений так, чтобы на С
всюду было Д ^ 0. Через С проходит однозначно определенная
интегральная поверхность }'. Но эта поверхность на основании ука-
указанного выше ее построения содержит все характеристические кривые,
проходящие через 5, а, следовательно, и многообразие С, которое
они производят. Тем самым доказательство нашей основной теоремы
доведено до конца.
§ 3. Общие дифференциальные уравнения первого порядка
с двумя независимыми переменными
1. Характеристические и фокальные кривые. Рассмотрим общее
дифференциальное уравнение
F(X,y,u,p,q) = 0, A)
где для сокращения положено р = их, q — иу. Соответственно нашему
постоянному соглашению мы будем предполагать, что F в рассмат-
рассматриваемой области есть непрерывная функция своих пяти аргументов,
имеющая непрерывные производные первого и второго порядков по
этим аргументами. Мы подчеркиваем еще предположение
Дифференциальное уравнение A) можно истолковать геометри-
геометрически в пространстве х, у, и следующим образом (ср. гл. I, §4):
в каждой из рассматриваемых точек х, у, и от направляющих коэф-
коэффициентов р, q касательной плоскости к интегральной поверхности
и = и(х, у) требуется выполнение соотношения F —0. Это уравне-
уравнение теперь уже не линейно относительно р и q; поэтому возможные
касательные плоскости уже не образуют вообще пучка плоскостей;
мы допускаем, что они образуют однопараметрическое семейство и
огибают некоторый конус, конус Монжа. Следовательно, дифферен-
дифференциальное уравнение относит каждой точке (х, у, и) рассматриваемой
части пространства такой конус Монжа; задача интегрирования диф-
дифференциального уравнения с частными производными состоит б оты-
отыскании таких поверхностей, которые в каждой своей точке касаются
соответствующего конуса.
Вместо соотношения F—0 для их касательных плоскостей ко-
конусы Монжа можно также охарактеризовать с помощью соотноше-
тельным к интегральной поверхности; так как его проекция на простран-
пространство х-оъ в силу соотношений E) тангенциальна к проекции многообразия С
на пространство х-ов, то отсюда вытекает, что он сам направлен танген-
тангенциально к С.

80 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ i ПОРЯДКА [ГЛ. н
ния для их образующих. Для того, чтобы получить такое соотно-
соотношение, вообразим, что конус Монжа F — 0 представлен в парамет-
параметрическом виде, а именно, что р и q выражены в функции параметра л.
В таком случае образующая конуса есть предельное положение
линии пересечения двух касательных плоскостей, соответствующих
значениям параметра А и X-f-Л, при h -> 0. Если представить себе
вдоль образующей координаты лг, у, и как функции расстояния а от
вершины конуса, то наряду с уравнением
йи ,,ч их , „ dv
_— = п (л) ——L. а (л) -j-
ds г v ' d~ i Y ч ' dz
обычным приемом получаем еще уравнение
Кроме того, дифференцируй уравнение F=0 по л, имеем:
Из этих трех уравнений для направлений образующих конуса полу-
получается следующее соотношение:
dx:dy:du*=.Fp: Fg: (pFp + qFq), B)
которое можно рассматривать как представление конуса Монжа,
взаимное дифференциальному уравнению A).
Направления образующих конуса Монжа, выражаемые форму-
формулой B), мы будем называть характеристическими направлениями.
В отличие от квазилинейных дифференциальных уравнений, у кото-
которых каждой точке соответствует лишь одно характеристическое на-
направление, мы здесь, следовательно, в каждой точке имеем дело
с однопараметрической совокупностью характеристических направле-
направлений. Пространственные кривые, которые в каждой своей точке имеют
характеристическое направление, мы будем называть фокальными
кривыми или кривыми Монжа. Введя на фокальной кривой подхо-
подходящий параметр s, можно условия B) для фокальных кривых при-
привести к следующему виду:
dx „ dv r, da „ , _
dF = /> 17s =F«' rfJ=^ + ^- C)
Последнее из этих трех дифференциальных уравнений называется
условием полоски. Оно выражает тот факт, что функции x(s), >'(«•),
u(s), p(s), q(s) определяют не только пространственную кривую, но
одновременно в каждой ее точке и касательную плоскость. Геометри-
Геометрический образ, состоящий из кривой и из однопараметрической сово-
совокупности касательных плоскостей этой кривой, называется полоской.
Эта система трех обыкновенных дифференциальных уравнений C)
вместе с соотношением F{x,y, u,p,q) = 0 для пяти функций х,у,

§ ,$j ОБЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 81
tt, р, q (в их зависимости от s) представляет недоопреяеленную систему.
Каждое решение этой системы дает так называемую фокальную по-
тоскух).
Сущность нашей теории покоится теперь на следующем сообра-
соображении. На всякой интегральной поверхности и = и (х, у) должны
существовать фокальные кривые; в самом деле, в «каждой точке
интегральная поверхность касается соответствующего конуса Монжа",
следовательно, содержит характеристическое направление, и это ха-
характеристическое поле направлений дает на интегральной поверхности
соответствующие фокальные кривые как линии- поля. Мы покажем,
что требование, чтобы фокальная кривая уложилась в интегральную
поверхность и — и(х ,у), приводит к двум дополнительным обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнениям для величин р и q как функ-
функций от s. Словом «уложилась-> мы хотим сказать, что в окрест-
окрестности проекции фокальной кривой на плоскость х, у функция и
является однозначной, дважды непрерывно дифференцируемой функ-
функцией от х и у. '
Действительно, если исходить из определенной интегральной по-
поверхности и = и(х,у), на которой тем самым даны также величины
p=:ux, q = иу, то дифференциальными уравнениями
i?? _ р At — F
¦ ds ~~ r2>» ds ~~ i
определяется на интегральной поверхности однопараметрическое се-
семейство кривых. Вдоль этих кривых, во всяком случае,
&L~u —-4-и &
ds ~~ х ds *~uv ds '
а, следовательно,
Следовательно, наши кривые на интегральной поверхности образуют
семейство кривых Монжа и производят эту интегральную поверх-
поверхность. Из дифференциального уравнения с частными производными
дифференцировашкм по х и по у получаем следующие соотношения,
выполняющиеся на нашей интегральной поверхности тождественно
в х и у:
'1) Для того, чтобы эти четыре условия для фокальной полоски дополнить
До полной системы, можно еще предписать произвольное соотношение между
х, у, и, следовательно, потребовать, чтобы фокальная кривая лежала на за-
заданной поверхности. (Заметим, что, вообще говоря, полоска не будет
касаться этой. • поверхности.) Легко усмотреть, что на заданной по-
поверхности существует вообще однопараметричесше семейство фокальных
кривых.

82 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ «1 ПОРЯДКА {гЛ. Ii
Возьмем теперь любую из наших кривых Монжа, лежащих на инте-
dx
тральной поверхности, с параметром s; в силу уравнений Fp = -р ,
„ dv
rq = -—- , ру = Цд. последние два соотношения переходят в равенства
выполняющиеся вдоль рассматриваемых фокальных кривых. Следова-
Следовательно, если кривая Монжа уложена на интегральной поверхности,
то координаты х, у, и ее точек и величины р и q вдоль нее удо-
удовлетворяют системе пяти обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений:
f^L — F dy — F du — n
Эта система называется характеристической системой дифферент
циальных уравнений, принадлежащей уравнению A).
Обратим теперь порядок рассмотрения, отвлекаясь от того, что
эта система обыкновенных дифференциальных уравнений получена,
исходя из интегральной поверхности, существование которой мы
предположили; напротив, примем за исходный пункт систему.D) без
ссылки на решения уравнения A). Так как аддитивная постоянная
в параметре s не имеет значения, эта система определяет четырех-
параметрическое семейство кривых x(s), y(s), u(s) с отнесен-
отнесенными им касательными плоскостями p(s), q(s), т. е. многообразие
полосок.
Заметим: функция F есть интеграл нашей характеристической
Системы дифференциальных уравнений, т. е. вдоль каждого реше-
решения этой системы функция F сохраняет постоянное значение1). Дей-
Действительно, для такого решения
"dF^ *Ж ' Q~ds* и1Т ' x~ds ' y~ds '
а выражение справа, в силу характеристических Дифференциальных
уравнений, равно нулю тождественно относительно s.
Выделим теперь из четырехпараметрического семейства решений
характеристических дифференциальных уравнений семейство с тремя
параметрами при помощи условия, чтобы функция F имела на этих
решениях не любое постоянное значение, а именно значение нуль,
в соответствии с исходным дифференциальным уравнением с частными
производными 2).
1) По поводу этого значения слова «интеграл», которое ве следует сме-
смешивать со значением: интеграл-решение, ср. гл. I, § 5, стр. .36.
2) Отсутствие этого ограничения означало бы одновременное рассмотре-
рассмотрение всех дифференциальных ураввений /="»•= const.

§ 3] ОБЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 8Ь
Всякое решение характеристических дифференциальных урав-
уравнений, удовлетворяющее, сверх того, уравнению F = 0, мы будем
называть «'характеристической полоской»; пространственная кри-
вая x(s), y(s), u{s), несущая такую полоску, называется харак-
характеристической кривой.
Как и в квазилинейном случае, из вывода характеристических диф-
дифференциальных уравнений вытекают следующие теоремы:
; На всякой интегральной поверхности существует однопара-
Метрическое семейство характеристических кривых и соответ-
соответствующих характеристических поло ок.
Если характеристическая, полоска имеет общий элемент {т. е.
общие значения х, у, и, р, q) с интегральной поверхностью,, то
эта полоска принадлежит полностью упомянутой интегральней
поверхности.
Важнейший результат в теории дифференциальных уравнений
С частными производными первого порядка состоит в том, что задача
интегрирования нашего дифференциального уравнения с частными
производными A) эквивалентна задаче интегрирования характеристи-
характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений D),
т. е. интегрирование дифференциального уравнения с частными про-
производными A) можно привести к интегрированию характеристической
.Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
, 2. Решение задачи Коши. Для доказательства мы, по аналогии
>С §§1 и 2, построим интегральные поверхности с помощью харак-
характеристических полосок. Мы снова формулируем для нашего диффе-
дифференциального уравнения с частными производными зЪдачу Коши, что
целесообразно сделать в следующем виде: с помощью функций x(f),
yif), u{t), p{t), q(f) задана нажыъная полоска С, с проекцией Со
(на плоскость х, у), свободной от двойных точек, причем для Cj
выполняется тождественно относительно t:
1. Условие полоски
йи dx , dy
2. f = 0.
Такая полоска Ct называется интегральной полоской1). Задача
Коши состоит теперь в том, чтобы в окрестности Со найти такую
функцию и (х, у), которая удовлетворяет в этой окрестности диффе-
дифференциальному уравнению и на Со (совместно с р — их, q — uy) прини-
принимает заданные ранее значения, т. е. требуется построить интегральную
поверхность, содержащую начальную полоску Сх.
1) При постановке задачи можно было бы сначала считать заданной лишь
начальную кривую и дополнительно определить начальные значения вели-
величин р и q с помощью соотношения полоски и уравнения F == 0; однако, вы-
выбранная здесь форма задачи Кошп заслуживает предпочтения, так как при
ней мы избегаем несущественного для настоящей задачи исследования урав-
уравнений, получающихся для р и q.

84 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. II
Для решения задачи Коши представим себе, что через каждый
начальный элемент этой заданной полоски проведена характеристи-
характеристическая полоска с текущим параметром s, т. е. такое решение харак-
характеристических дифференциальных уравнений D), которое при s.= 0
переходит в x(t), y(t), u(f), p(f), q{f). Эту систему решений мы
обозначим через x(s, t), y(s, t), u{s, f), p(s, f), q(s,f).
Известные теоремы из теории обыкновенных дифференциальных
уравнений обеспечивают единственность этих решений и существо-
существование у них непрерывных производных по s и по t. Если выражение
отлично от нуля вдоль нашей начальной полоски, а, следовательно,
и в некоторой ее окрестности (т. е. в некоторой области значений s
и t), то в этой окрестности можно ввести в качестве независимых
переменных вместо параметров t к s величины х и у и, следова-
следовательно, величины и, р, q выразить как функции от х и у, в част-
частности, мы получаем поверхность _ и = и (х, у). Мы утверждаем, что
на этой поверхности р = их и q = uy и что эта поверхность является
интегральной поверхностью, а следовательно, решает нашу задачу
Коши.
Последний факт сделается понятным сам собой, как только мы
установим, что на нашей поверхности р — их, q~ uy; в самом деле,
так как F есть интеграл системы D), то в силу второго начального
условия величина F(x, у, и, р, q) обращается на нашей поверхности
в нуль тождественно относительно s и t, а следовательно, и отно-
относительно хну.
Остается, следовательно, показать, что р = ия и q = uy. Для этого
достаточно убедиться, что обе величины
Щ—pxt—Wt, \ ,е.
тождественно исчезают на нашей поверхности. Действительно, с«от-
ношения
О = ns—nxxs—ЧУ Л
ssуУ,
несомненно, справедливые, можно рассматривать как систему линей-
линейных уравнений для ux, uy. Так как определитель этой системы
Xfys—xeyt = — Д, по предположению, не равен нулю, то из
U= V = 0 и системы G) вытекало бы р=гаихг q=-=uy.
Исчезание величины V есть очевидное следствие характери-
характеристических дифференциальных уравнений. Для того, чтобы доказать,
что U = 0, будем рассматривать V и V" как функции от s и t. Имеем
тождество:
dU dV , ,

§ 3] ОБЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 85
Принимая во внимание, что ~— = О, так как V тождественно исче-
исчезает, н подставляя сюда выражения для xe, ys, ра, qs из характери-
характеристических дифференциальных уравнений D), получаем:
С другой стороны, из соотношения F = 0, тождественного относи-
относительно s и t, дифференцируя по t, имеем:
а, следовательно,
Это уравнение при фиксированном значении t представляет собой
однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение для
U как функции от s. Так как U при s== 0~ исчезает (на основании
первого начального условия), то величина U равна нулю для всех
значений s в силу того, что решение обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения для функции U (s) определяется однозначно ее на-
начальным значением ?/@)х). Тем самым требуемое доказательство дове-
доведено до конца. Вследствие того, что решения обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений однозначно определяются своими начальными
значениями, интегральная поверхность, полученная при помощи нашего
построения, также определена однозначно.
Полученный нами результат можно резюмировать следующим
образом:
Пусть С: х = х (f), у—у (t), u = u (t) — заданная простран-
пространственная кривая, которая совместно с заданными функциями
Р @> Я @ образует начальную полоску Сх (jc, у, и, р, q), удовле-
удовлетворяющую условию полоски и соотношению F — 0, и пусть вдоль
этой полоски h~Fpyt — Fqxt^0; в таком случае в некоторой
ее окрестности существует одна «¦ только одна интегральная
поверхность и(х,у), содержащая эту начальную полоску.
3. Характеристики как элементы разветвления. Дополнитель-
Дополнительные замечания. Интегральный коноид. Остается еще выяснить зна-
значение того исключительного случая, который характеризуется равен-
равенством Д = 0. Если для начальной полоски Сх, лежащей на интегральной
поверхности и (х} у), всюду Fpyt—Fqxt = 0, то на основании стр. 82
Су должна быть характеристической полоской на этой интегральной
поверхности. Поэтому в исключительном случае Д = 0 через кривую
С может проходить интегральная поверхность лишь в том случае,
если кривая С—характеристическая, т. е. функции pug, присое-
х) Или же в силу равенства
U{s)=*U(Q)e

86 ОВ1ДАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. П
диненные при помощи условий 1 и 2, дополняют эту кривую до
характеристической полоски. Если это условие выполнено, то через
начальную полоску проходит не' только одна, но бесконечное мно-
множество интегральных, поверхностей, которые, следовательно, касаются
друг друга вдоль этой начальной полоски. В самом деле, рассмотрим
кривую С, пересекающую кривую С и дополненную до начальной
полоски таким образом, что эта начальная полоска в общей точке
касается характеристической полоски, принадлежащей кривой С; в таком
случае задача Коши "для С дает интегральную поверхность, которая
содержит всю характеристическую полоску, принадлежащую кривой
С, так как эта интегральная поверхность имеет общий элемент с ха-
характеристической полоской.
Таким образом, характеристические кривые на интегральной по1
верхности-—это такие линии, вдоль которых касаются друг друга
различные интегральные поверхности. Поэтому эти кривые и соот-
соответственно полоски можно рассматривать как элементы разветвления
интегральных поверхностей. При переходе такой линии можно, не
нарушая условия непрерывности первых производных функции и,
вместо первоначальной интегральной поверхности продолжать дви-
двигаться по любой другой из семейства интегральных поверхностей,
касающихся по этой линии.
Резюмируя, мы имеем следующие два случая задачи Коши:
Если Д^О для начальной полоски Cv- то задача Коши имеет
единственное решение. Если же, вдоль С,, Д = 0, то задача
Коши имеет решение лишь в том случае, если начальная полоска
С1-—характеристическая; в этом случае существует бесконечное
множество решений.
В заключение еще одно замечание об исключительном случае
Д = 0. Если начальная полоска С1 не удовлетворяет дополнительному
условию (быть характеристической), то Си как легко видеть, является
лишь фокальной полоской; в этом случае через полоску Ct не может
проходить никакое решение задачи Коши; т. е, никакая интеграль-
интегральная поверхность, которая содержала бы эту начальную полоску
и в ее окрестности имела бы непрерывные производные до второго
порядка. Мыслимо, однако, существование такой интегральной по-
поверхности, для которой С является особой линией. Действительно,
если через каждый элемент (х, у, и, р, q) полоски Си как началь-
начальный элемент, проведем характеристическую полоску, то такое же
рассуждение, как и раньше, покажет, что эти полоски (соответст-
(соответственно— их кривые) образуют интегральную поверхность, если все
они не совпадают—в случае характеристической полоски Ct.
На этой интегральной поверхности кривая С должна быть особой
линией и представлять собой огибающую характеристических кривых,
производящих эту поверхность. Можно ожидать, что она является
ребром возврата интегральной поверхности или что, во всяком случае,
в окрестности проекции кривой С на плоскость х, у уже невозможно
определить решение и как однозначную функцию от х и у.

§ 4J связь с теорией полного интеграла 87
Эти факты мы подтвердим на примерах (ср. § 6 и пример, рас-
рассмотренный в § 1 для случая квазилинейного дифференциального
уравнения). В теории распространения света характеристики ока-
окажутся световыми лучами, поэтому каустические {фокальные)
ланий этих лучей окажутся фокальными кривыми, что оправдывает
этот термин.
Отметим еще один особый предельный случай задачи Коши,
именно —тот случай, когда начальная кривая стягивается в точку.
Точно такие же рассуждения, как и выше, приводят к следующему
результату:
Совокупность характеристических кривых, проходящих через
заданную точку Р пространства (х, у, и), образует интегральную
поверхность.
4Эта интегральная поверхность, имеющая в точке Р особую точку
конического типа (с конусом Монжа в качестве касательного конуса),
называется интегральным коноидом дифференциального уравнения
с частными производными в точке Р. В теории распространения
света, как мы увидим впоследствии, он играет особенно важную роль
как световой конус.
Наконец, еще одно замечание о существенном различии положения
дел* в квазилинейном и в общем нелинейном случае (то же .замечание
справедливо впрочем и при п независимых переменных): в линейном
и квазилинейном случае^для построения решения достаточно рас-
рассмотрения характеристических кривых, которые образуют двухпара-
метрическое (соответственно — я-параметрическое) семейство. В общем
же случае для достижения этой цели мы вынуждены, с помощью
присоединения величин р, q, перейти к характеристическим полоскам,
носителями . которых являются характеристические кривые. Эти по-
полоски образуют уже трехпараметрическое [соответственно B« — 1)-
параметрическое] многообразие, и то же самое справедливо и для
их характеристических несущих кривых.
§ 4. Связь с теорией полного интеграла.
Выше, в гл. I, § 4, п. 2 мы видели, что, имея зависящий от
двух параметров а и b полный интеграл ш= <р (х, у, а, Ь) дифферен-
дифференциального уравнения F = 0, можно получить семейство решений
дифференциального уравнения, зависящее от произвольной функции.
Мы пользовались для этой цели процессом нахождения огибающей,
полагая 6 = w (а) и представляя себе, что из двух уравнений
исключена величина а. Эти два уравнения дают представление за-
зависящего еще от параметра а многообразия кривых, по которым
Интегральные поверхности касаются своей огибающей. Так как функ-
функцию w (а) можно выбрать так, чтобы она в определенной точке а

88 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. II
принимала произвольное значение Ь и чтобы производная да' (а) по-
получала любое значение с, то система уравнений
« = ?(*, У, а, Ь), (П
0 = ?„ + с?ь Aа)
представляет зависящее от трех параметров а, Ь, с семейство кривых,
которые могут оказаться иривыми касания при образовании огибающей.
Покажем.теперь, .что кривые семейства A) являются характе-
характеристическими кривыми нашего дифференциального уравнения. От-
Отсюда уже само собой будет вытекать, что полоски, получающиеся
присоединением функций р — ух(х, у, а, Ь,), ^ = ср^(х, у, а, Ь),
являются характеристическими полосками.-
Доказательство вытекает непосредственно из того факта, что
вдоль нашей кривой касаются две различные интегральные поверхности,
что, как мы видели в § 3, возможно лишь вдоль характеристической
полоски.
Впрочем это утверждение нетрудно доказать и аналитически.
Если вдоль нашей кривой вместо s принять х за независимую пере-
переменную, то, дифференцируя уравнение Aа) по х, имеем:
0 = ?«» -г с?ъх+Ух (?«* + с<?ьу)- B)
Далее, дифференцируем уравнение F = 0 по а и по Ь, учитывая
u=±<s(x, у, а, Ь):
= 0, 1 '
Умножая второе из этих уравнений на с и складывая с первым, при-
принимая во внимание уравнения Aа) и B), получим1): Fpya—Fg = 0.
На основании соображений стр. 82 из этого равенства и вытекает,
что наши кривые являются характеристическими. При этом предпо-
предполагается, отметим это здесь еще раз, что в рассматриваемой области
Итак, коль- скоро известен полный интеграл дифференциального
уравнения с частными произвоДными, система двух уравнений A)
даст нам трехпараметрическое семейство характеристических кривых
и соответственно полосок; то обстоятельство, что мы выбрали за
независимое переменное х вместо того, чтобы пользоваться симметри-
симметрическим представлением с помощью параметра s, несущественно. Таким
образом, мы обратили .тот процесс, который рассмотрен в § 3,
а именно, мы теперь получили решения характеристических диф-
дифференциальных уравнений из полного решения дифференциального
1) Точнее, получим (уау -f суЬу) (Fq—fpy!e) = Q. Но если положить
Чау + c'ihy — 0. то отс;сда, принимая во взимание Aа) и B), вытекало бы,
что ранг матрицы М (стр. 32), противно сделанному там предположению,
меньше двух. (Прим. перев.) '

§ 5] ФОКАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И УРАВНЕНИЕ МОНЖА 89
уравнения в частных производных. В § 8 мы еще раз подробно
остановимся на этой точке зрения, которая противоположна исходной.
Что таким образом мы получим все характеристики и соответ-
соответственно все решения дифференциального уравнения с частными про-
производными, следует немедленно, если предположим, что для всякой
заданной интегральной поверхности, для которой F^-\-F^^0,
в каждой точке можно определить индивидуальную поверхность се-
семейства и = «о (х, у, а, Ь), касающуюся ее в этой точке.
Наконец, еще одно замечание о роли особого решения. Согласно
гл. I, § 4, п. 3 мы получаем такое решение методом образования оги-
огибающей двухпараметрического семейства и = <р (х, у, а, Ь) или, не
прибегая к специальному полному интегралу, путем исключения
величин р и q из уравнений
Для особого решения все соображения § 4 отпадают, ибо там всегда
предполагалось, что на интегральных поверхностях выполняется со-
соотношение F* -f- F1 ф 0- Исключительный характер особого решения
выражается, между прочим, и в .том, что на нем характеристическое
начальное условие
удовлетворяется тождественно, какую бы начальную кривую мы ни
выбрали на этом решении. В этом смысле всякая начальная полоска,
лежащая на особом решении, является характеристической.
§ 5. Фокальные кривые и уравнение Монжа
На стр. 80 мы представили фокальные кривые с помощью системы
дифференциальных уравнений C), причем величины р, q были еще
подчинены дополнительному условию F (х, у, и, р, «у) —О. Если
ввести, в предположении Fp ф 0, вместо s просто х в качестве па-
параметра на кривой, то получим следующие три уравнения:
F0 L!±
r~U) dx~~ Fp1 dx~~ Fp • V>
Если исключить из этих уравнений р и q, то получится одно обыкно-
обыкновенное дифференциальное уравнение для двух неизвестных функ-
функций у и и
Ч^, «,&,-?-)-0. B)
Это уравнение называется дифференциальным уравнением Монжа.
Это — простейший пример недоопределенной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений; это уравнение представляет собой
условие для направлений образующих конуса Монжа в точке

90 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИ4ЙЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. II
{х, у, и), между тем как уравнение F = 0 давало двойственно-взаимную
зависимость между касательными плоскостями конуса Монжа. [Если
.бы мы вместо х сохранили на фокальных кривых параметр s, то
дифференциальное уравнение конуса имело бы вид
../ dx dy du
где функция М однородна относительно последних, трех аргу-
аргументов].
Можно и, обратно, для заданного уравнения Монжа М (х, у, и,
у', и') = 0 построить соответствующее дифференциальное уравнение
с частными производными, именно, исключая величины у', и' из
уравнения М — 0 и двух уравнений
— -
За.
ми1 ' р-~ ми>
причем в качестве результата получится уравнение F(x, у, и, p,q) — 0.
{Переход к представлению конуса Монжа в точке (х, у, и) в танген-
тангенциальных координатах.] Уравнение Монжа, т. е.. обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение первого порядка с двумя неизвестными
функциями, и дифференциальное уравнение с частными производными
первого порядка для одной функции от двух независимых перемен-
переменных представляют одни и те же геометрические образы, один раз
произведенные с помощью поверхностных элементов (дифференциаль-
(дифференциальное уравнение с частными производными), а другой раз — с помощью
линейных элементов (уравнение Монжа).
Решения уравнения Монжа, — фокальные кривые, это такие кри-
кривые, которые, не будучи характеристическими, в каждой своей точке
касаются одной характеристической кривой. Из соображений § 3, п. 3
находим, что эти фокальные кривые можно получить путем образо-
образования для интегральной поверхности дифференциального уравнения
F = 0 огибающей лежащих на ней характеристических кривых (если
таковая существует).
Это соображение приводит к замечательному методу решения
уравнения Монжа. Само по себе определение функций и и у из
уравнения Монжа требует предварительно присоединения дополни-
дополнительного произврльного соотношения W(x, у, и) = 0, а затем инте-
интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка, получающегося путем исключения и или у, следовательно,
требует бесконечного множества таких процессов интеграции.. На
этом пути не "удастся получить какое-либо представление общего
решения уравнения Монжа с помощью произвольной функции. Однако,
исходя из полного интеграла, возможно получить явное решение
уравнения Монжа, зависящее от произвольной функции и уже не
содержащее никаких процессов интегрирования. Для того, чтобы
притти к такому решению уравнения Монжа, предположим, что из-

§ 6] ПРИМЕРЫ 91
вестей полный интеграл и — <в (х, у, а, Ь) дифференциального уравне-.
ния с частными производными, эквивалентного уравнению Мошка.
Два уравнения
" = ?(*, У, a, w(a)), 1
0 = 9а (х> У-> а> w (й)) + С* ™ («)) ™' (й) I
дают соответствующую каждому значению параметра а характеристи-
характеристическую кривую, лежащую на интегральной поверхности, определенной
значением b = w(a) (ср. стр. 88). К этим двум надо только прибавить
еще одно уравнение, получающееся вторичным дифференцированием
по а:
0 - ?<ш -Ь 2?*w' (в) + Wa (a) -j- ybw" (а). D)
Полученные три уравнения C) — D) представляют в параметрической
форме, с помощью параметра а, пространственную кривую, а именно,
огибающук характеристик. Они и дают искомое решение, если пред-
представить себе, что ц и у путем исключения а выражены из этих
уравнений как функции от х.
§ 6. Примеры
Развитую нами теорию мы поясним на ряде примеров. Некоторые,
из этих примеров важны и сами по себе. '
1. Дифференциальное уравнение (gradoJ=l. Рассмотрим
дифференциальное уравнение для функции и (х, у):
«?+«;-» О)
и соответственно уравнение
«1+в1+«Г-1 B)
для функции и (х, у, г). „0ни выражают тот факт, что модуль гра-
градиента функции и равен единице.
Эти дифференциальные уравнения интересны и сами по себе
благодаря своему значению в геометрической оптике. Именно, реше-
решения и описывают возможные состояния распространения света в одно-
однородной среде, причем поверхности и = const. — это волновые по-
поверхности, а характеристики — световые лучи. Более общее диф-
дифференциальное уравнение
описывает распространение света в неоднородной среде с коэффи-
коэффициентом преломления и(х, у, z), зависящим от положения точки.
Рассмотрим сначала случай двух независимых переменных, для
которого мы уже получили в гл. I, § 3 полный интеграл
и**~а,х-\-У\—аЪу-\.Ь. D)

92 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. П
Уравнения
дают решение, содержащее еще произвольную функцию.
Присоединяя к двум уравнениям
соответствующие соотношения
получаем зависящее от трех параметров а, Ь, с многообрааие характе-
характеристических полосок, вдоль которых рассматриваем, скажем, х как
независимую переменную. Отсюда мы узнаем, что характеристические
кривые, «световые лучи», являются прямыми линиями и что вдоль
каждой из этих прямых соответствующая касательная плоскость
остается постоянной. Как характеристические прямые, так и соответ-
соответствующие плоскости наклонены к плоскости х, у под углом в 45° и
этим обстоятельством они характеризуются. Конус Монжа в точке
х0, _Уо> ио имеет, очевидно, следующее уравнение:
{х — х0? + (у ~у0Т = (к—«0J.
Характеристические дифференциальные уравнения, которые реша-
решаются написанным выше соотношением, можно записать в виде следую-
следующей пропорции:
dx:dy;du:dp:dq = p:q: 1:0:0; E)
их можно, очевидно, тотчас проинтегрировать:
причем через je0, у0, к0, р0, q0 обозначены соответствующие началь-
начальные значения при значении параметра s — 0.
Уравнение Монжа для функций и(х),у(х), соответствующее нашему
дифференциальному уравнению с частными производными, получится
путем исключения величин р и q из соотношения р% -\- ф = 1, у' ж* $-,
и' =— в следующем виде:
Решения этого уравнения представляют те кривые, касательные к кото-
которым всюду наклонены к плоскости х, у под углом в 45°. Эти фокаль-
фокальные кривые или «каустические линицъ можно представить с помощью

§ 6] Примеры 93
произвольной функции in (а) в следующем виде, he содержащем про-
процессов интегрирования1):
и = ах-\- Vl —aay-\-w (a),
О = . Х у 4- w" (a).
G)
С помощью этих фокальных кривых можно охарактеризовать
решения дифференциального уравнения A)—кроме плоскостей D) и
интегральных коноидов, в данном случае круговых конусов, образую-
образующие которых наклонены к плоскости х, у под углом в 45°, — как
развертывающиеся поверхности, ребро возврата которых есть фокаль-
фокальная кривая, следовательно, кривая, касательные к которой составляют
с плоскостью х, у постоянный угол в 45°.
Решения уравнения A) имеют еще одно важное геометрическое
значение. Рассмотрим семейство кривых и (х, у) = с = const, в плоско-
плоскости х, у; мы утверждаем, что значение функции и{х,у) в любой
точке плоскости равно расстоянию этой точки от кривой и(х,у)~0.
Кривые и(х,у)==с являются по отношению к этой кривой эквиди-
эквидистантными параллельными кривыми на расстоянии с от нее; ортого-
ортогональные траектории этого семейства кривых—прямые линии (а именно,
проекции наших характеристических кривых), и огибающая этих пря-
прямых, общая эволюта кривых и — const., есть проекция ребра возврата,
т. е. фокальной, кривой.
Для доказательства этого факта решим задачу Коши для какой-
нибудь данной начальной кривой О (jc0, у0) = 0, причем вдоль этой
кривой предписано начальное условие и= 0. Решение этой задачи
мы построим по методу характеристик, для чего рассмотрим характе-
характеристики, проходящие через точки (л:0, ^0): x=p0s-{-x0, y=goS-\-yo,
u-=s, и их проекции. В силу того, что pjj-{-^jj =¦ 1, параметр s озна-
означает расстояние точки (х, у) этих' характеристических проекций
от точки (л:0, ^0). Для определения р0 и q0 заметим, что из началь-
начального условия вытекает: 0 =-j^-~po-\-q0 -r^-, если вдоль началь-
начальной кривой выбрать х0 за независимый параметр. Следовательно,
р0Оу — Яо®з! =0, и вышеупомянутая прямая (характеристическая
проекция) ортогональна начальной кривой. Следовательно, и есть
действительно расстояние точки (х, у) от начальной кривой, по край-
крайней мере в достаточно малой окрестности этой кривой. Что всякая
кривая и — const, ортогональна нашим прямым, вытекает непосред-
непосредственно из изложенных выше соображений.
х) Предоставим читателю, в йиде задачи» проверить это представление
непосредственным вычислением.

"94 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. 11
Несколько иной ход доказательства получается, если считать
Заданными кривые и = const, и исходить из задачи о нахождении
ортогональных траекторий этих кривых. Для этих ортогональных
траекторий имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
§ = «~ f = V (8)
¦Откуда, возвышая в квадрат и складывая, получаем:
следовательно, s есть длина дуги на траекториях. Далее, дифферен-
иируя первое из уравнений (8) по $ и учитывая в правой части снова
те же дифференциальные уравнения (8), приходим к уравнению
-T^=ua!Xus,-\-ua!yUy. Но правая часть тождественно равна нулю, что
выясняется, если продифференцировать по х исходное дифференци-
дифференциалу
альное уравнение A). Точно таким же путем получается —fb^Q',
следовательно, ортогональные траектории — прямые линии.
Точно таким же образом обнаруживают в случае tpex независимых
переменных, что решения дифференциального уравнения с частными
производными B) представляют семейство эквидистантных поверх-
поверхностей и (х, у, z) т= const., параллельных произвольно заданной началь-
начальной поверхности G (х, у, z) = 0. Эти поверхности имеют прямо-
прямолинейные ортогональные траектории, и отрезок этих прямых линий
между поверхностями и — сг и и = с2 имеет постоянную длину
ci — caJ сама Функция и есть расстояние точки (х>у, z) от начальной
поверхности.
2. F{ax, и^)«=0. Рассмотрим дифференциальное уравнение
Эквивалентное уравнение Монжа для функций ^/(лт) и и(х) Имеет
ВИД
и'8» 2/. A1)
Полный интеграл, содержащий все поверхностные элементы диффе-
дифференциального уравнения, имеет вид
у + Ь A2)
!) При помощи преобразования (вращения) ?««н, vja=—¦?-, «о:
йаще дифференциальное уравнение приводится к виду <о| — «^ == 1 с не-
иавестяой функцией в (?, tj); его можно решить аналогично уравнению A) п. 1.

§ 6] ПРИМЕРЫ 95
Отсюда получается семейство решений, зависящее от произвольной
Лункшш w(a\.
Отсюда получ
функции w(a):
Г
03)
(по исключении я); наконец, присоединяя еще уравнение
&?(&, , A3а)
получим не содержащее уже процессов, интеграции представление
фокальных кривых с помощью произвольной функции та.
Уравнения
и х\
с тремя параметрами а, Ь, с и с величиной, скажем, х в качестве
независимой переменной дают совокупность характеристик. Характе-
Характеристические дифференциальные уравнения:
dx:dy:du: dp: dq — q:p: 1:0:0. A4)
Следовательно,' и на этот раз характеристики—-прямые линии, и
соответствующие касательные плоскости остаются постоянными вдоль
всей прямой, причем pq = ~. Уравнения характеристических прямых:
В заключение решим задачу Коши для начальной функции и@, уо)=
= uo~v(_у0), заданной произвольно в плоскости х = 0. Немедленно
получаем:
>,Уд*=*'(Уд> РФ'Уд^-оЯТ,
следовательно, уравнения
и
Дают решение задачи Коши, причем надо себе представить, что у0
выражено из второго уравнения через х и у и подставлено в первое.
Сравнение с найденным выше решением
и = 2ах -\- aw' (a) -{- w (с),
показывает, что оба решения, действительно, переходят друг в друга
следующим образом: вводим вместо а новый параметр у0 с помощью

96 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [гЛ. II
равенства ,v0— 2а2ге/ (a), a затем определяем новую функцию г>(,у0)
вместо та» (с) равенством
г> (^0) = [aw (а)]' = ста»' (с) -{- ^ (с).
В силу соотношений
4fSL «== 2а pw' (я) -f aw* (с)] = 2с [ew (а)]",
¦ = 2ca,
оба решения переходят теперь друг в друга.
. Оба рассмотренных выше примера являются частными случаями
более общего дифференциального уравнения
F(ux, «j,) = 0, A7)
у которого мы имеем совершенно аналогичную ситуацию. Из характе-
характеристических дифференциальных уравнений
как и выше, обнаруживается, что характеристические полоски состоят
из прямых линий с соответствующей каждой из них одной лишь
касательной плоскостью и что вследствие этого решения дифферен-
дифференциального уравнения A7) представляют развертывающиеся поверх-
поверхности. Этот последний факт станет еще яснее, если заметить, что
возможно построить полный интеграл, состоящий из одних лишь
плоскостей. Для этой цели представим себе, что уравнение F(p, q)=Q
удовлетворяется двумя функциями р(а) и q(а) параметра а. В таком
случае имеем полный интеграл
u = p{a)x-\-q{a)y-\-b,
состоящий, действительно, из одних только плоскостей.
3. Дифференциальное уравнение Клеро ')• Далее рассмотрим
снова дифференциальное уравнение Клеро
и = xux-\-yuy-\-f(um uy). A9)
В гл. I, § 4, п. 4 мы нашли в качестве полного интеграла семейство
плоскостей
и ^ах-\-Ьу +f(a,b). B0)
Решения, получаемые из полного интеграла путем образования
огибающей:
u=*ax-\-w (a)y-\-f(a, w (a)),
представляют развертывающиеся поверхности. Точно так же выясняем,
что все интегральные поверхности, возникающие путем, так сказать,
Ср. также гл. I, § 4, п. 4 н § 6, п. 3.

§ 6] примеры 97
«нанизывания» характеристик, являются развертывающимися поверх-
поверхностями; действительно, из характеристических дифференциальных
уравнений
узнаем, как и выше (ср. п.п. 1 и 2), что характеристические полоски
являются прямыми линиями с принадлежащей каждой из них одной
лишь касательной плоскостью.
Особое решение дифференциального уравнения A9) мы рассмотрели
уже в гл. I, §§ 4 и 6; его можно получить в предположении,
что /со/ьь — /оЬ#°. вычисляя а и Ь из уравнений
*=== Ли У — Л
и подставляя в уравнение
u = ax-\-by-\-f(a, b);
в касательных координатах ?, ч\, о оно имеет простой вид
» = —/М- B3)
Общее решение можно теперь очень просто охарактеризовать его
отношением к особому решению. Мы замечаем, что плоскости пол-
полного интеграла являются касательными плоскостями особого решения,
а характеристики — его касательными прямыми. Отсюда вытекает,
что общее решение дифференциального уравнения Клеро дает те раз-
развертывающиеся поверхности, которые касаются особого решения.
Задачу Коши можно теперь просто решить, определяя сначала плос-
плоскости, касающиеся одновременно начальной кривой и особого решения,
и найдя затем их огибающую.
Непосредственно из дифференциального уравнения можно извлечь
тот факт, что конус Монжа есть касательный конус из рассматри-
рассматриваемой точки к особому решению. Конус Монжа является здесь
одновременно интегральным коноидом1).
4. Дифференциальное уравнение поверхностей каналов. По-
Поучительный пример представляет дифференциальное уравнение поверх-
поверхностей каналов
и2(/>8 + <72+1)=1, B4)
выведенное уже в гл. I, § 4, п. 4. Для этого уравнения семейство сфер
(х — cJ-j-C — 6J-fu2=l B5)
Дает полный интеграл. Геометрически сразу получается, что характе-
характеристиками являются окружности больших кругов этих сфер, парал-
параллельных оси и.
1) Соображения этого пункта справедливы и для дифференциального
уравнения
(pq
Лишь формально более общего.

§8 общая теория Дифференциальных Уравнений 1 порядка (гл. ti
Аналитически этот факт получается из характеристических диф-
дифференциальных уравнений
. dx:dy:du:dp:dq = u*p:u*q:(l — и2) :(—?):(-¦?), B6)
из которых вытекает:
d(x + up) -rf(y.+ uq)~d(f) =0.
Отсюда
х — а — — up, y — b = — uq, p — cq,
где a, b, с — постоянные интегрирования. Из этих уравнений и из
соотношения «2(p2-f-^2)= 1—и2 теперь, действительно, получаются
уравнения (х — df-\-(y — ftJ-f-u2=l и х~f = с, а следова-
следовательно, характеристическими кривыми являются упомянутые выше
окружности. Далее, из пропорций {х—а): (у — b) :u = p :q :(—1)
вытекает, что нормали к соответствующим касательным плоскостям
направлены к центру окружности.
Дальнейшими интегральными поверхностями являются огибающие
однопараметрических семейств сфер радиуса 1, центр которых дви-
движется по кривой в плоскости х, у. Если эта кривая, осевая лини»
поверхности канала, имеет кривизну, меньшую, чем единичная окруж-
окружность, то поверхность канала будет, действительно, иметь форму
канала, трубки. В этом случае характеристические окружности на ней
не имеют огибающей. Если же радиус кривизны осевой линии меньше
единицы, то упомянутая выше интегральная поверхность, огибающая
однопараметрического семейства сфер, про которую можно также
сказать, что она образована подходящим многообразием характери-
характеристических окружностей, имеет ребро возврата. Эти ребра возврата
суть фокальные кривые нашего дифференциального уравнения. Проек-
Проекция фокальной кривой на плоскость х, у является в этом случае
эволютой осевой линии нашего «канала».
Рекомендуется наглядно пояснить эти взаимоотношения на кон-
конкретном примере и на модели.
5. Соотношение однородности. В качестве последнего примера
рассмотрим линейное дифференциальное уравнение, а именно —уело*
вие однородности (ср. гл. I, § I, п. 2, пример 6):
= hu, B7)
где к—-постоянная. Характеристические дифференциальные уравнения
dx :dy:du~x :y:hu B8)
имеют .интегралы
-д-«. --*• B9)

§ i] ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ С П НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕ-ЕМЕННЫМИ 99
Общее решение дифференциального уравнения можно, следовательно,
записать с помощью произвольной функции W в виде
или с помощью произвольной функции w в виде
а, значит, это общее решение есть действительно однородная функция
от х и у степени h.
Другое представление общего решения получается из полного
интеграла
ы = ахь -J- byh,
откуда общее решение выражается с помощью уравнений
и = axh -j- w (a)yh,
0 = xh-{-w'(a)yh.
x
Так как из второго уравнения а выражается как функция отношения —,
то и этим методом получаем для и общую однородную функцию
измерения h.
§ 7. Общее дифференциальное уравнение с п независимыми
переменными
Теория интегрирования общего дифференциального уравнения с п
независимыми переменными
F (х15... ,*„, и, pv... ,рп) = 0 [рг = —^ A)
строится совершенно аналогично случаю п — 2. При этом мы отка-
откажемся " от подробного повторения геометрического истолкования
и обсудим преимущественно вновь возникающий момент, а именно —
характеристические многообразия полосок.
По аналогии с § 3 мы относим дифференциальному уравнению
F = 0 систему обыковенных дифференциальных уравнений
ds —' pv dJ~ <ии*1«' ds • v ¦
для2ге-}-1 функций xit и, ^параметра s. Эта система B) называется
характеристической системой дифференциальных уравнений,
принадлежащей дифференциальному уравнению с частными произ-
производными A).

100 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. И
Функция F{xit и, /?г) является интегралом1) этой характеристи-
характеристической системы дифференциальных уравнений, ибо для всякого
решения этой системы
п п
dF ,V4 „ dX{ \ч _ dpi , „ du . „
¦¦¦¦ ¦ ;;.¦¦." ^ f* t — —4— ^ [*' m —I— Jr* -—— —— yj^
Все решения нашей характеристической системы, которые, сверх
того, удовлетворяют условию F = 0, мы будем называть характери-
характеристическими полосками. Они образуют семейство, зависящее
от Bп — 1) параметров. Точно так же, как в случае двух перемен-
переменных, можно теперь установить следующую теорему:
На всякой интегральной поверхности и (xv... ,jcm) дифферен-
дифференциального уравнения F = 0 лежит бесконечное множество харак-
характеристических полосок. Всякая характеристическая полоска,
имеющая общий элемент (т. е. общую систему значений xt, и, pt)
с интегральной поверхностью, лежит на этой интегральной
поверхности полностью.
. Подобно § 3 задача Коши формулируется здесь так: Пусть
дано (Я—1)-мерное начальное многообразие С путем задания
непрерывно дифференцируемых функций х1г х2,... ,хп, и от пара-
параметров tu...,tn_v причем пусть матрица производных-т^ имеет
ранг п — 1. Пусть это многообразие С дополнено дальнейшим зада-
заданием п функций р1г.. .,рп параметров t{ до многообразия полосок Q
так, чтобы условия полоски
удовлетворялись тождественно относительно ty. Далее, предполагаем,
что координаты полоски xv...,xn, и, ри...,рп удовлетворяют соот-
соотношению
F(Хц...,*„, и, pv...,pn) = O
тождественно в tt. Требуется найти интегральное многообразие
и = и{х1,..'., х„), т. е. такое решение дифференциального уравне-
уравнения F — 0, которое содержит заданное начальное многообра-
многообразие Cj.
Для решения задачи рассмотрим семейство тех характеристических
полосок (с параметром.s вдоль полоски), начальный элемент которых
при 5 = 0 содержится в заданном начальном многообразии полосок Cv
т. е. те решения
x{(s, tv...,tn_l), u{s, *i,...Л-i). Pi(s, tt ,*M_
См. примечание 1, стр. -82.

§7]
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ С « НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
101
характеристических дифференциальных уравнений, которые при s = О
переходят в заданные в условии задачи функции. Если функциональ-
функциональный определитель
совпадающий в силу системы B) с определителем
дх,
4 не исчезает вдоль начального многообразия Ct (т. е.. при s —0),
а, следовательно, и в некоторой окрестности Сх, то в этой окрест-,
ности возможно, обратно, выразить величины s, tlt...ttn_i че-
через xlt...,xn. Подставив эти выражения в u(s, t1,...,tn_^, получим
однозначно определенную поверхность u — u{xlt. . -,xn_t), которая
содержит начальное многообразие Cv Мы покажем, что эта функция и
решает нашу задачу Коши. Так как гам известно, что на поверх-
поверхности /: и = и(х1г. ..,х„) величина F(xi7 «, pt) тождественно исче-
исчезает, если подставить вместо хг, «, р4 решения характеристических
дифференциальных уравнений, то достаточно лишь обнаружить, что
на поверхности / всюду pt = з— ¦ Это доказательство проводится
совершенно так же, как в случае двух независимых переменных
(ер. § 3, п. 2), и здесь его можно опустить.
Остается рассмотреть тот исключительный случай, когда Д = 0
на Сх. Соотношение А ~ 0 можно и на этот раз, как в § 2, заменить
утрерждекием, что существует и — 1. множителей Xv X2t.. .,1п^х,
с которыми выполняются вдоль Су линейные зависимости
я—1
E)
Нашей целью является исследовать, какие дальнейшие условия
должны быть выполнены для того, чтобы задача Коши имела решение
и в этом случае. И здесь также введение понятия «характеристи-
«характеристического многообразия» делает возможной наглядную формулировку
существующих соотношений. Начнем 'с того, что определим и про-
проанализируем это понятие. В отличие от квазилинейного случая, § 2,
где характеристическое многообразие было (и — 1)-мерным мнсгси
образием С в пространстве х, и (п-\-1) измерений, теперь нам
лридется рассматривать (и—1)-мерные многообразия полосок Си

102 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ*УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [гЛ, II
характеризуемые системами 2я 4-1 величин хи и, pt, которые можно
также истолковывать в пространстве 2я -{-1 измерений х, и, р.
Прежде всего отнесем каждой точке пространства 2п-\-\ изме-
.рений х, и, р (или каждому поверхностному элементу пространства
п-\-\ измерений д:, и) систему 2я -\-1 чисел как компонент «хараК'
теристического вектора полоски»:
п
V- _
F)
Введем теперь следующее определение: Многообразие полосок Сх
п — 1 измерений, удовлетворяющее" тождественно соотношению
F (хи и, pi) — 0, называется характеристическим, если в каждой
из его точек характеристический вектор полоски направлен
тангенциально.
Это геометрическое определение (основанное на истолковании
в пространстве 2 я -j- 1 измерений) мы уточним теперь аналитически
в том смысле, что требование тангенциального направления вектора
полоски означает требование линейной зависимости вектора (а{, а, Ь$)
от /г — 1 независимых векторов
которые называются (в порядке определения) тангенциальными
к многообразию С1.
Итак, пусть многообразие С1п — 1 измерений, заданное с помощью
функций х€, и, Pi независимых параметров tv...,tn_l, удовлетворяет
тождественно относительно t соотношению
F(Xi, и, Рг)=О, G)
а также условиям полоски
I (v=I,...,n-I). (8)
Это многообразие полосок называется характеристическим в том
случае, если для него существует я—1 множителей А,(^,.. .,/n_j)
такого рода, что выполняются линейные зависимости1)
п—1
¦«TF^0' (9)
*) Эти 2«-j-1 соотношений между 2 я +1 величинами д:;, и, pf не
являются взаимно независимыми. Напротив, для их левых частей Xi, U, Pi
справедливы следующие п то'ждёств:

§ 7] ОВЩЕЕ УРАВНЕНИЕ С Я НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 103
И здесь опять справедливы следующие две теоремы. •
Всякое характеристическое многообразие полосок Сх произ-
производится лежащим в нем полностью семейством характеристиче-
характеристических полосок, зависящим от п — 2 параметров.
Всякая характеристическая полоска, имеющая общий начальный
элемент с характеристическим многообразием, лежит в нем
полностью.
Для доказательства снова, как в § 2, определим в (и—1)-мерном
многообразии ^ кривые t^s) с помощью системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
g|= >.,(/„ ...,'n-i) (v=l, ...,я—D- A2)
Эти кривые образуют (и—2)-параметрическое семейство, которое
производит многообразие tt. Функции xt(t4), u(tj, р4(*,) после
подстановки tv = t? (s) определяют лежащую в многообразии Сг
одномерную полоску xt (s), u(s), Pi(s); докажем, что эта последняя
является характеристической полоской нашего исходного дифферен-
дифференциального уравнения с частными производными. Действительно, при-
принимая во внимание наши соотношения (9), A0), A1), имеем:
ds Za dt^ ''' l Vi'>
du
~d~S~ =
~ds~
где
.. du
¦21лё-
»i
Эти соотношения нетрудно проверить. Из них вытекает, что кроме соотно.
шения F—0 (нз которого получаются соотношения ^—= 0), условий по-
полоски (8) и условий (9) надо еще поставить лишь Родно единственное
из условий A1), для того чтобы обеспечить выполнение недостающих
условий. Однако, как и во многих других вопросах геометрии и анализа,
целесообразно из соображений симметрии сохранить в определении систему
зависимых соотношений.

104 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [гЛ. II
Следовательно, наши'функши xi(s), u(s), pt(s) являются решениями
характеристической системы дифференциальных уравнений и, в силу
справедливости соотношения ^'(л^, к, р*) = 0, определяют характе-
характеристическую полоску. Полученное (п—- 2)-параметрическое семейство
таких полосок покрывает многообразие Cv
Вторая теорема получается теперь в полном соответствии с рас-
рассуждениями в квазилинейном случае (§ 2) из однозначной опре-
определимости решений характеристической системы дифференциальных
•уравнений начальными значениями.
После этого рассмотрения характеристических многообразий можно
выразить общий результат точно так же, как в квазилинейном случае,
и так же точно довести до конца "доказательство:
Задача Коши для заданного начального многообразия С, имеет
одно и только одно решение, если вдоль С1 всюду А ф 0. Если же
на Ct выполняется соотношение Д = О, то для существования
решения задачи Коши необходимо и достаточно, чтобы много-
многообразие С] было характеристическим; в этом случае существует
бесконечное множество решений.
Нам нужно ¦ еще доказать лишь те утверждения, которые относятся
к случаю Д = 0. В этом случае немедленно вытекает существова-
. ние и—1 множителей А.Д^,.. .,tn_t) такого рода, что выполняются
соотношения (9). Если принять, что и = и{хх,.. .,хп) представляет
интегральную поверхность J, проходящую через многообразие Q,
ди
причем pt = ^—, то непосредственно получаются недостающие еще
соотношения A0), A1), отличающие многообразие Сг как характе-
характеристическое. Именно, сначала получаем, принимая во внимание
pt = uXi и соотношения (9):
и п и—1 п--1
а _ V 0 F — ^ „ V / дх* — V / ди
чем устанавливается справедливость соотношения A0). Дифферен-
Дифференцируя по хк дифференциальное уравнение с частными производными
A), находим, что функция и должна удовлетворять, тождественно
относительно х{, уравнению
при этом мы подставили -Jp*- = -~^- . Пользуясь этим уравнением и
принимая во внимание уравнение A2), получим:
п—1
т. е. недостающие соотношения A1).

§ 8] ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ .105
Таким образом, мы доказали, что из факта существования реше-
решения задачи Коши для начального многообразия Сх вытекает, что С\
есть характеристическое многообразие полосок.
Что это свойство также и достаточно в вышеуказанном смысле
для существования решения, получается буквально тем же рассужде-
рассуждением, что и в квазилинейном случае. Построим какое-нибудь много-
многообразие С[, которое пересекает Ct по (га— 21-мерному многообра-
многообразию 5 и на котором всюду выполняется условие А ф 0. Поэтому
Задача Коши для многообразия <?х, как начального, имеет единственное
решение — интегральную поверхность /. Все характеристические
полоски, имеющие начальный элемент на C'v в частности, те, кото-
которые проходят через S, а, следовательно, и образуемое последними
многообразие Сх, лежат, следовательно, на интегральной поверх-
поверхности J. Вследствие произвольности выбора многообразия C't задача
Коши для начального многообразия Ct имеет поэтому бесконечное
множество решений.
§ 8. Полный интеграл и теория Гамильтона-Якоби
1. Образование огибающей и характеристические кривые.
Пусть дано дифференциальное уравнение с частными производными
= -^у A)
Пусть известно решение этого уравнения, зависящее от п пара-
параметров щ:
«=-?(*!.. •-, хт «!,..., с„). B)
для которого определитель
O = |?e<eJ#0 C)
в интересующей нас области пространства х, и х). Тогда огибающая
любого (п — 1)-параметрического семейства этих решений оказы-
оказывается снова решением. Для доказательства положим
*) Можно было бы по аналогии с гл. I, § 4, п. 2 общее поставить усло-
условие, чтобы матрица из п строк
имела ранг п.

106 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. II
где mt—произвольные функции (и—1) параметров tk. Для получе-
получения огибающей вычисляют tu..., tn_x из уравнений
как функции от х1г..., хп и подставляют в
и = ®(Ху,..., Хп, COj^j,..., tn_1),...f шп{^1>---> ^пг-и)-
Кривые .касания поверхностей, даваемых полным интегралом,
с огибающей окажутся характеристическими кривыми. Каждая
такая кривая касания принадлежит определенной системе значе-
значений t4, -~- и av Характеристическим свойством для кривой касания
является то, что вдоль нее сохраняются также соотношения D), из
которых для величин <oai получаются, с точностью до общего мно-
множителя пропорциональности X, некоторые постоянные значения Ьг'.
Эти равенства можно рассматривать как отнесение значениям xt и
а,- значений Ъг; на основании условия C) в окрестности рассматри-
рассматриваемой системы значений их можно однозначным образом разрешить
относительно величин хг. Мы получаем при этом функции
*i(fll an, *!,¦••. Ьп, X).
Подставив эти функции в <р(хи...., хп, а1У ...ап), получим для
каждой системы значений а{, bi пространственную кривую, пред-
представленную в параметрической форме с параметром ¦ X. Что все эти
кривые являются кривыми касания в нашем процессе образования
огибающей, вытекает из того обстоятельства, что путем подходящего
выбора функций <яг можно достигнуть того, ^чтобы Of и bi принимали
любые значения из рассматриваемой области. Таким образом, полу-
чаем для нашего полного интеграла семейство кривых касания, зави^
сящее от 2и параметров.
Эти кривые являются характеристическими кривыми дифферен-
дифференциального уравнения с частными производными A), а совместно
с величинами
они дают характ диетические полоски.
Геометричесю это получается из. определения наших кривых как
кривых касания. Для того, чтобы вывести это аналитически, продиф-
продифференцируем уравнения E) по параметру X, причем дифференциро-
дифференцирование по X будем обозначать штрихом:
С другой стороны, дифференцируя по аг дифференциальное уравне-
уравнение A), которое удовлетворяется функцией <?(xv..., хп, а^..., ап)

§ 8] ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОВИ 107
тождественно относительно jc^ и ait и принимая во внимание E),
имеем:
Д У^ = 0. G)
Fpj
Отсюда видно, что величины-—ур- удовлетворяют той же неодно-
родной системе линейных уравнений, что и х'.\ так. как определитель
этой системы не равен нулю, то
или, если обозначим отличное от нуля выражение—yb~ через р,
С другой стороны, дифференцируя уравнение A) по xjt имеем?
так как в силу (8)
Vn dxj ~ p h dxj Xi~ p Zk dXidxj Xi
1 V dpi y' — l n'
— jZi~dxJXi~~TPi'
i
то отсюда получаем:
' ^
Наконец, на основании уравнения (8)
В силу того, что параметр Л можно выбрать так, чтобы р = 1, мы
приходим к выводу, что характеристические уравнения B), § 7
(стр. 99) удовлетворяются на изучаемых нами кривых-J).
1) Заметим кстати, что из решения <р (х^ хп, alt—, яя), зависящего от
п произвольных параметров, мъжно получить новые решения методом образо-
образования огибающей еще и другими способами. Мржно, например, образовать
Огибающую /z-параметрического семейства B), причем получится особое
решение; это особое решение, как и в случае п = 2, можно также получить
с помощью процессов дифференцирования и исключения, из соотношений
F=0 и ?^г=0. Или иначе: из «-параметрического семейства B) можно
выделись с помощью произвольных функций какое-либо семейство, зави-
еящее»^от т параметров {т < я), и образовать огибающую полученного
семейства. Многообразия касания будут в этом случае характеристическими
многообразиями т измерений.

108 ОБЩАЯ ТЕОРИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. И
% Канонический вид характеристических дифференциальных
уравнений. Теорию дифференциальных уравнений с частными про-
производными первого ж>рядка можно привести к более наглядному
виду и упростить вычисления п. 1, если искомая функция и не
входит явно в дифференциальное уравнение. Этого можно всегда
достигнуть и для любого дифференциального уравнения за счет уве-
увеличения числа независимых переменных на единицу.
Для этой цели надо лишь (ср. гл. I, § 5, п. 2, стр.. 38) ввести
и = хп+1 в качестве независимой переменной и семейство решений
а = 6(xj, .... хп; с) писать в неявном виде у(хи х2, ..., хп+1) = с.
Вместо их. придется подставить — (i=l, ..., я)- Ясно, что
для искомой функции 9 получается теперь дифференциальное урав-
уравнение, не содержащее явно о.
Кроме того, выделим одну переменную хп+1 = х и будем считать
дифференциальное уравнение разрешенным относительно производной
от функции о по этому переменному. Если теперь вместо о писать
снова и, то можем, следовательно, ограничиться рассмотрением диф-
дифференциального уравнения
^^...,x^Pl, ...,pn)_0, j (/=1) ^ и) (9)
для функции и от я -}-1 переменных х, лг15 .. ., хп,
Система характеристических дифференциальных уравнений, если
писать х вместо s, причем ~г~ — 1, переходит в следующую систему;
3H"V IH-Я^ .0=1.2,..., ») (Ю)
и еще
Уже уравнения A0) сами по себе образуют определенную систему из
2и дифференциальных уравнений. После того, как -из них определены
функции xt(x) и Р{(х), остальные две функции р(х) и и(х) полу-
получатся из уравнений A1) при помощи простого интегрирования.
К дифференциальным уравнениям вида A0) приводят задачи меха-
механики и вариационного исчисления (ср., например, т. I, гл. FV, § 9,
а также § 9 этой главы). Система обыкновенных дифференциальных
уравнений
их "р? dx ^Ч-' AХ}).
соответствующая функции Н(х1г ..., хп, х, pv..., рй) от 2я -\- 1
переменных, называется канонической системой дифференциальных
уравнений.

§ 8) ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 109
Результаты этого пункта можно резюмировать так, что интегри-
интегрирование дифференциального уравнения с частными производными (9)
может быть приведено к интегрированию канонической системы с той
же функцией Н.
3. Теория' Гамильтона-Якоби. Одним из главных достижений
Якоби было обнаружение того факта, что эту связь можно обратить.
Собственно говоря, по обычной классификации интегрирование диф-
дифференциального уравнения с частными производными считается более
высокой задачей, чем интегрирование системы обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений. Но в математической физике часто при-
приходят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений канони-
канонического вида, которые оказываются сравнительно сложными и пред-
представляют значительные трудности для интеграции, между тем как
соответствующее дифференциальное уравнение с частными производ-
производными более доступно; например, допускает нахождение полного
•интеграла методом разделения переменных (гл. I, § 3). В таких слу-
случаях можно найти общее решение соответствующей характеристи-
характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений при
помощи процессов дифференцирования и исключения на основании
знания полного интеграла. Этот вывод, который уже содержится
в результатах § 4 и § 8 п. 1, в длучае канонических дифферен-
дифференциальных уравнений допускает особенно простую формулировку и
аналитическое доказательство, независимое от эвристического рас-
рассмотрения огибающих.
Прежде всего мы несколько по-новому определим понятие пол-
полного интеграла для нашего дифференциального уравнения. Для этого
заметим; что для всякого решения и дифференциального уравнения
выражение и-\-а с произвольной постоянной а тоже должно быть
решением. Теперь, если и = о(х1,..., хп, х; av...,dn) есть реше-
решение, зависящее от п параметров а{, притом такое, что определитель
то выражение
и = (?-{-а,
зависящее от и -^- 1 параметров, мы будем называть полным инте-
интегралом. Главное содержание излагаемой здесь теории образует сле-
следующая теорема, которая находится в полной аналогии к фактам,
Доказанным в п. 1 этого параграфа.
Если для дифференциального уравнения с частными производ-
производными
«ж+//(*„ • • •. хп, х, иХ1,..., uWr) = 0 (9)
известен полный интеграл
и = <? (*!,...хп, х, av.._,. ап) -f а,
то из уравнений
?oj = *<. <?xt*=Pt (i=l,..., я) (Щ

110 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ i ПОРЯДКА [ГЛ. it
с 2и произвольными параметрами а^ и bt получается 2п-пара-
метрическое семейство решений канонической системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений
dx
dx
J-f
Если представим себе, что из первых и уравнений A3) величины
xt выражены как функции от х и от 2я параметров аи Ьг, что
в силу условия A2) возможно, и что эти выражения для xt под-
подставлены во вторую группу уравнений A3), то получим функции
xi(x) и Pi(x)' зависящие еще от 2и параметров и представляющие
общее решение канонических дифференциальных уравнений. Следо-
Следовательно, -решение канонической системы дифференциальных уравне-
уравнений приводится к задаче нахождения полного интефала соответствую-
соответствующего дифференциального уравнения с частными производными.
Доказательство проще всего вести в виде простой поверки, по
образцу доказательства в п. 1 этого параграфа *). Для того, чтобы
показать, что функции .хгДх) и рДх), определенные по данному
выше правилу, удовлетворяют уравнениям
dxi _
dx —
dx
¦=-h^
A0)
продифференцируем уравнение <?Oi = 6j по х, а уравнение a^-j
-{-//(¦Хч> x'j ож) = 0 по as- и получим следующие 2и уравнений:
_dV_ у ^ч» дхк
дх dat ' M дхк dat дх '
= 0.
A4)
Вследствие неравенства нулю определителя |oofrCi| из этих уравнений
сразу вытекает первая группа доказываемых соотношений. Для дока-
доказательства второй группы соотношений дифференцируем уравнения
<?x. = Pfiio х, а уравнение <рх-f- H(xt x, фа-Р^О по xt; получим
следующие уравнения:
дх
0 =
ft—1
dxtdxk дх
'р/с дхкдхг
A5)
1) Существенное отличие приводимого здесь доказательства от доказа-
доказательства п. 1 заключается в сохранении несимметричного спосрба записи.

§ 8] ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 111
из которых в силу уже доказанного равенства —^ = Нр. и вытекает
вторая группа соотношений A0).
4. Пример. Задача о двух телах. Движение двух материальных
точек Р1 и Р2, взаимно притягивающихся по закону тяготения
Ньютона, описывается дифференциальными уравнениями
т2у2 = Uyo_,
A)
где
Так как движение, как это нетрудно обнаружить, происходит
постоянно в одной плоскости, то можно выбрать эту плоскость за
плоскость х, у нашей системы координат и положение точки Р2
принять за начало .координат. «Для координат х, у материальной
точки Pj мы получим тогда уравнения движения
^ B)
где A2 = x2m2-
Наконец, 'после введения функции Гамильтона
tf=-(p2-f?2) ** C)
эта система. B) переходит в систему канонических дифференциаль-
дифференциальных уравнений
х = Нр, р = Их, 1
для величин х, у, р — х, q=y. Интегрирование этой системы экви-
эквивалентно задаче отыскания полного интеграла дифференциального
уравнения с частными производными1)
Переход к полярным координатам г, & преобразует наше уравне-
уравнение в следующее:
Нетрудно обнаружить, что это уравнение имеет полный интеграл
^_|.ф, G)
1) Ср. гл. I, § 3, п. 1, пример 4.

112 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ У?АВНЕНИ# 1 ПОРЯДКА [ГЛ. it
зависящий от параметров a, J3, f. Ha основании теоремы п; 3
отсюда получается общее решение системы D):
нли в развернутом виде:
»—
dp
''о
(8)
Второе, из этих уравнений дает траекторию, а первое определяет
движение материальной точки по этой кривой в зависимости от вре-
времени t.
Интеграл во втором из уравнений (8) легко вычислить с. помощью
подстановки р' = —, и уравнение траектории (при надлежащем вы-
выборе г0) получится в явном виде
,== — arcsin
или, если ввести для сокращения величины
(8а)
в —»„
• arcsin ¦
т. е. окончательно уравнение траектории примет следующий вид:
— esin(d —
(8Ь)
Следовательно, траектория будет эллипсом, параболой или гипер-
гиперболой, смотря по тому, какое из соотношений: s<l, e = l или
s > 1 имеет место *).
!) По поводу исследования уравнений (8) ср., например, Р. К у р а и т,
Курс дифференциального и интегрального исчисления, ч. II, стр. 318
и следующие, М.-Л., 1931.

§ 8] ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 113
5. Пример. Геодезические линии на эллипсоиде. Дифференциаль-
Дифференциальные уравнения геодезических линий b = k(s), v = v(s) поверхности
X = X(U, V), у=у(и, V), 2 = Z(U, V)
согласно т. I, гл. IV, § 9 могут быть записаны в нижеследующем
каноническом виде:
Причем
В соответствии с п. 3 рассмотрим принадлежащее системе (9) диф-
дифференциальное уравнение с частными производными
имея в виду найти полный интеграл этого уравнения. Полагая
получим для 6 уравнение*)
Так как нас интересуют лишь' интегральные кривые системы (9),
а не частный вид параметрического представления этих кривых,
одновременно определяемый системой,- уравнений (9), то достаточно
найти однопараметрическое семейство решений fy(u, v; а) уравне-
уравнения A1); из этого семейства в силу основной теоремы п. .3 получится
двухпараметрическое семейство геодезических линий с уравнением
-# = const. A2)
да v '
В частном случае трехосного эллипсоида
Справедливо, как это легко проверить, следующее параметрическое
представление (ср. т. I, стр. 217):
v 1 Ag("~ д)(р—д) ^
X = I/ —л .¦ . —г— .
/ ьш — о) la —
Ь)
Y-
с (« —с) (у —с)
A3)
г) Ср. гл. II, § 9, п. 3.

114 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. И
Отсюда получаем:
? = (« — v) А (к),
F = 0, 1 A4)
G = (y — u)A(v), J
где для сокращения введено обозначение
к ' 4 {а — и)(Ь — и)(с — и) '
Для функции <^{и, v) получается, стало быть, дифференциальное
уравнение с частными производными
A5)
Полагая &(и, v)—f(u)-j-g(v), тотчас же получаем семейство, ре-
решений
Ща, «;«)=/ V А(и){и + а) du -f J /А (о) (о-}-a) А». A6)
Отсюда на основании уравнения A2) вытекает нижеследующее
уравнение геодезических линий на эллипсоиде:
§ 9. Теория Гамильтона и вариационное исчисление
Теория Гамильтона-Якоби дифференциальных уравнений с част-
частными производными первого порядка теснейшим образом связана
с классическим вариационным исчислением. Существует полная
эквивалентность между теорией таких дифференциальных уравнений
с частными производными первого порядка, в которые искомая
функция не входит явно, и вариационной задачей следующего типа:
t
F(ut, и2, ..., им Kj, и2, ..., к„, s)ds = O,~ A)
где ^(s), u2(s), ..., un(s) — п функций параметра s, точка обо-
обозначает дифференцирование по s, a F(u^,u4,$)—дважды непрерывно
дифференцируемая функция своих 2га -j- 1 аргументов в рассматривае-
рассматриваемой области их изменения. Эти связи мы здесь вкратце изложил* и
при этом вновь получим и углубим результаты § 8.
1. Дифференциальные уравнения Эйлера в канонической
форме. Экстремали нашей вариационной задачи (ср. т. I, гл. IV)
даются системой га эйлеровых дифференциальных уравнений второго
порядка для функций к, (s):
iFK~\ = °. (v=L •-.. я)- B).
fto нашу вариационную задачу можно заменить (ср. по этому поводу
т. I, гл. IV, § 9) другой эквивалентной канонической вариационной

§ 9] -ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 115
задачей, которая приводит к системе 2га канонических дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка для экстремалей. Для этой
цели мы вводим с помощью преобразования Лежандра «импульсы»
Мы предполагаем, что' из этих уравнений C) в рассматриваемой
"области переменных м„ м„ s возможно выразить величины ич как
функции величин vs, и,,, s, и с этой целью налагаем требование
где выражение в левой части означает определитель порядка я с эле-
ментами —г——. При этом предположении система уравнений
ди., diip
и,,
E)
представляет преобразование Лежандра и обратное ему, причем и.,
и s играют роль параметров, не подвергающихся преобразованию
(ср. гл. I, § 6). Из E) непосредственно получаем дальнейшее соот-
соотношение
Дифференциальные уравнения Эйлера переходят при этом.в канони-
каноническую систему
v., — — Lu , )
М G)
j
«* = ¦ -v
С принадлежащей вариационной задаче «функцией Лежандра-i
L(vu ..., vn; uv ..., ип\ s). Эти канонические дифференциальные
уравнения принадлежат в качестве эйлеровых уравнений задаче,
эквивалентной первоначальной вариационной задаче («киноническяя
форма вариационной задачи») (ср. т. I, гл. IV, § 9)
8/.== 8
или
t
J) В этом и следующем параграфе, если нет особых указаний, суммиро-
суммирования всегда распространяются от 1 дсн

116 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [гЛ„ II
причем 2л функциональных аргументов и„ о, являются функциями
параметра s.
Переменные uv и v4 называются канонически сопряженными.
Следует заметить, что канонического преобразования не суще-
существует, если функция F—однородная функция величин uv первого
измерения1) (см., однако, п. 3), например:
• v = l
Мы подчеркиваем, однако, что в том случае, когда условие D)
выполнено, переход от эйлеровой формы уравнений экстремалей
к канонической на основании формул E) непосредственно обратим,
т. е. всякому подынтегральному выражению вариационной задачи
F(mv, к.„ s) соответствует функция Лежандра /-(©„, kv, s) и
обратно.
Наша каноническая система G) дифференциальных уравнений
Эйлера совпадает с характеристической системой дифференциальных
уравнений, принадлежащей дифференциальному уравнению с частными
производными первого порядка
Js + L(/V и,, s) = 0 (8)
для неизвестной функции J{uv ..., un,..s). В п,п. 2 й 4 мы уви-
увидим, что это уравнение имеет непосредственное значение для вариа-
вариационной задачи.
2. Геодезическое расстояние или эйконал, его производные и
дифференциальное уравнение с частными производными Гамиль-
тона-ЯкобиГ Предположим теперь, что в рассматриваемой области
пространства л-f-1 измерений переменных mv, 5 любые две точки:
В с координатами у1э ..., у.п, х и А с координатами д1г ..., qn, t
могут быть однозначным образом соединены экстремалью. В таком
случае экстремали, пронизывающие эту область, можно представить
с помощью функций
kv=/v(s; xv, x; q4, t), (9)
а соответствующие импульсы о, — с помощью функций
»„ = ?,(^ *,. *=; 9-и 0 ' (9а)
с величинами xv, t, д„ t в качестве параметров. В частности, для
точек А и В
л=ЛС; *,. *; 9н, 0, |
*•, =/Л~; "•-,. '; ^v. 0-1
Направление экстремалей в этих точках дается функциями
ч\ =/v if; \, -; ?»i 0. |
*) Определитель в условии D) в этом случае тождественно равен нулю.

§ 9] ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 117
причем точка • означает дифференцирование по первому аргументу
(дифференцирование вдоль экстремали). Эти величины A1) являются
функциями 2га-{-2 переменных t, q4, т, xv,. так же как и импульсы ¦»„
в конечных точках:
A2)
р., — я, (*; yvт; ?,> 0 =
— это так называемые функции пдля.
Если подставить функции (9) в наш вариационный интеграл
j = j F (и.„ и,, ^) <fe = J B *>Я — I (г>„ кч> s)) ds,
т. т
то Этот интеграл перейдет в функцию
от 2п-\-2 переменных т, и.„ t, q^.
Эту функцию называют геодезическим расстоянием точек В и А,
принимая во внимание, что вариационную задачу можно рассматри-
рассматривать как обобщение задачи о кратчайшем пути в пространстве. Функ-
Функцию J (t, ^v, t, *„) можно также истолковать оптически, рассматривая
s как время и полагая
v (и„, kv, s)
причем тогда v истолковывается как скорость света в пространстве м„
В ее зависимости от положения, направ тения и времени. Если теперь
принять согласно принципу Фер"а о кратчайшем времени распро-
распространения света (ср. т. I, гл. IV, § 1), что световые лучи являются
экстремалями' наш?й задачи, то функция J означает время, которое
требуется свету для того, чтобы пройги от точки В до точки А по
своему пути. При таком истолковании функцию J называют эйко-
эйконалом.
Поставим себе задачей выразить производные эйконала J по своим
2я-{-2 независимым переменным с помощью функции F.
Результат выражается в виде следующей теоремы: '
Частные производные эйконала выражаются формулами:
Jt=>-L(p*,q4,f) =
J —ЬЫ у. тЧ F(v. х t14-Tv
A3a)

118 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. II
или в сжатом виде,
87 = - Z.(?,, q,, 2 2
причем <7.„ к„ р.„ п., надо брать из формул A1) и A2).
Быстрее всего можно приттй к этим формулам при помощи кано-
канонического представления вариационной задачи. Если рассматривать
2л ^\- 2, координаты начальной точки В и конечной .точки А в виде
каких-либо непрерывно дифференцируемых функций параметра а и
дифференцирование по этому параметру обозначать символом 8, то,
принимая во внимание, что экстремали удовлетворяют каноническим
дифференциальным уравнениям G), немедленно получаем:
Ы — B kf, — /- (ft, ?,. О) 5^ " B «,«»—? fa» Kv. т)) от +
—CS ?vP,—-i<>« #,> ^o^-CS^—ifa
Следовательно,
Но из формул A0) непосредственно следует:
следовательно,
87 — Ь(р„ q,,t)U+L(«„ х.„ г)8^ + 2jp,8^, — 2*
Это соотношение и выражает нашу теорему. " %
Из уравнений A3) можно исключить импульсы р„. Мы тогда
получим для геодезического расстояний J,~kclk функции конечной
точки А, дифференциальное .уравнение Гамильтона-Якоби:
Jt + L(Ja4,q4,f)-=O,- A5)
которое. называется также уравнением эйконала. Таким .образом,
установлена связь уравнения (8) с вариационной задачей, отмеченная
в п. 1. Как уже было указано в упомянутом месте, характери-
характеристические уравнения дифференциального уравнения A5) являются как
раз нашими каноническими дифференциальными уравнениями; следова-

§ 9J ТЕвРИЯ ГАМИЛЬТОНА И ВАРИАЦИвННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 119
тельн©, характеристики уравнения Гамильтона являются зцсстре-
малями канонической вариационной задачи.
3. Однородные подинтегральные выражения. Геодезические
линии. И в исключительном случае, когда F—однородная функция
первого измерения относительно величин к.„ можно также провести
соответствующие рассуждения. На этот раз
^0' атакже I==-
и преобразование Лежандра к каноническому виду отказывается сло-
сложить. Однако, в этом случае находим, как выше в п. 2,
А =0 / = F.
причем теперь выражения F. —однородные функции нулевого изме-
измерения относительно q?. Отсюда можно выразить отношения величин q,,
через производные Jq , и соотношение однородности
дает здавь замену дифференциального уравнения с частными произ-
производными Гамильтона. #
В качестве примера рассмотрим случай геодезических линий
•'.V-
причем коэффициенты a.tv, квадратичной формы Q являются функ-
функциями от «и ..., ип. Имеем:
или
где величины А^ образуют матрицу, взаимною1 с матрицей а ;
Умножая на F- "=••/_ и суммируя по v, получим в силу условия
однородности, уравнение
в качестве дифференциального уравнения с частными производными
Гамильтона для геодезического расстояния /. Для величины Г = J2
получится, дифференциальное уравнение с частными производными

120 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. II
Например, в евклидовом случае F=F 2 м* имеем Дифферен-
Дифференциальное уравнение
!/«.='¦
Тот же общий результат A6) мы получаем для .задачи о геодези-
геодезических линиях, если s не входит явно в F, следующим образом.
В дифференциальных уравнениях Эйлера
— F- — F = 0 F —
или
мы выбираем параметр s так, чтобы было Q = F2 — 1. Дифферен-
Дифференциальные уравнения Эйлера принимают тогда более простой вид
d
— п. —п =0 (7а>
US Wy ^ч '
Это линейная система дифференциальных уравнений, и функция Q
является ее интегралом J), в силу чего и возможно ставить дополни-
дополнительное требование Q= 1 без риска впасть в противоречие. Новые
дифференциальные уравнения A7а) можно теперь, преобразовать к ка-
каноническому виду, ибо они относятся уже не к однородному* выра-
выражению первой степени |^Q, а к квадратичному выражению Q.
Каноническое преобразование с учетом однородности функции Q дает,
(пишем Я вместо L):
• Иг,
A8)
Из дополнительного условия Н—1 вытекает теперь непосредственно
уравнение
эквивалентное напиошшому выше уравнению A6).
]) Доказательство. Вдоль экстремали Q становится функцией от s,
производная которой -р- = 2^ы "м + 2^«-Л'" Н° пРавая часть в сил}-
соотношения однородности равна
[на основании A7а)]. Следовательно, -—- — 2-^-, откуда -~-~0.

§- 9] ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 121
4. Поля экстремалей и дифференциальное уравнение Гамиль-
Гамильтона. Возвращаемся к рассмотрению геодезического расстояния J,
введенного в п. 2. Если закрепить начальную точку В, то / стано-
становится функцией л-J-l координат дч, t одной'лишь конечной точки,
удовлетворяющей дифференциальному уравнению Гамильтона A5); мы
предполагаем при этом, как уже было подчеркнуто, что конечная
точка А пробегает область, в которой экстремали В А, а, следова-
следовательно, и функции поля, введенные в формулах A1), A2), одно-
однозначно определены. Такую область мы будем называть полем.
Понятие поля и соответствующей ему функции п-\~ 1-го пере-
переменного (геодезическое расстояние), удовлетворяющей уравнению
Гамильтона, допускает существенное обобщение. Для этой цели мы,
кроме геодезического расстояния от неподвижной точки, вводим еще
понятие геодезического расстояния от постоянной начальной по-
поверхности
К этому понятию геодезического расстояния в поле мы приходим
следующим 6"бразом: закрепим на время конечную точку А экстре-
экстремали и будем искать начальную точку В на заданной поверхности
Т(у.„ ...,*„, г) = 0 A9)
под условием, чтобы геодезическое расстояние J(B, А) было стацио-
стационарно по отношению к вариации точки В. Подставляя вместо вариа-
вариаций bq4, Ы конечной точки А значения нуль, получим из нашей
формулы A4) следующее условие для начальной точки В:
п
L (~v, *,, т) fc — 2 «»Ч = 0. B0)
Это условие должно выполняться, как бы ни вариировалось поло-
положение начальной точки на заданной поверхности Г=0, т. е. это
уравнение должно быть следствием уравнения A9), а, следовательно,
и уравнения
Это равносильно существованию нижеследумчцих условий, так назы-
называемых услЬвий трансверсальности (ср. т. 1, гл. IV, § 5) с функ-
функцией- L — ?(«„ к„ 1):
-/.:*, = Тт:7;ч B1)
«ли с F = F.(*4, •/„ т):
07-2^):FbeT':7v B1a>
Это условие трансверсальности есть соотношение, которое должно
существовать между координатами поверхности Г=? 0 и производ-
производными х, или соответственно канонически сопряженными величинами rv
искомой экстремали. Экстремаль, удовлетворяющую в точке В уело-

122 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. Н
вию B1), мы будем называть экстремалью, трансверсальной ft поверх-
: нести Т~0, или шрансверсалью этой поверхности. Если каждой
точке такого куска поверхности отнести трансверсаль, to эти транс-
версальные кривые образуют семейство транс'версалей, зависящее
от п параметров.
Предположим теперь, что в каждой точке рассматриваемого куска
поверхности Т можно построить такую трансверсально стоящую
экстремаль и что семейство этих экстремалей однозначно покрывает
некоторую о'бласть, примыкающую к этому куску поверхности, или,
как говорят, образует поле экстремалей. В таком случае каждой
точке А этого поля соответствует однозначно точка В на поверх-
поверхности Г=0. Точно так же в этом поле однозначно определены
величины поля q4, а также величины qs для экстремалей, как функции
точки. Следовательно, значение эйконала от В до А можно рассма-
рассматривать как функцию координат q4, t конечной точки А. Этот эйко-
эйконал представляет собой стационарное геодезическое расстояние от
точки А до поверхности Т~0. Мы будем его называть геодезиче-
геодезическим расстоянием точки А от поверхности.
Рассмотренный сначала случай неподвижной начальной точки В
является предельным случаем, который получается, если начальная
поверхность (например, сфера) стягивается в точку В.
. Нетрудно убедиться,- что в частном случае подинтегрального выра-
выражения F—V 2?' геодезическое расстояние оказывается в точности
евклидовым расстоянием' по прямой линии. В этом случае поле экстре-
экстремалей совпадает с полем нормалей поверхности Т—0, т. е. оно
образовано «-параметрическим семейством прямых специального вида.
Следовательно1, общее понятие поля экстремалей есть лишь обобще-
обобщение этого элементарно-геометрического понятия в том направлении,
что место евклидова расстояния, занимает геодезическое расстояние,
определенное с помощью нашей вариационной задачи, а место крат-
кратчайшего прямолинейного пути занимают соответствующие экстремали.
В виде естественного обобщения положения дел в специальном
случае евклидова расстояния, поверхности J — const, называют семей-
апвом параллельных поверхностей вариационной задачи.
Так как для этого геодезического расстояния, в силу условий
трансверсальности B1) и B1а), справедливо соотношение B0), то для
геодезического расстояния от поверхности получаем из формулы A4)
•вновь то же самое соотношение, что и при неподвижной начальной
точке В:
2 <22>
Мы приходим, следовательно, к следующему общему результату:
Если q4 ~ q4(qv .. .,qn,f) и/?„ = /?,(qt,..., qn, f)—величины поля
в поле экстремалей, трансверсально ж гладкой поверхности *1Г=0
{т. е. с непрерывно дифференцируемой функцией Т), то в этом поле

§ 9] ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 123
частные производные геодезического расстояния J*=J(qv ..., fn><0
от поверхности Г—0 даются формулами
A3а)
, яч, о—2 ?л, *=-l<p« я* о,
Само геодезическое расстояние удовлетворяет дифференциальному
уравнению с частными производными Гамильтона (уравнению эйко-
эйконала)
+ W Я„ 0 = 0. A5)
Это утверждение связано с предположением, что наше построе-
построение поля, на котором покоится понятие геодезического расстояния,
было возможно. Исключение, когда это построение поля невозможно,
представляет тот случай, когда начальная поверхность сама образована
трансверсальными к ней экстремалями, когда последние, следовательно,
лежат на начальной поверхности. Однако, вполне возможно, чтобы
тр'ансверсальные кривые касались начальной поверхности, не совпадая
с ней, и в этом случае они все же могут служить для однозначного
построения поля, примыкающего с одной стороны к начальной
поверхности. В этом случае начальную поверхность называют каусти-
каустической поверхностью. Изложенный выше результат остается в силе
и в этом случае.
Формулируем теперь же обратную теорему:
Если J(qu..., qn, t) есть решение дифференциального урав-
уравнения С/ частными производными A5) Гамильтона, то существует
поле экстремалей, экстремали которого трансверсальны ко всем
поверхностям некоторого семейства J = const., считая началь-
начальной поверхность 7 = 0. Функция J означает тогда геодезическое
расстояние от начальной поверхности в этом поле экстре-
экстремалей.
Для доказательства этой обратной теоремы будем исходить
из заданного решения J дифференциального уравнения A5) и опре-
определим в рассматрийаемой области п величин поля рч при помощи
уравнений
Из уравнения A5) вытекает тогда
Jt= — Hpv q,, t).
Теперь мы определим семейство кривых, зависящее от 'п параметров,
с -помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений'
причем в правую часть вместо величин pv надо подставить значения
Pi = JqA°l'¦ ¦ •> Ят 0-

124 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. II
Вдоль интегральной кривой этой системы дифференциальных уравнений
величины рч становятся функциями параметра t, и дифференцирование
по этому параметру дает
С другой, стороны, дифференцируя по q4 дифференциальное урав-
уравнение A5), получим тождество
h,t "Г
а, следовательно
Эти уравнения совместно с прежними #v = Lp характеризуют наше
семейство кривых» как «-параметрическое семейство экстремалей.
Заменяя в условиях трансверсальности B1) г, через Jq и х„, т
через. q.t, t, a 7* через Jfai,- - ¦, ?»> 0. обнаруживаем непосредственно,
что семейство этих экстремалей трансверсалыю ко всем поверхностям
семейства J— const.
5. Конус лучей. Построение Гюйгенса (Huyghens). Рассу-
Рассуждениями этого параграфа установлено, что, обладая решением вариа-
вариационной проблемы, можно построить решения дифференциального
уравнения с частными производными Гамильтона, зависйщие еще от
произвольной функции, именно — решения, обращающиеся в нуль на
произвольной поверхности Т'= О, и что тем самым мы исчерпаем
все возможные решения этого дифференциального» уравнения. Тот
частный случай, когда начальная поверхность вырождается в точку,
т. е. когда J становится геодезическим расстоянием от неподвижной
точки, приводит к тем решениям дифференциального уравнения
с частными производными, которые мы раньше обозначили термином
интегральный коно.д; в оптическом истолковании ему соответствует
нонус лучей. Соответствующие поверхности 7 = с = const, естественно
называть геодезическими сфер-ми.
Заметим, что построение огчбающих Гюйгенса здесь также полу-
получает весьма естественное освещение. Желая построить для данной
поверхности Т— 0 семейство параллельных поверхностей J—с—const.,
мы можем рассматривать это семейство параллельных поверхностей
как огибающие геодезических сфер радиуса с, описанных вокруг
точек В исходной поверхности как центров. Таким образом устана-
устанавливается связь с теорией полного интеграла^
6. Инвариантный интеграл Гильберта (Hilbert) для предста-
представления эйконала. Вычисление производных эйконала J для поля
позволяет получить для самого эйконала выражение в виде не за-
зависящего от пути криволинейного . интеграла от полного дифферен-
дифференциала, соответствующего этим производным. Рассмотрим в поле про-
пространства и„ S произвольную кусочногладкую кривую С, заданную

§ 9] ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 12S
с помощью функций «„($) с параметром s и производными и/ (s),
которая соединяет точку В поля с переменной конечной точкой А.
Производные и импульсы, относящиеся к точкам поля и соответствую-
соответствующие его экстремалям, как функции от «„ s, мы будем обозначать, как
в п. 1, через и„, v4.
Для какой-нибудь функции J точки и„, s справедлива при любом
пути интегрирования С между точками В к А следующая формула:
А
J(A)-J(B)=> f(SV^ + W <23>
в "
В качестве функции J выберем специально расстояние точки от
начальной поверхности Г—0 в нашем поле. Если, в частности,
точка В лежит на поверхности Г=0, то J(B) = O. Если внести
вместо частных производных функции J их выражения A3а), то полу-
получим для эйконала следующее интегральное выражение:
А
Jfa, О—Л'--, *)= (Ч/Ч«,, «,, *) + 2(«/ — u,)Fu)ds B4)
в
или
А
Jfa, f) — J{K., т)= ГB^< — Ц*„ «„ s))ds. B5)
в *
Подчеркнем еще раз: величины нч' означают производные вдоль кри-
кривой С, между тем как ич и ¦», — это определенные ранее величины
поля, т. е. производные и импульсы, которые принадлежат в рас-
рассматриваемой точке проходящим через нее экстремалям поля. Эти
величины поля следует при этом рассматривать как заданные функции
координат точки поля.
«Независимый интеграл Гильберта» можно, обратно, охаракте-
охарактеризовать следующим образом. Пусть v^(uv..., un, t) (v= 1,..., n) —
функции, заданные в некоторой области п -\- 1 -мерного пространства,
А
притом такие, что Г (^v^u/ — ?(•»„, и„, s))ds между двумя точ-
в
ками В и А не зависит от пути; тогда функции v.)(u1,..., un, f)
являются величинами поля некоторого поля экстремалей, и значение
криволинейного интеграла, как функции конечной точки А, есть при-
принадлежащая этому полю экстремалей функция J, выражающая геоде-
геодезическое расстояние.
Доказательство следует почти непосредственно из замечания, что
Для такого не зависящего от пути криволинейного интеграла, на
основании элементарных теорем интегрального исчисления, должны
быть справедливы в конечной точке Л соотношения

126 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. it
Следовательно, такой интеграл, как функция верхнего предела, удо-
удовлетворяет дифференциальному уравнению Гамильтона A5), откуда
и вытекает "наше утверждение, со ссылкой на теорему п. 4, согласно
которой всякое решение дифференциального уравнения Гамильтона
выражает геодезическое расстояние в некотором поле экстремалей.
Итак, мы. узнали, что существует полная» эквивалентность между
дифференциальным уравнением с частными производными Гамильтона,
построением полей экстремалей' и принадлежащих им функций, выра-
выражающих геодезическое расстояние, с одной стороны, и отысканием
не зависящего от пути криволинейного интеграла типа B4),—
с другой.
7. Теорема ГамильтЪна-Якоби. Из интегральной формулы Гиль-
Гильберта получается новое доказательство и соответственно новое
освещение теоремы Якоби (ср. § 8)..Если J{q^...,'qn, t, au..., ап)
есть решение дифференциального уравнения с частными производ-
производными Гамильтона, притом такое, что определитель \Ja q \ не^исчезает,
то уравнения Ja^ =* *„ и Jq=p,t (у = 1,..., п) дают семейство решений
канонических уравнений, зависящее от 2« параметров at и Ьг.
В самом деле, функции, J соответствует поле экстремалей, зави-
зависящее от параметров alf..., an, и в этом поле экстремалей функ-
функция J выражается интегралом Гильберта B4). Дифференцированием
последнего под знаком интеграла получаем формулу
jOu. - Г S (в/ —«,) /W&. B6>
которая, само собою разумеется, также не зависит от пути инте-
интегрирования. Если теперь точка А движется из некоторого начального
положения Ао вдоль экстремали поля, соответствующего системе
значений аг, т. е. если соответствующая дуга кривой С есть экстре-
экстремаль, то ы/ ¦= к„ подинтегральное выражение на этой дуге исчезает
и мы имеем:
Ja,^K, B7)
где ?v — постоянная, а именно — значение интеграла между точками
В и Ао. Обратно, если уравнениями Ja. =b., определяется семейство-
кривых дч (t; av, &v), что в силу условия | Ja ] ф 0 для некоторой
окрестности рассматриваемой системы значений at, bt возможно лишь
единственным образом, то эти кривые должны быть экстремалями.
Действительно, на дуге кривой С этого семейства подинтегральное
выражение в B6) должно, обращаться в нуль; получается линейная
однородная система уравнений для разностей и/ — щ с определите-
определителем \F^aJ. С другой стороны, согласно п. 4 % — F^ =УМ/ Сле-
Следовательно, этот определитель тождеегвенно равен определителю

§ 10] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ 127
Мяо 1> а потому согласно условию не исчезает. Следовательно,
й./ — «V —°> и эти кривые С являются экстремалями.
В следующем параграфе мы придем к другому доказательству
теоремы Гамильтона-Якоби.
§ 10. Канонические преобразования и приложения
1. Каноническое преобразование. Каноническая форма характе-
характеристических дифференциальных уравнений вариационной задачи и, со-
соответственно, дифференциального уравнения с частными производными
первого порядка образует исходный пункт важной для приложений тео-
теории канонических преобразований. Пусть даны функция L (v4, н„ s) и
соответствующая каноническая система дифференциальных уравнений
u:=Lv
:1
«v = —.Ц- J
Спрашивается, возможно ли и как преобразовать канонически сопряжен-
сопряженные переменные ¦»„, ич к новым переменным
TJ., = </],(«!,...,«„; vlt ...,vn); (bv== и,(«!,.. ..,«„;vu ...,•»„) B9)
и из функции L(i>v, и.„ s) .получить новую функцию Л (у\ч, tov, s)
так, чтобы решениям канонических дифференциальных уравнений ,B8)
соответствовали решения новой системы канонических дифференциаль-
дифференциальных уравнений
!-вА*' 1 • (зо)
¦4, = —До,- 1
Такое преобразование переменных, а также канонической системы
дифференциальных уравнений называется каноническим преобразо-
преобразованием. Проще всего получить канонические преобразования, исходя
из вариационной задачи. В самом деле, наше требование будет
выполнено, если в результате преобразования B9) подинтегралыюе
выражение одной канонической вариационной задачи перейдет в под-
интегральное выражение другой канонической вариационной задачи
с точностью до слагаемого выражения типа дивергенции (ср. т. I,
гл. IV, § 3, п. 5), которое н^, оказывает влияния на уравнения Эйлера.
Этого можно, например, достигнуть, если выбрать преобразование B9)
так, чтобы соотношение
выполнялось тождественно относительно величин u.t, cov, ич, <ач с про-
произвольно выбранной функцией
РГ= W(u4, о)„ s)
и

128 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВЙЕНИЙ 1 ПОРЯДКА [ГЛ. И
Наше уравнение C1) принимает следующий вид:
и так как оно должно удовлетворяться тождественно в величи-
величинах и„ ю„ иу, ю„ то получаем следующую "теорему. Из соотношений
C2)
Л = .
получается каноническое преобразование уравнений B8) в уравне-
уравнения C0), зависящее от произвольной функции W(u4, <»v, s). При
этом, • разумеется, надо под конец ввести в выражение Л, в качестве
независимых переменных,' вместо v4 и и„ величины т], и tov.
К другим формам канонических преобразований приходим со-
соответствующим образом, отдавая предпочтение другим переменным
и исходя из втврой формы канонической вариационной задачи, дан-
данной в §9, п. 1, стр. 115. Пусть, например, W—произвольная функция
от v.t, cov, s. В таком случае уравнения
C3)
опять дают каноническое преобразование, если в функцию Л ввести
окончательно в качестве независимых переменных величины tov, -/].,.
Точно так же получим еще две соответствующие формы для канони-
канонических преобразований с помощью произвольных функций
(v,, -/]„ s).
Эти функции всегда характеризуются тем, что они зависят от одного
ряда старых и одного ряда "новых канонических переменных.
2. Новое доказательство теоремы Якоби. С помощью получен-
полученного результата Ьиожно.дать простое новое доказательство теоремы
Якоби^ Для решения заданных канонических дифференциальных урав-
уравнений B8) мы попытаемся определить такое каноническое преобра-
преобразование с функцией Л, чтобы эта функция тождественно исчезала,
следовательно, чтобы на каждой интегральной кривой обе новые
канонически сопряженные переменные сохраняли постоянные зна-
значения.
Эту функцию Л мы найдем на основе предположения, *%то мы
располагаем решением J (нп..., ип; аи..., ап, s) дифференциального
уравнения Гамильтона Js-\-L(JUs, и.„ s) = 0, зависящим, кроме неза-
независимых переменных, еще от п параметров ах,..., ап и для
которого |/avO|Jbl B рассматриваемой области не равен нулю. И вот,

§ 10] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ 129
для определения канонического преобразования мы в качестве
производящей функции W(u4, tov, s) выбираем функцию 7(н„ ю„, s) и
согласно формулам C2) получаем каноническое преобразование
dj dJ . , , ч г dJ
Так как наше дифференциальное уравнение удовлетворяется тожде-
тождественно относительно величин 1», = ^—, и,, и s, то, действительно,
теперь Л = 0. Следовательно, новые канонические дифференциальные
уравнения будут
и их решения буду i
o)v = a^ = const,
Ч, — 4Ч = b., — const,
что И выражает теорему Гамильтона-Якоби.
3. Вариация постоянных (каноническая теория возмущений).
Дальнейшим приложением является важная -для астрономии и атом-
атомной физики каноническая теория возмущений. Допустим, что функ-
функция L имеет вид суммы
L в Lt (v,, и„ s) + L2 (v,, и,, s) C4)
и что интеграция канонических дифференциальных уравнений с функ-
функцией Lj уже произведена, т. е. что мы уже располагаем полным
интегралом J («v, ач, s) дифференциального уравнения с частными про-
производными.
Преобразуем теперь канонические дифференциальные уравнения
задачи с функцией L с помощью канонического преобразования,
причем в качестве производящей функции вместо W мы выберем
7(tov, hV) s). Другими словами, введем канонически сопряженные пере-
переменные при помощи формул
и новую функцию Лежандра
Если бы «возмущающий член» L2 отсутствовал, т. е. равнялся
нулю, то согласно п. 2 новые канонически сопряженные переменные
сохраняли бы постоянные значения на всякой интегральной кри-
кривой нашей системы дифференциальных уравнений. Вообще же,

130 ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ГЛАВЕ {ГЛ. tt
в силу наличия возмущающего члена Lg, они будут удовлетворять
каноническим «уравнениям возмущения»
<^> * —& <35>
В некоторых случаях таким расщеплением задачи интеграции
достигается значительное упрощение.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
§ 1. Новое рассмотрение характеристических многообразий
В этом параграфе мы дадим нашей теории задачи Коши несколько
иное освещение, причем мы придем к выводу характеристического
условия для характеристического многообразия, имеющему то пре-
преимущество, что его удобнее перенести на дифференциальные урав-
уравнения с частными производными высших порядков.
1. Предварительные формальные замечания по поводу диф-
дифференцирования в пространстве п измерений. В некоторой области
независимых переменных xv..., хп пусть дана функция u.(xlt.. .,х„),
обладающая непрерывными производными, и точке Р с коорди-
координатами х1,...,хп пусть отнесены числа аи...,ап, рассматриваемые
совместно как вектор а, для которого а\ -\- с% •+*• • • -(- я? Ф 0. Че-
Через точку Р можно провести прямую линию «параллельно вектору а»
при помощи параметрических уравнений
Ei = *! + <*!*, 52==JC2-f <y,..., tn*=* xn-{-ans
с параметром s. Производной функции и по * или также производ-
производной функции и по «направлению», указанному вектором а, мы будем
называть выражение
Следовательно, символ
обозначает в каждой точке дифференцирование по направлению век-
вектора а1).
Пусть в «-мерном пространстве задана поверхность В п—Г изме-
измерений уравнением <в (xv..., хи) = 0 и и(х1г..., хп)—функция, имею-
имеющая непрерывные производные на этой поверхности и в ее окре-
окрестности. Пусть, далее, Р есть точка этой поверхности, в которой
1) Если величины щ являются непрерывно дифференцируемыми функ-
функциями точки: щ = щ(х1г хг хп), то направления, определяемые атнми
величинами в каждой точще пространства, образуют поле направлений, линии

§ If НОВОЕ РАССМОТРЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ 131
и афО — произвольный вектор. Рассмотрим производную функцию
а на поверхности В по направлению вектора а:
ди
i
рели при этом
<*< = Л?а* (i=l,..., й),
jo мы будем эту производную A) называть' «нормально направлен-
направленной» производной; если, сверх того, еще ]?я* = 1, а» следовательно,
to будем говорить о «нормальной» производной функции и в точке Р.
Если вектор а в точке Р направлен по касательной к поверх-
поверхности В, следовательно, перпендикулярен к нормали в точке Р, т. е.
2
то выражение -Д == V а^Х{ называется «внутренней» или «танген-
«тангенциальной» производной; если же, напротив, ^а^у^фО, то -?¦ на-
называется производной, ^выводящей из поверхности В».
Так, например, выражение
д ,„.
для всякой пары индексов 1фЪ, представляет собой тангенциальную
производную; это выражение можно истолковать как производную
по тому направлению, которое определяется сечением поверхности
и = 0 двухмерной плоскостью, проведенной через* точку Р парал-
параллельно осям xi и хк,-
которого с помощью параметра s однозначно определяются системой обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений
§ = с< A=1,2,..., п).
В таком случае д- означает производную по этому параметру & Прн stom s
не есть обязательно длина дуги кривой; напротив, эта длида дуги в свяадиа
с s равенством
Производная определенной на кривой функции w по длине дуги выразится
черев ее производную по направлению вектора поля а в той же точке
с помощью формулы
ди 1 VI йк

ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ГЛАВЕ [rh: II
Тангенциальные производные функции и зависят лишь от распреде-
распределения значений этой функции на самой поверхности и, следовательно,
известны, коль скоро известны значения функции и на поверх-
поверхности В. В самом деле, введем в окрестности В вместо xv...,xn
новые независимые переменные ?т,— ,\п такого рода, чтобы ?2, , ?„
были п—1 независимый параметр на поверхности В, а^ = (р; в та-
таком случае uXi = uflXi -J- ..., где многоточием заменены выраже-
HHHi содержащие производные от и по одним лишь «внутренним»
параметрам %,-¦-, Ъп- Следовательно, выражение
2 я<"й* = «с X а{'?х{ + 2 «fe 2 ai (Уач
при условии 2ОДа7г- —О будет известно, коль скоро, даны значения
и @, ?2, , ?„) функции к на поверхности В.
Само собою разумеется, что через и—1 независимых, тангенциаль*
ных производных функции и в точке Р (например, <?х -^- — <?хп-^- »
i = l,...,n—1 в предположении 'св^^О) и одну выводящую
производную (например, к„) можно линейно выразить все производ-
производные от и н той же точке.
Следовательно, все производные и^ известны, если на поверх-
поверхности В даны значения функции и и одной выводящей производной
от и.
Если, в частности, и = 2 и xt — x, x2=y, то В является кри-
кривой в плоскости х, у, которую можно задать параметрически с по-
помощью двух функций х(х), у(х) параметра т. Условие для тангенци-
тангенциального дифференцирования можно записать в виде ах-~-—яа — =0
или, при выборе подходящего параметра t вместо т,
dx dy
ai = Tt> a^-dJ-
2. Задача Коши и характеристические многообразия. За-
Задачу Коши, рассмотренную в гл. II, § 7, мы формулируем теперь
несколько видоизмененным образом, относя все высказывания к я-
мерному пространству х-ов. Пусть в этом пространстве задано ос-
основное многообразие В п — 1 измерений с помощью соотношения
e(jc1,...,Jcn) = O, C)
между тем как раньше (гл. II, § 7) мы представили начальное много-
многообразие с помощью я —1 независимых параметров t1,...,tn_v
Каждой точке этого многообразия пусть отнесено некоторое значе-
значение функции к, так называемая «нагрузка» многообразия В. Этим
самым мы дополняем В до «нагруженного многообразия» С. Точно
так же, присоединяя еще п функций (нагрузок) р,,..., рп, удовлет-
удовлетворяющих на. б условию полоски
D)

§ 1] НОВОЕ РАССМОТРЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ 133
или в параметрической записи ^ = Jv р{ — , можно дополнить В
до «многообразия полосок» Cv
Не собираясь заняться вторично рассмотрением самого решения
задачи Коши, мы поставим следующий вопрос. Пусть заданное на-
начальное многообразие В снабжено нагрузкой и (соответственно —
нагрузками и и pf). Некоторая функция и{хи..., хи) с этими началь-
начальными значениями удовлетворяет в достаточно малой окрестности В
дифференциальному уравнению F(xit и, «a,i) = 0. Какие сведения
сообщает это дифференциальное уравнение о значениях функции и
и ее производных на многообразии В?
Рассмотрим сначала квазилинейное дифференциальное уравнение
С помощью соотношений -^~ = ai в пространстве хь нагруженном
els
значениями и, установлено определенное дифференцирование -г- =
at д~г. которое мы рассмотрим только на многообразии В. Это
i
дифференцирование на многообразии В и его направление назы-
называются соответственно характеристическим дифференциртлм^ием
и характеристическим направлением. Так вот, дифференциальное
уравнение выражает простой факт
Ts=a; F)
так как правая часть на В известна, то это значит, что дифферен-
дифференциальное уравнение определяет однозначно значения характеристи-
характеристической производной от и на многообразии В.
Существует следующая альтернатива: либо в рассматриваемой
точке многообразия В
Т = 2<№^0; G)
тогда характеристическое направление дифференцирования в этой
точке выводит из многообразия В. Уравнение F), т. е. в сущности
дифференциальное уравнение E), дает выводящую производную функ-
функции и, а, следовательно, заданием начальных значений к на В и
дифференциальным уравнением определены все первые производные,
функции и в рассматриваемой точке многообразия В- Применяя этот
результат к уравнениям, полученным из дифференциального уравне-
уравнения E) дифференцированием по xk (k— 1,..., п), убедимся, что
в рассматриваемой точке многообразия В однозначно определены и
высшие производные функции и.

134 ДОПОЛНЕЙИЯ КО ВТОРОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. II
Либо в рассматриваемой точке многообразия В выполняется соот-
соотношение
Т = 2 0,^ = 0, (8)
которое мы будем называть критерием характеристик или харак-
характеристическим условием. В таком случае j~ есть тангенциальная
производная, известная уже. благодаря заданию значений и на В.
Следовательно, соотношение F) налагает на заданные значения и
на В дополнительное 'ограничивающее условие^ которое должно быть
выполнено, для того чтобы в окрестности В могло' существовать
решение, принимающее заданные начальные значения на В. Если оба
соотношения F) и (8) выполняются в каждой точке Р многообразия В
с нагрузкой к, то В называется характеристическим основным
многообразием 1).
Наша альтернатива напоминает аналогичную альтернативу у линей-
линейных систем алгебраических уравнений (ср. т. I, гл. I).
Либо дифференциальное уравнение однозначным образом опреде~
ляет в точке Р заданного основного многообразия В: о=вО
соответствующие производные функции и при любых заданных
на В значениях и; либо дифференциальное уравнение представляет
собой условие, которому должны подчиняться заданные началь-
начальные значения и.
Аналогичные рассуждения можно провести для общего диффе-
дифференциального уравнения
F(xl,...,xn,u,p1,.,..ipn) = 0. (9)
Ио на сей раз надо погдварительно дифференцированием по независимым
переменным получить ох "ему новых дифференциальных уравнений, ли-
линейных относительно производных —, а, следовательно, квазилиней-
квазилинейных относительно величин р42):
п
ч=1
Пусть опять дано допустимое начальное многообразие В: q^O
и на* нем нагрузка и(хи..., хп), Pi(,xv ..., хп\.. .,рп (xv..,, хп),
причем эти функции на В удовлетворяют уравнению F=0 и усло-
условию полоски
п
du^yip,dx^ D)
*) Нетрудно убедиться, что выражение у и- определитель Д, рассмотрен-
рассмотренный в гл: И, § 7, отличаются лишь множителем, не равным нулю, откуда
вытекает эквивалентность данного здесь критерия характеристического
многообразия с критерием, данным ранее.
2) Такой процесс линеаризации будет играть важную роль не раз в даль-
ейшем изложении.

§ \\ ИОВОВ РАССМОТРЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ 135
Вновь определяем в точках многообразия В характеристическое
дифференцирование с помощью формулы
д
Соотношения A0) принимают теперь на В следующий вид *)
ФA2)
Соотношения A2) дают в точках многообразия В следующую альтер-
альтернативу: либо имеет место соотношение
в таком случае дифференцирование -%~ выводит из В, и наши урав-
OS
нения A2) дают производные величин pt, выводящие из В, так как
правые стороны известны из начальных данных и из дифференциаль-
дифференциального уравнения. Следовательно, все вторые производные от и одно-
однозначно определяются на В условиями задачи.
Либо на нагруженном многообразии В или в рассматриваемой его
точке выполняется «характеристическое условие»
в таком случае -г~ есть внутреннее дифференцирование, и соотно-
соотношение A2) содержит утверждение, что начальные данные сверх
условия D) должны еще удовлетворять дополнительным ограничив
вающим условиям:
Если f = 0 во всех точках многообразия В, причем выполнены
как эти дополнительные характеристические условия 02), так
и критерий полоски D), то В называется характеристическим
основным многообразием для многообразия полосок, которое воз-
возникает путем нагрузки В функциями и и ри..., рп.
Нетрудно убедиться, что эдо новое определение эквивалентно
тому, которое дано в гл. II, § 7.
Заметим, что к характеристическому условию можно формально
притти еще другими путями. Можно, например, исходить из того,
что выражения
Ai^Paan—Ptffwt (* =»!,••¦, « — 1), A4
если всюду на В ^Хпф0, являются тангенциальными производными
функции и, а потому известны одновременно с заданием значений и
на В. Можно поэтому пытаться из этих выражений и уравнения
и, /v) = 0
1) В силу равенства •—¦ = -r~i— —-Jr~ ¦ (Прим. перев.)
0Л? ОХ^ ОХ GX

136 ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. I,
однозначно определить значения величин pt на многообразии В.
Условие того, что это невозможно, состоит в исчезании функциональ-
функционального,, определителя этих п уравнений относительно pv ..., рп. Но
этот определитель
грз...
О ...
О ...
9x3
0 0 0 ...<?Жп> —'^„„j
B
а, следовательно, мы вновь получаем условие характеристик A3),
исходя из требования невозможности определения величин pi.
В заключение еще одно замечание о природе критерия характе-
характеристик. В нелинейном случае это уравнение приобретает смысл лишь
после того, как в него подставлены соответствующие значения вместо
и и рь если, скажем, рассматриваются характеристические многооб-
многообразия на заданной интегральной поверхности J: u = u(xv..., хп).
После подстановки в Fp{ выражений к и р$ = -^— в функции неза-"
висимых переменных х$, соотношением
S/>,?*, = о, A3)
если оно выполнено для о = 0, устанавливается, что определенное
уравнением <р — 0 на поверхности J многообразие является характе-
характеристическим. Если же соотношение A3) выполняется не только
в силу ' о = 0, но тождественно относительно хи..., хп, то оно
становится линейным однородным дифферен .иальным уравнением для
функции <р(хи..., хи).'В этом случае оно определяет однопараме-
трическое семейство характеристических многообразий <р = с = const,
производящее интегральную поверхность J (ср. гл. I, § 5, стр. 37).
Но и в том случае, когда требуется выполнение соотношения A3)
лишь для одного единственного многообразия <р = 0, мы можем, тем
не менее, записать его как дифференциальное уравнение в частных
производных; для этой цели надо представить себе многообразие
-3 = 0 выраженным, скажем, в виде
где теперь xv..., хп_г — независимые переменные. Если подставим
в соотношение A3) вместо хп функцию ф и далее
J*L«=4 _*L_ —а ЛИ — 1
дХ! та.1> • • •. дХп_х — Чхн - 1> дхп~ '

§ 2] КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВОЙ ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ 137
то получим для 4 как функции только я—1 независимых переменных
хх,..., хп~\ дифференциальное уравнение с частными производными
S/A— >уи=°. A6>
Отметим еще, что характеристические кривые этих дифференциаль-
дифференциальных уравнений с частными производными A3), A6), A0) совпадают
с характеристическими кривыми первоначального дифференциального
уравнения.
§ 2. Системы квазилинейных дифференциальных уравнений
с одинаковой главной частью. Новый подход к теории
характеристик
Подход к теории характеристик1), несколько отличный от дан-
данного в гл. II, § 7, получается из рассмотрения нижеследующей
системы квазилинейных дифференциальных уравнений:
Коэффициенты аи...,ап, а также Ьг,...,Ьт являются функ-
функциями величин хи..., хп, «j,..., ит, причем коэффициенты ах,..., ап
тождественны во всех уравнениях. Такую систему дифференциальных
уравнений мы называем системой с одинаковой главной частью.
Предварительно докажем следующую теорему (ср. гл. I, § 5, п. 2):
Система A) эквивалентна одному однородному линейному диф-
дифференциальному уравнению для одной функции от т-\-п пере-
переменных.
Пусть дана система решений ии..., ит уравнений A) в неявном
виде:
или, общее, система решений, зависящая еще от т параметров
С1>-") с)п> в следующем, виде:
<?i (*i, • • •, хп; их,..., ит) = ct,
B)
<рт(х1ъ..., хп; «!,..., ит) = ст.
Для того, чтобы обеспечить возможность вычисления функций
их,..., ит из этих уравнений, предполагаем, что функциональный
х) Ср. также заметку Н. С о о 1 е у в Bull. Am. Math. Soc, ;0ct. 1937.

138 ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ГЛАВЕ (ГЛ. II
определитель -,,"'" У";- всюду отличен от нуля. Дифференцируя
о (Щ,.... ит)
уравнения B), получим следующие уравнения:
т
д<Ри. i Х^ ^Фи. ^НХ г\ (И1 :== !>•••• И)
dxt ' ^J онх ox* (l=\ n)
из которых, умножая на at и суммируя по i, выводим:
n m n
Отсюда в-силу уравнений A) имеем:
Ю
Й.^+У^х^-О. C)
» = 1 Х. = 1
Мы видим, что функции в == «н- системы B) удовлетворяют соот-
соотношению C) тождественно относительно хи..., хп, сх,..., ст;
следовательно, они удовлетворяют этому же линейному дифферен-
дифференциальному уравнению
f=l - Х=1
тождественно Относительно Xj,...,x,M u1,...,um. Если ввести
обозначения
то уравнение (За) окончательно переходит в дифференциальное
уравнение
k
для функции «(Xj,..., хг). Таким образом, первая часть нашей тео-
теоремы доказана.
Обратно, пусть даны т решений (st,...,^m дифференциального
уравнения (ЗЬ), функциональный определитель которых
,..., ит)
нигде не исчезает. Покажем, что величины их,..., ит, вычисленные
из уравнений
удовлетворяют системе A). Прежде всего, дифференцированием по-
получаем уравнения
т
fog | у a?!t дих _
дх{ i JU дих dxi ~~и>

§ 2) КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВОЙ ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ 139
из которых, умножая на ait суммируя по г от 1 до я и принимая
затем во внимание уравнение C), имеем:
т п т
+У УъР-
дих ' АжЛ Ad l дих
X=«l i*»i X —1
ИЛИ
X-l
Так как определитель величин -^ нигде не исчваает, то отсюда
вытекает, что
т. е. что функции их,..., ит действительно удовлетворяют си-
системе A).
Согласно гл. II, § 2 задача интегрирования линейного дифферен-
дифференциального уравнения (ЗЬ) эквивалентна интеграции характеристиче-
характеристической системы дифференциальных уравнений
Следовательно, из предыдущего вытекает эквивалентность системы
A) дифференциальных уравнений в частных производных с одина~
новой главной частью системе т-\-п обыкновенных дифференциала
них уравнений, а именно—систем*
4S а<> ЧГ"*^ Ц-1 тУ D)
Мы воспользуемся этими результатами для того, чтобы развить
по-новому теорию характеристик общего дифференциального урав-
уравнения первого порядка. Рассмотрим дифференциальное уравнение
Р(лгх,..., хп, и, иХ1,..., Ка.п) = 0 E)
и заменим его следующей системой, состоящей из п -\-1 квазили-
квазилинейных дифференциальных уравнений для функций и, pv..., pn
с одинаковой главной частью:
F)
Первые я уравнений этой системы получаются формально из
уравнения E) дифференцированием по лг? и последующей заменой

140 ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. и
uXi через Pi и -х—?— через -^-¦ Последнее уравнение обращается
при этой подстановке в тривиальное тождество.
Теперь мы можем развить теорию дифференциального уравне-
уравнения E), исходя из квазилинейной системы дифференциальных урав-
уравнений F) с одинаковой главной частью для п -f-1 неизвестных
функций и, р{. Прежде всего, из предшествующих рассуждений выте-
вытекает, что интеграция системы F) эквивалентна интегрированию
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Its tPV ds tx* Pi'«» ds
т. е. системы характеристических дифференциальных уравнений для
уравнения E), выведенных в гл. II, § 7 другим путем. Далее, мы
покажем, что надлежащим образом специализированная задача Коши
для системы F) эквивалентна задаче Коши для дифференциального
уравнения E), и тем самым получится новое обоснование решения
задачи Коши с помощью характеристических дифференциальных урав-
уравнений, которое было проведено в гл. II, § 7.
Во-первых, само собою разумеется, что для всякого решения
дифференциального уравнения E) функции шр{ = ~— дают реше-
решение системы F). Рассмотрим теперь, обратно, такую систему реше-
решений и, pf системы дифференциальных уравнений G), которая удовле-
удовлетворяет следующим начальным условиям. Пусть дано (и^-1)-мерное,
нигде не характеристическое начальное многообразие С в про-
пространстве лг, и. На многообразии С пусть заданы начальные значения
величин р,- так, чтобы всюду на С было F = 0 и, сверх того,
Ли—2рЛ = 0. Gа)
Далее, пусть решения системы дифференциальных уравнений G),
проходящие через каждую точку многообразия С и имеющие соот-
соответствующие начальные значения ри образуют содержащую С
л-мерную поверхность S с уравнением и==к(х1,..., х„). В таком
случае эта функция и, вместе с соответствующими функциями р{,
является решением соответствующей задачи Коши для системы F).
Мы покажем, что эта функция' решает также задачу Коши для
дифференциального уравнения F —0. Достаточно будет для этого
доказать, что на всей поверхности 5 выполняются соотношения
F(xx,..., хп, и, pi,..., pn)
Для доказательства заметим, что для функции Pi(x1,..., xn) спра-
справедливы соотношения
дх{

§ U] КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВОЙ ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ 141
Далее, имеем равенство
которое с помощью первого из дифференциальных уравнений F) и
соотношения (8) приводится к виду
С другой стороны, последнее из дифференциальных уравнений F)
можно записать в виде
2^Л=°. 0°)
и из (9), умножая на Fpt и суммируя по i, получим:
2
i
или, полагая для сокращения
причем величины at(xu..., дг„) надо считать известными, оконча-
окончательно:
2^=о. AОа)
i
Рассмотрим теперь на интегральной поверхности S производящие ее
кривые, определяемые дифференциальными уравнениями G); уравне-
уравнение A0а) выражает тот факт, что на каждой из этих кривых
dR n
а так как R в начальной точке кривой, на С, исчезает, то
/?Е=0 A1)
на поверхности S. Из равенства (9) теперь следует
а ив равенства A0), принимающего теперь вид
в результате дифференцирования по х( получается соотношение
A3)

ЛИТЕРАТУРА К ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ГЛАВАМ
где b\,=*z~ — опять-таки известные функции величин xlt...,хп.
ОХл
Из соотношений A2) и A3) получаются уравнения вида
причем и выражения сч являются известными функциями от хи..., хп.
На каждой из характеристических кривых: -г^ = в„ эти последние
as
уравнения переходят в следующие:
Это система обыкновенных линейных однородных дифференциальных
уравнений для величин Pt. Из определения этих величин и начальных
условий Gа) вытекает, что начальные значения величин Pt на С
равны нулю, так как многообразие С не характеристическое и,
следовательно, детерминант Д, определенный на стр. 101, не исчезает.
Следовательно, величины Pt тождественно равны нулю. Тем самым
эквивалентность нашей задачи Коши для уравнения E) и для си-
системы F) доказана.
Литература к главам I и II
Kamke E., Differentialgleichungen reeller Funktionen, Leipzig, 1930.
Biebefbach L., Differentialgleichungen.
Ooursat, Equations aiix derivees partielles du 1 ordre, Paris, 1921.
Caratheodory, Variationsrechnung imd partielle Differentialgleichungen
erster Ordnung, Leipzig, 1935.
Гюнте.р Н. М., Интегрирование уравнений первого порядка в частных
производных, Л. — М., 1934.

ГЛАВА III
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
В первом томе было рассмотрено много отдельных задач, относя-
относящихся- к дифференциальным уравнениям с частными производными
высших порядков. В последующих главах мы займемся более систе-
систематической теорией. Правда, для дифференциальных уравнений
высшего порядка, в противоположность уравнениям первого порядка,
исчерпывающая теория их решения исключена. К тому же мы
должны ограничиваться выбором идей, особенно важных для мате-
математической физики.
Для приложений исключительно важную роль играют — вследствие
большей доступности для явного решения — линейные дифферента
альные уравнения с постоянными коэффициентами. Но для более
глубокого понимания и этих уравнений требуется построение более
общих принципиальных понятий. Мы предпосылаем поэтому в первой
части этой главы такие более общие соображения, имея, в частности,
в виду классификацию дифференциальных уравнений и соответственно
дифференциальных выражений на существенно различные типы.
§ 1. Нормальные формы линейных дифференциальных выражений
второго порядка с двумя независимыми переменными
1. Эллиптические, гиперболические и иароболические нормаль-
нормальные формы. Начнем со следующего вопроса. Пусть дано линейное
дифференциальное выражение второго порядка для функции и(х, у)
L[и] = ди^-f 2buxy-\-cuvyi
Где коэффициенты а, Ь, с — заданные непрерывно дифференцируемые,
не исчезающие одновременно функции от х и у в рассматриваемой
области G. Исследуем дифференциальное выражение
L[u\-\-g(x,y, в, их, Bj,) = L[«]-f .... A)
причем здесь и в дальнейшем точки в конце означают дифференци-
дифференциальное выражение g(x,y, и, их, иу), не содержащее вторых производных,
которое в последующем необязательно предполагать линейным. Нашей
целью является введением новых независимых переменных
S = ?(*,jO, Ч = ^(х,у) B)

144 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. Ill
преобразовать дифференциальное выражение A) и соответственно
дифференциальное уравнение
![«]+... =0 C)
к простым нормальным формам. При этом дифференциальное выра-
выражение A) переводится в эквивалентное выражение вида
+...=ЛИ + ..., D)
функция и (х, у) переходит в функцию и (?, ¦»)) = и (х, у), и мы имеем:
«6ч (
где опять точки обозначают выражения, в которые не входят произ-
производные второго порядка от функции и. Следовательно,
ДМ = авк + 2К + Ткчч, D)
где
P'
E)
Непосредственной проверкой устанавливается соотношение
^ F)
Так как в преобразовании B) в нашем распоряжении две функ-
функции (р и ^, то естественно попытаться путем подходящего выбора*
этих функций придать новому дифференциальному выражению D)
простые формы, налагая на коэффициенты а, р, -j два надлежащих;
условия.
• Мы формулируем следующие типы таких условий:
I. а=Т) рн=0,
II. а = — -у, {3 = 0 или а = -у = 0,
ш. р=т=о.
Какая из нормальных форм, характеризуемых этими условиями,
может быть достигнута с помощью нашего преобразования? Это
зависит исключительно от алгебраического характера квадратичной
формы
Q (I, от) = аР -f 2 W« + cnfi
с переменными /, т, причем х и у надо рассматривать как пара-
параметры в выражениях коэффициентов. А именно, оказывается, что
выражения коэффициентов а, C, -у у Д [и] через коэффициенты а, ?, с

§ 1] НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2 ПОРЯДКА
у L[u] можно получить, вводя в квадратичную форму Q(l, m) новые
переменные к, \t. с помощью формул
причем Q"(^, "О преобразуется к виду
Q = «Ха -}- 2^,
По типу формы Q и дифференциальные -выражения подразделяют
на различные типы. Дифференциальное выражение L[u] называют
в точке х, у
I. эллиптическим, если ас—
IL гиперболическим, если ас—
III. параболическим, если ас — ?а = 0.
Соответственно этому нормальные формы дифференциального
выражения таковы:
I. Д[и]+..
II. А [и] -4-... = а (ик — игл)
или Л [к]-[-••• =2ри&,+ •• •>
III. Л [w] 4- • •
а нормальные формы дифференциального уравнения имеют следующий
вид:
I. MK4-«t)T,+••-=t0'
II. ик — аЧТ|4- ••• =0.
или к-п 4- ... = О,
ш. ик4----=°-
Для заданной точки х, у такой нормальной формы можно дости-
достигнуть уже путем линейного преобразования. Именно, если
есть линейное преобразование, приводящее квадратичную форму Q
к соответствующему нормальному виду в указанной точке х, _у, то
достаточно положить
с? = ккх 4- k^y, '6 = kzx 4- ?*У-
Допустим что ^дифференциальное выражение L [к] имеет один
и тот же тип в каждой точке рассматриваемой области О.
Мы ставим себе целью показать, что при надлежащем выборе функ-
функций преобразования «г, ty можно достигнуть нормальной формы
в каждой точке области О. Этот факт еще не доказывается алгеб-
алгебраической аналогией; он, напротив, основывается на разрешимости
известных систем линейных дифференциальных уравнений с частными
производными первого порядка.
При доказательстве этого утверждения можно без ограничения
общности предположить, что в области О всюду а ф 0. В противном

146 - ЛИНЕЙНЫЙ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IH
случае было бы справедливо эквивалентное предположение сфО,
либо мы уже имели бы дело со второй упомянутой нормальной формой.
Функции преобразования ^ и Ф наД° теперь определить так,
чтобы новые коэффициенты а, C, -у удовлетворяли написанным выше
условиям. Допустим сначала, что L[u] относится в области О к ги-
гиперболическому типу, и поставим требование а = -у = 0. В таком
случае соотношения E) дают для отношения — производных фх, уу,
с одной стороны, и $х, tyy, с другой, одно и то же квадратное,
уравнение
X2f * =•(). G)
Это уравнение имеет два различных действительных решения —и—?,
Vi Vi
так как в области G
ас
В силу того, что а ф 0, можно положить
Тогда величины Xt и Ха определяются уравнением G) как непре-
непрерывно дифференцируемые функции от х и у в области G. Следова-
Следовательно, в гиперболическом случае мы достигнем нормальной формы
ри6ч -(-...= 0, если выберем функции преобразования * и «Ь так,
чтобы они удовлетворяли уравнениям
?*—*1?, = 0, te —А^с-0. (8)
Эти два линейных однородных дифференциальных уравнения в ча-
частных производных первого порядка действительно дают два се-
семейства кривых 9 = const, и ty = const., которые можно также опре-
определить как семейства решений обыкновенных дифференциальных
уравнений
y'-f-X, = O, y'-f^O (9)
или дифференциального уравнения
с/2—26/-f с = 0,
если вдоль кривой семейства рассматривать у как функцию х.
Соотношение
показывает, что кривые обоих семейств не могут касаться друг друга
ни в какой точке рассматриваемой области и что yjfyy—9^яФ^-
Из равенства F) затем вытекает при а = -у <= 0, что {3 ^- 0.
Кривые 6 = ©(jc, _y) = const., а также i^ae^ (jc, >») = const, на-
называются характеристическими кривыми или характеристиками
линейного гиперболического дифференциального выражения L[a].
Так как дифференциальное уравнение можно разделить на р, те
Полученный результат можно формулировать так:

§ 1 ] НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ й ПОРЯДКА. 14?
В гиперболическом случае {ас — ?2<0) линейное дифференци-
дифференциальное уравнение второго порядка C) допускает преобразование
к нормальному виду
«6,+ ...= О, A0)
для чего надо ввести в качества координатных линий оба семей-
семейства характеристических кривых с = const, и t\ = const.
Если в рассматриваемой области G имеет место неравенство
ас—?2>0, то дифференциальное выражение (!)• в v этой области
принадлежит к эллиптическому типу. В этом случае квадратное
уравнение G) не имеет действительных решений; оно имеет два
комплексных сопряженных решения Хх и л2, являющихся комплекс-
комплексными непрерывными функциями действительных переменных х.,".у.
Уравнениям а = -у = 0 нельзя удовлетворить никаким семейством
действительных кривых <р = const., характеристических кривых не
существует. Однако, если а, Ь, с—аналитические функции •' перемен-
переменных х, у и если функции ер (х, у) и <|* (х, у) предполагать анали-
аналитическими, то дифференциальные уравнения (8) можно 'рассматривать
для комплексных переменных х, у и так же, как и выше, совершить
преобразование к новым переменным ?¦ и i\, которые будут теперь'
комплексно-сопряженными. Введя теперь снова действительные не-
независимые переменные о и р с помощью формул
Ь-р; l^l^o, A1)
получим 4и^=>и^-]-и„. Таким образом, в эллиптическом слу-пе
мы приводим дифференциальное уравнение к нормальному виду
..=ирр + ига+...=О. A2)
Но этот способ приведения эллиптического уравнения к нормаль-
нормальному виду опирается на предположение об аналитичности коэффи-
коэффициентов,' которое совершенно не требуется природой вопроса. По-
Поэтому следует предпочесть следующий прямой путь преобразовали!!
к нормальному виду в эллиптическом случае, не выхбдящйй за
пределы действительной области. Заменяя в уравнениях B), ¦ (*4)• $, ч\
на о, о, попытаемся удовлетворить условиям
или в раскрытом виде:
= 0.
Эти дифференциальные уравнения можно привести с помощью эле-
элементарных алгебраических выкладок к следующей системе линейнкх
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:
Щ ф A3}
причем

148 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. Ш
и для W возможны оба знака. Из этой системы так называемых
дифференциальных уравнений Бельтрами можно, исключив одну
из неизвестных, например, о, получить непосредственно следующее
дифференциальное уравнение второго порядка для другой величины, р:
Следовательно, вопрос о возможности преобразования к нор-
нормальному виду A2) зависит от разрешимости этих уравнений: A3)
или соответственно A4). Ниже, в гл. IV, § 6 мы увидим, что ре-
решение этих дифференциальных уравнений, а тем самым и преобра-
преобразование к эллиптической нормальной форме возможно и в неанали-
неаналитическом случае, при одном лишь предположении непрерывной
дифференцируемое™ коэффициентов а, Ъ, с по действительным пере-
переменным х, у. При этом достаточно знать одно единственное частное
решение уравнения A4).
Наконец, третий—параболический случай: ас — ?2 = 0. В этом
случае квадратное уравнение G) имеет один действительный корень,
и соответственно этому можно ввести в качестве координатных ли-
линий одно такое семейство кривых ? = <р (х, у) = const., что а об-
обратится в нуль: в силу соотношения F) автоматически становится
и р = 0, между тем как, выбирая, например, в качестве второй фор-
формулы преобразования <у = х, имеем \ = а ф 0 в области G. Итак,
в параболическом случае приходим к нормальной форме
«„+...= О. A5)
Таким образом, теорема о преобразовании к нормальному виду,
сформулированная на стр. 145, доказана для всех трех типов диф-
дифференциальных выражений второго порядка.
Заметим, что преобразование к нормальному виду отнюдь не
определено однозначно. Например, в эллиптическом случае нормаль-
нормальная форма сохраняется, если область р, о подвергнуть какому-либо
конформному отображению.
2. Примеры. Мы не раз уже рассматривали примеры наших
трех различных типов дифференциальных уравнений. Простейшим ги-
гиперболическим уравнением является дифференциальное уравнение
колебания струны
причем мы пишем t вместо у, имея в виду физическое значение
этой переменной как временной координаты. Это уравнение было
решено полностью в гл. I, § 1. Простейшим эллиптическим диф-
дифференциальным уравнением является уравнение Лапласа Дм = «^^4-
-j- tiyp — 0, решение которого также обсуждалось в различных местах
(ср., например, гл. I, § 3), Мы нашли выше (гл. I, § 3) решения
и для простейшего параболического дифференциального уравнения —
уравнения теплопроводности

§ 1] НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2 ПОРЯДКА 149
В дальнейшем мы узнаем, что произведенное нами подразделение
дифференциальных уравнений на типы существенным образом свя-
связано с природой дифференциальных уравнений и их решений. Впро-
Впрочем, одно и то же дифференциальное уравнение может в различных
областях относиться к разным типам.
1. В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение
«*»+.V«w = 0, A6)
для которого ас — № — у; при _у>0 это уравнение относится
к эллиптическому типу, при д/<0— к гиперболическому.
В области _у<0 квадратное уравнение G>, т. е. уравнение
имеет два действительных решения — — ±Y—У'» так что яля ? и Ф
получаются следующие дифференциальные уравнения:
" 9x+VZZy?y = 0, ^ fe—|Г=5^«0. A7)
Можно указать частные решения этих уравнений
<о = х-\-2 V— у,
ty = x — 2V—y.
Преобразование
|
l Vy J
приводит дифференциальное уравнение A6) при д><0 к гиперболи-
ческояу нормальному виду
««, +У»уу = ^ + i^j- («е- «г,) = 0. A9)
Характеристические кривые—параболы
причем ветви этих парабол, идущие от оси абсцисс влево, являются
кривыми 9 = const., кривые же
ф== const. — ветви этих же парабол,
идущие от оси jc-ob направо (ср.
черт. 2).
В случае _у>0 мы пишем:
)
B0)
х
Черт. 2.
По выполнении этого преобразования дифференциальное уравнение
A6) переходит в эллиптическую нормальную форму
—-и^^О, B1)
2- У дифференциального выражения

150
ЛИН2ЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
[ГЛ. III
ас — Ь^ = х; следовательно, это — выражение эллиптического типа
При х > 0, гиперболического при jc<0.
В случае #<0 выражение B2) приводится преобразованием
) — —
к нормальному виду
Характеристические кривые — параболы Нейля (черт. 3)
B3)
B4)
причем ветви, направленные вниз, дают кривые <? = const., а ветви,
направленные вверх, — кривые ^ = const.
В случае jc>Q мы пишем:
5 V
полагая
B5)
мы, после преобразования, получаем нормальную
форму
4[ ^4 B6)
Черт. 3.
Функции B5) удовлетворяют дифференциальным уравнениям Бель-
фами
B7)
§ 2. Нормальные формы квазилинейных дифференциальных
- уравнений
1. Нормальные формы. Классификация на типы и преобразова-
преобразование к некоторым нормальным формам допускает обобщение на не-
нелинейные дифференциального уравнения и выражения. Целесообразно
при этом пользоваться следующими сокращениями:

§ 2} НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 151
Мы здесь ограничимся рассмотрением важнейшего во многих от-
отношениях случая квазилинейного дифференциального выражения
L[u\~ar-\-2bs-{-ct-\-d, A)
причем теперь а, Ъ, с, d — заданные функции величин л:, у, и, р, q.
И в этом случае дифференциальное выражение называется эллип-
эллиптическим, если ас — ?2>0, гиперболическим, если ас — Й2< 0, яа-
раболическим, если ас—6а = 0. Различие состоит в том, что это
деление на типы для дифференциальных выражений (г) уже невоз-
.можно произвести независимо от соответствующей функции и; на-
напротив, оно именно зависят от взятой функции и (х, у), а в связи
с этим от рассматриваемой функции и (х, у) зависит и преобразова-
преобразование к нормальной форме.
Сделаем прежде всего общее замечание, что при введении новых
переменных % =» о (х, у), •*! = $ (х, у) с функциональным определителем
имеют место следующие формулы:
B)
Будем теперь считать и (х, у),в выражении L [и] заданной функцией-
Тем самым не только и, но и р и q становятся на этой поверхности
и —и (х, у) известными функциями от х и у, и при подстановке
в выражение L [и] коэффициенты а, Ь, с, а также величина d пе-
переходят в заданные функции от х ну. Поэтому уместна попытка
для этой специальной поверхности и (х, у) ввести новые переменные,
в точном соответствии с линейным случаем, с тем расчетом, чтобы
после этого преобразования коэффициенты преобразованного диффе-
дифференциального выражения L [и] удовлетворяли на заданной поверхности
либо условиям а = f = 0, либо условиям а = -j, J3 = 0, смотря по тому,
к какому случаю может быть отнесено дифференциальное выражение
для этой поверхности: гиперболическому или эллиптическому (слу-
(случай параболического вырождения мы оставляем здесь в . стороне).
Точнее, от новых переменных ?, t\ или р, о соответственно мы тре-
буем^ чтобы они удовлетворяли либо сиЬтеме уравнений
C)
= и
или, что то же самое, в силу формул B)
ау\—2дУкхк + с^0, )

152 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. III
либо системе уравнений
ь. V ^ 0) + с а =°0 ^ | E)
или соответственно
hv х А- сх = ау — 2by x -j- сх", )
' ' п f F)
Системе уравнений C) можно удовлетворить двумя действительными
функциями ? {х, у) и т) (аг, >*) в том и только в том случае, если
на рассматриваемой поверхности выполняется условие
ас—йа <^ 0.
В таком случае дифференциальное выражение относится к гипер-
гиперболическому типу для этой поверхности. Система уравнений E)
принадлежит дифференциальному выражению эллиптического типа,
который характеризуется соблюдением на поверхности и = и(х,у)
условия
.ас — 62>0.
Как и в случае линейных дифференциальных выражений, наши системы
уравнений C) и E) формально переходят друг в друга при комп-
комплексном преобразовании
В гиперболическом случае уравнения D) допускают расщепление
на два уравнения вида ¦
совершенно так же, как и у линейных дифференциальных уравнений,
но теперь в коэффициентах д, Ь,с, Х15 уп К2, |х2 содержатся не только
переменные х и у, но и величины u,p,q; если афО, можно поло-
положить [Xj = [х2 = 1. Если заменить всюду величины р и q их выраже-
выражениями B) и вообразить, что вместо х н _у в коэффициенты введены
в качестве новых переменных ? и yj, то пара уравнений G) или D)
соответственно представляет собой два соотношения между величи-
величинами х,у,и и их частными производными первого порядка по s иг,.
Эти Два уравнения отнюдь не могут служить для того, чтобы опре-
определить кривые S = const, и •»] = const, независимо от фз'йкции и(х,у),
как это было возможно в линейном случае. Теперь они представляют,
напротив, систему двух дифференциальных уравнений с частными
производными первого порядка для трех величин u(?,t), аг(?, т)),
у (?, •»]), стало быть, недоопределенную систему.
Эта точка зрения наводит на мысль рассматривать также и исход-
исходное дифференциальное уравнение L [и] = 0 как дифференциальное

§ 2]
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
153
уравнение, именно второго порядка, связывающее эти три функции
независимых переменных ?, •*], так что первоначальное дифференци-
дифференциальное уравнение совместно с этими двумя «характеристическими
уравнениями» образует систему трех дифференциальных уравнений
для трех функций и,х,у. При такой постановке вопроса интеграль-
интегральная поверхность отыскивается не в несимметрическом виде и = и{х,у),
а в параметрическом представлении с помощью независимых «харак-
«характеристических» параметров ? и 7j.
, ¦ Преобразование дифференциального выражения A) приводит в этом
случае дифференциальное уравнение L [и] — 0 к виду, в который,
как и следовало ожидать, входят еще только смешанные вторые про-
производные по ; и tq:
или
У-
xry,f
(9)
или, если рассматривать величины х,у,и как координаты радиуса-
вектора $ и воспользоваться векторным обозначением для скалярного
и векторного произведения,
Ъ (& X S,) =
Если, в частности, й?=0, то. приходим к'замечательному след-
следствию: дифференциальное уравнение (8) уже не зависит от специаль-
специального вида исходного уравнения.
Квазилинейное дифференциальное уравнение вида
в гиперболическом случае допускает преобразование к одному
и тому ж? неизменному дифференциальному уравнению второго
порядка
Ы&Х^^О (Юа)
и двум дифференциальным уравнениям первого порядка G), кото-
которые зависят еще от вида фунций а, Ъ, с.
Напомним еще раз, что в полученных дифференциальных уравне-
уравнениях надо всюду заменить величины р и q их выражениями B).
Наша система G), (8) трех дифференциальных уравнений с част-
частными производными для радиуса-вектора j и есть искомый общий
нормальный вид в гиперболическом случае.
Если на поверхности выполняется условие №—-йс<0, т. е.
имеет место эллиптический слз'чай, то мы придем к другому соот-
соответствующему преобразованию к нормальному виду. Это преобразо-

154
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
[ГЛ. III
вание можно получить либо чисто формально из найденного выше
результата заменой ^^тр- —р, ^^J^^ °' либ° непосРеДственно с по-
помощью условий F).
В результате получится следующий вывод:
В эллиптическом случае наше дифференциальное уравнение
L [и] = 0 эквивалентно следующей системе трех дифференциальных
уравнений для величин, х, у, и или соответсп, венно для радиуси-
вектора % как функции параметров риз:
af? — 2by?xp -f и? = ay\ ~
Да: Ду Аи
хе У? «р
х3 уо и.
, + «?.
х, = 0,
d
У ас — 6?
A1)
где Д означает оператор Лапласа.
В частном случае, когда d = 0, последнее дифференциальное
уравнение, содержащее вторые производные, и здесь не зависит
от вида функций а, Ь, с; оно имеет теперь следующий вид:
2. Пример. Минимальные поверхности. В качестве примера рас-
рассмотрим дифференциальное уравнение минимальных поверхностей
0. A2)
Это — дифференциальное уравнение всюду эллиптического типа, так
как ас—Ь2 = 1 -f-p2-J-^2>0. Следовательно, возможно преобразо-
преобразование к виду A1). После несложных выкладок получается следующая
нормальная система:
,+jy<,-f-BPea=O или SpXa==l
A3)
A4)
Эту систему можно привести к еще значительно более простому виду.
Из уравнений A3) дифференцированием получаем:
а, следовательно,
==O и точно так же
С другой стороны, из уравнения A4) вытекает, что Aj
т. е. должно быть линейной комбинацией векторов j0 и ja. Следова-
Следовательно, а = р = 0, откуда и Aj = 0. Таким образом, мы приходим
к следующему выводу:
Минимальная поверхность может быть охарактеризована
в параметрической форме, с подходящим образом выбранными па-

§ 2] НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 155
раметрами р и о, при помощи следующих условий: каждая из
трех координат х,у, и удовлетворяет уравнению Лапласа
Дл; = О, Ду = О, Ди = 0. A5)
г, кроме того, они подчинены еще условиям
В принятых в дифференциальной геометрии обозначениях
[ля фундаментальных величин нашей поверхности, условия A6) прини-
?ают вид
?—0 = 0, F = 0. A6а)
Эти дополнительные условия A6) или, что то же самое, A6а)
[вляются двумя дальнейшими дифференциальными уравнениями наряду
; тремя уравнениями A5), но они носят лишь характер краевого
условия. Дело в том, что нет нужды требовать выполнения условий
16) в двухмерной области р, о. Напротив, достаточно установить эти
условия для какой-нибудь кривой в плоскости р,о. Действительно,
j силу уравнений A5) выполняются условия
Ар = Ве, А, = — Вр.
Следовательно, величина A-\-iB есть аналитическая функция ком-
1лексной переменной р + о/, а потому исчезает тождественно, если
ге действительная часть А исчезает на некоторой замкнутой кривой,
аапример, на границе, а мнимая часть В обращается в нуль в одной
точке.
Для теории минимальных поверхностей существенны следующие
два замечания, непосредственно вытекающие из предыдущего. Во-
первых, отображение плоскости р, о на минимальную поверхность
кок формно.
Во-вторых, представлению минимальных поверхностей с помощью
гармонических функций эквивалентно представление с помощью
аналитической функции комплексной переменной
р -L jo = <0,
ведущее свое начало от Вейерштрасса.
К так называемым формулам Вейерштрасса мы приходим, рассмат-
рассматривая гармонические функции х,у,и от.р.о как действительные части
аналитических функций /Дю), /2(ш)./д(ш) комплексной переменной ш.
Пы> f^f ГЫ
Обозначая через at, у, и сопряженные гармонические функции, имеем:
X -f ix=/i (ш), у -f iy == Д (ш), и -f iu = /д (ш).

156 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (ГЛ. III
На основании уравнений Коши-Римана
откуда
х? — ix3
и условия A6) можно записать в следующем виде:
е (о>) = (Е — О) — 2iF = 2 Л О0J = °-
Мы пришли, следовательно, к следующему результату. Все мини-
минимальные поверхности могут быть представлены с помощью уравнений
где 9t обозначает «действительную часть», а аналитические функции
/v(<d) подчинены условию
Так как вместо ш можно ввести в качестве независимой перемен-
переменной одну из этих функций, например, /3(ю). то последняя формула,
кроме того, показывает, что совокупность минимальных поверхностей
по существу зависит лишь от одной единственной произвольной
аналитической функции комплексного переменного.
§ 3. Классификация линейных дифференциальных уравнений
второго порядка в случае многих независимых переменных
1. Эллиптические, гиперболические и параболические диффе-
дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения
с числом независимых переменных, большим двух (если исключить
случай постоянных коэффициентов), вообще, уже невозможно привести
с помощью преобразования к простым нормальным формам для
целой области независимых переменных'). Все же и для этих диффе-
J) Если мы, например, попытаемся, как в § 1, с помощью преобразования
U = к (*!,..., хп)
достигнуть того, чтобы в преобразованном выражении
i, к
исчезали смешанные члевы матрицы B,-j), то придется п функций /,¦ подчи-
подчинить ~2П(П—1) условиям [ср. ниже формулу D)]:
г, а
Но эта система дифференциальных уравнений является при •=- (п—1)л>я,
т. е. при я>3, сверхопределенной, и. следовательно, в общем случае не-
неразрешимой. При л = 3 решение еще возможно, но в отличие от случая
л = 2 здесь уже нет возможности подчинить дальнейшим условиям также
и члены главной диагонали.

§ 3] КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2 ПОРЯДКА 157
ренцйальных уравнений существует аналогичная классификация фун-
фундаментальной важности.
Рассмотрим линейное дифференциальное выражение второго
лорядка
?[и]=2в«Лча*+-" . A)
и соответственно дифференциальное уравнение L [и] = О, где коэффи-
коэффициенты aik = аы — заданные, непрерывно дифференцируемые функции
независимых переменных хи...,хп в области О, а точки обозна-
обозначают дифференциальные выражения ниже второго порядка. Выписан-
Выписанное выражение второго порядка мы и здесь назовем главной частью
дифференциального выражения.
К классификации наших дифференциальных выражений мы при-
приходим, исследуя влияние преобразования независимых переменных
е«=f«(*i. ••••**) B)
на вид дифференциального выражения в определенной точке xt.
Полагая для краткости
получаем:
где многоточие, опять означает выражение, в котором встречаются
производные функции и не выше первого порядка. В • результате
этого преобразования дифференциальное выражение A) переходит
в выражение вида
коэффициенты которого преобразуются по закону
а« = 2<лАвсь>- D)
1,8
Следовательно, коэффициенты главной части нашего дифференциаль-
дифференциального выражения преобразуются в рассматриваемой точке хи ..., хп
совершенно так же, как коэффициенты квадратичной формы, так
называемой «характеристической формы»:'
если в этой квадратичной форме подвергнуть неопределенные пара-
параметры yt аффинному линейному преобразованию к новым пара-
параметрам tif.
2
I-— х

158 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. Hi
Известно, что такая квадратичная форма всегда может быть пре-
преобразована, при помощи аффинного преобразования, к «каноническому
виду»:
коэффициенты которого имеют только лишь значения -\-1, — 1 или
нуль. При этом число отрицательных коэффициентов, индекс инер-
инерции, является аффинным инвариантом, так же, как и число исчезаю-
исчезающих коэффициентов,'—«дефект» квадратичной формы (ср. т. I,
гл. I, § 3, п. 4). Сообразно с этим, упомянутые два числа будут
иметь значение и для нашего дифференциального выражения в рас-
рассматриваемой точке.
Мы будем называть дифференциальное выражение в рассматривае-
рассматриваемой точке эллиптическим, если все коэффициенты /ч = 1 или все'
у.( — — 1. Мы его будем называть собственно гиперболическим или
просто «гиперболическим», если все коэффициенты v.h кроме одного,
равны — 1, а этот остающийся коэффициент равен -\-1 или соот-
соответственно наоборот. Если имеется несколько положительных и
несколько отрицательных коэффициентов, то иногда говорят об
ультрагиперболическом случае. Если же один или несколько коэф-
коэффициентов /ч обращаются в нуль, то дифференциальное выражение
(и соответственно дифференциальное уравнение) называется парабо-
параболически выродившимся.
Если дифференциальное выражение в некоторой точке относится
к эллиптическому типу, то с помощью надлежащего преобразования
независимых переменных можно добиться того, чтобы дифферен-
дифференциальное уравнение приняло в рассматриваемой точке вид
«3^+ • • • -\-и*епхп-\-... = 0; в гиперболическом случае дифферен-
дифференциальное уравнение может быть преобразовано в рассматриваемой
точке к виду н^ + ..: + иХп_ lXn_ t—иХпХп + ... = 0. Но,
вообще говоря, невозможно достигнуть такой нормальной формы
с помощью одного и того же преобразования для целой области,
в которой дифференциальное уравнение принадлежит к соответствую-
соответствующему типу, так как преобразование к каноническому виду суще-
существенно зависит от точки (х{) (см. выше стр. 156).
2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами. Однако, если коэффициенты aiJ(
дифференциального выражения A) постоянны, то приведенные выше
соображения дают возможность достигнуть нормального вида, спра-
справедливого одновременно во всех точках соответствующей области,
при помощи одного и того же преобразования. Для этой цели тре-
требуется лишь подвергнуть независимые переменные х{ аффинному
п
преобразованию ^—2 '<Л с такими коэффициентами, чтобы «ха-
Ь1
рактеристическая форма» приводилась преобразованием E) к кано-

i 4] УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 159
'иическому виду. Дифференциальное уравнение L [и] = 0, если вместо
^обозначений новых независимых- переменных писать опять xv ..., хп,
Цпримет тогда следующий вид:
2**Нз**7+ ••- =0. F)
-Если не только главная часть второго порядка, но и все выраже-
выражение L[u] линейно и однородно, то дифференциальное уравнение
приведется к виду
п п
2 учищщ + 2 . Ь€ищ -f си = 0,
гдг bt и с — постоянные, а коэффициенты zf равны ± 1 или нулю
соответственно.
Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
можно, с помощью дальнейшего преобразования, еще значительно
¦упростить, освободившись от производных первого порядка по тем
переменным х{, для которых у€ф0. Для этой цели мы отвлечемся
ог параболического случая и введем вместо и новую искомую функ-
функцию V с пояощью соотношения
п , ¦
u = ve l=lH . G)
После небольших выкладок дифферени альное выражение приведется
к виду fc
Следовательно, при рассмотрении непараболических дифферен-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно
ограничиться дифференциальными уравнениями вида
2yi*V,. -\-dv = g(xlt .... хп\ (9)
где g—какая-нибудь заданная функция независимых переменных,
a d—постоянная. Следовательно, все дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами в эллиптическом случае приво-
приводятся к виду
&v -\-dv = g,
а в гиперболическом случае, если вместо п писать w -|— 1 и поло-
положить xn+1 = t, — к виду
\d = g(xv ..., хп, /).
§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка и системы
дифферекцигльных уравнений
Совершенно аналогично дифференциальным уравнениям второго
порядка можно, с помощью алгебраических же критериев, предпри^
нять разбиение на различные типы и дифференциальных выражений
высших порядков и систем дифференциальных уравнений. При этом

160 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. III
вместо алгебраической характеристической формы второго порядка
появится соответствующая алгебраическая форма высшего порядка.
1. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Рассмот-
Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка k
где коэффициенты ai ...,- главной части, т. е. выражения, содержа-
содержащего производные порядка k, являются заданными функциями неза-
независимых переменных JCj, ..., хп в рассматриваемой области G.
Этому дифференциальному уравнению и соответственно дифферен-
дифференциальному выражению L [и] мы отнесем следующую однородную
форму порядка k, зависящую от переменных у1У ..., уп:
2 %<,/?уЬ,
так называемую характеристическую форму, причем точка
jCj, ..., хп рассматривается как постоянная. Если, подобно предыду-
предыдущему, подвергнуть независимые переменные хх, ..., хп преобразо-
преобразованию
то получим:
где точки обозначают выражения, содержащие производные более
низкого порядка от неизвестной функции и, а коэффициенты а,- ...г
нового дифференциального выражения получаются из коэффициентов
at ...? первоначального с помощью преобразования
Эю можно также выразить и следующим образом. Для характери-
характеристической формы при аффинном преобразовании
справедливо тождество
В силу этого те свойства формы С порядка 6, которые остаются
неизменными при аффинном преобразовании независимых переменных
.Ун ••¦> Уп1 будут характеристическими признаками нашего диффе-
дифференциального выражения и притом признаками, общими всем диффе-
дифференциальным выражениям, получающимся из первоначального при
помощи преобразования независимых переменных. Естественно поэтому

§ 4} УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 161
Воспользоваться такими аффинно-инвариантными свойствами ха-
характеристической фор м С в качестве характеристических при-
признаков для классификаи ш дифференциальных уравнений высшего
порядка.
Рассмотрим, в частности, алгебраический «характеристический»
конус k-ro порядка в пространстве ylt..., уп, определяемый для
йсякой фиксированной точки уравнением
С = 0. F)
Это дает нам возможность установить следующую классификацию.
В том случае, если характеристический конус С—0 не имеет
Действительных точек, за исключением нулевой точки\у1=.. ,—уп~0,
т. е. в том случае, когда С есть положительно или отрицательно
Ьпределенная форма (свойство, инвариантное по отношению к аффин-
аффинным преобразованиям), то дифференциальное выражение L [и] назы-
называется эллиптическим в рассматриваемой точке или соответственно
в рассматриваемой области G.
j' Если в точке xv..., хп форма С может быть преобразована
С помощью аффинного преобразования в форму А-го порядка, зави-
зависящую от меньшего, чем п, числа переменных, то дифференциальное
Выражение называется параболически вырождающимся в рассматри-
рассматриваемой точке. В этом случае можно преобразованием независимых
переменных в рассматриваемой точке привести дифференциальное
выражение к такому виду, в который входят производные порядка k
j&Hiiib по п — 1 или меньшему числу независимых' переменных.
Е' Дальнейшие типы дифференциальных уравнений различают по
"Свойствам действительности или мнимости, связанным с конусом
\ В частности, дифференциальное выражение L[u\ мы будем назы-
называть вполне гиперболическим или тотально гиперболическим в рас-
рассматриваемой точке, если, имеет место следующее свойство: возможно
|в случае нужды — после надлежащего преобразования переменных)
[выделить в рассматриваемой точке одну переменную, например,
yn=^sf таким образом, чтобы алгебраическое уравнение, получаю-
получающееся для s из С==О, при произвольном выборе переменных
Уи---, Уп-v имело k действительных корней, причем допускаются
также и кратные корни.
Примером эллиптического типа является дифференциальное урав-
уравнение
:• ДДи = О
или, в развернутом виде,
д*и ,
x ^
Характеристический конус имеет здесь уравнение

162 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [гл. |||
Другим примером эллиптического дифференциального уравнения мо-
может служить уравнение
- szO
дх)
с характеристической формой
Примером параболически выродившегося дифференциального
уравнения является уравнение
щ = ДДи,
причем п заменено через п-f-l и переменная х„+1 »=* выделена.
Характеристическая фориа для этого дифференциального уравнения есть
и, следорательно, не содержит переменной уп+1 = s.
Тотально гиперболическим дифференциальным выражением
является следующее:
Характеристическая форма с переменными уи..., уп, s имеет вид
и, очевидно, обладает требуемым свойством. Напротив, дифферен-
дифференциальное выражение
(»-¦?)(»+?)¦-"—?
не является ни эллиптическим, ни параболическим, но оно не отно-
относится и к тотально гиперболическому типу, так как форма
имеет при фиксированных значениях переменных yv..., уп лишь
два, а не четыре действительных корня s.
2. Классификация снстем дифференциальных уравнений. Мно-
Многие задачи математической физики приводят к системе дифферен-
дифференциальных уравнений и притом к системе дифференциальных уравне-
уравнений первого порядка. Поэтому заслуживает быть отмеченным тот
факт, что и для систем дифференциальных уравнений можно- очень
просто предпринять классификацию на эллиптические, параболические
и другие, в особенности гиперболические, типы.
Пусть «!,..., ит—т искомых функций от п независимых пере-
переменных xv..., хп, рассматриваемых как компоненты «функциональ-
«функционального вектора» и. Пусть /и2 выражений

4
УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
будут линейными однородными дифференциальными выражениями
первого порядка, причем пт? коэффициентов arik—заданные функ-
функции от #!,..., хп. Пусть, далее, #„ ..., gm, рассматриваемые как
компоненты функционального вектора g, — заданные функции иеза-
¦висимых переменных лг,, ..., хп и величин а„ ...,«„; при втом
«ет нужды функции gv ..., gm предполагать линейными относительно
величин uv ..., ит. В указанных обозначениях рассмотрим систему
дифференциальных уравнений
I 2^*lK*l=*?i ('". •••. "О.
которую можно представить в сокращенной записи
п
. да
(8)
(9)
введя в рассмотрение матрицы (ay s= A»".
Такой системе дифференциальных уравнений мы относим-»для
фиксированной точки хи..., хп — ^характеристическую» форму,
однородную степени т относительно переменных -уи..., уп
A0)
Нетрудно установить следующие, факты. При преобразовании неза-
независимых переменных в дифференциальных уравнениях возникает
1ювая система дифференциальных уравнений, характеристическая
форма которой тождественна форме С, если одновременно подверг-
подвергнуть переменные у{ аффинному преобразованию E). Далее, если
заменить нашу систему дифференциальных уравнений эквивалентной
системой, составленной из т не зависящих друг от друга линейных
комбинаций данных дифференциальных уравнений, то форма С умно-
умножается лишь на определитель матрицы коэффициентов этой ли-
линейной комбинации. Наконец, если неизвестные функции и{ заменить
какими-либо их линейными комбинациями, то форма С также остается
неизменной с точностью до множителя, равного определителю мат-
матрицы коэффициентов этой системы линейных комбинаций. Приходим,
следовательно, к следующему результату:
Алгебраический конус С = 0 инвариантно сопряжен системе
дифференциальных уравнений в том смысле, что остается неиз~
менным при преобразовании независимых переменных в дифферен-
дифференциальных уравнениях и одновременном соответствующем аффин-
аффинном преобразовании E) величин у,; он также не изменяется.

164 Линейные уравнения Высших порядков [гл. м
если от данной системы дифференциальных уравнений перейти
к эквивалентной системе, введением новых линейных комбинаций
дифференциальных уравнений и искомых функций.
Тем самым мотивир^ано следующее подразделение на типы,
которые всегда впрочем относятся к определенной точке хи..., хп.
Если при помощи подходящего преобразования E) фо; ма С мо-
ж»1 быть приведена к виду, зависящему от меньшего, чем и, числа
ас;пленных* то система дифференциальных уравнений называется
параболически выродившейся.
При отсутствии вырождения системы дифференциальных уравне-
уравнений называется эллиптической, если алгебраический конус С=0 не
имеет действительных точек, кроме вершины.
Система дифференциальных уравнений называется вполне гипер~
болической кпк тотально гиперболической, если удовлетворяется -»-
в случае надобности, после выполнения надлежащего (линейного)
преобразования переменных х{ (соответственно^)— следующее усло-
условие. При выборе произвольных значений величину, , уп_х полу-
получающееся для уп алгебраическое уравнение С= 0 степени т должно
иметь т действительных, не обязательно различных, корней.
Этот тотально гиперболический случай бывает, в частности, тогда,
когда перед нами «гиперболическая нормальная форма*. Под этим
мы разумеем, что матрицы Аг симметричны и что одна из матриц^
скажем, А — Ап+1 (мы здесь опять рассматриваем и—}- 1 переменную
вместо п и полагаем xn+1 = t), положительно определенная. В этом
случае, с помощью подходящего ортогонального преобразования, со-
сохраняющего симметрию, можно достигнуть того, чтобы последняя
матрица перешла в положительно определенную диагональную ма-
матрицу; но тогда из уже известных теорем (действительность корней
векового уравнения) вытекает, что имеет место гиперболический
случай.
Простейший пример эллиптической системы доставляют условия
Коши-Римана или, общее, дифференциальные уравнения Бельтрами
(ср. стр. -147):
причем матрица
С .*)
предполагается положительно определенной.
Матрица операторов (Lik) имеет здесь Йид

§ 4] УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
а соответствующая характеристическая форма выглядит так:
С(у) =
в частности, для уравнений Коши-Римана W= 1, а = с— 1,
165
= 0 и
Гиперболический случай мы имеем в системе дифференциальных
уравнений Максвелла, которая в простейшем случае, для эфира,
если принять скорость света за единицу, имеет следующий вид:
При этом @ = («j, к2, в8) есть электрический йектор, §) = (и4, и6, «g) —
магнитный вектор; для четвертой переменкой, времени, пишем t
вместо jc4. Записав нашу систему дифференциальных уравнений
в разверкутом виде:
dut див дщ
dt dy dz '
du$ du-i dus ш
dt dz dx'
dus du5 ди4 #
dt дх ду'
получим в качестве операторной
а -
д О
dt U
о —|г
0 0
° i
d , d
ду дх
da4 das
~dt ~dy
du5 dut
"dt ~dz
" dt ~ dx
матрицы
0
0
д
dt
d
bj
d
dx
0
0 —
d
SI
d
dy
Ш *
0 —
0
dih.
Ш'
dug
dx
dut
~Syl
d
11
0
_d_
0
~dt
0
Отсюда получается характеристическое уравнение
У и Уъ> Уя> .У* — 5 сначала с помощью определителя
ОО —
~ s 0
0 —s
0 0 -
0
0
-S
0 У3 —У*
— у 0
Уъ —Ух
Ух
0
о —.л
ys о
—Уъ Ух
— s 0
0 —s
0 0
¦
—
в
—Ух
О
0
0
¦ s
dy
d
dx
0
0
0
ne

166 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. III
а »атеи, по выполнений вычислений, в следующей виде:
с=* sa(sa— yl— yl— ylK=о.
И < волновое уравнение» «rt—Ди = 0, которому удовлетворяет каж-
каждая из компонент в,,..., ив, имеет характеристическое соотношение
того же вида: *а—у\— у\—yl=*0. Это обстоятельство основывается
на следующем факте, доказательство которого мы предлагаем в ка-
'честве задачи. Если из системы дифференциальных уравнений методом
исключения получается одно единственное дифференциальное уравне'
нне (для одной из искомых функций), то характеристический конус
С=»0 последнего всегда содержится в характеристическом уравне-
уравнении исходной системы1).
Для дифференциальных уравнений Дирака справедлив результат,
аналогичный полученному для уравнений Максвелла. Уравнения Дирака
относятся к системе четырех комплексных функций*и =» (и,, и2, и8, и4)
от четырех переменных X1,xi,xs,xi = ct. Для того, чтобы их сфор-
сформулировать, вводят в рассмотрение следующие матрицы:
1 0 0 0\
О 1 0 0
Р 1о о — 1 о
\0 0 0 — 1/
С помощью этих матриц уравнение Дирака записывается так:
4
При этом вектор (alf a^, а8) пропорционален вектоп-потенциалу,
—а4 пропврционально скалярному потенциалу, а Ь—энергии покоя.
*) Эту теорему можно обобщи >ь, если установить характеристические
формы и для сксхем. дифференциальных уравнение высших -порядков.

§4]
УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
167
Согласно нашим правилам характеристический определитель в раз-
развернутом виде дает следующую форму четвертой степени в пере-
переменных yv у9, ys, yt:
C(v) = |
к
Следовательно, характеристический конус опять тот же, что и для
волнового уравнения.
В заключение заметим, что как результаты предыдущего пара-
параграфа, так и п. 1 настоящего параграфа могут быть вновь получены,
исходя из усвоенной ныне точки зрения. Если, например, заменить
дифференциальное уравнение второго порядка
нижеследующей системой дифференциальных уравнений первого
порядка;
dp? дрп ,,
дхп джг у
I, ..., л—1),
1к
то для этой системы получим характеристическое условие
п п л
Уп
о
о
k-l
—У1
. Уъ
Уп
о о ... уп, —Уп-1
которое, по вычислении определителя, принимает вид
= 0,
в согласии с полученным ранее результатом.
S. Замечания о нелинейных вадачах. Так же как и в случае
и = 2, возможно обобщение нашей классификации на нелинейные
дифференциальные выражения и при произвольном п; правда, при
этом мы должны отказаться от общего установления простых нор-
нормальных видов. Сейчас мы ограничимся указанием на случай квази-
квазилинейного дифференциального выражения второго порядка

168 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ \ГП. Щ
И здесь деление на типы в точке х{, pt, и пространства (х, р, и) 2п~\- 1
измерений производится на основании характера инерции определен-
определенной в этой точке квадратичной формы
зависящей от неопределенных параметров yt.
Аналогичный вывод спр!ведлив дли систем первого порядка1 и
для других квазилинейных задач высшего порядка. К этим вопросам
мы еще вернемся позднее в гл. VI, в рамках общей теории характе-
характеристик.
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами
1. Общие соображения. В § 3 мы занимались преобразованием
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
коэффициентами к простым нормальным формам. Теперь мы займемся исследо-
исследованием структуры самих решений. При этом решающее значение
будет иметь понятие волны; в частности, мы будем иметь возмож-
возможность трактовать решения дифференциальных уравнений как нало-
наложение (суперпозицию) таких волн. Однако, в то время как в общем
случае возможность преобразования к нормальным формам суще-
существенным образом основывается на том, что порядок дифференциаль-
дифференциального уравнения равен двум, нижеследующие соображения, касающиеся
построения решения из волн, справедливы также и для линейных
дифференциальных уравнений высшего порядка с постоянными коэф-
коэффициентами.
Мы будем при этом рассматривать я-}-1 независимое переменное
и сохраним за собою право писать хп+1 = t, отличая, в случае на-
надобности, эту последнюю переменную как временную координату.
Общее линейное дифференциальное уравнение порядка k запи-.
шется так:
причем многоточие обозначает опять дифференциальное выражение
порядка ниже k, а сумма, выписанная явно, есть главная часть диф-
дифференциального уравнения. Характеристический конус
С(Уи • • •. Уп+i) = 2е4. • -«я+гЛ • * -Уп+i = °
не зависит здесь от точки хи ... хп+1 (я -j- 1)-мерного пространства
х, t, которое мы обозначим через ffin+1-
Дифференциальное уравнение A) можно записать в следующем
символическом виде:

§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 169
где Pj есть однородный полином степени j относительно символов
л—, a g—заданная функция независимых переменных. Мы будем
преимущественно рассматривать случай однородного уравнения, т. е.
случай g — 0.
В силу постоянства коэффициентов, одновременно с решением
и (xv xv ...) однородного уравнения будут всегда также решениями
и функция и{х1 — 51Э х2 — ;8, ...) при произвольных значениях ?,, и
ди
частные производные ¦=—.
2. Плоские волны. Отсутствие искажения. Дисперсия. В связи
с теорией собственных значений мы ранее, в гл. V первого тома,
рассмотрели стоячие волны. Мы их определили как такие решения
линейного дифференциального уравнения, которые могут быть пред-
представлены в виде произведения множителя p{f), зависящего только
от времени t, на функцию /(х), зависящую лишь от пространствен-
пространственных переменных л:,-, рассматриваемых совместно как вектор л::
Функция f(x) дает тогда форму стоячей волны.
Однако, для нас теперь исходным пунктом будут не стоячие,
а проходящие волны, и именно плоские волны. Под проходящей
или поступательной плоской волной для однородного линейного
дифференциального уравнения L [и] = 0 мы понимаем решение вида
и = /B atxt — bf)=f(A — bf)=fiax — bf)=f (В), C)
8 = 1
где для сокращения положено
п
А= S diXf = (а, х) = ах, В —А — Ы
Такие плоские волны и имеют постоянные значения на каждой
плоскости семейства ,
п
2 а{х{ — Ы = const.
в /г-j- 1-мерном пространстве х, t.
Для того, чтобы мотивировать термин «проходящая {поступа-
{поступательная) волна», будем рассматривать, вместо п-\- 1-мерного про-
пространства, и-мерное пространство ffin переменных хх, ..., хп, а вели-
величину и как «функцию состояния» этого пространства $Яп, изменяю-
изменяющуюся со временем t
Тогда решение вида C) представляет состояние, которое остается
всегда одним и тем же вдоль всей, плоскости, принадлежащей неко-
*) Ниже, в гл. VI, § 10 мы будем трактовать понятие проходящей волны
значительно общее.

170 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. Ill
торой системе параллельных плоскостей {плоскость равной фазы),
причем эта плоскость равной фазы, соответствующая определенному
значению функции состояния, движется параллельно самой себе с по-
постоянной скоростью в этом пространстве $„.
Полагая для наших плоских волн
A — W = e(
мы приходим к следующей записи:
причем величины ctj—направляющие косинусы волновой нормали,
а р — скорость распространения волны. Выражение Q — Щ назы-
называется фазой волны, функция <э и /соответственно — формой волны.
Например, простейшее волновое уравнение второго порядка
Аи — utt=0
имеет плоские волны вида
п
и = 9B «л—0,
где коэффициенты аг могут быть произвольные числа, удовлетворяю-
удовлетворяющие равенству 2 я* = *» а форма волны о может быть произвольной
функцией.
Другими словами;
Волновое уравнение Ли — utt = 0 имеет плоские волны произ-
произвольного направления и произвольно заданной формы, причем все
они распространяются со скоростью 1.
Напротив, совершенно иначе обстоит дело у дифференциального
уравнения
Аи'— ии -\~ си = 0 D)
с коэффициентом с, отличным от нуля. Если /E), где /3 =
п
= 2 aixi — ЬЪ есть соответствующая плоская волна, то для формы
волны /{В) легко получается следующее уравнение:
Г(В)(*—Р)+/(В)с=°0, -E)
следовательно, — обыкновенное линейное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами. Для скорости C = 1, т. е. при ?а = а2,
теперь, очевидно, уже не существует проходящих волн; однако же,
для всякой другой скорости и для произвольного направления, из
уравнения E) определяются возможные формы волны как показатель-
показательные функции. Таким образом, в случае дифференциального урав-
уравнения D) направление и скорость распространения волны, при-
принадлежащей дифференциальному уравнению {отвлекаясь от
исключительного значения 1), могут быть произвольно заданы;
однако, для поступательных волн возможны лишь специальные
формы волны.

§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 171
Первый случай, дифференциального уравнения второго порядка
Ди—ий = 0, называется случаем, свободным от искажения или
случаем отсутствия дисперсии, потому что в этом случае волны
произвольно заданной формы распространяются без искажений, притом
с определенной скоростью; второй случай, дифференциального урав-
уравнения D), называется случаем дисперсии по следующей причине:
если рассматриваемое решение и является суперпозицией ряда про-
проходящих волн с одним и тем же направлением распространения,
форма которых ограничена условием E), то разные компоненты будут
распространяться с различными скоростями. Таким образом, форма
волны, существующая при t = 0, изменяется с изменением t.
В точности соответствующая ситуация и та же самая альтернатива
имеются у любого4 линейного дифференциального уравнения порядка k
вида B). Возможные плоские волны находим, подставляя в диффе-
дифференциальное уравнение B) м=/(Л—Ы); для того, чтобы получить
наглядное соотношение, пишем: —b = ani.l и, следовательно,
и + 1
А — Ы^=В— 2 W' после чего имеем:
V — 1 '
= O. F)
Теперь имеет место следующая альтернатива: либо первоначаль-
первоначальное дифференциальное уравнение B) состоит из одной лишь главной
части, т. е. полиномы Pj тождественно равны нулю при ]<k; либо
в дифференциальном уравнении встречаются производные порядка
ниже к.
В первом случае форма /(В) проходящей волны может быть про-
произвольно выбрана; если только коэффициенты at подчинены харак~
теристическому условию
C(av...,an+1) = Pk(ai) = O, G)
то функция и =/(??) является решением дифференциального уравне-
уравнения AI): Условие G) есть однородное уравнение степени к для
величин at и, следовательно, неоднородное уравнение степени k для
отношений -~^-= —-. Для заданных значений а,,.. .,ап или, что
ап+1 °
то же самое, для произвольно заданного а =* ~tfa\ -\- ... -\- я?
и произвольного направления a.i,...,an существует, следовательно,
конечное число, «е более, чем k, значений скорости р распростра-
распространения волны. В нашем случае имеющаяся при i = 0 начальная произ-
п
вольная форма плоской волны и ==/E аЛ) распространяется во
г) Возможное решение — функция / равна любому полиному (к — 1)-ой
степени с произвольными коэффициентами а$ — не представляет интереса,
'нбо оно отнюдь не остается ограниченным в бесконечности.

172 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. Ш
всяком произвольно выбранном направлении абсолютно без искажения,
причем, для скорости распространения в любом направлении возможно
лишь конечное число k или меньше значений. Между величинами,
характеризующими направление, и скоростью поступательной волны
существует, независимо от формы волны, в качестве необходимого
и достаточного условия, алгебраическое соотношение G).
Второй случай нашей альтернативы имеет место, когда уравне-
уравнение B) содержит больше одного члена. В этом случае уравнение F)
при заданных значениях аг имеет вид обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для формы волны f(B),
не считая разве таких особых систем значений at, c2, ...,an%t, при
которых уравнение F) вырождается в том смысле, что все выражения Pj
исчезают, за исключением, самое большее, коэффициента Ро. Если
отвлечься от этих исключительных значений, то для всякого произ-
произвольного направления и скорости распространения существуют про-
проходящие волны, однако только такие, форма которых ограничена
обыкновенным дифференциальным уравнением F); следовательно, эти
волны могут быть представлены как суперпозиция, самое большее,
к экспоненциальных выражений вида /=ев.
Следовательно, дифференциальное уравнение L [и] = 0 имеет ре-
решения „ „
= е1
причем коэффициенты подчинены лишь условию
2^(«1,,---.в»+1) = 0 (8)
и обратно. Это уравнение (8) при произвольных at и {3 представляет
собой уравнение степени k для величины- а.
Резюмируя, можно формулировать следующий общий результат:
Либо дифференциальное уравнение содержит лишь производные
наивысшего, в нем встречающегося порядка; в этом случае суще-
существуют плоские волны произвольно заданной формы, распростра-
распространяющиеся без искажения, если только выполняется алгебраи-
алгебраическое соотношение G) между направлением и скоростью,
определяющее для заданного направления скорость распростране-
распространения,, самое большее, k-значн'о (случай без дисперсии). Либо в диф-
дифференциальном уравнении имеются производные различных порядков;
в таком случае можно задать произвольно направление и скорость
проходящих волк; однако, для каждой такой системы направляю-
направляющих коэффициентов и скорости, возможная форма волны огра-
ограничивается обыкновенным дифференциальным уравнением F), если
отвлечься от исключительного случая, когда для специальной
системы значений направления и скорости Pj(ai) = O при ;>0,
причем либо вообще невозможны проходящие волны, либо, возможны
волны произвольной формы (случай дисперсии).

I S] линейные уравнения С постоянными коэффициентами 173
В приведенном выше примере D) для дисперсионного случая такое
исключение представляет всякое произвольное направление со ско-
скоростью 1, причем вообще невозможны поступательные волны; Пример
дифференциального уравнения
также иллюстрирует дисперсионный случай. Исключительные значения
для направления и скорости даются условиями
Если эти условия выполнены, то существуют проходящие волны
произвольной формы. Все они распространяются со скоростью 1,
но отличаются той особенностью, что их направления должны при-
принадлежать конусу
2 в*«* —0.
В случае дисперсии понятие волны ограничивают еще дополни-
дополнительным требованием, чтобы волна и оставалась ограниченной для
всякого времени t и всего л-мерного пространства 5Я„. Отсюда выте-
вытекает, что при вещественных значениях аи ..., ап и |3 решение должно
иметь вид
т. е. величина а = ?<о должна быть чисто мнимой. Сладовательно,
в случае дисперсии эти плоские волны являются периодическими
процессами во времени и в пространстве. Решения, удовлетворяю-
удовлетворяющие этому дополнительному требованию: быть всюду ограниченными,
т. е. только решения вида (9) называются, в дисперсионном случае
плоскими волнами в собственном смысле. Для этих волн приняты
следующие термины: р называется фазовой скоростью, а> — частотой,
X аяе ДЛИНОЙ ВОЛНЫ.
ш
Наряду с этими волнами в собственном смысле слова встречаются
еще несобственные (затухающие и нарастающие) волны, которые еще
остаются, правда, ограниченными во всем я-мерном пространстве Шп
при фиксированном t и при бесконечном его возрастании в одном
направлении, но уже не удовлетворяют условию ограниченности при
бесконечном возрастании t в другом направлении. Это —волны,
для которых b = fр — i —J ш — рт -J- q есть величина комплексная
с р ф 0, т. е. волны вида
Величина q называется коэффициентом затухания. Положительное q
соответствует затухающему процессу, отрицательное q—экспонен-

174 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [гЛ. Ш
циальн'о нарастающему, «раскачиваемому* процессу. Такие несоб-
несобственные волны, очевидно, уже не являются чисто периодическими
во времени.
3. Примеры: телеграфное уравнение, отсутствие искажения
у кабелей. Волновое уравнение
принадлежит к случаю, свободному от дисперсии. Поступательные
плоские волны со скоростью с и произвольной формбй о BаЛ ~~ c0i
2iaj = l, возможны во всяком направлении.
Другой особенно важный пример представляет телеграфное урав-
уравнение
««—Aw + (« + P) «, + «?«=» О, A0)
которому удовлетворяет напряжение или сила тока как функция
времени t и положения х вдоль двойного кабеля, где х—длина.
кабеля, отсчитываемая от некоторой начальной точки 1).
Это уравнение принадлежит (за исключением случая a = {3 = О)
к дисперсионному случаю. С помощью подстановки
•»== е и,
в согласии с общим принципом из § 3, п. 2, его можно привести
к более простому уравнению для функции v:
Для этого нового уравнения, согласно ранее полученному результату,
случай отсутствия дисперсии имеет место тогда и только тогда, если
а— р. A1)
*) Это дифференциальное уравнение получается из следующей системы
двух дифференциальных уравнений первого порядка для силы тока I н на-
напряжения и как функций от х и t:
Lit+
посредством исключения одной нз неизвестных функций. При этом L есть
самоиндукция кабеля, R — его сопротивление, С—емкость и, наконец,
G — утечка кабеля (потеря тока, деленная на напряжение). Все этн величины
L, R, С и G рассчитаны на единицу длины кабеля. Следовательно, в урав-
уравнении A0), получающемся после исключения, постоянные имеют следующие
значения:
При »том с есть скорость света, « называется емкостным, р — индуктивным
коеффнцнентом затухания.

§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ l75
В этом случае исходное телеграфное уравнение не имеет, правда,
абсолютно свободных от искажений волновых решений произвольно
заданной формы. Однако, при выполнении условия A1) телеграфное
уравнение обладает затухающими, т. е. «относительно» свободными
от искажений волновыми решениями вида
A2)
с произвольной функцией /, распространяющимися по обоим напра-
направлениям кабеля.
На этом результате, чрезвычайно важном для кабельной телеграфии,
основывается тот факт, что при надлежащем подборе емкости и само-
самоиндукции кабеля возможна передача сигналов в пропорционально
неискаженной форме, хотя и с наличием множителя, затухающего
со временем (ср. также дополнения).
4. Цилиндрические и сферические волны. С помощью принципа
наложения, мы покажем на примерах, как из плоских волн получаются
другие важные формы решений, именно так называемые цилиндри-
цилиндрические и сферические волны.
а) Цилиндрические волны. Для волнового уравнения
в двух пространственных измерениях
функция е*ш^ХС0**+Уюа*)еш является решением при любом значе-
значении 0, причем ш—произвольно выбранное число. Это — плоская
волна, распространяющаяся по направлению, определяемому полярным
углом Ь. Ингегрируя эту «плоскую волну» по полярному углу 8j
получим новое решение
Йе
и (*, у, t) — еш J * *"cos (*-?) Од — 2ъе ш JQ («r),
о
причем мы ввели полярную координату г с помощью формул
x = rco$«p, y*=*rsinf. Это решение имеет форму стоячей
волны.
Следовательно, функция Бесселя JQ(pr) дает форму решения
волнового уравнения A3), обладающую вращательной симметрией
вокруг оси, так называемую цилиндрическую волну. Это решение
регулярно в нулевой точке г = 0. Однако, посредством суперпозиции
плоских волн можно получить также решение, для которого начало
является особой точкой; такое решение соответствует процессу излу-
излучения (ср. § 6) с источником в начале координат. Но для этого
требуется суперпозиция также и несобственных волн. Действительно,
пусть L (ср. т. If гл. VII) обозначает путь интегрирования в ком-
комплексной плоскости в, изображенный на черт. 4; интегрируя по

176
Линейные уравнения высших порядков
[гл. ш
этому пути, получим, в качестве решения волнового уравнения, выра-
выражение
и = е*-»г Г
Н10 (адг),
где Щ означает функцию Ганкеля.
И та и другая цилиндрическая волна являются, естественно,
периодическими функциями времени t, в. отношении же пространст-
пространственной переменной г они являются осциллирую-
осциллирующими, но не периодическими функциями.
б) Сферические волны. Несколько иначе
обстоит дело в трех пространственных измерениях.
Из решения ei{ateiai(ax+$y +?*)= с/ш-'ги интегриро-
интегрированием функции w по единичной сфере простран-
пространства а, р, if получим новую функцию
где dQ — элемент поверхности единичной сферы.
Так как эта функция, очевидно, инвариантна отно-
Черт. 4. сительно вращений координатной системы, то для
вычисления интеграла можно положить х =
= ^ — 0, г = ги, введя в пространстве я, ;3, -\ обычным образом
полярные координаты г, 0, v, имеем:
« = Г dvf eJlurCl)s9 sin bd Ь или v -¦
4тс sfn ыг
Следовательно,
о
sin i
е есть стояча-я сферическая волна, регу-
регулярная, впрочем, в начале координат и полученная наложением регу-
регулярных проходящих плоских волн.
Для того, чтобы получить волны, для которых нулевая точка
является особой и которые соответствуют процессам излучения, мы
должны суперпонировать также и несобственные плоские
волны. Пользуясь путем интегрирования L черт. 5,
имеем:
sin
= 2т. *?L ,
ШГ
A4)
-f
Черт. 5.
т. е., в вещественной записи, две формы волны
COS tor Sin tar
г
И
из которых вторая есть уже ранее найденная регулярная в- нулевой
точке.

§ В] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 171
giver
Заметим, что одна и та же форма шаровой волны 2it —— полу-
получается суперпозицией плоских волн e^^+^+vO ПрИ любОм поло-
положении точки х, у, г с z >0. Точнее: независимо от положения точки
х, у, z с г>0 на сфере х2-{-у2-\-г2 — г2
2* ^ = frf» Г e^+^+rt sin »rf». A5)
О Ь
Для доказательства проще всего прямым .рассуждением покааать,
что интеграл A5) зависит тояько от г. Непосредственно видно, что
правая часть равенства A5) (обозначим ее через v) во всяком случае
может зависеть лишь от г2 и от p2 = xs-\-ys: v = v(p,z). Затем
легко проверить, что zv? — рг»г = 0 тождественно, т. е. что о зависит
лишь от комбинации г2 = ра -f- г21).
Так как волновое уравнение принадлежит к типу, свободному от
дисперсии, то, ограничиваясь опять волнами в собственном смысле,
можно составить вращательно-симметричную волну
2я т. ,
u~ \ \ f{t —- ах — $у — %г) sin Ъ db da
о о
с произвольной функцией /(X). Вследствие инвариантности этого
выражения по.отношению к ортогональным преобразованиям, можно
и здесь для вычисления интеграла, без ограничения общности, поло-
положить х—у = О. Перейдя к полярным координатам,, так же, как и
раньше, получим:
— rcosb)$inb db = ~
о
где F, как первообразная для /, есть произвольная функция. Итак,
выражение
F(t + r)— F(t~r)
г
является решением при произвольной, дважды дифференцируемой
функции/72). Но и функции
!) Отождествление обоих интегралов A4) и A5) являет собой в извест-
известном смысле пример применения интегральной теоремы Коши для двух пере-
переменных, так как переход от р = 0 к р-^-0 означает изменение пути интегри-
интегрирования в комплексной плоскости в [ср. Н. W е у I, Ann. d. Pftysik, т. 60,
стр. 481 и следующие, где формула A5) получила важное применение к про-
проблеме распространения волн в беспроволочной телеграфии].
г)В случае двух пространственных измерений аналогичное упрощение
2ге
интеграла а = I /(/—/*cosO)dS невозможно, что уже сейчас указывает

178 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (ГЛ. Щ
каждая в отдельности, являются решениями, в чем нетрудно убе-
убедиться с помощью непосредственной поверки. Найденные только что
решения, очевидно, имеют особую точку в начале координат. Эти
решения можно истолковать как поступательные сферические волны,
пространственно затухающие по мере своего продвижения.
Заметим кстати, что эти решения можно охарактеризовать как
единственные решения волнового уравнения в трех пространственных
измерениях, которые зависят пространственно только от г. Это
вытекает из того, что для функции и (г, f) выражение Аи—мжаг}-ида-}-мгг
(ср. т. I, стр. 217) принимает вид
2 1 , ^ .
= и
тг
следовательно, волновое уравнение Дм—ий —0 переходит в Диф-
Дифференциальное уравнение
i [(/•«)„-(гаЫ = О,
откуда согласно гл. I, стр. 17 общее решение есть
m — Fffi -f- г) -f G (t— r)
с произвольными функциями F и' G.
§ 6. Задачи с начальными условиями (задачи Коши); проблемы
излучения
Принцип наложения является во многих случаях ключом к реше-
решению задач фундаментального значения, относящихся к теории процессов
распространения. В этих задачах вопрос всегда заключается в опре-
определении таких решений дифференциального уравнения для- функций
пространственных координат xt и времени t в пространственной
области G и при f>0, которые удовлетворяют при t~0 заданным
начальным условиям и иногда еще заданным краевым условиям
на границе области. Откладывая более систематическое рассмотрение
таких задач на дальнейшее (ср. § 7 этой главы), мы здесь разберем
несколько характерных примеров, имеющих и самостоятельное зна-
значение.
1. Задачи Коши в теории теплопроводности. Преобразование
тета-функции. Рассмотрим сначала для уравнения теплопроводности
"¦XX— «t = ° A)
следующую задачу Коши: найти решение, имеющее непрерывные
производные до второго порядка при всех значениях абсциссы х и
при ?>0, непрерывное при t^>0 и обращающееся при ? — 0
в заданную функцию и {х, О) = а> (х). Функцию ф (х) мы при этом
на коренное различие между случаями четного и нечетного числа простран-
пространственных измерений. Это различие еще отчетливее проявится ниже в § 6 и
гл. VI.

§ 6] задачи с начальными условиями; проблемы излучения 179
предполагаем всюду непрерывной и ограниченной: J <э (х) | < Ж. Мы
утверждаем, что искомое решение дается формулой
Следовательно, наше решение получается посредством наложения из
приведенного нами ранее (ел. I, § 3, п. 2, стр. 29) «основного решения»
уравнения теплопроводности. Эта формула выражает тот факт, что
процесс распространения тепла представляется суперпозицией элемен-
элементарных процессов, причем отдельному элементарному процессу соот-
соответствует начальная температура нуль всюду, кроме точки х = ?,
а в этой точке в начальный момент сосредоточено количество
тепла, пропорциональное выражению ср(?). Доказательство мы
проведем с помощью простой поверки. Дифференцированием под
знаком интеграла непосредственно обнаруживается, что выраже-
выражение B) при tf>0 удовлетворяет, уравнению теплопроводности.
Остается, следовательно, проверить, удовлетворяется ли начальное
условие. Для этой цели вводий вместо 5 новую переменную инте-
грации с = —-— откуда получаем:
Этот интеграл мы представим как сумму трех интегралов
путем разбиения промежутка интегрирования на три части, причем
за промежуточное значение мы выберем Г=|*|~~1/''- Если t доста-
достаточно мало, то в интервале—Г ^ а ^ Т справедливо соотношение
|<о(х-\-2яY*) — ?С*0|<з при заданном сколь угодно малом в,
на основании предположенной непрерывности функции <р, так как
в этом интервале] о ||/r7*^;|f|1/'1. Из сходимости несобственного инте-
СО
СО
грала J er~°* da = У"тс тотчас заключаем, что при достаточно малом t
—со
интеграл /2 сколь угодно мало отличается от ®{х). Для обоих
интегралов Jx и Js получаем оценку
—со
со
е йо,

180 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ |ГЛ. IH
сю
Следовательно, в силу сходимости несобственного интеграла [ е~°'&
—оо
эти интегралы сколь угодно малы при достаточно малом t. Отсюда
непосредственно вытекает наше утверждение.
Заметим, что аналогичная явная форма решения задачи Коши для
уравнения теплопроводности имеется и в случае двух и более изме-
измерений. Пусть, например, требуется найти такое решение дифферен-
дифференциального уравнения
для ?>0, которое при ? = 0 переходит в заданную непрерывную
функцию точки »(х, у, г). Решение даётся формулой
которую нетрудно проверить.
Другая задача Коши уравнения теплопроводности, приводящая к ин-
интересному замечанию, относится к замкнутому линейно-протяженному
проводнику тепла (скажем, проволоке) длины 1. Задача Коши уравне-
уравнения ихх—щ = О формулируется здесь так же точно, как в первом
примере. Здесь присоединяется только условие, что как функция
'f (jc), так и решение к (л;, t) должны быть периодическими функциями
от хс периодом 1. Такое периодическое решение, принимающее заданные
начальные значения, можно сразу написать как суперпозицию решений
е~ "*"(& cos
(ср. сгр. /28), если предположить, что начальная функция »
допускает разложение в равномерно сходящийся ряд Фурье
со
а (х) = -у + 2 К cos 2кчх + *, sin 2«vx).
v=l
Искомое решение задачи Коши получится в следующем виде:
оо
и {х, t) = ~ 4- 2i (ач cos 2i:vx -\~ b4 sin 2wvx)e"1"'*'.
Если выразить коэффициенты Фурье с помощью интегралов и поме-
поменять местами суммирование и интеграцию, что при *>0, наверно,
дозволено, решение примет вид
1
и {х, 0 = J о (Е) {1 + 2 2 cos 2-v (х — Q е-™м} dl E)

§ 6] ' ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ; ПРОБЛЕМЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 181
С другой стороны, нашу задачу Коши можно решить в явном виде
еще и совершенно иным способом, если заметить, что функция
V
F)
есть периодическое решение уравнения теплопроводности с периодом 1,
То же рассуждение, что и выше, показывает, что функция
1
e(*,/)=J?(e)iF(*—5, t)d\ G)
о-
является решением поставленной задачи.
В силу произвольности функции <р($), если принять во внимание
«основную лемму вариационного исчисления/) (см. т. I, стр. 174),
Сравнение обоих решений показывает, что должно существовать
тождество
===
(8)
частный случай этой формулы при х — О был выведен ранее (т. I, стр. 68)
^«^функциональноеуравнение эллиптической тета-функции. Здесь же
эта формула иллюстрируется с помощью уравнения теплопроводности.
Однако в этом рассуждении молчаливо предполагалось, что оба
решения E) и G) должны быть тождественны. Чтобы это оправдать,
надо доказать, что наша задача Коши может иметь лишь одно един-
единственное решение или что решение, соответствующее начальной
функции нуль (следовательно, и разность двух решений, соответ-
соответствующих одной и той же начальной функции), само обращается,
тождественно в -нуль. Действительно, из уравнения ихх—tft = O
умножением на к и интегрированием от 0 до 1, получаем:
мы воспользовались при этом интегрированием по частям и приняли
во внимание периодичность функции и {к, t) относительно х. Отсюда
вытекает:
о
Поэтому, если при t = 0 тождественно и = 0, то функция и
должна также исчезать тождественно и при ?>0, что и требовалось
доказать *).
)
более
*) Этот метод ведения доказательств однозначности будег*в существенно
>с общей форме,'играть важную роль впоследствии (гл, V, § 3 и VI, § 4)

182 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (ГЛ. III
2. Задачи Коши для волнового уравнения. Задачу Коши для
волнового уравнения в одном пространственном измерении мы уже.
решили раньше (ср. гл. I, § 7, п. 1). Теперь мы рассмотрим осо-
особенно важное решение задачи Коши для волнового уравнения в трех
измерениях
«•»+«» + «« = ««• (9)
И это решение получается посредством суперпозиции, причем надо
исходить из найденного ранее решения
с произвольной функцией F. При этом
исходить из найденного ранее решения волнового уравнения — ~~...
с произвольной «параметрической точкой» S, ¦*], С-
Пусть Ft(K)—неотрицательная функция параметра А, которая
8
равна нулю вне интервала — г < X < г и для которой Г F, (К) а?А = 1.
—•
Функция
¦я ^*
являющаяся суперпозицией сферических волн и полученная интегри-
интегрированием по всем значениям ?, tq, С с помощью непрерывно дифферен-
дифференцируемой функции <р (?, % С), без сомнения, удовлетворяет волновому
уравнению. Если теперь заставить е стремиться к нулю и выполнить
предельный переход под знаком интервала, то- придем к решению
tMt{<?}, A0)
где Mt есть среднее значение функции ю на поверхности сферы ра-
радиуса t с центром в точке (х, у, z), a dQ — элемент поверхности
сферы: а2 + Р2 + 72=1-
Вместо выполнения предельного .перехода удобнее непосредствен-
непосредственной поверкой убедиться, что функция и является решением волнового
уравнения. Эту поверку мы здесь опускаем, так как впоследствии
она будет предпринята в более общих рамках (ср. гл. VI, § 5).
Нетрудно убедиться, что функция и удовлетворяет ¦ начальным
условиям
и (х, у, z, 0) = 0, щ (х, у, z,O) = <p (x, у, г).
Заметив, что одновременно с функцией- и ее производная ut также
является решением волнового уравнения, легко обнаружим, что
вообще функция

§ 6] ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ; ПРОБЛЕМЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 183
является решением задачи Коши для волнового уравнения с задан-
заданными начальными значениями
и (х, у, z, 0) = ф (х, у, г), ut (х, у, z,0)=<? (x, у, г).
3. Метод интеграла Фурье для решения задачи Коши. Суще-
Существует общий метод решения задачи Коши для дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами с помощью суперпозиции
плоских волн. Для того, чтобы избежать рассуждений о законности
некоторых процессов, например, изменения порядка интеграции и т. п.,
целесообразно и этим методом пользоваться лишь для эвристического
получения предполагаемого решения, которое вслед за этим необхо-
необходимо подвергнуть непосредственной проверке.
Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами
1[и1 = 0 A2)
для функции u(xv .,., хт t), или, короче, и(х, f) с решениями
е 1 i-г т п п >t MHj KOpO4ej e 'e .
Мы предполагаем при этом, что для всякой системы вещественных
чисел flj, ..., ап или, что то же самое, для всякого вектора а су-
существует k различных значений (ср. § 5, стр. 172)
которые зависят алгебраически от at и для которых выражение A3)
является решением уравнения A2). Обозначая через Wlt №а, •••, Wh
k произвольных функций от аи .',., ап, можно путем суперпозиции
плоских волн построить чисто формально выражение
и= "S I • • • Г Wj(ai an)eiiea!)e~ * j(oiv«V da, .,, dan. A4)
3—l —oo
Это выражение, без сомнения, тоже представляет решение уравне-
уравнения A2), если все процессы интегрирования сходятся и если дозво-
дозволено выполнение операции L под знаком интеграла.
Мы воспользуемся этим замечанием для того, чтобы построить
такое решение дифференциального уравнения A2), которое удовле-
удовлетворяет k начальным условиям
и (х, 0) = »0 (х),
A5)
где ?,(#) — заданные функции.

184
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
[ГЛ. Ш
Дифференцируя по t под знаком интеграла в выражении A4) и
подставляя в полученные выражения t = О, из начальных условий A5)
получим для функций Wu ..., Wk следующую систему интегральных
уравнений:
со j=l
со ft
-co ^-=1
— со J=l
A6)
Теорема обращения Фурье дает возможность получить решение этих
уравнений с помощью следующих формул:
к со
= ¦—j
i=i — оо
(/ = 0, .... А —1),
причем в правой части написаны известные выражения. Таким обра-
образом, для k неизвестных функций Wlt ..., Wk получена система ли-
линейных уравнений, определитель ^которой | (— №$¦ \ не может рав-
равняться нулю, в силу предположения, что все bj имеют различные
значения. Следовательно, функции Wj определяются однозначно, и
тем самым наша адача Коши решена.
В качестве примера рассмотрим снова волновое уравнение в трех
пространственных измерениях:
с начальными условиями
—Да —О
ti(x,y,z, 0) = 0,
ut (jc, у, z,O) — <p (х, у, z),
В этом примере получаются для b два значения:
и метод интеграла Фурье [см. формулу A4I, если с самого начала
учесть начальное условие и (х, у, z, 0) — 0, дает для и следующее
выражение:
s. A9)

§ 6] задачи с начальными условиями; проблемы излучения 185
После дифференцирования поя знаком интеграла получаем, подставляя
значение ? = 0:
ut (х, у, z, 0) = о (.v, у, z) =
оо
С С f
v а2,
На основании теоремы обращения отсюда получается для W выра-
выражение
Lfff . B0)
Это выражение для W подставляем в A9):
= Dj3 /JJsin р/
и попытаемся привести это решение к более простому виду, изменяя
порядок интегрирования по аи а2, а3 и по ?, ч\, С- Правда, это из-
изменение порядка интеграции невозможно непосредственно, ибо по-
появляющийся внутренний интеграл
Г Г С
= J p Sin pt dp Г Г в{ laite-EKosfo-ii) гО-Дг-5) cfQ — JL f s|n р/- sin pt dp
OS 0
не сходится; однако, простой прием, который мы будем применять
не раз впоследствии (например, дополнения к этой главе, § 1 и § 3,
а также гл. VI, § 5), делает возможным желаемое изменение. Для этой
цели рассматриваем не самый интеграл A9), но интеграл
v (х, у, г, t) = - J J j W(av a2, a,) *<**) Zi^L da, da% das, B1)
— oo
из которого можно получить искомую функцию двукратным диффе-
дифференцированием по t:
и = %-
Внеся выражение B0) в B1), после изменения порядка интегрирова-
интегрирования J) получим:
0 Мы опять предпринимаем это изменение порядка интегрирования с не-
некоторой беспечностью, потому что мы здесь имеем в виду эвристический
метод для получения решения, проверка которого будет произведена впо-
впоследствии е гл. VI, § б.

186 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. III
и теперь внутренний интеграл / уже сходится; после несложных вы-
выкладок имеем:
- W Ш •"-" ^
где г = /(* — 08+ СУ—i)a+(* — С)»-
Для интеграла в правой части, пользуясь тождеством
sin8 *
sin pr sin р/ = sin8 *~~- р — sin2 ^~р,
имеем:
2 |_ 2
и, следовательно, окончательно
1
4- для
J=\ , t B3)
ЫТ ДЛЯ r>L
В результате для v получается выражение
Когда дифференцируют по t интеграл вида
где интеграция распространяется по внутренней области шара ра-
радиуса t с центром в точке (х, у, z), то получается интеграл по по-
поверхности 2 этого шара:
Аналогично, интеграл
Я
по внешней области той же сферы имеет производную

§ 6] ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ; ПРОБЛЕМЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 187
На основании этого замечания из B4) вытекает:
n
откуда
в*в-гШ"МЛ1Л- B5)
После вторичного дифференцирования получаем окончательно:
Ч«=ТЗ:Я*Л- B6)
я
Пользуясь введенным ранее символом Mt[f}, можно этот результат
записать в следующем виде:
u==Vtt==iMt{9} B7)
в полном согласии с п. 2.
4. Решение неоднородного уравнения методом вариации по-
постоянных. Запаздывающие потенциалы. Коль скоро решена задача
Коши для однородного линейного дифференциального уравнения, как,
например, волнового уравнения, можно с помощью простого и об-
общего метода достигнуть полного решения соответствующего неодно-
неоднородного дифференциального уравнения. Этот метод соответствует
известному способу вариации постоянных или принципу толчков
(Stossprinzip) у обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы да-
дадим сперва общую формулировку, а затем применим ее к тому же
волновому уравнению.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
к«—Ha]^g(x,t) B8)
для функции и(хи ..., хп, ?) или опять, короче, и(х, ?), обозначая
символом х п пространственных переменных хи .".., хп. Здесь L
¦есть произвольное линейное дифференциальное выражение, содержа-
содержащее, самое большее, производную ut, но не содержащее высших
^производных по t. Задача Коши, которую мы должны решить, со-
состоит в отыскании такого решения и этого дифференциального урав-
уравнения B8), которое удовлетворяло бы при t — 0 следующим началь-
начальным условиям:
и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0.
Функция g(x, f), стоящая в правой части, предполагается извест-
известной и в приложениях представляет внешнюю силу, действующую на
систему.
К надлежащему методу, соответствующему принципу толчков,
приходят следующим образом: сначала предполагают, что заданная
функция g~g* исчезает всюду, за исключением небольшого интер-
вала х —
, для которого J g*(x, t)dt=ag(x, x). Если про-

188 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ['Л. m
интегрировать дифференциальное уравнение между пределами х — 8
и - по t и затем выполнить формально предельный переход е-»-О,
то придем к рассмотрению следующей задачи Коши для однородного
дифференциального уравнения. При заданном значении параметра t
найти для t^-z такое решение и{хл, ..., хп, ?) однородного диф-
дифференциального уравнения
«« —?[«1 = 0, B9)
для которого при t — т
и(х, х) = 0, ut (х, х) = g(x, x). B9а)
Это решение, которое мы представляем себе продолженным как то-
тождественный нуль для значений ?<Ч, соответствует мгновенному
толчку (удару) интеасивности g(x, z), действующему на покоящуюся
систему в момент ?Wt. Это решение, зависящее еще от параметра-с,
обозначим через <o(x,t;x). Независимо от своей эвристической моти-
мотивировки оно может быть определено как решение формулированной
задачи Коши для однородного дифференциального уравнения. Пред-
Представляя искомое решение неоднородного уравнения как суперпозицию
-действий этих толчков '?, мы утверждаем теперь следующее:
Функция
ь
f;xLz C0)
является решением задачи Коши для неоднородного дифференциаль-
дифференциального уравнения B8) с начальными условиями
и{х, 0) = 0, bi(j:,0) = 0.
Доказательство получается при помощи непосредственной поверки.
Действительно,
t
t
о
а так как yt(x> *> 0 = g(-v> О» т0 отсюда вытекает, что выражениеC0)
удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и начальным
условиям.
Этот общий результат мы применим теперь к волновому уравне-
уравнению в трех измерениях. Согласно результату, полученному в п. 2,
здесь
<? {*, У, г, t; z) ^(t—x) Mt,x {g{x, у, г-, х) }.

§ б] ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ; ПРОБЛЕМЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 189
Следовательно, для задачи Кощи, относящейся к волновому урав-
уравнению
Utt—&u = g(x,y,z, t)
с начальными условиями
сразу получаем в качестве решения функцию
t
и (х, у, z, t) = J (*—• -) Mt_r { g(x, у, z, т) } А =
о
t
о
t
О ?
илн, введя опять вместо полярных прямоугольные координаты
и(х,у, z, t)=± jff g«- *Ь 'Т* cZd^, C1)
где
Это выражение и называют запаздывающим потенциалом. Дело
в том, что таков именно потенциал пространственно распределенных
масс с плотностью g (ср. гл. IV, § 1). Однако, при выполнении ин-
интеграции надо, брать эту плотность не в рассматриваемый момент,
а в момент, предшествующий на такой промежуток времени, сколько.
требуется процессу, распространяющемуся со скоростью 1, для про-
прохождения пути от точки — носителя массы плотности g до центра
сферы.
5. Задача Коши для волнового уравнения в двух простран-
пространственных измерениях. Метод спуска (Absteigemethode). Решение
.задачи Коши для волнового уравнения в двух измерениях
<*хх + «»=«« C2)
можно получить непосредственно из решения для трех измерений
с помощью следующего простого, но весьма эффективного приема,
который Адамар (Hadamard) назвал методом спуска. Волновое урав-
уравнение C2) трактуют как частный случай уравнения для трех измере-
измерений, причем начальные данные, а с ними и самое решение предпо-
предполагаются не зависящими от третьей переменной z. Таким образом,
мы как бы спускаемся с трех к двум измерениям. Эта идея дает

Линейные уравнения высших порядков [гл. ш
немедленно искомое решение, если,в формулу A0) п. 2 ввести пред-
предположение, что у (х, у,г) = у (х, у) — ut(x, у, г, 0) не зависит от г.
В получающемся таким образом интеграле
Я
вводим в качестве независимых переменных величины ? — ta, т\ = $,
С =з tf, и интеграл по поверхности О сферы радиуса t, с помощью
формул
запишется в следующем виде:
«(*,Л0=г f f ^йШ^^. C3)
Это выражение представляет, следовательно, решение задачи Коши
для волнового уравнения в двух измерениях при начальных условиях
к (х, у. 0) = 0, щ (х, у, 0) = с? (х, у).
При сравнении формулы C3) с формулой A0) бросается в глаза
весьма замечательное различие между двумя и тремя простран-
пространственными измерениями. Между тем как при трех пространственных
измерениях решение в какой-либо точке зависит лишь от начальных
значений на поверхности трехмерной сферы радиуса t с центром в рас-
рассматриваемой точке, в случае двух пространственных измерений соот-
соответствующая область зависимости состоит из границы и внутренней
части соответствующей двухмерной сферы, т. е. круга радиуса t.
Мы еще вернемся не раз к более глубокому смыслу этого факта
(ср. § 7 и гл. VI, § 5, п. 3).
Общий принцип из п. 4 даег теперь возможность получить реше-
решение неоднородного уравнения
% — «^ — иуу =» g(.x, у, f) C4)
с начальными условиями
и (х, у, 0) *= 0, щ(х, у, 0) й* 0; C4а)
это решение получается в следующем виде:
и
что можно записать « так:
О" i fff , ^''^ -^-hrf. C5)

§ 6] задачи б начальными условиями; проблемы излучения 191
где К есть область пространства ?, ij, z, определенная неравен-
неравенствами
6. Проблема излучения. С точки зрения физики, по существу,
еще важнее задачи Коши так называемые задачи с излучением, кото-
которые можно, впрочем, трактовать как предельные случаи задач с на-
начальными условиями (задачи Коши). Метод для формулировки про-
проблемы излучения независимо от такого предельного перехода будет
дан лишь в гл. VI, § 10. В этих задачах с излучением в начальный
момент t — О функция и и ее производная по времени t имеют зна-
значения нуль (на языке физики — господствует состояние покоя),
однако в определенной точке пространства, например, в начале коор-
координат /" = 0, для функции и предписана характеристическая особен-
особенность как функция времени.
В трехмерном пространстве нам уже известны решения волнового
уравнения, обладающие особенностью в определенной точке прост-
пространства. Функции
дают такого рода волны излучения, если отвлечься от начальных
условий, которые еще должны быть выполнены. Формально мы при-
приходим к решению с излучением с помощью следующего предельного
перехода. Рассматриваем неоднородное дифференциальное уравнение
иа — Аи=/(х, у, z, i), C6)
где /—«плотность внешней силы». Соответствующая задача Коши
для />0 с начальным состоянием покоя имеет решение [ср. фор-
формулу C1)]:
где
Допустим теперь, что /= О при р2 = I2 -\- ч\2 -J- С2>в2, где е — задан-
заданный малый параметр, и положим
Если теперь положить g-(f) = O для ?<0 и выполнить затем пре-
предельный переход е -» 0, то наше решение перейдет в
C7)
где r^ = X2-j-y^-^-z2. В этом решении с излучением функция
представляет, следовательно, возбуждающую силу, сосредоточенную
в начале координат в момент t. Интересно отметить, что эта функ-

192 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. 1Ц
ция излучения и в какой-либо точке в момент t зависит только от
одного единственного импульса, который произошел в момент t—г
и, распространяясь со скоростью единица из начала координат, как
раз в момент t достигнет точки х, у, z.
Совершенно иначе обстоит дело у решения с излучением в двух-
двухмерном пространстве. Рассмотрим йюва дифференциальное уравнение
»tt~uxx-— «w=/(*. У,Ъ, C8)
полагаем /=0 при r2 = .v2-f-.y2>ea и пишем:
С помощью результата, полученного в п. 5, путем предельного пере-
перехода е-*¦ 0 получаем искомое решение:
t — r
и{х, у, f)\ = J Z^L~=:fc для /•<*, C9)
= О для г>?
В противоположность случаю трех пространственных измерений, ре-
решение проблемы излучения в точке х, у в момент t зависит здесь,
следовательно, не только от одного предшествовавшего импульса,
но и от всей предыдущей истории процесса излучения до момента
времени t—г.
Интересно исследовать характер особой точки нашего решения
при г = 0 и в этом, двухмерном случае. Интегрирование по частям
с помощью формулы
с последующим разложением по степеням г дает следующее пред-
представление решения вблизи особой точки:
t
причем
е (t,r) -у 0, когда г -+ 0.
Отсюда, во всяком случае, видно, что в случае двух пространствен-
пространственных измерений функция излучения обнаруживает более сложную
особенность, чем в случае трех пространственных измерений.
7. Процессы распространения и принцип Гюйгенса (Huyghens),
В связи с результатами, полученными для волнового уравнения,
изучим несколько ближе характер этих процессов распростра-
распространения. Более подробно мы этим займемся в гл. VI. Рассмотрим
сначала трехмерное однородное волновое уравнение и соответствую-

§ 6] задачи с начальными Условиями; проблемы излучения 193
щую задачу Коши. Представим себе, что в момент ? —О начальное
состояние отлично от нуля лишь в окрестности ® некоторой точки,
скажем, начала координат. Для того, чтобы рассчитать состояние и
в точке х, у, г во время t, надо вокруг этой точки х, у, z как
центра описать сферу радиуса t и вычислить известные интегралы
от начальных значений, распространенные по этой сфере. Следова-
Следовательно, и(х, у, z, f) будет отлично от нуля лишь в том случае,
если поверх«ость этой сферы встречает начальную область ®, т. е,
в некоторый промежуток времени ^<f<^2, продолжительность
которого равна разности наибольшего и наименьшего расстояния
от начальной области ©. Этот факт выражает характерные, черты
нашего дифференциального уравнения как уравнения для процесса
распространения (со скоростью 1). Начальное состояние в обла-
области © неощутимо в другой точке х, у, г до момента времени
t = tv где величина tt равна кратчайшему расстоянию между областью
© и точкой х, у, г. По прошествии момента t%, который соот-
соответствует наибольшему расстоянию, эффект, вызванный в точке х, у, z
начальным состоянием в области ©, закончен. Это явление называют
принципом Гюйгенса для волнового уравнения. Он утверждает, что
начальное состояние с резко очерченной локализацией в пространстве
дает себя знать, в другом месте, позднее, в виде эффекта, столь же
резко ограниченного во времени. Для предельного случая, когда
начальное состояние сосредоточено в одной точке, его эффект в дру-
другой точке концентрируется в определенный момент времени, соот-
соответствующий расстоянию обеих точек.
Однако, совершенно иначе обстоит дело в случае двух простран-
пространственных измерений. Рассмотрим снова область © вокруг начала коорди-
координат и предположим, что лишь в этой области отличны от нуля
начальные значения и и и„ Значение и в точке Р, кратчайшее рас-
расстояние которой от области © равно tu наверное, будет 0 при t<tv
При t>tu в силу формулы 33 из п. 5, величина и уже не будет
тождественно равна нулю и, если, например, начальная функция <р не
отрицательна, и навсегда останется отлично от нуля. Другими словами,
н для волнового уравнения в двух пространственных измерениях
сохраняется интерпретация его как процесса распространения. Локали-
Локализированному начальному состоянию требуется известное время для
того, чтобы достигнуть некоторой точки в пространстве. Однако,
гюйгенсовский характер движения уже не имеет здесь места. Эффект
начального состояния не остается резко ограниченным во времени:
напротив, после того, как он однажды появился, его отголосок
продолжает постоянно отдаваться.
В процессах распространения мы будем называть ту область, ко-
которая заданными в ней начальными значениями влияет на состояние
в точке х, у, z в момент времени t, областью зависимости для
значений х, у, г, t. В случае волнового уравнения в трех простран-
пространственных измерениях такой областью зависимости является, следова-
следовательно, поверхность сферы радиуса t с центром в точке х, у, с.

194 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. Ш
Возбуждение в этой точке в момент t нисколько не зависит от началь-
начального состояния в точках, не лежащих на этой сфере.
В случае же двух пространственных измерений областью зависи-
зависимости является вся внутренняя область вместе с периферией круга
радиуса t с центром в точке х, у.
Физическое различие станет, пожалуй, еще яснее, если взглянуть
на решения с излучением из п. 6. В случае трех пространстве»шых,
измерений процесс, излученный из начала координат, вос*ринима«тся
в точке Р (х, у, г) во время t таким образом, что в этой точке
в момент t будет наблюдаться лишь то состояние, которое излучается
из начала координат в момент t—r. В случае же двух пространственных
измерений впечатление, воспринятое в точке Р в момент t, зависит
от всего процесса излучения, который разыгрался в промежутке
от t = О до момента t—г.
Таким образом, когда производятся наблюдения на основании
физических явлений, подчиненных волновому уравнению, то простран-
пространственно-трехмерный мир дает возможность резко отобразить в воспри-
воспринимающем приборе явления, передаваемые излучением. В двухмерном
мире такая картина была бы размытой.
Ниже, в гл„ VI мы увидим, что такого рода соображения не огра-
ограничены ни волновым уравнением, ни двумя или тремя _ пространствен-
пространственными измерениями.
Действительно, мы узнаем, что принцип Гюйгенса в вышеуказан-
вышеуказанном смысле справедлив для волнового уравнения при всяком нечетном,
числе п пространственных измерений (за исключением случая и = 1),
но не справедлив для четного числа пространственных измерений.
§ 7. Типичные задачи теории дифференциальных уравнений
математической физики 1)
1. Предварительные замечания. Примеры типичных задач.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных
производных, почти никогда не возникают в такой форме, чтобы
искомым являлось «общее решение», т. е. многообразие всех реше-
решений дифференциального уравнения с частными производными; точно
так же едва ли когда-нибудь целью задачи является отыскание
специальных классов решений, как, например, плоских волн; напротив,
вопрос всегда ставится так, что из многообразия всех решений тре-
требуется выделить весьма частное индивидуальное решение на основании
дальнейших условий, присоединяемых к Дифференциальному уравне-
уравнению. Если имеется п. независимых переменных, то эти дополнитель-
дополнительные условия Относятся большей частью к (я—1)-мерным многообра-
J) Цо поводу дальнейшего ср. соответствующее изложение у Адамара
(Н a d a m а г d, Lecture^ on Cauchy's Problem, New Haven, 1923), в особен-
особенности гл. I, а также обзорную статью Адамара в журнале L'enseignement
mathematlque, 1936, в которой рассматриваются также и другие типы задач.

§ 7] ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 195
зиям, которые появляются в качестве границ :или - иногда также как
поверхности разрыва непрерывности -у областей, внутри которых
отыскивается решение («краевые, начальные условия» или «условия раз-
разрыва»)» В § 6 мы рассматривали такие задачи, а именно задачи с на-
начальными условиями — задачи Коши; в этих задачах была выделена
одна переменная xn+1 = t и отыскивался процесс, представляемый
решением и для t^> 0,-коль скоро задано «начальное состояние», т. е.
задана функция и при < = 0и, в некоторых случаях, ее производные
по времени t в тот же начальный момент, как функции координат
хи... ,хп. Такие решения задачи Коши можно, впрочем, при случае
также продолжить для значений <<0 так, чтобы многообразие ? = 0
лежало внутри области определения решения. У дифференциальных
уравнений первого порядка, для которых мы в гл. II рассматривали
задачу Коши как центральную задачу, такое продолжение по сути
дела дается само собой. Для задач высшего порядка аналогичное
продолжение проведено в гл. 'I в случае аналитических дифферен-
дифференциальных уравнений и аналитических начальных условий (§ 7).
Однако, как аналитический характер дифференциального уравнения
и начальных условий нельзя считать естественным предположением,
так и аналитический характер решений, даже для аналитических
дифференциальных уравнений, не является очевидным й priori. Для
дальнейшего представляется поэтому вполне естественным, если в во-
,просе о дополнительных условиях мы будем довольствоваться действи-
действительно лишь условиями на начальных или краевых многообразиях,
не вводя в рассмотрение продолжения этих решений за пределы этих
многообразий.
Помимо задач Коши, рассмотренных в предшествующем параграфе,
мы уже ранее рассматривали типичные краевые задачи, например,
в случае уравнения Лапласа
Ди = О,
Йта краевая задача, представляющая одну из центральных задач ана-
анализа, требует нахождения такого решения дифференциального ура-
уравнения
Дй = О,
которое было бы внутри заданной области регулярно, т. е. непре*
рывно вместе со своими^первыми и вторыми производными, и которое
принимало бы на границе области заданные непрерывные краевые
значения. В случае ^ = 2ип = 3мыс помощью интеграла Пуассона
решили эту краевую задачу в явном виде для круговой и сферической
области соответственно" (ср. гл. I, § 3, п. 2, и т. I, гл. VII, стр« 489).
Ниже, в гл. IV и VII мы построим и исследуем решение этой задачи
дли произвольных областей.
Встречаются и другие линейные краевые задачи уравнения Лапласа,
например, такие, в которых на границе задается не сама функция,
но какая-нибудь линейная комбинация функции и ее нормальной про-
производной. Задачи этого типа были подробно рассмотрены в первом

196 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. Ш
томе, главным образом, с точки зрения вариационного исчисления;
в гл. VII эти задачи будут полностью решены.
Краевая задача теории потенциала показывает особенно отчетливо,
как мало дает нахождение «общего» решения для решения более глу-
глубокой задачи — краевой. Общее решение уравнения Лапласа при п = 2,
как известно, дается в виде
u=f(x + iy) + g(x—iy),
где / и g—произвольные аналитические? функции одного переменного.
Однако, фактически этот вид^ решения относительно бесполезен для
решения краевой задачи.
Наконец, укажем здесь еще на простейшую нелинейную краевую
задачу дифференциального уравнения с частными производными,
именно — краевую задачу уравнения минимальных поверхностей:
»e)«w=-0. A)
Если отыскивается минимальная поверхность, простирающаяся над
областью © плоскости х, у и ограниченная пространственной криг
вой Г [аналитически эта поверхность представляется как функция
и — и(х,у)\, то вопрос сводится к следующей краевой задаче: тре-
требуется найти решение дифференциального уравнения A), непрерывное
вместе со своими производными до второго порядка 6 области ©,
ограниченной проекцией С кривой Г, и принимающее на контуре С
этой области заданные краевые значения [краевая задача Плато
(Plateau) в несимметричной форме].
Другой в высшей степени важный тип задач с дифференциальными
уравнениями образуют так называемые смешанные задачи. Рассмотрим
определенную область © переменных х1г..., хп с границей Г, о .кото-
.которой мы делаем все предположения непрерывности, которые предста-
представляются 'удобными. Ищется функция и (хи..., хп, f) или, короче,
если опять пользоваться буквой л; вместо системы xv..., хп, функция
и==и(х, f), определенная в области © для ?;>0, удовлетворяющая
в этой области при ?>0 заданному дифференциальному уравнению
L [и] = 0 и далее, на границе Г, заданным (возможно, еще зависящим
of t) краевым условиям, а в области © при t~Q заданным начальным
условиям.
Примером является задача о натянутой струне. Если струна закре-
закреплена в точках л:~0ил: = 1,то область © есть интервал между 0 и 1.
Краевые условия гласят: к @, *) = иA, 0 = 0, а в качестве началь-
начальных условий можно предписать значения функции и и ее производ-
производной ut при t = 0 как функции от л; во всем интервале ©. Можно
было бы, впрочем, поставить и другие краевые условия на концах
струны или исходить из неоднородного дифференциального уравнения
«я — ихх^В\х, О
с заданной правой частью.

§ 7] ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 197
Все эти смешанные задачи в том случае, если дифференциальное
выражение линейно и однородно, могут быть разбиты на следующие
два типа.
. 1. В задачах первого типа краевые условия однородны, например,
требуется исчезание функции и. Такие условия встречаются в зада-
задачах о колебании ограниченной, простирающейся по области ® си-
системы, причем колеблющаяся система начинает свое движение с за-
заданным начальным состоянием при ? = 0. Такие задачи колебатель-
колебательного типа мы уже рассмотрели подробно в первом томе, главным
образом, на основе теории собственных функций.
2. В задачах второго типа однородны начальные условия, напри-
например, требуется исчезание при tf = 0 функции к и ее производных,
входящих в рассмотрение. В то же время краевые условия неодно-
неоднородны. Задачи этого типа играют крайне важную роль в многочислен-
многочисленных технических вопросах как нестационарные задачи [Ausgleichs-
probleme—задачи (о процессах) выравнивания]. Принципиально, неста-
нестационарные задачи могут быть приведены к задачам первого типа.
Для этого достаточно вычесть из искомой функции другую функцию,
произвольно выбираемую и рассматриваемую как известная, но удо-
удовлетворяющую заданным начальным и краевым условиям. Для раз-
разности этих функций получается задача колебательного типа с неодно-
неоднородным дифференциальным уравнением, следовательно, во всяком
случае, задача, непосредственно доступная методу собственных«функций,
согласно гл. V первого тома. Несмотря на эту возможность приведения
нестационарных задач к задачам колебательного типа, отдельное их
рассмотрение вполне оправдано как с теоретической, так и с практи-
практической точки зрения. И действительно, для решения нестационарных
задач разработаны далеко идущие методы, особенно целесообразные
для приложений; основные идеи этих методов мы рассмотрим в до-
дополнениях к этой главе.
К категории смешанных задач относятся также упомянутые в пре-
предыдущем параграфе проблемы излучения, которые мы трактовали
в § 6 как предельные случаи нерднородных задач; их можно, впрочем,
рассматривать и как предельные случаи нестационарных задач.
В заключение укажем несколько примеров других возможных
типов. Задача отображения Римана состоит, выражаясь геометри-
геометрически, в конформном отображении заданной области © плоскости х, у
на единичный круг a2-f-«2<l. Аналитически речь идет о следующей
краевой задаче: требуется найти систему решений дифференциальных
уравнений Коши-Римана
определенную в области © и непрерывную в этой области вйесте
со своими первыми производными, и притом такую, чтобы функции
к и v имели непрерывные граничные значения, удовлетворяющие
краевому условию

198 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. Ш
Непосредственно видно, что при этой формулировке речь идет
уже не о простой краевой задаче теории потенциала, хотя решение
этой задачи и приводится к обыкновенной краезой задаче, как мы уже
видели в т. I, стр. 356 и еще раз увидим в следующей главе с дру-
других точек зрения»
Другой, более общей задачей является так называемая задача
Плато в параметрической форме, которая уже отнюдь не так просто
решается средствами теории функций; в этой задаче требуется ло-
строить минимальную поверхность, ограниченную заданной простран-
пространственной кривой Г. Согласно § 2, п. 2 эту задачу можно формулиро-
формулировать следующим образом: требуется определить в единичном круге
и2 -{- г»2 < 1 три функции х, у, z от к, д, удовлетворяющие дифферен-
дифференциальным уравнениям
Дх = Дуй=Д| = 0 B)
с дополнительными условиями
I
и принимающие на окружности единичного круга краевые значения
x(s), у($), z(s), являющиеся непрерызньши функциями длины, дуги s
этой окружности, причем эти краевые значения образуют параметри-
параметрическое представление заданной пространственной кривой Г. Между
тем как задача Плато в данной выше несимметричной форме не
всегда имеет решение, эта задача в данной сейчас форме всегда
допускает решение1).
Приведем еще один,- последний, пример, относящийся к уравнению
Лапласа, но существенно уклоняющийся от типа классической крае-
краевой задачи, а именно—проблему
струи в плоской гидродинамике.
Дана бесконечная область ©
плоскостих,у, ограниченная осью
абсцисс, «краем сопла» D, про-
7 стирающимся от точки А в сто-
х рону убывающих значений х в бес-:
Черт. 6. конечность, приближаясь асимпто-
асимптотически к прямой у = Ь, и «гра-
«границей струи» S, простирающейся от точки А в сторону поло-
положительных значений х, асимптотически приближаясь к прямой у = 1
при х -> ро (черт. 6). В этой области ©, ограниченной конту-
контуром D -}- 5 с одной стороны и осью абсцисс с другой, отыски-
отыскивается функция потока $(х, у), которая удовлетворяет в области ©
дифференциальному уравнению A<J< = 0, а на границе—краевым
условиям: ф = 0 на оси^у^О, $ = \ на контуре D-\-S, и для
Ср. гл. VII, § 10.

§ 7] ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 199
которой вдоль 5 направленная наружу нормальная произвольная ~
имеет заданное постоянное"значение 1. Далее, требуется, чтобы ^
стремилась к I, когда абсцисса л; точки области © стремится
к положительной бесконечности, и чтобы предел -^ Выл -j , когда
х-> — оо . Здесь речь идет о формулировке краевой задачи «сво-
«свободного образования струи». Именно, из контура области © часть S
(контур струи) не задана заранее; напротив, S является «свободной» гра-
границей, которая подлежит определению при решении задачи. Для этого
мы задали на 5 одним условием больше, чем было бы допустимо
в обыкновенной краевой задаче, где могут быть заранее заданы
краевые значения функции, но нельзя в то же время задавать заранее
еще и краевые значения производных1).
2. Принципиальные соображения. Различные упомянутые выше
типы задач с дифференциальными уравнениями естественно возникают
в геометрии, математической физике или технических приложениях.
Однако, эти постановки задач могут и должны быть мотивированы
и оправданы и сами по себе, чисто математически. Вот важнейший
результат, который получается при этом:
Краевые задачи принадлежат естественно эллиптическим
дифференциальным уравнениям. Задачи с начальными условиями
(задача Коши), а также смешанные задачи и задачи с излучением
относятся к гиперболическим и параболическим дифференциальным
уравнениям.
Мы оправдаем этот тезис рассмотрением типичных примеров и
ссылками на общие рассуждения, которые будут проведены впо-
впоследствии.
Будем исходить из следующей общей точки зрения. При поста-
постановке задачи математической физики, где требуется определить ре-
решение на основании заранее формулированных данных, естественны
следующие три требования:.
/. Решение должно существовать.
2. Решение должно быть однозначно определенным.
3. Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи.
Первое требование математически само собою разумеется: от
решения не следует требовать «слишком много», т. е. противоречивых
свойств.
Втброе требование говорит, что задача должна быть поставлена
с надлежащей полнотой.
*) Первым, кто работал над задачей свободного образования струи,
был Гельмгольц; им и его последователям^) эта задача была решена для
многих частных форм сопла, с помощью методов теории функций Ср. обзор-
обзорные статьи Jaffe (Яффе) в журнале Zeitschr. qrtgew. Math, и Mech., 1922
и A. Weinstein (Вайнщтейи) в L'enseignementl mathemattque, J936.

200 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. Ш
Третье требование оправдывается с точки зрения принципиальной
применимости нашей аналитической задачи к явлениям природы; оно
имеет коренное значение и отнюдь не является тривиальным. В прило-
приложениях мы всегда должны себе представлять данные из условия задачи
не резко фиксированными. Например, заданные в приложениях длины
или моменты времени всегда связаны с некоторыми небольшими пре-
пределами погрешности. Математическая задача лишь в том случае может
считаться адэкватной для описания реальных явлений, если изменению
предложенных данных в достаточно тесных пределах соответствует
также малое, т. е. ограниченное заранее заданными пределами изме-
изменение решения. Это и есть наше третье требование. Оно выражает
физическую определенность нашей задачи.
Задачу с дифференциальным уравнением, удовлетворяющую нашим
требованиям, мы будем называть корректно поставленной (ein
sachgemSsses Problem).
Далее, оказывается, что решения часто зависят не от всей сово-
совокупности предложенных в задаче данных. Так появляется вопрос об
области или сфере влияния и соответственно об области зависимо-
зависимости решения.
Для того, чтобы оправдать наш общий, сформулированный выше
тезис, мы обратимся к примерам, имея, главным образом, в виду наше
третье требование. Рассмотрим сначала эллиптическое дифференциаль-
дифференциальное уравнение Лапласа Дк==0 в области %, с границей Г. Суще-
Существование решения обеспечено уже в силу наших прежних рассужде-
рассуждений (ср. т, I, гл. V), по крайней мере, в частных случаях круга,
сферы, прямоугольника, и позднее будет доказано в общем виде.
Далее, эта краевая задача при произвольной кусочно-гладкой границе
удовлетворяет поставленному выше требованию однозначности. Эта
однозначность вытекает непосредственно из того факта, что гармони-
гармоническая функция, регулярная в некоторой области, принимает свое
наибольшее и наименьшее значения на границе области и, следовательно,
тождественно исчезает, если все ее краевые значения равны нулю.
На этом основании разность двух решений, принадлежащих одЙИм
и тем же краевым значениям, представляет гармоническую функцию
с краевыми значениями, равными нулю, а потому тождественно исче-
исчезает.
Требование непрерывной зависимости решений от краевых значений
также выполнено, как это видно #з теоремы о достижении экстремаль-
экстремальных значений на границе (ср. гл. IV, '§ 3). Если два различных,
заранее заданных краевых значения отличаются между собою всюду
меньше, чем на е, тег соответствующие им гармонические функции во
всей области не могут отличаться больше, чем на в.
Следовательно, краевая задача для уравнения Лапласа, по данному
выше определению, является корректно поставленной.
Далее устанавливаем, что для всякой внутренней точки области ©
областью зависимости в отношении краевых значений является вся
граница, т. е. значение решения и в какой-либо внутренней точке х, у

§ 7] ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 201
зависит от краевых значений на любой части границы. Действи-
Действительно, если бы какая-либо часть С границы оставалась без влияния
на значение решения и в некоторой части области ®, то в этой
подобласти мы получим то же самое решение и, если изменим крае-
краевые значения только на С. Но краевым значениям, тождественно
разным единице, соответствует решение и — 1, между уем как краевым
значениям, не равным единице на С, а на всей остальной границе
именно равным единице, соответствует другое решение и. Это дает
противоречие; следовательно, вся граница является областью за-
зависимости.
В противоположность краевой задаче, задача Коши для ура-
уравнения Лапласа была бы некорректной. Во-первых, в общем виде она
вообще не имеет решения. Если, например, задать и(х, 0) = 0,
и№{х, 0)=g(x) и потребовать решения дифференциального- урав-
уравнения Да == 0 с этими начальными условиями для верхней полуплоско-
полуплоскости у > 0, то на основании принципа отражения это решение должно
быть возможно продолжить посредством отражения на нижнюю
полуплоскость; следовательно, это решение должно быть аналитиче-
аналитическим и на оси х. Следовательно, и g(x) должна быть аналитической
функцией от х и, таким образом,, не может быть задана произвольно,
как, например, лишь дважды непрерывно дифференцируемая функция.
(В случае аналитических начальных значений решение построено
в гл. I, § 7.)
Далее, решение такой задачи Коши не зависит непрерывно от началь-
начальных данных, как показывает нижеследующий пример, предложенный
Адамаром. Рассмотрим упомянутую задачу Коши для последовательности
аналитических начальных значений gn (х) = пх • при безграничном .
возрастании и функция gn{x) стремится равномерно к функции g(x) = 0.
Решение задачи Коши для начальной функции gn имеет вид:
, , sh ny sin пх
С возрастанием п это решение не стремится к решению а = 0, при-
принадлежащему начальной функции g(x) = 0. Это замечание тоже
указывает на некорректность задачи Коши.
В противоположность этому задача Коши, скажем, для про-
простейшего гиперболического уравнения, а именно—для волнового
уравнения, удовлетворяет всем поставленным требованиям. Для ре-
решения и(х, t) задачи Коши волнового уравнения ихх — utt = 0 с на-
начальными условиями
и (х, 0) = <р (*), щ (хг 0) = ф (*)
мы имели решение
М
2и(х, 0 = «р<х + 04-?(*—0+ |
X — t

$02 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. "!
Решение этой гиперболической задачи существует, оно является
однозначно определенным и, очевидно, зависит непрерывно от задан-
ных начальных функций <?(*) и ty(x). Легко указать для этого
решения и область зависимости: и(х, t) зависит лишь от значений о (?)
и ^(?) на отрезке х — *<!S ^ x-\-t.
Напротив, краевая задача не имела бы «смысла в случае нашего
гиперболического дифференциального уравнения. Это станет ясно,
если заменить наше дифференциальное уравнение эквивалентным
уравнением иХ1/ — 0 для функции и(х, у); очевидно, что, например,
для прямоугольника со сторонами, параллельными осям, уже невоз-
невозможно задавать произвольно краевые значения, так как в соответ-
соответствующих противолежащих точках сторон х = const, данного прямо-
прямоугольника производная иу должна принимать одинаковые значения,
и аналогичное заключение справедливо для и^ Следовательно,
значения и можно задавать произвольно лишь на двух смежных
сторонах прямоугольника, и тем самым исключена возможность
постановки краевой задачи.
s Для параболических дифференциальных уравнений справедливы
соображения, совершенно аналогичные тем, которые мы изложили
для гиперболических; в этом можно ориентироваться на примере
уравнения теплопроводности.
Впрочем, сформулированный здесь и разъясненный на примерах
общий тезис о корректности задач с дифференциальными уравнениями
получит не раз в дальнейшем изложении подтйерждение и углубление.
3. Общие замечания о линейных задачах. Уже в т. I, гл. V,
§ 1, п. 4 было указано на аналогию между задачами линейных диф-
дифференциальных уравнений и систем линейных, уравнений с таким же
числом неизвестных, например, при замене дифференциальных урав-
уравнений разностными. Эту мысль, строгое проведение которой требует
предельного перехода, мы не можем здесь развить подробно *). Мы
ограничимся замечанием, что у N линейных уравнений с N неизвест-
неизвестными существует альтернатива:
Либо соответствующая однородная задача имеет не тривиаль-
тривиальное решение, либо общая неоднородная задача имеет однозначное
решение при произвольно предписанных данных.
Так как многозначность при решении общей неоднородной задачи
рлечет за собой существование нетривиального решения однородной
задачи, то альтернативу можно формулировать и в следующих выра-
выражениях: у N линейных уравнений с N неизвестными существование
решения общей неоднородной задачи и его однозначность предста-
представляют факты эквивалентные.
Можно ожидать, что корректные линейные задачи математической-
физики ведут себя так же, как системы N линейных уравнений с /V
неизвестными, и получить, таким образом, следующий эвристический
») Ср. статью Courant, Friedrichs, Lew у, Ueber die partiellen
Differenzengleichungen der Physik, Math. Ann., т. 100, стр. 32 п следующие.

§ 1] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ 203
принцип. Если оказывается, что у корректной линейной задачи с диф-
дифференциальным уравнением соответствующая однородная задача имеет
только «тривиальное решение» нуль, то можно ожидать существования
решения общей неоднородной задачи, которое в этом случае является
однозначно определенным. Если же однородная задача имеет нетри-
нетривиальное решение, то существование решения неоднородной задачи
связано с выполнением некоторых дополнительных условий.
В томе I этот «принцип альтернатив» нашел широкое подтвер-
подтверждение; добытые там сведения получат в следующих главах дальнейшее
углубление.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Нестационарные задачи и операторное исчисление Хиви сайда
Нестационарные задачи, упомянутые в гл. III, § 7, играют в при-
приложениях, особенно в электротехнике, в высшей степени важную
роль; им поэтому посвящена обширная литература, почти сплошь
подчеркивающая точку зрения приложений, причем в центре рас-
рассмотрения большей частью стоит знаменитый операщорный метод,
развитый Хивисайдом (Heaviside). Этот операторный метод, дающий
целесообразный и прямой путь к решению вопросов, представляется
тем более заманчивым, что строгое оправдание его символической
процедуры часто отнюдь не очевидно. Такое удовлетворительное
обоснование исчисления было дано лишь впоследствии с различных
сторон. Однако, эти обоснЪвания отнюдь не делают методов Хиви-
сайда излишними, так как символический метод часто формально
проще и позволяет более непосредственно сосредоточить внимание
на желательном пункте.
Конечно, полное рассмотрение этой обширной области вышло бы
далеко за пределы этого труда, Мы ограничимся здесь теорией лишь
простейших типов нестационарных задач и поясним ее на примерах,
§ 1. Нестационарные задачи и решение с помощью интегральных
выражений
1. Пример. Волновое уравнение. Предпошлем сначала простой
пример нестационарной задачи, легко допускающей явное решение.
Мы рассмотрим волновое уравнение
%—«**= 0 A)
на отрезке О^л-^/ с начальными условиями
и(х, 0)r=0, ut{x, 0) = 0
и краевыми условиями
«(о, ф=/@, «(/, t)==o («)
или соответственно
к (о, о

.204 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. Ш
где /(/)—заданная функция от t. Первая задача соответствует сме-
смещению л точек струны, находящейся в покое при ? = 0, закреплен-
закрепленной в конечной точке х=^1 и подвергнутой в начальной точке
движению, заданному функцией f(f). Вторая задача соответствует
в начальной точке тому же движению, но конечная точка может
свободно скользить по линии, перпендикулярной к положению покоя;
вторая задача соответствует также электрическому процессу в идеаль-
идеальном двухпроводном кабеле (ср. стр. 174), причем и (х, t) есть напря-
напряжение, и сила тока их в. конечной точке обращается в нуль. В обеих
задачах полагаем
0 при
Эту задачу нетрудно решить в явном виде, исходя из общего
решения волнового уравнения
и(х, *)=<?(*-f*) + <K' — х) B)
и приспособляя функции <о (X) и 4* Q-) к начальным и краевым условиям.
В целях большей ясности представим себе ось X резделвнной на
отрезки /„: v/^X<^(v-|-l)/. Тогда функции <э и ф можно опре-
определить последовательно в различных интервалах lv
Рассмотрим вторую задачу, с отражением от конечной точки.
Начальное условие для t = О дает для искомых функций соотно-
соотношения
из второго уравнения интегрированием получаем:
у(х)—ty( — л;) = const. (За)
При этом х лежит в интервале /0, а—х в интервале /_,. Из ра-
равенства C) и (За) вытекает, что функции ® и 4* постоянны в этих
интервалах. Аддитивная постоянная в функциях о(дг) и <{>(—х) сама
по себе произвольна, и в силу соотношения lim l<s (х) -f- ty ( — х)] = О
а;->0
ее можно положить равной*нулю. Краевое условие при л; = 0 дает
9@ + Ф@=»Л0 D)
для всех интервалов /,. условие отражения в конечной точке дает
)—У<!—х))=:0; E)
после интегрирования же> предполагая функцию v(t-\-t) — ty(t—I)
всюду непрерывной и принимая во внимание (За) и сделанный выбор
произвольного постоянного, находим:
у(*+0—Ф (<—/) = 0. F)
Отсюда получается формула приведения
G)

§ 11
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
справедливая для всех значений t в интервалах /_„ /0,... С помощью
этой формулы наши функции <э и <{>, а следовательно, и и(х, Q
определяются однозначно, последовательно интервал за интервалом,
для всех значений t > 0. Как это нетрудно установить, решение
может быть записано в следующем явном виде:
и(х,
. (8)
Сумма в правой части лишь на первый взгляд кажется бесконечной,
так как для каждого момента t лишь конечное число ее членов
отлично от нуля. Наглядное истолкова-
истолкование этого ряда как серии волн с фор-
формой волны /(X) очевидно: решение пред-
представляет собой суперпозицию двух се-
серий волк формы/(Х)и/(—А) соответ-
соответственно, распространяющихся в обе
стороны вдоль бесконечной стру-
струны. OO<JC<OO.
Отметим в нашем решении "замеча-
"замечательное явление. Предположим, что
начальная функция f(t) соответствует
импульсу *}, носящему характер толчка
(удара): пусть /(Х)=1 в небольшом
интервале 0<^<^е, вне же этого ин-
интервала f(K) = О, В таком случае .
в промежуток времени /<f</-j~e» ^
например, в конечной точке х = /,
функция и будет иметь значение 2 (ср,
черт. 7). В электротехнических при-
приложениях, где и представляет напря-
t
е
/
ш
С °
Ik
ww
0
i*
Черт. 7.
Черт. 8.
жение, это означает, что в процессах в -двухпроводной линии, с бес-
бесконечным сопротивлением на конце, подведенные к системе извне
напряжения могут в некоторых местах линии в известные проме-
промежутки возрасти вдвое.
Задача а) с закрепленной конечной точкой допускает столь ж*
простое решение в явном виде:
и(х, 0 =-./(*—
(9)
Также и здесь очевидно наглядное истолкование посредством
наложения волн одинаковой формы. В отношении остального обра-
обращаем внимание читателя на помещенное здесь графическое изобра-
изображение процесса. Рисунок соответствует толчкообразной начальной
*) Слово «импульс» мы будем в этой книге часто применять вообще для
обозначения процессов, имеющих характер толчка, а также для обозяачеяия
соответствующих функций.

206 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. Ш
функции f(f), имеющей лишь в интеррале 0<[^е значение 1,
а вне этого интервала равной нулю. Полоса плоскости х, t, подлежа-
подлежащая рассмотрению, на нашей диаграмме разбита на области, в которых .
функция принимает соответственно значения -\-\, —1 и 0.
2. Общая постановка задачи. Собираясь теперь подойти к неста-
нестационарным задачам с более общей точки зрения, мы ограничимся
случаем одной пространственной координаты х и временной коорди-
координаты t с указанием, что случай общего числа пространственных
измерений может быть рассмотрен совер шейно аналогичным образом.
Речь идет о следующей задаче.
Задана 1. Дано дифференциальное уравнение
autt-]-but^Llu], A0)
причем
где а, Ь, р, q, r—заданные непрерывные функции от одного х,
определенные в интервале
и удовлетворяющие в этом интервале следующим предположениям:
)
р) а>0 в гиперболическом случае,
а==0, ?>0 в параболическом случае.
Требуется определить решение и(х, t) дифференциального уравне-
уравнения A0) в интервале 0<;дг^/ для значений времени f^O, удовле-
удовлетворяющее в этой области
начальным условиям
и(х, 0) = <?(х), 1
%(¦*. 0)=я&(х) (в гиперболическом Случае) J
и краевым условиям
где <?(х), Ь(х) и f{t) — заданные функции, р, X., з — заданные постоян-
постоянные.
Мы будем преимущественно заниматься важнейшим случаем,
когда » = tb = 0, следовательно, при t = 0 господствует состояние
покоя *). Предметом изучения в этом случае являются собственно
процессы того типа, который в приложениях (например, в электро-
электротехнике) принято называть процессом выравнивания (Ausgleichsvor-
gSngeJ).
!) Как показано в гл. III, § 7, общий случай можно всегда формально
Свести к этому случаю.
2) Отсюда иобщееназвание«проблемывыравннвания»(А^1е1спярк*Ыете),
которое автор распространяет на все задачи, рассматриваемые в настоящих
дополнениях к гл, III. Мы аредпочли лучше звучащее по-русски обозначе-
обозначение «нестационарные задачи». (Прим. перев.)

§ ij НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
3. Интеграл Дюамеля (Duhamel). В том случае, если в момент
* —о имеется состояние покоя, т.е. к (л:, 0) = 0 либо соответственно
и(х, Q) = ut(x, 0) = 0, общая задача I легко приводится к некото-
некоторой специальной задаче.
Определим сначала функцию U.2(x, t), как однозначно определенное
решение задачи I с непрерывно дифференцируемым краевым условием
f(t)=U2@, 0 = 4 для ^0>
= 0 для f<0
и допустим, что функция
представляет непрерывное решение для все еще непрерывного крае-
краевого условия
' для
(для *<0,
и, наконец, пусть функция
1Г(х> 0 =х ?/,(*, t)
4 ' at l ч '
есть решение задачи для прерывного краевого условия
I для
обладающее следующим свойством: всякая ограниченная область
полосы 0<>-</; *>¦() может быть разложена на конечное число
замкнутых частичных областей, в которых функция U непрерывна
вместе со своими производными до второго порядка.
При этих условиях справедлива следующая теорема Дюамеля:
Если f(f) и производная f'(f) кусочно непрерывны при ?>0,
то функция
t
и(х, t) = ~$ U (х, t—*)/(*) di) A3)
о
(интеграл Дюамеля) является решением задачи I с краевым уело'
вием «@, f)=f(f).
При этом, как мы увидим на примерах, решение U(x, f) уже
не Сбудет всюду непрерывным. Действительно, мы должны ожидать
существования разрывов непрерывности у функции U(x, t), так как
краевое условие U@, f)— 1 вместе с начальным условием U(x, 0) = 0
означает, что в точке л: —0 в момент времени ? = 0 последовал
толчок, под- влиянием которого значение U@, 0) = 0 в сколь угодно
малый промежуток времени подскочило до значения 1.
Эта трактовка дает немедленно наглядное истолкование интегралу
Дюамеля A3). Представим себе действие «приложенной силы»

208 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ' ГЛАВЕ [гЯ. III
иа левом конце интервала состоящим из ряда отдельных толчков,
произведенных в моменты времени го = О, т,,..., ?„, вызывающих
каждый раз скачок значения и'(О, ^y-t) на величину, пропорциональ-
пропорциональную/(г,)—/C^v-i)- Если U(x, ?) есть определенное выше специаль-
специальное решение, то решение и(х, t) под влиянием этих толчков пред-
представляется аддитивно в следующем виде:
и {х, f) = 2 U(x, t — т,) (/(т,+ J — /(т,)) -f U&, *)/@) (т„+1 = t).
Если предположим, что функция Jify непрерывно дифференцируема
при />0, на что^ однако, /@) может быть не равно нулю (что'
соответствует конечному скачку в момент t = 0), то при последующем
выполнении предельного перехода к бесконечно малым промежуткам
времени получится интеграл
t
4 J
' о
в согласии с нашим утверждением, A3).
Этот результат, полученный эвристическим рассуждением, нетрудно
теперь доказать непосредственной поверкой. В силу начального усло-
условия U(x, 0) = 0 имеем:
t
о
Далее, в гиперболическом случае, в силу равенства Ut(x, 0) = 0,
наконец,
Так как функция U удовлетворяет дифференциальному уравне»
нию (Ю), краевому условию pf/a,-j-Xf/t=of/ при х — l и начальным
условиям A1), то на основании последних равенств все эти свойства
переносятся немедленно и на функцию и(х, t). Наконец, так как
?/@, #)=1, имеем:
t
"@, 0«/@)+//(т)Л=/(/),
о
чек доказывается и первое из краевых условий A2).

§ 1] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ 209
4. Метод суперпозиции экспонейциальных решений. Метод
интеграла Фурье, рассмотренный для задачи Коши в гл. III, § 6, п. 3,
т. е. суперпозиция решений, представленных в виде показательных
функций, при целесообразном видоизменении может быть привлечен
и. к решению нестационарных задач (проблем выравнивания). При
этом мы снова ограничимся эвристическим рассмотрением, которое,
будучи углублено в § 3, приведет нас к теореме существования.
Рассмотрим специальнуо задачу с условиями: «@, <) = 1;'и (х, 0) =
= щ(х, 0) =« 0, т. е. ищем функцию U{x, f) предыдущего ' пункта.
Сначала ищем частные решения дифференциального уравнения
вида
Эта подстановка дает для v обыкновенное дифференциальное ура-
уравнение
, A5)
в котором if играет роль параметра. Если поставить для v в конеч-
конечной точке х = / краевое условие
Р^ = (°.— *тК» A6)
то функция
u = v(x,
очевидно, будет на этом конце удовлетворять заданному краевому
условию
tua-\-\ut=au; A2)
следовательно, этому условию удовлетворяет и всякая линейная
комбинация решений этого вида с различными значениями параметра -у-
Попытаемся теперь суперпозицией таких решений добиться того,
чтобы выполнялось также и краевое условие к@, ?)'= 1 для tf>0
и далее, чтобы в начальный момент ? = 0 господствовало, состояние
покоя.
Для этой цели предположим, что v и рассматриваемые производ-
производные от v являются аналитическими функциями комплексного параме-
параметра 1 = а -\~ $ в полуплоскости а > 0; в таком случае интегриро-
интегрированием вдоль пути L в правой полуплоскости комплексного
переменного -у можно получить новые решения дифференциального
уравнения A0), удовлетворяющие условию A2), в следующем виде:
L
При л: = 0 это решение принимает вид

210
ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ
(гЛ. lit
и задача состоит в том, чтебы так выбрать путь интегрирования L
и находящееся в нашем распоряжении краевое значение v@, i),
чтобы выполнялись условия
[1 для
\0 для
Краевое условие при дг = О будет выполнено, если положить
г.@,Т)=1 A6а)
и за путь интегрирования L выбрать произвольную прямую, параллель-
параллельную мнимой оси плоскости if, расположенную
в правой полуплоскости а>0. В самом деле,
получающийся при этом интеграл
« — ico
~
2т. J
-> на основании элементарных теорем теории
" функций сходится при всех значениях а ф О,
fit
t ф 0. Так как интеграл
*
Черг У.
распространенный на любой отрезок прямой,
параллельной действительной оси а, с конеч-
конечной длиной /2—/,, стремится к нулю при возрастании |Р|, то из
интегральной теоремы Коши заключаем (ср. черт. 9) обычным обра-
образом, что интеграл A8) не зависит от а. Отсюда при ?<0, заста-
заставляя а стремиться к -j-°°> немедленно получаем и@, f) = 0. В слу-
случае ^>0, согласно интегральной теореме Коши, принимая во вни-
внимание вычет подинтегральной функции относительно точки у = 0,
имеем:
/ y
я—*'со
где а может иметь любое отрицательное значение. Следовательно,
выполняя предельный переход а -* — со, действительно получаем
и@,0=" при ^>0.
Естественно поэтому ожидать, что при выбранном пути интегра-
интеграции L выражение
Lj'E?^W A7)
есть искомое .решение задачи п. 3. Конечно, не приходится вообще
ожидать, чтобы этот интеграл оходился абсолютно, так как, при

§ 2] ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ХИВИСАЙДА 211
заданном значении х, U(x, t) как функция от / будет, вообще го-
говоря, иметь разрывы.
Однако, если рассматривать при достаточно большом п для на-
начальной функции
1* ч» <>°.
\ 0 при
выражение .,
п (х, f) = Г °
пУ ' ' 2я/ л! J 7
то этот интеграл тем лучше сходится, чем больше я; в соответствий
с этим легче будет проверить, что он является решением задачи I
и затем получить функцию U дифференцированием по t, К этим
предварительным эвристическим соображениям мы еще вернемся
в § 3, где проведем их с несколько видоизмененной точки зрения.
§ 2. Олераторный метод Хивисайда
По сравнению с методом, изложенным в § 1, п. 4, с точки зрения
практика, символический метод Хивисайда "имеет большие преиму-
преимущества. Свое строгое оправдание он получает в связи с основами,
данными в § 1 и ниже в § 3. В сущности его можно рассматри-
рассматривать как несколько иное расположение сходных рассуждений, при-
причем вычислительная часть решения задачи целесообразно отделена
от математически-содержательной части и притом таким образом,
что эта вторая часть приходит в действие лишь в последнем этапе,
при реализации полученного символическим путем результата; эта
часть может быть заготовлена раз навсегда, так сказать, впрок,
в форме таблиц реализованных по содержанию символических опе-
операторов, что избавляет практика в каждом отдельном случае от
.математического рассмотрения по существу.
Основная идея метода состоит в том, что вопрос ставится не
непосредственно о решении и(х, I) задачи из § 1, п. 3, но, вернее
сказать, предметом вычисления делается самый линейный функцио-
функциональный процесс, который оашосит заданной в условии задачи крае-
краевой функции f(t) решение р{х, t). Мы опять-ограничимся рассмо-
рассмотрением проблемы выравнивания в собственном смысле, у которой
в начальный момент / = 0 задано состояние покоя.
1. Простейшие операторы. Основу метода составляет введение
операторов дифференцирования и интегрирования, р и р~х, как
взаимно-обратных операций. Введем в рассмотрение для функций
времени t при *>0 операторы интегрирования р~х и дифференциро-
дифференцирования р соответственно равенств'ами
t
Л, A)
B)

212 ДОПОЛНЕНИЯ К.ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. Ш
для построения исчисления с правилами, соответствующими прави-
правилам алгебры, коренную важность представляет тот факт, что опе-
операторы р и р-1 взаимно-обратны или, символически, что
рр-1 = р-1р = 1. C)
Для того, чтобы обеспечить это соотношение, мы должны ввести
следующее ограничение: оператор р может применяться лишь
к таким функциям g(t), для которых g@) = 0.
В противном случае мы бы имели:
и, следовательно,
pp~xg.
В противоположность оператору р оператор р~х приложим
к любым непрерывным функциям.
Пусть
— какой-либо полином степени т; мы можем теперь естественно
определить оператор Qtp'1), приложимый к любой кусочно-непре-
кусочно-непрерывной функции /(/) {целый рациональный оператор). Соответ-
Соответствующий оператор Q(p) определяется так же, как линейный диф-
дифференциальный оператор порядка т, конечно, лишь в предположении,
что функция /, к которой он применяется, при t = 0 исчезает вместе
со своими производными до т — 1 порядка.
Если
другой полином степени п и Q @) = а0 ф 0, то оператор
называют дробно-рациональным регулярным оператором. При этом
выражение
может быть определено по-разному.
Во-первых, функцию g для заданной кусочно-непрерывной при
t > 0 функции / можно толковать как однозначно-определенное ре-
решение дифференциального уравнения
aog.Ori> _j- aig(,n-1) _j_ ... _j_ amg = o(m), E)
где *

§ 2] ОПЕРАТОРНОЙ МЕТОД ХИВИСАЙДА 213
. есть известная функция, при нижеследующих- начальных условиях:
@)+«,?(<>) = ?'@), \
Х 940), \ F)
... -f- am_^@) = «("•-»)@). -J
Во-вторых, функцию g можно определить, разлагая рациональную
функцию ~~^- = /? (А) в окрестности начала координат в степенной
ряд по А:
о
Нетрудно обнаружить, что соответствующий ряд
сходится при всех положительных значениях t и совпадает с преж- •
ним определением функции g(t).
Если коэффициент ао — О, то рациональный оператор называется
нерегулярным, причем в этом случае его, наверно, можно предста-
представить в виде
где R — регулярный оператор. Для применимости такого оператора
к функции / надо последнюю подчинить условиям
/@) = / @) == ... =/(*-»> @) = 0.
Легко видеть, что с этими рациональными операторами можно
производить вычисления по правилам рациональных действий алгебры.
Прием Дюамеля, проведенный в § 1, п. 3, в операторной термино-
терминологии может быть изложен следующим образом:
Если произвольную пока функцию f(t) заменить «единичной
функцией» f\{t), определенной равенствами
*l Для ?>0,
0 для t<0,
и если для оператора Т имеет место соотношение
T4(t)=H(t), G)
то
t
0
Существенно характерным для операторного исчисления является
'.следующий прием: пытаются также и другим функциям от р

214 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ ¦ [ГЛ. Ш
или —, отличным от рассмотренных до сих пор рациональных функ-
функций, приписать такой смысл, чтобы в расширенной операторной
области были справедливы правила алгебраических преобразований,
принцип Дюамеля и другие правила, которые будут рассмотрены
впоследствии *).
2. Примеры. 1. Для оператора
имеем:
= ± J «-« («^/(т)А = g(t).
о
Действительно, функция g удовлетворяет дифференциальному уряз-
нению
и начальному условию
2. Для оператора
т
4 — 1
имеем:
t
jJ f(T)
COS V(t —
В самом деле, g есть решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
3. Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное урав-
нение с постоянными коэфициентами
a0H^ + ^«С»-») + ... + ат« =/(/) (8)
с'начальными условиями
и @) = к' @) = . . . = ВС«-Ч @) = 0. (8а)
При этих начальных условиях можно записать дифференциальное
уравнение символически в следующем виде:
Q (Р) « =/@; <2 (X) = а0 X™ + • • • + От-
Отрешение получится символически в виде
Если алгебраическое уравнение
х) Кстати заметим, что в литературе единичная функция yj (t) часто не
выписывается и что в таком случае под операторным символом Т надо
разуметь просто функцию Т/\.

§ 2] ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ХИВИСАЙДА 215
I
имеет л различных корней av .. .г,атф0, то решение, записанное
в символическом виде, можно реализовать весьма изящным спосо-
способом, с помощью разложения на элементарные дроби. Исходя из фор-
формулы
PQ(P)
получаем:
В том частном случае, когда
вместо того, чтобы пользоваться для реализации интегралом Дюамеля
Сообразно с примером 1, можно дальше итти следующим более эле-
элегантным путем.
Согласно примеру 1, выражаем функцию f(t) символически:
после чего имеем:
где для сокращения положено
I(р)*= (р — to) Q = ао(р —а,) ... (р v_o(m)(p_-да).
Этот рациональный оператор, на основании известного разложения
на элементарные дроби, можно привести к виду
^ p — a., '
причем коэффициенты разложения выражаются следующими форму-
формулами:
rfL rfJL
Принимая теперь во внимание наш первый пример, получим искомое
решение:
т
4 = 1
Для приложений, естественно, важнее всего коэффициент d0.
4. В качестве дальнейшего примера рассмотрим «особенные» или
л нерегулярные» операторы
Vp, . ~; (Н)
Yp

216 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. III
для того, чтобы достигнуть разумлого расширения операторной об-
области, мы должны их. определить в согласии с изложенными выше
правилами. Принимая во внимание теорию дифференцирования и ин-
интегрирования дробного порядка, естественно дйть этим операторам
следующее определение:
Y*dt0
У 1i/
A2)
И, действительно, это определение находится в согласии с требова-
нием
К тому же определению можно притти, исходя из следующего рассмо-
рассмотрения. При п целом и положительном p-^iq — cf'1; гдес=^——
постоянная. Естественно поэтому положить
где постоянную с надлежит теперь определить подходящим обра-
образом. Если потребовать для этой цели, чтобы принцип Дюамеля оста-
оставался в силе и чтобы существовало соотношение р-'Лр-1/»-*! = p~irr[ = t,
мы автоматически получим:
Следовательно, с = —=, и, таким образом, постоянная с установлена
У"
е согласии с данным выше определением.
5. Очень важный нерациональный оператор, экспоненциальный
оператор, вводится, для постоянного h, при помощи следующего
определения:
Это определение подсказывается разложением функции/(? — h) в ряд
Тэйлора. Однако, это наводящее рассмотрение никоим образом не
может служить обоснованием, так как определение не должно быть
связываемо с аналитическим характером функции /(/}, поскольку
нам приходится часто рассматривать функции f(t), исчезающие при
отрицательных значениях t.

§ 2] ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ХИВИСАЙДА 217
Введение нашего определения оправдывается, скорее, тем обстоя-
обстоятельством, что для него выполняются непосредственно соотношения
из которых последнее эквивалентно равенству
6. Рассмотрим еще оператор
e-hVp
при А^>0. Его реализацией мы займемся в п. 5. Однако, мы сде-
сделаем уже здесь следующее замечание, типичное для операторных
методов как методов прямых. Допуская, что наш оператор можно
дифференцировать по параметру h, из равенства.
получим:
Если hj- интересует значение функции -^- лишь для значения па-
параметра ft = 0, то можно ожидать, что это значение дается вы-
выражением
В качестве последнего примера в этой связи рассмотрим так на-
называемый принцип смещения Хивисайда:
Пусть Т=Ф(р)—оператор, а к—постоянная. В таком случае
оператор Ф (р -4- k) дается формулой
(If)
Для всех рациональных регулярных операторов доказательство можно
вестн следующий образом. Сначала нетрудно показать переходом
от п к й-j-1, что принцип смещения справедлив для оператора
—. Далее, то же самое следует для всех рациональных регуляр-
регулярных операторов, ибо их можно представить в виде рядов, располо-
расположенных по степеням —. Для нерегулярных операторов этот прин-
принцип смещения служит для естественного определения оператора
Ф {р -J- k). Вводят, например, определение
^Шd- A7)

218 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [Г.Л. III
и, в частности, _
Для всех этих иррегулярных операторов, вновь определенных с по-
помощью наводящих соображений, соображений естественности, еще
предстоит дать удовлетворительное оправдание, т. е. доказательство
того факта, что их введение находится в согласии с элементарными
правилами алгебраических действий. Это оправдание мы дадим до-
дополнительно в п. 5,
3. Приложения к теории теплопроводности. Применения опе-
операторного метода- к изучению процессов выравниваний мы поясним
на нескольких типичных примерах.
1. Уравнение теплопроводности
Щ — и^-О A9)
односторонне-бесконечного интервала.
Начальные и краевые условия пусть будут следующие:
Пусть оператор Т== Т(х), зависящий от х как от параметра, пре-
преобразовывает заданную функцию f{f) в искомое решение и {х, t).
Для того, чтобы найти оператор Т, пишем дифференциальное ура-
уравнение в виде
(Г^,—рЛ/=0, B0)
а краевые условия, выбирая сначала функцию f(t) = ¦*) (t) единич-
единичной функцией, в следующем виде:
Г@)=1, Г(оо) = 0.
Начальное условие уже принято во внимание тем, что мы положили
ut = pTf. Решая дифференциальное уравнение
Т^ — рТ^О
так, как будто р есть параметр, получил тотчас решение
Возникает вопрос, как реализовать это символическое выражение
или какие функции представляют выражения
Не будучи еще в состоянии в настоящий момент ответить надлежа-
надлежащим образом на эти вопросы, мы можем все же уже сейчас дать
ответ па один частный вопрос, который t при известных обстоятель-
обстоятельствах может оказаться для практики единственно интересным.
А именно, можно найти . в явном виде количество теплоты, проте-
протекающее в единицу времени через начальную точку, т, е. выражение

§ 2J ОПЕРАТОРНЫЙ МВТОД ХИВИСАЙДА 219
"ж(°>0> обращаясь с оператором р по обычным вычислительным
правилам; При этом получаем, учитывая найденный выше резуль-
результат из п. 2, пример 6:
/
Как раз в возможности получать такие частные результаты, хотя и
не будучи в состоянии добиться полной реализации операторов через
просто выраженные функции, и заключается главное преимущество
операторного исчисления.
2. Общее уравнение теплопроводности. Аналогичным
образом можно решать и более общее уравнение теплопроводности
для интервала 0 <; д:<оо при тех же начальных и краевых усло-
условиях, что и раньше. Для оператора Т(х), с помощью которого
получается решение и (х, t) = T(x)f(t), получаем символическую
задачу с дифференциальным уравнением
Тхх=(р + «*)Т B2)
и краевыми условиями
7@)= 1, Г(оо)=а:0.
Формальное решение гласит:
T=eLa!VP + ^'. B3)
Этот оператор мы еще менее в состоянии реализовать вообще, чем
оператор предыдущего примера. Однако, для имеющей самостоятель-
самостоятельный интерес частной .задачи определения величины их@,f) неме-
немедленно находим следующее соотношение:
t
причем выражение справа взято из п. 2.
. В частном случае единичной функции /= i\ имеем:
и*@, /) = - —^ d-(> Г e~*dx). B4)
' о
4. Волновое уравнение, С точки зрения операторного исчисле-
исчисления получают новое освещение и те две простые задачи, которые
были решены в § 1, п. L Рассмотрим, например, для интервала O^.v^/
задачу нахождения решения дифференциального уравнения
««—««. = 0» B5)
удовлетворяющего начальным и краевым условиям

220 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛЛВЕ [ГЛ. III
Положим
Для оператора Г получается дифференциальное уравнение
7^-р2Г=0 B6)
с краевыми условиями
Г@) = 1, 7^@ = 0.
Символическое решение имеет вид
Р*+ *-*&-* {27)
Разлагаем его в ряд
Т(х) =* е-ря + 2 (— IL [*-
1
Реализаций этого оператора выполняется теперь просто на основании
п. 2, пример 5, причем получаем;
*)+2 (-iyi/(<-x-2vO-/(/ + *-2v0l B8)
1
в полном согласии с результатом, полученным в § 1, п. 1.
Аналогичным образом можно, понятно* решить и другую задачу,
рассмотренную там же, причем для соответствующего оператора
получится символическое выражение
%? 129)
или
со
откуда
u(x,t)=f(t~x)-\- 2l/('-—*—2vf)—/(* + * —2v/)J.
v=.l
¦*S. Метод обоснования операторного исчисления. Реализация
дальнейших операторов. Операторное .исчисление получит строгое
обоснование, если дать для наших операторов общую реализацию с по-
помощью явного определения и показать, что на основании атого
определения справедливы установленные правила вычислений, теорема
смещения и принцип Дюамеля и что это определение находится
в согласии с данными ранее определениями. Соображения, изложен-
изложенные в § 1, п. 4, мотивируют следующее определение:
Пусть F(f)—регулярная аналитическая функция переменней
Y = <* -}- Ф в полуплоскости а > а0. Пусть L — любая прямая, па-
параллельная мнимой оси и расположенная в полуплоскости а>а0,
если «0>-0; в случае же яо<'О пусть L есть прямая a = 0

2]
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ХИВИСАЙДА
221
или «путь с обходом» вида, изображенного на. черт. 10. Тогда,
если существует, независимо от специального выбора пути L, ин-
интеграл jpj Г ——e^d'i при всяком t>0, то вводим определение
Т
C1)
J
Достаточным условием для существования инте-
интегралов C1) является, например, следующее: существует
оэ
положительная функция Ф(р), для которой I Ф(р)^р
сходится, причем для всех значений ^ = «-{-/3 с
выполняется неравенство
Чсрг. 10.
При этом предположении можно во втором из интегралов C1) вы-
выполнить интегрирование по т под знаком интеграла; "полагая в соот-
соответствии с этим
t
О (т. *)=//(*)« "Г А,
• о
получим:
Справедливость правил алгебраических действий для определен-
определенных таким образом операторов обеспечивается теоремой умножения
F(p)Q(p) = FQ{p), C2)
т. е. результат последовательного применения двух операторов
F и G можно также получить, применяя оператор, соответ-
соответствующий произведению функций F и G.
Эту теорему достаточно доказать для единичной функции ¦*;(?);
это можно выполнить сравнительно просто, если сделать дальнейшие
предположения о функциях F и G1).
х) Доказательство с этими предположениями еще отнюдь не достаточно
для обоснования операторного исчисления в необходимом объеме. Ср.,
однако, например, Koppenfels, Math. Ann., т. 105, стр. 694 и следую-
следующие, где эта теорема доказывается при значительно более слабых предполо-
предположениях.

222 дополнения к третьей главе [гл. ш
Пусть во всякой полуплоскости а ^- «0 -\- о существует такая
СО
положительная функция <J*(p) с° сходящимся интегралом j ty2dpt что
о
всюду в этой полуплоскости
В таком случае существуют также интегралы
р J P
(первый из них—в силу неравенства Шварца
и интегралы вида C1), соответствующие функциям F, G, FG, схо-
сходятся абсолютно. Полагая теперь
получим:
r
L
Нетрудно установить на основании наших предположений, что
дифференцирование под знаком интеграла дает всегда интегралы,
равномерно сходящиеся в интервале ^^*<С^2, где ^>0; поэтому
Z - L' ¦
При этом за путь L' надо выбрать прямую, лежащую справа от
пути L (см. черт. 11). Вторая составная часть внутреннего интеграла,
как.это вытекает из оценки
I Г G(s)
с возрастанием а' стремится1 к нулю и, следовательно, вообще равна
нулю. Следовательно,

§ 21
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ХИВИСАЙДА
223
В .этом двойном интеграле, в силу наших предположений," можно
изменить порядок интеграции1), откуда
Остается, следовательно, только доказать соотношение
1 Г F (f) и _ Fjfi)
2тЛ J 1 (о — y) ^ ~~ 6 '
L
но оно есть следствие интеграла Каши.
Обоснование теоремы смещения тоже получается непосредственно
из комплексного интегрального представления.
Если F(p) есть данный оператор, так что
\L h'
то
а это значит, что
Так как
Черт. II.
то отсюда вытекает, что
J) Пусть Lt есть конечный отрезок np^rfofi Z. между ординатами — Т
и -\- Т; в таком случае
Наше утверждение вытекает теперь из оценки
JF (f) «f 1
Y(B — f)dT <"ЙТ
i—I,
и из сходимости интеграла I Л2 dp.
'о

224 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. III
Столь же легко установить для ранее рассмотренных примеров
согласие прежних определений с нынешним интегральным определе-
определением. Покажем это на ряде примеров1).
1 • ^Г = YtJ .[V»vi ** (целое п ~> ^
L
Путь интегрирования L можно деформировать в любую кривую,
окружающую нулевую точку; следовательно,
p + a~ 2r.i J 1-t-a '" •
ч-
Заменяя переменную интеграции ¦¦¦ через у- = ^/Г'(, имеем:
-L
2-г
Путем интегрирования L' в плоскости у. служит (ср. § 3, п. 3) правая
ветвь любой равносторонней гиперболы; этот путь эквивалентен мни-
мнимой- оси. Отсюда
1ф т
Ъ L
Значение интеграла находим аналогично примеру 5
Ir.i J ¦•,•!--« "Т— ГA—*) '
я, следовательно,
6.
*) В нижеследующих примерах мы ради краткости пишем F(j>) вместо
выражения F(p)-q.

§ 2] ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ХИВИСАЙДА 225
Деформируя путь L в кривую, окружающую точки rhw, получим:
р
8. В качестве примера реализации дальнейших операторов рас-
рассмотрим оператор
y-pe-^^^f^^d-., C3)
Интеграл в правой части нетрудно вычислить с помощью комплекс-
комплексного интегрирования, причем получим:
_. я-»
y «". C4)
Отсюда можно получить реализацию оператора е~хУР, который нам
уже встретился раньше, следующим путем:
Yp
откуда
t — —
о ' о * '
9. В качестве других применений нашего процесса реализации,
допускающих легкую проверку, упомянем следующие формулы:
r-?—jf ==-^т f -р^Ц^-rfT =* Jo(a/)- C5)
У F ra -l L V f -ra
Эта формула приводит к интересному приложению теоремы умно-
умножения. Разложим оператор —5——^ в произведение трех сомножителей
Тогда на основании принципа Дюамеля
t
j ^о (а
С другой стороны, согласно примеру 7,
р sin /?/
рг -\- а* а
Таким образом, мы получаем непосредственно следующую интеграль-
интегральную теорему для бесселевых функций:
t
J Jo (a {t - ¦:)) Jo (a-:) dz = ^-. C6)

226 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. III
10. В заключение рассмотрим (ср. т. I, стр. 146) интегральное
уравнение Абеля
о
Его можно записать в виде операторного уравнения
/7/-ГA— (
решение которого есть
или в раскрытом виде
о
Отсюда на основании формулы
)
имеем окончательно:
о
ш согласии с результатом, полученным в т. I, стр. 147.
§ 3. К общей теории нестационарных задач
Операторный метод одинаково просто применим к разнообразней-
разнообразнейшим задачам. Однако, подчинение всех этих возможностей одной
всеобъемлющей теореме, повидимому, требует по меньшей мере слож-
сложных формулировок. Мы здесь отказываемся от полного проведения
такой попытки, но сделаем по крайней мере первый шаг в этом
направлении, следуя пути, намеченному в § 1, п. 4. Мы не только
покажем, как можно обосновать операторный метод, но и сформули-
сформулируем теорему, которой подчиняются уже сравнительно сложные при-
примеры. При этом на передний план выступит преобразование Лапласа,
которое для аналогичных целей впервые применил Дэч (G. Doetsch)x).
1. Преобразование Лапласа. К формулам преобразования Лапласа
можно легко притти, если в обеих теоремах об интегральных фор-
формулах Мелина (Mellin, ср. т. I, стр. 95) заменить переменную х
через е~х и функцию g(x) — через g(e~x) = <p(х). Однако, мы про-
проведем доказательство формул обращения Лапласа еще раз, незави-»
симо, при несколько более широких предположениях.
Теорема 1. Пусть <p(s)—регулярная аналитическая функ-
функция в полосе «<о<{3 плоскости комплексного переменного
1) Ср. Doetsch, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation,
Berlin, 1937.

3] К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ 227
s = a-\-iz. Во всякой более узкой полосе a-j-S^o^;^ — 8 (8 > О и
постоянно) пусть существует такая положительная функция, Ф (р),
со
что I Ф (р) dp сходится и что всюду в этой полосе
!?(*I<Ф(М) (s = 3-h-). A)
При этих условиях, для действительных значений х и для по-
постоянной а существует интеграл
о+ ico
*>=-2?Г J *" ?(*)<**. B)
о— { со
и в полосе a<a<j3 имеет место соотношение
+ СО
9(s)=. J <b(x)e~*sdx, C)
— СО
Теорема 2- Если ф(х) есть кусочно-гладкая функция для
со
действительных значений х и если интеграл I ty(x)e-cxdx cxo-
—оо
дится абсолютно при a<c<j3, 7^0 мз равенства
со
<?($)=. J tWr»^ (a<o<P) C)
— со
вытекает обратная формула B).
Дополнительное предложение. Если р=со, т. е.
функция o(s) регулярна и подчинена дальнейшим сделанным пред-
предположениям во всей полуплоскости о>а1), то ty(x) = 0 при jc<0.
Следовательно, в этом случае формулы обращения принимают сле-
следующий вид:
D)
o(s)== I <^(x)e-x& dx.
6
Докажем сначала теорему 2. Пусть
а-\-1Т Т
1 ' С ?xz С
'т ¦ 2тЛ J ' *> 2та J ' 1^
В частности, функция Ф (р) существует для всех значений о > a -f- S.

228 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [гЛ ,Щ
Вместо v(a-\-ix) подставим значение
— со
Имеем:
Т со
6 (х) = -к— I dx I ty{?)e~'te~f (*-a)T<f|,
— 2" —со
со
Так как функция ^(х)е-я°— кусочно-гладкая, a J |>К,*) j e-^dx
— со
сходится при всяком фиксированном значении о из интервала
а<о<{3, то на основании интегральной теоремы Фурье (ср. т. I,
стр. 70 и следующие) с возрастанием Т интеграл
Т со
i J d~
T
-Т -со
сходится к функции ^{х)е-"х и, следовательно, $т(х) сходитоз
к fy(x), как это и утверждает теорема 2.
Для доказательства теоремы 1 напишем интеграл
— СО
который при сделанных предположениях сходится абсолютно в интер-
интервале а<о<р. Покажем, что этот интеграл не зависит от о. Согласно
обычноыу способу рассмотрения, на основании теоремы Кошн, это
имеет место в том случае, если интеграл
распространенный на отрезок прямой, параллельной действительной
оси, постоянной длины а2 — Oj >0, целиком лежащий в полосе
Я-М<><^ — 6, стремится к нулю, когда |Г| пробегает подходя-
подходящую последовательность безгранично возрастающих значений j 7\ |?
|7g!, ... (см. черт. 12). Но это последнее вытекает из оценки
СО
Действительно, из существования интеграла Г Ф(р)ф вытекает, что
t
должна существовать последовательность значений Тх, Га, .... длв
которой Ф (| 7"|) стремится к нулю.

3] К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
Из равенства
со
229
4< (х) е -°
Г
и) е
следует, что ^{х)е-х" есть результат трансформации по Фурье
функции ср(° — tT)> заведомо кусочно-гладкой
яо отношению к х; следовательно, теперь
со
ш силу сходимости интеграла Г |®(<з— h) | d%
— со
яо теореме обращения Фурье
(.з — ix) = Г
т. е.
Г -|( (х) e~xsds,
Черт. 12.
=ето н требовалось доказать.
Для доказательства дополнительного предложения заметим, что
яри сделанном в нем предположении имеет место оценка
1|ф (р)
E)
справедливая для всех значений о^>а-|-8 и для всех значений х.
Если х отрицателен, то правая часть сколь угодно мала при доста-
достаточно большом значении о и, следовательно,
ф (х)==0 при лг<0,
я дополнительное предложение доказано.
2. Решение нестационарных задач с помощью преобразова-
преобразования Лапласа. Теперь мы в состоянии задачу I из § 1 решить более
мощным способом также и при том предположении, что начальное со-
состояние не является состоянием покоя. Решение основывается на
возможности привести эту задачу I к другой задаче—II, которая со-
содержит одной независимой переменной меньше и которой наша задача
эквивалентна в силу прямого н обратного преобразования Ла-
Лапласа. Эта задача II во многих случаях допускает простое реше-
решение в явном виде. Желательно, чтобы предположения, при кото-
которых производятся наши преобразования, были настолько широки,
чтобы охватить действительно случаи, практически встречающиеся
а приложениях.

230 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. Ill
Мы ставим для интересующего нас решения и (х, i) задачи I
Следующее требование: существует такое действительное число а0)
что при безграничном возрастании t функции
и (х, 0 е~а"\ |
их (х, t) е-°>\ \ F)
ихх (х, t) е~а°* j
остаются ограниченными равномерно относительно х.
При этом условии для Щ = а > а0 существует лапласова со-
сопряженная функция
{и (дг, t)
представляющая в полуплоскости «>а0 регулярную аналитическую
функцию от Y = a-j-i3. На основании сделанных предположений по-
получаем для производных от этой функции следующие выражения:
о
Из тех же условий вытекает, что существуют и лапласовы сопряжен-
сопряженные функции ut и ип. Прежде всего,
т т
Г ut {х, t) Г"Л = Е (х, Г) е-<т—о (х) + Т f «(*, t) e* dt.
о о
Из сходимости правой части, когда F-» со при 9tY>ao> вытекает
Сходимость левой части; следовательно,
со
J ute~;fdt = г» (х, ч) — о (х").
о
Далее, из дифференциального уравнения autt-\-but — L [и] в гипер-
гиперболическом случае, в силу того, что а>0, вытекает также суще-
существование интеграла
со
J_
О
для которого аналогично предыдущему имеем:
utte~ifdt = •¦; (v — <р) — 6.

§ 3j К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ 231
Помножив теперь дифференциальное уравнение A0) из § 1 на е~\*
и интегрируя по t от 0 до оо, получим для v неоднородное обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение:
L [V] -j- {of -f b-i) <? 4- flf4- = (a-f2-f *f) »,
которое, кстати, становится однородным, если в начальный момент
было состояние покоя. Из краевых условий задачи I получаются
аналогичным образом краевые условия для функции v (х, y):
•о (О, Y) — Л
о
рОд, = (о Xy) V -j- X'Cf (/) (AT =» /).
Итак, для функции v независимой переменной х и комплексного
параметра y возникает следующая краевая задача обыкновенного
дифференциального уравнения.
Задача II.
L [v] -J- (aY2 -{- ^y) ? Н~ ^ft1 :== (af2 ~Ь ^"f) v-> G)
II
•о @, f) = f J/@
При этом пусть / @—кусочно-гладкая функция при <^0и
оо
и интеграл Г / (t) e~atdt—абсолютно сходящийся при a>a0; ю(л;)
о
и $(х)—непрерывные функции на отрезке O^jc<;/.
Немедленно получаем следующее предложение: Если задача II
имеет однозначно определенное решение для всякого значения
Y = « + tP с a>a0, то существует самое большее одно решение
соответствующей задачи I, удовлетворяющее требованиям F).
Действительно, так как при сделанных предположениях преобра-
преобразование Лапласа однозначно обратимо, то двум различным решениям
задачи I необходимо соответствовали бы также два различных реше-
решения задачи II.
Однако, еще важнее, чем это замечание, тот факт, что с помощью
формул обращения Лапласа можно из решения задачи II получить
решение задачи I. А именно, существует следующая теорема: Пусть
v (x, f)—решение задачи II, непрерывнее в интервале 0 <;.*:¦</
и имеющее в этом интервале непрерывные производные по х до
второго порядка. Для всякого фиксированного значения х из этого
интервала пусть функция v (x, y) регулярна всюду в полуплоскости
9^7 > ао плоскости комплексной переменной f. Пусть, далее, во
всякой частичной полуплоскости JRy ^> a0 -J- 8 (из которой в случае

232 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. III
ао<0 нулевая точка изъята с помощью сколь угодно малого
фиксированного круга) и во всяком фиксированном частичном
интервале s <! х -^ / имеет место неравенство вида
причем Г ф (р) do существует. Если интеграл
(9)
представляет функцию и, непрерывную в области О -^ х <! I,
'!>0> fi-^-x^^s (при сколь угодно малом е>0) и имеющую не-
непрерывные первые и вторые производные в области 0 < х ^ /,
f^-О, то функция и является решением соответствующей за-
задачи I. При этом путь интегрирования L есть любая прямая, парал-
параллельная мнимой оси и целиком лежащая в полосе а>а0, либо,
в случае ао<О, «путь с обходомь вроде изображенного на черт. 10,
§ 2, п. 5 »).
Для доказательства покажем сначала, что и (лг, f) удовлетворяет
дифференциальному уравнению. При этом теперь, как и в дальней-
дальнейшем, при поверке краевых и начальных условий мы будем поль-
пользоваться приемом, уже упомянутым в § 1, обеспечивающим возмож-
возможность выполнения необходимых дифференцирований. Составляем сна-
сначала вспомогательную функцию
w (х> *> = Ш J ^Г1 rfd-i. A0)
L
Эту функцию, в силу предположения (8), можно в области е ^ х ^ /,
i^-О дифференцировать дважды по времени t посредством диффе-
дифференцирования под знаком интеграла. В частности,
wtt = u (х, /!)•
С другой стороны, в силу дифференциального уравнения G), ин-
интеграл
L[v)
— Г-
2W J
L
тоже равномерно сходится в области е^л;-^/, s^/^Г. Отсюда
можно вывести, что
lm=S3
*) Задача: отождествить этот результат с выражением решения с по-
помощью интеграла Дюамеля из § 1, п. 3.
*) Достаточно доказать, что

§ 3] к ОБЩЕЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ 233
Из всего этого вытекает равенство
awu-j~ bwt—L [w] = JL. Г ?j l(af + fitf в —L Ml dr
или, в силу дифференциального уравнения G),
awu = йда{ — L [да] = ™ f ^ [(af -4- *-y) w -f- a^\ df,
откуда окончательно имеем:
awtt-\-bwt—L [w] = а<? -\~ (by -f- a^)/. A1)
Дифференцируя два раза по ^ [что возможно, так как, согласно
предположению, сама функция и (х, t) имеет непрерывные производ-
¦ ные до второго порядка], получим для а дифференциальное уравне-
уравнение autt-\-but — L [и] и притом во всей области 0<л;^/, if>0.
Что функция и удовлетворяет в точке х = 0 краевому условию
и (p,f) =/(/), вытекает непосредственно из теоремы обращения и из
предположенной непрерывности функции u(x,f) при tf>0, O^.x^.1.
В точке х — 1 получаем сначала для вспомогательной функции w
условие:
pwx + kwt _ ода = ^ J ^ [pvx -j- (>^T — э) «1 ^Т =
из которого двукратным дифференцированием по < находим:
Наконец, для поверки начальных условий сначала замечаем, что
из соотношений
w(x, 0) = я-
или в силу того, что р>0, доказать, что величина
()
Интегрированием интеграла для Q, равномерно сходящегоея для е < х < /,
^^t, нетрудно получить соотношение
Jdx' с г dx'
-p^pyj Qdx» = w(x,t)-w{t,t)-A(t) j
« « с
где А (*) не зависит от х. Дифферейцнрование этого равенства дает затем
требуемый результат ^{P^

234 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. Ш
в силу предположения (8) вытекает, что как w (x, 0), так и wt (x, 0)
исчезают при лг>0. Действительно, имеем оценки
о
из которых при а —> со получается наше утверждение. Так как w
и wt, а также их производные до второго порядка, согласно пред-
предположениям, сделанным относительно функции и (х, f), непрерывны
области 0 < х ^ /, t > 0, то при t -+ 0 исчезают также L \w\ и
L[wt]. Следовательно, равенство A1) принимает вид
a [wft (х, 0) —? (*)]== а [и (х, 0) — ? (х)]=0. A2>
Дифференцируя уравнение A1), получаем при ?=0:
а (Щи—40 + b 0% — <?) = 0
или
a [ut (х, 0) — <{• (х)] -f 6 [и (х, 0) — с? (х)] = 0. A3)
Отсюда получается в случае афО
и (х, 0) =з ? (х); и, (х, 0) = ф W,
а в случае а = 0, ЬфО:
и(х, 0) = 'f(x),
и доказательство доведено до конца.
В заключение заметим, что на основании условия (8) имеем для и
оценку:
со
о
справедливую для любого значения а^>а0. Отсюда следует при
«(x.QsO, A4)
а при 0
о
Это показывает, что и требование F), поставленное нами с самого
начала для функции и, действительно выполняется только что по-
построенным решением.
3. Примеры. Уравнение теплопроводности и уравнение кабеля
для конечных областей. 1. Уравнение теплопроводности.
В качестве первого примера рассмотрим общее уравнение тепло-
теплопроводности
ut — и*х—ra (r=t const.), A6)

§ 3J К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ 235
в конечной основной области 0 -^ х ^ I при начальном условии
и(х, 0) = 0 A6а)
и краевых условиях
m@j/) = 1; рмжД-Хиг = ом (х = /). A6Ь)
Согласно нашему общему правилу решаем сначала следующую задачу II
обыкновенного дифференциального уравнения
vxx^y?v (у? = 4+г) A7)
с краевыми условиями
*@, ?)=!;¦ рох = (р — Хт)« (x = Q. A7а)
Это решение имеет вид
-A(l — х) + Q,t — c)sh%(l—x)
Рассматриваемое как функция комплексного переменного f = a -f- /p,
оно регулярно во всякой области полуплоскости 9{f>—г, не содер-
содержащей нулей знаменателя
рх ch v.1 ~\- (Xv — о) sh y.1.
Но эти нули удовлетворяют уравнению
е2'* = е(х), A9)
где
— (кг +
и их вещественная часть при заданных, не исчезающих одновременно
значениях X, р, с, не может превышать некоторой грани а0. Действи-
Действительно, если бы, напротив, существовала бесконечная последователь-
последовательность нулей -гч = ]/^—г, вещественная часть которых безгранично
возрастала бы, то для этой последовательности левая часть урав-
уравнения A9) стремилась бы к бесконечности, правая же оставалась бы
ограниченной.
Отсюда следует, что функция v(x, f) регулярна в некоторой полу-
полуплоскости Щ > а0. На всякой прямой L, параллельной мнимой оси р и
целиком расположенной в этой полуплоскости, для действительной части
/—Гит
величины у. = I/-y 4-г имеет место соотношение lim SRy.—"I/ -?i.= 0.
|5H->co * 2
Поэтому, приводя формулу A8)" к виду
мы убеждаемся, что в интервале 0<8<Х^/ выполняется неравенство
"Ж

236 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. III
причем постоянная Со не зависит от х и от р. Отсюда немедленно
вытекает, что v(x, f) удовлетворяет требованию (8) общей теоремы
из п. 2, Аналогичные неравенства сущестзуют и для производных
функции v:
B1а)
В силу неравенств B1) и B1а) интеграл
представляет в области 0 < х <[ /, f^>0 непрерывную функцию,
имеющую непрерывные производные первого и второго порядка.
Следовательно, если сумеем доказать еще и непрерывность функции
U(x,f) при приближении к любой точке f>0 оси t, то согласно
общему результату п. 1 функция
является искомым решением задачи A6).
Для этого доказательства непрерывности функции U записываем
ее в следующем виде:
Два первых интеграла — равномерно сходящиеся во всей области
О^.х^.1, t^-0; из них второй—в силу выполняющегося на линии L
неравенства
У.1т1'
причем С не зависит ни от л;, ни от -у; оба интеграла сходятся вме-
вместе с л; к нулю. Третий интеграл имеет [ср. § 2, формулы C4) и
следующие] значение
и для значений *>0 стремится к единице при лг->0.

§ 3]
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
237
Введем в интеграл B2) вместо f переменную интеграции
формула B2) примет тогда следующий вид:
e~rt Г P^chx(/—x) + (kt — c)shx(/— x) Ъ.
^Г7
л— e~rt Г
причем теперь путь интегрирования 7/ есть отображение прямой L
на плоскость х = а -}- ix, следовательно, равносторонняя гипербола.
JRT = JR (х2 — г) = о2 — -а—г == const. > а0.
Однако, на основании теоремы Коши, нетрудно убедиться, что и
в плоскости х можно выбрать за путь интегрирования любую прямую,
параллельную мнимой оси и оставляющую слева
от себя все нули выражения
(ха — г) (рх ch х/ -j- (Ч — о) sh х/);
эту прямую мы опять будем обозначать через L.
Рассмотрим, в частности, краевые условия
их{1, 0=0 и и(/, t) = 0 B4)
соответственно. В первом случае е(х)==—1,
во втором случае s(x)=-j-l. Заметим, что
краевое условие Xut~au при лг—/ является
при начальном условии и (х, 0) = 0 лишь по
видимости более общим, чеы условие и (I, t) =
= 01). Мы будем рассматривать оба случая одновременно, полагая
функцию е(х) постоянной, которой в окончательном результате при-
припишем соответственно значения е = — 1 и в = —J— 1.
Чтобы упростить выражение для U, мы-воспользуемся разложением
1
Черт. 13.
сходящимся для всех значений х с положительной вещественной
частью, в результате чего имеем:
v{x, ¦/.)
v«l
B5)
L ч=0
*]-^—? e-4dy.. B6>
В самом деле, из дифференциального уравнения
начальною условия и (/, 0)=0 Еьпекгет, что н(/,/) = 0. {Прим. перев.Ь

238 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [1Л. III
В этом ряде можно при ?>0 поменять местами интеграцию и сум-
суммирование 1). Дифференцируя затем в формуле B6) по t под знаком
суммы и интеграла, получаем при *;>8>0 равномерно сходящийся
ряд равномерно сходящихся интегралов, а, следовательно,
Ut (х, t) = 4^f { 2 s' f e"x(x+2ilJ*exHd% — ^ s" f ex(a!~2vQ 2v.e*'tdv\.
i
о i
Если выбрать теперь за путь интегрирования L самоё мнимую ось,
то для Ut после несложных выкладок получится выражение
или
e-rt д ъ -SE2: e-rt
.B7)
Так как U(x, 0)=0, то само U получается, наконец, интегрированием
формулы B7)
t
Функцию
t
р(х(О
^ « , B8)
—со
из которой U(x, t) получается просто с помощью формулы
t
U(x,t) = —~fe-"F(x,-z;l)dz, B9)
о
можно выразить через эллиптическую ^-функцию
оо
2 s-. C0)
х) Действительно, обозначая через vn(x,v) /г-ную частную сумму ряда B5)
и * = а -(- г§, а > 0, имеем:
jo — и„
причем С не зависит ни от х, ии от х. .Следовательно,
X —со
ори />0 стремится к нулю с безграничным возрастанием «•

§3]
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
239
Пусть сначала е=1; в таком случае из выведенной на стр. 181
формулы преобразования (8) вытекает:
и, следовательно,
C1)
C2)
В случае е = — 1 соответствующую функцию Ft (лг, t; Г) легко выра-
выразить через F следующим образом:
F,(х, t;l)=*F(x,t;t)~-2F{x-\-21, t; 21). C3)
После несложных вычислений имеем:
7 2 Л
C4)
ИЛИ
Формулами C1) и C4) можно воспользоваться для того, чтобы
получить другое выражение для функции U. Вносим эти ряды в фор-
формулу B9), и после интегрирования под знаком суммы, принимая во
внимание справедливые в интервале 0 < х <[ / разложения в ряд
Фурье J):
sh
shi
ch У г A-х)
п sin — пх
г+п*
р
-Г Я +-^Г ]Х
C6)
получим следующие выражения:
г т / j\ sh У г (I — л:)
U (X, I) = ^-=—г
sh / У/-
для случая U(l, f) = 0 и
Р
л sin —- я*
C7)
x) Первая из формул C6) получается при разложении функции
sh У г (I — х) по синусам в интервале 0<^х^1, вторая — при разложении
функции ch УТ {I — х) по синусам же в интервале 0 <[ х < 21. {Прим. пер.)

240 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. III
для случая C/a,(/,/) = 0.
Из этих формул видно, что при ? -> со устанавливается стацио-
стационарное распределение соответственно
и=*ЗГЦ=^ „ ^сьт^Р-*). C9>
sh /г/ chVT/ ч л
Дла интервала, простирающегося справа в бесконечность, из фор-
формул C7) или C8) получим выражение:
^Ц D0)
о
и, в частности, для случая г = 0
со со
?7=1 — 1 f *Lile-Wd5=-|= Г «-*<«•
о _2!
2. Волновое и телеграфное уравнения. В качестве
второго примера рассмотрим телеграфное уравнение
и
и — ихх. — г2и (г = const.) D2)
с начальными условиями
и (х, 0) = щ (х, 0) = 0 D2а)
и краевыми условиями *)
u@,f)=. gT ; рад. + ^и* = "« при х = /. D2Ь)
Соответствующая задача II формулируется так:
«а» = *Ч D3) |
¦» (°. If) = -^rJ Р^ = (о — >.Tf) w при х =. /, D3а) j
причем мы здесь положили
О О ' О
*) Мы строим здесь вместо импульсивной функции V (х, t) функцию Us (x, t)
(ср. § 1, п. 3) для того, чтобы на основании теоремы п. 2 заранее иметь гаран-
гарантию, что надлежащий интеграл
'2гп J T i '
представляет искомое решение. Предположения упомянутой теоремы не вы-
выполнялись бы для интеграла, соответствующего функции U{x,t). Впослед-
Впоследствии же можно будет из функции U$ получить U по формуле

§ 3] К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ 241
Решение этой задачи имеет следующий вид:
P*ch»(/—
py.cn */+(М — a) shv./
~ 1 — e (x) e~2
где теперь
D5)
Так же, как и раньше, убеждаемся, что существует такое число
ао>О, что знаменатель формулы D4) уже не имеет нулей в полу-
полуплоскости Щ > ас0, и, следовательно, функция v в этой полуплоскости
всюду регулярна. На всякой прямой L, параллельной мнимой оси и
лежащей в полуплоскости 9^^>а(о+^> имеем:
где А > 0 и В > 0 — постоянные, не зависящие от х и f- Отсюда и
из соответствующих оценок для —— и —— нетрудно заключить, что
выражение
D6)
представляет функцию, непрерывную в области О^д:^/, t^-О и
имеющую в этой области непрерывные производные первого и
второго порядка. Следовательно, эта функция является решением
задачи D2).
Рассмотрим и для этой задачи частные случаи1):
МЛ 9 = 0; в(х) = —1, |
как и в предшествующей задаче .разложим функцию v в ряд
v(x, Т) = B e"e-«(*+«4) — ^ s^4*-2v«j) ^. D8)
О 1
и подставим этот ряд в формулу D6). Непосредственно убеждаемся,
что почленное интегрирование допустимо, и в результате этого инте-
интегрирования получается ряд вида
Ub(х, t) == Six, 9 + 2?' 15B»/ -Ь*,, 9~ 5Bv/—х, 91, D9)
1) Другим важным случаем является е = 0, который может быть, конечно,
реализован лишь при г = 0, если еще а — 0 и X = р. В этом случае не воз*
никает «отраженных» волн.

242 дополнения к третьей главе
где S(x, f) определяется как интеграл
[гл. ш
E0)
В случае г = 0 имеем:
и, следовательно, сразу получается:
-0 T
при t > х,
при t < л:,
3! "•"" *^~' E1)
О
откуда окончательно имеем:
E2)
в согласии с результатами, полученными ранее в § 1, п. 1, для которых
только что решенная задача представляет частный случай/(?)=тгу,
tf>0. Так как в ряде E2) во всякий момент времени лишь конечное
число членов не исчезает тождественно и каждый из этих членов
обладает непрерывными производными до второго порядка и кусочно-
¦/г
Черт. 14.
Черт. 15.
Черт. 16.
непрерывными производными третьего порядка, то дифференцирова-
дифференцированием получаем непосредственно функцию U для случая г = О,
а именно:
— x~2v/)~
где

§ 3] К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВАДАЧ 243
Для вычисления интеграла E0) в случае гфО вводим вместо f
в качестве переменной интегрирования величину cp»=s=sо—^—/t: с помощью
равенства
1 = ir cos %
после чего выражение для S примет вид
j
v
При этом V есть кривая, являющаяся отображением прямой L
на плоскость <р, т. е. кривая
91 (ir cos <р) = const. > а0,
изображенная на черт. 14. Если /<дг, то действительная часть
показателя
ir (ix sin <p -J- / cos <p),
т. е. выражение
г si п с (^ sh т—д; ch т) E4)
в бесконечной части области 0<о<эт, т>0 становится отрица-
отрицательно бесконечным, так что путь V можно деформировать в дважды
пробегаемую полупрямую (ср. черт. 15) в этой области. Отсюда
вытекает, что
S(x, 0^0 (*<*). E5)
Если же />дг, то выражение E4) становится отрицательно бес-
бесконечным в бесконечной части области — тг<о-<0, т>0, и путь L
можно деформировать в кривую L", окаймляющую всю полосу
— it<o<it (Ср. черт. 16). Вследствие периодичности подинтеграль-
ного выражения в формуле E3) можно написать:
<?, E6)
причем точки <р = ± -к следует обходить по полуокружности малого
радиуса, обращенной выпуклостью вверх.
Достаточно будет вычислить функцию
L f afr(fartny+f сову)
E7)
из которой можно будет получить 5 по формуле
«г а/
6==—-di-
6==—-ditto для четвертой производной по t от функции f(xt t) имеем:
E7a)

244 ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ [ГЛ. II1
При t — х исчезают как функция f(x, О» так и ее производные по t
до третьего порядка. Действительно, если подставить в формулу E7)
t = х и в качестве переменной интеграции ввести величину г = elf,
то получим:
причем за путь интегрирования следует принять единичную окруж-
окружность плоскости г и точки г = rt i надо обходить с внутренней
стороны. Получаем, очевидно,/(х, х) = 0; аналогично можно пока-
показать, что при t = х обращаются в нуль и производные по t до
третьего порядка. Ввиду этого из формулы E7а) вытекает:
t
fix, O==
и следовательно, окончательный результат:
t
E8)
S(x, 0 = 0. t<x.
В частном случае г = 0 получается, естественно, снова прежний
результат:
В силу формулы E8), ряд D9) и в случае гфО содержит лишь
конечное число неисчезающих тождественно членов, каждый из
которых имеет непрерывные производные до второго порядка и
кусочно-непрерывные производные третьего порядка. Следовательно,
лч т т
для импульсивной функции U = , -g3 получается дифференцирова-
дифференцированием следующее выражение:
U(x, t) = S(x, *) + 2«4SBv/ + x, f) — SB4l—x, 0], E9)
l
причем теперь
S(x, О
x, t>x,
E9a)
0, t<x.
Эта функция U(x, t) является решением задачи D2) при краевом
условии G@, 0=1-
Для функции U(x, t) легко получить еще другое выражение,
представляющее аналогию разложениям C7) и C8) примера 1. Правда,

§ 3]
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
245
при этом выводе мы отказываемся от обоснования изменений порядка
предельных переходов. Мы будем исходить из интегралов
it/ j\ 1 С chx(/ — х) et* . it et *\ n
u{-x> Ъ^ш } —thrt T т в случае ж( }
и соответственно
x)
shx/
и воспользуемся разложениями в ряд Фурье
sh*/
ch -л (/ — x)
ch /Л
справедливыми в интервале О < л* -^ /. Внесем эти ряды в упомя-
упомянутые выше исходные интегралы и будем интегрировать почленно.
В силу равенства x2 = -ys-|-r2 каждый член ряда даст интеграл типа
JL f
Воспользовавшись разложением на элементарные дроби:
1 \\
2\T + 'V т* + г2 i — i\trC- +
поЛучим без затруднений:
-Г
2r.i J
l
а, следовательно, и нижеследующие ряды для наших функций:
и соответственно
п sin -r пх
F0)

246
ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВВ
В пределе / -» со отсюда получаются интегралы
[ГЛ. Ш
F1)
В случае г = 0 ряды F0) принимают более простой вид:
F2)
Второй из рядов F2) можно, впрочем, выразить с помощью первого
полинома Бернулли
в следующем виде:
U(x, f) = B1
F2а)
Предоставим читателю показать, что эти последние формулы F2)
и F2а) совпадают с результатами, полученными в § 1, п. 1.
Связь между формулой E9) и рядами F0) устанавливается, как
и в примере уравнения теплопроводности, с помощью формулы сум-
суммирования Пуассона (т. I, стр. 70). Обозначим через G (x, t) функцию
F3)
С помощью этой функции можно выражение E9) привести к виду
t со
U{x, O = -^jJ J O(* +2v/, т)Л, F4)
0 ч = — оо
представляющему аналогию выражению B9) в случае уравнения
теплопроводности. Для функции
Fix, t; /)= 2 0(jc+2v/, 0, F4а)
ч = —оо
как показывает сравнение с рядом F0), должна иметь место фор-
формула преобразования та
—оэ I/
F5)

§ 3] К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ 247
ио эта формула вытекает непосредственно из формулы суммиро-
суммирования Пуассона, если воспользоваться интегральной формулой
J
F6)
из теории бесселевых функций.
В частности, при х =» 0 имеем:
-/
GBv/, 0 = 4 2 / у • F7>
При всяком t левая часть F7) содержит лишь конечное число не
исчезающих членов. Следовательно, стоящий справа бесконечный
ряд выражается в виде конечной суммы бесселевых функций.
Например, в интервале 0<*<2/
в пределе /->оо отсюда получается:
/ ГгЛ~2 f Чп<
Литература к дополнениям к главе III
Монографии:
Jeffreys, Operational Methods in Math. Phys., серия Cambridge Tracts,
Nr. 23.
Carson, Electrical Circuit Theory, New York, 1926, с обильными ссыл-
ссылками на обширную литературу. Либо немецкий перевод, перерабо-
переработанный н дополненный Оллендорфом и Польгаузеном: Carson, Elek-
trische Ausgfeichsvorgange und Operatorenrechnung, Berlin, 1929. Имеется
русский перевод немецкой переработки книги Карсона под названием:
К а р с о н Д. Р., Электрические нестационарные явления и операционное
исчисление, ДНТВУ, Харьков — Киев, 1934.
Эфрос А. М. и Данилевский А. М., Операционное исчисление и кои-
турные интегралы, Харьков, 1937.
Лурье А. И., Операционное исчисление в приложениях к задачам меха-
механики, Л.-М., 1938.
Статьи, подчеркивающие математическую точку зрения:
Planchere!., Atti del Congresso Intern. Bologna, 1928.
M 8 с h 1 e r W., Ccmtn. math. Hetvet.. т. 5, стр. 256 и следующие.
v, Koppenfels, Math. Ann., т. 105, стр. 694 и следующие.

ГЛАВА IV
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И, В ЧАСТНОСТИ, ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
Мы не имеем возможности дать в пределах этой книги общую
теорию эллиптических дифференциальных уравнений. Ограничиваясь
дифференциальными уравнениями второго порядка, мы рассмотрим
здесь, главным образом, теорию потенциала. Теория потенциала,
являющаяся сама по себе очень важным отделом анализа, представляет
собой в то же время типичный пример теории дифференциальных
уравнений более общего вида.
В первом томе и предшествующих главах уже были рассмотрены
многочисленные вопросы теории потенциала. Опираясь на предыдущие
результаты, мы дополним их в настоящей главе и изложим в более
систематической форме.
§ 1. Основы
1. Дифференциальные уравнения Лапласа, Пуассона и родствен-
родственные им дифференциальные уравнения. Мы рассматриваем в некоторой
области G пространства xv.. .,хп с границей Г функции u(xi.. .,д:п)
от и переменных и так называемое дифференциальное уравнение
Лапласа или уравнение потенциала
Решения этого уравнения мы называем потенциальными или гармони-
гармоническими функциями. Соответствующее неоднородное уравнение, так
называемое уравнение Пуассона, обыкновенно пишут, выделяя мно-
множитель
Г(тг
выражающий величину поверхности единичной сферы в л-мерном про-
пространстве, т. е. в виде
Дк=. — шп^(х1,...,хи), C)
где \i(xu. . .,хп)— заданная функция точки. Решения уравнения
Лапласа, имеющие в области G непрерывные производные до второго
порядка, называются регулярными в G решениями. Через О мы

[§ 1] основы 249
обозначаем здесь и в дальнейшем открытую область. Далее, при
отсутствии специальной оговорки, мы будем считать G ограниченной
областью пространства. Через G -{- Г мы будем обозначать замкнутую
область, получающуюся путем присоединения к G точек границы.
Точно так же мы говорим о регулярных решениях уравнения Пуассона,
предполагая при этом, что ^ непрерывна в G. В дальнейшем мы будем
рассматривать, главным образом, случаи п — 2ип = 3и будем в этих
случаях вместо хг, х% или xit x2, хг писать х, у или х, у, г.
При п = 2 «общее решение» уравнения Лапласа является веществен-
вещественной частью произвольной аналитической функции от комплексного пере-
переменного х -\~ iy. При я = 3 можно также легко получить решения, завися-
зависящие от произвольных функций. Пусть, например,/(г, t) представляет со-
бой функцию от комплексного переменного z и вещественного перемен-
ного i и пусть при постоянном t f(z, t) является аналитической
функцией от z. Обозначая теперь через х, у, г вещественные перемен-
переменные, мы получим, что функция u=f(z-\-ixcost-\-iy sin*, t) при
любых значениях вещественного параметра t удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению Ди = 0. Путем суперпозиции таких решений,
например, путем интеграции, мы можем получить другие решения вида
ь
и = Г f{z -\- ix cos t -\- iy sin t, f) dt. D)
a
Так например, полагая
f(z, t)~z^em,
где п и h—целые числа, и интегрируя от — те до тс, мы получим
однородные полиномы от х, у, г:
it
и = J (г -\- ix cos t + iy sin*)п?ш dt.
— n
Введя сферические координаты
2 = rcose, x = rsin 8cos<p, у = r sin 9 sin<p,
мы преобразуем эти решения к виду
1С
и =5 2r"e*? f (cos & -f" i sin & cos *)» cos Ш*.
о
Таким образом, мы получаем с точностью до постоянного множителя
функции
и = гпе^чР^ h (cos 8),
где Рп, h(x) обозначают функции Лежандра высших порядков (см. т. I,
стр. 486).

250 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
При переходе к полярным координатам г, <р в случав я = 2 и
к сферическим координатам г, &, <j> при я = 3, т. е. с помощью
преобразований x = r cos <р, у = г sin cp на плоскости и
х = г sin & cos cp, у = г sin 0 sin cp, г =» r cos &
в пространстве, дифференциальное выражение Лапласа приводится
к виду (см. т. I, стр. 217)
гг +у+ ;?"»?> если п = 2»
Из этих формул вытекает следующая теорема, имеющая многочислен-
многочисленные применения:
Если и (л:, у) — регулярная гармоническая функция в плосксй
области О, то функция
v (х, уУ== «(?,?) С3 = х* + У) F)
также удовлетворяет уравнению Лапласа и регулярна в области
О', получающейся из G зеркальным отражением в единичном круге.
В трехмерном пространстве имеет место аналогичная теорема;
мы должны только здесь положить
('а=*2+У! + г2)- G)
При переходе к полярным координатам наша теорема сводится к утвер-
утверждению, что наряду с функциями и (г, ср) или и (г, &, ср) функции
«(>¦> ?K="(тг.?) и "о (Г, Э, ср) = — «(—, &, <р) также удовлетворяют
уравнениям E). Это получается непосредственно из тождеств:
(vrr + -~
= мрр + j мр. если
7 Mf если « = 3, где р =- i;,
Предлагаем в виде задачи доказать в общем случае /г-мерного
пространства аналогичную теорему для функции
- (8)
Таким образом, если не считать множителя j^=-2, гармонический ха-
характер функции сохраняется при зеркальном отражении в какой-нибудь
сфере. Так как прн параллельном переносе, преобразовании подобия н
обыкновенном отражении в плоскости гармонический характер функции
также сохраняется и притом полностью, то мы можем наш результат
формулировать следующим образом;

§ 1] основы 261
Преобразования, составленные из конечного числа параллельных
переносов, преобразований подобия и зеркальных отражений
в сферах или плоскостях, преобразуют всякую гармоническую функ-
цию в новую гармоническую функцию, если не считать множителя,
одинакового для всех гармонических функций (и зависящего только
от рассматриваемого преобразования).
Если и—регулярная гармоническая функция в конечной области О,
то, отражая G в сфере, центр которой лежит внутри О, мы преобра-
преобразуем внутренность О в область О\ составленную из точек, лежащих
вне зеркального отражения Г' границы Г области О. Функция
будет регулярной и гармонической в этой неограниченной области О'',
образующей внешность поверхности Г'. Обратно, для того, чтобы
определить регулярность гармонической функции в неограниченной
области О, мы отражаем сначала область О в сфере, лежащей вне О,
превращая таким путем О в ограниченную область G''. Тогда мы
называем функцию и регулярной в G, если указанная выше функция v
будет регулярной в области G''. В частности, гармоническая функ-
функция и называется регулярной в бесконечности,' если О содержит
бесконечно удаленную точку и если в этой точке можно приписать
функции и такое значение, чтобы функция v была регулярной в О'.
С этой точки зрения функция и = const, будет регулярной в бес-
бесконечности только в случае двух измерений; в трехмерном же про-
пространстве или при и > 3 функция и = с ф О нерегулярна в бесконечно
удаленной точке. Функции и=1—а-|-— (при произвольном а)
в трехмерном пространстве гармоничны вне единичной сферы и при-
принимают на этой сфере краевые значения и = 1; однако, из всего
этого семейства функций только функция и — — регулярна всюду
вне единичной сферы.
Как мы видели раньше, единственными решениями уравнения
Лапласа, зависящими исключительно от расстояния г точки (а:)
от фиксированной точки, например, начала координат, являются
функции, имеющие с точностью до произвольной мультипликативной
и произвольной аддитивной постоянной следующий вид:
11
= grlog-, еслил =
Эти функции обладают при г = 0 характеристической особенностью.
Всякое решение уравнения Лапласа в области О, имеющее вид
•.*„

252 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ {ГЛ. IV
где w регулярна, называется основным решением дифференциального
уравнения с особой точкой ?, причем точка ? должна лежать внутри О.
Нетрудно получить такие же основные решения и для- более общего
дифференциального уравнения вида Дм -\- си — 0 при постоянном с.
Для этой цели перейдем к полярным координатам и будем искать
решения вида и — ty (г), где г = у2(xv — U2- Для 41 мы получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение
A0)
Полагая ty(r) = —~-^(Усг), мы приведем это уравнение к виду
дифференциального уравнения Бесселл
?во (P=Vcr). (И)
Мы определяем искомое основное решение ty как решение уравнения
A1), обращающееся в бесконечность при г—0. Например, при
нечетном и
^"^^^(V^r), A2)
г 2 8
а при четном п
^ A3)
где N^ обозначает v-ую функцию Неймана.
2. Потенциал распределения массы. При п = Ъ потенциал
г
означает физически потенциал тяготения в точке х, у, г, произво-
производимый единичной массой, сосредоточенной в точке ?, ч\, С1)-
Если масса распределена в пространстве $, чц, С с плотностью
^(.Е. "*!> Q> то мы называем взятый по соответствующей области G
пространства \, г\, С интеграл
и (х, у, г) =
где
х) Слово потенциал мы здесь употребляем в физическом смысле, т. е.
в смысле величины, градиент которой дает силовое поле. Поэтому для уточ-
математической терминологии целесообразно называть рещеиия

§ 1] основы 253
потенциалом объемного распределения массы с плотностью (i
в области G.
Если точка Р с координатами х, у, г лежит вне О, то и является
гармонической функцией, в чем легко убедиться, дифференцируя и
под знаком интеграла. Если же точка Р лежит в области G и
если (л. кусочно-непрерывно дифференцируема1) в О, то функция и,
как мы показали раньше, удовлетворяет уравнению Пуассона
AK = —4^ A5)
(см. т. I, стр. 346).
Мы приведем здесь другой вывод уравнения Пуассона и осветим
его в дальнейшем с разных сторон.
Для этой цели мы сформулируем и докажем следующую теорему:
Пусть [1 (х, у, z) — ограниченная и интегрируемая в G функция.
Тогда потенциал A4) и его производные всюду равномерно не-
непрерывны; производные могут быть при этом получены путем
дифференцирования под знаком интеграла. Если же, сверх того,
функция (х непрерывно дифференцируема в О, то вторые произ-
производные функции и(х, у, г) внутри О непрерывны и имеет место
уравнение Пуассона
Ан =
Чтобы доказать первую часть этой теоремы, мы рассмотрим
функцию
Щ (*, у,г) = $ f fa (E, % С)/, (г) dl d-n dr, A6)
в
где /6(r) — вспомогательная функция, которая вне малой сферы,
описанной из точки г = 0 радиусом 8, совпадает с основным реше-
решением —, а внутри этой сферы /8 (г) остается в противоположность
функции—ограниченной; при этом предполагается, что/8 (/¦) примы-
уравнения Лапласа не потенциальными функциями, а гармоническими функ-
функциями, несмотря на то, что понятие потенциала в физике большей частью
связано с уравнением Лапласа.
J) Целесообразно придерживаться следующих определений: кривая или
поверхность называются кусочно-гладкими, если они состоят из конечного
числа частей, каждая из которых конгруэнтна кривой или поверхности,
заданной функцией z =/(x1,...), где/ непрерывна и имеет непрерывные
производные первого порядка в соответствующей области, включая границ/.
Если / имеет также непрерывные производные второго порядка, то мы
говорим, что кривая илн поверхность имеют кусочно-непрерывную кривизну.
Функция называется кусочно-непрерывной в G, если она в этой области
непрерывна, за исключением изолированных точек и кусочно-гладких кусков
линий или гюверхнгстей, причем число таких линий илн поверхностей
разрыва должно быть конечным во всякой замкнутой частичной области G'
области G, и рассматриваемая функция может иметь вдоль этих линий или
поверхностей только разрывы первого рода (скачки). Если первые произ-
производные кусочно-непрерывны в G, то функция называется кусочно-непре-
кусочно-непрерывно дифференцируемой в области G.

254 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV.
кает на поверхности сферы к функции —, оставаясь на сфере непре-
непрерывной и непрерывно дифференцируемой.
Мы полагаем, например,
— jj}\
если
ft(r) = y, если г>8.
Ив неравенства
с
К — «|^41ryWj(/t + i)r8rfr = ^M8«, A8)
о
где Af обозначает верхнюю границу {i, следует сразу, что при 8 -* О
последовательность иь сходится к потенциалу и равномерно относи-
относительно всех значений дг, у, г. Но дифференцируемость функции
/8(г) = ^(дг — I, у—% г—С) непосредственно переносится на функ-
функцию и5, причем, например
Пусть теперь функция у (дг, у, г) определена с помощью сходящегося
интеграла
G
получающегося из A4) путем формального дифференцирования под
знаком интеграла. Тогда
о
Поэтому
ь
|Э-*И*Ч1 J {Щ + ^У^^МЬ. B0)
о
Таким образом, последовательность -—сходится к функции x(x,y,z)
равномерно относительно х, у, г. Из известных теорем анализа сле-
следует поэтому, что у непрерывна и что ид} = у^. Аналогичным путем
мы получим тот же результат для производных иу и ut.
Существование и непрерывность вторых производных функции и
не могут быть обеспечены, если не наложить дополнительных ограни-
ограничений на функцию {а. Если же р. в G непрерывна и кусочно-непре-
кусочно-непрерывно дифференцируема, то мы можем интеграл
¦\ . * .
B1)

I lj основы 256
с помощью интегрирования по частям привести к виду
Ш!
в
и тогда мы получаем на основании предыдущей теоремы, что внутри О
и имеет также непрерывные производные второго порядка. В част-
частности, отсюда следует непрерывность выражения Ди, и, как было
показано в первом томе,
Да = — 4itji.
При и = 2 совершенно аналогичные теоремы имеют место для
потенциала плоского распределения массы
в
где
Кроме этих потенциалов объемного и плоскостного распределений
массы мы встречаемся в случае и = 3 еще с потенциалом двойного
слоя на поверхности и с потенциалом линейного распределения массы;
при и = 2 мы получаем потенциалы простого и двойного линейного
распределения массы. Потенциал массы, распределенной по поверх-
поверхности F с поверхностной плотностью р, выражается интегралом
вида
?Л, B2)
F
где do — элемент поверхности.
Линейный потенциал массы с линейной плотностью i вдоль
линии С с длиной дуги я определяется интегралом
B3)
или соответственно интегралом
u=> jxlog^ds B8')
с
при я = 2.
Потенциал двойного слоя получается путем суперпозиции потен-
потенциалов биполей (см. т. I, гл. VII, стр. 490). Потенциал точечного
биполя дается выражением
или соответственно

256 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
где j- обозначает дифференцирование по некоторому направлению
пространства ?, ч], С или плоскости Е, у\, a (v,/•)— угол между этим
направлением и радиусом-вектором, идущим от точки Р (х, у, г)
к точке Q (?, % С), или же соответствующий угол при п = 2.
Потенциал двойного слоя с плотностью о на поверхности F или
.вдоль кривой С задается тогда выражениями вида
или же
u(x,y) = fa?;log±ds, B4')
с
причем здесь ^- обозначает дифференцирование по принятому за по-.
ложительное направлению нормали к поверхности или кривой.
3. Формулы Грииа и их применения. Самым важным элемен-
элементарным вспомогательным орудием в теории потенциала служат фор-
формулы Грина.
Если трехмерная область О с элементом объема dg ограничена
кусочно-гладкой1) поверхностью Г, то между двумя функциями и и
v имеют место интегральные соотношения, выражающиеся следую-
следующими двумя формулами Грина:
f
J' $v
в г
При этом в первой формуле предполагаются: непрерывность и
и г» в замкнутой области G-j-Г, непрерывность первых производных
и и v в G, а также непрерывность первых производных и вдоль
поверхности Г и вторых производных и в области G; во второй же
формуле предполагается непрерывность первых производных и и v
в G-j-11 и вторых производных как и, так и v в области G.
Совершенно аналогичные формулы имеют место при п = 2.
При г» = 1 получается интегральная теорема Гаусса
_7<*> = 0, B6)
г
т. е. поверхностный интеграл от нормальной производной гар-
гармонической функции, регулярной внутри G и непрерывно диф-
дифференцируемой в G-fl1, paeew я^/тгю.
Непосредственным следствием из формулы B6) является следую-
следующая теорема относительно потенциала двойного слоя с постоянной
плотностью биполей о:
Ср. примечание 1 на стр. 253.

§ ij
основы
25?
При постоянной плотности биполей с = 1 потенциал биполей
куска поверхности F по своей абсолютной величине равняется
телесному углу, под которым граница поверхности видна из
точки Р. В частности, если F замкнутая поверхность, ограни-
ограничивающая некоторую область G, и если — обозначает дифферен-
дифференцирование по внешней нормали, то потенциал биполей имеет внутри
поверхности постоянное значение — 4-*, а вне ее равняется нулю2).
Для доказательства построим конус ?2, образуемый лучами, сое-
соединяющими точку Р с границей С поверхности F; допустим, для
простоты, что поверхность F и часть боковой поверхности конуса 2,
заключенная между вершиной Р и кривой С. ограничивают одно-
связную область G.
Отсекая от области О вершину Р с помощью достаточно малой
сферы К„ описанной из Р радиусом е, обозначим через Gs оста-
остаточную область, ограниченную поверхностями F, Q и Ке- В области
О8 функция и = — всюду регулярна. Применяя интегральную теорему
Гаусса B6), мы получаем:
к
Но вдоль ?2 выражение -4-(—) обращается в нуль, а вдоль Д"е оно
имеет постоянное значение
-у *). Отсюда непосредственно вытекает
наша теорема. (В самом деле, обозначая через da>
элемент поверхности единичной сферы Kv описан-
описанной из точки Р, мы получаем, что на /<е
dv
откуда
Kt
Черт. 17.
!) Если куску поверхности F приписать определенную положительную
или отрицательную сторону, то знак телесного угла определяется однозначно
следующим образом. Конус й образует с кусюл поверхности F замкнутую
область. Допустим сначала, что эта область односвязна. Тогда телесный
угол имеет отрицательный знак, если направленная в положительную сторону
от F нормаль является внешней нормалью относительно этой области, и
положительный знак — в противоположном случае. В общем же случае мы
разбиваем поверхность F на конечное число частичных кусков, для каждого
из которых наше допущение выполняется, и убеждаемся, что наш потен-
потенциал биполей равняется сумме соответствующих телесных углов, взятых
с надлежащим знаком.
*) Верхний знак должен быть взят, если производная -— берется по на-
дч г
правлению, внешнему относительно области G, ограниченной F и Q, а ниж-
нижний знак — в противоположном случае. (Прим. перев.)

268 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. IV
Интеграл, стоящий справа, равняется телесному углу, под которым
из точки Р видна граница поверхности F, причем этот телесный
угол берется с отрицательным знаком, если положительное напра-
направление нормали, т. е. направление, по которому производится диф-
дифференцирование -д-, является внешним относительно области G,
ограниченной F и 2, и с положительным знаком — в противопо-
противоположном случае.) {Прим. перев.)
При п = 2 аналогичная теорема гласит так:
Потенциал биполей
-aiog
«С*. У)=) av ds
с
дуги кривой С с постоянной плотностью о = 1 равняется углу,
под которым граничные точки дуги С видны из точки Р. В част-
частности, если С—замкнутая кривая, ограничивающая область О,
то и = — 2ir внутри О и и = 0 вне этой области.
Полагая в первой из формул B5) v = u, мы получим тождество:
%do, B7)
имеющее место для всякой гармонической функции и, регулярной
в области О и имеющей непрерывные производные в области
О—{-Р. Формула B7) остается справедливой также и в том случае,
когда область Q содержит бесконечно удаленную точку, если только
гармоническая функция к остается регулярной в бесконечности, т. е.
если функция
1 „(х У z\
регулярна-в точке г = 0.
Интеграл D(u), так называемый интеграл Дирихле, играет
в теории потенциала чрезвычайно важную роль. Как мы уже видели
в первом томе (стр. 182), интеграл Дирихле является связующим
звеном между теорией потенциала и вариационным исчислением.
Этот факт будет иметь для нас позже фундаментальное значение
и будет положен в основу теории, изтагаемой нами в гл. VII.
Мы можем уже теперь получить из формулы B7) следующее
следствие:
Пусть и рггулярная гармоническая функция в области О, не-
непрерывная и непрерывно дифференцируемая ъО-\-Т. Тогда, если и
обращается в нуль на поверхности Г, то. и тождественно равно
нулю всюду внутри области G; если же вдоль поверхности Г
обращается в нуль нормальная произзсдная -^, то функция и
постоянна в области G.

§ 1] основы 259
В самом деле, в обоих случаях /)[и] = 0, так что и = const. = С,
всюду в О, причем в первом случае постоянная С—О, так как она
должна совпадать с нулевыми краевыми значениями функции к.
Пусть G— шар радиуса R. Положим v = —, где г—•расстояние
от центра шара, и применим вторую из формул B5) к области,
заключенной между произвольно выбранной концентрической сферой
радиуса /?0</? и заданной сферой радиуса R. Учитывая формулу
B6), мы получим:
Ц [{ ± f [udo. B8)
Заставляя теперь Ro стремиться к нулю, мы получим теорему
о среднем значении
// B9>
Другими словами, значение гармонической функции в некоторой
точке равняется среднему арифметическому значений этой функ-
функции на поверхности какой-нибудь сферы, описанной из данной
точки, если внутри этой сферы функция всюду регулярна и имеет
непрерывные краевые значения.
Из этой теоремы о среднем значении мы можем сделать ряд
важных выводов.
Максимум и минимум гармонической в области О функции
и, регулярной внутри G и непрерывной на границе Г, дости-
достигаются всегда на границе Г и не достигаются внутри, если только
и не является постоянной.
Для доказательства рассмотрим множество точек F замкнутой
области G-f-Г, в которых и равняется наибольшему из значений,
принимаемых функцией и в G-f-Г. Так как и непрерывна в G-f-Г,
то F—замкнутое множество. Допустим, что F содержит какую-
нибудь внутреннюю точку Ро области Q; тогда существует семейстЕО
сфер, описанных из точки Ро и целиком лежащих внутри G. Так
как среднее арифметическое значений функции и на каждой такой
сфере равняется также и(Р0) = М и так как и*СМ всюду в G, то
отсюда следует, что внутри всякого шара с центром в Ро, целиком
лежащего внутри G, всюду и—М.
Итак, наряду с любой внутренней точкой Ро области G множество
F должно содержать также и всякий шар с центром Ро, лежащий
целиком внутри G, но это возможно только тогда, когда F совпа-
совпадает с G-j-Г, т. е. когда и постоянна в G-f-Г. Если же и не
является постоянной, то F может содержать только граничные точки.
Точно таким же образом доказывается, что минимум функции и
достигается на границе и не достигается внутри О, если только и
не является постоянной.

260 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ \<,Л. IV
Из этой Теоремы о максимуме и минимуме непосредственно вы-
вытекает следующая теорема:
Если гармоническая функция и, регулярная в О и непрерывная
в G-j-Г, постоянна на границе Г, то она постоянна также
всюду внутри О-
В частности, получается теорема о единственности.
Если две гармонические функции, регулярные в G и непрерыв-
непрерывные в G-j-Г совпадают на границе Г, то они также совпадают
между собой всюду в О.
В самом деле, разность обеих функций сама является также
гармонической функцией, регулярной в G и непрерывной в G~\-T.
Так как по условию эта функция обращается в нуль на границе Г,
то в силу предыдущего она должна тождественно обращаться в нуль
также и всюду внутри G.
Формулы Гринт B5) подвергаются существенному изменению,
если мы подставим вместо v функцию, обладающую в точке Р
характеристической особенностью уравнения Лапласа. Пусть Р—внут-
Р—внутренняя точка G с координатами х, у, г. Положим:
vtf, к), С) — — -\-w(t, к), С),
где
г = У(* — Q» + (у - 'I)
a wQ.b -(], С) — произвольная функция, дважды непрерывно диффе-
дифференцируемая в области G.
Применим формулы Грина B5) к частичной области G — Ке об-
области G, получающейся путем удаления из области G достаточно
малого шара КЕ, описанного из точки Р радиусом е. Переходя затем
к пределу при е -»0i мы получим обычным элементарным путем
следующие формулы:
fff dg =
C0)
b. C0')
f Ju
"r
При этом'v = \-w, a
кг, если Р лежит внутри G,
1 = { 2т:, если Р лежит на Г,
( 0, если Р лежит вне G.

§ 1]
основы
261
Если Р лежит на Г, то мы предполагаем, кроме того, что поверх-
поверхность Г имеет в точке Р касательную плоскость с непрерывными
угловыми коэффициентами *).
Далее, мы делаем в отношении функций и и w те же допуще-
допущения, что и в формулах B6), а именно, мы предполагаем существо-
существование интегралов, взятых по области G, непрерывность и и w
в G-j-Г, непрерывность первых и вторых производных в и® в С;
сверх того, мы в формуле C0) предполагаем непрерывность первых
производных функции и в О-4-Г, а в формуле C0')—непрерывность
первых производных как функции и, так и функции w в области
G-f-Г-
Для плоскости имеет место при тех же предположениях анаю-
гичная система формул:
в
JJ («ДВД_
в
C1)
C1')
где
v = log —j- iso, a
2ir, если Р лежит внутри G,
it, если Р лежит на Г,
О, если Р лежит вне G.
Если, в частности, положить w — 0, то мы получаем для всех
точек Р, лежащих внутри G, следующее интегральное выражение
для функции и:
<?
Таким образом, всякая функция и, дважды непрерывно диффе-
ренцируемая в G+Г, может быть рассматриваема как потен-
потенциал распределения массы, состоящего из объемного распределения
массы в области G с плотностью
поверхностного распре-
распределения с плотностью -у- -=— и двойного слоя биполей плот-
плотности— i^, покрывающих поверхность Г.
*) Если Р является конической вершиной поверхности Г, то коэффициент
р равняется не 2п, а телесному углу, образуемому касательными к Г в ко-
конической вершине Р.

262
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[гл. iv
Для гармонической функции и мы получаем, в частности,
1
1 г г I ди . ifr
м= —- ^-do—-р- к
do,
C3)
т. е. всякая гармоническая функция и, регулярная в G и непре-
непрерывно дифференцируемая в G-{-T, может быть представлена
1 да
как сумма потенциала простого слоя плотности -j— -т- и потен-
потенциала двойного слоя биполей плотности т- к.
Из формул C0') мы мож:м снова получить теорему о среднем
значении для гармонических функций. В самом деле, применим C0')
к шару радиуса R, полагая w = — ~~5 — const., тогда v обратится
в нуль на поверхности шара, и мы непосредственно получаем соот-
соотношение B9).
Предложим, в виде задачи перенести все эти выводы на случай
п = 2 и на случай любого числа измерений. При любом п и со-
совершенно аналогичных предположениях относительно функций и и ю
и области G имеют место формулы Грина
я-
в ' г
и формулы, аналогичные формулам C0):
C4)
G
<? г
При этом, если и>2, мы должны положить
C5N
1
шИ) если Р лежит в G,
-—1, если Р лежит на Г,
0, если Р лежит вне G.
do здесь обозначает элемент поверхности, а -^ дифференцирова-
дифференцирование по внешней нормали к поверхности Г.

§ 1] основы
263
4. Производные потенциала поверхностного распределения
массы. В п. 2 мы доказали, что потенциал объемного распределения
ма:сы непрерывен и имеет непрерывные производные, если плотность
массы ограничена и интегрируема.
Мы рассмотрим теперь свойства непрерывности поверхностных
потенциалов и потенциалов двойного слоя, а также их производ-
производных при переходе точки Р(х, у, г) через поверхность F, причем
мы здесь не будем стараться доказывать наши теоремы при возможно
более общих предположениях. Мы применяем следующий метод 1).
Рассмотрим согласно черт. 18 точку Ро на куске ловерхности F,
являющемся частью границы Г трехмерной областл G.
На эту область G мы продолжаем с достаточной
степенью непрерывности заданные на F функции р
или о, выражающие плотность распределения массы
на поверхности F. Затем мы применяем к области G
и подходящим образом выбранным функциям и и v
формулы Грина C0) и C0'). Так как нашей целью
является лишь изучение разрывов рассматриваемой Черт. 18.
функции, то целесообразно опускать в наших фор-
формулах все выражения, остающиеся непрерывными при переходе
точки Р через поверхность F; условимся писать символически, что
такое выражение г=0 («сравнимо с нулем»). Область Омы выбираем
так, чтобы положительная нормаль к F была внешней нормалью
относительно G.
Заметим, прежде всего, что потенциал простого поверхностного
слоя, как нетрудно убедиться, изменяется непрерывно при переходе
точки Р через поверхность F. Таким образом, нам остается только
исследовать поведение потенциала двойного слоя, его производных,
а также производных потенциала простого слоя. Мы получим при
этом следующий результат, который впрочем остается справедливым
и при значительно более слабых предположениях (применяя при
доказательстве тот же самый метод).
Мы допускаем, что поверхность F имеет в окрестности точки Ро
непрерывную кривизну (см. примечание 1, стр. 253) и что плотность
массы на поверхности F дважды непрерывно дифференцируема.
Тогда:
1. Потенциал двойного слоя имеет в течке Ро при переходе
через поверхность F разрывы непрерывности, выражаемые следую-
следующими формулами:
lim u(Pl_) — u(P0)^2r^(P0\
Р
lim и {Р_) — и {Ро) = - 2it3 (pQ).
C6)
*) Наш метод имеет некоторое сходство с методом Эргарда Шмидта
(Erhard Schmidt). См. математические работы, посвященные памяти Германа
Амандуса.Шварца, стр. 265, Берлин, 1914.

264 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
При этом символ Р+ -> Ро обозначает приближение к Ро с положи-
положительной стороны поверхности F, а Р_ -»Ро — приближение к Ро
с отрицательной стороны F.
2. Производная потенциала двойного слоя и (Р), взятая по
направлению нормали к поверхности F, изменяется непрерывно,
когда Р переходит через поверхность вдоль нормали к поверхности
в точке Ро. Тангенциальные же производные -дт, та. е. производные
по направлениям, перпендикулярным к нормали, имеют при этом,
разрывы, величина которых определяется следующими формулами:
ди(Р+) аи(Ри)
ди{Р_) ди(Р0) да(Р)
r_™P(, dt - dt - ** dt
3. Потенциал простого слоя, а также его тангенциальные
производные изменяются непрерывно г.ри переходе через Ро; нор-
нормальные же производные потенциала простого слоя имеют раз-
разрыв, величина которого определяется формулой
/ди\ ди . ди .__.
) +4 W C8)
При этом ^-q; обозначает дифференцирование по направлению по-
положительной нормали к поверхности в точке Ро, а — — дифферен-
дифференцирование по направлению отрицательной нормали.
Переходя к доказательству, рассмотрим сначала двойной слой
плотности о, продолжим функцию о на область G-\-F в качестве
непрерывно дифференцируемой функции о(лг, у, г) и напишем фор-
формулу Грина C0), полагая и — о и отбрасывая члены, остающиесй
непрерывными при переходе через поверхность:
(поверхностные интегралы, не относящиеся к части поверхности F,
очевидно, непрерывны относительно Р и имеют непрерывные произ-
производные какого угодно порядка).
Так как правая часть этого равенства согласно нашим прежним
рассмотрениям на стр. 254 непрерывна, то отсюда непосредственно
получается наше утверждение относительно поведения потенциала
двойного слоя.
Чтобы доказать наше утверждение относительно производной по-
потенциала двойного слоя, мы предположим, что функция о продолжена
на область О в качестве дважды непрерывно дифференцируемой

§ 2] ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 265
функции а(х, у, г) и притом так, чтобы производная по нормали
— обращалась в нуль вдоль поверхности F. Применим теперь к функ-
функ« = - вторую формулу Грина C0'), которая принимает
циям и = ои«
следующий вид:
Так как правая часть непрерывна, т. е. сравнима с нулем, то мы
отсюда получаем, прежде всего, еще раз наше утверждение относи-
относительно поведения самого потенциала двойного слоя; но правая часть,
сверх того, имеет непрерывные частные производные по х, у, г,
откуда следует, что производные потенциала двойного слоя имеют
на поверхности F такие же скачки, как и соответствующие произ-
производные функции — ра, что и доказывает утверждение 2 и формулу C7).
Совершенно таким же образом получается наше утверждение
относительно скачков производных потенциала простого слоя [фор-
[формула C8)]. Мы снова применяем формулу Грина C0'), выбирая, однако,
функцию и так, чтобы она сама тождественно обращалась в нуль
вдоль поверхности F, а ее нормальная производная -т- равнялась
плотности р поверхностного распределения массы.
Возможность продолжения наших краевых функций а и р на трех-
трехмерную область G, примыкающую к поверхности F, с соблюдением
указанных выше требований непрерывности вполне обеспечиваются
теми ограничениями, которым мы подчинили поверхность F и функции
распределения массы на поверхности.
Аналогичные теоремы и формулы для скачков имеют место для
потенциала на плоскости с той только разницей, что в формулах
C6) и C7) множитель 2тс должен быть заменен множителем и, а в фор-
формуле C8) множитель 4т: должен быть заменен множителем 2тс.
§ 2. Интеграл Пуассона и его следствия.
1. Краевая задача и функция Грина. Мы уже исследовали
в т. I, гл. V, § 14 вопрос о представлении решения краевой задачи
с помощью так называемой функции Грина, не зависящей от краевых
значений или соответственно от правой части дифференциального
уравнения. Напомним еще раз основной ход рассуждений. Мы рас-
рассматриваем ограниченную область G пространства хи х2,...,х„,
имеющую кусочно-гладкую х) границу Г. Пусть заданные вдоль гра-
границы Г краевые значения искомой функции и совпадают со значе-
значениями, которые принимает на Г некоторая заданная в замкнутой об-
*) См. примечание к стр. 253,

266 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. IV
ласти G -j- Г непрерывная и имеющая непрерывные производные
третьего порядка функция f(xv х2, ..., хп).
Краевая задача теории потенциала состоит в том, что требуется
найти непрерывное в G-J-Г и регулярное в G решение дифферен-
дифференциального уравнения Ди = 0, совпадающее вдоль Г с функцией /.
Заметим сейчас же, что этот, на первый взгляд, специальный, харак-
характер формулированной таким образом краевой задачи не язляется су-
существенным, ибо, как мы увидим в § 4, мы можем путем простого
перехода к пределу легко освободиться от введенных ограничитель-
ограничительных условий дифференцируемое™ для краевых значений искомой
функции. Вводя теперь вместо функции и функцию ¦» —и—/, мы
можем привести нашу краевую задачу к несколько иному виду. Для
функции -о мы получаем на Г нулевые краевые значения, так что
краевое условие становится однородным, тогда как уравнение Лапласа
для и переходит в неоднородное уравнение
Дг»= — Д/
для функции v.
Обозначим через Q фиксированную внутреннюю точку области О
с координатами \v ?2, .. .,(;„, а через Р—(хи х2, ¦.., x,j)— перемен-
переменную точку, пробегающую всю область G, и пусть у обозначает опре-
определенную на стр- 251 функцию.
Назовем теперь функцией Грина дифференциального выражения
Дк, принадлежащей к области G, то основное решение уравнения
п
= У -r-v
*^ дх~
¦iral v
т. е. решение вида
регулярное в G всюду, кроме точки P=Q, которое обращается
в нуль вдоль границы Г. Эта функция и = и (Р) зависит от точки
Q—Q(Zu • • • >?и) как параметра.
Как функция двух точек Р и Q функция Грина и = К(Р, Q)
является симметрической функцией
P)
(см. т. I, стр. 343\
Так как функция Грина обращается в нуль на границе Г и поло-
положительна на поверхности достаточно малой сферы, описанной из
точки Q, то отсюда следует, что функция Грина всюду положи-
положительна внутри G.
Если допустить, что функция К во всех точках G-f-Г, за исклю-
исключением точки Р = Q, не только непрерывна, но и непрерывно диф-
дифференцируема, a v является непрерывным и непрерывно, дифферен-

§ 2] ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 267
цируемым в G-J- Г решением уравнения Дф = — Д/, то мы получим
непосредственно на основании формулы C5) из § 1 следующее инте-
интегральное выражение для v.
...fK(Xi, ....ддм,...^ B)
G
а для решения и первоначальной краевой задачи
/ C)
Формулы B) и C) создают на первый взгляд такое впечатление, что
решение и зависит от значений функции / внутри G. В том, что это
ие так, легко убедиться, применяя к правой части уравнения C)
формулу Грина. Мы получаем:
/J.../W*,... Л.--/-/.../?/*>.
G Г
откуда следует, что формула C) равносильна формуле
•—/•¦•/?'*¦ <«
г
правая часть которой зависит только от краевых значений / и не
зависит от значений / внутри G.
Однако, во многих случаях является более целесообразным со-
сохранить первоначальную форму C) интегрального выражения для
решения краевой задачи. Формула C) обладает тем преимуществом,
что, отбрасывая введенные раньше ограничения в отношении К и v,
мы можем, обратно, доказать следующую теорему. Если К(Р, Q)
есть функция Грина для ограниченной области G, a g—произ-
g—произвольная кусочно-непрерывно дифференцируемая функция, то вы-
выражение
== Я
G
представляет решение дифференциального уравнения Пуассона
Av = — g, непрерывное в G -\- Г и обращающееся в нуль на гра-
границе Г.
То, что v удовлетворяет в G дифференциальному уравнению,
непосредственно следует из интегрального выражения функции v и
из кусочно-непрерывной дифференцируемости функции g(xt,.. .,хп)
(см. § 1, стр. 254).
Чтобы доказать, что функция v обращается в нуль на границе,
недостаточно сослаться на то, что К обращается в нуль на границе,
ибо К не стремится равномерно относительно Q к нулю, когда Р
приближается к границе.
Чтобы обойти эту трудность, мы воспользуемся следующей леммой,
которую мы докажем ниже в п. 2.

268 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гЛ. IV
Если В подобласть О, диаметр которой не превосходит h, me
имеет место оценка
¦где е (Л) обозначает некоторую верхнюю границу, зависящую
только от h и не зависящую от специального выбора подобласти В,
которая вместе с h стремится к нулю.
Пусть теперь точка Р области G неограниченно приближается
к точке R границы Г. Обозначим через Вь ту подобласть О, которая
лежит внутри сферы радиуса h, описанной из точки R, а через
О' — остальную часть области G. Тогда
•¦¦ J"ЮгЛ1...л„+/¦/... /к^ ... «й„.
G' , *н
Когда точка Р стремится к точке R, первый интеграл взятый
в области G', очевидно, стремится к нулю. Для второго же интеграта
J J .. .
мы получаем непосредственно оценку:
\vh\<Ms{h),
где М обозначает верхнюю границу для \g\. Отсюда следует, что
когда точка Р достаточно близка к точке R, то имеет место нера-
неравенство \v\<^Me(h), а так как h может быть выбрано произвольно,
то наша теорема доказана.
На основании этой теоремы интегральные формулы B) и C) нам
дают непосредственно решение и краевой задачи, если известна
функция К-
Итак, общая краевая задача с произвольными заданными
краевыми значениями, по существу своему, эквивалентна задаче
нахождения функции Грина, которой соответствует совершенно
частная краевая задача, содержащая, правда, в качестве параметра
точку Q.
2. Функция Грина для круга и шара. Интеграл Пуассона для
шара и полупространства. В первом томе нами уже была построена
функция Грина для круга и шара. Проведенные там рассуждения
легко распространяются на лапласиан в я-мерном пространстве. Пусть
Tf —tyi/) обозначает основное решение дифференциального уравнения
Ли = 0 в случае п измерений, так что
•НО = ^ log-1, если «==2.

§ 2j ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА И ЕГО СЛЕДСТВИЙ 269
Тогда функция Грина для шара радиуса R непосредственно задается
выражением:
К(хи ...,U =^(г) —ф(^гх), F)
причем
ра-2ё. <«=2 (*,—«¦¦
обозначает расстояние точки jtj, ..., х.„ от зеркального отражения
p
точки Sj, ?2, ..., ?ге в рассматриваемой сфере. Эта функция удовле-
удовлетворяет, как легко убедиться, всем требованиям, характеризующим
функцию Грина, и, в частности, обращается в нуль на поверхности
сферы, ибо если точка Р лежит на сфере, т. е. если 2х* = ^?2>
то, как нетрудно видеть, г = -^-г1. Мы можем следующим образом
использовать функцию Грина для круга или шара в качестве мажо-
мажоранты для функций Грина, принадлежащих к произвольным
ограниченным областям О.
Пусть Q произвольная точка области G. Выберем число R на-
настолько большим, чтобы сфера радиуса R, описанная из любой точки
области G, целиком содержала внутри себя всю область G -j- Г. Если
через г обозначить расстояние от точки Q, то функция
1 /?
яр log-— при п = 2,
при и>2
является функцией Грина для сферы радиуса R, описанной из точки Q,
если особая точка функции Грина совпадает с центром Q рассма-
рассматриваемой сферы. Обозначим через К(Р, Q) функцию Грина, которая
принадлежит области G и особая точка которой также совпадает
с точкой Q. Тогда разность
регулярна в области G. Так как эта функция на границе Г нигде
не положительна, то всюду в области G имеют место неравенства
Из этой оценки для функции Грина К легко получается примененная
в п. 1 оценка
JJ...J*/<"(*,, .:.,5w)d?1...d5n<.(A)
для областей, диаметр которых не превосходит h.

270 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
С помощью формулы F) мы получаем решение краевой задачи
уравнения Ди = 0 для шара с краевым условием и=/ на границе Г
в виде интеграла
Я*
г
Легко убедиться путем простого вычисления, что
так что интегральное выражение для и принимает вид
Представив себе / заданной в виде функции координат- Ср ..., Сга на
единичной сфере и заменяя ^ {г) выражением E), мы получим инте-
интегральную формулу Пуассона:
(9)
При этом интеграл берется по поверхности единичной сферы в «-мер-
«-мерном пространстве, р = \fx\ -\- ... -\- х^, а 8 означает угол между
радиусом-вектором р и радиусом, соединяющим центр шара с точкой
¦»ii • ¦ •» ¦»«¦
При п = 2 и /г = 3 эта формула была получена нами уже раньше
(см. т. I, стр. 489).
Из наших предыдущих рассмотрений следует, что решение краевой
задачи дается формулой (9), если краевые значения / задаются зна-
значениями, которые принимает на поверхности Г функция, непрерывная
в G и имеющая в G непрерывные производные первого и второго
порядков и кусочно-непрерывные производные третьего порядка. Так,
например, все эти условия выполняются для функции /== 1; инте-
интегральная формула Пуассона в соединении с теоремой единственное ги
§ 1 выражает в этом случае тот факт, что взятый по поверхности
сферы радиуса R по переменным Sij, ...,?„ интеграл от положитель-
положительного внутри сферы ядра
равняется единице:
Q)do —
s8)"h
JJ
Это ядро Н(Р, Q) как функция точки P(xv х2, • • •, хп) при фикси-
фиксированной точке QEi, 58, ...,1п) удовлетворяет само уравнению

§ 2] ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА И ЕГб СЛЕДСТВИЯ 271
Лапласа, в чем мы убеждаемся непосредственно, представляя эту
функцию в виде
RunH = —J5TT — 7Г= 2^
причем
На поверхности сферы Н обращается в нуль во всех точках, за
исключением точки Р = Q, при приближении к которой изнутри
сферы Н неограниченно растет.
Мы можем теперь легко освободиться от тех слишком больших
ограничений, которым мы подчинили краевые значения /, и доказать
следующую теорему: Интегральная формула Пуассона дает реше-
решение краевой задачи, если краевые значения
удовлетворяют одному только требованию
непрерывности на поверхности сферы.
В самом деле, при этом предположении мы
имеем право сколько угодно раз дифференци-
дифференцировать выражение (9) под знаком интеграла,
если только точка Р является внутренней точ-
точкой шара. Так как Н удовлетворяет уравнению
Лапласа, то отсюда следует, что определяемая
формулой (9) функция и — гармоническая функ-
функция, регулярная всюду внутри шара. Остается
еще доказать, что при приближении к гра- Черт. 19.
нице и переходит в заданные краевые значения.
Пусть Pj произвольная точка границы, а Р достаточно близкая
внутренняя точка шара (черт. 19). Обозначим через Ро конечную
точку радиуса, соединяющего центр шара с точкой Р.
Тогда в силу неравенства
и вследствие непрерывности краевой функции достаточно доказать,
что и стремится к краевой функции / при радиальном приближении
точки Р к границе Г, т. е. доказать, что выражение
. и (P)—f{P0) = $$Н(Р, Q) 1/4Q)—/Wl doQ A2)
стремится к нулю, когда Р неограниченно приближается к Ро вдоль
радиуса, соединяющего центр шара с точкой Ро.
Для доказательства разобьем поверхность шара с помощью сколь
угодно малой сферы, описанной из точки Ро радиусом 8, на две
части Qt и 2а и допустим, что точка Р уже лежит внутри этой
.сферы радиуса 8, т. е. что расстояние h = (Р, Ро) меньше 8. Пусть Qt
обозначает ту часть поверхности сферы, которой принадлежит точка Ро.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ?гЛ. IV
Если во всех точках сферы |/|<CAf, а во всех точках области Qj
то мы получаем из уравнения A2) следующую оценку:
| и (Р) —f(Po) I < 2Ж J J
(8) J J Hdbe < Ш jj HdoQ + a (8).
•ч.
Si
Но, как нетрудно убедиться, в области Q2 ядро И остается меньше
выражения
R*n (у) Я«
Таким образом,
7W
Выбрав теперь S так, чтобы во всех точках Q области Q1 имело
место неравенство
мы можем положить
,^4 J^
Фиксируя о и выбирая тогда h так, чтобы имело место неравенство
¦А<4,
D)"
мы убеждаемся, что будет выполняться условие | и(Р)-
и тем самым наша теорема доказана. Аналогичная интегральная
формула и соответствующие результаты получаются, если взять
в качестве области G вместо сферы полупространство.
Пусть, например, G обозначает полупространство -г>0, так что
границей Г будет плоскость г —0. Тогда решение краевой задачи
для области G при любых краевых значениях / (л:, у) дается инте-
интегралом Пуассона для полупространства
и (х, y,z) = ~
если только функция /(%, у) такова, что после зеркального отраже-
отражения плоскости z = 0 в сфере, лежащей вне области G (см. п. 1,
стр. 251), получается краевая задача с непрерывными краевыми зна-

§ 2] Интеграл пуассона и его следствия 275
чениями для ограниченной области G', являющейся зеркальным от-
отражением области G.
В случае и измерений, взяв в качестве области G область хи>0,
мы получим при выполнении соответствующих условий интегральную
формулу:
~j?» f f
8. Следствия из формулы Пуассона. Заметим прежде всего,
что как теорема о максимуме и минимуме, так и теорема о среднем
значении могут быть получены также как непосредственные следствия
из формулы Пуассона. Ввиду очевидности доказательства мы можем
подробнее на этом не останавливаться.
Всюду положительное ядро И заключается при р</? между зна-
значениями '
1 / 1 \n-ifl_р 1 / 1 \"-з/?+р
Рассмотрим теперь регулярную и нигде не отрицательную
в области G гармоническую функцию и. Опишем из какой-нибудь
точки Р области G сферу Q радиуса /?, целиком лежащую внутри
области G, и обозначим через Q какую-нибудь другую точку, "лежа-
"лежащую внутри сферы Q (черт. 2.0). Тогда из интегральной формулы
Пуассона и теоремы о среднем значении непосредственно получается
так называемое неравенство Гарнака
Если и регулярна в любой ограниченной области пространства, то
для любых двух точек Р и Q мы можем описать сферу сколь
угодно большого радиуса R с центром Р, содер-
содержащую точку Q. Переходя в неравенстве Гарнака
к пределу при R—>- со, мы получим:
Таким образом, гармоническая функция, регу-
регулярная и положительная в любой ограниченной
области пространства, является постоянной.
Очевидно, что то же самое имеет место также и Черт. 20.
для гармонических функций, нигде не положитель-
положительных и регулярных в любой конечной области, и вообще для гармо*
нических функций, регулярных в любой конечной области простран-
пространства и ограниченных с одной стороны.
Итак, если гармоническая функция регулярна в любой конгЯ'
ной области пространства и если она ограничена с едкой стороны,
то она является постоянной.

274 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ (гЛ. IV
Дальнейшим чрезвычайно важным следствием из интегральной
формулы Пуассона является аналитический характер гармониче-
гармонических функций.
Всякая гармоническая функция, регулярная в области G,
может быть в окрестности любой внутренней точки Р области
G разложена в степенной ряд.
Примем заданную точку Р области G за начало координат и до-
докажем, что имеет место разложение в ряд
где Q4 — однородные полиномы степени v от переменных хх, ..., хп,
удовлетворяющие уравнению Лапласа.
Для этой цели представим функцию и с помощью интеграла
Пуассона, взятого по сфере радиуса /?, описанной из точки Р
и целиком лежащей внутри области регулярности, и разложим ядро
1 /г»
6 ряд, расположенный по степеням — :
члены
Ряд A4) сходится для всех значений р<!/?—8, и его члены
являются гармоническими функциями и однородными полиномами
степени v от xlt ..., хпх).
Подставляя этот ряд в формулу (9) и интегрируя почленно,, мы
получаем ряд вида A3), члены которого Q, задаются интегралами
так что они, действительно, являются однородными полиномами v-ой
степени и удовлетворяют уравнению Лапласа.
Этот степенной ряд сходится абсолютно и равномерно внутри
всякого шара р</?—8 при любом 8>0.
Дальнейшим следствием является принцип зеркального отраже-
отражения. Если гармоническая в некоторой области функция Непре-
Непрерывным образом принимает нулевые значения вдоль какой-нибудь
плоской или сферической части границы, то такую функцию
г) При п — 2
2*7; (cos»),
где rv (х) обозначает ч-ый полином Чебышева (см. т. I, сто 8П Отсюда
следует, что х ' v '' м
41, (cos ») = 2 cos v», i>0 (cos 8) в 1

§ 2] ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА. И К. О СЛЕДСТВИЯ 275
можно с помощью зеркального отражения аналитически продол-
продолжить через эту часть границы.
Очевидно, что достаточно доказать теорему для случая плоской
(или соответственно прямолинейной) части границы 3, образующей
часть границы полушара (или полукруга) И, & котором задана регу-
регулярная гармоническая функция и, обращающаяся в нуль на плоской
части границы S. Отражая зеркально полушар И в плоскости S, мы
получим шаровую (или круговую) область К- Припишем теперь точ-
точкам поверхности сферы К, симметричным к точкам поверхности по-
полусферы Н относительно плоскости 6", значения, одинаковые пр
абсолютной величине и противоположные по знаку относительнр-
значений функций и в соответсгвующих точках полусферы Н. Таким
путем мы определяем на всей поверхности сферы К непрерывную
краевую функцию, которой соответствует единственная гармоническая
функция U, регулярная всюду внутри К и совпадающая с построен-
построенной краевой функцией на поверхности сферы К- Отсюда следует,
что на поверхности полусферы И функция U совпадает с функцией и.
Далее, из интегральной формулы Пуассона следует, что так как
Краевая функция принимает в точках, симметричных относительно
плоскости S, одинаковые по абсолютной величине и противоположные
по знаку значения, то функция U обращается в нуль во всех точках
плоскости 5. Таким образом, во всех точках полной границы полу-
полушара Н функции U и и принимают одинаковые значения, а, следова-
следовательно, гармоническая функция U совпадает с функцией и также и
всюду внутри полушара Н и является, таким образом, аналитическим
продолжением функции и на область К, что и требовалось доказать.
и
1 PI
со
д-= l+2Y,(-?Vcosv».
l-~2Xcos» + -^2 0
При п = 3
^v (cos 8) = Bv +1) Pv (cos »).
где Я,(лг) обозначает v-ый полином Лежандра (см. т. I, стр. 77).
В этом случае
t
Полагая cos $ = cos j3 cos f/ -{- sin j3 sin f/ cos (9—9') и вводя функции Лежандра
высших порядков Я», й (дс), мы можем Я, (cos S) представить в следующем
виде:
Bv -f 1) Я, (cos ») = Я, (cos ft />v (cos fJ') +
- cos h (?,- у') Я„ h (cos p) Яу, п (cos Б')-

2?6 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гЛ. IV
Мы можем, дальше, доказать с помощбю интегральной формулы
Пуассона следующую теорему сходимости Вейерштрасса:
Бесконечная последовательность гармонических функций ип,
регулярных в G и непрерывных в G-\-T, краевые значения кото-
которых fn сходятся равномерно на границе Г, равномерно сходится
также и внутри области О и притом к гармонической функции,
имеющей краевые значения /= lim fn. Равномерность сходимости
И->оо
непосредственно вытекает из теоремы о максимуме и минимуме.
В самом деле, наряду с функциями ип разности ип—ит двух каких-
нибудь функций последовательности при любых п и т являются
регулярными в О и непрерывными в G-}-!1 гармоническими функ-
функциями; отсюда следует, что функции ип—ит достигают своего
максимума и минимума на границе Г, так что во всех точках замкну-
нутой области G-j-Г имеет место неравенство
I ки — «« К Max. \fn—fm |,
которое непосредственно показывает, что последовательность функ-
функций ип равномерно сходится в замкнутой области G -j- Г к предельной
функции и, имеющей краевые значения /=lini/n.
То, что эта предельная функция и удовлетворяет уравнению Лап-
Лапласа, легко доказать, применяя интегральную формулу Пуассона.
В самом деле, обозначим через К какой-нибудь шар радиуса R, цели-
целиком лежащий внутри области G, а через ип и и — краевые значения
функций ип и и на поверхности сферы К- Так как каждая из функ->
ций ип может быть во всех внутренних точках шара К выражена
с помощью интеграла Пуассона через краевую функцию ип, то, пере-
переходя к пределу при п-+оо, мы получим, что и для предельной
функции а имеет место во всех внутренних точках шара К интеграль-
интегральная формула
R(/?" — Р7) ГС ЙА»
п J J (Р + /?2 — 2р# cos S) %»
и = ¦
из которой непосредственно следует, что и — гармоническая в К
функция.
Докажем, далее, теорему сходимости Гарнака, которая очень
просто вытекает из предыдущих результатов. Эта теорема гласит:
Теорема Гарнака. Если нигде не убывающая или нигде не
возрастающая последовательность гармонических функций, регу-
регулярных в области G, сходится в одной единственной точке об-
области G, то она сходится во всех точках G и притом равно~
мерно во всякой внутренней замкнутой подобласти G' области G.
Не ограничивая общности результатов, мы можем, ради краткости,
рассматривать при доказательстве как этой теоремы, так и следующих
теорем только случай двух или трех измерений. Пусть заданная
последовательность функций нигде не убывает. Рассмотрим при

§ 2] ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 277
любом, т и я>/« нигде не отрицательную по условию разность
<р = и„— ит и опишем из точки сходимости Р сферу Ка радиуса а,
целиком лежащую внутри области G. Если Q—какая-нибудь другая
внутренняя точка шара Ка, а р<я — расстояние точки Q от центра Р,
то, применяя неравенство Гарнака, мы получим (в случае двух изме-
измерений) неравенство
Jie?(P), A6)
из которого непосредственно следует равномерная сходимость после-
последовательности ип внутри всякого шара радиуса г-^_а— 8, имеющего .
центром точку Р. Переходя теперь к какой-нибудь замкнутой под-
подобласти О' области G, содержащей точку Р, заметим, что подобласть G'
может быть покрыта конечным числом шаров подходящим образом
выбранного радиуса /•<«, целиком лежащих внутри области G.
Переходя последовательно от шара с центром Р к смежным с ним
шарам и продолжая этот процесс, мы докажем равномерную сходи-
сходимость нашей последовательности во всех шарах, покрывающих под-
подобласть G', и наша теорема будет доказана. В силу теоремы Вейер-
штрасса предельная функция представляет собой функцию, гармони-
гармоническую во всей области G.
Принципиальное значение имеет следующая теорема:
Если {и(х)} есть некоторое равностепенно ограниченное в G
множество регулярных в G гармонических функций, т. е. елей для
всех функций и одновременно имеет место неравенство \ и (х) | <[ М,
то и производные {их} и [иу] равностепенно ограничены во всякой
замкнутой внутренней подобласти G' области G.
Для доказательства рассмотрим целиком лежащий внутри G шар К
радиуса а с центром Р и поверхностью О. Так как производная их
гармонической функции и — также гармоническая функция, то имеет
место теорема о среднем значении
о
из которой непосредственно получается следующая теорема о среднем
значении:
Я
К
(Теорема о среднем значении для внутренности шара; см. § 3.)
Интегрируя по х, мы получаем отсюда:
,„. 3
A7)
о
Так как 1-^ L^ 1 и \и\^М, то мы получаем оценку:

278 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Очевидно, имеет место также и неравенство
Пусть Ga—некоторая замкнутая подобласть G, все точки которой
находятся на расстоянии, превышающем а, от границы Г области G;
тогда для всех точек области Оа и всех функций и одновременно
имеют место неравенства A7) и A8), что и доказывает нашу теорему.
Прямым следствием из доказанной теоремы является следующая
теорема выбора (теорема «компактности»):
Из всякого равностепенно ограниченного множества регуляр-
регулярных в G гармонических функций всегда можно выбрать такую
подпоследовательность ип(х), которая равномерно сходится к не-
некоторой гармонической функции во всякой замкнутой подобласти G'
области О.
В самом деле, вследствие того, что во всякой фиксированной
замкнутой подобласти G' области G производные функций и также
равностепенно ограничены, множество функций {и(л:)} равносте-
равностепенно непрерывно в G', что и обеспечивает возможность выбора
(см. т. I, гл. V, § 2, стр. 52). На основании теоремы сходимости
Вейерштрасса предельная функция и является гармонической функцией
в области О. Из наших рассмотрений получается, в частности, сле-
следующий результат:
Всякая сходящаяся последовательность равномерно ограничен-
ограниченных гармонических функций сходится равномерно во всякой замкну-
замкнутей подобласти, и поэтому предельная функция также является
гармонической функцией.
§ 3. Теорема о среднем значении и ее применения
1. Однородное и неоднородное уравнения для среднего
значения. Нам уже часто приходилось применять' основную тео-
теорему о среднем значении для гармонических функций: Если и регу-
регулярная в области G гармоническая функция, то среднее значение
и на поверхности QR любой сферы радиуса R, лежащей целиком
в области G, равняется значению и0 функции и в центре сферы, т. е.
Из формулы A), имеющей место для всех значений R, для которых
соответствующие сферы лежат целиком внутри области G, непосред-
непосредственно получается соответствующая теорема о среднем значении
для внутренности шара.
Пусть шар радиуса а целиком содержится внутри области G.
Умножая уравнение A) на R2 и интегрируя по R в пределах от нуля
до а, мы получим:

§ S] ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ 279
т. е. среднее значение функции и внутри шаровой области Ка>
целиком лежащей внутри О, равняется значению и0 функции и
в центре шара.
Для решений неоднородного уравнения Пуассона Ли = — 4т:[*
также имеет место соответствующая (неоднородная) формула для
Среднего значения. Она получается как частный случай формулы
Грина C0'), выведенной в § 1, п. 3. Взяв в этой формуле в качестве
основной области шар Кв радиуса R, имеющий центром точку Р, и
полагая
1 1 1
w = — ^-, так что v = — — ^,
мы получаем следующее тождество:
Bfi Kr
Тождество C) имеет место для всякой непрерывной функции и(х,у, г),
имеющей непрерывные производные первого порядка и кусочно-не-
кусочно-непрерывные производные второго порядка. Таким образом, для решений
уравнения Пуассонаимеет место следующая теорема о среднем значении:
Всякое "регулярное в G решение уравнения Ли = — 4i:tx удовле-
удовлетворяет для любого шара Кв, целиком лежащего внутри области О,
неоднородному интегральному соотношению (неоднородному уравне-
уравнению для среднего значения на поверхности сферы)
+И Кт-ъ
Как и в частном случае [А=аО, мы можем отсюда получить формулу
для среднего значения внутри трехмерной шаровой области Кв, умно-
умножая на R2 и интегрируя по R. Путем простого вычисления мы по-
получаем:
Аналогичные теоремы имеют место и на плоскости:
Всякое регулярное в G решение уравнения
удовлетворяет для любого круга Kg, целиком лежащего внутри G,
следующим неоднородным интегральным соотношениям {неодно~
родным уравнениям для средних значении):
log — dgy F)
Для общего случая пространства п измерений имеем:

280 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ, IV
Всякое регулярное в G решение уравнения
Аи= —шп|»
удовлетворяет для любой сферы KR, целиком лежащей внутри О,
соотношениям
l f G')
Xr
причем в последнем уравнении
Заметим, что уравнения E), G^ и G') могут быть также получены
непосредственно из формул Грина C1\ C4\ C5) § 1, если положить
где
Легко убедиться, что функция v обращается на поверхности сферы
QR в нуль вместе со своей нормальной производной, а внутри шара
Кв удовлетворяет уравнению
2. Обращение теорем о среднем значении. Замечательным
является то обстоятельство, что формулированные ¦ выше теоремы
о среднем значении полностью характеризуют решения соответствую-
соответствующих дифференциальных уравнений. Докажем сначала следующее
обращение теоремы о среднем значении для гармонических функций:
Если непрерывная в области G функция и (х, у, z) удовлетвО'
ряет для любого шара Кв, целиком лежащего в G, однородному
уравнению для среднего значения
^R
то и является гармонической функцией.
1. Проще всего эта теорема доказывается с помощью интеграль-
интегральной формулы Пуассона [см. § 2, п. 2, формула (9)], дающей нам
решение краевой задачи уравнения Дн = 0 для шара. В самом деле,
если функция и удовлетворяет в области G уравнению для среднего
значения A), то во всякой замкнутой подобласти G' области G
функция и достигает максимума и минимума относительно G' на гра-

§ 3] ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 281
нице этой области, что доказывается с помощью совершенно такого
же рассуждения, как и в § 1, п. 3. Отсюда снова следует так же,
как и там, что существует только одна единственная функция и,
принимающая на границе Г' подобласти G' заданные краевые значе-
значения и удовлетворяющая внутри G' уравнению для среднего значения
A). Возьмем теперь в качестве подобласти G' шар, целиком содер-
содержащийся в G, и построим с помощью интеграла Пуассона гармони-
гармоническую в G' функцию v, совпадающую с и на границе ГЛ шара G'.
Функция v как гармоническая функция удовлетворяет уравнению
для среднего значения * A). Поэтому в силу сделанного выше заме-
замечания функция v должна тождественно равняться функции и всюду
внутри шара G'. Таким образом доказано, что внутри любого шара,
целиком лежащего в области G,. а, следовательно, и всюду в G
функция и удовлетворяет уравнению Лапласа
Ди = О.
2. Однако, мы можем также легко доказать интересующее нас
обращение теоремы о среднем значении непосредственно, не поль-
пользуясь интегралом Пуассона. Если допустить, что функция и в G
дважды непрерывно дифференцируема, то наша теорема непосред-
непосредственно вытекает из тождества:
В самом деле, если разделить обе части этого равенства на /?а
и заставить R стремиться к нулю, то в силу непрерывности Дм
правая часть будет стремиться к пределу
тогда как левая часть по предположению равна нулю для всех зна-
значений R. Таким образом, Дио = О. Итак, наша теорема будет дока-
доказана, если мы сможем доказать, что и в G дважды непрерывно
дифференцируема.
Пусть К—шар радиуса a, a Ga — подобласть G, обладающая
тем свойством, что любой шар К радиуса а, имеющий центром
какую угодно точку подобласти Ga, целиком содержится в области G.
В области Ga формула A) имеет тогда место для всех шаров радиуса
R^Ca; умножим теперь уравнение A) при фиксированном центре
на R2f(R), где f(R)—интегрируемая, а в остальном совершенно
произвольная функция. Интегрируя по R от нуля до а, мы получим:
f
к
где
Cuo=*Jfff(r)udg, (8)
к'
) г2/(г) dr,

282 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Выберем теперь в качестве функции / четную функцию, отличную
от нуля только в промежутке — а ^ /? ^ а и имеющую для всех зна-
значений R непрерывные производные до N-то порядка. Положим:
К{х,у, г) ^
Мы можем тогда формулу (8) записать в следующем виде:
(*—*. У — %г — С) «E, %1) сГЫг{ а\, (9)
т. е. в виде интеграла с бесконечными пределами.
В силу того, что ядро К можно выбрать так, чтобы оно было •
какое угодно число раз дифференцируемо, то из формулы (9) следует,
что непрерывная функция и, удовлетворяющая уравнению для сред-
среднего значения A), имеет в G непрерывные производные какого
угодно порядка. Поэтому в силу сделанного выше замечания и
является гармонической функцией.
В доказанной таким образом теореме мы требовали, чтобы урав-
уравнение для среднего значения A) имело место для любого шара,
целиком содержащегося в G, причем G может быть любой конечной
или бесконечной областью. Если же область О является конечной
и замкнутой, то это требование может быть существенным образом
ослаблено.
Именно, имеет место следующая теорема:
Если область G обладает тем свойством, что краевая задача
уравнения Ди == 0 разрешима для этой области при любых не-
непрерывных краевых значениях и если Непрерывная в G -j- Г функ-
функция и удовлетворяет для любой внутренней точки Р области G
уравнению для среднего значения
хотя бы для какого-нибудь одного шара К}» описанного из точки
Р радиусом й(Р)>0 и целиком лежащего в области G-\-T, то
и—гармоническая в G функция.
Подчеркнем при этом, что h(P) может быть совершенно произ-
произвольной функцией от х,у, г; например, А(Р) может быть какой
угодно разрывной функцией. Доказательство проводится с помощью'
рассуждения, несколько отличного от рассуждения, примененного
нами при первом доказательстве предыдущей теоремы. Рассмотрим
замкнутое множество F, образуемое теми точками области G, в ко-
которых и равняется максимуму М. Пусть в точке Ро множества F
расстояние точек F от границы Г достигает своего минимума. Если
точка Ро является внутренней точкой области G, то существует шар
радиуса А(Р0)>0, имеющий центром точку РО и целиком содержа-
содержащийся "в G, для которого имеет место уравнение для среднего зна-
значения, откуда следует, что на поверхности этого шара всюду и = М.

§ 3} ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ И BE ПРИМЕНЕНИЯ 283
Поэтому вопреки предположению множество F должно было бы
содержать точки, более близкие к границе* Г, чем точка Ро. Это
противоречие доказывает, что Ро лежит на границе Г области О.
Точно таким же образом мы убедимся, что функция и достигает
и своего минимума на границе Г, откуда следует, что функция и
однозначно определяется своими краевыми значениями на границе Г.
Так как по условию существует гармоническая в G функция v,
совпадающая с и на границе Г, и так как ¦», будучи гармонической
функцией, разумеется, удовлетворяет условию A0), то отсюда следует,
что и зг v всюду внутри G.
Условие непрерывности функции и, содержащееся в наших тео-
теоремах, является существенным условием как для проведенных дока-
доказательств, так и дл*я справедливости самих теорем; в самом деле,
мы не можем ожидать, что уравнение для среднего значения само
содержит в себе свойство непрерывности функции даже тогда, когда
это уравнение имеет место для любого шара. И, действительно,
можно, например, при га = 1 построить нелинейные разрывные
функции а, удовлетворяющие уравнению
B(*) = l|«C*-f А)-М(ж—А)! A1)
при любых х и k, т. е. уравнению для среднего значения для лю-
любого промежутка1).
Заметим далее, что когда мы в более общей теореме предпола-
предполагаем, что уравнение для среднего значения имеет место только для
одного определенного радиуса й(Р), то требование, чтобы область
О -{- Г была конечной и замкнутой, является существенным требованием
и не может быть отброшено. В самом деле, для бесконечной области
можно построить примеры непрерывных негармонических функций,
для которых при А = const. =/, где/—произвольная постоянная,
всюду имеет место уравнение
bjj^ A2)
Если, например, и зависит только от х, то, как легко убедиться,
уравнение A2) переходит в интегральное уравнение
х+1
«(*)=4, / «(ОЛ. A3)
se-l
Полагая ы(лг) = еп», мы получим частные решения этого уравнения,
если 1 удовлетворяет трансцендентному уравнению
A4)
*) Г а м е л ь (Hamel), Базис множества всех чисел и разрывные решения
функционального уравнения f(x-\-y) = /(х) -J-/(у), Math. Ann., т. 60 A905),
стр. 459—462.

284
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IV
Кроме решения "(
плексных корней
кривых
, уравнение A4) имеет бесконечное число ком-
ком—а4~$> изображаемых точками пересечения
1
S/
Sin at
проведенных на плоскости а, J3. Тогда вещественные функции
и = е-№ cos хх и и = е~^х sin ax
удовлетворяют уравнению A3); но только при а = р = О эти функции
являются гармоническими. Условие, что и должна быть непрерывной
в замкнутой области G, является существенным даже в случае ко-
конечной области G.
На черт. 21 приводится пример нелинейной функции и(х), не-
непрерывной только в открытом промежутке 0<х<1, которая для
каждой точки х этого промежутка удовлетворяет одномерному
уравнению для среднего значения
А)]
A5)
1 1 А 1
/ев №4
для некоторого h — h (x)> О1).
Эта кривая непрерывна и кусочно-линейна в промежутке 0<л:<1
я зигзагообразно колеблется между прямыми у —0 и у=\.
Обозначим через яч
абсциссы вершин, лежа-
лежащих на прямой у—1,
а через Ъч—абсциссы вер-
вершин, лежащих на прямой
у = 0. Обе последова-
последовательности- имеют точками
сгущения точки х = 0
и х = 1. В окрестности
всякой точки промежутка
0 < х < 1, не совпадаю-
совпадающей ни с одной из то-
точек а, и Ь.„ функция и (х)
линейна и поэтому удо-
удовлетворяет уравнению A5) для среднего значения при бесконечном
числе значений h. Если же мы выберем последовательность я„ так,
чтобы для каждого йч существовали две точки да<яч и ар
для которых выполняется условие
I42&7
Черт. 21.
то функция и (л:) будет удовлетворять соотношению A5) также
и в верхних вершинах нашей линии, а именно при А(я„) = ор — ач =
= а, — аа. Последовательность Ь„ выберем таким же образом,
Этот пример мне сообщил словесно Макс Шифман (Max Shiftman).

§ 3j теорема о среднем значении и ее применения 285
но притом еще так, чтобы ни при каких значениях v и pb4 не сов-
совпадало с йц и чтобы всякий интервал, заключенный между двумя
соседними точками ач, содержал одну и только одну точку biy Мы
получаем, таким образом, непрерывную в промежутке 0 < х < 1
функцию к(х), график которой имеет вид, показанный на черт. 21.
Функция и(х) удовлетворяет условию A5) и тем не менее не является
линейной.
Построение двух последовательностей ач и ?„, удовлетворяющих
указанному выше условию, может быть произведено бесчисленным
множеством способов. На черт. 21 в качестве точек а, и bs берутся:
на прямой у = 1 симметрично расположенные относительно х = -к-
точки, имеющие абсциссы:
1—^7»
а на прямой y~Q — точки, также симметрично расположенные от-
относительно х = —, с абсциссами
—
(v = 0,1,2,...).
i Ё_
1 7-2"
*
Перейдем теперь к обращению общей теоремы о среднем значении
для неоднородного уравнения Пуассона. Обратная теорема гласит:
Пусть в области G заданы непрерывная функция и и кусочно-
непрерывно дифференцируемая функция у-. Тогда,'если для любого
шара К, лежащего целиком в области G, имеет место уравнение
к
или же эквивалентное ему уравнение E), то и удовлетворяет
в G уравнению Пуассона
Ди = — 4тг«а.
Заметим прежде всего, что если [i. удовлетворяет одному только
требованию непрерывности, то умноженный на -щ объемный интеграл,
входящий в формулу A6), при R-+0 стремится к пределу
в
г. г /I 1

286 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. IV
Отсюда следует, что всюду в G существует также предел:
вЫ-Нт-|,{^//«^-ы&} A7)
и при этом
в()
A8)
Если и дважды непрерывно дифференцируема, то, как мы уже
доказали выше на стр. 281,
6(м) = Ди. A9)
Таким образом, для того, чтобы доказать нашу теорему, достаточно
убедиться в том, что и дважды непрерывно дифференцируема. Итак,
докажем, что если и непрерывна, а у. кусочно-непрерывно диф-
дифференцируема в G и если для всякого шара К, целиком лежа-
лежащего в G, имеет место одна из уравнений для среднего значения
D) или E), то и дважды непрерывно дифференцируема в об-
области G.
Доказательство проводится точно таким же образом, как и
в частном случае jj. = 0. Мы снова берем какую-нибудь функцию /(/?),
имеющую непрерывные производные достаточно высокого порядка,
умножаем на 4тг/?2/(/?) уравнение A6), составленное для некоторой
фиксированной точки Р области Ga, и интегрируем по R в преде-
пределах от нуля до а. После простого вычисления мы получаем:
где
Ca = J J J uftr)dg+ fffvJF(r)dgt B0)
»¦
г о
e T — 7 J W/?) dR — ^rcf Rf(R)dR.
о r
Положим снова
f/(r), если г^а,
Л(.х, ^у, г) = | 0 есЛи
и далее
»• о
4я
~ / #?(#) dR + 4* J /?/(/?) 0R% . если г < а,
— , есда

§ 3) ТЕОРЕМА О СРЕДНЁЛ? ЗНАЧЕНИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 28?
Выбирая подходящим образом функ.щю /(/?), мы можем добиться,
чтобы функции К и Н имели всюду непрерывные производные до
Л/сто порядка. Формула B0) может быть теперь представлена в сле-
следующем виде:
[x — ?, у — 7j, z — Q и (s, 7), Q aX di\ (K, —
Н(х~г, У-—-Ц, z~Qn(l,ti,Qdf,
Шрвые два интеграла в правой части этого равенства обладают про-
производными до N-то порядка; третий же интеграл представляет собой
потенциал непрерывного объемного распределения массы с плотно-
плотностью [а и, следовательно, на основании результата § 1, п. 2, дважды
Непрерывно дифференцируем в области О. Отсюда следует, что и
функция и сама дважды непрерывно дифференцируема в Оа и удо-
удовлетворяет в силу, сделанного выше замечания уравнению Ды=—4тг;х.
Так как мы можем выбрать а сколь угодно малым, то это имеет
место всюду внутри области G.
Такие же обратные теоремы имеют место и в п-мерном про-
пространстве и непосредственно получаются из следующей леммы, кото-
которая доказывается совершенно так же, как и в случае п — Ъ: Если
и непрерывна в G, a \s. кусочно-непрерывно дифференцируема в G,
и если и удовлетворяет уравнениям F') или G') и соответ-
соответственно F) или G) для всякого шара К, лежащего в области G,
то и дважды непрерывно дифференцируема в G.
3. Уравнение Пуассона для потенциала объемного распределе-
распределения массы. Мы можем использовать доказанную в предыдущем номере
обратную теорему для того, чтобы получить новый вывод уравнения
Пуассона Ди = —4ти. для потенциала и объемного распределения
массы с плотностью jx, глубже освещающий с$шсл уравнения Пуас-
Пуассона и приводящий к существенно более общему результату.
Пусть ii(x, у, z)—кусочно-непрерывная в G функция и
— потенциал объемного распределения массы плотности у.. Предста-
Представим себе функцию [>. продолженной за пределы области G с по-
помощью условия: jj. = 0 вне G.
Пусть, далее, Ро — произвольная точка пространства, а К—ка-
К—какой-нибудь шар радиуса R, имеющий центром точку Ро. Так как и
всюду непрерывна, то мы можем и проинтегрировать по внутренности

288 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ .ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ У*>АЁНЁНИЯ [ГЛ. Гу
шара и притом произвести это интегрирование под знаком интеграла
в формуле B2). Мы получим:
Шttdg= f f f ^(^.O^O)^.
к в
где F(r) = (( Г— есть потенциал шара К, равномерно заполнен-
к
ного массой единичной плотности.
Поэтому
f 4тс №
-г , если г>/?,
6 " B3)
о-), если г -< R.
Подставляя эти значения функции F(r), мы получим:
J .1 J 3 V J J t J J J \
К G* К
где О* обозначает часть области С, лежащую вне шара К- В силу
того, что Г Г|— dg=u— f f f — c?^, мы можем формулу B4)
о*
представить в виде
к
или
я я
мы получаем, таким образом, что и удовлетворяет уравнению для
среднего значения E).
Итак, потенциал кусочно-непрерывного распределения массы
удовлетворяет для любого шара уравнению для среднего значе-
значения E), а, следовательно, также и эквивалентному ему уравне-
уравнению D).
Принимая во внимание результат, полученный нами в конце п. 2,
мы отсюда заключаем:
Если [J. непрерывна в G, то для потенциала B2) всюду в О
существует предел: -
и при этом
-—4тса. B5)
Если [1 кусочно-непрерывно дифференцируема в О, то б(«) =
так что Д« = — 4

§- 3} ТЕОРЕМА б СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 289
4. Теоремы о среднем значении для других эллиптических
дифференциальных уравнений. Теоремы о среднем значении для
уравнений Лапласа и Пуассона были нами непосредственно получены
из тождества
имеющего место для любой непрерывной функции и, имеющей не-
непрерывные производные первого порядка, и кусочно-непрерывные
производные второго порядка.
Вместо тождества BQ) мы можем легко получить тождество более
общего характера, из которого получается далее разложение в ряд
Тэйлора среднего значения:
рассматриваемого как функция радиуса R при фиксированном центре
Ро. Мы исходим из формулы Грина
Си0 = J f J (и bv — v Аи) dg, B7)
к
где К—произвольный шар радиуса R, имеющий центром точку Ро,
a v имеет вид
«(г) = 5^:4-«КО, B7')
причем w (г) дважды непрерывно дифференцируема, если r4^R, и,
наконец, на поверхности QR шара выполняются условия
« = ? = 0. B7»)
В качестве функции и мы можем взять любую дважды непрерывно
дифференцируемую функцию. Допустим теперь, что в области K-\-QR
и имеет* непрерывные производные до порядка 2/га-|-2 включи-
включительно, и4 обозначим через Д"и v-ую "итерацию лапласиана, так
что Ax« = Аи, Д2и = ДДн, Д3и = ДДДи и т. д.
Тогда для всех значений v^/и имеет место тождество
СД'ио= С j Г(ДчмДг> — vh-'+1u)dg. B8)
к
Составим теперь последовательность функций
- vv v2,...
типа B7'), определяемых дифференциальными уравнениями
^+1 = ^+1+7-^+1 = ",. B9)
краевыми условиями B7") и начальной функцией

290 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ- УРАВНЕНИЯ [гЛ. IV
Легко убедиться, что решениями этой рекуррентной системы диф-
дифференциальных уравнений являются функции
¦(~7cBv+l)! Rr
имеющие вид B7') при
Заменяя в формуле B8) функцию v функциями г>„ мы получим:
С^и0 ~ j J j (^-1Д"« — v^^v) dg. C2)
к ¦
Полагая последовательно v = l,2,...,m, мы получим, сложив.эти
уравнения,
Принимая во внимание формулы B6) и C1), мы можем записать
полученный результат в следующем виде:
к,
в
(S3)
Это тождество имеет место для всякой функции и, имеющей в G
непрерывные производные до порядка 2ай-|-2 включительно, и при-
притом для всякого шара К, целиком лежащего в области G1).
Если и имеет производные сколь угодно высокого порядка и
если остаточный член стремится к нулю при возрастании т, то мы
получаем из C3) бесконечный ряд:
Я^Щ^- C4)
Это имеет, например, место в том случае, когда при некотором
определенном значении т &ти обращается в G тождественно в нуль.
Таким образом, всякое регулярное в G решение дифференциаль-
дифференциального уравнения Дти = 0, т., е. решение, имеющее непрерывные
й См. Пицетти (P. Pizetti),Sulla media die vatori che una funziom dei
punti delio spazio assume alia superficie di una sfera (О среднем арифметиче-
арифметическом значении функции на поверхности сферы), Rendiconti Lincei, E), т. 18
A909), стр. 309-316.

I 3} ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 291
производные до порядка 2т включительно, удовлетворяет во вся-
всяком шаре, целиком лежащем в области G, следующему уравнению
для среднего значения
Так, например, для решений уравнения ДДи=зО теорема о среднем
значении выглядит так:
/ ^ C6)
В качестве другого применения рассмотрим теорему о среднем зна-~
Учении для решений дифференциального уравнения
Дм -\-си = 0.
В этом случае
k>u~{—lycu,
и так как
Д«г+1н = (—1)*в+1сот+1и,
то остаточный член стремится к нулю, и мы получаем:
~ и
— и0
Таким образом, для всякого регулярного в G решения уравнения
hu-{-cu — 0 и для всякого шара К, целиком содержащегося в G,
имеет место следующая формула для среднего значения:
Чкф J J ° Rife K >
R УТ
Совершенно аналогичные рассмотрения можно провести на плоскости
и вообще для я-мерного пространства.
На плоскости мы получаем таким путем тождество
т
М (/?) === J5—5 I " ds === \ (— ) "^ —J— I I 1},
ZTZl\ J Jaaa V 2 J (^П"' J J
а о г
где функции vm определяются с помощью рекуррентной формулы
в
г
1 , R
C8)

292 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
В к-мерном пространстве имеет место тождество
К
со следующей системой рекуррентных формул для vm (г):
} C9')
« —_l— (Л i_\ !
^° (n —2)conl#«-« /?»-V- J
Из этих формул получается так же, как и выше, следующая тео-.
рема:
Всякое регулярное в G решение дифференциального уравнения
Аи-}-си —0
удовлетворяет для всякого шара, целиком лежащего в области G,
следующему уравнению для среднего значения:
При этом/Дх) обозначает v-ую бесселеву функцию.
На плоскости имеет место формула
D1)
При нечетном п стоящий при и0 множитель, который мы обозначим
sin /? ~\! с
через р (/?), может быть выражен через производные функции ~- ,
Rye
а именно:
«—з
(См. т. I, гл. VII, "стр. 465.)

§ 4]- КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 293
§ 4. Краевая задача
1. Предварительные замечания. Непрерывная зависимость
решения от краевых значений и от области. Перейдем теперь
к решению краевой задачи. Единственность решения нами уже
была доказана раньше, т. е. нами было доказано, что не существует
двух различных регулярных в G гармонических функций, прини-
принимающих на границе Г заданные непрерывные краевые значения /.
Точно так же мы уже установили, что решение краевой задачи не-
непрерывно зависит от краевых значений. Этот факт выражается
следующей теоремой: Если /„ — последовательность непрерывных
краевых функций распределения, равномерно сходящаяся на Г к
предельной функции /, то последовательность соответствующих
решений и, сходится внутри G к гармонической функции и с крае-
краевой функцией /.
Доказательство непосредственно получается из теории сходимости
§2, п. 3.
Таким образом, достаточно доказать разрешимость краевой за-
задачи, например, для таких краевых значений, которые задаются зна-
значениями некоторого полинома от х1У х2, •.., хп на Г. В самом деле,
путем предельного перехода мы могли бы решить тогда краевую
задачу для любых непрерывных краевых значений. Принимая во вни-
внимание %аши рассуждения, проведенные в § 2, п. 1, мы заключаем от-
отсюда, что для решения общей краевой задачи достаточно построить
функцию Грина К.
Ограничимся при изложении процесса построения двухмерным и
трехмерным пространствами.
Мы получим следующий результат:
В случае п~2 функцию Грина можно построить для любой
области G, ограниченной конечным числом непрерывных кривых Г,
обладающих тем свойством, что через любую точку Р кривой Г
можно провести прямолинейный отрезок, все точки которого, за
исключением Р, лежат вне G.
При п = 3 функцию Грина можно построить для любой обла-
области G, ограниченной конечным числом непрерывных поверхностей
Г таких, что в любой точке Р поверхности Г можно построить
тетраэдр, имеющий вершиной точку Р и все остальные точки
которого находятся вне области G.
В гл. VII мы снова вернемся' к решению краевой задачи и рас-
рассмотрим ее при существенно более общих предположениях и с дру-
других точек зрения.
Наши дальнейшие рассуждения будут относиться только к огра-
ограниченным областям G. Для неограниченной области G мы сможем
тогда получить функцию Грина, превращая О в ограниченную область G'
с помощью зеркального отражения в выбранном подходящим обра-
образом круге или шаре. На основании теоремы § 1, стр. 250 мы тогда
из функции Грина для СУ сразу получим функцию Грина для области О.

294 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ^Л. IV
Мы, можем, далее, значительно упростить построение функции
Грина для области более или менее общего вида, исследуя непре-
непрерывную зависимость функции Грина от области G и доказав
соответствующую теорему непрерывности. Рассмотрим последова-
последовательность областей Оч, монотонно сходящихся к области О и притом
так, что каждая область Оч содержит в себе предшествующую область
Gv_j в качестве своей подобласти, и любая фиксированная внутрен-
внутренняя точка области G, начиная с некоторого значения v, содержится
во всех G4. Тогда имеет место следующая теорема:
а) Если для каждой из областей G, существует функция
Грина К,,, а для области О — функция Грина К, то последова-
последовательность Ks, сходится в G-\-T равномерно к функции К1).
Однако, более важной является другая, более общая теорема
сходимости, относящаяся к тому случаю, когда заранее неизвестно,
существует ли функция Грина для предельной области G, так что
ка основании этой теоремы мы можем построить функцию Грина
для области G путем соответствующего перехода к пределу. Эта
более сильная теорема формулируется так:
б) Если последовательность областей Gv, как и выше, моно-
монотонно сходится к области G и если для каждой области G,
существует соответствующая функция Грина /С,, то последова-
последовательность функций Кч сходится внутри G к предельной функции
Для того, чтобы предельная функция К была функцией Грина
для области G, граница области G должна удовлетворять сле-
следующим условиям:
•В случае двух измерений: Для каждой точки Р границы об-
области G должен существовать прямолинейный отрезок, кончаю-
кончающийся в точке Р, все остальные точки которого лежат вне об-
области G 2).
В случае трех измерений:
Для каждой течки Р границы области G должен существо-
существовать целиком лежащий вне G тетраэдр {который, может быть
скбль угодно острым), имеющий Р одной из вершин. -
Чтобы доказать обе эти теоремы, мы исходим из следующего
замечания. Функции Д*„ равно как и регулярные в G гармонические
функции К., — Y> получающиеся вычитанием функции особенностей •{,
образуют монотонную последовательность. В самом деле, если v на-
I) В части области G, лежащей вне О„, мы полагаем АГ., = О.
г) Заметим, что в случае я = 2 наши последующие рассуждения легко
распространяются на границу б( лее общего вида, для которых через любую
гоч: у границы Р можно, вместо прямолинейного отрезка, провести лежащую
вне G ломаную линию, состоящую из конечного или счетного множества
отрезков, т. е., другими словами, граница Г области G может быть любой
крш-ой Жордана. Мы опускаем здесь это обобщение, так как в ги. Vil мы
иеУюсредственно про-ед^м решен.-е краевой задачи для случая границы
такого ббщего вида, при.' еняя совершенно другие методы.

§ 4] КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 295
столько велико, что выбранная особая точка Q лежит в области Gv,
то при ji>v краевые значения, регулярной в C, гармонической функ-
функции Ку.—Кч на границе Г, области G, не отрицательны.
Отсюда следует, что функция К,^—Кч нигде не отрицательна
в области Gv. На том же основании мы получаем в случае а)
/С</С, так что и /С, —
В случае б) мы исходим из того, что при наших предположениях
существует шар, целиком лежащий вне G.
Обозначим через К* функцию Грина для внешней области этого
щара, имеющую особой точкой заданную точку Q. Тогда
Итак, в обоих случаях монотонная последовательность К.,—f огра-
ограничена и, следовательно, сходится в G.
На основании теорем сходимости § 2, п. 3 предельная функция
Я—Игл/С, гармонична в G. Очевидно, имеет место неравенство
Я!>0, а в случае а) в силу того, что КЧ*СК, мы имеем, с другой
стороны, Я<[/С. Так как Д* имеет нулевые краевые значения, то
в силу предыдущего этим же свойством обладает также функция Я,'
откуда и следует в случае а), что Н—К, т. е. Я является функ-
функцией Грина для области G.
Чтобы доказать теорему б), мы воспользуемся результатом, ко-
который, будет нами получен лишь в п. 2, согласно которому для
внешней области прямолинейного отрезка на плоскости (т. е. области,
состоящей из всех точек плоскости, не лежащих на данном прямо-
прямолинейном отрезке) и внешней области тетраэдра в пространстве
функция Грина может быть непосредственно построена. В силу усло-
условий теоремы б) для любой точки Ро границы области О существует
выходящий из точки Ро и лежащий вне G "прямолинейный отрезок
в.случае двух измерений и тетраэдр — в случае трех измерений.
Обозначим через К* функцию Грина для внешней области такого
отрезка или тетраэдра. Тогда из наших предшествующих рассужде-
рассуждений непосредственно следует, что в каждой точке области G имеет
место неравенство
Так как К*(Р^==О, т0 отсюда следует так же, как и .раньше,
что
Таким ' образом, при выполнении формулированных выше условий
функция Н(Р) обращается в нуль во всех точках границы области
G и является, следовательно, функцией Грина для предельной обла-
области G.
Подчеркнем особенно тот факт, что все полученные выше ре-
результаты и проведенные рассуждения ни в коем случае не предпо-
предполагают односвязности области и переносятся без существенных изме-
изменений на многосвзизные области.

296 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
В следующем пункте мы проведем построение функции Грина К
для сравнительно узкого класса областей (Зч == G, с помощью кото-
которых мы можем, однако, монотонно аппроксимировать достаточно
широкий класс областей. Из полученных только что результатов
следует поэтому существование функции Грина также и для аппрок-
аппроксимируемых областей.
При построении функции Грина мы будем применять альтерни-
альтернирующий процесс Шварца.
2. Решение краевой задачи с помощью альтернирующего про-
процесса. Альтернирующий процесс представляет собой простой сходя-
сходящийся процесс, дающий возможность решить краевую задачу для
областей В в том случае, когда эта область является соединением
двух областей О и О' (или конечного числа таких областей), для
каждой из которых краевая задача предполагается уже решенной
при любых краевых значениях. При этом мы допускаем, что гра-
границы области О и G' состоят из-конечного числа частей, имеющих
непрерывную касательную или соответственно непрерывную касатель-
касательную плоскость. Мы предполагаем далее, что границы областей О
и О' взаимно пересекаются под углом, отличным от нуля, причем
в случае двух измерений точки пересечения границ не должны
совпадать с их вершинами, а в случае трех измерений линии пере-
пересечения поверхностей, ограничивающих области О и G', не должны
совпадать с ребрами этих поверхностей.
Так как мы можем, например, решить краевую задачу для кру-
кругов и полуплоскостей или соответственно шаров и полупространств
с помощью интеграла Пуассона, то
альтернирующий процесс дает нам
возможность непосредственно .ре-
.решить краевую задачу для областей,
являющихся соединением конечного
числа частично перекрывающихся
кругов и полуплоскостей [или соот-
соответственно шаров и полупространств.
Процесс образования из двух
Черт. 22. Черт. 23. областей О и О' их соединения
В — G -}- С поясняется на черт. 22
и 23, причем второй чертеж показывает, что путем соединения двух
односвязных областей мы можем получить также и двусвязные
области, так что альтенирующий процесс нам даст возможность
решить краевую задачу также и для такого рода двусвязных областей.
Так как характер процесса не меняется существенно в том слу-
случае, когда перекрытие D областей G и О' состоит из нескольких
отдельных областей, то мы предположим при описании процесса,
что-области G и О' имеют только одну общую часть D, как это
изображено на черт. 22.
Пусть граница Г области О состоит из частей а и Ь, из которых
b лежит в О', а а обозначает остальную часть границы Г; соответ-

§ 4J, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 297
ственно Определяются дуги а' и Ъ' для области О'\ Ы обозначает
часть границы G', лежащую внутри G, а а' — остальную часть гра-
границы (У.
Предположим теперь, что вдоль границы А == а -{- а' области
В = G -\~ G' заданы непрерывные краевые значения, не превосходя-
превосходящие по абсолютной величине верхней границы М.
1. Альтернирующий процесс заключается тогда в последователь-
последовательном применении следующей операции.
Мы пополняем заданные на дуге а краевые значения непрерывным
образом с помощью произвольных непрерывных значений на дуге Ь,
не превосходящих М, "до полной краевой функции на границе
Г = a -f- Ъ области G.
С помощью построенной таким образом на Г непрерывной крае-
краевой функции мы решаем соответствующую краевую задачу для
области G.
Построенное решение их принимает вдоль Ъ' некоторые краевые
значения, непрерывно примыкающие к значениям, первоначально за-
заданным на дуге а', и образующие вместе с ними некоторую не-
непрерывную краевую функцию на границе \? = a'-\-br области (У.
Мы решаем теперь с помощью этой краевой функции соответ-
соответствующую краевую задачу для области (У и получаем функцию и'..
Функция и[ в срою очередь принимает вдоль дуги b некоторые
краевые значения, которые вместе со значениями, заданными вдоль а,
образуют новую краевую функцию на границе Г области G. Обоз-
Обозначим через и2 решение соответствующей краевой задачи для области
G. Краевые значения и2 вдоль Ъ' вместе с заданными значениями
вдоль а' определяют тогда в свою очередь в области <У гармони-
гармоническую функцию «g, а значения и'г вдоль Ъ вместе с заданными зна-
значениями вдоль а определяют в G гармоническую функцию us и т. д.
Решая, таким образом, краевую задачу попеременно для областей
G и G' и повторяя неограниченное число раз эти чередующиеся
операции, мы получим две последовательности гармонических функ-
функций
«1, «2. ¦•-,««, •¦•
и
ч1 'и1 11*
«;,
из которых1 первая задана в области G* а вторая в области G'.
При этом имеют место следующие соотношения:
Вдоль дуги Ь': и'ч — ич, так что ич+1 — kv = a'l—и'.
Вдоль дуги Ъ\ к'=?и„+1, так что ич+1—«., = «' — и^_г.
Мы утверждаем теперь следующее: функции н, в области G и
функции и'ч в области (У равномерно сходятся к гармоническим
функциям и и и', которые совпадают между собой в общей части D
областей G и (У. Таким образом, эти предельные функции и и и'

298 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гЛ, IV
определяют во всей области В — О-\- G' регулярную гармоническую
функцию, которая принимает на границе
заданные краевые значения и является, следовательно, решением
краевой задачи для области В.
Доказательство этого утверждения основывается на следующей
лемме:
Допустим, что при соблюдении наших перечисленных выше
предположений относительно областей О и (У в области G задана
некоторая. регулярная гармоническая функция v, которая обра-
обращается в нуль, вдоль дуги а, а вдоль дуги b удовлетворяет не-
равенству
Тогда существует фиксированная положительная постоянная
<7<1, зависящая только от конфигурации областей О и О' и не
зависящая от специального выбора функции v, такая, что всюду
вдоль дуги bf имеет место неравенство
\?\<ч-
Аналогичный факт имеет, разумеется, место также и для области G',
и мы можем в качестве величины q выбрать для обеих областей
одну и ту же константу.
Относя доказательство этой леммы на конец настоящего номера,
мы можем теперь легко довести до конца доказательство сходимости
альтернирующего процесса.
Обозначим через /Wv максимум модуля \ич —KJ —lM^_i-i — K'l
вдоль Ь' и соответственно через /И' максимум модуля [«v+1 — иJ =
= | и[ — u[~i I ВД°ЛЬ Ь. Применяя нашу лемму к области О и к функ-
функциям V — ¦ ~'+1 -,—— , мы получим непосредственно:
Точно так же, применяя нашу лемму к области G' и функциям
/ /
v = —v-f , мы получим:
М1
Отсюда следует, что М, <!<72/И.,-,.
Таким образом, величины М.г и M'.t стремятся к нулю, и притом
быстрота их стремления к нулю не меньше быстроты стремления
к нулю членов геометрической прогрессии с постоянным знаменате-
знаменателем q2<^\. Отсюда непосредственно следует равномерная сходимость
ряда
со
+ 2 («,+1 — к,) = Km ип = и

$ 4] КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 299
р области G-f Г и соответствующего ряда
в области G' -f Г'.
Функции и и и' являются поэтому гармоническими функциями,
определенными соответственно в областях О и С, и принимают на
дугах а и соответственно а' заданные краевые значения. Что же
касается общей части D областей G и G', ограниченной дугами b
Я Ь', то вдоль Ь' мы имеем всегда
щ вдоль Ь эта разность и'ч — ич = г/— г/_г стремится равномерно
R Нулю.
Отсюда следует, что предельные функции и и и' совпадают
|шжду собой в области D и определяют вместе регулярную в В = G -J- G'
гармоническую функцию, являющуюся решением рассматриваемой
краевой задачи.
Повторяя наш процесс конечное число раз, мы получим следую-
следующую теорему:
Если область G представляет собой соединение конечного
числа областей Gu..., GH, которые взаимно перекрываются и
кусочно-гладкие границы которых нигде не касаются друг друга,
то, умея решить краевую задаЧу для каждой из областей Gv
в отдельности, мы сможем ее решить для всей области G.
В частности, мы убеждаемся в разрешимости краевой задачи для
всякой области, которая может быть образована путем соединения
конечного числа кругов или полуплоскостей или соответственно
шаров и полупространств. Пусть, например, G представляет собой
всю плоскость за исключением отрезка 0 ^ х <; 1 прямой у = 0. Мы
-можем тогда рассматривать G как соединение четырех полуплоскостей
х<0, х>1, _у<0, j>0; так как для каждой из этих полу-
полуплоскостей краевая задача решается с помощью интеграла Пуассона,
tso альтернирующий процесс нам непосредственно дает решение
краевой задачи для всей области G.
В трехмерном пространстве мы можем с помощью альтернирую-
альтернирующего процесса решить краевую задачу для внешней области тетра-
тетраэдра, которая может быть рассматриваема как соединение четырех
полупространств.
Если мы примем теперь во внимание, что всякая область может
быть получена как предельная область монотонно возрастающей
последовательности областей G,, каждая из которых состоит из конеч-
конечного числа кругов или соответственно шаров, то в силу теоремы б)
из п. 1 мы получаем следующий результат:
На плоскости функция Грина существует, и, следовательно,
Краевая задача разрешима для всякой области G, любая гранич-
граничная точка которой достиэ/сима извне вдоль прямолинейного

300 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
отрезка. В пространстве это имеет место для всех областей. О
для которых всякая г 'аниччая точка является вершиной тетра-
тетраэдра, все остальные точки которого лежат еле G*).
2.» Доказательство леммы. Рассмотрим сначала случай
двух измерений (черт. 24).
¦ Составим потенциал двойного слоя, распределенного вдоль дуги b
с плотностью 1, т. е. функцию
выражающую величину угла, под которым дуга Ь видна из точки Р.
Эта регулярная внутри G гармоническая, функция имеет во внутрен-
внутренних точках частей а и b границы области G непре-
непрерывные краевые-значения. Когда граничная точка при-
приближается к точке А вдоль дуги а, то соответствую-
соответствующие краевые значения w стремятся к пределу Ra~,
равному углу, образуемому хордой ААХ с касательной
в точке А, направленной в сторону дуги Ь. Соответ-
^_^ ствующий же предел Ra"^ краевых значений вдоль
2 дуги b равняется углу между AAt и противоположным
ерт' ' направлением касательной в точке А, т. е. с каса-
касательной, направленной в сторону дуги а. Отсюда следует, что
имеет место соотношение
Когда внутренняя точка области приближается к граничной точке Л
но какому-нибудь лучу, образующему угол а с касательной в А,
направленной в сторону дуги Ь, то предельное значение функции w
равняется линейной комбинации:
Отсюда следует, что для любой последовательности точек Рч
области G, сходящихся к точке А, соответствующие значения функ-
функции Tiy(Pv) образуют множество, все точки сгущения которого заклю-
заключаются между числами RA~ и Ra+- To же самое имеет, разу.меется,
место и для другого конда Ах дуги Ь.
Рассмотрим теперь распределение массы вдоль границы области G
с плотностью р, равной -к вдоль дуги Ъ и нулю — вдоль дуги а.
!) Заметим, между про1 ш, что если мы будем применять альтернирую-
альтернирующий процесс сразу к зада1 тому конечному числу областей, пробегая их
каждый разлфи повторном фименении процесса в циклическом порядке, то
этот процесс будет по существу совпадать с методом выметания, принад-
принадлежащим Пуанкаре. Отличие от метода выметания состоит только в 'том,
что Пуанкаре сразу кладет в основу счетное множество кругов или шаров,
которые пробегаются в определенной последовательности, постоянно повто-
повторяясь Однако, приводимое здесь доказательство существенно отличается
от доказательства, обычно принятого при методе выметания.

§;-4} крАевай задача 301
Если мы обозначим через w краевые значения функции w, то раз-
разность w — р является непрерывной краевой фуйкЦией вдоль всей
границы Т = а-\-Ь области G, к которой по предположению при-
принадлежит определенная регулярная в G гармоническая функция Q.
Отсюда следует, что функция
w — Q
представляет собой ограниченную в О и регулярную внутри G
гармоническую функцию, краевые значения которой во всех внутрен-
внутренних точках дуги а равны нулю, а во всех внутренних- точках
Дуги b — единице. Из наших предыдущих рассмотрений относительно
поведения функции w следует, что при приближении изнутри области О
К точкам А или А1 все точки сгущения множества значений функ-
функции S лежат между нулем и единицей. При, приближении к- точке А
под углом а с направлением касательной *) получается краевое значе-
значение —, строго меньшее единицы.
Если теперь Ь' обозначает часть границы области G', содержа-
содержащую точки А и Аг и пересекающую границу Г под углами а
и «j, то вдоль дуги Ь' всюду имеет место неравенство
В самом деле, в противном случае на Ь' существовала бы такая
последовательность точек Р„ для которой выполнялось бы условие
Рассуждая так же, как и при доказательстве теоремы о максимуме
и минимуме, мы убедимся в том, что последовательность Pv не может
иметь ни одной точки сгущения, лежащей внутри дуги Ь'; но точки А
и А1 также не могух быть точками сгущения последовательности Р.„
ибо при приближении к этим точкам функция S стремится согласно
предыдущему к пределам
<1 и ^-<1.
<
ТС . 7!
Отсюда следует, что должна существовать постоянная #<1, для
которой всюду вдоль дуги Ь' имеет место неравенство S <C q. Если v
есть функция, рассматриваемая в нашей лемме, то мы составляем
функцию
S—v = A,
краевые значения которой вдоль а обращаются в нуль, а вдоль b
нигде не отрицательны. Отсюда следует, что эта регулярная в G
гармоническая функция нигде внутри G не отрицательна; точно так же
при приближении к какой-нибудь внутренней точке дуги а или b эта
*) д — угол, образуемый направлением приближения к точке Л с каса-
касательной, направленной в сторону дуги а. (Прим. перев.).

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [tЛ. IV
функция не может принимать отрицательных краевых значений. Прн
приближении к одному из концов А или А1 дуги b функция А имеет
те же самые точки сгущения множества своих значений, что й функ-
функция S, которые все заключаются между нулем н. единицей. Таким
образом, во всей замкнутой области G имеет место неравенство
S —1>>0
й, в частности, вдоль дуги Ъ' получаем:
Рассматривая таким же образом функцию .S-j-i>, мы получим, что
всюду в G выполняется условие S-\-V^-O, а вдоль дуги Ъ'
Окончательно мы получаем отсюда, что вдоль дуги Ь' имеет место
неравенство
что и доказывает' нашу лемму.
Этб доказательство обладает тем преимуществом, что оно не-
непосредственно переносится на случай трех или большего числа изме-
измерений, если в каиестве функции w взять потенциал двойного слоя
поверхностного распределения массы на границе с плотностью, рав-
равной единице на одной части и нулю на другой.
3. Метод интегральных уравнений для областей с достаточно
гладкой границей. Другим метрдом решения краевой задави, приме-
применимым к областям специального типа, является метод, интегральных
уравнений Фредгбльма.
Этот метод существенно отличается от альтернирующего процесса
и метода выметания и представляет собой углубление и обобщение
более старого метода. Нейманна, применимого только к выпуклым
областям. Краевая задача приводится при этом к интегральному
ургЛнению Фредгольма второго рода. Не ставя себе целью развить
этот метод при возможно более общих предположениях, мы допустим,
сначала для случая плоскости, что граничная кривая Г может быть
представлена с помощью функций x(f) и y(f), имеющих непрерывные
производные до четвертого порядка включительно.
Будем искать гармоническую функцию и (х, у), удовлетворяющую
данным краевым условиям, в форме
«»(<)-37*. w Tf = logl, A)
г
т. е. в виде потенциала двойного слоя, распределенного вдоль
границы Г с плотностью o(s). В силу сделанного предположения
относительно Г этот интеграл имеет смысл также и в том случае,
когда точка Р(х, у) является точкой границы Г. В самом деле, если
мы примем на Г в качестве параметра длину дуги s, то вдоль дуги Г

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
аоз
мы получаем:
В этом интеграле выражение
B)
C)
(черт. 25) стремится при t -> s - к пределу у- & (s), где ? (s) обозна-
обозначает кривизну граничной кривой в точке s и является по условию
дважды непрерывно дифференцируемой функцией от s. Таким образом,
ядро K(s, f) само имеет непрерывные производные до второго порядка.
Мы предполагаем, что a(s) является непрерывно дифференцируе-
дифференцируемой функцией длины дуги s. Когда точка Р приближается изнутри
области к граничной точке Ро, то согласно выведенной в § 1, п. 4
теореме о скачках потенциала двойного слоя, потен-
потенциал и(Р) стремится к пределу
D)
Это обстоятельство наводит на мысль обратить этот
ход рассуждения и при заданных краевых значе-
значениях и{(Р0)—/(!}) определять плотность o(s) из
уравнения
K(S, t)a(t)dt — ±f(s).
Г
или на основании формулы B) к пределу
- —тс J 1\(S, t)a(t)-a~m{s_
ю
Черт. 25.
интегрального
E)
He ограничивая общности, мы можем согласно п. 1 предполо-
предположить, что краевая функция f(s) непрерывно дифференцируема.
Если a(s) — решение интегрального уравнения E), то потенциал
'Л
dt
удовлетворяет внутри О уравнению Лапласа. В силу дифференцируе-
дифференцируемое™ функций/(s) и K(s, J), функция распределения-о (s) также
непрерывно дифференцируема, так что выполняются условия теоремы
о скачках потенциала двойного слоя для случая плоскости из § 1, п. 4.
В силу этого потенциал « принимает при приближении к границе Г-
краевые значения
и является, таким образом, решением поставленной краевой задачи.

304 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гЛ. IV
Для интегрального уравнения E) имеют место д&казанные в т. I,
гл. 3 теоремы Фредгольма. Согласно этим теоремам при любой
непрерывно дифференцируемой функции f{s) существует однозначно
определенная непрерывно дифференцируемая функция o(s), удовлетво-
удовлетворяющая интегральному уравнению E), если только соответствующее
однородное интегральное уравнение
<»(*)=- f K(s,t)o(t)dt F)
г
не имеет никакого другого решения, кроме тривиального (а==0).
Другими словами, теорема существования для рассматриваемых
специальных областей будет доказана, если нам удастся показать, что
среди собственных значений однородного уравнения
kv (s) = J K(s, t)v @ dt G)
г
никогда не встречается собственное значение X — — 1.
В случае выпуклой границы с непрерывной кривизной это является
непосредственным следствием соотношения
и вытекающего из условия выпуклости неравенства
COS a
—
В самом деле, если М — максимум \<v\ на Г, то имеем:
K(s,
J
и поэтому при | v j = М мы получаем | к | М ^ М. Знак равенства
может иметь место только тогда, когда v—постоянная. Если vjfcQ,
то МфО и, следовательно, |Х|<! 1, причем равенство | к\ = 1 может
иметь место только в случае постоянного v. Однако, к собственной
функции •» = const, принадлежит собственное значение к = -\- 1, откуда
мы получаем неравенство—1 < к < -f-1. исключающее собственное
значение к= — 1.
В случае невыпуклой' границы мы заметим, что в силу наших
предположений ядро K(s, t)—дважды непрерывно дифференцируемая
функция, откуда следует, что этим же свойством обладает также
всякая собственная функция интегрального уравнения
= f K(s, t)v(t)dt.
Пусть a(s) решение уравнения
f(s, f)z(f)dt. F)

§ 4] КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 305
Тогда в силу теоремы о скачках потенциала двойного слоя из § 1,
н. 4 потенциал
«(*, y)=>f°(f)Qdt (8)
г
имеет на Г внутренние краевые значения
= J
о Ф ¦*?$¦ dt~ю(s) = 0.
г
Отсюда следует в силу теоремы единственности, что и(х, у) тожде-
тождественно обращается в нуль всюду внутри G. Поэтому внутренняя
нормальная производная функции и(х, у) также обращается в нуль
во всех точках границы Г.
Рассмотрим теперь потенциал (8) вне области G. Согласно той же
теореме о скачках потенциала двойного слоя из § 1, п. 4, условия
которой в нашем случае выполняются, мы получаем на Г внешние
краевые значения
а внешние нормальные производные-—= 0. В бесконечности и обра-
обращается в нуль порядка —.
Отсюда следует, что функция и тождественно равна нулю также
и вне области G, так что, в частности, равны нулю и внешние крае-
краевые значения и:
Итак, доказано, что всякое решение уравнения F) тождественно
равно кулю, и, следовательно, значение ). = —1 не может быть соб-
собственным значением однородного интегрального уравнения
Таким образом, теорема о существовании решения краевой задачи
для рассматриваемых специальных типов областей О полностью до-
доказана.
Аналогичное рассмотрение можно провести и в пространстве,
причем, однако, для того, чтобы иметь возможность применить тео-
теорию Фредгольма, необходимо заменять ядро
д
квадрат которого не интегрируем, итерацией этого ядра, имеющей
интегрируемый квадрат.
По поводу метода интегральных уравнений заметим, что, несмотря
на. изящество описанного процесса, этот метод значительно хуже

306 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
предыдущих методов решения, ибо уже при наличии одной обыкно-
обыкновенной вершины ядро К приобретает особенности, исключающие воз-
возможность применения теории Фредгольма.
4. Дальнейшие замечания по поводу краевой задачи. В случае
плоскости изложенные выше методы дают возможность решить крае-
краевую задачу для всякой области, ограниченной какой угодно кривой
Жордана. В случае трехмерного пространства дело обстоит значи-
значительно сложнее, поскольку имеются области, для которых краевая
задача в строгом смысле слова является неразрешимой, т. е. не
существует гармонической внутри области функции, которая на гра-
границе принимала бы заданные непрерывные краевые значения в смысле
действительного достижения краевых значений в каждой отдельной
точке границы.
Это обстоятельство иллюстрируется следующим примером, при-
принадлежащим Лебегу.
Подсчитаем потенциал распределения массы вдоль отрезка оси х,
заключенного между нулем и единицей, с линейной плотностью
¦:(х) = х. Положим р2—у2-±-г2. Тогда
и{х,у, z)=
где для краткости положено
А(х, р) =
+ х log [A - х + V{l-xf+f) (х -f V
Когда точка (х, у, г) приближается к началу координат по произ-
произвольному закону, но так, что х остается при этом все время поло-
положительным, то выражение А(х, р) стремится непрерывно к пределу 1,
тогда как предел выражения — 2х log p существенно зависит от спо-
способа приближения. Если мы, например, будем приближаться к началу ко-
координат по поверхности р = | х \п, то — 2х log о
будет стремиться к нулю при любом п, так
что и будет тогда стремиться к единице. Если
же мы будем приближаться по поверхности
имеющей в начале координат «бесконечно
Черт. 26. острую» вершину, то — 2л; logp будет стре-
стремиться к пределу с, а потенциал м-—к пределу
1 -j- с. Это значит, что все эквипотенциальные поверхности и = 1 -J- с
при с>0 сходятся в начале координат и притом так, что все про-
производные кривой р =/(х), вращением которой вокруг оси х обра-
образуется поверхность и = 1 -j~ с, обращаются в нуль в начале коорди-
координат. На черт. 26 изображена форма такой поверхности и ~ 1 -|- с.

§ 4]
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
307
Если мы выберем в качестве основной области G область, огра-
ограниченную такой эквипотенциальной поверхностью и — 1-\-с, где
?>0, и рассмотрим для такой области G внешнюю краевую задачу
при краевых значениях и = 1 -j- с, то решением этой задачи будет
служить приведенная выше функция и(х,у, г). Однако, из наших
предыдущих рассмотрений следует, что это решение при соответ-
соответствующем способе приближения к началу координат может стремиться
к любому значению, заключенному между 1 и 1 -\- с.
С помощью зеркального отражения в сфере
мы можем из этого примера получить соответствующий пример вну-
внутренней задачи, обладающей такой же особенностью.
При этом преобразовании область G переходит в область G' про-
пространства I, ч\, С, имеющую в точке ? =— Y» Yi—°> ?=° бесконеч-
бесконечно острую внутреннюю вершину х)(черт. 27).
Краевые значения 1 -j- с переходят в непре-
непрерывные на Г' краевые значения
1 +c
Решением внутренней краевой задачи для
области О' при этих краевых значениях
является регулярная в G' гармоническая
функция
v. > •> *} ~~ 2/- ^ 4г2 ' 2 ' 4г2 ' 4г2 /' Черт/ 27.
При соответствующем способе приближения к точке ? = -
Tj = О, С = 0 мы опять можем получить в качестве предельного зна-
значения для v любое число, заключенное между 1 и 1 -j- с.
Впоследствии, в гл. VII, § 4, мы покажем, что в случае трех или
большего числа измерений требование, чтобы искомая функция при-
принимала в каждой граничной точке заданные краевые значения в стро-
строгом смысле слова, является слишком сильным, которое по самому
существу задачи в известных случаях может выходить за пределы
действительно осуществимых краевых условий.
В связи с этим условие действительного достижения краевых зна-
значений в каждой точке границы должно быть заменено более слабым
требованием достижения краевых значений в среднем, которое,
однако, является достаточно сильным для того, чтобы обеспечить
единственность решения.
х) Мы принимаем центр сферы за новое начало координат. (Прим.
перев.) .

308 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Только в частном случае двух измерений достижение краевых зна-
значений в среднем влечет за собой действительное достижение краевых
значений в каждой отдельной точке границы.
§ 5. Краевые задачи для более общих эллиптических
дифференциальных уравнений; единственность решений
Хотя уравнение Аи = 0 является типичным примером эллиптиче-
эллиптического дифференциального уравнения, переход к общей теории эллип-
эллиптических дифференциальных уравнений хотя бы только второго
порядка потребовал бы от нас целого ряда новых рассмотрений,
выходящих за пределы этой книги. Мы ограничимся поэтому здесь
кратким изложением некоторых основных пунктов, относящихся
к краевым задачам и к построению специальных частных решений.
В сноске мы приводим перечень литературы по этому вопросу1).
Сначала мы рассмотрим вопрос о единственности решения, т. е, выяс-
выясним, при каких условиях решение краевой задачи однозначно опре-
определено.
1. Линейные дифференциальные уравнения. Пусть L[m]=0
обозначает линейное эллиптическое дифференциальное уравнение
С ааигк + 2 *<"•" + с/' = °» (!)
ffitt о is
где для краткости положено ид. = я г ¦¦¦¦;¦ , щ = -д—. Коэффициенты
aik = aki, bt и с представляют собой непрерывные в некоторой огра-
ограниченной области G «-мерного пространства функции независимых
переменных xv ..., хп. Квадратичная форма от параметров \t, ..., %п
является по условию определенной положительной формой во всех
точках д;,, ..., хп области G.
*) См. обзор Лихтенштейна (Lichtenstein), Neuere Entwicklung der Theorie
partieller Differentialgleichungen zweifer Ordnung vora elliptischen Typus, Энци-
Энциклопедия математических наук, т. II, 3, вып. 8.
Теория эллиптических дифференциальных уравнений излагается с большой
общностью в работах Е. Е. Levi и Georges Giraud; эти работы содержат
далеко идущее распространение результатов теории потенциала на общие
дифференциальные уравнения эллиптического типа. Levi E. E., Palermo
Rend., т. 24 A907), стр. 275—317; Giraud G., Sur le probleme de Dirichlet
generalise. Equations поп lineaires a in variables, Mem. Ecole Normale, т. 43
A925), стр. 1—128; Sur le probleme de Dirichlet general. 2, Mem. Ecole Nor-
Normale, т. 46 A929), стр. 131—145; Sur certains probleraes поп lineaires de Neu-
Neumann et sur certains probleraes поп lineaires raixtes, Mem. Ecole Normale, т. 49
A932), стр. 1—103.
Далее укажем на новейшие работы Жнро (Giraud), Шаудера (Schauder)
и Лерэ (Leray), которые реферирует Zentralblalt fur Mathcmatik. [См. также
цикл статей по уравнениям эллиптического типа в «Успехах математиче-
математических наук», вып. VIII, 1941.]

§ 5] Краевые задачи для более общих эллиптич. уравнений 309
Тогда имеет место следующая теорема единственности:
При условии с<^0 не существует двух различных решений
уравнения A), имеющих в О непрерывные производные до второго
порядка и непрерывных в G -\-Г, которые принимали бы на гра-
границе Г области G одинаковые краевые значения1).
Другими словами, мы должны доказать, что решение уравнения
L [и] = 0, обращающееся в нуль на границе Г, тождественно равно
нулю всюду внутри области G.
Допустим сначала, что с < 0, и докажем при этом предположении
следующую теорему:
Всякое решение уравнения L [и] = 0, обращающееся в нуль на
границе Г, не может иметь внутри G положительного макси-
максимума.
В самом деле, если и достигает положительного максимума в неко-
некоторой внутренней точке Р (xt, ..., хп) области G, то в этой точке
обращаются в нуль все первые производные щ и матрица вторых
производных
и« (Р) = bik
является матрицей коэффициентов нигде не положительной квадратич-
квадратичной формы.
В точке Р дифференциальное выражение L принимает вид
где 5 = 2 агФгк представляет собой след (Spur) произведения матриц
(aik) и (.bud- Но след 5 этой матрицы не может быть положительным.
В самом деле, приведем матрицу (р41:) с помощью ортогонального
преобразования к виду диагональной матрицы (р€). Тогда по условию
все pi > 0. Если при этом ортогональном преобразовании матрица (Ь(к)
переходит в матрицу (j3№), то, так как след 5 произведения обеих
матриц инвариантен относительно любого ортогонального преобразо-
преобразования,
С другой стороны, матрица (^г-7.) является так же, как и матрица
(bils), матрицей коэффициентов нигде не положительной квадратичной
формы, откуда следует, в частности, что Рй^0, так что 5<]0, что
и требовалось доказать.
Так как с<0 и и(Р)>0, то в точке Р имеет поэтому место
неравенство
L[u\< 0,
!) Если не ввести условия с<;0, то единственность решения может и не
иметь места, как это показывает пример дифференциального уравнения
Аи-\-си = 0,
где с является одним из положительных собственных значений для краевого
условия и = 0.

310 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
и мы пришли к противоречии^ с нашим предположением, что и яв-
является решением уравнения L [и] = 0. Таким образом, теорема доказана.
Применяя, наконец, тот же результат к функции —к, мы получаем,
что и не может также достигать внутри G отрицательного минимума.
Итак, из того, что и = 0 на границе Г следует, что и обращается
в нуль тождественно всюду внутри G.
Случай с4^0 можно привести к случаю с<0 с помощью сле-
следующего приема, принадлежащего Пикару. Положим
u = z(xv..., xn)v{xt,..., хи),
введя неопределенный множитель г. Мы получаем для функции v
дифференциальное уравнение вида
где C^ — некоторые непрерывные в G функции точки*). Выберем
в качестве г функцию
Тогда мы получаем:
S««««+SP«^+^ = o, C)
где
Так как ап>0, то мы можем константы С и ;j. выбрать так, чтобы
в области О всюду выполнялись условия с* <С 0 и г > 1. В силу
полученного выше результата функция v, а, следовательно, и функция
и = zv обращается в нуль тождественно в области О. Таким обра-
образом, теорема единственности полностью доказана.
2. Квазилинейные дифференциальные уравнения. Рассмотре-
Рассмотрения и результаты предыдущего номера могут быть с помощью простого
и часто применявшегося в других случаях приема распространены и
на более общие квазилинейные дифференциальные уравнения. Рас-
Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение
__ L [и] = 2 anflik Jrd = 0, D)
в котором коэффициенты а,ш и d являются непрерывно дифферен-
дифференцируемыми функциями от переменных xlf х2,..., хп и uv к2,..., ип
и не содержат, таким образом, в явном виде самой неизвестной
функции и. Докажем следующую теорему:
Не существует двух различных решений уравнения D), которые
на границе Г принимали бы одинаковые краевые значения и для
которых квадратичная форма с матрицей (ailc) была бы всюду
внутри G определенной положительной формой.
Для простоты мы проведем наши рассмотрения для случая п = 2,
т. е. для дифференциального уравнения
0, E)
*) Предполагается, что z не обращается в нуль в области G.

§ 5] КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ БОЛЕЕ ОБЩИХ ЭЛЛИПТИЧ. УРАВНЕНИЙ 311
причем функции а, Ь, с и d являются непрерывно дифференцируемыми
функциями от величин х, у, и, их и иу в некоторой области G. До-
Допустим, что существуют два решения миг», разность которых
ш==и — v обращается в нуль на границе Г. Положим для краткости
а[и]=а (х, у, их, иу),
я[г>] = я(х, у, vx, vy)
и т. д. Тогда
L [и] — L [v] = L [v -j- со] — L [v] = а [и] шхх -{- 2Ь [и] шху -\- с [и] шуу +
+ {c[v -[-со] -с [v]} vm+ d [v + со] — d [v\= 0.
Применяя к конечным разностям
а [v + ojI — а [V] = а(х, у, vx-\- ч>?, vy -\- ш^) — а (х, у, vx, vy)
и т. д. теорему о конечном приращении, т. е. представляя каждую
такую разность в форме
1шх-{-{шу,
где X и ;j- — непрерывные функции точки, мы получим, что со удовле-
удовлетворяет в О соотношению вида
а<*>хсс + 2Ьа>ху -j- сшуу -\- атх -j- fay = 0, F)
причем а, Ь, с, а, ,3 являются непрерывными в G функциями точкиJ),
вид которых зависит, конечно, от вида функций и и v.
К уравнению F) мы можем применить рассмотрения и результаты
п. 1. Если выполняется условие ас — ?2>0, то функция ш, обра-
обращающаяся в нуль на границе Г, должна тождественно равняться нулю
во всей области О, что и доказывает нашу теорему.
3. Теорема Реллиха о дифференциальном уравнении Монжа-
Ампера. В качестве примера неквазилинейного уравнения, для ко-
которого уже не имеет места теорема единственности в приведенной
выше формулировке, рассмотрим краевую задачу для дифференциаль-
дифференциального уравнения Монжа-Ампера
L Ы = ^(«Л-иУ -M«TO+ 2Виад+ Cum+D = 0. G)
Пусть коэффициенты Е, D, А, В, С являются в G непрерывными
функциями от х и у, удовлетворяющими неравенству
АС—В'г — ЕО>0. (8)
Тогда вместо теоремы единственности имеет место следующая теорема:
Не может существовать больше дзух различных решений
уравнения G), которые принимали бы одинаковые краевые значе-
!) Указанный выше прием приведения исследования квазилинейного
уравнения к линейному состоит в составлении такого линейного уравнения
для функции и>, коэффициенты которого мы рассматриваем как заданные
функции точки.

312 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
ния на границе Г области G, причем два таких решения в общем
случае действительно существуют1).
Доказательство. Если и какое-нибудь решение уравнения G),
то в силу уравнения G) и неравенства (8) имеет место также
следующее неравенство:
(Euwx+C){Euyy~\-A)-~{Euxy~ Bf>0. (9)
Отсюда следует, что произведение {Еихх -j- С) (Еиуу -\- А) всюду
положительно в области G, так что ни один из сомножителей нигде
не обращается в нуль в области G. Таким образом, оба множителя
либо всюду в G положительны, либо всюду в G отрицательны.
Докажем теперь, что не существует двух различных решений нашей
краевой задачи, удовлетворяющих всюду в G условию
Еихх-\-С>0, так что и Еию-\-А>0. A0)
Точно так же не существует двух различных решений, для которых
Enxx-\-C<Q, так что и Еиуу-\-А<0. A1)
Отсюда и будет следовать, что наша краевая задача не может иметь
больше двух различных решений, причем одно из этих решений-
может удовлетворять условию A0), а другое условию A1).
Для доказательства нашего утверждения мы можем, очевидно^
ограничиться рассмотрением случая A0).
Допустим, что существуют два решения и и v Haoieft краевой
задачи, удовлетворяющие неравенству A0); тогда их разность
ш = и — v
удовлетворяет одновременно следующим двум уравнениям:
vv WX~2 {Evvx—В)
0 =1 [и] -L [«-ш) = -?(vw—y ^Ж ^
+ (Euvv + Л) ®„» — 2 (Еиух — В) тху.
Складывая эти два уравнения, мы получим, что функция ш удовле-
удовлетворяет соотношению
Ркхх — 2Q*xy + R*>vy = 0, A2)
коэффициентами которого Р, Q, R являются следующие выражения:
Q =* (Evxy—B)-\- (Euxy—В),
/? = (?^4-С) + C&W+О-
Эти коэффициенты представляют собой, таким образом, непрерывные
функции точки в области G, а квадратичная форма
Р е л л и х (Rellich F.), Math. Ann., т. 107 A933), стр. 505 и следующие.

§ 5] КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ БОЛЕЕ ОБЩИХ ЭЛЛИПТИЧ. УРАВНЕНИЙ 313
является в силу наших предположений суммой двух определенных по-
положительных квадратичных форм и, следовательно, сама пред-
представляет собой так же определенную положительную квадратичную
форму.
Поэтому из соотношения A2) следует совершенно так же, как и
в п.п. 1 и 2, что при выполнении краевого условия ш = О
функция ш должна тождественно равняться нулю во всей области G,
так что и = v, и наша теорема, таким образом, доказана.
Покажем на простом примере, что в общем случае уравнения
Монжа-Ампера мы можем ожидать существования двух различных
решений краевой задачи.
Рассмотрим краевую задачу для дифференциального уравнения
и и — и2 = 4
хх уу ху
с краевым условием:
и == 0 вдоль единичной окружности. A3)
Эта задача имеет следующие два решения:
и = х2~\-у2—1 и г/=1—х2—у2.
Первое решение удовлетворяет условию Euxw -J- С — 2, а второе —
условию Evxx -\- С = — 2.
Если же функция Е обращается в нуль в какой-нибудь точке
Р области О, то краевая задача не может иметь двух раз-
различных решений. В самом деле, в этом случае в точке Р имеет
место равенство
откуда следует в силу знакопостоянства функции Eu3,j, -\- С в области G,
чго всюду в G
sign (?0^-1-0 = sign С(Р).
Таким образом, выражение Euwx-\-C имеет в области G для всех
решений и один и тот же знак').
J) В связи с этим обратим, между прочим, внимание читателя на тот
замечательный факт, что дифференциальное уравнение Монжа-Ампера полу-
получается при решении простой вариационной задачи: опустим добавочную часть
н рассмотрим уравнение
uxxllyy-uly=P(x' У)- A4)
Легко проверить, что уравнение A4) является уравнением Эйлера для вариа-
вариационного выражения
в

314 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. IV
§ 6. Решение эллиптических дифференциальных уравнений
методом интегральных уравнений
В случае общих эллиптических дифференциальных уравнений
можно также составить интегральные уравнения, решение которых
эквивалентно решению краевой задачи для данного дифференциаль-
дифференциального уравнения. В частности, из этой связи между дифференциаль-
дифференциальной и интегральной задачами получаются на основании теорем Фред-
гольма соответствующие теоремы существования специальных част-
частных решений и методы решения краевых задач. Мы ограничимся
,здесь только тем, что в общих чертах изложим наиболее характе-
характеристические особенности этих методов. В соответствии с этим мы
рассмотрим только случай двух независимых переменных и притом
только для линейных дифференциальных уравнений. На основании
результатов гл. III, § 1 мы имеем право предположить, что диф-
дифференциальное уравнение приведено к виду
L [и] = Аи -4- аих "Г Ьиу + си —f(x, у), A)
причем а, Ь, с и / непрерывны и непрерывно дифференцируемы в за-
заданной ограниченной области G.
1. Построение решений. Основные ргшения. Если коэффи-
коэффициенты а, Ь, с и правая часть / являются аналитическими функциями
от х и у, то вопрос о том, имеет ли уравнение A) вообще какие-
нибудь решения, может быть просто разрешен путем разыскания
решений, разлагающихся в степенные ряды (см. гл. I, § 7). Если же
в отношении коэффициентов уравнения не сделаны никакие дру-
другие предположения, кроме условия непрерывности и непрерывной
дифференцируемое™, то уже вопрос о существовании хотя бы одного
решения дифференциального уравнения A) представляет собой задачу,
решение которой требует введения новых методов. Одним из таких
методов является метод интегральных уравнений, принадлежащий
Э. Леей.
Положим для краткости
, Г. 5,4) = —log/(* — $)» +ty—i])» = —log r
и назовем эту функцию функцией особенностей х) (Pararnetrix). Функ-
Функция ty обладает в точке х = \, у=ч] характеристической особен-
особенностью, соответствующей дифференциальному выражению L (см. § 1,
п. 1), но не удовлетворяет дифференциальному уравнению A).
Поэтому интеграл
« = / / И** у; 5, ч) р E, -ц) ах ФЧ C)
G
!) Гильберт Д., GGHlnger Nachr., 1910, стр. 1—65, в особенности
стр. 8—34; кроме того, отметим его работу: Grundzflge einer aligemeinen
Theorie der linearen Integralgleichungen, Лейпциг, 1912 н в особенности
crp. 219—242 и цитируемые там работы Э. Леви.

§ 6] РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 315
при произвольной функции р (х, у) также не является решением
уравнения A).
Однако, мы можем всегда выбрать такую непрерывную и непре-
непрерывно дифференцируемую функцию р(дг, у), чтобы функция и или же
более общее выражение вида
и = о (х, у) + ff $ (*, у; S, т() о E, т,) dx drt D)
о
являлись решениями уравнения A). При этом ш (х, у) обозначает
здесь произвольную функцию, непрерывную в G и имеющую там
непрерывные производные до третьего порядка включительно.
Чтобы это доказать, подставим выражение D) в уравнение
L[u]=f; в силу условий дифференцируемое™, которым мы подчи-
подчинили функцию р, мы получаем на основании § 1, п. 2
Дм = Дсо — 2тгр,
откуда
L[u\=L И — 2*р + IJ (аб,, + Ы(у + с» р E, tq) *Й rf4.
G
Положим для краткости
с(дг,
Мы получим тогда для р следующее интегральное уравнение: ,
Р (*, J') = // К{х,у; ?, -ч) р (с, ij) rfS rfrj +^(x, j/). F)
Однако, непосредственно к интегральному уравнению F) теория
Фредгольма не может быть применена, ибо в точке х = ?, у = ч\
ядро К обращается в бесконечность порядка — и не обладает по-
поэтому интегрируемым квадратом. Но легко убедиться, что итериро-
итерированное ядро
К2(х, у; %, т,) = J f К(х, у; s, t)K(s, t; 6, -ij)
G
уже является квадратично интегрируемой функцией.

316 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Мы рассматриваем поэтому сначала вместо уравнения F) итери-
итерированное интегральное уравнение
р (х, у) = J J К2 (х, у; ?, ч) Р E, Ч) Л *1 + А (*, .у). G)
G
где
> (х, у; t, ч.
<?'
К уравнению G) теория Фредгольма уже может быть полностью
применена.
Однородное интегральное уравнение, соответствующее уравне-
уравнению G)
р. (.V, у)= Г Г К2 (xi У> ^> 'Ч) Р (^> ""l) ^ ^ (^)
G
может иметь нетривиальное решение р только в том случае, если
выполняется условие
J/J/tff (x,y; g, ч)dxdydld-ц> 1. (9)
Поэтому, если выбрать область G настолько малой, чтобы значение
интеграла
J J j J
было меньше единицы, то уравнение (8) будет иметь только три-
тривиальное решение р==0. Функция g(x, у) = -к- { L [ш]—/} в силу
наших предположений непрерывна и непрерывно дифференцируема
в области G; отсюда следует на основании теоремы, доказанной
в § 1, п. 2, что функция h(x, у) также непрерывна и непрерывно
дифференцируема в G.
Таким образом, применяя теоремы Фредгольма, мы можем теперь
утверждать, что для достаточно малых областей G и при лю-
любом h существует решение р интегрального уравнения G). Это
решение является так же, как и h, непрерывно дифференцируемой
функцией и удовлетворяет также первоначальному интегральному
уравнению F). В самом деле, положим
в
Тогда уравнение G) можно записать в следующем виде:

§ 6] РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 317
Умножая на К и интегрируя, мы получим:
•о — g = / f K.2(v — g)cUd'q + ff Khd\d-n
ИЛИ
*
т. e. v также удовлетворяет уравнению G); но в силу единствен-
единственности решения этого уравнения функция v должна совпадать с функ-
функцией р. Равенство же v — p означает, что р удовлетворяет интеграль-
интегральному уравнению F). Если мы теперь с помощью полученной функции
Р (•*¦> У) составим выражение
и = со 4- J J <!* О, у; \, ч) р E,
то мы получим:
L [и] = L И -f- 2я
Таким образом, и является решением уравнения A), имеющим в Q
непрерывные производные до второго порядка включительно и зави-
зависящим, сверх того, от произвольной функции т. Итак, нами дока-
доказано существование решений нашего дифференциального уравнения
в достаточно малой области G.
Положим, в частности,
со = — log- V(x — хоJ + (.у— у0J
и возьмем в качестве области G достаточно малую область G*,
содержащую точку х0, у0, из которой сама точка х0, у0 удалена
вместе со сколь угодно малым кругом радиуса 8.
На основании предыдущего мы получаем в G* решения вида
и* (*, .у) = — log V (* — *оJ + (У — Уо? +
G*
Легко показать, что при предельном переходе 8 -> 0 функция р*
стремится к предельной функции р таким образом, что интеграл
имеет во всей предельной области G = lim О* непрерывные про-
производные до второго порядка включительно. Функция
t{x,y; х0 у0) = — log- У (х — дго)а + (у — д/0J -L-

318 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
удовлетворяет тогда во всей области G, за исключением точки
.v = .v0, у=у0, уравнению L [«]=/; так как, далее, разность
ТГ — l°g —
всюду регулярна в области G, то функция i (x, у; х0, у0) является
основным решением уравнения A).
2. Краевая задача. С помощью построенного в предыдущем
пункте основного решения мы можем теперь доказать разрешимость
краевой задачи для дифференциального уравнения
проводя рассуждения, совершенно аналогичные рассмотрениям § 4,
п. 3, с помощью которых мы обосновали метод интегральных урав-
уравнений для случая уравнения
Ди = 0.
Если же мы будем здесь предполагать уже доказанным, что для
уравнения Аи = 0 краевая задача разрешима, так что существует
функция Грина К(Р, Q) области G, то решение краевой задачи для
уравнения A0) упрощается и может быть проведено с помощью
таких же рассмотрений, как и в п. 1. Не ограничивая общности,
мы можем предположить, что вдоль границы Г заданы нулевые
краевые значения м = 0. Попытаемся представить решение уравне-
уравнения A0) в виде интеграла
и = J [ К(х, у; 5, т]) р (?, т]) d* dtj, A1)
в
где А"(лг, у; S, -ц) обозначает функцию Грина уравнения Ди = 0 для
области G, а р — некоторую непрерывную и непрерывно дифференци-
дифференцируемую в G функцию. Мы полагаем:
Щх, у; Е, t\) = аКх + ЬКУ + сК A2)
и допускаем далее, что И удовлетворяет в G неравенству вида
\Н(х,у; 5, -ч)!<т <r=Vix— 0я + (У — -ЧП A3)
где а — некоторая не зависящая от х, у, к, г\ положительная кон-
константа. Мы получаем тогда
L [и] = J [ Н(х, у; Е, ij) о E, т]) dU-ц — р (х, у),
так что функция р должна удовлетворять интегральному уравнению

§ 6] РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 319
Мы снова рассматриваем уравнение, получающееся из интегрального
уравнения A4) путем итерации, т. е. интегральное уравнение
р = _ h 4- J/ Н2(х, у; 5, -ч) р (S, г,) & Aj, A5)
где
h=/+И
ё
Из неравенства A3) очень легко получить неравенство
где а0, [50>0 и не зависят от х, у, S, t\. Отсюда следует квадратич-
квадратичная интегрируемость ядра Я2. Если мы выберем теперь область G
настолько малой, чтобы выполнялось условие
в G
то теоремы Фредгольма обеспечивают существование решения р(дг, у)
уравнения A5). Так же, как и раньше, мы доказываем, что это
решение р удовлетворяет также и первоначальному интегральному
уравнению A4). В силу условия A6) это решение непрерывно диф-
дифференцируемо в О, если этим свойством обладает функция А(дг, у).
Непрерывная же дифференцируемость h является простым следствием
дифференцируемое™ функции / и неравенства A3). Мы убеждаемся
затем совершенно таким же образом, как и в п. 1, что функция
« (*, -У) = f / «X*. У> 5, Ч) Р F, -Ч) Л ^
' G
удовлетворяет уравнению L [а] == / и так же, как и /<, обращается
в нуль на границе.
Таким образом и (х, у) является решением данной краевой задачи.
Допущение A3) легко можно привести к виду условия, непосред-
непосредственно налагаемого на функцию Грина К-
Пусть G* есть некоторая область, охватывающая область G и
притом так, что кратчайшее расстояние между границами Г* и Р
областей G* и G превосходит некоторое фиксированное число о.
Если /С* — функция Грина для области G*, то в О всюду имеет
место неравенство
0<#<К*. A7)
Внутри области G имеем далее:
где | log УН | обозначает максимум выражения! log|^(x—ЕJ + (у—?iJ|»-
в котором точка (х, у) пробегает область G, а точка (?, ч]) — гра-

320 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. W]
ницу Г*. Отсюда следует, что в области О имеет место неравенство
вида
0<K*<p\logr\ + q.
В силу неравенства A7) тем более имеет место неравенство
0<K<p\logr\ + q, A8)
причем р и q являются некоторыми положительными константами, не
зависящими от х, у, ?, t\. Если поэтому ядро К удовлетворяет, кроме
того, всюду в области G дальнейшим неравенствам
\к (* y;^-n)\<:\K(xy;iid\<
где константа С не зависит от х, у, S, t\, то из A2), A8) и A9)
непосредственно получается условие A3).
Мы можем, таким образом, формулировать полученный нами
результат так:
Если в достаточно малой области G соответствующая функ-
функция Грина К(х, у; %, 1\) уравнения Ак —0 удовлетворяет нера-
неравенству A9), то уравнение
?[«!=/(*, v)
всегда имеет решение и (х, у), обращающееся в нуль на границе Г
области G.
Условие A9) входит в эту теорему в качестве условия, характе-
характеризующего вид области G. В отдельных частных случаях нетрудно
его проверить.
Если, например, G представляет собой единичный круг, то со-
согласно § 2, п. 2
к с*, у, е, ч)=-^ log ;рг[(л_у^(;_^,
где f =
Поэтому
к L
Хх~ 2г.
Отсюда легко получается неравенство
или
Но внутри единичного круга г<р/"!, а так как р^1, то отсюда
— <—.
следует неравенство г<^ги так что— <

ДОПОЛНЕНИЯ К ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ 321
Таким образом, мы получаем:
~
1л точно так же
Игак, функция Грина для единичного круга удовлетворяет внутри
круга условию A9). Вообще можно доказать, что условие A9) выпол-
«яется для любой области G, граница которой имеет всюду непре-
непрерывную кривизну J).
Другой способ построэния теории эллиптических дифференциаль-:
ных уравнений даю г 'прямые методы вариационного исчисления,
как нами будет показано в гл. VII, однако, эти методы применимы
только к тем дифференциальным уравнениям, к которым приводят
вариационные зэдачи, т. е. только к самосопряженным дифферен-
дифференциальным уравнениям вида
Методы, бегло изложенные в этом параграфе, обладают прежде
всего тем преимуществом, что они не связаны с этим ограничением
и дают возможность распространить теорию также и' на любые не
самосопряженные уравнения, получающиеся путем присоединения
к левой части уравнения B0) каких угодно членов первого по-
порядка.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
1. Обобщение краевой задачи. Теоремы Вннера. Несмотря на
то, что в случае трех или большего числа измерений краевая задача
в строгом смысла слова, т. е. в смысле действительного достижения
краевых значений, для произвольной ограниченной области является
в общем случае неразрешимой, мы можем, однако, сделать зддачу
всегда разрешимой, если обобщим постановку вопроса и будем рас-
рассматривать с более глубокой точки зрения связь, существующую
между заданной краевой функцией и искомой гармонической функ-
функцией.
Будем смотреть на краевую задачу, как на задачу сопоставления^
заданной на границе F непрерывной краевой функции / некоторой"
гармонической внутри О функции и.
Возможность такого сопоставления, не требующего обязательна
непрерывного примыкания на границе значений функции и к значе-
!) См. обзорную статью. Лихтенштейна в энциклопедии математических
наук, т. II, 3, вып. 8. Llchtenstein, Neuere Entwicklung der Theorie par-
?iei:er Diffcrentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus.

322 дополнения к четеертой главе
ииям функции /, получается на основании следующей теоремы пгс-
дгльного перехода, принадлежащей Винеру х).
Обозначим через G некоторую ограниченную область т-мершгс,
пространства, .через Г — граничную поверхность области G и
пусть в области G-j-Г задана некоторая непрерывная функ-
функция f(P). Рассмотрим ^последовательность областей Оп с грани-
границами Т„, сходящуюся к области G, для которых краевая задача
разрешима,-' причем каждая область Gn является подобластью
Gn+V Тогда последовательность решений ип соответствующих
краевых задач:
Аип = О в Gn и и„ =/ на Г„
сходится равномерно во всякой замкнутой подобласти G' обла-
области G к некоторой гармонической функции и. Эта предельная
функция не зависит ни от выбора специальной аппроксимирующей
последовательности Gn, ни от значений функции f(P) внутри
области G.
Совершенно аналогичный результат имеет место для соответствую-
соответствующей внешней краевой задачи и, в частности, для.специального слу-
случая, когда и = 1 на Г, причем требуется найти потенциал электри-
электрического заряда, распределенного на Г. В случае поверхности Г
произвольного,' сколь угодно общего вида нельзя ожидать, что соот-
соответствующее распределение зарядов на Г может быть описано
с помощью некоторой поверхностной плотности; поэтому искомый
потенциал вне области G в случае произвольной поверхности Г ке
может бать, вообще говоря, представлен в виде обычного потен-
потенциала поверхностного распределения зарядов.
Однако, Винер показал, что введение интеграла Стильтьеса
делает возможным представить искомый потенциал в интегральной
форме.
Соответствующая теорема Винера формулируется так:
Пусть и(Р) — гармоническая вне G функция, сопоставленная
краевым значениям и~\. Тогда существует такая функцияМ(Р),
возрастающая по каждой из координат х1,..., хп, что всюду
вне G имеет место интегральная формула
Функция ЛЦР) характеризует распределение зарядов. Полный заряд
со
С= j ... f
i) Wiener N., Certain Notions.in Potential Theory, J. Math. Physics,
т. 3 A924), стр. 24 — 51; The Dirichlet Problem, J. Math. Physics, т. 3 A924),
стр. 127—147.

ДОПОЛНЕНИЯ К ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ 323
выражает емкость области О. Гармоническая функция к, сопостав-
сопоставленная таким способом краевой функции /(Р),, может при приближе-
приближении к точке границы Р и не стремиться к предельному значению f(P).
Мы в этом случае говорим, что Р является неправильной граничной
точкой. Правильной же или регулярной точкой границы называется
такая точка Р границы, что при любом способе приближения точки Pv
к Р изнутри Области и при любой непрерывной краевой функции /
имеет место условие
(
Из рассмотрений § 4, п. 1 получается следующий достаточный при-
признак регулярности граничной точки: граничная точка Р является
регулярной, если в Р можно построить тетраэдр с вершиной
в точке Р, внутренность которого Целиком лежит вне области G-
Необходимый и достаточный признак регулярности дается в сле-
следующей уеореме Винера: Пусть А— положительное число, меньшее
единицы, a fn — емкость множества всех точек, не принадлежа-
принадлежащих области G и заключенных между двумя сферами, описан-
описанными из точки Р радиусами \п и X"-1, т. е. точек Q, не при-
принадлежащих G и удовлетворяющих^ условию
Хп<Щ<ЬпГ1- B)
Тогда точка Р регулярна или нерегулярна в зависимости от
того, расходится или сходится ряд
1
2. Нелинейные дифференциальные уравнения, а) Встречаю-
Встречающаяся в ряде математических и физических вопросов краевая задача-
дифференциального уравнения
bu = uaix + um = ett D>
с краевым условием
«=/ на Г
может быть решена следующим образом1). Пусть w(x, у) — решение
краевой задачи: &w = 0, ¦w = f на Г. Тогда функция v = u — w
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Av — ewv = ew {ev — v) E)
и принимает на границе Г краевые значения v = О. Обозначим через'
К{х, у; 5, ri) функцию Грина уравнения Дт> — ewv = 0 для обла-
области G. Эта функция нигде не отрицательна в G.
Тогда мы получим для v следующее нелинейное интегральное
уравнение:
« = — j j К(х, у; 6, 4dew(e» — v)Oiihi. F)
G
О См. Б и б е р б а х, GiSttinger Nachr., 1912, стр. 599—502.

324 ДОПОЛНЕНИЯ К ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ
Интегральное уравнение F) можно решить с помощью последова-
последовательных приближений вида
> У-
G)
Предельная функция последовательности vn существует и является
решением интегрального уравнения F), если только область G до-
достаточно мала.
В самом деле, так как /?^>0 и vl — — j j Kewdidrl = — S<0'
то отсюда следует путем индукции, что vn<^0; ибо, если vn^1<CO,
то е п~~г—г>п_!> 0, откуда и следует на основании уравнения G), что
и fn< 0. Путем такой же индукции мы получим, принимая во вни-
внимание неравенство 1)г — v0 < 0 и соотношение
««Т1 —«„ = - / J /fe"l«B-i—"»+ в"" {еп~*п~1-\)\ йЫъ, G')
что для всех значений п. имеет место неравенство
¦"пи—^не-
¦"пи—^недействительно, пусть v.n — w,,_i<CO- Из неравенства
1 рП Vn-\ ^ _,
1 е <^vn_1 — vn
следует
«•«-I—fn + e""-1 С/"""»-1- 1)Ж_, -^„)A -Л-1).
Так как ^„-^О и wn_! — ¦»„>0, то правая часть предыдущего
неравенства положительна.
Из формулы G') следует поэтому, что vn+t — vn<C0. В силу
того, что evn~vn~i<^ 1, мы получаем теперь из той же формулы G*)
неравенство
«» ~ u«+i < J J^ К-1 — »») & dri ¦
о
Если мы обозначим через Мп лаксимум vn — %i+l, а через So—
максимум 5 в G -j- Г, то Мп удовлетворяет неравенству Мп <[
<Ж5
,,10
Таким образом, мы получаем неравенство
0 < vn — vn+! < ЩЗПо<^n+1 ¦
Если выполняется условие 5 = ) Г Kewd-dti<l, то из предыдущего
G
следует, что последовательность vn равномерно сходится в области
G -(- Г. Поэтому предельная функция удовлетворяет интегральному
уравнению F), а, следовательно, и дифференциальному уравнению D),
принимая при этом нулевые краевые значения.

ДОПОЛНЕНИЯ К ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ
325
б) Аналогичным путем может быть в общем виде доказана разре-
разрешимость краевой задачи для дифференциального уравнения
^и = иха1-\-иуу=/(х, У, к, их, иу) (8)
при условии, что область G достаточно мала. Очевидно, что до-
достаточно доказать эту теорему для случая н/левых краевых значений.
Пусть /—непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция
от своих пяти аргументов. Обозначим через К(Х, у; ?, ч\) функцию
Грина уравнения Дм — 0, Составим последовательность функций
и0,
с помощью рекуррентной формулы
(9)
Пусть, далее, р и L—-два положительных числа таких, что если v
удовлетворяет неравенствам
|v|<I, I^Ki, |^|<L, то |/(х, у, v, vx, »„)|<11.
Если эти неравенства имеют место для функции ип, то из фор-
формулы (9) следует, что функция мп+1 удовлетворяет неравенствам
ду
где а обозначает максимум выражений
J J К Л dn, { J | К
х | Д rfч, J J I
в области G. Очевидно, что а стремится к нулю при стремлении
к нулю площади области G. Выберем G настолько малой по пло-
площади, чтобы выполнялось условие а^—.
Тогда имеют место неравенства
Так как эти неравенства выполняются для начальной функции м0 = О,
то из предыдущего следует, что они имеют место • для всех функ-
функций ип. Если мы положим, далее,
то из формулы (9) легко получается соотношение вида
(*(х, у; S, f\)Dn(i, ti)d^dj\, A0)
где К* обозначает некоторую положительную функцию, интеграл
которой

326 ДОПОЛНЕНИЯ К ЧЕТПЕРТОЙ ГЛАВЕ
стремится к нулю вместе с площадью области G. При достаточно
малой области G имеет поэтому место неравенство
откуда следует
Mn<M0S", A1)
где Мп обозначает максимум выражения Dn в области G. Этим дока-
доказана равномерная сходимость функций ип, —-, -~ в области G.
Предельная функция и удовлетворяет интегральному уравнению
«(*, V)= - fJK(xt У, ?, Т])/а ij, и, Ub uJdZd-q. A2)
Совершенно аналогичным путем доказывается сходимость вторых
производных
дхг ' дхду' ду*'
и тогда из интегрального уравнения A2) следует, что и удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению (8), принимая при этом на Г
краевые значения и = 0.
в) Для общего нелинейного дифференциального уравнения вида
N[u)=F{r, s, I, p, q, и, х, у) = 0, A3)
где F обозначает некоторую непрерывную и непрерывно дифферен-
дифференцируемую функцию от своих восьми аргументов в некоторой задан-
заданной восьмимерной области', мы можем формулировать краевую
зздачу следующим образом. Допустим, что существует решение
и{х, у) уравнения A3), для которого это уравнение эллиптично,
т. е. квадратичная форма
dF ,9 . dF . dF 2
при замене и через и(х, у) является определенной положительной
формой во всей области О. Не ограничивая общности, мы можем
считать рассматриваемое решение уравнения A3) тождественно рав-
равным нулю. Полагая
дг „ = «,' 2 ds
С =
дР
мы допускаем, таким образом, что квадратичная форма
A4)
является во всей области G определенной положительной формой.
Требуется узнать, существует ли при достаточно малом а
решение уравнения A3), принимающее на границе Г краевые зна-
значения ы = еф(л;, у\ где <?(jc, у) — произвольная непрерывная
в G-f-Г функция.

ДОПОЛНЕНИЯ К ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ 327
Чтобы решить этот вопрос, применяют следующий метод после-
последовательных приближений. Положим:
dF
_d_F\
-~д\
и с помощью коэффициентов A4) и A5) образуем следующее линей-
линейное эллиптическое дифференциальное уравнение
Lo [и] = Auxx -f 2Buxy + Сиуу -f- aux -\-buy-\-cu=~O A6)
{дифференциальное уравнение Якоби).
Мы предполагаем, что существует решение ио(х, у) уравнения
Lo [и] = 0, принимающее на Г краевые значения и0 = «ср. С помощью
u.j мы определяем коэффициенты
6/-I , dF dF\ * (l>
и ищем обращающееся в нуль на границе Г решение wt неоднород-
неоднородного дифференциального уравнения
Lt [и] = А1ихх-j- 1Вхиху-\~ Схи%у-\-atux-\- Ъхиу-|* с^ = N [ис]. A8)
Полагая теперь их = и0-j-'O'i, мы таким же образом образуем с по-
помощью и1 коэффициенты Аа,..., са т находим решение w2 уравне-
уравнения Z.2 [к] =7V[K1], имеющее краевые значения w2 = 0 на границе Г.
Полагая u9, = u1~\-w2, мы снова повторяем этот процесс и продол-
продолжаем его неограниченное число раз.
Путем выбора достаточно малого г .мы можеа! добиться, чтобы
при неограниченном продолжении этого процесса всегда получались
разрешимые линейные краевые задачи и чтобы последовательность
соответствующих функций ип сходилась к предельной функции и,
удовлетворяющей уравнению A3) и краевому условию к —га *).
Литература к главе W (курсы)
Р i с а г d, Traite d'analyse, Париж.
Р о i n с а г ё. Potentiel Newtonien, Париж.
Kellog, Potential Theory (Собрание математических монографий: Die
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, т. 21).
Г у р с а, Курс математическбго анализа, т. 2 и 3.
Горн, Введение в теорию дифференциальных уравнений с частными прс-
изводнымн, М.—Л., 1938.
х) При допущении, что F— аналитическая функция от своих аргументов,
а Г — аналитическая кривая, доказательство проводится у Жиро: G1 г a u d,
Sur le problerae de Dirichlet, -Annales Scientifiques de VEcele Normale Su-
perieure, т. 43 A926), стр. 1—128.

ГЛАВА V
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
В то время как эллиптическим дифференциальным ^уравненияь?
в физике соответствуют, вообще говоря, состояния равновесия,
гиперболические дифференциальные уравнения, содержащие в качьстве
одного из независимых переменных время t, применяются прежде
всего для описания колебательных и волновых процессов. (Предель-
(Предельным случаем является параболическое уравнение. Мы этот случай
оставляем в стороне.) Ср. гл. III, § 7.
В теории гиперболических уравнений решающую роль играет
понятие характеристик. Теория характеристик будет нами изложена
в настоящей главе, а также в гл. VI. Для рассматриваемых здесь
уравнений высших порядков мы построим теорию характеристик
в форме, аналогичной рассмотрениям, проведенным в гл. II (допол-
(дополнения, § 1) в отношении дифференциальных уравнедий первого
порядка.
В случае двух независимых переменных мы введем- понятие ха-
характеристической кривой и соответствующей одномерной характе-
характеристической полоски первого или более высокого порядка. В слу-
случае л>2 мы будем рассматривать точечные характеристические
многообразия и характеристические полоски п — 1 измерений,
а внутри этих многообразий мы будем в свою очередь выделять
характеристические лучи так же, как мы это делали в гл. II для
дифференциальных уравнений первого порядка.
Существование и построение решения задачи Коши в самом
общем случае обеспечиваются методом итерации Пикара и вместе
с этим решается также вопрос о единственности решения и о со-
соответствующей области зависимости.
Правда, в отличие от дифференциальных уравнений первого
порядка мы не получаем здесь приведения уравнения в частных про-
кзвОдных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Тем не
менее, мы можем считать этот метод решения принципиально столь же
простым, как и метод приведения к обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнениям, поскольку и для обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений доказательство существования и построение решения
проще всего проводятся с помощью того же метода итераций Пикара.

[§ 1] ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 329
Прежде чем провести в общем виде этот метод решения, мы осве-
осветим в первой части настоящей главы понятие характеристики с раз-
различных сторон.
§ 1. Характеристики квазилинейных дифференциальных
уравнений
1. Определение характеристик. Рассмотрим для функции и(х, у)
с производными
дифференциальное выражение
L\u] = ar-\-bs-\-ct A)
и соответственно дифференциальное уравнение
L[u} + d = ar+bs + ct+d = Q, B)
где с, Ь, с, d—заданные в некоторой области функции пяти величин
xi У-> ui Р> Ч- Здесь, как и в дальнейшем, мы будем, вообще говоря,
предполагать непрерывность всех входящих в рассмотрение функций
и их производных; нарушение условия непрерывности или существо-
существования какой-нибудь производной мы будем каждый раз, когда пона-
понадобится, специально оговаривать.
Покажем теперь значение характеристических параметров S; и t\, вве-
введенных нами в гл. III, § 2 при приведении дифференциального ураБ-
нения к нормальному виду, причем мы это сделаем независимо от
данного там вывода, исходя исключительно, как-и в гл. II, из задачи
Коши.
Пусть и(х, у)— функция, рассматриваемая нами только вдоль
кривой С или вдоль полоски первого порядка С1. Зададим полоску С1
в параметрической форме с помощью параметра А, т. е. зададим
кривую С уравнениями
х = х(Х), у=у(К), u=iu{K),
а вдоль зтой кривой зададим угловые коэффициенты касательной пло-
плоскости р(Х), д{1), которые должны удовлетворять условию
u=px-\-q'y, C)
где точкой обозначено дифференцирование по параметру л.
Пусть и (х, у) — какая-нибудь заданная функция, содержащая эту
полоску первого порядка Ct. Мы предполагаем, что вдоль кривой С
имеет место условие
Иногда является целесообразным определять полоску С\ с по-
помощью ее проекции Со на плоскость х, у, заданной уравнением
о (х, у) = 0, так что полоска С1 определяется кривой Со плоскости х,у>
вдоль которой заданы три функции и, р, д, связанные между собой;

330 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (« = 2) [ГЛ. V
соотношением C) (если задать кривую Со в параметрической форме).
Мы допускаем при этом, что кривая Со на плоскости х, у так же,
как и кривая С на поверхности к = и(х, у), отделяет область «р < и
от области 9>0.
Нашим исходным пунктом является следующий вопрос: Что дает
дифференциальное- уравнение B) вдоль полоски Сг в отношении
производных высших порядков функции и? В частности, можно ли
определить вдоль полоски Ct частные производные второю и выс-
высших порядков функции и, задавая полоску первого порядка С-^и
дифференциальное уравнение B)?
Заметив, что вдоль полоски Сг производные р, q должны удов-
• • • • • •
летворять уравнениям р = rx -\~ sy, q = sx -|~ tyj мы получим для г, s, t
вдоль Cj систему трех линейных уравнений
аг -(- bs -f- ct = — d, )
xr^ys = p, } W
xs-\~yt= q. j
Отсюда следует, что имеются следующие две возможности:
1. Пусть в каждой точке Р кривой С выполняется условие
а Ъ с
Д =
х у о
¦аур — Ь х у 4- сх* ф 0.
о ху
Мы называем в этом случае полоску Q обыкновенной полоскогТ.
Вдоль обыкновенной полоски Ct вторые производные г, s, t одно-
однозначно определены.
2. В противном случае на "полоске С\ имеется по крайней мере
одна точка Р,- в которой имеет место уравнение
c*a==0- E)
Условие E) мы называем характеристическим условием, а точки Р
полоски, в которых имеет место это условие, — характеристиче-
характеристическими точками пол'оски.
В дальнейшем мы будем предполагать, что полоска С\ либо
является обыкновенной, либо вся целиком состоит из характеристи-
характеристических точек. Во втором случае вдоль всей полоски С1 между левыми
частями системы уравнений D), а, следовательно и между правыми
частями существует линейная зависимость с коэффициентами,-завися-
коэффициентами,-зависящими только от х, у, и, р и q. Эта линейная зависимость вдоль С1 дает
новое условие, которому должны удовлетворять величины р, q в слу-
случае совместности системы уравнений D). Только при выполнении этого
условия существуют значения г, s и t, удовлетворяющие системе
уравнений D). Присоединив к системе пяти функций x,y,u,p,q
параметра X три функции г, s и t, удовлетворяющие уравне-
уравнениям D), мы дополним полоску первого порядка Ct до «кнтеграль-

§ 1] ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 331
ной полоски» второго порядка С2 уравнения B). Мы называем
такую интегральную полоску второго порядка Саг. т. е. полоску
второго порядка, удовлетворяющую характеристическому условию E)
и дифференциальному уравнению B), характеристической полоской
второго порядка; соответствующую полоску первого порядка Q мы
называем характеристической полоской первого порядка или просто
характеристической полоской; носительница характеристической
полоски — кривая С—-называется характеристической кривой, а ее
проекция Со — характеристической проекцией.
Вдоль такой характеристической полоски С\ производные второго
порядка г, s и t уже не определяются однозначно, а лишь с точ-
точностью до общего решения системы однородных уравнений, соот-
соответствующей системе D).
В противоположность этой особенности характеристических-по-
характеристических-полосок, вдоль обыкновенных полесок определяются однозначно н;
только производные второго порядка, но и все следующие произ-
производные какого угодно порядка функции и. Чтобы убедиться в этом,
заметим, что всякая функция fix, у) вдоль полоски удовлетворяет
условию / = xfx -f yfy.
Мы назовем это условие-»— условием полоски для функции /.
Х\ифференцируя по х дифференциальное уравнение B) и применяя
условие полоски к уже определенным вдоль полоски производным
второго порядка г ч s, мы получим для производных третьего по-
пои tx систему трех линейных уравнений
arx-\-bsx-{-ctx~ ....
='г,
в которой правые части известны, а детерминант Д отличен от нуля.
Таким же образом, мы однозначно определим ry, sy, ty, r^, sxx,
4a,... И Т. Д.
Резюмируем полученный результат:
Для исходной полоски С\ имеет место следующая альтерна-
альтернатива: Сх либо обыкновенная полоска, либо содержит характери-
характеристические точки. В первом случае заданное дифференциальное
уравнение однозначно определяет вдоль полоски вторые и высшие
производные и. Если же Ct состоит целиком из характеристи-
характеристических- точек, то полоска С\ может быть дополнена до инте-
интегральной полоски второго порядка С2 только в том случае, если
вдоль Ct выполняется еще одно дополнительное условие—условие
совместности системы уравнений D).
В этом случае Сх называется характеристической полоской.
Характеристическая полоска С\ может быть дополнена до ин-
интегральной полоски С2 бесчисленным множеством способов.

332 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (я = 2) [ГЛ V
Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение иху = 0 и
зададим исходную полоску Q уравнениями х = к, у = 0, и —О,
р = О, q =/(Х). Эта полоска состоит исключительно из характери-
характеристических точек, а из дифференциального уравнения следует, что
вдоль полоски должно выполняться условие qx — q = 0. Таким обра-
образом, для того, чтобы полоску Cj можно было бы дополнить до инте-
интегральной полоски дифференциального уравнения и^ = 0, необходимо
подчинить эту полоску еще дальнейшему ограничению: q = const.
Это значит, что из всех этих полосок характеристическими являются
только плоские полоски.
Характеристическое условие Д == 0 может быть получено также
и другим способом, легче поддающимся обобщению на случай и
независимых переменных (см. гл. I и III). Зададим полоску С1 урав-
уравнением о(л:, у) = 0 ее проекции на плоскость х, у. Мы будем
называть заданное вдоль С, дифференциальное выражение второго
порядка внутренним дифференциальным выражением или выраже-
выражением, лежащим внутри Си если оно может быть вычислено исклю-
исключительно с помощью величин, заданных вдоль Си и дифференциаль-
дифференциальных процессов, внутренних относительно С1. Так, например, вдоль
только что рассмотренной полоски х == X, у = 0, и = 0, р = 0,
<7=/(Х) дифференциальное выражение их„ является внутренним
дифференциальным выражением, ибо вдоль этой полоски иху = q.
Решим предварительно следующий вопрос: каким условиям
должно удовлетворять наше квизилинейное дифференциальное
выражение A) для того, чтобы оно было вдоль полоски С1 вну-
внутренним дифференциальным выражением?
Ответ гласит: Для этого необходимо и достаточно, чтобы
вдоль Сх выполнялось характеристическое условие
а'?1 Чг t"?xvy + с?з = Q (<р, <р) = 0. (б)
[Выражение Q(cp, с?) называется характеристической формой.]
Доказательство. Введем вместо х и у новые координаты
',-) = ср (х, у) и X = ip(x, у); таким образом, X совпадает вдоль Ct
с введенным выше параметром, тогда как а является переменной,
выводящей за пределы полоски Cv
Тогда для любой функции и (х, у) имеем:
Обозначая через Q (о, ^) полярную форму квадратичной формы Qt
мы получаем отсюда:
L [и] =з «^Q (?, -f)-f 2u^Q (<?, ф) + Н-wQ (Ф. Ф)+ в/ f'-?1 + V- И- G)

§ 1] ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 333
Вдоль Cj дифференцирование по $ = к является внутренним диф-
дифференцированием, тогда как дифференцирование по о представляет
собой внешний дифференциальный Процесс,. выводящий за пределы
многообразия Cv (Ср. гл. II, дополнения, § 1.)
Вдоль Q известными являются функция и, ее первые производные,
а также все те производные второго порядка, которые могут быть
получены из производных первого порядка дифференцированием
по X = ty. Отсюда следует, что единственным членом в выражении
L [и], содержащим не лежащие в С± производные второго порядка,
является u.^Q (», <?).
Таким образом, условие Q (», <э) = 0 вдоль кривой ? = 0
является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение L [и]
было внутренним выражением вдоль Cv что и требовалось доказать.
Переходя теперь к дифференциальному уравнению
L [«]+<* = 0,
мы видим, что имеет место следующая альтернатива: либо во всех
точках кривой С выражение Q ('f, tp) отлично от нуля и тогда внеш-
внешняя производная «w однозначно определена вдоль С, а вместе с ней
и все производные высших порядков, либо Q = 0 в некоторой
точке Р кривой С, и тогда дифференциальное уравнение L-\-d — 0
дает в точке Р дополнительное условие, которому должны удовлетво-
удовлетворять внутренние величины полоски Cv Если условие Q = 0 имеет
место вдоль всей полоски С1 и если считать первые производные и
заданными вдоль такой полоски, то вышеупомянутое дополнительное
условие имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения для
величины и? = -/, рассматриваемой как функция от ф=А., а именно:
2*xQ (?, ф) + ^И + ...= 0, F)
где многоточие обозначает выражения, значения которых вдоль по-
полоски полностью определяются заданием величин и, р и q с помощью
процессов дифференцирования по а.
Разумеется, характеристическое условие в форме F) эквивалентно
характеристическому условию в форме E).
В самом деле, » (х, у) = 0 есть уравнение проекции кривой С
на плоскость х, у, откуда
ъу = ° или ?* :ъ= — у '¦х-
Таким образом, левая часть уравнения F) совпадает с левой частью
и 2
уравнения E) с точностью до множителя — . Заметим, между про-
чим, что величины <эх и о так называемые тангенциальные коорди-
координаты на кривой 0 = 0, пропорциональны направляющим косинусам
дх ду д ,, .
нормали к кривой, т. е. величинам -г- и ¦*?•, где ^- обозначает диф-
дифференцирование по цдправлению нормали у.
дх >я, ду у у .

334 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (л = 2) [ГЛ. V
Подчеркнем еще следующее: полоска Q может быть характеристиче-
характеристической в том случае, если вдоль этой полоски выполняется условие
Аас — 6а<0,
так как в противном случае не существует вещественных значений
отношений х : у или <?# : ?#> которые удовлетворяли бы уравнениям E)
или соответственно F).
Введем следующие определения: дифференциальное выражение
flK«w>+*a*y+cuw называется гиперболическим в точке x,y,u,p,q
пятимерного пространства {х, у, и, р, q), если в этой точке
Аас — Ь2<0; (9)
точно так же оно называется гиперболическим вдоль полоски или
на поверхности и = и (х, у) при р — их, q — uy, если условие (9)
выполняется во всех точках полоски или поверхности.
В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что дифференциаль-
дифференциальные выражения гиперболичны в рассматриваемых точках.
Если дифференциальное выражение линейно, то гиперболический
характер выражения зивисит только от х и у и не зависит от и, р
и q; в частности, проекции характеристических кривых на плоскость
х, у определяются в этом случае дифференциальным выражением
независимо от в, р и q.
Сделаем еще одно важное замечание. Характеристические усло-
условия дифференциального уравнения B) инвариантны относительно
любых преобразований, независимых переменных х, у.
Это непосредственно следует из того, что характеристическое
условие является необходимым и достаточным признаком внутреннего
относительно Q характера выражения L [и].
С помощью вычислений мы в этом убеждаемся так:
Перейдем от переменных х, у к переменным с, т) и пусть
U (X, У)==и F, I]), <? (X, у) = О {% 71>,
««aw + buxy + cuyy -f d = euig -f ри^ + if«rl4 + 8.
где коэффициенты правой части a, p,f и8 являются функциями от
&, 7], и, щ и «г Тогда путем простого вычисления мы получим:
а** + bojay + <??y3 = «ft? + ?%?, + If?-,,2,
откуда и следует наше утверждение.
2. Характеристики на интегральных поверхностях. До сих пор
мы ограничивались, в целях точного определения употребляемых по-
понятий, исследованием поведения рассматриваемых величин вдоль од-
одной полоски.
Перейдем теперь от полоски к поверхности J: и= и (х, у) и.
допустим, что эта поверхность является интегральной поверхностью
дифференциального уравнения B). На такой поверхности не только
и, но также и р = их, q = иу и коэффициенты а, Ь, с, d являются
заданными функциями от х и у. Мы предполагаем, что во всех точ-

§ 1] ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 335
ках поверхности и = м (х, у^ имеет место условие 4ас —
т. е. что и = и (.v, у) — интегральная поверхность гиперболического
типа.
В этом случае характеристическое условие
ау'ъ — Ьх у 4- сх2 = О
определяет два различных вещественных значения— —¦ и — ~ от-
Н '-2
ношения у :х и дает на интегральной поверхности два различных
семейства характеристических кривых, зависящих от одного пара-
параметра и являющихся решениями соответствующих обыкновенных
дифференциальных уравнений
dx '/л их ).-2 '
В эллиптическом случае 4ас — № > 0 таких характеристик не суще-
существует. В предельном параболическом случае 4ас — ?>2 = 0 оба харак-
характеристических семейства сливаются в одно единственное семейство.
Из сказанного в п, 1 относительно значения характеристических
полосок следует, что только характеристические полоски могут быть
полосками ветвления интегральной поверхности, т. е. такими по-
полосками, вдоль которых касаются две различные интегральные по-
поверхности, так что от одной интегральной поверхности можно пе-
перейти на другую интегральную поверхность, переходя через полоску
ветвления, сохраняя при этом непрерывность функции и и ее первых
производных. Так как вдоль нехарактеристической интегральной
полоски производные высших порядков также однозначно определены,
то и все полоски ветвления высших порядков, вдоль которых имеет
место соприкосновение высшего порядка различных интегральных по-
поверхностей, должны быть обязательно характеристическими полосками.
Отсюда следует, что если некоторая интегральная поверхность дан-
данного дифференциального уравнения является интегральной поверх-
поверхностью эллиптического типа, то на такой поверхности не существует
полосок ветвления. Если допустить, сверх того, что дифференциальное
уравнение аналитично, в силу чего вдоль всякой полоски интеграль-
интегральной поверхности все производные однозначно определены, то можно
ожидать, что такое эллиптическое решение дифференциального урав-
уравнения должно быть аналитической функцией. Доказательство будет
нами дано в дополнениях. Здесь мы только отметим, что при наличии
полосок ветвления должны существовать неаналитические решения,
ибо аналитический характер решения исключает многозначность
продолжения интегральной поверхности через интегральную полоску.
В заключение рассмотрим еще характеристическое условие на
интегральной поверхности J в форме
я? с? + Ь'^у + с** = 0.
Это условие имеет вид дифференциального уравнения* в частных про-
производных первого порядка. Однако, так как условие F^ должпс

336 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ («= 2) [ГЛ. V
иметь место только вдоль линии <» — О, так что оно не является
тождеством относительно х и у, то nb существу уравнение F) не
является уравнением в частных производных; если рассматривать у
как неявную функцию от х, определенную уравнением а — 0, и за-
заменить в уравнении F) отношение частных производных —-
равным ему отношением —~- , то уравнение F) перейдет
х
в обыкновенное дифференциальное уравнение E). Ко если мы будем
рассматривать уравнение F) как уравнение в частных производных
относительно о и если s (x, у) какое-нибудь его решение, то не
только кривая о (х, у) = 0 является характеристикой поверхности У,
но и все семейство функций s (х, у) — с = const, является семей-
семейством характеристик поверхности J, зависящим от одного параметра;
обратно, если уравнение <р (х, у) = const, является уравнением такого
семейства характеристик, то функция в должна удовлетворять урав-
уравнению F) как уравнению в частных производных, т. е. тождественно
относительно х и у.
Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение иху = 0.
Характеристическое условие имеет вид суру = 0, если о = 0. Оно
выполняется при а — (х — а) (у—Ь) и при любых а и Ь. Другими
словами, пара -прямых х = а и у = Ь является характеристической
линией на плоскости ху.
Однако, для функции (р = (х—а) (у—Ь) уравнение «„fy —0
как тождество относительно х и у не имеет места.
Вместо ётого уравнения функция <о удовлетворяет уравнению
9х'-?у — '¦?• Тождественно уравнению ©„«рр = 0 удовлетворяют функции
ip=xn <?=.>', которые дают в качестве двух семейств характери-
характеристических кривых семейства х = с и у = с.
3. Характеристики как линии разрыва. Фронт волиы. В связи
с предыдущим мы можем рассматривать характеристики как линии,
вдоль которых возможно разветвление интегральной поверхности.
В соответствии с таким определением мы можем притти к понятию
характеристики, ставя себе следующую задачу: пусть и = и (%, у) —
некоторая интегральная поверхность J уравнения B); проведем на
поверхности J кривую С и соответствующую полоску Сх первого
порядка, задавая уравнение а (х, у) — 0 проекции С на плоскость
х, у, и пусть линия С отделяет область <р>0 от области »<0. Тре-
Требуется узнать, при каком условии вторые или высшие производные
функции и могут иметь вдвль линии С разрывы первого рода.
Мы предполагаем при этом, что внутренние производные вдоль
линии в = 0 остаются непрерывными в следующем смысле: если
через Х = '{| и '<1 = <р мы обозначим, как раньше, координаты на /
в окрестности С, причем а — параметр на С, то мы предполагаем,
что все производные и, р, q по X остаются непрерывными при пе-
переходе через С.

§ lj ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 337
Обозначим через (/) скачок функции / при переходе через С
в направлении возрастания ». По условию их и иу непрерывны,
равно как и их внутренние производные, задаваемые выражениями
(ср. гл. II, дополнения, § 1) ихх<ву — ихуух и u^Jfy—uyyvw. Отсюда
следует, что скачки вторых производных должны удовлетворять двум
уравнениям
Таким образом, мы получаем:
где у. — некоторый коэффициент пропорциональности. Заметим, между
прочим, что х — (мте), как в этом легко убедиться.
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение B) в двух точ-
точках Рг и Р2, лежащих по ту и другую сторону от кривой С, вычтем
эти два уравнения одно из другого и заставим
точки Ру и Р% неограниченно приближаться
к некоторой точке Р кривой С.
Остающиеся в пределе непрерывными члены
дифференциального уравнения взаимно уничто-
уничтожаются, так что остается соотношение
Черт. 28.
о-Чи,*) + b («»,) + с (Uyy) = 0.
Заменяя скачки (iixx), (uXy), {чуу) полученными выше выражениями
и сокращая на /, мы приходим к уравнению
т. е. к характеристическому условию. Итак, разрывы рассматрива-
рассматриваемого вида могут, действительно, иметь место только вдоль харак-
характеристик.
Чтобы физически истолковать эту особенность характеристик, по-
положим у = t и будем рассматривать функцию и (х, f) как «волну», т. е.
как значение некоторой величины и, изменяющейся в одномерном про-
пространстве х с течением времени t. Если эта волна имеет разрыв
вдоль характеристики » (х, t) = 0, то пргдставим себе уравнение
о = 0 разрешенным в виде х — х (f), так что xt — — . Мы мо-
жем тогда линию разрыва »= 0 плоскости (х, t) рассматривать
как точку разрыва х, перемещающуюся вдоль оси х с течением
времени t со скоростью xt. В частности, если по одну сторону от
кривой о = 0 всюду и = 0, тогда как по другую сторону и отлично
от нуля, то движущаяся точка разрыва х является фронтом рас-
распространяющейся волны и.
Коэффициент пропорциональности х мы должны рассматривать
как меру этого распространяющегося разрыва.
В отношении этого коэффициента пропорциональности к имеет
место следующий замечательный факт:

338 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п — 2) [ГЛ. V
Коэффициент ~л удовлетворяет вдоль характеристики С
обыкновенному линейному однородному дифференциальному урав-
уравнению
причем а и $ задаются следующими выражениями:
« = 2Q (<р, «Ю, р = L [»] + Q, (?, 9).
В самом деле, продифференцируем по » дифференциальное уравне-
уравнение B), приведя его предварительно к виду G), введя переменные о
и ty, и напишем полученное уравнение для точек Рх и Ps, как раньше.
Вычитая эти уравнения одно из другого и неограниченно приближая
точки Р1 и Ра к точке Z3, мы получим, переходя к пределу и учи-
учитывая, что Q (з>, <р) = 0 вдоль кривой ср = 0, искомое соотношение
Из того, что величина х удовлетворяет вдоль С однородному
линейному дифференциальному уравнению, следует, что мера разрыва х
либо тождественно равна нулю, либо нигде не обращается в нуль
вдоль всей рассматриваемой части оси х1).
Добавим "еще следующее: мы рассматривали исключительно раз-
разрывы вторых или высших производных. Что же касается разрывов
производных первого порядка, то таковые могут иметь место и вдоль
обыкновенных кривых С. В самом деле, мы можем кривую С двумя
различными способами дополнить до обыкновенной полоски Сх и затем
решить соответствующую задачу Коши, как это будет показано во
второй части этой главы. Соединяя одно из этих решений, взятое
по одну сторону от кривой 9 = 0, со вторым решением, взятым по
другую сторону от этой кривой, мы получим решение и, первые про-
производные которого разрывны вдоль С. Однако, мы увидим впослед-
впоследствии, что и в отношении таких разрывов первого порядка характе-
характеристики также играют особую роль и существенно отличаются от
обыкновенных кривых в том частном случае, когда коэффициенты а,
Ь, с и d, кроме х и у, содержат только функцию и и не содержат
производных р и q (ср. соответствующие общие рассмотрения
в гл. VI, § 2 и дополнения, § 4). Здесь же мы только заметим, что
в этом случае разрыв первого порядка х = (и?) также удовлетворяет
соответствующему обыкновенному дифференциальному уравнению .
2K,.Q('f, 40-f-*?[»] = О
вдоль кривой С, что получается совершенно аналогично предыдущему.
§ 2. Характеристики дифференциальных уравнений общего вида
1. Общее дифференциальное уравнение второго порядка.
Наши результаты очень легко распространяются на общее дифферен-
дифференциальное уравнение второго порядка
F(x, у, и, р, q, г, s, 0=0, A)
Пока Q (<f, Ф) ф 0. (Прим. перев.)

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА 339
. Рассмотрим снова кривую С в пространстве х, у, и и дополним
ее до полоски Ct первого порядка и соответственно до полоски С2
второго порядка. Мы предполагаем заранее, что С2 является интеграль-
интегральной полоской, т. е. что соответствующие величины х, у, и, р, q, /", s, t
удовлетворяют уравнению F—Q.
Обозначим через X параметр вдоль кривой С, проекдия которой Со
на плоскость х, у задается уравнением о(х, у) = 0. А и <р мы рас-
рассматриваем как новые координаты в окрестности кривой Со. Мы
можем теперь получить характеристическое условие, определяющее
характеристические полоски, следующим путем.
При введении новых координат X и » функция и(х, у) переходит
в функцию и (А, ср) и пусть
F(x, у, р, q, i\ s, t)=Q(X, ср, и, иь и9, ип, иц, и„).
Назовем начальную полоску С2 характеристической, если вдоль
этой полоски данное дифференциальное уравнение не определяет
однозначно всех производных высших порядков и, в частности, про-
производных третьего порядка. Если дифференциальное уравнение G = 0
может быть вдоль С2 разрешено относительно второй производной «w,
выводящей за пределы С2, т. е. если дифференциальное уравнение
G = 0 может быть вдоль С2 приведено к виду
то мы получим, дифференцируя по ©, значение третьей производ-
производной mw, выводящей за пределы С2> а вместе с ней, как нетрудно
видеть, и все остальные производные третьего порядка вдоль по-
полоски С2. Отсюда следует, что для того, чтобы сделать невозможным
такое однозначное определение вдоль полоски всех производных
третьего порядка, необходимо потребовать, чтобы уравнение G = 0
не было разрешимым относительно в?(р вдоль полоски С2, т. е. вдоль
этой полоски должно выполняться условие
Легко убедиться, что это условие можно представить в виде
l l^. B)
Уравнение B) мы называем характеристическим условием.
Интегральные полоски второго порядка, удовлетворяющие харак-
характеристическому условию, мы называем характеристическими по-
полосками.
Характеристическое условие B) может быть получено также
несколько иным путем, более сходным с рассмотрениями предыдущего
параграфа (§ 1, п. 1). Чтобы вычислить производные третьего по-
порядка rx, sx, tx вдоль полоски С2, продифференцируем дифференци-
дифференциальное уравнение F = 0 по х. Положим для краткости

340 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАСНЕНИЯ {tt — 2) [ГЛ. V
Мы получим тогда, применяя условие полоски к функциям г и s,
систему трех линейных уравнений
xroo-\-ysai=r,
'xsiB+ytx='s.
Повторяя в отношении этой системы уравнений рассуждения,
изложенные в § 1, мы приходим к следующему результату:
Если детерминант
А:
ху 0
О х у
отличен от нуля, то данная интегральная полоска является
обыкновенной интегральной полоской, вдоль которой все производ-
производные высших порядков однозначно определены. Если же детерми-
детерминант Д обращается в нуль вдоль полоски, то полоска называется
характеристической. Правые части предыдущей системы линейных
уравнений, равно как и правые части соответствующей системы,
получающейся при дифференцировании уравнения A) по у, должны
в этом случае удовлетворять дальнейшим условиям, налагающим
дополнительные ограничения на величины х, у, и, р, q, r, s, t,
задаваемые вдоль полоски Са. Характеристическое условие
Frp — F.xy'-t-FtX^O Ba)
с точностью до множителя тождественно с условием B), если проекция
полоски задана уравнением cp(.v, y) = 0.
Характеристическое условие может быть выполнено в какой-
нибудь точке- полоски только в том случае, если в этой точке имеет
место неравенство
Так же, как и для квазилинейных дифференциальных уравнений, мы
вводим дальше следующие определения: если в точке (л:, у, и, р, q,
г, s7 t) восьмимерного пространства имеет место строгое неравенство
то мы говорим, что дифференциальное выражение Р гиперболично
в этой точке. Если условие C) выполняется во всех точка» полоски
второго порядка или поверхности и = и (х, у) при р = их, д=иу,
г~ихх> s=ua-ij, t = uv,p то мы говорим, что дифференциальное
выражение F гиперболично вдоль полоски или поверхности.
Так же, как и в частном случае квазилинейного уравнения, харак-
характеристическое условие на интегральной поверхности можно рассматри-
рассматривать как уравнение в частных производных относительно » только

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА 341
в том случае, когда оно выполняется не только вдоль одной кри-
кривой ср ===== 0, но и вдоль всего семейства кривых ? == const.
2. Дифференциальные уравнения высших порядков.\ В случае
дифференциального уравнения я-ro порядка с неизвестной функцией
и(х, у) введем для краткости обозначения
д'ги
Рч — дх-'ду'г-* (v — °> *' 2, . .., я).
Мы можем тогда данное дифференциальное уравнение я-го порядка
записать в форме
F(x, у, и, ..., р0,..., р„) = 0, D)
не выделяя в явном виде производных порядка ниже га. К понятию
характеристики и характеристическому условию мы приходим сле-
следующим образом.
Допустим, что и = и(х, у) — некоторая интегральная поверхность
уравнения F == 0 и пусть уравнением о (х, у) = 0 задается кривая С
на этой поверхности, отделяющая область ср>0 от области <?<0.
Кривой С соответствует на поверхности полоска Сп я-го порядка.
Пусть >. —параметр на полоске Сп.
Введем снова на интегральной поверхности и{х, у) в качестве
координат параметр X и переменную 'f, выводящую за пределы С.
Будем вместо функции и(х, v) рассматривать функцию и(<э, к) и по-
дли
ложим со = м„...?= -д-^i так что ш означает выводящую за пределы
полоски Сп и-ую производную функции и. Тогда
где многоточием обозначены члены, не содержащие л-ой внешней
производной ш. Заданное дифференциальное уравнение D) мы будем
теперь рассматривать как дифференциальное уравнение относи-
относительно к('-р, К). В том случае, когда мы можем это дифференциаль-
дифференциальное уравнение представить вдоль С в форме
<° =/(>•, '¦?, «. •• •).
причем правая часть не содержит в явном виде и, то дифференци-
дифференцированием по 'S однозначно определяется я-f-1-ая производная и>9,
которая не задается полоской Сп самой по себе и является внешней
производной относительно этой полоски. Точно так же определяются
однозначно все внутренние производные п-\- 1-го порядка функции и.
Для того, чтобы такое однозначное определение п -j- 1-ых прог
изводных было невозможным или же, как мы условимся выражаться,
для того, чтобы полоска Сн была характеристической полоской,
необходимо, чтобы вдоль полоски Сп выполнялось тождественно
¦относительно К условие fu) = 0. Возвращаясь к первоначальным
переменным, мы получим, что это условие принимает вид

3 42 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п = 2) [ГЛ. V
Мы называем уравнение E) фундаментальным характеристическим
условием и говорим, что полоска с проекцией <р = 0 называется
характеристической, если, во-первых, вдоль этой полоски выполняется
условие E) и если, во-вторых, она является интегральной полоской
дифференциального уравнения.
Подчеркнем следующее: это определение свободно от предполо-
предположения, что полоска лежит на заранее заданной интегральной поверх-
поверхности. Определяя таким образом характеристическую полоску, мы
можем оставить открытым вопрос о существовании интегральной
поверхности, содержащей эту полоску, вопрос, на который мы дадим
положительный ответ только в § 8.
Вернемся к рассмотрению характеристической полоски на заданной
интегральной поверхности. На интегральной поверхности J} заданной
уравнением и = и {х, у), мы должны в левую часть уравнения E)
подставить данные значения функции и(х, у) и ее частных производ-
производных, и тогда уравнение E) должно выполняться при дополнительном
условии tp(.v, y) = 0, не являясь, таким образом, уравнением в част-
частных производных относительно <р.
Если мы запишем уравнение кривой <а —0 в форме у — у(х),
то вдоль этой кривой у' = — —, и характеристическое условие при-
принимает вид
что нам дает обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка, определяющее семейство характеристик поверхности J.
Всякое решение этого дифференциального уравнения дает нам харак-
характеристику поверхности /. Если же мы будем рассматривать харак-
характеристическое условие E) как уравнение в частных производных
относительно функции <f{x, у) от двух независимых переменных х
и у, то каждое решение этого уравнения дает нам не одну харак-
характеристическую кривую С, а целое семейство е> (х, у) —с характеристик
на поверхности J, зависящее от одного параметра с.
Естественно ожидать, что число вещественных корней алгебраи-
алгебраического уравнения
с неизвестным т существенным образом характеризует тип диф-
дифференциального уравнения в соответствующей окрестности рассматри-
рассматриваемой интегральной полоски. Если все п корней этого алгебраи-
алгебраического уравнения вещественны и различны, то мы называем наше
дифференциальное уравнение вполне гиперболическим или просто
гиперболическим в данной точке пространства переменных х,..., рп
и соответственно вдоль полоски Сп или на поверхности к = м(лг, у);
если все корни комплексны и различны, то дифференциальное урав-
уравнение называется ^эллиптическим. В случае кратных корней мы
называем дифференциальное уравнение параболическим или парабо-

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА 343
лически вырождающимся. Возможны также различные промежуточ-
промежуточные ступени; однако, нам не придется ими пользоваться в дальнейшем,
и мы на этом не останавливаемся.
3. Системы дифференциальных уравнений. Точно таким же
образом определяются характеристические условия и характеристики
для систем дифференциальных уравнений (ср. гл. III, § 4).
Ограничимся рассмотрением систем первого порядка и заметим
только, что результаты легко распространяются на системы высших
порядков. Сначала рассмотрим квазилинейный случай на типичном
примере двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными
функциями и(х, у) и v(x, у):
а,их4- bjtty + cxvx + dxvy Д- ... = 0, J
ЧихЛ~ huy -\- c2vx -f- d2vy -f ¦ • • = 0, j
где коэффициенты аи bu cu du fl2, b2, c2, d2 являются заданными
непрерывными функциями от х, у, и, v, а многоточия обозначают
члены, не содержащие производных. Пусть пара функций и{х, у)
и v(x, у) является некоторым решением этой системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Уравнение tp(.v, _у)==0 определяет на. этой системе
решений некоторое одномерное многообразие С; введем на этом
многообразии параметр к. Вместо независимых переменных х, у
будем так же, как и раньше, рассматривать w и ). как новые неза-
независимые переменные. Наша система дифференциальных уравнений
примет тогда следующий вид:
0, J
причем многоточиями, как и раньше, обозначены члены, не содержа-
содержащие внешних производных иф, г>9.
Представим себе теперь, что для нашей системы решений задано
начальное многообразие С; другими словами, допустим, что вдоль кри-
кривой <p(.v, y) = 0 плоскости х, у заданы значения миг». Мы можем
тогда с помощью данной системы дифференциальных уравнений опре-
определить однозначно вдоль С внешние производные первого порядка и,.
и г>ф, а также все следующие внешние производные высших порядков,
если только не имеет места характеристическое условие
С2?х ~Г &2?у
Все дальнейшие заключения полностью аналогичны нашим пре-
предыдущим рассмотрениям. Если задать кривую <? (д:, у) = 0 уравне-
уравнением у=^у(х), то характеристическое условие принимает вид
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка и
второй степени относительно у'. Рассматривая, далее, характеристиче-
характеристическое условие как уравнение в частных производных относительно <в,
мы получим, как и раньше, что каждому решению с(дг, у) этого

344 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п = 2) [ГЛ. V
уравнения в частных производных соответствует не одна, а целое
семейство характеристик <? — с, зависящее от одного параметра с.
В линейном случае, когда коэффициенты а1 ... d2 не зависят
от и и v, характеристики имеют неподвижные проекции на плоско-
плоскости х, у. Принадлежность точки (х, у, и, v) к одному из трех типов:
гиперболическому, эллиптическому или параболическому не зависит
тогда от выбора частной системы решений и (х, у) и v (x, у),
а является исключительно свойством самой системы дифференциальных
уравнений, имеющим место в соответствующей области плоскости х, у.
Совершенно аналогично дело обстоит и в общем случае системы п
дифференциальных -уравнений
ЯО (х, .у, ии..., ип, pv ..., qn) = О A1)
(v = l, 2, .... и)
с п неизвестными функциями и1г и2, ..., ип, где
D _ dJh a _ ^fv
Ич дх ' ч'' ~~ ду *
Характеристическое условие имеет вид
^+^h0' A2)
причем девая часть обозначает детерминант, в котором элементом
v-ой строки и &-го столбца является выражение
Это характеристическое условие следует понимать в том смысле, что
уравнение о (дг, у) = 0 определяет на заданной системе решений
Kj, и2, ...,ип характеристику, если выполняется характеристическое
условие A2) при условии <в = 0. Если же характеристическое условие
выполняется как уравнение в частных производных, то функции
<р (.v, у) соответствует семейство характеристик » (х, у) = с, зависящее
от одного параметра с.
4. Инвариантность характеристик относительно любого то-
точечного преобразования. Характеристики уравнений в част-
частных производных инвариантны относительно любых точечных
преобразований. Зто значит, что при любом точечном преобразова-
преобразовании характеристики переходят в соответствующие характеристики
преобразованного дифференциального уравнения. Для доказательства
достаточно рассмотреть простейший случай одного дифференциального
уравнения второго порядка F(uxaj, uxy, иуу, ...) = 0, переходящего
при преобразовании к новым независимым переменным ?, -ц в диф-
дифференциальное уравнение G(%, и^ и , ...) = 0. В инвариантности
характеристик мы непосредственно убеждаемся, либо исходя из самого
определения характеристик, по существу независимого от выбора
системы независимых переменных, либо вычислительным путем, по-
получая с помощью простых преобразований тождество

§ 2]
ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА
345
5. Примеры из гидродинамики. Дифференциальные уравнения
движения сжимаемой жидкости дают очень поучительный пример
применения понятия характеристик. Рассмотрим здесь только случай
стационарного потока жидкости в двухмерном пространстве х, у.
(Случай нестационарного потока мы подробно исследуем геометри-
геометрически в гл. VI, § 3, п. 2.) Пусть и(х, у) и v(x, у) означают не зави-
зависящие от времени компоненты вектора скорости плоского потока
жидкости, плотность которой обозначим через р (х, у). Пусть, далее,
р(р)— заданная функция, выражающая давление р через плотность р,
причем р'(р) = а2 есть «скорость звука». Тогда подлежащие опре-
определению три функции и, v и р удовлетворяют системе дифферен-
дифференциальных уравнений
риих -f. pvuy -f-p'Pa, = О,
puvx -f pwy -j- pfpy = 0,
P Wx T Vv) + «Pa, + V?y = °"
Эта система является квазилинейной системой дифференциальных
уравнений первого порядка.
Согласно общему правилу, данному в п. 3, мы получим харак-
характеристические многообразия <р (х, у) = 0 с помощью дифферен-
дифференциального уравнения
A3)
0
= 0.
Вычислив этот детерминант, мы получим:
Таким образом, одно из семейств характеристик задается условием
и»„ 4-w,. = 0. A5>
Соответствующие характеристические кривые <э = const, являются
линиями тока, т. е. линиями, производимыми вектором скорости.
Кроме них, мы получаем далее в качестве характеристик линии
е> =± const., удовлетворяющие уравнению
-\-2<ox<?yiiv = 0. A6)
Уравнение A6) дает систему двух семейств кривых, зависящих каж-
каждое от одного параметра, только в гиперболическом случае, имею-
имеющем место при выполнении условия
р/<и»4-к», A7)
т. с. когда скорость потока больше скорости звука.
Приведем простой пример, который очень легко можно иллю-
иллюстрировать экспериментально. Зададим поток в плоской жидкой или

346 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и = 2) [ГЛ. V
газообразной среде в первом приближении, допуская, что скорость
потока очень мало отличается от постоянной скорости U, параллель-
параллельной оси х, и что плотность р точно так же очень мало отличается
от постоянной плотности Р, так что
где со, X, о — малые величины.
Далее, мы допускаем, что движение жидкости можно с достаточ-
достаточной степенью точности представить приближенной системой диффе-
дифференциальных уравнений, получающейся, если пренебречь произведе-
произведениями и высшими степенями величин о, X, о и их производных. Эта
приближенная система дифференциальных уравнений, которой мы
заменяем систему A3), является линейной системой и имеет следующий
вид:
Отсюда мы получаем непосредственно:
так что
Последнее уравнение выражает так называемую «теорему вихрей».
Исключ
уравнений:
Исключая шж и полагая х = -—, мы получаем для X и о систему
A— v?)aox~v.p\y = 0,
откуда следует:
Эти последние дифференциальные уравнения непосредственно по-
показывают, что гиперболический случай имеет место, если х>1, т. е.
если ?/>с. Характеристиками тогда служат прямые, наклоненные
к оси х под углом а (так называемым углом Маха), определяемым
условием | sin а | = — = ~ .
Приведенный случай легко реализовать физически, рассматривая
движение в жидкой или газообразной среде, происходящее в полу-
полуплоскости параллельно стенке с основной скоростью U.
Пусть на стенке вдоль отрезка А8 имеется небольшая шерохо-
шероховатость, дающая небольшую вертикальную компоненту X скорости
потока. Если допустить, что в этом случае движение выражается
нашей приближенной системой дифференциальных уравнений, то
имеющаяся на стенке шероховатость должна распространяться внутри

§ 3] ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ 347
жидкости вдоль двух полос, ограниченных параллелями, выходящими
из концов отрезка АВ стенки и наклоненными к стенке под углом а.
Это явление действительно можно наблюдать с помощью надлежащим
образом поставленного эксперимента.
§ 3. Единственность и область зависимости
1. Основные понятия, связанные с волновыми процессами.
Значение характеристик непосредственно обнаруживается во всех
исследованиях, относящихся к волновым процессам, задаваемым диф-
дифференциальными уравнениями гиперболического типа, причем реше-
решение и дифференциального уравнения обозначает распространяющуюся
в пространстве величину. При исследовании такого рода процессов
рассматривается задача Коши (ср. гл. III, § 7), причем возникает
вопрос не только о построении решений, что будет нами рассмотрено
в §§ 5, 6, 7 и 8, но, сверх того, и вопрос о единственности реше-
решения при данных начальных условиях, а также об области зависимости
и области влияния. Если независимыми переменными являются про-
пространственная координата х и время t, а начальные условия задаются
при t = 0, то мы определяем понятия области зависимости » области
влияния следующим образом.
Областью зависимости точки Р с координатами дг, t мы называем
то множество точек на начальной прямой t~0, от которых исклю-
исключительно зависит значение решения и в точке Р, в том смысле, что
изменение начальных данных вне области зависимости не влияет на
значение и{Р). В соответствии с этим мы называем областью (сфе-
(сферой) влияния или областью действия отрезка L начальной линии
t = 0 ту область полуплоскости t > 0, вне которой значения и не
меняются при изменении начальных данных только вдоль отрезка L.
Таким образом, область влияния отрезка L состоит из всех тех точек
плоскости х, t, область зависимости которых имеет с отрезком L
общие точки.
Наконец, областью распространения отрезка L начальной линии
мы называем ту область плоскости, в которой решение дифферен-
дифференциального уравнения определяется начальными данными вдоль от-
отрезка L. Очевидно, область, дополнительная к области распростране-
распространения отрезка L, совпадает с областью влияния дополнительного к L
участка начальной линии.
Отсюда следует, что поскольку определения всех этих понятий,
теснейшим образом связанных с самым существом волновых процес-
процессов, допускают возможность изменения значений функций только
в одной части их области определения при сохранении значений функ-
функций в остальной части, предположение аналитического характера
функций заведомо исключается. В самом деле, аналитические функции
во всей своей области существования полностью определены заданием
их значений в любой сколь угодно малой области. В силу этого мы
не имеем права при построении решений ссылаться на общую теорему

348 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УР&ВНЕНИЯ (п = 2) [ГЛ. V
существовавания гл. I, § 7, в которой предполагалось, что как само
дифференциальное уравнение, так и начальные условия являются
аналитическими.
Мы увидим в этом параграфе, что для гиперболических диффе-
дифференциальных уравнений второго порядка область зависимости точки Р
получается путем проведения через точку Р обеих характеристик
на плоскости х, t до пересечения с начальной прямой *=0; основа-
основание L построенной таким путем треугольной области и будет иско-
искомой 'областью зависимости, как мы в этом убедились раньше нз
простейшем примере дифференциального уравнения ип—ихх = 0,
разобранном нами в гл. III, § 7.
Эта треугольная область является в то же время и областью рас-
распространения ее основания L, ибо она содержит все точки плоскости,
область зависимости которых лежит внутри L. Остальные две харак-
характеристики, выходящие из конечных точек отрезка L («внешние»
характеристики) ограничивают область влияния участка L, ибо эта
область состоит из всех тех точек, область зависимости которых
имеет с L общие точки.
Чтобы доказать, что основание L нашего треугольника является
областью зависимости его вершины Р, достаточно показать, что ре-
решение однородного дифференциального уравнения L [и] = 0 обра-
обращается в точке Р в нуль, если начальные данные вдоль L равны
нулю.
В самом деле, отсюда следует, что если начальные данные двух
решений дифференциального уравнения L(u)—f отличаются друг от
друга только вне отрезка L, то разность этих решений является
решением однородного дифференциального уравнения, имеющим вдоль L
нулевые начальные данные, так что эта разность должна равняться
нулю в точке Р.
Перечисленным понятиям и соответствующим теоремам, а также
построению решения задачи Коши мы посвящаем настоящую главу.
Соответствующие факты для большего числа неременных ') мы раз-
разберем в гл. VI.
2. Доказательства едийственности. В настоящем параграфе мы
доказываем' с изложенной выше общей точки зрения единственность
решений задач Коши. Доказательства такого рода опираются на рас-
рассмотрение «.интегралов энергии» определенного вида, которые мы
каждый раз сопоставляем дифференциальному уравнению. С простей-
простейшим примером такого интеграла мы уже встретились в гл. III, § 6
при доказательстве единственности в случае параболического урав-
уравнения теплопроводности. Лежащая в основе этого доказательства
!) Тогда как в случае двух независимых переменных х и t обе пере-
переменные с математической точки зрения играют в дифференциальном урав-
уравнении одинаковую роль, в случае большего числа переменных, как мы
убедимся в гл. VI, поверхности «пространственного» типа с «простран-
«пространственными» координатами принципиально отличаются от поверхностей
с координатами «временного» типа.

§ 3] ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ 349
идея требует в гиперболическом случае дальнейшего углубления,
состоящего в том, что в качестве областей интегрирования в этом
случае берутся области, ограниченные характеристиками J). Мы здесь
ограничимся рассмотрением характерного примера и сошлемся на
рассмотрения общего характера, которые нами будут проведены для
случая многих переменных в следующей главе, § 4.
Теорема единственности в случае линейных задач формулируется
так: если вдоль куска L начальной кривой заданы нулевые началь-
начальные значения, то соответствующее решение однородного диффе-
дифференциального уравнения должно тождественно равняться нулю
во всей области распространения куска L, и никакого другого
решения однородного уравнения в этой области не существует.
Разъясним идею, лежащую в основе до-
доказательства, на тривиальном примере урав- (,
нения
«аи — «й = 0. A)
Рассмотрим треугольную область О плос-
плоскости х, t, ограниченную начальной кривой
АВ и двумя характеристиками РА и РВ,
причем мы предполагаем, что никакая харак- х
теристика не пересекает дуги АВ более, чем Черт. 29.
в одной точке (черт. 29).
Мы должны доказать следующее: Если вдоль дуги АВ обращаются
в нуль функция к и ее частные производные их и ut и если и
удовлетворяет уравнению A), то и обращается в нуль тождественно
во всем треугольнике О. Для доказательства отсечем от нашего
треугольника его вершину Р с помощью горизонтальной линии CD
и обозначим остающуюся область через О'. Выражение
- Ч («** - ««> = - 2 («««Л+Ю,+№
представляет собой дивергенцию вектора плоскости х, t с компонен-
компонентами— 2мжк( и и'гх-\-и*.
Интегрируя это выражение по области О' и принимая во внима-
внимание дифференциальное уравнение и начальные условия, мы получим:
0 = Я 1(М*>* + <"*>« - ^ЛУ dx dt
AB + BD + DC+CA
гДе л%, tH означают направляющие косинусы нормали вдоль границы
АВ-\-BD-\-DC-\-CA, a s — длина дуги.
Ч См. литературу, указанную в гл. VI, § 4, п. 1, примечание.

350 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и = 2) [ГЛ. V
Вдоль характеристических боковых сторон СА и DB имеем
x* = t2 — -~-. Поэтому соответствующая часть контурного интеграла
легко может быть приведена к виду
i^ u
AC+BD *
и, следовательно, наверное, неотрицательна.
Вдо ль CD имеем ?, = 1, лг^ = 0, ds — dx\ вдоль АВ подинте-
гральное выражение равно нулю. Отсюда непосредственно следует,
что
CD
Таким образом, во всех точках отрезка CD выполняется условие
H;j.-f-a* = O. Итак, ит и ut обращаются в нуль, во всяком случае,
в части области G, принадлежащей окрестности вершины Р. Однако,
любую точку области G мы можем рассматривать как вершину соот-
соответствующего меньшего треугольника, содержащегося внутри G.
Поэтому йд, и ut обращаются в нуль во всех точках области О, так
что и — постоянно во всей области G, а так как и обращается в нуль
вдоль начальной линии, то и тождественно равно нулю во всей
области G, что и требовалось доказать.
Совершенно аналогичным путем получается доказательство един-
единственности в случае дифференциального уравнения вида
L [и] = ип—и^— aut — §их— Ьи = 0,
где а, р, 8 — непрерывные функции х и t. Мы можем уравнение
такого вида считать общим линейным дифференциальным уравнением
второго порядка гиперболического типа,
ибо путем преобразования координат вся-
кое гиперболическое линейное уравнение
второго порядка с двумя независимыми
переменными всегда может быть приве-
приведено к этому виду. Ради краткости огра-
ограничимся тем случаем, когда начальные
условия заданы вдоль прямой t = 0;
предлагаем читателю в виде задачи рас-
Черт. 30. смотреть случай произвольной начальной
кривой.
Наша теорема единственности формулируется в этом случае так:
Если и и ut обращаются в нуль вдоль основания АВ треугольника
АВР с боковыми сторонами х-f-1 = const, и х —1 = const., то и
обращается в нуль ео всем треугольнике АВР.
Предпошлем доказательству следующее вспомогательное заме-
замечание:

§ 3] ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ 351
Для любой точки (х, f) области G имеем:
*
и (х, t) =r J и, (х, х) dx.
о
Применяя неравенство Шварца, мы получаем отсюда
о
Пусть теперь CD есть горизонтальная линия t = h, отсекающая от
первоначального треугольника G треугольник CDP. Обозначим
через Gh трапецию ABCD. Тогда
J иЧх < h J J «Vx dx < Л С J (и* + «?) й?лг Л.
от % '%
Отсюда непосредственно следует, что
J J «Vx dt^h*f J (e| -f в*) Лс Л.
Определим теперь в качестве «интеграла живой силы» интеграл
CD
и проинтегрируем тождество
О = 2utL [и] = («|+ и?)* —2 (вЛ)в— 2а«|— 2?вЛ- 2buut
но области Gfe.
Мы получим аналогично предыдущему
0< / -1 (««А-
АС+ВР V
2 J J («и» + Н% + buut) dx dt ~* #>
так что
Чтобы, оценить выражение /?, заметим, что
Обозначая через Ж верхнюю границу абсолютных значений непре-
непрерывных функций а, р, 8, мы получим:
/? < 4Ж J J («a -f u% + «2)

352 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п = 2) [ГЛ. V
В силу доказанного выше вспомогательного неравенства имеем
далее:
h
Я< 4ЖA +h?) jf («* + «?) dxdt^cfE(a) da,
Oft о
где С=4ЖA4"^2)> а ^ — высота треугольника G. Обозначим
через t некоторое значение, удовлетворяющее условию />/?. Мы по-
получим тогда:
¦ h г
Е (h) <C J Е (a) da < С J ?(«) rfa.
о о
Интегрируя это неравенство по А от нуля до /,' мы получим:
i 1
J Е (Щ dh < С/ J E (h) dh.
о о
Если функция E(h) отлична от нуля в какой-нибудь точке проме-
промежутка 0 ^ h ~<^ /, то из предыдущего следовало бы, что
но мы можем заранее выбрать /<-^г, так что предыдущее неравен-
неравенство является невозможным. Таким образом, доказано, что во всех
точках промежутка 0-<Л-^/ величина ? = 0. Мы можем теперь
последовательно принять прямые t = /, t = 21, ... за начальные пря-
прямые и применить снова наш процесс. Через конечное число шагов
мы исчерпаем треугольник G и убедимся, что Е обращается в нуль
во всем треугольнике О, так что и — константа, а, следовательно,
равна нулю во всей области G, что и требовалось доказать.
Во второй части этой главы мы докажем теорему единственности
для общего дифференциального уравнения второго порядка с двумя
независимыми переменными.
§ 4. Метод Римана
1. Формула Римана. Проблема единственности и области зави-
зависимости в случае линейных дифференциальных уравнений второго
порядка гиперболического типа может быть разрешена в более явной
форме с помощью следующего приема, принадлежащего Риману.
Метод Римана сводится по существу к выводу интегральной формулы,
выражающей в наглядной форме искомое решение задачи Коши
через начальные данные и вместе с тем непосредственно доказываю-
доказывающей единственность решения. Существование решения при этом
заранее предполагается.
В этом параграфе мы выведем формулу Римана,

МЕТОД РИМЛНЛ 353
Вопрос о существовании решения будет нами полиостью разрешен
т следующем параграфе и притом для более общего нелинейного
случая.
Мы предполагаем, что общее линейное гиперболическое уравнение
второго порядка с двумя независимыми переменными приведено путем
замены переменных к виду
L[u] = ua.y + aux-{-buv-\-cu=f, A)
что всегда возможно (ср. гл. III, § 1).
Прямые х — const, и у = const, образуют два семейства характе-
характеристических проекций на плоскость л:, у. Коэффициенты а, Ь, с,
а также заданная правая часть / являются по условию непрерывными
в рассматриваемой области функциями от х ну, имеющими непре-
непрерывные производные первого порядка *). Уже раньше (т. I, гл. V,
стр. 265) мы ввели понятие сопряженного с L [и] дифференциаль-
дифференциального выражения M[v], определив его с помощью требования, чтобы
vL[u\ — uM[v\ было выражением типа дивергенции, т. е. чтобы
двойной интеграл от vL[u], взятый по заданной области О, отличался
от двойного интеграла от uM[v\, взятого по той же области, только
контурным интегралом, зависящим исключительно от краевых значе-
значений рассматриваемых функций. Мы получаем для M[v] следующее
¦выражение:
M[v]=vXy — (av)x — (bv)y -\-cv, B)
а, следовательно,
2 [vL [и] — uM [¦*>]] = (axv—a>ox-f 2buv)y -f
-f {uyv — way -|- 2auv)x. C)
Интегрируя по области G с кусочно-гладким контуром, мы получаем
отсюда формулу Грина
2 JJ | vL [и] — uM [v] | dx dy =
о
= |* [ {uyv—VyU -f- 2auv) x4 -f (uxv—vxii + 2buv)y4] ds, D)
x) Уже в гл.1, стр. 15 мы рассмотрели простейший частный случай такогв
дифференциального уравнения, а именно уравнение:
где/—заданная функция, причем вдоль начальной кривой С были заданы
начальные условия и = р = q = О. Мы видели, что единственное согласно § 3
решение этой задачи Коши выражается интегралом
С С
" (;¦ i) = fix, у) их dy.

354 ГИИЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (й = 2) [ГЛ. V
причем s означает длину дуги контура Г, а х, и j, — направляющие
косинусы внешней нормали v контура Г.
Задачу Коши для нашего дифференциального уравнения мы можем
формулировать так: дана начальная кривая С, уравнение которой на
всем протяжении этой линии может быть представлено как в виде
x = g(y), так и в виде y — h(x). Это значит, что на этой кривой
нет двух различных точек с одинаковой абсциссой л: или одинаковой
•рдинатой у. Кроме того, мы предполагаем, что касательная к линии С
нигде не параллельна оси х или оси у. Пусть эта кривая задана
в параметрической форме с помощью двух непрерывно дифферен-
дифференцируемых функций х = х(К) и у = у{К\, удовлетворяющих условию
х2-\~у2 ^0. Зададим вдоль С начальные значения функции а и ее
двух производных первого порядка р = их и q = иу в качестве
непрерывных функций параметра. Требуется найти решение диффе-
дифференциального уравнения A) в области, примыкающей с одной сто-
стороны к линии С, принимающее вдоль С заданные начальные значения.
Разумеется, что начальные значения и, р и q должны удовлетво-
удовлетворять условию полоски
du = pdx-\~ qdy.
Рассмотрим в заданной односторонней окрестности линии С
точку Р с координатами ? и 't\ и проведем через эту точку горизонталь-
горизонтальную линию АР, вдоль которой у — т], и вертикальную линию ВР, вдоль
которой х — ?, причем А и В — точки
кривой С. Криволинейный треуголь-
ник А.РВ обозначим через Q.
Мы должны найти формулу, выра-
выражающую значение искомой функции и.
в точке Р через ее начальные значения
вдоль дуги АВ и через значения функ-
функции / в треугольнике АВР.
Риман пришел к своей формуле,
Черт. 31. руководствуясь аналогией рассматри-
рассматриваемой задачи интегрирования диффе-
дифференциального уравнения с задачей решения конечной системы линей-
линейных уравнений. Чтобы решить такую систему, мы можем сначала
умножить левые части на неопределенные множители vy, г>2, ...,
затем сложить, расположить члены полученной билинейной формы
относительно щ и v1; по переменным иг и, наконец, определить мно-
множители vv v,2, ... так, чтобы, например, коэффициенты при и2>
гг3, ... обратились в нуль, а коэффициент при их равнялся единице.
Таким путем получится выражение для их и аналогично для щ
и т, д. Величины <ои v2, ... не будут при этом зависеть от правых
частей уравнений, а исключительно от коэффициентов.
Совершенно так же мы можем поступать и с нашим дифферен-
дифференциальным уравнением для того, чтобы "найти значение решения к
в точке Р. Мы умножаем дифференциальное уравнение на пока не-

§ 4] метод римана 355
определенную функцию v, интегрируем по треугольнику Q и пре-
преобразуем этот интеграл с помощью формулы Грина D).
Формула Грина D) дает нам в силу дифференциального уравне-
уравнения A) следующее соотношение:
2 J j (Jv — иМ М) dx dy =
а
= f Kuyv—uvy-\-2auv)x.t-\-{ua)v—uvx-\-2buv)y^\ ds,
AB+BP+PA
причем криволинейный интеграл берется по трем сторонам треуголь-
треугольника АВ, ВР и РА. Вдоль РА имеем: _yv==l, х^~0, ds = dx;
вдоль ВР: _у.( = 0, JCV = 1, ds~dy. В интеграле, взятом вдоль РА,
преобразуем Г uxvdx с помощью интегрирования по частям, а в ин-
интеграле вдоль ВР преобразуем таким же образом интеграл Г uyvdy.
Таким путем мы приведем правую часть уравнения E) к следующему
виду:
2я (Р) v (P) — и (A) v(A) — u (В) v (В) -f
-f J [{uyv—uvy -J- 2auv) x4 -f (uxv — uvx -\- 2buv)y.t] ds -f-
AB
-f 2 f и (fiv — vx) dx + 2 J u(av — vv) dy, E)
АР БР
причем н(Р), v(P), u(A), v(A), u(B), v(B) обозначают значения
этих функций в точках Р, А и В.
Выберем теперь функцию v следующим образом: прежде всего
будем рассматривать v = v (x, у; \, ч\) как функцию не только аргу-
аргументов х, у, но и параметров ? и т], и подчиним v следующим
условиям:
а) v как функция от х и у должна удовлетворять сопряженному
дифференциальному уравнению М [v] — О.
б) Вдоль АР должно выполняться условие vx — bv, а вдоль ВР —
условие vy — av.
Точнее: вдоль АР должно быть vx(х,тл; ?, ч\) = b(x, "ф v(x, т\;Ь,г\),
а вдоль ВР vy(%, у; 6, t]) = g($, y)v#, у; 6, ^).
в) В точке Р значение функции v должно равняться единице, т. е-
Функция ¦», удовлетворяющая всем перечисленным условиям
называется принадлежащей к дифференциальному выражению L
«функцией Римана». С помощью этой функции мы получаем клас-

356 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (й = 2) [ГЛ. V
сическую формулу Римана для искомого решения дифференциаль-
дифференциального уравнения L [и\ ==/:
2и(Р) = и(А)г> (А) + и (B)v(B) —
)y4 -f (V — avv + 2аиг0x*]ds 4-
AB
4-2 fffvdxdy. F)
a
Эта формула Римана сразу дает решенке дифференциального уравне-
уравнения L [и] =/ при любых начальных условиях вдоль заданной кри-
кривой С с помощью определенного решения v сопряженного уравнения,
зависящего от параметров S, -rjl). Из формулы Римана непосредственно
вытекают в соответствии с § 3 следующие следствия:
Во-первых, решение и дифференциального уравнения L[u]=f
однозначно определяется начальными условиями.
Во-вторых, при непрерывном изменении начальных данных
соответствующее решение и изменяется непрерывно.
В-третьих, значение функции и в точке Р зависит не от всей
совокупности начальных данных, а только от начальных данных
вдоль части АВ начальной кривой С, вырезаемой из С характе-
характеристиками, выходящими из точки Р.
Во всех этих рассмотрениях мы допустили без доказательства
существование функции Римана. Это допущение будет нами дока-
доказано в следующем параграфе.
2. Дополнительные замечания. Характеристическая задача
Коши. Заметим прежде всего, что, не ограничивая общности задачи,
мы можем всегда заменить общую задачу Коши специальной задачей
Коши, в которой начальные значения функций и, р и q равны нулю.
В самом деле, общая задача Коши, рассмотренная в п. 1, легко при-
приводится к этой специальной задаче. Для этой цели выберем какую-
нибудь произвольную функцию ф, имеющую непрерывные производные
первого и второго порядка и удовлетворяющую данным начальным
условиям общей задачи Коши в том виде, как она формулирована
в п. 1. Положим теперь и = и)-[-<г; тогда функция w удовлетворяет
нулевым начальным условиям и дифференциальному уравнению
L[w]=f—Z.[<p]. При нулевых начальных условиях в формуле Ри-
Римана исчезают краевые члены. Мы получаем таким образом и для
общей задачи Коши упрощенную формулу Римана, не содержащую
краевых членов; только функцию / мы должны заменить функцией
/—?.[<?]¦ С помощью формулы Грина мы можем эту упрощенную
1) В этом отношении формула Римана является аналогом формулы, выра-
выражающей решение краевой задачи с помощью функции Грина (ср. гл. IV,
§ 2, п. 1).

§ 4]
МЕТОД РИМАНА
357
формулу Римана снова привести к ее первоначальному виду F).
Дальше заметим следующее. Сделанное выше предположение о том,
что никакая характеристика не пересекает пачальной линии С в двух
точках и не касается этой линии, является существенным для всего
нашего построения. При невыполнении этого условия задача Коши,
вообще говоря, не разрешима, так как мы не можем тогда каждой
точке Р плоскости однозначно сопоставить пару точек А к В кри-
кривой С. Затруднения, возникающие в таком случае, легко показаяъ на
примере простейшего дифференциального уравнения иху = 0.
Пусть С имеет вид, указанный на черт. 32. Если горизонтальная
линия пересекает С в двух точках Q и /?, то, интегрируя наше
уравнение, мы получим:
Pi.LT])
Таким образом, для того, чтобы задача Коши была в этом случае
разрешимой, необходимо подчинить значения иу вдоль кривой С
определенным условиям. Если задать иу
вдоль С как произвольную функцию х,
не соблюдая условия
uy(Q)=uy(R), то не
существует решения и
уравнения иху = О, для
которого иу принимало
бы вдоль С заданные
таким образом значе-
значения.
Эти затруднения,
однако, исчезают в том
Черт. 32.
Черт. 33.
случае, когда кривая С вырождается в прямоугольную ломаную ADB
(черт. 33), состоящую из двух характеристических отрезков AD
и ВО.
В этом предельном случае формула F) полностью применима.
Однако, вдоль начальной кривой ADB мы не можем теперь задавать
произвольно две функции, а только начальные значения самой функ-
функции а. В самом деле, если вдоль AD, например, заданы значения и,
то этим определена производная ыу, а данное дифференциальное
уравнение в частных производных дает вдоль AD обыкновенное
линейное дифференциальное уравнение для функции р =т их; точно
так же мы получаем вдоль прямой BD обыкновенное линейное диф-
дифференциальное уравнение для q — uy; в первом случае независимым
переменным является у, а во втором' случае х. Этими двумя диф-
дифференциальными уравнениями и условием непрерывности функций р
и д в точке D функции р к д однозначно определяются вдоль
характеристик DB и DA заданием вдоль них значений одной только
функции и.
Этот случай задачи Коши мы называем характеристической
задачей Коши. Ограничиваясь специальным случаем, когда /—0,

358 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (Я= 2) [ГЛ. V
мы получим решение характеристической задачи в следующем
виде:
2и (Р) = и (Л) v (A) -f и (В) ¦» (В) —
л в
— f (я^и — uyv — 2auv) dy — Г (vxu — uxv — 2buv) dx. G)
v d
Интегрируя по частям, мы можем эту формулу преобразовать
следующим образом:
л в
и (Р) = и (D) v (D) + J v (иу + аи) dy -f J « (мж + *«) ^- G')
Используем эту форму решения характеристической задачи Коши
для доказательства так называемого закона взаимности для функ-
функции Римана.
Пусть и — и(х, у; дс0, у0) обозначает функцию Римана, принад-
принадлежащую к дифференциальному выражению Л1 и содержащую в каче-
качестве параметров координаты х0, у0 точки D. Это значит, что выпол-
выполняются условия и(х0, у0; х0, _уо)=1, иу-\-аи — О вдоль AD и
их -\- Ьи = 0 вдоль BD. Тогда из формулы G') следует:
и(?, i\\ х0, yo)=^v{xQ, у0; I, п),
т. е.:
Если в функции Римана переставить между собой параметры
и аргументы, пю функция Римана дифференциального выражения
L переходит в функцию Римана сопряженного дифференциального
выражения М. В частности, если L — самосопряженное дифферен-
дифференциальное выражение, то его функция Римана симметрична относи-
относительно точек (?, т]) и (х, у), где ?, i\ — параметры, х, у — аргу-
аргументы.
3. Пример. Телеграфное уравнение. Простейший нетривиальный
пример применения формулы Римана дает телеграфное уравнение
(ср. гл. III, § 5, п. 3). Телеграфное уравнение может быть приве-
приведено к виду
L (и) = иху + си = g(x, у), (8)
где с — константа. Это дифференциальное уравнение является само-
самосопряженным. Чтобы найти функцию Римана, будем ее искать в силу
симметричности дифференциального уравнения в форме
*>(х, у, 6, -ч)=/(г),
где
Дифференциальное уравнение для функции Римана переходит
тогда в обыкновенное дифференциальное уравнение zf"-\-f-\- с/ = О,

§ 51 МЕТОД ИТЕРАЦИЙ 359
асоторое с помощью подстановки Х = ]/Чсг преобразуется в диффе-
дифференциальное уравнение Бесселя
^4/ О (S)
Этому дифференциальному уравнению удовлетворяет функция Бес-
Бесселя f=J0(k) (см. т. I, гл. VII). Функция
v (*, у, «, ti) = /0 [V4c(*—6) су—tj)T A0)
действительно является искомой функцией Римана, ибо, как легко
убедиться, эта функция удовлетворяет при д; = ? и _у = ¦*) начальным
условиям, характеризующим функцию Римана.
§ 5. Решение дифференциального уравнения иху=/(х,у, и, их, иу)
методом итераций Пикара *)
1. Предварительные замечания. Вместо того, чтобы отдельно
рассматривать случай линейных дифференциальных уравнений и отно-
относящиеся сюда вопросы (например, вопрос о существовании и един-
единственности функции Римана), мы сразу перейдем к задаче Коши для
общего дифференциального уравнения
Как и в прошлом параграфе, мы предполагаем, что на плоскости л:, у
задана гладкая начальная кривая С, обладающая тем свойством, что
никакая прямая, параллельная одной, из осей координат (характери-
(характеристики дифференциального уравнения) не пересекает кривой С более,
чем в одной точке. Пусть кривая С* задана в параметрическом виде
х — х(к), у=у(к). Как и в § 4, черт. 31, мы проводим через
точку Р с координатами ?, ч\ прямые АР и ВР, параллельные осям
координат, причем точки А и В лежат на кривой С. Треугольник
АВР мы обозначим, как и раньше, значком Q, а отрезки АР и ВР
через Н и V. Далее, мы сохраняем сокращенные обозначения иху = s,
"х = Р> иу = Ч-
Пусть вдоль С заданы начальные значения и, р и д. Не ограни-
ограничивая общности задачи, мы можем согласно замечанию, сделанному
нами в § 4, принять начальные значения и, р и q тождественно рав-
равными нулю. В самом деле, в противном случае мы возьмем про-
произвольную непрерывно дифференцируемую функцию со, имеющую не-
непрерывную смешанную производную <оху и удовлетворяющую началь-
начальным условиям, и заменим неизвестную функцию и неизвестной
функцией w — u—со. Тогда w удовлетворяет дифференциальному
уравнению того же типа, что и и, с видоизмененным / и нулевым
начальным условием 2).
См. Р i с а г d, Traite d'analyse, т. 2.
Такую функцию <р {х, у) мы можем, например, построить, полагая
<t = u(x)+ly—y(x)]q(x),

360 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (й = 2) (гЛ. V
Наша задача состоит в том, чтобы в некоторой окрестности-
кривой С построить решение дифференциального уравнения
s=f(x, у, и, р, q), (I)
удовлетворяющее вдоль С начальным условиям u=p = q = 0.
При этом предполагается, что функция / непрерывно дифферен-
дифференцируема по всем своим аргументам.
Относительно решения и мы предполагаем непрерывность первых
производных и существование смешанной производной второго по-
порядка иху; непрерывность иху тогда уже следует из самого диффе-
дифференциального уравнения A) *).
Заметим тут же, что наша задача сохраняет смысл и излагаемый
ниже метод дает ее решение также и в сом случае, когда началь-
начальная кривая вырождается в прямоугольную ломаную, состоящую
из двух характеристических прямых AD и BD (черт. 33). Однако,
в этом случае можно задать вдоль С начальные значения одной
только функции и, в частности, и = 0, тогда как для значений р
вдоль AD и q вдоль BD получаются, как и в предыдущем пара-
параграфе, обыкновенные дифференциальные уравнения, которые вместе
с условием р=-д = 0 в точке D однозначно определяют величины
р и q вдоль С. Мы называем этот случай задачи Коши характери-
характеристической задачей Ноши. В дальнейшем, имея в виду только что
сделанное замечание, нам не придется делать каких-либо различий
между общей задачей Коши и этим особым частным случаем.
Нашей целью является построение решения в достаточно малой
окрестности О точек кривой С. Такую область G плоскости х, у
мы дополняем условиями вида | и | < а, | р | < а, \ q | < а, где а — не-
некоторая константа, до области В пятимерного пространства х, у,
и, р, q. Когда система значений х, у, и, р, q пробегает область Ву
четыре выражения |/|, |/и|, \fp\, \fq\, будучи ограниченными, оста-
остаются ниже некоторой верхней границы М, зависящей от области G.
если начальная кривая задана уравнением у = у (х}, а начальные значения
в виде функций и (х), р (х), q (х), удовлетворяющих условию полоски
м' = РЛ-У'Я- Функция <р имеет, очевидно, непрерывные производные ухяуу
и принимает, равно как и <р#, при у =у (х) заданные начальные значения;
в силу условия полоски <рж тоже принимает при у=у{х) заданное на-
начальное значение р (х).
') В отношении вторых производных ихх и иуу мы не делаем, таким
образом, никаких допущений, так что, например, для случая /=0 мы счи-
считаем функцию и = <р (х) -\~ i> (у) решением уравнения «^ = 0 также и в том
случае, когда функции <р (х) и А>(у) не имеют вторых производных, а только
непрерывные первые производные.
Однако, если предположить, что для начальных функций х (X), у (X), и (X),
р (X) и q (X) существуют непрерывные вторые производные н что функция /
имеет непрерывные производные первого и второго порядка по всем своим
аргументам, то решение и имеет также непрерывные вторые производные
г и t, и даже существуют третьи производные рху и qxr/, этот вывод содер-
содержится в общем результате § 7, но "может быть получен также и непосред-
непосредственно путем перехода к дифференциальным уравнениям, получающимся
A) дифференцированием по л; и. по у.

§ 5) МЕТОД ИТЕРАЦИЙ 361"
Наше дифференциальное уравнение A) может быть записано*
в форме интегрального уравнения, получающегося путем интегриро-
интегрирования по треугольнику Q
и & т0 = J / /(*. У. «. Р, 9) dx dy. B)
Интегральное уравнение B) эквивалентнр дифференциальному урав-
уравнению A) и начальным условиям и~ p — q — O вдоль кривой С.
Напомним, что если функция h (?, •»]) задана интегралом вида
а
т©
р р
С С
В А
так что h\c = k^\c = kTi\c = O.
Для того, чтобы интегральное уравнение B) имело смысл, мы
должны искомую функцию и подчинить только требованию суще-
существования и непрерывности производных первого порядка. Из этого^
условия получается как следствие в силу интегрального урзвнения B)
существование и непрерывность смешанной производной второго по-
порядка uxy, выражающейся через х, у, и, р, q правой частью диффе-
дифференциального уравнения A), так как при выполнении нашего условия
мы имеем право дважды дифференцировать по \ и yj правую часть
интегрального уравнения B).
2. Решение задачи Коши. По аналогии с классическим приемом
решения обыкновенных дифференциальных уравнений мы применяем
метод итераций следующим образом: возьмем в качестве первого
приближения и0 = pQ = qQ = 0 и будем строить в некоторой доста-
достаточно малой окрестности G кривой С, которую мы в дальнейшем
определим точнее, последовательные системы трех функций точки ит.
Put Яч с помощью рекуррентных соотношений
J J
?
р
Pn+i (Р) = f f& J> «». рп
в
p
Qn 11 (P) == j fix, vj, un, pn, qn) dx.
р
Тогда
как это непосредственно следует из уравнений C').
Рп+1— ж ' Vn+1 дГ-.

362 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (tl = 2) [ГЛ. V
Кроме того, если точка Р лежит на кривой С, то un — pn — qn = 0.
Мы замечаем теперь следующее: процесс последовательных итераций
не выводит за пределы заданной области В пространства х, у, и,
р, q, если выбрать окрестность G кривой С достаточно малой. В са-
самом деле, обозначим через / наибольшее значение расстояний АР
и ВР для всех точек Р области G и предположим, что при некото-
некотором значении индекса п величины х, у, и, р, q лежат в области В.
Тогда из соотношений D) непосредственно получаются неравенства
Если мы сузим теперь окрестность G кривой С настолько, чтобы
выполнялись условия МР^.а и M/<Ja, то величины х, _у, ии±_1,
Pn+v Чп+i также лежат в области В, так что, неограниченно продол-
продолжая процесс итераций, мы не выйдем за пределы области В.
После этого нетрудно уже показать, что мы можем дальше, пу-
путем соответствующего, в случае необходимости, дальнейшего суже-
сужения области G обеспечить равномерную сходимость процесса итераций
к системе трех функций точки и {х, у), р (х, у) и q (x, у), причем
их=р, uy = q, uxy=f (x, у, и, р, q) и u=:p = q = Q вдоль С.
Функция и является, таким образом, решением нашей задачи Коши.
Для доказательства составим разность
•к«+1—«и = f f [fix, у, ип, рп, qn)—f(x, у, «„_!, pn_lt ?„_!)] dxdy —
"а
—1n-i>fa]dxdy, (о)
а
где в правой части подинтегральное выражение преобразовано с по-
помощью теоремы о конечном приращении функции от многих пере-
переменных, причем черта указывает, что в качестве аргументов к, р, q
нужно взять некоторые средние значения, лежащие соответственно
между ип и »„_!, рп и р„_1, qn и qn_v Оценка этих интегралов
дает непосредственно:
1«я+1 — и„| < М j j [| ип — к„_! |-|- \Pn~Pn-i I + I Чп — Чп-х И dxdy.
а
Обозначая через Dn наибольшее значение выражения
К — «n-il + l^n — Рп-Л + \Чп— Чп-tU
¦мы получаем отсюда \un+1 — un\<^.MPDn.
Таким же точно образом мы получаем из уравнений D):
\Pn+i—Pn\<MIDn;

§ 5] МЕТОД ИТЕРАЦИЙ 363
так что во всех точках Р такой окрестности О кривой С имеет
место неравенство:
! и»+1 — «» I +1 Pn+i—Рп I +19»+i — Чп I < МЩ+ 2) Dn.
Так как это неравенство имеет место также и в той точке Р, в ко-
которой левая часть достигает своего наибольшего значения Dn+1, те
Предположим теперь, что область О сужена настолько, чтв
M/(/-J-2) = a<l. Тогда бесконечный ряд с положительными и пе-
песо
стоянными членами 2 &•> сходится, по крайней мере, столь же бы-
со
стро, как и геометрическая прогрессия 2 •*''• Отсюда следует, чтв
4 = 1
оо оо оэ
в области G три ряда 2 («v+1 —«Л 2 0\ц—"М 2 fo-н —<7,)
сходятся равномерно. Предельные значения ы, р, д являются непре-
непрерывными функциями точки. В силу равномерности сходимости мы
имеем право переходить к пределу под знаком интеграла в уравне-
уравнениях D) и получаем, таким образом, что предельные функции удо-
удовлетворяют соотношениям
J/ ^
У,
"d
р = 1 /{%, У, И, p,
В
Р
q = J (/*, % и, р,
А
Отсюда: их = р, up = q, uasy=f.
Так как, кроме того, и удовлетворяет начальным условиям вдоль С,
то и является искомым решением рассматриваемой задачи Коши.
3. Единственность решения задачи Кошн. Решение задачи Ноши
является в некоторой окрестности начальной кривой однозначно
определенным (единственным).
В самом деле, если и и v — два решения, то для разности
¦ъа = и — -v имеет место интегральное соотношение
(*> У> «. их, иу)—/(х, у, v, va, vji\dxdy.
a
Применим снова к подинтегральному выражению в правой части
этого уравнения теорему о конечном приращении и обозначим че-
через Wнаибольшее значение функций \w\, \wa\, \wy\ в области G.

364 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (й =¦ 2) [ГЛ. V
Мы получаем непосредственно:
да =
D
•ткуда
течно так же
\wx ( < MIW; | «>„ |< MIW,
так что
Отсюда следует, что и
Если же а < 1, то последнее неравенство может иметь место только
при W=0, т. е. если w тождественно равно нулю во всей области
О или, другими словами, если функция и тождественно равна v.
4. Непрерывная и дифференцируемая зависимость от пара-
параметров. Если правая часть / дифференциального уравнения содер-
содержит параметр е и если при этом f является непрерывной и со-
соответственно дифференцируемой функцией как от е, так и от
первоначальных аргументов, когда в находится в некоторой
достаточно малой окрестности заданного значения е0, например,
е0 = 0, то как решение и {х, у) данной задачи Коши, так и его
частные производные р и q являются также непрерывными и
соответственно дифференцируемыми функциями параметра е.
В случае выполнения условия дифференцируемости производная
ди ¦ „
v = -=- решения и по параметру е при г = 0 удовлетворяет ли-
нейному дифференциальному уравнению
v g, F)
где
Для того, чтобы доказать непрерывную зависимость и от пара-
параметра е, достаточно заметить, что для рассматриваемого промежутка
изменения параметра е можно в качестве области G выбрать фикси-
фиксированную область, не зависящую от в, задавая в рассматриваемой
области В изменения величин х, у, и, р, q не зависящие от е
верхние границы модулей |/j, |/tt|, \fp\ и |/J, что возможно в силу
допущенной непрерывности / относительно е. Поэтому изложенный
в п. 2 метод итераций сходится равномерно также и относительно
параметра е, а отсюда непосредственно следует непрерывность пре-
предельных функций и, р, q относительно е. В силу дифференциаль-
дифференциального уравнения вторая производная иху является тогда также непре-
непрерывной функцией от s.

¦§ 51 метод итераций 365
Непрерывная дифференцируемость решения и относительно в дв-
жазывается так: полагая, не ограничивая общности рассуждения,
•80 = 0, составим выражение
Из дифференциального уравнения A) мы получаем тогда соотношение
да^ = — [/(*> У> и» «as. и»; s)— fix, у, и°, их, и°; 0)],
а'де
и° = и(л;, _у, 0).
Преобразуя правую часть с помощью теоремы о конечном при-
приращении, мы получим для w дифференциальное уравнение
^ад + я^ + ^+ТО^^ I7)
в котором a, J3, у и g обозначают значения производных / по р, q,
•и и е для промежуточных значений аргументов. Мы можем рассма-
рассматривать эти коэффициенты как заданные функции от х, у и е,
a ¦w — как решение дифференциального уравнения G), удовлетворяю-
удовлетворяющее нулевым начальным условиям. При е ф 0 эти коэффициенты
можно представить как отношения конечных приращений и они явля-
являются поэтому непрерывными функциями от х, у и е. При е = 0 они
непрерывно переходят в частные производные /и, fp, fq функции
f(x, у, и, р, q) для и = и(х, у, 0), р = их{х, у, 0), q = uy(x, у, 0),
которые по условию являются непрерывными функциями. Таким
образом, мы можем дифференциальное уравнение G) рассматривать
как дифференциальное уравнение второго порядка относительно w,
коэффициенты которого а, $, f и g непрерывно зависят от х, у
и е; согласно нашему предыдущему результату существует поэтому
предел f=Hm'ay, и эта предельная функция v удовлетворяет дисЬ-
е-э-0
ференциальному уравнению F).
S. Область зависимости решения. Подчеркнем сначала, что
полученное нами решение, согласно замечаниям п. 1, охватывает
также и общий случай, когда вдоль С заданы не нулевые, а
произвольные начальные данные. Наше построение непосредственно
показывает следующее.
Значение и(Р) искомой функции и в точке Р зависит не от
всей совокупности начальных данных на кривой С, а только от
начальных значений вдоль дуги АВ этой кривой. Любое изменение
начальных данных вне дуги АВ не оказывает никакого влияния на
значение функции и(Р) в точке Р и, конечно, в любой точке
внутри треугольника Q.
В соответствии с рассмотрениями § 4, п. 1 мы формулируем этот
результат так:

3S6 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (П = 2) [ГЛ. Т
Областью зависимости точки Р служит дуга АВ, вырезаемая
из начальной кривой С двумя характеристиками, выходящими
из точки Р.
Заметим, что этот результат остается справедливым также и дл»,
случая характеристической задачи Коши.
§ 6. Обобщения и применение к системам первого
порядка
1. Системы дифференциальных уравнений второго порядка
с одинаковой линейной главной частью. Заметим прежде всего
следующее: все результаты предыдущего параграфа остаются в силе
и для дифференциального уравнения вида
аихх 4" Ьит 4- cuyv =/(х, у, к, их, иу), A)
если функции а, Ь, с являются непрерывно дифференцируемыми
функциями точки, удовлетворяющими в рассматриваемой области
условию
4ас—
т. е. если уравнение A) является уравнением гиперболического типа.
Мы должны только в этом случае вместо х, у ввести характеристи-
характеристические параметры согласно гл. III, § 1 и соответственно гл. V, § 1.
Этим путем мы сводим эту задачу к задаче, рассмотренной в преды-
предыдущем параграфе.
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений е т
неизвестными функциями и1 (х, у), ..., W (х, у), ..., ит (х, у) с про-
производными
dir> _ди> <Piv>
р*>~ д~х* дч~~ду' S-'
Пусть эта система уравнений имеет вид
s, =/„(*, у, и1, ..., ит; Pl pm; qv ..., qm). B)
Согласно сделанному только что замечанию, к системе такого вида
может быть приведена вообще всякая система «дифференциальных
уравнений с одинаковой главной частью-» вида
аихх + buxi, 4- си'уу =/„ (х, у, и1, .. •, qm) (v = 1, 2, ..., /к)," C)
где для всех т дифференциальных уравнений коэффициенты а, Ь,
с — одни и те же функции точки, удовлетворяющие условию A8).
Пусть требуется решить для системы C) задачу Коши точно та-
такого же вида, как задача, рассмотренная в § 5, с тем только отли-
отличием, что вдоль начальной кривой С заданы значения всех функций и»
и их первых производных с соблюдением условий полоски. Мы ре-
решаем эту задачу буквально совершенно так же, как и с § 5, и прихо-
приходим к следующему выводу: Если С—нигде не характеристическая
гладкая кривая, то в некоторой достаточно малой окрестности

§ 6] ОБОБЩЕНИЯ И ПРИМЕНЕНИЕ К СИСТЕМАМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 367"
кривой С существует решение задачи Коши, и это решение, явля-
является единственным; область зависимости вырезается из С обеими
характеристиками РА и РВ. Все это сохраняет силу также и дл»
характеристической задачи Коши, но в этом случае можно задавать
вдоль начальной характеристической линии одни только значения
самих функций к,.
2. Канонические гиперболические системы первого порядка.
В качестве применения наших общих результатов рассмотрим сле-
следующий специальный случай системы дифференциальных уравнений
первого порядка с N—n-\-m неизвестными функциями и1, ..., uNr
имеющий фундаментальное значение в общей теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Пусть данная система линейна относительно произ-
производных первого порядка неизвестных функций, причем первые к-
диУ
уравнений содержат только производные pv = -у— по х, а последние
т = N— п уравнений — только производные q^ = -у— по у. Таким:
образом, рассматриваемая система имеет вид
N
А = 2 a',vPv. — gAx, y,u\..., uN) = 0 (v = 1, 2, ..., я), D>
N
В, = 2 а 9 — gAx, y,u\...,u*) = Q (v= я+1,..., и+m), E>
причем коэффициенты а^, а также величины gt являются заданными не-
непрерывными функциями от х, у, и1,..., uN, имеющими непрерывные
производные первого и второго порядков. Системы этого вида назы-
называются каноническими гиперболическими системами первого порядка.
Рассмотрим сначала задачу Коши типа I: дана гладкая или же
кусочно-гладкая начальная кривая С, которая либо нигде не харак-
характеристична, т. е. нигде не параллельна оси х или у, либо состоит
из отрезка, параллельного оси х, и отрезка, параллельного оси у.
На этой начальной кривой заданы начальные значения функций и4
как непрерывно дифференцируемые функции длины дуги. Пусть, да-
далее, для этих начальных значений определитель D коэффициентов а.^
удовлетворяет условию
Д = |«^|^0. F)
Требуется найти систему функций и4, имеющих непрерывные первые
и вторые производные, принимающих заданные начальные значения
и удовлетворяющих дифференциальным уравнениям D) и E). Мы
докажем следующее:
Задача Коши типа I однозначно разрешима в некоторой доста-
достаточно малой окрестности кривой С; так же, как и раньше, об-
область зависимости для точки Р вырезается из начальной кривой
С обеими пересекающимися в точке Р характеристиками х — const,
и у = const. Мы решаем задачу типа I путем сведения ее к задаче;
типа II вида, только что рассмотренного нами в п. 1. Для этой.

-368 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (tl = 2) [ГЛ. V
-^цели мы дифференцируем уравнения D) по у, а уравнения E) по х.
Так как ИфО, то мы можем полученную в результате дифференци-
дифференцирования систему уравнений разрешить относительно м^, что нам
дает систему N уравнений вида
•причем эти уравнения являются линейными комбинациями уравнений
—i. = 0 и -—- = 0, а функции /„ непрерывно дифференцируемы.
Вдоль С заданы начальные значения неизвестных функций kv этой
-системы дифференциальных уравнений. Однако, начальные значения про-
производных р., и q4 этих функций вдоль С также однозначно определены.
В самом деле, пусть С не характеристична. Зададим эту кривую
-в параметрическом виде х (X) и у (X), причем производные х (X)
я у (X) нигде не обращаются в нуль, так как по условию С нигде
не параллельна какой-нибудь из осей координат. Тогда из условий
* * i • ¦
полоски w = р^х -J- дчу мы получаем соотношения
ft =4-О*11 — Р-,*)- (8)
У
Подставляя эти выражения в уравнения E), мы получим вместе
с уравнениями D) линейную систему уравнений для начальных про-
производных р„ причем детерминант этой системы D отличен от нуля.
Отсюда следует, что эта система уравнений однозначно определяет
начальные значения производных рч вдоль С, а уравнения (8) опре-
определяют тогда и производные q,, вдоль С. Таким образом, мы получаем
из задачи Коши типа I задачу Коши типа II для системы с одина-
одинаковой главной частью.
Все сказанное относится также и к характеристической задаче
Коши с тем только отличием, что начальные значения производных
в этом случае непосредственно определяются из заданной системы
дифференциальных уравнений.
Разрешив с помощью определенных таким способом начальных
условий задачу Коши типа II, мы получим вместе с тем решение
задачи Коши типа I. В самом деле, во-первых, в силу нашего выбора
начальных значений рч и дч вдоль С имеют место соотношения
Ач = 0 и Вц = О. Во-вторых, система уравнений G) эквивалентна
системе уравнений -—- = 0, -^- = О, имеющих место в рассматри-
рассматриваемой окрестности кривой С. Отсюда следует, что в этой окрест-
окрестности всюду Ач = 0, В^ = 0, так что задача I решена.
§ 7. Общее квазилинейное уравнение второго порядка
1. Полная система характеристических дифференциальных
уравнений. В настоящем и следующем параграфах мы даем полное
решение общей задачи Коши для дифференциального уравнения

§ 7] ОБЩЕЕ КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 369
второго порядка F (х, у, и, их, иу, и^, и^, иуу) == 0 гиперболического
типа !). Сначала мы рассмотрим квазилинейное дифференциальное
уравнение
au^-^bu^ + cu^+d^O, 4ас — ?а<0, A)
где а, Ь, с, d — дважды непрерывно дифференцируемые функций от
х, v, и, р = их, q = м„.
В противоположность дифференциальным уравнениям § 6 харак-
характеристические кривые не имеют в рассматриваемом случав непо-
неподвижных проекций на плоскость х, у. Из этого следует, что в рас-
-сматриваемом случае невозможно преобразовать дифференциальное
уравнение к простой нормальной форме. Вместо этого центральное
место- в теории дифференциальных уравнений этого типа занимает
-понятие характеристик. Идея нашего дальнейшего хода рассуждений
заключается в следующем: пусть и=и{х, у) — уравнение некоторой
интегральной поверхности J, на которой наше дифференциальное
уравнение гиперболично.
Исследуем оба семейства характеристических кривых я (х,у) =const.
и J3 (х, у) = const, поверхности J. На достаточно малом куске
этой поверхности мы можем вместо х и у ввести в качестве незави-
независимых переменных характеристические параметры я и C. Так же,
как и в гл. III, § 2, мы можем поэтому на интегральной поверх-
поверхности J рассматривать координаты х, у, а, а также производные
р и q как функции от а и р.
Ключом ко всей излагаемой теории является следующая поста-
постановка вопроса: каким соотношениям {дифференциальным уравне-
уравнениям) удовлетворяют эти пять функций от а и $ в силу задан-
заданного дифференциального уравнения A), характеристических усло-
условий для параметров -а и C и условий полоски?
Мы получим для этих пяти величин каноническую гиперболи-
гиперболическую систему дифференциальных уравнений первого порядка, рас-
рассмотренную в § 6, п. 2 2).
J) Излагаемый метод решения принадлежит Гансу Леви (Hans Lewy,
Math. Ann., т. 97, стр. 179 и следующие), а также К. Фридрихсу (К. Fried-
i i с h s und H. Lewy, Math. Ann. т. 99, стр. 200 и следующие). См. также по
этому вопросу J. Hadamard, Legons sur le probleme de Catichy, стр. 487,
Париж, 1932.
-) Такую систему дифференциальных уравнений в качестве характери-
характеристической системы дифференциальных уравнений рассматривали и раньше,
до работ Леви. Однако, к этой системе подходили, как к системе обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматривая каждое из двух семейств
характеристических линий в отдельности. При этом получалась, в противо-
противоположность к теории характеристик для дифференциальных уравнений
в частных производных первого порядка, система уравнений, в которой
число уравнений меньше числа неизвестных функций, так что рассматривае-
рассматриваемая с такой точки зрения характеристическая система дифференциальных
уравнений содержала недостаточное число уравнений и не давала возмож-
возможности довести до конца интегрирование заданного дифференциального урав-
уравнения второго порядка. Существенно новой идеей,~ принадлежащей Леви,
является одновременнное введение обоих характеристических параметров

370 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (jl == 2) [ГЛ. V
Теория интегрирования этой системы дифференциальных урав-
уравнений даст нам тогда решение нашей задачи Коши. Так же, как
и для дифференциальных уравнений первого порядка, мы начинаем
с анализа этой системы, получающейся сначала путем изучения
характеристик на заданной интегральной поверхности, а затем инте-
интегрируем эту систему независимо от задания интегральной поверхности
и из решений системы строим интегральные поверхности первона-
первоначального уравнения.
Итак, мы сначала допускаем, что и = и (х, у) является уравнением
заданной интегральной поверхности J. Не ограничивая общности, мы
можем предположить, что на рассматриваемом куске интегральной
поверхности выполняются условия а ф 0 и с^О, ибо в противном
случае мы можем добиться выполнения этих условий с помощью
поворота системы координат в плоскости х, у.
Выведем теперь систему дифференциальных уравнений для
х> У> и> pi 4t рассматриваемых как функции характеристических па-
параметров а и р на поверхности, У.
Характеристические условия для этих параметров мы получаем
(см. также гл. III, § 2), рассматривая на J полоску первого порядка
С с параметром А, задаваемую уравнениями х = х (X), у = у (А),
и = и (А), р = р (К), q — q (К), причем х2 -j- j2 Ф °-
Данное дифференциальное уравнение и условия полоски вдоль С
ar -j- bs + ct + d — 0,
¦ • •
xs -j- у t—q = о
B)
(где, как и раньше, г — uxa, s = иху, t = иуу) дают характеристи-
характеристическое условие
аЪ с
Оху
= ay* ~ b'xy -f- сх2 = 0.
C)
Так как, по условию, Ь2 — 4ас>0 и афО, то во всех точках по-
поверхности /уравнение оо2—#с-(-с = 0 имеет два различных веще-
вещественных корня pt(x, у, и, р, q) и р.2(х, у, и, р, q), причем в силу
а и р как независимых переменных, так что характеристические дифферен-
дифференциальные уравнения рассматриваются как уравнения в частных производных.
Это дает сразу достаточное число дифференциальных уравнений и даже,
как^будто, большее, чем число неизвестных функций. С помощью такой
постановки вопроса Гансу Леви удалось добиться существенных успехов,
представляющих значительный шаг вперед по сравнению с классичесйой
теорией.

§ 7] ОБЩЕЕ КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 371
условия с =? 0 оба эти корня отличны от нуля. Разлагая левую часть
уравнения C) на линейные множители и обозначая через а параметр
л для одного семейства характеристических кривых, а через C —
параметр X для другого семейства, мы расщепляем уравнение C) на
два уравнения
Кривые а = const, и |3 = const., образующие теперь на поверхности
J систему криволинейных ко'ординат, дают -оба семейства характе-
характеристических кривых.
Отметим соотношения
piPb = -j; Pi+p2=^-; (Pi—ps)-=-—^r—. E)
Заметим далее, что величины ха и jo, должны быть отличны от
нуля, ибо в противном случае обращалось бы в нуль также ух или
соответственно _ур> что несовместимо с требованием
которому должно удовлетворять параметрическое изображение харак-
характеристических кривых. Так как pi ф 0, то уа и _ур должны быть
также всюду отличны от нуля 1).
Рассмотрим теперь систему трех уравнений B) линейных отно-
относительно г, s и t, детерминант которой равен по условию нулю. Эта
система совместна, ибо, задавая интегральную поверхность J и семей-
семейство характеристик а = const, и C = const, на этой поверхности, мы
этим самым сопоставляем каждой точке {х, у) 'систему значений
и, р, q, r, s, t, х, у, р, q, удовлетворяющих системе B). Из совмест-
совместности этой системы, *y которой ранг матрицы коэффициентов меньше
трех, следует, что ранг матрицы, дополненной свободными членами,
также должен быть меньше трех.
* Отсюда мы получаем еще одно соотношение
\а с d
О — р„
СЕ JT Ct
•) Заметим, что из характеристических уравнений
сх\ — Ьхауа + а*1 = О,
сх% — i^j's + «}| = О
следует, что а = \ьхах$, b = ^.{x,y^-^-yax^jr, с = у.уоу^, причем фактор про-
порционалйюсти р может быть представлен в виде -~ = ~"^

372 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (л — 2) [ГЛ. V
Так как ул = р1ха ф 0, то, сократив на ха, мы можем представить
это соотношение в следующем виде:
Точно так же мы получаем:
^Р2^Ч ~~\~ '•ФйРЗ ~f" CQ'i == О *)• (8)
Кроме того, отметим еще уравнения полоски и^~pxa-\-qya
Итак, мы получаем на поверхности J следующую систему диф-
дифференциальных уравнений:
Ч Г, V П {<Х\
Уъ—' Pl-*a ^^ 1 \ /
.У? —Рв*р=О,1 (Ю)
<ViP9 + cq9 = O, {S) (I?)
A3)
(И)
Эта «характеристическая система дифференциальных уравнений*
состоит из шести дифференциальных уравнений в частных производ-
производных первого порядка с пятью неизвестными функциями х, у, и, р, q
от двух независимых переменных аи C. Эта система квазили-
квазилинейна, т. е. линейна относительно производных, но число уравнений
больше числа неизвестных функций.
Для того, чтобы получить квазилинейную систему типа, рассмот-
рассмотренного нами в § 6, мы должны отбросить одно из этих шести урав-
уравнений с таким расчетом, чтобы это отброшенное уравнение оказалось
следствием остальных пяти уравнений.
Отбрасывая уравнение A4): В = 0, мы оставляем систему урав-
яений 5, состоящую из уравнений (9), A0),'A1), A2) и A3), которые
мы называем характеристическими уравнениями, исходного урав-
уравнения A). Эта система уравнений имеет в точности форму канони-
канонической гиперболической системы, рассмотренной в § 6. Детерминант
D этой системы, как легко убедиться, равняется — ас{о1 — ра)а и,
следовательно, отличен от нуля.
Докажем прежде всего, что отброшенное уравнение В = 0 дей-
действительно, является следствием системы S, если выбрать соответ-
соответствующие начальные» условия. В самом деле, для этого достаточно
показать, что для каждой системы решений системы, уравнений
S выражение В • постоянно вдоль каждой координатной линии
Р = const. Тогда, допустив, что для рассматриваемой системы реше-
г) Последние два уравнения выражают только тот факт, что заданное
дифференциальное уравнение A) имеет место вдоль характеристик, но вы-
выражают это в форме уравнений внутренних .относительно характеристик
согласно общей теории § 1.

§ 7] ОБЩЕЕ КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 373
ний системы S выражение В обращается в нуль вдоль начальной
линии, пересекающей координатные линии р = const., мы получим,
что отброшенное уравнение В — О действительно выполняется всюду
на выбранной таким образом системе, решений системы уравнений S.
Итак, достаточно доказать, что Ва — 0, т. е. что
0.
Для доказательства дифференцируем уравнение Л —0 по {3; мы по-
получаем :
— q;iya = 0.
Остается доказать, что
Р«Н — р?ха -f ад> — Я$У* = О. A5)
Чтобы получить это соотношение, умножим уравнение A1) на _у?,
уравнение A2) на уа и вычтем полученные уравнения. Это дает
— УЛ$) = 0.
Так как — = Pjp2, то отсюда следует
В силу уравнений (9) и A0) это соотношение равносильно соотно-
соотношению A5), что и доказывает наше утверждение.
Заметим здесь, что параметры а и р не являются однозначно
определенными. Мы можем вместо них ввести какие-нибудь одно-
однозначно обратимые функции, из которых одна зависит только от а,
а другая только от C, в результате чего форма характеристической
системы уравнений не меняется. Если теперь С—произвольная
кривая на поверхности J, нигде не касающаяся характеристических
кривых, так что С, если ее рассматривать как кривую на плоскости
а, р, нигде не параллельна оси а или оси J3, то мы можем с по-
помощью допустимой замены параметров аир параметрами at = © (а)
и р1 = 4'(Р) привести уравнение кривой С к виду а-|-Р = О, не
нарушая общности кривой С.
Требование, чтобы кривая С нигде не была характеристической,
выражается условием, чтобы вдоль С всюду имели место соотно-
соотношения
ИЛИ
ах2— Ьху-\- су* ф О,
где точкой обозначается дифференцирование по параметру к кри-
кривой С. (В качестве такого параметра мы можем, например, цыбрать
длину дуги проекции Со кривой С на плоскость х, у.)
В дальнейшем мы будем часто пользоваться только что доказан-
доказанной возможностью приведения уравнения начальной кривой к визу

374 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п = 2) [ГЛ. V
2. Решение задачи Коши. Обращая ход наших рассуждений,
мы получим решение задачи Коши для нашего первоначального
дифференциального уравнения A). Пусть дана гладкая кривая С
с соответствующей полоской, заданной с помощью непрерывно диф-
дифференцируемых функций хA), у (К), и (А), р(Х), q(K) параметра Л,
причем выполняется условие полоски u = px-\-qy. Предположим,
что начальная полоска нигде не характеристична и всюду гипер-
гиперболична, так что вдоль полоски всюду выполняются условия
а'уР — Ьху-^-схЪфО и 4йс—62<0.
Требуется построить в достаточно малой окрестности кривой С
интегральную поверхность J, задаваемую дважды непрерывно диф-
дифференцируемой функцией и и содержащую данную полоску.
Этой задаче Коши для первоначального дифференциального урав-
уравнения, которую мы обозначим римской цифрой I, сопоставим следую-
следующую задачу Коши II в плоскости а, C:
Рассмотрим на плоскости а, р прямую L, заданную уравнением
а -|- [3 = 0, и пусть Л = ]/^а, так что за параметр X мы принимаем
длину отрезка прямой L, отсчитываемую от начала координат. До-
Допустим, что вдоль этой прямой (в окрестности -начала координат)
заданы непрерывно дифференцируемые функции х{\), _у(А), к(Х),
/( Q) удолетворяющие условию полоски u — qx—-ру = 0
и неравенству 4ас—./»3<0. Пусть, далее, эта начальная полоска нигде
не характеристична, т. е. выполняется условие ау2 — Ьху~\-сх2ф0.
Требуется найти решение системы дифференциальных уравне-
уравнений S, т. е. системы уравнений (9), A0\ A1), A2), A3), удовле-
удовлетворяющее перечисленным начальным условиям и имеющее непрерыв-
непрерывные производные первого порядка и непрерывные смешанные произ-
производные второго порядка по а и [5.
В § 6 мы доказали, что эта каноническая гиперболическая задача
II имеет в некоторой достаточно малой окрестности начала координат
плоскости а, C одно и только одно решение, причем область зави-
зависимости вырезается из начальной кривой характеристиками а = const.,
Р = const.
Мы утверждаем теперь следующее: полученное таким путем
решение задачи II является вместе с тем решением первоначаль-
первоначальной задачи I (что, обратно, решение задачи I является решением
задачи II, следует непосредственно из рассмотрений п. 1).
Заметим прежде всего, что мы можем вместо параметров о и 3
ввести в качестве независимых переменных величины х и у. В самом
деле, в силу условий хаф0 и х^О и на основании формулы F)
функциональный детерминант отличен от нуля. Поэтому, величины
и, р, q имеют непрерывные частные производные первого порядка
по х и у, а переменную и мы можем рассматривать как функцию
и(х, у).

§ 7J ОБЩЕЕ КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 375
Докажем, что, введя независимые переменные л; и у, мы получим:
В самом деле, эти уравнения равносильны уравнениям
А — иа — рха—дуа — О и В = и$—pjep—ЯУр — О1). Но уравнение
Л = 0 выполняется само собой, так как это уравнение в качестве урав-
уравнения A3) входит в систему дифференциальных уравнений S. Далее,
в п. 1 мы показали, что из системы 5 вытекает как следствие урав-
уравнение Ва = 0; поэтому, чтобы доказать, что ? = 04 достаточно
установить справедливость этого уравнения вдоль начальной линии
а-}-[3 = 0. Вдоль же начальной линии условие В = 0 совпадает
с условием полоски, которому мы с самого начала подчинили на-
начальные значения. Итак, уравнение В = 0 справедливо всюду и,
следовательно, р и q действительно являются производными функции
и(х, у).
Наконец, нам нужно показать, что величины х, у, и, р = «да
q =*Uy, r = ихх, s = uxy, t = Uyy удовлетворяют первоначальному
дифференциальному уравнению A).
В самом деле, заменим в уравнении A1) параметры а и J3 неза-
независимыми переменными х и у, подставив вместо рх и qk выражения
А. = ГХа + S-Уа И q<l =' SX« + *Уа- МЫ ПОЛуЧИМ I
0 = d?1xa 4- a?! (rxa -f sys) -\- с {sxa -f tyj=
ar-\- ct + s(aPl +"?•)] •
Но в силу квадратного уравнения aoj — йр1-]-с = О имеем
a?i~\ ==b. С другой стороны, Pj^^tO; поэтому мы действительно
поручаем:
0 = d-\-ar-}-ct-\-bs,
что и требовалось доказать.
Таким образом, задача Коши в случае квазилинейного уравнения
гиперболического типа нами полностью решена. Вместёг с тем дока-
доказана единственность решения и найдена область зависимости.
Формулируем еще раз полученный результат:
Пусть задана начальная полоска х(К), у(Х)ч и (К), р(Х\ q(k)
с соблюдением условия u—px-\-qy; пусть эта полоска гипербо-
гиперболична, т. е. пусть на ней 4ас—^2<0, и нигде не характери-
характеристична, т. е. ау2—Ьху-\-сх2ф0. Мы предполагаем, далее, что
начальные значения имеют непрерывные производные первого
порядка, а коэффициенты—непрерывные производные первого
и второго порядков. Тогда задача Коши для дифференциального
уравнения ar-\-bs-\-ct-\-d—Q и данной начальной- полоски един-
!) Действительно, уравнения А=*0 и?? = 0 однозначно определяют/» и q
и, очевидно, удовлетворяются значениями р = их и q = uv.

376 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (л = 2) [гЛ. V
ственным образом разрешима в достаточно малой окрестности
начальной кривой: решение и в точке Р зависит только от той
части начальных данных, которые принадлежат к дуге началь-
начальной кривой, вырезаемой обеими характеристиками, проходящими
на интегральной поверхности через точку Р.
Полученный нами результат в отношении области влияния началь-
начальных данных доказывает в согласии с § 1, п. 2, что характеристи-
характеристические полоски действительно являются многообразиями ветвления
для решений» дифференциального уравнения. В самом деле, если мы
изменим начальные данные вдоль части начальной кривой С, нахо-
находящейся вне дуги АВ, не нарушая условия дифференцируемое™, то
мы получим другую интегральную поверхность, совпадающую с перво-
первоначальной интегральной поверхностью ' в точке Я и во всех точках
криволинейного треугольника АВР. Вдоль характеристик АР и ВР
к первоначальной интегральной поверхности примыкает отличная от
нее интегральная поверхность с соблюдением условия двукратной
дифференцируемости. Таким образом, вдоль каждой характеристиче-
характеристической полоски действительно имеется возможность разветвления инте-
интегральной поверхности, причем множество различных интегральных-
поверхностей, имеющих между собой соприкосновение второго по-
порядка вдоль данной характеристической полоски, так же велико,
как и множество всех дважды непрерывно дифференцируемых про-
продолжений начальных данных через конечные точки А и В дуги АВ.
Заметим в заключение, что характеристическая задача Коши
формулируется и решается в точности таким же образом, как и рас-
рассмотренная только что задача I.
§ 8. Общее уравнение F(x, у, и, р, q, r, s, *) = 0
Задача Коши для общего неквазилинейного дифференциального
уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными
сравнительно просто сводится к рассмотрениям § 7.
1. Квазилинейные системы с одинаковой главной частью.
В § 6 мы рассмотрели системы дифференциальных уравнений вида B)
с т неизвестными функциями к1,... , u(m>. Там же мы заметили, что
к этому виду может быть приведена и более общая система
аи1х+К» 4-си^ =Л (*, .у, и1, • ¦ •. О(у = 1. • • •.«), A)
в которой а, Ъ, с — фиксированные, не зависящие от v функции
от х, у, удовлетворяющие в рассматриваемой области условию
4аг — #2<0. Для этого достаточно ввести вместо х, у характери-
стлческие параметры а и [5 с помощью характеристических уравнений
ХЛ = \'\Уа., Х^ = р2>'р, Яр2 Ьр ~\~ С = 0 *).
*) Если применить метод § 2, п. 3, то в качестве характеристического
уравнения системы дифференциальных уравнений получится /я-ая степень
уравнения «,о2 — Ьр + с = 0.

§ 8] ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ F (х, у, U, р, д, Г, S, t) — 0 377
Заметим сначала, что изложенная в § 7 теория непосредственно
применима и к квазилинейным системам дифференциальных уравнений
с одинаковой главной частью. Другими словами, мы можем считать
решенной задачу Коши для системы вида A) также и в том случае,
когда коэффициенты а, Ь и с являются функциями не только х, у,
но зависят также и от величин и1,. .., и(ш> и производных ри..., дт.
Рассуждения § 7 почти дословно переносятся на такую систему, и
мы считаем возможным не приводить .их здесь вторично.
К такой квазилинейной системе второго порядка с одинаковой
главной частью мы сейчас приведем общую задачу с помощью про-
простого искусственного приема.
2. Решение задачи Коши в общем случае. Решим теперь задачу
Коши III для дифференциального уравнения
F(x, у, и, р, д, г, s, 0 = 0. B)
Пусть задана начальная полоска С2 второго порядка: х(к), .у(л),
ы(Х), р(К), д(к), r(K),s(K), t(k). При этом x'2-f-_y2 ф 0, и выпол-
выполняются условия полоски вдоль С2
и = рх~\-ду, p—rx-j-sy, g = sx-j-ty,
а также соотношение F — 0 между х, у, и, р, д, г, s, t вдоль
полоски Са1). Пусть, далее, С2—гиперболическая полоска, т. е. пусть
вдоль С2 имеет место неравенство
^FrFt — Fl<0 C)
и пусть С2 нигде не характеристична, так что всюду на С2
• • • •
причем функция F — трижды, а функции х(а), ..., t(k) однажды
непрерывно дифференцируемы.
Требуется в некоторой достаточно малой окрестности С2 построить
трижды непрерывно дифференцируемое решение и (х, у) дифферен-
дифференциального уравнения B), проходящее через начальную полоску С2.
Мы утверждаем: такое решение существует, является единствен-
единственным и зависит в точке Р(х, у, и) только от того начального
куска линии С, который вырезается из С обеими характеристи-
характеристиками, проходящими на интегральной поверхности и {х, у) через
точку Р.
Чтобы доказать это, мы сводим нашу задачу III к задаче IV рас-
рассмотренного в п. 1 типа. Для этой цели введем наряду с неизвест-
неизвестной функцией и еще две неизвестные функции и1 и и2, полагая
V
!) Таким образом, заранее предполагается, что С2—интегральная полоска
второго порядка. В сущности говоря, можно задавать только полоску пер-
первого порядка; однако, так же как и в случае дифференциальных уравнений
первого порядка, приведенная формулировка является более удобной, так
как она избавляет нас от исследования разрешимости соответствующей
системы уравнений.

378 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (л = 2) [гЛ. V
и заменим в нашем дифференциальном уравнении г, s и t значе-
значениями
Далее, дифференцируем уравнение F=0 по * ипо у и записываем
результат в форме
^причем r, s, ?, p, q всюду должны быть заменены через
«*, в1,
К системе уравнений E) и F) присоединим третье уравнение
w ад /.в; />о, G)
которое становится тривиальным, если под и1 и и2 действительно
подразумевать производные функции «.
Отвлекаясь от первоначального смысла и1 и к2, будем теперь
рассматривать систему трех уравнений E), F) и G), как систему
трех квазилинейных дифференциальных уравнений в частных произ-
производных второго порядка с тремя неизвестными функциями и, и1, и3.
Эта система имее_т в точности вид рассмотреннойv выше системы
второго порядка с одинаковой главной частью. Начальным условиям
задачи III соответсхвуют начальные условия для и, и1, к2, ux, uy,
Ki> lll> аж« u%- Задачу нахождения системы решений системы уравнет
ний E), F), G), удовлетворяющей этим начальным условиям, обозна-
обозначим римской цифрой. IV. Эта новая задача является в точности задачей
только что рассмотренного вида. Решение задачи III дает нам не-
непосредственно решение соответствующей задачи IV. С другой стороны,
на основании рассмотрений п. 1 мы должны считать задачу IV уже
решенной нами, так что этим исчерпывается вопрос о единственности
и об области зависимости. Таким образом, задача III будет полностью
решена после того, как будет доказано, что решение задачи IV дает,
обратно, решение задачи III. Мы докажем это, учитывая специальный
характер начальных условий задачи IV в том виде, как они полу-
получаются путем перенесения начальных условий задачи III на задачу IV.
Для этой цели введем вспомогательные величины
X = ux — u\ Y=,u9--u\ Z —«$—1?.
По условию эти величины имеют для задачи IV нулевые начальные
значения вдоль С. Точно так же вдоль С обращаются в нуль произ-
производные Хд,, Хь,, Yx, Yy, Zx, Zy. Далее, заметим, что имеет место
тождество

§ 8] ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ F (Х, у, U, р, q, Г, S, t) = 0 379
Считая поэтому на основании п. 1 задачу IV решенной, мы докажем,
что вместе с этим разрешается также и задача III, если нами будет
установлено, что условия X==Y = O имеют место не только вдоль
начальной кривой, но и всюду на, решении задачи IV.
В самом деле, доказав это, можно будет уравнения E) и F)
представить в виде Fx=Fy = O, так что F = const., a % силу
начального условия F = 0 мы получим, что вЯОду будет иметь
место уравнение F = 0.
Переходим к доказательству соотношений ЛТ=О и К = 0.
Докажем прежде всего следующее: величины X, Y, Z, которые-
после решения задачи IV мы можем рассматривать как известные
функции от х и у, удовлетворяют системе трех дифференциальных
уравнений вида
,+ •¦—0, (8)
4- ... = 0, (9ч
A-F7 A-F*7 Л- =0 (Ш\
где многоточиями обозначены выражения, линейные и однородные
относительно X, Y, Z и первых производных Хх, ..., Zy. При этом
величины ихх, и1, и* и1, и3, и, входящие в коэффициенты этой системы
дифференциальных уравнений, должны быть заменены их выражениями-
через х, у, имеющими место вдоль рассматриваемого решения
задачи IV; тогда для этого частного решения задачи IV, которое
только нас теперь и интересует, эти коэффициенты становятся опре-
определенными функциями от х и у. Дальше мы будем рассуждать так:
система дифференциальных уравнений (8), (9) и A0) является линей-
линейной системой уравнений с одинаковой главной частью относительно
неизвестных функций Хь, Y, Z. В § 6 была доказана единственность
решения задачи Коши для такой системы. Так как начальные значе-
значения X, Y, Z и их первых производных равны нулю, то в силу этой
теоремы о единственности решение X—Y=Z = 0 является един-
единственным решением этой задачи Коши для рассматриваемой одно-
однородной системы дифференциальных уравнений; соотношения Л'= Y==
— Z~0 будут тогда доказаны. Итак, для окончания нашего доказа-
доказательства мы должны только убедиться в справедливости системы
дифференциальных уравнений (8), (9), A0). Для этой цели произведем
следующее небольшое формальное вычисление.
. Выведем прежде всего уравнение A0). Для этого составим следую-
следующие выражения:
^ (и)
(¦§) = F V+ ^+FK+FA+
(¦§) =

380 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и = 2) [ГЛ. V
Скобки в левых частях указывают, что прежде чем дифференциро-
дифференцировать, мы должны в F сначала заменить и, р, д, г, s и t их выраже-
выражениями через х и у.
Эти выражения удовлетворяют, очевидно, условию
Прибавим теперь к уравнению E) выражение Fx — Flf тожде-
тождественно равное нулю, а к уравнению F) выражение F2 — F%; пере-
перегруппировав члены, мы получим:
«V-ff. a% - «у+гр к - «;
«V
или
FtZy -j- FaZ - FUX+ Ft = 0, A6)
+F^-ff,Z-ff/-/'s = 0. A7)
Присоединим сюда еще уравнение G), записывая его в виде
FrXx-j-FsXy-\-FtYy = 0. A8)
Дифференцируем теперь уравнение A6) по у, а уравнение A7) по х
и складываем полученные уравнения. Мы получим уравнение:
FrZxw + FsZxy + FtZyy -)-...= 0; A0)
многоточие здесь, как и в дальнейшем,, обозначает выражение,
линейное и однородное относительно величин X, Y, Z и их первых
производных.
Дифференцируя уравнение A8) по х и заменяя К^ через К^ =
= v\T^-j-Zj,, мы получим уравнение:
FrXxx + /yr^ -f FtXyy + ... - 0. (8)
Дифференцируя то же уравнение по у и заменяя Ху через
Ху = Yx — Z, мы получим:
FrY*o + FsY*y + FtYm + ... = 0. (9)
Уравнения (8), (9) и A0) дают нам искомую систему, и наше доказа-
доказательство, таким образом, доведено до конца.
Заметим еще раз, что точно такие же рассуждения дают нам
решение характеристической задачи Коши.
Далее, заметим, что совершенно аналогично решается задача Коши
и для дифференциального уравнения и-го порядка вполне гипербо-
гиперболического типа. Такое дифференциальное уравнение «-го порядка
можно записать в виде
Fix, у, Щ..., г0, ...,г„) = 0, A9)

§ 1] ВВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН 3 81
где ради краткости положено rv = -^* " _^-(v = 0, 1,2,..., и),
а многоточиями обозначены производные порядков ниже я.
Мы раньше назвали вполне гиперболической интегральной поло-
полоской и-го порядка такую начальную интегральную полоску и-го
порядка, для которой алгебраическое уравнение и-ой' степени отно-
относительно р
V — Л*-!?"-1 + • • • = 0 B0)
имеет п различных вещественных корней (см. стр. 342).
В этом случае изложенная выше теория сохраняет силу. Не
останавливаясь здесь на доказательстве, ограничимся ссылкой на
имеющуюся литературуJ).
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
§ 1. Введение комплексных величин. Переход от гиперболического
случая к эллиптическому с помощью комплексных переменных
Рассмотрения гл. V, § 6, п. 2 остаются в силе почти без измене-
изменений и в том случае, когда функция / или коэффициенты aV(J, являются
комплексными функциями от вещественных независимых переменных х
и у. Мы должны тогда и решения к = ul -\- iu% также расщепить
на вещественную и мнимую часть, что дает нам вместо п или N
уравнений с комплексными коэффициентами в два раза большее
число вещественных уравнений того же типа для функций ut и к2.
При этом остаются в силе теория интегрирования, теоремы
о единственности, а также все наши результаты относительно не-
непрерывной и дифференцируемой зависимости решений от параметров.
Если в дифференциальном уравнении F(x,y, u,...) = 0 левая
часть является аналитической функцией от всех своих аргументов и
если, кроме того, известно, что решение и (х, у) зависит аналити-
аналитически от х и у, то дифференциальное уравнение и его решение
могут быть аналитически продолжены на комплексную область, и мы
можем рассматривать переменные л; = xt -J- ix2 и <y=_y1-j-iya как
комплексные переменные. При этом исчезает различие между типами
дифференциальных уравнений, существенно связанное с веществен-
вещественностью независимых переменных, и становится принципиально воз-
возможным переход от эллиптического типа к гиперболическому.
Простейший и вместе с тем важнейший пример этого дает диф-
дифференциальное уравнение
*Ьи = и„в-\-ит = /{х, у, и, ux, иу\ A)
эллиптическое в вещественной области. Допустим, что правая часть
является аналитической функцией от своих пяти аргументов. Если
предположить, сверх того, что решение к зависит аналитически от х
Фридрихе и Лев и, Math. Ann» т. 99.

'382 ДОПОЛНЕНИЯ К ПЯТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. V
и у, то мы можем рассматривать к как функцию комплексных пере-
переменных х = х, -}- **а* 3/==Л~гУ'2 или же как комплексную функ-
функцию четырех переменных хх, х%, уи у2. Наше дифференциальное
уравнение выражает первоначально в вещественной области, что
Но в комплексной области мы можем дифференцирование по ух
заменить дифференцированием по iy2; поэтому комплексная аналити-
аналитическая функция к как функция от четырех переменных xt, x2, уи у2
удовлетворяет также дифференциальному уравнению
Ux^ — Uyah—fix, у, и, uXv~-iuy% C)
имеющему формально гиперболический характер. Мы видим, таким
образом, что право на такое преобрсзование уравнения эллиптиче-
эллиптического типа в уравнение гиперболического типа нам дает аналитиче-
аналитический характер решения к, т. е. то обстоятельство, что производная
функции по комплексному переменному не зависит от направления
дифференцирования.
Мы можем теперь обратить этот ход рассуждения следующим
образом: будем исходить из некоторого вещественного решения
первоначального уравнения и постараемся продолжить это решение
на комплексную область так, чтобы для продолжения имели место
гиперболическое уравнение C) или же .соответствующие системы
уравнений; тогда можно будет на этом основании доказать аналити-
аналитический характер получающейся таким способом комплексной функции.
В этом заключается основная идея принадлежащего Гансу Леви
метода доказательства аналитического характера решений эллипти-
эллиптических дифференциальных уравнений. В следующем параграфе мы
изложим вкратце доказательство Леви х).
§ 2. Аналитический характер решений в эллиптическом случае
1. Предварительное замечание* из области теории функций.
Комплексная функция w(xlt x2, yt, y? = w1-\-iws с непрерывными
частными производными первого порядка называется аналитической
функцией от обеих комплексных переменных х=х1-\- ix%, y=yl-\- iy%
в области В четырехмерного пространства хи дг3. уи у%, если в этой
области имеют место дифференциальные уравнения Коши-Римана
V«» =«>*, + №)*,= 0, Aw = wyi-\-i'Wyt = Q. A>
Это определение равносильно следующему: w называется аналитиче-
аналитической функцией в окрестности точки х = 0, у = 0, если w может
быть представлено в виде степенного ряда
оо
гг»= 2 a^yv-, B)
Math. Ann., том 101, стр. 609 и следующие.

§ 2] АНАЛИТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР РЕШЕНИЙ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
где |х|<^М, |.J'|<C.Af, при соответствующем выборе М1). w назы-
называется аналитичной в области В, если она аналитична в окрестности
любой точки области В.
2. Аналитический характер решений уравнения Au=f{x,y, u,p,q).
Мы предполагаем, что в нашем дифференциальном уравнении
bu=f(x,y,u,p,q) D)
функция / является вещественной аналитической функцией от своих
пяти аргументов и что и (х, у) — некоторое решение этого дифферен-
дифференциального уравнения, дважды непрерывно дифференцируемое в неко-
некоторой (вещественной) окрестности точки х = 0 и у — 0. Пусть /
аналитична во всей области пятимерного пространства x,y,u,p,q,
определяемой этой окрестностью точки @, 0) и множеством соответ-
соответствующих значений функций (и, р, q). Мы утверждаем, что при этих
условиях рассматриваемое решение и является не только дважды
дифференцируемым, но и аналитическим. Доказательство мы прове-
проведем с помощью продолжения на комплексную область, а именно,
]) Что второе свойство разложимости в степенной ряд вытекает из опре-
определения Коши-Римана, -доказывается следующим образом путем двукратного
применения интегральной формулы Коши для комплексных переменных:
пусть условия Коши-Римана A) имеют место в области В, определенной
М
условиями \х\<.М, \у\<^М. Окружность Кх- !¦* — 5 I = -н-. описанная из
М
любой точки q, 6з области | ? К -=-, "лежит целиком внутри В. Точно так же
М
все точки \х— ?|^-ц- лежат в В. Считая временно у\, _у2 параметрами,
мы можем представить w в этой области на основании интегральной формулы
Коши в следующем виде:
.; у*
= 4п f Yg
Точно так же окружность Ку. \у — '1\\ = —к~ и все ее внутренние точки
М
лежат в В, если гЛ и тЛ подчинены условию |<jj<;-^-. Мы можем поэтому..
вторично применяя интеграл Кошн, представить w (Zlt ?2, уг, у?) в виде
. -ft, е. у, »-4т/ (^gjhy,?w <* + "%>•
Подставляя в предыдущую формулу, мы получим двойной интеграл Кошн
Разложим теперь дробный множитель подинтегрального выражения в степен-
степенной ряд по степеням х и у так же, как в случае одного переменного, и про-
проинтегрируем этот ряд почленно. Мы получим таким путем искомое разложе-
разложение w в степенней ряд.

• 384 ДОПОЛНЕНИЯ К1 ПЯТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. V
мы дополним и до комплексной, дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемой функции от хи х2, Ух и у%, удовлетворяющей условиям
(II). Введя комплексные переменные x = x1-\-ix2 и y=yi-\-iyit мы
докажем, что можно построить комплексную функцию и (хи х%, ух< у2),
которая при ха=.У2 = 0 совпадаете функцией к(х,|у), записываемой
нами теперь в форме и(хъ у\), так, чтобы она была аналитической
относительно х и у. Мы произведем это продолжение постепенно,
сначала переходя при фиксированном yi от функции р(х1,у1) к ком-
комплексной функции u(xux2,y))i а затем переходя от и (хи лг2, yt)
к комплексной функции и(х1,х^,у1,у^).
Прежде всего продолжим / аналитически на комплексные значения
аргументов; тогда/непрерывно дифференцируема по этим аргументам.
Первый шаг заключается в том, что мы xt рассматриваем как пара-
параметр, а новую функцию и (xt, х2, _yt) стараемся определить с помощью
дифференциального уравнения
иут — и^х, = /(*, + ix2, у\, и, — iu^, Чу), E)
получающегося из D) формальной заменой х через x1Jrixi. При
этом xi рассматривается как фиксированный параметр, тогда как у,
и х2 являются вещественными независимыми переменными в ком-
комплексном решении и. Дли этого дифференциального уравнения мы
решаем задачу Коши с начальной кривой х2 = 0. Начальные усло-
условия на этой кривой имеют вид
'и(х1,0,у1)=и(х1,у1), F)
причем в правой части стоит исходное вещественное решение уравне-
уравнения D).
Далее, мы задаем начальное значение производной иХш с помощью
начального условия
\ii = uXi-\~iux=^Q при ха = 0. G)
Это условие выражает, таким образом, требование, чтобы уравнение
Коши-Римана имело место вдоль начальной кривой х2 = 0. Согласно
изложенной выше теории дифференциальное уравнение E) и началь-
начальные условия F) и G)однозначно определяют продолжение u(xt, x%,y^)
функции и(хиу^) в некоторой окрестности начальной кривой. Из
полученных раньше результатов следует далее, что функция u(xltxz,y{)
является непрерывно дифференцируемой функцией параметра xt в не-
некотором промежутке изменения этого параметра, так что функция
ч(х1,х2,у1) определена в некоторой полной трехмерной прямоуголь-
1) В случае нашего дифференциального уравнения доказательство можно
было бы столь же просто провести с помощью методов теории потенциала.
Однако, излагаемый метод Ганса Леви представляет принципиальный инте-
интерес и открывает доступ к решению более трудных задач (см. Math. Ann.,
т. 104, стр. 325 и следующие; Trans. Amer. Math. Soc, т. 37 A935), стр.417
и следующие и т. 41 AS37), стр. 365 и следующие).

§ 2] АНАЛИТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР РЕШЕНИЙ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 385
ной окрестности точки л;, =0, х2 = 0, у1 = 0, будучи в этой окре-
окрестности непрерывно дифференцируемой по xv Точно так же произ-
производная иХг непрерывно дифференцируема по xv
Дифференцируя второе начальное условие G) по параметру xt,
мы получим 5— ^а — M*i*t -\~ iuxzXi — 0. Заметив, что при х2 = 0
имеют место как дифференциальное уравнение D), так и новое диф-
дифференциальное уравнение (о), служащее продолжением уравнения
D), мы получим, вычитая эти уравнения и учитывая начальное
условие G),
«*i*i "Г и^х% = 0 при *2 = 0.
Таким образом, при xs = 0 имеет место уравнение
или
JL V« = ~ (аХ1 + шЛ = 0. (8)
Применим теперь к дифференциальному уравнению (о) оператор Коши
V. Положим для краткости Va = со. Мы получим в результате этой
дифференциальной операции
«V, — °Ч*2 =/* VJf +/„ V« — ifUx VaXi -\-fUy V%.
Так как Vx = 0, то мы можем записать это уравнение в следующем
окончательном виде:
При этом после того, как функция u(xlt x2, у%) нами уже найдена,
мы должны рассматривать коэффициенты fu, fUgj и /и правой части
как известные комплексные функции от ух и ха. Таким образом, мы
получили для ш однородное линейное гиперболическое уравнение
второго порядка, для которого мы уже доказали раньше теорему
о единственности решения задачи Коши.
Но в силу условий G) и (8) начальные значения ш и ^— равны
нулю, откуда и следует на основании теоремы о единственности и
благодаря однородности рассматриваемого дифференциального ура-
уравнения, что о) = 0 тождественно в некоторой трехмерной окрестности
Q начала координат.
Мы должны теперь сделать второй шаг продолжения, а именно,
продолжить а на четырехмерную область пространства xvxa,yuy.,.
Для этой цели фиксируем в Q какие-нибудь значения х2 и yt и про-
производим продолжение функции u(xu x^yx) с помощью гиперболи-
гиперболического дифференциального уравнения
«ад — ЧугУ; = /(-V, У, U, Ид-, — Шу,). (9)

386 ДОПОЛНЕНИЯ К ПЯТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. V
При этом мы задаем теперь в плоскости xvy% вдоль прямой у2 = О
в качестве первого начального условия
« (*i> x2, yt, 0) = и (л:,, x2, yt),
а в качестве второго начального условия требование
= о. (Ю)
Снова мы получаем, что функция и (xlt x2,yv у%) однозначно опреде-
определяется этими условиями. Далее, в силу свойств непрерывности, реше-
решения нашего дифференциального уравнения (9) относительно парамет-
параметров Хъ,Ух мы убеждаемся в том, что это решение определено в неко-
некоторой четырехмерной окрестности В начала координат и является в этой
области непрерывно дифференцируемой по параметрам X2,yv
Чтобы, наконец, доказать аналитический характер и, нам остается
только показать, что всюду в области В выполняются условия Коши-
Римана Vk = 0 и Аи = 0. Условие Аи = 0 при у2 = 0 является как
раз нашим вторым начальным условием A0). Далее, при y% — Q
имеют место как дифференциальное уравнение (9), так и дифферен-
дифференциальное уравнение E), и мы получаем, вычитая эти уравнения одно
из другого и учитывая доказанное нами уравнение У и = 0 при
_у2 = 0 и уравнение A0):
«*!*! — «ад* + %** — *Vi = ° при Л = °*
Но при у0 = 0 мы уже доказали, что У и — их -f- iux = 0, откуда
мы получим, дифференцируя по xv что при _у2 = 0
Дифференцируя то же уравнение по х2, мы получаем далее
4^2+«^2a;2===0 или ua
Складывая эти уравнения, мы получим:
откуда
Дифференцируя уравнение A0) по у1г мы получаем, с другой стороны,
так что в силу уравнения A1) выполняется условие
з|-Ли = 0 при д/2 = 0.
Рассуждая снова таким же образом, как и раньше, мы на основании
теоремы о единственности решения задачи Коши для аналогичного
прежнему однородного линейного дифференциального уравнения по-
получим, что Аи = 0 во всей области В. Таким же образом доказы-
доказывается, что Vk = 0 в В.
Убедившись в том, что и является аналитической функцией в ком-
комплексной окрестности точки х = 0, у = 0, мы вместе с тем устано-

§ 3] ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ТЕОРИИ ХАРАКТЕРИСТИК (И = 2) 387
вили аналитический характер в действительной области, т. е.
разложимость в степенной ряд первоначального решения и {х,'у)
нашего эллиптического дифференциального уравнения Аи =/.
3. Замечание относительно общего случая дифференциального
уравнения F(x,y,u,p,q,r,s,f) = O. Метод Леви приводит к цели
также и в общем случае аналитического дифференциального уравне-
уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. Можно
доказать следующую теорему: Если и{х, у) —трижды непрерывно
дифференцируемое решение эллиптического дифференциального
уравнения и если это дифференциальное уравнение аналитично
относительно всех своих аргументов то функция и(х,у) сама
является аналитической функцией от обоих переменных х и у.
Мы здесь не будем останавливаться на доказательстве этой тео-
теоремы и отошлем читателя к имеющейся литературе1).
Отметим только, что основная идея доказательства в общем слу-
случае заключается в следующем.
Мы заменяем данное дифференциальное уравнение так же, как и
в гл. V, § 8, квазилинейной системой дифференциальных уравнеиий.
В силу эллиптического характера уравнения мы, однако, уже не
можем ввести вещественные характеристические параметры а, C. Вме-
Вместо этого мы можем совершенно аналогично методу_ изложенному
в гл. V, § 8, привести эту систему к системе дифференциальных
уравнений вида
с неизвестными функциями v1, гР,...
К такой системе может быть применена вся изложенная в п. 2
теория почти без изменений, что и дает возможность провести со-
совершенно аналогичное предыдущему доказательство аналитического
характера решения.
Метод Леви ограничен случаем двух независимых переменных,
поскольку применяемый при этом методе процесс продолжения с по-
помощью гиперболических дифференциальных уравнений может быть
полностью проведен только в случае двух независимых переменных.
Теорема об аналитическом характере решений эллиптических диф-
дифференциальных уравнений в случае большего числа независимых
переменных доказывается другими методами2).
§ 3. Дальнейшие замечания к теории характеристик в случае
двух независимых переменных
Теория интегрирования общего нелинейного дифференциального
уравнения F (х, у, и, р, q, r, s, t) = 0 может быть построена также и
непосредственно без помощи перехода к вспомогательным квазили-
*) Леви (Lewy), Math. Ann., т. 101, а также изложение доказательства
Леви у Ад а мара, Lecons sur le probleme de Cauchy, стр. 4fi7 н следующие.
2) См., например, Е. Hopf, Math. Ztschr., т. 34, стр. 194 и следующие.

388 ДОПОЛНЕНИЯ К ПЯТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. V
нейным системам, причем основная идея решения остается той же1),
что и в гл. V, § 8. Мы ищем восемь величин x,y,ti,p,q,r,s, t как
функции характеристических параметров а н C. Соответствующая
каноническая гиперболическая квазилинейная система дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка получается
при этом на основании тех же соображений, что и раньше, следую-
следующим образом.
Введем сокращенные обозначения
y p + q + uq + y
Продифференцировав данное уравнение по х и у и обозначая через
аир характеристические параметры на рассматриваемой интеграль-
интегральной поверхности, напишем условия пЬлоски для характеристических
параметров X = а и X — C. Мы получаем тогда, что матрица
а)
и матрица
должны иметь ранг, меньший трех.
Это дает нам оба характеристических уравнения
Fr Fs Ft
ХхУх 0 =Ftxl — F8xxyx + Fryl=*0
О хх Ух
или, после расщепления,
д. п у О * v г у* - О
где pj и р2 — известные функции от х,у,и, p,q,r,s,i.
Кроме этого, мы получаем из условия относительно ранга матриц
четыре дальнейших уравнения. К этим уравнениям мы должны еще
присоединить шесть условий полоски для иа, и^, р^, р%, qxy q^. Всего
мы получаем, таким образом, 12 дифференциальных уравнений в ча-
частных производных первого порядка с восемью неизвестными фун-
функциями х,у, ..., s, t от а и ,3. Из этих уравнений мы выбираем
затем восемь подходящих уравнений и доказываем, что остающиеся
четыре уравнения являются следствиями первых восьми при соответ-
х) Этот переход к квазилинейным системам удобен при изложении теории
в том отношении, что дает возможность расщепить задачу на ряд после-
последовательных задач возрастающей степени трудности. Принципиально же
этот переход не дает сокращения доказательства.

§ 4] ОСОБАЯ РОЛЬ УРАВНЕНИЯ МОНЖА-АМПЕРА 389
ствующих начальных условиях. Выделенная система восьми уравне-
уравнений может быть решена с помощью методов гл. V, § 7, и мы
доказываем затем совершенно так же, как и раньше, что решение
этой системы дает нам решение первоначального дифференциального
уравнения. Подробности читатель найдет в имеющейся литературе1).
§ 4. Особая роль уравнения Монжа-Ампера
В случае линейных и квазилинейных дифференциальных уравне-
уравнений теория характеристик сама по себе дает сразу, вместо системы
уравнений с восемью неизвестными функциями х, ..., t от-а и J3,
более простую систему, состоящую только из пяти уравнений с пятью
неизвестными функциями х, у, и, р, д. Замечательным является тот
факт, что такое же упрощение имеет место также и в одном случае
не-квазилинейного уравнения, а именно, в случае дифференциального
уравнения Монжа-Ампера.
Дифференциальное уравнение Монжа-Ампера, играющее очень
важную роль в геометрии, имеет следующий вид:
Ar-\-Bs-{-Ct-x-D{rt —
где A,B,C,D,E — заданные функции от х,у,и, p,q. Это дифферен-
дифференциальное уравнение занимает поэтому в известном смысле промежу-
промежуточное место между квазилинейными уравнениями и общими нели-
нелинейными дифференциальными уравнениями.
Как легко убедиться, уравнение A) является уравнением гипер-
гиперболического типа тогда и только тогда, когда выполняется условие
& — 4AC+4ED>0. B)
Из условий p«~rxa-\-sya и qa~sxa-\-tyu мы получаем
(rt — s*)ya = rqa — spa.
Соответственно имеем:
(rt—s*)y? = rqp — sp$.
Ввиду этого мы получим характеристические условия, потребовав,
чтобы матрица
fAya + Dqa Bya — Dpa Суа Еуа
*« Уа ° —Ра
0 х* У* —Я*
а также вторая матрица, получающаяся заменой а через C, имели
ранг, меньший трех. После некоторых преобразований *) мы придем
к следующей характеристической системе, заменяющей заданное диф-
дифференциальное уравнение:
*) Леви (Lewy), Адамар, Фридрихс-Леви в цитировавных выше местах.
•) См. примечание переводчиков в конце книги.

390 ДОПОЛНЕНИЯ К ПЯТОЙ ГЛАВН [ГЛ. V
Квадратное уравнение
р» — Вп -{- АС—ED = 0 C)
имеет в силу условия B) два различных вещественных корня, кото-
которые мы обозначим через рх и ра. pt и р2 являются функциями от х,
У, «, Р и q.
Тогда имеет место следующая характеристическая система диф-
дифференциальных уравнений:
— Ayp — Dq^ == 0,
*e = o,
D)
Далее, легко доказать, что при соответствующих начальных
условиях система D) эквивалентна задаче Коши для первоначального
дифференциального уравнения.
Особая роль уравнений типа Монжа-Ампера выясняется также
и при следующем рассмотрении, касающемся задачи Коши..
Рассмотрим дифференциальное уравнение, квадратное относительно
вторых производных, вида
L[Bj=!i4ra-l-Bsa+C/B-fZ)rs-j-?r/-f-/!1rf+Or + «s4-^ + f =0. E)
где А,...,К—заданные функции от х, у, а, р, д. Для такого
уравнения L [и] = 0 требуется решить задачу Коши вдоль кривой
х(к), у (К), задавая начальные значения и (А), р(Х), ^(А), причём
имеет место условие полоски
Для того, чтобы решить эту задачу, мы должны, прежде всего,
дополнить заданную полоску первого порядка до интегральной по-
полоски второго порядка, вычисляя начальные значения г, s, t из урав-
уравнения ?. —0 и условий полоски rx-\- sy — p, sx-\-ty~q.
В силу квадратичности выражения L такое дополнение, вообще
говоря, возможно двумя способами. Оказывается, что среди всех
уравнений вида ф) уравнения Монжа-Ампера являются единственными
уравнениями, обладающими тем свойством, что для них всякая
полоска первого порядка может быть только одним способом допол-
дополнена до интегральной полоски.
Для доказательства положим -^-=—а; тогда *) s — !xt-{-...; г=
х
= аЧ-\- . •., где многоточиями обозначены выражения, известные
*) См. примечание переводчиков в конце книги.

§ 4] ОСОБАЯ РОЛЬ УРАВНЕНИЯ МОНЖА-АМПЕРА 391
вдоль полоски первого порядка. Подставив эти выражения в урав-
уравнение Х = 0, мы получим для t квадратное уравнение, причем
коэффициент при I2 имеет следующий вид:
Ля4 + DaS -г (Е + в) «2 + Fa + с-
Для того, чтобы это выражение обращалось в нуль при любом
значении а, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
Л = /> = F — C—O, Е-\-В — О, что и требовалось доказать.
Заметим, что этот результат, получающийся для задачи Коши
в гиперболическом случае, тем более замечателен, что для краевой
задачи дифференциального уравнения Монжа-Ампера эллиптического
тина возможна двузначность решения, как мы это показали в гл. IV,
§ 5, п. 3.

ГЛАВА VI
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
СО МНОГИМИ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ (я>2)
В случае гиперболических дифференциальных уравнений с п неза-
независимыми переменными, где я>2, теЬрия характеристик попрежнему
является необходимой для более глубокого понимания природы та-
такого уравнения, хотя при н>2 она уже не дает возможности до-
довести до конца процесс интегрирования дифференциального уравнения.
В настоящей главе мы прежде всего изложим теорию характе-
характеристик, причем ход наших рассуждений будет во многом аналогичен
рассмотрениям гл. V.
Так же, как и для дифференциальных уравнений в частных произ-
производных первого порядка, в случае я>2 в качестве нового обстоя-
обстоятельства возникает необходимость рассматривать наряду с характе-
характеристическими многообразиями п—1 измерений и характеристическими
кривыми также и бихарактеристики или характеристические
лучи *). Во второй части этой главы мы подробнее остановимся
на процессе интегрирования дифференциальных уравнений и рассмот-
рассмотрим, главным образом, линейные задачи с постоянными коэффициен-
коэффициентами.
§ 1. Характеристическое уравнение
Уже в гл. III, § 3 мы ввели классификацию дифференциальных
уравнений и систем дифференциальных уравнений с помощью «харак-
«характеристического соотношения». Отправляясь теперь от задачи Коши,
мы вновь придем к тем же результатам, совершенно независимо от
предыдущего, с новой, более глубокой точки зрения. Мы снова
берем за основу вопрос о том, в какой мере заданное дифференци-
дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений опреде-
определяет искомую функцию вдоль начального многообразия и, в частности,
исследуем, в каком случае начальные данные вдоль начального
многообразия однозначно определяют производные высших порядков.
*) По теории характеристик и волн см. А д а м а р. Propagation des ondes,
Париж, 1903; Л е в и-Ч и в и т a, Characferistiche dei Sistemi Difterenziali e Pro-
pagazione ondosa, Bologna. См. также Thomas and T i 11, Ann. of Math.w
т. 34 A933), стр. 1—80.

I§ 1] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 393
1. Квазилинейные дифференциальные уравнения второго по-
порядка. Рассмотрим сначала в качестве наиболее важного случая
квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка
L[a]-|-D = 2aftBft + ?> = 0, О)
причем коэффициенты aik — аи и величина D являются заданными
функциями от п независимых переменных, величины и и частных
производных щ = ¦=—; через u.i1( здесь обозначены производные
второго порядка:
Вообще мы в настоящей главе условимся раз навсегда, что индексы
при буквах, означающих неизвестные функции, обозначают частные
производные, как, например, щ, <э4, -V,-, mt; и№, %,., <hik, ша., тогда
как индексы при буквах, обозначающих коэффициенты, например, а,
Ъ, с, а, [3, \, являются индексами в обычном смысле слова. Напо-
Напомним дальше, что при отсутствии противоположной оговорки мы
считаем все встречающиеся величины непрерывными в рассматривае-
рассматриваемой области.
Для дифференциального уравнения A) мы рассматриваем теперь
следующую задачу Коши: в пространстве Rn переменных хи...,хп
уравнением <р (xv..., хп) — 0 задано основное многообразие Со,
которое мы представляем себе выраженным также с помощью пара-
параметров Xj,. ..,Х„_, таким образом, что функции
Ах = Xj(xv... хп);..., kn_x = Xa_j (Xj,. . .xn) и \n^=®(xj,...,xn)
производят взаимно однозначное отображение некоторой окрестно-
окрестности точки М на и-мерную область пространства Х1? Х2,..., Х„..
Пусть вдоль Со задано начальное значение функции и как функции
параметров Xj,...,ХЯ_,, так что этим определяется в пространстве
Rn+1 переменных х и и начальное многообразие С: xtQ4>.. .,Хп_1'),
• •» XfiQ'i>• • •'^»-i)i uiK<^2>• - ч^л-i)- Это начальное точечное много-
многообразие мы дополняем до начального тангенциального многообразия
или, короче, до полоски первого порядка Сг, присоединяя п вели-
величин р4 как функции параметров Л1( Х2,. ..,Xn-i. причем эти величины
должны удовлетворять условиям касания, или условиям полоски
или, короче,
Мы говорим, что функция и (xv..., хп) содержит полоску первога
порядка Cv если вдоль многообразия <j> = 0 функция и и производи

394 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п>2) [ГЛ. V1
ные щ совпадают с перечисленными выше величинами, определяющими
полоску. Соответственным образом мы можем определить полоску
второго порядка С2, задавая вдоль Со также значения pik, удовле-
удовлетворяющие условиям волоски:
Мы ставим себе, прежде всего, следующий вопрос: в какой мере
дифференциальное уравнение A) определяет вдоль заданной началь-
начальной полоски Cj решение и, содержащее эту полоску? Можно ли
с помощью этого дифференциального уравнения определить одно-
однозначно вдоль полоски также и производные второго и высших
порядков? Заметим, что, поскольку поставленный вопрос относится
только к достаточно малой окрестности полоски, то мы можем его
уточнить следующим образом: назовем полоску второго порядка С2,
для которой величины и{ = рг и uik = pih удовлетворяют дифферен-
дифференциальному уравнению A), интегральной полоской; тогда наша задача
сводится к тому, чтобы узнать, может ли заданная полоска первого
порядка быть однозначно дополнена до интегральной полоски вто-
второго порядка.
Чтобы ответить на этот вопрос, заменим в дифференциальном
уравнении A) переменные xv х2,...,хп новыми' переменными Хи
h >K-i и К = Ч>-
Дифференциальное уравнение примет тогда следующий вид:
S «*j*Q С** h) + S U4L M + я = о B)
или
«WQ (??)+..•= о, C)
причем
H;| D)
1,8 = 1
а многоточие в уравнении C) обозначает сумму членов, однозначно
определяемых вдоль полоски Сх величинами первого порядка, харак-
характеризующими полоску, т. е. членов, содержащих величины полоски
первого порядка и их внутренние производные, т. е. производные
по параметрам Aj, А2,..., Ki-v Так как вдоль полоски известны все
те вторые производные функции и, которые получаются внутренним
дифференцированием, т. е. дифференцированием по первым к—1
параметрам, то единственной второй производной, не определяемой
внутри Сг с помощью начальных данных, является вторая внешняя
производная и^ = uhiln.
Но эту вторую внешнюю производную и, следовательно, все
вторые производные мы можем однозначно определить в каждой
точке Р полоски Ct тогда и только тогда, когда Q(©, <j>) нигде

§ 1] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 395
не обращается в нуль вдоль полоски Сг. Таким образом, получается
следующая альтернатива в отношении каждой точки Р полоски Cv
подлежащей дополнению до интегральной полоски С2: либо вторая
внешняя производная и??, а вместе с ней все другие производные
второго порядка однозначно определяются в данной точке с помощью
задания полоски первого порядка, либо дифференциальное уравнение
дает дальнейшее условие, которому должны удовлетворять величины
полоски, характеризующие полоску первого порядка Cv
В дальнейшем мы будем предполагать, что вдоль всей полоски С,
имеет место либо первый, либо второй случай. В первом случае мы
называем полоску Ct обыкновенной, а во втором случае — особой.
Особая начальная полоска Ct характеризуется тем, что вдоль такой
полоски выполняется характеристическое условие
Ч>)= 2 а*Ъ<?к = 0- E)
i 7
В том случае, когда особая полоска может быть дополнена до
интегральной полоски, мы называем ее характеристической полоской
первого порядка.
Подчеркнем, что хотя характеристическое условие E) имеет внеш-
внешний вид уравнения в частных производных первого порядка относи-
относительно <р, оно по своему определению еще не является таковым.
В самом деле, условие E) не должно выполняться тождественно отно-
относительно га переменных хи ..., хп, а только вдоль кривой Сг. Мы
можем, однако, привести уравнение E) к виду уравнения в частных
производных с неизвестной функцией от п—1 переменных, введя,
например, в качестве независимых параметров величины Xj = xt, ...,
ли_1 = л;и_1 и задавая кривую Со в форме xn — ty(xlt ..., xn_t).
Тогда характеристическое условие действительно становится уравне-
уравнением в частных производных для функции ty(xt, ..., хп_у) и при-
принимает вид
п—1 »—1
2 а«ДО* — 2 2 а**Ц + апп = 0. E')
причем, разумеется, в коэффициентах aik величины и и щ = pt должны
быть всюду заменены их выражениями через х1г ..., x.n_v
Если с самого начала мы будем отправляться не от полоски Си
а от заданной «интегральной поверхности» u = u(xt, ..., хп) диф-
дифференциального уравнения A), то вдоль такой интегральной поверхности
величины и и производные щ = рг являются известными функциями
от хи ..., хп. Характеристическое условие E), в котором мы те-
теперь должны заменить входящие в коэффициенты aik величины и
и щ их выражениями через xt, ..., хт определяет тогда характе-
характеристические многообразия на данной интегральной поверхности.
Именно, всякая функция о, для которой уравнение E) имеет место,
если <р = 0, дает характеристическое многообразие.

396 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (й > 2) [ГЛ. VI
Если уравнение E) имеет место не только при условии ад =¦ О,
но выполняется тождественно относительно х,, ..., хп, то не
только многообразие с? = 0, но и любое многообразие семейства
<р = const. = с является характеристическим, так что мы полу-
получаем семейство характеристических многообразий, зависящее от
одного параметра, которые, в свою очередь, образуют в своей
совокупности всю данную интегральную поверхность. Обратно,
если <р = с есть семейство характеристических многообразий, то
¦ функция ср удовлетворяет характеристическому условию E) как
уравнению в частных производных первого порядка.
В заключение заметим, что для характеристического многообразия
дифференциальное выражение L [и] является внутренним дифферен-
дифференциальным выражением по отношению к полоске Cv Дифферен-
Дифференциальное уравнение B) можно тогда рассматривать вдоль С1 как
уравнение в частных производных первого порядка относительно
внешней производной первого порядка к9 —а, выводящей за пре-
пределы Cj, причем все остальные величины, входящие в это уравнение,
получаются из и исключительно внутренним дифференцированием от-
относительно Cv
Как уже было подчеркнуто в гл. III, все наши рассмотрения
имеют смысл только тогда, когда существуют вещественные функ-
функции <р, удовлетворяющие характеристическому условию E). Только
в этом случае могут существовать характеристические многообразия.
Необходимой предпосылкой всех наших рассмотрений является, та-
таким образом, неопределенность (индефинитный характер) квадра-
квадратичной формы Q(cp, ср). Если Q—определенная квадратичная форма,
то мы назвали дифференциальное уравнение эллиптическим. Мы
здесь оставляем в стороне как этот случай, так и случай
параболического вырождения, т. е. тот случай, когда с помощью
линейного преобразования квадратичная форма Q от п переменных
приводится к квадратичной форме от меньшего числа переменных.
Мы предполагаем, что наша квадратичная форма является неопреде-
неопределенной и что индекс инерции этой формы, т. е. число отрицатель-
отрицательных квадратов в каноническом виде формы, вдоль всей рассматривае-
рассматриваемой полоски равняется единице, так что в каждой точке полоски
форма Q с точностью до знака может быть с помощью линейного
преобразования приведена к виду
Мы называем в этом случае дифференциальное уравнение собственно
гиперболическим или просто гиперболическим. Типичным примерои
такого уравнения является, как мы видели, волновое уравнение
с характеристическим условием

§ 1] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 397
Если индекс инерции квадратичной формы больше единицы, то мы
называем дифференциальное уравнение ультрагиперболическим. Ти-
Типичным примером такого уравнения служит уравнение
иП + М22 — иЗЗ
с характеристическим условием
2. Линейные дифференциальные уравнения. Характеристи-
Характеристические лучи. Описанные в п. 1 обстоятельства принимают в случае
линейных дифференциальных уравнений более наглядный характер и
могут быть выражены в более простом и явном виде. Рассмотрим
дифференциальное уравнение
L{u\-\-d = O, F)
где
п п
L [и] = U [и] -f си = 2 aikuik + S hut -f- ca,
причем коэффициенты ailo biy с, d являются заданными функциями
от га независимых переменных л:,, ..., хп. Характеристическое усло-
условие E) или E') зависит тогда только от основного многообразия Со
полоски Cj и не зависит, таким образом, от того, какую интеграль-
интегральную поверхность или интегральную полоску мы рассматриваем над
основным многообразием Со. В линейном случае мы можем, поэтому,
говорить, что уже само основное многообразие Со, заданное уравне-
уравнением е> = 0 как многообразие в пространстве переменных xt хп,
является характеристическим многообразием линейного дифферен-
дифференциального уравнения, если при »= 0 выполняется условна
Гиперболический характер является, таким образом, в линейном слу-
случае свойством самого дифференциального уравнения, а не свойством,
приобретаемым дифференциальным уравнением на данной полоске.
Связь между характеристическим условием E) и характеристиче-
характеристическим условием
» га
2 «.ifcfefe — 2 2 я*.п'и-t-««n = 0 im = я — 1) E')
i,T:=l t = l
выясняется с помощью следующего рассмотрения:' пусть <b(xv ..., хп) —
некоторое решение уравнении E), рассматриваемого как дифферен-
дифференциальное уравнение в частных производных; тогда, разрешив уравне-
уравнение <j> = 0 относительно хп в форме
*» = 41 (*i. • - ¦. хт) (т = п — 1),

398 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (/г>2) [ГЛ. VI
мы получим, что функция ^(xj, ..., хт) является решением диффе-
дифференциального уравнения E'); разрешив же уравнение 9 —с относи-
относительно хп, мы получим семейство решений
xn = y{Xi, ...,xm; с)
уравнения E'), зависящее от параметра с.
Обратно, если мы получили какое-нибудь семейство решений урав-
уравнения E') вида
хп = $(.х1, ..., хт; с),
зависящее от параметра с, то, записав это решение в форме, разре-
разрешенной относительно с, т. е. в виде
с = <?(*!, •••» хп),
мы легко убедимся в том, что » является решением уравнения в част-
частных производных E).
Пусть теперь <? = 0 — какое-нибудь характеристическое многооб-
многообразие, так что функция » удовлетворяет уравнению E) при <р = 0;
тогда, как мы видели, соответствующая функция хп = <J (xt, ...,xm)
является решением уравнения в частных производных E'). Но всякое
решение такого уравнения в частных производных первого порядка
может быть включено в семейство решений хп — <Ь(хи ..., хт; с),
зависящее от одного параметра с1). Разрешая это уравнение относи-
относительно с, мы снова получим соответствующее решение уравнения
в частных производных E).
Из предыдущего следует, таким образом, что всякое характери-
характеристическое многообразие может быть включено в семейство ха-
характеристических многообразий 9 = с, Зависящее от одного па-
параметра с.
Мы имеем поэтому право всякое характеристическое многообразие
<р—0 считать представителем семейства ср = с характеристических
многообразий, так что уравнение всякого характеристического много-
многообразия может быть записано в виде 9 = 0, где функция о удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению E) не только при условии
9 = 0, но тождественно относительно xlt ..., хп а является
решением этого уравнения, как уравнения в частных произ-
производных.
В качестве примера рассмотрим в случае п = 3 дифференциаль-
дифференциальное уравнение иы — uwx — иуу — 0 и конус y_ = fi — х-—_у2 = 0.
Функция у удовлетворяет дифференциальному уравнению
V2 va vs __ 4v
Ы f-x by /•"
Отсюда следует, что конус у_ — 0 является характеристической по-
поверхностью, тогда как поверхности / = с при с ф 0 уже не являются
характеристическими поверхностями.
1 Мы можем, например, решения этого уравнения в частных производ-
производных определять согласно гл. И с помощью задания начальных значений, за-
зависящих от параметра с.

§ 1] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 399
Если же мы включим конус ^ = 0 в семейство конусов
то функция ф удовлетворяет дифференциальному уравнению
Ср2 ф2 ф2 _0
•t 'X "у >
и, следовательно, все поверхности семейства » = с являются характе-
характеристическими поверхностями данного дифференциального уравнения.
Приведем теперь некоторые простые теоремы об инвариантности,
важные для дальнейшего.
Пусть при преобразовании ?v —?v(Xj, лг2, ...t хп) функция и(х)
переходит в функцию ш($) и пусть при этом
L [и\ = U [и] -f- си = 2 <VV + 2 РЛ + 6'ш = Л Iе0] = л' 1ф] + са>-
Тогда наряду с соотношением L [и] — А [со] имеет место также соот-
соотношение U [и] = Л' [ш].
Далее, характеристики инвариантны относительно любого
преобразования независимых переменных.
Этот факт, прежде всего, непосредственно вытекает из самого
смысла характеристического условия.
Убедимся в этом и вычислительным путем: положим для нашего
дЬ
преобразования т„-г = -*— и пусть рассматриваемое дифференциачьное
выражение преобразуется по формуле
L [и] = 2 aikuik + • • • = 2 %Лй + • • • •
причем
п
<°(Ei, ••-, Sn) = u(xu ..., хп), а а47.= 2 ^Л^лг-
Если теперь
(pOi, ..., ^ = 4F!, ..., У,
то отсюда непосредственно вытекает тождество
которое и выражает наше утверждение.
Часто является полезным, пользуясь этой инвариантностью, пре-
преобразовать характеристическое многообразие в координатную пло-
плоскость л:„ —0. Это дает следующий результат:
Для того, чтобы плоскость хп = 0 являлась характеристи-
характеристическим многообразием, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
выполнялось условие
аяп(х1,...,хп.1,0) = 0. G>
Для того же, чтобы семейство плоскостей хп — const, было
семейством характеристических многообразий, необходимо и до-
достаточно, чтобы коэффициент ann(xv ..., х„) тождественно
равнялся нулю.

400 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и>2) [ГЛ. VI
Чтобы глубже проанализировать характеристические многообразия,
введем понятие характеристических кривых ила лучей.
Для этой цели рассмотрим в и-мерном пространстве Rn перемен-
переменных jCj, ..., хп некоторую поверхность Со, заданную уравнением
v(xu ..., хп) = 0 или, в более общем виде, о = с — const. Каждой
точке этой поверхности мы сопоставляем направление вектора, ком-
компоненты которого пропорциональны величинам
п
**= 2 %<%• (8)
Другими словами, мы сопоставляем каждому элементу поверхности Со,
задаваемому коэффициентами срй уравнения касательной плоскости1),
линейный элемент xt = ~^-, представляя себе при этом некоторые
CIS
кривые, заданные функциями xt(s) параметра s, причем мы задаем
пока только производные этих функций в рассматриваемой точке по-
поверхности Со. Это направление называется трансверсальным напра-
направлением (см. гл. II, дополнения, § 1).
Дифференцирование по s
i=»l i, k
называется трансверсалькым к Со дифференцированием.
Касательная плоскость к Со и трансверсальное направление взаимно
сопряжены относительно поверхности второго класса
i, k
где величины il=.<fi означают тангенциальные координаты.
Мы можем теперь высказать следующую теорему:
Поверхность М является характеристической тогда и только
тогда, когда во всех ее точках трансверсальное направление ка-
касается поверхности; в этом случае трансверсальное дифференци-
дифференцирование является внутренним дифференцированием относи-
относительно 'М.
В самом деле, мы можем характеристическое условие записать
в форме
что и доказывает нашу теорему.
Трансверсальное дифференцирование инвариантно относительно
любых преобразований независимых переменных.
г) Направляющие косинусы нормали к касательной, плоскости задаются
выражениями

I 1] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 401
Действительно, из предыдущих замечаний следует, что для любой
функции ty билинейная форма
принадлежащая к квадратичной форме Q, инвариантна относительно
любого преобразования независимых переменных.
Уравнения (8) мы можем при заданной функции <р рассматривать
как систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
. Решения этой системы мы называем трансверсальными кривыми
семейства поверхностей <р = const. Если семейство поверхностей
<? = const, является семейством характеристических поверхностей,
т. е. если <р удовлетворяет уравнению E), как уравнению в частных
производных, то функция <р является интегралом системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений (8), т. е. вдоль каждой интеграль-
интегральной кривой этой системы имеет место уравнение <р = const. Таким
образом, характеристические многообразия «р == с имеют своими
образующими интегральные кривые системы (8). Каждое из этих
многообразий образуется семейством интегральных кривых си-
системы (8), зависящим от п — 2 параметров.
Доказательство. Вдоль интегральной кривой системы обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений (8) <р становится функцией
от у и мы имеем:
=If-=
*=If-=2
Если семейство <р = const, является семейством характеристических
многообразий, то мы называем интегральные кривые системы диффе-
дифференциальных уравнений (8) характеристическими лучами данного
дифференциального уравнения второго порядка A). Они являются
не чем иным, как характеристиками дифференциального уравнения
в частных производных первого порядка E) в смысле второй главы
и называются поэтому бихарактеристиками, так как дифференциаль-
дифференциальное уравнение E) само является характеристическим дифференциаль-
дифференциальным уравнением по отношению к первоначальному уравнению A).
Наша теорема об образовании характеристических многообразий
из характеристических лучей доказана в предположении, что
<р = с= const, является семейством характеристических многообразий.
Но раньше было доказано, что всякое характеристическое много-
многообразие может быть включено в такое семейство; поэтому наша тео-
теорема остается справедливой и в том случае, когда мы рассматриваем
только одно изолированное характеристическое многообразие.
Отсюда следует, что мы можем определить характеристические
лучи независимо от характеристических многообразий <р = с следую-
следующим образом:
Характеристические лучи дифференциального уравнения впих-
рого порядка A) совпадают с характеристическими кривыми
характеристического дифференциального уравнения первого по~

402 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (я>2) [гл. VI
рядка E). Мы можем поэтому получить совокупность всех ха-
характеристических лучей на основании гл. И, § 7 с помощью
интегрирования системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
• 1 д
Pi о я *-
которая вместе с тем дает нам и координаты полоски pv
Если коэффициенты aik уравнения в частных производных A)
постоянны, то все характеристические лучи являются прямыми
линиями.
В самом деле, уравнение E) имеет в этом случае в качестве пол-
полных интегралов <р семейства линейных функций, и дифференциальные
уравнения х{ = 2 aik<?k Дают тогда непосредственно прямые линии.
к
Совокупность всех лучей, принадлежащих к линейному дифферен-
дифференциальному уравнению в частных производных A), зависит только от
конечного числа, а именно, 2и — 1 параметров.
Заметим попутно следующее: условие, которому должны удовле-
удовлетворять характеристические многообразия, принадлежащие в смысле
гл. И, § 7 к характеристическому дифференциальному уравнению
в частных производных первого порядка E), совпадает с самим этим
дифференциальным уравнением.
Поясним предыдущее на простейшем примере волнового уравнения
где мы полагаем xm?l = t. Характеристическое условие имеет в этом
случае вид
а характеристическими лучами являются прямые пространства х, t,
задаваемые уравнениями вида дгг=й4—j-з^, где коэффициенты av . . ., am
т
подчинены .условию 2 af ~ * •
Если же мы будем рассматривать наши решения не в п-мерном
пространстве х, t, а в m-мерном пространстве одних только пере-
переменных х, считая t параметром времени, от которого зависят инте-
интересующие нас величины и поверхности, то в этом пространстве сово-
совокупность бихарактеристик совпадает с совокупностью всех прямых
линий, пробегаемых со скоростью, равной единице. Если мы зададим
характеристические многообразия уравнениями вида t=^{xlt ...,лгто),
то функции ^ должны удовлетворять дифференциальному уравнению
. т
в частных производных 2 ^ == *'
Таким образом, каждое характеристическое многообразие волно-
волнового уравнения изображается семейством поверхностей ^ = t в про.

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 403
странстве переменных xt, состоящим из параллельных поверхностей,
получающихся из некоторой начальной поверхности путем параллель-
параллельного перемещения вдоль нормалей со скоростью, равной единице.
Характеристические лучи изображаются в пространстве л:-ов соответ-
соответствующими ортогональными траекториями.
С помощью характеристического конуса (конуса Монжа) гипер-
гиперболического дифференциального уравнения L [и] = 0 мы получаем
в пространстве лг-ов при и > 2 следующее очень важное деление
нехарактеристических элементов поверхности и соответственно неха-
нехарактеристических направлений на два типа. Мы говорим, что данный
нехарактеристический элемент поверхности является ¦ элементом про-
пространственного типа, если он не содержит ни одного характери-
характеристического направления, т. е. если его плоскость не пересекает харак-
характеристического конуса. Мы говорим далее, что данное направление
является направлением временного типа, если оно трансверсально
к элементу поверхности пространственного типа.
Мы предполагаем, что данное гиперболическое дифференциальное
уравнение приводится в данной точке к каноническому виду, дающему
распределение знаков -| ... (если получается распределение зна-
знаков {—(-..., то мы можем умножением на — 1 привести урав-
уравнение к предыдущему виду). В этом случае поверхность <р —0
является в данной точке поверхностью пространственного типа, если
в этой точке выполняется условие
2 aik<?i9k > 0.
Соответственно этому линейный элемент dxt является элементом вре-
временного типа, если выполняется условие
где (Aik) означает матрицу, обратную относительно матрицы (aik). Легко
убедиться, что всякий элемент поверхности, проходящий через
линейный элемент временнбго типа, является элементом поверх-
поверхности временнбго типа.
§ 2, Характеристические многообразия как поверхности
разрывов. Фронт волны
1. Разрывы второго порядка. Характеристические многообра-
многообразия играют такую важную роль в физических приложениях прежде
всего в силу тоге обстоятельства, что только вдоль таких многооб-
многообразий могут иметь место известного рода разрывы решений диффе-
дифференциальных уравнений с частными производными. Чтобы осветить
с этой точки зрения еще раз понятие характеристик, найдем условие,
которому должна удовлетворять поверхность у^, ..., хп) — 0 для
того, чтобы существовало решение и дифференциального уравнения
L[u]—0, обладающее следующими свойствами: к и все первые про-
производные Uf, а также все внутренние относительно поверхности про-

404 ГИПЁР ВОЛИЧЕСКИЁ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ УРАВНЕНИЯ (И>2) [ТЯ. V
изводные функций и1У ..., ип остаются при переходе через поверх-
поверхность непрерывными, тогда как внешние производные функций щ,
выводящие за пределы поверхности <р = 0, и, в первую очередь, про-
производная ит терпят при переходе через поверхность разрыв непре-
непрерывности первого рода.
Из рассмотрения § 1 непосредственно следует, что такая по-
поверхность М, заданная уравнением ф = 0, должна быть характери-
характеристическим многообразием. Действительно, в противном случае произ-
производные второго, а также высших порядков были бы однозначно
определены вдоль М, тогда как наше требование наличия разрывов
у производных второго порядка сводится к тому, чтобы соответ-
соответствующая поверхности М начальная полоска первого порядка допу-
допускала возможность дополнения ее до интегральной полоски двумя
различными способами, а именно, с помощью предельных значений
вторых производных с одной и соответственно с другой стороны этой
поверхности. По условию эти предельные значения различны для обеих
сторон поверхности М и дают, следовательно, две различные инте-
интегральные полоски второго порядка, построенные на одной и той же
полоске первого порядка, соответствующей поверхности М.
Выведем, однако, не ссылаясь на предыдущее, характеристическое
условие, исходя из требования наличия разрыва непрерывности у вто-
вторых производных. Для этой цели обозначим через (/) скачок функ-
функции / при переходе через поверхность М с одной стороны на дру-
другую. Будем первую сторону поверхности называть отрицательной,
а вторую — положительной.
Как было доказано раньше (гл. II, дополнения, § 1), выражение
является внутренней относительно М производной функции щ\ еле'
довательно, это выражение согласно условию должно оставаться
непрерывным при переходе через поверхность М. То же относится
и к выражению
Поэтому выражение и^ф/pj—Ujff&K, являющееся линейной комбина-
комбинацией предыдущих двух выражении, также остается непрерывным при
переходе через М.
р Отсюда следует, что скачки вторых производных должны удовле-
удовлетворять условиям
так что
где А—некоторый фактор пропорциональности, зависящий от соот-
соответствующей точки поверхности М, и отличный от нуля, если в дан-
данной точке какая-нибудь из вторых производных действительно раз-
1) Мы предполагаем, что на поверхности <р = 0 производные функции <р
нигде не обращаются все одновременно в нуль.

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГООВРА8ИЯ 406
рывна. Заметим попутно, что, как легко убедиться, этот фактор про-
пропорциональности выражается формулой
*=¦(«„)•
Напишем теперь дифференциальное уравнение L [и] = 0 сначала для
некоторой точки Р_, расположенной по отрицательную сторону от
поверхности М, а затем для точки Р+, расположенной по положи-
положительную сторону М, вычтем оба уравнения одно из другого и будем
неограниченно приближать точки Р_ и Р+ к одной и той же точке Р
поверхности М. Тогда все выражения, остающиеся непрерывными при
переходе через М, в пределе взаимно уничтожаются, и мы получаем
вдоль М уравнение
2 <%(««) = 0-
Учитывая теперь полученные раньше выражения для (uik) и условие
X f 0, мы получаем наше старое характеристическое условие
в качестве условия, характеризующего поверхность разрывов рассмо-
рассмотренного вида. Заметим, что мы получаем тот же результат, если
потребуем разрывности какой-нибудь производной высшего порядка.
Мы должны тогда продифференцировать дифференциальное уравнение
соответствующее число раз и применить то же рассуждение к полу-
полученному уравнению, причем, конечно, придется предположить, что
все коэффициенты уравнения, получающегося в результате дифферен-
дифференцирования, непрерывны.
Чтобы истолковать физически нашу новую точку зрения на харак-
характеристические многообразия, положим снова п = т-\-1, xn~t и
(f = t — «Н*ц . ..,*„), причем параметр t мы рассматриваем как
время, а функцию и как функцию точки в /м-мерном пространстве Rm
с координатами xlt ... хт, зависящую от параметра—времени. Мы
имеем, таким образом, дело с решением и(хи ..., хт, t) дифферен-
дифференциального уравнения L [и] = 0, которому соответствует перемещаю-
перемещающийся в пространстве с течением времени фронт волны, т. е.
поверхность разрыва
t=zty(xv .,., хт),
зависящая от параметра t и меняющая с течением времени свое поло-
положение- и форму.
Такой фронт волны образуется, например, когда волновой про-
процесс, изображаемый дифференциальным уравнением L [и] = 0, дости-
достигает в момент t некоторого предельного положения, по другую сто-
сторону от которого среда еще находится в состоянии покоя, так что
соответствующее решение и дифференциального уравнения, характе-
характеризующее этот процесс, по одну сторону от граничной поверхности
обращается в нуль, будучи отличным от нуля по другую сторону.
Эта граница распространения волны и будет таким фронтом волны

406 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и>2) [гл. VI
Отмстим здесь, как особенно важный частный случай, следующий
часто встречающийся тип дифференциальных уравнений:
т
{,к-ж1 г 1> » т> >
причем коэффициенты aik = аы зависят только от пространственных
переменных xv Характеристическое уравнение для нашей функции 4*
имеет тогда вид
т
2 1 I 1 уп\
аЦсЪЧк = 1 B)
и является дифференциальным уравнением в частных производных
первого порйдка. Уравнением ty — t задается тогда движущийся фронт
волны. Вдоль характеристических лучей мы имеем — = 1, так что
введенный раньше параметр s совпадает в этом случае с параметром вре-
времени t. Уравнения характеристических лучей имеют, следовательно, вид
(*¦=!,•..,«)• C)
fc-i
В пространстве Rm характеристические лучи пересекают волновые
фронты 4* = t, нигде не касаясь этих поверхностей. В самом деле,
т
2 ьк= 2 ««Ф*Фк=1.
(Однако, в и-мерном пространстве х, t характеристические лучи со-
содержатся в характеристических многообразиях.)
Вектор пространства Rm с компонентами х4 называется лучевым
вектором, трансверсальным к волновому фронту ty = t.
Введя допущение, что матрица т-го порядка aik положительно
определенна, мы обеспечим гиперболический характер дифференциаль-
дифференциального уравнения A).
Направление луча и касательная плоскость к фронту волны взаимно
сопряжены относительно эллипсоида
Наряду с вектором с компонентами xt = vt, который мы также назы-
называем вектором лучевой скорости, приходится еще рассматривать
вектор нормальной скорости или скорости распространения фронта
волны. Компоненты w{ этого второго вектора пропорциональны про-
производным tyj) а его модуль равен обратной величине j grad «^ |. Таким
образом, компоненты вектора нормальной скорости задаются выра-
выражениями

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 407
и между нормальной скоростью и скоростью луча имеют место соот-
соотношения
В связи с нашим определением понятия фронта волны мы под-
подчеркиваем еще раз, что фронт волны является не решением диффе-
дифференциального уравнения в частных производных L [и] = 0, а лишь
поверхностью возможных разрывов решения и. Заметим далее, что
из полученных в гл. II результатов относительно дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка мы можем сделать
следующий вывод:
Если два различных волновых фронта <{> = ? и x = t взаимно
касаются в некоторой точке в момент ? = 0, то они и в любой
следующий момент времени t имеют общую точку касания, пере-
перемещающуюся с течением времени по общему лучу обоих волновых
фронтов.
Эта теорема действительно равносильна теореме о том, что две
интегральные поверхности дифференциального уравнения в частных
производных первого порядка (в данном случае — характеристического
уравнения), имеющие один общий элемент поверхности, имеют также
общей всю характеристическую кривую с соответствующей полоской,
определяемую этим элементом поверхности.
2. Фронт волны линейного дифференциального уравнения как
геометрическое место разрывов высших порядков. При опреде-
определении фронта волны мы предположили, что функция и и ее первые
производные остаются непрерывными при переходе через поверх-
поверхность М, тогда как разрывы имеют место только для вторых или
высших производных. Действительно, как мы видели в случае п = 2,
требование возможности существования разрывов первых производ-
производных щ решения уравнения L [и] = 0 не приводит к выделению осо-
особых поверхностей у = 0, и тем более это относится к разрывам
самой функции и. Если мы предположим, что для некоторой поверх-
поверхности щ = 0 задача Коши уравнения L [и] = 0 допускает решение при
любых начальных значениях и и щ, то мы можем просто взять два
решения с теми же начальными значениями и, но с различными зна-
значениями внешней относительно поверхности <р = 0 производной и9 и
составить решение, совпадающее по одну сторону поверхности с пер-
первым, а по другую сторону — со вторым из этих двух решений.
Таким образом, из этих двух решений мы получим третье реше-
решение и, имеющее разрывные производные первого порядка вдоль по-
поверхности 9 = 0, причем в качестве такой поверхности <р = 0 мы
можем взять любую нехарактеристическую поверхность. Однако,
соображения физического характера дают основания ожидать, что
и в отношении разрывов производных первого порядка и даже раз-
разрывов самой функции и характеристики должны играть особую
роль. И, действительно, можно доказать справедливость такого пред-

408 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (л>2) [ГЛ. VI
положения, если рассматривать разрывные решения как предельные
случаи непрерывных решенийх).
В этом смысле имеет место следующая теорема:
Разрывы производных первого порядка решения уравнения
L [и] — 0 могут иметь место только вдоль характеристических
многообразий, если предположить, что такие разрывные решения
получаются из непрерывных решений путем следующего предельного
процесса: допустим, что и является пределом равномерно сходящейся
последовательности решений v1, г>2, ..., непрерывных в некоторой
окрестности поверхности М, заданной уравнением <р = 0, и имеющих
равномерно ограниченные производные tJ. Пусть, далее, производные
первого и вт/эрого порядка функций v{ стремятся к соответствующим
производным функции и равномерно во всякой замкнутой области,
не содержащей поверхности М. На самой же поверхности М пусть
предельная функция и имеет разрывные внешние относительно М
производные, причем все разрывы являются разрывами первого рода,
так что эти производные остаются ограниченными; тангенциальные же
производные первого и второго порядка пусть остаются непрерывными.
С помощью преобразования координат преобразуем многообразие М
в плоскость хп=0. Докажем, что эта плоскость должна быть харак-
характеристическим многообразием, т. е. что должно выполняться условие
ann(xv , х„_1, 0) = 0. В самом деле, если в какой-нибудь точке
поверхности М апп(х1,.. .хп~и 0)^0, то это условие выполнялось бы
также и в некоторой окрестности этой точки. Мы можем поэтому
дифференциальное уравнение для функций ¦» = ¦»»¦ разделить на апп
и записать его в следующем виде:
и —1 п — 1 п — 1
vnn-h 2 cnivin-\-dnvn-{- 2 «to + 2 <w«+
i — l » = 1 i,k=l
Интегрируя это дифференциальное уравнение, по хп в пределах от
лг„ = — е до хп'=-\-г, мы получим vn(xu... , хп_ь г) —
— "°п(хи ¦ • • > хп-и —е)~Ь • • • = 0, где многоточием обозначено вы-
выражение, абсолютное значение которого, как легко видеть, меньше Ае,
где А — некоторая положительная постоянная, не зависящая от г.
Итак, при фиксированном е и любом г имеет место неравенство
К (*!.¦••» Xn-V е)~'^ (*1""» Х»-1> — а)\<Аа-
Поэтому, переходя к пределу при г -> со , мы получаем:
!«„(*!,..., *„_!, е) — un(xv. .., хп_х, — е)|<Ле.
Заставляя теперь е стремиться к нулю, мы непосредственно убеж-
убеждаемся в том, что внешняя относительно М производная ип не имеет
разрывов при переходе через М вопреки нашему предположению.
Итак, доказано, что при наличии разрывов рассматриваемого типа
должно выполняться условие апп(х^..., xn_v 0) = 0, т. е. М
') См. дополнения, § 4.

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 409
должно быть характеристическим многообразием, что и требовалось
доказать.
Предложим читателю в качестве задачи доказать аналогичную
теорему для того случая, когда сама функция и разрывна при пере-
переходе через поверхность М1).
Здесь мы рассмотрим еще только тот случай, когда поверх-
поверхность М является такой поверхностью разрыва функции и, вдоль
которой и обращается в бесконечность вида
u = U<?*(x1,..., хп),
где а—отрицательный показатель, a U — дважды непрерывно диф-
дифференцируемая функция. Тогда имеет место теорема: Поверхность
<р == 0 должна быть характеристическим многообразием.
Для доказательства произведем в дифференциальном выражении
L [и] подстановку и = ?/<ра. L [и] примет тогда следующий вид:
<х (а - 1) LV-2B aik9i9k) + а?--» { V [?] U+ 2 2
Умножим уравнение L [и] = О на <р2~а и заставим <р стремиться к нулю;
тогда мы получим в пределе для <р характеристическое условие
2 «л?*?* = 0, E)
которое должно иметь место при <р = 0.
Если мы допустим, что не только поверхность 9 = 0, но и все
семейство функций <р = const, является характеристическим (мы можем
поверхность <р = 0 всегда включить в такое семейство), то первый
член написанного выше дифференциального уравнения для U тожде-
тождественно равен нулю. Умножим L [и] на <р1-а и заставим <р стре-
стремиться снова к нулю. Мы получим тогда дальнейшее соотношение:
V [tp] U -f- 2 2aifc%?4 — 0, представляющее собой условие, которому
должна удовлетворять функция U на поверхности о = 0.
С помощью обозначений § 1, п. 2 мы можем записать это условие
в виде агг
2^-+Ж/=0, F)
а=v щ = 2 ««?< * +¦ 2 bfit.
Это соотношение для U выражает следующий факт:
Коэффициент U разрыва непрерывности удовлетворяет вдоль
характеристического луча обыкновенному однородному линейному
дифференциальному уравнению.
Вдоль данного луча мы можем рассматривать А как функцию
от s. Если при 6 = 0 U=U0, то мы получим вдоль луча
s
-¦§• f 4(T)dr
J) См. дополнения, § 4,

410 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (И>2) [ГЛ. VI
Разрыв U распространяется, таким образом, вдоль харак-
характеристических лучей по заранее известному закону и притом U
либо нигде не обращается в нуль, либо тождественно равняется
нулю.
Особенно наглядный вид принимают все эти взаимосвязи, если
снова положить п = т-\-\, xn — t, <p = ty — t и допустить, что
коэффициенты aik зависят только от хи..., хт, так что ain=0 при
i ф п, а апп = 1.
Мы получаем тогда в качестве условия для поверхности разрыва
дифференциальное уравнение в частных производных
которое должно выполняться тождественно относительно xt, х2,..., хт,
Характеристический параметр s совпадает в этом случае с пара-
параметром времени t. Далее, имеет место соотношение
выполняющееся тождественно относительно xt,..., xm,
3. Поведение дифференциального уравнения на характери-
характеристическом многообразии. Распространение разрывов вдоль лучей.
Уравнение распространения разрыва F) имеет место для коэффици-
коэффициентов всех рассмотренных в п. 1 видов разрыва. Мы это докажем,
как нами было уже намечено раньше в § 1, п. 2, путем проведения
более подробного анализа содержания дифференциального уравнения
2 aikuik -f 2 btut -f- си = 0 (8)
вдоль данного многообразия ср = 0 и, в частности, вдоль характе-
характеристического многообразия. Не ограничивая общности рассмотрений,
мы можем допустить, что рассматриваемое многообразие <з = 0 или
семейство поверхностей <в = с преобразовано в координатную пло-
плоскость хп = 0 или соответственно в семейство плоскостей хп — с.
Для того, чтобы иметь право формулировать получающиеся таким
путем теоремы для любых многообразий « = с, нам достаточно будет
воспользоваться доказанными выше теоремами об инвариантности.
Запишем наше дифференциальное уравнение в виде
и —1 п—1 п—1
2 о-ш Щк + 2 bi щ-\-си-\- аппипп +22 аыЩп + * А = ° • (9)
Соединив члены, содержащие только внутренние относительного
многообразия хп = 0 производные, т. е. производные по переменным
jtj,..., xn_v обозначим их сумму через J. Мы получаем тогда
J + Va» + bnun 4-2 2 ainuin = 0. A0)
ii

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 411
Согласно § 1, п. 2 трансверсальное к поверхностям хп~с диффе-
дифференцирование задается уравнениями
п
Полагая на поверхности хп = 0 для краткости un — v, мы можем
записать наше дифференциальное уравнение в виде
J + Wn+^+bnV^O. A1)
Если многообразие М характеристично, то на нем апп = 0, a -gj
является внутренней производной. Таким образом, из уравнения A1)
следует:
Если М—характеристическое многообразие, то уравнение A1)
является условием, которому должна удовлетворять внешняя
относительно М производная v функции и.
В том случае, когда поверхность М, заданная уравнением хп = О
является характеристическим многообразием, уравнение A1) на по-
поверхности М принимает вид
^ = 0- A2)
Но, как мы видели выше в § 1, п. 2, выражение
п п
а = и м = 2 «<*?«+ 2
инвариантно относитально преобразования координат.
Так как при <р = хп V [<р] = Ьп, то мы можем теперь уравне-
уравнение A2) представить в следующем виде, справедливом для любого
характеристического многообразия <р = О
причем
А = V [<pl =
является выражением известным на многообразии М. Уравнение A3)
представляет собой на характеристическом многообразии М обыкно-
обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка для
внешней производной v = u^, причем такое обыкновенное диффе-
дифференциальное уравнение имеет место вдоль каждого из характеристи-
характеристических лучей с параметром s, образующих характеристическое много-
многообразие М.
Мы получим теперь искомые уравнения для разрывов вдоль М
следующим образом. Допустим сначала, что на М функция к и все
ее тангенциальные (внутренние) производные непрерывны, тогда как
внешняя производная к9 = v делает скачок (и9) = (р) = х.

412 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и>2) [ГЛ. VI
Рассмотрим значения этой меры разрыва ¦/ вдоль некоторого
луча, лежащего на М, с параметром * и напишем уравнение (И)
для двух точек Р+, Р_, лежащих по две различные стороны от
поверхности М, вычтем эти уравнения друг из друга и заставим
точки Р+ и Р_ неограниченно приближаться к некоторой точке Р
поверхности М. Рассматривая снова тот случай, когда М приведена
к виду хп = 0, так что на М имеем «„„ — 0, и учитывая, что /
меняется непрерывно при переходе через М, мы получим в пределе
24?- + Лх = О, где A = bn=*L'[<p]. A4)
Итак, мера разрыва х распространяется вдоль характеристи-
характеристического луча по тому же закону, что и U в уравнении F). Так
же, как и U, величина х обладает тем свой-
свойством, что если у отлична от нуля в одной
точке луча, то она остается отличной от нуля
во всех точках этого луча.
Перейдем теперь к тому случаю, когда все пер-
первые производные, а также внутренние производные
второго порядка функции и остаются непрерывными
при переходе через М. (Внутренними производными
Черт. 34.' второго порядка мы здесь считаем все производ-
производные второго порядка, получающиеся путем внутрен-
внутреннего дифференцирования какой-нибудь производной первого порядка.)
Тогда разрывы вторых производных полностью определяются со-
согласно п. 1 заданием скачка
второй внешней производной и9<р. Как и раньше, эта мера разрыва
удовлетворяет уравнению распространения разрыва A4), если
включить характеристическое многообразие 9 = 0 в семейство харак-
характеристических многообразий 9 = с, чем не ограничивается общность
наших рассмотрений (см. § 1, п. 2).
Для доказательства достаточно снова исходить из уравнения A1),
предварительно приведя уравнение <р = с семейства характеристи-
характеристических многообразий к виду хп = с, продифференцировать урав-
уравнение A1) по хп и повторить предыдущее рассуждение. Мы должны
при этом принять во внимание, что величины J, -^—, "пп , -^, v
меняются непрерывно при переходе через М, тогда как апп обращается
в нуль на М, так что остается только выражение 2 д" j bnvn.
Приравнивая нулю скачок этого выражения и возвращаясь к общему
виду уравнения характеристического многообразия <р = 0, мы получим
уравнение распространения разрыва A4).
Подчеркнем, что меры разрыва производных высших порядков,
если такие производные оказываются разрывными, удовлетворяют
тому же уравнению распространения разрыва; точно так же это

I 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 413
уравнение остается в силе и в том случае, когда речь идет о раз-
разрыве самой функции и, если предположить, что разрыв функции и
имеет характер, описанный в п. 2.
4. Физическая интерпретация. Граница тени. Физический смысл
понятия характеристического луча и его связь с понятием фронта
волны лучше всего выясняются, если снова выделить переменную
xn = xm+1 — t как параметр времени. Тогда характеристические по-
поверхности представляют собой перемещающиеся в ^-пространстве Rm
фронты волны t = ty (х 1э х%,..., хт), а характеристические лучи —
некоторые соответствующие фронтам волны пересекающие их линии.
Уравнение A4) п. 3 выражает следующее: если на каком-нибудь из
таких движущихся фронтов волны в какой-нибудь точке в начальный
момент времени t имеется заданный разрыв непрерывности соответ-
соответствующего решения и(хи..., хт, f), то интенсивность разрыва рас-
распространяется по закону, формулируемому уравнением A4), вдоль
характеристического луча, выходящего из рассматриваемой начальной
точки. Если, например, в момент t = 0 на поверхности ty — О точки
разрыва производных первого порядка образуют небольшое пятно,
тогда как на остальной части этой поверхности имеются только раз-
разрывы производных высших порядков, то это геометрическое место
точек разрыва первого порядка будет распространяться вдоль соот-
соответствующей связки лучей в виде резко очерченного пятна. Таким
путем мы получаем аналитическое описание явления границы тени.
Заметим, что в основе всего этого рассмотрения лежит опре-
определенное решение дифференциального уравнения L [к] = 0, относи-
относительно которого предполагается, что оно имеет перемещающуюся
с течением времени поверхность разрыва.
5. Коиоид характеристических лучей. Связь с метрикой рима-
нова пространства. Совокупность всех характеристических лучей,
соответствующих линейному дифференциальному уравнению
? [в] = 2 «**««* + 2 *А+ "*+*= 0, (8')
совпадает с совокупностью всех характеристик дифференциального
уравнения в частных производных первого порядка
2 ««?*?* = 0. E)
причем мы можем положить <р = ^(лг1,..., xn_t)—хп и <р = 0-
Мы предполагаем, как и в гл. I, § 4 и гл. II, § 3, что все лучи,
выходящие из заданной точки пространства х1г..., хп, образуют
поверхность конического типа в данной точке, и мы называем эту
поверхность коноидом характеристических лучей. Эта поверх-
поверхность является интегральной поверхностью характеристического диф-
дифференциального уравнения E) и, следовательно, характеристической
поверхностью. Подчеркнем еще раз, что мы здесь рассматриваем это
дифференциальное уравнение как уравнение в частных производных
по л — 1 = т независимым переменным, получающееся с помощью
условия (о = 0, так что мы можем коноид характеристических лучей

414 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и > 2) [ГЛ. VI
рассматривать как поверхность в и-мерном пространстве Rn пере-
переменных хи х2,.. •, хп J).
Если задать этот коноид уравнением у{хъ х2,..., хп) = 0, то
функция 9 удовлетворяет характеристическому условию E) не тож-
тождественно относительно xv x2, • • •, хп, а только в точках, лежащих
на поверхности <р = 0.
Лучи, образующие коноид, определяются согласно § 1, п. 2
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
** = -15Г = 2а«Я*- A5)
Если обозначить через (Ла) матрицу, обратную относительно матрицы
(aik), то имеет место тождество
2 2
i, к i,k
Введем теперь в re-мерном пространстве Rn мероопределение, задавая
квадрат линейного элемента da2 с помощью квадратичной формы
2
«,*
Тогда образующие коноид характеристические лучи будут «лучами
нулевой длины», т. е. линиями, вдоль которых имеет место условие
da = 0, или, другими словами, линиями, вдоль которых длина дуги
между двумя какими-нибудь точками такой линии равна нулю. Обратно,
все линии нулевой длины введенного нами мероопределения являются
характеристическими лучами дифференциального уравнения L(u) = 0.
Все эти понятия и факты приобретают особенно наглядный ха-
характер, если снова выделить переменную t = xn = xm+1 как коорди-
координату времени и рассматривать специальный тип дифференциального
уравнения т
^0, A7)
J) Заметим, что мы не получим ничего нового, если будем рассматри-
п
вать дифференциальное уравнение 2 aikWtk = 0 как уравнение в частных
1
производных относительно функции tp от и независимых переменных хъ
х%,..., хп и в соответетвии с этим введем в рассмотрение характеристи-
характеристические лучи этого уравнения в и -f- 1-мерном пространстве переменных
*!,..., хп и ср, Действительно, в силу однородности этого дифференциального
уравнения в я + 1-мерном пространстве Rn+\ существует только п — 2-мер-
2-мерное многообразие характеристических лучей, выходящих из фиксированной
точки пространства Rn+it и все эти лучи лежат в плоскости <р = const.
Таким образом, многообразие характеристических лучей, которое, вообще
говоря, для уравнений в частных производных первого порядка в п-\- 1-мер-
1-мерном пространстве должно быть и — 1-мерным, в этом случае вырождается
в п — 2-мерное многообразие. Мы избегаем этого вырождения, переходя
к дифференциальному уравнению, содержащему п — 1 независимых пере-
переменных и определяющему характеристические многообразия в и-мерном
пространстве переменных хъ ж2,-.., хп.

§~2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 415
причем матрица (aik)— определенная положительная матрица, а коэф-
коэффициенты а{к не зависят от времени t.
Характеристики t — fy(xv x2,..., хп) удовлетворяют тогда диф-
дифференциальному уравнению в частных производных
i. A8)
Дифференциальные уравнения характеристических лучей фронта волны
t = <Ь принимают вид
. т
= 2 Clffctyk (j = 1, . • •, ttt),
а совокупность всех возможных лучей совпадает с совокупностью
всех характеристических кривых дифференциального уравнения в част-
частных производных первого порядка A8). Все лучи, выходящие из
фиксированной точки пространства Rm, образуют в Rn соответствующий
коноид характеристических лучей. Представим уравнение коноида
в виде
t = m(Xl, х2,..., хт), B0)
или в более развернутой форме
t = ш (xv... ,хт; х\,..., х°т) = ш (*; х% B1)
где л;0 обозначает вершину коноида с координатами х°г
Этот коноид определяет так называемые шаровые фронты волны,
имеющие начальную точку х° центром возмущения, причем эти
фронты волны задаются в пространстве Rm уравнением ^ = со.
Вдоль лучей имеет место уравнение
= 1, B2)
где (Ai7l) снова означает матрицу, обратную относительно матрицы («#).
Если теперь ввести в /re-мерном пространстве Rm мероопределение
с помощью квадратичной формы
т
выражающей квадрат линейного элемента пространства /?т, то t
равняется длине дуги на характеристических лучах, а поверхность ф = t
действительно является сферой в смысле этого мероопределения,
описанной из центра х° радиусом t, если измерять расстояние между
двумя точками пространства Rm вдоль характеристических лучей1).
1) Сравнивая дифференциальные уравнения характеристических лучей
с результатами гл. И, § 9, мы тотчас же заметим, что характеристические
лучи являются геодезическими линиями вариационной задачи
:*# = min.

416 гиперболически!* диффйренциальные уравнения (л>2) [гл. VI
Соответствующее уравнению A7) мероопределение в пространстве /?„
задается квадратом линейного элемента
d# = dt*—df, B4)
причем геодезическим линиям в Rm соответствуют линии нулевой
длины этого мероопределения в Rn.
Направление dxt мы назовем теперь направлением временного типа,
если
т
dfi— 2 Atkdxtdxk>0, B5)
г, к ч*1
а элемент поверхности y(xlt..., xm, t) = 0 мы назовем элементом
пространственного типа, если
т
3—2 *«?«?* >° B6)
*, fc—1
(см. § 1, п. 2).
В частности, ось времени dxt = 0 является действительно направле-
направлением временного типа, а само пространство <p = f = O является по-
поверхностью пространственного типа.
Волновое уравнение
ии—Ди = О B7)
является частным случаем уравнения A7). Соответствующие выражения
квадратов линейных элементов имеют вид
и d&^dP—J^dx*. B8)
6. Построение фронта волны по способу Гюйгенса. Конус лучей
и направление распространения волны. Рассмотрим какой-нибудь
возможный фронт волны, т. е. какое-нибудь решение t = ty(xlt..., х^)
дифференциального уравнения A8). Принадлежащие точке Ро шаровые
волны обозначим снова через t = ю (xv , хт, Ро). Чтобы построить
фронт волны в момент t, если известно, что в момент ? = 0 фронт
волны совпадает с заданной начальной поверхностью Wo, мы
можем произвести следующее построение, называемое построением
Гюйгенса.
Опишем из каждой точки Ро поверхности Wo соответствующий
шаровой фронт волны t = а (х, Яо) и, заставив точку Ро пробегать
всю поверхность Wo, построим при фиксированном положительном t
огибающую всего этого семейства сфер пространства хи...,хт.
Мы получим таким путем поверхность ? = ty(#,,..., xm), которая
и будет искомым фронтом волны. Другими словами, фронт, волны
в момент t задается огибающей семейства сфер радиуса t
(в смысле введенного выше мероопределения), описанных вокруг
точек фронта волны в момент ? = 0.
Доказательство этого положения получается непосредственно из
теории полного интеграла и соответствующего способа решения
задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
методом огибающих (см. гл. II, § 4 и 8).

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЙ 417
Укажем на следующий парадоксальный на первый взгляд факт.
Допустим, что и(*„..., хт, t) является некоторым решением диф-
дифференциального уравнения L [к] = 0 с фронтом волны t = ф. Пусть
этот фронт волны состоит из одной единственной поверхности,
перемещающейся с течением времени в пространстве Rm.
Если же мы, отправляясь от начального фронта волны Wo, произ-
произведем построение Гюйгенса, то может оказаться, как в случае вол-
волнового уравнения, что огибающая семейства сфер состоит в момент
?>0 не из одной, а из двух «геометрически параллельных поверх,
ностей» Wt и W't, причем обе поверхности удовлетворяют характе-
характеристическому дифференциальному уравнению. Однако, только одна
из них является по предположению геометрическим местом точек
разрыва функции и в момент t, а именно —та, которая действительно
соответствует более позднему моменту времени ?>0, тогда как
другая поверхность при нашем предположении соответствует уже
минувшему моменту времени — t1).
7. Конус лучей и коиус нормалей. Чтобы нагляднее представить
зависимость, существующую между лучами и фронтами волны,
целесообразно воспользоваться следующим общим геометрическим
понятием. Рассмотрим сначала случай постоянных коэффициентов и
будем исходить из того, что характеристическое условие в данной
точке дает нам непосредственно не. конус Монжа, образуемый харак-
характеристическими лучами, а лишь условие для направлений возможных
нормалей к характеристическим элементам поверхности. Проведем эти
направления нормалей, рассматриваемые как векторы k прямоугольного
пространства ?!,..., ?п, из начала координат и отождествим про-
пространство ?ц,..., 1„ с пространством xv..., xn. Тогда концы этик
векторов образуют «конус нормалей», уравнение которого имеет вид
S«<*tfft = O. C9)
Характеристические же направления и лучи, проведенные из начала
координат, образуют конус Монжа
2И<М = 0, C0)
1
который мы называем «конусом лучей».
Образующие конуса нормалей нормальны к касательным плоско-
плоскостям конуса лучей, и наоборот. Между этими двумя поверхностями
имеет место следующая взаимная зависимость: установим в связке
лучей и плоскостей, проходящих через начало координат, коллинеацию,
сопоставляющую каждому лучу его полярную плоскость относительно
х) Характеристическая поверхность может, но не должна обязательно
содержать точки разрыва решения и, так что изложенной выше теории
не противоречит тот факт, что построение огибающих может иногда давать
куски поверхности, на которых волна в соответствующий момент не имеет
разрывов.

418 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (я > 2) {ГЛ. VI
мнимого конуса ^Щ~0. Тогда каждый из обоих рассматриваемых
конусов является огибающей полярных плоскостей лучей другого.
Назовем такое преобразование преобразованием взаимными полярами.
В частном случае дифференциального уравнения A7) мы получаем
в качестве сечений обоих конусов с плоскостью хп — I — — 1 по-
поверхности пространства Rm
и соответственно
С
О
2
1
которые мы называем «поверхностью нормалей» и соответственно
«поверхностью лучей». Эти поверхности находятся между собой
во взаимном соотношении, устанавливаемом с помощью коллинеации,
сопоставляющей каждой точке пространства Rm ее полярную плоское! ь
т
относительно поверхности второго порядка 2^~Ь 1 — 0• Каждая из
1
двух поверхностей S = 0 и N=0 является огибающей полярных
плоскостей точек другой поверхности.
Заметим, что, например, в случае дифференциального уравнения
= 0
конус лучей совпадает с конусом нормалей и задается уравнением
т
^2 ____ ^ki j»2 . С\ ^31)
Для дифференциального уравнения
уравнение конуса нормалей имеет вид
а уравнение конуса лучей
Если коэффициенты aik дифференциального уравнения не постоянны,
то наши рассмотрения остаются без изменения; мы должны только
для каждой точки пространства в отдельности рассматривать' соот-
соответствующие конусы нормалей и лучей, а в /re-мерном пространстве
поверхность нормалей и поверхность лучей, уравнения которых
меняются от точки к точке.
Чтобы получить возможность применить соответствующие соотно-
соотношения к задачам высших порядков, которые мы будем рассматривать
в § 3, мы установим в связке лучей и плоскостей, проходящих через

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЙ 419
начало координат пространства переменных $ или х, взаимное
соответствие между лучами и плоскостями связки с помощью рас-
рассмотренной выше коллинеации в пространстве Rn и соответственным
образом определим взаимное соответствие между точками ий-—2-
мерными плоскостями в подпространстве xn = t —— 1. С помощью
такой коллинеации мы сопоставляем каждому конусу
где iV—некоторая однородная функция координат ?ь..., %п, огибаю-
огибающую полярных плоскостей лучей этого конуса относительно мнимого
п
конуса V Щ = 0, а каждой поверхности Л/($х,..., ?,„) = 0 огибающую
1
полярных плоскостей точек этой поверхности относительно мнимой сферы
V Щ -j- 1 = 0. Это преобразование является снова взаимным. Далее,
оно являегся преобразованием прикосновения, т. е. касательной пло-
плоскости к поверхности N в точке Р оно сопоставляет на поверхности 5
точку касания плоскости, соответствующей точке Р, с поверхностью S.
Выпуклая поверхность N преобразуется в выпуклую поверхность S.
Наконец, коническая вершина поверхности N, т. е. особая точка,
через которую проходит семейство касательных плоскостей к N,
зависящее от т — 2 параметров, преобразуется в плоский кусок
поверхности S.
8. Пример. Волновое уравнение Пуассона в трехмерном про-
пространстве. Волновое уравнение Пуассона
L[u] = utt — Дя = вй — ихх— ию—и„=0 C2)
служит очень поучительным примером для иллюстрации значения
внутренних производных на характеристическом многообразии.
Пользуясь введенными нами понятиями, остановимся вкратце
на решении задачи Коши для этого уравнения, задавая при t = 0
начальные значения и (х, у, z, 0) = ф \х, у, г) и щ (х, _у, г, 0) =
— 'li (х> У> z)- ^ы Уже рассматривали эту задачу раньше (гл. III,
§ 6, п. 2) и в § 5 остановимся на ней еще подробнее.
Введем следующие дифференциальные символы:
д д . д д л .. &
1 ~ У дг ду ' - дх дг
и
д 1/д, д 1 д | /JL N д
д
~дч ~
Тогда дифференциальные процессы Аи А, и Л3 и характеристическая
производная -^ будут на характеристическом конусе

420 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (я > 2) [гЛ. VI
проходящем через точку @, 0, 0, х), внутренними дифференциаль-
дифференциальными процессами, тогда как -*г- является нормальной производной
относительно этого конуса. Связь между внутренними производными
конуса К и дифференциальным выражением L [к] задается следующим
тождеством, имеющим место на конусе (t — т)а = х2 -f- у2 -}- z*:
Заметим теперь, что поверхностный интеграл от Ах [v], взятый по
поверхности сферы Jc2-)-^2-|-^2 = const. в трехмерном пространстве,
равен нулю для любой функции vt ибо, как легко убедиться, инте-
интеграл от А1 [v], взятый по сечению сферы с плоскостью .v = const.,
обращается в нуль в силу самого определения выражения At [v] l).
Точно так же обращаются в нуль взятые по поверхности такой
сферы интегралы от Л2[г>], ^s M. ai следовательно, и от
Составим теперь с помощью выражения -—- W [и] интеграл
ШЧ' [и]
к
взятый по части поверхности конуса К, лежащей между плоскостью
основания < = 0 и вершиной Р@, 0, 0, т). В силу дифференциаль-
дифференциального уравнения L[u]=0 и предыдущих замечаний мы получаем
сначала
Произведя интегрирование по s от s = t — 0 до s = t = -., мы
получим:
4п-2« (Р) ~ J J шЫ -f т f j ~ da = 0, C4)
причем интегралы берутся по поверхности сферы х2 -\-_у2 -f- г2 = та.
Это и есть известная нам уже формула решения волнового уравнении
Пуассона (гл. III, § 6).
Для неоднородного уравнения Пуассона мы таким же путем полу-
получаем формулу решения, найденную нами же раньше в гл. III, § 6, п. 4.
Изложенный метод решения принадлежит Бельтрами и основы-
основывается на том, что вдоль характеристического конуса дифференциаль-
дифференциальное уравнение может быть представлено в особенно простой форме
*) Введя цилиндрические координаты и полагая, например, у = f cos <p,
z = р sin ч, мы получим •—¦ =у -gj— г ~ = Ay [v]. (Прим. перев.)

§ 3] ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДК01» 421
с помощью внутренних дифференциальных операций. Эта форма диф-
дифференциального уравнения такова, что она дает возможность непо-
непосредственно путем интегрирования только по поверхности конуса
получить выражение для значения функции в вершине конуса через
начальные значения вдоль окружности основания, что и дает нам
искомое решение и вместе с тем доказывает, что рассматриваемое
дифференциальное уравнение является уравнением типа Гюйгенса.
Из предыдущего следует далее, что для общего линейного диф-
дифференциального уравнения второго порядка не существует аналогич-
аналогичного метода интегрирования, который давал бы решение задачи
с помощью интегральных процессов, внутренних относительно харак-
характеристического коноида, ибо такой метод интегрирования существует
только при условии справедливости принципа Гюйгенса, но, как
известно, возможны случаи, когда принцип Гюйгенса не имеет места.
Остается еще открытым вопрос о том, нельзя ли получить необхо-
необходимые и достаточные условия справедливости принципа Гюйгенса
путем исследования дифференциального уравнения вдоль характе-
характеристических многообразий изложенным выше способом и в случае
выполнения этих условий вывести соответствующую формулу решения.
§ 3. Характеристики дифференциальных уравнений высших
порядков
Понятие характеристики и характеристическое условие получаются
в случае дифференциальных уравнений высших порядков, а также и
для систем дифференциальных уравнений совершенно аналогично
рассмотренному выше случаю дифференциальных уравнений второго
порядка. Исходным пунктом служит задача Коши, в которой начальные
значения заданы вдоль некоторого многообразия М: <?(хи..., хп) == 0.
Мы рассматриваем, далее, в какой-нибудь точке этого начального
многообразия внешнюю производную, выводящую за пределы много-
многообразия А!, и спрашиваем себя, однозначно ли определяется эта
внешняя производная с помощью начальных условий для функции и,
удовлетворяющей дифференциальному уравнению; если же нет, то не
представляет ли собой данное дифференциальное уравнение для
точки, лежащей на начальном многообразии М, дополнительное
ограничение, которому должны быть подчинены начальные данные.
Если второй случай этой альтернативы имеет место во всех точках
многообразия <?*=0, то это многообразие называется характеристи-
характеристическим, и все рассмотрения предыдущих параграфов легко распро-
распространяются на этот случай. Мы ограничимся наиболее типичными
частными случаями.
1. Линейные днффереициальные уравнения высших порядков.
Рассмотрим, например, линейное дифференциальное выражение че-
четвертого порядка
Ци]
2 %iAta, A)

422 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ. VI
где коэффициенты аШт являются заданными функциями от незави-
независимых переменных xit х2,..., хп. Соответствующее дифференциаль-
дифференциальное уравнение имеет вид
= O, B)
где Ь означает выражение, которое помимо независимых переменных мо-
может содержать также неизвестную функцию к и ее производные до тре-
третьего порядка включительно. Мы рассматриваем это дифференциальное
выражение и соответствующее дифференциальное уравнение вдоль
начального многообразия М, заданного уравнением <?(хи х2..., хп) = О,
и вводим в пространстве /?и вместо переменных х, новые перемен-
переменные Xj,..., Хи_! и Хи, причем >.„ — <?(*i> *2.---, *я). так что
Xj,..., Xm_j снова обозначают «внутренние» относительно М пере-
переменные. При переходе к этим новым переменным дифференциальное
выражение L[u\ принимает вид
где
О.~ 2 аштЪЧъЯМт, C)
iklm
а многоточием обозначено выражение, уже не содержащее внешней
производной четвертого порядка -^. Мы теперь сразу вндим, что
действительно снова имеет место наша фундаментальная альтернатива:
либо выражение Q в некоторой точке Р многообразия М отлично
от нуля; тогда дифференциальное уравнение B) однозначно опре-
определяет в точке Р четвертую внешнюю производную -^-у, если
вдоль начального многообразия М заданы значения функции и
и ее производных до третьего порядка включительно, Либо
Q — 0; тогда L [к] является в точке Р внутренним дифференциаль-
дифференциальным выражением относительно полоски третьего порядка, соот-
соответствующей многообразию М, и дифференциальное уравнение B)
дает дополнительнее ограничение, которому должна быть подчи-
подчинена эта начальная полоска.
Если условие Q = 0 выполняется вдоль всего начального много-
многообразия М, то М называется характеристическим многообразием,
Характеристическое условие имеет, таким образом, вид
п
i k f^,- amm-?i<i>k?i?m — °, если '•? = °- D)
Так же, как и для линейных дифференциальных уравнений второго
порядка, характеристическое условие равносильно дифференциальному
уравнению в частных производных первого порядка с неизвестной
функцией ty(xlt ха>..., хп_!) от п—1 независимых переменных

§ 3] ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 423
хг, ...,xn_i, если уравнение характеристического многообразия
задано в форме <p = jfw — ^ = 0. Если же рассматривать уравне-
уравнение D) как дифференциальное уравнение в частных производных
относительно функции о от п независимых переменных, то уравне-
уравнение <р = const, даст нам семейство характеристических многообразий,
зависящее от одного параметра, и наоборот.
Все это, очевидно, остается в силе для линейного дифферен-
дифференциального уравнения какого угодно порядка. Характеристическое
условие всегда выражается требованием обращения в нуль неко-
некоторой однородной формы Q от частных производных <р* Функ-
Функции tp-
Понятие луча или бихарактеристики, определяемой как харак-
характеристическая криеая дифференциального уравнения в частных произ-
производных первого порядка D), также непосредственно переносится на
линейные дифференциальные уравнения высших порядков, так что
остаются в силе все связанные с этим рассмотрения предыдущего
параграфа. Так же, как и для уравнений второго порядка, мы полу-
получаем следующий результат:
Для линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами характеристические лучи всегда являются пря-
прямыми линиями.
Подчеркнем здесь еще раз, что классификация дифференциальных
уравнений по основным типам тесно связана с инвариантными свой-
свойствами формы <2(<р) относительно группы афинных преобразований
с вещественными коэффициентами (с «индексом инерции» и «дефек-
«дефектом» формы в квадратичном случае и с соответствующими обобщениями
для форм высших порядков) (см. гл. III, § 4). Если Q(y) опре-
определенная форма, то не существует вещественных характеристик, и
данное линейное дифференциальное уравнение называется уравнением
эллиптического типа. Если же Q(o)—невырождающаяся неопреде-
неопределенная форма, то дифференциальное уравнение называется гипербо-
гиперболическим. Среди различных видов гиперболических уравнений сле-
следует, однако, выделить, имея в виду приложения к физике, вполне
гиперболический случай, как это было сделано уже раньше в гл. III,
§ 4. Мы определяем понятие вполне гиперболического дифферен-
дифференциального уравнения с помощью следующего условия. Если речь
идет о дифференциальном уравнении порядка k, то мы требуем,
чтобы «конус нормалей» Q = 0 в пространстве 51э.... ?„, где
k
<•, — ?v> состоял из -к- охватывающих друг друга вещественных поло-
полостей. Таким образом, порядок k должен быть четным. Все встреча-
встречающиеся в физике дифференциальные уравнения высших порядков для
различных процессов распространения энергии всегда являются вполне
гиперболическими.
Например, дифференциальное уравнение

424 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ft > 2) [гЛ. VI
с неизвестной функцией и (х, у, t) не является вполне гиперболи-
гиперболическим, ибо соответствующий конус нормалей
состоит не из двух, а только из одной вещественной полости.
В противоположность этому дифференциальное уравнение
вполне гиперболично. Конус нормалей этого дифференциального
уравнения вадаггся уравнением
(/2 _ V2 _ J;2) D/2 — - Jf2 —>'2) *= О
и состоит из двух вещественных полостей, а именно, из двух круг-
круглых конусов. Поверхность нормалей состоит из двух концентриче-
концентрических окружностей х%-\-у2 = 1 и хл -\-у* = 4. В случае квазилиней-
квазилинейных или нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков
все предыдущее остается в основном в силе, с тем только отличием,
что характеристическое условие тогда относится не к точечному
многообразию в пространстве независимых переменных xv..., xn,
а к многообразию на заданной интегральной поверхности в про-
пространств! (к, JCj,..., xn) или же к заданной интегральной полоске
совершенно так же, как это имело место в случае уравнений вто-
второго порядка или же в случае двух независимых переменных (см.
гл. V, § 2).
2, Системы дифференциальных уравнений. Уравнения гидро-
гидродинамики. Рассмотрим в качестве примера нелинейной задачи систему
дифференциальных уравнений гидродинамики сжимаемой жидкости
на плоскости и вместе с тем еще раз выясним значение понятия
характеристик в случае системы дифференциальных уравнений и
получим некоторые результаты, представляющие самостоятельный
интерес. Случай стационарного движения нами уже был исследован
в гл. V, § 2, п. 5. Если неизвестными функциями являются компо-
компоненты скорости и плотность жидкости и{х, у, f), v(x, у, t) и
р(х, у, t), причем задана функция давления р(р). удовлетворяющая
условию р' (р) > 0, то дифференциальные уравнения движении
Эйлера имеют следующий вид:
pvt -f- puvx -f pwy -\~p'py = 0, i (o)
Pi -Г Woe -T vPy -T 9 («* H- vy) = °- J
Пусть '-?(-<, у, t) — 0 — некоторое начальное многообразие, вдоль
которого заданы и, г» и р. Тогда этими начальными данными одно-
однозначно определяются вдоль начального многообразия также и все
производные величии к, v и р и, в частности, внешние производные

§ 3] ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 425
и»> vv и Pv если только вдоль многообразия э = 0. не имеет места
характеристическое условие
0 р'<?х
*= 0. F)
p<Pj, <р, -1— И(рд, 4" ^fu
Путем простого вычисления это условие приводится к виду
Р V?t "Г" и?а; I V'?y' lv?f "Г" к?ж ~Г V'?,,t P Ktv^"' (')
0 Р (?« + «?• +о?») Р'Чу
Эти характеристические поверхности в пространстве jc, у и ? или
соответствующие семейства кривых t~'!f(x, у) на плоскости х, у,
которые мы получаем, полагая 'f(x, y)=~t — ^(х, у), являются
снова возможными многообразиями разрывов или фронтами волны
для движения жидкости. Характеристическое условие может быть
такЛе записано в форме
или
р9 ('v ~Ь ихч ~Ь vy^ K'v ~Ь ихч ~1~ чу.;K—р' (х~ ~Ь д1?)!= 0i G")
где 4> ^ и Уч обозначают направляющие косинусы нормали к поверх-
поверхности <р (х, у, f) = 0. В зависимости от того, какой из множителей
этих произведений обращается в нуль, мы получаем в качестве
характеристик, с одной стороны, многообразия, определяемые урав-
уравнением
или
|
v
Проекции соответствующих лучей на плоскость х, J/ являются
не чем иным, как линиями тока потока жидкости, а сами лучи
в трехмерном пространс гве х, у, t задаются уравнениями -т-~ =*= и,
-? >¦{> и определяют как линии тока, так и скорость потока.
at
С другой стороны, мы получаем характеристические многообразия
второго типа, задаваемые уравнением
(?* + «? + «?„>" —Р' (^ + ?р - 0
)
или 1 (9)
( 4 8 V К+^ ]
1
., 4- «*, 4- чу,)8 - V К+^ ¦= о ]
При УСЛОВИИ 'f ав= 0.
. Направления лу%е? или бихарактеристик, определяемые отно-
отношениями dt:dx:dy, представляют снова «скорости распростране-
распространения» разрывов или лучевые скорости, а уравнение Монжа конуса
лучей, принадлежащего к характеристическим многообразиям диф-

426 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и > 2) (гл. VI
ференциального уравнения в частных производных (9), как легко
убедиться, имеет следующий вид:
/dx
(-в
A0)
Величина |/р' называется в акустике или гидродинамике скоростью
звука. Таким образом, уравнение A0) выражает следующий физи-
физический закон: относительная скорость распространения разрывов
по отношению к потоку равняется скорости звука.
Все эти факты, равно как их связь с рассмотренным раньше слу-
случаем стационарного потока (см. гл. V, § 2, п. 5), могут быть выра-
выражены в особенно наглядной форме с помощью следующего геометри-
геометрического построения.
При заданных и и v конус Монжа характеристического дифферен-
дифференциального уравнения в пространстве х, у и t, имеющий вершиной
начало координат x—y — t — О, дается уравнением
Этот конус может быть построен путем центральной проекции
окружности
лежащей в плоскости /= 1, из начала координат как центра
проекции.
В зависимости от того, содержит ли эта окружность внутри себя
точку х = 0, у — 0 или нет, т. е. в зависимости от того, имеет ли
место неравенство K2-f-fa<p' или
же неравенство wa-f-»2>p\ ось t
лежит внутри или вне рассматривае-
рассматриваемого конуса, так что если скорость
звука меньше скорости потока, то
характеристический конус направлен
настолько косо, что ось t остается
вне его.
Чтобы перейти к стационарному
случаю, мы должны приравнять
нулю все производные по временив.
Поэтому из всех касательных плос-
Черт. 35.
у
костей рассматриваемого конуса Монжа в стационарном случае воз-
возможными являются только те, для которых '^ = 0, т. е. касатель-
касательные плоскости, перпендикулярные к плоскости х, у и, следовательно,
проходящие через ось t. Лучи, вдоль которых эти плоскости
касаются конуса, дают нам два характеристических направления для
стационарного случая. ,
Но через ось t можно провести две различные вещественные
касательные плоскости к конусу Монжа тогда и только тогда,
когда ось t лежит вне конуса, а согласно предыдущему это имеет

§ 3]
ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
427
место только в том случае, когда скорость потока ^Ф -\~ v2 больше
скорости звука Ур'. Мы, таким образом, исходя из общего случая,
снова получили тот же результат, к которому мы пришли уже
раньше в гл. V, § 2, рассматривая специально стационарный поток.
3. Дальнейшие примеры. Кристаллооптика. Уже в гл. III, §4, мы
вывели характеристическое условие для уравнений Максвелла,
исходя из несколько иной точки зрения. Здесь мы рассмотрим обоб-
обобщение уравнений Максвелла, имеющих место в эфире, на кристалле-
оптические процессы. Общие уравнения Максвелла, связывающие
между собой магнитный вектор .?>, электрический вектор (S, элек-
электрическое смещение © и магнитное смещение 23, имеют вид
ско-
скогде точка обозначает дифференцирование по времени t, а с
рость света,
При этом р. ф == 23, где ^ — магнитная проницаемость, которую
мы считаем постоянной, а между компонентами ии ма, кя электри-
электрического вектора (? и электрическим смещением 2) существует зави-
зависимость
s8ks),
где Sj, га, г3 — три диэлектрические постоянные по трем направле-
направлениям осей координат. Несовпадение этих трех констант и является
характеристическим свойством кристаллической среды.
Исключая из этих уравнений вектор ф и введя константы
мы получим для электрического вектора три линейных дифферен-
дифференциальных уравнения
д
A2)
Поступая так же, как и раньше, и задавая характеристическое
многообразие уравнением ш (х, у, z, t) = 0, мы получим характе-
характеристическое условие для системы дифференциальных уравнений A2)
в форме
n2 C2 __ я T2
р»—
= 0.
A3)
• О.Х'

42$ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕЬЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и > 2) (ГЛ. Vr
где - = <fy, 1жшя, ^==@^, !;==cuj,, pa = ;3-{-vja~f- *s. Уравнение A3)
должно иметь место вдоль многообразия ц> = 0; если, в частности,
(u^=i—ъ(х, у. г), то "=1, и мы получаем:
но, -п, 0 =
у(; J>- 7j- 
Характеристические лучи являются прямыми линиями, как и вообще
для всех дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Элементарными вычислениями мы получаем:
где
Уравнение (.13) мы можем теперь записать в виде
^ЯD,|,|) = О. A4)
Если рассматривать \, % С как прямоугольные координаты в трех-
трехмерном пространстве, то поверхность Я(?, yj, С) = 0 является по-
поверхностью нормалей дифференциальных уравнений кристаллооптики;
— , — , —1=0
Т X X J
дает конус нормалей, проектирующий из начала координат поверх-
поверхность нормалей, помещенную в плоскости т = 1. Напомним еще раз
геометрический смысл поверхности нормалей согласно нашим преды-
предыдущим рассмотрениям.
Выберем в пространстве х, у, г некоторую фиксированную точку,
например, начало координат; так как коэффициенты постоянны, то
выбор начальной точки не играет роли. Рассмотрим в этой точке
все возможные касательные плоскости к характеристическим поверх-
поверхностям, проходящим через эту точку; к каждой характеристической
поверхности восставим перпендикулярный вектор, компоненты кото-
которого нам дают соответствующие этому направлению нормальные ско-
скорости характеристической поверхности. Концы этих векторов обра-
образуют тогда поверхность нормалей. Эта поверхность нормалей является
поверхностью четвертого порядка и называется волновой поверх-
поверхностью Френеля. Она не зависит от выбора рассматриваемой точки
пространства.
Уравнение Н($, т), С) = 0 поверхности нормалей может быть
также представлено в одном из следующих двух видов:
• V >

§ 4] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ 429
В дополнениях к настоящей главе мы подробнее остановимся на ин-
интегрировании дифференциальных уравнений кристаллооптики, и для
этой цели нам придется глубже исследовать геометрические свойства
поверхности нормалей и поверхности лучей. Здесь же мы только
сформулируем следующий результат, который будет нами получен
в дальнейшем:
Поверхность нормалей и поверхность лучей состоят каждая
из двух вещественных замкнутых полостей, причем внутренняя
полость является выпуклой. С помощью преобразования взаим-
взаимными полярами внутренняя полость поверхности нормалей пере-
переходит в выпуклую оболочку внешней полости поверхности лучей.
Соответствующие соотношения имеют место также и между конусом
нормалей и конусом лучей в четырехмерном пространстве.
§ 4. Теоремы единственности и область зависимости для
задач Коши 1)
1. Волновое уравнение. В гл. V, § 3 мы рассмотрели понятия
единственности, области зависимости и области влияния. Эти
фундаментальные рассмотрения непосредственно переносятся и на
случай многих переменных. Мы считаем лишним снова повторять
наши прежние рассуждения для этого случая и можем ограничиться
проведением доказательств единственности для ряда особенно типич-
типичных примеров. В качестве первого примера мы рассмотрим волновое
уравнение в двухмерном пространстве
L [и] = ии — ихх — иуу = 0 A)
и проведем для него доказательство единственности, которое в одном
пункте отличается от соответствующего рассуждения в гл. V.
Пусть С—произвольная начальная поверхность пространственного
типа, заданная уравнением <р(*> v, t) = 0, так что на этой поверх-
поверхности выполняется условие
где х.„ y.lt t^ обозначают компоненты нормального к поверхности
единичного вектора, т. е.
Допустим, что решение и дифференциального уравнения вместе
со своими первыми производными обращается в нуль на поверх-
*) Излагаемый в этом параграфе метод принадлежит Z а г е ш b a, Rendic.
Асе. Lincei, серия 5, т. 14 A915), стр. 904. Этот метод был впоследствии
вновь получен и обобщен Рабиновичем, Monalsh. f. Math. и. Phys.,
т. 30 A920), стр. 65 и Phys. Ztschr., т. 27 A926), стр. 707, а также Frled-
richs un* Lew у, Math. Ann., т. 98 A928), стр. 192.

430 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (« > 2) [ГЛ. VI
ности С. Для этого достаточно предположить, что и и ut равны
нулю на С. Мы утверждаем: при этих условиях и обращается
в нуль тождественно во всех тех точках, для которых харак-
характеристический конус вместе с вырезаемой
им из поверхности С частью этой поверх-
поверхности образует замкнутую поверхность,
ограничивающую некоторую область О.
Характеристическим конусом является в дан-
данном случае конус в пространстве х, у, t,
образующие которого наклонены к плоскости
Черт. 36. t = 0 под углом в 45°; эти прямые являются
характеристическими лучами нашего уравнения.
Для доказательства мы берем за основу тождество
2utL [и] = - 2 {utux)x ~ 2 (в,«Д + («I), + <«*Л + К V B)
Проинтегрируем это уравнение по области О. Так как правая часть
представляет собой выражение типа дивергенции, то по интегральной
теореме Гаусса мы получим, учитывая начальные условия на поверх-
поверхности С и дифференциальное уравнение L [и] = 0, следующее инте-
интегральное соотношение:
И - 2«АЛ - 2utuyy) do ^
м
где М означает часть поверхности конуса, принадлежащую к границе
области О, do — элемент поверхности, причем учтено, что на М
имеет место соотношение ^ — х^—у^=0. Из обращения в нуль
последнего интеграла следует в силу знакопостоянства ?,, что под-
интегральное выражение равно нулю во всех точках поверхности М;
следовательно, всюду на М имеют место уравнения ujk, — utx4 — О
и uyt4 — Uty.j — 0; это означает, что на М обращаются в нуль две
линейно независимые внутренние относительно М производные функ-
функции и. Поэтому функция и должна быть постоянной на М, а в силу
начального условия и тождественно равна нулю во всех точках
поверхности М. Отсюда, в частности, следует, что и обращается
в нуль в точке Р, что и требовалось доказать.
Вместе с тем наше предыдущее рассмотрение нам дает снова
область зависимости для рассматриваемого дифференциального
уравнения в следующем смысле: значения решения и в точке Р
при заданных начальных значениях на поверхности С зависят
только от начальных значений на той части С, которая выре-
вырезается из С характеристическим конусом, проведенным из
точки Р.

§ 4] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОЙ ГИ 431
Совершенно таким же образом решается вопрос о единственности
и области зависимости в пространстве трех и большего числа изме-
измерений для общего дифференциального уравнения
utt—А и -\~ аиш -\- Ъиу -{-cut-{-du = 0,
где коэффициенты а, Ъ, с, d могут быть произвольными непрерыв-
непрерывными функциями от t и пространственных переменных. За образец
здесь снова следует принять доказательство, проведенное в гл. V.
Мы здесь остановимся еще на доказательстве единственности для
< характеристической задачи Коши» в случае волнового уравнения.
В задаче Коши этого типа начальные значения задаются уже не
на начальном многообразии пространственного типа, удовлетворяю-
удовлетворяющем условию <р| — »а, — ?^> 0, а на характеристическом многообра-
многообразии специального вида, именно — на характеристическом полуконусе К'-
(t — tof — (х — хоJ — О—У of = 0 << > 'о)- C)
В этом случае, в соответствии с нашими прежними общими резуль-
результатами, мы уже не можем задавать произвольно начальные значения
функции и и ее внешней производной (определяя этим однозначно
и все другие производные на начальной поверхности), а должны
ограничиться заданием значений одной только функции и. При этом
мы в качестве начальных значений функции и на поверхности конуса
задаем значения, которые на этой поверхности
принимает некоторая функция, непрерывно диф-
дифференцируемая в некоторой окрестности поверх-
поверхности конуса, включая вершину. Докажем, что
заданием значений и на полуконусе К, опре-
определенном уравнением C), функция и одно-
однозначно определяется всюду внутри этого
полуконуса, т. е. в области
y^tof—(x — xof--{y—yor>Q и t>t0.
Доказательство непосредственно следует из
приведенных нами выше формул. В самом деле,
допустим, что начальные значения некоторого
решения и обращаются в нуль на характери-
характеристическом конусе; проинтегрируем выражение B) по области О,
которая ограничена, с одной стороны, этим конусом, а, с другой
стороны, характеристическим конусом, выходящим из какой-нибудь
точки Р; обозначим через Мг и М2 части поверхностей соответ-
соответствующих конусов.
В этих обозначениях мы снова получим:
j- [(««A — utxj> + (uyt, — uty\f] do^O.
Действительно, интеграл по поверхности Mt нижнего конуса равен
нулю, так как подинтегральное выражение содержит только внутрен-

432 ГНПВРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (й > 2) [г/1. VI
ни* относительно М^ производные функции и, которые в силу
нашего предположении обращаются на А1Х в нуль (ибо и' = 0).
Отсюда следует, что и на поверхности Af2 конуса, принадлежа-
принадлежащего к точке Р, обе линейно независимые внутренние производные
«аА — utxt и иу** — 1НУч также обращаются в нуль; таким образом,
и постоянно и, следовательно, равно нулю на поверхности /W2, ибо и
обращается в нуль вдоль линии пересечения поверхностей М1 и Afg.
2. Дифференциальное уравнение % — Дм -J- ~ щ — 0 (уравне-
(уравнение Дарбу). Приведем в качестве второго примера применения на-
нашего общего метода с несколько видоизмененным ходом рассуждении
доказательство единственности для дифференциального уравнения
Дарбу, которое нам еще понадобится в дальнейшем. Уравнение Дарбу
имеет вид
М«] = и« + уи* — Аи = 0, D)
где к может быть любой неотрицательной и непрерывно дифферен-
дифференцируемой функцией переменных дг,- и t.
Характеристическое условие снова имеет вид
или
а уравнение характеристического конуса имеет вид
Докажем, что если какое-нибудь дважды непрерывно диффе-
дифференцируемое решение и дифференциального уравнения D) вместе
со своей производной ut обращается в нуль вдоль лежащего в пло-
плоскости t ¦=¦ 0 основания В характеристического конуса с верши-
вершиной в Р(/>()), то функция и обращается в нуль в точке Р,
а также внутри области G, ограниченной этим конусом.
Доказательство. Имеем:
Интегрируя по области G с элементом объема dv и применяя
интегральную теорему Гаусса к выражению типа дивергенции,
стоящему в правой части, мы получим, учитывая начальное условие
вдоль основания В, следующее интегральное соотношение:

§ 4j
ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ
433
где М—боковая поверхность конуса, do— элемент поверхности
на М- Лодинтегральное выражение в интеграле по поверхности М
может быть в силу характеристического условия E') представлено
7»
-IV (и - — и
в виде
Так как по условию >->>0, то мы получаем отсюда непосредственно,
что всюду в G имеет место уравнение «4 = 0, и, следовательно,
и тождественно обращается в нуль всюду в области G, что и тре-
требовалось доказать.
3. Уравнения Максвелла для эфира. В качестве первого при-
примера системы дифференциальных уравнений с четырьмя независимыми
переменными мы снова рассмотрим систему уравнений Максвелла,
полагая, что скорость света с = 1 (см. гл. III, § 4).
Уравнения Максвелла имеют тогда следующий вид:
df—rot? = 0; ф4-j- rot (§, = О J). F)
Рассмотрим для этой системы задачу Коши, принимая за начальное
многообразие плоскость t= 0 и задавая начальные значении векто-
векторов 6 и |). Мы должны доказать, что если обращаются в нуль
начальные значения © и ф, то
векторы © и ф обращаются в нуль
тождественно.
Каждой точке Р четырехмерного
пространства х, у, z, t принадле-
принадлежит характеристический конус, вы-
вырезающий из начальной плоскости
t = 0 трехмерный шар В. Пусть
точка Р имеет координаты х = О,
у— 0, 2 = 0 и i = i. Плоскость
t — h, параллельная основанию, от-
Черт. 38.
секает от этого четырехмерного конуса G усеченный конус Gh
(черт. 38), ограниченный нижним основанием В,, частью Mh боковой
поверхности конуса и верхним основанием Dh, представляющим
собой трехмерный шар в трехмерной плоскости t = h.
Применяя известную формулу векторного анализа ф rot @ — @ rot ф =
= div [(§, X ф], мы получаем как следствие из уравнений Максвелла
следующее тождество:
1) К уравнениям Максвелла принадлежат, кроме того, добавочные условия
div <? = 0, div ф = 0.
Легко показать, что если для векторов & и ф, удовлетворяющих дифферен-
циальвым уравнениям F), эти добавочные условия имеют место в момент
f = 0, to они выполняются и при любом t в силу дифференциальных урав-
уравнений F). v

434 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРВНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (я ^> 2) [гл. VI
Проинтегрируем это тождество по области Gh, сначала интегрируя
по х, у, z при постоянном t, а затем по t в пределах от t — О
до t — к. Применяя интегральную теорему Гаусса и учитывая началь-
начальное условие й = ф = О при t = 0, мы получим:
JJJ [6 X ф]
причем jv обозначает нормальный вектор в трехмерном пространстве
х, ^/, г к сфере радиуса - — t с центром в проекции точки Р,
а ?, = -?-1/^2 есть f — компонента нормали к Мь.
Но в силу характеристического условия на боковой поверхности
Мь характеристического конуса имеет место равенство ^ = 5^,
поэтому мы имеем на Мь:
(е9+Ф2) *+^л I® X ф] = е2^+23 [ф х sj
В силу тождества
мы можем теперь правую часть предыдущего равенства представить
в виде
Окончательно мы получаем из уравнения G) следующее интегральное
соотношение:
О =
-I-JJJ -1-
Отсюда следует, что на Dh, а, следовательно, и всюду в G
6 = ф = 0, что и требовалось доказать. Вместе с тем мы получаем
снова как следствие из нашего рассмотрения, что область зависи-
зависимости для нашей задачи Коши задается характеристическим
конусом, т. е. значения векторов d и ф в точке Р могут за-
зависеть только от тех начальных значений, которые принадлежат
к шаровой области В, вырезаемой из t = 0 характеристическим
конусом.
4. Теорема единственности и область зависимости для диф-
дифференциальных уравнений кристаллооптики. Для дифференциальных
уравнений кристаллооптики A2) из § 3 мы докажем следующую
теорему, которая разрешает вопрос о единственности решения задачи
Коши и области зависимости:
Проведем через точку Р четырехмерного пространства х, у,
г, t выпуклую оболочку конуса характеристических лучей кри-

§ 4] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ 436
сталлооптики. Пусть этот конус вырезает из плоскости t = 0
область В (область В является выпуклой оболочкой соответствующей
поверхности лучей, увеличенной по всем направлениям в некотором
постоянном отношении). Если в области В начальные значения
векторов 6й|, равны нулю, то (§. обращается в нуль в точке Р.
Для доказательства умножим три дифференциальных уравнения A2)
из § 3 соответственно на 2uv 2«3l 2к3 и сложим. Мы получим тогда
(Olij + о2м| + о3и|)( _ 2© (Д<? — grad div g) = О
или же
(oj^ -f- aji\ + o3Mf)( = — 2® rot rot (g =
== — (rot (§, rot (§)t — 2 div [rot (E X &]>
причем мы применяем формулу brota — a rot b = div [a X Ь]. Отсечем
снова плоскостью t = h усеченный конус Gh от выпуклой оболочки G
характеристического конуса, так что Gh ограничено двумя параллель-
параллельными плоскими поверхностями В и Dh, подобными между собой,
и частью Mh конической поверхности М. Проинтегрируем теперь
полученное нами тождество по области Gh, причем сначала мы инте-
интегрируем по х, у, z при постоянном t, а затем интегрируем по t.
Обозначим снова через do элемент поверхности на Mh, через g, —
вектор трехмерного пространства х, у, г, нормальный к поверхно-
поверхности Мь (при фиксированном t), а через (j,, ?„) — компоненты четырех-
четырехмерного единичного нормального вектора к поверхности Mh (в че-
четырехмерном пространстве).
Мы получим тогда:
J/f
4- \\{°i«?+°2«! + °8и|+(rot®J}dxаУdz=
Подинтегральное выражение А первого интеграла мы преобразуем
с помощью формулы & [rot ® X ©1 — [^ X jJ rot 6- Мы получаем:
Выражая А через компоненты рассматриваемых векторов и полагая
& —&> ^2> 53), ^ = ', мы представим А в следующем виде:
^4=^2 2 о,«| - 2 5? 2 «|+B ^ «Л"+& rot е + [ё х 5vD2 =

436 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п >¦ 2) [ГЛ. VI
где Q является квадратичной формой от трех величин ut = К{, которую
мы можем записать в следующем виде:
сейчас докажем, что на выпуклой оболочке характеристи-
¦ ческого конуса выполняется условие Q^>0. Тогда из уравнения (8)
будет непосредственно следовать, что на Dh имеет место соотноше-
з
ние 2 а{и? = 0, так что щ — О на Dh, а, следовательно, и всюду
4 = 1
внутри нашего конуса. В силу начальных условий и{ = 0 при tf = О
мы получим отсюда, что и во всем рассматриваемом конусе щ = О,
и наше доказательство будет закончено.
Остается только доказать справедливость вспомогательной теоремы
о том, что Q^O на Мь. Мы в этом легко убедимся путем следую-
следующего рассуждения: пусть та = х есть максимум квадратичной формы
Р2 2 ^ — B '¦АJ ПРИ добавочном условии 2 °*^ — 1 ¦ Согласно
элементарной теории собственных значений квадратичных форм зна-
значение этого максимума равняется наибольшему из корней т2 уравнения
IIQ У — О ПРИ заданных %v Е2, ?8, где \ Q || обозначает детерминант
квадратичной формы Q. Заметим теперь, что уравнение конуса нор-
нормалей имело вид j|Q|| —0. Один из корней равен поэтому нулю,
а наибольший из двух других корней т2 при фиксированных Ьи i2, ?3
определяет внутреннюю полость конуса нормалей. Таким образом,
на внутренней полости конуса нормалей имеет место неравенство
Но при упомянутом выше преобразовании взаимными полярами
внутренней полости конуса нормалей соответствует выпуклая оболочка
конуса лучей, что и доказывает нашу вспомогательную теорему.
Подчеркнем, что проведенное нами только что рассуждение может
быть непосредственно обобщено и использовано для доказательства
теоремы единственности в случае любого вполне гиперболического
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
5. Замечания об области зависимости и области влияния.
Необходимость условия выпуклости области зависимости. Заметим
еще раз, что понятие области зависимости связано с понятием
области влияния (см. гл. V, § 3). Областью зависимости, соот-
соответствующей точке Р, называется та область начальных значений,
которая влияет на значение решения рассматриваемой задачи в точке Р.
Областью же влияния начальной области В называется сово-
совокупность всех тех точек Р, для которых область зависимости имеет
с областью В общие точки. Поэтому из наших доказательств теорем
единственности следует, что область влияния начальной области В

§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 437
является соединением всех выпуклых оболочек характеристических
конусов, вершины которых лежат в В.
Выясним теперь с более глубокой точки зрения причину того
обстоятельства, что при исследовании дифференциальных уравнений
кристаллооптики нам пришлось взять за основу не самый характери-
характеристический конус, а его выпуклую оболочку. Подчеркнем при этом,
что пример дифференциальных уравнений кристаллооптики является
в этом отношении типичным для задач более сложного характера.
Допустим, что дана задача Коши, обладающая следующими свойствами:
решение и (S) в точке S пространства х, t зависит от начальных
значений в момент /"<? в области Вг, вырезаемой из плоскости
?=г конусом с вершиной в S, причем форма и ориентировка этого
конуса не зависят от положения вершины S. При этих условиях
область Вг должна быть выпуклой. Для доказательства заметим
прежде всего, что все области Вг подобны между собой; обозначим
область Во через В. Если Р есть некоторая точка области В, aS' —
какая-нибудь точка, лежащая на луче PS, то область зависимости В'о
для точки S' должна содержаться в области Во. Области Во и В'о
подобны и подобно расположены с центром подобия в точке Р.
Если мы будем теперь неограниченно приближать точку S' к точке Р,
то область В^ будет стягиваться в точку Р. С другой стороны,
когда точка S' приближается к точке S, область В'о непрерывно
расширяется и в пределе совпадает со всей областью Во. Отсюда
следует, что любую точку Р области Во можно соединить с любой
другой точкой этой области прямолинейным отрезком, целиком ле-
лежащим внутри Во, что и доказывает выпуклость области Во.
В дополнениях к этой главе, § 2 мы приведем другую теорему,
освещающую необходимость введения выпуклых оболочек с другой
точки зрения.
§ 5. Гиперболические линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Б этом параграфе мы решим в явном виде задачу Коши для
линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоян-
постоянными коэффициентами гиперболического типа с я независимыми пере-
переменными, не пользуясь непосредственно теорией характеристик, и ис-
исследуем полученные решения.
Волновое уравнение с двумя и тремя независимыми переменными
было нами рассмотрено уже раньше в гл. III, § 6, а также в гл. VI,
§ 2, п. 8. Теперь мы должны получить общие формулы для случая п
переменных!).
*) О. Hadamard, Propagation des ondes, Париж, 1903, и указываемую
там литературу, особенно работы Волыерра, Ada Math., т. 18 и Tedone
Annal. di Mat., серия 3, т. 1, стр. 1, где впервые были даны решения в явном
виде.

438 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и > 2) [гл. VI
Мы полагаем снова и = т -\-1 и рассматриваем переменную
xn — t как координату времени. В силу общих рассуждений гл. III,
§ 3, п. 2 мы можем ограничиться рассмотрением дифференциального
уравнения
иа — Аи — сн = 0, A)
•где с — константа. Сначала мы остановимся на случае с = 0, т. е.
рассмотрим дифференциальное уравнение
Ви —Ди = О, B)
и затем покажем, что решение общего дифференциального уравнения
вида A) может быть приведено к решению дифференциального
уравнения B). Предметом нашего исследования является решение
задачи Коши для дифференциального уравнения B), в которой на-
начальные условия заданы в форме: и (х, 0) = 0, ut(x, 0) = »(д:).
Через х мы здесь ради краткости обозначаем систему значений
xlt ..., хт, а под » (х) мы подразумеваем функцию, удовлетворяю-
удовлетворяющую следующим требованиям: при т нечетном функция w(jc) должна
tn ~i— 1
быть непрерывно дифференцируемой по меньшей мере ^ ¦ раз,
tn | О
а при т четном —^— раз. Эти требования нами будут в дальней-
дальнейшем обоснованы в процессе наших вычислений.
Если и является решением задачи Коши,' формулированной выше,
то функция v = щ является решением другой, соответствующей ей,
задачи Коши, в которой начальные условия имеют вид v (x, О) = »(дг)
и vt (х, 0) = 0. Поэтому в силу принципа суперпозиции достаточно
получить явное решение первой задачи Коши, из которого мы в силу
только что сделанного замечания непосредственно сможем составить
решение задачи при любых заданных начальных значениях и и щ.
Чтобы получить искомое решение, мы сначала применяем эври-
эвристический процесс и с помощью метода Фурье выводим чисто
формально нужное нам выражение для решения задачи и затем про-
проверяем, действительно ли полученное выражение является решением.
(В § 6 мы изложим другой способ получения решения.) Установив
это, мы исследуем форму решения и делаем отсюда ряд принципиаль-
принципиальных заключений; полученные нами результаты приводят нас затем
также и к решению задачи Коши для неоднородного дифференциаль-
дифференциального уравнения, а также общего дифференциального уравнения A)
и, в частности, телеграфного дифференциального уравнения. Заметим
с самого начала, что рассмотрения § 4 обеспечивают единственность
получающихся решений.
В наших дальнейших вычислениях нам придется пользоваться
некоторыми формулами преобразования поверхностных интегралов
в m-мерном пространстве, которые мы сейчас вкратце перечислим.
Пусть в w-мерном пространстве задана сфера х\ -J- ... + хгт = г4
радиуса г с поверхностью От и элементом поверхности dovl.

§ 5] УРАВНВНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 439
Положим х{ = /f,-, так что Pi+• • ¦+??,= *¦ Таким образом,
Р есть точка единичной сферы Qm с элементом поверхности d<*>m.
Площадь поверхности Qm обозначим через (ят.
Тогда имеют место следующие формулы:
ГЫ
а для интеграла от некоторой функции f(xv ..., хт) по поверхности
От мы получаем:
...f fdow = r«-i J.. . J /(rpt) ..., rpm) rf^,
Or»
причем стоящий в правой части интеграл должен быть взят по по-
поверхности Qm единичной сферы.
Этот интеграл может быть, далее, преобразован по следующей
формуле:
°т
р2
причем р2 == xi -f- • •. + *L -i, а стоящий в правой части интеграл
должен быть взят по внутренности сферы р = /- в т—1-мер-
т—1-мерном пространстве.
Наконец, мы можем этот интеграл записать и в таком виде:
/...//Л,
т—з
J A _ fm) » rfpm J . . .
причем в правой части внутренний интеграл берется по поверхности
единичной сферы SWI_1 в т—1-мерном пространстве.
*) Точнее,
f ... ifdom = r f
J J J
f ... f f(xb ....
{Прим. nepee)

440 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и>2) [гл. VI
Если, в частности, / зависит только от одной переменной, напри-
например, хт, то мы получаем:
1 ОТ —3
J J J
О —1
1. Построение решения. Следуя общему принципу, изложенному
"в гл. III, § 6, п. 3, мы пытаемся1 найти искомое решение рассматри-
рассматриваемой задачи Коши в следующем виде:
со
« = / ¦ • • J A (otj, ..., а,н) е вЛт'" ' "Л sin pt dat... dtm, C)
— CO
где
Мы считаем здесь, как и в дальнейшем, допустимой операцию
дифференцирования под знаком интеграла, равно как и другие опе-
операции перемены порядка действий (что сможет быть нами обосно-
обосновано лишь впоследствии при проверке результата), и получаем в силу
нашего начального условия при ? = 0:
со
? (х) « J ... J РД («t,..., ап) e'(V<1+ ''' 'в'Лй) da,... dam.
— СО
Применяя теперь формулу обращения интеграла Фурье, мы получим
непосредственно следующее выражение для Л (а):
оо
*A
Если заменить теперь в формуле C) функцию А (а) полученным
выражением и изменить, чисто формально, порядок интегрирований,
то мы получили бы
sin ft , ,
¦ —+- rfotj ... dam.
Однако, при /и>2 внутренний интеграл расходится, так как, пере-
переходя к полярным координатам, мы получим:
dat... dam = pm-ldmMdp,
где d<am обозначает элемент поверхности единичной сферы в т-мер-
ном пространстве.
Чтобы избегнуть этой формальной трудности, мы применяем сле-
следующий искусственный прием.

§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 441
Рассмотрим при нечетном >м^>3 выражение
v(x, f)= Г ... Г-^z^e * l m m cosf^rfaj. . .dam, E)
J — оо •* Р
а при четном т^-2 выражение
w (*, Q = ("••¦/ ^М c*(Vl *тЯ>ш) sfn Г'^ rf«i ¦ • • dam. E')
Отсюда мы получаем чисто формально при нечетном т^-Ъ
и(х, 0 = (-1) " -SS«(«. О,
а при четном
т—г
—7,—
)
. О-
Для этих новых выражений v и w внутренние интегралы сходятся,
и мы получаем как для нечетного т, так и для четного т следую-
следующий результат:
«= -?S Г +-" J ? (*i+?1. • • •, *»+s j ^« (л о л,... ^, F)
где г
sjf -|- ... -{- 5^1 а
вид
т-З
, если
О, если г>/.
G)
Доказательство мы проведем только для случая нечетного т, так
как для четного т оно протекает совершенно аналогично и, кроме
того, полученный результат будет впоследствии распространен на
четное т.
Сначала мы вводим вместо аи ..., ат полярные координаты
где
так что pi5 ..., |3m являются параметрами на единичной сфере в /п-мер-
ном пространстве.
Подставляя теперь выражение для Л (а) из формулы D) в фор-
формулу E), мы получим:
*" — оо •>
/О— \«1 I " " " I
. Е )
cos p/

442 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (я > 2) [ГЛ. VI
Внутренний интеграл ми можем теперь записать в следующем
виде:
оо
/ М (Рг> cos
причем ЛГ(г) обозначает взятое по поверхности m-мерной единичной
сферы среднее значение:
9b+"+'-Ud», а г-Кй-Ь-.+й. (9)
Так как этот интеграл инвариантен относительно ортогональных
преобразований координат, то мы можем для его вычисления поло-
положить Ej = г, &2 — lz = ... — \т = 0, что нам дает:
откуда
Полагая теперь в формуле (8) pr = s, мы получим:
о
В силу формулы A0) мы получаем далее после простого преобра-
преобразования
1
т—3
Ha основании элементарных свойств интеграла Дирихле, стоя-
стоящего в правой части этого равенства (см. т. I, стр. 71), мы полу-
получим:
т-3 у
1
I
0 , если г</.
A1)
1) В силу одного из интегральных представлений бесселевой функции
/х(г) (Курант-Гильберт, т. I, стр. 460) мы получаем:
т—2 Jm—2 (/")
М {г) = 2~^~ г И
2,
г

§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 443
Итак, выражение для v может быть представлено в виде
— СО
Введем теперь полярные координаты
, Pi,-.., ?»
и обозначим через QOcj, ..., хт; г) среднее значение функции » на
сфере, описанной из точки х радиусом г, так что
J «fo)m. A2)
Мы получим тогда:
о
или в развернутом виде:
°° m-S
Так как, далее, выражение
J
о
представляет собой при нечетном т^>3 полином степени т — 3
относительно t, так что т—2-ая производная по t от этого выраже-
выражения тождественно равна нулю, то мы получим для
т — 1
—— ?га-2
следующее представление:
и {х, t) = Ст ±—f J (f - г*) * rQ (x, r) dr,
о
где Ст — некоторая константа.
Это выражение для и равносильно формуле F). Константу Ст
мы можем найти либо с помощью предыдущих формул, либо проще,
полагая <s=l, u — t, так что Q=l.

444 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (я > 2) [гл. VI
Это дает нам для Ст значение Ст = ,_^.
Мы получаем, таким образом, решение рассматриваемой задачи
Коши в виде:
~~3
Точно такую же формулу мы получаем и в случае четного т,
отправляясь от выражения w(x, f), определяемого формулой E').
Однако, в этом случае вычисления несколько усложняются, хотя по
существу они совершенно аналогичны предыдущим. Мы предпочитаем
поэтому доказать справедливость формулы A3) в случае четного
числа измерений другим способом, применяя так называемый «метод
спуска», к изложению которого мы переходим.
2. Метод спуска*). Метод спуска, играющий большую роль в иссле-
исследованиях Адамара, основывается на том простом соображении, что,
имея решение нашей задачи для случая т независимых переменных,
мы можем из него получить решение этой задачи для иг — 1 или
меньшего числа измерений путем специального выбора начальных
условий, спускаясь, так сказать, от более трудной задачи к более
простой.
На основании теоремы единственности мы можем получить из
формулы решения для случая т пространственных переменных фор-
формулу решения для т—1 пространственных переменных, вводя
предположение, что начальная функция o>(,v1; ..., х.т), входящая в пер-
первую формулу, не зависит, например, от хт. Тогда соответствующее ре-
решение и также не будет зависеть от х.т, и мы получим, таким обра-
образом, решение задачи Коши для от—1 пространственных переменных.
Таким же образом мы можем спуститься от случая т пространствен-
пространственных переменных к случаю т — 2 пространственных переменных,
введя в формуле A3) предположение, что <s зависит только от
Xj, . . -, Хт_2 И Т. Д.
Мы можем, естественно, ожидать, что при этом процессе спуска
формула A3) сама собой перейдет в совершенно аналогичную фор-
формулу, получающуюся путем замены т через т—1 или соответ-
соответственно т — 2. Переходим к доказательству этого предполо-
предположения.
Заменим т через т-\-1 и рассмотрим для функции <p('vi> ..., хт),
зависящей только от т переменных, ее среднее значение в простран-
пространстве т-\-\ измерений:
i • • •*«•; г) = —^ j... J <? (х, 4- Pir, .... х
*) Ср. Hadamard, Lectures on Cauchy's Problem, New Haven, 1923, и
дополненное французское издание: Probleme de Cauchy, Paris, 1932. См.
также гл, III, § 6, п. 5.

§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 44S
Так как
О Ох г\ - 2 Г f ?(¦*-!-г <*1 Хт-\-ат) , ,
Vm ц {X, Г) — —— J • • • I , -, аН ¦ • • «а,л>
2 ( Уй)
а ш,н = —5-!.—•?-_, то мы получаем отсюда:
<¦©
причем
Qm (X, ') = — Г • • • Г ? (^! + РХГ, - . .,
так что Qm(x, r) обозначает соответствующее среднее значение
функции о в m-мерном пространстве.
Точно так же мы получаем в обозначениях, не требующих теперь
пояснений,
2
о
если функция о зависит только от т — 2 переменных, хи ..., Хт_2-
Комбинируя обе формулы, мы приходим к следующему соотношению
между Q,Hi j и Q,,,.^:
__ г Р
4Г Г'"
-л f I \xi г) — t^z—г~ г^ггт I г . ~ I г - os ¦
о
»¦
} J
О 8
С помощью подстановки ра — s2 = г (г8 — s9) и на основании фор-
формулы
J у zY\— z
о
мы приводим предыдущее соотношение к следующему виду:
г
Qm « (*. ^ = ^Т J P—a Q«-i (^, P) «?р. A5)

446 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ. Vi
Формулы A4) и A5) дают нам возможность произвести операцию
однократного или двукратного спуска. Легко непосредственно убе-
убедиться в том, что при двукратном спуске формула A3) переходит
в точно такую же формулу, в которой только вместо т сгоит т—2.
Соответствующий результат для однократного спуска получается
с помощью следующих небольших преобразований.
Подстановка вместо Qm+1(x, r) выражения A4) в формуле A3),
составленной для т-\-\, дает нам
m—i
Лт-i I I (Л ri\ 'i
О р
где С—некоторая константа. Произведем подстановку
введя вместо г переменную интеграции г. Мы получаем:
t . ... _ 1
_i m -4
2 A—2) 2 й?2Г. A6)
Р
Таким образом,
t m — S
путем специального выбора функций <р и и(®=1, u = t) мы полу-
получим, как и раньше, значение константы Сш=- ^.
Итак, мы доказали, что полученные решения сохраняют свой вид
при спуске к низшим значениям т. Поэтому действительно является
достаточным доказать формулу A3) для нечетного т, ибо с по-
помощью однократного спуска мы тогда убедимся в справедливости
этой формулы также и для четных значений т.
3. Исследование решения. Принцип Гюйгенса. Прежде чем
приступить к проверке полученных выражений как решений нашей
задачи Коши, мы представим их в другой форме, которая дает воз-
возможность глубже исследовать поведение этих функций. Для этой цели
рассмотрим сначала в случае нечетного числа измерений т выраже-
выражения вида
(X=.O, 1, 2,...), A7)

§ S] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 447
причем зависимость величин U и О от переменных х нас здесь не
интересует. Легко доказать рекуррентную формулу:
Так как
то отсюда следует, что
где аь—некоторые численные коэффициенты.
Если мы обозначим через Pi(t) многочлен
х
то мы можем записать выражение для UK в следующей символиче-
символической форме:
где степени О должны быть заменены соответствующими производ-
производными. Мы можем теперь записать наше решение A3) рассматривае-
рассматриваемой задачи Коши для нечетного /ra = 2X-j-3 в следующем виде:
B1)
==Q(x, 0 = 17- Г- • ¦{<?
где
В случае четного числа измерений т мы также можем получить
символическое выражение для функции и, применяя изложенный
в п. 2 метод спуска. Действительно, спускаясь от нечетного числа
измерений т-\- 1 к т, мы непосредственно получаем:
B2)
где, однако, под Q мы должны теперь подразумевать выражение
_ Г ... Г ?(х,
0 =
которое в силу п. 2 может быть представлено в виде
t
(ш -|~ 1 \ г*
rW J
о
Таким образом, решение и выражается через производные по
этой функций 0{х, t) до порядка -к-{т — 2) включительно.

448 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (к > 2) [гл. VI
Однако, мы можем легко, по аналогии с нашими рассуждениями
в случае нечетного числа измерений, получить соответствующее
выражение через производные интеграла
о
который при иг —2 сам является искомым решением задачи.
Для этой цели положим:
о
Для Zx мы получим рекуррентную формулу
B4)
zo = h. I
Отсюда следует:
i
Z,= 2*>»f№(Q С25)
v=0 '
или же, если ввести полиномы
х
11,@= 2*>,^.
v = 0
то мы получим в символической форме:
B6)
их
Таким образом, решение задачи Коши в случае четного числа
измерений может быть представлено в виде
и = 18 _ р (in), \А')
2
где
t
и
Формулы B1) и B7) показывают, что функция и непрерывна,
если начальная функция при четном m имеет непрерывные производ-
производные до порядка ™~ ¦ включительно, а при нечетном m — непрерыв-
непрерывные производные вплоть до порядка т~~3.
Для того же, чтобы обеспечить возможность еще двух дальней-
дальнейших дифференцирований функции и, как этого требует дифферен-
дифференциальное уравнение B), мы должны еще предположить, что началь-

§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 449
ная функция в случае четного т имеет непрерывные производные
вплоть до порядка и^- , а при нечетном т — до порядка—^—*).
Значение выведенных нами формул заключается прежде всего
в том, что из них совершенно непосредственно вытекает следующая
очень важная теорема:
Для задач Коши, связанных с волновым уравнением, принцип
Гюйгенса имеет место в случае нечетного числа т измерений
пространства, тогда как в пространстве четного числа измере-
измерений принцип Гюйгенса не имеет места.
При этом принцип Гюйгенса, о котором здесь идет речь, фор-
формулируется так: Значения решений зависят только от границы
области зависимости на плоскости t = 0, т. е. только от на-
начальных значений о вдоль границы, основания характеристического
конуса, и не зависят от значений » внутри этого основания.
Мы, таким образом, доказали, что установленный нами раньше
при т = 2 и т = 3 различный характер соответствующих волновых
уравнений в отношении принципа Гюйгенса является не случайным
фактом, а общим законом 2).
Покажем теперь, что полиномы Р и И могут быть очень просто
представлены в явном виде, что дает нам возможность получить
новые явные выражения для рассматриваемых решений задачи Коши.
Чтобы проще всего получить явные выражения для полиномов Ръ
положим в общем выражении для ?/х G (<)=?*; тогда мы получим
U}== tetP) (t). Рекуррентная формула A8) для Ux дает нам тогда
следующую рекуррентную формулу для Рх:
причем
Мы получаем, таким образом,
рЛ — 1 • р — i_i_jL- Р = 1 -I—— t J — fi i"9Q1
М) — L > "l —¦ L i Q > '2 — l T is ' I ic c • \^i>)
Свободный член в наших полиномах всегда равен единице. Эти
выражения для полиномов Рх дают нам возможность сразу написать
соответствующие явные формулы решений задачи Коши для первых
нечетных значений т:
1»=3; u = tQ{x,t),
-Ьт* ш ' (зо)
15 ot ' 15 dfi '
*) Мы здесь не касаемся вопроса о том, насколько эти требования дей-
действительно необходимы для разрешимости задачи Коши независимо от вида
формулы решения. См. дополнения, § 4.
-) Насколько нам известно, этот общий закон был впервые четко форму-
формулирован Вольтерра (см. сноску на стр. 437).
Ро=1.

450 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (tl ]> 2) [гЛ. V'
Совершенно аналогичным способом мы можем найти и полиномы Пх;
положим Н=е*, тогда Z-k = etlHx{f).
Отсюда получается для П^ следующая рекуррентная формула:
), I
По=1.
Мы можем, например, вычислить:
П, = 1(
По =
C1)
C2)
Заметим, что вообще сумма первых двух коэффициентов Ью-{- Ьи = 1,
откуда легко получается, что решение м = Пт_2(Ш) действительно
2
удовлетворяет начальным условиям и(х, 0) = 0, щ{Х, 0) = <р(д:). Для
первых трех четных размерностей мы получаем
C3)
где всюду вместо Н следует подставить выражение
Если мы те же решения C3) представим с п о мощью полиномов Рх,
то мы получим:
т = 2; u=tQ, где О = -
т = 4;
т ¦¦
1 » dO
где
Полиномы Рх и Пх могут быть, далее, представлены следующим
элементарным способом. Введем сначала вместо Ux и Zx новые выра-
выражения Rx и 5Х, полагая
C4)

§ Б] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 451
Рекуррентные формулы A8) и B4) переходят тогда в следующие:.
/?x=w?x_1+-f яи^Д^Ч-^^; Ro=u0=ta. C5)
s^^-i+^-^Si-i; So=4Zo==TH- C5'>
При этом мы обозначаем символом ¦ 2 — -^ дифференциаль-
дифференциальный оператор -к? -г-. Рекуррентное уравнениеC5) имеет своим реше-
реше(зб>
нием выражение Дх = (^л") (^^о)- ^ы получаем отсюда:
Поэтому решение A3) нашей задачи Коши может быть представлено
также и в следующем виде:
га—3 1
при in нечетном и =———r-f-^) (*"*" Q); I
П1—2 v '
/ / d >
при /« четном и =
2У
Во втором случае мы можем, применяя метод спуска, представить
решение и в следующем виде:
т—2
~) ^ {tm~lG\ C8)
где вместо О мы должны подставить выражение B2'). Заметим по-
попутно, что наши полиномы могут быть также легко представлены
с помощью производящей функции. Рассмотрим функцию
Из функционального уравнения C5) получается для функции Е сле-
следующее линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

452 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ VI
общее решение которого имеет вид Е= 1"_х п , )• При лг = О
мы получаем Е@, f) = R0{t)s=sF(fi). Таким образом, функция
C9)
представляет (в форме производящей функции) общее решение рекур-
рекуррентной формулы C5).
В качестве производящей функции для полиномов Р, получается
отсюда в силу наших предыдущих обозначений функция
Аналогичным способом мы находим для полиномов П, производящую
функцию
(
> ъ=2 п'
v=0
4. Поверка решения. Мы докажем теперь путем непосредствен-
непосредственной проверки следующую теорему:
Пусть функция <p(.v) имеет непрерывные производные вплоть
до порядка —^— при т нечетном и до порядка ^ - при т чет-
четном. Тогда выражение
j д»и-2
« =
_2 /» «» — а
ttJ (^2 —^ " rQ(A-,r)rfr, D2)
•'' f * ^ + lV> • • ¦ > ** + Р«Г) Лож, D3)
является решением волнового уравнения ип — Дм = 0 с началь-
начальными условиями и(х, 0) = 0, ut(x, 0) = <
Точно так же выражение
D4)
является решением волнового уравнения с начальными условиями
и(х, 0) = в(х), ut(x,0) = 0.
Предпошлем сначала следующее замечание: положим
* т—з
Р — г2) а rQ(x,r)dr. D5)

§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 453
Подставляя сюда вместо Q его выражение D3), мы получим:
v= Г ... Г ?(E)/C(r, t)dL...(Rm, D6)
J J
где
а
т— 3
Назовем функцию K(r, f) ядром интегрального выражения v.
Ядро К(г, 0> во-первых, удовлетворяет само дифференциальному
уравнению Кп—Д/<"=0 и, во-вторых, при /и>3 обращается в нуль
на поверхности сферы r=*t, причем порядок обращения в нуль
от —3
равен —^—•
Предположим сначала, что т ^-7. В этом случае мы можем легко
представить функцию v в виде интеграла с постоянной областью
интегрирования. Для этого достаточно продолжить ядро К за пре-
пределы сферы, описанной из точки ? радиусом r=t, полагая К"=0
при /¦>?. Так как по условию -к(т — 3)^-2, то ядро К, рассма-
рассматриваемое как функция от хи х2, ..., хт, t, непрерывно во всем
х-пространстве; далее, за исключением точки х = %, оно имеет непре-
непрерывные в этой области производные первого порядка, а производные
второго порядка могут иметь на сфере г = t только разрывы пер-
первого рода. Поэтому К как функция от хи ..., хт, t всюду, кроме
точки х = Ь, и при любых значениях параметров ix, ?2, ..., Чт удо-
удовлетворяет дифференциальному уравнению Ktt — &K=G-
То, что и удовлетворяет заданным начальным условиям, следует
непосредственно из выражений B1) и B2), так как, как мы заметили
уже раньше, первый коэффициент полинома Р (и сумма первых двух
коэффициентов полинома П) равен единице. Остается только дока-
доказать, что и удовлетворяет дифференциальному уравнению. Мы к этому
придем, доказав сначала, что v удовлетворяет дифференциальному
уравнению vtt—Av = (pi — 2)(т~иу, откуда мы непосредственно
получим искомый результат, продифференцировав это уравнение
т—-2 раза по /. Переходя к доказательству, мы воспользуемся тем,
что в салу замечания, сделанного выше, мы можем, дополняя ядро К
функцией, тождественно равной нулю за пределами соответствующих
сфер, представить v в форме
где G обозначает постоянную, т. е. не зависящую от t и х область
интегрирования, содержащую все рассматриваемые шары г2 < f2.

454 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и > 2) [ГЛ. VI
Далее, рассмотрим достаточно малую сферу R, содержащую заданную
точку х, и остаточную область D = О — R.
Функцию v мы представим теперь в виде суммы v=y-\~z, где
R D
Очевидно, что ztt — Дг- = О, ибо второй интеграл, взятый по постоян-
постоянной области D, мы имеем право дифференциро-
' е ^v вать под знаком интеграла, а К всюду в D
\ удовлетворяет нашему дифференциальному урав-
нению.
Рассмотрим, далее, выражение
Черт. 39. Ю'и J да J '
в котором интеграл, стоящий справа, сходится и в силу ограничений,
наложенных на функцию <?, удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению J)
Составим разность
— 3 >» — 3
(Л)
(В)
S(г, f) является функцией, дважды непрерывно дифференцируемой
по г и t (в частности, полиномом, если т нечетное); поэтому мы
имеем право составить выражение {у—-да)й—А (у — w), дифферен-
дифференцируя под знаком интеграла (см. гл. IV, § 1), причем получающееся
после дифференцирования подинтегральное выражение становится при
переходе к полярным координатам ограниченным. Отсюда следует,
что при R ->¦ О
(y—w)tt — A(y—w)-+O.
Совершенно очевидно, что выражение wtt стремится при этом также
к нулю. Таким образом, мы получаем, что при R -> О
Уи _ ьу _» _ Aw = (/и — 2) Г~3<р.
Так как, с другой стороны, при любом R имеет место равенство
vu—Ачз=уи — Ду, то мы получаем окончательно:
юи — Av = (аи — 2) tm ~ 3<в,
!) Ср. наши рассмотрения в гл. IV, § 1, которые, как это совершенно
очевидно, легко распространяются на случай любого числа независимых
переменных.

§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 455
откуда и следует, что функция и действительно является решением
волнового уравнения
иы — Ди = 0,
и цель нашей проверки достигнута.
Результат этой проверки, произведенной при условии т^-7, мы
могли бы непосредственно распространить и на значения аи<7 с по-
помощью метода спуска. Однако, нам пришлось бы при этом сохранить
необходимое при т = 7 требование, чтобы функция <в имела непре-
непрерывные производные вплоть до порядка т~? ¦¦ = 4 также и для
меньших значений т. Поэтому мы предпочитаем в случае /и<7
дополнить проведенное выше доказательство следующим добавочным
рассмотрением.
Мы продолжаем ядро К таким же образом, как и раньше, и раз-
разбиваем снова v на сумму v=y-\-z. Если мы теперь непосредственно
вычислим выражение ги—Дг, то легко убедиться, что получится
следующая формула:
гй—Дг = J ... J <?[Ки —
D
причем последний интеграл должен быть взят по сфере, описанной
из точки х радиусом г = ?.
Далее, простой расчет показывает, что если т^>2, то
при /¦==*.
Поэтому ztt — Дг = О. Дальнейшие рассуждения остаются при
такими же, как и выше. Наконец, при т — 2
2п J J Yfi — r*
так что в этом случае ядро
в области R всюду регулярно, и мы непосредственно получаем, что
,v«—4у = о.
5. Интегрирование неоднородного уравнения. Чтобы проинте-
проинтегрировать неоднородное уравнение
ии— Дм=/(х, 0 D8)
с заданной правой частью f(x, t), мы снова применим уже изложен-
изложенный нами раньше в гл. III, § 6, п. 4 метод вариации постоянных
или метод толчков, причем мы задаем нулевые начальные условия
и (х, 0) = щ (х, 0) = 0. D8'

456 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (tl > 2) [гЛ. VI
Функция / пусть снова имеет непрерывные производные до порядка
—g-^ или соответственно -*" "*~ -. Обозначим через г>(х, *, т) решение
однородного дифференциального уравнения vu — Дг/ = О, зависящее
от параметра т и удовлетворяющее начальным условиям
v (х, 0, т) = 0; щ (х, О, т) = /(*, г).
Тогда *)
J D9)
Применяя теперь наши предыдущие результаты, мы можем на осно-
основании формулы D9) непосредственно получить в явном виде решение
задачи Коши для неоднородного уравнения D8) с начальными усло-
условиями D8').
Образуем среднее значение
Q (х, г, г) = -1- Г / (Xl + fo, ..., хт -f $тг> г) а<лш-
т, т J
1огда
т~3
Отсюда
или
ш 2 ' т т — 8
'»—^ п п _
о о
причем преобразование в правой части произведено на том основании,
что мы имеем право изменить здесь порядок операций дифференци-
дифференцирования и интегрирования по t в силу следующего соотношения,
имеющего место при г = t:
~Ь\ К/ — т>Я-гв1 2 rQ(x,r,x)dr =
о
df* I F
о
х) Ср. с интегралом Дюамеля, гл. III, дополнения, § 1, п. 3.

§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 457
Решение и можно также представить с помощью полиномов Рх>
а именно:
t
« — I it — -z)Pm-i[{t — -)Q(x,t — x;-)]dx, если т нечетное, E1)
о 2
и
t
и — I (t — ~)Pm-2[(t — ~)G(x,t— -; т)] dx, если т четное, E2)
J ~
причем
Так, например, в согласии с результатами гл. III мы получаем при
т = 2:
2гГ М
0 0 О <
а при /и = 3:
J J /р
0 0 О
<ра=(*—
, E4)
(pa _ (х
6. Проблема излучения. Результат п. 5 позволяет нам теперь
решить с помощью простого предельного перехода и проблему излу-
излучения для общего волнового уравнения в m-мерном пространстве.
Мы формулируем проблему излучения следующим образом: Тре-
Требуется найти при tf>0 решение однородного волнового уравнения
ии — Аи — 0, которое при t = 0 всюду, кроме начала координат
х-пространства, обращается в нуль вместе с производной ut,
а в точке г = Yxl ~h • • • Ч~ хт ~ ^ имеет особенность такого
рода, что
ff^ E5)
где интеграл в левой части берется в момент t по сфере Ке, описан-
описанной из начала координат радиусом г, -^- обозначает производную
по нормали к этой сфере, do — элемент поверхности сферы, а ра-
радиус е стремится к нулю. Функция g(t) выражает интенсивность
лучеиспускания в виде заданной функции времени.

458 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (« > 2) [ГЛ. VI
Мы строим искомое решение путем предельного перехода, отпра-
отправляясь от полученного в предыдущем номере решения и = uh, для
/(х, t) = <o(x)g(f), причем о = 0, если r>k, и <?>0, если г</г, а
J J,*:,...«k.= l, где ,. = *.+ •¦•+*"»•
Искомую функцию излучения мы получим как предел решения uh
при h -*¦ 0. На основании формулы E0) имеем:
h («-2)! df-*J *> \J ' '
Q (*, г) = J- Г ... Г ? (х, + JV, ..-,*« + Р*0 rfa>«.-
где
Внутренний интеграл мы можем теперь представить в виде
т и» —3
(S2 = (х, — Е,)»4- .S.. +(хш-Q2).
Совершая, далее, переход к пределу при h -> 0 и полагая
.г2 = лс|-|~ ... -\-х\ъ, мы получим:
О, если г~^х,
да—3
lim | (т2—s2)^~
/
(Т2
• n
Отсюда следует, что при r^>t и = 0, а при
1 1 дт~2 С т
и — йГ^" —S^F g'C — т)(тй — г2) 2 ^т-
шш(т —2)! г - dt J
В окончательном виде мы можем искомую функцию излучения
¦представить в форме
t—r
Предложим читателю в виде задачи произвести поверку этого реше-
решения. Легко убедиться, что и удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению, заданным начальным условиям, а для интенсивности луче-
лучеиспускания при г -» 0 получается соотношение
t

§ 5j УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 459
откуда непосредственно вытекает заданное условие разрыва E5).
В рассмотренных уже раньше частных случаях т = 2 и т = 3 полу-
получается снова
и = ±. [ ?!?=&& E7)
irrг)- E8)
Мы можем, далее, получить выражение в явном виде для функции
излучения. Для этой цели мы рассматриваем выражения:
t-Г
t-Г у
= 1'3(x'+l)t1> Й-/ 8& {(t-xy-r4*dz при т нечетном E9)
— ^" — ^"Л при m четном, F0)
о
где Х_=0, 2, 4, ...
Через Vx и Wx функция излучения и выражается так:
при т нечетном и = ^^ -^^ Vm_3, J
11 F1>
при т четном «= ^-—^w^^. j
Bг.)а j
Для Vx и Wx легко получаются следующие рекуррентные формулы:
Vx = (\-l)Vx_,-rV[_,; V0 = g{t-r), F2)
t
?j^l2dz, F3)
где штрихом обозначено дифференцирование по г, а X = 0, 2, 4, ...
Эти рекуррентные формулы дают нам, далее, следующие выражения
для I/, и Wy:.
х
^=J<A-'rV(°v>> F4)
F5)

460 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [гЛ, VI
где Лх_, и Bir> — некоторые фиксированные числовые коэффициенты,,
легко вычисляемые с помощью специального выбора начальных функций.
Прежде всего заметим, что, дифференцируя уравнения F2), мы полу-
получим, что V^ удовлетворяют той же рекуррентной формуле, что и W-,,
так что Wx выражается через WQ таким же образом, как V[ через V.
Дифференцируя F4) по г, мы получим:
"I \_
1=0 "'т * ' X, —
Сравнивая с F5), мы сможем выразить By , через Аг.,:
= 0, I, ..\,y—l),
Х.=ЛХ х-
F6)
Итак, достаточно вычислить коэффициенты А1>ч.
Для этой цели выберем в качестве функции V0 = g(t—г) в фор-
формуле F4) функцию , , где а ^ -=-, и положим затем t = г.
Мы получим:
VX(<,O = A.«(—1)"<*. F7)
С другой стороны, мы получаем при этом выборе g(t) в силу
формулы E9):
S f (*-x^
Произведя дифференцирование по правилу Лейбница, мы найдем:
Сравнение с формулой F7) дает тогда:
23
а для В}а мы получим в силу F6) выражение:
в __ а (— 1)« (X — а)!
2-

§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 461
Мы можем теперь представить искомую функцию излучения в явном
виде следующим образом:
при т нечетном
т — з
^\ VWV-rV. G0)
при четном
/¦2-»» ^ ч (—I)'1 On — 3 — v)! ,„ ,
» > ~,—^7^=2—Г1- -
ТС лшшА \ ? /
где во втором случае вместо функции G(r, f) следует подставить
интеграл
т. е. функцию излучения ?i для случая /те = 2. Если в формуле G0)
заменить выражения ^v)(^—г) выражениями (—1)'g^ {t-\~ г), то мы
получим решения, соответствующие аналогичному процессу луче-
поглощения. , '
Выражения, имеющие вид G0) или G1), мы называем проходя-
проходящими волнами высшей ступени (ср. исследование понятия волны
в § 10).
В рассматриваемой нами проблеме излучения мы снова получаем
следующую замечательную теорему: При нечетном т имеет место
принцип Гюйгенса, т. е. действие возмущения, локализованного
в начале координат, на точку х в момент t зависит исключительно
от значения возмущения в один единственный момент времени,
а именно, в момент t—г, который как раз на столько времени пред-
предшествует моменту t, сколько нужно для того, чтобы возмущение,
выходящее из начала координат со скоростью, равной единице, дошло
в момент t до рассматриваемой точки Р пространства. Таким образом,
если процесс имеет характер мгновенного возмущающего толчка,
имевшего место в начале координат в течение короткого резко огра-
ограниченного промежутка времени, т. е. если функция g(f) только
в течение небольшого промежутка времени отлична от нуля, то мы
можем это явление наблюдать в какой-нибудь точке г только ровно
через г единиц времени.
Однако, в случае четного числа измерений рассматриваемого
пространства принцип Гюйгенса уже теряет силу, как это не-
непосредственно следует из формулы G1). В случае возмущающего
толчка, т. е. резко ограниченного во времени начального возмущения
в центре возмущения х = 0, процесс лучеиспускания происходит

462 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и > 2) [ГЛ. VI
следующим образом. В точке, находящейся на расстоянии г от центра
возмущения, до момента t — r возмущение попрежнему не наблюдается;
однако, проявившись через t=r единиц времени, влияние возмущения
на точку г не исчезает через короткий промежуток, как в случае
нечетного т, но продолжает действовать в течение всего последую-
последующего времени ?>г, т. е. при любом tf>r решение и в точке г
остается отличным от нуля.
Таким образом, при передаче в пространстве четного числа изме-
измерений сигналов, удовлетворяющих волновому уравнению, отсутствует
возможность совершенно отчетливого их приема в другом месте, ибо
отчетливость принятого сигнала нарушается сопровождающимся эхо,
продолжающимся более или менее долго после получения сигнала.
Это обстоятельство, а также дальнейшие рассмотрения в § 10, пока-
показывают, что трехмерное пространство обладает существенными отли-
отличительными свойствами с точки зрения физического процесса пере-
передачи сигналов.
Решения проблемы излучения в случаях т — 2 и т = 3 нами уже
были получены в гл. III, § 6. В случае т = Ъ формула G0) дает:
и=ш -
а при т = 4 имеем по формуле G1):
g (t — t);
1 1 Г g (t —
— — —— — ¦
4я r J У&—
r
В заключение заметим еще, что рекуррентные формулы F2) и F3)
могут быть записаны также и в следующем символическом виде:
^ j *
Отсюда сразу получаются решения этих рекуррентных уравнений:
1TX = (-2)V(-A)VO. G3)
Х = 2, 4, ...
Далее, мы можем в силу предыдущих формул представить решение
проблемы излучения в следующем явном виде:
при т нечетном
от—3 т—3
Г
а при т четном
t
m—i in— i f*
G5)
— \ur-J I -j/^2 r2
2k

§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 463
7. Задача Коши для уравнения Дю + с2й = «й и телеграфного
уравнения. На основании результатов, полученных нами в п. 5, мы
можем теперь, применяя метод спуска, легко решить задачу Коши к
для общего гиперболического линейного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы можем ограни-
ограничиться дифференциальным уравнением:
?ш-\-с*и=ии G6)
при начальных условиях
и (х, 0) = 0, щ [х, 0) == <р (х). G6')
К этому виду приводится самый общий случай, как это было пока-
показано в гл. III, § 3. Решение этой задачи в явном виде получается
снова чрезвычайно просто, если применить метод спуска.
Повысим искусственно число независимых переменных до т-\-2,
полагая хт+1 = г и xm_i.2 = t, и рассмотрим задачу Коши для диф-
дифференциального уравнения
Av = vtt G7)
с неизвестной функцией v(xlt ...,хт+1, f) при начальных условиях
v(x, 0) = 0; vt(x, 0) = ?(*!, ..., хт)еехт^ = ?(*)««.. G7')
Полагая, далее,
v=*e°»u{x1,_...,xm,f), G8>
мы получим, что и будет решением первоначальной задачи Коши G6).
В самом деле, наши предыдущие формулы решения показывают, что
решение v задачи Коши G7) должно иметь вид ecr'U(x1, ...,x.m, t).
Если же мы подставим функцию v в дифференциальное уравнение G7),
то мы получим непосредственно, что и удовлетворяет первоначаль-
первоначальному дифференциальному уравнению G6); в то же время и удовлетво-
удовлетворяет начальным условиям G6'). В силу доказанных в § 4 теорем един-
единственности существует только одно решение нашей задачи и, так что-
и = ve-™.
Мы можем теперь на основании результата п. 5 сразу написать
выражение для функции v, а вместе с тем и для функции и.
В случае четного га, а, следовательно, нечетного m-j-1, мы-
получаем:
'tP(%
где
G*(?) = j ... j ц>(х1-\- ;3j?, .,., хт-\-'фш{)ес ^№nt+if
откуда
У

464 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (я > 2) [гЛ. VI
причем через du>mi_t мы, как и раньше, обозначаем элемент поверх-
поверхности единичной сферы Р|+• • •+P?ft+1= I B пространстве т-\-1
измерений. Так как функция <? не зависит от последней переменной
г = хт+1, то мы получим, учитывая, что
1 1
следующее соотношение:
или
причем
Q(-«. p) = — f ¦ • - (?(*i + Pip- • .*
Итак, наше искомое решение имеет вид
(80)
=
2
где О задается формулой G9).
Таким же образом в случае нечетного т мы получаем решение
вида
u^tP^tG), (81)
Z
где
t
G (*, 0 - ~ J P»"V0(ic V?^f) Q (x, p) dp, (82)
6
причем Уо обозначает бесселеву функцию нулевого порядка.
В самом деле, имеем:
где
G*(x, t) = — I . . . I ут--!- ¦ ¦¦' ~™^рж1 е >»я-1 dit . . . d%n±v
Интегрирование no Smfl от —'Ц/^2—p2 до -\-Vt2 — pa дает во
внутреннем интеграле выражение тт/о^'сУ^—р2), так что
G(x, t) = G*(x, t)e-™ =
= ш^Г -W f ¦ • • J ? (* + Э Л) (^ Z^11?) ^i • • • ^»:

§6]
МЕТОД СРЕДНИХ ЗНАЧВНИЙ. УРАВНЕНИЕ ДАРБ/
465
но это выражение с помощью очень простого преобразования при-
приводится к виду (82).
Чтобы применить наш результат к телеграфному уравнению
Ди = ий-|-«* (83)
с начальными условиями и(х, 0) = 0, ut{х, 0) = <р(лг), достаточно
_*_
положить u~ve 2; тогда мы получим для ¦» дифференциальное
уравнение
vtt = hv-\--?V, (84)
т. е. уравнение G6) при с = —.
Приведем, например, решения телеграфного уравнения при /га=1,2,3:
bi= i: и —
где
' •) Vt4-— p;
где Q {x, p) = i- J cp {x, + piP, x2 +
де Q(x, p) = - JJ ?(^i
(85)
§ 6. Метод средних значений. Волновое уравнение и уравнение
Дарбу
Задача Коши для волнового уравнения и другие связанные с этим
задачи могут быть решены также и другим методом, основанным на
составлении средних значений по поверхности сферы в пространстве х.
Перейдем к изложению этого метода и остановимся на некоторых
его приложениях1).
*) По вопросу о применениях метода средних значений и другим вопро-
вопросам, затрагиваемым в этом и следующих двух параграфах, укажем на работы
Фрица Джона (Fritz John), Math. Ann., т. 109 A934), стр. 488 и т. Ill
A935), стр. 542.

466 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (Я > 2) [ГЛ. VI
1. Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значений.
Пусть ty(xu ..., xm) = ty(x)—дважды непрерывно дифференцируемая
функция от т переменных xt. Рассмотрим функцию
v(xt, ...,xm,r) = v(x,r) =
выражающую среднее значение функции ty на поверхности сферы,
описанной из точки х радиусом г.
В этом интеграле р обозначает единичный вектор с компонентами
Pi> • • •. Pm> 2то"~еДиничнУю сферу в m-мерном пространстве с элемен-
элементом поверхности dcam и площадью всей поверхности <um, a Om—по-
Om—поверхность сферы, описанной из точки х радиусом г, с элементом
поверхности do. Тогда эта функция v удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению Дарбу (см. § 4, п. 2)
*W + I1=1<V-A« = 0 B)
и начальный условиям
*V(x,0) = 0, v(x, 0) = «К*)- С2')
Чтобы продолжить функцию v в качестве решения дифференци-
дифференциального уравнения и на отрицательные значения г с сохранением
условия непрерывной дифференцируемости, мы полагаем ¦»(—г)=г»(г),
так что v является четным относительно г решением уравнения
Дарбу.
Для доказательства составим производную
где От обозначает внутренность сферы От, dg—пространственный
т
элемент объема dxx .. . dxm, а ¦д7=У!Р*"й производную по
внешней нормали к поверхности сферы От, причем последнее пре-
преобразование произведено на основании интегральной теоремы Гаусса.
Дифференцируя снова по г, мы получим:
что и требовалось доказать.

§ 6] МЕТОД СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ. УРАВНЕНИЕ ДАРБУ 467
Если мы, в частности, предположим, что функция ty(xt, ..., х}»)=
— <b(Xj) зависит только от одной переменной xlt то ее среднее зна-
значение может быть представлено в форме:
Таким образом, если «рС*^) — произвольная дважды непрерывно
дифференцируемая функция, то функция v{xu г), определенная фор-
формулой C), удовлетворяет дифференциальному уравнению
vrr-{-2~-vr~vxx = 0, D)
где первый аргумент функции v обозначен через X, вместо хх.
Из теорем единственности, доказанных в § 4, п. 2, следует, что
формулы A) и C) дают единственные решения уравнения Дарбу B)
или D), удовлетворяющие начальным условиям B').
2. Связь с волновым уравнением и решение волнового урав-
уравнения. Установим теперь однозначно обратимую зависимость между
уравнением Дарбу и волновым уравнением.
Продифференцировав формулу C) два раза по х, мы получим:
1 «г —3
Но отсюда в силу уравнения Дарбу D) следует, далее, что
1
Заметим, что входящий в эту формулу в аддитивной форме пара"
метр х не играет роли и может быть отброшен. Мы можем теперь
формулировать полученный результат следующим образом:
Если функции г» (г) и ф(г) связаны между ссбой интегральным
преобразованием
1 от—з
v{r)= J?(rp)(l— № * dp, E)
то между функциями v"-f- w~ ¦ ю' и у" существует такая же
интегральная зависимость, т. е.
^ rfp, F)
= J <
, ч
так что при этом интегральном преобразовании операции <f над
функцией <р(г) соответствует операция tr"-f--^—— t/ подфунк-
подфункцией v(f).

468 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ. VI
Эта теорема дает нам возможность получить искомую связь мезкду
уравнением Дарбу и волновым уравнением. Пусть и является некото-
некоторым четным относительно t и дважды непрерывно дифференцируемым
решением волнового уравнения, удовлетворяющим условию ut(x,O)=Q.
Тогда функция
будет четным решением уравнения Дарбу, удовлетворяющим начальным
условиям
«V (х, 0) = О, v (х, 0) = и (лг, 0) = ф (лг).
В самом деле, применяя доказанную выше теорему, мы получим:
— 1
in—S
начальные же условия «v(x, 0)==0 и ю(х, 0) = ^ выполняются в силу
самого определения функции v как среднего значения на сфере.
Но для уравнения Дарбу мы можем в силу формулы A) сраву
написать решение рассматриваемой задачи Коши в виде
v ..., хт, г) = J- Г. .. Г ф(ж
Таким образом, четное относительно t решение и волнового урав-
уравнения должно удовлетворять следующему интегральному уравнению:
i
о
л.
¦!¦
Мы сейчас покажем, что это интегральное уравнение однозначно
разрешимо относительно функции и. Задача решения этого интеграль-
интегрального уравнения сводится к обращению соотношения E), связывающего
функции v(r) и ? (г). Чтобы разрешить уравнение E) относительно
ф(г), если функция v — произвольно заданная дважды непрерывно
дифференцируемая функция, мы можем поступить так: положим
/7
* «j— 3
Уравнение E) принимает тогда следующий вид:
do.

§ i] МЕТОД СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ. УРАВНЕНИЕ ДАРВУ 469
Полагая, далее,
мы получим:
* от—з
«(*) = / 7. (»)(* — о) s Л. G)
в
Если /и нечетное, то мы однозначно определим функцию x(s)>
дифференцируя уравнение G) —^— раз, что нам дает следующее
выражение для x(s):
ю — 1
—^г«(«). (8)
откуда ыы получаем решение о (г) первоначального интегрального
уравнения E) в следующем виде:
т— 1
Если м<е m четное, то уравнение G) представляет собой инте-
интегральное уравнение Абеля, которое легко решается операторным
методом Хивисайда с помощью символических дробных степеней
оператора дифференцирования (в смысле Хивисайда) р (см. гл. III,
дополнения § 2, п. 5). В данном случае приходится применять сте-
степень р с «полуцелым» показателем -1~7 -. Для этой цели мы сна-
чала дифференцируем уравнение G) —^— Раз> а затем решаем полу-
получающееся уравнение Абеля с показателем а = -д- с помощью опера-
оператора р'1г [см. гл. III, дополнения § 2, п. 5, формула C8)]. Таким путем
ыы получим решение уравнения G) в случае четного т в следующем виде:
Следовательно,
J "
^Р

470 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ. VI
Полагая теперь
9 v ) === ^ к С^» Oi
мы окончательно получим решение нашей задачи Коши для волно-
волнового уравнения в случае четного т в следующем виде:
t
]v^,
«1—3
"(Jf, О— ,mv ^ V/2H72 «.-» l^ v(«, r)\dr, A2)
где
В случае же нечетного т формула решения получается в виде
т—1
К*, 0=-77^т« a-i- [<"-*«(*. 01, A4)
(а<2) 2
с тем же выражением для Q(x, t).
Таким образом, мы получили новые явные формулы для решения
волнового уравнения, совпадение которых с формулами § 5 легко
доказать методом полной индукции от т к т -j- 2.
3. Задача излучения для волнового уравнения. Установленные
в п. 2 соотношения дают нам также возможность получить новую
интересную форму для решений волнового уравнения, соответствующих
процессам излучения. Мы исходим из следующего вопроса: какие
т
решения волнового уравнения зависят только от г2= "V х^ и вре-
мени t. Эти решения должны быть четными относительно г и, как
легко видеть, должны удовлетворять дифференциальному уравнению
ии0 A5)
которое в точности совпадает с дифференциальным уравнением
Дарбу B), если только переставить между собой, по сравнению с п. 2,
пространственную координату г и координату времени t.
Согласно п. 1 решение уравнения A5) имеет вид
1 —з
и(г,/)= f?(t + rp){l~ &Г*~A$, A6)
— 1
где <р—произвольная функция.

§ 6] МЕТОД СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ. УРАВНЕНИЕ ДАРБУ 471
яг—s
Если т нечетное, то, разлагая A—(З2) * по биному Ньютона,
мы получим:
т— 3
а „ г
J 9(* + Р)Р*Ф. A7)
Обозначим через g функцию, для которой g(*»-*) (х) = <j> (jc).
С помощью интегрирования по частям мы сможем тогда привести
функцию и к виду
»в —3
2
>—?« (* — /•)], A8)
причем коэффициенты Л„ мы найдем, подставив это выражение для и
в дифференциальное уравнение A5). С точностью до некоторого
общего множителя, который можно, разумеется, положить равным
единице, мы получим:
(ср. § 5, п. 6).
Далее, легко убедиться, что в выражении A8) слагаемые
каждое в отдельности, также удовлетворяют волновому уравнению.
В самом деле, поведение произвольной функции g в точке t -\- r
совершенно не зависит от поведения этой функции в точке t—г,
если только гфО; поэтому значения произвольной функции g и ее
производных сколь угодно высокого порядка в точках t-\-r и t — г
независимы между собой, и в результате подстановки выражения A8)
в дифференциальное уравнение A5) мы должны получить тождество
относительно значений g и ее производных в точках t-\-r и t—г;
следовательно, каждая из двух частей получающегося выражения,
составленных из значений g и ее производных в одной из двух
точек t-\-r и t—г, должна равняться тождественно нулю, что и
доказывает наше утверждение.
4. Теорема Фридрихса. При т = 1 уравнение Дарбу совпадает
с волновым уравнением и имеет в качестве четных решений функции
вида g{t-\-r)^-g\J:—/•), где g—произвольная функция. При зна-
значениях т > 1 ни уравнение Дарбу, ни волновое уравнение не имеют
в качестве решений проходящих волн такого простого вида. Однако,
имеет место следующая замечательная теорема:

472 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ. VI
Введем для дифференциального выражения Дарбу сокращенное
обозначение
... 1
Lm{u{r, fi]==urr + —F±ur—utt. B0)
Тогда при нечетном т и для произвольной функции g от од-
одного переменного как функция g{t-\-r), так и функция g{t—г)
удовлетворяют т7|~ раз итерированному дифференциальному
уравнению Дарбу
+
«] = 0- B1)
Чтобы доказать эту теорему, покажем прежде всего, что для
любой функции <р и любого целого v^-О имеет место соотношение
1 1
- РУ <% = dm>4 J ?" {t + г» A — p^+» dp, B2)
где
_w-3-2n,
•m, v 2v + 2
В самом деле> обозначим интеграл, стоящий в левой части, через
¦w (г, I). В силу результата, полученного нами в п. 1, имеем L^+^w — 0;
, . , т — Ъ-~-3 d
так как Lm = Z.2v+3H -^~> то мы получаем:
Интегрируя справа по частям, мы находим:
что и доказывает соотношение B2).
Применяя повторно формулу B2), мы получим:
= dm,Odm,U---, dmm^3 J ?(Ш ^tf + 'fH1 —
Я1— 1
2 —1
J) При v = —s— получается в качестве чаетж«г« вдучая результат ж. I.

§ 7] УЛЬТРАГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 47,>
Поскольку d „»_з = 0, правая часть в этом равенстве обращается
в нуль, откуда следует, что для любой т—1 раз дифференцируе-
дифференцируемой функции <р имеет место соотношение
—1 !¦
/ O. B8)
Полагая f — g^, мы получим далее:
Подставив это выражение в уравнение B3), мы получим:
Отсюда мы заключаем, рассуждая так же, как и в конце предыду-
предыдущего пункта, что каждая из двух функций g(t-\-r) и g(t — г) уде-
влетворяет дифференциальному уравнению
что и доказывает нашу теорему.
§ 7. Ультрагиперболические дифференциальные уравнения н
общие линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
1. Общая теорема о среднем значении Асджейрсона (Asgeirs-
son), Изложенный в § 6 метод решения с помощью обращения
уравнения для среднего значения функции получает новое освещение
с помощью простой, но имеющей глубокий смысл теоремы о сред-
среднем значении, открытой Лейфуром Асджейрсоном :) для любых линей-
линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Согласно гл. III, § 4, п. 2 мы можем любое не вырождающееся
однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами привести к виду
= Щш "Г • • • +
где jCj, xt,...^ xn и yt,..., _ym —независимые переменные. Приве-
Приведение дифференциального уравнения к этому виду требует тольке
*) См. I.eifur Asgeirss«n, геттннгенская диссертация A93Э), Math.
Ann., т. 113 A936), стр. 321.

474 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ft >¦ 2) [ГЛ. VI
линейного преобразования координат и отщепления от неизвестной
функции множителя вида «*¦(*), где к(х)— некоторая линейная функ-
функция от независимых переменных. Легко далее устранить также и
коэффициент с, который мы можем, не ограничивая общности, счи-
считать неотрицательным. Для этого достаточно ввести искусственно
новую переменную z = xn+i и положить u = ve^ cxn-\-i. Наше диф-
дифференциальное уравнение примет тогда вид
. . . 4" u
VmVm'
Не ограничивая общности, мы можем поэтому записать рассматри-
рассматриваемое дифференциальное уравнение в форме
V О)
т. е.
т т
(Г)
допуская при этом, что функция и, которую мы здесь пишем вместо
введенной выше функции v, может не содержать некоторых из
переменных xt или yt.
Таким образом, позволительно считать, что число переменных xt
равняется числу переменных yt.
Назовем дифференциальное уравнение A) уравнением ультра-
гиперболического типа.
В предположении, что и не содержит ни одной из переменных у,
мы получаем уравнение Лапласа; если же и зависит только от одного
из переменных у, то получается волновое уравнение.
Пусть теперь и есть некоторое решение дифференциального урав-
уравнения A), дважды непрерывно дифференцируемое во всей рассматри-
рассматриваемой области пространства х, у. С помощью этой функции и
образуем следующие интегралы, взятые по поверхности единичной
сферы pj+--
, у, г) =
= Z~ f • • • f "(*1 + Р/. • • -i Xm + iV; Л, • • ¦. Ут) «*»« B)
= — f
(x, у, г) =
хт; л + Pi' Ут + Р*/)**»- C)
Таким образом, ч(х, у, г) обозначает среднее значение функции и
на поверхности сферы, описанной из точки у радиусом г в про-
пространстве переменных yt при постоянных значениях переменных
JCj, ... хт, a jx (х, у, г) соответственно обозначает среднее значе-
значение и в пространстве переменных х при постоянных значениях пере-

§ 7] УЛЬТРАГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 475
менных уг, ..., ут. Далее, мы предполагаем, что функции v и |*
продолжены на отрицательные значения г в качестве четных функций.
Составим также среднее значение
W(X, у; г, S) =
И*
т. е. среднее значение по сфере радиуса г в пространстве перемен-
переменных х и по сфере радиуса s в пространстве переменных у. Оче-
Очевидно, что
V-{x, у, r) = -w{x, у; г, О); v(x, у, r) = <w(x, у; 0, г).
Теорема о среднем значении, которую мы должны доказать, заклю-
заключается просто в том, что
К*> У, r) = v(jc, у, г), E)
т. е. среднее значение функции и, взятое при постоянных х
в пространстве у по сфере радиуса г, равняется среднему зна-
яению и, взятому при постоянных v в пространстве х по сфере
того же радиуса г.
Имеет место даже более общее соотношение
w(x, у, г, s) = w(x, у, s, г), F)
т. е. результат двойного усреднения является симметрической
функцией от радиусов г и s.
Докажем сначала первую, более частную, теорему о среднем зна-
значении. Согласно § 6 оба средних значения ц и v удовлетворяют
дифференциальному уравнению Дарбу
G)
причем в первое уравнение переменные у входят в качестве пара-
параметров, а во второе уравнение в качестве параметров входят пере-
переменные х. Из уравнения A) следует далее, что Д^и. = Д^ и
&yv = Д^, так что имеет место также уравнение
Кроме того, из самого определения функций \>- и v следует:
V- (х, у,О) = и (х, у), рг (х, у, 0) = 0;
v(*, У, О) = к(дг, у), \{х, у, 0) = 0.
Таким образом, функции \х и v, рассматриваемые как функции от
переменных х и .г с переменными у в качестве параметров, являются
решениями одной и той же задачи Коши для уравнения Дарбу и
поэтому на основании теорем единственности § 4, п. 2 должны быть
тождественно равны между собой.

476 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ. VI
Вторая, общая теорема о среднем значении F) получится теперь
следующим образом: двойное среднее значение w также удовлетво-
удовлетворяет уравнению Lxw = &yzv и уравнениям Дарбу
Дю W + ^ V *> +
откуда следует, что
от—1 . т—1 , ,_.
——*,, + &„=-у-w.-\-wM. (8)
При s=0 мы рассматриваем w(x, у, г, 0) как известную функцию;
кроме того, имеем wa(x, у, г, 0) = 0. Этими начальными условиями
функция w(x, у, г, s) однозначно определяется, что можно дока-
доказать, рассуждая точно так же, как в § 4, п. 2.
Если мы положим w (х, у; г, s) = и (г, s) и w (х, у; s, r) = v (r, s),
то обе функции и и v удовлетворяют одному и тому же дифферен-
дифференциальному уравнению (8) с начальными условиями и (г, 0) = а>(г, 0);
Hs(r,0)=0 и v(r, 0) = то@,г); vs(r, 0) = 0. Но из доказанной
выше теоремы о среднем значении E) следует, что w @, г) = w (r, 0);
поэтому функции и и V удовлетворяют одинаковым начальным усло-
условиям при s = 0. В силу теоремы единственности функции и и ч>
должны быть, таким образом, тождественно равными между собой,
т. е. v(r, s) = w(x, y;s, r) = w (x,y; r, s), и наша теорема доказана.
Так как теорема о среднем значении E) имеет место для любой
сферы радиуса г, то, интегрируя по г, мы непосредственно получим
соответствующую теорему о среднем значении для внутренности
шара, а именно:
.,., хт-\-чт; yt,
Я
причем оба интеграла берутся по внутренности шара
Отсюда получается, далее, соответствующая теорема для слу-
случая я>от, т. е. для дифференциального уравнения
В самом деле, если в написанном для случая п = т соотношении E')
взять в качестве «функцию, не зависящую от переменныхymSrj, ..., уПУ
то мы и получим более общую теорему, выражающуюся так:
J ... J и
уъ
fi<r

§ 7] УЛЬТРАГИИЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 477
где fl = ?J -j- ... -j- f^, p2 = S* -f~ • • • -f- ^;в случае п — тмы должны
множитель —?—55. заменить единицей,
/г —m
2. Другое доказательство теоремы о среднем значении. Мы
получим другое доказательство общей теоремы о среднем значе-
значении F) при более сильных требованиях дифференцируемое™, рас-
рассматривая составленный с помощью функции v(a, b) интеграл
w(r, s)— о(а/-, В*)A—«») s A—ив) а йаа'В. (9)
J J X 4 4
Если да — заданная функция, имеющая непрерывные производные
достаточно высокого порядка, то согласно § 6 существует одна и
только одна четная функция -v, удовлетворяющая интегральному
уравнению (9). При этом на основании формулы F), § 6, п. 2 имеем:
«—3 тге—3
1 —1
m — 1 . т — 1
W + W
Поэтому из уравнгния (8) предыдущего пункта непосредственно сле-
следует, что vaa — vbb, откуда v(a, b) = g(a~\-b)-\~h(a — b).
Подставив это выражение для v{a, b) в правую часть фор-
формулы (9), мы получим выражение для w(r, s), симметрическое отно-
относительно г и s, откуда и вытекает, что да (г, s) = w(s, г), и наша
теорема доказана.
3. Примененне теоремы о среднем значении к волновому урав-
уравнению. Применим теорему о среднем значении к решению задачи
Коши для волнового уравнения utt—-Ди = О при начальных условиях
и(х, 0) — ${х); ut(x, 0) = 0, т. е. рассмотрим снова задачу о на-
нахождении четных относительно времени t решений волнового уравне-
уравнения. Для этой цели будем рассматривать волновое уравнение как
частный случай ультрагиперболического уравнения A), полагая y1 = t
и введя дополнительное требование, чтобы решение и не зависело
от _)'2, ..., ут. Применим теперь теорему о среднем значении к про-
произвольной точке х пространства переменных х и началу координат
у. =. О пространства переменных у.
Мы получим:
= ~ J • • " J « (*!• • • •. хт, <Pi) dam. A0)
•ж
Среднее значение, стоящее в левой части этого равенства, совпадает
с выражением Q(x, t), которое мы рассматривали уже раньше и
которое представляет среднее значение начальной функции ty. При

478 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (л > 2) [ГЛ. VJ
данных начальных условиях функция Q(x, t) является, таким обра-
образом, известной функцией.
Среднее же значение, стоящее в правой части формулы A0),
в котором подинтегральное выражение, кроме параметров х, зависит
только от одной величины t$u может быть снова представлено
в виде простого интеграла, а именно:
2fm-i * ст-з
-»^-г J и (xlt ..., хт, р) (<» - р») » ф.
о
Таким образом, из теоремы о среднем значении непосредственно
получается интегральное уравнение
9 r *"~8
9 r
0 = -=г2 J «(*. Р) С2-
о
которое совпадает с интегральным уравнением, рассмотренным в § 6,
п. 2 и решенным нами там с помощью операции дифференцирования
целого или полуцелого порядка.
Итак, теорема о среднем значении дает более глубокое обосно-
обоснование метода решения, изложенного в § 6. Это применение теоремы
о среднем значении по существу сводится к тому, что путем вве-
введения добавочных искусственных параметров времени у2, ..., ут
мы приводим волновое уравнение к такому виду, при котором про-
пространственные параметры х1г ... хт и параметры времени ух, ... ут
оказываются совершенно равноправными.
4. Решения характеристической задачи Коши для волнового
уравнения. В качестве дальнейшего применения теоремы о среднем
значении Асджейрсона приведем следующий метод решения форму-
формулированной в § 4, п. 1 характеристической задачи Коши для волнового
уравнения в трехмерном пространстве
%—ихх — иуу— игг = 0. A2)
Значения функции и заданы на конусе K=x^-\-yi-\- г3 — *2 = 0,
т. е. задана функция
Д(х, У, г) = «(*, У, г, У
Требуется найти решение и уравнения A2), регулярное в области
К^. 0 и принимающее на конусе К— 0 заданные значения.
Построим сначала решение этой задачи вдоль оси x=y = z=^0
конуса К; применяя теорему о среднем значении, мы получим:
в
или же
t
и@, 0, 0, r)rfr«»f2JJ^(a^ $i, it)dm
в
4тг ju(O, 0, 0, г) dr =t f f $(%*>?*,% *)<*".

§ 7]
УЛЬТРАГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
479
причем интеграл, стоящий справа, берется по поверхности единичной
сферы в пространстве а, р, f Отсюда мы непосредственно получаем,
продифференцировав это уравнение, следующее выражение:
«(о, о,о, *)=JL f$*(-f-,if > f) *>+!// («k+fKb+Trt.)*»- О»)
a 2
При этом мы должны также и во втором интеграле в качестве аргу-
аргументов функций %, ф„, 6S взять ~t,^t,^-t.
Чтобы определить значение и в любой точке Р области ,
не лежащей на оси t, достаточно преобразовать точку Р в точку Р',
лежащую на оси t, с помощью преобразования Лоренца, т. е. пре-
преобразования, оставляющего неизменным характеристический конус.
Пусть Р имеет координаты x = jc0, _у —О, ,г = 0, t — t0, причем
|jco|<|tfo|. Тогда мы достигнем нашей цели с помощью следующего
преобразования Лоренца:
t ==
A*)
При этом преобразовании точка Р переходит в точку Р' с коорди-
координатами х' =у' = г' = 0, *' = УЦ—*1 ¦
Формула A3) остается при этом преобразовании в силе, ибо прж
преобразовании Лоренца A4) дифференциальное уравнение не изме-
изменяет своего вида. Формулу A3) мы должны теперь применить к функ-
функции
v(x't у, г', t') = u(x, у, г, t)
с начальными значениями
= 44*. .у,
Мы получим тогда:
и(х0, О, 0, to) = v@, О, О, V<J—*;)=:
причем в последнем интеграле в качестве аргументов функций
X*', XyS XW мы Должны взять величины yV/J—х«, |-

480 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (Я > 2) [ГЛ. VI
-|-V^e — xl- Если мы затем снова выразим х через 4, то легко по-
получим:
«(*о, о, о, g=^ J J * [у (*о—«V, |- ^F1^. 1 V^F1^]
. A5)
При этом аргументами функций фа,, ^, фв являются так же, как и
.в функции ty, величины
Если точка P(jc0, y0, z0, t0) занимает произвольное положение * про-
пространстве, находясь внутри области /С<0, то мы должны предвари-'
тельно с помощью поворота системы координат преобразовать эту
точку в точку, лежащую в плоскости y = z=zO. Таким образом,
задавая функцию <}>, мы однозначно определяем значение функции а
во всех точках Р области /С<0. Далее, из формулы A5) следует,
что значение и в некоторой точке Р зависит только от началь*
ных значений <|* в точках эллипса, вдоль которого некоторая
плоскость пересекает характеристический конус, причем этот
эллипс совпадает с линией пересечения начального конуса с ха-
характеристическим конусом, выходящим из точки Р.
Предложим читателю в виде задачи проверить, действительно ли
полученное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению и
начальному условию. Попутно заметим, что точно таким же образом
можно решить характеристическую задачу Коши для ультрагипербо-
ультрагиперболического дифференциального уравнения.
5. Другие применения. Теорема о среднем значений для
софокусных эллипсоидов. Теорема о среднем значении Асджейрсона
содержит как частные случаи другие известные теоремы о среднем
значении из теории гармонических функций и теории гиперболических
дифференциальных уравнений. Так, например, мы получим теорему
о среднем значении из теории гармонических функций, рассматривая
гармоническую функцию и(хи ,хт) как такое специальное реше-
решение дифференциального уравнения A), которое не зависит ни от одной
из переменных yf. Применяя теорему о среднем значении E) для
произвольной точки х пространства переменных xf и начала коорди-
координат yt = 0 пространства yi} мы получим известную теорему о среднем
значении из теории гармонических функций. Эта теорема получается
также непосредственно из более общей теоремы E") при от = 0.
Менее тривиальную теорему о среднем значении для гармонических
функций мы получим следующим образом: пусть u(xlt • • -,х„^
какое-нибудь решение уравнения Лапласа Ди = 0. Введем искусственно
вместо т координат jcf 2т новых координат ^ и njj с помощью

§ 7] УЛЬТРАГИПЁРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 481
системы уравнений xt = \t ch а{;-f- "*k sh а» (* = !» 2, ...,»*), где вели-
величины ctj, а2, ...,ат могут иметь произвольные значения. Всякая
функция и(х) преобразуется тогда в функцию (о(?, t\) от переменных
Ei» •••.?»»; Чц • • •.Чш. а дифференциальное уравнение Ди —О пре-
преобразуется в ультрагиперболическое дифференциальное уравнение
Д5<о = Д.).ш. Применим теперь теорему Асджейрсона в форме E') для
точки ?г- = к)г = 0 к шару Л^:
?+•¦•+?<'¦
б пространстве ? и соответствующему шару /С2:
в пространстве yj. Этим шарам соответствуют в пространстве пере-
переменных х софокусные эллипсоиды:
и
5 *СГ ¦
Средние значения функции и в шаровых областях Кх и /С2 переходят
в средние значения этой функции в эллипсоидальных областях St и 52.
Так как, с другой стороны, мы можем с помощью соответствующего
выбора величин а€ и г представить посредством приведенных выше
уравнений любую пару софокусных эллипсоидов, то мы получаем
непосредственно следующую теорему:
Для семейства софокусных эллипсоидов среднее значение регу-
регулярной гармонической функции, взятое по внутренности какого-
нибудь эллипсоида из этого семейства, является постоянным
для всего данного семейства. При т = Ъ эта теорема по суще-
существу эквивалентна классическим результатам теории притяжения
эллипсоидов.
В заключение заметим, что наше последнее применение теоремы
о среднем значении может быть подчинено следующему общему прин-
принципу. Рассмотрим группу линейных преобразований, преобразующих
ультрагиперболическое дифференциальное уравнение A) само в себя.
Эта группа линейных преобразований состоит из тех и только тех
линейных преобразований, при которых характеристическая форма
сохраняет свой вид с точностью до постоянного множителя, так что
характеристический конус нашего дифференциального уравнения инва-

482 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ. Vt
риантен относительно этой'группы линейных преобразований. Эта1)
еще недостаточно изученная группа содержит, разумеется, в качестве
подгрупп не только группу преобразований подобия, но и группы
Лоренца в соответствующих подпространствах с меньшим числом
измерений. Комбинирование теоремы о среднем значении с предвари-
предварительным линейным преобразованием из этой «ультралоренцовой группы»
дает возможность получить ряд дальнейших теорем о среднем значе-
значении для решений различных частных видов ультрагиперболическога
дифференциального уравнения.
§ 8. О негиперболических задачах Коши
Рассмотренная в предыдущем параграфе теорема о среднем зна-
значении Асджейрсона является ценным методом исследования, позволяю-
позволяющим уяснить те своеобразные обстоятельства, которые имеют место
в отношении задач Коши для ультрагиперболических дифференциаль-
дифференциальных уравнений, а также для гиперболических дифференциальных
уравнений в случае начальных многообразий непространственного
типа. В частности, мы выясним, в силу какого обстоятельства такого
рода задачи Коши не являются корректными и могут оказаться не-
неразрешимыми (см. гл. III, § 7).
1. Нахождение функции по ее средним значениям на сфере.
Рассмотрим предварительно следующий вопрос: в окрестности точки
t = 0 пространства х, t требуется найти непрерывно дифференцируемую
функцию /(Xj, .. -,х.т, t), удовлетворяющую следующим .условиям.
Во-первых, f{xv...,xni, f) должна быть четной относительно-?,
f(x, t)=f{x, — t), A)
откуда следует, что
df
dt
(х,
х) В случае т = 3 эта rpyntia была рассмотрена Феликсом Клейном в его
книге «Высшая геометрия», изд. 2, Берлин, ]926 (имеется русский перевод)
как группа преобразований множества всех прямых трехмерного простран-
пространства самого в себя.
Исходя из этой группы, можно получить дальнейшие применения теоремы
о среднем значении Асджейрсона. Это было сделано Ф. Джоном для случая
т = 2 и ультрагиперболического уравнения Ug.y = и^^ (См. его работу
в Bull. Amer. math. Soc.) Мы рассматриваем хь хъ yt, _y2 как координаты
(в смысле линейчатой геометрии) прямой в трехмерном пространстве с, rlt С.
Тогда оказывается, что самое общее решение этого дифференциального
уравнения, определенное во всем пространстве и удовлетворяющее некото-
некоторым требованиям регулярности в бесконечности, задается интегралами от
произвольной функции от ?, г,, С, взятыми по прямым пространства ?, <], С.
Теорема о среднем значении Асджейрсона может быть в этом случае при-
применена к обоим семействам прямолинейных образующих произвольного
однополостного гиперболоида пространства $, -<;, С и выражается следующим
образом: интеграл от любого решения и, взятый по многообразию, образуе-
образуемому в пространстве хъ хъ уи уъ одним семейством прямолинейных обра-
образующих гиперболоида, равняется интегралу ог и, взятому по многообразию,,
составленному из прямых другого семейства.

§ 8] О НЕГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ КОШИ 483
Во-вторых, интегралы
g(xlt .. .,хт, г) = g(x, г) =
= /... //(*,+«„ ...,xn + tm,-i)do=Qlf], B)
ог
взятые по поверхности сферы Ог:
описанной из точки (х, 0) как из центра радиусом г, должны иметь
заданные значения, если точка (х, О) лежит в некоторой области
пространства х, t.
Другими словами, мы должны найти четную относительно t функ-
функцию f(x, t), если известна функция g(x, г).
Задавая функцию g, мы вместе с тем задаем функцию
г
О(х, /¦)= fg(x, р)ф, C)
о
т. е. интеграл от неизвестной функции /, взятый по всей внутрен-
внутренности сферы радиуса г, описанной из соответствующей точки
плоскости ?—0 в т-j- 1-мерном пространстве х, t. Мы можем
теперь дифференцировать функцию G(x, r) no xt, если только
предположить непрерывность функции /.
Рассматривая О как интеграл по внутренности сферы и исходя
из определения
xi+lt ..., хт, r) — G {xh ..., xm> r)
xi д->о h
мы получим:
dG 1 г г
^7 = -J ¦¦ ¦ J /(*i+6i. ••-.*m + 6m, x)^-rio. D)
Таким образом, нам известно значение не только интеграла от самой
неизвестной функции / по поверхности сферы Ог радиуса г, но также
значение интеграла
¦• -//Ob - - -. "Чш. 1)-Чг<1о =
E)
где через 7]^ = хг-|-^ й f обозначены координаты точки, переме-
щающейся по поверхности сферы ^Ц-\~?2 = г2 радиуса г с цен-
центром (х, 0).
Итак, произведя над функцией g операцию D4, мы найдем по
формуле B), примененной вместо функции / к функции xj, сред-

484 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (л > 2) [ГЛ. VI
нее значение этой новой функции Q[xtf\ на поверхности сферы Ог.
Операции Dt над g соответствует таким образом умножение / на х{.
Применяя вторично этот процесс к функции xtf вместо функции /
и повторяя его затем какое угодно число раз, мы получим, что,
задавая интегралы g, мы вместе с тем определяем значения всех
интегралов вида
J .. . J7eqlt .. ..ijw, x)P(yk, .. .,Tr)m)rf0 = P(D1, ..., Dm)g,
где P — какой угодно полином от ijj, .. .,t\m.
Представив теперь элемент поверхности сферы Ог в виде
мы приводим предыдущий интеграл к виду
гf ¦• •/[/(%, .-.,4».^) +
+/(¦41, • • •, Ч*, — *)] Р К. • • •, Ч») у
так что для функции
— Ы — ххУ- — ... — (rtm —
известны интегралы J.. . J <р (tj^ ..., т)ю, •:) Р (%, ..., -*]„, ^ ю
от произведения <р на какой угодно полином Р(у[г, ... ^т), взятые
по области 0ix — xj* -}-... -j- ("Пт—xmf < г2.
.. В силу того, что внутри сферы (ц1 — atjJ-!- ... -\-(-цт—хт)* = г2
совокупность всех полиномов P("»ii, • • • >¦*!»») образует полную систему
функций, то, зная значения интегралов
мы этим самым единственным образом опредедяем функцию <?. Но
в силу четности / мы имеем:
так что и функция / также однозначно определена.
Итак, мы доказали, что непрерывная и четная относительно t
функция f однозначно определяется заданием ее средних значе-
значений g на сферах Ог. При этом мы можем определить значение /
на сфере радиуса г с центром (х, 0), если нам известны средние
значения g функции / на сферах, описанных из достаточно близкого
центра (_у, 0) радиусом р для всех значений р<г-|-е, где е —сколь
угодно малое число. Если отбросить условие A), то мы получим,

§ 8]
О НЕГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ КОШИ
485
что, во всяком случае, функция f(x, t)-\-f(x, — f) будет однозначно
определена в соответствующей области.
Обратим теперь внимание на следующий важный факт: для того,
чтобы вычислить оператор Dtg для какой-нибудь системы значений
х°, ..., х°т, г°, достаточно знать только среднее значение g(x, г)
функции f(x, f) для значений г и х{, удовлетворяющих условиям
о О О0; S (¦*« — *?JO2,
F)
где е — сколь угодно малое число. То же относится и к вычислению
всех символических полиномов P(DU .. .,Dm)g. Поэтому, задавая
в области, определенной условиями F), значения функции g, мы
однозначно определяем предполагаемую четной функцию /во всем шаре
Но из того, что в этом шаре известна функция /, следует, обратно,
что для любой точки (х, О) плоскости t = 0, лежащей внутри этого
шара, мы можем однозначно определить соответ-
соответствующее значение интеграла g(x, г), взятого по
сфере радиуса г с центром в точке (х, 0), если
только выполняется условие
Мы резюмируем этот результат следующим об-
образом :
Заданием g в цилиндрической области F)
сколь угодно малой толщины е функция g
однозначно определяется также и во всем двойном конусе G)
(см. черт. 40). Это впрочем относится также и к случаю любой
необязательно четной непрерывной функции /.
2. Применение к задаче Коши. Рассмотрим ультрагиперболиче-
ультрагиперболическое уравнение
причем мы выделяем переменную хп = хт+1 = t и считаем, что
Условие /=и может и не соблюдаться.
Пусть требуется найти четное относительно t решение, прини-
принимающее на плоскости t = 0 заданные начальные значения. Предполо-
Предположим, например, что при f = 0
«*(*» У) = ° и и=<)>(х, у).
Рассмотрим начальные значения в области пространства х, у, для
которой точка у лежит в некоторой области О пространства R пере-

486 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ. VI
менных у, тогда как точка л; лежит внутри сколь угодно малого
шара
V (у v-042^" e2 (Q\
i=l
Когда хну перемещаются по соответствующим областям, точка
(л;, у) покрывает в т ~\- /-мерном пространстве переменных хг и у{
область, называемую «произведением» области G пространства у на
сколь угодно малую шаровую область пространства л;. Если мы
будем рассматривать решение и как функцию от д: и t с переменными у
как параметрами, то наши начальные данные однозначно определяют
значения интегралов от функции и, взятых по сферам пространства л;, t,
центры которых xiy t удовлетворяют условиям
г=о,
а радиусы которых не превосходят некоторого постоянного числа г°
{г0 есть радиус наибольшего шара в пространстве R, целиком содер-
содержащегося в области G и имеющего центром данную точку у этой
области). В самом деле, при п>/ это следует непосредственно из
теоремы о среднем значении Асджейрсона [см. формулу E") преды-
предыдущего параграфа]. Если же и</, то эта теорема о среднем значе-
значении нам дает сперва только интегралы
Vr
взятые по внутренности Vr какого угодно шара в пространстве л;, t
радиуса г-^г0, центр которого x'v ..., х', t = 0 удовлетворяет
условию "*
Если мы обозначим через J(r) интеграл от и, взятый по такой
сфере радиуса г, то наша теорема о среднем значении дает нам,
таким образом, значение интеграла
}=»
JV(P)('2-P2) 2 dp.
о
Но если нам известна для всех значений г О0 функция
г г-п
9W = //(P)(^-P2) 2 dp,
то, решая это интегральное уравнение Абеля относительно J(r) при-
приведенным выше (см. § 6, п. 1) методом, мы однозначно определим

1$ 8] О НЕГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ КОШИ 487
также и функцию J (/¦) в промежутке 0 ^ /¦<; г°. Таким образом, наше
утверждение доказано и для случая />п.
Применяя теперь результаты, полученные нами в п. 1, мы заклю-
заключаем, что искомая четная функция и(х, у, f) однозначно определена
во всем шаре
В частности, отсюда следует, что при t = 0 начальные значения
м{ху у, 0) однозначно определены в сфере
2(<% ()
шачального /я-мерного пространства Rm, если они заданы в «произ-
«произведении» области G пространства у на шаровую область
пространства Rm.
Таким образом, мы получаем следующий замечательный результат:
Если для четного относительно t решения ультрагиперболи-
ультрагиперболического уравнения (8) заданы начальные значения и в обла-
области пространства х, у, для которой переменные у заполняют
некоторую область G, а переменные х сколь угодно малый шар
т
2 (х,-—-*5J<Се2 (ср. п. 1), то этим самым начальные значения
4 = 1
и определяются однозначно всюду во всем шаре
причем значение а0 мы находим указанным выше способом.
Тот же результат имеет место и для решений, не являющихся
четными функциями t.
Отсюда следует невозможность произвольного задания началь-
начальных значений и (х, у, 0).
Если, например, для дифференциального уравнения
начальные значения и (ух, у%, х, 0) заданы в круге G: (va—.yjJ-j-
+ 0'!—.У!J<й2 плоскости у и промежутке |л; — л^|^е, т. е.
•внутри бесконечно тонкого цилиндрического диска (пространства
yv y2, х), параллельного плоскости уи у%, то этим самым зна-
значения начальной функции и (vlf _у2, х. 0) определены также во всем
двойном конусе
(\ —УЧ? + (v2 — f^ +1 х — *<> | < а.

488 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ. VI
Если в соответствии с этим мы в волновом уравнении переставим
между собой пространственную переменную у и переменную времени t,
записав это уравнение в форме
yy ^ ^
и зададим функцию и {у, хи х2, t) при t = 0 внутри бесконечно
тонкого цилиндра, параллельного оси у:
?2 »2<2 |
то этим самым начальная функция и{у, xt, х2, 0) однозначно опре-
определяется во всем двойном конусе
Мы видим, таким образом, что для волнового уравнения не-
невозможно произвольно задать начальные значения на плоскости
непространственного типа.
Черт. 41..
Черт. 42.
Если для общего дифференциального уравнения (8) начальная
функция и(ух, y2,-..,yi; хи ...,хт, 0) задана в области, опреде-
определенной условиями
(уг ~у1? < «й. 2 (*, - ^ < ^
2
то она вместе с тем однозначно определена во всей области
а соответствующее решение и (х, у, t) определяется однозначно
в области
(Л—^)
Для уравнения Лапласа (/ = 0)
2 (*,-
€=1
это означает следующее:

§ 9] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ АДАМАРА 4&94
Если для четного относительно t решения задана начальная
функция и (х, 0) внутри сколь угодно малого шара
то этими данными функция и(х, t) однозначно определена во
всей области
так что, в частности, начальная функция и(х, 0) однозначна,
определена в области
Этот результат остается в силе и в том случае, если отбросить
условие четности функции и (х, у, t).
Эта последняя теорема непосредственно вытекает из аналитичности
рассматриваемых решений, которая нами была в свое время доказана.
Для гиперболических же и ультрагиперболических дифференциальных
уравнений взаимная связь между значениями решения на начальной,
плоскости не может быть так просто объяснена; начальные функции
в этом случае не должны быть обязательно аналитическими функ-
функциями. Таким образом, рассматривая значения решений таких диф-
дифференциальных уравнений на какой-нибудь плоскости, мы встречаемся.
с замечательным явлением существования таких неаналитических
функций, для которых значения функции внутри некоторой беско-
бесконечно тонкой по одному направлению области однозначно' опреде-
определяют поведение функции в существенно более широкой области рас-
рассматриваемого пространства 1).
§ 9. Решение задачи Коши методом Адамара 2)
При изложенных выше методах решения задачи Коши для случая-
постоянных коэффициентов понятие характеристик не играло (за
исключением примера, приведенного в § 2, п. 8) никакой роли
в самом процессе нахождения решения. Лишь при определении об-
областей зависимости нам приходилось в неявной форме опираться на.
понятие характеристики. В противоположность этому в методе Ада-
Адамара, который мы теперь кратко изложим независимо от предыду-
предыдущего, характеристические многообразия вообще и характеристи-
характеристический коноид, в частности, образуют основной исходный пункт.
1) См. по этому вопросу статью Ф. Джона (F. John), Math. Ann.,
т. Ill, стр. 542, в которой для случая уравнения Дарбу с помощью другого
метода получены более полные результаты.
2) Для предельного случая задачи излучения этот метод несколько упро-
упрощается. Мы рассматриваем этот случай в § 10.

4G0 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и>2) [ГЛ. VI
Метод Адамара представляет собой углубление и далеко идущее
обобщение .метода Римана, рассмотренного нами в гл. V, § 4 для
случая п = 2, и может быть также применен к любым линейным
дифференциальным уравнениям второго порядка с переменными коэф-
коэффициентами; метод Адамара может быть также распространен на
системы дифференциальных уравнений и задачи высших порядков.
'Так как подробное проведение метода Адамара в общем случае
потребовало бы слишком сложных вычислений, мы ограничимся част-
частным случаем дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами при и = 3 и и = 4; однако, проводя подробно вычисления
.лишь для этого частного случая, мы рассмотрим существо этого
метода с достаточной общностью. За подробностями отсылаем
,к книге Адамара х).
1. Предварительные замечания. Основное решение. Общий
метод. При интегрировании дифференциального уравнения
L[u] = u:mj-\-au:x.-\-butJ-\-cu=f(x,y) A)
х двумя независимыми переменными основную роль играла функция
Римана (см. гл. V, § 4).
Адамар заметил, что понятие функции Римана тесно связано
с понятием основного решения, введенного раньше только для эл-
эллиптических дифференциальных уравнений (см. гл. IV, § 1). Для
уравнения Лапласа Аи = ихх -j- иуу = 0 мы в качестве основного ре-
решения, соответствующего точке ?, ч\, рассматривали решение, которое
.может быть представлено в виде и — log г -(- о, где г =
= \f(x — $JН-Су — '*1J> а ? — регулярная функция. Для такого ре-
решения геометрическое место особых точек или «характеристический
конус» задается уравнением (л;—?f-\-(y — tq"J == 0 и состоит, таким
.образом, только из одной точки х=\ и у = ч\. Для гиперболиче-
,ского же дифференциального уравнения A) характеристическим
конусом является пара прямых (л; —-?) {у — ч\) = О, и мы можем
дюэтому ожидать, что в этом случае роль основного решения будет
-играть решение вида
V=W\ogY + v, B)
где W и о — регулярные функции, Г = (л; — \){у — t]), причем
|/Т = г является геодезическим расстоянием точки (х, у) от точки
¦(?, 7)), если положить в основу мероопределения соответствующий
L [и] линейный элемент dsa = dx dy. (В § 2 мы видели, что особен-
особенность этого вида может иметь место только на характеристическом
многообразии.) Подставляя выражение V в однородное дифферен-
диальное уравнение A), мы получим:
-{-регулярная функция.
*) См. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees pariielles
jieaires hyperboliques, Париж, 1932, а также английское издание.

¦§ 9] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ АДАМАРА 491
Отсюда непосредственно следует, что функция W(x, у; S, •*))
должна удовлетворять уравнению L [Ц7] = 0и условиям: Wy-f- aW= О
при x — in Wx-\-bW=O при_у = -*). Другими словами, коэффициент
W в «основном решении» B) должен в точности совпадать
с функцией Римана дифференциального выражения L, определен-
определенной нами в гл. V.
Мы можем поэтому предполагать, что и в случае 'п > 2 решение,
обладающее такого рода особенностями на характеристическом ко-
конусе или характеристическом коноиде, будет играть важную роль
для дифференциального уравнения и должно быть рассматриваемо как
основное решение.
В случае дифференциального уравнения с постоянными коэффи-
коэффициентами
L[u] = utt — Au — cu = O, C)
с неизвестной функцией и(х1г .. -,хт, f), мы находим такое основное
решение, отыскивая частные решения вида v = v(r), зависящие
только от
/т
(,_,J_2(*v_
v = l
D)
Функция v (г) должна удовлетворять дифференциальному уравнению
m
E)
Решения этого дифференциального уравнения мы можем получить
рекуррентным путем, ибо с помощью решения v уравнения E) для
некоторого значения числа переменных т мы можем составить функ-
функцию w = —, удовлетворяющую соответствующему дифференциаль-
дифференциальному уравнению
для индекса т-\-2.
При w = 0 мы получаем в качестве решений нашего дифферен-
дифференциального уравнения v = sh (YTr) и t»=ch (~\Гс г); точно так же при
п = 2, т = 1 мы получаем решения v = J0 fl/ —с г) и v=N0 (У—с г),
где1)
No {V~c r) = 4 Jo (VZ=c r) log r -f- R
означает функцию Неймана нулевого порядка, a R—регулярную
функцию. Из этих решений только Notf—с г) дает нам основное
решение при т = 1, ибо остальные решения регулярны при г = О.
Отсюда мы получаем, далее, при т = 2, и = 3 в качестве основного
J) См. Курант-Гильберт, Методы математической физики, т. I,
гл. VII, стр. 477.

492 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (я > 2) [ГЛ. VI
решения, имеющего на характеристическом конусе особенность тре-
требуемого вида, функцию
v==±Ch(V7r), F)
а при т = 3, я = 4 функцию
G)
где /?! — регулярная функция.
При этом бесселева функция
-сг) являются всюду регулярными функциями.
Легко убедиться, что этим путем мы получаем вообще при не-
нечетном /n-j-l=n=s2v-|-l решения вида
у— Ч (8)
Г 2
а при четном т -\- 1 = п = 2v решения вида
ТТ
(9)
где U к W обозначают регулярные функции, причем L [Щ = 0. Эти
решения (8) и (9) мы назовем основными решениями дифференциаль-
дифференциального уравнения C).
Всякое решение, получающееся путем сложения решений (8)
или (9) с каким-нибудь регулярным решением, мы будем также на-
называть основным решением.
Рассмотрим теперь общее дифференциальное уравнение
L[u]= 2 ад4+2*М«« = ° A0)
г, Я = 1 * = 1
с переменными коэффициентами. Мы называем основным решением
такого дифференциального уравнения решение, обладающее следую-
следующими особенностями. Введя мероопределение с помощью линейного
элемента
где Aik обозначают элементы матрицы, обратной относительно матрицы
(aik), мы рассматриваем геодезическое расстояние точки х =
= (ATj, ..., хп) от точки Е = (?1, ...,?„) в смысле этого мероопре-
мероопределения. Обозначим это геодезическое расстояние через
A1)

§ 9] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ АДАМАРА 493
Согласно гл. II, § 9 расстояние г и его квадрат Г = г2 удовлетворяют
соответственно дифференциальным уравнениям
l A2)
и
2^Г€ГЙ = 4Г. A3)
г, к
Назовем теперь основным решением дифференциального уравнения
{10) решение, которое при нечетном n = 2v-j-l>l имеет вид
у = Щ+..., A4)
Г 2
где U(x,?)—регулярная всюду функция от ?, включая точку
х ==' ?, а при четном п = 2v
l^ .., A5)
Г 2
где U и Wрегулярны всюду, включая х = S. Многоточия здесь обозна-
обозначают регулярные решения дифференциального уравнения. Можно
доказать, что основные решения этого вида всегда существуют и что
L[W] = 0. A6)
Основные решения определены с точностью до множителя, не зави-
зависящего от х. Мы выбираем этот множитель так, чтобы выполнялось
условие [/|х=е=1. Не проводя здесь доказательства, укажем лишь,
что в книге Адамара дается способ построения основных решений,
опирающийся на соотношения, имеющие место вдоль характеристи-
характеристических коноидов и рассмотренные нами в § 2.
Самым важным формальным вспомогательным средством для со-
составления решения нашего дифференциального уравнения
L[u]=f{x1,...,xn)=f(x) A7)
является формула Грина, выражающая зависимость между диффе-
дифференциальным выражением L [и] и сопряженным дифференциаль-
дифференциальным выражением
5 ?
-2 ?
5^
i, k г
Сопряженное с L [и] дифференциальное выражение М [v] характери-
характеризуется тем свойством, что для любой пары функций и и v выражение
п п п
VL [и] — иМ[v] = 2 A(v 2 aikuk -й^ (aikv)-f b&v) A9)
<=1 l fc=l k=l
является выражением типа дивергенции. Если при этом
-, , то
дх, '
и L называется самосопряженным дифференциальным выражением..

494 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ. VI
Формула Грина для области G, ограниченной поверхностью
(о(х1, х2, ..., хи) = 0 с направляющими косинусами нормалей
выражается тогда просто интегральной теоремой Гаусса
J ... J (vL [и] — иМ [v]) dxl ... dxn =
в
= J " • • J 2 1*
о * L
B0)
где do обозначает элемент поверхности границы О области G.
Рассмотрим теперь следующую задачу Коши для дифференциаль-
дифференциального уравнения A7). Пусть вдоль начальной поверхности С, заданной
уравнением <в {хх, ...,хп) = 0, выполняется условие ^jaik<si<sk'^>0,
так что эта поверхность является поверхностью пространственного
типа. Зададим вдоль С значения и и значения производных для не-
некоторого решения и дифференциального уравнения L[«]=/. Тре-
Требуется найти значение функции и (Р) в произвольной точке Р неко-
некоторой области, примыкающей к С с одной стороны.
Предположим, что выходящий из точки Р интегральный коноид
характеристического уравнения, образуемый всеми характеристиче-
характеристическими лучами уравнения A7), регулярен вплоть до начальной по-
поверхности С и вырезает из нее п— 1-мерную область В с границей В,
так что боковая поверхность М коноида вместе с областью В огра-
ограничивают в я-мерном пространстве некоторую к-мерную конусооб-
конусообразную область G. В соответствии с рас-
рассмотрениями § 4 мы увидим, что область В
является областью зависимости для
точки Р и что значение и (Р). можно одно-
однозначно выразить через начальные значе-
значения в области В.
Чтобы достигнуть этого, мы приме-
применим формулу Грина B0) к области G,
принимая в качестве v основное реше-
решение V сопряженного уравнения М [v] = 0,
а в качестве и рассматриваемое нами
решение уравнения L[u]—f. При этом,
однако, в силу особенности функции V получатся расходящиеся
интегралы. Чтобы обойти эту трудность, мы поступаем, согласна
Адамару, следующим образом.
Отсечем сначала от вершины Р конусообразной области G сколь
угодно малую область, проведя, например, плоскость, сколь угодно-
близкую к точке Р. Обозначим через D — Db основание этой сколь
угодно малой конусообразной области, зависящее от параметра 8>
М
Черт. 43.

§ 9] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ АДАМАРА 495
и пусть при 8 —> О площадка ?M переходит в точку Р. Фиксируем 8.
Далее, заменим боковую поверхность М коноида аппроксимирую-
аппроксимирующей поверхностью ЖЕ, стремящейся при е —> 0 к М изнутри, и пусть
поверхность Ме задается уравнением а (х, е) = 0, где е> неограничен-
неограниченное число раз дифференцируема по е.
Поверхность Ме вырезает из С начальную поверхность ВЕ с гра-
границей Jjs, так что Игл Д. = В; пусть поверхности Же, Ве и соответ-
ствующая часть Ц, ^ области Db ограничивают область GE г. Приме-
Применим теперь формулу Грина к области GeS. При фиксированном 8 и
нечетном п = 2ч\-\ входящие в эту формулу члены имеют вид:
где (а) обозначает выражение, стремящееся к нулю при s —> 0, а ве-
величины Ь, Ьо, ... не зависят от е. При г->0 это выражение В (г)
стремится к со. Обозначим через Ь = *В(е) конечную часть В(е).
При нечетном п величина b обладает тем свойством, что она остается
инвариантной при всех преобразованиях параметра е, ибо полуцелый
показатель степени у множителя, стоящего перед скобкой, исключает
возможность появления внутри этой скобки после преобразования
П— 2
членов, которые после деления на е 2 оставались бы конечными и
стремились бы к отличному от нуля пределу при г —> 0. Применяя
формулу Грина B0) к области Ge5, получим уравнение вида
+ e~^*nls) + (8) = 0, B1)-
7с —J-/
где 2 ^?) обозначает сумму конечных членов трех различных со-
составных частей формулы Грина B0), происходящих от боковой по-
поверхности, нижнего и верхнего оснований и самой области Ge3. За-
Заставляя s стремиться к нулю, мы получаем непосредственно соотно-
соотношение
2 Ь(Ц = 0, B2)
т. е. сумма конечных членов выражения B1) равна нулю.
Уравнение B2) представляет собой некоторое соотношение, кото-
которому удовлетворяет функция и. Если мы теперь заставим 8 стремиться
к нулю, так что область Ge5 будет стремиться к области G, то соот-
соотношение B2) перейдет при 8->0 в искомую формулу для и, а именно,
помимо объемного интеграла J ... Г fVdxx. . .dxn функция и вы-
G

496 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (« > 2) [ГЛ. VI
ражается посредством интегралов, взятых по В и J3 и содержащих
функцию U и заданные на В начальные значения и и ее производ-
производных до порядка ~ включительно. Существенным при этом методе
является, далее, тот факт, что остающаяся конечной часть интеграль-
интегральных выражений типа интегралов, входящих в формулу Грина, может
быть легко вычислена в инвариантной форме для каждой составной
части, так что для получения окончательного результата достаточно
просуммировать эти отдельные составные части.
Если и = 2v, то наши рассуждения в принципе сохраняются. Каж-
Каждый член нашей формулы Грина, примененной к области Ge5, имеет
в этом случае, как нетрудно видеть, форму
B3)
Однако, конечная часть а„ — в этого выражения уже не является
я~
инвариантной относительно преобразований е 1). Поэтому, хотя
сумма конечных членов должна равняться нулю также и в этом слу-
случае, однако выделение этих членов не может иметь здесь существен-
существенного значения. Поэтому, в случае четного п Адамар применяет метод
спуска, исходя из ближайшего большего нечетного п.
Однако, можно и в случае четного п достигнуть непосредственно
цели, рассматривая вместо конечных членов «.логарифмические
члены», т. е. коэффициенты й==^В(е). Логарифмические члены
инвариантны относительно преобразований е. Из формулы B3) непо-
непосредственно следует формула
а) 0, B4)
где Vfi(&) есть сумма логарифмических членов различных составных
частей формулы Грина. Оказывается, что эта формула дает в случае
четного п искомый результат. Мы получаем снова, что и = и (Р)
может быть выражена с помощью интеграла \ ¦ • • \ /V dxt • ¦ ¦ dxn
в
и интегралов, взятых по В и C и содержащих функции U и W,
а также начальные данные и их производные до производных
п — 1 2.
порядка —g— V-
Из этих формул получается существенно важный результат в от-
отношении принципа Гюйгенса. Мы в свое время формулировали этот
•) Например, выражение Ь -[ с конечной частью Ь переходит при пре-
преобразовании e = TQ(l-f-vi)B6—I A—>j + ...), т. е. в выражение, имеющее
конечную часть Ъ — а.
*) На возможность применения логарифмических членов в случае четного п
обратил внимание Адаиар. См. также Фридрихе, GOtt. Nachr., 1927, стр. 172.

? 9] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ АДАМАРА 497
принцип в виде требования, чтобы значения и (Р) зависели только
от начальных данных вдоль края C области зависимости В (а в слу-
случае неоднородного уравнения также и от данных на боковой поверх-
поверхности характеристического коноида) и не зависели ет начальных
данных внутри области зависимости В.
Оказывается, что в случае четного п входящие в выражение
для и (Р) интегралы, взятые по основанию В и области G, не содержат
U, а зависят только от W, тогда как U входит только в интегралы,
взятые по границе р области В, а в случае неоднородного уравнения
также и в интегралы, взятые по боковой поверхности коноида; отсюда
следует, что принцип Гюйгенса имеет место тогда и только тогда,
когда логарифмическая часть W основного решения тождественно
обращается в нуль. При нечетном я из формул Адамара следует,
что принцип Гюйгенса никогда не может иметь места.
Итак, принцип Гюйгенса никогда не имеет места в случае
нечетного я>1; в случае четного и = т-(-1 принцип Гюйгенса
имеет место тогда и только тогда, когда логарифмическая
часть W основного решения тождественно обращается в нуль.
Отсюда следует, что в случае уравнения C) с постоянными коэффи-
коэффициентами в силу формул (8) и (9) принцип Гюйгенса имеет место
только для чистых волновых уравнений, т. е. при с = 0 и при не-
нечетном числе измерений пространства; мы установили этот факт
в явной форме уже раньше в § 5.
Адамар высказал интересное предположение [см. недавно опу-
опубликованную ¦ работу М. Matchissen'a, Acta Math., 1940. (Прим.
редактора).], что по существу волновые уравнения в случае четного
п являются единственными уравнениями, для которых имеет место
принцип Гюйгенса; это значит, что всякое дифференциальное уравне-
уравнение, для которого имеет место принцип Гюйгенса, может быть
получено из волнового уравнения путем преобразования независимых
переменных, умножения дифференциального уравнения на некоторый
множитель и введения вместо и в качестве неизвестной функции
новой функции v = g(xlt.. .,хп) и.
Наконец, заметим, что результат Адамара не только дает одно-
однозначно определенные формулы решения, но и допускает очень простую
последующую проверку решений.
Мы ограничимся тем, что проведем этот метод в случае я = 3
н п — 4 для дифференциального уравнения C) с начальной поверх-
поверхностью t = 0, причем мы остановимся на всех моментах, существенно
важных с точки зрения техники вычислений.
2. Общее волновое уравнение для случая, когда число изме-
измерений пространства та = 2. Рассмотрим задачу Коши для дифферен-
дифференциального уравнения
L [и] = ип —u^—Uyy—cu =/(*, у, t) B5)
с начальными условиями
«(*,.У,0) = <?(*, у), щ(х,у,0) = С({х,у). B6)

408 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (л > 2) [ГЛ. VI
Мы предполагаем при этом, что функции/и ^—дважды, а функция <р—
трижды непрерывно дифференцируемы.
Так как я = т -\- 1 = 3 нечетное число, то самосопряженное
уравнение ии — Дк—си —0 имеет основные решения вида
^ B7)
где
V (f—тJ—(а:—?)а-_(у—
обозначает геодезическое расстояние точки at.j/, t от точки 6, •»), т.
Согласно п. 1 имеется основное решение вида
i B8)
VX
Рассмотрим теперь для фиксированной точки Р (?, i\, т) простран-
пространственную область О, ограниченную характеристическим конусом Г = О
и кругом В, вырезаемым конусом Г
из плоскости х, у, т. е. область О,
заданную условиями
г>о, о<г<ч.
Отсечем вершину этой кониче-
конической области с помощью секущей
плоскости t = т — 8, так что 8 —
расстояние вершины Р от секущей
плоскости. Получается усеченный
конус G8> определяемый условиями
Черт. 44. r>Oj о<*<т — 8.
В качестве аппроксимирующей области О,8 мы берем усеченный
конус
— sf(t—zf—(x — $? — (y~nf>0, где0<е<1.
Нижним основанием Ве усеченного конуса Ое8 является круг
(л; —Q2 + O —71J<A—еJ^, * = 0.
Верхним основанием Dt8 является круг
(ре—?)а + (У—чJ<A—s)a 82, / = т —8.
Боковой поверхностью Же8 области Ос8 является поверхность конуса
A — е) V—ср — (х — SJ—(у—rif = 0.
При предельном переходе е -»¦ 0 область Ое5 переходит в усеченный
конус Gg с боковой поверхностью Ж?, нижним основанием В и верхним
основанием DB. Наконец, при вторичном предельном переходе 8 -* О
из G8 получается первоначальный конус G.
Пусть, далее, р означает рраницу круга В, а р,— границу
круга Bt.

§ 9] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ АДАМАРА 499
Обозначим теперь через и решение уравнения L [и] =/, удовле-
удовлетворяющее начальным условиям B6). Проинтегрируем по области Ой
«выражение
)ж+ {uVy)y. B9)
получим следующее соотношение:
— J f fvfdxdydt-\-^{Vut-~u
— f fW~o
— u(Vtt4 — V^ — VyyJ) do. C0)
"При этом a:v, уч, t^ обозначают направляющие косинусы внешних
нормалей к поверхности МеЬ, а комбинация щ t, — их лг„ — ы уч
равняется «трансверсальной» производной ^— вдоль поверхности
Наша задача состоит теперь в нахождении конечных членов
четырех интегралов, стоящих в правой части, т. е. членов, остающихся
конечными при е-*0. Если мы обозначим через f Г или ( ( ( ко-
конечную часть интеграла, рассмотренного в п. 1 типа, то из уравне-
уравнения \30) получится соотношение
f f(Vut—"vt)dxdy -* f f
o. C1)
Мы сейчас увидим, что из этого соотношения непосредственно
1юлучается искомое решение рассматриваемой задачи Коши.
Первый интеграл формулы C0) сходится при е->0 к несобствен-
несобственному интегралу, взятому по области G6; в самом деле, порядок
¦обращения в бесконечность функции V— -- на каждом сечении
ловерхности конуса с плоскостью, параллельной плоскости дг, у,
равняется порядку обращения в бесконечность функции
1
ч?
яри приближении точки (х, у, t) к некоторой точке, лежащей на
конической поверхности М. Поэтому
*{ J jV/dxdydt^f J Jvfdxdydt. C2)

600 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАЕНЕНЬЯ (и > 2) [ГЛ. V5
Чтобы вычислить остальные члены формулы C1), введем вместо
х, у, t новые переменные интеграции о, ja, S>, полагая
A—^)sinO, i = z — о.
Тогда область Ge8 определяется условиями: г<^<11; 8-^а^т;
0-^&-^27Г. ПрИ ЭТОМ JA = S ВДОЛЬ МсЬ, О = 8 ВДОЛЬ Z\g Иа = ; ВДОЛЬ /?,.
Исследуем сначала интеграл, взятый по поверхности Мл. На этой
поверхности имеем:
t^do = (l — efadadti; хч do = A — s) о cos bdodb;
y^doB=(\ — s) о sin & da d$.
Далее,
к, = ux A — s) cos & -J- ы^ A — e) sin 8 — ut;
«n = — «a, ocos 9 — uy a sin &.
Отсюда
V(utt, — uxx, — uyy,)do= V(l —e){eB—t)i^—-c(l —e)w,
и аналогично
Так как Г==о9цB—ja), to мы можем V представить в виде
V = —-!Л' , где /? (о, ja, 9) обозначает функцию, непрерывную и
непрерывно дифференцируемую всюду в области G5.
Подставив это выражение для V в последние две формулы,
мы получим, что, так как jj. = e, наш интеграл имеет следующий вид;
J j {V («Л — иххн — н^О — и (Vyv — Vxx4 — Vt,yv)} do -=
•с 2л:
= -Ь f ^o J '/?(o, 8) rf& -f («), C3)
где /?(о, 9) снова обозначает непрерывную функцию от а и 9, а (е)
стремится к нулю вместе с 8. Отсюда следует, что интеграл, взя-
взятый по Ж5„ не содержит члена, сстающегася конечным к ст-
стланным от нуля при е->0.
Остальные два интеграла из формулы C1) рассмотрим одновре-
одновременно, заменяя их интегралом /ео= I Г (Vtit—uVt)dxdy, взятым
по пересечении области Ое5 с какой-нибудь плоскостью t = z — с,
Представим теперь интеграл Jeo в следующей форме:
+7 Я "I

§ 9] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ АДАМАРА 501
где и и U обозначают значения функций и и U вдоль границы {3,
круга Da; точнее, если и (х, у, t) = и (о, ц, 8), то _мы обозначаем
через и(х, у, t) значение и (о, 0, 8); точно так же U=U(a, 0, &);
отсюда следует, что функция ——~и ограничена в Д, и непре-
непрерывна всюду за исключением точки j* = 1. •
Из предыдущего непосредственно следует, что первые два инте-
интеграла в правой части предыдущей формулы стремятся при е-»0
к конечным пределам. Остается исследовать третий интеграл. Так как
Г = о> B — jjl), 1\ == — 2 о, a dxdy = <P{\ — о.) d-л rf&, то мы полу-
получаем:
hudb {
I
Полагая 1 — u = к, мы приведем внутренний интеграл к виду
1
(I X^i'/a I YT
а
7* '"'
С tdX г 1 у
Отсюда следует:
Таким образом,
Р.
При о = S имеем:
dxdy __ 6A — у.) &. rfxrfy г __ 2A — (х) &
Так как в первом интеграле числитель Uut — uUt остается ограничен-
ограничений— йи
ным, а во втором интеграле отношение — стремится к нулю
вместе с 8 *), то оба первых интеграла, взятых по D8, стремятся
вместе с S к нулю. Мы получаем, таким образом,
lim *Т Г (Vut~uVt) dx dy = lim ~ f «*T;ds = 2'тси E, ii, x).
!) В самом деле, расстояние точки (х, у, t) = (а, р., в) от_соответствующей
точки границы (а, 0, в) равняется а(л. Поэтому \ail—7/[/|^;Со(л, так как
функция uU непрерывно дифференцируема.

502 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ft > 2) (ГЛ. XT
Принимая во внимание полученные нами результаты, мы видим, что
формула C1) дает нам теперь при переходе к пределу 8->-0 следую-
следующую окончательную формулу:
?,*),-0 = 2^ J J/ Vfdxdydt + ^Z fiUds +
в Э
C5)
Эта формула выражает, таким образом, интересующее нас решение
уравнения B5) через функции /, <р и ф-
Так как в силу уравнения B8) функция U имеет вид U = ch \^сТ,
то ?/=?/@)=1, и мы можем формулу C5) записать в следующем
явном виде:
1 Г f Ф
G
'¦Ftdxdy.
Простым преобразованием формула C5') приводится к виду
Эта формула согласуется с результатом § 5, п. 7 в частном случае
<р=/=0 [ср. § 5, п. 7, формулы G9) и (80) при л = 2].
3. Общее волновое уравнение для случая /га = 3. В задаче
Коши для дифференциального уравнения
L [и] = utt — uxx~uvv—uez~cu ==/(*, j, г, /!) C6)
с начальными условиями и(х, у, г, 0) = <?(•*, у, z); ut(x, у, г, 0) =
— Ф (¦*> У> г) мы предположим, что / имеет непрерывнее производ-
производные до второго порядка включительно, а <в и ^ — непрерывные про-
производные первого порядка.
Основное решение соответствующего, снова самосопряженного,
уравнения L [и] = 0 содержит в этом случае, так как п = m -f-1 =
= 4 — четное, не считая регулярной части, выражение
V(x, у, г, t; %, *,, С, т) = -^ + Wlog Г, C7)

§ 9] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ АДЛЫАРА 503
где
Г«(*—т)»—(х—?)*—(у—п)в—<* —С)8,
а согласно п. 1
(V:=) ^/"Е?/(-=Щ C8)
При этом W удовлетворяет дифференциальному уравнению L [W] =• 0.
Само основное решение имеет в этом случае вид
где; Nt обозначает функцию Неймана первого порядка (см. т. I,
гл. VII).
Поступая совершенно аналогично предыдущему, мы сначала опре-
определяем аппроксимирующую область Gm8 конической области О, задан-
заданной условиями Г ^- 0, 0 -^ t ^ т. Если ввести вместо х, у, г, t
новые переменные о, \i; a, P, y c помощью уравнений
; \
J
где а, р, y обозначают параметры на единичной сфере аа -|— ра —J- *уа = 1,
то область GEj определяется неравенствами s^jj,^1; 8.^с<^т.
Граница О,8 области G,8 состоит тогда из боковой поверхности
Мл, вдоль которой р. = а, из нижнего основания Вш, на котором
о = -с, и из верхнего основания ?>„3, где о = 8.
Мы применяем, далее, к области G^ формулу Грина, которую
мы записываем сокращенно в виде
JJJj>Z.[a]-«Z. M) dxdydzdt=fff(v %-u g)<fo, D0)
где -т- обозначает «трансверсальную производную» на Ой (см. § 2),
0S
т. е. дифференциальный оператор
д д д д д . ..
lZ=t->~dF~~X^dZ~~y-i'dy~~Z' Hz' W
причем лг„ у„ г., и ^v — направляющие косинусы внешней нормали
к Ое5.
. Подставим теперь вместо v рассмотренное выше основное реше-
решение V-\- регулярная функция и найдем согласно п. 1 логарифмиче-
логарифмическую часть каждого из наших интегралов, которую мы будем обо-
обозначать через \ \ \ или \ \ j J . Так как регулярное слагаемое
основного решения не может давать логарифмических частей, то

504 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (rt > 2) [ГЛ. VI
в наши формулы войдет только выражение V — —-+- WlogV. Мы
получим тогда уравнение
<fVt) dxdydz-^ J J* J (Vitt — вVg dx dy dz. D2)
Подсчитаем сначала стоящий слева интеграл f^ J | | Vf dx dy dz dd.
Так как интеграл Г I \ \fW\ogVdxdydzdt сходится к конечному
* <?„8
пределу при в -> 0, то его логарифмическая часть равна нулю. Поэтому
xdydzdt =
(J к f здесь обозначают, как и прежде, значения функций U н /
на боковой поверхности М, а именно, U, например, равняется зна-
значению U в той точке боковой поверхности М, которая лежит на
луче, выходящем из точки х, у, z, t параллельно плоскости х, у, г
и пересекающем ось конуса. Формулами это выражается следующим
образом.
Так как первый интеграл в правой части предыдущего уравнения
сходится к конечному пределу, то, полагая
U(P, У-, «, р. Т) = U (р, 0, а, Р, т) х)> мы получим:
ЛЯ У?ахйУ ^dt^Jff^dxdydzdt.
В силу того, что dxdydzdt = c3(l—ixJ dp da do>, аГ = о8аB—(а),
мы можем предыдущий интеграл представить в виде
8
из соотношения ,
Г A~'Ц)' da- ' № = -1
*J ^B~Й ?~ 2 «J |* в 2
') Так как г/=/0(У~сГ), то на поверхности М имеем (/=1,

§ 9] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ АДАМАРА 505
следует тогда окончательно:
.//Л Vfdxdj>d*dt=-±f<idoJ?ufd*. D3)
* Р.
При 8-5-0 правая часть непрерывно переходит в интеграл
<44>
op, в
где fi = (х — Z? + С — т;)8 + (* — СK.
Чтобы вычислить логарифмические члены интеграла, взятого по
боковой-поверхности конуса Мл , заметим, что на МаЧ имеют мест©
следующие соотношения:
V, do = A — s)8 a» p tf3 rf<o; г, rfo == A — eJ a« -y rfo rf«e.
Отсюда следует:
*L <fo = [A — e) и, — ««,, - К — T«J A — eJ a2 rfo rf«
или, так как
(' e) ut ака; P My TK«=== ^ Kp- V.* s) Ke>
то мы получаем:
— rfo =- [eB —в) и,, — o(l — e) «J A —sJ a da rfto. .
Таким образом, мы имеем на Mti :
— и[еB — 3)V^ — o(l— e
Так как Г = о2(л B — ц), то мы можем V представить в форме
у = —-j-Wlogji, где /? = /?(о, [1, а, р, <у) — регулярная функция.
Отсюда мы непосредственно получаем следующее выражение для ло-
логарифмической части интеграла, взятого по Мл :
Wu8 — к Wg) A». D5)
При 8 —у 0 этот интеграл принимает в пределе значение

506 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (и > 2) [ГЛ. V*
С помощью формулы Грина и в силу того, что L [Щ =- 0, мы ыо-
жем этот последний интеграл привести к виду
J J J
в
выражая его, таким образом, исключительно через известные функ-
функции W, /t ^ и <р-
Итак, остается еще только вычислить логарифмические части
интегралов по В, и Z)eS. Мы рассматриваем их одновременно, вводя
интегралы вида
///^«*— «^) dx dy dz; D7)
Dta обозначает здесь внутренность той сферы р,о, по которой бо-
боковая поверхность конуса Mtb пересекает плоское многообразие
t = i — о. В развернутой форме мы имеем:
__ ГСП ЦЩ — uUt ) uUTt uWTt ,
+ (Wut—и Wt) log rj dx dy dz,
откуда мы получаем для логарифмической части 7И следующее
выражение:
Но интегралы
ЩиЩ~иЩ~{Шг~~и1Гг) dxdydz,
* W
Тdx dy dz
Г J Г ?|(и?/— "и U-\-ay.(uU),)dxdydz
DK
стремятся к конечным пределам [выражение («?/), в подинтегральном»
выражении последнего интеграла обозначает производную по внешней
нормали функции uU, взятую на сфере р„ так что (uUL = a-~-2-^~

§ 9] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ АДАМАРА 507'
¦*\-$ , -j-у -К—-; далее, cjj, = с—оA — jj.) равняется расстоянию*
точки х, у, z от сферы CJ. Поэтому мы получаем:
Ув== J J J [&^_Е]^ + «ЬА г,]
Принимая во внимание, что
Г = о2;аB — у), Г4= —2о,
мы получаем далее:
Ре
Вычислив логарифмические части интегралов, взятых по переменной ^
мы получим окончательно:
Ja=-± f f {uU+o[VTit — UT/t-t-&[f)J-\-2oSUW}do>. D8)
В частности, при о = 8-э-0
/„-»¦—2яи E,1), С, т). D9)
Подытоживая наши вычисления, мы приходим к следующему ре-
результату:
1 Г Г Г f(x,y,z,t — r
™})} г
в в
Wfdxdydzdt.
Итак, искомое решение задачи Коши найдено.
В заключение заметим, что в рассматриваемом случае U и W
являются функциями только от

508 ГИПЕРВО1ИЧЕС:СИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (Я > 2) [ГЛ. VI
и согласно п. 1 имеем:
il2,
Отсюда следует, что (У — G@)==» 1, Ut = -~-(t—т),
^Подставляя эти значения в формулу"E0), мы получим:
в
С помощью небольшого преобразования формула E1) приводится
-к следующему виду:
, С, *) = «;//*de + -S J f f
e
В частном случае, когда ср=/ = О, мы получаем:
E2>
•или, в развернутом виде,

§ 10] ЗАМЕЧАНИЯ О ПОНЯТИИ ВОЛНЫ И ПРОБЛЕМЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 509s
Эта формула совпадает с полученными в § 5, п. 7 выражениями
J81) и (82) при /» = 3.
Формулы E0) и E1) ясно показывают, что принцип Гюйгенса,
как мы это уже заметили в п. 1 для общего случая, ииеет место
только тогда, когда IV— 0, что для рассмотренной задачи равно-
равносильно условию с —0.
§ 10. Некоторые замечания о понятии волны
и проблеме излучения
1. Общие замечания. Проходящие волны, распространяющиеся
без искажений. Вернемся еще раз к понятию волны в его различ-
различных видах и проанализируем его глубже.
Мы определяем первоначально «волну» как любой процесс
распространения во времени и пространстве, изображаемый реше-
решением и тотально гиперболического дифференциального уравне-
уравнения. (
В противоположность этому общему определению, отождествляю-
отождествляющему понятие волны с понятием решения дифференциального уравне-
уравнения, фронт волны или характеристическое многообразие не является
решением данного дифференциального уравнения распространения
волны порядка k, если k > 1, а представляет собой лишь воз-
возможную поверхность разрывов решений этого дифференциального
уравнения.
Характеристические многообразия удовлетворяют дифференциаль-
дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка, левая часть
которого является однородной функцией А-го измерения относи-
относительно частных производных. Соответствующие лучи, вдоль ко-
которых распространяются эти разрывы (см. § 2), служат характе-
характеристиками этого уравнения в частных производных первого порядка,
которое является не чем иным, как уравнением Эйконала или урав-
уравнением Гамильтона (см. гл. II, § 9), принадлежащим канонической
системе характеристических обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений семейства лучей.
Чтобы осветить с новой и более глубокой точки зрения связь,,
существующую между дифференциальным уравнением распространения
высшего порядка, с одной стороны, характеристическим уравнением
в частных производных первого порядка и системой обыкновенных
дифференциальных уравнений семейства лучей,— с другой, мы возь-
возьмем в качестве исходного понятия не общее понятие волны как
решения дифференциального уравнения распространения, а более
частное понятие «проходящей волны». Мы ограничимся при этом
линейными дифференциальными уравнениями второго порядка
л
4| К ¦• X

510 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (п > 2) [ГЛ. VI
С понятием «проходящей волны» мы уже встречались в гл. III, § 5.
Мы под этим подразумевали решения линейных гиперболических
уравнений, имеющие вид
u=W[A(x,f)],
где t — xn—переменная времени, a W—форма волны. Функция
А (х, f), которая в гл. III, § 5 была линейной, здесь уже не подчинена
этому требованию и может быть произвольной. Мы назовем эту
функцию фазовой функцией или фазой волны. На поверхностях
равной фазы А = const. = с функция и имеет постоянные значения,
* эта фазовая поверхность, рассматриваемая при постоянном t как
поверхность в пространстве х, перемещается в пространстве с тече-
•нием времени t.
Если выражение и = W [A (x, f)] является решениием дифференци-
дифференциального уравнения не только при определенной функции W, но и
для любой, произвольной функции W, то мы называем эту совокуп-
совокупность решений семейством нгискажающихся проходящих волн.
Мы рассматривали раньше также и другие «относительно неис-
кажающиеся» проходящие волны, например, сферические волны и
затухающие волны; дадим теперь общую формулировку этих понятий
и свяжем их с понятием характеристик, причем мы уже не станем
выделять переменной времени t.
Назовем семейством относительно неаскажающихсч волн, при-
принадлежащим к линейному дифференциальному уравнению A), семейство
решений, зависящих от произвольной функции W(e>) и имеющих вид
«(*) = ?(•*) Wl?(*)], x = (xv...,xn), B)
причем «коэффициент искажения» g(x) представляет собой некото-
некоторую фиксированную функцию от переменных х{.
Легко убедиться в том, что «фазовая функция» <р(х) должна
быть характеристической, т. е. должна удовлетворять характеристи-
характеристическому дифференциальному уравнению
2Aft%?fc = °, C)
так что уравнение <р = const, определяет семейство характеристиче-
характеристических многообразий *) (точнее, семейство проекций характеристических
многообразий на пространство х).
Далее, должны иметь место соотношения
0, D)
А [§¦] = 22«« ?* gh + BЙ№ <?ik + 2*i <?t)g =0. E)
i.Jc
i) Этот факт можно, между прочим, доказать и непосредственно, исходя
из определения характеристик как возможных поверхностей разрывов реше-
решений, рассматривая, в частности, решения, принадлежащие выделенному нами
семейству волн. Путем предельного перехода от некоторой последователь-
последовательности функций W мы можем образовать такую функцию W(q), для которой
производная второго порядка W" имеет точку разрыва при ч = в. Отсюда
следует, что поверхность у = 0 должна быть фронтом волны, т. е. характе-
ристической поверхностью.

§ 10], ЗАМЕЧАНИЯ О ПОНЯТИИ ВОЛНЫ И ПРОБЛЕМЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 511
ЛЛы получим эти соотношения, подставив выражение B) для и (х) б диф-
дифференциальное уравнение A) и учитывая, что ввиду произвольности
функции W коэффициенты при W, W и W" должны равняться нулю.
Характеристическое условие C) соответствует при альтернативе,
формулированной в гл. III, § 5, требованию, чтобы для таких семейств
неискажающихся волн скорость распространения волны не была
произвольной, а определялась заданием направления распространения
волны. Коэффициент искажения g должен, кроме дифференциального
уравнения D), также удовлетворять еще и дифференциальному урав-
уравнению первого порядка E).
Таким образом, возникает следующая задача: найти все линейные
гиперболические дифференциальные уравнения второго порядка, для
¦которых существуют семейства неискажающихся волн.
Заметим, что наряду с дифференциальным уравнением L [и] = 0
рассматриваемым свойством обладают также все эквивалентные ему
дифференциальные уравнения. При этом мы называем два дифферен-
дифференциальных уравнения L [и] = 0 и L* [и*] = 0 эквивалентными, если
они переходят друг в друга с помощью преобразования вида
х* = at(xv ...,xn), u*=f(x)u.
В случае га = 2, х — х1г у = х% наша задача решается очень просто,
и мы получаем следующий результат:
В случае двух переменных х и у единственными дифферен-
дифференциальными уравнениями,, для которых существуют семейства
неискажающихся проходящих волн, распространяющихся по
одному из двух противоположных направлений пространственной
оси, являются дифференциальные уравнения, эквивалентные урав-
уравнению иху = 0.
В самом деле, любое однородное линейное дифференциальное
уравнение эквивалентно в этом случае уравнению вида
где В и С — некоторые функции от х и у; х = const, и у — const.—
характеристики, причем х-\-у дает нам координату времени, а х—у —
координату пространства. Существование семейства волн
u — g(x, у) W(y)
требует выполнения условий
откуда следует, что С=0. Если, кроме того, существует второе
семейство волн
u = h(x, y)W{x),
распространяющихся по другому направлению, то должны выпол-
выполняться условия

512 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (tl > 2) [ГЛ. Vs
откуда следует, что Вх — 0. Таким образом, наше уравнение должно
иметь вид Чи^у + В (у) их = 0, а такое уравнение, очевидно, экви-
эквивалентно уравнению иху = 0.
2. Сферические волны. В случае, когда число переменных л>2,
общее решение поставленной задачи еще не найдено. Мы ограничился
некоторыми реферативными соображениями предварительного харак-
характера относительно «сферических» волн.
Сферические или шаровые волны определяются тем свойством, что
соответствующее семейство характеристических поверхностей состоит
из характеристических коноидов, вершины которых лежат на линии
.временного типа. Чтобы аналитически определить эти коноиды,
мы рассматриваем снова квадрат геодезического расстояния двух
точек х и \, т. е. введенную в § 9 функцию Г(х, ?), как решение
дифференциального уравнения
Какая-нибудь линия ? = ? (X) с параметром X, для которой выпол-
выполняется условие
Se«&S«>°. G)
называется линией временного типа.
Определим теперь функцию Х = Т(х) как обращение уравнения
Г(*. \ (А)) = 0. (8)
Тогда, очевидно, Т{х) является характеристической функцией,
т. е. удовлетворяет характеристическому условию. Соответствующим
семейством сферических волн мы назовем семейство волн вида
Тогда имеет место следующее предположение, которое нами будет
более подробно обосновано в конце п. 3:
Сферические волны для любых линий временного типа суще-
существуют только в случае двух и четырех переменных и притом
только для дифференциальных уравнений, эквивалентных волно-
волновому уравнению. Если удастся доказать это предположение, то этим
будет установлено особое, существенно важное отличительное свойство
четырехмерного пространственно-временного многообразия. Однако,
уже то обстоятельство, что наше утверждение справедливо в случае
постоянных коэффициентов и нетрудно доказывается в этом случае,
является, как мне кажется, само по себе довольно существенным
отличительным свойством четырехмерного мира. Мы здесь укажем
лишь на то, что для волнового уравнения, если в качестве линии
временного типа взять ось t, наше предыдущее выражение Т и функ-
функция g имеют вид
T=t~r, # = i, где /* = х2+УЧ-.г8, A0)

§ 10] ЗАМЕЧАНИЯ О ПОНЯТИИ ВОЛНЫ И ПРОБЛЕМЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 513
что в точности дает нам рассмотренные раньше сферические волны.
Для других прямых линий временного типа сферические волны
получаются из предыдущих с помощью преобразования Лоренца.
В случае большего четного числа измерений ra=ffi-j-l=2v-{-4
мы уже раньше в § 5 и 6 получили в качестве аналога для про-
проходящих волн решения вида
г а
где
Мы называем такие решения волнами высшей ступени, именно — сту-
ступени —-я—; они уже не свободны от искажений, но представляют
собой распространяющиеся процессы.
Следует, однако, заметить, что для любых четных значений я,
если и не само волновое уравнение
L[u] =
п
то его -jr -кратная итерация
представляющая собой дифференциальное уравнение и-го порядка,
обладает семействами неискажающихся сферических волн
u=W(t — r) и a=>W(r-{-f).
Этот факт является только другой формулировкой теоремы Фрид-
рихса, доказанной в § 6, п. 4.
п —г
Отсюда следует, что с помощью операции L * можно получить
из произвольной функции W(t—г) решение волнового уравнения,
которое дает как раз волны высшей ступени и может быть .отожде-
.отождествлено с решением, выраженным формулой A1).
3. Излучение и принцип Гюйгенса. Для волнового уравнения
ии — Дк = 0 задачах излучения (ср. § 5) состояла в нахождении ре-
-шения, для которого при t = 0 обращаются в нуль как сама функ-

514 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (я > 2) [ГЛ. VI
ция, так и ее производные и для которой на оси t при х — 0 задано
условие
где под © и мы подразумеваем предельное значение
0e = Hmf... {~do. A2)
Стоящий справа интеграл берется в момент t по сфере, описанной
из нулевой точки радиусом г, a ic — -§j. обозначает дифференцирова-
дифференцирование по внешней нормали.
При четном и==т-^1>2 эта задача решается с помощью
fj 2
сферических волн порядка —^— по формуле A1), в которой мы
ДОЛЖНЫ ПОЛОЖИТЬ W(t) — т- 7y.S(t).
Перейдем теперь к формулировке проблемы излучения в случае
общего линейного дифференциального уравнения
и любой линии ,?=$(Х) временного типа. В этом случае мы полагаем:
Замечая, что с помощью преобразования координат мы можем всегда
преобразовать линию х = ? (А) в прямую хх = ... = хт = 0, х„ = а,
мы приходим естественным образом к следующей формулировке
задачи. Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую дифферен-
дифференциальному уравнению A3), обращающуюся в нуль вместе со всеми
производными первого порядка на начальной поверхности В простран-
пространственного типа и обладающую вдоль заданной линии х —?(Л) времен-
временного типа особенностью такого рода, что вдоль этой линии
0« = *W. A5)
где s (а) — заданная функция. При этом решение и (х) ищется только
по одну сторону от начальной поверхности В, а именно — в той
области пространства^ = Rm+U в которой лежит часть линии х — I (А),
соответствующая положительным значениям параметра Л.
Рассмотрим, далее, коноид, образуемый характеристическими лучами,
выходящими из какой-нибудь точки х, лежащей с указанной выше
стороны поверхности В; пусть полуконоид, пересекающий поверх-
поверхность В («отрицательный» полуконоид) пересекает линию временного
типа х — 1(К) в точке t = l(T(x)) (см. п. 2).
Тогда нетрудно показать, что значение решения и нашей инте-
интегральной задачи в точке х зависит только от значений заданной
функции 0 а — s(h) вдоль дуги Л^Г(лг), Этот результат полу-

§ Ю] ЗАМЕЧАНИЯ О ПОНЯТИИ ВОЛНЫ И ПРОБЛЕМЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 515
чается непосредственно из представления решения задачи с помощью
основного решения.
Применяя изложенный в § 9 метод Адамара, мы можем очень
легко получить интегральное выражение для решения рассматриваемой
задачи, и притом проще, чем для задачи Коши.
В случае нечетного п = т -)- 1 получается формула
* V(X, E(A.))©«(A.)<ft, A6)
в которой звездочка, стоящая наверху слева от знака интеграла,
обозначает, как и раньше, конечную составную часть этого интеграла,
а С обозначает некоторую константу.
Если же п = т -(- 1 четное, то решение имеет вид
Т (х) Т (х)
и (*) = С^ J V (х, ? (А)) © и (л) dl — C f W{x, 6 (л)) 0 и (К) Як, A7)
о о
где звездочка, стоящая внизу слева от знака первого интеграла,
обозначает логарифмическую составную часть этого интеграла.
Заметим, что эта часть, т. е.
Т(х) Т(х)
s J V{x,l (A)) © а (X) d\^J -^т О в (X) rfA
о о г "-
зависит исключительно от значений функции s(A) и ее производных
до порядка —5— в одной только точке А — Т(х); поэтому фор-
формула A7) может быть представлена в следующем виде:
m-3\ ()
(*, с (А)) © «(А) Л. A7')
Г
Первая часть этой формулы представляет проходящие волны высшей
ступени порядка —^— •
Поэтому, если 1F=O, т. е. если п четное и логарифмическая
часть основного решения равна нулю, то решение проблемы излуче-
излучения может быть в точности выражено через неискажающиеся прохо-
проходящие сферические волны высшей ступени. В этом случае решение
зависит исключительно от значений начальных данных в одной только
точке А = Т(х) линии времени ? = ;(А), т. е. в точке пересечения
этой линии с характеристическим коноидом, выходящим из точки х.
Таким образом, принцип Гюйгенса для проблемы излучения
имеет место во всех тех случаях, в которых этот принцип
имеет место для соответствующей задачи Коши (ср. § 9, п. 1).
Является вероятным предположение, что и, обратно, семейство

516 дополнения к Шестой главе [гл. vi
неискажающихся проходящих сферических волн высшей ступени
существует только в случае справедливости принципа Гюйгенса и что
семейства проходящих сферических волн в собственном смысле
(сферические волны первой ступени) могут существовать только
при п — 2 и п = 4.
Доказательство этого предположения вместе с доказательством
предположения Адамара (см. § 9, п. 1) обнаружило бы существен-
существенную характеристическую особенность четырехмерного пространственно-
временного многообразия и относящейся к этому многообразию клас-
классической теории Максвелла.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
§ \. Дифференциальные уравнения кристаллооптики
В этом параграфе мы проведем полностью интегрирование диффе-
дифференциальных уравнений кристаллооптики *) и для этой цели предпо-
предпошлем исследование геометрического характера соответствующих поверх-
поверхностей Френеля, т. е. поверхностей нормалей и волновых поверхностей.
1. Поверхности нормалей и лучей кристаллооптики. Напомним
данное нами раньше определение (см. гл. VI, § 3, п. 3): на-
направления нормалей к различным возможным фронтам волны, про-
проходящим через данную точку, задаваемые в пространстве 5, t отно-
отношениями 5j: 52 : Е3 : т компонент направляющего вектора, -образуют
конус нормалей четвертого порядка, уравнение которого имеет вид
Конус Монжа дифференциальных уравнений кристаллооптики,
имеющий прямолинейные образующие и состоящий из всех лучей,
выходящих из начала координат пространства л;, t, мы называем
конусом лучей. Если отождествить между собой оба пространства,
то мы получим, что касательные плоскости одного конуса перпенди^
кулярны к соответствующим лучам другого.
• Если пересечь эти конусы плоскостями т = 1 и t = 1 или же
плоскостями х== — 1 и t= — 1, что не меняет вида сечения, ибо
конусы симметричны относительно начала координат, то мы получим
поверхность нормалей N и соответственно поверхность лучей S.
Коиус лучей и конус нормалей, а также поверхность лучей и поверх-
поверхность нбрмалей могут быть преобразованы друг в друга с помощью
преобразования взаимными полярами, указанного в гл. VI, § 2, п. 72).
*) См. G. H e r g 1 о t z, Berichte sachsischer Akademle, 1926, а также его
Курс лекций по механике сплошных сред.
*) В силу симметрии этих поверхностей относительно начала координат
можно, впрочем, заменить это преобразование, приведенное в § 2, преобразо-
преобразованием взаимными полярами относительно вещественных поверхностей

§ 1J ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРИСТАЛЛООПТИКИ 517
Особенную роль играют те точки поверхности нормалей, в которых
поверхность имеет несколько касательных плоскостей; мы увидим
(см. конец п. 2), что такие точки являются коническими вер-
вершинами с семейством касательных плоскостей, огибающих некоторый
конус второго порядка. Этим касательным плоскостям соответствует
на поверхности лучей семейство точек, лежащих в одной плоскости.
То же самое относится и к коническим точкам, через которые про-
проходит семейство опорных плоскостей, зависящих от двух параметров.
Такое семейство плоскостей преобразуется в плоский кусок
другой поверхности, причем в конической точке поверхности норма-
нормалей все нормали к опорным плоскостям должны считаться возможными
нормалями фронтов волны.
2. Форма поверхности нормалей. Согласно гл. VI, § 3, п. 3
уравнение поверхности нормалей в пространстве % может быть
представлено в виде
*», ?8) =
" *1^2 M»8
'a — a2 — '2*3
B)
или
Я = - ol323s Ц — W (E) + p> Ф (?)] = 0,
где
-8 еЯ 1
Докажем, что всякий луч, выходящий из начала координат,
пересекает поверхность нормалей в двух вещественных точках.
-*
В самом деле, обозначим через е единичный вектор пространства х
и пусть Е,. = ре^. Точки пересечения луча, имеющего направляющие
косинусы е{, с поверхностью нормалей определяются уравнением
четвертой степени, которое в силу однородности Ф и W может быт ь
записано в виде
р* ф (е) — ра ЧГ 00 + 1 = 0. C)
Чтобы доказать вещественность корней этого уравнения, покажем
сначала, что дискриминант
X (е) = W2 (е) — 4Ф (е) D )
уравнения C) ни для какого единичного вектора е не становится
отрицательным. Положим:
a J±. a J± А 1 I

Х{е) = W* (е)—4Ф (е) 2 ё\ =
= А\е\ + А& + Л*е* - 2А2А &\ -
518 ДОПОЛНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ, VI
Тогда
E)
причем произведение берется по всем четырем комбинациям знаков.
Не ограничивая общности, предположим, например, что a1>a2>cs,
так что Л!>0, Л2<0, Л3>0. Тогда первый и третий члены каж-
каждого из четырех множителей X вещественны, а второй член является
чисто мнимым; поэтому четыре линейных множителя X являются
попарно комплексно-сопряженными, откуда и следует, что А^>0.
Случай Х=0 может иметь место только тогда, когда вещественная
и мнимая части какого-нибудь множителя обращаются одновременно
в нуль, т. е. либо в случае е2 = 0, ег \гА1-\-ей "|/"Л3 = 0, либо
в случае е2 = 0, ех VАх — е3 YA3 — О.
j j _
Из уравнения C) мы получаем -^ = -к- [W (e) dt у Х(е) ], причем
из D) следует, что
Это доказывает, что все четыре корня р уравнения C) вещественны.
Таким образом, поверхность нормалей состоит из двух полостей
В силу однородности функций W (е) и Х(е) мы можем представить
уравнения обеих полостей в следующем виде:
W (;) —/(?) == 2 (внешняя полость), |
У @+/(')== 2 (внутренняя полость). / ^ '
При этом
—4Р»ФE); G)
(8)
Обе полости пересекаются только в четырех точках, лежащих
при условии Oj>o2>o3 в плоскости iij, ?8 на прямых:
°2 С1
Чтобы получить наглядное представление об этой поверхности,
рассмотрим ее сечения с плоскостями координат,.

§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРИСТАЛЛООПТИКИ
При Е2=0 мы получаем в силу E) f(z) — A
Ч\—Ь~)> таь*ЧH л^°
либо
519
/— 2 =» 2 (ii-f — ~ 0 = О-
J V -s ' я- У J
(9)
Черт. 45.
Таким образом, сечение распадается на окружность и зллипс,
пересекающий окружность в четырех двойных точках. Точно так
же для плоскости \х = 0 мы получаем:
либо— -4— 1=0, либо ё-4-^ — а, =0.
С3 °S -'31
а для плоскости ;3 = 0
либо—-}— 1==0, либо &?4-?~— з=0.
Cj ' С^ 1 • s
В последних двух случаях сечение состоит из эллипса и не пере-
пересекающей его окружности. Внутренняя полость поверхности норма-
нормалей является выпуклой, так как в противном случае существовала
бы прямая, пересекающая эту полость более чем в двух точках,"
так что эта прямая пересекала бы всю нашу поверхность по крайней
мере в пяти точках, что невозможно, ибо эта поверхность четвертого
порядка. Что касается внешней полости, то она является невыпуклой
поверхностью, как это следует уже из формы сечения поверхности
с плоскостью ?2 = 0. Внешняя полость имеет в четырех двойных
точках четыре конические вершины, направленные внутрь, тогда как
внутренняя полость имеет в этих точках конические вершины, напра-
направленные вовне.

520 ДОПОЛНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. VI
3. Поверхность лучей. Так как поверхность лучей получается
из поверхности нормалей с помощью преобразования взаимными по-
полярами, то поверхность лучей является двойственным образом поверх-
поверхности нормалей. Взаимно однозначное соответствие между этими
поверхностями имеет место во всех тех точках поверхности норма-
нормалей N, в которых существует непрерывно перемещающаяся касатель-
касательная плоскость. В конической вершине поверхности N однозначность
соответствия нарушается, и такой вершине соответствует целый
плоский кусок поверхности лучей.
Выпуклой поверхности N, содержащей начало координат, соот-
соответствует также выпуклая замкнутая поверхность S; в самом деле,
в противном случае поверхность S имела бы, по крайней мере, три
параллельные касательные плоскости, которым на N соответствовали
бы три точки, лежащие на одной прямой.
Уравнение поверхности нормалей может быть представлено, как
мы видели в гл. VI, § 3, п. 3, либо в виде
Д О, A0)
либо в виде
С3 е2 е2
= 1. A0')
Путем простых, но довольно длинных вычислений мы отсюда полу-
получаем уравнение поверхности лучей в форме
или
0,1O c.yjS а„г,Т,
Отсюда следует, что поверхность лучей имеет такой же вид, как и
поверхность нормалей, отличаясь только тем, что параметры о1э о2,
og заменены обратными величинами ^ = — , о^ s= —, о? = —.
Однако, точки, соответствующие коническим вершинам поверх-
поверхности нормалей, не получаются из наших уравнений A1). Чтобы
получить двойственный образ S поверхности нормалей, мы должны
присоединить к поверхности лучей, задаваемой уравнениями A1) или
(И7) еще четыре плоских, куска поверхности S, соответствующих
вершинам поверхности нормалей. Поверхность лучей A1) так же,
как и поверхность нормалей A0), распадается на две полости, из
которых внутренняя является выпуклой, а внешняя имеет четыре
направленные внутрь конические вершины (воронки). Нетрудно убе-
убедиться в том, что внутренней выпуклой полости поверхности норма-
нормалей соответствует наименьшая выпуклая оболочка поверхности

§ 11
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРИСТАЛЛООПТИКИ
521
лучей; коническим вершинам внутренней полости поверхности норма-
нормалей соответствуют при этом четыре плоские крышки, закрывающие
четыре впадины, имеющиеся на внешней полости поверхности лучей
и дополняющие выпуклую часть этой внешней полости до замкнутой
выпуклой поверхности, имеющей четыре плоские грани. Заметим, что
при' двойственном преобразовании, превращающем одну в другую
поверхность нормалей и поверхность лучей, внутренней полости по-
поверхности нормалей соответствует не вся внешняя полость поверх-
поверхности лучей, а только та выпуклая часть этой полости, которая
дополняется с помощью четырех плоских крышек до замкнутой
выпуклой поверхности; остающаяся часть внешней полости поверх-
поверхности лучей, состоящая из четырех воронок, вместе с внутренней
Черт. 46.
Черт. 47.
полостью этой поверхности соответствуют внешней полости поверх-
поверхности нормалей, причем воронкам поверхности лучей соответствуют
воронки поверхности нормалей. На черт. 46 и 47 схематически изо-
изображена эта связь между обеими поверхностями, причем соответ-
соответствующие друг другу части отмечены одинаково начерченными
линиями. Плоские крышки касаются поверхности лучей A1), являю-
являющейся поверхностью четвертого порядка, вдоль некоторой линии.
Эта линия прикосновения должна быть плоской кривой четвертого
порядка, состоящей целиком из двойных точек, так что она должна
представлять собой двойное коническое сечение. Легко убедиться,
что эта линия является окружностью. В самом деле, уравнение
поверхности лучей A1) в однородных координатах ч]и т]2) % и ~
может быть записано в виде т4—таЧ71(т])-)-/?аФ1G]) = 0, где функ-
функции 4^0*0 и ФД1*]) получаются из vI"(tj) и Ф(т]) путем замены пара-
параметров О; обратными значениями — . Из этого следует, что наша
поверхность содержит абсолютный круг пространства, задаваемый
уравнениями т —О и /?2 = 0. Поэтому всякое плоское сечение по-
поверхности проходит через обе абсолютные точки секущей плоскости;
таким образом, если сечение распадается на две вещественные кри-
кривые второго порядка, то одно из этих конических сечений должно
содержать обе круговые (абсолютные) точки секущей плоскости и
представляет собой поэтому окружность. В частности, это относится

522 ДОПОЛНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. VI
к линиям прикосновения четырех крышек. (Наше рассуждение, между
прочим, снова подтверждает тот факт, что одна из линий пересече-
пересечения нашей поверхности с каждой плоскостью координат является
окружностью.)
4. Приведение системы дифференциальных уравнений к од-
ргому дифференциальному уравнению шестого или четвертого
порядка. Компоненты и,, ыа, к3 электрического вектора (I удов-
удовлетворяют согласно гл. VI, § 3, п. 3 следующей системе дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка:
и = *"' I У<"
1 дх\ ¦" ^х\
дх\ ~*~ дх\
\
Введем символические обозначения 5а=-^—¦ и -с==-^- и пусхь умно-
умножение этих символов означает последовательное применение соот-
соответствующих операций дифференцирования. Пусть, далее,
где cttp — символ Кронекера, т. е. 8яд = 1 при я = J3 и Зк? = 0 при
Запишем теперь систему A2) в форме
2^«р-о. (is)
Требуется найти те решения ии ма, и3 этих уравнений, которые
вместе со своими первыми производными по переменной времени /
при t = 0 принимают заданные значения
, и.(х, 0) =/«(*,, х2, д-3); E!k^==gAXlt л-а, х3). A3')
Обозначим через D** минор, соответствующий элементу Dap в сим-
символической матрице третьего порядка, образуемой символами De?,
так что DB? является дифференциальным оператором четвертого по-
порядка. Будем теперь искать три функции cpt, <j2, cp3, удовлетворяющие
требованию, чтобы составленные из них функции
"*^%&?Ь A4)
удовлетворяли системе уравнений A3). Мы тогда получим, что каж-
каждая из трех функций t?e должна удовлетворять дифференциальному
уравнению
D? = 0, A5)

§ 1]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРИСТАЛЛООПТИКИ
где D(S, т) обозначает форму шестой степени:
г.2 сз _ -2 р е
V3
523
. A6)
Если мы найдем три различных решения «j, cp2, <э3 уравнения A5),
удовлетворяющие условиям
/у- П^ g f (ъЛ •
f A7)
то составленные из них по формуле A4) выражения ил действительно
являются решениями рассматриваемой задачи Коши. В самом деле,
:, 0) =
йи»
Мы можем, далее, ограничиться случаем /а = 0, ибо если о* и
решения уравнения A5), удовлетворяющие условиям
%«(t
• ttttt
то функция a = » -}-ф будет решением уравнения A5), удовлетво-
удовлетворяющим начальным условиям A7). Мы можем теперь привести нашу
задачу к решению дифференциального уравнения четвертого порядка.
В самом деле, D(Z, т) является однородным полиномом шестой
степени от S, г, причем D(S, 1) =#(;•) [см. п. 2, формула B)],
Согласно п. 2, формуле B), мы получаем:
Из предыдущего следует, что уравнение Dcp = O приводится к урав-
уравнению четвертого порядка. В самом деле, положим
F& *)=:* —Щ)Х*+Ф®? A8)
и пусть v(x, f) решение уравнения
F& х)г» = 0, A9)
удовлетворяющее начальным условиям
B0)

524 ДОПОЛНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. VI
t
Тогда функция м = J (t — z)v{x, x) dx является решением уравнения
о
D Q, ~) и = 0, удовлетворяющим начальным условиям и = щ = ик =
*=utu=umt — 0 и amu~g. В самом деле, «tt = i>; поэтому из
уравнения Faw = 0 следует, что D« = 0. Далее, «(х, 0) = щ (х, 0) = 0;
и„{х, 0)«в(х,.0)«0; «,„(*, 0) = ^(x, 0) = 0; «w<(.v, 0) =
«=%(*, 0) = 0; и, наконец, и<ш(л:, 0) = г»ш(д:, 0)=х^(х).
5. Явный вид решения, получающийся методом Фурье. Для
того, чтобы функция е< («»)+»?* =s e* ("i*+e»il*b""a*+P') удовлетворяла
уравнению A9), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось усло-
условие: F(«, P) = P4 — ТО + ^Ф^-О (г2х= а*4-<^4-<ф- По-
Полагая
$1 = 1- [W (a) -f yf^ZTirM» ], р» » 11? (a) —
мы получим частные решения вида
е1 («») (а
где (ал:) = а,л1 аа}
Константы «j, я2, й8, с4 мы можем определить так, чтобы выра-
выражение, заключенное в скобки, вместе со своими двумя первыми
производными по t, обращалось-в нуль при ? = 0, а третья произ-
производная по t принимала при ? = 0 значение, равное единице. Мы
получим выражение:
ei О»3?) / sin $±t sin p2f\
являющееся всюду непрерывной функцией от pj и р2. Поэтому, мы
ищем искомое решение v в форме
v(x, O
и выбираем А (а) так, чтобы выполнялось условие
= J J J А (а) в1 С«») rfa, rfaarfa8,
откуда следует, что
Отсюда мы получаем:
v{x,t)=*fffg (S) /C(x —:, 0 rfSt rf?a rf:3, B1)
где

§ 1] ДИФФЁРЕПЦИАЧЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРИСТАЛЛООПТИКИ 523
Уравнение B1) и дает нам искомое выражение для решения задачи
Коши A9), B0) с помощью ядра К(х, t).
6. Исследование разрешающего ядра К(х, I). Ийеем:
Положим теперь во втором члене подинтегрального выражения
интеграла B2): a, = sE,, s = —, где р2— 2Й, и пусть lt, $й, 13 —
Г 7
координаты точки пересечения радиуса-вектора а с внешней полостью
поверхности нормалей W (;)—/(?) = 2.- Другими словами, мы прини-
принимаем внешнюю полость поверхности нормалей за к нормирующую
поверхность» (Eichflache). В силу однородности функций Ф, W, г мы
получим: s=||3a|; da1da^das = s^cos(N, S)p do^ds, где (N, l) обо-
обозначает угол между лучом FХ, Sa, 58) и внешней нормалью к внешней
полости поверхности нормалей, a do^—элемент поверхности этой
полости. Второе слагаемое дает нам с помощью этого преобразования
интеграл
J J
W J s - J J - 741) °
0
где N снова обозначает внешнюю нормаль.
Для первого слагаемого подинтегрального выражения B2) мы
возьмем в качестве нормирующей поверхности внутреннюю полость
поверхности нормалей, так что Е„ S2, S8 теперь обозначают точку
пересечения луча (а) с внутренней полостью '
47 E)-f-/ (?) — 2. Ha этой поверхности $=-¦ у
¦= j Pj ), так что соответствующий интеграл
принимает вид ' ^^^
/гЯ78г
о Черт. 48,
где N снова обозначает внешнюю нормаль,
Положим теперь <% -=> ~ С°/}-Л ' doi ца ш1ешней полости и
__ L?^i_ii2 do- на внутренней полости. Мы получим:
причем внутренний интеграл берется по всей поверхности нормалей.
Изменяя порядок интегрирования и учитывая симметрию поверхности

526
ДОПОЛНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ
[ГЛ. VI
нормалей .и выражения rfo>6 относительно начала координат, мы мо-
можем представить К (х, t) в форме
тг/ л 1 Г С j С cos s (tx) sin' st ,
и
Вычисляя входящий в интеграл разрывный множитель Дирихле (см,
т. \, стр. 75), мы получим:
Так как
то достаточно рассмотреть
J/
B3)
Последний интеграл берется, таким образом, по части поверхности
нормалей, заключенной между обеими полярными, плоскостями (xz) =
= rtl точки х относительно единичной сферы.
Если на всей поверхности нормалей выполняется соотношение
1, то
где интеграл берется по всей поверхности нормалей. Это есть тот
случай, когда точка х для любой точки (¦ поверхности нормалей
лежит между обеими полярными плоскостями точек ±Е, т. е. когда
точка х лежит во внутренней полости поверхности лучей, ибо в силу
выпуклости этой полости
всякая внутренняя точка
лежит между любой па-
парой параллельных каса-
касательных плоскостей.
Итак, во внутренней
полости поверхности
' лучей функция К(х, 1)
постоянна. Сдругой сто-
стороны, функция К{х, 1)
Черт. 49.
Черт. 50.
должна обращаться в
нуль вне наименьшей
В самом деле, в против-
выпуклой оболочки поверхности лучей.
ном случае мы можем допустить, не ограничивая общности, что
К(х, 1)>0 в некоторой точке х=у, лежащей вне этой оболочки;
но тогда мы могли бы выбрать в формуле B1) начальные значе-
значения g так, чтобы функция v{x, 0)=* g(x) обращалась в нуль внутри
выпуклой оболочки и чтобы тем не менее v(y, 1)^:0, что противо-
противоречило бы теореме о единственности гл. VI, § 4, п. 4. Точка х

§ 1]
дифференциальные уравнения кристаллооптики
52?
лежит вне наименьшей выпуклой оболочки поверхности лучей, если
обе плоскости (xS) = -±i 1 пересекают внутреннюю полость поверх-
поверхности нормалей (черт. 49). Так как согласно определению rfco- поло-
положительно на внешней полости поверхности нормалей и отрицательно
на внутренней, полости, то мы можем условие К{х, 1) = 0 в силу
формулы B3) выразить следующим образом: интеграл от |c?wj|, взя-
взятый по части внешней полости поверхности нормалей, заключенной
между плоскостями (х5) = ±1, равняется интегралу от |Aoj|, взятому
по части внутренней полости, заключенной между теми же плоско-
плоскостями. Если же плоскости (л?) = ± 1 не пересекают внутренней
полости поверхности нормалей (черт. 50), то
где интеграл должен быть взят по частям внешней полости, лежащим
между плоскостями (л?) = ± 1, но вне параллельных этим плоско-
стям касательных плоскостей к внутренней полости поверхности
нормалей. Из этой формулы следует, что К{х, 1)>0, если х лежит
ннутри выпуклой оболочки поверхности лучей. Таким образом, наи-
наименьшая выпуклая оболочка поверхности лучей в точности опре-
определяет область зависимости решения задачи Коши для уравне-
уравнения A9).
7. Приложение к оптике. Коническая рефракция. Если заста-
заставить свет падать нормально на плоско-параллельную кристаллическую
пластинку, то внутри пластинки свет распространяется по тем луче-
лучевым направлениям, для
которых направление па-
падения света является со-
соответствующим нормаль-
нормальным направлением.
Так как, в общем
случае, каждому нормаль-
нормальному направлению соот-
соответствуют два лучевых
направления, то луч
света внутри пластинки распадается на два пучка, которые, выйдя
из пластинки, превращаются в два пучка, параллельных первоначаль-
первоначальному направлению (черт. 51 и 52). Мы получим эти лучевые напра-
направления, опуская перпендикуляры на касательные плоскости поверх-
поверхности нормалей, принадлежащие к направлению падения света.
В том частном случае, когда кристаллическая пластинка отшли-
отшлифована параллельно оптической оси, т. е. когда направление падении
проходит через какую-нибудь из четырех особых точек поверхности
нормалей, то к этому нормальному направлению принадлежит беско-
бесконечное множество лучевых направлений, а именно — все направления,
ведущие к различным точкам границы соответствующей крышки по-
поверхности лучей; эти лучи образуют внутри кристалла конус; так
Черт. 51.
Черт. 52.

528 ДОПОЛНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. VI
как крышки поверхности лучей представляют собой круги, располо-
расположенные нормально к "оптической оси, то лучи, выходящие из пла-
пластинки, образуют круговой цилиндр (коническая рефракция).
§ 2. Области зависимости для задач высших порядков
Мы уже указали в гл. VI, § 4, п. 5, что для тотально гиперболи-
гиперболических задач Коши в случае дифференциальных уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами является вероятным, что выпуклая оболочка
конуса лучей представляет собой соответствующую область зависи-
зависимости. Мы доказали это утверждение в явной форме для дифферен-
дифференциального уравнения A9) предыдущего параграфа, показав, таким
образом, непосредственно, что для задачи Коши кристаллооптики
областью зависимости действительно является выпуклая оболочка
поверхности лучей. Доказательство основывалось на полученном нами
интегральном выражении для решения задачи Коши
V (Jt, t) =
с ядром К(х, t).
В этой связи мы можем глубже осветить тот факт, что рассма-
рассматриваемые выпуклые оболочки играют роль областей зависимости,
доказав следующую общую теорему относительно дифференциальных
выражений, получающихся путем композиции гиперболических диф-
дифференциальных выражений низших порядков.
Пусть заданы два гиперболических дифференциальных уравнения
с постоянными коэффициентами
L[«]=~0, ЖМ-0 A)
порядков т и п, причем оба уравнения содержат переменную вре-
дти дпи
мени t, а коэффициенты при -v^-, и соответственно -*7% пусть равня-
ются единице.
Допустим, что решения и и v, удовлетворяющие при t = О на-
начальным условиям
и соответственно
могут быть представлены в интегральной форме
v(x, t)= f .. .

§ 2] ОБЛАСТИ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 529
причем ядра Kt и /С2 при заданных х и t обращаются в нуль вне
некоторой области G и соответственно И пространства Si, будучи
внутри областей G и Н всюду существенно положительными. Пусть
наши выражения инвариантны относительно параллельного переме-
перемещения и пусть области G и Н, соответствующие различным значе-
значениям t, подобны и подобно расположены. Обозначим через Gt и Нх
области, соответствующие значению t—1, и назовем начало коор-
координат центром этих областей. Мы убедились в гл. VI, § 4, п. 5,
что области G и Н—выпуклые области. Это же имеет место и в том
случае, когда в наших интегральных представлениях интегралы бе-
берутся не по внутренности соответствующей области, а только по ее
границе, так что наши формулы содержат вместо интегралов по
области интегралы по ограничивающим поверхностям.
Наша теорема гласит:
Областью зависимости D для решения дифференциального
уравнения порядка т -\- п
ML[u\~ О B)
является выпуклая оболочка соединения областей G и И.
Для доказательства построим решение уравнения B), удовлетво-
удовлетворяющее при 1 = 0 условиям:
n-tu
На основании изложенных нами раньше рассмотрений, особенно
с помощью метода толчков, развитого в гл. III, § 6, п. 4, мы можем
построить это решение следующим образом: положим L[u] — v и
найдем решение этого неоднородного уравнения, удовлетворяющее
при t — 0 однородным начальным условиям
а'затем найдем решение однородного уравнения M[v]=0, удовле-
удовлетворяющее при ? = 0 неоднородным начальным условиям:
Чтобы решить первую задачу, мы исходим из решения задачи
Коши для уравнения L [«] = 0 при начальных условиях
где t—параметр. Это решение имеет вид
о (х, t; т) = J.. . J Ki {х, ?, t) v tf, т) dl

530 ДОПОЛНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. VI
Тогда условиям нашей первой задачи удовлетворяет функция
t
о
Решая теперь нашу вторую задачу, мы получим на основании наших
допущений, что
u(x,t) = J...f K(x, г, t)f(z) dz, C1
где
t
К(х, -М) = fd~ f...j Kt (х, 6, t—x) K2 F, г, х) d\. D)
о
Таким образом, задача Коши для составного дифференциального вы-
выражения LM решается с помощью составного ядра /С— KtK2, соста-
составленного по формуле D) из ядер Кх и /f2- Соответствующей областью
зависимости будет та область, в которой АГ>0, т. е. та часть про-
пространства \, для которой оба множителя Кх и К2 отличны от нуля.
В силу наших предположений достаточно рассмотреть функцию
/С@, z, t). Первый множитель Kt@, %, t—-т) отличен от нуля, есчи Е
лежит внутри области, получающейся из Gt путем увеличения всех
радиусов-векторов, выходящих из точки 5 = 0, в t-—x раз; вто-
второй же множитель К2 (?, г, х) отличен от нуля, когда z лежит внутри
области //j, увеличенной в х раз и описанной из точки \ как из
центра. Таким образом, точка z лежит в области зависимости D,
если внутри описанной из точки ? = 0 как из центра области
(t — ^Gj существует такая точка Е, что описанная из этой точки ?
как из центра область хИг содержит внутри себя .точку z. Отсюда
следует, что область D состоит из точек вида: z — (t—")^-}-tEg,
где \х пробегает область Gt, ^—область Hv a x изменяется от нуля
до t. При фиксированных \х и с2 точка z пробегает прямолинейный
отрезок, соединяющий точки t\, и tig, когда z изменяется от нуля
до t. Отсюда и следует, что D является наименьшей выпуклой обо-
оболочкой соединения областей G==tGi и Н=Ш^.
Если первоначальные области зависимости состоят только .из
границ областей О и Я, то наши рассуждения в основном остаются
без изменений; однако, оказывается, что составное ядро К положи-
положительно не только на границе, но и внутри области D. Таким обра-
образом, при композиции дифференциальных выражений теряется гюйген-
совский характер зависимости.
Так, например, дифференциальное уравнение
даже в случае трех пространственных переменных имеет в качестве
области зависимости не только границу шара радиуса t с центром х,
ио и всю внутренность этого шара.

§ 3] ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА 531
Дифференциальное уравнение
/& д* 1
\й2 д*г Т(
имеет в качестве области зависимости выпуклую оболочку обоих
эллипсов, соответствующих обоим компонентам этого дифференциаль-
дифференциального уравнения.
§ 3. Обобщенный принцип Гюйгенса и продолжаемые начальные
условия
При исследовании задач Коши является естественным применить
следующий метод рассуждения. Для того, чтобы построить решение
для значения t —1% по начальным данным в момент t = t0, мы можем
вместо того, чтобы непосредственно применить формулу, выражаю-
выражающую решение для значения t = t2, включить значение t = tlt проме-
промежуточное между t0 и t2, и поступать следующим образом.
Мы находим сначала решение при t = t1 и, принимая плоскость
t = t1 за новую начальную плоскость, выражаем значение решения
при t*=i2 через его значения при t—t1. Компонируя оба выраже-
выражения, мы получим выражение для значения решения в момент t=t2
через его значения в момент t = t0 и результат композиции должен
совпадать с первоначальной формулой, выражающей непосредственно
значения решения в момент t — t2 через значения решения в момент
t—t0. Этот факт совпадения обеих формул Адамар назвал «обоб-
«обобщенным принципом Гюйгенса». Адамар подчеркнул, что совпадение
обоих результатов приводит к важному соотношению между пред-
представляющими ядрами, и упомянутый принцип является, таким обра-
образом, источником интересных интегральных соотношений *).
Однако, мы здесь сталкиваемся с любопытным парадоксом, кото-
который мы разъясним на примере волнового уравнения. Мы видели
в § 5, п. 3, что интегральная формула решения дает нам дважды
непрерывно дифференцируемую функцию, если начальная функция и
Гml , ,
имеет непрерывные производные вплоть до порядка I -к-1 —J— 1, а на-
начальная производная щ— непрерывные производные вплоть до по-
порядка -гН- Легко показать на простых примерах й), что при пони-
!) См. Bull. Soc. Math. France, т. 31, стр. 208 и т. 52, стр. 241. Аналогич-
Аналогичные рассуждения можно впрочем проводить также и для краевой задачи.
2) Ограничимся доказательством того, что интегральная формула Пуас-
Пуассона (гл. VI, § 5) в случае п = 4 и начальных условий ввда и (х, у, г, 0) = О
и щ(х,у,г,0) = 0, если г>1, а щ(х, у,г,0) = У1 — г\ если г<1, дает
непрерывную функцию и, для которой производная no t уже оказывается
разрывной. В самом деле, мы получаем:
и <0, 0. 0, t) — 0, если «>1,ни@, 0, 0, t) = </! — р, если t < 1,

532 ДОПОЛНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. VI
жении этих требований дифференцируемости, хотя бы на одну еди-
единицу, решение дифференциального уравнения может не удовлетворять
условию непрерывности функции и ее первых двух производных.
Таким образом, при продолжении начальных значений свойства диф-
дифференцируемости могут пропадать. Для того, чтобы иметь возмож-
возможность последовательно применять процесс продолжения начальных
условий, учитывая возможное нарушение требований дифференцируе-
дифференцируемости, мы должны были бы подчинить начальные значения при t = t0
более сильным требованиям дифференцируемости и притом тем более
сильным, чем больше число шагов, на которые мы хотим разбить
продолжение решения от t=t0 до t = t1. Это указывает на то, что
условия, налагаемые нами на начальные функции, являются слишком
сильными, несмотря на то, что они не могут быть заменены требо-
требованиями дифференцируемости более низкого порядка.
Поэтому возникает задача найти такие условия дифференцируе-
дифференцируемости для начальных функций, которые сохранялись бы при про-
продолжении решения для значений t>t0. И действительно, такие
«продолжаемые начальные условия» найдены. Они гласят: ut и их.
должны быть при t=t0 непрерывными и непрерывно дифференци-
Г «1
руемыми, а их производные до порядка у I должны существовать
и иметь интегрируемый квадрат в смысле Лебега *).
§ 4. Замена дифференциальных уравнений интегральными
соотношениями. Обобщение понятия характеристик
Нам уже часто приходилось заменять дифференциальные уравне-
уравнения интегральными соотношениями, особенно в связи с теоремами
о среднем значении в гл. VI. Мы можем эту идею обобщить и дать
ей следующую, принципиально важную формулировку. Пусть L [и] —¦
некоторое линейное однородное дифференциальное выражение,
a M[v[ — сопряженное с ним выражение (см. стр. 493). Ограничиваясь
снова случаем дифференциальных выражений второго порядка, мы
получим на основании соотношения A9), стр. 493, что между любым
решением и уравнения L [и] — 0, дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемым в области О, и любой функцией v, обращающейся на гра-
границе G в нуль вместе со своими производными первого порядка и
дважды непрерывно дифференцируемой внутри О, включая границу,
имеет место соотношение
uM[v]dx1...dxn = 0. (I)
так что
1 2Р-
«t@. О, 0, 0 = 0, если <> 1, и щ@, 0, 0, t) = ¦, если
*) См. Фридрихе и Лев и, Q6tt. Nachr., 1932, стр. 135.

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 533
Обратно, если интегральное соотношение A) имеет место для
некоторой функции и и любой функции v, то из него следует,
что функция и удовлетворяет дифференциальному уравнению
/, [и] = 0, если функция и дважды непрерывно дифференци-
дифференцируема.
Итак, интегральное соотношение A) для класса дважды непре-
непрерывно дифференцируемых функций и эквивалентно дифференциальному
уравнению L [и] = 0, сохраняя при этом смысл и для значительно
более широкого класса функций и, подчиненных более слабым усло-
условиям непрерывности.
Мы рассматриваем поэтому интегральное соотношение A) как
обобщение дифференциального уравнения.
С помощью этого принципа мы получаем возможность осветить
понятие характеристики с новой точки зрения. Мы видели в гл. VI,
§ 2, что разрывы первых производных решения и уравнения
L [и] = 0 могут иметь место на любой поверхности, так что мы
должны ввести некоторые дополнительные ограничения для того,
чтобы можно было рассматривать такие поверхности разрывов как
характеристические поверхности. Однако, такие дополнительные
ограничения оказываются излишними, если заменить дифференциаль-
дифференциальное уравнение L [и] = 0 обобщенным дифференциальным уравне-
уравнением A). Для этого обобщенного дифференциального уравнения
имеет, например, место следующая общая теорема: Если и является
решением, дважды непрерывно дифференцируемым всюду, за исклю-
исключением некоторой дважды непрерывно дифференцируемой поверх-
поверхности <? (лг1}..., л;„) = 0, вдоль которой внешняя относительно этой
поверхности производная первого порядка имеет разрыв первого
рода, то поверхность <в = 0 должна быть характеристической, т. е.
вдоль этой поверхности должно выполняться условие
Для доказательства мы можем ограничиться, в силу доказанной
в § 2 инвариантности характеристического условия, случаем, когда
поверхность разрывов совпадает с одной из плоскостей координат.
Пусть, например, и = х1. Наша теорема сводится тогда к утвержде-
утверждению, что ап — 0, если xt = 0.
Проведем доказательство для достаточно типичного частного
случая двух независимых переменных xt = x и л:2=_у, допуская,
таким образом, что некоторый кусок линии S: у = 0 является линией
разрывов рассмотренного типа.
Интегрируя соотношение A9) (стр. 493) по области G, содержа-
содержащей эту линию S, мы получим тогда, обозначая через Л = (ма.)
скачок функции ыж вдоль 5,
dy = 0, B)

534 ДОПОЛНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ [ГЛ. VI]
ибо вне S имеет место уравнение L [и] — 0, для всей области G
имеет место условие A), а вдоль 5 функция и и производная иу
непрерывны. В силу произвольности значений v вдоль 5 и в силу
того, что вдоль S скачок X всюду отличен от нуля, мы получаем
непосредственно из уравнения B), что всюду вдоль S должно выпол-
выполняться условие ап = 0, что и доказывает нашу теорему 1).
Предлагаем читателю в виде задачи обобщить этот результат
на случай многих независимых переменных, а также на разрывы дру-
другого типа и дифференциальные уравнения высших порядков.
г) См. по этому вопросу работу К. Фридрихса о применении общей
теории операторов к дифференциальным операторам. Эта работа должна
появиться в печати в ближайшем будущем.

ГЛАВА VII
ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ЗАДАЧ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
В т. I, а также в гл. IV этого тома мы подробно рассмотрели
связь, существующую между задачами о краевых и собственных
значениях для эллиптических дифференциальных уравнений, с одной
стороны, и задачами вариационного исчисления, — с другой. Однако,
мы еще ке дали общего доказательства разрешимости задач этого
типа. Мы проведем теперь эти доказательства существования на
основе вариационного исчисления.
При изложении мы ограничимся случаем двух независимых пере-
переменных, заметив, однако, при этом, что все наши рассуждения
остаются в силе и для трех независимых переменных, если только
исключить специальное рассмотрение § 4 относительно характера
приближения к краевым значениям. Для случая, когда число незави-г
симых переменных больше трех, мы должны при распространении
нашей теории на этот случай ввести дополнительные ограничения
(см. примечание к § 5, п. 1, стр. 564).
Выходя за пределы линейных задач о краевых и собственных
значениях, мы приведем в § 10 решение задачи Плато, упомянутой
раньше в гл. III, § 7, также применяя прямые вариационные методы,
однако в основном совершенно независимо от предыдущей теории.
Прямые методы вариационного исчисления основываются на том,
что решения задач о краевых и собственных значениях для линейных
дифференциальных уравнений эллиптического типа удовлетворяют
условиям Эйлера для простых вариационных задач с квадратичными
подинтегральными выражениями. Сначала Гаусс, а после него
в 1847 г. В. Томсон (лорд Кельвин) использовали эту связь при
рассмотрении краевой задачи теории потенциала; вскоре после них
Риману удалось получить все основные теоремы существования гео-
геометрической теории функций с помощью того же метода, названного
Риманом «принципом Дирихле» и основанного на допущении разре-
разрешимости простых экстремальных задач вариационного исчисления.
Во всех доказательствах этого типа принималось без всякого
обоснования как нечто, само собой разумеющееся, что соответствую-
соответствующие экстремальные задачи имеют решения.
Головокружительный успех, которого добился Риман своим
методом, вызвал у многих критические сомнения, и Вейерштрасс

536 ЕАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
вскоре показал, что основное допущение во всех этих доказатель-
доказательствах совершенно не обосновано. Вейерштрасс построил примеры
простых экстремальных задач, не имеющих решений, а также другие
специфические примеры, в которых решение краевой задачи теории
потенциала для круга с соответствующими непрерывными краевыми
значениями, наверное, не может быть получено с помощью принципа
Дирихле *).
Эти примеры создали общее убеждение в том, что все доказа-
доказательства такого типа ошибочны и должны быть полностью отбро-
отброшены. В результате отказа от принципа Дирихле возникли другие
методы, получившие чрезвычайно плодотворное развитие.
Отметим в первую очередь альтернирующий процесс Шварца и
метод К. Неймана, приведший впоследствии к созданию теории
интегральных уравнений. Однако, интуитивная убедительность дока-
доказательств Римана побуждала многих математиков искать безупречного
логического обоснования принципа Дирихле. До 1900 г. все эти
поиски оставались безуспешными. В 1900 и 1901 гг. Д. Гильберт
опубликовал две работы о принципе Дирихле, оказавшиеся перелом-
переломными для всего хода развития этого круга идей. Применяя совер-
совершенно новые методы, Гильберт непосредственно доказывает разре-
разрешимость соответствующих экстремальных задач в некоторых про-
простейших случаях. Эти прямые методы доказательства получили с того
времени огромное развитие и оказались по широте охвата значительно
сильнее всех других методов, не уступая им в отношении простоты
и будучи в то же время часто более пригодными для численных
расчетов и практических применений. Пользуясь этими методами, мы
дадим в настоящей главе доказательства существования для задач
о краевых и собственных значениях с той степенью общности, кото-
которая нужна для того, чтобы иметь возможность охватить все встре-
встречавшиеся нам раньше в этой книге задачи этого типа. Имея в виду
эту степень общности, нам придется принести некоторые N жертвы
в отношении краткости изложения. Заметим, только, что если огра-
ограничиться специальным случаем теории потенциала, то вся дальнейшая
теория автоматически значительно упрощается 2).
1) См. т. 1, стр. 170.
2) Из имеющейся богатой литературы по этому вопросу отыетим сле-
следующие работы: Вейерштрасс, Uber das sog. • Dirichletsche Prinzip,
Сочинения, т. 2; Шварц, Собрание сочинений, т. 2, стр. 133; К. Нейман,
Sachsische Berichte, 1870 н Voriesungen fiber Riemanns Theorie der Abelscher*
Integrate, стр. 388, Лейпцнг, 1884; Гильберт, Cber das Dirichletsche
Prinzip, Собрание сочинений, т. 3; Levi В., Sul Principio di Dirichlet;
G. F u b i n i, II principio di minimo ei teoremi di eslstenza, per i problemi al
contorno relativi alle equazione alle derivate parziali di oidini ргп; Lebesgue,
Sur le probleme de Dirichlet. Последние три работы помещены в Rendiconti del
CircoSo matematico d;e Palermo, тт. 22—24; Z a r e m b a S,, Sur le principe de
minimum, Krakauer Akademieberichte, июль 1909, Далее, работы Куранта,
начивая с 1912 г., цитированные в статьях Куранта: Ober direkte Methoden
der Variationsrechnung und verwandte Fragen, Math. Ann., т. 97 A927); Cber

§ 1] ВВЕДЕНИЕ 537
Общий процесс применения прямых методов сводится к следую-
следующему. Мы исходим из того, что для наших экстремальных задач
.всегда существует если не минимум, то, во всяком случае, нижняя
граница d; поэтому существует последовательность допустимых для
рассматриваемой вариационной задачи функций, для которой данное
вариационное выражение стремится к нижней границе <L Как мы видели
раньше (т. I, стр. 173), такая «минимизирующая последователь-
последовательность» может расходиться, и если она сходится, то для предельной
функции может не существовать производных. Поэтому наша главная
задача состоит прежде всего в том, чтобы показать, что из минимизи-
минимизирующей последовательности можно получить с помощью подходящих
сходящихся процессов решение экстремальной задачи и что это
решение обладает свойствами дифференцируемое™, достаточными для
того, чтобы мы могли его отождествить с искомым решением диф-
дифференциального уравнения. Эффективное построение минимизирующих,
последовательностей является чрезвычайно важной задачей с точки
зрения численных расчетов и практических приложений. Мы здесь,
однако, не остановимся на этом, так как для доказательства суще-
существования мы можем ограничиться указанием на то, что суще-
существование минимизирующей последовательности является совер-
совершенно очевидным. (Эффективное построение минимизирующих после-
последовательностей в целях приближенного вычисления искомого решения
дается практически очень важным методом, известным под названием
«метода Ритца». См. т. I, стр. 163, 164, а также перечисленную
выше литературу. Укажем, кроме того, Вальтер Ритц, Собрание
сочинений.)
§ 1. Введение
1. Принцип Дирихле для круга. Мы начнем с исследования
связи, существующей между краевой задачей теории потенциала для
круга и соответствующей вариационной задачей Дирихле. Хотя это
исследование нам в дальнейшем не понадобится, однако оно является
очень поучительным (см. т. I, гл. IV, § 2, п. 3).
Пусть в единичном круге В: х2 -\- у2 < 1 плоскости х, у задана
функция g(x, у), непрерывная всюду в области В, включая границу,
и первые производные которой gx и gy кусочно-непрерывны в области
В 1). Допустим далее, что для функции g существует интеграл Дирихле
D[?]=f ${&+$} dxdy.
в
Мы выражаем это условие краткой записью D lg]< со.
die Anwendung der Variationsrechnung и т. д. Ada Mathematica, т. 49, а также
Neue Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip., Crelles Joarn., т. 115 A931).
Излагаемая в этой главе теория является дальнейшим развитием преж-
прежних работ автора; при этом особенно используется мысль, высказанная
автором в последней из перечисленных работ, относящаяся к краевой задаче
теории потенциала и теоремам существования геометрической теории функций»
*) Напомним, что функция называется кусочно-непрерывной в некоторой--
области, если во всякой замкнутой части этой области рассматриваема»

538 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VH
Решим теперь следующую краевую задачу: найти гармоническую
функцию и, регулярную внутри области В и принимающую вдоль
границы С те же краевые значения, что и заданная функция g. Пусть
г, 8 — полярные координаты, так что х = г cos Ь, у = г sin 0; обозначим
через ап и Ьп коэффициенты Фурье функции g = g(\t $). Тогда
решение нашей задачи дается формулой Пуассона
« (х, у) = и (г, 0) = Iim и„, A)
где
и —
(«vcos v& 4- **sin v8) '¦"
При этом последовательность ип сходится к и равномерно во всяком
внутреннем концентрическом круге (см. гл. IV, § 2, стр. 271, а также
стр. 29).
Назовем принципом Дирихле для круга следующую теорему:
Для решений рассматриваемой крае ~ой задачи интеграл D[u]
существует и D[u\^D[g\, причем равенство имеет место только
в том случае, когда g = и. Другими словами, функция и может
быть однозначно определена как решение следующей вариационной
задачи: из всех функций е>, непрерывных в области В + С, имеющих
кусочно-непрерывную производную в области В и принимающих на
С те же краевые значения, что и функция g, найти те функции и,
для которых ?>[»] имеет наименьшее значение.
Основная цель настоящей главы заключается в том, чтобы полу-
получить соответствующий результат для любой области G и, исходя из
вариационной задачи, решить соответствующую краевую задачу.
Однако, в этом номере мы поступим наоборот и докажем нашу
теорему, основываясь на том, что для круга решение краевой задачи
нами уже найдено и задается формулой A).
Подчеркнем, что введенное нами условие D [g] < со является
существенным. Мы уже видели раньше (т. I, стр. 170), что могут
существовать такие непрерывные функции g, для которых рассматри-
рассматриваемая краевая задача решается с помощью определенной выше
функции и, но для которых D [и] не существует.
Доказательство нашей теоремы основывается на следующем рас-
рассуждении : положим g=u-\-v, так что v обращается в нуль вдоль
границы. Введя обозначение
D \ъ И = f f { ?^ + ?Л ) dx dy-
' в
мы получим соотношение
D [g] = D [и] -f D [v] + 2?> [и, v].
функция непрерывна, не считая разрывов какого угодно характера в отдель-
отдельных точках и разрывов первого рода (скачков) вдоль конечного числа
гладких дуг. При этом дуга некоторой линии называется гладкой, если она
может быть задана с помощью параметра t уравнениями х = х if), у =y{f),
где x(t) и y(t) непрерывно дифференцируемы, a x2t-^

§ 1] ВВЕДЕНИЕ 539
Если бы мы преобразовали выражение D [и, v] с помощью формулы
Грина, то мы получили бы в силу того, что Ди = О в В и v — 0
на границе С, что D [и, v] — 0, и наша теорема была бы непосред-
непосредственно доказана. Однако, такое доказательство является совершенно
нестрогим, ибо, во-первых, мы не имеем права заранее допускать
существование интеграла D[u], а, во-вторых, мы не можем быть
уверены в справедливости формулы Грина для всего полного круга В,
не зная поведения производных функции и вдоль границы.
Чтобы обойти эти трудности, мы проводим доказательство сле-
следующим образом: рассмотрим вместо и аппроксимирующую функ-
функцию ип, являющуюся регулярной во всей плоскости гармонической
функцией и имеющей в силу этого непрерывные вдоль С производ-
производные. Положим теперь un-\-i)n = g. Краевые значения vn{\, Щ орто-
ортогональны к функциям 1, cosvft, sinvft при v^h, ибо краевые
значения ип и g имеют одни и те же коэффициенты Фурье ач, Ьч
при Vc^k. Мы можем теперь применить формулу Грина к функциям
9 = ип и ^ — ч>п для полного круга В. Замечая далее, что вдоль
границы круга нормальная производная —^ функции ип ортогональна
к vn, ибо она является линейной комбинацией 2п-\~1 функций
1, cos &, sin 8-, ..., cos и&, sin л&, мы .получаем:
О [«„, vn] = - jj vn Д«и dx dy+f vn ^ db = 0.
в с
Отсюда следует:
D [g] = D [un] + D [vn] -f ID [un, vn\ = D [un] + D [vn],
так что
Тем более имеет место неравенство DB[un] <;D [g], где индекс R
указывает, что стоящий слева интеграл берется не по всему единич-
единичному кругу, а только по концентрическому кругу KR радиуса /? <[ 1.
Так как в круге Кр производные ип равномерно сходятся к произ-
производным и, то Dp [и] <С D [g]; поэтому при /?->1 мы получаем
D [и] *CD[g], что и требовалось доказать.
Единственность решения и доказывается так: пусть u-\-v—дру-
u-\-v—другое решение нашей задачи о минимуме; тогда должны существовать
также интегралы D{v]uD[u, v] = Г J (u!BVa!-\-upvy)dxdy(ai. п. 3).
в
Отсюда следует, что все функции u-\-ev при любом постоянном е
являются допустимыми функциями сравнения для нашей задачи о ми-
минимуме. Мы получаем поэтому, что функция
D [и -f ev] = D [и] 4- 2eD [и, v] -\- e2D [v],
являющаяся квадратичной функцией от е, не может иметь, кроме
минимума при е = 0, никакого другого минимума и, в частности, не

540 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII1
может иметь минимума при е = 1, за исключением того случая, когда
D [и, v] = D [v] = 0, но из последнего уравнения следует, что
¦у = 0, и наше утверждение этим доказано.
При рассмотрении областей общего вида можно было бы поло-
положить в основу доказанное таким образом минимальное свойство
круга*) или же для случая многих переменных аналогично доказы-
доказываемое минимальное свойство многомерного шара. Однако, мы изло-
изложим здесь другой существенно более общий метод, применение
которого не ограничивается одним только уравнением Лапласа и при
котором мы уже не будем пользоваться решениями специальных
краевых задач.
2. Общая постановка задачи. В дальнейшем будет итти речь
о краевых задачах и задачах о собственных значениях эллиптических
дифференциальных уравнений второго порядка для открытых обла-.
стей G, границы которых мы обозначим через Г; мы допускаем при=
этом, что G— ограниченная область, т. е. лежит целиком внутри
некоторого квадрата (случай неограниченных областей мы рассмотрим.
в § 9, п. 5). Мы рассматриваем эллиптические линейные дифферен-
дифференциальные выражения L [и] для функции и (х, у), получающиес»
в качестве эйлеровых вариационных выражений из квадратичного^
интеграла с функциональным аргументом <?(х, у):
= JJ {
+ 2Ь?ру + q? } dx rfy.
При этом р, q, a, b являются непрерывными функциями в области
G-j-Г; q пусть имеет непрерывные производные первого порядка,
а и b — непрерывные производные до второго порядка, а р — непре-
непрерывные производные до третьего порядка включительно, причем эти
условия дифференцируемости относятся только к области G. Далее,
мы предполагаем, что в G-f-Г
Р > 0 B)
. C)
В отношении подинтегрального выражения мы вводим, далее, сле-
следующее условие определенности: мы предполагаем, что для заданной
области G существует такая постоянная к, что для любой точки
области G-j-Г и при любых значениях параметров ?, ч\, С имеет
место неравенство
Л F, ч, С) = р (Еа +
Имея в виду получить возможно более общие результаты, мы вводим
заранее еще одну функцию k, положительную в G-j-Г и непрерывно
дифференцируемую в G, и представляем эйлерово дифференциальное
*) Такой метод доказательства применяется, например, в книге К у р а н т г»
«Геометрическая теория функций комплексного переменного», Москва, 1934_

^ 1] ВВЕДЕНИЕ 541
выражение, соответствующее вариационному интегралу ?[<?], в форме
2kL[u], где
L [и] = | [{риХ + ( риу)у — q*u], E)
причем
q*^q — ax — by. F)
Заметим, что с помощью простого преобразования мы можем
заменить коэффициент р единицей. В самом деле, введя новый
функциональный аргумент ф = ]/р <р, мы преобразуем подинтеграль-
«ое выражение Е [<р] в другое аналогичное подинтегральное выраже-
выражение, в котором множитель р заменяется единицей, так что для
функции v — ~\fp и получается эйлерово дифференциальное выраже-
выражение вида vwx-\-vm—q*v с другой функцией q*. Мы этим восполь-
воспользуемся в § 5.
Мы рассматриваем для области G краевые задачи, относящиеся
к дифференциальному уравнению
L [«] = -/, G)
и задачи о собственных значениях, относящиеся к дифференциаль-
дифференциальному уравнению
L [и] + Аы = О, (8)
причем / обозначает функцию, непрерывную в G + Г и кусочно-
непрерывно дифференцируемую в О.
Далее, мы будем рассматривать краевые условия следующих
типов.
Краевое условие первого рода (фиксированные краевые значе-
значения). Краевые значения и на границе Г заданы условием, чтобы на
границе Г обращалась в нуль разность и—g, где g обозначает за-
заданную функцию, непрерывную в G + Г. Смысл условия обращения
в нуль разности и — g на границе нам придется в дальнейшем уточ-
уточнить.
В случае задачи о собственных значениях задаются нулевые
краевые значения.
Краевые условия вторцго и третьего рода, рассмотренные нами
в т. I, гл. V, требуют, чтобы вдоль границы обращалась в нуль
заданная линейная комбинация функции и и ее нормальной произ-
производной, причем, мы в дальнейшем уточним смысл условия обращения
в нуль на границе.
Точная и отвечающая, сущности дела формулировка краевых
условий наталкивается на своеобразные трудности. Мы уже видели
в гл. IV, § 4, п. 4, что не для всякой области G можно требовать,
чтобы искомая функция действительно принимала в каждой гранич-
граничной точке заданные краевые значения. Еще менее оснований мы
имеем ожидать разрешимости краевых задач в собственном смысле
слова в тех случаях, когда краевые условия содержат нормальные
производные неизвестной функции; помимо того, что мы не хотим

542 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
ввести требования существования нормали к границе Г, вопрос
о существовании на границе производных функций и, удовлетворяю-
удовлетворяющих данной краевой задаче, представляет собой трудно разрешимую
задачу, которая может быть исследована только при специальных
предположениях и по существу не имеет отношения к интересующей
нас краевой задаче.
Ввиду этого мы дадим в дальнейшем такую уточненную форму-
формулировку краевых условий, которая обеспечит однозначную разреши-
разрешимость краевых задач и даст возможность полностью решить соответ-
соответствующие задачи о собственных значениях. При этом окажется
возможным получить решения краевых задач первого рода для любых
открытых областей О и даже для любых открытых точечных мно-
множеств, необязательно связных; для краевых задач второго и третьего
рода придется подчинить области О некоторым дополнительным
ограничениям. Чтобы д^ть точную формулировку наших краевых
условий, мы должны прежде всего ввести понятие линейных функ-
функциональных многообразий, для которых наши вариационные интегралы
имеют смысл.
Такие линейные функциональные многообразия будут играть
основную роль в наших доказательствах существования.
3. Линейные функциональные пространства с квадратичной
метрикой ')• Определения. Рассмотрим следующие интегральные
выражения с функциональными аргументами о и ^:
И [?, «И = // Щ dx dy; Н [?] = Н [<?, о];
а
# [?, «W = // РХ.9*% + %%) dxdy; D [?] = D \Ъ <?];
G
Е [<?, ф] = D [<?, W + // { а'^х + а>!ГРх + by% + btysy 4- q^ } dx dy;
?[?] = ?[<?,?],
причем коэффициенты. р, a, b, q, k удовлетворяют перечисленным
в п. 2 условиям; все они непрерывны в G-J-Г, q и k имеют в G
непрерывные производные первого порядка, а и b имеют непрерыв-
непрерывные производные первого и второго порядков, а р — непрерывные
производные до третьего порядка включительно. Далее, пусть
в G-j-Г имеют место неравенства B), C) и D) из п. 2.
Перечисленные интегралы мы должны рассматривать как несоб-
несобственные интегралы в обычном смысле этого понятия, т. е. как пре-
пределы интегралов, взятых по замкнутым частичным областям Gn,
причем область Gn+l содержит область Gn, и любая точка области G
содержится в какой-нибудь из областей Gn. Подинтегральные выра-
выражения кусочно-непрерывны в каждой области Gn, включая границу.
!) Эти понятия подробно развиваются в работе М. Н. Stone, Linear
Transformations in Hilbert Space, New York, 1932.

1] ВВЕДЕНИЕ 543
будем применять наши интегралы к следующим классам функций,
которые мы обозначим через § и 35.
Определение 1. Все кусочно-непрерывные в G функции
у(х, у), удовлетворяющие условию Н[(?]<оо, образуют функцио-
функциональное пространство ф.
Определение 2. Все кусочно-непрерывные в G функции
?(¦*> У) пространства %>, имеющие кусочно-непрерывные производные
.tpg. и <оу и удовлетворяющие условию D[<p]<oo, образуют функцио-
функциональное пространство 35.
Теорема 1. Для функций <р пространства 35 существует
также интеграл Е [у] и имеет место неравенство вида
xD [<pl< ? {¦? ] < oiD [? 1 + ря [?], (9)
где ¦/, at, p обозначают некоторые фиксированные константы, заг
висящие только от области G.
Эта теорема непосредственно следует из наших предположений
относительно р, a, b, q, k, неравенства D) и соотношения
2 |
угде С—некоторая константа, зависящая только от области G.
р Все наши интегральные формы Н, D, Е, составленные для функ-
дай ф(лг, у) из пространств ф и 35, обладают общими свойствами,
'которые мы формулируем для всех этих трех интегралов одновре-
одновременно. Введем для этих интегральных форм и соответствующих
полярных форм общие обозначения Q [©] и Q[<p, ^l-
Тогда имеем: .
Далее, имеют место следующие теоремы:
Теорема 2. Из условий Q[<pl<<=© к Q[<}']<°° следует суще-
существование полярной формы Q [», <{;], причем Q[<\>, y] = Q{<?, ф].
Теорема 3. Наряду с функциями у и <\> всякая линейная
комбинация kf-\-y& этих функций также принадлежит к соот-
соответствующим пространствам ф или 35, причем имеет место
равенство
Наконец, имеет Место неравенство Шварца
и непосредственно следующее из него неравенство треугольника
Чтобы доказать эти теоремы, заметим прежде всего, что их
справедливость для подобластей, целиком лежащих внутри G,
очевидна. Неравенство A2) является непосредственным следствием
определенности формы Q. Переходя в тождестве A1) к пределу от
частичной области Gn ко всей области О, мы докажем существо-

544 вариационные методы [гл. vii
вание смешанной формы Q [a, ty] для всей области G, и вместе
г тем докажем все предшествующие теоремы для области О.
Мы рассматриваем интегральную форму Q как «метрическую
форму», определяя выражение V^Ql? — ty] как «расстояние между
двумя функциями ю и <j» в смысле метрики Q». В отношении
понятия сходимости, определенной с помощью этого мероопреде-
мероопределения, имеют место следующие простые теоремы. Обозначим через
С и о функции пространства ф или ф, принадлежащего к форме
Q, а через <р — некоторую последовательность таких функций. Тогда
имеет место следующая теорема:
Теорема 4. Из соотношения
или соответственно
Qir — <?]^0 A4\2
следует ограниченность выражений Q [<pv] и соотношение
или соответственно
Vqw\—VqW) -> о. (i 5J
а также
или соответственно
Q[?']-Q[?]->0. A6),
Для доказательства заметим, что соотношения A5) являются непо-
непосредственным следствием соотношений A4) и неравенства треугольника
A3). Фиксируя v, мы докажем таким путем ограниченность Q [уЦ, откуда
и будут следовать соотношения A6), получающнеся из соотношений A5)
путем умножения на ~\f Q [у'] -j- YQ №\ или соответственно на
Теорема 5. Из соотношения
QW + Ъ A7)
следует, что для всякой фиксированной функции С, для которой
существует Q [С], имеет место соотношение
QI&, Q->0 A8)
Эта теорема является непосредственным следствием неравенства
Шварца.
Мы называем последовательность функций <р" «сильно» сходя-
сходящейся в себе в смысле метрики Q, если выполняется усло-
условие A4)j: Q[<pv — <?v-] ->¦ 0, и «сильно» сходящейся к функции*?,
если имеет место условие A4J: Q[<?~" — ср]"^. Наряду с этим
понятием сильной сходимости будет играть большую роль также
понятие «слабой сходимости». Мы говорим, что последовательность
функций f с ограниченным Q [c?v] слабо сходится в себе или

§ 1] ВВЕДЕНИЕ 545
к функции <р в смысле метрики Q, если для любой фиксирован-
фиксированной функции ? имеют место соотношения
QlV — ф, С]^0 A9)
или соответственно
Qlr, Q->Ql% Cl- A9),
Теорема 5 утверждает, таким образом, что из сильной сходи-
сходимости вытекает слабая сходимость. Наряду с пространством ©
нам придется также рассматривать и его подпространства !)-
Определение 3. Все функции <р пространства Ф, обращаю-
обращающиеся тождественно в нуль в некоторой пограничной полосе
области G, образуют функциональное подпространство Ф. При этом
мы называем пограничной полосой области G такое множество точек
области G, к которому, во всяком случае, принадлежат все те
точки G, расстояние которых от границы Г меньше некоторого по-
положительного числа s. Мы говорим тогда, что пограничная полоса
имеет ширину не меньше а. Таким образом, подпространству Ф при-
принадлежат все те функции, для которых существует такое положи-
положительное число е, что соответствующая функция <р обращается в нуль
во всех точках области G, расстояние которых от границы меньше s.
Определение 4. Все функции <р из ф, для которых суще-
существует такая последовательность функций ?' из Ф, что Н [<р — <о] -*¦ О
и D [<?''—¦ ©]—>¦ О, образуют пространство ф. Таким образом, это про-
пространство Ф получается процессом «замыкания» пространства Ф2).
Очевидно, имеет место теорема:
Теорема 6. Функция «р пространства ф принадлежит к нро-
• о
етраиству ф, если существует последовательность функций фу из 3),
для которой выполняются условия D [<pv — <р] —>0, Я[оу — <р]->-0.
Далее, полезно ввести еще следующее определение:
Определение 5. Все непрерывно дифференцируемые функ-
функции <р пространства ф, которые имеют в G кусочно-непрерывные
вторые производные и для которых функция L [«] принадлежит
пространству §, образуют пространство §3)
*) Относительно определений этих пространств и их применения к фор-
формулировке краевых условий см. Friedrichs, Zur Spektraltheorie, Math.
Ann., т. 109, стр. 465 и 685.
г) Заметим, что если вместо этого процесса замыкания внутри 5D произ-
произвести полное замыкание рассматриваемых линейных пространств, то эти
пространства превращаются в «гильбертовы пространства». Результаты
этой главы показывают, что для наших целей не является необходимым
оперировать в замкнутом гильбертовом пространстве.
О
') Можно было бы еще ввести пространство ^>, состоящее из всех
функций пространства $>, обращающихся в нуль в некоторой пограничной
полосе; замкнув пространство ф в пространстве fi, мы получили бы так же,
о О
как выше пространство ф. Задача: доказать, что пространство ф совпадает
с пространством ?>.

546 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V!,
Отметим, далее, следующие неравенства. Обозначим индексами р,
k и 1 соответствующие выражения D илн Н, составленные с помощью
функций р, k и 1 в качестве множителей в соответствующих под-
интегральных выражениях. Пусть, далее,
где /70, рг, k0 и kx — константы. Тогда
Р<А t?] < Dp [?] < p,D, [<?J; B0)
VA Ы < Нк [<?] < ВД [<?}. B1)
Отсюда следует, что функциональные пространства •?>, 3), ф, ф,
принадлежащие к функциям р к k, совпадают с соответствующими
функциональными пространствами, принадлежащими к другим функ-
функциям р и k и, в частности, с пространствами, принадлежащими к мно-
множителям /7=1 И k = 1.
Далее, ггз соотношений Dt[^ — av-]-±0, HX [ev — s^J-j-O сл<г-
djwm соотношения Dp [<ач — ой-] -^. 0, Нк [c?v — «'Ч ->¦ 0, к наоборот.
Поэтому нам в дальнейшем не нужно будет, вообще говоря, в соот-
соотношениях такого рода явно указывать, к каким множителям р и к
они относятся. Вместо этого нам иногда придется отмечать с помощью
соответствующего индекса положенную в основу область О, так что
мы иногда будем употреблять обозначение Dg [<p]-
4. Краевые условия. Теперь уже нетрудно точно разъяснить
смысл первого краевого условия: и — g=0 вдеть границы Г, Мы
формулируем следующим образом краевое условие первого-
рода:
О
Функция и — g должна принадлежать пространству 5).
Мы увидим, что это условие является достаточно слабым для
того, чтобы обеспечить разрешимость краевой задачи для любой
открытой области G, и в то же время достаточно сильным для того,
чтобы решение краевой задачи было единственным.
Для краевых условий второго и третьего рода мы дадим точную
формулировку только в §§ 6 и 7. Эти краевые условия окажутся*
совпадающими с естественными условиями вариационных задач,
в которых^ на функции сравнения заранее не накладываются никакие
краевые условия.
Легко убедиться, что наше условие принадлежности функции и — g
о
к пространству 5D является действительно краевым условием, не-
несмотря на то, что само по себе оно относится к поведению функ-
функции и во всей области G. В самом деле, пусть и = v -\~ С, где С
принадлежит к пространству 2), т. е. обращается в нуль в не-
некоторой пограничной полосе, так что v совпадает с к в. этой,
пограничной полосе; тогда функция v наряду с функцией и также
удовлетворяет нашему краевому условию. Действительно, функ-
о
цня v—g принадлежит к пространству ?>, ибо если функция u-^-g'

§ 2J ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 547
может быть аппроксимирована в смысле метрик D и Н с помощью
функций cpv пространства 3), то и функция г> — g аппроксимируется
функциями <?"' — С, также лежащими в пространстве ®.
Вопрос о том, можно ли из формулированного нами краевого
условия получить более точные утверждения относительно поведения
функции и на границе и характера приближения и к своим краевым
значениям, является с точки зрения нашей теории специальным
вопросом, требующим особого рассмотрения. Мы займемся этим
в § 4 и § 9, п. 3.
§ 2. Первая краевая задача
1. Постановка задачи. Повторим еще раз формулировку краевой
задачи первого рода. Она относится к ограниченной открытой об-
области О с границей Г, к заданной функции g из ©, функции Д
кусочно-непрерывно дифференцируемой в G, непрерывной в G -j- Г
и принадлежащей функциональному пространству 4?> и> наконец,
к заданному в G дифференциальному выражению
где
?*=?— ая —V B)
Формулируется она так: Краевая задача 1. Требуется найти
функцию и, принадлежащую подпространству g, для которой
о
и—g принадлежит подпространству ф и которая в G удовле*
творяет дифференциальному уравнению
Ш = -/, C)
В частном случае р=1, q = a — b = O наша краевая задача сво-
сводится к краевой задаче для дифференциального уравнения
Да = —/. D)
Заметим, что формально эта задача эквивалентна другой задаче,
в которой с самого начала положено а => b ¦=¦ 0, а функция q заме-
заменена функцией q*. Однако, в силу введенного выше в § 1 условия
q ^ 0 формулированная нами задача является несколько более общей,
.так как условие q*~^>0 может и не выполняться.
Для того, чтобы решить нашу краевую задачу, мы рассматри-
рассматриваем соответствующую вариационную задачу, которую формулируем
так:
Вариационная задача I. Требуется найти функцию и = и
из 3), которая удовлетворяет краевому условию
<р — g содержится в ф E)
и для которой интегральное выражение
?[<?] — 2//1/, <р] F)
достигает минимума.

548 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
В частном случае р = 1, а = b — q — 0 мы получаем классическую
вариационную задачу Дирихле D [<р] = min. с краевым условием E).
2. Формула Грина. Основное неравенство между D и Н.
Единственность. С помощью определенных в § 1 линейных про-
пространств мы можем легко выразить формулу Грина, избегая трудно-
трудностей, вызываемых краевым членом этой формулы, а именно: если <р
о
принадлежит пространству g, а ^ — пространству Ъ, то
Е\ъ ф] = -//[![?], ф]. G)
В частности, при p = k=l, a—b=q—O мы получаем:
{} dxdy. (8)
G G
Доказательство. Если 4* — ^ лежит в *?>, то эта формула
получается тривиальным путем с помощью интегрирования по частям.
¦
Рассматривая теперь последовательность функций <J»V из 5D, для
которой
Н ['V — ф] -» О, D ftv — ф] -*- 0. (9)
мы убеждаемся в справедливости формулы Грина G) для любой
о
функции ty из © с помощью предельного перехода (замыкания) на
основании теорем 4, о и 1 из § 1.
Основное неравенство I. Для области G существует
о
такая константа у, что для любой функции 'з из © имеет место
неравенство
Я[?]<ТЩ?]. A0)
Доказательство. Так как с помощью процесса замыкания
*
мы можем в этом неравенстве перейти от функций <р из © к функ-
ции tp из Ф, то достаточно доказать это неравенство для функции
<р из Ф. Далее, в силу уравнений B0) и B1) из § 1 мы имеем
право допустить, что р = А=1. Обозначим через Q квадрат |л^|<Га»
|.у|<а, содержащий область G. Продолжим функцию © непрерывно
на весь квадрат Q, полагая tp = O во всех точках Q, лежащих вне
области О. Тогда на основании неравенства Шварца мы получаем,
что в каждой точке (xv уг) квадрата Q имеет место неравенство
< 2а J cpj(х,
Интегрируя это неравенство по хи yt, заставляя при этом точку xlt
пробегать весь квадрат Q, мы получим
что и доказывает наше неравенство для у = 4а2.

§ 2] ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 549
Докажем теперь следующие теоремы.
Теорема 1. Теорема о единственности. Краевая за-
задача I не может иметь двух различных решений.
. Доказательство. Разность двух решений представляла бы
о
собой функцию и, лежащую в пространстве ф, для которой L[u] = 0.
Из формулы Грина следует тогда Е[и]=0; так как ?[м]>х?>[и}
(см. § 1, формула (9)], то и D[u] = 0, а в силу нашего основного
неравенства мы получаем Н[и] = 0, откуда и следует вследствие
непрерывности функции и, что и тождественно равна нулю.
В дальнейшем нам понадобится следующее неравенство: если
через у. и f обозначить константы, фигурирующие в неравенстве (9)
из § 1 и неравенстве A0) этого параграфа, то для всех функций <о
о
нз Ф и / из ф имеет место оценка
?[«] —2Я[/, 9]>-*.?[?]_ %-H\f\. (И)
В самом деле, с одной стороны, мы имеем
а, с другой стороны, Н [<р] <! ?D [а>] и D [<р]<!— ? [<р] [см. фор-
формулу A0) и § 1, формулу (9)]. Следовательно,
!
откуда и следует неравенство A1).
Из этой оценки получается непосредственно следующая теорема:
Теорема 2. Вариационная задача I имеет смысл, т. е. вы-
выражение Е['л\ — 2Н[/, <?\ имеет конечную нижнюю границу для
о
всех <р из Ф и далее:
Теорема 3. Решение краевой задачи I является в то же самое
время решением вариационной задачи I.
Доказательство. Пусть и обозначает решение краевой за-
задачи, a cp=«-f-?—какую-нибудь допустимую функцию сравнения,
1 О
так что L, принадлежит пространству Ф; на основании формулы
Грина G) имеем Е[и, С] = #[/, У, откуда мы получаем непосред-
непосредственно :
причем равенство может иметь место только при X, = 0.
Наша задача заключается теперь в том, чтобы, обратно, сна-
сначала непосредственно найти решение вариационной задачи, а затем
таким путем решить рассматриваемую краевую задачу. Решаюшую

550 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
роль будет при этом играть понятие «минимизирующей последова-
последовательности».
3. Минимизирующие последовательности и решение краевой
задачи. Если d—нижняя граница вариационного выражения Е[<р] —
— 2Н[/, '¦?] при перечисленных выше условиях, то мы называем мини-
минимизирующей последовательностью всякую последовательность функ-
функций <р пространства ф, для которой йч — Е [?v] — 2# [/, <р] ->. d.
Существование таких минимизирующих последовательностей
является очевидным. Однако, отнюдь не очевидно, что с помощью
таких минимизирующих последовательностей можно получить искомое
решение путем сходящихся предельных процессов.*
Как мы уже видели в т. I, гл. IV, § 2, п. 4, нельзя ожидать,
что минимизирующая последовательность будет обязательно сходиться
в обыкновенном смысле к некоторой предельной функции, а в случае
сходимости еще остается открытым вопрос, можно ли отождествить
предельную функцию с искомым решением.
Основу для преодоления возникающих трудностей дает следующая
фундаментальная теорема, которая здесь заменяет обычное вариацион-
вариационное условие обращения в нуль первой вариации:
Теорема 4. Если ©"'— минимизирующая последовательности,
о
a Cv — произвольная последозатгльность функций из 2), для кото-
которой выражение Е [С] остается равномерно ограниченным, так что
Е [С[ -^ М, та имеет место соотношение
Е1Г, СЧ — H[f, С1-»-0. A2)
Доказательство. Для неотрицательных величин о, = d, — d
имеет место соотношение 0 .^ о, ~> 0. Далее, для любого значения
параметра е имеем:
В [<pv -f »CJ — 2W If, Г + «С] > d.
Полагая
a^Elr, C1 — ЯI/, C*L
мы получаем отсюда:
так что тем более имеет место неравенство
Выберем теперь при фиксированном J e j индекс v = v (s) на-
настолько большим, чтобы о, <е2Ж; знак же s мы выбираем в зави-
зависимости от v так, чтобы выполнялось условие eotv<^O. Тогда
2e»Af>2|e|K|, откуда K[</Wje|,
что и доказывает нашу теорему, так как j e | можно сделать сколь
угодно малым.
Заметим, что в силу неравенства A1) величины Е[ф] для миниг
мизирующей последовательности остаются ограниченными; поэтому

§ 2] ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 551
величины Е [оJ—«и-] также ограничены, как это непосредственно сле-
следует из неравенства треугольника
Г — Ф1 < V"е
Мы можем, таким образом, в A2) положить ?v — ®v — '¦??, где ^ стре-
яится вместе с v к оо. Мы получим:
Е [а><, о-> — г+] — и [/, в" — ?и-] -> О
« точно так же, переставляя между собой (i и v,
т. е. оба эти выражения становятся сколь угодно малыми при доста-
достаточно больших значениях v и р.. Отсюда с помощью вычитания мы
заключаем, что
Е[ф' — ^]->0,
а в силу (9), § 1 и основного неравенства I мы получаем следую-
следующую теорему:
Теорема 5. Для веяной минимизирующей последовательности
•ф> нашей вариационной задачи имеют место соотношения
?[?' — «*Ч-> 0, A3)
A4)
A5)
Мы увидим впосладствии, что соотношения A2), A3), A4) и A5)
дают возможность построить предельную функцию и, и, опираясь на
эти соотношения, мы выведем все свойства этой функции и, характе-
характеризующие ее как решение нашей задачи. Доказательство будет осно-
основано на рассмотрениях общего характера, не зависящих от особого
аида краевых условий и в одинаковой мере применимых как к крае-
краевым задачам, так и к задачам о собственных значениях при краевых
условиях любого типа. Эти рассмотрения будут изложены в § 5;
они приведут нас к формулированным там теоремам 1 и 2, из кото-
которых непосредственно вытекает для рассматриваемого теперь случая
следующий результат:
Существует функция и из © и g, удовлетворяющая диффг-
ренциальному уравнению
![«] = - г,
>для которой имеют место соотношения
Е[<? — «]->0, D[& — «]-*•(), H[f — u]-+O. A6)
Так как из уравнений A6) иепосредствеино следует, что
го из теоремы 6, § 1 вытекает, что функция и—g также лежит в ф.
Принимая, далее, во внимание теорему 4, § 1, мы получим, что из
уравнений A5) следует

552
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. VH
Таким образом, и является также решением вариационной за-
задачи I.
Итак, вариационная задача I так же, как и краевая задача I,
имеет однозначно определенное решение.
§ 3. Задача о собственных значениях с нулевыми краевыми
значениями
1. Интегральные неравенства. Чтобы решить задачу о собствен-
собственных значениях, относящуюся к дифференциальному выражению L [и],
мы должны предварительно вывести еще некоторые неравенства
между интегралами D и Н.
Неравенство II (Неравенство Пуанкаре для ква-
квадрата.) Пусть G — Q — квадрат, имеющий стороны длины *. Пусть,
далее, о>—некоторая функция из фд. Тогда имеет место следующее
неравенство:
При этом kt обозначает верхнюю границу k, а ре— нижнюю
границу р в квадрате Q.
Из неравенства A) непосредственно следует
Ж{J7 **
с
Заметим, что в этом неравенстве функция <р не предполагается
подчиненной никаким краевым условиям J).
Доказательство. Пусть квадрат Q задан, например, усло-
условиями 0 < х < s, 0<3'<s. Из тождества
= J
У*
- J tt& (Xu
a»,
имеющего место для любых двух точек (xv yt) и (л:2, у%) квадрата Q,
следует, с помощью неравенства Шварца,
С*я, Л) — <
v у) dy.
J) Неравенство Пуанкаре {Rend. Circ. Mat. Palermo, 1894) выражает
просто тот факт, что для квадрата второе собственное значение дифферен-
дифференциального уравнения (рк^)з, -f- ipuv)y + *#" = 0 с краевым условием обра-
обращения в нуль производной по нормали положительно. См. также § 6
и § 7.

§ 3] ЗАДАЧА С НУЛЕВЫМИ КРАЕВЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ 553
Умножая на k{xt, y{)k{x^ у%) и интегрируя по всем четырем не-
неременным xlt х2, уъ у2 в пределах от нуля до s, мы получим слева
2Я[<р] f f k dxdy — 2 (J J ?<p rfxrfy?,
а справа выражение, не превосходящее
откуда непосредственно и следует неравенство Пуанкаре.
В неравенстве Пуанкаре существенно то, что множитель перед
интегралом D пропорционален площади квадрата и стремится к нулю,
"когда s стремится к нулю.
Применим неравенство Пуанкаре для доказательства следующей
теоремы:
Теорема 1 (Неравенство Фридрихе аI). Для всякой
ограниченной области О а любого положительного в существует
ц*лов число N и ^координатные функции* ш,, св2, ..., «^ us ф
о
тонне, что для любой функции ? из 2) имеет место неравенство
N
И [<?] < 2 W2 [<р, «J + «D [cpl • B)
Согласно уже несколько раз проводившемуся нами рассуждению,
достаточно доказать неравенство B) для функции ср из ©, ибо с по-
помощью процесса замыкания мы непосредственно распространим этот
о
результат на функциональное пространство Ф, замыкающее про-
пространство ф. Пусть Q снова обозначает квадрат с длиной стороны $,
содержащий область О. Разобьем Q на Ь = ЛР конгруэнтных ква-
квадратов Qu Q2, ..., Ql, причем Qx — квадрат со стороной длины
s0 = -77-. Рассматриваемую функцию ср из ф продолжим на весь ква-
квадрат Q, полагая с = 0 вне О. Применим теперь неравенство Пуан-
Пуанкаре ко всем квадратам Qx и сложим все неравенства. Мы получим:
х
Ц Это неравенство было, невидимому, впервые введен© К. Фридрнхсом
для удобной формулировки тотальной непрерывности (Vollstetigkeit) формы Н
относительно метрической формы D (см. Math. Ann., т. 109, стр. 486).
Относительно понятия тотальной непрерывности см. статью в математиче-
математической энциклопедии: Hellinger und Toeplitz, Энциклопедия, т. II,
стр. 13.

654 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
Мы определяем теперь функцию шх, полагая «х = 0 вне Qx и вне G
к о)х = —у=. внутри Qk; предыдущее неравенство принимает тогда
вид:
Так как ?>д[»1 =?> [<р], а Ж может быть сколь угодно большим,
то отсюда и следует неравенство B). Из неравенства B) очень
просто получается следующая теорема, принадлежащая Ф. Реллиху !).
Теорема 2. (Теорема Реллиха о выборе сходящейся функцио-
функциональной подпоследовательности.) Пусть <sv— некоторая послгдова-
тельность функции из Ф, для которой D [»'] и И ['f'] равномерно
ограничены, так что D [фv] 4^.A,H [?v] <; А. Тогда существует такая
подпоследовательность Функций '?, для которой имеет место
условие И [<рч — ©V-] ->. О а).
Для доказательства заметим, что в силу неравенства треугольника
имеют место неравенства
D[<pv — <рЧ < iA> HW — 'f'1"] <4-4-
Пусть / — произвольное целое число; положим в теореме 1 ?=-у
и построим согласно теореме 1 соответствующую систему координатных
функций со., = cov_ j. Для каждого целого положительного / мы можем найти
такую подпоследовательность w.hl заданной последовательности «р\
которая содержится в предшествующей подпоследовательности <Px,i~i
с индексом / — 1 и обладает следующим свойством: конечное число
числовых последовательностей Н[?\ ?»хг] при А=1, 2, ..., L схо-
сходятся для этих подпоследовательностей «* = %,?• ^тсюДа следует,
что для подпоследовательностей <р* = » j имеет место соотношение
Н['-& — <р\ e^jl-^O при p., v —*¦ со и при' X = 1, 2, ..., ?.. Мы можем
поэтому в такой подпоследовательности выбрать настолько большие
значения индексов \>. и v, чтобы выполнялось условие
2 {J S
Х1 в
k &—& *>*»dx dy }2< э-4-
На основании нашего неравенства B) и в силу того, что
О [tpv—<р!*]<ЗЛ, мы получаем:
1) См. R e 11 i с h, GOtt. Nachrichten, 1930.
^ Как будет показано в § 8, вместо ограниченности у иза> — достаточно
потребовать ограниченность <р из ©, если только сделать некоторые пред-
предположения относительно области G.

§ 3] ЗАДАЧА С НУЛЕВЫМИ КРАЕВЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ 555
Так как s — -— становится сколь угодно малым, когда целое число /
пробегает весь ряд натуральных чисел, то мы получим нашу теорему,
выбирая, как обычно, диагональную последовательность юг>1 из по-
построенной двойной бесконечной последовательности <pv i (см. т. I,
гл. И,-§ 2).
2. Первая задача о собственных значеяиях. Мы исходим из
следующей задачи:
Задача о собственных значениях II. Требуется найти
о
такое число X, для которого существует функция и из 3D, при-
принадлежащая $ и удовлетворяющая дифференциальному уравнению
1[и]-|-Х« = О. C)
Для решения этой задачи мы рассмотрим следующую вариацион-
/иую задачу:
о
Вариационная задача II. Среди всех функций <р из Ф,
удовлетворяющих дополнительному условию
Я[?1 = 1, D)
найти ту, для которой интеграл Е[®\ достигает минимального
значения X.
Докажем, что наша вариационная задача имеет решение и, кото-
которое вместе с тем является решением задачи о собственных значе-
значениях И.
Заметим прежде всего, что наша вариационная задача имеет
смысл, так как при указанных условиях существует положительная
нижняя граница X для ??[?] или, что совершенно равносильно, для
отношения Ну\ , если отбросить дополнительное условие D). Поэтому
существует минимизирующая последовательность ср1, ;ps, . .., у, ...,
для которой
Я [«<] «=» 1 E)
Е [<?]-+к. F)
о
Если С обозначает произвольную последовательность функций из 2),
то при любом значении параметра а имеем ^. , - ' ^ А, так что
Е [cpv] _ ш [Г] Ч- 2г*. + а2 { Е РЛ ~ Ш К1} > °.
где
(ц = Е[<р\ С1 — W[<?•>, СМ-
Если все V удовлетворяют условию
Е [С1 < М, G)
где М—фиксированная константа, то, повторяя дословно доказа-
доказательство теоремы 4, § 2, мы получим следующий результат:

566 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VI!
с
Теорема 3. Для всякой последовательности функций^ изЪ,
удовлетворяющих условию G), имеет место соотношение
Е [?\ С] — Ш [<?¦", О] -» 0. (8)
Далее, отсюда получается совершенно таким же образом, как и в § 2,
что для всякой минимизирующей последовательности ©' нашей вариа-
вариационной задачи II имеет место соотношение
Е [<f — t^] — Ш [а4 — <pj ->- 0. (9)
На основании теоремы Реллиха о выборе функциональной подпосле-
подпоследовательности можно выбрать такую подпоследовательность <рч, что
для нее имеет место условие И [в4 — <?*¦] ~+ 0. В силу формулы (9)
получается тогда:
Теорема 4. Для вариационной задачи II существует мини-
минимизирующая последовательность с', для которой выполняются
условия
Н['?"—¦ <??]-> 0, A0)
D[<f — tp]->.0 A1)
и
^[f — Ч"Ч-»-О. (IS)
Мы теперь снова сошлемся на теоремы 1 и 2 из § 5, заменяя
там q через q—\k и полагая /=0. Согласно этим теоремам «з
соотношений (8), A0), A1) и A2) следует существование дважды
непрерывно дифференцируемой функции к из ©, удовлетворяющей
дифференциальному уравнению C) и для которой выполняются условия
E[<f — и]->0, D [<?v — и] ->0, Н[& — «]->0. A3)
Из соотношений A3) следует, далее, на основании теоремы 6, § 1,
что функция и содержится в подпространстве ©, так как у лежат
о
в 2). Таким образом, функция и является решением задачи
а собственных значениях II.
Но по теореме 4, § 1 из соотношений A3) следует также, что
Е\<р] -»?¦[«], H[<?v]->H[u], так что Е[и] = к, Я[а] = 1 и, следо-
следовательно, функция й является также решением вариационной задачи II.
Заметим, между прочим, что из соотношения (8) на основании усло-
вий A3) получается, что для всех функций С из ф имеет место со-
соотношение
Е[и, С1 — Ш[и, 4 = 0. A4)
3. Собственные значения и собственные функции высших
порядков. Полнота. Чтобы получить следующие собственные значе-
значения и собственные функции и чтобы доказать затем полноту полу-
полученной системы, мы повторим и дополним процесс, примененный уже
нами в т. I, гл. VI.
Обозначим полученное нами выше первое собственное значение
через А1( соответствующую первую собственную функцию через их к.

^ 3] ЗАДАЧА С НУЛЕВЫМИ КРАЕВЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ 557
¦построим второе собственное значение Л2 и соответствующую вторую
собственную функцию иг, решая следующую вариационную задачу:
О
,. Вариационная задача Н2. Среди всех функций о из 5),
удовлетворяющих квадратичному дополнительному условия*
7/[ф] = 1 D)
it линейному дополнительному условию
Л . Я[в,'И11 = 0, A5)
райти my, для которой выражение Е['$\ имеет наименьшее зна"
Чение.
Если Аа—нижняя граница Е[гэ] при условиях D) и A5), a to1,
f2, ..., <pv, ... — минимизирующая последовательность, то для вся-
о
кой последовательности функций т]' из 35, удовлетворяющих усло-
условиям
Щи,, ^1 = 0
EW\<M, A7)
где М — фиксированная постоянная, мы получим совершенно так же,
как и в п. 2, что имеет место вариационное условие
Е[Г, -ЧЧ —V*[?v. 4vl-*0. A8)
Докажем теперь, что уравнение A8) имеет место также и для
последовательностей С\ не удовлетворяющих условию A6). В самом
деле, пусть Cv —¦ произвольная последовательность функций из 2>, для
которой Е[&] равномерно ограничено; определим числа tv с помощью
уравнения H[ult Cv]-}-% = () и образуем функции y)v = С + \иг;
очевидно, функции yjv дают последовательность с ограниченным
Е[у\"], удовлетворяя при этом условию A6). Отсюда следует, что
Е [<?', С1 — А.//[?', С'1 —xv {Е ['Г, их\ — \Н [г, «J} -> 0.
Но по условию H[f, Kjl=0; поэтому, полагая в уравнении A4)
и=ии С — ?", мы получим, что и ?['•?% Mj]=O, так что имеет
место условие
о
для любой функциональной последовательности Cv из 2) с ограничен-
иым Я[СУ]. Но уравнение A9) совпадает с уравнением (8), из кото-
которого мы заключили с помощью теоремы Реллиха и теорем 1 и 2 из
§ 5 о существовании кх и их. Поэтому отсюда получается точно
таким же образом существование второго собственного значения Х2
о
и соответствующей собственной функции и2 из ф и $, для которых
выполняются условия
?[и21 + А2иа = 0, B0)
и21=0, B1)

558 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VI!
для любой функции С из ф. Продолжая этот процесс, мы получим
совершенно аналогичным путем следующую теорему:
Теорема 5. Существует бесконечная последовательность
собственных значений и собственных функций Х„ и ип, являю-
являющихся решениями задачи о собственных значениях II. Эти функ-
функции ип являются в то же время последовательными решениями
следующих рекуррентных вариационных задач: найти функцию
о=ип из 2>, для которой Е [ср] достигает минимума при до-
дополнительных условиях
Я[?] = 1, //[?, «,1 = 0 (/=!, 2, .... п — 1).
При этом имеют место соотношения Xt <; Х2 <; а3 ... и условия
ортогональности
и,1- , ?[и„ aj= при } B3)
10 10 ^J
Докажем теперь следующие теоремы:
Теорема 6. При возрастании п собственное значение А„
стремится к бесконечности.
Доказательство (см. т. I, гл. VI, § 2, п. 2). В противном
случае значения D [ип] были бы ограничены для бесконечной после-
последовательности значений к, тогда как Н [ип] = 1; поэтому мы могли бы
на основании теоремы Реллиха выбрать подпоследовательность иП7
для которой И\ип—ит] ^> 0, тогда как в силу условий ортогональ-
ортогональности B3) мы имеем:
» — «ml = И [ип] + Н [«J — 2Н [ип, ит] = 2;
это противоречие и доказывает несправедливость нашего допущения,,
что Хп не стремится к бесконечности при неограниченном возраста-
возрастании и.
Далее, имеет место
Теорема 7 (теорема полноты). Пусть у-=-какая-нибудь
функция из Ф. Положим
п
Тогда выполняются условия полноты
Н {%] -+ 0 B4)
и
Е DУ -* О B5>
и эквивалентные условия
B7)

4] ХАРАКТЕР ПРИБЛИЖЕНИЯ К КРАЕВЫМ ЗНАЧЕНИЯМ 559
Доказательство. Для функций fyn имеет место уравнение
tym иЛ — 0 при j^Cn. Поэтому в силу минимального свойства
Х„+1 имеем:
?|-У>^1Ия[д. B8>
Вследствие условий ортогональности B3) мы имеем, с другой сто-
стороны,
= //[?]—2 <$; B9>
==?[<?]— 2VI, C0)
откуда вытекает сходимость бесконечных рядов, стоящих в правых
частях уравнений B6) и B7), и неравенство E[tyn] ^.E[®\, так что
мы получаем в силу неравенства B8)
и, следовательно, на основании теоремы 6 имеем Н$п] -> 0, а отсюда
в силу B9) получается равенство B6).
Далее, так как
т и»
то из сходимости рядов B6) и B7) следует
Ж^-<Ы->о, ?[*•—4-,J->o. C1)
Из того, что // [6П1 -» 0, следует в силу теоремы 5, § 1, что
С1 -* 0 C2)
для любой функции С из ф. Опираясь теперь на теорему 2 из § 5,
мы заключаем из уравнений C1) и C2), что имеет место соотноше-
соотношение B5), а вместе с ним в силу уравнения C0) выполняется также
условие B7), так что теорема о полноте доказана.
§ 4. Характер приближения к краевым значениям
в случае двух независимых переменных
В случае двух независимых переменных1) х ну мы получаем
в отношении характера приближения функции к краевым значениям
более точный результат по сравнению с условием, чтобы и — g или
о
и содержалось в ?). Именно, в случае двух измерений мы можем из
этого условия заключить, что и — g или и действительно стремится
г) В случае большего числа независимых переменных дело обстоит со^
вершенно иначе; по этому поводу укажем снова на замечания, сделанные
в гл. IV, стр. 307, а такие на результаты Н. Винера, цитированные на
стр. 3?2.

560 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VU
к нулю, когда точка (х, у) области О неограниченно приближается
к точке границы Г.
При этом, однако, мы должны сделать еще дополнительные допу-
допущения относительно характера рассматриваемых граничных точек;
так, например, мы не можем ожидать, что функция и действительно
принимает заданные граничные значения в изолированных граничных
точках, ибо в случае изолированной граничной точки речь идет об
«устранимой» особенности. Мы предполагаем, что p = k=\t огра-
ограничиваясь, таким образом, дифференциальным выражением Д<? — q*y.
Сформулируем теперь следующую теорему, относящуюся к любой
о
функции <р, принадлежащей к ф и g, для которой Д« принадле-
принадлежит к ф.
Теорема. Пусть Го—^замкнутое множество граничных то-
точек, обладающее тем свойством, что всякая окружность, опи-
описанная из любой точки Го достаточно малым радиусом, пересе-
пересекает Го, по крайней мере, в одной точке; это условие, например,
выполняется в случае, когда Го является непрерывной линией.
Обозначим через ? некоторую функцию из ?у, через g некоторую
о
непрерывную в G-\~Y функцию из ф и пусть <р—g лежит в S).
Тогда у—g стремится к нулю, когда точка (х, у) области G
стремится к внутренней точке множества Го. При этом мы
называем внутренней точкой Го такую точку на Го, расстояние
которой от дополнительного множества
f граничных точек Г—Го больше нуля.
' ° В частности, мы получаем, что как для
краевой задачи дифференциального урав-
уравнения Дй—q*u = —/, так и для задачи
о собственных значениях дифференциаль-
дифференциального уравнения
решение и действительно принимает вдоль
границы Го краевые значения g или соответ-
соответственно нуль.
Черт. 53. Пусть Р точка области О, находящаяся
на расстоянии 2А от границы Г; обозначим
через R точку границы Г, для которой расстояние PR = 2А. Допу-
Допустим, что Р находится настолько близко от некоторой внутренней
точки Го, что точка R принадлежит к Го. Опишем из точки Р
круг Kh радиусом А. Этот круг целиком содержится в G. Наконец,
обозначим через Ssh пересечение области G с кругом, описанным из
граничной точки R радиусом ЗА. Далее, пусть расстояние А на-
• столько мало, что все окружности, описанные из точки R каким-
нибудь радиусом г ^ ЗА, пересекают множество граничных точек Го.
С помощью этого построения мы проведем доказательство нашей
теоремы, разбив его на несколько шагов.

4J ХАРАКТЕР ПРИБЛИЖЕНИЯ К КРАЕВЫМ ЗНАЧЕНИЯМ 561
О
Лемма 1. Если 4* содержится в 5D, то имеет место неравенство
где константа С — 36ir.
Так как по предположению D [&] существует, то правая часть
Этого неравенства стремится вместе с Л к нулю, так что из этого
'.неравенства будет следовать, что среднее значение функции ^ в обла-
области /Сй также стремится к нулю при h —> 0.
Чтобы доказать нашу лемму, достаточно провести доказательство
при предположении, что ty содержится в ©, ибо путем процесса замы-
замыкания мы сможем от таких функций непосредственно перейти к лю-
о
.бым функциям из 35.
Обозначим через Сг лежащую в Ssjt дугу окружности радиуса
г -^ З/z с центром в точке /?, которая по условию пересекает Го.
Введем полярные координаты г и Ь с началом координат в R. Если
А — какая-нибудь точка дуги Сг, а АА0 — часть дуги Сг, соединяю-
соединяющая А с точкой пересечения Ао дуги С,, с Го, то для функции ф из
ф в силу того, что ty(A0) = 0, имеет место соотношение
«{-(Л) = 4 (А) — Ф04о)=
причем стоящий справа интеграл берется по дуге окружности ЛЛ0.
Неравенство Шварца дает нам тогда
Проинтегрируем это неравенство по 9, перемещая А вдоль Сг. Мы
получим:
Проинтегрировав затем по г в пределах от нуля до ЗА, мы получим
далее:
J f tfdxdy*C4Tz2 J J ri
Но на основании неравенства Шварца
что и доказывает нашу лемму для С=36тг.

562 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
Лемма 2. Если а> принадлежит к gf, т. е. если Д<р принадле-
принадлежит к ф, то имеет место неравенство
>~W J У
Мы докажем это неравенство в § 5 [формула A5)] в примечании на
стр. 565.
Лемма 3. Для всякой непрерывной в О-{-Г функции g имеет
место соотношение
Это соотношение является непосредственным следствием непрерыв-
непрерывности g.
Применим теперь лемму 1 к функции <J> = <p—g. В соединении
с леммами 2 и 3 мы получим:
Так как все три члена правой части стремятся вместе с А к нулю,
то наша теорема доказана.
§ 5. Построение предельных функций и свойства сходимости
интегралов Е, D и Н
1. Построение предельных функций. Процесс построения реше-
решений и задач, рассмотренных в §§ 2 и 3, а также задач с другими
краевыми условиями, которые будут рассмотрены в §§ 6 и 7, про-
проводится на основе двух теорем общего характера.
Перейдем к доказательству первой из этих теорем *).
Теорема 1. Пусть f—функция, непрерывная в O-\-Y и
кусочно-непрерывно дифференцируемая в G; рассмотрим последо-
последовательность функций у из пространства ф, удовлетворяющую
условиям:
Н[<?-< — а^-э-О, A)
D [?' — cpf-I -> 0, . B)
?[?' — ч*]-» 0, C)
и пусть имеет место соотношение
Е[Г, С'] — H\f, СЧ-*-0 D)
*) Заметим, что упомянутое выше автоматическое упрощение метода для
случая дифференциального уравнения Аи = 0 имеет место, прежде всего,
при доказательстве теоремы 1.

? 5J ПОСТРОЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 563
о
для всякой последовательности функций С из 3) с равномерно
ограниченным ?[CV], так что
E)
Тогда существует дважды непрерывно дифференцируемая в G
функция и, удовлетворяющая дифференциальному уравнению
/.[«] = —/
и предельному соотношению
HG, [?" — «, С1-+ 0, G)
имеющему место дли любой функции С из ф и любой замкнутой
частичной области G' области G.
Заметим, прежде всего, что, не ограничивая общности, мы можем
положить р = 1. В самом деле, если мы введем вместо о новый
функциональный аргумент
ф = w% (8)
где
(см. стр. 541), то Е[<р] перейдет в
J J {«? 4-4$ + Ш&* + 2*«„ + qf] dxdy,
G
Я
H[o] в j fk^dxdy,
g'
причем
2aw-&w
jB
Эти новые интегралы также являются Е- и //-интегралами перво-
первоначального вида, и их коэффициенты удовлетворяют всем поставлен-
поставленным требованиям непрерывности и дифференцируемостн. Неравен-
Неравенства C) и D) из § 1 могут уже не выполняться, но они нам и не
понадобятся в рассуждениях этого номера.
Далее, имеет место тождество Нк [?] = Н^ Щ. Кроме того, с по-
помощью простых оценок получаются неравенства
Dp [<?] < 2D, [-}] + сЩ Щ; Dl [ф] < 2Dp
где с и с — некоторые константы. Отсюда следует, что просгран-
¦ о
ства §,5), фи?) для функций «> переходят в соответствующие
пространства для функций ф, и наоборот. Наконец, очевидно, что

S64 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
при наших условиях дифференцируемости пространства $ также
переходят друг в друга при преобразовании 'J' = w<o. Итак, этим
доказано, что допущение р = 1 не ограничивает общности рассужде-
рассуждения. В дальнейшем мы будем в этом номере под D и Н подразуме-
подразумевать Dt и Нг. В целях дальнейшего упрощения мы преобразуем
соотношение D) в соотношение
D['f, И + Н [?*<?¦' — kf, С] -+ 0, A0)
где q* = q — йж—Ьу. . Мы получаем эту формулу, интегрируя по
частям выражение
о
сначала при допущении, что С лежит в 5), а затем переходя с по-
о
мощью процесса замыкания к любой функции ? из 2D.
Обозначим через Кв окружности, описанные из точек (х0, _у0)
радиусом /?, через GR — частичную область G, для точек которой окруж-
окружность/^ целиком лежит в G, и, полагая г2 — (х—хоJ-\-(у—уоJг
введем в рассмотрение следующую функцию:
^Ъ + ЦЙ' если
(О , если
Эта функция принадлежит $, и существуют две константы ¦: и
такие, что для всех значений R имеют место неравенства
J J>
Же rfj/[<-:/?» A2)
х) Этот вид функции Ч?в существенно зависит от того, что число неза-
независимых переменных равняется двум. Если число т независимых перемен-
переменных х-у,..., хт больше дв/х, то мы должны заменить стоящее выше выра-
выражение для ^'в выражением
т
IF Г | .
в~ (ш — 2) u>in {/""~3 2 ^»1-24" 2
где а>т обозначает поверхность единичной сферы в /я-мерном пространстве
(см. стр. 580). При т = 3 наша теория остается без изменений; только в пра-
правой части неравенства A2)t мы должны написать -ziR вместо itl?-; при
яг>3 нерав-нство A2)!, вообще говоря, уже не имеет места; однако, оне
сохраняется, если q* = 0, т. е., во всяком случае, для краевой задачи диф-
дифференциального уравнения Ь.и = —/.

§ б] ПОСТРОЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 565
Для любой непрерывной функции <», имеющей непрерывные первые
и кусочно-непрерывные вторые производные, имеет место интеграль-
интегральная формула1) (см. гл. IV, § 3, стр. 279)
f fV
A3)
Это наводит на мысль искать интересующее нас решение дифферен-
дифференциального уравнения
Au—q*u = — kf A4)
в виде предела выражения
¦Я? f frdxdy+ J f
Докажем прежде всего, что выражение
U* (*о. Уо'> ®=* S S ?''dx
сходится равномерно относительно х0, у0 для любого /? и любых
точек (лг0, _у0) из области GR к непрерывной предельной функции
U(x0, у0; R)= lim U*(x0, y0, R). A7)
В самом деле, вследствие неравенства Шварца и формул A6) и A2)j
имеет место соотношение
-f 2xtR^HR [q* (?* — ^)] < CHR [(<? — ?к.I -> О,
причем индекс /? указывает, что областью интегрирования является
круг Кв.
Заметим теперь, что функция ^ = WB (х, у) — WB (x, у) при-
принадлежит к 5D, ибо в этой разности особенности функций Wj,
и WR взаимно уничтожаются; более того, функция Z, дважды
кусочно-непрерывно дифференцируема. Поэтому мы имеем право под-
подставить эту функцию' t в наше соотношение A0) и мы получим
тогда следующее предельное равенство:
J) Заметим, что из формул A3) и A2)i вытекает применявшаяся на
стр. 562 оценка: .
Уо) — ^ J / 1"dx *У

666 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ {ГЛ. VII
Применяя формулу Грина G), § 2, мы можем привести это соотно-
соотношение к виду
Лгу
К
Но это означает, что
1 ...
¦Ч*о> Уо'>
Таким образом, функция -^^U{x0, у0; R) не зависит от R.
Положим:
«(*, S) = ^U(x, у; R). A8)
Эта функция и определена, следовательно, во всех областях Ов
а, значит, и во всей области G в качестве непрерывной функции от
х и у. Мы сейчас убедимся в том, что и является искомой нами
функцией. Для этой цели докажем сначала следующую теорему:
Теорема 1а. Для всякой функции С из ф и всякой замкну-
замкнутой подобласти G', содержащейся в G, имеет место при v->-co
предельное соотношение 1)
Пусть область G содержится внутри квадрата с площадью А.
Пусть, далее,
где М—-некоторая константа, не зависящая от v. Такая константа
существует, ибо величины Н [<pvl равномерно ограничены, a HG, [и]
существует в силу равномерной непрерывности и в G'.
В силу неравенства треугольника мы получаем отсюда: HG, [<»v—и] -^
<^ М. Убедимся теперь в том, что достаточно доказать теорему 1а
для случая С = const., например, при ?=1. В самом деле, пусть %
задана произвольная функция С из ф. Разобьем область О' на непере-
неперекрывающиеся подобласти Gv, полагая G' — S(?v, так, чтобы ? была
непрерывной в каждой частичной области Ov, и выберем диаметры
С настолько малыми, чтобы существовала постоянная в каждой из
областей Gv функция С*, удовлетворяющая условию
Н^К —С*]<в, A9)
х) Соотношение G) означает, что функции <pv «слабо» сходятся к функ-
функции и в смысле метрики Я для подобласти О'.

§ 5] ПОСТРОЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 567
где е — произвольное заданное число. В силу неравенства Шварца
мы получим тогда
Но если теорема 1а справедлива для постоянных функций С, то она
справедлива также и для кусочно-постоянных С*, так что выражение
Н№—и, ?*1 стремится к нулю; так как мы можем выбрать е
сколь угодно малым, то теорема 1а будет, таким образом, доказана
для любой функции ? из .§>.
Итак, остается доказать нашу теорему при С = 1, т. е. доказать
соотношение
Наг \Т — м> 1] = { { if — и) dx dy -»¦ О. B0)
G'
Для этой цели заметим прежде всего следующее: G' можно разбить
на конечное число кругов /Cv(v=l, 2,..., N) с центрами Рч и
радиусами rv и остаточную область В, площадь которой меньше
любого сколь угодно малого заданного числа е2. При этом мы можем
радиусы гч этих кругов выбрать сколь угодно малыми, например,
В силу равномерной непрерывности функции м в С мы полу-
получим тогда, обозначая через и(Рч) значение и в центре круга Я„
что
W
B1)
f f
где 8 = 8 (e) может быть сделано сколь угодно малым, если выбрать
е достаточно малым 2).
С другой стороны, если путем соответствующего выбора е
сделать остаточную область В достаточно малой, то имеет место
неравенство
N
\( frdxdy — ^ f jrdxdyUb, B2)
G' ^=1 Kj
*) Доказательство. Исчерпаем сначала С с помощью конечного
числа неперекрывающихся квадратов со сторонами длины меньше 2е так,
чтобы остаточная область имела площадь, меньшую -g-. В каждом квадрате
рассмотрим вписанный круг. Остающиеся частичные области мы снова по-
покрываем квадратами так, чтобы площадь оставшейся области была
меньше -у, присоединяем вписанные круги этих новых квадратов и про»"
должаем в геометрической прогрессии. Очевидно, что таким путем мы
получим систему кругов указанного рода.
2) Это утверждение вытекает непосредственно из элементарного опреде-
определения интеграла, которое впрочем здесь используется в несколько необыч-
необычной форме.

568 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VU
ибо площадь В не больше е2, а, следовательно, квадрат левой части
в силу неравенства Шварца не превосходит
Чтобы оценить разность
Ki
заметим, что согласно определениям A6) и A7) функций U'(Pj; r^)
и U(JPj\ r-) мы имеем:
f j w4dx dy vr]u(P) Tzr
В силу равномерной сходимости t/v существует такая стремящаяся
к нулю величина o(v), зависящая только от v, что
\и*{Рл; rj)—U(Pj; rj)\<o<y).
Так как Гу-<е, то на основании A2) и A2)х имеет место оценка
KJ
где а и а1 обозначают верхние границы |А/| и |^*|. Полагая
е У ij ~^- aj -j- e2ta = irj, мы получим:
\ §f о dxdy — кг)а(Р,-)| <я/^ + о(v)t
откуда путем суммирования по всем кругам Kj вытекает следующее
неравенство:
) ffJ^ri B3)
где А — площадь G'. Из неравенства B3) вытекает в силу неравен-
неравенств B1) и B2) следующая оценка:
ff&dxdy— J J udxdy
iff'
Выбрав достаточно малое «, мы можем сделать S, St и ij сколь
угодно малыми; фиксировав затем е и заставляя v неограниченно воз-
возрастать, мы найдем такое достаточно большое значение v, для коте-

К 5] ПОСТРОЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 569
рого No (у) будет меньше любого сколь угодно малого положитель-
положительного числа. Отсюда следует, что при v -»¦ со
G'
If теорема 1а, таким образом, доказана.
Из теоремы 1а мы делаем теперь следующий вывод:
Полагая в формуле G)
II
~zm Н~~ Q* * в внутри Kb i
О вне Кв,
мы получим:
^ fudxdy-j-
kb
-j- J J q*WBudxdy~
Отсюда следует на основании уравнений A6), A7), A8).
Теорема 16. Для предельной функции и(х, у) иМеет мест»-
в области GR следующая интегральная формула:
и(*о. Уо)=*1Гф fJudxdy-\-jfwB(g*u — kf)dxdy. B4>
KR Kr
Из этой теоремы следует, далее, в силу рассмотрений гл. IV, § 3,-
стр. 280 — 286 и свойств дифференцируемое™ q, k, f.
Теорема 1в. Функция и имеет в G непрерывные производ-
производные до второго порядка включительно.
Опираясь снова на результаты гл. IV, § 3, п. 2 об обращении
теорем о среднем значении, мы получим следующую теорему:
Теорема 1г. Функция и удовлетворяет дифференциальному
уравнению
Дм—q*u——k/ A4)
или соответственно дифференциальному уравнению
L [«] = —/, F)
если с помощью преобразования, обратного преобразованию (8), (9),
вернуться к первоначальному функциональному аргументу ад.
Заметим, что эту последнюю часть теоремы 1 мы можем доказать
другим путем, не ссылаясь на гл. IV, если только считать доказан*
ной непрерывность вторых производных функции и. Мы можем рас-
рассуждать так:
Подставим в уравнение G) функцию С из 2), имеющую непрерыв-
непрерывные производные вплоть до второго порядка включительно. Тогда мы
можем уравнение G) представить на основании формулы Грина в форме .

570 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
Применим теперь теорему 1а, заменяя С через L[Q. Мы получим:
Н{и, L И}+//[/, С] = 0.
Так как по предположению функция и имеет непрерывные вторые
производные до второго порядка, то мы можем теперь снова приме-
применить формулу Грина в обратном направлении и представить преды-
предыдущее соотношение в форме
H[L[u\, С}+//[/, C] = //{L[ii]-f-/. С} = 0.
Так как С здесь обозначает произвольную функцию из 25, то на
основании фундаментальной леммы вариационного исчисления (см.
т. I, гл. IV, стр. 174) мы отсюда заключаем, что L[u]-j-f—O, что
и требуется доказать.
2. Свойства сходимости интегралов D и Я. Докажем теперь
общую теорему, связывающую между собой различные свойства схо-
сходимости вариационных интегралов D и Н, т. е. свойства сходимости
функциональных последовательностей в смысле метрик D и И. Эту
теорему мы применяли в §§ 2 и 3 вместе с теоремой 1.
Теорема 2. Пусть у — последовательность функций из 25,
для которой выполняются условия B4) //[<sv—ои-]—>0 и
D [у — ait] _> 0. B5)
Пусть, далее, и обозначает непрерывно дифференцируемую в О
функцию, для которой выполняется условие
Н&1Г — и, Ц-*0 B6)
¦для любой функции С из ф и любой замкнутой подобласти G'
области G. Тогда и принадлежит 55 и удовлетворяет условиям
Н№ — и]->-0 B7)
и
D [<?•> — м]-* О1). B8)
Разобьем наше доказательство на три шага. Докажем прежде
всего следующую теорему:
Теорема А. Пусть $ч — некоторая последовательность из ф и
пусть для любой непрерывной функции С из ф выполняется условие
tf[f, Cl-»0; B9)
кроме того, пусть выполняется условие
Н1$—ф]-+0. C0)
Тогда имеет место соотношение
Я[^1->0. C1)
*) Другими словами, из сильной сходимости в себе последовательности
у в смысле метрик D и Н и из слабой сходимости функций tpv к пре-
предельной функции и в смысле метрики Н для любой замкнутой подобла-
подобласти G вытекает сильная сходимость <pv к и во всей области G как
в смысле метрики Н, так и в смысле метрики D.

§ 5] ПОСТРОЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 571
Доказательство. В силу теоремы 4 из § 1 выражения
ограничены. Из тождества
вытекает, далее, неравенство
Выберем теперь на основании условия C0) ja настолько большим,
ятобы при v>y. выполнялось условие Я[фУ— «J^l <4-> где е — неко-
некоторое заданное положительное число. Зафиксировав ja, выберем
теперь индекс v настолько большим, чтобы в силу условия B9) для
? = ^ выполнялось условие | Н {if, 4^1 I < тг •
Мы получим отсюда Н [$'] < е. Так как е — произвольное сколь
угодно малое число, то соотношение C1), таким образом, доказано.
Теорема Б. Пусть if — такая последовательность из 5D, что
для любой функции С из ф выполняется условие
Л[ф\ Ц-0; C2)
кроме того, пусть последовательность ^* сходится в себе в смысле
метрики D, т. е. пусть
D[f — f]-*0. C3)
Тогда имеет место соотношение
D [4<vl -> 0. C4)
Мы получим искомое соотношение C4), доказав, что имеют место
соотношения
Я[^]->0; ЛИ;]-* О. C5)
Для этой цели на основании теоремы А достаточно показать, что для
любой функции С из ф выполняются условия
Л[<&,С]-*0; Л[^С]-*0. C6)
Докажем, прежде всего, следующую лемму:
Лемма. Соотношения C6) имеют место для всех функций С
из ?>, если они и^ют место для функций С = ш из 4?, имеющих
кусочно-непрерывные первые производные и отличных от нуля
только в каком-нибудь квадрате Q, содержащемся в G-
Доказательство. Если соотношения C6) имеют место для
всех функций С = <о указанного выше типа, то они имеют место и
для всякой суммы С' конечного числа таких функций. Докажем,
что для всякой функции С из ф можно найти такую конечную
сумму С' указанного типа, что
Н [С —Ч< е2, C7)
где е — сколь угодно малое число. Тогда из неравенства
С'-С]|<

572 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
и из того, что оба члена правой части можно сделать сколь угодно
малыми (выбором достаточно малого е и достаточно большого v)
будет следовать, что левая часть стремится к нулю при v->oo. To
же самое относится и к H[ty', С]. Чтобы доказать теперь возмож-
возможность аппроксимирования С в смысле C7) с помощью сумм С функ-
функций типа <в, поступим так: сначала аппроксимируем функцию С с по-
помощью функции С*, которая отлична от нуля только в конечном
числе квадратов Q, области G и в каждом из этих квадратов по-
постоянна. Для этой цели обозначим снова через е сколь угодно малое
положительное число; устранив из области О точки и линии раз-
разрыва С, исчерпаем оставшуюся часть О с помощью конечного числа
квадратов так, чтобы для остаточной области В выполнялось
неравенство Нв [С] ^ е2. Эти квадраты мы снова разобьем на доста-
достаточно мелкие квадраты Qv таким образом, чтобы колебание С внутри
каждого такого частичного квадрата не превосходило е. Определим
теперь функцию ?*, считая ее в каждом квадрате Q4 равной сред-
среднему значению С в этом квадрате и полагая в остаточной области В
?* = 0. Очевидно, что тогда Я [С*— С]<е2-|-е2Д где А — верхняя
граница площади О. Это и доказывает, что t можно аппроксимиро-
аппроксимировать с помощью С*. Остается доказать, что функцию С*, а следова-
следовательно, и С можно аппроксимировать с помощью функции типа V.
Для этого достаточно убедиться в том, что функция, постоянная
в квадрате Q, и равная в этом квадрате, например, единице, а вне
этого квадрата всюду равная нулю, может быть аппроксимирована
в смысле метрики Я с помощью функции типа <в, равной, сверх
того, нулю вне квадрата Q,. Но это, очевидно, может быть легко
достигнуто с помощью кусочно-линейной функции <в. Таким образом,
наша лемма доказана.
Чтобы доказать теперь теорему Б, рассмотрим какой-нибудь
квадрат Q в области О и пусть <в обозначает функцию, непрерывную
и кусочно-непрерывно дифференцируемую в О, обращающуюся
в нуль вне квадрата Q. Интегрируя по частям, мы находим:
применяя условие C2) к функциям ^ = а>я и С = а>ь, мы получим
•тсю да:
ш]->0, Я ИЛ, ш]-»0.
Таким образом, соотношения C6) доказаны для всех функций С = ш;
но согласно предыдущей лемме отсюда вытекает их справедливость
также для всех функций С из ф. На основании замечания, сделанного
нами с самого начала, из соотношений C6) непосредственно вытекает
справедливость самой теоремы Б.
Теорема 2 является простым следствием теорем А и Б. Применяя
эти теоремы к функциям ^ = ©* — к сначала только для подобла-

§ 6] КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА 573
сгей О' области О, мы получим, что для любой подобласти О' имеют
место соотношения
HG.\V — «]-»• 0, De,[r — к]-*0.
На основании теоремы 4, § 1 отсюда непосредственно следует, что
Нд, [?Ч ~> Нд, [«], DG, ['f ] ~* Dg, [U] .
Так как величины HG, [с?1] < Н [срv] и Dg,, ['f] < D [ov] ограничены, то
отсюда вытекает существование Н[и] и D[u], т. е. функция и со-
содержится в ?>. Но теперь мы заключаем из соотношения B6), что
для всей области О имеет место соотношение Н [rf — и, С] -> 0.
Поэтому мы имеем право применить теоремы А и Б ко всей обла-
области О и получаем, таким образом, соотношения B7) и B8), так что
теорема 2 полностью доказана.
Полученные в настоящем параграфе результаты не только завер-
завершают доказательства теорем существования для краевого условия
первого рода (§§ 2 и 3), но могут быть применены также и при
доказательствах существования для других краевых условий
(§§ 6 и 7).
§ 6. Краевые условия второго и третьего рода. Краевая задача
1. Формула Грина и краевые условия. Чтобы притти к упомя-
упомянутой в § 1 общей формулировке краевых условий второго и
третьего рода, рассмотрим область G с границей Г и зададим в О
последовательность замкнутых частичных областей Ge с кусочно-
гладкими границами Г6 так, чтобы расстояние каждой точки Ге от
границы Г было меньше е. Применим к области Ое формулу Грина
для выражения
предполагая, что о принадлежит g, a ty принадлежит ф, но не под-
подчиняя эти функции каким бы то ни было краевым условиям.
Формула Грина записывается так:
причем -g^- обозначает дифференцирование по внешней нормали к Ге,
s — длину дуги на Ге, а а = а-^-\-Ь-^. Когда е стремится к нулю,
оба члена левой части формулы Грина стремятся к определенным
пределам; поэгому существует также предел правой части. Обозначим
этот предел через j (p ~^--\-cAbds и назовем его контурным
г
интегралом, взятым по границе Г области G, ничего, однако,
не предполагая при этом относительно поведения функции ty и произ-

574 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIJ
водных функции <р вдоль Г и не требуя даже существования напра-
направления и длины дуги вдоль этого контура. \
Мы можем выразить это определение, записывая формулу Грина
в виде
г
для о, лежащего в g, и ф, лежащего в 5?>.
Мы можем теперь формулировать краевые условия второго и
третьего рода для функции <р из g так: какова бы ни была функ-
функция 4* из Ф, должно выполняться условие
?[?,tl = -H[i[?Hl. B)
Это краевое условие для функции ср, таким образом, равносильно
требованию, чтобы вдоль границы Г имело место предельное соот-
соотношение
/(р-^ + «р)фЛ-0») C)
для любого 41 из Ф. В силу нашего определения условие C) имеет
смысл даже в" том случае, когда функция о и нормальные производ-
производные функции © вдоль границы Г сами по себе смысла не имеют.
Если о = 0, то мы называем наше краевое условие условием второго
рода, в противном случае мы говорим об условии третьего рода.
Заметим, однако, что при нашем способе изложения нам не прихо-
приходится делать этого традиционного различия между условиями второго
и третьего рода, ибо, например, при преобразованиях ур у = <р1
краевое условие второго рода для ср переходит в краевое условие
третьего рода для cpj.
В дальнейшем мы убедимся, что наше краевое условие в таком
слабом смысле представляет собой правильное и вполне обоснован-
обоснованное ограничение обычного краевого условия, которое в своем бук-
буквальном понимании может оказаться невыполнимым, ибо наша форму-
формулировка дает возможность решить краевые задачи и задачи
*) Мы ограничиваемся здесь однородным краевым условием, тогда как,-
вообще говоря, мы должны были бы рассматривать по аналогии с § 2 крае-
краевые условия вида р -^— (9 — g) -f-г (<? — S) — 0, где g— заданная функция
из ©. Мы можем обосновать этот отказ от общей формулировки краевого
условия следующим образом: если g принадлежит пространству g, то путем
введения функции ф = <Р— g мы придем к соответствующей краевой задаче
дифференциального уравнения для v = u — g с однородным краевым усло-
условием. Таким образом, с точностью до свойств дифференцируемое™ функ-
функции g неоднородное краевое условие не является существенным обобщением
однородного краевого условия.
Заметим, что рассматриваемая нами здесь форма вариационного выра-
выражения имеет для доказательств существования то преимущество перед
выражениями, рассмотренными в т. Ii гл. VI, что в него не входят в явном
виде интегралы по контуру.

§6] КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА 575
о собственных значениях для рассматриваемых областей, обеспечивая
при этом единственность решения краевых задач и полноту решения
задач о собственных значениях. В связи с этим мы будем иногда
пользоваться следующим термином:
!: Определение. Все функции © из g, для которых выполняется
«краевое условие C), образуют пространство g0.
Таким образом, согласно определению для всякой функции <р иэ
So и iji из © имеет место формула Грина B).
2. Формулировка краевой задачи и вариационной задачи.
'Краевая задача III. Найти функцию и, принадлежащую простран-
пространству f§a, т. е. удовлетворяющую краевому условию
для всех функций С из © и являющуюся в О решением диффе-
дифференциального уравнения
L[u] = -f. E)
При этом / обозначает заданную в G-f Г непрерывную функцию,
имеющую кусочно-непрерывные первые производные.
В том частном случае, когда всюду в G a~b — q — 0, так что
?>[?], F)
мы должны заданную функцию f и искомую функцию и подчинить
еще условиям
J J kfdxdy^O G)
о
о
и
J J kudxdy = 0. (8)
о
Необходимость условия G) непосредственно вытекает из предполо-
предположения существования решения и краевой задачи III. В самом деле,
положим в формуле Грина B) » = к, ф=1. Так как D [и, 1] = 0
и L[u] = —/, то мы получим Г Г kfdxdy = 0, т. е. условие G);
таким образом, это условие является необходимым условием разре-
разрешимости рассматриваемой краевой задачи. Что же касается усло-
условия (8), то оно не является ограничительным; в самом деле, так как
L[c]—O для любого постоянного с, то наряду с и функция и-f-с
также является решением задачи, и условие (8) дает возможность
однозначно определить константу с и обеспечивает, как мы увидим,
единственность решения нашей задачи.
Чтобы решить нашу краевую задачу, мы докажем эквивалентность
этой задачи следующей вариационной задаче, которую мы решим
непосредственно.

576 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
Вариационная задача III. Среда всех функций ср из Ф
найти ту, для которой выражение
?[<?]—2Я[/, ср] (9)
имеет наименьшее значение d. При этом в случае а = b = q = 0
заданная функция / должна удовлетворять условию G), а функции
сравнения о должны быть подчинены дополнительному условию
J J kodxdy^O. A0)
G
13 этой задаче мы не вводим заранее никаких краевых условий. Не-
Несмотря на это, решение вариационной задачи само собой удовлетво-
удовлетворяет формулированным выше краевым условиям. Поэтому мы назы-
называем эти условия «естественными краевыми условиями» *).
Чтобы обосновать дополнительные условия G) и A0), исходя из
вариационной задачи, заметим, что в случае а = Ь = q = 0 выраже-
выражение ?>[<р] не изменяется, если к функции е> прибавить постоянную с,
тогда как выражение. —2//[/, о] может быть сделано при этом
сколь угодно большим по абсолютному значению отрицательным
числом, если только не выполняется условие G). Таким образом,
это условие необходимо для того, чтобы существовала нижняя гра-
граница нашего вариационного выражения, т. е. для того, чтобы наша
вариационная задача имела смысл.
8. Ограничение класса допустимых областей. Для того, чтобы
обеспечить существование нижней границы для нашей вариационной
задачи III и затем решить эту вариационную задачу, уже нельзя
положить в основу совершенно произвольную связную открытую
область или даже некоторое открытое точечное множество G, как
мы это делали раньше при краевом условии первого рода; как мы
убедимся в § 8 на отдельных примерах, для таких произвольных
областей могут оказаться уже несправедливыми основное неравенство
из § 2 и теорема Реллиха, на которых основывались все наши рас-
рассуждения в случае краевого условия первого рода.
Чтобы иметь возможность провести теорию решения краевой
задачи для краевых условий второго и третьего рода, мы должны
поэтому формулировать ограничительные требования, которым
должны быть подчинены допустимые области О. Во-первых, мы тре-
требуем, чтобы для области О сохранялось неравенство Пуанкаре,
которое нами было доказано в § 3, п. 1, стр. 552 для квадрата Q.
Второе требование распространяет основное неравенство I из § 2,
е
доказанное там только для пространства Ф, на все пространство Ф.
Точнее формулируя, мы можем выразить эти требования следующим
образом:
*) См. т. I, гл. IV, § 5.

§ Ь] КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА 577
Требование I (Неравенство Пуанкаре). Для обла-
области О должна существовать такая константа к, что для всякой
функции <р из ф выполняется условие
]\ ^DW (И)
Требование II. Если a, b и q не обращаются одновременно
в нуль всюду в О, то для области О существует такая кон-
константа f, что для всех функций ср из © имеет место неравен-
неравенство
я[<р]<л?М- A2)
В § 8 мы покажем, что оба эти требования выполняются для очень
общего класса областей 9t, содержащего все те типы областей,
с которыми мы встречаемся на практике. Если область О удовле-
удовлетворяет только что формулированным требованиям I и II, то мы
скажем, что область О обладает свойством ф. Формулируем теперь
следующую теорему:
Теорема 1. Для области О, обладающей свойством ф,
вариационное выражение
?[ср] —2Я[/, ср] (9)
имеет для всех ср из © конечную нижнюю границу; вариационная
задача имеет поэтому смысл. В случае а = b = q = O мы должны
при этом ввести в качестве дополнительного условия условие G).
Для доказательства заметим, что как в частном случае, когда
всюду в G выполняются условия a—b=q=0 и функция ср удов-
удовлетворяет условию A0), так и в общем случае имеет место нера-
неравенство Н [ср] ^ f? [ср] для всех функций ср из 2Х Во втором случае
это неравенство выражается требованием И, а в первом случае оно
вытекает из требования I в силу условия A0). Отсюда следует:
так что
Е [ср] — 2Я [/, <р] > 1Е [<pl — 2ТН [/] >—2ТЯ [/].
4. Эквивалентность вариационной задачи и краевой задачи.
Единственность. Дальнейшие рассмотрения нашей вариационной
задачи и соответствующей краевой задачи проводятся теперь бук-
буквально так же, как и в случае фиксированных краевых значений.
Прежде всего имеет место, как и в § 2,
Теорема 2. Решение краевой задачи III является также
решением вариационной задачи III, и далее,
Теорема 3. Решение краевой задачи III однозначно опреде-
определено. В самом деле, разность и двух решений краевой задачи III

578 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [tJl: VJI
дает решение этой краевой задачи для дифференциального уравнения
L[u}~О, но из формулы Грина B) при «р == ^ = ы следует, что
Е[и\ = 0, а в силу неравенств A1) или A2) мы получаем отсюда,
что //[н] = 0, так что функция и тождественно равна нулю.
5. Решение вариационной задачи и краевой задачи. Решение
вариационной задачи, а вместе с этим и краевой задачи может быть
получено теперь в точности таким же путем, как и в § 2, после
того как мы обеспечили существование нижней границы, а следова-
следовательно, и минимизирующей последовательности у. Совершенно таким
же путем, как и раньше, мы доказываем, что для такой минимизи-
минимизирующей последовательности выполняется условие
ЕЦ, С]— H[f, С]-* 0 A3)
для всех последовательностей V из ?>, удовлетворяющих требованию
Отсюда вытекают на основании неравенств A1) и соответственно
A2) соотношения
Е№— 9^1-*°; A4)
D[y~^]-^O; A5)
H[f~<fV-]-+O. A6)
Все эти факты доказываются дословно так же, как и формально им
тождественные соотношения A0), A1) и A2) из § 2. Разница
только в том, что функции ср уже не должны здесь принадлежать
о
пространству 3D, а могут быть любыми функциями из ©. Приме-
Применяя теперь теоремы 1 и 2 из § 5 дословно так же, как и в § 2 и
соответственно в § 3, мы построим предельную функцию и, обладаю-
обладающую следующими свойствами: и принадлежит пространству g и удо-
удовлетворяет дифференциальному уравнению L [и] = — /; при этом
?[?•'—и]->0; ?> ['f — и]-> 0; tf['f— и]-*0,
откуда следует Е [у]-*¦ Е [и], H[f, «v]->//|/, и], так что Е[и\—-
— 2H[f, u] = d. Из вариационного условия Е[<р\ С] — #[/, Q -»0,
имеющего место для всех С из Ф, следует в силу A4), A5) и
теоремы 4 из § 1 соотношение Е [и, Ц — И [/, С] — 0. Это соотноше-
соотношение равносильно нашему краевому условию D) и показывает, таким
образом, что функция и является также решением нашей краевой задачи.
§ 7. Задача о собственных значениях для краевых условий
второго и третьего рода
Согласно нашим замечаниям в начале предыдущего параграфа мы
прежде всего вводим ограничительное условие, которому должна
удовлетворять область О.
Требование 3 (Теорема Р е л л и х а). Область О должна
обладать следующим свойством: во всякой последовательности

§ 7] ЗАЛАЧА О СОЁСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 579
функций cpv из ф, для которой выражения E[<pv] « H[y] ограни-
ограничены, существует подпоследовательность, для ко/порой выпол-
выполняется условие
H[<f — tov-] ->0.
Такие области мы будем называть областями, обладающими свой-
свойством 5R. В § 8 мы докажем, что класс Ш областей, обладающих
свойством ф, обладает также свойством 9{, так что для этого класса
областей имеет место изложенная выше теория Краевой задачи и
задачи о собственных значениях. Задача о собственных значениях
формулируется так:
Задача о собственных значениях IV. Требуется найти
такие значения параметра л и такие функции и, не обращающиеся
тождественно в нуль в области О, которые, во-первых, принадлежат
к $„, т- е- удовлетворяют краевому условию
для всех функций С из Ф, и, во-вторых, являются решениями диф-
дифференциального уравнения
L[u]-{-ku = O, B)
Первое (наименьшее) собственное значение k =±* kt этой задачи и
соответствующая собственная функция и = и^ получаются как реше-
решения следующей вариационной задачи:
Вариационная задача о собственных значениях IV.
Среди всех функций « из 5D, удовлетворяющих дополнительному
условию
Я[?]=1, C)
найти ту, для которой выражение
E[f] D)
имеет наименьшее значение X.
Краевых условий мы снова не ставим. Условие A) получается
само собой как естественное краевое условие.
Из условия Н [<?] ^g т Е [<р] непосредственно вытекает, что наша
задача имеет смысл, т. е. что существует нижняя граница X
написанного выше интеграла D) при добавочном условии C).
Далее, мы получаем дословно так же, как и в § 3, что для
всякой минимизирующей последовательности <р имеет место вариа-
вариационное условие
Е[9\ СЧ — Wtf, С]-*0, E)
причем, однако, здесь это условие должно выполняться для любой
последовательности функций С из ф (а не только для последова-
последовательностей из подпространства Ф), если только Е [С

680 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОДЫ {ГЛ. Vfi
при некотором фиксированном М. Отсюда получается так же, как
и в § 3, соотношение
Е[<р—<о*\ — Ш[ф— с^]->.0. F)
Мы можем теперь провести решение нашей вариационной задачи
точно таким же образом, как и в § 3; в самом деле, в силу требо-
требования 3 для функциональной последовательности <pv вследствие огра-
ограниченности Е [у] имеет место теорема Реллиха. Поэтому можно вы-
выбрать такую подпоследовательность, что для нее выполняется условие
Н[у— ср>Ч->0. G)
В силу соотношения F) мы получаем, что имеют место также условия
Е [<р< — yv-] -> 0, D [срч — yv-] -* 0. (8)
Но на основании соотношений E), G) и (8) мы заключаем, поль-
пользуясь теоремами 1 и 2 из § 5, .что существует предельная функ-
функция и из f§, которая имеет непрерывные производные до второго
порядка, удовлетворяет дифференциальному уравнению B) и для
которой выполняются условия
?[ср' — и]->0, Я[<р"< — к]-*0. (9)
Рассуждение здесь ведется в точности так же, как и в § 3.
В силу теоремы 4 из § 1 мы получаем отсюда: Е[и] = Х,
Н[и] = 1. Итак, к является решением нашей вариационной задачи о соб-
собственных значениях IV. Поэтому имеет место вариационное условие
Е[и, Ц — Ш[и, С] = 0, A0)
где С — произвольная функция из ф. Условие A0) впрочем непо-
непосредственно вытекает из уравнений (б) и (9).
Из условия A0) мы получим, принимая во внимание дифферен-
дифференциальное уравнение B), что и удовлетворяет заданному краевому
условию A). Таким образом, задача о собственных значениях решена,
поскольку речь идет о построении первой собственной функции
«==«j и первого собственного значения Х = Х1.
Заметим, что в случае a — b = q = 0 это собственное значение
равно нулю, а соответствующая собственная функция постоянна.
Следующие собственные значения Х2, Х3, ... и соответствующие
собственные функции к2, и3, ... мы получим дословно таким же
образом, как и в § 3, п. 3, как решения следующих вариационных
задач: среди всех функций е> из ?>, удовлетворяющих условию
Н[<р] = 1 и добавочным условиям Н[и>, щ\ =0 (v== 1, 2, ..., и — 1),
найти ту, для которой выражение Е [<р] имеет наименьшее значение.
Решение этой задачи дает в качестве искомого наименьшего значе-
значения собственное значение А —Х„, а в качестве соответствующей
функции ср — собственную функцию и — ип. Как и в § 3, п. 3 мы
получаем систему условий ортогональности
{ l\i при п =

§ 8]
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ
581
и доказываем, что кп неограниченно растет при возрастании п и,
наконец, получаем теорему:
Теорема полноты. Для всякой функции <о из © с коэффи-
коэффициентами Фурье сп = Н[<?, ип] имеют место условия полноты
§ 8. Исследование областей, рассматриваемых при краевых
условиях второго и третьего рода
1. Области типа 9t. Теоремы существования §§ 6, 7 зависели
существенным образом от требования, чтобы для рассматриваемых
областей О имели место неравенство Пуанкаре и основное неравен-
неравенство A2), стр. 277 или, соответственно, теорема Реллиха, при-
причём допустимые функции ср не были подчинены никаким краевым усло-
условиям. Мы укажем теперь класс 9t областей, обла-
обладающих обоими свойствами ф и 5Я, содержащий
все обычно встречающиеся области.
Назовем нормальной областью всякую область,
конгруэнтную области
0<л;<а, 0<^/</(л;\ (l)
где f(x) обозначает функцию, непрерывную и
положительную в промежутке 0 -^ х ^ а. Каждой
нормальной области принадлежат два числа Ь, с
такие, что при 0 -^ х ^ а выполняется условие
0< ft </(*)<с B)
(а и b здесь обозначают фиксированные числа и не имеют, разу-
разумеется, никакого отношения к коэффициентам a, b выражения L [и]).
Назовем прямоугольник
0<л:<д, 0<у<Ь (З)
или соответствующий конгруэнтный ему прямоугольник нормальной
области цоколем S нормальной области.
Определение. Область О называется областью типа 9?, если
она обладает следующими двумя свойствами:
1. О является суммой конечного числа нормальных областей,
которые могут взаимно перекрываться.
2. (Требование связности.) Если задан какой-нибудь квадрат Q,
лежащий внутри G, то должно существовать такое разбиение обла-
области G на нормальные области, чтобы каждую из этих нормальных
областей можно было бы конечным числом шагов связать с квадра-
квадратом Q с помощью цепочки нормальных областей в следующем
смысле: цоколь S каждой области этой цепочки должен содержаться
в следующей нормальной области, а цоколь последней нормальной
области должен содержаться в заданном квадрате Q.

582 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
Задача 1. Доказать, что требование 2 само собой выполняется
для всякой связной области, удовлетворяющей требованию 1. (Произ-
(Произвести, если необходимо, соответствующее дальнейшее разбиение перво-
первоначальных нормальных областей на более мелкие нормальные области.)
Задача 2. Доказать, что всякая выпуклая область является
областью типа St.
Задача 3. Доказать, что если соединение двух областей типа 9}
является связной областью, то оно представляет собой снова область
типа St.
Лемма 1 (Интегральная оценка для нормальных областей). Для
всякой нормальной области В с цоколем 5 и для всякой функции «
из ©в имеет место неравенство
^HS [9] + 2с*ADB ['?], D)
причем интегралы Нв, DB берутся по нормальной области В, инте-
интеграл Hs берется по цоколю 5, k0 и р0 обозначают нижние границы
для k и р, a &j — верхнюю границу для k.
Доказательство. Пусть xv yt— какая-нибудь точка нор-
нормальной области В и 0<>»0<?>; тогда
I <Р (*i, Уд I2 < 2 | <? (*!, У о) I2 + 21 ? (*х, Л) — ?(*!• v0) I2 <
Проинтегрировав это неравенство по xlt yt и д'о, заставляя точку
xv yl пробегать всю область В, а у0 изменяться в промежутке
Ь мы получим:
что и доказывает нашу лемму.
Пусть теперь G представляет собой какую-нибудь область типа St,
состоящую из конечного числа нормальных областей В. Применяя
нашу лемму к каждой нормальной области цепочки нормальных об-
областей Во, Bt, ..., Вч, ..., последний цоколь которой содержится
в Q, мы получим неравенства вида
где х^ и г^ — некоторые константы. Применяя эти неравенства после-
последовательно ко всем нормальным областям, образующим данную
цепочку, мы получим далее неравенство
tfB0['?]O,D[?H-V*?[?l
с постоянными 'с, и га. Суммирование по всем нормальным областям Во,
составляющим область G, дает нам непосредственно следующую
лемму:

§ 8] ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ 583
Лемма 2. Для всякой области О типа 51 и всякого квадрата Q,
содержащегося в О, существуют две константы г и р такие, что для
любой функции <р из 5) имеет место неравенство
//[<p]<TD[<pl-fp/fe[«pl. E)
Из этого неравенства вытекает, как мы сейчас покажем, что рас-
рассматриваемые области обладают свойствами ф, потребованными нами
в § 6, так что для областей типа -ft разрешима краевая задача § 6.
Прежде всего докажем неравентсво Пуанкаре.
Теорема 1. Для области О типа 9t имеет место неравенство
Пуанкаре
для любой функции ср из ©, причем ц обозначает некоторую
константу, зависящую только от области О.
Для доказательства заметим сначала, что согласно § 3, п. 1 для
каждого квадрата Q, лежащего в области О, существует такая кон-
константа Yc чт0 имеет место неравенство Пуанкаре вида
для всех функций ^, удовлетворяющих дополнительному условию
J J ktydxdv = O. (8)
С
Применяя теперь лемму 2, мы получим неравенство
ЯЖ<(х + РТо)ОЖ (9)
при условии, что ^ удовлетворяет условию (8).
Если теперь <р обозначает произвольную функцию из ©, то мы
можем всегда определить константу с — с0 так, чтобы выражение
/У[ф — с] имело наименьшее значение. Мы сразу получаем из этого
условия минимума, что
G
а отсюда непосредственно вытекает, что для любого значения кон-
константы с имеет место неравенство
1 Г /• /> 2
¦в у в
С другой стороны, мы можем всегда найти такую константу с,
чтобы функция ф = 9 — с удовлетворяла условию (8). Применяя
тогда к выражению #[а> — с]~НЩ неравенство (9), мы из нера-
неравенства A0) непосредственно получим неравенство Пуанкаре, в кото-
котором константа у = - -j- f>y0.

584 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ {ГЛ. VIs
Чтобы полностью установить свойства ф, мы должны еще дока
зать следующую теорему:
Теорема 2. Если функции а, Ь и q не обращаются одновре-
одновременно в нуль во всех точках области О типа 31, то существует
такая константа •(, что для всякой функции <р из © имеет место
основное неравенство И [и] <C ?E Щ. Мы исходим из сделанного уже
в § 1, п. 2 допущения:
А($, % 9 = /Н$2 + ^) + 2я? + 2Н: + ?С2>х(!;2 + ?J), (Н)
где у. обозначает некоторую положительную константу, не зависящую
от положения точки (х, у) в области G. Так как
то из определенности формы А, выражаемой условием A1), следует
прежде всего, что q—^-^t—>> 0. Отсюда следует, что если в какой-
нибудь точке функция q обращается в нуль, то в этой точке а и b
также должны равняться нулю. Поэтому в области О должен содер-
содержаться такой замкнутый квадрат Q, в котором q существенно поло-
положительно. Мы утверждаем, что в этой частичной области выражение
q !— остается больше некоторого положительного числа к0.
В самом деле, допустим, что это выражение обращается в нуль
в некоторой точке квадрата Q; тогда а и b не могут в этой точке
одновременно обратиться в нуль. Полагая С=1 и определяя % и ч\
из уравнений "j/^^H—7= —О, Т^^Ч ?===^> мы получим, что
У Р V Р
E2-j-iqa>0, а из неравенства A1) будет следовать, что х = 0 вопреки
предположению. Итак, в области Q существует фиксированная поло-
я2 + Ь2
жительная нижняя граница х0 для выражения q !—, так что
в Q имеет место неравенство
Л>хо^а- A3)
Отсюда следует:
Из неравенства E) леммы 2 и теоремы 1 из § 1 мы теперь заклю-
заключаем, учитывая неравенство A4), что
Н1<?\<($+&)ем, A5)
так что теорема 2 доказана.
Наконец, для обоснования теории собственных значений докажем
следующую теорему:
Теорема 3. Области типа 9t обладают свойством 5R. Для
этой цели выведем сначала неравенство Фридрихса,

§ 8] ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ 585
Теорема 4 (Неравенство Фридрихе а). Для всякого
положительного в существует некоторое конечное число коорди-
координатных функций <olt ..., o>tf из ф таких, что для любой функ-
функции ? из Ъ имеет место неравенство
я
н[?1 <2^к, ?i+sdи- A6)
Так как из этой теоремы следует теорема Реллиха о выборе
сходящейся функциональной подпоследовательности для функций ? из
© дословным повторением доказательства § 3 (стр. 553), то, доказав
теорему 4, мы установим, что области типа 51 обладают
свойством 5R. Для того, чтобы доказать теорему 4, заме-
заметим прежде всего, что мы имеем право ограничиться нор-
нормальной областью В. В самом деле, складывая конеч-
конечное число неравенств, соответствующих нормальным
областям В, образующим заданную область О типа 3?,
мы сразу получим соответствующее неравенство для
всей области G, так как каждая точка области G лишь
конечное число раз покрывается нормальными обла-
областями В, образующими область G. При этом в качестве
координатных функций для области G мы должны Черт. 55.
взять все координатные функции для отдельных нор-
нормальных областей, считая, что каждая из этих функций вне соответ-
соответствующей нормальной области тождественно равна нулю.
Доказательство для нормальной области, заданной неравенствами
A) и B), основывается на применении неравенства Пуанкаре Aа) из
§ 3, п. 1 к квадрату Q с длиной стороны с:
ft? dxdyj + ^^D [<p], A7)
Hq [<?] < [// ft? dxdy
причем мы снова используем здесь стремление к нулю коэффициента
при D [<pl при о2 -> 0. Мы разбиваем прежде всего В на более мелкие
квадраты и нормальные области общего вида, выбирая достаточно
большое целое число М, полагая о=— и проводя прямые:
х = ро, у = к(у., v = l, 2, ..., М).
Таким путем получается разбиение плоскости на квадраты со сторо-
стороной о, с помощью которых мы разбиваем нормальную область В на
неперекрывающиеся между собой нормальные области Щ, поступая
следующим образом: если какой-нибудь квадрат Q со стороной а
вместе со смежным, лежащим выше его квадратом, содержится в В,
то мы принимаем этот квадрат за нормальную область /Q; если же
содержащийся в В квадрат Q не обладает этим свойством, то мы
соединяем квадрат Q вместе с частью вышележащего смежного
квадрата, содержащейся в области В, в одну нормальную область К*,
рассматривая квадрат Q как цоколь области Kj.

586 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ. [ГЛ. VII
Заметим теперь, что в силу равномерной непрерывности функ-
функции f(x), определяющей нормальную область В, существует вели-
величина 8 (о), зависящая только от о и такая, что lim 8 (о) = 0 и
о-»0
\/(хя) ~/(*i)l-^ Н0Х если l-^i—-^al^0- Мы можем поэтому для
этих неквадратных более мелких нормальных областей Kj заменить
величины, обозначенные в определении п. 1 (стр. 581) через а, Ь, с
величинами о, а и 2a-j-8(o). Докажем теперь следующую лемму:
Лемма. Для всех наших нормальных областей Kj и соответствую-
соответствующих квадратных цоколей Qj (причем для областей Kj первого типа
мы считаем, что цоколь Qj совпадает с областью Kj) имеет место
неравенство вида
Нк. Ш < ~ HQj [<?] + fDK. Ш. A8)
причем f и : обозначают величины, зависящие только от о и стре-
стремящиеся вместе сок нулю, а <р — произвольная функция из ф.
Если Kj совпадает с Qj, то при т = а и р = 0 наше утверждение
тривиально. Для других областей Kj мы получаем на основании
леммы 1 (стр. 582):
HKt I?! < 2kl%+b) "Qj И + 2 Bа + 8J A DK. [<?],
что и выражает нашу лемму при р = 2 Bо -|- 8J—1-, т = 2 Bа -\- о) ~.
Теперь мы применяем в неравенстве A8) для квадрата Qj неравенство
Пуанкаре A7), что дает нам
Суммируя по j, мы получаем отсюда:
но это неравенство и выражает теорему D), если положить г =хъ—-\-$
Ро
(так что s стремится вместе сак нулю) и определить для каждого
из рассматриваемых квадратов Qj функцию о^-, равную нулю всюду
l/ —^r-.
вне Qj, а внутри Qj имеющую постоянное значение о
2. Необходимость ограничительных условий для рассматри-
рассматриваемых областей. Необходимость ограничений, наложенных на рас-
рассматриваемые области и сводящихся по существу к характеру связей,
существующих между различными частями области, выясняется на
следующих двух примерах, в которых наши теоремы не имеюг
места.

§ 8]
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ
587
I. Пример области, для которой не имеет места неравенство
Пуанкаре, т. е. области, не обладающей свойством ф (черт. 56).
Построим область G, получающуюся из квадрата Q, заданного
условиями 0<л:<2, —1 <>*<!, присоединением к нему бесконеч-
бесконечного числа пар симметрично расположенных квадратов Qe и Q_e)
где e = slt г2, ..., и соединяющихся с квадратом Q с помощью не-
неограниченно суживающихся перешейков Sc и S_s. Пусть присоеди-
присоединенные квадраты Qe и Q_e, а также соответ-
соответствующие прямолинейные соединительные пере-
перешейки St и 3?_s имеют стороны длины е. Ширина
соединительных перешейков пусть равняется е4;
пусть, далее, для рассматриваемой бесконечной
последовательности квадратов sv —> О и У. еч < -«г •
Построим последовательность функций <рг при
s = ev, полагая:
= т В
рв = в Q_6,
<?. = ~-#К-у-~1) в Л-. Черт. 56.
и % = 0 во всей остальной части области G. При k — р = 1 мы
получаем:
Таким образом, не существует такого значения •%> ПРИ котором
все функции последовательности <р« удовлетворяли бы неравенству
Пуанкаре.
2, Пример области, не обладающей свойством dt. Пусть область О
представляет собой «гребень», состоящий из квадрата R: 0<'
1 <_у<2 и «зубцов»:
1 L. 0<^<1 (тв0, 1, 2, ...).
Рассмотрим последовательность функций <?('») (л;, v), заданную усло-
1
в прямоугольнике -
= 2
в прямоугольнике
< х < ^г > -2"
Во всей остальной части области О пусть <р(»м) (х, v) = 0. Для этой
последовательности мы получаем:

588 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
Далее, очевидно, что для всякого квадрата Q, лежащего в G, имеет
место соотношение Г Г <p(™)dxdy -+0. Отсюда следует, что для вся-
Q
кой функции С из ф имеет место соотношение
С1-*0 B2)
(см. доказательство теоремы 1а из § 5). Но это соотношение про-
противоречит теореме Реллиха. В самом деле, допустим, что можно
выбрать такую подпоследовательность функций <р(т), для которой
Н [<р(т) — <?Щ -> 0; найдем такое большое значение п, чтобы при
»t>rt выполнялось условие И [»(»*)—<Р(иЧ^е, гДе 0<е<!^--
В силу B2) мы можем выбрать т настолько большим, чтобы
|#[<p(m), 9(tl)l|-Cs> но в СИЛУ неравенства B1) мы приходим отсюда
к выводу: е ^> И [<р(т) — 9^] ^ 1 — 2е, противоречащему предполо-
предположению, что е < -=-. Итак, теорема Реллиха не имеет места.
о
Задачи. Доказать, что: а) область, рассмотренная в первом
примере, не обладает свойством 5R, тогда как область примера 2
обладает свойством ф; Ь) для первой области вторая краевая задача
при a — b = q = O неразрешима, и с) для обеих, областей система
собственных функций является неполной.
§ 9. Дополнения и задачи
В этом параграфе мы приведем в менее систематической и ие
всюду законченной форме (частично в форме задач) ряд указаний
относительно обобщений и приложений изложенной выше теории.
I. Функция Грина для Да. В гл. IV мы построили функцию
Грина для краевого условия первого рода, рассматривая только
области специального вида и требуя, чтобы нулевые краевые значения
принимались на границе в точном смысле слова. Теория § 2 дает
нам возможность построить функцию Грина для произвольной об-
области О, если формулировать краевое условие в смысле настоящей
главы. Рассмотрим, например, случай двух независимых переменных.
Пусть х, у—координаты точки Р; обозначим через Q заданную
особую точку функции Грина и пусть \ и ч\ — координаты точки Q.
Положим г2 = (х—?J -\-(у — т)J и пусть g есть некоторая функция
из ф, которая совпадает с функцией -g— log r в некоторой погранич-
пограничной полосе области G, т. е., во всяком случае, в тех точках об-
области О, расстояние которых от границы Г достаточно мало. Для
такой функции g рассмотрим теперь вариационную задачу I из § 2,
полагая / = 0. Если w — решение этой задачи, то функция
К(Р, Q) = — ~
и будет искомой функцией Грина.

§ 9] Дополнения и задачи 589
Эту функцию Грина мы могли бы строить несколько иным мето-
методом, представляющим в некоторых случаях известные преимущества.
Образуем для этой цели функцию
= 0 при /¦>/?.
Она обладает при г = 0 необходимой для функции Грина особен-
особенностью; далее, при r = R функция Г и ее производная Тг обра-
обращаются в нуль, а
[У] при
0, если г>/?,
так что AT непрерывна. Функция / = ДГ непрерывна в О-(-Г и
имеет в О кусочно-непрерывные производные первого порядка, удо-
удовлетворяя, таким образом, требованиям задачи 1 из § 2.
Выберем R настолько малым, чтобы круг Kr с центром Q и ра-
радиуса R целиком содержался внутри области О. Рассмотрим теперь
вариационную задачу при р = А = 1 о нахождении минимума выра-
о
жения D [<pl — 2Я[/, <р] при условии, что <р лежит в ©. Согласно §2
существует решение v этой вариационной задачи, принадлежащее
g и удовлетворяющее дифференциальному уравнению Av-]-/==¦
= Av-\- Д 7*=0. Тогда функция и = v -J- T является, очевидно, искомой
функцией Грина. Эта функция не зависит от выбора радиуса R, ибо
разность двух функций и, соответствующих двум значениям Rt и /?2,
представляла бы собой регулярное всюду в G решение уравнения
о
Лапласа, принадлежащее к функциональному пространству ф, а такая
функция должна на основании § 2 тождественно равняться нулю.
Напомним, что для односвязных областей О построение функции
Грина почти непосредственно дает конформное отображение области G
на единичный круг.
Только что изложенным методом можно воспользоваться также
для построения функции Грина при краевом условии -*— = 0»
Для этой цели выберем в качестве / функцию f—AT—си опре*
делим константу с так,, чтобы выполнялось условие I I fdx dy = 0,
При этом условии вариационная задача о нахождении минимума вырй*
жения ZD [cpj — 2/У[ср» /], в котором <р уже может пробегать все
о
функциональное пространство Ф (а не только подпространство 5D)j
имеет решение v из $, удовлетворяющее дифференциальному урав-
уравнению Дv -f-Д Т—с = 0. Таким образом, функция u = v-\- T-\-d,
где d—произвольная постоянная, удовлетворяет дифференциальному
уравнению Ди=зс. Отсюда следует, что « является искомой функ-

5Й0 Вариационные методы [гл. vii
цией Грина. В силу произвольности d мы можем определить и одно-
однозначно, подчинив ее дополнительному условию: IJ «rfjcrfy = 0.
с/
В независимости построенной таким образом функции от выбора
радиуса R мы можем убедиться так:
Разность да = ивх—itBt двух таких функций, соответствующих
радиусам Rt и R2, принадлежит в области О функциональному про*
странству g и удовлетворяет условиям:
^w = kt где k — kjR^—^ла= const., Г Г wdxdy = 0.
На основании формулы Грина для краевых условий второго и
третьего рода мы имеем:
D[w\ = — Н[w, &w\ — — k \ Гwdxdy — 0,
а
откуда следует, что w = const., а в силу добавочного условия мы
отсюда заключаем, что w = 0.
2. Особенность типа биполя. В геометрической теории функций,
в частности, в теории конформного отображения, большую роль
играют гармонические функции, имеющие в заданной точке особен-
особенность типа биполя и удовлетворяющие краевому условию второго
рода '). Если г и & — полярные координаты с началом координат
1 х
в биполе, то особенность этого типа задается функцией — cos 0 = —.
По методу п. 1 мы можем такой потенциал биполя охарактеризовать
с помощью соответствующей вариационной задачи и доказать его
существование, опираясь на теорию, изложенную в предыдущих
параграфах. Мы поступаем следующим образом. В качестве функции
особенностей Т(г) мы принимаем функцию:
1,0, если
Функция
Л^A-?) прн r<R'
[О, если r>i?,
удовлетворяющая, очевидно, условию I \ fdx dy — О, непрерывна и
имеет кусочно-непрерывные производные первого порядка. Таким
образом, функция / удовлетворяет всем условиям вариационной за-
*) См. Курант, Crelles Journ., т. 165, стр. 249, а также Курант,
Геометрическая теория функций.

.§ 9] ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ 591
дачи III, перечисленным в § 6. Отсюда следует, что вариационная
задача о нахождении функции о из ф, для которой выражение
D[<?] — 2H\f, cp]
достигает минимума, разрешима и ее решение w определено с тоФ
ностью до произвольной аддитивной постоянной. Функция и = w -\- Т
дает нам искомую потенциальную функцию. В силу замечаний, кото-
которые мы сделаем ниже в п. 3, сопряженная с и гармоническая функ-
функция v принимает вдоль каждого связного непрерывного куска границы
постоянные краевые значения. Чтобы доказать независимость функ-
' ции и от радиуса R, мы снова рассуждаем следующим образом.
Разность w двух таких функций всюду регулярна в О, принадле-
принадлежит g и © и удовлетворяет дифференциальному уравнению Дто = О
и краевому условию второго рода. Поэтому в силу формулы Грина
имеет место соотношение D [w\ = 0, так что w = const., что и тре-
требовалось доказать.
Так как R можно сделать сколь угодно малым, то мы можем
отсюда получить следующую теорему: наряду с особенностью — cos &
функция и обладает следующим характеристическим свойством: если С
произвольная функция из ©, обращающаяся в нуль в некоторой
окрестности точки г= 0, то имеет место соотношение
3. Поведение на границе решения уравнений Ди = 0 с двумя
независимыми переменными при краевом условии второго рода.
Если / принадлежит ©, то в пограничной полосе 5, в которой/== О,
для решения и уравнения Ди — —/ существует сопряженная гармо-
гармоническая функция v.
Тогда имеет место следующая теорема: При втором краевом
условии сопряженная гармоническая функция имеет вдоль каждого
связного и непрерывного множества граничных точек непрерывные
и притом постоянные краевые значения J). Для частей границы, со-
состоящих из прямолинейных отрезков и дуг окружностей, имеет место
следующая теорема: решение и может быть с помощью зеркального
отражения аналитически продолжено через такие части границы; если
обозначить через s длину дуги, то вдоль таких частей границы имеет
место условие: -^— = ^— = 0.
J дч ds
4. Непрерывная зависимость от области. Принципиально важный
вопрос о непрерывной зависимости решений краевых задач от исход-
исходной области решается в случае дифференциального уравнения Ды = — /
с функцией /, принадлежащей к ф, при втором краевом условии
Доказательство читатель может найти в статье Куранта: Crelles
., т. 165, стр. 255, а также в книге: К ~
функций комплексной переменной, гл. VIII,
Journ., т. 165, стр. 255, а также в книге: Курант, Геометрическая теория
"I, § 7.

S92 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОДЫ [ГЛ. VH
с помощью следующей теоремы: Пусть Gu G2, •••, Gn, ... обозна-
обозначает последовательность областей, монотонно сходящихся к области G,
т. е. таких, что Оп содержится в Оп+1, а каждая точка из G попа-
попадает в Gn при достаточно большом значении индекса п. Если точка О
с г = 0 принадлежит всем областям Оп, а / принадлежит простран-
пространству %о, то, обозначая через ип решение краевой задачи для Gn,
обращающееся в нуль в точке О и удовлетворяющее второму крае-
краевому условию, а через и соответствующее решение для G, мы полу-
получаем, что и = lim un и сходимость равномерна в каждой внутренней
ю-»оо
подобласти G.
. Доказательство1). Функции ип являются решениями вариа-
Ционной задачи о минимуме выражения Do [<p] — 2Я<? [/, <р], в ко-
которой допустимыми являются все функции <р из >?>(? • Обозначим
соответствующие минимумы через dn, минимум для области G — че-
через d и пусть и — соответствующее решение. Начиная с некоторого
значения п, вне Gn функция /всюду равна нулю, откуда следует,
что для всякой функции о из 3)(? имеет место неравенство
DG [<р] — 2Нв If, ?] > Don [cpl — 2Ноп If, ?]•
Поэтому dn^.d. С другой стороны, функции ип—ит при т>л
являются регулярными и ограниченными гармоническими функ-
функциями в Gn. Из этого легко заключить (см. гл. IV, стр. 278), что
можно выделить такую подпоследовательность ип, которая сходится
в каждой замкнутой подобласти G' области G к предельной функции v
так, что первые производные ип стремятся к соответствующим про-
производным функциям v, и сходимость равномерна. Отсюда следует,
что для каждой подобласти G'
>!< Hm {0« [ип] — 2Но If, Hj
п-уоо п
поэтому, в частности, Dg [v] — 2Ho If, v
Заставляя т стремиться к бесконечности, мы получим Do [v\ —•
— 2Ho[f, 'Z'l^rf, так что v лежит в Ф<? и, следовательно, v является
допустимой функцией сравнения; отсюда следует, что последнее не-
неравенство совместимо с минимальным свойством числа d только
в том случае, когда имеет место равенство. Итак, мы получаем
А? [о] — 2Нд [f, v] = d, и, следовательно, v = и является решением
вариационной задачи для области G. Далее, из того, что функция и
однозначно определена, следует, что не только некоторая подпосле-
подпоследовательность ип, но и вся последовательность этих функций схо-
сходится к функции и.
5. Распространение теорий на неограниченные области О.
Решение задач о краевых и собственных значениях распространяется
•) Курант, Геометрическая теория функций, гл. VIII, § 8,

§ 9] ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ 593
также и на тот- случай, когда область G простирается в бесконеч-
бесконечность. При этом должны быть введены следующие ограничения отно-
относительно поведения коэффициентов a, b и q в бесконечности. Мы
требуем, чтобы имело место неравенство
А (?, Ч, С) = Р а2 + vJ).4- 2flK -f- 2&nC + <7C2 > * (r) C2,
¦ где x(г) обозначает функцию от r= Ул:2-\-ya, стремящуюся .вместе
с г к бесконечности. Очевидно, что тогда q также стремится вместе
с г к бесконечности.
Тогда снова имеет место основное неравенство H[y]4^fE[y],
о
а также теорема Реллиха для функций ф из ф. Предлагаем читателю
доказать это и построить на основе этих теорем теорию решения
задач о краевых и собственных значениях в случае краевого условия
первого рода.
Рассмотрение краевых задач и задач о собственных значениях
с краевыми условиями второго и третьего рода требует наложения
дальнейших ограничений на характер области О с тем, чтобы область О
обладала свойствами ф и соответственно Ш, формулированными
в §§ 6 и 7. Мы можем, например, потребовать, чтобы пересечение
области О со всяким конечным кругом представляло собой область
типа SR. Построить при этом условии теорию соответствующих задач
о краевых и собственных значениях.
К качестве практически важного примера отметим теорию гармо-
гармонического осциллятора. В этом случае /? = 1, а = 6 == 0, q — cr2,
где с—положительная константа. Областью G является при этом вся
плоскость х, у. Дифференциальное уравнение для задачи о собствен-
собственных значениях имеет вид
Д^> — сАс -j- Xa> — 0.
6. Применение вариационного метода к дифференциальным
уравнениям четвертого порядка. Поперечные деформации и
колебания пластинок. Рассмотрение задач о краевых и собственных
значениях для дифференциального выражения
ДДи =
(см. г. I, стр. 290) требует введения наряду с пространствами •?>,
1, Ё и Е еще пространств R, к, к, определенных следующим
образом: $ состоит из всех функций ^ из ф, непрерывно дифферен-
дифференцируемых и имеющих кусочно-непрерывные производные второго
порядка, для которых существует интеграл
= f f
в
ft состоит из всех функций <р из $, обращающихся в нуль в неко-
некоторой пограничной полосе, а к состоит из всех функций ^ из Л,

594 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VU
которые могут быть аппроксимированы с помощью последовательности
функций ю из $ так» чтобы
Hl<f—?1->0, D[<?> — <р]->0 и A[ov — ср]->0.
В вариационной задаче мы можем заменить Л выражением
где [j. означает'константу, удовлетворяющую условию 0^р.<^1, при-
причем дифференциальное выражение Эйлера остается без изменения,
тогда как в краевые условия, кроме условия первого рода, входит
константа [х. [В. теории колебаний пластинок р. обозначает, коэффи-
коэффициент поперечного расширения1).] Процесс решения остается для всех
значений у. одинаковым (включая jj. = 1, если не считать доказатель-
доказательства непрерывного приближения производных к своим краевым зна-
значениям в собственном смысле слова, а не. в смысле обобщенных
краевых условий, формулированных в § 1, п. 4).
Доказать тождество /С,Л*] = f М Для всех <р из Ф. Доказать,
далее, основные неравенства И [о] ^.fD[<p] ^ Yi^Wi гДе Т и Ti —
некоторые константы, а также теорему Реллиха для последователь-
„ о
ностей функция © из St.
Теорема Реллиха заключается в этом случае в том, что из равно-
равномерной ограниченности интегралов К[<?\, Dlf1] и W[ov] вытекает
возможность выбора такой подпоследовательности »v, что D [»'—<рн-]->0
и Н [<pv — <р"] —> 0. (Заметим, что в этом случае даже вся последова-
последовательность №v в целом также сходится равномерно; см. ниже.)
Задачи о краевых и собственных значениях при первом краевом
условии могут быть теперь формулированы и решены так же, как и
в §§ 2, 3, только с заменой пространства S5 пространством §..
.. В процессе доказательства остаются в силе все заключения §§ 2,
3, 5, 6, 7 за исключением теоремы 1 из § 5, требующей особого
рассмотрения. Прежде всего, здесь можно доказать, что всякая мини-
минимизирующая последовательность сходится равномерно в любой замкну-
замкнутой подобласти О' области G; отсюда уже непосредственно полу-
получаются построение предельной функции и теорема 1а из § 5.
Чтобы доказать, что предельная функция и имеет непрерывные
производные первого и второго порядка, необходимо, далее, полу-
получить для и интегральное представление вида A3), § 5. Для этой
цели нужно применить в качестве аналога функции WR функцию вида
vj (г) -?— ra log г, где f\(r) обозначает функцию, имеющую непрерывные
производные достаточно высокого порядка (в данном случае до вось-
мого порядка включительно) и равную единице при г<-у- и нулю
1) (л = —, где т—коэффициент поперечного сжатия или число Пуассона.
(Прим. перев.)

§ 9j ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ 595
при г>/?. Провести соответствующее изменение в рассуждениях § 5,
П. 1 !).
Аналогично § 4 получается, что функция и и производные их, иу
в точности принимают заданные краевые значения. При этом, однако,
рассуждения этого параграфа непосредственно применяются только
к самой функции и; что же касается производных кж> иу, то в силу
того, что существование интеграла D [Дщ] заранее не предполагается,
необходимо опереться на следующее нетрудно доказываемое не-
неравенство:
где с—некоторая константа, a Kh и АГ2Й имеют указанное в § 4
значение.
Рассмотрение второго и третьего краевого условия проводится
аналогично §§ 6, 7, 8 при любом \s. из промежутка 0 ^ \ъ •< 1.
7. Первая краевая задача и соответствующая задача о соб-
собственных значениях в плоской теории упругости. Теория упругих
деформаций является другим примером, на который переносится вся
теория §§ 1—5 почти без всяких изменений. Только рассуждения
§ 5, п. Г должны быть видоизменены, так как- здесь речь идет
о других особенностях основного решения. Мы ограничимся случаем
двух измерений, т. е. случаем касательных деформаций пластинки.
Чтобы проще формулировать задачу, целесообразно ввести сокра-
сокращенные, обозначения.
Обозначим точки хи ха (вместо х, у) просто через х, двойные
интегралы Г Г ... dxx dxs обозначим через Г ... dx. Систему двух
.функций <pj (x\, ха), ФаС^и -^а) будем кратко обозначать знаком
<в(х)= {<Pi(*n *a)> 4z(xi* X2) }> Для производных введем обозначения
Мы рассматриваем снова открытую область О с границей Г, а
в этой области образуем обе квадратичные формы
" Ы = J { Ц + <?l) dx, D [?] = J { ^1Д + 'fltS + ?S.i + ЧЪ } dx
в в
Пространства §, Ф, 25 и © определяются так же, как и в § 1. Пусть
<р(лг) обозначает вектор деформации для пластинки, простирающейся
х) Краевая задача первого рода для колебаний пластинки была впервые
решена с помощью вариационных методов Г. Фубини (G. F u b i n i, II prin-
cipio di minimo e i teuremi di existenza... Rendiconti Palermo, 1907). После
Фубини Ритц исследовал как краевую задачу, так и задачу о собственных
значениях [W. Ritz, Crelles Journal, т. 135 A909) и Annalen Physik A909),
а также Собрание сочинений]. Относительно данного нами здесь способа
изложения также и для других краевых условий, см., прежде всего
К. Фридрихе, Math. Ann., т. 98 A927), стр. 206.

596 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ {ГЛ. VII
над областью О; мы допускаем, что <%{х) содержится в 25. Вдоль
границы Г пусть деформация задается системой функций g(x); таким
образом задается краевое условие, состоящее в том, что <p—g должно
содержаться в 25. Удвоенная потенциальная энергия деформации ср
выражается с помощью 'двух положительных постоянных упругости а
и Ь в виде интеграла
Соответствующее интегралу Е (ф) вариационное выражение для вектор-
функции <р(лг), имеющей кусочно-непрерывные производные второго
.порядка, равняется с точностью до множителя 2 выражению
L [ср] = { вД<р, + Ь (<?!,„ + <p2i21), аЛ<р2 + Ь (<plt12 + ср2>22)}.
L [ср] выражает плотность силового поля, возникающего в резуль-
результате деформации, и представляет собой также вектор-функцию.
Имеет место следующая теорема: Для любой заданной вектор-
пункции g из 25 существует вектор деформации и из 25, имеющий
кусочно-непрерывные производные второго порядка, удовлетворяющий
системе дифференциальных уравнений L [и] = 0 и такой, что вектор-
функция и—g содержится в пространстве 25. При этом для всякой
о
вектор-функции <рфи из 2), для которой о—g содержится в 25,
имеет место условие ?[<р]>?[ы].
При доказательстве следует исходить из формулы Грина Е [<р, $] =
= — H[L [<?],$], имеющей место для любой функции ty из 25 и любой
функции га из 25, для которой L [<р] содержится в ф. Эта формула
выводится сначала для функций ^ из 25, а затем распространяется
о
на все функции ^ из Ф процессом замыкания. Далее, точно так же,
о
как и в § 2, для всех функций <р из 25 имеет место основное не-
неравенство вида
Это неравенство выводится так: берем за основу тождество
B)
J
выражающее D [ср] через интегралы от выражений (<рм — %,2J>
(?i,s4~?e,iJ' (Ti.iH-Ta.aJ' входящих в ?[<р], и интеграл от четвер-
четвертого выражения' (<pj 2'—cp2iIJ. Обозначая через 2с наибольшее
из двух чисел а и ^,'мы получаем на основании тождества B), „что
для всех функций ср из 25 имеет место неравенство
?[<p]<cD[<p]. C)

§ 9] ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ 597
Далее, мы пользуемся тем, что для всех функций ф из 2) имеет
место тождество
J { (?м-%.й)В+('Р1.я+%.1>3-(?1.1 +.?в.в)в-(?1,9-%,1>Я } Jx=°- <4>
Мы доказываем тождество D) сначала для функций о из 2D. Левая
часть D) имеет вид:
— 2 /i<Pi,r-?2,2 — b.*4*,i}dx = — 2 Г ?1^?а = 0,
G г
так' как подинтегрально.е выражение является функциональным Детер-
Детерминантом функций cpi и %' обращающихся в нуль в некоторой
пограничной полосе. Процессом замыкания мы распространяем тожде-
тождество D) на все функции о из 2D- Из тождеств B), D) и определения
Е [о] мы непосредственно получаем для всех со из 3D неравенство
aD [<?]<?[?], E)
а отсюда на основании нашего прежнего основного неравенства
из § 2 и неравенство A).
После этого мы рассматриваем минимизирующую последователь-
последовательность о4 вариационной задачи о нахождении минимума выражения
Е(<?) для вектор-функций о из 2D, для которых <р—g лежит в 5D.
Так же, как и в § 2, мы получаем, что для всех вектор-функций С
о
из Ч?> имеет место соотношение Е [<pv, C.J —> 0, а в силу неравенств E)
и A) имеют место также соотношения
D [«* — (pi -* 0. W I'f — ^1 -*¦ 0.
Распространение дальнейших выводов § 2 на рассматриваемую
задачу опирается на теорему 2 из § 5, которая в полной мере
остается справедливой и здесь, и на теорему 1 из § 5. Последняя
может быть в этом случае доказана методом, излагаемым ниже в п. 8.
Провести доказательство, применяя, вместо функции особенностей
log г, следующий основной разрешающий тензор:
а**
Ы
*1оёг зг
где
/ /7 \ 1 Г
•(т+*)' 41 + *)'
у.^х.— х0., г*=у*-
уг

598 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
Построить, далее, теорию собственных значений для дифферен-
дифференциального уравнения L[u]-\-\u = 0 при первом краевом условии и
доказать,- что все результаты § 4 относительно характера прибли-
приближения решения к краевым значениям.остаются здесь в силе.
Следующей задачей является распространение этого метода на слу-
случай трех измерений.
8. Другой метод построения предельной функции. Изложенный
в § 5 метод построения предельной функции и доказательства тео-
теоремы 1а из § 5 опирался, в первую очередь, на то, что нам был
известен в явной форме вид характеристической особенности основ-
основных решений -дифференциального выражения Дм. Опишем здесь
вкратце другой метод, формально кажущийся менее простым, но зато
применимый и в тех случаях, когда особенность основного решения
имеет более сложную природу (ср. пример из теории упругости
в предыдущем п. 7). Чтобы уяснить себе сущность этого метода,
достаточно его разобрать для случая, рассмотренного в § 5. Суще-
Существенным здесь является, во-первых, построение предельной функции
и, во-вторых, получение для нее интегрального представления, из
которого вытекают необходимые свойства дифференцируемости этой
функции.
Полагая г2=(х—хоJ-\-(у—_уоJ> введем функцию Yj(r), имеющую
непрерывные производные до четвёртого порядка, равную нулю при
r^-R к единице при г ^ -к-. Пусть, далее,
5(*0. Уо>х,у) = т\ </) -^ log г.
Эта функция oco6eHnocfeft 51, зависящая от параметров лг0, у0,
принадлежит, как функция от х и у, к §, но не к ф, хотя она
всюду, кроме точки х==х0, у—у0, имеет непрерывные производные
первого порядка. Однако, выражение AS, в котором дифференциро-
дифференцирование производится по х и у, является всюду в G дважды непре-
непрерывно дифференцируемой функцией.
Обозначим снова через GR область, образуемую всеми теми точками
х0, у0, для которых круг г ^ R целиком лежит внутри G. Для какой-
нибудь точки х0> у0 из области OR функция 51 обращается вместе
со своими производными в нуль в некоторой пограничной полосе.
Условимся, далее, обозначать через С,д функции, обращающиеся
тождественно в нуль вне области Gm. Введем теперь следующие три
операции над функцией <р:
j{ x> у- хч л) ? (xi> л) dxi аУ\ =
= J J У (*(» У о) S (лг0, у0; х, у) dxudyq,

§ 9] ДОПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧИ 599
У' xv yJ%Sxv Уд 1 dxi аУ
lS(x,y;x1, у Jo (xu yj dx1
в
причем индекс 1 при Aj указывает, что операция Д относится к пере-
переменным х1 и ух. С помощью этих операций мы образуем из функций о,
принадлежащих соответственно пространствам §, J) и § новые
функции, определенные в О и принадлежащие пространствам 2)е,,
фд, и фд, для каждой замкнутой подобласти О' области G. Это не-
непосредственно очевидно: для операций U и W, если функция ср—не-
ср—непрерывна, а для операции V, если функция <р непрерывно дифференци-
дифференцируема; в результате этих операций получаются непрерывно дифференци-
дифференцируемые и соответственно непрерывные функции. Доказать, что они оста-
остаются кусочно-непрерывно дифференцируемыми или соответственно ку-
кусочно-непрерывными, если потребовать в отношении © только кусочную
непрерывность или соответственно кусочно-непрерывную дифферен-
цируемость и вывести отсюда формулированное выше утверждение.
Если функция о обращается в нуль вне Gm, то функции ?/[<р], V[»l
и W[o] обращаются в нуль вне GR и принадлежат поэтому про-
пространствам j>, ф и ©.
Доказать для наших операций следующие тождества:
1. Если со содержится в §, а Сал в |), то
ol A)
2. Если о содержится в S), а С2В в 25, то
^в{^. V [<?]} = Я {t/fl^l,?}- С2')
Эти тождества выражают только перемену порядка интегрирования,
3. Для всякой функции а> из % имеет место тождество
, C)
в чем легко убедиться с помощью интегрирования по частям,
4. Для всех функций о из 2) имеет место интегральная формула
<р=—V[e]—1Р[<р]. D)
Эта формула выводится путем интегрирования по области, .получаю-
.получающейся исключением круга г<е, и последующего предельного пере-
перехода при е -> 0.
Это тождество имеет место во всех точках области Gr- {Прим. перев.)

600 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
Пусть теперь ср4—некоторая последовательность функций, удовле-
удовлетворяющая условиям теоремы 1 из § 5. Мы сопоставляем этой после-
последовательности последовательность
<р- = — U [/— <7*с?1
Доказать, что функции срч сходятся в OR равномерно к непрерывной
в QR предельной функции и. Для этой функции и имеет место тогда
Теорема 1а. Для всякой функции С2Й из ¦?>
Очевидно, достаточно доказать, что
чтобы в этом убедиться, заметим, что в силу формулы D) имеем:
<?•> —!р = U [/— q*&] — V [?Ч,
откуда на основании соотношений B) и A) следует:
Так как U[>^R] принадлежит к 2>, то в силу условия A0) из § 5
правая часть последнего равенства стремится к нулю, так что, имеет
место соотношение F), и теорема 1а доказана.
Полагая в теореме 1а
и соответственно
Г-2Л = Я* (х, у) S (дг0, у0;х,у),
мы получим для всякой точки х0, у0, лежащей в GSR:
W [о1'] -> W [и] и U [q* <рч] -»¦ U [q* и].
Поэтому в силу формулы E)
так что для и получается интегральная формула:
u = U[q*u—f] — W\u\. G)
Вывести теперь из формулы G) теоремы 16 и 1в, т. е. доказать,
что функция и имеет непрерывные производные первого и второго по-
порядка и удовлетворяет дифференциальному уравнению Ды — q*u— —/;
доказать" также теорему 1 из § 5 ').
§ 10. Задача Плато
В этом последнем параграфе мы займемся на основе вариацион-
вариационных методов решением задачи Плато (гл. III, § 7, стр. 198 и § 2.
стр. 155).
См. по поводу этого метода Курант, Math, Ann., т. 97.

§ 10] ЗАДАЧА ПЛАТО 601
Наши рассмотрения будут независимы от предыдущих результатов
этой главы; мы лишь воспользуемся доказанным в § 1, п. 1 элемен-
элементарным минимальным свойством гармонической функции для круга *).
1. Постановка задачи, и общая схема решения. Согласно рас-
рассмотрениям гл. III, §§ 2 и 7 мы называем минимальной поверхностью
в пространстве прямоугольных координат хх, ..., х.т, рассматривае-
рассматриваемых как компоненты вектора J, двухмерное многообразие, которое
может быть представлено следующим образом с помощью двух пара-
параметров и и v. В области В плоскости и и v координаты Xj должны
быть регулярными гармоническими функциями от и и v, т. е. Дд^- = 0
или, короче,
ДХ = О, A)
причем эти функции должны, сверх того, удовлетворять условиям
? —G = 0, F = 0, B)
где
)
u и{дЛ) $> CSv) fa fo
i i i
При т =-3 это совпадает с определением, данным в гл. III.
Наши условия выражают то, что область В плоскости и и v кон-
конформно отображена на минимальную поверхность; если же т = 2,
то речь идет о конформном отображении В на плоскую область
плоскости хи х%.
Если мы положим w = и -f- w, то
Xj = Rfj(w), C)
т. е. Xj является вещественной частью аналитической в В функции
fj{w). Условия B) выражают для аналитической функции от w
<р (то) = (? — О) — 2iF = S fj (wf D)
требование
9О) = 0, E)
Задача Плато в своей простейшей форме, которой мы здесь огра-
•ничимся, заключается в следующем: требуется построить минималь-
минимальную поверхность, имеющую границей заданную непрерывную кривую Г
*) Первое общее решение задачи Плато было дано J. Douglas'oM н
Т. Rado в 1932 г. независимо друг от друга. В отношении литературы см.
прежде всего Rado, On the problem of Plateau, Erg. Math., т. 2, 1933 и
Douglas, Bull. Amer. Math. Soc. A933), стр. 227. Даваемое нами изложе-
изложение основывается на работах Куранта, Nat. Ac. Set. Wash., июнь 1936,
стр. 368 и Ann. of Math., т. 38 A937), стр. 679.
Douglas исходит из новой вариционной задачи для функционала, выра-
выражающего в случае гармонических функций интеграл Дирихле через контур-
контурный интеграл, ограничиваясь, таким образом, гармоническими функциями.
Мы же отбрасываем это ограничение и исходим из самого интеграла Ди-
Дирихле. Rado применяет в качестве существенного вспомогательного средства
конформное отображение многогранников.

602 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
пространства $, причем Г не имеет двойных точек. Другими сло-
словами, нужно найти гармонический вектор $, удовлетворяющий усло-
условиям A) и B) и отображающий непрерывно границу области В на
кривую Г.
Выберем в качестве области В единичный круг и2 -J- i>2 •< 1 с гра-
границей С: K2-j-?>2=l и введем полярные координаты г и 9. Таким
образом, мы требуем, чтобы вектор ? = у. {г, 9) при г — 1 произво-
производил непрерывное отображение С на Г, причем различные точки I1
должны, разумеется, являться изображениями различных точек окруж-
окружности С, т. е. отображение должно быть «монотонным» J).
Рассмотрим сначала для ориентировки случай т = 2. Тогда наша
задача сводится к задаче о конформном отображении единичного
круга В на односвязную область плоскости хи х2, ограниченную
контуром Г. Чтобы решить эту задачу, мы можем, следуя Риману,
исходить из следующей вариационной задачи:
Пусть x = xl{u, v); y = x^{u,v)— две функции, непрерывные
в замкнутой области u2-\-v2^l, имеющие внутри этой области ку-
кусочно-непрерывные 2) производные и такие, что с помощью этой пары
функций или, другими словами, с помощью радиуса-вектора g {и, -v)
с компонентами xt и х% единичный круг В отображается на область G,
причем граница С единичного круга непрерывно преобразуется в гра-
границу Г области G. Требуется обратить в минимум интеграл
{(*«— Vv?+(Xv +УиJ} dudv F)
в
с помощью подходящего выбора пары функций х, у или соответ-
соответственно вектора j (к, v). Очевидно, что для пары функций, произво-
производящей конформное отображение В на G и удовлетворяющей, следо-
следовательно, дифференциальным уравнениям Коши-Римана, наш интеграл
достигает минимума, и этот минимум равен нулю.
Подинтегральное выражание в F) может быть записано- в виде
Заметив, что интеграл от второй части этого выражения равняется
двойной площади области G, так что значение этого интеграла нам
известно независимо от выбора вектора j, мы убеждаемся, что фор-
формулированная выше вариационная задача может быть заменена сле-
следующей эквивалентной ей задачей:
При перечисленных выше условиях требуется обратить в минимум
«интеграл Дирихле»
!) Однозначная обратимость отображения не требуется з явном виде
в условии задачи, но получается как следствие сама собой. (См. Курант,
Ann. of Math., т. 38, стр. 696.)
s) См. сноску на стр. 537,

§ 10] ЗАДАЧА ПЛАТО 603
Если считать доказанной возможность конформного отображения, то
решение этой вариационной задачи дается гармоническим вектором j,
т. е. вектором, удовлетворяющим уравнению
Л? = &ш + Х™ = 0> G)
который, сверх того, в силу дифференциальных уравнений Коши-
Римана удовлетворяет условиям конформности
?-?=?—G = 0; № = F = 0. (8)
В нашей последней вариационной задаче характерно то, что диф-
дифференциальным уравнением Эйлера здесь является уравнение G).
Требованию отображения границы С на Г соответствует фиксирован-
фиксированная зависимость между краевыми значениями х и у, и остающаяся
при этом неопределенность в отношении способа отображения гра-
границ приводит к дальнейшему «естественному» краевому условию,
эквивалентному добавочным условиям (8).
В самом деле, несмотря на то, что добавочные условия (8) имеют
вид двух новых условий, относящихся ко всей области G, они по-
существу сводятся только к одному краевому условию, ибо для вся-
всякого гармонического вектора g выражение D) является аналитиче-
аналитической функцией от комплексного переменного w = u-\-ii); поэтому
достаточно, например, потребовать обращения в нуль вещественной
части этой функции вдоль границы, чтобы обеспечить, не считая
аддитивной постоянной, обращение в нуль <p(w) во всей области
ы2-(-"О2 ^ 1, а, следовательно, и выполнение условий (8).
Этв замечание наводит нас на мысль обратить эту связь и таким
путем не только доказать теорему Римана с помощью формулиро-
формулированной только что вариационной задачи, но и рассмотреть одновре-
одновременно с этим следующую, совершенно аналогичную вариационную
задачу для вектора j (и, v) с т компонентами xt {и, v) (i = 1, 2, ..., от).
Будем рассматривать в единичном круге В плоскости и, v
векторы j с т компонентами х{ (и, v), обладающие внутри единич-
единичного круга кусочно-непрерывными производными, непрерывные в замк-
замкнутом единичном круге В-\-С и отображающие непрерывно гра-
границу С единичного круга на заданную кривую Г тгмерного про-
странства $. Среди этих векторов требуется найти тот, для
которого интеграл Дирихле
в
принимает минимальное значение d.
Мы покажем в дальнейшем, что эта вариационная задача допу-
допускает решение, что это решение дается гармоническим вектором $,
для которого Aj = O, и что, наконец, решение j удовлетворяет,
кроме того, условиям E). Таким образом, рассматривая нашу вариа-
вариационную задачу, мы решим задачу Плато о нахождении односвязной,
т. е. определенной как непрерывное изрбражение круга, минималь-

604 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
ной поверхности,' имеющей заданную границу Г, Мы при этом пред-
предполагаем, что наша вариационная задача имеет смысл, т. е. что для
заданной границы Г существуют векторы j, для которых интеграл
Дирихле имеет конечное значение, что, например, имеет место в слу-
случае кусочно-гладкой границы Г.
2. Доказательство вариационных условий. Докажем прежде
всего следующее: если вектор g (и, v) является решением нашей ва-
вариационной задачи, то этот вектор должен удовлетворять условиям
A) и B), характеризующим минимальную поверхность. При этом мы
будем опираться на тот элементарный факт, что решение краевой
задачи теории потенциала для круга является в то же самое время
решением задачи о минимуме интеграла Дирихле (и притом един-
единственным).
Применяя этот результат к каждой компоненте xj вектора j
в отдельности, мы тотчас же получим, что решение j нашей вариа-
вариационной задачи должно быть гармоническим вектором, т. е. должно
удовлетворять условию A). Весь вопрос сводится к выводу усло-
условия B). Для этой цели мы используем минимальное свойство гармо-
гармонического вектора g, введя в единичном круге В полярные коорди-
координаты г, 9 и заменяя минимальный вектор j (r, 9) другим вариирован-
ным вектором j (r, 9), который мы определяем следующим образом:
g (г, &) = ?(/-, 9),
где
При этом X {г, 9) обозначает функцию, которая в некоторой окрест-
окрестности г = 0 обращается в нуль, а в остальном является произволь-
произвольной функцией, имеющей в замкнутом единичном круге непрерывные
первые и вторые производные, а е — достаточно малый параметр.
Так как вектор $ удовлетворяет, очевидно, условиям допустимости
нашей вариационной задачи, то
Мы можем теперь представить интеграл О [$] в следующем виде,
введя вместо г и 9 в качестве независимых переменных г и <р:
1 2ч
f/(?+#*«*» = J/
б
об
о о
1 2r
¦я
о о

§ 10] ЗАДАЧА ПЛАТО 605
Первый член в правой части равняется d. Коэффициент R при за
остается ограниченным относительно г, в чем нетрудно убедиться
с помощью неравенства Шварца, пользуясь при оценке ограничен-
ограниченностью | кг | и | А81 и тем, что D [$] = d. Отсюда мы получаем,
в силу условия D [$ ^> d с помощью предельного перехода е -> 0
и ср —у i):
1 2л
lim J J
о о
Так как часть этого двойного интеграла, взятая по пограничной по-
полосе f-^r.^1, вместе с 1—t стремится к нулю равномерно отно-
относительно е, а в остальной части мы имеем право произвести пре-
предельный переход е -> 0 под знаком интеграла, то мы получаем
отсюда:
t 2ic 9
о
Преобразуем это уравнение с помощью обычного интегрирования по
частям, учитывая, что внутри круга имеет место уравнение Лапласа
Ag = 0, к виду
lim Г А (г, 8)/•&&«№= О,
Y —^1
о
где t снова заменено через г.
С другой стороны, как показывает простое вычисление, имеет
место соотношение
— 2r J,. ?6 = 3 (w2rsi (w)), (9)
где щ(-ш) = (?—О) — 2iF обозначает введенную выше в формуле D)
аналитическую функцию, а символ 3 обозначает, как обычно, мнимую
часть.
Таким образом, так как w2'-s(w) также является аналитической
функцией комплексного переменного w = и -J- iv, выражение
является гармонической в В функцией, удовлетворяющей для произ-
произвольной, дважды непрерывно дифференцируемой в Й-j-C функции
X (г, &) условию:
lim f k (г, »)р(г, 8)й№ = 0. A0)
Замечая теперь, что значение гармонической функции р (р, ts) в какой-
нибудь фиксированной внутренней точке Q области В с координа-
координатами р, <р выражается интегралом вида A0), мы заключаем от-
отсюда, что функция р тождественно обращается в нуль в области В.
Точнее, мы выбираем в качестве А (г, 8) функцию, обращающуюся

606 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ {гл. VII
в нуль в некоторой окрестности точки Q, а при г, достаточно близ-
близком к 1, совпадающую с производной по нормали от функции Грина
для концентрической окружности радиуса г с особой точкой Q;
таким образом, при г, достаточно близком к единице, функция
X (г, 9) выражается формулой
»v, -/— 2л ,-2_2rpcos(? — ») + р2-
Тогда из уравнения A0) непосредственно следует, что limp (p, <р) = 0,
так что 3('a'2rf('ffil))==/'(M. "») = 0 во BGex точках области В.
Отсюда следует, что вещественная часть аналитической функции
w2<p (w) также постоянна в области В, и поэтому -а»2© (<#>) = с = const.
с
или <р (t«) = —2" •
Но аналитическая функция © (w) регулярна в точке w = 0, откуда
следует, что с = 0 или a (w) = 0, что и требовалось доказать.
3. Существование решения вариационной задачи. Нам остается
доказать, что существует решение j нашей первоначальной вариа-
вариационной задачи.
Для построения этого решения мы рассматриваем минимизирую-
минимизирующую последовательность допустимых векторов
т. е. последовательность, для которой имеет место условие
Если мы заменим теперь каждый из этих векторов гармониче-
гармоническим вектором с теми же краевыми значениями, то на основании
принципа Дирихле для круга новая получающаяся таким путем по-
последовательность векторов тем более будет минимизирующей после-
последовательностью.
Далее, мы замечаем следующее: интеграл Дирихле инвариантен
относительно конформного отображения. Это значит, что если две
функции и = и {и', v'), v = v (и!', vr) конформно отображают область В
на область В', то для всякого вектора j (к, v) = 5' {и', v') имеет место
равенство
Это непосредственно следует из характеристических условий кон-
конформного отображения: u'u = v'v; u'v = — v'u.
Мы можем теперь с помощью конформного, а именно дробно-
линейного преобразования единичного круга в самого себя преобра-
преобразовать любые три точки границы круга в три фиксированные точки.
Так как при таком преобразовании -остается неизменным значение
интеграла D[$—D[j'J, то мы имеем право ввести в нашу вариа-

§ iGj ЗАДАЧА ПЛАТО 607
ционную задачу добавочное требование, чтобы три заданные точки
границы С круга отображались на заданные три точки кривой Г.
Введя такое требование в отношении трех граничных точек, которое
до Сих пор было излишним, мы получим возможность провести до-
доказательство существования, показав предварительно, что краевые
значения векторов $ч образуют последовательность равностепенно
непрерывных функций угла 9.
Доказав это, мы сможем отсюда заключить согласно т. I, гл. II,
§ 2, что существует такая подпоследовательность векторов ?„, для
которой краевые значения сходятся равномерно к некоторому пре-
предельному вектору.
Отсюда следует, что и соответствующие гармонические векторы
также сходятся равномерно (см. гл. IV, § 3) и предельный вектор
является гармоническим в В вектором, производящим требуемое ото-
отображение границы. В самом деле, в силу того, что в любой замкну-
замкнутой" частичной области В производные соответствующих гармониче-
гармонических векторов $v равномерно сходятся к производным предельного
вектора, мы непосредственно получаем отсюда, что для этого век-
вектора выполняется условие D [j] <^ </, а так как g является допу-
допустимым вектором, то вследствие минимального свойства числа d
D [$] >- d, откуда и следует, что D [х] = d.
Итак, наше доказательство будет закончено после того, как мы
докажем равностепенную непрерывность краевых значений векто-
векторов jv.
Это будет следовать из следующей леммы:
Лемма. Пусть j — некоторый допустимый вектор нашей ва-
вариационной задачи, удовлетворяющий условию D [5] <I M. Обозна-
Обозначим через R какую-нибудь точку границы единичного круга В.
Тогда для всякого положительного числа 8 < I существуют две
точки А и В, лежащие на границе С круга В по разные стороны
от точки R и на одинаковом расстоянии р от этой точки, причем
8 ^Р^С V^S, и такие, что имеет место условие
Таким образом, концы А и В дуги, содержащей точку R, отобра-
отображаются вектором J на сколь угодно близкие точки Г, если выбрать 8
достаточно малым.
С помощью этой леммы мы доказываем равностепенную непре-
непрерывность следующим образом.
Допустим, что заданная последовательность векторов gv не обладает
свойством равностепенной непрерывности на границе С. Тогда должны
сущестовать граничная точка R и бесконечное множество интервалов
P.,RQ» которые содержат точку R и концы которых стремятся к R при
неограниченном возрастании v, обладающих тем свойством, что век-
горы 2, отображают точки Ру и Q, на точки Р[ и Q'^ линии Г, рас-

608 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIS
стояние между которыми все время остается больше некоторого по-
положительного числа ос.
При фиксированном 8 и достаточно большом v точки Рч и Qv
лежат внутри дуги ARB. Поэтому, если обозначить через М верх-
верхнюю границу D[JV], дуга ARB отобразится вектором jv на дугу
линии Г, концы которой находятся друг от друга на расстоянии,
меньшем величины
г(8) =
причем эта дуга имеет диаметр, превосходящий а.
Докажем теперь, что это противоречит нашим допущениям об
отсутствии двойных точек на контуре Г и о том, что векторы jv
отображают три фиксированные точки окружности С на три фикси-
фиксированные точки контура Г.
В самом деле, для всякого непрерывного контура Г,- не имею-
имеющего двойных точек, существует величина -q (e), стремящаяся вместе
сек нулю и такая, что любые две точки Р' и Q' контура Г, рас-
расстояние которых меньше е, ограничивают дугу Г, вдоль которой
расстояние между любыми двумя точками этой дуги не превосхо-
превосходит i\ (г). Если е достаточно мало, то дополнительная дуга будет
совпадать со всем контуром Г с точностью до остаточной дуги, диа-
диаметр которой не превосходит ?](s).
При достаточно малом 8 написанное выше выражение s (8), а вместе
с ним и ?](е) становятся скодь угодно малыми.
Отсюда следует, что так как изображение дуги ARB при ото-
отображении с помощью вектора %., содержит при достаточно большом v
дугу, диаметр которой превосходит а, то
оно покрывает весь контур Г, не считая
дуги диаметра, меньшего ч\.
При достаточно малом 8 это будет про-
противоречить нашему предположению, что три
фиксированные точки окружности С (из
которых, по крайней мере, две окажутся вне
дуги ARE) отображаются на три фиксиро-
фиксированные отличные друг от друга точки кон-
контура Г.
Черт. 57. Доказательство леммы. Так как
вектор j непрерывен в В -f- С, то, очевидно,
достаточно доказать лемму, заменяя единичный круг меньшим кон-
концентрическим кругом, радиус которого сколь угодно близок к 1 J),
Введем новую систему полярных координат г и 9, принимая за
х) Для такого концентрического круга мы имеем право интеграл по
области D [у] представить в виде двукратного интеграла, применяемого
нами ниже.

§ 10] ЗАДАЧА ПЛАТО 60S
начало этой новой системы координат точку окружности /?, и поло-
положим «вп/Ф; тогда
в
Рассмотрим теперь нигде неотрицательную функцию
где интеграл берется по лежащей внутри рассматриваемого концен-
концентрического круга дуге окружности, описанной из точки /? радиу-
радиусом г.
Функция р (г) удовлетворяет условию
г
fp(r)dr<M,
о
где /—фиксированное число <2.
Мы утверждаем, что в промежутке b<r<.\f& при любом
существует число r<=rQ, для которого
где
В самом деле, в противном случае мы получили бы:
VT VT
J p(r)dr>a{ ? = .|.log-i- = Ar,
t s
что противоречит предположению.
Если мы теперь возьмем на дуге окружности г = г0, для которой
()<1о, две точки Р и Q, то, применяя неравенство Шварца
к выражению
мы получим:
Q
\UQ)~MP)\2<«r0 Г jgA-*r0p(
р log-r-
что и утверждается в нашей лемме.
Таким образом, существование решения задачи Плато доказано
!) Решенная здесь задача Плато является частным случаем следующей
задачи, сформулированной в полной общности Douglas'oM в 1930 г: доказать.

610 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Дополнительная литература
Новейшие результаты полно излагаются в Conferences internationales sur les
equations aux derivees partielles, L'enselgnement mathematique, т. 35 A936),
стр. 5—149. Доклады Hadamard'a, Doetsch'a, Vasilesco, Weinstein, Schau-
der, Leray.
По теории гиперболических дифференциальных уравнений укажем следую-
следующие работы:
Holmgren E., Arkiv for Math., Astr. och Fys., 1, 5 и 6.
R e 11 i с h, Math. Ann., т. 103, стр. 249.
В этой работе дается обобщение интегрального представления Рнмана на
системы дифференциальных уравнений первого порядка и дифферен-
дифференциальные уравнения высших порядков с двумя независимыми перемен-
переменными,
S t е И m а с h e r, Zura Anfangswertproblem der Gravitationsgleichungen (К за-
задаче Коши для уравнений тяготения), Math. Ann., т. 115, стр. 136.
В этой работе метод доказательства теоремы единственности, излагаемый
нами в гл. VI, § 4, распространяется на вырождающуюся гиперболиче-
гиперболическую систему релятивистских уравнений.
В отношении понятия характеристик см. Р е л л и х, Math. Ann., т. 109,
стр. 714, где рассматриваются те случаи, когда характеристическое усло-
условие выполняется тождественно.
В отношении понятия дифференциального уравнения на поверхности и
принципа Гюйгенса см. В е 11 r a m i, Ouevres, т. 4, стр. 528.
По поводу доказательства аналитичности решений эллиптических дифферен-
дифференциальных уравнений (дополнения к гл. V) укажем цитируемые в статье
Е. Н о р f, Math. Z., т. 34, стр. 194, работы С. Бернштейна, Gevrey, Rado
и Giraud.
¦существование минимальной поверхности, имеющей k заданных квнтуров и
принадлежащей к заданному топологическому типу. Douglas рассматривал
сначала случай минимальных поверхностей типа кругового кольца и листа
Мёбиуса. Его результаты изложены в двух работах, помещенных в Journ.
Math, and Phys., т. 10, стр. 316 и Transactions Am. Math. Soc, т. 34,
стр. 731. В этих работах Douglas дает исчерпывающее решение задачи
в рассматриваемом частном случае. Опираясь на методы, применяемые
в этих работах, и с помощью теории абелевых функций Douglas в недавно
опубликованной работе (Journ. Math, and Phys., т. 15, стр. 55 и соответ-
соответственно 106) исследует общий, значительно более трудный случай.
В работе Куранта, цитируемой в примечании к стр. 600, также рассма-
рассматривается общая задача Douglas'a; излагаемый там метод применим и к за-
задаче со свободными контурами.

ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКОВ 611
Примечания переводчиков
К стр. 389. Исключая г и/из уравнения A) и уравнений
r'x + sy =p; 5х + ty = q,
мы получаем:
[(Лу*— Вх'у + Сх*> + D(p'x + q'y)] » Аур + d'q + Dpq+Exy.
Отсюда следует, что вдоль интегральной характеристической полоски пер-
первого порядка уравнения Монжа-Ампера должны выполняться условия
I Ay2—
0.
Исключая р, получаем
AyJ—Вху -f- tie* + Dqy Dx
Exy -f Cx'q Ay + Dq
Отсюда, разделив на у, мы получаем далее:
(Ay + Dqf — Bx (Ay + Dq) + (AC—DE& — 0.
Положим III
х
Тогда р удовлетворяет квадратному уравнению
C) р2 — Вр + АС—Df=0.
Заменяя в уравнениях I и II линеИчую комбинацию Ay-\-Dq через
разделив на дг* мы получим
Г ру — By + Dp + Cx = 0,
1Г ?J)+pp+Q =0.
Обозначая, как и в § 7, через о параметр \ для семейства характери-
характеристик, принадлежащего корню pj, квадратного уравнения C), а через р пара-
параметр X для семейства, принадлежащего корню pj этого уравнения, мы
расщепляем каждое из уравнений III, Г, 1Г на два уравнения. Уравнения
Г н 1Г мы пишем, однако, только для одного семейства характеристик, а
именно: уравнение Г мы пишем для семейства X = о, а уравнение И' для
семейства X = р. Уравнение III мы пишем для обоих семейств. Присоединив
еще условие полоски для иа, мы получим каноническую гиперболическую
систему пяти уравнений первого порядка D) с неизвестными функциями
х, у, и, р, q.
В случае общего нелинейного уравнения второго порядка
F{x, у, и, р, q, r, s, 0 = 0
мы не имеем возможности исключить элементы второго порядка г, s, t в
должны, поэтому, рассматривать совместно систему восьмн функций
х, у, а, р, q, r, s, t.
Шесть условий полоски для функций и, р, q, два характеристических усло-
условия уа — Р1ДГ, = 0, у^ — pjATjj =в 0 и четыре дополнительных условия для ий-

612 ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКОВ
тегральных характеристических полосок второго порядка дают 12 уравнений.
Мы сохраняем 2 характеристических, 2 дополнительных условия и 4
условия полоски. Остающиеся 2 условия полоски и 2 дополнительных ус-
условия являются следствиями выделенной системы восьми дифференциальных
уравнений при соответствующих начальных условиях.
К стр. 390. В самом деле, из уравнений р = тх + sy, q — sx -J- (у
следует
1 . a
x
или
4-ntJL.d4- г - n't Л- n dq Л- dp
dx dx dx
Величины
dq g dq dp px — qy
полз'чаются путем внутреннего дифференцирования влементов первого по-
порядка и, следовательно, известны вдоль полоски первого порядка.

ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля интегральное уравнение 226,
469
Адамар (Hadamard) 189, 194, 201, 369,
387, 389. 392, 444, 489 и след., 531
— метод Адамара для решения зада-
задачи Коши 489—509
спуска 189, 444
Альтернирующий процесс Шварца 296
Ампера-Мотка дифференциальное
уравнение 311, 389
Асджейрсон 473, 482
Аффинное преобразование 163
Бельтрами дифференциальные урав-
уравнения 148, 164
— метод 420
Бернулли полиномы 246
Бесселя дифференциальное уравне-
уравнение 252, 359
— функция 175, 247,359, 464
Бибербах 323
Биполь, особенность типа 590
— потенциая его 255
Вайнштейн (A. Weinstein) 199
Вариационная задача 313
вторая 555
первая 547
третья 576
четвёртая 579
Вариационное исчисление 114 и след.,
535 и след.
Вариация постоянных 129, 187, 455
Вейерштрасс 535 и след.
—, теорема сходимости 276
—, формулы Вейерштрасса 155
Вейль (Н. Weyl) 177
Вектор лучевой скорости 406
— нормальной скорости 406
— функциональный 162
— характеристический 77 и след.,
102
Вектор-потенциал 166
Вершина «бесконечно острая» 306
Ветвление (см. Разветвление) 69
Взаимность, закон взаимности для
функции Римана 358
Винер (N. Wiener) 559
Вннера теоремы 321 и след.
Вихри, теорема вихрей 346
Внешняя производная (см. Выводящая
производная) 131, 422
Внутреннее дифференциальное выра-
выражение 332, 396, 422
— дифференцирование 400
Внутренняя производная 131
Возмущение, каноническая теория
возмущений 129
— уравнения возмущения 129
— центр возмущения 415
Волна 168 и след.
— длина волны 173
— понятие волны 168, 509
— скорость распространения волны
170, 406
— фаза волны 170, 510
— форма волны 170, 510
— фронт волны 336
Волновая поверхность Френеля 428
Волновое уравнение 166, 170,203,219,
242, 402," 429, 465, 477, 478
Во«чы затухающие 173
— несобственные 173
— относительно неискажающиеся
проходящие 510
— плоские 169
— поступательные нлн проходящие
169, 509
— распространяющиеся без иска-
искажения 172, 510
— стоячие 169, 175
— сферические 176, 512
— цилиндрические 175
Вольтерра 437
Вполне гиперболическое дифферен-
дифференциальное выражение 161
уравнение 164, 342, 380
Временного типа координаты 348
линейный элемент 403
линия 512
направление 403
элемент поверхности 403
Выводящая производная 131, 422
Выметание, метод выметания Пуан-
Пуанкаре 300
Выражение типа дивергенции 493

614
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Гамель (Hamel) 283
Гаыильтона-Якобн дифференциальное
уравнение 116, 509
теорема 126, 128
теория 105, 109, 114
Ганкель (Hankel), функция Ганкеля
176
Гармоническая функция 155,248 и след.,
•266 и след.
Гармонический осциллятор 593
Гарнак (Нагпаск), теорема Гарнане
276
— неравенство Гарнака 273
Гаусс (Gauss) 535
— интегральная теорема Гаусса 256
Геллингер (Hellinger) 553
Гельмгольц (Helmholtz) 199
Геодезические линии на эллипсоиде
113
Геодезическое расстояние 116, 490,
492
Геометрическое истолкование диффе-
дифференциальных уравнений с частными
производными 30 и след.
Герглоц (Herglotz) 516
Гидродинамика 198, 345, 424
Гильберт (Hilbert) 314, 536
Гильберта инвариантный интеграл 124
Гильбертовы пространства 545
Гиперболическая нормальная форма
143 и след., 156 и след., 161
Гиперболическое дифференциальное
уравнение 328 и след., 334, 392 н
след., 423
Гопф (Hopf) 387
Граница тенн 413
Граничная точка правильная и не-
неправильная 323
Грнн (Green), формулы Грина 256 и
след.,
— функция Грина 265 и след., 293
и след.
Гюйгенс (Huyghens), дифференциаль-
дифференциальное уравнение типа Гюйгенса 421
— построение Гюйгенса 124, 416
— принцип Гюйгенса 192, 446, 449,
461 и след., 513 и след.
— обобщённый принцип Гюйгенса
531 н след.
Дарбу (Darboux), дифференциальное
уравнение Дарбу 432, 465 и след.,
475, 439
Двойной слой, его потенциал 255, 263
и след.
Двойное усреднение 475
Дефект квадратичной формы 158, 423
Деформации поперечные ?93
Джон (F. John) 465, 482, 489
Дивергенция, выражение типа дивер-
дивергенции 493
Диполь (см. Бнполь) 255, 590
Дирака (Dirac) дифференциальные
уравнения 166
Дирихле (Dirichlet), задача Дирихле
308,327
— интеграл 258
— принцип 535 и след., 537 и след.
Дисперсия 169 и след.
Дифференцирование внутреннее 396
— дробного порядка 216, 469
— трансверсальное 400
— характеристическое 133
Дуглас (Douglas) 601
Дюаыель (Duhamel), интеграл
Дюамеля 207 и след., 232, 456
— теорема Дюамеля 207
Д?ч (G. Doetsch) 226
Емкость области 323
Естественные краевые условия 546,
576, 579
Жиро (Giraud) 308, 327
Жордан (Jordan), кривая Жордана 294
Зависимости область (см. Область
зависимости)
Зависимость решения от параметров
364
Задача о двух телах 28, 111
— о собственных значениях вторая
555
четвёртая 579
Задачи о собственных значениях 535
Замыкание, процесс замыкания про-
пространства 545
Запаздывающий потенциал 187
Заремба (S. Zaremba) 429, 536
Затухания коэффциент 173
Затухающие волны 173
Излучение, проблема излучения 191,
457 н след.
Импульс (толчок) 205
Импульсы 115
Инвариантность трансвгрсального
дифференцирования 400
— характеристик 344, 399
Инвариантный интеграл Гильберта
124
Индекс инерции 158, 396, 423
Интеграл Дюамеля 207,232,456
— полный 87, 30 и след., 105 и след.
Интегральная поверхность 14, 67, 73,
79, 83, 87, 105, 395

ПРЕДМЕТНЫЙ Н ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
615
Интегральная полоска 83, 330—331,
394
Интегральное выражение, решение
с помощью 203
—соотношение, как обобщение диф-
дифференциального уравнения 533
Интегральный коноид 87, 97, 124
Интегральных уравнений метод Фред-
гольма (Fredholm) 302
Леви (Е. Е. Levi) 314
Интегрирование дробного порядка
216
Интенсивность лучеиспускания 457
Искажение (дисперсия), отсутствие
искажений 169 и след., 509 и
-след.
— коэффициент искажения 510
— отсутствие искажения у кабелей
174
Источник 175
Итерации метод 361
Пнкара 328
Кабель, отсутствие искажения у ка-
кабелей 174
— уравнение кабеля для конечной
области 234
Каналов поверхности, их дифферен-
дифференциальное уравнение 34, 97
Каноническая система дифферен-
дифференциальных уравнений 108
— теория возмущений 129
—форма вариационной задачи 115
Канонические гиперболические си-
системы дифференциальных уравне-
уравнений 367, 369
— преобразования 126 и след.
Канонически сопряжённые перемен-
переменные 116
Каустическая поверхность 123
Каустические линии 87, 92
Квазилинейные дифференциальные
уравнения 14, 35, 38, 66, 73, 137,
310, 368, 393
Кельвин 535
Клейн (Felix Klein) 482
Клеро (Clairaut), дифференциальное
уравнение ?5, 43, 96
Ковалевская Софья 52
Колебание пластинок 593
— струны 196, 204
Колебательного типа задачи 197
Комплексные величины, переход от
гиперболического случая к эллип-
эллиптическому с помощью к. в. 147, 154,
381 и след.
представление минимальных
поверхностей с помощью аналити-
аналитической функции комплексного пе-
переменного 155
Коническая рефракция 527
Коноид 20
— интегральный 87, 97, 124
— лучей характеристический 413
Конус лучей 124, 417
— Монжа 31, 79, 90, 97, 417, 425
— нормалей 417, 516, 423f 428
— характеристический 161
Конусов поле 31
Конформное отображение 155, 197
Коппеыфельз 221
Корректно-поставленная задача 200
и след.
, некорректные задачи Коши
482
Коши, доказательство существования
аналитических решений у анали-
аналитических дифференциальных урав-
уравнений 52
—, задачи Коши 44, 68, 75 и след.,
100 и след., 132, 178 и след., 328 и
след., 489 и след.
—, задачи Коши негиперболиче-
скив 482 н след.
— характеристическая задача Коши
356 и след., 431
Коэффициент затухания 173
— искажения 510
— поперечного расширения 594
Краевая задача 195, 293 и след., 5 35 и
след.
первая 547
третья 175
уравнения минимальных по-
поверхностей 396
Краевые значения, достижение нх
в среднем 307
— условия 541 и след., 546
естественные 546, 576, 579
Кривые касания 106
— Монжа 80
— характеристические 36.67,74, 79,
105, 328 н след., 400
Кристаллооптика 427, 434, 516
Критерий характеристик 134
Курант 202,442,536, 590, 591,600,601,
Лаплас, дифференциальное уравнение
Лапласа 18, 248 и след.
— преобразование Лапласа 226, 229
и след.
Лебег (Lebesgue) 532, 536
—, пример Лебега 306
Леви Б. (В. Levi) 536
Леви Э. (E.E.Levi) 308, 314

616
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Леви (Н. Levy) 202,369,370, 38i—384,
387, 389, 429, 532
Леви-Чивита (Levi-Civita) 392
Лежавдра полиномы 275
— преобразование 39—44, 115
— функция 115 и след.
Лерэ (Leray) 308
Линеаризация дифференциального
уравнения минимальных поверхно-
поверхностей 44, 58, 155
Линейные дифференциальные урав-
уравнения 35-38, 143
— функциональные пространства
542
Линейный потенциал 255
— элемент характеристический 67
Линии поля 67
— разветвления интегральных по-
поверхностей 69
— тока 345. 425
Лихтенштейн 308, 321
Лорени, преобразование Лоренца
479,513
Лучевая скорость 406
Лучей коноид 413
— конус 124, 417
— поверхность 418, 516 и след.
Лучеиспускание, его интенсивность
457 *
Лучепоглсщение 461
Лучи нулевой длины 414
—, проблема лучей в плоской гидро-
динамике 198
— характеристические S28, 397
н след.
Мажорант метод 54
Максвелла уравнении 165, 427, 433
Матрица 32, 41,105,163 и след., 3?8,
389,403
— операторная 163 и след.
- —, ранг матрицы 32, 88
—, след матрицы 309
Мах, угол Маха 346
Метод Адамара для решения задачи
Коши 489—509
— вариации постоянных 129,187,455
— выметания Пуанкаре 300
— интегральных уравнений 302, 314
— мажорант 54
— операторов 203, 211 и след., 4G9
— Римана 352—359
— Рнтца 537
— спуска Адаыара 18, 444
— средних значений 465
— суперпозиции 209
— толчков.455
— Фурье 438, 524
рмулы 225
Мелнна интегральные
Мероопределение 415, 416
Метрика D я метрика Н 570
— Я 570
— 0544
— квадратичная 542
— риманова пространства 413 и след
Метрическая форма 544
Минимальные поверхности 44,57,154
198, 600 и след.
——, их представление с помощью-
аналитической функции комплекс-
комплексного переменного 155
Минимизирующая последователь-
последовательность 537, 550 и след.
Многообразие нагружённое 132
— характеристическое 73, 76, 78,
101, 130, 132, 328, 345, 395 и след.,
410, 422
полосок 102, 133, 328
Многосвязные области 295
Монж (Monge), конус Монжа 31,79>
90, 97, 417, 425,426
—, кривые Монжа 80
—, пучки Монжа 67
—, уравнение Монжа 89, 425
Монжа-Ампера дифференциальное
уравнение 311, 389
Нагруженное многообразие 132
Нагрузка 132, 134, 135
Наложение (см. Суперпозиция)
Направление характеристическое 73}
80, 133
Начальные значения,'задача с задан-
заданными начальными значениями (см.
Коши, задача Коши)
Недоопределённая система дифферен-
дифференциальных уравнений 24, 81
Неиекажающиеся проходящие вол-
волны 510
Нейман К. (С. Neumann) 536
Нейман Э. (Е. Neumann) 302, 308
Неймана функция 252, 491, 503
Неопределённая квадратичная форма
396
Непространственного типа начальные
многообразия
Нестационарные задачи 197, 203
и след.
Неравенство Гарнака 273
— Пуанкаре 552 и след., 577, 583
585, 587
—треугольника 543,566
— Фридрихса 553, 584, 585
— Шварца 222, 351, 543, 561
Нестационарное движение сжима»
емой жидкости 424—426

ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
617
-Нормали
— конус нормалей 417, 423. 428
516
— поверхность нормалей 418, 428,
516 и след.
— поле нормалей 122
¦Нормальная производная 131
— скорость 406, 428
Нормально направленная производ-
производная 131
Нормальные формы квазилинейных
дифференциальных уравнений 150
Нормальные формы линейных диф-
дифференциальных выражений вто-
второго порядка 143
Нормирующая поверхность (Eich-
fmche) 525
Нулевой длины лучи 414
Область влияния илн действия 200,
347, 429
— зависимости 193, 20Э, 347, 365,
429 и след., 528
— распространения 347
Общее решение дифференциального
уравнения 15
Лапласа 249
Обыкновенная полоска 330, 395
Огибающая 31, 32, 34, 87, 89, 98,
105
— характеристик 70
Однородные функции 21, 59
, условие однородности Эйлера
21, 98
Операторная матрица 163 и след.
Операторный метод 203, 211 и след.,
469
Опорная функция минимальной по-
поверхности 57
Определённые системы дифференци-
дифференциальных уравнений 24
Основное многообразие, характе-
характеристическое 134
—решение дифференциального урав-
уравнения 252, 490. 492
уравнения теплопроводности
29, 179
Особая интегральная поверхность
34
Особенностей функция (Parametrix)
314
Особое решение 33. 34, 35
Особый интеграл 33
Осциллятор 393
Относительно неискажающиеся вол-
волны 510
Отображение, задача отображения
Римана 197
Параболическая нормальная форма
143 и след., 156 и след., 164
Параболическое дифференциальное
уравнение 342
Parametrix (cv. Функция особенностей)
Пикар (PIcard) 310, 327
—, метод итераций 328
Пицетти 290
Плато, задача Плато 196, 198, 353,
600-609
Плоские волиы 169
Плоскость равной фазы 170
Поверхности вращения, их диф-
дифференциальное уравнение 20
— каналов, их дифференциальное
уравнение 34, 97
— разрывов решений 403, 407
Поверхностный элемент 40, 403
Поверхность волновая (см. Фронт
волны)
— интегральная 14,67, 74,81 и след.,
1С0 и след., 141, 334, 395
— каустическая 123
— лучей 418, 516 и след.
— нормалей 418, 428, 516 н след.,
— нормирующая 525
— пространственного типа 34S
Поле конусов 31
— направлений 67, 81
— нормалей 122
— экстремалей 122
Полиномы Бернулли 246
— Лежандра 275
— Чебышева 274
Полнота, теорема полноты 558
Полный интеграл 30 н след., 87, 105
Полоска 80
—, вектор полоски, характеристи-
характеристический 102
— ветвления 335
— интегральная 83, 330—331. 340,
394
—, многообразие полосок 102, 321
— обыкновенная 330, 395
— особая 395
— фокальная 81
— характеристическая 83, 100, 32?
и след., 331, 341
—, условие полоски 80, 100, 102, 369
Поперечные деформации пластинок
593
Последовательных приближений ме-
метод 327
Поступательные волны (см. Проходя-
Проходящие волны)
Потенцлал распределения массы 2S2
— скалярный и вектор-потенииал
166

618
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Потенциал тяготения 252
—, теория потенциала 248 и след.
Поток жидкости нестационарный 425
стационарный 345
Предельные функции, их построение
Ъб2, 598
Преобразование аффинное 163
— Лапласа (см. Лаплас)
Лоренца (см. Лоренц)
— тета-функции 178 и след.
Принцип Дирихле 535 и след., 537
и след.
— зеркальиогоотражеиия 274 н след.
— смещения Хивисайда 217, 223
— Ферма 117
Продолжаемые начальные условия
531
Продолжение на комплексную об-
область 383
Проекции характеристические 67, 74,
331
Производная характеристическая 133
Производные потенциала 263
Производящая функция 451
Пространства функциональные 542
Пространственного типа элемент
поверхности 403
Проходящие волны 169, 509
Процессы выравнивания 197
— распространения 192
Прямые методы вариационного ис-
исчисления 321
Пуанкаре (Poincare), метод нымета-
ння 300
—, неравенство Пуанкаре 552
и след., 577, 583, 585, 587
Пуассон (Poisson), дифференциальное
уравнение для потенциала 248.253,
287
—, волновое уравнение Пуассона
в трёхмерном пространстве 419
—, интеграл Пуассона 29—30
—, интегральная формула для шара
и полупространства 270, 272
—, следствия из формулы Пуассона
273
—, формула суммирования 246
—, число Пуассона 594
Радо 601
Развертывающиеся поверхности 20,
40, 58
Разветвление, линии разветвления
69
—, многообразие разветвления 78
—, элементы разветвления инте-
интегральных поверхностей 85, 335
Разделение переменных 27
Разрыв, мера разрыва 412
Разрывы высших порядков 407, 412
—, скорость распространения разры-
Ранг матрицы 32, 88,100
Распределение массы, его потенциал
252 и след., 263 н след.
Распространение разрывов 410
Ребро возврата 70, 93, 98
Реллих, теорема выбора 554, 557, 558,
585 .
—, теорема Реллиха 311
—, о дифференциальном урав-
уравнении Монжа-Аыпера 588
Рефракция коническая 527
Риман 535,602
—, задача отображения 197
—, интегральная формула 352, 356
—, метод Рнмана 352—359
—, функция Римана 355
Рнтц (W. Ritz) 595
Ритца метод 537
Рубинович 429
Самосопряжённое дифференциальное
выражение 493
Сверхопределённые системы диф-
дифференциальных уравнений 24
Световой коиус 87
Световые лучи 87, 92
Свободная граница 199
Свободное образование лучей 199
Сжимаемая жидкость 345, 424
Система дифференциальных урав-
уравнений 22-27, 60—63,137—142,159,
162, 343, 366
характеристическая 70, 82,
99, 108, 372
Системы дифференциальных урав-
уравнений канонические 108, 367,
369
Скорость звука 345
— лучевая 406
— нормальная 406, 428
— потока 345
— распространения волны 170, 4С6
разрывов 425
— фазовая 173
След матрицы 309
Смешанные вадачи 196
Смещения принцип (Хивисайда) 217,
223
Собственные значения (см. Задачи о
собственных значениях)
Сопло 198
Сопряжённые дифференциальные
выражения 353, 493
Спуска метод (Адамара) 189, 444;

ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
619
•Среднее значение, теоремы о сред-
среднем значении 278 н след., 289 и
след.
, теорема о среднем значении
Асджейрсона 473 и след.
, обращение теорем о среднем
значении 280
, применение теоремыо среднем
значении к волновому уравнению 477
, теорема о среднем значении
для софокусных эллипсоидов 480
Средних значений метод 465
Стационарный поток жидкости 435
•Стильтьеса интеграл 322
Стон (М. Н. Stone) 3, 542
Стоячие волны 169
Суперпозиция 29, 168, 180, 438
—, метод суперпозиции экспонен-
экспоненциальных решений 209
Сферические волны 176, 512
Сферический фронт волны 415
Сходимость сильная н слабая 544
Тангенциальная производная (см.
Внутренняя производная)
Тангенциальные координаты 39, 400
Телеграфное уравнение 174,240,358,
463
Тензор основной разрешающий 597
Тень, граница тени 413
Теория упругости, первая краевая
задача и задача о собственных зна-
значениях 595
Теория характеристик 66 и след.,
137—142, 328 и след.
Теплиц 553
Теплопроводности уравнение 28, 218,
для конечных областей 234
, основное решение 29
, задачи Коши в теории тепло-
теплопроводности 178
Тета-функцня 238
, функциональное уравнение 181
Ток, линии тока 345, 425
Толчки, принцип толчков 187
—, метод толчков 455
Томсон В. (см. Кельвин)
Тотально-гиперболические дифферен-
дифференциальные выражения (см. Вполне
гиперболические дифференциаль-
дифференциальные выражения)
Трансверсалей семейство 122
Трансверсали (см. Трансверсальные
экстремали)
Трансверсальное дифференцир о вание
409
Трансверсальности условие 121
Трансверсальный лучевой вектор 406
Трансверсальные экстремали 122
Треугольника неравенство 543, 566
Тяготение, потенциал тяготения 252
Угол Маха 346
Ультрагиперболическое дифферен-
дифференциальное уравнение 158, 397, 473,
482
Ультралоренцова группа 482
Упругости теория (см. Теория упру-
упругости)
Условие однородности Эйлера 21,98
— полоски 80, 100, 102, 369
— характеристик (или Характе-
Характеристическое условие) 134, 135, 330
и след., 370, 397, 422
Фаза волны 170, 510
Фазовая скорость 173
— функция 510
Ферма, принцип Ферма 117
Фокальная кривая 79, 80, «7, 89, 92
— полоска 81
Фокальные (каустические) линии в
оптике 87, 92
Форма волны 170, 510
— характеристическая 144, 160,163,
332
Фредгольм (Fredholm), метод инте-
интегральных уравнений 302
—, теоремы Фредгольма 303 и след.
Френель (FresneJ), волновая поверх-
поверхность Френеля 428
Фридрихе (Friedrichs) 202, 381, 389,
429, 496, 513, 532, 545, 595
—, неравенство Фридрихса 553,584,
585
—, теорема Фридрихса 471
Фронт волны 336, 403, 407, 416, 509
Фубини 536, 595
Функции Лежандра высших порядков
249
Функциональное уравнение тета-
функции 181
Функциональные пространства 542
Функциональный вектор 162
Функция особенностей 314, 598
— состояния 169
Фурье интеграл 183
— коэффициенты 29, 180
— метод 438, 524
Характеристики, теория характе-
характеристик 66 и след., 137—142, 328 и
след.
—, условие характеристик (см
Характеристическое условие)

620
ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Характеристическая задача Коши 356,
431
— производная 133
— система дифференциальных урав-
уравнений 70, 82, 99, 108, 372
— точки полоски ЗЗЭ
— форма 144,160,163, 332
— функция 512
Характеристические кривые 36, 67,
74, 79,105, 328 н след., 369 и след.,
400
-<- лучи 328, 397 и след.
— параметры 369
— полоски 83,100, 328 и след.,331,
341
— проекции 67, 74, 331
Характеристический вектор 77 и след.,
102
— коноид 413, 489
— конус 161, 430, 490
— линейный элемент 67
Характеристическое дифференциро-
дифференцирование 133
— многоэбразие73,76, 78, 102, 130,
132, 328, 395 и след., 410,422 и след.
— направление 73, 80, 133
— ссиовное многообразие 134
— многообразие полосок 102, 328
— условие 134,135,330 н след.; 342,
370, 397, 422
Хивисайд, его операторный метод 203,
211—226,469
—, принцип смещения 217, 223
Цилиндрическгге волны 175
Чебышева полиномы 274
Шаровые фронты волны 415 .
Шаудер 308
Шварц 263, 536
—, альтернирующий процесс
Шварца 296
—, неравенство Шварца 222,351,543,
й61
Шероховатость 346
Шеферс (G. Schefters) 63
Шифман (Shiftman) 284
Шмндт 263
Якоби-Гамильтона дифференциаль-
дифференциальное уравнение 116, 509
теорема 126, 128
теория 105, 109, 114
Якоби дифференциальное уравнение
(линейное эллиптическое) 327
Яффе (Jaffe) 199
Эйконал 116, 124
—, уравнение Эйконала 509
Эйлера дифференциальные уравнения
313
гидродинамики 424
, их каноническая форма 114,
116 •
— условие однородности 21, 98
Эквивалентность, вопрос об эквива-
эквивалентности системы дифференци-
дифференциальных уравнений одному диффе-
дифференциальному уравнению 22—24,
60—63
Экстремалей поле 121 н след.
Эллиптическая нормальная форма
143, 151, 158
Эллиптические дифференциальные
уравнения 164,248 и след., 327,423
Энергии интегралы 348
Энергия покоя 166