А.И.АХИЕЗЕР, В.Б.БЕРЕСТЕЦКИЙ

Квантовая
эл ектрод и нам и ка
А. И. АХИЕЗЕР, В. Б. БЕРЕСТЕЦКИЙ

КВАНТОВАЯ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1969
530.1

A 95

УДК 530.145

«Квантовая электродинамика», Ахиезер А. И., Берестец-
кий В. Б. Монография, Главная редакция физико-математической
литературы издательства «Наука», 1969.

Третье издание монографии значительно переработано авторами с учетом разви-
тия и уточнения представлений в области квантовой электродинамики. Кроме того,
добавлены новые разделы, параграфы, описывающие электромагнитные свойства
адронов (сильно взаимодействующих частиц), параграф о новом методе учета радиа-
ционных поправок (дважды логарифмическая асимптотика) и параграф о применимо-
сти метода дисперсионных соотношений для решения задач квантовой электроди-
намики.

План книг в основном повторяет прежние издания. В гл I излагается формализм
теории квантовой механики фотона, в гл. II аналогично описывается релятивистская
квантовая механика электрона. В гл. III рассматриваются электромагнитные взаимо-
действия. В гл. IV общие результаты предыдущих глав конкретизуются при рассмо-
трении наиболее типичных физических явлений. В гл V изложены методы расчета
радиационных поправок и приведены схемы соответствующих расчетов для основных
типов рассеяния электронов и фотонов Табл 13, рис 126, библ назв 160.

2-3-2

92-68
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .................................................................... И

Из предисловия к	первому изданию............................................. 13

Глава I. Квантовая механика	фотона........................................... 15

§ 1.	Уравнения	Максвелла................................................... 15

1.1.	Введение (15). 1.2. Различные формы уравнений электромагнитного поля
(15). 1.3. Релятивистская инвариантность уравнений Максвелла (16). 1.4. Груп-
па Лоренца (17). 1.5. Инверсия и обращение времени (19). 1.6/Вариационный
принцип (20). 1.7. Тензор энергии-импульса поля (23). 1.8. Тензор момента
количества движения поля (25). 1.9. Разложение потенциалов на плоские вол-
ны (26)

§ 2.	Волновая функция фотона................................................... 28

2.1.	Уравнение Максвелла в пространстве волновых векторов (28). 2.2. Волно-
вая функция фотона в импульсном пространстве (30). 2,3. Плоские волны (32).

2.4.	Поляризационная матрица плотности фотона (33).	2.5. Невозможность

введения волновой функции фотона в координатном представлении (36).

§ 3.	Момент количества движения фотона........................................... 37

3 1. Оператор момента (37). 3.2. Спиновые волновые функции фотона (38). 3.3.
Собственные функции оператора момента фотона (41). 3 4. Коэффициенты век-
торного сложения (43). 3.5. Продольный и поперечные шаровые векторы (45)
3.6. Четность состояний фотона (47). 3.7. Угловое распределение (48). 3.8. Сфе-
рические электромагнитные волны (48).

§ 4.	Система двух фотонов....................................................... 51

4.1.	Волновая функция двух фотонов в импульсном пространстве (51). 4.2 Чет-
ные и нечетные состояния двух фотонов (52). 4.3. Классификация состояний
двух фотонов с определенным моментом (54).

§ 5.	Квантование электромагнитного поля......................................... 56

5 1. Операторы испускания и поглощения фотона (56)	5.2. Использование

индефинитной метрики (62). 5.3. Перестановочные соотношения для потенциа-
лов и компонент электромагнитного поля (68).

§ 6.	Сингулярные функции, связанные с волновыми полями.......................... 70

6	1 Вакуумные средние произведений операторов электромагнитного поля (70)

6	2 Хронологическое и нормальное произведения операторов электромагнит-
ных потенциалов (72). 6 3. Функция Грина волнового уравнения (73). 6 4.
Сингулярные функции, связанные с волновым уравнением (75). 6.5. Аналитиче-
ские свойства сингулярных решений волновых уравнений (77)
Г лава II. Релятивистская квантовая механика электрона................... 82

§ 7.	Уравнение Дирака.................................................... 82

7.1.	Спиноры (82). 7.2. Уравнение Дирака для свободного электрона (83).

7.3.	Симметричная форма уравнения Дирака (85). 7.4. Уравнение Дирака для
электрона во внешнем электромагнитном поле (86). 7.5. Уравнение непрерывности
(87).

§ 8.	Свойства инвариантности уравнения Дирака..................................... 88

8.1.	Различные представления уравнения Дирака (88). 8.2. Алгебра матриц
Дирака (89). 8.3. Вычисление следов матриц (91). 8.4. Прямые произведения
матриц Гу (93). 8.5. Преобразования Лоренца для биспинора (94). 8.6. Про-
странственное отражение, обращение времени и зарядовое сопряжение (98).

8.7.	Ковариантные билинейные формы (103). 8.8. Вариационный принцип для
уравнений Дирака (105).

§ 9.	Свободный электрон ....................................................... 109

9.1.	Решения с положительными и отрицательными частотами (109). 9.2. Пло-
ские волны (112). 9.3. Поляризационные состояния электрона (114). 9.4. Поля-
ризационная матрица плотности электрона (116). 9.5. Шаровые спиноры (119).

9.6.	Волновая функция свободного электрона с определенным моментом (123).

9.7.	Четность состояния (127). 9.8. Разложение по сферическим волнам (128).

§ 10.	Движение электрона во внешнем поле....................................... 131

10.	К Разделение переменных в центральном поле (131). 10.2. Сферически сим-
метричная потенциальная яма (133). 10.3. Движение электрона в кулоновском
поле ядра (136). 10.4. Волновые функции непрерывного спектра в кулоновском
поле ядра (140). 10.5. Электрон в постоянном и однородном магнитном поле (142).

§ 11.	Рассеяние электронов...................................................   144

11.1.	Расходящиеся и сходящиеся волны (144). 11.2. Амплитуда и сечение рас-
сеяния (147). 11.3. Поляризация и азимутальная асимметрия (149). 11.4. Бор-
цовское приближение (150). 11.5. Рассеяние в кулоновском поле ядра (152).

§ 12.	Предельные переходы к нерелятивистской квантовой механике и реля-
тивистской классической механике..............................................  156

12.1.	Уравнение Паули (156). 12.2. Второе приближение (157). 12.3. Переход
к релятивистской классической механике (159).

§ 13.	Релятивистски инвариантные уравнения полей .............................. 162

13.1.	Конечномерные представления собственной группы Лоренца (162). 13.2.
Функция Лагранжа свободного поля (166). 13.8. Тензор энергии-импульса, тен-
зор моментов и вектор плотности тока (168). 13.4. Масса и спин частицы (169).

13.5.	Неопределенный характер заряда при целом спине и энергии при полу-
целом спине (171). 13.6. Уравнения для частиц со спином нуль и единица (174).
13.7. Уравнения для частиц с произвольным спином (177).

£ 14. Квантование электронно-позитронного поля................................. 179

14.1	. Условия квантования (179). 14.2. Операторы испускания и поглощения
электронов и позитронов (183). 14.3. Антикоммутаторы электронного поля (187).

14.4	. Хронологическое н нормальное произведения операторов электронного
поля (189). 14.5. Связь спина со статистикой (193).
Глава III. Электромагнитное взаимодействие................................. 197

§ 15.	Основные уравнения квантовой электродинамики......................... 197

15.1.	Система уравнений квантовой электродинамики в гейзенберговском пред-
ставлении (197). 15.2. Функция Лагранжа, тензор энергии-импульса и тензор
моментов для взаимодействующих квантованных полей (199). 15.3. Уравнения
поля в форме коммутаторов (201). 15.4. Стационарные состояния системы взаи-
модействующих полей (203). 15.5. Представление взаимодействия (207). 15.6.
Представление взаимодействия в квантовой электродинамике (209).

§ 16.	Матрица рассеяния.....................................................   215

16.1.	Проблема рассеяния частиц в квантовой электродинамике (215). 16.2. Инва-
риантная теория возмущений (217). 16.3. Матричные элементы операторов по-
лей (220). 16.4. Унитарность матрицы рассеяния (222). 16.5. Представление мат-
рицы рассеяния в виде суммы нормальных произведений (225). 16.6. Функцио-
нальная форма представления матрицы рассеяния в виде ЛГ-упорядоченного
оператора (229). 16.7. Мюонный и адронный токи (232).

§ 17.	Графическое представление элементов матрицы рассеяния................... 234

17.1.	Графическое представление нормальных произведений (234). 17.2. Простей-
шие диаграммы (235). 17.3. Импульсное представление (240). 17.4. Теорема Фар-
ри (243). 17.5. Правила Фейнмана (244).

§ 18.	Вероятность и эффективное сечение....................................... 246

18.1.	Амплитуда рассеяния и вероятность (246). 18.2. Суммирование по состоя-
ниям поляризации электронов и фотонов (248). 18.3. Эффективное сечение (250).

18.4.	Вероятность процессов рассеяния поляризованных частиц (253). 18.5. Исполь-
зование обозначений, соответствующих псевдоевклидовой метрике (257).

§ 19.	Свойства симметрии электромагнитного взаимодействия..................... 259

19.1.	Релятивистская инвариантность уравнений квантовой электродинамики
(259). 19.2. Инвариантность уравнений квантовой электродинамики относитель-
но преобразования обращения времени (263). 19.3. Инвариантность уравнений
квантовой электродинамики относительно преобразования зарядового сопряже-
ния (272). 19.4. СРТ-теорема (277). 19.5. Калибровочная инвариантность урав-
нений квантовой электродинамики (282).

§ 20.	Структура диаграмм матрицы рассеяния.................................... 284

20.1.	Собственно энергетические и вершинные диаграммы (284). 20.2. Эффектив-
ные линии (286). 20.3. Уравнения Дайсона для функций Грина и графическое
уравнение для вершинной функции (289).

§21.	Функции Грина взаимодействующих полей................................... 293

21.1.	Функции Грина как вакуумные средние (293). 21.2. Следствия из условия
Лоренца (298). 21.3. Спектральное представление функций Грина (300). 21.4.
Уравнения для функций Грина в функциональных производных (305>. 21.5.
Представление функций Грина в виде функциональных интегралов (310).
21.6. Калибровочные преобразования функций Грина (313).

§ 22.	Перенормировка массы и заряда электрона................................. 315

22.1.	Перенормировка массы электрона (315). 22.2. Физический заряд электрона
(318). 22.3. Перенормировка функций Грина и вершинной функции (320). 22.4.
Трехфотонная вершинная функция (322). 22 5. Перенормировка элементов матрицы
рассеяния (324)
§ 23.	Расходимости в матрице рассеяния и их устранение........................ 326

23 1. Расходимости в интегральных выражениях, сопоставляемых неприводимым
диаграммам (326). 23.2. Введение граничного импульса (328). 23.3. Регуляризация
функций, соответствующих неприводимым диаграммам (329). 23.4. Регуляризация
функций, соответствующих приводимым диаграммам (332).

§ 24.	Асимптотические свойства функций Грина и границы применимости
квантовой электродинамики..................................................... 336

24.1.	Структура функций Грина в области больших импульсов (336). 24.2. Асим-
птотические выражения для функций Грина (341). 24.3. Асимптотический харак-
тер регуляризованных разложений матрицы рассеяния (344). 24 4. Проблема
замкнутости квантовой электродинамики (345).

Г лава IV. Основные электродинамические явления ........................ 347

§ 25.	Излучение фотона................................................   347

2	5.1. Общее выражение для амплитуды излучения (347). 25.2. Излучение элек-
трического мультиполя (348). 25.3. Излучение магнитного мультиполя (350).

25	4. Излучение ядер. Правила отбора (351). 25.5. Токи перехода в импульсном
представлении (352). 25.6. Угловое распределение и поляризация излучения (355).
25.7. Фотоэффект (360).

§ 26.	Рассеяние фотона электроном.............................................. 366

26.1.	Матричный элемент рассеяния (366). 26.2. Применение законов сохране-
ния (367). 26.3. Дифференциальное сечение в случае неполяризованных частиц
(368). 26 4. Угловое распределение рассеянных фотонов (371). 26 5. Полное сече-
ние (372). 26 6. Распределение электронов отдачи (373). 26 7 Поляризационные
эффекты (374) 26.8. Рассеяние поляризованных фотонов неполяризованными
электронами (376) 26 9. Рассеяние поляризованными электронами и поляриза-
ция электронов отдачи (378).

§ 27.	Рассеяние фотона связанным электроном.................................... 379

27.1	Дисперсионная формула (379). 27.2. Резонансное рассеяние (384). 27.3. Из-
лучение двух фотонов (385).

§ 28.	Тормозное излучение . .	.	................................. 387

28 1. Эффективное сечение тормозного излучения (387). 28.2. Угловое распре-
деление излучения в кулоновском поле (390). 28.3 Поляризация излучения (392).

28.4 Спектр излучения (394). 28 5. Экранирование (395). 28.6. Потеря энер-
гии на излучение (398). 28.7. Точная теория тормозного излучения в нереляти-
вистской области. Поправка к сечению тормозного излучения в борновском
приближении при крайне релятивистских энергиях (400). 28.8. Асимптотика
волновой функции электрона в непрерывном спектре (406).

§ 29.	Излучение длинноволновых фотонов......................................... 408

29.1.	«Инфракрасная катастрофа» (408). 29 2. Сечение рассеяния электрона с излу-
чением мягкого фотона (412). 29.3. Исследование расходимости в области малых
частот (417). 29.4. Когерентные состояния поля излучения (420). 29.5. Из-
лучение мягких фотонов при произвольных столкновениях (422).

§ 30.	Образование и аннигиляция электронно-позитронных пар..................... 424

30 1 Образование электронно-позитронной пары фотоном в поле ядра (4 24).

30.2. Точная теория образования пары фотоном в поле ядра вблизи порога.
Поправка к сечению образования пары фотоном в поле ядра в борновском
приближении при крайне релятивистских энергиях (429). 30.3. Образование
§ 31.

§ 32.

§ 33.

§ 34.

§ 35.

Глава
§ 36.

§ 37.

§ 38.

§ 39.

пары двумя фотонами/431) 30 4. Превращение пары в два фотона (433). 30 5. По-
ляризационные эффекты при двухфотонной аннигиляции пар (435). 30.6. Распад
позитрония (437). 30.7 Превращение пары в один фотон (439).

Рассеяние электрона и позитрона электроном.............................. 440

31.1. Рассеяние электрона электроном (440). 31.2. Рассеяние позитрона электро-
ном (442). 31.3. Рассеяние поляризованных электронов (443). 31 4. Рассеяние
мюона электроном. Превращение электронной пары в мюонную пару (444).

Запаздывающее взаимодействие зарядов ................................... 446

32.1. Функция взаимодействия двух зарядов (446). 32.2. Запаздывающие потен-
циалы (449) 32 3 Энергия взаимодействия двух электронов с точностью до и2/с2
(451). 32 4 Взаимодействие электрона с позитроном (455). 32.5. Позитроний (457).

Метод эквивалентных фотонов............................................. 462

33 1 Сравнение диаграмм, содержащих реальный и виртуальный фотоны (462).

33.2. Число эквивалентных фотонов(464) 33.3. Тормозное излучение быстрого элек-
трона в поле ядра (467) 33 4. Излучение при столкновении двух электронов (469).

33.5. Образование пары фотоном в поле ядра (470). 33 6. Образование пары при
столкновении двух быстрых частиц (471).

Рассеяние электронов адрипамИ........................................... 471

34 1. Электромагнитная вершина адрона (471). 34.2. Формфакторы (473).

34 3. Сечение рассеяния (475). 34 4. Электромагнитная структура частицы (477).

34 5 Нарушение С-инвариантности (479).

Взаимодействие электронов с ядрами...................................... 481

35.1. Формфакторы и мультипольные моменты (481). 35.2. Возбуждение ядер элек-
тронами (482). 35 3. Конверсия на атомной оболочке (484) 35.4. Конверсия с обра-
зованием пар (485). 35 5. Учет поля ядра (487)

V. Радиационные поправки..............................................   490

Радиационные поправки к функциям Грина и вершинной функции 490

36.1 Вычисление интегралов по инвариантному объему в 4-импульсном про-
странстве (490). 36.2. Массовый оператор второго порядка (496). 36.3. Поляри-
зационный оператор второго порядка (498). 36.4. Вершинная функция третьего
порядка (501).

Модификация закона Кулона. Аномальный магнитный момент элек-
трона ............................................................ ....	505

37 1. Модификация закона Кулона (505). 37.2. Аномальный магнитный момент
электрона и мюона (507).

Радиационные поправки к атомным уровням...............................   511

38.1. Уравнение Дирака с массовым оператором’(51 1). 38 2. Общие формулы для
радиационного смещения и естественной ширины уровней (513). 38.3. Радиацион-
ное смещение уровней атома водорода (515). 38.4. Радиационное смещение уровней
ц,-мезоводорода (519). 38.5. Рассеяние фотона вблизи резонанса (520).

Радиационные поправки к сечению рассеяния электрона во внешнем
поле и сечению рассеяния электрона электроном........................... 522

39.1	. Сечение рассеяния электрона в кулоновском поле ядра во втором борцов-
ском приближении (522). 39 2 Дифференциальное сечение рассеяния электрона
в кулоновском поле ядра с учетом радиационных поправок порядка а (526).

39.3	. Исключение «массы» фотона из сечения рассеяния (528). 39.4. Устранение
инфракрасной расходимости в случае произвольного процесса рассеяния (530).

39.5	Радиационные поправки к сечению рассеяния электрона электроном и
электрона позитроном (535).

§ 40.	Радиационные поправки к сечениям комптоновского рассеяния, обра-
зования и аннигиляции пар и к тормозному излучению............................. 538

40.1.	Радиационные поправки к сечению комптоновского рассеяния (538). 40.2.
Рассеяние электроном фотонов малой частоты (54 5). 40.3. Радиационные поправки
к сечению двухфотонной аннигиляции пар (550). 40.4. Радиационные поправки
к сечению тормозного излучения (551). 40.5. Радиационные поправки к сечениям
однофотонного образования и однофотонной аннигиляции пары (553).

§ 41.	Рассеяние фотона фотоном и нелинейная электродинамика вакуума 554

41.1.	Тензор рассеяния фотона фотоном четвертого ранга (554). 41.2 Связь меж-
ду сечением рассеяния фотона фотоном и радиационными поправками к функции
Лагранжа электромагнитного поля в вакууме (558). 41.3. Точное выражение для
функции Лагранжа в случае медленно меняющегося электромагнитного по-
ля (562).

§ 42.	Рассеяние фотона в кулоновском поле ядра ................................ 567

42.1.	Общее выражение для сечения рассеяния фотона в постоянном электромаг-
нитном поле (567). 42.2. Связь между амплитудой рассеяния фотона на нулевой
угол и сечением образования пар (569). 42.3. Распределение ядер отдачи по им-
пульсам при образовании пар фотоном в поле ядра (571). 42.4. Угловое распре-
деление ядер отдачи и интегральное сечение образования пар фотоном в кулонов-
ском поле ядра (573). 42.5. Когерентное рассеяние фотонов в поле ядра на нуле-
вой угол (574). 42.6. Когерентное рассеяние фотонов большой энергии в куло-
новском поле ядра на малые углы (578).

§ 43.	Дважды логарифмическая асимптотика сечений рассеяния..................... 583

43.1.	Дважды логарифмическая асимптотика вершинной функции (583). 43.2.
Дважды логарифмическая асимптотика сечения рассеяния электрона во внешнем
поле (590). 43.3. Сводка формул для сечений квантовоэлектродинамических про-
цессов в дважды логарифмическом приближении (594).

§ 44.	Дисперсионный метод вычисления радиационных поправок..................... 599

44.1.	Аналитические свойства поляризационного оператора (599). 44.2. Диспер-
сионное соотношение (602). 44.3. Применение соотношения унитарности (604).

44.4.	Вершинная функция во втором приближении (607). 44.5. Вершинная функ-
ция в третьем приближении (609). 44.6. Четырехугольная диаграмма и двойное
спектральное представление (611).

Литература.............................................................617

Предметный указатель.................................................. 621
Светлой памяти
нашего друга
Исаака Яковлевича
ПОМЕРАНЧУКА

Авторы

За 15 лет, прошедших со времени выхода первого издания этой книги,
основные принципы квантовой электродинамики, ее содержание и методы
не претерпели существенных изменений.

Предпринимались эксперименты для проверки предсказаний кванто-
вой электродинамики: более точное измерение тонкой и сверхтонкой струк-
туры уровней атома водорода, магнитных моментов электрона и мюона,
измерение эффективных сечений электромагнитных процессов в области
высоких энергий. В пределах экспериментальных погрешностей эти изме-
рения показали согласие с существующей теорией.

В связи с этим особый интерес представляет теоретическое исследова-
ние поведения сечений при высоких энергиях в той области, где радиацион-
ные поправки не могут быть учтены обычными методами теории возмуще-
ний. Основные методы и результаты в этой области (так называемая дважды
логарифмическая асимптотика), полученные главным образом в последние
годы, изложены в § 43.

Широко исследовались в последние годы электромагнитные свойства
сильно взаимодействующих частиц — адронов. Они могут быть описаны
при помощи метода, в котором сильные взаимодействия учитываются
феноменологически. Эти методы изложены в §§ 34, 35 в форме, позволяющей
с единой точки зрения рассматривать как рассеяние электронов адронами,
так и электромагнитные процессы с участием ядер.

Мы изложили также некоторые предельные теоремы, которым строго
удовлетворяют адронные амплитуды излучения и рассеяния фотонов.

Попытки распространить методы квантовой теории взаимодействую-
щих полей за пределы области электромагнитных взаимодействий не при-
вели к радикальному прогрессу в понимании сильных и слабых взаимодей-
ствий. Однако развитый на базе этих попыток метод дисперсионных соот-
ношений привел к появлению новой концепции теории взаимодействия
элементарных частиц, не оперирующей непосредственно с полевыми поня-
тиями. Такая концепция может быть плодотворно применена и в квантовой
электродинамике для нахождения радиационных поправок. Развитию мето-
да дисперсионных соотношений в таком плане посвящен § 44.

Остальная часть книги в идейном и методическом отношении, а также
по выбору конкретного материала принципиально не отличается от преды-
дущего издания. Тем не менее авторы не устояли перед соблазном полной
переработки текста, были перегруппированы главы и разделы, сокращены
одни из них и дано более подробное изложение в других (например, в раз-
делах о свойствах инвариантности уравнений квантовой электродинами-
ки — градиентной инвариантности, СРТ-теоремы и др.— о свойствах
функций Грина, уравнений для частиц с высшим спином, о методе экви-
валентных фотонов, о свойствах инфракрасного излучения и т. д.), т. е.
книга по форме и стилю приведена к виду, соответствующему современ-
ному пониманию предмета авторами.

Мы хотим выразить глубокую благодарность И. А. Ахиезеру,
В. Ф. Алексину, В. Ф. Болдышеву, Д. В. Волкову, В. Г. Горшкову,
С. Я. Гузенко, С. В. Пелетминскому, С. С. Санникову, Ю. П. Степановско-
му, П. И. Фомину за большую помощь в подготовке настоящего издания.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

В настоящее время известен ряд частиц, которым соответствуют раз-
личные квантовые поля, взаимодействующие друг с другом. Однако из
многообразия физических взаимодействий, существующих в природе, доста-
точно детально изучены в настоящее время, кроме гравитационного, только
электромагнитные взаимодействия. Теория этих взаимодействий составляет
предмет квантовой электродинамики, систематическому изложению кото-
рой посвящена настоящая книга.

Так как электромагнитные взаимодействия являются основными для
электронов и фотонов, то квантовая электродинамика дает возможность
объяснять и предсказывать широкий круг явлений, связанных с поведе-
нием этих частиц. Что касается применения квантовой электродинамики
к другим частицам (нуклонам и мезонам), то оно весьма ограничено вслед-
ствие существенной роли, которую играют для этих частиц другие типы
взаимодействий (ядерные или мезонные взаимодействия). Поэтому вопросы,
связанные с мезонами, в книге не излагаются, а взаимодействие нуклонов
с электромагнитным полем рассматривается только в предельном случае
малых скоростей.

Формулировка основных уравнений квантовой электродинамики и даже
сама возможность разделения взаимодействующих полей на электро-
магнитное и электронно-позитронное связаны с тем, что взаимодействие
между полями является слабым. Это обстоятельство находит свое выраже-
ние в малости постоянной а = е2/йс, характеризующей взаимодействие.
Поэтому взаимодействие между полями рассматривается в квантовой элек-
тродинамике как малое возмущение, и математическим аппаратом кванто-
вой электродинамики является теория возмущений, которая представляет
все количественные результаты в виде разложений по степеням а.

Так как электромагнитное и электронно-позитронное поля представ-
ляют собой системы с неограниченным числом степеней свободы, то при
применении теории возмущений возникают характерные для современной
теории расходящиеся выражения, которые отсутствуют только в первом
неисчезающем приближении теории возмущений. Развитие квантовой элек-
тродинамики в последние годы позволило установить принципы регуляри-
зации расходящихся выражений, благодаря чему стало возможным вы-
числение высших приближений (так называемые радиационные по-
правки).
Этот прогресс в значительной степени связан с новой, инвариантной,
формой теории возмущений. Инвариантная теория возмущений дала воз-
можность представлять результаты в компактном и релятивистски инва-
риантном виде, что позволило сформулировать правила регуляризации.
С другой стороны, применение инвариантной теории возмущений представ-
ляет значительные практические преимущества по сравнению с прежними
методами и при расчетах первых приближений. Поэтому все изложение
в книге строится на основе инвариантной теории возмущений.

Являясь вполне удовлетворительной теорией определенной области
физических явлений, современная квантовая электродинамика обладает
тем крупным недостатком, что для устранения возникающих в ней расходи-
мостей приходится привлекать дополнительные идеи, не содержащиеся
в основных формулировках теории и не отраженные в ее исходных уравне-
ниях. Такое положение вещей имеет, по-видимому, глубокие причины.
Они лежат в том, что далеко не всегда возможно построение замкнутой
теории ограниченного круга явлений (в данном случае чисто электромаг-
нитных) без учета более широкого класса взаимосвязей, имеющих место
в природе.

Мы выражаем благодарность Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчуку
и участникам руководимых ими семинаров за обсуждение ряда вопросов,
изложенных в книге.
Глава I

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ФОТОНА

§ 1.	Уравнения Максвелла

1.1.	Введение. Корпускулярные свойства света явились исторически
первым фундаментальным фактом, послужившим основой для развития
квантовой теории. Соотношение Планка — Эйнштейна 8 = Йео между
энергией 8 частицы света, фотона и частотой колебаний соответствующего
ему электромагнитного поля со было исторически первым соотношением,
содержащим квантовую постоянную Й.

Однако последовательная квантовая механика атома была построена
до квантовой механики фотона. Это обстоятельство имеет глубокую физиче-
скую причину. Атомные частицы, электроны и ядра имеют отличную от
нуля массу покоя. Для них существует область энергий, малых по сравне-
нию с энергией покоя, в которой можно не учитывать эффектов теории
относительности. Так как масса покоя фотона равна нулю, то для него
не существует нерелятивистской области, и квантовая механика фотона
должна быть с самого начала релятивистской теорией.

Простейшей задачей квантовой механики является описание состояний
свободной частицы. В этом случае волновая функция частицы является
полем в трехмерном пространстве. Если воспользоваться методом вторич-
ного квантования, то при помощи того же поля можно описать состояния
системы невзаимодействующих частиц

Такое описание состояний частиц может быть перенесено в реляти-
вистскую область. При этом необходимым является требование инвариант-
ности уравнений поля относительно преобразований Лоренца Естественно
принять в качестве уравнений поля, описывающего квантовомеханические
состояния фотона и системы фотонов, уравнения Максвелла. Как будет
показано далее, этого вместе с соотношением 8 = йсо достаточно для
построения теории фотонов и их взаимодействия с другими частицами.

Нашей первой задачей является изучение фотонов в отсутствие электри-
ческих зарядов Хотя свойства частиц проявляются именно при взаимодей-
ствии их с другими частицами, такое рассмотрение необходимо в качестве
подготовительного этапа к изучению взаимодействий.

Начнем с краткого обзора классической теории электромагнит-
ного поля.

1.2.	Различные формы уравнений электромагнитного поля. Электро-
магнитное поле описывается вектором электрического поля Е и вектором
магнитного поля //, которые удовлетворяют в отсутствие зарядов системе
уравнений Максвелла для пустоты:

rot£=-^-, divtf = 0,

дЕ	<L2J)

rot 7/=-^—, div£ = 0.
(Мы пользуемся здесь и в дальнейшем системой единиц, в которой скорость
света равна единице, с = 1.)

Первые два уравнения (1.2.1) будут тождественно удовлетворены,
если выразить векторы электромагнитного поля через потенциалы поля,
вектор А и скаляр <р

£=--^~V<p, H=rotA.	(1.2.2)

Соотношения (1.2.2) определяют потенциалы не однозначно, а лишь
с точностью до преобразования

4->4 + Vx, ф-^ф—(1.2.3)

где х — произвольная функция координат и времени. Это преобразование
называется калибровочным или градиентным. Очевидно, что все физиче-
ские соотношения, содержащие векторы поля, инвариантны по отношению
к калибровочным преобразованиям.

Неоднозначность в выборе потенциалов позволяет наложить на них
добавочное условие (условие Лоренца}

div А +	= 0.	(1.2.4)

Вторая пара уравнений Максвелла в (1.2.1) при подстановке (1.2.2)
с учетом (1.2.4) принимает вид волнового уравнения для потенциалов

□ 4 = 0, Пф = 0,	(1.2.5)

где □ — оператор Даламбера:

□ =А-^-.	(1.2.6)

Условие Лоренца определяет калибровку потенциалов А, ф не пол-
ностью Легко видеть, что (1 2.4) будет выполняться, если подвергнуть
потенциалы калибровочному преобразованию (1.2 3), в котором функция %
удовлетворяет волновому уравнению

□ Х = 0.	(1.2.7)

1.3.	Релятивистская инвариантность уравнений Максвелла. Для обес-
печения релятивистской инвариантности уравнений Максвелла достаточно
принять, что потенциалы электромагнитного поля А, ф образуют четырех-
мерный вектор {4-вектор) А11(А, ир):

т. е. при преобразованиях Лоренца ведут себя как составляющие четырех-
мерного радиуса-вектора хи(г, it). Тогда уравнения для потенциалов (1.2.5)
принимают вид

□ 4 = 0,	(1.3.2)

а условие Лоренца (1.2.4) запишется в виде

^ = 0	(1-3.3)

(по дважды встречающемуся греческому индексу производится суммиро-
вание от 1 до 4).
4-векторная запись показывает, что вид уравнений не меняется при
преобразованиях Лоренца.

Калибровочное преобразование (1.2.3) можно записать в виде

(1.3.4)

Оно сохраняет свой вид при преобразованиях Лоренца, если % является
четырехмерным скаляром.

Теперь уравнения (1.2.2) определяют четырехмерный антисимметричный
тензор электромагнитного поля F^,

объединяющий векторы электрического и магнитного полей

Fjk —	F — t-Ek

(1.3.6)

(1.3.7)

-0.

(/, k, Z= 1, 2, 3, &jki— единичный антисимметричный тензор).

Соотношения (1.3.6) позволяют записать (1.2.1) в виде
dFuv ар *	dF?,,

I	।	' ___Q

dx?	dx^ 1 dxv	’

dF jiv
dxv

4-тензорная форма непосредственно доказывает релятивистскую инва-
риантность уравнений Максвелла.

В заключение запишем уравнения электромагнитного поля при наличии
зарядов. Они отличаются тем, что уравнение (1.3.2) и второе из уравне-
ний (1.3.7) становятся неоднородными:

□	(1.3.8)

или

где /ц, —4-вектор плотности электрического тока.

1.4.	Группа Лоренца. Выше мы пользовались понятиями преобразо-
ваний Лоренца, 4-вектора и др Здесь мы изложим некоторые полезные
для дальнейшего уточнения и обобщения этих понятий.

Рассмотрим группу линейных преобразований

Хц —

оставляющих инвариантной квадратичную форму

-- Ац .

Здесь х1? х2, х3 — пространственные координаты, / =	—время, х^ —

те же величины в другой инерциальной системе отсчета. Запишем эти
преобразования в матричной форме

х' = ах.	(1.4.1)

Из соотношения х'2 = х2 следует, что матрица а удовлетворяет условию
ИЛИ

аа? = I,

2 А И Ахиезер, В Б Берестецкий
где ат — матрица, транспонированная по отношению к а, и I — единичная
матрица Отсюда получаем следующее важное свойство определителя
матрицы а

| deta[2 = 1, deta = ± 1.	(1 4 2)

Матрица а удовлетворяет еще условию, ограничивающему скорость
относительного движения инерциальной системы скоростью света,

1М>1-	(1 4 3)

Группа преобразований, определяемых формулами (14 1) — (14 3),
называется полной однородной (или просто полной) группой Лоренца

Из полной группы Лоренца можно выделять подгруппу, называемую
собственной группой Лоренца Это — совокупность таких преобразований
из полной группы Лоренца, которые содержат тождественное преобра-
зование, осуществляемое единичной матрицей /, и бесконечно малые
преобразования, т. е. преобразования, бесконечно близкие к тождест-
венному,

осуществляемые матрицей

а = / +	(1.4.4)

где 8—бесконечно малая антисимметричная матрица,

Spiv “	I I < 1 •

Любое преобразование из собственной группы Лоренца может быть
получено из тождественного путем непрерывного изменения элементов
матрицы а Так как det а принимает, согласно (14 2), только два дис-
кретных значения, то для любого преобразования собственной группы
Лоренца

det а = 1,	а44> 1.	(14 5)

Мы называли четырехкомпонентную величину потенциала Лц 4-векто-
ром Это означает, что прй переходе от одной инерциальной системы отсчета
к другой, осуществляемом преобразованием собственной группы Лоренца
она преобразуется как х, т е

Л'(х') = аЛ(х)	(1 4 6)

при х' = ах, где а — преобразование из собственной группы Лоренца
Тензор электромагнитного поля преобразуется, как легко видеть
из (1 3 5), следующим образом

F' (xf) = aF(x)a\	(14 7)

Это преобразование, служащее определением 4-тензора второго ранга»
является примером линейного преобразования, однозначно определяемого
преобразованием а, но не совпадающего с ним

Заметим, что тензор F^v можно записать не в виде квадратной матрицы,
а в виде шестикомпонентного вектора Рг (t = 1, 2,	,6) Тогда преобра-

зование его можно представить в виде

F' (x') = SF (х),

т. е.

Fг {х ) — SijFJ (х),
где S — квадратная шестирядная матрица, элементы которой являются
определенными функциями элементов матрицы а.

Мы можем перейти теперь к рассмотрению общего случая произволь-
ного поля, описываемого некоторым числом функций (х), совокупность
которых мы будем называть волновой функцией поля и обозначать через
ф (х). При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой вол-
новая функция претерпевает линейное преобразование, являющееся пред-
ставлением группы Лоренца

ф'(х') = 5ф(х).	(1.4.8)

Для бесконечно малых преобразований (1.4.4) матрицу S можно раз-
ложить в ряд по степеням egv и ограничиться линейными членами

S = Z + |e^v,

(1.4.9)

где	— некоторые не зависящие от 8^ матрицы. Эти матрицы

называются инфинитезимальными операторами. Они определяют пред-
ставление собственной группы Лоренца.

1.5.	Инверсия и обращение времени. Любое преобразование полной
группы Лоренца (не входящее в собственную группу) отличается от соб-
ственных преобразований знаком det а или а^ (или обеих этих величин).
Оно может быть получено как совокупность собственного преобразования
Лоренца и двух дискретных преобразований: преобразования простран-
ственного отражения (инверсии)

и преобразования обращения времени

xd = Xj (/ = 1,2,3),	х'= —х4	(1.5.2)

или

х' = аТх,
где
(100	0\

0 1 0	0 |	. .	.	( ч .

00 1	0 Г detar=— 1»	(«т)44=—1.

ООО -1/

Каждое из этих преобразований (вместе с тождественным преобразо-
ванием) образует группу, являющуюся подгруппой полной группы Лорен-
ца. Каждая из этих двух групп, таким образом, состоит из двух матриц
(аР и I или ат и /), причем

= I,	а у = /.

Выше мы определили 4-вектор по поведению этой величины относи-
тельно преобразований собственной группы Лоренца. При преобразованиях
полной группы Лоренца различные 4-векторы могут преобразовываться
по-разному. Это определяется их поведением при преобразованиях инвер-
сии (Р) и обращения времени (Т). Матрицы соответствующих преобразова-
ний имеют вид

Р^ЦрЯр, Т —	(1.5.3)

Так как Р2 = /, Т2 = /, то
и, следовательно,

Т}р=±1, Дт~ i 1-	(1.5.4)

При т)р = 1 4-вектор называется полярным, при = — 1 —аксиаль-
ным. При = — 1 мы будем называть 4-вектор /-четным, а при = 1 —
/-нечетным. В этих терминах является полярным /-нечетным 4-вектором.

Определим значения и для 4-вектора потенциала электромагнит-
ного поля. Уравнения для потенциалов (1.3.2) — (1.3.3) допускают любое
значение этих величин. Мы придем к однозначному выбору их, если обра-
тимся к неоднородному уравнению (1.3.8). Плотность тока /и является
полярным /-четным 4-вектором. Действительно, рассмотрим связь заряда е
с временной компонентой плотности тока /4 = /р

е = р d3x.

Так как заряд — инвариантная величина, а объем d3x не меняется при
инверсии и обращении времени, то /4 -+ как при Р-, так и при Т-преобра-
зовании. С другой стороны, пространственные составляющие плотности
тока определяются формулой

=	=	(&= 1,2,3),

откуда видно, что при инверсии (Xk—> — Xk, t—>/) и обращении времени
(/—> — /, Xk—>Xk) эти составляющие изменяют свой знак,

Из (1.3.8) следует, что 4-потенциал является полярным /-четным
4-вектором,

Цр=1,	т)т=—1.	(1.5.5)

Отсюда и из (1.3.5) следуют законы преобразования компонент электро-
магнитного поля при инверсии и обращении времени:

TEj = Ej,

(1.5.6)

Легко видеть, что при этих соотношениях уравнения Максвелла (1.2.1)
инвариантны относительно Р- и ^-преобразований. Заметим, что неодно-
значность выбора значений т|Р и в однородных уравнениях Л1аксвелла
связана с их инвариантностью относительно преобразования

E—>H,	Н—>~Е.

1.6.	Вариационный принцип. Вторая пара уравнений Максвелла (1.2.1)
может быть получена из вариационного принципа, если рассматривать
электромагнитное поле как некоторую динамическую систему, которой соот-
ветствует определенная функция Лагранжа. При этом потенциалы поля
Лц(х) в различных точках х выступают как обобщенные координаты,
дА

а — как обобщенные скорости этой динамической системы.

иХ у
Такой подход не является специфическим только для электромагнит-
ного поля; он в равной мере пригоден при описании любых волновых полей.
Поэтому мы сформулируем здесь вариационный принцип в общем виде для
произвольного волнового поля, описываемого некоторой волновой функ-
цией ф (х).

Компоненты волновой функции, как функции координат и времени,
удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям, которые
называются уравнениями поля. Уравнения поля должны быть инвариант-
ными относительно преобразований Лоренца. Это значит, что, произведя
преобразование Лоренца х -+ х' = ах и осуществив одновременно преобра-
зование волновой функции ф (х) ->-ф' (х') = S (я) ф (х), мы должны полу-
чить для ф' (х') такие же уравнения, как и для ф (х).

Уравнениям поля может быть придана очень общая — вариационная
или лагранжева форма, если принять, что поле как динамическая система
должно характеризоваться определенной локальной функцией Лагранжа
(или, точнее, плотностью функции Лагранжа) L, зависящей от компонент
волновой функции поля фг (х) и их производных по координатам и времени

(L не может содержать явно координаты и время в силу однородности
пространства и времени).

Интеграл от плотности функции Лагранжа по четырехмерному объему Q
называется действием (мы обозначаем его через J):

Ь(ф, ф,ц)^х,	(1.6.1)

Q

где ф,и= . Согласно принципу наименьшего действия действие должно
быть экстремальным для действительного движения, т. е. для таких ф,
которые удовлетворяют уравнениям поля. Так как эти уравнения должны
быть релятивистски инвариантными, то релятивистским инвариантом должна
быть и функция L.

Общая вариация действия, связанная с варьированием как волновой
функции поля, так и границы области интегрирования, равна

(if б^ + ‘35Г-бгь)	$ L?)X^do^

S	’1*	s

где второй интеграл берется по гиперповерхности S, ограничивающей Q,
а 6хц представляют собой вариацию координат границы. Интегрируя
по частям второе слагаемое в объемном интеграле, перепишем 8J в виде

Рассмотрим прежде всего вариацию действия при закрепленных гра-
ницах, предполагая, что вариация волновых функций на границе равна
нулю. При этом второй интеграл обращается в нуль, и мы получим, при-
равнивая вариацию действия нулю, уравнения Лагранжа для компонент
ВОЛНОВОЙ функции ПОЛЯ фг

-Г----7^Г~х---=	(1.6.3)

дхц д (	1	d'*’i	V

V дх^ /

Эти уравнения можно рассматривать как уравнение «движения» поля.
Вернемся теперь к электромагнитному полю. Роль в этом случае
играют компоненты потенциала и уравнения (1.6.3) приобретают вид

д	&L	1 г* л \

*75----Гл-----"лТ” = 0.	(1.6.4)

dxv $ / дАр \	'

k dxv )

Так как уравнения электромагнитного поля инвариантны относитель-
но градиентных преобразований, то в плотность функции Лагранжа должны
входить не непосредственно потенциалы а производные от них по коор-
динатам. Из компонент поля можно составить только два независимых
инварианта полной группы Лоренца:

V^ = 2(7/2-£2),

Mv)2=-16(Eff)2,

где FuV = 4-	(sgvap — единичный антисимметричный тензор четвертого

ч тг	дАИ т-т

ранга). Кроме того, инвариантом является -ч—. Поэтому плотность функ-
ции Лагранжа может зависеть только от этих инвариантов:

L = L (Еа-№, (ЕН)2, -5^) .
к	7 дх^ )

Если наложить добавочное условие (1.3.3) и потребовать, чтобы удо-
влетворялся принцип суперпозиции, т. е. чтобы уравнения поля были
линейными, то плотность функции Лагранжа должна быть квадратичной
относительно компонент поля. Иными словами, с точностью до численного
множителя функция L должна совпадать с Е2 — 7/2. Мы положим

1 =	(1.6.5)

что соответствует использованию единиц Хевисайда.

Уравнения поля для этой функции Лагранжа приобретают, соглас-
но (1.6.4), вид
d dL

dxv , дАу. \ ~ ’
k dxv /

а так как

яг 1 г яг	1 г (zdAv ядА»\ п я дА*

6L ~ ~ 2 F^8F^ ~	~2F^	-FhvS dXv ,

т. e.

то окончательно, как и утверждалось выше, мы получим вторую пару
уравнений Максвелла

^0.

dxv

Волновые уравнения (1.3.2) для потенциала также могут быть полу-
чены из вариационного принципа, но при этом плотность функции Лагранжа
должна быть взята не в виде (1.6.5), а в виде

L —	F [iv F jxv

_1_ / дАц \
2 \ дх^ )
или

2 dxv dxv

Оба эти выражения отличаются на величину

___1 Э /л	л dAv't

2 dxv \ v дху. u дх^ ) ’

(1.6.6)

имеющую вид четырехмерной дивергенции, и поэтому приводят к одинако-
вым уравнениям поля. Чтобы получить теперь уравнения Максвелла,
к волновым уравнениям должно быть присоединено добавочное усло-
вие (1.3.3).

1.7. Тензор энергии-импульса поля. При выводе уравнений движения
поля (1.6.3) мы считали, что вариации волновых функций поля на границах
области Q равны нулю.

Рассмотрим теперь вариацию действия для действительного движения,
предполагая, что область интегрирования Q вместе с волновым полем под-
вергнута как одно целое бесконечно малому смещению либо бесконечно
малому повороту. При этом, очевидно, действие не изменится, т. е. вариация
действия 6J будет равна нулю.

В случае бесконечно малого смещения, т. е. бесконечно малого пре-
образования координат

Хц > Хц = Хр,

где 8ц — бесконечно малый четырехмерный вектор, волновые функции под-
вергаются бесконечно малому преобразованию

Ф (Хц) -> Ip' (Хц) = (Хц — 8ц) = Я|> (Хц) — Ср.-ф.р, (Хц),
откуда

dl|)=4>' (Хц) — 1|9 (Хц) = — 8ц1|>,ц (Хц).

Подставляя это значение вариации волновой функции вместе с бхи = 8ц
в поверхностный интеграл (1.6.2), получим

6J = 8pTpVdov = 0,	(1.7.1)

х
где

"	(1.7.2)

dxv

Эти величины представляют собой четырехмерный тензор второго ранга,
который называется тензором энергии-импульса (более точно — канониче-
ским тензором энергии-импульса).

Из (1.7.1) следует

[iv d(5y = 0.

Предполагая, что объем Q ограничен двумя гиперповерхностями,
ориентированными ортогонально к оси времени, т. е. do7 = 0, /=1, 2, 3,
do4= — id3x, где d3x — элемент трехмерного объема, мы получим законы
сохранения

Тц4 d3x = const,	(1.7.3)

где интегрирование производится по всему объему поля.
Величины

— I T^d3x = — \ (лг + iLS^A d3x, (1-7.4)
где лг(точка над буквой означает дифференцирование по времени,
образуют, очевидно, четырехмерный вектор. Он называется 4-векто-
ром энергии-импульса поля. Пространственные компоненты опре-
деляют импульс поля Р, а временная компонента — энергию поля Н.

Плотность энергии поля равна

w= — Т^.

Это выражение может быть получено по аналогии с классической механи-
кой, если воспользоваться известным выражением для энергии системы

3 Pzqt — L,
г

где L — функция Лагранжа и Pi — -—1—импульс, сопряженный с коорди-
дЯг

натой дг. В случае волнового поля мы должны заменить дг на и рг
на лг. В результате мы получим для плотности энергии выражение

=	— L = — Т44.

Заметим, что плотность энергии, как правило, не является положи-
тельно определенной, и только для некоторых специальных полей выпол'-
няется условие — Т44 > О

Применяя к поверхностному интегралу (1 7 1) теорему Гаусса, получим
дТ,, v

-^ = 0.	(1.7.5)

Таким образом, четырехмерная дивергенция тензора энергии-импульса
равна нулю Используя это соотношение, легко доказать сохранение век-
тора Рц.

Обратим внимание на то, что если к прибавить величину вида

где —любой тензор третьего ранга, антисимметричный
относительно индексов v и Z, то четырехмерная дивергенция тензора



(17 6)

так же как и тензора будет равна нулю:

-5^ = 0.
их у

Поэтому замена тензора тензором T^v не приведет к изменению пол-
ной энергии и полного импульса поля

Заметим, что тензор можно подобрать таким образом, чтобы
тензор T^v стал симметричным:

Тую — Т

В случае электромагнитного поля канонический тензор энергии-
импульса имеет вид

'Р __ ГД __ ^-4%

dxv
Подставляя сюда вместо L выражение (1.6.5) и вычитая несущественное
слагаемое F^v дх^  удовлетворяющее условию —	= 0, найдем

симметричный тензор энергии-импульса электромагнитного поля:

= F y&F v%	$iivFhoF ha	(1-7.7)

или в компонентах:

T}k = 4 (Ea + Я2) 6л - E}Ek - HjHh,

Tih = i[EH]k,

Т^-^(Е^ + Н3),

где j, k = i, 2, 3. Величины

да = 1(£2 + Я2), s — [EH]	(1.7.8}

представляют собой плотности энергии и импульса электромагнитного поля.

Заметим, что если взять плотность функции Лагранжа электромагнит-
ного поля в виде (1.6.6), то для тензора энергии-импульса поля полу-
чится выражение

'г __ т д	dL  дАа дАа 1 с / дАо \2 Л 7

1.8. Тензор момента количества движения поля. Рассмотрим теперь
вариацию действия при бесконечно малом повороте системы отсчета,
которому соответствует бесконечно малое преобразование Лоренца Xg =
= Xii + &iivXv, | 8p,v | < 1. Используя разложение (1.4.9) для матрицы S (a)>
представим преобразование компонент волновой функции поля фг (х),
соответствующее бесконечно малому преобразованию Лоренца, в виде

I Ф; (-^ц)=	Cfy. envA?) Ч- ~2 Ф& (#ц)

(мы заменили здесь Хц на хи и соответственно хц на хц — 8gVxv; в послед-
нем слагаемом подразумевается суммирование по p,v от р, v=l до р,
v = 4 и по k от k = 1 до k = п). Производя в первом слагаемом разложе-
ние ПО 8ц,V, получим с ТОЧНОСТЬЮ ДО 8gv

С |	_ I * / \ I / \	W 1 »gv I / \

бфу = ф; (x) ф7 (x) = 8gVXv	h ~2 jh Ф& (x)

или сокращенно

— -ф (x) = — 8uVXvti*+7Wl4-	(1.8.1)

Подставляя это выражение для вариации волновой функции вместе с выра-
жением 6xg = 8gVxv в поверхностный интеграл (1.6.2), получим

§	+ dog= — y6nv § A4gvpcfap = O,

S’11	‘2

где

Af(lvp = x(XTvp-xvT(lp-^/ftv1|).	(1-8.2)

Таким образом,

Algvp dOp = 0,
откуда следует, что
______________________________________
~~

Считая гиперповерхность ортогональной к оси времени, получим
законы сохранения

M^^d3x = const.

Величины

AVv= —* § Mgv4d3x = — i (хцТу4 — xvT^)d3x- rcJS^d3* (1.8.3)

образуют, очевидно, тензор второго ранга. Этот тензор называется тензо-
ром момента количества движения поля. Его можно представить также
в виде

i (-Кц7\4 —xvT\i4) d3x,	(1.8.4)

где —тензор энергии-импульса в симметричной форме. Нетрудно убе-
диться, что (1.8.4) следует из (1.8.3), если воспользоваться преобразова-
нием (1.7.6), выбрав %vpfX в виде

л, _ 1 ( dL /м-v __ dL rPV _ dL \

^vp|X 2 \ дг|),р 1 дг|),и 1	di|>,v 1

Вернемся теперь к электромагнитному полю. Подставив в (1.8.4)
выражение (1.7.7) для симметричного тензора энергии-импульса, мы получим

d3x,	(1.8.5)

где s4 = -|-(£2 + Я2), s = [EH]. Пространственные компоненты обра-
зуют вектор

М = J [r[EH]]d3x.	(1 8.6)

1.9. Разложение потенциалов на плоские волны. Общее решение
волнового уравнения (1.3.2) можно представить в виде суперпозиции
плоских волн с произвольными амплитудами. Мы запишем его в сле-
дующем виде:

А^х) = S	(ek}.e^ + cke-lkx).	(1-9.1)

Здесь V — нормировочный объем, kx = kr — о/ — скалярное произведение
четырехмерного вектора x(r, it) и четырехмерного волнового вектора
k (k, но), удовлетворяющего условию k2 = k2 — со2 = 0, сщ. — амплитуды
волн и — единичные векторы поляризации. При данном k возможны
четыре линейно независимых решения, различающихся поляризациями. Мы
можем выбирать (при данном k) векторы ек так, чтобы они совпадали
с ортами па (сс= 1,2, 3, 4) некоторой системы координат, т. е.

=	(1-9 2)

Если направить п3 по k, а п± и п2 — перпендикулярно к k и
друг к другу, то Х=1, 2 будут соответствовать поперечным,
а X = 3 — продольной поляризациям; X = 4 соответствует так называемой
скалярной поляризации. При этом

еЧг =

„ id),

%=1, 2,

Х = 3,

1 = 4,

еМ' = би-,

(1.9.3)

(1.9.4)

2е^ = 6
Л

p,v*

Из соотношения k2 = k2~со2 = 0 следует, что частота со может иметь
оба знака. Это обстоятельство учитывается наличием в (1.9.1) двух типов
слагаемых, содержащих соответственно ezkx и е-гкх, в каждом из которых
следует считать <о = | £|.

Заметим, что знак частоты релятивистски инвариантен, в чем можно
легко убедиться непосредственно из преобразований Лоренца. Поэтому
инвариантным является разделение А^(х) на члены с положительными
и отрицательными частотами.

Так как пространственные компоненты потенциала Aj(x) (/ = 1,2,3)
вещественны, а временная компонента Л4 (%) = йр (%) является чисто мни-
мой, то амплитуды съх при волнах с положительными и отрицательными
частотами должны удовлетворять соотношениям

ctj Ckji = Ck!k9

где с* означает величину, комплексно-сопряженную по отношению к с.

Потенциалы Лц (х) должны, как мы видели выше, удовлетворять,
кроме уравнения (1.3.2), еще дополнительному условию (1.3.3). Подста-
вляя в (1.3.3) разложение (1.9.1), получим, используя (1.9.3),
ал	ь

: X? и и „ikx „-г
~с^е )=

= I 2 'W'	+iChl^ eikX ~	+ic^ e~ikXl= °’

к

откуда следует

Ck3~\~^cM = 0, ck3 +	— 0.	(1.9.5)

Пользуясь разложением потенциалов на плоские волны (1.9. 1), можно
представить тензор поля в виде

= I 2 ^7=- (е^ц- 4*v) (ckKeikx - c+kKe-ikx), (1.9.6)
kK V2Va

откуда

E = i S }A-^e^ckKeikx-che-ikx),

Л;А=1,2	(1.9.7)

H = i 2	1*^1 {chKeihx - ch.e~ikx).

к ’ X= 1,2

Подставляя (1.9.6) в (1.7.7), найдем симметричный тензор энергии-
импульса электромагнитного поля, выраженный через амплитуды плоских
волн:

X (chKeihx — ctxe-ihx) (ck't.eik'x — Ck'2.e-ik'x).

= У -----7=(

kw, Й!,22У^' k
Используя (1.7.4), найдем энергию Н и импульс поля Р, выраженные
через амплитуды и с^к-

(1.9.8)

Н= 2	+

к, 2i=l, 2

Р = У} V k + CkKCkx)
k, к=1, 2

(здесь оба слагаемых в скобках одинаковы, но мы их сохраняем порознь,
так как симметричная форма записи Н и Р через скк и скк понадобится нам
в дальнейшем при квантовании электромагнитного поля).

Формулы (19 7) и (19 8) показывают, что электрическое и магнитное
поля, а также энергия и импульс поля не зависят от продольных и скаляр-
ных волн. Это связано с наличием условий (19 5) Если бы мы не пользо-
вались ими, то получили бы для Н и Р те же выражения (1 9 8), но К при-
нимала бы значения 1, 2, 3, 4 Члены, соответствующие поляризациям
Z = 3, 4, сокращаются благодаря условиям (19 5).

§ 2.	Волновая функция фотона

2.1.	Уравнения Максвелла в пространстве волновых векторов. Перейдем
к исследованию квантовых свойств электромагнитного поля Как уже
указывалось в 1 1, мы хотим интерпретировать векторы Е и И как вели-
чины, описывающие состояние фотона в квантовомеханическом смысле
этого слова. Для того чтобы дать такую «корпускулярную» интерпретацию
системе уравнений (1 2 1), сравним ее с уравнением Шредингера в обычной
квантовой механике Это удобно сделать, подвергнув предварительно урав-
нения (1 2.1) преобразованию Фурье относительно пространственных коор-
динат г, т. е совершить переход к пространству волновых векторов.
Представив Е и И в виде

J Eke'krd3k,

Н= J Hke^(Pk.

легко убедиться, что компоненты Фурье Ек и Нк в силу (1.2.1) удовле-
творяют следующей системе уравнений:

Hk=-i[kEh], kHk — 0,	(2 ! !)

Ek = t[kHk], kEk = 0,

(для краткости мы опускаем здесь и в дальнейшем аргумент t в
функциях Ек = E(k,t) и Нк = Н (k, /)). К этой системе нужно добавить
еще условие вещественности полей

Е_к = Ек, Н_к = Н*к	(2 1.2)

Вместо двух векторов Ек и Нк можно пользоваться векторами Ек
и Ек. исключив Нк при помощи (2.1.1):

Hk = ^{kEk\.

Удобно избавиться от необходимости учитывать требование веществен-
ности Для этого сделаем подстановку, автоматически обеспечивающую
выполнение соотношений (2.1.2),

£* = #(*) (Л+Л),

.	(2.1.0)

-/**)>

где N (А) — некоторый нормирующий множитель, который, как мы увидим
ниже, удобно выбрать равным

^«=/55.-	(2-1-4)

(Здесь и ниже для краткости принято обозначение fe = |jfe|.) Подста-
новка (2.1.3) означает, что вместо двух функций Ек и Ек, опре-
деленных фактически в силу (2.1.2) в полупространстве, вводится одна
функция /а, определенная уже независимо во всем ^-пространстве.

Если использовать (2.1.3), то разложение Фурье примет следующий вид:

g = N (k)fkeikr dzk,	(2.1.5)

= § Аф)

Нетрудно получить уравнение, которому удовлетворяет fk. Исключая
ffk из (2.1.1), получим

(~+й!)е. = о,

что можно переписать в форме

(т+‘'4)(4-гМ£*-°-

Это уравнение второго порядка можно преобразовать в уравнение
первого порядка относительно fk. Действительно, воспользовавшись выте-
кающим из (2.1.3) соотношением

(J-ife) Ек= -2iN(k)kfk,
получим

i^ = kfk.	(2.1.6)

Кроме того, из (2.1.3) и (2.1.1) следует, что

АЛ = О-	(2-1.7)

Уравнения (2.1.6) и (2.1.7) можно объединить в одно уравнение. Умно-
жив (2.1.7) на klk и сложив с (2.1.6), получим

=	(2.1.8)

где

(w/»)a = “W*5> Wa6 = k (бае — ^-)	(а, 0=1, 2,3).

Из (2.1.8) следует, что

4 <*/.)-<>

Поэтому условие (2.1.7) будет иметь место всегда, если оно выполнено
в начальный момент времени.
Уравнение (2.1.8) с начальным условием (2.1.7) эквивалентно системе
уравнений Максвелла.

Уравнение (2.1.8) имеет форму уравнения Шредингера (при й = 1),
в котором w является оператором Гамильтона. Собственные значения
этого оператора есть k.

2.2.	Волновая функция фотона в импульсном пространстве. Покажем
теперь, что fk можно интерпретировать (при надлежащей нормировке)
как волновую функцию фотона в импульсном пространстве, aw— как опе-
ратор энергии фотона (здесь и в дальнейшем предполагается, что кванто-
вая постоянная й~1). Убедимся с этой целью, что энергия

77 = 1 $ (E3 + H*)d3x

и импульс электромагнитного поля

Р= J [EH]d3x

(мы пользуемся для полей единицами Хевисайда) могут быть пред-
ставлены в виде

н= &(ЛАА3^

р	(2-2.1)

Р=р(ЛА)^-

Действительно, используя разложение Фурье, имеем

Н = 1 $ (ЕкЕк- + НкНк) el r d3k d3k' d3x.

Выполняя интегрирование по г с помощью соотношения

егК1 d3x " (2л)3 S (k),

гд$ 6 (Л)—трехмерная 6 —функция, и учитывая (2.1 1), найдем

Я = 4л3 £ (EkE-k + 4i-EkE-k} d3k.

Наконец, выражая Ек и Ек через fk согласно (2.1.3), получим

Н = 16л3 J № (k) (f£fk) d3k=^k (ДА) d3k.

Это выражение можно, очевидно, представить также в виде

H=\f*kwfkd3k.	(2.2.2)

Поступая аналогичным образом с импульсом Р, получим

Р = (2л)3 J [ЕкН-к} d3k^=—t (2л)3 J 1 ЕкЁ-кd3k,
откуда после подстановки (2.1.3)

Р = (2л)3 $ № (fc) А (AA	+f*-kfl - fkf-k) d3k.

Произведя замену k—^ — k, легко убедиться, что интегралы от первых
двух слагаемых совпадают, а от последних двух — обращаются в нуль.

В результате мы получим вторую формулу (2 2.1). Это выражение можно
также представить в виде

Р= J f^kfk.d3k,	(2.2.3>

где индекс / = 1, 2, 3 служит для обозначения составляющих вектора fk
(по / подразумевается суммирование).

Рассмотрим монохроматическое решение уравнения (2.1.6)

/*-/о(А0

где со = k и функция fQ (k) отлична от нуля только при k — со. Энергия
поля приобретает в этом случае вид

H = a^f£fkd3k.

Предположим теперь, что поле содержит только один фотон с часто-
той со. Тогда энергия поля будет равна, очевидно, со,

Я = со,

и функция fk должна удовлетворять условию

=	(2.2.4>

Это условие можно рассматривать как условие нормировки волновой
функции фотона fk в пространстве импульсов k, а величину | fk |2 интер-
претировать как плотность вероятности того, что фотон имеет импульс й.
При этом выражения (2.2.2) и (2.2.3) для энергии и импульса поля при-
обретают смысл обычных квантовомеханических выражений для средних
значений энергии и импульса фотона.

Практически удобнее иметь дело не с непрерывным, а с дискретным
спектром. Для этой цели следует ввести нормировочный объем V и счи-
чать, что внутри него сосредоточено все поле. На границе области V
можно задать определенные граничные условия, которые отберут из сово-
купности решений уравнений Максвелла дискретный спектр решений,
удовлетворяющих этим граничным условиям. Проще всего выбрать объем
в виде куба с ребром а и считать, что граничные условия сводятся
к условиям тройной периодичности полей Е и Н с периодом а по каждой
из декартовых осей. При выполнении этих условий отбираются только те
поля, для которых составляющие волнового вектора k удовлетворяют
соотношениям

у 2л
ki — —— tli •>
CL

где пг — целые числа. Таким образом, ^-пространство разбивается на ячейки
объема

д (2л)3
V ’

причем каждой ячейке соответствует одно допустимое значение k~
Поэтому число значений k в некотором интервале d3k равно

(2.2.5)

Л (2л)3	'	'

Интегрирование по ^-пространству заменяется при этом суммированием
по ячейкам

^F(k)d3k = \^F (к).
В частности, разложение (2.1.5) принимает вид

2 = А 2 N(k)fkeikr,	(2.2.6)

*

т. е. коэффициентами разложения g в ряд Фурье являются величины
fkN (k) А.

Условие нормировки (2.2.4) запишется теперь следующим образом:
а 2 ЛЛ = 1-
к

Если объем V выбрать достаточно большим, то соотношение (2.2.5)
не будет зависеть ни от формы объема У, ни от характера граничных уело*
вий. Иначе говоря, это соотношение является универсальным асимптотиче-
ским соотношением, справедливым при ka > 1, где а — величина, характе-
ризующая линейные размеры области.

В дальнейшем мы сможем убедиться, что при решении любой физиче-
ской задачи величины А (или V) входят лишь в промежуточные выкладки
и исчезают из окончательного результата.

Переход от интеграла к ряду Фурье можно осуществить и частично,
только по одной из координат. Представим себе, например, что граничные
условия таковы, что ^-пространство разбивается на сферические слои тол-
щины 6. Тогда, выбрав сферические координаты, мы получим

J F (k) dsk=^F (Jfc) k2dk do = 6 2 ki $ F (k) do.
k

Разложение (2.1.5) принимает в этом случае вид

g = 6 2 k*N (k) § do.	(2.2.7)

k
а условие нормировки

a2*2§ №f*)do=i.

k

Разделение ^-пространства на сферические слои можно реализовать,
выбрав область V в виде сферы большого радиуса R и считая, что поле
обращается в нуль на поверхности сферы. В этом случае 6 = n/R. и число
различных возможных значений k в интервале dk равно

dn = R^ .	(2.2.8)

2.3.	Плоские волны. Рассмотрим состояние фотона с определенным
импульсом р. Считая ^-пространство дискретным, можно записать волно-
вую функцию такого фотона в виде

fP.e(k, =	(2.3.1)

уд

где а)= [р |, £ —вектор поляризации фотона, по модулю равный единице
и перпендикулярный р,

|^|=1, ep = Q

и

1, kp.

б^~0, k^p
(фазовый множитель i введен для удобства).
При заданном р возможны два линейно независимых вектора поляриза-
ции е. Иными словами, состояния с определенным импульсом двукратно
вырождены. Мы будем обозначать линейно независимые векторы поляриза-
ции через е(1) и е(2) и считать их взаимно ортогональными:

Направив ось 3 вдоль импульса фотона р, можно выбрать в качестве
и е(2) единичные векторы вдоль осей 1, 2:

41)=41)=о,

^=42)=о.	(2'3'2)

Если вектор поляризации е совпадает с одним из этих векторов, то гово-
рят о линейной поляризации фотона по оси 1 или 2.

В качестве линейно независимых векторов поляризации можно выбрать

также векторы

4° = 4=

V2

42)=4

V2

62	V2’

_(2)  _____i_

2	"|/2

44) = о,

42)=о,

(2.3.3)

которые, так же как и векторы (2.3.2), являются единичными и взаимно
ортогональными. Если е совпадает с одним из этих векторов, то говорят
о круговой поляризации фотона.

Величины р и (р = 1, 2) образуют полный набор квантовых чисел
фотона (при этом энергия фотона равна со = р), а система функций
fpn (k, t) = fp е(Ц) (Л, t) является полной ортонормированной системой, по
которой может быть разложена произвольная волновая функция фотона fk.

Используя формулу (2.3.1) для	можно, согласно (2.1.4)

и (2.2.6), найти электрическое и магнитное поля, соответствующие состоя-
нию фотона с определенным импульсом р и поляризацией р:

(2.3.4)

1V W [у е(ю] ei

Полезно найти также выражения для потенциалов, отвечающих
состоянию фотона с определенным импульсом и поляризацией. Используя
формулы (1.2.2), выражающие поля через потенциалы, и записав послед-
ние аналогично (2.1.5) в виде

ф = Ф + Ф*,

получим, исходя из (2.3.4),

1

УШ

1

Се{

(2.3.5)

(е<ц) -\-Cii) е1

Ф^ц

где со = р, = — и С — произвольная постоянная, наличие которой выра-
Р

жает свойство калибровочной инвариантности электромагнитного поля.

2.4. Поляризационная матрица плотности фотона. При данном импуль-
се состояние фотона характеризуется единичным вектором поляризации е.

3 А И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
Разложив е по двум произвольным ортогональным ортам
е^а^^ + а^2),

можно сказать, что состояние поляризации определяется парой комплекс-
ных чисел аг и а2. Величины |ai|2 и |п2|2 представляют собой вероятное™
определенной линейной поляризации фотона, определяемой ортами в(1>
и е(2). Так как at и а2 связаны условием нормировки

|Я1 |2 + |а2|2=1,

и, кроме того, общий фазовый множитель е произволен, то вектор поляри-
зации можно представить, в следующем виде:

е — cos а + е<2> sin	(2.4.1)

где а и [3 —два вещественных параметра.

Если и е(2) определены согласно (2.3.2), то р = 0 означает
линейную поляризацию под углом а к оси Значения 0 = а =
означают круговые поляризации, произвольные же а и |3 соответствуют
эллиптической поляризации.

Мы рассматривали до сих пор состояния фотона, описываемые волно-
вой функцией. Возможны, однако, ситуации, когда фотону нельзя припи-
сать определенной волновой функции. Если, например, фотон был рассеян
электроном, то существует лишь волновая функция системы фотон — элек-
трон, разложение которой по волновым функциям свободного фотона
содержит волновые функции электрона.

Рассмотрим теперь тот случай, когда импульс фотона определен^
но поляризационное состояние не может быть определенным образом фикси-
ровано, так как коэффициенты alf а2 или величины а, |3 в (2.4.1) зависят
от параметров, характеризующих другую систему. Такое состояние фотона
называется состоянием частичной поляризации *). Оно может быть описано
при помощи матрицы плотности **) р, элементы которой определяются
формулой

Pnv = ^?,	(2.4.2)

где черта означает усреднение по соответствующим параметрам, характе-
ризующим другую систему.

Из определения (2.4.2) следует, что р — эрмитовская матрица

PgV — Р*Ц>

а из условия нормировки для а^ следует» что

SP р — рЦ + р22 = 1 •

Таким образом, матрица плотности зависит от трех вещественных пара-
метров. Ее можно записать в следующем виде:

__ I / 1 + 5з 51 —

2 \ 51 + ^2	1 — 5з /

или

з

Р = |(1+2^),	(2.4.3)

;=1

*) Ср. описание частично поляризованного света в классической электродинамике.

**) См., например, [1].
где

/1	0\	/0 1\ /О	—л /1	0 \

1 = \о	J’	Т1=\1 о)’	Т2 V	о л	Тз \о	— 1/’

Эти четыре матрицы образуют полную систему линейно независимых дву-
мерных матриц (матрицы ту- совпадают с матрицами Паули оу, ср. 7.1).

Величины можно выразить через р:

^ = 5р(рту).	(2.4.4)

Эти величины, называемые параметрами Стокса, могут быть непосред-
ственно определены экспериментально. Так, параметр g3 определяется
вероятностью поляризации по оси

Ри— у (1 +5з)’

Для определения необходимо найти вероятность поляризации по оси,
составляющей с осью лу угол я/4. Действительно, переход к такой оси
соответствует преобразованию ортов

е(1) = _L. (е(1)' 4- е(2)'),	е(2) =	— е<2)').

[/2	у 2jj

Представив е в виде

е = a'±ew + а2е^'

и вводя матрицу плотности р' согласно (2.4.2)

Pm,v = a^av‘,
найдем вероятность линейной поляризации, соответствующей

Ри — ~2 (ри + Р22 + Р12 + р21) = у (1 + ?1)«

Наконец, для нахождения ?2 необходимо рассмотреть круговую поля-
ризацию, орты которой ew' и е^" связаны с и соотношениями

ed) = -L. (e(D"+е(2)-),	= -^=-

Вероятность поляризации, соответствующей орту е^", выражается анало-
гично предыдущему следующим образом:

Ри = У (pH + ₽22 + * (Р12 —Р21)) = “2-(1 +£2)-

Мы видим, что определение поляризации пучка фотонов требует изме-
рения двух линейных (под углом л/4 одна к другой) и одной круговой
поляризации.

Так как вероятности должны быть положительны и меньше единицы,
то из выражений для ри, р'2 и следует |^|<1.

Из (2.4.2) и (2.4.3) следует

detp = -|(l — l2)=lai I2 |«г|2 —(a^)(^of)>0,
поэтому

Рассмотрим для иллюстрации некоторые предельные случаи. Если
%j = 0, то р= 1/2. При этом вероятность любой поляризации равна 1/2.
Такое состояние называется полностью неполяризованным.
При |2 = 1 мы можем записать £7 в виде

= cos 2а,	= sin 2а cos р,	£2 = sin 2а sin р.

При этих значениях параметров g7 матрица р совпадает с матрицей,
построенной на основе выражения (2.4.1). Поэтому она описывает состоя-
ние полной поляризации.

Матрицу плотности при частичной поляризации можно рассматривать
как линейную комбинацию двух матриц плотности, соответствующих пол-
ностью неполяризованному и полностью поляризованному состояниям. Дей-
ствительно, пусть

где

= + 1-

Тогда выражение (2.4.3) можно записать в виде

Р = 1(1	+	+тЧ).

Коэффициент & называется степенью поляризации фотона.

2.5.	Невозможность введения волновой функции фотона в коорди-
натном представлении. Совершив обратное преобразование Фурье над
функцией fk:

-^js- J fkB^rd9k = f(r, f),

можно, казалось бы, определить волновую функцию фотона в координат-
ном представлении f (г, I). Благодаря условию нормировки (2.2 4) для
fk функция f (г, /) также будет нормирована обычным образом:

Однако величина | f (г, f) |2 не будет иметь смысла плотности вероят-
ности нахождения фотона в данной точке пространства. Действительно,
наличие фотона может быть установлено только по его взаимодействию
с зарядами. Это взаимодействие определяется значениями векторов электро-
магнитного поля Ек Н к данной точке, но последние не определяются зна-
чением волновой функции f (г, t) в этой же точке, а определяются значе-
ниями ее во всем пространстве.

В самом деле, компоненты Фурье векторов поля, выраженные через fk,
содержат, согласно (2.1.3), множитель У k. Формально это можно записать
в виде

g(r, =	/),

где А — оператор Лапласа. Но У—А представляет собой интегральный
оператор, и поэтому соотношение между g (г, /) и f (г, t) является не
локальным, а интегральным. Иными словами, f (г, f) не определяется зна-
чением поля Е (г, t) в той же точке, а зависит от распределения поля
в некоторой области, размеры которой порядка длины волны. Это значит,
что локализация фотона в меньшей области невозможна и, следовательно,
понятие плотности вероятности нахождения фотона в определенной точке
пространства не имеет смысла [2].

Заметим также, что плотность вероятности должна вести себя при
преобразованиях Лоренца как временная составляющая четырехмерного
вектора, дивергенция которого равна нулю. Между тем из векторов электро-
магнитного поля нельзя составить билинейной комбинации, образующей
четырехмерный вектор, дивергенция которого равнялась бы нулю. (Вели-
чины плотности энергии w = Т- (Е2 + №) и плотности импульса поля
s = [ЕН], удовлетворяющие уравнению непрерывности, не образуют
четырехмерного вектора )

§ 3.	Момент количества движения фотона

3.1.	Оператор момента. Состояния фотона можно классифицировать
не только по импульсу, но и по моменту количества движения. Этому соот-
ветствует разложение электромагнитного поля не по плоским, а по сфери-
ческим волнам.

Чтобы определить момент количества движения фотона, можно вос-
пользоваться общим выражением (1.8.6) для момента количества движения
электромагнитного поля

М = J [r[EH]]dsx

и подставить вместо Е и Н поля, соответствующие одному фотону. Если
перейти в этом выражении от интегрирования по г к интегрированию по
волновому вектору k и выразить Е и Н через волновую функцию фотона/*,
то мы придем, очевидно, к соотношению вида

М = J H*fkd3k,	(3.1.1)

где J —некоторый оператор, действующий на f*, который, учитывая
смысл /*, как волновой функции фотона в пространстве импульсов, сле-
дует интерпретировать как оператор момента количества движения фотона
(в пространстве Л).

Найдем вид оператора J. Подставляя в (3.1.1) разложения Фурье
для полей и замечая, что

re'iqrd3x = — f (2л)3 V<j6 (#),

представим М в виде

М = Ц2л)3 J [?*'[£*//*']] б (* + *') d3kd3k'.

Исключив далее Нк и учитывая, что £Е* = 0, получим

м=(2л)з J {(-^ е;е_* ) ]+4-

где штрих над Ек означает, что эта функция не подвергается дифферен-
цированию по k. Выразив, наконец, Ек и Е-к через /* согласно (2.2.3),
придем окончательно к следующему выражению для момента количества
движения фотона:

М = J { - i [№к (Jiff*)] - i [Л/к]} d3k

или в компонентах

Ala =	{ i	i&a&yf ку} d?k,

где eaPv — единичный антисимметричный тензор третьего ранга.

Мы видим, таким образом, что момент количества движения фотона
в состоянии, описываемом волновой функцией /*, определяется квантово-
механической формулой для среднего значения (3.1.1) оператора

J=-Z№l + s,	(3.1.2)

где

(Saffc)$ =	(3.1.3)

Поэтому этот оператор мы должны интерпретировать как оператор момента
количества движения фотона в импульсном пространстве

Формулу для момента фотона можно получить иначе, если вспомнить,
что оператор момента с точностью до множителя i совпадает с инфинитези-
мальным оператором вращения волновых функций. В случае фотона эти
функции имеют смысл только в импульсном пространстве; поэтому мы
должны выяснить, как преобразуются волновые функции фотона fk ==
= f (k) при бесконечно малом вращении пространства k. Так как fk
представляет собой вектор, то при бесконечно малом вращении Л-простран-
ства на угол 60 волновые функции f (k) преобразуются согласно закону

/(*) ->/' {k + 6Л) =f(k) + [60/ (£)],	(3.1.4)

где 8k— изменение k при вращении 60,

8k=[8Qk].

Из (3.1.4) следует, что изменение волновой функции в точке k равно

6/(*) = /' (*) “ f (k) = f (k - 8k) + [60, f (fc)] —f(k) =

= ~(6ftVfe)/(^) + [60,/(^)].

Подставляя сюда значение 8k и вспоминая определение (3.1.3) оператора s,
перепишем 8f (k) в виде

6/(k) = —i8Q( — i [Л] + s)/(Л).

Входящее сюда выражение в простых скобках (отличающееся множите-
лем —i от оператора бесконечно малого поворота) и представляет собой
оператор момента количества движения фотона.

Обратим внимание на то, что для сферически симметричной функции
f (k) = kF (k) ее изменение 6/ = 0.

3.2.	Спиновые волновые функции фотона. Формула (3.1.2) показывает,
что оператор момента количества движения фотона состоит из двух слагае-
мых. Первое слагаемое совпадает с обычным квантовомеханическим опера-
тором орбитального момента количества движения в импульсном пред-
ставлении

Второе слагаемое s можно назвать оператором спинового момента. Однако
разделение момента фотона на орбитальную и спиновую части имеет огра-
ниченный физический смысл. Во-первых, к фотону неприменимо обычное
определение спина как момента покоящейся частицы, ибо масса покоя
фотона равна нулю. Во-вторых, состояния с определенными значениями
орбитального и спинового моментов, как мы увидим ниже, не удовлетво-
ряют в общем случае условию поперечности. Поэтому физический смысл
имеют только определенные суперпозиции таких состояний. Тем не менее
с формальной стороны представление момента в виде суммы двух слагаемых
весьма полезно. Оно позволяет построить волновые функции состояний
фотона с определенным значением момента из более простых собственных
функций орбитального момента и спина.
Векторный индекс а волновой функции фотона fa (k) можно рассма-
тривать как независимую переменную, принимающую три значения,
а = 1, 2, 3. Соответственно этому мы введем обозначение

fa(k) = f(k, а).

Функция f (к, а) представляет собой скаляр в обобщенном пространстве
импульсов и спина, объединяющем переменные k2, k3, а. Различные
проекции вектора fk теперь являются значениями скаляра f (k, а) в раз-
личных точках спинового подпространства. Оператор L действует только
на переменные k, а оператор s, согласно его определению (3.1.3),— только
на переменную а. Поэтому операторы L и s коммутируют.

Рассмотрим прежде всего оператор L. Проекции его удовлетворяют,
как известно, перестановочным соотношениям

L1L2— L2L1 = *L3,

L2L3— 1-з1-2= *L1,

L3L1 — L1L3 — i'L2»
или сокращенно

[L, L] = ZL.

Так как квадрат оператора L коммутирует с его проекциями, то одновре-
менно можно диагонализовать L2 в одну из проекций L, например, L3-
Собственные значения этих операторов равны соответственно / (/ + 1)
и т, где I — целое положительное число, т = — /, I + 1, . . I.

Собственная функция операторов L2 и Ьз> соответствующая их соб-
ственным значениям Z(Z+1) и т, представляет собой шаровую функцию
где v =

L2yZm(v) = /(/+l)yZra(v),

L3Yim(v) = mYlm(v').

Мы будем считать Yim(v) нормированными согласно условию

Y*m (У) Yifmf (v) do =

где do —элемент телесного^угла в пространстве k.
Приведем явное выражение

r-(v)=оЖр!"'(сю<>)’

(cosi3’) = —i— sinJ	— -г—T (cos2'fl‘— 1)\

V 7	2?Z!	(dcos^)|ml V	7

где ft и ф — полярный и азимутальный углы, определяющие вектор v.

Рассмотрим теперь оператор спина фотона и его собственные функции.
Обозначим через (а) собственную функцию операторов s2 и вз- Аргумен-
том функции (а) является спиновая переменная а. Поэтому эту функ-
цию можно представить также в виде вектора Записав в виде столбца

/хА

Zsn ~ I %2 I

\Хз/
и используя определение (3.1.3) оператора спина s фотона, легко полу-
чить явное представление операторов si, S2, S3 в виде матриц

/0	0	0	\	/ 0	0	I'

Si = I 0	0	— И?	S2 = l 0	0	0

\0	i	О J	\-i	О	О

/0	-1 0\	
S3 = I i	0 0 .	(3.2.1)
\0	0 0/	

Эти матрицы удовлетворяют таким же перестановочным соотношениям >
как и компоненты L:

[s, s] = is.

Из (3.2.1) следует

/2 0 0\
s2-l 0 2 0 1.

\0 0 2/

Записав эту матрицу в виде s2 = s (s + 1) /, где s — спин фотона
и / — единичная матрица, мы заключаем, что спин фотона равен едини-
це, s = 1.

Отсюда следует, что проекция спина фотона на ось z может прини-
мать три значения:

Н= -1, 0, 1.

Так как s принимает только одно значение, то мы будем опускать
далее индекс s у функции %5Ц(а) и обозначать ее просто через %и(а).

Функции Xjx(a) удовлетворяют уравнениям

5%(а) = 2%ц (а),

s3Xu(a) = HXu (“)•

Используя явный вид (3.2.1) матриц s7, получим отсюда

(3 2.2)

Эти функции ортогональны друг к другу, так как они являются собствен-
ными функциями эрмитовского оператора вз» и нормированы таким обра-

3OM, что	2 Xu («) Xu' («) = W’ а
или в векторной форме	ХцХм-' —

Ортонормированные векторы могут быть использованы для тогог
чтобы разлагать по ним произвольный вектор /:

/= 2 fXu-	(3-2-3)

g=-l

Величины называются контравариантными составляющими вектора /.
Используя (3.2.2), легко установить связь с декартовыми составляю-
щими fx, fz вектора f t

f° = fz,	(3.2.4)
Наряду с контравариантными можно ввести также ковариантные
составляющие вектора /, определяемые как

=	(3.2.5)

Используя это определение, можно представить скалярное произведение
двух векторов f и g в виде

/^=2/^=2^-
ц	ц

Рассмотрим состояние какой-либо свободной частицы с определенным
импульсом р. Так как импульс не коммутирует с моментом, то такое состоя-
ние не обладает определенным моментом. Однако оно может иметь определен-
ное значение проекции момента на направление импульса. Действительно,
выберем в качестве оси квантования ось г вдоль направления р. Так как
pL = О, то проекция полного момента J3 будет совпадать с проекцией
спина частицы s3. Но оператор спина коммутирует с оператором импульса.
Поэтому наряду с р можно задать значение s3, т. е. р. Такие состояния
называются спиральными, а величина р — спиральностью. Важным свой-
ством спиральности является ее инвариантность относительно вращений
пространства, а также таких преобразований Лоренца, которые не меняют
направления р. При пространственном отражении спиральность меняет
знак.

Для фотона спиральность равна р = ± 1. Третье значение проекции
спина р = 0 исключается условием поперечности электромагнитного поля.
Двум значениям спиральности соответствуют две возможные поляризации
фотона. Сравнение формул (2.3.3) для проекций векторов круговой поляри-
зации фотона е^ с (3.2.2) показывает, что

г(1) = Х1> е(2) = Х-1-

Таким образом, фотон с положительной спиральностью (р = 1) харак-
теризуется правовращающей, а фотон с отрицательной спиральностью
(р = — 1) — левовращающей поляризацией.

3.3.	Собственные функции оператора момента фотона. Согласно (3.1.2)
момент количества движения фотона J складывается из коммутирующих
между собой орбитального и спинового моментов. Так как эти моменты удо-
влетворяют одинаковым перестановочным соотношениям, то таким же соот-
ношениям удовлетворяет, очевидно, и момент J:

и, Л] = 1Л.

Эти соотношения справедливы для любой квантовомеханической систе-
мы и являются выражением общей связи, существующей между оператором
момента и оператором бесконечно малого поворота.

Из условий коммутации для J& следует, как известно, что собственные
значения операторов J2 и J3 равны соответственно j (/+ 1) и М, где 2/ + 1—
целое положительное число, М = — j, — j + 1, ...,/. В случае фотона
число j должно быть целым, так как I — целое число и s = 1.

Оператор момента количества движения фотона коммутирует с опера-
тором его энергии. Поэтому возможны состояния фотона с определенными
значениями w, J2, J3 (им соответствуют квантовые числа со, /, М).

Найдем собственные функции операторов J2 и J3. Мы будем обозначать
их через YJM (v) и называть векторными шаровыми функциями или шаро-
выми векторами. Как и выше, мы можем ввести спиновые переменные ос
и пользоваться обозначением

=	(v, а).
Эти функции удовлетворяют уравнениям

a) = /(/ + l)^-M(v, а),

ЛзК/М(v, a) = MYjM(y, а).

Вместо того чтобы непосредственно решать эти уравнения, можно вос-
пользоваться для определения YjM квантовомеханическими правилами
сложения моментов [3]. Вопрос сводится при этом к известной в квантовой
механике задаче о построении волновой функции системы, состоящей из
двух невзаимодействующих подсистем. В нашем случае эти подсистемы
связаны с орбитальными и спиновыми степенями свободы фотона и описы-
ваются соответственно переменными k и а.

Так как спин фотона равен единице, то, согласно правилу сложения
моментов, полный момент фотона может принимать данное значение / при
следующих значениях орбитального момента:

t = h /± 1, /¥=0г

1=1, 1 = 0-

Таким образом, в общем случае существуют три различные волновые функ-
ции YjM, соответствующие трем орбитальным состояниям. Мы будем обо-
значать их через Yцм.

Чтобы определить Y дм, следует воспользоваться общей формулой,
связывающей волновую функцию системы ф7-т (/ и т — момент системы
и проекция его на ось z) с волновыми функциями ф;1Ш1 и ф^2т2 составляющих
ее подсистем (/\ и /2 — моменты подсистем, тгит2 — их проекции на ось г)

ФУт = 3	^^2^Флт1Ф^2^2*	(3.3.1)

77117712

где	j2m2 — так называемые коэффициенты векторного сложения или

коэффициенты Клебша— Гордана и т = т1^-т2*). В интересующем нас
случае складываются орбитальный и спиновый моменты фотона, т. е.
]\ = 1, /2=1, т} = т, m2 = |i, и волновые функции Y лм> согласно (3.3.1),
должны иметь вид суперпозиций произведений орбитальных Yim(y)
и спиновых (а) волновых функций фотона

a) = 3C^lfirta(v)b(a), т + ц = М. (3.3.2)

771 (LI

Формулу (3.3.2) можно переписать также в векторной форме

K;zm(v) = 2	=	(3.3.2')

771 (Lt

сравнение которой с (3.2.3) показывает, что контравариантные составляю-
щие шарового вектора YjiM(y) имеют вид

(К-ш (v))^ = lVkYlm (v).	(3.3.3)

Ковариантные и декартовые составляющие определяются отсюда по фор-
мулам (3.2.4) и (3.2.5).

Шаровые векторы Yцы (v) образуют ортогональную систему функций,
так как различие в каком-либо из индексов означает принадлежность
функции к различным собственным значениям самосопряженных операто-
ров J2, J3 или L2:

Y*im (v) Yyi'M' (у) do = дн'ди'дммч	(3.3.4)

*) См., например, [4]. Для коэффициентов Клебша—Гордана используются также
обозначения (/i/2mim21/1/2/^)» либо £(/1/2/; лцт2т).
где	означает вектор, декартовы составляющие которого являются

комплексно-сопряженными декартовых составляющих Kjzm(v). Заметим,
что (K3'M(v))li не совпадает с (Кдм (v))M*,

(КАм « = (- l)u (YJIM (v))-w* = (YJ[M (v));.	(3.3.5)

Отсюда следует

Удм (V) = Y}1, _м (v) (— 1 /+г+м+‘.	(3.3.6)

3.4.	Коэффициенты векторного сложения. Входящие в (3.3.1) —(3.3.3)
коэффициенты Клебша — Гордана приведены в следующей таблице:

Коэффициенты

-2И+ 1) (Z—Al-L-1)
(2Z+ 1) (/+1)

/• (/ + М + 1)(/-М)

V 2Z(Z-+-1)

м.

|/Z(Z4-1)

(Z	М+1)

2Z(Z + 1)

(Z + M)(Z + M+1)
2Z (2Z+1)

(Z + M)(Z—M)

(l—M) (/—M+l)
2Z (2Z+ 1)

В дальнейшем мы будем неоднократно пользоваться рядом свойств
коэффициентов С^1?2ГП2, поэтому приведем их здесь для справочных
целей.

Отметим прежде всего, что коэффициенты C^1J2m2 вещественны
и удовлетворяют следующим условиям ортогональности и нормировки:

mi™2	(3.4.1)

у . Лт	с х

ZJ илти2т2иЛ^ 72^1 —	•

Зт	'12	12

Коэффициенты С3^32т обладают рядом свойств симметрии, которые
I/1 /г 7з\
просто сформулировать, если ввести величины	, называе-

\/П1 т2 т3]

мые 3]-символам Вигнера и определяемые следующим образом:

(3.4.2)

( la	]b ]с\	( ]1	12	1з\

Если I	— ЗУ-символ, полученный из I	(путем

\та	тъ	тс)	\tni	т2	т2)

перестановки столбцов, то

(ja jb !с \	/ 11	12 /з \	/о л о\

I == е I	I,	(3.4.3)

та тъ тс/ \7tti т2 т3/	'

где 8 = ( —	и дг__ число перестановок.
Далее

/ /1 /2 /з /______j\;i+;24-J3 ( I*

\пц m2 m3)~'	'	\ — rrti — m2 — m3

(3.4.4)

3/-символами удобно пользоваться при проведении суммирований по индек-
сам тг. Основные формулы суммирования имеют вид [5]

t nv ( I1	\ ( М /2 L3 \ / Li L2 j3\

\tTii AI2 —W \ — ui2 A43J	— А42 tn3)

/ 11 /2 /з\ | /1 I2 /з 1
tn2 т3J	L2 L3f

Л1!

"*2 т3/ VW1 1У*2 —^3/ L3

{/1 /2 /з \ ( ^1 1‘2 ^3 \ / /1 L2 L3 \
L2 L3J \Л41 m2 Л43/ \^i ^2 Al3)

(3.4.5)

-J— Mi -j- M2A43i v — /3 L3 -|-trii “I- A^i, Входящие
{fi /2 /3 1

r T г ? , называемые 6/ -символа-
Li L2 L3)

ми, определяются формулами

f 71 /2 /31 _ (_1)h+J2+Li+L2 „ Гзз,т1+т2^

\L, Ls l,/“y®7+i)WFl) Ji

’**1***2

/->/2^	г^з» w—mi

X	mi4-7H2, Zi, m—mi~m2	li—'mi—тгут'-1 iimi, Z3, m—?ni*

6/-символы обладают следующими
метрии:

{/1 /*2 /з 1	( la jb jc 1	(La

Li L>2 L3) Lb Lc)	(j a

свойствами сим-

Lъ ./cl

f , (3-4.6>

jb J-'c)

где a, b, c — любая перестановка чисел 1,2, 3, и удовлетворяют соот-
ношениям ортогональности и нормировки

2 (2/з+ 1) (2L3+ 1) L1 /2 Hf/1 {2	=	(3-4.7)

ь2 ^3) ь2 ^з)

эз

Соотношения (3.4.5) можно проиллюстрировать следующей схемой
сложения моментов. Пусть складываются три момента j\, j2, Li

ji + J2 4 Li~ L2.

Сложение можно выполнить в два этапа, причем двумя различными
путями (рис. 3.1):

1) /1+У2=«/з, /з + ^1=^2»	.

2)Л + £1 = £з, L3+ji = L2.

Формулы (3.4.5) устанавливают соотношения между коэффициентами С
этих двух схем сложения. Поэтому 6/-символы отличны от нуля, только
«если величины /а, La удовлетворяют правилам треугольников, содержа-
щихся в (3.4.8) (см. рис. 3.1).

Ниже проводятся выражения для 6/-символов для случаев, когда
один из индексов равен 0, 1/2 или 1:

/ / 01 _ (__1)Н-ь+*	,

I I L I “ У(2/ + 1) (2/+ 1) ’

1

. . , 1

I—1/2 I

L

(s—2/) (s—2/4-1)
(2/4-1) (2/4-2) 2/ (2/4-1)

7	1	2 2 I ,	1V1/' (s4-1)(s-2L)

/__L l	’ V 2/(2/+l)2/(2/ + l) ’

/ 7	7 — 1 1 I _ /_ 1 v I /	s(s4-l)(s-2£-l)(s—2£)

V-l I L}(	7 У (2/— 1) 2/(2/4-1) (2/-1)2/(2/+ 1)’

I 7	1 Ц /	1v-|/2(s4-1)(s-2L)(s-2/)(s-2/4-1)

V-l j LJ 7 У 2/(2/+D(2/+2)(2/-l)2/(2/4-l)’

] /4-1 Ц	/•(s-2/-l)(s-2/)(s-2/4-l)(s-2/4-2)

Z-l IL} 1	7 У (2/4-1) (2/4-2) (2/4-3) (2/-1)2/(2/4-1)’

f7 i 11 = ,_ J)S+1 2[j(/4-l)-H(/4-l)-L(b+l)]

\l I L} (	7	У2/(2/4-1) (2/^2) 2/(2/4-1)(2/+2)’

где s = /4-/4-£.

3.5.	Продольный и поперечные шаровые векторы. Мы нашли систему
собственных функций операторов квадрата момента количества движения
фотона J2 и его проекции J3. Состояние фотона с определенными значения-
ми j и М описывается волновой функцией, являющейся в общем случае
линейной комбинацией трех шаровых векторов:

Ж

i^j-i

Однако коэффициенты этой линейной комбинации не независимы, так как
волновая функция фотона должна удовлетворять условию поперечно-
сти (2.1.7)

(k) = 0.

Поэтому имеется не три, а два различных состояния фотона с заданными
квантовыми числами j и М.

Чтобы условие поперечности выполнялось автоматически, удобно
пользоваться не шаровыми векторами YjiM (v), а некоторыми их тремя
линейными комбинациями Yjm (v), % = — 1, 0, 1, две из которых (% = 0, 1)
перпендикулярны й, а третья (% = — 1) направлена вдоль k. Эти комби-
нации называются поперечными и продольным шаровыми векторами.

Чтобы найти их, воспользуемся разложением vY(v) на шаровые
векторы *)

vYjM (у) — j/"f Kf, j-i» м (y)	। j+i, м (y\	(3.5.1)

*) См , например, [6].
Эта формула показывает, что мы можем определить продольный шаровой
вектор	как

yjM1)(v) = vYJM(v).	(3.5.2)

Используя далее разложение (3.5.1) и значения коэффициентов С/тщ,
легко убедиться, что

‘V YjjM (v) — 2 Cjm 1ц, VpY jm fv) — О? Ш = 714— p.

Поэтому YjjM (у) представляет собой поперечный шаровой вектор, кото-
рый мы будем обозначать через

^(v)=^;m(v).	(3.5.3)

Наконец, второй поперечный шаровой вектор (v) мы определим как
r^(v) = t[r^(v), V].	(3.5.4)

Используя (3.5.1) и (3.3.4), можно выразить Уди(*) через шаровые век-
торы YjiM(y):	____

YjW (v) = /27+Т К,	м (*) +	К', 1-1, м (v).	(3-5.5)

Из (3.5.1) и (3.5.5) следует

Yj, J-i, м (V) = -/== (К7+Т УШ (V) + И Y'm" (v)),
1/2/ + 1

F J 1	^3 5 6^

Yj, Я1, м (v) = ^== (V~j Y^ (v) -K7+T	(v)).

Шаровые векторы Y$(y) и Y^-m^v) можно выразить также через
производные от шаровой функции У;м(^). Для этого следует восполь-
зоваться формулой дифференцирования шаровых функций:

^fcyjM(v)=-^=(/V7+T ь,л1,мМ+(/+1)У/Глн,мМ).
V I 1

Сравнивая эту формулу с (3.5.5), мы видим, что

Y^ = -j=^=4bY}M(y),	(3.5.7)

V /(/+1)
и, согласно (3.5.4),

у<°> (v) = —	=	1 г. -. L YjM (v),	(3.5.8)

где L= —i [£V&] — оператор орбитального момента фотона.

Приведем еще выражения для составляющих шаровых векторов Y($ (v)
в сферических координатах:

(У'м’ (v))v = rjM(v),

(Y(v))o = i (У(Л1 (V))<₽ =	,	(3.5.9)

(Уjm (*))<₽ = - i (Y(v)). =	д-^ ,

(ylV(v))v = (y^(v))v = 0.
Легко видеть, что шаровые векторы удовлетворяют условиям орто-
нормированности

J Y™* (v) Y%b (v) do =

3.6. Четность состояний фотона. Образовав линейную комбинацию
шаровых векторов Y($[(v) и Kj<(v) с произвольными коэффициентами а0
и ai (зависящими от k и /), мы получим общее выражение для волновой
функции фотона	с заданными значениями ] и М:

f]M (Л) = а0 Y$ (v) + at Y% (v), v = *

I K I

Входящие сюда слагаемые по-разному преобразуются при замене k на — k
(- V) = (-1 )з+г Y(& (v).	(361)

Поэтому можно различать состояния фотона с заданными j и М по их
четности.

Четностью называются собственные значения т]Р оператора отраже-
ния Р, который в случае векторного поля определяется как (ср. (1 5 3))

Р/(Л)=-/(-А).	(3.6 2)

Так как Р2 -1, то тдр = ± 1.

Из (3.6 1) и (3.6.2) следует, что при данных / и М возможны два
состояния фотона, отличающиеся четностью т]Р,

!]₽ = (-1)3-г1+\	(3.6 3)

Мы будем обозначать волновые функции этих состояний через fjMbfa ^)-
t)=aY*M(y), Х = 0, 1.	(3.6.4)

При X = 1 говорят о состояниях фотона электрического типа, а при К = 0 —
о состояниях фотона магнитного типа. (Эти названия связаны с тем, что
излучение фотона с К = 1 определяется электрическим моментом системы,
а фотона с X = О — магнитным моментом, см. § 25)

Если одновременно с моментом и четностью фотон обладает определен-
ной энергией со, то его волновая функция имеет вид

t) = i j/A±rW(v)e-x<o(6ft(B	(3.6.5)

Нормировка этой функции соответствует нахождению одного фотона
в сфере радиуса R.

Отметим то обстоятельство, что при % = 1 состоянию фотона нельзя
приписать определенного значения орбитального момента, так как, соглас-
но (3 5 5), шаровой вектор Yfy (v) является линейной комбинацией шаро-
вых векторов Yjim (v) с различными значениями /. Здесь проявляется тот
факт, что, по существу, нельзя разделять момент количества движения
фотона на орбитальную и спиновую части, о чем уже говорилось выше

Если ] = 0, то по правилу сложения моментов имеется только один
шаровой вектор УОю (v), совпадающий с продольным шаровым вектором

(v) = v у оо (v) Отсюда следует, что поперечных шаровых векторов
при ] = 0 не существует. Этот результат имеет простой смысл. Состояние
с моментом нуль представляет собой сферически симметричное состояние,
но сферически симметричное векторное поле может быть только про-
дольным
Таким образом, фотон не может находиться в состоянии с моментом,
равным нулю.

3.7.	Угловое распределение. С помощью (3 6.4) можно найти вероят-
ность dwjM (v) того, что фотон в состоянии ]МК движется в телесном угле do:
d^M(v) = |r^(v)|Mo.	(3.7.1)

Так как оба поперечных шаровых вектора связаны между собой соотноше-
нием (3 5 4), то вероятность dwjM (v) не зависит от X, т е. угловое распре-
деление фотона определяется только его моментом, но не четностью Оно
зависит от полярного угла 'ft между k и осью квантования (ось z) и не зависит
от азимутального угла ф. Поэтому dwJM (v) удобно разложить по полиномам
Лежандра Pi (cos-О'). Так как | У3м (у) |2 — четная функция v, то в раз-
ложение войдут лишь полиномы четного порядка

dwjM (V) =	2 a2n^2n (cos fl) do.

п

(3.7.2)

Для нахождения коэффициентов этого разложения воспользуемся форму-
лами (3.4.3), (3.3.5), (3.2.5) при Z = 0, 1:

I У$ (V) |2 = | У„м (V) I2 = 2 (YJJM « (YJJM (v))“* -
И

= 2 (С^1Д21YJM (v) р = 2 (~ 1)га (С'Дщ)2 Yjm (V) YJt _m (V).
ц,т	цт

Входящее сюда произведение двух шаровых функций может быть разло-
жено по шаровым функциям

Y]m (v) Y}, _m (v)= 2 PrCfX, -mYL0 (v) = 2 PbCfX, -m ]/Pl (cos ft),
L	L

где коэффициенты pL не зависят от т. Для определения их умножим обе
части последнего равенства на CfJJ, _m и просуммируем по т. Используя
первое из соотношений (3.4.1), найдем

pl j/4 4д~ РL (COS 'О') — Qymj, -rnYjm (v) YJf -m (v),
откуда, полагая ,0’ = 0 (при этом Pb=l, Yjm-=§mQ	получим

Y2L+1 2/ + 1^lo
-4iT-~4^C^

Таким образом,

I Y]m (v)J2 = (- l)m^ 2	(cos ft), (3.7.3)

L

и, следовательно, коэффициенты в разложении (3.7.2) имеют вид

аь — (2/ -г 1)	2 (— 1(^w)2	_m.

mu

Входящую сюда сумму можно вычислить с помощью формул (3.4.2)—(3.4.5):
aL = (2j |-l)Cf10,3,_1C^._M(-l)M+1.	(3.7.4)

3.8.	Сферические электромагнитные волны. Зная волновую функцию
фотона	0, легко определить электромагнитное поле &^м(г, t),
3$щм (л /), соответствующее состоянию фотона с определенными энергией,
моментом и четностью. Подставим для этого выражение (3.6.5) для
t) в формулы (2.2.7) для полей. Учитывая соотношение (3.5.4),
получим

Лг(г, /)=-]/-> (-£T/2	(v)eifcrdoe-imi,

где co = k.

Для вычисления входящих сюда интегралов воспользуемся известным
разложением плоской волны по шаровым функциям

= 2 g! (kr) Y*m (A) Ylm (4) ,	(3.8.1)

Im

где

Ji+^kr)
gi(kr) = (2nf,2i,1

и J л (%) — функция Бесселя. Учитывая определение векторных шаровых
функций, получим отсюда

§ У ИМ (4) eikrdok = gi(kr) YjiM (4)

и, следовательно,

$	(4) e^dok=gf(kr) У$ (4) ,

$	(4) е1кг d°b= V2/ТТ^+1	Г>- '+1> м (т) +

+	2j-£l	J’’ i~l>M (4) '

Подставляя эти формулы в выражение полей	получим

£едм(г, t) = i	2/Ф-1 £J’+1	’> i+i'M ("T") +

+ /K-- >i,M (4) ] e-^,	(3.8.2)

(r, t) = -	(-4) 3/2 gj (kr) yJjM (4)

S^M(r, =	YjjM (4) e~^,	(3.8.3)

MV(r, o=-j/-Jh£-)3/2[V^+xg^r)Y},j+i,M(4)+

+§i~l {kr) Y}> 3~1’M (t) ] e~iat-

Заметим, что формулы (3.8.2) переходят в формулы (3.8.3) при замене
g—»—г'ёй?,	что соответствует инвариантности уравнений Макс-

велла относительно преобразования Н—>Е, Е—> — Н.

4 А. И. Ахиезер, В. Б Берестецкий
Ввиду поперечности шарового вектора У(3м = Yjjm, магнитное поле
в состояниях электрического типа и электрическое поле в состояниях
магнитного типа поперечны, т. е.

гМ?м(г, /) = rg(X(r, 0 = 0.

Электрическое же поле в состояниях электрического типа и магнитное
поле в состояниях магнитного типа не поперечны. Действительно, восполь-
зовавшись (3.5.6), можно записать	/) в виде

Л (Г, 0=i /-J- (-^-)3/2	{ГйТП) (Я7-1 (kr) -

~gm(kr)) У$М >(-7) +(/^«(^) + (/+ !)£,-! М JSm(t) (3-8-4>
где первое слагаемое и определяет радиальную составляющую электриче-
скогополя. Магнитное поле	связанное с ^^(r, t) соотношением

Z) = ig^M(r, /),
также имеет радиальную составляющую.

Эти радиальные составляющие исчезают на больших расстояниях
в волновой зоне, когда kr > 1. В самом деле, при kr > 1

sin ( kr— l
gi (kr) = 1г4л---------

и

g}-l(kr) = gj+i(kr).

Отметим, что в волновой зоне поля определяются следующими асимп-
тотическими формулами:

&$м(г,	t) =

= j’+1-x У'--------Vr-----^2-	(-£-)	(3.8.5)

Приведем также выражения для потенциалов, соответствующих полям
SwjM И	___

М?м(г,	%zAkr) у$ (т) е-1И<.

Ф^м(гЛ) = 0,	(3.8.6)

^?м(г, 0 =	%{V'^g}+Akr)y},j+l,M (-£-) +

+	У],}-1,м (-7) +

+ С £ 2/+1 J,+1 YJ’ j+i’м (~ )

- /27+1	V}> м (т)]}е-го<’ <3-8-7>

ф£м(г, = ^gAkr)Y}M (-^) е-^,
где С — произвольная постоянная и й = со.
Различным выбором постоянной С можно придать выражениям (3.8.7)
различный вид. Так, при С = 0 отличается только множителем 1/г<о
от [7]. При C =	выражение для «5#^ становится одночлен-

ным и содержит лишь функцию gj+i(kr), что дает преимущества в ряде
приложений (см. §25),

/) = 4г	&г) Y]t м (^)

CV (г, t) = —	g] (kr) Y}M (^)	(3.8.8)

Так как волновые функции состояний с определенными значениями
(д]МК образуют полную систему, то по ним может быть разложена произ-
вольная волновая функция фотона f(k, t). Этому отвечает разложение
произвольного решения уравнений Максвелла по сферическим волнам.
В частности, разложение плоской волны по сферическим волнам имеет
вид

jMK
или

ее^=	(А) ) gl (kr) Y]lM (-£-) .	(3.8.9)

JIM

§	4. Система двух фотонов

4.1.	Волновая функция двух фотонов в импульсном пространстве.
До сих пор мы рассматривали один фотон и соответствующее ему электро-
магнитное поле. Однако можно обобщить изложенный метод введения
волновой функции фотона в импульсном пространстве и рассматривать
также совокупность произвольного числа фотонов, подобно тому как это
делается в квантовой механике системы частиц.

Рассмотрим подробнее систему двух фотонов. Волновая функция f
такой системы, зависящая от импульсов k^ k2 и спиновых переменных
cq, a2(ai=l> 2, 3; а2=1, 2, 3) обоих фотонов, удовлетворяет уравне-
нию Шредингера

=	(4.1.1)

где w — гамильтониан системы фотонов. Квадрат модуля волновой функ-
ции f определяет вероятность того, что один из фотонов имеет импульс ki
и поляризован вдоль оси oq, а другой фотон имеет импульс k2 и поляри-
зован вдоль оси а2. С большой степенью точности фотоны можно считать
невзаимодействующими*) и записать поэтому w в виде

w = w (ki) + w (Л2),

где w (k) — гамильтониан одного фотона, определяемый формулой (2.1.8).

Волновая функция f^f(ki, oq; k2, а2; t) представляет собой скаляр
в пространстве k^ k2, oq, а2, но ее можно рассматривать также как тен-
зорную функцию faia2 в пространстве импульсов ki и k2.

f (kit Oq} k2^ OC2J t) = /axa2 (ki^ k’z))	(4.1.2)

*) В действительности благодаря взаимодействию фотонов с электронами возни-
кает слабое взаимодействие между фотонами, подробнее об этом см, § 41.
аналогично тому, как волновую функцию одного фотона можно рассмат-
ривать либо как скаляр f(k, а) в пространстве k, а, либо как вектор
fa (k) в пространстве k. (Мы опускаем всюду в числе аргументов время /.)
Так как фотоны подчиняются статистике Бозе —Эйнштейна, то их
волновая функция должна быть симметричной относительно перестановки
переменных, относящихся к обоим фотонам:

f(ki, af, k2, a2) = f(k2, a2;	04),	(4.1.3)

или в тензорной форме

fa а2 (^1> ^2) = fazai (^2> ^1)*

Кроме условия симметричности, волновая функция фотонов должна
еще удовлетворять условиям поперечности поляризаций каждого из фото-
нов:

2 klaifaiaz (A?i, k2) = О,
ai

(4.1.4)

2 ^2azfaiaz (^ь ^2) = 0.

Вместо переменных ki и k2 можно ввести две другие переменные — пол-
ный импульс К системы фотонов (импульс центра инерции) и их
относительный импульс k

Л2,	k = k[ —k2»

В состояниях с определенным полным импульсом волновая функция
системы двух фотонов имеет вид произведения двух функций, из которых
одна зависит от К, а другая —от k (и от cq, а2):

f(*i, а15 k2> a2) = F(K)f(k a2).	(4.1.5)

Если импульсы фотонов ki и k2 не параллельны, то можно перейти
в систему отсчета, в которой суммарный импульс фотонов будет равен
нулю, К=0. Функция f(k\ai, а2) представляет собой волновую функцию
фотонов в этой системе отсчета ^импульсы фотонов равны в этой системе
ki = -^k, k2 = — у k^ . Заметим, что два фотона с равным нулю полным
импульсом экспериментально наблюдаются при распаде покоящейся нейтраль-
ной системы, например, при распадах позитрония и л°-мезона.

Волновая функция f (k;	а2) == faia2 (k) удовлетворяет, очевидно,

условию симметричности

/а1а2(Й) = /а2а1(-Й)	(4.1.6)

и условиям поперечности

kaifaiaz (ft) ~

(4.1.7)
kazfaiaz (^) — 0.

4.2.	Четные и нечетные состояния двух фотонов. Поставим теперь
задачу о нахождении волновых функций системы двух фотонов с опреде-
ленным моментом и четностью [8]. Импульс центра инерции К будем
считать равным нулю. Оператор момента количества движения системы J
является суммой операторов орбитального и спинового моментов

Je»L-J-s,
где L — оператор орбитального момента относительного движения,

L= -i[£Vd,

и s —сумма операторов спина обоих фотонов,

S	= S1 + S2.

Собственными функциями операторов L2 и 1_з являются, как и в слу-
чае одного фотона, шаровые функции Y2m(v), v = -^-. Собственные значения
квадрата спинового момента равны s (s +1), где квантовое число s может,
согласно правилу сложения моментов, принимать три значения:

s = 0, 1, 2.

Так как при данном значении s собственное значение оператора проекции
спинового момента принимает значения р =—s,—то всего
имеется девять различных спиновых волновых функций системы двух фото-
нов, которые мы будем обозначать через ,%4g(ai, а2). Они представляют
собой билинейные комбинации спиновых волновых функций обоих фото-
нов ^(аО и %ц8(а2):

(а1> аг) = S СiMiiMaXui (ai) Хц2 (аг)»

где Cip,xlg2 —коэффициенты Клебша — Гордана и р = щ + р2. Легко видеть,
что при данном s сюда входят только симметричные или антисимметричные
комбинации функций %gl(ai) и %g2(a2), шесть первых и три вторых. При
этом, так как состояния с различными значениями р и одним и тем же s
должны обладать одинаковой симметрией, то три антисимметричные ком-
бинации следует отнести к значению s = 1:

Xiu(ai» a2) = ^={xgl(a1)Xn2(a2) — Xm(a2) Xw(«i)}»	(4.2.1)

р = р1 + р2 = —1, 0, 1,

а шесть симметричных комбинаций — к значениям s = 0, 2. Четыре сим-
метричные комбинации, для которых р = р1 + р2=т^0, соответствуют s = 2:

Х2|*(аъ a2) = ^={Xul(ai)Xu2(a2) + Xn1(a2)Xu2(ai)}, р¥=0, (4.2.2)

остальные же две симметричные комбинации с щ + Н2 = 0 представляют
собой суперпозиции состояний %2o(ai, а2) и %оо(^1, аг)-

Используя явные значения коэффициентов Сшо» легко убедиться,
что

Хоо («ь а2) =	~ Хо («1) Хо (a2) + Xi («1) X-i (a2) + X-i (<*i) Xi («2)},

X20 (ai, a2) = :^g {2Xo («1) Xo (a2) + Xi («1) X-i (a2) + X-i (<*i) Xi (<*2)}.	(4.2.3)

Как будет видно из дальнейшего, условие поперечности требует супер-
позиции состояний с s = 0 и s = 2. Поэтому классификация состояний по
значению спина не имеет глубокого физического смысла в отличие от раз-
деления спиновых состояний на симметричные и антисимметричные.

Зная функции (a£, а2), можно построить волновые функции системы
двух фотонов с определенными значениями момента количества движения /
и его проекции М на какую-либо ось (ось z). Эти функции, которые мы будем
обозначать через fjM (k;	а2), представляют собой, согласно правилу

сложения моментов, суперпозиции функций Yim (v)	(аь а2).

Состояния с определенным моментом могут быть классифицированы
по их четности, т. е. по собственным значениям оператора отражения Р.
Этот оператор действует на орбитальную часть волновой функции

Pf(&; 04, a2) = f( — k; ai5 <х2),

а так как

то четность состояния равна

Пр = (-1)1-	(4.2.4)

С другой стороны, замена k—> — k эквивалентна перестановке импуль-
сов двух фотонов. Но из условия симметрии волновой функции (4.1.6)
следует, что

Yim (V) %slx (alt a2) = yZm( —v)xs(I(a2, 04).

Поэтому существует связь между четностью состояния и симметрией спи-
новой функции:

X«n(ai, аг) = (— 0г Xsn(a2, сц),	(4.2.5)

т. е. четные состояния (Z = 2п, п — целое число) симметричны по отноше-
нию к спиновым переменным, а нечетные (/ = 2n + 1) антисимметричны.

Иными словами, тензор /а1(Х2 является симметричным в случае четных
состояний и антисимметричным в случае нечетных состояний. В первом слу-
чае он имеет шесть составляющих, а во втором — три, что находится в соот-
ветствии с числом симметричных и антисимметричных спиновых функций.

4.3. Классификация состояний двух фотонов с определенным моментом.

Состояние фотона при заданной энергии полностью определяется его момен-
том и четностью. Каждому набору квантовых чисел со, /, Л4, т]Р соответствует
одно состояние фотона (за исключением отсутствующего состояния при
/ = 0). Для двух фотонов, как мы покажем, это, вообще говоря, не так.

Начнем с рассмотрения нечетных состояний. Антисимметричный тен-
зор второго ранга, как известно, можно представить в следующем виде:

/ai<X2 =

где 8a|3v — единичный антисимметричный тензор третьего ранга и —
некоторый вектор. Поэтому нечетные состояния можно описывать векторной
волновой функцией F (А). Свойства векторной функции F (k) существен-
но, однако, отличаются от свойств векторной волновой функции одного
фотона Действительно, условие поперечности (4.1.4) в применении
к антисимметричному тензору faia2 дает

SaBTVBF7 = 0,
т. е.

[vFJ = 0.

Таким образом, вектор F(k) является продольным в отличие от попереч-
ного вектора /(Л).

Согласно результатам § 3 существуют три линейно независимые век-
торные функции отвечающие заданным значениям квантовых чисел
/ и Л4, причем две из них поперечные (X = 0, 1), а одна продольная (X = — 1).
Поэтому при данных / и М вектор F имеет вид

F(fe)=r^1)(v).	(4.3.1)
Согласно (3.6.2) эта функция является нечетной только при четном /. Таким
образом, число нечетных состояний для двух фотонов при заданных j и М,
которое мы будем обозначать через N($, равно

j=2n’+i.	(4-з-2)

Заметим, что поскольку тензорная волновая функция системы двух
фотонов /а1СС2 является билинейной относительно компонент векторных
функций обоих фотонов fi и /2, то из антисимметрии тензора /а1СС2 следует,
что векторы fi и f2 не имеют составляющих вдоль одной и той же оси. Это
означает, что поляризации двух фотонов, находящихся в нечетном состоя-
нии, взаимно перпендикулярны. Примерами нечетных систем, распадаю-
щихся на два фотона, могут служить л°-мезон и позитроний в основном
состоянии (см. § 30.7).

Перейдем теперь к рассмотрению четных состояний. Как мы видели
выше, они соответствуют значениям s = 0, 2. Согласно правилу сложения
моментов при данных j и М и s = 2 имеется пять различных волновых
функций, соответствующих I = /, j ± 1, j ± 2; при s = 0 имеется только
одна волновая функция с I = j. Так как т]р — (— 1)г, то из этих шести
функций мы должны оставить лишь те, для которых j = 2п. Число их
равно четырем при j = 2п и двум при j = 2п + 1 (п — целое число).

Чтобы найти число четных состояний с заданными j и М (мы будем
обозначать его через ЛГ$}), нужно учесть еще условие поперечности (4.1.4).
Рассмотрим для этого какую-либо из тензорных волновых функций /а1Сб2,
соответствующих данным значениям f и М, Составим вектор Ga =
представляющий собой продольную компоненту волновой функции. Ясно,
что вектор G, так же как и тензор faia2, является собственной функцией
операторов момента с теми же собственными значениями j и М. Но при дан-
ных j и М существуют три линейно независимых шаровых вектора Y^m (v).
Поэтому из шести тензорных функций /а1Сб2 только у трех может быть отлич-
на от нуля продольная составляющая, остальные же три будут удовлетворять
условию поперечности. Четность первых совпадает с четностью соот-
ветствующих им шаровых векторов, так что число четных линейно незави-
симых тензорных функций, имеющих отличную от нуля продольную состав-
ляющую, равно двум при j = 2п и единице при j = 2п + 1. Вычитая это
число из общего числа четных функций, получим число четных состояний,
удовлетворяющих условию поперечности,

N$k = 2,	j = 2n,

N^=l,	j = 2n+l.

(4.3.3)

Случаи j = 0 и j = 1 требуют отдельного рассмотрения. При j = 0
правило сложения моментов допускает лишь два состояния (оба четные):
1 = 0, s = 0 и I = 2, s = 2. С другой стороны, при j = 0 существует один
шаровой вектор (четный). Это значит, что из двух тензоров /а1СС2
только один удовлетворяет условию поперечности.

Таким образом, существует только одно четное состояние системы
с моментом, равным нулю. В этом случае, как нетрудно проверить, волно-
вой функцией системы, удовлетворяющей условиям симметрии и попереч-
ности, является функция

М1СС2 =“ -I /~л—	(Х2 $ai<Z2).	(4.3.4)

I/ 4л
Из вида faia2 можно заключить, что поляризации фотонов в этом состоянии
параллельны. Действительно, пусть ось z направлена вдоль Л, тогда
fxy — 0.

При / = 1 правило сложения моментов допускает только одно четное
состояние: I = 2, s = 2. Но соответствующая тензорная функция имеет про-
дольную составляющую, так как из трех шаровых векторов Уш один Уш
является четным. Это значит, что четных состояний, удовлетворяющих
условие поперечности, при / = 1 не существует. При j = 1 нет, соглас-
но (4.3.2), и нечетных состояний. Поэтому система двух фотонов вообще
не может находиться в состоянии с j = 1 и, следовательно, система, имею-
щая момент, равный единице, не может распадаться на два фотона.

В таблице дана классификация состояний системы двух фотонов:

j		aW jm
0	1	1
1	0	0
2п	2	1
21г h 1	1	0

§ 5. Квантование электромагнитного поля

5.L Операторы испускания и поглощения фотона. В предыдущих
параграфах мы построили, исходя из уравнений Максвелла, волновую
функцию фотона в импульсном пространстве и изучили квантовые состояния
фотона. Однако, как уже указывалось в § 1.1, для общей формулировки
теории электромагнитного поля и изучения различных процессов его взаимо-
действия с электронами удобнее пользоваться другим методом — методом
вторичного квантования [9]. Этот метод заключается в том, что четырех-
мерный потенциал (х) (и соответственно поля Е (х) и Н (х)), рассматри-
ваются не как обычные величины (с-числа), а как операторы ({/-числа),
подчиняющиеся определенным перестановочным соотношениям.

Эти операторы действуют на волновую функцию или вектор состоя-
ния Ф, описывающий состояние электромагнитного Поля как некоторой
обобщенной квантовомеханической системы. Вектор состояния Ф опреде-
ляется в пространстве чисел частиц (фотонов) и не зависит от координат,
функциями которых являются только операторы поля. Можно определить
Ф так, чтобы он не зависел и от времени. Тогда (х) (а также Е и Н)
представляют собой операторы полей в гейзенберговском представлении *).

Если представить Ац (*) (а также Е и Н) в виде суперпозиции волн,
каждая из которых удовлетворяет уравнениям Максвелла, то операторные,
т. е. квантовые, свойства должны нести амплитуды этих волн.

Мы будем исходить из разложения Ац (х) на плоские волны (1.9.1)

Ац(х) 2	+ cke-ihx),	(5Л. 1 >

тогда ^-числами будут амплитуды см. и ськ-

*) Систему фотонов (как и любую систему частиц, число которых может меняться
при взаимодействии) можно описывать также с помощью совокупности волновых функ-
ций в импульсном или конфигурационном пространстве с переменным числом частиц.
Эту совокупность функций можно связать с некоторым функционалом (функционал
Фока) [10].
Условия коммутации, накладываемые на амплитуды суперпонируемых
волн, должны приводить к правильной корпускулярной картине электро-
магнитного поля. Это значит, что энергия, импульс и проекция момента
количества движения электромагнитного поля должны быть равны сумме
энергий, импульсов и проекций моментов количества движения отдельных
частиц, квантов электромагнитного поля — фотонов. Мы покажем, что
эти условия будут выполнены, если амплитуды сдх и ctx удовлетворяют
следующим перестановочным соотношениям:

[сьх, Ck'vl = Sfefe'Su',

[Cku сь'Х'] = [сьх, Cfe'X'] = 0, К X' = l, 2, 3, 4,

где [А, В] = AB — BA, и в соответствии с вещественностью А (х) и AQ(x) =
= уЛ4(х) предполагается, что операторы Ckj и ctj(/= 1, 2, 3), а также
операторы сьо = —icm и с£о= — эрмитовски сопряжены.

Покажем прежде всего, что из этих соотношений, представляющих
собой условия квантования электромагнитного поля, вытекает, что соб-
ственными значениями операторов	= 1, 2, 3) являются целые поло-

жительные числа и нуль.

Обозначим через ®NkK нормированную собственную функцию опера-
тора !йьх=с£хсьх, принадлежащую собственному значению

СйХСкхФлГь. = ЖхФ?7 ,
гь/V	гС/v	гС/v	rv/v

где (Фъ Ф2) обозначает скалярное произведение функций Ф! и Ф2. Из^этого
уравнения следует, что

Т. £. MfeX>0.

Рассмотрим далее функцию Ф' = сьхФ^лх, предполагая Ма>ь0. Эта
функция отлична от нуля, так как

с?хФ' = СьхСьхФдгъ, = Mix®jvfe3l ф О,
rC/v	<V/V

и удовлетворяет уравнению

З^хФ' = CkKCkKCkK^Nj.. = (ckxcu—1)скхФлгйа —1)Ф\
/ъ/V	НЛ

т. е. Ф' представляет собой собственную функцию оператора при-
надлежащую собственному значению Nkk — 1,

(у —некоторая постоянная, которая будет далее определена). Аналогично»
можно показать, что собственными значениями оператора §Rfex являются
также Nkx — 2, А^х — 3, ... Но такой ряд должен, очевидно, оборваться,
так как собственные значения не могут быть отрицательными. Это,
возможно только в том случае, если Nk% представляет собой положитель-
ное целое число или нуль, —	1, 2, ...

Легко видеть, что все целые числа являются собственными значениями,
оператора Это следует из того, что функция Ф'' = сьхФ]Уи, удовле-
творяющая уравнению

З^хФ" = ctxCfeXCkX®^! = ctx (1 + ctxCfex) = (Af + 1) Ф",

НА	o-A	ft A
является собственной функцией оператора принадлежащей собствен-
ному значению Мы + 1 ,

сйф^х=т'ф^х+1

(у' — некоторая постоянная).

Свойства функций Ф' и Ф" позволяют определить матричные элементы
операторов сьх и ей:

{Мы | сы | Мы) =

{Мы | сы | Жх) = (®N'^ сйФ^)-

Легко видеть, что эти матричные элементы отличны от нуля только в том
случае, если М'ы = Мы — 1 и АДх = Л^х+1. С другой стороны,

Жх = {Мы | сйсьх | Мы) = {Мы j ей | Мы 1 > <Nax — 11 сьa, (Мы) =

-1{Мы | ей | Мы- 1) I2 -1 (ЛДх- 11 сы | Мы) I2,
откуда следует

{Мы — 11 сы| Мы) =VМы,

{M+ 11 ей | Мы) = Мы + 1

(мы не учитываем при этом несущественный фазовый множитель, по модулю
равный единице).

Используя эти формулы, легко убедиться, что

СьхФту,, =VMk^N i, сйФ^ь, = УМы + 1Ф^ьд+1’	(5.1.4)

ftA	H>/w	KA	п> /\j

Заметим, что нахождение собственных значений оператора $Rfex экви-
валентно нахождению собственных значений энергии осциллятора с гамиль-
тонианом

H = |(p2 + <oV),

где со —частота и q и р —координата и импульс осциллятора, удовле-
творяющие перестановочным соотношениям

[р, q]= — i

{для простоты масса осциллятора предполагается равной единице). Дей-
ствительно, полагая

°“=w(p+,'"q)’ сЬ= vW(p_‘"4)'

мы приведем гамильтониан Н к виду

Н — (сйсьх + у) о).

Формулы (5.1.3) и (5.1.4) относятся к Л=1, 2, 3. При к = 4 первое
из квантовых условий (5.1.2) можно переписать в виде

[ей, Cfeo] = 1,

где	/си и ей —оператор, эрмитовски сопряженный по отноше-

нию к Ско- Из этого условия следует, что собственными значениями
оператора с^осй являются целые положительные числа, включая нуль,
в отличные от нуля матричные элементы операторов сьо и cto равны
1 | Cfeo |	Nk^ + 1, (AZ/u — 11 cto 1 AZ&4) = VN^.

Обратим внимание на то, что при переходе от%=1, 2, Зк%=4 меняется
роль операторов сьх и ctx- сьо ведет себя не как Ckj(i = 1? 2, 3), а как

а Око как Ckj*

Перейдем к нахождению возможных значений энергии и импульса
электромагнитного поля. Определим с этой целью операторы, соответствую-
щие этим величинам. В классической электродинамике, использовав раз-
ложение потенциалов на плоские волны, мы выразили энергию и импульс
поля через амплитуды с^х, ctx- Представляется естественным принять
полученные выражения (1.9.8) в качестве определений операторов энергии
и импульса в квантовой электродинамике, понимая под ch%, см, не с-числа,
а операторы, подчиняющиеся перестановочным соотношениям (5.1.2).
Однако при выводе (1.9.8) мы использовали соотношение (1.9.5) ck3 = — ich^
вытекающее из дополнительного условия (1.3.3), накладываемого на потен-
циалы, в то время как в квантовых условиях (5.1.2) операторы с&з и с/а
являются независимыми. Если не пользоваться этим соотношением, то,
как уже указывалось ранее, формально мы получим те же выражения (1.9.8):

Н = у 2 Ю (CfeXChX + C^xCfex),
feX

Р = У 2 k (CfeXOfeX + ctxCfex),
feX

(5.1.5)

в которых % будет принимать все четыре значения. Эти выражения мы
и примем в качестве определений операторов энергии и импульса электро-
магнитного поля, понимая под с&х, ctx (X = 1, 2, 3, 4) операторы, удовле-
творяющие квантовым условиям (5.1.2).

Введя в определение операторов энергии и импульса электромагнит-

ного поля амплитуды с&з и с&4> соответствующие продольным и скалярным
колебаниям, мы должны потребовать, чтобы эти колебания не вносили
вклада в возможные значения энергии и импульса поля. В классической

электродинамике это достигается дополнительным условием, накладывае-
мым на потенциалы, в квантовой же электродинамике такое условие, как

уже указывалось, несовместимо с независимостью операторов с^з и с&4-
Дополнительное условие для квантованного поля можно сформулировать

в виде условия, накладываемого не на операторы сьз и Сь4? а на волно-

вые функции Ф, описывающие состояния электромагнитного поля, на кото-
рые действуют операторы сьх и ctx [И]. Именно, мы будем предпола-

гать допустимыми только такие волновые функции (или векторы состоя-
ний) Ф, в применении к которым часть оператора Ap,(x) содержащая
положительные частоты, т. е. члены типа ezkx, дает нуль. Обозначая эту

часть оператора

4г АДх) через (-Д-Аи (х))+,

мы запишем

дополни-

тельное условие в виде



(5.1.6)

ИЛИ

2K®(cft3 + icft4)etoO = 0,
k
откуда следует, что функция Ф при всех k должна удовлетворять условиям
(см + »'са4)Ф = 0,	(5.1.7)

а следовательно, и условиям

Ф* (Cfe3 + tCfe4) = 0-

Иными словами, функция Ф наряду с условием (5.1.6) удовлетворяет
условию

где	—часть оператораАц (х), содержащая отрицательные

частоты, т. е. члены типа е~гкх. Ц

Умножив скалярно дополнительное условие (5.1.6) слева на Ф*,

а сопряженное условие (5.1.8) справа на Ф, получим, сложив эти выражения,

(ф'^Га»«ф)=<-47А’(х)>-0'	(5J'8)

где <(_) = (Ф, l-Ф) обозначает среднее значение оператора L в состоянии Ф.

Мы видим, что в квантовой электродинамике обращается в нуль
не Ац(х), чего нельзя требовать, а среднее значение оператора
д т>1

-д— Au (х) в состоянии Ф. Вследствие этого в квантовой электродина-
мике уравнения для тензора поля имеют вид не (1.3.7), а

(ф. l^F»vW®)=0-

Из сформулированных выше условий следует, что

(Ф, (см — icU) (сьз + ickt) Ф) + (Ф, (см + ich) (скз — ickt) Ф) = 0,
т. е.

(ф, (СйЗС&з + Сй4СЬ4)Ф) = (СьзСйз) + <СЬ4Сй4)==0-	(5.1.9)

Благодаря соотношению (5.1.9) исчезают средние значения тех частей
операторов энергии и импульса, которые связаны с продольными и скаляр-
ными колебаниями, и мы можем рассматривать только поперечные колеба-
ния. Замечая, что Cfexctx = Сиксы + 1, и обозначая через Nk% собственные
значения оператора = etbCkfa найдем возможные значения энергии
и импульса электромагнитного поля

g= 2	+	3 *(AU+y).	(5.1.10)

&;А==1,2	&:Л=1,2

Мы видим, что если отвлечься от несущественных бесконечных сумм
У 2 ° и У 3 Л*), то энергия и импульс поля действительно
&;A=1,2

*) Заметим, что эти суммы не имеют принципиального значения. Если переопре-
делить выражения (5.1.5), заменив в них у (Cfe%c^ + сна C^Cfe%, то фор-
мулы (5.1.10) не будут содержать членов <° И1у 2 Такое переопределение
можно непротиворечиво провести, постулируя, что при переходе от классического
гамильтониана к квантованному произведения понимаются в виде нормальных произ-
ведений (см. ниже, § 6.2).
выражаются в виде суммы энергий и импульсов отдельных частиц —
фотонов, причем целое число собственное значение оператора Лал —
представляет собой число фотонов с импульсом k и поляризацией X (Х= 1, 2).

Выражения (5.1.10) показывают, что состояния, в которых величины
Лал имеют определенные значения, являются состояниями поля с опреде-
ленными значениями энергии и импульса. Это связано с тем, что амплитуды
Сал, Сал представляют собой коэффициенты разложения по плоским волнам,
т. е. по состояниям фотона с определенным импульсом.

Формулы (5.1.10) показывают, что энергия поля имеет наименьшее
значение, когда числа фотонов равны нулю. Это наинизшее энергетическое
состояние поля называется состоянием вакуума электромагнитного поля.

Показав, что условия квантования (5.1.2) правильно описывают кор-
пускулярные свойства электромагнитного поля, мы можем теперь выяснить
физический смысл операторов сал, сал-

Пусть электромагнитное поле содержит Nk% фотонов с импульсом k
и поляризацией X. Если обозначает волновую функцию, описывающую
«состояние поля, то, согласно (5.1.4), действие сал сводится к увеличению
числа фотонов ЛТал на единицу, а действие сал — к уменьшению этого числа
на единицу. Поэтому можно сказать, что сал представляет собой оператор
испускания фотона с импульсом k и поляризацией X (X = I, 2, 3), а сал —
оператор поглощения такого же фотона.

При X = 4 роли сал и сал, как уже ранее отмечалось, меняются: сао
представляет собой оператор испускания, а сао — оператор поглощения
«скалярного фотона».

Разложение (5.1.1) является не единственным видом разложения
операторов поля. Можно исходить также из разложения АцДя) на сфери-
ческие волны 4$м(х), описывающие состояния фотона с определенными
моментом и четностью (см. § 3)

А (х) = 2 (саэмкАаэм (я) 4~ СщмкЛанм (-^))*	(5.1.11)

оэмк

В этом случае ^-числами являются амплитуды с^мк и с^мк-
Соответствующие перестановочные соотношения для амплитуд с«жл
имеют вид

[С(о;МЛ» С©'/М'Л'] —

[CajMte Сш^ГМ'Л'] = [СоЯШ Сш'/М'Л'] = 0-

(5.1.12)

Так как условия коммутации для операторов с^мл не отличаются
ют условий коммутации для операторов Сал, то собственными значениями
оператора	так же как и оператора Лал, являются

целые положительные числа и нуль.

Легко видеть, что состояния, в которых величины Л^мл (а не Лал)
имеют определенные значения, являются состояниями поля с определен-
ными значениями энергии и проекции момента на некоторую ось (ось г).
Действительно, воспользовавшись разложением потенциалов на сфери-
ческие волны (5.7.2), можно выразить энергию и проекцию момента
{на ось z) через амплитуды с©шл и с©жл-

Н = 4 2 °	+ с©;млс®;мл),

©5МЛ

М3 = — 2	СсоЖЛС^Мл).

2 ©жл
Эти формулы, если считать в них и операторами, подчиняю-
щимися перестановочным соотношениям (5.1.12), определяют операторы
энергии и проекции момента количества движения поля, выраженные
через операторы

Мы видим, что состояния поля, которым соответствуют определенные
значения величин	являются состояниями с определенными значе-

ниями энергии и проекции момента количества движения поля

^3 = 2	»

а)3МК

где	— собственное значение оператора	оно представляет

собой число фотонов с частотой <о, моментом у, проекцией момента М
и четностью %

5.2. Использование индефинитной метрики. Вакуум электромагнит-
ного поля представляет собой такое состояние поля, в котором отсут-
ствуют поперечные фотоны, Nk% = 0 (% = 1, 2). Что же касается продоль-
ных и скалярных «фотонов», то числа их ЛД3 и Nki всегда отличны от нуля.
Действительно, рассмотрим волновую функцию (вектор состояния) ¥,
которая описывает продольные и скалярные степени свободы поля. Эту
функцию можно, очевидно, представить в виде

Т = 2 d(N3,

2V3/V4

где функция Фдг3дг4 описывает состояние поля с определенными числами
продольных (М3) и скалярных (М4) фотонов и d(N3, Л^) —численные
коэффициенты (мы пользуемся здесь вместо Nk3 и ЛД4 обозначениями N&
и Л/4). Подставив это выражение в (5 1.6) и воспользовавшись (5.1.4),
получим

2 d(N3, N^) {]/М3Фад1, n4 —К^4+ 1Флг3, ад-il — 0.

Л 3^4

Сделав в первом слагаемом замену N3~ 1—>7V3, а во втором — замену
1 перепишем это соотношение в виде

2 d(ЛАз -ь 1, NJ /#з + 1Ф^4- 2 d(N3,#4-1)К#?1>№^ = 0,

из которого следует, что величины d (N3, Af4) удовлетворяют разностному
уравнению

d(2V3+h Л/^4)Р^Л/з1 = d(Л/^з, Л^4—1)P^/V4, Л/з^>0, N^^-l

и краевому условию d(Ar3, 0) = 0, 2V3>1‘ Полагая далее

d(N3, #4)=j/^b(N3, NJ,
получим

&(#з+1, #4) = 6(#3,

откуда следует, что 6(#3, #4) зависит только от разности #3 —#4.
Используя, наконец, краевое условие, найдем общий вид d(N3,NJ

d(N3, NJ =

о,	N^<N3,

(5.2.1}

где f (N) — произвольная функция целого неотрицательного числа.

Мы видим, что возможны различные состояния поля продольных
и скалярных колебаний, однако не существует состояния, в котором
числа продольных и скалярных фотонов равнялись бы нулю. При этом,
как следует из (5.2.1), волновая функция ¥, описывающая продольные
и скалярные колебания поля, не может быть нормирована, так как

S I d (N3, NJ |2 = oo.

2V3N4

Эта трудность является однако чисто формальной, так как продольные
и скалярные фотоны не имеют физического смысла для свободного электро-
магнитного поля, и связана с различной ролью операторов са/ (j — 1, 2, 3}
и сао = — ickb- в то время как первые представляют собой операторы погло-
щения, сао являются оператором испускания скалярного фотона.

Мы покажем теперь, что можно изменить интерпретацию операторов-
Сао =— *Са4 и cto^— и рассматривать сао как оператор поглощения,
a cto — как оператор испускания скалярного фотона, если при описании
скалярных колебаний исходить не из обычного, а из обобщенного определе-
ния скалярного произведения волновых функций (или векторов состояний}
Т, допускающего как положительную, так и отрицательную норму [12].

Обобщенное определение скалярного произведения двух векторов-
состояния Tt и Т2 (описывающих скалярные колебания), из которого мы
будем исходить, имеет вид [13]

(Ть	(5.2.2>

и содержит некоторый в общем произвольный оператор т], который можно
назвать метрическим (Т* — функция, комплексно-сопряженная с Т; инте-
грирование производится по всем переменным, от которых зависит Т).
При т] = 1 мы получаем обычное определение скалярного произведения;
в общем же случае (5.2.2) может, очевидно, приводить как к положительной,
так и отрицательной норме (Т, УР) вектора Y. Поэтому говорят, что опре-
деление (5.2.2) соответствует индефинитной метрике в гильбертовом
пространстве.

Изменив определение скалярного продзведения, мы формально сохра-
няем определение эрмитовского сопряжения операторов: оператором, эрми-
товски сопряженным с оператором L, называется такой оператор L+, для
которого

(L^i,	LV2).	(5.2.3)

Средние значения операторов, соответствующих физическим величи-
нам, в любых состояниях должны быть, очевидно, вещественными

(Т, LY) = (Y, LT)*.

Легко убедиться, что это условие выполняется в случае эрмитовских метри-
ческих операторов т], если оператор L является самосопряженным (в смысле
(5.2.3)):

L = L+.
Вернемся теперь к квантованию электромагнитного поля. Мы будем
по-прежнему исходить из условий квантования

[Ckj, = 1, / = 1, 2, 3,

[Cfco, cto] — — L

где Cko= —ick& CkQ= —icU и cu —оператор, эрмитовски сопряженный
с оператором сьх в обобщенном смысле. Однако, в отличие от предыду-
щего, мы будем теперь считать все операторы сьх операторами поглоще-
ния и все операторы -операторами испускания фотонов. Это значит,
что мы предполагаем справедливыми соотношения

СьхФо = О, %=1,2, 3, 0,	(5.2.4)

где Фо — вектор состояния вакуума электромагнитного поля. Этот вектор
предполагается нормированным на единицу:

(Фо, Фо) = 1.

Если на вектор состояния вакуума подействовать оператором ctx,
то мы получим состояние поля, в котором содержится только один фотон
с импульсом k и поляризацией %:

Ф1&х = с&%Фо-

Легко видеть, что эти соотношения при % = 0 непосредственно при-
водят к индефинитной метрике для скалярных фотонов. Действительно,
определим норму вектора состояния поля, содержащего один скалярный
фотон,

(Ф1*о, ф^о)= (с^оФо, с^оФо).

Используя определение эрмитовского сопряжения (5.2.3), перестановочные
соотношения для сьх, и условие нормировки Фо, получим

(с£оФо, СьоФо) = (Фо, С&оС&оФо) — — 1-

Таким образом,

(Ф1/.0, Ф^о) = — 1,

т. е. норма вектора Ф1^о отрицательна.

Аналогично можно представить вектор состояния поля, содержа-
щего AZfci фотонов с импульсом k и поляризацией % в виде

Ф»и=у=(сЫ"иФ,.	(5.2.5)

Эти векторы удовлетворяют, как легко убедиться, условиям нормировки

= b 1, 2, 3,

NfcO	(5.2.6)

(Ф^О’ Ф^о) = (-1) •

Подействовав на Флу.к операторами ста и и используя переста-
новочные соотношения для сы,, Слх, получим

•смФ^х = 1/Г^?1Ф^х-1,	1®^+!, Х=1,2, 3, (527)

Cfco<I)wfcO= —У МьоФдгд.о-ь с1оФ^о =	+ 1Флг&о+1-
Мы видим, что сах представляют собой операторы поглощения, а сах—
операторы испускания фотонов. Отсюда далее следует, что

СаОСаоФ^о = —

т. е. собственные значения оператора саоСао равны — Nko = 0, — 1, —2, ...
(собственные значения оператора са4Са4 равны Д/ао = О, 1,2, ...).

Используя разложение (5.1.1) и соотношения (5.2.7), легко опреде-
лить матричные элементы оператора Ag(%), соответствующие поглощению
и испусканию фотона с импульсом k и поляризацией X,

<0й%|Ац(%)|1лО = ^=-^\

(5.2.8)

(во второй формуле над поставлен знак комплексного сопряжения,
чтобы формулами можно было пользоваться не только в случае линейной,
но и в случае круговой поляризации).

Аналогичные формулы для матричных элементов оператора А(х),
соответствующих поглощению и испусканию фотона в состоянии со, /, Л4, 1,
имеют вид

(OqjMX | А (%) | 1 cojMX) —	(•£)»

(IcojMX | A (%) [	= A^M (-£)*,

где потенциалы A$m(x) определяются формулами (3.8.6) и (3.8.7).

Выше мы видели, что векторы состояний электромагнитного поля Ф
удовлетворяют дополнительному условию

или

(саз-сао)Ф^О.	(5.2.9)

Выясним теперь, какой вид имеют допустимые функции Ф, если при
описании скалярных «фотонов» пользоваться индефинитной метрикой.

Заметим предварительно, что

[саз — Сао, Саз — Сао1 = 0,

и, следовательно, саз — Сао коммутирует с оператором

Ug = expi{2 [a«W(ci3-cio)n + ^(*)(cft3-cfco)n]}, (5.2.10)
А, п

где ап (k) — произвольные функции k и п = 0, 1, 2, ...,

[(саз — Cao)» Ug] = 0.

Поэтому, если вектор состояния Ф удовлетворяет условию (5.2.9),
то вектор состояния

Ф' = и^Ф	(5.2.11)

также будет удовлетворять условию (5.2.9). Переход от вектора состоя-
ния Ф к вектору состояния Ф', не меняющий поля поперечных фотонов,
представляет собой калибровочное преобразование вектора состояния.
Оператор Ug» осуществляющий это преобразование, может быть назван
5 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
оператором калибровочного преобразования. Он является, очевидно^
унитарным,

и не меняет поэтому нормы вектора Ф,
(Ф', Ф') = (Ф, Ф).

Подвергнув калибровочному преобразованию вектор Фо, получим
общее выражение для вектора состояния вакуума электромагнитного поля

Фо " и^Фо.

Этот вектор, как и всякий допустимый вектор состояния поля, удовле-
творяет условию (5.2 9), но не удовлетворяет соотношениям с&лФо = О,
которые справедливы только при специальной калибровке потенциалов
электромагнитного поля, соответствующей равенству нулю всех чисел
фотонов, Л^ = 0, %=1,2, 3, 0 (напомним, что в теории, не использую-
щей индефинитной метрики, такое состояние поля невозможно).

Подействовав на вектор состояния вакуума Ф' оператором
где Х=1,2, получим вектор состояния поля	содержащего

поперечных фотонов с импульсом k и поляризацией % (Х=1,2),
ф^ = у= (сКГЛЛФ;.	(5.2.12)

* кК

При этом поле может содержать произвольное число продольных и скаляр-
ных фотонов.

Векторы	образуют, очевидно, ортонормированную систему

векторов

(фл^г Флг^ч-) = 6^'6^'-

Образовав суперпозицию этих векторов, мы получим любой допустимый
вектор состояния поля

ф= 2

А/ 9 Л— 1 у

где соа—произвольные коэффициенты, удовлетворяющие условию нормировки

2 |<М2=1,
к к

если вектор Ф нормирован согласно условию

(Ф, Ф)=1.

Мы видим, таким образом, что при использовании индефинитной
метрики не возникает трудности с нормировкой Ф

Калибровочному преобразованию вектора состояния Ф соответствует
определенное преобразование оператора потенциала Ар, (х) Если Ац (х)
обозначает преобразованный потенциал, то должно, очевидно, выполняться
соотношение

Ац (*)ф'= □№(*) ф)>

откуда

A^(x)=UgAg(x)Ui'	(5.2.13)

Так как Ug — унитарный оператор, то операторы Ад(х) удовлетво-
ряют, как и следовало ожидать, тем же перестановочным соотношениям,
что и операторы Ац(х).
И

Подобно A|i (х) преобразуются при калибровочном преобразовании
другие операторы L

В

L'= UgLUg1.

частности, если L — калибровочно инвариантный оператор, то L'= L, т. е.

[L, Ug] = 0.

Это условие выполняется, если L коммутирует с с/гз —сш

[L, Cfe3 — Cfeo]=O.

Покажем, что градиентному преобразованию потенциалов (5.2.13)
можно придать обычную форму

А'ц (х) = Ан (х) + -Д- х (х),

где % (х) — некоторый оператор. Перепишем для этого (5.2.13) в виде

Ац (х) == Ац (х) + [Ug» Ац, (х)] Ug1

и подставим в коммутатор разложение АДх) на плоские волны Вводя
обозначения

Рь = Cfe3^3) +	pt = cts^3) +

и замечая, что

Рь -= (с^з — сьо) + Cfeo (eJT + ^4>) = (с^з — Cfeo) e™ + ~ сьо,
имеем

[Ug, W^-^tUg, см], [Ug, ₽fl = ^[Ug, ctob

Поэтому

[Ug,

Приравняв

Ah (x)J Ug1 =	[Ug, cMetkx + ctoe-l/,x] Uj1.

это выражение (x), найдем %(x)-.
(/Ху,

XW=IU„ B]U?,

где

Мы видим, что %(х) представляет собой, вообще говоря, не с-число,
а оператор, удовлетворяющий как функция координат и времени уравнению
□ Х(х) = 0.

Только в специальном случае

Ug = exp i 2 {a (#) (с£з — cto) + a* (А?) (см — см)},
k

когда справедливы соотношения

[Ug, см] Ug1 = — га (k), [Ug, см] Uj1 = га* (Jfc),
%(x) будет с-числом,

% (x)=-Г- 2 —{“ (*)eihx+a* (*) e’,kx)
к *
Заметим в заключение этого раздела, что операторы Н и Р, опреде-
ляемые формулами (5.1.5), не коммутируют с с^з —с&о, т. е. не являются
градиентно инвариантными. С этим связано то, что векторы состояний
поля Ф, определяемые формулой (5.2.12), не являются собственными век-
торами оператора Н. Действительно, можно убедиться, что

НФ = £Ф+Т,
где ^ — энергия поля и ¥ —вектор, имеющий структуру
^ = 2 (сьз —Cfeo)<Pfe-
к

Этот вектор, очевидно, ортогонален Ф,

С?, Ф) = (2(с£з-с£о)Фй, Ф) = 2(фй, (сйз-сьо)ф) = о,
к	к

и поэтому средние значения Н совпадают с возможными значениями
энергии поля

(ф, НФ) = £.

5.3. Перестановочные соотношения для потенциалов и компонент
электромагнитного поля. Зная квантовые условия для сьл и cti, можно
установить перестановочные соотношения, которым должны удовлетворять
операторы потенциалов и компонент поля.

Вычислим прежде всего коммутатор потенциалов [Ар, (л;), Av (*')]•
Воспользуемся для этого разложением (5.1.1):

[Ар, (-К)э Av (# )] = 21/	2	~]/(0(Dz	Cfe'X'l X

X №+k'xf) + [Cfcji, ct'v] e^kx~h'x^ + [ok, cw) X

X	c+ e-i(kx+k'x')}

Подставляя сюда (5.1.2) и (1.9.4), получим

[Ag (х), Av (%')] =	2 4	~ 6gv.

к

Переходя далее от суммирования по k к интегрированию в ^-пространстве
согласно формуле

W)=(5M/(*)"
к

получим окончательно [14]

[Ар, (-v)» Av (•£ )]=	(•£ х ) $p,v»	(5.3.1)

где

(5.3.2)

Легко видеть, что функция DQ(x) инвариантна относительно преобра-
зований Лоренца. Действительно, функцию DQ (х) можно представить в виде

DoW = W $ е*Х sgn М (*а) d*k'	(5.3.3)

где d^k^dkidkidk^dko. Релятивистская инвариантность всех множителей
под знаком интеграла, кроме sgn kQ, очевидна. Но sgn/?0 также представ-
ляет собой релятивистский инвариант, так как благодаря наличию в (5.3.3)
6-функции выполняется условие £2 = 0, т. е. kQ = ± |£|, а знак частоты
релятивистски инвариантен. Это свойство функции DQ(x) показывает, что
квантовые условия (5.3.1) инвариантны относительно преобразований
Лоренца.

Из (5.3.2) следует, что

DQ(x)==D0(r, t) = D0( — r, t)=-DQ(r, -/).	(5.3.4)

Выполнив в (5.3.2) интегрирование по углу между векторами k и г,
получим

ОО

Z>0(x) = . J2r	e-io(r-t) _ емо(г+о — е-‘®(г+о}(/(1) =

о

т.е.

D0(x) = ^d(r*-t*)sgnt.	(5.3.5)

Это выражение показывает, что функция D0(x) отлична от нуля только
на световом конусе г2 — /2 = 0 и имеет на нем 6-образную особенность.

Из интегрального представления (5.3.2) следует, что D0(x) представ-
ляет собой сингулярное решение уравнения

удовлетворяющее условиям

D(r, 0) = 0,	^-D(x)|f=o = 6(r).	(5.3.6)

Используя (5.3.1), можно найти перестановочные соотношения между
компонентами потенциала и их производными по координатам и времени.
В частности, дифференцируя (5.3.1) по t' и полагая затем f = /, получим

[Ац (г, t), Av (г', о] = (Г - г(5.3.7)

Дифференцируя (5.3.1) по х и х' и используя определение тензора
поля, легко получить перестановочные соотношения для компонент поля

[Fnv (х), Fu'v- (х')1 = 1 { 6VV' дх^, — SVH' dXlidx'v, ~

с	. о	д2 1	/ f \

~	dxvdx;, } D°“x )’

откуда

[E,(x), Ег(х')] = [Н7(х), Hz(x')] = i {-^pD0(x-x'), (5.3.8)

[E/(x), Hz(x')] = iejZfe§?^-D0(x — x'),	j,l,k = l,2,3,

где e}л — единичный антисимметричный тензор третьего ранга.

Мы видим, что компоненты поля могут не коммутировать друг с дру-
гом только в том случае, если соответствующие пространственно-временные
точки лежат на световом конусе (х — х')2 = 0.

Перестановочные соотношения допускают, как известно, следующую
физическую интерпретацию. Если операторы А и В, соответствующие неко-
торым физическим величинам А и В системы, не коммутируют между собой
и удовлетворяют перестановочным соотношениям

[А, В]-К, К^О,

то не существует состояний системы, в которых величины А и В имеют
определенные значения, причем неопределенности при их одновременном
измерении связаны между собой соотношением

ДДДВ>|К|.

Используя (5.3.8), можно получить соотношения неопределенности
для электрического и магнитного полей и установить предельные точности
их одновременного измерения. Физический смысл имеют при этом соотно-
шения для полей, усредненных по некоторым пространственно-временным
областям. Можно показать, что такие усредненные значения компонент
поля коммутируют между собой, если совпадают временные или простран-
ственные интервалы усреднения. В частности, коммутируют значения полей,
усредненные по одной и той же пространственно-временной области. Если
же области усреднения хотя бы частично могут быть связаны световыми
сигналами, то усредненные поля не коммутируют друг с другом [15,16].

§ 6. Сингулярные функции> связанные с волновыми полями

6.1. Вакуумные средние произведений операторов электромагнитного
поля. Перестановочные соотношения для операторов испускания и погло-
щения фотонов полностью определяют алгебру операторов электромагнит-
ного поля и позволяют в принципе находить средние значения различных
функций от этих операторов в различных состояниях электромагнитного
поля. Особый интерес представляют средние значения в состоянии вакуума
произведений операторов потенциалов электромагнитного поля. При этом
среднее значение произведения произвольного числа операторов потенциа-
лов может быть выражено через средние значения произведений только
двух таких операторов (см. § 16.5). Поэтому мы рассмотрим сейчас средние
значения в состоянии вакуума различных произведений двух операторов
потенциалов электромагнитного поля.

Так как потенциалы поля являются линейными функциями операторов
испускания и поглощения фотонов, то прежде всего нужно определить
средние значения в состоянии вакуума произведений этих операторов.

В состоянии вакуума числа поперечных фотонов равны нулю, поэтому
=	(смс£л,)о=1,	Х=1,2,

где <L>o обозначает среднее значение операторов L в состоянии вакуума.
Для этих поляризаций справедливы, очевидно, также соотношения

(Cfc%Cfc'2/)o = $кк'$№/ч

(Cfc%Cfc'X')o == (CfcXCfcz%')o == (Cfc%Cfc'A/)o ==	=: 1 ч

Что касается продольной и скалярной поляризаций, то при калибровке
потенциалов, которой соответствует определение вакуума (5.2.4), числа
продольных и скалярных фотонов в состоянии вакуума также будут равны
нулю. Пользуясь этим определением вакуума, мы можем, следовательно,
написать общие соотношения

<Cfc%Cfc'v)o = $кк'$кк'ч

(6.1.1)

(Cfc%Cfc'v)o — (CfcxCfc'v)o — (ct%ct'v)o = 0,	Z,Z' = 1, 2, 3, 4.
Соотношения (6.1.1) позволяют определить среднее значение произве-
дения операторов Ац(х) и Av(x') в состоянии вакуума. Действительно,
используя их и разложение потенциалов на плоские волны (5.1.1), имеем

<Au(x)Av(x'))o = 4f 2

Ш'

Замечая, что	= и переходя от суммирования к интегрирова-

нию по k, получим окончательно

<АИ (х) Av (х'))0 <01 Ац (х) Av (х') 10> = £>+ (х-х') 6^,	(6.1.2)

где

Переставив в (6.1.2) местами Ац(х) и Av(x')> получим

(Av (х ) А у, (х))о “ D_ (х X ) 6y,v»
где

=	(6.1.4)

Сложив это выражение с (6.1.2), найдем среднее значение в состоянии
вакуума антикоммутатора потенциалов

<01 {Аи (х), Av (х')} 10) = Di (х—х') 6^,	(6.1.5)

где

D1(x) = D+(x) + D^x) = ^rS ? e^^-d^k.	(6.1.6)

Выполнив интегрирование по углу между k и г, получим

Dt (х) = дЦр- ~ $ {е^г+^ — e-’«>0-+0 +	da,

о

откуда

Di(x) = 7^4--	(6.1.7)

1 v 7 (2л)2 x2	4	7

Сравнение определений функций D+(x) (6.1.3), D_(x) (6.1.4), Di(x)
(6.1.6) и D0(x) (5.3.2) показывает, что

Do (х) = i (D+ (х) — D_ (х)),
D+(x)=^(D1(x) — iD0(x)),	(6.1.8)

D- (x) = T (Dt (x) + iD0 (x)).

Подставляя сюда выражения (5.3.5) и (6.1.7) для функций D0(x) hDi(x),
найдем явные выражения функций D+(x) и D_(x)

= (2л)2 л-2- ~ 4л $ Sgn

11 г (6Л-9)

(Х) — (2л)2 л;2 + 4^~ $ (х2) Sgn/.

Легко проверить, исходя из (6.1.7), что функция Di(x), как и функ-
ция D0(x), удовлетворяет волновому уравнению. Из (6.1.8) тогда следует,
что этому уравнению удовлетворяют и функции D+(x), и D~(x):

□ D, (х) = О, □ D± (%) = 0.	(6.1.10)

6.2.	Хронологическое и нормальное произведения операторов электро-
магнитных потенциалов. В дальнейшем при исследовании взаимодействия
электромагнитного поля с электронами существенную роль будут играть
произведения операторов потенциалов, расположенных в определенном
порядке. Различают два типа упорядоченных произведений — хронологиче-
ские и нормальные произведения.

В хронологическом произведении операторов Ац(х) и Av (х')> которое
мы будем обозначать через Т (Аи (х) Av (*'))> множители располагаются
в хронологическом порядке, а именно: справа стоит множитель, отвечаю-
щий меньшему значению времени, а слева — большему. Иными словами,

Г Au(x) Av(x')»	t>t',

В нормальном произведении операторов Ар, (я) и Av которое мы
будем обозначать через iV (A|i(x) Av (х'))> операторы испускания фотонов
расположены слева от операторов их поглощения. Иными словами, если
представить оператор Аи(х) в виде Аи(х) = AJT (х) +AJT (*)> Где А]Г(х)
содержит слагаемые с положительными, a AJ?) (%) — слагаемые с отрица-
тельными частотами, то

N (Ам (х) Av (х')) = Ац+) (%) Av+) (х') + AJT (х) Av-) (х') +

+ AJT (х) Av+) (х') + AV) (х') А[Г (х).	(6.2.2)

Легко видеть, что эти определения являются релятивистски инвариант-
ными. Что касается нормального произведения (или, иначе, ДЛпроизведе-
ния), то это очевидно, так как разделение Аи (х) на слагаемые с положи-
тельными и отрицательными частотами является релятивистски инвариант-
ным. Рассмотрим далее хронологическое произведение (или, иначе, Т-про-
изведение). Если х и х' разделены времениподобным интервалом, то утверж-
дение снова очевидно, так как в этом случае понятия более позднего и более
раннего времени носят абсолютный характер. Если же х и х' разделены
пространственноподобным интервалом и t — t' может менять знак при
преобразованиях Лоренца, то операторы Ац, (х) и Av (х') коммутируют
между собой и поэтому могут быть во всех системах отсчета расположены
в том порядке, который установлен в хронологическом произведении.

Используя разложение потенциалов (5.1.1) на плоские волны, можно
выразить N- и Т-произведения операторов потенциалов через операторы
испускания и поглощения фотонов:

^(Au(x)Av(x/)) = ^r	У	+

+	(6.2.3)

T’(AuWAv(x'))= 2F 2 4={сцси^+^ +

+ Cfe%C+fe'rei(fe®_,!/x,) +	+

+	t>t'.	(6.2.4)

Поменяв местами х и х', получим хронологическое произведение при t < tr.
Рассмотрим разность между хронологическим и нормальным произве-
дениями операторов потенциалов. Эта разность называется связью операторов
и обозначается через Ац(х) Av (х') (вместо а может применяться также
любая другая буква латинского алфавита),

А“ (х) А? (х') = Т (Ац (х) Av (х')) - N (Ар. (х) Av (х')).	(6.2.5)

Из (6.2.4), (6.2.5) и (5.1.2) следует, что АцА“ не содержит операторов
испускания и поглощения фотонов, т. е. является с-числом:

А£ (х) А? (х') = 4- S 4
к

Переходя от суммы к интегралу, получим следующее выражение для
связи операторов потенциалов электромагнитного поля:

Ац (х) Av (х') - Dc (х-х') 6^,	(6.2.6)

где

=	“ = И-	(6.2.7)

Легко видеть, что связь операторов Ар(х) и Av(x') равна среднему
значению Т-произведения этих операторов в состоянии вакуума. Действи-
тельно, используя (6.1.1), имеем

<T(Ag(x)Av(x')))0 = 4- 3

а так как вцХ)е$Л) = 6ЦУ, то

(Т (Ар, (х) Av (х )))о= Dc (х х ) 6уд>.	(6.2.8)

Сравнение этой формулы с формулой (6.2.5) показывает, что среднее зна-
чение в состоянии вакуума А/'-произведения операторов потенциалов равно
нулю,

(N (Ар, (х) Av (х )))о= 0.

6.3.	Функция Грина волнового уравнения. Для дальнейшего сущест-
венно знать компоненты Фурье функции Dc(x), которые мы будем обозна-
чать через Ос(&),

Dc(k) = $ Dc(x)e~ikxd4x.

При таком определении разложение Фурье функции Dc(x) имеет вид

De w (4Н Dc eikXdik’	(6-3-1>

где d^k = dki dk2 dk3 dkQ (все четыре составляющие вектора k являются
независимыми).

Для нахождения Dc(k) воспользуемся соотношением

-----— —~ \ —г?— dkQ,
CD nt Л Л2 U’

(6.3.2>

с
где k2 = k2 — k2 = со2 — k2 и интегрирование производится в комплекс-
ной плоскости kQ вдоль контура С, изображенного на рис. 6.1. Чтобы убе-
диться в справедливости этого соотношения, заметим, что при t > 0 путь
интегрирования можно замкнуть полуокружностью бесконечного радиуса,
расположенной в нижней полуплоскости. Тогда интеграл определится выче-
том в полюсе kQ = (о. Если же t < 0, то путь интегрирования должен быть
замкнут полуокружностью в верхней полуплоскости. При этом интеграл
определится вычетохм в точке kQ = — со. В обоих случаях мы получим
равенство (6.3.2).

Вместо того чтобы интегрировать в (6.3.2) вдоль контура С, обходя-
щего полюс kQ = со сверху, а полюс kQ = — со снизу, можно интегриро-
вать вдоль вещественной оси /г0, сместив первый полюс в нижнюю, а вто-
рой полюс в верхнюю полуплоскость (рис. 6.2). Для этого следует заменить

знаменатель подынтегрального выражения k2 на k2 — и], где ц — беско-
нечно малое положительное число, так как полюсами при этом будут точки
= ±	1—^2), расположенные как указано на рис. 6.2.

Подставляя (6.3.2) в (6.2.7) и сравнивая с (6.3.1), найдем компоненту
Фурье Dc

<6-3-3)
где /0 означает irj при г]—» + 0.

Это выражение можно также представить в виде

Dc(k) = nb+( — kty	(6.3.4)

где сингулярная функция 6+(%) определяется интегралом
ОО

S+(x)=2_Ui£(x+w)d|=T. ’ , П-> + 0.	(6.3.5)

«v	«1 и Л 4*|

о

Заметим, что

S+(X) = S(X)-|4-P±.,	(6.3.6)

Это равенство, вытекающее из (6.3.5), означает, что интегралы, содержа-
щие 6+-функцию, вычисляются согласно правилу

ОО	ОО

$ f(x)S+(x)dx=^(x)^dx = f(O) + ^P § fW-T’
— 00	С	—сю

где путь интегрирования С совпадает с вещественной осью и обходит
полюс х = 0 сверху, а Р служит для обозначения главного значения
интеграла.
Подставляя (6.3.4) в (6.3.1), получим

1 р	°°	1	°°	х24-гт)

=	\ dikeihx e^(fe2-^)dg = —1— \	\

)	<t)	(У	) (У	j)

о	о

где k' = k — ^х. Замечая, что

%	г—

J e±*a2da = у уе 4,
— ОО

и поэтому

e"ift'2s d^'=4|-,

J	&

найдем

oo хЗ+гт]	00

De (*) = е~й~ й = з^-Л ei2 (*2+”1> dz,

4 7	(4л)^ I J	4л^1 е)

О	О

т. е.

(6-3.7)

Так как

— k2Dc{k) = i,

то Dc(x) удовлетворяет уравнению

□ Dc(x) = i6(x).	(6.3.8)

Таким образом, Dc (х) является функцией Грина волнового уравнения.

6.4.	Сингулярные функции, связанные с волновым уравнением. Выше
мы видели, что функция Z)o (х), определяющая алгебру операторов потен-
циалов электромагнитного поля, и функции D± (х), Di (х), определяющие
вакуумные средние произведений этих операторов, представляют собой
сингулярные решения волнового уравнения, а функция Dc (х), определяю-
щая связь операторов потенциалов, является функцией Грина этого
уравнения.

Выясним общую структуру рассмотренных сингулярных решений
волнового уравнения.

Замечая, что компонента Фурье функции f (х), удовлетворяющей
уравнению

□ /= -б(х),

равна

легко убедиться, что любая функция Грина волнового уравнения может
быть представлена в виде

°« = (ЙЛС"“Т'

С*

где а — некоторая постоянная и С' — контур, вдоль которого производит'
ся интегрирование в плоскости комплексного переменного kQ.

Такой же вид (только каждый раз со своими а и С') имеют также,
как будет сейчас показано, сингулярные решения волнового уравнения
Dо, Dи Dt.
Легко перечислить все возможные функции вида (6.4.1). Заметим
этой целью, что подынтегральная функция в (6.4.1) имеет только две

Рис. 6.3.

особые точки в плоскости ком-
плексного переменного /г0, kQ =

± (о, где со = | k |. Поэтому
контур С' можно провести одним
из семи способов, указанных на
рис. 6.3 (отмечены точки kQ = ±со).

Если контуром является С и
сс= — г, то мы получим, согласно
(6.3.2) и (6.3.3), функцию Dc(x):
c-W’(SjnP“'¥' <6'4Л'>

С

Контуру Со и а = 1 соответ-
ствует функция D0(x),

<6Л-2>

Со

Действительно, выполнив интегрирование по k0 с помощью теоремы
о вычетах, найдем

°"« = - (гМ (г’	“ е‘ = (SP S d'k

в согласии с (5.3.2).

Аналогично легко убедиться, что контурам С+, С_ и

соответст-

вуют функции D+, D- и

D+(x)

D_(x) =

1 £
(2л)4 I J е
С+

1 V

(2л)4 z J
С-

(6.4.3)

№ ’

е £2 ’

D‘W-is>de,'“v-

Cl

Заметим, что из (6.4.3) следует, что функции D+(x) и D-(x)
комплексно сопряжены

D+(x) = D!(x).	(6.4.4)

Наконец, контурам CR и СА соответствуют функции Грина волнового

уравнения

Z)B (х)

1
(2л;)4

е егкх^

CR

Пл(х} =____5__ V Ргкх —

(2л)4 J е № ’

С4

(6.4.5)

Действительно, применив к DR (х) и DA (х) оператор Даламбера и совме-
щая контуры интегрирования с осью kQ, получим

Ej DRi а (х) —



(6.4.6)
Разъясним различие между функциями DR(x) и DA(x).

Если />0, то контур CR можно замкнуть полуокружностью в ниж-
ней полуплоскости, и мы получим функцию Dq{x). Если же /<0,
то путь интегрирования можно замкнуть сверху, где у подынтегральной
функции нет полюсов, и мы получим нуль. Поэтому

( D0(x), />0,

D^[ о, /<о.	(6-4-7)

Аналогичным образом можно показать

(	0,	1>0,

Da(x) = |	/<о	(6.4.8)

Мы видим, что функция Dr (х) обращается в нуль при отрицательных,
а функция Da (х) — при положительных значениях времени.

Из (6.4.6) и (6.4.7) следует, что решение неоднородного волнового
уравнения

□ 4W = —/nW,
обращающееся в нуль при t—— оо, может быть представлено в виде
АДх) = $ Рл(х —x')/u(x')d4x'.

Таким образом, функция DR (х) является функцией Грина волнового
уравнения, приводящей к запаздывающим решениям. Аналогично можно
убедиться, что функция Грина DA (х) приводит к опережающим решениям.

Формулы (6.4.7) и (6.4.8) связывают функции Грина DR (х) и DA (х)
с функцией Do (х), которая, согласно (6.1.8), выражается через функции
D+ (х) и D_ (х). Через эти же функции выражается функция Di (х) соглас-
но (6.1.6). Покажем, что функция Dc (х) также может быть выражена через
функции D+ (х) и D_ (х). Воспользуемся для этого представлением (6.4. Г)
функции Dc (х). Замечая, что при t > 0 контур интегрирования С можно
замкнуть снизу, а при t < 0 — сверху и учитывая (6.4.3), получим

Dc (х) = 9 (х) D+ (х) + 9 (- х)	(х),	(6.4.9)

где

6.5.	Аналитические свойства сингулярных решений волновых уравнений.

В предыдущих пунктах мы рассмотрели ряд сингулярных решений
уравнения

Ш = 0.

В следующей главе при изучении электронно-позитронного поля мы встре-
тимся с более общим уравнением

(□-т2)/ = 0,

где т — масса электрона. Для этого уравнения могут быть определены
сингулярные решения Д± (х), До (х), ДА (х) и функции Грина Дс (х), Дв (х)
и ДА (х), аналогичные сингулярным функциям D± (х), Do (х),	(х),

Dc (х), Dr (х), Da (х). Эти сингулярные функции Д (х) будут играть для
электронно-позитронного поля такую же роль, какую играют функции D (х)
для электромагнитного поля.
Функции А (х) являются обобщением функций D (х) и переходят
bD(x) прит2->-0. Мы рассмотрим теперь подробнее свойства этих функций.

Функции А (х) определяются четырехкратными интегралами Фурье:

| га егрх

Л+ = (2л)4 i J > + «2 dip>
С+
____________|	га	егрх

Л~	= (2Л)4 i	J	p2_|_m2	d*P,

С-

I	га	егрх

AoW= (2л)4	р2_|_т2 <РР->

Со

Ai(*) = 7o4n ъ&Р,	(6.5.1)

14 ’ (2л)41 е) p2 + m2	v 7

Ci

| га gipx
= J p2_pm2 ^P’
C

| ra gipX

Ar (%) = (2n)4 J p2+m2 dip’
CR
1 ra eipx

Aa (X) = (2ji)4	p2 + m2

Ca

где вместо k используется обозначение p и интегрирование по р совершаете®
вдоль одного из контуров, изображенных на рис. 6.3 (следует лишь заме-
нить k0 на р0 и ® на в — К|р|2 + т2).

Применяя к выражениям (6.5.1) оператор □ —т2 и совмещая затем
контуры с вещественной осью р0, получим уравнения, которым удовлетво-
ряют функции А (х):

(□ — т2) Ао (х) = 0,
(□ —m2) Ai (х) = 0,
(□- т2) А+(х) = 0,	(6.5.2}

(□ — т2) А- (х) = 0,
(□ — т2) Ас (х) = /6 (х),
(□—т2)Ал(х)= — 6(х),
(□ —т2) Аа(х)= — 6(х).

Легко видеть, что

А1(х) = А+(х)4-А_(х),

Ao (х) = i (А+(х) — А_(х)).	( • • л

Эти соотношения аналогичны соотношениям (6.1.6) и (6.1.8).

Так же как и функции О+(х) и Z)_(x), функции А+(х) и А_(х)
комплексно сопряжены:

AJ(x) = A_(x).	(6.5.4)

Выполнив в (6.5.1) интегрирование по р0 с помощью теоремы о выче-
тах, найдем представления функций А (х) в виде трехкратных интегралов.
Фурье	м*>=	J	Т' d'f’  а / \	е	cos 8/ .о  Ai W = /о \ е р 	dsp,  1 Р	Я3п	(6-5-5>  М*) = 07^-43 \ е1 (1>Г-8 Ш) — > с 4 7	2 (2я)3 j	е ’  А (х\ 		!	 ? е± грх^Р  2(2л)3 J е	8 ’

где 8 = рг|р2|4-т2. Эти формулы отличаются от соответствующих фор-
мул для функций D(x) заменой со на 8.

Сравнивая разложения (6.5.5) для Дс(х) и Д±(г), мы видим, что
Дс(х) — 0 (х) Д+ (я)4-0 (— х) Д_ (х).	(6.5.6)

Это соотношение аналогично соотношению (6.4.9).

Справедливы также следующие соотношения:

	л , .	( До(х), Z>0,  A”w = |	0,	/<0,

А / X f °’	Z>0’

Д4(х) = <

к 7 I — До(%), /<0,
аналогичные соотношениям (6.4.7), (6.4.8).

Формулы (6.5.1) для Д0(х) и Д1(х) могут быть переписаны в виде

До м=$ егрх sgn р°8 (р2+m2)dip'

Д1 “(ijs' § егрх8 (pZ + dlp

(здесь pQ принимает только вещественные значения). Отсюда следует, что
компоненты Фурье функций До (х) и At (х) равны

До (р) = 2шд (р2+m2) sgn Ро,

Д1(р) = 2лб(р2 + т2).	(0.5.7}

Компонента Фурье функции Дс (х) может быть получена так же,
как и компонента Фурье функции £>с(х), если сместить полюс s
в комплексной плоскости pQ в нижнюю, а полюс — 8 —в верхнюю полу-
плоскость р0 и после этого интегрировать в выражении (6.5.1) для Дс (х)
вдоль вещественной оси pQ. Такое смещение эквивалентно, очевидног
замене р2 на р2 —rq, q —>4-0. Поэтому компонента Фурье функции
Дс(х) равна

ДС (р) = /	1 2--nV •	(6.5.8)

z(p2 + m2 —zO)	v '

Это выражение можно переписать также в виде

Дс (р) = л6+ (— р2 — т2).

Все функции Д (х), так же как и функции D (х), инвариантны, оче-
видно, относительно преобразований Лоренца Поэтому они могут зави-
сеть только от интервала —х2 и знака времени.

Д(х)-Д(-х2, С),	(6.5.9)
где £ = sgn t. Для пространственноподобных интервалов, когда знак вре-
мени может меняться при преобразованиях Лоренца, зависимость А (х)
и D (х) от £ должна исчезать, т. е.

А( —х2, £) = А( —х2, — £), х2>0.

Согласно (6.5.5) функция Ао (х) (так же как и Do (х)) обращается в нуль
при t = 0; поэтому она равна нулю всюду вне светового конуса, когда
х2 = r2 _ t2 > 0.

Покажем теперь, что все функции А (х) можно выразить через единую
аналитическую функцию от переменной z ~ — х2.

Так как все функции А (х) выражаются через функции А+ (х) и А_(х),
то достаточно убедиться в справедливости этого утверждения для функ-
ций А+ (х) и А_ (х).

В случае времениподобного интервала (— х2 > 0) функции А+ (х)
и Д_ (х) можно, согласно (6.5.1) и (6.5.4), представить в виде

А+ (х) = А+ (-х2, £) = 7^-V. \ 2J 2 d4p,
v 7 v	(2л)41	p2-|-m2	7

с+

_1 <6'5J0)

А_(х)_ А_( х2, £) (2n)«A p2+m2 diP-

С-

Введем функцию

I р piPo V~z

\ -^2. 2 dip-	(6.5.11)

х 7	(2л)41 е)	7	v	7

С+

Легко видеть, что входящий сюда интеграл сходится во всей плоскости
комплексного переменного z с разрезом вдоль положительной веществен-
ной оси. Действительно, выполнив интегрирование по р0 с помощью теоре-
мы о вычетах, мы получим экспоненциально убывающий с ростом | р |
множитель где е =	|2 + т2 и ImKz>0, который обеспечит

сходимость интеграла по | р |. Поэтому выражение (6.5.11) определяет
функцию F (г), аналитическую в плоскости комплексного переменного z
с разрезом вдоль положительной вещественной оси. Значения этой функции
на двух берегах разреза, очевидно, комплексно сопряжены:

F ( —х2 —ZO) = F* ( —х2 + Ю),

где 0 обозначает бесконечно малую положительную величину.

Сравнение выражений (6.5.10) для А± (х) с выражением (6.5.11)
для F (г) показывает, что при — х20

А+(-Л y = F(-x2-iOg),

A_(-x2,£) = f( —х2 + г0£), С = sgnt.	( • • )

Легко видеть, что эти соотношения, доказанные при — х2 > 0, спра-
ведливы также и при—х2 < 0. Это вытекает из того, что две аналитические
функции (в данном случае F (z) и любая из функций А± (—х2, £)), совпа-
дающие на каком-либо луче, совпадают во всей комплексной плоскости.

Выразим теперь остальные функции А (х) через функцию F (z).

Воспользовавшись соотношениями (6.5.3), имеем

Ао(х)= —2ImA+(x) = 2£ImF( —x2 + i0),

Ai(x) = 2ReF( —х2).	(b.b.13)
Используя далее (6.5.6), получим

Ас (х) =

Р(-х^

F( — x2 — tO),

-х2<0,

— х2>0.

(6.5.14)

Таким образом, Ас (х) представляет собой предельное значение аналити-
ческой функции F (z) при z — х2 — Ю.

Получим в заключение этого раздела явное выражение для функции
F (z) Рассмотрим с этой целью выражение (6 5 5) для Ас (х) Считая сперва,
что — х2 < О, можно положить в (6 5 5) t = 0. Выполнив интегрирование
по углу между р и г и полагая затем | р | = т sh и, е = т ch и, пред-
ставим Ас в виде

Ас (х)

ОО

= ^~ etmrshush«du.
8л2/г j

•»оо

Используя далее интегральное представление функции Ганкеля Н™ (х),

и соотношение

получим

±Н?(х)=-Н™(х),

= гт2 Z/^)( —mV —х2)
8л — mV — у2

-х2<0,

где V — х2 следует понимать как г|х2|1/2. Сравнение этой формулы, опре-
деляющей Ас(х) при — х2<0, с (6.5.14), показывает, что аналитическая
функция F (z) имеет вид

F(2)

_ im2 //J2) (—mV2)
8л	—mV2

(6.5.15)

Взяв предельное значение этой функции при z—х2 —Ю, найдем
цию Дс(х) при —х2>0:

функ-



т2 #12>(т| —х2|1/2И

2	т|—х2|1/2	/

6 А И Ахиезер, В Б. Берестецкий
Глава II
релятивистская квантовая МЕХАНИКА ЭЛЕКТРОНА

§ 7.	Уравнение Дирака

7.1.	Спиноры. В . нерелятивистской квантовой механике состояние
электрона описывается двухкомпонентной волновой функцией — спино-
ром ср,

/фА

Ф = 1 I.

\ф2 /

Это является следствием того основного физического факта, что спин элек-
трона равен 1/2.

При повороте координатной системы на бесконечно малый угол 60
волновая функция частицы в данной точке пространства испытывает бес-
конечно малое преобразование

ф —> ф' = ф бф, 6ф = — /в60ф,	(7.1.1)

где s — оператор спина, компоненты которого удовлетворяют перестано-
вочным соотношениям момента

S1S2—S2S1 — *s3,	S2S3 S3S2 — S3S1 — S1S3 — JS2« (7*1.2)

Закон преобразования (7.1.1) является, по существу, определением поня-
тия спинора в квантовой механике.

В случае спина 1/2 операторы si, S2> S3 должны иметь два собственных
значения: ±1/2. Поэтому они могут быть выражены через двухрядные
матрицы Паули о

s = y<J,	(7.1.3)

/О 1\	/О -А	/1	0\

а*=± о)’	а*=(о- 1Г (7Л-4)

Элемент матрицы о>г (i = 1, 2, 3) мы будем обозначать через (ог)аВ, где а —
номер строки, р — номер столбца (а, р = 1,2). Под произведением матри-
цы о и спинора ф понимается спинор (огф)а = (сгЭавФз-

Помимо перестановочных соотношений, следующих из (7.1 2), матрицы
Паули удовлетворяют также соотношениям

O’zO'j + orjO'z = 26ZJ,
$ . .	(7.1.5)

O’zO'j — oZJ

где — единичный антисимметричный тензор третьего ранга. Вместе
с единичной матрицей матрицы Паули образуют полный набор линейно
независимых матриц, по которым может быть разложена любая квадрат-
ная двухрядная матрица.

Из (7.1.1) можно получить закон преобразования спинора при пово-
роте координатной системы на конечный угол 0, вокруг оси, направление
которой определяется единичным вектором п\

л

<р' = е 12иаф.	(7.1.6)

Так как

(w)2fe = 1,	(яа)2,г+1 = по

(k — целое число), то (7.1.6) можно переписать также в виде

(0	0 \

cos—ша siny 1 ф.	(7.1.7)

Из этой формулы следует, что, если 0 —2л, то

Ф'= -ф.

Но поворот на угол 2л физически эквивалентен тождественному преобра-
зованию. Мы видим, таким образом, что определение спинора содержит
неоднозначность: знак его неопределен. Поэтому физические величины
не могут содержать спиноры линейно.

Спиноры (как векторы и тензоры) могут различаться по характеру
преобразования при пространственном отражении. Собственные значения
оператора отражения Р определяются обычно, исходя из того, что двойное
отражение представляет собой тождественное преобразование, т. е. Р2 = 1.
Но для спинора двойное отражение можно рассматривать также и как пово-
рот на угол 2л, при котором спинор меняет знак. Поэтому возможны два
альтернативных определения оператора отражения, для которых

Р2 = 1 или Р2 = — 1.

При этом собственные значения т]р оператора отражения

Рф = Лрф	(7.1.8)

принимают альтернативно значения

т]р = ±1 или =	(7.1.9)

7.2.	Уравнение Дирака для свободного электрона. Релятивистски инва-
риантные уравнения для электрона были найдены Дираком [1]. Ниже,
в § 8, мы получим их, исходя из общего вариационного принципа. Но сна-
чала мы изучим их свойства.

Уравнения Дирака представляют собой систему однородных дифферен-
циальных уравнений первого порядка для двух спинорных функций ф и %:

• ду

 ъ ,	р-2-1)

—mZ + ”P<P.

где р= — rV — оператор импульса, т — масса электрона.

Совокупность двух спиноров ф и % можно представить как единую четы-
рехкомпонентную величину ф, называемую биспинором'.

(7.2.2)
Для того чтобы записать уравнения (7.2.1) в виде уравнения для
биспинорной волновой функции ф, введем четырехрядные матрицы Дирака

Чо)'	(7'2'3)

Здесь каждый элемент этих матриц означает соответствующую двухрядную
матрицу. Элементы матриц a, (t = 1,2,3), Р мы будем обозначать через
ЧЧр-, Рм> где % —номер строки и р —номер столбца (%, р = 1, 2, 3, 4).
Понимая под произведениями аг1|) и биспиноры (а^л. = («г)лц'Фм-
и (Р^)х = РхЛ, можно переписать уравнения (7.2.1) в виде единого урав-
нения

Z4F = (ap + Pm)1*’’	(7.2.4)

которое называется уравнением Дирака.

Из определения матриц а и [3 (7.2.3) следует, что они удовлетворяют
следующим перестановочным соотношениям:

ага, + ajUi = Д,

+	= f, /=1, 2, 3,	(7.2.5)

Р2 = Z

(/ — единичная четырехрядная матрица).

Из уравнения Дирака (7.2.4) следует, что волновая функция ф, т. е.
каждая ее компонента, удовлетворяет уравнению второго порядка

(-^ + Д-тг)гр = 0.	(7.2.6)

В этом легко убедиться, если продифференцировать (7.2.3) по времени,
заменить в правой части уравнения на ap + Pm и использовать при
вычислении (ap + Pm)2 соотношения (7.2.5).

Уравнение (7.2.6) применяется для описания частиц со спином 0 [2, 3]
(при этомф — скалярная функция). Очевидно, что этому уравнению должна
удовлетворять волновая функция любой свободной частицы. Действительно,
его решениями являются плоские волны

у = ие1&г~Е%	(7.2.7)

для которых

Е2—р2 = т2.

Таким образом, уравнение (7.2.6) является лишь квантовомеханическим
выражением общего релятивистского соотношения между энергией и импуль-
сом частицы. Уравнение же Дирака фиксирует, кроме того, спин частицы.

Полезно иметь в виду два аспекта уравнения Дирака. Во-первых,
уравнение (7.2.4) можно записать в форме уравнения Шредингера

^ = Нг|),	(7.2.8)

в котором оператор Гамильтона имеет вид

H = ap+|3m.	(7.2.9)

Это «корпускулярный» аспект. Второй, «полевой», состоит в том, что урав-
нения (7.2.1) для спиноров «дираковского поля» ф, % аналогичны уравне-
ниям Максвелла для векторов электромагнитного поля Е, Н. Действитель-
но, уравнения Максвелла имеют форму уравнений (7.1.1), в которых про-
изведена замена

ср—of—>s,	m—>0,

где s —оператор спина фотона (3.2.1).

7.3.	Симметричная форма уравнения Дирака. Уравнению Дирака
можно придать более симметричный вид. Умножив (7.2.4) слева на ф
и вводя обозначения

/7	0\

Т4 = Р = (0 __/)

(7.3.1)

получим

(г’ТиРи + "г)'Ф = 0-	(7.3.2)

где рц = — i (х4 = it) и по ц производится суммирование (р = 1, 2, 3, 4),
или

/ д .	\ । Л

-д^ + т) ^ = 0-

Мы будем пользоваться также обозначением

р = ?иРи	(7.3.3)

и записывать (7.3.2) в виде

(ip + /n)i|) = 0.	(7.3.4)

Матрицы уи удовлетворяют соотношениям

Tub + YvYh = 26|xV7

(7.3.5)

(р,, v= 1, 2, 3, 4). Как и матрицы а, |3, они являются эрмитовыми

= ь	(7.3.6)

(напомним, что (уц),ь = (?£)*& = (уц)1г; индекс Т служит для обозначения
транспонированной матрицы).

Получим уравнение для комплексно-сопряженной волновой функции.
Комплексно-сопряженный биспинор ф* мы будем также обозначать через ф+,
т. е. представлять его в виде строки

в отличие от биспинора — столбца (7.2.2). Введем, кроме того, линейную
комбинацию компонент ф+:

ф = фф,	(7.3.7)

т. е.

Переходя в уравнении (7.3.2) к комплексно-сопряженным величинам
и учитывая эрмитовость матриц получим

— ф|йЙ’и + т'Ф = 0»	(7.3.8)

где

(-фУц)а = -фв (Тц)ва-
Уравнение (7.3.8), очевидно, можно записать в виде
или

ф(— zp-J-m) = 0	(7.3.9)

(в последнем выражении подразумевается, что дифференциальные опера-
торы рц действуют на находящуюся слева от них функцию ф).

Уравнение (7.3.8) можно записать также в виде

где матрица, транспонированная по отношению к уц, а компоненты ф
подразумеваются расположенными в виде столбца.

7.4.	Уравнение Дирака для электрона во внешнем электромагнитном
поле. Уравнения движения электрона в заданном внешнем электромагнит-
ном поле могут быть получены из уравнений для свободного электрона
путем замены

Рм~>Ри~ еЛц(х),	(7.4.1)

т. е.

-----> -----(еАц(х),
дхц дху,----/’

где е — заряд электрона и Лц(х) — 4-вектор потенциала внешнего поля.
Делая такую замену в (7.3.4), получим

[i (р — еА)	т] ф == О,

(7.4.2)

где Л = уиЛ1Х(х) и р = —
очевидно, имеет вид

Комплексно-сопряженное

уравнение,

ф[г (р + еЛ)—т] — О

(7.4.3)

(оператор действует на функцию ф, находящуюся слева от него).

Уравнению Дирака (7.4.2) можно придать вид

1-Н*

где гамильтониан Н определяется формулой

Н = а(р —еЛ) + Рт + еф,	<р = Л0.

(7.4.4)

От уравнений Дирака, как системы дифференциальных уравнений
первого порядка для четырехкомпонентной волновой функции, можно
перейти к уравнениям второго порядка для двухкомпонентной волновой
функции.

Для этого прежде всего представим биспинор ф в виде (7.2.2)

после чего, очевидно, уравнение (7.4.2) примет вид системы уравнений
(7.2.1), в которых произведена замена (7.4.1). Вводя далее линейные комби-
нации спиноров ф и %,

В = -^(ф + %),	т1 = '^у (Ч’-Х).	(7.4.5)
получим

[t-^__e(p_a(p-e4)]g = mn,	(7.4.6)

р	— е<р + о (р — еД)] г) = т%.

Исключая из этих уравнений найдем

— ^ф)2 — (₽ — еА)2 + ев (И + iE)} т] = т2т],	(7.4.7)

где Е и И—электрическое и магнитное поля.

Зная т), как решение уравнения (7.4.7), легко найти выражение для
4-компонентной волновой функции ф

ip = -T[ —i(p —еД) + т] Ф,	(7.4.8)

где

Ф=( П Y	(7.4.9)

\ —П/

Ниже (см. § 8) мы покажем, что уравнение (7.4.7) инвариантно отно-
сительно преобразований собственной группы Лоренца. Однако оно неин-
вариантно относительно инверсии.

7.5.	Уравнение непрерывности. Из уравнения (7.4.2) вытекает важное
соотношение — уравнение непрерывности. Чтобы получить его, умножим
уравнение (7.4.2) слева на ф, а уравнение (7.4.3) справа на ф и сложим.
В результате получим

“ФТи (РиЯ’) + (Ри'Ф) ТиФ = °,
или

где введено обозначение

«1*=1'ФТцф.	(7.5.2)

В трехмерной форме уравнение (7.5.1) имеет вид

-g5- + divs = O,	(7.5.3)

где	_

-	(/.0.4)

S = Гфуф = ф+(Хф

(у обозначает совокупность матриц у2, Уз)- Как будет показано далее
(§ 8.8), величины образуют четырехмерный вектор. Этот вектор мы можем
интерпретировать как четырехмерный вектор плотности тока, а (7.5.1) —
как уравнение непрерывности. Величина s0 представляет собой плотность
вероятности локализации электрона в данной точке пространства, as —
плотность тока вероятности. Однако, как мы увидим в дальнейшем, такая
интерпретация имеет более ограниченную область применимости, чем
в нерелятивистской квантовой механике.

Уравнение непрерывности позволяет ввести нормировку волновой
функции ф согласно условию

? ф+ф (Рх = 1.	(7.5.5)

Заметим, что, поскольку является 4-вектором, то входящий сюда
интеграл представляет собой релятивистский инвариант.
§ 8.	Свойства инвариантности уравнения Дирака

8.1.	Различные представления уравнения Дирака. Если подвеогнуть
волновую функцию ф линейному преобразованию

ф —> ф' = t/ф,	(8.1.1)

одновременно подвергнув матрицы преобразованию подобия

y^y^Uy^1.	(8.1.2)

где U — произвольная четырехрядная (квадратная, неособенная) матрица,
то при этом уравнение Дирака не изменит своего вида. В этом легко убе-
диться непосредственно, подставив (8.1.1), (8.1.2) в (7.3.2):

+ Ф' = 0-

Легко видеть также, что подстановка (8.1.2) не меняет соотношений (7.3.5)
YuYv + YvYji — 2Sgv/.

Если выбрать матрицу U унитарной
ии+=ц

то матрицы уц будут, как и матрицы эрмитовыми,

Тц = Тц-

Приведем примеры унитарных преобразований уравнения Дирака.

Выберем U в виде действительной матрицы

1 (I 1\

(/ = -М, I, из=-1	(8.1.3)

1/2 V —I/	4	’

(каждый элемент означает двухрядную матрицу). Подставив (7.3.1) в (8.1.2),
получим

Yh= — k= 1, 2, 3,

. /О 7\	(8.1.4)

74 V о)’

Если записать преобразованную волновую функцию в виде (7.2.2)
/п

Ф'= I»	(8.1.5)

то величины £ и t] будут связаны с величинами <р и % соотношениями

ё = ^-(ф + х)> T, = V§(<₽-x)’	(8.1.6)

и система уравнений, которымрудовлетворяют эти двухкомпонентные вели-
чины, будет иметь вид

.dg * .

z^^opg + тт],

Эл	<8-к7>

Ниже (§ 8.6) мы покажем, что g и л, в отличие от ф и %, обладают следую-
щим замечательным свойством: они преобразуются независимо при преоб-
разованиях собственной группы Лоренца. Поэтому мы будем их называть
4-спинорами (по аналогии с 4-векторами или 4-тензорами).
§ 8]

Заметим, что при т = 0 уравнения (8.1.7) распадаются на два неза-
висимых уравнения (уравнения Вейля) [4]:

=	(8.1.8)

Таким образом, при нулевой массе частица со спином V2 может описы-
ваться одним 4-спинором, удовлетворяющим уравнению Вейля. Каждое
из двух уравнений (8.1.8) в отдельности инвариантно относительно преоб-
разований собственной группы Лоренца, но неинвариантно относительно
инверсии (см. § 8.6). Такие уравнения описывают нейтрино.

В качестве второго примера выберем U в виде

1	1	/ I — i(5*y\

[/ = -J-(P + a2)r I.

1/2	27	1/2 \ш2	— I )

При этом

а' = — аь а' = 0, а' = — а3, р' = а2

и уравнение Дирака для преобразованной функции ф' = £7ф имеет вид

(4-aii+^-a3i+Za2zn)ii?,=x0-	<8Л-9>

Это уравнение, как легко видеть, содержит только вещественные коэффи-
циенты. Оно называется уравнением Дирака в представлении Майорана [5]

8.2. Алгебра матриц Дирака. Мы видим, таким образом, что уравнение
Дирака определяется не столько явным видом матриц ун, сколько их алге-
браическими свойствами, заключенными в соотношениях (7.3.5). Отданной
совокупности матриц уи можно перейти к другой у^ при помощи преобра-
зования подобия (8.1.2). Справедливо и обратное утверждение [6] (основ-
ная теорема о матрицах уи): если две совокупности матриц уи и у^, удо-
влетворяют соотношениям (7.3.5), то существует матрица U, связывающая
их посредством преобразования (8.1.2). Поэтому полезно изучить более
детально алгебру матриц Дирака.

Рассмотрим совокупность всех различных произведений матриц уи.
Мы получим следующие 16 матриц:

/,

Уь У2> Уз, У4’

*У1У2, адз, *УзУ1, *У1У4,	*У2У4, *УзУ4,

*У1У2Уз, *У2УзУ4, *УзУ1У4, *У1У2У4,

У1У2УЗУ4-

Мы будем обозначать их через Г7 (/ = 1, 2, . . ., 16). Коэффициенты в опре-
делении Г7 выбраны так, чтобы выполнялось условие

Г, = 1.	(8.2.1)

Кроме того, Г; — эрмитовы матрицы, если матрицы уи эрмитовы. Матри-
цы Г7 можно записать также в виде

Г, = /, Уил сГрл» *УбУц, Уб,’ и, V= 1, 2, 3, 4,	(8.2.2)

где

1	/	ч

"2Г\7^7^“У^Уц),	$ 2 ~

Уб = У1У2УЗУ4-
(8.2.6)

Легко видеть, что произведение более чем четырех матриц 7И сводится
в силу (7.3.5) к одной из матриц (8.2.2). Поэтому матрицы Гу образуют
систему гиперкомплексных чисел. Это означает существование операции
умножения, т. е. соотношения

=	(8.2.4)

k

(&^—некоторые комплексные числа), причем при в правую часть
(8.2.4) не входит единичная матрица.

Отметим два важных свойства матриц Г;, которые легко проверить,
используя их определение и соотношение (7.3.5). Во-первых, только еди-
ничная матрица / коммутирует со всеми матрицами Гу. Во-вторых, для
каждой матрицы Гу (кроме /) можно указать другую матрицу Гу,, которая
антикоммутирует с Г;,

ГуГ;< + Г;Ту = 0.	(8.2.5)

Приведем матрицы Г/, отвечающие данным Гу,

Гу = 7и, cr^v, /757^, у5,

1> = ?5. ь, Тб, Ти-

Отсюда следует важное свойство всех матриц Гу (кроме /); их следы равны
нулю. Действительно, используя (8.2.5), имеем

Sp Г*у~ ЗрГу'ГуГу',

и так как матрицы под знаком Sp можно циклически переставлять, то,
учитывая (8.2.1), получим

SpTy= — 5рГуГ/= — БрГу,
т. е.

8рГу = 0,	Гу ^1.	(8.2.7)

В частности,

Spy^O,	Spy5 = 0.	(8.2.8)

Используя (8.2.4), (8.2.7) и (8.2.1), легко заключить, что

lsprtr; = 6v (Л /=1, 2,	16).	(8.2.9)

Из (8.2.9) непосредственно следует линейная независимость матриц Гу.
Действительно, пусть имеет место равенство

16

2	лЛ = 0.

fe=l

Умножая это равенство на Гу и беря след, получим

Яу = 0.

Подчеркнем, что доказательство линейной независимости Гу базируется
только на соотношениях коммутации для матриц 7И. Мы не пользовались
тем, что это четырехрядные матрицы. Наоборот, из существования 16 линей-
но независимых матриц Гу следует, что они (т. е. и матрицы уД не могут
быть реализованы с числом строк и столбцов, меньшим четырех. Представ-
ления 7ц в виде матриц большей размерности возможны, но такие пред-
ставления приводимы, т.е. могут быть путем преобразования подобия
приведены к виду

Ти 0	0	...

О у,* 0 ...

О 0 Тц ...

где — 4-рядные матрицы. Мы не будем приводить доказательства этой
теоремы.

8.3. Вычисление следов матриц. Поскольку уравнение Дирака опре-
делено с точностью до преобразования подобия (8.1.1), (8.1.2), то физи-
ческие результаты, получаемые на основе этого уравнения, должны выра-
жаться через величины, инвариантные относительно таких преобразова-
ний. Таким практически очень важным инвариантом является след произве-
дения определенного числа матриц Здесь мы получим формулы для
нахождения этих следов.

Прежде всего легко видеть, что след произведения нечетного числа
матриц уу, равен нулю

Sp ТшТц2 • • • ТЦ2П+1 = 0.	(8.3.1 )

Действительно, так как р7 может принимать только четыре различных
значения, то при п > 1 среди значений р7 есть пары одинаковых. Исполь-
зуя перестановочные соотношения (7.3.5), можно свести матрицу	.

• • • Тц2п+1 К виду Уц или (р ф V 2v), Т. е. к одной из матриц Г;,
след которых равен нулю согласно (8.2.7).

Определим теперь следы произведений четного числа матриц Если
число их равно двум, то мы имеем частный случай формулы (8.2.9)

=	/, /=1, 2, 3, 4.	(8.3.2)

Определим далее 5ру/^уьу7г. Замечая, что

ЪУ1УкУп = 28jiykyn — у;?;

УгУзУкУп = 26j kyi yn — УгУкУзУп,

УгУъУзУп =	— УгУкУпУ j,

откуда

УзУ^кУп = 28jiykyn — 28jkyiyn + 28jnyiyk — yiykynyj

и, учитывая, что

Sp yjyiykyn = Sp yiykynyj,

найдем, используя (8.3.2),

4 SP	= bji?>kn — 8jk8in + 8jn8ik-	(8.3.3)

Аналогичным образом легко показать, что

-j- Sp ytykyiymyrys== 8tk8im8rs 4~ 8is$ki8mr -j- 8ik8is8mr + 8im8ki$rs 4“

4“ $is$kr8im 4“ $il$kr$ms 4“ 8tm8ks8ir 4“ ^ir^km^is	8is8]lTn8ir’~-~

— 8ik$lr$ms — 8ii8km^Ts — ^il^ks^mr ^ir^kl^ms	(8.3.4)

В общем случае

^Р (?г1Уг2 • • • Угъп) ~ 2 (	) ^ik^lm • • •,	(8.3.5)
где /, k, /, m, ... — некоторая комбинация индексов iif i2, . . f2n и сум-
ма берется по'всем возможным комбинациям пар чисел i, k, /, т, . . .;
N — число парных перестановок, переводящих последовательность ii9
i2, • • i2n в i, k, . . ., причем порядок следования индексов внутри каж-
дой пары отвечает их порядку в последовательности ii9 i2, . . ., i2n. Число
слагаемых в сумме равно, очевидно, 1-3-5 ... (п — 1).

Знаки отдельных слагаемых в (8.3.5) удобно находить следующим
образом [7]. Сопоставим каждой матрице уг точку на окружности и распо-
ложим их в таком же порядке, в каком они расположены в левой части
равенства. Соединим далее эти точки попарно прямыми линиями. Тогда
каждой прямой, соединяющей точки i и k9 соответствует множитель 6lfe,
а каждому способу соединения точек — слагаемое (—1)N 6^6/m..., где N —
число точек пересечения прямых.

Из (8.3.2) и (8.3.3) следуют формулы

5рЛ4Л2 = AtA2,

1 ЗрЛДЛЛ = (А,А2) (Л3Л4) + VW VW - (ЛИз) (Л2Л4), (8.3.6)

-j- Sp (Л4 + а4) (Л2 + а2) (Л3 + а3) (Л4 + а4) =

= (А]А2 + ai&2) (Л3Л4 4- я3а4) + (АА + й1а4)5(Л2Л3 + #2^3) —

— (AiA3 — я^з) (Л2Л4 — а2а4),

где Лгпроизвольные 4-векторы,

Л = Лу,уц, АВ = АцВц
и аг — произвольные комплексные числа.

Из (8.3.5) легко заключить, что

4 SP №?№ = ^ikim,	(8.3.7)

где у5 = Y1Y2Y3Y4 = Tjj-	и &мт — единичный антисимметричный

тензор.

Часто приходится встречаться с матрицами вида

4

3ft= 2 TiQvi,

г=1

где Q —произведение некоторого числа матриц или линейная комби-
нация таких произведений. Используя (7.3.5), нетрудно преобразовать
такие суммы к виду

4

3ft = 2 wQ' = 4Q',
г=1

где Q' — некоторая матрица.

Например,

YiYfeYi = — 2yk,	угЛуг = — 2Л,

ТгТйТгТг = 46fez7, ylAByl = 4AB,	(8.3.8)

ЪУкЪУтЪ = — 2ymytyh, угАВСуг = — 2СВА,
где А, В, С — произвольные 4-векторы (подразумевается суммирование
по i от 1 до 4).
§ 8]

Если

Q = TiiVh--.Ti2n+1>

то [8]

УгО.У1= ^Qr>

(8.3.9)
Ч&ЧкЪ = 2 (yhQ + QnYfe),

где Qr = Yi2n+1Yi2n • • • Уч- Эти формулы справедливы также и в том слу-
чае, когда Q, кроме нечетного числа матриц ур (ц= 1, 2, 3, 4), содержит
в виде множителей произвольное число матриц у5 (при этом у^п^уь)-

8.4.	Прямые произведения матриц Tj. В приложениях встречается
задача о выражении величины (^ГгфгХ’фзГь'фД где Г;,	(i, k = l, 2, ...

..., 16) — матрицы (8.2.2) и i|>lt ф2, ф3> ф4 — некоторые биспиноры, через
величины (ф1Ггф4) (ф3Гтф2),
_ _ 16 _ _
(Ф1Ггф2) (ФзГаФ4) = 2 СМт (ф!Ггф4) (фзГтф2).

Z, т=1

Входящие сюда коэффициенты Cikim представляют собой, очевидно, коэф-
фициенты разложения прямого произведения матриц х по прямым
произведениям матриц этого же типа, только с переставленными индек-
сами:

16
(Гг)а(3 (1\)ра= 2 Cikim (П)аа (Г7п)рВ*	(8.4.1)

Z, т=1

Коэффициенты Cikim могут быть найдены из условия полноты системы
матриц ГУ

-4 2 (Гг)аа (Гг)р$ = ба|з6ра.	(8.4.2)

i

Для доказательства (8.4.2) рассмотрим разложение произвольной
(4 X 4) матрицы Q по матрицам 1\:

16
Q= 2сЛ.
fe=l

Умножая это уравнение на Г| и используя (8.2.8), получим

Сг = 18р(рГ0 = 2ррг(гг)хР,
т. е.

Qaa = 2 QpX 2 (г0хр(Г1)о(Т.	(8.4.3)

г

Если эту формулу применить к матрице Q, у которой отличен от нуля
только один элемент при а=-|3, о = р, т. е. Qa(7~Sas6pa, то мы придем
к (8.4.2).

Чтобы получить коэффициенты Cikim, достаточно представить левую
часть (8.4.1) в виде

(Гг)аЗ (I\)pa = (Г$)аа'6а'р6рр' (1\)р'О

и использовать (8.4.2), что даст

(Гг)ав (Гй)Ра = 12 (Г/Г/Гь)о0 (Гг)рВ.	(8.4.4)
Разложив матрицу rzrzI\ по матрицам Гт, получим

Cikim — “j-g- Sp Г\Г^1\Г7П.	(8.4.5)

Приведем некоторые соотношения, вытекающие из (8.4.1) и (8.4.5) [9]:

I Х7 = у	Тц + yOnv X c^v — ТзТн X TsTh + YsX т5) -

УцХуц=7 X/ — у у^Х Тр,— у УзУцХ УйУц — Уз X у5,

Пцу X <T[iv = 37 X 7 g- x <7|rv Ч~ Зуд x уз>	(8.4.6)

УзУцХУйУ1Л = —7 X 7—yy^x Уц —уу5уц.ХуйУр, + Уй Xy5,

УзХу5 = у {/Х7 —уцХуц + уСГ^Ха^ + УйУнХуйУц + уйХуй} •
Здесь в левой части равенств множитель перед знаком прямого произве-
дения х подразумевается с индексами ар, а второй множитель —с индек-
сами per, а в правой части первый множитель имеет индексы ао, второй —
рР; по ц, v подразумевается суммирование от 1 до 4;

— 24 (Vm-Yv YvTp.)-

Приведем некоторые комбинации прямых произведений, обладающих
свойством

тт(Ю ___ тт(Ю

J-Aappo— -L-^acjpp-

п(1) =Уц X Уи + Уй х Уй — / X 7,

П(2) = Уи X Уц + УйУн X УйУн»

(8.4.7)
п<3> =УйУн X Ун + Ун х УйУн,

п<4> = (7 ± Уй) Ун X (7 ± Уй) Ун-

Имеют место также следующие соотношения:

у{?цХун— УйУи X УйУн) = / X 7 — УйХУй,

(8.4.8)
у (7 ± Уа) Ун X (7 + у5) уи = (7 ± у5) (7 Т у5)-

8.5.	Преобразования Лоренца для биспинора. Докажем теперь реля-
тивистскую инвариантность уравнения Дирака, т. е. инвариантность
по отношению к преобразованиям собственной группы Лоренца, инверсии
и ’обращению времени. Начнем с собственных преобразований Лоренца.

' Утверждение об инвариантности уравнений (7.4.2) и (7.4.3)

[уц (^-гМ.(*))+"г]Ш) = 0,
[yj (^ + ^Лц(х)) —

относительно собственных преобразований Лоренца означает, что для каж-
дого собственного преобразования Лоренца
( ар- +	(*')) “ тJ Ф

§ 8]

и соответственно преобразования 4-импульса и 4-потенциала

Рр- Pu = <VvPv,	(8 5 1)

Дц (•£)	(^ ) =	(^)

можно найти такое линейное преобразование волновой функции электрона
ф^х) —> ф'(х') = 5ф(х),	(8.5.2)

где S = S (а) — некоторая четырехрядная неособенная матрица, являющаяся
функцией матрицы а, при котором ф'(х') и ф'(х')=Ф'(x') ?4 будут удов-
летворять уравнениям, имеющим такой же вид, как и исходные уравнения:

[ь (dF-—(*')) +m](х') = 0’

u	(8.5.3)

' (х') = 0.

Г*

Докажем, что такое преобразование существует. Подставим для этого
(8.5.2) в первое из последних уравнений и умножим его слева на S"1.
Учитывая (8.5.1), мы получим

•S-1[— ieAv (х)} + mJ Si|> (х) = 0.

Это уравнение должно совпадать с исходным уравнением Дирака для
ф(х), для чего необходимо выполнение условий

y^SyvS-1,	(8.5.4)

где

Tv —

Чтобы убедиться в существовании матрицы S, удовлетворяющей этим
условиям, достаточно заметить, что матрицы у? удовлетворяют переста-
новочным соотношениям матриц Дирака

ТцТ? +7^ = 26^/.

Отсюда, согласно фундаментальной теореме о матрицах Дирака, следует,
что существует преобразование подобия, связывающее матрицы и уи,
каковым и является соотношение (8.5.4).

Легко видеть, что при преобразовании (8.5.2) биспинор ф (х) преобра-
зуется согласно закону

ф (х) —> ф' (х') = ф (х) S"1.

Действительно, подставляя это выражение во второе уравнение (8.5.3)
и умножая его слева на ST, мы придем к исходному уравнению для
ф(х), если выполняются условия

3ТУц (•$ 1)Г	~ yv ?

которые тождественны условиям (8.5.4).

Учтем теперь, что функции ф' (х') и ф' (х') связаны между собой так же,
как и функции ф(х) и ф(х),

г|/(х') = ф' (х')+у4.
Подставляя сюда (8.5.2) и (8.5.5), получим

ф (х) S"1 = (Si|i (х))+	(х) y;’S+74,

ткуда

S+y4 = y4S“i.	(8.5.6)

Этому условию, помимо соотношений (8.5.4), должна удовлетворять мат-
рица S.

Найдем явный вид матрицы S. Рассмотрим сперва бесконечно малое
собственное преобразование Лоренца

== Sy/V Sjrv» Sjrv	I I 1 •

Ему соответствует преобразование (8.5.4), бесконечно мало отличающееся
от единичного

S = Z+ye|iV/’lv, /^=—(8.5.7)
где — так называемые инфинитезимальные операторы преобразования.
Подставляя (8.5.7) в (8.5.4), получим

— SvuTa..	(8.5.8)

Этим соотношениям можно удовлетворить, положив

^v = 4(Wv — Ь?ц) =yffgv.	(8.5.9)

При этом будет удовлетворено также условие (8.5.6).

Зная инфинитезимальные операторы Z^v, легко найти вид матрицы S,
соответствующей произвольному конечному преобразованию Лоренца
х' = ах.

Рассмотрим два типа преобразований, входящих в собственную группу
Лоренца: преобразования пространственного поворота и преобразования,
связывающие различные инерциальные системы отсчета.

В случае бесконечно малого пространственного поворота, очевидно,
= — Ejkzdfy, J, k, l=\, 2, 3,
где dd — бесконечно малый угол поворота системы координат, и матрица
S (dO), соответствующая этому повороту, имеет вид

S (d0) = I + 4 zjhIjk = I—L^dQt	(8.5.10)

где

1	/ °j 0 \

=	= J	(8.5.11)

Пусть теперь происходит вращение вокруг заданной оси, направление
которой характеризуется единичным вектором я, на конечный угол 0.
Так как при этом вращения на различные углы независимы, то

S(0 + d9) = S(O)S(dO) = S (0) (Z-yS«d0) ,
откуда
=	(0),

и, следовательно,

S(0) = e 1Sre2=cos-1—ZSzzsin —5- .	(8.5.12)
Эта формула показывает, что матрицу ~ 2 можно интерпретировать
как оператор спина электрона.

Из (8.5.12), (8.5.11) следует, что спиноры <р и %, образующие биспи-
нор ф, преобразуются при вращениях независимо друг от друга по одина-
ковому закону (7.1.6). Это, впрочем, очевидно уже из первоначальной
формулировки уравнения Дирака в виде (7.2.1).

Обратим внимание на то, что в S (0) входит половинный угол враще-
ния. Благодаря этому при вращении на угол 0 = 2л преобразованная
волновая функция отличается знаком от исходной,

5(2л)= — 1.

Это обстоятельство связано со спинорным характером функции ф (х).

Рассмотрим теперь преобразования Лоренца, связывающие различные
инерциальные системы отсчета. Если относительное движение систем про-
исходит вдоль оси хА, то такие преобразования можно рассматривать как
вращения в плоскости (хь х4) с мнимым углом вращения — где th ft = v
и v — относительная скорость систем. При этом у 8^ будут отличны от нуля
только две компоненты, s41 = — s14 = id®, и, следовательно, бесконечно
малое преобразование волновой функции будет иметь вид

S(^) = Z + le,lJ,lv = /-4V1T4^ = /-lai^.

Если движение происходит не вдоль оси хь а вдоль произвольного направ-
ления, характеризуемого единичным вектором п, то это выражение должно
быть заменено на

S(d'&) = /—ъп dft.

Отсюда легко, повторяя рассуждения, приводящие к (8.5.12), получить
формулу для S в случае конечного поворота на угол Ф

S(&) = e

(8.5.13)

где th '& = v.

Так как матрицы в представлении (7.2.3) недиагональны (в смысле
разбиения на двумерные матрицы), то спиноры ср и % в выражении (7.2.2)
для биспинора ф преобразуются при лоренцевых преобразованиях (8.5.13)
не независимо друг от друга; иначе говоря, каждый из этих спиноров
в отдельности не является релятивистски ковариантной величиной.

Если однако выбрать представление матриц Дирака в виде (8.1.4)

/о 0\	/—а 0\

2' = 2 = п , а'= л ,
\0 а/	\ 0 <*/

то спиноры т], образующие преобразованный при унитарном преобра-
зовании (8.1.3) биспинор ф', будут при лоренцевых преобразованиях (8.5.13)
преобразовываться независимо друг от друга. Поэтому их можно назвать
4-спинорами.

Совокупность матриц S, определяющих преобразования волновой
функции ф (х) при собственных лоренцовых преобразованиях, образует
некоторое представление собственной группы Лоренца. Эти матрицы,
как мы видели, определяются их инфинитезимальными операторами
Различным представлениям одной и той же группы (осуществляемым,
например, волновыми функциями различных полей в случае группы Лорен-
ца) соответствуют различные инфинитезимальные операторы. Однако
7 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
оказывается, что коммутационные свойства этих операторов не зависят от
конкретного вида представления группы. Более точно, справедлива тео-
рема, согласно которой коммутатор двух инфинитезимальных операторов
равен сумме инфинитезимальных операторов, умноженных на некоторые
численные коэффициенты, одинаковые для всех представлений группы.

Инфинитезимальные операторы D™, определяемые формулами (8.5.9),.
удовлетворяют, как легко убедиться, соотношениям

[Zpv, Zxp] = 6ftpZXv + Svx/w-WgX-Wvp- (8.5.14>

Сформулированная теорема показывает, что инфинитезимальные опе-
раторы всех представлений непрерывной группы Лоренца удовлетворяют
этим же соотношениям.

8.6. Пространственное отражение, обращение времени и зарядовое
сопряжение. Перейдем к доказательству инвариантности уравнения Дирака
относительно дискретных преобразований полной группы Лоренца — про-
странственного отражения (инверсии) и обращения времени.

Рассмотрим сперва преобразование пространственного отражения

где

х —> х' = арх,

которому соответствует преобразование 4-потенциала электромагнитного
поля

Л (г, t)->A'(-r, t)=—A(r, t).

Л4 (г, t)—>ЛЦ — г, /) = Л4(г, /)•

Инвариантность уравнений Дирака относительно этого преобразования
означает, что существует линейное преобразование биспиноров

ф (г, t) —> ф' (— г, 0 = Рф (г, Z),

Ф(г, /) —>Ф'( —	0 = ф(г О Р"1,

(8.6.1)

где Р — некоторая неособенная 4 X 4-матрица.

Повторяя рассуждения, приводящие к (8.5.4), легко убедиться, что
матрица Р должна удовлетворять условиям

TzP = — Руь i = 1, 2, 3,

?4Р = Р?4

(8.6.2>

и, кроме того, условию (8.5.6)

Р+у4=т4Р"1-

Из этих условий следует

Р = ПрТ4,	(8.6.3}

где т|р—численный множитель, модуль которого равен единице,
I Пр 1 = 1-

Для определения величины т]Р мы можем исходить из того, что двойное
отражение должно быть эквивалентно либо тождественному преобразова-
нию, либо вращению на угол 2л. В первом случае

и, следовательно,

± 1?

а во втором случае, согласно (8.5.12),

__	1

Т]р — — 1,

и, следовательно,

r]p=^±i-

В конце этого раздела мы сформулируем дополнительное требование,
на основании которого должен быть сделан выбор = — 1.

В зависимости от знака следует различать два типа биспиноров ф (х)
Это значит, что в принципе возможно существование двух типов частиц,
подчиняющихся одному и тому же уравнению Дирака, но отличающихся
характером преобразования при пространственном отражении. Об этих
частицах говорят, что они обладают различной внутренней четностью.

Из (8 6 1) и (7 2.3) следует, что двухкомпонентные спиноры <р и % пре-
образуются при пространственном отражении по законам

Рф (Г, 0 = Г)рф (— Г, t), Рх (Г, Г) = — г]рХ (— Г, t),

т. е. независимо друг от друга, причем четности ф и % противоположны.
Этот результат следует непосредственно из уравнений (7 2 1), если учесть,
что оператор спина является аксиально-векторным оператором.

Из (8 6.3) и (8 14) следует, что двухкомпонентные 4-спиноры £ и т)
преобразуются при пространственном отражении по законам

Pg(r, /) = T]pT]( — Г, t), Pn(r, /) = Т]р|( —г, t).

Таким образом, 4-спиноры £ и т], преобразующиеся независимо друг
от друга при преобразованиях собственной группы Лоренца, переходят
друг в друга при преобразовании пространственного отражения. По этой
причине уравнение Вейля (8.1.8), а также уравнение (7.4.7) не обладают

инвариантностью относительно пространственных отражений.

Перейдем к рассмотрению преобразования обращения времени. Здесь
мы сталкиваемся с принципиально новым обстоятельством. Так как 4-векто-
ры и (х), входящие в уравнение Дирака (7.4.2) в виде линейной
комбинации, обладают различной /-четностью (см § 1 5), то никакое линей-
ное преобразование биспинора ф (х) не может вернуть уравнению преж-

нюю форму.

Как известно, в нерелятивистской квантовой механике обращение
времени сопровождается антилинейным преобразованием волновой функции

ф(г, /)—>ф*(г, —/).

Мы покажем теперь, что можно найти такое антилинейное преобразование
биспинора

Ф W -> Ф' (*') = Тф (х),	(8.6.4)

где

(1 0 0 0\

0 10 0 1

0 0 1 0 

000—1/
в результате которого уравнения Дирака в обращенной системе отсчета
имеют ту же форму, что и в исходной.

Предполагая, что ф' (%') удовлетворяет уравнению Дирака

[?н	(*'))+=

и произведя в нем подстановки

^т* —	? Ац (Х ) — (^r)iiv^v (х),

Ц	V

получим

[?V (^+^Л(х))+т]Тф(х) = 0,
где

Tv =
т. е.

=	74= —	(/ = 1, 2, 3).

Это уравнение будет совпадать с уравнением для ф(х)

(Д;+ieA* W) ~т] =°’

если матрица Т удовлетворяет условиям

T-^T=-VJ,	(8.6.5)

т. е.

-тЛ = ТуГ, 7=1, 2,3,
v4T=Tvr

Легко видеть, что матрицы а также матрицы yj, удовлетворяют
перестановочным соотношениям (7.3.5). Поэтому, в силу фундаменталь-
ной теоремы § 8.2 о матрицах Дирака, матрица Т, удовлетворяющая
условиям (8.6.5), существует. Прежде чем найти ее явный вид, заметим,
что, как легко убедиться, преобразованию (8.6.4) для биспинора ф(х)
соответствует преобразование

ф(х) —>ф' (х') = ф(х) Т-1	(8.6.6)

для биспинора ф (х). С другой стороны, функции ф' (х') и ф' (х^) должны
быть связаны между собой так же, как и функции ф (х) и ф (х), т. е.

ф' (х') = ф' (х')+Т4-

Подставляя сюда (8.6.4) и (8.6.6), получим

ф (х) Т-1 = (Тф (х))+у4 = ((Тф+(х)) у4)+у4=ф (х) (ТуГ)+?4-

Но, согласно (8.6.5),

(Т71)+ = (у4Т)+ = Т+у4.

Поэтому

Т-^Г,

т. е. матрица Т должна быть унитарной,

тт+=/.
Легко найти явный вид матрицы Т в том случае, когда матрицы ум
определяются формулами (7.3.1). Замечая, что при этом

У1 = ~ То Т2 =	У3=— Тз» ?4=?4^

получим, согласно (8.6.5),

Т1Т=Ту1, ?2т = — Т?2» ТзТ = Ту3, КГ = ТТ4.

Этим соотношениям удовлетворяет, очевидно, матрица

Т =ПтТ1ТзТ4>

где т]т — численный множитель, равный по модулю единице. К выбору
этого множителя мы вернемся несколько позже.

Кроме пространственного отражения и обращения времени, существует
еще одно дискретное преобразование, относительно которого инвариантны
уравнения Дирака. Это преобразование, не входящее в полную группу
Лоренца, носит название зарядового сопряжения и выражает симметрию
теории относительно замены знака заряда электрона, или, что то же самое,
симметрию относительно замены частицы античастицей.

Инвариантность уравнений Дирака относительно преобразования заря-
дового сопряжения означает, что если изменить знак 4-потенциала электро*
магнитного поля, т. е. произвести замену

(•£)	(х) =	А^ (х),

и одновременно произвести антилинейное преобразование биспиноров
ф(х), ф(х),

Ф (х) -> фс (х) = Сф (х),	б 7)

ф (х) —> фс (х) = С’Ч (х),

где С — некоторая неособенная 4 х 4-матрица, то эту матрицу можно
выбрать таким образом, что уравнения для биспиноров фс(х) и фс(х)
в поле Лц(х) будут иметь такой же вид, как и исходные уравнения
Дирака для ф(х) и ф(х) в поле ЛДх):

Гтр. — 1еАсц (Х)] + ml f = (х) = 0,

г , /	ч п-	<8-6-8)

[Yu (-^ +	(х)) - т J (х) = 0.

Чтобы доказать существование матрицы С, которая называется
матрицей зарядового сопряжения, подставим в эти уравнения (8.6.7)

+ieAv-+ т] = °’

[ти »еЛ(х)) —т] С’Ч (х) = 0.

Для того чтобы эти уравнения были тождественны исходным уравнениям
Дирака для ф(х) |и ф(х), должны, очевидно, выполняться условия

0-^0=	(8.6.9)

Но матрицы у? удовлетворяют таким же перестановочным соотношениям,
как и матрицы Поэтому, согласно фундаментальной теореме § 8.2
о матрицах Дирака, матрица С существует.
В силу унитарности матриц у? матрица С также унитарна:

с+с=/.

Кроме того, можно показать, что матрица С кососимметрична:

с=-сг.	(8.6.10)

Легко проверить, что, если матрицы определяются формулами (7.3.1),
то матрица С имеет вид

С=-?2?4-

Поскольку потенциал электромагнитного поля входит в уравнения
Дирака с коэффициентом е, то преобразование (8.6.7) можно интерпрети-
ровать как изменение знака заряда. Инвариантность уравнений Дирака
относительно преобразования зарядового сопряжения показывает равно-
правность двух знаков заряда, ибо каждому решению уравнения Дирака
ф (х), отвечающему одному знаку заряда, можно сопоставить решение
Сф (х), отвечающее другому знаку и обладающему теми же свойствами.

Легко показать, что зарядово-сопряженные биспиноры фс(х) и фс(х)
преобразуются при преобразованиях собственной группы Лоренца так же,
как и биспиноры ф(х) и ф(х),

фс' (х') = 5фс(х),

фс' (х') -= фс (х) S"1,

(8.6.11)

где S —матрица преобразования биспиноров ф(х), ф(х). Действительно,
предполагая, что связь между функциями фс(х) и ф(х) сохраняется при
преобразованиях Лоренца, т. е.

фс' (х') = Сф' (х')>
имеем, согласно (8.5.5),

Г' (*') = (ОШ) 5-х=С (S-1)2, Ш).

Поэтому, чтобы убедиться в справедливости (8.6.11), нужно проверить
справедливость соотношения

sc = c(s-i)r-

Но это соотношение в силу (8.6.9) выполняется для инфинитезимальных
операторов определяемых формулой (8.5.9), и, следовательно, спра-
ведливо для всех S.

Рассмотрим теперь преобразование зарядово-сопряженных биспиноров
при преобразовании пространственного отражения. Подставляя в соотно-
шение

фс'(Л =	(х'),

где х' =аРх, выражение (8.6.1) для преобразованного биспинора ф'(х')

ф' (х') = ф (х) Р"1, Р =
получим

(х') = -^СтГШ),

откуда, согласно (8.6.9),

Г (х')=-4-?^с(х).	(8.6.12)
$ 8]

Если потребовать, чтобы закон преобразования зарядово-сопряженных
биспиноров грс(х), грс(х) при пространственном отражении был таким же,
как и закон преобразования биспиноров гр(х), гр(х),

•фс,(х') = т]р74^с (х),

фС' (^) = ^^CWT4,

то мы придем к однозначному выбору величины цР:

Пр = — 1,

т. е. только к двум значениям т|Р, цР = + г, как и указывалось выше.

Остановимся еще на преобразовании грс(х) и грс(х) при обращении
времени. Выше мы установили условия, которым удовлетворяет матрица Т,
определяющая это преобразование для биспиноров г|) (%) и гр(х). Легко
связать эту матрицу с матрицей зарядового сопряжения. Действительно,
полагая

T = CQT,

перепишем условия (8.6.5) в виде

1	= J —1? 2, 3,

— Йу4Й“1 = 74,
откуда

т. е.

Т = ПтСузГ^	(8.6.13)

где цт —численный множитель, равный по модулю единице.

Потребуем теперь, чтобы зарядово-сопряженные биспиноры грс (х)
и грс (х) преобразовывались при обращении времени х’ — атх так же, как
и гр(х) и гр(х):

ipc,(x') = rV (х),

(х') =	(х) Т-1.

Тогда, как легко видеть, добавляется условие

Т'Ю = С’1ТГ,

т. е.

-С-1й-1С = йг,

приводящее к однозначному выбору

Таким образом, возможны только два значения цг, цг = ± 1.

8.7.	Ковариантные билинейные формы. Установив законы преобразо-
вания волновых функций электрона гр (х), гр(х), можно выяснить, как
преобразуются при лоренцевых преобразованиях различные произведения
компонент этих функций. Мы ограничимся рассмотрением простейшего
и наиболее важного случая, когда эти произведения построены билинейно
из компонент гр (х) и гр (х), т. е. имеют вид гр4 (х) Qip2 (х), где Q — произволь-
ная четырехрядная матрица и грь и гр2 относятся, вообще говоря, к разным
состояниям электрона.
В § 8.2 мы видели, что матрицы

Гг = /, 7ц, Ouv, ?5, г'ТзТн
образуют систему 16 независимых четырехрядных матриц, по которым
может быть разложена любая четырехрядная (квадратная) матрица Q:
Q = ^-SpQZ +-^Sp(Qyg)Tn + 4-Sp(Qy5) у5 +

+ 4 SP ($CTnv) ®nv+4- SP WWn) W (8.7.1)
Поэтому достаточно выяснить, как преобразуются 16 независимых били-
нейных форм ф(х) Ггф(х).

Рассмотрим прежде всего форму ф(х)ф(х). Используя соотношения
§§ 8.5 и 8.6, имеем

;ф'(х/)т|з'(х') = ;ф(х)'ф(х),

где преобразование х -> х' = ах может быть либо собственным преобразо-
ванием Лоренца, либо пространственным отражением, либо обращением
времени (в дальнейшем для краткости эти преобразования обозначаются
соответственно через L, Р, Т).

Таким образом, ф (х) ф (х) представляет собой четырехмерный скаляр.

Рассмотрим далее четыре величины ф (х) уиф (х). Используя соотноше-
ния (8.5.2), (8.5.4) и (8.5.5), имеем для L-преобразований

Ф' (х') уиф' (х') = ф (х) 5’1уи5ф (х) = а^ф (х) ^Ф (х),
т. е. величины ф(я)уцф(х) при ^-преобразованиях ведут себя как четырех-
мерный вектор.

При P-преобразовании эти величины преобразуются, как полярный
вектор, так как, согласно (8.6.1) и (8.6.3),

( — г, —	t),

ф'( — Г,	— г, =	t).

При ^-преобразовании величины чр (х)	(х) ведут себя как ^-четный

четырехмерный вектор, как и Лц(х). Действительно, из (8.6.4) и (8.6.5)
следует:

ф' (г, — /) уф' (г, — t) = — ф (г, t) уф (г, /),

— О?4ф'(^ — ^) = Ф(Г, /)?4Ф(Л

В § 7.5 были определены величины = /ф (х) уиф (х), которые мы
интерпретировали как 4-вектор плотности потока. Теперь мы видим, что
они образуют четырехмерный полярный /-четный вектор, т. е. по свой-
ствам преобразования они действительно соответствуют плотности потока

Поступая аналогичным образом, можно показать, что величины
Ф (*) Оцуф (*) преобразуются при L- и P-преобразованиях как компо-
ненты четырехмерного тензора второго ранга, а величины ф(х)у5ф(х)
и ф (х)/у5уиф (х) — соответственно как псевдоскаляр и аксиальный вектор.
При Т-преобразовании величины ф(х)о7/ф(х), ф(х)у5ф(х)и ф(х)/у5у7ф(х)г
где /, / = 1, 2, 3, изменяют свой знак, величины же ф(х)о74ф(х)
и ф(х) /убу4ф (х) остаются неизменными.
Таким образом, 16 билинейных комбинаций образуют 5 ковариантных

величин:	скаляр 5 = 'ф'ф, вектор = 'фуц'ф, тензор T^v =	(8.7.2У  аксиальный вектор = ф^ТиФ, псевдоскаляр Р == фуйф.

Приведем выражения для компонент V, А, Т в трехмерной форме:.
V j = — 1ф+а7ф,	V4 = ф+ф,

Aj = ip+Sjip, А = — й|’+'М’,	(8.7.3)

Т ]1 — Ву/?п’ф+2пг'Ф>	Tji = ф+|ЗсС7ф,

/, Z=l, 2, 3,

где и Sj, р —матрицы, определяемые формулами (7.3.1), (8.5.11).

Приведем еще общие законы преобразования форм фГгф и ^-преобразованиях:	при £г-, Р-

ф' (х')ф' (х') = Ф(х)Ф(х),

ф' (%') уцф' (%') = Sgn а44	(х) у^Ф (х),

ф' (*') сгиг,ф' (х') = Sgn а44	(х)	(*),

ф' (%') ТзФ' (х') = det а • ф (х) у5ф (х),

Ф' (x'j VsTh'I5' (*') = det а-ЯцУф (х) y5yv (х),

где а —матрица преобразования х—>х',

Ху, fylV-Xy

Найдем, наконец, как ведут себя эти величины при зарядовом сопря-
жении. Используя определения (8.6.7) и соотношения (8.6.9), из которыхг
в частности, следует, что

(8.7.4>
получим

S= — фсф\

1А = ФсТм1Л

Tjiv = фсогцуфс,	(8.7.5)

— Фс(гТ5Уи)Тфс,

р= _фс?ГфС.

8.8.	Вариационный принцип для уравнений Дирака. Уравнения Дирака^
так же как и уравнения Максвелла, можно рассматривать как уравнения
некоторого поля Это поле, описываемое биспинорами (х) и (х), назы-
вается, как мы уже говорили, электронно-позитронным полем (для крат-
кости будем называть его просто электронным полем)
Сопоставив электронному полю определенную функцию Лагранжа,
можно получить уравнения Дирака из вариационного принципа

6 Ld4x = 0.

как это было разъяснено в общем виде в § 1 6.

Плотность функции Лагранжа электронного поля, которую мы будем
обозначать через Lei определяется однозначно, если потребовать, чтобы
уравнения Дирака были дифференциальными уравнениями первого поряд-
ка. Действительно, функция Le должна быть релятивистским инвариантом,
а из ф (х), ф (х) и операторов д!дх^ можно, согласно результатам предыду-
щего раздела, построить только одну билинейную инвариантную форму

Le== -X	nrty(x)ty(x). (8.8.1)

Считая при варьировании Le функции ф(х) и ф(х) независимыми, мы
придем к уравнениям Лагранжа

д_____________dLe __л

дх^ д ( дФ \	’

V )

д dLe

dLe _q

дф

которые после подстановки в них
dLe	1 "7

7WT=—2

\ дх^ )

dLe



dLe
дф

1 дф	—

dLe__	1 дф

дф	дхц

/Пф

переходят в уравнения Дирака для свободных электронов
Д- + т) 1р(х) = 0,

(?£ т) Ш) = 0.

Имея выражение для плотности функции Лагранжа Le, можно, так же
как и в случае электромагнитного поля, определить тензор энергии-им-
пульса электронного поля

Замечая, что функции ф(х) и ф(х), удовлетворяющие уравнениям Дирака,
обращают плотность функции Лагранжа в нуль, получим

дхи	'	(8.8.2)

Отсюда плотность энергии и плотность импульса поля равны соответст-
венно

1 /	Л|>+ \	(8.8.3)

р= 27^
Тензор энергии-импульса (8.9.2) в силу уравнений Дирака удовлетво-
ряет условию

~дТуу_

dxv ’

означающему, как мы знаем, сохранение 4-вектора

P»=-i J T^d3x.	(8.8.4)

Этот вектор представляет собой 4-вектор энергии-импульса электронного
поля.

Зная Тум можно определить также тензор плотности момента коли-
чества движения электронного поля

М^ = х^-х„Т^--------^—7^+^—(8.8.5)

\дхк/	\дхк)

где I^v— инфинитезимальные операторы, определяемые формулами (8.5.9)

I*1	YvY^i)-

Тензор момента количества движения всего поля Му» представляет
собой объемный интеграл от ТИ^4,

Л4^ = — i 714^4 d3x.	(8.8.6)

Если электроны находятся во внешнем электромагнитном поле,
то можно определить плотность функции Лагранжа взаимодействующих
электронного и электромагнитного полей:

1	(х) дАу^х) 1 - г / д . л /	( "I । / ч ,

Л = - т —v—dTv— т W L~1еА*(х)) + m J (х) +

+уФ(*) [ь +	W> (8.8.7)

где первое слагаемое представляет собой плотность функции Лагранжа
свободного электромагнитного поля Lv:

j ___	1 дАу^х) дА^(х)

?	2 dxv dxv

Считая при варьировании L величины Лц(х) заданными функциями %,
получим

•S Ld4x = —у $ 6ф(х)	(А. —1еЛц(х)) + m] ip(x)d4x —

— у § ?(*)[ъ (Д^— 1’еЛц(х)) + т] 6i|?(x)d4x +

+ у $	[Т* (^- + 1'еЛ1Х(х)) —m]^(x)d4x +

+ у § 11’(*)[ти	+	—

Интегрируя во втором и четвертом слагаемых по частям и считая вели-
чины бф (%) и бф (%) независимыми, мы придем к уравнениям Дирака
во внешнем электромагнитном поле (7.4.2), (7.4.3):

ГТи (а?— ieAi*	+ml ф (х) = 0,

г / /	\	1-	(8-8,8>

[т?	+	(l‘))-mj1fW=0.

Считая ф(х) и ф(х) заданными функциями х и варьируя величины
Ли(х), получим

& Р , ,4 р дАц (х) а

6 Ld4x= —	^-8Alt(x)dix +

+-у J (Ф (х) Ту, (х) + ф (х)	(х)] 6Ли (х) d4x.

Выполняя в первом слагаемом интегрирование по частям, мы придем5
к волновому уравнению для 4-потенциала электромагнитного поля

□ 4=-/g(x),	(8.8.9}

где	_

/и (*) = W Тм/Ф (*)•	(8-8.10)

Величины (х), образующие 4-вектор, можно интерпретировать, как
указывалось выше, как 4-вектор плотности электрического тока, создавае-
мого электронами. Как и следовало ожидать, 4-вектор (х) только множи-
телем е отличается от 4-вектора плотности потока, определяемого форму-
лой (7.5.2).

Обратим внимание на то, что 4-вектор плотности тока имеет формально
одинаковый вид как для свободных электронов, так и для электронов,
находящихся в электромагнитном поле В соответствии с (7 5.3) вектор
плотности тока удовлетворяет уравнению непрерывности

а/ди--Х). = 0.	(8.8.11>

Используя выражение (8.8.10) для плотности тока, можно предста-
вить плотность функции Лагранжа взаимодействующих электронного
и электромагнитного полей в виде

L = Lq Li,
где Lo —сумма плотностей функций Лагранжа свободных полей:

1	(%) алц(х) 1 т / д .	\ ч .

~ 2~---------5^-----2 W + т) ф(х) +

—т)ф(х),
и LT — часть функции L, описывающая взаимодействие между полями:

1<1 = 7и(х)Л|1(х).	(8.8.12)

Эта величина называется лагранжианом взаимодействия.

Заметим, что плотность функции Лагранжа инвариантна относительно
преобразований собственной группы Лоренца, отражения пространства,
обращения времени и, кроме того, относительно градиентного преобразо-
вания. Последнее определяется формулами

Лц(х)-»ЛИ (х)—Д-ц(х),

ф (х) —> e~ieTi W ф (х),	(8.8.13>

ф (х) —> еге1’ Ю ф (х),
где т] (х) — произвольное решение волнового уравнения
□ т)(х) = 0.

При таком преобразовании функция L приобретает добавку

___Lj/д /^\ I 1 РдтЦх) \ д2П(х) ] । / я z ч , 1 Эт1(х)\ д д*(\(х) .
дх^ IV v'	‘ 2	dxv ) дх^ dxv J V v' '	2 dxv / dxv dxfr '

второе слагаемое здесь равно нулю, так как □ ц = 0, первое же слагаемое
имеет вид дивергенции и может быть отброшено, так как оно не влияет
на уравнения движения.

§ 9.	Свободный электрон

9.1.	Решения с положительными и отрицательными частотами. Уста-
новив общие свойства уравнений Дирака, мы перейдем теперь к нахожде-
нию их решений. Начнем с уравнений Дирака для свободного электрона.

Общее решение этих уравнений можно представить в виде интеграла
Фурье

ф(г, /)= typ(t)eipr d3p,

где компонента Фурье фр (/) —волновая функция электрона в импульсном
пространстве — удовлетворяет, согласно (7.2.4), уравнению

дфв (0

Подставляя сюда фр (/) в виде столбца из двух спиноров фр (t) и %р (t)
аналогично (7.2.2)

и используя для матриц а, (3 представление (7.2.3), получим для фр(£)
и %р(/) уравнения, представляющие собой преобразование Фурье уравне-
ний (7.2.1)

д<р„ (t)

i —Z—=/шрр (/) + ар^р (t),

1 —%r~ = ~

Решения этих уравнений содержат, очевидно, время в виде e~w, где
частота со есть некоторая константа, определяемая из уравнений

(<f>-m)q>p-0p%p = O,

— optpp 4- (ю + т) хР = 0.

Из условия разрешимости этой системы

ы — т

найдем частоту со:

-ар =0

CO-J-ZH

= +	р2_|_т2#

Эти значения частоты представляют собой, очевидно, собственные значе-
ния оператора

H = laV + pm,
который мы интерпретировали в § 7.2 как оператор Гамильтона свобод-
ного электрона

Нфр = ОУфр.

Таким образом, существуют два типа решений уравнений Дирака для
свободного электрона — решения с положительными частотами (со > 0)

(г, t) =	d3p

и решения с отрицательными частотами (©СО)

ф( > (г, t)= $_ре~г№-ЕГ> d3p,
где р — 4-импульс электрона:

р = (р, ге), s= +Kpa + m2
И

\ %± р/

Спиноры ф±р, х±р удовлетворяют уравнениям (9.1.1) соответственно
при со = + 8 и <о = — 8. Поэтому один спинор может быть выбран про-
извольно, второй же выразится через первый. Задавая, например, <рр и %
можно найти Хр и ф-р.

^р s + m

(Гр

~ 8 4-/72 У*~Р'

(9.1.2)

Общее решение уравнений Дирака для свободного электрона можно
разделить на решения с положительными и отрицательными частотами
ф(г, /) = ф(+> (г, 0 + 'Ф(-)(г, 0-

Такое разделение, очевидно, релятивистски инвариантно, так как при соб-
ственных преобразованиях Лоренца знак частоты не может измениться
(наименьшая положительная частота равна т, а наибольшая отрицатель-
ная частота равна —т, т е. области частот разных знаков разделены конеч-
ным интервалом 2m, в то время как собственные преобразования Лоренца
определяются только непрерывными параметрами).

Так как решения с положительными и отрицательными частотами
относятся к различным собственным значениям оператора Н, который
является самосопряженным, то эти решения должны быть ортогональными

ф(4-)* (г, t) (г, /) d3x = 0.

Существование решений уравнений Дирака двух типов — с положи-
тельными и отрицательными частотами — имеет фундаментальное значе-
ние. Оно приводит к выводу, что в релятивистской квантовой механике
невозможно сохранить обычную интерпретацию нерелятивистской квантовой
механики, согласно которой собственные значения оператора Гамильтона
имеют смысл значений энергии частицы.

Действительно, частоты со представляют собой собственные значения
оператора Гамильтона свободного электрона. Поэтому, если бы была спра-
ведлива обычная интерпретация собственных значений оператора Гамиль-
тона, то это означало бы существование у свободного электрона состояний
с отрицательной энергией и отсутствие наинизшего энергетического состоя-
ния. В свою очередь отсюда следовало бы, что при взаимодействии с дру-
гими частицами электрон мог бы неограниченно отдавать свою энергию,
переходя во все более низкие энергетические состояния, что физически
абсурдно.

Таким образом, мы приходим к заключению о необходимости изменения
в релятивистской квантовой механике электрона основного положения
нерелятивистской квантовой механики, касающегося интерпретации соб-
ственных значений оператора Гамильтона.

Чтобы сформулировать это изменение, необходимость которого дик-
туется существованием решений с отрицательными частотами, обратим
внимание на то, что уравнения Дирака допускают преобразование зарядо-
вого сопряжения. В § 8.6 мы видели, что если подвергнуть этому преобра-
зованию волновую функцию ф (х) электрона, находящегося в электро-
магнитном поле Ар, (х), которая удовлетворяет уравнениям (7.4.2),

[Тц ("4;—(х)) + т] ф (х) = О,
т. е. перейти от биспинора ф (х) к зарядово-сопряженному биспинору фс (х)г
фс(х) = Сф(х),

где С —матрица, удовлетворяющая соотношениям (8.6.9), то функция фс(х)
будет удовлетворять уравнениям

[ъ	+ ieXjx (х)) + /и]	(х) = О,

которые отличаются от исходных уравнений для ф(х) только изменением
знака заряда

е—» — е.

С другой стороны, операция зарядового сопряжения содержит в себе
комплексное сопряжение. Поэтому, если подвергнуть преобразованию заря-
дового сопряжения волновую функцию, содержащую только отрицатель-
ные частоты, то мы получим функцию, содержащую только положительные
частоты.

Отсюда вытекает возможность следующей физической интерпретации
состояний с отрицательными частотами. Если дано решение уравнений
Дирака ф<_) (х) с отрицательными частотами для свободного электрона
с зарядом е, то физический смысл волновой функции частицы имеет не сама
функция ф<_) (х), а зарядово-сопряженная функция

фс(+) (х) = Сф(“} (х).

Эта функция содержит только положительные частоты и описывает частицуг
отличающуюся от исходного электрона только знаком заряда. Эта частица
называется позитроном.

Таким образом, мы пришли к заключению, что уравнения Дирака
должны описывать состояния электронов обоих знаков заряда, т. е. обыч-
ных электронов и позитронов. При этом знак частоты является характери-
стикой зарядового состояния частицы.

Иными словами, если произведено разбиение общего решения уравне-
ний Дирака для свободной частицы на решения с положительными и отри-
цательными частотами

ф (х) = ф<+> (х) + ф(-> (х),
то мы будем интерпретировать ф<+> (х) как волновую функцию электрона,
а функцию, зарядово-сопряженную по отношению к (х), как волновую
•функцию позитрона:

фзл(х) = ф<+)(х),	(9 13)

фпоз (х) = Сф^ (х).

Ясно, что как фэл (х), так и фп03 (х) будут содержать только положитель-
ные частоты.

Отметим, что, определив волновую функцию позитрона с помощью
соотношения (9.1.3), мы выходим за рамки допустимых в квантовой меха-
нике линейных преобразований, так как подвергаем часть решений уравне-
ний Дирака антилинейному преобразованию (содержащему комплексное
сопряжение). По этой причине общее решение уравнений Дирака, которое
можно записать в виде

Ф (х) = фзл (х) Сфпоз (х),
не имеет смысла волновой функции частицы (который имеют порознь
фал (х) и фпоз (*)). С другой стороны, суперпозиция волновых функций
электрона и позитрона удовлетворяет уравнениям Дирака, но не дает
общего решения этих уравнений, так как решения с положительными
частотами не образуют полной системы функций.

Формулы (9.1.3) определяют поведение волновой функции позитрона
при различных преобразованиях, рассмотренных в § 8.

Как следует из § 8.5, волновая функция позитрона преобразуется
при преобразованиях собственной группы Лоренца х' = ах так же, как
и волновая функция электрона:

фэл (X ) = 5фэл (х),

Фпоз (х ) = *$Фпоз (X).

При преобразовании пространственного отражения, независимо от пред-
положения о характере преобразования зарядово-сопряженного биспи-
нора, имеем, согласно (8.6.2), (8.6.12) и (9.1.3),

Рфэл(г, 0 = ПрЛТ4фэл (— Л

Рфпоз (г, /) = 'ПрОЗу4фпоз ( — Г, О»

где Т]ЭЛ == Tlpj ппоз == __ 1/Пр>

Величины и г)™3 можно назвать внутренними четностями электрона
и позитрона. Мы видим, что их произведение равно —1 [10]:

цзлц°оз = — 1.	(9.1.4)

Для покоящихся электрона и позитрона, очевидно,

Т4фэл = Фэл?

?4Фпоз = Фпоз?
я поэтому

Р (фэлфпоз) == -фэлфпоз*

Отсюда следует, что система, состоящая из электрона и позитрона, на-
пример позитроний, обладает отрицательной внутренней четностью.

9.2.	Плоские волны. Так как гамильтониан свободного электрона

Н = <хр + fVn
коммутирует с оператором импульса р:

[Н,р] = 0.

то для свободного электрона возможны состояния с определенной энергией
и с определенным импульсом р. Таким состоянием соответствуют реше-
ния уравнений Дирака, имеющие вид плоских монохроматических волн
с обоими знаками частот

(9-2Л)

где V —- нормировочный объем, р—4-вектор импульса частицы, р = (р, ге),
8 = + "Кр2 + т2 и и(±: р)—постоянные биспиноры, удовлетворяющие
уравнениям

(±ip + m)u(±p) = 0, р = Т1гри.	(9.2.2)

При этом, в соответствии с (9.1.3), решение с положительной часто-

той со = 8 описывает состояние электрона, а решение с отрицательной

частотой со = — 8 — позитрона

1|)П°3 (х)

1

V2&V

и (р)

Cu( — p)eipx,

(9.2.3)

так что оба решения и (±р) описывают частицы с 4-импульсом р.
Уравнения (9.2.2) мы можем переписать в виде

где

(iqp + m)u(qp)==0,
q = ± 1

(9.2.4)

представляет собой квантовое число — знак частоты или знак заряда,—
различающее два типа решений уравнения Дирака.

Мы будем предполагать, что волновые функции (г, t) удовлетво-
ряют инвариантному условию нормировки (7.5.5)

0N3x=l,

V

где интегрирование совершается по объему V. Из этого условия легко
установить условие нормировки биспиноров и (±р). Напомним с этой
целью, что, как было показано в § 8, величина я|тф представляет собой
скаляр, а величины фкф (v =1, 2, 3, 4) образуют четырехмерный вектор.
С другой стороны, произведение eV не меняется при лоренцевых преобра-
зованиях. Поэтому из (9.2.1) следует, что величина и (±р) и (±р) должна
быть скаляром, а величины и (±p)yv и(±р) должны образовывать четы-
рехмерный вектор. Для свободной частицы существует только один четырех-
мерный вектор — вектор энергии-импульса р (р, /в), и мы можем, следо-
вательно, положить

и(± р)у^(± p) = apv,

где а — некоторая константа. В частности,

и (± р) у^и (± р) = U* (± р) и (± р) = Ш8.

2

Из этого соотношения и условия нормировки (г, t) следует, что я = у.

8 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
Итак,

u(±p)yvM(±P) = 7pv.	(9.2.5)

Найдем теперь и (± р) и (+ р). Умножим с этой целью (9.2.5) на ipv
и произведем суммирование по v,

u(±p)ipu(± р) = ± 2р2 = ^~2т2.

Используя далее уравнения (9.2.2), получим окончательно

и (± р) и (± р) = ± 2т.	(9.2.6)

Эти соотношения, так же как и соотношения (9.2.5), представляют собой
условия нормировки биспиноров и (ztp).

Заметим, что соотношения (9.2.5) справедливы не только для электро-
нов, но и для нейтрино, которые также описываются уравнениями Дирака.
В этом случае т = 0 и в качестве условий нормировки биспиноров следует
брать соотношения (9.2.5).

Выше (§ 9.1) мы записывали биспинор гр в виде столбца, содержащего
два спинора, связанных между собой соотношениями (9.1.2). Используя
эти соотношения и условия нормировки (9.2.6), можно представить биспи-
норы и (±р) в виде столбцов

/ч	( Ke + тх№ М \

и (р) 1 г_____ v I ,

\]Л 8—(v)/

. _____ К \	(9.2.7)

7 X I У 8“(v)\
U ( — р) = I ___ I ,

\]As-|-/7W(~)(v) /

где у = р/\р\ и двухкомпонентные спиноры u<±}(v) удовлетворяют усло-
вию нормировки

ц(±)*(л?)	(v) = 1.	(9.2.8)

9.3.	Поляризационные состояния электрона. Возвратимся к уравне-
ниям (9.2.2). Эти уравнения не определяют биспиноры и (±р) однозначно
(т. е. с точностью до нормировочной константы). Действительно, так как
спин электрона равен 1/2, то каждое из уравнений (9.2.2) имеет два линейно
независимых решения. Об этих решениях говорят, что они соответствуют
двум различным состояниям поляризации электрона.

Состояние поляризации нерелятивистского электрона можно характе-
ризовать, задав направление, проекция спина на которое имеет вполне
определенное значение. При этом выбор направления может быть произ-
вольным. Для релятивистского электрона такой метод, вообще говоря,
неприменим, так как оператор проекции спина на произвольное направле-
ние не коммутирует с гамильтонианом электрона, содержащим спиновые
матрицы.

Чтобы описать состояние поляризации релятивистского электрона, мы
поступим следующим образом. Рассмотрим матрицу y5v, где v — единичный
4-вектор, ортогональный 4-импульсу,

vp = 0, v2=l	(9.3.1)

(в системе покоя частицы v=(v, 0), где v —единичный вектор). Легко
видеть, что матрица y5v коммутирует с матрицей р:

[y5v, р] = 2у5 (ур) = 0.
Поэтому обе матрицы р и y5v имеют общую полную систему собственных
векторов. Иными словами, биспиноры и (+ р), удовлетворяющие уравне-
нию Дирака (9.2.2),

— iри (qp) = qmu (qp), q = ± 1,
могут быть выбраны так, чтобы они одновременно удовлетворяли уравнению

iy5w (9р) =	(qp),	(9.3.2)

где р— с-число. Так как (гу5^)2=1, то, очевидно,

|Л= + 1.

Таким образом, мы имеем возможность характеризовать два линейно
независимых решения уравнения (9.2.2) с помощью числа р — собствен-
ного значения матрицы iy5v. Это число можно, следовательно, рассматри-
вать как квантовое число, описывающее состояние поляризации электрона
независимо от того, является ли электрон нерелятивистским или реляти-
вистским.

Мы будем обозначать биспинор, удовлетворяющий уравнениям (9.2.2)
и (9.3.2), через (рр)\

(iqp + tri)ui*(qp) = O,

(t'YsV — у-) (qp)— О,
и говорить, что биспинор и» (qp) описывает электрон с поляризацией р
(р = ± 1).	__

Заметим, что, как легко видеть, сопряженный биспинор и» (др) удов-
летворяет уравнениям

u»(qp)(iqp + m)==09	з

^(9/7)(fy5v — р) = 0.

Чтобы яснее представить себе смысл квантового числа .р, рассмотрим
сперва тот случай, когда электрон покоится. Тогда уравнения (9.3.3)
приобретают вид

qy^ (qp(0)) = (qp(0)),
iy^yvu^ (<7Р(0))=	(9Р(0)),

где /7(0) = (0, im), |v| = *l. Вспоминая определение оператора спина элек-
трона S:

получим отсюда

Ъчи» (qp(0)) = q^u^ (qp(0))-	(9.3.5)

Мы видим, таким образом, что в нерелятивистском случае биспинор иЯ (р'0))
описывает состояние электрона с определенной проекцией спина на направ-
ление v (равной ур).

Аналогичное заключение можно сделать и о нерелятивистском пози-
троне. Его состояние описывается, как мы знаем, биспинором Си(—р).
Учитывая, что

С2Г= -sc,

получим из (9.3.5)

SvC^ (— Р(0)) = рС^ц (— р(0)),
т. е. проекция спина позитрона на направление v в состоянии с волновой
функцией Си^( — р<0>) равна -^-р.

Пусть теперь электрон обладает произвольным импульсом р, вдоль
гтл	8 D	I J) I	VP

которого направлен вектор v. Тогда v = —	, v0 = и \p = itn	y4.

Комбинируя уравнения (9.3.3), легко показать, что в этом случае

2-]у|-иц(9Р) = 9И«р'(9Р) (Pllv)-	(9.3.6)

Таким образом, при v [| р в состоянии и» (qp) проекция спина электро-
на (позитрона) на направление движения электрона имеет определенное
значение ц/2. В этом случае говорят о состоянии с определенной спираль-
ностью ц (наличие таких состояний связано с тем, что оператор Ер комму-
тирует с оператором Гамильтона Н = aPj Pm)-

Возвратимся к уравнениям (9.3.3), "(9.3.4) для биспиноров и» (qp).
Используя эти уравнения, легко убедиться, что биспиноры и» (qp) удов-
летворяют соотношениям ортонормированности

и»' (q'p) и» (qp) = 2mq6qq^^.	(9.3.7)

Замечая далее, что любую четверку чисел можно разложить по четырем
линейно независимым биспинорам u»(qp)(\k = ± 1, q=± 1), и используя
(9.3.7), можно получить условие полноты биспиноров u»(qp)

3 (qp) и* (qp) = 2/nSaB	(9.3.8)

Q, М-

(а, Р —спинорные индексы)*

Выше мы видели, что при v\\p биспиноры ^(± р) описывают состоя-
ния электрона и позитрона со спиральностью р. Поэтому амплитуды соот-
ветствующих плоских волн (9.2.3) должны совпадать

(— р) = и» (р).	(9.3.9)

Докажем, что это соотношение справедливо при любом выборе 4-век-
тора v. Биспинор и»(—р) однозначно (с точностью до нормировки) опре-
деляется уравнениями

(— iyTapa + т)	(— р) = О,

(i (?5?а)т	— р) и» (— р) = 0.

Умножив эти уравнения слева на матрицу С и используя соотношения
(8.6.9), (8.7.4), получим

(ip+m) Оц( — р) = 0,

(fy5v — |х) Си» ( — р) = 0.

Мы видим, что биспинор Си»( — р) удовлетворяет тем же уравнениям,
что и биспинор и»(р). Поэтому при нормировке (9.3.7) мы придем к соот-
ношению (9.3.9).

9.4.	Поляризационная матрица плотности электрона. Покоящийся
электрон можно описывать двухкомпонентным спинором. Переходя в (9.3.6)
ют и»(ар(0)) к двухкомпонентному спинору ^(v), мы получим, очевидно.
gv'/ (v) = p,v» (v),	ц = ± 1.

Мы видим, что двум линейно независимым двухкомпонентным спинорам
u^(v) соответствуют проекции спина электрона ±1/2 на ось, определяемую
направлением v.
Спиноры обладают свойством ортонормированности

=	(9.4.1)

и удовлетворяют условию полноты

2^ = 6аВ	(9.4.2)

ц

(ос, р=1, 2 —спинорные индексы).

Введем в рассмотрение оператор

Лц = |(7 + ^о).	(9.4.3)

Этот оператор обладает, очевидно, свойством

и поэтому, действуя на произвольную двухкомпонентную величину, выде-
ляет из нее часть, пропорциональную v*. По этой причине Л*1 называется
оператором проектирования.

Умножив (9.4.2) на Л^, получим

= Айр = у (7 + pw)aB.

Любая волновая функция v покоящегося электрона может быть разло-
жена по спинорам v* (ц = ± 1) при произвольном выборе направления
оси квантования v. Можно высказать также следующее утверждение:
для каждой волновой функции v можно выбрать такое направление v,
чтобы функция v была собственной функцией оператора ov с собственным
значением р = 1:

avv = у.

Поэтому для любого состояния, описываемого волновой функцией (чистого
состояния), может быть написано соотношение

=	(9.4.4)

Перейдем теперь к описанию «смешанного» состояния покоящегося
электрона, которое характеризуется не волновой функцией, а матрицей
плотности	___

Раз = VaV$,

где черта означает усреднение по параметрам, характеризующим систему,
частью которой является электрон.

Двухрядную квадратную матрицу р, удовлетворяющую условию нор-
мировки

Sp р = 1,
можно, очевидно, представить в виде

p = y(Z + ga).	(9.4.5)

Смысл вектора £ легко выяснить, вычислив среднее значение спина электрона
4«T)=lsppa = lC.

Отсюда следует, что
Случай g = 0 описывает неполяризованное состояние. При | g | = 1
мы возвращаемся к выражению (9.4.4). В этом случае существует волновая
функция электрона, определяемая условием

GW = v.

Заметим, что формула (9.4.5) имеет ту же структуру, что и форму-
ла (2.4.3) для матрицы плотности фотона. Это объясняется тем, что в обоих
случаях частица имеет два поляризационных состояния. Однако смысл
параметров в случае фотона и параметров Zi в случае электрона сущест-
венно различен. Это связано с разным характером преобразования соот-
ветствующих матриц. В случае электрона а, |3 являются спинорными
индексами, а в случае фотона — векторными (двумерного вектора в пло-
скости, перпендикулярной импульсу фотона).

Изложенная схема может быть использована для построения поляри-
зационной матрицы плотности, описывающей поляризационное состояние
электрона или позитрона с произвольным импульсом р.

Введем с этой целью в рассмотрение оператор проектирования

= ^г(Ш~ iqti <1 +	(9.4.6)

обладающий свойством

Лц (qp) и*' (q'p) =	(qp).

Умножив (9.3.8) на Л11 (qp), получим

«а (qp) u$(qp) = 2mq^ (qp) = -^ [(m — iqp) (I + гру5v)]

(a, p = 1, 2, 3, 4 — биспинорные индексы).

Замечая, что любой биспинор и (±р), удовлетворяющий уравнению
Дирака (9.2.4), может быть разложен по двум биспинорам (±р), удовлет-
воряющим уравнению (9.3.2) при произвольном 4-векторе v, ортогональ-
ном р, и выбирая у таким образом, чтобы и (±р) удовлетворяло уравне-
нию (9.3.2) при р = 1, перепишем последнее выражение в виде

Ua (± р) и$ (± р) =	[(т + ip) (I + iy5v)]aB.	(9.4.7)

Это выражение можно рассматривать как четырехрядную матрицу
плотности электрона, релятивистски инвариантно описывающую его
поляризацию в случае чистого состояния.

В системе покоя электрона (9.4.7) переходит с точностью до нормиро-
вочного коэффициента в (9.4.4):

/4(/ + va) О

«а (Р(О)) «В (Р<0)) = 2га 2

\ О О

Выше мы видели, что в случае покоящегося электрона переход от чисто-
го состояния к смешанному осуществлялся заменой единичного вектора v
вектором g (| g | < 1). Аналогично, заменив в (9.4.7) единичный 4-вектор
v 4-вектором $, обладающим свойствами s2< 1, sp = Q (в системе покоя
s=(g, 0)), получим для матрицы плотности

PaB (p) = Ua(±p) «В (±Р)
выражение [11]

Р±(/’) = у(±^ — ip)U + ^)-	(9.4.8)
Эта матрица удовлетворяет условию нормировки

Sp р± (/?) = ±2т,
отвечающему условию нормировки биспиноров ц(±р) (9.2.6).

Из (9.4.8) следует, что 4-вектор поляризации s равен

Sn = ±2^SptY5Ytip±(p).	(9.4.9)

Выполнив преобразование Лоренца, можно выразить компоненты sv через
их значения в системе покоя s = (g, 0):

s = t + -^PlP	So = A = £L.	(9.4.10)

® 1 т (8 +/и)	и i т	х '

Случай s2 — 1 (g2=l) отвечает чистому состоянию, а случай s=O(g—0) —
неполяризованному состоянию:

p±(p) = y(±m-tp).	(9.4.11)

Последняя формула может быть получена путем усреднения по поляриза-
ционным состояниям матрицы	, т. е. усреднением (9.4.7) по двум

2 я

значениям 4-вектора v (v и —v).

Следует подчеркнуть, что 4-вектор sa, входящий в (9.4.8) или вычислен-
ный по формуле (9.4 9), характеризует поляризацию частицы (в частности,
значение вектора g в системе покоя) как в случае электрона, так и в случае
позитрона. В этом можно убедиться непосредственно, используя преобра-
зование зарядового сопряжения. Действительно, так как по определению
^поз (р) = Си (—р), то матрица плотности позитрона будет иметь вид

рп°3 (р) = ЫП03(р)^П°3(р) = (С (р-	С-1)аВ.

Подставив сюда вместо р“(р) выражение (9.4.8) и используя свойства
коммутации матрицы С, получим

рпоз (р)

где рэл (р) = р+ (р) — матрица (9.4.8) с теми же значениями $а, которые
входят в исходную матрицу р“(р).

9.5.	Шаровые спиноры. В предыдущих разделах мы изучили состояния
электрона, характеризующиеся определенными значениями энергии,
импульса и проекции спина на импульс. Но свободный электрон может
находиться также в состояниях с определенными значениями энергии,
квадрата момента импульса и проекции момента на какую-либо неподвиж-
ную ось. Мы перейдем к изучению таких состояний.

Оператор момента электрона (мы будем употреблять термин момент
вместо момент импульса) J складывается из оператора орбитального
момента L:

L = (rp],

и оператора спинового момента у 2:

lE=lfa °\

2	2\0(Ц’
где р=— ZV — оператор импульса и о,—матрицы Паули,
J = L + |S.

Проекции момента J удовлетворяют перестановочным условиям
[Ji, J2I== ^Зз»

1^2» J3] “ *
[J3» Ji] — JЛг-

Кроме того, квадрат момента коммутирует с каждой из его проекций
[J2, Jfe]=0,	6=1,2, 3.

Таким же условиям удовлетворяют проекции L и 2.

Легко видеть, что оператор Гамильтона свободного электрона
Н = ар + Рт

коммутирует с операторами квадрата момента J2 и проекции момента
на произвольную ось (мы будем называть ее осью z) Jz,

[Н, J2] = 0,

[Н, Jz] = 0.

Поэтому операторы Н, J2, Jz имеют общие собственные функции

= / (/ + 1) Фсо>М>

где со, /(/4-1) и Л4 — собственные значения Н, J2, Jz (в дальнейшем мы
часто будем опускать в числе индексов волновой функции ф частоту со).

Волновую функцию — биспинор ф7М — можно представить в виде столбца,
состоящего ИЗ двух спиноров ф7м И

,	(ФлА

фж = I I •

\мм /

Эти спиноры удовлетворяют уравнениям (9.1.1)
(со — т) <рж — ор%ж = 0,
, , .	.	„	(9.5.1)

—	+ (со + т) %JM = 0,

где р=— /V, и уравнениям

12Флг = / (/ 4-1) ф7м> JzTjm = Л1ф7М,
J2X;w = j U + 1) Х/м, JzXjm = Ж/м»
где

J = L + |<r.

Уравнения (9.5.1) для спиноров ф7-м и %7М, являющихся функциями г,
или, в сферических координатах, функциями г, 0, ср, допускают решения
в разделяющихся переменных г и 0, ср.

Определим прежде всего угловые части спиноров ф7-м и %7М, т. е. их
зависимости от углов 0, ср. Для этого нет необходимости решать сформули-
рованные выше уравнения, а достаточно воспользоваться, так же как это
было сделано в § 3.3, квантово-механическим правилом сложения момен-
тов — орбитального и спинового.

Собственные функции орбитального момента хорошо известны — это
шаровые функции У/т(0, ф), удовлетворяющие уравнениям

L2nm = /(Z+l)yto,

LZYIm ~ HlY 1т,	ГП =	/,	Z ± 1, . . ., /.

Легко найти также собственные функции спинового момента, которые
мы будем обозначать через р — проекция спина на ось г, принимаю-
щая два значения р = ±	. Так как квадрат спинового момента электрона

(1 \2
у al = 3/4), то вместо двух
мы имеем только одно уравнение для определения

1
у

Обозначим спиновую переменную, от которой зависит и на которую
действует оператор az, через а. Так как имеется только два значения а,
то в качестве их можно выбрать a = ±1/2. Замечая далее, что

/1	0 \

\0 -1/’
получим

t’usz'ix(a) = sna-	(9.5.2)

Найдем теперь собственные функции оператора полного момента
J = L±ya. Используя формулу (3.3.1) и полагая в ней ]\ — 1, /2 = у ,
^2m2 = V^ фут^ФуМ, ПОЛуЧИМ

ф,м (г, а) = 2	Уim (п) (а),	(9.5.3)

mji 2 и

где « = у —единичный вектор в направлении г, а —спиновая переменная,
а = ± 1/2 и

/ == / ± у, M = m +

Функции ф7-м (я, а) определены в пространстве угловых переменных
0, Ф и спиновой переменной а. Поэтому они являются спинорами в про-
странстве 0, ф. Формулу (9.5.3) можно рассматривать как разложение этих
спиноров по ортонормированиям спинорам а величины

(ЙЛм (»)f =	1 Ylm (и), т = М - И,	(9.5.4)

как их контравариантные компоненты. Эти компоненты (мы обозначаем
их для спинора Ф через Ф^) определяются с помощью разложения

ц

а так как (а) = 6^, то

ф^==ф(|Х).
Величины	с ц=±у образуют спинор

(9.5.5)

который называется шаровым спинором или спинорной шаровой функцией.
Значения коэффициентов Клебша — Гордана, входящих в него, приведены
в таблице.

Шаровые спиноры (ri) определяют угловую зависимость спино-
ров ф7-м и образующих вместе биспинор ср7-м. При этом, если в ср;м
входит шаровой спинор Q^M, то в будет входить шаровой спинор Q3i'M^
где	Это обстоятельство связано с тем, что значения I и Г

должны быть различны (при I = V не могут удовлетворяться уравнения
(9.5.1)). Поэтому из правила сложения момента следует, что, если I = j + у,
то /' = /н=у, Та е. 1-}-Г = 2]\

Как следует из (9.5.1), спинор %jM пропорционален (ор)ср7М. Но
при пространственных вращениях ар ведет себя так же, как ая. Поэтому
угловая часть спинора определяется произведением а/г на Q7zm(#)-
С другой стороны, она имеет вид £^гм(#)- Поэтому должно иметь место
равенство

(a/z) QjlM (п) = cQji'M (п),
где с — некоторая константа. Чтобы найти ее, выберем направление п
вдоль оси г. Используя определение шарового спинора (9.5.5) и явные
выражения для коэффициентов	1^, получим с== — 1, т. е.

(ая) (п) = — Q3vm (п), 1 + Г = 2/.	(9.5.6)

Шаровые спиноры, как следует из общих свойств преобразова-
ния (3.3.1), образуют ортонормированную систему функций

Q*im (я)	(я) do =	(9.5.7)

где do = sin 0 dQ dtp — элемент телесного угла, в котором лежит вектор /г.
9.6. Волновая функция свободного электрона с определенным
моментом. Перейдем теперь к нахождению волновой функции свободного
электрона с определенными значениями энергии и момента. Мы будем
обозначать ее через и искать в виде

_ /фелм \	/ а (г) QjiM (п) \

феЯМ	)	\lb(r)Q3i'M(n)/ ’

(9.6.1)

где Q.jiM (п) — шаровой спинор, определяемый формулой (9.5.5). l = j ,

= / =F и а (г) и b (г) — некоторые функции г (они называются радиаль-
ными функциями). Спиноры (p8jZM и %£i7zm удовлетворяют уравнениям (9.5.1),
В которых нужно ПОЛОЖИТЬ (0 = 8 и считать 8>0.

Подстановка (9.6.1) в (9.5.1) приводит к выражениям

(op) (а (г)	(ая) £ljiM (п) + а (г) (ар) (и),

(op) (ib (r) Q}VM (я)) (ая) Q3l,M (n) + tb (r) (op) QjVM (n),

-гд$ p=—tX. Поэтому прежде всего нужно вычислить (op)^jZM («)•
Покажем, что

(op) Qj,M (п) = i У" (я),

!_.z	(9-6.2)

(op) (я) = i Qjim (и),

где

х-/(/+1)-/(/+1)-4,

т. е.

{/, если /=/ —у, /' = /—!,

—(Z—}—1), если	I'~ I1.

Заменим для этого в левой части первой из этих формул &пм(п), в соот-
ветствии с (9.5.6), на — (ад)QU'M(n):

(ар) QJlM (д) = — (ар) (ад) (п),

а так как

(ар) (ад) = рд + i [рд] а,

то

(<Ф) QjZM (д) = — (рп +1 [ри] <*) ЙД'V (п).

Но

— t\n =	п^^2}1'м(п) = 0.

Поэтому

(ар)Й,ш(я) = (^-4-1-^) Q;rv(«),	(9.6.3)

где L = [rpJ.

Шаровой спинор £2,гм(«) является, как мы знаем, собственной функ-
(1 \2

L + yal и L2. Отсюда следует, что этот спи-
нор является также собственной функцией оператора La, и мы можем
в применении к £1}1’м (п) произвести замену
Lo—> J2 —1_2 — -^<т2,

(La)	(я) ={/(/+ 1) -/'(/'+ 1)- |} Q,rM («).

Подставляя это выражение в (9.6.3), получим первую из формул (9.6.2).
Аналогичным образом можно доказать вторую из формул (9.6.2).

Подставим теперь в уравнения (9.5.1) выражение (9.6.1) и восполь-
зуемся формулами (9.6.2). В результате мы получим следующую систему
уравнений для определения радиальных функций а (г) и &(г):

а (0 — (е + т) b (г) = О,
... ,	(9.6.4)

—b (г) + (е - т) а (г) = О,

где 8 — энергия частицы.

Вводя вместо а (г) и Ь(г) новые неизвестные

А (г) = га (г), В (г) = rb (г),
перепишем эту систему в виде

+-^ Д (г) - (8-Ни) В (г) = О,
^_Лв{г) + (8_/п)Д(г) = о.

Исключая отсюда В (г),

получим уравнение для определения Л (г)

__А2+ (е2-т2-------Д(Г)^ 0.

Решение этого уравнения выражается через функции Бесселя. Действи-
тельно, вспоминая, что общее решение уравнения

(J------V2 \

Р2+-4 --- Ь = 0

Г	X2 / 57

имеет вид

у — Ci V X Jv (Рх) + <?2 V % J. v (Р%),

где Jv (х) — функция Бесселя, найдем

=	(prj+^lA-^-J (pr),

P У+2	V P -("+2)

где Ci и c2 — произвольные константы и

p = ]/g2 — nt2.
Из условия регулярности Л (г) при г—>0 следует

р х+ъ.

т. е. при обоих значениях х (9.6.2)

a(r) = c—'—J ^рг).	(9.6.5)

V Рг

Найдем теперь В (г). Вспоминая связь между |S (г) и Л (г) и исполь-
зуя соотношение

Jv (-^) = J(%)	Jv (Х"),

получим при х>0

B(r) = cil/r^^l/— J dpr}, х>0.

v 1	1 V г + т V р %-±

Если х<0, то применение формулы

Jv 00 —	JV (-^) JV+1 (-^)

дает

в « =//S /р_Хт «<»

Таким образом, при обоих значениях х

b{r) = ~c	iipr).	(9.6.6)

V ' |х I Г & + т ypr	7	v

Входящая в а (г) и 6 (г) постоянная с определяется условием норми-
ровки. Поэтому фаза ее произвольна. Удобно выбрать ее равной
Полагая

c = cQ (2я)3/211,
где cQ — действительное число, представим а (г) и b (г) в виде

(9 67)

где gi (х) — функция, введенная в § 8.8 при разложении плоской волны
по сферическим волнам

ух

Найдем теперь постоянную с0. Будем исходить сначала из нормиро-
вочного условия

(г) феям (г) d3X = 6 (8— 8Z)
Подставляя сюда (9.6.1) и используя формулы (9.6.7), получим

ОО

M’?'3/M(H’l387Zv(r)<i3X = (2n)3 —Ji-rV^pr) Ji+i/2(p'r')rdr +

J	Урр' ij

ОО

+ S 7г'+1/2(Р/‘)Л'+1/2(р'г)Гб/г} .

0

Учитывая далее, что

ОО

Jv (pr) Jv (p'r) г dr =-^Ь(р — р') = ^-Ь (& — &'),
p	b

найдем

^t'Jni(r)'i>eJiM(r)d3x = ^^ (1+1тЭ 6(8~8')>
p& \ о 1" III' /

откуда

c° =	2(2лТз- p(m + ^-	(9.6.8}

Для определения постоянной c0 при нормировке на сферу радикса 7?

R

§ фв3ш (г) ’tyzjiM (г) d3x = do I ipejZM (г) |2 г2 dr = 1,

V	о

можно воспользоваться следующим общим приемом. Переходу к этой нор-
мировке от нормировки на 6-функцию отвечает переход от непрерывного
спектра к дискретному (ср. разложение поля (2.1 5) с (2.2.7)). Если функция
нормируется на 6-функцию от импульса, то число состояний в интервале dp
равно dp, в случае же нормировки на сферу число состояний, согласно (2.2 8)^
равно Rin dp Отсюда следует, что соответствующие нормировочные коэф-
фициенты ср и cR связаны между собой соотношением

4ы2=ы2-

В случае нормировки на 6-функцию от энергии число состояний в интер-
вале d& равно d& = pl г dp, и нормировочный множитель сг при этой нор-
мировке связан с Ср соотношением

и, следовательно,
i^i2=Zi^i2-

Таким образом, при нормировке на сферу значение коэффициента (9.6.8}
надо заменить на

c»=/fwns-	<9-6-9>

Окончательно волновою функцию	можно записать в виде

1	(е+т)р26	,	. \

НИз72 V ---&---Si (РП ^лм W \

k г	,	(9.6.10)

tyejlV (Г) =
где S = -h- ПРИ нормировке на сферу радиуса R и S = — при нормировке
на 6(8 — s').

При рг > 1 справедлива асимптотическая формула

,	Ke + m?sin (рг — /-£-)	\

Феу?м(г) «Т1/ -	\	\	.(9611)

у — К 8 — т I1 sm I рг — I	&31'м(п) /

9.7.	Четность состояния. Построенные в предыдущем разделе волновые
функции электрона	являются собственными функциями операто-

ров его энергии Н, квадрата полного момента J2 и его проекции Jz,
но не являются собственными функциями оператора квадрата орбитального
момента электрона L2, напротив, спиноры <p8Jzm(H и %8Jzm(H> обра-
зующие биспинор фе.7ш(Н,

,	, .	/Ф87Ш(Г)\

Фелм(/*)— 1у /»/ *

являясь собственными функциями оператора L* относятся, как мы знаем,
к различным собственным значениям /(/±1) и	этого оператора,

где / = /±1/2 и /' = /=р1/2. Это обстоятельство связано с тем, что
гамильтониан Н не коммутирует с оператором L2,

[Н, L2] 0.

Мы приходим, таким образом, к заключению, что для электрона, так
же как и для фотона, разделение момента количества движения на орби-
тальный и спиновый моменты не имеет, вообще говоря, смысла Это разделе-
ние приобретает смысл только для нерелятивистского электрона, т е в пре-
дельном случае р -> 0 При этом, как видно из (9 5 4), спинор %8jZM стре-
мится К нулю, и биспинор 4>8jZM СВОДИТСЯ К одному спинору (PejZM В этом
случае / (/ + 1) приобретает смысл квадрата орбитального момента элек-
трона В общем же случае не малых энергий электрона индекс I у волновой
функции обозначает не орбитальный момент, а указывает лишь на тот
факт, что для электрона возможны два различных состояния с одинаковыми
значениями 8, /, М

Покажем, что эти состояния отличаются своей четностью

Как мы видели в § 8 6, при пространственном отражении,

г —>—-г,
биспинор ф(г, /) преобразуется согласно закону

Рф (г, /) = Пр?4ф( — Г, Г).

Применим этот закон к волновой функции ф87гм(Н’ определяемой форму-
лой (9 6 6) Так как

//	0\

?4=\0 _/)’
то

РфеД V (г) = TlpTi^ZM ( — /•) =

/ (2я)-м а (рг) (_ \

~ Лр I	г----------	I ’
где n = ri\r\. Замечая, что

QjlM (	#) ~ (	1) &JIM (ц)

и что I и Г отличаются на единицу, т. е. ( — 1/ = — ( — 1/, получим
окончательно

Р'фелм (г) = Т]Р ( — 1 )ЧеДМ (г).	(9.7.1)

Это соотношение показывает, что помимо внутренней четности, т. е. мно-
жителя т]Р, одинакового для всех состояний электрона, преобразованная
функция отличается от исходной функции (в той же точке пространства)
множителем

w = ( — 1)г,
который можно назвать четностью состояния.
Итак, квантовое число I определяет четность состояния, а не орбиталь-
ный момент, который не имеет для электрона строгого физического смысла.
Два состояния с различными I при данном / (Z = j ± 1/2) отличаются своей
четностью.

9.8.	Разложение по сферическим волнам. Мы построили две различ-
ные ортонормированные системы волновых функций электрона фрм, (г)
И фе77м(^)- Произвольное решение уравнений Дирака может быть разло-
жено по любой из этих систем,

Ф(г) = 2 аЛ(И>
п

где п означает набор квантовых чисел рр или Если функции фп(г)
нормированы согласно условию

§ |фп(^)|2^==Ь

V

где V—нормировочный объем, то, очевидно,
ап = § фп(г)ф(г)й3х.

В частности, можно разложить волновую функцию электрона с опре-
деленными импульсом и поляризацией фрц по волновым функциям элек-
трона с определенными моментом и четностью фе77м‘

(г) = 2 Ш (г) <е/ш I Р|Л),

jlM
где

<е//М|рр,) = ф!дм (И Фрц (г) d3x,	(9.8.1)

или произвести обратное разложение

(г) = 2	(г) <рр I е/7М),

pg
где, очевидно,

<Pfx I е/7М) = (ejlM |рр)*.

Найдем коэффициенты разложения (е/7М|рр). Подставляя в (9 8.1)
выражения (9.2.1), (9.2.7) для фрц^):

4’рц(Н = у=«м(Р)^1>г>

=	3 ’ (v))* (v) = 1 - v = tGt*

8—mav^(v)/
и выражение (9.6.1) для ф8дм(Н:

,	. .	/ф8дм(г)\

ФеДМ (Г) =1	, Л,

\ХеДМ \Г)}

получим

<е/Ш | ди) = -Л= {]/е + tn (р) + У& — т (Р) (ov)} (v), (9.8.2)
V 2V&

где ф8дМ(р) и Ъл'м(р) — компоненты Фурье функций ф877м(г) и %еЛ'м(г):
фелм(р)= § феям (г) e~ipr d3x,
7.ZJIM (Р) = § Xej-zm (Г) e~ipr d3x.

Спиноры ф£/^м (/>), lejlM (р) образуют, очевидно, волновую функцию
электрона с определенными моментом и его проекцией в импульсном про-
странстве. Так как координаты и проекции импульса входят симметрично
в перестановочные условия

[pj’ —

то оператор орбитального момента в импульсном пространстве имеет ту же
структуру, что и в координатном пространстве

Lp— 1[р^р\,	^Р==~др

(этим мы уже пользовались в применении к фотону в § 3). Поэтому
ф8дм(р) и %&л'м(р) будут пропорциональны тем же шаровым спинорам
Qzzm(v) и Q77'm(v), которые определяют угловую зависимость ф87тм(г)
и ХеЛ'м(г), но аргументом спиноров будет, естественно, v = p/\p\, а не
п—г / j г |.

Чтобы получить спиноры ф877м (р) и %87щ- (р) с нормировочными
коэффициентами, отвечающими нормировке функции ф87тм(г), вычислим
их непосредственно, используя формулу (9.6.10)

<ре7гм (Р) = (2л)~3/2	(e+m) ^\gi (pr) («) e~il,r d3x

(аналогичной формулы для %877'м(р) мы не выписываем). Этот интеграл
легко вычислить, если воспользоваться разложением (3.8.1)

егк>г = 2 gl у*т (v)Ylm (П),
Im

определением шаровых спиноров (9.5.5) и ортогональностью шаровых
функций. Верхним пределом интегрирования по г является радиус норми-
ровочной сферы R. При этом можно заменить gi(pr) асимптотическим
выражением (8.8.5)

sin (pr—l
gi (pr) « 4ш1 —,

что дает

R

l\gi(pr)\*r*dr = {^, 6 = ^-.
о

9 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
Окончательно мы получим следующие выражения для <р&цм (р)
и Х8л'м(р):

феЛМ(р) = /		. &}1М (V),

1/28(8 — т) 6

'	(9.8.3)

__/9тт\3/2	V 7

(v).

V2s(8/-m)d

Подставив эти формулы в (9.8.2), найдем <8/7714 |рр):

(е/Ш |Я1> = (Q*iM (v)	(V)),	(9.8.4)

р V Vv

и^(р)ег^>г =

un (р) eipr 2 (Q*/m(v) ^(v)

3lM

откуда следует, что разложение плоской волны на сферические волны
имеет вид

]/e + m^(v) Vipr =

Yе — т (ov)	(у)/

= 3 &(v)^(v))(	(9.8.5)

где г’*1* (v)	(v) — 1.

При рг > 1 справедливо асимптотическое представление

_________sinfpr—Z-5-j	\
ilV& + m---------------------------|

_____sin(pr-/'v) I

— il']/e — m —i— --------(и) /

(9.8.6)

Величина (pjx J 8/7714) представляет собой амплитуду вероятности того,
что электрон, находясь в состоянии с определенными энергией, моментом
и четностью, имеет импульс р и спиральность jx. Поэтому угловое распре-
деление электронов в этом состоянии определяется формулой

dw(y)===\QjlM (v)|2do,

где do — элемент телесного угла, в котором лежит вектор р.

Заметим, что при данном моменте j величина dw(v) не зависит от Z,
т. е. от четности электрона. Действительно, если 1 = j + 1/2 и Г = j— 1/2 —
два состояния с данным /, то, согласно (9.5.6),

| Йугм (V) I2 = (ЙЛм (V) (0V)) ((0V) ЙЛМ (V)) = | ЙДМ (V) р.

Угловое распределение dw(y) можно представить в виде

г—1/2

dw(y) = -~ 2 а2пРгп (cos О) do,	(9.8.7)

n=0

где ft — угол между v и осью z и а2п — некоторые численные коэффициенты.
Действительно, используя определение шаровых спиноров и правила сум-
мирования коэффициентов векторного сложения (§ 3.4), мы придем, повто-
рив рассуждения § 3.7, к формуле (9.8.6) со следующими значениями коэф-
фициентов aL:

„	,	, С1Г-1/2/-.Ь0	Г>Ь°

aL = (— 1)	1/2з, -1/2 с/мл -м-
§ 10.	Движение электрона во внешнем поле

10.1.	Разделение переменных в центральном поле. В предыдущем
параграфе мы изучали состояния свободного электрона. Теперь мы перейдем
к изучению движения электрона во внешних электромагнитных полях.

Рассмотрим прежде всего движение электрона в электростатическом
поле, обладающем центральной симметрией:

Л=0, ф==ср(г).

Гамильтониан электрона имеет в этом случае вид

H-ap + ₽m + V(r),	(10.1.1)

где V (г) — потенциальная энергия электрона, равная

У(г) = еФ (г).

Легко видеть, что гамильтониан Н коммутирует с моментом J = L +
+ Поэтому в центрально-симметричном поле существуют состояния
электрона с определенными значениями энергии, квадрата момента и проек-
ции момента на одну какую-либо ось (ось г). Волновые функции таких состоя-
ний, которые мы будем обозначать через (**)> удовлетворяют урав-
нениям

Нфедм (/*)-- 8федм(г),

J2^ej7M (Г) = / (/ + 1) федм (Г),
Jz^sjVM (^*) ~	(f“)*

Представив	в виде столбца, состоящего из двух спиноров

федм(г) и х8дм(г),

Фе,7м(г)==1	I,

\ХеДМ V)/

МЫ ПОЛуЧИМ ДЛЯ феЯМ (Г) И %еДМ (г) уравнения

(<ф) федм (г) = (8 + т — V) Ъгнм (г),

(<ф) ХеДМ (г) == (8 — т — V) (г),

(Г) = j (j + 1) феям (г),	(10 12)

ЛфеДМ (г) = Л1фЕДМ-(г),

J2Xej7M (Г) = / (/ + I) ХгЦм (г),

JzXzjlM (Г) = М%глм (Г),

где J = L + yff.

Так как поле является центрально-симметричным, то угловая зависи-
мость спиноров фе7гм(Н и хе77м(^) должна быть такой же, как и угловая
зависимость соответствующих спиноров в случае свободного электрона.

Иными словами, мы можем положить аналогично (9.6.1)

фгдм (Г) = g (Г) QjlM (п),	(10 13)

ХеДМ (Г) = if (Г) &ц.м («),

где	(«) —шаровой спинор, l' = 2j — l, п — ~ и g(r) и f (г) — радиаль-

ные функции.
Можно непосредственно убедиться, что уравнения (10.1.2) имеют
решения в разделяющихся переменных г и п. Заметим для этого, что

(ор)фг>гм(г)= — i ^|^-(оп)Й7Ш(«) + ^(г)(ор)Й7Ш(га),

(°Р) Хелм (г) =	(о») ^1ц'м (п) + if (г) (<ф) &ц-м (»),

и воспользуемся соотношениями (9.6.2)

(®р) Qjim (п) = I	(п),

(<тр) QjVM(n) = i	(в),

где

'-(Z + 1), / = / + 4,

х =

1 /,

Учитывая, кроме того, что

(on) й?гм (п)— йд'м(^),

получим из (10.1.1)

+ 7 (rg (г)) — (8 + Ш — V (г)) (rf (г)) = 0,
d(rf(r}} х	(10.1.4)

-dr ~ 7	+ (е - /п - V (г)) (г,g (г)) = 0.

Это и есть уравнения для определения радиальных функций / (г) и g(r).

Вид этих функций, естественно, зависит от вида функции V (г). Мы рас-
смотрим прежде всего асимптотическое поведение радиальных функций
при г-э-оо, предполагая, что потенциальная энергия достаточно быстро
стремится к нулю с возрастанием г.

Пренебрегая в (10.1.4) вторыми слагаемыми, а также V (г), получим

(rg (г)) — (8 + tn) (rf (г)) = 0,

(rf (Г)) + (8 - т) (rg (г)) = 0,

откуда

rg (г) — С (е~~К1п + <7^)’
rf (г) — —СУ m — z(e~^r~qeKr),

(10.1.5)

где С — нормировочный множитель, К = ]/т2 — 82 и q — постоянная,
определяющаяся из условия конечности функций g (г) и f (г) при г = О
и зависящая от 8, /, I.

Как показывают эти формулы, поведение функций f (г) и g (г) при
г —оо существенно зависит от того, какое из неравенств имеет место:
8 > т или 8 < т. Если 8 > т, то величина X будет чисто мнимой, и оба
слагаемых в (10.1.5), не являясь нарастающими при г оо, имеют физи-
ческий смысл: именно, одно из них описывает расходящуюся, а другое —
сходящуюся волну (с определенным моментом). Так как не происходит
поглощения частиц, то интенсивности обеих волн должны быть одинаковы,
т. е. q по модулю должно равняться единице. Поэтому при 8 > т можно
положить

(10.1.6)

где S — вещественная величина, зависящая от характера потенциальной
энергии V (г) и являющаяся функцией 8, /, I:

6 = 6(8, /, /).

Используя это представление q, можно переписать асимптотические фор-
мулы (10.1.5) при 8>т в виде

г£(г) = ггС1]/8+^ sin (рг —-у- + б) ,

г____	(	/'л	\	(10.1.7)

rf(г)=—1гС1]Ле—sin^pr-------+ $) ’

где константа связана с Cj соотношением = 2iC (—1)!е16 и р =
= ]/е2 + т2 (эта величина представляет собой, очевидно, импульс свобод-
ной частицы, энергия которой равна 8). Нормировочная константа в форму-
лах (10.1.7) может быть выбрана таким образом, чтобы при 6 = 0 эти фор-
мулы совпадали с формулами (9.6.7) для радиальных функций свободного
электрона. Иными словами, величина 6 (она называется фазой на бесконеч-
ности) считается равной нулю в отсутствие внешнего поля.

Итак, мы видим, что при 8 > т возможны все значения энергии элек-
трона, т. е. при 8 >> т энергетический спектр электрона непрерывен.

Рассмотрим теперь случай 8 < т. В этом случае К будет веществен-
ной величиной. Поэтому из условия конечности функций f (г) и g (г) при
г ->• оо следует, что величина q, являющаяся функцией энергии, должна
обращаться в нуль,

q(&) = 0, 8<т.

Обращение q в нуль возможно при определенных значениях энергии. Иными
словами, при 8 < т энергетический спектр является дискретным.

10.2.	Сферически симметричная потенциальная яма. Рассмотрим энер-
гетический спектр в простейшем случае сферически симметричной потен-
циальной ямы

( —Vo, г<г0?

V(r) =	_°’

I 0,	г>г0,

где Vo — некоторая константа, называемая глубиной потенциальной ямы,
Vo > 0 (величина г0 называется шириной ямы).

Исключая из системы (10.1.3) функцию rf (г), получим следующие урав-
нения для определения rg (г) == w (г):

£^(г) Xfr+1) w	+	_m2] да (Г) = (),	г<-

x(xJ~1) да(г) —(е2 —т2)да(г) = 0,	г>г0.

Общее решение этих уравнений имеет вид

да (г) = ]/r {XjJ|x+1/2| (₽г) + В1У|х+1/2( (₽/•)}, (г < Го),
да (г) = Y~r {Л27|н+1/2| (Р'г) + В2?/|н+1/2| (07)}, (г > Го),
где J (х) и N (х) — функции Бесселя и Неймана,

р = K(e4-V0)2 — m2,	р' = /е2 —m2.

Условие конечности w (г) при г = 0 требует, чтобы Bi = 0.

Вместо условия конечности при г ->• оо мы введем условие

(7?) = 0,

где константа R удовлетворяет условию R > г0- Это соответствует помеще-
нию системы в сферический ящик с непроницаемыми стенками радиуса /?.
Принципиального значения такое изменение граничного условия не имеет.
Однако практически оно удобно тем, что делает весь спектр дискретным
с очень малым расстоянием, порядка 1/R, между соседними значениями в
в области | 8 | > т (мы пишем модуль 8, так как параметр 8 в (10.2.1)
может быть как положительным, так и отрицательным). Благодаря дискрет-
ности спектра мы сможем следить за изменением положения каждого уровня
при изменении Уо.

Из граничных условий следует

В = —Л

2	2 ^|х4-1/2| (Р'Т?)

Требование непрерывности w(r) при г = г0 приводит окончательно к формуле

ау (г) = Л j/V

[N|х+1/21 (₽'#) j|ч4-1 £2) (р'^о) ~

— J\h+1/2\ (₽'£?)	(P'^o)J	(Pr),

^1^4-1/21 (₽^o) [W 1^4-1/21 (₽'#) <W1/2| (₽'r) •—

“ j 1x4-1/21 (₽'#) N 1^4-1/21 (P'HL

г<г0,



где A — нормировочная постоянная.

Энергетический спектр определяется из условия

\ W /г=го-О \ W /г=го-}-о’

где Wi (г) = rf (г). Выразив (г) через w (г) при помощи уравнений (10.1.4)
и используя асимптотические выражения функций, содержащихся в аргу-
менте R, получим при 8 < т

где v = x + а=рг0, сх' = р70 и (х) — функция Ганкеля.

Корни этого уравнения можно определить в общем случае только
графически.

Рассмотрим случай / = 0, к= — 1, v= —1/2. Тогда

Ji/2 («) = у' sin а, М/2 (а) = - f ега,

и последнее уравнение принимает вид
Это уравнение легко решить в предельных случаях широкой (т/"о > 1)
и узкой (mr0 < 1) ямы. В первом случае

1 — actga = —~~ [1 +тг0 р —	, /иг0>1.

Отсюда видно, что первое связанное состояние е = т появляется при
<х==-у, т. е. при = как и в соответствующей нерелятивистской
задаче. Энергия уровня достигает значения е = 0 при

Vo = (1 +^гИ т> е = °,

и значения е~ — m при

Vo = 2 (1 +	) т, е= — т.

u	‘ 4m2rg /	’

Во втором случае (узкая яма, mr0 < 1) состояния с а = т, 0, —т
достигаются при следующих значениях:

о =-----т,

го

8-0, Vo = -~-,

е= — т, V0 = ^~-\-m.

П)

Мы видим, что в обоих предельных случаях (mr0 > 1 и mr0 < 1) интер-
которому соответствует изменение е от т

вал изменения глубины ямы Уо,
до —т, равен 2m (в общем случае он
также ~2т).

На рис. 10.1 схематически изоб-
ражена зависимость энергетического
спектра от глубины ямы Уо при задан-
ном радиусе ямы г0 [12]. Мы видим,
что при Vq < V™ связанные состоя-
ния (| е | < т) отсутствуют. Спектр
состоит, как и в отсутствие внешнего
поля, из двух областей е > т и
е <Z —т, которые мы будем называть
верхним и нижним континуумами.
При V0>Vq1} нижний из уровней верх-
него континуума принимает значе-
ние, меньшее т, т. е. появляется одно
связанное состояние; при Vo = V(o2)
появляется второе связанное состоя-
ние и т. д. Значение энергии для каж-
дого связанного состояния непрерыв-
но уменьшается при росте Уо и даже

Рис. 10.1.

становится при Vo > V<3) отрицательным. Тем не менее мы можем причис-
лить эти состояния к электронным состояниям, ибо адиабатическим изме-
нением внешнего поля можно вернуть такие состояния в верхний конти-
нуум. Трудность возникает, когда при значении Ио= уровень пересе-
кает границу в — —т и сливается с нижним континуумом, тредставляющим
собой совокупность позитронных состояний. Однако задача о поведе-
нии электрона в потенциальной яме, глубина которой превышает
не может быть решена в рамках квантовой механики одной частицы.

10.3.	Движение электрона в кулоновском поле ядра. Одним из важней-
ших применений уравнений Дирака является исследование движения
электрона в поле ядра Это поле не является строго центральным. Откло-
нение от сферической симметрии связано с наличием в общем случае у ядер
электрических квадрупольных и магнитных дипольных, а также высших
мультипольных моментов. Если пренебречь этими эффектами, обусловли-
вающими сверхтонкую структуру электронных уровней, и считать поле
ядра сферически симметричным, то можно рассматривать состояния элек-
трона с определенными значениями энергии, момента и четности. При этом
волновые функции таких состояний имеют вид (10 1.3), и задача сводится
к решению уравнений для радиальных функций (10.1.4).

Поле вне ядра совпадает с полем точечного заряда, т. е.

V(r)=-----— ,	r>r0,

е2

где а = —, Ze — заряд ядра и г0 — радиус чядра. Мы рассмотрим задачу
в том приближении, когда можно пренебречь конечными размерами ядра*
и будем считать, что это выражение для V (г) справедливо вплоть до г = 0.

Уравнения для радиальных функций в таком поле имеют вид

{rg (0) + {rg (г)) - (е + т +	) {rf (г)) = 0,

d	х	/ za\	<10-ЗЛ>

{rf {г))-—{rf{r))+(e-m+-£r){rg {г)) = 0.

В соответствии с характером асимптотического поведения радиальных
волновых функций (10.1.5) будем искать решение уравнений (10.3.1) в виде
rg {г) = j/1 +	е-^ (F, (2V) + F2 (2V)),

,------ (Ю.3.2)

rf {г) = У 1 - {Fi (2V) - F2 (2V)),

где X==V'm2 — s2. Подстановка этих выражений в (10.3.1) приводит
к следующим уравнениям для функций /^(р) и Е2(р):

^4^ +(4^-0 Л(р)+(^+—)^2(р)=о,
dp	Хр -Г р )	2W)

^-^^2(р)-^-^Л(р)=о,	( ’*

dp	2	\ Хр р /

где p = 2V.

Выясним сначала поведение решений этих уравнений при р —> 0.

В этом случае можно положить

F1 (р) = «1Р7,	(р) = «2Р7,

где а2 и у — константы, связанные, как следует из

(10.3.3), соотно-

шениями

/	, Zas \ I / I	\ п

(т+—) “1+ г+"Т~) а2==0’

(-и + —)ai+(-v + —)«2 = 0.
Приравняв нулю детерминант этой системы, получим

у = У %2 — Z2a2

(10.3.4)

(знак корня должен быть выбран положительным, чтобы функции /дф)
и F2 (р) были конечными при р—>0).

Вернемся теперь к системе (10.3.3). Исключив из нее Fi(p) и вводя
вместо F2(p) Функцию О2(р),

Fz (р) = Рт<?2 (р),

получим для б2(р) Уравнение

Р^е1 + (2?+1-р)^^-+(^-т)С2(р) = 0.

Сравнение этого уравнения с уравнением

Р “згт" + (b — р) —j-~ 0

г dp2 ‘V	dp

для вырожденной гипергеометрической функции PF (а, Ь; р)

ь- р)=-Шу г-<а+п>

Г (a)	Г(6 + п) п!

п=0
показывает, что

G2(p) = C^ (у —	2у+1;р)

и, следовательно,

F2(p) = Cp^(?-^, 2у+1;р),

(10.3.5>

где С—некоторая константа.

Найдем теперь функцию Ft (р). Вычислим для этого :

=	2у+ 1; р)	2у+ 1; р) .

Но

г? (a, b; р) = A{^(a + i, Ь. р)-.<Г(а, Ь- р)}.

Поэтому

т;г=ср'_‘{т^(т-т- 2т+1;р) +

+	+	2т+1; р)} 

Подставляя это выражение во второе уравнение (10.3.3), получим

Za&

л(р)=-ст zL pvjr(v+1-^F’ 2Т+1; р) • (10-3-6>

X---7-

Формулы (10.3.2), (10.3.5) и (10.3.6) определяют радиальные функции
независимо от того, будет ли &<Zm или в>т.

Рассмотрим сначала случай 8<т. В этом случае энергетический
спектр будет, как мы уже знаем, дискретным. Чтобы найти возможные
значения энергии, нужно воспользоваться условиями конечности функций
Л(Р) и F2(p) при р —> оо.

Для гилергеометрической функции (а, Ь\ р) справедливо следующее
асимптотическое представление при р > 1:

6; р)»е-»»тШ-уР- + £Й>..0->ЛР.

Из него следует, что cF(&, 6; р) не будет содержать экспоненциально
нарастающего члена, если

В применении к функциям F2(p) и ^i(P) эт0 условие дает
--------------------------------------5-------------------------------------= о,
--------------------------------------1-= 0,
/ Zwn \ - / Za& \
(—-*) г(т—г-)

тде X —]/т2— в2.

Если — х^=0, то второе условие совпадает с первым (в част-
ности, это имеет место всегда при х<0). Так как полюсами гамма-
функции являются целые отрицательные числа и нуль, то мы получаем

юткуда

(10.3.7)

-где пг = 0, 1,2,3, ... и у = ]/х2 — Z2cz2.

Zam	Zas

Если х = —т—>, то, как легко видеть, у = -^—
к	к

этом второе условие не выполняется).

Мы видим, таким образом, что

Г 0, 1, 2, ..., если х<0,
Пг t 1, 2, ..., если х>0.

т. е. пг = 0 (при

Формула (10.3.7) определяет тонкую структуру уровней водородоподоб-
ного атома (при х < 0 число пг называется радиальным квантовым числом,
при х > 0 радиальным квантовым числом называется пг — 1).

Полагая в этой формуле пг = 0. и х = —1, найдем энергию основного
состояния

80 = tn ]/^ — Z2a2.

Обратим внимание на то, что при Za = 1 значение е0 обращается в нуль,
а при Za > 1 становится мнимым. Однако это заключение непосредственно
не имеет физического значения, так как оно справедливо лишь для куло-
новского поля точечного заряда. Учет конечности ядра коренным образом
меняет ситуацию. Рассмотрение задачи о движении электрона во внешнем
поле, кулоновском при г > г0 и описываемым некоторой потенциальной
ямой при г < г0 и (го — радиус ядра) показывает [13], что связанные
состояния могут осуществляться и при Za > 1. При увеличении Z низший
уровень понижается и, как это имело место в примере, разобранном
в § 10 2, достигает значения —2т при некотором Zc. Для г0 = 1,2 -10“12 см
Zc 200.

Если Za < 1, то разложение формулы (10.3.7) по этому параметру
с точностью до (Za)4 дает

±^1 = — (Za)2 {А + А?- (А —Л)}	(10.3.8)

т ' 7 I 2п2 1 2п3 \ | к | 4п ) J	'	7

где п = пг а | х | (это число совпадает с главным квантовым числом нере-
лятивистской квантовой механики). Первый член в (10 3 8) соответствует
формуле Бальмера.

Формулу (10.3.8) можно переписать также в виде

где а0 —радиус первой боровской орбиты,

Характерной особенностью формулы для тонкой структуры является
то, что в нее входит абсолютное значение х. Поэтому все уровни энергии,
кроме наинизшего, двукратно вырождены. В частности, совпадают уровни
2$1/2 (/V= 1, х = —1, 1= 0, / = -i-, п = 2) и 2pi/2 (пг = 1, х = 1, I = 1,

J = Y > п = 2)-

В дальнейшем (§ 38) мы увидим, что формула (10.3.7), основанная
.на применении понятия заданного внешнего поля, не является точной.
Поправки к ней снимают вырождение по х. Величина этих поправок при
малых Z по порядку величины равна (Za)4 а. Отсюда видно, что, например,
использование формулы (10 3.7) для водорода с точностью, превышающей
точность разложения (10 3.8), не имеет смысла

В заключение этого раздела приведем окончательные выражения для
радиальных функций дискретного спектра

_ уГ(2? + пг+1) ]/	/ 22 ^3/2

Г(2? + 1)УН7 Г 4/V (/V—х) I Na0 ) е	{ Na0 )	*

X {пТ^ ( -nr + 1, 2у + 1; JgL) -(JV-x) jr (_„r, 2y+ 1; (-^-) } ,

(10.3.9)

f(r)= Vr(2Y + »r+l) |/	\3/2	2Zr 4 7-1

M' Г(27+1)1/7^Т F 4N(N-k) \Na0 ) e { Na0 )	*

x {n^(-nr + l, 2V+1; ^)+(2V-x)^(-nr) 2?+l; ^) } ,
где

IV = Vn2— 2nT (| % | — y).
Эти функции нормированы согласно условию

ОО

J (f2 + g2)r2dr_h
0

10.4.	Волновые функции непрерывного спектра в кулоновском поле ядра.
При 8 > т энергетический'спектр электрона будет, как мы знаем, непре-
рывным. Мы перейдем теперь к подробному рассмотрению этого спектра.

Общие формулы (10.3.2), (10.3.5), (10.3.6), определяющие радиальные
функции для кулоновского поля точечного ядра, в случае непрерывного
спектра могут быть записаны в виде

rg (r) = у + 1 e~ipr (2» X

X 1—?+г^г£	2у+ 1; 2ipr) +

I — X---—

I	8

1

+ ^(y + i%, 2у + 1; 2ipr)\ ,
)

rf (г) = iCe^ ]/Z — 1 e~ipr (2pr)v X

(10.4.1)

X j'	(Y + 1 + 2T + 1; 2ipr}~

I x ~

1

— ^(7 + ^, 2y+l; 2ipr)} ,

J

где

p — ]^82 — m2, S = ~~, у — jKz2 — Z2cx2;

С — нормировочная константа и ф— произвольная фаза, которые будут
выбраны далее.

Замечая, что х2 +	= у2 + £2, и вводя вспомогательную величину

8 4

8

можно переписать rg(r) и rf(r) в виде

rg(r) = Cel^+^ j/Z- + 1 е~ w	X

X {(у + i%) (у + 1 + i%, 2у + 1; 2ipr) +

+ (у —г^)е-”1^(у + /1, 2у + 1; 2ipr)}t

rf (г) = iCeW+V)	1 e-ipr x

X {(у + %) (y + 1 + zl, 2y + 1; 2г» -

— (у — zl) е~г^ (у + zl, 2y + 1; 2z»}.

Используем далее известное соотношение

(fl, b-, х) = exJF (b — a, b; —x).
Из него следует, что

е-грг^г (у Ц- zg, 2у 4-1; 2tpr) = (у + 1 — zg, 2у 4- 1; — 2tpr).

Поэтому окончательно можно представить функции rg(r) и rf (г) в виде

rg(r)= Се^ /4+ 1 V=7T х

X {(у + ig)	(у + 1 +1£, 2у + 1; 2tpr) + с. с.},

rf (г) = tCe^f^ 1/-— 1	х

' v 7	V пг	у — zg

(10.4.2)

X {(т + Ф е~грг-гг^ (у + 1 + tg, 2у+1; 2ipr) — с. с.} у

i(c. с. служит для обозначения комплексно сопряженной величины).

Выясним, как ведут себя эти функции при г —> оо. Используя асимпто-
тическое представление гипергеометрической функции

Л7-/	, 1 , t О I 1 О \	Г(2у4-1)	-?1п2рг-^. г(2рг-^+51п 2рг)

^(y+l+ig, 2у+2ev 2

-справедливое при pr > 1, получим следующие асимптотические выражения
для функций rg(r) и rf(r):

rg (г) «е’(ч>+ч)	+ 11Г ! е~ cos (pr+g In 2рг+6),

(г) »	ег(ф-11)	~ 1 Г? (yVHg) j Sln 1п 2^г+6)’

ГДе	6 = п — argr(y-HB)-	(10.4.4)

Определим теперь нормировочную константу С.
Предполагая выполненным условием нормировки

R

(|^(г)|2 + 1НП|2)гМг=1,
о

где R выбрано таким образом, что pR^> 1, получим, подставляя под знак
интеграла вместо rg (г) и rf (г) асимптотические представления этих функций,

11/ Р~т |Г(т+1+/£)|

2 F s/?	Г(2у+1)

(10.4.5)

Нам остается сделать выбор произвольной фазы <р. Рассмотрим с этой
целью переход к свободному электрону, Z > 0. В этом случае g = 0, т. е.
rj = yarg( —х), 6 = т] — 31	, и асимптотические формулы (10.4.3) с уче-

том (10.4.5) принимают вид

rg(r)^-y	2/sm {рг---?

— z Ях .. .. h=z’

rf (г) « ~у -^-е	2 Sin (

rg (И » У el<₽ sin (рг —

г/ (г)«—]/45гегч>sin (pr~- h2i)n)
г Ы\	\	2	/

(10.4.6)

к— —1 — 1.
С другой стороны, в § 9.6 мы уже определили радиальные функции
для свободного электрона

-^sin (рг—у) ,

Поэтому мы выберем фазу <р таким образом, чтобы получить эти формулы.
Легко видеть, что

Ф = -y + n + argCY —

(10.4.7)

Действительно, при таком выборе ср, если >0, х>0, то ^(ф+ч)—>—il-9
если же >0 и х<0, то ^(ф-И)	? и формулы (10.4.6) переходят

в формулы (9.6.7).

Подставляя (10.4.5), (10.4.7) в (10.4.1), представим окончательно
функции rg(r) и rf(r) в виде

i ‘?	е!'"	(2рг)’'

{(? + г1)	(у 1 _j_ 2у +1; 2ipr) + с. с.},

rf (г)	(2pr)v,

{(? + ^)	(у+ 1 +fg, 2у+ 1; 2fpr) —с.с.).

(10.4.8)

10.5. Электрон в постоянном и однородном магнитном поле. В пре-
дыдущих разделах мы рассматривали движение электрона в электростати-
ческом поле. Рассмотрим теперь движение электрона в постоянном магнит-
ном поле.

Уравнения Дирака для биспинорной волновой функции

описывающей стационарные состояния электрона в таком поле, имеют вид
(а (р — еА) + |3т) ф = еф,
или

а(р-М)<р=(е + т)х,	(10 5д>

а (р — еА) % = (8 — т) ф,

где Л —векторный потенциал и 8 — энергия электрона.

Исключив из (10.5.1) спинор %, получим уравнение второго порядка
для определения спинора ф

(а (р — еЛ))2ф= (82 — т2) ф.	(10.5.2)

Мы будем рассматривать далее только простейший случай однородного
магнитного поля. Предполагая, что оно направлено вдоль оси г, можно
выбрать векторный потенциал А в виде

Лх = 0, Ау — Нх, Az = 0,
где Я —магнитное поле. Подставив эти выражения в (10.5.2), получим
следующее уравнение для определения спинора ф в случае постоянного’
и однородного магнитного поля:

{р2 + е2Я2х2 - еН (az + 2хру)} ф = (s2 - m2) ф.	(10.5.3)

Спинор ф можно выбрать так, чтобы он был собственной функцией
проекции спина на направление магнитного поля

Огф = Цф,

где р = ± 1. Поэтому мы будем снабжать ф индексом pi и считать, что*

/ФД	/ 0 \

tp‘ = Vo)’ ’’-“(.Ф-Т

где функции Фи удовлетворяют уравнению

{р2 + е2Я2х2 - еН (pi + 2хру)} Фи = (е2 - т2) Фи.

Решение этого уравнения можно искать в виде

Фц = Лу+М/(1(х),	(10.5.4).

где ру и pz — константы. Функция fp,(x) удовлетворяет уравнению

{“£+(еНх ~	~еН^ }	= (е2—m2 — РЪ fv. W.

или

/ d2 &	„ /е.	82 —т2—р^еНи,

(—Зё+Ь) ®=--------------ЙГ—-а°-5-5>‘

(Ру \

х--^р] 9 т. е. уравнению Шредингера для гармонического
осциллятора.

Функции fy,(g) должны, очевидно, обращаться в нуль при £ —>±оо.
Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие

е2—т2—pl+eHp

-----------1==2п+1, и = 0, 1, ...,
еп---------7

откуда

е2 = т2 + p2z + еН (2п + 1 - pi).	(10.5.6)

При выполнении этого соотношения, определяющего энергию электрона,
решение имеет, как известно, вид

Ш = Се * Нп(&	(10.5.7>

где Нп (£) — полином Эрмита и С — нормировочная константа.

Мы видим, что энергия электрона в постоянном и однородном магнит-
ном поле содержит непрерывный параметр pz — импульс электрона вдоль ГГ
и дискретный параметр п, связанный* с финитностью движения электрона
в плоскости, перпендикулярной магнитному полю (в классической механике
движение в этой плоскости является круговым).

Определив спинор фц,, можно с помощью (10.5.1) найти спинор %:

Ь = {p-Pz + VeH (goy-iox ^-)| <ри, (10.5.8).
а следовательно, и биспинор ф = фи, описывающий состояние электрона
в магнитном поле

((e + m)on(g) \

°	Lf<W

PzVn (§)	I

-(2^)-^©/	(105g)

,ф ________J______। (s + m) vn (£) I e4pyv+pz^

-]/L^z l/2s (8+m) I i (2eH [n + 1 ])1/2 vn+1 ® I

\	—pzVn(^) /

где

Vn (5) = £ 2 Hn (£) я1/42?г/2	*

Эти волновые функции нормированы согласно условию

Ly оо

dz dy | фу, |2dx= 1.

О 0 —оо

§11. Рассеяние электронов

11.1.	Расходящиеся и сходящиеся волны. До сих пор мы рассматривали
только такие состояния электрона в центральном поле, которым соответ-
ствуют определенные значения энергии, момента и четности. В случае
инфинитного движения больший интерес представляют, однако, состояния,
в которых электрон вдали от силового центра имеет определенный импульс
и определенную поляризацию. Мы перейдем теперь к рассмотрению таких
состояний.

Если электрон, движущийся в некотором центральном поле, обладает
определенной энергией 8 (8 > т), то его волновая функция ф (г) может быть,
очевидно, представлена в виде суперпозиции волновых функций ф87гш (г),
описывающих состояния электрона (в данном поле) с определенными энер-
гией, моментом и четностью,

Ф (г) = 2 Одмфеям (г),

]1М

где алм — некоторые коэффициенты. Мы хотим, чтобы волновая функция
ф (г) описывала состояние электрона, имеющего на бесконечности опреде-
ленный импульс и определенную поляризацию. Это требование, однако,
не определяет однозначно вида функции ф (г). Необходимо задать еще
характер асимптотики ф (г) при г-> оо. Особенно важны два случая: когда
функция ф (г) при г оо имеет вид либо суперпозиции плоскбй и сфери-
ческой расходящейся волн

ф+ (г) — u^eipr + G+ (n)	,	(11.1.1)

либо суперпозиции плоской и сферической сходящейся волн

ф~ (г) ~ и^егрг + G~ (п)	.	(11.1.2)

Здесь р = | р | = У &2 — /п2, р — импульс электрона на бесконечности,
— биспинор, описывающий состояние свободного электрона с импуль-
сом р и поляризацией р и, наконец, G+ (ri) и G~(ri) — некоторые биспиноры,
зависящие от п = г!г.

Покажем, как найти коэффициенты алм, предполагая, что функ-
ция ф (г) имеет заданную асимптотику.

Воспользуемся для этого асимптотическим разложением (9.8.6) плоской
волны по сферическим волнам при pr > 1

/ i'Ke + mQ/Mf (n)sin	\

2 №м (v)	(v))	_____ \	'

им	\—ilVE — m Qji-м (и) sin I pr — Г -%- J /

и асимптотическим представлением функции ^цм (г) при pr > 1

феям (г)

РД/'ъ + т Qjim (ri) sin (
— i1' Кв — m Qji'M (ri) sin

г

где 6— фаза на бесконечности, определяющаяся характером силового поля
и зависящая от е, /, /,

6-6(8, /, Z) = 6yV,

и N — множитель, зависящий от нормировки функции ф877т(Н, который
мы будем считать далее равным единице.

Образовав разность u^eipr — 2 ajimty&jiM (И, мы должны потребовать,
чтобы в случае асимптотики (11.1.1) в ней исчезали все слагаемые, содер-
жащие e~ipr, а в случае асимптотики (11.1.2) —все слагаемые, содержа-
щие eipr. Это приводит к следующим значениям коэффициентов ацм: в пер-
вом случае

а^м = -у- е^П (Q$M (v)	(v)),

во втором случае

OjiM =	е~’6И (QjlM (v)	(v)).

Таким образом, ряд

(г) =-у- 2 vil (^)^еПм(г)	(11.1.3)

jlM

имеет асимптотику (11.1.1), а ряд

фрц (г) =	5	<v) vil (v)) Феугм (г)	(11.1.4)

jlM

— асимптотику (11.1.2).

Волновые функции ф^ц (г) и ф^ц (г) являются точными решениями
уравнений Дирака во внешнем поле, относящимися к непрерывному спектру.
При различных р и р они образуют две полные ортогональные системы
функций, по которым может быть разложено произвольное решение урав-
нения Дирака.

Мы будем далее пользоваться точными волновыми функциями ф^ц(г)
и ф^ц (г) при вычислении матричных элементов, характеризующих различ-
ные процессы взаимодействия электронов и фотонов. При этом, как будет
подробно разъяснено в § 28.8, в качестве волновых функций частиц, обра-
зующихся в результате какого-либо процесса, следует всегда брать функ-
ции вида ф^ц(г), а в качестве волновых функций частиц, исчезающих
в результате какого-либо процесса,— функции вида фрЦ(г).

10 а. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
В случае кулоновского поля ядра функции ф^ц (г) и ф^ (г) имеют вид

(г) = 2 ^7— VzR	Г(?+г=)) Q* м (v)	(р)	(г),

ИМ

(11.1.5)

(Н = 2 4jl(~<)t+1 V&R e~^Sn~~~areг(? ‘3s)) Q*ZM(v) v* (p) Унм(r),
jlM

где использованы обозначения § 10.4.

Просуммировать эти ряды в общем виде невозможно. Однако, если
по характеру физической задачи известно, что в исследуемом процессе
главную роль играют большие прицельные параметры (которым соответ-
ствуют большие значения углового момента электрона), то эти ряды могут
быть приближенно заменены функциями [14]

Ф+Ц (г) = Г (1 - %) eipr (1 - -^г)	1^, 1; -i (рг - рг)] и» (р),

Ф^(г) = Г(1 + ф A^(l--1; -i(pr + pr)]t^(p).

Смысл этого приближения (оно называется приближением Фар ри —Зом-
мерфельда —Мауэ; такое же название имеют и функции (11.1.6)) заключа-
ется в том, что если произвести разложения функций (11.1.6) в ряды
по шаровым спинорам, то члены этих разложений будут существенно
отличаться от соответствующих членов рядов (11.1.5) только при
^y(ccZ)2; члены же с I > -i-(ccZ)2 будут практически совпадать в обоих
разложениях. Так как моменту I соответствует прицельный параметр
р~//р, то использование функций ФрЦ(г) вместо рядов (11.1.5) будет при-
водить к малым ошибкам, если эффективные значения прицельного пара-
метра в исследуемом конкретном процессе удовлетворяют неравенству

Заметим, что так как силовое поле обращается при г оо в нуль,
то расходящаяся и сходящаяся волны удовлетворяют уравнениям Дирака
для свободного электрона

(yV — у48 + tn) G± (п) —jr- = 0.

Но при Г —> оо

_L VG± (л) £___ ~± прв± (/г) £_.

Поэтому биспинорные амплитуды (п) удовлетворяют уравнениям

(+ рп\ + 48у4—ini) G± (ri) = 0.

Сравнение этих уравнений с уравнением (9.2.2) для биспинора и(р) (при
р = ± рп) показывает, что амплитуды G+ (/г) и G~ (ri) можно представить
в виде, аналогичном (9.2.7):

/ Уе + т F±(ri) \

G±(/z)= z_________	,	(11.1.7)

\±]/s — т (<т)Р±(п))

где /?±(/г) — двухкомпонентные спинорные амплитуды.
Используя ряды (11.1.3) и (11.1.4) и асимптотическое представление
(9.6.11) функций феялИН» легко убедиться, что

F+ (л) = ^- 2	(v) (*)) (е2Из7 ~ 1)	(«)	(Н.1.8)

llM

и

(-l)l+1&(v)^(v))(e-2^-l)QjUf(«). (Ц.1.9)
3lM

11.2. Амплитуда и сечение рассеяния. Волновая функция 'фрц(г)
описывает процесс упругого рассеяния частиц в центральном поле. Пер-
вый член асимптотической формулы (11.1.1) (плоская волна) отвечает
частицам, «падающим» из бесконечности на рассеиватель, а расходящаяся
волна — рассеянным частицам.

По смыслу обоих слагаемых, входящих в эту формулу, величина

/0 = (ц^)* (av)

где v =р! | р |, представляет собой плотность потока падающих частиц
на бесконечности, а величина

= (G+(n))* (an) G+(п) do,

где do — элемент телесного угла в направлении и, dN—число частиц, рас-
сеиваемых в единицу времени в этом направлении. Разделив dN на /0,
мы получим дифференциальное сечение рассеяния

(С. (»>)•(.„) о. („) i0
(и11)* (av) иц

(11.2.1)

Это выражение можно упростить, используя представление (11.1.7) для
G+(n). Действительно, легко видеть, что

(G+ (//))* (атг) G+ (и) = 2pF* (и) F (п),

где вместо F+(n) использовано обозначение F (п). Замечая далее, что,,
согласно (9.2.7),

(ц^)* (av) uF = 2р (^ (v))* zF (v),
получим

. F* (п) F (п)	,	Z11 п

do = —т——V— do.	(I l.2.2)

(vg (v))*	(v)	V '

При нормировке

(yH (v))* t^(v)= I

дифференциальное сечение рассеяния приобретает вид

do = |F(fl) |2do.	(11.2.3)

Связь между спинорными амплитудами рассеянной и падающей волн
F (п) и u(v) (мы опускаем в дальнейшем значок р у t^(v)) удобно пред-
ставить в виде

F(tz) = /?(/z, v)y(v),	(И.2.4)

где R(n, v) —некоторая двумерная матрица. Она должна, очевидно, иметь
следующую структуру:

Я (л, v)s=a(n, v)-]-ai(n, v)a,

ю*~-
где а —скаляр, а а± — аксиальный вектор. Но единственным аксиальным
вектором, который можно построить в задаче о рассеянии, является вектор
[v/г]. Поэтому R (п, v) можно записать в виде

R(n, v) = &('&) — (тЭ1) [vtzJ ст,	(11.2.5)

или

R (/г, v) = а ('&) — ib (О*) sin $ (tf^ cos ф — ох sin ф),

где Ф и ф — сферические координаты вектора п в системе, в которой
вектор v направлен вдоль полярной оси. Функции а (й1) и Ь(Ь) можно
найти, сравнивая (11.2.4) с (11.1.6). Используя явный вид шаровых спи-
норов и матриц а4, получим

а w = 2тг 2	-1) I х I pi (cos $)>

31

(11.2.6)

л

где Pi (х) — полином Лежандра, Pi (х) =	» х = cos

Таким образом, амплитуда рассеяния и дифференциальное сечение
полностью определяются значениями фаз SjZ.

Через фазы 6jZ можно выразить также интегральное сечение рассеяния

а = | F |2 do.

Действительно, используя выражения (11.1.8) для F и замечая, что

(п) Qj'i'M' (я) do = Ь33'Ьц'8ммч

получим

<г= 2 I(v)v <v) I21	I2-

ЦМ

Направим ось г вдоль v. Тогда

Q$m(vMv)= 2 С^1/2аГг*т(0)иа.
т, а

Но	______

УIm (0):=:j//"‘

СзМ 1/^ Iх ।

bioVaM у 2Z + 1

(напомним, что х = ± (/ +1/2) при j = I =р 1/2). Поэтому

2|QMv)t>(v) |2 = ^-
м

и

<у = ^~ 3	(11.2.7)

Л

Если для всех I имеет место равенство 614-1/2, i = 8i-1/2,1 т° фор-
мула (11.2.4) переходит в известную нерелятивистскую формулу для
сечения рассеяния

°=^-E(2/+1)sln2^

г

I

11.3.	Поляризация и азимутальная асимметрия. Характерной чертой
рассеяния электронов является азимутальная асимметрия, т. е. зависи-
мость дифференциального сечения рассеяния от угла ф. Согласно (11.2.5)
угол ср содержит матрица R (п, v), определяющая связь между амплиту-
дами падающей и рассеянной волн, причем коэффициенты при cos ф
и sin ф содержат операторы спина электрона. Поэтому азимутальная асим-
метрия рассеяния тесно связана с характером поляризации падающей
волны.

Дифференциальное сечение рассеяния легко связать с состоянием
поляризации падающей волны, если воспользоваться поляризационной
матрицей плотности электрона р. Из (11.2.4) следует

Заменив произведения компонент спинора на элементы матрицы плот-
ности раз, получим, используя (11.2.3),

do = Sp ад-Мо.	(11.3.1)

Подставив сюда общее выражение (9.4.5) для р

P = l(l + gG),

где ? — вектор поляризации (удвоенный средний спин в системе покоя
электрона), и выражение (11.2.5) для R, получим

da = Q('&)(l 4-Д($) g[vn])do = Q(ft){l 4-△(&) (£„ cosqj — l^sincp)} do,

(11.3.2)
где

Q(^) = |a|2 + |6|2,

sin^~ (И-3-3)

Из (11.3.2) видно» что рассеивающая система является «анализатором»
поляризации. Измерение азимутальной асимметрии дает возможность опре-
делить составляющую вектора поляризации £, перпендикулярную к пло-
скости рассеяния. Выбирая для ф значения Ойл, получим из (11.3.2)

A/ W _ da (fl, 0) —da(fr, л)
' ' ~у	do (Ф, 0) 4-da (Ф, л) ’

при ф — ± л/2 найдем

a W	)—14—^44.

da ( О, —— ] -j-dal Ф, —)

Продольную составляющую вектора поляризации нельзя определить
при однократном рассеянии.

Если А (Ф) = 0, то рассеяние не обладает азимутальной асимметрией.
Это имеет место, в частности, в нерелятивистском приближении, когда
рассеянию в центральном поле отвечают одинаковые фазы 6jZ при данном I
и различных /. При этом, согласно (11.2.6), b — 0 и, следовательно, А = 0.
Кроме того, азимутальная асимметрия отсутствует в случае малых
фаз Действительно, если е2гб^ — 1	2f6j7, то а и b вещественны

и, согласно (11.3.3), А(т^) =0.

Заметим, что при д -> 0, А -> 0, так как А (О') содержит множитель sin О.

Вследствие зависимости матрицы Я от а при рассеянии меняется
состояние поляризации электрона. Поляризационная матрица плотности р'
рассеянного электрона может быть определена как = - [ р р “, где ^а. ~
составляющие спинора F. Из (11.2.4) находим



(11.3.4)

Поэтому вектор поляризации рассеянного электрона равен

_Sp

6 ~ Sp£p£+ ’

Если падающий электрон не поляризован, то
g' = A(d) т,
где

sin д ’

(11.3.5)

(11.3.6)

т. е. рассеянный электрон поляризован в направлении, перпендикулярном
к плоскости рассеяния, а степень поляризации его равна А (д). Таким
образом, рассеивающая система является «поляризатором».

Используя (11.3.6) и (11.3.2), мы приходим к заключению, что вторич-
ное рассеяние неполяризованного электрона будет обладать азимутальной
асимметрией. Дифференциальное сечение вторичного рассеяния опреде-
ляется следующей формулой:

+А ($)А ($') (тт'))>	с11 -3-7>

где cos д' = пп', т'= [/z/z'J/sind', п’— единичный вектор в направлении
вторичного рассеяния.

В общем случае при наличии начальной поляризации

_ (I а |2 — I |2)g	(ab* — a*b) x + (ab* + a*b) [rg] + 2 | b |2 (gr) x

*	|a|2 + |6|2 + Z(a/?* — a*Z>)gt

11.4. Борновское приближение. Полученные выше формулы для сечения
рассеяния электронов являются точными, но они содержат фазы на беско-
нечности 8л (е), весьма сложным образом зависящие от внешнего поля.
Упрощения возникают, если рассеивающее поле можно трактовать как
малое возмущение. В этом случае (называемом борновским приближением)
фазы малы:

6,7 (в) < 1,

и сечение рассеяния может быть непосредственно выражено через потен-
циал внешнего поля.

Рассмотрим подробнее этот случай.

Полагая в уравнениях Дирака

ф (х) = е“шф (г),

где 8—-энергия электрона, запишем эти уравнения в виде
(у V — у4е + т) ф (г) = ieyvAv (г) ф (г)
и будем рассматривать правую часть этих уравнений как малое возмуще-
ние. В качестве нулевого приближения возьмем плоскую волну

ф(0) (г) = иегрг,

где р — импульс электрона на бесконечности. Полагая далее
ф (г) = ф(0) (г) + ф(1> (г),

где ф{1) (г) — малая добавка к ф<0)(г), получим, согласно (11.4.1),

(YV —	+ tn) ф(1) (г) = f (г),	(11.4.2)

где

f (г) = ieyvAv (г) иегрг.

Для решения этого уравнения введем функцию Грина g(r, г') урав-
нений Дирака

№--y^ + tn)g(r, r') = S(r —г').	(11.4.3)

Легко убедиться, что функция Грина, соответствующая запаздывающим
решениям, имеет вид

g(r, r')= — ^(TV-T48-/n)-y7—.	(11.4.4)

Действительно,
j	eip|r-r'|

(yV-y^ + rn)g(r, r')= — 4^(YV-T48 + m)(YV —у4е —ffl) |Г_Г'[ =

1	ip|r-r'|

4л v ‘ Г / | r_r' I V /

Зная g(r, г'), можно сразу написать решение уравнений (11.4.2)
1	Р гр|т-г'|

ФП) (»•) = -	(YV - ?4б - т) J 1Г2_^| f (И d3x’.	(11.4.5)

Найдем асимптотику ф<1)(х") при г —» оо. Полагая г > г’ и замечая,
ЧТО

\г — г' | r — nr\ п = г!г,
получим

ф(1)(г)^ — ^-(yV — т4е—т) J е-^'г7(г')</3х',
где р' = рп. Но
„ егРг . , ег?г
V-------------------------------^ip -------,

г	г

поэтому окончательно ф(1> (г) приобретает вид

ф’1’(г^-уоо « je-^-(iYP' —у4е —/п) Yv« £*(»-₽')»•'Лу(г')4/Зх\ (11.4.6)

Если поле является электростатическим, то

Ф(1) (г)г_оо«Gyp'—748—/п) Т4« §	(г') d3x',

где V (г) = еЛ0(г). Сравнение этой формулы с (11.1.1) показывает, что
амплитуда рассеяния в борновском приближении- (более точно, в первом
борновском приближении) определяется формулой

G = 4л (fYP' — Y48 — т) ytuM,	(11.4.7)
где

М = е^-р">гУ (г) d3x.

Выражая в (11.4.7) ^биспинорную амплитуду рассеяния G(n) через
спинорную (двухкомпонентную) амплитуду F (п) согласно (11.1.5), а также
биспинор и через спинор v(y) согласно (9.2.7), мы придем к выражению
вида (11.2.4)

F(n) = R (п, v) v (v),

где матрица R (п, v) имеет структуру (11.2.5)

R (п, v) = a (ft) — ib (&) [v«] а,
причем

а W = —-^(e + /n + (e—

(11.4.8)
b(ty = -^-(e-m).

Так как аргументы величин а ($) и Ь (Ф) одинаковы, то

Д (Ф) = i (ab* — а*Ь) = О,
и сечение рассеяния имеет, согласно (11.3.2), вид
do = Q ('&) do,
где

Q(fl) = |a|2+|&|2 = ^^(l_02sin2^_) ,	(11.4.9)

и v = plz—скорость частицы.

Легко обобщить изложенный метод для нахождения поправок к сече-
нию рассеяния, вносимых вторым и более высокими приближениями тео-
рии возмущений. Например, чтобы учесть второе приближение, нужно
положить

ф (г) = ф<0> (г) + ф(1) (г) + ф<2> (г),
где ф(2) (г) определяется из уравнения

(YV —у4е + /п) ф(2> (г) = ieyvAv (г) ф(1> (г).

Подставляя в правую часть этого уравнения найденное выше выражение
для ф(1) (г), можно определить по формуле, аналогичной (11.4.5), функцию
ф(2) (г). При г —> оо она ведет себя как

(г) = G(2) (И)	,

где G<2) (п) — некоторый биспинор, зависящий от n = rlr. Он представляет
собой, очевидно, поправку к амплитуде рассеяния G(«), найденную выше
в первом приближении теории возмущений. Сложив G(/z) и G(2)(/z),
мы найдем амплитуду рассеяния с учетом второго приближения теории
возмущений. Мы не будем, однако, приводить здесь вычисления G(2) (/г).

11.5. Рассеяние в кулоновском поле ядра. Перейдем к рассмотрению
рассеяния электронов в кулоновском поле ядра,

17 / \	е2

V (г) =------, а = -j— .

v 7 г	4л

Если Z невелико, так что

Za
hv
то можно пользоваться борновским приближением. В этом случае, с рас-
смотрения которого мы начнем, сечение рассеяния определяется величиной

M=—ZaA	— ,

J	г

которая, как легко видеть, равна

Действительно, вводя под знак интеграла для обеспечения его сходимости
при г—>оо множитель е~^г, где т] — бесконечно малая положительная
величина, и выполняя интегрирование по углу между векторами г нр—р'г
получим

М = 2mZa. н F , №_^)+ч)	d3 ...41lZ”

IP-P ln->o J X	f \P~P I2

Подставляя это значение M в формулу (11.4.9), получим дифференциальное
сечение рассеяния электронов в кулоновском поле ядра в первом борцов-
ском приближении (Формула Мотта) [15]

d<T=(jg-)2(l-o2sin24-) d0  • .	(11.5.2)

UpvM	2'sirH±

Эта формула только множителем (1 —о2 sin2 у), имеющим чисто кине-
матическое происхождение, отличается от классической формулы Резер-
форда.

Как отмечалось выше, в рассматриваемом приближении величина
А (Ф), определяющая азимутальную асимметрию рассеяния, равна нулю,

Д(«) = 0.

Асимметрия появляется только в следующих приближениях теории
возмущений.

Приведем результаты вычислений сечения рассеяния da, т. е. величин
Q ('&) и А (О) с учетом второго приближения теории возмущений (т. е. с точ-
ностью до членов порядка (Za)3) [16, 15],

Q W = «Г11 -^sin24± t1 -sin y) sin±] —ly-,
sin 2

____ 3jd	(11.5.3).

A W = T 2Za °У1~°2 	In —ly .

10	0 V	V	V

— U2S1H2 — COS	sin—

Эти формулы определяют рассеяние как электронов, так и позитронов
(в последнем случае величины, пропорциональные Za, должны быть взяты
с нижним знаком).

Простой вид имеет выражение дифференциального сечения в случае
рассеяния на малые углы. Оно совпадает с соответствующим классическим
выражением

<	/2Za\2 do	a i

da = I — -nr,	# < 1.

\ pv ) -fr4

(11.5.4>
В общем случае произвольных Z и произвольных углов для нахождения
сечения рассеяния следует применять общие методы, изложенные в пре-
дыдущих разделах. Однако, так как фаза в асимптотическом выражении

волновой функции (10 4 3) содержит логарифмическую зависимость от г,
то решение уравнения Дирака, описывающее рассеяние, следует искать
в виде, учитывающем искажение плоской волны на бесконечности, а именно
в виде

/ФГ-г£ In 2рг
ф __ veipz-i^ In p(r-z) рс

Г
При этом формулы (11.1.6) и (11.2.3) остаются в силе, причем, согласно
(10.4.4),

$ = П ——агё г (Y + *1) •

Суммирование рядов (11.2.6) для функций а (О') и b (О) в общем случае
невозможно провести аналитически, и определение сечения требует чис-
ленных расчетов. На рис. 11.1 и 11.2 приведены некоторые полученные

таким образом результаты [17]. Кривые рис. 11.1 изображают отношение
дифференциального сечения рассеяния неполяризованных электронов к его
значению, вычисленному по формуле Резерфорда doR, т. е. величину

QW

dg
dan

^Za/2pvsin2-^-)
как функцию угла рассеяния Ф при различных значениях энергии и Z
На рис 11 2 приведены аналогичные результаты для позитронов

На рис. И 3 представлена зависимость
величины А ('&) от энергии при дан-
ных # и Z для электрона [18], а на
рис 114 — для позитрона [19].

ф 0,2 0,3 0,U 0,5 0,6 0;7 0,6 0f9fi^

Рис. 11.3.

При очень больших энергиях электронов необходимо учитывать конеч-
ность размеров ядра. Мы не будем приводить здесь соответствующие
результаты

§ 12.	Предельные переходы к нерелятивистской квантовой
механике и релятивистской классической механике

12.1.	Уравнение Паули. Если энергия электрона 8 мало отличается
от его энергии покоя т

| 8 — т | < т,

то, как мы видели, один из двух спиноров, рбразующих волновую функ-
цию электрона, мал по сравнению с другим.

1x1« Ы-

Это дает возможность путем формального разложения волновой функции
в ряд по степеням 1/с (с — скорость света в вакууме) получить приближен-
ное уравнение, содержащее только больший спинор.

Перепишем с этой целью уравнение Дирака в форме, содержащей
явно скорость света,

f	= (са ( р —- А ) +	eAQ} ф, р = V,

где А и А о — векторный и скалярный потенциалы внешнего электромаг-
нитного поля Так как в нерелятивистской теории под энергией понимается
разность между полной энергией и энергией покоя, то удобно вместо ф
рассматривать функцию Т:

(12.1.1)

Она удовлетворяет уравнению

^=(са(р-|л) + (Р-1)/?гс2 + ^0) Y, (12.1.2)
которое распадается на уравнения

	(р—

Л , е \	,	(12-1'3)

г’-^- = с<т (р— 7^) (р + еА0% — 2тс2%

для спиноров ф и %, образующих Т.

Чтобы произвести разложение по степеням Ис, будем считать, что %
по порядку величины составляет — ф (это оправдывается ходом дальней-
ших выкладок). Тогда для получения первого приближения можно отбро-
сить во втором уравнении все члены, содержащие %, кроме последнего,
в котором коэффициент содержит с2. Мы получим, таким образом,

ТАН	<12Л-4>

Подстановка этого выражения в первое уравнение дает

(р-тл)]2+еЛ°)(р-	<12л-5>

Пользуясь свойствами матриц <тг, легко убедиться, что
[о(р_±Л)]2=(р_±л)2-|аЯ,
где Я—магнитное поле,

Я = го1Л.

Подстановка этого выражения в (12.1.5) приводит окончательно к сле-
дующему уравнению для спинора ф:

7л)2+еЛ’’-24Мср-	(12Л'6>

Это уравнение, представляющее собой первое приближение в раз-
ложении ф по 1/с, называется уравнением Паули [20]. Оно имеет вид
уравнения Шредингера с гамильтонианом

Н=^ (p-~A}2 + eA0--^~GH,	(12.1.7)

2m \< с J	2тс	'	7

отличающимся от нерелятивистского гамильтониана бесспиновой частицы
наличием члена —рьН, где

=	(12-1.8)

(мы ввели сюда явно К). Этот член имеет, очевидно, вид потенциальной
энергии магнитного диполя р во внешнем магнитном поле Н.

Таким образом, мы приходим к выводу, что в первом приближении
по 1/с электрон ведет себя, как нерелятивистская частица, обладающая,
кроме заряда, магнитным моментом р,.

12.2.	Второе приближение. Найдем теперь второе приближение, про-
должив разложение до членов порядка 1/с2. Ограничимся сначала случаем,
когда имеется только постоянное внешнее электрическое поле.

Подставив в отброшенные ранее члены второго уравнения (17.1.3)
значение % в первом приближении и решив это уравнение относительно %,
получим
Подставив далее это выражение в первое уравнение (12.1.3), получим
следующее уравнение для ср:

f (1	(~т~ + ?Л) -Г л Л (аР) A (GP)) Ф-

\	4mc2 / dt \ 2m и 4/?z2c2 v и к	т

W	(1 Р2 \

Умножая это уравнение на ( 1 — ^'с2 I и сохраняя члены порядка
не выше 1/с2, перепишем его в виде

Z 5 = ( (1 --W ) (&+еА°) + «(<Ф) А (<Ф)) Ф Н'<р. (12.2.2)

Хотя это уравнение формально и имеет вид уравнения Шредингера,
тем не менее оно им не является, так как функция ср не имеет точного смысла
волновой функции электрона, а оператор Н' нельзя рассматривать как
оператор Гамильтона. Действительно, интеграл I Ф I2 d3x не сохраняется
во времени (согласно уравнению непрерывности сохраняется лишь интеграл
(I Ф I2 + I X I2) d3x), поэтому ср нельзя пронормировать; оператор же Н'
не является самосопряженным, так как он содержит слагаемое
да(<4») А(<ф)-

Чтобы найти волновую функцию и гамильтониан во втором прибли-
жении, произведем преобразование

ср—>ф = Оф,

Н'—>Н = ОН'О“Х,
где О —некоторый оператор, не содержащий явно времени. Тогда Ф будет
удовлетворять уравнению

НФ.

at

Если мы подберем теперь О таким образом, чтобы выполнялось условие
$ (|ф|2 + |х|2)^ = J |ф|2^,

то Ф можно будет интерпретировать как волновую функцию, а Н — как
гамильтониан во втором приближении.

Подставляя в это условие вместо % выражение (12.1.4), получим

$ ф* (J +cpd3x= I Ф |2d3x,
откуда следует, что с требуемой точностью оператор О имеет вид

8т2с2 ‘

Так как оператор О отличается от единицы на слагаемое порядка 1/с2,
то преобразование ср -> Ф не затрагивает уравнения первого приближения,
в котором, с точностью до членов порядка 1/с, функция ср является норми-
руемой.

Найдем теперь оператор Гамильтона во втором приближении. Исполь-
зуя выражения для операторов О и Н', получим, сохраняя члены поряд-
ка 1/с2,

8т3с2 +	+ 8т2с2	2^° “	~

-даР2А+да(<Ф)А(<Ф).
Замечая, что

(стр) Ло (стр) = Лор2 — ст (Лор — р Ло) (стр) =

= Л0р2 — i (стГЛ0) (стр) = Лор2 4- iEp — [Ер] <г

И

рМ0—Л0р2= — ДЛ0 + 2гЕр,

где Е=—VAq — электрическое поле, получим окончательно следующее-
выражение для оператора Гамильтона:

Н=-^- + еЛ0 —5^--г4-тСТ[Ер]+^4гтАЛ0.	(12.2.3}

2m и 8m3c2	4т2с2 L 8т2с2 и \	/

Этот оператор, как легко видеть, является эрмитовским.

Последние три члена в гамильтониане (12.2.3) являются поправками,
порядка 1/с2. Из них первый член учитывает зависимость массы от скорости,
а второй можно интерпретировать как энергию взаимодействия движуще-
гося магнитного диполя с электрическим полем. Поскольку электроста-
тическое поле удовлетворяет, уравнению

АЛ0= — р,

где р — плотность зарядов, создающих поле, то последний член отличен
от нуля только в тех точках, где находятся эти заряды. В частности, для
точечного заряда Ze

ДЛ0 = — Zeb (г).

Используя гамильтониан (12.2.3), можно решить методами теории
возмущений задачу о тонкой структуре уровней водородоподобного атомаг
считая возмущением три последних члена. Это приводит к формуле (10.3.8),
полученной ранее путем разложения результата точного решения (10.3.7>
уравнения Дирака.

До сих пор мы считали, что внешнее магнитное поле отсутствует. Чтобы
получить гамильтониан при наличии такого поля, нужно в выражении
(12.2.3) произвести замены

где А — векторный потенциал. В результате мы получим следующее
выражение для гамильтониана с учетом членов порядка 1/с2

(р-—л)2	4

Н = 2m	'8m3c2	2^Fa^+ 8от2с2 ДЛо —

sM£(l-7< (|2-2л>

12.3.	Переход к релятивистской классической механике. В предыдущих
разделах мы выяснили связь релятивистской квантовой механики электрона
с нерелятивистской квантовой механикой. Теперь мы перейдем к выясне-
нию ее связи с релятивистской классической механикой [21].

Будем исходить для этого из уравнения второго порядка для биспино-
ра Ф, связанного с ф соотношением (7.4.8),
Согласно (7.4.7) и (7.4.9) это уравнение можно представить в виде

((’ф=0’ <12-зл>

где Fтензор поля и === *2р (VuYv Т^Уц)*

Так как нас интересует предельный переход й 0, то будем искать
решение уравнения (12.3.1), так же как это делается в нерелятивистской
квантовой механике, в виде ряда

— s

ф = (fo +	+ ^2 + .. •),	(12.3.2)

где S, /0, А, /*2> • • • — некоторые функции координат и времени. Под-
ставляя этот ряд в (12.3.1) и собирая коэффициенты при одинаковых сте-
пенях Й, получим уравнение

(<—7Л»)!+Л!=°	(|2'3-3>

для определения функции S и уравнения

dS е
дх^ с

е л \ о	Z7 Г___________ А

feT-с U	— -^«WWo-v,

[Д;	тлн)]а»+2 (^~ тл“)

(12.3.4)

для определения биспиноров /0, Л, А, • • • 121].

Мы видим, как и следовало ожидать, что функция S представляет
собой действие в классической релятивистской механике для частицы,
находящейся в электромагнитном поле Ди.

Зная S, можно последовательно с помощью уравнений (12.3.4) находить
биспиноры /0, /ь ft, • • •

Разложение (12.3.2), аналогичное известному разложению в нереля-
тивистской квантовой механике, справедливо при выполнении неравенства

h | div л: | < лЛ
где

л = Г5--Л.

С

Если А = 0, то мы получаем отсюда известное условие применимости квази-
классического приближения в нерелятивистской квантовой механике

| k div V — (vV)k| < 1,

где к — длина волны частицы и v = р/ [ р | — единичный вектор вдоль
направления импульса частицы.

Покажем, что если в разложении (12.3.2) ограничиться только первым
слагаемым, то волновые пакеты будут вести себя так же, как частицы, дви-
жущиеся по классическим траекториям.

Определим для этого в рассматриваемом приближении плотность по-
тока электронов

sv = 'IpYvty-
Подставляя сюда

=	ТА^+тс) f^S = ^^S(-^ + mc)f0,

где

л = ТцЛи, лц = лн (х, щ) = dS(x’ Кг) — у
l/Лц	V

(аг, Z=l, 2, 3 —три произвольные постоянные, определяющие решение
уравнения для S), получим

Sv =	(— ^ + тс) Yv (— iЛ + mc)f0.

Но

а так как

Лц + т2с2 = О,
то окончательно получим

Sv= — -^г-л/°( — in + mc)f0.	(12.3.5)

Плотность потока удовлетворяет уравнению непрерывности
д л
dxv Sv~0'

Поэтому в рассматриваемом приближении

-^-М = 0,	(12.3.6)

где

5 =	— +	f0.

Это уравнение можно переписать в виде

%-+/-	= 0,

dt 1 dxk V /

где р — плотность частиц, равная р = л0£.

Вводя классическую функцию Гамильтона частицы

Н = с]/ (р-уЛ)2 + /и2с24-еЛ0

и вспоминая классические канонические уравнения движения

• _дН • _ дН
ХК~ dph ’ Ph~ дхк

имеем

Но

*

хк = С —.	=- ,

Ул^ + тМ

— Pk ~ Aki

k = \. 2, 3,

л0 =	(Н—еА0) = 1 / л2 + т2с2.

Поэтому



Подстановка этого выражения в (12.3.6) дает

>+У<Р«)-0-

11 А. И. Ахиезер, В Б. Берестецкий
откуда следует, как и утверждалось выше, что в рассматриваемом прибли-
жении частицы распространяются вдоль классических траекторий

Возвратимся теперь к уравнению (12.3.4) для биспинора /0 Полагая

/о = Р1фо	(12.3.7)

и используя уравнение непрерывности (12.3.6), получим следующее урав-
нение для определения <р0:

Лц(х, аг)-|^- = г-^-ац^(х)фо-	(12.3.8)

Это уравнение тесно связано с уравнением Шредингера

(12.3.9)

для волновой функции ф, описывающей движение спина электрона в задан-
ном переменном электромагнитном поле FpV(0- Действительно, рассмотрим
классические траектории электрона, определяемые уравнениями

т-^- = лц(х, (Zf),	(12.3.10)

где т — собственное время, и определим поле вдоль траектории х[1 =
= хи(т, аг, рг) (константы Рг и аг определяют траекторию)

-^pv(T, (Хг> Рг) ~ F ycv (•£ (Т,	Рг))*

Введем теперь волновую функцию ф(т, о^, рг), описывающую движение
спина электрона в поле /^(т, аг, ₽г),

= aHv^v(T, а„ рг)ф(т, а„ ₽г)-

Тогда из сравнения этого уравнения с уравнениями (12.3.8) и (12.3.10)
легко заключить, что биспинор qp0 = qp0(x, аъ) может быть получен из биспи-
нора ф(т, аг, рг), если выразить в нем т и рг через хи и аг:

фо(*Ц, аг)=ф(т(хи, <%г), «г, ₽г (*И, 0Сг)).	(12.3.11}

§ 13.	Релятивистски инвариантные уравнения полей

13.1.	Конечномерные представления собственной группы Лоренца.
В предыдущих параграфах мы изучали уравнения Максвелла, описываю-
щие электромагнитное поле, и уравнения Дирака, описывающие электронно-
позитронное поле. Поставим теперь вопрос о виде уравнений, описывающих
другие возможные поля. Чтобы ответить на него, напомним, что волновая
функция ф (х), описывающая электронно-позитронное поле, и 4-потенциал
Ау, (*), описывающий электромагнитное поде, преобразуются по вполне
определенным законам при преобразованиях Лоренца. Это значит, что
каждому полю свойствен свой закон преобразования волновой функции.
Поэтому прежде всего нужно установить возможные законы преобразования
волновых функций, описывающих различные поля. С другой стороны,
мы знаем, что преобразования волновой функции образуют представления
группы Лоренца. Таким образом, мы приходим к задаче о нахождении всех
возможных неприводимых представлений группы Лоренца.

Для решения этой задачи достаточно рассмотреть бесконечно малые
преобразования Лоренца, которым соответствуют в представлениях группы
инфинитезимальные операторы P*v. Эти операторы удовлетворяют, как
было указано в § 8.5, перестановочным соотношениям

[/(«	=	+	_ 6vp/(l% _ бдГР)	(13.1.1)

одинаковым для всех представлений группы Лоренца. Вопрос сводится
поэтому к нахождению всех неприводимых матриц, удовлетворяющих
этим соотношениям. Мы рассмотрим здесь только конечномерные представ-
ления группы Лоренца, когда эти матрицы (квадратные) содержат конечное
число строк и столбцов.

Перепишем соотношения (13.1.1) порознь для р,, v = 1, 2, 3 и р = 4,
v - 1, 2, 3

IIм, lmn] =	4-	- f>inlkm - bkmlln,

[Iik, Imn] =	- W4m,	(13.1.2)

[I4k, I4™] —_Ikm,

где k, Z, m = 1, 2, 3. Так как лоренцевц преобразования можно рассмат-
ривать как вращения в четырехмерном пространстве, то операторы /тл =
= — 1пт представляют собой инфинитезимальные операторы группы враще-
ний в обычном пространстве. Эти операторы с точностью до множителя i
совпадают с операторами проекций момента Mi

Imn = i&mniMi,	(13.1.3)

где гтп1 — единичный антисимметричный тензор третьего ранга. Действи-
тельно, подставляя выражение (13.1.3) в первое из соотношений (13.1.2),
получим известные перестановочные соотношения для операторов проекций
момента

[Mz? Мр] — ZSZprMr*

Второе и третье соотношения (13.1.2), выраженные через Mz и /4S,
имеют вид

Mr]-Z8prs/48,
[74Р>/4г]= -i&prsMs.	(13.1.4)

Если ввести вместо Мр и /4Р новые операторы

Хр = у(Мр + ^), Yp = 4 (Мр-	(13.1.5)

то они, как легко убедиться, будут удовлетворять соотношениям

[Хр> Xs] — ZSpsrXr»

[Yp, Ys] = Z8psrYr,	(13.1.6)

[Xp, Yr] = 0.

Таким образом, инфинитезимальные операторы группы Лоренца
/м-v (р,, v= 1, 2, 3, 4) сводятся к двум независимым векторным операто-
рам X (Xi, Хг, Х3) и Y (Yi, Y2, Y3), удовлетворяющим перестановочным
соотношениям моментов. Поэтому, взяв в качестве X и Y известные в кван-
товой механике матрицы для моментов, мы получим все неприводимые
конечномерные представления собственной группы Лоренца. Так как квад-
рат момента коммутирует с каждой его проекцией

[X2, Xp] = 0,	[Y2, Yp] = 0,

где Х2 = Х21 + Х22 + Х1, Y2 = Y| + Y2 + Y1, то матрицы X2, Х3 и Y2, Y3
можно выбрать диагональными и, в соответствии с квантовомеханической
теорией  Хз =	момента,  /-/  / 0 -  1 °	положить		
		0  -/+1 0	0	... \  0	1  — / + 2 ... I,	X2 = /(/+l)/W+i)-
Y3 =	\ 0  / — k  1 0   1 0	0  0  -k+1  0	о ... /7  о ... \ 0 ... 1  -/г + 2 ...	1,	(13.1.7)  ¥2 = /г(^+1)7(2/1+1),
	\ о	0	0	...kJ	

где j и k — произвольные положительные целые или полуцелые числа
и /(2Н-1) и /(2fe+i) —единичные матрицы, содержащие 2/4- 1 и 2k + 1 строк
и столбцов.

Мы видим, что каждое неприводимое представление собственной груп-
пы Лоренца характеризуется двумя целыми или полуцелыми числами k, j.
Это представление, обозначаемое через (/, &), имеет, очевидно, размерность
(2/ + 1) (2k + 1), так как в нем участвует (2/ + 1) (2k + 1) собственных
векторов mjt операторов X2, Хз, Y2, Y3,

Xs'lpmj, ~	т^ч

^2фту, mk = j (j 4“ 1) Фт^., rnk9

Yзфтп,^., ~

^2фт^.,	= k (k 1) ф?п.,

где m,, rrth — «проекции моментов» X и У, nij——j, —/4-1,
mh=—k, — &4-1,	k.

Представление группы Лоренца (/, k) является неприводимым.

Если ф^ и ф^-2 mfe2 представляют собой совокупности
(2/4 4~1)(2&±4- 1) и (2/2 + 1)(2&2 4- 1) функций, преобразующихся соот-
ветственно ПО Представлениям (Д, kJ И (/2, k2), то функции ф^ mkl^>mj2mk2
будут также осуществлять некоторое представление группы Лоренца. Но это
представление, которое называется прямым произведением представлений
(А, ^1) и (/2, А2) и обозначается через (A, k^ ® (j2, k2), уже не будет непри-
водимым. Оно может быть разложено на неприводимые представления
(/, k), что символически записывается в виде равенства

(A, £i) ® (/2, А2) = 2 (/’,£),	(13.1.8)

где

i==\ji — /2 |» |/i — /214“ 1» •••» А 4“ А,

А == | ki — A2j, |^1 — ^214“ 1, • ••» ^14-^2»

и каждое представление (/, k) встречается только один раз. В частности,
(A 0)®(0, £) = (А k).

Выясним, как связаны представления, по которым преобразуются
комплексно-сопряженные волновые функции. Написав бесконечно малые
преобразования

фг (*') = фг (х) + у (х)<

ф\* (х') = ф? (х) + у 8^ЛТ*Фь (х)

и учитывая, что 8Йт = ^пт (n, m = 1, 2, 3) и 8*т = —84т, мы видим, что
преобразованиям комплексно-сопряженной функции соответствуют инфи-
нитезимальные операторы 1тп* и —/4п* (элементы матрицы Л* являются
комплексно-сопряженными по отношению к элементам матрицы А). Отсюда
следует, что при переходе от преобразований ф (х) к преобразованиям
ф* (х) операторы Хп заменяются на —УЙ, а операторы Yn на —ХЙ- Это
значит, что если ф (х) преобразуется по представлению (/, k), то ф* (х)
будет преобразовываться по представлению (k, j).

Неприводимое представление собственной группы Лоренца (/, k)
можно рассматривать также как некоторое представление группы вращений
в обычном пространстве, но это представление будет в общем случае приво-
димым. Неприводимыми представлениями являются только представления
(/, 0) и (0, k), которые обычно обозначаются через Dj и Dh.

Представление осуществляется 21 +1 собственными векторами фт
операторов проекции момента Мз и квадрата момента IW2 =	+	+

МзФт = ^ф7П,

М2фт = /(/+1)фш,

где т——1, —/Ц-1, ..., / и / — целое или полуцелое число.
Так как

Mi = Xi + Yb

то собственные векторы фт могут быть образованы с помощью суперпози-
ции билинейных комбинаций собственных векторов фт. операторов X2, Хз
и собственных векторов фт^ операторов Y2, У3 при условии, что

Но rrij = — j, — j + 1,	= — £, — k + 1, ..., k; поэтому для m

мы получим значения т= — /, —/Ц-1,	/, где

|j-k| +1, j+k.

Иными словами, представление (/, k), имеющее вид прямого произведения
Dj ® Dfe, распадается с точки зрения группы вращения на неприводимые
представления Dr.

Dj®Dk = ^Dh	(13.1.9)

с Z = | / — k I, ...,/ + k. Каждое представление Di входит сюда только
один раз, и общее число представлений равно 2/ + 1, если /<&, и 2k + 1,
если &</.

Неприводимые представления собственной группы Лоренца (j, k) сле-
дует различать в зависимости от того, имеют ли числа 2/ и 2k одинаковую
или разную четность. В первом случае пространственному вращению
на угол 2л соответствует тождественное преобразование /, а во втором
случае этому соответствует — I.

Представления, для которых числа 2/ и 2k имеют одинаковую четность,
называются однозначными или тензорными, а представления с разной
четностью 2/ и 2k — двузначными или спинорными. Величины, преобразую-
щиеся по тензорным представлениям, называются тензорами, а величины,
преобразующиеся по спинорным представлениям,— спинорами.

Простейшим тензором является скаляр, которому соответствует пред-
ставление (0, 0). Вектору соответствует представление (1/2, 1/2). Симметрич-
ному тензору второго ранга со следом, равным нулю, соответствует пред-
ставление (1, 1), а антисимметричному тензору второго ранга — представ-
ления (1,0) и (0, 1) (указание на равенство нулю следа тензора необходимо
потому, что этот след является инвариантом, и, следовательно, если
он не равен нулю, то тензор будет преобразовываться по приводимому пред-
ставлению). Наконец, волновая функция Дирака ф (х) состоит из двух спи-
норов, преобразующихся по представлениям (1/2, 0) и (0, 1/2).

Величины, преобразующиеся по неприводимым представлениям (/, k),
можно разделить на четыре класса — с целыми j и k, с по л у целыми j и k9
с целым / и полуцелым k и, наконец, с полуцелым j и целым k. Этим клас-
сам мы будем приписывать соответственно индексы +1, —1, 4-8, —8.

Выше мы говорили, что если величина ф (х) преобразуется по представ-
лению (/, k), то комплексно-сопряженная величина ф* (х) будет преобразо-
вываться по представлению (k, j). Отсюда следует, что если ф (х) принад-
лежит к классам ±1, то к такими же классам будет принадлежать и ф* (х),
если же ф (х) принадлежит к классам то ф* (х) будет принадлежать
к классам 4=8.

Если величина ф (х) преобразуется по приводимому представлению
группы Лоренца и представима в виде суммы величин, принадлежащих
к одному и тому же классу, то говорят, что и ф (х) принадлежит к этому же
классу.

Легко видеть, что тензоры четного ранга принадлежат к классу +1,
а тензоры нечетного ранга — к классу —1.

Если некоторая величина ф (х) преобразуется по приводимому пред-
ставлению, которое является прямым произведением неприводимых пред-
ставлений (/, k), то при перемножении величин, принадлежащих к различ-
ным классам, следует просто перемножать индексы классов, имея в виду,
ЧТО 88 = +1-

13.2.	Функция Лагранжа свободного поля. Мы будем рассматривать
свободные поля, которые подчиняются принципу суперпозиции и описывают-
ся поэтому линейными дифференциальными уравнениями. Эти уравнения
в силу однородности пространства — времени должны быть однородными
уравнениями с постоянными коэффициентами, причем, не нарушая общно-
сти, можно считать их, так же как и уравнения Дирака, уравнениями пер-
вого порядка (уравнения высших порядков могут быть сведены к уравне-
ниям первого порядка, если включить производные от волновой функции
в число компонент волновой функции).

Сформулируем прежде всего уравнения поля, вытекающие из вариа-
ционного принципа. Введем для этого плотность функции Лагранжа поля L,
квадратичную относительно волновой функции поля ф,

/.=	(13.2.1)

где Bv (v = 1, 2, 3, 4, 5) — некоторые квадратные матрицы, число строк
и столбцов в которых равно числу компонент волновой функции их —
отличная от нуля вещественная постоянная.

Из вещественности L следует, что матрицы должны удовлетворять
условиям

Bt=-Bk (£=1,2,3),	= в; = в5.
Считая матрицу В5 несингулярной, можно ввести матрицы
Г^В^В^	Fi=l, 2, 3, 4,

и представить L в виде

где	_

•ф = ф*В5.

Варьируя независимо яр и 'ф, легко получить уравнения [22]

Г11-^- + хф = 0,

Г^-хф = 0,
ц дх^ т
являющиеся обобщением уравнений Дирака.

Установим теперь условия релятивистской инвариантности обобщен-
ных уравнений Дирака, или, что то же самое, плотности функции Лагранжа
{13.1.2). Полагая

ф' (У) = 5ф (х),
ф' (х') = Ф W S"1,

где х' — ах и S —некоторая матрица, зависящая от матрицы лоренцева
преобразования а, получим, повторяя рассуждения § 8,
S = rv,
S+B5S = B5.

(13.2.3)

(13.2.4)

Достаточно, очевидно, чтобы эти условия выполнялись для бесконечно
малых преобразований Лоренца x'll = xiii + sVLVxv, которым соответствует
матрица преобразования

S = I -|- Sp/V-^ 7	~	$vp,7 I 8p,V I 1 >

где I1™ — инфинитезимальные операторы. Подстановка этого выражения
в (13.2.5) приводит к соотношениям

[Гц, Гх] = 6^TV - б^Гх, ц, V, % = 1, 2, 3, 4,

(Ihl)+B5 + B5lkl = o,	(13.2.6)

(74&)+ в5 - B5Iik = 0, k, I = 1, 2, 3.

Отсюда, в частности, следует

rft= [Г4, I**],

= k= 1,2,3.	(13.2.7)

Зная инфинитезимальные операторы 7^v, можно найти преобразование
волновой функции ф (х) при бесконечно малом преобразовании Лоренца,
которое в свою очередь позволяет найти матрицу S при произвольном
конечном преобразовании Лоренца. Например, преобразованию Лоренца,
переводящему частицу из состояния покоя в состояние с импульсом р,
соответствует преобразование волновой функции

S = e^,	(13.2.8)
Pjl^	I п I

где К = • । р— и	(tn — масса частицы). Эта формула

обобщением формулы (8.6.8) для преобразования волновой

является
функции

электрона.

13.3.	Тензор энергии-импульса, тензор моментов и вектор плотности
тока. Имея выражение для плотности функции Лагранжа поля L, можно
по общим формулам § 1.7 найти тензор энергии-импульса и тензор момента
поля. При этом нужно учитывать, что волновые функции поля могут быть
вещественными и комплексными. В последнем случае функции ф (х) и ф (х)
должны рассматриваться как независимые. Поэтому для тензора энергии-
импульса мы получим выражение

Т^ = Ь^--^-ф,ц-ф,и-^-,	(13.3.1)

а для тензора моментов — выражение

Mpv, ₽ = xpTvp - xvTw -	,	(13.3.2)

дф,р

где ф>м, = -^-. Подстановка сюда выражения (13.2.2) для плотности функ-
ции Лагранжа дает

Mpv, р = xpTvp - xvTpp+1 ф (Гр/*'’ + ГТР) ф.	(13.3.4)

При р, v=l, 2, 3 компоненты тензора MkV,p могут быть записаны
также в виде

Mki,p = xkTip — xzTftp + y ей/тф(ГрМт + МтГр)ф, k, I, т= 1, 2, 3. (13.3.5)

Плотность функции Лагранжа (13.2.1) инвариантна, очевидно, относи-
тельно преобразования

ф—>ф' = фе*а,	ф—>ф' = фе-га,	(13.3.6>

где а —произвольная вещественная постоянная.

Рассмотрим, в частности, бесконечно малое преобразование
6ф = i баф, бф = — / баф
и определим соответствующую вариацию действия

+f

Приравнивая бJ нулю и считая, что волновые функции удовлетворяют
уравнениям «движения» поля, т. е.

dL____д dL

дф	дх^ дф, ц ~ ’

получим
Из равенства нулю поверхностного интеграла вытекает равенство
д / dL ,	— dL \ п

д'ф, Ц, '	’

Иными словами, если определить четырехмерный вектор

,	(13.3.7).

\	d-ф, ц /

где е — некоторая постоянная, то его дивергенция будет равна нулю

-^ = 0.	(13.3.8)

Из этого соотношения вытекает закон сохранения

/4 d3x= const.

Мы будем интерпретировать вектор как четырехмерный вектор плот-
ности электрического тока, связанного с полем; его пространственные
составляющие J образуют объемную плотность тока, а временная состав-
ляющая — плотность заряда р. Далее мы убедимся, что е представляет
собой заряд частиц, связанных с полем.

В случае действительных волновых функций вектор плотности тока
равен нулю. Поэтому действительные ф, не допускающие преобразова-
ния (13.3.6), описывают нейтральные частицы. Заряженные частицы опи-
сываются комплексными волновыми функциями, допускающими преобра-
зование (13.3.6) (оно носит название калибровочного преобразования второ-
го рода).

Используя для плотности функции Лагранжа выражение (13.2.2),
получим следующую формулу для /р,:

/м, = гефГ|хф.	(13.3.9)

Эта формула имеет, очевидно, такую же структуру, как и формула (7.5.2}
для плотности тока электронов.

13.4.	Масса и спин частицы. Перейдем теперь к выяснению некоторых
общих свойств уравнений (13.2.3). Заметим прежде всего, что одному и тому
же уравнению (13.2.2) могут удовлетворять волновые функции, описываю-
щие различные поля, например скалярное и псевдоскалярное. Поэтому
поле характеризуется не только матрицами Гц, но и тем представлением D,
по которому преобразуются волновые функции ф (х).

Производные преобразуются, очевидно, по представлению, которое
является прямым произведением представления/) и представления (1/2, 1/2)г
по которому преобразуется четырехмерный вектор х. С другой стороны,
согласно уравнению (13.2.3) величины преобразуются по тому же
представлению, что и ф, т. е. по представлению D. Иными словами,
представление D должно содержаться в представлении D ® (1/2, 1/2).
Отсюда следует, что если какое-либо неприводимое представление (/, k)
группы Лоренца содержится в представлении D, то D содержит также
по крайней мере одно из следующих четырех неприводимых представлений:
(/	о"»	----2~) »	(/--о~> ^ + "9") ’	--2^) ’	+	’

Таким образом, представление D не может быть неприводимым пред-
ставлением, за исключением случая к = 0. Например, в случае уравнения
Дирака (при и =£ 0) представление D распадается на два неприводимых
представления (1/2, 0) и (0, 1/2).

Если разложить представление D на неприводимые представления (/, &),
то можно утверждать, что сумма j -г k во всех представлениях будет либо
целым, либо полуцелым числом.

Определим теперь массы частиц, описываемых уравнением (13.2.3).
Рассмотрим с этой целью решения в виде плоских волн в системе покоя
частицы

ф (%) = 'ф<0)е—,

где 80 — энергия покоя частицы и ф(0)— амплитуда волны. Подстановка
этого выражения в (13.2.3) дает

80Г4ф(0) —хф(0) = 0,	(13.4.1)

откуда

X

8°~Т ’

где % —какое-либо не равное нулю собственное значение матрицы Г4.
Эта формула показывает, что возможные значения массы частиц, описы-
ваемых уравнением (13.2.3), определяются формулой

=	(13.4.2)

где пробегает все отличные от нуля собственные значения матрицы Г4.

Таким образом, уравнение (13 2.3) описывает в принципе частицы
с различными массами. Для того чтобы оно описывало частицы только
с одним значением массы, необходимо, чтобы матрица Г4 имела только
одно отличное от нуля собственное значение.

Матрица Г4 коммутирует с инфинитезимальными операторами 1гк
(i, k = 1,2, 3). Поэтому Г4 и один из этих операторов, например I12 = /Мз,
имеют общие собственные функции. Мы будем обозначать их через фхг,
где тг — какое-либо собственное значение Мз- Эта величина может при-
нимать, как мы знаем, значения — —/г, . . ., /г, где /г определяет
квадрат «полного момента» М2 = М2 + М2 + Л4|.

Таким образом, собственные значения %г, вообще говоря, вырождены
относительно «магнитных» квантовых чисел тг, причем кратность вырожде-
ния собственного значения равна 21ъ + 1.

Пространственным вращениям соответствуют, как уже указывалось,
линейные преобразования собственных функций оператора Мз, т. е. 21ъ + 1
функций фхг тг (с различными значениями тъ и одним и тем же значе-
нием %г). Эти преобразования образуют неприводимые представления
группы вращений Мы можем поэтому утверждать, что частицы с мас-
сой ~ обладают спином /г.

Таким образом, спин определяется кратностью вырождения отличных
от нуля собственных значений матрицы Г4, причем в принципе каждому
значению массы соответствует свое значение спина. Можно сказать и иначе,
а именно, что спин определяется числом независимых решений системы
уравнений (13 4.1), соответствующих определенному значению 80, т. е. опре-
деленному собственному значению %г. Число этих решений равно, очевидно,
21г + 1. Например, в случае уравнения Дирака число независимых решений
равно двум в соответствии с тем, что спин электрона равен 1/2.

Так как представление (/, k), рассматриваемое как представление
группы вращений, распадается на представления Di, где I заключено между
| / — k | hj + &, то спин будет целым или полуцелым в зависимости от того,

будет ли целым или полуцелым число j + k.

Покажем теперь, что спин частиц определяется слагаемым
в выражении (13.3.2) или слагаемым ~ фГр/^ф + у фД1ХТрф

дф,р Y
в выраже-

нии (13.3.4) для тензоров моментов. Определим для этого энергию

и момент поля в том случае, когда поле содержит только одну покоя-
щуюся частицу.

Согласно (13.3.4) энергия поля равна

£=-Лтйй =	иГ4^^Г^рзх>

Подставляя сюда ф = ф(О)е-*8о* и предполагая, что объем поля равен еди-
нице, получим

Е=80 фГ4ф d3x = 80ф0Г4ф^0).

Так как поле содержит одну частицу, то функция ф<0) должна быть пронор-
мирована согласно условию

1|?оГ4/ф<О) = 1.

Легко видеть, что при этом условии мы получим для заряда поля зна-
чение Действительно, заряд поля Q равен, согласно (13.3.9),

Q = V /4 d3x = е фГ4ф d3x = ±е.

Таким образом, как и утверждалось, константа е в выражении (13.3.7)
для вектора плотности тока имеет смысл заряда частицы.

Найдем теперь проекцию момента количества движения поля на ось х3.
Ее можно представить в виде

М12 = - i jj М12, i d3x = X J ф (Г4Мз + M3r4) d3x,

так как первое слагаемое в выражении (13.3.5) для 7Hy,v, р в случае покоя-
щейся частицы обращается в нуль. Но матрицы Г4 и М3 коммутируют
между собой, поэтому

TWi2 = фГ4М3ф d3x.

Поскольку ф является общей собственной функцией Г4 и М3, то

ТИ12 — т. фГ4ф d3x = m,

где т — собственное значение М3 или проекция спина на ось х6.

13.5.	Неопределенный характер заряда при целом спине и энергии
при полуцелом спине. Покажем, что для волнового поля, описывающего
частицы с целым спином, невозможно ввести положительно определенную
плотность заряда, а для волнового поля, описывающего частицы с полу-
целым спином, невозможно ввести положительно определенную плотность
энергии [23].

Рассмотрим прежде всего поля, описывающие частицы с целым спином.
В этом случае ф преобразуется по представлению D, распадающемуся
на представления (/, k) с целым j + k. Поэтому ф содержит функции только
классов -rl и —1, которые мы будем обозначать соответственно через
'ф(-Н) и ф(— 1).
Уравнение поля, записанное для компонент Фурье ф,

(гТ^и + х)ф = 0,

где k^ — волновой 4-вектор, может быть разбито на два уравнения:

i (ГД+1, +1М<+1) + i (ГД+1,	+ *Ф(+1) = О,

i (ГД_1} -ЛгГ1* + * (ГД-i, +АФ(+1) +	= О,

где (ГД ±1, ±i —элементы матрицы Гц, действующие на функции ф(±1).
Легко видеть, что

(ГД+1, +1 = (ГД-1, -1 = 0.

Действительно, так как волновой вектор принадлежит классу —1, то при
отличных от нуля (ГД+1)+1 и (ГД _b первое и третье слагаемые в каждом
уравнении принадлежали бы к различным классам, что невозможно.

Таким образом, уравнения в случае целого спина имеют вид

Эти уравнения инвариантны относительно преобразования

ф(+1) —> аф(+1), ф^^ —> — аф(“1)г

где а — произвольная постоянная. Легко видеть, что ее можно считать
вещественной. Действительно, функции ф(+1)* и ф(-1)* преобразуются
так же, как и функции ф<+1) и ф<-1). Поэтому с точки зрения релятивистской,
инвариантности возможны условия вещественности ф(+1) или ф(-1) вида

ф<+1>* =

Чтобы эти соотношения выполнялись при рассматриваемом преобразовании,
величина а должна быть, очевидно, вещественной. Не нарушая общности,
можно считать, что а = 1, и записать преобразование в виде

—	ф<+1> -* ф<+1>, ф<-1)	— ф(-п.	(13.5.2)’

С помощью функций ф(+1) и ф<-1) и их производных можно строить
различные тензорные величины. Для дальнейшего существенна структура
тензоров, квадратичных относительно ф.

Рассмотрим сначала тензор четного ранга Т(2П). Так как он принадле-
жит классу +1, то Т(2П) должен иметь структуру

т(2п> ~ 2 fe2V+14(+1)+2 fe2 V"1 Ч(-1)+2 62JV+Ч(+1Ч(-1).	(13.5.3).

Здесь через k2N схематически обозначено произведение 2N произвольных
компонент 4-вектора (т. е. йЦ1 &ц2 . . . £p,2JV); N — некоторые целые
числа (мы не выписываем членов, содержащих (ф<+1))* и (ф(-1))*, так как
они тоже принадлежат классам +1 и —1.

Тензор нечетного ранга Т(2п+1) принадлежит классу — 1 и имеет поэ-
тому структуру

T*n+"~^k2N+^^	(13.5.4);

Посмотрим теперь, как ведут себя эти тензоры при преобразова-
нии (13.5.2). Ясно, что это преобразование не меняет Т(2П> и изменяет знаю
Т(2П+1). $ частности, преобразование (13.5.3) изменяет знак вектора плот-
ности тока /и. Иными словами, каждому решению уравнений поля с опре-
деленной плотностью тока соответствует другое решение с противополож-
ными по знаку компонентами плотности тока. Поэтому для частиц с целым
спином нельзя ввести положительно определенную плотность частиц, пре-
образующуюся как четвертая компонента вектора.

Итак, мы доказали неопределенный характер плотности заряда, а сле-
довательно, и полного заряда в случае частиц с целым спином.

Рассмотрим теперь поля, описывающие частицы с полуцелым спином.
В этом случае j + k — полу целое число и функции ф принадлежат клас-
сам 4-8 и —8. Мы будем обозначать их соответственно через ф<+8) и ф<~8).

Взамен уравнений (13.5.1) мы получим теперь уравнения

i (Ги)+е, _еМ(’е) + ^(+Е) = 0>

i(ru)_E,+eW+WM	(	}

где (Гц)4-е,_8 — элементы матрицы Г^,, действующей на функции ф<±8>. Эти
уравнения, так же как и уравнения (13.5.1), инвариантны по отношению
к преобразованиям вида

ky, —> — k^, ф(+8) —> аф(+е), ф(-8) —> — аф(“8),

но, в отличие от случая целого спина, когда а была вещественной, теперь а
следует считать чисто мнимой величиной. Действительно, в случае полу-
целого спина с точки зрения релятивистской инвариантности возможны
условия вещественности вида

(ф(+8))* = ф(“8),	(ф<“8))* = ф(+8)

и невозможны условия

(ф(+8))* = ф(+8),	(ф(-8))* = ф(-8),

так как (ф(+8>)* принадлежит классу —8, а (ф(-8>) * —классу 4-е- Отсюда
следует, что а = —а*. Не нарушая общности, можно, очевидно, считать,
что а = i, и записать рассматриваемое преобразование в виде

i|)(+e)-> iV+8), 1р(~8)-^-й|>(-8).	(13.5.6)

Выясним теперь структуру тензоров, которые можно построить
с помощью ф<±8> и предполагая по-прежнему, что они квадратичны
относительно ф. Используя правило умножения величин, принадлежащих
к различным классам, легко заключить, что эти тензоры должны иметь
следующую структуру:

т(2п) ~ 2 *2^<+8Ч(+е)+2 £2 VSV~B)+2 62iV+4<+8V~e\

T(2»+i) ~ 2 jfe2W+ill)(+e)1|)(+e)++2 ^2^)^-=). (13-5,7)

Ясно, что преобразование (13.5.6) не меняет Т(2П+1) и изменяет знак
Т(2П), в отличие от преобразования (13.5.2), которое не меняет тензоров
четного ранга и изменяет знак тензоров нечетного ранга.

Мы приходим, таким образом, к заключению, что для частиц с полу-
целым спином невозможно введение положительно определенной плотности
энергии, а следовательно, и положительно определенной полной энергии.

Из доказанных утверждений не следует, что при целом спине всегда
существует положительно определенная плотность энергии, а при полу-
целом спине — положительно определенная плотность заряда. Напротив,
оказывается, что только в случае спина 1/2 можно ввести положительно
определенную плотность заряда и только в случае спинов 0 и 1 можно ввести
положительно определенную плотность энергии (при этом предполагается,
что матрица Г4 приводится к диагональному виду).

13.6.	Уравнения для частиц со спином нуль и единица. Простейшим
примером релятивистски инвариантных уравнений поля является уравнение

(-^-т2)сР^(л--Ж-т2)^ = 0’	(13.6.1)

где ф — скалярная функция координат и времени. Такое уравнение опи-
сывает в силу скалярного характера ф частицы, спин которых равен нулю;
масса частиц равна, очевидно, т.

Покажем, что это уравнение можно привести к виду (13.2.3). Введем
для этого наряду с ф четырехмерный вектор

।	1 дф

\/т

Тогда уравнение (13.6.1) заменится системой уравнений

-45-+т^=°>

где ф0 = д/тф. Эта система может быть представлена в общем виде (13.2.3)
(p^+mh=°’

где ф — пятикомпонентная волновая функция, состоящая из ф0 и %, и
(|л = 1, 2, 3, 4) —четыре пятирядные матрицы, которые, как нетрудно
убедиться, удовлетворяют соотношениям [24]

fVPvPp + PpPvPpi = бу/vpp + SpvPpi*	(13.6.3)

В данном случае представление D состоит из представления (0, 0),
по которому преобразуется скаляр ф0, и представления (1/2, 1/2), по кото-
рому преобразуется вектор фи.

Уравнение для ф может быть получено из вариационного принципа,
если в качестве плотности функции Лагранжа взять

L = — (	+ т2ф*ф ) .

Полагая

L=r — —+

и считая при варьировании ф0, %, ф*, фц независимыми, мы получим урав-
нения (13.6.2).

Рассматриваемой функции Лагранжа соответствует тензор энергии-
импульса

г дф* дф , дф* дф । гх
dxv dxv дхц

и вектор плотности тока

j^ = ie ф —	•

кдхит т dxj

Заметим, что подобно скалярному можно рассматривать также псевдо-
скалярное поле. При этом следует лишь под ф понимать не скаляр, а псевдо-
скаляр.
Рассмотрим теперь волновое поле, описывающее частицы со спином,
равным единице [25] Такое поле характеризуется четырехмерным векто-
ром фц, компоненты которого удовлетворяют уравнениям

(Д-m2)(pv = 0, ^ = 0.	(13.6.4)

\дхц 1	uxv

Благодаря дополнительному условию dqvldxv = 0, накладываемому на фг,
это поле описывает только частицы со спином 1 Действительно, рассмотрим
свободное поле, имеющее вид плоской волны,

Ф1л = Фц)е1рт,
где, согласно (13.6.3),

р2 + т2 = 0, р^^О.

Перейдя в систему отсчета, где частица покоится (р = 0), мы получим
Ф(40)= 0 Таким образом, в этой системе волновое поле описывается трех-
мерным вектором, который при пространственных вращениях преобразуется
по представлению Di и описывает, следовательно, частицы со спином 1.

Если ввести антисимметричный тензор



1

~\/т

\dxv

дфу\

то уравнения (13 6.4) примут вид

fntyn = 0,

dxv

dipv
дхм.

(13.6.5>

dxvJrm^v'~0,

где % = Ктфц. Эта система в свою очередь может быть представлена
в общем виде (13.2.3)

Ф = (а+/п)ф=о,

(13.6.6)

где ф — десятикомпонентная волновая функция, состоящая из вектора фц,
и антисимметричного тензора фЦу, и — четыре десятирядные матрицы,
удовлетворяющие тем же соотношениям (13 6 3), что и пятирядные матрицы
(Зц,, входящие в уравнения для частицы со спином нуль (уравнения (13 6 6)
называются уравнениями Дуффина — Кеммера)

Приведем явный вид матриц |3И.

Спин 0
Спин 1

о

О

О

О

Pi =

: О

О i О

= 0 0 Oi
О ; О 0 — 1 i
iO 1	0 =

”6'О";...=’

Oli О i

О
О

О
О
О

О
О
О

0—10

Рг =

Рз

\—1 о oi о  /	0 i	C  0	10:00	oi o i	0/  0^  — 1  0
			0 0 1 i	0
0 i	0		0 0 0 i	0
		• —	1 0 0 i	0
: 0	0	-1 i		0
0 i 0	0	0 i	0 1	0
i 1	0	0 i		0
\0 -1 0 i 0 0		o i	0 0 0 i	0,
( о i		0 i	0 i	0\ oi
				-1
		: 0	-1 0 :	0
0 1		0 i 1	0 0 i	0
		 o	0 0 i	0
	0	i oi		0
° i-	-1	0 0 i	° i	0
	0	о о i		0
kd о -1 i	0	0 Oi 0	0 0 i	0/
/ :		; i	0	0	i o\
0 i	0	i 0 -	-i 0	: 0 ’
		i 0	0 -I	i о
				i 0
0 •	0		0	: 0
				: 0
— i 0 0 i				; 0
0 i 0 :	0		0	• 0
0 0 i ;				= 0

\ О 0 0 : О 0 0 : О 0	0. J

Легко видеть, что детерминант каждой из матриц Ри равен нулю.
Поэтому не существует матриц, обратных матрицам Рц. В этом можно убе-
диться, не прибегая к явному виду матриц Рц, а исходя только из их алгеб-
ры. Действительно, из (13.6.3) следует, что

PhPvPh = 0 (И =# v), Рц = Ри
(здесь не подразумевается суммирования по ц). Поэтому, если бы существо-
вали матрицы, обратные рц, то из второго соотношения следовало бы, что
Рц = /, а отсюда и из первого соотношения следовало бы, что = О
(ц V) и - 0.

Уравнения (13.6.5) могут быть получены из вариационного принципа,
если в качестве плотности функции Лагранжа взять

Т	1	1	. I m	.

L~	dxM.)^v+ 2

и при варьировании считать величины фц, фц, ф^ независимыми.
Этой плотности функции Лагранжа соответствует тензор энергии-импульса

фру
и вектор плотности тока

 дфр
дх^

^pv

/ц=^(ф^фр — Шрц).

Уравнения для частиц со спином единица и со спином нуль могут быть
также получены, если пользоваться в качестве плотности функции Лагран-
жа выражением

А =	W(2fi-1), (13.6.7)

одинаковым для обоих видов частиц.

Этой плотности функции Лагранжа соответствует тензор энергии-
импульса

(13.6.8)
и вектор плотности тока

/и =	(13.6.9)

13.7.	Уравнения для частиц с произвольным спином. Изложенная
в предыдущих разделах теория свободных полей, основанная на лагранже-
вом формализе, не дает общего метода получения релятивистски инвариант-
ных уравнений для частиц с заданными массой и спином. Напротив, урав-
нения (13.2.3) описывают, вообще говоря, частицы с разными значениями
массы и спина.

Чтобы получить релятивистски инвариантные уравнения для частиц
с заданными значениями массы и спина, достаточно заметить, что если
спин частицы равен s, то частицу можно представить себе состоящей из 2s
частиц со спином, равным 1/2. В соответствии с этим мы будем описывать
частицу СО СПИНОМ S, «комбинированным» биспинором фа1,а2...а28,
в котором каждый из 2s индексов ап пробегает независимо от других индек-
сов четыре значения, an = 1, 2, 3, 4, п = 1, 2, . .	2s. Число компо-

нент такого биспинора (будем называть его биспинором ранга 2s) равно,
очевидно, 42s.

Мы примем, что биспинор фа1,а2...а28 = ф является полностью сим-
метричным относительно перестановок индексов ап и удовлетворяет обоб-
щенным уравнениям Дирака [26]

(i?;i)Pn + m)^ = 0,	(13.7.1)

где рц —четырехмерный импульс частицы, гп — ее масса (предполагается,
что m =7^=0) и (|i= 1, 2, 3, 4; n = 1, 2, ..., 2s) — дираковские матрицы,
действующие на индекс ап волновой функции фа^.. ,a2s и не затрагивающие
12 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
других ее индексов; для каждого значения п (п = 1, 2, ..., 2s) матри-
цы yjW удовлетворяют соотношениям (7.3.5)

_1_ v(n)V(n) — J
ГЦ Tv Tv fpi —

Покажем, что эти уравнения (они называются уравнениями Баргмана —
Вигнера) описывают частицы с массой т и спином s. Подсчитаем с этой
целью число независимых компонент волновой функции покоящейся
частицы с определенным знаком частоты (например, положительным).
Будем считать, что у матриц отличны от нуля только диагональные
элементы (они равны +1, +1, —1, —1). Тогда из (13.7.1) следует, что
отличными от нуля будут те компоненты фа1а2...а28> которые соответ-
ствуют первым двум строкам Для определенности будем считать, что
для этих компонент = 1, 2. Число таких компонент равно 22s. Осталь-
ные из 42S компонент ф равны нулю.

Учтем теперь свойство симметрии величины фа1а2...а28. Пусть среди
2s индексов ап какие-то k индексов равны 1 и 2s — k остальных индексов
равны 2. В силу свойства симметрии ф все компоненты ф с такими значения-
ми индексов ап будут одинаковыми. Поэтому число независимых компо-
нент ф равно числу возможных разбиений числа 2s на числа k и 2s /— А,
т. е. равно 2s + 1, как и должно быть для частицы со спином s (напомним,
что знак частоты считается заданным).

Инфинитезимальные операторы четырехмерных вращений для урав-
нений (13.7.1) определяются формулами

2s

/“’=4 3 (№-т?Чп)),
71= 1

которые являются обобщением формулы (8.5.9) для уравнений Дирака.
С помощью этих формул легко показать, что возможные значения проекции
спина частицы на какую-либо ось равны —s, —s + 1, . . ., s. При про-
странственных вращениях 2s+1 компонент ф преобразуются по пред-
ставлению Ds, как и требуется для частицы со спином s.

Покажем, что уравнения Дуффина — Кеммера для частиц со спином 1
вытекают из уравнений Баргмана — Вигнера. Если s = 1, то частица опи-
сывается биспинором второго ранга фа1а2, имеющим в силу свойства сим-
метрии фа1СС2 = фа2а1 десять независимых компонент. Уравнения Барг-
мана — Вигнера при s = 1 имеют вид

(гу^Рн + т) ^«102 = 0.

(<)p1x + m)^1a2 = 0.	(

Взяв полусумму этих уравнений и вводя обозначение

₽,. = 4 (Т»‘’ +Т«’)'

мы получим уравнения Дуффина — Кеммера для! 10-компонентной функ-
ции ф

Действительно, легко убедиться, что матрицы ри удовлетворяют соотно-
шениям (13.6.3)

PptPvPp + PpPvPjJt = SUvPp + $vpPp,«
Рассмотрим еще частицы со спином $=3/2. Уравнения Баргмана —
Вигнера для них имеют вид

(d(1) + m)4! = 0,

(<Э(2) + т)ф = 0,	(13.7.3)

(д(3)4-т)ф = 0,

где 5(n) = t’7vn)pv и ф = фаз? — волновая функция частицы, симметричная
относительно индексов сс, |3, у и содержащая 43 компонент.

Введем в рассмотрение четыре биспинора ф(ц) (у = 1, 2, 3, 4) с компо-
нентами

(13.7.4}

где С —матрица зарядового сопряжения. Тогда из третьего уравне-
ния (13.7.3) следуют уравнения

G’VvPv + m) Ф(м) = 0-	(13.7.5)

Легко видеть, что четыре биспинора фМ связаны между собой соот-
ношением

7иф(ц) = 0.	(13.7.6)

Действительно, используя соотношения (8.4.6) и свойство симметрии фазт,
имеем

(уиф^^)б — фаЗу (?ц)б-у (С X)aZ (ТнХз —

— 'ФаЗ'у (-Об? (С 1)а^ (^)%Р ’ Фа₽7 ('Уб)б'у (С 1)аА, (ТбИв =

—'фаВу (^)бу (С Х)а0 ФаВу (?б)бу (С 1Уб)аВ*
Но

(С-ЧаЗ^ -(С-^За, (СГЧ)^ -(C'SW

Поэтому последняя строка равна нулю, и мы получаем

М(Ю)б==0.	(13.7.7)

Мы видим, что уравнение (13.7.5) вместе с соотношением (13.7.6) выте-
кает из уравнений Баргмана — Вигнера (13.7.3). Можно показать, что
и, обратно, уравнения (13.7.3) следуют из (13.7.5) и (13.7.6). Поэтому послед-
ние два уравнения могут служить для описания частиц со спином 3/2 [27].

Легко проверить, что число независимых компонент у четырех биспи-
норов фМ в системе покоя частицы равно четырем, как и должно быть
в случае спина s = 3/2.

§ 14.	Квантование электронно-позитронного поля

14.1.	Условия квантования. В предыдущих параграфах рассматрива-
лась задача об одном электроне (свободном или находящемся в заданном
внешнем поле); теперь мы перейдем к рассмотрению системы не взаимодей-
ствующих между собой электронов и позитронов. Такую систему можно
описывать с помощью волновой функции в конфигурационном пространстве.
Практически более удобно, однако, пользоваться методом вторичного кван-
тования и описывать состояние системы волновой функцией в пространстве
чисел частиц. Существенное преимущество такого метода состоит в том,
что он допускает простое обобщение на случай взаимодействующих частиц.

Мы будем рассматривать уравнения Дирака не как квантово-механиче-
ские уравнения движения отдельной частицы, а как уравнения поля;
в этом смысле роль их аналогична роли уравнений Максвелла для электро-
магнитного поля. Это поле мы будем называть электронно-позитронным
(или просто электронным). Оно характеризуется биспинорами ф (х) и ф(х),
которые, подобно потенциалам (х) в теории квантованного электромаг-
нитного поля, следует считать операторами, действующими на волновую
функцию (вектор состояния) системы в пространстве чисел частиц и удов-
летворяющими определенным перестановочным соотношениям.

Наша задача заключается в установлении этих соотношений, которые
носят название условий квантования электронно-позитронного поля.

Введем с этой целью в рассмотрение совокупность стационарных реше-
ний уравнений Дирака для электрона в произвольном, но достаточно слабом
постоянном внешнем электромагнитном поле,

где индекс s служит для обозначения различных решений. В этом случае
возможно разделение решений на решения с положительными и решения
с отрицательными частотами, причем первым соответствуют, как мы знаем
(§ 9.1), электронные, а вторым — позитронные состояния. Функции ф8 (х)
образуют ортонормированную систему функций

Ф? (*) Фз' (х) d3x = 6SS',

и поэтому произвольное решение уравнений Дирака в рассматриваемом
поле может быть представлено в виде суперпозиции ф5 (х),

Ф(х) = 2 азфз(х)+ 2 ЬзфЛ*),
со >°	(О <0

*	_	*	-	(14.1.1)

Ф(х) = 2 а!фз(х)+ 2/ Ьзфз (*),
(Ds>0	СО5<0

где as, bs—некоторые постоянные коэффициенты разложения. Эти вели-
чины мы будем теперь, так же как и величины си в разложении электро-
магнитных потенциалов (5.1.1), считать не обычными числами, а операто-
рами, действующими в пространстве чисел частиц — электронов и пози-
тронов.

Чтобы установить свойства этих операторов, определим энергию и заряд
электронно-позитронного поля. Эти величины определяются формула-
ми (8.8.3) и (8.8.4)

п,. 9Ч

(14.1.2)
Q = ф+фс!3х.

Подставляя сюда разложения (14.1.1) и используя условие ортонормиро-
ванности функций ф5 (г), получим

Н = 2 ^sSsSs 2 $sbsbs >

°з>0	tos<0	(14.1.3)

Q = e2 as+as + e 2 bsbt,

(Ds>0	®s<0

где es = |a>81.

Рассмотрим сначала первые слагаемые в выражениях (14.1.3), которые
связаны с электронными состояниями. Эти слагаемые должны, очевидно,
представлять собой суммарные энергию и заряд системы электронов. Поэто-
му величину atas мы должны интерпретировать как оператор числа элект-
ронов в квантовомеханическом состоянии s. Этот оператор мы обозначим
через nJ:

nj+) = atas.

Согласно принципу Паули, его собственные значения nt не должны пре-
вышать единицы,

= 1.

Поэтому операторы as, at должны удовлетворять таким перестановочным
условиям, которые приводили бы только к этим двум собственным значениям
n(s+).

Мы примем, что а5 и at являются эрмитовски сопряженными операто-
рами, удовлетворяющими следующим перестановочным соотношениям:

{as, at} — 6Ss'?

{as, аЛ = 0,	(14.1.4)

{at, at'} = 0,

где скобка {A, В} обозначает

{A, B}-AB + BA

и называется антикоммутатором операторов А и В.

Покажем, что условия квантования (14.1.4) приводят к принципу
Паули. Возведем для этого оператор ni+) = atas в квадрат

(n£+))2 = atasatas = atas (1 — asat)-

Но, согласно (14.1.4),

а| = 0,
поэтому

(ni+))2 = atas = ns+),
откуда следует, что собственные значения оператора nl+) равны, как
и утверждалось выше, 0 и 1.

Возвратимся теперь к общим выражениям (14.1.3) для суммарной энер-
гии и суммарного заряда электронно-позитронного поля и рассмотрим
вторые слагаемые, связанные с решениями уравнений Дирака с отрицатель-
ными частотами. Эти слагаемые должны определять энергию и заряд пози-
тронов. Чтобы такая интерпретация была возможной, примем, что bs и bt
являются эрмитовски сопряженными операторами, удовлетворяющими
тем же перестановочным соотношениям, что и as, at:

{bS, bt'}=6ss',

{bs, bt} = 0,	(14.1.5)

{bt, bt'} = 0,

а также соотношениям

{as, bS'} = {as, bt} = {at, bS'} = {at, bt'} = 0,	(14.1.6)

и будем считать, что число позитронов в состоянии s есть собственное
значение оператора ns-)

n^^btbs-

Ясно, что собственные значения оператора ni-) в силу перестановочных
условий (14.1.5), так же как и оператора nl+), равны 0, 1:

и^ = 0, 1.
Используя определение оператора ns±) и условия квантования (14.1.4),
(14.1.5), можно переписать выражения (14.1.3) для суммарных энергии
и заряда электронно-позитронного поля в виде

Н = 3(п^+)-ЬпГ)еП + ^

S

Q = еЗ (nl+) — rd-)) + Qu,

s

где 8s±)	± ®s при C0s - J О и

Ео= — Q0 = e 2 1-

S	Ш8<0

Эти выражения показывают, что условия квантования (14.1.4) и (14.1.5)
приводят к правильной корпускулярной картине электронного поля. Дей-
ствительно, как и должно быть, каждое занятое электронное состояние
вносит в суммарную энергию поля вклад е^+) и в суммарный заряд —
вклад е, а каждое занятое позитронное состояние вносит в эти величины
соответственно вклады 8з-) и —е.

Недостатком полученных выражений является наличие в них беско-
нечных констант Ео и Qo. Они представляют собой энергию и заряд в состоя-
нии вакуума, т. е. в состоянии поля с минимальной энергией, отвечающей
значениям = 0 для всех s.

Однако лишенные физического смысла константы Ео и Qo могут быть,
как мы сейчас покажем, устранены простым изменением в определениях
операторов энергии и заряда электронного поля. Напомним с этой целью,
что использованное нами определение вектора плотности тока /у, (х) =
= (тДарФа W фр (х) базировалось на том, что это — единственная ква-
дратичная форма, построенная из компонент биспиноров ф (х) и ф (х),
представляющая собой четырехмерный вектор и удовлетворяющая урав-
нению непрерывности. Другая возможная форма ie (УцК^Фв (*) Фа W отли-
чается только порядком множителей фа (х) и фв (х) и совпадает с первой,
если ф (х) иф (х) рассматриваются как обычные числа. Ситуация, однако,
существенно меняется, если ф (х) и ф (х) считаются не обычными числами,
а операторами. В этом случае обе формы отличаются, и возникает возмож-
ность определения оператора плотности электрического тока с помощью
соотношения

jg (х) = ~ (Т11)а8 (% (x)ipB (х) — i|>B (х)	(х)).

Этот вектор по-прежнему удовлетворяет уравнению непрерывности
djg (*) „
дхц —

и приводит, как легко проверить, к полному заряду поля

Q = -1J j4 (х) d3x = -J 2 ([at, а8] - [bt, М) = е 2 (n(+) - пГ’)•
s	s

Мы видим, что теперь заряд вакуума равен нулю, Qo = 0. Поэтому
в дальнейшем мы будем пользоваться именно этим определением оператора
плотности тока, которое может быть сокращенно записано в виде

ju(x) = -^-W(x), -МЧ*)],	(14.1.7)

где [А, В] означает коммутатор операторов А и В.
(14.1.9)

Вводя зарядово-сопряженные операторы поля

фс (х) = Сф (х), ф3 (х) = С^Ф (х)
и вспоминая, что

Ф (*) Yu Ф (*) = ф3 (х) тифс (х),
можно оператор плотности тока представить также в виде

ji* W = -у (Ф (х) у^ф (х) - фс (х)	(х)).	(14.1.8)

Это выражение остается неизменным, если заменить операторы ф (х)
и ф (х) зарядово-сопряженными операторами фс (х) и фс (х) и изменить
при этом знак заряда е.

Кроме оператора плотности тока, можно формально непротиворечивым
и релятивистски инвариантным образом переопределить оператор энергии
поля, понимая под произведением операторов полей в формуле (14.1.2)
их так называемое нормальное произведение (см. § 14.4). При этом в фор-
муле (14.1.3) для Н величина bsbt заменяется на—btbs и исчезает кон-
станта Eq,

Итак, после переопределения операторов плотности тока и энергии
электронного поля энергия и заряд поля становятся равными

н = 2 (nW+rW),

S

Q = e2 (пз+) — ris ’),

s

в полном соответствии с корпускулярной картиной поля.

14.2.	Операторы испускания и поглощения электронов и позитронов.
Выясним теперь физический смысл операторов as, at и bs, bt- Восполь-
зуемся для этого представлением, в котором диагональны операторы
n^+) = atas и ns-) — btbs. Обозначая через | п^) собственный вектор
состояния оператора nt, отвечающий собственному значению этого опера-
тора nt, и учитывая, что возможные значения ф+> равны 0 и 1, имеем

(О | at 10) <0| as 10> + <01 at| 1) <1 [ as 10> = 0,

<11 at 10) (0 |as 11> + <11 at 11><1 |as| 1>= 1,
а так как операторы as и at эрмитовски сопряжены, т. е.

(i |Ъ8|£> = <&| at | 0; i, k = Q, 1,
то

|<01 at| 0) |2ф| <01 at 11) |2 = 0,

I <11 at 10> |2 +1<1 | at 11) I2—1
и, следовательно,

<0|at|0> = <0|at|l> = 0.

Из условия atat = 0 легко заключить, что

<1 |at[ 1> = 0,
и поэтому

<l|at|0)=l.
Таким образом, с точностью до множителя, равного по модулю еди-
нице, справедливы формулы

<U+>|at]0n = 1, <0‘в+>|а«| 1П = 1,

<U+>|as|0<+>) = 0, <0П | a?| Ш> = 0,	(	}

где знак плюс над 0 и 1 означает, что мы имеем дело с электроном, и индекс s
служит для обозначения состояния, в котором находится электрон. Эти
формулы показывают, что операторы at и as можно интерпретировать как
операторы рождения (или испускания) и уничтожения (или поглощения)
электрона в состоянии s.

Аналогичный смысл имеют операторы bt и bs Для позитрона: они пред-
ставляют собой операторы рождения и уничтожения позитрона в состоя-
нии s:

<!<-> | bt [ 0<-’> = 1, <0<-> | bs 11П = 1,

<ir’|bs|on=o, <0‘-»| bt I in=o,	(	'

где знак минус над 0 и 1 означает, что мы имеем дело с позитроном.

Легко установить матричный вид операторов at» as и bt, bs. Расположим
для этого все электронные и позитронные состояния в определенном порядке
и перенумеруем их единым образом. Из предыдущего ясно, что мы можем
положить

as = nsas, at = T]tcct, bS' = T)s'aS', bt' = nt'^t',	(14.2.3)

где as, at — двухрядные матрицы

/0 0\	/0 1\

as==u 0Г	до or

действующие на переменные, относящиеся к состоянию s (s определяет
любое из электронных и позитронных состояний), и t]s — некоторая уни-
тарная матрица, не действующая на переменные, относящиеся к состоянию sr
ntns =

Для нахождения этой матрицы воспользуемся перестановочными соотно-
шениями

{as, aS'} = {as, bs*} = {bS", bS"'} = 0,

справедливыми для различающихся состояний s, s', s", s'". Чтобы удовле-
творить этим соотношениям, положим

*Ь= П Us'),

(s'<s)

где (s') — матрица, действующая на переменные, относящиеся к состоя-
нию s', и произведение берется по всем состояниям s', предшествующим
состоянию s (напомним, что все электронные и позитронные состояния
перенумерованы единым образом). Так как матрицы aS' и as" при s' =£ s?
действуют на разные переменные и поэтому коммутируют между собой,
то из написанных перестановочных соотношений следует, что матрицы
as и £ (s) антикоммутируют

{as, C(s)} = 0.

Аналогичное соотношение справедливо для at,

{at, C(s)} = 0.
Поэтому £ (s) коммутирует с a|as,

[£($), o£as] = O,
и, следовательно, матрица £ (s) диагональна в том представлении, в кото-
ром диагональны ris+) — atas и rd7> = b?'bS'- Отсюда легко заключить, что
£(s) = (-1)4

где ns — число частиц (электронов или позитронов) в состоянии s.

Итак,

2 «s-

rls = (—l)(s'<s) ,	(14.2.4)

т е. t]s равно -г-1 или —1 в зависимости от того, будет ли суммарное числа
частиц в состояниях, предшествующих данному состоянию (согласно уста-
новленному порядку в их нумерации) четным или нечетным.

С помощью операторов рождения и уничтожения можно формальна
строить векторы различных состояний системы электронов и позитронов.
Введем с этой целью вектор состояния вакуума электронно-позитронного
поля, который обозначим через | 0 ). Так как в этом состоянии нет частиц, та
Гп^ 10) = a?as 10> = 0,	10) = btbs 10> = 0.

Применим к этим уравнениям операторы а3 и Ь3-
asatas 10> = 0, bsbtbs 10> = 0.

Так как asat=l— atas и bsb? =1 — btbs, то последние уравнения при-
обретают вид

as 10) — atasas 10> = 0, bs|0)— btbsbs ] 0> = 0.

Но а? = 0, bs = 0, и, следовательно, вектор состояния вакуума удовлетво-
ряет уравнениям

as|0) = 0, bs 10> = 0.	(14.2.5)

Построим теперь векторы одночастичных состояний. Для этого нужно
подействовать на вектор состояния вакуума каждым из операторов рожде-
ния частиц. Например, вектор

I U+)> = aJ | 0>	(14.2.6>

представляет собой вектор состояния электронного поля с одним электроном^,
находящимся в состоянии s. Действительно, этот вектор является собствен-
ным вектором оператора числа электронов с квантовыми числами s, принад-
лежащим собственному значению п™ = 1:

ns+) 11(8+)> = а?а5а|| 0) = at 10) — asataj 10)=| 1^).

Аналогично вектор

lU-^briO)	(14.2.7)»

представляет собой вектор состояния электронного поля с одним позитро-
ном, находящимся в состоянии s.

Упитывая условие нормировки этих векторов

<1<+) | U+)>= 1, <1Г)|1Г)}=1,

мы получим формулы (14.2.2), (14.1.3) для матричных элементов операторов,
рождения и уничтожения частиц.
Заметим, что из этих формул вытекают следующие соотношения для
средних по состоянию вакуума от произведений операторов рождения и
уничтожения частиц:

(О | ata510> = 0,	(01 btb510> = О,

<0 |asat [0>= 1,	<0| bsbt[ 0>= 1.	(

Построим теперь векторы многочастичных состояний. Для этого нужно
подействовать на вектор состояния вакуума не одним, а несколькими
(по числу присутствующих частиц) операторами рождения частиц. Напри-
мер, вектор

представляет собой вектор состояния поля с двумя электронами, обладаю-
щими квантовыми числами s и s', а вектор

щ+>, 1<7))=аадо>

представляет собой вектор состояния поля с одним электроном, обладаю-
щим квантовыми числами s, и одним позитроном, обладающим квантовыми
числами s'.

Так как atat = 0, то

1<+>> = [2<+>> = 0,

т. е. не существует состояний поля с двумя электронами, обладающими
одинаковыми квантовыми числами.

При построении векторов двухчастичных и многочастичных состояний
следует иметь в виду, что операторы at и at' при s#= s', а также операторы
at и bt' антикоммутируют между собой, поэтому необходимо условиться,
какое из выражений at at' | 0 ) или at'at I 0), отличающихся только знаком,
брать в качестве вектора двухэлектронного состояния. Аналогичный вопрос
возникает относительно выражений atbt' I 0) и bjat I 0), также отличаю-
щихся только знаком.

Мы условимся при построении векторов состояний располагать опе-
раторы рождения частиц, действующие на состояние вакуума, в том поряд-
ке, в каком перенумерованы соответствующие им состояния; иными сло-
вами, под вектором состояния Ф (+)п(~), описывающим п(+) электронов
и п(~) позитронов, мы будем понимать вектор

IU*L> •  •	• • • ч i<»'

где расположение индексов ri9 г2, . . гп(-ъ sb s2, . . nsft(+) соответствует
тому порядку, который принят при их нумерации. Ясно, что при таком
определении мы получим

аз,Фп<+>, п(-> = (~ O^n'+’+l, п'-’’

6?Ф„<+>, п<-> = ( — !)V ФП<+>,

где v — число состояний, входящих в совокупность Г2, • •	Гп(->,

sb s2, . . ., sn(+), порядковые номера которых следуют за состоянием s/
аналогичный смысл имеет число v'.

Возвратимся теперь к разложению (14.1.1). В соответствии со смыслом
операторов atas и btbs, можно сказать, что ф (х) объединяет операторы
рождения электронов и уничтожения позитронов, а ф (х) — операторы
уничтожения электронов и рождения позитронов. Используя форму-
лы (14.2.1) и (14.2.2), можно найти матричные элементы операторов ф (х),
ф (х), соответствующие рождению и поглощению электронов и позитронов,

<Н«|Ф(х)|о<+’) = ф'+)(х), <0Г’|ф(*)!И+’>=Ф1+’(х),
(0^_) | ф (х) 11	= фз-> (*) > <1 Г’ | Ф (х) I 0s_)> = ips"’ (х),

где ips+) (х) — ips+) (г) e~ia>s* и tpi-> (х) = фГ’ (Н — решения уравнения

Дирака для электрона в постоянном внешнем поле, соответствующие
положительным и отрицательным частотам и нормированные согласно
условию

§ ф/ (Г) (ф^9 (г))* d3x = 6SS'6g^, q = +, —.

В этих формулах постоянное внешнее электромагнитное поле может
быть произвольным, лишь бы оно было достаточно слабым. Поэтому, в част-
ности, они относятся и к случаю свободных частиц, который мы рассмо-
трим ввиду его важности отдельно.

В этом случае можно ввести состояния частиц с определенным импуль-
сом и определенной поляризацией, т. е. в качестве собственных функций
ф(^} (х) взять плоские волны, подробно изученные в § 9.2.3:

Фр/ W = у==	(± Р) е±1рж.

При этом разложение (14.1.1) приобретает вид

Ф (X) = 2 тАг е'РХ + bp>W < - Р> е"1РХ] ’

I/ Л у 8

Р, Ц

Ф (*) = 2	(р)	+ ЬрцИ»1 (- р) ei,1X],

Р, ц

(14.2.10)

где а£ц представляет собой оператор рождения электрона с 4-импульсом р
и поляризацией ц, арр — оператор уничтожения электрона с импульсом р
и поляризацией ц; ЬР11 — оператор рождения позитрона с импульсом р
и поляризацией ц и Ьру, — оператор уничтожения позитрона с импульсом р
и поляризацией р.

Формулы (14.2.9) для матричных элементов полей ф (х), ф (х), соответ-
ствующих рождению и уничтожению частиц, приобретают вид

(l<+> I ф (X) 10<«) =~4= й» (р)	(0& I ф (х) 1I <£> =	и* (р) е4'*,

|/2Ve	|/2|/е

(14.2.11)

<О^|ФМ |1Й) = -u»(~P)eipx, <1'р->|ф(х)|0<->) = -Г=^(-р)Г^.
1/21/8	y2v8

Эти формулы аналогичны формулам (5.2.8) для матричных элементов опе-
раторов потенциала электромагнитного поля, соответствующих испуска-
нию и поглощению фотона.

14.3.	Антикоммутаторы электронного поля. Зная алгебру операторов
рождения и уничтожения частиц, т. е. имея соотношения (14.1.4), (14.1.5),
(14.1.6) и используя разложение (14.1.1), легко установить перестановочные
соотношения для операторов электронного поля гр (х) и гр (х'):

Ш (х), ф₽ М}=°>

{‘Фа(х), %(х')}==0,	(14.3.Г)

{Фа(х), Фр (х')} = 5ар(х, х'),
где

$ав (х, X ) = Sag (х, X ) -ф- Sag (X, X ),

5^р(х,х') = 2фш(х)Ш(х'),	(14-3.2)

S

Sag (Х, Х') = 2 ФЙ (X)^sg’ (X').

S

Если внешнее электромагнитное поле отсутствует, то функции Sap (х, х')
и Sap (х, х') имеют вид

sjg(x-x')= 2 2^«S(p)uhp)^p(x-x').

p"u	_	(14.3.3)

Sag(x-x')= 2 2^7^(-р)иЦ-р)е-^^-х’\

Ру Ц

а так как, согласно (9.4.11),

Sug(p)^(p) = (m-t>)ag,

V _	.	(14.3.4)

2j u£( — р)и$ ( — р)= — (m + f»ag,

то

SSg (X) = - 2 2^7 - "О “В eiPX = -(v^-m)agSw еЧ>Х’
р	р

Sa, (X) = - 2 2^7 (^ +	е~11'Х = (- т) аВ 3 1^7 e-lVX

р	р

или

Sag(x)- (т^-^7’-т)аВД+W’

S«3W=(b-4r-"I)agA-W’

(14.3.5)

где Д+ (х) и Д-(х) — функции, введенные в § 6.5,

Д+(х)

Д_(х)

1

2 (2л)з

1

2 (2л)3

pipx d3p

Ър

^—грх d3p
&Р

Вспоминая определение функции

До (х) = i (Д+ (х) - Д_ (х)) =	$ ^vr^~ d3P-

получим окончательно



Sag (х) — J (уц ~

„ до(х)

ар

(14.3.6)
или сокращенно

X (х) = i (ip — т) До (х).

В § 6.5 мы видели, что функция До(*) обращается в нуль всюду
вне светового конуса, т. е. при х2 = г2 — /2>0. Поэтому антикоммутатор
-{фа (я), ф(з(х')} равен нулю, если точки х и х' разделены пространственно-
подобным интервалом (х— х')2>0.

Если t = t', то

Sas(r, O) = (T4)aP4AoWI‘=»“(T4M(r),	(14.3.7)

и антикоммутатор {фа, фр} приобретает вид

{фа(Г, о, Фз(г', /)} = W(r — г').	(14.3.8)

Разъясним физический смысл функций Х+ (х) и Х“ (х). Легко убедиться,
что они определяют средние значения в состоянии вакуума произведений
компонент ф (х) и ф (х)

<0| фа(х)ф6(х')|0>=5^(х — х'),	(14 3 9)

<0|фР(х')фа(х)|0)=Зар(х—х').

14.4.	Хронологическое и нормальное произведения операторов элек-
тронного поля. В §6.2 мы изучали определенным образом упорядоченные —
хронологические и нормальные — произведения операторов потенциалов
электромагнитного поля. Аналогичные произведения можно определить
также и для операторов электронно-позитронного поля.

Рассмотрим сначала хронологическое произведение (или Т-произведе-
ние) операторов электронного поля.

Если ф! (xi) и <р2 (х2) — какие-либо две компоненты операторов поля
ф и ф, то их хронологическое произведение определяется следующим
образом:

г, < X < "-J	Ф1(х1)ф2(хг)>	Z1<Z2, ,1ЛЛ1Ч

Т(ф1(х1)ф2(х2))-| _ф2(Х2)ф1(Х1),	(14-4-1)

Отметим, что, в отличие от хронологического произведения операторов
электромагнитного поля, хронологическое произведение операторов элек-
тронного поля меняет знак при перестановке операторов <р1 и <р2. Это нахо-
дится в соответствии с разными условиями коммутации электромагнитного
и электронного полей.

Хронологическое произведение произвольного числа компонент поля
Ф1 (*i)> Фг (*2), • ••> Фп (*п) определяется формулой

Т (Ф1 (х,) ф2 (х2)• • • фп (хл)) = 6рфи (Хи) ф;2 (х1а). . . фгл (х,п),

где операторы <р41 (XjJ, . . ., <p,n (x{ji) расставлены в хронологическом поряд-
ке, т. е. так, что tir > (<2 > ... > tin, и <5Р равно +1 или —1 в зависимо-
сти от того, является ли перестановка (1, 2, . . ., п) ->• (i1; г2, . . ., in)
четной или нечетной.

Легко видеть, что определение хронологического произведения опера-
торов поля релятивистски инвариантно. Действительно, если интервал
между точками является времениподобным, то это утверждение очевидно,
так как в этом случае неравенство > /2 в системе К влечет за собой
неравенство /' > /' в другой системе /С'. Рассмотрим поэтому тот случай,
когда интервал между и х2 является пространственноподобным, причем
пусть в системе отсчета* X имеет место неравенство > /2, а в системе /С' —
неравенство < t'2. Тогда в системе К Т-произведение операторов ср! (xt)
и ф2 (*2) запишется в виде

т (ф1 (Х1) <р2 (Х2)) = ф! (Х1) ф2 (Х2),	h > *2>

а в системе К! — в виде

т (ф; (*;) Ф2 (^))=ф; (*;) ф; w).

где ср* и ф' — значения операторов поля в системе /С- Это выражение
на первый взгляд противоречит определению Т-произведения, так как,
если в системе /С' t[ < то, согласно (14.4.1), Т-произведение в системе /('
следует писать в виде

Г (фх (хх) ф2 (х2)) = ф2 (х2) фх (^i), <С /2*

В действительности, однако, оба выражения тождественны, так как при
пространственноподобном интервале операторы ф' (х') и ф2 (х2) антикомму-
тируют.

Рассмотрим теперь нормальное произведение (или TV-произведение)
операторов электронного поля, в котором операторы рождения стоят слева
от операторов уничтожения частиц.

Если каждый из операторов Хь • • •> Хп содержит только опера-
торы рождения или только операторы уничтожения частиц, то нормальное
произведение операторов • • •> Хп определяется соотношением

#(Х1%2. • -Хп) = брХг1Х«2- • -Xin,	(14.4.2)

где операторы %г1, х*2> • • •> Хгп представляют собой те же операторы
Xi, • • •> Хпь только расположенные таким образом, что операторы
рождения стоят слева от операторов поглощения частиц, и 6Р равно 4-1
или —1 в зависимости от того, является ли перестановка (1, 2, . . ., п)
(ч, ч, • • •> in) четной или нечетной.

В общем случае, когда операторы содержат как операторы рождения,
так и операторы уничтожения частиц, для нахождения нормального произ-
ведения нужно каждый из операторов представить в виде суммы Хг =
=	+ Хр где X, содержит только операторы рождения, a xj — только

операторы поглощения, и, записав ^-произведение в виде суммы

N (AXiB) = 2V (Ах?В) 4- М (Ах “В),
воспользоваться далее формулой (14.4.2).

Рассмотрим несколько примеров.

Полагая

ф (%) = ф<+) (х) 4- ф(~> (х), ф (х) = ф<+) (х) 4- Ф^ (х),
где ф(+) (х) и ф("} (х) объединяют соответственно операторы уничтожения
электронов и рождения позитронов, а ф(+) (х) и ф(") (х) — операторы рож-
дения электронов и уничтожения позитронов, имеем
АГ(ф (х) ф (у)) = N [(ф<+) (х) + ф(“’ (х)) (ф(+>(х) + фм (х))] =

= ф(+) (х) ф<+> (у) + фе> (х) ф<+) (у) — ф(_) (у) ф<+) (х) + ф(_) (х) ф<_> (г/),

а так как

ф<_> (У)	(*) = — 'Ф<+) М ^(-) (У)>

то

А/(ф(х)ф(г/)) = ф(х)ф(г/).	(14.4.3)
Аналогичное соотношение имеет место для операторов ф (х) и ф (у)

А(ф(х)ф(у)) = ф(х) ф(г/).	(14.4.4)

Нормальное произведение операторов ф(х)'и ф (у) имеет более слож-
ный вид

М(ф(х)Ф(г/)) =

= _ф<+> (у) ф<+> (х) 4- ф<+> (х)ф(-> (у)	ф<_) (х) ф<+) (у) + ф<_> (х) ф<_> (г/),

А (ф (у) ф (х)) =

= Ф<+) (У) Ф'+> (х) + ф<_> (у) ф<+) (х) + ф<+) (у) ф('’ (х) — ф<_) (х) фм (г/).

Так как

i|)<+) (%) ,ф(”) (у) = — х|)(“) (y)^(+) (х), 'ф<+)	(х) = —'Ф<”) W^<+) (у)>

то

w (Ф (у) Ф (*)) = — N (ф (х) ф (г/)).

Покажем, что разность между хронологическим и нормальным про-
изведениями операторов электронного поля, которую мы будем называть
связью или сверткой этих операторов, не содержит, так же как и в случае
электромагнитного поля, операторов поглощения и испускания частиц,
т. е. представляет собой с-число.

Вычислим прежде всего связь операторов (х) и (х'). В соответствии
с определениями (14.4.1) и (14.4.2), имеем

Т (фа (х) фВ (х')) — N (фа (х) фВ (х')) =

(	о,

I — Фб(^')Ф<х (х) — фа (х)фВ(х'),	t’>t,

а так как, согласно (14.3.1), антикоммутатор х|)а (х) и 'фр(х') равен нулю,
то связь операторов фа (х) и 'фз(х') равна нулю:

г&(х)Шх')=0,	(14.4.5)

где для обозначения связи операторов принято обозначение

Т (Ф1Ф2)—N (<Р1ф2) Ф1Фг-

(Вместо буквы а сверху над операторами мы будем писать также любую
букву латинского алфавита, которая должна быть только одинаковой
у связуемых операторов.)

Аналогичным образом легко убедиться, что

Ф“ (х)фв(х') = 0.

(14.4.6)

Найдем, наконец, связь операторов ф (х) и ф (х'). Используя (14.4.1),
(14.4.2) и (14.1.1), получим

фа (х) фв (х')= — фВ(х')Фа(х) = ЗсаВ (х, х'),

(14.4.7)

где

*$саВ (^-> X ) —

$аВ (X, X'),

— 5аВ(х, X'),

t’>t,
и (*,*') и Sa$(x, х1) — функции, определяемые формулами (14.3.2).
(х, х') = 2 фва (х) 1|)$’ (х'),

S

Sap (X, х') = 2 'Феа (X) l|£jj’ (х').

8

В отсутствие внешнего электромагнитного поля функция Sca^(x— х'),
зависящая только от разности аргументов, может быть, согласно (14.3.5),
представлена в виде

Scap (х)=	(Th	Ас (х)

или сокращенно

Se(x)= -(ip-m)Ac(x),	(14.4.8)

1	д

где p = -7(i—и

Дс(х) = е(х)Д+(х) + 0(-х)Д_(х) = ^Т_ J	(14 4 9)

Из сравнения формул (14.3.3) и (14.3.5) следует

SeaB (*) = 2 2^ U“	(РГ~8р lt>)-	(14.4.10)

Z> V Op

P, Ц

Применив к уравнению (14.4.8) оператор fp + m и учитывая, что,
согласно (6.5.2),

(□— т2) Дс (х) = £б(х),
получим

(ip + m)Sc(x)= — и5(х),	(14.4.11)

т. е. Sc(x) является функцией Грина уравнений Дирака для свободного
электрона. Таким же свойством обладает функция Sca$(x, х') для уравне-
ний Дирака при наличии постоянного внешнего электромагнитного поля.

Используя интегральное представление функции Дс(.г),
| га егрх

Дс(^)= (2я)4: р2 4- т2 diP-
С

можно найти аналогичное представление функции 8с(х):

ScW=72^SSc(z7)eiPXd4/7’	(14.4.12)

С

где

Se(P) = I-^^,	(14.4.13)

и интегрирование по р0 совершается вдоль контура С, изображенного
на рис. 6.3. Контур интегрирования можно совместить с вещественной
осью, добавив —rq в знаменателе Sc (р), где т] — бесконечно малая положи-
тельная величина; такое добавление эквивалентно замене

m—>т —Ю.

Учитывая это, мы будем записывать формулу (14.4.12) также в виде

Se(P)=T-^--------(14.4.14)

1 ip-x-tn — z0

Эта формула будет играть в дальнейшем особенно важную роль.
Используя свойства операторов поглощения и испускания частиц,
рассмотренные в § 14.2, легко убедиться, что среднее значение любого
Лг-произведения операторов полей в состоянии вакуума равно нулю:

<0|^(ф1ф2...)10) = 0.	(14.4.15)

Отсюда следует, что

<0|Т(ф1ф2)|0) = ф«ф«,	(14.4.16)

т. е. среднее значение хронологического произведения двух операторов
полей равно связи между этими операторами.

Покажем в заключение этого раздела, что оператор плотности электри-
ческого тока, который мы определили как

jn (х) =	(ф (х) уиф (х) - ф (X)	(х)),

можно представить в виде нормального произведения

ju (х) = ieN (ф (х) уйф (х)).	(14.4.17)

Будем исходить из соотношений

N (Ф.(Х + п) УпФ (*)) — Т (Ф (х + Т]) урф (х)) =

= N (ф (х 4- т]) 7цф (х) — ф (х + т]) 7цф (х) = Sp (урЗс (- rj)),

N (ф (х) удф (х + П)) — Т (Ф W ТиФ (х + т))) =

= N (Ф (х) уцф (х + т])) + ф (х 4- п) у£ф (х) == Sp (TjlSc (т])),
где т] — времениподобный вектор с положительной временной составляю-
щей, т]2 < 0, т]0 > 0, который мы устремим далее к нулю, 11ц,	0. Сложив

эти соотношения, получим

in (*)=-f- (Ф (*) ъФ W - Ф W УцФ W) =

= ieN (ф (х) урф (х)) —	Sp {ур (Зс (— т]) 4- Зс (т1))}Пц-.о •

Легко видеть, что последнее слагаемое обращается в нуль. Действи-
тельно, согласно (14.4.8)

Sp {Tn (Sc (- л) 4- Sc (Т|))} = 4 •	{Ас (- Л) — Ас (п)}-

Подстановка сюда вместо Дс(т]) интегрального представления (14.4.9) дает

Sp <Ти (Sc (л) + Sc (- п))} = -7Д3-~Т—	C0S	dsp,

СУМ 1 су М/Д (2л)3 drip J	Ур2-у/л2	’

откуда

lim Sp{yp(Sc(r])4-Sc( —т]))} = 0.

14.5. Связь спина со статистикой. В предыдущих разделах мы устано-
вили условие квантования электронного поля и показали, что антикоммута-
торы операторов этого поля представляют собой с-числа, обращающиеся
в нуль, если интервал, разделяющий точки, в которых рассматриваются
операторы полей, является пространственноподобным. В отличие от элек-
13 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
тронного поля, для электромагнитного поля не антикоммутаторы, а ком-
мутаторы операторов полей представляют собой с-числа, также обращаю-
щиеся в нуль, если интервал между точками определения операторов являет-
ся пространственноподобным. Такое различие в условиях квантования
электронного и электромагнитного полей связано с тем, что электроны,
обладающие спином 1/2, представляют собой фермионы, т. е. частицы, под-
чиняющиеся статистике Ферми — Дирака, а фотоны, обладающие спином 1,
являются бозонами, т. е. частицами, подчиняющимися статистике Бозе —
Эйнштейна. (Принадлежность к той или иной статистике означает, что,
если исходить из рассмотрения индивидуальных состояний частицы,
то в каждом индивидуальном состоянии может находиться произвольное
число бозонов и не больше одного фермиона.) Мы покажем теперь, что
в этом проявляется общая связь между спином и статистикой, а именно что
любые частицы с целым спином должны подчиняться статистике Бозе —
Эйнштейна, а любые частицы с полуцелым спином — статистике Ферми —
Дирака.

Чтобы доказать эту фундаментальную теорему (она называется теоре-
мой Паули [23]), будем рассматривать волновые функции фа (х) произволь-
ных полей, так же как и в случаях электромагнитного и электронного
полей, не только как функции координат и времени, но и как операторы,
действующие в пространстве чисел частиц, связанных с полем. Обобщая
результаты, полученные для электромагнитного и электронного полей,
мы будем предполагать, что либо коммутаторы [фа (х), фр (х')]_ = $ар (х — х')
операторов полей фа (х) и фр (х') (фр (х') обозначает оператор, сопряженный
с фр (х')), либо антикоммутаторы [фа (х), фр (х')1+ = GJp (х —> х') этих опе-
раторов представляют собой некоторые с-числа, которые обращаются
в нуль, если точки, в которых действуют операторы, разделены простран-
ственноподобными интервалами.

Последнее условие можно интерпретировать как следствие принципа
причинности. В самом деле, рассмотрим какую-либо физическую величину
(например, плотность энергии или плотность тока) в двух точках х и х',
разделенных пространственноподобным интервалом (х — х')2 = (1* — ?*')2 —
— (t — t'y > 0. Тогда операторы f (х) и f (х'), соответствующие этой величи-
не в точках х их', должны коммутировать между собой:

[/(*), Нх')]- = 0, (х — х')2>0.

Действительно, за время | t — t' | возмущение, распространяющееся
из первой точки со скоростью света, пройдет расстояние | t — t' |, которое
меньше | г — г' |, и вторая точка не сможет испытать воздействия со сто-
роны первой точки. Поэтому измерения в двух точках, разделенных про-
странственноподобным интервалом, не могут влиять друг на друга, и, сле-
довательно, операторы, соответствующие величинам f (х) и f (х') при
(х — х')2 > 0, должны коммутировать между собой.

С другой стороны, операторы, соответствующие различным физическим
величинам, строятся с помощью операторов поля. Поэтому, если операторы
поля сами по себе имеют непосредственный физический смысл (такая ситуа-
ция имеет место, например, для электромагнитного поля), то для них
должны при (х — х')2 > 0 обращаться в нуль коммутаторы. Такие поля
мы называем бозонными. Но операторы поля могут сами по себе не иметь
непосредственного физического смысла. Такая ситуация имеет место,
например, для электронного поля, для которого имеют непосредственный
физический смысл только величины, квадратичные относительно ф (х)
и ф (х). Коммутативность этих величин при (х — х')2 > 0 может в принципе
достигаться за счет обращения в нуль либо коммутатора, либо антикоммута-
тора операторов полей при (х — х')2 > 0. В случае электронного поля
осуществляется вторая возможность. Мы будем называть поля, для которых
обращается в нуль антикоммутатор операторов полей при (х — х')2 > 0,
фермионными.

Таким образом, мы дали определения бозонных и фермионных полей
и соответственно бозонов и фермионов как частиц, связанных с этими
полями. Наша задача заключается теперь в том, чтобы доказать, что спин
бозонов должен быть целым, а спин фермионов — полуцелым. Определе-
ние спина при этом базируется на свойствах преобразований операторов
фа (х) и ф$ (х), рассматриваемых как функции координат и времени при
преобразованиях Лоренца. Именно, мы будем предполагать, что фа (х)
и ф$ (х) преобразуются при этих преобразованиях по одному из представ-
лений (/, k), рассмотренных в § 13. Тогда в случае целого спина, когда
сумма чисел j и k представляет собой целое число, величины фа (х) относятся
к классам +1 и —1; в случае же полуцелого спина, когда сумма чисел
j и k представляет собой полуцелое число, величины фа (х) относятся к клас-
сам 4-8 и —8. Так как комплексное сопряжение оставляет величины, при-
надлежащие классам +1 и —1, в этих же классах и переводит величины
класса 4-е в класс —8 и обратно, то в случае целого спина величины
(х) Фз (*) принадлежат классу 4- М в случае полуцелого спина клас-
су —1. Отсюда следует, что независимо от того, каково соответствие между
спином и статистикой, та из величин GJp (х — х') и G^p (х — х'), которая
соответствует целому спину, должна быть тензором четного ранга, величи-
на же, соответствующая полуцелому спину,— тензором нечетного ранга.

Переходя теперь к доказательству теоремы Паули,’ покажем прежде
всего, как находить тензоры G±p (х), которые в рассматриваемом нами слу-
чае свободных полей, так же как и в рассмотренных ранее случаях электро-
магнитного и электронного полей, являются не операторами, а обычными
функциями. Будем предполагать, что поле фа (х) описывает частицы с одним
значением массы т. Тогда, согласно результатам § 6.5, в нашем распоря-
жении имеется только одна скалярная функция До (х), обращающаяся
в нуль при х2 > 0,

А° W = 72^15 \ егрг —;— d P, &р = VP + m2.

Дифференцируя эту функцию по координате х один раз, мы получим
вектор, два раза —тензор второго ранга и т. д. Поэтому тензоры G^p (х)
имеют следующую структуру:

A°W’ (14-5Л)

г(п) / д \	„	д

где г(-^-1 —некоторый полином относительно с постоянными
коэффициентами, степень которого совпадает с рангом тензора п и кото-
рый содержит производные только четного или нечетного порядка —чет-
ного в случае целого спина и нечетного в случае полуцелого спина.

В частности, при а = |3

(

ГФа(х), ф£ (х')]± = <

I

^?аа) (-^-)До(Х	х'),

i + k = N,

j 4- k — N 4- -тр >

(14.5.2)
где верхняя строчка относится к случаю целого, а нижняя —к случаю
полуцелого спина (Af—целое число).

Рассмотрим теперь симметричную относительно х и х' комбинацию
1фа (х), Фа (*')]± + [фа (х'), ф£ (х)]±. Так как До (х) представляет собой
четную функцию пространственных координат и нечетную функцию времени

Ао(Л О = Ао( —Л /)=—Д0(Л —/),
то эта комбинация должна содержать четное число производных от
До (х — х') по пространственным координатам и нечетное число производ-
ных по времени, т. е. всего нечетное число производных. Это возможно,
как видно из (14.5.2), для полуцелого спина и невозможно для целого спина,
если только	отлично от нуля. Поэтому мы приходим к выводу, что

в случае целого спина должно выполняться равенство

[фа(х), фа(х')]± + [фа(х'), Фа (*)k = 0,	j + k=N.

Но это равенство не может, очевидно, выполняться, если в него будут вхо-
дить антикоммутаторы, так как левая часть равенства в этом случае при
х = х' существенно положительна.

Итак, мы доказали, что при целом спине перестановочные соотношения
для операторов поля должны содержать коммутаторы, т. е. иметь вид

[фа (X), Ф| (%')]- =	(-А) До (х—х').	(14.5.3)

Отсюда, используя результаты квантования электромагнитного поля,
можно заключить, что число частиц, связанных с рассматриваемым полем
и находящихся В определенном состоянии, может быть произвольным,
т. е. частицы с целым спином подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна.

Из приведенных рассуждений нельзя заключить, что при полуцелом
спине антикоммутатор операторов полей должен быть ^-числом, т. е. нельзя
заключить, что частицы с полуцелым спином должны подчиняться стати-
стике Ферми — Дирака. Формально и в этом случае коммутатор может
быть с-числом, т. е. формально можно проводить квантование полей при
полуцелом спине согласно статистике Бозе — Эйнштейна. Однако следует
иметь в виду, что энергия поля при полуцелом спине не является положи-
тельно определенной, а так как энергия частиц должна быть положитель-
ной, то отсюда вытекает, что квантование при полуцелом спине должно
проводиться, согласно статистике Ферми — Дирака, в сочетании с требо-
ванием, чтобы все или почти все состояния с отрицательной частотой (речь
идет о состояниях отдельной частицы) были заняты; иначе говоря, должно
быть с самого начала введено понятие вакуума поля, в котором заняты
все индивидуальные состояния частиц с отрицательной частотой.

Таким образом, при полуцелом спине перестановочные соотношения
для операторов свободного поля должны содержать антикоммутаторы,
т. е. иметь вид

[фа(х>, ^(х')]+ = ^2р"+1)(-^)д0(х-х'), i + k = N + ±. (14.5.4)
Глава III

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

§ 15.	Основные уравнения квантовой электродинамики

15.1.	Система уравнений квантовой электродинамики в гейзенбергов-
ском представлении. До сих пор мы изучали главным образом свойства
свободных частиц — фотонов и электронов. Только в §§ 10 и 11 рассматри-
валось движение электрона в электромагнитном поле, но это поле счита-
лось заданным внешним полем В этом случае (если внешнее поле не зависит
от времени) существуют индивидуальные стационарные состояния электро-
нов (и позитронов), характеризующиеся определенными значениями энергии
и некоторых других величин (например, в случае центрального поля —
момента и четности).

Теперь мы перейдем к изучению взаимодействия между электронами,
позитронами и фотонами Ясно, что это взаимодействие приведет к тому,
что состояния, считавшиеся нами стационарными, в действительности
перестанут быть стационарными, так как станут возможными различные
переходы между ними, при которых будут изменяться значения энергии,
импульса, момента взаимодействующих частиц. Но, кроме того, будут
изменяться сами числа частиц, так как благодаря взаимодействию будут
испускаться и поглощаться фотоны, образовываться и уничтожаться элек-
тронно-позитронные пары.

Несохранение числа частиц подсказывает метод описания взаимодей-
ствия между частицами; ясно, что удобнее всего пользоваться понятиями
квантованных полей [1]—электромагнитного и электронно-позитронного
(для краткости мы будем говорить просто об электронном поле). Это значит,
что 4-потенциал электромагнитного поля и волновую функцию электрона
следует считать не только функциями координат и времени, но и некото-
рыми операторами, действующими в пространстве векторов состояния
системы взаимодействующих полей.

Наша основная задача заключается теперь в том, чтобы установить
уравнения для этих операторов, которые должны, естественно, учитывать
взаимодействие между частицами.

Напомним с этой целью предварительно, как описываются состояния
физических систем в нерелятивистской квантовой механике.

Как известно, обычно используются для этого два метода. В первом
методе вектор состояния, характеризующий систему, предполагается
постоянным, а операторы, соответствующие различным физическим вели-
чинам,— изменяющимися со временем (в этом случае говорят о гейзенбер-
говском представлении квантовой механики).

Во втором методе операторы, соответствующие физическим величинам,
предполагаются не зависящими от времени, а вектор состояния — изме-
няющимся со временем (в этом случае говорят о шредингеровском представ-
лении квантовой механики).

Уравнения движения для операторов в гейзенберговском представле-
нии имеют формально такой же вид, как и уравнения классической
механики для соответствующих величин. Поэтому естественно при установ-
лении уравнений для взаимодействующих электронного и электромагнитно-
го полей, т. е. уравнений квантовой электродинамики, исходить из гейзен-
берговского представления и считать, что эти уравнения формально совпа-
дают с уравнениями Дирака для волновой функции электрона во внешнем
электромагнитном поле и уравнениями Максвелла для электромагнитного
поля, создаваемого электронным током, который определяется волновой
функцией электрона.

Иными словами, мы примем в качестве основных уравнений квантовой
электродинамики в гейзенберговском представлении для операторов элек-
тромагнитного и электронного полей, которые будем обозначать через
Ар (х), ф (х) и ф (х), уравнения

^Ац(х))+т} -ф (х) =0,

{?ц (-Д;+ J’eAK(x)) — т} (х)=0,	(15.1.1)

□ Ар (х) = jp (х).

Здесь ф(х) = ф+(х)у4 и jy (х) — плотность четырехмерного электронного
тока, равная, согласно (14.1.7),

ь W = -у- №W> Тиф (*)]==-J-(W)t^(*) — (х)тЛс W), (15.1.2)

и фс(х), фс (х) — зарядово-сопряженные операторы электронного поля:

Ф5 (х) = Сф (х), фс (х) = С-1Ф (х)

(эти операторы удовлетворяют уравнениям (15.1.1), в которых заряд е
заменен на —ё).

Кроме системы дифференциальных уравнений для операторов полей,
должны быть сформулированы еще перестановочные соотношения между
этими операторами. Так как изменение операторов со временем определяет-
ся уравнениями движения, то перестановочные соотношения могут быть
заданы только для некоторого определенного начального момента времени.

Задание начальных перестановочных соотношений эквивалентно зада-
нию их в совпадающие моменты времени t = tr. Мы примем в качестве таких
соотношений условия

[Ан (х), -^7- Av	(Г-Г'),

[Ay, (х), Av (х )]t=tf ~ 0,

{Фа(х), Фз(х')Ь=Г = 6абб(Г—Г'),	(15.1.3)

{Фа(х), ФР(Х')Ь=Г = {Ф^(Х), ФИ^)}^^0»

[фа (х)у Ар (х )h=r = 0, £фа (х), -gp- Ар, (х )	— 0.

В случае свободных полей эти соотношения эквивалентны общим соот-
ношениям (5.3.1), (14.3.1) для произвольных моментов времени t и tr.
В случае же взаимодействующих полей общие перестановочные соотноше-
ния для произвольных значений t Ф tr сформулировать заранее невозмож-
но, так как для этого нужно было бы найти общее решение уравнений движе-
ния связанных полей.
Операторы полей действуют на векторы состояния в пространстве
чисел частиц. Эти векторы, которые мы будем обозначать через Ф, не зави-
сят в рассматриваемом нами гейзенберговском представлении от времени:
4Ф==0’	(15.1.4)

и, так же как в случае свободных полей, ограничены добавочным
условием

(<57а»м)+ф = 0'	<1sj'5>

где (W ) + ~ часть оператора Аи (х), содержащая положитель-
ные частоты. Возможность релятивистски инвариантным образом выделить
эту часть связана с тем, что оператор Ар, (х) при учете взаимодей-
ствия полей удовлетворяет в силу непрерывности тока

такому же уравнению

□ ^АИх),

(15.1.6)

(15.1.7)

как и в случае свободных полей.

15.2.	Функция Лагранжа, тензор энергии-импульса и тензор моментов
для взаимодействующих квантованных полей. Основные уравнения кван-
товой электродинамики могут быть получены с помощью вариационного
принципа, если в качестве плотности функции Лагранжа взять оператор

1 dAp, dAp, i - г / д • л А ,	1 .

-4[ь (4г ++ т} =

--Hc(b4r+m)M’C+bAl (15'2л)
и_ при варьировании действия независимыми переменными считать Ар,, ф,
ф (или Ар,, фс, фс). Замечая, что

[М4г++т] *с=* 14 (4г+ZeAg) ~

мы получим, варьируя и отбрасывая несущественные члены, имеющие вид
дивергенций,

=	§ Ар,(П Ар, + jp) 4~ (□ Ар +]и) 6АИ~

- 4	[ъ (4г ~ i’eM+т] *+4 * 4 (4г ~ie М+-

- 4(4г+i>A^) -m]^+4^l4(4r+ieAti) - 4
откуда и следуют уравнения (15.1.1).
Предполагая при варьировании L независимыми переменными фс и фс,
а не ф и ф, мы получим взамен первых двух уравнений (15.1.1) уравне-
ния для зарядово-сопряженных операторов фс и фс.

Зная плотность функции Лагранжа квантованных полей, можно по
общим формулам (§ 13.3) определить тензор энергии-импульса

•р ___ 1 / dAq । dAq dkG ________« dAq dAq \ ।

gv ~~ 2 V dxv dx^ 1 дхц dxv gv dx^ dx^ ) ~r

+ 4 (**-	(>5.2.2)

и тензор моментов

, 1 /

Mpiv, р = vp	XVTр,р ~г ~2~	Av

ЗАЦ ЗА
v~dx^~ А|Х"3^

3AV
Зхр

iV'HTp’	+	{V₽ITu,	(15.2.3)

для взаимодействующих электромагнитного и электронного полей.

Эти величины представляют собой самосопряженные операторы
(в смысле индефинитной метрики, использованной при определении опера-
торов электромагнитного поля) и удовлетворяют уравнениям непрерывности

д т — о

dXv gV ’	(15.2.4)

-^Миу>р = 0.

Действительно, в силу уравнений поля (15.1.1)

д »w-	__  ^А<у ।	/ ।	. q t с\

-^1^= -Jv^— +-r(^vM’-l|’ Tvl|> )^- = 0’
V	JX	p

д M

~d^ MP-V’ ₽ -

и

Tvp T gv — jpAv jvAp +

lb’ ъПфН

^СФЬр* Yv]}4>) =

=—2и?Арф[ур, [уц, Vv]14> + 4 (фуу

1 d

16 dxp

(Фс{?р, Yv]} фс)

дф ।	7 dtp ।

а^-М>-Фуц-^+

Написав аналогичное выражение для 1|>с, 1рс, легко убедиться после срав-
нения с (15.2.2), что

1?ц> VvW + -^-6Fc{Yp> 1Ъ> Vv]}i|’c) =

— 16(T|iv Tvp + jpAv jvAp).

Поэтому, как и утверждалось, Mgv, р = 0.

Из уравнений непрерывности (15.2.4) вытекают законы сохранения
4-вектора энергии-импульса

Рц= — i \ Тц4 dsx = const

(15.2.5)
и тензора моментов

— i § Mgv, 4d3x==const	(15.2.6)

взаимодействующих полей.

15.3.	Уравнения поля в форме коммутаторов. Как известно, гейзенбер-
говские операторы F в нерелятивистской квантовой механике удовлетво-
ряют уравнению движения

F = HH, FL	(15.3.1)

где Н — гамильтониан системы и F =	. Аналогичный закон справедлив

и в теории квантованных полей. Поскольку при этом мы имеем дело с опера-
торами, действующими в пространстве чисел заполнения и зависящими
от координат точки в том же смысле, в каком квантовомеханические гей-
зенберговские операторы (например, импульс, момент и т. д.) зависят
от времени, то возникает обобщение уравнения движения (15.3.1) и на про-
странственные координаты. Именно, любой оператор F, являющийся про-
извольной функцией переменных поля, т. е. произвольной функцией опе-
раторов Аи (х), ф (х) и ф (х), удовлетворяет уравнениям

-^F(x) = i[F(x), Рц],	(15.3.2)

где Ру, —- четырехмерный вектор энергии-импульса поля, введенный в пре-
дыдущем разделе.

Убедимся сначала в справедливости этих уравнений для самих опе-
раторов полей, т. е. покажем^ что

~q7(. Ay, (х) = i [Ay, (х), Рvb

(15.3.3)

— фа (х) = i [фа (х), PVJ.

Используя определение тензора энергии-импульса и перестановочные
соотношения (15.1.3), имеем

[Ац (X), Tv4 (x')W =-7-	Ао (х') [ац (X), 4- Ао (х')] +

+ [Аи (х), -А- Аа (X')] Аа (X') -

i$4v"dx7' АИх') [А. (X), Аа (л’ )]г=г =

= (-^г- Ао (х') йц03 (г — г') — гбцоб (г — г') 8vi-^r Аа (х') —

$v4$p.a$	1" ) Йр4 qx' Аа (х ) j ,

т. е.

[Ац(х), Ь4(х%=г = 5(г-г')-^Ац(х).	(15.3.3')

Интегрируя это соотношение по г', получим первую из формул (15.3.3).
Вычислим далее [фа(х), Tg4(x')h=r:
[фа(х), Тц4(х')]/=г =

= 4 [ф“ W’ (ф₽<х') 1F- Фв <*')-Ф₽ (*') Ф₽ (*'))]r=i =
М»	У»

= 4-({Ф«(Л:)’ ФИ-И}-^ФвСИ —ф₽(х') {фа(*)’ -^Фв (*')} —

— {фа(х)> ~^Ф₽(*')} Фе (О + зТ-фр^'КФаС*)- Фб (*')}),,=< •
Но

{фЛ*),^^(х')}г=г = °.

Поэтому

hMx), Тц4 (х')]г=( =

= S(r—г')-^-фа(х') —(х), Фр (х')},|>е (*'))«'=/• (15.3.4)
Замечая, что

-^7-({фа(*)> Фр(*')}Фв (*'))«'=< =

= -W^6(r-r')ipa(x),	£=1,2,3,	(45.3.4')

легко заключить, что интеграл от второго слагаемого в [фа (х), Тц4 (х)]
по г' при всех р, равен нулю, и мы приходим ко второй формуле (15.3.3).

Возвратимся теперь к общим соотношениям (15.3.2). Чтобы убедиться
в их справедливости, достаточно лишь заметить, что если F = FiF2, то

IF, Рц] = [Fi, Рц] F2 + Fi [F2, РцЬ
и воспользоваться доказанными соотношениями (15.3.3).

В частности, полагая в (15.3.2) F = Ац (х) или р = ф(х) и раскры-
вая коммутаторы, мы придем к уравнениям поля (15.1.1).

Покажем, что оператор полного заряда системы

Q = -J- j4 (%) d3x =	(ф+ (х) ф (х) — ф (х) ф+ (х)) d3x

коммутирует с каждым из операторов Рц. Найдем прежде всего коммута-
тор (Q, ф(х)]:

[CL фа (*)] = 4" § [(ФрСН^Л*') — Фе (*')Фв (*'))’ фа (x)]t'=td3x'.
Замечая, что

[АВ, С] = А{В, С}-{А, С}В,
и используя перестановочные соотношения (15.1.3), найдем

[Q, ф(х)]= — еф(х).	(15.3.5)

Отсюда

[Q, ф (х)]+ = — [Q, ф+ (%)] = — еф+ (х)
и, следовательно,
Из этих формул следует, что Q коммутирует с любой формой вида
ф(х)Гф(х), где Г — произвольная матрица, построенная из матриц уц

жж	д

и дифференциальных операторов -ч—,

[Q, ф (х) Гф (х)] = 0.

(15.3.7)

В частности,

[Q, jn(x)j = O,
[Q, Ри] = 0.

(15.3.8)

Последние соотношения показывают, что имеет место закон сохранения

заряда

Q = const.

(15.3.9)

15.4. Стационарные состояния системы взаимодействующих полей.
Как и всякая квантовомеханическая система, система взаимодействующих
электронного и электромагнитного полей может находиться в состояниях
с определенной энергией. Такие состояния называются, как известно,
стационарными.

Существование коммутирующих интегралов движения — энергии-
импульса и заряда системы — позволяет характеризовать стационарные
состояния системы взаимодействующих полей не только определенным
значением энергии, но и определенными значениями импульса и заряда.
Это значит, что векторы стационарных состояний, которые мы будем обо-
значать в гейзенберговском представлении через Фг, где г — совокупность
квантовых чисел, определяющих состояние, являются собственными век-
торами операторов Ри и Q

РиФг = Р<Г)Фг, 1	(15.4.1)

Q(Dr = Q<4, /

где р^ и Q<^ — значения энергии-импульса и заряда в состоянии г.

Наинизшее энергетическое состояние системы взаимодействующих
полей называется состоянием вакуума. 1Лы примем, что в этом состоянии,
вектор которого будем обозначать через Фо, энергия-импульс равен нулю,
^0)-0,

так как это — единственные значения, обеспечивающие релятивистскую
инвариантность состояния вакуума.

Электрический заряд вакуума мы также считаем равным нулю:

Q(0> = 0.

Для возбужденных состояний системы энергия должна быть положи-
тельной, р^ > 0. Чтобы это свойство было релятивистски инвариантным,
очевидно, должно выполняться соотношение (р(г))2 < 0.

Рассмотрим какой-либо гейзенберговский оператор F (х), являющийся
произвольной функцией переменных поля в точке х. Определив метрику
пространства векторов состояния (используемая нами метрика является
индефинитной, см. § 5.2), мы можем сопоставить этому оператору совокуп-
ность величин

(ФгЧ F(x)®r) = <r'|F(x)|r),

которые называются матричными элементами оператора F (х).
Легко убедиться, что зависимость матричных элементов от координат
и времени может быть найдена в общем виде. Действительно, из уравнений
движения (15.3.2) следует, что

<f' I F (X) | Г) = i (р£> - р([')) (Г' IF (X) | г),

где p'g> — 4-вектор энергии-импульса в состоянии г. Поэтому

<r' I F (х) I г) =	\	(15.4.2)

где величины Fr>r уже не зависят от

В частности, матричный элемент оператора F (х), связывающий
состояние вакуума с состоянием г, имеет вид

{O|F(x)|r> = Forete^r>.	(15.4.3)

Если F (%) — самосопряженный оператор (в смысле используемой
метрики), то

(г' I F (х) I г) = {г I F (х) I г')*
и, следовательно,

Frr* =

* rr * г т*

Выясним теперь общие свойства матричных элементов операторов
полей. Установим прежде всего физический смысл операторов ф(х) и ф(х).

Обозначим через Ф$ собственный вектор оператора заряда системы Q,
принадлежащий значению заряда Q,

Подействуем на это уравнение оператором ф(х)

1|?(х) QOq = Q^ (x)<Dq.

Так как, согласно (15.3.5),

[ф(х), Q] = еф(х),
то

СЩ> (х)	= (Q — е) t|5 (х) Gq.

Мы видим, что вектор ф (х) Ф$ является собственным вектором опера-
тора Q, принадлежащим значению заряда Q — е, т. е. ф (х) представляет
собой оператор уменьшения заряда системы на величину заряда электрона.
Поступая аналогичным образом, можно показать, что ф (х) представляет
собой оператор увеличения заряда системы на величину заряда электрона.

Так как по своим трансформационным свойствам относительно пре-
образований Лоренца оператор ф (х) является биспинором, то биспинорами
будут и его матричные_элементы <г' | ф (х) | г). Поэтому матричные элемен-
ты операторов ф (х) и ф (х), связывающие состояние вакуума с каким-либо
состоянием г, в котором заряд системы равен Q(r> = е (такие состояния назы-
ваются однозарядовыми), можно в соответствии с (15.4.3) представить в виде

<01 ф (х) | г) = Ьи (р) eipx, (г | ф (х) 10) = Ъ*и (р)	(15.4.4)

где р, (р, ipG) — 4-вектор энергии-импульса системы в состоянии г, и (р) —
нормированная биспинорная амплитуда плоской волны и — некоторая
инвариантная функция квантовых чисел г. Так как при заданном р суще-
ствует четыре линейно независимых биспинора, то и (р) = иР (qp) можно
считать собственной функцией операторов iqp и -i-Sp:

(iqp + Л4) (qp) = 0,
4* 2 ifjutl (?р)>

где /14 = ]^ —р2, 7=±1, р. = ±-у, и нормировать и(р), так же как
и в случае свободного электронно-позитронного поля,

и* {qp) и*' {q'p) = 2qM6qq^8^.

Мы видим, что в набор квантовых чисел г, помимо 4-импульса р
и заряда Q<r> = е, следует включить также квантовые числа q и р,, второе
из которых характеризует поляризацию состояния г. Но, кроме р, q
и р состояние г может характеризоваться и другими квантовыми числами
(мы будем обозначать их через s). Инвариант является функцией р2,
q и s, но не зависит от ц.

Заметим, что для отличных от нуля матричных элементов (0 | ф (х) | г' >
и <г' | ф (х) ] 0) состояние г' отличается от состояния г в (15.4.4) только
знаком квантовых чисел Q и ц.

Опыт показывает, что однозарядовые состояния не могут иметь энергию,
меньшую чем т, где т — масса электрона. Это значит, что 4-импульс р
однозарядовых состояний удовлетворяет условию

— р2 > т2.

Состояния г, для которых р2 = —т2, являются состояниями реаль-
ного свободного электрона. В этом случае число q имеет одно определенное
значение q — 1 и совокупность квантовых чисел р, Q<r> = е, q = 1, р =
= ± у является полной.

Однозарядовые состояния, для которых — р2 > т2, можно наглядно
интерпретировать как совокупность одного электрона и некоторого числа
фотонов и электронно-позитронных пар. Такая система должна, помимо р,
Q(r) = q и р, характеризоваться дополнительными квантовыми числами
и, в частности, может иметь произвольную четность.

' Матричный элемент <0 | ф (х) j г) при р2 = —т2 мы будем записы-
вать в виде

<0|ip(x)|r) = Zl/2u(p)eipx, p2=-m2,	(15.4.5)

где ZJ/2 — значение при р2 = —т2. Этот матричный элемент отличается
от матричного элемента оператора ф (х) свободного электронно-позитрон-
ного поля множителем Z1^ (и, кроме того, значением массы электрона,
ом. § 22.1).

Рассмотрим теперь матричные элементы оператора электромагнитного
поля Ац (х).

Так как оператор Ац(х) коммутирует с оператором заряда системы Q:

[Ан(х), Q] = 0,	(15.4.6)

то отличными от нуля будут только те матричные элементы Ац (х), которые
•связывают состояния с одинаковым значением заряда.

Матричные элементы оператора Ар, (х), связывающие состояние вакуума
с некоторым беззарядовым состоянием g (Qte> = 0), мы запишем в виде,
аналогичном (15.4.4),

<о | Ац (х) | g) =	(£) eikx,	(15 4 7)

^|Ag(x)|0) = nX^)e-ito,

где k(k, fco) — 4-вектор энергии-импульса в состоянии g, a^k) — ампли-
туда плоской волны, нормированная так же, как и в случае свободного
поля (см. § 5):

а„ (k) = —-=г ,
И k 7 V2(oV

и % — некоторая инвариантная функция квантовых чисел g\ в частности,
величина зависит от инвариантов k2 и keK и, следовательно, имеет раз-
личные значения для поперечных и продольной поляризаций.

Легко убедиться, что при k2 ф 0 все матричные элементы оператора
Ац (х) обладают свойством лоперечности. Действительно, из уравнения

О Ац(х) = — ]и(х)

и соотношения (15.4.2) следует

<01 Ац (х) I g) = <01 jn (х) I g),
£2<g| Ag(x)|0) = (g| jg(x)|O),
а так как оператор тока (х) удовлетворяет уравнению непрерывности
4г^(х)==0’
то

Поэтому

<0 I Ag (х) |^) = 0,	Н5 4Я1

<g I Аи (х) | 0) = 0,	U ?

если только £2=^=0.

Состояния с k2 = 0 мы отождествляем с состояниями свободного фотона.
При k2 < 0 состояние g можно интерпретировать как совокупность некото-
рого числа фотонов и электронно-позитронных пар, суммарный спин кото-
рых равен 1 и четность равна —1.

Если k2 = 0 и состояние g является физическим (т. е. не содержит
продольных и скалярных фотонов), то матричный элемент (0 | Ац (х) | g}
можно записать в виде

(0|Ag(x))^ = Z1/2ag(^)eife'r, #> = 0,	(15.4.9)

где Z1^ — значение при k2 = 0 и = 0. Этот матричный элемент
отличается от матричного элемента оператора свободного электромагнит-
ного поля Аи (х) множителем Zl/2.

Подчеркнем, что в то время как для свободных полей матричные эле-
менты операторов ф (х), ф (х) и Ац (х) связывают вакуум только с одночас-
тичными состояниями, для которых р2 = —т2 и k2 = 0, матричные эле-
менты операторов ф (х), ф (х) и Ац (х) связывают вакуум с самыми различ-
ными состояниями, для которых соответственно р2<—m2, Q = ± е
и £2<0, Q = 0.
15.5.	Представление взаимодействия. Совершив над гейзенберговскими
операторами F каноническое преобразование

=	(15.5.1)

мы перейдем к шредингеровскому представлению квантовой механики,
в котором операторы не изменяются с течением времени:

F(S) = 0

(это соотношение немедленно вытекает из (15.5.1)).

Преобразованию операторов (15.5.1) соответствует преобразование
вектора состояния

ф ip<S) (0 - е"гН/Ф,	(15.5.2)

где Ф — не зависящий от времени вектор состояния в гейзенберговском
представлении. Ясно, что вектор состояния в шредингеровском представ-
лении (/) удовлетворяет уравнению Шредингера

i W(S> (/) = Н^Ч"8’^),	(15.5.3)

где H(s) — гамильтониан рассматриваемой динамической системы в шре-
дингеровском представлении, совпадающий, согласно (15.5.1), с гамильто-
нианом в гейзенберговском представлении,

H(S)=H.

Шредингеровским представлением можно пользоваться не только
в нерелятивистской квантовой механике, но и в теории квантованных
полей. Однако гораздо удобнее пользоваться не шредингеровским и не
гейзенберговским, а некоторым промежуточным представлением — так
называемым представлением взаимодействия, к рассмотрению которого
мы теперь и перейдем.

Рассмотрим произвольную квантовомеханическую систему с гамильто-
нианом H(s) (в шредингеровском представлении). Разобьем его на два сла-
гаемых H<s) и V(s):

h(s)=hEs)+v(s),

которые будем условно называть свободным гамильтонианом и гамильто-
нианом взаимодействия, и произведем каноническое преобразование шре-
дингеровских операторов

F« _> f =	(15.5.4)

и векторов состояния

(/) -»ф (0 = e,Hos)<i-<<))4f(S> (/)	(15.5.5)

(предполагается, что в момент времени t = t0 совпадают операторы F(s) и F
и векторы состояний Ч^ (/) и Ф (/)). Будем теперь характеризовать кванто-
вомеханическую систему векторами состояний Ф (/) и сопоставлять физиче-
ским величинам операторы F. Такой метод квантовомеханического описания
и называется представлением взаимодействия.

Выясним, как изменяются со временем операторы и векторы состояний
в этом представлении.

Замечая, что F(S) = 0, получим из (15.5.4)
ИЛИ

AF = i [Н01 F],	(15.5.6)

где, согласно (15.5.4),

Но=Н^.

Таким образом, в представлении взаимодействия операторы изменяются
в соответствии с общим квантовомеханическим законом движения для
гейзенберговских операторов, в который, однако, входит не полный гамиль-
тониан системы, а лишь одна его часть — свободный гамильтониан.

Определим далее -^-Ф(0. Учитывая (15.5.5), получим

i — Ф (0 = -	+ e*H<s)(i - to) (НФ + уф) т щ,

а так как

T<s> (0 = e-iHes>(<_'0)O (/),

ТО

1Аф(0 = Н/(0Ф(0,	(15.5.7)

где

Н/ (/) =	io)y<S)g-to).

Таким образом, вектор состояния в представлении взаимодействия удо-
влетворяет уравнению Шредингера с гамильтонианом Н/ (0.

Итак, в представлении взаимодействия изменяются как операторы,
так и векторы состояний, причем в закон изменения операторов входит одна
часть, а в уравнение Шредингера — другая часть исходного гамильтониана
системы.

Полагая в (15.5.5)

мы свяжем вектор состояния Ф (0 в представлении взаимодействия с век-
тором состояния Ф в гейзенберговском представлении:

Ф(0 = Э(/, ^о)Ф,	(15.5.8)

где

s (Z, /0)

(предполагается, что вектор состояния Ф (0 совпадает с Ф в момент вре-
мени t = tQ).

Так как Ф = const, то оператор S (^, to) удовлетворяет такому же
уравнению, как и Ф(/):

i^-S(/,/o) = HI(Z)S(/Jo), S(Wo) = l- (15.5.9)

Этот же оператор (мы будем называть его оператором ^преобразования)
связывает операторы, соответствующие различным физическим величинам,
в гейзенберговском представлении и представлении взаимодействия. Дей-
ствительно, подставляя в (15.5.4)

ps> __e-iH(S)(t-/o)peiH<S)(f_Zo),
получим

F = S(r,/o)FS-4/,/о).	(15.5.10)

Из определения (15.5.8) оператора S (t, t0) следует, во-первых, что

S(^/o) = S(^/i)S(^, t0)	(15.5.11)

и, во-вторых, что оператор S (t, to) является унитарным

S(t, t0)S+(t, t0) = I,

если только операторы H(s) и Но0 эрмитовы.

Отсюда и из (15.5.9) в свою очередь следует, что

HH/) = i3s^to)S+(^/o)

И

НПО=ндо-

Используя это выражение для Н/(0 и соотношение (15.5.10), легко
убедиться, что

-J = S (/, to) S"1 (t, to) + i [F,	(/)].	(15.5.12)

Заметим, наконец, что при любом выборе момента времени

Ф(/) = Б(/, /1)Ф(/1).	(15.5.13)

15.6.	Представление взаимодействия в квантовой электродинамике.

В квантовой электродинамике использование представления взаимодей-
ствия имеет особые преимущества [2]. Действительно, разбив гамильтониан
системы взаимодействующих полей на два слагаемых — гамильтониан
свободных полей и гамильтониан взаимодействия, мы получим, в соответ-
ствии с законом изменения операторов в представлении взаимодействия,
для операторов полей уравнения, совпадающие с уравнениями для опера-
торов свободных полей. Это значит, что в представлении взаимодействия
можно считать известным явный вид операторов полей, а также перестано-
вочные соотношения между ними в любой момент времени.

Напомним в этой связи, что исходные уравнения квантовой электро-
динамики в гейзенберговском представлении,— формально наиболее близ-
ком к классической теории,— представляют собой сложную систему свя-
занных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных
для операторных функций с известными только в начальный момент времени
перестановочными соотношениями.

Исключив взаимодействие между полями из уравнений движения для
операторов полей, мы переносим его из этих уравнений в уравнение Шре-
дингера для вектора состояния в представлении взаимодействия.

Для получения основных уравнений квантовой электродинамики
в представлении взаимодействия воспользуемся формулой (15.2.2) для
оператора плотности энергии —Т44 в гейзенберговском представлении.
Выражая в этой формуле временные производные от операторов электрон-
но-позитронного поля через их пространственные производные и вспоминая
определение плотности тока (15.1.2), представим —Т44 в виде

-т44=-т4°4-т;4,

14 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
где
то 1 /о дАа дАа дКо dkG \	1	(л<> д j (

+ T^(Y'^_/n)^~T^C (v-^r + 'rc) ^С + ^М’С (y J7-tn) i|A
T44 = jixAp,.

Гамильтониан системы полей H представляет собой пространственный
интеграл от — Т44

Н= T44^=Ho+Hi,
где

Н0=-Ь^х, Hi=- С T;4d3x= LA^x.
«J	J	t)

Перейдем теперь к представлению Взаимодействия, рассматривая Но
как гамильтониан свободных полей, a Hi — как гамильтониан взаимодей-
ствия полей в гейзенберговском представлении.

Операторы полей в представлении взаимодействия Ац (х) и гр (х) свя-
заны, согласно (15.5.10), с операторами полей Аи (х) и гр (х) в гейзенбергов-
ском представлении соотношениями

ty(x) = S(t,	*о),	(	}

где S(Mo)— оператор преобразования, удовлетворяющий уравнению
.dS^o)=Ha/)S(/)Zo)

и Н/(/)— гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия:
Н; (0=S(/t t0) HrS"1 (Л /о).

Последнее выражение можно, очевидно, переписать в виде

Hi (0= “ $ Ь W Аи (х) d3x,	(15.6.2)

где 1ц, (х) — оператор плотности тока в представлении взаимодействия,
выражающийся через гр (х) и гр (х) так же, как (х) выражается через
гр (х) и гр (х):
ь w=sa, /o)jg(x)s-ia^o)=

=у № (х), Tix-ф W] = -у (Ф (х)	(х) — яр (х).	(х)).

Мы видим, что гамильтониан взаимодействия Hi (/) в представлении
взаимодействия равен взятому с обратным знаком объемному интегралу от
плотности функции Лагранжа Li (х) =	(х) Аи (х), описывающей взаимо-

действие между полями:

Hi (0 — — Lf (х) d3x.

Используя (15.6.1), легко убедиться, что гамильтониан свободных
полей в представлении взаимодействия Но выражается через гр (х), гр (х),
Ау. (х) так же, как оператор Но выражается через Ф W, $ (*)> Аи (х):

Но= - J T44d3X,

'ро __ 1 / n

44 ~~2 \ дх4 ~дх^

дАд
дхк



+ т^ (у lF~m)	(Y i + m) +т^С (у '•’°-

Имея выражение для Но и используя формулу (15 5.6), можно устано-
вить, как изменяются операторы полей со временем в представлении взаимо-
действия. Повторяя выкладки § 15 3 и учитывая при этом, что операторы
полей в представлении взаимодействия удовлетворяют в совпадающие
моменты времени таким же перестановочным соотношениям, как и опера-
торы в гейзенберговском представлении, мы получим, как и следовало
ожидать, уравнения, совпадающие с уравнениями для операторов свобод-
ных полей в гейзенберговском представлении

+	1|)(х)=0,

(Тц-5^-/п)^(х)=0’	(15.6.3)

□Ац(х) = 0.

Покажем теперь, что перестановочные соотношения для операторов
полей в представлении взаимодействия совпадают с перестановочными
соотношениями для операторов свободных полей.

Как уже указывалось выше, перестановочные соотношения для опера-
торов полей в представлении взаимодействия в совпадающие моменты вре-
мени имеют такой же вид, как и соответствующие соотношения в гейзенбер-
говском представлении. Поэтому, чтобы получить общие перестановочные
соотношения в представлении взаимодействия (в несовпадающие моменты
времени), нужно иметь формулы, определяющие развитие операторов полей
в представлении взаимодействия со временем. Такие формулы легко выве-
сти, учитывая, что операторы полей в представлении взаимодействий удо-
влетворяют уравнениям для операторов свободных полей.

Рассмотрим сперва оператор Аи(х). Этот оператор, удовлетворяющий
уравнению (15.6.3), однозначно определяется в любой момент времени
в любой точке пространства заданием Ар, (х) и Ац (х) на произвольной
гиперплоскости t = t0:

Аи(х)= $ (Do (х-х')	Au (V) -d-D°	) d*x'. (15.6.4)

t'=tQ

Чтобы убедиться в справедливости этой формулы, достаточно вспом-
нить, что, согласно (5.3.6),

D0(r, 0) = ^|	=0,	=6(г).

и 4 ’ ’ dt2 |^о	dt |/=о	' 7

Аналогичным образом решение уравнения (15.6.3), для ф (х) одно-
значно определяется заданием ф (х) на гиперплоскости t = tQ

ф(х)= — i	S (х —х') у4ф (х') d3x'.	(15.6.5)

t'=to
Эта формула немедленно вытекает из того, что, согласно (14.3.6),

S (г, 0) = fy4S (г).

Выведем теперь общие перестановочные соотношения для операторов
полей в представлении взаимодействия, исходя из перестановочных соотно-
шений для этих операторов в один и тот же момент времени.

Используя (15.6.4), имеем

JAU (х), Av (х')] = J Do (х' -Xя) [Аи (х), ^£2] dV-
t"=t

- J [Аи(х), Av (xg)]aPo (<~x"^sx".
ta=t

Подставляя сюда вместо коммутаторов, входящих под знаком интеграла,
выражения (15.1.3), получим

[Ац(х), Av(x')]= — iS^Doix—х').	(15.6.6)

Вычислим далее антикоммутатор {гра (х), 4>8(х')}. Используя (15.6.5)
и (15.1.3), имеем

{’paW, Фр (*')} = —1 $ Sap(x — х") (у4)рх{фл(х'), ^(x')}d3x" =
t"=t'

= iSap (х х) (у4)рр»
т. е.

{Фа (*), Фе (*')}= “ iSafi (х —х').	(15.6.7)

Используя эти соотношения и определение 4-вектора плотности тока
jp, (х), легко показать, что

(Ь (*), К (*')] = (Ф (*)	(х —х') ууф (х') — ф (х') YvS (х' — х) уцф (х)).

Отсюда, в частности, вытекает важное соотношение*)

UH*), jv(x')h=r = O.	(15.6.8)

Нам остается вывести добавочное условие для вектора состояния
в представлении взаимодействия.

В гейзенберговском представлении это условие имеет вид

а так как вектор состояния Ф (0 в представлении взаимодействия связан
с вектором состояния Ф в гейзенберговском представлении соотношением

<D(0 = S(*, МФ,

*) Заметим, что при вычислении коммутаторов токов возникает неоднозначность,
связанная с тем, что эти выражения содержат произведения четырех операторов поля.
Если аргументы всех четырех операторов считать первоначально разными, то при пере-
ходе к пределу попарно равных аргументов получится результат, отличающийся
от (15.6.8) [3], а именно, в правую часть (15.6.8) будут входить члены, пропорцио-
нальные д (х— х')л Однако такие члены не будут иметь значения в тех случаях,
когда мы будем пользоваться соотношением (15.6.8) (см. § 16.5).
то добавочное условие можно записать в виде

дАц (х)

где f произвольно.

Найдем входящий сюда
тим с этой целью, что

дхц

)+8-1(^^о)Ф(П = О,

(15.6.9)

оператор S(£ , ^о) —з-------) S x(t , ^о). Заме-

\ с,хц f

ЗАц (х)

Поэтому —Ч----

дАц, (х) р
дху, ~~ J V

□ ^ = 0.

дху,

можно записать, согласно (16.6.4), в виде

дАц(х') дРр(х-х') д дАц (х')

дх'я

di

dtf дх'

D0(x — x')d3x' (15.6.10)

и, следовательно,

(	] =С(У>	+ 2Г'У) D.(x-»-)W,

\ дхц, /4- j \ дх^	dt 1 dt' дх^ +	/

где функция D+(x) определяется формулой (6.1.3). Отсюда следует, что
интересующий нас оператор можно представить в виде

\ С/Хр, / +

= $ (s(Г, t0)d-^ls~4t', t0) dD^x~x'l+

+ S(f,	f0)D+(x-x')d3x'.

dAii (x)

Определим S(^o)——S-1(/, t0). Согласно (15.5.12)

дАц (x)	,	dAu (x)	„

S (t, to) S’1 (/, t0) = —- i [Au (x), H, (/)].

Но операторы электромагнитного поля в совпадающие моменты времени
коммутируют, и поэтому второе слагаемое обращается в нуль,

^Аи (х)	дАц, (х)

s(^^o)-^s-4^/o)=-^2.

дАц, (х)

Определим далее 8(Л^о)^г~з-S-1(Mo)« Замечая, что

С/Г

д дАц. (х) g2Ao (Х) t д dhk (X)

dt dxy

dt2 ~ dt dxk

-PW + AA.W+^^l, *=1,2,3,

где p(x) — оператор плотности заряда в гейзенберговском представлении,
имеем

С,, , х д дАц (х)	д дАц (х)

dt дхц 8	Р(%)+ dt дхц ’

где р (х) — оператор плотности заряда в представлении взаимодействия.
Поэтому

дАц (x)
дхц

^Ац (x') Qp+ (X

dx'v.

dt

'• D+(x—x') + p(x')D+ (x—x') )d3x'.
/ дАц (X) х

Первые два слагаемых дают, очевидно, (—ч--------1 , и, следовательно,

дополнительное условие (15.6.9), окончательно приобретает вид

((^~) + + $ D+(x-x’)p(x')dsx'^(t') = Q. (15.6.11)

Подчеркнем, что времена t и tr здесь независимы и могут быть выбраны
произвольно.

Используя формулу (15.6.10) и перестановочные соотношения (15.1.3)
для гейзенберговских операторов в один и тот же момент времени, легко
убедиться, что для произвольных моментов времени t и tr справедливы
соотношения

г дАц (х)	-1

Г—, ФС*) = —eD0(x — x’)^(x ),

L,. *	(15.6.12)

’ Ф(х')] = е£>0(х-х')^(х').

гдАц (х')	-|

Вычислим в заключение этого раздела коммутатор	, S (/, Г) ,

знание которого нам будет в дальнейшем необходимо. Вводя обозначение

, \ аАм W	/1С г оч

Х(х) =—а-----> имеем, согласно (15.5.9),

i (*')> S (/, /о)] = [X (х'), Н, (Z) S (t, /0)] =

= [Х(Х'), H1(Z)]S(/,/o) + HI(/)[x(x'), ST,/о)],
где, как следует из (15.6.6) и (15.6.12),

IxC*'), Нт(/)]= — i J jp.(х) dD°dsx = Z p(x)Z)0(x — x') cZ3x.

Представив интересующий нас коммутатор в виде

1Х (*'), S (/, /о)] - R (Л xf) S (/, /о) ~ S (Л /о) R (^о, х'),
получим для R (/, х') уравнение

. ЭР (Л X ) = [Н^ R х,^ + • _д_ J р ^х_х^ d3x_

Учитывая, что, согласно (15.6.8), оператор плотности заряда коммутирует
с операторами всех компонент плотности тока в один и тот же момент вре-
мени, легко заключить, что решение уравнения для R (/, х') имеет вид

R (/, х') = — р (х) Do (х' — х) d3x.

Таким образом,

= S(Z, Zo) § p(x)£>o(x'-x)d3x— J p(x) Do (x' — x) dsxS(t, t0).	(15.6.13)

t=t0
§ 16.	Матрица рассеяния

16.1.	Проблема рассеяния частиц в квантовой электродинамике. Уста-
новив основные уравнения квантовой электродинамики, мы можем перейти
теперь к постановке основных ее задач. Такими задачами являются задача
о спектрах связанных состояний (например, о спектре атома водорода или
позитрония) и задача о рассеянии частиц. (Последняя включает в себя
исследование как упругого рассеяния, так и процессов превращения частиц.)
Мы начнем с исследования проблемы рассеяния, с которой тесно связана
также проблема нахождения энергетических уровней электродинамиче-
ских систем.

Напомним прежде всего, как ставится задача о рассеянии частиц
в нерелятивистской квантовой механике. Как известно, при этом предпола-
гается, что при t = — оо частицы являются свободными. Далее частицы
взаимодействуют между собой и при t = оо расходятся и снова становятся
свободными. Задача заключается в том, чтобы, задав вектор состояния
свободных частиц при t = — оо, найти вектор состояния системы частиц
при t — оо. Разложив затем этот вектор состояния по векторам состояний
свободных частиц, мы найдем амплитуды различных процессов рассеяния.

Такая постановка вопроса соответствует разделению гамильтониана
системы на гамильтониан свободных частиц Но и гамильтониан их взаимо-
действия Hi,

H-Ho + Hi,
и предположению, что при t = ± оо гамильтониан взаимодействия обра-
щается в нуль:

Hi(± оо) = 0,
и что начальный и конечный векторы состояний и Ф/ являются собст-
венными векторами гамильтониана свободных частиц:

НоФг = т,

НоФ/ — £/Ф/,

где Et и Ef — значения энергии системы частиц в начальном и конечном
состояниях. Условие Hi (± оо) = 0 оправдывается тем, что при t = ± оо
частицы находятся далеко друг от друга и поэтому не взаимодействуют
между собой.

Ситуация, однако, осложняется, когда мы пытаемся перенести эту поста-
новку задачи о рассеянии частиц в квантовую электродинамику. Действи-
тельно, как бы мы ни удаляли друг от друга сталкивающиеся частицы, мы
не можем считать, что гамильтониан взаимодействия Hi — в данном случае
это гамильтониан взаимодействия между электронным и электромагнитным
полями — стремится к нулю, так как всегда имеет место взаимодействие
между электронами и электромагнитным полем в состоянии вакуума. Един-
ственная формальная возможность обратить в нуль гамильтониан взаимо-
действия заключается в том, чтобы одновременно обратить в нуль заряд
электрона, играющий роль константы связи между электронным и электро-
магнитным полями. Но изменяя заряд электрона, мы изменяем также и его
массу. Действительно, масса электрона — это энергия наинизшего состоя-
ния взаимодействующих полей, обладающего электронным зарядом, и нет
никаких оснований считать, что эта величина должна совпадать с массой
гипотетического электрона, не взаимодействующего с электромагнитным
полем (такой электрон мы будем называть в дальнейшем «голым» элек-
троном).
Таким образом, предельный переход Hi О соответствует, строго
говоря, переходу от реальных физических частиц к идеальным «голым»
частицам, спектр масс которых и другие их свойства отличаются от спектра
масс и соответствующих свойств реальных частиц.

Векторы состояний «голых» частиц являются собственными векторами
гамильтониана Но, что же касается «свободных» реальных частиц, то их
векторы состояний не являются собственными векторами этого гамильто-
ниана. Поэтому в рамках изложенной схемы решения задачи о рассеянии
частиц мы можем, строго говоря, исследовать только процессы рассеяния
«голых», а не реальных частиц.

Тем не менее можно, зная вероятности процессов рассеяния «голых»
частиц, непосредственно находить вероятности процессов рассеяния реаль-
ных частиц. Это достигается благодаря тому, что имеется полное соответ-
ствие между состояниями «голых» и реальных частиц, а следовательно,
и между процессами рассеяния тех и других. Действительно, если «выклю-
чение» и «включение» взаимодействия между полями производится достаточ-
но медленно, то можно предполагать, что состояния системы полей будут
испытывать лишь адиабатическое изменение, не приводящее к возникнове-
нию новых и уничтожению старых состояний.

Переходя теперь к исследованию проблемы рассеяния частиц в кванто-
вой электродинамике, мы не будем вначале принимать во внимание различия
между «голыми» и реальными частицами, и только позже (в § 22) вернемся
к изучению этого вопроса.

Мы будем пользоваться представлением взаимодействия, в котором
состояние полей описывается вектором состояния Ф (/), удовлетворяющим
уравнению (15.5.7). Наша задача формулируется следующим образом.
Задано состояние полей при /->- — оо, когда они предполагаются невзаимо-
действующими; требуется определить возможные состояния полей при
t—>+ оо, когда они вновь предполагаются невзаимодействующими.

Как мы видели, формальное решение уравнения (15.5.7) имеет вид

Ф(0 = в(/, /о)Ф(^о),
где S (^, ^о) — оператор преобразования, удовлетворяющий уравнению
(15.5.6). Полагая здесь t$ — — оо и t = + найдем интересующую
нас связь между векторами начального и конечного состояний системы
полей [4]:

ф(оо) = 8(оо, — оо)Ф( —оо).	(16.1.1)

Входящий сюда оператор S (°°, — оо), переводящий вектор начального
состояния Ф (— оо) в вектор конечного состояния Ф (оо), называется матри-
цей рассеяния и обозначается просто через S’

S = S(oo, —оо).	(16.1.2)

Будем обозначать векторы состояний свободных полей через Фг, где
г — набор квантовых чисел, определяющих энергии, импульсы, поляри-
зации и другие величины отдельных электронов и фотонов Так как
Hi (— оо) = 0, то эти векторы являются векторами состояний в представле-
нии взаимодействия при tQ = — оо. С другой стороны, при /0 = — оо
векторы состояний в представлении взаимодействия совпадают с векторами
состояний в гейзенберговском представлении. Предполагая, что взаимо-
действие между полями выключается при / = ± оо достаточно медленно,
мы можем характеризовать состояния полей в гейзенберговском представ-
лении теми же наборами квантовых чисел г, что и в случае свободных полей,
и обозначать соответствующие векторы состояний в гейзенберговском пред-
ставлении через Фг Таким образом, предположение о медленности выклю-
чения взаимодействия может быть сформулировано в виде равенства

ФГ = ФГ

(адиабатическая гипотеза).

Возвращаясь к формуле (16.1.1), положим в ней

Ф (— оо) = Фг,

где индекс i обозначает начальное состояние системы электронов и фотонов.
Тогда вектор конечного состояния (при t = оо) будет иметь вид

ф(оо) = 8Ф1.	(16.1.3)

Его можно, очевидно, представить в виде суперпозиции различных векторов
состояния Ф/ свободных полей:

Ф(оо) = ЗауФЛ	(16.1.4)

где коэффициенты af в силу ортонормированности системы векторов состоя-
ния 0)f (они являются собственными векторами гамильтониана Но) равны

а/=(Фу, Ф(оо)).	(16.1.5)

Подставляя сюда вместо Ф (оо) выражение (16.1.3), найдем амплитуду
вероятности перехода системы электронов и фотонов из состояния i
в состояние

Д/=(Ф/, ЭФ.) if |S |0,	(16.1.6)

Мы видим, таким образом, что амплитуды вероятности различных про-
цессов рассеяния определяются элементами матрицы рассеяния, связываю-
щими соответствующие начальные и конечные состояния.

16.2.	Инвариантная теория возмущений. Покажем теперь, как найти
матрицу рассеяния.

Будем исходить из уравнения (15.5.6) для оператора преобразования

i-^-S(^,/o) = HHOS(/, Л>), S(fo,fo) = A (16.2.1)

где Hj (/) — гамильтониан взаимодействия между полями

(16.2.2)

и Lj (х) — плотность лагранжиана взаимодействия,

к(х) = ]и(х)Аи(х).	(16.2.3)

Оператор плотности тока ]'и (х) пропорционален заряду электрона,
который играет роль константы связи между электронным и электромаг-
нитным полями. Так как эта константа, точнее говоря, величина

г2 _	1

а~ 4лЛс“ 137,0388

мала по сравнению с единицей, то решение уравнения (16.2.1) можно искать,
пользуясь методом последовательных приближений, в виде разложения
в ряд по степеням малого параметра а. Перепишем с этой целью уравнение
(16 2 1) в виде интегрального уравнения
t

S(t, = HZ(OS(/, t0)dt

to
и положим в нем

ос

S(t, z0)- 2 s(ra)(z,z0),

где S(n)(Mo) пропорционально еп (е — заряд электрона).

Легко убедиться, что

t	tn-i

S(n) (t. t0) = (- i)n J dt, J dt2... J dZnHf (Z,) HT (Z2) ... H, (tn).

to	to	to.

Преобразуем входящий сюда n-кратный интеграл.
Рассмотрим сначала двукратный интеграл

t tx

S(2) (t, Zo) = - J dt1 J dZ2H, (Z,) Hj (Z2).

to tQ

Областью интегрирования является здесь, очевидно, треугольник, распо-
ложенный ниже биссектрисы координатного угла в плоскости (/1? t2)

(рис. 16.1). Поменяв местами перемен-
ные^ и /2,

t t2

S(2) (t, Zo) = - dt2 § dZ,Hr (Z2) Hj (Zj)
to to

и считая по-прежнему абсциссой, a t2 орди-
натой, мы получим в качестве области интег-
рирования треугольник, расположенный вы-
ше биссектрисы координатного угла

Если бы операторы Hi (^) и Hz (/2) ком-
мутировали между собой, то оба подынтег-
ральных выражения совпадали бы и S(2) (£, ^о)
можно было бы представить как половину
интеграла по всему квадрату Но это можно

сделать и в случае некоммутирующих операторов Hz и Hz (/2), если ввес-

ти хронологический оператор,

( Н/ (/^) Н/ (/2)

(16.2.4)

или иначе

где

Тогда

Т (Н, (ZJ Нт (Z2)) = 0 (^ - Z2) Н, (Zt) (Z2) + 0 (Z2 - Z,) H, (Z2) HHZO,

(16 2.5)

0(x) =

1, x>0,

0, x<Z 0.

S(2) (Z, Zo) =

t	t

to	to
Аналогично можно показать, что в общем случае S<n) (t, имеет вид

t	i	t

s(n) (/, /о) = J dh J dtz ... J dtnT (Hx &) Hr (/2) ... Hr (/„)),
to	to	to

где T — хронологический оператор, располагающий множители таким
образом, чтобы временные аргументы операторов Hi (60 убывали слева
направо.

Таким образом [5],

оо	t	t	t

s а, /о) = 2 Чгг I dt^dh-‘ -1dtnT (H1 (/i)Hj • • •Hj°-
n=0	to	to	to

Этот ряд можно записать символически в виде

t

= T (exp (-i J ИЦ/')#'}) .	(16.2.6)

to

Формула (16.2.6) допускает следующую интерпретацию. Запишем
формально решение уравнения Шредингера для вектора состояния в пред-
ставлении взаимодействия в виде

t

- jHjCrjdr

Ф(/) = е *<>	Ф(/о).

Это выражение было бы правильным решением уравнения для Ф (/), если
бы значения оператора Hi (/) в различные моменты времени коммутировали
между собой. Если же два оператора А и В не коммутируют, то eA-t-B
#= еАев, и этой формулой нельзя поэтому непосредственно пользоваться
в том случае, когда операторы Hj (6), Hi (/2), ... не коммутируют между
собой. Чтобы выяснить, как поступать в этом случае, заметим, что решение
уравнения для Ф (/) всегда можно представить в виде

Ф(0= lim nt1"1' f Нг(/)Л]ф(^),

где ип — моменты времени, убывающие с ростом п и стремящиеся к /0:

То = t Т| Т2 . . . Too ~ Iq»

Это выражение показывает, что на функцию Ф (/0) прежде всего действует
оператор Hi (/) в момент времени t = t0, а затем уже действуют операторы
Н/ (6), Н/ (Z2), ... в более поздние моменты времени. Поэтому им можно
пользоваться, но следует только соблюдать правильную последовательность
действия операторов Hi (6) в различные моменты времени: раньше должны
действовать операторы, относящиеся к более ранним моментам времени.
Чтобы учесть это обстоятельство, мы и поставили перед правой частью
формулы (16.2.6) хронологический оператор Т.

Полагая в формуле (16.2.6) /0 = — оо, t — оо получим следующее общее
выражение для матрицы рассеяния

S ~ Т exp ( — i	Hi (/) dt j ,

— сю
или после подстановки вместо Н2(/) выражения (16.2.2)
S = Тexp [i Lj(%) dtx'j .

(16.2.7)

Элементы матрицы рассеяния (для краткости ее называют также
S-матрицей) определяют, как было разъяснено выше, амплитуды вероят-
ности различных процессов рассеяния электронов и фотонов.

Наша задача заключается теперь в том, чтобы показать, как находить
эти матричные элементы. Разложим с этой целью матрицу рассеяния в ряд
по степеням заряда электрона е,

S= 3 s(n),	(16.2.8)

п- 0

где матрица S(n), пропорциональная еп, имеет вид

S(n)=ТГ S d*Xl	diXnT(Ll(16.2.9)

причем интегрирование по каждой переменной хъ производится по всему
четырехмерному пространству.

16.3.	Матричные элементы операторов полей. Входящее в фор-
мулу (16.2.9) подынтегральное выражение представляет собой произведение
операторов электромагнитного поля Аи (х) и операторов электронного поля
ф (х), ф (х) в представлении взаимодействия, взятых в разных точках
хь х2, . . . , хп. Поэтому прежде всего нужно найти матричные элементы
этих операторов. Для этого достаточно заметить, что операторы полей
в представлении взаимодействия удовлетворяют таким же перестановочным
соотношениям, как и операторы свободных полей. Поэтому мы можем вос-
пользоваться для них теми же разложениями на плоские волны (5.1.1),
(14.2.10), что и для свободных полей:

Ag (X)— у ।	_ (Сц	“F^g	)i

kX *

4 W = 5	(Р) е'РХ +	(-Р) e-ipx), (16.3.1)

" I/ 2V8

ГЦ

Ф (*) = 2	e~ipx + Ьрлй’Ч -р) eipx),

T/2V8

PJX

где операторы с, а, Ь удовлетворяют перестановочным соотношениям (5.1.2),
(14.1.4) и (14.1.5).

Напомним, что ctx, представляет собой оператор испускания, а сы —
оператор поглощения фотона с импульсом k и поляризацией %; аналогич-
ным образом aPg и a^g представляют собой операторы поглощения и испу-
скания электрона с импульсом р и поляризацией р, и, наконец, bPg и bpU
представляют собой операторы поглощения и испускания позитрона
с импульсом р и поляризацией р.

Таким образом, так же как и в случае свободных полей, Ац (х) пред-
ставляет собой сумму операторов поглощения и испускания фотонов,
ф (х) представляет собой сумму операторов поглощения электронов и испу-
скания позитронов и ф (х) представляет собой сумму операторов испуска-
ния электронов и поглощения позитронов.
Используя формулы (5.1.3), (14.2.1), (14.2.2) для матричных элементов
операторов с, а, b можно найти матричные элементы операторов Ац (х),
ф(х), ф (х), которые не будут ничем отличаться от матричных элементов
операторов свободных полей. Приведем здесь для удобства формулы для
этих матричных элементов.

Матричные элементы Ац (х), соответствующие поглощению и испуска-
нию фотона с 4-импульсом k и поляризацией %, равны

<Оай,| Ац(х)| 1Ьл> = —;=4^*.

V .	(16.3.2)

<lftx|AIl(x)|Ob%) = -^=-^)Vto,
где е%, — единичный четырехмерный вектор поляризации,	=

Состояние фотона не обязательно характеризовать импульсом и поля-
ризацией, а можно характеризовать также моментом и четностью. Матрич-
ные элементы оператора Аи (х), соответствующие испусканию и поглощению
такого фотона, равны

< 1	| Ag (х) 10;м%> = (Aо о\

| Аи (х) | IjMK) =

где Ajma, — нормированные потенциалы состояний фотона с определенными
моментом и четностью (см. § 3.8).

Матричные элементы операторов ф (х) и ф (х), соответствующие погло-
щению и испусканию электрона с 4-импульсом р и поляризацией р, равны
(0^|ф(х)|1^> = -Г=^(р)е^,

У! 6_	.	(16-3.4)

<1ги|Ф(х)|0*ц} = ^^(р)е-^,

где биспинор иР (р) предполагается нормированным согласно условию

(р) иР (р) = 2т.

Наконец, матричные элементы операторов ф(х) и ф(х), соответствую-
щие поглощению и испусканию позитрона с импульсом р и поляризацией р,
равны

<о^|Ф (X) | 1рц) =	й*(-р) е'*х,

у2У&

(Пи 1(X) | (W = -£= «“(-/>) e~ipx,	(16.3.5)

у 8

где биспинор и’х( — р) нормирован согласно условию

«>* (— Р)и>1 (—Р) = — %т-

Формулы (16.2.8), (16.2.9), определяющие разложение матрицы рас-
сеяния в ряд по степеням малого параметра е, вместе с формулами (16.3.2),
(16.3.4), (16.3.5) для матричных элементов операторов полей составляют
основу теории возмущений в квантовой электродинамике.

Чрезвычайно важной чертой этой теории является ее релятивистская
инвариантность, непосредственно вытекающая из того, что лагранжиан
взаимодействия между полями LT (х) представляет собой релятивистский
инвариант, и, кроме того, как было разъяснено в § 14.4, релятивистски
инвариантной является операция хронологического упорядочения опера-
торов

Мы будем говорить, что процесс рассеяния, т е взаимодействия между
полями, является эффектом n-го порядка теории возмущения, если элемент
S-матрицы, соответствующий этому процессу, пропорционален Очевид-
но, все процессы n-го порядка описываются матрицей Sn, являющейся
n-м членом в разложении S-матрицы в ряд по степеням заряда электрона

До сих пор мы предполагали, что при t = =р оо электроны являются
полностью свободными Но в рамках формализма матрицы рассеяния
можно также решать задачи о взаимодействии электронов, движущихся
в заданном внешнем электромагнитном поле А^ (х) (которое считается
классическим), с квантованным электромагнитным полем Аи (х) В этом
случае следует лишь под ф (х) и ф (х) понимать не разложения (16 3 1)
по плоским волнам, а разложения (14.1 1) по собственным функциям элек-
трона фз+) (х), фр“} (х) во внешнем поле А^ (х) (индексы -1- и — обозна-
чают состояния с положительными и отрицательными частотами)

Ф (х) = 2	(х) + X Ьгфг"’ (*)»

±	_	(16.3.6)

Ф (х) = 2 «Ж+> (х) + X И ’ (х).
S	г

Поэтому матричные элементы этих операторов, соответствующие поглоще-
нию и испусканию электронов и позитронов, определяются теперь, взамен
(16 3 4), (16 3 5), формулами

(0|]ф(х) I и> = фз+) (х),

_	—	(16.3.7)

(0г |ф(х) 11Г) = ф) ’ (x),

< 1 г |ф (x) 10;> = ф'-> (x).

Во многих случаях внешнее поле является слабым и его можно учиты-
вать с помощью теории возмущений Для этого следует заменить Аи (х)
в выражении для Lz (х) суммой Аи (х) + А$ (х), где Ац (х) — потенциал
квантованного электромагнитного поля, а (х) — потенциал внешнего
поля, представляющий собой, в отличие от Ац (х), с-число, и далее пользо-
ваться разложением (16 2 9) Что касается вектора плотности тока (х),
то он должен строиться с помощью разложений ф (х) и ф (х) по собственным
функциям свободной частицы.

Возможен также и промежуточный способ учета внешнего поля, когда
одну его часть следует учитывать точно с помощью уравнения Дирака для
электрона во внешнем поле, а другую часть — приближенно прибавлением
ее к потенциалу квантованного потенциала. Операторы ф (х) и ф (х) при
этом определяются с помощью разложений по собственным функциям урав-
нения Дирака, содержащего только первую часть внешнего поля

16.4.	Унитарность матрицы рассеяния. В § 15.5 мы показали, что если
гамильтониан системы является самосопряженным, то оператор преобразо-
вания S (t, t0) будет унитарным Отсюда следует унитарность матрицы рас-
сеяния в случае самосопряженного гамильтониана,

SS+ = /, Но = щ, Н/==Щ.	(16.4.1 >
Это соотношение является общим и применимо также и к квантовой
электродинамике, но следует помнить, что понятие самосопряженного опера-
тора связано с определением метрики в пространстве векторов состояний,
в квантовой же электродинамике, благодаря нереальности продольных
и скалярных фотонов, приходится пользоваться индефинитной метрикой.
Поэтому в квантовой электродинамике соотношение (16.4.1) справедливо,
строго говоря, в этой метрике.

Чтобы записать его в явном виде, напомним, как строятся векторы
состояний ®NKiNk2Nk3NkQ(NkK— число фотонов с импульсом k и поляри-
зацией X). Если Фо обозначает вектор состояния вакуума,

СмФо = О, (Фо, Фо) = 1, Z=l, 2, 3, О,

где сал, —оператор уничтожения фотона (Л, X), то, подействовав на него
операторами рождения фотонов сХл,, мы получим векторы состояний

(16.4.2)

Операторы см, с&л удовлетворяют соотношениям

J 1,	1, 2, 3,

[СаЛ> C/caJ |	11 ___А

а векторы состояний ^yNkiN k2Nk3Nk^~~соотношениям

Cfe%O..NfcX..=]A^fcX+iO..Nfex+i.., А. = 1, 2, 3, О,

СллФ..^х.. = <

— КМслФ.

2v=l, 2, 3,

Z = 0.

(16.4.3)

Отсюда следует

—	Ф^1^2^3^о) =

= —	Ф^1^2^3^о) =

(®NklNk2Nk3NkQ~1’ CkQ®NklNk2Nk3Nko)

= VNkO (®NkiNk2Nk3NkQ-^ ^kiNk2Nk2NkQ-l),

t. e.

(®NkiNk2Nk3NkQ> ®NklNk2Nk3Nk() ~ (	0

Наличие в этом условии нормировки вектора состояния знакопеременного
множителя и является выражением индефинитности метрики.

Вернемся теперь к условию унитарности матрицы рассеяния (16.4.1).

Пусть Фа == Ф^а а а и фь = Ф.?ь ь ъ обозначают век-
J	NklNk2Nk3NkQ	NklNk2Nk3*kQ

торы каких-либо двух физических состояний. Это значит, что они удовле-

творяют соотношению

(Cfc3 — Стсо) ®NkiNk2Nk2NkQ --= 0.
Из унитарности матрицы рассеяния следует

(O»,ss+Ob)= 3 (O°,SO^1Wfc200)(OivfclNfc200,S+Ob) +

^1^2} Nk3Nkti

(Nk3+Nk(rf=Q\

X ^NklNMNkSNk6, 5+Фд) = 6аЬ, (16.4.4)

где суммирование производится по всем значениям чисел фотонов всех
поляризаций в промежуточных состояниях Ф^л^^з^о-

Покажем, что

АаЬ (Хм, Л^2) на S (Ф“> S%*fc3Nfc0) (~ l)Wfc0 X

«fe3wfc0

(Wfe3+^fc0*0)

Х(%л’ы^о>8+ФЬ) = 0,	(16.4.5)

где

Ж:3 vfcO = Ф»лЛ2*АЗ*Ъ0

Воспользуемся для этого формулой (15.6.13), из которой
дАц (х)
что матрица рассеяния коммутирует с оператором • -Лv 7 :

следует,

dA,j, (х)
дхц

(16.4.6)

Отсюда, в свою очередь, следует, что матрица рассеяния коммутирует
с операторами с^з —с^о и с£з —сХоХ

[S, с*з~см] = 0, [S, Сйз —с£о]=О	(16.4.7)

(последнее соотношение можно получить ^из первого и условия унитар-
ности (16.4.1)).

Из второго соотношения (16.4.6) вытекает равенство

(Фа, S(ct3-cXo)XAfc3Nfc0) = 0.	(16.4.8)

Действительно,

(Фа, S (с£з — cio) %Nk3NkQ) = (Фа, (СкЗ — с£о) S^Nk3Nk0) =

= ((Cfc3 — Cfco) фа, S%^3^0)-

Но Фа является, по определению, вектором физического состояния,
и поэтому последнее скалярное произведение обращается в нуль.

Используя теперь (16.4.3), найдем из (16.4.8)

(Фа? S%2Vfe3+l, NkQ)VNk3+l =(Фа, SX2Vfe3, ^o+l)K^fco + l.

Если поэтому ввести обозначение

(Фа, SXNfc3Nft0) =	1	- fa (Nk3, Nko),

V ^кЗ1

то мы получим

fa(Nk3 + l,Nk0) = fa(Nk^ Nko+V),
откуда

fa (Nk3, Nko) = fa (Nk3-{- Nko).
Мы можем теперь переписать 4аь(Мл1, Nkz) в’виде

/ _ 1 \"к0

Aab(Nki, Nk2) =	2	17—nv—r^*3+N^M+^

"Ло k3' k°'

(Wfc3+Wfc0*°)

или

00 N ,i№o

Aob (W, AW =23 Nk i (N-N~y. f* W ft W =

№=1 NkQ=Q

°°	1	N t_1\N*Obn

= 2 ~Ni-faWf*W 2 NkOl (N—Nk0)l'
N=1	Nk0=®

Но последняя сумма равна нулю и, следовательно,

АаЪ {Nkl4 Nk2) = 0.

Таким образом, условие унитарности матрицы рассеяния (16.3.5)
для физических состояний а, b можно записать в виде

(Ф“, 55+Фь)= 2	(Фа15Ф^1ЛГ,£20о)(ф^1^20о,5+Фь) = даЬ. (16.4.9)

NklNk2

Мы видим, что в условие унитарности матрицы рассеяния для физиче-
ских начальных и конечных состояний не вносят вклада нефизические
промежуточные состояния, содержащие произвольные числа продольных
и скалярных фотонов, а вносят вклад только физические состояния, для
которых унитарность имеет обычный смысл.

16.5.	Представление матрицы рассеяния в виде суммы нормальных
произведений. Возвратимся к разложению (16.2.8) матрицы рассеяния.
Так как операторы Ац (х), ф (х), ф (х) представляют собой сумму операторов
испускания и поглощения отдельных частиц, то каждый член в этом раз-
ложении можно представить в виде суммы произведений операторов испу-
скания и поглощения электронов, позитронов и фотонов в различных
состояниях. Мы хотим выяснить, при каких условиях такого рода произве-
дения имеют отличные от нуля матричные элементы, отвечающие какому-
либо интересующему нас процессу i f. Если, например, в начальном
состоянии i имеется один электрон и ни одного позитрона и фотона, а в конеч-
ном состоянии f — электрон и фотон, то, очевидно, один из операторов
поглощения должен «уничтожить» электрон в состоянии i, два оператора
испускания должны «создать» электрон и фотон в состоянии Д а все осталь-
ные операторы должны подразделиться на пары, причем операторы каждой
пары «создают» и «уничтожают» одну и ту же частицу.

Такого рода виртуальные процессы испускания и последующего погло-
щения одной и той же частицы сильно усложняют вычисление элементов
матрицы рассеяния. Мы постараемся поэтому преобразовать матрицу рас-
сеяния таким образом, чтобы виртуальные процессы не нужно было рас-
сматривать.

Задача сводится, очевидно, к тому, чтобы представить матрицу рассея-
ния в виде суммы нормальных произведений операторов испускания и погло-
щения частиц, в которых операторы испускания стоят слева от операторов
поглощения. При вычислении матричных элементов таких произведений
операторы поглощения будут «уничтожать» только те частицы, которые
15 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
находятся в начальном состоянии, а операторы испускания будут «созда-
вать» только те частицы, которые должны быть в конечном состоянии.
Что же касается виртуальных процессов испускания и поглощения частиц,
то явным образом они не будут входить в рассмотрение.

Чтобы представить матрицу рассеяния в таком виде, заметим, что,
согласно (14.1.7),

]’и W = ieN (ф (х) уиф (х)),
и поэтому

Li (х) = jp (х) Ац (х) = ieN (ф (х) А (х) ф (х)), А (х) = уцАр, (х).

Отсюда следует, что п-й член в разложении S-матрицы можно записать
в виде

s(n) = (e)n j т	А	х

X N (ф (х2) А (х2) ф (х2)) • • • N (ф (хп) А (хп) ф (xn))) d*x2 ... d4xn. (16.5.1)

Отдельные множители Т-произведения, входящего в эту формулу,
представляют собой Af-произведения операторов полей, относящихся
к одному и тому же моменту времени. Такого рода Т-произведение мы будем
называть смешанным Т-произведением.

Наша задача состоит в представлении смешанного Т-произведения
в виде суммы Af-произведений. Это может быть сделано с помощью следую-
щих двух правил (правил Вика) [6]:

I.	Т-произведение операторов полей равно сумме их АЛпроизведений,
в которых операторы связаны всеми возможными связями.

II.	Смешанное Т'-произведение операторов полей равно сумме их
А^-произведений, в которых операторы связаны всеми возможными связями,
за исключением связей между операторами в пределах одного и того же
АЛпроизведения.

Разъясним эти правила.

Если %2, ..., Хп обозначают операторы полей А^, ф, ф, то,
согласно правилу 1,

т (XtX2 • • • Хп) = $рХнХг2 • • • Хгп == N (Х1Х2 • • • Хп) +

+ ^(Х“Х2Хз ••• Хп) + ^(Х?Х2Хз ••• Х„)+ •••>	(16.5.2)

где первое равенство является определением Т-произведения (операторы
Xii> Хга» • • •» Хт расположены в хронологическом порядке, т. е. так, что
время возрастает справа налево; 6Р представляет собой четность произведен-
ной при этом перестановки электронно-позитронных операторов) и различ-
ные буквы над операторами во втором равенстве обозначают различные
связи. При этом для соседних операторов они определяются как

X“Xfe = Т (XrXfe) — N (xtXfe)-

Связи между несоседними операторами определяются следующим образом,
если свя^уемые операторы являются фотонными, то их можно просто
поставить рядом; если же они являются электронно-позитронными опера-
торами, то их можно поставить рядом, умножив предварительно Af-произве-
дение на четность произведенной перестановки электронно-позитронных
операторов. Например, если %2, ... — электронно-позитронные опе-
раторы, то

N (Х1Х2Х1Х£Х5Х6) = - (Х1Х5) (Х|х£) N (Х2Х6)
(так как и представляют собой с-числа, то они вынесены за знак
^/-произведения).

Проиллюстрируем теперь правило II. Если смешанное Т-произведение
имеет, например, вид Т (Х2Х3Х4)), то, согласно правилу II,

Т (Х^ (Х2Х3Х4)) = (Х1Х2Х3Х4) + N (Х?Х£Х3Х4) +

+ N (х?Х2Х?Х4) + N (Х?Х2Х3Х4)-	(16.5.3)

В эту сумму не входят связи

Чтобы доказать правило I, заметим предварительно, что одновремен-
ной одинаковой перестановкой множителей внутри Т и Af-произведений
в (16.5.2) мы не нарушаем этого соотношения, поэтому без ограничения
общности можно предположить, что операторы в (16.5.2) уже расположены
в хронологическом порядке.

Расположим теперь множители в (16.5.2) таким образом, чтобы все
операторы испускания стояли слева от операторов поглощения (для про-
стоты предполагается, что каждый из операторов является либо опера-
тором испускания, либо оператором поглощения). Такое расположение
операторов мы будем называть Af-упорядоченным. Возьмем для этого самый
левый ^-неупорядоченный оператор испускания и будем последовательно
переставлять его со всеми операторами поглощения, стоящими левее этого
оператора. При этом появятся дополнительные члены со связями между
переставляемыми операторами в соответствии с формулой

XtX2 = Т (%jX2) = N (XjX2) + Х?Хг = ± Х2Хц + Х1Х2-

Такую же операцию упорядочения мы проделаем и с другими неупоря-
доченными операторами испускания. В результате мы выразим исходное
Т-произведение в виде суммы ^-произведений. Эти Af-произведения могут
входить как с положительным, так и с отрицательным знаком, но если под
знаком М-произведений переставить множители таким образом, чтобы они
снова стали Т-упорядоченными, т. е. расположенными в хронологическом
порядке, то, очевидно, все ЛЛпроизведения будут входить с положительным
знаком и мы получим представление Т-произведения в виде суммы Af-npo-
изведений (16.5.2). В эту сумму будут, очевидно, входить не все возможные
связи, а только связи между всеми парами ^-неупорядоченных операторов;
так как, однако, связи между ЛЛупорядоченными операторами, являющи-
мися одновременно Т-упорядоченными операторами, равны нулю, то можно
считать, что в сумму входят все возможные связи. Таким образом, мы дока-
зали справедливость правила I.

Аналогичным образом может быть доказано правило II. При доказа-
тельстве следует лишь иметь в виду, что не нужно менять местами операторы,
стоящие под знаком одного и того же W-произведения, так как эти операторы
уже Af-упорядочены; поэтому соответствующие им связи должны отсут-
ствовать.

Используя эти правила, можно представить как мы и хотим,
в виде суммы интегралов, содержащих только Af-произведения операторов
полей

s( } = еп $ р( ’	} (Xir+1> 4+2’ • • • ’ XiJ х

х N (ф (Xil) A (х*2) ф (xi3) .. 4 (лггг_2) А (х^) ф (х^)) d4Xi ... d4xn, (16.5.4)
где под знаком ЛЛпроизведения входят операторы в точках Хц, Xf2, . . ., х^
и величины	определяются связями между операторами в остальных
из п точек хь х2, . . хп (суммирование распространяется на все возмож-
ные разбиения совокупности чисел 1, 2, . . п на две совокупности
Ц, • • •> И ir+i? ir+2> • • •, ^n)*

Связи между операторами полей определяются формулами (6.2.8),
(14.4.7), которые мы выпишем здесь для удобства снова

А£ (х) А% (х') = Dc (х — х') 6p,v,

< (х) фр (х') = О,

фа(х)ф$(х') = 0,	(16.5.5)

Фа (X) Фр (X') = ScaB (х — X'),

Фр (X') Фа (X) = — 5саВ (х — х'),
где

Oc(x) = (-^$Dc(fe)^d^, Dc(fe) = -^J-sy,	(16.5.6)

ScaB (X) = -(2^ $ SCaB (P) eipx d*p, Sca?J (p) = i	

Покажем, что к связи между операторами электромагнитного поля
Аи (х) и Av (х') можно прибавить величину	, где ср (х2) — про-

извольная скалярная функция х2, и при этом матрица рассеяния не из-

менится.

Заметим с этой целью, что так как операторы Аи (х) и jv (х) комму-
тируют между собой, то матрицу S(n) можно записать в виде

Kjrv • • • (х±, х2, ...) Т (Ац, (xi) Av (х2) ...) d4Xi ... d^Xn,

где K^v ••• (xt, х2, ...) —хронологическое произведение операторов тока,
Кц/v ... (хь х2, ...) = П Д Т (jix (х^ jv (х2) ...).

Прибавление к связи между операторами АИ(Х1), Av(x2) величины
d2^ соответствует прибавлению к S(n) величины

оХщ, oX2v

$KUv ... (Xi, Х2, ...)^g’r(Al(xs) ...)^ ... ^хп =

л • • • (xi, х2)

= $-----dxludx2v---Ф	Т	• • •) d4Xi ... d*xn.

Но легко видеть, что

дКцу... (xt, х2, ...) _ дКцу .  • (хь х2> ...) _

дх2у

Действительно,

Т (ill (Xl) jv (Х2)) = 0 (ti — t2) jp, (Xi) jv (X2) + 0 (f2 — ti) jv (X2) jp. (Xi),
поэтому

т (ju (Xi) jv (x2)) = T	jv (X2)) + 4 [j4 (Xi), jv (x2)] 6 (^ -12).
д]ц(х) _
дх^ ~

Замечая, что

О, и учитывая соотношение (15.6.8), получим

^r(jp(x1)jv(x2)) = 0.	(16.5.7)

Таким образом, мы можем считать, что связь между операто-
рами Аи(х) и Av(x') определяется формулой*)

Ар, (х) Av (х ) = Dcllv (•# %
где

DCIIV (х) = De (х) 6pV +	.	(16.5.8)

Преобразование Фурье функции Dcliv (%) имеет вид

Всц/у (х) = (2я)4 ^cpiv (^) d4k,
где

^v(/e) = 4^o(6uv + dz(^)^-v)	(16.5.9)

и dt (й2) — произвольная функция от k2, связанная с произвольной функ-
цией <р (%2).

16.6.	Функциональная форма представления матрицы рассеяния в виде
TV-упорядоченного оператора. Покажем, что не только отдельные члены
разложения матрицы рассеяния, но и вся она в целом может быть представ-
лена в виде Л/’-упорядоченного оператора [7].

Рассмотрим прежде всего функционал от операторов электромагнит-
ного поля

ОО

F (А) = У ?	...v„(xi, хп) Av (xt) ... Av (хп) d4Xi ... d4xn,

»]	1	II	1	/4

n=0

(16.6.1)

где . vn (*i, .. •, xn) — некоторые с-функции от %i, ..., хп и сумми-
рование производится, помимо и, также по всем V&, пробегающим значе-
ния Vfe = l, 2, 3, 4, и покажем, что

TF{A} = ^(^F{A}),	(16.6.2)

где

Д = "2 Dc (х — х')	(х) 6AV (х') 6tiv dix dix'• U6.6.3)

Функциональная производная по оператору Ар (х) определяется при
этом следующим образом. Если [бАр, Ар] = 0, где бАр (х) — приращение
оператора Ар (х), то вариация функционала F {А}, равная

6F {Ар (х)} = F {Ар (х) + бАр (х)} - F {Ар (х)},

*) Отметим, что это соотношение остается в силе и при учете члена типа
ч—6 (г— г'), стоящего в правой части (15 6.8). Действительно, в этом случае к S(n>
(JXy

р д2

прибавляется слагаемое \ ------ч---6	— г2) ф (|	—r2 I)	d3x2, которое, оче-

е) Ох11к

видно, равно нулю, так как ф есть функция от х2
6F{A
связана с функциональной производной

соотношением

6F{Ан(х)} = J	6AV(х')d4x'.

Чтобы доказать формулу (16.6.2), убедимся сначала в том, что AF {А}
получается из F {А}, если в каждом числе разложения (16.6.1) образовать
всеми возможными способами одну связь между операторами Аи (х) и про-
суммировать затем полученные выражения. Для этого достаточно проверить
соотношение

А (А% (xi) AG (х2)) = А % (xi) А£ (х2),
которое немедленно вытекает из (16.6.3) и (6.2.5)
А (Ах (х0 Аа (х2)) =

= Т § D& ~ Х'^ dAv (х) dAv (х')d*x ^Х

= у § Dc(x —х') {6XvSavS (х — Х1) 6 (х' — х2) +

+	(х' — X!) 6 (х — х2)} d4x d4x' = А% (Xi) AS (х2).

Аналогичным образом можно проверить, что функционал F {А}
получается из функционала F {А}, если в каждом члене разложения (16.6.1)
образовать всеми возможными способами k связей между операторами Ац
и просуммировать затем полученные выражения.

Отсюда вытекает, что сформулированное выше правило I о разложе-
нии Т-произведения на Af-произведения можно, в применении к операторам
Ац, записать в виде

оо

7Т{А}=2

k=G

Замечая, что &k/kl = eA, мы получим формулу (16.6.2).

Формула такого же типа справедлива и для электронно-позитронных
операторов, а именно, если F {ф, ф} — функционал от операторов ф (х)
и ф(х') вида

F {ф, ф} = 2 § К*”*’ ”г)	• • • • x'i • • • хп2) Ф U1) • • •

п1> п2

... ф (хП1) ф (х;2) d4Xi ... d4Xn2,

где суммирование производится, помимо щ и л2, и по спинорным индек-
сам, от которых зависит	то

TF{ty, q}==N(ezF{ty, ф}),	(16.6.4)

где

2 = $ dCw Sc“6 ~dixdix'

и функциональные производные по ф и ф определяются следующим обра-
зом. Если бф(х) и 6ф (х) — приращения операторов ф(х) и ф(х), то вариа-
ция функционала F {ф, ф}, равная

б/7{ф, ф} = F {ф + бф, ф4-бф}— Р{ф, ф},
связана с функциональными производными соотношением
dF {ф, Ф}=Д -6?F( у 6фа (х) d4x + бфв (х) -^6-F— d4x.
d OVa W	d	Офр (x)

Чтобы правильно учесть перемену знака при перестановке электронно-
позитронных операторов, на приращения операторов фиф накладываются
при этом условия

{бф, ф} = {бф, ф} = {бф, ф} — {бф, ф} = О

или эквивалентные им условия

{fib 

{<« ’ *>(х')}-в«8 (*-<>•

Из формул (16.6.2) и (16.6.4) следует, что если мы имеем общий
функционал F {А, ф, ф) от операторов А»(х), фа(х), Фв(х), то

77{А, ф, ф} = Л/(ед+27{А, ф, ф}).	(16.6.5)

Полагая

Р {А, ф, ф} = exp i ($ jp (х) Ар, (х) d4x)

и вспоминая, что

S = TF{k, ф, ф}= T\TAF{h, ф, ф}

(7Ф и ТА обозначают 7-упорядочения операторов ф, ф и А), получим
следующее общее выражение для матрицы рассеяния в виде //-упорядо-
ченного оператора

S = /V (еА+2ехр [i jpAp(x) d4x)j .	(16.6.6)

Согласно доказанному выше

Та7{А, ф, ф} = АА(еЛехр (i jp (х) Ар (х) d4x) )

(Na обозначает //-упорядочение операторов Ар). Замечая, что
^АдАу(х')ехр 0 § WAp(x)d4x) =iyA[jv(x')expp J jp(x)Ap(x)d4x)) ,
легко убедиться, что

Na (a exp у jp (x) Ap (x) d4x) j =

= — Na (y Dc (x' — x") jv (x') jv (x") d4x' d4x* exp (i jp (x) Ap (x) d4x)) .
Поэтому

TaF{A, Ч|), ijj} =

= ехр (—у jv (х')	(х'— х") jv(x")d4x' d4x") ЛГАехрр$ jn(x) Ац(х) d4x) .

Отсюда следует:

S =	| exp ( — у jjx (x') Dc (%' — x") jy, (x") d4x' x

X Na exp jv (x) Av (x) d4x j } . (16.6.7}

Для процессов без участия фотонов последний множитель в (16.6.7)
равен единице, и матрица рассеяния приобретает вид

S — Tty exp ( — у jy (х')£>с(х'— х") jy(x") d4x'd4x") .	(16.6.8)

Если движение электронов можно считать заданным, то плотность
тока можно рассматривать как заданную с-функцию /ц(х). Из (16.6.7)
следует, что в таком приближении матрица рассеяния приобретает вид
S=exp( — jv(x')Dc(x' — х") jv (х") d4x'd4x") Nexp (x) Ац (x) d4x) ,

(16.6.9)
где операторами являются только электромагнитные потенциалы Аи (х).

16.7.	Мюонный и адронный токи. В § 15 были сформулированы уравне-
ния, описывающие электромагнитное и электронное поля, взаимодействую-
щие между собой. Формально это полная совокупность уравнений замкну-
той динамической системы. Однако физически такая система не замкнута.

Во-первых, электроны подвержены, кроме электромагнитного, еще
слабому взаимодействию. Кроме того, и электроны и фотоны взаимодей-
ствуют с гравитационным полем. Но так как оба этих взаимодействия зна-
чительно менее интенсивны, чем электромагнитное, то мы вправе рассма-
тривать только электромагнитное взаимодействие, пренебрегая слабым
и гравитационным взаимодействиями. Это будет всегда в дальнейшем
подразумеваться. И в таком приближении можно считать уравнения Дирака
точными уравнениями электронного поля.

Во-вторых, фотоны взаимодействуют не только с электронами, но
и с другими частицами. Поэтому уравнения, описывающие электромагнит-
ное поле, нельзя считать правильными, если понимать под плотностью
тока только электронный ток. Такие уравнения будут справедливы лишь
в тех случаях, когда другие (неэлектронные) токи отсутствуют или малы.

Точные уравнения электромагнитного поля мы получим, если в пра-
вую часть уравнения □ Ац = — подставим полный электрический ток,
обусловленный всеми частицами.

Помимо электронов, существует два класса частиц, взаимодействующих
с электромагнитным полем: мюоны и адроны. Таким образом, под плотно-
стью полного тока мы должны понимать сумму трех плотностей токов

J-ц (х) = j^e) (X) + (X) + (X),	(16.7.1 >

где jj?(x),	(х) и (х) —плотности электронного, мюонного и адрон-

ного токов в гейзенберговском представлении.
Каждый из этих трех токов в отдельности удовлетворяет уравнению
непрерывности

если пренебречь слабым взаимодействием.

Таким образом, рассматриваемая нами динамическая система станет
замкнутой только в том случае, если включить в нее мюоны и адроны.
Это значит, что совокупность уравнений квантовой электродинамики надо
дополнить уравнениями движения этих частиц.

Очень легко написать уравнения мюонного поля. С оговоренной выше
точностью мюон ничем, кроме массы, не отличается от электрона. Он также
имеет спин 1/2 и заряд е, и, как электрон, взаимодействует только с электро-
магнитным полем. (Мы, как отмечалось, пренебрегаем слабым и гравита-
ционным взаимодействиями.) Поэтому мюонное поле удовлетворяет урав-
нениям Дирака (с другим значением массы т), которые должны быть при-
соединены к системе уравнений взаимодействующих полей. Мюонный ток,
как и электронный, имеет структуру, определяемую выражениями (14.1.7),
в которых под гр и гр следует понимать операторы мюонного поля.

Иначе обстоит дело для адронов, т. е. сильно взаимодействующих
частиц. Очевидно, нельзя составить уравнения, определяющие электро-
магнитные взаимодействия адронов, без учета более интенсивных сильных
взаимодействий. Но уравнений, описывающих сильные взаимодействия,
мы не знаем. Поэтому мы не можем написать в явном виде уравнение для
адронного тока. Адронный ток в квантовой электродинамике остается полу-
феноменологическим понятием, наподобие молекулярных токов в макроско-
пической электродинамике. Это значит, что мы можем получать решения
уравнений электромагнитного поля, если зададим ток, но мы не знаем
теоретически вида этого тока.

Тем не менее мы можем формально записать лагранжиан системы
(т. е. плотность ее функции Лагранжа) в виде

L(x) = L0 (x) + Li (х),

где Lo(x) — лагранжиан системы в отсутствие электромагнитных взаимо-
действий и Li(x)— лагранжиан электромагнитного взаимодействия. Лагран-
жиан Lo(x) является суммой четырех членов

Lo (х) = ЦТ) (х) +	(X) + 1_(0Ц) (х) + [_о° (х),

где [_от) и Loe)(x) — прежние лагранжианы свободных электромагнитного
и электронно-позитронного полей, определяемые формулами (1.6.6), (8.8.1);
лагранжиан мюонного поля [_оц) (х) имеет тот же вид (8.8.1), если под гр (х)
и гр(х) понимать операторы мюонного поля, а под т — массу мюона; нако-
нец, Lo0 (х) — лагранжиан, который должен описывать адроны с учетом
их сильных взаимодействий. Мы не знаем вида Lo^ (х). Однако это обстоя-
тельство не имеет существенного значения для того полуфеноменологи-
ческого описания электромагнитных взаимодействий адронов, которым мы
будем в дальнейшем пользоваться.

Лагранжиан электромагнитного взаимодействия мы можем записать
в прежней форме (8.8.12):

Li (x) = jn(x) An (х),

(16.7.3);
где	(х) — оператор плотности полного тока частиц в гайзенберговском

представлении.

На основе этого лагранжиана можно построить теорию возмущений
для электромагнитных взаимодействий, так же как это было сделано
в § 16.2. Наличие сильно взаимодействующих адронов не меняет схемы
построения теории возмущений, так как их электромагнитные взаимодей-
ствия можно рассматривать как возмущение. Для этого следует перейти
к представлению взаимодействия, в котором операторы F связаны с опера-
торами F(s) в шредингеровском представлении соотношением (15.5.4)

где Но — гамильтониан без учета электромагнитного взаимодействия в шре-
дингеровском представлении.

В данном случае под Но нужно понимать гамильтониан свободных
электронов, фотонов, мюонов и гамильтониан адронов, не учитывающий
электромагнитных взаимодействий, но содержащий сильные взаимодей-
ствия. По этой причине правильнее называть рассматриваемое представле-
ние не представлением взаимодействия, а представлением электромагнитного
взаимодействия.

Перейдя к этому представлению, можно построить, согласно (16.2.7),
матрицу рассеяния

S = Texp [i ]и(х) Аи(х)й4х) ,	(16.7.4)

где jy, (х) — оператор плотности полного тока частиц в представлении элек-
тромагнитного взаимодействия, и исследовать с помощью нее различные
электромагнитные процессы с участием сильно взаимодействующих частиц.

В дальнейших параграфах этой главы мы не будем изучать эффектов,
связанных с наличием адронного и мюонного токов, и вернемся к изучению
этих эффектов в главе IV.

§ 17. Графическое представление элементов матрицы рассеяния

17.1.	Графическое представление нормальных произведений. В § 16.5
«было показано, что матрицу рассеяния можно представить в виде суммы
нормальных произведений операторов полей, соответствующих различным
процессам рассеяния частиц.

Каждое такое нормальное произведение, а следовательно, и любой
процесс рассеяния, можно изображать графически [8], если условиться
сопоставлять 4-векторам хь х2, . . ., хп, по которым производится инте-
грирование в матрице S(n), точки диаграммы, а операторам полей — линии,
проходящие через эти точки (называемые вершинами диаграммы). Опера-
тор Ац (х) мы будем изображать пунктирным лучом без определенного
направления с началом в вершине х; оператор ф (х) — направленным
сплошным лучом, идущим к вершине х, и оператор ф (х) — направленным
сплошным лучом, идущим из вершины х. Все эти лучи, которые называются
внешними линиями, предполагаются уходящими за пределы диаграммы.

Так как Аи (х) представляет собой сумму операторов поглощения
и испускания фотонов, то пунктирной внешней линией будет изображаться
4>отон, испущенный или поглощенный в результате процесса рассеяния
^кроме того, пунктирной внешней линией мы будем изображать также
внешнее электромагнитное поле). Аналогичным образом, поскольку ф (х)
представляет собой сумму операторов уничтожения электронов и рождения
позитронов, то сплошная внешняя линия, направленная к вершине, будет
служить для изображения электрона, существовавшего до процесса рассея-
ния, или позитрона, образовавшегося в результате процесса рассеяния.
Наконец, так как ф (х) представляет собой сумму операторов рождения
электронов и уничтожения позитронов, то сплошная внешняя линия,
направленная от вершины, будет служить для изображения позитрона,
существовавшего до процесса рассеяния, или электрона, образовавшегося
в результате процесса рассеяния.

Кроме операторов полей, мы должны графически изображать также свя-
зи между операторами. Условимся сопоставлять связям между операторами
внутренние линии диаграммы, соединяющие ее вершины, а именно, будем
изображать связь между фотонными операторами Аи (х) и Av (х) пунктир-
ной линией (не имеющей определенного направления), соединяющей вер-
шины х и у и связь между электронными операторами ф (х) и ф (у) — сплош-
ной линией, соединяющей вершины х и у и имеющей направление от верши-
ны х к вершине у.

Так как в выражении для S(n) каждая точка х является аргументом
трех операторов — одного фотонного и двух электронных, то через каждую
вершину диаграммы проходит одна фотонная и две электронные линии.

Диаграммы, изображающие отдельные нормальные произведения, вхо-
дящие в матрицу S(n), содержат п вершин. Мы будем называть их диаграм-
мами n-го порядка. Они могут служить для изображения эффектов п-го
приближения теории возмущений.

17.2.	Простейшие диаграммы. Приведем несколько примеров.

Начнем с эффектов первого порядка. В этом случае имеется, очевидно,
только одна диаграмма, представленная на рис. 17.1. Она изображает
рассеяние электрона или позитрона во внешнем поле, излучение или погло-
щение фотона электроном (позитроном), а также образование или поглоще-
ние электронно-позитронной пары. (Справа от диаг-	(

раммы символически указано подынтегральное выраже-	I

ние матричного элемента S(1> без знака нормального	’

произведения.)	।

Рассмотрим теперь эффекты второго порядка. В этом	।

случае возможно всего шесть топологически различных /Ч
диаграмм, изображенных на рис. 17.2. Рядом с диаграм-	х.

мами символически указано подынтегральное выражение
элемента матрицы S(2) (без знака нормального произве-

дения). Линии, соединяющие различные множителиА, Рис. 17.1.
ф, ф, служат для обозначения связей между операторами.

Рассмотрим подробнее диаграммы 2 и 3 рис. 17.2. Первой из этих
z" "

диаграмм соответствует одно нормальное произведение ИСфАфМфкф)

а второй диаграмме — два нормальных произведения Щ(фАф)(фАф)), и
Н((ф‘Аф)(фАф)}* Оба последних TV-произведения, отличающихся местом на-
ложения одной связи между электронными операторами, после интегриро-
вания до d4Xt и d4x2 вносят, как легко убедиться, одинаковый вклад
в элемент матрицы S<2>, соответствующий диаграмме 3. Поэтому достаточно
рассматривать только одно из этих нормальных произведений и вносимый
им вклад в элемент матрицы S(2) умножить на 2.

Аналогичная ситуация имеет место и для других диаграмм. Каждой
из них может соответствовать несколько нормальных произведений, отли-
чающихся только местами наложения связей между операторами полей
и вносящих одинаковый вклад в элемент матрицы рассеяния. Они называют-
ся эквивалентными нормальными произведениями.

Перейдем к перечислению диаграмм третьего порядка. Легко убедиться,
что всего существует 15 топологически различных диаграмм, соответствую-
щих различным эффектам третьего порядка (рис. 17.3).

Например, диаграмме 8 рис. 17.3 соответствует шесть эквивалентных
Af-произведений:

i) n ((фКфмфКф^нР)) ,

'5)н[(Фь^кф)(ФкФ)],

4) N

в) и((ФкФ)(Ф^Ф)(ФкФ))

Учитывая, что в А/’-произведений можно менять местами электронные опе-
раторы, умножая при этом А/’-произведение на четность произведенной пере-
становки и используя выражения (16.5.5) для связей, легко убедиться,
что все шесть А/’-произведений вносят одинаковый вклад в элемент матри-
цы S<3), соответствующий изображен-
ному на диаграмме 8 процессу рас-
сеяния.

Заметим, что число эквивалент-
ных А/’-произведений, соответствую-
щих данной диаграмме, можно опре-
делять следующим простым способом.
Нужно, перенумеровав вершины диа-
граммы числами 1, 2, . . ., п, опреде-
лить число перестановок этих чисел,
не меняющих вида диаграммы. Если
это число равно g (g = 2 для диаг-
мы 2 рис. 17.2 и g = 1 для диаг-
раммы 3 рис. 17.2), то число’ экви-
валентных А/’-произведений будет
п\
г = — .

g

Приведенные на рис. 17.2 диаг-
раммы изображают нормальные про-
изведения операторов полей в общем
виде и описывают одновременно ряд
процессов. Эти операторы представля-
ют собой суммы операторов испуска-
ния и поглощения частиц в различ-
ных состояниях; поэтому нормальное произведение, отвечающее какому-
либо конкретному физическому процессу, может быть представлено в виде
суммы нескольких слагаемых, которые содержат произведения операторов
испускания и поглощения частиц, участвующих в рассматриваемом про-
цессе. и отличаются друг от друга только порядком расположения one-
j) ,	,	(ФдФХФдФ)(ФдФ) д)  | (ФАФ)(Ф>ЛФ)(ФДФ) ю> jK  J)	^^^ДФ^ДФ)(ФДФ) /  11) '  -  (ФдФ^Ф)(ФдФ)	С  5> '^г—*-—	(ФдФ$дФ)(<МФ)	-С  I  6>	(Фд^дФ^дФ)	\  7)	-•	1»—  ч	(ФДФ)(ФДФ)(ФДФ)  15) К.  1	х х  1	(ФдФ)(Фд^Ф9  (фд^^^дф)  (фдф)(фдф)(фдф)  (ФдФ)(ФаФШФ)  (фдф)(фдф^дф)  (фдф)(фд(^дф)  \^^дф^дф^дф)  (ф^ф^ф^дф)  (фд^дф^дф)

Рис. 17.3.
раторов. Эти слагаемые можно изображать диаграммами, которые тополо-
гически эквивалентны и отличаются друг от друга только порядком
расположения электронных и фотонных линий.

Рассмотрим, например, излучение фотона электроном во внешнем
поле. Это — процесс второго порядка, и отвечающее ему нормальное про-
изведение в подынтегральном выражении S<2> имеет вид

Вместо А (х) мы должны подставить сюда

A(x)=A(e)(x) + Afe(x),

где А<е> — внешнее поле и Ak — оператор испускания фотона с 4-импуль-
сом k. Нормальное произведение разобьется на два члена:

Ф(х]<Ф(х^ (х2)Ф(х2))'*'А1(Ф(Х/)Аи{х<)Ф(х^$(Х2}/{е1гх2)Ф(Х2)},

которым соответствуют две диаграммы (рис. 17.4), отличающиеся друг от
друга только порядком расположения фотонных линий, изображающих
А(е) и А*.

Если в процессе участвуют п фотонов, то после разбиения нормального
произведения на слагаемые, содержащие операторы поглощения и испуска-
ния отдельных фотонов, мы получим п! членов, которым соответствуют диа-
граммы, отличающиеся друг от друга только порядком расположения
фотонных линий.

Аналогичным образом, если в процессе участвует несколько электро-
нов и позитронов, то нормальное произведение может быть представлено
в виде суммы членов, которые содержат одни и те же операторы испуска-
ния и поглощения электронов
и позитронов и отличаются толь-
ко порядком расположения этих
операторов, а соответствующие
этим членам диаграммы отли-
чаются друг от друга только по-
рядком расположения электрон-
ных линий.

Например, процессу рассея-
ния электрона электроном соот-
ветствуют две диаграммы (рис.
17.5); на этих диаграммах
электронов до и после рассеяния,

k и k' — 4-импульсы виртуальных фотонов, которыми обмениваются оба

р2 и р' р' обозначают 4-импульсы

электрона.

В отличие от процессов с участием нескольких фотонов, для которых
отдельным диаграммам соответствуют матричные элементы, имеющие один
и тот же знак, для процессов с участием нескольких электронов отдельным
диаграммам соответствуют матричные элементы, могущие иметь разные
знаки. Это связано с тем, что операторы испускания и поглощения электро-
нов и позитронов, находящихся в различных состояниях, в отличие от
коммутирующих операторов испускания и поглощения фотонов, не комму-
тируют между собой.
Например, двум диаграммам рис. 17.5 соответствуют матричные эле-
менты, имеющие разные знаки. Действительно, подынтегральное выражение

части матрицы S<2>, описываю-
щей рассеяние электрона элект- Рг
роном, равно

Подставляя сюда

Ф W =	(х) + а^фр' (х),

Ф (х) = аР1Ф₽1 (х) + аРафр2 (х),

Рис. 17.5.

где aj и аР —операторы испускания и поглощения электрона с 4-импуль-
сом р и фр (х) —волновая функция электронах 4-импульсом р, мы полу-
чим четыре отличных от нуля члена:

N (аР-аР аР-аР ) фр- (xj фр (xt) фр- (х2) фР (х2) +
1 а	4	1	Л	а	л

+ (аР-аР аР-аР).фР- (х2) фр (х2) фр- (хО фр (х2) +
А 3	1	11	1	А	а

+ N (ар-ар ар-ар) фр- (xj фр (х4) фр- (х2) фр (х2) +
14	4	11	4	А	1

+ N (аР-аР аР-аР ) фР- (xt) фр (х4) фр- (х2) фр (х2).
4	114	4	1	1	4

Первые два члена представляют собой два эквивалентных нормальных,
произведения, соответствующих первой диаграмме рис. 17.5, а вторые
два члена—два эквивалентных нормальных произведения, соответствую-
щих второй диаграмме.

Переставляя в третьем члене операторы а и а+, легко убедиться,
что

Л/ (а^ар2ар'аР1) =	N (aJ'aP]LaJ'ар2),

поэтому, как и утверждалось, матричные элементы, соответствующие обеим,
диаграммам, имеют разные знаки.

Этот результат может быть обобщен следующим образом. Пусть в про-
цессе участвует г электронов, импульсы которых до и после рассеяния
равны соответственно рь р2, • • • > Pz и р\, Р& • • •, pz, тогда процессу будут
соответствовать zl диаграммы, которые отличаются обозначениями элек-
тронных линий после рассеяния. Если на двух диаграммах электронные
линии после рассеяния (являющиеся продолжением электронных линий до»
рассеяния) обозначены соответственно через р', р', . . . и pjx, р}2, . . .,
то относительный знак матричных элементов, отвечающих обеим диаграм-
мам, будет определяться четностью перестановки

/1, 2, z\

Р=[ .	.

\/1> /2, • • • , lz/

Таким образом, матричный элемент, соответствующий какому-либо
физическому процессу, всегда можно после разбиения нормального
произведения представить в виде



(17.2.1)

где отдельные слагаемые отличаются друг от друга порядком распо-
ложения операторов поглощения и испускания частиц, участвующих
в процессе; диаграммы, изображающие эти слагаемые, топологически экви-
валентны и отличаются только порядком расположения электронных
и фотонных линий.

17.3.	Импульсное представление. Чтобы найти величины удобно
перейти к импульсному пространству. Представим для этого связи между
операторами полей DC[kV (х) и Sca$ (х), а также 4-потенциал внешнего электро-
магнитного поля Лце) (х) в виде интегралов Фурье

DC[iv (х) —	(&)	?

(k) = z (^2_z0) ($^v +	£2~) ,

(-^) =	$ ScaB (p) e^cPp,

C /„x	:

Oca&(P) — l pz+mz_tQ ,

и подставим их вместе с выражениями для матричных элементов опера-
торов полей

<0ftA. | Аи (х) | lftX) = TpU е^х,

<	| Аи (х) 10W1) =

(Ода; (х) 11«) = —!=- и* (р) eip*,
1/28

<IPUI -ф (х) I Ори) = й* (р) e~ivx,

(Ода | (х) 11 £1) = -±=-иЦ—р) е*х,

|/2&

< 1PUIФ (х) | о&> = ~U^(~p) e~ipx

у 28

’в то из нормальных произведений под знаком интеграла для S(w), которое
соответствует Собирая множители ewxi, егкхз, eiqxj с определенным

(/= 1, 2, ..., п) и выполняя интегрирование по d4Xj ... d4xn, мы полу-
чим произведение п четырехмерных 6-функций б(2р), умноженное на
(2л)4п, где р служит для обозначения 4-векторов р, k, q (число слагаемых
под знаком 6-функции равно, очевидно, трем —по числу линий, проходя-
щих через каждую вершину диаграммы).

Очевидно, в импульсном представлении каждой линии диаграммы
будет соответствовать некоторый четырехмерный вектор р. Но функции
^Dcltv (Xj — Xi)f Sca$ (Xj — xz), связанные с внутренними линиями диаграм-
мы, зависят от разности координат х,, Xi концов линии; поэтому в двух
5-функциях, возникающих при интегрировании по d^Xj и d4xz, 4-вектор р,
связанный с линией XjXi, будет входить с разными знаками. Это дает воз-
можность интерпретировать векторы р, соответствующие внутренним линиям
диаграммы, как четырехмерные импульсы виртуальных «частиц», «испускае-
мых» в одном конце и «поглощаемых» в другом конце внутренних линий.
При этом, очевидно, между временной и пространственной составляющими
четырехмерного импульса виртуальной частицы не существует никакой
связи, р2 — т2 0, k? Ф 0.

Что касается внешних линий диаграммы, то им соответствуют, оче-
видно, четырехмерные импульсы реальных частиц, участвующих в про-
цессе.

Чтобы получить окончательное выражение для	необходимо

расположить матрицы, действующие на спинорные индексы, в определен-
ном порядке, произвести интегрирова-
ние по импульсам виртуальных час-
тиц и переменным q (происходящим
от разложения внешних потенциалов
в интеграл Фурье) и просуммировать
полученное выражение по поляриза-
циям виртуальных фотонов.

Выясним прежде всего, в каком
порядке должны быть расположены
спинорные матрицы. Рассмотрим для
этого пример — процесс рассеяния
электрона во внешнем поле, изо-
браженный на рис. 17.6. Соответствующее этому процессу нормаль-
ное произведение (под знаком интеграла в выражении для S(3))
равно

Переставив местами фх и фр, а затем фх и Фа, что не изменяет знака В,
и используя (16 5.5), перепишем В в виде

В — N (ф^ (х2)	(х2— ^з)	(^з)	(-^3 -^1) Фв (*1)) X

X Dcv.v (х, — х2) = N (ф (х2) YvSc (х2 — х3) А(е) (х3) Sc (х3 — х^ фцф (х,)) X

X Dcp,V (^1	^2)

(перестановка операторов фа и ф^ приводит к дополнительному умножению
на —1). Это выражение показывает, что внутренней фотонной линии соот-
ветствует функция DCViv и две матрицы и Yg, которые должны быть сопо-
ставлены ее концам (вершинам х2 и %i). При этом матрицы, действующие
на спинорные индексы, т. е. матрицы Yu и Sc, должны быть расположены
в такой последовательности, считая слева направо, в которой они встре-
чаются, если двигаться против направления электронной линии (см.
рис. 17.6).

Выяснив, как должны быть расположены спинорные матрицы, мы
можем теперь написать следующее общее выражение для ЗЛ^у в виде
16 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
интеграла в импульсном пространстве:

= Sp (-1 )п+г | (2n)4(n-F) еп $ d^Pi ... й*рРе J dM^ ... d^ J d^ ...

-^2Й^)»(П(^7ух

-ГТ / u (Pf) и (—Pf) ef A TT / №(q) \ TT / ip—m A

П I V2i+ 1/2^ V2^f / И V (2Я)4 f И V p2 + OT2 ) X

хП(ь'тМв>»+‘г'^Ы)' <17-3J>

Здесь интегрирование производится по четырехмерным импульсам вир-
туальных частиц, т. е. по 4Fe переменным рь р2, • • , Рге, происходящим
от множителей типа Sc (р), и 4F? переменным kif k2, • . kF , происходя-
щим от множителей типа Dc (k), а также по 4s переменным qif q2, . . , qs,
происходящим от разложения внешних потенциалов в интеграл Фурье
(Fe и — числа внутренних электронных и фотонных линий, т. е. числа
виртуальных электронов и фотонов, F = Fe + s — число вершин,
в которых действуют внешние потенциалы), I — число замкнутых электрон-
ных петель с четным числом электронных линий, 6Р — четность перестанов-
ки электронных операторов (см. ниже), |	.

Кроме интегрирования, в этой формуле производится суммирование
по четырем значениям индексов v, обозначающим различные поляризации
виртуальных фотонов, причем каждому виртуальному фотону соответствует
свой индекс v, принимающий значения v = 1, 2, 3, 4.

Отдельные множители в формуле имеют следующее значение.

Пи (Р?) и ( Рг) вг-	„

— — =---------+=- представляет собой произведение

~у V V

биспиноров и (р)/рГ2е,	р)1У 2г и величин е/]/*2(о, описывающих элек-

троны, позитроны и фотоны в начальном состоянии г, произведение
Пи (Ру) и( Ру) gy

—/=—/=--------~7== обозначает аналогичное произведение для конеч-

|/ 2£у у Z&f у zXHj

ного состояния /. Множители i и	+ —^-) происхо-

дят от связей электронных и фотонных операторов, причем число первых
равно Fe, а вторых равно Fv. Наконец, символ О служит для обозначения
определенного порядка в расположении спинорных матриц, а именно,
матрицы и Зс, действующие на спинорные индексы, должны быть рас-
положены. считая справа налево, в такой последовательности, в какой они
встречаются, если двигаться по направлению электронной линии диаграммы.

Специфическая особенность возникает в том случае, если диаграмма
содержит замкнутые электронные петли с четным числом электронных линий
(при нечетном числе электронных линий матричный элемент, как будет
показано далее, в § 17.4, равен нулю). В этом случае каждой электронной
петле соответствует в выражении взятый со знаком минус след про-
изведения матриц и Sc, относящихся к петле.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим часть диаграммы, содержащую
замкнутую электронную петлю, изображенную на рис. 17.7 (квадратики А
и В обозначают произвольные сколь угодно сложные диаграммы, вид кото-
рых не существен.) Множитель, связанный с этой петлей, в общем выраже-
нии для нормального произведения, соответствующего рис. 17.7, име-
ет следующий вид: B = N (ф“ (xi) (уи)ар (*i) (хг) (ь-)бр ‘Фр (%г))‘
Используя выражения для связей операторов, получим

В = —(^1—%2) (Yv^pScpa (х2— *1) =—$Р (Тм-^с (-^1 -^2) Yv^c (-^2 *1))>

что и утверждалось выше.

Если диаграмма содержит I замкнутых электронных петель с четным

числом линий, то ЗЛЗД приобретает множитель (—I)2, который входит
в (17.3.1) наряду с множителем (—1)П6Р, где 6Р определяет относитель-

ный знак в том случае, если в
Как было разъяснено выше, 6Р
представляет собой четность
перестановки индексов элект-
ронов,

/1 2 ...\
Р= . .

V1 12	• • • /

процессе участвует несколько электронов.

Рис. 17.7.

где числа 1, 2, ... нумеруют на диаграмме импульсы электронов до рас-
сеяния, а числа ii9 i2, ...—после рассеяния.

В качестве примера применения общей формулы (17.3.1) приведем
выражение для матричного элемента, соответствующего диаграмме рис. 17.6:

= Z3e3u2 ( § Tv

z (р2— k)— т	(a) i (pi — k) — tn	d*k \

(Pz-ky+rrfi (2л)* (Pi-fe)2 + m2 Vv ~№~J Ul

(17.3.2)

Здесь Щ и u2 — биспинорные амплитуды электрона с импульсами pi и р2
до и после рассеяния, q = р2 — рг. Входящие в общее выражение для
три четырехмерные 6-функции мы устранили интегрированием по q и по
импульсам виртуальных электронов, заменив q на р2 — pi и импульсы вну-
тренних электронных линий — на pt — k и р2 — k. По этой причине инте-
грирование в (17.3.2) производится только по четырехмерному импульсу
виртуального фотона кроме того, в (17.3.2) производится суммирование
по четырем значениям индекса v, что соответствует суммированию по четы-
рем состояниям поляризации виртуального фотона. Произвольная величина
di взята равной нулю.

17.4.	Теорема Фарри. Покажем теперь, что диаграммам, содержащим
замкнутые внутренние электронные петли, состоящие из нечетного числа

элементов, соответствующих этим

отрезков, соответствует суммар-
ный матричный элемент, равный
нулю (теорема Фарри) [9].

Если некоторая диаграм-
ма Gi содержит внутреннюю замк-
нутую электронную петлю /
(рис. 17.8), то наряду с этой ди-
аграммой нужно, очевидно, рас-
сматривать также другую диаг-
рамму G2, отличающуюся от пер-
3 вой только направлением обхода
замкнутой электронной петли
(петля II). Сумма матричных
диаграммам, и 3fto2, определяет
суммарный матричный элемент процесса

Согласно (17.3.1) петлям I и II соответствуют следующие части в мат-
ричных элементах %ftG1 и ffltG2:

Bi = $ Sp (y^Sc (p + kj Yn3Sc (p + ki + k£) .. . Sc (p — kN) TnAISe (p)) d4p,

Bn = § Sp (Sc (pz) y^Sc (pz 4- kN)... Se(p' — k2 — kJ YjxjSc (pz — k^ уш) d4pz,
входящие в ЭЛох и ЭЛс2 в виде сомножителей (N — число вершин в петле).

Замечая, что

SpY = SpC"1YC,

где Y и С — произвольные матрицы, представим Вп в виде

Bn = J Sp (C-4Sc (Pz) ССЛ^СС-^е (Pz + kN) с ...

•.. C-^e (Pz - ki) CC-^mC) d4pz.

Выберем теперь в качестве С матрицу зарядового сопряжения
(см. § 8.6). Тогда

С 1?р.С = Yji,
и, следовательно,

C-1Sc(p)C = Scr(-p).

Используя эти соотношения, получим

Вп = (-1)”^ Sp^(-p')y^Sl(-p'~kN)...Sl(-p'^ki)^1)dip'.

Сделав, далее, замену переменной р' =—р и замечая, что для любой
матрицы X справедливо соотношение Sp X = Sp Хт, найдем окончательно

Вц ~ (— 1 )N (YiaiSc (р + &i)	(р + ki + k2) •..

... Sc (р — kN)	(р)) d4p = (— 1 )NBi.

Так как суммарный матричный элемент ЯЛ содержит в виде сомножителя
сумму выражений Вт и Вц, то из последней формулы следует, что при нечет-
HOxM N матричный элемент ЭЛ обращается в нуль

Таким образом, диаграммы, содержащие замкнутые петли, которые
состоят из нечетного числа электронных линий, можно вовсе не рассма-
тривать.

Заметим, что теорема Фарри является следствием закона сохранения
зарядовой четности (см. § 19.3). Действительно, замкнутой электронной
петле с N вершинами, т. е. с N подходящими к ней фотонными линиями,
соответствует нейтральная система из реальных и виртуальных фотонов,
общее число которых равно N. Так как четность фотона равна —1, то нечет-
ное N означает разную зарядовую четность начального и конечного состоя-
ний системы, что невозможно

17.5.	Правила Фейнмана. Сформулируем теперь окончательно общие
правила написания матричного элемента, соответствующего любой диа-
грамме {правила Фейнмана [8]).

1)	Каждой внешней электронной линии соответствует биспинор одного
и11 (р) и* (р)	(— р)	(— р)	I. / \ ~|| / \

из типов —, —~~ , —-;_______________- , причем (р) и и& (р) соответ-

1/28	4/28	1/28	1/28 r	47 V 7
ствуют поглощению и испусканию электронов с импульсом р и поляриза-
цией р,, а им'( — р) и иР ( — р) — поглощению и испусканию, позитрона
с импульсом р и поляризацией р.

2)	Каждой внешней фотонной линии, изображающей фотон, соответ-

е

ствует матрица —-= , где со — частота
У2со

ризации фотона.

Каждой внешней фотонной линии,

и — единичный 4-вектор поля-
изображающей внешнее электро-

магнитное поле, соответствует матрица

№ (q}
(2л)4 *

3)	Каждой внутренней электронной линии
. ip — т

ствует матрица t -%+т2 

4)	Каждой внутренней фотонной линии
11/	\

ветствует множитель — -гй- ( 6p,v + di (k2) -- I ,
t /v у	/

с импульсом р соответ-

с импульсом k соот-
а ее концам — матри-

цы Уу, и yv.

5)	Каждой вершине графика соответствует 6-функция, содержащая
импульсы всех линий, сходящихся в эту вершину, причем импуль-
сы на обоих концах внутренней линии берутся с противоположными

знаками.

6)	Все матрицы, действующие на спинорные индексы, располагаются
справа налево в такой последовательности, в которой они встречаются,
если двигаться по направлению электронной линии.

7)	Если диаграмма содержит замкнутую электронную петлю с четным
числом электронных линий, то в входит в качестве сомножителя
взятый с обратным знаком след произведения матриц i и Тн’ отно-
сящихся к отдельным линиям петли и ее вершинам.

Матричные элементы диаграмм, содержащих замкнутые электронные
петли с нечетным числом электронных линий, равны нулю.

8)	Численный множитель, стоящий в перед произведением би-

спиноров	и матриц —£=•, уи, Sc, равен (— l)n+^6P (2ji)4<n“F>, где

”|/2£	~|/2со

У7 —общее число внутренних линий, Z — число электронных петель с четным
числом электронных линий, 6Р — четность перестановки индексов импуль-
/1, 2, ...\

сов электронов I . . I (1, 2, ... нумеруют начальные, а /19 /2, • • • —

\/1, /2, • • • /

конечные импульсы электронов), | (г — число эквивалентных нор-
мальных произведений, соответствующих рассматриваемой диаг-
рамме).

9)	По четырехмерным импульсам внутренних линий, изображающих
виртуальные частицы, и по переменным q, связанным с внешними потенциа-
лами, производятся интегрирование, а по четырехмерным поляризациям
виртуальных фотонов — суммирование.

Рассмотрим в качестве примера рассеяние фотона электроном во втором
приближении теории возмущений. Этому процессу (подробно он будет
изучен в § 26) соответствуют две диаграммы, изображенные на рис. 17.9
и отличающиеся друг от друга только последовательностью действия
фотонных операторов.
Элемент матрицы S<2), соответствующий процессу рассеяния фотона
электроном, может быть сразу написан на основании правил Фейнмана

— 1Р* /9^4	“2	(	1	_£1___L

~	[ } 1/2^11/2^ (Pl + fei)a + «2 Т/2^^

, et i + — m е2 \
'	(Pi + ^2)2 + m2i "|/2ф2 '

$ (Рг — Pi + ^2	&1),

V2ej

где Pi и А! —4-импульсы электрона фотона до рассеяния, р2 и k2 — ана-
логичные величины после рассеяния, ei и е2 — единичные 4-векторы поля-
ризации фотонов и, на-

к2 ।	\к,

[

,$у X

йг=й(р2) иги(р)

*,|	\к2

Pl~/<2

с>У

конец, и1 = и(р1), и2 =
= й(Рг)-

Топологически та-
кие же диаграммы соот-
ветствуют двухфотонной
аннигиляции электрон-
но-позитронной пары

Рис.

этому процессу, равен,

(рис. 17.10).

17-9-	Элемент матрицы

S(2\	соответствующий

согласно правилам Фейнмана,

<lfellfe21 S(2> 11р+1р-> =

= ip2	U% ( 62 г (^1	^1) т е1

V ' V2F Vl/2^ (Pi-^i)2 + m2 ^2^

(Р2”~Р1 + ^1 + ^2)»
у28+

। ?i i(pt — k2) — m е2 \
1	(Pi —^2)2 + ^2 У2со^/

Рис. 17.10.

где pi == р+ — 4-импульс электрона и — р2 = р — 4-импульс позитрона
(подробно двухфотонная аннигиляция пары будет изучена в § 30).

§ 18. Вероятность и эффективное сечение

18.1.	Амплитуда рассеяния и вероятность. В отсутствие взаимодей-
ствия, когда состояния частиц не меняются, матрица рассеяния S совпадает,
очевидно, с единичной матрицей I. Поэтому удобно положить

S = I + iT	(18.1.1)

и связывать вероятности различных процессов с элементами матрицы Т;
где inf служат для обозначения начального и конечного состояний системы
взаимодействующих полей (фазовый множитель перед Т может быть выбран
произвольно; сделанный в (18.1.1) выбор соответствует выбору фазового
множителя в матричных элементах в нерелятивистской квантовомеханиче-
ской теории рассеяния).

Если в процессе участвуют только свободные частицы, то из матричного
элемента (/ | Т | О можно выделить 6-функцию, содержащую разности
4-импульсов частиц в начальном (pi) и конечном (pf) состояниях,

<Л т 11} = (2л)4 (Spi-% Pf)

(величину Mi~+f называют амплитудой рассеяния для соответствующего
процесса). Поэтому вероятность процесса P^f будет пропорциональна
квадрату 6 (2 Pi — 3 Pf)- Заменив одну из этих 6-функций интегралом

б(<7)=-(2^ § dixelqx, q=^ipl-'21pf,

мы будем считать область интегрирования в нем ограниченной, т. е. заменим
6-функцию на V А//(2л)4, где А/ — интервал интегрирования по времени
и У — пространственный объем интегрирования.

Таким образом, вероятность процесса i f пропорциональна време-
ни А/, и мы можем поэтому ввести вероятность, отнесенную к единице
времени,

]^/ = 2^ = (2л)4|Л4г^|2б(2 a-S Pf) (18.1.2)

(объем V, т. е. объем, на который нормированы волновые функции частиц,
считаем для простоты равным единице).

Так как в рассматриваемом процессе начальное и конечное состояния
частиц относятся к непрерывному спектру, то практический интерес пред-
ставляет знание вероятности того, что трехмерные импульсы частиц pf
в конечном состоянии находятся в заданных интервалах d3p/. Чтобы найти
эту вероятность, которую мы обозначим через dw^f, нужно умножить

на I - 7 , где  -3- — число состоянии частицы с определенной
J L J	I £ J V J

поляризацией, для которой импульс pf лежит в интервале d3pf (напомним,
что нормировочный объем равен единице):

dw^f = (2л)4 ] Р 6 (2 А-2р/)Ц-^-	(18.1.3)

Выполнив интегрирование по одному из импульсов pf, мы устраним
в dwi~+f три пространственные 6-функции:

=	е/) IT

(18.1.4)

где штрих над произведением означает, что из него исключен один из

d3pf
множителей /(Л-Хл-;

(2л)3 ’

8г и 8/ представляют собой энергии частиц в

началь-

ном и конечном состояниях.

Чтобы устранить 6-функцию от энергии, представим какой-либо из мно-
жителей, входящих в произведение П', в виде

d3Pf
(2л)3

I P f I е) , , ,
-J-ds/ do,
(2л)3	7	’
где do —элемент телесного угла, в котором лежит вектор p'f. Выполнив
интегрирование по dsy, получим

dw^r-=2«\M^f\^d0 fl"	(18.1.5)

где

Р ~	(2л)3^ $ ( 3 &i ~ S е0 ds,f’

d^p't
и П" обозначает произведение IT, но без одного из множителей -,9	.

Если в процессе участвуют частицы, находящиеся в постоянном
внешнем поле, то импульс не сохраняется, а сохраняется только энергия.
В этом случае из </1Т10 можно выделить только б-функцию, содержа-
щую энергии частиц:

<л Т I о = 2nMw6 (2 Si - 2 Sy).

Поступая так же, как и выше, найдем вероятность процесса i —>	отне-

сенную к единице времени:

• <18Л-6>

d3py

Наконец, умножив W^f на Ц , получим вероятность того, что
импульсы частиц pf лежат в интервалах d?pf.

=	П-W- (18.1.7>

Это выражение, в отличие от (18.1.4), содержит под знаком произведения
импульсы всех частиц в конечном состоянии.

18.2.	Суммирование по состояниям поляризации электронов и фотонов.
Во многих случаях нас не интересует определенное состояние поляризации
возникающих частиц (т. е. ориентации спинов электронов и направления
поляризации фотонов). В этих случаях вероятность dw^f должна быть
просуммирована по возможным состояниям поляризации частиц в конеч-
ном состоянии. Если, кроме того, в начальном состоянии частицы не поля-
ризованы, то вероятность dw^f должна быть еще усреднена по поляризациям
частиц в начальном состоянии.

Покажем, как производится суммирование и усреднение по поляриза-
циям частиц. Рассмотрим сначала тот случай, когда в начальном и в конеч-
ном состояниях имеется только один электрон. Амплитуда рассеяния
имеет тогда вид

где ui = u(pl) и Uf = и (р/) — спинорные амплитуды электрона в началь-
ном и конечном состоянияк и Q —некоторая матрица. Нас интересует вели-
чина у 2 |М->/|2 (гч и Цу —проекции спина электрона в начальном

*4’ Цу

и конечном состояниях), которая может быть найдена согласно (9.4.8):

IЙ/Qui р = 4Sp{Q(/n-(>8)Q(m-»>/)},	(18.2.1)

Иг, И/

где Q = у4<2+?4-
Аналогично, если в начальном и конечном состояниях имеется только
один позитрон, то

== ^zQ^/?

где == и (— рг) и vf = и (— pf) — спинорные амплитуды позитрона в началь-
ном и конечном состояниях (рг и р/— импульсы позитрона в этих состоя-
ниях). В этом случае, согласно (§ 9.4),

у 2	+	(18.2.2)

Наконец, если одно из состояний является электронным, а другое
позитронным, то, очевидно,

(ufQvf в случае образования пары,
А1г->/ — 4 _

\ViQui в случае аннигиляции пары
и соответствующие величины определяются формулами

у 2 jufQvfl2= — уSp{Q(m +— ip+)},

(18.2.3)

у 2 I^Q«J2= — ySp{Q(m — tp^Q(m + ip~)},

где p+ и p~ — 4-импульсы электрона и позитрона,

Аналогичным образом можно производить суммирование по поляриза-
ции и в более сложных случаях, когда в процессе участвует несколько
электронов и позитронов При этом нужно пользоваться приведенными
формулами, считая, что матрица Q содержит сама по себе спинорные ампли-
туды, и производить суммирование по относящимся к ним поляризациям
снова по формулам (18 2 1) — (18 2 3)

Покажем теперь, как производить суммирование и усреднение по
поляризациям фотонов Пусть, например, в конечном состоянии имеется
фотон с импульсом k и поляризацией % (% = 1, 2) Элемент матрицы рас-
сеяния, соответствующий переходу t -ф- Д можно в этом случае записать
в виде

(Ф/, S0) = (ct%0/, S<Dz),

где Фг, Фу —векторы начального и конечного состояний и Ф/ — вектор
состояния, не содержащий фотонов с импульсом k и поляризацией X.
Состояния Фг, Ф/ мы будем считать физическими, так что

(скз + ^Ск4) Фг = 0.

Вспоминая, что

(саз + ^Cfe4) S = S (саз -h *сь4),

легко заключить, что

(с£зФ/, 8Фг)= -ЦсыФ;, SO,).

Поэтому интересующая нас величина

2 |(ФЛ8Фг)|а= 2 I (с\Ф/, SK) |2

Х=1, 2	,2
может быть представлена в виде

2 1(Фл S<W= 5 I (сSO0|2-|(cW 8Фг)|2- (18.2.4)
Х=1,2	Л=1, 2, 3

Если в состояниях i и f имеется электрон, то величину М^, соот-
ветствующую элементу матрицы рассеяния (Ф/, 8Фг), можно представить
в виде

Мг^ = ufQe^Q'ul,

где иъ, —спинорные амплитуды электрона в начальном и конечном
состояниях, Q и Q' —некоторые матрицы и е^ = е^у^ — единичный
вектор поляризации фотона). Мы видим, таким образом, что

2	= 2 |uyQeWQ4|2- | uyQe(«Q412.

X=l, 2	%=1,2, 3

Но

= и&у^уДщ,

где Q = Y4Q+T4- Поэтому

4	_	________

2	|	|2 = - 2 (uyQeWQ'M;) (U[Q'e(MQU/).

X=l, 2	Z=1

Замечая, что

У е(Л)р(Х)-6

ZJ	-- U|4V?

Х=1

получим окончательно

2 I Л4г_>/ )2 = — (u/QyhQ'иг) (utQ'y^Quf).	(18.2.5)

Л=1, 2

Это важное соотношение показывает, что суммирование по двум попереч-
ным поляризациям фотона может быть заменено суммированием по четырем
поляризациям, включающим поляризации продольного и скалярного
фотонов.

Суммирование по четырем поляризациям производится с помощью
формул

= 4s,

У »ауц = — 2а,

(18.2.6)

У^Ьуу, = 4аЬ,

y^abcy[l = — 2cba,

где s —скаляр, а а, Ь, с —4-векторы и аЬ = а^Ь^.

Если выражение (18.2.5) должно быть просуммировано по ориентациям
спина электрона, то это может быть сделано с помощью формул (18.2.1),
(18.2.2), (18.2.3).

Соотношения, аналогичные (18.2.5), могут быть записаны, очевидно,
и для произвольного числа фотонов.

18.3.	Эффективное сечение. До сих пор мы характеризовали процесс
рассеяния его вероятностью. Вероятность является физической, реально
измеримой характеристикой процесса в том случае, когда начальное состоя-
ние является одночастцчным. Но легко видеть, что если сталкиваются две
свободные частицы, то эта величина будет обратно пропорциональна норми-
ровочному объему У, который может быть выбран произвольно. Чтобы полу-
чить величину, характеризующую процесс рассеяния и не зависящую от У,
нужно разделить дифференциальную вероятность рассеяния dw^f на плот-
ность потока сталкивающихся частиц /, которая также обратно пропорцио-
нальна V. Определенная таким образом величина называется дифферен-
циальным эффективным сечением рассеяния и обозначается через do:

dw- *

do = -^.	(18.3.1)

Дадим теперь определение величине плотности потока сталкивающих-
ся частиц. Естественное определение мы имеем в том случае, когда одна
из частиц (рассеиватель) до столкновения покоилась. В этом случае

/(0) = «,	^0)-0,

где п[0) и г40) — плотность и скорость движущихся частиц в системе покоя
рассеивателя (значок 0 служит для обозначения этой системы, а индекс 2 —
для обозначения величин, относящихся к рассеивателю). Поэтому в систе-
ме покоя рассеивателя дифференциальное эффективное сечение рассеяния
определяется как

В системе отсчета, в которой рассеиватель движется со скоростью v2,
отличной от нуля (система 1Q определение плотности потока /, вообще
говоря, неоднозначно. Мы можем лишь написать

/=^',

где v' — произвольная величина, переходящая при v2 = 0 в ^0).

Можно, однако, как мы сейчас покажем, определить v' таким обра-
зом, чтобы эффективное сечение рассеяния было релятивистским инва-
риантом.

Заметим с этой целью, что общее число процессов рассеяния в объеме V
за время А/ должно быть, очевидно, инвариантом, т. е.

dw&fn™ А/(0)У(0) = dwi^n2 А/ У,

где п2 —- плотность рассеивателей в системе К. Но А/(0)У(0) = А/ V и, сле-
довательно,

do^n^n^v^ = dojn2.

Подставляя сюда / = /1^', получим
do(0)n"» n^v{0) = don^v'.

Учтем теперь, что величины (n^, in^ и (n2tf2, ш2) образуют 4-векторы.
Поэтому

П1П2 (1 — гг^2) =	,

и написанное соотношение приобретает вид
do(0)^0) (1	= dov'.

Мы видим, таким образом, что если положить
v' = V™ (1 — ^1^2),
т. е. определить / как

/ = П1^0)(1 — щ^2),	(18.3.2)

то эффективное сечение рассеяния будет инвариантом

da = da(0).

Этим определением мы и будем в дальнейшем пользоваться.

Если скорости и <и2 коллинеарны, то

^(0) __ Vj ^2

1	1 — VtV2

и' = |^ — |, / = ^1^ —tf2|.

В том случае, если падающей частицей является фотон, — 1 и
v' = 1 — V2 COS ft,	j = tli (1 — v2 cos ft),

где ft —угол между векторами Vi и <o2.

Легко видеть, что

7.(0) __ — У(Р1Р2)2—

1	Р1Р2

где р2 — 4-векторы импульсов сталкивающихся частиц и т15 т2 — их
массы. Отсюда следует:

=	(Р1Р2)2 — mfm*,	(18.3.3)

где Si и 82 — энергии сталкивающихся частиц.

Заметим, что эта формула применима также и в том случае, когда
сталкивающимися частицами являются два фотона.

Используя эту формулу и определения (18.3.1) и (18.1.3), получим
следующее общее выражение для дифференциального эффективного сече-
ния процесса рассеяния

da = (2n)4|M->/|26 (pi + Рг — 2 Pf)	II (2л)3 ’ (18-3-4)

где индексы 1, 2 относятся к частицам в начальном состоянии и индекс
f — к частицам в конечном состоянии (при вычислении считается,
что V = 1).

Выражение для do можно переписать так, чтобы оно содержало
только инвариантные величины. Выделим с этой щелью из те мно-
жители, которые не инвариантны. Эти множители происходят от матрич-
ных элементов операторов полей и имеют, согласно (16.3.2), (16.3.5),
вид —.1_, где Sk — энергия фотона или электрона (позитрона). Если поэтому

V28fe
записать в виде

__1
1/2^ ’

(18.3.5)

где произведение распространяется на все частицы как в начальном, так
и в конечном состояниях, то величина Лг->/ будет релятивистским инва-
риантом.

Подставив это выражение в (18.3.4) и используя соотношение

^ = 2 р^6(рН^)0(8/),	(18.3.6)

of
где

6(8/) =

1,

О,

8/

8/

о,
о

(величина 0 (е^) является, очевидно,
лучим

релятивистским инвариантом), по-

с!о- = (2л)4|А->/|2

6 (pi+Pz-'ZiPf)

4 V (PiP2)2—

пС

f

(p) + m2f) 0 (ер)

(2л)3

) . (18.3.7)

Это и есть релятивистски инвариантная форма эффективного сечения
рассеяния.

18.4. Вероятность процессов рассеяния поляризованных частиц. Пока-
жем, как вычислять вероятности и сечения рассеяния частично поляризо-
ванных частиц. Начнем с рассмотрения электронов, причем будем сначала
предполагать, что в начальном и конечном состояниях имеется только один
электрон. В этом случае амплитуда рассеяния, так же как и в § 18.2, опре-
деляется формулой

и вероятность процесса пропорциональна

|	= (^/Q^z) (^zQ^/) ~ ^za^za'Qa'P'^/P'^/BQj3aj (18.4.1)

где Q =: Y4Q+?4 (a, Р обозначают спинорные индексы).

Если электрон в начальном состоянии характеризуется определенной
поляризацией, то эта формула является окончательной. Если же началь-
ное состояние является не полностью, а частично поляризованным, то
в формуле (18 4 1) следует произвести замену

^za^za' (Pz)aa'?

где рг — матрица плотности электрона в начальном состоянии, определяемая
формулой (9.4.8),

рг = у (т—»>)(/ +ty5Si)	(18.4.2)

и $г — 4-вектор поляризации электрона в начальном состоянии. Согласно
(9.4.10) он связан с вектором поляризации в системе покоя соотно-
шением

с । dipi) pi q ___________piii

1	пг (ег + т) ’ г0 т

(индекс i служит для обозначения величин в начальном состоянии).

Что касается определения поляризации электрона в конечном состо-
янии, то зде сьвозможны две постановки задачи, нахождение вероятности
того, что электрон в конечном состоянии будет обладать определенной
поляризацией, и нахождение поляризационного состояния образовавшейся
частицы, т. е. нахождение матрицы плотности электрона в конечном
состоянии.

Первая постановка задачи отвечает определенному типу измерения,
которое производится с помощью детектора, выделяющего определенное
поляризационное состояние. Если это состояние характеризуется векто-
ром £d, то для решения задачи нужно в (18.4.1) произвести замену
где pd —матрица плотности, характеризующая детектор и имеющая ту же
структуру, что и матрица рг,

Pd = у (m — ipf) (I + iV&Sd).

(18.4.3)

Здесь ру —4-импульс электрона в конечном состоянии и Sd — 4-вектор
поляризации, характеризующий детектор,

$d — %bd

 (SdPz) Pf

‘ m (sy + m) ’

SdQ

__ PfZd
m '

и удовлетворяющий условию sdpf = 0.

Таким образом, для нахождения вероятности того, что электрон в конеч-
ном состоянии будет обладать поляризацией нужно в формуле (18.1.3)
произвести замену

|Mw|2^Sp(pA>dQ).	(18.4.4)

Обратимся теперь ко второй постановке задачи — нахождению матри-
цы плотности электрона в конечном состоянии ру. Заметим с этой целью,
что вероятность того, что электрон, описываемый биспинором Uy, обладает
определенной поляризацией, которой соответствует биспинор ud, пропор-
циональна | UdUf |2 = UdaUdftUfaUfft. Поскольку мы имеем дело не с чистыми,
а со смешанными состояниями, соответствующими частичной поляризации,
то в этом выражении нужно произвести замену

(Pd)a|3,	UfaUffr —> (ру)а|3-

Поэтому интересующая нас вероятность будет пропорциональна Sp(pypd).
С другой стороны, эта вероятность, согласно (18.4.4), пропорциональна
Sp(p,C>PdQ), т. е.

Sp(p/Pd)~ Sp(p,QpdQ).	(18.4.5)

Это соотношение позволяет найти матрицу ру, так как она определяется
только 4-вектором поляризации Sy электрона в конечном состоянии,

Pf = у (« — i'pf) (j + iysSf),	Sfpf = 0.

Действительно, подставляя это выражение и аналогичное выражение для
pd в (18.4.5) и учитывая, что sdPf = 0, мы получим слева величину,
пропорциональную (/ + SyySdy,), а справа — величину, пропорциональ-
ную (/ + fepSdp,), где b — некоторый 4-вектор, зависящий от $г, рг
и ру. Так как sdpf = 0, то, не изменяя величины I + b^Sd», можно
выбрать b таким образом, чтобы bpf = 0. В этом случае, согласно (18.4.5),
4-вектор b будет совпадать с 4-вектором $у. Легко убедиться, что

s = 1 Sp{pzQ(m — Фу)гу57ц (т—фу) Q}	(18 4 6)

2m	Sp{PlQ(m-ipf)Q}

Отсюда можно найти матрицу плотности электрона в конечном состоянии

_{(т —фу) (m—Jpf)} .	(18.4.7)

f Sp{(m— ipp QpzQ}

Мы предполагали до сих пор, что начальное и конечное состояния
являются электронными. Аналогичным образом можно рассмотреть также
случаи, когда начальное и конечное состояния являются позитронными
либо одно из состояний является электронным, а другое позитронным.
В первом из этих случаев амплитуда рассеяния имеет вид

и вместо (18.4.4) мы получим формулу

|	|2 -> Sp (p^Qp^Q),	(18,4.8>

где pi_) — матрица плотности позитрона в начальном состоянии, опреде-
ляемая формулой (9.4.8),

pi-) = у (— т — ipi) (I + гу5$Г),

si — 4-вектор поляризации позитрона в начальном состоянии и рсГ} — анало-
гичная матрица, характеризующая свойства детектора.

Нетрудно видеть, что 4-вектор поляризации позитрона в конечном
состоянии определяется формулой

<-> = 1 Sp{(m + Zp/)Qpt)Q {m + ipf} iy^}	(18 4 9)

М 2m	Sp{(m + /pz) Qpt’Q}

а матрица плотности в конечном состоянии имеет вид

р<-) __ {(m-HPy) Qpi ^(/и-НР/)}	(18 4 10)

Sp{(m + zp/)Qp(r)Q}

Эти результаты легко обобщаются на случай многих электронов
и позитронов.

Перейдем теперь к рассмотрению процессов рассеяния, в которых
участвуют частично поляризованные фотоны. Пусть для простоты в началь-
ном и конечном состояниях имеется только по одному фотону. Тогда
амплитуда рассеяния будет иметь вид

= С zaQa|3^ УР?

где et и е/ — векторы поляризаций фотонов в начальном и конечном состоя-
ниях и Q — некоторая матрица. Для нахождения вероятности процесса
i -> f в случае частичной поляризации фотона в начальном состоянии
нужно, найдя | Mi~+f |2,

заменить	элементом (pf)aa' матрицы плотности фотона в началь-

ном состоянии,

(pf)aa'-

Напомним, что если пользоваться двумерными векторами поляризации
фотона, то матрица плотности р^ имеет, согласно (2.4.3), вид

рр = 1(1+|гт),

где т — матрицы Паули и — параметры Стокса фотона в начальном
состоянии.

При использовании 4-векторов поляризации матрицу плотности фотона
можно определить следующим образом. Введем два единичных 4-вектора
nff и п™, ортогональных друг к другу и к 4-вектору импульса фотона,
kn(l) = 0,
naW'>* = Sll' (Z = 1,
Тогда, очевидно,

еа	еае*> = (enW*)

и, следовательно, матрица плотности фотона рр может быть представ-
лена в виде

pSa' =-	= (еп<0«) (е^ ))	= 1(1 +	(18.4.11)

Легко убедиться, что

4 (l + W = P₽a,n«;).	(18.4.12)

Что касается определения поляризации фотона в конечном состоянии,
то так же, как и в случае электронов, здесь возможны две постановки задачи'
нахождение вероятности того, что фотон в конечном состоянии будет обла-
дать определенной поляризацией, и нахождение матрицы плотности фотона
в конечном состоянии

Первая постановка задачи связана с определенным типом измерения,
которое производится с помощью детектора, выделяющего определенное
поляризационное состояние Если это состояние характеризуется парамет-
рами Стокса то для решения задачи нужно лишь произвести в выраже-
нии для	замену

^/З'е*3 —> (р§)з'3»

где pg — матрица плотности, характеризующая детектор,

(Р^'З^1 +^Т)’п'’п(4’П'))з «5*)в

и ng")— два 4-вектора, удовлетворяющие условиям
n^kf = О,

n0n)n0n')* = 6mm, (т==1’ 2>-

Таким образом, искомая вероятность пропорциональна

Р(У = Sp(pfQ*p2QT) = Sp {1(1+^т) 7*1(1,	(18.4.13)

где

3' («Г)»-’

Для решения задачи в ее второй постановке следует исходить из того,
что если фотон в конечном состоянии характеризуется вектором поляри-
зации в/, то вероятность того, что с помощью детектора будет обнаружена
поляризация ed, определяется величиной | е}-е% |2 = ^a^*da^*/a ^da'- Производя
в этом выражении замены

^da'^da (р§)а'а»	(ру)аа'»

где рР—матрица плотности фотона в конечном состоянии,

(Р^)ЗЗ' = I (1 + М»™' (n<-))0 (n<m')*)ir,

—параметры Стокса фотона в конечном состоянии и	получим

Р (|d) ~ Sp (рРрР) ~ 1(1 +Ш.	(18.4.14)
Эта формула означает, что если сечение процесса, просуммированное
по состояниям поляризации фотона в конечном состоянии, равно о, то
сечение, соответствующее образованию фотона с данными параметрами
поляризации gd, будет равно

°d = y (1 +^Д<0-

Сравнивая выражения (18.4.13) и (18.4.14) для Р(Ва), можно найти
параметры Стокса для фотона в конечном состоянии

где

.	3Р{(1+§гт)д*т<?г}

f Зр{(1 + ?гт)<7*9т}	’

(18.4.15)

Легко видеть, что матрица плотности фотона в конечном состоянии
имеет вид

Р/ Sp (QTp?Q*) ’

(18.4.16)

Полученные результаты могут быть просто обобщены на тот случай,
когда в начальном и конечном состояниях имеется не один, а произвольное
число фотонов.

18.5. Использование обозначений, соответствующих псевдоевклидовой
метрике. Наряду с принятыми в этой книге обозначениями, соответствую-
щими евклидовой метрике 4-пространства (с мнимой четвертой компонен-
той 4-векторов), часто используются также обозначения, соответствующие
псевдоевклидовой метрике с вещественной четвертой компонентой 4-век-
торов [8] При этом скалярное произведение двух 4-векторов а и b опреде-
ляется не как

4

ab= 2	= ab + а464,

а как

ab = a$bQ — ab,
где

1

ао = ~

При таком определении скалярного произведения удобно вместо
матриц уц (р = 1, 2, 3, 4) применять другие матрицы, которые мы будем
обозначать через (|х = 0, 1, 2, 3) и которые связаны с матрицами у^,
соотношениями

y£ = V4 = P, =	=	1 = 1, 2, 3.	(18.5.1)

Ясно, что матрица у^ эрмитова, а матрицы у^(/=1, 2, 3) антиэрмитовы:
(^)+=т^ (7Р+=-тГ> 1 = 1, 2,3.



Матрицы

удовлетворяют, очевидно, соотношениям



О, p.=H=v,

1, |i = v = 0,
— 1, p, = v = l, 2, 3.

(18.5.2)

17 А И Ахиезер, В Б. Берестецкий
По аналогии с величиной

а ~ у а + ?4а4
теперь вводится величина

а^= yFa =	— yFa = —ta.	(18.5.3>

Используя (18.5.2), легко убедиться, что

yFyF = 4, ab + Ьа = 2а6,
yFayF = yFayF — yFayF = — 2а,
yFabyF—4ab,	(18.5.4>

yFabcyF = — 2с ba,
у Sp ab = ab,
~ Sp abcd = ab• cdad-cb — ac-bd.
Уравнения Дирака в новых обозначениях имеют вид
(р — еА — пг) ф = О,
_ . " -	(18.5.5>

гр (р + еЛ + т) = 0,
где

Легко видеть, что матрица зарядового сопряжения С связана с матри-
цами yF такими же соотношениями, как и с матрицами уц

CY^=-(YPrC.

Прежний вид имеют определение оператора плсгности тока

]ц = ^[ф,	Н = °» 1, 2, 3,

а также определения других билинейных форм; в них нужно лишь заме-
нить Yu на y£ и Ys на

Для получения формул суммирования по поляризациям в новых обозна-
чениях нужно в формулах (18.2.1), (18.2.2) и (18 2.3) произвести замену

«3= ~ А

Например, формула (18.2,1) приобретает теперь вид

у 2 |H/Q«d2 = ysP{Q(m + A)Q(m + P/)}>
иг.

где Q = YfQ+Y?-

Матрица плотности электрона, определяемая формулой (18.4.2), в новых
обозначениях имеет вид

рг =-у (« + А) (^ — Yfs,)
Наконец, чтобы переписать элементы S-матрицы в новых обозначе-
ниях, нужно в прежних формулах произвести замены

e = te, p = ip,

В частности, функции Dc (k) и Sc (р) определяются теперь формулами
.	;	р + т

§19. Свойства симметрии электромагнитного
взаимодействия

19.1.	Релятивистская инвариантность уравнений квантовой электро-
динамики. Электромагнитное взаимодействие обладает рядом свойств сим-
метрии, которые проявляются в инвариантности уравнений квантовой элек-
тродинамики относительно соответствующих преобразований координат
и операторов полей. Именно, уравнения квантовой электродинамики инва-
риантны по отношению к собственным преобразованиям Лоренца, преобра-
зованиям отражения пространственных координат и обращения времени,
преобразованию зарядового сопряжения и калибровочным преобразованиям.

Разъясним прежде всего релятивистскую инвариантность уравнений
квантовой электродинамики.

Что касается уравнений движения квантовой электродинамики (15.1.1),
то их релятивистская инвариантность, а также инвариантность по отноше-
нию к преобразованию пространственного отражения непосредственно
следует из того, что операторы полей ф (х), ф (х) и Ац, (х) преобразуются
как функции координат и времени так же, как и соответствующие некван-
тованные величины; сами же уравнения движения квантовой электродина-
мики в гейзенберговском представлении не отличаются формально от клас-
сических уравнений Максвелла и Дирака, которые Инвариантны по отно-
шению к рассматриваемым преобразованиям. Добавочное условие (15.1.5)
также имеет инвариантный вид. Поэтому нам остается рассмотреть пере-
становочные соотношения между операторами полей.

Форма (15 1 3) этих соотношений не является инвариантной, так как
в них операторы полей берутся в один и тот же момент времени. Но пере-
становочным соотношениям может быть придана релятивистски инвариант-
ная форма. Заметим с этой целью, что сформулированные нами перестано-
вочные соотношения являются по существу выражением кинематической
независимости переменных поля в различных точках пространства в задан-
ный момент времени. С другой стороны, ясно, что это свойство полей долж-
но иметь место не только в различных точках пространства в один и тот же
момент времени, но и в более общем случае мировых точек, не связанных
световым сигналом, т. е. точек хи (г, it), х^ (г', it'), для которых

(^ - О2 - (Г - г'У - (/ - Г)2 > 0.

Отсюда следует, что те из перестановочных соотношений, которые выражают
обращение в нуль коммутаторов или антикоммутаторов полей в один и тот же
момент времени, могут быть переформулированы в следующем общем виде:

[Аи(х), Av (0 = 0,

{Фа (X), Ч|)В (х')} = [Фа (X), Фб(х')} = 0,	(19.1.1)

[Ац(х), фа(х,)] = [Ац(х), Фв(х')] = 0, (х —х')2>0.
Эти соотношения являются релятивистски инвариантными.

Рассмотрим, наконец, перестановочные соотношения, содержащие
6-функцию. Интегрируя их по произвольному трехмерному объему V,
содержащему точку х,в получим

§ [Ац(г, /),-^-Av(r', О] d3x' =

V

§ {Фа(Г, t), (ф(г', t) у4)В) d3x' = баВ.

V

Но эти соотношения можно переписать в релятивистски инвариантной
форме:

(х), Av (х	do'x = 6цф»

(19.1.2)

§ {Фа (х), (ф (%') ух)в} da'K = -Ь 6аВ,
О

где du% — четырехмерный вектор элемента гиперповерхности

d(j£ = (dx* dx'3 dtf, dx[ dx3 dt\ dx[ dx'^dt', dx' dx2 dx'^ ,

и интегрирование совершается по произвольной части пространственно-
подобной гиперповерхности о, включающей точку х.

Таким образом, в квантовой электродинамике как сами уравнения
движения, так и перестановочные соотношения между операторами полей
релятивистски инвариантны.

Ясно, что это доказательство является одновременно доказательством
инвариантности уравнений квантовой электродинамики относительно пре-
образования отражения пространственных координат.

Релятивистская инвариантность уравнений квантовой электродинамики
означает, что операторы полей фа (х), Ац (х) и ф'а (х), А'и (х) в разных систе-
мах отсчета, удовлетворяющие одинаковым уравнениям движения и оди-
наковым перестановочным соотношениям, должны быть связаны между
собой каноническим преобразованием

Ч'(*) = иф(х)и-\

Ац(х) = иАДх)и-1,	U ’

где (J —некоторый унитарный ^оператор в пространстве чисел частиц,
аии+=д

не зависящий от х, но зависящий от вида преобразования, связывающего
рассматриваемые /системы отсчета.

Мы будем рассматривать одновременно как преобразования смещения,
так и преобразования вращения четырехмерного пространства, которым
соответствуют неоднородные преобразования Лоренца (группу этих пре-
образований называют также группой Пуанкаре)

Ху, > Хц = а^уХу -|-	(19.1.4)

В этом случае оператор U будет функцией от a^v и

U — U (^HV? ^}1) •
Если преобразование хи —>х^ является бесконечно малым, т. е.

где = — 8VIX, I Sgv | с 1, |	| < 1, ТО оператор U с точностью до квад^

ратичных по 8^ и членов может быть представлен в виде

U = /-/F,	(19.1.5)

где F —эрмитов оператор,

F+-F,

линейный относительно бесконечно малых величин 8ИУ и 8И:

Р =	+	(19.1.6)

Входящие сюда величины Ри и Mp,v представляют собой 4-вектор энергии-
импульса и 4-тензор моментов квантованных электронно-позитронного
и электромагнитного полей. Мы убедимся в этом несколько позже, пока
же заметим, что соотношение (19.1 6), определяющее бесконечно малое кано-
ническое преобразование U (оператор F называется генератором этого
преобразования), может по сути дела рассматриваться как наиболее общее
определение 4-вектора энергии импульса и 4-тензора моментов для любой
квантовомеханической системы.

При бесконечно малом преобразовании Лоренца соотношения (19.1.3)
с учетом (19 1.5) принимают вид

ta (х) —	(х) — 6фа (х) = — I [F, фа (*)],

АН*)-АДх) = 6Ац(х)=-1[Р, АДх)].

Отсюда могут быть получены важные соотношения для операторов полей,
если заметить, что эти операторы должны преобразовываться согласно
законам

ф;(х') = 5аефе(х),

Ah(^') = %vAv(x),	(	1 }

где Sae— матрица, определяющая преобразование биспинора ф (х) при
лоренцевом преобразовании х—> х' = ах. В случае бесконечно малого преоб-
разования

=	4“ 8у,уч	4“	/ар = (Урл YvlaB

эти формулы приобретают вид

Фа (х) фа (*) — 2" ^арФв W	J 8p/v

+ -4г^а W

Ах (х) — Кк (х) = -g- £(6у,хбур $глДхр) Ар (х) —

~	1x7 "“Xv 1^) Ах(*)]	+ Ах (х) 8у

Сравнение этих формул с формулами (19.1.7),	(19.1.6) при-

водит к следующим выражениям для коммутаторов операторов
полей с Ри и Mjxv:

*ДОа(х), PJ==-^^a (х),

ИАх(х), Ри] = 1|-Ах(х),
“	(19.1.9)

([%(*), M|xvl= {(хи-5^7—Yvlas} (х),

1 [ Ах (х), Mnvl = { ^Хц. ^xv Xv ) $Хр + (6gx6vp 6pp6vx) I Ар (х).

Первые два из этих соотношений совпадают с соотношениями (15.3.3),
в которых Ри представляет собой 4-вектор энергии-импульса полей. Поэто-
му, чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения о том, что
операторы Рц и Mp.v, входящие в выражение для генератора F, представляют
собой 4-вектор энергии-импульса и 4-тензор моментов взаимодействующих
полей, нам остается проверить, что коммутаторы операторов полей с 4-тен-
зором моментов, определяемым формулой (15.2.3), совпадают с двумя
последними выражениями (19.1.9).

Используя выведенное ранее соотношение (15.3.3')

(Ах (х), Тц4 (х')](=г = б (г- г') Ах (х)

и соотношение

Гл / \ аА1х(*') л / Z\ дАр(х')	-1	л / \Я U/ Л

|^Ax(x), Ар (х )	^M'(’^)j/=r — (Ар (-^) бцх Ац (л:) брх) 6(х х ),

а также определения (15.2.3), (15.2.6) тензоров М^,р и M^v, немедленно
получим последнее выражение (19.1.9).

Используя далее выведенные ранее соотношения (15.3.4) и (15.3.4'),
легко убедиться, что

i № (х),	] = (хц— XV -Д-) (х) +

(О (И, v= 1, 2, 3),

(19.1.10)

(|ы = 1, 2, 3; v = 4),

у уиуДО (х)

где

= - i J М<°> 4 d3x,	м№, р = x/Tvp - XvThp-

Замечая, наконец, что

i ДО (х),	1 = у Ь {?4, [?ц, ?v]} W =

Tvlt (х)	(и, V= 1, 2, 3),

L 0	(ц= 1, 2, 3, v = 4),

где

М$= -i J M^,4d3x, М^.р = 4^{?р, [ур, Yv]}ip,

и складывая (19.1.10) и (19.1.11), получим третью формулу (19.1.9).

Таким образом, мы доказали тождественность определений 4-вектора
энергии-импульса и 4-тензора моментов, основывающихся на вариационном
принципе и на свойствах преобразований операторов полей.
В заключение этого раздела выведем еще перестановочные соотноше-
ния между операторами Ри и М^- Заметим с этой целью, что, с одной сто-
роны, операторы Ри и M^v должны преобразовываться при лоренцевых
преобразованиях согласно законам

Рд -- ^pivP

Mgv ~

(19.1.12)

с другой же стороны, так как условия коммутации между операторами
Ри, M^v должны быть одинаковыми во всех системах отсчета, то операторы
Рц, M[iv и Рр., Mp/v должны быть связаны между :обой каноническим пре-
образованием

P^U^U-1’	119 1 13)

Mgv^UMnvU-1,	(   )

где U—тот же унитарный оператор, который входит в (19.1.3). Для
бесконечно малого преобразования (19.1.4) мы получим отсюда

Рц-Р,г= -l[F, PJ,	(19 114)

М^-М^= -i[F, МИу],	u ;

где по-прежнему

F = е^Р р, -j- "2“ $p,vMp,v

Переписав формулы (19.1.12) для бесконечно малого преобразова-
ния и сравнив их с (19.1.14), получим искомые перестановочные соот-
ношения

[ Ррл Pv] = О,

Px] = 6vxPn-6^Pv,	(19.1.15)

* [Mpivj Mia] ~ 61vMp,a + 61p,Mav + ^crvMlp, + SapiMvl-

Эти соотношения являются самыми общими соотношениями между
операторами энергии-импульса и моментов любой квантовомеханической
системы, не связанными с конкретным их видом и конкретной структурой
лагранжиана системы.

19.2.	Инвариантность уравнений квантовой электродинамики относи-
тельно преобразования обращения времени. В предыдущем разделе мы
доказали инвариантность уравнений квантовой электродинамики относи-
тельно группы непрерывных преобразований Лоренца и преобразования
отражения пространственных координат Докажем теперь, что уравнения
квантовой электродинамики инвариантны также относительно преобразо-
вания обращения времени.

Заметим с этой целью, что операторы квантованных полей преобразуют-
ся при лоренцевых преобразованиях так же, как и соответствующие некван-
тованные величины С другой стороны, имеет место, как было показано
в § 8, инвариантность уравнений Дирака для одной частицы, движущейся
в классическом электромагнитном поле, и уравнений классического электро-
магнитного поля относительно преобразования обращения времени. Поэто-
му ясно, что если определить преобразование операторов ф (х) и Аи (х)
при обращении времени, t —t, таким же образом, как и преобразование
неквантованных величин ф (х),	(х), то преобразованные операторы будут

удовлетворять таким же уравнениям движения, как и исходные операторы
(х), Ар, (х) Инвариантными останутся также и перестановочные соотно-
шения между операторами полей.

Однако в теории квантованных полей можно определить еще одно
преобразование обращения времени, по отношению к которому уравнения
квантовой электродинамики также оказываются инвариантными. Основное
отличие этого преобразования, которое мы будем называть преобразованием
сильного обращения времени [10], от преобразования, аналогичного рас-
смотренному в § 8, которое мы будем называть преобразованием слабого
обращения времени [11], заключается в том, что преобразование сильного
обращения времени производится без перехода к комплексно-сопряженным
операторам, в то время как в преобразовании слабого обращения времени
этот переход является существенным элементом

Мы разъясним теперь преобразование сильного обращения времени,
а в следующем разделе установим связь этого преобразования с преобразо-
ванием слабого обращения времени

Удобно с этой целью рассматривать преобразование сильного обраще-
ния времени вместе с преобразованием отражения пространственных коор-
динат. Такое комбинированное преобразование цы будем называть пре-
образованием сильного отражения или R-преобразованием.

Будем пользоваться представлением взаимодействия, в котором урав-
нения движения и перестановочные соотношения для операторов полей
имеют такой же вид, как и для свободных полей

Рассмотрим сначала электромагнитное поле, операторы которого
Ац (х) удовлетворяют уравнениям движения

-Д-Аи(х) = 0
дх^ и' 7

и перестановочным соотношениям

[Ац (xj), Av (Х2)]= tb^Do (Xf Xg),
и произведем преобразование

хи->х^=-хи,
Ац(х)->А«(х')=-А^(х),

где значок Т служит для обозначения транспонированного оператора. Это
значит, что если определить Аи(х) разложением

Аи (х) = 3 ~^=г (е^^гкХ +	,

Гк У21/ш

то разложение А^ (х) будет иметь вид

AJ (х) = 2 (е^СЪегкх +

п к У2!/“
где, согласно (5.1.3),
т +
Ckk = CkK-

Легко убедиться, что преобразование (19.2.1), которое и представляет
собой /^-преобразование для электромагнитного поля, оставляет инвариант-
ными как уравнения движения, так и перестановочные соотношения для
операторов поля. Инвариантность уравнений движения очевидна. Что же
касается инвариантности перестановочных соотношений, то она следует
из того, что

Do( — х) = —Do (х)
и

(АВ)Г=ВТАТ,
где А и В — произвольные операторы.

Рассмотрим теперь электронно-позитронное поле, операторы которого
удовлетворяют уравнениям движения

+ ф(х) = 0,
6’м-4г~/п)$(х)=0
и перестановочным соотношениям

{ФС^), ф(х2)} = г (ь-^~ w) До (Х1 — х2).

Произведем преобразование

Ху, Хц = Ху,
ф(х)-*фй (х') = ( Оф(х))т,	(19.2.2)

Ф (*) -> фЛ (х') = (ф (х) 0)т,
где Т — символ перехода к транспонированным операторам, означающий,
что если

Ф W = 2 -А=. (ар^ (р) eipx +	(- Р) е~грх),

Р, Ц v

Ф W = 5 ЧтЙг e~ipX + ЬР^'1 (~ егрл)’

I/ Av S

Р, ц
ТО

фг (х)=2 -ж (р)eipx+(- р) е~грх)'

Р, ц v

Фт W = 3 yfpf (apvP* е~гРЛ +	~

Р, Ц v

и О, О — некоторые матрицы (построенные с помощью матриц которые
мы подберем так, чтобы преобразование (19.2.2) (оно и представляет собой
/^-преобразование для электронно-позитронного поля) не меняло ни урав-
нений движения, ни перестановочных соотношений для операторов элек-
тронно-позитронного поля, т. е.

(ти-^ + т)фЕ(х) = 0,

ФВ(Х) = 0’	(19.2.3)

{ФВ(Х!), фЛ(х2)} = i {Тн-^- — т) Ao(xi —х2).

Покажем, как найти матрицы О и О.

Полагая фй (х) = (ф' (х))т, фй (х) = (ф' (х))т, где
ф'(х) = 0ф( —х),	ф' (х) = ф(—х) О,

и замечая, что операторы фт (х) и фт (х) удовлетворяют таким же уравне-
ниям, как и операторы ф(х) и ф(х), мы можем, согласно (19.2.3), написать
уравнения, которым должны удовлетворять операторы ф' (х) и ф'(х):

(ь Ф'(х)=°«

/	_	(19.2.4)

т)г|>'(х) = 0.

Достаточно рассмотреть первое из этих уравнений. Для того чтобы оно
удовлетворялось, должны, очевидно, выполняться условия

^0+ 0уи = 0,	(1=1, 2,.3, 4.	(19.2.5)

Кроме того, матрица О должна удовлетворять еще двум условиям:
во-первых, так как при двойном преобразовании х^—> — хи биспинор должен
восстанавливаться с точностью до знака, то

02 = ± 1,	(19.2.6)

и, во-вторых, так как преобразование полного отражения должно, очевидно,
коммутировать с собственными лоренцевыми преобразованиями биспинора,
то матрица О должна коммутировать с инфинитезимальными операторами
группы Лоренца

[О,/uv] = 0,	/gv = 4(bYv-TvTu).	(19.2.7)

Условия (19.2.5), (19.2.6), (19.2.7) определяют матрицу О с точностью
до фазового множителя

0 = ^	% = ±l,±i	(19.2.8)

Легко видеть, что

О = 74О+?4=_^?5.	(19.2.9)

Поэтому

00=-1,	0Тц0 = ?ц	(19.2.10)

и, следовательно,

Ф'(*)Ф' (х)=	(192 11)

ф7 (х)	(х) = (— х)	(— х).

Убедимся теперь, что операторы ф' (я) и ф' (х) удовлетворяют таким же
перестановочным соотношениям, как и операторы ф(х) и ф(х). Заменим
для этого в перестановочных соотношениях для ф (х^ и ф (х2) * на — х
и подставим в них

ф( — х) = 0-1ф' (х),	ф( — %) = ф' (%) О-1.

Используя (19.2.10) и нечетность функции Д0(х), получим

{Ф' (Х1), ф' (x2)} = iO ( — Tn-5^- — т) ОД0( —*1 + *г) =

=	^(Х!-Х2),

что и утверждалось

Так как фй (х) = (ф' (х))т, а переход ф (х) -> (ф (х))т не изменяет
ни уравнений движения, ни перестановочных соотношений для операторов
электронно-позитронного поля (поскольку в них входят, в отличие от пере-
становочных соотношений для операторов электромагнитного поля, анти-
коммутаторы, а не коммутаторы), то операторы фй (х) ифн (х), определяемые
•формулами (19.2.2), будут удовлетворять таким же уравнениям движения
я таким же перестановочным соотношениям, как и операторы ф(х) иф (х).

Таким образом, мы доказали инвариантность уравнений движения
и перестановочных соотношений для операторов электромагнитного и элек-
тронно-позитронного полей относительно преобразования сильного отра-
жения.

Нам остается доказать еще инвариантность по отношению к этому
преобразованию уравнения Шредингера для вектора состояния Ф (/) систе-
мы полей в представлении взаимодействия

1'4Ф(О = Н1(ОФ(О.	(19.2.12)

где

н, (/) = — §	(х) Ар, (х) dsx.

Для этого мы выясним прежде всего, как преобразуется при ^“Преобразо-
вании гамильтониан взаимодействия Hj(Z).

Вспоминая определение 4-вектора плотности тока

1V W =	(*)]>

мы должны определить /^-преобразованную плотность тока как

Замечая, что	jg (х) = -у [1|)й (х),	(х)].  (х), Yuip	(х),	(X)],	(19.2.13)  (19.2.14)
и учитывая (19.	2.11), получим	
	1ц W — Jm- ( х) ’	(19.2.15)
а так как  то	Ал (х) = — Ац ( —х), j* (х) Ал (х) = (jp, ( —х) Ац ( —х))г.	(19.2.16)

Поэтому, определив /^-преобразованный гамильтониан взаимодействия как
]‘ц (х) Ал (х) d3x,
мы получим соотношение

Hf (0 = H?(-0 = HJ(-0	(19.2.17)

(гамильтониан является эрмитовским оператором).

Возвратимся теперь к уравнению Шредингера (19.2.12). Мы хотим,
чтобы из этого уравнения вытекало уравнение

i ^-ФК(/) = Н/ (/)ФЛ(/),	(19.2.18)

где Фл (/) — надлежащим образом преобразованный при ^-преобразовании
вектор состояния взаимодействующих полей. Закон преобразования вектора
состояния легко найти, заменив в (19.2.12) t на — t и переходя к ком-
плексно-сопряженным величинам

1^-Ф*(-/) = н?(-0 ф*(-о
Используя соотношение (19.2.17) и сравнивая с (19.2.18), получим

Фй(/) = ф*(-0.	(19.2.19)

Мы доказали инвариантность уравнений квантовой электродинамики
при /^-преобразовании в представлении взаимодействия. Но легко также
убедиться в инвариантности уравнений квантовой электродинамики при
/^-преобразовании в гейзенберговском представлении. Операторы полей
в этом представлении преобразуются при /^-преобразовании следующим
образом

(х) -> фй (х') = (Оф (х))т,

(х) -» фй (х') = (ф (х) б)т,

Ац, (х) > Ар, (х ) = Ар. (х),

где х^ = — хц. Легко убедиться, используя (15.2.1), что имеет место соот-
ношение

(L{АД — х), ф( —х)})г= |_{АЙ(х), фй(х)},	(19.2.20)

откуда на основании вариационного принципа вытекает, что операторы
Ац (х) и фй (х) удовлетворяют таким же уравнениям, как и операторы
Аи (х), ф (х).

Подчеркнем, что преобразование сильного отражения не содержит,,
в отличие от преобразования слабого отражения, перехода к комплексно-
сопряженным операторам поля, но зато содержит переход к транспониро-
ванным операторам. Это значит, что при преобразовании сильного отраже-
ния происходит перестановка местами начального и конечного состояний
в матричных элементах операторов полей. Необходимость включения в пре-
образование сильного отражения перехода к транспонированным операто-
рам наглядно видна на примере уравнения

□ Ац (х) = jy, (х),
левая часть которого при преобразовании

Ац (х) -> Ah (х') = — Ац (х), ф (х) —>ф' (х') = Оф (х),
ф (х) —> ф' (х') — ф (х) О,

где xh = —хц, изменяет свой знак, а правая, согласно (15.1.2), знака не изме-
няет. Переход к транспонированным операторам приводит, согласно (15.1.2),,
к изменению знака плотности тока, в результате чего рассматриваемое
уравнение сохраняет свой вид

□ Aj(x)= -j*(x),
где

j* (х) = f (X),	(x)] = - ОД - х))г.	(19.2.21)

Легко убедиться, что, в отличие от 4-вектора плотности тока, который
изменяет знак при преобразовании сильного отражения, 4-тензор энергии-
импульса при преобразовании знака не изменяет:

T£v(x) = (Tnv(-x))T,	(19.2.22)

тензор же моментов меняет знак,

M*v.p(x)= — (Mnv,p( —х))г	(19.2.23)
{величины TgV (*) и M^v,p W выражаются через операторы фй (х) и
Ац (х) так же, как величины T^v W и Мцл,р (*) — через операторы ф (х)
и Au (х).

Такие же соотношения справедливы, очевидно, и в представлении
взаимодействия. С помощью этих соотношений легко установить соответ-
ствие между собственными значениями операторов заряда, энергии-импуль-
са и момента и собственными значениями соответствующих /?-преобразо-
ванных операторов.

Рассмотрим какой-либо из этих операторов, для которых будем поль-
зоваться общим обозначением F {ф (х),	(х)},

F {ф (х), Аи (х)} = $ f (ф (х), Аи (х)) d3x,

где f — один из операторов j4(x), Ти4(х), М^л(х). Пусть собственное
значение оператора Р{ф (х), Аи (х)} в состоянии Ф (/) равно ср:

Р{ф(х), Аи(х)}Ф(/) = фФ(/).

Сделаем здесь замену хи—>—-хи и перейдем к комплексно-сопряженным
величинам

(Р{ф(-х), Аи(~х)})*Ф*(-0 = ф*ФЧ-0*

Так как оператор Р{ф(х), Аи(х)} эрмитов, то это выражение можно пер
писать в виде

(F {ф (-х), Ац (-х)})т Ф* (- /) = ФФ* (-1),

откуда, согласно (19.2.21)—-(19.2.23) и (19.2.19), следует соотношение

F {ф« (х), Ай (х)}Фл (0 = <р«Фл (0,	(19.2.24)

где

— -4- ф,

и стоит знак плюс, если F представляет собой оператор энергии-импульса,
и знак минус, если F представляет собой оператор заряда или оператор
момента.

Операторы фй (х), Ац (х) и операторы ф (х), Аи (х) удовлетворяют,
как мы показали, одинаковым уравнениям движения и одинаковым пере-
становочным соотношениям Поэтому они связаны между собой канониче-
ским преобразованием

Фл (х) = икф (x)Ub,

Ях) = ийф(Ш	(19.2.25)

Ал (х) = илА(Л (x)Ub1,
где U в —некоторый унитарный оператор, действующий в пространстве
чисел частиц. Эти соотношения можно переписать также в виде

ф' (х) = Оф (— х) = и-1Фт (*) U,

ф'(х) = ф( —х) 0= и-1фг(х)и,	(19.2.26)

Ац (х) = — Ац (— х) = U-1 Aj (x)U,
где U = Us, UU + =/.

Аналогичные соотношения могут быть написаны для любых операторов,
построенных с помощью операторов ф (х), ф (х), Ац (х). Легко, например,
убедиться, используя свойства матриц О и О и определения операторов*
Ju (*), Тиг, (х), M^VjP (х) в справедливости соотношений

jp. ( %)=и х^ии,

1и (-х) Аи (-х) = и-1 (ju (х) Аи (х))ги,	/1Q „ 07v

Ty,v ( -*0 = U (х) (J,

р ( х) = U 1Mgv, р (я) U •

Выясним, к каким свойствам матрицы рассеяния приводит инвариант-
ность уравнений квантовой электродинамики относительно преобразования
сильного отражения.

Покажем прежде всего, что

S = U"1SrU.	(19.2.28)

Используя разложение

s=2 т $т u d*Xi • • •diXn

n=0
и соотношение

UL/

имеем

USU-X= 2 Т S (-Xi)... Lf (-xn)}d% ... d4xn =

n~0

= 2 (-^r $f • • •L' diXi • • •diXn>

n=0

где T — антихронологический оператор, располагающий операторы полейr
считая справа налево, в порядке убывания времен действия операторов.
Последнее выражение можно, очевидно, переписать в виде

USLT1 = 2 (-=г- S •L1	.. d4xn = ST,

71 = 0

что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь элемент матрицы рассеяния (Фу, S®z), связываю-
щий какие-либо состояния i и f системы полей. Согласно (19.2.28) его можно
представить в виде

(Фл s<Df) = (U<D/, STUO?) = ((!№)*, S (U®/)*)
или

(J IS |i> = (MS \iR),	(19.2.29)

где

Фгй=(иФг)*.	(19.2.30)

Состояния iR и fR мы будем называть обращенными по отношению
к состояниям i и f. Из унитарности оператора U следует, что векторы обра-
щенных состояний удовлетворяют тому же условию нормировки

(Ф,Ф) = 1,
что и векторы исходных состояний.
Мы видим, таким образом, что элемент матрицы рассеяния, связываю-
щий какие-либо состояния i и /, равен элементу матрицы рассеяния, свя-
зывающему соответствующие обращенные состояния iR и fR. В этом и заклю-
чается свойство симметрии матрицы рассеяния по отношению к преобразо-

ванию сильного отражения.

Выясним физический смысл обращенных состояний. Определим для
этого собственные значения операторов заряда, энергии-импульса и момента
в этих состояниях.

Пусть собственные значения какого-либо из этих операторов F {ф (х)г
А (х)} в состояниях i и f равны соответственно <рг и фу,

Р{ф(х), А(х))Фг = <ргФг,
F {гр (х), А (х)} Ф/ = Ф;Ф/.

(19.2.31)

Производя здесь замену х —> — х и используя соотношения (19.2.27),
получим

±1Г (F{1P(X), А(х)})гиФг = ФгФг,
±1И (Р{гр(х), А(х)})ГиФ/ = Ф/Ф/,

причем стоит знак плюс в случае оператора энергии-импульса и знак минус
в случае операторов заряда и момента. Так как все эти операторы эрмитовы,
то написанные соотношения после умножения на U можно представить
в виде

±(Р{ф (х), А(х)})*иФг = Ф<С1Фг,

± (F {ф (х), А (х)})*иФ/ = Ф/ОФ/.

Переходя, наконец, к комплексно-сопряженным величинам, получим отсюда

Р{ф (х), А (х)} (иФг)*= ± (С1Фг)*,

F {г|> (х), А (х)} (иФ/)* = ± Ф/ (ОФ/)*
или

F {гр (х), А (х)} Ф/й = ± фгФ/д)

F {гр (х), А (х)} Фгд = ± Ф/Ф>д.	(19'2’32>

Мы видим, таким образом, что если Фг и Фу представляют собой собственные
векторы оператора F {гр (х), А (х)}, принадлежащие его собственным значе-
ниям фг и фу, то Фгд и Ф;й будут также собственными векторами этого опера-
тора, причем соответствующие им собственные значения фгд и фуд будут
равны

фгв=±ф/, ф/д=±фг.	(19.2.33)

Знак плюс, как уже отмечалось, относится к случаю, когда F представляет
собой оператор энергии-импульса, а знак минус — к случаю, когда F
представляет собой оператор заряда или оператор момента.

Учитывая эти соотношения, можно записать равенство элементов
матрицы рассеяния, связывающих состояния i, f и обращенные состояния
iR, fR, в виде

(ру, ву, цу |S \pi, ег, рг> = (рг, —	— рг|8|р/, —еъ —|i/>, (19.2.34)

где рг, Р/ — четырехмерные импульсы частиц, ег, ef — заряды частиц
и |Ту — проекции спинов частиц на направления их импульсов в состоя-
ниях i и f.
Таким образом, если поменять местами 4-импульсы, заряды и проекции
спинов частиц в начальном (f) и конечном (/) состояниях и изменить при этом
знаки зарядов и проекций спинов, то элемент матрицы рассеяния не изме-
нится.

19.3.	Инвариантность уравнений квантовой электродинамики отно-
сительно преобразования зарядового сопряжения. Покажем теперь, что
уравнения квантовой электродинамики инвариантны относительно преоб-
разования зарядового сопряжения, под которым понимается следующее
преобразование операторов полей:

Ф (*) —> 4>с W = Сф (*)>

ф (*) W = С’Ч (х),	(19.3.1)

А у, (х) > Ау, (х) = Ay, (х),
где С —матрица зарядового сопряжения, удовлетворяющая условиям
С+С = /, Сг=-С, 0-^0=	=

Уравнения для зарядово-сопряженных биспиноров фс (х) и фс (х) мы
уже писали:

[b (^ + *еАц(х))+т]гН*) = О,

Ы W W) = О-

Заменяя в них Аи(х) на —-А£,(х), мы получим уравнения, не отличаю-
щиеся по форме от уравнений движения для ф (х) и ф(х).

Рассмотрим далее уравнение для Аи(х). Вспоминая определение
плотности тока

ju (х) = у- (Ф (х) ТиФ (х) — фс (х)	(х)),

мы видим, что

jS (х) = Ц- (ф5 (х)	(х) -ф (х) уиф (х)) = — jp. (х),	(19.3.2)

и поэтому третье уравнение (15.1.1) также сохраняет свою форму при
преобразовании (19.3.1).

Легко, наконец, убедиться в инвариантности перестановочных соот-
ношений (15.1.3) относительно преобразований (19.3.1), например:

{Фа (X), (фС (X') Т4)в}(=Г = {(СТ4Т4ф (Х))а, (Ф (х') (СГ)-1Т4)в}«=г'=

= (Т4С)аа- {(ф (х) у4)а', Ф(Г (x')}i=t- (С'1?4)₽'р= 6аВб (Г — г').

Отметим также инвариантность плотности функции Лагранжа и тен-
зоров Tyv (х) и MyV,p (х) относительно преобразования зарядового сопря-
жения или, как мы будем для краткости говорить, С-преобразования.

Инвариантность уравнений квантовой электродинамики относительно
С-преобразования является математической формулировкой симметрии
электромагнитных взаимодействий относительно замены электрона пози-
троном

Мы доказали инвариантность уравнений квантовой электродинамики
относительно С-преобразования в гейзенберговском представлении, но эта
инвариантность имеется, естественно, и в представлении взаимодействия.
При этом операторы полей преобразуются так же, как и соответствующие
операторы в гейзенберговском представлении

ф (х) —> фс (х) = Сф (%),

ф (х) —> фс (х) = С-1ф (х),

Ац (х) • > Ац (х) = Ац (х),
но одновременно с ними преобразуется и вектор состояния Ф(/), удовле-
творяющий уравнению Шредингера

i = Н, (О Ф (0, н, (/)=-$ in (х) Ац (х) d9x.

Чтобы установить закон преобразования Ф(/), заметим, что так как
операторы фс (х), фс (х), Ац (х) удовлетворяют таким же уравнениям движе-
ния и таким же перестановочным соотношениям, как и операторы ф(х),
ф(х), Ац(х), то они должны быть связаны между собой каноническим
преобразованием

фС (х) = ис1|5 (х) и?1,

Vc(x) = Uc^(x)U71,	(19.3.3)

Ац (х) = UcAp, (х) Uc1,

где Ue — некоторый унитарный оператор

исШ = Л

действующий в пространстве чисел частиц.

Из этих соотношений следует, что

]ц (х) Ац (х) = UcxjpL (х) Ац (х) Uc»

и поэтому уравнение Шредингера (15.5.7) можно представить в виде

i Аф(/) = и-1нсдо исФ(О,

где

Ш(/)=-$Й(х)АСц(х)^х.

Предполагая, что С-преобразованию операторов полей (19.3.3) соответст-
вует преобразование вектора состояния

Ф (/)--> Фс (0 = исФ(^)>	(19.3.4)

мы сохраним форму уравнения Шредингера

i АфС(/)=нсдоФс(О,	(19.3.5)

как того и требует инвариантность теории относительно С-преобразования.

Заметим, что из этой инвариантности вытекает, что элементы матрицы
рассеяния не изменяются при изменении знаков зарядов всех частиц

{pf, ef, jv | S | Pi. nO = {ph — ef, jv | S | рг, —et, jv).	(19.3.6)

Комбинируя это соотношение с соотношением (19.2.34), получим

(Pf, ef, н/ISlPi, V, Vi) = {pi, eit — jii|S|P/, ef, —jv). (19.3.7)
18 А. И. Ахиезер. В. Б. Берестецкий
Определим теперь вид оператора Uc, который мы будем называть
оператором зарядового сопряжения. Подставим для этого в соотношения

IM МКс^С'Ф (х),

11сф (х) Uc^C"1^ (х),

UA(x) Uc1==—Аи(х),

вытекающие из (19.3.3) и (19.3 1), разложения (5.1.1), (14 2.10) для
операторов Ли(х), ф(х) и ^(х). В результате мы получим соотношения

UcCfeX = — CfcxUc, UcCkX = — ctxUe,

UcH-pji — bpy,Uc> Uc^py, = b^Uc,	(19.3.8)*

Ucbpy, — a.py,Uc7 Ucbpy, = a.pp,Uc?

связывающие оператор зарядового сопряжения Uc с операторами рождения
и поглощения фотонов (ей, с&х), электронов (а£и, аРИ) и позитронов-
(Ьр[Х, Ьрц).

Эти соотношения полностью определяют действие оператора (Jc на век-
тор состояния системы полей Ф (/), если предположить, что вектор состояния
вакуума Фо не меняется под действием оператора зарядового сопряжения

исФо = Фо.

(19.3.9>

Определим, например, действие (Jc на вектор состояния, в котором имеется
один фотон с 4-импульсом k и поляризацией %. Этот вектор состояния,
который мы будем обозначать через Фщ, можно, очевидно, представить
в виде

Ф1&Х — Ckh®0-

Поэтому в силу (19.3.8)

Uc®ikx= иссйФо ~ сйисФ(ь

используя далее (19.3.9), получим

исФ1и=-Ф>,г

Если имеется Nk% фотонов с квантовыми числами k, %, то вектор состоя-
ния можно, согласно (5.2.5), представить в виде

=-1 (с^Фо.

Применяя к этому вектору оператор Uc> получим, согласно (19.3.8), (19.3.9>

исФ^ = (-1ЛлФ^-

(19.3.10)

В общем случае, когда имеются фотоны с разными импульсами и поля-
ризациями, мы получим, очевидно,

и.Ф»Ь1Лл,.. = (-1),'“1	(19.3.11)

Рассмотрим теперь действие оператора (Jc на вектор состояния,,
в котором имеется один электрон с квантовыми числами р, р. Вектор
такого состояния можно представить в виде

Фл+ = ЭдаФо
Поэтому в силу (19.3.8) и (19.3.9)

— UccipM^O — bby-Uc^O — ЬрцФ(Ь

НО ЬррФо^Ф^-)

представляет собой, очевидно, вектор состояния, в кото-

ром имеется один позитрон с квантовыми числами р, р,, так что

исФ1(+>

= ф,(-).

(19.3.12)

Аналогично легко убедиться, что



<->

РЦ

=ф4

(J-).
рц

Таким образом, оператор зарядового сопряжения переводит каждое
занятое электроном состояние в состояние, занятое позитроном (с тем же
импульсом), и не затрагивает незанятых состояний.

Легко убедиться, что оператор зарядового сопряжения коммутирует
с операторами энергии-импульса Рц и момента Mp,v:

11СРИ-РИ11С,

UcM^-M^Uc,	(19.3.13)

и антикоммутирует с оператором заряда Q:

UCQ=-QUC.	(19.3.14)

Поэтому только в том случае, когда заряд системы равен нулю, вектор
состояния системы может быть собственным вектором оператора (Jc-

исФ = АФ, ОФ-0,	(19.3.15)

где А — собственное значение оператора (Jc- Так как двукратное приме-
нение оператора (Jc представляет собой, очевидно, тождественное пре-
образование

и2с = Л	(19.3.16)

то собственные значения (Jc равны

А = ± 1.	(19.3.17)

Величина А называется зарядовой четностью. видим, что при
заданных значениях энергии, импульса и проекции момента нейтральной
системы следует различать два состояния, соответствующих различным
значениям зарядовой четности. Состояние называется зарядово-четным,
если А = +1, и зарядово-нечетным, если А — —1.

Если нейтральная система характеризуется определенной зарядовой
четностью, то для нее имеет место закон сохранения зарядовой четности.

Соотношение (19.3.10) показывает, что система, состоящая из четного
числа фотонов, является зарядово-четной, а система, состоящая из нечет-
ного числа фотонов,— зарядово-нечетной. Поэтому произвольная нейтраль-
ная система, если она обладает определенной зарядовой четностью, может
распадаться либо только на четное, либо только на нечетное число фотонов.
Например, л°-мезон распадается на два фотона, поэтому л°-мезон является
зарядово-четным.

Рассмотрим систему, состоящую из электрона и позитрона [12]. Век-
тор состояния такой системы можно, очевидно, представить в следующем!
общем виде:

Ф = 3	(Р» Нь Н2) a.jpmb— з>|л2Ф(ь	(19.3.18>

РЦ1М-2
где р, щ и —р, р,2 —импульсные и спиновые переменные обеих частиц
(суммарный импульс частиц предполагается равным нулю) и Л —некото-
рая функция этих переменных.

Действие оператора (Jc на Ф дает, согласно (19.3.8),

и<ф — 2 л (р, р-з) исхисхиСФ$=

" 2 А(Рч Hi» И2) bjgjaip, ц2Фо» (19.3.19)
2ВД2

а так как операторы и антикоммутируют, то

Uc®— 2 Hi, Н2) a—pp,2bpgi®o ==	2 Р, Цг? Pi) ajgibipg2^c>

Переписав исФ в виде

исФ= 2 Л (р, |i|, р2) арр,1Ь^ри2Фо?

ззцшг
мы видим, что

№(рч Hi, Н2) = — Л(—р, р,2, Hi)-	(19.3.20)

Величину Л(р, р1?р2) можно, очевидно, рассматривать как волновую
функцию системы электрон — позитрон в импульсном пространстве и про-
странстве спиновых переменных. Полученное соотношение означает, что
при преобразовании зарядового сопряжения изменяется знак этой функ-
ции и, кроме того, происходит обмен импульсами и проекциями спинов
обеих частиц.

Если Ф является собственным вектором оператора Uc с зарядовой
четностью Л

исФ = ЛФ,

то

Лс(р, Нь ц2) = лл (р, Pi, р2)	(19.3.21)

и соотношение (19.3.20) приобретает вид

Л (—р, fi2, Р1)= —ЛЛ (р, рь р2).	(19.3.22)

Аналогичные соотношения можно написать и для волновой функции
системы электрон — позитрон в конфигурационном пространстве if (1,2),
где 1, 2 — совокупности переменных, относящихся к обеим частицам.
Взамен (19.3.20) мы, очевидно, получим

ifc (1, 2) = —119 (2,1);	(19.3.23)

соотношению же (19.3.22) соответствует соотношение

if (2, 1) = — Агр(1, 2).	(19.3.24)

Это соотношение означает, что симметричные состояния системы элек-
трон-позитрон являются зарядово-нечетными (А = —1), а антисимметрич-
ные состояния — зарядово-четными (А = 4-1).

Заметим, что если бы мы имели дело с двумя электронами или двумя
позитронами, то в последней формуле отсутствовал бы в силу принципа
Паули множитель А. Поэтому соотношение (19.3.24) можно рассматривать
как формулировку обобщенного принципа Паули для нейтральной системы
электронов и позитронов, в котором электрон и позитрон выступают не как
различные частицы, а как два различных зарядовых состояния одной части-
цы, подобно тому как два электрона с различными ориентациями спина
рассматриваются не как различные частицы, а как два различных спиновых
состояния одной и той же частицы.

Из (19.3.24) следует, что если I — относительный момент электрона
и позитрона и s — суммарный спин системы (s = 0, 1), то

А=(—1)г+3.	(19.3.25)

В частности, система электрон — позитрон, находящаяся в состоянии
(Z = 0, s = 0), может превращаться только в четное число фотонов,
а та же система в состоянии 3S (I ~ 0, s = 1)— только в нечетное число
фотонов.

19.4.	СРТ-теорема. Так как уравнения квантовой электродинамики
инвариантны относительно преобразований сильного отражения и зарядо-
вого сопряжения, то они инвариантны также и относительно преобразова-
ния, представляющего собой произведение 7?- и С-преобразований. Такое
преобразование мы будем называть преобразованием слабого отражения
и обозначать через

RW = CR.	(19.4.1)

Согласно (19.3.1), (19.2.2), (19.2.8) операторы полей преобразуются
при слабом отражении следующим образом:

ф (х)	фй«’ (х') = (Оц/ф (х))т,

(х)	$Bw (х') = (Ф (х) Ojf,	(19.4,2)

Au(x)->A^(x') = Aj(x),

где Хц= —Хц и

Ow = OC = gT5C (g = ±l, ±i).

Эта матрица, очевидно, унитарна и удовлетворяет условиям

Ow =	0w,	= Уц,.

Обратим внимание на то, что преобразование слабого отражения содер-
жит фактически только переход к комплексно сопряженным операторам
полей, так как операция транспонирования в преобразование ф (х) входит
дважды, оператор же Аи (х) эрмитов, и поэтому для него транспонирование
эквивалентно комплексному сопряжению.

Выше мы видели, что при преобразовании сильного отражения 4-век-
тор плотности тока изменяет свой знак:

jg (*)= - jj (-X).

При слабом же отражении знак вектора плотности тока не изменяется.
Действительно, построив с помощью операторов фк^ (х) и фй^ (х) 4-вектор
плотности тока, получим, согласно (19.2.15),

=	y^R-(x)]==j£(-x).	(19.4.3)

Это связано с тем, что плотность тока изменяет знак как при ^-преобразо-
вании, так и при С-преобразовании.

Отсюда можно заключить, что преобразование слабого отражения
аналогично отражению пространства — времени в классической электро-
динамике. Действительно, так как при преобразовании хц —хи скорость
частиц не изменяется, то не меняет знака и плотность тока, а отсюда в свою
очередь следует, что при преобразовании	не должен меняться

потенциал поля (х), так как должна быть инвариантной функция Лагран-
жа частицы

Ь=—тс2уГ 1— -J + y Av — е<р

(ф — скалярный потенциал, — скорость и т — масса частицы).

Легко показать, используя выражение для 4-тензора энергии-импуль-
са и 4-тензора моментов, что

T^W = Tjv(-x),
в	т	(19.4.4)

(тензоры	(х) и (х) выражаются через фНш(х), фЙ!"(х), Ай,« (х)

так же, как тензоры Tgv(x) и MpV, р(х) выражаются через 4>(х), ip(x),
Ац(х)). Сравнение с (19.2.22), (19.2.23) показывает, что

T^W = T^(x),

в	в	(19.4.5)

Mfep(x) = Mjv>p(x).

Поэтому основное физическое различие между преобразованиями сильного
и слабого отражения касается только плотности тока, первое из них изме-
няет знак плотности тока, а второе знака плотности тока не изменяет.
Отсюда и из (19 2 34) следует, что должно иметь место следующее соотно-
шение между элементами матрицы рассеяния

(Pf, efj	ег, = ег, — | S 1Р/, ef. —	(19.4.6)

Из преобразования слабого отражения, так же как и из преобразования
сильного отражения, можно выделить преобразование отражения простран-
ственных координат (Р-преобразование)

ф (%) —> фр (х') = /у4ф (%),

ф (%) —> фр (%') = — гф (х) у4,

р [ —-	(х)

Аи(х)^Ай(х') = {А4(х)

(7 = 1,2, 3),

(х = (г, it). х' = ( —г. it)) и представить его в виде

RW = PT.

(19.4.7)

(19.4.8)

где Т обозначает преобразование обращения времени, которое называется
преобразованием слабого обращения времени.

Из инвариантности уравнений квантовой электродинамики по отно-
шению к P-преобразованию следует соотношение

8/, Н/1S\рг, ег. ег, рг) =

= (— pf, ef, ef, — P/|S| —ег, ег, — р,),	(19.4.9)

где р обозначает 3-импульсы, а е— энергии частиц. Комбинируя это соот-
ношение с (19.4.6), получим соотношение

<Р/, е/> Р/1S\pi, ег, ег, рг> =

= (— Pt, Ъ, ег, рг | S I— pf, £f, et, p/),	(19.4.10)
выражающее инвариантность матрицы рассеяния относительно преобра-
зования слабого обращения времени.

Сравнение определения ^-преобразования (19.4.1) с определени-
ем (19.4.8) показывает, что

CR — PT.

а так как двойное применение С-преобразования представляет собой
тождественное преобразование, то

R = CPT.	(19.4.11)

Уравнения квантовой электродинамики инвариантны относительно
каждого из преобразований R, С, Р и Т. Эта инвариантность является,
как мы уже говорили, математическим выражением симметрии электро-
магнитного взаимодействия электронов и фотонов относительно отражений
пространства и времени и замены электрона позитроном.

Другие взаимодействия в принципе могут не обладать всеми свойствами
симметрии, присущими электромагнитному взаимодействию электронов
и фотонов. Поэтому от уравнений, описывающих эти взаимодействия,
нельзя, вообще говоря, требовать, чтобы они были инвариантными отно-
сительно тех же преобразований, которые оставляют инвариантными
уравнения квантовой электродинамики электронов и фотонов. Исключение
представляют непрерывные преобразования Лоренца, по отношению к кото-
рым должны быть инвариантны уравнения любой физической теории.

Укажем в качестве примера на слабые взаимодействия, в которых нару-
шается закон сохранения четности. Поэтому уравнения, описывающие сла-
бые взаимодействия, не инвариантны относительно Р-преобразования
операторов электронного и нейтринного полей.

Несмотря, однако, на возможные нарушения инвариантности уравне-
ний, описывающих те или иные волновые поля, относительно одного из пре-
образований С, Р или Т, любая релятивистски инвариантная теория
с локальным взаимодействием должна быть инвариантной относительно
/^-преобразования, представляющего собой произведение С-, Р- и Т-пре-
образований. Эта инвариантность является следствием только теоремы
Паули о связи спина со статистикой и составляет содержание так назы-
ваемой СР Т-теоремы [13].

Мы ограничимся здесь доказательством обратной теоремы, согласно
которой из инвариантности теории относительно /^-преобразования выте-
кает теорема Паули о связи между спином и статистикой [14].

Будем пользоваться представлением взаимодействия, в котором опера-
торы полей, обозначаемые далее через ф/ (%) (i — 1, 2, . . ., ri), удовлетво-
ряют таким же уравнениям движения и таким же перестановочным соот-
ношениям, как и соответствующие операторы свободных полей; взаимодей-
ствие же между полями учитывается тем, что вектор состояния системы
полей Ф (/) считается функцией времени. Так же, как и в случае квантовой
электродинамики, он удовлетворяет уравнению Шредингера

1.аФ^) = Н/{фг(х)}Ф(0,	(19.4.12)

где Hi — галмильтониан взаимодействия между полями. Считая взаимо-
действие локальным, можно представить Н/ в виде объемного интеграла
от произведений операторов полей в одной и той же точке

Н/ {'фг (х)} = § 2 (АрФи W (х) ...	(х) +

р

+ Д£ф+ (х) ф|2 (х) ...	(х)) d3x, (19.4.13)
где каждый из операторов полей (х) принадлежит одному из классов
+ 1, —1, 4-8, —8, суммирование производится по всем перестановкам

л /1,2, ...,п \	я

индексов ц, . . ., in9 Р = I	I и, наконец, постоянные ДР подо-

\/1, 12? • • •? In'

браны так, что стоящая под знаком интеграла сумма симметрична относи-
тельно бозонных и антисимметрична относительно фермионных операторов,
т е. не меняет знака при перестановке любой пары первых и меняет знак
при перестановке любой пары вторых операторов (второе слагаемое под
знаком суммы прибавлено потому, что оператор Нг должен быть эрмитовым).

Определим теперь преобразование сильного отражения полей, или,
как мы будем его называть, /^-преобразование. Обобщая результаты § 19 3,
/^-преобразование нужно определить следующим образом

ip(x)->(1p(x'))B = (O^(x))r,	(19.4.14)

где Хц = —хн и О — некоторая матрица (матрица отражения), аналогич-
ная матрице О, введенной в § 19 3 для электронно-позитронного поля.
Так как каждый из операторов (х) мы предполагаем принадлежащим
одному из классов 4-1, —1, 4-8, —е, то в соответствии с (13 5 2) и (13 5.6)
действие матрицы О сводится к умножению на 4-1, —1, + i, —i в зависи-
мости от того, к какому из четырех классов +1, —1, 4-8, —е — относится
компонента поля фг (х):

О^а)(х) = гЛга)(х),	(19.4.15)

где а обозначает класс и

4-1,	4~ 1,

— 1, а = — 1,

Га 4~h а- -4-8,

, — £, а — — 8.

Как следует из результатов § 14, уравнения движения для свободных
полей инвариантны относительно этого преобразования Поэтому мы должны
потребовать еще инвариантности по отношению к /^-преобразованию урав-
нения Шредингера для вектора состояния и перестановочных соотношений
для операторов свободных полей. Что касается уравнения Шредингера,
то его инвариантность относительно /^-преобразования будет обеспечена,
если гамильтониан Нг {фг (х)} удовлетворяет условию

(Н, {^г (х)))т = Нт (х)}.	(19.4.16)

Действительно, в этом случае из уравнения (19.4.12) в силу эрмитовости
Hi {$, (х)} вытекает уравнение

i	Ф* (-/) = (Нт	(- х)})Г Ф* (- /),

которое с учетом (19.4.16) может быть переписано в виде

^Фй(/) = Нт{^(х)}Фй(/),

где

фй (/) = ф*(-/).

Поэтому, если трактовать Фй (/) как /^-преобразованный вектор состояния,
то уравнение Шредингера (19.4 12), как и требуется, будет инвариантным
относительно /^-преобразования.
Нам остается, таким образом, рассмотреть перестановочные соотноше-
ния для операторов свободных полей. Эти соотношения имеют, согласно
результатам § 14.5, следующий вид:

[<> (х),	(х')]± = F<%'₽) (-А.) д0 (х-х'),	(19.4.17)

где [ ]_ обозначает коммутатор, [ ]+ — антикоммутатор и ("^’)
представляет собой некоторый полином относительно с численными
коэффициентами. При этом существенным является следующее его свой-
ство. В случае целого спина (/4-Л = JV, N — целое число, / и k — кванто-
вые числа, определяющие представление (/, k) лоренцевой группы)
77(1, 1) / д \	н-1, -1) / д \

г г/ ("ах") и	( аГ/ содержат производные только четного порядка,,

а	и fV’+1) (‘^) — производные только нечетного порядка;

в случае полуцелого спина (j + k = N"F(^s’+s) (-J7) и ^(J8’~Е) (-57)
содержат производные только четного порядка, a F^B’-е> (57)
и+е) j —производные только нечетного порядка. Учитывая (19.4.15),
эти свойства можно записать в виде одного соотношения

, я\	, i + k = N,

гаг^Л} = J	, а X	1	(19.4.18)

Вернемся теперь к перестановочным соотношениям (19.4.17). Инва-
риантность теории относительно /^-преобразования требует, чтобы из этих
соотношений вытекали перестановочные соотношения

(x))R, (^(x'))r]±=F<“’3)(-^)a0(x-x')	(19.4.19)

для /^-преобразованных операторов полей. Поэтому мы должны выяснить,
совместны ли эти соотношения с соотношениями (19.4.17).

Заменяя в (19.4.17) х и хг на — х и — х' и переходя к транспони-
рованным операторам, получим

[(^₽)+ (- х'))г, (че> (- х)) г]± = F% ’3) ( - А) До (_ х + х'),

а так как

Ао( — х) = — До (х),
то

(~Х))Т, W₽)+ (-«/к = +	₽) ( -^) Ao (х —х')

или, учитывая (19.4.18) и определение ipf (х),

[(^в) (x))R, (^3)+ (X'))R]± =	₽) ( -^) Ао (х-х') =

_ J +	Ао(х-х'), / + ^ = У,

“ |	До(х-х'), i + k = N+±.
Но в правую часть последнего равенства, согласно (19.4.19), должно всегда
входить Ftj'® До (* — *'). Эт° значит, что слева должен стоять ком-
мутатор в случае целого спина и антикоммутатор в случае полуцелого
<пина, как того требует теорема Паули о связи между спином и статистикой.

Таким образом, мы доказали, что при локальном взаимодействии
между полями из релятивистской инвариантности теории и инвариантности
ее относительно /^-преобразования вытекает теорема Паули о связи между
•спином и статистикой.

Может быть доказана также и обратная теорема, заключающаяся
в том, что из теоремы Паули о связи между спином и статистикой вытекает
инвариантность теории волновых полей по отношению к преобразованию
сильного отражения.

19.5. Калибровочная инвариантность уравнений квантовой электро-
динамики. Как известно, тензор электромагнитного поля в классической
электродинамике не изменяется, если подвергнуть 4-потенциал поля
(х) преобразованию

Д11(х)->ЛНх) = Лд(х)-^,

где Л (х) — произвольная скалярная функция х. Если эта функция такова, что
-^ = ал(х)=о,

то преобразованные потенциалы А'р, (х) будут удовлетворять таким же
уравнениям, как и исходные потенциалы Ли (х):

П Ац (х)=	(•£)»

где /ц, (х) — 4-вектор плотности тока.

Такого рода преобразования, называемые калибровочными (или гра-
диентными), имеют место и в квантовой электродинамике, но здесь они
затрагивают не только операторы электромагнитного, но и операторы
электронно-позитронного поля.

Простейшие калибровочные преобразования в гейзенберговском пред-
ставлении квантовой электродинамики имеют следующий вид:

Ац (х) > Ац (х) = Ац, (х) Л (х),
ф (х) —>ф' (х) ==е“*еЛ(х)ф (х),	(19.5.1)

ф (х) —>ф' (х) = е*ел(х)ф (х),

где Л (х) — произвольная скалярная с-функция, удовлетворяющая единст-
венному условию

□ Л(х) = 0.	(19.5.2)

Чтобы убедиться в инвариантности уравнений квантовой электроди-
намики относительно этих преобразований, построим с помощью преобра-
зованных операторов полей, согласно (15.2.1), плотность функции Лагранжа
L {А^ (х), ф' (х), ф' (х)}. Легко убедиться, что

2.{АНх), ч|>'(х), ^'(х)} —Ь{Ац(х), 4>(х), Ф(х)} =
=___________________Lib । 1 ал 1 а2л ~1 I (л

дхц L \ v	2 dxv ) дху, dxv j ‘ \Mv ‘ 2 dxv ) dxv дх^
Но первое слагаемое, стоящее в правой части этого равенства, имеет вид
4-дивергенции вектора и поэтому не влияет на уравнения движения, второе
же слагаемое в силу (19.5.2) обращается в нуль.

Мы назвали преобразования (19.5.1) простейшими, так как они опре-
деляются с-функцией Л (х). Но существуют также общие градиентные
преобразования, которые определяются не с-функцией, а операторной
функцией Л (х), по-прежнему, однако, удовлетворяющей уравнению
□ Л (х) = 0. Мы не будем изучать здесь таких общих преобразований,
а ограничимся только преобразованиями (19.5.1).

Поскольку операторы Ац (х), ф' (х), ф' (х) и Ац (х), ф (х), ф (х) удовле-
творяют одинаковым уравнениям движения и одинаковым перестановочным
соотношениям, то они должны быть связаны между собой каноническим
преобразованием

Аа (x) = UAu (х)иЛ

ф'{х) = иф(х)и-1,	(19.5.3)

Ф' (х) = ОФ (x)LT1,

где U — некоторый унитарный оператор,

ии+=/.

Этот оператор можно представить в виде

U = ^F,	(19.5.4)

где F— некоторый самосопряженный оператор,

F = F+.

Покажем, что оператор F имеет следующий вид:

F= $ {Л(х)-^-^х}^>	(19-5.5)

где

ЭАМ (х)

Заметим предварительно, что F не зависит от времени. Действительно,

dt	'Х' dt2 dt2 Xj а Х’

НО

поэтому

= § {л(х) Д%—х} d3x= J X (*) □ Л W d3x= 0

Калибровочные преобразования образуют, очевидно, группу. Поэтому
достаточно убедиться в справедливости соотношения (19.5.5) для бесконечно
малого калибровочного преобразования, которому соответствует беско-
нечно малая функция Л (х). В этом случае

U-/ + rF,
и формулы (19.5.3) приобретают вид

Ац (х) = Ац (х) + i [F, Ац (х)],
Ф' (х) =ф (х)-Н[Р,Ф(х)],
ф' (х) = ф(х)-Н[Р, Ф(х)].

Сравнение этих формул с формулами (19.5.1) показывает, что должны
выполняться соотношения

HF, ф(х)]= — ^А(х)ф(х),	(19.5.6)

/ [F, ф (х)] = ieA (х) ф (х),

в справедливости которых можно убедиться, используя формулы (15.1.3).
Оператор F имеет особенно простой вид, если Л = const. В этом
случае

г- * С д	„ .Л f д* А , ч

F — Л дх^ d х — iA д(2 А4 (х) d х

или

F = iA □ А4 (х) d3x = — iA j4 (х) d3x,

т. е.

F = AQ,	(19.5.7)

где Q —оператор заряда электронно-позитронного поля.

Таким образом, если Л = const, то

U = eiAQ.	(19.5.8)

§ 20.	Структура диаграмм матрицы рассеяния

20.1.	Собственно энергетические и вершинные диаграммы. Диаграммы
матрицы рассеяния в высших приближениях имеют, вообще говоря, слож-
ную структуру. Изучение их облегчается, однако, благодаря тому, что
диаграммы, соответствующие самым различным процессам, содержат
общие структурные блоки, которые могут быть предварительно выделены
и исследованы [15]. Ясно, что, найдя, согласно правилам Фейнмана, вели-
чины, отвечающие этим блокам, мы получим возможность решать широкий
круг квантовоэлектродинамических задач.

Наибольшее значение имеют три типа структурных блоков — элек-
тронные собственно энергетические диаграммы, фотонные собственно энер-
гетические диаграммы и вершинные диаграммы. К рассмотрению этих трех
типов диаграмм мы теперь перейдем. Дадим прежде всего их определения.

Электронной собственно энергетической диаграммой (сокращенно
ЭСЭД) называется такая часть произвольной диаграммы, которая связана
с другими ее частями только двумя электронными линиями. Простейшей
ЭСЭД является ЭСЭД второго порядка, изображенная на рис. 20.1, /.
Более сложные ЭСЭД четвертого порядка изображены на рис. 20.1, 2—5.
Фотонной собственно энергетической диаграммой (сокращенно ФСЭД)
называется такая часть некоторой произвольной диаграммы, которая связа-
на с ее остальными частями только двумя фотонными линиями. Простейшей

ФСЭД является ФСЭД второго порядка, изображенная на рис. 20.2, 1.

Более сложные ФСЭД четвертого порядка изображены на рис. 20.2, 3, 4.

Наконец, вершинной диаграммой (сокращенно ВД) называется такая
часть произвольной диаграммы, которая связана с другими ее частями

только двумя электрон-
ными и одной фотонной
линиями. Простейшей
ВД является ВД треть-
его порядка, изображен-
ная на рис. 20.3, 1. Бо-
лее сложные ВД пятого
порядка изображены на
рис. 20.3, 2—8.

Следует различать
компактные и некомпакт-
ные, а также неприводи-
мые и приводимые собст-
венно энергетические и
вершинные диаграммы.

Компактной ЭСЭД
называется такая ЭСЭД,

которую нельзя разбить

на части, соединенные только одной электронной линией. В противном
случае ЭСЭД называется некомпактной. На рис. 20.1 диаграмма 2 является
некомпактной, так как она состоит из двух ЭСЭД, соединенных одной
электронной линией, все же остальные диаграммы компактны.
Компактной ФСЭД называется такая ФСЭД, которую нельзя разбить
на части, соединенные только одной фотонной линией; в противном случае*
ФСЭД называется некомпактной. На рис. 20.2 все диаграммы, кроме 2,
являются компактными, диаграмма же 2 некомпактна, так как она состоит*
из двух ФСЭД, соединенных между собой одной фотонной линией.

Наконец, компактной ВД называется такая ВД, которую нельзя
разделить на части, соединенные между собой только электронной или:
фотонной линией; в противном случае ВД называется некомпактной. Изо-
браженные на рис. 20.3 ВД являются, очевидно, компактными. Некомпакт-
ная ВД пятого порядка изображена на рис. 20.4.

Определим теперь неприводимые и приводимые диаграммы.

Неприводимой называется такая диаграмма, которая не содержит
внутри себя собственно энергетических и вершинных диаграмм; в против-
ном случае она называется приводимой.

Существует, очевидно, только одна неприводимая ЭСЭД, а именно*
ЭСЭД второго порядка, изображенная на рис. 20.1, 1. Легко видеть, напри-
мер, что остальные диаграммы рис. 20.1 являются приводимыми. Так,
диаграмма 2 содержит две ЭСЭД, диаграммы 3 и 4 содержат собственно’
энергетические диаграммы, а диаграмма 5 содержит вершинную диаграмму.
Диаграмму 5 можно представить в одном из видов, изображенных на
рис. 20.5, где треугольниками обозначены ВД.

Аналогично существует только одна неприводимая ФСЭД, а именно*
ФСЭД второго порядка, изображенная на рис. 20.2, 1.

Неприводимых ВД существует бесконечное множество. Из диаграмм,
приведенных на рис. 20.3, неприводимыми являются диаграммы 1 и 2.
Пример более сложной неприводимой ВД приведен на рис. 20.6.

20.2.	Эффективные линии. Рассмотрим какую-либо диаграмму, содер-
жащую внутреннюю электронную линию. В высших приближениях появят-
ся, очевидно, диаграммы со всевозможными ЭСЭД, включенными в эту
линию. Всю совокупность таких диаграмм (вместе с исходной электронной^
линией) мы будем графически изображать в виде сплошной жирной линии
и называть ее эффективной электронной линией. Величина, соответствую-
щая этой линии, называется электронной функцией Грина и обозначается
через Gap (р) или Scap(p)> где р — 4-импульс электронной линии (величина.
Gap (р) содержит, так же как и Scap (р), два спинорных индекса а, р, кото-
рые мы обычно будем опускать)

На рис. 20.7 изображены несколько первых диаграмм, соответствую-
щих эффективной электронной линии. Из этого рисунка следует, очевид-
но, что

&& (р) = ScaB (р) -j- Scafi' (р)	(р)	(р)	(20.2.1>

или сокращенно, опуская спинорные индексы,

G(e) (р) = Se (р) + Sc (р) К(2’0) (Р) Sc (р),
где Л‘^0) (р) == 7<<2’{)) (р) представляет собой сумму величин, соответствую-
щих всем возможным ЭСЭД — как компактным, так и некомпактным —
с данным импульсом р. Эта сумма (представляющая собой спин-тензор
второго ранга) называется электронной собственно энергетической функцией.

Аналогичным образом можно определить эффективную фотонную
линию как внутреннюю фотонную линию со всевозможными включенными
в нее ФСЭД. Мы будем графически изображать ее в виде жирной пунктир-
ной линии. Величина, соответствующая этой линии, называется фотонной
функцией Грина и обозначается через Gj?v (k) илиТ)^ (&), где k — 4-импульс,
фотонной линии (величина Gj^v (&), так же как и DC[IV (&), содержит два
тензорных индекса р, v, которые мы будем часто опускать).

6<е>(р) _	8с(Р)

Рис. 20.7.

Рис. 20.8.

Из рис. 20.8, на котором изображены несколько первых диаграмм,,
соответствующих эффективной фотонной линии, следует, что

G$ {k} = Deiiv (k) + DCW4. (k)	(k) DQV"V (k),	(20.2.2).

или сокращенно, опуская тензорные индексы,

G(v) (fe) = Dc (k) + De (k) K°’ 2) (k) Dc (k),

где K^2> (&) = K(0,2> (ty — сумма величин, соответствующих всем воз-
можным ФСЭД — как компактным, так и некомпактным — с данным^
импульсом k. Эта сумма (представляющая собой тензор второго ранга)
называется фотонной собственно энергетической функцией.

Введение эффективных электронных и фотонных линий позволяет^,
очевидно, не рассматривать некомпактные вершинные диаграммы. Действи-
тельно, некомпактные вершинные диаграммы представляют собой совокуп-
ности компактных вершинных диаграмм и эффективных электронных
и фотонных линий. Поэтому в дальнейшем под вершинными диаграммами
всегда будут подразумеваться компактные вершинные диаграммы.

Если образовать сумму величин, соответствующих всем возможным
компактным вершинным диаграммам с заданными импульсами pit р2 и k
выходящих электронных и фотонной линий, то мы получим вершинную*
функцию, которую будем обозначать через rFijC6g(p1, р2, k), где р —
векторный и а, (3 — спинорные индексы. На диаграммах вершинная функ-
ция изображается в виде жирной точки, которая называется эффективной
вершиной. Так как в силу законов сохранения 4-импульса k = pi — р2,
то в числе аргументов (рь р2, k) может быть опущен импульс
фотонной линии; мы будем обычно также опускать спинорные индексы а, |3.

Наряду с эффективными внутренними электронными и фотонными
линиями мы должны ввести в рассмотрение также эффективные внешние
электронные и фотонные линии, представляющие собой внешние электрон-
ные и фотонные линии со включенными в них всеми возможными собствен-
но энергетическими диаграммами.
Величину, соответствующую внешней эффективной электронной линии
с импульсом р, мы будем обозначать через иа (р). Эта величина, так же
как и иа (р), является биспинором и может быть, согласно рис. 20.9, пред-
ставлена в виде

« (р) = и (р) + Sc (р) К(2'0) (р) И (р)
(спинорные индексы опущены).

Аналогичное равенство может быть написано (рис. 20.10) для величины
(&), соответствующей эффективной внешней фотонной линии с импуль-
сом k

a(k) = a (k) + Dc (k) K(0,2) (k) a (k).

Внешние линии служат, как мы знаем, для изображения реальных

частиц. Выражаясь более точно, можно

Sc(P)\------ U(p)

Рис. 20.9.

сказать, что они служат для изо-
бражения матричных элементов
операторов полей, связывающих
состояние вакуума с состояния-
ми, в которых присутствует один
фотон или один электрон (позит-
рон). Поэтому обычным внешним

а (л)

а (к)

Рис. 20.10.

а(Ю

линиям мы сопоставляли вели-
чины и (±р) и (k) е±гкх,
являющиеся матричными эле-
ментами операторов свободных
полей ф(х),ф(х) и Ац(х), эф-
фективным же электронной и

фотонной линиям мы должны сопоставить матричные элементы опера-
торов взаимодействующих полей ф(х), ф(х) и Ац(х). Но согласно (15.4.5)
и (15.4.9) матричные элементы этих операторов, связывающие состояние

вакуума с одночастичными состояниями, только множителями Z*/2 и Z1/2
отличаются от матричных элементов и (±р) е±грх и (k) е±гкх для свободных
полей. Поэтому мы можем положить

и (± р) = Z\^u (± р), # (db р) = Z^2!/(± р),	= Z (k).

Эти важные соотношения, к которым мы еще вернемся в § 22, показы-
вают, что вместо эффективных внешних линий достаточно рассматривать
обычные внешние линии (без собственно энергетических вставок), вводя
при этом в элемент матрицы рассеяния на каждую внешнюю электронную
линию множитель Z*/2 и на каждую внешнюю фотонную линию — мно-
житель Z1/2.

Используя понятия эффективных линий и эффективных вершин, мож-
но заменить сложные диаграммы, встречающиеся при рассмотрении высших
приближений, эффективными — скелетными диаграммами, которые пред-
ставляют собой неприводимые диаграммы с эффективными линиями и эффек-
тивными вершинами вместо обычных линий и обычных вершин.

Рассмотрим в качестве примера диаграммы комптон-эффекта, изобра-
женные на рис. 20.11. Совокупность этих диаграмм сводится к одной эффек-
тивной скелетной диаграмме, изображенной на рис. 20.12. Этой диаграмме

соответствует, очевидно, величина

Sr-+f = ZiZe2av(р2)Ги(р2 + k2, p^G(e} (p2 + k2)Tv(plt pt + ^i)u(pi).

Если иметь выражения для Гм.(р1, р2) и б<е> (р) с точностью до чле-

нов второго порядка по е2, то достаточно
подставить их в отбросив в произ-
ведении члены, содержащие eQ и е8, и мы
получим сумму величин, соответствующих
диаграммам рис. 20.11.

Мы видим, таким образом, что возни-
кает задача нахождения электронной и
фотонной функций Грина G^(p) и GW>(k)
и вершинной функции Ги (рь р2).

20.3.	Уравнения Дайсона для функций
Грина и графическое уравнение для вер-
шинной функции. Попытаемся с этой целью

Рис. 20.12.

установить уравнения, которым удовлетворяют электронная и фотонная
функции Грина и вершинная функция.

Рассмотрим сначала электронную функцию Грина G<e> (р). Согласно

(20.2.1)	она определяется электронной собственно энергетической функцией

Кр) Up) Up)

1(р) Up) Z(p)



__Мр)____^(р)___

Рис. 20.13.

/Сар0) (р), которую, как легко видеть, можно выразить через сумму величин,
соответствующих всем компактным ЭСЭД с данным импульсом р. Эту сумму
мы будем называть массовым оператором и обозначать через 2а3 (р). Гра-
фически связь между Каз’0)(р) и 2аз(Р) изображена на рис. 20.13, на кото-
ром прямоугольник служит для обозначения массового оператора. Мы видим,
что

/<(2’0) (р) = 2 (р) + 2 (р) Sc (р) 2 (р) + 2 (Р) Sc (р) 2 (р) Sc (р) 2 (р) + ...

Суммируя этот бесконечный ряд, мы получим, очевидно,

7<(2-0) (р) = 2 (р) [1 —8с(р)2 (p)]-i.	(20.3.1)

Подставляя это выражение в (20.2.1), найдем

G(e) (р) = Sc (р) + Sc (р) 2 (р) [ 1 - Sc (р) 2 (р)Г18С (р),
отк уда

G(e) (Р) = [1 -Sc (р) 2 (p)]-i 8С (р),	(20.3.2)

19 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
и, следовательно,

G(e) (р) = Sc (р) + Sc (р) 2 (р) G(e) (р).	(20.3.3)

Это уравнение, связывающее электронную функцию Грина с массовым
оператором, называется уравнением Дайсона для электронной функции
Грина [15]. Заметим, что из (20.3.2) следует соотношение

[G(e) (р)]-1 = S;1 (р)-2 (р).	(20.3.4)

Рассмотрим теперь фотонную функцию Грина G(v) (k). Она определяет-
ся, согласно (20.2.2), фотонной собственно энергетической функцией
/С°’2)(й), которую, как легко убедиться, можно выразить через сумму вели-
чин, соответствующих всем компактным ФСЭД с данным импульсом k.

- П(?) ПТЮ п(к) П(к) П(к) П(Н)

Рис. 20.14.

Эту сумму мы будем называть поляризационным оператором и обозначать
через (k). Графически связь между /<(0’2) (k) и П (k) изображена
на рис. 20.14, из которого следует, что

К(012) (k) = П (k) + П (k) Dc (k) П (k) + П (k) Dc (k) П (k) Dc (k) П (k) + ...

Суммируя этот бесконечный ряд, получим

К0’2) (k) = П (fe) [1 - Dc (fe) П (fe)]-1.

Подставляя это выражение в (20.2.2), найдем

G(7) (fe) = Dc (fe) 4- Dc (k) П (fe) G(v) (fe)

(20.3.5)

или

[G(v) (feB-^Dc-W-nCfe).

Это уравнение, называемое уравнением Дайсона для фотонной функции
Грина, связывает фотонную функцию Грина с поляризационным операто-
ром так же, как уравнение (20.3.3) связывает электронную функцию Грина

g№(/<j

Рис. 20.15

G(e)(p-k)

Z(P)

с массовым оператором.

Выясним теперь, как в прин-
ципе можно определить массовый
и поляризационный операторы.
Напомним с этой целью, что
существует только одна непри-
водимая ЭСЭД и одна неприво-
димая ФСЭД. Поэтому мы имеем
только одну скелетную диаграм-
му, соответствующую массовому
оператору 2(р), и одну скелет-

ную диаграмму, соответствующую поляризационному оператору П (&).
Эти диаграммы изображены на рис. 20.15. Обратим внимание на то,

что только одной из вершин этих диаграмм должна сопоставляться
вершинная функция 1ГИ (рь р2) (эту вершину мы назвали выше эффек-
тивной вершиной), второй же вершине — обычной — должна сопостав»
ляться матрица Чтобы понять причину этого, рассмотрим, например,
ФСЭД, изображенную на рис. 20.16, которая содержит две ВД и У2.
Эта диаграмма показывает, казалось бы, что эффективными должны быть
обе вершины 1 и 2, В действительности, однако, мы можем обе внутренние
фотонные линии отнести к одной — правой эффективной вершине, левую
же вершину считать обычной.

Применяя правила написания матричных элементов к скелетным диа-
граммам, соответствующим массовому и поляризационному операторам,
мы получим, очевидно, следующие выражения для 2 (р) и П (£):

2	$ V^(e) (p-k)Tv(p,p- k) G™ (k) d*k,

' n,	(20.3.6)

nuv w=w"sp Sv,iG<e) (z?) (p’p ~k} G(e) {p ~k} dip-
Подставляя далее эти выражения в уравнения Дайсона, получим инте-
гральные уравнения для определения функций Грина G(e> (р) и G(7) (/г):
Gw(p)=Sc(p) +

+wSe (/?) S^G(e) (/? “ А) 14 (/?’ р ~Л) G™ dikG(e)
G^(k) = Dcllv(k)~	(20-3-7)

—^Dc^(k)Sp J v?G(e)(p)rp(p, p-k)G^(p~k)d*pG$\k).

В эти уравнения входит неизвестная вершинная функция Гц (рь р2).
Поэтому мы должны еще установить уравнение для вершинной функции.
Напомним с этой целью, что вершинная функ-
ция представляет собой сумму величин, соот-	л—-------к

ветствующих всем компактным ВД с задан-	_____

ными импульсами выходящих электронных
и фотонной линий. Поэтому мы должны, так 2	1

же как и при установлении уравнений для	Рис 20 1б

фотонной и электронной функций Грина, рас-
смотреть неприводимые ВД и заменить в них
все линии эффективными линиями и все вершины эффективными верши-
нами. Но неприводимых ВД, в отличие от неприводимых ЭСЭД и ФСЭД,
существует бесчисленное множество (неприводимые ВД 3-го, 5-го и 7-го
порядков изображены на рис. 20.3, /, 2) и 20.6). Поэтому мы получим для
Гц (pi, Р2) интегральное уравнение, содержащее бесконечное число слагаемых

ГР (pi, Pz) = Th + (Pi, p2) =

p2 p

= Yu+(эдГ Га.(Р1, Pi-k)Gie)(pl — k)Vll(pl-k, p2-k) X

X Gm(p2—k) Tv (pz-k, p2) G&> (k)	. ..	(20.3.8)

Таким образом, мы не получили для трех функций G(e> (р), G(v) (k),
Гц (pi, Р2), определяющих точные матричные элементы квантовоэлектро-
динамических процессов, замкнутой системы интегральных уравнений.
Это обстоятельство связано с тем, что, как будет показано в § 21.4, урав-
нения для G<e> (р), G<y) (k) и (рь р2) являются- в действительности
не интегральными, а функциональными.

Заметим в заключение этого раздела, что хотя связь между вершинной
функцией и электронной и фотонной функциями Грина носит крайне слож-
ный характер, в частном случае, когда аргументы в вершинной функции
совпадают, имеет место простое соотношение

ГДр, Р) = -^(6<е> (р))’1-	(20.3.9)

Это соотношение, называемое соотношением Уорда [16], в соответствии
с (20.3.4) эквивалентно соотношению

ЛДр,р) = -^2(р),	(20.3.10)

которое легко доказать. Воспользуемся с этой целью тождеством

= _5с (р) д-^~ sc(р) = sc (р) Tllsc(р),	(20.3.п)

допускающим простую графическую интерпретацию. Действительно, так
как функция Sc (р) изображается электронной линией, а матрица —
„	<	dSc (р)

вершиной диаграммы, то функция • -Л-- должна изображаться вершин-
।	ной диаграммой с фотонным импульсом, равным

•	нулю (рис. 20.17).

Отсюда следует, что если мы имеем некоторую
* dSc(p)	компактную ЭСЭД и дифференцируем соответствую-

с	др^	щую ей величину по импульсу внешней электрон-

ной линии (для краткости мы будем говорить просто
Рис. 20.17.	о дифференцировании ЭСЭД), то этой производной

будет соответствовать совокупность диаграмм, каж-
дая из которых отличается от исходной диаграммы включением в одну

из внутренних электронных линий вершины с равным нулю фотонным
импульсом. Например, если компактная ЭСЭД W имеет вид, изображенный
на рис. 20.1о вверху, то будет соответствовать совокупность диаграмм,
изображенных на рис. 20.18 внизу. Эти диаграммы представляют собой,

Рис. 20.18.

очевидно, полный набор ВД, которые можно построить, присоединяя
фотонные линии к различным электронным линиям, образующим рассма-
триваемую ЭСЭД.

Если ЭСЭД содержит замкнутую электронную линию, то ее импульсы
можно считать не зависящими от импульса внешней электронной линии.
Поэтому замкнутая электронная линия не будет участвовать в дифферен-
цировании по импульсу внешней электронной линии. (Это следует также
из теоремы Фарри, согласно которой надо учитывать только замкнутые
петли с четным числом вершин; дифференцирование же добавляет лишнюю
вершину, и поэтому совокупность таких диаграмм можно отбросить).

Итак, взяв совокупность всех компактных ЭСЭД, мы получим при
их дифференцировании по импульсу внешней электронной линии сово-
купность всех компактных ВД в соответствии с соотношением (20.3.10).

§ 21.	Функции Грина взаимодействующих полей

21.1.	Функции Грина как вакуумные средние. В предыдущем парагра-
фе мы определили функции Грина как величины, соответствующие эффек-
тивным электронным и фотонным линиям, т. е. линиям со всевозможными
собственно энергетическими вставками. Дадим теперь строгие определения
функциям Грина, связав их с операторами полей.

Напомним прежде всего, что функции Dc (k) и Sc (р), в которые,
согласно (20.2.1) и (20.2.2), переходят функции G(v) (k) и G(e) (р) в предполо-
жении об отсутствии взаимодействия между полями, представляют собой
средние значения хронологических произведений операторов свободных
полей Аи (х) и ф (х), ф (х) в состоянии вакуума. Поэтому естественно ожи-
дать, что функции G(y) (k) и G<e> (р), учитывающие взаимодействие между
полями, должны определяться средними от хронологических произведений
операторов взаимодействующих полей, т. е. операторов полей Аи (х), ф(х),
ф(х) в гейзенберговском представлении. И действительно, как мы далее
убедимся, функции GjS (&), и Gap(p) представляют собой компоненты
Фурье функций

(Хь х2) = (Фо, Т {Ац (xj Av (х2)} Фо),

Gap (Х1, Х2) = (Фо, Т {1|7К (Xj) Ярв (х2)} Фо),

где Фо — вектор состояния вакуума взаимодействующих полей.

Эти функции принадлежат к функциям типа

^12. . .п (-^1, -^2, • • • , %п) ~ (Фо? {F1 (-^1) F2 (^2) • • • Fn (-^тг)} Фо) =

^<0|T{Fi(x1)F2(x2) ... Fn(O}|0>,	(21.1.2)

где Фо = | 0) и Fi (*i), . . Fn(*n) —операторы полей в гейзенбергов-
ском представлении, носящем общее название квантовоэлектродинамиче-
ских функций Грина.

Данное выше определение функции G$ (хь х2) — фотонной функции
Грина — относится к тому случаю, когда отсутствует внешнее электромаг-
нитное поле. Если же такое поле имеется (оно рассматривается не как опе-
ратор, а как с-число), то фотонная функция Грина определяется следую-
щим образом:

GpS (^1, ^2) = (Фо, Т {Ац, (аД, Av (-^2)} Фо)

-(Фо, Аи(Х1)Фо)(Фо, Av(^2)Фо). (21.1.3)

Ясно, что в отсутствие внешнего поля

(Фо, Ац (х)Фо) = О,

и мы приходим к определению (21.1.1). В этом случае, очевидно, функции
Грина будут зависеть не от координат хь х2, ... порознь, а только
от их разностей.
Наряду с функциями Грина G12..n (xi, х2, • • •, хп)> построенными
с помощью операторов Ац (х), фа (х), ф3 (х), можно таким же образом
построить функции Грина с помощью зарядово-сопряженных операторов
Ац (х),	(х), ф$ (х); мы будем обозначать такие функции Грина через

G12.. п (Xf, х2, . . хп).

Чтобы связать функции Грина с матрицей рассеяния, выразим их через
операторы полей в представлении взаимодействия. Предположим с этой
целью, что операторы полей F (х) и векторы состояний Ф (Z) в представле-
нии взаимодействия совпадают с операторами полей F (х) и векторами
состояний Ф в гейзенберговском представлении в момент времени t = 0.
Тогд

F(x) = S(/,0)F(x)S-^0),

Ф(0 = Э(Л О)ф.	(	’

Будем далее считать, что при t — ±оо взаимодействие между полями адиа-
батически выключается. При таком выключении должно иметь место одно-
значное соответствие между стационарными состояниями взаимодействую-
щих и свободных полей (предполагается, что отсутствуют связанные состоя-
ния взаимодействующих полей). Это значит, что если Фп — вектор стацио-
нарного состояния взаимодействующих полей, то векторы

Фп(±оо) = 8 (±оо, 0) Фп

будут собственными векторами гамильтониана свободных полей.

В частности, полагая Фп = Фо, мы получим векторы состояния вакуума
свободных полей

Фо (zb°°) — S (Н- оо» 0) Фо»

Поскольку существует одно состояние вакуума, то векторы Фо (оо)
и Фо (— оо) могут отличаться только численным множителем, по модулю
равным единице,

Фо (°°) ~ ^уасФо ( °о),
где

‘Svac = (Фо ( — °°)? ЭФо (	°°))

(так как SS+ = /, то, очевидно, |Svac| — 1)» Мы будем далее называть
вектором состояния вакуума свободных полей вектор Фо( — оо), который
будем обозначать через Фо,

Фо = Фо ( — оо).

Таким образом,

Фо = S (—оо, О)Фо = -^—S (°о, 0) Фо.	(21.1.5)

О vac

Покажем теперь, что

(Фо, Т {F1 (%!) F2 (х2) ... Fn (Хп)} Фо) =

= ^-L-^o,F{F1(Xi)F2(x2) ... Fn(xn)S)Oo). (21.1.6)

°vac

Считая ДЛЯ простоты, ЧТО /1>^2> » » • >/71 и используя формулы
(21.1.5) и соотношения

1 Svac [ = 1, S = S (оо, /1) s (G, 0) S (0, /2) ... S (0, /п) s (tn, - ОО),
имеем

^{F1(X1)F2(X2) ... Fn(Xn)S}0>o) =

= (Ф0, S(0, oo)S(oo, ^>Fi(xi)S(^i, 0)S(0, Z2)F2(x2)S(^2, 0) ...

... S(0, Zn)Fn(xn)S(/n, -oo)S(-co, О)Фо),

откуда в силу (21.1.4) следует (21.1.6).

Формулы типа (21 16) справедливы также и для матричных элементов
операторов полей Рассмотрим, например, матричный элемент оператора
•ip (х) между состоянием вакуума Фо и одноэлектронным состоянием ФР
Используя (21 1 4) и (21.1 5), имеем

(Фо, (х) Фл) = S*ao (Фо, S(oo, 0) S (0, 0 (х) S (А 0) S (0, - оо)Ф0 =

= ТЬ(ФО, T{ip(x)S}®i),	(21.1.7)

°vac

где Ф^Ф^ — оо) и Ф^) —вектор одноэлектронного состояния в пред-
ставлении взаимодействия.

Поступая аналогичным образом, можно убедиться в справедливости
общего соотношения

{Фу, F1 (#1) F2 (-^2) • • • Fn Фу') —

= -Я-(Фг, T{F1(X1) ... Ш)8}ФД (21.1.8)
^vac

где Фг и ФГ' — векторы некоторых состояний г и г' в гейзенберговском
представлении, Фг {/) и ФГ' (f) — соответствующие им векторы состояний
в представлении взаимодействия и ФГ = ФГ(— оо).

Нам остается убедиться в эквивалентности двух определений функций
Грина—аналитического и графического.

Заметим с этой целью, что каждому процессу взаимодействия электро-
нов и фотонов соответствует определенное нормальное произведение опера-
торов полей, и поэтому в принципе матрица рассеяния может быть пред-
ставлена в виде разложения по различным нормальным произведениям
операторов полей

“ 2	%27 • • • 7 Хп\ У17 У2.7 • • • 7 Уп7 £1) ^2? • • • 7 lv) X

^vac	е»

П, V

х N (ijj (Хл) ... $ (хп) (z/л) ...!]> (Уп) А &) ... A (gv)) d4Xi ... d^v, (21.1.9)

где 7С2п v> — некоторый спинор 2п-го ранга и тензор v-ro ранга, т. е. вели-
чина, содержащая 2п спинорных и v векторных индексов (для краткости
они опущены), причем, очевидно,

7<(0’0)=1.

Такое разложение можно в принципе получить из разложения матрицы
рассеяния в ряд по степеням заряда электрона, если в каждом из членов
этого ряда выделить определенное нормальное произведение и сложить
множители, стоящие перед ним, во всех членах ряда Ясно, что коэффи-
циент определяет точное значение (с учетом высших приближений
теории возмущений) матричного элемента, соответствующего процессу,
в котором участвует в начальном и конечном состояниях 2п электронов
и позитронов и v фотонов Например, эффекту Комптона соответствует
матричный элемент

-^bL=ail(^)av(fe2)u(p2){^2v’2)(-p2, Pl, kt, -k2) +

+ К(Д’2)(—P2, Pl, —k2, ki))u(Pi),
где au(^i), av(k2), и и и (p2) — амплитуды начальных и конечных,
фотонных и электронных состояний и

2) (Я1, 42, fl, fz) = $	2) (х, у, Ъ, g2) e^+Mili^) d*x d*y d^2

(мы выписали явно векторные индексы р, т).

Из разложения (21 1 9) и графической интерпретации элементов матри-
цы рассеяния следует, очевидно, что введенные в § 20 2 электронная и фотон-
ная собственно энергетические функции /С2,0) (р) и К<0’2) (k) представляют
собой компоненты Фурье /<<2’0> (х, у) и 7<(0’2) (gt, g2) (следует иметь в виду,,
что в отсутствие внешнего поля аргументы в этих функциях входят
не порознь, а в виде разностей х — у и — g2).

Чтобы убедиться в эквивалентности обоих определений функций
Грина, достаточно подставить разложение (21 19) в (21 18)

Рассмотрим сначала электронную функцию Грина

Gap (Х — у) = (ф0, т (х)	(у) х

X N [ 1 —	0) (х' — у') 1|?в (У') Ф? (*') dix' dV + •••]} фо)

(для простоты мы считаем, что внешнее электромагнитное поле отсутствует).
Входящие сюда смешанные Т-произведения можно разложить, согласно
правилам Вика, по ^произведениям. Так как среднее от любого А/-произ-
ведения по состоянию вакуума равно нулю, то все члены в разложении S
по нормальным произведениям, кроме выписанных здесь, не дадут вклада
в G(e) (х — у). Используя далее равенства

(Фо, ^{Фа(х)Фз(у)}Ф0) = 5саз(х—^/),

(Фо, Т {М?а (х)Я93 (г/) АА [грб (£/') 'Фт (-^')]} Ф0) = — Scay (х—х') Sc^ (у' — у),
получим

G^ (х — у) = Scae (х— у) + Sca? (х — х')	0) (х' — у') Sc^ (у' — у) d*x'

или в импульсном представлении

G(e) (р) = Sc (р) + Sc (р)	0) (Р) Sc (р)

(спинорные индексы опущены) Это соотношение совпадает с (20 2 1)>
откуда и вытекает эквивалентность двух определений электронной функ-
ции Грина

Поступая аналогично с фотонной функцией Грина, получим

Gg? (х—у) = Dcv,v (х — у) +-

+ § DcllK (х — х') /С1°т’2) (х' — у') DCT/ (у' — у) d^x' diy'
или в импульсном представлении

G(v) (k) = Dc (£) + Dc (Z>) K(0’ 2) (Z>) Dc (k),

что совпадает с (20.2.2).

Разъясним в заключение этого раздела понятие вершинной функции.
Введем для этого функцию Грина

Ga₽,vi (%ь х2; х) = (Фо, Т {я|5а (xj) -фв (х2) Ац (х)} Фо) —

— (Фо, Т {4>a (xj) -фв (х2)} Фо) (Фо, Ац (х) Фо).

В отсутствие внешнего электромагнитного поля (мы будем для простоты
рассматривать далее этот случай) второе слагаемое обращается в нуль
и G<e’ v) становится функцией двух аргументов Ga^ = Сар/ц (*! —*—х2)-
Используя общее выражение (21 16) для функций Грина, связывающее
их с операторами полей в представлении взаимодействия, и разложение
матрицы рассеяния (21.1 9), легко убедиться, что

GapZp. (*1 — X, X — Х2) =

= *Seav (x Xj) /(уб*, v (^-1 X , Х2 — X ) ScSfs (Х2	Х2) X

X Dcp,v (х' — х) d4xi d4x2 d4x'
или в компонентах Фурье

(%’7)(р,р') = Sc (р) K(v’П (Р, Р') Sc (Р') Dcvll(р-р’)	(21.1.10)

(спинорные индексы опущены).

Входящая в эту формулу величина К(2,1) (р, р') представляет собой,,
очевидно, сумму величин, соответствующих совокупности
диаграмм — как компактных, так и некомпактных
В этом отношении формула (21 1 10) аналогична фор-
мулам (20 2 1) и (20 2 2) для функций Грина G<e>(p)
и G<v) (&), в которые входят функции /С(2’0) (р) и (&),
представляющие собой суммы величин, соответст-
вующих всем ЭСЭД и ФСЭД — как компактным, так
и некомпактным

Рассматривая электронную и фотонную функции
Грина, мы перешли от функций /С2’0)(р) и 7<(0>2) (k) к
массовому и поляризационному операторам S (р) и П (й),
представляющим собой суммы величин, соответствую-
щих только компактным ЭСЭД и ФСЭД Подобно этому

мы можем перейти от функции К(2’1} (р,р') к вершинной функции Ги (р, р')г
представляющей собой сумму величин, соответствующих только компакт-
ным ВД Формула (21 1.10) примет тогда вид

G%’ (р, р') = - G(e) (р) erv (р, р’) 6(е) (р')	(р-р’). (21.1.11)

Эта формула означает, что функции G^e,Y) (р, р') соответствует блок, содер-
жащий две эффективные электронные линии, одну эффективную фотонную
линию и одну эффективную вершину (рис 21 1).

всех вершинных
lfflp-p')

G(^y}(p,p’)

Рис. 21 1.
В координатном представлении формула (21.1.11) имеет вид

v> (xi, х2; х) =

= — е G(c) (xi, хх) Tv (х', х'; х') G(e) (х^ х2) G^\ (х', х) d4x' ddx’^ d4x'.

(21.1.12)

21.2.	Следствия из условия Лоренца. Перейдем к исследованию общих
свойств функций Грина

Заметим предварительно, что продольная часть среднего по вакууму
от оператора электромагнитного поля (Фо, (%) Фо) — величины, отличной
от нуля при наличии внешнего поля, —всегда равна нулю:

-^(Фо, Ац(х)Фо) = О.	(21.2.1)

дА„

В этом легко убедиться, разбив оператор % (х) = — на положительно-
му,

и отрицательно-частотные части % (х) = %+ (х) +	(х) и использовав соот-

ношение

Х+(*)Фо = О.	(21.2.2)

Покажем прежде всего, что взаимодействие между полями не ока-
зывает влияния на продольную часть фотонной функции Грина, так что
имеет место соотношение

x') = ^-Dcgv(x-x'),	(21.2.3)

илу	иЛу

где

DcprV (х) — Dc (х) 6p.v,
т. е.

G™ (х, х') =	Dc (х — х').

Замечая, что операторы электромагнитного поля Ац(х) и Av(*') ком-
мутируют друг с другом в один и тот же момент времени, имеем, оче-
видно,

(х, х') = (Фо, Т{Х W Av (х')}Ф0).

Учитывая далее (21.2.2) и предполагая для определенности, что />/',
перепишем это равенство в виде

С’ (X, X') = (Фо, 1х+ (X), Av (х')1 Фо).

Принимая, наконец, во внимание соотношение (15.6.12)

lX+(x), Av (*')]= -i-^-D+(x — x’)

и вспоминая формулу (6.4.9)

Dc (х) = £0 (- /) D_ (х) - Z0 (О D+ (х),

мы получим (21.2.3).

Если внешнее поле отсутствует, то в импульсном представлении
соотношение (21.2.3) имеет вид

kvG^(k) = ktlDc(k).	(21.2.4)
Отсюда вытекает свойство поперечности поляризационного оператора
^ngv(fe) = 0,	(21.2.5)

означающее в свою очередь, что nuv (&) имеет вид

П^(й)=П(/г)(б^-------(21-2.6)

где П(&) —некоторая скалярная функция от й2.

Так как продольная часть фотонной функции Грина не затрагивается
взаимодействием между полями, то ее можно вовсе не рассматривать,
а ограничиться рассмотрением только поперечной части фотонной функ-
ции Грина. Эта часть, которую мы будем обозначать через Gffl (k), удов-
летворяет условию

(*)=о
и имеет, очевидно, вид

где G(v) (k) — некоторая скалярная функция k2.

Покажем, наконец, что

х2; x) = ie(Dc(x-x2)-Dc(x~x1))Gm(x1, х2). (21.2.6)

Так как оператор Аи(х) коммутирует с операторами ф(х') и ф(х')
при t = t', то

-Д- Gg ’v) (Xi, х2; х) = (Фо, Т {х (х) ф (Xi) ф (х2)} фо).

Разбивая х (х) на положительно- и отрицательно-частотные части
X (х) — Х+ (х) + X- (х) и учитывая формулу (6.4.9), а также соотношения
(15.6.12)

[Х± (*)> Ф (*1)1 = — eD± (x~Xi) ф (xi),

1Х± (х)> Ф (*2)1 = eD± (х — х2) ф (х2),
мы придем, согласно (21.2.2), к формуле (21.2.6).

Подставляя в (21.2.6) вместо выражение (21.1.12) и используя
(21.2.3), получим

~е\ G™ (хь xj) arv(xi’ *2; *'). Q(e)	dix^ dix^dtx, =

e)

= ie (Dc (x—x2) — Dc (x—Xi)) G(e> (хь x2).

Применяя к обеим частям этого соотношения оператор □ и замечая, что
□£>е (х) = i6 (х),
найдем

i (6(х—Xi) —6 (х — х2)) G(e) (Xi, х2) =

= J G(e) (Xi, х;) 3rv(g^;— G(e) <&, x2)	d4x;.	(21.2.7)

Если внешнее поле отсутствует, то G(e) и G(v) будут функциями только
разностей координат. Переходя в этом случае к импульсному представле-
нию, получим

G<e> (Р') _	(р) = - (р - р% G™ (р) Гц (р, р') G‘°> (р')

или

(Р)Г1 — [G<e>(p')rx= -(Р-Р’)МР, Р')-	(21.2.8)

Из этой формулы следует, в частности, что

Ц (Р, р) =	[G<e)	(21 -2-9)

Это соотношение было получено в § 20.3 путем непосредственного рас-
смотрения диаграмм, соответствующих массовому оператору X (р).

21.3.	Спектральное представление функций Грина. Покажем, что функ-
ции Грина взаимодействующих полей можно представить в виде супер-
позиции функций Грина свободных полей с различными массами частиц.
117], [18].

Рассмотрим сначала фотонную функцию Грина G$ (х— х')> считая
для определенности, что /> /'. В этом случае G$ (х— х') определяется:
выражением

(х х ) — (01 Ац, (х) Av(х ) 10),
которое, согласно правилу умножения матриц (при использовании инде-
финитной метрики), может быть представлено в виде

G<X>(x-x') = S <0|P^(x)\kg'}{kg' | Av(x') |0>(-if0,
k,g'

где суммирование производится по различным беззарядовым состояниям:
== g системы взаимодействующих полей, No обозначает число «скаляр-
ных» фотонов в состоянии g и матричные элементы (0 | Ац (х) | kg' >
и {kg' | Av (х') I 0) определяются формулами (15.4.7).

В § 15.4 мы видели, что при &2 < 0 матричные элементы оператора
Аи (х) удовлетворяют условию поперечности. Поэтому «скалярные фотоны»
не вносят вклада в G^v при k2 <_ 0, т. е. должно иметь место соотношение

^<0,
g'

где f ( —£2) — некоторая существенно положительная функция от k2. Это
соотношение позволяет представить соответствующую часть суммы, опре-
деляющей G^Vv (х — х'), в виде

5 <0|Au(x)|^'X^'|Av(x')|0> =

(А2<0)

(k k \	1

---(21.3.1)

&2<0	К

где суммирование по k производится в два этапа — сначала по простран-
ственным составляющим й, при заданном — k2 = M2, а затем по различ-
ным значениям Л4>0; поэтому под cd здесь следует понимать cd =
= Vk2 + M2 (мы написали в экспоненте не / —а ]/ — t'\ для того,
чтобы формула была справедливой как при />/', так и при /</').
Как было показано в § 21.2, взаимодействие между полями не ока-
зывает влияния на продольную часть фотонной функции Грина. Поэтому
можно ограничиться рассмотрением только поперечной части фотонной
функции Грина Gffl (х — х'), которая в соответствии с (21.3.1) опреде-
ляется формулой

Guv (x—x')=^f(M2) 2	(6^v w) 2V i/fe2+M2 ’

M	к	V \

(fe2=-M2)

где M принимает все положительные значения, а также значение, равное
нулю.

Используя интегральное представление (6.3.2) функции -1-e-WI,
можно, очевидно, представить Ggv* (х — х’) в виде

G^(x-x') = 72^rJ	(21.3.2)

где
оо

G(v) (£) = 4-	(21.3.3)

v 7 i d £24-Л12 — Ю	v 7

o

и

о(М2)<Ш2 =	3	Их2)-

Как было показано в § 6.5, функция

Ас (х; Л!) =(2^4 J Ас (6; Л4) eikv d*k,
где

Ас (k; М) = — j2+A12_z0 ,

является функцией Грина свободного скалярного поля, с которым связаны
частицы с массой М. Поэтому формула (21.3.3) означает, что поперечная
часть фотонной функции Грина представляет собой суперпозицию функций
Грина свободных частиц с различными массами

G(v) (k) = § о (Л12) Дс (k; М) dM2.	(21.3.4)

о

Так как величина о (М2) существенно положительна, то ее можно интер-
претировать как плотность состояний с данной массой.

Разложение (21.3.4) мы будем называть спектральным представлением
фотонной функции Грина, а функцию о (Л42) — спектральной плотностью.
Если бы электромагнитное поле было свободным, то матричные эле-
менты <0 | Ац, (х) | kg') были бы отличные от нуля только для однофотонных
состояний, т. е. при k2 — 0, и спектральная плотность равнялась бы 6 (7И2).
Так как электромагнитное поле не является свободным, но с ним связан
только один сорт стабильных частиц — фотоны, то спектральная плотность
должна иметь вид

a(>) = Z{6 (Л12) + р(7И2)},

(21.3.5
где Z — константа, введенная в § 15.4, и р (Л42) — некоторая положитель-
но определенная функция, не имеющая 6-образных особенностей. Подста-
новка этого выражения в (21.3.3) приводит к следующему спектральному
представлению поперечной части фотонной функции Грина:

f * I ? Р (^2)	1	/91 о g\

G i	J fe2+M2-zOJ ‘	Ul-a-o)

0

Это важное соотношение позволяет выяснить аналитические свойства
функции G<Y) (k). Действительно, вспоминая, что

Де (k; М) = лб (k* + М2) - iP	,

имеем

Re G(v) (k) = xZ {6 (kz) + p (- k2) 6 (— k2)},

1те™И_-гр{Щ£1ВД. (2'-3-7>

0

где

f 1, x>0,
0(x) = { 0, x<0.

Мы видим, таким образом, что реальная часть фотонной функции Грина
обращается в нуль при k2 > 0; при № < 0 она отлична от нуля и поло-
жительна.

Из (21.3.7) следуют, очевидно, соотношения

Im G<« (Ч _ ± Р f	,

' ' Л J	k'2 — k2	’

оо-"	(21.3.8)

V KeG^(k’)dk'2

л J k'2—k2 + i0 ’

— 00

показывающие, что G^) (fe) как функция fe2 не имеет особенностей в верхней
полуплоскости переменной fe2.

Спектральное представление фотонной функции Грина позволяет
сделать также ^некоторые заключения о характере асимптотического пове-
дения функции G<Y)(fe) при fe2->oo. Введем для этого в рассмотрение
интеграл
оо

J== J р(М2)бШ2
о

и предположим сначала, что величина J конечна. Тогда, так как
р(Л42)>0, то, очевидно,

k2^oo, •

т. е. в этом случае функция G<?) (fe) ведет себя в области больших fe2 так же,
как функция Dc (fe), являющаяся функцией Грина свободного электромаг-
нитного поля.

Если величина J бесконечна, то, как легко видеть, функция G<?) (k)
убывает при fe2 -> 00 медленнее, чем .
Покажем теперь, что постоянная Z и спектральная плотность р (М~)
связаны между собой определенным соотношением

Воспользуемся для этого перестановочными соотношениями для опера-
торов электромагнитного поля, из которых следует, в частности, что

/°|[АДХ), ^А^]|0\=//=-й3/б(г-И, /,/' = 1,2, 3. (21.3.9}

С другой стороны, дифференцируя (21.3.2) по t' и полагая затем f =
получим

ТГ {G"1 (х-х')-С«» (х' -х)<0 | [А, <х),^>] 10>i=(, -

=<3/т 2 (5»~	,

М	к

(fe2=—М2)
откуда

$ <01 [а, (X),	| о X/3* =	2 f (М2)-

м

Сравнение этого выражения с (21.3.9) дает 2 /(Л42)=1, откуда, со-
м

гласно (21.3.5) и (21.3 3), следует соотношение

-1 = 1 + V p(M2)dM2,	(21.3.10)

о

а так как р(Л42)>0, то

0<Z< 1.	(21.3.10')

Перейдем к выводу спектрального представления электронной функции
Грина Gap (х — х'). Считая для определенности, что />/', и поступая
так же, как и при выводе спектрального представления фотонной функции
Грина, имеем

Gag (х — х') = 2 <01	(х) I pqps) (— 1 )N°} (pqps I Iftj (xz) I 0),

где pqps ~ г служит для обозначения различных однозарядовых состояний
системы взаимодействующих полей, N<p представляет собой число скаляр-
ных фотонов в состоянии г и матричные элементы <0 | фа W I PQps)
и {pqps | фр (х') | 0) определяются формулами (15 4 4)

Выполняя суммирование по г в два этапа — сначала по р и р при задан-
ном р2 = —М2, а затем по М и q, перепишем это выражение в виде

Gap(x —X') =

=2/(Ж	(21.3.11)

Mq	ри

где

(г)

/(Ж<?) = 2(-Щ° UP,q,s)\p^-M2

S

(мы написали в экспоненте | t — t' | вместо t — tr для того, чтобы формула
была справедливой как при t > t', так и при t < /').
Входящая сюда сумма по р и р, при q = 1 была вычислена в § 14.
Повторяя эти вычисления, легко показать, что

2 «S(qp)u% (qp) егрг~гI = ScaB (х; М, q),

где

Sc (х; М, q)=-^ J sc (Р-, М, q) е^х d*p

И

Поэтому окончательно получим для Gal(x-x') выражение

G^(x-x') = 1^r J G§(p)e^-^d*p,	(21.3.12)

тде

оо

G^(p) = ^\Sca&(p-, М, q)G(M\ q)dM и <т(М2, q)dM= 2 f (rf, q).

Таким образом, электронная функция Грина, так же как и фотонная
функция Грина, допускает спектральное представление, т е. разложение
по функциям Грина свободных частиц Однако, в отличие от поперечной
фотонной функции Грина, определяемой одной существенно положитель-
ной спектральной функцией, разложение электронной функции Грина
определяется двумя спектральными функциями о (/И2, q), q = + 1, причем
эти функции не являются существенно положительными

Так как с электронно-позитронным полем связана одна реальная части-
ца — электрон, для которой q = + 1 и р2 = — т2, где т — масса реаль-
ного электрона, то из функции о (Л42, +1) можно выделить 6-образное
слагаемое

о(М2, +1)-21{6(Л4-т) + р+(Л42)},

где Zt — константа, входящая в (15 4 5), и р+ (/И2) — некоторая функция
от Л42, не содержащая 6-образных особенностей Поэтому спектральному
представлению электронной функции Грина можно придать вид

Gm(p)

_ Zj f 1	Р	Р+ (^2) dM	«	р_ (др) дм -I

1 I ip-\-m — z0	«	zO	J	—t0 J	’

m	m

(21.3.13)

где Zip- (7И2) = о (Л42, —1) Здесь отчетливо видно, что электронная
функция Грина имеет простой полюс при р2 = — т2, т е. в точке, соответ-
ствующей состоянию реального электрона

Поступая так же, как и в случае фотонной функции Грина, можно свя-
зать константу Zi со спектральными плотностями р+ (/И2) и р_ (Л42) Для
этого нужно воспользоваться перестановочными соотношениями (15.1.3)
для операторов электронно-позитронного поля в один и тот же момент
времени, из которых, в частности, следует, что

<01 {1|>а (х), 4>в (х')} 10)f=r = (у4)аВ 6 (г —г').

С другой стороны, повторяя выкладки, приводящие к (21.3.13),'легко
убедиться, что
оо

<0|{1Га(х), ^6(x')}|0) = (V4)aB6(r-r')Z1 {1 + $ [рДМ2) + р_(М2)]бШ} •
m
Поэтому

оо

z?1=1+§ 1р+ (м2)+р_ т dM.
т

(21.3.14)

21.4. Уравнения для функций Грина в функциональных производных.

В предыдущих разделах мы дали определения функций Грина и выяснили
некоторые их общие свойства. Установим теперь уравнения, которым удо-
влетворяют эти функции.

В § 20.3, исходя из графических определений функций Грина, были
выведены уравнения для электронной и фотонной функций Грина. В эти
уравнения входит, однако, неизвестная вершинная функция, уравнение
для которой содержит бесконечное число интегральных операторов, соот-
ветственно бесконечному числу неприводимых вершинных диаграмм. Это
значит, что уравнение для'вершинной функции, а следовательно, и уравне-
ния для электронной и фотонной функций Грина нельзя сформулировать
в замкнутом, виде, используя только операции дифференцирования и инте-
грирования по пространственно-временным координатам.

Мы покажем теперь, что уравнения для функций Грина могут быть
сформулированы в замкнутом виде, если использовать операцию функцио-
нального дифференцирования [19].

Введем с этой целью в рассмотрение, наряду с оператором плотности
электронно-позитронного тока

jp. (х) = К	(х) Т(1я|> (х) — Я? (х) Ygi|>c (х)),

плотность сторонних токов /ц (х), которая, в отличие от оператора (х),
является с-числом. Введение стороннего тока означает, что гамильтониан
взаимодействия в ^представлении взаимодействия мы предполагаем теперь
имеющим вид

Нт (0 = - Ац W Ju (%) d*X ~ S Ац W	(21 -4*1)

Благодаря включению стороннего тока матрица рассеяния, а следова-
тельно, и квантовоэлектродинамические функции Грина становятся неко-
торыми функционалами Jv (х), изменения которых при варьировании сто-
роннего тока характеризуются функциональными производными по (х).

Напомним, что если F{Jv(x)} — некоторый функционал от
то функциональная производная от F {Jv (х)} поЛ(х), обозначаемая через
6F{7V «}

—-—— , определяется соотношением

О*, JJL

6F{Jv(х)} =Л	(х')d*x',	(21.4.2)

где (х) — вариация стороннего тока и 8F {Jv (х)} — связанная с ней
вариация функционала F {Jv (х)}. При этом величины 67ц (х) следует счи-
тать независимыми. Это значит, в частности, что плотность тока 7Ц (х)
не должна удовлетворять уравнению непрерывности

(х)

Так как в определение функций Грина в представлении взаимодействия
входит оператор S(^i, то мы прежде всего найдем функциональную
производную от него по стороннему току.

20 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
Покажем, что

=10	- о 9 (^-h) S (^, 0 Ац (х) s (t, t2),	(21.4.3>

где

f 1, t>0,
0(/) = {о, /<0.

Для доказательства воспользуемся уравнением

I S (tlt t2) = Н7 &) s (/i, t2), s (ti,

из которого следует, что

к

S(/i, /2) = /-^ HHOS(/', t2)dt'.

Дифференцируя это соотношение по Jv,(x) и используя (21.4.1), получим
ti

® -0 9 (/-/2) Аи (х) S (t, /2) - Ц Н, (Г) dt'.

t2

Г,	SS(hJ2) A

Решение этого уравнения относительно - т-т  будем искать в виде
О«/ ц, [х)

IK W 6 (t-t2)(х) S (t, t2).

Тогда для R (^) мы получим уравнение

ti

R (Ц) = 0 (ti -1) - i $ H, (f) R (t') dt',

tz
откуда

R(/i) = 0(/i-/)S(/i, 0,

что и доказывает (21.4.3).

Из (21.4.3) следует, в частности, что

= i (ф0) s (оо, t) Ац (х) s (t, - оо) Фо) = iSvac (Ац (х)), (21.4.4)
т. е.

<А.«> = ^(ф..Г{А.Ы81фо)=

С помощью (21.4.3) и (21.4.4) легко убедиться в справедливости сле-
дующего общего соотношения:

(F1 (^i) F2 (*^2) • • • Fn (^n)) = i (Fi (-^i) F2 (х2) ... Fn (хп) Аи (x))

—/(FJx^Fafe) ... Fn (xn)) (Лц (%)),	(21.4.5)

где

(Fi (xi) F2 (x2) ... Fn (xn))= -o” (®o> {Fi (xi) F2 (x2) ... Fn (xn) S) Фо)*
°vac

В частности, вспоминая определение фотонной функции Грина , имеем

тД-х <Av Ui)> =»<Av (xi) Ац (x2)) - i (Av (xO) (Ац (x2)>,	(21.4.6)

Ц \x2)
т. е.

d2 In Svac
6/ц (%i) 6Jv (*2)

Gyv (хь х2) =

Из (21.4.5) следует:

—1 ~ *“ ~

Правая часть этого равенства представляет собой функцию Грина
Сар/ц (-V1, Х2, X), ПОЭТОМУ

G(^ (хь х2; х) = -i ~G^(X-^X2~ •	(21.4.7)

о J у, \х)

Мы будем записывать это соотношение в виде

(21.4.8)

OJII \х)

рассматривая Ga₽7i( (хь х2; х) и (х^ х2) как матричные элементы опера-
торов бц ’7) (х) и G(e) в координатном представлении.

Аналогичное соотношение может быть записано для зарядово-сопря-
женных функций Грина

(21-4-9)

OJ у. \Х)

Используя эти формулы, можно найти вершинную функцию. Введем
для этого в рассмотрение обратную электронную функцию Грина (G(e))”\
удовлетворяющую уравнению

2	(*ь %з) G(/v 1 (*з, Х2) (/4Х3 = 6аТ6 (Xi — х2)	(21.4.10)

э

или сокращенно

G(e) (G(e))"1 - I.

Взяв от этого равенства функциональную производную по <7у,(х), получим

«^(0W - g<.,»^)2=0

>	Ы»(х)

откуда

6G(e) = _ G(e)	G(e) = _ ? G(e) 6	G(e) 6 (A, (x')> # ,

Ыц(х)	J d<Av(x')> Wg(x)

Учитывая (21.4.10), найдем отсюда

G<e’v) (x)= - f G^-^^-GwG^(x', x)d*x'.	(21.4.11)

d О \-Giy If

В § 21.1 мы получили соотношение (21.1.12), связывающее функцию
Грина Gg,v)(x) с вершинной функцией Гр,(х) в том случае, когда отсут-
ствует внешнее поле. В общем случае при наличии внешнего поля спра-
ведливо такое же соотношение

G<f’(х) = - е J G(e)rv (х') G(e)G^ (х', х) dW,

(21.4.12)
сравнение которого с (21.4.11) показывает, что

<2,-4-13)

Поступая аналогичным образом, легко убедиться, что

[0ц’7)	= е J (G(e))cr^ (х') (Gw)c G™ (х', х) d*x',

где

<21-4-14)

Отметим, что в отсутствие внешнего поля

G(e> = (G(e))c, Гц(х) = Г‘(х).

> Установим теперь уравнения для электронной и фотонной функций
Грина [19]. Будем для этого исходить из определений (21.1.1) и (21.1.3)
этих функций, в которых операторы полей ф(х), ф(х), Ар,(х) в гейзен-
берговском представлении удовлетворяют уравнениям

{1’»(<Е7-'еА»«) + т}Ч’« = 0’	(21.4.15)

О Ац, (^) — jy, (-^) Jц (х) •

Используя первое из этих уравнений и замечая, что 0 (/) = S (£), имеем

(ь -4г+m)G(e)	х') =

= — (Фо, {Ф (*)> Ф (*')} Фо) — t') + (Фо, Ф (х) Ф (х') Ац (х) Фо).

Но, согласно (15.1.3),

?4 {Ф (х)> Ф (х')} $ (^ —О = б(х —х').

Поэтому

{уц	^<Ац(х))] +mj G(e) (х, х') — — i&(x —х') + 1еуц0(ц,7) (х, х'; х).

Учитывая, что

?) ( _ ± 5°(е> <х’ *')
Up, [X, X , X) — t	(х)	,

получим

{ти(-^- — ге<Ац(х))] + rn — g?n б} G(e)U,х') = —г6(х —x'). (21.4.16)

Используя (21.4.8) и (21.4.12), можно представить это уравнение в виде

{ “ie <Atl (*)>)+ m } °(е) <х’ х') +

4-t S (х, Xi) G(e) (xn х') d4X!= —гб(х —х'),	(21.4.17)

где

2 (х, х') = е2уц G(e) (х, х0 Tv (xt, х'; g) G™ (g, x) d^.
Величина 2 (х, х'), как следует из сравнения с формулой (20.3.6),
представляет собой массовый оператор в координатном представлении,
уравнение же (21.4.16) по существу совпадает с уравнением (20.3.7) для
G<e> (х, х'): только первое написано в координатном, а второе — в импульс-
ном представлении.

Аналогичное уравнение имеет место для функций Грина [G<e> (х, х')]с:
{vn(-^; + Ze<AnW))+/n} [G(eJ (х, x')f +

+ i J 2е (х, Xi)[G(e)(Xi, x')]cd4Xi = -i6(x-x'),	(21.4.18)

где

2е (х, х') = е2Тр J [G(e) (x, xOfr; (xt, x'; g) G™ (g, x) d4x, d4g.

Получим теперь уравнение для (Ар(х)>. Согласно второй из формул
(21.4.15) имеем

П (Ар, (х)> = Jц, (х) (jp (х)>.

Используя далее определение оператора плотности тока

Ju (*) = -у (х) W - Фс (х) Ур# (х)},
получим

( ]ц	= — -у Sp Yp {G(e) (x, X + e) — [G(e) (X, X + 8)]c}, 8-^ + 0

и, следовательно,
□ (Ap (x)> = — Jp (x) +

+ у Sp Vp {G(e) (x, x + 8) — [G(e) (x, x + 8)]c}, 8 -> + 0.	(21.4.19)

Выведем, наконец, уравнение для фотонной функции Грина Gp?v (х, х')-

Используя второе из уравнений (21.4.15) и замечая, что
[Ар.(х), Av(x')]i=i'=»0, имеем

□ (Ар. (х) Av (х')> =

= 6 (/ - Г) (Фо, [Ар (х),	Фо)—4 (х) <Av (х')>—(jp (х) Av (х')>.

Замечая далее, что

& (t -t') [Ар (X),	= (SpvS (X - х'),

и вспоминая определение фотонной функции Грина, получим

□G$ (х, х') + (jp (х) Av (х')> — (jp (х)> (Av (х')> = iSpvS (х — х').

Но, согласно (21.1.5),

(jp (х) Av (х')> - (jp (х)) (Av (x')> = -	,

а в силу (21.4.6)

a (jp (*)>	. e б <jp (x)> (v)

(X') ~ 1 \ 6 (AX (Xj)) GkV X ) d Xl-

Поэтому

□ GpJ (x, x') — i Прх (x, Gxv’ (xb x') d4Xt = f’SpvS (x — x'),	(21.4.20)
где

Пцх (х, х ) — i б <д^ (x,)} .

Вспоминая, что

6G(e) _	G(e) 6(G(e))-1 G(e)_	eG^r (X}G^

6(Au(x)>-	G б(Ац(х)>° -	ea	,

^rw= - <G(e))c йг& <G(e))c=e <G(e))c^ W (G(e))c,

° \x)/ ° \x)/

и учитывая (21.4.19), получим

(х, х') = — -у Sp § {G(e) (х, Xt) 1\ (хь х2; х') G(e) (х2, х3) +

+ [G( (х, Xi) ] Г a, (xi, х2; х') [G( (х2, х3)] }лз_x_|_s d4Xi d4x2, s —> Ц- 0.

(21.4.21)

Величина Щд (х, х'), как видно из сравнения с формулой (20.3.6),
представляет собой поляризационный оператор в координатном представ-
лении, уравнение же (21.4.20) совпадает с уравнением (20.3.7) для G$ (х, х'),
только первое написано в координатном, а второе — в импульсном пред-
ставлении.

21.5. Представление функций Грина в виде функциональных интегра-
лов. Покажем, что функции Грина можно представить в замкнутом виде,
используя функциональное интегрирование [20].

Как мы знаем, функции Грина представляют собой средние по состоя-
нию вакуума от произведений операторов полей. Поэтому мы рассмотрим
прежде всего среднее значение по состоянию вакуума матрицы рассеяния

s = Т (ст), ст =	Vx)d\

где Т = Т^ТА — хронологический оператор (Тф и ТА — хронологические
операторы для электронно-позитронного и электромагнитного полей)
и Jy, (х) — плотность стороннего тока (рассматриваемая как с-число).
Так как среднее по состоянию вакуума от нормальных произведений опера-
торов полей равно нулю, то мы перейдем в выражении для S от Т-упорядо-
чения к ^-упорядочению. Воспользуемся с этой целью формулами § 16.6

ТА (о) = Na (едо), (о) =	(е2о),	(21.5.1)

где

1	Р	А2

Л = Т § D<*v — [бАц (g) 6AV (-П) rf4Tl’

2=1	-d^d\

2	J	бф (5) бф (1))

и Na и — символы нормальных произведений операторов электро-
магнитного и электронно-позитронного полей. Особенно полезной является
первая из этих формул, так как операторы (х) переставимы под знаком
Т-произведения, т. е. ведут себя как обычные числа.

Для упрощения дальнейших выкладок разобьем 4-пространство на
дискретные ячейки объема d4x и перейдем формально от интегрирования
ло 4-пространству к суммированию по этим ячейкам. Вводя обозначения
jр, (а) dx = jx, Ар, (а) "Уdx = Ах, Jy, (%) V dx

Dc^ (S л) di] = Dc^-ц,
мы будем рассматривать функционал как функцию бесконечного числа
переменных Ах, jx, Jx

о = о (Ах, jx; Jx) = е^А^ь+Ах/х)

Хпо дважды встречающемуся индексу производится суммирование).

Рассмотрим сначала ТА(о). В соответствии с (21.5.1) этот оператор
лиожно представить в виде

i	°2

ТА (о) = NA (Л дА^ о (Ах, jx; Jx)).

Это выражение, в свою очередь, можно упростить, перейдя к преобразо-
ванию Фурье функции о(Ах, jx; Jx) по переменным Ах:

а(Аж, ]ж; Л)= J а(Ля, /ж) е^+л*>А* JJ dAx,
где

о (Лж, jx) = § а (Л, jx) e~iAxAx Ц , а (Ах, jx) = о (Ах, jx; 0)
X

(в этом выражении Ах можно рассматривать, очевидно, как с-числа).

В результате мы получим для ТА (о) выражение

ТА (о) = лЦ о (Лх, /ж) е~ ^c^(A^)<AnWei(Ax+J.x)Ax д dAxi

X

и, следовательно, среднее по состоянию вакуума электромагнитного поля
ют ТА(о) будет равно

<ТА (а)>А = J а (Лж - л, /х) е~ д

X
или

<ТА (о))А = J П 4г-а И- Ь) $ е~ i2Dc^A^~<Ax-Jx)Ax Д dAx. (21.5.2)
X	X

Стоящую в экспоненте в этом выражении квадратичную форму по
п^ожно привести к главным осям ортогональным преобразованием, не меняю-
щим скалярного произведения Л^А|,

у	Л|ЛП + iAxАх —> у Dc^	) + у ,

тде Dci — собственные значения матрицы Dc^. После этого легко выпол-
нить интегрирование по dA^i

<ТА (о))А = С J П 4^ О (Л, /х) е~ lD^A^+iAxJxt (21.5.3)
X

где

Л 1 П Л2

С=П § е“2Вс£ЛЧлг.

£
Применив к этому выражению оператор и взяв затем от него среднее
по состоянию вакуума электронно-позитронного поля, найдем Svac:

Svac = С ? So (Л)	ц d^,	(21 5 4)

**- х 2л Л

X
где

So (Л) = {о (Дс, ]х)}Хр,	(21.5.5)

и символ (... >ф служит для обозначения среднего по состоянию вакуума
электронно-позитронного поля.

Так как в этих выражениях величины Ах представляют собой с-числа>
то оператор

8(Д) = ЗД(Л, jx)}

можно рассматривать как матрицу рассеяния, в которой операторы электро-
магнитного поля заменены с-числами, величина же So (Д) представляет
собой среднее вакуумное от этой матрицы

Имея выражение для Svac, можно, согласно (21 4 6), найти фотонную
функцию Грина

din *Syac
d/ц (х) Ыу (У) ’

Подставляя сюда (21.5.4) и полагая после выполнения дифференцирования
по внешнему току Jx = 0, получим

G(v) (х, у) =----—---------------х-----.	(21,5.6>

X

Рассмотрим теперь электронную функцию Грина

G(e) (х, У) = (Фо, Т {ф (х) i(у) S} Фо).

°vac

Переписав это выражение в виде

G(e) (х, у) =	(Д, {$ (х) (у)} {ТА (о))А)ф,

•^vac

где (... )ф и (... )А служат по-прежнему для обозначения средних по элек-
тронно-позитронному и электромагнитному вакууму, и используя (21.5.4),
получим

( G^(x, у; A) dr (А)	г

С	//гм,	’	(2L5-7>

где

G(e) (х, у, Л) =	°	<21 *5*8>

°0 к21/

И

dV (Л) = е~ ~2d^a^S0 (A) [J dAx.

X

Легко убедиться, что G(e) (х, у; Л) удовлетворяет уравнению
(гр -t-m— ieA (х)) G(e) (х, у; Л) = — гб (х—у),
где Дц (х), так же как и в (21.5.4), рассматривается не как оператор, а как
с-число. Иными словами, G<e> (х, у; А) представляет собой функцию Грина
уравнения Дирака в заданном внешнем электромагнитном поле.

Мы видим, таким образом, что электронную функцию Грина G(e) (х, у}
можно найти, если известна функция Грина G<e> (х, у; А) уравнения
Дирака в заданном внешнем электромагнитном поле, путем усреднения
G<e> (х, у; А) по всем полям с весом dT (Д).

Обратимся теперь к определению величины So (Д). Дифференцируя
выражение (21.5.5) по е и учитывая, что (х) = геф(х) Y^(x), получим

= —	{^« <х) W °	Дл W &х.

Вспоминая далее определение (21.5.8) функции G<e) (х, у\ Д), перепишем
последнее соотношение в виде

In So (Л) = § sp G(e) (х, х; Л) Л (х) d4x

(операция Sp берется по спинорным индексам), откуда

In So (ХЛ) = е J Sp Gm (х, х; ХЛ) Л (х) d4x.

Интегрируя это уравнение и замечая, что So (0) = 1, получим окончательно
1

50(Л) = ехр {е § dX J SpG(e>(x, х; ХЛ) Л(х)с(4х.	(21.5.9}

о

Таким образом, мы видим, что общая задача квантовой электродина-
мики — нахождение функций Грина — сводится к нахождению функции
Грина уравнения Дирака в произвольном внешнем поле и последующему
усреднению путем функционального интегрирования.

Решая уравнение для G(e> (х, у; А) посредством разложения в ряд
по степеням еА и подставляя решение в (21.5.9), можно построить теорию’
возмущений, эквивалентную обычной теории возмущений квантовой элек-
тродинамики. При этом в нулевом приближении (х, у) совпадает
С Sc (х — у), вы (х, у) — с Dc (х — у) и So (Л) = 1.

Заметим, что величина So (Д) является функцией только от произве-
дения еА. Поэтому, выбрав в качестве переменных интегрирования в (21.5.6>
вместо Ах переменные Вх = еАх, можно записать фотонную функцик>
Грина в виде

j ВхВуе~	Dc^Bi\0 (5) JJ dBz

e2GM (х, у) =-------i---z.	(21.5. 10}

z

Эта формула показывает, что если

$ BxByS0 (В) Ц dBz < оо,
Z

то существует конечный предел e2G(7)(x, у) при е2 —> оо.

21.6.	Калибровочные преобразования функций Грина. В § 16.5 мы<
видели, что при изменении фотонных связей

д2

Dciiv (я х ) > Dc^v (х х ) + X (-^ % )»	(21.6.1)
где % (х) — произвольная функция, матрица рассеяния S остается неиз-
менной. Этого, однако, нельзя сказать об операторе S (/ь /2), который
изменяется при таком преобразовании. Поэтому при преобразовании
(21.6.1) будут изменяться также и функции Грина [21].

Мы рассмотрим теперь преобразования функций Грина, связанные
«с преобразованием фотонных связей (21.6.1). Эти преобразования носят
название калибровочных преобразований функций Грина.

Рассмотрим сначала бесконечно малую вариацию 6£)C|XV (х, х') фотон-
ных связей и найдем связанную с ней вариацию электронной функции
Грина

оо

(X, X') = 6	2	$ (Фо, Т {гр (х) ip (х') X

71=0

X Jm C^i) Ащ (xi) ... j|xn (хп) Ацп (xn)} Фо) d4Xi ... d^xn.

Используя правила Вика и замечая, что dSvac = 0, имеем

6G( } (х, х ) = ч -г- С2п	(Xf, х2) dxi dx% X

° vac	ILS> e

n=Q

x § <jm (Xi) ig2 (X2) гр (x) ip (x') jM3 (x3) Ag3 (x3) •.. jg„ (xn) Agn (xn)> d4x3... d4xre,

где Cn = —. Это выражение можно, очевидно, переписать в виде

6G(e) (х, х') = —у 6DC(1V (хь х2) (jp, (Xi) jv (x2) гр (x) ip(x'))d4Xid4x2.

Полагая

(Xi, x2) = ахД2у 6Z (Xi-x2),
получим

&J(e) (x, x') = — у $ 6% (Xi —x2) X

X dxjkav (Xi) jv (x2) гр (X) ip (x')> d4xt d4x2. (21.6.2)

_	02	—

Вычислим входящую сюда величину -ч—ч—(/

СмЧц C'X2v

Замечая, что

(ji (Xi) jv (Х2) Ip (х) ip (х')> = 6 (ti —12) (Фо, [j4 (Xi), jv (x2)] ip (x) ip (x') Фо) +

+ 6 (/1 — t) (Фо, jv (x2) [j4 (Xi) гр (x)] ip (x') Фо) +

Ч-S (/i—f) (Фо, jv (x2)гр (x) [j4 (xi), гр (x')l Фо) +(®o-^|^-jv (х2)гр (x) гр (x') Фо),
л используя перестановочные соотношения

Ij* (Xi), гр (x)h1=( = — г'егр (x) 6 (r — n),	[j4 (Xi), гр (x)h1=z = ieip (x) 6 (r — rj),

[j4 (Xi), jv(X2)]il=(2 = 0,
найдем

d2	—

<j,i (X1) jv (Хг) (x) * (*Z)> =

= e2 {6 (x —Xi) — S(x' —Xi)} {6 (x —x2) —6 (x' —x2)} G(e> (x, x').

и (xt) /v (x2) гр (x) гр (x')>.
$ 22]

Подстановка этого выражения в (21.6.2) дает

6G(e>(x, x') = ea{6x(x-x')-Sx(0)}G(e>(x, х’).	(21.6.3)

Эта формула определяет бесконечно малое калибровочное преобразова-
ние электронной функции Грина. Конечное калибровочное преобразование
этой функции имеет, как легко видеть, следующий вид:

G(e) (х, х')	G(e)' (х, х') = G(e) (х, х')	(21.6.4)

Поступая аналогичным образом, можно показать, что калибровочные
преобразования фотонной функции Грина и функции Gj^’v) (хь х2; х) опре-
деляются формулами

G™ (х, х') -» G$' (х, х') = G^ (х, х') + д2д^х^ },

7)	Ui, х2; х) —> G^’т)/ (xt, х2; х) =

= {<?£’v> (х±, х2; х) —ieG(e) (хъ х2)-^- [х(х—х2) — х(х—хО^е^Сх-^-хСО)].

§ 22.	Перенормировка массы и заряда электрона

22.1.	Перенормировка массы электрона. При установлении основных
уравнений квантовой электродинамики мы исходили из уравнений Дирака
для электрона в заданном электромагнитном поле, в которые входили две
константы: т и е. Эти константы мы интерпретировали как массу и заряд
электрона. Однако мы должны теперь внести уточнения в эти понятия.
Действительно, по самой идее исходных классических уравнений Дирака
и Максвелла константы т и е представляют собой массу и заряд «свобод-
ного» электрона, т. е. электрона, полностью изолированного от воздей-
ствий электромагнитного поля. Иными словами, т и е являются характе-
ристиками некоторого гипотетического объекта — будем называть его
«голым» электроном,— не взаимодействующего с электромагнитным полем.

Взаимодействие между полями должно приводить к отличию энергети-
ческого спектра взаимодействующих полей от энергетического спектра
свободных полей. Поэтому масса «голого» электрона должна отличаться
от массы реального электрона, т. е. минимальной энергии однозарядового
состояния взаимодействующих полей.

В следующем разделе мы увидим, что и заряд гипотетического «голого»
электрона отличается от заряда реального электрона. Поэтому возникает
важнейшая задача о выяснении связи между массой и зарядом голого
электрона т и е и массой и зарядом реального, физического, электрона,
которые мы будем обозначать в этом параграфе через mR и eR.

Установим прежде всего связь между массами т и mR. Воспользуемся
для этого спектральным представлением (21.3.13) электронной функции
Грина. Предполагая, что р2 ж—mu, мы можем сохранить в (21.3.13)
только первое, полюсное слагаемое

— (G<e> (р))-1« 2-1 (р — imR),	р — itnR.

С другой стороны, согласно (20.3.4),

— (G<e> (р))"1 = р — im + S (р),

(22.1.1)

(22.1.2)
где S (р) — массовый оператор, который можно рассматривать как функцию
матрицы р. Поэтому

— (G(e) (р))-х = р —	+	+ (р— imR)-^~ . . + .... (22.1.3)

др р= imR

Сравнение формул (22.1.3) и (22.1.1) дает
mR = т + i S (imH),

.	(22.1.4)

V др / Р = iwR

Разность масс реального и гипотетического «голого» электронов
8m = mR — m,
обусловленную взаимодействием электрона с электромагнитным полем,
мы будем называть электромагнитной массой электрона, а величину т —
механической массой электрона. Вводя биспинор uR (р), удовлетворяющий
уравнению Дирака

(гр + тк)ив(р) = 0, uR(p)uR(p) = 2ma

для реального электрона, можно, очевидно, представить электромагнитную
массу электрона в виде

дт = 1Цд?)2(р^“д (р), p2 + mlj = 0.	(22.1.5)

UR (Р) UR (р)

Так как электромагнитная масса 8т обусловлена взаимодействием
между полями, то естественно рассматривать ее вместе с другими процес-
сами, обусловленными этим взаимодействием; теорию же взаимодействую-
щих полей строить с самого начала таким образом, чтобы в нее входила не
фиктивная масса «голого» электрона, а истинная масса реального электрона.

Рассмотрим с этой целью гамильтониан системы полей в представлении
взаимодействия

Н = Но {т} — jp, (%) Ay, (х) d3x,

где HQ {т} — гамильтониан свободных полей, в который входит масса
«голого» электрона (выражение для Н0{т} приведено в § 15.6). Заменяя
в Н0{т} массу голого электрона на mB —6m, перепишем гамильтониан Н
в виде

Н = Но {mR} — (jp (х) Ар (х) + ф (х) ф (%) 8т) d3x

и будем интерпретировать Н0{тн} (а не Н0{т}) как гамильтониан свобод-
ных полей и

Н - (/) = — (jp (х) Ар (х) + ф (х) ф (х) 8т) d3x	(22.1.6)

^а не — jp (х) Ар (х) d3xj как гамильтониан взаимодействия.

Эта процедура носит название перенормировки массы электрона.
Изменив гамильтониан взаимодействия, мы изменим также матрицу
рассеяния, которая принимает теперь вид

g _ у {ег J (JM(x)AJLl(x)+$(x)'ip(x)6m)d4X}	(22.1 7)

Благодаря дополнительному слагаемому ф (х) ф (х) 6т в гамильто-
ниане взаимодействия при графическом представлении элементов S-матри-
цы возникают новые — двухлучевые вершины, в которых
сходятся две электронные линии.	------*---►

Двухлучевые вершины приводят к дополнительным

ЭСЭД, причем существует только одна неприводимая рИСе 22.1.
дополнительная ЭСЭД (рис. 22.1, двухлучевая вершина
обозначена крестиком).

Всякая диаграмма, содержащая неприводимую ЭСЭД, дополняется
теперь такой же диаграммой, в которой неприводимая ЭСЭД заменена
диаграммой рис. 22.1.

Очевидно, совокупности двух диаграмм — неприводимой ЭСЭД и диа-
граммы рис. 22.1—соответствует величина

S(2) (p) = S(2) (p) + f6m<2),

где 6m<2> — электромагнитная масса электрона во втором приближении
теории возмущений. Отсюда следует, что вместо того, чтобы вводить двух-
лучевые вершины, можно сопоставлять всем внутренним неприводимым
ЭСЭД в любой компактной ЭСЭД функцию 2(2) (р), а не функцию 2(2) (р)
(кроме того, необходимо дополнить всю компактную ЭСЭД в целом диаграм-
мой рис. 22.1).

Мы видим, таким образом, что перенормировка массы электрона озна-
чает замену массового оператора 2 (р) перенормированным по массе массо-
вым оператором

2 (p) = S(p) + i6m.	(22.1.8)

Согласно (22.1.3) и (22.1.4),

S(p) = (p-i/nH)(-g-)	+... = (7^-1)(р-4/пй) + ... . (22.1.9)

\ др / Р — imR

Отсюда следует, что если ип (р) — биспинор, удовлетворяющий уравнению
Дирака с массой реального электрона, то

Up (р) S (р) uR (р) = 0,	р2=— tri?R.

Перенормированный по массе массовый оператор можно выразить через
функцию

Ли(р) = Гц(р, р)-ь,

связанную, согласно (20.3.10), с S (р) соотношением

Л (о) —

Л^Р>~ др» '
Из этого соотношения и выражения (22.1.9) следует, очевидно, что [221

2 (Р) = § Ли (9) dq^ + 2 (Ро)♦
ро

(22.1.10>

где pQ — 4-импульс свободного электрона, p2Q= —m,R.

22.2.	Физический заряд электрона. В предыдущем разделе мы разъяс-
нили, что благодаря взаимодействию электрона с электромагнитным полем
масса электрона mR не совпадает с постоянной т, входящей в уравнения
квантовой электродинамики. Теперь мы покажем, что и постоянная е,
входящая в уравнения квантовой электродинамики и матрицу рассеяния,
не есть в действительности заряд электрона, и установим соотношение между
постоянной е и зарядом элект-
рона.

Физический заряд элект-
рона можно определить с по-
мощью исследования рассея-
ния электромагнитных волк
малой частоты на покоящемся
электроне. Этот процесс явля-
ется чисто классическим, и

никакие квантовые поправки
не должны иметь места в пре-
дельном случае k 0. Поэто-
му естественно определить
физический заряд электрона
eR как коэффициент, входя-
щий в формулу Томсона для
эффективного сечения рассея-
ния фотона при k = 0,

__ 8л (	\2

Q 3 \ 4л/пдс2 / *

Мы покажем, что точное*
решение этой задачи в квантовой электродинамике приводит к формуле Том-
сона со следующим значением заряда eR, выраженного через постоянную е:

eR — Zl/2e.

(22.2.1)

Для доказательства [231 этого фундаментального положения рассмо-
трим всевозможные диаграммы, описывающие рассеяние фотона электро-
ном. Мы разделим такие диаграммы на три класса (рис. 22.2): 1) диаграммы,
которые могут быть сведены к скелетной диаграмме рис. 20.12; 2) диаграм-
мы, представляющие собой компактные ЭСЭД, к электронным линиям кото-
рых присоединены две внешние фотонные линии; 3) диаграммы, в которых
внешние фотонные линии присоединены к замкнутым электронным петлям.

Диаграммы последнего типа не дают вклада в матричный элемент.
Действительно, те из диаграмм, которые содержат петли с нечетным числом
вершин, можно не рассматривать на основании теоремы Фарри. Диаграммы
же этого типа, содержащие четное число вершин (см., например, рис. 22.2,
3,4), при k = 0 связаны соотношением (20.3.1) с диаграммами, содержащими
петли с нечетным числом вершин, и также не дают вклада в матричный:
элемент.
Матричный элемент, соответствующий диаграмме первого типа, может
быть, очевидно, представлен в виде

= ZZ^Uz (ГцО(е>Гу + ГуО(е)Ги)

причем, так как мы рассматриваем рассеяние фотона нулевой частоты
покоящимся электроном, то в этом выражении нужно положить

G(e) = G(e) (р), Ги=Ги(р, р), Ui = u(p), й2 = й(р),

где р = (0, imR); выбирая скалярный потенциал равным нулю, мы можем
считать, что

— #2vPv = О*

Рассмотрим теперь матричный элемент, соответствующий диаграмме
второго типа. Используя тождество Уорда, его можно представить в виде

— a2s (р)

где, согласно (20.3.9) и (20.3.10),

д22 (р) _	д2 (6<р)(р))~1

др» dpv ~ дру, dpv
Замечая, что

^^ = G<e,(p) ГДр, p)G<e> (р),
ир&

имеем

3^^ = G<e>rvG(e)r„G<e>4-G<e)r„G<e>rvG<e) — G<e)	G(e>

Vpl*, Upv	ирц, Vpy

и, следовательно,

+ Г.С-Г, + rvC»T>l = (в».)-1

Таким образом, сумма матричных элементов SSJli и Ж2 равна

Ж + Ж = ZZ^Uz (G^Y1	(б<е>)-1«1а1иа2г.

°P\l uPv

Подставим теперь сюда вместо G(e) выражение

G(e) (р) = ZtSc (р) {1 + С, (- р2) + рС2 (- р2)},

вытекающее из (21.3.13), где Сх и С2 —две скалярные функции р2, исче-
зающие при р2= — mR:

Ci (m2R) = С2 (m2R) = 0

(в Sc(p) в качестве массы входит mR, а не m). В результате мы получим

+ ЯЛ2 — Ze^^c1	^с—- Sc 1w1a1M,a2v +

+ 2Ze2C; (mR) u2 (y^pv + yvp^

где C; (mR) = dCi^r^ I 2 * Так как а1цри = a2vpv, то второе слагае-
аР \р2——тр>

мое исчезает; первое же может быть, очевидно, переписано в виде

Ж + Ж = Ze2Uz (bScVv + TvScYh)
Это выражение только множителем Z отличается от элемента S-матрицы,
соответствующего рассеянию фотона нулевой частоты покоящимся электро-
ном в первом приближении теории возмущений.

Вычисление + ЗЛ2 и нахождение соответствующего сечения рас-
сеяния может быть произведено согласно правилам Фейнмана. Мы не будем
здесь этого делать, так как в § 26 будет вычислено сечение комптон-эффекта
в общем случае для малых частот (но в первом приближении теории возму-
щений). Мы убедимся тогда, что при Z = 1 для сечения получается формула
Томсона, в которую в качестве заряда входит величина е. Поэтому, как
и утверждалось, если учитывать высшие приближения, то для сечения
рассеяния фотонов нулевой частоты покоящимся электроном мы получим
формулу Томсона, в которую, однако, будет входить в качестве заряда
не е, a eR.

22.3.	Перенормировка функций Грина и вершинной функции. Выяснив
смысл постоянной Z, мы должны будем доказать, что в выражении для
элементов S-матрицы, соответствующих любым квантовоэлектродинамиче-
ским процессам с учетом высших приближений теории возмущений, постоян-
ная Z всегда входит только в комбинации Ze2 [15].

Введем с этой целью перенормированные функции Грина

G^Z^G^,

перенормированную вершинную функццю

ГЙИ = /1ГИ	(22.3.2)

и функцию

Aip. = Z1Ay(, Лц=Гуд Уц.	(22.3.3)

Между этими функциями можно установить ряд соотношений, анало-
гичных соотношениям, имеющим место между исходными, неперенормиро-
ванными функциями.

Покажем прежде всего, что

Гвр, (Pi> Рг) = 7ц +АВм, (рь р2),	(22.3.4)

где

ARp. (Pi, Рг) =Aig (Pi, Pi) - Alg (p0, p0), Alti (p0, p0) = Л1(1 (p, p) | - = imR .

Используя (20.3.9) и (21.3.13), имеем

Гр,(Ро> Ро)= ^i17n*	(22.3.5)

-Поэтому

Лш(р0, Ро) = 21(Гц(ро, Ро) —Yn) = (l—Zi) Ъ

ш, следовательно, формула (22.3.4) приобретает вид

Глц.(Рь Р2) — 7у- + Л11Х (рь pa) + (^i—1) 7нв^17и +А1|Л (р1? р2).

Подставляя сюда Ai = ZiA., мы придем к формуле (22.3.2), что и под-
тверждает справедливость соотношения (22.3.4).

Докажем далее, что перенормированная электронная функция Грина
удовлетворяет уравнению

Gke) (Р) = SB (р) + Se (р)	(р) G& (р),	(22.3.6)
где (р) — регуляризованный массовый оператор, определяемый форму-
лой

(р) = Z, {2 (р) - 2 (imR) -(р- imR)	, (22.3.7)

(для более симметричной формы записи мы сохранили здесь величину
2 (i/пд), равную нулю). Заметим, что это выражение можно представить
также в виде

р

2Д (р) = Адр, (</, q) dqtl + 2Д (ро).
р«

(22.3.8)

Чтобы доказать (22.3.6), воспользуемся уравнением (20.3.4) для
электронной функции Грина, в котором, однако, произведем перенор-
мировку массы электрона, т. е. заменим массовый оператор 2 (р) пе-
ренормированным по массе оператором 2 (р) и под Se (р) будем
понимать

Sc(p) = y

1

tp + mR—iQ

Такое перенормированное по массе уравнение для G(e) (р) имеет вид

G(e> (р) = Sc (р) + Sc (р) 2 (р) G<e) (р).	(22.3.9)

Переписав это уравнение в форме

zr1 G(e)(p) = Se(p) + Sc(p)2(p)G<‘>(р)+(1 -Zt) zr1 G(e)(p)

и вспоминая (22.3.1), получим

Gke) (P) = Sc (p) + Sc (p) 2r (P)	(p),

где

2Д (p) = Zt2 (p) + (1 - Z,) 5Г1 (P).

Но последняя величина в силу (22.1.4) совпадает с величиной (22.3.7).

Докажем, наконец, что перенормированная поперечная фотонная
функция Грина G^P (/г) удовлетворяет уравнению

Gkv) (k) = Dc (k) + Dc (ft) Пн (&2)	(k\	(22.3.10)

где Пд —регуляризованный [поляризационный оператор —определяется
формулой

nB(fe2) = z{n(fe2)-n(0)-fe2{

4П (^2)
dk^

(22.3.11)

21 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
(напомним, что величина П (k2) связана с поляризационным оператором
k k

Hjxv (k) соотношением (fe) = П (k?)	---^5“)) •

Для доказательства (22.3.10) воспользуемся уравнением (20.3.5) для
поперечной части фотонной функции Грина G<T) (k):

G(v) (k) = Dc (k) + Dc (fe) П (fe2) G(v) (fe)
или

=	(22.3.12)

Из спектрального представления (21.3.6) фотонной функции Грина
следует, очевидно, что при fe2—=-0

___1__~ JL {-&2

G(v) (й) ~ Z lR •

С другой стороны, формула (22.3.12) дает при fe2—>0

—5— = ife2 - П (0) - fe2II' (0),
Gw(£)	v ' v '

п/ /П\	/	(&2) \	T-T

где П (0)=l—2^r2_Jfe2-0* ПоэтомУ должны выполняться равенства

П(0) = 0, -|-=1+Ш'(0).	(22.3.13)

Следует подчеркнуть, что если бы первое из этих равенств не выпол-
нялось, то фотонная функция Грина имела бы полюс не при fe2 = 0,
а при fe2 =	, что означало бы ненулевую массу фотона.

Подставляя (22.3.11) в (22.3.10) и переходя к неперенормированной
фотонной функции Грина, получим

Л G(v) (fe) = Dc (fe) + Dc (fe) Z {П (fe2 -H’fe2 (4- ~1) } T °(V) •

Ho Dc (k) k2 = — i, поэтому это равенство совпадает с исходным уравне-
нием (20.3.5).

22.4.	Трехфотонная вершинная функция. Регуляризованный поляри-
зационный оператор удобно представить в виде [22]

k

Пй(62)=-$7кц(?)^,	(22.4.1)

в

где

VRlil(q) — Viik(q) — qv ( Jq==q,
и

Viv, (q) = ZVц (q), М<?)= ~^W).	(22.4.2)

Функция Гц (q) аналогична функции

р)-ь=^
и допускает простую графическую интерпретацию. Именно она представ-
ляет собой сумму величин, соответствующих компактным трехфотонным
вершинным диаграммам, т. е. диаграммам, заканчивающимся тремя фотон-
ными линиями и происходящим от всех компактных ФСЭД. (Напомним,

что при вычислении элементов
S-матрицы трехфотонные вершин-
ные диаграммы можно не рассмат-
ривать, так как вклады в S-мат-
рицу от двух трехфотонных вершин-
ных диаграмм, отличающихся толь-
ко направлением замкнутых элек-
тронных петель, взаимно компен-
сируются в силу теоремы Фарри.)

Простейшая трехфотонная вер-
шинная диаграмма — трехфотон-
ная вершинная диаграмма третьего



Рис. 22.3.

Рис. 22.4.





порядка — изображена на рис. 22.3.
Соответствующая ей величина (kif k2, k3), где kl9 k2, k3 —4-импульсы
фотонных линий, сумма которых равна нулю, просто связана с величиной

П<& (k) = ь<2>

k k'K \

----’ соответствующей ФСЭД 2-го порядка

(см. рис. 20.2, /). Действительно, считая, что = —k2 = k, k3 = 0,
и используя соотношение (20.3.11), легко убедиться, что

Vk3) (k) = ± 4vv (k, - k, 0) = -	.	(22.4.3)

Это соотношение может быть обобщено на произвольные компактные
ФСЭД и соответствующие им трехфотонные вершинные диаграммы. Опре-
делим с этой целью, по аналогии с обычной вершиной, в которой сходятся

Рис. 22.5.

две электронные и одна фотонная линии, трехфотонную вершину, которую
будем изображать фиктивной диаграммой рис. 22.4 с тремя сходящимися
фотонными линиями. Обычной вершине сопоставляется величина

трехфотонной же вершине мы будем сопоставлять величину
Рассмотрим теперь какую-либо компактную ФСЭД. Если в ней внеш-
ние фотонные линии исходят из одной электронной петли (рис. 22.5,/),
то можно считать, что внешний
----------------------импульс k несут только элект-
----------------------/	)_J 1______ ронные линии одной половины

X X	д. у	петли. Дифференцируя по k ве-

<	личину, соответствующую такой

1)	ФСЭД, мы получим (в соответст-

вии с (20.3.11)) ряд слагаемых,
[	которые изобразятся трехфотон-

।	ными диаграммами рис. 22.5, 2.

___Если в ФСЭД внешние фо-
f	X	тонные линии исходят из разных

/	\------ электронных петель (рис. 22.6,

--------/), то внешний фотонный им-
пульс k несут также и внутрен-
ние фотонные линии, например

Рис. 22.6.	верхняя фотонная линия, соеди-

няющая электронные петли на
рис. 22.6, /. В этом случае при дифференцировании по k величины, соот-
ветствующей ФСЭД, возникнут члены, содержащие

^&- = Dc(k) 2ik^Dc(k),
которым соответствуют трехфотонные вершины (рис. 22.6, 2).
Таким образом, каждой компактной ФСЭД Y можно сопоставить сово-
купность трехфотонных вершинных диаграмм. Если	k2, обо-

значает сумму величин, соответствующих этим трехфотонным диаграммам,
то величина

0)
о —

У

будет связана с поляризационным оператором П(/г2) соотношением

V (k\-

в соответствии с (22.4.2).

По аналогии с Гц (р, р, 0) можно ввести трехфотонную вершинную
функцию

Ац (^) = 2^ц + 1/ц (k)
и перенормированную трехфотонную вершинную функцию
АЛ11 (k) =	(k) = 2ik» + УВц (k).

(22.4.4)

(22.4.5)

22.5.	Перенормировка элементов матрицы рассеяния. В § 20 мы пока-
зали, что для учета высших приближений теории возмущений внутренним
линиям и внутренним вершинам неприводимых диаграмм нужно сопостав-
лять функции Грина G<e> (р), G<?> (£) и вершинную функцию Гц (pt, р2),
а внешним линиям — амплитуды а и я. Иными словами, если рассматри-
вается некоторая неприводимая диаграмма n-го порядка, то соответствую-
щий ей элемент S-матрицы может быть схематически представлен в виде
ТО ~ en J (Г)п (G(e))Fe (G(v))F? (u)Ne (e)\	(22.5.1)
где Fe и Fv — числа внутренних электронных и фотонных линий, Ne
и Nv — числа внешних электронных и фотонных линий и (К)т служит для
обозначения того, что величина типа К входит под знаком интеграла т раз.

Матричный элемент ЗЛ выражен через неперенормированные вели-
чины. Посмотрим теперь, какой вид будет иметь SR, если перейти к пере-
нормированным величинам e = Z-1/2eB, Gie> — ZiQ^, G^ = ZGr\ T = Zi1I'r,
a = Zl/2u, a = Zi/2a (подчеркнем, что в перенормированные величины
входит масса реального, а не «голого» электрона).

Легко видеть, что

Ж ~ Z?n+Fe+T Ne	J (Гв)п (G$Ye (G$Yv WNe (a)N?-

(22.5.2)

Но в каждой вершине сходятся две электронные и одна фотонная линия,
причем внутренняя линия входит в две вершины, а внешняя линия —
в одну вершину. Поэтому

n = Fe + ~Ne = 2Fy-\-Ny	(22.5.3)

и, следовательно, показатели степеней Z и равны нулю

ал ~ J (ГяГ (Gke,fе (Gk7)f7 (“)Ne (af7.	(22.5.4)

Таким образом, матричные элементы выражаются одинаково через
неперенормированные (е, т, G^\ G^\ Г) и через перенормированные
<eR, mR, GR\ G%>, Гв) величины. Это фундаментальное свойство S-матрицы
носит название перенормируемости квантовой электродинамики [15]. Оно,
очевидно, базируется на соотношении (22.5.3), связывающем числа вершин
и линий в неприводимых диаграммах.

Так как постоянные Z и Z± не входят в выражение (22.5.4) для перенор-
мированного матричного элемента 2ft, то его можно вычислять по тем же
правилам, что и исходный матричный элемент (выраженный через непере-
нормированные величины). При этом желательно с самого начала пользо-
ваться перенормированными величинами Гл, G(r , Gr\ Эти величины, как
мы видели в § 22.3, определяются величинами и Пд, которые в свою
очередь определяются величинами Ai = ZiA и Vt = ZV; последние же
выражаются через перенормированные величины так же, как величины А
и V выражаются через неперенормированные величины. Действительно,
рассмотрим, например, неприводимую диаграмму n-го порядка для величи-
ны А (диаграммы 3-го и 5-го порядков изображены на рис. 20.3). Соответ-
ствующая ей величина может быть схематически записана в виде

п—1

A(n)~en-1 J (Г)п (G(e))n-1 (G(7)) 2 .	(22.5.5)

Переходя к перенормированным величинам, получим

П—1

$ (Гл)п (Он*)”"1 (G#>) 2

(22.5.6)
Таким образом, At можно вычислять по тем же правилам, что и Л,
заменив исходные функции Г, G(e), G<?> и величины т и е перенормирован-
ными функциями Гл, Сл\ Gr* и истинными массой и зарядом электрона mR
и ел.

Аналогичное заключение можно сделать и о функции Vi, рассматривая
неприводимые скелетные диаграммы для трехфотонной вершинной функции.
Функция Vf выражается через ел, mR, Гл, Gr\ </R так же, как функция V
выражается через е, пг, Г, G<e>, G<v).

Такой же вывод справедлив и для функции S (р) (при этом только
одной из вершин в неприводимой диаграмме должна сопоставляться
функция Г),

S (е, Г, G<«> G<v)) = 2 (ен, Гл, G#>)-

Что же касается функции П (£), то для нее справедливо соотношение
Z П «Г, G<‘>) = П (eR, Гк, Ол>).

Используя соотношение (22.5.6) для A(tn) и аналогичное соотношение
для ИГ\ можно в принципе получить разложения функций Гл, Gjf и GR^
в ряды по степеням истинного заряда электрона eR. Подстановка этих рядов
в выражение (22.5.4) для перенормированного матричного элемента
даст также ряд по степеням eR. Таким образом, может быть построена тео-
рия возмущений, содержащая ряды по степеням заряда реального, а не
«голого» электрона.

§ >23. Расходимости в матрице рассеяния и их устранение

23.1.	Расходимости в интегральных выражениях, сопоставляемых непри-
водимым диаграммам. При вычислении элементов матрицы рассеяния в выс-
ших приближениях мы встречаемся с принципиальными трудностями, застав-
лявшими в течение многих лет думать, что применимость квантовой элек-
тродинамики вообще ограничена первым приближением. Эти трудности
заключаются в том, что выражения для матричных элементов в высших
приближениях содержат интегралы, расходящиеся в области больших
импульсов виртуальных частиц.

В настоящем параграфе мы рассмотрим детально вопрос об этих рас-
ходимостях и о методах их устранения. При этом мы не будем рассматри-
вать встречающиеся в ряде случаев расходимости в области малых импуль-
сов («инфракрасная катастрофа»), которые связаны с неприменимостью
теории возмущений при малых частотах фотонов.

Рассмотрим некоторую неприводимую диаграмму. Ей соответствует
в общем случае многократный интеграл по импульсам виртуальных частиц

J F(pb pn)d4A ...<14рп,

где F (pi9 . . ., pn) — некоторая рациональная функция, представляющая
собой отношение двух полиномов. Так как каждой внутренней электронной
линии диаграммы соответствует множитель Sc (р), содержащий импульс
в степени —1, а каждой внутренней фотонной линии — множитель Dc (р),
содержащий импульс в степени —2, то разность степеней полиномов,
стоящих в числителе и знаменателе F, будет равна —(Fe + 2FV), где Fe
и Fy — числа внутренних электронных и фотонных линий.
Подсчитаем теперь число переменных интегрирования. Число различ-
ных импульсов равно числу внутренних линий, т. е. Fe + FT Но они не
независимы, так как три импульса линий, сходящихся в каждой из п вер-
шин диаграммы, связаны законом сохранения. Один из законов сохранения
можно отнести к внешним линиям, поэтому всего число независимых импуль-

сов, по которым производится
интегрирование, равно Fe +
+	— п, + 1. Если записать ин-

теграл схематически в виде

(44p)gl
(р)к* ’

то, используя приведенный под-
счет и соотношения (22.5.3), мы
получим

==~2п + 1 —Ne-----

K2=2n-±Ne-Ny,

где Ne и Л/у — числа внешних
электронных и фотонных ли-
ний.

Поскольку мы рассматри-
ваем неприводимую диаграмму,
то подынтегральная функция не
распадается на множители, со-
держащие независимые перемен-
ные. Поэтому сходимость инте-
грала определяется разностью

в)

не=о, tiy4

К- — К2 — 4/Ci = -g- Ne 4- Ny — 4.

(23.1.1)

При К > О интеграл сходится,
при К<0 — расходится. Заме-
чательно, что величина /С за- 7/
висит только от числа внеш-
них линий.

Из (23.1.1) следует, что
имеется ограниченное число типов
ветствующих следующим значениям

Ne=O, N..-0

Рис. 23.1.

расходящихся интегралов, соот-
чисел Ne и [151:

1)	Я = 2, Wv=l, /С = 0;

2)	2Ve = 2, tfv = 0, К-1;

3)	ЛГе = О, W7 = 4, К=0;

4)	Ne=0, N7 = 3, K=-l;

5)	Ne = Q, N7 = 2,

6)	Ne = Q, Ny=l,

7)	Ne = 0, Ny — Q,

K=-2;

kZ-^. (23j-2)

На рис. 23.1 изображены простейшие неприводимые диаграммы, соот-
ветствующие этим расходимостям. Не все из них, однако, вносят вклад
в матричные элементы. Ясно, что диаграмму 7, представляющую собой
вакуумную петлю, можно вовсе не принимать во внимание. Можно также,
согласно теореме Фарри, не рассматривать диаграмм 4 и 6, представляющих
собой замкнутые электронные петли с нечетным числом вершин. (Мы сохра-
ним, однако, диаграмму 4 с одним направлением обхода электронной петли,
так как она определяет трехфотонную вершинную функцию V.)

Таким образом, основными неприводимыми диаграммами, приводя-
щими к расходимостям в матрице рассеяния, является ЭСЭД и ФСЭД
2-го порядка, ВД любого порядка и диаграмма рассеяния света светом
(диаграмма 3 на рис. 23.1). Первой из них соответствует К = — 1, второй —
К = — 2 и остальным — К = 0.

23.2.	Введение граничного импульса. Появление расходимостей в матри-
це рассеяния указывает на неудовлетворительность теории. Ясно, что ряд
теории возмущений, строго говоря, не имеет смысла, если второй член ряда
бесконечен. Таким образом, возникает следующая проблема важнейшего
принципиального значения. С одной стороны, результаты применения
теории возмущений в первом приближении прекрасно подтверждаются
опытом. С другой стороны, для того чтобы первое приближение имело
какой-либо теоретический смысл, следующие приближения должны при-
водить лишь к малым поправкам.

Идея выхода из этого противоречия подсказывается уже классической
электродинамикой. Как хорошо известно, классическая электродинамика
не является логически замкнутой теорией. Последовательное ее примене-
ние приводит к противоречиям, проявляющимся, например, в бесконечной
электромагнитной массе электрона. Смысл этих противоречий сводится
к неприменимости уравнений классической электродинамики на расстоя-
^>2
ниях, меньших классического радиуса электрона (фактически клас-
сическая электродинамика из-за квантовых эффектов неприменима уже
при расстояниях порядка ^L).

Квантовая электродинамика правильно описывает взаимодействие меж-
ду электронами и фотонами в области достаточно больших пространственно-
временных интервалов или соответственно в области достаточно малых
импульсов частиц, но в'области малых ’Пространственно-временных интер-
валов, т. е. больших импульсов, становится неприменимой. Не рассма-
тривая здесь вопроса^ том, связано ли это ограничение с пороком основных
идей и уравнений квантовой электродинамики или с неприменимостью
теории возмущений, можно, однако, утверждать, что если рассматривать
процессы, в которых частицы обмениваются импульсами, малыми по срав-
нению с некоторым граничным импульсом L, то область импульсов виртуаль-
ных частиц, превосходящих L, не будет играть практически никакой роли.
В этих условиях величина граничного импульса не должна входить в выра-
жения для элементов S-матрицы. Поэтому, хотя мы точно и не знаем L,
тем не менее мы можем варьировать эту величину и выбрать ее таким обра-
зом, чтобы, с одной стороны, выполнялось условие Др < L> где Др —
величина, характеризующая изменение импульса частиц при столкнове-
ниях, а с другой стороны, была применимой теория возмущений.

Введение’; граничного импульса математически означает, что при
вычислении интегральных величин, сопоставляемых диаграммам Фейн-
мана, мы будем производить интегрирование не по бесконечной, а по неко-
торой конечной области 4-импульсного пространства. Эта область должна
быть, естественно, инвариантной относительно преобразований Лоренца
(подробно этот вопрос будет рассмотрен в § 36.1).
Вместо интегрирования по конечной области в 4-импульсном простран-
стве можно пользоваться также другим, эквивалентным методом, состоящим
в введении в подынтегральные выражения некоторого «обрезающего фак-
тора», т. е. множителя f (р, L) [8], равного единице при | р2 | < L2 и обра-
щающегося в нуль при | р2 | > L2. Такими свойствами обладает, например,
функция

f (P,L) = (	’

где п > 1.

23.3	Регуляризация функций, соответствующих неприводимым диа-
граммам. Мы покажем теперь, что, последовательно применяя процедуру
перенормировки массы и заряда электрона, можно сделать элементы
S-матрицы не зависящими от величины граничного импульса L, т. е. устра-
нить все встречающиеся в матричных элементах расходимости.

Начнем с исследования расходимостей у функций, соответствующих
неприводимым ВД (будем называть эти функции вершинными функциями
соответствующих порядков).

Простейшей неприводимой ВД 3-го порядка (рис. 20.3) соответствует
функция

л<3) (Р1, Рг) = 5 43) (Pi, Рг, q) d*q,	(23.3.1)

где

(Ри Рг, q) = (^4 YvSc (Pi - q) YjxSc (p2- q) yvDc (q),

и интегрирование совершается по 4-объему йт, определяемому граничным
импульсом L. При L оо интеграл (23.3.1), очевидно, расходится лога-
рифмически.

Регуляризованная функция Лдц (рь р2) (будем называть ее регуляри-
зованной вершинной функцией 3-го порядка) определяется, согласно
(22.3.4), формулой

(Pi, Рг) = л<?(Р1, р2)-Л<3>(р0, р0),	(23.3.2)

где р0 — 4-импульс свободного реального электрона, р2 = — mR. Покажем,
что функция Азд (рь р2) не содержит расходимостей, т. е. что в выраже-
нии для Лзд (Рь Рг) можно произвести предельный переход L оо.

Заметим с этой целью, что

/ дЯ<3) \

«?’(/>., к 4)-RS‘^ м «) = (/>.-₽<,),	+

+ (Л-р«), («П	.	..

\ dp2v	Р2=Р2

где piv и p2v — некоторые величины, лежащие соответственно между
Piv и pOv и p2v и pQv. При 1921 —> оо функция ведет себя, очевидно,
как (?)“4, а так как q входит в только в комбинациях pi — q и р2--у,
то - и будут вести себя при j q21 —» оо не как (<?)"4, а как (#)"\
благодаря чему интеграл, определяющий функцию Лдц (рь р2) будет схо-
диться при L —> оо. Это обстоятельство и оправдывает введение термина
регуляризованная функция (под регуляризацией обычно понимают про-
цедуру устранения расходимостей).
Ясно, что приведенное доказательство сходимости интеграла, опреде-
ляющего Авц (рь р2), немедленно обобщается на произвольные неприво-
димые ВД. Действительно, рассмотрим вершинную функцию Лц2п+1>(р1, р2),
соответствующую неприводимой ВД (2п+1)-го порядка

Лц (pi, |р2) =	(Рь ?2» • • •» Чп) d4<?id4p2 ... d^qni

Qm

где Т?ц2п+1) — отношение двух полиномов, которое ведет себя при >
—» оо как (?)"4П (г == 1, ..., п) и	— некоторая конечная область инте-

грирования, определяющаяся граничным импульсом L (при L —» оо инте-
грал Лц2п+1) (рь р2) расходится логарифмически).

Образовав разность

^2n+u(Pi, р2;	(Ро, Ро; ?i> • ••»9п) =

Г^2п+1)\

— (Pi Po)v \	/Р1=р', Р2=₽2	dp2v	Р2=₽2 ’

интеграл от которой дает Лд2ц+1) (рь р2), и, замечая, что р± и р2 входят
в /?ц2п+1) в линейных комбинациях с рг«, легко заключить, что эта разность
ведет себя при | ql\ —> оо как (<7)“<4П+1), что и обеспечивает сходимость
выражения для Л(ц2п+1) (Р1, р2) при L —> оо.

Рассмотрим функции, соответствующие неприводимым трехфотонным
диаграммам (будем называть их трехфотонными вершинными функциями
соответствующего порядка).

Простейшей трехфотонной вершинной диаграмме 3-го порядка соот-
ветствует функция

V<3)	= J Q(3) (Z>.	(23.3.3)

Qm

где

Qk8> (k; q) = -3^2-Sp yvSe (q-k}ygSc (q — k) yvSc (9).

Интеграл (23.3.2) расходится, очевидно, линейно при L —> оо. Однако
ввиду инвариантности области интегрирования Qm члены, пропорцио-
нальные L, должны обратиться в нуль. Действительно, для исследования
расходящейся части V™ (k) можно считать, что < q^. Если положить
Ли = 0, то после интегрирования и вычисления следа не останется вектор-
ного параметра, через который могла бы быть выражена векторная вели-
чина Уц3), т. е.

П3)(0> J QJT (0; q)d*q = G.

Qm

Поэтому отличный от нуля результат могут дать только линейные по
члены в Q^, но они будут приводить не к линейной, а к логарифми-
ческой расходимости.

Покажем, что регуляризованная трехфотонная вершинная функция
3-го порядка

V^(k) = v^(k)-kv (^^)ft=0	(23.3.4)
не зависит от величины граничного импульса, т. е. не содержит расхо-
димостей.

Так как VJ?’ (0) = 0, то (k) можно представить в виде

V^(k)= $ {О <7)-Q^(0; <?)-^( g) )fev=0} d*q.

Qm

Замечая, что

Q^(k-, ?) = Ql?>(0; q) +

+ kv V dkv )hv=o+ 2 kvkl\ dkvdkK )bv=k'v ’ 0<Kv<Rv,
и учитывая, что величины kv и qv входят в (k; q) не порознь, а в виде
линейной комбинации, легко убедиться, что интеграл, определяющий
Улц (&), сходится при L->oo. Действительно, подынтегральное выраже-
ние в Удц (&) при | q2 | оо ведет себя как (?)“5, что и обеспечивает сходи-
мость интеграла.

Аналогичным образом можно убедиться в отсутствии расходимостей
у трехфотонных вершинных функций, соответствующих другим неприво-
димым трехвершинным диаграммам.

Перейдем к рассмотрению функций S(2) (р) и П(2) (&2), соответствую-
щих неприводимым ЭСЭД и ФСЭД (эти функции называются массовым
и поляризационным операторами 2-го порядка). Регуляризованные функ-
ции Зд2) (р) и Пд2) (&2) можно найти с помощью формул (22.3.7) и (22.4.1),
подставляя в последние вместо Лдц (q, q) и (q) функции Адц (д, q)
И Vr3j1 (</)• Ясно, что полученные таким образом функции 2#2) (р) и Пд2) (k2)
не будут содержать расходимостей. Но можно производить регуляризацию
массового и поляризационного операторов 2-го порядка, исходя непосред-
ственно из выражений для 2(2)(р) и П(2) (&2) в виде интегралов по 4-объему
Qm, определяемому граничным импульсом L. Согласно результатам § 22.4
регуляризованные значения этих величин определяются формулами

2g’ (Р) = 2<2’ (р)-2(2) (ад- (р‘-/ад (as<a>.(p) )г im •
\ др ' Р«=гтд

<П^) (62) = П(2)(62) -№> (0)—£2П<2)' (0).	(23.3.5)

Эти формулы (вместе с формулами (23.3.2) и (23.3.4)) отчетливо разъяс-
няют математическую процедуру регуляризации. Мы видим, что она состоит
в вычитании из регуляризуемой функции нескольких первых членов ее раз-
ложения в ряд Тейлора по степеням р — 1тв, или k2. Количество отнимае-
мых членов должно быть минимальным для обеспечения сходимости
остатка; тот же факт, что остаток не будет содержать расходимостей,
следует из того, что регуляризуемая функция представляет собой интег-
рал, в котором в случае неприводимых диаграмм внешние импульсы
входят в виде линейной комбинации с переменными интегрирования,
и поэтому каждое дифференцирование увеличивает степень полинома, стоя-
щего в знаменателе подынтегральной функции, на единицу.

Физический смысл этой «вычитательной» процедуры заключается,
как следует из предыдущего анализа, в том, что она эквивалентна перенор-
мировке констант е и т — заряда и массы электрона.
Нам остается показать, как производится регуляризация матричного
элемента, соответствующего рассеянию света светом (диаграмма 3 на
рис. 23.1).

Согласно результатам § 23.1 этот матричный элемент

3Jl(vv)(feb k2, k3, kt)= k2, k3,	q±, ...,qn)d*qt ... d4</n»

Qm

(23.3.6)

где klt k2, &з,	— 4-импульсы фотонов и G — некоторая функция, которая

может быть найдена по правилам Фейнмана, расходится логарифмически
при L->oo. В частности, логарифмически расходящуюся константу пред-
ставляет собой и величина (0, 0, 0, 0). Но из соображений калибро-
вочной инвариантности эта величина должна, очевидно, равняться нулю.
Тот факт, что мы получили величину, отличную от нуля, связан с тем, что
введение конечного граничного импульса L нарушает калибровочную
инвариантность теории. Для восстановления калибровочной инвариантно-
сти мы должны заменить функцию G (k^ k2, qi9 . . ., qn) под зна-
ком интеграла (23.3.6) функцией

G (&i> k2,	k^', q^ • • • • qn) G (0, 0, 0, Oj q^, ..., <7n)*

Таким образом, мы получим следующее выражение для регуляризо-
ванного матричного элемента рассеяния света светом:

(^1, k2, k3, kt) = § {G (ki, k2, k3, kt; 41, .... qn) —
-G(Q, 0, 0, 0; ............................qn)}d*qi ... d*qn. (23.3.7)

Ясно, что это выражение не будет содержать расходимостей (подробно
вопрос о рассеянии фотона фотоном рассматривается в § 41).

23.4.	Регуляризация функций, соответствующих приводимым диаграм-

мам. В предыдущем разделе мы показали, что процедура перенормировки

к

на рис. 23.2. Ясно, что интегральное

массы и заряда электрона позво-
ляет однозначным образом устра-
нить расходимости в функциях,
соответствующих неприводимым
диаграммам.

Мы покажем теперь, что эта
же процедура позволяет однознач-
но регуляризовать функции, соот-
ветствующие приводимым диаг-
раммам.

В этом случае задача сильно
усложняется. Действительно, рас-
смотрим, например, приводимую
ВД 11-го порядка, изображенную
выражение Л£1} (рь р2), соответст-

вующее этой ВД, расходится при L -> оо как при интегрировании по

переменным q2, относящимся к диаграмме как к целому, так и при
интегрировании по переменным qT, q", q'", относящимся к внутренним
частям диаграммы, т. е. к функциям S<2) (q^, S<2> (q2), П<2> (q), Л<3> (q2, p2).

Чтобы регуляризовать функцию Ла1> (pi, р2), мы вначале произведем
регуляризацию функций, соответствующих внутренним частям диаграммы,
т. е. заменим в интеграле, определяющем Л(11> (pif р2) величины 2<2) (^),
2<2) (9г), П<2) (</), Л‘3> (<?2, Рг) их регуляризованными значениями 2g’ (^t).
2g’ (<у2), ng’ (q), Ag” (q2, p2). Интеграл по остающимся переменным qt, q2,
относящимся к диаграмме как к целому (функции 2 g ’ (<?), 11g’ (<?2), Ag’ (q, р)
предполагаются при этом известными), будет по-прежнему расходящимся,
и вопрос сводится к тому, каков характер этой расходимости. Мы покажем,
что расходимость будет такой же, как и расходимость вершинной функции
третьего порядка Л'3’ (pit р2), т. е. логарифмической. Благодаря этому
замечательному обстоятельству регуляризация «внутренних» функций не
ухудшает расходимости интеграла, определяющего Л<1П (р1( р2) и послед-
ний (после регуляризации «внутренних» функций) может быть регуляризо-
ван так же, как и функция Л<3> (plt р2), путем вычитания из Л*11’ (р1г р2)
величины Л*11’ (р0, р0)

W'tPi, р2) = Л<11>(р1, р2) — Л*11’(р0, р0).

Чтобы убедиться в справедливости сделанного утверждения, выясним
характер асимптотики регуляризованных функций Ед’ (р), Пн* (&2),
Ад* (pi, р2) в области больших значений аргументов (полностью задача
о нахождении вида этих функций будет решена в § 36). Рассмотрим сначала
вершинную функцию Л<3) (д, р). В интересующей нас области | q2 | -э-оо
можно, очевидно, считать функцию Л<3) (q, р) зависящей только от q2.
С другой стороны, интеграл, определяющий Л<3), расходится при L оо
логарифмически. Поэтому из соображений размерности можно заклю-
чить, что

Л«>(р, 0)~1п£, |Р2|->ОО,
ч

и, следовательно, регуляризованная функция Ag’ (q, 0) при | q*1 —> оо
ведет себя как

ЛЬ3’ (9, 0) ~ In -g-, | | оо.	(23.4.1)

mR

Имея это выражение и используя соотношение

р

2Г(Р)= $Л)Ш g)dqil,

РО

легко заключить, что при | р21 —> оо функция 2g’ (р) ’ведет себя как

2g’ (р) ~ р In X, | р21 оо.	(23.4.2)

mR

Выясним, наконец, характер асимптотики функции Пд* (k2). Напом-
ним с этой целью, что трехфотонная вершинная функция V$y (k) логариф-
мически расходится при L—> оо. Поэтому из соображений размерности
следует, что в области больших импульсов

|£2|—*оо,

и, следовательно, регуляризованная функция Vg$(k)"имеет вид

(k) ~ in ~, I FI ОО.	(23.4.3)

mR

Отсюда, используя соотношение (22.4.1)

к

ПГ (£)=-$ (q)dqll,
о
можно найти Пд’ (k) при | k2 | —> оо

IW)~£4n-^-, |&а|—>оо.	(23.4.4)

rrLR

Полученные формулы показывают, что если перейти от диаграммы
рис. 23.2 к скелетной диаграмме рис. 21.1с эффективной вершиной и эффек-
тивными электронными и фотонной линиями, то соответствующие им
величины будут вести себя в области больших импульсов как

Г-1П-4-, G(e,~4-ln	G(7)~-Vln-4-»

q	Я2 Mr ' ‘

Поэтому, как и утверждалось, интеграл, соответствующий скелетной
диаграмме в целом

A(11) (Pi, р2) — е2в (G(e’)2 G(v) d*q,

будет расходиться при L^oo так же, как и Л<3) (plt р2), т. е. лога-
рифмически, и для его регуляции достаточно из Л(11> (р15 р2) вычесть
А'11’ (До, Ро)

Лк11’ (А, р2) - & J {Г (G<°>)3 G(v) — [Г (G<*7 G(v)]p=Po} d*q.

Нам остается показать, что изложенный метод постепенного устранения
расходимостей — от внутренних неприводимых диаграмм к охватывающим
их ЭСЭД, ФСЭД и ВД и от последних ко всей диаграмме в целом — при-
меним в случае сколь угодно сложной приводимой диаграммы.

Так как массовый и поляризационный операторы различных порядков
(р) и П<п> (k2) выражаются через вершинные и трехфотонные вершин-
ные функции Л(2П+1) (рь р2) и 1/<2Л+1) (р), то достаточно, очевидно, ограни-
читься рассмотрением функций Д(2Л+1) (рь р2) и У(2П+1) (<?), соответствую-
щих различным приводимым диаграммам.

Переходя от этих приводимых диаграмм к соответствующим неприво-
димым скелетным диаграммам с эффективными линиями и эффективными
вершинами, мы получим для Л(2П+1) (рь р2) и 7(2П+1> (р) интегралы, в кото-
рые будут входить регуляризованные функции Лдп+1) (рь р2) и Уяп +1) (?)
более низких порядков, п' < п. Но, как можно убедиться, повторяя рас-
суждения, приводящие к (23.4.1) — (23.4.4), функции Ляп+1), Уд2п/+1),
Пл * в области больших импульсов q только множителями типа
рп , где N — некоторое целое число, будут отличаться от функций
AJF, Vr\ SJF, П1Г. Поэтому характер расходимости интегралов, опреде-
ляющих функции Л(2Л+1) (рь р2) и у(2П+1) (р) (с регуляризованными «вну-
тренними» частями), будет таким же, как и в случае простейших неприво-
димых диаграмм, т. е. логарифмическим. Иными словами, после регуляри-
зации «внутренних» частей мы не придем к расходимостям новых типов
и сможем произвести окончательную регуляризацию функций Л(2П+1) (рь р2)
и 7(2П+1> (д) так же, как и функций Л(3) (рь р2) и V<3> (р), т. е. путем вычи-
тания из Л(2П+1) (рь р2) величины Л(2П+1) (р0, р0) и вычитания из V(2n+1) (р)
/^V(2n+l)x
величины kv I —кт— |
\ u/jy /

Зная регуляризованные функции Лн (рь р2) и VR (q), можно по фор-
мулам (22.3.7), (22.4.1) найти регуляризованные массовый и поляризацион-
ный операторы (р) и Пд (А), а зная последние, по формулам (22.3.6),
(22.3.10) определить перенормированные функции Грина. Существенно
подчеркнуть, что по самой идее изложенного метода постепенного устране-
ния расходимостей, базирующегося на последовательном применении про-
цедуры перенормировки массы и заряда электрона, мы получим для всех
перенормированных и регуляризованных функций не замкнутые выраже-
ния, а ряды по степеням перенормированного заряда электрона eR.

Имея выражения для перенормированных функций Грина и вершин-
ной функции, можно определить регуляризованное значение матричного
элемента, соответствующего произвольной приводимой диаграмме. Дей-
ствительно, согласно § 22.5 матричный элемент сохраняет свой вид при
переходе к перенормированным величинам

ЗЛ = еп J (Г)" (G(e)f*	(afy =

~eR $ ^Rr(G^fe(G^f4ufe(af\ (23.4.5)

а так как перенормированные функции Гй, 6^ и GjP не содержат расходи-
мостей, то регуляризация ЯЛ необходима только в том случае, когда инте-
грал (23.4.5) расходится. С другой стороны, в области больших импульсов q
функции Гйц, Gr* ведут себя с точностью до множителя типа In f1

так же, как и функции Sc, Dc (речь идет каж-
дый раз о диаграммах сколь угодно большого, но
конечного порядка!). Поэтому матричные элемен-
ты ЯЛ могут обладать расходимостями только тех
типов, которые свойственны величинам, соответ-

ствующим неприводимым диаграммам, и, следова-

тельно, применяя к интегралу (23.4.5) в целом	ис’ *3’

процедуру регуляризации величин, соответствую-

щих неприводимым диаграммам, мы однозначным образом устраним
встречающиеся в ЯЛ расходимости.

Остановимся в заключение этого раздела на определении регуляризо-
ванных значений массового и поляризационного операторов.

Если исходить непосредственно из интегральных выражений, соответ-
ствующих приводимым ЭСЭД и ФСЭД, то при регуляризации возникает
сложность, связанная с тем, что ВД, включенная в одну из внешних вер-
шин ЭСЭД или ФСЭД, может проявиться и как ВД, включенная во вторую
внешнюю вершину этой ЭСЭД или ФСЭД. (Поэтому расходимости, связанные
с такими ВД, можно назвать перекрывающимися [24].)

На рис. 23.3 приведена ЭСЭД 4-го порядка, и здесь отчетливо видно,
что ВД у вершины а является одновременно ВД у вершины b (эту ЭСЭД
можно представить в одном из двух видов, изображенных на рис. 20.5).

По правилам Фейнмана изображенной диаграмме соответствует
функция

2<4> = qi) (Р’ Р1' Нч (-°’ diqi

где

p (n n\___ i v * (p ?*) m к (пл л\___________z (р—q*—?z)—т а,

Г|х(Р. 71)- Yu (p_(?1)2 + m2 ’ Avia(P, 71, 7г)-Tv (P1_91_92)2 + OT2 Tv,

Hy(p, q2)

(p_92)2 + m2 Yv ql
Регуляризованная функция Ед’ (р) имеет вид

2к4,(р) =

= \Я(р; <71, <7г)—Я(Ро; <71, <7г)~(Р—Po)u (~~Я(PL91’ 92) )	d^d^,

е)	\ Орц	/ Р=Ро

где

R(P‘, Чъ Чг) = Р^(р, qJK^tp, qt, q2)Hv(p, q2) —

Pg (Po, <7i) ^vn (Po, <71, 0)-^v (p, <7 2) Pg (P, <?i) Kvn (Po, 0, <7г) Hv (Po, <7г)»

Чтобы избежать рассмотрения перекрывающихся расходимостей, удоб-
но определить сначала регуляризованные вершинные и трехфотонные
функции разных порядков Адп+1) (рь р2) и Удп+1) (q) и, зная их, по форму-
лам (22.0./'> и (22.4.1) находить соответствующие функции 2д° (р) и Пд) (k2).

§ 24.	Асимптотические свойства функций Грина
и границы применимости квантовой электродинамики

24.1.	Структура функций Грина в области больших импульсов.
В § 22 5 мы показали, что матричный элемент, соответствующий какому-
либо процессу, с учетом высших приближений теории возмущений

3Jt = en J (Г)п (G(Vv («Л («Л

сохраняет свой вид при переходе от неперенормированных к перенорми-
рованным величинам

е —> eR = Zlf^e,

G^-^Gg^ZfG™, G^-^G^^Z-^, Г ->^ = 7^, (24.1.1)
и —» и = Z-^u, a—>a==Z~1^a.

Это важнейшее свойство электромагнитного взаимодействия электронов
и фотонов, называемое перенормируемостью, было использовано нами
в предыдущем параграфе для установления правил регуляризации различ-
ных квантовоэлектродинамических величин.

Теперь мы покажем, что, используя свойство перенормируемости,
можно выяснить структуру и получить асимптотические представления
функций Грина в области больших импульсов [18].

Рассмотрим прежде всего фотонную функцию Грина. Предполагая
выполненной перенормировку массы электрона, запишем G<v) (k2) в виде

G(?) (k) = Da(k*)d,

где d—некоторая функция квадрата 4-импульса k2, граничного импульса L
и неперенормированного заряда электрона

d = d I	, е2 .

\ k2 &	'

Перенормированная функция d, которую мы будем обозначать через dR
<	V k2 2,

и которая является функцией —и eRi

mR

dR = dR( , eR\ ,
связана, согласно (24.1.1), с неперенормированной функцией d соотно-
шением

<24-'-2>

где Z является некоторой функцией-^- и e2R

mR

Z = Z , е2д) ,
\ m2R '	)

и е2 и eR связаны между собой соотношением

e2 = Z"^.	(24.1.3)

Как видно из структуры выражений, сопоставляемых различным
фейнмановским диаграммам, они допускают предельный переход т О
(речь идет о неперенормированных выражениях). Предельный переход
к нулевой массе возможен и после перенормировки массы (но не после пере-
нормировки заряда!). Поэтому, интересуясь поведением функций Грина
в области больших импульсов, мы можем в неперенормированной (по заря-
ду) функции d вычеркнуть второй из аргументов

°- e2)sd(-S->e2)> pi>^-

Из (24.1.2) и (24.1.3) следуют тогда соотношения

d (4М dR (^4 ,ей)

(24.1.4)

e2d , e2) = eRdR , eR} = d.

\a /	\ mR /

Разрешая второе из этих соотношений относительно е2 и eR:

d),	=

перепишем первое соотношение в виде

(23.1.5)

В левую часть этого равенства не входит масса tnR, а в правую —
граничный импульс L. Это значит, что при фиксированном е\ обе части
написанного равенства не зависят ни от тл, ни от L. Иными словами,

д2
№

22 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
ИЛИ

(mg" ’ еМ = е^л (^ ’ еМ f (ха’ ’ ’Ь’ ’ е^к ’ 6М ) ’

где / — некоторая функция трех аргументов.

При фиксированном eR левая сторона этого равенства не зависит
от %2; поэтому, в частности, можно положить № = q2 и переписать равен-
ство в виде

g(x, eh) = G (у, g(y, eg) ) ,

где

х =	= g(x, е2й) = e2RdR (х, eh).

R	R

Вводя далее обозначения

£! = £(%, eh), g2 = g(y, eh),

получим отюда

gi = G (

h (gi, e2R)

h (g2, eR) ’

£2) •

где h(g, eh) есть решение уравнения g(x, eh) = g относительно x. Так
как слева величина eR не входит, то должно иметь место соотношение

h(g, eh)

X(g)

<P(eR)

т. e.

%(g) = x<p(eR)

и, следовательно, [18]

ehdR , eh)=®(<f>(eh)-£r) , \k*\>mh,	(24.1.6)

\ mR I \	mR }

где Ф и ф — некоторые неизвестные функции одного аргумента. Мы
видим, что в области больших импульсов величина eRdR(^-, eR\

\ mR /
является функцией не двух, а только одного аргумента ф (eR) .
Отсюда можно получить важное следствие, касающееся эффективной
плотности заряда в облаке электронно-позитронных пар, окружающих
в вакууме какой-либо пробный заряд.

Как следует из (21.4.6), внешний потенциал АЮ (х) и порождающий
его ток «7И (х) связаны между собой в вакууме соотношением

(х) = i J G$ (х, х’) Jv (%') d^x'.	(24.1.7)

В случае покоящегося пробного заряда Q

Jv (х) =	(г)

и, следовательно, потенциал, порождаемый зарядом Q в вакууме, имеет
вид

оо

<p(r) = iQ $ G^(x)dt
— ОО

(24.1.8)

(мы, естественно, заменили функцию Грина ее регуляризованным значе-
нием).

Последнее соотношение можно, очевидно, переписать в виде

ф(Н = (-^з

(24.1.9)

откуда следует, что плотность заряда в облаке электронно-позитронных
пар, окружающих пробный заряд, определяется формулой

Р(г)=-Дч>(г)=^^»(^,	(24.1.10)

Мы видим, что функция dR(-^-, ед) имеет наглядный физический
\ mR '

смысл: с точностью до постоянного множителя она представляет собой
компоненту Фурье плотности заряда в облаке пар, окружающих «точеч-
—eR] представляет собой
mR '

формфактор «точечного» заряда.

На очень малых расстояниях от пробного заряда (г < —-)

в (24.1.10) можно подставить вместо функции dR(-^, ед) ее асимпто-
\ mR 7

тическое представление (24.1.6)

Сделав здесь замену переменной <р (ед) = k' и вводя обозначение

f (г) = \ Ф (Л'2) e^dsk',

получим

Р (r) = f (г

тд

/ф(*д) ' '

Эта формула показывает, что на расстояниях, меньших чем -------,

распределения заряда не зависит от постоянной связи eR, которая
лишь в масштабный множитель ср (ед).

форма
входит

Поведение функции Ф (х) при х оо тесно связано с величиной заряда
«голого» электрона или, как мы будем говорить, первичного заряда е.
Если Ф (х)оо при х->оо, то сингулярность в центре распределения
заряда будет более сильной, чем б-образная, и, следовательно, первичный
заряд будет бесконечным, е = оо. Если же при х-> оо функция Ф (х) стре-
мится к конечному пределу Ф (оо), то и первичный заряд будет конечным,
причем его величина, определяемая этим пределом, не будет зависеть от еа.

Подчеркнем, что все эти выводы, так же как и соотношение (24.1.6),
определяющее структуру фотонной функции Грина в области больших
импульсов или малых расстояний, основаны только на свойстве перенор-
мируемости и существовании у неперенормированных матричных элементов
конечных пределов при т —0.

Соотношения, аналогичные (24.1.6), могут быть получены также для
перенормированной вершинной функции. Для этого удобно предварительно
выразить Gr? (р) и Гн (рь р2) через различные скалярные функции и вели-
чины типа уцРц = р, которые можно построить с помощью 4-векторов
р, рь р2. Например, Gr> (р) может быть представлена в виде

л(е) / М _	(р2) р + s2 (р2) mR

’

где St (р2) и s2 (р2) — некоторые функции р2, не имеющие полюсов при
конечных значениях р2. Аналогичное, но более сложное выражение может
быть написано и для перенормированной вершинной функции.

Скаляры St и s2 и аналогичные скаляры для вершинной функции (будем
их обозначать через у^) зависят не только от 4-импульсов р и перенорми-
рованного заряда eR, но еще и от так называемой «массы фотона» X, вводимой
для устранения инфракрасной расходимости, возникающей в результате
регуляризации функций (подробно вопрос о «массе» фотона обсуждается
в § 29). Таким образом, скалярные функции, входящие в Gr* (р), зависят
р2 2 и X2
ст трех переменных:-^-, eR и —г
mR	™R

/ Р2 2 X2 \	’	1 О

$ =s /-£— eR, -г-1 , г = 1,2,

X tt	п f

а скалярные функции, входящие в Гк(р1? р2), —от пяти переменных
Pl Pl Р1Р2 р2	№

mR ’ mR ’ mR ’ R	mR ’

Упрощения наступают в области больших импульсов. Поступая так
же, как и при выводе (24.1.6), можно показать, что в области больших
импульсов функции 5г и имеют следующую структуру



где ср (eR) — та же функция, которая входит в (24.1.6), и Л, Я, В и г — не-
которые функции одного, трех и двух аргументов. Обратим внимание на то
обстоятельство, что во все скалярные функции sz и входит одна и та же
♦	/ X2 2 \

функция г(—2, eR\, определяющая их зависимость от «массы фотона».

Эти соотношения, так же как и соотношение (24.1.6), основываются
на свойстве перенормируемости и существовании конечного предела
у матричных элементов при т -> 0.

Из перенормируемости вытекает также существование некоторой груп-
пы преобразований, по отношению к которым инвариантны матричные
элементы. Именно, если обозначить перенормированный заряд и перенор-
мированные функции Грина и вершинную функцию соответственно через

G<p, Оф, 1\ и перейти от этих величин к величинам е2, G^, Оф, Г2,
связанным с G(p, Оф, Гх соотношениями

е2 =	0<е> - Z-'G^, Оф = Z-WW, Г2 - ZJ\, (24.1.12)

где Z и Zi — произвольные величины, то матричные элементы ЗЛ, вычислен-
ные с помощью первой и второй систем величины, будут одинаковы:

Такие преобразования образуют, очевидно, группу, которая носит
название ренормализационной группы. Можно показать, что изучение ренор-
мализационной группы также позволяет выяснить асимптотические свой-
ства функций Грина [25].

24.2.	Асимптотические выражения для функций Грина. До сих пор
мы конкретно не пользовались теорией возмущений (если не считать того
обстоятельства, что в самой перенормируемости мы убеждались из анализа
структуры элементов S-матрицы). Теперь же мы предположим, что функ-
ция g-, еп] разложима в ряд по степеням перенормированного

KmR '
заряда электрона

оо

М = 2	<24.2.1 >

k2

где d0 (г) = 1 и вместо k введена новая переменная г = In —— .

mR

Выясним, какой вид имеет этот ряд в асимптотической области боль-
ших импульсов, г > 1. Воспользуемся для этого соотношением (24.1.6),
которое перепишем в виде [26]

e2RdR(-^, eU=F(z + %(^)),	(24.2.2)

V rnR J

где % (ej?) = In ф (е^). Из этого соотношения следует, что

(24.2.3)

Поэтому, если функция	е-Й разложима в ряд по степе-

ням ед, то этим же свойством будет обладать и функция [%' (ед)]"1:

2 е^ат.	(24.2.4)

пг=0

Подставляя это разложение и разложение (24.2.1) в (24.2.3), получим
оо	оо оо

2 eln+i)d’n (г) = 2 2 e%m+h} +1) akdm (г),
n=0	fe=0 т=0

откуда

а0 = 0, d' (z) = 2 И + О an..m+idm (z),
m=0
а так как d0(z)=l, то ^ = 0, и окончательно мы получим следующую
систему рекуррентных уравнений для определения функций dn(z):

п—1

&(?) = 2 (/п+1)&n-m+ldm (?)•

т=0

(24.2.5)

Легко видеть, что в области больших z решение этой системы име-
ет вид

(24.2.6)

Это выражение показывает, что параметром разложения (24.2.1) при z > 1
является в действительности не a e^z, т. е. величина еМп-^-.

Аналогичная ситуация имеет место и в разложениях других величин в
области больших импульсов.

Подставляя (24.2.6) в (24.2.1), мы получим для dR cr\ ряд

\ mR 9

вида геометрической прогрессии. Если a^R In —— < 1, то этот ряд схо-
mR

дится, и его сумма равна [27]

Чтобы найти входящую сюда численную константу достаточно
найти фотонную функцию Грина во втором приближении теории возмуще-
ний. Эта задача будет решена в § 36.3, где мы покажем, что

1

12л2 •

Таким образом, окончательно имеет вид [26]

а (	1

UR I 2 ’ eR I  	/>2	, 9

V mR 9	eR	k2

1 ~ 12л2 ln m2
n

(24.2.7)

Это асимптотическое выражение для dR справедливо при выполнении
двух условий

-4-» Ь -Д1п-Ч-<1.	(24.2.8)

m?R 1 12л2 mR

Формула (24.2.7) имеет, очевидно, структуру соотношения (24.1.6),
если считать в нем

12д2

Ф(*)=--ТЁГ’	= е *

(24.2.9)

Отметим, что функции Ф(х) и <р(х) являются обратными Ф(ф(х))=х.

Установим теперь связь между неперенормированным и перенормиро-
ванным зарядами. Заметим с этой целью, что левая и правая части уравне-
ний (24.1.4) имеют одинаковую структуру. Поэтому, повторяя рассуждения,
приводящие к (24.2.7), можно убедиться, что для неперенормированной
функции е2} имеет место асимптотическое выражение [26]

4 (£	, Li-	(24-2-Ю)

1 + 12л2 П А2

Оно справедливо, если
£2	. е2 . £2

А2	\ 12л2 1п А2	*•

Согласно (24.1.2) и (24.1.3)



р2

’ eR

Подставляя сюда вместо dR и d выражения (24.2.7) и (24.2.10), получим

. , е2 . £2

,	2	+ 12л2 1П £2

е eR---?----ZT>

1 £r In k2
12л2 m m2

Jrv

откуда

e2=e«(1—eR=e2^+-wln^Yi- (24-2Л1)

Мы видим, что

e*>e*R.

Это неравенство имеет простой физический смысл. Заряд реального элек-
трона меньше заряда «голого» электрона, так как последний окружен
облаком электронно-позитронных пар, экранирующих первичный заряд е\
внешний же наблюдатель воспринимает действие экранированного заряда.

В 24.1 мы показали, что dR eR^ представляет собой форм-
фактор «точечного» заряда, т. е. фурье-образ пространственного распреде-
ления заряда «точечного» электрона. Согласно (24.2.7) этот формфактор
превосходит единицу при | k | > mR, т. е. на расстояниях от «центра»
электрона, меньших -. С уменьшением расстояния формфактор уве-
tnRc

личивается. На расстояниях порядка формфактор практически не
отличается от единицы, иными словами, на этих и больших расстояниях
уже не чувствуется экранирование первичного заряда е.

Выясним теперь, как ведет себя в области больших импульсов электрон-

Грина.

ная функция

’ е«> “S') от Р2 ПРИ Р2>тк
mR /

Согласно (24.1.11) зависимость

\ mR

п2 \

определяется функцией одного аргумента Н (<р (eR) -А-) • Предполагая,
\	mR /

что функция St (-^2-9 eR, —2~] разложима в ряд по степеням eR, и
\mR	mR /
поступая так же, как и при выводе (24.2.7), можно показать, что

(ф(ев)-4-) = Г1-с-4-(1—г?21п-4Ч *1 >	(24.2.12)

/ L л2 \	12л2	} J	4	’

где с—некоторая численная константа, которая может быть найдена
из сравнения (24.2.12) с результатом вычисления во втором приближении
теории возмущений:

с__1

с 27

В отличие от фотонной и электронной функций Грина, вершинная
функция в области больших импульсов зависит, согласно (24.1.11),
не от одного, а от трех аргументов <р (<&)	, <р (е^)	, <р (ед) .

R	R	R

Поэтому, не делая определенных предположений об этих инвариантах,
из одного только предположения о разложимости функций в ряд
по степеням е#, нельзя получить соотношений, аналогичных (22.2.7)
и (22.2.12). В дальнейшем (§ 36.4) мы еще вернемся к вопросу об асимп-
тотике вершинной функции.

24.3.	Асимптотический характер регуляризованных разложений матри-
цы рассеяния. Изложенный в § 23 метод регуляризации устраняет расхо-

димости в отдельных матричных элементах, т. е. в отдельных членах раз-
ложения матрицы рассеяния в ряд по степеням заряда электрона, а не
сразу во всей матрице рассеяния. Возникает поэтому вопрос, будет ли схо-
дящимся полученный таким образом ряд теории возмущений, состоящий
из регуляризованных слагаемых.

Можно высказать соображения, указывающие на расходимость этого
ряда, который является, по-видимому, асимптотическим. Эти соображения
заключаются в следующем [28].

Взаимодействие между двумя электронами, не связанное с процессами
излучения и поглощения фотонов, определяется функцией евРс (х). Вычис-
лив с помощью этой функции некоторую физическую величину F (р; ев)>
мы получим бесконечный ряд по степеням е&

F(p; &)=% e2Rnfn(p),	(24.3.1)

n=0

где fn (p) — некоторые функции 4-импульсов частиц. Допустим, что этот
ряд, отдельные члены которого регуляризованы согласно методу § 23,
сходится при некотором значении ев. Тогда F (р; ев) = F (ев) будет анали-
тической функцией ев при ек ~ О, а следовательно, и F (— ев) при доста-
точно малых значениях заряда также будет аналитической функцией, пред-
ставимой в виде степенного ряда. Но F (— ев) допускает простую физиче-
скую интерпретацию. Именно, F (— ев) представляла бы собой изучаемую
нами величину F в том случае, если бы взаимодействие двух зарядов опре-
делялось функцией —евОс (х), а не (х), иными словами, если бы одно-
именные заряды притягивались, а не отталкивались.

Легко видеть, что при этом обычное определение вакуума не соответ-
ствует состоянию с наименьшей энергией. Действительно, представим себе,
что образовано N электронно-позитронных пар и что все электроны сосредо-
точены в одной области пространства, а позитроны — в другой. Если эти
области достаточно малы и достаточно отдалены друг от друга, то при
большом N отрицательная кулоновская энергия притягивающихся одно-
§ 24]

именных зарядов будет больше энергии покоя частиц и их кинетической
энергии. Назовем такие состояния «патологическими».

Предполагая, что взаимодействие между зарядами определяется функ-
цией —евРс (х), рассмотрим некоторое обычное состояние, характеризую-
щееся наличием нескольких частиц. Это состояние отделено потенциальным
барьером от «патологического» состояния с такой же энергией, причем высо-
та барьера определяется энергией, необходимой для создания N пар,
т. е энергией покоя 2N частиц.

В силу туннельного эффекта существует конечная вероятность пере-
хода из обычного в «патологическое» состояние. Это значит, что каждое
физическое состояние является неустойчивым по отношению к спонтанному
рождению большого числа частиц.

«Патологическое» состояние, в которое перейдет система, не будет
стационарным, так как в нем будет образовываться все большее и большее
число частиц, т. е. будет происходить как бы дезинтеграция вакуума.
В силу этих эффектов нельзя предполагать, чтобы квантовая электро-
динамика с функцией взаимодействия —eRDc (х) приводила к вполне опре-
деленным аналитическим функциям. Скорее следует считать, что функция
F (—£r) не может быть аналитической и что поэтому ряд (24.3.1) не схо-
дится при eR Ф 0.

В связи с этим возникает естественный вопрос — какой же смысл имеет
ряд (24.3.1) и почему квантовая электродинамика, оперирующая с такими
рядами, находится в соответствии с экспериментальными данными Ответ
на этот вопрос заключается в том, что ряд (24.3.1) является асимптотическим
рядом. Как известно, такие ряды в некоторых условиях могут быть исполь-
зованы для описания поведения функций, которые они представляют,
с очень большой, но всегда конечной точностью. В отличие от сходящихся
рядов члены асимптотического ряда (р) сначала с ростом номера п
падают, а затем, начиная с некоторого значения п, которое мы обозначим
через п0, начинают расти и, вообще говоря, расти неограниченно. При этом
максимальная точность, с которой асимптотический ряд может аппроксими-
ровать функцию F, определяется величиной /П(). Чем величина fnQ меньше,
тем точность больше. В случае квантовой электродинамики есть основания,
предполагать, что в ряде (24.3.1) величины fn будут падать вплоть до и
1ъс

порядка п0 — = 137. Так как это значение п0 велико, то точность,
еп

с которой в квантовой электродинамике ряд (24.3.1) должен соответствовать
реальности, очень велика. По всей вероятности, неточность ряда (24.3.1)
(he х

~~ёп~) (см- § 24.4), что является ничтожно малой величиной.

Для практических целей квантовой электродинамики такая точность более
чем достаточна. Однако вопрос радикально меняется при переходе от
2

электродинамики, где взаимодействие в силу малости^- является слабым,
2

к теориям сильного взаимодействия. Вместо^ здесь фигурирует величи-
р-2

на — 10, благодаря чему п0— 1, и уже с самого начала начинается рост
членов ряда.

24.4.	Проблема замкнутости квантовой электродинамики. Для устра-
нения расходимостей в матрице рассеяния мы вводили граничный импульс
L и предполагали, что область импульсов р > L не играет роли, если.
изменения импульсов реальных частиц малы по сравнению с L. Полу-
чаемые при этом выводы и предсказания квантовой электродинамики на-
ходятся в прекрасном согласии с экспериментальными данными.

Однако ясно, что строгий смысл имеет лишь предельный случай
L —оо; поэтому возникает вопрос, к каким выводам мы придем, полагая
L = оо. Для решения этого вопроса, очевидно, непригодна теория возму-
щений, в которой параметр е2 In предполагается малым, и мы можем
mR
попытаться выяснить интересующий нас вопрос, обращаясь к форму-
лам (24 2 11), которые представляют собой результат суммирования ряда
теории возмущений.

Если считать во второй из формул (24.2.11) второе слагаемое в знаме-
нателе достаточно большим, то мы придем к результату

2	16 л.2

eR~~

In —5—

(24.4.1)

Эта формула очень показательна. Граничный импульс, который до сих
пор фигурировал в теории как вспомогательный параметр, оказывается
е2 L2

при - 0 2- In —2~	1 однозначно связанным с физическим зарядом eR. Если

tn R

взять для eR его реальное значение eR = 4л/137, то для граничного им-
пульса мы получим значение

Зя
т
L0 = mRe 2

(24.4.2)

При L >Lq величина е^/4л будет меньше 1/137 и в пределе L —» оо будет
стремиться к нулю.

Таким образом, хотя соотношения (24.2.11) и допускают формально
предельный переход L—>-оо, этот переход не имеет смысла, так как он
приводит к неправильному физическому результату — обращению в нуль
заряда электрона.

Так как вся теория электромагнитного взаимодействия основывается
на предположении о малости первичного заряда е, то можно было бы думать,
что соотношение (24.4.1) связано с условием малости е2. Можно, однако,
привести аргументы, показывающие, что соотношение (24.4.1) должно
иметь место при произвольных значениях е2 [29].

Мы приходим, таким образом, к выводу, что квантовая электродина-
мика не является замкнутой теорией. Она принципиально не может описы-
вать взаимодействий в области расстояний, меньших 1/LO, где Lo, во всяком
случае, больше величины, определяемой формулой (24.4.2). Поэтому следует
ожидать, что величина граничного импульса должна иметь глубокое физи-
ческое содержание, выражая существенное изменение свойств простран-
ства — времени или свойств взаимодействий на малых расстояниях.

В действительности для электродинамики этот вопрос не имеет серьез-
ного значения, так как эти расстояния столь малы, что при явлениях, свя-
занных с расстояниями даже значительно большими, необходим учет явле-
ний, не входящих формально в схему квантовой электродинамики (например,
мезонных процессов). Этот вопрос имеет более фундаментальное значение
для проблемы возможности описания сильных взаимодействий методами
-квантовой теории поля [30].
Глава IV

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

§ 25.	Излучение фотона

25.1.	Общее выражение для амплитуды излучения. Приступим теперь
к последовательному изучению различных конкретных процессов, обуслов-
ленных электромагнитным взаимодействием. Мы будем пользоваться тео-
рией возмущений, причем в этой главе будем производить вычисления
только в первом, приводящем к отличному от нуля результату, приближе-
нии. Поправки, связанные с высшими приближениями, будут рассмотрены
в главе V.

Начнем с процессов 1-го порядка. Матрица рассеяния 1-го порядка
имеет следующий вид:

S(1) = i J jg (x) Аи (x) d4x.	(25.1.1)

Если Аи (х) — потенциал внешнего электромагнитного поля и ]'и (х) —
оператор плотности электронного тока, то матричные элементы S(1) будут
определять рассеяние электрона в этом поле в борновском приближении,
которое мы рассмотрели в § 11.4. Если же Аи (х) — оператор квантованного
электромагнитного поля, то матричные элементы S(1) будут определять
испускание и поглощение фотона, так как оператор Аи (х) входит в Sa>
линейно, а матричные элементы Аи, отличные от нуля, соответствуют излу-
чению и поглощению фотона.

Нетрудно убедиться, что свободный электрон не может излучать.
Действительно, матричный элемент S(1) будет отличен от нуля только
при условии выполнения законов сохранения энергии и импульса

Pl — k = pz,

где pi, р2 —начальный и конечный 4-импульсы электрона, а; k — 4-импульс
фотона. Возводя это равенство в квадрат и учитывая, что

=	т2,	£2 = 0,

мы придем к соотношению

р^ = 0,

или в системе покоя электрона

тсо = 0,

где со — энергия фотона.

Аналогично легко убедиться в том, что свободный электрон не может
поглотить фотон и что невозможно превращение пары электрон — позитрон
в один фотон или обратное превращение.

Поглощение или излучение фотона электроном может произойти лишь
в результате «тройного столкновения», в котором существенную роль
играет взаимодействие электрона с «третьим телом». В ряде важных случаев
это взаимодействие может быть описано с помощью понятия внешнего поля,
входящего в гамильтониан электрона. Оператор электронно-позитронного
поля может быть разложен по собственным функциям этого гамильтониана
(см. (14.1.1)), и понятие состояния электрона при этом уже само по себе
учитывает взаимодействие электрона с другими телами. При таком подходе
становится возможным изучение процессов излучения и поглощения фотона
с помощью матрицы рассеяния первого порядка.

Мы перейдем теперь к определению вероятности испускания и поглоще-
ния фотона электроном в стационарном внешнем поле.

Выпишем общее выражение для матричного элемента <f|Sa>H)r
определяющего излучение фотона.

Пусть фА (х) = фА (г) и ф2 (х) = ф2 (г) е~^ — волновые функции
начального и конечного состояний, (11 ф (х) 10) = ф! (х),	(х) =

=	(г)	— потенциал электромагнитного поля, соответствующего

определенному состоянию фотона: (11 Аи (х) 10) =	(х) и /и(х) =

= <21 jp, (х) 11) — ток перехода

/ц(х) = /м,(г)е1(82-81>/ = (2|]‘[г(х) l) = ie^2(x) уц,1р1(х).	(25.1.2)

Тогда матричный элемент оператора Sn> может быть представлен в виде

(f | S(1) | i) = 2niU8 (e, - e2 - <b),	(25.1.3)

где

U = ]\ (r)	(r) dsx.	(25.1.4)

<•/

Величину U мы будем называть амплитудой излучения.

Если рассматривается излучение фотона с определенным импульсом k
и поляризацией е, то, согласно (16.3.2), амплитуда излучения имеет вид

U = —т= ф? (г) ав*е“^гф! (г) d3x,	(25.1.5)

где а — матрицы Дирака.

25.2.	Излучение электрического мультиполя. Рассмотрим излучение
в том случае, когда начальное и конечное состояния электрона являются
связанными. Если при этом длина волны испускаемого фотона % велика
по сравнению с размерами области а, в которой происходит движение
электрона, то вероятность излучения простым образом связана, как мы
увидим далее, с электрическим или магнитным мультипольным моментом
электрона; поэтому излучение в этом случае называется мультипольным
излучением.

Определим вероятность излучения фотона, обладающего определенным
моментом количества движения L, проекцией момента М и четностью
Р = (— l)b+x+i (% = 0, 1). Напомним, что % = 1 соответствует состояниям
электрического типа, a Л = 0 — состояниям магнитного типа. Поэтому
переходы с испусканием такого фотона при X = 1 называются электриче-
скими 2ь-польными или EL-переходами, а при X = 0 — магнитными
2ъ-польными или Л4Е-переходами.

Начнем с рассмотрения излучения фотона электрического типа.

Потенциал, соответствующий фотону в состоянии электрического типа,
определяется формулой (3.8.7). Так как размеры системы предполагаются
малыми по сравнению с длиной волны, то в интеграле (25.1.4) главную
роль играет область малых г, для которых cor < 1. Поэтому можно огра-
ничиться первым членом в разложении входящей в выражение для потен-
циала функции gL (cor) по степеням cor:

gL (cor) « 4л (2(/ + ууй . ©г < 1 •	(25.2.1)

Удобно выбрать калибровку потенциалов в виде (3.8.8). Тогда скаляр-
ный потенциал Ф (г) будет содержать or в степени L, а векторный Л(г) —
в степени L + 1, т. е. А (г) будет малым по сравнению с Ф (г).

Таким образом, мы можем подставить в (25.1.4)

Ф W - -	(2L “+Ц,! /1F	<">	"“-Г'

(25.2.2)
Д (г) = 0,

что дает

^ = (-0L]/(ffryn S p(r)(й)d*x' (25-2-3)
где p (r) — плотность заряда перехода:

р(г)=еф* (г)ф! (г).

Введем электрический мультипольный момент перехода,

5 Р (Г)	(й) d3x-	(25.2.4)

Тогда амплитуда излучения (25.2.3) примет вид

V = VF /Ч7 (g+У,	(25.2.5)

где R — радиус нормировочной сферы. Заметим, что при 7И = 0 выражение
для мультипольного момента перехода (25.2.4) принимает вид

Qlo = Р (г) rLPL (cos й) d3x,

V 4 л е)

где PL — полином Лежандра. Если L = l, 2, то

= p<r) zd3x'
У 4л е)

Q3o= 1	?|p(r)(3z2_r2)d3X

(z = г cos #). Эти формулы совпадают с обычными определениями диполь-
ного и квадрупольного моментов (напомним, что р/]/~4л — плотность
заряда в гауссовых единицах).

Найдем теперь вероятность излучения w. Для этого (см. § 18.1) надо
умножить | U |2 на 2лру do, где ру — число состояний фотона с данным
моментом в единичном интервале энергии. Согласно (2.2.8)

р/=4 •

Таким образом,

w = 2n | £712	.	(25.2.6)
Подставив сюда выражение (25.2.4) для I/, найдем вероятность излучения
в единицу времени фотона с моментом L, проекцией момента М и чет-
ностью (— 1)L:

™ =	"21+‘№.»!’	<25.2.7)

В частности, при L = 1 мы получим отсюда формулу для вероятности
дипольного излучения

&1М = -у G>3 I Q1M |2>
о

а при L = 2 для вероятности квадрупольного излучения
^2М = “^0)5 [ Q2M |2«

25.3.	Излучение магнитного мультиполя. Определим теперь вероятность
излучения фотона в состоянии магнитного типа. Потенциалы определяются
в этом случае формулой (3 8.6). Если использовать приближенное выраже-
ние (25.2.1) для gL (cor) и выражение (3.5.8) для шарового вектора, то
потенциал А (г) примет вид

Л/R VL(£+1)(2L + 1)!!	’

Подставив это выражение в (25.1.4), получим для амплитуды излучения

(25-3-2>

где

[rJ(r)]r^YlM(n)d4. (25.3.3)

Величину QM мы будем называть магнитным мулътиполъным момен-
том перехода.

Заметим, что в силу определения (25.3.3) амплитуда (25.3.2) имеет

такую же форму, как и амплитуда (25.2.5), отличаясь заменой

- ZQlm.

При L = 1, М = 0 момент перехода (магнитный дипольный) имеет вид

<2“о =Л И* (О dsx,

г>
где величина

z L Д/4л J

представляет собой плотность «магнитного момента перехода».

Вероятность излучения фотона магнитного типа (т. е. фотона с момен-

том L и четностью (—1)L+1) будет выражаться аналогично (25.2.7)

w = 2lL[^+w1)' “2b+11	|2-	(25. з.4>

Для электрона, движущегося в атоме, условие X > а эквивалентно
условию v < 1, так как ($a~v. Поэтому при вычислении матричных
элементов мультипольных моментов можно пользоваться волновыми функ-
циями нерелятивистского приближения. Это позволяет получить простое
выражение для магнитного мультипольного момента. Действительно, запи-
сав плотность тока перехода в виде

j{Г) = е (<Р* (г) <7%! (г) + X* (г) <jq>i (г)),
где <р и % —спиноры, образующие волновую функцию ф,

(Ф \	1

J’ Х = 2^<°Р)Ф’

/V /

получим

J= (ср* V(P1 v<p* w+rot ((p^r) О<Р1 (г)) •

Подставляя далее это выражение в (25.3.3) и интегрируя по частям,,
найдем

Qlm= J фЦг)Вф1(г)Л;,

где

ЗП= —-£=- V (гьу£м («))	)	(25.3.5)

tny2L + l	\b-f-i z /

и L — оператор орбитального момента).

Таким образом, магнитный мультипольный момент в нерелятивистском
приближении состоит из двух слагаемых: орбитального и спинового. Если
L = 1, М = 0, то

^=W^(Lz+Gz)-

25.4.	Излучение ядер. Правила отбора. Полученные формулы для ампли-
туд и вероятностей излучения пригодны для описания излучения произ-
вольной системой, а не только электроном, если только выполняется усло-
вие а < %. Действительно, общие определения мультипольных моментов-
(25.2.4), (25.3.5) содержат лишь токи перехода, т. е. матричные элементы
оператора 4-вектора плотности тока:

M(r) = <2| jg(r) 11),

состояниями же 1 и 2 могут быть не только одноэлектронные состояния,
но и состояния многоэлектронных систем, а также адронных систем: ядер
и элементарных частиц.

Отметим тот факт, что аргумент г тока перехода является аргументом
потенциала излучаемого фотона, независимо от числа степеней свободы
излучающей системы. Лишь в одночастичном случае он совпадает с радиу-
сом-вектором электрона.

В общем случае, конечно, невозможно реально вычислить матричные
элементы мультипольных моментов, но определяющие их формулы позво-
ляют сделать грубую оценку:

Qlm— Qlm — evaL ,	(25.4.1^

где a — размеры системы, a v — скорость излучающих частиц. Для
атомных систем (да—  v9 и поэтому вероятность ТИЛ-перехода имеет тот
же порядок величины, что и вероятность ЕЛ'-перехода при L' = L + 1„
Для ядерных систем v не находится в определенной связи с соа. В случае
элементарных частиц и— 1.

Для того чтобы матричный элемент соответствующего мультипольного
момента был отличен от нуля, необходимо выполнение некоторых условий,
вытекающих из законов сохранения момента и четности. Эти условия
называются правилами отбора и сводятся к следующему. Если и /2 —
моменты количества движения излучающей системы и и т2 — проекции
моментов в начальном и конечном состояниях, то должны выполняться
соотношения

mi — m2=M,

I ii — /21 < L < I /1 + /21,	(25.4.2)

где L — момент количества движения фотона и М — его проекция.

Кроме того, должно выполняться условие

Р = РГР2,	(25.4.3)

где и Р2 — четности начального и конечного состояний электрона и Р —
четность состояния фотона:

Р = (— 1)Ь+М-1

(X = 0 соответствует состояниям магнитного и X = 1 — состояниям элек-
трического типа).

Если соотношения (25.4.2) и (25.4.3) не выполняются, то матричный
элемент соответствующего мультипольного момента обращается в нуль.

Легко видеть, что при заданных ]\ и /2 с наибольшей вероятностью
излучается фотон с моментом L = | ]\ — /2 |, если только это совместимо
с правилом отбора для четности (25.4.3). Действительно, так как матричные
элементы Qlm содержат под знаком интеграла (<or)L, причем cor < 1, то
наибольшее значение Qlm будет соответствовать наименьшему возможному
значению L, равному | ]\ — j2 |.

Вероятность излучения ^2L+1 содержит, согласно (25.2.7) и (25.3.4),
множитель ((0&)2L+1. Поэтому, если разность моментов начального и конеч-
ного состояний | ]\ — /2 | велика, то вероятность излучения может оказаться
очень малой, а продолжительность пребывания излучающей системы в воз-
бужденном состоянии — большой. Такие долгоживущие возбужденные
состояния 1 называются метастабилъными.

Оценки мультипольных моментов ядер, согласно (25.4.1), приводят
к правильному порядку величины времени жизни местастабильных состоя-
ний ядер, которое при L = 3 — 5 может быть порядка нескольких минут,
часов и более.

25.5.	Токи перехода в импульсном представлении. Амплитуды мульти-
польного излучения можно представить в несколько иной форме, которая
будет полезна в дальнейшем. Обратимся для этого к общему выраже-
нию (25.1.1) для матричного элемента S(1), отвечающему излучению фотона
с определенными импульсом и поляризацией. Подставляя в (25.1.1)

<Жи(*)|0 = /н(^(Р1-р2)х,

получим

(f I s(1) | 0 = (2л)416 (Р1 - р2 - к) и,
где

l/ = —(25.5.1)
V 2со

Pi и р2 — 4-импульсы начального и конечного состояний излучающей
системы (атома, ядра, адрона) и (k) — ток перехода системы в импульс-
ном представлении.

Задача об излучении длинноволновых фотонов, рассматривавшаяся
в § 25.2.3, сводится к исследованию поведения тока перехода системы (k)
при малых fea. Это может быть просто сделано, если считать, что точка
ka = 0 не является особенной точкой для функции /ц (fe), т. е. предполагать,
что допустимо разложение (k) в ряд по степеням ka. Мы будем также счи-
тать, имея в виду дальнейшие применения, все компоненты ka независи-
мыми, в частности не связанными соотношением k2 — 0, т. е. рассматривать
ток, относящийся к излучению не только реального, но и произвольного
виртуального фотона.

При разложении тока /и (k) в ряд по степеням ka надо учесть уравне-
ние непрерывности, которое в импульсном представлении имеет вид

/а (^).^а = О,
или

./(£) £ = <ор;(/г).	(25.5.2)

Если величины р (k) и j (k) при k 0 конечны (причем fe и со могут
стремиться к нулю независимо), то соотношение (25.5.2) может удовлетво-
ряться как при р (fe) = 0, так и при р (fe) 0. Если р (fe) = 0, то трехмер-
ный вектор тока j (fe) поперечен, kj (fe) = 0, и может быть, следовательно,
представлен в виде

J(fe) = [ka (fe)], р (fe) = 0,	(25.5.3)

где a (fe) — некоторый аксиальный вектор. Мы будем называть такой ток
током магнитного типа (или соленоидальным).

Если р (fe) Ф 0, то конечность р (fe) при со = 0 требует, чтобы вектор
тока j (fe) обращался в нуль при со = 0. В этом случае величины j (fe)
и р (fe) могут быть представлены в виде

j(k) = (i)V (fe),

p(fe) = fe^ (fe),	(25.5.4)

где v (fe) — некоторый полярный вектор. Такой ток мы будем называть
током электрического типа.

Найдем теперь первый член разложения /ц (fe) по степеням fea. Ток
перехода должен быть, очевидно, линейным относительно волновых функ-
ций или, как мы будем говорить, амплитуд как начального, так и конечного
состояний излучающей системы. Так как мы рассматриваем предельный
случай малых fea, то в системе покоя начальной частицы (pi = 0) импульс
конечной частицы р2 = — k будет также мал. Поэтому можно пользо-
ваться нерелятивистскими амплитудами. Из их билинейных комбинаций
можно образовать трехмерные неприводимые тензоры, ранг которых L
заключен в пределах |	— s2 I и si + s2> где si> s2 — моменты (спины)

начального и конечного состояний, L — \ Si —s2 |, I $i —s2 | + 1, . . .
• • •, + s2.

Таким образом, задача сводится к построению трехмерного вектора
с помощью этих тензоров. Компоненты (сферические) соответствующих
23 А. И. Ахиезер, В. Б Берестецкий
неприводимых тензоров и произведений компонент вектора k мы будем
обозначать через qtM. (—Л<Л4<А). Мы получим вектор, содержащий
минимальную степень ka, если возьмем тензор наименьшего ранга
(с L = | Si — s2 I) и «свернем» его L — 1 раз с вектором k, т. е. с тен-
зором (L — 1)-го ранга, построенным из компонент вектора k. Последний
k

имеет вид Yl м (v), где Ylm (v) шаровая функция, v = — , к = | k |.

Итак, мы видим, что векторы а и v должны иметь следующую структуру:
а, V ~ f (k) qbMK^Yb, L-i, м (v),	(25.5.5)

где Ylim (v) — шаровой вектор, определяемый формулой (3.3.3) и f (k) —
некоторая скалярная функция от ka, которую мы можем, в соответствии
с характером разложения, считать константой, включенной в величину qLM-
При этом вектор будет аксиальным или полярным в зависимости от относи-
тельной четности начального и конечного состояний и от того, является
ли L четным или нечетным числом.

Из (25.5.4) и (25.5.5) следует, что ток электрического типа можно
представить в виде

/ (k) = 4л 1/4-	l-i, м (v),	(25.5.6)

рэ (£) = inj/T(2L —1)!! ^LM^LM (v)’

а из (25.5.3) и (25.5.5) следует, что ток магнитного типа можно пред-
ставить в виде

₽‘,(Ч’0’ (25'5'7)

где величины Qlm и Q*m, как легко убедиться, совпадают (с точностью до
несущественного фазового множителя) с определенными ранее мульти-
польными моментами перехода. Для этого нужно, исходя из (25.5.1)
и (25.5.6) и (25.5.7), вычислить вероятность излучения

(суммирование проводится по поляризациям фотона, интегрирование —
по направлениям k) и сравнить полученное выражение с формулами
(25.2.7), (25.3.4).

В (25.5.5) подразумевается, что L =/= 0. Случай L = 0 означает, что
тензор qLM сводится к скаляру Qo. В этом случае возможна только одна
структура выражения для тока, удовлетворяющая уравнению непрерыв-
ности и условию конечности при ka = 0:

J(k) = Q0cofe, р (k) = QQk2.	(25.5.8)

Этот ток является продольным, и поэтому амплитуда излучения (25.5.1)
обращается при L = 0 в нуль (это отвечает отсутствию состояния фотона
с моментом L = 0). Однако такой ток может иметь значение для процессов
с участием виртуальных фотонов. Если ток имеет структуру (25.5.8), то
говорят о монопольном £0-переходе; величина Qo называется монополь-
ным моментом.

Из (25.5.8) следует, что момент Qo должен быть истинным скаляром
(т. е. не псевдоскаляром). Это значит, что начальное и конечное состояния
должны иметь одинаковую четность. Если Si = s2 = 0, то только монополь-
ный ток может связывать эти состояния. Если же Si = s2 ¥= 0 и = Р2,
то переходами, приводящими к излучению, будут ЛИ- или Е2-переходы.
Монопольный ток при этом того же порядка (— k2), что и электрический
квадрупольный ток.

25.6.	Угловое распределение и поляризация излучения. Состояние систе-
мы (например, ядра) сданными значениями энергии и момента ]\ являет-
ся вырожденным относительно квантового числа проекции момента тр.

Ф1 =
mi
Поэтому в общем случае состояние ядра при данном описывается поля-
ризационной матрицей плотности

{ту | р! |	= стчт**,

где черта означает некоторое усреднение (ср. § 2.4).

Удобно ввести понятие поляризационных моментов ядра. Поляризацион-
ным моментом Z-го порядка называется тензор определяемый формулой
^ = (т1\Р1\т^С^1т,	(25.6.1)

где т — индекс сферических компонент тензора, т = — Z, — I + 1, . . ., /,
— коэффициенты векторного сложения (см. § 3.4; по повторяю-
щимся индексам т здесь и ниже подразумевается суммирование).
В частности,

^(0) = Sp Pf-1;
поляризационный момент eF(1) пропорционален среднему значению опера-
тора момента J

^ = —=2==Ja,

V/1 (/1+1)

а поляризационный момент eF(2) пропорционален среднему тензору квадру-
польного момента. В декартовых компонентах он имеет вид

ф(2) _	—/i (/14 1) бар

“V/1 (/1+1) (2/1~1) (2/1+^3)

и т. д. (а, Р—1, 2, 3 —индексы декартовых компонент).

Если матрица плотности р4 диагона льна:

то поляризационные моменты имеют только одну отличную от нуля
составляющую которую мы обозначим через efy,

— 3 pi
mi

В частности,
=	3m?—jt (Л 4-1)

1 V/1G1 + D’ 2 V/1 (/1 + 1) (2/1-1) (2/!4-3) ’
где

mi
Матрицу плотности {mi | pt | можно, очевидно, выразить через
поляризационные моменты:

2л

I р, I ™;> - У: С»Х 3-S.	(25.6.2)

1=0

Рассмотрим излучение ядра, начальное состояние которого задано
матрицей плотности рР Обозначим через {j2m2LM |S	элемент

матрицы рассеяния, соответствующий переходу ядра из состояния
в состояние /2, т2 с излучением фотона, момент которого определяется
квантовыми числами L, М. Мы будем считать матричный элемент
{j2m2LM | S I /1^1 > нормированным так, чтобы вероятность перехода
/17П1 -> j2m2 равнялась квадрату его модуля, тогда, согласно (25.2.6),

(j2m2LM | S 1= V%RU.

Для анализа процесса излучения полезно ввести матрицу
w = SpiS+,
т. е.

{т2М | w ] т'2М') = 21 <]2т2ЬМ\ S | Дт^ (mt | Р1 | mJ) (J2m2LM' | S | Ami) *.

(25.6.3)

Зная матрицу w, можно, во-первых, определить вероятность пере-
хода, или среднее время жизни, возбужденного состояния т:

1 с

— = Spw,

и, во-вторых, можно найти матрицу плотности конечного состояния:

p2 = TW.

Легко видеть, что матричный элемент {j2m2LM | S | А^) имеет следую-
щую структуру:

| S I j 1^1) —	(25.6.4)

где Q — величина, не зависящая от m19 m2, М.

Подставляя это выражение в (25.6.3), получим

(т2М' | w | т2М) = | Q j2 (m< | Р11 mi) C^LM(25.6.5)

откуда

т~1 = | Q |2.

Таким образом, время жизни возбужденного состояния не зависит
от его поляризации. Сравнивая это выражение с (25.2.7), (25.3.4), мы
видим, что

2 WLM = | Q |2»
М

Эта величина не зависит от тР

Формула (25.6.5) определяет матрицу плотности в представлении,
в котором состояние фотона характеризуется определенными значениями
момента и четности (заметим, что р2 от четности фотона не зависит).
Удобнее, однако, перейти к представлению, в котором состояние фотона
характеризуется определенным импульсом k и определенной поляри-
зацией а. Используя разложение сферической волны на плоские волны
(§ 3.8), получим

{т2ч>'а' | р21 m2va) = </п2М' | р21 т2М) ( Ylm (v))a (КЙи* (v')V,

или на основании (25.6.5)

(rn^v'a' | р21 m2va) =	| Pi | т])	( Ylm (v))a ((v'))a4

(25.6.6)

где v = kl(d. Эта формула дает наиболее полное описание состояния системы
в конечном состоянии (ядра и излучения). Пользуясь этой формулой, можно
получить ответы на более частные вопросы об угловых и поляризационных
характеристиках системы.

Найдем прежде всего угловое распределение излучения W (v),

W(V) = 3 </n2va | p21 /n2va) = (jm | pi | mJ)	(v) Y^m' (y).

ГП2(Х,

Подставив сюда выражение (25.6.2) для (mx | р± | т') и выполнив сумми-
рование по т{, и т2 согласно формулам § 34, получим

F(v)= 2	(v) Flm* (v),

I

где a; =	+	W (LL, ]\]\; //^ — коэффициенты

~y QL 1

Рака, W (/1,/2/2/1/з/з) = ( —l);i+Z1+/2+Z2	}. Воспользовавшись далее разло-

жением произведения шаровых векторов по шаровым функциям (см. § 3.7),
найдем

№(v) = 2₽An(v),

I
где

Pz = az]/^(2L + 1)C^oF(LL, Щ /1).

Если матрица р4 диагональна, то W (v) приобретает вид разложения
по полиномам Лежандра

^(v)==2^]/^^(cose),

I

где Ф —угол между импульсом фотона и осью поляризации ядра.

Так как разложение YlmYlm' по сферическим функциям Yim содер-
жит Yim с четными /, то угловое распределение определяется только поля-
ризационными моментами четного порядка. Угловое распределение инва-
риантно относительно замены v на —v, что является следствием закона со-
хранения четности в квантовой электродинамике. Четное число / должно, как
следует из правил векторного сложения, удовлетворять двум условиям:

/<2Л;	Z<2L.

Поэтому, в частности, излучение ядра со спином 0 или 1/2 всегда изотропно.
Если /! = 1, 3/2 или L = 1, то

R7(v)=i+M4%(v).
Ясно, что излучение будет изотропным, если начальное состояние
не поляризовано (в этом случае = 0 при 1=^ 0).

Рассмотрим теперь поляризацию фотона Элемент поляризационной
матрицы плотности фотона paaS испущенного в направлении v, равен

Paa' =	2 <m2V0C । Р2 I m2Va'),

m2
откуда, согласно (25.6.6),

Paa' =	2	(^))а ( У™* (V))a',

I

где ai — те же коэффициенты, которые входят в W (v)

Найдем циркулярную поляризацию фотона g2 (см. §24). Будем для
этого считать, что а и а' соответствуют декартовым осям в плоскости,
перпендикулярной к v Используя формулу (2 4.4), получим

^2 = Hv) S	[ Ylm (v) Ylm' (V)] V, (25.6.7)

I

где / — нечетные числа, удовлетворяющие неравенствам Z<2L-E1, Z<2/\.
Учитывая, что

[	(v) У£Т (V)] V = i Y^MK) (V) y£T' (V),

и используя разложения § 3.7, можно представить (25.6.7) в виде

^2 = ^2^^^),	(25.6.8)

где

Ъ = У<^(2йАг-2{КГ+Тс£11,огоГ(1£1 L-l, L; /1) +

+ VLCi^Ql(iW{LL, L+1,L-, /1)} .

Если матрица плотности р2 диагональна, то

= F(v) 2	Р< <cos #),

I

где I — нечетные числа.

В частности, если отличен от нуля только поляризационный момент
первого порядка, то

Ш,; 1ЩСОЗ».

Мы видим, что циркулярная поляризация, в отличие от углового рас-
пределения, определяется поляризационными моментами нечетного поряд-
ка Поэтому, измеряя угловое распределение и циркулярную поляризацию
излучения, можно полностью определить состояния поляризации излучаю-
щего ядра.

Перейдем к рассмотрению поляризации конечного состояния, т. е.
состояния ядра после излучения Она определяется матрицей плотности

<m21 р21 т2) = do (m2va | р21 m2va) = 2 <^2^41 р21 т2А4),

м
получаемой путем усреднения матрицы плотности p2 = rw по состояниям
фотона. Подставляя сюда выражение (25.6.6), получим

(m2 I р2 |	= (^1 ] Pl I 1TL1)	(25.6.9)

Отсюда и из (25.6.1) следует, что между поляризационными моментами
начального ePmi и конечного ePmii состояний имеет место- соотношение

= Г(2Л+ 1) (2/2+1) W (/ш, /2/2; IL) А (25.6.10)

Если начальное состояние не поляризовано, то и конечное состояние
будет, очевидно, неполяризованным. Однако в этом случае имеет место
корреляционная поляризация, т. е. поляризация ядра после излучения
фотона с заданным направлением импульса. Корреляционная поляризация
определяется матрицей плотности

(т21 р2 (v) | т'2) = ~ 2 <mzva I р21 m2va).
а

Подставляя сюда выражение (25.6.6) и полагая

(т11 Pi |	= 2/7+1

получим

(ш2 I Р2 (v) [m2) — 3	YIm (V)>

где

LL'	lL'i

или

A = a!^Ylm(v).

—j— 1

Если выбрать направление импульса фотона v в качестве оси г, то
&*т11 = <9\п бто И

сЛгп = 0-1	2/2+1 Z .

1/4л(2/ + 1)

Так как здесь I — четное число, то отличны от нуля только поляри-
зационные моменты четного порядка, причем

/<2/2.

Если конечное состояние ядра также является возбужденным то может
происходить вторичное излучение фотона с моментом L’ с перех одом ядра
из состояния с моментом /2 в состояние с моментом /3. При этом корреля-
ционная поляризация состояния приводит к корреляции направлений
последовательно испущенных фотонов [1].

Из формул для и W (v) вытекает следующая формула для угловой
корреляции W (0):

r(e)=^2azpzpz(coSe),

1

где 0 — угол между импульсами фотонов, az — коэффициент, входящий
в (,т2 | р2 (v) | m'), pz — коэффициенты, определяющие W (v), в которых
ji заменено на /2, /2 на /3 и L на L’.
Явление угловой корреляции у-лучей используется как один из экспе-
риментальных методов определения моментов ядер *) Для возможности
его наблюдения необходимо, чтобы вероятность перехода из промежуточ-
ного состояния /2 в конечное состояние /3 была достаточно большой, иначе
поляризация промежуточного состояния будет нарушена взаимодействием
с электронной оболочкой атома. Очевидно, что это условие сводится к нера-
венству — > 6, где y — вероятность перехода /2 -> /3, а 6 — величина
сверхтонкого расщепления атомных уровней.

25.7. Фотоэффект. Матрица рассеяния 1-го порядка (25.1.1) опре-
деляет также поглощение фотона. Амплитуда поглощения имеет вид, отли-
чающийся от (25.1.4) только заменой (г) на (г)

U==^=\ elkr d3x,

Д/2(0 е)

где (г) =	| jp, (г) |О — ток перехода, — единичный вектор поля-

ризации фотона и й, (о — импульс и энергия фотона.

Рассмотрим поглощение фотона атомным электроном в том случае,
когда энергия фотона превосходит энергию ионизации атома и электрон
переходит в непрерывный спектр. Это явление называется фотоэффектом.
Ток перехода в этом случае определяется формулой

/ц (/*) = «% О') ТЛ (Г),

где (г) и ф2 (f) — начальная и конечная волновые функции электрона.
Записав амплитуду U фотоэффекта в виде (25 1.5):

U = -?=Mf

Д/2(0

^=^4)2 (г) аеегкг (г) d3x,	(25.7.1)

получим следующее выражение для дифференциального эффективного
сечения фотоэффекта:

’do = ?2^ 2	+	e2)d3p,	(25.7.2)

где p — импульс вылетающего электрона, и e2 — энергии электрона
в начальном и конечном состояниях и суммирование производится по раз-
личным ориентациям спина электрона в начальном и конечном состояниях.

Мы ограничимся здесь вычислением сечения фотоэффекта на К-оболочке
атома (формула (25.7.2) написана с учетом двух электронов в /С-оболочке).
Рассмотрим сначала нерелятивистский случай, когда энергия фотона мало
отличается от энергии ионизации атома I [3].

Предполагая, что длина волны фотона % значительно больше размеров
атома а, мы можем заменить в (25 7 1) величину еъкг единицей. Замечая
далее, что в нерелятивистской области матрице а соответствует оператор
скорости электрона v, получим

М==е<2| v 11>== — Koe(2 | г | 1>,	<21 г 11)= ф2 (r) d3x. (25.7.3)

Таким образом, вопрос сводится к вычислению матричного элемента
проекции радиуса-вектора электрона на вектор поляризации фотона

*) Подробный обзор корреляционных явлений содержится в [2].
В качестве волновой функции начального состояния в (25.7.1) входит
волновая функция /(-электрона. Эта функция имеет вид

(г) =
где

__ Z	4л&2 _ 1 д,

а0 ’	0 те2 та ’	г ’

Что касается волновой функции конечного состояния, то в качестве нее
следует взять волновую функцию электрона в кулоновском поле ядра, отно-
сящуюся к непрерывному спектру. Так как в конечном состоянии возникает
электрон, то ф2 (г) должна при г -> оо иметь вид суперпозиции плоской
и сходящейся сферической волн (см. § 28.8). Функция с такой асимптотикой
имеет вид

ф2(г) = ЛЕГ(1 + Ф^(-^, 1, — i(pr + pr))eipr,

«. Za
где 1 = -.

Подстановка функций ipj и ф2 в (25.7.3) дает

M — iaeM,
где

М =	?Г (1 - ф N §	JT (ig, 1, i (pr + pr)) d3x = е*5Г (1 — i%) NJ.

Замечая, что

J = {Z	W S	1, i (Pr +pr})	} 9=o,

и используя формулу

§	(jg, 1, 1(рг+/,г))^£ =

= 2л [1 (q—p)2 + ~ n2]’5”1 [4 (<7 -P)2 + у П2 +P (<l-P) - »1P],
получим

J = 16шт] (i? — 1) 7--2 f 2'3 (+	15 •

Так как при чисто мнимом п

(^v-tV = e-2”arcotslnl, n——i\n\,

то окончательно получим

J — 16га — Alilzzll £-25 arcctg g

J Р5 (52Н-1)3
и

м= - 1бКйсоД5Г(1 -tl) ^5/2Д3/2 ('1~e~2Sarcctg5Ц.. (25.7.4)
(ё2+1г	р&	7

Подставляя это выражение в (25.7.2), найдем дифференциальное сече-
ние фотоэффекта для неполяризованного фотона:

, 27асо /	& x 5e~^arCCtgg i	d3

d°----F~b+F) 1 _ g-2*T У Е 6 (gi + о) - е2)	,
где суммирование производится по поляризациям фотона. Оно может быть
выполнено с помощью формулы

2 (ре)2 = р2 —	(рй)2 = р2 sin2 &,

где Ф —угол между р и k.

Устраняя S-функцию интегрированием по энергии вылетающего элек-
трона, получим

, о4 асо / I2 \ 5 e~4larcctg£ sin2	7

где / — энергия ионизации, do —элемент телесного угла, в котором движется
электрон.

Для получения сечения фотоэффекта в случае поляризованных фотонов
нужно сделать в этой формуле замену

sin2 Ф —> cos2 0 = sin2 Ф cos2 <р,

где 0 — угол между векторами е и р, ср — угол между плоскостями р, k
и k, е, и, кроме того, опустить множитель у перед 2, соответствующий
усреднению для неполяризованных фотонов.

Рис, 25.1.

Таким образом, угловая зависимость фотоэффекта в нерелятивистской
области определяется множителем

cos2 0 = sin2 О cos2 ф.

Мы видим, что большинство фотоэлектронов вылетает в направлении поля-
ризации падающего фотона.

Интегрируя (25.7.5) по do, получим полное сечение фотоэффекта на
/С-оболочке

128л а /3 4|arcctg|
°к 3 т со4 j_____________е~2л%
В борновском приближении, когда g < 1, эта формула приобретает вид

64 ос

°*-TW

(25.7.7)

jHa рис. 25.1 представлена зависимость In ~ от частоты фотона
(8л 2	\

о0 = -у Го — сечение томсоновского рассеяния I .

Аналогично может быть рассмотрен фотоэффект на L-оболочке. Сечение
фотоэффекта определяется при этом следующими формулами: для ^-обо-
лочки (поглощение двумя 25-электронами)

__210ла /1

°Li 3m а?

e-4arcctg|/2

l-e~2*S

(25.7.8)

и для Lu и Lui оболочек (поглощения шестью 2р-электронами)

+ °Lni

2“ла /1 /р я /2\ e-^rcctgg/2
3m cd5 \	' co / i_____е-2л£ ’

(25.7.9)

где 12 — потенциал ионизации Л-электронов.

Рассмотрим теперь фотоэффект в релятивистской области, когда энер-
гия фотона велика по сравнению с энергией /(-электрона [4, 3]. В этом слу-
чае мы должны в качестве волновых функций электрона пользоваться
решениями уравнения Дирака в кулоновском поле ядра. Что касается
функции ф2 (**)> то в качестве нее мы возьмем волновую функцию, введен-
ную в § 11.1:

ф2(г) = Л/2й(р)(l+'^'hYV) i,i(pr + pr)], (25.7.10)
где

Д7 _ (	\ 1/2 е. _ ocZ

Л2~ (	•

Из общего выражения для волновых функций, описывающих дискрет-
ные состояния электрона в кулоновском поле,

у /^(r)

где л = у, V = — Qji'm= —(Qn)Qjim (см. § 10.2), следует, что волно-
вая функция /(-электрона	Z — 0,	— 1) имеет вид

~ \ — if к (г) (ffzz) U / ’

где и — постоянный спинор, удовлетворяющий условию нормировки

tTu = 1.

Мы будем рассматривать лшкие ядра, для которых Za < 1. В этом
случае, используя (10.4.2), имеем

gA (г) = 2т]3/2е~'пг,	(г) = — T]3/2aZe~'nr; ц = —
И

Фк (Г) = 7Vi

( 1 А
о
cos 'ft

sin '0,ei<₽ у

е~^г,

'о

если спин электрона ориентирован по п, и

/	0

1

фк(Н = ^1

i sin Oe-^

— i^ cos’d1 j



если спин ориентирован против п.

Вводя биспиноры «о с компонентами

i
or«=2

можно записать волновую функцию К-электрона при Za < 1

виде

в

е~^ги0, aZ < 1.

(25.7.11)

Подставляя это выражение и выражение (25.7.10) для ф2(г) в (25.7.1),
получим

еЛТ = NiN^u (р) {(еу) Jo + (еу) у4 (уЛ) + (уЛ) ?4 (еу)} и0,

где

Jo= § ei(fc-p)r--nr^r [jg, 1, i (pr + pr)]d3X,

Ji= —yaZ	21 jr [ig5 1, i(pr + pr)]dsx,

J2== —4-\	[ig, 1, i (pr + pr)] d3x.

Используя далее формулы (18.2.1), найдем

2 I eM |2
№

s—т

е



~Цо(М*)-Л (М*)~2Л (ер) (еЛ)-с. с.} +

+	{2 (eJi) (ej2) -JiJ2 + с. с.}.

О

Интегралы Jo, Jt, J2 могут быть вычислены с помощью формулы

Р	ИЗ у

В = \ еЧ>--р)г-цг^г [7g, j, i (pr-^-pr)] — = 4л

a

(a+6)1-^’
где

а — й2 + (т| — ip)2,	a-]-b~ (k—р)2 + я2-

Легко видеть, что

лЛ£=- -zM;'‘-/ЛУ;в’

r .aZmfd k~p д 1 D	aZ т с. Г ip	ч ”1 D

•,2=1ТТ(1Г—г<Ув=~7тЧт &-р>~р\В-

Эти формулы сильно упрощаются, если v — 1 и Za < 1:

г	aZv	v — cos fl D

m(l — Vl— о2) 1 —у cos fl

ж     zccZ 1 — a2	k — p

1	~~	2m2 i __ т/ i __y2 1 — v cos 'O'	’

	(25.7.13)

2	2m2 i_yi_y2 (	’

I 5 12 = 4jt2 (_____1 —o2_______\ 2

1 ' m4 \(1— VT^2)(l-ocO4fl)J

('O'—угол между p и к).

Используя эти формулы, получим окончательно следующее выражение
для дифференциального сечения фотоэффекта, справедливое при aZ < 1,
v — 1:

2a6Z5 л sin2 О' ( (1 — V1 —и2)2
m2 (1 — v cos О)4 1 (i_____________y2)3/2

(1 — v cos О) —

(1 — К1 —у2) (1— у cos О) cos2 ср 4-4 cos2 ф} do, (25.7.14)

где

уЗ ( 1 — у2)3

Ki-w2

т

a> + m

(v —скорость вылетающих электронов, ср —угол между плоскостями (р, к)
и (k, е)).

Интегральное сечение фотоэффекта на /(-оболочке равно при со > I,
aZ < 1

о = 4«a4ZV2 ( )5 (у2 -1)3/2 (4+(1--------------4= Ь	) ) ,

r	I3 V+1 \ 2уУу2—1	у — yv2_i/J

(25.7.15)

где

__	1	_<й + т	_ е2

у j__у2 т ’ Г° 4ят

В крайне релятивистском случае (со > т) эта формула принимает вид

a = 4nr*a4Z5 , со > т.

(25.7.16)
Для больших Z, когда эти формулы неприменимы, производилось
численное вычисление сечения фотоэффекта. В приводимой ниже таблице

(D/m	0,69	1	2,2	5
Al	22,3	8,1	1,24	0,35
Fe	17,8	6,5	1,05	0,30
Sn	12,3	4,5	0,79	0,24
Pb	7,9	3,2	0,60	0,19

даны полученные таким образом значения сечения фотоэффекта о при
некоторых Z и со.

§ 26.	Рассеяние фотона электроном

26.1.	Матричный элемент рассеяния. В § 25 мы показали, что свобод-
ный электрон не может излучать и поглощать фотон, т. е. что для свобод-
ного электрона невозможны процессы первого порядка. Поэтому простей-
шие процессы взаимодействия фотонов и свободных электронов описываются
матрицей рассеяния второго порядка, которая, согласно (16.5.1), имеет
следующий вид:

S(2) = -у т {N [ф (Xi) А (Х1) ф (Xi)] N [ф (х2) А (х2) ф (х2)]}	d*x2.

Так как матрица S(2) содержит оператор потенциала Аи (х) билинейно, то
ее элементы описывают такие процессы, в которых общее число фотонных
состояний равно либо двум, либо нулю. Последний случай относится к взаи-
модействию электронов без участия фотонов и будет рассмотрен в § 31.

Матричные элементы S<2) с участием двух фотонных состояний можно
разделить на три типа соответственно общему числу электронов в началь-
ном и конечном состояниях. Это число может равняться четырем, двум
или нулю. Матричные элементы с четырьмя электронными состояниями
представляют собой просто произведения матричных элементов первого
порядка S(1) (см. рис. 17.2, /). Матричный элемент, не содержащий элек-
тронных состояний, определяет поляризационный оператор (см. рис. 17.2, 4)у
и будет исследован в 36.3.

Наибольший физический интерес представляют матричные элементы
с двумя электронными состояниями. Процессы, в которых участвуют два
фотонных и два электронных состояния, описываются частью матрицы
рассеяния второго порядка, имеющий следующий вид:

g<2> =	(д;2)А (х2) Sc (х2 — Xi) A (xj ф (xi) d4Xt d4x2,	(26.1.1)

где функция Sc (х) определяется формулами (14.4.12), (14.4.13).

Простейшим процессом, описываемым матрицей (26.1.1), является
рассеяние фотона свободным электроном, к подробному рассмотрению кото-
рого мы и перейдем.

Обозначим через ф1 (х) и ф2 (х) волновые функции начального и конеч-
ного состояний электрона и через (х) и (х) потенциалы начального
и конечного фотонных состояний. Мы получим элемент матрицы S(2),
соответствующий рассеянию фотона электроном, если заменим в (26.1.1)
операторы ф (х2) и ф (Xi) функциями ф2 (хг) и Ф1 (xi)> а оператор А (х2) A (xi)—
функцией Л* (х2) Л1 (xt) + Л1 (х2) Л'* (х^:

{f | S<2) | i) = e2 $ ф2 (х2){Л1 (x2) Sc (x2—Xj) Л^ (x4) +

+ Лх (x2) Sc (x2—xt) (xt)} ф1 (Xi) d4Xi d4x2.	(26.1.2)

Функции гр (x) и (x) мы выберем в виде плоских волн, нормированных
на единичный объем (см. (9.2.1), (2.3.5)):

Фа (х) = —uaeipx, Ль (х) = ebeihx (а, 6 = 1, 2),
Д/2е	У2со

где р и k — 4-импульсы электрона и фотона, е и со — их энергии, и = и(р)
и ец — биспинорная и 4-векторная амплитуды, удовлетворяющие условиям
нормировки

ии = 2т, е*е=1.

Подставив эти выражения и выражение (14.4.13) для Sc (х) в (26.1.2),
получим следующий результат, находящийся в соответствии с общими
правилами § 17.5:

(f I S<2> I i) = 777^— (2ц)4 S (Pl + К - p2 - k2),
4 у wiw2eie2

,7 / > lh-m Z, 1 ; if-h—m 1

2 V2 /? + m2 ei + ei ^+«2 e2 / wi>

(26.1.3)

где А = Р1 + ^1 = Рг+^ f2 = Pi — k2-=p2 —

На рис. 26.1 изображены две диаграммы,
гаемым в матричном элементе (/1 S<2)| О-

соответствущие двум сла-

26.2.	Применение законов сохранения. Матричный элемент (26.1.3)
отличен от нуля только при выполнении законов сохранения и импульса

Р1 + = Р2 Ч" ^2«

(26.2.1)

Эти законы позволяют при заданных импульсах Pi и kt определить четыре
из шести составляющих импульсов конечного состояния; если, кроме того,
задать направление k2 или р2, то можно полностью определить k2 и р2.

Найдем зависимость частоты рассеянного фотона со2 от направления
его импульса. Возводя (26.2.1) в квадрат и замечая, что

Pi = P22=—m2,	k\ = k2 = G,

найдем

Pl^l — Р2^2 — Pi^2 4“ ktk2l
откуда

<»i (1 — Vt cos ^) = (о2 (1 — cos -&2)	(1 — cos -0),	(26.2.2)

ei

где Vf — начальная скорость элетрона, Sj —его начальная энергия, тЭ^, $2 —
углы, образованные импульсами первичного и рассеянного фотонов
с начальным импульсом электрона, О —-угол между kt и jfc2.

Для случая рассеяния фотона на покоящемся электроне (щ = 0, = т)
мы получим из (26.2.2) известную формулу Комптона

®2 =----------------•	(26.2.3)

1 +—Г- (1 — cos О)

Величины fi и f2, входящие в (26.1.3), представляют собой четырех-
мерные импульсы виртуальных электронов, для которых не выполняется
обычное соотношение между энергией и импульсом. Отличие виртуального
электронного состояния от реального можно характеризовать величиной

_ Д4-^2

~ m2 *

%г

/ = 1, 2,

(26.2.4)

обращающейся в нуль для реального состояния. Легко видеть, что

= 2piki = 2p2^2i
/л2х2= —2pik2 = —2p2ki.

(26.2.5)

В системе отсчета, в которой электрон до столкновения покоится,

2©!

%! =---------

1 т

2оо
х2 = —-
л т

(26.2.6)

В системе центра инерции сталкивающихся частиц

т2^ = — 2есо (1	= —2(0 (в-(-со),

m2x2 = 2e(o (1 4-у cos Ф).

(26.2.7)

26.3.	Дифференциальное сечение в случае неполяризованных частиц.

В § 18.3 были сформулированы общие правила для получения дифферен-
циальных сечений через элементы матрицы рассеяния. Применяя их
к случаю рассеяния фотона электроном, получим

“ (S? I	I’ ТЯйГ 8	~	•	<26-3-1 >

где через Q обозначена матрица, заключенная в (26.1.3) в фигурные

Q = е* (tfi- Ъ е, (if2- т)	(26.3.2)

и J=|pA| =у m2|xi| . Наличие в (26.3.1) 6-функций дает возможность
произвести интегрирование по d3p2 и d(o2. Для этого достаточно сделать
замены

S (pi + ki —р2 — £2) d3p2 -> 1,

6 (8i 4- (0{ — 82 — (02) d?k2 —> tt>2 |	((02 + 82) | do2,
где do2— элемент телесного угла, в котором лежит вектор k2. В послед-
нем соотношении s2 является функцией со2, так как импульс р2 связан
с k2 законом сохранения

А =	+	+ kt —

откуда

dco2 v 2	282cd2

и поэтому

(26.3.3)

cc
где r0 = ----классический «радиус» электрона и а = — .

Если начальное состояние электрона не поляризовано и нас не инте-
ресует поляризация электрона в конечном состоянии, то мы должны про-
суммировать выражение (26.3.3) по конечным и усреднить по начальным
значениям проекции спина электрона. Эту величину, т. е. 4- 3 da, где
Pi и р2 — значения проекций спина электрона в начальном и конечном
состояниях, мы будем для краткости по-прежнему обозначать через do.
Согласно (18.2.2) такое усредненное значение дифференциального сече-
ния равно

£to = -7Fro SP w	(ip2—m)}do2,	(26.3.4)

где Q = 74Q+?4.

Подставляя сюда выражение для Q и замечая, что для любого 4-векто-
ра q, пространственные составляющие которого вещественны, а четвертая
составляющая мнима, q = — q, найдем

Q (ip± — m)Q (ip2 — m) =

= { (ift — m)et+ ex (if2—tn) e2 } (ipt — m)x

x	— tn). (26.3.5)

Если первичный фотон также не поляризован, то мы получим сечение
рассеяния безотносительно к поляризации рассеянного фотона, просумми-
ровав (26.3.2) по конечным и усреднив по начальным'состояниям поляриза-
ции фотонов. Эту величину, т. е. 4~ 2 da, где и v2 — поляризации фото-
нов, мы также будем обозначать через da.

Вычисление этого усредненного сечения значительно упрощается,
так как суммирование можно производить не по двум, а по четырем поляри-
зациям фотонов, включая как «продольную», так и «скалярную» поляриза-
цию (см. § 18.2). При этом следует, лишь в выражении (26.3.5) заменить
&! на yv, ё2 на и просуммировать по v и ц (v, р = 1, 2, 3, 4).

Таким образом, мы получим

da = r*-^^4SpF,	(26.3.6)

24 д. и. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
где

F =	{^bG7i-^)Yv + -^rYvW2-m)b} X

X (ipt —	т)^(1р2 — m) +

+ -^Г l b Wi ~т)ъ + Ъ Шг - "*) Ь } X

X (ipi — т)	(tf2 — т) ?v (ip2 — tri).

Легко видеть, что второе слагаемое в этом выражении получается
из первого путем замены — k2, которой соответствует также замена
А** А,

Каждое из слагаемых представляет собой, очевидно, функцию только
от двух инвариантов хА и х2. Поэтому мы можем представить Sp F в виде

SpF = P(xi, Х2)+Р(Х2, >4),

Р(%1, X2) = MXi, X2)+^2(Xi, Х2),
где

fti (Xi, х2) =	Sp {(ff i — m) yv (tpi — m) yv (ifi — m) y^ (tp2 — m)},

h2 (xb x2) =	Sp {yv (if2 — m) y^ (ipi — m) yv (ifl — m) y^ (ip 2 — m)}.

Выполнив здесь с помощью формулы (8.3.8) суммирование по р, и v
и отбросив члены с нечетным числом матриц получим

hi (Х1, Х2) = -^7- Sp {fiPifiP2 + 4m2 (fiPi 4- fiP~2 — A) — m2pip2 + 4m1}.

Отсюда с помощью формул (8.3.6) легко получить

«21-8^4^

Аналогичным образом можно показать, что

(хь ><2) = 8	.

Поэтому

±SpF^[/0 = 4(—+-)2-4 (- +—)-,

8 r	и \ xt 1 х2 /	\ Xi х2 /	\ х2 Xi /

и окончательно мы получим следующее выражение для усредненного
сечения:

<26-3-7>

Заметим, что входящие в это выражение величины х4 и UQ являются
релятивистскими инвариантами. Инвариантом является и величина со2 do,
так как

©2 do = — = 26 (k2) d^.

(О	4	7

Если электрон вначале покоился, т. е. pi = 0, то, используя (26.2.3)
и (26.2.5), получим

UQ= — 4- — — sin-
«2 1 (01
и сечение рассеяния приобретет вид [5]

da = ± гЦ—?(- + — -sin2 ^ро2.

2 0 V coi / \ (Di (о2	/

(26.3.8)

Отметим, что сечение рассеяния фотона содержит в знаменателе массу
рассеивателя т. Поэтому при т оо рассеяния не происходило бы. Этот

вывод, однако, неточен, так как
он получен только из рассмот-
рения матрицы рассеяния вто-
рого порядка. Оказывается, что
уже матрица рассеяния четверто-
го порядка содержит элементы,
отвечающие рассеянию фотона
на бесконечно тяжелом заряде.
Соответствующее этим матрич-
ным элементам явление коге-
рентного рассеяния фотона на
ядре будет рассмотрено в § 42.

26.4.	Угловое распределение

рассеянных фотонов. Восполь-	рис 2

зовавшись соотношением (26.2:3),
определяющим со2 как функцию
со± и Ф, можно выразить дифференциальное сечение рассеяния неполяри-
зованных фотонов покоящимися неполяризованными электронами через
частоту падающего фотона и угол рассеяния фотона:

Го	14- cos2 #

2 [1+^-(1-созй)]2

(1 —cos О)2
т2

(1 + cos2#) [ 1+-—(1—cos

do2. (26.4.1)

Угловое распределение, даваемое этой формулой, изображено на рис. 26.2
для различных значении параметра у =	.

При малых энергиях фотона (cd± < т) формула (26.4.1) переходит
в классическую формулу Томсона

do = -^-(l +cos2/&)do2,	< m.	(26.4.2)

Если энергия первичного фотона велика по сравнению с энергией
покоя электрона, иц > т, то из (26.4.1) можно получить простые выра-
жения для двух предельных случаев: когда Ф < и когда ft > j/*:

do = r20 do2> m, ft <	,	(26.4.3)

da =	-2 — ,	> m, # > л/'— .	(26.4.4)

2 (Di 1—cos# ’	1	V ©I	x	1

“ > m обе эти формулы приводят к одинаковым
результатам. Это показывает, чго формула (26.4.3) дает при со± > т
хорошую аппроксимацию углового распределения в области углов
О < Ф < 1/ — , а формула (26.4.4) —в области углов '&>}/ — .
В предельном случае больших энергий угловое распределение имеет
особенно простой вид в системе центра инерции сталкивающихся частиц.
Подставив в (26.3.7) выражение (26.3.6), в котором в этом случае можно
сохранить только последнюю скобку, и использовав (26.2.7), легко видеть,
что рассеяние происходит главным образом назад (т. е. под углом Ф, близ-
ким к 180е); при этом

do = 4- do2, л - е < ~	(26.4.5)

(со —частота в системе центра инерции). В области углов, не близких
к 180°, дифференциальное сечение существенно меньше:

do~r^d02.	(26.4.6)

Дифференциальное сечение рассеяния покоящимся электроном может
быть выражено с помещью (26.2.3) через энергию со2 рассеянного фотона.
После интегрировани по азимутальному углу получим

d(y=^^2	, (26.4.7)

0 (Oj I ©2	V	\ ©2 C0J / J V	'

где согласно (26.2.3), изменяется в пределах



1+2-^-
т



26.5.	Полное сечение. Для получения полного сечения достаточно
проинтегрировать выражение (26.4.1) по углу 'й. Выполнив интегрирова-
ние, получим

-	. (26-5.1)

где у = — и со± — частота падающего фотона в системе покоя электрона.
Заметим, что сечение является релятивистским инвариантом, поэтому у

также можно выразить че-
рез инвариантную величи-
ну xf, согласно (26.2.6)

В системе центра инерции,
согласно (26.2.7),

(О (8 + СО)

7 m2

При сц < т разложе-
ние (26.5.1) по у дает

о=-4-гИ1-2т+...)>

(26.5.2)

т. е. в нерелятивистской области сечение рассеяния почти не зависит
от энергии фотона.

В крайне релятивистской области (со± > пг) выражение для сечения
сильно упрощается:

(T=^4(ln^ + 4),	(26.5.3)
В этой области сечение убывает почти обратно пропорционально энергии
фотона. Часть сечения, пропорциональная In = In ]	|, возникает

от области углов рассеяния, близких к 180° в системе центра инерции,
в которой дифференциальное сечение выражается формулой (26.4.4).

Таким образом, в области больших энергий число рассеянных фотонов
сильно уменьшается, благодаря чему проникающая способность у-излуче-
ния возрастает с увеличением их энергии.

На рис. 26.3 представлена зависимость — от энергии первичного
фотона. Значения ~ приведены также в таблице (сг0 = -^-г*) .

Y	0,05	0,1	0,2	0,33	0,5	1	2	3
	0,913	0,84	0,737	0,637	0,563	0,431	0,314	0,254
У	5	10	20	50	100	200	500	1000
ёо	19,1	12,3	7,54	3,76	2,15	1,22	0,556	О,ЗО4Х1О-2

26.6.	Распределение электронов отдачи. В результате столкновения
с фотоном покоящийся вначале электрон приобретает некоторую энергию.
Из законов сохранения легко убедиться, что приобретаемая им энергия равна

со? (1 — COS ft)

8 — т = --------,	-z;-------Цтт- .

m + coi (1 — cos v)

(26.6.1)

Она изменяется от нуля при	до максимального значения

2(0?*	а

Emax-m= m + ^i При $ =

Угол [3 между импульсом рассеянного электрона и импульсом первич-
ного фотона связан с углом 14 соотношением

D /11	\ -и /	1 — cos 0

cosp = (1+у) 1/ 5— ---------------sr

•	\	у 2 + у (y 4- 2) (1—cost!)

(26.6.2)

и изменяется от ~ при = 0 до нуля при й = л.

Воспользовавшись этим соотношением, можно выразить da через |3.
Мы получим, таким образом, угловое распределение электронов отдачи

На = 4г2 0 + У)2 cos Р 4ое

4Z0(1^2v + v2sln2p)2 А

у I 1 J____________2Y2 cos4 Р___________2 (1у)2 sin2 р cos2 р ) ,„fi ~

А I ' (1 + 2у-ьу2 sin2 р) [1 +?(у + 2) sin2 Р]	[1 + Т (v+2) sin 2Р]2 f ’

где doe — элемент телесного угла, в котором лежит импульс рассеянного
электрона.
В крайне релятивистском случае (7 > 1) эта формула дает

dG = 4roy з^°р ’ V > 1, TSin2p » 1.

26.7.	Поляризационные эффекты. Перейдем теперь к рассмотрению зави-
симости сечения от поляризаций частиц в начальном и конечном состояниях.
Согласно общим правилам, изложенным в § 18.4, для этого нужно возвести
в квадрат матричный элемент (26.1.3), заменив в нем билинейные относи-
тельно амплитуд частиц величины соответствующими матрицами плотности.
Таким образом, мы придем к следующему выражению для дифференциаль-
ного сечения рассеяния фотона электроном:

da = Го	Sp QabpWp^a'b'P^).	(26.7.1)

Здесь р(*) и —матрицы плотности электрона и фотона в начальных
состояниях (они определяются формулами (9.4.8) и (2.4.3)), p<d> и р£^ —
матрицы плотности конечных состояний электрона и фотона, фиксируемых
детектором; н акон ец,

<2«ь =	42) (tfi - т) & +	Й1’ (i?2 - rn) ej,2>,

где е{а} (а— 1, 2) —пространственноподобные единичные 4-векторы, орто-
гональные и е{а— такие же векторы, ортогональные k2\ мы их выберем
в виде трехмерных векторов

л(1) _	„(1)_л(2) ________ ^,(1)	^(2) _ [^2^i2)]

“ИМ2]Г 2 “	~ со2 •

Заметим, что векторы е™, е™ перпендикулярны плоскости рассеяния,
а векторы е™, е(2) лежат в этой плоскости.

Так как матрицу р можно выразить через вектор поляризации элек-
трона в его системе покоя g, а матрицу раъ — через параметры Стокса
фотона (см. (9.4.8), (2.4.3)), то дифференциальное сечение do является
функцией от#1, k2, g(1), 5(d), £(1), £(d)- Из выражения (26.7.1) легко видеть,
что зависимость do от каждого из параметров g и £ линейна. Поэтому можно
установить общую структуру выражения для do:

da = Г0 W- { Fo+^^'1) + F'^d) +	+

/vj C

+ Flh^^ +	+ f£^l) +	+

+ gi^d) +	(26.7.2)

Здесь выписаны все члены, зависящие от одного и двух поляриза-
ционных параметров, и один из членов, содержащих три параметра. Осталь-
ные члены, зависящие от трех и четырех поляризационных параметров,
опущены, так как практически мы их не будем рассматривать, общую же
форму легко написать по образцу предшествующих членов.

Если вместо векторов поляризации электрона в системе покоя g^1)
и g<d> пользоваться 4-векторами поляризации и то выражение
для da будет иметь следующую структуру:

da = + F^ +	+ G^d> +

1	+	+G.414d) + (fuiv +	+

+ &0U W + (fOu ^s'1’ + (h^	+...}•	(26.7.3)

Приведем значения коэффициентов, входящих в (26.7.2), для случая
рассеяния на покоящемся электроне [6]:

Fo = —+ ~~sin2l8', F[ = FZ, Fi = F2 = 0, F3 = sin2fl,
(02 <x>i

G = G' = 0, F33 = 1 + cos2 fl, 7711 = 2cosfl’,

F22=(-^ + -g-) cos-fl, Flk = 0 (i^k),

Л = /з=о, /2=-^(1-cos-fl)(^costf-i-^), /;=/;=o,

/;= —T-(! — cosfl) (&2cosfl + ^), g-1 = g-3 = o,	(26.7.4)

g2 = —i (1 - COS fl)	COS fl + k2 - (1 + COS fl)	(^ - *2)] ,

g-;=^=o,

^2= --^-(1-COSfl) [#i + ^2 COS fl - (1 + COS fl) ~^^2m (ky - k2) ] .

Ковариантные формулы для поляризационных коэффициентов в (26.7.3)
имеют вид:

л, = 4 (— +—Г — 4 (—_f__L)_	+

°	\ Xi 1 х2 У V Xi х2 /	\ х2 Х1 /

Л = ^2 = 0,

F3=-4(-L + ^)2 + 4(-L + -’-),
J	\ Х1 Х2 )	\ Х1 х2 )

G = G' = 0,

Ftk = 0

/1=/з=о, /;=/;=о, gi=g3=o, g-;=g;=o,
f2 = ^2=	(-^ + 57) [ъ + *г-2 (v + ^г)	’

Ь^+-^-) [*1+х2-2 (^г+-^-) *2] •
26.8.	Рассеяние поляризованных фотонов неполяризованными электро-
нами. Используя приведенные значения величин Fif G, f и др., можно
проанализировать ряд частных случаев. Пусть прежде всего = О,
= о? g<i> = о. Тогда формула (26.7.2) (учетверенная, что отвечает сум-
мированию по поляризациям конечных частиц) будет определять сечение
рассеяния поляризованных фотонов на неполяризованных электронах.
Обозначим его через da (£ш):

do(^)=^r^Fdo2,	(26.8.1)

где

F = Fo +	+-g. - (1 - sin2 fl.	(26.8.2)

Мы видим, что фотоны, поляризованные перпендикулярно плоскости рас-
сеяния (g<n = 1) рассеиваются сильнее фотонов, поляризованных в пло-
скости рассеяния (^п = — 1). От циркулярной же поляризации сечение
не зависит. При отсутствии линейной поляризации относительно осей е1»
и (ёзП =0) сечение (26.8.1) совпадает с сечением для неполяризован-
ных фотонов (26.3.8).

Аналогичными свойствами обладает сечение рассеяния неполяризо-
ванных фотонов с образованием поляризованного фотона. Это сечение,
которое мы обозначим через da (£(d)), можно получить из сечения (26.7.2),
если в последнем положить равными нулю все параметры, за исключением
(и удвоить результат соответственно суммированию по поляризациям
конечного электрона):

da(^>) = lr^F' do2,

где

F' = Fо + F= -g- + -^ - (1 - tW) sin2 fl.

Сечение рассеяния поляризованного фотона с образованием поляри-
зованного фотона имеет вид

do (^>, g(d)) = |	do2 {F0 + F3	+

+ Fu^^ + F22&^ + F33^d)}. (26.8.3)

Из этого выражения, согласно правилу § 18.4, можно найти параметры
Стокса вторичного фотона. Они равны отношению коэффициентов при
к члену, не содержащему

= ± [sin2 fl + (1 + cos2 fl) S'1’],

g)2) = -T 2 cos flg)n,	(26.8.4)

c2 — F cos v -t- й J S2 .

Из этих формул, в частности, видно, что неполяризованный фотон
в результате рассеяния частично поляризуется. Действительно, полагая
в (26.8.4) I)1’ = 0, получим

t<2) =-----sin4>-----	£«> = £«>= о.	(26.8.5)

3	0)1	, (D2	on1"'

— 4     sin2$

0)2	0)i

Так как ^2) > 0, то фотон будет поляризован перпендикулярно к плоскости
рассеяния. В нерелятивистском приближении ^2) = 1	’ и ПРИ Рассея“

нии на 90° излучение полностью поляризовано.

Циркулярно поляризованный фотон образуется только в том случае,
когда и первичный фотон циркулярно поляризован

Рассмотрим далее тот случай, когда падающий фотон полностью поля-
ризован линейно ((^1})2 + Цз1*)2 = 1,	= О)» и найдем дифференциаль-

ное сечение рассеяния, при котором рассеянный фотон также обладает
линейной поляризацией Используя (26 8 3), (26 7 3) и выражая параметры
и через проекции векторов поляризации фотонов, которые мы
обозначим через е(1> и е(2), получим следующее выражение для дифферен-
циального сечения рассеяния поляризованного фотона на покоящемся
электроне:

15+^2+< с“! 8)	(26-8-6)

где 0 — угол между поляризациями первичного и рассеянного фотонов,
cos 0 = е(1)е(2).

Сечение рассеяния как функция 0 достигает максимума при совпадаю-
щих направлениях поляризации первичного и рассеянного фотонов.

При фиксированном е(1) можно рассмотреть два случая поляризации
рассеянного фотона, когда вектор е(2) перпендикулярен е(1) (cos 0 = 0)
и когда е(2) лежит в плоскости (&2, е(1)),

cos2 0=1 — sm2 ft cos2 ф,

где ф —угол между плоскостями (&ь &2) и (&2, е(1)).

Если daay и do(2) — сечения рассеяния, соответствующие этим поляри-
зациям, то полное сечение рассеяния будет равно do(2\ Если падаю-
щий фотон не поляризован, то сумма da(1) + do(2), усредненная по углу ф,
даст сечение рассеяния неполяризованного фотона (26.3.8).

При «1 < т имеем

do(1) = 0, do(2) = г2 (1 — sin2 й cos2 ф) do2.

При o)i > т следует различать области малых и больших углов рас-
сеяния. Если й < J/ , то

do(1>=:0, do(2) = г2 (1 — sm2 й cos2 ф) do2.	(26.8.7)

Ели й >	, то

dow =	•	(26.8.8)

4 o)i 1 — cos $	х 7

Мы видим, что если первичный фотон линейно поляризован, то в крайне
релятивистской области при малых й рассеяние происходит так же, каю
и в нерелятивистской области. При больших энергиях и больших углах:
рассеяния рассеянный фотон неполяризован, независимо от характера
линейной поляризации первичного фотона
Приведем в заключение этого раздела ковариантную формулу для
круговой поляризации рассеянного фотона:

В системе центра инерции

/	8 — р 8-4-р COS'О’ \ P-4-8COS#

^(2)_	\ 8 4- р COS О’ ~	$4~Р	/ 8-(-р cos О’

~2	&+Р I g^PC0S1») ; (£(П П «2 sin2fl.

\s + pcosO	& + р /	' (s-|-p cos О)2

где 8 и р —энергия и импульс электрона (р = \р |) и 0 —угол рассеяния.

Если — > 1, л — 0 > — , то
т	г

26.9.	Рассеяние поляризованными электронами и поляризация электро-
нов отдачи. Так как, согласно (26.7.3), G = 0, то из (26.7.2) следует,
что сечение рассеяния неполяризованного фотона поляризованным элек-
троном do (g(1)) не отличается от сечения рассеяния неполяризованным
электроном,

do (g(1)) = do,

т. е. определяется формулой (26.3.8). Далее, так как G' - 0, то электрон
отдачи не поляризуется при рассеянии неполяризованных частиц.

Рассмотрим рассеяние поляризованного фотона поляризованным элек-
троном. Считая в (26.7.2) отличными от нуля параметры и g(1), получим
do (Г, 2(1>) = 4 4 (^° +	+Ле'Т'11) =

=	(26.9.1)

Отметим, что во второй член в формуле (26.9.1) входит только состав-
ляющая описывающая круговую поляризацию падающего фотона,
и составляющая вектора поляризации электрона в плоскости рассеяния.

Приведем выражение для полного сечения рассеяния в том случае,
когда электрон поляризован в направлении ki, а фотон обладает только
круговой поляризацией:

^.^2 Г 1 +4V + 5V2	(1 4-у) In (1-}-2у)

0 I У (1-2у)2	2у2

(26.9.2)

где о — сечение рассеяния неполяризованных фотонов и у = — .

На рис. 26.4 изображено отношение о'/о как функция энергии фотона (Dp

Аналогично, считая в (26.7.2) отличными от нуля параметры и £<9,
лолучим сечение do (£(d)g, (1)) образования поляризованного фотона при
рассеянии неполяризованного фотона на поляризованном электроне:

do ;<!)) = do (^)) + 1 г02	f’2^(2d) do2. (26.9.3)
Отсюда следует, что рассеянный фотон обладает, кроме линейной поляриза-
ции, определяемой формулой (26.8.5), еще круговой поляризацией

^(2) ___ J2 £(1)
2	Ъ

(26.9.4)

которая определяется проекцией вектора поляризации электрона на пло-
скость рассеяния.

Рассмотрим в заключение поляризацию электронов отдачи. Сохранив
в (26.7.2) члены, содержащие и получим сечение рассеяния поля-
ризованного фотона на неполяризован-
ном электроне,
+ <26-9-5>

откуда находим

g(2> = ^.g<i>.	(26.9.6)

Мы видим, что электрон поляризуется
только в том случае, если фотон обла-
дает круговой поляризацией. Вектор
поляризации электрона лежит в плос-
кости рассеяния.

Аналогичным образом могут быть исследованы другие поляризацион-
ные эффекты. Так, например, коэффициенты определяют поляризацию
рассеянного фотона, зависящую от поляризаций первичных частиц.

§ 27.	Рассеяние фотона связанным электроном

27.1.	Дисперсионная формула. В § 26 мы изучили рассеяние фотонов
свободными электронами. Теперь мы перейдем к изучению рассеяния фото-
нов связанными электронами.

Для определения сечения рассеяния в этом случае можно по-прежнему
пользоваться частью матрицы рассеяния S(2), определяемой общей форму-
лой (26.1.1), но теперь взамен функции Sc (х2 — х4) в выражение S(2> должна
входить функция Грина уравнения Дирака для электрона во внеш-
нем поле,

s(2) = е2 $ N (xt) A (Xi) S(ce) (хь х2) А (х2) 4 (х2)} d4Xj d4x2. (27.1.1)

Функция Sce) (xlt х2) определяется в соответствии с (14.4.7), (14.3.2)
следующим образом:

Г	(*i) ФйЧхг),

Scap (хь *2) = г V ।	\ Т<-> ( \	/

I — 2L1 Феа ФвЗ (-^2) > Л < ^2?

I s
где

^+) (х) =	(г)	e~iE*+>t,	Е^>0,

(х) = if*"» (г) е~гЕ*~\ Е<-><0,

’ — решения уравнений Дирака с положительными и отрицательными часто-
тами во внешнем поле.
Функцию S<e) (х1? х2) можно представить в более компактном виде^
если заметить, что

1 Р егШ

2т7 J	—г0)	=

0,
e~iai,
e~iat,

at<0,
а>0, />0,
a<Z 0,	0.

Используя эти формулы, легко убедиться, что

(27.1.2)

— оо	S

где суммирование производится по всем состояниям, соответствующим
как положительным, так и отрицательным частотам.

Из формулы (27.1.2) и из уравнений Дирака следует, что S(ce) (х1? х2)
удовлетворяет уравнению

{?и	— W) + m) S<e) (%, x') = — tb (x—x'),

а так как Sc (x) удовлетворяет уравнению

(^Дг+т)Sc	—гб W’

то функция Sce) (xi, x2) удовлетворяет интегральному уравнению

Sce) (Xi, x2) = Sc (Vi — x^ — e Sc (Xi — x') A(e) (x') S(ce) (x', x2)dx2.

Применим эти формулы к определению сечения рассеяния фотона
связанным электроном.

Рассмотрим рассеяние фотона с частотой волновым вектором
и поляризацией электроном, находящимся в состоянии с волновой функ-
цией ф4 (х) = фх (г) е~гЕ^ В результате рассеяния возникает фотон с часто-
той со2, волновым вектором &2, поляризацией е2, а электрон переходит
в состояние с волновой функцией ф2 (х) = ф2 (г) е~гЕ^

Частота рассеянного фотона со2 может при этом либо совпадать с часто-
той первичного фотона (о1? либо отличаться от нее (в последнем случае
говорят о комбинационном рассеянии)

Замечая, что рассматриваемым состояниям фотонов соответствуют
потенциалы

Ai (х) = —

1/2(0!

Л2 (х) = —^=- ег^ -®2*)

1/2(02

мы получим, согласно (27.1.1), следующее выражение для матричного
элемента перехода:

| S(2) 11) =	0p2 (r2)	(x2, Xi) x

2 Д/ (O!(O2 e)

X Ip! (Г1) el!2(E2T0)2)-tb(El-0Ji)	егк1Г2^(^	X

X е-аггир* (г4) ег«2(Е2-и1)—ih(Ei-<02)} dtX1 ^х2.	(27.1.3)

Обоим слагаемым в этой формуле соответствуют диаграммы, изобра-
женные на рис 27 1 Отличие этих диаграмм от диаграмм, изображающих
рассеяние фотона свободным электроном, заключается в том, что на рис. 27.1
внешние электронные линии изображают связанные состояния, а внутрен-
ней электронной линии соответствует функция Sce).

Подставив в (27.1.3) выражение (27.1.2) для S(ce), представим </ | S(2)I О
в виде

оо	оо	оо	л

(fis-io»—^2	Л, S

lV tth(02	1

F	S —оо —оо —оо

где

X ^г^2(-Е,2+<й2+<ь) — iii(Ei+(Oi+co)

<2 I e1eikir | S) I e2e~ik2r 11)

“Г	£s-r-w

у eit2(E2-(^i+(i>)~itiCE-i—(02-г<0)

(и | eikre | s) = фп (г) eeikr^s (г) d3x.

Выполнив интегрирование по /2 и со, получим

(f | s(2) I о = 2ш(/б (Е, + (0А - Е2 - ®2),

где

U =	2 {g _ *	<2 | е2е-’^ I s) (s I | 1) +

V	ICS —/М —ОН

<2|е1е^|з)<5|е2г-^| 1)}

(27.1.4)

и суммирование производится по всем состояниям s, соответствующим
как положительным, так и отрицательным частотам.

Важнейшим применением этой формулы является рассеяние фотона
атомной системой.

Рассмотрим нерелятивистский случай, когда энергии фотонов малы
по сравнению с энергией покоя электрона, ац < /и, со2 < т и значения

энергии электрона в начальном и ко-
нечном состояниях Е± и Е2 мало отли-
чаются от т,

| Е4 — т j < m, | Е2 — т | < т.

Кроме того, мы будем предполагать,
что в сумме (27.1.4) играют сущест-
венную роль только такие состояния s
(«промежуточные» состояния), энер-
гии которых также являются нереля-
тивистскими, т. е. || Es | — т | < т.

Рис. 27.1.

Эти предположения позволяют значительно упростить ту часть сум-
мы (27.1.4), которая относится к отрицательным частотам. Прежде всего,
в каждом члене этой части суммы, которую мы будем обозначать через
можно заменить выражение, стоящее в знаменателе, на 2т:

и^ = -	3 {(2|e2e-^-|S)(s|eie^| 1) +

s(E^0)

+ <21 e^k^r | s) (s | e2e-ik^r

ID}-
после чего можно преобразовать £/<“> в сумму по всем состояниям, вклю-
чающим не только отрицательные, но и положительные частоты. Для этого
следует сделать в выражении матричного элемента

(21 eeikT j s) = гр2 (^) eeikrty^ (г) d3x

замену

где Н — гамильтониан электрона. В интересующем нас приближении

Н	Нф(±) (г) = ±	(г).

Поэтому

=	^У^>(г)=о

И

= —М-- 2 {<21 ё2 (1 -74) е-^ I s) (s |	| 1> +

У COj(£>2

+ (21 e*i (1 — у4)	| s> <s | e2e~ik^ 11),

где сумма распространяется на оба знака частоты. Воспользовавшись
правилом умножения матриц, можно переписать это выражение в виде

и1"’ =----(21 {е2 (V4 — 1) е-^-ь^ + в! (у4- 1) е~^~к^е2} II).

2/7? у (^(£>2

Замечая, наконец, что, выбрав щ = 0, можно заменить е на е = уе9 причем

и что в нашем приближении	получим окончательно

£/'-> =---(ete2) 1|>* (г) гр! (г) e«ki-™r d?x. (27.1.5)

т у СО1СО2

Рассмотрим теперь часть суммы (27.1.4), относящуюся к положитель-
ным частотам. В нерелятивистском приближении в числителях дробей,
входящих в эту часть U, можно, согласно § 12.1, заменить аЛ на ~ Лр +

+ р rot Ли ае на ~ ер + fp [ke\, где р — спиновый магнитный момент

электрона. Сделав эту замену и воспользовавшись формулой (27.1.5) для
получим следующее^выражение для U:

TJ — 4ла ( 1 ’чп ( <2 | р'А? |s>(s| р'Л1| 1) ,
tn t m & \ Ei~

s(Es>0)

+ <21pzAi| s><s|\ +<2|Л*Л1| 1)} ,	(27.1.6)

bl hs (£>2	/	J

Где p' = p 4- m [pV] (матричные элементы в этом выражении вычисляются
с нерелятивистскими волновыми функциями).

Заметим, что матричный элемент (27.1.6) можно получить также
и иным способом, а именно, если с самого начала пользоваться нереляти-
вистским оператором энергии взаимодействия электрона с электромагнит-
ным полем (см. (12.1.7)):

Н1= -^р'А + ^А2, p' = p+m[fxVi.

Квадратичный относительно А член в этом операторе обусловливает «прямые
переходы» и в первом приближении теории возмущений приводит к послед-
нему члену в (27.1.6), линейный же член обусловливает переходы через,
«промежуточные» состояния и во втором приближении теории возмущений
приводит к сумме в (27.1.6).

Если длина волны рассеиваемого фотона велика по сравнению с раз-
мерами атома, то А{ (г) и Л2 (г) можно считать постоянными, так как
elkr elkR (R — радиус-вектор центра атома). В этом случае форму-
ла (27.1.6) принимает вид

2ясб	( <2 | ре>2 | s) <s |	| 1) . <2 ]	] s) <s | ре2 | 1 ) X .

т~]/®^2	~	+	—Es —co2	)

+ (^2)612.	(27.1.7)

Последний член здесь отличается от нуля только для когерентного рассея-
ния, когда ф! = ф2.

Эту формулу, определяющую закон дисперсии, т. е. зависимость рас-
сеивающей способности атома от частоты света, можно представить в несколь-
ко ином виде, а именно таким образом, чтобы в нее вместо матричных эле-
ментов импульса входили матричные элементы дипольного момента атома.
Для этого нужно воспользоваться соотношением

{п I р \s) = im (En — Es) (п | г | s),

а также условиями коммутации между операторами импульса и коорди-
наты, из которых следует:

= i <21 {(p«i) (re2) — (rei) (рг2)} 11> =

= t S «21	| s><s| ге211) —<2| j s> <s| ре21 1)}.

8

Прибавляя, далее, в фигурной скобке в (27.1.7) равное нулю слагаемое
®2 2 {<21 гв! I s) (s\re2\l) — (2\rez\s) (s-jr^l 1» = О,
S

получим окончательно [7]

^=-2лае^-^Г^У Л2172.1^1 ^11») +	.

' L \	Ei — Es + coj	Ei — Es—co2	J

(27.1.8)

Дифференциальное сечение рассеяния связано с U соотношением
do = 2л | U р 6 (Ei + - £2 - со2)	.

Устраняя 6-функцию интегрированием по dco2, найдем

У /	1^11) 1 р (27J.9)

12 I I	Ei—£3 + 04	Ех—Es — <o2	J|’	'	>

s

где Q — дипольный момент атома.
Если рассеивающая система содержит не один, а несколько электронов,
то под Q следует понимать суммарный дипольный момент системы.

Формула (27.1.8) справедлива, если длина волны фотона велика по
сравнению с размерами атома а, % > а.

27.2.	Резонансное рассеяние. В дисперсионную формулу (27.1.8) вхо-
дит сумма по всем возбужденным состояниям атома. Если частота фотона со±
равна разности энергий одного из возбужденных состояний и основного
состояния атома, т. е со4 = Es — Eir то сечение рассеяния обращается
в бесконечность, что указывает на неприменимость полученной формулы
при (Oi = Es — Et. Этот случай называется резонансом.

Мы не будем развивать здесь строгую теорию резонанса, а ограничимся
лишь разъяснением физической причины неприменимости формулы (27.1.8)
вблизи резонанса и укажем приближенный метод рассмотрения явления
резонанса. Последовательное рассмотрение резонансного рассеяния, исполь-
зующее общую теорию радиационных поправок, будет дано в § 38.5.

Причина неприменимости формулы (27.1.8) вблизи резонанса заклю-
чается в том, что мы рассматривали (х) как волновые функции стацио-
нарных состояний, содержащих время в виде е~гЕ^. Между тем возбужден-
ные состояния являются лишь приближенно стационарными, так как бла-
годаря взаимодействию с электромагнитным полем существует конечная
вероятность перехода атома в основное состояние (эта вероятность была
определена в § 25).

Приближенно стационарные состояния можно описывать как состояния
с комплексной энергией, волновые функции которых содержат время в виде

где Г8 — вещественная положительная величина. Вероятность нахождения
атома в возбужденном состоянии, пропорциональная |	|2, убывает при

этом по закону e~Ybt Это показывает, что

rs = ^s,

где ws — вероятность излучения, определяемая формулами (25 2 7), (25 3 4).

При частотах, близких к резонансной, можно в формуле (27 1 8) отбро-
сить все слагаемые, кроме резонансного, и заменить в нем Es на Es — ~ Г8.
Таким образом, мы полечим следующее выражение для амплитуды рассея-
ния [8].

Т1 о -----------'2i{2\re2\s}{s\rei\ 1)

и = 2л& у (0i(02 —-----------------— ,

Es Е^	Г8

где сумма распространяется на все состояния с энергией s. Соответственно
дифференциальное сечение рассеяния будет

Я 3 J | S <21 Qe21 s> <s I Qei I 1) I2

do = (OiCDa do2	---------------j---—.	(27.2.1)

Чтобы найти полное сечение рассеяния, нужно проинтегрировать
выражение (27 2 1) по углам, усреднить по поляризациям падающего фото-
на и проекциям момента начального состояния и просуммировать по поля-
ризациям рассеянного фотона и проекциям момента конечного состояния.
Такое сечение определяется, помимо Et, Еа и <о±, ®2, только шириной уров-
ня s и значениями моментов. В случае рассеяния без изменения частоты
полное сечение равно

2/s-F-l 4л

2 (2/! 4-1) <о2

	

(27.2.2)

где js и ji — моменты системы в состояниях sh 1,	= ®2 = Эта фор-

мула сохраняет свой вид и в том случае, когда состояние s произвольным
образом отличается от состояния 1 по моменту и четности. При этом под
Г5 = ws следует понимать вероятность излучения соответствующего
мультиполя.

27.3.	Излучение двух фотонов. С помощью матрицы S(2), определяемой
формулой (27.1.1), может быть также решена задача об одновременном
излучении двух фотонов [9]. Для этого в выражении (27.1.6) для матрич-
ного элемента U нужно заменить А{ на А*. Амплитуда излучения двух
фотонов с импульсами kY и k2 в дипольном приближении будет иметь вид,
аналогичный (27.1.8):

U = -2ла]/^у р217* IУ-!re* I Ц	УIre' I . (27.3.1)

I	Ех — Es —cot	Et—Es—<в2	J v '

s

Вероятность излучения двух фотонов с импульсами ki и k2 в интер-
валах d3kt и d3k2 связана с U соотношением

dwhlk2 = 2л j и I2 6 (Ei - Е2 - «и - ®2)	.

Устранив здесь 6-функцию интегрирования по d(£>2, получим

d^lk2 = -~^^daidOidO2\^

S

(2 | Qgj | s> (s | Qg2 | 1> 1 12

Ei — Es — (o2	/ I

где Q — дипольный момент атома.

Проинтегрировав (27.3.2) по углам и просуммировав по поляризациям
фотонов, найдем вероятность излучения двух фотонов с энергиями со±
и (f)2 — Ei — £2 —cof.

dw^^^

8

9л

d(f>i 2 12 {

М1М2 S

<2 I I 5) I Qmi I

Ei — Es — cDi

. & I 1I QM1 I 0 'i I2
Ei —Es —co2 J I

(27.3.3)

где QM == Qim — составляющие дипольного момента, определенные в § 25 2.

Вероятность излучения двух фотонов с частотами и со2 обычно очень
мала по сравнению с вероятностью излучения одного фотона с суммарной
частотой со = <0i + Исключение составляет тот случай, когда излуче-
ние одного фотона не допускается правилами отбора. Это имеет место,
например, если момент количества движения излучающей системы (атома
или ядра) в начальном и конечном состояниях равен нулю. При этом вероят-
ность излучения одного фотона точно равна нулю, так как фотон не имеет
состояний с моментом нуль.

25 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
Для одного электрона приближенно запрещенными являются также
переходы между состояниями с орбитальным моментом, равным нулю.

Типичным случаем, в котором излучение двух фотонов значительно
вероятнее излучения одного фотона, является излучение в возбужденном
состоянии водорода 2si/2. Переход из этого состояния и основное состоя-
ние lsi/2 возможен с испусканием одного магнитодипольного фотона. Одна-
ко в нерелятивистском приближении вероятность такого перехода, опреде-
ляемая формулой (25.3.4), обращается в нуль в силу ортогональности
радиальных волновых функций с различными главными квантовыми числа-
ми. Отличное от нуля выражение для вероятности перехода получается
только при использовании точных релятивистских волновых функций; при
этом вероятность оказывается порядка 10-7 сек'1.

Значительно более вероятен переход 2si/2 -> ls±/2 с испусканием двух
дипольных фотонов электрического типа. Вероятность такого перехода
может быть определена с помощью формулы (27.3.3).

Матричные элементы дипольного момента отличны от нуля, если раз-
ность орбитальных моментов связываемых состояний равна единице. Так как
начальное и конечное состояния являются s-состояниями, то «промежуточ-
ные» состояния должны быть p-состояниями с тремя значениями магнитного
квантового числа т = — 1,0, 1; главное же квантовое число в «промежу-
точном» состоянии может принимать любое значение, начиная с 2.

Волновые функции начального, конечного и промежуточного состоя-
ний имеют следующий вид:

(*•)=—U-ад/-),

у 4л

^2(r) = —T=-i?20 (г),

Д/4л

фз (r) = Rnl (г) Ylm , т = 0, ±1; п = 2,3, ...,
где Rni — радиальная волновая функция электрона (я —главное и / — орби-
тальное квантовые числа). Записав матричные элементы электрического
дипольного момента в виде

(2 | Qm | S) = /-=
у 12л

где

оо

Qn'n = § Rn'O (г) Rni (г) rs dr, ri = 1, 2,
о

получим для dw^2 согласно (27.3.3), выражение
оо

^(01(02 — 27л	I 2	(£	£	Q). “Ь £	£	^2 ) I *	(27.3.4)

п~ 2

Для интегралов Q2n и Qin могут быть получены аналитические выраже-
ния, суммирование же по п может быть выполнено только численно. Пол-
ная вероятность перехода оказывается приблизительно равной [10]

«1=ЕТ—Е%

w— \ dwaia>2iv7 сек-1.

(01=0
§ 28.	Тормозное излучение

28.1.	Эффективное сечение тормозного излучения. При столкновении
электрона с какой-либо заряженной частицей или системой заряженных
частиц, наряду с рассеянием электрона, происходит излучение фотона.
Такой процесс называется тормозным излучением. Если столкновение
электрона происходит с тяжелой частицей (ядром, атомом), то действие
последней может учитываться как действие внешнего поля. В этом случае
тормозное излучение описывается матричным элементом (25.1.1), в котором

начальное состояние относится к непрерывному, а конечное — к непрерывному или дискретному спектру. Ввиду сложного харак- тера волновых функций элект- рона в поле ядра этот матрич- .z ный элемент удается вычислить только в случае малых энергий, когда можно пользоваться нере- лятивистским приближением, а	А|	ч\	\*  1	।	j	!  	L		L  ' Spz	рр  Рис. 28.1.

также в предельном случае больших энергий и малых углов рассеяния

электрона.

Если внешнее поле таково, что его можно учитывать методами теории
возмущений, то для определения вероятности тормозного излучения доста-
точно вычислить соответствующий элемент матрицы рассеяния второго
порядка S(2), определяемой формулой (26.1.1).

Критерий применимости такого рассмотрения совпадает, очевидно,
с критерием применимости борновского приближения для кулоновско-
го поля:

где Ze — заряд ядра и v — скорость электрона.

Мы рассмотрим сначала этот относительно простой случай, охваты-
вающий весьма широкую область применений.

Матричный элемент, определяющий процесс тормозного излучения,
может быть написан на основании правил Фейнмана (§ 17.5). Соответствую-
щие диаграммы изображены на рис. 28.1; они отличаются от диаграмм,
изображающих эффект Комптона, только тем, что первичному фотону
с 4-импульсом ki соответствует здесь «псевдофотон» с 4-импульсом q,
т. е. ^-компонента Фурье внешнего потенциала, а рассеянному фотону
с 4-импульсом k2 — излучаемый фотон с 4-импульсом k и поляризацией е.
Соответственно этому матричный элемент тормозного излучения отличается
от матричного элемента эффекта Комптона заменой

ki—> q, k2—^k, ei—->Д(е)(д), e2—:>e
и имеет следующий вид:

</1 S<2> | 0 = 777===- «2 {е (ifi - т) Л(е) (?) +

2 У2<08182 т

+Л(е) 0(28-1 •1 >

где

fi = p2 + k, f2 = Pi — k, q = p2 + k — pi,
т2К1 = 2р21г, т2к2 = — 2pik.
Из законов сохранения энергии и импульса следует, что взятый с обрат-
ным знаком 4-импульс «псевдофотона» q равен 4-импульсу, получаемому
ядром в результате процесса тормозного излучения: —q =	— р2 — k.

Таким образом, —q представляет собой трехмерный импульс отдачи ядра,
а —7о — энергию, передаваемую ядру.

Если внешнее поле не зависит от времени и описывается статическим
потенциалом АМ (г), что имеет место для неподвижного ядра, то

№ (q) = 2m8{qQ)y,AM (^),

Л<е> (#) =* W (г) £“г<зт d3x

(в этом случае можно сказать, что вектор поляризации «псевдофотона»,
в отличие от вектора поляризации реального фотона, направлен вдоль
временной оси).

Для кулоновского поля ядра

4е’(<7)=—^--

Перейдем к определению дифференциального сечения do тормозного
излучения в кулоновском поле ядра Используя правила, изложенные
в § 18.3, и выражение (28.1.1) для матричного элемента, получим

* - I W	I"	(е. -	Ш),	(28.1.2)

где Vi—скорость электрона в начальном состоянии, и

Q	е	- ш) 74 +	(if2 - rn) е.

Найдем прежде всего сечение тормозного излучения, усредненное
по ориентациям спина падающего электрона и просуммированное по ориен-
тациям спина рассеянного электрона и по поляризациям излученного
фотона Такое усреднение и суммирование по поляризациям частиц сво-
дится, согласно результатам § 18 2, к следующей замене в (28 1 2):

|«2Q«i|2

где

F = Qu (IPl — tri) Qu (ipz — tri),

Qu =	7н (lA - "О T4 +	T4 (i?2 - tri) уц, Qp, = T4QiT4-

Величину SpF можно записать в виде

SpE = /4 4-F2,	(28.1.3)

где

Р1 = Sp Qu (IP1 - ni) y4 -^2~эд y4 (tp2-tti\

p2 = Sp Qp (ipi — tri) 7p ~^2~w 74 (ip2-tri).

Если в выражении, определяющем Fz, сделать замену
Pi Рг. q->—q, k —k,
то Xi и х2, так же как и f2, поменяются местами:

fi fz, Х1 Х2>

и мы получим под знаком Sp в выражении для F2 те же матрицы, что
и в выражении для но только расположенные в обратном порядке.
Отсюда следует:

F2(xb Х2, <72, 81? 82) = Л(Х2, х1? 92, 82, 8i).

Поэтому достаточно вычислить Fi.

Вычисление Fi производится просто: после суммирования по индексу р,
согласно формулам (8.3 8), следует, пользуясь правилами коммутации для
матриц расположить их так, чтобы две матрицы оказались рядом.
Это может быть сделано с помощью очевидной формулы

yj) = - Ь*у^ (Ъ*=Ъ, Ь*= —

справедливой для любого вещественного 4-вектора b (т. е. 4-вектора с вещест-
венной пространственной и мнимой четвертой составляющей). Так как
yl = 1, то после такого расположения матриц в каждом члене останется
произведение не более чем четырех матриц ?v, след которых может быть
легко найден. Поступая таким образом, мы получим

{(xiX2+24M~^MXi+2)+^S^Xi} +

+ ^r{~i'(X1+X2~^5'~2)+'S‘ (Х2~'М +

-цХх‘-^-)-т(х1+х2+4)} • (28л-4)

Поменяв здесь местами хх и х2, а также и 82, найдем F2.

Подставив эти выражения в (28.1.2), получим

л =	^3Р2 d3k 6 (8! —е2—со)

4со8182и1	(2л)5 xjx274

х | — 2x^2(Ej + 6j) + + «2 — -^2— 2j +

+ (х^-гх^) (xjXa + 2-^-) —-^-(Xjea + Xaej)2! .	(28.1.5)

В отличие от эффекта Комптона, импульс рассеянного электрона р2
и импульс фотона k здесь независимы. Поэтому 6-функция может быть
просто устранена, действительно, замечая, что

d3p2 == | pz | dz2 do2, d3k = со2 dco do,

где do2 и do —элементы телесных углов, в которых лежат векторы р2
и k, имеем

6 (8i — 82 — со) d3p2 d3k —> со2 I р21 82 do do2 dco.

Используя это соотношение, получим окончательно следующее выраже-
ние для усредненного по поляризациям частиц сечения тормозного
излучения [11] х)*

1   Z2a3 I р21 dto do do2 2(о2
°* (2л)2 | pi | со	х2х|

X | —2х1х2-^г £ — 24-Xi4-x2 — -^2‘ + -^2" (8i + 82) +

+ (*Х4) (xtx2 +-g-) -8 <^^1)2} 5 (28 J 6)
где
_ е2_________________________________1__

а~ 4л ~ 137 '

Учитывая соотношения

m2Xi = 2 (p2k — 82<о) = — 2<о (82 — р2 cos

т2п2 = — 2(PiA —е1со) = 2(о (sj — pi cos f^),

Я2 = т2 (х, -г х2 — 2) -г 2 (е^г — PiP2),

где Р1 = |/?11, р2 = |р2|, а О1! и Фг — углы между векторами k и pt и k
и р2, можно переписать do в виде

Jn — Z2(x3 Pz da> do d°2 4 * / Л Г Ь ( elP2 I e2pl \ 1 2 _
а°~ (2л)2 Р1	т‘Г1*< х, х2 /J

(28Л-7)
L \ Xi х2 / j xix2	j

ИЛИ

z2a3 Р2 dti) do do2 f pl sin2 fl2 /л<?2	„2Ч J

(2л)2 pi co	l(82-p2cos^2)2	4

pl Sin2 б’! /л 2	I Q 2

(4е: — я2) 4- 2(02 -
(Cf — pi COS 'O’i)2 \	2	7 1	(

2pip2 sm $1 sin cos ф

pl Sin2 #1 4- pl Sin2 #2
(8i —Pi COS fti) (82—p2C0S $2)

(&1 — Р1 cos ^i) (82 — р2 COS $2)

(48i82 —724-2(02)} ,	(28.1.8)

где ф — угол между плоскостями (k, Pt) и (k, p2).

Квадрат переданного ядру импульса q2 связан с углами &!, ср
соотношением

Q2 = Р\ + Pl + 0)2 — 2pi<o cos -&1 + 2р2 (о cos -&2 —

— %Pip2 (c°s 'Q’i cos $2 + sin sin COS ф) .

Из (28 1 8) следует, что do обращается в нуль при	= О

28.2.	Угловое распределение излучения в кулоновском поле. Формула
(28 1 8) определяет усредненное по поляризациям фотона и рассеян-
ного электрона угловое распределение тормозного излучения для неполя-
ризованных первичных электронов В общем случае угловое распределе-
ние излучения имеет сложный характер Оно становится более простым
в предельных случаях малых и больших энергий электрона

4) Подробную сводку формул со ссылками, относящимися к тормозному излуче-

нию, см. [12].
В предельном случае малых энергий первичных электронов, соответ-
ствующем задаче о сплошном спектре рентгеновских лучей, импульс фотона
мал по сравнению с импульсом электрона, так как

® = -^-(^-р22) < Pi-

Поэтому

Я2=(Р1-ргУ-

Замечая далее, что в нерелятивистском случае
m2x2 = —	= 2та), г2 = т,

и сохраняя в фигурных скобках (28.1.7) только первый член, получим

, Z2a3 dm р2 do do2 ri. /	Л"!2	/oo о

Так как р2 мало отличается от то в этом выражении можно
выделить множитель

<28'2'2)

который представляет собой резерфордовское сечение упругого рассеяния
электронов. Мы можем поэтому сказать, что в нерелятивистском случае
сечение тормозного излучения равняется произведению сечения упругого
рассеяния электрона d(5s на вероятность излучения фотона dwy:

do = das • dwy,	(28.2.3)

где

(28-2Л>

Интенсивность излучения достигает максимума в направлении, перпенди-
кулярном к плоскости движения электрона (р4 ,р2).

Полученное выражение для вероятности излучения находится в соот-
ветствии с классической теорией излучения, а именно, dwv представляет
собой отношение интенсивности дипольного излучения при малых частотах
к энергии фотона, т. е определенное классически среднее число фотонов,
излучаемых в единицу времени.

Отметим, что представление сечения тормозного излучения в виде (28.2.3)
возможно во всех тех случаях, когда излучаются фотоны малых частот.
Подробно этот вопрос будет рассмотрен в § 29.

Так как в (28.1.8) входят множители (1 —cos'&1)"1h(1 —v2 cos^)”1,
то в случае больших энергий > m, 82 > m, когда — 1 и v2 — 1, сечение
тормозного излучения имеет резкий максимум вблизи направления импульса
падающего электрона. Излучение сосредоточено при этом в основном в узком

а т

конусе около этого направления с углом раствора порядка Vi — —; в этом

81
же конусе лежит импульс рассеянного электрона.

Проинтегрировав (28.1.8) по do2i получим дифференциальное сечение
{мы будем обозначать его через dov), описывающее распределение фотонов
по углам и частотам независимо от угла рассеяния электронов:

— ^2а3	Р2 ( 8 sin2 64 (2£|4-т2) т2 

7 8л	со Pi \ р{ Р± cos $i)4

_ 2 (5е| + 2&!&2 -f- 3m2)	_____2(р| —(о2)___48

Р1 («1 — Pi COS $1)2	(ptk) (£1—Pl COS fy) *“ Р2 (81—Pi COS fy)

. j Jn S1C2 + P1P2 —Г 4Sj sin2	(3com2 —P1S2) m2	4s| (s| + ej)	.

P1P2 £1^2 —P1P2—^2L Pl (Bl — Pi COS $i)4	Pl (81 —Pl COS ^i)2

. (2m2—2 (781 —Зе^ + е!))2 1 2co (e|-f-8i82— m2) 1_

Pl (Cl — Pl cos #1)2	P1(£1—Pl cos $1)2 J ~

_ 4 In ______________1___________l.

£2— P2 P2 ($1 — Pi COS #1)

, 1 In ~Vpik + P2 Г 4m2_____________________6(0____________2co(pi —(o2) ~l j

m2	Vpl^—P2 L(S1 —Pl COS6>1)2	81 —Pl COS 01	(Pl^)(£l — Pl COS 01) J/

(28.2.5)

В случае больших энергий (Ei, 82 > m) и малых углов О эта формула
принимает вид

.	2Z2	2 dco ,	1

dov =-aro-do -----5-TV

" " (+><

(16sfe2

I m4

I

(ei + e2)2 , 9 in Sf^r sl + el	4sf£2 О? Ъ

m2 ‘ mco m2	(	£| a2\2 }

L	JJ

(28.2.6)

28.3.	Поляризация излучения. Рассмотрим теперь вопрос о поляриза-
ции тормозного излучения.

Если электрон в начальном состоянии характеризуется поляризацией g,
то для нахождения сечения do (g, £(а>) образования фотона с поляризацией,
определяемой параметрами нужно, согласно общим правилам § 18.4>
сделать в формуле (28.1.2) замену

(u2Qui)2 -> Sp (QapQa' (m — ip2) p^a),

где p — матрица плотности электрона в начальном состоянии, pd,a —
матрица плотности фотона и

Qa = 7^-	- m) Y4 + (if2-т)ёа.

Выбрав в качестве еа (а = 1, 2) векторы

e‘"№IT' е“=[-гг«‘]’ '“"°

и выполнив необходимые суммирования, мы получим следующий резуль-
тат [13]:

do (g,	do do2 (Fo + F+ GZ + Gt&p), (28.3.1)
где

F0 = 4[jfe (^Г^ + -^^)]2-<?2 [* Н?- + зг)]2-^[Л! (Рг~РМ2>
f2=0,

F3 =	(2 (48?- <?2) (р2е1у -	[(р2 - Р1) *]2) - tfq*,

\	л2	/

Х|	\	«1	л2	/

0 = 0, Gj-Gj-O,

!(-^+^)	(№-g.)n (“р'^to) +

ч \ <&2 л| /	\	Х|	л2	/

+ ^(2^_21L+^.(21_+J2_n (J^(e)J9ia_Ma) +

2	\ х2 Xi m2 \ Xi х2 )} \ х2 к	'

+ -^-(®Р2а — е2А:а)) }

И

д_Г| (SA)Pi

ь ‘ т(Ъ1 + т)

Первое слагаемое в круглых скобках в (28.3 1) совпадает, как и сле-
довало ожидать, с выражением в фигурных скобках в (28.1.7).

Согласно (28.3.1) фотон излучается в поляризационном состоянии,
определяемом параметрами Стокса

ъ-т;- ь = т?г- <28-3-2>

Из (28 3.2) следует, что независимо от характера поляризации первич-
ного электрона фотон оказывается линейно поляризованным (параметры
и не зависят от g).

Если электрон поляризован, то возникает также круговая поляризация
фотона. Поэтому, измеряя степень круговой поляризации тормозного излу-
чения, можно определить степень поляризации электронов.

Величины определяют поляризацию фотона при заданном импуль-
се р2 рассеянного электрона Практически больший интерес представляет,
однако, значение поляризации фотона безотносительно к значению р2,
т. е. значение поляризации фотона, усредненное по направлениям р2-

Для нахождения усредненных _таким образом параметров Стокса
(мы будем обозначать их через нужно проинтегрировать сечение
do (g, gd) по направлениям импульса рассеянного электрона

£d)=$

^P^-do2.

do2 z

Результат интегрирования мы приведем здесь только для предельного
случая больших энергий и малых углов [14]: l

ld) = ^r}^d0----^p-{Fo+W + G2m, (28.3 3)
где Fo совпадает с выражением в фигурной скобке в (28.2 6) и

г __ 8sfe2 Of

3	/п4	V mco / ’

1	п&~

Pi f 16&2effl^______________со (814- &2)	2s2 ।

Pi j m3 (1-4-'б'^е|//п2)2 m2 т '

I

I /2ш(81^е2) __ 8e2ef	\ . 28^ 1

* I т т'л /	\ 2 I тсо |

\	V	/ j

__ tPl tfPill 4(OS2 m?_________ / . 2&!82 _

HPd^illI m2 ’ (	\2 (ш m2

V m2 }

Отсюда легко заключить, что усредненные

значения параметров Стокса

равны

1з = 4, 12 = -^, 1 = 0.	(28.3.4)

Fo	Fo

В общем случае произвольных энер-
гий и углов невозможно получить простые
выражения для F3 и б?2. На рис 28 2 пред-
ставлена зависимость |2 от энергии фотона,
излученного в направлении pt электроном
с кинетической энергией — т = 2 Мэв
[15]. Мы видим, что на границе спектра
круговая поляризация становится почти
полной

28.4.	Спектр излучения. Проинтегри-
ровав выражение (28.1.8) по углам, мы
получим дифференциальное сечение излу-

чения с/оф в интервале частот со, co + dco, независимо от направления
импульсов фотона и электрона k и р2.

+ m2

| у—28^2

Pl 4 р!
PiPl

Шег

Pi

П281	ВД2 ) £ Г 8 ste2

Pi	P1P2 / L 3 p<p2

0)2

PiPi

(^2-rP2iP22) +

<о Pi

т2ш l„ 44—Pl eie2 lP2 2m8i82)-|\

1 2p!p2 Pl	Pl pfpl JJj ’

(28.4.1)

где

Ф = r20Z2a,

£ = j Pl 4-PiP2 —8i<0 = 2 1П Sle2~^PlP2 —ot2

Tl! = In 61 ~ P1 = 2 In 61	, Г|2= 2 In -2—-^2.	Pl 2= I Pl 2 I-

11	— Pi	tn ’	12	m ’
При малых энергиях, pt < пг, это выражение сильно упрощается:
da<e=”L ф_4®_	Р1±Р2=Аф^-^-1п (Vri + Vn-a)2	(28.4.2)

3 (О pj pt-p2 з (О Т1	<0

р2

где Ti = Ei — т = ~~ — начальная кинетическая энергия электрона.

Мы видим, что в нерелятивистской области сечение излучения прибли-
зительно обратно пропорционально частоте фотона. При максимально
возможной частоте, со = Tif сечение обращается в нуль.

При со 0 интенсивность излучения со do^ логарифмически расхо-
дится. Эта расходимость связана с расходимостью резерфордовского сече-
ния при малых углах и характерна для чисто кулоновского поля. Учет
экранирования поля ядра атомными электронами, как мы увидим далее,
так же как и в случае упругого рассеяния, устраняет эту расходимость.

В крайне релятивистской области при £i > т, е2 > m сечение излу-
чения принимает вид

= 4Ф^[1 + (1_^)1_4(1-^)][1п(^^)-±].	(28.4.3)

Мы видим, что вероятность излучения электроном определенной части
своей энергии, т. е. вероятность излучения при заданном отношении со/е^
растет приблизительно пропорционально логарифму отношения

Интенсивность излучения, т. е. произведение частоты на сечение,
со в релятивистском, так же как и в нерелятивистском случае, логариф-
мически расходится при со 0.

28.5.	Экранирование. При вычислении сечения тормозного излучения
мы считали поле ядра чисто кулоновским. Такое предположение является
правильным для расстояний от ядра меньших, чем радиус /(-оболочки
атома. На больших расстояниях поле ядра частично или полностью экра-
нируется полем атомных электронов, благодаря чему происходит уменьше-
ние сечения тормозного излучения. Поэтому, для того чтобы выяснить,
насколько правильны наши результаты, следует оценить ту область рас-
стояний от ядра, которая является существенной в процессе тормозного
излучения.

Из вида интеграла, определяющего компоненту Фурье кулоновского
потенциала, следует, что главный вклад в интеграл вносят расстояния
порядка

^0 —V’	9=|Р1— р2— *|-	(28.5.1)

ч

Действительно, большие г несущественны из-за сильно осциллирующей
функции е-^, а малые — из-за малости соответствующего объема 4л2г2 dr.
Поэтому можно считать, что Ro определяет по порядку величины наиболее
существенные значения прицельного параметра.

С другой стороны, как показывает формула (28.1.8), дифференциальное
сечение тормозного излучения особенно велико при малых </, которым,
согласно (28 5.1), соответствуют большие значения прицельного параметра.
Очевидно, эффект экранирования не будет играть роли, если максималь-
ное значение RQ, соответствующее минимальному значению q, будет значи-
тельно меньше эффективных размеров атома а, /?отах < я. Напротив, при
выполнении неравенства 7?0 max > я должно иметь место полное экрани-
рование кулоновского поля ядра.

Минимальное значение q равно, очевидно,

4mm = Pi — Рг — °5’

где Pi и р2 связаны соотношением

+ = Vm2 + p{ + ®.

При малых энергиях и малых частотах, pY < m, со < рц из закона
сохранения энергии следует:

Р2 = /р21 ——

Поэтому

то	то

Чт1п = Р1 — Р2 — ®~—---0)^ — , Pi«m, СО « р^

Pi	Pi

В крайне релятивистской области

=	— т2— т2 — со»-^-, ej > т, е2 > т.

ZC1O2

Таким образом, максимальное значение 7?0 определяется формулами

Pi
то ’

26^2
т2о ’

Pi « т, со < р^

» tn, е2 > tn,

(28.5.2)

из которых следует, что при достаточно малых частотах 7?отах может пре-
вышать размеры атома. Иначе говоря, при со -> 0 всегда наступает полное
экранирование, приводящее к значительному уменьшению сечения тор-
мозного излучения. В частности, при со -> 0 величина со б?ою обращается
в нуль, в отличие от случая чисто кулоновского поля, когда эта величина
логарифмически расходится.

В релятивистской области 7?Отах может быть большим и при частотах
порядка первичной энергии электрона. Действительно, если со~ е1? е2 —
&i > т, то

max

61
m2

Если пользоваться моделью атома Томаса —Ферми и считать эффектив-
ный радиус атома равным

a = a0Z~i/3,

где а0 — радиус атома водорода, то при энергии электрона, превосходящей
е0= 137m/Z1/3,

величина Л?Отах будет больше а. Поэтому в области больших энергий всегда
необходим учет экранирования.

Чтобы учесть экранирование поля ядра внешними электронами, нужно,
согласно (28.1.2), определить компоненту Фурье суммарного потенциала,
создаваемого как зарядом ядра, так и зарядом электронов. Этот потенциал
удовлетворяет уравнению


где р — плотность заряда,

р = — Zeb (г) + еп (г)

и п(г) — плотность электронов в атоме. Переходя к компонентам Фурье,

получим, очевидно,

-^(^efZ-F (</)],

откуда

4e)(g)--e[Z~2fW1 , (28.5.3)

ч

где F (q) — атомный формфактор,

F (q) = п (г) e~iqr d3x.

Мы видим, таким образом, что
для учета экранирования нужно
заменить Z на Z — F(q). В модели
Томаса —Ферми

F(q) = Zf(qZ~1/3),	(28.5.4)

Рис. 28.3.

где f (х) — некоторая универсальная функция, одинаковая для всех атомов,
значения которой могут быть определены с помощью численного интег-
рирования.

Вводя атомный формфактор в модель Томаса —Ферми, можно пред-
ставить спектр излучения в релятивистской области в следующем
виде [И]:

dua = Z2ar^ {(el + el) [ф, (?) -1 In z] - f gle2 [ф2 (?) - ± In z] } ,
(28.5.5)

где

? = 200a	= 100	mM1/?

Fornax	81S2Z1/3

и Ф1(£) и Ф2(£) —функции от £, изображенные на рис. 28.3. Величина £,
пропорциональная отношению а/Romax, определяет эффект экранирования.
Малые £ соответствуют большому экранированию, а большие £—малому
экранированию. Если £ = 0, то можно говорить о полном экранировании;
в этом случае

Ф1(0) = 41п183, Ф2(0) = 4 In 183-4

и сечение (28.5.5) приобретает вид

{(*=! + ш (1 вал-'«) + ла}

^zo.o.u)
(-gj- » 137Z-1/3, £1 > 137mZ~1/3) .

Сечение тормозного излучения в этих условиях при заданном отношении
to/ei не зависит от первичной энергии электрона При больших £ этот
вывод становится неправильным.
При Z > 1 эффект экранирования не играет роли. Малая поправка,
вносимая им, может быть учтена, если заменить в формуле (28.4.2) в послед-
ней скобке слагаемое у на у -f-c(Q, где значения с (£) приведены в таблице.

	2	2,5	3	4	5	6	8	10	15
с©	0,21	0,16	0,13	0,09	0,065	0,05	0,03	0,02	0,01

На рис. 28.4 представлена зависимость интенсивности тормозного
излучения от отношения энергии фотона к кинетической энергии электрона

не

— [111.

Рис. 28.4.

экранирования и справед-
ливы для всех элементов
(заряд ядра Ze содержит-
ся только в величине Ф).
Рядом с кривыми указа-
ны начальные энергии
— т в единицах т.

Сплошные кривые учи-
тывают экранирование и
относятся к свинцу Z =
82 (кроме сплошной кри-
вой = 0,125, кото-
т

рая относится к алюми-
нию). Они приближают-
ся в области малых
частот к кривой оо,
относящейся к случаю
полного экранирования.
Нерелятивистская кри-
вая для алюминия пост-

роена с учетом точных
волновых функций электрона для сплошного спектра (см. § 28.7). Мы
видим, что для легких элементов в нерелятивистской области экраниро-
вание мало существенно.

Заметим, что применение борновского приближения, которым мы поль-
зовались, может приводить к ошибке в случае больших Z не только в нере-
лятивистской области. Это связано с тем, что параметр Zalv в области
больших энергий и больших Z не мал, а равен Z/137. Отклонение от борнов-
ского приближения в релятивистской области заметно только при больших
значениях q, для которых экранирование не играет роли. Поэтому поправки
к сечению тормозного излучения, обусловленные отклонением от борновского
приближения и эффектом экранирования, просто складываются (см. § 28.7).

28.6.	Потеря энергии на излучение. Зная сечение тормозного излуче-
ния, можно определить среднюю потерю энергии электрона при его движе-
нии через вещество. Эта величина, отнесенная к единице пути электрона,
равна, очевидно,

81—т

— (4М = N V

\ иХ /г	е)

0
где N — число атомов в единице объема вещества и <3^ = dajda. Если
определить сечение Фг потери энергии на излучение в виде

81—т

Фг =----- \ (D(JW d(D,

Si е)

О

(28.6.1)

то потеря энергии равна
(28-6-2>

Используя (28.4.1), можно вычислить Фг:

ф _ ф / 12sf + 4^2 1 gj-4-Pi	(З^-Рвр^т2 • ,	\2

r I 3£1pi	т	VШ т )

__А । 2т2 р ( 2Р1(£Н Р1) "I 1

3 ' SjPi \ т2 / j
где

F(x) = J ln(1y+y) dy.
О
Замечая, что
и что при малых х справедливо разложение

можно определить
энергий:

Фг в двух предельных случаях малых и больших

Фг=4ф’

Фг = 4 (In——-Г) ф,
\ т 3 /

£1 < т,
> m.

(28.6.3)

Мы видим, что в нерелятивистской области отношение излученной
энергии к начальной энергии электрона не зависит от начальной энергии;
в релятивистском же случае Фг логарифмически растет с еР Этот результат
справедлив, однако, только в пренебрежении эффектом экранирования.
Если учитывать экранирование, то взамен второй формулы (28 6 3) мы полу-
чим постоянное сечение

Ф, =Ф (41n(183Z-1/3) + -J) , ej > 137mZ-1/3.	(28.6.4)

Значения Фг/Ф для различных энергий приведены в таблице.

81 — т  т	0	1	2	5	10	20	50	100	200	1000	оо
Фг Н2О	5,33	5,5	6,5	9,1	11,2	12,9	14,6	15,6	16,4	17,5	18,3
Ф РЬ	5,33	5,5	6,5	8,75	10,3	11,4	12,6	13,6	13,8	14,5	15,2
Зависимость сечения Фг от энергии с учетом экранирования изображе-
на на рис. 28.5 в логарифмическом масштабе. Прямая линия соответствует
логарифмическому росту сечения, согласно второй формуле (28.6.3), без
учета экранирования.

Потеря энергии электрона на единице пути, обусловленная его неупру-
гими столкновениями с атомами, определяется формулой [10]

~(^-)=2^Nzln

г?

2m/2 ’

(28.6.5)

где I — средний потенциал ионизации, равный приближению I = 13,5Z эв.
Отношение потерь на излучение к потерям на столкновения приближенно

Рис. 28.5.

равно

/ ^81 \

\ dx /г  1	&1Z

/ d&i \	1600 т

\ dx ) i

(28.6.6)

(предполагается, что лога-
рифмический член в обеих
формулах (28.6.3) и (28.6.5)
имеет примерно одно и то
же значение).

Из формулы (28.6.6)
следует, что потери на
столкновения и излучение
становятся одинаковыми
при энергии, равной

е0= 1600m/Z.

При больших энергиях потери на излучение превосходят потери на столк-
новения (е0 равно 10 Мэв для свинца, 55 Мэв ддя меди, 200 Мэв для воздуха).

28.7. Точная теория тормозного излучения в нерелятивистской обла-
сти. Поправка к сечению тормозного излучения в борновском приближении
при крайне релятивистских энергиях. Как уже упоминалось, матричный
элемент (25.1.5), определяющий тормозное излучение в кулоновском поле
ядра, может быть точно вычислен в нерелятивистской и крайне релятивист-
ской областях.

Покажем, как производится это вычисление в нерелятивистском слу-
чае [3].

Гамильтониану взаимодействия электрона с электромагнитным по-
лем излучения —аА соответствует в нерелятивистском приближении
(см. § 12.1) оператор —рА, где р — оператор импульса электрона. Поэтому
матричный элемент (25.1.5) в нерелятивистской области приобретает вид

и = —е—	d3x dt.	(28.7.1)

m У 2о) J

Входящий сюда экспоненциальный множитель e~lkr можно, очевидно,
заменить единицей. Действительно, в интеграле (28.7.1) существенны
значения г порядка г ~ г/т, где v — скорость электрона и т — время
1

столкновения, равное по порядку величины т~ —, поэтому

kr — соит —v < 1

и

где гр! (г) и гр2 (г) — волновые функции электрона в начальном и конечном
состояниях без временных множителей (е£ и 82 — соответствующие энергии).

Так как матричный элемент оператора скорости v = связан с матрич-

ным элементом радиуса-вектора г соотношением

<2|w| 1>= —йо(2|г| 1),

то U может быть записано в виде

U = - -у=- J %* (г) er^ (г) dsx.	(28.7.2)

Заметим, что это выражение (28.7.2) можно было бы написать сразу
на основании общей формулы (25.2.5) для мультипольного излучения.

Таким образом, вопрос сводится к вычислению матричного элемента
координаты с волновыми функциями непрерывного спектра в кулонов-
ском поле.

Волновые функции непрерывного спектра требуют для своего полного
определения задания асимптотического поведения на бесконечности, которое
может быть двояким, так как на бесконечности функция ф может иметь
вид либо суммы плоской волны, соответствующей определенному импуль-
су, и расходящейся сферической волны, либо суммы плоской волны и сходя-
щейся сферической волны. Волновая функция, описывающая начальное
состояние электрона, должна обладать асимптотикой первого вида, а вол-
новая функция конечного состояния — асимптотикой второго вида
(см. § 28.8).

В кулоновском поле в нерелятивистском приближении волновые функ-
ции с такой асимптотикой имеют следующий вид:

=	1, i(Plr-Pir)],	7

фг (И =	[ — ig2, 1, — i (РзГ+РзГ)],

где 2F— вырожденная гипергеометрическая функция, Pi и р2 — импульсы
электрона в начальном и конечном состояниях (Pl=\Pl |), % = (v — ско-
е2 1 \

рость электрона, а ~	и	— нормировочные константы.

При больших г справедливы асимптотические выражения

Ф1 (И « ЛГ1 T(i-zgi) (ei2>ir +-^егР1Г) .

-у ^2

ф2 (Г)« N2 Tc(1 + -g2) ( № + -М- e-wj t

26 А И Лхиезер, В. Б. Берестецкий
где

fi (0)

2г£1 InFsin 4-

______Е2_____р	2

2Pi sin2 Д

r(i-zgi)

Г (14-Z^i)

/2(9)

2р2 sin2 -|-

-2i^ In cosy Г (l + z?2)
е	r(l-zh)

Если выбрать константы и N2 равными

^=Д51Г(1-^).

^2 = е2*2Г(1 + ^2),

то волновые функции на бесконечности будут иметь единичные амплитуды.

Мы в дальнейшем будем пользоваться такой нормировкой.

Согласно общим правилам § 18.3 дифференциальное сечение излуче-
ния фотона с частотой со и поляризацией е в телесном угле rfov равно

da = 2S? 7ГII2 d°v d°2'

где

D = ф* (r)r^i(r)d3%

и do2— элемент телесного угла, в котором лежит импульс электрона после
рассеяния.

Просуммированное по двум поляризациям фотона дифференциальное
сечение тормозного излучения равно

___ е2(й3£Йо р2 /1 г* |2-(kD)2 \	zqq — дч
	W~) •	<28-7-4*

Для вычисления D мы воспользуемся следующей общей форму-
лой [16]:

Р	eiqr

J = dxe~Kr—^~	1, ips-tpir) (i%2, 1, w + ^p2^) =

=_2ie-«5x	Zg2)	,

a \ У )	\ У J \	1	*	’ a(y + 6) /

где

a = y(^2 + %2),	f>=-p2q — i^p2,

+	«,	S = PiP2—P1P2—₽•

Чтобы найти Z), достаточно, очевидно, продифференцировать J по X и q
и положить затем Х = 0, q=pi—p2-

Используя найденное таким образом значение D, можно получить
следующее выражение для дифференциального сечения тормозного излу-
чения, проинтегрированного по углам [3]:

1	16л2 £2ос3	I	dta d if/ \ 12 /по 7

da = —---------------—-----—----------xQ -i— F (xq) 2,	(28.7.5)

“	3 Pl (1 _е-2л^2) (е2л£1_ 1) (0 u dxQ 1	' u/ 1 x 7
где F (х0) — гипергеометрическая функция,
F (х0) = & (ili, zl2, 1, *0)
И
г — 4glg2
°	(§1-&2)2 •

Рассмотрим подробнее случай, когда « 1 И |2 « 1.
Используя соотношения

-^-^(«li, *1г, 1, -Vo) = —	(1 + *1ь 1 + *1г, 2, *о)

гР (а, Ь, с, z) = (1 — 2)““.+ ^а, с — b, с, »
получим

-4-^(1!, *12, 1, Xo)=-g1§2(l-Xo)-1-^ (1+llb I-1I2, 2,-^
Если £1 Р 1, g2 < 1, то

(*li, *1г, 1, х0) я» 1,

4~^(*li, *12, 1, Xo)«-^2r-v^ (1, 1, 2,-^4) .

Замечая далее, что при 0<г< 1

<F(1, 1, 2, _г) = ±]п(1+г),

х0
и полагая z = —, получим
%о *

-^^(*1!, *12, 1, Хо)^12-1П(-х~*О) , £1 « 1Л2« I-
uxq	ло

Поэтому
1F (х0) |2 = 2F (х0) ^2	,

а%0	х0

т. е.

-^-|Е(х0)|2 = 2^2 1П-(-1~Х-о) 
CLJCq	‘A'Q

Таким образом, при < 1, Е2 < 1 справедлива формула

Z2(x3_______4ji2S1^2	**<> , (Pi + P2\

aOa 3 Pl	ш m\Pi-p2) 

(28.7.6)

Заменяя здесь

(2я)2 U2

(e2«h_l)(l_e-2«b)

единицей, мы получим формулу

(28.4.2) для сечения тормозного излучения в нерелятивистской области
в борновском приближении.

Однако формула (28.7.6) имеет более широкую область применимости,
чем формула (28.4.2), а именно, она применима при единственном условии:
< 1; что же касается |2, то эта величина может быть произвольной. Дей-
ствительно, если < 1, а ^2	1, то х0 = —4Bi/?2, т. е. | х0 |	1,

и поэтому

(ih, 1г, 1, х0)« 1,

^-+(*1н *12, 1, X0)^-U2.
Замечая далее, что при |х0|< 1, — In (1х0) ~ — 1, получим
хо

-^-|F(xo)|^2^2-1-?-(1~Xfl)-, ^«1, g2~l.

Подставляя это выражение в (28.7.5), мы придем к формуле (28.7.6).

Формулы (28.7.6) и (28.4.2) справедливы также для сечения излучения
при столкновении электрона с позитроном в системе их центра инерции
(в нерелятивистском случае).

Для излучения при столкновении электрона с электроном эти формулы
неприменимы, так как дипольный момент системы двух электронов равен
нулю.

В этом случае излучение в первом приближении является квадруполь-
ным и надо пользоваться формулой (25.2.7) при L = 2.

Дифференциальное сечение излучения при столкновении электрона
с электроном имеет в нерелятивистском случае следующий вид [171:

= аг2 {-А (4 (р!-Р22)2 + 3 (PiPd2) +	(144 [№]« +

+ 264 (Pl-Pl)2	105 (pi-p^ [PiP2]a+ 12 (pi-piy) -

-(36[Pi/M* + 39 (p2-ptf [piP2r +12 (Pl-Р1Г }	. (28.7.7)

где

<1=Р1—Рг, p=Pi+P2-

Угловое распределение излучения в системе центра инерции элек-
тронов определяется его квадрупольным характером:

do—| У<0)(v)|2do.

Интегрирование по углам сечения (28.7.7), которое должно произ-
водиться по полусфере ввиду тождественности частиц, дает

ш 15 0 (D \	(У? + ^)2 /

+ (£i±Li + 26^^-24-T^^hn^±^-, (28.7.8)

V ^2	^1 + ^2	(^j + ^2) ' Vi — v2

где Vi и v2 — начальная и конечная скорость электрона в системе центра
инерции.

Для малых частот формула (28.7.8) принимает вид

Сечение потери энергии на излучение при столкновении электрона
с электроном определяется формулой

ф = -L $ о daa 8аг2.	(28.7.9)

Оно —того же порядка, что и сечение (28.6.3) потери энергии на излучение
в поле ядра при Z = 1. Отсюда следует, что сечение потери энергии на излу-
чение при столкновении электрона с электронами оболочки атома равно
примерно 8ar’Z, где / — число электронов. Это сечение по порядку величи-
ны в Z раз меньше сечения потери энергии на излучение в поле ядра, про-
порционального Z2.
Остановимся в заключение этого раздела на вопросе о точном вычисле-
нии матричного элемента, определяющего тормозное излучение электрона
в кулоновском поле ядра в крайне релятивистской области

]S[0= 'у	(28.7.10)

у z(0 cJ

где г|?1 и ф2 — волновые функции начального и конечного состояний элек-
трона в кулоновском поле ядра и е, k и о — вектор поляризации, волновой
вектор и частота излучаемого фотона.

Асимптотически при г->оо функция ф1 (г) должна вести себя как
суперпозиция плоской и расходящейся сферической волн, а функция
ф2 (И — как суперпозиция плоской и сходящейся сферической волн.
Поэтому в качестве ф1(г) следует взять сумму типа (г), а в качестве
ф2 (г)—сумму типа (г) (см § 11.1)). С такими функциями, однако,
вычисление {f | S I О практически невозможно.

Упрощения наступают в области больших энергий, когда в тормозном
излучении существенны, значения прицельного параметра порядка или
больше 1/т. В этих условиях хорошим приближением оказывается при-
ближение Фарри — Зоммерфельда — Мауэ. Более точно можно сказать,
что для возможности его применения должно выполняться неравенство

8 »-T(aZ)2m,

где 8 — энергия электрона

Вычисление матричного элемента (f | S I О с функциями (11.1.6)
не намного сложнее вычисления матричного элемента (28.7.2) в нереляти-
вистской области Мы, однако, не будем приводить здесь подробных вычис-
лений, а приведем только окончательное выражение для дифференциаль-
ного сечения тормозного излучения do [18]:

=	+	,	(28.7.11)

где do0 — дифференциальное сечение тормозного излучения в борцовском
приближении (оно определяется формулой (28.1.8)) и

V(x) = JF(-^, & 1, х) = 1+^-х + ^±Дх2 +

,	уз ।

Г (3J)2 Л "+*•••»

+	(28.7 12)

V—1	„	,,_<o2(e2-P2Cos02)(e1 —Pi COS0O

Х ~1 У' У~ ’

1//1ч sh лЕ с. -	е2

v 7 ng ’	’ 4л

(0! и 02 — углы между k и р±, р2).

Для значительной области углов сечения do и daQ практически совпа
дают, что связано с тем, что рассеянные волны в начальном и конечном
состояниях практически не перекрываются

Проинтегрированное по углам сечение тормозного излучения имеет
следующий вид

do(co) = dff0((o)-4Z2a2^r (s* + 81-4 8|82) f (Z)’da>,	(28.7.13)
где

оо

f(Z)-(Za)^ „-„-4^,.	(28.7.14)

П=1

Мы видим, что сечение тормозного излучения меньше того значения,
которое получается для него в борновском приближении. Форма тормоз-
ного спектра практически не отличается от формы спектра в борновском
приближении.

28.8. Асимптотика волновой функции электрона в непрерывном спектре.

В § 11.1 было показано, что можно построить две полные системы волновых
функций электрона во внешнем поле. В одной системе волновые функции
непрерывного спектра имеют вид суперпозиции плоской и расходящейся
сферической волн, а в другой — суперпозиции плоской и сходящейся сфе-
рической волн. Там же было указано, что функции первого типа ф^) должны
использоваться в качестве волновых функций начального состояния,
функции второго типа ф^ — в качестве волновых функций конечного
состояния. Это правило было уже использовано в §§ 25.7 и 28.7 и будет
использоваться и в дальнейшем. Теперь мы покажем, что теория возмуще-
ний непосредственно приводит к этому правилу.

Заметим для этого, что элемент матрицы рассеяния, определяющий
тормозное излучение, можно представить, во-первых, в виде

(f I S(1) I i) = ie J (x) Л* (x) ф'1’ (x) d4x,	(28.8.1)

где ф^/Дх) — волновые функции электрона во внешнем поле в первом
приближении по внешнему полю, и, во-вторых, в виде

{f | S<2) | i) = e2 J < (x2) {A* (x2) Sc (x2 - xt) Aie) (X1) +

+ Ale) (x2) Sc (x2 - Xi) Д* (x,)} ф'°> (^)	(28.8.2)

где ф1\°2 (x) — волновые функции свободного электрона.

Сравнивая оба эти выражения и учитывая, что при подстановке волно-
вых функций свободного электрона, т. е. ф(0) (х) вместо ф(1) (х), выраже-
ние (28.8.1) обращается в нуль, получим

ф<п (х) = ф<0) (х) — е Sc (х — х') А(в) (х') ф10) (х') d4x',

(28.8.3)

Ф™ (х) = ф<°> (х) — е ф<0) (х') А(€) (X') Sc (х' — x)d4x'.

Эти формулы имеют наглядный смысл: так как Sc (х) является функ-
цией Грина уравнения Дирака, то, интерпретируя А(е) (х) ф° (х) как плот-
ность источников, можно сказать, что вторые слагаемые в (28.8.3) пред-
ставляют собой рассеянную электронную волну, получающуюся в резуль-
тате суперпозиции волн, рассеянных в различных элементах четырехмер-
ного объема d4x'.

Аналогично можно найти и следующие приближения для волновой
функции. Например, во втором приближении мы получим

ф<2) (х) = ф(0) (х) — е Sc (х — х') А(е) (х') ф(1) (х') d4x' =

= ф(0) (х) —-е Sc (х — х') А(е) (х') ф<0) (х') d4x' +

+ е2 J Sc (х- х') А<е) (х') Sc (х' -х") А<е) (х") ф(0) (х") d4x' d4x". (28.8.4)
Суммирование получающихся в теории возмущений рядов должно
в принципе приводить к точным решениям уравнений Дирака.

Подстановка в (28.8.3) вместо ф(0)(х) плоских волн ф(0) (х) = иегрх
дает

(x) = U1e^—(f-pju^d'f,

(28.8.5)

«’ w	S (ft-f) d'f’

где Л(е) (q) — фурье-компонента внешнего потенциала.

В электростатическом поле

д(е)(<?) = о

и

^<1) = UieiP1x + J	А<е> (/_р1) у^Х dSf,

^ = и2е-^ + -^ $ й2?4^’(р2-/)-^-е-^^. (28.8.6)

В нерелятивистском случае главную роль в этих интегралах играют
малые значения |f|; поэтому if ж — пг и формулы (28.8.6) приобретают
вид, известный из элементарной теории возмущений:

*” (>•) = «’ w + (яН (r) d'>'
где

^0,(г) = ^,

и интегрирование производится, в соответствии с определением функции
Sc (%), таким образом, чтобы полюс f = р обходился снизу.

Легко видеть, что вторые слагаемые в формулах (28.8.6), т. е. рассеян-
ные волны, асимптотически, при больших г, имеют вид расходящихся сфе-
рических волн. Действительно, интегралы, входящие в (28.8.6), имеют
следующую структуру:

i=\g (Pl, f) f2_p2 (?f,
где g(p, /) —некоторая функция f и p. Выполнив интегрирование
по углу О между векторами f и г, представим J в виде

J

2л/
г

оо	оо	оо	1

{ $ fdf~ S -p=i*fdf} +? И S
О	о	0-1

ei/rg
72Z72

dg

d£,

где £ = cos6, a gn и go —значения g(p, f)- Соответственно при б = л
и 6' = 0. Второе слагаемое здесь имеет, очевидно, порядок 1/г2 и может
быть отброшено по сравнению с первым при г—>оо. Первое же слагаемое
можно, используя замену f—> —f, представить в виде

оо

— оо

f2___р2 f df J ёя p_______________p2 f df j •

— 00
Подынтегральные выражения в J имеют полюсы, в соответствии с (14.4.14),
в точках f = р + Ю и f = —р — Ю. Поэтому, замыкая контур интегриро-
вания в первом интеграле полуокружностью в нижней полуплоскости,
а во втором интеграле — полуокружностью в верхней полуплоскости,
получим

г

Таким образом, как функция ф(1) (х), так и функция ф(1) (х) в силу пра-
вила обхода полюсов функции Sc (р) содержат при г-> оо, кроме плоской
волны, только расходящиеся волны и не содержат сходящихся волн. Это
утверждение справедливо, очевидно, не только для первого приближения,
но и для всех последующих приближений Поэтому и точные волновые функ-
ции электрона во внешнем поле, относящиеся к непрерывному спектру,
должны отличаться этим же свойством, т. е. функция начального состояния
(х) должна иметь вид суммы плоской и расходящейся сферической волн,

—	г-^оо.	(28.8.7>

Такой же вид должна иметь и функция ф2 (г), т. е. функция, комплекс-
но-сопряженная волновой функции конечного состояния. Отсюда следует,
что волновая функция конечного состояния должна иметь вид суммы пло-
ской и сходящейся сферической волн

Я)2(г)~е^ + -^-е-грг,	г—>оо.	(28.8.8}

Итак, мы доказали, что система функций фр+) (г) должна использо-
ваться для описания начальных состояний, а система функций (г) —
для описания конечных состояний электрона.

Это правило допускает простую физическую интерпретацию. Если
разложить плоскую волну на сходящиеся и расходящиеся волны, то для
начального состояния при г -> оо только сходящиеся волны могут иметь
амплитуды, не зависящие от природы рассеивателя. Расходящиеся же
волны полностью определяются силовым полем рассеивателя. Это соот-
ветствует тому, что частицы в начальном состоянии падают на рассеиватель.
В конечном же состоянии, наоборот, при г -> оо только расходящиеся
волны могут иметь амплитуды, не зависящие от рассеивателя, а сходящиеся
определяются полем рассеивателя.

§ 29.	Излучение длинноволновых фотонов

29.1.	«Инфракрасная катастрофа». В предыдущем параграфе мы виде-
ли, что вероятность излучения фотона в области малых энергий обратно-
пропорциональна частоте.

, dm
aw ~,
со

полная же вероятность излучения логарифмически расходится при со (к

Эта расходимость в области малых энергий фотона носит название
«инфракрасной катастрофы». Она обусловлена незаконностью применения
обычной теории возмущений, основанной на разложении матрицы рассея-
ния в ряд по степеням е, к тем процессам, в которых участвуют длинновол-
новые или, как мы будем их называть, мягкие фотоны. Действительно,
легко убедиться, что если вероятность Wf излучения электроном с энер-
гией 8 одного длинноволнового фотона с энергией, большей со, пропорцио-
нальна е2 1п~-, то вероятность излучения этим же электроном двух фотонов

(g \ г
е2 In — 1 .

Поэтому отношение вероятностей по порядку величины равно

g := ZjL ~ £2 ]п А	(О—>0.

Это отношение, а не величина е2, как мы предполагали до сих пор, пред-
ставляет собой параметр разложения теории возмущений в применении
к процессам взаимодействия электрона с длинноволновыми фотонами.
Так как параметр £ при со -> 0 не мал по сравнению с единицей, то теория
возмущений в этих случаях, строго говоря, неприменима.

Неприменимость обычной теории возмущений связана с тем, что числом
фотонов, излучаемых электроном в единичном интервале энергии, стремит-
ся при со 0 к бесконечности, в то время как в теории возмущений пред-
полагается, что излучение одного фотона всегда более вероятно, чем излу-
чение двух или большего числа фотонов.

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, заметим, что
если энергия и импульс фотона со значительно меньше энергии 8 и измене-
ния импульса электрона Др,

-г«ь Vе1’	(29ЛЛ)

и, кроме того, длина волны фотона X значительно больше классического
«радиуса» электрона r0, X > г0, то можно считать заданным движение
электрона и пользоваться классической электродинамикой. Предполагая
сначала для простоты, что скорость электрона мала по сравнению со ско-
ростью света, мы можем исходить из формулы для интенсивности диполь-
ного излучения в интервале частот dco:

О

где

da = -^ deiatdt
— оо

и d— дипольный момент системы. При со—>0, очевидно,

(d(o)a)->0 = 2д (^2	^1) »

где di и -rf2 —значения дипольного момента до и после излучения..

В интересующем нас случае d = ev,

(^ю)со->0 — 2^" (^2	$4) >

где Vi и ^2 —скорости электрона до и после излучения. Таким образом,
№)<^о =	(v2 -^)2 dco.	(29.1.2)

Мы видим, что интенсивность излучения в единичном интервале
частот стремится при со —> 0 к конечному и отличному от нуля пределу.
Отсюда следует, что среднее число излучаемых электроном фотонов
1 d%

частоты со, равное ——, стремится при со—>0 к бесконечности,
как и утверждалось.

Так как вероятность перехода электрона из состояния с импульсом р{
в состояние с импульсом р2 всегда конечна, то вероятность одновременного
излучения бесконечного числа фотонов с бесконечно малой частотой также
конечна и отлична от нуля. Поэтому вероятность излучения одного или
конечного числа фотонов с со —>• 0 равняется в действительности нулю,
а не бесконечности, как следует из теории возмущений.

Определим теперь вероятность w (ri) того, что электрон излучит неко-
торое произвольное число п мягких фотонов, удовлетворяющих усло-
виям (29.1.1). При выполнении этих условий излучение фотонов, как уже
отмечалось, не влияет на движение электрона, и поэтому процессы после-
довательного излучения фотонов будут статистически независимыми. Отсю-
да следует, что вероятность излучения фотонов будет определяться форму-
лой Пуассона

— р-П
w(n) = (n)n-^~ ,

(29.1.3)

где п — среднее число излучаемых фотонов, частота которых лежит в задан-
ном интервале со± <С со со2. Эта величина может быть определена согласно
классической электродинамике. Именно, если dJ == Zdcodo — классическая
интенсивность излучения в интервале частот (со, со + dco) и в телесном
угле do, то

(29.1.4)

<01

Покажем, как найти dJ.

Пользуясь потенциалами Лиенара — Вихерта, легко показать, что компо-
ненты Фурье векторного и скалярного потенциалов на расстоянии /? равны

v (/) еш~гкг^ dt, ф<0 =	ei<0t-ifcr(0

где г — г (/)•— уравнение траектории электрона, v (/) — скорость электрона
и k — волновой вектор фотона. Замечая, что

АЛЮ — о)фш = 0,

получим

dJ = | Яф |2/?2 dco do = W (| Лo |2 -1 фф |2) dco do =

oo oo

^-{ J dt dt' (® (Z) ® (f)- 1)	(П1). dado,

— oo	—oo

(29.1.5)

где Яф = НАЛ©] — компонента Фурье магнитного поля в точке /?.

Если частота со удовлетворяет условию сот < 1, где т — продолжи-
тельность времени, в течение которого происходит рассеяние электрона,
то можно принять

г (/) vj + а,

г (/) = ^ + &,

— оо <

0< t < оо,
где Vi и v2 — скорости электронадои после излучения и а и & — констан-
ты. Выполнив интегрирование, получим

=	-------------------------zwlV-i dad0 (2916)

4л2 Ivl —1 — IlVi)	\1 — 4^2	1 — nViJ )

(n — единичный вектор в направлении излучения).

Если Vi и v2 значительно меньше скорости света, то эта формула пере-
ходит в формулу (29.1.2).

Выражая скорость электрона v через его импульс р, можно переписать
формулу (29.1.6) в виде

dado’ (29-L7>

где

'	\—kp2 —kpi)

и Pi и р2 — 4-импульсы электрона до и после рассеяния. Эту величину
можно назвать 4-током перехода. Она удовлетворяет, очевидно, уравне-
нию непрерывности

&ц/ц (k) = 0.

Поэтому dJ можно представить также в виде

<29.1.8)

Подставляя это выражение в (29.1.4), получим следующую формулу
для среднего числа излучаемых электроном мягких фотонов, частота кото-
рых лежит в интервале co< со2:

<29-‘-9>

(01^

Определим теперь вероятность процесса рассеяния электрона во внеш-
нем поле, сопровождающегося излучением п мягких фотонов. Предполагая
выполненными условия (29.1.1), мы можем, очевидно, представить эту
вероятность в виде

dw = w (п) dws,	(29.1.10)

где dws — вероятность упругого рассеяния электрона во внешнем поле
и w (п) — распределение Пуассона (29.1.3).

Если со± = 0, то /г, согласно (29.1.9), будет равно бесконечности,
и следовательно, w (п) обратится в нуль.

Иными словами, вероятность рассеяния электрона с излучением конеч-
ного числа длинноволновых фотонов равна нулю. В частности, равняется
нулю вероятность чисто упругого рассеяния электрона. Так как, с другой
стороны,

3 W (п) = 1,

п=0

ТО

оо

3 dw = dws.

п=0

(29.1.11)
Поэтому можно сказать, что найденная в § 11 вероятность упругого рассея-
ния электрона dwS) не учитывающая взаимодействия электрона с полем
излучения, представляет собой полную вероятность рассеяния электрона,
независимо от числа испущенных им мягких фотонов. Эта вероятность,
как мы видим, может определяться в случае достаточно слабого внешнего
поля с помощью теории возмущений, в отличие от вероятности рассеяния,
сопровождающегося излучением одного или конечного числа фотонов
с со —> 0: согласно теории возмущений эта вероятность равна бесконечно-
сти, тогда как в действительности она равна нулю.

Средняя энергия излучаемых мягких фотонов в интервале частот
(cd, со + da) в телесном угле do при рассеянии электрона может быть,
согласно (29 1 3), представлена в виде

оо	_

Лё = 2 П®е~п " dws = con dws.

v=0

~	- dJ

Так как n =---, то

co

d% = dJdws.	(29.1.12)

Эта величина равна, как и следовало ожидать, произведению вероятности
dws упругого рассеяния электрона на классическое выражение dJ для
излучаемой при этом энергии. К такому же результату приводит и обычная
теория возмущений в области малых частот. Мы видим, таким образом,
что среднюю излучаемую энергию и полную вероятность рассеяния элек-
трона (независимо от числа испущенных мягких фотонов) можно опреде-
лять с помощью обычной теории возмущений как в области больших, так
и в области малых частот, хотя вероятность рассеяния электрона, сопровож-
дающегося испусканием конечного числа фотонов с со 0, дается теорией
возмущений неверно.

Вероятность излучения фотонов, энергия которых не предельно мала,
может определяться с помощью обычной теории возмущений, т. е. разложе-
нием матричных элементов в ряд по степеням заряда электрона, но опре-
деленную таким образом вероятность излучения одного фотона следует
интерпретировать не как вероятность того, что был испущен только один
этот фотон, а как вероятность излучения наряду с этим фотоном произволь-
ного числа длинноволновых фотонов с частотой со 0.

29.2.	Сечение рассеяния электрона с излучением мягкого фотона.

Поскольку теория возмущений приводит к неправильному значению
вероятностей различных процессов взаимодействия электрона с длинно-
волновыми фотонами, мы в дальнейшем, пользуясь теорией возмущений,
выделим область малых частот, т. е. будем считать, что частота фотона
превосходит некоторое минимальное значение comin. Эта величина должна
быть исключена, для чего должно быть произведено специальное исследова-
ние взаимодействия электрона с длинноволновыми фотонами (см , например,
задачу о радиационных поправках к рассеянию электрона и радиационном
смещении атомных уровней, § 38).

Практически удобнее, однако, пользоваться несколько иным условием,
эквивалентным условию со > comin, а именно, не накладывая ограничений
на частоту фотонов, считать, что фотон обладает некоторой малой-массой X,
отличной от нуля. Введение этой массы, являющейся релятивистски инва^
риантной величиной в отличие от неинвариантной величины comin, сильна
упрощает расчеты.
Мы покажем теперь, как найти связь между «массой» фотона X и мини-
мальной частотой comin.

Рассмотрим излучение фотона электроном в некотором постоянном
внешнем поле (х). Согласно (28.1.1) матричный элемент, определяющий
излучение фотона с энергией kQ и вектором поляризации, направленным
.вдоль оси р, равен

<f I S'»| >>=W+

+*'«/)<29'2'1’

где pi и р2 — 4-импульсы электрона до и после рассеяния, k — 4-импульс
фотона. Так как нас интересует область малых частот, то мы можем прене-
бречь в числителях величиной k. Вводя далее «массу» фотона X согласно
соотношению

^ + Х2 = 0,
перепишем {f ] S<2) ] 0 в виде

10	-|/2*o 1/2^	^2-2P2fe Л W+24 W V + 2P1* W 1/28j ’

где

pk = pk — &k0,	^=Ург+т2,	Ло = ]/Л2 + A,2.

Так как (ipt + m) — 0, то

и2Л(в) (<?) (iPi — m) - iu2Ale) (9) (р^ + y^pQ щ -= 2tu2Ale> (<7) щр^.

Аналогичным образом

«2?ц (ipz—tri) А(е) (<?) «! = 2ш2Л(е) (q) и^.

Поэтому

(f \ S(2) \ i) ——у===^(й2А<е* (q) щ) /—^L_ +. (29.2.2)

V8W2	\^-~P2k ~+Plk)

Предполагая, что 8 > X, мы можем пренебречь X2, так как pk содержит
слагаемое 8 V k2 + X2, которое значительно больше X2.

Определим теперь сечение рассеяния электрона, сопровождающееся
испусканием фотона, энергия которого не превосходит Де. Относительно
величины Де мы будем предполагать, что она значительно меньше энергии
электрона 8 и значительно больше массы фотона X:

X < Д8 < 8.

Дифференциальное сечение этого процесса, просуммированное и усреднен-
ное по ориентациям спина электрона в начальном и конечном состояниях,
равно

da' = -v4 3 M<e’(<7)«il2 do, (29.2.3)

Ц1, Ц2
где
4

g = VI C / P2jl  Pill \ 2

\ P%k Pik / kQ '

pi=l
do — элемент телесного угла, в котором лежит импульс электрона р2 после
рассеяния, — начальная скорость электронов и р/ — число конечных
состояний электрона, отнесенное к единичному интервалу энергии и единич-
ному телесному углу.

pldp2 ljP2|e
w (2л)3 de (2л)3 '

В случае кулоновского поля ядра

> (?)=-т-4-

•ж
и

У —^==Aw(q) ~^= 2 = 2-gS-(l-v2sin2^) =

1/2е2 Т/ге, (92)2 V	2 /

U1, Ц2

= 8ла-^- (1— v2 sin2,
где Ф —угол рассеяния

Чтобы установить интересующую нас связь между массой фотона X
и минимальной частотой мы вычислим входящую в (29.2.3) вели-
чину В двумя способами [19]: сначала предполагая, что Х=^=0 и
изменяется от до = а затем считая, что Х = 0 и k0 изме-
няется от fe0 = tomin до &о = А8- Сравнивая оба выражения для В, обозна-
чаемые далее через и Bcomin, мы найдем соотношение между Л и (Ощш.

Замечая, что p2lt2 + m2 ^=6, имеем

г> 1 1 Р AgM ] k I doY f_______m2__________________m2________.

K~ ~ J) y^+v v (g2-|/^+^-p2*)2 + (e! W+v-jM)2 +

|A.| = U

।______________2р1Рз ____________1 (29 2 4)

4s2 У*2+^2-р2*0 (si V*2 + X2-iM)-’ ’

|Л|=Д8
p	f irfi	m2

S“mm = “ S 1 k । d । k । I (e2|fe|-p2*)2 + (B^ftl-Pift)2 +

i W2 1

(e2 I I —P2^) (£i I k | — pik) J *

где dov — элемент телесного угла, в котором лежит импульс фотона k.
Воспользуемся далее тождеством

1

1__________________ J_ ? _____—_________

(е2 у Л3 + У-р2й) (б! УЛ2 + X3 —	2 (ezy*2 + A2-Pz*)2

где

Pz = ~2' (1 У 2) Pi У “rf (1 2)Рг> ez —~2 (1 У z) E1У Т (1 z) е2-

Тогда

|Л,~Д8 kid | k I do7 г__m2_____________________________,

Вк= ~ J У*2УР I (E1	+ (егУйНУ^-рг*)2 +

I к 1=0

1

+ Z?1Z?41 (8zy^+^-pZfe)2 f •
Так как

doy	__ 4л

(е У*2+%2—р*)2~ *2 (е2—р2)+Х2е2 ’

ТО

Де

, Р k2d | k | f m2	.	m2

:	I k2(ti-pl) + №l ^T2(8i~pi) + X28i +

1

P	d?	1

+ plpzl *2(e2-p2) + X2e| } ’ (29-2-5)

— 1

Легко видеть, что

Д8

f __________fe24 | fe |______=	1 ]n 2Ae e 1 ]n e+|/>;|

J [ft2 (s2-p2) -I- X2e2] Vft2 + X2 e2—p2 X 2 | p | e2—p2	e-[p\'

Поэтому

i

Bx = 4« {-[2 + (P1p2-eie2)

1 Г £1 1 n sl + | Pl I I £2 i s2 +1 p2 I I
2 L IP1 | Ш Ч-1Р11 Ф |p2| В2-1Р2Г

1
(P1P2—818г)
-1

dz &z in £z + |pz b 1 1

^Z-P2Z \Pz\ £z-|Pz|J/

Вводя вместо z новую переменную интегрирования

?=У-=/“5'т+2!5|"я4-

представим в виде

Вх = 4п f 2 (2Ф cth 2Ф -1) 1п- 1п -
S'	7	% v 1—v

__!^4сЬ2ф f ln>±4_________5

Ф	e)	1—/	ft

ySmT	cos4 (l-^2)]/ £2-COs2 3L

где величина Ф связана с q соотношением

q2 == 4m2 sh2 Ф.

Так как g4 = 0, то

ft

q2 = q2 = 4p2 sin2

и

sh®

v

Т/Г=^2

. $
smT.

(29.2.6)

(29.2.7)
Полагая в (29.2.5) % = 0 и интегрируя по |й| в пределах от |#| =
= Wmin до I k I = Де, найдем

1	As

^=-^{2 + ^-8^) J	J	(29.2.8)

®min

Так как

i

P	dz   4Ф

J 8 2—p2	/n2sh2(D

-1 2

И

P1P2—8i82= — m2ch2(D,
то окончательно

. =8л(2Фс1Ь2Ф—l)ln—.	(29.2.9)

Сравнивая (29.2.7) и (29.2.9), найдем искомую связь между % и wmin:

2 (1 - 2®cth 2Ф) In^ps-
=±ln'+_"__L=4ch2® ? inj+4---------------------5

V	I—V	Ф	e)	1 — vt	<	A

v sin ТГ cos± (* - V £3-c°sa v
2	r	z

В предельном случае малых энергий электрона, v < 1, эта формула
приводит к соотношению

ln2wmin = ln% + -|-.	(29.2.10)

Подставляя (29.2.7) в (29.2.3), получим следующее выражение для
дифференциального сечения рассеяния электрона в кулоновском поле
ядра с излучением фотона, энергия которого не превосходит Ae(Ae<s):
dG' = Z-32(i_y2) (i_y2 Sin2 $1-2. /2(2Фс«12Ф-1)1п-^- +

у2/пу2 sin2 — j	Я (

+ vlnT=?---^сЬ2ФС(О,0)1<*о,	(29.2.11)

asinT	/

где
1

G (и, ‘О) = \ In <---------------* 	... = .

V	е) 1 —	Г	О

cosfl.	S2_C0S2^

Вычислим еще величину Вк в том случае, когда /?1 = 0. Полагая

82 = /nch2z/, p2 = msh2y

и замечая, что

е!—\Pzl2 = ch2 у—г2 sh2 у,
имеем
1
Р dz _________________________________ 4у

J — I pz I2 ~~ т2 sh 2у *
— 1

Далее,

-£i-lnei+.lP.i I. = 2, In 52+LP2-I = iy cth 2у,

Pi е1 —Ipil	p2 e2-|p2l

ez = ch2 у — z sh2 y, |p2| = (l — z) shy ch'у
и

i

7—	C dz ez inez + |pz|_

$ e2-|pz|2 l/M m £z-\Pz\
— 1

1

__ P _____dz___ ch2y~zsh2y in е2У (ch y~z sh y)
J ch2 у — z2 sh2 у (1—z)shr/chr/	chi/ + 2sni/

-1

r-т	th v

Полагая г = получим
у

dv cthy-thv,	___2_ P , ch(y-v) (	Sy h(2 }

ch2// th//—th»^ V>~ ch2r/thp } aV sh(p-v)^ V>	sh 2y П W”

-У

У
A(z/) = — ucthudu.

о

Величина определяемая согласно (29.2.6), выразится окончательно
при Pi = 0 следующей формулой:

йх = 4л {2(2t/.cth2z/-l)[ln^-4] + 4z/cth2r/[l-/i(2i/)]} . (29.2 12)

V

1=2 S

— у

где

29.3. ИсследЬвание расходимости в области малых частот. Покажем,
что распределение Пуассона для вероятности излучения длинноволновых
фотонов может быть получено с помощью матрицы рассеяния [20].

Мы будем предполагать выполненными условия (29.1.1), означающие,
что излучение оказывает малое влияние на движение электрона, которое
можно поэтому считать заданным. В этих условиях плотность тока можно
считать не оператором, а с-числом и воспользоваться выражением (16.6 9)
для матрицы рассеяния.

Разлагая плотность тока в интеграл Фурье
= W \Mk)e^d^k, =
и используя разложение операторов потенциалов электромагнитного поля
на плоские волны, представим матрицу рассеяния S в виде

S = ехР { ц|Н)3 § !* (fe)Dc № iv <*)d*k} х

х ехр {-А7 2	см-+’

27 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
где

Dc(k)=^-.

Рассмотрим интеграл, входящий в первую экспоненту:

К s 4 WD° (*) /v W d*k=^-\ j* (k, fe0) jv (k, fe0) .

Пользуясь правилом обхода полюсов в подынтегральной функции
этого выражения, т. е. считая полюсами точки +	— *0, получим

в результате интегрирования по й0

К = Л J /* (k)jv (k)~ ,
где со = | k | и jv (fe) == jv (k, со).

Таким образом, S-матрица может быть представлена в виде

S=^exp -М-2 —+	, (29.3.1)

А, Л

где

~ ехР { (2лК } — еХР { 2 (2л)3 J lv	~2ш~ } ’

Вычислим элемент матрицы S, связывающий состояние вакуума
с состоянием, в котором находится п фотонов различных сортов,

n=Srtfc,

к

где Пк — число фотонов с импульсом Л. Рассмотрим для этого п-й член
в разложении S-матрицы:

S(«) = ДАТ { J_ [_£_ 2	(j* (fe) см + /Ц w с^)	,

А, X
и найдем матричный элемент

(п | s(n) 10) = А /п | -Ь 2 /и w ГI °/ • (29-3'2)

Воспользуемся формулой

(Sl+^2+ • • • -\-ВГ)П=	2	^llj®22 • ' • ^ГГ ПЧ ... П'1

П1+П2+” +пГ=п
и положим в ней

Вг = -~^=-/ц(Л)сй^; r = k, X; пг = пк^
4/2(0

Нас интересует конечное состояние, содержащее пт == фотонов
r-го сорта. Поэтому вклад в <n | Srn) [ 0) будет вносить только одно сла-
гаемое в этой формуле, в котором

П1=П1? ^2=^2, ...,Пг = Пг,
т. е.

<" I sw 10> - А п.<»« |	(*) I о> •

7с, X

Замечая, что, согласно (5.1.3),

(ПкК | (ctx) кК | о> = 1Л,

получим окончательно



1 \пкК
ф/2й )

(29.3.3)

Найдем теперь вероятность излучения п = 2 пк фотонов с различ-
к

ными импульсами. Эта вероятность, которую мы обозначим через Рп,
равна, очевидно, квадрату модуля (п | S(n) 10), просуммированному по А
2

и k, причем сумма 2 должна быть равна заданному числу пк. Так
как /ц^ц = /х, то

пк1~т'пк2==Т1к к

к

Сумма квадратов модулей поперечных составляющих плотности тока
| Л (к) |2 +1 /2 (к) |2 равна в силу уравнения непрерывности

kpjц (к) ~ о

квадрату модуля 4-вектора плотности тока:

I ii W |2+1 12 (k) I2=I J (k) I2	I kJ (k) I2 = ! Z, (k) I2.

Переходя далее в выражении для К от интегрирования к суммированию
по k согласно формуле

к
получим

Л = ехр{^ЗтА ’	<29-3-4>

к

поэтому окончательно Рп может быть представлено в виде

р тт AYn / ~	I2\ TT 1 ( \ iи, W \2\Пк тт -пк(пк> к /ОО Q

р^11ехР (—2й\Г"!	<29-3*5)

к	к	к
где

- _ I /ц (k) |2

Пк ~ 2<оУ •

Таким образом, мы получили для вероятности излучения длинновол-
новых фотонов распределение Пуассона.

Ясно, что представляет собой среднее число фотонов с импуль-
сом k, так как, согласно (29.2.4),

3 П^рп = пк.

Для суммарного среднего числа излученных длинноволновых фотонов
мы получим выражение

п = 2 Пк== § I /и WI2 2 (2п)3ш ’
к

совпадающее с найденным классическим выражением (29.1.9).

29.4.	Когерентные состояния поля излучения. Выше было установлено,
что всякий процесс столкновения заряженных частиц сопровождается
длинноволновым излучением. Найдем вектор состояния этого излучения Ф,
определяемого соотношением

Ф = 810>,

где S — оператор (16 6 9) [20].

Из выражений (29 3 1) и (29 3.4) следует, что S представляет собой
произведение операторов, отвечающих каждой степени свободы поля,
характеризуемой волновым 4-вектором k и поляризацией X:

s = П

fe, х

Соответственно

Ф— П ®feX,
fe, X

где Ф/а — вектор состояния данной степени свободы поля.

Разложим далее Ф/а по состояниям с определенным числом фотонов
Фп = | п>:

Фкх=2 |«> <П 1 SftA, | о>.
п

Матричный элемент <n| SftA. 10> вычислялся выше. Согласно (29.3.2)
и (29.3.4)

<n| Sfex| 0) = (и j 10) =е~ 2'“fex|2	,	(29.4.1)

где

ahK = V^eWnky>'	<29-4-2)

Таким образом,

Ф=Це-||о,^|22^=-|п>.	(29.4.3)

Х-J т/п|

&, 1	п
Для выяснения свойств этого состояния рассмотрим действия опера-
тора поглощения фотона со на вектор состояния Фдх. Согласно (29.4.1),

СйхФал = « 2'а,а1

пп

акк I „\
vacul

п

Так как (см. (5.1.3))

см.\п') = У п\п — 1),

то

СоФо ~

(29.4.4)

т. е. Фдх является собственным вектором оператора со, а — соответ-
ствующим собственным значением. Заметим в связи с этим, что согласно
(29.3.5) | akK |2 является средним числом фотонов в состоянии Фо-

Аналогично вектор состояния Ф является собственным вектором опе-
ратора

(29-4.5)

представляющего собой положительно частотную часть оператора потен-
циала Ац(%). Действительно, из (29.4.4) и (29.4.5) следует:

Ац+) (х)Ф=«4ц (х)Ф,

где (%) определяется формулой (29.4.5), в которой операторы со заме-
нены параметрами

Используя значение ао (29.4.2), получим

* W=3	<' W е’*'=ад-, s тг® е“е“ ‘‘Ч 

Нетрудно убедиться, что Ац (%) —	(%) + «4ц (х) представляет собой

классическое поле, удовлетворяющее уравнению Даламбера

□ Лц(х)= —/ц(х).

Заметим, что состояния Фо и Ф являются состояниями с неопределен-
ной энергией. Эта неопределенность соответствует тому, что в задаче об излу-
чении мы пренебрегали изменением энергии излучающей частицы в про-
цессе излучения.

Собственные состояния оператора со можно рассматривать и вне связи
с задачей о длинноволновом излучении, а вообще для описания свободного
электромагнитного поля [20]. При этомао не будут определяться формулой
(29.4.2), а будут играть роль произвольных комплексных параметров. В от-
личие от состояний с определенным числом фотонов, такие состояния
допускают, как мы видели, естественный переход к классическому пределу.

Пусть | а) — вектор состояния, удовлетворяющий уравнению
с | а) = а | а)

(индексы k, % здесь для краткости опущены). Из разложения |сс>
по состояниям с определенным числом фотонов \п) (29.4.1) следует, что
состояния | а) нормированы:

(а | а> = 2 I <^ | а> |2 = 1,

п
но не ортогональны

(а21 cq) = е-^-аг!2.

Однако система векторов | <х> является полной, т. е. любое состояние
поля может быть разложено по состояниям |а). Условие полноты, как
легко проверить, имеет вид

• <n I I d2a = 6пт,	(29.4.6)

где d2a — элемент площади в комплексной плоскости а.

Из (29.4.6) следует, что

, . Р 1«12 (а*)» . . ,,
| п) = е 2 х Л. I а) а2а.

Поэтому, если произвольное состояние j f> определяется разложением
10=2 fn\n),
п

ТО

j f) = $ б'2 |а|2 f (а*) | а) rf2a)	(29.4.7)

где

п

29.5. Излучение мягких фотонов при произвольных столкновениях.
В § 28.2 отмечалось, что в нерелятивистском случае дифференциальное
сечение тормозного излучения представляет собой произведение сечения
упругого рассеяния dos и вероятности излучения dwv:

do = dos'dwy.

Покажем, что такое же соотношение имеет место для излучения, сопро-
вождающего произвольный процесс столкновения, если только энергия
излучаемого фотона достаточно мала, т. е. при выполнении условий (29.1.1).
При этом мы будем считать, что соблюдено условие применимости теории
возмущений (е2 ln~- < 1).

Рассмотрим сначала излучение мягкого фотона во внешнем поле. Тогда,
согласно (29.2.2),

(f \ S(2) \ i) =—Г7==-М,

2 V 2(08182
где

М = ie (й2А(е) (?) «1) /иен	(29.5.1)

и

•	/	Р1Ц \	/ОП с г>\

=	—м/ 	(29.5.2)

Мы видим, что матричный элемент М содержит два множителя: первый
множитель представляет собой амплитуду упругого рассеяния, а второй —
ток перехода /и.
Выражение для имеет полюс при со = 0, что и является причиной
«инфракрасной катастрофы».

Аналогичную структуру имеют токи перехода для любых рассеивающих
заряженных частиц при k 0, так как выражение (29.5.2) — это един-
ственный тип выражения, удовлетворяющего уравнению непрерывности
kj = 0 и имеющего полюс при k = 0. Руководствуясь этим, можно обоб-
щить выражение для матричного элемента (29.5.1) на случай излучения
мягких фотонов при любых столкновениях.

Рассмотрим, например, упругое столкновение заряженной частицы а
с нейтральной частицей Ь, вызванное сильным взаимодействием (диаграмма
этого процесса изображена на рис. 29.1; и р2 обозначают 4-импульсы

Рис. 29.1.

частицы а до и после рассеяния, р[ и р' — аналогичные величины для части-
цы &). Этот процесс, амплитуду которого мы обозначим через Ms, будет
сопровождаться излучением мягкого фотона (рассеянию с излучением
соответствуют диаграммы рис. 29.2). Для амплитуды рассеяния с излуче-
нием может быть написано выражение, аналогичное (29.5.1).

Mv = MsjVLell,	(29.5.3)

где /у, определяется формулой (29.5.2), в которую вместо е должен входить
заряд еа частицы а.

Это выражение можно получить, исходя из диаграмм рис. 29.2,
если сопоставить вершине величину 2ри (в § 34 будет показано, что такой
вид имеет при k -> 0 вершинная функция для любых заряженных частиц).

Формулу (29.5.3) можно применить к излучению мягкого фотона при
произвольном столкновении, если под Ms понимать амплитуду соответствую-
щего процесса без излучения, а под током перехода — величину

2efPfu>	х?

Pfk “'Zj Plk
t	г

(29.5.4)

где ег и рг — заряды и импульсы начальных частиц и и pf — аналогич-
ные величины для конечных частиц.

Кроме главной «инфракрасной» части амплитуды излучения Mv (про-
порциональной 1/со), можно найти столь же общее выражение для поправки
к ней, не содержащей со [21]. Вернемся с этой целью к процессу, изобра-
женному на рис. 29.2. Легко видеть, что поправочные члены могут быть
трех типов. Во-первых, дополнительные члены появятся в числителях
выражения для тока перехода (29.5.2), т. е. дополнительные члены возник-
нут в вершинах диаграмм рис. 29.2, причем они должны быть пропорцио-
нальны k. Эти члены определяются (см. § 12.1, а также § 34.2) магнит-
ными моментами частиц; в случае частиц со спином нуль они отсутствуют.

Во-вторых, такие члены появятся, если учесть, что амплитуды рассея-
ния MSi отвечающие двум диаграммам рис. 29.2, относятся к разным энер-
гиям рассеивающейся частицы. Если энергия частицы а в системе покоя
частицы b равна 8 на первой диаграмме, то на второй диаграмме
она будет равна 8 — со. Вводя вместо 8 и со инвариантные переменные
v = PiP^m^ и kpi = тъ®, где тъ — масса частицы 6, мы можем запи-
сать Му в виде

(S "• м - S	)="•м (S - S)е»+

где



(29.5.5)



(для краткости мы не указываем других аргументов, от которых зависит 7HS).

Наконец, интересующие нас члены могут содержаться во «внутреннем»
излучении, описываемом диаграммами типа рис. 29.3. Это излучение опре-
деляется током перехода {pip* I / I ° котором мы мало что знаем,
так как он существенно зависит от сильных взаимодей-
ствий Однако замечательно, что можно найти пер-
вый член его разложения по со, так как он опреде-
ляется только требованием сохранения тока.

р	Для этого достаточно заметить, что амплитуда 7И(1>

не удовлетворяет требованиям калибровочной ин-
вариантности. Действительно, согласно (29.5.5),

= еа kpi ф 0.	(29.5.6)

Очевидно, что «внутренний» ток jjp, соответствующий диаграмме рис. 29.3,
должен компенсировать этот дефект тока Поскольку ток j&) не должен,
в рассматриваемом приближении, зависеть от k, то он однозначно опре-
деляется соотношением (29 5 6)

111 = eaPiv

Таким образом, окончательно мы получим следующее выражение для
амплитуды излучения мягкого фотона с учетом членов, остающихся конеч-
ными при со 0:

м. =	(/<?> + /<?)} ,	(29.5.7)

где

/(1) I /О) — е Р1Ц~" (^Р1)Р1Ц
а (Plk)

(29.5.8)

(Заметим, что несимметричная форма этого выражения относительно началь-
ных и конечных импульсов частиц связана только с несимметричным выбо-
ром переменной v.)

§ 30.	Образование и аннигиляция электронно-позитронных пар

30.1.	Образование электронно-позитронной пары фотоном в поле ядра.
Для возможности процесса образования электронно-позитронных пар
необходима, очевидно, энергия, не меньшая чем 2т. Один фотон, обладаю-
щий достаточной энергией, не может, однако, образовать пары, так как
при этом не могут одновременно выполняться законы сохранения
энергии и импульса. Для образования пары одним фотоном необходимо
поэтому присутствие посторонней частицы, например ядра.

Электронно-позитронные пары могут образовываться также при столк-
новении двух заряженных частиц или фотонов, обладающих достаточной
энергией. Однако эти процессы играют менее существенную роль, чем обра-
зование пары фотоном в поле ядра. Поэтому мы прежде всего рассмотрим
образование пары фотоном в поле ядра.

Образованию пары фотоном в поле ядра соответствуют две диаграммы,
изображенные на рис. 30.1. На них р_ и р+ обозначают 4-импульсы элек-
трона и позитрона, a k — 4-импульс фотона.

Матричный элемент, определяющий образование пары, может быть
написан согласно правилам Фейнмана.

(Л S<2> 10 =	й (р_) ( е	А(е) (<7) + А(е) (<?)	е} и (-р+),

1	1	2'1/2(08182 I /1 + т2	j 7

(30.1.1)
где Д(е) 0?) — компонента Фурье поля ядра, и (р_) и и ( — р+) — спинор-
ные амплитуды электрона и позитрона и

h = P- — k= — p+ + q,	fz = —p+ + k = p- — q.

Диаграммы рис. 30.1 эквивалентны, очевидно, диаграммам рис. 28 1,
изображающим процесс тормозного излучения в поле ядра. Отличие заклю-
чается в интерпретации диаграмм: теперь правая (входящая) сплошная
линия на каждой из двух диаграмм отвечает не начальному электрону,
а конечному позитрону, и одна из пунктирных линий изображает не испу-
щенный, а поглощенный фотон. Соответственно этому матричный элемент
(30.1.1) можно получить из матричного элемента (28.1.1), если сделать
в последнем замену:

Р1~^ — Р+,	Р2~^Р~,	k-^ — k.

Поэтому мы можем не вычислять заново сечения образования пары, а вос-
пользуемся готовыми результатами для сечения тормозного излучения.
Следует лишь иметь в виду, что, в отличие от процесса тормозного излуче-
ния, где плотность потока падающих частиц равняется скорости электрона,
теперь плотность потока падающих частиц — фотонов — равняется ско-
рости света. Кроме того, изменяется число конечных состояний, которое
теперь равняется

d3p_ d3p+

~	(2л)6	'
Учитывая эти изменения, легко получить следующее выражение для
дифференциального сечения образования пары фотоном в кулоновском
поле ядра [11]:

< Z2a2 |р+ | |р_)	do+ do_ 4 f __д Г- (8+р_ . е_р+ \ "12

(2л)2 со3	44	m4 t Н V + х2 /J ф

+ ^Гл(^_£±)]2 + ^[Л(р_+р+)]2} , (30.1.2)

L \ Л1 л2 / J Х1Х2	J

где

т2и[ = f21-}-m2== — 2p_k;	т2и2 ~f22 + m2= — 2p+k',

do+ и do- — элементы телесных углов, в которых лежат импульсы р+ и р_
позитрона и электрона, и, наконец, 8+ и 8_ — энергии обеих частиц. Они
связаны, очевидно, соотношением

8+ 4- 8_ = (О,

Формулу (30.1.2) можно переписать также в виде

do

Z2a3 р+р_ d&+ sin 0+ sin 0_ dQ+ dB_ dcp

2л co3	g4

p2Sin2e+__ 2 _	__^sin2e__	2 _

(8+ — p+COS0+)2k "	4 ' * (8_ — p_COS0_)2^	+	4

2p+p_ sin 0+ sin 0_ cos ф

(e_ — p_ cos 0_) (8+ — p+ cos 0+)

(4s+s_ + q2 — 2co2) —

_ 20)2	P+sin2 e+ + pLsin2e_

(8_ — p_ COS 0_ ) (8+ — p+ COS 0+)

(30.1.3)

где 0^ —углы между p± и k, ср —угол между плоскостями (k, р+)
И {k, Р-),

q = k~p--p+, р± = |Р±1» <7 = М-

Определяемое формулой (30.1.3) угловое распределение имеет довольно
сложный характер. Оно сильно упрощается только в крайне релятивист-
ской области, когда главную роль играют малые углы 0±. В этом случае
электрон и позитрон испускаются преимущественно вперед, т. е. в узком
конусе около направления движения фотона; эффективный угол раствора
этого конуса равен по порядку величины

0±^— .

* (О

Заменяя в формуле (30.1.3) sin0± на 0±, a cos0± на 1— у0±, получим
следующую формулу, определяющую угловое распределение в области
малых углов:

72zy 3 р2 р2

d°=4	f®2 (“2+и2) - 2е-8+ (“2£2++

+ 2 (si + 8^) uv^x] cos ср] ds+0_ d0_0+ d0+ б/ф,
где

р_0_	р+0+

и = -—,	у —£±_+

т	т

1 — 1

1+^2 ’ 'П j (_02‘

Интегрирование (30.1.3) по углам дает дифференциальное сечение
образования пары с энергией позитрона в интервале 8+, 8+ + de+:

л=ф 1**1 IP-	_4-2^.e±±fi+

со3	I 3	Р+Р-

I #^2 /	I S~£+___

1|р_|зФ |Р+|3 1P+IIP-I

+Лр+|“‘р-р(е’е’+рХ)

8	8+8_

т Ip+IIp-I

где

т2а>	/ е+е_ —р- ?- > е+8_ — р\ <. , 2<ве+8_ \ П )

2IP+IIP-I \ IP-I3 |Р+13 €+ + "piP?~JJ/ ’

(30.1.4)

Ф = r3Z2a, £± = 2 In е± + 1Р±1 ,
0	’	т ’

А = 21п

8+e- + |p+llp-|-t-w2
та)

В крайне релятивистской области, когда все энергии значительно
больше m((o, 8± >т), это выражение сильно упрощается:

</а = 4Ф^±(е3+е1 + 4-8+8-Н1п^-4-) •	(30.1.5)

<о3 \ + 11 3	/ \ та) 2 /	v '

Формулы (30.1.4), (30.1.5) не учитывают экранирования поля ядра.
Поэтому они справедливы, согласно § 28.5, если

28+8
та)

- < 137Z

— 1/3

Учет экранирования может быть произведен таким же образом, как
и в случае тормозного излучения. В крайне релятивистской области
(со, 8± > т) мы получим для сечения образования пар формулу

*’ = $?> {("=- +e’J (ф‘ (9-4‘"z) +

+ <»-»* (ФНЭ-41"2)} 	? =	<30-L6)

где Ф1 (£) и Фг® —те же функции, которые входят в (28.5 5).

В случае полного экранирования, когда

последняя формула приобретает вид

йо = 4Ф§{(83+8Ц-|е+8_) ln(187Z-1/3)-^=} .	(30.1.7)
Чтобы найти полное сечение образования пары, нужно проинтегриро-
вать выражение (30.1.4) по энергии позитрона. Непосредственное инте-

(v-Zm

Рис. 30.2.

грирование, однако, невоз-
можно. Его удается выпол-
нить в замкнутом виде
только в крайне реляти-
вистском случае, исполь-
зуя формулу (30.1.5). Ре-
зультат имеет следующий
вид:

со > т. (30.1.8)
Эта формула не учитывает
экранирования.

Интегрируя (30.1.7) по
8+, найдем сечение образо-
вания пары в случае пол-
ного экранирования
а = ф(^1п 183Z~1/3-.

(30.1.9)

В § 42.2 мы установим

связь между интегральным
сечением образования пары фотоном и сечением рассеяния фотона в поле
ядра на нулевой угол. Используя эту связь, можно показать, что сечение
образования пары без учета экранирования определяется следующей фор-
мулой [22]:

а (“) = Ф	{ 4 j dx - 2L (П) + [ - (64 + 109т|2) Е ( )/1 -	+

1

+ (125+A + 42^)f(/I^T)]} ,

™e ’l-S’

х2	_____

V ln* + lA2--*/ dv

J х — Д/х^—у Д/у (t/~1)

и F (х) и Е (х) — эллиптические интегралы:

Л	л

Т	Т

F(x)=^ (1 — x2sin2(p)“1/2 d(p, Е(х)=^ (1—x2sin2 ф)1/2 dcp.
о	о

В крайне релятивистской области эта формула переходит в форму-
лу (30.1.8).

На рис. 30.2 изображено энергетическое распределение частиц пары,
определяемое формулами (30.1.4) и (30.1.6). По оси абсцисс отложено отно-
шение кинетической энергии позитрона — т к суммарной кинетической
г»	со—2m do

энергии пары со —2т, а по оси ординат — величина—=—3—. Различные
Ф
кривые относятся к различным значениям w/m, которые указаны у кривых.
Кривые для со/m = 6 и со/m = 10 справедливы при всех Z, так как при

этих значениях энергии
фотона можно пренебречь
экранированием. Осталь-
ные кривые учитывают
экранирование и относят-
ся к свинцу и алюминию.
Кривая со/m — оо соот-
ветствует полному экра-
нированию.

При малых значениях
энергии фотона кривые име-
ют один нерезкий макси-
мум, соответствующий оди-
наковым энергиям элек-
трона и позитрона. При
больших энергиях кривые
имеют два одинаковых сим-

Рис. 30.3.

метрично расположенных

максимума, из которых один соответствует максимуму энергии позитрона
и минимуму энергии электрона, а другой, наоборот,— минимуму энергии
позитрона и максимуму энергии электрона.

На рис. 30.3 изображена зависимость интегрального сечения образо-
вания пары от энергии фотона для свинца и алюминия.

30.2. Точная теория образования пары фотоном в поле ядра вблизи
порога. Поправка к сечению образования пары фотоном в поле ядра в бор-
цовском приближении при крайне релятивистских энергиях. Полученные
выше формулы для сечений образования пары справедливы в борновском
приближении, когда



(V- и v+ — скорости электрона и позитрона).

В нерелятивистском случае (у± < 1) возможно точное вычисление
сечения образования пары, основанное на использовании точных волновых
функций электрона и позитрона в кулоновском поле. Это вычисление про-
изводится аналогично вычислению сечения тормозного излучения.

Матричный элемент, определяющий образование пары, может быть
представлен в виде

(f | s(l) |0 = 2ш ф(+)* (^) £аф(_> (г) eikrd3x<8 (о — 8+ — е_), (30.2.1)

где ф(+) (г) и ф(_) (г) — волновые функции электрона в кулоновском поле
ядра с положительной и отрицательной частотами. Так как в рассматри-
ваемом процессе обе частицы образуются, то асимптотика функций

и -ф(п) = при больших г должна быть одинаковой, а именно, эти
функции должны при г оо иметь вид сумм плоских и сходящихся сфери-
ческих волн. В этом заключается различие между матричными элементами,
определяющими образование пары и тормозное излучение: в последнем
процессе только волновая функция электрона в конечном состоянии имеет
такую асимптотику, волновая же функция электрона в начальном состоя-
нии имеет при г -* оо вид суммы плоской и расходящейся сферической волн»
В нерелятивистском случае функции ф(+> (г) и (г) имеют вид
я|/+> (г) =	1, -i(p_r+|p_|r)],

(r) = N+e-^+ru( — p+')^[ — il+, I, 1(р+г + \р+\г)],
где и (р~) и и (— р+) — единичные биспинорнь е амплитуды и N- и N+ —
нормировочные множители, которые мы выберем равными

#_ = ДЕ-Г(1 + г|_),	N+ = e~^+r (1+гЬ),

что соответствует единичной амплитуде волновых функций на бесконеч-
ности.

Вычисления, которые мы здесь опустим, приводят к следующему
выражению для распределения позитронов по энергиям вблизи порога
реакции [23]:

''° - ж	|ш-2m+a‘z‘ <“ ~т»х

X {(e+-m) [®-2m-(e+ —т)]}1/2^ .	(30.2.3)

Остановимся в заключение этого раздела на вопросе о точном вычисле-
нии матричного элемента (30.2.1), определяющего процесс образования
пар фотоном в кулоновском поле ядра в крайне релятивистском случае.

Так как в интеграле (30.2.1) главную роль играют расстояния г ,
то в области больших энергий электрона и позитрона, 8± > —....-, в каче-

стве волновых функций могут быть взяты в соответствии с (11.1.6) функции

я|Л> (r) = ALe4>-»-[l—	и(р_) & [ — ig_, 1, -i(p~r + \p-\r)],

ф<-> (г) = У+е-г»+’’	— Р+)^[ —	1, i (р+г + |р+1 г)],

где

Zag ,

5± = 1рГГ

/Мы не будем приводить здесь вычислений, а приведем только окончатель-
ный результат для дифференциального сечения образования пары:

do = —а

2 а2 1 р+р-
2л т2 со3

de+ sin 6_ sin 0+ d6_ dd+ d(p X

f V2 (x) Г pl sin2 0_ (4sl— q2) . p2 sin2 0+ (4sl— q2) .

I	L (e_—p_ cos 0_)2 ‘	(s+ — p+ cos 0+)2

(4s_8_|_-[-p2—2co2) 2p+p_ sin 0_ — sin 0+ cos cp 2co2 (pl sin2 0_ -|-p+ sin2 0+)	1 .

(£_ — p_ cos 0_) (8+ — p+ COS 0_|_)	(s_— p_ COS 0_) (8+ — p+ COS 0+) J ‘

a2 [co2— (p_-j-p+)2]2lF2(x) Г plsin20_(4s2—p2)

‘ [4co2 (8_—p_cos0_)(s+—p+ COS 0+)]2 L (8_—p_COS0_)2	‘

p\ sin2 0+(481 — q2)	(48_|_8_4-p2 —2co2) 2p_p+ sin 0_ sin 0+ cos cp .

(8+ —p+ COS 0+)2	(8_—p_ COS 0_) (8+—p+ COS 0+)	'

.	2co2 (pl	Sin2 0_4-pl SlH2 0+)	Л 9 / I	А А \11 /ОА А Л\

Тт-------—---A <-/—- ----4<o2 (8_8+ +	P-P+ cos 0_	cos 6+) >	,	(30.2.4)

1 (e+ — p+COS0+) (8_ — P-COS0-)	V -t- i Г r-r	T/JJ	\	7
где функции V (х) и W (х) определяются формулами (28.7.12), (28.7.13),
а = а! и

у _ 1______?2[(02 —(р+-р_)2]	I I

4(О2 (8+ — р+ cos 0+) (&_— p_cosO_)’	1*,±1

(остальные обозначения —такие же, как в § 28.7).

Проинтегрированное по углам сечение образования пары имеет вид

* -2 44 $(<+»-+4 L21п 24£г -1 + 2f <z> J (30-2-5>

где функция f (Z) определяется формулой (28.7.15).

С учетом экранирования сечение равно

=	{(^ + el)[01(T)-ylnZ-4f(Z)] +

+| е+8_ [ф2 (у) - ± In Z -4/ (Z)] ,
где Ф1 (у) и Ф2(у)— те же функции, которые входят в (28.5.5),
T=100-^Z-1/3.

Полное сечение образования пары без учета экранирования равно
28 Z2r§ Ti 2(0	109	г(7Х-\

а=ТТзП1П^~42~^z4’

а в случае полного экранирования

а = У^7 [1п(1832“1/3)-^-Ш] •

Мы видим, что поправка к сечению образования пар, вычисленному
в борновском приближении, равна

Для свинца относительная поправка составляет около 10%.

30.3. Образование пары двумя фотонами. Перейдем к рассмотрению
процесса образования пары двумя фотонами [24]. Этот процесс изображается

двумя диаграммами на рис. 30.4. Согласно правилам Фейнмана матрич-
ный элемент, определяющий процесс, равен

(f I S<2) | i) =	‘e,— —и (p_) ( e' 2 m e + e т e') и (— p+) x

2 У oxo' 2 Vs_e+	v ’ l /и2*!	ш2х2 J v ’

Х(2л)4б(^ + ^-р+-р_),	(30.3.1)
где

fi = —p+ + k = p-~k\	f2 = —p+ + k' —

m2Xi = fl + m2 = — 2p+k = — 2p_£',

m2x2 = f22 + m2 = — Чр+k' = — 2p_£,

k и kf — 4-импульсы фотонов, e и e' —их поляризации, p_ и p+ — 4-им-
пульсы электрона и позитрона.

Отсюда может быть написано следующее выражение для дифферен-
циального сечения образования пары:

do =	| uQv |2	6 (* + k'-р+-р-) й (СО + ®' - 8+ - е_), (30.3.2)

где J=kk', а и = и(р_), v = u(~p+) и

Qf f 1	I	Z /” 2	/	/ о г\ съ \

= е —е + е —е .	(30.3.3)

т2Х! 1 m2x2	v 7

Вычисления входящих сюда следов произведений дираковских матриц
можно, однако, не производить, так как диаграммы, определяющие обра-
зование пары двумя фотонами, топологически совпадают с диаграммами,
определяющими комптон-эффект. Произведя в последних замену

Pi~> —Лн Р2~>Р-,

k2 —> —

мы получим диаграммы, определяющие образование пары двумя фотонами.
Этой заменой отличается и матрица Q в (30.3.3) от соответствующей матри-
цы в (26.3.2). Поэтому можно воспользоваться результатами § 26.3 и сразу
написать следующее выражение для величины | uQv |2, просуммированной
по проекциям спинов электрона и позитрона и усредненного по поляриза-
циям фотонов:

i«<w=4spf’

где

F = Q (т — ip-) Q(m + ip+)

и Q определяется формулой (30.3.3), в которой е и е' должны быть заменены
соответственно на Уц, и yv. Выражение для Sp F отличается только знаком
от аналогичного выражения (26.3.6):

’ SpF = 4 (- + -Г-4	.	(30.3.4)

8 н	х2/ \хх х2/	\х2 1 %i}	v '

Дальнейшие вычисления удобно производить в системе центра инер-
ции сталкивающихся фотонов, в которой
k'=~k,	р+=—р_<1

(О —СО' —С00,	8+=8_ = С00,

J = 2co2o.

Устранив в (30.3.2) S-функции интегрированием по d?p- и d&+:
S (k+k' — р+ —р-) d?p_—> 1,

6 (со + со' — 8+ — £-) d?p+ —>

I Р+ I 8+ 6?О+

2
где do+ — элемент телесного угла, в котором движется позитрон, полу-
чим следующую формулу для сечения образования пары двумя фотонами:

do= —-^-m2

О

l/cog-m2
cog

V/q ' х2/	\х2 ' kJ )

(30 3.5)

Подставляя сюда

т2^ = — 2p+k = — 2p+k + 2s+(d = 2соо (со0 —	— m2 cos 0),

т2х2 = — 2p_k = — 2p_k + 28-со = 2p+k + 2е+о) ~ 2со0 (со0 + ]Ао2 — т2 cos 0),
где 0 —угол между векторами k и р+, представим da в виде

da

__ т2 Д/^ — т2 f2(o^— т2 + ((Оо— т2) sin2 0

4 (og t tn2 cos2 0 + (Oq sin2 0

}2ftsin0d0. (30.3.6)

2 ((0^— m2)2 sin4 0
(m2 cos2 0 + ®o Sln2 0)2

Полное сечение образования пары двумя фотонами равно

r/2 + w

со§ IV (о§

(30.3.7)

Эта величина представляет собой релятивистский инвариант. Если k
и k' — 4-импульсы фотонов в произвольной системе отсчета, то вместо со2
сюда следует подставить

(k^k')2

шо —	4

30.4. Превращение пары в два
тронно-позитронных пар фотонами
в фотоны Эти процессы называ-
ются аннигиляцией пары Если
электрон и позитрон являются
свободными, то аннигиляция с ис-
пусканием одного фотона невоз-
можна, так как этот процесс не
допускается законами сохранения
энергии и импульса

Наиболее важным является

фотона. Наряду с образованием элек-
возможны процессы превращения пар

процесс, при котором сталкива-

ющиеся свободные позитрон и электрон превращаются в два фотона [24, 25].
Двухфотонной аннигиляции пары соответствуют две диаграммы, изображен-
ные на рис 30 5. Они совпадают с диаграммами, изображающими рождение
пары двумя фотонами,— процесс, обратный двухфотонной аннигиляции.

Матричный элемент, определяющий двухфотонную аннигиляцию,
может быть, согласно правилам § 17 5, записан в виде

<HS(2)|O=

= 9	9 ;/= и (— Р+) { е 1?1^т е' + е' е | и (р_) х

2 у oxo 2V£-8+ v r 1 m2Xi	m2x2 J 7

X(2n)46(p+ + p_—k — k’),	(30.4.1)

где использованы те же обозначения, что и в (30.3.1).

28 А И Ахиезер, В Б Берестецкий
Дифференциальное сечение аннигиляции равно

=	!yQul247(2S)2 s(P++^--^-*')6(e+ + e--(o-®'), (30.4.2)

где	} = У {p_p+)z—mi, v = u( — p+),

л tfi~m	z/2 — tn ~

Q = e — e + e — e.
m2%1	m2x2

Структура матрицы Q совпадает, очевидно, co структурой соответ-
ствующей матрицы в комптон-эффекте: сделав в последней замену

Pl —^”р—ч	> — k ,	Qi —> € ,

p2—— Р+ч	k.2—>k)	£2—> в,

мы получим Q. Поэтому можно сразу воспользоваться готовыми резуль-
татами § 26* и написать следующее выражение для просуммированной
и усредненной по поляризациям частиц величины y|FQi/[2:

±\vQu\2= -(4 (1+1)2-4	+	.

8 1	1	I \.Х!	х2/	\.Х!	х2/ Vx2 Xj/J

Дальнейшие вычисления удобно производить в системе, связанной
с центром инерции пары, в которой

Р = — Р- = —Ро, е+ = е_ = е0,
k'~—k,	<O = ft>'

и

J==2eopo=2 8„у0>
где Ро = |ро|, vq~~-скорость частиц в системе центра инерции.

Устраняя 6-функции интегрированием по dsk' и dm:
d(p++p_. — k — k') dsk' —» 1,
6 (8+ + е_ — о — ©')d3k,
где do — элемент телесного угла, в котором заключен импульс фотона k,
получим

do =	/4 /'1 + ±Р_4 (—+—) —	) do, (30.4.3)

Зро8О I \*1 х2/	Vх! Х2/	\*2 ^1) ) К 7

где

~ — 2p+k — 2pQk 4- 2s0tt) = 2е0 (е0 + Ро cos 9),
m2x2 = — 2p_k = — 2pQk + 2е0а> = 280 (e0 — Po cos 0)
и 0 —угол между pQ и k. Таким образом,

da = г2 — ( ео + Ро + Р"81028 _ 2Posm48 ) s;n fi dd da> =

Г°4р0г0 (	8§—p^cos20	(e2— p§cos20)2 /

= 4 ro (1 + sin2 0 - v* (1 - sin4 0)]

do

(1 — v2 cos2 9)2

Чтобы найти интегральное сечение аннигиляции пары, нужно про-
интегрировать do по 0 от 0 до л и по ср от 0 до л (такие пределы соответ-
ствуют тому обстоятельству, что возникающие в конечном состоянии
частицы — фотоны неразличимы). В результате мы получим

o = nr2a~ {—“In	+2(^-2)} .	(30.4.4)

0 4у08§ I VQ	1 — Vq ‘ V 0	7 J	4	7

Так как эта величина представляет собой релятивистский инвариант,
то для перехода в другую систему достаточно выразить 80 и р0 через энергию
частиц в этой системе.

Рассмотрим наиболее интересный случай, когда аннигиляция проис-
ходит в результате столкновения позитрона с покоящимся электроном.
Подставляя в (30.4.4)

2_m(m+sy	__7 /8^ —m

0	2	’	V°~ V 8?. + m ’

где 8^ —энергия позитрона в системе покоя электрона, получим

+	1п( +r^ZT)--------(30.4.5)

Т+1 I ?2—1	г '	у?2_ 1 J	v 7

где у = е“/т.

При малых энергиях позитрона сечение обратно пропорционально
скорости позитрона:

<т = ^,	(30.4.6)

а вероятность аннигиляции w не зависит от скорости:

w = Znv^y = Znnr2Q,	(30.4.7)

где п —число атомов в единице объема. Время жизни медленного пози-
трона равно т =	для свинца т 10"10 сек.

При больших энергиях позитрона (8° > т)

<т = лг^(1п^-1) .	(30.4.8)

30.5. Поляризационные эффекты при двухфотонной аннигиляции пар.
Выше были получены выражения для сечения двухфотонной аннигиляции
пары, усредненные по поляризациям электронов и фотонов. Сечение анни-
гиляции поляризованных частиц и поляризация возникающих при этом
фотонов могут быть исследованы общими методами, изложенными в § 18.4
и применявшимися уже в этой главе. Мы приведем здесь только некоторые
окончательные результаты *).

1.	Корреляция поляризаций фотонов. Диффе-
ренциальное сечение аннигиляции неполяризованных частиц с образова-
нием двух линейно поляризованных фотонов имеет следующий вид:

“° " 4 5 { i-^'еоЭТ 11 ~ <1 - "5 “S! «) М' +

+ 4 (о«е1) (я»г2) (e,ej] - 4^4X4 }	(30.5.1)

1 U q С МО U f J

где 80 и v0 — энергия и скорость позитрона и 9 —угол между направле-
ниями импульсов позитрона и фотона в системе центра инерции. При

*) Более подробные данные о поляризационных эффектах при аннигиляции пар
см. в обзоре Мак-Мастера [6].
малых скоростях отсюда следуют формулы

da<i,i) = da‘2>2> = 0, do“>2) = -^-do,
8^о

(30.5.2)

где do^V— сечение, соответствующее образованию фотонов, поляризо-
ванных в направлениях et, причем лежит в плоскости (р0, k), а е2 —

перпендикулярно к этой плоскости.

Мы видим, что при v0 -> 0 образуются
во взаимно перпендикулярных

фотоны, поляризованные
направлениях. Этот результат имеет про-
стой смысл. Он следует из закона
сохранения четности. В пределе малых
скоростей аннигиляция происходит в
основном в s-состоянии, которое
является нечетным, система же двух
фотонов является нечетной только
в том случае, когда поляризации их
взаимно перпендикулярны (см. §4.3).

2.	Аннигиляция про-
дольно поляризованной
пары. Если векторы поляризации
электрона и позитрона имеют отлич-
ные от нуля составляющие только по

направлению их относительной ско-
рости (мы обозначим их через и £(3+), то дифференциальное сечение
аннигиляции такой пары определяется формулой [26]

^ = й(То(1 + ^+)^Г7),	(30.5.3)

где do0—-сечение аннигиляции неполяризованной пары (см. (30.4.3)) и
, vl (1 — cos4 6) — 1 -Н’о —	(1 — ^о) sin2 0

' “ У2 (1 — cos4 0)-г 1 —уо~гуо (1 —уо) sin2 Q

(у0 и 0 —скорость позитрона и угол между импульсами позитрона и фото-
на в системе центра инерции).

Проинтегрировав (30.5.3) по углам, получим

о =	+	(30.5.4)

где(у0—полное сечение аннигиляции неполяризованных частиц (см. (30.4.5)) и

р —

а1 + а2 ’

___34~ 1 n *

1—	2у;{ Ш1— »о	’

о2 = А- (3 - 3v20 + 2v‘) +	(2vj + 3v* - 3) In .

На рис. 30.6 представлена зависимость F от энергии в лабораторной системе
(т. е. в системе, где электрон покоится).

Если только одна из аннигилирующих частиц продольно поляризована,
то сечение аннигиляции не зависит от степени поляризации, do = d(j0.
Образующиеся фотоны при этом оказываются циркулярно поляризован-
ными:

р2

2у0 — 2^0 —sin2 0 cos 0

g2 =	,	(30.5.5)

1	+ ио + г’о -^-sin20	4-cos2 0)4-1^ sin2 0
где — параметр Стокса фотона, £3 — продольная поляризация позитро-

на или электрона.

Интегрируя числитель и знаменатель этого выражения по 0 в пределах
от л/2 до л, мы получим круговую поляризацию х того из двух фотонов,
который обладает большей энергией в лабораторной системе (в случае
аннигиляции поляризованных позитронов на неполяризованной мишени).
Интегрируя же числитель и знаменатель (30.5.5) по 0 в пределах от 0 до л/2,
мы получим круговую поляризацию у фотона, также обладающего большей

энергией в лабораторной системе (для
случая аннигиляции неполяризован-
ных позитронов на поляризованной
мишени). Зависимости этих поляриза-
ций от кинетической энергии позит-
рона в лабораторной системе пред-
ставлены на рис. 30.7.

30.6. Распад позитрония. Полу-
ченные выше результаты можно при-
менить к задаче о распаде позитрония,
т. е. связанной системы, состоящей
из электрона и позитрона.

Основным состоянием позитрония
является, очевидно, S-состояние. Так
как спины электрона и позитрона

равны 1/2, то следует различать

синглетное состояние позитрония, в котором суммарный спин частиц равен
нулю, и триплетное состояние, в котором суммарный спин частиц равен
единице. Эти состояния мы будем обозначать соответственно через XS и 3S.
Позитроний, находящийся в состоянии г5, называется парапозитронием,
а позитроний, находящийся в состоянии 3S — ортопозитронием.

В § 4.3 было показано, что система, состоящая из двух фотонов, не
может иметь состояний с моментом, равным единице. Поэтому ортопози-
троний не может распадаться на два фотона. Более того, так как состоя-
ние 3S позитрония является зарядово-нечетным, то можно утверждать, что
вообще невозможен распад ортопозитрония на любое четное число фотонов.

Напротив, парапозитроний представляет собой зарядово-четную
систему, поэтому невозможен его распад на любое нечетное число фотонов.

Основными процессами, определяющими время жизни позитрония,
является двухфотонная аннигиляция в случае парапозитрония и трех-
фотонная аннигиляция в случае ортопозитрония [27].

Вероятность распада позитрония можно связать с вероятностью анни-
гиляции свободной пары. Действительно, рассмотрим волновую функцию
позитрония в S-состоянии

где а~ радиус позитрония, равный удвоенному радиусу первой боровской
орбиты водорода,

(удвоение водородного радиуса связано с тем, что приведенная масса
позитрония в два раза меньше массы электрона). Компонента Фурье
волновой функции ф (г)

% = W e-^d^x=	(30.6.1)
определяет, очевидно, амплитуду вероятности того, что в позитронии элек-
трон имеет импульс р, а позитрон — импульс —р.

Эта формула показывает, что наиболее вероятны импульсы порядка
р ~ На, которые значительно меньше т. Поэтому распад позитрония мож-
но приближенно рассматривать как аннигиляцию
свободного позитрона и свободного электрона с им-
пульсами, равными нулю, но с определенными ориен-
тациями спинов.

Обозначим через и wQ вероятности распада
орто- и парапозитрония. Пусть далее w обозначает
вероятность распада свободной пары с нулевыми
импульсами частиц, усредненную по ориентациям их
спинов и вычисленную в предположении, что плот-
ность частиц равна плотности частиц в позитронии
(т. е. равна | ф (0) ]2 =	, а не у, где V — нор-

мировочный объем, как это предполагается при вычислении вероятности
аннигиляции свободной пары).

Так как относительные веса состояний со спинами 1 и 0 равны соот-
ветственно 3/4 и 1/4, то, очевидно,

w = j-Wi + -±-w0.	(30.6.2)

Величину w можно представить в виде

w = w2y + йУ37 + .. .,
где wnv — усредненная по ориентациям спинов вероятность превращения
пары в п фотонов. Так как парапозитроний может распадаться только
на четное, а ортопозитроний только на нечетное число фотонов, то из (30.6.2)
следует, что

1	-	, -	(	3	-	.

+	• • •;	-4 ^i = ^3?i-^5v+ - ч

т. е.

Wq Ж 4^2?,	^1^4" ^37-	(30.6.3)

О

Используя формулу (30.4.6) для сечения двухфотонной аннигиляции
пары при малых скоростях позитрона, мы получим отсюда

да0 = 4 Ц(0) |2 (^0)^0 = 1а5т = 0,8-1010 сек~г- (30.6.4)

Определим теперь вероятность трехфотонного распада ортопозитрония.
Трехфотонная аннигиляция пары представляет собой процесс третьего
порядка теории возмущений. Он изображается шестью диаграммами, одна
из которых представлена на рис. 30.8 (остальные диаграммы отличаются
от приведенной только перестановками импульсов фотонов ki9 k2, k3).

Написав, согласно правилам Фейнмана, матричный элемент, соответ-
ствующий этим диаграммам, можно найти дифференциальную вероятность
трехфотонной аннигиляции пары, усредненной по спинам частиц. Для
случая | р+ | = | р_ | = 0 она определяется формулой [28]

{(1 -/^+(1 ~«2«з)2

X 6 (A?i Ц-А?2 А?3) $ (®i “г “Ь 0)з— 2m),	(30.6.5)

где —единичный вектор в направлении импульса фотона
Интегрирование по dco2, dco3 и углам (с учетом тождественности фото-
нов) дает полную вероятность трехфотонной аннигиляции пары

т

F (cOi) dcDb

о

где функция

4	(т-Ю1)2

v v 9л \ а0 J I (2m—ац)2	(2m—«ч)3	m

(30.6.6)

определяет спектр фотонов распада (эта функция изображена на рис. 30.9).

Выполнив интегрирование по co±,
получим

——	1	*«2

(30.6.7)

Воспользовавшись далее соотношени-
ями (30.6.3), найдем отсюда вероят-
ность распада ортопозитрония

®1 = 7г-(л2-9)а4- = 0,71-107 сек-1.

1 9л v 7 Яо

(30.6.8)



30.7.	Превращение пары в один	Рис* dU,y*

фотон. При столкновении позитрона

с несвободным электроном обе частицы могут превратиться в один фотон [29].

Такой процесс определяется матричным элементом первого порядка

(f | S(1)"|i> = V ф_ (г) е е-^ф+ (г)d3x• 6 (е+ + е_-ш),	(30.7.1)

у ЛО) и

где ф_ (г) и ф+(г) — волновые функции электрона в поле, соответствую-
щие отрицательной и положительной частотам и описывающие позитрон
с энергией 8+ и электрон с энергией 8_.

Если электроном является атомный /(-электрон и при этом aZ < 1,
то в качестве ф+(г) может быть взята функция (25.7.11). В качестве же
ф_ (г) следует взять функцию

V(H = «( — Р)е-фт(1 + 11+)	— ig+t 1, i(p+r-p+r)]e{^’

где l+ = aZs+/p+.

Сравнение формул (25.7.1) и (30.7.1) показывает, что если в матрич-
ном элементе, определяющем фотоэффект, произвести замену

со—>—со,

8—> — е+,

Р-^~ Р+,

1(30.7.2)

то этот матричный элемент перейдет в матричный элемент, определяющий
однофотонную аннигиляцию. Поэтому мы можем не производить здесь
вычислений квадрата модуля матричного элемента, а воспользоваться
сразу результатами § 25.7. В отличие от фотоэффекта, плотность конечных
состояний будет теперь не , а Ю/п—?<?- , где doe и — элементы
телесных углов, в которых лежат импульсы электрона и фотона. Кроме
того, при определении сечения однофотонной аннигиляции пары следует
учитывать, что плотность потока падающих частиц будет равна скорости
позитронов v+, а не скорости света, как это было в случае фотоэффекта.

Учитывая эти изменения, можно получить следующую формулу для
сечения однофотонной аннигиляции позитрона на /(-слое (отнесенную
к двум /(-электронам):

а = 4лг2- т* А2 Г4 + 2	+ 4 _8++Р+-1 .	3

0 (137)4	(s+4-m)2 |_иг2 1 3 tn 3 р+	mJ v 7

Эта формула, так же как и формула (25.7.15) для сечения фотоэффекта,
Za .

справедлива, если — < 1.
у+

В нерелятивистском и крайне релятивистском случаях формула (30.7.3)
приобретает вид

4л 2 Z5 р+
3	0 (137)4 т

 z5  -?-
0 (137)4 е+ ’

и+ < 1,

е+ > т.

(30.7.4)

Мы видим, что сечение однофотонной аннигиляции позитрона при
малых энергиях пропорционально скорости позитрона в отличие от сечения
двухфотонной аннигиляции, которое обратно пропорционально v+. Поэтому
при малых энергиях позитрона однофотонная аннигиляция значительно
менее вероятна, чем двухфотонная аннигиляция. Отношение сечений одно-
фотонной и двухфотонной аннигиляций максимально при 8+ ~ Юти состав-
ляет около 0,2 для свинца.

§ 31. Рассеяние электрона и позитрона электроном

31.1.	Рассеяние электрона электроном. Перейдем к рассмотрению про-
цессов взаимодействия двух заряженных частиц, не связанных с излуче-
нием или поглощением фотонов.

Так как матрица рассеяния S(1) пер-
вого порядка содержит лишь элементы,
соответствующие испусканию или погло-
щению фотона, то следует рассмотреть
матрицу рассеяния второго порядка S(2).

Простейшим процессом интере сующего
нас типа является рассеяние двух элект-
ронов [30]. Оно описывается двумя диаг-

раммами, изображенными на рис. 31.1. Согласно общим правилам § 17.5
матричный элемент рассматриваемого процесса имеет вид

<f I S(2) 10 = ~72(-,-j Мб (Pi + Pi-Рг-p'J,
4Ve1e2e182	}

M _ («2?Ц«1) («2?ц«{)	(»гТц“1) (»2Tlt“l) .

~	(P2~Pl)2	(P2 —Pl)2

здесь Pi и p'± — 4-импульсы электронов в начальном состоянии, р2 и р'2 —
4-импульсы электронов в конечном состоянии и u^, u2, u2 — соответ-
ствующие этим состояниям нормированные, согласно (9.2.6), биспинорные
амплитуды	... и'2 == и (р')), нормировочный объем принят

равным единице.

Дифференциальное сечение рассеяния, согласно правилам § 18.3,
определяется формулой

do=• т Iм I2 d*p2 dap* т8 (pi	-Рд 6 (ei+в; - в2 - в;),

(31.1.2)

где J = У(pip’iy — mi.

В системе центра инерции электронов (Pi + р{ = р2 + р2 — Q)
7-2е|аЬ

и выражение для do после исключения 6-функций приобретает вид

(/с = 7^-2Т^т|Л4|2(/о.	(31.1.3)

(2л)2 64s2 11	'	7

В случае неполяризованных частиц мы должны усреднить это выра-
жение по поляризациям начального состояния и просуммировать по поля-
ризациям конечного состояния, т. е. произвести замену

IМ12	4 {(р2-Р1)4 SP Yu (™ — ipi) yv (tn — ip2) Sp (m — i£) yv (tn — ify +

+ SP Th (m —	Tv (m — tP'J SP Th (m ~ »X) Tv (m — ip2) —

~ (р2-Р1)2(р1-Р1)г SP Tn (tn - ipi) yv (tn - ip’2) T(i (tn — ip'J~yv (tn — ip2) } ,

где уи = у4у1гу4, и просуммировать написанное выражение по ц, v
от р, v = 1 до р, v = 4. При этом можно, очевидно, заменить уц на у^5
так как уц = — уц (р = 1, 2, 3) и у4 = у4.

Далее, для упрощения выражения для | М |2 следует воспользоваться
соотношениями (8.3.8), после чего мы получим сумму членов, каждый
из которых содержит следы от произведений не более четырех матриц уи.
Используя формулы (8.3.6), получим в результате

= а2 j0 (	(P1P1)2+ (Pip2)2 + 2m2 Pjpl—2m2 prpz

2s2 I	(P2~P1)4

i (PiPD24-(PiP2)2 + 2m2PiPl —2m2pip2 2 (PiPD2 + 2^2 PiPi ]
(P2 —Pi)4	(P2 —Pi)2(P2 —Pi)2J

ИЛИ

г2л1_1Г	if

,___r2 \ m2 /	4	__ 3	\m2	/	/1	4	\ 1 ,	/41 1 4\

0 4у4 (s/m)6	< sin4 тЭ1 sin2 ft'/ s2 i\2V ‘ 8*п2 w / °’	7

\2~m2~ 4

где v, 8 и й — скорость, энергия и угол рассеяния электрона в системе
центра инерции, г0 = —-----классический радиус электрона.

В нерелятивистском пределе и<1, -^-#1 и формула (31.1.4), как
легко видеть, переходит в формулу Резерфорда с учетом обмена (в борнов-
ском приближении)

do

г2
ro

16v4

_J_+_!___________I____

sin4-^- cos4 sin2 cos2

do.

(31.1.5)
Выразив в формуле (31.1.4) величины v и 8 через скорость и энергию 8j
падающего электрона в той системе отсчета, в которой один из электронов
до столкновения покоился = 0), получим

где 'О —угол рассеяния, отнесенный по-прежнему к системе центра инер-
ции. Он связан с углом рассеяния 9 в лабораторной системе соотно-
шением

cos О'

2—( —4-з) sin2 0

\ tn )

2k(i_1)lwe-

В нерелятивистском пределе О = 20 и

do = 4 (Д-ГГ—U- + —U-----------2Д1 Ts-kosedo.	(31.1.7)

\ Щ / L Sin4 0 cos4 0	cos2 0 sin2 0 J	v 7

С углом рассеяния в системе центра инерции однозначно связана
потеря энергии электрона в результате столкновения с покоящимся элект-
роном. Обозначим через Д отношение энергии, переданной одним электро-
ном другому, первоначально покоящемуся, к кинетической энергии первого
электрона: Д — - ---- ~	. Из законов сохранения энергии и импульса

81 tn 8i tn

следует, что Д = у(1—cos О'). Подставляя это выражение в (31.1.6),

получим

aG~~vl (х—1) Д2(1—Д)2

{1-[з-(^)2]д(1-А)+(^2)2А2(1-д)2},

(31.1.8)

где х =

Эта формула определяет распределение по энергиям вторичных элект-

ронов, возникающих при прохождении быстрого электрона через вещество.

v2 = м (— Рап))> получим

При малых Д

do = 2^0-4т-	(31-1-9)

vf(x—1) Д2	v 1

31.2. Рассеяние позитрона электроном.
Рассмотрим рассеяние позитрона электро-
ном [31]. Произведя в (31.1.1) замену

—	Рг->~Р[П\

где и — начальный и конечный
4-импульсы позитрона и = и (— р<п>),

матричный элемент, описывающий рассеяние

позитрона электроном:

м _ (й2ур,«1) (чтцог)
М~ (Рг-Pi)2

(р(п) + Р1)2

(31.2.1)

Диаграммы, описывающие рассеяние позитрона электроном, изобра-
жены на рис. 31.2. Диаграмма рис. 31 2, б описывает виртуальную анниги-
ляцию пары электрон — позитрон с импульсами pi и Эта пара превра-
щается в виртуальный фотон с импульсом k = pi — р<п>, который вновь
образует пару с импульсами и /4П)-

Вычисление | М |2 может быть проведено так же, как и в случае рас-
сеяния электрона электроном. Мы приведем здесь только результат вычис-
ления:

da = 16 (°8 V 1т f8 Г ГТ Е1 + 4 (— 1)cos2 "2”+

16 —	— — 1	sin4-^-

\ т / L \ т / J 2

+2(^_1)(,+Со5‘4)]+т*[з+ч^1)+

+	[3 + 4 (^-1) (>+-«) +

±1

т2

(1 4-cos Ф)2 do,

(31.2.2)

где 8 и # — энергия и угол рассеяния в системе центра инерции.

В нерелятивистском случае эта формула переходит в формулу Резер-
форда без обмена Вклад обменной (т. е. аннигиляционной) диаграммы
(рис 31.2, б) в нерелятивистском случае очень мал.

Распределение по энергиям вторичных электронов определяется фор-
мулой

1Л = 2ЛГ0 (х — 1)2 Д2 F Д)’

F^ А) = 7Ж) {р +2(*~ d-Д) + М2 (i-A

+ %ГП)^-[3 + 2(Л— 1) + (х-1)* (|-Д + Д2)_

—^^-(3 + 4(х-1)(1-Д) + (х-1)2(1-Д)2]} ,	(31.2.3)

где

х = sin) д = sa~w
т ’	8(п) — т

1

(электрон до столкновения покоился). При А < 1 мы получаем формулу
(31 1 9)

31.3.	Рассеяние поляризованных электронов. Перейдем к рассмотре-
нию рассеяния поляризованных частиц, отличие сечений рассеяния кото-
рых от сечений рассеяния неполяризованных частиц может быть исполь-
зовано для измерения степени поляризации частиц.

Мы видели (см. § 11.4), что при рассеянии неполяризованных электро-
нов во внешнем поле в борновском приближении не возникает эффекта
поляризации. Аналогично и при рассеянии электрона или позитрона
на электроне поляризация неполяризованного пучка возникает лишь в том
случае, если мишень поляризована, а отличие сечений рассеяния от сече-
ний для неполяризованных частиц будет иметь место только тогда, когда
пучок и мишень поляризованы

Сечение рассеяния поляризованных частиц может быть определено
по общим формулам § 18 4. Мы приведем здесь только окончательные
результаты для двух случаев рассеяния электрона на электроне, когда
электроны поляризованы в начальных состояниях и когда поляризованы
один из электронов в начальном и один из электронов в конечном состоя-
нии [32]. В первом случае сечение рассеяния определяется формулой

da (St, si) = XЛ°/~Л	- 2 . Co4~S;s!’S1>)'2 ) >

VI’ 1/	2g2 I (p2 — Pl)4	(p2 —Pl)4	(P2 —Pl)2(p2 —Pl)2 J

а во втором случае — формулой

da (S1, s2) = do (	+ до + д	s2) _ 2 С0+С(д,з2)_1

\ 1, 2/	4g2	| (p2_pi)4	(p2_pi)4	(P2—Pi)2 (p2 —P1)2J

где

Л = УУУ + (Pl A)2 + 2/n2 (PiPi) — 2m2 (PiP'^,

Bo = (PiPi)2 + (P1P2)2 + 2m2 (P1P1) — 2m2 (ptp2),
Co= — 1(р1РУ + 2т2 P1P1],

4(sb s') = — m2 [sjs; (p2 — Pi)2 + (sip2) (SiP2)l,

В (Si, s0 = — m2 (p2 —Pi)2 + (sjp2) (SiPOJ,

C (s15 si) = (Sjpi) (s;p2) (ptp2) 3- (slP2) (s’1Pi) (p;p2) —

—(S1P2) (s;p2) (P1P1)—(sis;) (ptp2) (p;p2) +

+ m2 (s1P'~) (s’1P2)+m2 (stp2) (s’1P1) +

+ m2 (s1P1) (s’1P1) — 4m2 (s^;) (PiPi),
Л (S1, s2) = — 4 (s2pi) (s1P1) (P2P1) — 4 (stp2) (s2p') (PiPi) +

+ 4 (siP1) (s2p;) [(pip2) + m2] — 2tn2 (S2PJ (si/?2) +

+ 4 SjS2 [P1P1 (PiP^) + (P1P2) m2 + m4],

В (si, s2) = — 2m2 [(SiS2) (Pi — р'У — (SiP'J (syy,

C (s15 s2) = — 2 (sis2) (pjp;) [(Pip'J + 2m2] +

+ (siPl) (S2P1) [2 (p^Pi) + m2] — (sip'd (s2pi) [2m2 + 2 pip2] +

+ (S1P2) (s2Pi) [m2 + 2 PipH + m2 (S1p2) (s2pj)

и sb s' — 4-векторы поляризации электронов в начальном состоянии,
a s2 — 4-вектор поляризации одного из электронов в конечном состоянии.

31.4.	Рассеяние мюона электроном. Превращение электронной пары
в мюонную пару. Рассмотрим рассеяние мюона электроном [33]. Эта зада-
ча аналогична задаче о рассеянии электрона электроном, но про-
ще ее. Так как гамильтониан взаимодействия частиц с элект-
ромагнитным полем (см. § 16.7) содержит электронный и мюон-
ный ток в виде отдельных слагаемых, то на диаграммах Фейн-
мана нет вершин, в которых происходило бы превращение
мюона в электрон или аннигиляция мюона с позитроном.
Каждая сплошная цепочка линий диаграммы (от входа до
выхода или вся замкнутая петля) может быть либо электрон-
ной, либо мюонной. «Обменных» диаграмм нет.

Поэтому рассеяние мюона электроном описывается во
втором приближении теории возмущений только первой из
двух диаграмм рис. 31.1 (она изображена на рис. 31.3),

и матричный элемент определяется первым из двух членов формулы
(31.1.1)

__ (^2?ац1) (ц2?а^1)	ф 1 j \

Рас. 31.3.
где 7 = Pi — р2, р2 — 4-импульсы, щ, и2 —биспинорные амплитуды элек-
трона в начальном и конечном состояниях и рх, р' и и'2 — аналогичные
величины для мюона.

Дифференциальное сечение рассеяния мюона электроном определяется
формулой, аналогичной формуле (31.1.2):

do — сх2-^-1 М |2,

где do и w — в 4- s' — элемент телесного угла и полная энергия в системе
центра инерции. В случае неполяризованных частиц

Iм I2 7г sp ~	~ ip^ Sp Та ~ ip^ “ip*>

(m —масса электрона, pi —масса мюона) и сечение имеет вид

dO = 2a2^^[(p1^)2 + (p1p;)2-^±^^] .	(31.4.2)

Выразив входящие сюда инварианты через энергии 8, 8', угол рассея-
ния 4 и импульс р == | р | в системе центра инерции, получим

do =----a_do—__ Г(88, cos ф)2_2 (т2 + И2) Р2 sin2 пМ •

8i0Vsin4-— L	J

(31.4.3)

Легко видеть, что при 8 < ц эта формула переходит в формулу для
сечения рассеяния электрона во внешнем поле.

Переходя в (31.4.2) к величинам в системе покоя электрона, найдем
распределение по энергиям электронов отдачи. Обозначая переданную
электрону энергию через Т, Т = &2—171 = ^ — 8', и замечая, что

о о ,тл 90	92	do	2тт dT

q2 — 2mT.	p2w2 = т2/Д —T ,

r	ro w2 mp2 ’

гдеро —1^8X2 — pi2—импульс мюона в начальном состоянии, получим

<31-4-4)

где v0 — скорость падающего мюона и Тт — максимальное значение Т,
Тт = 2mp2/(m2 + fi2 + 2m80

(оно соответствует углу рассеяния v^n).

Приведем выражение для сечения рассеяния поляризованного электро-
на на поляризованном мюоне [34]:

do=2а2	{м2+^2 -	? -

— /пр, [</2 (s^) — (Stq)	,	(31.4.5)

где Si и s' — 4-векторы поляризации электрона и мюона в начальном со-
стоянии.

Электрон и позитрон могут аннигилировать, превращаясь в пару
мюонов. Этот процесс изображается диаграммой рис. 31.4, аналогичной
диаграмме 31.2, б. Порог реакции при столкновении позитрона с покоя-
щимся электроном составляет

80 =- — и = 4 • 1010 эв.

и m г
Матричный элемент, соответствующий превращению электронно-пози-
тронной пары в мюонную пару, имеет следующий вид:

м =	(р')	(—р4)) (—р+) w (р))	/31 4

ш2	’	\	/

где рг и р+ — 4-импульсы отрицательного и положительного мюонов

Рис. 31.4.

р и р+ — аналогичные величины для электрона и
позитрона.

Мы приведем здесь выражение только для пол-
ного эффективного сечения этого процесса [35]:

2л 2 т

—Г"Т

(> -Н'л- <31-4-7>

где 8—энергия позитрона в системе покоя электрона.
Максимальное сечение (при 8 « 1,7е0) приблизи-
тельно в 20 раз меньше сечения двухфотонной аннигиляции электронно-
позитронной пары при той же энергии.

§ 32.	Запаздывающее взаимодействие зарядов

32.1.	Функция взаимодействия двух зарядов. В предыдущем параграфе
мы пользовались выражением для матричного элемента рассеяния двух
зарядов в импульсном представлении. Здесь рассмотрим этот же мат-
ричный элемент в координатном представлении. Это позволит рас-
смотреть взаимодействие двух зарядов при наличии внешних полей, а также
исследовать связанные состояния системы электрон-позитрон (позитроний).

Согласно результатам § 16.5 матрица рассеяния второго порядка S(2)
имеет следующий вид:

S(2,= -у $	(32.1.1)

где Т — хронологический оператор, j^ —оператор плотности тока, Ац —
операторы 4-потенциала электромагнитного поля. При отсутствии фото-
нов в начальном и конечном состояниях оператор Т [Ац, (х) Av (х')] следует
заменить его средним значением по состоянию вакуума

(01 Т [Ац (х) Av (х')] 10> = (х —х').

Два оператора тока, входящие в (32.1.1), могут относиться либо к раз-
ным полям (один — к электронному, другой — к мюонному или адрон-
ному), либо к одинаковым (например, к электронному; случай двух адрон-
ных токов мы рассматривать не будем). В первом случае токи, очевидно,
коммутируют; то же будет и во втором случае. Действительно, оператор
jpt (*) jv (*') содержит при этом произведения четырех операторов испуска-
ния или поглощения электронов (или позитронов). Нас будут интересовать
те матричные элементы S(2), которым соответствует наличие двух частиц
как в начальном, так и в конечном состояниях. При этом отличные от нуля
вклады могут вносить только те члены оператора jg (х) jv (х'), которые
содержат два оператора испускания и два оператора поглощения, причем
все они должны относиться к различным индивидуальным состояниям
электронов. Поэтому все эти четыре сомножителя антикоммутируют друг
с другом, а их попарные произведения коммутируют.
Таким образом, символ Т в (32.1.1) может быть опущен:

S(2) = -4 $ Ju (*) De (x- x') jg (X') dWx'.	(32.1.2)

В связи co структурой этого выражения отметим следующее принци-
пиальное обстоятельство. В нерелятивистской квантовой механике взаимо-
действие частиц описывается потенциальной энергией взаимодействия
V (| Г1 —г2 I), являющейся функцией расстояния между частицами. Опера-
тор потенциальной энергии V -(в представлении чисел заполнения) имеет
следующий вид:

V = у § Р(п)v (In — г21)р(r2)dsXid3x2,

где р = ф+ф — оператор плотности частиц

В электродинамике не существует потенциальной энергии взаимодей-
ствия, зависящей от координат взаимодействующих частиц, взятых в один
и тот же момент времени, так как электроны взаимодействуют не непосред-
ственно, а через посредство электромагнитного поля. Оператор энергии
взаимодействия заменяет в первом приближении играющая аналогичную
роль матрица рассеяния S(2), определяющаяся формулой (32.1.2). Подынте-
гральное выражение в (32.1.2) содержит координаты (включая, однако,
и временную координату) только зарядов, электромагнитное же поле в этой
формуле исключено. Поэтому функцию e2Dc (х — х') можно назвать функ-
цией взаимодействия двух зарядов. Далее мы увидим, что в нерелятивист-
ском приближении она действительно приводит к выражению энергии
взаимодействия двух зарядов, т. е. к закону Кулона и поправкам к нему.

Составим теперь общее выражение для матричного элемента опера-
тора S(2). Рассмотрим сначала тот случай, когда обе частицы являются
электронами.

Пусть А и В обозначают совокупности квантовых чисел начальных
состояний электронов, а С и D — конечных состояний. Тогда в операторе

W 1V СИ = — [ф (х) ?иф (х) ] N [ф (х') уиф (х')1

отличные от нуля значения дадут лишь следующие члены:

Ju (х) Ju (х') —> асалаЬав/сАн (х) jDBn (х') + аЬавасаА/сАц (х')7пвц (х) +

+ асавапал/свр, (х) Ida^ А-&1Ьа.Аа.сав1 сви> !daii

где а 1 и ад — операторы испускания и поглощения электронов в состоя-
нии А, фА — соответствующее решение уравнений Дирака и jCAll(x) =
=/ефс (х) уифА (х) — плотность тока перехода.

Используя антикоммутативность всех участвующих здесь операторов,
можно расположить их в виде нормального произведения (например,
аса^авад), матричный элемент которого равен единице.

Таким образом, для матричного элемента (f | S<2) | О мы получим выра-
жение

(f I S(2) | i) = — § {/dbh (x') Dc (x' — x) jCAi>. (x) —

— ]свц (x') Dc (x'—x) jDAv, (х)}(11х(Рх'.	(32.1.3)

Двум членам в (32.1.3) соответствуют две диаграммы, изображенные
на рис. 32.1. Они различаются только переменой местами индексов конеч-
изведения операторов

ных состояний. Поэтому второй член в (32.1.3) и вторая диаграмма рис. 32.1
называются обменными по отношению к первым. Знак минус у обменного
члена в (32 1.3) соответствует тому, что волновая функция двух электро-
нов в конфигурационном пространст-
ве является антисимметричной.

Перейдем к рассмотрению взаимо-
'	действия двух позитронов. В этом

।	случае ф содержит операторы испу-

скания, а ф—операторы поглощения.
Поэтому, если мы обозначим (в про-
тивоположность случаю электронов)
начальные состояния через С иО, а
конечные — через А и В, то для про-
тока мы получим формулу, отличающуюся от преж-
ней формулы заменой электронных операторов ал, ав, ас, аЬ соответствую-
щими позитронными операторами bi, Ьв, Ьс, Ьв, а также тем, что волно-
вые функции фА будут означать теперь решения уравнений Дирака с отри-
цательными частотами. Переходя от волновых функций с отрицательными
частотами к волновым функциям позитрона и учитывая, что ф(Г} у^ф^
= Ф2П)Тм,Ф1П) (см. § 8.7), мы получим формулу для матричного элемента,
определяющего взаимодействие двух позитронов, аналогичную формуле
(32.1.3) :

<f | S<2) 11) = - i $ {/w и (%') DC(X'~ x)	(X) -

— Iadv (x') Dc (x' — x) /(всц (x)} d4x d4x',
где

Дпсц (x) = —ieffi (x) Тцфс0 (x).

В том случае, когда одна из частиц — электрон, а другая — позитрон,
удобно пользоваться следующими обозначениями: А — начальное состоя-
ние электрона, С — конечное состояние электрона, В — конечное состоя-
ние позитрона, D — начальное состояние позитрона. Соответственно по
сравнению со случаем двух электронов надо заменить ав на Ьв и ав на Ьв,
причем под фв и фв нужно понимать волновые функции с отрицательными
частотами.

Располагая операторы а и b в виде нормального произведения, получим
в этом случае

(/ | S { l) = {/сАц («^ ) В)с (•£	%) jВВЦ. С^)

— Idah (х') Dc (х' — х) ]св» (*)} d*xd*x'. (32.1.4)

Первые члены в (32.1.4) и (32.1.3) различаются знаком, что соответ-
ствует различным знакам зарядов электрона и позитрона. Обменный член
в (32.1.4) (вторая диаграмма рис. 32.1) теперь соответствует виртуальному
поглощению и образованию вновь электронно-позитронной пары.

Формулу (32.1.2) можно применить также к описанию взаимодействия
электрона с другой частицей, например с мюоном. В этом случае под ]’ц (х)
следует понимать электронный ток, а под (х') — мюонный ток. В мат-
ричных элементах (х) ]’ц (х') будут теперь отсутствовать обменные члены.
Пусть состояния А и С относятся к одной частице, а В и D — к дру-
гой, тогда

(f I S(2) 1i) = — $ /сам (x') De (x' — x) jDBll (x) d*x dtx’.	(32.1.5)

Этому матричному элементу отвечает первая из диаграмм рис. 32.1.

32.2.	Запаздывающие потенциалы. Матричный элемент (f | S(2) | О
можно представить в виде, удобном для приложений и допускающем про-
стое физическое истолкование. Воспользуемся для этого явным выраже-
нием функции Dc (х) (см. § 6.2):

__• р ikr—iot

Dc = "(2л)4"	Л2—со2 d3k d(i>'

Выполнив здесь интегрирование по d3k (с учетом правила обхода полю-
сов, т. е. с заменой k2 —> k2— Ю), получим

^с(х) = -^--Дт f e-^+^IMda.

с 4 7	8л2 | Г I J

—оо

Подстановка этого выражения в (32.1.5) дает
. р	г|®вр1к1-^2|

s(2) | оicA*(Гь z) /bw (Г2’ °" и;-г2|	6/3X16/3x2	<32-2•1)

где coBD = (ов — сор.

Выполним теперь в (32.2.1) интегрирование по dt. Выделим для этого
явную зависимость токов перехода от t. Так как состояния А, В, ...
стационарны, фА (х) = фА (г) е~г&А\ то

!са& (х) = jcAp, (И eia>GA 9

где й)СА = сос —соА, и

<f I S<2) ]l) = -g- § jCA^ |n-r2| /DB|X d*Xl d3%2.

Соотношение coCa = — copB, t. e. (oc — coA = coB — cop, выражает
закон сохранения энергии. Пусть для определенности соА > сос, тогда
(ов < сор и соАС = — совр > 0. Учитывая это условие, можно перепи-
сать (32.2.1) в виде

ES<2> | i) = i § dt jDBV. (r2, t) ACAv. (r2, t) dsx2 =

= — e §	(x) ACa (x) t|?B (x) d4x, (32.2.2)

где

! p	е-йолс(+1“лс1,-г'<

Асац (r, z) = 4^ /cAg (r')-------|fzp j------d3x'

или

Аса» (r, t) = A- 5 /CAtt(r|’fl~t|~/" 0 d*x’.	(32.2.3)

Замечательно, что формула (32.2.2) совпадает с выражением для эле-
мента матрицы рассеяния первого порядка S(1) в случае перехода частицы
из состояния В в состояние D, вызванного внешним полем, потенциал

29 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
которого равен АСа^ При этом ЛСац определяется током перехода
другой частицы из состояния А в состояние С так же, как и в классической
электродинамике, т. е. формулой для запаздывающих потенциалов. Спра-
ведливы, естественно, и дифференциальные уравнения для потенциалов
классической электродинамики

□ ACAlL= —]СА^

ЭАСЛц  п

Заметим, что выражение (32 2.1) для (f | S<2) | О симметрично отно-
сительно обоих токов Перейдя от него к (32 2 2), мы рассматривали ток ]D3
как «воспринимающий» внешнее поле, а ток ]Са — как «генерирующий»
это поле При этом в качестве генерирующего мы брали ток с положи-
тельной частотой coca > 0 (чтобы он отвечал переходу из высшего энерге-
тического состояния в низшее). Если считать генерирующим ток с отри-
цательной частотой, т е записать (32.2.1) в виде

(f I S<2) 1О = i § jcAn (x)	(x) d4x,

то вместо (32.2.3) мы получим Ловм, в виде «опережающих» потенциалов

ЛВДц (Г, /) - /овц (Г', t + I Г - Г' I) j-y-yq .

Перейдем теперь от матрицы рассеяния к матрице эффективной энер-
гии взаимодействия системы двух зарядов V, определяемой следующим
образом

<Л S|0 = — 2ni(f\ V |г>6(сйа4-сйв — ®с — а>о).

Согласно (32.2.1)

(Л V | О = —^ /сац (П) /ВВЦ (г2) -е |Г1_Г21 -	d3x2.	(32.2.4)

Это выражение можно записать также в виде

(f I v 1О = - $ /ВВЦ (Г) Лсан (Г) d3x,	(32 2.5>

где

ЛСАЦ (Г) =-М	ШАС|г-г^3 ,

к 7 4л J | г —г |

Потенциалы АСац удовлетворяют дифференциальным уравнениям клас-
сической электродинамики для монохроматических полей

ЛАса^ +- (OcaAcaia, — —jcAiii	div Аса — ®са (А^)са — 0.

Эти результаты дают строгое обоснование полуклассическому методу
рассмотрения взаимодействия электронов с электромагнитным полем, изве-
стному под названием «принципа соответствия» В этом методе не учитывают-
ся квантовые свойства электромагнитного поля, а используются уравне-
ния классической электродинамики, в которых токи заменяются токами
переходов.

Можно показать также, что соответствующий потенциалам (32 2 3)
поток энергии классического электромагнитного поля равен вероятности
излучения в единицу времени фотона при переходе электрона из состоя-
ния А в состояние С, умноженной на энергию фотона соАС.
Полученные выражения Для (f | S<2) I О справедливы, очевидно, и в том
случае, когда один из токов перехода относится к адронным системам
(в частности, к ядрам). Соответствующие матричные элементы описывают
при этом взаимодействие адрона с электроном или мюоном. Однако адрон-
ный ток нельзя выразить через волновые функции. Этот ток входит в выра-
жение для матричного элемента как феноменологическая величина (см. § 34).

Все приведенные в этом разделе формулы даны применительно к мат-
ричному элементу (32.1.5), т. е. к случаю рассеяния нетождественных
частиц. Однако не представляет труда обобщить их на случай рассеяния
тождественных частиц. Для этого достаточно к матричному элементу (32.2.4)
добавить соответствующий обменный матричный элемент.

32.3. Энергия взаимодействия двух электронов с точностью до v2/c2.
Выразим в формуле (32.2.4) для матричного элемента эффективной энер-
гии взаимодействия токи перехода через волновые функции:

<71V10 = « § фс (П) ФЬ (r2)	е(г|о^|,Г1	(Г1)	(r2) d3xt d3x2,

(32.3.1)

гдеа = -^-; аь а2—матрицы Дирака, причем 04 действует на функцию

Фа(п)? а <х2 —на функцию фв(г2). Обратим внимание на структуру выра-
жения (32.3.1). Оно содержит оператор, зависящий от координат и спи-
новых переменных обеих частиц,	и «фактОр запаздывания»

II - I	Г1“~Г2|

е^лс'Г1 Г2‘л Наличие последнего, зависящего явно от начальной и конеч-

ной энергий системы, не позволяет в общем виде ввести гамильтониан
взаимодействия двух электронов V, т. е. оператор, для которого выпол-
нялось бы соотношение

Xf | V | 0 = J (П) ф£ (г2) УФа (п) Фв (r2) d*x, d*x2.	(32.3.2)

Однако при малых скоростях (vic < 1, с — скорость света) такой
оператор можно построить. Для получения его мы разложим матричный
элемент по степеням vic с точностью до v2lc2. Как и при аналогичном раз-
ложении в § 12, мы не будем в этом параграфе пользоваться системой еди-
ниц, в которой с = 1. Это представляет удобство в том отношении, что
переход к нерелятивистскому приближению можно формально осуществить
как разложение по степеням 1/с.

Разложение фактора запаздывания с точностью до членов порядка 1/с2
включительно имеет следующий вид:

--|(D . — СО^Цгх—Г2|

ес________________1	। : Ima—»cl _'(<Да—сое)2 I „ _

In—r2|	In—nU	с	2<?2	। 1 Гг

(32.3.3)

Матричные элементы, содержащие а, по порядку величины равны vic.
Поэтому в членах, содержащих а(а2, достаточно сохранить лишь первый
член в разложении (32.3.3). Второй член в (32.3.3) после подстановки в инте-
грал (32.3.1) обратится в нуль в силу ортогональности функции фА и фс.
Третий член можно преобразовать к симметричному виду, воспользовав-
шись тем, что соА — <ос = ®г> — ®в, и поэтому

— ((Од — (Ос)2 I Г, — Г2 I = (®Д — (Ос) (<ОВ — (Op) I Г1 — Г2 I•
Далее можно исключить из выражения для матричного элемента частоты,
используя уравнение Дирака

Н1Фа (п) = соа'Фа (п)-

Имея в виду, что выражение (32.3.3) умножается справа на Фа (п)Фв(п),
а слева на фс (п) Фп (гг) и интегрируется по п и г2, мы можем заменить
в нем частоты (оА и операторами Hi и Нг, расположенными справа
от множителя | п — г2 |, а частоты сос и coD — операторами Hi и Н2, рас-
положенными слева от | и — г2 |:

(иА — (ОС) ((ВВ —(OpJln —гг| —> I Г1 —Г2|Н1Н24-Н1Нг|п —Г2| —

— Hi| П —г2| Н2 —Н2| G —r2|Hi==[Hi, [Н2, |rt-г2|]]

(квадратные скобки обозначают коммутаторы соответствующих величин).
Так как оператор Гамильтона электрона имеет вид

Н = cap + ₽mc2 + еД<е>,

где Д<е> — внешнее поле, то не коммутирующим с | п — г2 | является
только один член в Н, а именно ар.

Вычислив коммутатор с2 [a^, [a2p2, In —г2| Л, легко убедиться, что
после подстановки (32.2.3) в (32.3.1) можно произвести замену

(®а—®с)21<ж	।	<Х1<х2—(ain)(a2n)

----------1-г21	----17—>

(32.3.4)

Таким образом, величина <f ] V 10 действительно может быть представ-
лена в виде (32.3.2), где оператор V определяется формулой [36]

..__ a a <Xi<x2 + (сця) (<х2#)

V “ I П-П | “”2	\rt-r2\

Первый член в этой формуле описывает кулоновское взаимодействие зарядов.

Так как выражение для V имеет смысл только с точностью до членов
порядка у2/с2, то волновые функции электронов следует также брать с той же
точностью, т. е. пользоваться приближенными волновыми функциями § 12.1

, / Ф \
Ф = I 1 •
т I ap I

' 2тс Ф

Выражение (32.3.2) с учетом (32.3.4) приобретает при этом вид

</ | V | i> = a § Ф? (п) фЬ (г2) фА (г,) фв (r2) ^*tg*2 +

+ -£Г § {1°1Р1Фс (И)]* [О1Р1Фа (П)1 ф£ (г2) фв (Г2) +

4- Фс (п) фА (п) [ОгРгфо (г2)1* о2РгФв (г2)}	+

+ {фс (fi) 0! (GiPi) Фа (П) +

+ [<*1Р1фс (П)1* <Ma (П)} {фр (Г2) о2 (о2р2) фв (г2) 4-

4- [<*2Р2фо (г2)Г °2фв (r2)}	§ {Фс (И) (Gl») (GiPi) Фа (п) 4-

4- [®1Р1Фс (П)Г «1» Фа (П)} {ф2> (г2) (о2га) (о2р2) фв (г2) 4-

4- КРгфо (г2)]* О2« фв (r2)}	•	(32-3-5)
Введем приближенную двухкомпонентную волновую функцию элект-
рона Ф, связанную с ср соотношением (см. § 12.2)

ф== (1 — 8m2f2 ) Ф‘

Ясно, что во всех членах (32.3.5), кроме первого, можно заменить <р
на Ф, так как они уже содержат множитель 1/с2.

Выражение (32.3.5) можно преобразовать к виду

(СО | V | АВ) = J Ф2 (Га) ФЬ (г2) У<э>Фа (Л) Фв (r2) d3x, d*x2 (32.3.6)

(спиновые индексы волновых функций здесь, как и выше, для краткости
опущены), где V(9) — некоторый оператор, который может быть назван
оператором энергии взаимодействия двух электронов. Для этого нужно
выполнить интегрирование по частям, а так как подынтегральное выра-
1

жение содержит высшие степени величины	то предварительно

следует выделить начало координат, т. е. точку = г2. Интеграл по поверх-
ности, окружающей эту точку, при |	— г2 | -> 0 дает конечную величину,

которая зависит лишь от значений подынтегрального выражения при
Г1 = г2. Поэтому она может также быть представлена в виде объемного
интеграла от выражения, содержащего 6 (и — г2).

В результате мы получим следующее выражение для оператора энер-
гии взаимодействия двух электронов:

v(8> (г) = л 5 (г) —-X ([rpj Gi - [rp2] <т2 + 2 [грП о2-

-2[гр2] оЛ-з^-^Рфг + тггСгр!) р2) +

+ т4г (^Ф--3(<Г1Г)5(<Г2Г) ~,	(32.3.7)

\ ' г3	З ч//	4	'

г = 1\ — г2.

Естественно, что наличие 6-функций в (32.3.7) не означает сильного
взаимодействия. Те члены, в которые входят 6-функции, содержат в коэф-
фициентах 1/с2 и поэтому должны по смыслу проводившегося разложения
рассматриваться как малые по сравнению с первым членом, соответствую-
щим кулоновскому взаимодействию. (Чтобы избежать кажущейся расхо-
димости некоторых интегралов, например, возникающих при подстановке
последней круглой скобки в (32.3.6), можно сначала выполнять интегри-
рование по углам.)

Далее мы вернемся к интерпретации отдельных членов, входящих
в V(9). Здесь же отметим лишь сходство оператора V(9) с оператором энер-
гии электрона во внешнем поле с точностью до и2/с2 (см. § 12.2): последний
переходит в (32.3.7), если под А§, Е к Н понимать поле частицы с заря-
е
дом е и магнитным моментом т;— а.

2тс

Заметим, что оператор энергии взаимодействия двух электронов (32.3.7)
можно получить из выражения (32.1.1) для матричного элемента рассеяния
электрона электроном. В нерелятивистском приближении (включая члены
порядка (р/т)2) мы можем записать биспинорную амплитуду и в виде
Подставив это выражение, а также приближенное равенство

JL-J- - 1 । (^Pi) (^2)	(п= п'_п _п „'X

q2 q2 ~Т" 4m2 • m2 (#2)2	W — Pi Pi — P2 Pz)

в первый член (31.1.1), получим

(«1Ти«1)	(q)

где

V(8) (q) = a {+ 4^2 (Iqpi] <*i - [qp2] + 2 [qpA o2- 2 [qp2] at) +

I (<7/>i) (<1P2) Pip2 . (ggj) (gff2) ffj«Z 1
"* m2 (#2)2	rrfiq2 ' 4m2#2	4/n2 /

Эта величина является импульсным представлением энергии взаимодей-
ствия (32.3.7),

V<8) (H=^^ieV3)(<7W

В применении к задаче о взаимодействии двух электронов необходимо
рассматривать, кроме матричного элемента (32.3.6), еще обменный матрич-
ный элемент

(DC I V | АВ) = $ ФЬ (п) Ф£ (г2)У(э)Фа (п) Фв (r2) dx* dx32,

где V(8)— тот же оператор (32.3.7).

Вводя антисимметризованные волновые функции двух электронов

Фав (рь ^1» Р2ч ^2) =	(Фа (гн М Фв (г2ч ^2) — Фв (Л, М) Фа 2» ^г))>

V *

где и А2 — спиновые переменные частицы, и аналогичные функции
для других пар состояний, можно представить суммарный матричный
элемент в виде

(Г | V | i) = J Ф8оУ(8)Фав dsXl d3x2.	(32.3.8)

Если А и В — произвольные стационарные состояния электрона
во внешнем поле, то волновые функции ФАВ будут образовывать полную
систему антисимметризованных собственных функций оператора Hi (r4) +
+ Н (г2), где Н, как и выше,— оператор Гамильтона электрона во внеш-
нем поле.

Благодаря взаимодействию между электронами, состояние с волновой
функцией ФАВ не будет стационарным. Если при t = — 00 электроны
находились в состоянии ФАВ, то при t = + 00 они могут оказаться в неко-
тором другом состоянии Фот- Амплитуда вероятности такого перехода
определяется матричным элементом оператора V(9)- Можно поставить
задачу о нахождении стационарных состояний системы двух электронов
с учетом их взаимодействия (с точностью до с>2/с2). Такие состояния пред-
ставляют собой суперпозицию состояний с волновыми функциями Фео,
и соответствующие им волновые функции Фп будут собственными функция-
ми оператора

н = Hi (п) + Нг (гг) + v(8).	(32.3.9)

Таким образом, мы получаем уравнение Шредингера для двух элек-
тронов в конфигурационном пространстве

НФ/г (Г 1ч г2) = ЕпФп (и, г2),
где Еп — энергия стационарного состояния. Волновые функции Фп должны
удовлетворять требованию антисимметрии.

32.4. Взаимодействие электрона с позитроном. Перейдем к определению
энергии взаимодействия электрона с позитроном с точностью до членов
порядка v2/c2. Воспользуемся для этого формулой (32.1.4). Выразив, как
и выше, (f | S I О через (/ | V | t), представим </ | V I О в виде суммы
двух членов —«прямого» и «обменного»

(f I V| i) = {f | V | r>(d) + </1V |i>(e).

Выразив далее токи перехода через волновые функции, а волновые функции
с отрицательной частотой через волновые функции позитрона, получим
для прямого члена выражение

Л	. 1юас1 ,

(f | V 11}(d)=сД ф с (Г1) Фв ’* (г2)	~ е с' г* фЛ (п) фл \r2) d3Xi d3x2.

Здесь, так же как и в (32.3.1), слева стоят волновые функции частиц в конеч-
ном состоянии, а справа — волновые функции частиц в начальном состоя-
нии, причем всем этим функциям соответствуют положительные частоты.
Поэтому точно таким же путем, каким выражение (32.3.1) было преобра-
зовано к виду (32.3.6), может быть получена формула

(Л v I o(d) = - $ Ф5 (п) Ф^п)* (Г2) У(э)Фа (п) Фвп) (Г2) d3Xi d3x2, (32.4.1)

где V<8)—оператор (32.3.7).

Обменный (аннигиляционный) член матричного элемента гамильто-
ниана взаимодействия электрона с позитроном имеет следующий вид:

<f\ V|i)<e> =

= ОС § Фг?’* (о)ф£ (r2) е 1	®	1 Г1~Г2 ’Фа (о) Фв ’ (r2) d3Xi d3x2 =

= a J Фо-) (О) Фа (и)) (фс (г2) уиФв-> (r2)) е ’5 1	|Л1“Г21	•

Несмотря на внешнее сходство, это выражение существенно отличается
ют обменного матричного элемента в случае двух электронов. Действительно,
лак как сод и сов отрицательны, то в «фактор запаздывания» входит теперь
не разность, а сумма энергий частиц

05 А — СОр = &А + 8р,

включающая] энергию покоя 2тсК Таким образом,	представляет

собой не малую величину порядка 1/с, а большую порядка с, и разложе-
ние (32.3.3) становится неприменимым.

Переход к приближению малых скоростей при этом легко осуществить,
заменив энергию в экспоненте энергией покоя еА +	~ 2тс2. В резуль-

тате получим

<Л v I (Ф$Л (п) ТиФа (г,)) (фс (г2) у1Хф&') (г2))е |ГДГ2| d3x± d3x2.

(32.4.2)

Заметим, что индексы начальных и конечных состояний входят в (32.4.2)
только в волновые функции частиц. Это означает, что выражение (32.4.2)
можно представить в виде матричного элемента некоторого оператора,
т. е. в форме (32.3.6).
Для упрощения (32.4.2) обратим внимание на то, что фактор запазды-
вания содержит в экспоненте множитель 2тс и поэтому осциллирует с дли-
ной волны ------------комптоновская длина волны электрона). Главный

лтс \ тс	/

вклад в интеграл вносит при этом область | —r2 I— — ♦ Так как волно-
вые функции электрона и позитрона (в соответствии с предположением
о малости скоростей) незначительно меняются на таком протяжении,
то в (32.4.2) можно выделить интегрирование по г = г± — г2 и положить
в аргументах волновых функций 1\ = г2:

</1 V10<е) = a J (ф^ (гО УцФа (п)) (фс (п) Ьфв ) (rt)) d3Xi J е2гтсг .

Последний (несобственный) интеграл может быть вычислен обычным приме-

нительно к выражениям, содержащим осциллирующие подынтегральные
функции, образом:

рЪгтсг	р	А r/3v

-----d3x=lim\ e2iwcr~v — =
r r

JI
(me)2

Таким образом,

(f IVI = -да $ (Ф1гЧФа) (ФсТ^) d*x. (32.4.3)
Здесь все волновые функции — функции одних и тех же пространственных
координат (точечное взаимодействие).

Преобразуем подынтегральное выражение в (32.4.3). Использус соот-
ношения (8 4.6), получим

(Фв’^цФа) (ФсТцфв4) = (ф!г)фв')) (ФсФд) — у (Фр'Ч'Фв’’) (ФсТЛа) —

— (Фл Wb) (ФсТаФд) —4 (фЬ ^аУнФв }) (ФсТвУнФд)-

Введем далее позитронные волновые функции, сделав замену
ф£-) Оф(лГ’ = ± фв ’ 0ф£°

(знак плюс относится к случаю, когда О = уц, и знак минус — к случаю,
когда 0=1, у5,у5уи). Наконец, перейдем к нерелятивистским волновым
функциям. Так как (32.4.3) содержит коэффициент 1/са, то достаточно
заменить четырехкомпонентные волновые функции на двухкомпонентные Ф,
одновременно заменив четырехрядные матрицы двухрядными по следую-
щему правилу:

1-*1,	YnYs-^го-

В результате выражение (32.4.3) приобретет вид

(/= I V10(е) = f да §{(ф*сфд) (ф(вп)Мп)) + (фсофд) (0)F<Mn))} d3x (32.4.4)
или

(f | V10(e> = J фё (П) o4n)* (r2) у(е)фд (П) ф5 (r2) d3X1 d3x2,
где [37]

V(e)=f w (3+O1°2)6 (r‘ -(32-4.5)

Суммарный матричный элемент, | f | V | i) можно записать в виде

I v I о = § ф?вУ(п)фдв d3Xi d3%2,
где

v<n)=-v(8) + v(e)	(32.4.6)

И

(/*!»	7*2» ^2) =	(** 1» М)	(**2» ^2)»

Фев (П>	^*2» ^2) =Фс (7* 1» М) Ф^) (**2» ^2)*

Оператор V(n) представляет собой оператор энергии взаимодей-
ствия электрона с позитроном. Функции ФАо (А и D — квантовые числа
произвольных состояний электрона и позитрона в заданном внешнем поле)
образуют полную систему собственных функций оператора Н(9) + Н(п),
где Н(э) — гамильтониан электрона и Н(п) — гамильтониан позитрона
(при наличии внешнего поля они различаются знаком заряда).

Волновая функция Фп (гь г2) стационарного состояния системы элек-
трон — позитрон удовлетворяет уравнению Шредингера

(Н(э) (Г1) + Н(п) (r2) + V(n)) ф„ = ЕпФп,	(32.4.7).

причем она не ограничена никакими требованиями симметрии: электрон
и позитрон фигурируют в этом уравнении как нетождественные частицы.

Симметрия относительно изменения знака заряда обеих частиц приво-
дит к определенной зарядовой четности. Именно, симметричные (относи-
тельно перестановки координат и спиновых переменных) состояния являются
зарядово-нечетными, а антисимметричные состояния — зарядово-четными.

32.5. Позитроний. Уравнение Шредингера (32.4.7) можно применить
к решению задачи о позитронии, т. е. о связанных состояниях системы
электрон — позитрон.

Оператор Гамильтона этой системы состоит из различных по порядку
величины членов. Запишем его в виде

Н = Н(0) + Н(1),

где в Н(0) включены члены, не содержащие 1/с2:

и(°)____1_/и2 п2А а

Н	+	|Г1-г2| ’

а Н<п пропорционально 1/с2.

Задача об энергетических уровнях позитрония может быть решена
методом теории возмущений: оператор Н<0) можно рассматривать как
невозмущенный гамильтониан, а Н(1) — как возмущение.

Невозмущенная задача чрезвычайно проста, она приводится к задаче
об атоме водорода в нерелятивистской квантовой механике. Действительно,
воспользуемся системой координат, в которой центр инерции позитрония
покоится; тогда

р1=-р2=р,
где р — оператор импульса, соответствующий относительному радиусу-
вектору:

r~i\ — г2.

Невозмущенное уравнение Шредингера имеет вид

р2Ф = т(£ + ^) Ф.

Оно совпадает с уравнением движения электрона в атоме водорода, если
в последнем заменить массу электрона на приведенную массу двух электро-
нов, равную т/2. Поэтому значения энергии позитрония вдвое меньше
по абсолютной величине соответствующих значений энергии атома водо-
рода, а радиусы орбит — вдвое больше.

Невозмущенные уровни, как хорошо известно, зависят только от глав-
ного квантового числа п и не зависят от квантовых чисел / и Z, определяю-
щих полный и орбитальный моменты.

Перейдем к рассмотрению тонкой структуры уровней позитрония,
т. е. их смещения и расщепления, вызванного энергией возмущения [38].

Запишем Н(1) в виде суммы пяти членов

H(1) = V1 + V2 + V3 + V4 + V5,	(32.5.1)

где Vi, ..., Vs определяются ниже формулами (32.5.2) —(32.5.6).

Оператор Vi представляет собой поправку порядка 1/с2 к кинети-
ческой энергии частиц:

Vi=--t5tv-	(32.5.2)

1	4m3c2	'	7

Остальные слагаемые содержатся в гамильтониане взаимодействия
(32.4 6).

Оператор У2 объединяет те члены гамильтониана взаимодействия,
которые не содержат спиновых операторов (орбитальное взаимодействие):

VS («а </-)-4 р - Jr rp+^v),	(32.5.3)

где L — оператор орбитального момента, L = [r, р].

В операторе V3 собраны те члены, которые содержат как оператор
импульса, так и спиновые операторы (спин-орбитальное взаимодействие):

(32.5.4)

где s —оператор полного спина,

S =-2 (а1 + аг)-

Оператор V4 описывает взаимодействие спиновых магнитных моментов
электрона и позитрона:

V. =4тда4	+^^<2s!-3)5M. (32.5.5)

Наконец, через Vs обозначен оператор обменного взаимодействия:

V5 = V(e) = n^-s^6(r).	(32.5.6)

Весьма существенным является то обстоятельство, что, как видно
из (32.5.2)—(32.5.6), гамильтониан возмущения Н{1) содержит операторы,
действующие на спиновые переменные частиц, только в виде суммы опера-
торов спинов частиц. Отсюда следует, что уровни позитрония могут быть
разделены на синглетные, или уровни парапозитрония (s = 0), и триплет-
ные, или уровни ортопозитрония (s = 1).

Найдем матричные элементы оператора Н(1), определяющие тонкую
структуру энергетических уровней позитрония.

Операторы Vi и V2 диагональны по отношению к орбитальному кван-
товому числу I и не зависят от спиновых переменных. Описываемое этими
операторами взаимодействие снимает вырождение по Z. Для определения
поправки к энергии уровня нужно вычислить средние значения этих опера-
торов Vi и V2 в невозмущенных состояниях.
При этом для вычисления различных средних значений можно поль-
зоваться известными формулами для атома водорода (с учетом значения
приведенной массы)-

£ =	6(г) = Ф2(О) = 6го

1

*

r-i —____!_ r-а —------!-------

2аоп2’ 2а2пЗ(2/4-1)’

Г~з =----—J------------,

4а§пЗ(/+1)(2/+1)’

где а() — боровский (водородный) радиус.
Используя эти формулы, получим

4m2c2(£-^r)	а2е°8п3 (г/,+ 1 п) ’ Е 4л2 ’

где е0 — удвоенная энергия ионизации атома водорода. Аналогичным
образом

1/2 = а2е0	(2/ + 1 п )] ’

Оператор V3 также диагоналей относительно I и s Его собственные
значения равны нулю в синглетных состояниях и зависят от значения
полного момента у в триплетных состояниях. Воспользовавшись тем, что

2Ls = /(/+l)-/(Z+l)-s(s+l),

можно сразу написать

3 2
Ткае0

16

7(/ + 1)-Ц/ + 1)-2
пз/ (/ + 1)(2Z+1)

0

s=l, Z=/=0,
s = 0, / = 0.

В операторе V4 второе слагаемое диагонально относительно s
и отлично от нуля только при /=0:

^ = |-^г|[25(з+1)-3]Ф2(0),	/ = 0.

Первый член в V4 имеет матричные элементы, отличные от нуля только
при Z 0, s = 1, причем как диагональные, так и недиагональные отно-
сительно Z. Из законов сохранения полного момента, спинового момента
и четности легко заключить, что отличные от нуля недиагональные эле-
менты связывают состояния с Z — j + 1 при s = 1 и данном /.

Матричные элементы <Z2 | V4 I Zi> (при данном j и s = 1) имеют вид

 1 /=/,

<'lv*l'>-W+OT+wH5Г^3'

-U + D Z—/Д_1

( 2Z-4 ’ 1~1+1
(/#=0, 5=1),

</ + 1 IVAI/ — 1 > = «2«о1

Г” А
Заметим, что при j = 1 и п<3 недиагональный член обращается
в нуль, так что для первых трех главных квантовых чисел сохраняет стро-
гий смысл орбитальное квантовое число.

Наконец, среднее значение V5 отлично от нуля лишь при I = 0, s = 1:

v5={

0,	s=0,

а2 д	..

4^3So^zo, S 1.

Таким образом, из всех членов, входящих в Н(1), только V4 содержит
недиагональные элементы, относящиеся к случаю

/ = /4- 1, Z' = /—l, s=l.

Поэтому состояния, для которых I = j (четность (—l)z), как синглетные,
так и триплетные можно классифицировать по их орбитальному моменту.

Обозначим смещение каждого такого уровня по отношению к его невоз-
мущенному значению через W (2S+1/j) (в скобках указан спектроскопиче-
ский символ терма). Тогда



«г’(’ъ) = «7№)

а2е0

8пЗ/(/+1)(2/+1)-

Термы с четностью (—1)3+1 являются суперпозицией невозмущенных тер-
мов, для которых I — j ± 1. Для них

Г =	i/A+^ + y + nvJJ-^,

где

+	[’Зп3’	° + 4л3/ (2, —1) (т 2j-|-1 ) ] '

V4-V(>() + 1)2) = ®W+ 1)2п)-4„.(,.^;°(2/+3) (4 + -2ГП-) 

Полученные формулы позволяют, в частности, определить разность
энергий основных состояний орто- и парапозитрония. Зависимость энергии
от s при I = 0 содержится лишь в формулах для У4 и V5. Из этих формул
следует, что основной уровень ортопозитрония лежит выше основного
уровня парапозитрония, причем разность уровней равна

д = 1е0а2 (4+ И =8,2.10"4 эв

4	\ о /

(32.5.7)

(первый член в скобке соответствует магнитному взаимодействию V4, а вто-
рой — обменному У5).

Рассмотрим теперь эффект Зеемана в позитронии [38]. Особенности
этого эффекта связаны с тем, что орбитальный магнитный момент позитро-
ния равен нулю, а спиновый магнитный момент не пропорционален спино-
вому моменту количества движения. Действительно, так как в позитро-
нии [Г1Р1] = ГггРг], то оператор орбитального магнитного момента обра-
щается в нуль:

= Но ([Г1Р1] — [Г2Р2]) = 0,
а оператор спинового магнитного момента

P's—Ho(Gi— G2b Но —"2^7
не коммутирует с оператором полного спина

s = -2-(ai + <I2)*

Поэтому собственные состояния этих операторов не совпадают.

Используя явный вид спиновых волновых функций (т. е. собственных
функций операторов s2 и sz), легко убедиться в том, что отличные от нуля
матричные элементы (ssz ] V(H) I s's'z) оператора энергии возмущения
позитрона во внешнем магнитном поле Н,

У(Н)=-нЛ,
равны

(001 V(H) 110) = <101 V(H) 100) = 2р0Н.

Таким образом, отличные от нуля матричные элементы V(H) связы-
вают синглетные состояния с триплетными. Но гамильтониан Н(1), опреде-
ляющий тонкую структуру уровней позитрония, как мы видели, не содер-
жит таких элементов. Поэтому в слабых магнитных полях, когда

щН С | Wf —	|»

где и Wo — значения энергии триплетного и синглетного уровней
позитрония, смещение уровней, пропорциональное полю, (линейный эффект
Зеемана) отсутствует.

В противоположном предельном случае сильного поля, при котором
взаимодействием спинов между собой можно пренебречь, стационарными
состояниями будут собственные состояния оператора с собственными
функциями

Х = -^(Хю± Хоо)-

Для основного состояния (а также для S-состояний при п = 2-, 3)
легко написать точную формулу для расщепления в магнитном поле. Вол-
новыми функциями стационарных состояний при этом будут суперпози-
ции функций %10, Хоо-

Х(1) = С^1О + С^Хоо, г=1, 0,
где i = 1 соответствует состоянию, переходящему в триплетное состояние
в отсутствие магнитного поля, a i — 0 — состоянию, переходящему в син-
глетное состояние при Н = 0.

Коэффициенты удовлетворяют уравнениям

(£(i) _ ГО С? +	НС™ = о,

*	тс	(32.5.8)

^-HC™ + (E™-W0)C™ = 0,

где £(1> — энергия позитрония в поле Н. Мы видим, что

£|„  у,-у. ± j/У,-^,. +(2ид„Л	(32.S.9)
с<р
с<?

Отношение

| определяет относительный вес триплетного и син-

глетного состояний в данном стационарном состоянии позитрония в маг-

нитном поле.

Магнитное поле оказывает существенное влияние на вероятность рас-
пада позитрония. Обозначим через wQ и вероятности распада в единицу
времени пара- и ортопозитрония. При наличии магнитного поля вероят-
ность распада позитрония в состоянии равна

w(i) = |С<*> I2 ^ + 1С? [2^о.

Для состояния %(1) (триплетного в отсутствие магнитного поля) даже при
малом С(^ сильно повышается вероятность распада, так как wQ >
(см. § 30).

Заметим, что экспериментальное исследование влияния магнитного
поля на распад позитрония дало возможность измерить разность основных,
уровней орто- и парапозитрония [39].

§ 33.	Метод эквивалентных фотонов

33.1.	Сравнение диаграмм, содержащих реальный и виртуальный фото-
ны. Как следует из сравнения формул (28.1.1) и (26.1.3), матричные эле-
менты тормозного излучения и комптоновского рассеяния имеют сходную*
V. структуру. Однако между этими процессами
7 существует и более глубокая связь, обусловлен-
ная тем, что электромагнитное поле быстрой
равномерно движущейся заряженной частицы
[	। близко по своим свойствам к полю световой

волны.

/	Сравним два процесса, которым соответст-

Рг Pi вуют диаграммы рис. 33.1. Диаграмма рис. 33.1, а
aj	изображает столкновение фотона с некоторой ча-

стицей. Фотон обладает 4-импульсом k (k2 = 0),
Рис. 33.1.	частица — 4-импульсом р (р2 = —т2). В резуль-

тате столкновения образуется некоторая система
(частица или группа частиц), 4-импульс которой равен Р = р + k. Диа-
грамма рис. 33.1, б изображает столкновение той же частицы р (мы обозна-
чаем через р и Р также и сами частицы) с другой частицей, импульс которой
равен pi (р2^= —т2]). В результате столкновения последняя приобретает
импульс р2 (pl = — т[) и образуется та же система Р. Второй процесс
можно рассматривать как столкновение частицы р с виртуальным фотоном,
4-импульс которого равен k = pi —р2 (&2 > 0). Если величина k2 доста-
точно мала, то виртуальный фотон будет мало отличаться от реального,
и в этом случае сечение процесса б может быть выражено через сечение
процесса а.

Обозначим амплитуду рассеяния для процесса а (с участием реального
фотона) через Мг, а для процесса б (с виртуальным фотоном) через М.
Согласно диаграммам рис. 33.1

Mr = eJ(k),	k = P-p, 62 = 0;	(33.1.1)

k = P-p = Pi-p2, £2>0,	(33.1.2)

где е — 4-вектор поляризации фотона, J (k) = {Р | j | р) — ток перехода,,
соответствующий начальному состоянию р и конечному Р, и, наконец,.
j (k) = (р2 I j I Pi) —ток перехода, описывающий излучение виртуаль-
ного фотона второй частицей.

Входящие в (33.1.1) и (33.1.2) токи J (k) отличаются значениями аргу-
мента k. Если k мало, то можно при определенных условиях выразить М
через Мг. Выясним эти условия [40].

Воспользуемся с этой целью системой отсчета, в которой первичная
частица р покоится (р — 0). Пусть в этой системе энергия второй частицы
велика (&! > а энергия виртуального фотона мала (со < вх). Тогда
ток j (k) (отвечающий испусканию длинноволнового фотона, см. §§ 28 и 34)
будет иметь универсальную структуру, не зависящую от спина частицы р1г

где Ze~ заряд частицы.

Используя свойство поперечности тока, &/(#) = 0, получим
/г2

Pik — SiO)---$- = 0,

откуда при малых k2

(О = ^£х,

Pt

где	и ось х направлена вдоль

£i

В силу этого соотношения

= + k\ -	,

где ^ — составляющая k, перпендикулярная Отсюда видно, что тре-
бование малости k2, k2 < m2, означающее также малость < m2r
накладывает значительно более слабое ограничение на со:

„ т&1
со < —L,

допускающее, в частности, случай, когда со > т или со — т, т. е. < со..

Далее из условия

kJ = O

следует

Наконец, из поперечности вектора е (который иы можем считать трех-
мерным, е4 = 0),

ek = ek = 0,
следует:

ех ------- - .

х	СО

Мы можем теперь сравнить выражение для /(&)/(£), входящее в Mt

с выражением для eJ (k), входящим в МГ1

eJ(k) = e±	.
Естественно считать Jx и величинами одного порядка, так как вектор J
связан только с верхним узлом диаграммы 33.1, б и не связан с направле-
нием р. При этом вторым членом в выражении для eJ (£), содержащим Jx,
можно пренебречь, если < со. В выражении же для / (k) J (k) можно
g2

пренебречь членом, содержащим Jx, если со < Это условие не про-
тиворечит предыдущим условиям, наложенным на k± и со.

Таким образом,

(/ (k) J (k))2 = (eJ (k))2	k\_.	(33.1.3)

При этом предполагаются выполненными условия

<о <Oj_ «	(33.1.4)

Выразим теперь дифференциальные сечения dar и da процессов а и б,
через амплитуды Мт и М:

d(jr=\Mr\2-^dpP,

da = | М |2 - z тУ±.^= dpP

V(P1P)2—m*ml (2л)3282
где

Фр=(2л)4	,	P='21Pa-

a	a

Используя формулы (33.1.1)— (33.1.3), получим

da — dcr	P.	/qq 1

cto — a<yr ю (2я.)32е2 •	(ЗбЛ.О)

При выводе этого соотношения мы пользовались определенной коор-
динатной системой, однако его можно записать в инвариантном виде. Для
этого достаточно выразить входящие в (33.1.5) величины со и k± через
три инварианта &2, Р2 и pip:

&2==^|£h(02?	Р2 = &2—m2 —2com,	pYp -~

8i

Так как

-^- = dip2b(pl-m21)
и

d*P6 (pl-mi)-+	-21- d(k2) d(P2)

4 V(pip)2—

(здесь подразумевается интегрирование по азимуту), то мы получим
окончательно

do - da Z2« (k2 _ (WH1 d(Wd(Pt)

aG~a<Jr „	4(лр)2 J ki I pi + mt I •	(cw.lt))

Условиям (33.1.4) также можно придать инвариантный вид:

k2<^m2,	|P2|«|pPi|,	\P2 + m2\^>k2.	(33.1.7

33.2.	Число эквивалентных фотонов. Для приложений удобно вернуться)
к "переменным со, ky_. Замечая, что

d (Р2) d (k2) = 4mk± da dkL,
получим
j_ Z2« d<s> k^dk^

da — dor n щ {^+<02 (j _„2)]2 •	(33.2.1)
В этой формуле все величины выражены через характеристики виртуаль-
ного фотона k±_ и со. Единственным посторонним параметром является
величина v — скорость частицы Pi в системе покоя частицы р.

Сечению, проинтегрированному по импульсам отдачи р2> отвечает
интегрирование формулы (33.2.1) по dkyd®. Обозначим это сечение через do:

Считая, что d(jr зависит от со, но не от можно представить do в виде
do = dpP п (со) dco,
где

, ч 1 2Z2a dm Р	/оо о г>\

п (со) dco —----\	9\1э	(33.2.2)

V 7	Л (D J [&2, +©2(1—V2)]2	V	1

о

(верхний предел km будет определен далее).

Полученный результат можно интерпретировать следующим образом.
Для нахождения сечения некоторого процесса, вызванного столкновением
быстрой частицы с покоящейся частицей (р = 0), можно заменить быструю
частицу совокупностью фотонов со спектром п (со) dco; при этом, если мы
знаем сечение соответствующего процесса, вызванного столкновением фото-
на с покоящейся частицей, то достаточно умножить это сечение на число
эквивалентных фотонов n (со) dco в интервале dco и проинтегрировать про-
изведение по частотам. Этот метод называется методом эквивалентных
фотонов [41].

Покажем, что спектр эквивалентных фотонов можно получить также,
исходя из классического рассмотрения электромагнитного поля быстро
движущейся заряженной частицы.

Четырехмерный потенциал поля, создаваемого равномерно движущейся
частицей, определяется уравнениями

□Д= — Ze^6(r — <ot),

□Ло= — ZeS(r —stf),

где v — скорость частицы. Раскладывая потенциалы в интеграл Фурье,
получим следующие выражения для электрического и магнитного полей:

Е 0 = 7^5- Ь2	2А eikvv+ik^+ik^x-^ d3k,

v 7	(2л)3 J k2 + k2z + k2x (1 — a2)

/7(r, /)=№, £(r, /)]

(ось x направлена параллельно скорости v, скорость света считается
равной единице).

Сделав замену
kx >	>kyi kz > kzi

где £ = —, можно записать выражения для полей в виде
1/1—V2

Е (г 7) = ~iZel ? Лк ei^r+ikxl(X-vt) (jSk,
' 1 7	(2л)3 j k2

p (r ___—iZe C kx	(33.2.3)

Пх(Г’'

H(r, = E(r, /)],

30 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
где Ej_ и Ех — перпендикулярная и параллельная составляющие Е (отно-
сительно направления скорости v) и

Будем предполагать, что

5» 1.

Тогда очевидно, что

I | I I’

т. е. поле практически является поперечным, как и в случае световой волны.
Формулы (33.2.3) определяют разложение этого поля на плоские монохро-
матические волны, распространяющиеся вдоль направления с частотами
CD = %kxv ж %kx.

Определим число эквивалентных фотонов, соответствующих этим вол-
нам. Найдем для этого полный поток электромагнитной энергии вдоль
направления v:

ds [E,H]xdt,

— оо

где ds = dy dz = 2nbdb — элемент площади в плоскости yz и b = ’]/ry2-\-z2
(величина b называется прицельным параметром).

Подставляя сюда разложения полей (33.2.3), найдем

П= J ds J <#(Е*+Е!) =
— оо

=	dy dz dt dsk 'dsk'	(kx+k'x) _

(2jt)6 j	—

dsk	? k\

(2ji)3v J № UK~ (2JI)3	(^4. £2)2 U K-

Приравнивая полный поток П энергии эквивалентных фотонов

оо

П = \ Йсоп (со) dco
с)
О

и замечая, что

dsk = 2n.kj_ dky dkx — 2nky_ dk±	,

получим формулу (33.2.2) для n(co):

, ч , 2aZ2 dco e” ks±dk±
n (co) a® =--------\	, ,,,—.

K '	JI CO e) [&2| +co2(l—У2)]2

0 -L

Верхний предел в этом интеграле нельзя считать равным бесконечности,
так как интеграл при km оо расходится. Эта расходимость связана с рас-
ходимостью интеграла, определяющего поток энергии П, при малых зна-
чениях прицельного параметра Ь.

Нижний предел для Ь, а следовательно, и верхний предел для
может быть оценен следующим образом.
Для того чтобы в квантовой механике можно было говорить об опре-
деленном значении параметра столкновения Ь, поперечные размеры \у
волнового пакета, связанного с частицей, должны быть, очевидно, значи-

тельно меньше Ь, ку < Ь.

Но, согласно принципу неопределенности, \у>-— , где — неопре-
^Ру

деленность поперечной составляющей импульса частицы, и, следовательно,



С другой стороны, поперечная составляющая скорости частицы должна
быть значительно меньше скорости света, так как иначе боковое смещение
Ь
частицы за время столкновения, которое равно по порядку величины — ,
v—1, не будет малым по сравнению с Ь. Поэтому < т, где т — масса
частицы, и, следовательно,

Мы видим, таким образом, что нижний предел для b можно считать
равным —, а верхний предел для — равным

km = f]tn,

где т] — некоторая численная константа порядка единицы (напомним, что
мы пользуемся системой единиц, в которой Й = с = 1).

Обратим внимание на то обстоятельство, что при рассмотрении дей-
ствия поля ядра на электрон под т следует, очевидно, понимать массу
более легкой частицы, т. е. электрона.

Так как интеграл, определяющий спектр эквивалентных фотонов,
расходится при km -> оо логарифмически, то точное знание константы и
несущественно: действительно, малые вариации т] будут оказывать малое
влияние на п(<о), если только со < &п. Мы будем предполагать выполнен-
ным последнее условие (оно является условием применимости метода экви-
валентных фотонов) и получим тогда из (33.2.2) следующую формулу для
числа эквивалентных фотонов в интервале частот со, со + dco:

п (ю) da = aZ2 In —,	(33.2.4)

где т — масса электрона, g = (1 — t/2)-1^, v — скорость частицы с заря-
дом Ze, поле которой заменяется действием фотонов, и т) — численный
коэффициент порядка единицы.

Для того чтобы можно было пользоваться этой формулой, т. е. мето-
дом эквивалентных фотонов, нужно, чтобы частица, поле которой заме-
няется действием фотонов, двигалась со скоростью, близкой к скорости
света, т. е. величина £ должна быть большой,

1.

Кроме того, необходимо, чтобы в исследуемой задаче главную роль играли
фотоны, энергия которых мала по сравнению с %т:

о) < &п-

33.3. Тормозное излучение быстрого электрона в поле ядра. Найдем,
пользуясь методом эквивалентных фотонов, сечение тормозного излучения
при столкновении быстрого электрона с ядром. Этот процесс в системе

30*<
отсчета Д’*, в которой до столкновения электрон покоился, можно рас-
сматривать как комптоновское рассеяние эквивалентных фотонов поля
ядра электроном.

Сечение рассеяния фотона электроном do* в системе /С* определяется
формулой (26.3.8)

do? «, (О*) = 4 (-4-Г (4- + -4— sin2 ) do*,

где со* и со* —частоты первичного и рассеянного фотонов в системе /С*,
связанные между собой соотношением

2 ~~ ю*

—cos $*)

(Ф* —угол рассеяния). Сечение тормозного излучения do* в системе К*
связано с сечением рассеяния соотношением

ю1тах

da* (<о*)=	n(®*) d®* da* (<в*, и*),	(33.3.1)

$
ю1т1п

где co*min и со* тах — минимальная и максимальная частоты первичного
фотона, соответствующие заданной частоте со* рассеянного фотона.

Так как сечение рассеяния представляет собой релятивистский инва-
риант, то для определения dor в системе /С, в которой ядро покоится, нужно
лишь сечение, определяемое формулой (33.3.1), выразить через частоту <о2
в системе Д, соответствующую частоте со* в системе /С*. Связь между часто-
тами дается формулой Доплера

со2 = со* (1 о cos О*) %.

Вводя обозначения

т 1
и замечая, что

rt«)d< = ^-^-ln^-,
bl Si

1 — ?2 ( 1 +	)

COS '&* = --—-z—— ,

da^nr2-^/! —ga + y-^y + y-J2 g г Г g-Q-yS—21} >

Si I	1 — S2	51 (1 — 52) L si k1 — 52)	j J

перепишем dor в виде

2Ы2

dor (co2) = 2r20Z2a dg2	In x

e) Si 51
la

x {1~^+т=К+ §1(1-§2) [ Bi(i-g2) ~2]} ’	<33-3-2)

где верхний и нижний пределы интегрирования по’|4 соответствуют -&♦ = О
и Ф* = я.

Главный вклад в интеграл (33.3.2) вносит, очевидно, область вблизи
нижнего предела. Вычисляя с логарифмической точностью, т. е. считая
In большой величиной и вынося ее за знак интеграла при значении

£1 = 2(Г=^) ’ получим

е2

S1

2 \ in 21)8162	(33.3.3)

3 J	та	'	7

где 81 и е2 — значения энергии электрона в начальном и конечном состоя-
ниях. Формула (33.3.3) справедлива, если 84 > т, 82 > т. Она совпадает, как
и следовало ожидать, с формулой (28.4.3) (с логарифмической точностью).

33.4. Излучение при столкновении двух электронов. Найдем теперь,
пользуясь методом эквивалентных фотонов, излучение при столкновении
электрона с электроном.

Если быстрый электрон, который мы будем называть электроном /,
сталкивается с покоящимся электроном, который будем называть электро-
ном г, то для определения сечения происходящего при этом тормозного
излучения по методу эквивалентных фотонов нужно, во-первых, рассмотреть
рассеяние эквивалентных фотонов поля быстрого электрона / на покоя-
щемся электроне г и, во-вторых, перейдя в систему отсчета, связанную
с электроном /, рассмотреть рассеяние эквивалентных фотонов поля электро-
на г на электроне f.

Второй из этих процессов не отличается от рассмотренного выше про-
цесса рассеяния эквивалентных фотонов поля ядра на электроне в системе
отсчета, связанной с электроном,— процесса, к которому сводится тормоз-
ное излучение электрона в поле ядра. Покажем, что вклад, вносимый пер-
вым процессом в сечение тормозного излучения при столкновении двух
электронов, значительно меньше вклада, вносимого вторым процессом.

Предполагая, что энергии фотонов а»! и (о2 до и после рассеяния в пер-
вом процессе значительно больше т, мы можем исходить из следующей
формулы для сечения комптоновского рассеяния:

S 0 ©f \ ©1	®2 /

(здесь не выписано слагаемое, содержащее sin которым можно прене-
бречь, так как в релятивистской области рассеяние происходит главным
образом на малые углы, О — Используя выражение (33.2.4) для числа
эквивалентных фотонов, можно представить вклад, вносимый в сечение
излучения первым процессом, в виде

max

dcrj == 2rfatn da)2 -^-ln—(—+—) ,	(33.4.1)

r 0	J (Of (01 \ (01 1 co2 /	4 s

°1 min

где 8 — энергия электрона f и <0i min и (Oimax — пределы, в которых лежит
(01 при заданной частоте со2. Эти пределы могут быть найдены из формулы

1—(1—cos Ф)
т

и равны, очевидно,

min = ^2?	$4 max ~ 00 •

Хотя метод справедлив только при со! < 8, но так как подынтегральное
выражение в (33.4.1) быстро уменьшается с ростом (оь то верхний предел
можно считать равным бесконечности.
Главную роль в интеграле (33.4.1) играет область вблизи нижнего
предела. Интегрируя с логарифмической точностью, так же как и в (33.3.2),
найдем

^(®2) = 4r»am^ln‘J‘-	(33.4.2)

Полагая в формуле (33.3.3) для сечения тормозного излучения электрона
Z = 1, мы получим вклад, вносимый вторым из перечисленных выше про-
цессов в сечение излучения при столкновении двух электронов:

dorn ((02) = 4ф ^2- ^2- ( ^- + -?2— 4) 1п	.	(33.4.3)

v 0 со2 si \ е2 8i 3 / mco2

Сравнение do* и da*1 показывает, что

d&~J^d<yL<d<^.
'	1О2	1	'

Это соотношение связано с тем, что в обоих интегралах (33.3.2) и (33.4.1)
главный вклад вносят части областей интегрирования вблизи нижних
пределов, нижний же предел в (33.3.2), равный значительно меньше
нижнего предела в (33.4.2), равного со2.

33.5.	Образование пары фотоном в поле ядра. Применим теперь метод
эквивалентных фотонов к вычислению сечения образования пар. Начнем
с определения сечения образования пары фотоном в поле ядра.

Пусть на покоящееся в системе /С ядро налетает фотон с энергией
о) = gm, g > 1. Перейдем в систему отсчета /С', в которой ядро движется
навстречу фотону со скоростью V, равной

В этой системе энергия фотона равна

,	1 — v	«. g /. т /~ л	4 \

“ ““	i--y)

Действие поля ядра в системе /С мы заменим действием фотонов, спектр
которых, согласно (33.2.4), определяется формулой

п (®0) Ао0 = — aZ2 In .

4 и/ и Л соо %

Тогда процесс образования пары фотоном в поле ядра можно будет рассмат-
ривать как образование пары при столкновении падающего фотона с фото-
нами этого спектра. Иными словами, сечение образования пары фотоном
в поле ядра равно

ст = п (со0) Ao0avY,	(33.5.1)

где —сечение образования пара двумя фотонами, даваемое формулой
(30.3.7). В качестве пределов интегрирования в (33.5.1) нужно взять т
и gm. Вводя вместо (о0 переменную х=^1—^-)1/2, перепишем (33.5.1)
в виде


Предполагая, что In g > 1, и удерживая только главные члены (порядка Ing),
получим в результате интегрирования

G = yaZMln|.	(33.5.2)

33.6.	Образование пары при столкновении двух быстрых частиц. Рас-
смотрим еще процесс образования пары при столкновении двух быстрых
заряженных частиц [42]. Относительную скорость частиц v будем считать
достаточно большой, так что

g =—--

V1-U2

> 1.

В системе отсчета /С4, в которой одна из частиц (Д) покоится,
распределение фотонов, представляющих поле второй частицы (А2), опре-
деляется формулой

п2 (со) dco = — aZ* In ,

7 л 2 co co

где Z2e — заряд частицы A2.

Процесс рождения пары при столкновении частиц А4 и А2 можно
рассматривать как образование пары при столкновении фотонов этого
спектра с покоящейся частицей АР Сечение рождения пары при столкно-
вении фотона с частицей At равно, согласно (33.5.2),

ov(o))«y/>Z*ln уу-, П'~1.

где со — энергия пары и Z4e — заряд частицы Поэтому интересующее
нас сечение рождения пары при столкновении частиц At и А2 можно пред-
ставить в виде

a= \ (со)п2 (со) dco.

Максимальная частота фотонов поля частицы А2 равна по порядку вели-
чины g/n. Поэтому в качестве пределов в этом интеграле следует взять
2т и g/n:

a = ? — aZMn-^- —f~l. (33.6.1)

J л 2 co co 9 0	1 m 27 л 1 2 4 ' 7	' х 7

2т

§ 34.	Рассеяние электронов адронами

34.1.	Электромагнитная вершина адрона. Несмотря на то, что основные
свойства адронов определяются сильными взаимодействиями, их взаимодей-
ствие с электронами может осуществляться только через посредство электро-
магнитного поля. Поэтому мы вправе применять для рассмотрения столкно-
вений адронов с электронами методы квантовой электродинамики. В первом
приближении теории возмущений это взаимодействие описывается матрицей
рассеяния второго порядка

S(2) = — у § § ja (У) Dc (у — х) ja (х) &у d4X,

где j —полный оператор тока, j = je + jM' + jft (см. § 16.7).
Выделяя в S(2) члены, содержащие произведение адронного
и электронного je токов, получим

S(2) = — j а (#) ja (X) Dc (У — X) <РУ (Рх.

Матричные элементы этого оператора имеют вид

<Л S(2) I i> = — J J ifia, (У) iiia (*) Dc (t) — X) (Py (Px,	(34.1.1)

где Уд и /7г — соответствующие токи переходов,

/MlM

Мы знаем, что электронный ток je имеет матричные элементы, соот-
ветствующие либо переходу электрона из одного состояния в другое, либо
образованию пары. Здесь мы будем рассматривать только переходы электро-
на из одного состояния в другое.

Адронный ток имеет матричные элементы, соответствующие превраще-
нию одного адрона в другой (например, переход ядра из одного состояния
в другое), а также превращению адрона в несколько адронов (напримерг
испускание нуклоном мезона). Здесь мы будем рассматривать только упру-
гие столкновения, т. е. переходы, при которых начальное и конечное состоя-
ния соответствуют одному и тому же адрону. Таким образом, индексы /, f
означают как для электронного, так и для адронного тока только
различные импульсы и различные поляризации.

Используя явный вид функции De (х) (см. § 6.3), легко получить
из (34.1.1)

<f I S(2> 1 =w- $ 1? ih <*> ie < - ’	<34-1 -2>

где jh (k) и p ( — k) — фурье-образы токов, т. e. токи перехода в импульсном
представлении

/ (*) = J in {х) e~ikx (Px, jft (х) =	§ / (k) eihx (Px

(индексы f, f для краткости опущены).

Электронный ток /е (—k) можно записать в явном виде, исходя из (7.5.2):

/а ( — k) = (2л)4 б (р2 — Pi — k)	iu (р2) ТаИ (Р1),	(34.1.3)

2 V 8j82

где рь р2 — 4-импульсы электрона в начальном и конечном состояниях.
Явное же выражение для адронного тока мы не можем написать. Поэтому
мы выделим в нем только естественные нормировочные факторы, аналогич-
ные соответствующим факторам в выражении для /е (k):

fa (k) = (2л)4б (р’-p'.-k) -—£==-(k).	(34.1.4)

2 у 8182

В число выделенных множителей входит 6-функция, выражающая сохра-
нение 4-импульса в процессе рассеяния, и заряд электрона как параметр,
характеризующий масштаб электромагнитных взаимодействий (рр и р' —
4-импульсы адрона в начальном и конечном состояниях).

Вектор ha (k), который, так же как и /« (k), мы будем называть адрон-
ным током, должен линейно содержать амплитуды начального и конечного
состояний адрона. Обозначив эти амплитуды через и[ и можно записать
адронный ток в виде

fea (fe) — ^И2Га (fe) ^1’

(34.1.5>

где и'2 — некоторая линейная комбинация из компонент и'* (в случае спина
половина и' = и*у4) и Га (fe) — некоторая матрица, которую будем назы-
вать вершинной функцией. (Она является функцией не только fe, но и
4-импульсов начального и конечного состояний, причем
k = Pi — Pi)

Формулу (34.1.2) можно иллюстрировать диаграммой,
изображенной на рис. 34.1, смысл которой очевиден. Адрон
и электрон обмениваются виртуальным фотоном. Поглощению
фотона электроном отвечает матрица уа, испусканию его адро-
ном— вершинная функция Га. Отличие диаграммы рис. 34.1
от диаграммы рис. 31.3, изображающей рассеяние электрона
мюоном, т. е. частицей, не подверженной сильным взаимодей-

ствиям, сводится к замене уа на Га (fe) (матрице уа соответст- Рис. 34.1.
вует на диаграмме точка, функции Га (fe) — кружок). Под-
ставив выражения для je (—fe) и jk (fe) в формулу (34.1.2), получим

</=1 s<2> 10=б (Pi+pi - р2 - pi м,
4 V 81828182

где

1 -

М = -^(и21уаЩ) ha (k),
k~P2 Р1~ Pi Ру> ^1, 2 = (Pl, 2)*

(34.1.6>

34.2.	Формфакторы. Адронный ток fea (fe) представляет собой вектор-
ную функцию векторов р' (fe = Pi — Р2) и параметров, характеризующих
поляризацию адрона. Вид этой функции, как уже отмечалось, существенно^
зависит от свойств сильных взаимодействий; в настоящее время не суще-
ствует теории сильных взаимодействий, и поэтому теоретически мы не можем
определить ha (fe) и найти сечение рассеяния электрона адроном. Наоборот,
эксперименты по рассеянию электронов служат для эмпирического опре-
деления характера адронного тока.

Однако общую структуру вектора ha (fe) можно установить, связав
его с «естественными» векторами, определяемыми кинематикой процесса.
Тем самым вектор ha (k) будет определяться некоторыми инвариантными
функциями, которые называются электромагнитными формфакторами
адрона. Так как единственной инвариантной независимой переменной
является fe2, то формфакторы являются функцией только одной перемен-
ной fe2. Итак, мы будем записывать адронный ток в виде

ha(k)^fa(kz)vaa,	(34.2.1>

где fa — формфакторы и vaa — некоторые векторы (кинематические векторы}.

Так как адронный ток удовлетворяет уравнению непрерывности, то век-
тор ha (fe) должен удовлетворять условию поперечности

kaha (fe)=0.

(34.2.2)

Число формфакторов в (34.2.1) равно числу линейно независимых векто-
ров va, удовлетворяющих условию

feavaa = o.	(34.2.3)
Найдем векторы va в двух простейших, но наиболее важных случаях:
для адронов со спинами 0 и 1/2.

В случае спина 0 амплитуды и2 представляют собой скаляры (или
псевдоскаляры) и могут считаться равными единице. В нашем распоряжении
имеется поэтому только два вектора р[ и р2 или

k = p[-p’r p'=pi+p'r

Ясно, что /\2Ц-&2 =—4m'2, где т'— масса адрона. Один из этих векто-
ров— вектор р'—удовлетворяет условию поперечности

p'k = Q.

Поэтому в случае адрона со спином 0 ток ha (k) можно представить в виде
ha(k^f(kr)p'a	(34.2.4)

или

tra = f(k2)pa.	(34.2.5)

В случае спина 1/2 амплитуды u'v и2 представляют собой биспиноры.
Легко убедиться, что из билинейных комбинаций и2 и и 4-векторов k
и р' можно составить всего четыре вектора, а именно

(иХ)Ра, (ада^1),

где = у (УаУз~ТзТа)- Первые три из этих векторов поперечны: первый
потому, что р'& = 0; поперечность второго обеспечивается уравнениями
Дирака

(ipi + m') = 0, и2 (ip2 + m') = О,
в силу которых = 0; наконец, третий вектор поперечен благодаря
антисимметрии матриц оар. Таким образом, эти три вектора могут вхо-
дить в выражение для ha(k). Однако они не независимы. Действительно,
используя соотношения коммутации матриц уа, легко показать, что

й; (2im'ya + авр&р — Ра) и[ = 0.	(34.2.6)

Поэтому остается только два независимых формфактора.

Мы можем записать вершинную функцию Га(&) адрона со спином 1/2
в одной из трех эквивалентных форм:

гГо = А(^)^а + ^^в,	(34.2.7)

+	(34.2.7')

гГ“ = Р- ~	(34.2.7")

причем

м£2)=мты*2).

При установлении общей структуры адронного тока мы использовали
требования релятивистской инвариантности (включая Р-инвариантность),
соотношение (34.2.1) и условие поперечности (34.2.2). Учтем теперь
эрмитовость оператора тока:

{f\h\i} = {t\h\f}\ <f\hQ\t) = (i\hQ\fr, (Ао=—rA4).	(34.2.8)
Из условия эрмитовости следует, что определенные выше формфак-
торы f(&2), Л (A2),	вещественны. Действительно, при замене

т. е. замене индексов частиц 1^2, введенные выше кинемати-
ческие векторы va переходят в комплексно-сопряженные векторы, т. е.
V—v0—>Vq. Если, например, v = р = pt-]~p2l то v и v0 действительны.
Если va = iu2ya^if то

(iU2yUi)* = Ш^и2ч (W2?4^1)* =

и т. д.

Таким образом, из (34.2.8) следует соотношение

М^2НЖ	(34.2.9)

Если использовать дополнительно требование Т-инвариантности, то
можно показать, что соотношение (34.2.9) будет справедливо для частиц
с произвольным спином.

34.3.	Сечение рассеяния. Запишем теперь дифференциальное сечение
рассеяния электрона адроном

4 1 J w*

где М — матричный элемент, определяемый формулой (34.1.5), do —эле-
мент телесного угла и w — полная энергия в системе центра инерции.

В случае неполяризованных электронов это выражение приобретает вид

+	(34.3.1)

где

hh* — hh* — hoho, p — pi^-pz,
(заметим, что /?2-|-£2=—4m2).

Если спин адрона равен нулю, то, согласно (34.2.5),

4/0=4- ^Р'2 + (РР'№		(34-3.2)

Случай спина 1/2 имеет наибольшее значение, так как он включает
рассеяние электрона протоном и нейтроном. Для вычисления | М |2 удобно
использовать выражение (34.2.7") для вершинной функции. В случае
неполяризованных частиц мы получим [43]

| М |2 = | fм |2 [ — k2 (4т'2—4m2 — k2) + (рр')2] —

- fl + 2fzfM) [k2p'2 + (рр')2]

И

d° = 4^ V	{ И «РР‘1г +	+

1	+ 4ш'2

+ -^-fM[(pp')2 + p'2(4ni2-k2)]} , (34.3.3)
где

fjs=fl+ ’infbfzt

fM = h-h,	(34.3.4)
Мы видим, что если в качестве двух формфакторов выбрать fE и fMr
то в сечение будут входить только их квадраты. Эти формфакторы назы-
вают соответственно электрическим и магнитным (к вопросу об их интерпре-
тации мы вернемся ниже).

Рассмотрим тот случай, когда энергия электрона е в системе покоя
адрона мала по сравнению с массой адрона т'

k2

< 1, рр' а?—4т'е, w т';

при этом система центра инерции совпадает с системой покоя адрона
(Р=Р1+Рг, Р'~Р1 + р[, pa + 4ma = p'2 + 4m,2= —k2).

Формула (34.3.3) приобретает тогда вид

da=-^-[4e2-&2]fl(0)do.	(34.3.5)

Эта формула совпадает с формулой для сечения рассеяния электрона
в кулоновском поле (11.5.2), если считать в ней, что

M0)=M0)=z.

Таким образом, значение электрического формфактора при &2 = 0 есть
заряд частицы (в единицах е).

Если fE(O) = Z = O и е < т', то формула (34.3.3) дает
d°=^-‘2^2)+t2&(°)	<34.3.6)

или

где р2 = 79	(0). Величина do совпадает с сечением рассеяния

электрона в поле магнитного момента. Отсюда следует, что значение
магнитного формфактора при &2 = 0 представляет собой магнитный мо-
мент частицы (измеренный в ее магнетонах).

В заключение этого раздела вернемся к формуле (34.3.3) и запишем
ее в системе покоя начального адрона. Если k2 не мало по сравнению с т'2,
то т (при гп > т) и

do

ш2

т'2

(14

28
т'

sin2T

1

2 ’

где dQ, 8 и —элемент телесного угла, энергия и угол рассеяния
в системе покоя адрона,

4s2 sin2 -у

рр' =

(8	О

14---г sin2 -т-

т	2

1+-~- sin2
т 2
Используя эти соотношения, можно представить da в виде

do

. $
a2 C0S T

dQ

4s2 . л Ф (л )
sin4T V4

2в
т'

Г fE (fe2)

SHI2—)

,	^2

№ " 4/n'2
4/n'2

t+w 4-

4/и'2

(34.3.8)

Формула (34.3.8) (называемая формулой Розенблюта) используется для
определения формфакторов нуклона из опытов по рассеянию электронов
нуклонами.

34.4.	Электромагнитная структура частицы. Введением инвариантных
формфакторов fa (&2) по существу исчерпывается феноменологическое опи-
сание адронов в квантовой электродинамике. Однако для наглядной интер-
претации их полезно вернуться к координатному представлению токов
^перехода.

Начнем с простейшего случая частицы со спином 0, для которого
адронный ток в импульсном представлении имеет вид (34.2.4)

М£) = Ж)Р«.

Так как р' = p'1 + p'<li является времениподобным 4-вектором (р'2< —4m'2),
то можно выбрать систему отсчета, в которой р' = 0. В этой системе
^ее называют системой Брейта) р'0 = 2&,	— s2 = s, kQ = 0, k = 2р[ = — 2р2

ы ток имеет особенно простой вид

й(&) = 0.	(34.4.1)

Таким образом, мы можем интерпретировать hQ (k) как фурье-образ
стационарного распределения неподвижных зарядов. Учитывая (34.1.4),
получим плотность тока перехода в координатном представлении

Pfi (*) = ef (£2) eikr, Jfi (х) = 0.	(34.4.2)

Сравним это выражение с матричным элементом плотности заряда
в квантовой механике р^ = еф^фь Если начальная и конечная волновые
функции представляют собой плоские волны, то (г)— eikr. Этому выра-
жению соответствует плотность заряда частицы

р (г) = еб(г) = -^5- J eik" dsk.

В нашем случае мы получим, согласно (34.4.2), следующее выражение
для плотности заряда адрона:

р =w” Sf (k2) eiJcr d3k- (34-4-3)

Таким образом, наглядно адрон можно себе представить как частицу
конечных размеров со сферически симметричным распределением заряда,
определяемым формулой (35.4.3). Формфактор f (k2) представляет собой
фурье-образ этого распределения. В этом смысле говорят о пространствен-
ной электромагнитной структуре частицы. Заметим, что этой интерпрета-
ции не следует придавать слишком буквальный смысл, так как р (г) не
является функцией, заданной в определенной физической системе отсчета,—
,каждому значению k соответствует своя система отсчета. Однако в нере-
лятивистском случае (малые k) система Брейта совпадает с системой покоя
частицы. Поэтому интерпретация, основанная на преобразовании (34.4.3),
является естественным релятивистским обобщением понятия неточечной
частицы.

Если определить полный заряд частицы

Q = p(r)d3x,

то из (34.4.3) следует, что

Q = e/(0).	(34.4.4)

Мы видели выше, что к такому же заключению приводит анализ
формулы для сечения рассеяния при малых А2.

В качестве характеристики «размеров» частицы естественно исполь-
зовать средний квадрат радиуса распределения заряда

г2 = р (г) г2 d3x.

Из (34.4.3) следует, что

|г2 = Г(0)	(34.4.5)

(штрих означает дифференцирование по k2).

Если частица не имеет электрического заряда («нейтральная» частица),
то, как мы видим из (34.4.4), это означает лишь, что f (0) = 0. Такая части-
ца способна испускать и поглощать виртуальные фотоны и обладает опре-
деленным распределением заряда в том смысле, о котором говорилось выше.
«Нейтральность» означает, что ее взаимодействие с длинноволновыми фото-
нами стремится к нулю при & —> 0. Для того чтобы частица была «истинно
нейтральной», необходимо обращение в нуль формфактора при всех значе-
ниях А2. Это имеет место в том случае, когда частица обладает определен-
ной зарядовой четностью. Так как оператор тока j (х) зарядово-нечетен,
то его матричные элементы </ | j (х) j i) относительно двух состояний
с одинаковой зарядовой четностью равны нулю. Отметим, что и «истинно
нейтральный» адрон взаимодействует с электромагнитным полем. Действи-
тельно, произведение двух операторов тока j (х) j (у) является зарядово-чет-
ным оператором и его матричные элементы могут связывать два состояния
частицы с определенной зарядовой четностью. В этом случае может
происходить испускание или поглощение двух фотонов, т. е. процесс более
высокого порядка.

Перейдем теперь к рассмотрению частицы со спином 1/2. Из (34.1.5)
и (34.2.7) мы получим в системе Брейта

ад=-^^[*й;2«п,

h0 (k) = Л (^)	+ /м (*2)	=	(34.4.6)

= ft (^2)	+ Ь (£2) 2^г «X-

Используя уравнения Дирака, легко убедиться, что если
, k

Pi Рг 2 ’

ТО

и2 = и2 (р0 — 2т у4)	~ и2и±.

Ро
Поэтому hQ(k) можно записать в виде

Ло (*) = ЫЛ = fE	(34.4.7)

Ро

где fE определено согласно (34.3.4).

Величину h0(k) можно интерпретировать как фурье-образ стационар-
ного распределения заряда

Р (И = (2^)3 J fB (Л егкг d3k,

a h{k) — как фурье-образ стационарного распределения соленоидальных
токов адрона. Эти токи можно связать с распределением магнитного
дипольного момента Z(x),

J(x) = rot/ (х),

где, согласно (34.4.6),

/ U) = 2^- №) $	(^)егкг dSk-	(34.4.8)

Распределение заряда определяется формфактором fE, а распределение
магнитного момента независимой величиной — магнитным формфактором.
fM. Отметим, что коэффициентом в интеграле в (34.4.8) является магне-
тон частицы go =	• Полный магнитный момент частицы определится как

и = § Цг) dr=ix’ofM (0)

Эта величина определяет сечение рассеяния электрона незаряженной части-
цей при малых k2.

Наряду с электрическим радиусом (34.4.5)

|d = fb(O)

частица со спином 1/2 независимо характеризуется также магнитным5
радиусом

4^ = /м(0).	(34.4.9)

34.5.	Нарушение С-инвариантности. Процессы, которые мы до сих
пор рассматривали, удовлетворяют требованию инвариантности относитель-
но пространственной инверсии (Р), обращения времени (Т) и зарядового
сопряжения (С). В действительности строгим законом природы является
лишь инвариантность относительно сильного отражения, т. е. СРТ-преоб-
разования. Хотя нарушения С-, Р- и Т-инвариантности малы, имеет смысл
рассмотреть общую структуру тока перехода произвольной частицы при
наличии таких нарушений [44].

Для этого, как и выше в § 34.4, мы воспользуемся системой Брейта
и найдем общий вид пространственных распределений плотности заряда
р (г) и тока J (г) адрона. Эта задача аналогична задаче о стационарном
распределении заряда и тока в некоторой среде, изучаемой в макроскопи-
ческой электродинамике. Эти распределения удобно записать в виде

p(r)«p0(r) —div]P(r),	J=rot/(r),	(34.5.1)

где Ро (г) — некоторая скалярная функция координат, а Р (г) и I (г) —
произвольные векторные функции координат («электрическая» и «магнит-
ная» поляризации).
Выясним, какие векторы можно построить из величин, имеющихся
в нашем распоряжении. Из билинейных комбинаций амплитуд начального
и конечного состояний частицы со спином s можно построить 2s + 1
независимых неприводимых тензоров. Путем дифференцирования по коорди-
натам из них можно образовать векторы. Эти векторы делятся на два
класса. Векторы, образованные из тензоров нечетного ранга, являются
аксиальными и /-нечетными (т. е. меняющими знак при обращении времени),
а векторы, образованные из тензоров четного ранга, — полярными и /-чет-
ными. Векторы первого класса мы будем обозначать через а (г), а векторы
второго класса — через <о (г). Их можно записать в следующем виде:

at (г) = gi (И st + dx^dxk (g3 (г) stjh) +...,	(34.5.2)

(34.5.3)

где Si — компоненты спина, Qdj — компоненты квадрупольного момента,
Sijk — моменты высших порядков и g’i(r), gz(r), •••— некоторые
скалярные функции.

Векторы Р и I можно представить в виде

р = ъ«» + а«\

1= а(1) + (1) + rot а<2) rot (2),	(34.5.4)

где а<0>, а(1), а(2) — векторы вида (34.5.2), а ^<0), яп, ^(2) — векторы вида
(34.5.3).

Используя (34.5.4) и (34.5.1), легко проанализировать поведение р и j
при Р- и ^-преобразованиях. Результаты представлены в таблицах,
в которых левые верхние клетки соответствуют наличию Т- и P-инва-
риантности, правые — нарушению Р-инвариантности, нижние — наруше-
нию Т-инвариантности. Плотность div Ф(о) связана с распределением
квадрупольного и других моментов, плотность div а(0) — с дипольным
электрическим моментом и др., плотность тока j= rot а(1) — с магнитным
моментом ит. д.

	Скаляр	Псевдо- скаляр
/-четный	р0, div V <°>	—
/-нечетный	—	div а (0)

	Полярный вектор	Аксиальный вектор
/-нечетный	rot а (1)	rot rot а (2)
/-четный	rot rot V <2)	rot V (1)

Свойства соответствующих плотностей и токов относительно С-преоб-
разования можно получить из условия СРТ-инвариантности, которое
требует, чтобы после всех трех преобразований 4-вектор тока менял знак.
Результат можно представить в виде следующей таблицы:

с р т

к р х

к т

С Р х
Здесь подчеркнутая буква обозначает наличие, а зачеркнутая — нару-
шение соответствующей инвариантности тех членов ври J, которые поме-
щены в аналогичных клетках в предыдущих таблицах.

Обратим внимание на случай нарушения С-инвариантности при сохра-
нении Р-инвариантности. Ему отвечает нижняя левая клетка таблиц, т. е.

ро = О,	rotrottf(2).	(34.5.5)

Для существования вектора г>(2), согласно (34.5.3), необходимо, чтобы
частица имела квадрупольный момент. Это возможно при s>l. Заметим,
что из (34.5.5) следует, что соответствующий формфактор (фурье-образ J)
при малых k ведет себя как k2.

Рассмотрим случай «истинно нейтральных» частиц [45], т. е. частицы,
тождественных своим античастицам. Таким частицам можно приписать
определенную зарядовую четность, С = ±1. Пара одинаковых истинно
нейтральных частиц имеет поэтому зарядовую четность С = 1.

Так как для фотона С — —1, то превращение такой пары в виртуальный
фотон возможно только при нарушении С-инвариантности. Этому отвечает
в соответствии с приведенными выше таблицами

j = rot rot я(2) + rot rot a<2),	p = 0.	(34.5.6)

Первый член соответствует случаю сохранения четности (Р-инвариантность).
Он отличен от нуля только при спине s > 1. Второй член отвечает случаю
несохранения четности. Наличие тока у нейтральных частиц делало бы
возможным, например, образование пары истинно нейтральных частиц при
аннигиляции электрона с позитроном в процессе второго порядка, т. е. через
посредство одного виртуального фотона.

§ 35.	Взаимодействие электронов с ядрами

35.1.	Формфакторы и мультипольные моменты. В предыдущем пара-
графе было дано феноменологическое описание упругих столкновений
электронов с адронами. Такое же феноменологическое описание можно,
очевидно, провести и для неупругих столкновений, в результате которых
происходит возбуждение адронной системы, т. е. переход в состояние
с большей массой, или обратный переход. Если ограничиться случаем,
когда в результате столкновения образуется только один адрон, то такой
процесс может быть описан, как и выше, диаграммой рис. 34.1 и матрич-
ным элементом (34.1.2). Тем же способом, как это было сделано для упру-
гого рассеяния, можно убедиться, что число формфакторов fa (k2), опре-
деляющих ток, при условии Р-, С- и Т-инвариантности равно 2s + 1, где s —
значение меньшего из спинов s2 начального и конечного адронов.

Особенно простой вид приобретает структура адронного тока при
малых k. Так как каждый из векторов va, входящих в (34.2.1), определен-
ным образом зависит от k, то при малых k можно оставить лишь один век-
тор содержащий низшие степени компонент k\

ha(k) = f(W)va.	(35.1.1)

Общий вид векторов у, в зависимости от спина и четности начального
и конечного состояний, был определен в § 25.5 в системе покоя начальной
частицы. Однако в § 25 рассматривалось излучение реального фотона,
т. е. случай k2 = 0. Теперь нас интересует испускание виртуального фото-
на, £2^0. Но при малых k ток (35.1.1) определяется значением формфак-
31 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
тора при k2 = 0, т. е. совпадает с током, определенным для случая излу-
чения.

На основании результатов § 25.5 мы можем представить адронный ток
в следующей форме:

для ЕЕ-перехода

h = V	l-i, м (V),

(35.1.2)

ho==V

для ML-перехода

Л = q^ Yllm (v), hQ = 0	(35.1.3)

и для ЕО-перехода

h = q^k, ho = qok2,	(35.1.4)

где v —	% = | k | и q^M, <7o — некоторые постоянные.

35.2.	Возбуждение ядер электронами. Рассмотрим столкновение элек-
трона с ядром, в результате которого ядро переходит из низшего энергети-
ческого состояния в высшее [46]. Если заряд ядра невелик, то электрон мож-
но считать свободным и столкновение описывать диаграммой рис. 34.1.
Энергию возбуждения мы будем считать малой по сравнению с массой ядра,
и пренебрежем поэтому отдачей ядра. В этом случае ток перехода адрона
можно представить в виде

/(Л) (k) — 2л6(е' —е' — оз) ей (А),	(35.2.1)

где h(k) определяется формулами (35.1.2) —(35.1.4). Величины qLM (т. е.

Qlm) и qQ следующим образом выражаются через мультипольные
моменты, введенные в § 25:

_л/~ 4л (L+1) §ъм	_ Т/4л n	/ос 9

Яьм—у £(2L-L1) (2L — 1)!! ’	6	(35.2.2)

Матричный элемент рассматриваемого процесса имеет вид

(f | S 10 = 2яб (В1 - е2 - ю) М,	(35.2.3)

2 1/ 8182

где

№

Отсюда следует, что дифференциальное сечение рассеяния в случае непо-
ляризованных электронов равно

=	(fe2 (fefe*) + (M (^р))

(2л,)2	48182у1	fe4

(й = (А, гй0), й* = (А*, 1Й*)).	(35.2.4)

Здесь Pi и р2 — 4-импульсы электронов в начальном и конечном состоя-
ниях, k = pi — p2, р = р1 + рг, Vi = ^^-.	заменив d?p2 на d3k =

= х2 dn dtp d cos Ф, устранить S-функцию интегрированием no d&. Тогда

, a %d%d(p \ k2 (hh*) + (hp) (h*p) \

aG~ln pf	№

(35.2.5)
При этом 'б', т. е. угол между pt и k, фиксирован соотношением
е| = е2 ^-ki~2pik.	(35.2.6)

Входящие в (35.2.5) токи определяются выражениями (35.1.2) — (35.1.4).
Рассмотрим сначала случай магнитного перехода. Тогда, согласно
(35.1.3),

hh* |2х21-|Уы.м(*)|2,

hp = hp — 2q<^K^pi YUJ1 (v).

Так как вектор Уг.г.м/у) перпендикулярен v, то интегрирование по dtp дает
J I Pi Уььм I2 dtp = яр* I Yllm j2 sin2 ft,

где Ф определяется формулой (35.2.6). Таким образом, мы получим
,	2L

If Ю2 i yllm I2 (5^)2 (*2 - +2Хsin2 $)• (35-2-7)

Просуммируем это выражение по конечным и усредним по начальным
ориентациям спина ядра. Для этого представим (ср.?(25.6.4)) д^г в виде

= </2^21 <7& I />1> = <7(м)С&м ’

проведем суммирование по m2, М и отнесем результаты к числу
начальных состояний 2/^ + 1. Полученное дифференциальное сечение будем
обозначать тоже через do. Используя свойства нормировки коэффициентов
К лебша —Гордана, а также соотношение 2 I Ylm I2 =	, получим

м

2Д4-1 3 । I21 Yllm |(M=mi-m2) = 2^4-1 2 I Ylm |2 =	1 <?(M) |2.

7П17П2	M

Единственная величина, зависящая от свойств ядра, которая входит
в (35.2.7), — это приведенный мультипольный момент перехода </м>. Но эта
же величина определяет вероятность излучения ядра( см. (25.3.4) и (35.2.2)),

m2L+l

Поэтому отношение сечения возбуждения do к вероятности излучения
не содержит никаких параметров, зависящих от структуры ядра.

Мы запишем do в виде

do = naw^ ^гФь(х, W),	(35.2.8)

где, согласно (35.2.7) и (35.2.6),

Для получения полного сечения возбуждения надо проинтегрировать
(35.2.8) по d% в пределах от xmln= \pi | — |р21 до xmax = |pi| + |p2|-
В результате мы получим

G =	ФЬ(£2’ ®)’	(35.2.9)
Фь ($2, ®) = фь (и, ф)
%тпт

(развернутое выражение для функций Фь будет приведено ниже, § 35.4).

Перейдем теперь к случаю электрического перехода. Из (35.1.2)
следует, что

Ы* = | < I2 *2L-2 (?ТГ “21 Уь, ь-i, м (v) I2 -	х21 Ylm (v) |2) ,

(35.2.10)

hp = PlmhL~ 1 </Дтт (aPi	ь-‘- м <v) /2Г+Т— Six V~L Ylm (v)).

|/ Ь-f- 1

Подставляя эти выражения в (35.2.4), получим аналогично предыдущему
случаю

da = raw,	i|>b (х, ®)	(35.2.11)

и

<^=-^^(62,®),	(35.2.12)

где

«I. (*,	1	( Н	( ( т | (3L+1) О2 4- 4L8i82 4L(j)28182 \ ]

фь(Х, (0)— L+1	) Ц L+	k2	k4 ) +

, /®\2/ 3L + 1 । 2(L+l)(8iS2 —m2)_2Lo2 , co2 (2L&^ — (L + 1) m*)\ )

l к } V 2	№	) j

(35.2.13)

(развернутое выражение для функции со) приведено в § 35.4).
Рассмотрим, наконец, случай монопольного (£0-) перехода.

Используя (35.1.4), получим

йй*=х2^2,

l/2	(35.2.14)

(Л*р) (hp) = Igb k* (ej + е2)2.

Подстановка этих выражений в (35.1.4) дает
d^W^^d*.

Интегрируя по dx, получим

° = ^Г । <7o|2]g|(8182+m2).

(35.2.15)

(35.2.16)

В этом случае сечение о нельзя выразить через соответствующую
вероятность излучения. Для оценки величины сечения естественно пред-
положить, что монопольный момент qQ имеет тот же порядок величины,
что и электрический квадрупольный момент (см. § 25.5).

35.3.	Конверсия на атомной оболочке. Полученные выше формулы
описывают не только возбуждение ядра, но и обратный процесс — переход
ядра из возбужденного в низшее энергетическое состояние, индуцированный
столкновением с электроном. Наибольшее практическое значение имеет
индуцированный переход, вызванный взаимодействием ядра с электроном
атомной оболочки. Он называется внутренней конверсией гамма-лучей;
вероятность его может быть сравнимой или даже превосходить вероятность
спонтанного излучения фотона.
Если заряд ядра мал, а разность уровней достаточно велика, то можно
пренебречь энергией связи электрона и влиянием кулоновского поля
ядра на волновые функции начального и конечного состояний электрона.
В этом случае вероятность конверсии [47] определяется непосредственно
формулами предыдущего раздела, если положить в них р{ = 0 и перейти
от сечения а к вероятности w:

ш = 111) (0) I2 (гча^о = (ViG)vx^o,	(35.3.1)

где Ф (г) — волновая функция электрона, а —радиус электронной оболочки.

Из (35.2.4) следует

« IP2J (k2(hh*) + (hp)(h*p)) .	/ос о

dW- (W"^-------------Р---------d°2’	(ЗЬ.3.2)

причем

p=p2 = k, Pq = т + 82 = 2m + со, е2 = m + со,
k2 — р2 — со2 = 2тсо, х2 = со2 + 2тсо.

В случае ML-перехода

hp = hk = Q,

=	I2.

Подставив эти выражения в (35.3.2) и вводя вероятность излучения,
найдем коэффициент конверсии магнитного перехода:

L-J-—

— = -Аг-(1+—) 2-	(35.3.3)

wy т2а3(й \	1 со /	4	'

В случае EL-перехода, согласно (35.2.10), при /?1 = 0 имеем

J hh^do = \q(LM\2n2L-2 (со2 —	А2) ,

§ (h*p) (hp) do = I q^M |2 %2L	,

и коэффициент конверсии определяется формулой

— =	(1+—) 2.	(35.3.4)

w? (ma)s \	L + 1cq2/\‘o)/	v 7

Из этих формул видно, что коэффициент конверсии велик при боль-
ших L и малых со. Заметим, однако, что в случае малых энергий нельзя
пренебрегать влиянием кулоновского поля ядра на волновые функции
электрона, что делалось выше.

В случае ЕО-перехода, согласно (35.2.14),
=2т(2т+ш}£
и вероятность перехода равна

70) _ а I I2 0)2 ( 1 [ 2/П\3/2	_

WeQ~~2^~*	(ЗЬ.3.5)

35.4.	Конверсия с образованием пар. При со > 2m возможен и другой
процесс конверсии: образование электронно-позитронной пары при пере-
ходе ядра из возбужденного в низшее энергетическое состояние. Если, как
это делалось всюду выше, не учитывать влияния поля ядра на состояние
электронов, то коэффициент инверсии с образованием пар легко получить,
используя результаты § 35.2 [48].

Этот процесс определяется тем же матричным элементом (35.2.3),
если заменить в нем щ на биспинорную амплитуду состояния электрона
с отрицательной частотой, отвечающей позитрону с импульсом Таким
образом, все вычисления будут отличаться от вычислений § 35.2 заменой
Pi — Pt'

k=— (pi + p2),	р = р2 — Pi-	(35.4.1)

Отметим, что, в отличие от случая возбуждения ядра электроном, k является
теперь времениподобным вектором (&2<0).

Вероятность перехода с образованием пары определится формулой

<35-4-2)
где

«(Рг) huj—pj)
k?

и, следовательно,

|М|2 = -2 (Ж* — {ph) {ph*}).	(35.4.3)

Заменяя, как и ранее, d3p2 на dak — х2 dn dtp d cos й, получим аналог фор-
мулы (35.2.5)

dw =	х dx dtp det dot	.	(35.4.4)

Для случая магнитного перехода получим отсюда после интегриро-
вания по dtp и doi

^==^-dxde1tpb(x, со),	(35.4.5)

где Фь(х, о) — та же функция, которая входит в (35.2.8).

Аналогично для случая электрического перехода получим

— = —	(х, со),	(35.4.6)

где фьСх»(0) определяется формулой (35.2.13).

В случае £0-перехода

dw = (2§» । ^° I2 х ds*dH	~ (81 ~ ег)2]-	(35.4.7)

Проинтегрировав (35.4.5)—(35.4.7) по х в пределах от — |р2|| Д°
I Pi I +1 Pz |> получим дифференциальные (по отношению к энергии пози-
трона) коэффициенты конверсии

_____°L^8lw /о ,л\

dwE0 =	| qa01 de, (ei82-/n2) |P11 |p2 | = £ To,

где Фь и Ть —те же функции, которые входят в сечения возбуждения
ядер электронами (35.2.9), (35.2.12).
Приведем теперь явные выражения функций <DL, при £ = 1, 2, 3:

Ф1=_р1±р1\

1	(0	’

ip _ __2 I Р1 | | р2 I_£1 + £2

1	(0	(0	’

Ф2 = -	(ю2~ 3^х- 3^х) ~Pl+Pl~2^ К

^2=llplllp2J.(ele2_ffl2)pi±pl X,

фз = -4 1 Р21 р + 8/па-2 (р* +рВ-5	%,

W _	|П||П \ (	2 , т2 , 8ота , 9eie2 , 4/п^ег 4efsj	pi+pj —2«2

3	| Pi I I Pz | Ц) Ч~ щЗ ~Г (J)5 ~Г t <j)3 I w5	(О5 /	(О ’

где х= In £1£2+1Р1ПР2| + т2 ф
та)

Во избежание ошибок при использовании этих формул подчеркнем,
что Ф является функцией двух переменных 82 и со. Выше приведены выраже-
ния, написанные применительно к образованию пары, при этом = со — s2.
Для возбуждения ядра электроном St = е2 — <*> (со < 0). Поэтому в этом
случае надо в приведенных выражениях заменить на —(при этом
( pi | не меняется).

35.5.	Учет поля ядра. Полученные выше выражения для вероятности
конверсии или сечения возбуждения неприменимы во многих практически
важных случаях, когда надо учитывать влияние поля ядра на начальное
и конечное состояния электрона. Мы выведем теперь общие формулы для
матричного элемента конверсии и возбуждения, выразив его через вол-
новые функции электрона в поле ядра. Явные выражения для сечений или
коэффициентов конверсии получить при этом нельзя. Для этого требуются
численные расчеты (см. [49]).

Выше для нахождения матричных элементов мы использовали токи
перехода в импульсном представлении. Теперь задача сводится к получе-
нию выражения для (f I S I О, в котором адронный ток фигурировал бы
в прежней форме, а электронный ток входил бы в координатном пред-
ставлении.

Для того чтобы получить (f | S 10 в такой форме, подставим в (34.1.1)
Вэфажение для функции Dc(x) в виде интеграла Фурье

< Л S | i) =	dWe^'-v w (х') /£> (X).

Далее выделим в явном виде зависимость токов перехода от времени:

/£> (х) = /£) (г) (82-ех) t,	j(h) (х') = j(h)	j (sj-ep t'

и выполним интегрирование по t, V и k0:

1 S । Z> = (2^ J ^2 psX^ (Г) p’x'^'

Введя адронный ток в импульсном представлении

ha.(k)— j(V (г) eikr d3x,
можно придать матричному элементу | S | 0 вид
(f [ S | о = — 2ш 6 (8i — 82 — со) V.

где

V= — § W(r)Aa(r)d3x

И

Аа (г) = (2л)3	£2—0)2	(&) егкг.

(35.5.1)

(35.5.2)

(35.5.3)

Выражение (35.5.1) можно интерпретировать как борновскую амплиту-
ду перехода электрона во внешнем поле, определяемом ядерным потенциа-
лом перехода (35.5.3).

Подставив в (35.5.3) выражения (35.1.2) — (35.1.4) для адронного
тока, можно найти явный вид потенциала перехода.

В случае AlL-перехода мы получим

л	Weikr do-

Интегрирование по углам дает

Дм)

A(r) = ^GL^r)^VLLM(n), n =	(35.5.4)

где

' 7 nJ x2 — co2 — tO

0
и

3	1 (x)

^(х) = (2л)2—.

V X

Выполнив интегрирование, получим

Gl (®r) = (2n)2tLH(1\ (®r) -T=-.	(35.5.5)

l+2

(ЯС1)-—функция Ханкеля.)

Аналогично в случае ££-перехода потенциал перехода имеет вид
. . .	, /2L+1 4lm“L+1 п	, ,

А (г) — ]/ —£---^02 Gl-i (®г) YLt L-i, м (п),

Лтлгг <?(э) L+i	(35.5.6)

Ло (0 = У - ^2-- Gl (®r) Ylm («).

В случае fO-перехода проще исходить из формулы (34.1.2), кото-
рую мы представим в виде

(f | S 11)= — 2лг6(е2 — Bi — ©) V,

где

_____1 о ha (ft) i<£> (k)
(2л)3 J k2—co2
Используя для адронного тока выражение (35.1.4) и условие попе-
речности электронного тока (А) = со/<е> (Л), получим

V Sy S № W d*k =	(°) (°)’	<35-5-7>

где 44 (г) и 42(H~" волновые функции электрона.

Приведем теперь выражения для коэффициента конверсии на атом-
ных электронах в случае EL- и ML-переходов. Если волновые функции
конечного состояния нормированы на единичный интервал энергии,
4е (г) ф£' (r)d?x = S (8 — s'), а волновые функции начального состояния
нормированы согласно условию ф1 (г)	(г) d3x = 1, то вероятность кон-

версии будет иметь вид

ш = 2л |V|2 = -^-®2L+2e2|I/,|2,	(35.5.8)

где для Л1Л-перехода

V' = — грг (О Y'M’i (И Gl (®r) Yllm (и) d3x (35.5.9)
и для EZ.-перехода

V' = — §	(г) | yGl_! (<вг)	VL, L-i, м(п) —

— ViGL(®r) ^±YLM(n)} ^(rjdPx (35.5.10)
(через q для краткости обозначено q^LM или 7^м). Разделив w на] вероят-
ность излучения

0)211+1 ’

получим коэффициент конверсии

“ю|у'|2.	(35.5.11)

Это выражение должно быть просуммировано по конечным состояниям
электрона, допускаемым правилами отбора, и по начальным состояниям.

В случае конверсии с образованием пар предыдущие формулы остаются
в силе, если заменить фА на ф<_) — волновую функцию с отрицательной
частотой, отвечающую состоянию позитрона. Для дифференциального
коэффициента конверсии мы получим выражение

(35.5.12)

где dT — статистический вес конечного состояния образующихся частиц.
Аналогично выражается через V' сечение возбуждения:

— = a ^_|y/|2dr	(35.5.13)

(14 — начальная скорость электрона). Выражения для dr в (35.5.12)
и (35.5.13) зависят от нормировки волновых функций; при нормировке на
единичный объем

Лг+_ = -^^6(е++8_-<0), ^Г2=^6(81-82-(В).

J b J	I Z/J I у
Глава V

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ

§ 36.	Радиационные поправки к функциям Грина и вершинной функции.

36.1.	Вычисление интегралов по инвариантному объему в 4-импульсном
пространстве. В предыдущей главе мы изучили основные квантовоэлек-
тродинамические эффекты в первом неисчезающем приближении теории
возмущений. Теперь мы перейдем к определению поправок к элементам
матрицы рассеяния, которые вносят высшие приближения. Их называют
обыкновенно радиационными поправками.

Начнем с определения радиационных поправок к функциям Грина
и к вершинной функции, но предварительно разъясним технику вычисления
встречающихся в квантовой электродинамике интегралов.

Интегральные выражения, сопоставляемые, согласно правилам Фейн-
мана, различным диаграммам, имеют следующую структуру:

а d*p,...d*pn,	(36.1.1)

где F — некоторый полином относительно 4-импульсов рт и аг — поли-
номы второй степени относительно рт. Вычисление таких интегралов удобно
производить, воспользовавшись предварительно тождеством

1	__1V С pt С	f pt +	1) _

^§2 ... ^(aigi+a2b+>..+aJn)n-

0	0	о

1 XI	хп-2

= (п— 1)! dxi dx2 ... dxn_i т----------;----------i-r-----j--

4	7 d d	d	[а^л_1 + а2(хл_2—Хд-1)-Ь... +ал (1— xj)]n

оо	о

(36.1.2)

или эквивалентным ему тождеством

1 1

a a 1 - = (n-1)! ипГ2 du, «Г3 4 du2 ...

<Z1(Z2 . . . ССд	J	d

0	0

1

. . . ^ dUn-i-r-------;-----------ri-----г-:---:---Г.---™ » (36.1.3)

J ЧО1«1 •••	+	••• «п-2 О- «п-1)+--- +«п (1— «1)]п V

где

X,— U,,
~ И ^1^2^

। tlpl2 . . .
Подставив это соотношение в (36.1.1), мы получим интеграл в р-прост-
ранстве вида

J (хь х2, ..., х^) = J [(^/Г ,	(36.1.4)

где а и I зависят от параметров х^ х2,   , хп^. Искомый интеграл 1
получается из J(х±, х2, . ...Xn-J интегрированием по xlt х2, ...,xn-t:

1	XI	Хп-2

Р	Л	Л

/ = (п— 1)! dXi dx2 ... \ dxn^iJ(Xi, х2, ..., хЛ-1). (36.1.5)

оо	о

(Этот метод вычисления интегралов / мы будем называть методом пара-
метризации [1].)

Убедимся прежде всего в справедливости тождества (36.1.3). При
п = 2 оно очевидно, так как

1

1 __е du

ai«2~ d [aiz/+a2(l—и)]2 ’
о

Докажем теперь, что если оно справедливо при некотором и, то оно
будет справедливо также и при иЦ-1.

Замечая, что интегрирования по различным щ в (36.1.3) можно ме-
нять местами, получим
it	1

——	= (п 1)! и± dui и2 du2 ... dun-i .	,

aia2...0bn+i	d	d	J	А

0	0	о

где Ап — знаменатель в правой части формулы (36.1.3). Но

1	_ е ________ив"* duo___

nAnan+i ~ J [Лио + атн-1(1— ^o)]n+1 ’
о

Поэтому
1 1 1

п п ~ ft] ^0 duQ Ui dui ... dUn—i г *	. ~ т; xin+i >

а|а2 ... anan+i е)	d	d	ran+i(l— ио)\ 1

0	0	о

что и требовалось доказать.

Перейдем к вычислению интеграла (36.1.4). Предположим сначала,
что интеграл (36.1.4) сходится. В этом случае можно сделать преобразо-
вание р — а—>р, после чего интеграл приобретет вид

(36.1.6)

Достаточно, очевидно, ограничиться рассмотрением случая, когда
f(p) представляет собой некоторую скалярную функцию от р2. Действи-
тельно, если f(p) = pJif1(p2), то К — 0; если f(p) = PuPv/2(P2)> то

е PuPvf2<P2) М	1 Я е Р2/г (Р2) МП

(р2+1)п а Р- 4 o,iv J (P2 + Z)n Р

И т. д.

В интеграле (36.1.6) интегрирование по р4 производится в соответствии
с правилом обхода полюсов, т. е. вдоль пути С, изображенного на рис. 36.1.
Но этот путь можно, очевидно, повернуть на зт/2, как указано на рис. 36.2.
При этом р4 заменится на pQ и р2 = р2 + р* перейдет в р2 + Ро» гДе Ро —
вещественная величина.

Таким образом, поворот пути интегрирования С на л/2 соответствует
переходу в р-пространстве к обычной евклидовой метрике, в которой квадрат
длины равен сумме квадратов всех четырех координат с вещественной
четвертой координатой.

Так как

d4p == id?p dpQ—>in2zdz, z = p2	(36.1.7)

(предполагается выполненным интегрирование по углам), то мы приходим
к однократному интегралу

f (Р2) d^p
(Р2 + /)П

f (?) 2 dz

(Z2 + Zp ’

(36.1.8)

В частности,

Р d^p _______in,2

J (р2-ч-/)3~“2Г ’
d^p _	/л2

(p2 + l-2pk)3~ 2(1 —k2) ’
> po d4p __ in2ke
I (p + l~2pk)3~ 2(1 —k2) ’

(36.1.9)

Перейдем теперь к рассмотрению расходящихся интегралов типа
(36.1.4). Так как в квантовой электродинамике не встречается расходимостей

выше квадратичной, то речь идет об интегралах следующих четырех
типов:

*^<2>	= $ (р2—аД+/)2 ’

г<2> (Ь 1\_ V Ри

(р2_2рй+/)2 ’

«М (р-Л“£+-у

d‘p'

Мы будем производить во всех этих интегралах интегрирование по
некоторой конечной инвариантной области (Q), характеризующейся чис-
лом N, причем предел N -> оо соответствует всему бесконечному четырех-
мерному пространству р. Такая конечная инвариантная область может
быть определена, например, неравенствами | р21<^,	< №, где s —

произвольный времениподобный четырехмерный вектор [2J.
Так как интегрирование по р4 при постоянном р2 не приводит к рас-
ходимости, то путь интегрирования по р4 (см. рис. 36.1, 36.2) можно так
же, как и при вычислении сходящихся четырехмерных интегралов (36.1.4),
повернуть на л/2. После такого поворота мы получим четырехмерное евкли-
дово р-пространство с вещественной четвертой координатой, и область
интегрирования станет четырехмерной сферой, радиус которой мы обозна-
чим через L и отождествим с введенным в § 22 предельным импульсом.

Переходя к вычислению интересующих нас расходящихся интегралов,
начнем с логарифмически расходящегося интеграла

й

Повернув путь интегрирования по р4 на л/2 и воспользовавшись форму-
лой (36.1.7), имеем

L2

? diP __ /Я2 ? zdz

J (р2+Ф	(2+О2 '

О	О

Вычислив последний интеграл и

Р d*p

J (p2±W~
я

отбросив члены порядка 1г2, получим

L2

I

(36.1.10)

Рассмотрим далее интеграл

d4p

J (р2-2р^+/)2 ’

который, так же как и интеграл
Переписав этот интеграл в виде

е d^p _________е

J (р2_2р^+/)2 “ J

J(2) (Z), расходится логарифмически.

d4p

[(р—^)2 + / —^2]2 ’

а



сделаем замену переменных р — k—>p. Тогда интеграл приобретет вид
(36.1.10) с измененной, однако, областью интегрирования, которую мы
обозначим через й'. Согласно (36.1.10) интеграл J<2) (&,/) будет равен
(Д '2	\

L' отличается от L на конечную величину, поэтому,

если L' достаточно велико, то InL' отличается от InL на малую величину
порядка 1/L, и окончательно мы получим

\ и Р________= ;я2 [jn _±___

J (р2—2р^+/)2 Ш I-k*
Я

(36.1.11)

Вычислим теперь логарифмически расходящийся интеграл

]^(Ь Л-С p^dip
I)-	{p2_2pk+l)S 

£2

Так же, как и при вычислении интеграла (36.1.11), мы можем сделать
смещение начала координат, введя новую переменную интегрирования,
p-k-^p:

Р PyPv diP Р (Рц + ^ц) (Pv + kv)dAp

J (р2—2р/г+/)8~ J

(р2—/ —^2)3

й
Замечая, что

L2

Р PliPv №р __ 1 д Р р2 ^4р	/я2 Р 22 dz _ /я2 д ( л L2 3 \

J (p24-Z)3	4 0|XV J 7р2_|_/)3 — —	(z+/)3 — —	l 2 ) ,

a	q	о

P pv d*p	p d^p _____ in2 kyJtv

d (p2 + /)3 ~ U>	J (p2+Z)3 ~ ~2	~ 9

получим окончательно

<k, Z) = ^-Av (- f)	•	(36.1.12)

Переходя к вычислению интеграла

J(2) /£	С	d*p

(#, Ч- 3 (p2_2pfc+Z)2 ’

Q
заметим, что

(36.1.13)

и что 4-вектор (k, I) должен быть направлен вдоль k^. Отсюда
и из (36.1.12) следует:

§ (р2-2рй+/)2 = 1я2^ (1п /-Й2 ~у) •	(36.1.14)

Обратим внимание на то, что если бы мы вычисляли этот интеграл,
сделав замену переменной (при той же области интегрирования Q)
(L2 \

1П /21£~2~~ Ч • Таким обра-
зом, при преобразовании р~>р — k, т. е. смещении начала координат
на k, расходящийся идтеграл (36.1.14) получает добавку k^.

Рассмотрим, наконец, квадратично расходящийся интеграл

J$(k, Z)=$
а

PuPv <&Р
(р2—2р!г + Г)^ *

Проинтегрировав выражение (36.1.14) по Z, получим

Р Рц dip _

J р2 — 2pk-\-l ~'

= iл{(/ - kz) In (/ - k2) - (Z — ^2) _ I (In Lz - 4) + g (N, k2)} , (36.!.! 5)

где g — некоторая функция от N и k2, содержащая квадратично расходя-
щуюся при N -> оо константу. Легко видеть, что g представляет собой
линейную функцию от k2. Действительно, левая часть (36.1.15) при пре-
образовании k -э- nkt р пр, I п21, где п — произвольное число, приобре-
тает множитель и3, что возможно только в том случае, если

g = ^A2 + k2(a\nL2 + b),
&
где Л 2 — квадратично расходящаяся константа, а а и b — некоторые числа
(k2 умножается на логарифмически расходящуюся константу In L2, а не
на Л 2, так как только при этом оба слагаемых в g будут иметь одинаковую
размерность).

Продифференцировав (36.1.15) по kv, получим интересующий нас
интеграл

S	М ~ 'i" ~ *2> -11+' (4" 1°L!)+

+ £2 (a In L2 4- b) + -Г А} -	[In (Z - k2) - (a In L2 4- &)].	(36.1.16)

Для того чтобы найти а и b и выразить А2 через L, можно посту-
пить следующим образом. Представим J™v(k, Г) в виде

4% (k, =	/)4-$

й

P|xPV
(Р2-Н)2

(36.1.17)

где

„ ih i\ _ ? Pv-Pv dip е P(iPv dip
A.HV («, {) — ^ (p2_2p^+/)2	(p2 4-Z)2 •

Второй интеграл в (36.1.17) может быть немедленно вычислен:

е PvlPv^p

J (Р2+/)2
Q

{L2 - 41 In L + 21 In I +1}.

Интеграл же I) с помощью формулы

1 1

ап $п

1

?	n(a~Р)

о

(36.1.18)

приводится к виду

1

(^э 0 == 4kg dz
О

PuPvPa <*4Р
(р2 —2pfez-H)3 •

Так как

Р PuPvPc^P

J (Р2+/)3
й

О,

то, применяя еще раз формулу (36.1.18), получим

1	1

(k, I) = 24АА г dz dt

О	Ой

PgPvPaPr d4P
(р2 — 2pkzt-\- /)4 ’

Входящий сюда интеграл по р расходится логарифмически и может
быть вычислен так же, как и интегралы (36.1.14) и [(36.1.16). Поступая
таким образом, найдем

а^=1,	A2 = L2.
Приведем в заключение сводку вычисленных интегралов:

V d4P	2 / 1	£2	1 \

J (р2 — 2рй+/)2 ~1П \ ° Z —*2	!) ’

а

С p^dip a h £2 3А

J (р2-2рй+/)2	(1п/-^2 2)’

Й

f PvPvdty	i42	(	£2	5*2-3/	1 т„\ ,

J (р2—2р*+/)2	2	£)П/ — *2+	6	2 L J +

£

+	’	(36.1.19)

е d^p ____________гл2 1

J ~(p2 — 2pk + l)3 ~ ~2~ l — k2 ’
£

Р Ру, d*p ________ zn2

J (р2 —2р£-Н)3 ~Т~7^Р ’

<2

р PuPvd^p	,д2	7	[2	3\	zn2	Mv

J	(p2-2p& + Z)3	~ 4	\lnZ — k2	2/+	2	Z —/г2	’

36.2. Массовый оператор второго порядка. Перейдем теперь к вычис-
лению массового оператора 2-го порядка S(2) (р) [1]. Эта величина, которой
соответствует диаграмма рис. 20 1, определяется, согласно правилам Фейн-
мана, формулой

2<2> (^ = w S (р+^De{k} dik-
й

(36.2.1)

При регуляризации массового оператора возникает, как мы увидим,
расходимость в области малых k2 Эта так называемая инфракрасная рас-
ходимость уже обсуждалась в § 29; мы вернемся еще к ней в § 39.4 Для
ее устранения можно формально ввести в Dc (k) отличную от нуля «массу»
фотона Z, считая, что Dc (k) определяется формулой

^е(^)—	+	>

V>0.

(36.2.2)

Подставляя в (36.2.1) это выражение для Ос(&) и выражение (14.4.14)
для Sc(p):



получим

у (2) /ПЧ _ е2 Р I (p+ty — m d^k
УР}~~ (2л)4	(р4 k)2 + m2 /г2 + А,2

а С i (р + k) + 2m	d^k

~~ 2я3	(p_j_^)2_j_m2	^2 + V ’

Используя формулу

1

1

^1^2

О

dx

[ajx + a» (1—х)]2 ’
представим S(2) (р) в виде
1 . - -
у(2)/п\— а ? Jr V J4A_____________________________* (р + ^)	_______

2л$	[k*^ (2^p-f-p2 + m2__X2)x4-X2]2 ’

О

откуда, согласно (36.1.19),

1

2(2) (р) = -^L ? dx / [р (1 — х) — 2itn\ In -о—?!-\	\ ~LF27i----\ +

2л a l r v	р2х (1 — x)+m2x + X2 (1 — х) 1

О

+ (-|*~l) P + 2im} .	(36.2.3)

Это выражение должно быть теперь регуляризовано. Для получения
регуляризованного значения 2(2>(р), которое мы обозначим через ^(р),
нужно, согласно (23.3.5), отнять от 2<2) (р) два первых члена разложе-
ния 2(2>(р) в ряд Тейлора по степеням (р — itnR):

Sg’ (р) = S(2> (р) - S<2’ (imR) -(р- imR) (---"4(р) L . .	(36.2.4)

\ др ' p=imR

Величина (	.	= 2<2> связана, согласно (22.3.8), с константой

\ др	/ p=imR

Zi (во втором приближении теории возмущений) соотношением

S^Z^-l.	(36.2.5)

Итак,

Ж(Р) = 2(2) (Р) - S<2> - (р - imR) Sl2\	(36.2.6)

где

Г = 2(2) (Ро).

Напомним, что, согласно (22.1.5), величина Sq2) с точностью до множи-
теля — I совпадает с электромагнитной массой электрона 6/п(2) (во втором
приближении теории возмущений):

Из (36.2.3) следует:

1

6m<2) = ZSq2) = i — dx f — imR (1 + х) In 2 2 ,	---г +

0 2л J [ v 1 '	m2x2+X2(l—х) 1

О

+ imR (ух+1)} .	(36.2.7)

Выполнив интегрирование, получим в пренебрежении величиной % по срав-
нению с mR следующее выражение для электромагнитной массы электрона
во втором приближении теории возмущений:

бт(2)= За	/ lnJL+ ‘ .	(36.2.8)

4л	\ muR 1 2 /	v '

Эта величина, как мы видим, логарифмически зависит от предельного
импульса L.

32 А. и. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
Дифференцируя (36.2.3), получим

2i2>= (д^Чр) V = -Д- е bi -х) in - 2	La_—-+

\ др	/ v=imR	2л J V '	m|jX2 + %2 (1— х) * 1

3	2х(1 — хг) mR •) а Г 1 , L2 . 9 , , %2 П /Од о m

+-s-x—1----) =-о— Нг in—г+т + In —г .	(36.2.9)

2	m2x2 + %2 (1— х) J	2л L 2 m2R 1 4 1 m2RJ '	'

Наконец, подставляя полученные выражения для 2'2) и S[2) и фор-
мулы (36.2.3) и (36.2.5), получим следующее выражение для регуляризо-
ванного массового оператора во втором приближении теории возмущений:

„	а р Г »	mlx2+%2(l — х)

2а’ (р) = -n— \ dx I [р (1 — х) — 2йпн] In 2- -—-—2—“пгт-г +

“ 2л J	'	Р2х (1—x)+m?Rx+№ (1—х) 1

+ (Р-•"«) JHv <-«>} (36-2-10>

Легко видеть, что это выражение имеет нуль второго порядка при
р = imR.

Обратим внимание на то обстоятельство, что в выражение для регуля-
ризованного массового оператора 2^ (р) входит «масса фотона» 1, в то
время как в исходное выражение для 2<2) (р) величина % не входила. Таким
образом, зависимость от X возникает в результате регуляризации. Величи-
на X входит также в но не входит в бт(2).

Общее выражение (36.2.10) для (р) сильно упрощается в области
больших импульсов:

Р2»т^	(З6.2.11

R

С этим асимптотическим выражением мы уже встречались в § 23.

Можно показать, что если р2+mR > %2, то

Sg’ (Р) = I ^—Лр-iinB)2 -f * . (1 Inр) +
n	л/ 2 (1 —р) \	1 —р г/ *

ip-ms Г1  /	2_p_j_4~8P + P2 Inp)— ---ln-^-Ц , (36.2.12)

mR L2p(l-p) k	1-p и/ P	P m2RJJ’ ' f

I _—

36.3. Поляризационный оператор второго порядка. Перейдем к вычис-
лению поляризационного оператора 2-го порядка (&). Эта величина,
которой соответствует диаграмма рис. 23.1, 5), определяется, согласно
правилам Фейнмана, формулой

п<2>/м_ е2 QnV „ 1р~т - z (Р-Ь—т

11^(«)— (2n)4 Sp Уц.;р2 + т3 Yv (р_й)2+от2'“ Р-

Вычислив^след произведения матриц, получим

П(2) /h\	4®2 ? 5uv (P2 + m2—Pk)~2P|iPv + (Pu^v + PvM ,4 fqfi q IV

n!3 (k)«-------------(^2)7(F=W^j------------d p- (36 3- °

Нас будет интересовать только поперечная часть этого тензора
пропорциональная -----КГ")» так как только она имеет физический
смысл. Поэтому мы запишем П^(&) в виде

IW)= (бцг—П<2’(^)+^ПГ (^),	(36.3.2)

где

W2)=-^n‘>

Чтобы найти П<2) (&2), достаточно, очевидно, выделить в (k)
часть, пропорциональную 6^. Кроме первого слагаемого в числителе
подынтегрального выражения в (36.3.1), вклад в интересующую нас часть
П®у(А) дает также второе слагаемое, так как

г. риру^р _,-я4 л* Uin l	11U k -

J (р2+/п2)[(р-й)2+т2] ~1П U ix-kl	6jKx^XV

Q	0

где lx — k2x + m2, kx = kx (третье слагаемое вклада, пропорционального б^,
не дает).

Используя полученные выражения и вспоминая, что

---zxtt—5 = ш2 fl2 —m2 In—’

й

1

м2 ।—2Г =	dx f — In Г1	х(1 — х)1 — 11 ,

е) (р2+т2) [(р — £)24-m2]	е) [ m2 L т2 ' 'J J ’

й	о

получим следующее выражение для П<2)(&2):

+ J dx[~k2-m2 — k2x(l—x)J 1п[1+-^-х(1-х)]} .	(36.3.3)

О

Выражение (36.3.3) мы должны теперь регуляризовать. Для этого
нужно, в соответствии с правилами § 23.1, вычесть из П<2)(£2) два первых
члена в разложении этих выражений по степеням k2,
тт(2)/лх I д2 /дП(2)(£2)\	te2 (L2—tn2 , k2 / 1	< L2	/qc q лч

n(2,(0) + ^ (—^-A)ft2=o = w.	+	.	(36.3.4)

Таким образом, регуляризованный поляризационный оператор во втором
приближении теории возмущений имеет вид

ng’ (k2) = П<2> (k2) - П<2’ (0) - k2 (dn<^fe2)) fe2=o =

= V- {4+ $ dx[^-k2x(l-x)-m^ ln[l+-^-x(l-x)]} =

=	(1-П2)1п[1 + Д-(1-п2)]^-	(36.3.5)

где г] = 2x — 1.
Выполнив интегрирование, получим

nw>^14+(i-ectg0)±^

где sin2 0 = —	.

4mR

Легко видеть, что если | k2 | < /ид, то

' '	15л	’

если | k21 > гпд, то

ng’(^) = #^ 1П-Ч-.

' ' Зя m2R

(36.3.6)

(36.3.7)

(36.3.8)

Зная Пд’(&2), можно, согласно (22.3.10), определить перенормирован-
ную фотонную функцию Грина во втором приближении теории возмущений:

(^) = [£»с“1 (*)- IW2)]’1.

Используя (36.3.5) и (36.3.6), получим

Gkv)=-^{1+^$x(i-x) 1п[1+^-х(1-х)] dx} =
о

• <36-3-9>

В § 20.2 мы определили величину

А» (?) = Л<? (?) + DC(tv (q) /<&2) (?) А$ (?),

которая должна сопоставляться внешней фотонной линии. Эта величина
представляет собой сумму заданного внешнего электромагнитного поля
А^е) (7) и добавки к нему

6Л<е)(?) = DC]lv (<?)	(?) А® (?),

которую можно интерпретировать как электромагнитное поле, обусловлен-
ное поляризацией вакуума электронно-позитронного поля при включении
поля (q).

Во втором приближении теории возмущений мы должны вместо (q)
подставить (q) и регуляризовать последнее выражение. В результате
мы получим следующее выражение для добавки к потенциалу внешнего
электромагнитного поля, обусловленной поляризацией вакуума электронно-
позитронного поля:

«С (?) = (6^ -	| + -4от*~21?2 (1 - 0 ctg 0)} Л<е) (?).	(36.3.10)

\	<У / J L	*7	UI/	J

При д2 = 0 мы имеем, очевидно, поле фотона. В этом случае добавки
к полю не должно возникать, и действительно, 6А^е) (д) при д2 = 0 обра-
щается в нуль.

Потенциал внешнего поля А^е) (х) связан с током Jli(x), создающим
это поле, соотношением

□ A^(x)=-J^(x),	(36.3.11)
или в компонентах Фурье

J^(q) = q^(q).

При этом, так как

Че)« 0

то

^(<7) = 0-

Изменение поля будет приводить к изменению тока. Используя соот-
ношения (36.3.10) и (36.3.11), легко убедиться, что добавка к току,
обусловленная поляризацией вакуума электронно-позитронного поля,
определяется формулой

wi” <«>=1 {т+	< -0 с‘е0)}<’> <36-3-12)

Разлагая величину, стоящую в фигурных скобках, в ряд по степе-
ням q2 и ограничиваясь членами 1-го порядка, получим

<’(’>-таят

Переходя от компонент Фурье к функциям координат и времен,
найдем [3]

(X) = - D4e) (х).

Если сохранить в разложении (36.3.12) по степеням члены 2-го
порядка, то для SJjf мы получим выражение

"S’ W- -15Й	м'

36.4. Вершинная функция третьего порядка. Вершинная функция
3-го порядка (р19 р2), которой соответствует диаграмма рис. 17.6,
имеет, согласно правилам Фейнмана, следующий вид:

Рг) = -(2^4 J	(36.4.1)

Мы увидим, что после регуляризации величина Ац3) (рь р2), так же
как и (р), будет содержать инфракрасную расходимость (если pt и р2 —
импульсы свободного электрона, то Ар° (ръ р2) содержит инфракрасную
расходимость и до регуляризации). Поэтому при вычислении AJf (ръ р2)
мы будем пользоваться выражением (36.2.2) для функции Dc (k).

Подставляя это выражение для Dc (k) и выражение (14.4.14) для Sc (р)
в (36.4.1), получим

Ли ’ (Р1> Рг) = ^4 {Yv (tp2 — rn) (ipi — т) yvJ, —

— i (Yv (ip2 — tri) YuYoYv + YvYoYu UPt ~ m) Yv] Л — YvYoYhYtYv^t}, (36.4.2)
где

7(1; o; 0T) = § (й2-2р^ + р1 + /п2) (£2а12р2£ + р* + т2)	dik (36-4-3>
(в скобке (1; kokx) нужно сохранить 1 в случае интеграла Jit ko—
в случае интеграла Ja и kokx— в случае интеграла Jax).

Из всех интегралов при больших | Л2| расходится, и притом логариф-
мически, только третий интеграл.

В области малых k (при К = 0) может расходиться первый интеграл
(если Pi и р2 представляют собой импульсы свободного электрона). По этой
причине при вычислении интегралов Jo и Jox можно положить X = 0.

Рассмотрим прежде всего тот случай, когда pi и р2 представляют собой
импульсы свободного электрона, р2 = — р\ = — tnR. Используя
формулы

1

1	_р dy

(k2 — 2pik) (k2 — 2p2k) ~~ | 7^2 —2р^)2 ’

1

1	Р	2х dx

у	о

где

Ру = УР1 + (Д— У)Р2, Рх = хру, 1х = (\—Х)№,
представим Jlt Ja, Jax в виде

1 1

= dy 2Х dX (k2—2pxk + lx)3 ’
0	0	Q

1 1

Ла; ат) = \dy $ 2х dx J	d*k.

0	0	Й	x

Входящие сюда интегралы no k равны, согласно (36.1.19),

Р d^k _______________ in2 1

d (k2-2pxk+lx)^	’

Q

P ko d^k ______ in2

3 (fe2-2pxfe)3 - — ~2^ P*°'

f kGkx d4k   in2 x Г 1 £2 ( 3 “]	*n2

£ (k2—2pxk)s ~	r-0°TL_ П“рГ+ 2J~	P^P^-

Выполнив интегрирование по x, получим

i

% 2 ,

0 y
1

т	in2 PjfxT 1	I 1 1 I о

Jgx—	dy SaT In __^2	"2" J + 2	^2 j •

Для вычисления этих интегралов заметим, что

~-Р2у= — fPi + (1 — У)]2 = ^2 + ?2У(1— y) = m2l\— 4z/(l— у)sin29],

Я = Р2~	(36.4.4)
где 0 связано с q соотношением

— q2 = 4т2 sin2 0.	(36.4.5)

Введем далее вместо у новую переменную

__1 — Jg-L
1 ~ tg 0 ’

Тогда

- Pl = т2 , Рио = (pw - Рго) + у (Pia + рга) (36.4.6)

и интеграл Jj приобретает	вид

е	е

Л =	{-V 1п——Vin —	.	(36.4.7)

1	zn2sm20	t	d cos0	<,) tn 4	7

о	о

Так как

e	e

vUu V
0	0

то окончательно
e

J'—^{^««+’14} 	<36-4-7')

0

Интегралы Ja и Jax после подстановки в них (36.4.5) и (36.4.6)
вычисляются немедленно:

j in* 0	,	.	.

JO = -^2- ^29 (Р1а + Рг°>’

Т _ /я2 (я L И I 0 (Pla+Pza) (Plt + Ргт) t
Joz~— |°ar (1П7Г—4 ) H	2m2 sin 29	' +

+ (S^ + ^-)(i-0ctg0)} •	(36.4.8)

Вернемся теперь к формуле (36.4.2), определяющей (pi9 р2),
и упростим коэффициенты, стоящие перед интегралами JG, JXG.

Рассмотрим прежде всего выражение, стоящее перед

7v (jPz — т)	(ipi — m) yv =

= 2piYnP2 — 2im (уир2 + Лтн)— 2шг (y^ + p^) — 2m2yg.

Так как при вычислениях матричных элементов величина	р2)

всегда умножается слева на и2, а справа — на где и2 и щ — биспи-
норные амплитуды электрона с импульсами р2 и р^ то в последнем
выражении матрицу ip^ стоящую справа, и матрицу ip2, стоящую слева,
можно заменить на — т (если слева стоит матрица ipt, а не матри-
ца ip2, или справа матрица ip2, а не ip^ то прежде, чем выполнить эту
замену, следует сделать подстановку Pi = Р2~Ч^ р2 = Pi + ?)« После таких
преобразований множитель перед Л приобретает вид

(ip2 — пг) уц (fpt ~~m)yv = 4m2yil — 2с/у^.
Последнее слагаемое в правой части этого соотношения может быть
заменено на 2<?2уц. Действительно, замечая, что

и умножая это равенство слева на q, получим

W7= — ?2Tix + 27p9-

Но последнее слагаемое не дает вклада при вычислении матричных
элементов, так как

u2qUi = и2 (р2 — Pi) «1 = 0

и может быть поэтому отброшено. В результате коэффициент, стоящий
в Лц’(рь р2) перед Jlt может быть представлен в виде

Yv (ipz—m) (ipi — tn)yv = 4/п2уц + 2q2yv..

Аналогичным образом могут быть преобразованы множители, стоящие
перед интегралами Ja и Jax:

Yv (Фг—т) YuYaVv + YvYoYh (ipi — m)	= — 4mda|X + 2i (qy^a —	q),

YvYaYnY%Yv = — 2ухуиуа.

Подставляя эти выражения и значения интегралов (36.4.7'), (36.4.8)
в (36.4.2), получим следующее выражение для Лц’ (ри р2):

Ац’ (Pi, р2) = ~^4 {<4т2 + 2<72) ТиЛ +	(Pi + Р2)ц—2 (А + р~2) ур.9+

+ 2^^ (Pi + р2) + (pi + р2) Yu (Pi + р2) J А) -У^ЯУмЯ^г»
где

/<2=-^(i-0etge),
к3=41(1-0с^9+1п4-1) •

В этом выражении, так же как это было сделано выше, можно
заменить матрицу ipu стоящую справа, и матрицу ip2, стоящую слева,
на — т. В результате мы получим

е

ДЖ л)=—

7 l-s"	i Д |Г' Й~} тетг<м- ив  (36.4.9)

Нам остается регуляризовать AJf (pi, р2)- Для этого нужно вычесть
из Л£’(рь р2) величину (р0, р0), где р0~импульс свободного элек-
трона, ро= —m.R. Так как в рассматриваемом случае pi и р2 представ-
ляют собой импульсы свободного электрона, то, очевидно,

Л(ц8>(ро, Po) = Ak3)(Pi, р2)д=о =

где величина Л(3) связана, согласно (22.3.5), с Zi соотношением

Z-^l+Д3’	(36.4.11)
и Zx* в рассматриваемом приближении определяется формулой (36.2.9).
Заметим, что имеет место равенство

2<2> = £<3>t

(36.4.12)

Регуляризованное значение Лц’ (рх, р2) определяется формулой

Лкд(А, Р2) = Лц’ (А,	(Ро, Ро) =

0

= 5гъ{( J»-1) (i"T-')‘go} +
о

+ • <36л-13>

Эта формула справедлива при р21<2 = —mR. Если ] р[, 21 > mRr
I <721 > то

Л№. л) = ~М1"тй1пт+>,43-} • РМ-М)

Аналогичным образом может быть найдена вершинная функция
3-го порядка в том случае, когда только одна электронная линия соответ-
ствует свободному электрону, фотонная же линия соответствует реальному
фотону. Мы не будем приводить здесь подробных вычислений, а приведем
только окончательный результат для регуляризованной функции
Л(й3) (Р> Р + q) при р2 = — mR и q2 = 0:

A&(₽, ₽ + ,)_^-{av„ + .-B®- + >cA + i>A.} ,	(36.4.15>

где	94

в = 1лЦ]	с=-------1 + Зи~2 1п|х|,

X—1 ’	X—1 '	(X—1)2	1 р

/?=-----1—+	1п|х|—^-[Е(х-1)-Е(-1)].

X—1 ' X х (х— I)2	1 J X2 1	К /J

х = -^- , F(x)=A + dt\ F(—1) =—

tTl и,	IL	О

й	о

§ 37.	Модификация закона Кулона.

Аномальный магнитный момент электрона

37.1.	Модификация закона Кулона. Найдя радиационные поправки
к функциям Грина и к вершинной функции, мы можем перейти теперь
к исследованию тех физических эффектов, которые связаны с этими поправ-
ками. Простейшими из них являются модификация закона Кулона для
вакуума и наличие аномального магнитного момента у электрона и мюона.

Остановимся прежде всего на законе Кулона.

Если задан внешний ток (х), то создаваемое им поле 31ц (х) можно,
согласно (21.4.6), найти по формуле

ЯДх) = г J G^(x-x')Jv(x')dV,	(37.1.1)

где G$i(x) — фотонная функция Грина.
Мы хотим определить поле, создаваемое покоящимся точечным заря-
дом Q. В этом случае

4 (х) = (И

(заряд предполагается находящимся в начале координат) и формула
(37.1.1) для скалярного потенциала ср (г) принимает вид

оо

ф (г) = IQ (X) dt = G& (k, 0) eikr d3k.	(37.1.2)

— oo

Подставляя сюда вместо Gr}(^) первое выражение (36.3.9), получим

к	1

’<г>-ёг)Н!144 х(1-х)1п[1+^х(1-х)]л} т
о

(мы пользуемся здесь вместо tnR обозначением т).
Замечая далее, что

(Л,

0) eikr d3k =

2/л2

1

%(1 — %) In £1
о

——------------^-(l-2x)dx =

1 г	/1 Ч т2

1+^2'%{1”%)

к2

8т2

о

D2

dv,

где v = 2x—1, перепишем ср (г) в виде

Ф(Н

Q
4пг

Qe2 е к 3	7,0» ег

(2л)5 j 1 —и2	J . 9 . 4га2

о	fe2+bZ^

Используя, наконец, соотношение

eikr	2л2 _ -2тг

4т2 dk~ г е Vl-°i

и вводя вместо v новую переменную £

1
1/Т^2

получим окончательно

следующую общую формулу для ср (г) с учетом поправок порядка a [4J:

’Р И - & { 1 + > S е"2"'С ( 1 + 2?)	«}  <37-1 -3>

1

Входящий сюда интеграл может быть вычислен в двух предельных
случаях, когда mr < 1 и когда mr 1:

то	 I —1“lnmr’ mr<1’

= <	(37.1.4)

*	Ий®’ mr>>1’

и

4m2 '	'
где у —постоянная Эйлера,

N-1

V = lim { 2 Т~1пЛ/}

N->oo I П	j

п=1

Таким образом, потенциал заряда Q на малых и больших расстоя-
/	h \

ниях I по сравнению с---1 имеет следующий вид:

1 +"Т_ ( —I—2у + ln-^-ЦЛ ) , mr < 1,
4лг I ' Зя '	3	* ‘	(mr)2/ ) ’ х ’

-0-/1 + -^.	mr»l.

4лг ( Г 4л1/2	(mr)S/2 J

(37.1.5)

Мы видим, что на больших расстояниях от заряда потенциал отли-
чается от кулоновского экспоненциально малым слагаемым, на близких
же расстояниях отклонение от закона Кулона изменяется с расстоянием
логарифмически.

Формулу (37.1.3) можно интерпретировать следующим образом. Если
/ ч о (г)	, ч

переписать ее в виде Ф(г) = "^~ » то можно сказать, что потенциал <р (г)
определяется законом Кулона с эффективным зарядом Q (г). Этот заряд
совпадает с зарядом Q на больших расстояниях г > — . На малых же
расстояниях, г < —, он равен

•	<37.1.6)

37.2.	Аномальный магнитный момент электрона и мюона. Рассмотрим
теперь вопрос о магнитном моменте электрона.

Как известно, если нерелятивистскую частицу, обладающую маг-
нитным моментом р, поместить в магнитное поле Н, то она приобретет
энергию	Поэтому, чтобы определить маг-

нитный момент электрона, нужно исследовать взаимо-
действие электрона с постоянным или медленно меняю-
щимся электромагнитным полем и выделить в энергии
этого взаимодействия член, пропорциональный магнит-
ному полю

Согласно результатам § 20 2 взаимодействие эле-
ктрона с внешним полем А$(х) описывается диаграм-
мой рис 37.1, на котором жирной вершине соответствует
вершинная функция Ги (рь р2) (Pi и р2 — 4-импульсы
электрона до и после взаимодействия с полем) и фотон-
ной линии — эффективное поле 21^ (</), равное сумме

него поля (д) и радиационной поправки к нему бА^е) (д), обусловлен-
ной поляризацией вакуума, ?1и (7) = (cj) + 6Л^е) (7), q = р2 — pi

Этой диаграмме соответствует, очевидно, матричный элемент

(/|S|O = -^|^6(p1-p2 + <7) м,

у 281282

Рис. 37.1.

исходного внеш-

где

М = еи2Г^ (Р1,р2Ж (9) = Af0 +	+ 6пЛ4,

Mo = еи2А {e}Ui, 6Г7И = еА^и2К^ (рь р2)	= eu26A(2)Ui
и Ui и и2 — биспинорные амплитуды, относящиеся к 4-импульсам элек-
трона и р2.

В предыдущем параграфе мы вычислили Ли (рь р2) и бЛ^ (q) с точ-
ностью до членов, пропорциональных а. Из формул (36.4.13) и (36.3.10)

6/	7J	в)	9)

Рис. 37.2.

следует, что при малых (малые соответствуют медленно изменяюще-
муся полю) только величина AJT (ръ р2) содержит слагаемые, линейные
относительно q, величина же бЛ^е) (q) (так же как и Пд) (cjj) пропорцио-
нальна 72. Поэтому только величина бгЛ4 содержит интересующие нас
члены, линейные относительно магнитного поля, или, точнее говоря, отно-
сительно тензора электромагнитного поля

f’lAv (<?) — i (ЧуД$> (q) qvA\h (<?))•

Сумма этих членов (с точностью до слагаемых порядка а) равна»
согласно (36.4.13),

6гм =------й2	Лце) (q) Ui =	(7) щ

(мы пользуемся здесь вместо eR и mR обозначениями е и пг).
Вспоминая, что матрицы спина электрона связаны с матрицами Уу.
соотношениями

Si = 4- УгУз, S2 = 4- 7зТ1,	2з = -у №

можно переписать в виде

бгМ = -д1(1й2 (S/7-аЕ)ыь	(37.2.1)

где [5]

6^=-^ Но	(37.2.2)

eh
и Цо — магнетон Бора, ц0 =	.

Это выражение соответствует, очевидно, взаимодействию с электро-
магнитным полем F^v частицы, обладающей магнитным моментом бхц.
_Мы видим, таким образом, что кроме «нормального» ц0 (т. е. следующего
из уравнений Дирака) магнитного момента электрон обладает еще допол-
нительным магнитным моментом б^. Этот момент называется аномальным
магнитным моментом.

Формула (37.2.2) определяет аномальный магнитный момент электрона
с точностью до членов порядка а2. Но можно найти и следующие радиа-
ционные поправки к магнитному моменту электрона. Для этого нужно,
очевидно, выделить в Лвц (рь р2) члены, пропорциональные q. Они будут
иметь следующий вид:

еЛВ(1(Рь Рг)— ——9 = Рг-Р1, (37.2.3)

где ц' и представляет собой аномальный магнитный момент электрона.

Обратим внимание на то обстоятельство, .что аномальный магнитный
момент непосредственно связан с вершинной функцией. Поэтому при
вычислении поправок к магнитному моменту достаточно рассматривать
только вершинные диаграммы. Например, для вычисления магнитного
момента электрона с точностью до членов порядка а3 нужно рассмотреть
диаграммы рис. 37.2, которым соответствуют, согласно правилам Фейнмана,
величины

Mi (2n)^U2 г (р2—(Р1 — /г)24-т2 k? W £2

2	(2л)8 2 d (р2_/г)2_|_ш2	\Р2	)	X

V л(е) (а) 1 (Pi-h-m

Х	(Pi — W + tn?	U

АЛ — 2/е3 Г Л<3)/„ п _ b\ _i_(p2-z_k)~jn	/(Pi — k) — tn d±k „

Мз (2л)4 M (^2, Р2 k) (p2__^)2 + m2 А (?) (Р1_^)2 + ш2 Ь U1,
^4 = (2я)4 “2 §	pi~k)x

i (pi — k) — tn d^k

X (Pi — fe)2+m2	*2 + X.2 U1’

M ~e5 Й v, 1 (Pz-V-m i (Pz-k-k’)-m

JV15 (2л)» Uz J (p2-fe)2 + m2 (р2_/г_р')2+т2 X

.. t(Pi-k')-m d*k d^k'

K4> (Pi. — k—k'Y + m^yK (Pi — k')» + nfi	~№~Ui
(величины П^(^), 2(2) (р) и Лц3) (Al, р2) определяются формулами (36.3.6)»
(36.2.10), (36.4.13)). Регуляризовав сумму этих величин:

5

(6ГМ)Й=2 (Mt~ Mt|g=o),

г=1

нужно выделить в (6ГЛ1)К член, линейный по q:

(&гМ)в = ~6zliu2A^ (q) WvzzJvYu qvtli .

тогда коэффициент S2p и будет радиационной поправкой к магнитному
моменту электрона порядка а2.

Мы приведем здесь только результат вычислений 62р[6]:

/у 2

б2р/ =	0,328 ро.

(37.2.4)

Таким образом, магнитный момент электрона с точностью до членов
порядка а3 равен

t* = M1+1S-0'3285-) 	<37-2-5>

Заметим, что формула (37.2.5) подтверждена экспериментально с точностью
до 1% в коэффициенте, стоящем перед а2.

Перейдем теперь к рассмотрению аномального магнитного момента
мюона. Первая поправка к магнитному моменту мюона будет, очевидно»
иметь тот же вид, что и соответствующая поправка к магнитному моменту
электрона:

еП

где ро = 9-----нормальный магнитный момент мюона (mg — масса

мюона). Однако вторая поправка будет существенно отличаться от второй

поправки в случае электрона. Это отличие связано с тем, что в выражение
для Mi входит поляризационный оператор (£), который в случае элек-

трона определяется виртуальными электронно-позитронными парами»

а в случае мюона — как виртуальными р+ — р «-парами, так и виртуаль-
ными электронно-позитронными парами, причем вклад последних благодаря
меньшей массе электрона превосходит вклад от р+— р_-пар.

Мы приведем здесь только результат вычислений второй поправки
к магнитному моменту мюона:

/у 2

62р = 0,76-^ |х0*

Таким образом, магнитный момент мюона с учетом первых двух
поправок имеет вид

(x = Ho(l+^- + O,76-g-) .	(37.2.6)

Заметим, что точное измерение аномального магнитного момента мюона
может иметь большое значение для проверки справедливости квантовой
электродинамики в области больших импульсов. Действительно, в то время
как при вычислении поправок к магнитному моменту электрона в интегра-
лах по 4-импульсам р виртуальных частиц основную роль играет область
р2 ~ т2, в соответствующих поправках к магнитному моменту мюона основ-
ную роль играет область p2~tn^- Так как масса мюона близка к массе
пиона, являющегося сильно взаимодействующей частицей, то не исключено,
что в этой области импульсов может проявиться либо общее нарушение
характера электромагнитных взаимодействий, либо наличие каких-либо
других специфических для мюонов взаимодействий.

Так как интеграл, определяющий поправку к магнитному моменту
является сходящимся, то для грубой оценки возможных эффектов можно
при вычислении (рь р2), т. е. интеграла (36.4.3), считать область Q
конечной сферой радиуса L. Это приводит к следующему выражению для
первой поправки к магнитному моменту мюона [7]:

с Га (.	2 т»\

2л \	3 ’ L2 / ’

Достигнутая в настоящее время точность в измерении магнитного мо-
мента мюона согласуется с формулой (37.2.6) с относительной точностью
— 5.10-7.

§ 38.	Радиационные поправки к атомным уровням

38.1.	Уравнения Дирака с массовым оператором. Перейдем теперь
к учету высших приближений теории возмущений в задаче о стационарных
состояниях атомов. Этот учет позволяет объяснить смещение уровней изо-
лированного атома (по сравнению с системой уровней, даваемой уравне-
ниями Дирака) и наличие у уровней так называемой естественной ширины.

Чтобы исследовать это смещение (оно называется радиационным) г
обратимся к уравнению (21.4.17) для электронной функции Грина. Опуская
в правой его части 6-функцию, мы получим уравнение

|уц ------ie^ (х)) +m| ф (х) + / S (х, х') ф (х') d*x' = 0 (38.1.1)

для волновой функции электрона ф(х) во внешнем поле Дц\х) с учетом
эффектов высших приближений. Здесь 21ц (х) = <Дц(х)) —сумма исходного
внешнего поля Ац}(х) и радиационной поправки к нему 6Аце)(х), 21ц (х) =
= Лце)(х)+ 6Лце)(х), и 2(х, х') —массовый оператор,

S(x, x') = e2yv J G<e)(x, х1)Г1Х(х1> x'; £)G^(g, x)d4x{d^.

Мы будем далее предполагать, что массовый оператор определяется
формулой

S(x, x') = e2L>c(x—х') уу,5се) (х, х')урл	(38.1.2)

где Sce) (х, х') —функция Грина уравнений Дирака для электрона в поле
21ц (х), т. е. решение уравнения

{ти (-^““^(х)) + m} Sc^x, х') = — fi(x-x').

Эта функция удовлетворяет, согласно (27.1.3), интегральному уравнению

Sce)(x, x') = Sc(x-x')- J Sc(x-x")e^(x")S^(x", x') d4x". (38.1.3)
При подстановке этого выражения в (38.1.2) можно, очевидно, после
перенормировки массы не учитывать первого слагаемого,

S (х, х') = — е3 J Dc (х—х") уц8с (х' — х") yv?Iv (х") 8<е) (х", х') d4x".

Заменяя здесь ?к(х") на Л$е)(х") и Sce)(x", х') на Sc(x" — х'), получим еле-
дующее выражение для массового оператора, справедливое с точностью
до членов, пропорциональных е3:

S (х, х') = — е3 Dc (х — х') Y^Sc (х' — х")	(*") S. (V' — х') у^сРх".

(38.1.4)

В импульсном представлении массовый оператор определяется фор-
мулой

S(P1, р2) = еЛ^,(р1, p2)A^{q), q = P2~Pi-

Прибавив к 2 (plt р2) произведение на ебЛ^ (q), мы получим вели-
чину

6(/(9) = е{Л<3>(р1, й)А'е)(?) + уЛ'е)(9)),	(38.1.5)

которая описывает взаимодействие электрона с внешним полем с точностью
до членов порядка е3. Действительно, взаимодействие электрона с полем
описывается в уравнениях Дирака величи-
ной U (х) = еу&А^ (х); уравнение же (38.1.5)
означает, что для учета радиационных попра-
вок к величине U (х) нужно добавить 8U (х).
Графически это очевидно, так как величине
6 U (д) соответствует совокупность двух диа-
грамм (рис. 38.1), которыми исчерпываются
возможные в рассматриваемом случае эффекты
взаимодействия третьего порядка.

Подставляя в (38.1.5) выражения (36.4.14) и (36.3.10) дляЛвц(р, р2)
и 6Л^₽) (9), получим

6L/(9) = Fp(v)4e) (<7),

(38.1.6)

где

^|х(9)= — (2^)2 {ти[(-^20	00пТ~ Ttg0 —

0

tg2fT § dQ +-8^-(<Л’ц— Yi*<7) sin20
0

- Tv (q^qv - <72Shv)	(1 ~ 0 etg 0) - 4] } •

Первые два члена в разложении F^q) по степеням qv имеют вид


Заменив здесь на	мы перейдем к координатному представле-

нию функции Ш (хУ

^=(4л)2 {&4~т(1п^7	8"—т) ЬС лие)(х) —

- lir VnTvFgv (X)} =	(S/7 - ЩЕ) +

(1пТ-1~т)№<₽-«(38-L7)

где Е(х) и 77 (х) — электрическое и магнитное поля, ф(х) и А (^ — соот-
ветствующие им скалярный и векторный потенциалы и а и Р —матрицы
Дирака.

38.2.	Общие • формулы для радиационного смещения и естественной
ширины уровней. Далее мы разъясним область применимости прибли-
женной формулы (38.1.4) для массового оператора, пока же будем пользо-
ваться «точной» формулой (38.1.2) (точной в том смысле, -что в функции
Грина S(ce) (х, х') правильно учитывается внешнее поле).

Подставляя в (38.1.2) выражение (27.1.2) для Sce) (х, х'У

S^(x х')--LV

°c x ) J a e 21 £0(1— ZO) + co ’
—oo	n

где ф„ (x) = фп (r) е~гЕп* — «стационарные» волновые функции электрона,
удовлетворяющие уравнениям Дирака без массового оператора, но с радиа-
ционной поправкой к потенциалу внешнего поля (которое мы предпола-
гаем не зависящим от времени),

—	+т} Шх) = 0,

представим S (х, х') в виде

S (х, X ) = (2зх)5	£2__/о	2 егкг^п (г) фи (г ) e~lkr	£“(1 —/0)_со

П	—оо

(38.2.1)

Возвратимся теперь к уравнению (38.1.1) и будем искать решения
его, имеющие вид

ф (х) == ф (г) e~iEt.

Подставляя это выражение в (38.1.1), получим следующее уравнение
для определения возможных значений Е:

Н(0)ф(г)4-1	И Ф (**') d3x' = £ф(г),	(38.2.2)

где Н<0> —«невозмущенный» гамильтониан, соответствующий уравнениям
Дирака без массового оператора, но с радиационной поправкой к внеш-
нему полю:

Н(0)фп(г) = ^Ж(Н.

и S^(r, г') —компонента Фурье массового оператора 2 (х, х') по времени,

SE(r, r')=	(х, -X')dt	(38.2.3)

33 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
(внешнее поле предполагается не зависящим от времени, поэтому в 2 (х, х')
времена t и t' входят только в виде разности t — t').

Сокращенно уравнение (38.2.2) можно записать в виде

НЕф(г) =£л|)(г),

где

Н£ = Н!0,-НТД£.

Так как оператор iy^E пропорционален малому параметру а, то реше-
ние этого уравнения можно искать по методу обычной теории возмущений.
Ограничиваясь первым ее приближением, получим для смещения я-го
уровня выражение

(п | /2 Е | п) = i	грп (г) 2^ф° (г) dr i (г) 2S (г, г')	(г') d3x d3x'.

Используя формулы (38.1.2) и (38.2.3), можно представить (п\ШЕ\п)
в виде [8]

I /У I п\ = е2 V dik V I ?|легЬг I »'> <»' I Уце~{кг | я>

1 в| )	(2л)«г J ^2—zO Z1	(1 —/О) Еп' — Е«+^о

=	\ d3kQ(E„, Еп', | fc|) {п | ууегкг | п') {п' | yile~ikr | п}, (38.2.4)

П'

где

Q(E“, Еп>, |£|)= F---------------s-----------------------

'	* 1 17	« [(l-iO)£n'-£n + A0] (k^-k2a-i0)

— оо

и

<л[ y^eikr I п') = ф» (г) урегА'',фп' (г) d?x.

Величина Q(En, Е^, |Jfc|) может быть непосредственно вычислена:

Q(£», Е*п>, \k\)

Замечая, что

я/	1

I о 1-0/1 n\ I х. I
Еп — Еп' (1 — zO) — | k\ ~—q-

1 I

—1— =	(x) + P — ,

x — tO	\ / i x

можно переписать Q(£«, Eon', |^|) в виде

Q p 0	Г \

Q(E^, E^,	(E°n-E^-\k\£b +

I K I \hn' I	I -Cn' I '

+тяр-----------------• (38.2.5)

I K 1	г-0	E.0	, , . -Cn'

En-En'- |й| -~r-

IEn-\

Подстановка этого выражения в (38.2.4) показывает, что величина
{п |	| п) является комплексной,

(«|г2Е|«) = бЛп—Гп,
где

<« I I п'} (п' I Yp,e гкг I п)

£п-£п'—
|£п'Г

(38.2.6)

г» -йг $ W 2 г|г|{п 1 пегкг 1 п>} {п'1 ъе~гкг 1 П> Х

п' ’

хб (E°-E°n.-\k\-^-} .

V	\Еп'\'

Вещественная часть (п \ i%E \ п) определяет собственно радиационное
смещение уровня, а мнимая часть — естественную его ширину, обусловлен-
ную взаимодействием электрона с электромагнитным полем (Гп представ-
ляет собой суммарную вероятность перехода электрона из исходного состоя-
ния, связанную с излучением фотона).

38.3.	Радиационное смещение уровней атома водорода. Общие формулы
(38.2.6) наглядно показывают, что радиационное смещение уровней
обусловлено взаимодействием электрона с виртуальными фотонами, однако
конкретное вычисление величины радиационного смещения по этим форму-
лам очень сложно. Более удобным является следующий прием. Разобьем
область интегрирования в (38.2.6) на две части, в первой из которых энер-
гия фотона меньше некоторого значения /С, а во второй — больше этого
значения, и выберем величину Д' таким образом, чтобы она была значительно
больше всех разностей атомных уровней,

Д»|£°-Е$И,

и одновременно значительно меньше т, Д' < т. Тогда в области | k | > Д',
очевидно, не имеет смысла пользоваться точным выражением (27.1.2) для
функции S(c} (х, х'); напротив, при | k | > К можно пренебречь влиянием
связи электронов в атоме, т. е. можно заменить под знаком интеграла
в (38.1.3)	(х\ х') на Sc(x" —х').

Иными словами, при | k | > К можно пользоваться для массового
оператора выражением (38.1.4) и, следовательно, можно находить вклад,
вносимый в радиационное смещение «коротковолновыми» фотонами
(| k | > Д'), рассматривая величину б С/ (х), определяемую форму-
лой (38.1.7), как энергию возмущения.

В области | Jfc | < Д' необходимо, вообще говоря, пользоваться точной
формулой (38.2.6). Она значительно упрощается при | k | < К < т, когда
законно нерелятивистское приближение. Мы будем далее пользоваться
этим приближением для определения вклада в радиационное смещение,
вносимого «длинноволновыми» фотонами (| k | < т) [9], и покажем, что
границы областей «коротковолновых» и «длинноволновых» фотонов входят
в радиационное смещение под знаком логарифма (с одинаковым коэффи-
циентом перед логарифмом). Это значит, что области «коротковолновых»
и «длинноволновых» фотонов «сшиваются», т. е. промежуточная область
| k | — Д' не вносит существенного вклада в радиационное смещение.

Перейдем к определению вкладов, вносимых в радиационное смещение
атомных уровней «коротковолновыми» и «длинноволновыми» фотонами.

Рассматривая 6J/ (х) (см. формулу (38.1.7)) как возмущение и прене-
брегая магнитным взаимодействием между электронами, получим следую-
щее выражение для вклада в радиационное смещение /г-го уровня атома,
вносимого «коротковолновыми» фотонами:

а ТТ { Зт2 (	8	5*) (“фп» Аффп) + (фп> Т4а^фп)| (38.3.1)

где фп (г) — нерелятивистские волновые функции атома, вычисленные без
учета радиационной поправки к полю, создаваемому ядром и атомными
электронами, ср ——iA^— потенциал внешнего поля и (ф?г, Ьфп') =
=	Это выражение содержит «массу фотона» К, что и ука-

зывает на то обстоятельство, что формула (38.3.1) не учитывает вклада
в радиационное смещение, вносимого «длинноволновыми» фотонами.
Последний в нерелятивистском приближении определяется формулой

где (п | V | п'> — матричный элемент энергии взаимодействия электрона
с фотоном:

<П I V |п') =-=4-<n i | я'),

|/ -^со

V — оператор скорости электрона и # —вектор поляризации фотона
с волновым вектором k и частотой со.

Замечая, что

У |<n|ev|n'>|а = |-1 <nIVIn'> I2,

dzk

и переходя от суммирования по k к интегрированию, с учетом

= -^-з— представим \Еп в виде

к
\Еп = ^— do®

О «ГС j.)
о

5П |(п|у|п')Р

/I -О -0	»

, Еп — Еп' — со
п'

(38.3.2)

где верхним пределом мы считаем величину К (учитывая логарифмическую
зависимость результата от Д).

В этом выражении нужно произвести теперь перенормировку массы.
Для свободного электрона ДЕ равно его электромагнитной массе 8т (точ-
нее, той части 8т, которая обусловлена взаимодействием электрона с фото-
нами, энергия которых меньше /С). Но мы уже включили 8т в массу элек-
трона т и под энергией уровня п понимаем полную энергию за вычетом т.
Поэтому мы должны вычесть из (38.3.2) соответствующее выражение для
свободного электрона.

Так как для свободного электрона отличны от нуля только диагональ-
ные элементы скорости, то в этом случае формула (38.3.2) приобретает вид

к

d<o<o--L</i| va|n>.

о л е)	ш

О

Отнимая это выражение от (38.3.2) и замечая, что

2 I * I«') I2 = <« I v21 л>,

п*
получим следующую формулу для радиационного смещения уровня Еп,
обусловленного взаимодействием электрона с фотонами, энергия которых
не превосходит К:

6£; = -|-М с/со 2 -Un|y-> |2 (^-^)-	(38.3.3)

d л j	Еп—Еп'—а>

О п'

Выполнив интегрирование по со с учетом К^>\Е„— Еп'\, получим

б£» = I V 2 I <« Iw I «'> I2 ~ 1п - (38.3.4)
й я ,	\Еп' — Еп\

п

Вводя далее величину 80? определяемую формулой

2 I <n| » I «'> I2 (Еп'-Еп) 1п| Еп'-Еп |

перепишем 6£п в виде

=	2 K«-l*l«'>l2(^n'-£n)lnY-•	(38.3.6)

О JU	CQ

п'

Входящая сюда сумма равна

2 I <« IVI n'> I2 (Е°, — £„)= —^2- J <* (г) Vcp (г)	(г) d3x =

п'

= 2^^ Аф(г)1 Фп(г)|а

Поэтому окончательно

S£«=№ А(Р^)1п v •	(38-3.7)

Мы не делали пока никаких предположений о величине Д. Выберем
теперь Д таким образом, чтобы минимальная энергия фотонов, взаимодей-
ствие с которыми еще учитывается формулой (38.3.1), была равна Д. При
этом, согласно (29.2.10),

1пХ = 1п 2К-4-

О

и сумма 8Еп и 6Еп, определяющая общее радиационное смещение уровня
Еп, не будет содержать ни % ни Д' [9, 10]:

{да(1п-Л-4+|—1-) х

тели oiii, \ ^cq о и о /

х(^, Д<М)+4(^’	• (38-3.8)

В случае водородоподобного атома



Ze^
г

И

(i|&, еАф^) = 4ne2Z j ч|4 (0) |2,

(38.3.9)
а так как

2 = 0,

I О,

где п и / — главное и орбитальное квантовые числа и а = -—£ , то

«, еДф<) = <

8^-Z4Ry,

/г3 j ’

О

1 = 0,

/ о,

где Ry = у а2тс2. Далее можно показать, что

Г

“	фа£<) = 

±_________Ш________	/ = 14--

ns (Z-f-1) (2Z +1) ’	'	‘2

1СТ2	Ry

n® Z(2Z + 1)’

(38.3.10)

так что окончательно для радиационного смещения уровней водородоподоб-
ного атома в s-состояниях получается формула [9]

6Е(п, 0) = Д" -”- Ry Г1п^-4--|—11 ,	(38.3.11),

'	7	/г3 Зя J L 2s0 1 6	5 J ’	v 7

а для смещения уровней в состояниях с 1^=0 — формула

в£<"' = <38-3'12>

где

Мы видим, что радиационное смещение уровней водородоподобного
атома составляет по порядку величины Z2a3E0, где Ео — энергия основ-
ного состояния или осДЕ, где ДЕ — Z2a2E0 — расщепление уровня, соот-
ветствующее тонкой структуре.

Для уровней водорода 2s и 2р радиационные смещения (в единицах
частоты) составляют

Av(2si/2)= 1034 Мгц,

Av(2pi/2)= —17 Мгц,

Av(2p3/2) = 8 Мгц.

Как известно, несмещенные состояния 2si/2 и 2pi/2 обладают одинако-
вой энергией, радиационные же смещения этих уровней различны, и уро-
вень 2si/2 оказывается лежащим выше уровня 2pi/2 примерно на 1051 Мгц.

Приведенные формулы определяют радиационное смещение уровня
порядка а3Е0. Можно показать, что в следующем приближении теории
возмущений мы получим смещение уровня водородоподобного атома,
равное [И]

6£г' = ^Ку(1+48-11п2+А) .	(38.3.13)
При п = 2 и Z = 1 это дает 7 Мгц. Разность энергий уровней 2si/2 и 2pi/2
для водорода получается с учетом этой поправки равной 1057,19 Мгц, тогда
как экспериментальное значение этой величины равно 1057,77 ± 0,1 Мгц[12].

В заключение этого раздела заметим, что, используя аналогичные
методы, можно определить радиационное смещение уровней позитрония.
Разность основных уровней орто- и парапозитрония оказывается при этом
равной [13]

A№ = a2Ry {-J-(v+ln 2)зг} =2,0337.10® Мгцкек.
Экспериментально найденное значение этой величины составляет [14]

&W = (2,0333 + 0,0004) • 105 Мгцкек.

38.4.	Радиационное смещение уровней ц-мезоводорода. В радиацион-
ном смещении уровней атомного электрона поляризация вакуума играет
незначительную роль (около 3% от общего смещения). Это связано с тем,
что кулоновское поле ядра искажается поляризацией электронно-пози-
тронного вакуума на расстояниях порядка комптоновской длины волны
электрона Tthnc, размеры же электронных орбит в атоме значительно боль-
ше Tilmc.

Иные соотношения имеют место в ц-мезонном атоме, в котором роль
электронов играют отрицательные ц-мезоны. Из-за большой по сравнению
с электроном массы рмезона (в 210 раз) размеры орбит в ц-мезонном атоме
значительно меньше размеров электронных орбит в обычном атоме, и основ-
ную роль в радиационном смещении уровней ц-мезонного атома играет
поляризация электронно-позитронного вакуума.

Радиационное смещение уровней ц-мезонного атома водорода, или,
иначе, ц-мезоводорода, составляет примерно а2Е0, где Ео — энергия основ-
ного состояния этого атома, в то время как для обычных атомов это смеще-
ние составляет только а3 от энергии основного состояния.

Чтобы найти радиационное смещение уровней ц-мезоводорода (точнее
говоря, водородоподобного ц-мезонного атома) [15], воспользуемся форму-
лой (37.1.3) для радиационной поправки к закону Кулона, обусловленной
поляризацией электронно-позитронного вакуума:

оо	___.

МО=-ЙИ (1+М) dl.

1

Радиационное смещение энергии р-мезона, находящегося в состоянии
с волновой функцией ф„(г), равно

$Еп = \ ебср (г) | ф° (г) |2 d?x =

aZe21
6л2

1/7-2—I , р (,~2тг1

JL__|^(r)|2d3x.

1

Это выражение, отнесенное к энергии основного уровня £0 =

^аи-радиус нормальной орбиты р,-мезона в мезоводороде,

= ——, может быть представлено в виде

727^6	/

e2Z2

4ла^

равный —

ЬЕп   2а Р
I Ео | ~ ’Зл' J

-^2

(38.4.1)
где

оо

\re'vr^ (^rr)dr,
\ Нь / «j	\ ZT4 /

0

Rni (0 — нормированная радиальная функция и

т
е =----~

m^aZ

(т^ — приведенная масса ц-мезона, I — орбитальное квантовое число).
Приближенное интегрирование в (38.4.1) приводит к следующим значениям
смещения уровня в электрон-вольтах для различных Z (оно всегда отри-
цательно):

nl	1	6	20
1s	1,8	320	20 000
2s	0,2	47	3 250
2р	0,014	27	2 550

Заметим, что при п = 2, Z = 1 расщепление, соответствующее тонкой
структуре, на порядок меньше радиационного смещения.

38.5.	Рассеяние фотона вблизи резонанса. В § 27 при рассмотрении
рассеяния фотона связанным электроном мы видели, что в случае резо-
нанса, когда энергия фотона совпадает с разностью энергетических уровней
электрона, теория первого приближения, основывающаяся на матрице
рассеяния второго порядка, становится неприменимой. Обычный метод
учета радиационных поправок здесь также неприменим, так как он бази-
руется на разложении матрицы рассеяния в ряд по степеням а, тогда как
в рассматриваемом случае, как нетрудно видеть, разложение в ряд произ-
водится по степеням величины	---, которая обращается при

Еп'~Еп—со

резонансе в бесконечность.

Поэтому мы должны учесть радиационные поправки на более ранней
стадии вычислений, которой в упрощенном выводе формулы (27.2.1) соот-
ветствует введение комплексных частот.

Из вывода формулы (27.1.9) для сечения рассеяния фотона легко заклю-
чить, что резонансный знаменатель в матричном элементе связан со струк-
турой функции Sce) (xi, х^, содержащей, согласно (27.1.2), в знаменателе
Еп + о). Поэтому следует ожидать, что замена функции (хь х2) точной
функцией Грина электрона G<e> (хь х2) должна приводить к конечным
результатам. Эта функция, согласно (21.4.17), удовлетворяет уравнению
{?|Х (-Д^ —/ейц(х) )+/n| G^(x, х') +

+ i J 2(х, x")G<e>(x", x')d4x" = -iS(x-x'), (38.5.1)

Легко убедиться, что функция Грина G^(x, х') удовлетворяет также
уравнению

G^(x, x') = S(ce) (х, х') +

+ J S<e> (х, х") 2 (х\ х'") G^ (х”', х') d4x" d4x"',	(38.5.2)

где Sce) (х, х') определяется формулой (27.1.2).
Покажем теперь, что если в матричный элемент рассеяния фотона свя-
занным электроном ввести вместо функции Sce) (х, х') функцию G<e> (%, %'),
то мы получим конечное выражение при резонансе в соответствии с резуль-
татами § 27 [16].

Разложим функцию G(e) (х, х') в ряд по полной системе функций (г),
представляющих собой пространственные части волновых функций элек-
трона в поле 2Гц, (х):

HW = W)-	(38.5.3)

Коэффициенты разложения, являющиеся функциями времени, мы
разложим в интеграл Фурье. Такое комбинированное разложение G<e> (х1? х2)
имеет вид

G(e)(*i, х2) = -Цт-2 §	+

2	(<й)	(п) ^'(г2).	(38.5.4)

Установим уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты разло-
жения /пп'(ю). Подставим для этого разложение (38.5.4) в интегральное
уравнение (38.5.2). Замечая, что

§ Ч’п (G) ps<e) (Xj, х3) d3xt =	(п) (хь х3) d3xt =

1 Р	егсо(/1—i3)	—

= 2л/ J Е£(1 —z0)4-(o	(Гз)’

— оо
получим следующую систему уравнений для fnn' (®):

f пп (®) = £0 (1	1	(	®) fnn (®)	2 Нпп' (	®) fn'n (®) ) ,

п	п'=£п

(38.5.5)

fnn' (<о) = go ц /0) + ® { Нпп' (	2	( Сй) fn"n' ($>) J 7

п	п"=£п'

где

/fnn,(<o) = Hnn’(t)ei(iitdt
— со
и

нпп- (/) = i с (Гз) 2 (Гз. гс, 0 ^n' (r4) d3x3 d3xt.

Вводя обозначения
1	^пп' ~ р

/п»(®) ~Кпп' ^п'

перепишем уравнения (38.5.5) в виде

D ^пп' (	I VI ^пп" ( ю) ^П"Л'	/Q2 14

Rnn'=—£^-+ 2 -------------’	<38-5-6>

пнфпг

Qnn = Еп 4- со -|- Нпп (— со) -J- 2 ^пп' (— оз) Кп'п» (38.5.7)
П'т^П
Считая величину Нпп' (— со) малой и пользуясь методом последова-
тельных приближений, получим

г> _	—1 Г тт / ч | ХЛ Нпп" ®) Нп”п' ( — G*) ,	1

Ann' EQn + (H	С0)+	— ю —£0„	‘	’

п"^=п'

(38.5.8)

О	W	! V ^пп" ("Сй) ^П"П ( — Сй)

Ч.ПП — СО Еп + НПп\ — со) + /1--------_со — Е°„--------Ь • • •

П"фП	п

В первом приближении

Qnn ~ со + Еп + Нпп (— со),

(38.5.9)

ту	^пп' (	С0)

Кпп	0)+£7°г + Япп(-С0) ’

откуда

fnn = co+E»+7/nn(-w) ’	(38-5‘10)

с _	^пп' (	®)

1пп' \а + Е*п + Нпп (-со)] [со + £о, + яп,п, (-со)]	*

Мы видим, что ] fnn> | < [ fnn\; поэтому в дальнейшем можно прене-
бречь недиагональными элементами fnn>.

Найдем теперь	х2). Подставляя (38.5.10) в (38.5.4) и пре-

небрегая величинами fnn', получим

00	•	/j.	J X

1	— П> ргсо(?1-/2)

+	(38.5.11)

Это выражение отличается от выражения (27.1.2) для функции
Sce)(x19 х2) знаменателями дробей, стоящих под знаком интеграла. Вели-
чина //пп(~со), входящая в G<e> (х19 х2)9 совпадает, очевидно, 'с величиной
(п | /2ю|/г>, определяющей радиационное смещение и ширину уровня
(см. (38.2.6)):

Нпп (— со) = 8Еп — ~ гп.

Так как эта величина комплексная, то знаменатели дробей в (38.5.11)
не могут обратиться в нуль.

Подставив выражение (38.5.11) вместо (*i, х2) в формулу (27.1.3),
мы получим сечение рассеяния фотона, имеющее вид (27.2.1).

§ 39.	Радиационные поправки к сечению рассеяния электрона
во внешнем поле и сечению рассеяния электрона электроном

39.1.	Сечение рассеяния электрона в кулоновском поле ядра во втором
борновском приближении. Перейдем к определению радиационных попра-
вок к сечениям различных процессов рассеяния электрона. Начнем с рас-
смотрения рассеяния электрона в кулоновском поле ядра [5].

Диаграммы, изображающие процесс рассеяния во внешнем поле в пер-
вом приближении и радиационные поправки к нему в третьем приближении
теории возмущений, представлены на рис. 39.1. Соответствующие этим
диаграммам элементы матрицы рассеяния равны

ЛП1’ = е А(е) (?)

1	1/2е2



ДЛ<3) _	;g3 ц2

(2я)4 д/2^

(39.1.1)

f f	k}~ т Х(е), - «(Pi — k)—т d*k ~| tq

U 7ц(р2-Л)2 + /п2 W (P1_fe)2+m2 Yu £2 J у^’

<3) =

te‘3 и2

(2я)4 Д/2^

X {^e)(7)^-TvSp J

i(p + q)-m	ip — m	,4 ) Ui

(p+qY+m* 7ц P24-«2 7v PJ У2б!

где Ui и и2 — биспинорные амплитуды начального и конечного состояний

электрона с 4-импульсами р± и р2 (8i
и 82 —энергии электрона до и после
рассеяния), (7)—компонента Фурье
внешнего потенциала и q = р2 — Pi-

В случае кулоновского поля ядра
с атомным номером Z

^0б) (9) = 2nd (8Х — 82)	, (зд. | .2)

A(*\q)=0 (z —1,2, 3)

и

7И1П = ^-2ш( •   и^=-' у4—^=^^6(84—82).

1	<72 V 1/282 r4 V2S1 f V 1	7

(39.1.3)

Используя формулу (38.1.5) для	Рис. 39.1.

величины St7 (9), описывающей вза-

имодействие электрона с внешним полем с точностью до членов
порядка е3, можно представить Л4^3) + Л1^3) в виде

М«> + Л1» = - У у. т, { 4 [ (1 - 2ф с th 2Ф) (1 + 1„ У +

ф

4- -у th ф + 2 cth 2<р и th и du^ +
о

+4(i^M’4cthM4-i’iw}	(39-1Л)

где ф связано с изменением импульса q и углом рассеяния О соотноше-
ниями

л,

<?2 = | q |2 = 4р2 sin2-^-=-4m2 зЬ2ф, |А I = I = |р|-
Для получения сечения рассеяния с учетом радиационных поправок
недостаточно, однако, найти квадрат модуля и просуммировать его по раз-
личным начальным и конечным состояниям. Действительно, радиационные
поправки представляют собой эффекты 3-го порядка
р _р I	\ргр	теории возмущений. Поэтому наряду с ними нужно учи-

2 \	!	тывать также рассеяние во втором приближении теории

---I	возмущений (второе борновское приближение). Заметим,,
что учитывать рассеяние в третьем борновском прибли-
жении уже не имеет смысла, так как матричный эле-
мент, соответствующий этому процессу, пропорциона-

Рис. 39.2. лен А

Рассмотрим подробнее рассеяние во втором бор-
новском приближении [17]. Диаграмма, изображающая этот процесс,
представлена на рис. 39.2. Соответствующий ей элемент матрицы рас-
сеяния равен

—-У~ОТ2Д(6)(р4-р)^р}-^. (39.1.5)

1	(2л)4 y2g2 U	'J у2е1 \	/

Легко убедиться, что входящий сюда интеграл расходится для чисто
кулоновского поля, поэтому мы будем производить вычисления, считая
кулоновское поле ядра экранированным:

7р

где ц — некоторая положительная константа. Как будет показано далее,
выражение для сечения рассеяния допускает предельный переход ц -> 0.
Величина АЮ (q) в случае экранированного кулоновского потенциала
имеет следующий вид:

Л(е) (</) =	2jtS (<?о).

Подставляя это выражение в (39.1.5), получим

л1‘” “4>zv vfc { 5 (Р2-Р)1>+Чг ' Р2 + ™2' U’-W’+f ‘‘,р} х

xWe('‘-'2)’

е2
где p4 = ie, 8 = 84 = 82 и а = -^-.

Вводя обозначения

С	d*s	__ т

J [(P2-S)2WH(P1-S)2 + 421(P1-S2) ~ Ь

Р ___________sd?s_____________ pj + р2 j

Л [(Рг-s)2+ti2] 1(P1-s)a+i)2](pl-s2)	2	72

и замечая, что

iypiUi = (у4е — tn)

twyp-z^ u^tfi—m),

представим 7H‘2) в виде

= - 4iZ2a2 {m - Z2) + ?48 (Z4 + Z2)}	6 (81 -s2).

у	v
Эта формула определяет поправку к амплитуде рассеяния во втором бор-
новском приближении.

Вычислим входящие в (39.1.6) интегралы Ц и /2. Рассмотрим сначала
интеграл

£ = ? ________________________2я ? fa ? ___________d£^sin%_________

[(р —S)2 + A2](p2_s2 + /0)	J Л 3 (P2-2PsCOS%+s2+A2)(p2-S2+z0) *

О о

Вводя новую переменную / = cos% и замечая, что подынтегральное
выражение не меняется при замене s—> — s,	— перепишем L в виде

1	ОО

,	? Я/ ?	s2^s

L — Л at (p2_2Pst + s2+A2) (P2_s2 + zo) •
— 1	—оо

Выполнив интегрирование по s с помощью теоремы о вычетах, получим

т _ *д2	— Р

Р р+Р + z'A ’

Интегралы Ц и 12 связаны простыми соотношениями с производными
ют L по Л и Р:

Р	d3s	___ 1 dL ______	я2

J [(s—Р)2 + Л2]2 (р2 —s2 + zO) “ ~ 2Л > “ Л (р2-Р2 + Л2 + 2фЛ) ’

Р	Sj> ds	1 dL Ру dL	/40 1 7\

J [(s—P)2 + A2](p2 —s2+z0) = ~~~2~дР^~ 2Л dA=	(ОУ.1./)

— __3X2D f_____________1___________I Z 1n p—P + iA I

т I A(p+? + /A) (p-P + zA)^ 2P3	p + P + zA^

+ _i_(_____1____+____J_____

2P2 kp — P + zA^ p+P4-zA

Действительно, воспользуемся формулой

i

1 __ 1 p	dz

ab ~~ 2 J l+г . , 1—z\2
-1 (“—+6—)

и положим в ней

fl = T]2_|_(S__p2)2)

& = T]2 + ('S—А)2-

Так как

+	[(S-P)2 + A2]2,

где

P = |[(l+z)A + (l-z)Al,
-ft
A2 = T]2 + p2sin2-g-(l - г2),

TO

i

1	__ 1 C dz

IO —P2)2 + П2] I(s - Pi)2 + H2]	2 Д [(s-P)2.+ A2]2 *
Сравнивая это выражение с определением Ц и 12 и используя формулы
(39.1.7), найдем

1 dL

Л дА

dz,

1

Pir 4~Р2г т ______f ( dL

2	2	4 J \ dPr

— 1

Pr dL \
A dA /

dz.

Выполнив интегрирование по г, получим окончательно при г|—>0

А

---------------5- 1П--------------

2 | р |3 sin2 у

71	гл2 / ] zt]	iTt

cos2 -у 2|p|3cos2 А (	2|р'	2 sin 4

(39.1.8)

Отметим, что при tj—*0

Re/j == О,

Re 12

л3

41 р31 cos2

(39.1.9)

39.2. Дифференциальное сечение рассеяния электрона в кулоновском
поле ядра с учетом радиационных поправок порядка а. Определим диффе-
ренциальное сечение чисто упругого рассеяния электрона, усредненное
по ориентациям его спина в начальном и конечном состояниях. Согласно
общим правилам § 18.3, это сечение равно

d(5e

1 1

2nJ 2

2 WP/do,

(39.2.1)

M. М-2

где М8 (gj — 82) = Л1)1’ + М™ 4- М™ -г J — плотность потока
электронов (нормировочный объем предполагается равным единице),
pf — плотность конечных состояний электрона, отнесенная к единичному
интервалу энергии и единичному телесному углу,

п   I р212 d | Р21  | р21 е2
(2л)3 de2 (2л)3 ’

и do —элемент телесного угла, в котором лежит р2.

Сумму матричных элементов можно, согласно (39.1.1), (39.1.4),
(39.1.6), представить в виде

«1

AIS (et — е2) =

1/2е2 4

6(8i —е2),

(39.2.2)
где

Q — (Ло + ^i) У4 + Ву$

А0 = 8лЧ^,
ч

А = — 8л1~- {[(1— q>cth<p) (1— yCth2(p) -у] +

ф

+ £(1 — 2ф cth 2ф) (1 + In—j +-y-th(p + 2 cth 2ф и th и du J J —

-4fZ2cc28(Z1 + /2).

__ 4nZa2 cp
mq2 sh 2ф *

C = —- 4iZ2a2m (Л — /2) •

Суммирование по ориентациям спинов может быть выполнено согласно
формуле (18.2.3):

3 1^ l2=^r^sp{[(^o +A)Y4 + 5T4^ + C](tpi — пг) X

•Аи“"	TTOjOQ

X [(ЛЯ-Л1) Y4 + B*y49 + C*] (ip2 — т)}.

Пренебрегая здесь квадратичными относительно А19 В и С членами
и используя формулы (8.3.6), получим

2 w=

Ц1, Ц2

= tV { Мо + Л I2 (m2 - Р’1Р2) + itn (А*0В- А0В*) + 2те (Ж+Л0С«)},
8102

Р;=(-Р1» г‘е)-

Подставляя сюда

|;ло + А, I2 = | Ло I2 + 2 Re (Л0Л1) = 64л4	-

ч

ф

+ pl — 2<р cth 2<р) р + In j +-f-th ф + 2 cth 2<р u th u du^ | —

-64n2^-8Re(A + /2),

Л!С + Л0С* = 2 Re (ЛЗС) = - 64n"fa3 т Re (Ц -12),
ч

А*В - Л0В* = 2f Im (Л§В) =

64n3Z2a3 ф
q^m sh 2ф ’

т2 — р[р2 = 2е2 р — v2 sin .
(v — скорость электрона), найдем, согласно (39.2.1), дифференциальное
сечение чисто упругого рассеяния

= (---——кЛ2 (1 — и2) (1 — у2 sin2

I 2mv2 sin2 — I	'

(1	\	9

1 —q- cth2 ф) —q +ф th q>4-
о	/У

Ф

+ 2(1 —2cpcth2(p) (1 + ln-^-j + 4cth2q) и th и du +
о

-O’	~1

D2 Sin2 _

___________2	2<p

.	9	9 -O’ sh 2®

1— у2 sin2— T

-0* /

-[-naZvsin^ il — sin

v2sm2yj

(39.2.3)

Мы видим, что сечение doe содержит «массу» фотона X; что же касается
константы экранирования т], то она, как и утверждалось, не входит в doe.

Заметим, что входящий в (39.2.3) интеграл можно преобразовать
к виду

<р	1

\и th и du = 4 sh 2ф V ----------gln(l-^= + i 1п -j-Ц-. (39.2.4)

J	4 v т е)	Л	А 2	1 — и24	'

0	SinT cos^-^W £2-cos2-J

39.3.	Исключение «массы» фотона из сечения рассеяния. Покажем,
как исключить из сечения рассеяния «массу» фотона. Для этого нужно,
как было разъяснено в § 29 2, наряду с чисто упругим рассеянием рассмат-
ривать также рассеяние с излучением мягкого фотона, энергия которого
значительно меньше энергии электрона. Сечение излучения такого фотона
определяется формулой (29 2 11)

do' =

.	1 1	! + у

---+ ------

v 1 — v

2 (2срcth2ф-1)1п^ +
л

1— D2

О
.sm-

ch 2фС? (у, ft) I do,

(39.3.1)

где

G(v,&) = t ln+f-----------------------

V ' e) 1—Vt.	Л	A

cos^ (1-^2S2)]/ £2-cos2-J-

Мы видим, что масса фотона входит в do' в виде
“(2ф cth 2ф- 1) 1п+ ,

а в сечение упругого рассеяния в виде

^(2<pcth2<p-l)ln-^-.
Поэтому, если сложить сечения doe и do', то в суммарное сечение рассеяния,
которое только и имеет физический смысл, «масса» фотона входить не будет.

Это суммарное сечение рассеяния с потерей энергии, не превосходящей
Де, мы будем записывать в виде

doAs = (----^Цн-Y (1 -1>2) (1 -1>2 sin21) (1 + 6в - бв) do, (39.3.2)

I 2mv2 sin3 — J

где величины 8R и 8B учитывают радиационные поправки и рассеяние
во С втором борновском приближении; согласно (39.2.3) ‘и (39.3.1) они
равны [5, 18]

бв = у {2(1-2ФсШ2ф) (1 + 1п^)+фШф +
«II	\	TiL /

+ 2(1-ф cth ф) (1 - у cth2 ф)-4 + 11п|^Ч

v2 sii

+ 2<р cth 2ф In -г—j Н------

1 v l-t>2

, (1 —ch <р P rln(lH-pg) _ in (1—d£)I dZ
$ J L 1-vt l + »g Jz------------------------------A

aS,nT COS A “	У ?2-COs2|

a	2

= navZ sin -и---------s-

1 —V2 sin2 —

(в выражении для 8R мы воспользовались формулой (39.2.4)).

Заметим, что при большом переданном импульсе [ q2 ( > т2 величина 8R
ведет себя как

6в~а1п2^.

В нерелятивистской области величины 8R и бв стремятся к нулю при v 0.

Формулами (39.3.3) можно пользоваться только в том случае, когда
величины 8r и 6в достаточно малы. В частности, q2 не должно быть очень
большим и ядро должно быть достаточно легким (второе борновское при-
ближение дает правильные результаты только при Z < 10 — 15).

В таблице приведены значения бв и 8В (в процентах) в зависимости
от 8, 'О’, Де.

О’		45°	90°	135°	45°	90°	135°	45°	90°	135°
е		2,5 Мэе			4,0 Мэе			9,5 Мэв		
6B/Z		0,61	0,89	0,86	0,62	0,92	0,99	0,63	0,94	1,07
	As = 10 кэе	4,8	7,4	8,7	6,9	9,9	11,3	12,4	15,9	17,5
	As = 25 »	3,9	6,0	7,1	5,7	8,1	9,3	10,5	13,5	14,8
oR	Де = 50 »	3,2	5,0	5,9	4,7	6,8	7,9	9,0	11,7	12,8
	As^100 »	2,5	3,9	4,7	3,8	5,5	6,4	7,6	9,9	Ю,8 1

34 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
39.4.	Устранение инфракрасной расходимости в случае произвольного
процесса рассеяния. Мы видели выше, что радиационные поправки к сече-
нию рассеяния электрона во внешнем поле содержат «массу» фотона. Про-
следим, как формально возникает в матричных элементах инфракрасная
расходимость. До регуляризации ни электронная собственно энергетическая
функция, ни вершинная функция (с внутренними электронными линиями)
не содержат расходящихся величин в области малых частот виртуальных
фотонов, вершинная же и собственно энергетическая электронная функции
в случае свободных электронных линий содержат такие величины.

При регуляризации внутренней вершинной функции Ли (р1?

мы отнимаем от нее величину Лц (р0, Ро), соответствующую свободным элек-
тронным линиям. Эта величина содержит интеграл, который расходится
в области малых импульсов виртуальных фотонов. Чтобы обеспечить схо-
димость интеграла, мы вводим отличную от нуля «массу» фотона X, которая
таким образом появляется в регуляризованной вершинной функции.

Аналогичным образом возникает Айв выражении для регуляризован-
ной электронной собственно энергетической функции. По этой причине
«масса» фотона начинает входить в радиационные поправки к сечениям
самых различных процессов рассеяния.

Мы покажем теперь, обобщая результат, полученный для радиацион-
ных поправок к сечению рассеяния электрона в кулоновском поле ядра,,
что если для любого сколь угодно сложного процесса рассеяния, являю-
щегося эффектом n-го порядка теории возмущений, наряду с радиацион-
ными поправками к нему, соответствующими (п + 2)-му порядку теории
возмущений, рассматривать также излучение реального мягкого фотона,
то суммарное сечение рассеяния, учитывающее как радиационные поправки,
так и дополнительное излучение мягкого фотона, не будет содержать
«массу» фотона.

Так как инфракрасная расходимость возникает при интегрировании
в области малых импульсов виртуальных и реальных фотонов, а «мягкость»
и «жесткость» фотона не являются, вообще говоря, инвариантными поня-
тиями, то мы будем пользоваться определенной системой отсчета, а именно^
системой, в которой потеря энергии каждой заряженной частицей, обуслов-
ленная испусканием «мягких» фотонов не превосходит некоторой величи-
ны 8, малой по сравнению с энергиями всех заряженных частиц, участвую-
щих в процессе

Пользуясь этой системой отсчета, мы выделим в пространстве 4-импуль-
сов фотона k область Rz, в которой

| k | < 8,

где 8 — некоторая малая величина (она может быть выбрана, например,
таким образом, чтобы выполнялось неравенство 8 < т), и будем называть
мягкими те фотоны, 4-импульсы которых лежат в Т?8, остальные же фотоны
будем называть жесткими.

Будем для простоты предполагать, что в процессе рассеяния участвует
только один электрон. Матричный элемент такого процесса можно записать
в виде

М =~й (р2) Q (pi, Рг) и (pi),

где р± и p2 — 4-импульсы электрона до и после рассеяния, и (р±) и и (р2) —
соответствующие им биспинорные амплитуды и Q (pi, рг) — некоторая
матрица.
Рассмотрим радиационные поправки наинизшего порядка к сечению

этого процесса рассеяния, связанные с испусканием и последующим погло-
щением виртуального фотона и приводящие к инфракрасной расходимо-

сти. Пусть, например, основным процессом является тормозное излучение
электрона (диаграмма Q на рис. 39.3). Тогда радиационным поправкам
к этому процессу, приводящим к инфракрасной расходимости, будут
соответствовать диаграммы Wl9

Vit V2, Y, изображенные на
рис. 39.3.

Покажем прежде всего, что
во вкладах, вносимых в радиа-
ционные поправки, члены, со-
держащие к и происходящие от
равного числа собственно энер-
гетических электронных диа-
грамм и вершинных диаграмм,
взаимно сокращаются.

Возьмем, например, верши-
ну А (рис. 39 3). Матрице
в основном процессе Q соответ-
ствует следующий вклад от диа-
грамм радиационных поправок
W и Vr.

7p.Sc (р) S(2) (р) + Л<Г (р, р2) =
= Y^c(p){S«) + Sl2>(pA-fm) +
+	(р)} +	(Р, р2) + 7^(3\

Рис. 39.3

где	Левая часть этого равенства не содержит инфра-

красной расходимости, которая появляется в константах S(2’ и L<3). Но
согласно (36.4.12) эти константы равны

S)2) = L(3),

и, следовательно, члены, содержащие их, сокращаются. По этой причине
регуляризованное значение написанного выражения (р) 2р) (р) +
+ [г (р, р2) не будет, как и утверждалось, содержать инфракрасной
расходимости.

Если основная диаграмма Q содержит п внутренних электронных линий,
то в диаграммах радиационных поправок типов W и V будет п внутренних
ЭСЭД и п — 1 внутренних ВД. От этих диаграмм останется одна нескомпен-
сированная «масса» фотона %, соответствующая одной ЭСЭД. Учитывая
наличие двух свободных электронных линий, с которыми связаны две ВД,
мы окончательно получим от всех диаграмм и Уг одну «нескомпенси-
рованную» % от одной ВД. Согласно (36.4.13) величина Z входит в вершин-
ную функцию в виде In V/n. Считая л —О, мы можем поэтому написать
следующее выражение для главной относительно X части матричного эле-
мента, соответствующего диаграммам типов W и V:

Mw+v= — — Mln —.
л т

(39.4.1)

Этот результат можно сформулировать и иначе, сказав, что с каждой
свободной электронной линией связана инфракрасная расходимость, причем
вклад от каждой из этих линий в матричный элемент, соответствующий
диаграммам типов W и V, равен

Рассмотрим теперь последнюю диаграмму радиационных поправок Y
и определим соответствующий ей матричный элемент Л4у. Согласно пра-
вилам Фейнмана

м КХ С

Му = т~ъ \

х 4л3 J

Ц(Р2) Л,

Z (р2 —fe) —m

(р2—P)2 + m2

Q(pi~k, p2—k)

i (Pi — k) — tn	и d^k

(P1_fe)2+m2 Va fe2+12 ’

причем из-за инфракрасной расходимости мы ввели в функцию Dc (k) «массу»
фотона X. Нас интересует вклад, который вносят в М7 малые А, поэтому
мы будем, где только возможно, пренебрегать величинами порядка k.

Замечая, что

й (р2) Ya [i (Л — £) — т] = и (р2) { —	+ т) + 2i/?2a — iyak} « 2ip2au (р2),

получим

ЛЛ fa и (Pz) гх г \ u f <№k	1

——р1Р2——^^рър2)у—^ fe2+X2 [(р2 —/г)2+т2] [(P1_£)2 + m2]

ИЛИ

Му = ауМ,

где

__ ia С	d^k

aY~ ~~nVPlp2 J (Й24-Х.2) [(p2—й)2 + т21 [(Pl —&)2+m2l '

Входящий сюда интеграл

г Р	d*k

J ~ J (62 + А.2) [(Р2-.,М2 + ш2] [(Р1_й)2 + т2]

равен, согласно (36.4.7'),

с	е

J =-----I ln^<^+ \ In— d^} .

tn2 sin 20	cos 0 J tn J

0	0

Так как нас интересует только зависимость J от Л, то, не нарушая
общности, мы будем считать, что импульс электрона pt (до рассеяния)
равен нулю. В этом случае

PiPz = — тг2, sin2 е = —,

sin 20 = i ,	6 = 4- arctg v2,

tn	2 ъ

где y2 — скорость электрона после рассеяния. Поэтому % входит в Му
в виде слагаемого:

-1 л V2 tn

В суммарный матричный элемент радиационных поправок «масса»
фотона будет входить н виде

Л4д = Mw-j-y + Л4у,
а в сечение рассеяния с учетом радиационных поправок — в виде

|Л1 + Л4в|2

2а / Ar th

V2

Поэтому сечение рассеяния с учетом радиационных поправок dcrR будет
содержать % в виде слагаемого

= b^da0, (39.4.2)

где

1 X 2а /Аг th v2 i \ i %
Ьц = — I----2. — 1 In —

л V v2 / т

и dcr0 — сечение основного про-
цесса.

Рассмотрим наряду с радиационными поправками излучение реального
мягкого фотона с импульсом k и поляризацией е.

Диаграммы, изображающие излучение фотона k, представлены на
рис. 39.4. Матричный элемент, соответствующий этим диаграммам, равен



__ /g	и(р2) f е	i (р2л-к) — т

(2л)3/2 1/2^ I 1/2S (р2 + ^)2 + ^2

Q (Р2+^, Р1) +

+	Pl + V (p1 + *)2+m2	•

Считая co < Si и замечая, что

{ipi + m)u (Pi) = 0,
представим в виде

Ма = —— —3=^	(39.4.3)

(2зт)3/2 “|/2со V Pi* Pzk /

Сечение рассеяния с излучением мягкого фотона с энергией, не прево-
сходящей Ав, равно, очевидно,

da' = bk daQ,

где

Де

е2 Р	d3k ( р^е	р2е \2

(2л)3 " j	2со \ pik	p2k )

е “min

(39.4.4)

Де < т.

Считая, так же как и выше, что рх = 0, получим, согласно § 29.2,

bk

2а / Arth v2
я \ v2

1) In

Де
ютш

2а
л

/ Arth v2

1)	• (32.4.5)

Найдем, наконец, суммарное сечение рассеяния, учитывающее как
радиационные поправки, так и излучение мягкого фотона,

da — daR + da',

Часть do, содержащая X, имеет вид
daK = bKd(y0,

где

b^^b\ + bk.
Но эта величина, согласно (39.4.2) и (39.4.5), не содержит массы фотона,
поэтому X, как и утверждалось, не входит в суммарное сечение рассеяния [19].

Мы показали, как устраняется инфракрасная расходимость в случае
произвольного процесса рассеяния в наинизшем приближении теории
возмущений. Но полученные результаты могут быть обобщены на все
порядки теории возмущений.

Пусть в некотором процессе участвует несколько реальных электронов
и позитронов, но не участвуют мягкие фотоны (соответствующая диаграмма
изображена на рис. 39.5,
заштрихованный блок изо-
бражает процесс, в ко-
тором не участвуют мягкие
фотоны). Рассмотрим наря-
ду с этим процессом процес-
сы, в которых участвуют
мягкие фотоны. Соответст-
вующие фотонные линии
(мы будем изображать мяг-
кие фотоны волнистой ли-
нией) могут располагаться
либо внутри заштрихован-
ного блока, либо иметь
внешние по отношению к
этому блоку концы. Тогда,
используя полученные вы-
ше результаты, можно
утверждать, что к инфра-

Рис. 39.5.

красной

расходимости

будут приводить только
те диаграммы, в которых
волнистые фотонные линии
связаны со свободными
электронными линиями:
для виртуальных мягких
фотонов это будут диаграм-
мы типов 2 и 3, изображен-

ные на рис. 39.5, а для реальных мягких фотонов — диаграммы типа 4
рис. 39.5 (диаграмма типа 2 эквивалентна диаграмме типа V на рис. 39.3);
диаграммы иных типов, например диаграммы 5 и 6, не приводят к ин-
фракрасной расходимости.

Мы не будем приводить здесь вычисления соответствующих матричных
элементов и приведем только окончательные результаты [19].

Рассмотрим сначала некоторый процесс, в котором участвуют два
свободных электрона. Тогда матричный элемент, соответствующий этому
процессу с учетом всех радиационных поправок к нему, будет иметь сле-
дующую структуру:

М = МоеаВ,

(39.4.6)

где

п__ I Р	/ 2Pfj,

(2п)3 J ЖРЖ \2р'& —“ 2pk~№ ) ’

р и р' ~ 4-импульсы электронов и Мо — некоторая величина, не содержа-
щая инфракрасной расходимости, т. е. остающаяся конечной при X0.
Величина, стоящая в скобках под знаком интеграла В, представляет собой,
с точностью до множителя е, 4-ток «перехода»

.	( (2р'	(2р

= е ( 2p'k—№ ~~ 2pk — k2 / ’
удовлетворяющий уравнению непрерывности

jvJb= 0.

Если наряду с радиационными поправками учитывать также излуче-
ние электронами реальных «мягких» фотонов, то суммарное сечение основ-
ного процесса вместе с радиационными поправками и излучением «мягких»
фотонов будет иметь вид

do==:e2a(B+B) d(J(h	(39.4.7)

где

Д8

g =_____1 Р d3k	(Jb____Рц \2

8Л2	У&2_|_%2 \ p'k	pk J ’

As — максимальная энергия фотонов и da0 — величина, пропорциональ-
ная | 714о |2 и не содержащая инфракрасной расходимости. Легко видеть, что
do остается конечным при 0. Считая, что X < As, получим

2а(В4-В)= ——	1) In7^- + -^In- (39.4.8)

v 1	1 л \ m2 )	(As)2 1 2л m2 '	7

Эти формулы могут быть обобщены на тот случай, когда в процессе
участвуют не два, а произвольное число электронов, а также позитронов
и других заряженных частиц. В этом случае величины В и S имеют следую-
щий вид:

t Р d^k yi р р Г (2Рг^г —(2р707-г^)ц-12

(2л)3	/г2 + %2 Zl	L k2 — 2plkQt	£2 + 2p7£07 J ’

Д8	г<3	(39.4.9)

P __ 1 C	V n A /7 A t Рщ Pjil V

8Л2 J Т/^2_|_%2 9l 1<Ъ J	kp ) i

0 v	г<7

где 0г = 1 для частицы в конечном состоянии, 0г = —1 для частицы в началь-
ном состоянии и дге — заряд частицы.

Подчеркнем то обстоятельство, что устранение инфракрасных расходи-
мостей было проведено повсюду выше в выражениях для сечений, ампли-
туды же рассеяния оставались расходящимися. Это связано с тем, что мы
рассматривали переходы между состояниями с определенным числом
фотонов. Но такие состояния физически нереализуемы. Как мы видели
(см § 29 4), реально мы имеем дело с когерентными состояниями длинно-
волнового поля излучения, никак не характеризующегося числом фотонов
Можно показать, что, рассматривая переходы между такими реальными
состояниями, мы получим амплитуды рассеяния, свободные от инфракрас-
ных расходимостей [20]

39.5. Радиационные поправки к сечению рассеяния электрона элек-
троном и электрона позитроном. Перейдем к рассмотрению радиационных
поправок к сечению рассеяния электрона электроном и электрона пози-
троном [21].
Так как рассеяние электрона электроном нельзя рассматривать как
рассеяние электрона в некотором внешнем поле, то для определения радиа-
ционных поправок к сечению этого процесса мы не можем непосредственно
воспользоваться полученными выше результатами, относящимися к рас-
сеянию в поле ядра.

Основные типы диаграмм, определяющих рассеяние электрона электро-
ном и радиационные поправки к этому процессу изображены на рис. 39.6.

«в—2U—	<

К j ~	[ Pz

---Le----	___L< W

Д Л Pf	р; v j/ р,

2)

~ УС Рг* >С

Pz	Рг

<.	с

Р/ У Ргк Р Р<

У

Рг Pl

1*	\Ч

---Lc-----------Ue----

Pl v $+к jj р,

S)

Рг $ Т2
'Ч

pi--.С"- я
к
5)

____PZ-

Ч\

Р? Я Р~к

I

JUs_____

У Pi

Рис. 39.6.

Для получения всех диаграмм нужно наряду с этими диаграммами рас-
сматривать также диаграммы, получающиеся из изображенных путем сле-
дующих перестановок:

1) Pl Р2, Р\ Р„ 2)	р/, 3) Pi р2.

Обозначим через Мг матричный элемент (без 6-функции), соответствую-
щий /-диаграмме рис. 39.6. Матричные элементы, получающиеся из Mt
путем замен /), 2), 5), мы будем обозначать соответственно через Mi Mf[, Mi'.
Тогда дифференциальное сечение чисто упругого рассеяния электрона
электроном с учетом радиационных поправок порядка а будет иметь вид
daee = 4-T 2 {|^1 + МЦ-2ИЦ-<|2 +

5

+ 2 Re 2 (Mt + М[ + М" + М'")* (Mi + М1 + М" + М")} do,
i=2

где v — скорость электронов в системе центра инерции и суммирование
производится по ориентациям спинов электронов в начальном и конечном
состояниях (Ja — элемент телесного угла, в котором рассеивается электрон).
Для того чтобы получить сечение рассеяния электрона позитроном doep>
нужно в этом выражении положить

Pi = Р-, Pi = Р-, Рг — — Р'+, Pi=— Р+,
где р_ и р+ — 4-импульсы электрона и позитрона.

В сечения рассеяния daee и doep входит «масса» фотона % (ее содержат
матричные элементы, соответствующие диаграммам 2, 3, 5 рис. 39.6). Чтобы
исключить %, нужно, так же как это было сделано при нахождении радиа-
ционных поправок к сечению рассеяния электрона во внешнем поле, рас-
смотреть неупругое рассеяние электрона электроном и электрона позитро-
ном с испусканием мягкого фотона. Соответствующие этому процессу
диаграммы изображены на рис. 39.6 (диаграммы 6 и 7; наряду с этими
диаграммами нужно рассматривать также диаграммы, получающиеся иа
приведенных диаграмм путем замен /), 2), 3)).

Мы приведем здесь только выражение для суммарного сечения рассея-
ния dae = dGee + do' в предельном случае больших энергий.

Если | р | > т, sin# ~ 1 (| р | — импульс электрона и 1Э1 — угол
рассеяния в системе центра инерции), то дифференциальное сечение рас-
сеяния электрона электроном в лабораторной системе имеет следующий вид:

- favu-z) {4 P ~ 3z+Зу? - rt +

+ ± [2 (1 - 2Ф< + 2ф8 - 2фи) In (2 - 3% + 3Х2 - Хз) +

+	(28 - 48Х + 48Х2 - 17Х3)	(2 - 2Х +	+

+ фи(2 —2Х + 3Х2 —Х3) —ф!(2 —Х) —ф„(2 —Х-}-2Х2 —Х3) —

— ф? (6 — 5Х + 5Х2 — 2Х3) + 2ф/фз (6 — 7% + 6Х2 — 2Х3) —

— 2ф,фи (10 — 17Х + 16Х2 — 5Х3) + 2фзфи (2 — 3% + 3Х2 — Х3) —

—g-(2-3x + 3X2-x3)-4.x(2-X)]} do +

+ члены, получающиеся заменой % —> 1 — %, фг фи, (39.5.1)
Ф

где	и ф8, ф/, фи связаны с 4-импульсами электронов соотно-

шениями

(Pi + Рг)2 = m2s = — 4m2 ch2 ф8,

(Pi — Pi)2 = m2t = 4ш2 sh2 фг,

(Pi — Рг)2 = т2и = 4m2 sh2 фи.

В переменных s, /, и	= — 4, sin2'& =

мости формулы (39.5.1) имеет вид t~u > 1.

В этом же предельном случае сечение рассеяния электрона позитро-
ном равно

t

условие примени-

^=^^Д{(1-х+х2)2+

+ -^[4(1-фг + 2фи-2ф8)(1-х + х2)21п2^—

- ф2(2 - 9Х + 19Х2 - 15Х3 + 6Х4) - Ф? (6 - 15Х + 19Х2 - 9Х3 + 2Х4) -
- 2ф2 (1 - 3Х + 4Х2 - 3Х3 + х4) - 2<pz<ps (10 - 17Х + 24Х2 - 17Х3 + ЮХ4) +
+ 2Фг(ри (6 - 12х + 1 Зх2 - 6х3 + 2Х4) + 2ФвФы. (2 - 6х + 1 Зх2 - 12х3 + 6Х4) +

+	(28 - 42Х + 51 х2 - 23х3 + 6Х4) +	(6 - 23Х + 51 х2 - 42Х3 + 28Х4) +

+ Фи (2 — 5х + 6х2 — 5х3 + 2х4) —

- 4-	(1 ~ X + X2)2 + 4 X2 (5 - 6х + 4х2)] } do. (39.5.2)

В предельном случае ] р [ > т, | р | #— т (или u > 1) сечение
рассеяния dae приобретает вид

d(je = -а2-^ ~-?Ц- (1 — S) do,	(39.5.3)

4m2 sin4 “2“

где

5 = ^-[2 (! —|-сШ2фг) (1 — фгcth<pt)—1-+

+ 4 (2фг cth 2фг- 1) (in1) + 4ф8 (2фг cth 2фг- 1)- 1 -+

<₽г	2<₽г

+	х thxdx + -nA—	х cth х dx] .

1 th 2фг J	1 th 2<pz J	J

о	о

Такой же формулой в случае | р f > m, \р\$~т определяется сече-
ние рассеяния электрона позитроном.

В предельном случае ln-^-L > 1, sin#—1 или в переменных s, /, и
ln/~lnu>l сечение рассеяния электрона электроном и электрона
позитроном определяется формулой

do = da0(l-6),	(39.5.4)

где doQ~ сечение основного процесса рассеяния и

S = 62 —[— 63 —[— 64 —[— 65 —[— 6',

-б2== 63 = б5 = 4г (1п/ 1п-г + Т 1п2/) ’

64= —^-1п/,

О

6' = ^(ln/ln-^—h-f-ln2^

л V 2Де 1 8	/

(величина 8г соответствует f-диаграмме рис. 39.6, S' учитывает излучение
мягкого фотона).

§ 40.	Радиационные поправки к сечениям комптоновского рассеяния,
образования и аннигиляции пар и к тормозному излучению

40.1.	Радиационные поправки к сечению комптоновского рассеяния.
Перейдем к определению радиационных поправок к сечениям процессов
рассеяния, в которых наряду с электроном участвуют фотоны. Начнем
с рассмотрения эффекта Комптона [22].
На рис. 40.1 представлены диаграммы, изображающие основной
эффект Комптона (диаграмма Y0) и радиационные поправки к нему порядка
а (диаграммы Уь У2, У3, У4; кроме этих диаграмм, нужно, естественно,

Рис. 40.1.

учитывать также и диаграммы, отличающиеся от изображенных заменой
=<=>&2). Матричные элементы, соответствующие этим диаграммам, равны,
согласно правилам Фейнмана,

Мт = ге2 (2л)4 (u2Qo«i)	,

у 4<o1©2 V 4ei82

M(i,= — ei (u2QUi)

(40.1.1)

6 (P1 + ^1 —Р2 —^2)
V 4MJW21/ 4ete2

где

Q°-e2-m2x1 el + ei

z/2 — m
m2x2



fi~~ Pi-]- k±~ р2~\~ k2, fz = Pi— k2 = p2 — &i,
m2Xi = fi + m2, m2x2 = + m?.

Q= 2 (Уг + Уг),
г=1

i(p2 — k)— m л i[fi — k)— m ~ t (pi — k) — m dAk

VIх (p2—/2)24-m2 62	—	+	61 (pj —A)24-m2 Yu № X2 ’

у   P i {pi — k) — m л i (fi — k^ — m	ifi — rn A d^k

2 d (Pi~ k)2-t~m2 (fi — k)2-^-m2^^ m2Ui k2

TZ A ifi — m P	i (fi — k) — m - i (pi — k) — m	d^k

~ 62 /«2X1	fe)2+«261 (P1—P)2^m2 Yp.-^F

у  2 lfi — m C	i (fi— k) — m	tfi — m A d^k

Y 4 ~62 m2^!	,) Yu (ft —fe)24-m2 Yh W2X1 ei /г2 + х,2

(здесь приняты те же обозначения, что и в § 26; матрицы Y] отличаются
от матриц Уг перестановкой импульсов фотонов ki и k2).

Сечение основного процесса doQ равно, как мы знаем,

*-2

da0==-9L_^-8t/0do
и 4 /н2х| и

где

U о = 4" SP {Qo (t>i — tn) Qo (i>2 — tn)} =

= 4(J-+-L)2_4 (_L + _L)_	+	.

\ %i X2 /	v %i x2 /	\ X2 1 Xi /
Сечение комптоновского рассеяния с учетом радиационных поправок
порядка а может быть представлено в виде

da=4 -44 SP {[А-Q1~m} [$° + rW4	~m^da^+

+4 5xr~(2^)rSp {4	m)Qo(tp2—ОТ)} •

Замечая, что

Sp {Qo (iPi — от) Q (ip2 — tn} = [Sp {Q (ipt—m) Qo (ipz — от)}] *,
перепишем do в виде

da = daQ (1	,	(40.1.2)

где

Ui=Тб4Re Sp 4	~ m>> $°	~

4	4

2=1	2=1

Вводя обозначения

P (xb x2) = -^5- Re Sp {Qi (ipi — tri) Qo (ip2 — tri)},

P' («ь «г) = -|б4 Re Sp 4 (ipi ~$° (ip2~ m)>’

легко убедиться, что

P'(Xi, x2) = P(x2, xO.

Поэтому Ui можно переписать в виде

[71 = Р(Х1, х2) + Р(х2, Xi),	(40.1.2')

где
4

Р (Х1, Х2) = 2 Рп,

п—1

Рп=Тб4Re sp 4 {/n ^ipi ~ (ipz ~т»-

Вычислим прежде всего Рр Замечая, что

iPi(iPi — m)= —m(ipi — m)f (ip2 — m)ip2 = —m(ip2 — m),

и заменяя на у% и е2 на yv, получим следующее выражение для вели-
чины просуммированной по поляризациям фотонов:

Pi = 1бл2 ~ 2	(0) (1) (2) (3) $Р { — %iky^kyvk —

к, v

— 2ip1kyvkyx + 2ikyi,hyvk + 4/n£26vx — 2iyvkyjJip2 +

+ 2pikyv (ifi — tri) ух + 2yv (zfi — tri) 4bkp2 — 4 pip2 yv [г (Д — k) — m]
где

(0) = £* + Л2,

(1)	= (Р1 - /г)2 + т2 = £2 _ 2kPl,

(2)	= (р2 — k)2 + m2 = k2 — 2kp2,

(3)	= (Л - k)2 + m2 — k2 — 2kfi + m2Ki.

Найдя следы матриц по формулам (8.3.6), можно привести Рг к виду

iЛ2Р! = 4 ( Jot — Jal) ( — p2af It + T- Pzaf 2т) +
\	Л2	/

+ (Jg’>-^,)P2o(2-4—^)+А0,Ла(з + 4+^г-) +
\	л| л>2 /	\	/

+ Д-2 + х1 + х2)(3 + х2—±-± + ^-) ,	(40.1.3)

\	Л2 Л2 /

где

2 JaPia = ^JaPza = JW ~ J™ = JW - J(2\

2JJlo = J(0>-J(3> + xJ

и Д'”, Jolt •••—интегралы типов

no)__ P ka	t(d_ P k-a^x d^k

° ~ J (1) (2) (3) ’ Jax~ (0) (2) (3) ’ •••

(нижние индексы у J(0), <7(1), . . . обозначают проекции 4-вектора
в числителе подынтегрального выражения, а верхний значок указывает
на недостающий в знаменателе множитель одного из типов (1), (2), (3), (0)).

Эти интегралы могут быть вычислены, согласно правилам § 36.1:

j<i> = j<2> = J_ [F (%i _ ! j _ F (_ j)ь

J<3) = a2i2y (sh 2у)-1 [h (2у) — h (у)-— In Л],

J = a2i2y (sh 2y • «О’1 \h (2y) - 2h (y) + In -Ц^-] ,

A0>= JW (Р1о + р2а)/2 + Г/(0) — Л21 — -	 )(9ia + ^2o)/2,

\	Х1“ГХ2/
J°" = [/> - Л	+ [2J- + Л (-^ In I X, I - 2) ]	,

Л« = [j'1' - Л'-^] Л„ + [2/» +	In | х, | - 2) Л] ,

Д3> = лЧу (sh Чу)-1 (pia -L р2а),

j<»>=	( д0_1__26 + -А- J«”) -

--х 1 х { 2#2/WlT + b [2fla (?1т + ?2т) + 2/1Т (<71а + #2а) —
Xi -j- Х2 ч

— ?1о?1т — ?2а?2т]+ ^"2	^2Т~^(0)) (?1а?2т+?lW2(j)| г

Л.;__Л^(Л+±_з+Л1^1п|х,н^г2-'>) +

+ — P*P2x\j^J -0—[)Г 1п|х1|+^—г] +

। пЧ	„ „ Гб ,(1)	(Х? + 6Х!—6) («!—2)	1эт| |	2х| + 9х! —12	-]

+	J	+-----2(^-1)*----ln I X11--2(xt—1)	J +

। л2/' /	,	ЧГ 6	т(1) . 2х?—9х1 + 61 j । .	1	г-1

+	(р^ + Р^)	j(1> + -;Х1_Л)2 Ь| Х11 +^гг- 5J ,

где

sh2z/= — 4(xi + *2),

(& = 1 — г/cth у,

V

Л (у) — — и c^h и du,
о

F(x)=pn(l + «)^-,

О

Ло= 1-1П-Ц-
и	т2

(Ло обозначает логарифмически расходящуюся константу § 36.1).

Перейдем теперь к вычислению Р2:

Р 1 с„ 1 L, tfi—m Р	—	ijpi — kj—m

2	16л2 Р z Vv	й k1—+	+ ЬХ

d4k	ЧГ	if} — т	. ifz—т 1,.Л к 1

х Т 0/h - m) L V>- ,;i2X1 Tv + Vv	V>. J (ф2 - m) } .

Величина P2, очевидно, не изменится, если сделать замену р2,
k{ k2 (при этом xt и х2 не изменяются) и выписать все матрицы под
знаком следа в обратном порядке. Поменяв еще местами индексы v и_Хг
получим

Замечая, что регуляризованное выражение Y3 имеет вид
y3B = Yv 1^~т	Pi + k,),

rv m2Xi ze2
где A.RK(Pi, л + ^i) определяется формулой (36.4.13), получим

Р2 + р3 = 2Р2 = -1 Sp {yv	Ип +	+ iCpK +

+ Dk1pK)(ip1 — т) (ух	Tv + Tv-^22~m	(ip2~m)| =

,i {2A (3 + ^-^-A + i) -2B(«1 + z!) +

+ c(-8 + x1 + — + -—±11+-?!)_
\	1 1 xt 1 x2 x2 1 x2 }

— D (4 — Xj + x2 — x* —XjX2+±^-) .	(40.1.4)

Найдем, наконец, P4. Регуляризованное выражение У4 имеет вид

vZ	ifi — m (2л)4 vH2>/£4 tfi — m

=	----^-2jr

где	определяется формулой (36.2.12)

В,

2 ‘J’ (fi) = {Bi (ifi + m) + B2m},

= 2 (1 + ln—)d—^+-y(X1T,22) In | ^ |,
\	1 m2) ' Xi —1 1 (Xi —1)2	1 11’

В2 =

xi I Х1 (Зхд —2) | |	।

Xi— 1 + (Xi— 1)2 inlZl|-

Используя это выражение, найдем

В4 = SP { Vv Wi — m) [Bt (tfi + m) + B2m\ (ifi — m)yKx

X (ipi — rn) (yx --^7 Yv + ?v '4^ Vx) (iP2~m)} =

P-^—Bt (3 + x2-------^ +—) .

2xi 1 \ 1 z	xi	x2 x2 /

(40.1.5)

Складывая Pi, P2, P3 и P4, получим окончательно следующее выра-
жение для Р:

Р (xi, х2) = (1 — 2у cth 2у) In % • Uо — 2у cth 2у [2/t (г/) —Л (2у)] Uo+

+ /t(z/) ( - 4z/sh 2у ^^- + 2г/cth z/) +

+ ln|xi| {4,t/cth2y	+	—	1] +

I /ViZC2	^zv2 CH	Zvi ^jZ^i Zu2	I

. . 3 , 8 3x2 8  7	3x2 2Xj —xj —XjX2 _ 2x^ + x2 ]  

‘ ‘ x2 Xj ' 2Xi x^ XiX2 ' 2x| 2x|x2(Xi —1) 2x2(Xi —I)2 f

__* Г--4*.-4-1-4уМ1--Ч+4(-+-)2-

Xi-4-x2 L >4	4 1	4 Xi J	V 2 x4 / 1	\ xt x2 )

^4^>+^(^+4)+f><>‘.-|)-f<-1)i><

* (-1	^-^+>+4)  (40-h6>
В величину Ui, определяющую радиационные поправки к сечению
эффекта Комптона, входит «масса» фотона X. Для того чтобы исключить ее,
нужно, так же как это было сделано при рассмотрении радиационных
поправок к сечению рассеяния электрона во внешнем поле, учесть в эффекте
Комптона излучение дополнительного мягкого фотона. Такой процесс
мы будем называть двойным эффектом Комптона,

В лабораторной системе отсчета (pi = 0) сечение двойного эффекта
Комптона может быть представлено, согласно общему результату § 39.4,
в следующем виде:

daD = -SLda0^-,	(40.1.7)

Л	U Q

где d$o — сечение основного эффекта Комптона и

-^ = 2(1 -2у cth 2у) (in	+ 4ycth2y[h(2y)-l]	(40.1.8)

(Де — максимальная энергия фотона).

Суммарное сечение рассеяния фотона электроном с учетом как радиа-
ционных поправок, так и излучения дополнительного мягкого фотона
определяется формулой

da = da0 (1 —	|.	(40.1.9)

I. ЗТ UQ J

Эта величина, как легко видеть, не содержит «массы» фотона.

Приведенные общие формулы сильно упрощаются в предельных слу-
чаях малых и больших энергий фотона.

В области малых энергий, когда « со2 = со < т, сечение рассея-
ния имеет вид

da] = -J-do(l-2® + 2co2+...)(t70—^-(C/i + ^D)) ,	(40.1.10)

где

(70= 1 + cos2d,

Ui = —-4со2(1—co^f/oln — +

3 х	' и т 1

/	1	\	о	(40.1.11)

+ I 1 + cos $ + cos2 d —“ cos3 d ) 4<о2 In — ,

1	\	1	1	3	/	т

UD — — у(02 (1 — COSd) UQ In —-

(d — угол рассеяния).

В области больших энергий мы будем различать три случая в зависи-
мости от величины параметра (в лабораторной системе этот параметр
равен (1 — cos^):

1)	|2а±^2 | « 1, 2)	3)	» 1.

В первом случае |	| х2 > 1; при этом в лабораторной системе

(o2^(Oi>m,	1 — cosd<-^-. Во втором случае х2>1, |xi + x2|>l

(£>1

и в лабораторной системе со2~ -у->/и, 1—cos О' — ~~~ • В третьем слу-
чае | Zi + х21 > 1, | xt | > х2 и в лабораторной системе ®2 — т, 1 — cos О > — .
В первом случае

£7о —2,

= 4 (1 — 2у cth 2у) In— 8у cth 2у [2h (у) — h (2у)] +

4-4г//г (у) cth г/-|-1 n | x1l(4f/th у— 1) — 2у2 —4yth'y + 3 — In21 xt | —	,

(40.1.12)
где

sh2z/= —4(xi + x2)-

Во втором случае

Uo-= +

\ х2 Xi /

Ui = UQ {(1 — 2у) (4 + 21П Л)+2г/2-4-} +

+ (1+5г+5-) Р"! (1+-?) -(1)+21п У1+
+(‘+^+OL1"'('+5-)~1п('+?)-4-^1 И- (40-1J3)
Наконец, в третьем случае

и,=У, {2(1-29) ш А+1„Иг	-

(4г+тг)+НУ ' <401 14>

Величина UD во втором и третьем случаях определяется формулой
t/n=t70{2(l-2y)[ln^-lJ + 4i/(y + ^-l)} , (40 1.15)
в первом же случае следует пользоваться общей формулой (40.1.8).

В ультрарелятивистском случае, koi да 1п|-^^-|>1, In j 21 > 1
^но In j 2~~ | ~ 1) величина (t/i + f7p)/t70 имеет вид

= 3 J2_Pi£l_ 1 1п_Р1^_ + 2 (1п^>-1) 1п-5^-. (40 1 16)

U0 2 пг2 2 т2 1	\ т2 ) 2Ае v 7

40.2.	Рассеяние электроном фотонов малой частоты. В § 22.2 при
разъяснении идеи перенормировки заряда электрона мы показали, что
сечение рассеяния фотона электроном с учетом высших приближений теории
возмущений при нулевой частоте фотона определяется формулой Томсона,
т е амплитуда этого рассеяния имеет вид

М=-^=-А-^,
У26/ У2ее

где

Л =-------£ ее' со—о,

f^R

35 А И Ахиезер, В Б Берестецкий

(40.2.1)
Ut и Uf — биспиноры, описывающие электрон в начальном и конечном состоя-
ниях (8f и — соответствующие энергии), eR и mR — заряд и масса реаль-
ного электрона и е и е' — векторы поляризации падающего и рассеянного
фотонов. Это выражение, представляющее собой первый член в разложении
амплитуды рассеяния фотона электроном по степеням частоты фотона,
совпадает с классической амплитудой рассеяния фотона электроном. Оно
показывает, что при со = О радиационные поправки к амплитуде рассеяния
сводятся лишь к перенормировке заряда и массы электрона. Это обстоя-
тельство связано с тем, что амплитуда рассеяния фотона электроном имеет
конечный и отличный от нуля классический предел (при Д-^0), а из eR
и mR можно составить только одну величину, имеющую размерность длины,
а именно классический радиус электрона eRlmR. По этой же причине фор-
мула (40.2.1) справедлива не только для электрона, но для всех частиц.

Последующие члены в разложении амплитуды рассеяния фотона элек-
троном по степеням частоты с учетом радиационных поправок имеют более
сложную структуру и, как следует из результатов § 40.1, отличаются
от соответствующих членов в разложении формулы Клейна — Нишины
по степеням со. Исключение представляет линейный по частоте член, который
имеет такую же структуру, как и линейный по со член в классической ампли-
туде рассеяния фотона частицей, обладающей наряду с зарядом еще маг-
нитным моментом — нормальным и аномальным.

Амплитуду рассеяния фотона такой частицей можно определить, либо
исходя из уравнений Максвелла и уравнений движения частицы в поле,
либо, что проще, исходя из уравнений Дирака

[b — iesAy.)	—Г	= 0,	(40.2.2)

описывающих частицу с зарядом eR, массой mR и аномальным магнитным
моментом представляет собой тензор поля, = -i- (ytiyv— TvTn))-
Мы не будем приводить здесь вычислений амплитуды рассеяния М, а при-
ведем только окончательный результат (учитывающий не зависящие от со
и линейные по со члены):

М =	А = evTvvXk', k) е»,

где

А = —	— 2ip2coS [[л е'][пе]] —

-	® {(Зв) ([пе] е') + (3 [пе]} (пе')-(Зв') ([п'е'] е) +

+ (3 [п’е']) (п'е)} +	® (3 [е'е]),	(40.2.3)

щ (р) и Uf(p + k — k') — биспиноры, описывающие начальное и конечное
состояния электрона, р — 4-импульс электрона в начальном состоянии,
k и k'— 4-импульсы падающего и рассеянного фотонов,

I я I

zf =-j-py ,	$) (а—матрицы Паули) и р = ^^ + ра-- полный маг-

нитный момент частицы.

Покажем, что такой же формулой определяются два первых члена
в разложении по степеням со амплитуды рассеяния фотона электроном
с учетом радиационных поправок, если под ра понимать аномальный маг-
нитный момент электрона (см. § 37.2) [23].
С этой целью разобьем, так же как и в § 22.2, диаграммы, изображаю-
щие рассеяние фотона электроном, на две группы — диаграммы, сводящиеся
к скелетной диаграмме I рис. 40.2, и диаграммы, представляющие собой
компактные ЭСЭД, к электронным линиям которых присоединены две
внешние фотонные линии.

Легко видеть, что вклад, вносимый диаграммами первой группы в тен-
зор Tvv (k', k), определяющий амплитуду рассеяния, имеет вид

Т^(к’, k) = tlvll(k', к)+^(-к, -k'),	(40.2.4)

где

4 (Г, k) =

= — &.uf(p + k—k') rv(p + k — k', p + k) G(e) (p + k) Гр, (/? + £, p)ut(p)

и ГДр, q) и G(e) (p) — перенормированные вершинная функция и электрон-
ная функция Грина.

Определим теперь вклад (Л', Л), вносимый в тензор рассеяния
Т w (k , k) диаграммами второй группы. Напомним для этого, что если
имеется некоторая диаграмма, которой

соответствует матричный элемент /И,
и к какой-либо ее электронной линии
с 4-импульсом р присоединяется фо-
тонная линия с нулевым импульсом
и вектором поляризации, направлен-
ным вдоль оси р, то новой диаграмме

Рис. 40.2.

будет соответствовать матричный эле-

» дМ

мент, равный-^— . Отсюда следует,
что вклад, вносимый в TvfX (#', k) диаграммами второй группы, будет опре-
деляться величинами^- (р + k, р) и Tv (р — k', р), в которых
°Pv	иРц

вершинная функция должна быть разложена в ряд по степеням волно-

вого вектора фотона, причем в этом разложении должны быть сохранены
только члены, не содержащие k и линейные по k. Ясно, что члены более

высокого порядка при этом учитывались бы неправильно.

Из (40.2.4) следует, что (k't k) удовлетворяет условию

Т^(к', к) = Т^(-к, -к').

Таким же свойством симметрии должен обладать и весь тензор рассеяния

Tvll(k', к), а следовательно, и его часть T^(k’, k):

Т^(к', к) = Т^(-к, -к').

Учитывая это свойство, можно представить ДЦй', к) в виде

к) = ^(к', k) + t™( — k, —к'),	(40.2.5)

где

,11	-\	• ’ “ / I и 1~г\ дГ|л (Р'> Р) , ч	t

Лц(Л , #) = —ieRUf(p + k — k')—-----------цДр), pf =.p-\-k

opv

и

(?', p) 1 дГ»(р, p) д d	r

op'v - 2' dpv + dpv k\dp-K Ги(/7 ’ ^Ь'=Р-
Мы должны теперь разложить выражения (40.2.4) и (40.2.5) в ряды
по степеням частоты фотона и удержать в них только первые два члена.
Из соображений релятивистской инвариантности следует, что нужные
нам разложения вершинных функций имеют вид

+	/г) = Га(р, р) + ~кк~^-Г^(р, р) +

+	(р2) + ~ F2 (р2) +	Fз (р*),	(40.2.6)

Гц.(р + ^ — k', р + ^) = Гр.(р, р) + у (2РХ — ££)-2-Гц(р, р) —

„ г. / 9\	р /	^Х$ХрРрРj-, . ~2\

- ^.PkFi (р2)------2— F2 (р2)------—3---F3 (р2),

где ГДр2), F2(P2) и F3 (р2) — некоторые функции р2.

Далее электронную функцию Грина G(e) (р) мы можем представить
в виде

G(P) (Р) =-	(Р2) + mRF (р2)}"1,	(40.2.7)

где F (р2) и К (р2) — некоторые функции р2, равные, как следует из спек-
трального представления электронной функции Грина, единице при р2 = — mR,
F (~m2R)~ K( — mR')==l.

Из тождества Уорда

r^p) = ^G^(p}

легко заключить, что при р2= —mR совпадают производные функций F (р2)
и К(р2) по р2

K'(~m^ = F'(-m2R).

Используя (40.2.7), получим нужное нам разложение G(e)(p-j-P)

G(e) (р + k) =	[ — гур.рц 4- mR — iy^ + 2pk( — гуирц + mR) F' —

- iy^pkF' + 2 (pk)2 (- iy^K" + tnRF") - 2pk {2F' + m2R (F" - К")} X

X {2pP( — iy^ + m^F’ —	(40.2.8)

где производные Ff, F", К" берутся при p2 = —mR.

Наконец, считая, что электрон в начальном состоянии покоится,
р = 0, мы можем, согласно (9.2.7), представить иъ (р) и (р + k — k')
в виде

Hl (Р) = V2mR ( о ) ’

___ / vf \

uf(p + k-k') = V2mR[ G(k-k’)	I	(40.2.9)

\ ZmR	Ч

где иг и Vf — двухкомпонентные спиноры, описывающие начальное и конеч-
ное состояния.

Используя формулы (40.2.6), (40.2.8) и (40.2.9), получим следующее
выражение для амплитуды рассеяния фотона электроном:

M = vfAv{, А^А^А11,
где А1 и А11 — вклады, вносимые в величину А диаграммами первой и вто-
рой групп, равные

Л1= ——	— -Зг-Р— ^2)2 ® (° [[«'Н [»<?]])—

ieR

~ 2^ (1 — f2) ® {(Стй) (1«е1 *') + (<* [пе]) (пе)—

— (а« ) ([пе] е) — (о [п'е]) (п'е)}—-— (4/ч — F2) ® (* [е'е]),
^‘‘LR

л1т	2t&

А =—-—-Fid) (о[е'е]).
тя

(40.2.10)

Сумма величин А1 и Л11 имеет, как мы видим, ту же структуру, что
и величина А, определяемая формулой (40.2.3), и нам остается лишь убе-
диться, что аномальный магнитный момент электрона ро имеет вид

Ha=-HoF2,	(40.2.11)

6r
где	= —2£_.

2mR

Рассмотрим для этого рассеяние электрона во внешнем электромагнит-
ном поле Лце) (х). Матричный элемент, определяющий рассеяние, равен,
очевидно,

М _ - /<„	Г, (р +	Л'-> (,)	.

V 28/	|/ 28j

Считая, что потенциал А^ (х) соответствует однородному магнитному
полю, и предполагая, что электрон вначале покоится, получим, исполь-
зуя (40.2.6) и (40.2.9), следующее выражение для линейного по k слагае-
мого в М:

Л4	(1	F2) ~2~ ст[ivF[ivUi.

С другой стороны, можно определить М основываясь на уравнении (40.2.2):

/|4 .  Uj. (|Хд Цд) —	•

Сравнение этих выражений приводит к формуле (40.2.11).

Обратим внимание на тот факт, что основной вклад в амплитуду рас-
сеяния А вносят диаграммы первой группы. Можно убедиться в том, что
величина А11 лишь компенсирует те члены в А1, наличие которых противо-
речит калибровочной инвариантности амплитуды рассеяния (ср. анало-
гичную ситуацию в амплитуде излучения мягкого фотона в § 29.4). Отсюда
следует, что формула (40.2.3) справедлива не только для электронов,
но и для произвольных частиц. Действительно, диаграммы первой группы
носят универсальный характер и вносимый ими вклад в А определяется
только поведением функции Грина частицы вблизи полюса р2 = —mR
и структурой вершинной функции Гц (р + k, р) при малых k (см. § 21).

Таким образом, рассеяние фотона любой частицей независимо от ее при-
роды (в том числе адронов с произвольным спином) определяется с точ-
ностью до членов, линейных по частоте только зарядом eR и магнитным
моментом частицы ц (которые следует рассматривать как эмпирические
константы). Дальнейшие же члены в разложении амплитуды рассеяния
по частоте зависят от структуры частицы, т. е. от характера ее взаимо-
действий.

40.3.	Радиационные поправки к сечению двухфотонной аннигиляции пар.
Зная радиационные поправки к сечению эффекта Комптона, легко найти
радиационные поправки к сечению двухфотонной аннигиляции пар [24].
Действительно, диаграммы, изображающие двухфотонную аннигиляцию
с радиационными поправками (рис. 40.3), топологически не отличаются
от диаграмм, изображающих эффект Комптона с поправками (рис. 40.1).
Различие состоит лишь в том, что вместо двух электронных состояний

в эффекте Комптона в процессе двухфотонной аннигиляции мы имеем дело
с одним электронным и одним позитронным состоянием и, кроме того, в
эффекте Комптона один фотон поглощается, а другой испускается,
а в процессе аннигиляции пары оба фотона испускаются. Поэтому, если
в формуле, определяющей амплитуду рассеяния фотона электроном с радиа-
ционными поправками, изменить знак у 4-импульсов падающего фотона
и рассеянного электрона, то мы получим сечение двухфотонной аннигиля-
ции пар с учетом радиационных поправок.

Итак, мы должны сделать в формуле (40.1.1) замену

Pi~+P-,
ki —> —•

Р2~> — Р-
&2 ~> k2,

где р_ и р+ — 4-импульсы электрона и позитрона и и &2 —импульсы
обоих фотоиов, и понимать под инвариантами х2 величины

Щ = — 2р_Д = — 2p+k2,

х2 = — 2p+k1 = — 2p_k2.

В результате мы получим следующую формулу для сечения двухфотонной
аннигиляции пар с радиационными поправками:

do = do011 —^2 (1 — 2% cth 2х) In —

-4xcth2x(ft(2x)-2/t(x) + -^-] — G(xb x2)-G(x2, x,)]},	(40.3.1)

где do0 — сечение основного процесса двухфотонной аннигиляции пар,
4ch2x = x1 4-х2 и

f/o,G(x1? х2) = [h (2%) — h (%)] I —-—х sh 2x (1 +2ch2x) + 2xth%l +

l XjX2	J

+ In I Xi I [4x cth 2x Г Д-!---— — — 1---------— sh2 x"| —

1	1 I	L xj щ 2%i x2	XiX2 J

2x (Ki— 6\ , 3x2/1 .	. . 3 . .	7.8	8

—uo— I--------) H-o—f (	^i)4----F----------	5

sh2x \ x2 / 1 2xfv 17 1 x2	xfz2	xj
xj —2xj + xfx2	2xj+х2 ~l _4reth г (1___L) i

2X1X2 (Xi-1)	2x2(xi-1)2J	“*л4-1“-Ц2 kJT

—-%2

_4___ / 2	7xt	3xi \ ti (J_।__1 V	12	3xi	2xi 

' ch2x	к Xi	4	4х2 / '	\ Xi ' х2 /	Xi	2х2	х2 1

+ ^Т (g+т)	1)] х

/vi 1 \ Л2	/ /vi

х	-Д-212 I Аi\

к х2 + xi+ х2 + 1 ' 2 ' Xi х2 / ’

^oS(-^+^)+4(—+—)-4 (— + — V.

к Х2 1 Xi) 1 к *1	*2 / к Х1 1 Х2 )

В это выражение входит «масса» фотона. Для того чтобы исключить
ее, к сечению do должно быть добавлено сечение трехфотонной аннигиляции
пары, при которой наряду с фотонами k± и k2 испускается мягкий фотон k3,
энергия которого не превосходит Ав.

Сечение этого процесса равно

do' = doQ ^2 (2xcth 2х— 1) £1п	--LJ + 4xcth 2х [1 ~~h (2%)] | .

(40.3.2)

Приведем формулы для суммарного сечения в предельных случаях
малых и больших энергий.

В нерелятивистском случае

da = da0 {1+^- - (5-4)} .	(40.3.3)

где i?+ —скорость позитрона, v+< 1; скорость электрона равна нулю.
Формула справедлива при < 1.

v+

В релятивистском случае

do = da0 {1 -~ [2(1 -2xcth2x) 1п-^ + х]} ,	(40.3.4)

где X имеет следующие значения: если оба фотона вылетают под углом
в 180° и Xt > х2« 1, то

X = (In Xi)2 — In Xi + 3 + 4;
о

если оба фотона вылетают под углом в 90° и х1==х2> 1, то

X = I- (In Xi)2 - 4 In 2X1 + 5,97 + 4 [ 18,5 (In 2xi)2 - 67,25 In 2x, + 41,2].
Z,	^Xi

40.4.	Радиационные поправки к сечению тормозного излучения. Рас-
смотрим радиационные поправки к сечению тормозного излучения элек-
трона в кулоновском поле ядра [25].

Диаграммы, изображающие основной процесс излучения и радиацион-
ные поправки к нему, представлены на рис. 40.4 (кроме этих диаграмм нуж-
но, естественно, учитывать диаграммы с переставленными фотонными
линиями).

Так .как матричные элементы, соответствующие диаграммам Уг, содер-
жат инфракрасную расходимость, то наряду с радиационными поправками
нужно учитывать также двойное тормозное излучение, при котором вместе
с фотоном (Л, со) излучается мягкий фотон (k', со').

Мы не будем вычислять здесь сечения с учетом этих эффектов, а при-
ведем только окончательные результаты для нескольких наиболее интерес-
ных предельных случаев.

Рис. 40.4.

Запишем радиационные поправки к сечению тормозного излучения
и сечение двойного тормозного излучения в виде

daR=—^бнс/сто,	doD =—(40.4.1)

где do0 — сечение основного процесса. Тогда в предельном случае соё! < т2
(мы пользуемся теми же обозначениями, что и в § 39.3) величины и dD
определяются формулами

= 2 (1 — 2xcth 2х)	1 j + xth x-f-4xcth 2х [h (2%) — h (%)] +

2	i i	\	9

-------------4-2(1 - xctgx) (1 - у cth2 x) - f ; (40.4.2)

1 — v2 sin2 —

= 2 (1 - 2x cth 2x) ln^ + - In4е + 1 ch 2x G (t>, 6),
v	7 X у 1 + у .0	\

ysinT

где

i

G (v,6) = $--------------------du

cos ± (1 — a2“2) у — cos2 -|-

ln

1 -\-vu

1 — vu

и x связано с p = q2 = ( — 2-J-x1 + x2)m2 + 2(e182 — |/?i| |p2|cos0) соотно-
шением

p = 4m2 sh2 x

(As — максимальная энергия мягкого фотона). Это выражение совпадает,
как и следовало ожидать, с радиационной поправкой к сечению упругого
рассеяния (см. § 39).

Рассмотрим далее релятивистский случай, когда 4 >	82 > tn.

но потеря энергии мала, т. е. < еь е2. Если при этом углы рассеяния
малы, 6, Oj, 02—-^< 1, то

6Е = 2 (1 — 2х cth 2х) (ln-^-+lj+xthx +

+ 4х cth 2х [h (2х) — h (х)] + 2 (1 — х cth х) 1 —cth2 х) — у ;

6С = 2(1 —2xcth 2x)ln^ + 21n^(2xcth 2х-1)-

— 4xcth 2x[h(2x) — h(x)]. j

В крайне релятивистском случае, когда выполняются не только усло-
вия еь е2, ® >/п, но и условие InjxJ, lnx2, Inp, In(р — xt — х2) > 1
(однако 1п-г-- , , In—, In р~^~х2 jn р—*i—х2 ।\ величины 6Д
k	I Xj I ’ Х2	| *1 I	*2	/

и dD определяются формулами

6Е = 2(1 —2i/) 1п± + 2^-Зу-^х,
иь	о

6n=2(l-2y) ln^ + 2t/2-2z/In - *2> т2 - In

V	% 1 V 48i82	m2

> (40.4.4)

где

x = ylnp, г/ = — 1п (р — Xi — х2).

Наконец, в нерелятивистском случае

(1п~ + т) + 2<Л-•

При /?1~>0 поправки к сечению исчезают.

40.5.	Радиационные поправки к сечениям однофотонного образования
и однофотонной аннигиляции пары. Радиационные поправки к сечению
образования пары фотоном в кулоновском поле ядра могут быть найдены
из радиационных поправок к сечению тормозного излучения в кулоновском
поле ядра, если в последних сделать замену

р2->р_,

k —> — k.

К сечению фотообразования пары должно быть добавлено аналогично тому,
как это делалось в других рассмотренных выше случаях, сечение фото-
образования, сопровождающегося излучением мягкого фотона. Мы не будем
производить здесь подробные вычисления, а приведем только окончатель-
ные результаты в нескольких предельных случаях [26].

Запишем сечение фотообразования пары в кулоновском поле ядра
в виде

da = do0 [ 1 —(дв - 6р)] ,	(40.5.1)

где do0 — сечение основного эффекта и 6R и 6D — величины, учитывающие
радиационные поправки порядка а и излучение мягкого фотона. Тогда
вблизи порога реакции, когда импульсы | р_ | и | р+ | малы, | р± | < пи
величины 6R и 6D определяются формулами

Л2

I °+-У- I

cos 0 — cos 0+ cos 0

-jР+ j-sin20. + -L^—Lsin2 0_
lp-l + IP+I

O(P+, p-),

6

R —

fio=0(^+, P-),

(40.5.2)

где 0+ и 0_ — углы между k и p+ и /?_, 0 — угол между р+ и /?_ и —
скорости электрона и позитрона. Эти формулы справедливы, если, кроме
условий |р±1 < т, выполняется также условие

а

I ^+ —I

< 1

(первое слагаемое в выражении для 6R учитывает взаимодействие между
рождающимися электроном и позитроном в первом борновском прибли-
жении).

В релятивистском случае почти равных энергий электрона и позитрона
в+ 8_ = 8, 8 > т и малых углов 0±, Q — величины и 8D опреде-
ляются формулами

g =___________________

V-2-2P-P+M2	2	4 ’	(40 5 3)

6D= О (е202 1п-^-) .

Наконец, в ультрарелятивистском случае, когда

1п^>1, ln^»l, 1п-4>1;	ln^~ 1,

т2	т2	т2	kp± 1 q2

справедлива формула

»»-»г= (in	1) V3 Ш2-^= 	(40.5.4)

Однофотонная аннигиляция пары в кулоновском поле ядра представ-
ляет собой процесс, обратный процессу фотообразования пары в* этом
же поле. Поэтому радиационные поправки к сечению однофотонной анни-
гиляции пары определяются теми же формулами, что и радиационные
поправки к сечению фотообразования пары, если в последних под р+ и р_
понимать ^импульсы аннигилирующих частиц и под k — импульс испу-
скаемого фотона.

§41. Рассеяние фотона фотоном и нелинейная электродинамика вакуума

41.1.	Тензор рассеяния фотона фотоном четвертого ранга. Взаимо-
действие электромагнитных полей с вакуумом электронно-позитронного
поля должно приводить к взаимодействию этих полей, в частности к взаимо-
действию фотонов друг с другом. Действительно, рассмотрим два фотона
с импульсами kY и k2, энергия которых недостаточна для образования пары.
Эти фотоны могут, однако, образовать две виртуальные пары, в результате
аннигиляции которых появятся два фотона с импульсами k3 и &4, связан-
ными с импульсами первоначальных фотонов ki и k2 единственным усло-
вием — законом сохранения энергии-импульса

~Ь ^2 — ^3 + ^4*
Этот процесс представляет собой рассеяние фотона фотоном [27].
Он, очевидно, не может быть описан с помощью классических уравнений
поля, так как в классической электродинамике вакуума электромагнитные
волны распространяются независимо друг от друга.

Для того чтобы уравнения поля могли описывать процесс рассеяния
фотона фотоном, а также другие процессы взаимодействия между электро-

магнитными полями, они должны
быть нелинейными в отличие от ли-
нейных уравнений Максвелла. Отсю-
да следует, что плотность функции
Лагранжа электромагнитного поля
не может быть квадратичной функ-
цией полей, т. е. должна отличаться
от функции

£о=4(£2-Я2).

В наинизшем приближении тео-
рии возмущений, которым мы здесь

ограничимся, процессы взаимодействия между электромагнитными полями
описываются матрицей рассеяния 4-порядка S'4):

р	р	л	р	__

S<4) = “jr	rf4x3 d4x4 Т {N (ф (х^ А (х^ ф (хО) х

X W(ip (х2) А (х2) Ф (Х2)) N (i|) (х3) А (х3) ip (х3)) N (ip (х4) А (х4) ip (х4))},
и изображаются шестью диаграммами рис. 41.1.

Заменяя произведения электронных операторов соответствующими
связями и учитывая, что все шесть диаграмм вносят одинаковый вклад
в матричные элементы, представим интересующую нас часть матрицы S(4)
в виде

S“’ =	<Z4X2 J4X3	(Д^ Д^ (%2) Дх Да х

х SP (*2 — Xi)	(*з — х2) уЛ (х4 — х3)	(xj — х4)}.

Операторами здесь являются только Аи(х).

В импульсном пространстве это выражение приобретает вид

W(^ + ^2 + ^3 + ^4) X

xA(AlI(^)Av(&2)A%(^)Aa(^4))Tllv%a(^, k2, k3, k.},	(41.1.1)

где

k2, k3, ^4) = -^5 d4pSp{ylx(ip + m)~1Yv(ip —+ x

X T?L (ip — ik2 — ik3 + m)-1 ya (ip — ik2 — ik3 — ikt + m)-1}.	(41.1.2)

A|x(^) = ) Ay. (x) e~ikx d^x.

Тензор	(kif k2i k3, k^) в соответствии с результатами § 23.1

расходится логарифмически в области больших импульсов виртуальных
электронов.
Вместо (&i, k2, k3, k^ удобно ввести симметризованный отно-
сительно одновременной перестановки тензорных индексов и переменных:
кг тензор

(&1, &2> ^3? ^4) —	(^1, k2, k3, £4) 4“

+	(&i, k2, ki^ k3)	(^i, #3, k2, k^)v

который не содержит расходящихся выражений.

Ясно, что в выражении (41.1.1) можно заменить тензор (#р k2, k3, k^}
тензором 4-^vvMj(£i, k2, k3, kfr

О

Sw = -^72^4 ! diki S S S d^ik. + ^ + ks + k.) X

X N (Aja (A4) AV (k2) A*. (k3) A(J (^4)) JlLVko (ki, k2, k3, k^).	(41.1.3)?

Симметризованный тензор (ki, k2, k3, мы будем называть
тензором рассеяния фотона фотоном четвертого ранга. Хотя этот тензор

Рис. 41.2.

и не содержит расходящихся выражений, он, так же как и исходный тензор
(k^ k2, k3, A 4), не удовлетворяет требованию калибровочной инва-
риантности и должен быть поэтому регуляризован. Согласно результатам
§23.3 регуляризованное значение тензора рассеяния фотона фотоном равно

J Ry/vhc (ki, k2, k3, k^) = JjivXo (ki, k2, k3, k^)	(0»	0, 0). (41.1.4)’

Регуляризованная матрица Sb) имеет вид

Sfe4) = - -Г \ d*kz d*ks d*k£ (k, + k2 + k3 + kt) x
1Z	J

v d d

X N (An(ki) Av (k2) A%(k3)	(k^)) JriivXg (ki, k2, k3, k^).	(41.1.5)

Свяжем с тензором JRlilVKo (ki, k2, k3, k^ сечение рассеяния фотона
фотоном.

Рассмотрим процесс, в котором электронно-позитронным вакуумом
поглощаются фотоны с импульсами k± и k2 и поляризациями Ci и е2 и испу-
скаются фотоны с импульсами k3 и и поляризациями е3 и е^. Этому про-
цессу соответствует шесть диаграмм, изображенных на рис. 41.2. Диаграм-
мы /, 2, 3 и 4, 5, 6 отличаются друг от друга только направлением обхода
электронной петли, поэтому соответствующие им матричные элементы
одинаковы.

Суммарный матричный элемент рассеяния фотона фотоном определяет-
ся, согласно правилам Фейнмана, формулой

X [eltie2ve3v?4o § Sp {уи (ip + m)-Lvv (ip + ikz + m)-1 x

X	(ip + ik2 — ik3 + т)-1уа (ip — ikt + m)'1} dip +

+ elv.e2veiae3K J Sp {уц (ip + niy1yv (ip + ik2 + m)'1 x

X ya (ip + ik2 — iki + m)'1 yx (ip — ikx + m)-1} d*p +

-г	§ Sp {уи (tp+m)"1 (ip — ik3 + m)”1 x

X 4v(ip — ik3-\-ik2i + m)~1ya(ip — iki + my1} №р~\ .	(41.1.6)

Вспоминая определение регуляризованного тензора рассеяния фотона
фотоном, можно представить регуляризованное значение матричного эле-
мента в виде

<f|sk4)io = ~4-«2	е W3V,4aх

X Jf2|JLvA,|JL ( ki, ^3,	(41.1.7)

Для определения сечения рассеяния фотона фотоном, являющегося,
согласно результатам § 18.3, инвариантом, удобно перейти в систему цен-
тра инерции фотонов, в которой суммарный трехмерный импульс фотонов
до и после рассеяния равен нулю:

ki + ^2 — k3 +	— 0;

4-импульсы фотонов в этой системе имеют вид

= цо), &2=( —k3 = {k',i^), /г4 = ( — &',/со),
где | k | = | k' | (из закона сохранения энергии следует, что частоты всех
четырех фотонов в этой системе одинаковы).

Учитывая, что плотность потока фотонов ki относительно фотонов k2
равна 2, получим следующее выражение для дифференциального сечения
рассеяния фотона фотоном:

1

da === (2л)2 16(02 I	’&1,	k2, k34 ^4) |2 б/о, (4 1.1.8)

где do = 2л sin 0 dB — телесный угол, в котором лежит импульс фотона
£3 (0 — угол рассеяния, т. е. угол между k и k').

Таким образом, для вычисления da нужно найти JRilvKa (—klt —k2, k3,
что удается сделать в двух предельных случаях — малых (со < т) и боль-
ших (со > т) частот.

В случае малых частот, ® < т, тензор рассеяния фотона фотоном может
быть разложен в ряд по степеням частот. Первый член этого разложения,
соответствующий <о = 0, равен для регуляризованного тензора нулю;
дюэтому разложение начинается с члена, содержащего линейно все четыре
частоты, т. е. пропорционального со4. Отсюда и из формулы (41.1.3) легко
заключить, что сечение рассеяния фотона фотоном при со < т должно быть
пропорционально со6. С другой стороны, оно должно, согласно (41.1.3),
содержать заряд электрона е в восьмой степени. Учитывая, что сечение
рассеяния имеет размерность площади и что в нашем распоряжении имекг ся
только константы е, Ti, с, т, мы однозначно получим следующее выраже! ие
для интегрального сечения рассеяния фотона фотоном при со < Щ-.

а = ^(^)4@)6(^)2’ йы<тс2’	(41.1.9>

где g — безразмерная константа, которая будет найдена в § 41.2.

В области больших частот со > m можно практически пренебречь
массой электрона т в выражении для JkhvAo- Поэтому масса т в этом слу-
чае не будет входить в выражение для сечения рассеяния. Но из величин
с2

а, Я, с, со можно составить только одно выражение, а именно а8-^-, содержа-
щее заряд в восьмой степени и имеющее размерность площади. Поэтому
сечение рассеяния фотона фотоном при со т должно иметь следующий вид:

(/>2 \ 4 <*2

ft?)	$ю>™с2,	(41.1.10)

где g' — некоторая безразмерная константа.

41.2. Связь между сечением рассеяния фотона фотоном и радиацион-
ными поправками к функции Лагранжа электромагнитного поля в вакууме.
Перейдем к более подробному рассмотрению рассеяния фотона фотоном
в области малых частот, со < т.

Малым частотам соответствуют медленно изменяющиеся поля, состоя-
ние которых можно описывать функцией Лагранжа, зависящей только
от компонент поля и не зависящей от их производных по координатам
и времени. Так как плотность функции Лагранжа должна быть реляти-
вистским инвариантом, то поля могут входить в функцию Лагранжа только
в виде двух комбинаций Е2 — Н2 и (ЕН)2, являющихся единственными
независимыми инвариантами поля.

Если поля являются достаточно слабыми, то плотность функции Лаг-
ранжа поля L можно разложить в ряд по степеням Е2 — Н2 и (ЕН)2 и огра-
ничиться в разложении членами второго и четвертого порядков:

L = Lo "Т Ь ,

Л0 = |(£2-Я2),	(41.2.1)

L' = a' (Е2-Н*У + b’ (ЕНУ = a (ЗДХ)’ + bF^FKaFavF^,

где а', Ъ', а, Ь — некоторые константы, связанные между собой соотно-
шениями

а' = 4a-{-2b, Ь' = 4Ь.

Члены, объединенные в L', представляют собой радиационную поправку
к основной плотности функции Лагранжа Lo.

Свяжем оператор L' с сечением рассеяния фотона фотоном. Напомним,
что матрица рассеяния 1-го порядка S П) связана с лагранжианом взаимо-
действия полей Lj соотношением

S(1)=u J Lrd4x.
Поэтому, если мы хотим описывать взаимодействие фотона с фотонами
с помощью некоторого лагранжиана L', то он должен быть по определению
связан с матрицей рассеяния 4-го порядка S'4’ соотношением

Sl4) = i J L'd4x
или

S<4) = i J N {a (FXv (x) Fv,_ (%))2 + b (FXv (x) Fvll (x) F^ (x) Fa,_ (x))} d‘x.

(41.2.2)
Такое рассмотрение законно, очевидно, только для медленно изменяю-
щихся полей:

J //40 иЛр,	[

Подставляя в (41.2.2)

F|xV (х) — Fyv (^) d^k, Fy,v (&) = i (kyAv (k) kvAiii(k)),
получим

S(4; = 79^12-	d*k2 d*k3 d^k, 6 (^ + k2 + k3 + k±) x

x N [Ay, (ki) Av (k2) Ax (k3) Aa (£4)] ^"3* ‘SgvXo (&i> ^2, &3? £4) +

"Ь'У (ki, k2, k3, £4)} ,	(41.2.4)

где SyVxa и RiivKu — некоторые симметризованные тензоры, содержащие
слагаемые вида klv,kjVkuJis(S и их свертки по греческим индексам (мы не
будем выписывать их здесь в явном виде).

Сравнивая эту формулу с формулой (41.1.5) для Sh\ можно связать
тензор рассеяния фотона фотоном Jс тензорами SyVxa и

jRvvte(ki, k2, k3, &4) = 4ог2 (ki, k2, k3, k^ + bPllvXo(ki, k2, k3, k^)}.

Подставив это выражение в (41.1.8), получим сечение рассеяния
фотона фотоном в системе их центра инерции

da = ^-2|MIMo,	(41.2.5)

(8л)2 со21 1	’	'	'

где

M =	-k2, k3, k^4a.-*(aS + bR),

5=4Х1)^2)4Хз)4Л1)5^о(-^, -k2, k3,

R = e^e^e^e^R^ (- klt - k2, k3> kt)

(индекс X; служит для обозначения двух различных поляризаций фотона kt).
Можно показать, что

S = 4 {2 (e^k3) (e^k3) (e^kt) —

_ (e(M)e(Xs)) (eMk3) (e^k^ (k^) +	(^k3) (e^kt) [(^2fe3)-(fe3%4)] -

_ (e(X2)e(X3)) (e^k3) (e^ki) (k2k3) + (e(^i)e(^>) (e(^)e(x4))	{k3k^ +

+ (е(Л1)ер.3)) (e(X2)e(X4))	(^2&4) + (е(Л1)е(Х4)) (е(Л2)е(Л3) (^2^4) (kik3)},
7? = 2	(e^k3) (e^ri) - 2 (е^е^) (е^)	(63fe4) -

-2 (e<^i>e^4>) (e<W3) (e^k3) (^2)+(е(ЦЛ>)^»k3) (e<W3) [(k^) -

- (Мз)] + (e^M^>) (e'MkJ (№k3) [(k2k3) - 2 (fc3fc4)] +

+ (^M) (е(Ш3) (e^k,) [(k2k3) - 2 (Z>3fc4)] +

+ (e( W^>) (e^k3) (e^k,) [(k2k3) + (M4)] +

jl (e(M)e(X2)) (е(Аз)б(М [(W ^2k3) + (^3) (^4)J +

+ (e( W*D) (e( W^>) [(^2) (&3fe4) + (^4) (&2Z>3)] +

+ (e(M)e(W) (е(Хз)е(М) [(^2) (63fe4) + ^k3) (£Л)Ь
и поэтому

M = ~ {(8a + 2b) (ri^ri) (емя') (e<-K^ri) (e^n) 4-

4-4t> [(e^e^2)) (ri^ri) (e^ri) 4- (е<Лз)^(М) (e^ri) (e^n)\ 4-

4- [4a (1 — cos 9) — b (3 4- cos 0)] [(e<xi>e(X3)) (e(X2)n') (e(Xj)n) 4-

_[_ (g(We(W) ^e^i>n') (е(Хз)д)] +

4- [4a (1 4- cos 9) — 6(3 — cos 0)] [(e^e^) (e(%2) л') (е(>-з)я) 4-

4- (gMfM) (e(Xi>/?') (e^ri)} 4-

4- 2 [8a 4- b (1 4- cos2 0)] (e^eM) (e^e^) 4-

4- [4a (1 4- cos 0)2 4- b (5 — 2 cos 0 4- cos2 0)] (e(^i)g(W) (^(Ме^.з)) 4-

4- [4a(l—cos0)24-6 (54-2 cos 04-cos2 0)] (e^e^) (№№)}, (41.2.0)
тде n и ri — единичные векторы в направлении k и k’ и 0 — угол рассея-
ния, cos 0 = nri.

Подставляя это выражение в (41.2.5) и усредняя по поляризациям
фотонов, получим

da = -^—(48a2 + 4°a64- 11&2) со6 (3 Ц-cos2 9)2 do. (41.2.7)

Мы видим, что частотная и угловая зависимости сечения рассеяния
фотона фотоном при со < т не связаны с конкретными значениями кон-
стант а и b и только величина сечения определяется этими константами.

Приведем значения М для различных поляризаций фотонов.

Будем обозначать через поляризацию фотона kly лежащую в пло-
скости рассеяния (п, п'), и через поляризацию, перпендикулярную
к плоскости (^, п'). Тогда, согласно (41.2.6),
W2,	=	е^3\ е^) =

= §(2a + b)(3 + cos20),

7И(^>,	е^,	е^>, е^) =

= (8a 4- 3fe — b cos2 0),

e(f, e^) = M(e^, e(f, <, e^)=	(41’2'8)

= — ^a (1 — cos 0)24-^ (3 + 6 cos 0 — cos2 0),

e^, ^) = Л4(е , ^) =

= —a^1 4“cos0)2 + ^(3 —6cos0 —c°s20).
Из этих формул следует, что, вычислив непосредственно (с помощью
формулы (41.1.2)) величину М для двух состояний поляризации фотонов
(например, М £||2)>	^}|4)) и М (е±,	^±)) ПРИ фиксиро-

ванном угле рассеяния (например, при 9 = 0), можно найти константы а и Ь.

Мы не будем приводить здесь соответствующие вычисления, а приведем
только окончательный результат:

_	5 а2 /14 а2

а~	180 т* ’	° ~~ 180 m4*

(41.2.9)

Подставив эти значения а и b в (41.2.7), найдем дифференциальное
сечение рассеяния фотона фотоном при со < т:

. _ 1	139 а4

а°~ (2л)2 902 т2

(•^-)6(3 + cos20)2 do-

(41.2.10)

Полное сечение рассеяния фотона фотоном равно

1 139 56 а4
л 902 5 т2

со < т.

(41.2.11)

/ со \б

\ т )

Наконец, подставив (41.2.9) в (41.2.1), найдем радиационные поправки
к плотности функции Лагранжа электромагнитного поля

£ ~ jgQ ^4 [ 14Z7fajF5 (F^VFгц)2] =

= J^[(E2-№)2 + 7(£^].	(41.2.12)

Зная плотность функции Лагранжа, можно найти плотность электро-
магнитной энергии:

w = E^-L = ±-(E2 + H*) + w',	(41.2.13)

где

w’ = (4а + 26) (Е2 - Я2) (ЗЕ2 + Я2) + 46 (ЕЯ)2.

Эта величина представляет собой радиационную поправку к классической
плотности энергии w0 = ~(Е2+ Н2).

Нелинейные электродинамические эффекты можно описывать с помощью
зависящих от полей диэлектрической и магнитной проницаемостей вакуума.
Чтобы найти эти величины, определим электрическую и магнитную индук-
ции D и В:

П 3L п   3L
D~	’ В ~~	дН ‘

Используя (41.2.12), получим

+A S <2 (£2 - Я2)+7

<£2 - Я2)- 7 •

(41.2.14)

В макроскопической электродинамике D и В связаны с Е и Я соот-
ношениями

36 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
Сравнение этих формул с (41.2.14) показывает, что тензоры диэлектри-
ческой и магнитной проницаемостей вакуума для слабых и медленна
меняющихся полей равны

= 8lk + ^{2 (Е2 - Я2) 8ik + 7НгНк},

4 а2	’	(41.2.15)

= dik +	{2 (Е2 - Н2) Ь1к - 7HtHk}.

41.3. Точное выражение для функции Лагранжа в случае медленно
меняющегося электромагнитного поля. В предыдущем разделе была най-
дена радиационная поправка к функции Лагранжа электромагнитного
поля, пропорциональная четвертой степени полей. Мы определим теперь
функцию Лагранжа для произвольного сколь угодно сильного электромаг-
нитного поля, удовлетворяющего единственному условию (41.2.3) [28].

Для решения этой задачи удобно представлять себе электронно-пози-
тронный вакуум как систему электронов, заполняющих уровни с «отрица-
тельной» энергией. Такие электроны мы будем называть вакуумными.
Ясно, что добавка w' к классической плотности энергии электромагнитного
поля г^о = у(£2 + Я2), обусловленная существованием электронно-пози-
тронного вакуума, совпадает с плотностью энергии вакуумных электронов*
за вычетом их потенциальной энергии во внешнем электрическом поле:

(<”*,	еф<’),	(41.3.1)

п	п

где 'фп") — волновая функция вакуумного электрона в состоянии п и ф —
скалярный потенциал внешнего поля (функции ф4-> нормированы на еди-
ничный объем; (ф, %) = где X — спинорный индекс).

Покажем, что второе слагаемое в этом выражении — плотность потен-
циальной энергии вакуумных электронов — связано с первым слагаемым*
т. е. с полной плотностью энергии вакуумных электронов (будем обозначать
ее через соотношением

*) = ^,	(41.3.2)

п

где Е — напряженность электрического поля.

Напомним, что если квантовомеханический оператор энергии Н зави-
сит от некоторого параметра %, то при бесконечно малом изменении к на dk
собственное значение энергии &п = Нпп испытывает изменение

— I I dk.

\ о к / пп

В частности, если

Н = Но + МР

(Но и ф не зависит от %), то

Х(вф)Л71=Х (4г)п„-

Иными словами, если скалярный потенциал содержит постоянный мно-
житель Л, то имеет место соотношение

к	£ф#-)) dr = к w- d3x,
где интегрирование совершается по всему объему. В интересующем нас
случае постоянных полей можно рассматривать электрическое поле Е как
параметр к и, кроме того, можно перейти от полной энергии к плотности
энергии. В результате мы придем к соотношению (41.3.2).

Из (41.3.1) следует, что

,	г, дм_

w =W- — E .

дЕ

Сравнивая это равенство с соотношением

w== E~^=r — L,
дЕ

мы приходим к заключению, что радиационная добавка к классической
плотности функции Лагранжа Lo = у (Е2— Н2) совпадает с точностью
до знака с полной плотностью энергии электронно-позитронного вакуума
при наличии внешнего поля.

(41.3.3)

Так как, с другой стороны, L' является функцией только двух независимых
инвариантов Е2 — Н2 и (Е/7)2, то для нахождения L' достаточно определить
в двух специальных случаях, например, когда имеется постоянное
и однородное магнитное поле И и когда наряду с И имеется параллельное
ему электрическое поле с потенциалом

Ф = <poe*fez -f- у*е~гкг

(ф0 и k — константы).

Найдем прежде всего энергию в постоянном и однородном магнит-
ном поле И = (О, О, Н).

Согласно результатам § 10.5 возможные значения энергии вакуумного
электрона в магнитном поле равны

епи{р2)== — ]/т2 + еЯ(2гг —р+ 1) + р1,

где п = 0, 1,2 ц = ±1 и pz — проекция импульса электрона на направ-
ление магнитного поля (соответствующие волновые функции ф£цР р опре-
деляются формулами (10.5.9). Поэтому плотность энергии вакуума, которую
мы будем обозначать теперь через wH, может быть представлена в виде

—	2 2	(2л)2	tynWPyPz (Г)) 8пц(Рг) =

n=0 g=± 1

оо оо

“	(2л)2 2 2	8пр,(р)^р,	(41.3.4)

Ц=±1 71=0 —ОО

где р == pz.

Замечая, что

en,-i(p) = en+1;i(p),

перепишем z»H в виде

ОО	ОО

®H=~W $ dp{e0(p) + 2 2 МР)}>
где	____________

£n(P) = Kp2 + ^2 + 2ne/f, n = 0, 1, 2, ...

Используя далее формулу суммирования Эйлера

N

±F(0)+2^(^)-pW =

k=l

bN	оо

= |{^F(x)dx+	,	(41.3.5)

О	п~1

где Вп — числа Бернулли, и полагая в ней Ь = 2еН, получим

оо	со

»н = - W S Wdx - 3 b“ W r<0)] 
0	n=i

где F (x) = Vp2 + m2 + x.

Мы должны теперь регуляризовать величину wH Эта регуляризация
может быть произведена следующим образом Во-первых, следует
оо

отбросить интеграл F (х) dx, как не содержащий напряженности магнит-

о

ного поля и представляющий собой энергию свободных вакуумных электро-
нов и, во-вторых, следует отбросить первое слагаемое с п = 1 в бесконеч-
ной сумме, так как оно приводит к энергии, пропорциональной Н2, которая
уже включена в невозмущенную энергию поля wQ (отбрасывая это слагае-
мое, мы, по существу дела, производим перенормировку напряженности
поля, связанную с перенормировкой заряда).

Итак, регуляризованное выражение для плотности энергии wr имеет
следующий вид

оо

п~2

Замечая, что

г (2л-4)

F<2П-1’ (0) = ——

2 Ул(р2 + /П2)  2 

И ЧТО

Р -----_ Уд /711-29___________1	2 '

J (Р2 + Ш2)? -У Пт	Г(<?)	’

— ОО

где Г (х) — эйлерова гамма-функция, имеем

оо

п,Н _	1 V h2nR (т^2-2п^ (2п—2)

WR~ (2л)2 2j°	)	2(2п)! ’

п—2

а так как

со

Г(2п — 2) = J (fne-V"-3»
о

(41.3.6)
ТО

н _ wp dn у 2*ЧЗп / бп \2n-i

R 16л2 J 1]2	(2n)i \2т2 )

О	п=2

Сравнивая это выражение с разложением

Лх = ± + |+3	(41.3.7)

k=2

найдем окончательно

=	{nH*cth(n/7*)-l-^-} ,	(41.3.8)

О

где
ZT# ___________________________

2m2 m2

Введем теперь в рассмотрение наряду с магнитным полем параллель-
ное ему электростатическое поле с потенциалом ф = Фо^ + фо6”^2-

Разложим W- в ряд по степеням Е2 (или, что то же самое, по сте-
пеням ф2; Е —напряженность электрического поля, Е2 = 2k21 ф012):

W- = 2 ^<2Г) + ^д-	(41.3.9)

Г=1

Повторяя выкладки, приводящие к (41.3.4), получим:

ц=±1 п=0 —оо

где	(р) — поправка к энергии электрона 8пц.(р) в магнитном поле,

пропорциональная Е2Г.

Рассмотрим прежде всего слагаемое ш<2>. Пользуясь теорией возму-
щений, легко показать, что

— оо
где

К2 = т2 + еН (2лг —1),

причем мы разложили ф в ряд по степеням k и сохранили только члены
второго порядка.

Полагая в формуле суммирования Эйлера (41.3.5)

F(x)= —е2|ф012—4

т2-\-х

(Р2+«2+х)5/2 ’

найдем

™«>=_______и	dx У'	Bk ( d2k-i 1

8л2 12 Ld /я2 + х	(2^)’ \	т2-\-х )X=Q

О	k=i
Регуляризация этого выражения сводится к отбрасыванию первого
оо

Р dx

слагаемого, содержащего интеграл — 2-_— и пропорционального Е2.
о

Отбрасывая это слагаемое, мы, как и выше, при вычислении энергии wH

в магнитном поле, производим, по существу дела, перенормировку заряда.

Используя разложение (41.3.7) для cthx, получим окончательно сле-
дующее выражение для регуляризованного значения и/(2):

w*}== ~cth	(41.3.10)

0
где

Я» = -4-, m = mR.
m2	m2 ’	u

Поступая аналогичным образом, можно показать, что

У ®(2г) = -£ J -^г е-4 { ctg Г]£* — 1 + Т]Н* cth цН*.
г=2	0

Складывая это выражение с выражениями (41.3.10) и (41.3.8) для
и wr, найдем регуляризованное значение плотности энергии

оо

WR =	е~п {(Г[Е* ctg Т]£*) (т\Н* cth цН*) — 1 + у т]2 (£*2 — Н*2).

о

(41.3.11)

Замечая, наконец, что

ctg СС cth В = i cos Vi^a2 + 2faP+cos ура—

cos "|/P2—a2 + 2za(3 “ cos VP2—a2—2za^

и^используя (41.3.3), получим следующее выражение для L':

L' = — \

2л J
о

X (I (ЕН) C0S (П V^2—^2 + 2z (E*/7*))+cos (n V^*2-#*2—2z (E*H*))

X	cos (^Ve*2 — H*2 + 2l (£*//*))—cos (q УЕ*2--/7*2 —2z (E*H*))

+ -S— 4(£2~#2)} •	(41.3.12)

Рассмотрим некоторые предельные случаи.

В случае слабых полей

L' = ^^[(E2-tf2)2 + 7(£tt)3l+-.-	(41.3.13)

Это выражение совпадает с найденным ранее выражением (41.2.12).

Рассмотрим далее сильные поля. Пусть сначала Е* = 0 и Я* > 1.
Представим L' в виде

оо
р р~гх

L'= J —^~f(x)dx,
о
где

и

m4 I/*2

8л2 х2

[х cth л:— 1 —у х2) .

е /у*

1



Функция f (х) стремится к нулю при х —> 0 и ведет себя при х > 1 как

/(xWM + o(l), х»1,

Где f (оо) — -^-т4Я*2. Легко убедиться, что асимптотически при 8—>0
для функций с таким поведением справедливо соотношение
оо

J —^-f(x)dx~ Цоо)1пХ, е<1.
о

Отсюда вытекает следующее асимптотическое выражение для L' при
Я* > 1, £* = 0:

=	Н*>1.	(41.3.14)

Аналогичным образом можно показать, что в случае сильных электри-
ческих полей Е* > 1, Я* = 0 функция L' имеет вид

_^.£*2 1п£*,	Е*>1.	(41.3.15)

Таким образом, отношение радиационной поправки L' к классической
плотности функции Лагранжа Lo при больших напряженностях полей
растет только логарифмически с полем:

In(41.3.16)

I Lo ] Зя /п2	х 7

где F—электрическое или магнитное поле и а — постоянная тонкой струк-
туры. Поэтому нелинейность уравнений электродинамики будет малой даже
в том случае, когда поле значительно больше значения . Если в каче-
стве Е взять поле на «краю электрона»:

и е л m2c^

Е = -л—г = 4 л —,
4nrg	е3

I Lr I .

то отношение -у— будет равно

I I

,	(41.3.17)

j Lq I Зя a ’	v	7

т. e. и в этом случае I < 1.

•§ 42. Рассеяние фотона в кулоновском поле ядра

42.1.	Общее выражение для сечения рассеяния фотона в постоянном
электромагнитном поле. В матрицу рассеяния S<4>, описывающую нели-
нейные взаимодействия между электромагнитными полями, входят четыре
оператора электромагнитного поля. Если все эти операторы относятся
к фотонным состояниям, то матричный элемент S<4> будет описывать процесс
рассеяния фотона фотоном, рассмотренный в предыдущем параграфе. Одна-
ко могут быть еще два случая, а именно, когда только два множителя
Аи (х) относятся к фотонным состояниям, а два других — к внешнему
электромагнитному полю, либо когда три множителя Аи (х) относятся
к фотонным состояниям, а один — к внешнему полю. В первом случае
элемент матрицы S(4) описывает рассеяние фотона во внешнем электромаг-
нитном поле [29], а во втором — расщепление одного фотона на два или
слияние двух фотонов в один во внешнем поле. Этими эффектами (вместе
с рассеянием фотона фотоном) исчерпываются все процессы взаимодействия
между электромагнитными полями 4-го порядка.

Мы ограничимся рассмотрением рассеяния фотона во внешнем элек-
тромагнитном поле. Если поле зависит от времени, то рассеяние фотона
будет происходить с изменением частоты, если же поле постоянно, то рас-
сеяние происходит без изменения частоты фотона (когерентное рассеяние).

Особый интерес представляет когерентное рассеяние фотонов в куло-
новском поле ядра. Сечение этого рассеяния становится сравнимым с сече-
нием рассеяния фотонов электронами при энергиях порядка 1010 эв, но коге-
рентное рассеяние фотонов ядрами может быть обнаружено и при меньших
энергиях благодаря характерному угловому распределению, имеющему
резкий максимум в области малых углов рассеяния; мы далее увидим, что
для тяжелых ядер при частоте фотонов со = 300 Мэв дифференциальное
сечение этого рассеяния на углы —0,01° на три порядка больше, чем соот-
ветствующее сечение комптоновского рассеяния.

Диаграммы, изображающие рассеяние фотона во внешнем поле, не отли-
чаются от диаграмм рис. 41.2, изображающих рассеяние фотона фотоном
(только двум фотонным линиям соответствует теперь внешний потенциал).

Матричный элемент, определяющий рассеяние фотона во внешнем
поле, равен, согласно правилу Фейнмана,

<ns(4)|i> =

= “ /о 'Л"2 d^t d^ (&1 — k2 + qi + q2) elv,e2vA^ (qj A^'1 (q2) X
(2n)e (tojWa) 1Z“ J

X	^4p{Sp[yM,(fp + m)“1yv(fp — ikz+niy1 x

X у к (jp — ik2 + iqi + zn)"1 ya (ip + iki + zn)"1] +

+ Sp [yu (ip+tri)-1 yx (ip+iqi+ni)-1 yv (ip+iqi — ih+m)-1 ya (ip+iki+m)-1]-^
+ Sp [уц (ip + zn)’1 ya (ip+ iqi+m)-1 yK (ip+iqz+iqi+mT1 yv (ip+iki+m)-1]},
где Лце) (q)— компонента Фурье внешнего поля,

Aff (я) = J А» W e~iqx dix,

ki и k2 — импульсы фотонов и Ci и е2~их поляризации.

Используя определение (41.1.4) регуляризованного тензора рассеяния
фотона фотоном /в^ха(^1» k2, k3, k±), можно записать регуляризованное
значение матричного элемента в виде

</= I sk4) 10 = --вдг $ diQi d*q2b (ki-k2+q, + q2) X

X е^е^А^ (qi) A(^ (q2) Jr.y.v>.a (ki, — k2, qt, 9г)-	(42.1 -1 )•
Если поле постоянно, т. е.

4е)(9) = <(^)2зт6(<70),

то частоты падающего и рассеянного фотонов равны, а)1 = а)2 = 0), и

|Sk4)|0 =

X бщбг’У'АнрЛ'Ха (&1>	^2? Qi ^2	Я)'

Умножая | (f | Sb4) I i) |2 на число конечных состояний рассеянного фото-
на (2л)з (do2 —элемент телесного угла, в ротором лежит й2) и деля
на плотность потока падающих фотонов, J= 1, получим дифференциаль-
ное сечение когерентного рассеяния фотона в постоянном поле

da = 4- -7^X2- doz I d3 * * * * ВqA(Ke) (q)	(Л2 — — q) eItle2v X

X J(^1?	^2>	^2 kl (?) P* (42.1.2)

42.2.	Связь между амплитудой рассеяния фотона на нулевой угол и сече-
нием образования пар. Покажем, что матричный элемент когерентного
рассеяния фотона в постоянном электромагнитном поле на нулевой угол
связан простым соотношением с интегральным сечением образования пар
фотоном в этом поле.

Воспользуемся для этого условием унитарности матрицы рассеяния

ss+-/,

или

ТТ+- -f(T-T+),	(42.2.1>

где матрица Т связана с S соотношением

S = Z + fT.

Из (42.2.1) следует, что

0'|TT+|0 = 2Im(f|T|0,
или

2 |<г’| Т | f> |а = 2Im< г | Т | г>,	(42.2.2)

/

где i — произвольное состояние системы полей, и суммирование произво-
дится по всем состояниям полей f.

Левая часть этого соотношения представляет собой суммарную вероят-

ность перехода системы полей из состояния i во все другие состояния (вклю-
чая состояние /), а правая — пропорциональна инвариантной амплитуде
процесса рассеяния i -> i на нулевой угол.

Применим это соотношение к тому случаю, когда рассеяние происходит
в постоянном внешнем электромагнитном поле и в исходном состоянии i
находится одна частица (далее такой частицей мы будем считать фотон).

В этом случае в элементах матрицы Т можно выделить 6-функцию от энергии

{Г IТ10 = (2л)2 6 (Er —Ei) Fri 4- П -U ,	(42.2.3}

где FTl — инвариантная амплитуда процесса рассеяния i г, Ет — суммар-
ная энергия частиц в состоянии г, — энергия частицы в индивидуальном:
состоянии а (произведение по а распространяется на все индивидуаль-
ные состояния частиц как в состоянии i, так и в состоянии г) и V — норми-
ровочный объем.

Так как матричные элементы содержат 6-функцию от энергии, то левая
часть равенства (42.2.2) пропорциональна времени перехода t (так же,
как и в § 18, мы должны заменить б2 (Ег — Е^ на ~8 (Ег — Et)). Поэтому,
разделив 2 Н* I Т I f > I2 на где vt —скорость частицы, присут-
ствующей в состоянии i, мы найдем сумму сечений всех процессов
рассеяния i —> f.

Рассмотрим теперь правую часть равенства (42.2.2). В соответствии
с (42.2.3) мы можем заменить {i IТ I i) на 2ntFn (еь 0) —}=., где Fa (8j, 0)—
T/sf

значение амплитуды рассеяния Fu (sf, 0) процесса [~>г’при угле рас-
сеяния 0, равном нулю. Таким образом, соотношение (42.2.2) принимает вид

2aw=vInif«(ei’0)-	(42.2.4)

Pi

f

где pi = v^i — импульс частицы. Это важное соотношение, связывающее
суммарное сечение процессов рассеяния i f с амплитудой упругого рас-
сеяния на нулевой угол, называется оптической теоремой.

Пусть в состоянии i находится один фотон, обладающий достаточно
большой энергией, тогда суммарное сечение процессов рассеяния будет
практически совпадать с сечением сгр (со) образования электронно-позитрон-
ных пар фотоном во внешнем поле (со — энергия фотона), так как сечение
упругого рассеяния фотона (со) значительно меньше ор (со).

Обозначая амплитуду упругого рассеяния фотона во внешнем поле
через f (со, 0) (0 — угол рассеяния), мы можем, следовательно, написать
на основании оптической теоремы соотношение

ор (со) = Im f (со, 0).	(42.2.5)

Амплитуда упругого рассеяния фотона f (со, 0) связана с элементом
матрицы S(4), соответствующим когерентному рассеянию фотона в постоян-
ном поле, соотношением

<f I s<4) | i) = f (®, 0) S (®- (Ы,	(42.2.6)

а дифференциальное сечение упругого рассеяния фотона имеет вид

d(je = \f (со, 0) |2 do.	(42.2.7)

где do — элемент телесного угла, в котором лежит импульс рассеянного
фотона.

При рассеянии в кулоновском поле на нулевой угол поляризация
фотона, очевидно, не изменяется, = е2. Поэтому усредненное по состоя-
ниям поляризации значение амплитуды рассеяния на нулевой угол рав-
няется, согласно (42.1.1),

°)= ~Т(Й)Г $ A^\q)A^(-q)JRwUk, -k, q, -q)d*q. (42.2.8)

Подставляя это выражение в (42.2.5), получим следующую общую фор-
мулу для интегрального сечения образования пар фотоном в постоянном
внешнем электромагнитном поле:

<тР(®)= ~Т(2л)з 41т $ M.8)(?)^V«)^(*, -k,q, —q) =

= J A$ (q) A$ (- q) (q, k) d*q, (42.2.9)
где

k) = -^^^[A^(q, k) + B^(q, kj+B^-q, £) +

+ 4.v(tf, —kj + B^q, — /s) + Aiv( — q, — A)],

A (	M__ Pj4 Sp (?u O’₽—ik—m)yv(ip— ik— iq—m)yx(ip— iq— m)]

^H.v(q, ^)- p	(p2 + m2) [(р_й)2+т2][(р_й-9)2 + т2][(р_9)2 + Я12]

о (	Sp[y^(ip+iq—m)yv(ip—m)yK(ip+ik—fn)yK(ip—m)]

Dv.v(q, H) — \й P	t(p + p)2 + m2]{(p + ^)2+m2](p2 + m2)2

Чтобы найти тензор T^v(q, k), заметим, что он может иметь только
следующую структуру:

7\v(tf, =	{Gi^v + G2kllkv + G3qv.qv + Gi (Mv+МЛ. (42.2.10)

где Gi — некоторые инвариантные функции q и k. С другой стороны, в силу
градиентной инвариантности выражения (42.2.9) для сечения образования
пар должно выполняться соотношение

&)	= 0.

Поэтому функции Gi связаны между собой соотношениями

Gi 4“ q2G3 -j- qk G^ = 0,

qk G24~ q^G^-b.

Таким образом, для определения Twv достаточно найти две из четырех
инвариантных функций Gz.

Мы не будем приводить здесь вычисления этих функций, а приведем
только окончательные результаты [30].

Если г2 еее^)2<с—т2, то

G2 =	{[2 (4т4 + 6msq2 - q4) + 2 (q* -	₽—р2] X

X In	+/1 + mW [4 (^ - fi) (т? - 2q^) -	,

Сз = ^[2тЧпА^^^ + (Р-^)ГТ+^] ,
^=-2^^’	Gi=-^ + -^G2,

(42.2.11)

где Р = 2(?А. Если же r2>—т2, то Gi = 0.

42.3	. Распределение ядер отдачи по импульсам при образовании пар
фотоном в поле ядра. Рассмотрим подробнее наиболее интересный случай,
когда поле, в котором создается пара, представляет собой экранированное
кулоновское поле ядра

Л(е) (?)=--О, Л^(^) = -^-(1-Г(д)),
ч

где F(q) — атомный формфактор. В этом случае отлична от нуля только
одна компонента тензора Т^, равная

Т44 = тДё-	+ <b2G2)

44	(2л)6 со v 11

И

ар(®) = 4Х- S ^(1~L(<7))2W-Gi),	(42.3.1)

vJ и Ш (у	С/

где

®2G2-G, =	{4<?2 [2m2 In	+ ]Л1+т2/г2 (0-^)] +

+ p2~4fW [К1 + т2/г2 (02- 4 (02 - 0) (т2 - 2^2)) +

+ In	Ф2 + 2 (0 - 92) (2m2 - <72) - 8m2 (rf + m2)) 1} .

1 + + 1+т2/г2	JJ

Так как q представляет собой импульс, передаваемый при образовании
пары ядру, то подынтегральное выражение (42.3.1) определяет распределе-
ние ядер отдачи по получаемым ими импульсам [30].

Вводя новые переменные

2mQ = |^|, p = (<o2_|^_k|)_L_, Т =

можно представить (42.3.1) в виде

?+ ’/?2—1

<+(со) =	$ dQP(Q, со),	(42.3.2)

т— ’/'У2—1

где

®) = -^[l-F(Q2)]^^,

I (Q, ?) = Jo + (1 - 2Q2) Л + ( 2Q4 — Q2 — 4Q2V2 - у) Л +

+ 2QY (1 + 6Q2 - 4Q4) J4 + Ко + (1 - 4Q2) Kt + [(4Q2 — 1) Q2 — 4Q2V2] 7<г +

+ 4Q2?2 (8Q2 - 1) /Сз + 4Q4y2 (1 - 8Q2) К4	(42.3.3)

И

2TQ-Q2	______ 2-VQ-Q2

т __ С	in 1 —1/1 — i/и к =	?

Jn~ | (Q2+pPm 1+уп=П+ ’	J W2+P)n-

Функция Р (Q, со) определяет распределение ядер отдачи по абсолют-
ным значениям импульсов.

На рис. 42.1 изображено распределение ядер отдачи по импульсам
для различных значений энергии фотонов. (По оси ординат отложена вели-
чина	’ буквой А обозначена асимптотическая кривая при у оо.)
Приближенно можно считать, что функция Р (Q, со) обратно пропор-
циональна q == | q | (в определенных пределах), т. е.

$тах
Ор(со) = const ,
$min

=------в отсутствие экранирования и 9тш==Ш (а —

ГДе 9max	9т in

атомный радиус) в случае полного экранирования.

Сравнение этой формулы с формулой (30.1.8)
ния пары фотоном в кулоновском

поле ядра показывает, что

28 Z2cc3

9 m2

^Ф.

9 ‘

const

Таким образом, распределе-
ние ядер отдачи по импульсам
в отсутствие экранирования при-
ближенно определяется форму-
лой

т

<М<о) = у Ф <42-ЗЛ>
» d Ч

т2/(й

при полном же экранировании

для сечения образова-

Рис. 42.1.

т

ор(«) = ^Ф	(42.3.5)

d Ч
i/a

42.4	. Угловое распределение ядер отдачи и интегральное сечение обра-
зования пар фотоном в кулоновском поле ядра. Если

Яотах<а» Ro	—р2—*Г

где а — размер атома, pi и р2 — импульсы компонент пары, образованной
фотоном с импульсом k, то экранирование поля ядра не играет роли
(см. § 28.5) и величиной F (q) в (42.3.1) можно пренебречь. Найдем в этом
случае угловое распределение ядер отдачи, т. е. распределение их по
углам 0 между векторами q и k.

Вводя переменные
n qk	со

Т) — у COS 0 = у — ,	у = т;— ,

1 •	' #со ’	• 2т 1

получим из (42.3.1) при F(q) = 0:

V	1	,------------

=f {in

PV '	16л2С02 е) J. Q2 I	14-У1 — 1/2T1Q — <22

*	Т]— Угр—1

[(>

х([___L + J______!_____<?	I Q2 ) , V21	,

л \	4т]2 2t)Q	8Q2^2	т] 2п2 / ‘ 2т]2 J

+	(1-у + у) +

+	2*)]} • <42.4.1)
Это выражение можно преобразовать к виду

1
arccos -

ор(ю) = dQP(ft, ©),
о

где

Р (9, со)

__ 4уос3/2
со2

я2
sinQ \ dii-------тт,

J (n2-H2)1/2

/ 2т]2	,	2(т]2—1)	, Я2—4\ .	2у2 \ /	2 ,	1	,

V ц®	1 р2	"г 4р. ) ‘	\1	Я2/\	р. ‘	Я2	/ J '

1-У1-1/и Г_у2__________у2 / __у2\ / 1 , 1-8я2

1 + Д/1 — l/p, LnV2	V Ч2 / К 2п2	4т]2|1

} I644— 16т)2— 1 t 2п2-4-1	т|2 \ “1 ]

+	8т)2И2	4	/ pMJJ ’

(42.4.2)

Интегрируя член, содержащий 1п

Функция Р(6, со) и определяет угловое распределение ядер отдачи.

На рис. 42.2 изображено угловое распределение ядер отдачи для
различных значений энергии фотона (по оси ординат отложена величина
Р(0, (D) \

Z2a3/64n3m2 / ’

1 —1/1 — 1/Jt

----	_• , по частям и вводя
1 + V1- 1/н

эллиптические интегралы

31/2

F(x) =	(1—xsin2<p)-1/2d<p,

о

31/2

£(х)=^ (1— л:sin2<р)1/2 dtp,
о

я

о

можно представить <гр (со) в виде

<М«>)=да {4 ? ЦП d^ + 2L (У) + ^Г-(64+ 109у2)£(]Л - 1/у2) +
//4 j L eJ *1	

1

+ (125 + А + 42?2) F (1/1-1/у2 )] } .	(42.4.3)

42.5. Когерентное рассеяние фотонов в поле ядра на нулевой угол.
Возвратимся к рассмотрению когерентного рассеяния фотонов в постоян-
ном электромагнитном поле. Наибольший интерес представляет рассеяние
фотонов большой энергии (со > т) в кулоновском поле ядра. Рассмотре-
нием этого случая мы далее и ограничимся.

Общее выражение для элемента матрицы рассеяния, соответствующего-
когерентному рассеянию фотона в постоянном поле было получено в § 42 1.
Однако непосредственное использование этого выражения для получения
сечения рассеяния связано с большими вычислительными трудностями,
В случае больших энергий, которому соответствуют малые углы рассеяния.
0 С m/со, вычисления могут быть значительно упрощены, если воспользо-
ваться оптической теоремой и дисперсионными соотношениями для ампли-
туды когерентного рассеяния фотонов, связывающими между собой вещест-
венную и мнимую части амплитуды.

Выведем прежде всего эти соотношения для рассеяния на малые углы.
Рассеяние происходит при этом практически без изменения поляризации,
и поэтому его можно описывать одной амплитудой рассеяния / (со, q),
являющейся скалярной функцией частоты со и изменения импульса фотона
в процессе рассеяния q — kr — k. Мы будем считать q заданным парамет-
ром и рассматривать f (со, q) как функцию комплексной переменной со.

Покажем, что эта функция не имеет особенностей в верхней полупло-
скости переменной со.

Воспользуемся с этой целью принципом Гюйгенса — Кирхгофа, соглас-
но которому электромагнитное поле Е (г, t) в присутствии рассеивателя
должно удовлетворять интегральному соотношению

Е(г, /)= $ dt' § dsK{r. t; г', f)E(r', t'),	(42.5.1}

s

где К — некоторая тензорная функция, связанная с функцией Грина урав-
нений поля и S — произвольная замкнутая поверхность, окружающая
точку г; интегрирование по времени производится по области

(Z-f)2>(r-r')2

(точка г' лежит на поверхности S).

Пусть вдали от рассеивателя поле имеет вид плоской падающей волны
Е (г', f) ==	Тогда, выбрав в качестве S бесконечную плоскость,

перпендикулярную к направлению распространения падающей волны и рас-
положенную вдали от рассеивателя, и подставив в (42.5.1) для рассеянной
волны выражение

£(r, =

(г удовлетворяет условиям rk 1, г > г'), получим:

f (со, е{(Лг-а^ = А dt’ dsK(r, t\ г',

s

Вводя обозначения x = t — t', r=r' + p и замечая, что, так как г > r'f
k

то г — p + -j-, перепишем /(со, q) в виде

f (со, q) = dx dsrK(r, t\ р, т) е^х~^е-^г>.
т>р s

Это выражение показывает, что f (со, q), как функция со, при заданном q
не имеет особенностей в верхней полуплоскости комплексной переменной со,
так как коэффициент в экспоненте при гео положителен.

Воспользуемся теперь формулой Коши

/(со,	=	dcoz

1 4	2ni •) со—со

С
и выберем в качестве контура С контур, изображенный на рис. 42.3. Так
как интеграл вдоль маленькой полуокружности равен inf (со, q), то мы
получим, очевидно,
R

f(a, ?) = —Р f Z(<f’ q) 6fo' + — V f.^.^l-da',	(42.5.2)

1 4 717 Ш J (o' — (0	in J co' — (0	’	4	1

-R	CR

где P —главное значение интеграла, и CR— часть контура С, лежащую
в верхней полуплоскости. Если бы последний интеграл обращался в нуль
при > оо,

lim -Z (t0'; g) da' = 0,	(42.5.3)

В^оо d <0
CR
то мы получили бы соотношение

f (со, q) = — Р -у-’ dco',
1 v	in J co' — co ’

— oo

ИЛИ	oo

Re/(®, tf) = -P	^da’,

(42.5.4)

Im/(co, q) = — P	g) da'.

1 4 ’	Л J	co' — (0

— oo

В интересующем нас случае рассеяния фотона в кулоновском поле
ядра условие (42.5.3) не выполняется, но зато выполняется условие

lim V Z(t0;2g) d<o' = 0.	(42.5.5)

Я->=о J “

CR

Кроме того, амплитуда рассеяния обращается в нуль при со = 0. Поэтому,
применяя формулу (42.5.2) к функции , регулярной в точке со = 0,
и устремляя R к бесконечности, мы по-
лучим, взамен (42.5.4) соотношения
оо

Ref^qj^p Г Im,H< da’,
1 4 ’ Л J (д' (со' —со) ’
— оо

Imf (ш, #)= ——Р ? *?/->-’ <П.da.

1 ' ’	Л е) со (со'—-СО)

—оо

Рис. 42.3.	(42.5.6)

(Эти соотношения, так же как и соотно-
шения (42.5.4), называются дисперсионными соотношениями.)

Полагая здесь q = 0, что соответствует рассеянию фотона во внешнем
постоянном поле на нулевой угол, и вспоминая, что, согласно оптической
теореме,

Imf(®,0) = ^-ap(a>),	(42.5.7)

где (Tjo (со) — сечение образования электронно-позитронной пары фотоном
в рассматриваемом поле, получим

Ref(M,O) = ^P $

Рр(<й')

(д' — (О

dco'
или

Ref(»,O) = -^P$	(42.5.8)

2т
так как ор (со) — четная функция со.

Функция вр (со) известна в случае кулоновского поля ядра (она опре-
деляется формулой (42.4.3)). Поэтому, используя (42.5.8), можно найти
вещественную часть амплитуды рассеяния фотона в кулоновском поле
ядра на нулевой угол [31].

Для конкретных вычислений удобно пользоваться вместо (42.4.3)
следующим эквивалентным (42.4.3) выражением для ор (со)

оР (со) = о (у) = 2Z2a2 { ± [2С2 (у) - Dz (у)\ +

+ 27^ [ - <109 + W)Е	+ (42 + 125^ + 64r/4) F (ГТ=?)]} ,

2m . .

гДе У =	1 и

1/У

СМ= | ^Arsb (Лг)

°	( 1 \	(42.5.9;

i/j/Arshl —)

О2(г/)= ? -v4^r dx-

4 1Л2-1

В получающейся после подстановки этого выражения в (42.5.8) формуле
для Re f (со, 0):

о

могут быть найдены в замкнутой форме все встречающиеся интегралы.
Мы приведем здесь только окончательный результат [31]:

Re / (со, 0) = {f (2G (у) - Dl (у)) +	[(109 + 64г/*) Е, (у) -

-(67-6^)(1-1/2)Л(г/)]-4-т} ’	(42.5.10)

где

i/y

Ci (у) = Re t	Arch (A.) dx,

о) Л	\ ул I

о

Vv Arch (—)

DAy) = ^\ -^^ dx,

z_______ <42-5Л1>

£’1(f/) = Re ]/L^dx,
0

1/y

Fi(У) = Re -^r-—dx = .

4	g У(1_х2)(1-Х2у2)

37 А И. Ахиезер. В. Б. Берестецкий
Отметим, что функции Е^у), F^y), Е(у) и F(y) связаны между собой
следующими соотношениями:

(£) = £(£/), «/< 1,

Ei(y) — yE (|) +1(1-(4) ’ У>1'

\ У / У	V У /

Fi(y) = F(y),	У<1,

Fi(y') = jF (у) .	У>1.

Рассмотрим несколько предельных случаев. Если со с 2т, то сечение
образования пар равно нулю и, следовательно, Im f (со, 0) = 0. При со < 2т

(42.5.12)

Дифференциальное сечение рассея-
ния фотона при 0 = 0 и со < 2т имеет
вид

4^-1	= lf(<o, 0)Р =

do |о=о 11 v 71

оно пропорционально со4.

При со > 2т

Ref (со, 0) = -^ ——
' 4	7	18 tn tn

т е z	пч	7 Z2cz3 со . 2со

Im f (со, 0) = -тт------In — .

' '	7	9л tn tn tn

(42.5.14)

В этом случае мнимая часть амплиту-
ды рассеяния фотона по порядку ве-

личины в In раз больше вещественной части

На рис 42 4 изображена зависимость амплитуды рассеяния фотона
на нулевой угол от энергии фотона.

42.6. Когерентное рассеяние фотонов большой энергии в кулоновском
поле ядра на малые углы. В предыдущем разделе мы рассмотрели коге-
рентное рассеяние фотонов в кулоновском поле ядра на нулевой угол.
Перейдем теперь к рассмотрению рассеяния фотонов в этом же поле на конеч-
ные, но малые углы, предполагая, что со > т [321 Рассеяние может быть
при этом описано одной скалярной амплитудой f (со, 0), которую можно,
так же как и амплитуду рассеяния скалярной частицы, представить в виде

разложения

f(®, 0)=-уХ2 (2Z+l)(cze2l6i-l)Pz(cose), (42.6.1)

1=0

где 6Z — фаза на бесконечности, Pi (cos 0) — полином Лежандра и —
абсолютное значение амплитуды расходящейся волны с моментом I

При чисто упругом рассеянии q = 1, если же имеет место поглощение
частиц, то Gi < 1 и величина

определяет вероятность поглощения частиц с моментом /.
Сечение поглощения частиц определяется формулой

ао = лк2 S(2/+l)Vz,	(42.6.2)

1=0

а сечение упругого рассеяния —формулой

ое= J | f (6) р 2л sin 6 de = лк2 (2Z+ ОI ^2i6^- 112.	(42.6.3)

О	1=0

Поэтому полное сечение рассеяния равно

а< = о-е + о0 = 2лк2 2 (2/+ 1)(1 -Re(Qe2i69).	(42.6.4)

i=0

Заметим, что сравнение этой формулы с амплитудой рассеяния
на нулевой угол

оо

f'(®,O)=-ik2 (2/+l)(Qe2^-l)	(42.6.5)

1=0

приводит к соотношению (42.5.7).

В области больших энергий рассеяние происходит главным образом
на малые углы; при этом существенны большие значения I и сумму (42.6.1),
содержащую в этом случае много слагаемых, можно заменить интегралом
по I или, что то же самое, интегралом по прицельному параметру 6 = /к.

При I > 1 и 0 < 1 справедливо асимптотическое выражение

Pi (cos 0) Jo (bs),	s = у = (00,

где Jo (х) — функция Бесселя. Подставляя это выражение в (42.6.1) и заме-
няя сумму интегралом, получим

Re f (со, 0) = со b dba (со, b) JQ (bs),

t	(42.6.6)

Im f (co, 0) = co \ b db$ (co, b) Jo (bs),

где величины ос (co, b) == ocz и P (co, 6) = pz связаны c q и 6/ соотношениями
ос/ 2й/,

i . 1	(42.6.7)

1—yz.	V >

Величина у (co, b) = 2|3 (co, b) представляет собой вероятность обра-
зования пары волновым пакетом фотонов частоты со, движущимся на рас-
стоянии b от ядра. Эту величину легко найти, воспользовавшись выраже-
ниями (42.4.2) для распределения ядер отдачи по импульсам. Действительно,
импульс, получаемый ядром, приближенно равен q — 1/6, поэтому распре-
деление ядер отдачи по импульсам определяет одновременно распределение
вероятностей образования пары по прицельным параметрам Ь,

Воспользовавшись приближенной формулой (42.3.4) для распределе-
ния ядер отдачи по импульсам и полагая в ней q = 1/6, получим

, ч 28 Z2	р db

(Гр (со) = —	сс3 \ -г- .

р ' '	9 m2	J	Ь

1/т
Сравнивая эту формулу с (42.2.5) и (42.6.6), найдем величину £ (со, Ь)
в отсутствие экранирования

1	1.	<0

--<&<---Т ,
т т2

р (со, &) = 0,

(42.6.8)

где

7 Z2g3

9

В случае полного экранирования величина р(®, Ь) определяется сле-
дующими формулами:

р (со, Ь) = <

-тт, — <о<а, со>Ьт2
о2 т	’	>

О, — <6<а, а<Ьтг,
т	’

(42.6.9)

"О, Ь>а,

со — произвольное,

₽(<>, Ь) =

Ст2Ь< —
т

со

₽<«>. «=£.

где а —радиус атома.

Знание величины р (со, Ь) как функции частоты дает возможность
найти а (со, 6). Действительно, а (со, Ь) и Р (со, Ь) при заданном значении b
связаны между собой дисперсионными соотношениями

a(ffl,J) = -P?	b\d<d',

'	7 Л J со'(со' — СО) ’

(46.6.10)

Р(со, b)= Р	b\d<i>'.

7 л J со'(со' —со)
— оо

Подставляя сюда выражения (42.6.9), получим

,	,,	С	,	ы-\-Ьт2	1	_ , _

а (со, Ь) — —тт In -.—-г  „, ,	—

'	'	лб2 I со—Ьт21	т	(42 6 11)

a (со, 6) = 0,

Вычислим теперь Imf(co, 0) и Ref (со, 0). Вводя обозначения t = bm
и x = s!tn, получим, согласно (42.6.6), (42.6.7)

1	оо

Im f (s, со) = Сео JQ {xt) tdt+^^-JQ (х/)1 ,
о	1

(42.6.12)

причем мы заменили верхний предел во втором интеграле бесконечностью,
хотя в действительности он равен

^тах —

со

т

в отсутствие экранирования,

ат в случае полного экранирования

(такая замена приводит к ошибке только для очень малых значений х,
меньших 1//Шах> т- е- Для углов, значительно меньших (m/со)2 в отсутствие
экранирования и значительно меньших 1/соа при полном экранировании).
Замечая, что
1

О
и
оо

С du 7 / ч ,2.x2 х4 . х6	1

П ух + 8	28 +29-33	•••>*<!»

X
2
где 1п —= 0,116, получим

Im f (а>, 0) = С® (In А+1++	_ ...) s C®F2 (х) . (42.6.13)

Вещественная часть амплитуды рассеяния равна, согласно (42.6.6),
(42.6.11),

Re I (ffl, 0) _i т [ (rf) in I dt + $(rf) In	.

0	1

(42.6.14)

При co > m мы можем логарифм в этом выражении приближенно
2tm
заменить на ----:

(О

Re f (®, 9) =	[4 J Jo (и) du + 2 I Jo (u)	1) du] =

о	о

=~ (4-4+А- 2А7+• • •)=CmFiw- <42-6-15)

Полное сечение рассеяния фотона равно

сг(со) = 2л | f(co, 0) |2sin 0 d& = ^1 + ^2»	(42.6.16)

о

где

= 2л (Ст)2 (“ j2 F[ (х) х dx,

°	(42.6.17)

сг2 = 2л (Cm)2 FI (х) х dx
о
гр

и х==~^-- Так как со > т, то часть сечения, связанная с мнимои частью
амплитуды рассеяния, значительно больше части сечения, связанного
с вещественной частью:

0*2 > <*1,	© >

Чтобы вычислить Oi и а2» заметим, что

JQ(xt) JQ(xt') dx == yt')-
о
Поэтому

Далее,

оо	1	оо

V F\ (х) х dx = t dt +	= 1.

О	0	1

СО	1

Р г’2 / \ j 4 Р х dx
ylMxdx^^^

0	xi

4 1	1

~г 1п---

Л2 Xi

где Xi — наименьшее значение х, для которого еще справедливо (42.6.12),
т. е. Xi=l/am в случае полного экранирования и х±=т1& в отсутствие
экранирования.

Используя эти формулы, получим

98 £4 6
^=8ЬГ^а

(42.6.18)

j а2т— в отсутствие экранирования,
01 ~	3 (т\2

) CT2 1nam при полном экранировании.

(42.6.19)

В области применимости этих формул, т. е. при со > т, полное сечение

рассеяния почти полностью

Рис. 42.5.

определяется поглощением фотонов, связан-
ным с образованием пар. Эту часть сечения
можно назвать абсорбционной, а часть сече-
ния, связанную с вещественной частью ампли-
туды рассеяния,— дисперсионной. Отношение
абсорбционной части сечения о2 к сечению
образования пар (со) равно

-^- = ^a3Z2—.	(42.6.20)

<Ъ>(®)	18	1п^_

т

На рис. 42.5 изображены функции F* (х)
и FI (х), определяющие угловую зависимость
обеих частей сечения. Для сравнения при-
ведена также угловая зависимость дифрак-
ционного рассеяния частиц от непрозрачной
сферы радиуса г0 = -^-(пунктирная кривая).

В качестве примера укажем, что для ура-
на о2 составляет около 6 мбарн, а отношение
о2/ор (со) равно примерно .

До энергий порядка 1010 эв полное сечение когерентного рассеяния
фотона ядрами остается меньше сечения комптоновского рассеяния. Однако
дифференциальное сечение когерентного рассеяния фотонов ядрами в обла-
сти малых углов может быть значительно больше дифференциального сече-
ния комптоновского рассеяния. Действительно, абсорбционная часть сече-

ния рассеяния, отнесенная к единичному телесному углу, определяется
для урана формулой



мбарн
стерадиан 9

(42.6.21)
которая при о = 300 Мэв, х = 0,1, что соответствует 0 = 0,01°, дает
3000 барн!стерадиан, в то время как дифференциальное сечение комптонов-
ского рассеяния в этих же условиях составляет всего 7 барн!стерадиан.
Рэлеевское рассеяние при этом также мало, поэтому рассеяние фотонов
в области больших энергий и малых углов рассеяния почти полностью
является абсорбционным.

§ 43.	Дважды логарифмическая асимптотика сечений рассеяния

43.1.	Дважды логарифмическая асимптотика вершинной функции.

В предыдущих параграфах мы определили радиационные поправки к сече-
ниям рассеяния различных процессов в наинизшем приближении теории
возмущений Общей особенностью этих поправок является то, что они
становятся сравнимыми и могут даже превосходить сечение основного про-
цесса в области больших энергий Например, величина бв, определяющая
радиационные поправки к сечению рассеяния электрона во внешнем поле,
ведет себя при больших переданных импульсах q как

6д~-^-1п2-^-,	72>m2,

и достигает значения порядка единицы при

| <721 ~ т2е

Ясно, что при таких и больших значениях q формула (39 3 3) для теряет
смысл, так как она выведена в предположении о малости радиационных
поправок

Аналогичная ситуация имеет место и для других квантовоэлектро-
динамических процессов.

Мы видим, таким образом, что для получения правильных выражений
для сечений различных процессов в области больших значений энергии
и переданного импульса необходимо учитывать радиационные поправки
к сечениям не только в наинизшем, но и во всех последующих порядках
теории возмущений.

Получающиеся бесконечные ряды (состоящие из регуляризованных
слагаемых) мы не умеем суммировать и, строго говоря, вообще не знаем,
сходятся ли они (см в связи с этим § 24 4) Но если считать, что эти ряды
являются асимптотическими рядами, описывающими соответствующие
квантовоэлектродинамические величины, то в них могут быть выделены
главные последовательности членов, которые могут быть просуммированы.

Если рассматривать рассеяние ультрарелятивистского электрона во
внешнем поле, то главным в n-м приближении теории возмущений оказы-
/ 1 9 я2\п
вается член вида a In2 ~ .
\	т2/

Аналогичная ситуация имеет место и для других квантовоэлектро-
динамических процессов: всегда в области больших значений энергии
и переданного импульса главным в каждом приближении теории возмуще-
ний оказывается член, в котором на каждый множитель а приходится
произведение двух логарифмов от больших аргументов Такие члены (мы
будем называть их дважды логарифмическими) можно просуммировать
и найти таким образом асимптотику сечений различных квантовоэлектро-
динамических процессов в области больших значений энергии и переданного
импульса Эту асимптотику называют обычно дважды логарифмической.
Покажем, как производится выделение дважды логарифмических чле-
нов. Рассмотрим сначала простейшую задачу этого типа — выделение
дважды логарифмических членов в радиационных поправках к вершинной
функции Гц (рь р2) в области 4-импульсов ръ р2,

|(Р1—Рг)2|>

Начнем с радиационной поправки 3-го порядка

Air (Pt. Р2) = —^41 -- Vv(P2—^VuCPi-^Vv	dik

И и (2л)4 « ((р2—я)а-«0) ((P1_«)2_W) fe2_j0 ’

(43.1.1)

(43.1.2)

которой соответствует диаграмма 1 рис. 43.1. (Мы пренебрегли всюду
в соответствии с неравенствами \p\t 2|>m2 величиной т2.)

Рис. 43.1.

Для нахождения асимптотики функции (рь р2) в области (43.1.1)
удобно перейти от к новым переменным интегрирования [33] и, и, (£_l%->
связанным с соотношениями

k^=u (pi — очр2)ц + v (р2— a2Pi)^ + (&j_)m.,	(43.1.3)

где —4-вектор, ортогональный к pi и р2,
^±Р1 = ^±Р2 = 0,
и (%! и а2—параметры, определяемые из условий

(р — atp2)2 = (р2—a2pi)2 = О,
откуда, согласно (43.1.1), следует:

/у	а

1 2pip2’ 2 2piP2e

Легко видеть, что 4-вектор k± является пространственно-подобным,

Для этого достаточно убедиться, что в плоскости (pif р2) имеется по край-
ней мере один времениподобный вектор. В этом случае любой вектор, орто-
гональный ему, будет пространственноподобным. Пусть для определенности
Pi является пространственноподобным вектором (в противном случае наше
утверждение было бы доказано). Тогда времениподобной будет составляю-
щая р2± вектора р2, перпендикулярная к plf

Действительно,

п _ п (P2Pi) Pi
р2± = р2---------ц—

а в силу (43.1.1) эта величина отрицательна.

Определим в новых переменных элемент объема в ^-пространстве.
Очевидно, элемент площади в плоскости (рь р2) равен pip2 du dv, а эле-
мент площади в плоскости, перпендикулярной векторам pt и р2, равен
^-dq)dk±, где ф— полярный угол, изменяющийся от 0 до 2л. Поэтому
элемент объема в ^-пространстве, проинтегрированный по углу ф, будет
равен

d*k — 2л (Pip2)2 sgn (— pip2) du dv dz,	(43.1.4)

где z = —k\l2pip2.

Наконец, выразим в новых переменных множители, входящие в зна-
менатель подынтегрального выражения для АцЦрьрг)-

k2 = 2pip2{uv — z),

(Pi — k}2 = 2pip2 [(у — ai) (u — 1) — z],	(43.1.5)

(Рг — k}2 = 2pip2 [(u — a2) (u — 1) — z].

Величины и и v изменяются в пределах (—оо, оо), а величина г — в преде-
лах (0, оо) или (—оо, 0) в зависимости от того, отрицательна или положи-
тельна величица pip2.

Из (43.1.5) и (43.1.4) следует, что главный вклад в интеграл (43.1.2)
вносит область интегрирования, непосредственно примыкающая к точке

t> = cq, н = а2, z~uv.	(43.1.6)

Так как [at|< 1, |сс2|< 1, то существенными являются малые
|£ц,| < |(рь2)ц|; поэтому в числителе подынтегрального выражения (43.1.1)
можно пренебречь членами, содержащими k^.

Учитывая далее, что Л(и3) (pi, р2) находится в окружении функций Sc (pi)
и Sc(p2), ведущих себя при |р2,2| » т2 как

Pl, 2

легко убедиться, что числитель подынтегрального выражения (43.1.2

можно заменить на 4р1р2уи. Действительно, в числитель выражения для
Sc (Pi) Лц3) (pi, р2) Sc (рг) будет входить величина р2ЪРгЪР1ЪР1’ равная,
очевидно,

P2TvP2TjxP1YvP1 = Р2( — p2?v + 2p2v) ?И( — Vvpl + 2plv)pl,

а так как | р[}21 < | (pip2) |, то здесь можно пренебречь первыми двумя
слагаемыми в скобках, т. е. для числителя (43.1.2) мы получим выраже-
ние 4pip2yM,.

Итак, в интересующем нас случае (43.1.1) величину A?t3) (pi, р2) можно
представить в виде

Лц3) (pi, р2) = “?И2(2я)3	(у—а1 — Ю) (и—а2—Ю) (uv — z + tO) • С43-1*7)

Точные значения пределов здесь несущественны, и мы можем их взять
равными — 1 и +1 при интегрировании по и и v и равными 0 и +1
при интегрировании по г.

Выполним сначала интегрирование по z. Используя формулу

_Lg = TO6(x) + pl,	(43.1.8)

имеем
1

— fлб (jw)In I rw I,	(43.1.9)

a uv —z-f-zO	\ / 1 1 i’	\	/

0

где

( 1, x>0,
0, x<0.

Подставляя далее это выражение в (43.1.7) и опуская член с логарифмом,
получим
1 1

а /о) / ч а Р du р dv

Л^8’ (Р1, р2) =	\ —— \	=

(j и — сл2 ej и —
О	О

= - £ In 1 In ± = - £ V|l In In .	(43.1.10)

4/Jv	^2	ь	* 1	/^2

Таким образом, мы видим, что при | (pi — р2)2 | > р^ 2 > т2 вершин-
ная функция (pi, р2) содержит дважды логарифмическое слагаемое,
пропорциональное произведению а и двух больших логарифмов. Это сла-
гаемое, являющееся главным членом в Л^3) (рь р2), возникает, как мы
видим, при интегрировании по двум переменным и и V. Логарифмическое
же слагаемое, возникающее при интегрировании по третьей переменной г,
не вносит вклада в главный член, который связан только с мнимой частью
интеграла по г.

Прежде чем переходить к вычислению следующих радиационных
поправок к вершинной функции, убедимся, что если | р2>2 | > т2,
а | (pi — р2)2 1 невелико по сравнению с | p2t 2 |, то радиационная поправка
к вершинной функции не будет содержать дважды логарифмических чле-
нов. Рассмотрим, например, A{f (рь р2) в предположении, что

1р!1 > Кл-Рг)2!,	!(P1 — Рг)2| > "г2, |р8|»т2.

В этом случае, в отличие от случая (43.1.1), в знаменатель подынтеграль-
ного выражения (43.1.2) будет входить 4-вектор рх с большим квадратом,
благодаря чему непосредственно нельзя использовать примененную нами
только что методику вычисления интеграла (43.1.2). Однако можно добить-
ся того, чтобы в знаменатель входили векторы с малым квадратом, если
предварительно произвести замену переменных интегрирования

k—» k' =pz — k,

после которой интеграл (43.1.2) примет вид

Л<з> 1п =	Vv (?+*') Tufe'Tv_________dW

w l2> mJ [(?+A')2—zO] [(Pz—k')2—»0] (й'2—zO) ’

(43.1.11)

где q = pi — p2- Применяя теперь преобразование (43.1.3) с вектором — q
вместо вектора

k' = и (— q — сад) + v (р2 + atf) + k’±,

легко убедиться, что главный вклад в интеграл (43.1.11) вносит область
интегрирования |k'21 < |qpz\, в которой интеграл (43.1.11) принимает вид

1 1

Л‘д8> (рь р2) = —	6(1 — + I— qu + p2V]yv

В этом выражении, в отличие от выражения для Л^3) (pif р2) в случае
(43.1.1), нельзя пренебрегать в числителе под знаком интеграла членами,
содержащими и и v, так как они умножаются на малые величины р2 и q.
Благодаря этому интеграл (43.1.12) не будет содержать дважды логарифми-
ческих членов.

Легко убедиться, что регуляризованное значение Ajf (рь р2) в рас-
сматриваемом случае равно

Лв^(р1,р2)=	1п^г~2РзМ 1п^~Р2ТнР2 1п^] .	(43.1.13)

Это выражение содержит, как мы видим, только одно логарифмические
члены.

Таким образом, действительно, вершинная функция при | р[} 2 I > т2
будет содержать дважды логарифмические члены только в том случае, если
|(pi —р2)2| » \pt2\>m2.

Далее мы увидим, что дважды логарифмические члены возникают
и при j pt 2 I ~ т2> если выполняется условие ] (рх — р2)2 1 > ^2- Этот
случай будет играть особенно важную роль в дальнейшем, так как именно
он соответствует рассеянию с большим переданным импульсом.

Вернемся теперь к определению следующих радиационных поправок
к вершинной функции в случае (43.1.1). Выясним прежде всего, какие
диаграммы приводят к дважды логарифмическим членам.

Легко видеть, что замкнутые электронные линии не приводят к дважды
логарифмическим членам: для таких диаграмм степени больших логариф-
мов оказываются всегда меньшими, чем степень квадрата заряда. Рассмо-
трим, например, диаграмму 1 рис. 43.2. Внутренней электронной петле
соответствует, согласно (36.3.5), функция

1

Wff{k) = ^k2^dz{\-z2) {in 11 +^-2(1 - 2*)|-ш0[-^(1-z2)-4т2]} .
О
откуда с логарифмической точностью

пк2’ (k)=g {in |1 +	| - ше (- - 4т2)}.

Поэтому всей диаграмме 1 в целом будет соответствовать величина

Л <3) (п п ч _ _ »е4 Р Уу (Р2—fe) Vu CPi — k)yv

\Ри Pz) з (2л)в J [(р2—k}*--zO] [(Pi—fe)2—tOj

x i {ln |1+4& | -inQ < “ *8 - 4/”a)} d4t'

Переходя к переменным и, v, z, согласно (43.1.3), и делая необходимые
пренебрежения, получим

л<5> /п _ ч______«2 ? е е_______________е(от-г-у) dudv______________=

12я2^ 04	[(о — eq) (u —1) —г][(« —аг) (v—1)—z] (uv—г)

О	—оо

1	1	оо

__ а2 Р du Р dv Р Q (uv—z—y) __________________

12л2 j и— а2 j и— aid uv — z

-1	-1	О

1 1

a2 P	du C	dv a ,	\ A uv a2 « a<a2.	i

= —y„ \ ------------\ -----0 (av — y) In — =	— 777-5 vu In -Ar Inai	In	a2,

12л2 j w —a2 J v — ai v	у 12л2 у2 1

(43.1.14)

где у = 2/тг2/р1р2. Мы видим, как и утверждалось выше, что эта величина

содержит большой логарифм в третьей степени, а заряд — в четвертой.

Таким образом, мы должны рассматривать только диаграммы с вну-
тренними фотонными линиями. Однако и они не все будут приводить к дваж-
ды логарифмическим членам. Легко видеть, что только те из диаграмм,
в которых все линии виртуальных фотонов охватывают точку испускания
внешнего фотона, приводят к дважды логарифмическим членам. Рассмо-
трим, например, диаграммы 2 и 3 на рис. 43.2. Используя вытекающую
из (36.2.12) формулу для массового оператора

2® (ft - - Ч = _[in - 2 in ii] (й -i),
справедливую при | (p2 — k)21 > tn2, и аналогичную формулу для вершинной
функции Ля3;} [26]

Лиц (Рг, Р2 — k) = Ун 16^5 £ In (₽2^2 )	2 In ,
справедливую при |р%\ ~ | (р2 — Р)21 > пг2, получим следующие выражения
для величин, соответствующих диаграммам 2 и 3:

А <» /п п \_____ге2 V TvSfi(P2-fe) Yu (Pl-fe)Tv Ji и

(Р1,Рг) —	(2л)4	[(р2—&)2_ZO][(P1_£)2_ZO] (£2—zO) ’

A<5)/n rn\ —	<g2 C Vv(P2— fe)Tu(Pl — Afiv(p2,P2 — fe) Mh

3 (1 (Pl. P2)~	(2jl)4	[(p2_fc)2_z0] [(P1 — 6)2 —zO] (Й2 —tO)

Поступая так же, как и при выводе формулы (43.1.14), получим
2Ab’ (Рп Р2) = £ Yu [ (In	+ 2 In	In 1 In 1 +1 In* at In a2] ,

3A^6) (ръ p2) = — 2Л^6’ (p^ p2).	(43.1.15)

Эти величины, как мы видим, не содержат дважды логарифмических членов.

Перейдем теперь к рассмотрению диаграмм, содержащих только вну-
тренние фотонные линии, охватывающие точку испускания внешнего фотона.

В (2/г + 1)-м приближении содержится, очевидно, п\ таких диаграмм,
которые отличаются друг от друга только перестановкой концов виртуаль-
ных фотонных линий (см. диаграммы рис. 43.1). Вклад, вносимый этими
диаграммами в вершинную функцию, будет равен, очевидно,
A^2n+1)(Pi,p2) =

/а\п 1 у f'	TxJPi—fei)Tx2(Pi — fei — k2}-Пп(Р1 — ki—...— fen)

“ W (2л)2^21	[(pi_^i)2—z0] [(p1_A1_fe2)2—zO]...[(p1 —^1—...—fen)2 —ZO] X

p

Yu (P2-fetl- • • • -fetn) (P2 —fetl- • • • -fetn-l) ... (P2-fetl) П1

X [(Р2-Йг1- • •. -fetn)2-i0] f(p2-fetl- • • • -fezn-i)2-^. • [(P2-fetl)2-^ X

diki...d^kn

(fe?-*0) (fc|-zO) ,..(fe2-z0) ’

где 3 обозначает суммирование по всем перестановкам Р = ( . .	...

(Если ii = 1, 12 — 2, то фотонные линии не пересекаются; диаграмма
в этом случае называется лестничной).

Предполагая выполненными условия (43.1.1), можно в числителе
подынтегрального выражения (43.1.16) пренебречь величинами kz по
сравнению с ft и р2 и заменить числитель на (4р1р2)п?ц:
л!?”+'>(й,й)-(^)"(^(4Р1Л3 $ п т&гх

Р S=1

X { [ (pt —/?i)2 —ю] [(Pl — ki — k2)2 — toj ... [ (pi—2 ^)2 —10] x
7=1

n

x [(p2-^i)2-iO] [(Рг-^-^-гО] ... [ (р2-ЗЧ)2-Ю] }-1 ‘
/=1

Для вычисления этого интеграла перейдем вместо кг, к новым пере-
менным интегрирования иг,	согласно (43.1.3):

К = иг (pi — atp2) + (р2 — a2pi) + kl±.

Вспоминая, что при интегрировании по гъ = — ^?_L/2p1p2 должна быть взята
в соответствии с (43.1.8) только мнимая часть интеграла, мы получим
следующее выражение для Л^+'^Й.Р^:

р

__________•'ТЪ____ ________*71—1____

«й+...+«{п — «2	«{1 + • • • + «in-i — «2

du^

—i- е	... е («пу2).

Главный вклад во входящие сюда интегралы вносит область интегриро-
вания

|Д|« ы «|и2|«... «ы« 1-
\~ I « |«1| « Ы « ••• «|«п| «1.

I Р1Р2 I

Каждый из интегралов равен, как легко видеть,

J= 2^1пп^1пп^-2.

(n!)2 pl pl

Поэтому для Лц2п+1) (pi, р2) мы получим выражение

42п+1) (Р1, рг) = (- ^)”чЛ In” а1In” а2.	(43.1.17)

Обратим внимание на то обстоятельство, что все диаграммы, отли-
чающиеся лишь перестановкой концов виртуальных фотонных линий, вно-
сят одинаковый вклад в Л^2п+1)(р!, р2).

Суммируя выражение (43.1.17) по п, найдем вершинную функцию
Гц (Pi, р2) в случае | (pt — р2)21 » | р2Ъ21 > т2:

Гц(р1,р2) = Тцехр	.	(43.1.18)

Эта важная формула [33] справедлива при выполнении следующих условий:

In ~ > 1,	а1п^<1,	а1п2^2>1,	(43.1.19)

m2	m2	т2	1

где 7 = Р1 —р2-

43.2. Дважды логарифмическая асимптотика сечения рассеяния элек-
трона во внешнем поле. Перейдем теперь к определению сечения рассеяния
электрона во внешнем поле в случае большого переданного импульса q\

| Я21 > m2.

Сечение в этом случае будет определяться в основном вершинной функ-
цией Гц, (/?!, р2) при I (pt — р2)2 I > т2, где р{ и р2 — 4-импульсы электрона
в начальном и конечном состояниях, р2 = р| = — т2. Поэтому существен-
ными, как следует из результатов предыдущего раздела, будут диаграммы
с внутренними фотонными линиями, охватывающими «точку приложения»
внешнего поля (такие диаграммы изображены на рис. 43.1).

Покажем, как производится выделение дважды логарифмических чле-
нов в матричных элементах, соответствующих этим диаграммам.

Рассмотрим прежде всего матричный элемент, соответствующий диа-
грамме Г.

дд  ie3 и2 Р	? ifa — ty — fn d*k	/43 9 П

(Мы пользуемся обозначениями § 39.1.)
Так как внешние электронные линии соответствуют свободному элек-
трону, т. е. = Ра = — т2, то написанный интеграл будет расходиться
в области малых импульсов виртуального фотона. Чтобы избежать этой
расходимости, можно, как мы видели в § 39.3, ввести конечную массу фото-
на X; но можно поступить и иначе, а именно, вначале считать, что величины
л =	я = р!+^2

1 2pip2 ’	2	2р^2

отличны от нуля, и только после учета процессов излучения электроном
реальных мягких фотонов положить = 62 = 0. Такой метод устранения
инфракрасной расходимости позволяет воспользоваться методикой нахож-
дения дважды логарифмической асимптотики, развитой в § 43.1.

Пренебрегая в числителе подынтегрального выражения (43.2.1) вели-
чиной k по сравнению с pi и р2 и переходя от k к новым переменным инте-
грирования и, v, k^_:

k = u(pi~ ур2) + v (р2—VP1) + kj-pi = k±p2 = 0,
где

__ т2

2Р1Рг ’
представим Alt в виде

(43.2.2)
где Мо — матричный элемент, определяющий рассеяние электрона в основ-
ном приближении:

<43-2'3>
и

т__ ta	dudv dz

(2л)2 Д (и—yv—62—хО) (и — уи — dj — хО) (uv — z— х0)

(переменная z связана с ky соотношением z= —j .

В знаменателе подынтегрального выражения для J мы сохранили,
в отличие от аналогичного выражения для А«"+1> (р„ р2), члены, пропор-
циональные у, так как величины и 62, введенные нами для устранения
инфракрасной расходимости, предполагаются очень малыми, именно, мы
считаем, что

Т » 61, 2-

В интеграле по г основной вклад дает в соответствии с результатами
§ 43.1 полувычет в точке z = uv. Остающиеся после интегрирования по z
интегралы по и и v берутся в смысле главного значения:

1 1

J = — -£-Р duP dv-------------(43.2.4)

4л Д Д	(и — уи — о) (у — уи — о)	'	7

— 1 —1

(мы считаем здесь для простоты, что 6i = 62 = 6).

Выполнив интегрирование по одной из переменных, можно выразить J
через функцию Спенса F (х):

~2F	(-s-)+2f (-?)}	<43-2-5)
где

F (х) = -1п|1~и| du.

Замечая, что при х > 1

F(x)~|ln2x,

получим в интересующем нас случае

(43.2.6)

Если 6 > у, то

J = -^-1па6,
2л ’

и мы приходим к результату (43.1.10).

Повторяя далее выкладки предыдущего раздела, легко показать, что
каждой из диаграмм 2п + 1-го приближения соответствует матричный
элемент

Л^ = Мо-(^-.

Поэтому матричный элемент 2и+1-го приближения равен

М2тг+1 = 2 ^2пД-1 =

и, следовательно, суммарный матричный элемент процесса рассеяния
электрона во внешнем поле равен

оо

Л4= 2'7И2п+1 = Л1ое7=Л1оехр(—In у In-у) .	(43.2.7)

п=0

Отсюда следует, что дифференциальное сечение упругого рассеяния
электрона во внешнем поле с учетом радиационных поправок в дважды
логарифмическом приближении определяется формулой [35]

doR = daQ exp | In у In -у-J ,	(43.2.8)

где d$Q — дифференциальное сечение упругого рассеяния электрона в пер-
вом приближении теории возмущений.

Мы должны теперь устранить в сечении рассеяния инфракрасную рас-
ходимость. Для этого нужно прибавить к dcR сечение do' рассеяния элек-
трона с излучением мягких фотонов. Этому процессу соответствуют диа-
граммы с волнистыми фотонными линиями, исходящими из внешних элек-
тронных линий (см. § 39.4). Простейшие диаграммы такого типа, соответ-
ствующие излучению одного мягкого фотона, изображены на рис. 39.5,
4 (заштрихованный блок изображает основной процесс рассеяния и радиа-
ционные поправки к нему).

Матричный элемент, определяющий излучение одного мягкого фотона
с 4-импульсом k и поляризацией е можно представить, согласно результатам
§ 39.4, в виде

pci)_	1____е ( 2Р2иеи__________\ дд /до 2 о\

Mk (2л)3/2 V2S \2p2k + pl + m^ 2Pik-pl-m4	>
где Мо определяется формулой (43 2 3), и, в соответствии с используемым
нами в этом разделе методом описания инфракрасной расходимости, мы
сохранили в знаменателях слагаемые Pi,2 + /zz2

Просуммировав квадрат модуля по поляризациям фотона е и про-
интегрировав по энергии фотона со в пределах от со = 0 до со = As, найдем
дифференциальное сечение рассеяния электрона во внешнем поле с потерей
энергии, не превосходящей As:

dcj(1) = doHA,	(43.2.10)

где
J 4е2	е d*k	1	_

Jh~ (2л)2 PiPz ш (2p2k+pl + m^ {2pik-pl—m^~

(0<Д8

=т{1п^1пт~ 21п?1п44 ’

е — энергия электрона (Ае < е) и doR определяется формулой (43.2.8).
Аналогичным образом можно получить сечение рассеяния электрона
с излучением г мягких фотонов с суммарной энергией, не превосходя-
щей Ае:

Де	Де—сох	Де—®1—(02—.. •-'<0г—1

, м , Р d2kt е	d3^2	Р	d2kT „

da — daR 3	(2п)3 ...	2я)8 X

0	0	о

X — П ~~4g2	_________________1_____________ /43 9 11 \

Л Н И со,	(2р2йг + р|+т2) ppikt-pl-m?)

г=1

(г! входит сюда из-за неразличимости фотонов).

В интересующем нас случае дважды логарифмической асимптотики
сечения рассеяния можно в этом выражении все верхние пределы интегралов
считать равными As. Поэтому

Jrb
d<№ = doR -yj- .

Суммируя это выражение по г, найдем дифференциальное сечение рассея-
ния электрона во внешнем поле с потерей энергии, не превосходящей As,
в дважды логарифмическом приближении

do = cfo0exp { — ^hXln^} ,	(43.2.12)

I	J v	U	О J

Q
где do0 — сечение упругого рассеяния, и q2 = (pt — р2)2 = 4s2 sin2 -у
(9 —угол рассеяния). Эта важная формула справедлива при выполнении
условий

а1п37&~ Ь Ле < 8-

Заметим, что формула (43.2.12) находится в соответствии с общей
формулой (39.4 8), определяющей структуру сечения рассеяния с излуче-
нием мягких фотонов Мы видим, что в дважды логарифмическом приближе-
нии величина do0, входящая в формулу (43 2 12), совпадает с сечением
рассеяния в первом приближении теории возмущений.

38 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
43.3. Сводка формул для сечений квантовоэлектродинамических про-
цессов в дважды логарифмическом приближении. Развитая в § 43.1 мето-
дика выделения дважды логарифмических членов в радиационных поправ
ках к вершинной функции, которую мы использовали в предыдущем раз-
деле для нахождения дважды логарифмической асимптотики сечения рас-
сеяния электрона во внешнем поле, может быть применена также для нахож-
дения дважды логарифмической
асимптотики сечений и дру-
гих квантовоэлектродинамиче-
ских процессов [35]. Мы не
будем приводить подробные вы-
числения, отметим лишь, что
основными процессами, которые
необходимо учитывать, являют-
ся взаимодействие электронов
(и других заряженных частиц)
с виртуальными мягкими фото-
нами и излучение частицами
мягких фотонов. При этом вкла-
ды, вносимые диаграммами с
различным образом расположен-
нымц внутренними фотонными
линиями (при одинаковом об-

щем их числе), могут быть различными, в отличие от случая рассеяния элект-
рона во внешнем поле, когда все эти вклады одинаковы. Важным оказывает-
ся также характер излучения реальных мягких фотонов. Если ограничиться
рассмотрением (что далее и делается) процессов с участием не более двух
заряженных частиц как в начальном, так и в конечном состояниях, то дважды
логарифмическая асимптотика сечений оказывается существенно зависящей
от значений величин

Rij.1

_ (Р1^) (Р2^)
sm2

| А2 ] _ (pl&) (P^)

I b2 I (Pl&) (p2&)

' U^~ ’	| u | m2 ’

где p2 — 4-импульсы заряженных частиц в начальном состоянии,,
р', Рг — аналогичные величины в конечном состоянии, k — 4-импульс
мягкого фотона и

(Р1Ч-Р2)2 г_____(Pi — Pi)2 г. _____(Pi—Р2)2

т2 ’	т2 ’	т2

Покажем, например, что дважды логарифмическая асимптотика сече-
ния процесса превращения электронно-позитронной пары в мюонную пару
(е'е+ -> ц“ц+) при малом переданном импульсе, (Pi — р^)2 = (— р2 + р'2)2 =
= О (m2), s > 1 (pi, р2 — 4-импульсы электрона и позитрона, р', р' —
4-импульсы мюонов), определяется только диаграммами лестничного типа..

Рассмотрим с этой целью простейшие нелестничные диаграммы 4-го
порядка (рис. 43.3) и убедимся, что они не вносят вклада в сечение процесса
е~е+	в дважды логарифмическом приближении.

Диаграмме 1 рис. 43.3 соответствует величина

т>_ ?	Yg2(Pi + fe)YglX7;2(-p2-fe)Y^

J й2 [(Pi + *)2+m2][(P2+A)2+m2l (Р1 + Р2 + Й)2 ’
где — дираковские матрицы, действующие на электронно-позитронные
биспиноры = и (pi), и+ = и (— р2) и уц — аналогичные матрицы,
действующие на мюонные биспиноры и_ == и' (рг), и+ == иг (— р^) (в фор-
муле (43 3 1) опущены биспиноры и учтено, что — р' — k & — р2 — k).

Для дважды логарифмической асимптотики существенны малые
4-импульсы виртуальных фотонов, поэтому мы должны в интеграле (43 3 1)
рассмотреть две области интегрирования’ область малых k и область малых
« == Pi + Рг + k. Вклад в интеграл (43 3.1) от первой из этих обла-
стей равен

(WiVgl)XYga(-p2) Тц! Р d*k 1
к	(Р1 + Р2)2	J fe2 2Plk2pzk ’

а так как

(мы использовали уравнения Дирака, tpu— —ти и учли, что |р| > т), то

Л“-----<43-3-2>

(Qfe означает область малых k).

Аналогичной формулой определяется вклад в интеграл (43.3.1), вноси-
мый областью Q&'.

Рассмотрим теперь диаграмму 2 рис. 43.3. Ей соответствует величина

,<2> Р d*k y^t-Pz+^y^kPi-i-k) у^Ху^

J k3 [(P2-^)2+m2H(Pi + fe)2 + m2](Pi + p2)2 ’
которая при малых k приобретает вид

*^2> 2(Тн X Тм) § £2(_2р2£) 2pjfe •

Мы видим, что J™ только знаком отличается от Дп:

7(1) _ 7(2)

= —Jh •

Легко убедиться, что аналогичное соотношение имеет место для
и величины Д3), соответствующей диаграмме 3 рис. 43.3

ЛР=-Л3>.

(43.3.3)

(43.3.4)

Таким образом, как и утверждалось, суммарный вклад от трех нелест-
ничных диаграмм 4-го порядка в сечение процесса е~е+ -> ц“р,+ (при
Pi — Pi 0) в дважды логарифмическом приближении обращается в нуль.
Такая же ситуация имеет место и в более высоких приближениях теории
возмущений.

Перейдем к рассмотрению диаграмм лестничного типа, описывающих
процесс е~е+ —> ргрЛ при |/| =	О (1), s> 1.

Основной диаграмме 2-го порядка (рис. 43.4) соответствует величина
Мг = tSf (“+Vnu-)
или сокращенно

itn^s	(43.3.5)
В системе центра
заменить у4 и у3

инерции электрона
на

и позитрона мы можем, очевидно,

(ось 3 направлена

„ к______; Р1 + Р2

yirfis ’

Pi~P2

73 Ут^а

вдоль а так как ipu = — mu, то слагаемые в M2,

содержащие у4 и у3, будут в ]/s раз меньше слагаемых, содержащих у4 и у2,

Pi



и могут быть, следовательно, при s > 1 опу-
щены:

е2

^2 im2s Та X Та» а = 1, 2.

(43.3.6)

-Рг ~Рг

Рис. 43.4.

Введем вместо

Найдем теперь вклад, вносимый в амплитуду про-
цесса е~е+ —р,_ц+ лестничной диаграммой 4-го по-
рядка (диаграмма 1 на рис. 43.5).

р новые переменные интегрирования и, v, рх*

Р = upt + vp2 + Px, p±pi = р±р2 = 0.

Тогда, поступая так же, как и в § 42, легко убедиться, что интересующая
РгР ______________________________________

Л Р

। Р/

-ГР

~Рг

-Л Р^?+Р

нас дважды логарифмическая асимптотика определяется областью интегри-
рования | и |, | v | < 1. В этом случае диаграмме 1 рис. 43.5 соответствует
величина

Mt =

л	л	S

YuPYv X	du dv d^p±

(szz — zO) (s^ + zO) (— m^suv-^-p^—ity2

<a ,	, ,, , e

P±aP±<r'^d“dud2P.

(—m^suv + p2^ — tO)2(su— zO) (s^ + zO)

(43.3.7)

(члены, содержащие и и v в числителе, не приводят к дважды
мической асимптотике).

Учитывая, что усреднение по углу в плоскости рх Дает
—2	“2	12	------ л

Р1Д = Р±2 = У Рд, РД1РД2 = О,

можно переписать Л44 в виде

логариф-

M4 =

e4 .	, I, , p

Tp±Wdudvdip.

(szz — zO) (sv + zO) (— m2suv -f- p2. — z'O)2
Вспоминая далее, что в системе центра инерции матрицы у3 и приво-
дят к слагаемым порядка —Ц < 1, можно пользоваться соотношением

Vs

YhY^Yv х	« ТаТаТв х УвТа?а = Ya X Ta

(р, v=l,2, 3, 4; a, р, <r= 1, 2).

Таким образом, приобретает вид

ei	. a, 2_dUdad2p±0(p^-m2)

(2л)1 X 7“ j (Su—z0) (su-j-iO) (— mlsuv + p^ — iO)	(43.3.9)

(область малых р\<т\ не дает дважды логарифмических членов,
поэтому под знак интеграла введена функция 6(pj_ — m2)).

Считая пределы интегрирования по ц, v равными 1/s и 1, получим

1 1

5т78<!“’~1>=*£4|Л' <43-3-10>

1/S 1/S

где М2 определяется формулой (43.3.6).

Аналогичным образом может быть определен дважды логарифмический
вклад, вносимый лестничной диаграммой 6-го порядка (диаграмма 2
на рис. 43.5). Он определяется формулой

= е« Р Tn<2Vv?m х Т^ХЛТц 441 d.it2
® г (2л)8 j m2su1 (t|)2 [m2s (и!-|-и2) (vj-p t>2)l (^!)2 m2su2 ’

в которой следует считать и2 > ult Vi > v2. При этом Мй приобретает вид

1	U2	1	1

*-*&)’ 5	S чг j	4? j 4pe(»,»,-i)x0(w2-i)-

1/s	1/S	1/S	V%

Наконец, вклад, вносимый лестничной диаграммой 2(n-j- 1)-го порядка
в амплитуду процесса е~ё1г —> р“р+ в дважды логарифмическом приближе-
нии определяется формулой

Д42 (п+1) = М2 (ДД” ?	.. Д £ *2» ...

\ 2л у d Un д Un~i cJ Ui ti Vn
1/s	1/s	1/s	1/s

•  • S V п 0	» = * иу-ятяип (ln>s)"-

Суммируя величины ТИ2, Af4, Л4в, ..., найдем амплитуду процесса
е"е+—>р-р+ в дважды логарифмическом приближении при /—>0

44=2 М2п = М2^Ц(х),	(43.3.11)
где Л (х) — функция Бесселя мнимого аргумента,

т /в-У W2>an+1

2j я1(я+1)!

п-=0

И	__

1 / 2а 1

X=V irins-

Отсюда легко найти дифференциальное сечение рассматриваемого процесса

-^ = -^-Д/1(х),	(43.3.12)

dt dt х2 14 f	'	7

где do0— дифференциальное сечение процесса е~е+р“р+ в борновском
приближении.

Мы не будем приводить здесь подробные вычисления сечений других
квантовоэлектродинамических процессов в дважды логарифмическом при-
ближении, а приведем только таблицу отношений сечений do процессов
в дважды логарифмическом приближении к сечениям da0 соответствующих
процессов в основном приближении в различных областях значений пере-
менных s, t, и и kj_ (неравенство k\_ С А означает, что k2sy_ < A, k2± < А,

< А).

Входящие в таблицу величины a, b, с, d, g, h означают

а=(уЛ(х))2, x2=~ln2s,

&=аехр (—^-1п2/) ,

c — d exp — 2 In2 s + In21 и | + 2 In2-ц-у) J ,

d=J4y),

£=ехр[—Tln2s] ’

Л = ехр £ —(1ns 1п|и| —In2|м| )J ,

= 4	г>0,

Г—гео

где 1/4 (г) —функция параболического цилиндра, определяемая интег-
ральным представлением

1	<о+)	1

Dp(2) = _np±l)e-va $	-^(-tr^dt

оо
при р~ —1/4.

В предельных случаях малых и больших аргументов функция J (у)
имеет вид

Цу) = 1—^у*+^у*+---, у« 1,

J (у) — — 8{е~2> 26ycos l,84y + e~3’44ycos 3,05z/+ ...}, у > 1.
Таблица значений -z— (по результатам работ [35])
a O'O

Области	In  In s =	1П 1 f |, In I w 1	In s	;1ПМ, 1П S =	= In 1 t\	In s = In 1 t j = In 1 U !	
Процессы	£j_<£ m2	« s, I И			*J_«S	k\«m2	Aj_«s
e~e+ —> pt~pt+	b	a	C	d		g	1
e~[i~ —> e~pi~	b	1	b	a	a	b	1
e~e+ —> e~e+ e~[i+—> e~[i+	c	1	c	d		c	1
ey —> ey			h	1	1	h	1
e-e+ —> у у	h	1  i	h  i	1	1	h	1

§ 44. Дисперсионный метод вычисления радиационных поправок

44.1	. Аналитические свойства поляризационного оператора. Вычис-
ление радиационных поправок может быть проведено при помощи метода,
отличающегося от того, которым мы пользовались ранее в этой главе. Этот
метод, изложению которого посвящен настоящий параграф, представляет
интерес в двух отношениях. Во-первых, в вычислительном: здесь иная схема
проведения интегрирований и иной выбор переменных интегрирования; это
может оказаться удобным при вычислении высших поправок. Во-вторых,
в принципиальном, здесь нет необходимости иметь дело с расходимостями,
которые надо затем устранять; новая схема нахождения высших приближе-
ний вообще не оперирует с расходящимися интегралами.

Мы начнем с рассмотрения поляризационного оператора второго поряд-
ка П(2) (k). Согласно (36.3.1) и (36.3.2)

(2)

П (*)-

f(p, k)d*p

J (р2 + гп2__Щ) [(р —+	/0] ’

(44.1.1)

где

/(Р. k) = 3ns”TSP {vu(l‘P—— ik —m) —

~^k{ip-m)k(ip-ik-m)} = ^{p24-3m2-3M + ^^} • (44.1.2)

Интеграл (44.1.1) может служить для определения П<2) (£) как функ-
ции комплексной переменной k?. Выясним, какова область аналитичности
этой функции. Для удобства мы сделаем некоторое изменение обозначе-
ний. Пусть

(П|3’(А)=Р(/),	t=—k?.

(44.1.3)

Выделим в интеграле (44.1.1) интегрирование по dpo(P4 = ipo):

P(0=pW(P, k),

fe) = J

c

if (.P, k) dp0

(44.1.4)
где

ер — +	+ mz

и С — контур, изображенный на рис. 44.1.

Рассмотрим сначала область действительных положительных значе-
ний А2. При k2 > 0 можно выбрать систему отсчета, в которой

£о = О, k2 = k2.

Тогда подынтегральное выражение в (44.1.4) имеет при k2 > 0 полюсы
в следующих четырех точках (см. рис. 44.1):

ГО ’ kpt Ро —^р—7гч Ро-------&рч Ро — ~^&р—к*

Добавим к переменной А2 некоторую мнимую часть. Точки р™ и р(3) при
этом не изменятся, а точки р™ и р<4) сместятся и, вообще говоря, могут

Рис. 44.1.	Рис. 44.2.

приблизиться к контуру С. Существенно, однако, что полюсы р™ и р^\
расположенные под контуром С, всегда будут находиться на конечном
расстоянии справа от полюсов р™ и р^\ расположенных над контуром.
(В самом деле, так как & > т, то первая пара полюсов во второй отделена
расстоянием, превышающим 2m.) Поэтому при смещении р™ и р^ можно
так непрерывно деформировать контур С, чтобы полюсы не пересекли его
(рис. 44.2). Таким образом, интеграл /, а следовательно, и функция Р (/)
могут быть однозначно продолжены в область комплексных t (при Re t < 0).
Иначе говоря, функция Р (t) не имеет особенностей в левой полуплоскости
комплексной переменной t.

Заметим, что этим свойством расположения полюсов мы уже пользова-
лись в § 36.1, поворачивая ось р0 на угол л/2 в комплексной плоскости р0.
При этом dpQ заменяется на idpQl и —pl на р2, так что знаменатель в (44.1.4)
нигде на повернутом контуре не обращается в нуль, и из (44.1.4) и (44.1.1)
видно, что Р (/) действительно,

Im Р (0 = 0, /<0.	(44.1.5)

Перейдем к рассмотрению области отрицательных k2. При k2 < 0
можно выбрать систему отсчета, в которой k = 0, k2 = — k2. Так как при
этом k2 не зависит от знака &0, то для определенности можно считать, что
kQ > 0. Теперь полюсы подынтегрального выражения в (44.1.3) будут
расположены в следующих точках:

Po1> = 8i» Ро2’ = £о + ^, Ро3>=—р‘4> = ^0 —е^.

Если точки р'п и р‘2> находятся на конечном расстоянии от точек р,8) и р'4>,
то интеграл может быть, как и выше, продолжен в область комплексных t
(т. е. при любых мнимых добавках к k2 можно так непрерывно деформиро-
вать контур С, чтобы первые два полюса остались под ним, а вторые два —
над ним). Но, в отличие от случая k2 > 0, точка р<4> с ростом k0 монотонно
смещается направо и поэтому может подойти бесконечно близко к неподвиж-
станет невоз-

комплексных

Рис. 44.3.

(2)

ной точке Это произойдет при kQ = 2&р; контур С тогда окажется зажа-
тым (рис. 44.3) между двумя полюсами подынтегрального выражения, и одно-
значное продолжение интеграла / в область
можным. Так как 8/?>т, то сближение по-
люсов становится возможным при #0>2т.

Это значит, что точка k0 = 2т, т. е.
точка

&2= —-4m2, £ = 4m2,
является особой точкой —точкой ветвле-
ния функции Р (/).

Проведем в плоскости t разрез вдоль
действительной оси от точки t = 4m2 на-

право. Тогда Р (/) будет аналитической функцией в разрезанной пло-
скости. Так как Р (/), согласно (44.1.5), действительно на действитель-
ной оси при 0 (как мы видели выше это свойство сохраняется и на отрез-
ке 0 < t < 4m2, Im Р (t) = 0, t < 4m2), то при произвольных комплекс-
ных t должно иметь место соотношение



В частности, при стремлении t к линии разреза

Р (t - Ю) = ?*(/ + /0), t > 4m2.

Таким образом, скачок функции Р (/) при переходе через разрез
ДР(/) = Р(/+ Ю) — P(t — ity связан с мнимой частью Р соотношением

АР (0 = 2ПтР(^ + Ю).

(44.1.6)

Заметим, что физическое значение функции Р (/) при действительных
t > 4m2 должно определяться как Р (t + Ю).

Найдем теперь скачок АР (/). Для этого вернемся к интегралу (44.1.4),
который при t Z> 0 запишем (в системе,
в которой k = 0) в виде

Т \ _ С (?> ^о) dPo

Пусть k0 имеет бесконечно малую мнимую
часть. Скачок А/ (р, k0) = I (р, kQ+ i0)—
—I (р,	— *0) возникает, как отмеча-

лось выше, благодаря тому, что контур С
оказывается зажатым между двумя полюсами: р^ = kQ — sp и р™ = ер.
Заменим поэтому интеграл по контуру С суммой двух интегралов:

С С' Со

(рис. 44.4). Контур С' находится над обеими точками (р™ и р^) и поэтому
не зажимается ими при р^ р£\ Скачок возникает только за счет инте-
грала по контуру Со:

А/(р, ko) = Io(p, ko + iO) — IQ(p, k0 — Ю),

где

if (р, kQ) dpo

(р§—[(Ро—^о)2—е*]

Л>(Р, М = J

Со
Этот интеграл легко вычисляется; согласно теореме о вычетах

Д>Ср, &о) = 2ш

if (Р> ^о)
28^0(2^—feo)

где f(p, &о) —значение функции f (р, k) при pQ = ko — и k = 0.
Используя соотношение

---= Р ------Iлб (х)
х+гО х-------' '

и явный вид функции f(p, k) (44.1.2), получим

д/(р, Ло)= -з^Гог(2^ + 4е;)6(Ао-2е2)).

Теперь легко найти скачок функции P(t):

&P(f) = $ d3pM{p. k).

Выполнив интегрирование, получим окончательно

-1-	ДР (/) = Im Р (0 = -]/ (t + 2trP).

(44.1.7)

Полезно заметить, что выражение для ДР (0 можно записать в виде
инвариантного четырехмерного интеграла. Действительно, воспользовав-
шись тем, что под знаком интеграла можно произвести замену

d3p6 (fe0 ~ 2^) —> d4p6 (р2 4- m2) 9 (р0) 6 [(р — fe)2 + zn2] 2p0fe0,

получим

ДР (/) = f (2ш)2 ^cPpf(p, fe)9(Po)S(p2 + m2)6[(p-fe)2 + m2].	(44.1.8)

Сравнивая (44.1.8) с (44.1.1) (с учетом обозначений (44.1.2), мы видим,
что для перехода от выражения для Р (t) к выражению для ДР (/) доста-
точно заменить входящие под знаком интеграла функции Грина £ДС (р)
и /Дс (р + fe),

iДс (р) = -о , L—тг = Р й г -о + /зтб (р2 + zn2),
p2+m2 —Ю p2+m2 1	\ п

их удвоенными мнимыми частями: /Дс (р) -> 2ш6 (р2 + пг2). Это свойство
скачка может быть обобщено на другие интегралы, встречающиеся при
вычислении радиационных поправок.

44.2	. Дисперсионное соотношение. Отметим прежде всего два важных
свойства функции ДР (/).

Во-первых, она конечна (при конечных /). Это видно не только из явного
выражения (44.1.7), но и из более общего выражения (44.1.8) при про-
извольной функции f (р, k). Действительно, входящие под знаком интеграла
6-функции сводят область интегрирования к фазовому объему двух реаль-
ных электронов с 4-импульсами р и р — fe, суммарный 4-импульс которых
fe задан. Такой фазовый объем всегда конечен (после исключения 6-функций
остается только интегрирование по телесному углу). Виртуальные частицы,
интегрирование по импульсам которых является причиной расходимостей
в квантовой электродинамике, не дают вклада в ДР (/).

Во-вторых, аналитические свойства регуляризованных величин долж-
ны совпадать с исходными (т. е. нерегуляризованными). Это легко видеть
из определений регуляризованных величин, данных в § 23. В частности,
П#* (k) получается из П<2> (k) путем вычитания функции, линейной отно-
сительно k2.

Поэтому мы можем считать, что знаем скачок регуляризованной функ-
ции Р (/). Ниже будут всюду подразумеваться только регуляризованные
величины, и мы будем обозначать их без индекса 7?.

Знания скачка функции Р (/) на разрезе АР (/) достаточно для нахож-
дения самой функции Р (t). Для этого надо воспользоваться аналитично-
стью функции Р (/) в плоскости t с разрезом от
t = 4т2 до t = оо и свойством регуляризован-	------

ного поляризационного оператора при t = 0	/ t

(23.3.5):	/	\

Р(0) = 0, Р'(0) = 0.	/	\

Последние условия означают, что функцию Р(/) j	.

можно представить в виде	у	j

(44.2.1)	\	/

где б? (/), так же как и Р (/), аналитична в пло-	______

скости t с тем же разрезом, причем

AG1(0 = ^.	(44.2.2)	РИС-44’5-

Заметим, что, как следует из (22.3.10) и (22.3.12), величина iGj пред-
ставляет собой поправку второго приближения к регуляризованной функции
Грина фотона Gp0-

Из (44.2.2) и (44.1.7) вытекает, что асимптотика ДОД/) при боль-
ших t имеет следующий характер:

AGi(/)~-|-, t-+oo.	(44.2.3)

Такая асимптотика позволяет выразить функцию (/) через A6j (/). Вос-
пользуемся для этого формулой Коши

a‘V'l-4r§^=Tdz’	<44-2-4)

где контур интегрирования охватывает линию разреза и замыкается окруж-
ностью большого радиуса (рис. 44.5). Легко видеть, что интеграл по
этой окружности при неограниченном увеличении ее радиуса стремится
к нулю, и Gi (/) тогда выражается через интеграл по линии разреза:

f ^?dx-	<44-2-6)

4 m2

Это формула называется дисперсионным соотношением.

В силу (44.2.3) интеграл (44.2.5) существует, и G} (/) убывает при
t -> оо (как что оправдывает переход от формулы (44.2.4) к фор-
муле (44.2.5).

Из (44.2.5) и (44.2.2) следует, что для Р (t) может быть написано соот-
ношение

P(f) = — F	dx-	(44.2.6}

41 ла х2(х—о	v 7

4 m2
Подставив (44.1.7) в (44.2.6) и выполнив интегрирование, получим
р	z Гт - <1 -0 ctg °)

(sin2 0 = //4m2).

Это выражение совпадает с выражением (36.3.6) для перенормированного
поляризационного оператора.

44.3.	Применение соотношения унитарности. Хотя выше мы непо-
средственно не оперировали с расходящимися интегралами и не вводили
предельного импульса, как это делалось в § 36.3, однако исходным для
проведенных вычислений был расходящийся интеграл (44.1.1). Поэтому
метод получения П<2> (k) .отличался только в вычислительном отношении
от метода, которым мы пользовались в § 36.3. Покажем, что аналитические
свойства функции Р (/) и ее скачок на разрезе AZ7 (/) (или мнимая часть
Im Р (/)), а также аналогичные свойства других величин могут быть полу-
чены без использования диаграмм Фейнмана и соответствующих им расходя-
щихся интегралов [36].

Исходным для получения высших приближений может служить соот-
ношение унитарности для матрицы рассеяния

ss+=/.

Мы запишем матрицу рассеяния S, как это уже делалось ранее, в виде

S = z-MT.

Тогда соотношение унитарности примет вид

/(Т —Т+)=—т+т

или

</|T|i>-<i|T|f>* = i2<n|T|f)*<n|T|i>.	(44.3.1)

п

Мы будем ниже пользоваться также амплитудами рассеяния Mfi, связан-
ными, согласно определению § 18.1, с (f | Т ] 0 соотношением

(/1Т | 0 = (2я)4 Mfi	—

Заметим, что левая часть (44.3.1) является линейной, а правая —
квадратичной относительно элементов матрицы Т. Это делает возможным
использование (44.3.1) для построения последовательных приближений.
Действительно, пусть, например, элементы матрицы известны в первом
приближении. Тогда, подставляя их в правую часть (44.3.1), мы получим
комбинацию матричных элементов, входящих в левую часть (44.3.1) уже
во втором приближении.

Для того чтобы найти таким способом величину П<2> (k) или функцию
Грина фотона во втором приближении, рассмотрим электромагнитное взаи-
модействие двух частиц с превращением их в некоторые две другие частицы.
Обозначим начальные частицы символами 1, 2, а конечные Г, 2', так что
речь идет о реакции

1 4-2—> 1'4-2';	pi 4- р2 = Р± 4- Р2*

Будем считать, что амплитуда этого процесса (/ | Т I О = (Г, 2' | Т I 1, 2)
билинейна относительно токов перехода (q),	(— q), представляющих,

собой фурье-образы матричных элементов оператора тока (Г | (x)J I),
<2' |	(х) | 2) при q = Pi — р[ = Ра — р2. Тогда и амплитуду можно

представить в виде

Mfl = W(q)j™(-q)G(t),	(44.3.2)

где G (t) — некоторая инвариантная функция от t == — q2. Заметим, что
(44.3 2) является единственным инвариантным выражением, билинейным
относительно токов перехода и учитывающим уравнение непрерывности:

/Т (?) ?и = № (~ ?) ?ц = 0-

Сравнивая (44.3.2) с аналогичным выражением (32.1.2), мы видим, что
iG (/) представляет собой функцию Грина фотона.

Воспользуемся теперь тем, что в первом приближении iG (/) совпадает

Dc (?) = у и представим G (/) в виде

где Р (/) — поляризационный оператор. Будем также считать известным
асимптотическое поведение G(t) при / = 0:

-g(o = 4"’ t~>Q-

Тогда Р(0) = Р'(0) = 0.

Аналогично, амплитуда обратного перехода

1' + 2'->1+2
сможет быть представлена в виде

Mlf = j<»(-q)j™(q)G(t).

Так как оператор тока является эрмитовым оператором, то (<?) =
~1иЛ~Я)	2, 3, 0) и входящая в левую часть (44.3.1) разность

матричных элементов приобретает вид

Mfl - M*f = Д1’ (?) /Т (- ?) % Im G (0 = /7 (q) /«> (- q) 2l lm/(0 .	(44.3.3)

Под | n) в правой части (44 3 1) мы должны понимать состояния,
содержащие одну электронно-позитронную пару. Точнее процессы i —>• п
и f п представляют собой переходы

1-^1'+ пара, Pi = p,1 + P + P'\

2'-^2+ пара, р'2 = Pz +Р + р',
где р и р' — 4-импульсы электрона и позитрона. Эти процессы возможны,
очевидно, при qQ > 2m, т. е. при t > 4m2. Отсюда следует, согласно
(44.3.1), (44.3 3),

ImG = 0,	/<4т2.

Амплитуды образования пары имеют вид

Alnz = —	(?) /ц ( Я)»

i	(44.3.4)

где

//(~ Я) = 9	“ (Р) 7^ (- Р')>	(44.3.5)

2 у ЕЕ
р и р' — 4-импульсы электрона и позитрона, причем р + р' = q, и —
соответствующие биспинорные амплитуды.

Найдем теперь 3 (n | Т | I) {п j Т | /)*. Суммирование по п содержит,
п

во-первых, суммирование по поляризациям рц, ц2 электрона и позитрона,

S [« (р)	(— р')1 [w ( —р') yvu (р)] = Sp (ip j-m) уи (ip' — tn) yv,

и, во-вторых, суммирование по импульсам электрона и позитрона с учетом
сохранения импульса и энергии,

2 Р ) 4eF =	Р(Р’Р') (2л)3 2е (2 л.)3 2е'	^(РРгР

р, р'

=^Р(Р, Р'')-^ 6 (Р2 + М(р- <7)2 + т2] о (Ро).

Последний интеграл должен иметь, очевидно, структуру ab^ + bq^qy.
В дальнейшем существенно только первое слагаемое, так как второе
слагаемое обращается в нуль после умножения на /^ (/) Д2) (“"?)►
Поэтому

3 (п I ТI />* (п (Т10 =	/и’ (р) /ц ’ ( - р) (2я)4 6 (Р1 + Р2—Р1 - Ра) X

п

X -ySp [(ip + m) yv(iq — ip — m) yvH4p0 (p0) 6(p2 — m2) 6 [(p — q)2 -f- m2\.

(44.3.6)

Подставим выражения (44.3.6) и (44.3.3) в равенство (44.3.1); мы видим,
что токи /ц}(<7) и /ц>( — q) выпадут из него, и мы получим выражение,
определяющее 1шР(/), тождественное с (44.1.8):

2 Im Р(/) — (2л)2 J cfipf(p, (?)S(p2 + m2)6[(p--(7)2+m2]0(po), (44.3.7)
где f (р, q) определяется формулой (44.1.2).

Таким образом, мы получили все результаты § 44.1, основываясь
только на соотношении унитарности. Подчеркнем, что мы пользовались
соотношением унитарности в первом порядке по а. Поэтому мы рас-
сматривали только состояния с одной парой. В этом случае положение
точки ветвления функций Р (/) и G (/) имеет простой физический смысл: эта
энергетический порог образования пары. В следующих приближениях
следует, очевидно, рассматривать также образование двух и большего-
числа пар. Соответственно этому функция Грина будет иметь точки ветвле-
ния при t = 4m2, 8m2, ... Кроме того, в высших приближениях появится
точка ветвления при t = 0, отвечающая фотонам в промежуточном
состоянии, например процессу

1	—> Г + 3 фотона.

Для того чтобы получить также результаты § 44.2, т. е. восстановить
функцию Р (0 по ее мнимой части, необходимо сделать следующие есте-
ственные, но формально независимые предположения:

1)	функция Gi (/) не имеет других особенностей, кроме точки ветвления
при t = 4m2 и полюса при t = 0 (означающего существование фотона);

2)	вычет в полюсе равен единице (это означает, по существу, нормиро-
вочное условие для функции Грина).
44.4.	Вершинная функция во втором приближении. Рассмотрим про-
цессы, аналогичные рассмотренному в § 44.3 и отличающиеся тем, что
частицы 2 и 2' представляют собой электроны или электронную пару, т. е.

1 + е —> 1' + е';	Pi + А? = Pi + А?

или

1-^Г + е + ё;	= + +

(здесь е и е — символы электрона и позитрона). Первая реакция аналогична
внутренней конверсии или рассеянию электрона (ер. § 35); вторая —
внутренней конверсии с образованием пары (§ 35.4). Для первой реакции
q2 — (Pi — р^)2 > 0, для второй q2 < — 4m2.

Мы можем описать оба эти процесса единой амплитудой, определенной
в разных областях независимой переменной t = — q2. Амплитуда таких
процессов будет иметь форму (44.3.2)

44/г==/ц)(<7)/ц)( —<?)G(Z),	(44.4.1)

где /це) (—q) — электронный ток перехода. Так как величина /це) включает
радиационные поправки, то она не имеет простого вида (44.3.5). Восполь-
зуемся общей структурой тока перехода для частицы со спином 1/2, полу-
ченной в § 34.1:

Гц — / (/) Уц, V

где и = и(ре) и и'--=и(р'е) или и' = и(~ ре) соответственно случаям рас-
сеяния (/<0) или образования пары (/_>4т2). Функции f(t) и g(t) мы
будем называть электронными формфакторами.

Аналогично, для обратного процесса f—>i

и левая часть соотношения унитарности (44.3.1) примет вид

Mfl — M*f = 2< (<?) —« { ь Im (G (/) f (/)) - Im (G (t) g (/))} и'.

2 ]/ 8e8e	ZtTl	>

Так как в первом приближении

/(0 = Ь £(О = о, G(0 = y

и мы хотим учитывать поправки порядка ос, то

Mfl - M?f = iff (q) й К Im G (/) +

У 8e8e I

+		(44.4.3)

Переходя к вычислению правой части соотношения унитарности
(44.3.1), мы прежде всего видим, что при t < 0 невозможны никакие
промежуточные состояния: такими состояниями могли быть, как
и в § 44.3, состояния, содержащие пары, но порог образования их
равен t = 4т2.
Таким образом, правая часть (44.3.1) при /<4т2 равна нулю и из
^44.4.3) следует:

Im f (t) == Im g (/) = 0, t < 4m2.	(44.4.4)

Точка t = 4m2 будет, как и в случае § 44.3, особой точкой (точкой ветвле-
лия) функций f (/) и g (/), рассматриваемых как аналитические функции
комплексной переменной Л

Амплитуда Mni (при t > 4m2) имеет тот же вид, что и (44.3.4), (44.3.5):

мп1 =	и (р) ТцИ (— /)»

Г 2 1/88'

(44.4.5)

где р и р' — 4-импульсы электрона и позитрона в промежуточном состоянии,
а 8 и е' —их энергии. Амплитуда же Mnf представляет собой амплитуду
рассеяния электрона позитроном. Согласно (31.2.1), она имеет вид

дл = g2 / («'Тс^) (ц(Р) Уаи(-р'))	р'))	(Р) Уа^) 1

nf	I	t	f_	(p — pe)2	/’

(44.4.6)

где и и и' по-прежнему означают биспинорные амплитуды электрона и по-
зитрона в конечном состоянии f.

Подставив (44.4.6), (44.4.5) и (44.4.3) в соотношение унитарно-
сти (44.3.1), мы получим, учитывая, что выражение для ImG(Q нам уже
^известно (см. (44.3.2) и (44.3.7)):

м {Vh Im f (/)-Im g (/)} и' =

Ot /" t — 4/72$ P	— л a	~

= 12ir V ~Г~ i (7Z^+r2«Va(^-»P-m)TH(tp + /n)7aa X

X 6 (p2 + m2) 6 [(<? -P)2 + m2] 0 (p0);	(44.4.7)

здесь К — масса фотона, введенная, как обычно, для устранения инфра-
красной расходимости.

Мы видим, что интеграл в (44.4.7) отвечает диаграмме Фейнмана для
вершинной части третьего порядка (см. рис. 38.1), в которой электронная
функция Грина Se (Р) ==р-г^7^/о заменена на 2Д5С (р),

ASe (р) = i(ip — т)д (ро) л1 6 (р2 + /п2).

Выполнив интегрирование в (44.4.7) и отделив члены, содержащие
Tn и °uv> получим

Im'<'>=w=iS4 [ - 3‘++2" -2m!) ln	] 

(44.4.8)

т ... am2

Im g (t) =	 = .

Уц/—4m2)

Теперь можно найти f (f) и g (t) при помощи дисперсионных соот-
ношений, аналогично тому, как это было сделано в § 44.2. Так как /<в> (0) =
= е и f (0) = 1, то функция аналитична в плоскости t с разрезом
вдоль действительной оси от точки t = 4m2 направо, причем ее мни-
мая часть, согласно (44.4.8), убывает при /->оо (как Повторяя рас-
суждения, приводящие к (44.2.6), можно написать поэтому дисперсионное
соотношение

оо

(44.4.9)
J v	А» у A ъ )

Для функции §•(/) мы не имеем никаких условий. Но, согласно (44.4.8),
Img убывает как 1/t при / —>оо. Поэтому для g (/) может^ быть написано
дисперсионное соотношение
оо

(44.4.10)

4т2

Обратим внимание на замечательную согласованность характера пове-
дения Im Р (/), Im f (/) и Img(/) на бесконечности с теми физическими
требованиями, которые накладываются на эти функции при t = 0. Именно
это обстоятельство дает возможность определения их при помощи сходящих-
ся дисперсионных интегралов. Эта согласованность является выражением
перенормируемости квантовой электродинамики.

Интегрирование (44.4.9) и (44.4.10) приводит к следующим выражениям
для f(f) и g(t):

Q

о

2л sin 20

совпадающим с полученными ранее (см. § 36.4).

44.5.	Вершинная функция в третьем приближении. Все изложенное

выше в этом параграфе можно сформулировать следующим образом. Мы рас-
сматривали две диаграммы Фейнмана, изображенные на рис. 44.6. Они

определяют (с точностью до членов порядка а) три инвариантные функции

переменной t = — q2 (q — 4-вектор переданного
импульса): поляризационный оператор Р (/) и форм-
факторы электрона f (f) и g (/). Если видоизменить
правила Фейнмана таким образом, что линиям,
помеченным на рис. 44.6 крестиками, сопоставлять
не функции Грина, а их удвоенные мнимые части,
точнее, произвести замену

>2ш6(р2 + т2)	(44.5.1)

(р — импульс, ОТНОСЯЩИЙСЯ К данной линии), ТО Рис. 44.6.
эти диаграммы будут определять удвоенные мнимые

части (скачки на разрезах) функций Р (/), f (/), g (/). Импульсы этих
линий удовлетворяют в силу (44.5.1) уравнению массовой поверхности
р2-]-т2 — 0, т. е. становятся импульсами, реальных частиц которым
на диаграммах Фейнмана отвечают внешние линии.

Если рассечь диаграммы рис. 44.6 по направлениям, соединяющим кре-
стики («унитарные рассечения»), то каждая диаграмма превратится в две
диаграммы реальных процессов с образованием промежуточных состояний
(рис. 44.7), которые определяют правую часть соотношения унитарности.
Диаграммы же 44.6 определяют левую часть этого соотношения.

39 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий
Таким образом, простой и наглядный способ нахождения мнимых
частей амплитуд состоит в построении диаграмм Фейнмана и их унитарных
рассечений. В общем случае каждая диаграмма может иметь не одно, а ряд

унитарных рассечений, и надо суммировать вклады от всех рассечений, так
как они отвечают различным членам в правой части соотношения уни-
тарности.

Заметим, что при вычислении вершинной функции мы не учитывали
диаграмм, изображенных на рис. 44.8: такие диаграммы не могут дать вклад
в мнимые части функций f (/) и g (/),
J _	----- х у так как соответствующие рассечения

j ~	+ ----- +	отвечают излучению фотона свобод-

ным электроном, т. е. процессу, за-

Рис. 44.10.	прещенному законами сохранения.

Таким образом, по виду диаграмм
легко заключить, какие рассечения нужно принимать во внимание.

В качестве примера более сложного случая рассмотрим схему вычисле-
ния дисперсионным методом вершинной функции в третьем приближении.

На рис. 44.9 изображены две блок-диаграммы, отвечающие двум типам
унитарных рассечений. Диаграмма а) рис. 44.9 соответствует двухчастич-
ным промежуточным состояниям (электрон и позитрон), а диаграмма
б) — трехчастичным (электрон, позитрон и фотон). Верхняя часть диаграммы

= — + — + \ — + — /

Рис. 44.11.

я) определяется вершинной функцией во втором приближении, нижняя —
амплитудой рассеяния позитрона электроном во втором приближении,
т. е. диаграммами рис. 44.10; жирные точки и жирная пунктирная линия
изображают соответственно вершинные функции и функции Грина во
втором приближении, вся амплитуда вычисляется с точностью до членов
порядка а. Блоки, определяющие нижнюю часть диаграммы б) рис. 44.9,
изображены на рис. 44.11. Заметим, что все они отвечают первому при-
ближению для соответствующего процесса.

Из диаграмм рис. 44.9 мы видим, что энергетическим порогом образо-
вания обоих типов промежуточных состояний является величина qQ = 2т,
т. е. точкой ветвления функций f (Z) и g (/) является точка t = 4m2. Форма
4	3

-"I	< j <

Л7*	♦Л'

।	।

рг Р Рг

Рис. 44 12.

дисперсионных соотношений остается той же, что и в (44 4 10) и (44 4 11).
Таким образом, можно, в частности, в замкнутом виде вычислить g (0),
т. е. вторую радиационную поправку к магнитному моменту электрона
и мюона [37].

44.6.	Четырехугольная диаграмма и двойное спектральное предста-
вление. Выше мы изучили аналитические свойства функций, отвечающих
двум простейшим диаграммам, встречающимся в теории радиационных
поправок двуугольной диаграммы (поляризационный оператор) и треуголь-
ной диаграммы (вершинная функция). Теперь мы рассмотрим с этой точки
зрения четырехугольную диаграмму. Мы встречались с четырехугольными
диаграммами в задачах о радиационных поправках в рассеянии фотона
электроном и электрона электроном, а также в задаче о рассеянии фотона
фотоном В качестве примера мы выберем диаграмму, изображенную на
рис. 44 12 Эта диаграмма, на которой жирные линии
отвечают мюонам, а простые линии — электронам, дает
вклад в следующие три процесса.

I.	Рассеяние мюона электроном, # + р, -> е + р.

II.	Рассеяние антимюона электроном, б+р-^+р.

III.	Превращение электронной пары в мюонную пару,
с -р с —> р -р ц.

Каждый из этих процессов отличается от другого пере-

носом символов двух из четырех частиц из одной стороны схемы реакции
в другую. Их называют перекрестными (или кросс-реакциями) друг по
отношению к другу, а все три процесса — кросс-каналами единого обобщен-
ного процесса Если мы обозначим 4-импульсы электронов через р2,
4-импульсы мюонов через Р2, а 4-импульсы соответствующих анти-
частиц через —pif —р2, ——Р2, то сможем записать закон сохранения
4-импульса в единой для всех трех кросс-каналов форме

Р1 + Л-Р2-Р2 = 0.	(44.6.1)

Вкл	ад, вносимый диаграммой рис. 44.12 в амплитуду каждого из трех
процессов, также можно записать в единой форме:

М = иа (р2) Ые (Р1) th (Р2) «в (Л) roe?eF,	(44.6.2)

где и — биспинорные амплитуды, Г — некоторая матрица и F — инвариант-
ная функция 4-импульсов частиц (формфактор). Наша задача состоит
в изучении аналитических свойств этой функции Существенное усложне-
ние по сравнению со случаями двуугольной или треугольной диаграмм
состоит в том, что формфактор является теперь функцией не одной, а двух
переменных Действительно, из четырех 4-векторов, связанных условием
(44 6.1), а также соотношениями

Pi = p22= -т2, Р^Р^-М2

{т — масса электрона, М — масса мюона), можно составить два незави-
симых инварианта. В качестве независимых переменных удобно воспользо-
ваться двумя из следующих трех инвариантов:

5= ~(Р1 + Л)2, t= -(Р1-/72)2,	-(Р1_р2)2,	(44.6.3)

причем, очевидно,	-=2Л42 + 2m2.

Эти переменные имеют простой смысл: если рассматривать процесс I
в системе центра инерции сталкивающихся частиц, то

s-=Wf, / = 2/7!(I-cos'&i),
где Wi, pi. dr — полная энергия, импульс каждой из частиц и угол рас-
сеяния. Аналогично для процесса II

и = Wii,	— 2pii(1 — cosФц)

и для процесса III

t = 1^1П, и = 2m2 2Л42 — Win + ^РшРш cos Адь

где Wn, TFin, pn, du, din имеют аналогичный смысл, рщ — импульс элек-
трона, Рщ — импульс мюона. Таким образом, каждому из трех кросс-
каналов, амплитуда рассеяния в которых определяется единым формфакто-
ром F, отвечают определенные (различные) области изменения инвариант-
ных переменных s, t, и. Эти области определяются, очевидно, условиями:

I.	Wi>m-\~M. | cos'O'i |<1.

II.	+ М, |cosdn|<l-

III.	ГШ>2Л4,	| cos дщ | <1.

Диаграмма рис. 44.12 определяет формфактор F не только в этих
физических областях, но и при любых (в том числе комплексных) значениях
переменных. Он может быть выражен в виде следующего интеграла:

F = V __________________------------------------- (44 6 4)

J (р2 + т2 —*0) (Р2 + Л12 —Ю) (^2 + V —г0) (&'2 + A,2 —Щ) ’

где f (р) — некоторая инвариантная функция, не имеющая особенностей
(кроме р, она зависит также от 4-импульсов начальных и конечных частиц
и их поляризаций),

k = pi — p, k' = р — р2, P = Pi-\-k.

Заметим, что

(£ + £')2= (p + p)2==__Se

Зафиксируем определенное значение t в физической области канала I,
т. е. при t < 0, и исследуем аналитические свойства формфактора F как
функции переменной s. Это можно сделать так же, как

! * I	в § 44.1. Нетрудно, исходя из определения (44.6.4), пока-

I !	зать, что F "Действительна при

/<0, s<(m + М)2.

Рис. 44.13.	п

Точка s = (т + М)2 будет точкой ветвления F как
функции $; эта точка отвечает порогу образования проме-
жуточного состояния, содержащего мюон и электрон при унитарном
рассечении диаграммы рис. 44.12, изображенному на рис. 44.13. Проведя
разрез в плоскости s от точки s = (т + М)2 направо, мы получим,
применив правило, сформулированное в § 44.1, следующее выражение для
скачка функции F на разрезе, который мы обозначим через ASF:

А р _ /9пП2 V f	d^> (Р2 + ^2) д (Р2+М2) 0 (Ро)	( б 5.

(£2-^2)	+ V)	•	(44.0.0)

Мнимая часть F связана со скачком соотношением

Z<0, s>(m + M)2.
Знание As F позволяет построить дисперсионное соотношение по пере-
менной s при заданном t:

оо

f(s,/)= ’L V bF ds'.	(44.6.6)

ZTtl (»)	s s

(m4-M)2

В (44.6.6) предполагается, что \SF убывает при s->oo так, что этот
интеграл существует. Если это условие не выполнено, то дисперсионное
соотношение в форме (44.6.6) не существует. В этом случае можно соста-
вить аналогичное соотношение для величины (F(s,t) — F(s0/))/(s — s0) (s0 —
некоторое значение переменной s), что дает 

F (s, t)~F (So, t) =	£ -4- ((’,t}, ds'. 	(44.6.7)	* f

Формула (44.6.7) является примером дисперсионного	Рис. 44.14.

соотношения с вычитанием, определяющего функцию

с точностью до аддитивной постоянной (предполагается существование
входящего в формулу интеграла).

Аналогично можно рассмотреть свойства формфактора F как функции
переменной Л зафиксировав s в физической области канала III. Для этого
надо использовать унитарное рассечение диаграммы рис. 44.12, изобра-
женное на рис. 44.14. Соответствующий скачок A^F будет иметь следую-
щий вид:

Л /7_/9тгП2 V	(£2+^W/2 + ^)e(£0)

A^F~(2m)	(p2+m2)

Знание \tF позволяет построить дисперсионное соотношение по перемен-
ному t при данном s.

Вернемся к выражению (44.6.5) для ASF. Интегрирование в нем можно
свести к интегрированию по углу между импульсами промежуточной и
начальной или конечной частиц в системе центра инерции:

д р_ (2л*)2Pi С f (Р)
s	4WT J (£2 + V) (£'2-|-%2) ’

где / (р) является значением / (р) на массовой поверхности р2 = — т2.
Величины k2 и k'2 можно выразить через косинусы углов между направле-
ниями импульсов:

£2 = 2/?i(l — Zi), k'2 = 2pi(l— z2); z2 = zz1 + ]/'(l— z2)(l — z2)cosq>,
где

zY = cos#!, z2 = cosтЭ’г, z = cos'6,I

(О1! угол между p и /?1>2), а телесный угол do —через zY и z2.
do = dZi d<p =	1	— dZidz2,

VK (z, Zj, z2)
где

К (z, Zi, z2) = 1 — z2 — г2—z| + 2zZiZ2.

Тогда ASF примет следующий вид:

i zi

Д F = (2ш)2 e dZj P dz2 f (p)

s 41F iPs Д 21 - g Д Z2 - g уд- (г> z1?z2) ’

где

(44.6.8),

(44.6.9)
и zf — корни полинома К:

Z% = ZZi±V (1—Z*)(l—Z2).

Интеграл (44.6.9) нетрудно вычислить, после чего нахождение F сводится
к вычислению дисперсионного интеграла (44.6.6).

Полученные выше дисперсионные соотношения имеют несимметричный
относительно двух переменных характер: одна из переменных выступает
в качестве параметра. Можно представить функцию F в симметричной отно-
сительно переменных s, t форме: в виде двойного спектрального
V разложения (двойного дисперсионного интеграла).

Для нахождения его вида достаточно выяснить аналити-
/ \	ческие свойства скачка ASF (s, t) == 2iFi (s, t) как функции

' J	комплексного переменного t. При t < 0 функция FY представ-

ляет собой мнимую часть функции F, т. е. является действи-
х тельной величиной. Для продолжения функции F± в область
Рис 44 15	0 (| г | > 1) может служить интеграл (44.6.9) или (44.6.5).

Заметим, что область t > 0 включает физическую область
канала III.

Формально выражение (44.6.5) можно сопоставить двуугольной диа-
грамме, изображенной на рис. 44.15. Сделав ее унитарное рассечение,
т. е. заменив фотонные функции Грина соответствующими 6-функциями,
мы найдем положение точки ветвления функции Ft и ее мнимую часть.
Используя (44.6.5) и (44.6.9), получим

Ип/Щ Z)sp(s, 0=^ 0ПУ 3 z Z(p)......,	(44.6.10)

где К определяется формулой (44.6.8) и f (р) берется npHZ! = z2=^.
Функция р отлична от нуля при К (z, £, £) > 0, что соответствует нефизи-
ческим областям каналов I и III.

Из (44.6.10) следует, что для Ft можно построить дисперсионное соот-
ношение

(44.6.11)

и, следовательно, выразить F в виде двойного спектрального представления
{представление Манделстама) [38]:

^(М) = ^ И -у	•	(44.6.12)

JI» CJ (У	/

Область интегрирования в (44.6.11) и (44.6.12) совпадает с областью
определения функции р ($, /). Если характер поведения р на бесконеч-
ности таков, что он не обеспечивает сходимости интегралов (44.6.11),
(44.6.12), то эти представления должны быть заменены соответствующими
представлениями с вычитательными членами, например:

F (s, t) — F (s0, t0) = (£-TsoHz~<o)

p (s'f) ds' dt'

(s'-s) (s'-s0) G'-O G'-W '

При этом определение F требует задания дополнительного условия —
значения F (s0, /0).

В заключение покажем схематически, как можно найти амплитуду
второго приближения для рассеяния мюона электроном и соответствующих
кросс-процессов без использования обычной теории возмущений. При этом
мы будем основываться на соотношениях унитарности, предполагая изве-
стным первое приближение для амплитуды Мы будем считать, как и выше,
что амплитуда рассеяния не имеет других особенностей, кроме тех, которые
содержатся в ее первом приближении, и тех, которых требуют соотношения
унитарности. Кроме того, будем считать, что амплитуда обладает свой-
ством кросс-инвариантности, означающим, что одни и те же функции опи-
сывают все три кросс-канала данной реакции

Во втором приближении достаточно рассматривать в качестве промежу-
точных состояний в соотношениях унитарности только двухчастичные
состояния Такими состояниями могут быть

в процессе I электрон и мюон,

в процессе II электрон и антимюон,

в процессе III электрон и позитрон, или мюон и антимюон,
или два фотона

Соотношения унитарности, отвечающие процессам I и II, иллюстри-
руются схемой, изображенной на диаграммах а) и в) рис 44 16 Заменяя
в этой схеме левый и правый блоки диаграммами Фейнмана для первого

приближения, мы придем к диаграмме б) в случае процесса I и к диаграм-
ме г) в случае процесса II Эти диаграммы унитарных рассечений опреде-
ляют скачки амплитуды как функции инвариантной переменной s (или и)
при данном t Особые точки определяются порогами образования промежу-
точных состояний, которыми являются

в канале I s = (m + ^)2,

в канале II ц = (т + Л1)2

(напомним, что	— 2ri2 + 2M2).

Таким образом, соотношения унитарности для каналов I и II опре-
деляют дисперсионные соотношения для амплитуды рассеяния Последнюю
в общем случае можно представить в виде суммы членов типа (44 6 2), а каж-
дый из формфакторов F записать в виде

оо	оо

F(S,/)=A	f) ds' +4-	Дц/7/и'’ ° du' + F'(t) (44 6 13)

v 1 2ш	s — s	1 2ni j u' — u 1	\ / v /

(m+M)2	(m+M)2

(или в виде аналогичного выражения с вычитательными членами типа
(44 6 7)) Здесь ASF и AUF — скачки формфактора, определяемые соответ-
ственно диаграммами б) и г) рис 44 15, a F' (t) — некоторая функция, не
зависящая от s

Для нахождения функции F' (/) воспользуемся соотношением унитар-
ности для канала III, в котором переменная t определяется энергией систе-
мы Это соотношение унитарности иллюстрируется диаграммами рис 44 17
Диаграммы а) рис 44 17 (четырехугольные) отвечают функциям двух
переменных (s, t или u, t) Соответствующая им часть амплитуды уже была
получена выше при помощи дисперсионного соотношения по переменной s,
так что нет нужды вновь восстанавливать ее при помощи дисперсионного
соотношения по переменной t. Остальные диаграммы рис. 44.17, как легко
видеть, содержат вершинную функцию или поляризационный оператор
Таким образом, Im F' (/) можно выразить через Im Р (/), Im f (/) и Im g (/),
т. е. через мнимые части поляризационного оператора и формфакторов

б)

в)

Рис. 44.17.

электрона и мюона. Соответственно F' (/) выражается через Р (f), f (О
Hg(t). Мы придем, таким образом, к совокупности диаграмм Фейнмана,
изображенных на рис. 44.10.

Дисперсионный метод дает возможность вычислить все практически
важные радиационные поправки. Можно думать, что таким путем можно
находить последовательно любые высшие приближения, т. е. восстанавливать
на основе соотношения унитарности с использованием требования анали-
тичности и кросс-инвариантности произвольный член перенормированного
ряда теории возмущений. Однако доказательства этого положения до сих
пор не существует. Это связано с трудностями исследования многочастич-
ных состояний и аналитических свойств функции многих комплексных
переменных. Поэтому не существует общего спектрального представления
в случае произвольного числа частиц, участвующих в процессе и общего
члена разложения амплитуды в ряд по степеням а.
ЛИТЕРАТУРА

К главе I

1.	Л. Ландау, Е. Лифшиц, Квантовая механика, изд. 2, Физматгиз, М^,
1963.

2.	Л. Л а н д а у , Р. П а й е р л с, Zs. L Phys. 62, 188 (1930).

3.	В. Берестецкий, ЖЭТФ 17, 12 (1947).

4.	Е. В и г н е р, Теория групп, ИЛ, М., 1961.

5.	G. R ас ah, Phys. Rev. 62, 439 (1942).

6.	Г. Бете, Квантовая механика простейших систем, ГТТИ, М.— Л., 1935.

7.	W. Н е i t 1 е г, Proc. Cambr. Phil. Soc. 32, 112 (1936),

8.	Л. Ландау, ДАН СССР 60, 207 (1948).

9.	Р. А. М. D i г а с, Proc. Roy. Soc. А 114, 243, 710 (1927).

10.	В. Ф о к, Zs. f. Phys. 75, 622 (1932); Sow. Phys. 6, 425 (1934).

11.	E. Fermi, Revs. Mod. Phys. 4, 125 (1932).

12.	S. G u p t a, Proc. Phys. Soc. 63 A, 681 (1950); К. В 1 e u 1 e r, Helv. Phys. Act&

23, 567 (1950).

13.	W. P a u 1 i, Revs. Mod. Phys. 15, 175 (1943).

14.	P. J о r d a n, W. P a u 1 i, Zs. f. Phys. 47, 151 (1928).

15.	N. В ohr, L. R osenf el d, Kgl. Dan.|Vid. Seis. Mat.-Fys. Medd. 12, № 8 (1933).

16.	В. Г а й т л e p, Квантовая теория излучения, ИЛ, М., 1956.

К главе И

1.	Р. А. М. D i г а с, Proc. Roy. Soc. А 117, 610; 118, 341 (1928).

2.	О. К 1 е i n, Zs. f. Phys. 37, 895 (1926).

3.	В. А. Ф о к, Zs. f. Phys. 38, 242; 39, 226 (1926).

4.	H. W e у 1, Zs. f. Phys. 56, 330 (1929).

5.	E. M a j о r a n a, Nuovo Cim. 14, 171 (1937).

6.	В. П а у л и, Общие принципы волновой механики, ГТТИ, М.— Л , 1947.

7.	L. М. Y а n g, Phil. Mag. 42, 1331 (1952); Е. R. С a i a n е 1 1 о, S. F u b i n U
Nuovo Cim. 9, 1218 (1952); Р. П о л о в и н, ЖЭТФ 31, 441 (1956).

8.	J.	S. R. С h 1 s	h о 1 m, Nuovo Cim. 30, 426 (1963).

9.	M.	F i e r z, Zs.	f. Phys. 104, 553 (1937).

10.	В. Берестецкий, ЖЭТФ 21, 43 (1951).

11.	L.	M i c h e 1, A. S. W i g h t m a n, Phys. Rev. 98,	1190	(1955).

12.	L.	S h i f f, H.	Snyder, J. Weinberg, Phys.	Rev.	57,	315 (1940).

13.	И. Померанчук, Я. Смородинский, Journ. Phys. 9, 97 (1945).

14.	W. H. F u г г у, Phys. Rev. 46, 391 (1934).

15.	N. F. M о t t, Proc. Roy. Soc. A 124, 425 (1925).

16.	W. A. McKinley, H. F e s h b a c h, Phys. Rev. 74, 1759 (1948).

17.	J. A. D о g g e t, L. V. S p e n c e r, Phys. Rev. 103, 1597 (1956).

18.	N. Sherman, Phys. Rev. 103, 1601 (1956).

19.	J. H. В a r t 1 e t t, R. E. W a t s о n, Proc. Am. Acad. Sc. 74, 53 (1940).

20.	W. P a u 1 i, Zs. f. Pkys. 43, 601 (1927).

21.	W. P a u 1 i, Helv. Phys. Acta 5, 179 (1932).

22.	И. Г e л ь ф а н д, А. Я г л о м, ЖЭТФ 18, 703 (1948).

23.	W. Р a u 1 1, Phys. Rev. 58, 116 (1940).

В.	Паули, Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, М., 1947.

24.	R. J. D и f f i и, Phys. Rev. 54, 905 (1938).

N. Kemmer, Proc. Roy. Soc. A 173, 97 (1939).
25.	A. Proca, Journ. de Phys. 7, 347 (1936).

26.	V. Bargman, Е. Wigner, Proc. Nat. Ac. Sc. (USA) 34, 211 (1948).

27.	W. Rarit a, J. Schwinger, Phys. Rev. 60, 61 (1941).

А. С. Давыдов, ЖЭТФ 13, 313 (1943).

К главе III

1.	P. D i r a c, Proc. Roy. Soc. A 114, 243, 710 (1927).

2.	S. T о m о n a g a, Progr. Theor. Phys. 1, 27 (1946); J. S c h w i n g e r, Phys. Rev.
74, 1439 (1948).

3.	J. Schwinger, Phys. Rev. Lett. 3, 296 (1959).

4.	W. Heisenberg, Zs. f. Phys. 120, 513 (1943).

5.	F. Dyson, Phys. Rev. 75, 486 (1949).

6.	G. W i c k, Phys. Rev. 80, 268 (1950).

7.	S. H о r i, Progr. Theor. Phys. 7, 578 (1952).

8.	R. F e у n m a n, Phys. Rev. 76, 749, 769 (1949).

9.	W. Furry, Phys. Rev. 51, 125 (1937).

10.	J. S c h w i n g e r, Phys. Rev. 82, 914 (1951).

11.	E. Wigner, Got. Nachr. 546 (1932).

12.	L. W о 1 f e n s t e i n, D. Ravenhall, Phys. Rev. 88, 229 (1953).

13.	W. P a u 1 i, Статья в сборнике: N. Bohr and the Development of Physics, Pergamon
Press, London, 1955; R. L ii d e r s, KgL Dan. Vid. Seis. Mat.-Fys. Medd. 28, № 5
(1954).

14.	Д. В. В о л к о в, Труды Физ. отделения ХГУ 7 (1958).

15.	F. D у s о n, Phys. Rev. 75, 1736 (1949).

16.	J. W а г d, Phys. Rev. 73, 182 (1950).

17.	G. Kallen, Helv. Phys. Acta 25, 417 (1952); H. Lehmann, Nuovo Cim. 11,
342 (1954).

18.	M. G e 1 1 - M a n	n, F. L о w, Phys. Rev.	95, 1300 (1954).

19.	J. S c h w i n g e	r, Proc. Nat. Acad. USA	37, 452, 455 (1951).

20.	R. F e у n m a n,	Phys. Rev. 84, 108 (1951); H. H. Б о г о л ю б о в,	ДАН СССР	99,

225 (1954); S. F.	Edwards, R. Е. Р е	i е г 1 s, Proc. Roy.	Soc.	224,	24	(1954);

И. M. Г е л ь ф а н д, Р. А. М и н л о с, ДАН СССР 97, 209 (1954); Е. С. Ф р а д -
кин, ДАН СССР 100, 897 (1955); Р. Т. М a t t е w s, A. S а 1 a m, Nuovo Cim.
12, 563 (1954).

21.	Л. Д. Л а н д а у, И. M. Халатников, ЖЭТФ 29, 89 (1955).

22.	J. Ward, Proc. Phys. Soc. A 64, 54 (1951).

23.	W. T h i r r i n g, Phil. Mag. 41, 1193 (1950).

24.	A. S a 1 a m, Phys. Rev. 82, 217; 84, 426 (1951).

25.	H. H. Б о г о л ю б о в, Д. Ш и р к о в, ДАН СССР 103, 203 (1955); Н. Н. Б ого-
любов, Д. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, Гостехиздат,
1957.

26.	П. И. Ф о м и н, ЖЭТФ 43, 1934 (1962).

27.	Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, ДАН СССР
95, 497, 773, 1117 (1954).

28.	F. Dyson, Phys. Rev. 85, 631 (1952).

29.	Л. Д. Л а н д а у, И. Я. П о м е р а н ч у к, ДАН СССР 102, 489 (1955).

30.	И. я. Померанчук, Nuovo Cimento 10, 1186 (1956).

К главе IV

1.	D. R. Hamilton, Phys. Rev. 58, 122 (1940).

2.	А. 3. Д о л г и н о в, Гамма-лучи, гл. 6, Изд-во АН СССР, М.— Л., 1961.

3.	А. 3 о м м е р ф е л ь д, Строение атома и спектры, ч. II, Гостехиздат, 1956.

4.	F. S a u t е г, Ann. d. Phys. 9, 217; 11, 454 (1931).

5.	О. К 1 е i n, Y. N i s h i n a, Zs. f. Phys. 52, 853 (1929); I. Tamm, Zs. f. Phys.
62, 545 (1930).

6.	U.	F a n o, Phys.	Rev. 93,	121 (1954); F. W. L i p p s, H. A. T о 1 h о	e k, Physica

20,	85 (1954); W.	H. Me	Master, Rev. Mod. Phys. 33, 8 (1961).

7.	H.	A. К r a m e r	s, W. H	e i s e n b e r g, Zs. f. Phys. 31, 681 (1925).

8.	V.	W e i s s k о p	f, E. W	i g n e r, Zs. f. Phys. 63, 54; 65, 18 (1930);	V.	Weiss-

k о p f, Ann. d. Phys. 9, 23 (1931).

9.	M. Mayer-Goppert, Naturwiss. 17, 932 (1929), Ann. d. Phys. 9, 273 (1931).

10.	G. В r e i t, E. T e 1 1 e r, Astroph. Journ. 91, 215 (1940).

11.	H. В e t h e, W. H e i t 1 e r, Proc. Roy. Soc. 146, 83 (1934).
12.	Н. W. Koch, J. W. М о t z, Rev. Mod. Phys. 31, 920 (1961).

13.	Г. Л. Высоцкий, А. А. К p e с н и н, Л. Н. Розенцвейг, ЖЭТФ 32,
1078 (1957).

14.	Н. Olsen, L. М а х i m о n, Phys. Rev. 110, 589 (1958).

15.	К. W. М с V о у, Phys. Rev. ПО, 484 (1958).

16.	A. N or d s i eck, Phys. Rev. 93, 785 (1954).

17.	Б. Ф e д ю ш к и н, ЖЭТФ 28, 140 (1952).

18.	Н. Bethe, L. М а х i m о n, Phys. Rev. 93, 768 (1954).

19.	R. P. F e у n m a n, Phys. Rev. 74, 1430 (1953); J. B. French, V. F. Weiss-
k о p f, Phys. Rev. 75, 1240 (1949)

20.	R. Glauber, Phys. Rev. 84, 395 (1951); R. Glauber, Phys. Rev. 131, 2766
(1963).

21.	F. L о w, Phys. Rev. 110, 974 (1958).

22.	G. R a c a h, Nuovo Cim. 13, 69 (1936).

23.	Y. Nishina, S. Tomonaga, S. Sakata, Sci. Pap. Inst. Phys. Chem. Res.
Japan 24, № 17 (1934).

24.	P. A. M. D i r a c, Proc. Cambr. Phil. Soc. 26, 361 (1930).

25.	I. T a m m, Zs. f. Phys. 62, 545 (1930).

26.	L. A. P a g e, Phys. Rev. 106, 394 (1957).

27.	И.	Я.	П ом ер а н ч у к, ДАН СССР 60, 218 (1947).

28.	A.	О r	e, J. P о w e 1 1, Phys Rev. 75, 1696 (1949).

29.	E.	F e	r m i, G. E. U h 1 e n b e c k, Phys. Rev. 44,	510 (1933).

30.	C.	Mo	1 1 er, Ann. d. Phys. 14, 531 (1932).

31.	H. J. В	h a	b	h a, Proc. Roy. Soc.	154, 195 (1936).

32.	S. S a r	k a	r,	Nuovo Cim. 24, 139	(1962).

33.	H. J. В	h a	b	h a, Proc. Roy. Soc.	164, 257 (1938); H.	S. W. M a s s e у, H. C. Cor-

b e n, Proc. Cam. Phil. Soc. 35, 463 (1939).

34.	G. W. F о r d, C. J. M u 1 1 i n, Phys. Rev. 108, 477 (1957).

35.	В. Б. Б e p e с т e ц к и й, И. Я- П о м е р а н ч у к, ЖЭТФ 29, 864 (1955).

36.	G. В г е i t, Phys. Rev. 34, 553 (1929); Л. Ландау, Sow. Phys. 8, 487 (1932);
H. В e t h e, E. F e г m i, Zs. f. Phys. 77, 296 (1932).

37.	J. P i r e n n e, Arch. Sc. Phys. et. Nat. 29, 207 (1947); В. Берестецкий,
Л. Ландау, ЖЭТФ 19, 673 (1949).

38.	В. Берестецкий, ЖЭТФ 19, ИЗО (1949).

39.	М. Deutsch, Е. D u 1 i t, Phys. Rev. 84, 601 (1951).

40.	И. Я. П о м е р а н ч у к, И. М. Шмушкевич, Nucl. Phys. 23, 452 (1961).

41.	Е. Fermi, Zs. f. Phys. 29, 315 (1924); C. W e i z s a c k e r, Zs. f. Phys. 88, 612
(1934); E. Williams, Phys. Rev. 45, 729 (1934); Kgl. Dan. Vid. Selck. 13, 4 (1935).

42.	Л. Ландау, E. Лифшиц, Sow. Phys. 6, 244 (1934).

43.	M. N. R о s e n b 1 u t h, Phys. Rev. 79, 615 (1950).

44.	D. R. Y e n n i, M. M. L e v y, D. A. R a v e n h a 11 , Rev. Mod. Phys. 29, 144 (1957);

Y. Glaser, В. T a k c i c, Nuovo Cim. 5, 1197 (1957).

45.	В. Берестецкий, ЯФ 3, 1169 (1966).

46.	G. W i c k, La Ricerca Scient. 11, 49 (1940); К. Тер-Мартиросян, ЖЭТФ
20, 925 (1950).

47.	M. H. Н е b b, G. Е. U h 1 е n b е с k, Physica 5, 605 (1938); S. M. D a n k о f f,
P. P. M о r r i s о n, Phys. Rev. 55, 423 (1939).

48.	В. Б e p e с т e ц к и й, И. UI м у ш к e в и ч, ЖЭТФ 19, 591 (1949); И. Ша пи-
р о, ЖЭТФ 19, 597 (1949); М. R о s е, Phys. Rev. 76, 678 (1949).

49.	Л. Слив, И. Банд, Таблицы коэффициентов внутренней конверсии гамма-
лучей, Изд. АН СССР, М., 1956.

К главе V

1.	R. F е у n m a n, Phys. Rev. 16, 769 (1949).

2.	А.	И. А х и	е з е р, Р. В.	П о л о в и н, УФН 51,	3	(1953).

3.	Е.	A. U е h	1 i n g, Phys.	Rev. 48, 55 (1935).

4.	J. S chwinger, Phys. Rev. 75, 651 (1949).

5.	J.	S c h w i	n g e r, Phys.	Rev. 75, 1912 (1949).

6.	С.	M. S о m	m e r f i e 1 d,	Phys. Rev. 107, 328 (1957);	A. Peterman, Helv. Phys.

Acta 30, 409 (1957).

7.	В. Б. Берестецкий, О. И. Крохин, А. К. Хлебников, ЖЭТФ 30,
788 (1956).

8.	F. L о w, Phys. Rev. 88, 53 (1952).

9.	H. В e t h e, Phys. Rev. 72, 339 (1947).

10.	N. К г о 1 1, W. L a m b, Phys. Rev. 75. 388 (1949).
11.	R. Karplus, A. Klein, J.Schwinger, Phys. Rev. 86, 288 (1952).

12.	W. E. Lamb, R. C. Retherford, Phys. Rev. 72, 241 (1947).

13.	R. Kar p 1 us, A. Klein, Phys. Rev. 87, 848 (1952).

14.	V. W. H u gs, S. M a r d er, C. S. W u, Phys. Rev. 106, 934 (1957).

15.	А. Галанин, И. Померанчук, ДАН СССР 86, 251 (1952).

16.	F. L о w, Phys. Rev. 88, 53 (1952).

17.	R. D а 1 i t z, Proc. Roy. Soc. A	206, 509 (1951).

18.	L. E 1 t о n, H. R о b e r t s о n,	Proc. Roy. Soc.	A 65, 145 (1952).

19.	J. J a u c h, F. P о h r 1 i c h, Helv. Phys. Acta	27, 613 (1954); D.	R.	Y	e	n	n	i e,

S.	C. F r a u t c h i, H. S u u r a,	Ann. of Phys. 13, 379 (1961).

20.	V. C h u n g, Phys. Rev. 140, в	1110 (1965); M.	Greco, G. Ross;	Nuovo	Cim.

50A, 168 (1967).

21.	A. A x и e з e p, P. Половин, ДАН СССР 90, 55 (1953).

M. Redhead, Proc. Roy. Soc. A 220, 219 (1953).

22.	L. В г о w n, R. F e у n m a n, Phys. Rev. 85, 231 (1952).

23.	F. Low, Phys. Rev. 96, 1428 (1954); M. Gell-Mann, M. L. Goldberger,
Phys. Rev. 96, 1433 (1954).

24.	J. H a r r i s, M. Brown. Phys. Rev. 105, 1656 (1957).

25.	П. Ф о м и н, ЖЭТФ 35, 707 (1958).

26.	С. Гузенко, П. Фомин, ЖЭТФ, 38, 513 (1960); 44, 1687, 1093 (1963).

27.	H. E u 1 e r, Ann. d. Phys. 26, 398 (1936); А. И. A x и e з e p, Sow. Phys. 11, 263
(1937); H. К a r p 1 u s, M. N e u m a n, Phys. Rev. 80, 380 (1950).

28.	W. H e i s e n b e r g, H. E u 1 e r, Zs. f. Phys. 98, 714 (1936); V. Weisskopf,
Kgl. Dan. Vid. Seis. Mat.-Fys. Medd. XIV, 6 (1936); J. Schwinger, Phys.
73, 416; 74, 1439 (1948).

29.	O. Halpern, Phys. Rev. 44, 855 (1933); А. Ахиезер, И. Померан-
чук, Sow. Phys. 11, 478 (1937); A. К e m m e r, G. L u d w i g, Helv. Phys. Acta
10, 182 (1937).

30.	R.J ost, J. Luttinger, M. Slotnik, Phys. Rev. 80, 89 (1950); H. Bethe,
Proc. Camb. Phil. Soc. 30, 524 (1934).

31.	F. Rohrlich, R. Gluckstern, Phys. Rev. 86, 1 (1952).

32.	H. В e t h e, F. R о h r 1 i c h, Phys. Rev. 86, 10 (1952).

33.	В.	В.	С у д	а к о в, ЖЭТФ 30,	87 (1956).

34.	А.	А.	А б p	и к о с о в,	ЖЭТФ	30, 386, 544 (1956).

35.	В.	Г.	Горшков, В.	Н. Г р	и б о в, Г. В. Фролов, ЖЭТФ	51,	1093	(1966);

А.	А.	А б р	и к о с о в,	ЖЭТФ	30, 386 (1956); В. Н.	Б	а й е р,	С. А.	Хейфец,

ЖЭТФ 40, 613, 15 (1961); В. Г. Г о р ш к о в, А. Н. Г р и б о в, Л. Н. Липа-
тов, Г. В. Ф р о л о в, ЯФ 6, 129, 361 (1967).

36.	В. Б. Б е р е с т е ц к и й, УФН 76, 25 (1962).

37.	М. В. Т е р е н т ь е в, ЖЭТФ 43, 619 (1962).

38.	S. Mandelstam, Phys. Rev. 112, 1344 (1958).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Адрон 232, 471

Азимутальная асимметрия 149

Алгебра матриц Дирака 90

Амплитуда излучения 348

— рассеяния 147, 247

Аналитические свойства 77, 302, 599

Аннигиляционное взаимодействие 455

Аннигиляция пары 433, 439

Аномальный магнитный момент 507,

608, 610

Антикоммутатор 181

— электронного поля 188

Асимптотика волновой функции 144,
408

— функций Грина 342

Билинейные формы биспиноров 105

Биспинор 83

Бозоны 194

Борновское приближение 151

Вакуум 203

Вакуумные средние 293

Вариационный принцип 20, 105, 167

Векторное сложение 42

Вероятность перехода 247

Вершинная диаграмма 285

— функция 287, 501

— — адрона 473

— — трехфотонная 324

Ветвление 601

Виртуальные частицы 241

Водородоподобный атом 138

Возбуждение ядер 482

Волновая функция фотона 30

Гамильтониан взаимодействия 207, 210,
215

—	с точностью v2lc2 159

Гейзенберговское представление 197

Гёйератор преобразования 261

Гипергеометрическая функция 137

Гиперкомплексные числа 90

Граничный импульс 328

Группа Лоренца однородная 18

— — собственная 18, 162

—	Пуанкаре 260

Дважды логарифмическая асимптотика
583, 591, 598

Двойное спектральное представление
614

Действие 21

Диаграммы Фейнмана 234, 240

Дисперсионная формула 383

Дисперсионное соотношение 576, 603,
614

Дополнительное условие для потенциа-
лов 16, 59, 192, 212

Запаздывающее взаимодействие 446

Запаздывающие потенциалы 449

Зарядовая четность 275

—	— системы е+е~ 277

Зарядовое сопряжение 101, 272

Зееман-эффект в позитронии 460

Знаковая функция 185

Излучение 347

— двух фотонов 385

— мультипольное 348, 350, 354

— мягких фотонов 410, 424

Импульс электромагнитного поля 28,
59

— электронного поля 106

Инвариантность сечения 252

— уравнений квантовой электродина-
мики 259, 263, 272, 282

Инверсия 19, 98

Индефинитная метрика 63

Интегралы по инвариантному объему
490

Инфинитезимальные операторы группы
Лоренца 131

Инфинитезимальный оператор 19, 96,
163

----для биспинора 96

Инфракрасная расходимость 408, 530

Калибровочное преобразование 16, 17,
66, 108, 282

----2-го рода 108, 169, 282

----функции Грина 315

Квадратичная расходимость 327, 494

Ковариантные компоненты 41

Когерентное рассеяние фотонов внеш-
ним полем 569, 575, 582

Когерентные состояния электромагнит-
ного поля 422

Коммутатор векторов поля 69

—	потенциалов 71

Коммутаторы 51, 201

—	импульсов 263

—	моментов 263

Компактные диаграммы 281

Комптон-эффект 366
Конверсия 484, 486, 488

Континуальный интеграл 310

Контравариантные компоненты 40

Корреляционная поляризация 359

Корреляция угловая 359

Кросс-канал 611

Коэффициенты Вигнера 3/ 43

---6/44

— Рака 43, 357

— Клебша — Гордана 42, 43, 122

Лагранжиан 20, 167

— взаимодействия 108, 199, 217

— нелинейный 558, 560

—	электромагнитного поля 22

—	электронного поля 106

Логарифмическая расходимость 321,
493

Максвелла уравнения 15

Манделстама представление 614

«Масса» фотона 412, 528

Массовый оператор 289, 498, 511

Матрица плотности позитрона 119

—	— фотона 34

--- электрона 117

—	рассеяния 216

Матрицы Дирака 84, 85, 89

—	Паули 82

Метод Вейцзеккера — Вильямса 465

Момент электромагнитного поля 26

Монополь 354, 482

Мультипольное излучение 348

Мультипольный момент магнитный 350,
354

—	— электрический 349, 354

Мюон 232, 444, 510

Нормальное произведение 72, 190, 226

Нормировка биспинора 114

—	на объем 31

—	на сферу 32

Обменное взаимодействие 448, 454

Обращение времени 19, 99

—	— для биспинора 100

------- тока 20

—	— — электромагнитного поля 20

—	— сильное 264

—	— слабое 278

Обращенные состояния 270

Оператор Деламбера 16

—	заряда 180_202

—	зарядового сопряжения 272

—	инфинитезимальный 19, 163

—	калибровочного преобразования 66

—	преобразования 208, 216

—	проектирования 118

—	спина фотона 140

—	тока 183, 206

—	упорядоченный 229

Операторы взаимодействующих полей
205

—	импульса 261

—	испускания и поглощения фотона 61

Операторы испускания и поглощения
электрона и позитрона 184

—	момента 261

—	полей 220

Оптическая теорема 570

Ортопозитроний 437, 458

Отражение пространственное 19

—	сильное 264

—	слабое 211

Отрицательная частота ПО

Параметры Стокса 35, 255

Парапозитроний 437, 458

Парциальная волна 148

Пары электронно-позитронные 425, 471

Перенормировка вершинной функции
320

—	заряда 318

—	массы 315

—	матрицы рассеяния 325

—	функции Грина 320

Перенормировочные константы 205, 206,
320

Перенормируемость 325

Перестановочные соотношения 57, 202
— — для электромагнитного поля 69
— — — электронного поля 181, 188
Плоские волны 27, ИЗ

Позитрон 111

Позитроний 437, 457

Поляризационный момент 355

—	оператор 290, 499, 599, 604

Поляризованные частицы 248, 253

Поляризация в кулоновском поле 153
— позитрона 116, 118, 436
— при рассеянии 149
— электрона 149, 378, 444

—	фотона 34, 358, 374, 376, 393, 435

Поперечность 206

Потенциальная яма для электрона 133

Потенциалы перехода 449

Потери энергии на излучение 398

Правила Вика 226

—	отбора при излучении 352

—	Фейнмана 244

Правило обхода полюсов Фейнмана 74

Представление взаимодействия 207, 209

—	Майорана 89

—	Манделстама 614

Представления группы Лоренца 162

Преобразование Фирца — Паули 93

Продольные фотоны 58, 62

Произведение представлений 165

Псевдоэвклидова метрика 257

Радиальные функции электрона 124г
132

Радиационное смещение в водороде 518

—	— в ц-мезоводороде 519

—	— уровней 513

Радиационные поправки 523, 528, 536„
539, 550, 552, 554, 599

Распределение Пуассона 410, 415

Рассеяние в кулоновском поле 153

—	мягких фотонов 546

—	фотона фотоном 556
Расходимости 327, 493

Расходящиеся волны 144, 408

Регуляризация 329, 332

Регуляризованный оператор 321

Резонансное рассеяние 384, 520

Ренормализационная группа 341

Свертка операторов 191

Связь операторов 191, 235

Сечение рассеяния 147, 251

Сингулярные функции поля 71, 75,
78

—	— электронного поля 192

Следы матриц 91

Собственно энергетическая диаграмма
электронная 284

—	— — фотонная 285

—	энергетические функции 287

Соотношение унитарности 569, 604

Спектральное представление функции

Грина 301

Спинор 82

Спин частицы 169

Спин электрона 97

СРТ-теорема 279

Степень поляризации 36

Сходящиеся волны 144, 408

Тензор момента количества движения

25, 107, 168, 200

— энергии — импульса 23, 106, 168

Теорема Паули 194

—	СРТ 279

—	Фарри 243

Тождество Уорда 292

Ток 87, 206

—	нейтральной частицы 481

—	перехода 352, 447

—	— адрона 472

—	— магнитного типа 353

—	— электрического типа 353

Томсона формула 318, 371, 372

Тонкая структура 139

Тормозное излучение 387, 467, 469

Уравнение Бергмана — Вигнера 179

—	Вейля 89

— Дирака 83, 84, 85

—	— 2-го порядка 87

—	Дуффина — Кеммера 175

—	непрерывности 87

—	Паули 157

—	Шредингера для фотона 29

Уравнения графические 289

—	Дайсона 290

Унитарное рассечение диаграмм 609

Унитарность 5-матрицы 223

Упорядоченный оператор 229

Условие Лоренца 16, 298

Фаза рассеяния 148

Фейнмана диаграммы 234, 235, 246

—	обозначения 257

—	правила 244

—	правило обхода полюсов 74

Фермионы 194

Формула Баба 443

—	Брейта 452

—	Клейна — Нишины 371

—	Комптона 368

—	Меллера 442

—	Мотта 153

—	Резерфорда 155, 153

—	Розенблюта 477

Формфактор электрона 607

Формфакторы электромагнитные 473

Фотона состояние магнитного типа 49*
— — электрического типа 49
Фотонная линия 288

Фотоэффект 360

Функциональные производные 305

Функциональный интеграл 310

Функция Грина 75, 76, 290, 293

—	— фотона 74

—	— электрона 192

Хронологический оператор 72, 189, 219

Хронологическое произведение 72, 226

Частица со спином 0 174

-------1 175

—	с произвольным спином 177

Четность зарядовая 275

—	позитрона 112

4-вектор энергии импульса 24, 202

4-спинор 88

Шаровой вектор 41

—	— поперечный 46

—	— продольный 45

—	спинор 122

Ширина линии 384, 515

Шредингеровское представление 197

Эквивалентные фотоны 465

Экранирование 395

Электромагнитная масса 316

Электрон в кулоновском поле 140

—	в магнитном поле 142

—	в потенциальной яме 133

—	отдачи 373

Энергия электромагнитного поля 28, 59

—	электронного поля 183

Эффективные линии 286
3р.13к.