Д. М. ГИТМАН
Е. С. ФРАДКИН
Ш. М. ШВАРЦМАН
КВАНТОВАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
С НЕСТАБИЛЬНЫМ
ВАКУУМОМ
МОСКВА «ПАУКЛ»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1991

ББК 22.313
Г51
УДК 530.145.63
Гитман Д. М., Фрадкин Е. С, Шварцман Ш. М. Квантовая
электродинамика с нестабильным вакуумом,— М.: Наука, Гд. ред. физ.-мат.
лит. 199). 296 с-ISBN 5-02-014342-1
Содержит систематическое изложение квантовой электродинамики с
внешним полем, нарушающим стабильность вакуума. Развита теория воз-
возмущений с точным учетом внешнего цоля. Приводятся различные методы
нахождения функций Грина, а также их выражения в некоторых конкрет-
конкретных внешних полях.
Для научных работников, студентов и аспирантов, специализирующих-
специализирующихся в кваптовой теории и физике элементарных частиц, а также для специа-
специалистов в области электродинамики и астрофизики.
Ил. 12. Библиогр. 457 назв.
Рецензент
доктор физико-математических паук А. А. Гриб
,1604070000—034 ©«науна».
1 053@2)-91— 88—90 фпзмятлит, 1901
ISBN 5-02-014342-1

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие •. 5
Глава 1. Введение 7
§ 1.1. Общее введение и используемые обозначения 7
§ 1.2. Квантовая электродинамика с внешним полем .... 11
Глава 2. Точный учет взаимодействия с внешним полем в процес-
процессах рассеяния 22
§ 2.1. Квантованное заряженное поле во внешнем ялектромагнит-
пом иоле 22
2.1.1. Спинорное поле B2). 2.1.2. Скалярное поле C5).
§ 2.2. Теория возмущений по радиационному взаимодействию в
КЭД с внешним полем 38
§ 2.3. Функции Грина. Производящий функционал 47
§ 2.4. Приложение. Обобщение техники нормального упорядочива-
упорядочивания для теорий с нестабильным вакуумом 57
Глава 3. Задача о средних 62
§ 3.1. Функции Грипа для вычисления средних значений ... 62
§ 3.2. Теория возмущений по радиационному взаимодействию для
средних значений 63
§ 3.3. Уравнение для среднего электромагнитного поля. Эффек-
Эффективное действие 69
§ 3.4. Матрица плотности частиц, рожденных во внешнем поле 72
Глава 4. Полные вероятности радиационных процессов во внешнем
поле 82
§ 4.1. Полная вероятность излучения 82
4.1.1. Полная вероятность излучения из вакуума (84). 4.1.2. Диф-
Дифференциальная иероятнооть излучения фотона из вакуума с рож-
рождением пар (87). 4.1.3. Вероятность излучения фотона из вакуума
с рождением одной пары (88). 4.1.4. Полная вероятность излучения
из одноэлентронного состояния с рождением произвольного числа
пар (90). 4.1.5. Дифференциальная вероятность излучения фотона
из однозлектронного состояния с рождением произвольного числа
пар (93). 4.1.6. Вероятность излучения фотона из одноэлектронного
состояния без рождения пар (94). 4.1.7. Радиационные процессы
о фотоном в начальном состоянии (95).
§ 4.2. Соотношение унитарности и оптическая теорема .... 99
§ 4.3. Производящий функционал для полных вероятностей радиа-
радиационных процессов 106
§ 4.4. Вероятность распада состояний во внешнем поле .... ИЗ
4.4.1. Вероятность распада вакуума (ИЗ). 4.4.2. Вероятность рас-
распада одногшектронного состояния A14). 4.4.3. Вероятность рас-
распада однофотонного состояния A16).
Глава 5. Расчеты процессов нулевого порядка во внешних элект-
электромагнитных полях 117
§ 5.1. Процессы в ялектрическом поле 119
5.1.1. Постоянное электрическое пола A22). 5.1.2. Переменное
электрическое поле A32).
1* 3

§ 5.2. Комбинация постоянного поля и поля плоской волны . . . 135
5.2.1. Решения уравнения Клейна — Гордона A36). 5.2.2. Решения
уравнения Дирака (U0). 5.2.3. Вычисление процессов нулевого
порядка. Спицорная КЭД A42). 5.2.4. Вычисление процессов ну-
нулевого порядка. Скалярная КЭД A47).
§ 5.3. Рождение частиц из вакуума в когерентных состояниях 150
§ 5.4. Матрица плотности частиц, рожденных во внешнем поле 152
Глава 6. Пропагаторы частиц во внешних электромагнитных полях 156
§ 6.1. Введение 156
§ 6.2. Нахождение иропагаторов методом суммирования решений
релятивистских волновых уравнений 164
6.2.1. Постоянное олектрическое поле A65). 6.2.2. Комбинация по- '"
стоянного поля и поля плоской волны A79). 8.2.3. Метод собст-
собственных функций A89).
§ 6.3. Метод собственного времени Швингера 194
§ 6.4. Нахождение функций Грина методом функционального инте-
интегрирования : 201
6.4.1. Представление функций Грина в виде функциональных ин-
интегралов B04). 6.4.2. Комбинация постоянного ноля и поля пло-
плоской волны B14). 6.4.3. Метод стационарной фазы B18).
Глава 7. Расчеты радиационных процессов во внешних электро-
электромагнитных полях 228
§ 7.1. Эффективное действие в однопетлевом приближении . . . 229
§ 7.2. Вакуумные процессы 233
7.2.1. Средний тон родившихся частиц B33). 7.2.2. Вероятность
излучения фотона из вакуума с рождением пар B35). 7.2.3. Пол-
Полная вероятность излучения фотона иа вакуума с рождением пар
B38). 7.2.4. Вероятность излучения фотона из вакуума с рожде-
рождением одной пары. Вероятность распада вакуумного состояния
B41).
§ 7.3. Процессы с начальным электроном. Массовым оператор 244
7.3.1. Вероятность перехода ив одноэлектронного состояния с из-
излучением фотона и рождением пар B44). 7.3.2. Полная вероят-
вероятность перехода из одноолектронном состояния с излучением фо-
фотона и рождением пар B49). 7.3.3. Вероятность излучения фотона
из одноэлектронного состояния без рождения пар. Вероятность
распада одноэлектронного состояния B52).
§ 7.4. Радиационные процессы с начальным фотоном. Поляриза-
Поляризационный оператор 257
Глава 8. Функции Грнна в неабелевых теориях 261
§ 8.1 Введение 261
§ 8.2. Нахождение функций Грина методом функционального инте-
интегрирования ¦ 265
§ 8.3. Вычисление функций Грина в абелево-подобпом внешнем
поле 277
Список литературы 281

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга посвящена последовательному анализу формализма
квантовой электродинамики с интенсивным впошним полем, спо-
способным порождать пары из вакуума, пли, как мы говорим, на-
нарушающим стабильность вакуума. Развитый подход не является
специфическим для квантовой электродинамики и применим для
любой квантовой теории поля с нестабильным вакуумом. Отме-
Отметим, что рассматриваются лишь внешние поля макротипа, а про-
проблем, связанных с свсрхсильным кулоновским полем (микропо-
ля), мы не касались. Как правило, обсуждаются в основном де-
детали формализма и вычисления, специфические для темы неста-
нестабильности. Так, например, но обсуждается проблема неренорми-
неренормировок, которые здесь проводятся при конкретных вычислениях
обычным образом. Изложение основано в основном на ориги-
оригинальных работах авторов в указанном направлении.
Глава 1 содержит общее введение в проблему. В ней также
приводятся основные стандартные сведения из квантовой элек-
электродинамики, используемые в тексте. Кроме того, дается интер-
интерпретация концепции внешнего поля и обсуждаются проблемы,
возникающие при попытке учесть взаимодействие с интенсивным
внешним полем точно.
В главе 2 развита теория возмущений по радиационному
взаимодействию для матричных элементов процессов переходов
с точным учетом произвольного внешнего поля. Показано, что
все ее конструкции выражаются через специальные наборы ре-
решений уравнения Дирака во внешнем поле. В главе 3 обсужда-
обсуждается проблема нахождения средних в теориях с нестабильным
вакуумом. Здесь возникает своя теория возмущений, отличная
от теории возмущешга для матричных элементов процессов пере-
переходов. Пропагаторы и вершины этой теории возмущений являют-
являются матричными. Найдепо эффективное действие и построено точ-
точное уравнепие для среднего поля в системе.
В четвертой главе обсуждаются методы вычисления полных
вероятностей радиационных процессов в присутствии дополни-
дополнительных каналов переходов, связанных с нестабильностью вакуу-
вакуума. Показано, что здесь возможно использовать соотношения ти-
типа оптической теоремы, если в каждом конкретном случае в ди-
5

аграммах Фейнмана специальным образом выбирать пропагато-
ры частиц во внешнем поле.
В пятой главе приводятся расчеты эффектов рождения ча-
частиц в электромагнитных полях различных конфигураций.
Шестая глава посвящена рассмотрению различных методов
нахождения функции Грина во внешних полях. Здесь находят-
находятся все пропагаторы, фигурирующие в общей теории для различ-
различных внешних полей.
В седьмой главе приводятся вычисления радиационных про-
процессов в некоторых внешних электромагнитных полях на основе
предложенного подхода.
Наконец в восьмой главе обсуждается континуальный подход
к теории Янга — Миллса с внешним полем.
При написании книги мы ориентировались на достаточно
подготовленного читателя, знакомого с основами квантовой элек-
электродинамики и квантовой теории поля.
Мы благодарны В. Г. Багрову, И. В. Тютину, Б. А. Воронову,
А. И. Никишову, В. И. Ритусу, А. Е. Шабаду и С. П. Гаврилову
за обсуждения, поддерживавшие полезный уровень скептицизма
в отношении ясности нашего понимания проблемы.

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1.1. Общее введение и используемые обозначения
В настоящее время квантовая электродинамика (КЭД) явля-
является наиболее разработанным разделом квантовой теория поля
(КТП). Несмотря на это она продолжает привлекать внимание
исследователей. Так, внутри самой КЭД имеется ряд проблем
как общего, так и вычислительного характера, и решение их
-важно не только с принципиальной точки зрения, но и в связи
с реальными физическими приложениями. С позиций КТП она
является «полигоном», на котором отрабатываются новые прие-
приемы и методы, при этом нередко сама порождает новые идеи и
более глубокое понимание всей структуры КТП. Наконец роль
КЭД подчеркивается тем обстоятельством, что она является не-
необходимой составляющей (при низких энергиях) любой единой
теории элементарных частиц.
Значительная часть исследований в рамках КЭД посвящена
задачам с внешним полем. Концепция внешнего поля вообще
является чрезвычайно плодотворной в КТП, например, метод
фонового поля в квантовой гравитации, формулировки на языке
средних и т. д. Поэтому проблемы КЭД с внешним полем акту-
актуальны л для КТП. Внешнее поле в КЭД обычно отождествляет-
отождествляется с интенсивной частью электромагнитного поля, которая мо-
может быть достаточно хорошо описана классическим образом. При
такой интерпретации было бы непоследовательным рассматри-
рассматривать взаимодействие с внешним полем по теории возмущений,
хотя в некоторых задачах этого оказывается достаточным. По-
Поэтому одной из центральных проблем в теории является точный
учет взаимодействия с внешним полем. Важной в этом направ-
направлении явилась работа Фарри [346], где была построена теория
возмущений по радиационному взаимодействию с точным учетом
внешнего поля и в которой он фактически обосновал интуитив-
интуитивный подход Фейнмана [325]. Результативно все модификации
сводятся к замене свободных пропагаторов заряженных частиц
на причииньте фейнмановские пропагаторы во внешнем поле.
Подход Фейнмана — Фарри, однако, был проведен лишь для ог-
ограниченного класса внешних полей, а именно таких, для кото-
которых сохраняется одночастичная интерпретация уравнения Дира-
Дирака, например, магнитное поле, поле плоской волны и т. п. Су-
Существует, однако, широкий класс внешних полей, для которых
такая иптерпретация уравнения Дирака невозможпа — электри-

ческое поле и т. п., и в данном случае подход Фейнмана — Фарри
должен быть переосмыслен с учетом этого обстоятельства. В та-
таких полях вакуум оказывается нестабильным относительно рож-
рождения частиц (электрон-позитронных пар в КЭД). Особенности,
связанные с такой нестабильностью вакуума, становятся суще-
существенными в КЭД лишь для напряженностей порядка Ек =
= т2сг1\е\% ?? 1,3 • 1016 В/см, которые практически невозможно
воссоздать в лабораторных условиях в макроскопических мас-
масштабах. Тем не менее, исследования в КЭД для полей, наруша-
нарушающих стабильность вакуума, важны как с принципиальной точ-
точки зрения, так и в плане проверки ее справедливости в области
сверхсильных полей. Кроме того, это важно и в связи с прило-
приложениями в астрофизике. Сверхсильные электромагнитные поля
порядка Eh могут создаваться и в микроскопических областях —
это кулоновские поля сверхтяжелых ядер - с зарядом Z> 137.
Наконец, формализм, развитый на примере КЭД и обобщенный
на другие модели, имеет уже практический интерес. Например,
значения гравитационных полей вблизи черных дыр настолько
велики, что учет квантового рождения частиц в них (эффект Хо-
кинга) необходим для правильного понимания физической
картины.
Теоретическое изучение эффектов рождения частиц внешним
полем начиналось с рассмотрения на простых моделях в рамках
взаимодействия одного квантованного поля с внешним электро-
электромагнитным или гравитационным полем (см. обзор в гл. 5).
Изучепие проблем, связанных с нестабильностью вакуума во
внешнем поле, для полной КЭД систематически проводилось в
работах авторов и их соавторов — Гаврнлова, Бухбиндера, Воль-
фенгаута, Барашева. Так Гитманом [86—89, 349J сформулиро-
сформулировано обобщение картины Фарри для этого случая. В работах
Фрадкина, Гитмана [333—337] построена теория возмущений
для нахождения средних значений в КЭД с нестабильным ваку-
вакуумом. Обобщение на случай внешнего гравитационного поля
приведено в работе Бухбиндера, Фрадкина, Гитмана [296]. Осо-
Особенности использования соотношения унитарности для вычисле-
вычисления полных вероятностей обсуждались в работах авторов и Гав-
рилова [79, 338]. Общие положения предлагаемого подхода под-
подробно иллюстрировались Гавриловым, Гитманом, Шварцманом с
соавторами [38, 67, 75—77, 83, 96, 182, 275] вычислениями для
электромагнитных полей различной структуры. Обобщение фор-
формализма КЭД при конечной температуре [236, 379] на случай
внешних полей, нарушающих стабильность вакуума, обсужда-
обсуждалось в работе [78].
Несмотря на то, что проблемам внешнего поля в КЭД уделя-
уделяется внимание в ряде обзоров и монографий [23, 96, 106, 132,
156, 210, 211, 221, 222, 232, 252, 255, 202, 271, 286, 311, 353,
364], вопросы, связанные с нестабильностью вакуума, освеща-
освещаются в них недостаточно и познакомиться с деталями форма-
формализма и вычислений можно было до сих пор в основном только

цо журнальным статьям. Написание настоящей книги представ-
представляет собой попытку восполнить существующий пробел и после-
последовательно изложить формализм КЭД с внешним полем с акцен-
акцентом на особенности, возникающие в связи с нестабильностью ва-
вакуума относительно рождения частиц во внешних полях мак-
макротипа.
Ниже приведем используемые в книге обозначения.
Греческие векторные п тензорные индексы принимают зна-
значения 0, 1, 2, 3, а латинские 1, 2, 3. Там, где специально не
оговорено, по повторяющимся индексам подразумевается сумми-
суммирование.
Метрика в плоском пространстве определяется тензором Мин-
ковского
T^v = dLag(l, —1, —1, —1).
Контравариантные векторы часто представляются в виде а" =
==(а°, а), в частности, для декартовых координат используются
обозначения жц=(ж0, х) = A, х) = х. Кроме того, dx1 dx2 dx3 — dx,
dx° dx = dx, ab = а*Ъ№ = ц^Ь* = a°b° — ab.
Везде считается, что е — алгебраический заряд (для электро-
электрона е = —|е|), и используется система единиц, в которой % = с —
— 1, а закон Кулоиа имеет вид F = д^/^пг2. Условно будем на-
называть эту систему хевисайдовой. Ниже приведем соотношения
для массы т, заряда е, постоянной тонкой структуры а, дейст-
действия S, координат х", импульса р", тока 7" потенциалов электро-
электромагнитного поля si? и тензора электромагнитного поля F^ в га-
гауссовой и хевисайдовой системах единиц. При этом здесь вели-
величины в первой и второй системах помечаются индексами G и Н
соответственно:
тс-=-тя, eG= Уе а =
ен, а = — = _ = _,
SG = HSH, sG = хя, tG = —tH {tH = x°),
t-
fG = у|? ;¦&,
Размерности всех физических величин в хевисайдовой систе-
системе выражаются только через размерность длины L:
Коммутатор или антикоммутатор операторов А я В обознача-
обозначается следующим образом
[А, В] т = Аб> ВА.

Используется также обобщенный коммутатор [А, В) двух опе-
операторов А и В, имеющих определенные грассмановы четности
Рл И Ря,
[А, В) = АВ- (- 1)РаРвВА.
Грассманова четность переменной ф„ обозначается через PVa,
или сокращенно через Ра.
Матрицы Дирака удовлетворяют соотношениям
и связаны с матрицами аир посредством равенств
« = Tf
В стандартном представлении
= Tf°T, Р = f. ~
где / — единичная матрица 2 X 2, а о — матрицы Паули.
° ~\1 oj' ° "" [i Oj' ° - (о -1/'
Часто используется тензор aw = -j [у11, vv]— Для операции
дифференцирования используются обозначения:
= 9цф = ф „, d<p/dt = ф = 3(ф,
(через drldq и ^/9д обозначаются правые и левые производные
соответственно);
Д = _ д^* = dl ? = 3^ = 3? - А, ^ = г^ - e^^,xt,
t) =(id№-
A.1.1)
Используя следующие обозначения для стандартных сингу-
сингулярных функций:
D (х) = —~ \ ехр (— ipx) е (р0) 5 (р2 — тя2) dp,
Bл) v
(O+m*)D (х) = О, D(х) |я„=9 = 0, d0D (х) [ж„=0 = б(х),
D{~\x) = -^ J ехр (fpz) 0 (- р0) б (р2 - m2) dp,
Di+\x) = - D(^(- х), (а +
10

?7=?*' <°+~>*M--W. A.1.4)
2)c (*) = 0 (а*) 0м (я) - 9 (- jf>) D(+\x), D% (x) = Dc (x) |ra=0;
?>ret (X) = 9 (ж0) ?> (x) = ?>e (a:) + ?>(+) (ж),
?>adv (a:) = -9 (- a*) D (a:) = Dc (x) - BH (a:),
' ' ;
ret ret ret
П + m») ?>adv (x) = 6 (a:), ?>fv (a:) = Dauy (x) |m&0;
S (a:) = (idtf» ym)De (x), (id^ - m) Se0 (x) == - б (ж);
iT) = (i^v11 + m) D(+\x), (id^f - m) -S[,+) (x) = 0.
В этих выражениях и везде далее
1, х>0,
-1, х<0,
0 1 Л" '
§ 1.2. Квантовая электродинамика с внешним полем
Рассмотрим сначала вкратце квантование электродинамики.
Лагранжиан этой теории имеет вид [259]
^ = ^T + ^e + ^lnt, A.2.1)
FF^ F^ = d^v (x) - dv^ (x),
m) t (a:), ^ И = t+
), / (я) = «яр (х) тЧ (
где ^#ц(л;)— потенциалы электромагнитного поля, а ф(а:)— спи-
норное поле. Соответствующие уравнения движения таковы
B
¦y" - щ] ф (ж) = 0.
Теория являе.тся калибровочно!! с абелевьши калибровочными
преобразованиями вида
S4-» -»- ^"' = ^" + 9^, 1|з -»- i|/ = ехр {— ге^}т|).
При квантовании теорий с калибровочной симметрией возни-
возникает ряд известных проблем, которые можно преодолевать раз-
различными способами [94J. Один из возможных путей заключает-
заключается в том, чтобы перейти от исходного калибровочно-инвариантно-
го лагранжиана A.2,1) к некоторому другому лагранжиану, от-
отвечающему физически эквивалентной теории, но уже не обла-
обладающему калибровочной симметрией. По этой причине мы
далее в качестве лагранжиана электюомагнитного поля будем
11

рассматривать лагранжиан
отличающийся на 4-дивергенцию от лагранжиана
соответствующего фейнмановской калибровке. Уравнения дви-
движения в электромагнитном секторе при этом меняются следую-
следующим образом
? & — f = о,
откуда, с учетом сохранения тока dj* = 0, следует
Пд^ = 0.
Переходя к гамильтонову формализму, введем импульсы
дг& A.2.3)
Ру = —т— = 0.
Здесь мы имеем две первичные связи второго рода, которыми в
данном случае исчерпываются все связи:
„ = 0, рф = 0. A.2.4)
Гамильтониан Н строится обычным образом
Н = Ят + #е + Hinu A.2.5)
Яе = J t (ж) (— J7V + то) ^ (ж) dx,
Отличные от нуля одновременные коммутационные соотношения,
с учетом связей A.2.4), имеют вид
* (х), nv (j/)]_ = ib»b (x - у), A.2.6)
№(*).*(»)]+ =/в(х-у), ^о = г/о-
Полное построение операторной формулировки включает в себя
описание пространства состояний, в котором рассматриваются
процессы рассеяния. В гейзенберговой картине, наиболее рас-
распространенной в настоящее время при исследовании принципи-
принципиальных вопросов, пространство состояний строится как фоков-
ское по операторам in-полей [370]. Более упрощенный подход
в картине взаимодействия после проведения программы перенор-
перенормировок дает, однако, те же результаты. Мы будем придеряш-
12

ваться в основном картины взаимодействия, не обсуждая про-
проблем существования и перенормировок, пути решения которых
описаны в многочисленных учебниках [3, 4, 48, 51, 62, 63, 126,
127, 180].
Операторы поля ц>{х) в представлении взаимодействия связа-
связаны с соответствующими операторами ср(х) в картине Шродинге-
ра следующим образом
Выбирая в качестве Но сумму гамильтонианов Нл и Яе,
//о = Ят + //е A.2.7)
получим, что операторы s&^x) и т|з(ж) в представлении взаимо-
взаимодействия удовлетворяют свободным уравнениям движения. Так,
оператор }Ф^{х) удовлетворяет уравнению
Следовательно, его можно представить в виде
¦я** И = 2 J Wxtix (*) + <&/К <*)] Л, A.2.8)
где /кх(ж)— волноная функция фотона,
&.(х)^ e*?±Lple»(k,l), fto = |k|; A.2.9)
6^A1, Я,)—четыре линейно независхтмых вектора поляризации,
Я — 0, 1, 2, 3, удовлетворяющие соотношениям
2 ew (k, X) nuet (k, 1) = %v. A.2.10)
Отсюда следуют соотношения ортонормировки для волновых
функций фотона
(/u-/k'X') = riu'S(k-k'),
A.2.11)
*(xMog^)dx.
Далее мы будем иметь в виду следующую вещественную реали-
реализацию векторов поляризации
е,(кД)=@,-е(кД)), е(кД)к-0, к = 1, 2,
A.2.12)
е(к, Я)е(к, а)=бяо, Л, а = 1, 2,
ец(к, 0) = A, 0), еДк, 3) = @, -п), п = к/|к|.
При таком выборе векторы с 1=1, 2 называются поперечными
поляризациями, X = 0 — скалярной или временной, а % = 3 —
продольной поляризациями.
13

Коммутационные соотношения A.2.6) для шредингеровых
операторов с учетом связи A.2.3) дают одновременные комму-
коммутационные соотношения для операторов st^x) в представлении
взаимодействия
из которых следуют коммутационные соотношения для
4-
операторов с^ и скх:
сьх. <VH- j= - Лшо (К -^к ), A 2 13)
Операторы с^% интерпретируются как операторы уничтожения,
а съх как операторы рождения, несмотря на то, что в силу
A.2.13) это влечет за собой индефинитную метрику в полном
фоковском пространстве, построенном по этим операторам.
Гамильтониан Ят можно выразить через операторы ^Ф^(х)
= 1 J {k\ -Ul + s*l,i - s*',i) dx,
а его нормальная форма в терминах операторов рождения и
уничтожения с?%, ск% имеет вид
Ну = - S Tixх J Via^x Л. A-2.14)
Физическое подпространство состояний выделяется условием
[290, 355]
Оно эквивалентно условию
где ^ц+ (ж)— положительно частотная часть оператора A.2.8).
Таким образом, выделение физического сектора происходит ло-
ренц-ковариантным образом. В физическом подпространстве уже
отсутствуют векторы с отрицательной нормой, а условие Лорен-
Лоренца d^s&^ix)— 0 выполняется в среднем. Одному физическому
состоянию системы, в таким образом построенном физическом
подпространстве, соответствует целый класс эквивалентных век-
векторов, отличающихся друг от друга на векторы нормы нуль.
В качестве представителей таких классов всегда можно выбрать
векторы, содержащие только фотоны с поперечными поляриза-
поляризациями. Продольные и временные фотопы не вносят вклада в
средние значения физических операторов в физическом подпро-
подпространстве.
14

Рассмотрим теперь снинорное ноле ty(x) в представлении
взаимодействия. Оно удовлетворяет уравнению Дирака
(idtf—m)$(x)=0. A.2.15)
Пусть ±<р„ (х)— решения уравнения Дирака, отвечающие поло-
положительной (+) д отрицательной (—) эпергиям. Например, если
квантовые числа п представляют собой импульс р и спиновое
квантовое число ?, п =(р, ?), то ±фп(ж) имеют вид
4-Фп (X) = j/-^-T *-1РЧ (Р), Ро =
-Фп(*) =
— "О «? (Р) = (PnY^ + w) vt (р) = 0.
Нормируя спиноры иг(р) и ^:(р) условиями
ut (p) 4' (p) = vi (p) vv (p) = hf -^-' ui (p) vv (p) = °'
получаем условия ортонормируемостп для решений A.2.16)
+ Г \ I \ 7 С С Р ОС/ Г\ /191 7\
Уп (Ж)я.'фп' И ИХ = 8U'Snn', бпи. = 6К/6 (р — р'). У1'*'1 '/
Кроме того, имеет место соотношение полноты
2 *фп И лФп (у) = 6 (х - у), *0 = гЛ A.2.18)
(Суммирование по п подразумевает в частности интегрирова-
интегрирование по р.)
Разложим сппнорное поле i|)(.z) по решениям A.2.10).
«h М V Г/7 гп ^т-> L ?i+ rn lr\] 1\ 9 4Q\
n
Из одновременных коммутащгоппых соотношений для ty(x), име-
имеющих вид A.2.6), следует, что а«, ап и Ь^, Ьп представляют со-
собой две системы фермиевских операторов рождения и уничто-
уничтожения,
[ап, От\+ = [i>ni Ьт\+ = 6-
Onm,
[а„, ато]+ = [Ьп, Ьт]+ = 0.
Операторы aj, an интерпретируются как операторы рождения и
уничтожения электронов, а ^, Ъп как соответствующие операто-
операторы позитронов. С помощью этих операторов и операторов рож-
рождения и уничтожения фотонов строится фоковское пространство,
которое интерпретируется как пространство начальных и конеч-
конечных состояний. Общий вид вектора с определенным числом ча-
частиц в этом пространстве таков
bt . . . at . . . 4% . . . | 0>, A.2.21)
где |0> — соответствующий вакуумный вектор,
15

Оператор рассеяния E-матрица) определяется следующим
образом [257]*)
S = lim е^
= Т ехр {— IJ 7V (ж) jtf11 (*) dr}, A.2.22)
где
а б&ц(х) и i|)(a:)— операторы в представлении взаимодействия.
Матричные элементы 5-матрицы по состояниям A.2.21) оп-
определяют амплитуды вероятностей рассеяния частиц. Приводя
^-матрицу к нормальной форме с помощью теоремы Вика, мож-
можно получить для этих амплитуд разложение в ряд по радиаци-
радиационному взаимодействию. Члены этого ряда изображаются фейн-
маиовскими диаграммами. Хронологические спаривания играют
роль пропагаторов такой теории возмущений
п (У), хп>уй,
A.2.23)
=Ж» (х) ^v {у) = <0 [ Т&ь (х) stv (у) 10> =
= Ш^ (х, у) = i^Dl (х - у), A.2.24)
где Si (х, у) и Dc0 (х — у) — причинные функции Грина спинор-
ного и скалярного полей, определенные выражениями A.1.6),
A.1.4) и удовлетворяющие уравнениям
(Wtf*-m) Sc0 {х, у) = — Ь(х — у),
DDc0(x-y)--=b(x-y).
Вершины диаграмм Фейнмана в рассматриваемой теории име-
имеют вид
где • = If".
*) Мы не обсуждаем здесь вопросы существования и корректного оп-
определения указанного предельного перехода (см. по этому поводу цитиро-
цитированную монографию).
16

Лагранжиан КЭД с внешним полем формально получается и»
лагранжиана КЭД путем замены
•я*» (*)-> ^ И + -$С (*), A-2.20)
где S&n (х)—внешнее электромагнитное поле. Процедура кван-
квантования, описанная выше, может быть повторена без каких-либо
изменений и в этом случае. При этом коммутационные соотно-
соотношения A.2.6) не меняют своего вида. Гамильтониан КЭД с
внешним полем отличается от гамильтониана A.2.5) наличием
члена, обуславливающего взаимодействие с внешним полем,
# = Я v + Я е + Нм -1" J /* (х) &Т (х) dx. A.2.27)
Если представление взаимодействия по-прежнему строится по
гамильтониану A.2.7), то остается в силе структура описанного
фоковского пространства, а 5-матрица приобретает вид
A.2.28)
Теперь в фейнманонских диаграммах, представляющих члены
ряда теории возмущений для амплитуд вероятностей процессов
рассеяния, появляются новые вершины вида
где е — графическое изображение внешнего поля
Каков же неформальный смысл процедуры введения внешне-
внешнего поля в КЭД? В работах Фрадкина [240—245, 247] была
сформулирована одиа из возможных концепций, в которой внеш-
внешнее поле отождествляется с истинным средним полем в системе.
В рамках этой концепции была сформулирована процедура пере-
перенормировок, и записана система уравнений для перенормирован-
перенормированных функций Грина [242, 243], найдены операторное и функ-
функциональное представления производящего функционала функций
Грина [240, 241], впервые получены обобщенные тождества
У орда во внешнем поле [244].
Для интерпретации КЭД с внешним полем полезно также
иметь в виду, что эта теории эквивалентна КЭД с внешним то-
током /"*(ж), лагранжиан последней получается из A.2.1) путем
замены
Действительно, рассмотрим, например, уравнение Шредингера в
представлении взаимодействия для КЭД с внешним током. Оно
2 Д. м. Гитман и др. IV

имеет вид
Сделаем унитарное преобразование вектора состояния [Ь\
= ехр {_ * J е (« _ О /f (*')[^ (х') + A
где
(х) = J Д™' (x - x') /Г (x') <fc',
2
Тогда уравнение, которому удовлетворяет вектор |Ф>, будет
иметь вид уравнения Шредингера в представлении взаимодейст-
взаимодействия для КЭД с внешним полем si^{x)
Таким образом, КЭД с внешним полем можно интерпретировать
как приближение к точной КЭД, в котором движение части за-
заряженных токов по тем или иным причинам считается заданным
и не зависящим от состояния остальных частиц, при этом влия-
влияние этих токов на остальные частицы описывается на языке их
запаздывающего электромагнитного поля.
Наконец, если внешнее поле ^^xt (x) свободное, то КЭД с таким
внешним полем можно интерпретировать не как приближение к
КЭД, а как полностью эквивалентный КЭД формализм, приспо-
приспособленный для описания процессов в КЭД без внешнего поля,
но со специальными состояниями рассеяния, включающими в
себя когерентную часть электромагнитного поля. Рассмотрим в
связи с этим состояния электромагнитного поля, которые назо-
назовем полукогерентными и которые определим следующим об-
образом [8]
\z,n>=D(z)\n>, A.2.30)
где D(z)—оператор смещения когерентного состояния [350—
352]*),
D (г) = ехр B (zkxcja — z^ca)}, A.2.31)
к.А
Видно, что \z, 0> есть просто когерентное состояния электромаг-
электромагнитного поля [350—352], а 10, п> — состояние с определенными
*) Здесь мы для простоты будем считать, что имеются лишь попереч-
пые фотоны, т. е. % = 1, 2.
18

числами заполнения фотонов. При фиксированном z состояния
A.2.30) образуют полную и ортонормированную систему по п,
а при фиксированном га удовлетворяют обычному для когерент-
когерентных состояний соотношению полноты
f \z, n><ra, z\Hd2zkK-^n.
Среднее число фотонов, средняя энергия электромагнитного поля
и среднее значение оператора электромагнитного ноля в полуко-
полукогерентных состояниях равны соответственно
?ki, | z, ге> = | zkX |2 + %ъ
z, га> = 2 J й0 (I ZU I2 + nkX) dk,
А
| z, п> = Л" (х) = 2 J [zk^/L(х) + ztrf?(x)] dk.
Таким образом, в полукогерентных состояниях имеется часть
электромагнитного поля, которую можно описывать с помощью
классических потенциалов Я^(х) или их фурье-компонент zkk.
На фоне этой классической части электромагнитного поля воз-
возбуждено определенное количество фотонов, характеризуемое
числами заполнения rakJt-
Если теперь в качестве начальных и конечных состояний
электромагнитного поля в матричных элементах рассеяния вы-
выбрать полукогерептные состояния с фикоированными zk)l, то эти
матричные элементы будут иметь смысл амплитуд вероятностей
рассеяния частиц в присутствии «внешнего» электромагнитного
поля с потенциалами А»{х). Действительно, сконструируем на-
начальные и конечные состояния в представлении взаимодействия
следующим образом
U> = \z, га, N> = \z, га> в 17V>,
A.2.32)
</| =<z, n', N'\ =<N'\ ® <z, ra'l,
где \N> и <N'\ —состояния с определенными числами заряжен-
заряженных частиц. Нетрудпо проверить, что имеет место соотношение
Следовательно, матричные элементы 5-матрицы КЭД без внеш-
внешнего поля по состояниям A.2.32) равны матричным элементам
¦S-матрицы КЭД с «внешним» полем ^(х) по обычным началь-
начальным и конечным состояниям с определенным числом фотонов и
заряженных частиц,
<z, n', N' | Т ехр {- 11 7-„ (х) s4? (x) dx) \z, n, N) =
= <га', N' [ Т ехр {- i j уд {х) [st»(x) + ^ (х)] dx} \ п, ЛГ>,
где Ire, 7V> и <и', /V'! —состояния вида A.2.21). «Внешнее» но-
2* 19

ле Л"ц(ж) свободное, поскольку zk% от времени не зависят
Приведенные примеры показывают, что в рамках формализма
внешнего поля возможно описывать различные физические
ситуации.
Рассмотрим теперь проблемы, возникающие в связи с задачей
точного учета взаимодействия с внешним полем. Если оста-
оставаться в рамках представления взаимодействия, которое опреде-
определено по гамильтониану Яо A.2.7), то 5-матрица имеет вид
A.2.28), и задача сводится к суммированию бесконечной сово-
совокупности диаграмм:
X
= -iS°(x,y). A.2.33)
В результате после такого суммирования, остаются только
диаграммы Фейнмана без вершин, содержащих внешнее поле,
однако все пропагаторы частиц Sq должны быть заменены на
пропагаторы во внешнем поле Sc, а свободные решения ±ф„, от-
отвечающие внешним концам фейнмановских диаграмм, на соот-
соответствующие решения во внешнем поле. Функция Sc(x, у) явля-
является функцией Грина уравнения Дирака во внешнем поле
Формально это следует из того, что разложение выражения
iS)'1 (s&oxt)fi(x — у) по степеням s4-"^{x) дает ряд A.2.33).
Уравнение A.2.34) имеет множество решений, отличающихся
друг от друга на решения однородного уравнения. Поэтому вста-
встает вопрос о том, какое из решений уравнения A.2.34) отвечает
сумме A.2.33). В общем случае он не решен, однако для про-
простых примеров (магнитное поле, поле плоской волны и т. л.)
можно непосредственным образом убедиться, что Sc(x, у) есть
причинная функция Грина уравнения Дирака, выделяемая из
множества всех функций Грина предписанием mz -*¦ т2—?е
(см. подробнее гл. 6).
Надо сказать, что разложение в степенные ряды возможно
лишь для ограниченного класса внешних полей. Адекватный
подход, не связанный с разложением в ряд по внешнему полю,
заключается в том, чтобы в качестве гамильтониана Но при по-
построении представления взаимодействия рассматривать вместо
A.2.7) гамильтониан
Но = Щ + #е + J 7W (x) sf* (x) dx, A.2.35)
включающий в себя взаимодействие сшгнорного ноля с внешним
электромагнитным полем, а теорию возмущений строить только
по радиационному взаимодействию. Впервые такой подход был
20

реализован в работе Фарри [346]. Однако пытаясь буквально
перефразировать рассмотрение без внешнего поля, он был вы-
вынужден ограничиться классом внешних полей, для которых су-
существует полная система решений уравнения Дирака {±<рп(х)},
расклассифицированная во все моменты времени по признаку
частица (+), античастица (—). В этом случае возможно ввести
единую систему in- и out-состояний рассеяния в представлении
взаимодействия л единый вакуум. Поля, для которых справедли-
справедливо рассмотрение Фарри, относятся к так называемым полям, не
нарушающим стабильность вакуума относительно рождения
электрон-позитронных пар, и лишь незначительно расширяют
класс полей, по которым возможпы разложения в ряды. Резуль-
Результативно подход Фарри сводится к тому, что все электронные
линии фейнмановских диаграмм, как внутренние, так и внеш-
внешние, должны быть заменены па соответствующие линии во внеш-
внешнем поле. Внешним линиям сопоставляются решения уравнения
Дирака ±ф„(ж) во внешнем поле, а пропагатор имеет аналогично
A.2.23) вид
х у
A.2.36)
где гр(;с)— операторы спинорного поля в представлении взаимо-
взаимодействия, определяемом гамильтонианом A.2.35), и удовлетво-
удовлетворяющие уравнению Дирака во внешнем поле, а 10> — вакуум-
вакуумный вектор во внешнем поле. Этот вакуумный вектор определя-
определяется по операторам рождения и уничтожения, связанным с ty(z)
разложением вида A.2.19). Функция Sc(x, у) удовлетворяет урав-
уравнению A.2.34) и для анализируемых явно случаев оказывается
по-прежнему причинной функцией Грина этого уравнения. Надо
отметить, что пропагатор A.2.36) впервые из соображений при-
причинности был предложен Фейнманом [325] для случая поля, до-
допускающего стационарные решения уравнения Дирака, имеющие
классификацию по признаку частица — античастица. В связи с
этим в настоящее время функцию Грина уравнения Дирака в
произвольном внешнем поле, выделяемую из всего множества
функций Грина предписанием т2 -*¦ т2 — 1е, принято называть
причинным пропагатором или фейнмановским пропагатором.
В следующей главе мы последовательно рассмотрим задачу о
точном учете взаимодействия с произвольным внешним полем,
в частности нарушающем стабильность вакуума, в рамках пред-
представления взаимодействия на основе гамильтониана Но вида
A.2.35).

ГЛАВА 2
ТОЧНЫЙ УЧЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ В ПРОЦЕССАХ РАССЕЯНИЯ
§ 2.1. Квантованное заряженное поле
во внешнем электромагнитном поле
2.1.1. Спинорное поле
Рассмотрим теорию спинорного поля ty(x), взаимодействую-
взаимодействующего с внешним электромагнитным полем s^ (х). Лагранжиан
такой системы имеет вид [51]
^( ^xt)/ — /mjji|j, B.1.1)
x) является уравнение
B.1.2)
Гамильтониан и перестановочные соотношения для шредин-
геровых операторов нетрудно получить так же, как в § 1.2:
Яе @ = j * (х) ( - iy\ + est? (х) у11 -1- т) ф (х) dx =
= j t+ (x) ^e @ ¦* (х) dx,
^е @ = « ( - iV -"ecflext (*)) T
при этом уравнением движения для
Дирака во внешем поле (см. A.1.1))
B.1.3)
B.1.4)
Здесь явно подчеркнута зависимость гамильтопианов HK(t) и
3^e(t) от времени, обуслов-
обусловленная возможной зависи-
зависимостью от времени внешне-
внешнего поля.
Обратимся к задаче о рас-
рассеянии п рассматриваемой
системе. Для этого, во-пер-
во-первых, построим состояния, от-
отвечающие частицам в на-
начальный tm и конечный fOut
моменты времени, которые в
окончательных выражениях
будем понимать как беско-
-?
Рис. 1
нечно удаленные в прошлое и будущее соответственно. Будем рас-
рассматривать общий случай, когда потенциалы внешнего поля не вьг-
22

«лючаются при tin и (Out- Такая ситуация может иметь место дажо
в том случае, если сами напряженности внешнего поля исчезают
при tm и tout. Например, электрическое поле вида Ёх = Еу = О,
Ег = Е ch~2? выключается при I -*¦ ±°°. Однако его потенциалы,
выбранные в калибровке s&o = st-* = зФу = 0, s?z = —Е th t, от-
отличны от нуля и разнятся при ?->- ±«> (рис. 1).
Таким образом, в общем случае гамильтонианы He(tia) и
#e(?Out) различны. Приведем их к диагональному виду. Для это-
этого предположим, что существуют решения задач на собственные
значения для дираковского гамильтониана Ж<.A) в моменты вре-
времени tin И tBal-
5#е(*1п)±фп(х)= ±е„(<,„Ьф„(х),
B.1.5)
Ж (*.»t) ="=9» (X) = *8» (*„„*) ^п (X) ,
где ±en(fm)^ 0, ±en(iOut)^ 0 и имеется щель между положитель-
положительными и отрицательными уровнями как при tin, так и при fout.
Кроме того, предположим, что системы спиноров {±ф„(х)} и
(±ф71(х)}, каждая по отдельности, ортонормировании и полны в
пространстве спиноров, зависящих от х,
S ?Ф« (х) ?Ф^ (У) = S ?Ф« (х) S(P^ (У) = б (х - у), B Л .6)
(ф. X)=
Разложим с помощью B.1.6) шредингеров оператор "ф(х) по
системам {±срп(х)} и {±9я(х)>:
У (х) = 2 Wn (tm)+4>n (x) + bt (tin) -Ц>п (х)},
п B 17)
¦ W = 2 Un (tout) +Фп (X) + Ь+ (iout) ~ф» (X)} .
Тогда из коммутационных соотношений B.1.4) и соотношений
B.1.6) получим коммутационные соотношения для операторов
ia+(tin), a(tln), b+(tla), b(tln)} n ia+(tmi), a(*oul), i+(/Out),
6 ()*
= [bn (tin), b+ (tin)]+ = [bn(iout), 6+ (fout)]+ = 6»,». B.1.8)
Остальпые антикоммутаторы равны нулю. Таким образом вве-
введенные операторы являются фермиевскими операторами рожде-
рождения и уничтожения. В терминах этих операторов гамильтонианы
ЯЛО и #e(?DUt) диагонализуются и принимают вид
Не (Ы) = 2 i+?n (hn) at (tia) an (lin) + 1 _en («,„) | b$ (tirt) bn (lin)),
at («out) an (tont) + | -en (tmt) \ b+ (tout) bn (tout)}. BЛ "9
23

(Здесь мы как обычно опустили расходящиеся с-числовые вы-
выражения.) На основании этого будем интерпретировать операто-
операторы at (An), ап (hn) и bn (<in), bn {tin) как операторы рождения и
уничтожения электронов и позитронов соответственно в началь-
начальный момент времени, а операторы an(^out)> an(*out)i bn(tm\), bn(toni)
как аналогичные операторы в конечный момент времени.
Определим вакуумные векторы 10, tin> в момент времени tln
и 10, ?Out> в момент времени toal соотношениями
а„(*.пI0, tln> = bn(tla)\O, *1п>=0,
B.1.10)
fln(*onl) Ю, fOIll> = bn(toul) |0, toul> = 0.
Тогда общий вид начальных и конечных состояний с опре-
определенными числами заряженных частиц можно записать обыч-
обычным образом
I «оЫ> = Ь« («out) ¦ • • «Im (W - ¦ • I 0, «out>- B.1.11)
Согласно общим принципам квантовой теории амплитуда веро-
вероятности перехода из начального в копечное состояние имеет в
картине Шредипгера следующий вид
M[n^ont=*(t0Ul\Ujtin>, B.1.12)
где 17Й = Ur.{tonU tin), a Ue(t, t')—оператор эволюции, соответст-
соответствующий гамильтониану He{t),
Ue(t, t) = i, Ut (t, t') = U^{1, t') = Ue(t', t), B.1.13)
Ut(t,t')=Texv\-il
\ i'
Запишем матричный элемент B.1.12) в картине Гейзенберга.
Для этого определим половинные операторы эволюции Q(±),
Qrr /г\ л. \ о ТТ /С\ f \ ТТ О"^" О /О \ 4/Л
(+) — ^е(и; Чп^ *'(—) == Uev>i fouUt Uе = "(—)**(+)• ^*.1.14;
С их помощью построим состояния рассеяния в картине Гейзен-
Гейзенберга
|in> = Q(+)Uin>, lout) =Q(_)|/0Ut>. B.1.15)
Эти состояния далее будем назыпать an- и out-состояниями. Если
ввести in- и out-опепаторы рождения и уничтожения частиц и
античастиц, канонически связанные с соответствующими шрб-
дингеровыми операторами, в t[n и tnut соотношениями
''а+ (in)>
Г
\b(]n) / \b{tin) I B.1.16)
24

fa+ (out)
a (out) . . -,-„.,,, i ¦
' ' =Q(-^ ) ' Q(t), B.1.16)
6+(out) ' ( -I .+ .. . I ( )' v /
\b (out)
}an(in), am(in)]+ = [a^(out),
= [&п(Ь)> bm(in)]+ = [bn(OUt), bm@Ut)]+ = б„
то in- и out-еостояния могут быть получены действием на in- и
out-вакуумы An- и out-операторами рождения
| out) = bt (out) ...at (out) ... | 0, out), B.1.17)
где
10, in) = Q(+)l0, tlny, Ю, out) = ?>(_,l0, toal>. B.1.18)
Очевидпо, что
an(in)l0, in) = bn(in)|0, in) = 0,
B.1.19)
an(out) Ю, out) = bn(out) 10, out) = 0.
Учитывая B.1.14) и B.1.18), матричный элемент B.1.12) в
картине Гейзенберга можно записать в виде
Mln^.out = <outlin>. B.1.20)
Простейшим матричным элементом вида B.1.20) является
амплитуда вероятности вакуума остаться вакуумом, которую обо-
обозначим через cv,
с„ = <0, out 10, in). B.1.21)
Соответственно величина
р„=\сЛ2 B.1.22)
есть вероятность вакууму остаться вакуумом, т. е. вероятность
того, что вакуумное состояние 10, 1[ПУ в момепт времени ?1п в
результате эволюции перейдет к моменту времени tout в вакуум-
вакуумное состояние 10, ?Out), отвечающее этому моменту времени.
Если pv^i (/>и<1), то это означает, что внешнее поле рож-
рождает частицы тт.з вакуума, или, как говорят, вакуум является не-
нестабильным во внешнем поле. В силу сохранения заряда, части-
частицы рождаются парами «частица — античастица» (электрон — по-
позитрон), так что нарушение стабильности вакуума во внешнем
поле есть результат рождения этим полем электрон-позитронных
пар из вакуума. Внешние электромагнитные поля, допускающие
описанную выше постановку задачи о рассеянии, разделяются
таким образом на поля, порождающие и не порождающие пары
из вакуума. Примером поля, порождающего пары из вакуума,
25

может служить электрическое поле, а поле плоской волны и маг-
магнитное поле не порождают пар из вакуума*). В общем случае
ответ на вопрос об отношении электромагнитного поля к тому
или иному классу может быть получен лишь после вычисления
величины pv в этом поле.
Далее будем рассматривать амплитуды относительных веро-
вероятностей процессов переходов, которые определим следующим
образом
/+ - |- +\
w\m ... s .. .\п .. . I ) =
= <0, out | am(out) .. . ba(oul)... bn (in) .. . af (in) . . . | 0, in> c7x.
B.1.23)
Матричные элементы типа B.1.23) эффективно вычисляются
с помощью приведения их «внутренности» к так называемой
обобщенной нормальной форме относительно двух вакуумов,
в данном случае относительно вакуумов <0, outl и Ю, in>. В об-
общем виде соответствующая техника описана в § 2.4, являющим-
являющимся приложением к этой главе. Вкратце идея [88, 89, 349] за-
заключается в том, чтобы выразить все операторы, фигурирующие
в матричном элементе B.1.23), только через out-операторы рож-
рождения и in-операторы уничтожения, а затем, пользуясь обобще-
обобщением теоремы Вика, представить «внутренность» этого матрич-
матричного элемента <в обобщенной нормальной форме, в которой все
out-операторы рождения расположены слева от in-операторов
уничтожения. В этом случае матричный элемент B.1.23) сво-
сводится к сумме произведений всевозможных обобщенных спари-
спариваний операторов, составляющих его «внутренность». Указанные
обобщенные спаривания, а также амплитуду с„ удается вычис-
вычислить, если известны решения уравнения Дирака во внешнем по-
поле, расклассифицированные определенным образом. Ниже мы
опишем все детали такой техники.
Введем зависящий от времени оператор спинорного поля ty{x),
a|) (х) = Ut (t, 0) t (x) Ue (t, 0). B.1.24)
В рассматриваемой задаче он является гейзенборговым операто-
оператором, а в более общей задаче, включающей квантованное элек-
электромагнитное поле, оператором в представлении взаимодействия
(см. § 2.2). Нетрудно убедиться, используя явное выражение
B.1.13) для оператора эволюции и коммутационные соотноше-
соотношения B.1.4), что if (х) удовлетворяет уравнению
(idt-3%e(t))q(x) = 0, B.1.25)
которое эквивалентно уравнению Дирака во внешнем поле
B.1.2).
*) Кулоновское поле с Z ^ 137 порождает нары из вакуума, одпако
оно непосредственно не допускает описанной постановки задачи.
26

Рассмотрим функцию распространения G(x, у) уравнения Ди-
Дирака во внешнем поле. Она удовлетворяет этому уравнению
у) = 0 B.1.26)
и начальному условию
LT IX, у \ I о 0 ^= U I Л. У/. \ * ^ ' /
Функцию G(;r, у) мож<но рассматривать как матричный элемент
в х-представлении оператора эволюции уравнения Дирака, запи-
санното в форме уравнения Шредингера B.1.25),
у°
G(x,y)
Гехр - i me{t)dt
I B.1.28)
Для нее выполняются соотношения
I G (х, х') G {х', у) dx' = G (х, у), G+ (х, у) = G (у, х). B.1.29)
Имеет место представление
C(*,jr) = 2<P»(*)qtf(jr), B.1.30)
п
где {уп(х)} — любая ортонормированная и полная в каждый мо-
момент времени система решений уравнения Дирака во внешнем
поле,
(фп, фтп) = 6nm, S Ф" (Х0 Ф» (У*) = б (X — у),
п
Функция G(x, у) связывает между собой решения уравнения
Дирака в различные моменты времени. В частности, она связы-
связывает между собой операторы спинорного поля в различные мо-
моменты времени,
B.1.31)
Отсюда следует также, что G(x, у) есть перестановочная
функция для этих операторов
G(x, у) = [¦(*). У+(У)]+, B.132)
Соотношение B.1.31) позволяет найти связи между in- и out-
операторами в терминах матричных элементов функции рас-
распространения [10, 87]. Так, из B.1.31) следует
Ф (xfout) = j G (x/out. y*in) -ф (ytm) dy, B.1.33)
г|) (xtin) = J G (xtin, yfout) t (y^out) dy.
С другой стороны в силу определений B.1.24) и B.1.14) имеем
B.1.34)
27

Подставляя B.1.34) в B.1.33), учитывая ,B.1.7), B.16), а так-
также определение B.1.16) in- и out-операторов, получим соотно-
соотношения, связывающие их друг с другом:
ат (out) = 2 [G (+ | +)тпап (in) + G (+ | _)mn b+ (in)},
n
6m (out) = 2 U« (in) G (+|-)nm + bn (in) G (_|-)™„},
n
am (in) - SI G(+|+)mnan(oiit) + G(+\-)mnbZ (out)], B-1 -35)
n
Min) = SUn (out)G(+|_)nm + 6n(out)G(i_)nml,
n
где матрицы G(±\±), G(±l±) имеют вид
G (S|x)mB = j 4m (x) G (x/Out, y<in) хфп (У) Л йу; B.1.36)
ii удовлетворяют соотношениям ортогональности и полноты, ко-
которые являются следствием соответствующих соотношений для
спиноров (±ф„(х)} и {^„(х)} и свойств функции G(x, у),
+)^7. B-1.37)
Таким образом, in- и out-операторы связаны между собой линей-
линейным каноническим преобразованием.
Из B.1.35) можно выразить все операторы a(out), b(out),
a+(in), b+(m) только через операторы a(in), b(in), a+(out),
b+(out)
am (out) = S [G-1 (+\+)mn an (in) + [G (+|_) G (-|_)}mn b$ (out)],
bn (out) = 2 [G-1 (-|_)nm bn (in) - {G (+|_) G'1 (-|_)}nm aj (out)],
B.1.38)
ri (in) = 2 [G^1 (+\+)nm at (out) - {G (_|+) C~J (+|+)}яж bn (in)],
Й (in) = 2 [G (-|_)mnb+ (out) + {G(_|+) G (+|+)}mna»(in)].
Итак, линейное каноническое преобразование от in-операторов
к out-операторам допускает переход к обобщенной нормальной
форме относительно вакуумов <0, outl и Ю, in> в том случае,
если существуют обратные матрицы G~l(+|+) n G^"!-)
(см. B.4.6)).
28

Пользуясь соотношениями B.1.38) можно вычислить обоб-
обобщенные спаривания in- и out-операторов самих с собой и друг
с другом. Отличными от нуля оказываются лишь следующие
спаривания [90, 349]:
ат (out) at (in) = (О, out | am (out) at (in) | 0, in) c^1 = G'1 (+|+)mn,
bm (out) bt (in) = <0, oul. | bm (out) bt (in) | 0, in>>71 = G (-|_)nm,
am (out) bn (out) = <0, out | am (oul) bn (oul) | 0, in> c^1 =
)G-1(-\-)}mn, B.1.39)
&+(in)a+(in) = <0, out |6+(in) a+ (hi) | 0, in)^1 =
= \G (_|+) С (+|+)U = - {G-1 (-|_) G {-\+)}mn.
Видно, что простейшие амплитуды относительных вероятностей
B.1.23) с участием только днух частиц просто равны обобщен-
обобщенным спариваниям B.1.39). Выпишем их ниже.
Амплитуда относительной вероятности рассеяния электрона
во внешнем поле
w[m | п) = am(ou\)at (in) = G (+|+)mn. B.1.-10)
L J
Амплитуда относительной вероятности рассеяния по.читрона
во внешнем поле
w [т \п) = Ьт (out) bt (in) = (Г1 (-|_)nn.- B-1.41)
L- J
Амплитуда относительной вероятности рождения пары во
внешнем поле
w
[тп о) = ат (out) bn (out) =
= (G-1 (+|+) G (, |-)}mn - - [G (+|_) G (-|_)}mn. B.1.42).
Амплитуда относительной вероятности аннигиляции пары во
внешнем поле
w
I 1-+\ , ,
^01 mn) = bm (in) an (in) =
Используя соотношения B.1.40) — B.1.43), разложения
B.1.38) полезно переписать в виде
ат (out) = 2 \w \m I п) о-п (in) — w \тп | 0j bt (out)}
п
bm (oul) = 2 {"¦' \m I n) bn(\n) + и? (ш I Oj at (oul)},
2»

in) = 2 {«p (n I <») «« (out) - 10 (o | raw) bn (in)}, <2-14)
U I m) bn (out) + w [01 mre) а„ (in)}.
6+ (in) =
n
Поскольку любой in- или out-оператор содержит в своем раз-
разложении только уничтожающую относительно in-вакуума и рож-
рождающую относительно out-вакуума части, то равны нулю мат-
матричные элементы между in- и ои^вакуумами от этих операторов
<0, out | а (*0 10, in) = <0, out) а+ (Л) | 0, in) =
= <0, out | b (JSt) | 0, in) = @, out \b+ (Z) |0, in) = 0.
Это означает, что матричный элемент между in- и out-вакуумами
от обобщенного нормального произведения любой конструкции
из in- и out-операторов равен нулю. Таким образом, согласно
теореме Вика, амплитуды относительных вероятностей равны
сумме всевозможных обобщенных спариваний in- и out-операто-
out-операторов, входящих под знак обкладок <0, outl и |0, in>, и выража-
выражаются только через амплитуды B.1.40) — B.1.43). Например, амп-
амплитуда относительной вероятности рассеяния электрона с рож-
рождением пары равна
(++- +\ (+- \ (+ -\ (+- \ (+ +\
w[msk п) = w\sk 0) w\m n) — w\mk 0)w\s n). B.1.45)
Для дальнейшего полезно амплитуды относительных вероят-
вероятностей B.1.23) изображать графически. Мы примем следующие
обозначения
т
| - + \
.. .s. .. \,п... I. . .) =
s^
, B.1.46)
где предполагается, что ось времени направлена справа налево.
Таким образом, электроны изображаются линиями, идущими в
положительном направлении во времени, а позитроны — линия-
линиями, идущими в противоположном направлении.
Согласно предыдущему любая диаграмма представляет собой
сумму произведений диаграмм, отвечающих простейшим процес-
процессам B.1.40) — B.1.43). Так, пример B.1.45) в диаграммной тех-
технике выглядит следующим образом
30

Полезно построить унитарный оператор V, задающий преоб-
преобразование от in- к out-операторам (в общих терминах оператор
V имеет вид B.4.21)),
a(out)=F+a(in)F, b(out)= V+b(in)V,
B.1.47)
a+ (out) - F+a+ (in) V, b+ (out) = V+b+ (in) V.
Явный вид его можно установить с точностью до фазового мно-
множителя из соотношений B.1.35). В терминах in-операторов
F = exp{-a+(in)u;(-t--IO)b+(m)}exp{a+(in)lnK;(+H-)a(iii)}X
X exp {-b(in)lniv(-\-)Tb+ (In)) ex? {-b(ii\)w@\- +)a{in)}.
B.1.48)
Оператор V можно записать также в терминах out-операторов
V = exp {-a+ (out) w (+ -10) Ь+ (out)} X
Xexp{-a(out)lnu7(+|-t-)ra+(out)}X
Xexp{6+(out)lnu;(-!-)b(out)}X
Xexp{-b(out)u;(Ol-+)a(out)}. B.1.49)
Нетрудно убедиться, что оператор V формально унитарен. Усло-
Условия неформальной унитарности оператора V будут получены
ниже.
Оператор V с точностью до фазового множителя связывает
между собой in- и oul-вакуумьг
10, out> = F+!0, in>. B.1.50)
Следовательно, амплитуда B.1.21) вероятности вакууму остать-
остаться вакуумом равна среднему значению оператора V как по in-T
так и по out-вакууму,
с„ = <0, inlFlO, in> = <0, outlFlO, out). B.1.51)
Подставляя выражения для оператора V в B.1.51), получим
[10, 349]
с„ = ехр{—1г1дм;(—I—)r> = detG(-|_) =
= exp{-trlnu;(+!+)T} = detG(+L), B.1.52)
p. = IcJ2 = Idet G(-|_) I2 = Idet G(+l t) I2. B.1.53)
Преобразуя B.1.53) с помощью соотношений B.1.37) и учиты-
учитывая формулы B.1.42), B.1.43), можно получить следующее
представление для вероятности вакууму остаться вакуумом
197, 343]
, B.1.54)
Z$,k = S н> (тп | о) w* (кп\ о), Z^fe = У w (nm | о) ю* (tk | о).
п
31

Рассмотрим теперь среднее число электронов в данном кван-
квантовом состоянии, рожденных из вакуума внешним полем. Обо-
Обозначим эту величину через п?. По определению
Пт = (О, tin I Utdm (toui) «m ('out) Ue \ 0, tin) =
= <0, in I a+ (out) am (out) \0, in). B.1.55)
Пользуясь формулами B.1.35), легко получить ответ [349]
/г+ = {С(+|_)С(_|+)}тт. B.1.56)
Полное число электронов п+, порожденных внешним полем из
вакуума, равно
+). B.1.57)
Аналогичным образом можно получить выражения для сред-
среднего числа позитронов пт, рожденных в данном квантовом со-
состоянии, и полного числа порожденных позитронов пг:
пш = {G(-|+)G(+|-)}mm,
2 . B.1.58)
(Можно проверить, что п+ = пг и закон сохранения заряда в
процессах рождения частиц внешним полем выполняется.)
Коснемся теперь вопроса о правомочности рассмотрения in-
п оиг^состояний в одном гильбертовом пространство и, следова-
следовательно, о корректности постановки задачи рассеяния. Этот во-
вопрос связан с вопросом о неформальной унитарности оператора
V, осуществляющего каноническое преобразование от in- к out-
операторам, или, что то же самое, с вопросом о собственности
этого канонического преобразования. Общий критерий собствен-
собственности линейного канонического преобразования имеет вид B.4.3).
Матрица оператора W, отвечающего преобразованию B.1.35) от
in- к out-операторам, такова
Поэтому условие B.4.3), с учетом спойств матриц G, можно за-
записать следующим образом [349]
tr{G(+L)G(_l+)+G(-U)G(+|-)}<oo. B.1.59)
Выражение в левой части B.1.59), согласно B.1.57), B.1.58),
есть полное число частиц, рожденных внешним полом из вакуума.
Из физических соображений ясно, что внешнее поле, ограни-
ограниченное в пространстве и времени, не может породить бесконеч-
бесконечное число частиц. Поэтому для таких полей критерий B.1.59)"
выполняется. Поля, порождающие пары, и формально заданные
32

во всем пространстве, нарушают этот критерий. Для рассмотре-
рассмотрения таких случаев можно использовать регуляризацию конечного
объема. Далее в главе 5 это будет проиллюстрировано в конк-
конкретных вычислениях.
Мы говорили, что времена tin и toat в окончательных выра-
выражениях отождествляются с бесконечно удаленными в прошлое
и будущее моментами времени. Фактически это означает, что сле-
следует рассмотреть предел t\n -+-=F оо. Все характеристики процес-
out
сов во внешнем поле, как мы видели, выражаются в конечном
итоге через матрицы G(±l±), G(±l±), определенные соотношения-
соотношениями B.1.36). Представим эти матрицы в несколько иной форме,
удобной для совершения указанного выше предельного перехода
G (Цх)тп = ) \т И ифп И dx = (?фт, хф„), B.1.60)
G (С|*)«« = (tq>m, *фп), ?, X = ±,
где
&Ф„ (х) = j G(x, y2in) 5ф„(у) dy,
?Ф„ (х) « j G (ж, yUt) гФп (у) dy,' BЛ1)
где (±ф„(х)} и (±ф„(х)} — спиноры из B.1.5), собственные для
гамильтониана 36K(t) при fin и fout соответственно. Спиноры
{±ф„(л;)} и {^„(ж)} представляют собой две системы решений
уравнения Дирака, удовлетворяющие начальным условиям
Ефп (*) \x^tia = ?фп (х), Ефп (a:) \x«=tout = Чп W- B.1.62)
Решения {±ф„(л;)} и (±ф„(аг)} в каждый момент времени удов-
удовлетворяют соотношениям ортонормируемости и полноты
(бФп. ифт) = (?фп. Ифто) = StxSnTO) S. И = ±,
2 ?Ф„ (*) еф? (г/) = 2 еф-(«) ?ф« (г/) = в (х - у), *° = »», B>1<63)
и связаны между собой соотношениями
?ф« (*) = 2 хФт (*) G- (и|?)т„, B-1.64)
т,к
которые можно рассматривать как определения матриц G(±|±),
G{±\*).
Нетрудно убедиться, учитывая B.1.24), B.1.7) и B.1.16),
что оператор спинорного поля ty(x) представим в следующей
форме
^ (ж) = 2 Un (in) +Фп(г) + Ъ% (in) _ф„ (х)},
П
У {z) = '2l{an (out) + q>n (z) + bt (out)-<pn(x)}, ('' '
п
3 д. м. Гитман и др. 3»

а гамильтониан ffe(t) в картине Гейзенберга,
Яе (t) = Ut (t, 0) Яе @ ?7e (f, 0) = j г^+ (х) Ж* (t) Ц) (s) dx, B.1.66)
диагонализуется в терминах in-операторон в момент времени tiar
б терминах out-операторов в момент времени tout'-
ffe(g=2l+?n(g«n+(in)an(iM) + |-e»(*in)|bn (i")Min)},
He (tOut) = ^ l+e« («out) at (out) an (out) + | -р„ (fout) 1 bj(out) 6n (out)),
B.1.67)
поскольку согласно B.1.5) и B.1.02) решения {±ср„(я:)} и
{~<р„(х)} являются собственными для гамильтониана 3f6K(t) при
tin u i011t соответственно
^е (t) ±(fn (х) = ±еп (t) +фп (ж) , / = f In,
B.1.П8)
5».(«)^«(a;) = sen@V(*). « = fo»i.
Таким образам, вся информация о поведении квантованного
спипорного поля во внешнем электромагнитном поле фактически
содержится в полных наборах решений уравнения Дирака
{±<р„(х)} и (±фп(ж)}, которые расклассифициропапы но признаку
частица (+), античастица (—) при 1щ и toul соответственно.
Наличие такой классификации связано с выполнением совокуп-
совокупности соотношений B.1.63), B.1.68), либо B.1.65), B.1.67).
Переход к пределу *т -»-=F °°, если он зозможен. означает
OU
переход к решениям, расклассифицированным по признаку ча-
частица (+), античастица (—) уже при t-*-^00. Из предыдущего
вытекает, что их можно определить следующими условиями:
{+ф„(ж)} и {~ц>п(х)} образуют полные и ортонормпрованные в
смысле соотношений B.1.63) системы решений уравнения Ди-
Дирака во внешнем ноле, а при I -*¦ Too они удовлетворяют соот-
соотношениям
id0 ±(fn (x) j—-*- ±Kn (t) _|_ф» (х),
id^ynW—-*-е„@4фпИ, ' B.1.09)
где ±en(t)^O, ±sn(t)'^O и имеется щель между положительны-
положительными и отрицательными уровнями как при t-+—°°, так и при
г-^+оо.
Заметим, что гамильтониан B.1.66) п этом случае диагонали-
диагонализуется при i-*-=Foo в терминах in- и out-операторов, построенных
по наборам {±ф„(ж)} и {~(рп(х)) согласно B.1.65),
7Te(t) -2{+en(Qa,t («n)en(in) + | _tn (t)\!>i (in)bn(in)}, .
B.1.70)
34

He (t) > 2 (+гп (t) at (oul) an (out) + | sn (t) | 6+ (out) bn (out)}.
Теперь видно, что поля, рождающие и не рождающие пары,
различаются характером соответствующих решений уравнения
Дирака. Так, если существует полная система решепий уран-
нения Дирака, классификация которой по признаку частица —
античастица сохраняется от t -*¦ — °° до t -*¦ +°°, т0 соответствую-
соответствующее поле отпосится к классу полей, пе порождающих пары из
вакуума (не нарушающих стабильность вакуума). Действительно,
в этом случае можно отождествить наборы {др„(ж)} и {±ф„(ж)}.
Тогда матрицы G(+|_), G(~l+) равны нулю, a G(+L), G(~l-)
единичные. Следовательно, согласно B.1.53), вероятность вакуу-
вакууму остаться вакуумом равна единице, а средние числа родив-
родившихся частиц B.1.57), B.1.58) равны нулю. В этом случае сов-
совпадают in- и out-операторы рождения и уничтожения, а следо-
следовательно, также in- и out-вакуумы. В полях, порождающих па-
пары из вакуума (нарушающих стабильность вакуума), не суще-
существует одной системы решений, классификация которой по при-
признаку частица — античастица сохраняется от t -*¦ — °° до t -*¦ +°°,
В этом случае in- и out-операторы, а следовательно, и in- и out-
вакуумы различны.
2.1.2. Скалярное поле
Рассмотрим здесь .вкратце, по аналогии с предыдущим, тео-
теорию скалярного поля (fix), взаимодействующего с внешним элек-
электромагнитным полем ^цХГ {х) [1, 73]. Соответствующий лагран-
лагранжиан имеет вид [259]
*) ( n) q> - т2Ф*Ф, B.1.71)
при этом уравнением движения для ц>(х) является уравнение
Клоигна — Гордона во внешнем поле
тг) ф (х) = 0, &» = м?ц — es&ln. B.1.72)
Как известно, скалярное произведение волновых функций
Клейна — Гордона определяется следующим образом
(<Pi> Ф2) = |ф!и1 ido-2est?l(x)]ya{x)dx. B.1.73)
Будем, как обычно, говорить, что ортогональпая относительно
этого скалярного произведения система {ф[(ж)} решений ураине-
ния Клейна — Гордона полна, если любое его решение разлага-
разлагается и ряд Фурье по этой системе
Из B.1.74) и B.1.73) следует выражение для функции распро-
3* 35

странения G(x, у) уравнения Клейна — Гордона и ее свойства
«M = r-ff^. B-1.75).
j G (х, у) [w0 - 2es4lxt (у) ] G (у, z)dy = G (x, z),
Ф (x) = J G (x, y) [id0 - 2<rft {y) ] ф {у) dy: B.1.76>
где ф (x) — решение уравнения Клейна — Гордона. Кроме того,
функция распространения G(x, у) удовлетворяет уравнению
Клейна — Гордона,
($>2-m2)G(x, y)=0 B.1.77)
и начальным условиям
С(ж,г/)ж0=уо = 0, B-1.78)
idQG{x, г/)|хо=!/о = б(х —у).
Условия B.1.78), записанные явно через решения {срЛ, имеют
вид
_
_
(Ф/. Ф«) ' B.1.79)
Они эквивалентны условию полноты ортогональной системы ре~
шений {<pi (ж)} уравнения Клейна — Гордона.
Квантование поля Клейна — Гордона приводит к выражениям
для гамильтониана и перестановочных соотношений для шредин-
геровых операторов
Яе @ = j {я+ (х) я (х) + iest%* (x) [я+ (х) Ф+ (х) - Ф (х) я (х)] +
+ »г2]ф(х)}^х, B.1.80)
y), B.1.81)
где я(х)—импульс, сопряженный полю ф(х). Гейзенберговы
операторы <р(х) и п(х) удовлетворяют уравнениям
@я _ т2) ф (х) = 0, я (х) = (д0 - ies4-Tl (x)) Ф+ (х). B.1.82)
Пусть {±ф„(ж)} и {±ф„(ж)} две полные в смысле B.1.79) и
ортонормированные системы решений уравнения Клейна — Гор-
Гордона во внешнем поле
(сф„, кфт) = (Еф„, Ут) = 18Ък8пт, ?, и = ±, B.1.83)
удовлетворяющие условиям B.1.69), что, так же как и в опи-
норном случае, означает классификацию по признаку частица
36

(+), античастица (—) при t-^-^oo. Введем in- и out-операторы
рождения и уничтожения, разлагая гейзенбергов оператор поля
ф(ж) по этим решениям,
71
ф (ж) = ^ [ап (out) +фп (ж) + bt (out) -фп(ж)};
in-операторы (a+(in), a (in), b+(in), b(in)} и out-операторы
(a+(out), a (out), fe+(out), b(out)} по отдельности удовлетворяют
каноническим коммутационным соотношениям бозевского типа.
В терминах этих операторов гамильтониан B.1.80) в гейзенбер-
говом представлении
H,(t) = j [п+ (х) п (х) + ies&ln (х) [п+ {х) ф+ (х) — ф (х) п (х)] +
диагонализируется при t -+- =Ьоо; а именно, имеют место асимп-
асимптотические равенства B.1.70). Нетрудно установить, что in- и
out-операторы связаны между собой соотношениями
om(out) = 2 {G(+|+)mnan(in) + G(+\_)nnbt (in)),
П
Ьп (out) = - S [at (in) G (+|-)nm + bn (in) G (_|-)nm), „ i g5
«п.(in) = 2 (G (+|+)mnen(out) + G(+|-)mn b+<out)],
bm (in) = - 2 Wt (out) С (+|_)nm + bn (out) G (-|_)„га},
n
где матрицы G(±|±), G(±l*) определены следующим образом
СE1к)т»=(Сфт, хфп), S, Х= ±,
B.1.86)
G(tl")-G("lt)+.
Они удовлетворяют соотношениям ортогональности и полноты
2 g (+i^) ^g (t|?) = о,
2 G ^ ^G (t|X) = 2 G Ш ^G (t|0 = W. B-1-87)
Очевидно также, что
?фп (Ж) = 2 k<Vm (X) G (Ь
Чп (Ж) - 2 Ьфт И
Из B.1.85) можно получить аналог выражений B.1.38)
в» (out) = 2 [G-1 (+|+W «n (in) - {G (+|_) G (-|_)]т„ Ь+ (out)],
37

Ь« (out) = 2 [ - G-1 (-|_)nm К (in) - {G (+|_) G (-|_)}nm at (out)],
n
e™ (in) = 2 [G~ * (+\+)nm at (out) - [G (_|+) G (+|+))nm Ь„ (in)],
n
B.1.89)
С (in) = 2 [- G (-|_U 6+ (out) - (G (_|+) G (+|+)}ffln о„ (in)],
которые позволяют переходить к обобщенной нормальной форме
относительно вакуумом <0, outl и Ю, in>.
Амплитуды относительных вероятностей процессов переходов
имеют вид B.1.23). Простейшие из них совпадают с обобщен-
обобщенными спариваниями in- и out-операторов и выражаются с по-
помощью B.1.89) через матрицы B.1.86),
(+ +\ ,
w\m п) = ат (out) й„ (in) = G (+|+)т„,
п) = Ьт (out) bt (in) = — G~x (~|_)nm,
L J
o) = am (out) bn (out) = - (G (+|_) G^1 (-|_)]mn =
w \m
w \mn
w(o | ml) =6+ (in) at (in) = - (G (_|+) G~] (+|+)U -
L. J
= -{G-1(-|_)G(-|+))ran. B.1.90)
Через матрицы B.1.86) можно найти и поличины св, и^, п~,
которые определяются так же, как и в спшюрном случае (см.
B.1.21), B.1.55), B.1.57), B.1.58))
с„ = (let G (-|_),
}mm, B.1.91)
ijl =trG(±|+)G(-|+).
§ 2.2. Теория возмущений по радиационному
взаимодействию в КЭД с внешним полем
Рассмотрим здесь построение теории возмущений в КЭД с
внешним электромагнитным полем, в которой взаимодействие с
этим нолем учитывается точно [87—90, 349]. Относительно
внешнего поля предположим, что оно допускает постановку за-
задачи о раосеяншг, сформулированную и § 2.1. В остальном это
поле предполагается произвольным, как рождающим, так и не
рождающим пары из вакуума. Естественно здесь нас будут ин-
интересовать особенности, связанные с возможной нестабильностью
38

вакуума во внешнем поле. КЭД отличается от рассмотренной в
предыдущем параграфе системы наличием еще одного квантован-
квантованного поля — электромагнитного. Полный гамильтониан Н опреде-
определен в параграфе 1.2 формулой A.2.27). Имея в виду построение
теории возмущений, разобьем его на гамильтониан нулевого при-
приближения НоA) и гамильтониан взаимодействия /Лт следующим
образом
B.2,1)
#int -
где гамильтониан He(t) определен формулой B.1.3) и представ-
представляет собой гамильтониан сшшорного поля во внешнем электро-
электромагнитном поле s4-^ (х), а гамильтониан //г определен формулой
A.2.14) и представляет собой гамильтониан квантованного элек-
электромагнитного поля. В качестве гамильтониана взаимодействия
мы выбираем гамильтониан радиационного пзаимодействия //,„,.
Таким образом, взаимодействие с внешним электромагнитным по-
полем предполагается учесть точно. Теория возмущений строится
только по степеням радиационного взаимодействия.
При рассмотрении амплитуд вероятностей переходов в теории
с гамильтонианом B.2.1) начальные и конечные состояния бу-
будем определять по гамильтониану llo(t). Тогда эти состояния
будут представлять собой прямые произведения соотпетствующих
состояний сшшорного поля во внешнем электромагнитном поле
на состояния с определенными числами фотонов. Первые и.ч них
подробно описаны в предыдущем параграфе. Таким образом,
;>. качестве начальных и конечных состояний в матричных эле-
элементах для амплитуд вероятностей переходов в картпне Шредин-
гера выберем состояния иида
I /щ> = <4 ...Ь$ (hn) ...at, (ttn) ... 10, /in>,
I Un> = ?&•.. К (tou{) ...at (/out) • ¦ • I 0, /olll>, B-2-2)
где {<7+(?m), a(«m), b+(tlTi), b{tin)) и ia+(toal), a(tout), b+(tuul),
b(tout)} — операторы рождения и уничтожения электронов и по-
позитронов в моменты времени tin и toul, определенные в предыду-
предыдущем параграфе, а (с^, гк>.) — операторы рождения и уничтоже-
уничтожения фотонов. Вакуумные векторы 10, t,n} и 10, ?uut> определены
соотношениями
= an (Q | 0, (iu> = bn (tin) | 0, tin} = 0,
| 0, /out> = ап (/out) | 0, /Out> = К (Zuut)| 0, ^out> = 0
и фактически представляют собой прямое произнеденио соответ-
соответствующих вакуумов сииворпого поля, определенных в предыду-
39

щем параграфе на вакуумный вектор квантованного электромаг-
электромагнитного поля.
Амплитуда вероятности перехода из начального в конечное
состояние в КЭД с внешним полем в картине Шредингера при
выборе начальных и конечных состояний в форме B.2.2) имеет
вод *)
M^out = <toui\U\tln>, B.2.3)
где U=U(to^t, *щ), a U(t, t')— оператор эволюции, соответству-
соответствующий гамильтониану H(t),
U(t, Г) = Тохр\—i§H{%)d% . B.2.4)
Перейдем теперь к представлению взаимодействия по гамиль-
гамильтониану H0(t), или, как мы далее будем говорить, к представле-
представлению взаимодействия по внешнему полю. Для этого представим
оператор эволюции U в следующем виде
0, *,„), B.2.5)
где Uv(t, t')— оператор эволюции, соответствующий гамильто-
гамильтониану H(t),
Uo (t, t') = Т ехр I - i j' Яо (т) dx\. B.2.6)
В частности
U0(t, t')~U,(t, *')exp{-tffT(f-t')>,
где оператор Ue(t, t') определен в B.1.13), так что
Uo@, tm) = П(+> exp{iffv^in},
UB (tout, 0) = Q(t) ехр {- tff^ont}. B>2<7)
В этом случае оператор S, который далее называется матрицей
рассеяния по внешнем поле, или просто S-матрицей, представлен
в форме, допускающей непосредственное разложение по степе-
степеням радиационного взаимодействия
j *OUt \
S = Т ехр — i f f (х) Ж^ (х) dx\,
У «in • J B-2.8)
где ty(x) и ^ц(ж)—операторы в представлении взаимодействия.
*) Напоминаем, что в конечных выражениях времена tirt и tout должны
устремляться к — <х> и + оо. Проблемы, связанные с таким предельным пе-
переходом, мы здесь не затрагиваем, они решаются так же, как и в обычной
случае [257].
40

Оператор st^x) определен выражением A.2.8), а гр(ж)— выра-
выражением B.1.24).
Подставляя B.2.5) в B.2.3), получим с учетом B.2.7), B.2.2)
и B.1.16)
Miiwout = @, out | ап^ (out) ... ащ (out) Ът^ (out) ... Ът. (out) с^... X
X claScit . . . с+6+ (in) . . . 6+ (in) a+ (in) . . . а+ (in) | 0, in), B.2.9)
где in- и out-операторы определены выражениями B.1.16), а
10, m>=Q(+)l0, *„>, 10, out>=fl(_)|0, *out>. B.2.10)
(Квантовые числа фотонов — импульс и поляризация — объеди-
объединены в одну букву, например, 2 = (к, к).)
Как указано в § 2.4, матричные элементы типа B.2.9) эф-
эффективно вычисляются приведением «внутренности» B.2.9) к
обобщенной нормальной форме относительно вакуумов <0, outl
и 10, in>. В нулевом порядке по радиационному взаимодействию,
т. е. для S=i, решение такой задачи описано нами в § 2.1.
Для решения задачи во всех порядках теории возмущений по
радиационному взаимодействию, т. е. для полной 5-матрицы, сле-
следует в частности привести последнюю к обобщенной нормальной
форме относительно вакуумов <0, out| и 10, in>. Для этого най-
найдем явный вид разбиения операторов спинорного поля гр(а;), ip(x)
на рождающую относительно 10, out) и уничтожающую относи-
относительно 10, in> части, т. е. явный вид представления B.4.7).
Это нетрудно сделать с помощью B.1.64) и B.1.38). В резуль-
результате получим
где
¦ф(х) = г|)(-' (х) + гр(+> (х),
гр(-> (х) 10, in> =
<0, out !гр(>+>(а;)=
~> (*) = 2 +*» И ап (in),
п
"} (*) = S -"Фп {x) bn (in),
pn(z) = +ф„ (x) + 2 и> (о
(z) =^(-' (х) +
> (х) 10, in> = 0,
out |^(+>(а;) = 0
х) = 2 -Ф»
п
(x) = V +^n
(х),
/пи) _cpm (a:) =
„ (x) — V w [mn
m
_ср„ (х) — 2 »@
+cfm (x) = 2]
~фт (ж) = 2
B.2.11)
(out),
; (out),
B.2.12)
гя)_фт(а;),
п)~цт{х),
41

С помощью этих выражений можно вычислить все обобщенные
спаривания операторов спинорного поля. Так, равны нулю обоб-
обобщенные хронологические спаривания
Л
Отличным от нуля является обобщенное хронологическое спари-
г 2
ванне ^(х)^(у), которое мы обозначим через —iS°(x, у). Соглас-
Согласно B.4.13), B.2.11), B.2.12) функцию Sc(x, у) можно записать
следующим образом [90, 349]
Sc (х, у) = i \'.(х) ф (у) = i <0, out | 74- (х) у (у) | 0, in> с, B.2.13)
Sc (х, у) = В (х° - у") &-> (х, у)-0 (//« - х°) S(+) {x, у),
(х, у) = / <0, out | я|) (х) ф (у) | 0, in> с-;1 = ^ (х) Тр (у) =
L J
(х, у) = i <0, out
т,п
0, i
и) +Чп(у), B.2.14)
cj1 = iq (у) ф (лг) =
L J
Функция 5е(ж, г/) удовлетворяет уравнению Дирака для функции
Грина но внешнем поле
Далее функцию Sc(x, у) мы будем называть причинной функ-
функцией Грина во внешнем поле, или причинным пропагатором ча-
стнц во пношнем поле, поскольку именно она представляет собой
пропагатор теории возмущений для матричных элементов про-
процессов перехода. Функция ?с(?, у) является аналогом фешша-
ноиского причинного пропагатора [325] для внешних полей, на-
нарушающих стабильность (вакуума, и просто совпадает с послед-
последним в случае внешних полей, относительно которых вакуум яв-
является стабильным.
Функции S{^(x, у) и S(+) (х, у) удовлетворяют уравнению
Дпрака во внешнем поле
B.2.16)
(х, у)&{&•*)=• 0.
Для дальнейшего нам понадобятся также некоторые обобщен-
обобщенные спаривания операторов рождения и уничтожения с операто
42

рами спинорного поля,
ф (х) at (in) = <0, out | ф (х) e? (in) 10, in> с'1 =
L J
•ф (ж) Ь+ (in) = <0, out | ф (х) bt (in) | 0, in> с'1 =
U Л
^[^ (х), b+ (in)]+ = _Цп(х),
bn (out) a|) (ж) = <0, out | bn (out) i|) (ж) | 0, in> c^1 =
L J
= Fn(out), !><+>(x)]+ = -!>„(*), B.2.17)
ara (out) ijj (x) - <0, out | an (out) ijj (x) | 0, in> c =
u j
= [an(out), ?+)И]+ = +ф«(г),
¦ф (x) bt (in) = ijj (x) a+ (in) =аи (out) if (x) = &„ (oul) -ф (х) = 0.
L. J L J L _l L _l
Отличные от нуля спаривания B.2.17) можно выразить через
причинную функцию Грина Sc(х, у) и решения {±уп(х)},
+ *п (х) - - i \ Sc (х, у) у°+ф„ (у) rfy, ^° > у0,
(у, х) dy, х» > у\ B-2-18)
+:фп (х) = - i f +ф„ (у) fSc (у, х) dy, х° < у0.
Через причинную функцию Грина Sc выражается обобщен-
обобщенная нормальная форма оператора тока в представлении взаимо-
дейстния по внешнему полю и амплитуда вероятности вакууму
остаться вакуумом ст, определенная соотношением B.1.21), За-
Запишем
/ Н = -2 [Ш Т". * И1- = еЩ (х) Y^ (х) ! - 3* (х),
где У(х)—с-числовой ток, называемый далее причинным ваку-
вакуумным током. Учитывая свойства обобщенной нормальной фор-
формы, получим.
ЗГ»(х) = <0, oul\f(x)\0, in>c7x = ieU-^Sc{x, x), B.2.19)
где здесь и далее функцию Грина S°(x, x) следует понимать так
Sc (х, х) = 1 [5е (яг + 0, х) + 5е (з, х + 0)].
Li
Амплитуда с» может быть записана согласно B.1.21), B.1.18),
43

B.1.14) в виде
cv = <0, out | Т exp
'out
— i j He(t)dt
0, in>.
'in
Тогда
i —ext " = 9* (x) — ie tr y^S0 (x, x) = — / ——t Tr In Se,
где Tr включает и интегрирование по координатам. Поскольку
при выключении внешнего поля 5е совпадает с причинной фупк-
цией Грина Si свободного спинорного поля, получим [333]
св = ехр|— Tr In Sc/Sc0]. B.2.20)
Представим теперь S-матрицу в обобщенной нормальной форме
относительно вакуумов <0, outl и 10, in.)
оо
S •— 2и Sk,mi B.2.21)
Sk,m = j Sk,m(x, У> z)N\p(x1) . . . ijj(хк)т]з(ух) .. . ty{yK) X
X st- (zx) .. . st- (zM) dx dy dz.
В B.2.21) коэффициентные функции Sk,m представляют собой
сумму ампутированных фейпмановских диаграмм с 1К спинорны-
ми и М фотонными концами, внутренним электронным линиям
которых соответствуют пропагатор S°, а фотонным — пропагатор
Z>?v, и рассматриваемой нами фейнмановской калибровке
пе (-г 7Л — п Пс (т iA (9 9 92^
Подставим выражение B.2.21) для 5-матрицы п обобщехтой
нормальной форме в матричный элемент B.2.9). При этом уч-
учтем, что такой матричный элемент будет отличен от нуля только
в том случае, если сумма числа частиц каждого поля в началь-
начальных и конечных состояниях больше или равна числу оператор-
операторных функций данного поля под знаком обобщенного нормаль-
нормального произведения из B.2.21). Тогда получим
Мm-out =2 2 <0, out | ап (out) . .. а„ (out) bm (out)... Ът (out)X
к=о дт=о 1 » 1 )
X c,t ... г^S'jr.MCxj • ¦ • ct^ (in) ... b+ (in) a+ (in) . .. a+, (in)|0, in>,
B.2.23)
44

.где учтено, что атот матричный элемент в силу закона сохране-
сохранения заряда отличен от нуля, только если. i — j = d — r.
Рассмотрим в сумме B.2.23) слагаемое с К — i + r и М = а +
+ Ъ. Введем для него специальное обозначение
++_ _ __++
S~ \пх . .. щт1 mjlx ... 1а\кг ... иьдх . .. qrpx .. . pd) =
= <0, out | aUi (out) ... ani (out) bm^ (out)_... bm} (out) cjt ... cla X
x Si+.y.+bCxj • ¦ • cWt (in) • • • Km 4t (in) • • • aid (in) i °' in>-
B.2.24)
В матричном элементе B.2.24) для каждого оператора поли
if (ж), ty(x), s&^x) из обобщенного нормального произведения
найдется соответствующий оператор a+(in), b+(in), c+ из началь-
лого состояния, или оператор a(out), b(out), с из конечного со-
состояния, который спарит его. Соответствующие спаривания обра-
образуют концы, «пополняющие» коэффициентные функции
Si+rA+b (x, у, z) до не ампутированных фейнмановских диаграмм.
Таким образом, @~(...[...) — это сумма всех фейнмановских диа-
диаграмм, начальные и конечные линии которых отвечают электро-
электронам (+), позитронам (—) и фотонам в состояниях с квантовыми
числами, указанными в аргументе; справа — начальные состоя-
состояния, слева — конечные. При этом электрону в начальном (конеч-
лом) состоянии с квантовым числом п соответствует фактор
+о|)„(ж) (+а|)„(а;)); позитрону в начальном (конечном) состоянии
ю кваптовым числом п соответствует фактор _if»n(a;) (~tyn(x));
.внутренней электронной линии, направленной из точки у в точ-
точку х соответствует обобщенное спаривание —iSc(x, у); замкнутой
электронной линии соответствует причинный вакуумный ток
^(х)\ вклад от любой диаграммы содержит в качестве множите-
множителя амплитуду вероятности вакууму остаться вакуумом cv. Осталь-
Остальные правила соответствия не отличаются от правил КЭД без
внешнего поля [51], в частности, фотону в начальном (конеч-
(конечном) состоянии с импульсом .к и поляризацией % соответствует
фактор /ia, (ж) (/№к (ж)); внутренней фотонной линии, соединяю-
соединяющей точки х и у, соответствует спаривание iD]lv{x, у).
Далее удобно блоки 0~{...\...) изображать графически
9~{п. . .т.. Л. .Аи. ..q-. .р. ..) =
B.2.25)
45

где внутри блока указаны соответствующие пропагаторы, а
т т
Внутри самих диаграмм 0~ для причинного пропагатора Sc(x, у)
и причинного вакуумного тока ^(х) будут использованы сле-
следующие обозначения
B.2.26)
Если число операторов спинорного и электромагнитного полей
в начальных и конечных состояниях больше, чем необходимо
для спаривания с операторами под знаком обобщенного нормаль-
нормального произведения (слагаемые с К< 1 + г и М < а + Ъ в
л- — -
B.2.23)), то возникает нетривиальный фактор- w(n.. .m.. ,\q. . .
...р...) (см. B.1.23)), содержащий «лишние» операторы рожде-
рождения и уничтожения заряженных частиц в начальных и конечных
состояниях и тривиальный фактор
представляющий собой сумму произведений б-функцпй от соот-
соответствующих квантовых чисел фотонов. Учитывая сказанное,
матричный элемент B.2.9) можно записать в виде
Afm-»Out = <0, out j On( (out) .. . а„. (out) bm^ (out) .. . bm. (out) X
Xfi,... °iaSc^ ¦ ¦ ¦ cibbt (in) • • • Kr (i n) o^ (in) ... Opd (in) | 0, in) =
n ...m ....I ...\x . ..q... p ...
+ +
X w(n .. . m . . . ] q . . . p . ..) wy (I . . . | и . . .) cv, B.2.27)
где сумма no Li (max {О, К — г} < Li =S min{i, Ю)—это сумма
по всем разбиениям группы квантовых чисел, п\ . . . nt на две под-
подгруппы из L\ и i — 'L\ элементоа и группы квантовых чисел
q\ ... (jr на две подгруппы из К — L[ и r+.L\ — K элементов (в
каждой из подгрупп сохраняется исходная иерархия расположе-
расположения квантовых чисел), а сумма по L2(max{0, К — d) ^ L2 ^
<min{/, Ю)— это сумма по всем разбиениям группы квантовых
чисел пг\ ... m,j на две подгруппы из Li и / — Ь? элементов и
46

группы квантовых чисел р\ ... pd на две подгруппы пз K — L-i
и АЛ-Li —К элементов (к каждой из подгрупп сохраняется
исходная иерархия расположения квантовых чисел), 8 — чет-
ность перестановки из п\... щтп\... т&\... qrp\ ... рл в
+ _ _ н- -t- - - +
п . . . q . . . т . . . р .. . п . .. т . .. д . . . р . . . ,
а сумма по М — сумма по всем разбиениям группы квантовых
чисел 1\ . . . la на две подгруппы из а— М и М элементов и труп-
труппы квантовых чисел х\ .. . х& на две подгруппы из Ъ — М и М
элементов (в каждой из подгрупп сохраняется исходная иерар-
иерархия расположения квантовых чисел).
В нулевом порядке по радиационному взаимодействию диа-
диаграммы &~ обращаются в пуль, и нетривиальная часть B.2.9)
+ - - +
определяется амплитудами win ... п .. .\q .. .р ...), которые по
зтой причине далее будем называть амплитудами относительных
вероятностей процессов нулевого порядка.
В заключение этого параграфа приведем выражение для при-
причинной функции Грина скалярного поля Dc(x, у), являющейся
пропататором теории возмущений в скалярной электродинами-
электродинамике [73],
Dc (х, у) = I Ф (х) i+ (у) = i <0, out | Уф (х) ф+ (у) | 0, in) с-1 =
= 0(х° - у»)D(") (х, у)-в{у0 - х»)D(+)(x, у),
П(~) (х, у)= i<0, out | ф(х)ф^ (t/)| 0, in) г,;1 =
= i Z +ф» (x) w (m | n) +ф„ (у), _
m,n (Z.Z.ZO)
D(+) {x, y) = — i< 0, out I ф+ (у) ф (x) I 0, in) c^1 -
= — i 2 -фт (x) w (n I m) ~ф* (у).
§ 2.3. Функции Грина. Производящий функционал
Введем точные функции Грина, связанные с коэффициентны-
коэффициентными функциями Sk.m{x, у, z) матрицы рассеяния в обобщенной
нормальной форме B.2.21) относительно вакуумов <0, outl и
10, in> и, следовательно, с матричными элементами B.2.9) про-
процессов переходов [333—337]
у, z) = <0, out j Гф(arj) .. . a|)(xK)^((/,) . .. у(ук) X
X^(zj) ... st(zM)S\0, in) С1;1, B.3.1)
где Cv — полная амплитуда вероятности вакууму остаться ва-
вакуумом (с учетом радиационного взаимодействия)
С„= <0, outl^lO, in>. B.3.2)
47

Подставляя выражение B.2.21) для ^-матрицы в обобщенной
нормальной форме в B.3.1), можно получить связи
9п (z) = i j Dc0 {z - z') 50l (z') dz' S~\
Sa2(zvz2) = Wc0(z1 — z2) —
- 2 j Dl (z, - z[) S02 (z[, z'2) Dl {z2 - z2) dz[ dz'2 S~o\ {2X3)
$io (*- У) = - iSc (x, y)-$Se (x, x1) Sl0 (x', y') Sc (у', у) dx' dy' S»o\
которые нетрудно разрешить относительно SKM{x, у, z), пользу-
пользуясь уравнениями для пропагаторов Dg и Sc. Поскольку матрич-
матричные элементы процессов переходов B.2.9) выражаются именно
через коэффициентные функции SKM (x, у, z), то они выражаются
и через введенные функции Грина, которые мы далее будем на-
называть точными функциями Грина для процессов ^переходов.
Конкретные формулы, выражающие матричные элементы B.2.9)
через функции Грина B.3.1), будут приведены в конце этого
параграфа.
Введем производящий функционал Z функций Грина B.3.1)
2=<0, out\S{I, т],^п) 10, in>, B.3.4)
где S(I, r\, т])—матрица рассеяния во внешнем поле и в при-
присутствии ИСТОЧНИКОВ /, Т], Т]
т,, ^) =
= Техр {- i j [(/V(х) + I»(х)) ^ (х) + Ц(х)ц(х) + ц(х)Ц{х)\ dx},
B.3.5)
причем
7\
1
В B.3.5) ток ]ц(х) определен выражением B.2.8), 1„.(х)— чет-
четные источники к полю ^(х), а ц(х), ц{х)—нечетные (грас-
смановы) источники к полям ^(х) и ¦ф(ж). Функции Грияа
B.3.1) являются функциональными производными от функцио-
функционала Z в точке / = т] = т] = О,
9км(xt ... хк, У! ...ук,г1... zM) =
*к) бл (У,) ¦ ¦ ¦ бт) (ук) 81 (zj ... б/ (zM)
I=f\—J]— О
Функционал Z можно представить в следующем виде
Z = ехр(е Г^ /-А- _±_ dx\z0
48
0,

Zo = <0, out | T exp {- i j [/^ {x) s4>» (x) + q(x) ф) +
+ Л (x) i|3 (x)J da:| | 0, in>. B.3.6)»
Zo нетрудно вычислить, используя технику приведения к обоб-
обобщенной нормальной форме относительно <0, outl и 10, in> ва-
куумов, например, с помощью формулы B.4.17) и выражений
для хронологических спариваний спинорного и электромагнитно-
электромагнитного полей
Zo = cv exp \i j [ц (x) Sc {x, у) т) (у) - i /ц (ж) Z>S (x, у) I» (у)] dx dy].
B.3.7)
Таким образом,
(х)
X exp{i J[л(х)^с(х, z/) A{y)-JU(х)Dl (х, г/)/"(z/)] da:dz/}. B.3.8)
Представление B.3.8) для производящего функционала Z оана-
чает, что ряд теории возмущений для Z, а следовательно, и для
точных функций Грина B.3.1) имеет фейнмановскую структуру
(изображается фейнмановскими диаграммами) с обычной верши-
вершиной КЭД, йропагатором S°(x, у) для частиц (см. B.2.13)) и
стандартным пропагатором B.2.22) для фотонов.
Используя представление B.3.6) для Z и формулы типа,
B.4.17) и B.4.11), запишем
X exp {— IJ /ц (x) a11 (x) dx] X
X <0, out | T exp {_ i j [/ц (х) ац (ж) + Ц (x) r\ {x) +
+ Л (x) ф (*)] Ав} I 0. in> la=o, B.3.9)
где поле ^(х) в правой части уже рассматривается как клас-
классическое. Если считать, что это поле выключается при t -*¦ ±«>,
то можно показать, что имеет место следующее соотношение
<0, out | Т ехр{- i] [;V (х) а» (х) + ф (х) л (х) + л>) ф (х)] dx} |0, in> =
= <0, out | Т ехр {— i J [tj) (ж) Ц (ж) + т](а;) гр (ж)] <?г} 10, in> |lS#ext^i^ext+o.
B.3.10)
Матричный элемент в правой части B.3.10) нетрудно вычислить
4 Д. М. Гитман и др. *&

с помощью формул B.4.17), B.4.11) и B.2.13), B.2.20)
<0, oui\T exp{—(J [Ц>(х)ц(х)-г:ц{х)Ц(х)]4х)\(), in> =
--¦ cv е.хр {/ J г) \х) Sc (х, у) г| (у) dx dy} =
= exp[-lL^nSc/Sc0}oxp{l\^(x)Sc(x,y)^(y)dxdy}. B.3.11)
Комбинируя соотношения B.3.9) — B.3.11), можно записать
Z = е.хр (— Тг In Sc/Sc0) exp [ii\S\] l^ext_^exi+i6.a/ X
Xexp[--|-/?></]. B.3.12)
Формулы B.3.8), B.3.12) являются обобщениями соответствую-
соответствующих формул в теории с внешним полем, не нарушающим ста-
стабильность вакуума [239, 240, 241, 330].
Для функционала Z можно получить следующую систему
функциональных уравнений
п
-- - - i
6rj (х) ^ М
U \ ОТ, . . . rj
B.3.13)
Эти уравнения совпадают с уравнениями для производящего
функционала теории со стабильным вакуумом, которые получе-
получены в работах [240, 245].
Уравнения B.3.13) порождают систему уравнений для функ-
функций Грина 9. Так, введем функционал W,
W = i]nZ, B.3.14)
который является производящим для связанных функций Грина.
По функционалу W построим величины а„(ж), О„,(ж, у) и S(х, у),
= ад {х),
{x, у),
—11=0
B.3.15)
= S (х, у).
О1\ (X) от] (у) п=п-о
Эти величины при 1 = 0 выражаются через первые функции
Грина B.3.1)
ай (ж) |/=0 - <0, out | Г.^ц (х) S10, in> С»1 = 901 (х) =
uv {х, у) Ij-^o = <0, out | Tstp (x) s4v (у) S | 0, in> C71 -
^ 902 & У) - $о> И $01 Ы. B-3.16)
S(x, (/)|i=0 = <0f
671 =
(«, У)-
50

После дифференцирования системы B.3.13) по источникам по-
получим с учетом B.3.15) следующую систему уравнений
? Аи, (х, у) = %V6 (х - у) - ie tr у» 6^ ]
y), B.3.17)
а:) = 1„{х) + ie tr ^(z, x).
Система B.3.17) является аналогом системы уравнений Ш-винге-
ра [429, 430] для рассматриваемого случая. Она может быть за-
записана, как обычно, в интегральной форме
? #nv (ж> У) — j пЪ (*- z) A<v (г, у) rfz = Tinv6 (x — i/),
ext + a)S(х, у) - j 2 (х, г) 5 (г, y)dz=-6(x- у), B.3.18)
ц5(х, х),
если ввести поляризационный Пц*(а;, у) и массовый Е(х, у) опе-
операторы, а также вершинную функцию Гц(:г, у, z) соотношениями
(у)
( ~~
П^(х, у) = — ie1 tr / j 5 (х, z) Yv (г, г', .</) 5 (z', a:) dzdz',
I (x, y)=- ie-f j" 5 (x, z) Tv (г, у, z') Dw {z\ x) dz dz .
Заметим здесь, что в общем случае поле Оу.(х), которое пара-
параметризует функции ^^(а;, у) и S(х, у), является комплексным
и в сумме с внешним полем si-у. (х) не определяет точпое сред-
среднее электромагнитное поле в системе (см. 3.1).
Получим теперь замкнутое уравнение для поля
Для этого построим функционал Y, зависящий от поля а.у.(х),
с помощью преобразования Лежандра функционала W, в кото-
котором предварительно положим равными нулю источники м(х)
и т\(х),
il(x)all(x)dx-W. B.3.20)
В выражении B.3.20) для Y источники 1».{х) должны быть
везде выражены через поле ссДя) с помощью первого соотно-
соотношения B.3.15)
^Т-«^И- B-3.21)
4* 51

В этом случае имеет место соотношение
<2-3-22>
которое можно рассматривать как функциональное уравнение на
поле а^(х). Вследствие B.3.16)
1,-о, B.3.23)
так что поле <s?»(x)> является экстремалью функционала Y.
Таким образом, нахождение явного вида функционала Y экви-
эквивалентно построению замкнутого уравнения на поле
которое выглядит так:
В полях, не нарушающих стабильность вакуума, <^(х)> сов-
совпадает со средним электромагнитным полем в системе и, следо-
следовательно, уравнение B.3.24) будет точным уравнением на сред-
среднее поле. В полях, нарушающих стабильность вакуума, уравне-
уравнение для среднего электромагнитного поля будет построено в гл. 3.
Получим явное разложение функционала Y по степеням ра-
радиационного взаимодействия с точным учетом взаимодействия с
внешним полем. Для этого воспользуемся представлением
B.3.8) для функционала Z. Это представление позволяет выра-
выразить ток Iv.{x) через поле а^{х) и найти разложение функциона-
функционала W но степеням радиационного взаимодействия, и тем самым
решить поставленную задачу. Так, в нулевом порядке по ра-
радиационному взаимодействию имеем (при г) = г) == 0)
Z(o> = Zo |л=Я|=в = Сг, схр {_ | j /^ (х) Dl (х, у) /» (у) UX йу\
W(o) = Пп Zw = { J /„ (a:) D% (х, у) F (у) dxdy + i In cv, B.3.25)
•^щ = J Dl (x, y) P (y) dy = a" (x).
Используя уравнение A.1.4) для функции Грина De0(x, у), по-
получим
откуда согласно формулам B.3.20) и B.2.20) следует
Г(о) = j Ja№ (х) п aw (x)dx+i Tr In Se/S°0. B.3.26)
Таким же образом можно было бы получить и следующие члены
разложения функционала У по степеням радиационного взаимо-
взаимодействия. Мы, однако, выпишем ответ сразу для всего ряда, ос-
основываясь на общих теоремах теории графов. Так, известно (см.,
52

например, [65]), что преобразование Лежандра функционала
типа W приводит только к одно-неприводимым диаграммам для
¦функционала
АУ=У—У@>.
Для этого функционала можно записать согласно B.3.20),
B.3.22) и B.3.26) следующее соотношение
i j^^До (*, y)&Jfidx АУ - Ш 11=па+бду/ва, B.3.27)
где AW=W—И710'. Однако поскольку правая часть B.3.27)
•содержит только одно-неприводимые диаграммы, то приходим к
простому результату
АУ = — [одно-неприводимая часть AW]I=aat
так что
— [одно-непркводимая часть AW]I=3a, B.3.28)
Заметим, что замена Ill(x) = ^av(x) переводит, например,
диаграмму вида
= J 3» («) П\ (*1 У) I* (У) dx dy,
из AW в диаграмму
с «внешним полем» <х»(х). Поэтому в формуле B.3.28) можно
провести частичное суммирование,
1
1
1
=1 +
1 1
1 1
1 1
I -1 -» i-a—,
где Sc (^eit + a) — причинная функция Грина B.2.13) во внеш-
внешнем поле.9^1Х (х) + а,ц (х). В результате получим [333]
У = i Iа» ИПа* И dx + *Тг ln S° (^еП + а)/^о - [сумма
одно-неприводимых вакуумных диаграмм
B.3.29)
53

Получим представление производящего функционала Z в ви-
виде функционального интеграла. Для этого воспользуемся хороша
известным представлением для гауссового функционала в виде-
функционального интеграла гауссового типа (см., например,.
[65, 94])
ехр{— у j %а (х) Ааь (х, у) Хь (у) dx dy} =
Г Г Г1 Г
= f'1 exp i т фа (х) М аъ (х, у) фь (у) dx dy -|-
+ \%a(x)yn(x)dx\{\Dy, B.3.30).
где х*{х) и % (ж)—наборы полей определенной четности- "ха =
= PVa = Р(а)', М и Л — суперматрицы, четность индексов кото-
которых определяется четностью соответствующих полей,
• Маь (х, у) = (- l)PW+p("+ Р^МЬа (у, х);
f — нормировочный множитель; Е(Л)— пространство полей, по
которым проводится интегрирование,
где Е — пространство полей х- Записывая функционал Zq, опре-
определенный формулой B.3.7), через функциональный интеграл со-
согласно B.2.30) и действуя на него операторной экспонентой-из
B.3.6), получим ответ
Z = f'1 f exp {i j |i? + Is? - г|)Т) ^¦ }
E ' _ B.3.31)
1)
В заключение этого параграфа приведем редукционные фор-
формулы, выражающие матричные элементы процессов переходов
B.2.9) через функции Грина B.3.1) [35]. Достаточно сформу-
сформулировать ответ для матричного элемента, содержащего в на-
начальном и конечном состояниях по одному электрону, позитрону
и фотону:
<0, out J an (out) bm (out) ckKSc?vbq (in) a? (in) 10, in> =
= lim
0 0 0
ХУ г>
f +ф„ (x,)
54

X $sa(*i*2. У\У* ziz2)—ir/xv^)?" ~Чт(Уу)У+ЧРШ X
X л'х, dx2 dy, dy2 di\ dz2 Cv,
тде (±фп(ж)}, {-фп(х)} — решения уравнения Дирака во внешнем
поле, расклассифицированные по признаку часттща — античасти-
античастица при I -*¦ Too (см. B.1.1)). a/ia(x)— волпоьая функция фото-
фотона (см. A.2.9)).
Принцип приведенной редукции заключается в том, что,
устремляя времена аргументов функции Грина к ±°°, мы рас-
располагаем операторы полей по обе стороны от 5-матрицы, а да-
далее «вырезаем» из них операторы рождения и уничтожения с
помощью соответствующих решений (см. A.2.11). B.1.65)).
Редукционные формулы для матричных элементов процессов
переходов можно записать и п несколько ином виде. Для этого
введем функции
+ ?„ (х, х°') = -i\ Sc (х, х') Y° +ср„ (х') dx',
~Vn (х, я*') = i j Sc (х, х') у0 - Ф„ (х1) dx',
_Wn (х, х0') = i f _фп (x') y°Sc (x', x) dx', B.3.32)
„ (x, x°') = - j J +ф„(^') ynSc (x!, x) dx',
= Г
J
которые удовлетворяют соотпошениям
) +^„ (ж, а*') = V0 +<?п {х) б (а* - ж»'),
) ~Уп {х, х°') = v° - Ф„ (х) 8 (х° - х°'),
- I _?„ (х, х01) Ц) (^ext) = _ф„ (х) /б (х« - х0'), B.3.33)
i +Wn (х, х0>) 2> (.&ех[) = +ф„ (х) у% (а* - *»'),;
О помощью введенных функций можно представить операторы
рождения и уничтожения следующим образом:
at (in) =-i$y(xJ) (^ext) +Wn (x, x°') dx,
bt (in) = - i j _?n (x, x0') В (^ext) o|; (a;) Ar,
an (out) = i J +?n (x, x") В (j^ext) ф (ar) dar, B.3.34)
bn (out) = i j ф (i) 2> (^ext) ~?n (т, ж0') dar,
cii - - i J ^д (х) ? ^ (x, ж0') dx.
55

Нетрудно убедиться, обращаясь к соотношениям B.3.33), что
подынтегральные выражения в B.3.34) эффективно отличны ог
нуля лишь для х°, совпадающих с х0'. Это позволяет записать
редукционную формулу вида
<0, out ] ап (out) Ът (out) ckiiSc?yb? (in) a * (in) | 0, in> =
lim Г +Уп (xv xl') _% (x2, xl') F*kX (zv z»') >c
0' 0' 0' ,
xl 'vl <zl ¦*+°°
0' 0' 0'
x2 ,y2 ,z2 -*-«.
X % (^ext) ®x2 (jO Oz$22 (xxxv у1Уя, zfa) Ъг2 X
x \ (^et) ^У2 (^ext) ^v (za, 4') -ти {yv yX) x
X +4rj) (y2, y°2') dxx dx2 dyx dy2 dzx dz2 Cv. B.3.35)
Заметим, что переход к пределу в редукционных формулах типа
B.3.35) можно производить только после выполнения всех опе-
операций дифференцирования под знаком интеграла. После этого
можно воспользоваться соотношениями (см. B.2.18))
Hm +Wn(х, х0') = +% (х), Пт "?„(х, х0') = ~уп(х),
0'°'
Нт _?„(*, х°') = _Ы*), Ит +Уп(х, х°') =+Цп(х), B.3.36)
п/ п/
lim Fix(x, x«') = /L(x), lim F& (х, х") = /К (х\
где +т|)„(л:), -$п(х), -\!(ы(х), +ф„(х) —спаривания B.2.17).
В качестве примера получим из B.3.35) представление ам-
амплитуд относительных вероятностей простейших процессов ну-
нулевого порядка по радиационному взаимодействию B.1.40) —
B.1.43) через причинную функцию Грина Sc(x, у). В нулевом
порядке по радиационному взаимодействию <S = 1, Cv = cv,
^ю(х, у) = —iSc(x, у). Выписывая подробно все этапы редукции
для амплитуды относительной вероятности рассеяния электрона,
получаем
w (т | п) = <0, out | ат (out) at (in) | 0, in> c^1 ==
= lim ~i\+Wm(x, x0')
= lim -i J
exl) X
у
X+4n {x, y0') dx = J +^m (x) у0 + Ф« (х) dx =
= -i$+ym(x)y°Sc(x, y)Y°+<fn(y)dxdy, x°>y°. B.3.37)
Аналогичным образом можно получить представления и для
56

амплитуд B.4.41) —B.4.43):
w (т | п) = j _г|5„ (z) -f - фт (ar) dx =
= i j _in (z) v°5c(x, i/) 7° - Фт (у) dx dy, i/» > x\ B.3.38)
| 0) = J +^„ (x) / -Фт (ж) dx =
= - I J +Ф« (я) /5е (x, у) v° ~фт (у) rfx dy, x° > i/0; B.3.39)
-+ с _
@1 игн) = — J -¦фт (ж) 7°+Фп (ж) их =
= - i f _фт (я) v°5c (x, i/)vo+(pn (у) с?х dy, xu < у0. B.3.40)
Заметим, что в силу конкретной структуры интегралов условия
х° ё у0 можно опустить.
Наконец, сделав в производящем функционале B.3.4) замену
источников
т| (х) = - 13) (^ext) 2 f [+ln (т) +Yn (x, x) + -|„ (т) -Vn (х, т)] dr,
Tl
-+
и; @1
Ц И = г 2 [ [_?„ (т) _^Fn (х, т) + +^п (т) +^„ (х,
B.3.41)
= i D 2 J [ykX (t) F^ (x, т) + i4 (t) ^K (x, t)] dr dk,
приходим к производящему функционалу матричных элементов
процессов перехода B.2.9),
<0, out | ап (out) ... Ьт (out) . . . ckX .. . Sc+V . . . 6^ (in) .. .
... 4 (in) ... | 0, in> = lim 6,Z/F (+gn (т„)) ...
t->—см
• •¦ 6 (~lm (Xmj) ... 6 (VkX. (TkX.)) ¦ • ¦ б (Vxv (У) • • •
... 6 (_?g (tq)) ... 6 (+^p (g) ...) ||=v=0- B-3.42)
Используя для Z представление B.3.8), можно из B.3.42) по-
получить для матричных элементов процессов перехода ряд теории
возмущений по радиационному взаимодействию.
§ 2.4. Приложение. Обобщение техники нормального
упорядочивания для теорий с нестабильным вакуумом
Рассмотрим здесь технику вычисления матричных элементов
вида
+...|0>а, B.4.1)
где {а+, а) и {р+, р} — две системы операторов рождения и.
57

уничтожения
[<zm, ccnj = f(im, |3ti} = 0,
связанные между собой линейным каноническим преобразованием:
р = Фа 4- ?а+ + /, (i+ = аЧГ'" + а+Ф+ + /*, B.4.2)
1, Бозе
фф+ e*F? = 1 Ф? — сЧ'Ф =0 8=i
1, Ферми,
|0>а и 10>р — соответствующие вакуумные векторы, anl0>a==
= РпЮ>Р = 0, Ц>(х)—полевые операторы, линейным образом вы-
выражающиеся либо через (сс+, а), либо через {j}+, р), а /^(ф) —
произвольный функционал, допускающий разложение в ряд по
ф(х). Если Ч*" — оператор Гильберта — Шмидта
У] |?„ж|-<оо, B.4.3)
то преобразование B.4.2) является собственным и существует
унитарный оператор V такой, что
и фоковские пространства, построенные по системам операторов
{a+, a} и (ji+, p}, совпадают [47].
Именно такой вид имеют матричные элементы, представляю-
представляющие собой амплитуды переходов и функции Грина и .КЭД с
внешним полем, нарушающим стабильность вакуума (см. B.2.9)
и B.3.1)). Здесь с операторами (а+, а) следует отождествить
набор in-операторов рождения и уничтожения, а с {pf, p} — набор
out-операторов рождения и уничтожения, с вектором 10>« — ва-
вакуум 10, in>, а с вектором |0>р — вакуум |0, oul>. Оператор V
в этом случае имеет явный вид B.1.48), шш B.1.49). С опера-
операторами ф(х) из B.4.1) следует отождествить операторы сиинор-
ного либо скалярного поля в представлении взаимодействия по
внешнему полю.
Будем говорить, что линейное каноническое преобразование
B.4.2) допускает переход к обобщенной нормальной форме от-
относительно вакуумов р<01 it |0><х, если возможно явное и одно-
однозначное представление
p = /la + #p+ + Y, a+ = Ca + <F?+ + 6. B.4.5)
Достаточным для зтого является неособенность матрицы Ф пре-
преобразования B.4.2). Действительно, рассматривая B.4.2) как
систему линейных уравнений относительно набора операторов
(р, и+), видим, что решение существует, если
del i1 ~ ^ J = del Ф* ф 0. B.4.6)
58

Б этом случае
А = Ф-ЧГ(Ф-1Ч')*, В = ЧГ(Ф-1)*. ч =7
С = — (Ф-1^)*, ^=@-')*, б-= —(Ф-1/)*.
Заметим, что если преобразование бозевского типа, матрица Ф
всегда неособенная [47]. Для канонического преобразования фер-
миевского типа это необязательно.
Если линейное каноническое преобразование B.4.2) допуска-
допускает переход к обобщенной нормальной форме относительно ва-
куумов р<0[ и 10>а, то любой линейный по (а+, а) оператор, в
частности оператор ц>(х), представим в виде
<р (х) = <р (-> (х) + ф(+) (х) + ф@) (х), B.4.7)
где
«р(-> (х) | 0>а = р<01 q><+) (х) = 0, фю> (г) = р<01 Ф (х) | 0>а р <01 0>« \
B.4.8)
причем
B.4.9)
[ф'~((а;), ф(+) (у)) = с-число.
Доказательство представления B.4.7) основывается на том за-
замечании, что с помощью соотношений B.4.2) любой линейный
по (а+, а) оператор может быть линейным образом пыражен
только через операторы а и [}+, причем коммутаторы между опе-
операторами а и {}+ являются с-числами. Действительно, из B.4.2)
находим
1«», Р™!=Фт„- B.4.10)
Очевидно, что ф(~' (х) есть часть оператора ц>(х), содержащая
только операторы а, а ф(+)(аг) — часть, содержащая только опе-
операторы р+. Последнее соотношение из B.4.8) получается «усред-
«усреднением» B.4.7) по различным накуумам с учетом первых двух
свойств B.4.8).
Обобщенной нормальной формой операторного функционала
F(ip) называется такая форма, в каждом слагаемом которой все
операторы ф<+) (х) располагаются слева от всех операторов
Ф()(ж). Иными словами, для того чтобы некоторый оператор
привести к обобщенной нормальной форме, следует, во-перпых,
все входящие в него операторы ныразить только через операторы
а и ,3+, а затем расположить все операторы ji+ слева от опера-
операторов ее.
Обобщенным нормальным произведением некоторых операто-
операторов называется их произведение, приведенное к обобщенной нор-
нормальной форме, причем в процессе приведения все коммутаторы
или антикоммутаторы между а и ji+ (или между ф(~' (х) и
Ф(+) (•*•)) считаются равными нулю. Обобщенное нормальное про-
59

изведение будем обозначать символом N. Очевидно, что
П Ф (*010>а = р<01 0>а П Ф(о) (xt). B.4.11)
Обобщенным спариванием двух произвольных, линейных по
а+, а, операторов &~ и & назовем выражение
1 l \&АЛ?у
а обобщенным хронологическим спариванием полевых операторов-
ф(х) и ф(^) назовем выражение
Гц> (х) ф (у) = Гф (х) <р (у) - Щ (х) Ф (у). B.4.13>
Из соотношений B.4.9) следует, что обобщенные спаривания
и обобщенные хронологические спаривания являются с-числами*
Поэтому для обобщенного спаривания и обобщенного хронологи-
хронологического спаривания полевых операторов можно записать:
Ф (*) Ф (У) = р<01 Ф (х) Ф (у) 10>а р<010>„х - ф<») (*) Ф(») (у), B.4.14)
L J
Ф (х) Ф (У) = р<0 ] ГФ (х) Ф (у) 10>а р<01 0>„х - ф<») (ж) Ф(о) (у). B.4.15)
Очевидно, что для приведения к обобщенной нормальной
форме произвольного операторного функционала ^(ф) можно>
воспользоваться обычной теоремой Вика, заменяя нормальные-
произведения и спаривания их обобщенными аналогами. В ча-
частности, далее будут использоваться следующие функциональ-
функциональные формулировки теоремы Вика [65], адаптированные к рас-
рассматриваемому случаю,
^^} B.4.16)
B.4.17)
) B.4-18)
где @~i — некоторые линейные по а+, а операторы.
Полученные формулы позволяют эффектипно вычислять мат-
матричные элементы типа B.4.1). Например, это можно сделать
так. Привести функционал ^(ф) к обобщенной нормальной
форме с помощью формулы B.4.17). В результате задача све-
сведется к вычислению матричных элементов типа
B.4.19)
Вычисление этого матричного элемента фактически заключается
в приведении его «внутренности» р ... (Nq> (#i) • ¦ • Ф (х"))а+ • ¦ • к
обобщенной нормальной форме, например, по формуле B.4.18).
(При этом, как и в обычной теореме Вика, не нужно спаривать
60

операторы, которые уже расположены под знаком нормального
произведения, а именно, полевые операторы <р(^) между собой.)
После чего вступает в действие формула B.4.11). Окончательно
матричный элемент типа B.4.1) выражается через следующие
обобщенные спаривания и «средние»:
Ч>(*)Ф(У). PP. РФИ. Ра+> Ф(*)а+, а+а+,р<0|ср(я) |0>а, ,,<0|р|0>„г
L..J l__l L..J L. J L...J
„<01а+|0>«, „<0|0>о.
Все эти величины можно выразить через коэффициенты канони-
канонического преобразования B.4.2) и через коэффициенты разложе-
разложения полевых операторов <р(х) по операторам а+, а. Например:
р р = (ф - w (ф-1^)*) чт,
а+а+ = - (ф-х?)*, р а+ = Ф - V (Ф~1(Р)*, ( " '
i i i 1
>« = (/- V(ф-'/)*)Р<0|0>а,
Для вычисления величины р<0|0>« выпишем явный вид опера-
оператора V из B.4.4), выраженный через коэффициенты представ-
представления B.4.5),
( г + -|Л
V = ехр (— а+у) ехр I ^ а ^а ) ехР (га ^п ^а+) X
X ехр (-|- аСа) ехр (8а). B.4.21)
Отсюда несложно найти
B.4.22)

ГЛАВА 3
ЗАДАЧА О СРЕДНИХ
§ 3.1. Функции Грина для вычисления средних значепий
Во внешнем поле общего вида для вычисления средних зна-
значений требуется введение новых функций Грина, отличных от
функций Грина B.3.1), связанных с процессами переходов. Это
обстоятельство было отмечено впервые еще в статистической фи-
физике [133]. Поясним сказанное на примере вычисления среднего
значения потенциала электромагнитного поля. Это среднее мож-
можно записать в виде
<^(х) > = <V (t) Ы»(х) IV @ >, C.1.1)
где iM^i))— вектор состояния, а Мц(х)—оператор 4-потенциала
в картине Шредингера. Пусть в начальный момент времени lia
состояние было пакуумным, тогда
\W(t)Y=U(t, tIn)|0, *ln>,
где U{t, t') — оператор эволюции КЭД, а 10, tin>—вакуумный
вектор в момент времени t[n (см. 2.2). Воспользовавшись пред-
представлением оператора U{t, tin),
U (t, /in) - l\ (U 0) 5 (I, t^) U^1 (tin, 0),
а также определениями B.2.7), B.1.18), B.2.8), получим вы-
выражение для среднего C.1.1) в виде
<JMx)> = <0, in\S+TM»(x)S\0, in>. C.1.2)
В то же время соответствующая функция Грина B.3.1) порож-
порождает поле <s&IL(x)> (см. B.3.16)),
<«яМаО> = <0, out\T^(x)S10, in). C.1.3)
Очевидно, что C.1.2) и C.1.3) совпадают лишь в том случае,
если
510, in> = eiel0, out), C.1.4)
где е'в — некоторый фазоиый множитель. Условие C.1.4) озна-
означает стабильность вакуума во внешнем поло с учетом радиаци-
радиационного взаимодействия. Действительно, если C.1.4) имеет ме-
место, то полная вероятность вакууму остаться -аиуумом Р„,
д=|С„|2=|<0, outlSlO, ш>12, C.1.5)
62

равна единице. В случае внешнего поля, нарушающего стабиль-
стабильность вакуума, поля C.1.2) и C.1.3) различаются, а сродпие
значения не выражаются простым образом через функции Гри-
Грина B.3.1).
Введем фупкции Грина, позволятощие простой редукцией по-
получать выражения для средних значений [333—337].
S (х; у; z | х'; у'\ г') = <0, in | А1+г|> (*,) . .. у (г/,) ... X
X & (z.) . .. Тгр (*;) . . . ф (<А) ... ¦& (/,)••• S | 0, in>. C.1.6)
В правой части C.1.6) и везде далее знак 71-прои,чведения дей-
действует н обе стороны: вправо упорядочивает операторы в пред-
представлении взаимодействия, а влево антиупорядочивает их.
Возможность выражения средних значений через функции
Грина C.1.6) продемонстрируем на примере среднего значения
потенциала электромагнитного поля по in-состояниго с одним
фотоном, одним электроном и одним позитроном
<.*М*)> =
= <0, in \ ап (\п) bm (in) ck)SMT.^lx(x)ScbKbtn(in)aU™)\ 0, in> =
= lim Г +Фп(^)ТпЯ,(^I'7^(^) X
ХТ~п% (ж'- х*-> хз I Ti> x*'- xv lix)—o X
дх% дх°в
X /к>. Ы 7°-Фт (x-i) V°-(P« (^5) d*i ¦¦¦ dxr>. C.1.7)
Принцип приведенной редукции заключается » том. что,
устремляя времена операторов нолей к —°°, мы располагаем
их слева от S+ и справа от 5 под знаком среднего в C.1.6),
а затем «вырезаем» из них операторы рождения и уничтожения
с помощью соответствующих решений для образования нужных
in-состояний. В общем случае и в несколько ином виде редук-
редукционные формулы, выражающие средние значения через функ-
функции Грина C.1.6), приведены в гл. 4.
§ 3.2. Теория возмущений но радиационному взаимодействию
для средних значений
Построим здесь теорию возмущений по радиационному изап-
модействпю для функций Грина C.1.6), и которой точно учиты-
учитывается взаимодействие с впепгпнм нолем. Для этого введем про-
производящий функционал Z, который зависит от двух групп источ-
источников (/,, тц, г),) и (h, Tj2,"r|2) [333—337, 423],
Z=^<0, in|5+(/2, т12, Л2M(Л, Ль Л.)Ю, in>, C.2.1)
где 5-матрица в присутствии внешних источников определена
63

¦через B.3.5)*). Поскольку S+(I, r\, г\) можно записать в виде:
= exp {i J [0V (х) + /„ (ar)) •$** {x) + Ц(х)ц (x) + ^(x) ц> (a-)] d
C.2.2)
то нетрудно убедиться, что функционал Z является производя-
производящим для функций Грина C.1.6)
$(x;y;z\x';y';z') =
6 (гл
в (- ft|2 (V,))
. C.2.3)
Учитывая выражения B.3.5) и C.2.2) для матриц рассеяния
«S"(/, т], т]) и S+(I, ц, т]), представим Z в виде
2
Z = ехр е
Zo = <0, in | ехр {» f [II (х) ^ (ar) + * (ж) tfe (r) + л2 (а?) * (л)] <to} X
X Т ехр {- i j [/? (ж) ^^(л:) + 4 (а?) т], (а?) + ц, (х) у (*)] Лг} | 0, in>.
Функционал Zo можно найти явно, если воспользоваться следую-
следующим обобщением формул типа B.4.17):
м]dx dy]
где JV — нормальная форма относительно одного вакуума |0>, а
i i
*) Впервые подобный функциопал был введен в работе Швингера [423];
Фрадкин использовал этот функционал при получении обобщенных соотно-
соотношений унитарности для функций Грина [246].
64

Применяя формулу C.2.5) для вычисления Zo, получим
Zo = exp {i j [% (ж) 5-п (х, у) t]i (у) + ц2 (х) Sfn (x, у) т]2 (у) +
+ ^i № Sit} (о;, г/) ti2 (г/) - rj2 (т) S(~} {x, у) r\t (у) —
- ± A* (х) De0 (х, у) /1A (у) + Ц (х) Lf0 (х, у) I2li (у) +
+ /i И D[+) (х, у) T2Vl (у) - II (х) DP (х, У) Iw (У))] dx dy], C.2.6)
Scin (х, у) = i <0, i» | T^ (x) у (у) | 0, in> =
= 0 (х0 - Уо) S[n} (х, у) - 9 (у0 - х0) 5{+> (х, у), C.2.7)
<^п (х, У) = i <0, in | яр (*) t@) T11 0, in> =
= б (г/о - *о) 5^ («, г/) - о (а-о - г/о) 5?} (*. г/).
Мп' (з-, г/) ^ г <0, in | г|> (ж) ip (i/) 10, in> = г 2 +фп И +ФпЫ.
™ rt 2
^, 2/) = i <0, in | * (*/) * (х) | 0, in> = i 2 -Фп И -Ф» (У),
71
)^v (x, y) = -i<0\ ^ (х) ^V (у) Т | 0> = TfovDS (*, У). з 2 Q
Окончательное выражение для функционала Z удобно записать
в компактной форме, вводя матричные пропагаторы и вершину
и используя конденсированные обозначения, в которых суммиро-
суммирование по повторяющимся индексам подразумевает и интегриро-
интегрирование по четырем координатам,
г г- 1 11 <3'2-10)
Zo = exp |i ^фог\ — -у ID0IJj,
). К «, P = l, 2,
V = Y>% (¦r- J/' z) = Т^^хабярб (ж — г/) б (х — г),
S0=v
C.2.11)
5 Д, М. Гитман и др. 65

Матричные пропагаторы So и Do удовлетворяют следующим
уравнениям
)a3 = l, C.2.12)
где a3 — матрица Паули.
Представление C.2.10) для производящего функционала Ъ
эквивалентно теории возмущений по радиационному взаимодей-
взаимодействию с точным учетом впешнего поля. Диаграммная техника
для Z, а следовательно, и для функций Грина C.1.6), в силу
структуры ответа C.2.10), остается фейпманопской с матричной
вершиной у и матричными пропагаторами So и Do. Этот же ре-
результат для функций Грина C.1.6) можно было бы получить и
непосредственно, применяя теорему Вика в форме C.2.5) к вы-
выражению C.1.6).
В качестве примера рассмотрим среднее значение потенциалов
электромагшггного поля в двух случаях, когда начальное со-
состояние вакуумное и одноэлектронпое. В первом случае
„ (аг)> = <0, in | S+Tst» (х) S\Q,in) -
C-2-13>
В выражении C.2.13) двойная волнистая линия JL ,~. ^ч \L
представляет собой графическое изображение пропагатора Do,
а заштрихованный кружочек — сумму всех соответствующих спя-
занпых фейнмановских диаграмм с одним фотонным свободным
концом, т. е.
C.2.14)
Первый член ряда C.2.14) дает следующий вклад в
(х)) = J DT (* - У) Z& (у) dy,
C.2.15)
Te
где DToe (х — у) — запаздывающая функция Грина электромаг-
электромагнитного поля, см. A.1.5), а
= Ц- tr у» [Sin {x + 0, х) + S?n (x,x + 0)] =
= <0, in | /м. (ж) 10, in> C.2.16)
— средний ток рожденных из вакуума внешним полем пар без
66

учета радиационных поправок. Таким образом, в этом прибли-
приближении среднее поле есть классическое поле тока ?fn{z) ¦
Рассмотрим случай, когда начальное состояние—одноэлект-
ронное. Тогда
и (х)} = <0, in | ап (in) S+T^ (x) Sat (in) | 0, in> =
= -« lira п
X yf>+<pn(z)dydz =
G,X)
C.2.17)
где двойная линия
^a
представляет собой графи-
ческое изображение пропагатора So, заштрихованный кружок с
тремя точками —- сумма всех соответствующих связанных фейн-
мановских диаграмм с одним фотонным и двумя электронными
свободными концами.
Получим представление для функционала Z в виде функци-
функционального интеграла. Для этого предварительно представим функ-
функционал Zo, записанный в форме C.2.6) в виде гауссовского
функционального интеграла, пользуясь формулой B.3.30):
1
C.2.18)
exp \i -i-сЯ'а3 D cfl'+
Icfl'
Здесь число полей интегрирования удвоено по сравнению с ин-
интегралом B.3.31)
сЛ' =
Фактор ^" есть значение интеграла C.2.18) при выключенных
источниках Т, ?], г\.
Поскольку подынтегральное выражение в C.2.18) факторизо-
вано по сортам источников, то может сложиться впечатление,
5* 67

что и сам интеграл C.2.18) равен произведению двух интегра-
интегралов, каждый из которых зависит от своих источников сорта 1
или 2. Это, однако, противоречит исходному выражению C.2.6),
в котором нет такой факторизации. Дело заключается в том, что
хотя подынтегральное выражение в интеграле C.2.18) и факто-
ризуется по сортам источников, области интегрирования по по-
полям, соответствующим различным источникам, не являются не-
независимыми. Так, если расшифровать определение B.3.30) для
области интегрирования в интеграле C.2.18), то получим
с/Г = D0I, я|/ = Sotj, ф' = ^So. C.2.19)
Написанные равенства следует понимать в смысле равенства
классов функций: класс полей интегрирования с/Г связан с клас-
классом функций, к которому принадлежат источники I соотношени-
соотношением с/Г = D0I> и т. д. Отсюда нетрудно увидеть, что компоненты
1 и 2 полей с/Г, i|>'i i|)' связаны между собой. Например, для
полей зФ\ и s4t изC.2.19), получим связи
st\ = De0 ? st[ - Z/o+)d st't,
Чтобы сделать области интегрирования полей сорта_ 1 и 2 неза-
независимыми, перейдем к новым .переменным cfl, i|), i|) в интегра-
интеграле C.2.18) ¦¦
= 1,
Ql = 1, C.2.20)
Q| = l.
Интегрирования по новым полям cfl, ty, ty, относящимся к раз-
различным источникам, уже независимым, так как из C.2.19) и
C.2.20) теперь следует
C-2.21)
Сделав в интеграле C.2.18) замену C.2.20) и подействовав на
полученный результат соответствующим оператором согласно
формуле C.2.10), получим следующее представление для произ-

водящего функционала Z [91, 297]
Z = f j exp {I
^~>Q ~D ' C 2 23)
ф Я + Ща Я + Щц + Ч<М>, C.2.22)
где
п
Интеграл C.2.22) решает поставленную задачу. Интегрирование
в нем ведется уже по независимым полям и явно видно, что
даже при выключенном радиационном взаимодействии интеграл
не факторизуется по сортам источников.
§ 3.3. Уравнение для среднего электромагнитного поля.
Эффективное действие
Для производящего функционала Z нетрудно получить сле-
следующие уравнения *)
6.Z
6.Z /
o3D—= — i TZ —
Здесь мы пподим следующие обозначения
2) (В.)
О \ „ fs^^\ I В
J "'U4 U
¦""'-U4 »-U)- <33-2>
Далее везде матрицу Т(В) от векторного аргумента В будем по-
понимать следующим образом
а, р = 1, 2. C.3.3)
Уравнения C.3.1) порождают систему уравнений для функ-
функций Грина C.1.6). Для записи замкнутой системы уравнений
типа уравнений Шпингера на первые функции Грина введем,
как обычно, функционал W, связанный с функционалом Z
*) В этом параграфе везде используются конденсированные обозначения.
69

следующим образом
W-ilnZ. C.3.4)
Функционал W является производящим для связанных частей
функций Грина C.1.6). Определим величины
ж _ = а = (ах(ж)).
= l, 2.
бтNт)
Для них из системы C.3.1) дифференцированием по источникам
получим уравнения
SS
а3 а D = + ielry -^-,
C.3.6)
Система C.3.6) является аналогом системы уравнений Швингера
для рассматриваемого случая. Ее можно преобразовать к ин-
интегральной форме, если ввести массовый и поляризационный
операторы X и П,
te tr у |f - ПБ, iey -^ = 2S, C.3.7)
а также точную вершину Г,
C.3.8)
Тогда
(o3a-n)D = l,
[D( cflext + a8a) - S] S = - 1, ¦ C.3.9)
a3 ? a = I + le Ir ?S.
Система C.3.9) дает, в частности, альтернативный способ полу-
получения рядов теории возмущений для D, S, a с помощью итера-
итераций, начиная с соответствующих затравочных величин. Если
1 = 0, то ими являются матричные пропагаторы Do и So, опре-
определенные в C.2J1), и поле a = 0.
Построим теперь эффективное действие Y, связанное с функ-
функционалом W преобразованием Лежандра (источники т| и ц да-
далее везде положим равными нулю),
Y = Ia-W, C.3.10)
где источники I в правой части C.3.10) являются функционала-
70

ми от ее, которые определяются соотношением
~ = а. C.3.11)
В этом случае
? = I, C.3.12)
что можно рассматривать как функциональное уравнение па
поле а.
Из соотношений C.3.4), C.2.3) и C.3.11) следует, что
где <J$n(.r)> — точное среднее электромагнитное поле C.1.2).
Поэтому, согласно C.3.12), поле C.3.13) доставляет экстремум
функционалу Y, а уравнение
можно рассматривать как уравнение на точное среднее поле
(зФр(х)У. Для получения эффективного действия, дающего урав-
уравнение для среднего поля, относящегося к начальным состояниям
с отличным от нуля числом частиц, нужно строить преобразова-
преобразование Лежандра функционала W более высокого порядка.
Явный вид функционала Y получим по степеням радиацион-
радиационного взаимодействия, а взаимодействие с внешним полем учтем
точно. В нулевом порядке по радиационному взаимодействию,
с учетом явного выражения C.2.10) для Z, найдем (напомина-
(напоминаем, что т] = ц = 0)
Z(o) = ехр (- 4 IDol]. W(o) = 4 IDo^
Для величин AW = W — W(o, и AY = Y — Y@) получим из
C.3.10), C.3.15)
2
Правая часть (З.ЗЛ6) содержит только одио-неприводимые диа-
диаграммы (аналогичные рассуждения уже использовались во вто-
второй главе при нахождении функционала Y). Следовательно,
можно записать
Y=-^-шт3па — [одно-неприводимая часть AW] |1=озав. C.3.17)
(Заметим, что функционал Y в стационарной точке равен нулю,
так как в этой точке он совпадает с функционалом W при
1 = 0.)
71

Проводя в C.3.17) частичное суммирование так же, как это
было сделано в формуле B.3.29), получим [333]:
Y = -А- «а3 па + i Tr In So (cfl)/S0 ( cflext) -
— [сумма одно-неприводимых вакуумных
диаграмм AW] Ig^ext^g (j^, C.3.18)
1'Де cfl = cflext + ояа — полное поле, представляющее собой сум-
сумму внешнего и среднего полей.
В заключение получим с помощью функционала Y уравнения
для среднего поля в е2-приближении. Из C.3.17) в этом при-
приближении следует
2
ТТ$ (х, у) = - «в* tr VS,p (x, у) у% (у, х), C.3.19)
Sfx (x) = ie tr if5tt (x, x), Я, р = 1, 2.
Из C.3.13) следует, что в уравнениях C.3.19) можно положить
cci (х)= <^ц(ж)> = — аг(х), тогда мы получим замкнутное урав-
уравнение для среднего поля
f [ ? б (х - у) - ПB) (х, у)] (.& (у)) dy = Jin (x), C.3.20)
где
= - ie2 {tr yScin (х, у) yScin (у, х) + tr yS^ (х, у) yStf (у, х)}.
Нетрудно установить, что выражение для ПB) (х, у) веществен-
пое и может быть представлено в виде
ПB) (х, у) = 2е20 (х° - у0) lm tr yStf (x, у) yStf (у, х) =
= 2еЩ (х№ - г/°) Irn lr yScin (x, у) yScin (у, х).
Таким образом, достаточно вычислить величину
я (х, у) = — ie2 tr yScin (х, у) yScin (у, х),
тогда
°-y°)Ren(x, у).
§ 3.4. Матрица плотности частиц, рожденных
во внешнем поле
Если впешнее электромагнитное поле нарушает стабильность
вакуума, то состояние системы в конечный момент времени со-
содержит частицы обоих сортов — электроны и позитроны, рож-
рожденные внешним полем за все время его действия. Усредняя,
72

например, по состояниям позитроннои подсистемы, мы приходим
к описанию электронной подсистемы в терминах матрицы плот-
плотности, которая называется матрицей плотности электронов, рож-
рожденных во внешнем поле. Аналогичным образом можно ввести
матрицу плотности позитронов, рожденных во внешнем поле,
усредняя по состояниям электронной подсистемы. G помощью
электронной и позитроннои матриц плотности можно вычислять
средпие значения физических величин, относящихся либо к
электронной, либо к позитроннои подсистемам. Иногда исполь-
использование матрицы плотности в задачах о рождении частиц яв-
является принципиально необходимым. Например, в задаче о кван-
квантовом рождении частиц в сильном гравитационном поле черной
дыры [357—360, 451, 452, 342] возникновение матрицы плотно-
плотности частиц, рожденных вне черной дыры, связано с невозмож-
невозможностью паблюдепия той части рожденных частиц, которая ока-
оказалась под горизонтом событий. Во внешнем электромагнитном
поле принципиальная необходимость описания на языке матри-
матрицы плотности может возникнуть в том случае, если детекторы
частиц расположены в области пространства, куда могут по-
попасть частицы только одного- типа.
Матрица плотности частиц, рожденных внешним электромаг-
электромагнитным полем из вакуума, изучалась в работах [97, 343, 59].
В этом параграфе мы приведем общие выражения для мат-
матриц плотности частиц, рожденных во впешнем электромагнитном
поле. Конкретизация некоторых из них для ряда внешних
электромагнитных полей дана в главе 5.
Найдем сначала матрицу плотности частиц, рождепных внеш-
внешним полем из вакуума, причем ограничимся нулевым порядком
по радиационному взаимодействию, т. е. рассмотрим задачу в
рамках теории одного квантованного спипорного поля, взаимо-
взаимодействующего с внешним электромагнитным полем, подробно
изученную в § 2.1.
Пусть /+ — некоторые физические величины, относящиеся
только к электронной (+), или только к позитроннои (—) под-
подсистемам в конечный момент времени. Соответствующие шре-
дингеровы операторы /+ являются функциями либо только опе-
операторов
a+(tOut), a(taat),
либо только операторов b+(toul), b(tnut):
7+ = /+(a+(Ut), a(toat))t 7- = /-(b+(W), b(tont)).
Средние значения физических величин /± в конечный момент
времени по состоянию, которое в начальный момент было ваку-
вакуумным, имеют вид
</±> = <0, tin I UtJtUe | 0, /,„> = <0, in | U | 0, in>, C.4.1)
73

где /+ — операторы в гейзенберговском представлении с точки
зрения теории одного спинорпого поля, или в представлении
взаимодействия с точки зрения КЭД,
J+ = /+(а+ (out), a (out)),
C.4.2)
/1 = /-(&+(out), b(out)).
Для iraimrx целей в формуле C.4.1) удобно перейти к усред-
усреднению по out-состояниям. Для этого, воспользовавшись условием
полноты out-состояний, представим in-вакуум в виде
_ + + - —
| 0, in) = с„ 2 (jV!) 2 ш (m, .. . mKnN ... га, | 0) X
X Ьпг (out) . . . Ь+Л. (out) a?N (out) . .. a+i (out) | 0, out), C.4.3)
где амплитуды относительных вероятностей w (mi... mNnN...
. ..railO) сводятся согласно результатам рассмотрения в § 2.1
к сумме произведений элементарных амплитуд и)(тгщ\0). В ре-
результате разложение C.4.3) трансформируется следующим об-
образом
( N + - 1
10, in) = cv ^ (ЛЧ) II м> (ггчт |0) b+ (out) . . .
N{n){rn} U=i I l
...b+N (out) a?N (out) ... a+i (out) | 0, out). C.4.4)
Подставляя C.4.4) в C.4.1) и избавляясь в одном случае от
операторов 6+(out), 6(out), а в другом — от операторов a+(out),
a (out) продвижением их через /+ или /_ в одну сторону, найдем
</+> = pv 2 (Щ~г <0, out | aki (out) ... akN (out) /+ X
N
X a?N (out) . . . a+t (out) | 0, out) П ^m-hv
</_> = pv >j (ЛЧ)" <0, out | bkN (out) ...bki (out) /1 X
N
V fei ^out^ Ь'" fouH I 0 nut\ I I 7^~\
i = l
где
(mn\0)w* (kn\0),
C.4.5)
74

Наконец, замечая, что
exp (W(+)) at (out) exp (- W(+)) = 2 at (out) Z&\
m
exp (W1-*) bt (out) exp (- W(~y) = 2 bt (out) Z&,
m я / p\
W(-} = 2 bin (out) (in Z(-})mn bn (out),
получим для </±> следующие выражения
</+> = 2 (-/V!) <0, out | ahi (out) ... ahN (outO+p+ X
X ^(out) .. . ati (out) | 0, out) = tr7+p+,
</_> = 2 (МГ1 <0, out I bhi (out)... bftjV(outO-p- X
X btN (out) .. . 6^ (out) |0, out) = trJ-P-,
где
p± = jp,exp(TF(±)) C.4.7)
— матрицы плотности, описывающие электроны (+) или пози-
позитроны (—), рожденные внешним полем из вакуума. Выражение
C.4.7) не меняет свою форму и для скалярного случая.
Из условия нормировки tr р± = 1 следует еще одно пред-
представление для вероятности вакууму остаться вакуумом
— 1 Ферми.
Рассмотрим теперь предыдущую задачу в КЭД, т. е. с учетом
радиационного взаимодействия. В этом случае среднее значение
физических величин /± в конечный момент времени по состоя-
состоянию, которое было вакуумным в начальный момент времени,
имеет вид
</±> = <0, in\S+f±S\0, in>. C.4.9)
Покажем, так же как и выше, что C.4.9) можно представить
в виде среднего в подпространстве только электронных или толь-
только позитронных состояний с соответствующими матрицами плот-
плотности. Для этого перейдем в C.4.9) к усреднению по out-со-
out-состояниям, воспользовавшись соотношением
.. bt^ (out) a?s (out) . .. att (out) | 0, out) M0-^Oub
75

где
M0.,out = <0, out | ami (out) ... amN (out) bn^ (out) . . .
. . . 6nA,(out)ck x • • • CkLkLS\0, in). C.4.10)
Представляя в C.4.10) ^-матрицу в обобщенной нормальной,
форме по формуле B.4.17), можно получить для M0^.ont следую-
следующее выражение:
f б б я 1 | - t )
Mn-^out = exple^- у—= -ту) ехр niScn ^ /Т^П X
[ ЙТ1 бт) о/ j г { ' I )
1 N _
X <0, out 11) (a™, (out) — i+T)m ) Ц (й„ (out) + i~nn ) | 0. in) X
L
X П (- i/k«n) |7_ч=^=0'
C.4.11)
где
a величины +1|)и(ж), ij)n (x), /^(i) определены в B.2.12) и
A.2.9). Используя правила вычисления амплитуд процессов пе-
перехода нулевого порядка (см. § 2.1) в C.4.11), запишем S10, in>
в виде
5 I 0, in) = cv ехр е -~ у -J- -j— 1 ехр {iri5cr| — 4" IDCOT\ x
ОТ| ^ц 01 I, <-> )
ос N _|_ _
X ехр (— i S 4aCkiJ 2 (^V!) S П№(тЛ I °) 4v(out) • • ¦
I k>. J JV=O {m>,{n}j = i
. . . Ьп (ои1)ехр(^2(^ (OUt) —T]g — dq (Out) +T)g)l X
1 I 9 J
X a^ (out) ...a+N (out) | 0, out) |J-4=-=0. C.4.12)
Подставляя C.4Л2) в C.4.9) и избавляясь п одном случае от
операторов b (out), 6+ (out), а в другом — от операторов a (out),
a+(out) продвижением их через /+ и /_ в одну сторону, получим
| б, б, я ) Г - t "I
</+> = р ехр е-?— у——-ТТ-} exp{i'nS(+)Tl ^ H*0If X
{ от) яц oi j I. г " )
X 2 (МГ1 S <0, out | anN (out) . . . ап (out) X
N=0 {m},{n}
X exp [iBw] U exp (- Ш(+)} а+ (out) . ..
1 N
. . . <v(out) I 0, out) |1=Л=-=О-П 2&}пГ
76

{e -J- v—=- -jr expUTiS(_)ii lr ШЛ} X
«1 Si)  l ^ '
oo
X 2 (Ar!)~l 2 <0, oul|uBw(out)... bUi(out)x
X exp [iB1^] /_ exp {— iB^} 6^ (out) . . .
.. . btiN (out) | 0, out) |1=Л^=О-Д Z(t>v»j«
где введены следующие обозначения:
П
2 ~^и ('г) ^гГ (out)
O)b+(out)^
о
: '<0, in j-ф (ж)-ф (у) Г | 0, out),
^ _ C.4.13)
±^()±%Ы
и использованы аналогично тому, как это было сделано в § 3.2,
матричные обозначения для вершин и источников. Учитывая
C.4.6), получим окончательно
</+> = 2 {Щ~1 2 <0, out | ат (out) ... ат (outO+p+ X
М=о т Ш J
X а^ (out) . .. а+м(out) | 0, out) = tr/+p+,
оо
</-> = 2 (М!) 2 <0, out I &m^(out) . . . bm (outO_P_ X
X bmt (out) . . . b?M (out) | 0, out) = tr /_p_,
C.4.14)
где
p± = pv exp je -gi- v -^ jj-J exp {г^шЧ - T 'Dol| X
X exp {- iB[±)\ exp [W(±)] exp (Ш(±)) |т=л=-=0 C.4.15)
77

— матрицы плотности, описывающие электроны (+) и позитро-
позитроны (—), рожденные внешним полем из вакуума. В нулевом по-
порядке по радиационному взаимодействию из C.4.15) следуют
выражения C.4.7).
Найдем теперь матрицу плотности частиц, рожденных внеш-
внешним полем из некоторого начального состояния с определенным
числом частиц.
Для этого введем функционал
Z±(a, р, |)=<0, in|F2(a2) p2i
= ехр B (at (in) aln + 6+ (in) pin) + 2 &т<&), C.4.16)
F2(a2, p2, у = ехрГ2(аг»Яп(ш) + р2тА.('п)) + 2
\n к,*
где cci,2, Pi,2 — антикоммутирующие параметры. Переходя в
C.4.16), аналогично предыдущему, к усреднению по out-состоя-
out-состояниям, получим
Z+ (а, р, I) = 2 (М!) 2 <0, out | a (out)...
М=0 {т} '
...атм (out) /~ p+ (a, p, I) atM (out) . .. att (out) 10, out)
Z_ (a, p, Б) = 2 (M!) 2 <P, out | bm (out) . .. 6mM(out) X
M=0 {m>
X?-P- (a, P, 1) b?M (out) . .. b+_ (out) | 0, out) = tr~/-P- (a, P, S),
гДе p±(«, ,p, |) — производящие матрицы плотности:
xexp |iriS(+)Ti — j Шо! — л (°3 + га2)
xexp{—plU?(—
2}{} x
iBi+) + aw+
X exp {iBi+) + a2w+(+ \ +) a (out) +
+ a (out) w* (+ - 10) w (-1 -) p,} |I=n=tr=0, C.4.18)
78

p_ (a, p, I) = pv exp |e ^ v -± щ ехр |?t|S(_,ti -
- 1ID0I - il (a» + /a2) ? + 2 Ъгы
2
КЛ
exp {— рхи>@1 — -f) ax +
+ p8u?*@|- + )a2 + a2^+(+| +)u?(+| +)аг}Х
X exp{—Ш^ + 6+(outO^(-|-)p1-a2wr(+| +)u7(+—|0)X
где
C.4.19)
ч.^ (ж) a2 + ~tp (ж) и?(—| —)Pi, —-ip (x) P,).
+Ф (*) » (+ 1+) a, + _4 (r) p2
Полагая в C.4.18) a=p = |=0, приходим к результату C.4.15).
Если в C.4.18) ограничиться пулевым порядком по радиацион-
радиационному взаимодействию и положить | = 0, то получим
+ р>*@| - +)«. + Р8«?Г(- I -M-j -)Pi}X
Хехр {a+ (out) [ш(+ \ +) а, — и; (+ — I 0) и?* (- | -) р,]}Х
(! )}exp{a2^+(+ | +)a(out) +
+ a (out) ;/;*(+ — |0)и»(—|—)Р,}, C.4-20)
X exp {b+ (out) ii>(— | —)p! — a2wT (+ | +) w (+ — | 0) b+ (out)} X
X exp {W1-*} exp {[four (- | —) + «i»1" (+ I + )»*( H— I 0I Ь (out)},
что совпадает с результатом работы [59], полученным методом
интегрирования соответствующих символов операторов.
79

Используя выражения B.3.32) для функций _Чг„(ж), +Чг„(д;)
и F^xix), матрицы плотности р±(сс, J5, |) можно переписать
следующим образом
р± (а,р , ?) = рв exp [e gi v^^| ехР
i ^^| 1Ф у
X ехр {- 1В(±)} ехр {1У^} ехр {1В(+)} |n=L -=- 1=с, C.4.21)
К = -
С = — D 2
k,
Сравнивая C.4.15) и C.4.12), видим, что выражение для
производящей матрицы плотности р±(а, р, Ь,) можно получить из
C.4.15) с помощью замены источников ц -*¦ L, ц ->¦ К, I-»-С.
Найдем теперь среднее число электронов N^ и позитронов
Nm, рожденных из вакуума в заданном квантовом состоянии.
Это можно сделать, выбирая в C.4.14) операторы /± в виде
/+= em(out)am(out), /_ = 6^ (out) 6m (out).
Тогда
Nt = tr (p+a+ (out) am (out)),
iV- = tr(p_b+(outNm(out)).
Подставляя C.4.15) в C.4.22), получим
(с о \
хехр(^80(^ех1)л-т10о1]| _ . C.4.23)
где в„ —средние числа частиц, рожденных из вакуума в задан-
заданном квантовом состоянии, в нулевом порядке по радиационному
взаимодействию (см. B.1.56), B.1.58)), а
$ И = [+Ф И
Вычисление средних iV^ с помощью метода, изложенного в
§ 3.1 и § 3.2, также дает ответ C.4.23),
80

В качестве примера приведем выражение для Nm с точ-
точностью до второго порядка теории возмущений по радиационно-
радиационному взаимодействию
N+ = nt + 2 Im (J Ф{? (х) у^ФЙ' (х) Z>f {x - у) e3Tfn (у) dx dy +
) /5?n (x, у) ТдФЙ} (У) в (х0 - »0) +
(х, у) ?+срт (у) Э (у, - х0)] Dl (х - у) dx dy}.

ГЛАВА 4
ПОЛНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ РАДИАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
В этой глане обсуждаются методы вычисления полных веро-
вероятностей радиационных процессов но вношпем поле, нарушаю-
нарушающем стабильность вакуума. Здесь следует заметить, что полные
вероятности можно вычислять, суммируя квадраты матричных
элементов переходов по конечным состояниям. Однако известно,
что в обычной квантовой теории поля, в частности квантовой
электродинамике с внешним полем, не нарушающем стабильность
вакуума, эту процедуру эффективно можно снести к вычислению
мнимых частей соответствующих фейпмановских диаграмм, или,
как говорят, к рассечению диаграмм. Например, для полной ве-
вероятности излучения электрона можно написать
ИХ
г
= 21тп
В рассматриваемом случае нестабильного вакуума в связи с по-
появлением дополнительных каналов переходов задача усложня-
усложняется. В частности, рассечение диаграмм типа массового оператора
с причинным дропагатором S" (х, у) уже не дает полной вероят-
вероятности излучения. В этой главе будут проанализированы полные
вероятности различных радиационных процессов и показапо, что
для их вычисления, тем не менее, можно использовать соотноше-
соотношения типа соотношения унитарности, если в каждом конкретном
случае в диаграммах Фейнмана социальным образом выбирать
электронные пропагаторы во внешнем поле [79, 96, 333, 338].
Общие результаты, полученные в этой главе, проиллюстрированы:
в главе 7 конкретными расчетами в различных внешних полях,
нарушающих стабильность вакуума.
§ АЛ. Полная вероятность излучения
Обозначим через ^(in) полную вероятность излучения из
произвольного in-состояния. Пусть это состояние есть состояние
с определенным числом фотонов, электронов и позитронов
lin> =
= <*х.» c?MxMbtx (in)... btNi (in) a+ (in)... а+^ (in) | 0, in>. D.1.1)
82

Тогда указанную вероятность можно записать в виде
out
D,1.2)
где суммирование проводится по конечным out-состояниям, со-
содержащим не менее чем М + \ фотон. В силу сохранения заряда
а сумму D.1.2) дают вклад только out-состояния, в которых число-
позитронов равно К {К 3* 0), а число электронов равно К + N\ —.
— Л^2 (здесь предположено, например, что N\^N2). Следова-
Следовательно,
В=М+1
1 2 S
{> К
х
X
S
<0, out | ani (out) ... aK+Nl-N2 (out) bm^ (out) .. . Ъпк (out) X
X ca
t (in) . . . b? (in) x
1 * 2
Xa+(in) . . . <^(т)| 0, in> f. D.1.3)
Подставляя сюда матрицу рассеяния в обобщенной нормальной,
форме и используя обозначения B.2.25), можно написать
(in) — 2j
R=M
K+N
{и,о}К=0
х 2
У У
L=0 L L2,La,Lt
... m ...
... x
+ + _ -
X <7 . . . p . . .) w (n . . . m ... I q . . . p . . .) |2 pv =
= 2 (Я1Г1 2 2
!-1 2
2 x
L=0
'i-i-J
9 «-/v,-w2-t,4.;
D.1.4)
Рассмотрим вероятность D.1.4) во втором порядке теории воз-
возмущений, которую далее обозначим через ^B'(in). В этом по-
порядке в сумму D.1.4) дают вклад только слагаемые с Л = М + 1
83-

и L = 0, 1, причем неличины i7~(...l...) нужно взять в первом
порядке. Таким образом, ^^'(in) — полная вероятность излучения
одного фотона из in-состояиня D.1.1) с рождением произвольно-
произвольного числа пар. Ниже рассмотрим 5s'2' (in) для нескольких конк-
конкретных начальных состояний.
4.1.1. Полная вероятность излучения из вакуума
Выберем начальное состояние u D.1.4) вакуумным
lin> = 10, in>. D.1.5)
В этом случае ^@)—полная вероятность излучения из вакуума
п ... т к] А,! .. . | 0) w (п ...
D.1.6)
где сумма по i^i — это сумма по всем разбиениям группы кванто-
+ +
вых чисел п\...пк на две подгруппы из L и К — L элементов и
группы квантовых чисел т\...тк на две подгруппы из L и
K — L элементов (в каждой из подгрупп сохраняется исходная
иерархия расположения квантовых чисел), е — четность переста-
+ +-- -f - + -
новки из «1... пкт,\ ... тк в п...т...п...т...,& величина
~~L ?~^ ~lt-L K-L
0~{...\Q) представляет собой сумму всех фейнмановских диа-
диаграмм, описывающих процесс излучепия R фотонов с рождени-
рождением L пар из вакуума.
Рассмотрим подробнее вероятность излучения из вакуума во
втором порядке теории возмущений, которую обозначим через
^B)@). В выражение D.1.6) в этом случае дают вклад только
слагаемые с Я = 1 и L = 0, 1, причем величины iF(...IO) нужно
пзять в первом порядке
fffj D.1-8)
Si

Тогда
,%К=
кЯ.
?(-l)i+jfK)
j 0) -+-
i i_
•w (/г, ... /гК"г, . . . mK\0)\2pD.
D.1.9)
Видно, что ^B) @) есть полная вероятность излучения только
одного фотона из вакуума с рождением произвольного числа пар.
Она представима бесконечным рядом диаграмм. Это связано с
тем, что во внешнем поле, нарушающем стабильность вакуума,
появляются новые каналы перехода, обусловленные возмож-
возможностью рождения пар уже в нулевом порядке по радиационному
взаимодействию.
Следует отметить, что в общем случае диаграммы D.1.7) от-
отличны от нуля, поскольку во внешнем поле теорема Фарри не
выполняется.
Выражение D.1.9) можно значительно упростить. Для этого
воспользуемся связями B.2.12) между функциями
а также между вакуумными токами
мощью можно записать
(х). С их по-
по• w(m\(j,)w(n\p),
: 4.1.Ю)
¦w{O\cj.p),
85

D.1.11)*
cihx
e
Подставим D.1.10) в формулу D.1.9). Тогда выражение под.
знаком модуля в D.1.9), которое обозначим через /, приобрета-
приобретает вид
+ + -
...mK\O)w@\qp)
^.-т^т}^ .. . mK\ 0)x:
+ +
-^чХ/Y ].ш(л,...л,т,...%|«),
Воспользовавшись правилами вычисления матричпых элементов,
процессов переходов нулевого порядка, это выражение можно пе-
переписать следующим образом
+ + +
¦w(nt ... nKm1 ... mK\qp)
+ -vwi J ¦ w(nL . . .
nKml . . . mK\0).,
Тогда
3 S
ЛХ=О
kX
+ -
... mK\ 0) —
86

¦w(nl
. ..mK\ qp)\2pv.
D.1.12)
Используя условие полноты out-вектороп, r выражении D.1.12)
можно провести суммирование по квантовым числам {т), in),
а также по К
"Ч/Оч/^ j
Р-9
.13)
Используя выражение C.2.9) для пропагатора Sin (x, у), D.1.3)
можно представить в виде
D.1.14)
2 P
L-m = — у j tr (/Sin (x, у) Тц^ш (г/, x)) D% (x — y) dx dy,
L[n = - i i .^^n И ?>S (* - г/) ^in
D.1.15)
4.1.2. Дифференциальная вероятность излучения фотона
из вакуума с рождением пар
Рассмотрим дифференциальную вероятность излучения фото-
яа с импульсом к из вакуума с рождением произвольного числа
пар во втором порядке теории возмущений, которую обозначим
^<2)ki. Очевидно, что
.^><2>(kl0) = 2 S (fl) 2j 1 <0, out I ani (out) .. .
.. . anjc(out) bmi (out) &mK (out) ск^A) | 0, in> |2. D.1.16)
Здесь jSA) — матрица рассеяния с точностью до первого порядка
теории возмущений
= 1-г f fL(
D.1.17)
87

Действуя аналогичным предыдущему образом, приходим к ре-
результату
¦'ЧХЧух/^ J
Pi Я
Сравнивая D.1.13) и D.1.18), нидмм, что
У 2> @) =
(к | 0).
. D.1.18)
D.1.19)
Суммируя в D.1.18) по поляризации и используя представление
C.2.9) для пропагатора S\n (х, у), можно представить выражение
для вероятности 3*{2)(к|0) в виде
У2) (к | 0) = 2 Im (Lin (к) + L'in (к)),
где
Lin (к) = - ie* B BлK к0Г' j 9 (а:» - if) U- (ftf* (х, у) у^ х
D.1.20>
D.1.21)
L'in (к) = - i B Bл)Ч0У1 j Э\ (х) 9 (я? - if) Jin „ (у) х
X ехр {— ik (x — у)} dx dy.
Суммируя D.1.20) по импульсу фотона, приходттм к результа-
результату D.1.14).
Следует отметить, что D.1.14) и D.1.20) имеют вид соотно-
соотношений типа оптической теоремы. Подробнее это будет обсуждать-
обсуждаться в следующем параграфе.
4.1.3. Вероятность излучения фотона из вакуума
с рождением одной пары
Выше во втором порядке были получены выражения D.1.14),
D.1.20) для дифференциальной и полной вероятностей излуче-
излучения фотона из вакуума с рождением произвольного числа пар.
Для сравнения с этими результатами приведем соответствующие
ответы для вероятностей излучения из вакуума одного фотона
с рождением только одной пары. Обозначим полную вероятность
такого процесса через &Y @):
где 9^i* (к| 0) — дифференциальпая вероятность излучения из.
вакуума фотона с импульсом к с рождением одной пары. Оче-
88

видно, что ^i2)@) и ^^(klO) представляются членами
из сумм D.1.9) и D.1.16). Тогда
¦w(nm\0)
D.1.23)
Для простоты мы рассмотрим случай, когда вакуумный ток
3*{х) равен нулю, что имеет место, например, для постоянного
однородного поля или его комбинации с полем плоской водны.
Тогда выражение D.1.23) можно представить в виде
\
= 2pvlmL1(k),
D.1.24)
где
Lx (k) = - ie* B BлK ft,) J 9 (a* - if) tr (y»K (x, y) y^K (y, x)) x
Xexp{—ilc(x — y)} dxdy, D.1.25)
К (x, y) = Q (a* - y°) /C(-> {x, y) - 0 (</° - я») Я(+) (х, у),
Просуммировав D.1.24) по импульсу фотона, подучим
?(,2\0)=2pvIm
где
= - т Itr
с°(ж -y) dx dy=
D.1.27)
D.1.28)
В главе 7 будет показано, что для постоянного однородного
поля или его комбинации с полем плоской волны выражения
Im Ljn (k) и lm Lm равны нулю. При этом, как отмечалось вы-
выше, равны нулю все «головастики» с причинным пропагатором
Sc(x, у). В этом случае можно сравнить лыражения D.1.20),
D.1.14) и D.1.24), D.1.27). Они отличаются, как видно, только
пропагаторами электронов.

Отметим, что К{*'(х, у) D.1.26) удовлетворяет однородному
уравнению Дирака
(x, y) = 0 D.1.29>
(сама функция К(х, у) не удовлетворяет ни этому уравнению,
ни уравнению Дирака для функции Грина).
4.1.4. Полная вероятность излучения из одноэлектронного
состоояния с рождением произвольного числа пар
Выберем в D.1.3) начальное состояние одноэлектронным
|in>=a+(in)|0,in>. D.1.30)
Соответствующую вероятность обозначим через &(р). Тогда
К+1
2 2 (-i)'x
L=o L,,L,
1 1.
... m . ..к,Я,11:_. \p_1jJw{a_iLLm... \ p ...)\2pv, D.1.31)
~~L~^ I R~ ТЖ K+l-L К_2; xTl^L
где сумма по L\ — это сумма по всем разбиениям группы квап-
+ +
товых чисел П\...пКь1 на две подгруппы из L и K + 1 — L
элементов (в каждой из подгрупп сохраняется исходная иерархия
расположения квантовых чисел), а сумма по Z>2(max@, L— 1)«5
^L^L) — это сумма по всем разбиениям группы квантовых чи-
чисел mi ... mK па две подгруппы из Tl и К — L элементов и группы
из одного элемента р на две подгруппы из L — L и L-\-\—L
элементов (в каждой из подгрупп сохраняется исходная иерархия
расположения квантовых чисел), е^—четность перестановки из
+ +--++- + + + +
п\ .. .nK+ini[.. жкр в п...пг...р... п . .. m ... р....
L L L-1 K + l-L к_? T+l-L
+
Рассмотрим вероятность ^(р) во втором порядке теории воз-
+
мущений. Обозпачим ее через !?т(р). В этом приближении в
&>{2) (р) дают вклад только слагаемые с R =¦ 1 и L = 0, 1, причем
величины ?7~(...i...) нужно взять в первом порядке. Часть
диаграмм из Зг(.. .1...) определена формулами D.1.7), D.1.8), а
г. D.1.32)
90

Видно, что ^<2) (р) — полная вероятность излучения одного фо-
фотона из одноэлектронного состояния с рождением произвольного
+
числа пар. Из D.1.31) для
4-
2 2
к,ЯК=о
(К\ (К + I)!) ?
X
+
тк\р)
nK+1m1
+
mK \ p)
X
mx. . .тк\
D.1.33)
Вероятность ^B) (/>) представима бескопечным рядом, что связа-
связано с нестабильностью вакуума.
В выражении D.1.33) можно провести суммирование ряда.
Для атого воспользуемся соотношениями D.1.10), а также
B.2.12). Тогда
кх
lux
с ^ с
91

Используя правила вычисления матричных элементов процессов
перехода нулевого порядка, D.1.33) перепишем в виде
f
- -++
. .. mK\qlp)
+ 2
, ч
тк \1) \2 р0
Проводя здесь суммирование по К и по квантовым числам {т}Т
{га), используя условие полноты out-состояний, получим окон-
окончательно
D.1.35)
'Л^-О-ч^Г J
Выражение D.1.35) можно представхтть следующим образом
¦*- +
D.1.36)
92

где
+ р _
Mm (р) = J +ФР (х) Мm (а.1, у) +ФР (у) dx dy,
i + с — '
-Mm(/>) = J +Фр И Mm(ж, у) +дрр(ж) tfz dy,
Min (ж, г/) = ie^Sin (x, у) y^Dl (x — у),
М[п (х, у)=- еу„Р1 (х - у) 5^п (у),
а вероятность ^*'2) @) определена формулой D.1.14).
D.1.37)
4.1.5. Дифференциальная вероятность излучения фотона
из одноэлектронного состояния с рождением произвольного
числа пар
Рассмотрим дифференциальную вероятность излучения фо-
фотона с импульсом к из одпоэлектронного состояния D.1.30) с
рождением произвольного числа пар во втором порядке теории
возмущений. Обозначим такую вероятность через ^B|
Очевидно, что
'(k|p) = S2 (*!(* +
Х=о
, out | ап (out) . . .
. .. апк+1 (out) bni (out) ... Ьпк (out) ckXSll) a+ (in) | 0, in>|2, D.1.38)
где Sll) — матрица рассеяния, определенная формулой D.1.17).
Действуя аналогично предыдущему, приходим к результату
D.1.39)
^\^\^у4 j
Вероятность
можно представить в следующей форме
Pw{Щр) = 9*г)(к 10) + 2Тт (Мы(к |р) + М'т (к |р)), D.1.40)
93

где
Min (к | р) = - е> B BлK ^Г1 j [9 (ж0 - f) ехр {- ** (а: - у)} +
+ 9 (у0 — х°) ехр { + ik (х - у)}] +фр (х) y»Sin (x, у) Уц+фР (у) dx dy,
M\n(Jk\p) =
= -ieB BлK /«„Г1 J +фр (х) УA+Фр (ж) ^й, (г/) ехр {- ik (х - у)} dx dy,
D.1.41)
а вероятность ^B> (к|0) определена формулой D.1.20).
Суммируя D.1.40) по импульсу фотона, приходим к резуль-
результатам D.1.36). Отметим, что D.1.36) и D.1.40) имеют вид соот-
соотношений типа оптической теоремы.
4.1.6. Вероятность излучения фотона из одноэлектронного
состояния без рождения пар
Для сравнения с предыдущими результатами, рассмотрим во
втором порядке вероятность излучения фотона из одноэлектрон-
одноэлектронного состояния без рождения пар. Обозначим такую вероятность
через ^о2) (р)- Очевидпо, что
D-1.42)
+
2) (к | /») = 2 @- out \an (out) c^SU)a+ (in) | 0, in) I2.
где 3>* (к)р)— дифференциальная вероятность излучения фо-
фотона с импульсом к из одноэлектронного состояния без рождения
пар. Сравнивая D.1.42) и D.1.31), D.1.38), видим, что
и З5^ (к | р) представляются членами с К = 0 из сумм D.1.31) и
D.1.38)
,. D.1.43)
г.. X
Предположим, что вакуумный ток 3rti(x)='O. Тогда
J<X г
Р
= 2р„1т Мо (к |/;), D.1.44)

где
Мо (к | р) = — е2 B BлK к,,)'1 \ 9 (х° — у0) +% (х) /х
X К (х, у) уц+% (у) ехр {— Не (х — у)} dx dy. D.1.45)
Просуммировав D.1.44) по импульсу фотона, получим выра-
выражение для полной вероятности iP02 (Р) излучения фотона из од-
ноэлектрониого состояния без рождения пар:
D.1.40)
где
Ма (р)
= + ie2 \ 0 (х'} — у0) +трр (х) у^К (х, у) "fn+typ (у) ^о (х — У) <^х dy.
D.1.47)
В главе 7 будет показано, что для постоянного однородного
поля или его комбинации с полем плоской волны выражения
]тМ1П\р) и 1т М\п\к\ р] раины нулю. В этом случае можно
cpaniiiiTi, результаты D.1.36) it D.1.46). Они содержат диаграм-
диаграммы типа массового оператора, отличающиеся друг от друга про-
и<;гаторадти и концами.
АЛЛ. Радиационные процессы с фотоном в начальном
состоянии
Рассмотрим здесь некоторые радиационные процессы во
внешнем поле, в которых начальное состояние содержит только
один фотон
|in> = Cfcb|0, in>. D.1.48)
Обратимся вначале к полной вероятности излучения из одно-
фотонного состояния, которую обозначим ^(кЯ). Согласно
D.1.4) она имеет вид
оо оо К.
L2
п . . . т . . . на . . . \kx\wl п . . . т . .. \q
где сумма по L\ — это сумма по всем разбиениям группы кванто-
+ +
вых чисел п\ .. .пк на две подгруппы из L и К — L элементов,
95

и группы квантовых чисел mi ... тк на две подгруппы из L и
К — L элементов (в каждой из подгрупп сохраняется исходная
иерархия расположения квантовых чисел), е—четность пере-
+ +- - + -+ -
становки из п\... пкт\... тк в п...т...п...т... Величины
""zT^ ^Т~' K-L ~~K^-L
?7~(...|kl) представляют собой сумму всех фейнмановских диа-
диаграмм, описывающих процесс излучения R фотонов с рождением
L пар из однофотонного состояния.
Рассмотрим вероятность D.1.49) во втором порядке, которую
обозначим ^<2) (кА,). В этом случае в D.1.49) дают вклад слагае-
слагаемые с R ='2 и L=0, 1, причем величины 0" {. ..!кл) нужно взять
в первом порядке
D.1-50)
где входящие в D.1.50) диаграммы определены выражениями
D.1.7) и D.1.8). Таким образом,
.. . mK\ 0)
X-,6,
о)|%„. D.1.51)
i . • • nKm1 . . . mK\
Ряд D.1.51), аналогично предыдущему, можно просуммиро-
просуммировать. В результате получим
^B) (кХ) = ^B) @) + ^<2) (UI0), D.1.52)
96

где вероятность 53'2' @) определена формулой D.1.14), а
^\y\}^^f J
Р>9
D.1.53)
— дифференциальная вероятность излучения из вакуума фотона
с импульсом к и поляризацией X с рождением произвольного
числа пар. Усредняя D.1.52) по X, получим
дЫ (к) = 1 2 ^B) (к, X) = &w @)
D.1.54)
где ^B>(к|0)— вероятность, определенная формулой D.1.20). Та-
Таким образом,
&™ (к) = ^B) @) + Jm (Lin (к) + L[n (к)), D.1.55)
где//т(к) и Ьщ (к) определены формулами D.1.21).
Рассмотрим далее полпую вероятность процесса рождения
пар начальным фотоном. Обозначим ее через 52 (k/t),
Я (к*)- 2 ДОГ' 2
к=о
{тп},{л}
<0, out | аП1 (out) .. . а„К (out) X
X Ьщ (out) .. . bmK(out) Sdi, \ 0, in»2.
С использованием обозначений B.2.25), это выражение можно
представить в виде
! (кЯ) = Д (К!)-JSt
+
К
X
2(-Dex
| кХ) w (n . .. т ... | 0)
K-L K-L
Р», D.1.56)
где ?7"(...|кА,)—сумма всех фейнмановских диаграмм, соответст-
соответствующих процессу рождения L пар начальным фотоном, а описа-
описание суммы по L\ см. в D.1.49).
Рассмотрим выражение D.1.56) во втором порядке. Обозна-
Обозначим его через Ш2) (кХ). В этом случае в сумму по L дают вклад
только слагаемые с L = 0,1, а выражения ?7~(...|кЯ) нужно взять
в первом порядке
Т @|U) -
7 Д. М. Гитман и
др.
97

= - te j 4n (x) B^
Тогда
(Я!)
!)"* ?
i.)
(x) e-«-d«. D.1.57)
У
...mK\0)
nKml . . .
Аналогично предыдущему, этот ряд можно просуммировать.
В результате получим
f \ч/-ч^ч/^
D.1.58)
где
D.1.59)
)e-ihxdx.
Усредним D.1.58) по поляризации начального фотона
f Vwv^
D.1.60)

Сравнивая D.1.18) и D.1.60), видим, что полные вероятности
^B)(к10) и ^B)(k) обладают свойством кроссинг-симметрии
Отсюда
&h) (k) = Im (Lin (к) + L'in(k)) |ft^_v D.1.61)
Обозначим через R(kX) сумму полной вероятности излучения
из однофотонного состояния с рождением произвольного числа
пар и полной вероятности рождения пар начальным фотоном
D.1.62)
Она есть полпая вероятность перехода из одпофотонного состоя-
состояния с рождением произвольного числа пар.
Нетрудно увидеть, что сумму выражений D.1.53) и D.1.58),
которые представляют D.1.62) во втором порядке теории возму-
возмущений, можно записать в виде
= ^B)@) +
D.1.63)
где
njn (kX) = B BлK ft,,)-1 e* (Id) яЁГ (ft) ev (кЯ.),
яГп" (А) = \ < (х, у) exp (tk (х - у)) dx dy, D.1.64)
пйГ (я, у) = «е2 lr (v^n (*, 1/) 7v^in (I/, «)),
а вероятность 5*B>@) определена формулой D.1.14).
Отметим, что поляризациопный оператор nftj' (x, г/) фигуриру-
фигурирует также в уравнениях для среднего поля (см. C.3.20)).
§ 4.2. Соотношение унитарности и оптическая теорема
Как показано во второй главе, если внешнее поле рождает
конечное число пар, то матрица рассеяния S унитарна
S+S~SS+ = 1. D.2.1)
Рассмотрим здесь следствия унитарности матрицы рассеяния. За-
Записывая, как обычно,
S=i + iT, D.2.2)
7* 99

из D.2.1) получаем
D.2.3)
Усредним D.2.3) по произвольному in-состоянию и воспользуем-
воспользуемся полнотой out-состояний. Тогда
2 | <out | Т | in> |2 = 2 Im <in | T | in>. D.2.4)
out
Сравнение правой и левой частей D.2.4) по теории возмущений
приводит к полезным соотношениям типа оптической теоремы.
В рассматриваемом здесь случае внешнего поля, нарушающего
стабильность вакуума, левую часть D.2.4) можно связать, как
далее будет видно, с полными вероятностями. Как показано в
предыдущей главе, для построения фейнмаповской теории воз-
возмущений для правой части D.2.4) усредняемый оператор
(в данном случае оператор &~) следует приводить к нормальной
форме относительно in-вакуума. Это означает, что пропагатором
такой теории возмущений будет функция Грина S\n (x, у), оп-
определенная формулой C.2.7).
Таким образом, из соотношения унитарности следуют, как
будет показано ниже, представления D.1.14), D.1.36), D.1.63),
полученные в предыдущем параграфе суммированием бесконеч-
бесконечного ряда дифференциальных вероятностей.
Рассмотрим соотношения, следующие из D.2.4) во втором по-
порядке. В этом приближении в лерой части D.2.4) достаточно
взять оператор &~ в первом порядке
В правой части D.2.4) оператор 0~ надо взять во втором по-
порядке
т B) = ~ -г Iт ^ (х) /V {у) *» (х) •**(г/)) dx dy-
Тогда
2 | (out | Tw I in) I2 = 2 lm (in | T{i) I in). D.2.5)
out
Рассмотрим в D.2.5) in-состояния без фотонов. В этом слу-
случае в сумму по out-состояниям в левой части D.2.5) дают вклад
состояния, содержащие только один фотон. Это позволяет свя-
связать левую часть D.2.5) с полной вероятностью излучения. Дей-
Действительно, полную вероятность излучения из in-состояния, не
содержащего фотон, можно записать в виде
|(|SA)|in)|2, D.2.0)
out
где штрих означает, что суммирование ведется по конечным oul-
состояниям, содержащим только один фотон. Такие состояния
ортогональны выбранным in-состояниям. Поэтому имеет место
100

равенство
^B) (in) = 2' | (out | TM | in) |2. D.2.7)
out
В силу линейности оператора i7~U) по операторам рождения и
уничтожения фотонов суммирование в правой части D.2.7) мож-
яо распространить на out-состояния, содержащие произвольное
число фотонов (убрать штрих в D.2.7)), что позволяет отожде-
отождествить правую часть равенства D.2.5) с вероятностью i^B)(.in).
Таким образом,
^<2)(in) = 2Im<in|^-B)|in>. D.2.8)
Рассмотрим теперь в D.2.5) состояния, содержащие фотоны,
например, однофотонные. В этом случае в сумму по out-состоя-
out-состояниям в левой части D.2.5) дают вклад только состояния без фо-
фотонов и двухфотонные, ортогональные начальному состоянию.
Как и в предыдущем примере, оператор &~а) поэтому можно за-
заменить на Sa\ При этом сумма по бесфотонным состояниям —
это полная вероятность 9Ь2) (кА,) рождения пар фотоном, а сум-
сумма по двухфотонным состояниям — полная вероятность ^Р<2) (кА,)
излучения из однофотонного состояния с рождением произволь-
произвольного числа пар. Следовательно,
out
где ЛB) (кЛ) — полная вероятность перехода из однофотонного
состояния, определенная формулой D.1.62). Тогда из D.2.9) и
D.2.5) получаем
Соотношения D.2.8), D.2.10) представляют собой аналог обыч-
обычной оптической теоремы для рассматриваемого случая. Отличие
заключается в том, что правые части здесь не являются ампли-
амплитудами рассе-яния вперед. С этим же будет связано появление
проггагатора Scin(x, у) вместо S°(x, у) в фейнманонских диаграм-
диаграммах для этих правых частей.
Рассмотрим примеры конкретного выбора in-состояний, сов-
совпадающие с изученными в § 4.1.
a) |in> = Ю, in>. В этом случае левая часть D.2.8) есть пол-
полная вероятность ^B) @) излучения одного фотона из вакуума с
рождением произвольного числа пар. Тогда
( Vv/^x/ J V ,
D.2.11)

формулами D.1.15). Результат
где Lin и An определены
D.2.11) совпадает t D.1.14).
+
б) |in> = ар (in) |0, in>. В этом случае ^B)(р) в D.2.8) есть
полная вероятность излучения одного фотона из одноэлектрон-
ного состояния с рождением произвольного числа пар. Среднее
значение оператора 3~B> в правой части D.2.8) выражается че-
через вакуумные диаграммы и диаграммы типа массового опе-
оператора
(Ю
*';.,
D.2.12)
где Min(p) и Min(p) определены формулами D.1.37). Результат
D.2.12) совпадает с D.1.36).
в) | in> = c\i% I 0, in). В этом случае среднее значение опера-
оператора ?7~B) в правой части D.2.10) выражается через вакуумные
диаграммы и диаграммы типа поляризационного оператора
оо
^^^v у С Т4^4^
D.2.13)
где величина я,п(кХ) определена формулой D.1.64). Результат
D.2.13) совпадает с D.1.63).
Здесь надо отметить, что выражения в левой части D.2.8)
удается интерпретировать как полную вероятность излучения из
состояния, не содержащего фотоны, только во нтором порядке
теории возмущений. Дело заключается в том, что в высших по-
102

рядках в сумму по out-состояниям дают ненулевой вклад также и
out-состояния без фотонов. Чтобы получить аналог соотношений
типа D.2.5), справедливого в любом порядке, воспользуемся за-
записью унитарности ^-матрицы в следующей форме
2 | <out | 5 | in> |2 = 1. D.2.14)
out
Используя D.2.14), нетрудно получить для полной вероятности
^(in) излучения из произвольного in-состояния, определенной
формулой D.1.2), следующее выражение [338]
м \
- 2 RL |in>, RL = S+PLS, D.2.15)
L /
где
— проекционный оператор на подпространство векторов состоя-
состояний электромагнитного поля с L фотонами, а Ро — проекцион-
проекционный оператор на подпространство векторов без фотонов.
Аналогично можно убедиться, что
D.2.16)
есть полная вероятность перехода (пз начального состояния, со-
содержащего М фотонов) с изменением числа фотонов. В частно-
частности, если выбрать начальное состояпие однофотонным, то
Д(кХ)= <in| A — ДО |in>, D.2.17)
где В(к%) определена формулой D.1.62).
Итак, рассмотренные полные вероятности точным образом
выражены в виде средних значений некоторых операторов. Пред-
Представления D.2.15) — D.2.17) являются обобщениями соотноше-
нпй D.2.8), D.2.10).
Для вычисления средних, фигурирующих в D.2.15)--D.2.17),
соответствующие операторы удобно приводить к нормальной
форме относительно in-вакуума. Для этого предварительно пред-
представим в такой нормальпой форме матрицу рассеяния
-K,L=0
SinK.L = j SinK,L (X, У, Z) N (ijj (Xj) ...Ц (XK) X
^(гх) .. . s&{zL))dxdydz, D.2.18)
где N — символ нормального произведения относительно in-ва-
in-вакуума. Коэффициентные функции разложения матрицы S+ по
нормальным произведениям получаются из коэффициентных
103

функций D.2.18) заменой
Sin (х, у) -> Sfn (х, у), Dc (х-у)-+ Dc ix - S0.
где пролагаторы Sin (х, у), Dc (х -— у) определены в C.2.7) и
C.2.9). Для представления операторов Рь в нормальной форме
воспользуемся соотношением [47]
= N
2
1 2 N In* к .. . Пх . охр (- 2 «каУ). D.2.19)
<k,W \ I х,а J/
Таким образом, при вычислении средних типа D.2.15) — D.2.17)
можно применить теорему Вика.
Рассмотрим, для примера, полную вероятность 5°@) излуче-
излучения из вакуума. Для этого согласно D.2.15) вычислим величину
На основании D.2.19), можно написать
<0, in | Ro | 0, in> = 2 <0, in | S&
.o \ 0, i
Тогда, используя теорему Вика, получим окончательно
940)= 1-
D.2.20)
к-о
где аналогично B.2.25) введены обозначения
+ - - +
Тщ (га . .. ™_-^ | Q_jj P^) ~
Lx L2 L3 L4
= <0, in j an,(m) . .. Ът (in) SinKiQb? (in) ...up (in). . . | 0, in>
D.2.21)
104

X
X
=.у„ fa).
D.2.21)
Рассмотрим выражение D.2.20) во втором порядке теории
возмущений. Поскольку
1
1.2.22)
-in
а диаграммы с К > 1 из D.2.20) не дают вклада, так как все
они не менее чем четвертого порядка, то
что совпадает с D.1.14).
+
Аналогичным образом, для полной вероятности !?(р) D.1.31)
излучения из одиоэлектронпого состояния получим
?о Р
D.2.23)
где ^@)— полная вероятность излучения из вакуума.
105

Рассмотрим выражение D.2.23) во втором порядке теории
возмущений. Поскольку
4. " t f •*- I
то в этом приближении получим
) ^@) 2LVU + М[п(р)),
что совпадает с D.1.36).
Покажем, что величина
<ш|Д01т> D.2.24)
для начальных состояний, ие содержащих фотоны, есть полная
вероятность бозызлучательного перехода из in-состояния с рож-
рождением произвольного числа пар. Действительно, величину
D.2.24) можно переписать в виде
(\0 \\00\
out
В силу определения оператора Ро в эту сумму дают вклад толь-
только out-состояния, не содержащие фотоны. Поэтому
<in | До |in> = ?"| (out |/ViolinJ,
oul
где суммирование проводится только по бесфотониым состояни-
состояниям, что позволяет заменить оператор Ро на единичный. Тогда
<m|Z?0lin> = E"l<out|5|in>|2. D.2.25)
out
Таким образом, величина D.2.24) является полной вероят-
вероятностью безызлучательного перехода из in состояния с рождением
произвольного числа пар.
§ 4.3. Производящий функционал для полных вероятностей
радиационных процессов
Построим теорию возмущений для полных вероятностей, оп-
определенных в предыдущем параграфе. Согласно D.2.15) —
D.2.17) это достаточно сделать для величины
D.3.1)
106

Введем производящий функциопал ??, зависящий от источников
/Р, ЦР, ЦР, ац (р - 1, 2) [95, 96, 338]
<? = «), in\S+(I2, г|2,"т12)Ро(аM(/,, тц, чОЮ, in>,
2
где операторы S+(I, т), т]), <Sr(/, т], т]) определены формулами
C.2.2) и B.3.5). Заметим, что
Po(i) = Po.
Интересно отметить, что функционал Z при осп=О совпадает с
производящим функционалом C.2.3) средних значений.
Определим функции Грина как производные от 2? по всем
источникам
G(x,y, z;x', у', z';{kk}, L) =
n'-l'-mgn+m + I+m'+n' + l'gL^yg-^^j _ _ _ fr]2(xn)X
X бп2 (У.) ¦ • • 6т]2 (ут) в/2 (zj) ... 6/2 (z,) 6Л (г[) ...,
= <U, in ^ 4>(x
XT (ф (*0 ... * (yj) ... Л B;) ... S) I 0, in>, D.3.3)
где
\ 'I x,a J/
а стрелка над оператором упорядочения Г означает его направ-
направление действия: направо—оператор хронологического упорядо-
упорядочения, налево — оператор антихронологического упорядочения.
Функции Грина D.3.3) позволяют находить полные вероят-
вероятности радиационных процессов, введенные в предыдущем пара-
параграфе. Например, для полных кероятностей излучения из ваку-
вакуума и одноэлектронного состояния получаем
as (г\\ \ су I _ //. q к\
«k>.= 1
+ с _
3> (р) = \— lim j +фр(х) у°G (x; у) 7°+фр (у) dx dy. D.3.E)
Функциопал % можно представить п виде
2
(О, in | So (f2, г]2. г|2) Ро (a) So (А,, т\1, %)] 0, in/,
10 7

где операторы S* (/, г), г)), So (/, т], г|) определены формулами
C.2.2), B.3.5) при выключенном взаимодействии. Функционал
iEo можно найти в явном виде
i?0 = ехр {/ f [% (*) S-in (х, у) Ч1 (у) + ^2 (я) 5?п (ж, у) Ч2 (у) +
+ П1 И ^п) (ж, У) ть (</) - % («) Mn} (ж, у) ц, (у) —
- 4" Gi И #о (^ - у) h (у) + h И #о (« - г/) /, {у) +
+ /, (аг) D(+) (х-у\аI2(у) - /2 (х) D^{х-у\а)Тг (у))] dx dy},
D.3.8)
где пропагаторы Scin, S^, S^ определены в C.2.7) — C.2.8), а
D${x-y\a) =
" = =F i f 2 ^ТЛ™ exP {± fft (, - y)} (ak% - 1) Л. D.3.9)
Окончательный ответ для функционала ЗС можно предста-
представить в компактном виде, если аналогично тому, как это было
сделано в третьей главе, ввести матричные пропагаторы и вер-
вершину, и использовать конденсированные обозначения, в которых
¦суммирование по повторяющимся индексам подразумевает и ин-
интегрирование по координатам
где источники Т|, tj, I, пропагатор S0(cflex ) и вершина у опреде-
определены в C.2.10), а
M'-'1 ^'«-'l-)) D.зл1)
Представление D.3.10) для функционала Z эквивалентно тео-
теории возмущений по радиационному взаимодействию с точным
учетом внешнего поля. Диаграммная Техника для Z, а следова-
следовательно, и для функций Грина D.3.3), п силу структуры ответа
D.3.10) янляется фейнмановской, с матричной вершиной у и
матричными пропагаторами S0(cflex) и D(|a).
Отметим, что пропагатор D.3.11) удовлетворяет уравнению
аъ0В{х-у\а)=6{х- у). D.3.12)
Для фупкционала iZ можно написать систему функциональ-
функциональных уравнений
D'ЗЛЗ)
108

где матричный оператор® lcfle + ю3~тг) определен с помощью
формулы C.3.2). Уравнения D.3.13) порождают систему урав-
уравнений для функций Грина D.3.3).
Введем производящий функционал
7f = ilnZ D.3.14)
связанных частей функций Грина D.3.3) и положим по опре-
определению
61 1ч--л=о
S,
tl=Tj=O
6161
l|=tl=0
= D. D.3.15)
Дифференцируя D.3.13) по соответствующим источникам,
получим систему уравнений для функций Грина D.3.15)
s,
D.3.16)
^ = I + ietryS,
которые являются аналогом C.3.6) для рассматриваемого случая.
Функции Грина D.3.15) параметрически зависят от перемен-
переменных akv Однако сами уравнения D.3.16) переменные ctia в яв-
явном ниде не содержат. Поэтому к D.3.16) следует добавить гра-
граничные условия
cflUo= DA«)I, D|e=0 = D(|a), S|e=o = So(^ext). D.3.17)
Уравнения D.3.16) можно преобразовать к интегральному виду
[Si ( Jfxt + о-3Я) — 2] S= - 1, (о3 п - л) D = 1, D.3.18)
если ввести массовый, поляризационный операторы и вершин-
вершинную функцию
я = — le2 tr (ySTS), S = — t
Проведем в D.3.10) функциональное дифферепцирование по
спипорным источникам. Для этого запишем, используя C.2.18)
= /о J exp {tySi (Я™1) Ц+ htf>+ 1Щ] D^Dq, D.3.20)
^(S
-Tr]nS0(^ext)}.
Подставим D.3.20) в D.3.10). Тогда
f( — I л \ —
exp irjpS) (cflext + io-3-^-) ij? + иЩэ •
B(so)
exp {— -у- Ш (| a) I j. D.3.21)
109

Интегрируя в D.3.21) по спинорным полям, получаем
Z = ехр{- Trln So (сГ1 + io» ^-)/so (cflext)) X
X exp{^S0(cflext + ^-A-jT,}exp[_-i_ID(|a)l}, D.3.22)
что является аналогом формулы B.3.12) для рассматриваемого
случая.
Из этого выражения, согласно D.3.5), получаем представле-
представление для полной вероятности ?Р@) излучения из вакуума
@) = (l - ехр (- Tr In So (cflext + to» ±)J30 (cflCTt))) X
X expl- -i- ID (| a) i}^. D.3.23)
Во втором порядке теории возмущений результат, следующий
из D.3.23), совпадает с D.1.14).
Рассмотрим теперь полную вероятность безызлучательного
перехода из одноэлектронного состояния с рождением произволь-
произвольного числа пар. Обозначим такую вероятность через $(р)- Ис-
Используя D.3.3), D.3.6), можно записать
^o^dУ. D.3.24)
Подставим сюда D.3.10) и вычислим производные по источни-
источникам от функционала Ж. Тогда
D.3.25)
где
() [е A Y
JT (Р) = ехр [е A Y щ 1
+Л„ =A — о*)+\р{х, у), +кр(х, У)= +
а выражение
согласно D.2.25) есть полная вероятность безызлучательного пе-
перехода из вакуума с рождением произвольного числа пар. Вто-
Второе слагаемое в D.3.24) можно интерпретировать как полную
вероятность неупругого безызлучательного перехода из одно-
одноэлектронного состояния с рождением произвольного числа пар.
ПО

Рассмотрим вероятность Jf(p). Используя формулу Бекке-
ра — Хаусдорфа, получим
1=4=0=0
Перейдем в этом выражении к связным функциям Грина и вве-
введем относительную яероятность безызлучательпого перехода
Х{р)*-Х(р)/Х@). D.3.27)
Тогда
_ + г
& (Р) = 1 + {— w Tr (vMn+Ap) + ie
-e2Tr(v^ —
- <? Tr (V4^^! vv+AP) - ^ Tr
Vv+A
1=0
A3.28)
Выражение D.3.28) можно выразить через однонеприводимые
вершины
сС —1
~ r"-" K D.3.29)
1=0
ар
1=0
i-o
Тогда для вероятности &(р) получим следующее диаграммное
представление

где введены матричные обозначения
¦SV<
1=0 У
х=1
1=0- >
=cfl|i=0. « =
D.3.31)
+
Рассмотрим вероятность 52 (/?) во втором порядке теории воз-
- +
мущений. Обозначим такую вероятность через М{2) (р). В этом
- +
приближении вклад в 91т (р) дают только две первые диаграм-
диаграммы из D.3.30). В результате получим
ЖB) (р) - 1 -2 Im (Mia(+P) + М[п(р)),
+ , +
где MiR{p) nMin(p) определены в D.1.37).
112
D.3.32)

§ 4.4. Вероятность распада состояний во внешнем поле
4.4.1. Вероятность распада вакуума
Обозначим вероятность распада вакуума через И^О). Оче-
Очевидно, что И^@) можно записать в виде
W@)=i-Pv, Pv=\Cv\\ D.4.1)
где С„ — амплитуда вероятности вакууму остаться вакуумом,.
представляющая собой сумму всех вакуумных фейнмановских
диаграмм, вычисляемых с пропагатором Sc{x, у).
Вероятность И^@) можно связать с полной вероятностью
^*@) излучения из вакуума. Для этого воспользуемся унитар-
унитарностью S-матрицы и условием полноты out-состояний
2
К=1
0, out|an (out)...
1
) . .. Ьтк (out) S | 0, i
. D.4.2)'
Второе слагаемое в D.4.2) представляет собой полную вероят-
вероятность безызлучательного перехода из вакуумного состояния
с рождением пар.
Рассмотрим второй порядок теории возмущений для вероят-
вероятности 1/F(O). Соответствующую величину обозначим через
WiZ)@). В этом приближении
где
D.4.3):
(х, у) y^S* (у, x)) Dl (x — y) dx dy,
L' - - -j- J 9* (x) Dc0 (x - у) &^ (у) dx dy, D.4.4)
rV-{x)= ielv(yvSc(x, x)).
Тогда
где
W«> @) = W@) @)+ 2pv Tm (L + V),
D.4.5)
=l-Pv, Pv
— вероятность распада вакуума в нулевом порядке по радиа-
радиационному взаимодействию.
Если вакуумное состояние является стабильным (например,
в лостоянпом магнитном поле), то
W@)=0.
8 д. ?,т. г
I1TMUII И Л").
D.4.6)
113

Тогда из D.4.2) следует, что в этом случае полная вероятность
^@) излучешгя из вакуума и полная вероятность безызлуча-
тельного перехода из вакуума с рождением пар равны нулю.
Таким образом, вакуумное состояние, стабильное относительно
рождения пар, является стабильным и относительно излучения.
В частности, во внешних полях, не нарушающих стабильность
вакуума, равна нулю диаграмма
D.4.7)
(например, в магнитном поле такие диаграммы раины нулю
в силу закона сохранения), а, следовательно, выражения D.4.4)
для L и L' являются действительными.
4.4.2. Вероятность распада одноэлектронного состояния
Обозначим вероятность распада одноэлектронного состояния
+ +
через W (р). Очевидно, что W (р) можно записать в виде
W(+p) = i-Z\MP-,n\2, D.4.8)
п
где
Мр^п = <0, out | я„ (out) Sa+ (in) | 0, in> D.4.9)
— матричный элемент процесса перехода из одноэлектронного
состояния в одпоэлектрониое, который с помощью неличин
3~{...\...) B.2.24) записывается в виде
Mv^n = w{n\p)Cv + T{n\+p). D.4.10)
+
Рассмотрим второй порядок теории возмущений для W{p).
Соответствующую величину обозначим через W{i)(p). В этом
приближении Cv определяется выражением D.4.3), а
D.4.11)
114

где
+ +
М (п | р) = ie* J +1|)„ (ж) у^ (ж, г/) 7ц +г|зр (a:) Dg (a: — у) dx dy,
= -е\+^п (х) у» +1|>р (ж) D5 (х - у) 3» (у) dx dy. D.4.12)
Тогда для Wm (p) получим
WB) (р) = W(o) (p) + W™ @) У, | ш (п | р) |2 +
п
+ 2рг Гт 2 «>* (я | Р) (М (п\р) + М' (п | J», D.4.13)
где Т^B)@)—вероятность распада вакуума во втором порядке, а
— вероятность распада одноэлектронного состояния в нулевом
порядке по радиационному взаимодействию.
Аналогично предыдущему можно установить связь между
+ +
вероятностью W(р) и полной вероятностью ^(р) излучения из
одноэлектронного состояния с рождением произвольного чис-
числа пар
(~ S (K\(K+ l)!)-i S |<0, out|an (out)...
К=1 {т),{п) 1
(out) Ч (°ut) • • • bmK(°ut) Sav (in) I °' 1n> I2- {ЬЛ.Щ
Здесь второе слагаемое представляет собой полную вероятность
безызлучательного перехода из одноэлектронного состояния с
рождением пар.
В частности, если внешнее поле не парушает стабильность
+
вакуума, то вероятность WB) (p) совпадает с полной вероят-
вероятностью излучения электрона. В этом случае из D.4.14) получа-
получаем обычное соотношение
Wi2) (+) = 0К2> (р) = 2 Im(M(р|р) + М'(р|р)), D.4.15)
+ + + +
где М(р\р), М'(р\р) определяются выражениями D.4.12), в ко-
которых +^Р{х)= +tyP(x)= 4фр(ж), или, что то же самое, выраже-
выражениями D.1.37), поскольку пропагаторы Sc и S1n совпадают. Сле-
Следует отметить, что в этом случае, в силу равенства D.4.7), сов-
совпадают и выражения D.1.46), D.4.15).
8* 115-

4.4.3. Вероятность распада однофотонного состояния
Обозначим вероятность распада однофотонного состояния
D.1.48) через W(kX). Тогда
W(kk)=i- 2
D.4.16)
где
Mkwv = <0, out | ck,ySc?k | 0, in> D.4.17)
— матричный элемент процесса рассеяния фотона, который мож-
можно записать в виде
Мцл-k'v = 6kk/6U'CB + Г (к'?.' | Щ. D.4.18)
Вычисление W(kA,) во втором порядке теории возмущений
приводит к следующему ответу
2pvlm
D.4.19)
где
л (кК) = B BлK /г0)-' е^(кЯ.)я^(/«) 4 (к>„),
(/с) = f п^ (ж, (/) ехр (г/с (а- — г/)} rfx dy,
D,1.20)
В частности, во внешпем поле, не нарушающем стабильность
вакуума, Wl2)(kk) совпадает с полной вероятностью 52(Z)(kA.)
рождения пары фотоном
W™ (кк) = Я{2) (U) ¦=•¦ 2 1ш (п (U) + л' (кЯ,)). D.4,21)
Соотношение D.4.21) имеет и ид обычного соотношения оптиче-
оптической теоремы.

ГЛАВА 5
РАСЧЕТЫ ПРОЦЕССОВ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА
ВО ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Здесь будут приведены расчеты процессов нулевого порядка
по радиационному взаимодействию в различных конфигурациях
внешнего электромагнитного поля. Это процессы, связанные
с рассеянием и рождением пар из вакуума во внешнем поле.
В основном нас, естественно, будут интересовать процессы рож-
рождения пар. Их теоретическое рассмотрение фактически началось
в связи с так называемым парадоксом Клейна [3G8], который
обнаружил возможность прохождения электронов через сколь
угодно высокий потенциальный барьер, созданный внешним
электрическим полем. Заутером [417, 418, 124] было показано,
что вероятность проникновения за барьер экспоненциально мала
(~ехр— EJE), где Е — поле внутри барьера, а Ек — характер-
характерная напряженность поля
(Это поле на комптоновской длине fi/mc производит над элек-
электроном работу тс2.) Швингером [425] было получено явное вы-
выражение для вероятности вакуума остаться вакуумом. Из него
также видно, что фактически наблюдать эффект рождепия пар
можно лишь для полей, сравнимых по напряженности с Ек.
Хотя достижение таких полей в лабораторных условиях в на-
настоящее время остается нерешенной проблемой, интерес иссле-
исследователей к вопросам рождения частиц внешним полем из ва-
вакуума не ослаб. Это объясняется, во-первых, тем, что сам эф-
эффект является одним из наиболее интересных и экзотических
нелинейных эффектов и его исследование интересно с теоретиче-
теоретической точки зрения, так как требует выхода за рамки теории воз-
возмущений, а экспериментальное наблюдение означало бы пропер-
ку теории в области сверхсильных нолей. Во-вторых, теоретиче-
теоретические работы в этом направлении и возможные оценки важны
и в связи с приложениями в астрофизике, где значения харак-
характерных электромагнитных полей вблизи пульсаров ~1013 Гс и
гравитационных полей вблизи черных дыр, действительно, ог-
огромны. В-третьих, сверхсильные поля порядка Ек могут созда-
создаваться в микроскопических областях — это кулоновские поля
сверхтяжелых ядер с зарядом Z > 137. Здесь должно наблю-
наблюдаться рождение е+е~-пары с последующим вылетом позитрона
117

(сообщения об экспериментальной проверке этого эффекта по-
появились в работах [269, 306, 309]). Основные результаты, отно-
относящиеся к проблеме рождения пар сверхсильным кулоновским
полем, можно найти в работах [155, 194, 197—199, 231, 344,.
382J; к основным обзорам здесь следует отнести [121, 15(>, 353,
367, 402J. Более подробно остановимся на работах по эффектам
нулевого порядка в макроскопических внешних полях. Так, в
[171] на основе фейнмановского подхода развит метод вычисле-
вычисления процессов рождения пар и рассеяния частиц (без радиаци-
радиационных поправок) во внешнем электромагнитном поле. В [168]
вычислена вероятность рождения пар в параллельных, однород-
однородных и постоянных электрическом и магнитом полях на основе
фейнмановского подхода. В работе [165] рассмотрено однородное-
электрическое поле, выключающееся при t -*¦ ±°°, для которого^
найдены точные решения уравнения Дирака, построена причин-
причинная функция Грина и вычислена вероятность рождения пары..
В работе [393] обсуждаются вопросы, связанные с устранением
парадокса Клейна. В [170—172] дано обоснование общих фор-
формул для вычисления вероятностей процессов рассеяния и рож-
рождения частиц во внешних полях, асимптотически выключающих-
выключающихся при t -*¦ ±оо. Как показано, вся информация сосредоточена в:
соответствующих решениях уравнения Дирака или Клейна —
Гордона во внешнем ноле. В работах [149, 192, 195, 196, 200,.
291, 375] рождение пар рассматривается квазиклассическнм ме-
методом «мнимого времени» и, в частности, вычисляются вероятно-
вероятности рождения в периодическом электрическом поле. В работах
[150, 194, 201, 3751 задача о рождении пар в однородном элек-
электрическом иоле; сводится к задаче о параметрическом возбужде-
возбуждении квантового осциллятора. В работах [106, 108, 109, 148, 159,
160] рассматривается рождение частиц однородным электриче-
электрическим полем, произвольно зависящим от времени, в частности,
в периодическом электрическом поле [159]. Последняя задача
впервые исследована также в [162]. Обсуждению групповых
аспектов задачи о рождении пар посвящены работы [188, 189,
399, 400]. Оценки возможности экспериментального наблюдения
эффекта рождения пар в лазерном поле приведены в [53, 190,
438]. В [7, 10—12, 88, 272, 333—336, 349] развит общий подход
к решению задачи о вычислении вероятностей квантовых эффек-
эффектов нулевого порядка в произвольном электромагнитном поле.
Здесь получены формулы для вероятностей процессов рассеяния
и рождения частиц с произвольными квантовыми числами, най-
найдено общее выражение для амплитуды вероятности вакууму
остаться вакуумом. На основе этого подхода в [10,98] решена за-
задача о рождении пар в однородном электрическом поле конечно-
конечного времени действия. Пронаналпинрована зависимость вероятно-
вероятностей от временгг действия поля, что позволило, в частности, про-
произвести оценку времени рождения пары. Рассмотрено рождение
частиц параллельными электрическим и магнитным полями и
распространяющейся вдоль них плоской волной в формализме-
118

на нулевой плоскости [И, 74, 96]. Независимо расчет эффекта
для комбинации электрического поля и поля плоской волны
произведен в работах [163, 164]. В [256] рассматривается рож-
рождение частиц свободным электромагнитным полем специальной
конфигурации, а в [68]—рождение частиц в когерентных со-
состояниях в комбинации постоянного однородного поля и поля
плоской волны. При изучении процессов квантового рождения
частиц в сильном гравитационном поле черных дыр было обна-
обнаружено, что соответствующий спектр рожденных частиц имеет
тепловой характер [342, 357—360, 396, 452]. Для выяснения
роли гравитационного поля в формировании такого спектра в ра-
работах [59, 97, 343] рассмотрена аналогичная задача в КЭД и
вычислена матрица плотности, описывающая частицы одпого
¦сорта (электроны или позитроны), рожденные из вакуума. На
основании полученных результатов дана интерпретация роли
принципа эквивалентности в тепловом характере рождепия час-
частиц в гравитационном поле.
Рождение частиц внешним гравитациопным полем по анало-
аналогии с электродинамикой рассматривалось в многочисленных ра-
работах [56-58, 102, 103, 105, 117-119, 122. 123, 224, 296, 315,
342, 354—360, 394—397, 413] (более подробную библиографию
можно найти в книгах [49, 106]).
§ 5.1. Процессы в электрическом поле
Рассмотрим внешнее электромагнитное поле, представляющее
собой комбинацию параллельных электрического и магнитного
полей, задаваемых потенциалами
,-/^xt (х) = @, - хЯФ (х2/к), 0, aEg (ж°/а)), E.1.1)
где Ф и g — некоторые функции, х тт а — размерные парамет-
параметры *). Соотпетствующие напряженностл имеют вид
Ех = Еи = Нх = Пу = 0, Et = Eg', HZ = HO'. E.1.2)
Ниже найдем полную систему решений уравнения Дирака в по-
поле E.1.1), с помощью которой далее построим полные наборы
{±qn(x)}, {*(fn{x)}, определенные формулами B.1.61). Будем
искать решение уравнения Дирака в рассматриваемом поле
в виде
(р(х) = (^^ + тс)\\,(х). E.1.3)
Тогда "ф(ж) удовлетворяет квадрированному уранпепию Дирака
i~a3Eg' + ^-2аНФ')у(х) = 0.
*) Мы сохраняем в этом параграфе во всех формулах постоянные с и А.
119

Его решение можно представить следующим образом
ф (х) = Ь~л ехр {- i (Р1х* + p3xs)/h} /^ (х2) % (х°) Ч, E.1.4)
где р\ и рг — собственные числа операторов lhd\, ihds, иЕ — соб-
собственные бисшшоры для матриц аз и 2з
и ^x\t^x^ решения задачи на собственные значения
* с (а:г) = Vfo c (а:я),
функция %(х°) удовлетворяет уравнению
a Z. — размер периодичности в направлениях хх и ж3.
Уравнения E.1.5) и E.1.6) можно переписать в виде систе-
системы уравнений первого порядка [14]
~ + ?я, (я,)) !кгл(хД = SV^.-tW- E-1.7)
р (Ж<>) = (АГ ~ РРз) Х-р {Х% EЛЯ)
p=±i, х_1(г°)^хИ. а: = (^2с2 + ^2 + ^I/2.
Система E.1.8) имеет два линейно независимых решения, кото-
которые в дальнейшем будем помечать индексами s слева, (,др (х°),
s = ±l.
Подставим E.1.4) в E.1.3). Тогда
<S)<PPlP3 К(х) = Z^ ехр {- i (Plxl + p3x%'k} 2 иР|С (ag<.) Xp (*°),
р
«,,d^) = /^,E(^)Y4. . E-1.9)
«-i.E^a) = (^ + Рз) [mcfxzx(x2) + куЧк2х{х2)] Щ.
Рассмотрим нормировку решений E.1.9). Поскольку Да. (яд яв-
являются собственными функциями эрмитовского оператора, то бу-
будем считать, что они нормированы следующим образом:
J fl\ (**) /X'at (ж2) ^2 =
Предположим, что решения E.1.9) с разными индексами s орто-
ортогональны (ниже на конкретных примерах убедимся в этом)..
120

Тогда для них будет иметь место условие ортонормировки
«если для функции (»)%р(?0) выполняется условие нормировки
|(.а1(^0I2 + (^-Рз)/(^ + раI(8)Х-1(^0I2=1- E.1.11)
Как будет показано далее, функции E.1.9) образуют полную
систему
2 (.)ФрЛ« (*°, х) (.)ф?л« (*°, У) = б (х _ у). E.1.12)
Тогда функцию распространения G(x, у) B.1.30) можно запи-
записать в виде
G (а:, у)^ 2 (.)Фр.р,ае (*) (.)ФрЛхе (?/)• E.1.13)
Рассмотрим теперь решение задач на собственные значения
для гамильтонианов ^e(iin) и 2f6e{tmt) (см. § 2.1)
З^е (fin) ±фп (X) = ±е„ ±ф„ (X) ,
E.1.14)
¦Функции *ф„(х)(?г — р,, р3, X, Q нетрудно найти с помощью
<5.1.7) —E.1.9)
р
X
=-. L-1 ехр {- i {p^ + p3x*)/h) S up. (x2) ^ (tin), E.1.15)
x^ftmt), E.1.16)
где
й' @ = ± {К + Рз) BРо (t) Р± @)/2, E.1.1.7)
Ро @ = (mV + ^2 + л^ @I/2, р+ @ = Ро @ ± я3 @,
+еп = ± р0 {ип), ^п = ± р0 (<(,ut).
Найдем системы функций ^фррл?^) и -фр]Рзх^(^), определеи-
ных согласно B.1.61) формулами
±Фр,р,« (х) = J G (х> *шУ) ±Фр1Рз^ (У) ЙУ>
121

Тогда
1 3 s=fl
где
±(K — р3)/рц (l) (p0 (t)/2p± (t)f/211 q= i%.'p0 (t) —j) yXi (x°
= (p0 (t)/2p± (l)I'2 (i + Л/р0 (t) -^-1 x* C^0)- E.1.19)
Подставляя E.1.18) в B.1.60), получим для матриц <?(±|±)
следующее выражение
)- E-1-20)
Видно, что матрицы G(±|±) зависят от магнитного, поля только-
через интеграл движения X2. Следовательно, достаточно рассмот-
рассмотреть задачу только в электрическом поле, где X2 = р^_ = р\ -\- р%
(Р2 — импульс частицы вдоль оси х2). Для обобщения па случай
поля, включающего и магнитное поле, надо везде в конечных
результатах сделать замену р\ -*- А2. Например, для постоянного
однородного магнитного поля X2 = Bк+ 1 — ?) \еН\, к = 0, 1, 2, ...
Поэтому в дальнейшем рассмотрим конфигурацию E.1.2) с Нг —
= 0. Соответствующие потенциалы и поля имеют вид
•яС(*) = @. 0,0, aEg (хо/а)),
Н = 0, Ех = Еу = 0, Ez = Eg'. E.1.21)
5.1.1. Постоянное электрическое поле
Выберем в E.1.21) функцию
что соответствует постоянному электрическому полю. В этом слу-
случае E.1.6) сводится к уравнению для функций параболического
цилиндра [41]. Одна из фундаментальных систем решений этого
уравнения, удовлетворяющая E.1.8) и E.1.11), записывается
в виде
| (v -г 1)} Z?v[exp (- 15-) т],
(«Х-1 (О = 1-™ (К-r-flW-rf"схр{* ~ vj Dv-i [expf _ I ^ t]
T<v Ь 1)} D-v-i[exp(< ^) т], EЛ-22
(-i)X. M = (-
122

Ps)/(K - Рз)]1[^
т = (еЕ%/2с)~1/2 (/?з — еЕх°/с), v =
р = (m2c3 -i- p*±c)/eEh, eE > 0.
Тогда одна из систем решений уравнений Дирака в рассматри-
рассматриваемом попе имеет вид
«ФрЕ (*) = b/i exp \l р^1 2
(()f pv рг> 0).
Уравнение E.1.6) в постоянном поле имеет и другую фунда-
фундаментальную систему решений. Будем обозначать ее через
<s)(°) ±1
A).
+ ps)/(K - Рз)]и* exp Jj \ vj D_v [- exp (г Jj т]
¦exp i-jv[Z)v_i X
Подставим E.1.24) в E.1.3). Тогда получим еще одну систему
решений уравнений Дирака
,Р*] V,, .«)
f 1 2"р.СA)Хр (А E-1-25)
J p
Можно показать, что E.1.23) и E.1.25) по отдельности образу-
образуют полные ортонормированные системы решений
()Р; ()^ {х\ у) = б (х - у),
P.S.S
Поэтому функцию распростраиения G(x, у) можно построить по
любой из них.
Решения E.1.23) и E.1.25) впервые получены в рабо-
работе [168].
123

Найдем функции ±<Pp?(z)i определенные формулой B.1.61),
Для этого функцию распространения G(x, у) выберем в виде
G (х, у) = 2 (»)фр? (?) (S)Tpj (у),
а в качестве +Фр^(х) возьмем решения E.1.15), соответствующие
постоянному электрическому полю. Тогда
s) (,)&-(tin), E.1.26)
s
где
in) —: ± I— 'vPo («in)/2p= («in)]1 exp ft — ) (])Ф («in)i
exp|i-7-(v — 1)) Ф^^р),
E.1.27)
(_1)Ф±@=[A)ФТ («)]*•
Для нахождения функций ^фр^я), определенных формулой
B.1.61), выберем функцию распространения G(x, у) в виде
а в качестве фр^(х) — решения E.1.16), соответствующие по-
постоянному электрическому полю. Тогда
±Фр? (*) = 2 (8)ФрЕ Dа)^ (tout), E.1.28)
где
t)]l/2 exp (i ^ v j (|)Ф± («out).
1)^± («out) = fPo (tout)/2p± («out)Jl/a exp (* 5"(v - 1)) ()Ф± («out),
E.1.29)
О)ф± (f) = ^1 + ift/p0 (/) AQj dv J_ exp (- i^j t],
С помощью E.1.26) и E.1.28) по формулам B.1.60) найдем
матрицы G^U) и С(±|*)
1/2
124

X |
11/2 <*>-*„ ч <&
, ,пA)Ф (АшО(-1)Ф
out) *V ('in) J
+ Хх'(_1)Ф~* (/out) A)ФИ' (/in)! 6рр'бК'г
[ p_,(g J exT 2 j
2 [ p^(/01)t)p_,(g J exT 2
'out)
№n)
(Ц 6Pp'6ss'. *> x' = ±-
Обратимся к формулам E.1.26), E.1.28), связывающим реше-
решения :j;cppE(z) и [^Pps(z). Решения +срр?(а:)(-фр;(а;)) расклассифи-
расклассифицированы по признаку частица (+) и античастица (—) при
t -> Ud (t-*tani). Найдем поведение коэффициентов (s)^:E(^n) и
(s)si-*(iOut) при iln-" —°° и ?0ut-)-+00- Используя асимптотиче-
асимптотические разложения для функций параболического цилиндра [41],
получим
(D^+ («ш) ~ exp {ipo(hv)ctj%}, (i)^- {tin) -* 0,
(-i,^~(<ш) ~ exp {—ipo(tiD)ctiJ%}, (-i)^+ (*m)-* 0)
П)^+ (*ощ) ~ ехр {1ро(*о„0 ctoni/ft>, п>^~ (*.ш) -* 0,
<-I)^-(*.«t)'- exp {-1ро(*от)с*.„^Й}, (-1>^+(Ut)^ 0.
Тогда
5 1>
(X) ~ (i "фр; (Ж), X" -* Ь ОО (W -^ -|" ОО).
Таким образом, видно, что решения (±1)<рр?(х)((±0ФреИ) опи-
описывают частицу (+1) и античастицу (—1) при х°->—°° (а:0-»-
->-+100). Такая интерпретация решений (ц)Фре(ж) и (~1)фр^(аг}
также получена в [168] из исследования их квазиклассического
поведения.
Подход, предложенный во второй главе, позволяет рассмат-
рассматривать процессы нулевого порядка за конечное время. Это дает
возможность выявить зависимость эффектов от времени действия
поля. В связи с этим рассмотрим процессы нулевого порядка в-
электрическом поле за коночное время Т = tout — ?1Т1.
Подставим E.1.30) в B.1.40) —B.1.43). Тогда [10]
( {{ ) х
,, E.1.32)
125

i 0) = - w @.1 рШ) =
p-(*<>*)р-Ы V/2
ад
\T7F
out) p+Tin
~'f/P+(WM*in)V/2
pp'6tt/, E.1.33)
р+(^)р-Ы\1/2
¦ ('out) Р+ (Чп
эт)(—1>ф (ад
х
\ E.1.34)
Проанализируем зависимость средпего числа рожденных ча-
«хиц E.1.34) в заданном состоянии от времени действия поля
(удобно выбрать /out = — tln = Т/2). Достаточно это сделать для
случая р = 0. Можно заметить, что время действия поля Т вхо-
входит в E.1.34) в безразмерной комбинации
Т{еЕс1ЬУ12.
При Т > Го, где
Т — —— (F 11 F П3/2 F —m2cs'\e\ti E135)
с
5
тс
становятся применимыми формулы асимптотического разложе-
разложения функций параболического цилиндра. Это дает
'К
Видно, что при Т > То среднее число родившихся частиц выходит
на свою асимптотику
«о? = ехр(— п?к/\Е\),
совпадающую с результатом работы [168], где вычислялись
эффекты за бесконечное время. Поэтому можно считать время То
определенной оценкой времени рождения пары. Так, если \Е\ ~
~ 108 В/см, то То ~ 10~9 с, по сама величина "о; практически
jpamia нулю. Если !?1|~?к=1016 В/см, то То = ti/mc2 = 10~2' с,
а п^ ~ Ю/2.
Оценка для характерного времени Го согласуется с оценка-
оценками, полученными из других соображений в работах [168, 170].
При
/
1126

для гаР? справедливо другое разложение
Т_
о
Используя асимптотическое разложение функций параболическо-
параболического цилиндра, найдем поведение E.1.31) — E.1.34) при iout -* +°°г
tin -*¦ —°°, т. е. для электрического поля, действующего бесконеч-
бесконечное время. Тогда
и> (PS I РТ) = t (- iv/2nI/s exp (_ i j v) Г (v) 6pp,6K/,
= — i (_ iv/2.nI/2 exp (г у v j Г (v) 6>%>»
I2 = y(l + cth(- inv)) Spp'6^, E.1.36)
r I 0) |2 = | w @1 рГрО I2 - y(cth (- mv) - 1) 6
/?p> = exp Botv) = exp (— л (те2с3 + p2xc)/eEh),
VT jmc\i 1 E \" V
i
— 7TT 7^ 2* n exPi—nnmW/eEn.)], E.1.38)
41 V « / Vfc / J
k
2 \w\wk 10) I2 = 11 w @1 рЪЬ I2 =
p,? p, t
oo
r zH Z, w exP (— ппт2съ1еЕ%). (о.1.39)
«¦ / 1Лл ' ~,
Результаты E.1.36) впервые были получены в работе [168], вы-
выражение E.1.38) для вероятности pv — в работах [260, 425] г
а E.1.37)-в [12, 170].
Сравнивая E.1.38) и E.1.39), нетрудно получить [96]
pv = exp
где
- лА'еЯй f W {M-) dM2\, E.1.40)
w (М2) = 21 wj№i 10)|* = 21 ш
— полная относительная вероятность рождения и аннигиляции
пары частиц с массой М в постоянном электрическом поле. Со-
Соотношение E.1.40) можно рассматривать как спектральное пред-
127

ставление для pv, причем W (М2) играет роль спектральной
плотности.
Как говорилось ранее, учет постоянного магнитного поля
¦сводится к замене р! -*¦B/с -{- 1 — Q j eH\. Тогда
4iPsk = ехр {- я (ibV + B4 f- 1 - ?) | еН | е)/еД*}, E.1.41)
E.1.42)
E
f VT lmc\*\ EH\ V -l ,J
= exp 5!^:- • ~zLn clh ля
{ \*n) \ ' ?ft n=l
1
) ex p (— япт2ся/еЕН) \,
E.1.43)
W (те2)
= 2
F71 /me \4 ] ?J
F
exp
cthfnn ^г )ехр(—nnm2c3/eEh), E.1.44)
f W(M*)dM2\. E.1.45)
Результат E.1.41) впервые получен в работе [168], E.1.42) —
в работах [12, 170], выражение E.1.43) для вероятности pv —
в [260, 425], а соотношения E.1.44), E.1.45)—в работе [96].
В
(
В заключение этого пункта рассмотрим вычисление процессов
нулевого порядка в скалярной КЭД.
Решения уравнения Клейна — Гордона во внешнем поле
E.1.21) можно записать следующим образом
Ф (х) = L~V2 ехр tipx/%}% (x°),
где
удовлетворяет уравпению
•Одна из фундаментальных систем решений этого уравнения за-
записывается в виде
р{* ^ (р ! Щ D. [е.хР(_ i ?) г],
/ % (^ + 1)} Д-,-г [ехр (/ f) т],
E.1.47)
428

Тогда одна из систем решений уравнения Клейна — Гордона в
рассматриваемом поле записывается так
(8)ФР (*) = ?~3/2 exp {ipx/%} (s)X («о). E.1.48)
Уравнение E.1.46) имеет и другую фундаментальную систему
решений
шх (х°) = BеЕП/с)-1!* exp {i ^ (ц + 1)} D^ [- exp ft j] т],
E.1.49)
(" ш охр |i ^. (ц + 1)} ^ [_ exp ( _ j ^j
Тогда получим еще одну систему решений уравнения Клейна —
Гордона в постоянном поле
<8>фр (х) = ГГ312 ехр {1рх!Щ(&)х (х°). E.1.50)
Функции E)фр(я) и E)ф,, (х) по отдельности образуют полные
ортонормированные системы решений. Например,
Поэтому функцию распространения B.1.75) G(x, у) можно по-
построить по любой из них
G (х, у) = 2 * (8)ФР (г) (()ф; (у), E.1.51)
G(^i/) = 2sE4pH(84*p(j/). E-1.52)
P.s
Решения E.1.48), E.1.50) впервые были получены в работе
[168].
Аналогично сшшорному случаю можно построить [96] два
набора решений {±<рп(х)}, {~ц>п(х)}, определенные в формуле
B.1.83),
±ФР (х) = S в(>)Фр (я) (f)fib (U- E-1 -53)
*ФР {х) = 2 «E)ФР (a:) {i)B± (tmi), E.1.54)
(tin) = к (Ро (tln)/2f2 BеЕП./сГш охр |г ^-
^) т]
(-i^t^J^tcD^C*.»))*, E.1.55)
9 Д. М. Гитман и др. 129

^))*, x = ±. E.1.56)
С помощью E.1.53), E.1.54) по формулам B.1.86) вычислим
матрицы G(±l±) и G(±l±)
X
X exp|i
( M ,г'
U'l Jp.P' = и
°XP |l 2
'- E.1.57)
Аналогично спинорной КЭД, используя E.1.55), E.1.56), мож-
можно показать, что решепия (±11<рр (ж) ((±1>фр(а;)) описывают ча-
частицу (+1) и античастицу (—1) при я°->— °° (ж°-»-+°°). Такая
интерпретация решений (±1)фр(а;) и ^"фрМ совпадает с резуль-
результатами работ [168, 170].
Рассмотрим процессы нулевого порядка в скалярной КЭД в
электрическом поле за конечное время Т = toat — ?ln. Подставим
E.1.57) в B.1.90). Тогда
1/2
у /у», 17+ If Л, .P~(f. \\~1fi ,
»/nn' 1П\ / ^ о Т?"^ (I \ 17— A ^ I ^ о 77— // \ 77 ti \ R
\VV \yJ)== I Zmi'' (e)" i'ouy (—s)^ V'irv I Ли * (s)^ vouv (—a)' v'in/ "PP'r
\ в /8
' @ I pp') = B S (~s)F+ (foul) WF" (fin)) 2 « (-з/+ ('out) (s)F+ {tin)bm>,
E.1.58)
- +
x
2* (-i)*" (foul) (
-2
Используя асимптотическое разложение функций параболи-
параболического цилиндра, найдем поведение E.1.58) при toal -*- +°°, tm~*-
-*¦ —°°, т. е. для электрического поля, действующего бесконечное
130

время. Тогда
w (р | р') = BяГ1/2Г (ц + 1) ехр {- i \ ц} брр,,
w (рр' [ 0) = w @1 рр') - - BяГ1/2Г (ц + 1) ехр [i \ ц] брр,, E.1.59)
к± = ехр (— я (т? + р]_с)/еЕП],
~2 ехр (- nnmV/eEt^, E.1.60)
хр (- лт?с3/еЕЩ, E.1.61)
pv =
fe
+ VT
n =—4
8л3
= El ИРР| 0) |2 = S
р р
lF
= IL (f\* ipf 2 (- 1)и+1д-] ехр (- ппт'сЧеЕП), E.1.62)
= ехр
— nc*/eEh
Результаты E.1.59) впервые получены в работах [168, 170], вы-
выражение E.1.60) для вероятности р„ — в работах [260, 425],
а E.1.62)—в работе [96].
Как говорилось ранее, учет постоянного магнитного поля сво-
сводится к замене Pj.-> Bft + 1)|е#|. Тогда
га±рзь = ехр {— л (т2с2 + Bк + 1) с \ еН \)/еЕП), E.1.63)
^ I) ехр {— лт2сй/еЕ%}, E.1.64)
¦ пп
Н
X ехр (— лпт2ся/еЕП)I, E.1.65)
2 =
УГ
оо
/ л\п+1 v-l /
-{) sh
Я
Pv = ехр -
9*
E.1.66)
131

Результат E.1.63) впервые получен в работах [168, 170], выра-
выражение E.1.65) для вероятности pv — в работах [260, 425], а со-
соотношения E.1.66)—в работе [96].
5.1.2. Переменное электрическое поле
Выберем в E.1.21) функцию
g(x°/a) = th(x°la),
что соответствует напряженности
Впервые решения уравнений Дирака и Клейна — Гордона в та-
таком поле изучались в работах [161, 165].
В рассматриваемом здесь поле уравнение E.1.6) сводится к
уравнению для гипергеометрической функции Гаусса. Одна из
фундаментальных систем решений этого уравнения, удовлетво-
удовлетворяющая условиям E.1.8) и E.1.11), записывается в виде
1, К-ц + ра; l-2ji; у),
E.1.67)
(д. — Я- — ра + 1; 1 + 2р.; у),
где
%= (л!
(Т,)Л1=
E.1.68)
a F — гппоргеометрическая функция Гаусса.
Уравнение E.1.6) в рассматриваемом поле имеет и другую
фундаментальную систему решений
; I + 2А; I-у),
; 1-2Л; \-у),
E.1.69)
132

Тогда получим две системы решений уравнения Дирака
где четырехкомпонентные спиноры vPti определены формулой
E.1.23). Можно показать, что E.1.70) по отдельности образуют
две полные ортонормированные системы функций.
Используя тождества Куммера [40], можно установить связь
между функциями E.1.67) и E.1.69), а следовательно, между
двумя наборами решений E.1.70). Например,
v (га
г (_ >_ __ [t + ра) г A _ х __ A _ рст)
E.1.71)
Г (-1-1-2ц) Г BЦ (-D
г г (ц -4- Я f-ра)
О)
(ЦА.+ ра)Г(|г —Д. —ра-М) 7'Р ^ ^
Найдем асимптотику решений E.1.70) при ж0-*-^00. Нетрудно
показать, что
(.)%!<*) ~ ехр (— «И*°/А)'
Рассмотрим здесь вычисление процессов нулевого порядка в
рассматриваемом поле за бесконечное время ?щ ~*~ —°°, tout ~*~ +°°.
Можно показать, что в этом случае решения E.1.70) (8)ФР?; (х) и
<а)Фрг;(х) совпадают с решениями =фр-(т) и ^фр^а;), определяе-
определяемыми формулами B.1.61), соответственно. Таким образом,
(s^pE^) и is\'pi(x) расклассифицированы по признаку частица
(s = l), античастица (s = —1) при а;0 -*¦ — °° и а;°-»-+оо соответ-
соответственно, что совпадает с результатами работ [165]. Поэтому ре-
решения E.1.70) можно непосредственно использовать для вычис-
вычисления процессов нулевого порядка в рассматриваемом поле.
Подставим E.1.70) в B.1.60). Тогда
133

Используя соотношения E.1.71), E.1.11), получим
г ( \+\ <D^i Г A + 2ц) Г BЦ „
2ц)Г(-2Д.) л
E.1.73)
Г A - 2ц) Г BХ) я
Г A + 2ц) Г BЯ)
^1 I-М.р".' -- (Г^ г (и + г -г о) г а + ,х + х - о) 6рр'6«'-
Остальные матрицы получаются комплексным сопряжением из
E.1.73). По формулам B.1.40)—B.1.43) найдем амплитуды ве-
вероятности процессов нулевого порядка
Ы- I т?Г'\ - A)'V) Г(Х '"И —Р) ГA + Х ]-|х + о) с .
т
Г BХ)
ГA+2ц)ГBЯ)
Г (Я + ц + Ст) Г A - 2ц)
(^^ Г (Я-ц-0
Г A + ц + Я - а) Г (X + ц + а) Г (- 2Я.) fi fi
Г(ц-Я.-а + 1)Г(ц-Х + а)ГBХ,) рр' К'"
Воспользовавшись тождествами для Г-функций [40], получим
'оi2-6рр'8К' те : ; 1 ;^—-.
sh2^(n + X-26)sh2^GT+X + 26)
1Г
sh 2jir (Я + И. — 26) sh ^ (JT + Я + 26)
± 8Ь^((Г-'Х + 26)8Ь^(Л-Ц + 2в)
яа ~ \ , / яа ~
t Я
с еЕа
о =
134

При а ->- °° из E.1.73)—E.1.75) получаются ответы, совпадаю-
совпадающие с результатами вычисления процессов нулевого порядка в
постоянном однородном электрическом поле.
§ 5.2. Комбинация постоянного поля
и поля плоской волны
Здесь будут рассмотрены процессы нулевого порядка во внеш-
внешнем поле, представляющем собой комбинацию постоянного одно-
однородного поля и поля плоской волны. Потенциалы такого поля
выберем в виде
•я*"* (х) = - \ F^ + U («*). E.2.1)
Здесь F^ — тензор напряженности постоянного однородного поля
с отличными, от нуля инвариантами
от — J- F F*v <? — i- F F**4
(F% = -?eMvap^"P! Рцуар — полностью антисимметричный тензор),
через которые выражаются его собственные значения
FnVn = (§ Пц,
Fllvmv =
= - Жп^ F*^ = Звп»,
1/2_ grj irt 2fe = [{^2Jr S2I/2 + ff-\ ш,
отвечающие изотропным собственным векторам re, га, т, т, п2 =
= п2 = тп2 — т2 = 0, (пп)=2, (mm) = —2, (пт) = (пт) — (пт) =
— (пт) — 0, а fv(nx) — произвольная функция, удовлетворяющая
условию
п^(пх) = п4Цпх) = 0. E.2.3)
Тензор напряженности электромагнитного поля, отвечающий по-
потенциалам E.2.1), имеет вид
FiiV(x) = Ftlv -Ь t[Vv (nx), a^Hv (пх) = п^'ч(пх) — nj» (nx). E.2.4)
Поскольку инварианты &" и 'З тензора F^ отличны от нуля, то
существует специальная система отсчета, в которой электриче-
электрическое и магнитное поля из F^ коллинеарны друг другу и прост-
пространственной части п вектора га№. В этой системе отсчета полное
поле E.2.4) соответствует постоянным, однородным и коллине-
арным электрическому и магнитному полям и распространяю-
135

щейся вдоль них плоской волне, а $ и Ж равны напряженно-
стям электрического и магнитного полей соответственно.
Полезно ввести в рассмотрение комбинации собственных век-
векторов п, п, то, то
E.2.5)
удовлетворяющих условиям
В терминах нводенных векторов потенциалы E.2.1) и тензор
E.2.4) можно записать следующим образом:
E.2.7)
(m(~)m!v+)— т^ /ге(~') + ^(/гх).
Поскольку вектор «д+) — времениподобный, то в специальной си-
системе отсчета (п(+)х) есть просто временная компонента.
Наконец заметим, что рассматриваемое поле является свобод-
свободным (бестоковым)
5.2.1. Решения уравнения Клейна — Гордона
Найдем здесь решения уравнения Клейна — Гордона в поле
E.2.1), необходимые для расчетов процессов нулевого порядка.
Отметим, что такие решения для рассматриваемой комбинации
внешнего поля в специальной системе отсчета изучались в [9, 82,
271, 273]. Приведем здесь их для общего задания потенциалов
и виде E.2.1). Часть из пих, а именно +(р„(ж) = +Фхр1ь(а;)> имеет
вид
+<p*,Plft (я) = +%ь (х) %th И, E.2.8)
где
+Ы И = N ехр {/еФ (х) - i \ (пх) + vk In (=р Л (па:) (| е \ &Г1'2) +
+ i+У (пхЦохр {— i+Ж* (пх) згц},
| j (р), E.2.9)
136
-1 p2j

A(nsc)
A(ruc)
x) + m™ {idId
-(пх),
(те2 + BА;+1)|е1^)/1е|а', к = 0, 1, 2,
(я)= -8/Цпх) (
N - B*+1Ш ) A)\
E.2.10)
Нк(р) — полиномы Эрмита, Я,, pi — собственные значения опера-
операторов 2id/d(nx) и id/d(m(+)x). В E.2.9) под In понимается глав-
главная ветвь логарифмической функции
ln(=FA(na;) (H<ff)-1/2) = ln |Л(иж) (\е\&)-Щ + inQ{±A(nx)),
а контуры интегрирования по т и аргументы Л(пх) в E.2.10)
<*>eiJt Л(пх)
Re Г
Рис. 2
Л{пх)
Rer
Рис. 3
показаны на рис. 2, 3 для функций +Ж{пх), +3?' (пх) я~Ж(пх),
~2?(пх) соответственно. Знаки «+» у функций +фхр и(х) соответ-
соответствуют знаку кинетического импульса А(пх) при пх -*- ±°°.
137

Покажем, что принятая в E.2.8) классификация по знаку
кинетического импульса А(пх) совпадает с классификацией по
признаку частица (+) и античастица (—) при (п(+)х) -*+<» в
соответствии с принятыми во второй главе обозначениями. Для
этого, аналогично тому, как это было сделано в [164] для слу-
случая электрического поля и поля плоской волны, рассмотрим сле-
следующую комбинацию решений E.2.8)
+ 00
+Фр1Р8* (*) = Bя И <ГГ1/2 | М (ра, Ц ~ц\Р1к (х) dk,
М(р8, X) = [ {к2У 22)/4Я} (' 
Функции E.2.11) также удовлетворяют уравнению Клейна —
Гордона во внешнем поле E.2.1). Преобразование, обратное
E.2.11), имеет вид
+<Г>.Р1* (*) = Bл | е | &Г1/а $ М* (р3, *) +cpPlP3ft (х) dp3. E.2.12)
— оо
Основной вклад в асимптотику функций E.2.12) при (п(+)х)-*-
-*- ±оо дает седловая точка Л(пх) = — 2|, где | = ((ге(+)а;) —
— ръ\е&) \е\&. Поскольку функции ~+У (пх) и +Ж (пх) стремятся
к пулю при Л(пх)^>- Too, то можно убедиться, что асимптотика
решений E.2.11) совпадает с асимптотикой решений в постоян-
постоянном однородном поле E.2.1) при /ц(па;) = О, т. е. с решениями
E.1.47) и E.1.49), расклассифицированными по признаку части-
частица (+) и античастица (—). С другой стороны, ввиду гауссового
характера функции М*(р3, ?*), решения +<pPlp3ft (ж) с большими рэ
не вносят вклад в интеграл E.2.12). Поскольку при конечных рз
и (ni+)x) -*¦ ±оо решения ~ffplpak(x) растиасспфшитрованы по
признаку частица (+) и античастица (—), то из E.2.12) следует,
что и решения ~<f;.p1h{x) имеют такую же классификацию.
Каждая из функций E.2.9) но отдельности ортонормирована
относительно скалярного произведения B.1.73)
Однако между собой решения +ср и ~ф не ортогональны. Что ка-
касается полноты, то, как будет видно далее, наборы решений
{+ф} и {~ср} представляют собой части двух различиых полных
и ортонормированных систем решений.
Отметим, что в силу структуры функций E.2.8), умножение
на фактор Q(A(nx)) или 8(—А(пх)) не выводит их из класса ре-
решений уравнения Клейна — Гордона. Иными словами, решения-
решениями уравнения Клейна—Гордона в поле E.2.1) будут являться
138

также два набора функций
Р1й W = в (Л (л*))
()
~ _ E.2.13)
4>%Vlk (х) = 0 (— Л (пх)) tpXpift (x).
Набор решений {'+ft.p1k(x)} образует полную и ортонормирован-
ную систему относительно скалярного произведения на нулевой
плоскости [98, 96]
(+ФхРlk, +Ф ' Л = бшб '<W9 (Л (гаж)),
-О,
S {ч-Ф^к (*) +ФхР1к (») - ~Ч>хР1к (х) ~4>tPlk (У)}пх=пу = °- E.2.14)
SJn^[+«Pxp,k(a;) +фхР1л(») — ~фхР1ь (ж) ~5*Pift(^)])nx=riy =6(u—u'),
и = [(пх), (т<+)х), (т<->х)}, и' = [(пу), {т^у), (т^у)},
где
(ф1, Ф2)т« = Т J *Р* (а:) И^Фг (ж)dn- E.2.15)
Перейдем к нахождению недостающих решений -ц>п (?)¦ В ра-
работах [163, 164] на примере постоянного электрического поля,
а также комбинации постоянного электрического поля и поля
плоской волны, было показано, что решения -ф(я) можно выра-
выразить только через решения ~ц>(х), а +<р(%) — только через +ц:(х).
Магпитное поле не может изменить этой ситуации. Тогда ясно,
что
+Ф«2+Ф, -Ф«2~Ф. E-2.16)
а из соотношений B.1.88), E.2.13) и E.2.16) видно, что
a/Pfc'
Здесь матрицы G(~|_) и G(+\+) найдем ниже (см. п. 5.2.5) из
соотношений B.1.87) через матрицы G(~\+) и G(+|~), которые
с помощью формул B.1.86) определены решениями E.2.8). Не-
Нетрудно проверить, что матрицы G(~\+) и G(+\~) диагональнът
139

no квантовым числам X и р\. Выберем матрицы C(~|_) и G(+\+)
также диагональными по X и pi. Тогда из E.2.17) получим [82]
И = 9 (Л (пх)) У2 +<рь к, (х) G (+|+),Pl^,xPlft, E.2.18)
ft'О
-ФхР|* (*) = 0 (- Л (пх)) 2 "фц.,*' И G (-\-\Plkr,XVlh. E.2.19)
ft. —О
Для установления свойств решений 1ф?.Р]й(ж) достаточно пред-
представлений E.2.18) и E.2.19). Так же как и ранее, можно по-
показать, что решения E.2.18) и E.2.19) расклассифицированы
по признаку частица (+) и античастица (—) при (га(+>ж)-»- ±оо.
Используя преобразования E.2.11) и E.2.12) и независи-
независимость скалярного произведения от временной переменной (п(+)х),
можно показать, что системы {-±Фар,&(#)} и {±Фхр1й(ж)} ортонормиро-
ваны отвосительно скалярпого произведения B.1.73). Например,
Полноту этих наборов докажем в шестой главе, построив с их
помощью перестановочную функцию G(x, у) B.1.75) и непо-
непосредственно проверии свойство B.1.78).
5.2.2. Решения уравнения Дирака
Решение уравнения Дирака во внешнем поле E.2.1) выберем
в виде
( ^. E.2.20)
Тогда ylp(x) удовлетворяет квадрированному уравнению Дирака
/ о \
I йЭ2 т2 е п vvy ir\ 1 .ь /Т\ _ n /t: о on
! t' — 'if' о" СГму/^ \*^// ф\"*7 — '-'• W > ^ > ^ -17
\ " i
Для отдел(мшя в E.2.21) спиновых перемепных выберем
где Vi, % = ±1 — четырехкомпонентный спинор, собственный для
операторов 2, а
a jet (x) удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона для части-
частицы с массой
т\ = т? — ieS + еЖ%,.
В специальной системе отсчета операторы 2 и а совпадают со
стандартными матрицами 2з и аз-
140

Аналогично скалярной КЭД, можно построить два набора ре-
решений уравнения Дирака во внешнем поле E.2.1), раскласси-
расклассифицированные по признаку частица — античастица [82, 96],
Ф^1^И ( ()) Ц
где
тг 1 ih fr\ (^ 9 99*1
= о (Л (иж)) 2j +Ф>.Р1й'ь \Х)" \н I /xPlft's,xPlftj'
oo
/„\ /^ f — I \ /r: о oa\
'bl^y^v I — APik'?APlkJ> ^d.z.zo^
= Яц — е/ц (иа;), vftjt = iXh,j2,
E.2.24)
функции +X(rear), ~J (nx), tyPlh(x), A(nx) определены формула-
формулами E.2.10). Матрицы G(+\+) и G(~\-) определим ниже из соот-
соотношений B.1.37) через матрицы G(~|+), G(+\~), которые с по-
помощью формул B.1.60) определены решениями E.2.22).
В E.2.23) использовано то, что матрицы G(~|+), G(+i~), а сле-
следовательно, и матрицы G(~l_), G(+\+) диагональны по кванто-
квантовым числам X, ри S-
Каждая из систем функций (^<F>.Plfc* (x)} и {^ТхР1ь;(ж)} орто-
нормирована относительно скалярного произведения B.1.6). На-
Например,
(иФа,Р1ь:. «'fPj/p'fe'S'j = йхх'би'бр1Р'б/Л'бк,, к = ±.
Полноту каждого из этих наборог? докажем в шестой главе, по-
построив с их помощью перестановочную функцию G(x, у) B.1.30)
и непосредственно проверив свойство B.1.27).
Так же как и для уравнений Клейна — Гордона, система
функций
E.2.25)
= 8 (Л (пх)) [)
образует полную и ортонормированную систему относительно ска-
скалярного произведения на нулевой плоскости [98, 11]
141

S Pl-
?Plht (У)] Р(-
) \пх=пу
= 4.Р(_)б (U —
(Ф1, Ф2)пх = J Ф1+ (а:) Р(-)ФЯ (a:) du.
E.2.26)
5.2.3. Вычисление процессов нулевого порядка.
Спинорная КЭД
Все вычисления будут проведены для спинорной КЭД. Для
скалярной КЭД приведем лишь окончательные ответы в п. 5.2.4.
Из свойств E.2.23) решений _<р и +<р и соотношений B.1.64)
получаем
при Л(гаж)>0, E.2.27)
л
= 2 ~~Ф*Р1ь'? (х)G ("l+
fc'=0
2
fc'=0
Тогда, используя E.2.26), можно написать
1 /-
пх Л(пх)>о
= +D
Л(пх)<0
Определим теперь матрицы G(~l_) и G(+l+), входящие в
E.2.23), используя соотношения B.1.37), выбрав их эрмитовыми
в Ш - с (J-) _ 0 - -в)« - 1 ?
?. „
142

Тогда
\)
Видно из сравнения E.2.28), E.2.30) и B.1.58), что диагональ-
пьге матричные элементы матриц "D и +D связаны со средним
числом "x,pth? родившихся элежтронов и позитронов в заданном
состоянии с квантовыми числами Xpikt,
„+- —п /к о ч^\
Таким образом, соотношения E.2.28) — E.2.31) позволяют пы-
числять матрицы G(±\±), G(±|;h) и среднее число родившихся
электронов и позитронов в заданном состоянии, используя ска-
скалярное произведение решений E.2.22) на нулевой плоскости.
Подставим решения E.2.22) в E.2.28). Тогда после несложных
преобразований получим [74, 96]
~D r , г=
U'6 ;°t,v e-xP t— я (™ + A — DI е I <5©)/| е | б +
-j- | е | Ж ехр (— n^/^)/sh {п9в1§) (im +ХJ} X
где
~jf <-) = +Jfм (пх) т(^\ б = ехр (— яЖ/S),
I (zt, ys, к; ь yv V) - E-2-33)
7 7 (о ~*~ А*'/г'м^" \ ркп ^ т^^ Мh (ос А- и \ Н\/ (х —1— и ^ die
—оо
Функцию I(z2, г/2, к; z\, г/i, к') можно выразить через полиномы
JIareppa [41]
-* (Z2i J/2' "' Z\i У\1 к ) =
= Z2ZX \l hi/1 h\) yx L,^ {— 4j^M<2,)i K^-h.
При выноде E.2.32) использовано тождество
— 2 Im 1.7 (пх) + \ 1Ж (пх) еР1Ж* (пх) =
= \е\ ЖаЪ.(пЖ1§){\т 1ЖJ при =ьЛ(иа:)<0.
Подставляя E.2.32) в E.2.31), получим
, k^ = ехр { — л (/те2 4- Bк + 1 — ?,) \ е \ Ж)/\ е \ (S +
. E.2.34)
143

При этом учтено, что
| ~h |2 = - 2 | е | Ж (Im+XJ = - 21 е \ Ж {1т+К)\
+K = — (её1)'1 J exp{^~1JF(iit —1пт))х E.2.35)
-о
Xef([k±T(\e\&)l/2]/\e\&)(T - ЫГ1 fa.
Для вычисления ивтеграла E.2.35) разложим f»(nx) в ряд
Фурье
2 < 2 Кк) cos (m |TiV ± S"T) + ^sin
и воспользуемся свойством E.2.6), для векторов т^\ Тогда
(im^XJ1+л(пХ)<о= — Dе2^>2) sh2 (nMjg) x
X
+ i Ы ch2 (пЭв/2&) А^}А{,ГЮ + х sh21
+ |-sh (яадг) (il?^ - В^А^)} (zi'hi^ - tfVr*)]. E.2.36)
() г (гз^/гг) ± (ш)л/^ г (- /
Рассмотрим случай монохроматической плоской волны
/и (пх) = ra^a cos (w («л;)) + «г^Ь sin (ю (п^)).
В этом случае из E.2.36) получим
\е\Ж (Im +K)%л(ПЖ)<о = — +f sh(пЖ/S"),
+v = ^^- [(a T6)sS + («± ЬJ б + 2 (а» - Ь2) cos Bа
Тогда
«?р1&е = ехр {- я (те2 + B/с + 1 - I) | е | Ж)\\ е\8—
— +у ехр (- пЖ1&)\ Lk (- 2+y sh (пЗЮ/&)). E.2.37)
144

Если плоская волна поляризована по кругу (Ь = а\, ?=±1),.
то [И]
n?PiK = ехр {- л (т* + Bк + 1 - Q | е | 38)/| е | <Г -
— пе2а2/| е \ & ехр (± (I =F i)n3V/&)} X
X Лк (- 2яе*а2/| «I # -sh (яЗ^/Й") ехр (± я
E.2.38).
Видно, что nj~p ft^ в этом случае то зависит от квантовых чисел
Р\ и К, а
При выключении поля плоской волны из E.2.34) получаем ре-
результат E.1.41).
Найдем полное число родившихся частиц
«±=2 nLK, E.2.39)
KPvhX
где щр ь; определено формулой E.2.34). Суммирование по к в
E.2.39) проводится с помощью формулы [41]
J Lk (x) zk = A - z)-> ехр {_ жг A - *)-*}, | г | < 1.
ft=0
Тогда для и* получим
„± = VT ^Щ- cth (яЗ»/У) ехр {- лт*/\ е \ Ж). E.2.40>
B л)
Таким образом, полное число родившихся частиц не зависит от
параметров поля плоеной волвы и совпадает с выражением
E.1.42) для полного числа рожденных частиц в постояшном од-
однородном поле. Этот результат согласуется с известным выводом
[260, 425] о том, что плоская волна не ^нарушает стабильность
вакуума.
Выражения для матриц G~l(T\=f), входящих в амплитуды от-
относительной вероятности простейших процессов нулевого поряд-
порядка, найдем, используя соотношения E.2.29),
/_| ч (л -п\-1/2
E-2.41)
Для вычисления матриц +/)п воспользуемся формулой
Ю Д. М. Гитман и др. 145

суммирования
1. ^(г4, #4, А; 2з. ^ «К (*2> 2/2, »; h, Уп к') = ехр {2y2y3z2z3} x
п=0
X / (z4, г/4 + y2saz3, ft; zxz2z3, y3 + ух (z2z3)-i, к'), E.2.42)
которая выводится из определения E.2.38) и формулы Мёл-
лера [41]
у zh „
= A — z2) ехр Bxyz — z" (x2 -f- г/2) A — z2)), | z [ <C 1.
Применяя последовательно соотношение E.2.42), получим
= Ьп..Ь ,Ь-Л, ехр {- яп (т2 + A - ?) | е |
е 15^ sh (jin2M;8')/sti! {лЖ,%)\ ехр (— гхпЖ!&) (im +/fJ) X
X /[б, +ft6"-1sh(nn30/3>)/sh(.'i50/a'), Л; б2"",
~й*61"n sh {ппЗ/в!&Iдл (лШ!&), к'] |.Fa(t«)<o, п > 1 • E-2.43)
Относительные вероятности рассеяния рождения и аннигиля-
аннигиляции частиц выражаются, согласно B.1.42), B.1.43), через мат-
матрицы E.2.41), а также через их свертки с матрицей G(+\~) и
имеют довольно громоздкий вид. Если же провести суммирова-
суммирование этих вероятностей по одному или по обоим квантоиым чис-
числам, то результат упрощается. Поэтому далее выпишем ответ
только для таких просуммированных вероятностей
V | w (п? | п) |2 = V | ш (п ( т) |2 = 2 (+Dk)
п k0
| | | (
п п k=0
21 iv (тп\ 0) |а -=: 2 | w @ | пт) |2 = га+ + J (+Dk)mm,
Ц | U7 (Ш | 0) I2 = V \Ш @ | ШП) |2 = П- + 2 (
П П ft —2
^ [. ОО
2 I ie(nm| 0) |2 = 2 I и>@ | «в) |2 = п^ + 2
т,п т,п к—2
где
<^п)лр1«.лр1« = ехР 1- лп (т* + B* + 1 - Е)
+ | е | Ж ехр (— ппЖ/S") [sh {пп2в/&)/»Ъ2 (пЖ/g)] (im +ЯJ} X
X ?ц B1 е | «Э«? sh2 (лге^/^)/зЬ2 (я5»/3") (im +ЯJ)|ТЛ(пх)<о.
E.2.45)
146

Вероятность р„ вакууму остаться вакуумом также можно вы-
выразить через матрицы +D в следующем виде
= ехр (tr In (l-+!>)) = ехр — п+— 2 к'1 tr +Dh . E.2.46)i
I ft=2 J
Подставляя в E.2.46) выражение E.2.45), получим
• E-2-47)
Отметим, что E.2.47) ие зависит от параметров поля плоской
волны и совпадает с вероятностью р„ E.1.43) s постоянном од-
однородном поле. Слагаемое с п = 1 в показателе экспоненты в
E.2.47) совпадает с полным числом рожденных внешним полем
частиц (см. E.2.42)).
Вычислим также полную относительную вероятность рожде-
рождения или астнигиляции пары. Обозначим ее через W(m2). Тогда
W (m2) = 21 ю (рй 10) |2 = 2 |и> @ | ]>п) |2 =
рп рп
= VT ? 2 clh (ппЗЮ/&) ехр (- ялт*/| е | <Г). E.2.48)
(^¦ п=1
Из E.2.47) и E.2.48) получаем [96]
р„ = ехр - я,1 в | «• JV (ЛГ) dM2\, E.2.49).
где W(M2)—полная относительная вероятность рождения или
антигиляцил пары частиц с массой М, определяемая формулой
E.2.48), в которой надо сделать замену т2^-М2. Соотношение
E.2.49), аналогично E.1.40), можяо рассматривать как спект-
спектральное представление для pv, в котором W(M2) играет роль
спектральной плотности.
5.2.4. Вычисление процессов нулевого порядка.
Скалярная КЭД
Приведем результаты расчетов для процессов нулевого по-
порядка во внешнем поле E.2.1) в скалярной КЭД.
Среднее число родившихся из вакуума в заданном состоянии
частиц выражается через матрицы
E-2.50)
10* 147

с помощью соотношении
P V = 6^'6,P; exp I - я
+ | е | Ж ехр(- n^/g'Vsh (яЗВ/Й") (im +ЯJ) X
X / F, +h, к; 6, +Л*, к') |?А(«хо, E.2.51)
где функция / определена формулой E.2.33), а скалярное про-
произведение решений яа нулевой плоскости — формулой E.2.15).
Тогда
= ехр I- л (т* + Bк + 1) |
+ | е | ^ ехр {— n^/<T}/sh (л5»/У) (Тт +^J} X
X Lh B | е | Ж Aт +ЯJ)|^Л(пХ)<о. E.2.52)
При выключении поля плоской волны это выражение совпадает
с E.1.63).
Суммируя E.2.52) по квантовым числам, получим полное чис-
число родившихся из вакуума пар
ехр ^~ \
Видно, что и* не зависит от параметров плоской волны и совпа-
совпадает с полным числом родившихся пар в постоянном однородном
поло (см. E.1.64)).
Так же, как и в снитторной КЭД, матрицы G(TIT) выберем
эрмитовыми, разрешив соотношения B.1.87),
G (Т|т)=A + TZ>I/a=G(f |-) = У (-Dn+1Bn)!_ n
V + + ; VH ' ,Si (Bn)!!JB«-l) +
Тогда получим
л. t
(ади 10) |2 = 2 I w @ I ram) |2
n
= S (- 1)"+1 (+
@)|2 Sl
^i ¦ ¦ • " *=2 • »' E.2.55)
148

= 2l
Г ОС 1 j °° 1
= exp 2 (- Ifn-Hr+D" ¦= exp - я+ + 2 (- 1)* Л Ir+0* •
Применяя последовательно формулу E.2.42), получим [74, 96]
+ [ | e | d9 exp {- япЭвф) sh (nn^/g'Vsh8 (л^.'й')] (Tm +*)*} X
X /F, +/i6n~I аЪ(япЗЮ1&IяЪ.{я№&), к; 82п~\ ТкЧ1^ Х
X ah(nnXg/g)iah(ji3lg/g), k')\+Mnx}<0,
(+D\PiKXPih = exp {- яп (/»2 + BЛ + 1) | e 15»)/| e | ^ +
X Lk B1 e | Ж sh2 (nn^/^)/sh2 (я^/«Г) (im +A:J) |+л(п=с)<о- E.2.56)
Тогда
= exp
DO
У (- 1)" n~3 sh^1 (ппЖ/tf) X
W (m2) =-.
DO
Для величин E.2.57) можно получить [96]
р, = ехр _я/И«У \W(M*)dM*\, E.2.58)
»
где W(M2)—полная относительная (вероятность рождения или
аннигиляции пары частиц с массой М, определяемой формулой
E.2.57), в которой надо сделать замену т2 -»- М2.
В заключение этого параграфа отметим, что при вычислении
всех характеристик процессов нулевого порядка, существенно ис-
использовалось то обстоятельство, что решения E.2.22) (в скаляр-
скалярной КЭД—решения E.2.8)) образуют ортовормированную си-
систему на нулевой плоскости. Поэтому для вычисления процес-
149

сов перехода в этом случае наиболее адекватным является ис-
использование формулировки квантовой электродинамики на нуле-
нулевой плоскости [276, 369, 406, 440]. В работах [И, 96] таким
образом вычислены относительные вероятиости процессов нуле-
нулевого порядка, среднее число родившихся из вакуума частиц в
заданном состоянии в постоянном электрическом поле и распро-
распространяющейся вдоль него поля плоской волны. В частности, для
спинорной КЭД эти величины имеют вид
10) [2 = | w @1
8\S
l - ef+)(VI e\
) /^ (i»(±),/), E.2.59)
где pi — импульс вдоль оси {т^х). Эти же результаты были
получены независимо я в работах [163, 164].
§ 5.3. Рождение частиц из вакуума
в когерентных состояниях
Как показано ранее (см. вторую главу), зшание полной и ор-
тонормированной системы решеняй уравнения Дирака во внеш-
внешнем поле позволяет вычислить процессы нулевого порядка. В ра-
работах [6, 270] был найден новый тип решений уравнения Ди-
Дирака в поле E.2.1) с комплексными, интегралами движения —
когерентные состояния. Эти решения образуют переполненную и
ноортогональную систему. Поэтому использовать ее непосред-
непосредственно для расчетов процессов нулевого порядка по формулам
второй главы нельзя. Отметим, что найденные когерентные со-
состояния ортонормированы относительно скалярного произведения
на нулевой плоскости.
Когерентпые состояния [6, 270] обладают замечательным
свойством: среднее значение координаты в таком состоянии сов-
совпадает с классической траекторией. Причем квантовые числа.
когерентного состояния характеризуют параметры траектории.
В работе [68] предложен способ использования когерентных
состояний для расчета некоторых характеристик процессов ну-
лоного порядка.
150

Пусть {(fn(x)}—полная и ортшормироваштая система реше-
решений уравнения Дирака. Разложим когерентное состояние tyq(x)
по этой системе функций
= 2 СвтФ*. (*). E.3.1)
ВеличиЕЕа Ic^l2 определяет вероятность, с которой в состоянии
^q(x) можно обнаружить состояние фт(я). Если через ©т обо-
обозначить абсолютную вероятность рождения позитрона (—) и
электроЕщ (+), то величина
\cqm\2«>(m\ E.3.2)
«¦сть условная вероятность того, что в когерентном состоянии
будет обнаружен электрон или позитрон с кваптовыми числами
т. Просуммировав E.3.2) по т, получим вероятность рождения
частиц в когерентном состоянии. Обозначим ее через ю," '
(Оц = 2j\cqm\ <*>т ¦ (Ь.6.6)
т
С другой стороны, во второй главе показано, что ю^ совпадает
со средним числом щ». родившихся из вакуума частиц в состоя-
состоянии т. Тогда @д+) можно интерпретировать как среднее число
родившихся из вакуума частиц с квантовыми числами q
»q+=2Km|2"m. E.3.4)
m
В качестве примера рассмотрим внешнее поле E.2.1). В этом
случае [68J
E.3.5)
тде R — радиус орбиты частицы в магпитном поле.
Подставляя E.2.34), E.3.5) в E.3.4) и используя выражение
для производящей функции для поллномов Лагерра [41], по-
получим
*fPlet ""¦= СХР (- я (т3 + A - С) I в | Щ'\ е | S +
+ | в | Ж ехр (— пЖ18)!&\\ (яЖ1&) (im +/f)a —
— 21 g |2 exp (— пЗв'8) sh (яЗК/^Г)} X'
X /0 B | q| cxp(- Ji30/ff){2\e\Ж)ш (_ (im +^JI/2) !Тл(п,)<о,
E.3.6)
где /о — функция Бесселя мнимого аргумента.
151

Выключая поле плоской волны, получаем
1ч1 = ы?{-п{т? + {1-1)\е\Ж)!\е\& ~
- 21 д |* ехр (- пЖ1%) sh {пЖ1&)}. E.3.7)
Из E.3.6), E.3.7) видно, что при
величина /щ> в?-»-0. Это объясняется тем, что частице энергети-
энергетически выгоднее родиться с меньшей энергией. Поэтому частицы,.
в основном, рождаются на траекториях с радиусом
i)]m. E.3.8)
Просуммируем E.3.6) по квантовым числам. При этом сумми-
суммирование по q сводится к интегрированию по R в пределах от О
до °°. Тогда получим полное число родившихся частиц
п±= 2 ntv «7E = FJ ^Щ- cth (яЗ»/#) exp (— пте2/|е|аГ), E.3.9)
что совпадает с результатом E.2.40) и является дополнительным
аргументом в пользу рассуждений, приведших к формуле E.3.4).
§ 5.4. Матрица плотности частиц, рожденных
во внешней поле
В этом параграфе найдем матрицу плотности частиц одного
сорта (электронов или позитронов), рождсгтных из вакуума внеш-
внешним полем, в нулевом порядке по радиационному взаимодействию.
Соответствующие выражения приведены формулой C.4.11).
Выражение C.4.11) позволяет получить явный вид матриц
плотшости в тех случаях, когда найдены относительные амплиту-
амплитуды вероятности рождения пар. Так, например, в случае постоян-
постоянного однородного поля, используя E.1.32), получим
¦'рП — Upn \CiJJ ^JliifcJ/l c- \ILJ ) 1} , E.4.1)
EkX = m2 + B/« + 1 — Q | e \ Ж,
Тогда
p = pv exp f— 2 ln (exp (nEk ?/| e | ^) — 1) a% (out) йр (out)),
I p I
; E.4.2)
p_ = pv exp [— 2ln (exP (я-Ёйх/I e I ^) — 1) ^p (out) bp(out)!,
где вероятность р„ определена формулой E.1.43).
152

С помощью р± можно рассчитать среднее ¦число роягденных
в данном состоянии частиц
тг+ = Tr (a+ (out) ap (out) р+) = ехр (— nEkX/\ e \ 8),
Пр = Тг 0+ (out) fop (out) p_) = ехр (— nEkX/\ e | &),
что совпадает с E.1.41).
Для скалярной КЭД из E.1.59) получим
ZPV = брп (ехр (я?м/| е | 8) + \ Г\
P = {Pi,P2,k}, к = 0,1,2,... {*А-д)
Тогда
р -= pv ехр (— 2 In (ехр (nEhiOl'\ е | ^") -•- 1) aj (oul) ap (out)),
I p J
р_ = pv ехр f— 2 Ь (ехр (nEhi0/\ e \ g) + 1) fcj (out) fop (out)j,
тде пороятность р„ определена формулой E.1.65).
Вычислим с помощью E.4.4) среднее число рожденных в
данном состоянии частиц
r*= exp(— лЕк,0/\е\&),
что совпадает с E.1.63).
Для постоянного электрического поля (Ж ->¦ 0) получим
4 = ехр (-яр), P = (m2 + vl)/\e\g: E.4.5)
и ответ не зависит от статистики.
Найдем выражение для матрицы плотности в комбинации
постоянного однородного поля с полем плоской волны. В этом
случае
4S= 2 (+Dl)m« = (+D(\- +D)-%n, n = {A,, Pl, к, Q, E.4.6)
где матрицы ~+Dmn определоны формулой E.2.43). Тогда
а
р.=р„охр {2 (In+?)„»+ 2* 4+-D%n Um (out) а„ (out)
(
p_ = Po cxp ( 2 I (in ~D)mn + 2 l~* (~Dl)mn I fti (out) bn (out),
lm,?l L 1=1 J
E.4.7)
где вероятность pv определена формулой E.1.43).
Среднее число рожденных о заданном состоянии частиц, вы-
вычисленное с помощью матриц плотности E.4.7), совпадает с
выражением E.2.34).
153

Отметим, что величина E.4.5) не зависит от продольной (па-
(параллельной электрическому полю) части импульса. Это связано
с тем, что на родившиеся частицы продолжает действовать элек-
электрическое поле, так что в пределе больших времен действия рав-
равновероятно найти частицы с любыми импульсами вдоль поля.
Поэтому распределение E.4.5) содержит в себе информацию
лишь о перпендикулярном движении рождающихся частиц. Энер-
Энергией этого движения естественно считать величину
Заметим теперь, что имеется известное сходство уравнения
движения частицы в статическом электрическом и статическом
гравитационном полях, В случае электрического тюля уравнения
движения имеют вид
4f = eE' E.4.8)
где Е — напряженность электрического поля. Пробные частицы
в гравитационном иоле движутся по геодезическим линиям в че-
четырехмерном пространстве — времени (принцип эквивалентно-
эквивалентности). В статическом гравитационном поле для этих частиц можпо
переписать уравпения движения в трехмерной форме, аналогич-
аналогично вышеприведенному [137]
где е = тс2({ — v2fc2)-l/2 — полная энергия пробной частицы,
у. — — grad ln(gooI/2 — трехмерный вектор напряженности грави-
гравитационного поля. При внешнем сходстве этих уравнений, они
обладают крайне важным отличием: константа взаимодействия е
заряженной частицы постоянна и не зависит от характера дви-
движения частицы, в то время как константа взаимодействия части-
частицы с гравитационным полем пропорциональна полной энергии е
пробной частицы. Последнее свойство является прямым след-
следствием принципа эквивалентности.
Если формально заменить напряженность электрического по-
поля Е на величину, характеризующую напряженность гравитаци-
гравитационного поля и, и воспользоваться принципом эквивалентности,
считая, что констапта взаимодействия частицы с полем пропор-
пропорциональна ее энергии, и заменить е на е^, то получившееся та-
таким образом из E.4.5) выражение [97, 343]
щ, = ехр(— neL/x) E.4.10)
можно интерпретпровать как средпее число частиц, рожденных
соответствующим гравитационным полем. Обращает на себя вни-
внимание тот факт, что E.4.10) есть распределение Больцмана с ха-
характерной температурой
в' = HJnkB. E.4.11)
154

ТЗсли и — напряженность гравитационного поля на горизонте чер-
черной дыры, то 9'=DяСА:БМ)~1 и отличается лишь численным
множителем от температуры
найденной Хокингом [357—360] (см. также [342, 396, 452]) для
распределения рождающихся частиц в поле черной дыры. То, что
E.4.10) является распределением Больцмана как для бозе-, так
и ферми-частиц, на наш взгляд, объясняется тем, что это — рас-
распределение только по перпендикулярному импульсу, который не
полностью определяет состояние частицы.
Конечно, приведенные выше рассуждения следует рассматри-
рассматривать лишь как некоторый аргумент в пользу возможной связи
принципа эквивалентности и теплового характера излучения чер-
черных дыр, а не как строгое доказательство этого.

ГЛАВА 6
ПРОПАГАТОРЫ ЧАСТИЦ ВО ВНЕШНИХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
§ 6.1. Введение
Как следует из общего рассмотрения (см. гл. 2—4), точный
учет взаимодействия с интенсивным висшним электромагнитным:
полем в квантовой электродинамике в каждом конкретном слу-
случае достигается заменой пропагаторов свободных частиц на нуж-
нужным образом определенные пропагаторы частиц во внешнем элек-
электромагнитном поле. Вытекающие из такого рассмотрения выра-
выражения для пропагаторов частиц во внешнем электромагнитном
поле имеют вид некоторых матричных элементов от киаятовопо-
левых операторов или выражаются через коммутаторы (антиком-
(антикоммутаторы) последних. Эти выражения однозначны и представля-
представляют собой основу для развития методов расчета пропагаторов в
различных внешних полях. В частности, наиболее естественно
из таких выражений получаются представления пропагаторов.
частиц во внешнем поле в виде сумм -по решениям уравнений
Дирака или Клейна — Гордона.
В настоящей главе приведены вычисления протгагаторов ча-
частиц, фигурирующих в общем подходе, в различных внешних
электромагнитных полях. Обсуждаются методы нахождения про-
пропагаторов во внешнем поле: метод расширения операторов, ме-
метод собственного времени и функциональный метод.
Опишом в этом введении предварительно все фигурирующие
в общем подходе пропагаторы частиц во внешнем электромаг-
электромагнитном поле. Приведем их исходное кваптовополевоо определе-
определенно, соотношения между нимгг, представления в виде сумм по
решениям уравнений Дирака и Клейна — Гордона, а также урав-
нештя, которым удовлетворяет каждый из пропагаторов. Сделаем
это сначала для пропагаторов спинорного поля. Они имеют вид:
G(x, у) = [$(*), Г(У))+, F.1.1)
5(~) (х, у) = ic~' <0, out | Ц (х) у (у) 10, in>,
S(+)(x, у) = ic^1 <0, out Ж») ФИ 10, in>, F.1.2)
Sc (х, у) = icT1 <0, out | Га|> (х) ц (у) \ 0, in>,
Мп} (х, у) - i <0, in |ф (х) ф (у) | 0, in>,
156

, у) = i <0, in | tp ДО i|> (at) | 0, in>, F.1.3)
Sin (x, y) = i<fl,in\Ty (x) ф (y) | 0, in),
S}n(x, y) = t <0, in 1 op(ar)^ (t/) T | 0, in>, F.1.4)
?<-> (ar, y) = г <0, out | x<~) (x) $+) (y) | 0, out),
K(+) (x, y) = i <0, out | Ф("> (у) tpc+) (x) | 0, out), F.1.5)
if (x, y) = e (x° - у0) к^ (x, y)
где г|з(ж), i)j(i/)—операторы «ганорного поля п представлении
взаимодействия, in- и out-вакуумы, амплитуда вероятности ваку-
вакуума остаться вакуумом с„ определены в § 2.1, а рождающие
относительно out-вакуума частя операторов етшнорного поля
г[з(+)(х) и ${+)(х)—в § 2.2. Операторы х^'Цх) и Ф(-> (а;) опре-
определены соотношениями
Х(-' (ж) = Сф(+) (ж) f)+, Ф(-' (ж) = (г|)(+) (ж)) +7°.
Перестановочная функция G(x, у) есть функция распростра-
распространения уравнения Дирака, подробно описанная в § 2.1. Функция
S'(x, у) служит пропагатором теории возмущений для матрич-
матричных элементов процессов перехода (см. § 2.2). Функции Scin(x, у),
Sin(x,y) и S[~T}(x,y) являются составляющими матричного
пропагатора теории возмущений для средних значений (см.
§ 3.2) тт полных вероятностей радиационных процессов (см.
§ 4.3). Через функции Ki4:)(x, у), К(х, у) выражаются полные
вероятности излучения из вакуума одного фотона с рождепием
одной пары и полная вероятность излучения одного фотона
электроном без рождения пар (ом. § 4.1).
Функции F.1.1) — F.1.4) связаны между собой определенны-
определенными соотношениями. Так,
5е (х, у) =, 0 (х° - у0) 5(-> {х, у) _ 9 (у0 - х") 5(+) (х, у),
SI (х, у) = 9 (х» - у0) Stf (х, у) -0 (у0- х°) S\+} (х, у),
Si (х, у) = - 8 (х° - у°) 5|п+) (х, у) + 8 (j,o - зР) Stf {x, у) -
= S^ {х, у) + i sig" (*» - у*) G (х, у)
С (а;, ;/) - i E(-} (ж, у) + 5(+) ( )) °
Для того чтобы установить связь между функциями Sc(x, у) и
Stn{x, у), разложим вакуум <0, out! в F.1.2) по полной системе
157

in-состоянии
°° — — + +
<c^ <0,out I = 2 (Щ~* 2 w @1 щ . .. n^m^ ... mN)X
X <0, in\amN(in) . . . am^(in)bnN(in) . . . 6^(in). F.1.7)
Подставим F.1.7) в F.1.2). Поскольку операторы rf>(a;) и ip(x)
линсйиы по операторам рождения и уничтожения in-частиц, то
ненулевой вклад в F.1.2) дают только слагаемые с N = 0 и N =
= 1. В результате получим
Se(x, y) = SU*, y) + Sa(x, у),
-+ - F.1.8)
а ^ 0, in | am(in) 6n(in) \
Аналогично для функций Sm(x, у) получаем
.Sm (х, у) - 5ff > (х, у) + ^=) (а:, у),
_+ _ (ал.у;
¦5"-) («. V) = * 2 ю @1 «»г) <0, in | em (iп) 6„ (in) ф (я) i|> (уI0, in>,
n,m
5?+) (ж, у) = i 2 i» @1 nm) <0, in | am (in) bn (in) ^ (у) ф (ж) 10, in>.
n,m
Из одновременных канонических перестановочных соотношений
B.1.4) операторов спинорного поля следует условие для функции
¦G(x, у)
G(^y)\xo=vo = 8(x-y). F.1.10)
Отметим, что функции Sc(x, у) и Scin(x, у), соответственно
<S(:F) (х, у) и 51пц (х, у), отличаются друг от друга только во внеш-
внешнем поле, нарушающем стабильность вакуума (во внешнем по-
поле, не нарушающем стабильность вакуума, функция Sa (x, у) =
= S"j.) (х, у) = 0). Кроме того, во внешнем поле, не нарушаю-
нарушающем стабильность вакуума, выполняются равенства:
К(х, y) = Sc(x, y) = Scin(x,y),
Km(x, y) = Sm(x, у) = 8[?{х, у).
¦Функции F.1.1) —F.1.5) выражаются через решения уравнения
Дирака во внешнем поле следующим образом:
G {х, у) = 2 (+Ф* (*) +Фп (у) + _фп (ж) -9^ (у))г
71
Sl~} (х, у) = i 2 +ф« {х) w{n\m) +фт (у),
п.т
_ F.1.11)
{x, y) = i*2i-.qn(x)w(m | n)~ipm (y),
.-158

+ +
i 2j +фп (x) w(n\m)
n,m
x° > y«
i jj _q.n \X) w \m i n) фт [у/, х <^у ,
n,m
fc0 (*, y) = i 2 ±Фп (л) _ьФп (г/),
*-> in \X, У) —
— i 2 -Фп И -фп (У), х* > Уй
Scin(x, у) = \
п,т
, у) = i 2 ±ф„ И ±;ф„ (у),
а:
), @.1.15)
@.1.16>
Здесь {±ф„(х)} ({±ф„(а;)} — полная, в каждый момепт времени,,
и ортонормировапная система решений уравнения Дирака во-
внешнем поле, описывающая частицу (+) и античастицу (—)
при х° -*¦ —°° (х° -*¦ +оо). Например,
(±ФЯ. ±ф„,) = б»»'. (±Ф„. ^.Ф„0 = 0,
2 (+Ф„ (^°, х) +Ф+ (ifi, у) + _Фп(а*, х)_ф+ (з:0, у)) = б (х-у),
F.1.17)
а функции ±г|5„(ж) определены формулами B.2.12).
Подставляя F.1.15) в F.1.9), получаем
Sr+) (х, у) = 5{?> (х. у) ± Sa (х, у). F.1.18)
Таким образом, для вычисления всех; кведенных функций
F.1.1) — F.1.4) достаточно найти только 5(Т)(ж, у) и Sa(x, у).
Все остальные являются их комбинацией.
Выпишем уравнепия, которым удовлетворяют функции
F.1.1) —F.1.5). Рассмотрим функции G(x, у), ?(т)(х, у),
S\n) (х, у), К{ч){х, у), S*(x, у). Поскольку спинорные опера-
операторы ty(x)> $(х) удовлетворяют уравнению Дирака во внешпем
поле, то эти функции также удовлетворяют уравнению Дирака
, y)=0, F.1.19)
%\ Km, Sa}.
15»

Функции 5е (х, у), Sin (х, у), Sin (ж, #)являются функциями Грина
уравнения Дирака
D{^^)S(x,y) = -b(x-y), F.1.20)
S =¦ [S 7 Sjn, — Sin\.
Отметим, что функция К(х, у) из F.1.5) не удовлетворяет урав-
уравнениям типа F.1.19), F.1.20).
Приведем теперь квантовано левые определения пропагаторов
скалярного поля
G(x, г/) = [ф(*), Ц>+(у)]-, F.1.21)
0м (х, у) = La'1 <0, out | ф (х) Ф+ (у) | 0, in>,
Di+) (x, y) = — ic~x <0, out | Ф+ (у) Ф (х) | 0, in>, F.1.22)
Dc (х, у) = ic~l <0, out | ГФ (ж) Ф+ (*,) | 0, in>,
Db? (х, у) ¦= i <0, in | ф (х) Ф+ (у) | 0, in>,
Dti) (x, y)-=-i <0, in | ф+ (у) Ф (ж) 10, in>, F.1.23)
D-m(х, у) = i <0, in | 7ф (ж) Ф+ (у)| 0, in>,
^л (ж, ») = г <0, in | ф (ж) ф+ (у) Т10, in>, F.1.24)
тде ц>(х), <р+(х)—операторы скалярного поля в представлении
взаимодействия, in- и out-вакуумы, амплитуда вероятности юа-
кууму остаться вакуумом определены в § 2.1.
Перестановочная функция G(x, у) есть функция распростра-
распространения уравнения Клейна—Гордона, описанная в § 2.1. Функ-
Функция Dc(x, у) служит пропагатором теории возмущений для мат-
матричных элементов процессов переходов в скалярной КЭД с внеш-
внешним полем. Функции D\n(x, у), D^{х, у), D\n{x, у) являются со-
составляющими матричного пропагатора теории возмущения для
средних значений и полных вероятностей радиационных про-
процессов.
Функции F.1.21) —F.1.24) связаны между собой следую-
следующими соотношениями
Dc (х, у) = в (х° - у») D(-> (х, у) - 6 (у° - х°) D{+> (х, у),
Drin (х, у) = в(х«- у») D& (х, y)-Q (у0 - я") Dtf (x, у),
dL (х, у) = - 0 (х° - у») Я?> (х, у) + Q(y«- x°) Dtf (х, У) =
= />in (х, у) - i sign (я* - у«) G (х, у),
€{x,y)=,-i (Z>("> (х, у) + D<+) {x, у)) =
= - t (/>in) (х, у) + D\i} (x, у)), F.1.25)
(dW(х, У)У = - d№ (у, *h 6126)
@L{х, у))*--- -riiAy,x).
Для того чтобы установить овязь между функциями D"(x, у)
160

и Din(x, у), разложим вакуум <0, outl в F.1.22) по полной си-
системе in-состояний, согласно F.1.7). В результате получаем
Dc(x, y) =
Da(x, у),
F.1.27)
= i 2 w @1 mn) <0, in | an (in) bm (in) Jq> (х) ф+ (г/) | 0, in>.
n,m
Аналогично для функции D{T) (x, у) найдем
a)
Da) (x, у) = Dfi* {x, у) +
x, у),
= i 2 w @1 mn) <0, in | an (in) bm (in) <p (x) q>+ (у) \ 0, in>, F.1.28)
n,m
. in I an(in) bm (in) ф+ (у) ф (х) \ 0, in>.
D(+)(x, y) = —i ^^(OI^
n,m
Из одновременных канонических коммутационных соотноше-
соотношений B.1.81) операторов скалярного поля получаем условие для
функции G(x, у)
G (*, У) |жо=уо - 0, A G (*• I/) 1х»=у» = ~ *6 (х - У). F.1.29)
Отметим, что функции D°(x, у) и D\a (x, у), соответственно
Dm (х, у) и DiJ' (x, у), отличаются друг от друга только во внеш-
внешнем поле, нарушающем стабильность вакуума (во внешнем по-
поле, не нарушающем стабильность вакуума, функции Da(x, у)
и Z)"+) (x, у) равны нулю).
Функции F.1.21)— F.1.24), F.1.28) выражаются через ре-
решения уравнения Клейна — Гордона во внешнем поле
G (х, у) = 2 (+ФпИ +Фп (У) - -Ф« (х) _Ф: (у)), F.1.30)
\
(х, у) = i 2 +Фп(х)w(n\m) +ф1 (у),
п,т
D(+) (х, у) = — i 2 -фт (ж) w (л |
ф* (г/),
\
i 2 +Фп (ж) ш («\ т) +ф„ (г/), ж0 > у0,
П'т - - _ т
i 2 -Фт(ж)и>{п\т) ц1 (у), х°<у0,
F.1.31)
п,т
D^ (х, у) = ± i 2 ±Ф« (*) ±ф« (г/),
Д. М. Гитман и др.
F.1.32)
161

Д° (ж, у) = ± Dam (х, у) = i 2 -Фт (*) ю @1 тв) ч-Фп (г/)- F.1.34)
п,т
Здесь {±фп(ж)}({±<р„(а;)}) — полная, в каждый момент времени,
и оргонормированмая система решений уравнения Клейна — Гор-
Гордона во внешнем иоле, описывающих частицу (+) и античасти-
античастицу (—) при х° ->- —°° (х° -*¦ +°°), например:
(афп» а'фп') = S8ss>8nn'i S, s' = ±i
2 (+Фп (х°, х) +Ф* {х\ у) - _ф„ {х\ х) _Ф: (з°, у)) = 0,
= _1б(х —у). F.1.35)
Подставим F.1.34) в F.1.28). Тогда
?>с (ж, у) = Z& (х, у) + Da (х, у), F
Таким образом, для вычисления всех введенных функций
F.1.21)—F.1.24) достаточно найти только Z)(=F) (x, у) и Da(x, у).
Все остальные являются их комбинацией.
Выпишем уравнения, которым удовлетворяют введенные
функции.
Рассмотрим сначала функции G (х, у), Z)(+) (x, г/),2)^) (х, у),
Da(x, у). Поскольку операторы у(х), ц>+(х) и функции
±Фп(ж) удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона, то G(x, у),
D(zf)(x, у), Z)jn){x, у), Da(x, у) также удовлетворяют уравнению
Клейна — Гордона
(<?* - m?)D(x, y) = 0, D = [G, D(+\ Dfi\ Da]. F.1.37)
Функции De (х. у), Dcin (x, у), Din(x, у) являются функциями Грина
уравнения Клейна — Гордона
(P*-m2)D(x,y) = -8(x-y), D = {Dc,DciD,-Di). @.1.38)
Представления пропагаторов во внешнем поле в виде сумм
по решениям уравнений Дирака или Клейна — Гордона в прин-
принципе позволяют однозначно решить задачу их нахождения. Од-
Однако полезно также развить методы нахождения пропагаторов
во внешнем поле на основе решения уравнений, которым они
удовлетворяют. В ряде случаев нахождение пропагатора чтз реше-
решения соответствующего уравнения оказывается гораздо проще,
чем нахождение его методом суммирования решений, получение
162

которых само по себе является сложной задачей. Однако на этом
пути возникает целый ряд специфических проблем. Так, напри-
меР) уравнение F.1.20), которому удовлетворяют пропагаторы
Sc, Sm, имеет вид уравнения для функции Грина уравнения
Дирака*). Это уравнение имеет бесчисленное множество реше-
решений. Любые два его решения отличаются на решение однород-
однородного уравнения типа F.1.19). Поэтому для полной постановки
задачи о нахождении того или иного пропагатора из соответству-
соответствующего уравнения необходимо указать способ фиксации решеппя.
Этим способом может быть фиксация начальных или граничных
условий, пространства, в котором ищется решение, спектральное
представление или некоторое расширение оператора Дирака (или
Клейна — Гордона) в уравнении F.1.20) такое, что новое урав-
уравнение будет иметь уже единственное решение. Надо отметить,
что в общем случае для всех пропагаторов и любых внеппшх
полей эта задача пока не решена. Таким образом, только метод
суммирования решений уравнения Дирака или Клейна — Гордо-
Гордона позволяет в общем случае однозначно определить рассматри-
рассматриваемый пропагатор и поэтому именно с ним следует сопоставлять
результаты, полученные остальными методами.
К методам нахождения пропагаторов путем решения уравне-
уравнений тесно примыкает метод собственных функций, метод соб-
собственного времени и функциональный метод, подробное изложе-
изложение которых будет приведено в настоящей главе.
Следует отметить, что функциональный метод, развитый
Фрадкиным [239—241, 245—247, 330], позволил впервые полу-
получить не только операторное и континуальное решение для функ-
функции Грина в квантовой электродинамике [330, 239, 245] в произ-
произвольном внешнем поле, ио и существенно продвинуться за рамки
теории возмущений по радиационному взаимодействию с точным
учетом внешнего поля [280, 281]. С помощью этого метода в ра-
работах [239, 245—249] получено замкнутое выражение для про-
производящего функционала функции Грина. Кроме того, на основе
функционального метода в [239, 245, 330] развита модифициро-
модифицированная теория возмущений, которая оказалась особенно плодо-
плодотворной для учета инфракрасных особенностей.
Используя перечисленные методы, был найден целый ряд
функций Грина в различных конфигурациях внешнего электро-
электромагнитного поля. Так, в [328] найдена перестановочная функция
Грина G(x, у) в постоянном однородном поле методом собствен-
собственного времени. Для постоянного однородного магнитного поля
перестановочная функция Грина G(x, у) найдена в [347, 348]
непосредственным решением соответствующих уравнений с за-
заданными начальными условиями, а для постоянного однородного
электрического поля — в [310]. Эти же результаты получены в
[44, 45] методом канонического оператора [152]. В работе [260]
*) Часто все пропагаторы, даже те, которые не удовлетворяют уравне-
уравнению для функций Грина, называются функциями Грина.
И* 163

развит операторный метод собственного времеии для нахождения
причинных функций Грина Dc(x, у) и Sc(x, у). Так, в [260]
эти функции найдены для постоянного однородного поля, а так-
также для поля плоской волны. Функции Dc(x, у) и Se(x, у) в
постоянном однородном поле были определены в [310, 347, 348]
из явного вида перестановочной функции G(x,y), а в [164, 168] —
суммированием соответствующих решений уравнений Клейна —
Гордона и Дирака. В поле плоской волны функции Грина
Dc(x, у) и Sc(x, у) найдены функциональным методом в [330J
(см. также [39], в которой найдена функция Грина Dc(x, у)).
Эти же функции в [319, 405] найдены решением соответствую-
соответствующих уравнений. В постоянном однородном поле и его комбинации
с полем плоской волны функции Грина D°{x, у) и Sc(x, у) яай-
деиы в [32] функциональным методом, а затем в [52] методом
собственного времени. В постоянном однородном магнитном поле
и поле плоской волны, распространяющейся вдоль магнитного
поля, функция Грина D"(x, у) найдена в [183] непосредствен-
непосредственным решением уравнения F.1.38), а в [279] функциональным
методом. В постоянном однородном электрическом поле и поле
плоской волны, распространяющейся вдоль электрического поля,
функции Грина Dc(x, у) и Sc(x, у) найдены в [164] методом
суммирования соответствующих решений уравнений Клейна —
Гордона и Дирака, а в [163] — методом собственных функций.
С помощью когерентных состояний функции Грина D"(х, у) и
5° (я, у) изучались для некоторых конфигураций внешнего поля
в [143, 317, 318]. В кулоновоком иоле функция Грина Sc{x, у)
найдена в [26, 363]. Методом собственных функций функции
Грина Dc(x, у) и Sc(x, у) в постоянном однородном поле, а так
же в поле плоской волны получены в [206—209, 211, 212, 408].
В [111] функциональным методом найдена функция Грина
Dc(x, у) в произвольном поле бегущей электрической волны.
В работах [60, 61, 302, 356, 383—386] вычислялись функции
Грина D°(x, у) и Sc(x, у) во внешнем гравитационном поле.
В работах [80—82, 67, 92, 93, 181] найдены все описанные
выше пропагаторы для постоянного однородного электрического
поля, а также для постоянного однородного поля и его комби-
комбинации с полем плоской аолны методом суммирования соответ-
соответствующих решений уравнений Дирака и Клейна — Гордона.
В следующих параграфах наряду с изложением различных
методов мы приведем вычисления всех пропагаторов в наиболее
интересных конфигурациях внешнего электромагнитного поля.
§ 6.2. Нахождение пропагаторов методом суммирования
решений релятивистских волновых уравнений
В настоящем параграфе методом суммирования решений ре-
релятивистских волновых уравнений будут вычислены все описан-
описанные в § 6.1 пропагаторы для внешнего постоянного однородного
электрического поля, а также для комбинации постоянного од-
164

нородного поля и поля плоской волны. Соответствующие реше-
решения и амплитуды вероятностей процессов нулевого порядка при-
приведены в предыдущей главе. Все вычисления подробно прово-
проводятся для скалярного случая. Для спннорното случая часто при-
приводятся только окончательные ответы.
6.2.1. Постоянное однородное электрическое поле
Потенциалы постоянного однородного электрического поля
выберем в виде E.1.21) при g(x°/a) = х°/<а.
Вычислим вначале функции Dm (х, у), определенные в
F.1.31). Соответствующие решения уравнения Клейна — Гордо-
Гордона и амплитуды относительных вероятностей рассеяния частиц
даются формулами E.1.47), E.1.49) и E.1.59). Подставляя их
в F.1.31), получим
+ 00
Dm (х, у)=± Bл)-3 DпГ1/г ехр (i f) J J Г (- v) X
X ехр {- iPlzl - ip2z*} 7<VT) dPl dp2, F.2.1)
где
+ 00
/tT) = J exp (— iaq) Dv [4= A + i) (g - p] X
xDv[±(l + i)(q-9')]dq, F.2.2)
а = -(еЕI'Ы, p=(eE)i/2x°, p' = (еЯI/2гД Ь = Ъ~Уг F-2.3)
Сделаем в F.2.2) замену переменной интегрирования
q = t + i (p + р'). F-2.4)
Тогда
= j ехр(- iat)Dv [=F A + i)(t — p/2)] Dv[± A + *)(*+ P/2)] dt,
—OO
X = -jEzs(a* + if), р = (е?I/2г°, eE>0. F.2.5)
Видно, что /v+) ia' — P) — •^v±) (a< P)' и поэтому достаточно
вычислить только функцию Di~){x, у), a Di+)(х, у) можно по-
получить из Di~) (x, у) с помощью замены 2° -*¦ — z°. Кроме того,
из F.2.5) следует, что /^ (а, Р) является четной функцией
переменной а. Поэтому достаточно вычислить Д+)(а>Р) только
при а > 0.
165

Оказывается удобным переписать функцию /у (а> Р) в но-
новых переменных у, ср, а именно в F.2.5) сделать замену
2) p
3)
4)
¦>o,
p<o,
p<o,
P<a:
P<-a:
p>-a:
P = У—у sh ф,
P — —Уу ch ф,
a = 1
a =
К—¦Y ch
y^shi
F.2.6)
Можно показать, используя уравнение для функций параболи-
параболического цилиндра [41], что выполняется равенство
В переменных ] и <р из F.2.6) это равенство эквивалентно вы-
выражению d./vf)(a, р)/дф = 0. Следовательно, можно интеграл
F.2.5) вычислять при ф = 0.
Рассмотрим область 1) из F.2.6). При ф = 0 выражение
F.2.5) переписывается в виде:
X
[(I + i)(t+ /y/2)] dt. F.2.7)
Для пычи«ления интеграла F.2.7) воспользуемся интегральным
представлением для функций параболического цилиндра [101]
D, [A + 06]= я-1/22-^/2 ехр {- i | (v + 1) + if} X
+ 00
X J (i.r)vexp \i\ — гхв]dx, F.2.8)
Im 8 = 0, Re v > — 1, arg (tx) = -^ sign (ж).
В результате получим
J(^ (T) = fT=7) ехр {- г (я Bv + 1) - Т) /4} X
J (te)V(^~ /v)"" exp {-у ж /y}*c- F-2.9)
X J
При этом была использована формула [42]
+оо
f (^)vexp{ter/}^ = F^_r/-v-1e(r/), Rev<0. F.2.10)
166

Сделаем в F.2.9) замену переменных
A + cth eEs).
Тогда
гс
F.2.11)
U (s, V) = (sh eEs) exp |Bv + 1) eEs — i ^ cth eEs],
где контур Гс интегрирования по s показан на рис. 4.
Imsi
п
'еЕ
Res
Рис. 4
Рассмотрим область 2) из F.2.6). При ф = 0 выражение
F.2.5) переписывается в виде
> (V)
exp ( - i Y~41) Dv [- A +
Z)v [A + 01] dt.
F.2.12)
Вычисление интеграла F.2.12) проводится аналогично предыду-
предыдущему, и результат совпадает с F.2.11).
Результат вычисления интеграла F.2.5) _в области 3) из
F.2.6) можно получить из F.2.9) заменой Уу ->- —Vf. Тогда
} (V) = fj^T) exp {- i (я Bv + 1) -
X
X
. F.2.13)
V'y
Представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов на про-
промежутках (—V'Y, 0) и @, °°). В первом из интегралов сделаем
167

замену
а во втором
х= _-KJL(l.+ ethers).
Тогда
— г -г I ехр (— mv) \
X ехр |Bv + 1) eEs — j у ih eEsj ds + ] lv {s, y) ds\, F.2.14)
где контур Г[ интегрирования по s показан на рис. 4. Если сдви-
сдвинуть контур интегрирования s в первом из интегралов в F.2.14),
сделав замену
s = s' + inl2eE,
то
г1+г,
где контур Гг интегрирования по s показан на рис. 4.
Значение интеграла F.2.5) в области 4) из F.2.6) совпадает
с F.2.11). Окончательно получаем:
16)
j
Г1+Г2
+ (9 (Р) + 0 (- Р) 9 (- У)) J К(s, У) ds}. F.2.
г<! j
Отметим, что выражение для /v+)(v) можно найти из F.2.16)
заменой р -»-—р. Учитывая это и подставляя F.2.16) в F.2.2),
а затем вычисляя гауссов интеграл по pi и р2, получим
Dm (х, у)*=± /(в (=F z0) 9 (z32 - zl) + 9 (± z0)) f / (ж, у, *) ds +
+ e(+zo)e(z2,-Z32) f /(e,y,i)di], F.2.17)
Г1+Г2 J
/ (ж, у, s) = 5 (s • sh eEs)~l exp J iex — ?/»2s —
Dя) t
— г -7- (zj — z2) cth ei's -(- i yz1 -{¦ ;
168

Функция f(x, у, s) является аналитической функцией перемен-
переменной s во всей комплексной плоскости, кроме точек
sn = ianfeE, n = 0, ±1, ±2, ...
Это позволяет переписать DiT)(x, у) F.2.17) в более компакт-
компактной форме. Действительно, обходя особую точку s = 0 снизу
(см. рис. 4) и замыкая контур интегрирования при Res-*-±°°,
можно записать
J f(x,y,s)ds = 0, F.2.18)
где контур Г интегрирования по s показан на рис. 5. Поэтому
в F.2.17) можно заменить интегрирование по контуру Гс инте-
интегрированием по контуру Г + Г1 + Г2. Кроме imsl
того, нетрудно показать, что имеет место
равенство
Q{zl-zl)jjf(x,y,s)ds=O. F.2Л 9)
Так что в итоге получаем
f(x, y,s)ds
еЕ
Q(±zo)$f(x,y,s)ds\. F.2.20)
о
Re 5
Г?
Рис. 5
Если в этом выражении еще раз воспользоваться выражением
F.2.18), заменив интеграл по контуру Fi + Г2 на интеграл по
контуру Гс — Г, то найдем
D(^ (х, у) = ± 1 ] /(х, у, s) ds-QD^ z0) f /(х, у, s) ds\. F.2.21)
I j
I г*
Заменив в F.2.20) интеграл по контуру Г на интеграл по кон-
ТУРУ Гс — Ti — Г2 согласно F.2.18), получим еще одно представ-
представление для D{41) (х, у), эквивалентное F.2.20) и F.2.21):
(х, y) =
[б(± z0) \ f (х, у, s) ds + 0 (=f z0) f /(х, у, s)ds\.
F.2.22)
Вычислим теперь функцию Da(x, у), определенную формулой
F.1.34). Соответствующие решения уравнения Клейна—Гордо-
Клейна—Гордона и амплитуды относительных вероятностей аннигиляции пары
приведены в § 5.1. Подставляя их в F.1.34), получаем
D" (х, у) = — Bл)~3
X [ [ Г (- v]
ехр (^) X
inv
7" dPi dVv F.2.23)
169

1% = j <rio"Pv [A + 0 (9 - p)J Dy [A + 0 (g - p')] dq,
где величины а, р, р' определены в F.2.3). Сделаем в F.2.23)
замену F.2.4). Тогда
F.2.23)
F.2.2
J% (a, p) = J exp (— «ой) Dv [A + i) (t - p/2)] x
t, F.2.24)
а величины % и р определены в F.2.5). Из F.2.24) видно, что
Jv(a'P) является четной функцией р. Поэтому достаточно вы-
вычислить функцию J^(a, Р) только при р > 0. Оказывается удоб-
удобно записать /?(а, |3) в новых переменных f и ф, а именно сде-
сделать в F.2.24) замену:
1) a>0, p>a: р = У^сЬф, а ^
2) a<0, p>-a: р-УусЬф, a
, 2
3) а>0, р<а: ^У^зЬф, а = У—усЬф,
4) а<0, р<-а: ^У^зЬф, а = -У^сЬф.
Можно показать, используя уравнения для функций параболи-
параболического цилиндра [41], что выполняется равенство
В переменных f и ф из F.2.25) это равенство эквивалентно вы-
выражению dJ"/dty = 0. Следовательно, можно вычислять интеграл
F.2.24) при ф = 0. При вычислении интеграла F.2.24) в каж-
каждом из четырех случаев F.2.25) воспользуемся интегральным
представлением F.2.8). В результате для областей 1), 2) и 3)
из F.2.25) получаем
^ (V) = f^ ехр (- axv - * -?) j Zv (s, у) ds,
а для области 4) из F.2.25)
r1+r4
где контур Г4 интегрирования по s показан на рис. 4.
170

Объединяя эти выражения, функцию J%(y) можно записать
так
a)e(_Y) J lv(s,y)ds +
ГГ
J
Г1+Г4
+ @ (а) + 9 (- а) 9 (v)) [ lv (*, Y) ds]. F.2.26)
г= I
Подставим F.2.26) в F.2.23) и вычислим гауссов интеграл по
pi и р2. Тогда
z3)Q(zl-zl) f f(x,y,s)ds +
Г2+Г3
+ (е(- z3) + e (z3) e {z% - z32)) f / (*, у,«) <fc, F.2.27)
где /(ж, г/, s) определена в F.2.17), а все контуры интегрирова-
интегрирования по s указаны на рис. 4. Преобразуем выражение F.2.27),
используя аналитические свойства функции f(x, у, s) в комп-
комплексной плоскости переменной s. Для этого, обходя особую точку
s_i = —in/eE сверху и замыкая контур интегрирования Гг, Гз и
Г" при Re s -*¦ ±ооf получим
/(s, у, *)(** = 0, F.2.28)
где контур VI интегрирования по s показан на рис. 5. Соотноше-
Соотношение F.2.28) позволяет заменить интеграл по контуру Та в
F.2.27) на интеграл по контуру Г2 + Г3 — Г?. Кроме того, мож-
можно показать, что имеет место следующее равенство:
О (zl - zfj j / (х, у, s) ds = 0. F.2.29)
г?
Тогда
Da (х, у) = j / (х, у, s)ds-Q (- z3) j / (re, г/, *) ds. F.2.30)
Используя свойство F.2.28), получим отсюда несколько эк-
эквивалентных представлений для функции Da(x, у)
Tf (х, у) = j / (х, у, s) ds + 0 B3) ( / (а:, у, s) ds,
" . Г<+Г>^ . F.2.31)
Da (х, у) = е (- г3) J / (х, у, s)ds + Q (z3) j / (х, у, s) ds.
Г« Г2+Г3
171

Из F.2.27) можно получить и другие представления для функ-
функции Da(x, у)
Da (х, у) = J / (х, у, s) ds + Q (z_) J / (х, у, s) ds,
Da (x, у) = J / {x, у, s)ds + Q (z_) 0 (z+) f / (ж, у, s) ds,
Г»
где z± = 20 ± 23, а контур Гд интегрирования по s показан на
рис. 6.
Построение функций Грина D'-41) (х, у) и Da(x, у) нельзя
считать завершенным, так как мы получили их, предполагая,
что zo ?= 0 и гз ^ 0 и поэтому необходимо
проверить, что представления F.2.21),
F.2.30) и F.2.32) определепы как функции,
¦*• удовлетворяющие уравнению Клейна — Гор-
Гордона при всех х я у. С этой целью отметим,
что функция j(x, у, s) F.2.17) совпадает
с функцией преобразования ГОвингера [260,
425] в методе собственного времени и
удовлетворяет уравнению
id.f{x, у, s) = -(&2~m2)f(x, у, s),
F.2.33)
"Я
Рис. 6
Тогда, используя представление б-функции
as
±) бA) (х - у), F.2.34)
«-¦±0
получаем
_ ,„2) J f (а;, у, S) dS = - б {X - у),
- т2) ( / (х, у, s)ds = - 2S (х - у),
г
- да2) j / (х, у, s) ds = /б (г0) б (г3) /х (х, у) =
га
= 2i6(z_N(z
- m2) J / (ж, г/, в) d* = - 2/в (г0) б (г3) /х (ж, у)
F.2.35)
172

где особенности в интегралах по контурам Г и Тг выделяются
следующим образом
J / (х, у, s)ds = Q (z2) R (х, у) + ох?2{*%} б (z2), F.2.36)
г
J f(x, у, s)ds = @(zo - 0) + 6(- z0 - 0))9(z»- 4) Я>, У) =
= (в B+) е (- а_) + е (- z+) e B_)) ла («, у), F.2.37)
¦Я (ж. .V) = 1 / (ж. 2Л s) ds,
F.2.38)
Па{х-У)= \ f(x,y,s)ds.
Контуры интегрирования FR и Гд показаны на рис. 6.
Равенство F.2.36), очевидно, выполнено для z2?=0, а равен-
равенство F.2.37) — для z± Ф 0. Если воспользоваться соотношениями
F239)
то можно показать, что представления F.2.36) и F.2.37) удов-
удовлетворяют F.2.35) при всех хну. Тогда нетрудно убедиться,
что функции F.2.21), F.2.30) и F.2.32) удовлетворяют уравне-
уравнению Клейна — Гордона при всех х и у и, следовательно, совпа-
совпадают везде с выражениями F.1.31) и F.1.34).
Подставляя F.2.21) в F.1.25), находим функцию Грина
&{х, у)
Dc{x,y)=\ f(x,y,g)ds F.2.40)
гс
и перестановочную функцию G(x, у)
G(x,y) = -i sign (z0) j / (x, у, s) ds. F.2.41)
Выражение для функции G(x, у) в виде F.2.41), где интеграл
по контуру Г представлен выражением F.2.36), совпадает с
соответствующим представлением Фока [328] и удовлетворяет,
как это следует из F.2.39), начальному условию F.1.29). Вы-
Выражение F.2.40) для функции Грина Dc(x, у) совпадает с ре-
результатами работы [260, 425].
173

|'
Используя. F.2.21), F.2.31), найдем функции ?>|n'(x, у).
l J f(x,y,s)ds-QD^z0) J f(x,y,s)ds-
(гс-га гс-г,-г,
'1 'I
-0(z3) f f(x,y,s)dsl F.2.42)
г2+г3-г« I
¦Din(*,*/)= J /(ж,у, s)ds—6(z3) | f(x,y,s)ds,
Tc_Ta r2+f3_ro
Tc_ra
+ Q(-zo-O))\ f(x,y,s)ds, F.2.43)
tfn (*,*/) = j f(x,y,8)d8-8(zj j" j(x,y,s)d8. F.2.44)
г1+г2-г" г2+г3-г«
Сравнивая F.2.40) и F.2.43), видим, что в постоянном одно-
однородном электрическом поле функции Грина Dc(x, у) и Dit(x, у)
существенно отличаются друг от друга. При Е -»¦ 0 вклады инте-
интегралов по контурам Га, Г^, Г2, Г3 в F.2.43) стремятся к нулю
из-за наличия фактора ехр(—пт2/еЕ), пропорционального сред-
среднему числу родившихся частиц. Поэтому в пределе Е -*¦ 0 функ-
функции Dc(x, у) и Din(x,y) совпадают.
Вычислим функции S(T)(a;, г/), определенные формулами
F.1.12). Соответствующие решения уравнения Дирака и ампли-
амплитуды относительных вероятностей рассеяния частиц в рассмат-
рассматриваемом поле приведены в § 5.1. Подставляя их в F.1.12) и
используя рекуррентные соотношения для функций параболиче-
параболического цилиндра [41], получим
+оо
А(+) (а:, у) = T (Згя772)-^  J J Г (а) X
—оо
- ipaz2) {A +
F.2.45)
i) {q _ р)] ?)и [± A + j) (? - р')] dg,
, а = Л/2, Я = (Pl2 + pi + m2)/e?, F.2.46)
где а, р, р' определены в F.2.3).
174

Интеграл F.2.46) совпадает по форме с интегралом F.2.2),
в котором надо сделать замену v -»¦ х. Таким образом, из
{6.2.16) получаем
+ е (+ z0) e (zl - zl)) \ i* {в, у)
F.2.47)
Y = еЕ {zl — zj),
где функция L(s, у) определена в F.2.11). Подставим F.2.47)
в F.2.45). Тогда
= ± I (9 (Т г0) G B* - zS) + в (± г0)) j g (х, у, s) ds +
{ г<=
+ e&zoHD-4) j g (x, y,s)ds\, F.2.48)
Г|+Г2 i
g(a;, i/, s) = exp(TVe?'s)/(;r' 2/. s)'
а функция /(ж, i/, s) определена формулой F.2.17).
Функция g(x, у, s) так же, как и функция f(x, у, s), удов-
удовлетворяет условиям F.2.18) и F.2.19). Это позволяет, аналогич-
аналогично скалярному случаю, записать для S{T) (x, у) ряд эквивалент-
эквивалентных представлений:
, y) = ($>^ + m)A^(x, у),
А(Т) {х, у) =-= ± |J g (х, у, я) ds — 0 (+ 20) j g{x,y.s)ds\,
li J
re-rj-r2
F.2.49)
f ^(a;,!/,s)ds + e(±z0) | g(x,y,s)ds\,
I
ri+r2
ж, г/) = ± (в (± z0) j g (ж, у, s) ds + 0 (=F 80) f ? (*. 2/. *) ^|
I r^ r±+r2 J
Рассмотрим теперь вычисление функции Sa(x, у) определен-
определенной формулой F.1.15). Соответствующие решения уравнения
Дирака и амплитуды относительных вероятностей аннигиляции
пары приведены в § 5.1. Подставляя их в F.1.15) и исполь-
используя рекуррентные соотношения для функций параболического
175

цилиндра, получим:
+00
Аа(х, у) = — C2л7/2)~1ехр(— ф Jj Г^ехр^лст+Ф,^ + ip2z2}x
— со
X [A + Y°YS) 1% - A - ?V) огЛ0_г] <*Pi dp,,
F.2.50)
+00
H = j e~ia9Ac [A + 0 (<? - P)] A, [A + 0 (q - p')] rfg.
—00
Интеграл /? совпадает с F,2.23), если в последнем сделать за-
замену v -*¦ х. Тогда, используя F.2.26), можно записать
X
x(e(zs)e(zs2-4) f ix(*,v)d« +
l ГХ+Г4
+ @ (- z3) + e (z3) e (z; - z32)) f ги («, Y) 4 ¦
r= J
Подставим это выражение в F.2.50) и проинтегрируем по р\ и
Р2- В результате получим
g(x,y,s)ds +
+ (е (- z3) + е (z3) e (z02 - z2)) j g (x, y, «> d*. F.2.51)
Можно так же, как и в скалярном случае получить ряд эквива-
эквивалентных выражений для функции Sa(x, у)
Аа (х, у)= j g (х, у, s)ds + 9 (z8) J g (a;, z/, s) ds,
та г„+г„-га
A (x, y) = Q(— z3) ) g (x, y, s) ds + 9 (z3) J g (x, y, s) ds.
При вычислении функций F.2.49) и F.2.52) предполагалось,
что z0 ^ 0, Z3 ^ 0. Поэтому необходимо убедиться, что найденные
таким образом функции Грина Sw (х, у) и Sa(x, у) действитель-
действительно являются решениями уравнения Дирака, при всех х и у.
С этой целью отметим, что функция g(z, у, s) в F.2.48) удов-
удовлетворяет уравнению
176

Тогда, используя F.2.34), получаем следующие равенства
*? - т2) J 8 (*, y,8)ds = -6{x- у),
г=-2б(з-у),
- * F.2.54)
\ g (х, у, s) ds = ib (z0) б (z8) /j. (ar, i/),
I \ g (x, y, s)ds = — 2i6 (z0) б (z3) /j. (ж, г/),
где функция /±(ж, г/) определена формулой F.2.35), а особен-
особенности в интегралах по контурам Г и Г" выделены следующим
образом:
g (х, у, s)ds = Q (z2) R (х, у) + HPJM. 8 (z% F.2.55>
J g (re, y, s) ds = (9 (z0 -O) + Q(-zo-O))Q(zl- zj) Ла (а, г/),
F.2.56>
R(x,y)= \g(x,y,s)ds, Ra(x,y)= \g(x,y,s)ds. F.2.57)
Равенства F.2.55) и F.2.56), очевидно, выполняются при z2?=0
и z\^z\ соответственно. Учитывая F.2.53) и F.2.57), нетрудно
показать, что действие оператора (iVf"J — m2 на правую часть
F.2.55) дает тот же результат, что и действие на его левую
часть при всех хну. Аналогичный результат получаем и для
F.2.56). Таким образом, F.2.55) и F.2.56) — тождества. Вос-
Воспользовавшись теперь соотношениями F.2.54) и F.2.56), убеж-
убеждаемся, что функции F.2.49) и F.2.52) удовлетворяют уравпе-
нию Дирака при всех х и у и, следовательно, совпадают везде
с функциями ?(:?) (х, у) и Sa(x, у) соответственно.
Подставляя F.2.49) и F.2.52) в F.1.6) и F.1.18), получим
Sc (х, у) = (^V?n + m) Ac (х, у),
« (о.^.оо)
Ас (х, у)= j g (ж, у, s) ds,
гс
G (х, у) == {9>^ + тп) А (х, у),
„ F.^.59)
А (х, у) = — i sign (z0) \ g (х, у, s) y° ds,
г
ц, yi, гитмяп и др. 17Т

?> (x, у) = (P^ + m) А!?' (а:, у),
J g(x,y, s)ds-
F.2.60)
гс-та
— 0(+zo) J g(x,y,s)ds-Q(z3) j g(x,y,s)dsl
г„+г3-г0
^in (x, У) = (^ц?^ + m) A-n (x, y),
Afn (a:, })= J ? (*, г/, *) d« — 8 (z3) J g (ar, y, s) ds,
r2+r3-r°
X 9 (z3) 9 (zf - zl) \g (x, y, s) ds, F.2.61)
(ж> г/)-
(rc, y) = J g (ar, z/, *) rfs - 9 B,) J g (x, y, s) ds. F.2.62)
Функция G(x, у) в виде F.2.59), где интеграл по контуру Г
представлен выражопием F.2.55), совпадает с результатами ра-
работы [328] и удовлетворяет уравнению Дирака и начальному
Im Si
_ Tin
e?
~ 2eE
r3n
0
Res
к
Рис. 7
условию F.1.10). Выражение F.2.58) для функции Грина
Sc(x, у) совпадает с результатами работ [260, 425].
Рассмотрим функции К{т)(х, у) и К(х, у), определенные со-
соотношениями F.1.16). Их вычисление аналогично вычислению
функций 5(т)(х, у). Поэтому приведем только окончательный
178

ответ:
{х, у),
с а
(а, У) = ± 2
— QC=fz0) J ? (ж, у, s) ds — 6 (z3) J g(z, г/, s)<*?Jr
1П~Г2п Г2П+гзп~ гп J
Ак:) (ж, г/) = ± Ц g (х, у, s) ds —
1
*, г/, *) ds + в (г3) j g {x, у, s) ds\),
т2п+тзп-г1 )\
F.2.63)
К (х, у) = (РуЯ* + и) Дк (ж, г/),
J g(^. У. «)^s —6(z3) J ^(ж, у, s)ds ,
п п
\ g(x,y,s)ds,F.2M)
где контуры интегрирования по s приведены на рис. 7.
6.2.2. Комбинация постоянного поля и поля плоской волны-
Рассмотрим здесь вычисления пропагаторов F.1.1) — F.1.5)'
и F.1.11) — F.1.16) во внешнем иоле, представляющем собой
комбинацию постоянного однородного поля и поля плоской вол-
волны. Потенциалы внешнего поля выберем в виде E.2.1).
Вычислим функции D(T)(x, у) и Da(x, у), определенные фор-
формулами F.1.31), F.1.34). Соответствующие решения уравнения
Клейна — Гордона приведены в § 5.2. Подставим решения
—Ф^рЬ(ж) в F.1.31), F.1.34) и воспользуемся выражениями для
¦ амплитуд относительной вероятности процессов нулевого поряд-
порядка через матрицы G(±l±) и G(±l±). Тогда
Я(-) (*, У) = г 2 j dp, j" dl +<f%p h (x) +(f *p ь (у),
fc=0_oo — eg-(nx) l
Dw (x>y) = -i2l j dp, J dl -Фхр k (x) -^ (y), F.2.65)
ft—0 oo oo
j
0 oo oo
179

Da(x,y) = — i 2 j dp, f dX+<p (х)+щрк(у). F.2.66)
A=0 _oo _cx, 1 1
Введем обозначение
ft=0 _oo x 1
где
+y = (//4я)ехр|— i-j (nz) 2" [ln ("F Л(/гж)(|е ||Г)"~1/а) +
+ in* (+ Л (ny) (\e\ <ГГ1/2)] + ie(Ф(a:) - Ф (y))},
+F = exp (г (+У (nx) — ^&* (ny))} exp \—i+Xv'(nx) n»} X
X (exp {—i ^.Ж^ (ny) nv)) +/г,
f
fe = 2 I exp (ie&kh +a) typh (x) ty*K (y)dp1,
x [in (ip Л (пг) (|e| #Г1/2) - In* (T Л (ny) (\e
F.2.68)
Функции DtT) (x, у) и D°(x, у) выражаются через +/(#, у, Ц
следующим образом:
+f(x,y,k)dX,
Dm (x, y) = - [ ~f (x, y, %) dX, F.2.69)
—oo
Da(x,y)=- f +f(x,y,X)dX.
Суммирование по А: в F.2.68) проведем с помощью формулы
Меллера [41]. Выполняя интегрирование по р\ и действуя опе-
операторами
exp (— i +Ж•*(пх) Яц) и (ехр(— i^-Ж*(пу) п'ц))*,
для +Fh3 F.2.68) получаем
+F = — ЬеЗб B sin e5^ +a)~xexp liex± — im? +a +
+ t (+У («ж) - +3f* (ny)) + i{z + +Ж (nx) - +T* (ny)) X
180

X -^ cth {eF± +a) (z + +Ж (nx) - +Ж* (ny)) +
+ ±+Ж (nx) eF +Ж* (ny) + -j zeF (+Ж (nx) + +Ж* (ny))},
Xx = - (ЖЩ (m(+h) ((m(-)x) + (m(-)y)), F.2.70)
Удобно сделать в функциях ~+Ж (nx) и +^ (пх) замену
и = -Bе^)-1[1п*(
а в функциях ~^.Ж* (пу) и ~^
замену
Тогда
+Ж(пх) =
— u))ef(nx(u))du,
о
+Ж* (пу) =2 j exp (— 2eFu) ef (nx (и)) du,
nx) = j ej (nx (u)) X
X
ef (nx (u)) + 2eF j exp BeF • (u — u')) ef (nx (
и')) du'
+a
X
ef(nx(u))+ 2eF jexpBeF(w — u')) + ef (nx (u1)) du' \du, F.2.71)
J
=-oo
i
(nz)-(l — exp Be&u)) (l — exp
Здесь не указаны контуры интегрирования по переменной и,
так как естественно считать потенциал плоской волны /й(ш:)
целой функцией (пх), а в этом случае интегралы F.2.71) одно-
однозначно определяются своими пределами интегрирования. Заме-
181

тим, что можно обойтись и без этого предположения о виде функ-
функции /„(пж). Тогда контуры интегрирования по и уже не произ-
произвольны, однако их не трудно получить из контуров интегриро-
интегрирования по переменной т, приведенных на рис. 2, 3.
Запишем комбинации функций ~+Ж (пх), ~+Ж* (пу), +.7 (пх)г
), встречающихся в F.2.70), в следующем виде:
+Х(пх)-+Х*(пу) =
о
= I (+а) + 2 (exp BeF +a)~ l) J ехр (— 2eFu) ef {пх (и)) dur
о
= I (+а) + 2 (expBeF +а) + l) j exp (— 2eFu) ej (пх (и)) dur
+«
+У (пх) - +ЗГ* (пу) = Ф (+а) + 2 j ef (пх (а)) X
о
о
X exp BeFu) eF j exp (_ 2eFu') ej (nx(u')) du' du, F.2.72)
I (+a) = 2 J exp BeF (+a — u)) ef (пх (и)) du,
о
+a
j
ф (+й) = j ef (пх (и)) [ef (пх (и)) + eFl (и)] du. F.2.73)
о
Подставим F.2.72) в F.2.68). Тогда
+/ (х, у, I) = (Ы)~2еЖ (sin (еЖ ^а)) X
te^ — im +fl + гФ v,+oj Л—п~ ze ^ \+а) "^
+ i (г + I (+а)) ^ cth (eFj. +о) (г + г (+«)) -
4
- -|- (Ь (+ Л (пх) (| е | ^)-i/2) + In* (=F Л (ву) (| е
X^-j-xFy. F.2.74)
182

Подставим F.2.74) в F.2.69) и сделаем замену переменной
s = +а. F.2.75)
При этом обратимся сначала к функциям Z>(T)(a;, у). Здесь надо
рассмотреть несколько случаев.
Пусть =F(rcz)>0. Тогда
s = -Be%yl In \А(пу)/А(пх) I,
и из F.2.69) получаем
Dm(x,y) = ±]j(x, у, s)ds, F.2.76)
j (x, у, s) = Dn)-« (det ah (eFs)/eF)~^ exp {iex — im*s +
+ 1Ф (s) -i(z+l («)) ^ cth (eFs) (z + I (s)) + -L. zeFl (s)],
a
ф (s) = j ef (пх (и)) [е/ (м (и)) + г/?'/ (и)] du,
(и) = 2 J exp BeF (и — и')) ef (пх (и')) du', F.2.77)
(nz)(l-
a контур Ге интегрирования по s приведен на рис. 8.
Ims,
Л
2/elS
"Telff
Res
Рис. 8
Пусть =F(rtz)<0. Тогда
и из F.2.69) получаем
f(x,y,8)ds,
F.2.78)
где контуры Fi и Гг интегрирования по s приведены на рис. 8.
183

Объединим F.2.76) и F.2.78) и учтем, что функция f(x,y,s)
является аналитической функцией в комплексной плоскости пе-
переменной s, кроме точек sn = inn/\e\<?, n = 0, ±1, ±2, ... Кроме
того, воспользуемся соотношением F.2.18), в котором функцию-
/(х, у, s) надо заменить выражением F.2.77). Тогда
Dm(х, у) = ±\\ f (x, у, s)ds-Q(+ nz) \ j (х, у, s)ds\, F.2.79>
ire it j
где контур Г интегрирования по s приведен на рис. 9.
Рассмотрим функцию D"(x, у), определенную формулой
F.2.69).
Пусть (nz)<0. Тогда
s = -Be&)-l(la\A(ny)/A(nx)\-2in),
, s)ds,
F.2.80)
va
где контур Г" интегрирования по s приведен на рис. 8.
Пусть (nz)>0. Тогда
s Be&)-l(ln\A(ny)/A{nx)\-in-inQ{-A(ny))),
Da(x,y)= j f(x,y,s)ds.
F.2.81)
Объединим F.2.80) и F.2.81) и воспользуемся соотношени-
соотношением F.2.28), в котором функцию f{x, у, s) надо заменить на вы~
ражение F.2.77). Тогда
--ZL
\el6
Da(x, у)
у,
Res
ra
f(x, у, s)ds,
F.2.82)
где контуры интегрирования по s припедень!
па рис. 8.
Выражения F.2.79) и F.2.82) получены
в предположении, что (tjzJt^O и их необходи-
необходимо доопределить для всех х и у таким обра-
рис. g зом, чтобы они удовлетворяли уравнению
Клейна — Гордона при любых х и у. Это мож-
можно сделать буквально так же, как и в пункте 6.2.1, поскольку
функция F.2.77) удовлетворяет уравнению
id.f(x, у, s) = -(&2-m2)f(x, у, в), F 2 83)
Н0) 6()
В частности, получим, что справедливы для всех х и у не только
представления F.2.79) и F.2.82), но и представления типа
F.2.20)-F.2.22), F.2.31), F.2.42), F.2.36), в которых функ-
184

ция f(x, у, s) заменена на функцию F.2.77). Таким образом,
Dm (х, у) = ± J j / (х, у, s) ds — 0 (+ z0) J / (x, у, s) ds ,
D(T) (x, у) = ± К / (ж, i/, s) rfs - 9 (+ 20) f / (x, y, s) ds], F.2.84)
Ire Г J
Z)(:p) (ж, у) = ± I j f(x,y,s)ds + Q(±zo))f(x,y,s)ds\,
\т1+гя г j
Z)" (x, y) = j / (ж, z/, s) rfs + 0 (n<-) z) j / (x, y, s) ds,
та r2+r3—r°
Da (x, y) = j / (x, y, s)ds+Q (z3) J / (x, y, s) ds, F.2.85)
г« г2+г3-га
Da(x, y)=\ f(x, y, s)ds + 8(n<->z) [ /(x, y, s)ds,
/ (a:, у, в) Л = 6 (г2) Л (x, у) + exp?e%) 6 (z3),
T
/ (Ж, г/, S) c?s = (e (Zo _ o) + e (— z0 — о)) е (г§ — г^) да (ж, у),
F.2.86)
J / (х, у, s) ds = (Э (raz) 0 (— nz) + 8 (— nz) 8 (raz)) Ла (ж, у),
г*
R(x,y)= \ {(х, у, s) ds,
гд F.2.87)
#>'*/) = J f(x,y,s)ds.
(см. рис. 10).
Используя F.2.84) и F.2.86), построим перестановочную
функцию
G(x, у) = -~ i sign (z0) J / (ж, г/, s) ds,
Г F.2.88)
G{x,y) = -i sign (z0) (б (z2) R (x, y) + «PgS! 6 (z^)).
Нетрудно показать, используя F.2.83), что функция F.2.88)
удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона и условию F.1.29).
185

Тем самым косвенным образом устанавливается также, что сис-
системы решений уравнения Клейна — Гордона {±фх.р1й(л;)) и
PjfeW) E.2.8) и E.2.17) образуют полные системы функций.
Используя F.2.84) и F.1.25), построим
функцию Грина D"(x, у)
Ims
Dc (х, у) = ) / (х, у, s) ds. F.2.89)
He's T°
Это выражение совпадает с результатом
работы [32].
Отметим также, что поскольку выполня-
выполняется тождество
Рис. 10 то во внешнем поле E.2.1) функция Грина
Dc(x, у) совпадает с причинной функцией
Грина в формулировке на «нулевой плоскости» [289, 369,
406, 440].
Используя F.2.84) и F.2.85), найдем функции D\^ (x, y)t
^iiP (х, у) = ± I J / (х, у, s) ds —
— 6(=f= z0) j /(x, y, s)ds — Q(z8) j /(x, y, s)ds\,
(X, y)=±l J f(X,yt8)d8-
lrc_ra
- в (=F 20) j / (x, y, s) ds-Q (z3) j / (a:, y, s) ds\, F.2.90)
r? J
I>in (ж, У) = J / {x, у, s)ds-Q (z3) j / (ж, у, s) ds,
rc-r°
г2+г3-га
/ (х, у, s) ds,
тс-та г2+г3-г°
Dcin(x,y)= j f(x,y,s)ds —
- (8 (z0 - 0) + 8 (- z0 - 0)) 8 (z3) 8 {zt - z20) J / (x, y, s) ds, F.2.91)
Dfn (x, y) = J / (x, y, s)ds-e (z3) j / (x, y, s) ds. F.2.92)
186

•Сравнивая F.2.89) и F.2.91), видим, что во внешнем поле
вида E.2.1) функции Грина D°(x, у) и Dcin(x, у) отличаются
.друг от друга.
При &-*¦() вклады интегралов по контурам Гй, Г2, Г3, Г"
в F.2.91) стремятся к нулю из-за наличия фактора
ехр(—лт21\е\&). Поэтому в пределе <8 -*¦ О функции Грина
Dc(x, у) и D$n(x, у) совпадают.
Вычисление функций S<+) (х, у) и Sa(x, у) во внешнем поле
E.2.1) проводится аналогично вычислению функций Dm(x, у)
и D"(x, у) в скалярном случае. Поэтому приведем лишь оконча-
окончательные ответы для всех пропагаторов спинорного случая
Ат (x,y) = ±[\g(х, у, s)ds — Q (T nz) \ g(x, у, s) ds\,
\vc Г J
Лт(х, у) = ±\\ g(x, у, s) rf s — 0 (+z0) \ g(x, у, s)ds\,
1гс г J
АК1>(х, у) = ±\\ g (x, у, s)ds — d (T z0) ] g (x, у, s) ds\,
ipc pc р р I
F.2.93)
Аа (х, у)= \ g (х, у, s) ds + 8 (nz) j g (x, у, s) ds,
Л° (x, y) = § g {x, y, s) ds + Q (n(~h) I g (x, y, s) ds, F.2.94)
га г2+г3-га
Ла (х, у) = \ g (x, y, s) ds + 0 (z3) J g (x, y, s) ds,
r° r2+r3-r°
G (x, y) = (Pyrf* + m) Л,
A(x,y) = — i si^n (z0) J g(x, y, s)y°ds,
— i sign (z0) 10 (z2) | g (x, y, s) ds + e~V2^ б B )| /,
F.2.95)
Sc(x, у) = (&11у» + т)Ас(х, у),
Ac(x, j,)= f g(x,y s)ds, F.2.96)
, y) = C-\y» + m) &fi> (x, y),
187

g(x,y,s)ds-
—r°
- 8 (=f z0) J g(x, y, s)ds — % (z3) J g(x, y, s) ds\,
F-Tj-T, Г2+Г3-Г« j
,f g(x,y,s)ds-
l
- e (=F nz) j g (x, y, s)ds — Q (nz) J g(x, y, s)ds\< (E.2.97)
гс-г1-г2 г2+г3-га j
Ain (х, у)= J g (х, у, s)ds — Q (z3) \ g (х, у, s) ds,
тс-та г2+г3-га
Am (ж, у) = J g (х, у, s)ds — Q (nz) J g (x, у, s) ds,
rc-r° ra+rg-ra
AL (x, y) = j g (x, y, s) ds - (8 ((n<+h) - 0) +
+ 0 (— (n<+>z) — 0)) 0 (n(->z) 6 ((ra^'zJ - (re(+)zJ) J /»(ж, у, s) ds,
raR
F.2.98)
Sinfa J/) = (^V11 + m) А'П(Ж. У).
Am (x, y)= J ? (a:, y, s)ds-Q (z3) J g (г, у, s) ds, F.2.99)
гх+г2-га г2+г3-г°
^(T) (ж, у) = (Prf* + т) А(Р (х, у),
f g- (ж, у, s) ds - 2 F (=FZo) f ff (ж, У, *) ^ +
^ П=01 /п-г1п-г2п
4}
J J
F.2.100)
(х, у) = (^»„т* + т) Ак (х, у),
(ж, у) = 2 I J g (ж. У> «) ds — 8 (z3) f /?(a:, y, s) ds\,
n=0 lea a
Ак (ж, у) = j g (x, у, s) ds — 8 (z3) 2 j ? (ж> J/' s) rfs>
"=°
F.2.101)
188

где
g (х, у, s) = I exp (- i -L. a^F^.s) + n^yvy exp (eFs) f exp (—2eFu)X
о
x e
du
x, y, s), F.2.102)
a J{x, y, s) определена формулой F.2.77) (см. также рйс. 11).
Функция g(x, у, s) удовлетворяет уравнению
id.g(x, у, s)=-
g(x, у, 0)=,Цх-у).
xr У, s),
F*2.103)
Тогда, используя F.2.95) и F.2.103), можно показать, чтр функ-
функции G(x, у) F.2.95) удовлетворяет уравнению Дирака ж уело-
1ГП5/
\e\g
г\е\е
—
*
0
in
*?—
Res
Рис. 11
вию F.1.10). Тем самым косвенно доказывается, что системы
функций [±<fbPlki(z)} и {-Ф4.Р16е(ж)} E.2.22) и E.2.23) образуют
полные наборы решений уравнения Дирака во внешнем
иоле E.2.1).
Отметим, что выражение F.2.96) для функции Грина
Sc(x, у) совпадает с результатами работы [32].
6.2.3. Метод собственных функций
Пусть фЛп (х) — система собственных функций оператора
ir — m ,
(^2-т2)фх„(я) = Афлп(х), F.2.104)

юртонормированная и полная в следующем смысле [5, 92, 93]
J ф*п (х) Ц>х'п' (#) dx = 8A — А/) бпп',
^ Г • F.2.105)
It \ 4>хп (х) уы (у) dk = 8(x — у).
п *
С ее помощью нетрудно найти представление для функции Гри-
Грина скалярного поля D(x, у). Разложим эту функцию Грина по
«обствепным функциям (ры(х)
D (х, у) = 2 ( фи* (*) Длл'п'Фх'п' (г/) ^ <&'. @.2.106)
и подставим это представление вместе с представлением
F.2.105) для б-функции в уравнение F.1.38). Тогда получим
D (т,у) = - 2 С Фхп(а:) ^cptn (у) dX. F.2.107)
Имеющаяся в интеграле F.2.107) особенность в точке А, = 0,
связанная с существованием нулевых собственных векторов у
•оператора &2 — т2, требует его регуляризации. Доопределим его
следующим образом:
D (х, у) = - 2 f Фь« (х) (Я, + iE (I, n))-i ср*„ (у) ^, F.2.108)
где функция •?'(А,, п) такова, что k + iE(X, n)?=0. В частности,
если Ё(к, п) = е, то, как будет видно далее на конкретных при-
примерах, мы приходим к причинной функции Грина. В этом слу-
случае, записывая (Я. + ге)~' в виде иптеграла по собственному
времени
оо
(к + ie)-i = — i j exp (is (I + is)) ds,
о
получим
ОС
D(x,y)=\f{x,y,s)ds, F.2.109)
0
где
/ (x, у, s) = i 2 Чкп (x) <fln (y) exp (Is (k + is)) dA,.
n
Обратимся к представлению функций Грина сшшорного поля
по собственным функциям. Предварительно квадрируем соответ-
соответствующее уравнение F.1.20) с помощью подстановки
S(x, у) = (^л" + т)Д(яг, у).
Тогда А (х, у) есть функция Грина квадрированного уравнения
Дирака
{{9>*ТУ-т2)Ь(х, у) = -8(х-у). F.2.110)
190

Пусть tyt,n (x) — система собственных функций оператора
((^ГГ-т2),
((^rJ-"»!)VW=%W, F.2.111)
ортонормированная и полная в следующем смысле
I %.п (х) %,'п' (х) dx = 6 (^ — ^') 6nn'.
' г _ F.2.112)
Zj J %» И ¦фяп (у) dA = 6 (ж — у).
Тогда аналогично скалярному случаю получим
&ыхп> = f txn (*) А (я, г/) %/„/ (у) dx dy =
= — (К + iE (к, n))-i б (к — Л,') б„„/, F.2.113)
А (х, у) = - 2 f я|»Хп (я) (Я + i? (?., /г)) %„ (у) Л. F.2.114)
Если ?(>,, га)= е, то
д (ж. У) = J S (ж. I/, s) ds,
о
g(«, J/. i) = iS J*fcn(a;)^n(ff)exp(is(A, + ie))dX. F.2.115)
Процедура доопределения интегралов F.2.107) и F.2.114)
экиивалентна доопределению (расширению) операторов З*2 — т2
или (РуЦ*J — т2 в уравнениях F.1.38) и F.1.20). Фактически
мы заменяем т2 в этих операторах на т2 — iE, где Е в общем
случае тоже оператор. В ряде случаев, как мы сейчас покажем
на конкретных примерах, имея явные выражения для различных
функций Грипа, можно найти соответствующие им расширения
операторов &2 — т2 или (^*ЛЦJ ~ т2-
Рассмотрим сначала скалярный случай. Собственные функ-
функции оператора ^2 — т2 во внешнем поле с потенциалами E.2.1)
имеют вид [92, 93, 181]
*.« И = (W ft! 2ft+V/2)-1/2 C7^Г1/4е («Л (пх)) х
Хехр [*еФ(ж) - ^ («х) + vft In («А (пх) (| е | Jf)^1/2)
ехр {— 1Жа {пх) Яц]
, pvrt J in i ТП * I _
L z
, (гаж) =
Л(изс)
- BeS)~x
191

()
Ж* (пх) = (eg)'1 j exp (F/g • In Л (nx)/x) ej (^A) *~: rfr,
<D-oo
Л (n#) = p1 + e^f -(?гх),
vft = (ixfc - l)/2,
«|«\ со = ± 1, ? = 0,1,2,...
(id/д (m(+)x) — еЖ (т^х)),
Дц(р) — полиномы Эрмита, р\ и р2 — собственные значения опе-
операторов 2idjd(nx) и idjd(m(+)x) соответственно, а функция Ф(х)
определена формулой E.2.10). При <о = — 1 собственные функ-
функции F.2.116) имеют отрицательно частотную асимптотику при
(п'-+)х)-*- +оо, а при @ = 1 — положительную частотную асимпто-
асимптотику при (п{+)х)->- — оо. Можно показать, что функции F.2.116)
образуют полную ортонормированную систему
6 (Я — К') б (рх — р[) б (р2 — /?г) 6а
2 S
ft=0 <й=±1 _
Найдем матричные элементы Dxn,yn', соответствующие причин-
причинному пропагатору .Dc(^i у), определенному выражением F.2.89).
После несложных вычислений получим
ДиЛ'п' = —(к + i?)~l 6fcft'6ffit0/6 (к — V) б (/>! — />i) б (р2 — />а)-
F.2.117)
Таким образом, в этом случае
Е = г.
Рассмотрим теперь пример постоянного однородного магнит-
магнитного поля, описываемого потенциалами
st^ (х) = @, Нх2, О, О).
Собственные функции оператора З^ — т2 в таком поле имеют
вид [5]:
X ехр {— шЕхх° + ip
+ р" + BА + 1) еНУ/г, F.2.118)
192

-x2), eH>0, » —*l,
X > — (m2 + pi + Bk + 1) еЯ), /с = 6,i, 2, .--..,
где со — знак частотности решений.
Можно показать, что функции F.2.118) образуют полную и
ортопормированную систему
= б (к — к') 6 (pt — р[) 6 (рз — Pi) б«Л'ба,«,',
h=0 CO=±1 J S 1 3
Оператор ^, соответствующий причинной функции Грина
Dc(x — y), в этом случае по-прежнему сводится к е:
Рассмотрим функцию
DB (х, у) = I 2 2 f Ф>.Р,р,1
XdPldp3dX. F.2.119)
Нетрудно проверить, что F.2.119) является функцией Грина
уравнения Клейна — Гордона. Сравнивая F.2.119) с выражени-,
ем F.2.108), получаем
Е(Х, п)
что соответствует оператору
? = _2ге-^-. F.2.120)
о
Выполняя интегрирование по Я в F.2.119), нетрудно получить
Я8 (х, у) = в (sign 8 • (хо - уо)) G (х, у), F.2.121)
где G(x, у) — перестановочная функция Грина F.1.21) для рас-
рассматриваемого ноля. Тогда
Jfo)G(* y) = D*,y), F 2122)
y) = D^(x, у),
запаздывающая и опережающая функции Грина уравнения
Клейна — Гордона, соответственно.
Таким образом, расширения оператора 9>2 — т2 соответствую-
соответствующие запаздывающей и опережающей функциям Грина, имеют тот
же вид, что и в отсутствии внешнего поля [51].
Аналогичные результаты можно получить и для спинорного
случая.
13 д. л. Гитмац и др. 193

Собственные функции оператора (9>v'fJ — m2 во внешнем:
поле с потенциалами E.2.1) имеют вид [92, 93]
^ BЛ (пх))-1 «„/.(еД, (nx) yv + еу? X
Х1В (ил)) ехр {_ i (Б + ia^/^) In (соА (пя) (| е | «Г1")} X
ХЧЪр^и (*)"><$' @.2.123)
где (fip psftBй—собственные функции оператора ^2—иг2, опре-
определенные формулой F.2.116), u>oi — биспиноры, собственные для
матриц 2 и
ос = Пц у nv у ,
CJH?ot, a, l = ±\.
Функции F.2.123) образуют полную ортонормиронанную си-
систему в смысле F.2.112). Так же, как и в скалярном случае,
расширение оператора (&^J — т27 соответствующее причинно-
причинному пропагатору Sc(x, у) во внешнем поле с потенциалами
E.2.1), сводится к процедуре
т2 ->- т2 — ie,
а расширение, соответствующее запаздывающе!1! и опережающей
функциям Грина в постоянном однородном магнитном поле, да-
дается оператором Е вида
§ 6.3. Метод собственного времени Швингера
Рассмотрим общую схему решения уравнения Дирака F.1.20)
для функции Грина методом собственного времени Швипгора
[260, 425]. В этом методе функция Грина S(x, у) рассматрива-
рассматривается как матричный элемент некоторого оператора S, т. е.
S{x, y) = <x\S\y>. F.3.1)
Поскольку функция S(x, у) содержит еще слинорные индексы,
которые здесь не выписаны, то состояния <ж| и |г/>, фигуриру-
фигурирующие в F.3.1), нумеруются не только пространственно-времен-
пространственно-временными координатами, но и спинорными индексами. В подробной
записи, которой мы иногда будем пользоваться,
\х> = |лг, а> = \х\ а>, а = 1, 2, 3, 4.
Предполагается также, что указанные состояния являются
собственными для самосопряженных операторов X* и образуют
полную и ортонормированную систему
Х*\х} =х*\х}, (х, а | у, р> = бар6 {х — у),
(G32)
194

Представим величины &$а($(х — у)-п Уа$(х — у) в виде
матричных элементов некоторых операторов Пц и Г11 по введен-
введенным состояниям
^бб() <|П|р>
-»)=<*, а |
Нетрудно установить, что введенные операторы Xй, Пц, Г11 удов-
удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям
(X), 3,
[Г\ rv]+ = 2тГ, [Пц, Tv]_ = [*¦*, rv]_ = 0. К ' ' '
Уравнение F.1.20) для функции Грина S(x, у) эквивалентно
следующему уравнению для оператора S
(П-и»M = -1, П = ПД*. F.3.5)
Квадрируя это уравнение подстановкой
5 = (П + т)Д, F.3.6)
приходам к уравнению для оператора Д,
(П2-/»2)Д = -1, F.3.7)
формальное решение которого имеет вид
Л = -(П2-1я2)-1. F.3.8)
Отмстим, что обратный оператор в правой части F.3.8) опреде-
определен с точностью до добавим До, являющейся решением однород-
однородного уравнения
(П2-т2)Д0 = 0, ..
Для выделения из @.3.7) единственного решения, оператор
П2 — тп2 «расширим» за счет мнимой добавки к квадрату массы,
¦гак что
Д = -(П2-т2 + *е)-1. F.3.9)
Запишем оператор F.3.9) в виде интеграла по собственному
времени s
оо
Д = I \ U (s) ds, U (s) = exp {iMs), Ж = П2 — m2 + is. F.3.10)
о
Таким образом, задача нахождения функции S(x, у) фактиче-
фактически сводится к вычислению матричного элемента
g{x, у, s) = Kx\U(s)\y>, F.3.11)
называемого функцией преобразования [260, 425],
со
S (х, у) = О,,/ + m)\g (х, у, s) ds. F.3.12)
о
13* 195

Оператор U(s) можно рассматривать как оператор эволюции
по собственному времени s для системы с гамильтонианом Эв.
Если теперь считать операторы X", Пц, Г" шредингеровыми опе-
операторами, то эти же операторы в представлении Гейзенберга
имеют вид
n,1(s)=?/-1(s)n(l[/(s), P(s)=C/-1(s)PC/(s).
Они удовлетворяют уравнениям
(X (*)) IT (S) + WF,» (X («)) +
p), F.3.14)
(s) = U~x (s) 2WV[/ (*) = i [I*(в), ()]
2 F.3.15)
с начальными условиями
Х*@) = Х% ПДО) = ПИ Р@)=Г". F.3.16)
Введем также векторы состояния <х(s) I,
F.3.17)
Тогда
g{x, у, s) = Kx(s)\y@)>. F.3.18)
Из явного вида F.3.10) оператора эволюции U(s) следует со-
соотношение
d,g(x, у, s) = -<z(s)|5g|i/@)>, F3лд)
g(x, у, 0) = i6(x-y).
Если теперь из решения уравнений F.3.14) удается выразить
гамильтониан Ж только через операторы X^(s) и X» в таком ви-
виде, чтобы все X*{s) были расположены левее X11, то приходим
к обыкновенному дифференциальному уравнению для функции
преобразования g{x, у, s)
W,g(x, у, s) = Q(x, у, s)g(x, у, s), F.3.20)
где Q{x, у, s)—некоторая функция указанных аргументов. Это
196

уравнение вместе с соотношениями
<*(*)|П,1(
/ г М 1 ТТ (П\\
\ nL- \О) J- А и \\J I
F-3-21)
с начальным условием F.3.19) полностью определяет функцию
преобразования.
Применим описанный метод к нахождению функции Грина
во внешнем поле, представляющем собой комбинацию постоян-
постоянного однородного поля и поля плоской волны с потенциалами
E.2.1). В этом случае уравнения F.3.14) записываются в виде
= 2е (F^ + ^ (пХ (s))) ГГ (s) +
2е
), F.3.22)
(s).
Их решение нетрудно найти
П1 (s) = ехр Bе/Ъ) П @) — j exp BeF (s — и)) е df(nfu(u)) du,
о
(expBeFs) — 1)П±(О) —
1 (s) = exp BeFs) Гх @) -
S
_ (иГ @)) («П (О)) j exp BeF (s - и)) е
nil (s) = exp (— 2eS"s)
a
пП. @) + (nU @)) J {2СП-1 (и)
dfjnXju))
du
¦du,
(nT @)) Г1 @) exp Be (g -F)u)e
du
187

nX (s) — nX @) = — {eg)'1 (exp (— leSs) - 1) nU @) +
+ (гаП (О)) j (exp (- 2e&S) - exp (- le&u)) ЬеП^ (ц)
b
яГ @)) ГJ @) exp Be (У - f) к) e df (^f (")}} d« I, F.3.23)
I,
пГ (s) = exp (— 2e^s) гёГ (О) +
s
+ 2 (пП (О)) exp(-2e^s) j Г1 (ц) е
о
^ = - S »4X
а векторы пг^' определены в E.2.5).
Из F.3.23) находим следующие коммутационные соотношения
[nX(s), пХ@))- = [nX(s), пП @)]_ = 1пХ@), гаП@)]_ = 0,
[ИХ (*), лХ @)]_ = - 2Це& -(ехр (- 26^5) - 1),
[Х? (в), Xvx @)]_ = i (eFj. (ex
) 1)VV, з
[nX (в), X? @)]_ = 0, fЙГ (s), ?гГ @)] + = 4 exp (- 2e^s),
[Г^ («), Г^ @)]+ = 2(expBeFlS)Vv.
Выразив из F.3.23) операторы II(s), П@), T(s) через X(s),
X@), Г@), воспользовавшись F.3.3) и коммутационными соот-
соотношениями F.3.24), получим
4 stl
(О V
-|treFethers-уо^(^+ ^v(ny))\, F.3.25)
где
5
Zl (s) = _ 2 [ (exp (— 2e&-s) — exp (— 2е^м)) Х
¦198

X
eF exp (— 2eF (s — u))(l — exp (— 2eFs))~1 (z + T(s)) —
и
f/n r> t r\\ df (ПХ (ll')) , , I j
exp BeF (u — u)) e ' yrfg; " du \du,
X {exp(—2e&s) — l)-1yexpBe(g' — F)u)e df(^JU)) du, F.3.26)
а функции l(s) и пх(а) определены в F.2.77). Подставляя
F.3.25) в F.3.19), получим обыкновенное дифференциальное
уравиение для функции g(x, у, s). Его решение имеет вид:
<x(s)\y@)>=C(z, y)f(x, у, s)w(s),
j (х, у, s) = (det ^p-) exp j- im* s + гФ(^) +
+ ~ zeFl (s) — i{z + l (s)) ^- cth eFs (z + I (s))\
F.3.27)
w (s) = exp ^ — t-| o^Fd)
-f
(eF (s — 2u)) e df (^ {u)) du {(nz) eg)'1 sh e&s.
где величина O(s) определена формулой F.2.77), a C(x, у) —
произвольная фупнкция своих аргументов. Функцию С(х, у) оп-
определим из F.3.21) и начального условия F.3.19)
С (х, у) = DпГ2 ехр {< \ xFy]. F.3.28)
Подставляя F.3.28) в F.3.27), получаем
g {х, у, s) = (An)'2 exp [г | xFy] J(x, у, s) w (я). F.3.29)
Этим завершается нахождение функции Грина F.3.1). Она сов-
падает с причиним! функцией Sc(x, у), найденной в предыдущем
параграфе методом суммирования по решениям (см. формулу
F.2.96)). Таким образом, решение уравнения для функции Гри-
па по методу Швингера приводит для рассматриваемого поля
к причинному пропагатору Sc.
Мы сейчас покажем, что и другие пропагаторы в рассматри-
рассматриваемом поле можно представить в виде F.3.1), каждый со своим
оператором S. Для этого заметим, что все эти пропагаторы имеют
199

следующую структуру:
S {х, у) = fa-f + т) 2 Pi {x~y)\g(x, у, s) ds, F.3.30)
¦? Г;
5 {х, у) = (G (ж, у), Sm (х, у), 5е (х, у), Si? (я, у),
S5n(х, у), -S?»(ж, у), Кю(х, у), К(х, у)}, F.3.31)
где функции $;(х — у) и контуры Г; определены в F.2.93) —
F.2.101).
Подставляя в F.3.30) функцию преобразования в виде
F.3.11) и учитывая F.3.2) и определения F.3.3), получаем
S{x,y)~=<x\S\y>, 5=-(П + ш)Л,
Д = i 2 f Pj (k) f exp (iAX) U (s) exp (— iAX) ds dk,
p,- (Л) = Bя)~4 J p,- (z) exp (ikz) dz, F.3.32)
Л = (A, Aff\ Ac, Aff>, A,cn, AJn, Ag1', Дя).
Вычисляя функции fJj(A:), получим
Д = я j т j exp (ixX°) U (s) exp (- ixX°) ds dx,
{-t-oo
f j C/ (s) ds — Bл)-1 j (t — fe)
rc
+ ОО
'х
X J exp (± ixX°) U (s) exp (+ ixX°) ds dx\,
rc-ri-r2 I
U(s)ds-
ie) J
rc_ri_r2
. — Bя)~х j (t — ггГ1 J exp [ixnX) U (s) exp (— ixnX) ds dxL
га+г3-г" j
Д?п = i j J7 (e) ds - Bл)-1 j (т - ie)-1 X
jic pa —oo
X J exp (irnX) U (s) exp (— ixnX) ds dx,
г2+г3-г°
300

Д Jn = i J i/ (s) Л - Bл) J (т - ie) X
rx+r2-r° -°°
X j exp(ixnX)U(s)<axp(-~ixnX)dsdx,
Г2+Г3-Г°
Д к = i ) t/ (s) ds - BJX)-1 ^ j (x — ie)"^
X j exp (— ;xZ3) [/ (s) exp (ixX3) ds dx, F.3.33)
где интеграл по т около точки т = 0 для оператора Д понимает-
понимается в смысле главного значения.
Операторы A", Aim Ajn являются обратными к оператору
П2 — т2, а операторы А, А , Д;п ортогональны ему.
§ 6.4. Нахождение функций Грина
методом функционального интегрирования
6.4.1. Представление функций Грина в виде функциональных
интегралов
Рассмотрим здесь представление причинных функций Грина
Sc(x, у) и Da (x, у) спинорного и скалярного полей функциональ-
функциональными интегралами. Предполагая, что в произвольном внешнем
поле причинная функция Грина S"(x, у) дается выражениями
F.3.11) и F.3.12), запишем*)
оо
Sc (х, у) = Bтс%Г1 (Р^+тс) j g (x, у, s) ds,
= Ж (X, р, Г) = ртсу1 [гп2с* - П2 + —¦ F»v (X) Swv) =
где p^ — оператор обобщенного импульса, сопряженного к
*) В этом параграфе с и ft не будем считать равными единице.
201

оператору X". Представим g(x, у, s) в виде
Я (х, у, s) = BпП)~2 J ехр | — i -^ j g (p, у, s) dp,
F.4.2)
ехр \ — i
где 1р> — собственные векторы оператора
<а, р 1 р', а'> = баа/ б (р — р'),
<а, а: | р, а'> = BяЯ)~2 ехр |— i -^-
F.4.3)
и для простоты опущен регуляризующий фактор е. Для перехода
к функциональному интегралу удобно рассмотреть функцию
gy(Pi ?/> s) с источниками & {%) = (/Дт), |"(т), р"(г)}
U$ (s)= Г ехр
^^ (т) = Ж + /V(г) X* ]-е(г)рм + рц(т) Г^,
где /'(т) и |(т)'—четные источники к операторам X и р, а р(т)
нечетные источники к Г, причем будем считать, что •
Функцию gg (р, у, s) можно представить следующим образом:
' У> я) = ехР
X
\у>- F.4-5)
Вычислим входящий в F.4.5) матричный элемент
Н = <р | Т ехр - {- \ (/ (г) X + I (г) р + р (г) Г) йт | у>. F.4.6)
0 )
Для операторов Г" выберем реализацию вида
202

где Xw — нечетные переменные. Введем операторы
p(x)X= b(r), р(т)-^- = b*(x).
Их отличные от нуля коммутаторы имеют вид
F.4.7)
[Ь+(т), Ь(т')]_ = -р(т)р(т').
Назовем нормальной формой форму, в которой все операторы
а*(т) и Ь*(т) расположены слева от а(х) и Ь(т). Отличные от
нуля хронологические спаривания операторов F.4.7) имеют вид
'a(x)a*(x')=T(a{x)a*(x'))-N(a(x)a*(x')) =
'ъ(х)Ъ*(х')=Т(Ь(х)Ь*(х'))-М(Ь(х)Ь*(х')) =
= -в(т-т')р(т)р(г'),
где N — символ указанной нормальной формы. Используя фор-
формулу, аналогичную B.4.17), получим для внутренней части вы-
выражения F.4.6), с учетом F.4.7),
Т ехр
п. ,)
о
i
exp
X
Хехр
Подставляя это выражение в матричный элемент F.4.6) и учи-
учитывая F.3.3) и F.4.3), найдем
R - Bnh)-2 exp
I S
t Г
if,
F.4.8)
203

где
о е (т — т')
Q(x, x')
t
-j-b{t-t')
F.4.9)
Величину if можно записать в виде функционального интеграла
(см. B.3.30))
К = С f ехр - -L J J т, (х) Q-1 (х, Т') г, (т') <*т dx' -
— -^ J ^ (т) Ti (т) dx j Z)T|, F.4.10)
о
д
О 5=7 6 (т' - т)
-^б(т-т')
^
О
О О
Если элементы столбца rj (т) обозначить через
it _д_
2 дх
то
= BяйГ2 С j ехр
1 м (s)
± j [(я
(т) + р) 9 (х) -
dx
X
— X j P (x) Y d
? я(х),
, я(*)«0,
, F.4.И)
}. F.4.12)
Выражение F.4.12) для области интегрирования получено из
общей формулы B.3.30). Подставляя это выражение в уравне-
уравнение F.4.5) и полагая источники равными нулю, найдем для
204

функции g(p, у, s)
g (p, y,s)=i Bn%)-2 С J exp ji- pq (s) +
, F.4.13)
P=0
где
о ^, я + р,
_^?(х)Ы +
1 (mW - (я (т) + p - -i ^ (9 (x)))
x))) +
. F.4.14)
Проинтегрируем по л(х) в F.4.14). Тогда
~
' Р=0
F.4.15)
где
s
- j [f(?a
о
f
. F.4.16)
Используя F.4.5), можно получить для g(p, у, s) и другое вы-
выражение
g(p, y,s) = I Bп%)~2 С exp\i^^ + ^S [q, я + р] Д (s \ q) DqDn,
J (. п. П, J
E
¦y, n(s) = 0}, F.4.17)
где
[q, л] = - j [л (x) g (x) + B/nc)-1 fm2c2 - (я (х)- ~ Ж (q (x))
E.4.18)
205

¦— гамильтоново действие релятивистской частицы, а
Л2
X
XA(s|p)exp —-f
г .
Величина A(s}q) F.4Л9) удовлетворяет уравнению
. ?Д^Ы = _?__ р^ (g(T)) а^д (т |g)i
F.4.19)
F/1.20)
решение которого имеет следующий вид
1-С )
Д(*|д) = Гехр i^ j ^ (д(т)) ff"v (т) dt . F.4.21)
Проинтегрируем выражение F.4.17) по импульсам. Тогда
g (р, у, s) = i Bл П)~г С J exp \i ^S?> + L S [q] J д (s/<7) ?>g,
E
E = {q(T)\q@) = y}, F.4.22)
где
5 [gl = - j [^ ( q2 (x) -!- 1) + -i g (T) a (q (т))] dr F.4.23)
о
— лаграижево действие релятивистской частицы.
Найденные для g(p, у, s) выражения позволяют получить
различные представления для функции преобразоианпя g(x,y,s).
Например, подставляя F.4.13) в F.4.2) и интегрируя по им-
импульсу ри, приходим к представлению
mV Г f mc (
g{x, у, s) = ——jjCJ exp — i2%s\x — q{0)~
г s [?¦">?
( <r м А
i г I f>(T)vaT>
I ft J I
1 n '
^ X
, F.4.24)
0=0
206

Для снятия в F.4.24) интеграла по импульсам я(т) следует вы-
вычислить интеграл
1 j j Лц (т) Лцу (т, т') лу (т') dr dx' -
о
— * J Iм (т) яц (т) dx ?>я, F.4,25)
I
где
A^v (т, т') - rfv I S (т - т') - -
•Отметим, что матрица Лцг(т, т')— особенная. Поэтому интеграл /
-будем понимать следующим образом:
= lim/rf,
(b.4.26)
где /d — регуляризованный интеграл, который получается из
F.4.25) заменой Л(т, т') на
ЛГ (т, т') = г,^ (б (т - т') - 4 ) ("иЛГ1.
Интеграл Id легко берется как гауссов
- \ j j 1Ц (т) Gdiiv (т, т') Г (т')
где
птс.
GdVLV (х, т') = r)nv (в (т — т') +
Нетрудно увидеть, что
(detA,)-I/2 =A - d)-2(d
Тогда
la = A - d)~2 (del Л0Г1/8 ехр {- 1 mcd (йя A - d)) (z - g (s)J) X
Xexp
i g ( j ф (т) dx
+ 2
ЭД. F.4.27)
207.

Вычисляя предел d-*-1, получим согласно F.4.26)
X&(x-q(s)). F.4.28)
Используя этот результат, найдем
g(х, у, s) = iC Jexp[LS [q, ? |^]}б(х-д(«))/>?Д?Х
Xexp —-
о
р=о
E={q(x), E(x)lg(O) = y, ?(O) + t(s)-O). F.4.29)
Отметим, что влкад в интеграл F.4.29) фактически дают траек-
траектории gr(T)> удовлетворяющие условиям
?@)=у, g(s) = x. F.4.30)
Используя F.4.17), получим для g(a;, у, s) еще одно представ-
представление
I . тс (
I \
), я(т)!д@)=г/, я(в)-О), F.4.31)
где S[q, п] и A (si g) определены формулами F.4.18) и F.4.19).
Интегрирование по импульсам я(т) в F.4.31) можно провести
аналогично предыдущему. Тогда
g(x, у, s) = iC j exp jj- S Щ A(s\q)8(x — q(s))Dq,
E
¦yh F.4.32)
где 5[g] определено формулой F.4.23).
Получим представление g(x, у, s) в виде интеграла по скоро-
скоростям. Для этого оделаем в выражении F.4.28) замену перемен-
переменных q, ?, -»- и, о
т
g (т) = у + j и (г') dt\ м (т) = q (т),
° F.4.33)
208

Тогда
g(s, у, s) = 1С" Jexp{i-S[U,
x — у — \ и {%) dx \Du D(o exp | — ^- \ p(т)у
n / » о
dx
, F.4.34)
P=0
где
— ^ \ j CO (T) 8 (T — X') CO (T') dT ИХ
0
/ s s , s
*VvU- j «(т')Л') {j 8(x -
Замена F.4.33) такова, что при любых и(т) и ю(х) удовлетво-
удовлетворяются условия
и, следовательно, на и (г) и со(х) нет ограничений. Делая замену
т
q(T) = y + Ju(T')dx'
о
в выражении F.4.32), получим для g(a;, г/, s) еще одно пред-
представление
+ j м (г') йт' б х — I/ — \u{x)dx\Du F.4.36>
= - j Т ((т) + 1) + 7U W А. х-1и (т')Л' ) Гт' F-4-37)
где величина A(s\q) определена в F.4.19). Выражения F.4.34),
F.4.36) впервые получены в работах [330, 245, 32].
14 Д. М. Гитыан и др. 209

Отметлм, что величину A(slg) можно записать с помощью
F.4.13), F.4.19) в виде
= jexp -lj _ !* ? (т)? (т)
+ Г(т)
dx X
Если в этом выражении сделать замену
, @.4.38)
Р = 0
что эквивалентно переходу к интегрированию по скоростям, то
получим
s
A (S | q) = (det e)~1/2 f exp i + 1J f со11 (т) AMV (т, t') cov (т') dx dx' -
s
- J «
А)
Deo exp -
Xexp — -i-j р(тOо(т
, F.4.39)
где
S
? (т, т') = 1 s (t - t') Tfov —gj^ j" e (т - т") F^v G (т"))е (т'-т')Л',
о
| ^) = ^ J e (t - т') *¦,„, (ф')) гП ^ту Л', F.4.40)
as — оператор, ядро которого имеет вид
Интегрируя в F.4.39) по «"(г), найдем
210

А Рт ((? (x)) Gttp (x, x') Fpv (g (x'))l X
4mc J
Xi
—, dx dx'
exp — y
, F.4.41)
P=0
где Л — оператор, ядро которого имеет вид F.4.10), а е~'— опе-
оператор с ядром
функция Gaft(x, х') определяется соотношением
s
Gap (х, х') = у J J е (т — s) ^ («', s") e(s' - т') ds' ds", F.4.42)
о
а ^"v(t, x')—ядро оператора, обратного к Л,
5
J Л^ (х, *') $av (s\ т') rfs' =-- 8J16 (х - т'). F.4.43)
о
Введем матрицу
Гцу (х, х') = | j е (х - х") ^ ^ (х", х') dx", F.4.44)
о
которая удовлетворяет уравнению
s
Гцу (х, х') - -Аг f s (х - х") Ff (q (x")) rav (x", x') dx" =
2тс~ J
= 2i1|1v6(t-t'). F.4.45).
Это уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению
5Г>1;(тТ'Т/) - ^5 ^ (? (х)) Tav (х, т') = 2ц^ | б (х - х') F.4.46)
с начальным условием
s
IVv @, х') + -Ц f F^a (? (x)) Tav (x, х')йх=2т]^б (х').
о
Решение последнего имеет вид
Г(т,т') = 2б(х-т')-г
+ У (х) {е (х - х') + A - У (*)) A + F(.v))-1] F (х') -Ц F (q(x%
14*
F.4.47)
211

где
У-1 (T) = T exp - -^ f F (q (т')) Л' ,
(^ me J J
*" fa CO) = {*"iiv (?(*))}¦ °
Используя F.4.44), F.4.47), матрицу С^(т, т') F.4.42) можно
записать следующим образом
F.4.48)
G(x, r')=
Имеет место связь
е s %
(del е^ЛI'2 = ехр _ Л- j" &' j G^v (т, т | в') ^ц (g (т)) dr , F.4.49)
о о
где G(x, т'!е') — величина F.4.48), взятая при е — е'. Кроме то-
того, матрица Gvx(x, x') удовлетворяет уравнению
5<4(J'T) -2 F» fa М) G™ (t, т') = 4^6 (т - т'), F.4.50)
S
@, х') + ^-г [ V fa (т)) Gav (х, х') dx = - 2t|^vb (xr).
Учитывая F.4.49) и F.4.50), можно переписать величину A(s\q)
в терминах СЙУ(т, т')
1% i
n n
т, г | е') F^ (q (т)) dt -
\Qmc
. F.4.51)
p=0
Отметим, что в силу антикоммутативности р(т) выражение
ехр]
212
— -г-
о

содержит конечное число членов разложения по степеням р(т)
- т J р (т) у drj = 1 -1 Q^t ~ ^Г Q»Qs
Нетрудно увидеть, что в F.4.51) дают вклад только четные сте-
пеии рц(т) из F.4.52). Поэтому можно F.4.52) в этом выраже-
выражении заменить на
1 - h Q*WV + h Ш(?&г- F.4.53)
Подставляя выражения F.4.51) в F.4.32), получим окончательно
для функции преобразования g{x, у, s) [330]
g{x, у, s) == iC \ ехр Ц S [q] —
E [
~ ^Ь J
de' \G v(t, r\e')
0 0
— q («)) X
Z)gexp|— |- j
, F.4.54)
p=0
Приведем аналогичные выражения для причинной функции
Dc(x, у) скалярного поля [32, 239, 245]
Dc (х, у) = B/гасЕГ1 j / (х, у s) de,
/(х, y,s)= i(x\ехр | — — {Ж — ге)s
Ж = {2тс)~1 (— П2 + т2с2),
F.4.55)
213

E = {q (т), я (г) | q @) = у, п (*) = 0}, F.4.56)
, г/, s) = iC j exp [15 [g] j б (ж - ? («)) Дд,
i/}, F.4.57)
/ (x, y, s) = 1С J exp U- S [и]} б f a: — у — J и (т) dt j Z)u. F.4.58)
6.4.2. Комбинация постоянного поля и поля плоской волны
Вычислим функциональлым методом спинорную функцию-
Грина S°(x, у) в комбинации постоянного поля и поля плоской
волны. Подставив в F.4.36) внешнее поле E.2.1), получим
g(х, у, s) = i Гехр /— J-р (х — у) — ^ mcsl g (x, p, s)
dp
г ( i се
g (x, p, s) = C\ exp I —j \ u*(x) R^v (x, x') uv (xr) dx dx' +
J I J0J
г Г Г eft \1 1
+ — I u (т) Пи (x, p) /m \nx — \ nu (xr) dx' \dx\
л. J c V J '
X
\S X JUT T j
#nv (т, t') = tTl \тсц^ (x — x') — yc Fv.v* (t — t')], F.4.59)
а величина A(s|g) определена выражением F.4.21), в котором
/ S \
if I
= /Vv + фцГ I nx— J na (t') dT' .
\ T /
Функциональный интеграл F.4.59) не является гауссоным, одна-
однако его можно свести к гауссову. Для этого перепишем функцию
g(x, p, s) из F.4.59) в виде
g{x,p,s) =
ехр{f J*WчwdTO(sI*• ^д(sIпх-ц^Ч^г- F-4-60>
214

+ y W* (T) nn (*' P. т 11>. Л) dt| Z)u, F.4.61)
л. J I
0 '
s
ТТц (ж, р, т 1 тр. т)) = яц (ж, р) —^ /ц (пх — т) (г)) — п^ \ о|з (т') йт'.
¦с
Функциональный интеграл гауссова типа F.4.61) вычисляется
стапдартным образом
' , F.4.62)
где Q^v(t, t') удовлетворяет ураипению
s
J i?^ (t, t") Qav {%", x') dx" = 6^6 (x - x'),
0
решение которого имеет вид
b(TT) (e(TT)lh)l
F.4.63)
Используя F.4.63) для детерминанта, фигурирующего в F.4.62),
получим
(det7?)-i/2 =
\
Подстанляя F.4.62) в F.4.60) ж используя свойства E.2.2) соб-
собственных векторов тензора Fvv, приходим к результату
о
X Q^ (т, т') n.v (лг, р, т' | т|) dx dx' +
s
Л (т) - Й j j я„ (ж, р) Q^ (S',
о
X «V6 (я"— т) ds' ds" \dx Д (s \ пх — г\ (т))
Лц (х, р, х | т)) = Лц (ж, р) i- /ц (пж _ Г| (Т)). F.4.64)
215

Интегрироваиие по ф(т) дает дельта-функцию
¦ц (х) — UJ j Яц (х, р) Q*v (s\ s") nv8 (s" - т) ds' ds")
и позволяет выполнить интегрирование и по ц(х). В результате
получаем
g (х, р, s) = [ det ch ^-4) exp «-Ц I я„ (ж, р, т I ti0) X
^ 2mc l l2ft JoJ
X Й^ (т, t') nv (ж, p, t' I щ,) dx dr' A (s | вд — Ti0 (т))г
tfe (т) = ЪГ1 J j яц (ж, p) QT (s1, s") nvQ (s" — т) ds' ds". F.4.65)
о
Подставляя F.4.65) в F.4.59) и интегрируя по импульсу р„
нетрудно получить
/ eFs \-l/2
g(x, у, e)-Dnft)-^det -^j-c) exp ^ J-xFy-iTg-
где
Ф(8) =
2^ (« - У) T-Z ^} д (* I n* (т)), F.4.66)
s
j -i- / (nx (t)) [-f- / (ад (т)) + e-f Z (t)] dx,
0
exp (^-(,-t')) -^-/(Bi(t'))<it', F.4.67)
j
z = x—y.
Перейдем к вычислению величины A(s\nx(%)), фигурирующей в
F.4.66). Во внешнем поле E.2.1) эту величину удобнее вычис-
вычислить, исходя из уравнения F.4.20), которое в рассматриваемом
случае выглядит следующим образом
А@|ия:(т)) =1.
216

Представим решение уравнения F.4-68) в виде
А, (т) = exp f- i —2 oFs], oF = <tmvFwv. F.4.69)
I 4mc J
Тогда &2(т\пх(х)) удовлетворяет уравнению
aAa(T|n»(T)) = * д-1 (T>at|) (т)) д (т) ААх{пх (т))> F 4 70)
от 4тс
Это уравнение можно свести к интегральному уравнению
г(т'))аД1(т')Ая(т'|п*(т))Л'. F.4.71)
о
В силу свойств
итерационное решение уравнения F.4.71) обрывается на втором
члене
S
А2 (s | пх (г)) = 1 ~ f АГ2 (т') стяЬ (пх (т')) Л'.
4/гес J
о
Тогда
A (s\ пх(х)) = ехр J l-^-z-aFs\
^_ f ехр ( ^ oF (s - 2т')) ff t|)(ra (т')) dt'. F.4.72)
4mc J ( 4mc J
Преобразуем подынтегральное выражение в F.4.72). Для этого
воспользуемся равенствами
ехр (xaF) in ехр (xcsF) = (cos 4ixF*) ^Y + T5 (8^п 4^^*) nv*fw,
F.4.73)
exp (xoF) ч» exp (—xcsF) == (exp (—4ixF) )^v.
Тогда
exp (awF) сто|з (ид; (т)) = I (exp (— 2ixF) cos Bi^F*))'ia YttYvi|Vv (rea; CO) +
+ -i- (exp (- 2ixF) sin Btef •))>« e?pVv^Vv (^ (t)).
Учитывая тождества
217

нетрудно получить
exp(xaF)a1p(nx{i) ) = 21{щ) {-{ex${2ix(F - g) )f{nx(x))).
Выбирая параметр х =— i—^-(s — 2%), получим окончательно
4mc
A (s | пх (т))= ехр (— i —~ oFs) +
Г I eF I о Л df (пх (т)) I л / яр \ л i e%s
У ехР т—§(*-2т) еТ Ыт(е<Г-тгг)-1 sh—-^,
о '
F.4.74)
Отметим, что, полагая в F.4.66) Д(s\nx(r)):= 1, получим выра-
выражение для функции преобразования f(x, у, s) скалярного поля
/ eFs \-l/2
/ sh -—г \
,, . „ t, , , , 2,nic
/(ж, г/, s)=Djrfc)-2^det g/,/c J ехр
Выражения F.4.66), F.4.75) совпадают с результатами, полу-
полученными в § 6.2, и впервые получены в [32].
6.4.3. Метод стационарной фазы
Преобразуем величину A(sl<7), фигурирующую в представле-
представлениях для функции преобразования g(x, у, s), к виду, удобному
для вычислений функциональных интегралов по методу стацио-
стационарной фазы. Перелишем Д (sig) в виде
> 6)=jexp j-Jr «.S(T)?
O), F.4.76)
где б11 — нечетные переменные, которые мы будем предполагать
218

антикоммутирующотми с ^-матрицами
= -|- IT" (t), Yv (t)]_, Y» (t) = ? (т) + в*. F.4.77)
Отметим, что антикоммутативность переменных Э" приводит к то-
тому, что величина
д1
содержит конечное число членов разложения по степеням Vм-—-
/ д, \ а. •¦ 3?
exp v11 —- = 1 + Vм' —- — —
93
1 0Wvva[V5
4
+ 3!
Подставляя F.4.76) в @.4.29), получим
g(.z, г/, s) =. exp ^yv.-±-Jg(x,y,s\Q) |e=0,
g (x, y,s\Q)= 1С J exp {-i- S^ \q, ? | 8j} б (x - q (*)) Z^ /3?,
к
E = {</(т), ? (т) Ig.@) = y, ? @) + ? (*) = 0>, F.4.79)
где
4 a In tl I ВI = \ ^^ In f I 0^ ^т
о
- i» ? (т) ? (т) + _?«_ ^v (g (т)) 2^ (t)|. F.4.80)
4 4?ree2 J
Вычислим спиновый момент частагцы, описываемой лагранжиа-
лагранжианом F.4.80). Согласно |51] спиновый момент, который обозна-
обозначим 5MV, записывается в виде
Подставляя сюда F.4.80), получим
ел ft vi
219

Видно, что действие 5эф [q, ?|6] можно интерпретировать как дей-
действие релятивистской частицы со спином во внешнем электро-
электромагнитном поле. Оно подобно интенсивно обсуждающемуся в на-
настоящее время действию спинорной частицы [285], которое экви-
эквивалентно результату работы [330].
Лагранжиан F.4.80) инвариантен относительно преобразова-
преобразований
(где | — четный параметр), а также (супер)преобразований
bq» (т) = i ~ у» (т), Ъу» (т) = Xmcq* (т), 66^ = 0,
где А, — нечетный параметр. Уравнения движения, следующие из
действия F.4.80), имеют вид
mc'q\ (т) - — F^ (q (т)) gv (т) + Jl_ д^ ((? (т)) 2av (т)>
F,4.81)
причем последние совпадают по форме с уравнениями Баргма-
на — Мишеля — Телегди [277].
Далее будем вычислять функциональный интеграл в правой
части F.4.79) методом стационарной фазы аналогично [30, 332].
Для этого перейдем к интегрированию по скоростям с помощью
замены переменных F.4.33):
g (х, у, s 1 G) = 1С J ^з ехр {- -L р (Х _ у)} j exp {-L ХФ [X \ в]
' X
4- Jе (т -к) fi»" w ^+°ц) D" Jе (-г - V
(Я/) ^'+ e
F.4.82)
Рассмотрим стационарную точку Х@)=(и@)(х), о)@)(т)) функ-
функционала 5эф[^19]- Ее можно связать с решением уравнений
F.4.81). Пусть д@)(т), ?@)(т)— решение уравнений F.4.81)
220

с начальными условиями
9@) @) = у, «(О) (*)=»«,
Тогда
. F.4.83)
Я(о) (х) = ж — j и@) (т') их', ?@) @) = у,
х
8
"(о) (т) = <7@) (х), <о(о) (т) = ^@) (х).
Разложим выражение в показателе экспоненты в интеграле
F.4.82) около стационарной точки Х{0)
+
g (х, у, s | в) = iC exp J-1- Зэ
+ -г 2 ^ЧР^
п=3
-i- J Э (x) X (x) dx + ±- j pu (x) dx
n ft '
где
(X, X'
ll=x (o)
6(ov(t')
вЗВ(Ь[Х|в]
e«v (-о
L(o)
, F.4.85)
F.4.86)
221

, т
6wv(t')
с=л@)
l(o)
F.4.87)
^i(x) — четные, а 3^(х)— нечетные источники к и»{х) и шA(т)
соответственно. Гауссов интеграл в F.4.85) легко вычисляется
g{x,y,s\Q) = i (sdel K/k)-H* exp Ц- ^эф [Х(о) | 0] -1 ¦
n=3
X
X 3 (т') dt dx
где
1 . . . dxn exp
exp — ^-рА,(Х@))р—
±
-j-p j
X
F.4.88)
F.4.90)
Матрица Сц*(х, t'!X@)) удовлегиоряет уравнению
s
j Й-да (т, s' I X(o)) Gav (sr, x' | X(fl)) d*' -= 8*8 (x - x'). F.4.91)
о
Интегрируя в F.4.88) по импульсам р», получим окончательно
X exp — 53(
222

в?
X
Xcxp
_ _L J f ^(т) G (т, x' I Z(o)) ^ (т.') йт dx'l
.7=0
, F.4.92>
где
F.4.93>
Обратимся к нахождепию функции G"v(t, т'|Х(о,). Для этого
введем матрицу
Т^(т г'\Х \ I ^A)(T' T I А<о)) ^B)(т- т I х(о))
J (Т, Т |Л@)) = 1 I,
V^ (т' т I л(о)) у D)Г> т I л(о))/
, т' | Х(о)) = j G^ (,', т' | Х(о)) d,',
т, т' | Xw) = _ -L j" 8 (г - s'
(G.4.94)
/ = 1, 2.
Тогда уранаение F.4.90) перепишется в виде
ца (X, S' | Х(о
Продифференцируем его по т:
Е ( ()) ^
dS' = - б^б (Т - Т'). F.4.95)
Zmc
(?@) (X)) 17 — "Г ^a^up (?@) (T)) </?0) (T) —
(T)) T(P0) (T)^rU + 2) (X, X' I X(o)) -=- б^дбцб (T — T'),
(X
, Т' | Х(о,)] = - бу-,г6^б (Т - Т').
F.4.96)
22S

Из F.4.94), F.4.95) следуют дополнительные условия к этим
.уравнениям
т' | Хш) = 0, 9-$.я)@, т' | Х(о)) +&~W+2) (s, т' | Хш) = О,
± + -L. да^(д@) (т))) Т^{х, т' | Х(о))|^„ = 6,-дбЦб (т'),
F.4.97)
(9@) (T))^8V+« (T, T' I X(o))] dT = - 6i>26^6 (T').
Обозначим через lh (l\ = y, fo = #, ^з = 8) совокупность началь-
лых условий для уравнений F.4.81). Дифференцирование этих
уравнений по lk дает
Э "д (г) е d'q$ (т) „ • дпа (т)
тс ^^ - -г F»t (я W) -^ - т- ^* to W) зр«-^
О, F.4.98)
, e _ „ . . .. R, drqa(T) e dT-f (x)
Cl помощью F.4.98) можно записать решение уравнений F.4.96)
¦с начальными условиями F.4.97)
У8J(t, т' | Х(о)) = в (т - т') '-*!№ сГ (х') + 9-^%»{%'h
= в (т - r') ^ cfv (т') +
^S С - П / - *• 2, F.4.99)
cav
где функции c,av(x'), b]m(x') удовлетворяют системе алгебраи-
алгебраических уравнений
224
«2

СО + ?г *» (?(о, (О) «л. = О,
mc riw/ ' cf v (T') _ ' Fw < (т')) б 4 _ F.4.100)
dl^ mc '
e
')) тГо) (тО в,-,2 = о,
V) + ьГЧО=о,
fv(x') = О,
Таким образом, с помощью F.4.94) получим выражение для
функции №v(t, t'|X@)) F.4.89) через решение классических
уравнений F.4.81)
(т, т' I Х(о)) - - (тс)-1 6,-дЛ^б (т - т') -
_ е (Т _ хо -^
dlh
— ?"Т1 О(Т — Т)Ч 5" /' (?@) (Т)) О (Т — Т] 0j|2 —
* fame
^ bj (т'). F.4.101)
Используя F.4.100) и F.4.101), величины %»v(X{.0>) и C"v(t|Z@))
F.4.91) можно записать в виде
«
Jdx. F.4.102)
Таким образом, метод стационарной фазы позволяет выразить
функции Грина через решения классических уравнений
движения.
Проиллюстрируем полученные результаты на примере посто-
постоянного однородного поля (F^ = const). В этом случае все вер-
вершины У(п)(т1 ...Tnl-X^O)) (п>Ь) равны нулю и согласно
F.4.92)
*(*, У, s|e)=Diru) {|
F.4.103)
15 д. м. Гитмаи и др. '225

Уравнения F.4.81) расщепляются
(т), тсуц (т) = — у /^vyv (т),
и их решение с учетом условий F.4.83) записывается следую-
следующим образом
( eFx\ а
ехр|—j-] — 1
ехр —
Решение алгебраических уравнений F.4.100) в этом случае
таково
сГ (т) = (тсу! (ехр (^F^1))^ вЛ1, F.4.105)
3uv/ \ I UP ( I eFs\ Л t еРт\\^ R
с/ (т) = - -—г ехр г + 1 ехр —5- б,-.„
\ hmc \ \ тс I ) \ тс j j
 /-ef Is — Т)\\*4
тс
Видно, что матрица G"v(t, х'\Х0) является блочно-диагональной
(т, т' | 2Г(„) = _ (тсГ1 {б (т - т') +
ехр (^^7^) X
, т' | Х(о)) = _ ». [б (т - т') - Д
Ы б;> F-4-106)
Действие F.4.80), вычисленное на траекториях F.4.104), и oii-
226

ределители, фигурирующие в F.4.103), имеют вид
(sdet К/П)~1Г* (det К)~1/2 = /det ~ th —T^- F.4.107)
Окончательно для функции g(x, у, s) получим
( oL
(ж. J/. s) = (АпП)~2 \det ——- ) exp f— i -~-
. е
что совпадает с результатом работ [260, 425].
15»

ГЛАВА 7
РАСЧЕТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
ВО ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Как следует из общего рассмотрения, при вычислении веро-
вероятностей радиационных процессов во внешнем поле, нарушаю-
нарушающем стабильность вакуума, нужно учитывать наличие дополни-
дополнительных каналов переходов, связанных с возможностью рожде-
рождения частиц внешним полем из вакуума. Как показано ранее, та-
такие вероятности удается выразить через конечное число фейнма-
новских диаграмм с нужным образом подобранными пропагато-
рами и свободными концами. Нестандартным оказывается также
вычисление полных вероятностей переходов радиационных про-
процессов с рождением пар. Чрезвычайно полезным является ис-
использование соотношения унитарности матрицы рассеяния для
вычисления полных вероятностей радиационных процессов. Как
отмечалось, все пропагаторы, с помощью которых вычисляются
вероятности радиационных процессом, отличаются друг от друга
только во внешних полях, нарушающих стабильность вакуума.
Необходимо сказать, что имеется большое количество работ,
посвященных изучению радиационных процессов во внешних по-
полях. Мы считаем необходимым остановить здесь внимание на
наиболее важных работах. Так, классическими стали работы
Швингера по КЭД с внешним полем. Он в частности вычислил
аномальный момент электрона [424], развил операторные мето-
методы для расчетов различных квантовых эффектов во внешнем по-
поле [261, 428, 431, 432]. Большой вклад в КЭД с внешним полем
внесли Никишов и Ритус с сотрудниками своими работами по
расчетам различных квантовых эффектов во внешних электро-
электромагнитных полях. Так, процессы в поле плоской волны были
всесторонне рассмотрены в работах [166, 167, 173—176] (см.
также работы [2, 100, 230, 233, 319, 404, 405, 441—443] других
авторов). Процессы в скрещенном я постоянном поле рассматри-
рассматривались в работах [169, 177, 206, 208, 209, 212, 381, 408, 409].
В работах [178, 179, 203] авторы рассмотрели слабые распады
во внешнем поле, а в [381, 387, 388, 408, 409] проведены слож-
сложные расчеты фейнмановских диаграмм КЭД высшего порядка
(включая четвертый) в постоянном скрещенном поле. В работах
Ритуса [206, 209, 211], а также в [215] предложен метод соб-
собственных функций, который в [206, 211] применялся для по-
построения функций Грина и вычисления массового оператора в
постоянном поле. Им же были выполнены работы [138, 139, 204,
228

205, 210] по нахождению квантовых поправок к лагранжиану
Гейзепберга — Эйлера [361, 425, 454]. Полный обзор работ этих
авторов с сотрудниками можно найти в сборниках [132, 202].
Другие аспекты КЭД с внешним полем отражены в работах
группы Байера с сотрудниками. Ими в рамках операторного ме-
метода дан последовательный расчет квантовых эффектов в маг-
магнитном поле, в кулоновском поле ядра, рассмотрено синхротрон-
ное и ондуляторное излучение [19, 23] (пионерская работа по
ондуляторному излучению принадлежит Гинзбургу [84, 85]).
Этот же подход оказался весьма эффективным при вычисления
радиационных поправок во внешнем поле. Так, в работах
[17—22, 24, 25, 274] вычислялись массовый и поляризационный
операторы в постоянном поле и его комбинации с полем плоской
волны, в частности, аномальный магнитный момент электрона
в этих полях.
В особую группу следует выделить исследования поведения
частиц в магнитном поле. Это, во-первых, исследования по кван-
квантовой теории синхротронного излучения, уже упомянутые выше
и получившие подробное развитие в работах Багрова, Соколова,
Тернова с сотрудниками [222, 223]; последние отражены в сбор-
сборнике и книге [221], там же имеется подробная библиография.
Надо отметить, что рассмотрение квантовых процессов в магнит-
магнитном поле, в частности, синхронное излучение, было независимым
образом проведено операторным методом Швингера [428] в ра-
работах [444—448, 456] его сотрудников. Из других квантовых
эффектов в постоянном магнитном поле следует указать на эф-
эффект захвата ^-квантов магнитным полем [434], который, по-ви-
по-видимому, реализуется в магнитосфере пульсаров [237, 437] и су-
существенно влияет на формирование излучения последних. Уста-
Установление этого эффекта базируется на вычислениях поляризаци-
поляризационного оператора фотона в магнитном поле вне массовой оболоч-
оболочки, проделанных Шабадом и др., в приближении одной петли
[34, 433] (см. также [21, 446]) и в приближении, когда учте-
учтено кулоновское связывание электрона и позитрона в петле
в атом позитрония [237, 435, 436] (подробнее см. [255]). Ано-
Аномальный магнитный момент электрона в магнитном поле также
исследовался в работах [221, 232, 252].
В работах [69, 135, 136, 184, 186] изучались диаграммы,
представляющие собой электронные петли с нечетным числом
фотонных концов в постоянном скрещенном поле. Поляризаци-
Поляризационный оператор в комбинации постоянного магнитного поля и
поля плоской волны был вычислен в работах [141, 142].
§ 7.1. Эффективное действие в однопетлевом приближении
В полях, нарушающих стабильность вакуума, эффективное
действие Y B.3.20) приобретает мнимую часть, которая характе-
характеризует вероятность процессов рождения частиц.
229

Вычислим здесь однопетлевую поправку к эффективному дей-
действию, которую обозначим через Y'f^. Согласно B.3.28) ее мож-
можно записать в виде
. G.1.1)
Выражение G.1.1) нетрудно прообразовать к виду
где Пи, Г" и рц определены в § 6.3. Как указывалось ранее,
причинная функция Грина S" в методе собственного времени
Швингера получается с помощью предписания т2 -*¦ т? — ге.
Тогда можно записать
(П Г»*)«-И18+1в 7 ds
1п(,>)..д» + ||| = ] "Г
- ехр {г ((П^Г11J - m2) s)] exp (- es),
и, следовательно,
DO
Y[0) = -|-tr jdx J A[i<x 1 ехр (- ДО«) |x) —
о
— i (x | exp (— j^os) | x}] exp (— is),. G.1.3)
где Ж—гамильтониан F.3.10), а Жо — его выражение при вы-
выключенном поле. Используя обозначения F.3.11), получим
dxl G.1.4)
&Т {х) = | j* ~ [tr g (хх х, s) - tr g0 (x, x, s)],
0 _ G.1.5)
g0 (x, x, s) = (ins)~2 exp {— i (m? — 1г) s}.
Величина i?i0) (x) является обобщением лагранжиана Гейзен-
берга — Эйлера [361, 454] для произвольного внешнего поля.
Интеграл по собственному времени в G.1.6) расходится на
нижнем пределе интегрирования. Для выделения в нем расходи-
мостей можно воспользоваться методом, лредложеннным Де Вит-
том [112, 113]. Представим функцию g(x, у, s) в виде
g (я, у, s) = g0 (х, у, s) 2 (is)nan (x, y),:
^о (*. У> *) = Dns)-* ехр {- i {т? - Ы) s-i(x- yf/is), G.1.6)
а0 (х, х) = 1.
230

Тогда З?™ {х) регуляризуем следующим образом:
се
о
оо
= B DлJ) Jim Г -^- ехр (— i (то2 — ге) s) tr (isax (а:, ж) — s*a.2 (ж, я;)).
G.1.7)
Из уравнения F.3.19) для функции распространения g(x, у, s)
следует система уравнений для ап(х, у)
Решая эту систему, получим
«1 (#> х) *= — y °WFp-v (х)*
п fv v\ _—. е^^Г" i'rS Л- п^ I—I Ji1 tт\ 4- p^v^^ tт\
c*2 l^i */ ~~ ~n^ c ^^ V / *T~ n ^ 1 I * |lv \ / ^^ ^- x <j \'A'/>
4 HV
^ (у) = — — F v (x) F**4 (x)- G.1.8)
Тогда
0
(х) = | j 4" tr {g (ж, *, 5) - ^0 (ж, x,s) (l —|
12л*
оо
x) Hm f 4- ехр (- г (i»« - ie) s) s*
) , G-1.9)
где In f — постоянная Эйлера. Подставляя G.1.9) в B.3.26)
приходим к результату
•> (x) = — ?"(ж) A + -^-j In (гу^ЧГ11 + S'inn («)• G.1.10)
231

Логарифмически расходящийся множитель в {7.1.10), на ко-
который умножается функция Лагранжа электромагнитного поля,
можно убрать с помощью перенормировки заряда ж поля. Для
этого будем считать, что величины е и Р^{х), фигурирующие в
G.1.10), являются неперенормированными величинами. В силу
тождества Уорда [51] можно написать
FR (х) = Zl/2F (x)t eR = Z71/2e,
G.1.11)
где индексом R обозначены перенормированные величины. За-
Заметим, что
% [%). G.1.12)
Здесь учтено, что функция g(x, х, s), являясь калябровочно-ип-
вариантной, зависит от е и F(x) только в виде комбинации
eF(x). Это следует из уравнений F.3.14).
Тогда нетрудно получить
е2 -ея [l -^ In (iymXr
Окончательно
2™ (х) = - 5ГД (х) + &(Х {х). G.1.14)
Рассмотрим вычисление 5?W){x) для внешнего поля E.2.1),
представляющего собой комбинацию постоянного однородного
поля и поля плоской волны. Подставляя F.2.102) в G.1.10),
получим
со
Sm (х) = _ TR + B DлJ)-1 Г4- ехр (- i {m? - it) s)X
о
X [ (det ShgRfRf j ' 'tr(ch eRFR scos eRF*Rs) + | shRTR -
G.1.15)
Видно, что 3?т (х) не зависит ни от пространственно-времен-
пространственно-временных переменных х, ни от параметров поля плоской волны и сов-
совпадает с лагранжианом Гейзенберга — Эйлера [361, 454] для
постоянного однородного поля.
Отметим, что согласно B.2.10) можно записать для вероятно-
вероятности вакууму остаться вакуумом в нулевом порядке по радиаци-
радиационному взаимодействию
рю=ехр{-21тУ^0>}. G.1.16)
232

Вычисление мнимой части Y® для рассматриваемого поля
можно провести по теории вычетов. Тогда
I
- ут±Щ- 2 пГх cth{nn3lgf$) exp(— япт2/\ е
BjI) 71=1
G.1.17)
Здесь, в силу G.1.11), опущен индекс R. Выражение G.1.17)
совпадает с результатом E.2.47).
§ 7.2. Вакуумные процессы
7.2.1. Средний ток родившихся частиц
В фейнмановских диаграммах, фигурирующих при вычисле-
вычислении процессов переходов, средних значений и полных вероятно-
вероятностей, присутствует причинный ток 9*{х) и истинный средний
ток родившихся частиц ^ш (х), определенные формулами B.2.19)
и C.2.16). Вычислим здесь эти токи для внешнего поля, пред-
представляющего собой комбинацию постоянного поля с полем плос-
плоской волны. В связи с этим вычислим величину
Для функции Грина Sfn (х> у) удобно выбрать представление
F.2.98):
5in (х, у) = (^/ + тп) А1п (х, У),
Лш (*,*/)= J g(x,y, s)ds-[Q((n(+)z)-0) +
ре-га
+ 6 (- (п<+У) - 0)] 9 ((n(->Z)) 9 [(n^zY - (»<+>!)•] j g (x, у, s)dst
G.2.2)
z=(x—y).
Подставляя G.2.2) в G.2.1), получим
х> У) ~ *iePa\ J f{x,y,s)BP»(x,y,s)ds-
X9 [W-hf - (n(+VJ] [ /(x, у, s) Ba» (x, у, s) ds\ G.2.3)
J
16 Д. М. Гитман и др. 233

где
Sa(i (х, у, s) =
= (exp (eFs) cos eF*s)aii + st? (x, y, s) na - sta {x, y, s) n1*,
a
Отметим, что в G.2.3) действие производной да на величину
(x, у, s) дает нулевой вклад, поскольку
dvs?»(x, у, s)~ пч, д^"(х, у, s) ~ п2 = 0.
Используя равенства
^«/¦(ж, у, s) 1»н.« = 0,
^ (х, х, s) = ^ф. (ch eFs)Mve/'v И,
J / (ж, ж, s) ^ц (ж, ж, s) ds = 0,
после несложных преобразований получим
зЪ («, »)Ьи« = [в ((«(+)г) - о) + е (- («<+>z) _ о)] х
(ж, а:, &) (coseF*sexp (—
где Г (Г ->¦ оо)_ время действия поля (метод его введения прл
подобных вычислениях обсуждается в работах [168, 170]). Вос-
Воспользовавшись соотношениями E.2.2) и E.2.6) для векторов
п„ л п„, можно записать
ЗТп (х, У) Ь^х = п(~» [6 ((n^z) - 0) + 9 (- (n^z) - 0)] X
J /(ж, ж,
Вычисляя интеграл по контуру Гд с помощью теории вычетов,
получим
g, (х) = е ¦?-??¦ Т cth (nSMle) exp (- ятг/| е | 3") п(")!Х. G.2.4)
Сравнивая выражение G.2.4) для 2f'in{x) с E.2.40) для полного
числа родившихся частиц, видим, что в рассматриваемом поле
<?»¦ /т\ _ 2еп+ п(~^ — 2е"~ п(-^ п 9 ч\
Jin{X) = —y—n — —у~п • (I.Z.O)
Отметим, что средний ток ^т(ж) родившихся частиц не зависит
ни от пространственно-временных координат ни от параметров
поля плоской волны.
234

Для вычисления причинного тока ^(х), аналогично преды-
предыдущему введем величину
&»(х, y)=ietrfS°{x, у).
Используя представление F.2.96) для пролагатора Se(x, у),
получим
*, у) = Ые&а J / (ж, у, s) Ва» (х, у, s) ds.
гс
Тогда, аналогично предыдущему, осуществляя предельный пере-
переход у -*¦ х получим
&*(х)=0.- G.2.6)
Таким образом, во внешнем поле, представляющем собой комби-
комбинацию постоянного однородного поля и поля плоской волны, ди-
диаграммы, включающие причинный ток 3»(х) (диаграммы, содер-
содержащие «головастики» с причинным пропагатором Sc(x, у)), рав-
равны нулю.
7.2.2. Вероятность излучения фотона из вакуума
с рождением пар
Рассмотрим здесь вероятность ??B)(к|0) D.1.16) излучения
из вакуума фотона с импульсом к с рождением произвольного
числа пар. Найдем эту вероятность согласно формуле D.1.20),
так что нам необходимо вычислить величины Lin(k) и An(k)«
определенные в D.1.21). Покажем, что если средний ток родив-
родившихся частиц &^п{х) не зависит от координат, то величина
An (к) не дает вклада в вероятность излучения ^<2)(к|0). Дейст-
Действительно, в этом случае можно записать
А!п (к) = - (VT [2 BлK к0 (ц)Г1 &1 J в (z0) exp(- ikz) dz,
fc0M=-(k2+^I/2, G.2.7)
где введена масса фотона ц, (\i -*¦ 0) для регуляризации в ин-
инфракрасной области. Из G.2.7) видно, что величина An (к) от-
отлична от нуля только при к = 0. Таким образом для поля
E.2.1) ?in(k) не дает вклада в вероятность iFB)(k|0) излучения
из вакуума фотона с отличным от нуля импульсом. Тогда
(k), G.2.8)
где
An (к) = — i ° 6 (х0 — у0) щп (х, у) ехр (— ik (x — у)) dx dy,
Bп) kQ J
а = ег/4я, G.2.9)
Дш (ж, у) = tr C/^-n (x, у) Yll5fn (У, х)). G.2.10)
16» 235

Вычислим вначале величину Lla(k) в постоянном электриче-
электрическом доле. Выбирая для функции Грина Sin(x, у) представление
F.2.61), для Пщ{х, у) получим
яц,(ж, у) = J ск]_ J ds2n(x, y,slts2), G.2.11>
Г<=-Га Гс-Г2-Г3
где
*ц 5г) = (е-^J (DлL s^ sh eifoj sh eEs^f1 X
X {16m2 ch eEsy ch ei?s2 + g (sv s2) z\ 4— p (s,, s2) z\} X
Xexp |— im2 (Sjl + s2) — i -| zf, -b J-
а = s^1 + «Г1! ^ == eE'^clh eEsx + cth eEs2),
q(su s2)=2(eEJ(sh eEs, sh eEs2)-\
Подставим G.2.11) в G.2.9). Тогда
An(k)= j dSl j design F) 2? (я„ sg>k), G.2.13)
гс_га
где
2, k)=
4 Bл)э к0
с
Хехр {— im2 (st + s2)} j im2 ch eEs1 ch eEs2 +
+ in f q q \ , _[ _ 7 n / e о \ , - l^/p e 1гЛ /7 9 14Л
1 ...-1
^ (*!, s2, k) = (ab)-1 exp (_ /ki (a - b'1)) Г (l, ib^klj,
к_ц — импульс фотона в направлении, перпендикулярном элек-
электрическому полю, Fly. гб^) — неполная гамма-функция [41].
Заметим, что величина Ъ при всех значениях s\ и $2, принадле-
принадлежащих контурам Гс, Га, Гг, Гз, действительна.
Подставляя G.2,13) в G.2.8), получим для дифференциаль-
дифференциальной вероятности ^<2)(к|0) излучения из вакуума фотона с им-
импульсом к с рождением произвольного числа пар следующее
выражение:
У50 (к 10) = 2 Im j ds1 j ds2 sign F) 2? (slt s2, k). G.2.15)
гс_го гс_Гг_Гз
Отметим, что в пределе слабого поля (еЕ <¦ т2) вклады интегра-
интегралов по контурам Га, Гз и Г2 в G.2.15) пропорциональны
236

exp(—nm2/eE) и ехр(—лт2/2еЕ) соответственно и становятся
пренебрежимо малыми по сравнению с вкладами интегралов по
контурам Гс. Тогда в этом приближении
д>™ (к 10) = 2 Im j ds1 j us22? (s^ s2, k). G.2.16)
Здесь учтено, что при Si, S2 *= Гс величина Ь > 0.
Аналогичные вычисления можно провести и для произвольно-
произвольного постоянного внешнего поля с потенциалами
<'(*)—1^/. G.2.17)
В этом случае величина Lin(k) и вероятность ^B)(к10) также
определяются выражениями G.2.13) и G.2.15), в которых функ-
функцию S{s\, S2, k) G.2.14) необходимо заменять на
X sin e3^sL sin e<3©sa) | Am2D (sv s2) + iq (sv s2) -~r
3f (sv s2, k) = (ab)-1 exp {- im2 (s, + s2) + ifti (a-1 - 6)} X
X Г (i-, ib (n(+)/fJ), G.2.18)
где
D(s\, S2) — cheefsi
+ sh e<Ss\ sh e<Ss2 sin e$es\ si
/' (*i. sa) = 2 (e^)s
а = еЖ (ctg e^st + ctg e^?s2),
b — e& (cthe^Sj + ctheefs2), G.2.19)
В пределе слабого электрического поля Aе|<§Г«/п2) вероят-
вероятность ^B)(kl0) излучения фотона с импульсом k с рождением
пар определяется выражением G.2.16) с функцией S(s\, «2, к),
определенной в G.2.18).
Рассмотрим более подробно частный случай постоянного маг-
пятного поля, когда инвариант <S — 0 (в специальной системе
отсчета напряженность электрического поля равна нулю). Тогда
237

вклады интегралов по контурам Г°, Гг, Гз равны нулю и для вы-
выражения Lin(b) можно записать
Lln (k) = J ds, J ds2g (sv s2, к), G.2.20)
гс
i. *г к) = "i'fliY" ^ (*i*i s^ e3»*! sin еЗ*,,)-1 X
4 Bл) ft0
^dfo, я2) + ir(si> s3)-^
+ H
(*„ *„ k) = (ebj^exp {ifel (a - б)} Г
d(si, S2) = cos e3/6s\
s2), G.2.21)
l(su s2)= 2(e^J(sine*
Сделаем в G.2.20) замену перемеиных
и повернем контуры интегрирования по si и s2 в положительном
направлении на угол —я/2. Тогда
Lln (k) = J ds, J dS2^ (*lf s2, к), G.2.22)
где i?(si, S2, к) ^ действительпая функция. Поэтому вероятность
излучения фотона из вакуума в постоянпом магнитном поле рав-
равна нулю. Это согласуется с тем, что в магнитном поле вакуум
стабилен не только относительно рождения пар, но и относитель-
¦но излучения (см. по этому поводу § 4.4).
Дифференциальная вероятность !РB)(к.\О) излучения из ва-
вакуума фотона с импульсом к с рождением пар вычислена для
общего поля E.2.1) в работе [83].
7.2.3. Полная вероятность излучения фотона из вакуума
с рождением пар
Вычислим здесь полпую вероятность ^B> @) излучения из
вакуума фотона с рождением произвольного числа пар, опреде-
определенную формулой D.1.9). Для этого просуммируем вероятность
FB)(k[0) по импульсу фотона
G.2.23)
G.2.24)
238

Рассмотрим вначале постоянное электрическое поле. Подставим
G.2.13) в G.2.24). Тогда
Lin = J dsj J ds2 sign (b) ? fa, s2), G.2.25)
^ fa, s2) = j <? (sj, s2, k) dk =
a (eEf Л/к
F j ^Л sh eESi sh e?So)-i exp {— im2 fa + s2)} X
4 Bл)
X J4m2 ch еЯ^ ch eEs2 + iq (sv s2) -^ + ip (sv s2) —1 ^У (sv s2),
G.2.26)
где
^ (slt s2) = J Л^ fa, *8, k) dk, G.2.27)
а функция &{s\, s2) k) определена формулой G.2.14). Интеграл
G.2.27) расходится в инфракрасной области. Для его регуляри-
регуляризации введем массу фотона ц соотношением k^-vk^ + }г2. Под-
Подробное вычисление функции 3f(s\, s2) приводится в [96]:
3f (sr s2) = - in3f2 (b - a) In (-J-) exp [iji'S). G.2.28)
Подставляя G.2.28) в G.2.26), получим
fa, s2) = _ i a (е?>2зуг (,Л Sh etfsj sh efisj)-1 X
X Dm2 ch e^S! ch eEs2 (b — a) la 4 "~
— * [(9 (*i, *t) — P («i, *г)) (b — a) ln 4" ~~
- (q (sv *t) b'1 - P fa, s2) a-i) (b - a)]} exp {- im? fa + *0}-
G.2.29)
Здесь мы пренебрегли членами, линейными по ц2. Выражение
G.2.25) расходится в ультрафиолетовой области. Интересующую
нас мнимую часть выражения G.2.25) можно сделать конечной
и обращающейся в пуль при выключении электрического поля
Вычитанием только первых членов разложения функции 2?(si,S2)
в ряд в окрестности точек si = 0 и sz = 0. Тогда полную вероят-
вероятность ^B) @) излучения фотона из вакуума с рождением пар
можно представить в виде [67, 96]
^<2>@)=2ImLinB) G.2.30)

где
Алд= J rfsi J ds22?(st, s2)
С У
+ J ^ J ds? exp {ip'b} 2 (Л], s2) +
гг« -»-w«b
+ j dst j eto, exp [^b-1}^ (*!,*,),
a (Sl) =
. 2л
l
G.2.31)
3»
а контур Гд интегрирования по s показан на рис. 12.
Мы вычислили полную вероятность ^B) @) суммированием
бесконечного ряда дифференциальных вероятностей. Покажем,
j что выражение G.2.30) совпадает с ре-
результатом вычисления полной вероят-
пости ^B) @) на основе соотношения
унитарности матрицы рассеяния, т. е.
Гд Res c помощью формулы D.2.11). Для это-
этого рассмотрим диаграммы Lin и L-m,
определенные в D.1.15). Учитывая,
что средний ток родившихся частиц
G.2.4) не зависит от координат, можпо
записать
"еГГ г' 1ж!ГпС, . , ,
Г. _ °f г I Ту (т ;Л г1т пи
i/m — ,, и ш | и0 (j, у) ал иу.
Рис- 12 Вводя регуляризацию в инфракрасной
области с помощью массы фотона ц,
следует здесь функцию Грина Dl(x — у) заменить на причин-
причинную функцию Грина Dc(x — y) свободного скалярного поля с
массой ц, для которой выберем представление по собственному
времени
оо
D° (х — У) = Dл)~2 J Г2 exp (— i\i2t — I (x — yJ/At) dt. G.2.32)
о
Используя это представление, нетрудно показать, что L[n явля-
является действительной величиной. Поэтому
^B>@) = 2ImLln. G.2.33)
Вычислим диаграмму Lln для постоянного электрического поля.
Подставим G.2.11) в D.1.15), а для устранения особенности в
240

инфракрасной области с помощью массы фотона вместо функцни
Грина Dc0(x — y) возьмем функцию Грина G.2.32). Тогда [96]
Хщ= J dSl J ds2sign(b)exV{i\iib-1}^(svs2) + 8, G.2.34)
гс_га %3
где функция 3? (si, $2) определена формулой G.2.29), а б — дей-
действительная расходящаяся величина, которая согласно G.2.33)
не дает вклада в полную вероятность ^<2) @).
Мнимая часть диаграммы Lln G.2.34) совпадает с мнимой
частью выражения G.2.25), полученным суммированием функ-
функции Lm (к) G.2.13) по импульсам фотона. Поэтому полная ве-
вероятность излучения фотона из вакуума с рождением произволь-
произвольного числа пар, вычисленная с помощью оптической теоремы,
совпадает с результатом суммирования соответствующих диффе-
дифференциальных вероятностей.
Для произвольного постоянного поля полная вероятность
2) излучения из вакуума фотона с рождением произвольно-
произвольного числа пар определяется удвоенной мнимой частью выражения
G.2.31), в котором функцию ?{si, S2) надо заменить на [72, 83]
egs,, sh e&s2 sin e36sx X
32л
X sin eMs^x ['m*D (sv s2) (b - a)'1 In Fa) —
- i [(Я (*i, s2) - p (sv s2)) (b - a) In (bcT1) - G.2:35)
i. *2) ь~г — P(sn *z) a) (b — я)] 1 exP (— im2 (h + 5г)).
где D(su S2), q(si, S2), p(si, S2), b, а определены в G.2.19).
В заключение отметим, что полная вероятность ^B)@) во
внешнем поле, представляющем собой комбинацию постоянного
однородного паля и поля плоской волны, вычислена в [83]. Вы-
Выражение для такой вероятности не зависит от параметров поля
плоской волны и совпадает с полной вероятностью ^B)@) в по-
постоянном однородном поле. Это объясняется тем, что в силу реля-
релятивистской инвариантности, полная вероятность ^B) @) может
зависеть лишь от инвариантов внешнего поля. А для поля E.2.1)
инварианты совпадают с соответствующими инвариантами для
постоянного поля.
7.2.4. Вероятность излучения фотона из вакуума с рождением
одной пары. Вероятность распада вакуумного состояния
Выше мы получили выражения для дифференциальной
5Р<2)(к|0) и полной ^<2>@) вероятностей излучевия да вакуума
фотона с рождением произвольного числа пар. Для сравнения
.с этими результатами пришедем вычисления дифференциальной
и полной вероятностей излучения из вакуума фотона с рожде-
241

только одной пары (соответствующие формулы, определяю-
определяющие такие вероятности приведены в § 4.1).
Отметим, что в постоянном электрическом поле, а также в
произвольном постоянном однородном поле, дифференциальная
вероятность излучения из вакуума фотона с импульсом к и рож-
рождением одной пары в заданном состоянии вычислена впервые
в работах [169, 170].
Здесь найдем дифференциальную вероятность 3*ъ (к | 0) из-
излучения фотона с импульсом к и рождением пары, которая со-
согласно D.1.24) выражается через величину L\ (k) D.1.25).
Рассмотрим вначале постоянное электрическое поле. Для
этого функцию Грина К{х, у) удобно выбрать в виде F.2.64).
Действуя аналогично предыдущему, можно записать
Li (k) = 2 f dsi I ds2 sign Ф) S (*!, *2, k), G.2.36)
где функция & (s\, S2, k) определена формулой G.2.14). Подстав-
Подставляя G.2.36) в D.1.24), получим для вероятпости д"^ (k 10) сле-
следующее выражение [67]
П=0 ту. с
ln~1 2«~
j ds2 sign (b) 2 (sv s2t k),
2
G.2.37)
где вероятность pv определена в E.1.38). В произвольном посто-
постоянном поле выражение для Li (к) и вероятности 5*i2) (к 10) опре-
определяются формулами G.2.36) и G.2.37), в которых функцию
&(s\, S2, к) G.2.14) надо заменить на функцию S(si, S2, k)
G.2.18), а вероятность р» определена в E.2.47).
В пределе слабого электрического поля (еЕ «С т2) вклады
интегралов по контурам Г^ (п~^{) и Ггп, Гз„(га>0) становятся
пренебрежимо малыми по сравнению с вкладом интегралов по
контуру Гс. В этом приближении (/>«-*¦ 1)
g>f (k 10) = 2 Im j dsx j dst2 (sv s2, k),
rc rc
что совпадает с G.2.16).
Интегрируя G.2.36) по импульсу к, получим величину Li,
определяющую по формуле D.1.27) полную вероятность З9/'@)
излучения из вакуума, фотона с рождением только одной пары
\dst f dsaSign^expOyjr1)^!, s2), G.2.38)
где функция ?(s\,*2) определена формулой G.2.29). Здесь ана-
*логлчно предыдущему,: введена маоса фотона ц для устранения
242

особенности в инфракрасной области, возникающей при интегри-
интегрировании по к. Величина Li оказывается расходящейся в ультра-
ультрафиолетовой области. Ее мнимую часть можно сделать конечной
(и обращающейся в нуль при выключении внешнего электриче-
электрического поля) вычитанием только первых членов разложения функ-
функции S(s\, s2) в окрестности точек si = 0 и s2 = 0. Тогда [67, 96]
n~rin
. и+1
— 8, —Ш—J±
1 eE
j ds1 j ds2 exp (i\i2b *) & (s,, s2) +
±
" eE
. n+i
exp
-гл.
n+l
. G.2.39)
гл
В произвольном постоянном поле, а также в комбинации по-
постоянного однородного поля и поля плоской волны вероятность
Ф^ @) излучения из вакуума фотона е рождением одной пары
определяется формулой G.2.39), в котором функцию & (s\, s^)
необходимо заменить на выражение G.2.35) [83].
Рассмотрим вероятность Wi2) @) распада вакуумного состоя-
состояния в поле E.2.1). В рассматриваемом поле причинный ток
&ц(х) = 0. Тогда для вероятности WB) @) (см. D.4.5)) можно
записать
W<»@)=W«»@)+2pvImL,
W<°>@) = l-p,,
где диаграмма L определена в D.4.4). В силу релятивистской
инвариантности, в поле E.2.1) выражение для диаграммы L не
зависит от параметров поля плоской волны и совпадает с соот-
соответствующим выражением в постоянном однородном -поле. В по-
постоянном поле диаграмма L вычислена в работах [138, 204, 205,
210]
L= Jd»! \ds2g(Sl, s2), G.2.41)
гс гс
где функция & {s\, «г) определена в G.2.35). Перенормировка
мнимой части выражения G.2.41) сводится к замене Гс->Гд. •¦-
В пределе слабого поля (lelJf<nx2) видно, что вероятности
2>() ^(О) и ТУB)@) совпадают. В постоянном магнитном
поле {<§ = 0)
ТУ12)(О) = О,
243

что естественно, так как магнитное поле не нарушает стабиль-
стабильность вакуума.
В заключение этого параграфа заметим, что в произвольном
постоянном поле выражение G.2.41) представляет собой двух-
петлевую поправку к эффективному действию У, определенному
формулой B.2.28).
§ 7.3. Процессы с начальным электроном.
Массовый оператор
7.3Л. Вероятность перехода из одноэлектронного состояния
с излучением фотона и рождением пар
Рассмотрим вероятность ^*B)(к|ге) перехода из одноэлектрон-
одноэлектронного состояния, характеризующегося набором квантовых чисел
{п), с излучением фотона с импульсом к и рождением произволь-
произвольного числа пар. Будем ее вычислять согласно формуле D.1.40),
так что необходимо найти величины Lin(k), Z,in(k), М\п(к\п) и
Afin(k|n), определенные в D.1.21) и D.1.41). Во внешнем по-
поле, представляющем собой комбинацию постоянного однородного
поля с полем плоской волны, величина Lin(k) вычислена в § 7.2.
Там же было показано, что ImZ/in(k) = 0. Можно увидеть, что
в рассматриваемом поле Min(k\n) яе дает вклада в вероятность
U). Тогда
U ( (kb)), G.3.1)
+ 8 (у0 — х0) exp (ik (х — у))] М (х, у) dx dy,
М (х, у) = +фп (х) y»Scin (x, у) у^ +Ф„ (у). G.3.2)
Рассмотрим постоянное электрическое поле. Вычислим величи-
величину М(х, у). В качестве решений +<рп(х) выберем функции
E.1.23) (п — тр, t,), а для функции Грина Sin(x, у)—представ-
у)—представление F.2.61). Подставляя их в G.3.2), получим
l^fj Ml(k\J>z,s)ds- j м,(к|Р;,«)Д
О (гс_го Г„-Г,-Га J
2ec
BnM/
G.3.3)
244

где
Mi (к | р?, s) = М\+) (к | р?, S) + М"' (к | р?, s), Z = 1, 2,
М^ (к |р?, в) = J В (± z0) 0"P)t (xt у, s) exp (+ ikz) dxdy,
?, я) = j 6 (± z0) Э (г3) ^p.j (ж, у, s) exp (=F ifcs) dx dy. G.3.4)
= / (ж, У. *) I— е?^ (z0 — z3) B sh e^s) A)x* (x0) A)Xi (y0) —
- {eEf к (z0 + z3) B sh eEs)-1 A)X!.x (a;0) A)X_1 (j/0) +
+ Bs) 2 Bm2 ch eEs -|- (Pl + ixgpa) (Zj - ги?г2) X
K=±l
Xexp(—xe?'s))A)x*(^o)(])x_)<(j/o))}cxp{-ipz}, г=ж —у, G.3.5)
а функция /(ж, г/, s) определена формулой F.2.17). Подставим
функции (i)X±i(^o) в G.3.5). Тотда
где введены обозначения
-^ B sh «ЛГ exp (- f-) (^ + 4)'
Р^-х = + геЕк D sh е^Г1 Ир (—?¦)(-*-- А),
ехр ( - i i - ^ ) Bто2 ch eEs
exp \%ehs) (p1 — гх?Рз) (^т ^* Ж" J)* (/.о. /}
? ?' 1 ^^^ *"^ ? 7' — 1 t' t I Zq) у ("'у У1 S) U i ^I X I w ^2 xn
2
' Z) 1 [A — г) t'J expiT ikz — ipz}dxdy, G.3.8)
v—-d+j')
X D , [A — 0 t'] exp {=Ftft* — zpz} da; dyf G.3.9)
v—-d+j )
{ Zn
i ^- z3 (a?0 + y0) — i -^- cth (eEs) z\ + i -^-J,
245

Найдем выражения 2ffj. Вычисляя в G.3.8) интегралы по х
и у, получим
9$ = inVs (еЕ)~3/2 (in th eEsf* exp {- i (px =p к aJ s) Щ1
G.3.11)
+ 00
?$ = J е(±(т-т'))/ш(т,т')Д , _[(l + i)x] X
-00 2 '
XD д ГA_0т']ЛЛ', G.3.12)
/<±> (т, t') = exp {- -L (t - x'J cth c?s - -J- (т + т' T 2A3J X
X th eEs ± ik0 (x — т')|»
G.3.13)
Для вычисления интеграла G.3.12) воспользуемся интегральным
представлением для функции параболического цилиндра [101]
2V)
X
X exp {г J (v ~h 4 A + Jf')) - «4
X
X exp|i^ Jt
Imx = 0, arg (iy) = ^- sign (j/), G.3.14)
Чтобы обеспечить условие применимости представления G.3.14),
введем бесконечно малую мнимую добавку к массе электрона:
т2 -*¦ т2 — ге так, что
Refv—kl + /')) _ J-_ i-(l + /')>_ 1. G.3.15)
Подставляя G.3.14) в G.3.12) и используя интегральное пред-
представление для Э-функции, после громоздких вычислений получим
т - 2л (eEf* {2еЕ)~112+^ ехр {- I i Bv + Ц^)} X
i+j7 00
X (Ло + Аз) 2 J ФЛу/ (*, 0 ехр {- г {к20 - /с*) <} Л,
о
246

г t-
Ф1Д (s, t) = Z2 (ff - (в^Г1, cp_w («, 0
cp^s, t) = Z~2{R + eEt)-\ Ф1_1 (s, t) = Z (R - eEt)'1,
Z=(R + eEt)/(R- eEt), R = i + eEtcth eEs,
^•^ = ехр{ш Bv + ^)} Ш G.3.16)
Найдем выражения /^;/, определяемые формулой G.3.9). Ана-
Аналогично предыдущему, величину If;y можно представить ш виде
= г ф (е?)-3/21 th e^s | 2Б+^ X
X exp j- i (px T кх)* s -r i -j Bv + ^)J Bя(:)~2 X
+°°
x Ш л^'(г/> z) exp {'i^" ~ т(g ± 2^зJ the ^s
-y=P 2k0f th e?s + -1- g (z + y)J dy dz dl, G.3.17)
где
(X - ie)-1 (t - it)-l[i (y ± -f- - 4-JJ X
. G.3.18)
Вычислим этот интеграл по теории (вычетов. В силу условия
G.3.15) в интеграл G.3.18) дают вклад только вычеты в точках
х = 0 и t = 0. Тогда
) v|(+i)
(ia) 2 . G.3.19)
Подставляя G.3.19) в G.3.17), видим, что
/$-0. • G.3.20)
Используя G.3.19), выражение 1^у можно переписать в виде
1 ;+jv
247

v*-ki+i)
| 2
Г v-ki+j') v*-ki+i)
X J 6(p(ff-l))U1 2 U«» + 2p| 2 X
'j(v*-j(l + ;)) sign(yz0 + 2p)}dffi G.3.21)
где
p = (cth eEs + I), z0 =
G.3.22)
Значение интеграла G.3.21) зависит от того, какому из контуров
интегрирования Гг, Г3, Г° принадлежит собственное время s.
1. seP. В этом случае ао > 0, [1 > 0, zo >0. Тогда интеграл
G.3.21) совпадает с выражением для 2f ?у
2. веГг. В этом случае ao<O, p>0, zo<0, причем |otol>l.
Если разбить область инггегрирования по у & G.3.21) на две об-
области: г/«=[1, —ао] (где (y + ao)zo>0) и у<^[—ао, °°) (где
(у + ao)zo < 0), то получим
r(+) I /¦(+) I »(+)
3. s s Г3. В этом случае «о < 0, Р < 0, ?о>О, причем laol <1.
Если разбить область интегрирования по у в G.3.21) на три
области: у^[—ао, 1] (где (j/ +ao)z0>0), у ^ [0, —ao] (где
(i/ + ao)zo<O) и i/e(—°°, 0] (где (i/ + ao)zo< 0), то получим
в этом случае
1$= i2nWsBeE) 4 (Лг0 -+- Лг3) 2 X
X exp|- i (Pj_ - k^JS + i i Bv + i^J} X
f
X I Vj,j' (s' 0' exP 1 - ' (*o -k\)t)dt-
o
- A - exp (- пЩ | (f}}, (s, <) exp {- i {k\ ^ k§ t] dtt
u(s)
-l). G.3.25)
Подставляя G.3.15), G.3.2Q), G.3.23)—G.3.25) в G.3,6) я
248

G.3.3), получим окончательно [67, 96]
0 'гсг
'гс_га
— ехр (— яХ) )(p)?(s> *> — ki)) exP (— *kI0 rf* +
оо
+ A — ехр (— пк)) f rfs f 6 (t — и (*)) X
г., в
<- 1
X Z 2Хр?(s, ^ kj.) ехр (- iklO Л], G.3.26)
где
Хр,? (*> '• k J =
= Ы - Ti)1(т2 - т,) о<+) (к^) - (т, + т,) а(-) (кх) -BeE/mf It] x
X ехр{—inx2s —i(px —kj_Js, ti = ch2eEs— 1, тг = 2e?« + sh 2eEs,
a(±) (kx) = 1 + exp {±2eEs) [1 + nt2 (pi =F i5pa) X
G.3.27)
+
Отметим, что величина Mm(klpt) не зависит от продольного им-
импульса рг (Начального электрона, а зависит лишь от поперечных
к направлению электрического поля импульсов фотона и на-
начального электрона.
+
Таким образом, вероятность ^B>(к|р?) перехода из одиоэлек-
тронного состояния с излучением фотона и рождением произ-
произвольного числа пар в постоянном электрическом поле опреде-
+
ляетея выражением G.3.1), где величины Lm(k) и М
определены в G.2.13) и G.3.26).
В пределе слабого поля (е?<га2) для Мт(к|р?) получим
Min (к | рЬ - - i ^4т V f ds f Х*ЪЛ (s- *> kx) exp (- ik\,t) dt.
(Ли) к *¦* *'
Vе О
G.3.28)
7.3.2. Полная вероятность перехода из одноэлектронного
состояния с излучением фотона и рождением пар
Вычислим полную вероятность i?)(ra) D.1.36) перехода из
одноэлектронного состояния с излучением фотона и рождением
пар в постоянном электрическом поле. Для этого просуммируем
17 д, м. гитман и др. . 249

вероятность ^B)(к|р?) по импульсу фотона
^B) (р?) = 2 Im (LiaR + MM)), G.3.29)
Min (pt) = j Mln (к I p?) Л. G.3.30)
Здесь Z.inH определено в G.2.39). Подставляя G.3.26) в G.3.30),
получим
^? V A - ехр (- я
X{ j ds\dtM(s, t) + \ds J dtQ(t — u(s))M(s,t)\t G.3.31)
(rc-r» о г3 о
где
M (s, 0 = J z\K (s, t, kj.) exp (- ik-10 k^1 dk. G.3.32)
Для устранения особенности в инфракра!сной обл!асги, возникаю-
возникающей в G.3.32), введем массу фотона ц с помощью соотношения
G.2.7). Это приводит к тому, что везде в G.3.32) ^необходимо
сделать замену k^ ->kj. + ji2. Интегрирование по кз в G.3.32)
приводит к расходящемуся выражению:
V
В работах [169, 170] показано, что такой расходящийся интег-
интеграл пропорционален временя действия электрического поля, из-
измеренному в единицах собственного времени S электрона, движу-
движущегося в постоянном электрическом шоле
Т _^ _*?.?. G.3.33)
00
Используя G.3.33) и интегрируя в G.3.32) но к±, получим
гс—га
¦"" I
+ j ds j 6 (* - и (в)) М (в, *) л|, G.3.34)
250

где
М
(s, t) = eE(s + t)-1 exp {- i|A - is [m* + pi -L^} Z 2"x («, 0»
X (s, t) = 2 (xj - г?) (ta + т3 + -L (p^ -5l
t3 = sh 2eEs + 2eEt ch 2e?s. G.3.35)
Видно, что выражение Mia(pt,) зависит только от поперечного
импульса рх и не зависит от спинового квантового числа ^.
Выражение G.3.34) расходится в ультрафиолетовой области.
Интересующую нас мнимую часть М^(р%) можно сделать конеч-
конечной и обращающуюся в нуль при выключении электрического
поля вычитанием первого члена разложения функции M(s, t)
в окрестности точки s == 0, что эквивалентно замене Гс ->- Гд в
G.3.34). Тогда
= - mS-^j ? A - exp(- nl)) X
X.
оо
J ds§M(s,t)dt
+
. G.3.36)
Аналогичные результаты получены и для (произвольного по-
постоянного поля [76, 182]. В этом случае вероятность ^<2) (п) так-
также дается выражением типа G.3.29), в котором Ьып определено
в G.2.30), G.2.35), а
MinR (га) = - mS—^ 4-A - ехр (- пХк,а)) X
IX Ой \
X J ds |м(я, t)dt+ § ds $Q(t-u(s))M(s, t)dtI, G.3.37)
гед-га о г3 о J
где
М (s, 0 = Г2 ехр {- im* (* — р) — i^ft.o • (л — Р) — ip-2^} X
— ch е^ (s + р) ехр {ieo^ E — ц)} — ch е<Г (р —5) ехр {— ieo96 {s+r\)}x
251

а величины р и ц вводятся с помощью соотношений
cth е&р ¦= cth e&s + (e&t)r\
ctg еЖц = ctg еЖз + {еШ) -'.
+
Мы вычислили полную вероятность ^) (и) суммированием
бесконечного ряда дифференциальных вероятностей. Покажем,
что (выражение G.3.29) совладает с результатом вычисления пол-
полной вероятности &"-2) (п) на основе соотношения унитарности
матрицы рассеяния, т. е. но формуле D.2.12). Диаграммы Lin
и Lm рассматривались в § 7.2. Учитывая, что средний ток ро-
родившихся частиц G.2.4) пе зависит от координат в поле E.2.1),
можно записать
М[п (п) = — е&& J +ipn (х) Vn +Ф„ (х) Dc0 (x — у) dx dg.
Используя регуляризацию в инфракрасной области с помощью
массы фотона ж решения E.1.23), можно показать, что Mfn(p?)
пе дает вклад в вероятность ^B)(р?). Поэтому
^<2>(p?) = 2Im(Mln(pt) + .Lln). G.3.39)
+
Вычисление диаграммы Л/т(р?) приводит к ответу G.3.34), ко-
который после перенормировки совладает с результатом G.3.36).
Аналогичные результаты имеют место для произвольного посто-
постоянного поля [72, 182], а также для комбинации постоянного од-
однородного поля с полем плоской волны [182].
7.3.3. Вероятность излучения фотона из одноэлектронного
состояния без рождения пар. Вероятность распада
одноэлектронного состояния
Выше мы получили выражения для дифференциальной
+
+
|») и полной &{2) (п) вероятностей перехода из одноэлек-
одноэлектронного состояния с излучением фотона и рождением произ-
произвольного числа пар. Для сравнения с этими результатами при-
приведем вычисления дифференциальной и полной вероятности пе-
перехода из одноэлектронного состояния с излучением фотона без
рождения пар (соответствующие общие выражения, определяю-
определяющие такие вероятности, приведены <в § 4.1).
Отметим, что в произвольном постоянном поле дифференци-
дифференциальная вероятность перехода из одноэлектранного состояния в
одноэлектронное с излучением фотона впервые найдена в рабо-
работах [169, 170]. Этот результат был получен непосредственным
вычислением сюответсттующего матричного элемента процесса
перехода. Мы вычислим здесь величину М0(к\п) D.1.45), кото-
252

рая согласно D.1.44) определяет вероятность 9*^ (к | п). Выра-
Выражая с помощью соотношения B.2.12), фигурирующие в D.1.45)
+
функции +i|v(a:), через решения +фп(ж), М0(Ып) можно пере-
переписать так
Мо (к | п) = - —J- 2 «> (™ I ») «¦'* (РI »)Х
X J +ФР (ж) у^^ (х, у) 7ц+фт (г/) 9 (j:0 — г/о) ехР { — ik (х — У)} dx dV-
G.3.40)
Рассмотрим случай постоянного электрического поля. Здесь
амплитуды относительной вероятности рассеяния частиц диаго-
нальны по квантовым числам (см. E.1.36)). Тогда
Мо (к ]р?) = - —5— A - ехр (- лЩ-1 \ +фр; {х)у»К(х, у)Х
(АЛ) Кд •)
. G.3.41)
Для функции Грина К(х, у) воспользуемся представлением
F.2.64), а функции +<fpj(^) выберем.в виде E.1.25). Тогда
Мп (к | р+0 = 2 М(п) (к | р+?), G.3.42)
М(п) (к | Й) = - —2L- A - ехр (_ я^Гх
X J +Фр^ (ж) /^П) (^, I/) Тц+фР? (г/) в (яг0 - у0) ехр {_ гА: (ж - у)\ dx dy,
G.3.43)
где
g(x,y, s)ds\.
гап+г8п-г^ j
G.3.44)
Вычисление величины Л/(п)(к|р^) проводится так же, как и в
пункте 7.3.2. Окончательный ответ такош
А.
А.
j" zyvPS E, i, kj.) exp {- Jki*} A -
X ]
—.' J ds$B(v(s) — t)Z\Pl(s, I, k±)exp {—Л1«}Л , G.3.45)
- г2п+гзп о J
253

где функции Z и Xvl(s> Ъ ^х) определены формулами G.3.16) и
G.3.27), а
)
Подставим G.3.45) в G.3.42) и просуммируем по п. Для этого
каждое слагаемое из суммы шо п приведем к контурам интег-
интегрирования Гс, Гг и Гз. Воспользуемся соотношениями
v (s-i-gj- v (s), G.3.46)
где s s Гс, Гг, Гз. Тогда суммирование шо п сводится к сумми-
суммированию геометрической прогрессии со знаменателем ехр(—пК').
В результате получим [67, 96]
Мо (к | Й) = - * -Sj- V A - ехр (- яЯ'))-1 X
XМ is J Zlixp;(s, i, kj.) exp (- ft».*) dt -
lr« о
- J ds^Q(u(s)-t)Xpl(s,t,kx)&xv{-iKt}dt\. G.3.47)
г2+г3 о J
Подставляя G.3.47) в D.1.44), получим выражение для веро-
вероятности ^о2)(к1р?)
^ (к | р+9 = 2Pv Im Mo (к | р?), G.3.48)
где вероятность />0 вакууму остаться вакуумом определена *в
E.1.37).
Рассмотрим выражение G.3.47) в пределе слабого поля
(еЕ-^т2, е?"<СРа.)- В этом приближении вклады интегралов по
контурам Гг и Гз становятся пренебрежимо малыми по сравне-
сравнению со вкладом интеграла по контуру Гс. Кроме того, в этом
приближении pv~* 1 и ехр(—як')-*- 0. Тогда
оо д
Мо (к | р?) = - I -i2^_ F Г ds [ Z\vl (s, t, kj exp (- ft" t) dt,
G.3.49)
что совпадает с выражением G.3.28). Таким образом, в пределе
слабого поля совпадают и вероятности ^*B> (klp^) и ^ Ь|
254

В работе [66] показано, что выражение для дифференциаль-
дифференциальной вероятности излучения фотона из одноэлектронното состоя-
состояния без рождения пар, найденное в [169, 170] можно преобра-
преобразовать к виду G.3.48).
Найдем полную вероятность излучения фотона из одноэлек-
троаного состояния без рождения пар. Для этого просуммируем
выражение G.3.48) по импульсу фотона
^) + 2р» Im Mo (P& G.3.50)
o(k\pi)dk. G.3.51)
+
Для вычисления интеграла в G.3.51) величину Д/о(к|р?) удоб-
удобно выбрать в виде G.3.42), где Л/(п)(к|р, ?;) определено в
G.3.45)
Г
+ Г +
М(п) (рЕ) = j Min) (к | р?) dk.
Аналогично предыдущему получим
1
j J{t — v(s))M(s,t)dt\t G.3.53)
где функция M(s, t) определена в G.3.35). Подставляя G.3.53)
в G.3.52) и используя равенство
V Ф(я)&= \
величину Д/о(р, ?) можно переписать в виде
+
ОО А .
п=0 г2„+гзп о j
G.3.54)
255

Перенормировка мнимой части выраже-ния G.3.54) сводится к
ГС тлС
->-1д.
В произвольном постоянном поле величина Л/о (га) определя-
определяется выражением G.3.54), в котором M(s, t) я pv имеют вид
G.3.38) и E.1.43) соответственно.
В пределе слабого поля полные вероятности ^B)(р?) и
^о2) (р?) совпадают.
+
Рассмотрим вероятность WB) (п) распада одноэлектронного
состояния в произвольном постоянном поле. В таком поле при-
чянпый ток 9*{х) равен нулю. Тогда выражение D.4.13) для
Wi2) (га) записывается в виде
WB) (га) = W(o) (в) + Wi2) @) 21 w (p | га) |2 +
р
+ 2pv Im2 w* (Р | п) М Ср I п). G.3.55)
р
В постоянном поле амплитуды относительной вероятности
рассеяния частиц диагональны по квантовым числам. Диаграмма
М(га|га), входящая в G.3.55), вычислепа в работах [20, 206, 211]
М(в|в) = — mS—^и,(п\п)-7^ J ds §M(s, t)dt, G.3.56)
рс 0
где выражение для функции M(s, t) приведено в G.3.38). Вы-
Выражение для вероятности Wl2) @) определяется формулой
G.2.41). Тогда
WB) (raj = 1 — pv ¦ | w (га | в) |2 + 2pv | w (n | n) f X
H_m.5_JL « Г ds \ M (s, t) dt \ G.3.57)
Bл) at J ,\ i
где
+ +
Отметим, что во внешнем поле, не нарушающем стабильность
вакуума, для вероятности WB) (га) справедливо выражение
TP<»(B) = 2ImAf(»inj. G.3.58)
Соотношение G.3.58) имеет вид обычной оптической теоремы [3].
-256

§ 7.4. Радиационные процессы с начальным фотоном.
Поляризационный оператор
Рассмотрим здесь полиую вероятность ДB) (кЛ) перехода из
однофотонного состояния с рождением пар, определенную в
D.1.62). Будем вычислять ее согласно формуле D.1.63). Для
этого необходимо найти величины щп(к%), я1п(кЯ), а также пол-
полную вероятность &>B)@) излучения из вакуума с рождением
пар, определенные выражениями D.1.64) и D.1.14) соответ-
соответственно. Вычисления проведем для постоянного поля. Можно
увидеть, что в этом случае величина nin(kk) действительна и,
следовательно, не дает вклада в вероятность Д<2> (кХ). Поэтому
В.т(Ю.)=>21т{11пЛ+я1л(Щ), G.4.1)
где
яш (Щ = B BлK к,)'1 el (U) ntf (к) ev
< (к) - ) яйГ (*. У) exp (ik {х - у)) dx dy, G.4.2)
nft(x, у) - ie2 WfSbix, у)у^сы(у, х),
а величина LiaR определена в G.2.31), G.2.35). Вычислим по-
поляризационный оператор п^(к). Для функции Грина Sin(x, у)
удобно выбрать представление F.2.61). Тогда после несложных
преобразований получим
J ds1 J ds2n{MrV} (st, s2, z)K(s1, s2) +
sly s2, z) К (sv s.M, z = x — y,
J
Тс_га Г2+Г3-Г° J
G.4.3)
где n{*v} (s\, 52, z) ш n:^(si, S2, z)—соответственно симметричная
и антисимметричная части тензора
(.?1, s2, z) = 1г|/(те + yaCa(gl)) охр ^- i I- oFSl
(s2)) exp ( — i-j
eF cxp
eFs
|exp (— да2 (ях + s2)).
257

Вычисляя в G.4.4) след по спиновым индексам с помощью
техники работы [33], получим для поляризационного оператора
лУп (&) следующее выражение [38, 275]
, G.4.5)
Гс-Г"
где
J ds, J ds2n<ilv)(sv s2, k)K(sv s2
|гс_га гс-Г2-Г3
+ [ &! J ds2n[*v] (sv *2, к) К (sv s2)
n{MfV> (sv s2, k) = \ я<МЛ!> (s,, s2, z) exp {i&z} dz =
Um2 (ch eF (st — s2) cos ef* (s, — 52))|lv +
eFcoSeF*{Sl-s2)
sh eFs^ cos eF* s \ P- ( sh eFs,
2 l ' ' к
sin c
(kУАГ+Г)'8)|~4^ *-* vj}' G-4-6>
"t|ivl (»i. 52. A) = J nr|iv] (st, s2, z) e ((nM«)) exp {ikz} dz =
Л „ л-л i #_, /_. ei? ^ _ Ss) cos eF* ^ _
+ i
(•>
(_> G-4.8)
Интегрирование по т в G.4.7) понимается в смысле главного
значения.
Выражение для л,1^ (si, S2, к) совпадает с результатами ра-
работ [34, 21, 433, 449]. Поляризационный оператор, «найденный
в этих работах, может быть получен из G.4.5), если отбросить
антисимметричную часть, а в симметричной части опустить все
добавки к контурам Гс.
258

Перенормировку поляризационного оператора я^ (ft) прове-
проведем обычным образом [34, 21]
<л (к) = «v (ft) - я№ (Л) |,=0) + (*Tft2 - kW) n0R (ft»), G.4.9)
где последнее слагаемое представляет собой перенормированный
свободный (F — 0) поляризационный оператор. Отметим, что ан-
антисимметричная часть поляризационного оператора nffi (к) ко-
конечна, и при выключении электрического поля (даже если есть
магнитное поле) обращается в нуль. Вследствие калибровочной
инвариантности, перенормированный поляризационный оператор
ятл (ft) является поперечным
VCh (к) = <R {к) ftv = 0 G.4.10)
и поэтому представим ов виде разложения по поперечным ортого-
ортогональным матрицам
' '
G-4.11)
J dei f dsaf(l)(svsitk) +
Гс-Га-Г3
J dsx J ds2/D)(*i,*2.*)l G-4.12)
rc-ra r2+r3-ra j
где
(kF*k) - к» (F*k)v - (F4cf ftv, { '
tf% (k) = F^ft» + ft*1 (Fft)v - (Fkf ftv.
Инвариантные функции /(i) (ft) (/(() Ei, S2, ft)) получаются разло-
разложением поляризационного оператора Ящд(ft) по поперечным мат-
матрицам, используя технику работ [33, 255]. Отметим, что в раз-
разложении G.4.11) присутствует только часть поперечных матриц,
введехшых в работе [401]. Другие поперечные матрицы работы
[401] исключаются теоремой Онсагера.
Используя условие поперечности векторов поляризации и пе-
переходя на 'массовую оболочку (ft2 = 0), для величины Ящв(кЯ)
G.4.2) получим
niaR(k.%)=ie2VTBBnKk0)-1 j ds, j ds2X
гс_га Гс-Г2-Г3
| е (Щ Fk) |* /(в) (Sl, s2, ft) - {kF4) fw (Sl, s2, ft)} |fe2=0. G.4.14)
259

Подставляя G.4.14) в G.4.1), получим для вероятности Ri2)(kX)
<?(»@) + -^-Imi f dSl \ ds2X
2л к J и
0 гс-г° гс-г2-г3
е) Щ Fk) |2 /B) (sv s2, k)-(kF*k) /C) (sv s2, к)} |fe2=0, G.4.15)
где полная вероятность ^B) @) излучения из вакуума опреде-
определяется выражениями G.2.30), G.2.31), G.2.35).
Рассмотрим вероятность Wi2) (кЛ) распада однофотонного 'со-
'состояния, определяемую формулой D.4.19). Вычисления также
проведем в постоянном поле. В этом случае причинный ток
?"и(х) — 0. Поэтому необходимо лишь вычислить поляризацион-
поляризационный оператор я(кЯ) D.4.20). Такой оператор вычислялся в ра-
работах [34, 21, 433, 449]:
ян (кХ) = ieWT B BлK к,,)'1 j dSl [ ds2 X
X A (е(Щ Fk) |2 /A) (sv st, к) _ {кРЩ /C) (Si, sa, k)} |ft2=0. G.4.15)
Тогда
aVT Г Г Г
WB) (Щ = WB) @) + -^- pv Im \i J dSl J ds2 X
0 L rc rc
(k%) Fk) p /B) El) *2, k) - (^2fc) /C) (sv st, ft)} |ft2=01, G.4.16)
ft2=0 '
где вероятность И^^О) распада вакуумного состояния опреде-
определена формулами G.2.40) и G.2.41).
Пол пая вероятность ^B> (к) излучения из однофотонного со-
состояния определяется выражением D.1.54), в мотором все вели-
величины вычислялись для постоянного поля 'в § 7.2. Поэтому здесь
не приводим отлет для полной вероятности ^) (к). Аналогично
полную вероятность i%<2) (ЬА) рождения пар фотоном можно пай-
ти из соотношения D.1.62), переписав его в виде
. G.4.17)
Отметим, что в пределе слабого электрического поля (еЕ <?.
•С то2) величины Я1ПД(кЯ) и яв(кХ) совпадают, а в постоянном
магнитном поле совпадают и вероятности Й?B)(кЯ), WB)(k%),
() 2 Im яв(кЯ). G.4.18)
Соотношение G.4.18) имеет вид обычной оптической теоремы.
В заключение этого параграфа заметим, что поляризационный
оператор я^(А;) фигурирует также и в уравнениях для среднего
ноля (см. гл. IIJ).

ГЛАВА 8
ФУНКЦИИ ГРИНА В НЕАБЕЛЕВЫХ ТЕОРИЯХ
§ 8.1. Введение
Проблемы, связанные с нестабильностью вакуума, еще в
большей степени, чем в квантовой электродинамике, характерны
и для неабелевьгх теорий, содержащих поля Янга — Миллоа. Это
связано с тем, что здесь появляется дополнительная нестабиль-
нестабильность, обусловленная наличием инфракрасных 'Особенностей в
безмассовом глюонном секторе. Методы, развиваемые в квантовой
электродинамике с нестабильным вакуумом, оказываются, таким
образом, весьма полезными и для рассмотрения задач неабеле-
вой теории с (внешними молями.
Впервые нестабильность вакуума в калибровочных теориях
с внешним полем была обнаружена в работах [29, 153, 214, 376,
377, 419J, в которых рассматривалось внешнео ковариаитно-по-
стоянное абелево-подобное поле, и получено выражение для
вклада поля Янга — Миллса и ростовских полей в эффективное
действие в однопетлевом приближении. В отличие от электро-
электродинамики оказалось, что наличие даже внешнего хромомагнит-
ного поля приводит к нестабильности вакуума, что проявляется
в уменьшении энергии такого состояния относительно вакуума
теории возмущений. Это вызвало серию работ в этом направле-
направлении [217, 253, 264-266, 268, 304, 305, 316, 320-323, 362, 391,
392, 398, 415, 420, 450, 457]. Неабелево-подобное внешнее по-
постоянное поле с калибровочной группой SUB) подробно изуча-
изучалось в работах [1, 115, 116, 128, 129, 298, 392, 453]. В частно-
частности в работах [128, 129, 298] найдены функции Грива глюонов
в линейном приближении и гостовских полей в таком поле, и вы-
вычислен однопотлевой вклад этих полой в эффективное действие.
Поведение теории со спонтанным нарушением симметрии во
внешнем поле рассматривалось в работах [64, 218—220, 374,
416]. Нахождению точных решений релятивистских волновых
уравнений во внешних калибровочных полях посвящены работы
[16, 254, 421, 422]. В работах [37, 140] рассмотрено произволь-
произвольное внешнее абелево-подобное поле. Показано, что задача вы-
вычисления функций Грина в таком внешнем поле сводится к на-
нахождению функции Грина ешшорной, скалярной и безмаюсовой
частиц с некоторым зарядом в квантовой электродинамике с
внешним электромагнитным полем. В работах [250, 339] для
261

функций Грина ©шторного, скалярного, ростовских полей л по-
поля Яяга — Миллса получены представления в виде функциональ-
функциональных интегралов по траекториям в произвольном внешнем поле
Явга — Миллса.
В этой главе мы ограничимся обсуждением методов нахож-
нахождения функций Грина иеабелевой теории во внешних полях без
учета радиационных поправок. Эти функции Грина являются ос-
основными составляющими теории возмущений по радиационному
взаимодействию с точным учетом внешнего поля, так же как это
имеет место в квантовой электродинамике с внешним полем.
Кроме того, решение задачи вычисления таких функций Грина
в произвольном внешнем поле дает возможность учета всех ра-
радиационных поправок. Продемонстрируем это.
Рассмотрим модель, включающую набор полей Янга — Миллса
sfip(x), а= 1, 2, . ..,г, набор спинорных полей tyj(x), скалярных
полей ф"(ж)*), основанную на некоторой /"-параметрической по-
лупросгой компактной группе G. Мы будем использовать опера-
операторную формулировку в форме работ [340, 341, 370], которую
можно получить стандартным каноническим квантованием, на-
начиная с лагранжиана
2 = ~ Ga^G^a + Ц?> (^ext + d) ф + Ф+ (^2 - т2) Ф -
- ^- (Ф+ФJ + (?W ^а + "х В<1ва + l (D&a (У*с)а- (8.1.1)
Здесь В" — четные вспомогательные поля; С, С" — нечетные го-
стогоские поля; ао — параметр, фиксирующий калибровку,
(x)
+ g («XtH + Л
3> (^ext + sfi) = Г (id» - g (^ГЬ (*) + < (*)) Ta) - M,
3s» =id]1-g (^^ext (x) + &l (x)) Ta,
(AxBy = fbcAbBc, (AXB)a = fabAcBb, (8.1.2)
flc— структурные постоянные группы G, которые для рассмат-
рассматриваемых групп можно считать полностью антисимметричными
по своим индексам, Ха = (Та, то)—эрмитовы генераторы алгебры
Ли группы G
[Хо, XbU = - iflbXc, (8.1.3)
*) Далее мы будем опускать индексы ;', л, нумерующие различные поля,
считая, что при необходимости их всегда можно восстановить.
262

^ц6Х (ж) —внешнее поле Янга — Миллса, g — постоянная взаимо-
взаимодействия и использована background калибровка [313, 314]. Лаг-
Лагранжиан (8.1.1) обладает BRST-симметрией [235, 283]. Общий
метод обобщенного канонического квантования калибровочной
теории с замкнутой калибровочной алгеброй дан в работах
[340, 282].
Различные известные модели, содержащие поля Янга — Мил-
лса, являются частными случаями рассматриваемой модели с
лагранжианом (8.1.1). Так, при G =» SU(Z) и отсутствии ска-
скалярных полей мы получаем модель KXD. При G = SUB)XUA)
и специальном выборе генераторов Гит — модель Вайиберга —
Салама, при G = )S'C/E) и 50A0)—^модели 'большого объедине-
объединения. Лагранжиан квантовой электродинамики также является
частным случаем лагранжиана (8.1.1) при G—U(l). В этом слу-
случае индекс а принимает одно значение, /ьс= 0, а генераторы име-
имеют вид
e6t, g%l = ebl. (8.1.4)
Введем производящий функционал функций Грина, который
определим следующим образом:
Z = <0, out 15(^I0, in>, (8.1.5)
где S{3) — матрица рассеяния во внешнем поле в присутствии
источников
= Т exp {-i\[g (DpStv (а))» Цс^ъ (х) s4-*c (х) +
+ х «* (^ («) х ^v МГ Ы» И х sf1 (х))а +
+ (/^ (х) + 1^ (х)) st»a (х) + \ (ф+фJ + П («) Ч» (х) + Ъ («) Ч И +
+ t (X) ф (X) + ф+ (X) % (X) + 1а (X) С° (X) + Сп (X) %а (X) +
+ Ba(x)oa(x)]dx], (8.1.6)
- ?.< (х) тать) Ф(ж) + f g (ДЦОЬ /*РС (х),
(817)
четность источников &
•^=(^а, Т], Т], I, Ъ+, la, la, О.)
согласована с четностью соответствующих полей, а иоля взяты
в представлении взаимодействия по внешнему полю. Состояния
10, in> и <0, out! — in- и out-вакуумы, определение которых мы
вдесь не обсуждаем.
263

Для функционала Z можно написать систему функциональ-
функциональных уравнений, решение которых имеет вид [339] (см. также
[365, 366])
Z = \ ехр {- i A- j % (х) х(х) dx] Z (х) ?»х. (8-1.8)
X ехр
- i J |+ (а) 5Ф,Х (*, у |
+ j J la (X) S? (x, у | aeX\ A j Sb (j,) dx dy\ Zx (I), (8.1.9)
где
UF (^ext + d) = - Tr In Sf (^ext Ь d)/SF
ПФ,х (^ext + d) = Tr In 5ФД (^ext + й)/5ФД (^ext),
Пе (^ext, d) = - Tr In Sc (^ext, d)/Se (^ext, 0),
Sv,x(x, y\A), Sr(x, y\A), Sc(x, у\А™\ d) — причинные функции
Грина скалярного, спинорного и гостовских полей соответствен-
соответственно, удовлетворяющие уравнениям
{{id» - gs*l (x) xa) (id11 - gs^b (х) ч) -т*-
=---6(x-y), (8.1.11)
= -6(x-y), (8.1.12)
f + gflndw {x)) Slb (x, у | stfx\ d) = - 6ab6 (x - y), (8.1.13)
&l {x) = s4^ (x) + d° (x), (8.1.14)
a Z\ (I) — 'Производящий функционал функций Грина только по-
полей Янга — Миллса. Функционал Z\ (/) удовлетворяет системе
функциональных уравнений
[ A {DVDS WAW ^- К(x)j Zx (I) = 0. (8.1.15)
Итак, 'видно, что для нахождеиия функционала Z достаточно
иметь выражение для всех функций Грина >в .произвольном
внешнем поле. Далее мы обсудим методы нахождения таких
функций Грина.
264

§ 8.2. Нахождение функций Грина методом
функционального интегрирования
Предстатим функцию Грина сшгаорното поля в произвольном
внешнем поле Янга — Миллса в виде *)
S,(х, y\sfi)- {r (ййц- -f"&1 (х) Та) + Me] AF(х, у |&).
(8.2.1)
Тогда из (8.1.12) следует, что b.F{x, y\s&) удовлетворяет квад-
рированному уравнению Дирака
- -f < (х) Та) [ihd* - -L. ^ь (х) Ть) -
-8±cri*v^v(х) Та-М2с2}AF(x,y\sl) = -8(x-y)s
[x) X sty(x)f. (8.2.2)
Аналогично тому, как это было сделано в квантовой электроди-
электродинамике (ом. § 6.4), решение уравнения (8.2.2) можно предста-
представить в виде функционального интеграла
AF(x, y\s?) = BMc%)-i J g(x, y,s\A) ds, (8.2.3)
о
g(x, у, s\st) = С f exp - -L J^?(^(x) + l)dx\ X
в v о '
X A (s | q, ш±, a) I (s | q, ih -L, st) x@) (* I v) U~o « (* - q (s)) Dqx
E=>{q(T)\q(O) = y}, (8.2.4)
где
r(S\q,d,st) = exp\-i± fg»(т) ^°д(g(т)) do(т)Ц, (8.2.5)
^ о >
функции A(slg, d, s?) и x@)(s'v) являются решениями уравнений
дхА(%\q,d,rf) = -i-faо»Ф?у (q(г))da(т) А(т| q, d, si),
Д(О|д, d, J*)=l, (8.2.6)
x@)@[y)=i) (8.2.7)
a v"(i)—четные источники к генераторам Та. Для генераторов
*) В этом параграфе и далее с и ft не будем считать равными единице.
18 д. м. Гитман и др. 2G5

Та удобно выбрать представление [250, 339}
Га = -?Д,ГЬГР, [Гв, Гь]+ =
(8.2.8)
Эффективность такого представления генераторов для группы
SUB) была продемонстрирована в работе [31]. Используя
(8.2.8), решение уравнений (8.2.6) и (8.2.7) можно записать в
следующем виде
A{s\q, d, ^) = expl-
X
' (8-2-9>
P=0
= exp {_ AL
X Л(о) (s | x) exp _-Ljx«(T)redx
l о ' '
{S 8
+ —ii f f *a (T)e (T — T') x° CO d
2ft oo
', (8.2.10)
функция A(slp) определена ib § 6.4, л и"(т)—нечетные источ-
источники к Го.
Подставляя (8.2.9), (8.2.10) и (8.2.5) в (8.2.3), получим
g(x, у,
J^
X
X Л (s | р) Л(о) (s | к) exp — -|-
, (8.2.11)
Заметим, что в силу антикоммутативности переменных иа(т),
выражение
ехр
-J- Га2°|, где za = j и° (т) dt
266

содержит конечное число членов разложения по степеням Faza.
Например, для группы SU(n)
Заметим, что использующееся в производящем функционале вы-
выражение SF (ж, у j s&ext + — 1, можно с помощью (8.2.11) пред-
представить в форме, которая удобна для выполнения дифференци-
дифференциальной операции б/гб/ [339].
Для выполнения функционального дифференцирования в
(8.2.11) по источникам рДт) и иа(т) удобно записать функции
A.(s|p) и Л<0) {s\%) в виде функциональных интегралов (см. § 2.3
и § 6.4)
exp
п.
О
Рц (т) ^ (х)
}, (8.2.13)
Л(о) (s\ к) = С, j exp j - -i- j [- if Г (т) ia (т) + х- (т) |° (т)] dtj ?>?,
(в) = О>. (8.2.14)'
Тогда для функции #(ж, у, sl^) (8.2.11) получим
X g (х, у, s \ в, *, si) 16=<>=01г (8.2.15)
g (ж, у% s 19, v, s&) =
j
X efx-
(8.2.16)
где
^эф {q, я|5, g | 0,
о
18* 267

X &l (д(т)) ЗД - §^(т)^(т) --J Г (т)Г (x) +
^) ад}, (8.2.17)
(т) = 4 ДГь (т) Гс (т), Га (т) = la (т) + *о, {82Л8)
^v (т) = 4" IV* to Vv (т)]-, 7^ (т) = ^ (х) + 91*. (8 2 19)
В этих формулах 0" и $а — нечетные переменные. Отметпм, что
S3«,[q, if, ^19, Щ представляет собой обобщение действия реля-
релятивистской частицы со спином [330, 285] тга случай присутствия
внешнего калибровочного поля и изоспина частицы.
Можно получить представление g(x, у, s\s4-) в виде интегра-
интеграла по скоростям. Для этого сделаем в выражении (8.2.16) за-
замену переменных q, if, % -»¦ и, со, К
q(т) = у + J и(т')dV, q{x) = u(т),
о
(8.2.20)
(х) = 4"
4
о
Эта замена такова, что при любом и{%), со(т), Х(т) удовлетворя-
удовлетворяются условия <?@)=г/, ip@) + a|j(s) = O, |@)+|(s) = 0, и, следо-
следовательно, на скорости нет ограничений. Тогда
g(x, у, в|9„«, ^) = С Jexp{-i-§3(J)[u> со, Я|0, -&]} X
X б I х — г/ — J и (т) dr \du D(o DX^ (8.2.21)
V о /
Ssi[u, со, Я | 9, ¦&] =
== - IГТ ( W + 1) + -f и» (х) ^ fх- j u (т') rfT'J Га (т) +
° dT') yli (т) ?v (т) Га (т) Idx ~
о
+ JiL &~a [x —
4Мс2 ^{ х
268

s
—^-J J Мт) е (т - "О о» CO dx dx' -
о
«ft с" г „
— х J J х (т)е (т — х') *• СО ^т di\ (8.2.22)
о
s
1 Г ' '
" J
О
Г М —i^_ /ь г^ М Гс ^т1» ^Я 2 9Ч\
&
Г„ (х) = -i- j е (т ~ т') Яа (т*) dx' + «„.
о
Рассмотрим еще одно представление для функции Грина спи-
норного поля в произвольном калибровочном поле. Для этого
перепишем выражение (8.2.11) в виде
X А (»| з, -^, sl\ J (s | g, x, ^) |к=0 б (ж - q (*)) Z>g, (8.2.24)
где
lp=o
(б^г^)а}(,|р), (8-2.25)
Sf (s | g, x, .stf) =
вхР 1-^47
о
X exp - -L j Ka (T) Га dT . (8.2.26)
' о '
269

Используя (выражения (8.2.13), (8.2.14), нетрудно получить
= exp — (8Mc2)-i j dg' J GF> (т, т | ц, g') З^д (? (т)) ifc (т) <2т —
QQrM fa T It] ff) a 1 I
Xexp ^
p=0
{g »
- (8c)-i j dg' j eg (x, t I g') p (т) .< E (т)) /и Л —
о в
» (8.2.28)
* 0
Здесь
— 1 TV /r^v
2 J J
0
G°bfa f I g) = (8.2.29)
1 r'r ° 1
2 J J
0
a ^"v(x, t'It), g), Я"й(т, r'lg) удовлетворяют следующим урав-
уравнениям:
s
J A^v (t, tx I rj) ^^ (tx, t' I tj, g) ^ = 6jU6 (t— x')t
0
fab a (8.2.30)
J Лвь(т, Tjl) ЛГ с(та, x' I g) d%x = 6% (t — x')t
0
270

где
Лцу (Т, Т' | Т)) = -г- T)MV8 (Т — Т')
о
- ТЬГ f е <Т - Tl) ^"Sv (9 (X,)) tfc (Tj) 8 (ТХ - T')
- ? j e (т - Tl) дм (T]) .< (g (xj) /fbe (тх _ x') dxx. (8.2.31)
0
Аналогично предыдущему нетрудно найти выражение для
функции Грина скалярного поля в произвольном калибровочном
поле
Sjt,x(z, у | S4-) = j fx(x, y,s\st)dsf (8.2.32)
X Л(о) (s |x) exp I - -i- J x« (x) TadT;\\ 8(x-q (s)) Dq,
E = {q(x)\q@) =y). (8.2.33)
Отметим, что использующееся в производящем функционале
Z выражение SViX(x, y\s?eii + 8/Ш) можно с ломощью (8.2.33)
представить s форме [339], которая удобна для выполнения диф-
дифференцирования ПО ИСТОЧНИКУ 1уа(х)
XI ' V ' ,7т > -f If II В\ II 71 V
где
(8.2.35)
271

X exp I - -j- j x« (т) Го dx 6 (ж — q (s)) Dqf. (8.2.36)
* о '
E = {q(x)\q(O) = y}.
Видно, что операция дифференцирования по источнику /„<,(#)
сводится к оператору сдвига.
Для выполнения функционального дифференцирования в
(8.2.33) по источникам ха(т) воспользуемся соотношением
(8.2.14). Тогда
Г°^1/х(*, y,s\b, Щъ=0, (8.2.37)
о J
4 « (* - 9 (s)) ^ Dli (8-2.38)
где
- {т (Я*2 <т) + j) + -Т Р W ^^ (^ (х)) Га (т) —f Г (т) 6е (т)j.
(8.2.39)
Отметим, что jS»4[g, |Ю] представляет собой действия реля-
релятивистской частицы с иэоснином, взаимодействующей с внешним
калибровочным полем. Уравнения движения, следующие из лаг-
лагранжиана (8.2.39) совпадают с уравнениями Вопга [455].
Из (8.2.38) можно получить и представление для /х(ж, у, s\s?)
в виде функционального интеграла по скоростям, если сделать
272

замену переменных
Q СО = У + J " ("О йт', g (т) = и (т),
и
Тогда
/x(ar,0,s|G,.s#) = С |ехр(-4-3Эф[ы, А,|ф]_
l^ji j \ j /IV " I
= - l f C «W + 1) + "f «M W ^ф - J " (X') Л'J Ta (X) 1 ЙТ -
_ J*. J Г Xе (Т) е (х _ х') Г (т') d% di1. (8.2.40)
о
Аналогично спинорному случаю, для функции /х(ж, у, s\s&} мож-
можно получить еще одно представление
fx(x,y,s\sfi) = cjexp j- \ j[f (д2(^) +1) + "ПТ X to CO)] *] X
X ^ (s I g, 0, J^) б {х - q (s)) ,Dq,
(8.2.41)
}
где функция &(s\q, к, s&) определена выражением (8.2.28).
Рассмотрим теперь функцию Грина гостовсних полей, удов-
удовлетворяющую уравнению (8.1.13). Перепишем его в виде
<V у | st™\ d) = 8(x- у),
f- ^"Xt (*) 1». (8.2.42)
-f- (Ml*** (X) + ^ (X))tar
где fa — генераторы алгебры G в присоединенном представлении
{ta)bc = - i/^. (8^.4S)
В (8.2.42) опущены групповые индексы. Аналогично пре-
предыдущему, решение уравнения (8.2.42) можно представить
273

в виде
Sc{xt
[339]
у 1 ^езс\ '
оо
d) =¦ BтосП)~1 j
л
и
ехр (_ в*) We (x, у
!,s\st**t,d)dsl
(8.2.44)
где
В5ГТ
В5ГТГ) X
s | м, v% x,
« С j ехр L j ]р? ф (х) + и,» (х) д** (х) + ун (х) 'q* (x)J dx X
[ . Д 1
X ^ (s I д, к, s&ext) S(x — q (s)) Dq exp I —\ \ vu (ФНу) ^т}, (8.2.45)
» n '
а функция 9{s\q, x, J^) определена формулой (8.2.26)*).
Соотношение (8.2.45) позволяет найти функцию Грина
iSe (x, y\s?ext, 7Г7 Ь фигурирующую в производящем функционале Z.
Для этого, согласно' (8.1.14) в (8.2.45) надо заменить д,^а{х) на
б/гб7*1а(а:), что сводит операцию дифференцирования по источни-
ку Ipa (х) к оператору сдвига.
Нетрудно найти функцию Грина гостовских полей во внеш-
внешнем поле Янга—Миллса, которая получается из (8.2.45) при
Se (х, у | ^ext) = B/и0сЙ)-1 j exp (_ 85) Wc (x, у, s) ds,
¦ о
W0 {x, y,s) = C§exp! i-J^f ф (x) dx ) X
y]. (8.2.46)
P заключение этого параграфа рассмотрим функцию Грина
поля Янга — Миллса в линейном приближении. Обозначим ее
•) Здесь- формально введен параметр т0, имеющий размериость массы.
274

через S^,(x, у). В рассматриваемом приближении функция
iS^v (x, у) удовлетворяет уравнению
{DaDa)b iSjiv (х, у) + (l— о^) (D^D^bSwix, у) +
х - у). (8.2.47)
Найдем функцию Грина S^,(x, У) в калибровке <хо = 1. В этом
случае получим
H^Sav (х, у) = nnv6 {* — У)>
-)» - 2^ CJ5- («) ta. (8-
Аналогично предыдущему решение уравнения (8.2.48) ищем
в виде
#nv (х, У) = J exp | ~ р (х — у)j SMV (x, Р) 7^-л'
-Snv {х, р) = (j2mocfr)-i j exp {— ss} S^ (x, p, s) ds, (8.2.49)
о
где функция Svv(x, p, s) удовлетворяет уравнению
(x, p, s) =Яцв?а? {х, p, s),
(x, P, 0) = %v«
»t + pf _ 2l- Jl Gl?1 (x) fa]. (8.2.50)
Решение уравнения (8.2.50) можно представить в виде функцио-
функционального интеграла
Г f i f Г "V • ' / 1 1
?jiv (x, p, s) = С J exp | — \ I-^- f (x) — pq (x) I йт J X
f^ | g, 4) ^ (s | g, x,
X ?^v f| ) ( | g ) |
™1 (8.2.51)
где ^(slg, x, J^eit) определено выражением (8.2.26)', а функция
Q»v(s\q, б/бх) удовлетворяет уравнению
(8.2.52)
275

формальное решение которого записывается в виде
Функциональное дифференцирование по антикоммутирующим
источникам ха(т) в (8.2.51) проведем аналогично предыдущему.
В результате получим
r((det е- X Щ)" ехр 1- fg^ "«W» x
W) А д>а(Д,„, * *¦() «р {- г 1 «• W
%
(8.2.54)
где
^"(IV (<7 (т)) = &Ч?*1 (<7 (т)) -] ^-у q* (т) ?&ае*Ь (? (*)) %v*
4moc
Хдуь (Т, X' | Jj) = T)nv^b^ (X —  —
^~2 1 8 (T — Tl) ^PMV (9 (Tl)) /pbS (tx — Т) ЙТр
о о
(s)^ (t, x') = 2б"б (х — т'), (8.2.55)
a yHV"(t, x' I L) удовлетворяет уравнению
8XY% (x, x' | L) - -^- Lp (g (x)) faYlb (т, x' | L) = 26?6 (x - x') (8.2.56)
и начальному условию
Y% @, т' | L) + -^— Г Lp (q (х)) /^У^ (х, т' | L) di = - 6gs (x'), (8.2.57)
2moc ^
a det8-1X(L)—детерминант только по групповым индексам. Он
выражается через функцию У? (х, т' | L) следующим образом:
= ехр < - {bmoc<) ')dg'\ V (q (х)) /^ьУьа (х, х | L, g') dx\. (8.2.58)
loo i
276

Решение уравнения (8.2.56) с начальным условием (8.2.57) име-
имеет вид
Y\ (т, т' | L) = \U (т | L) (в (т - х') + \~Uul\%) и'1 (т' | Ь)]\
дхи1 (x\L) = -\Lp (q (х)) fvlUlb (т | L),
"V (8.2.59)
В заключение отметим, что все функции Грина, представлен-
представленные функциональными интегралами в произвольном калибровоч-
калибровочном поле, можно вычислять методам стационарной фазы, анало-
аналогично тому, как это было сделано :в § 6.4. В работе [339] это
было проведено для функции Грина скалярного поля.
§ 8.3. Вычисление функций Грина
в абелево-подобном внешнем поле
Используя найденные выше представления функций Грина
в виде функционального интеграла, найдем их явный вид для
так называемого абелево-подобного внешнего калибровочного по-
поля, потенциалы которого задаются выражениями
^°ext(x) = ^xt(x)ma, (8.3.1)
где т" — единичный вектор в изотоническом пространстве. За-
Заметим, что
{&&$ {х))а = U (х) т\ GI™1 (х) = F;? (х) т% (8.3.2)
Fe? (х) = д^Т (х) - dvs4-T (*). (8-3-3)
где /v(x) определяется соотношением
U(x) = PF$(x). (8.3.4)
Поэтому поле (8.3.1) есть решения уравнений Янга — Миллса
с источником ]ч(х)та.
Выбор внешнего поля в виде (8.3.1) с s4-^ (х) — —гг ^
впервые рассматривался в работах [29, 153, 214, 376, 377, 419].
Нетрудно показать, что в поле (8.3.1) происходит разделение
изотопических переменных. В этом случае функция ^"(т^ т' | g)
приобретает вид
G(r,r'\g)

Используя (8.3.5), можно показать, что функции Грина даинор-
:ного, скалярного и гостоявоких полей (см. (8.2.3), (8.2.33),
(8.2.46)) в поле (8.3.1) имеют вид
Е "¦ О
Г(?офт}м*|?Ж*-г(*))Л!7. (8.3.6)
-f J[f (<?2W + 1) +
Б * о
\ '<? (т) .<* (g (т))] drj 6 (* - g (*)) D?, (8.3.7)
^ 0
ir}, (8.3.9)
где
g1=gmaTa, g2 = gmara, gz = gmata, (8.3.10)
a A(slg) — спиновый фактор, определенный уравнением F.4.20),
в котором надо сделать замену: e-*-g\.
Аналогично, для функции Грина поля Янга — Миллса в поле
(8.3.1) получим
^nv (*' У) = №тосК)-г j" exp (— es) S^ [x, у, s) dst
о
is
-гЯ!?-91^+
- о
+ ^ ?" (т) ^xt (? (т))] dx] O^v (* | ?) в (* - S E)) Dq, (8.3.11)
где функция Q»v(s\q) удовлетворяет уравнению
(x I q) = - -^ F$ (q W) <^v (T | g),
278

Отметим, что во внешнем абелево-подобном поле представ-
представления (8.3.6) — (8.3.8) для функций Грина опинорного, скаляр-
скалярного и гостовских полей совпадают с соответствующими .пред-
.представлениями функций Грина стшнорного и скалярного полей с
зарядами g\, g2, gb соответственно.
Рассмотрим внешнее поле s^^ (x), заданное потенциалами
E.2.1). В этом случае функции Грина опинорного, скалярного
и гостовских полей определяются выражениями F.4.66), F.4.75),
в которых формально необходимо сделать замены: е -*¦ g\, e -*•
fl функцию Грина поля Янга — Миллса во внешнем
поле E.2.1). В этом случае функция (?hv(tI<?) удовлетворяет
уравнению
dxQw (х | q) = - -^ (Fm + %а (щ (т))) Q\ (т | q). (8.3.13)
^
Его решение выберем в виде
ос
Тогда функция Qi{^\q) удовлетворяет уравнению
g,
= TC(r\nq(x))Q2(x\q),
тос
1, (8.3.15)
C(x[nq (т)) = exp (-^- Fx\ г|) (щ (т)) ехр (- -% Fx\t
[mQc | [ тос j
которое можно переписать в интегральной форме
-i-J\\c(r'\nq (х')) <?2 (т' I q) dx\ (8.3.16)
Используя свойства E.2.2) и E.2.3) собственных векторов тен-
тензора /^Vv можно показать, что итерационный ряд уравнения
(8.3.16) обрывается на третьем члене. Таким образом,
о о
Т X'
X
J С {%' | щ (х')) j С (т" | nq (%")) их" их1. (8.3.17)
279

Подставляя (8.3.14), (8.3.17) в (8.3.11) получим
Sy»(x, у, s) = С jexp\-± j[f^.j«(T) +
в I о
+ ?«Г (т) Л? (9 (т))] dxj [ехр (- ф. Fs} X
I
l-
О о
X J С (т' | ng (т1)) йт' йт б (х - g (*)) Dq,
О IJHV
?). (8.3.18)
Вычисление функционального интеграла в (8.3.18) производится
точно так же, как и в § 6.4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агаев Ш. С, Вшивцев А. С, Жуковский В. Ч. // ЯФ.—1982.—Т. 36,—
С. 1023—1031.
2. Алъперин М. М. // ЖЭТФ.— 1944—Т. 14—С. 3-13.
3 Ахиезер А. И., Берестецпий В. Б. Квантовая электродинамика.— М.:
Наука, 1969.— 623 с.
4. Ахиезер А. П., Пелетминский С. В. Поля и фундаментальные взаимо-
взаимодействия.— Киев: Наукова думка, 1986.— 552 с.
5. Багров В. Г., Барашев В. П., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М. // Кванто-
Квантовые процессы в интенсивных полях. Сб. статей.— Кишинев: Штиинца,
1987,—С. 101—111.
6. Багров В. Г., Бухбиндер И. Л„ Гитман Д. М. // Изв. вузов, Фивика,—
1975.-Т. 18.-№ 8.—С. 134—135.
7. Багров В. Г., Гитман Д. М., Гаврилов С. П., Шварцман Ш. М. // Изв.
вузов, Физика.—1975.—Т. 18.—№ 3.—С. 71—74.
8. Багров В. Г., Гитман Д. М., Кучин В. А. // Актуальные проблемы тео-
теоретической физики. Сб., посвященный Д. И. Иваненко.— М.: Изд-во МГУ,
1976 —С. 135-149.
9. Багров В. Г., Гитман Д. М., Тернов И. М., Халилов В. Р. и др. Точные ре-
решения релятивистских волновых уравнений.— Новосибирск: Наука, Сиб.
отд-ние, 1982.— 144 с.
10. Багров В. Г., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М. // ЖЭТФ.— 1975.—Т. 68.—
С. 392—399.
11. Багров В. Г., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М. Ц ЯФ.—1976.—Т. 23.—
С. 394—400.
12. Багров В. Г., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М. // Всесоюзн. конф. «Сов-
«Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории отно-
относительности и гравитации», Минск, 1976.— Минск: Изд-во Минского Го-
Государственного Университета, 1976.— 183 с.
13. Багров В, Г., Клименко Ю. И., Шаповалов В. Н. и др. II Изв. вузов,
Физика.- 1973.— Т. 16.— № 7.- С. 95-101.
14. Багров В. Г., Тернов И. Л/., Холомай Б. В. // Вестн. МГУ, сер. Физика.—
1970.— № 3.— С. 275—280.
15. Багров В. Г., Халилов В. Р. // Изв. вузов, Физика.—1968.—Т. П.—
№ 2.—С. 37—41.
16. Багров В. Г., Шаповалов А. В. II Изв. вузов, Физика.—1986.—Т. 29.—
№ 3.- С. 95-103.
17. Байер В. Н., Катков В. М., Милыитейн А. И., Страховенко В. М. II
ЖЭТФ.—1975.—Т. 69.—С. 783—799.
18. Байер В. Н., Катков В. М., Страховенко В. М. II ДАН СССР.— 1971.—
Т. 197.— С. 66-69.
19. Байер В. Н., Катков В. М., Страховенко В. М. II ЖЭТФ.—1972.—
Т. 63,— С. 2121—2129.
20. Байер В. Н., Катков В. М., Страховенко В. М. II ЖЭТФ.— 1974.—Т 67.—
С. 453-470.
19 Д. М. Гитман и др. 281

21. Байер В. Н., Катков В. М., Страховенко В. М. // ЖЭТФ.— 197й.—Т. 68.—
С. 405—420.
22. Байер В. Н., Катков В. М., Страховенко В. М. // ЯФ.—1976.—Т. 24.—
С. 379-382.
23. Байер В. Н., Каткое В. М., Фадин В. С. Излучение релятивистских элект-
электронов.— М.: Атомиздат, 1973.— 374 с.
24. Байер В. Н., Мильштейн А. И. II ДАН СССР.—1976.—Т. 226.—С. 795—
798.
25. Байер В. Н., Мильштейн А. И. II ДАН СССР.— 1976 — Т. 231.-С. 1100—
1102.
26. Байер В. Н., Мильштейн А. И. // ДАН СССР.— 1977.— Т. 235.— С. 67—
69.
27. Байер В. Н., Мильштейн А. И. // ЖЭТФ.—1978,—Т. 75.—С. 390—401.
28. Барвинский А. О., Вилковиский Г. А.— Препринт/ФИАН.— Москва,
1986.—№ 320.—46 с.
29. Баталии И. А., Матинян С. Г., Саввиди Г. К. // ЯФ.—1977.—Т. 26.—
С. 407-414.
30. Баталин И. А., Фрадкин Е. С— Препринт/ФИАН.— Москва, 1968.—
№ 137.— 15 с.
31. Баталин И. А., Фрадкин Е. С. // Теория взаимодействия элементарных
частиц при высоких энергиях. Труды ФИАН СССР.— М.: Наука, 1972.—
Т. 57.— С. 29—56.
32. Баталин И. А., Фрадкин Е. С. // ТМФ.— 1970.— Т. 5.— С. 190—218.
33. Баталин И. А., Шабад А. Е — Препринт/ФИАН.— Москва, 1970.—
№ 80.— 14 с.
34. Баталин И. А., Шабад А. Е. // ЖЭТФ.— 1971.— Т. 60.—С. 894—900.
35. Барашев В. П., Гитман Д. М., Фрадкин Е. С, Шварцман Ш. М.— Пре-
Препринт/ФИАН.— Москва, 1988.— № 177.— 41 с.
36. Барашев В. П., Гитман Д. М., Шварцман Ш. Л/.—Препринт/ТНЦ СО АН
СССР — Томск, 1989.— № 30.— 23 с.
37. Барашев В. П., Лихтциер И. М., Шварцман Ш. М. // Изв. вузов, Физи-
Физика.—1987.—Т. 30.—№ 9.—С. 67—70.
38. Барашев В. П., Шабад А. Е., Шварцман Ш. М. // ЯФ.— 1986.—Т. 43.—
С. 964—973.
39. Барбашов Б. М. // ЖЭТФ— 1975.—Т. 48.—С. 607—621.
40. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендептпыс функции. Т. 1./Пер.
с англ. Н. Я. Виленкина.—М.: Наука, 1973.—294 с.
41. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2./Пер. с
с англ. Н. Я. Виленкина.— М.: Наука, 1974.— 295 с.
42. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1./
Пер. с англ. II. Я. Виленкина.— М.: Наука, 1969.— 343 с.
43. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2./
Пёр. с англ. Н. Я. Виленкина.— М.: Наука, 1970.— 327 с.
44. Белов Я. В. II Изв. вузов, Физика.— 1975.— Т. 18.—№ П.—С. 45—50.
45. Белое В. В. Ц Изв. вузов, Физика.— 1975.— Т. 18.—№ 11.—С. 50—54.-
46. Березин Ф. А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими
переменными.—М.: Изд-во МГУ, 1983,—208 с.
47. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования,— М.: Наука, 1986.— 319 с.
48. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая элект-
электродинамика.—М.: Наука, 1980.— 702 с.
49. Бирел Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве
времени./Пер. с англ., под ред. Я. И. Смородинского.— М.: Мир, 1984.—
356 с.
50. Блохинцев Д. И., Барбашов Б. 31. / УФН.—1972 —Т. 106.—С. 593—
616.
51. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных по-
полей—М.: Наука, 1976.—479 с.
52. Боргардт А. А., Карпенко Д. Я. // УФЖ.— 1974.— Т. 19.— № 2.— С. 227—
236.
53. Бункин Ф. В., Тугое И. И. Ц ДАН СССР.—1969.—Т. 187.—С. 541—543.
54. Бухбиндер И. Л. / Изв. вузов, Физика,— 1980.— Т. 23.— № 7.— С. 3—6.
282

55. Бухбиндер If. Л. Ц ЯФ.— 1981.—Т. 34-С. 1136—1141.
56. Бухбиндер И. Л., Гитман Д. М. / Изв. вузов, Физика.—1979.—Т. 22.—
№ 3.—С. 90—95.
57. Бухбиндер И. Л., Гитман Д. М. // Изв. вузов, Физика.— 1979,— Т. 22,—
№ 4 —С. 55—61.
58. Бухбиндер И. Л., Гитман Д. М. // Изв. вузов, Физика.— 1980.— Т. 23.—
№ 7.- С. 16-21.
59. Бухбиндер И. Л., Гитман Д. М., Фролов В. П. ff Изв. вузов, Физика.—
1980.—Т. 20—№ 6.—С. 77—81.
60. Бухбиндер И. Л., Одинцов С. Д. // Р1зв. вузов, Физика,— 1982.—Т. 25.—
№ 2.— С. 12—16.
61. Бухбиндер И. Л., Царегородцев Л. И. // Изв. вузов, Физика.—1985.—
Т. 28.— № 4.—С. 35-40.
62. Бъёркен Док. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская кваптовая теория. Т. 1./
Пер. с англ. Б. О. Кербикова; Под ред. В. Б. Берестоцкого.— М.: Наука,
1978.—295 с.
63. Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Т. 2./
Пер. с англ. И. М. Народецкого; Под ред. В. Б. Берестецкого.— М.: Нау-
Наука, 1978.—407 с.
64. Вапяшин В. С, Тереитъев М. В. // ЖЭТФ.—1965.—Т. 48.—С. 565.
65. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и
статистике.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1976.— 294 с.
66. Волъфенгаут Ю. Ю. Особенности вычисления полных вероятностей ра-
радиационных процессов во внешних полях, порождающих пары, на осно-
основе соотношения унитарности: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.— Томск,
1981-145 с.
67. Волъфенгаут Ю. Ю., Гаврилов С. П., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М. //
ЯФ.— 1981.—Т. 33.— С. 743—757.
68. Волъфенгаут Ю. Ю., Шварцман Ш. М. // Изв. вузов, Физика.— 1978.—
Т. 21.—№ 11.—С, 135—136.
69. Воронов Б. Л., Крючков Г. Ю. // ТМФ.— 1979.—Т. 41.—С. 40—54.
70. Гаврилов С. П. II Изв. вузов, Физика.—1977.—Т. 20.—№ 10.—С. 145—
146.
71. Гаврилов С П II Изв. вузов, Физика.—1982.—Т. 25,—№ 11.—С. 122—
123.
72. Гаврилов С. П. Некоторые вопросы квантовой электродинамики с внеш-
внешним полем, порождающим пары: Дис. ... канд. физ.-мат. наук, Томск,
1980.— 140 с.
73. Гаврилов С. П., Гитман Д. М. ff Изв. вузов, Физика.—1980.— Т. 23.—
№ 6.— С. 37—42.
74. Гаврилов С. П., Гитман Д. М. // Изв. вузов, Физика.—1981.—Т. 24.—
№5 —С. 108-111.
75. Гаврилов С. Л., Гитман Д. М. // Изв. вузов, Физика.—1982.—Т. 25.—
№ 9.-С. 10-12.
76. Гаврилов С. П., Гитман Д. М. // Изв. вузов, Физика.— 1982.— Т. 25.—
№ 10.—С. 102—106.
77. Гаврилов С. П., Гитман Д. М. // Изв. вузов, Физика.—1983.—Т. 26.—
№ 4.—С. 51—55.
78. Гаврилов С. П., Гитман Д. М., Фрадкин Е. С. // ЯФ.— 1987.— Т. 46.—
С. 172—180.
79. Гаврилов С. П., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М. ff Изв. вузов, физика.—
1980.— Т. 23.- № 3.— С. 93-96.
80. Гаврилов С. П., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М. II Краткие сообщ. по
физ.—1979.—№ 2.—С. 22—26.
81. Гаврилов С. П., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М. I/ ЯФ.— 1979.— Т. 29.—
С. 1097-1110.
82. Гаврилов С. П., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М. ff ЯФ.— 1979.—Т. 29.—
С. 1392-1405.
83. Гаврилов С. П., Носков М. Д., Шварцман Ш. М.— Пренринт/ТФ СО АН
СССР.— Томск, 1987.— № 39.— 38 с.
84. Гинзбург В. Л. // Изв. АН СССР, Физика.—1947.—Т. 11.—С, 165—171.
19* 283

85. Гинзбург В. Л. // УФН.- 1959.—Т. 69.—С. 537-564.
86. Гитман Д. М. Вопросы квантовой электродинамики с внешним полем:
Дис, ... д-ра физ.-мат. наук, Томск, 1979.— 291 с.
87. Гитман Д. М. // Изв. вузов, Физика.—1976.—Т. 19.—№ 10.—С. 81—86.
88. Гитман Д. М. // Изв. вузов, Физика.—1976,—Т. 19.—№ 10.—С. 86—92.
89. Гитман Д. М. /I Квантовая электродинамика с внешним полем.— Томск.:
ТГУ, 1977.— С. 132-149.
90. Гитман Д. М., Гаерилов С. П. II Иэв. вузов, Физика.—1977.—Т. 20.—
№ 1.- С. 94-99.
91. Гитман Д. М., Кучин В. А. II Изв. вузов, Физика.—1981.—Т. 24.—
№ 10.— С. 80-84.
92. Гитман Д. М., Ноское Д. М., Шварцман Ш. М.— Препринт/ТФ СО АН
СССР.-Томск, 1987.-№ 25.—38 с.
93. Гитман Д. М., Носков М. Д., Шварцман Ш. М. I/ Изв. вузов, Физика.—
1989.— Т. 32.— № 5.— С. 59-64.
94. Гитман Д. Л/., Тютин И. В. Каноническое квантование полей со связя-
связями.—М.: Наука, 1986.—216 с.
95. Гитман Д. М., Фрадкин Е. С, Шварцман Ш. М.— Прспринт/ФИАН.—
Москва, 1986.— № 161.— 43 с.
96. Гитман Д. М., Фрадкин Е. С, Шварцман Ш. М. // Квантовая электро-
электродинамика с нестабильным вакуумом. Труды ФИАН СССР.—М.: Наука,
1989.— Т. 193.— С. 3—207.
97. Гитман Д. М., Фролов В. П. // ЯФ.—1978.—Т. 28.—С. 552—557.
98. Гитман Д. М., Шахматов В. М., Шварцман Ш. М. II Изв. вузов, Физи-
Физика.—1975.—Т. 18.—№ 4.—С. 24—29.
99. Гитман Д. М., Шахматов В. М., Шварцман Ш. М. II Изв. вузов, Физи-
Физика.—1975.—Т. 18.—№ 8.—С. 44-49.
100. Голъдман И. И. // ЖЭТФ.— 1964.— Т. 46.— С. 1412—1417.
101. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений.— М.: Наука, 1971.— 1108 с.
102. Гриб А. А. Проблемы нсипвариантного вакуума в квантовой теории
поля.— М.: Атомиздат, 1978.— 126 с.
103. Гриб А. А., Левитский Б. А., Мостепаненко В. М. // ТМФ.—1974.—
Т. 19.—С. 59-74.
104. Гриб А. А., Мамаев С. Г. // ЯФ.—1969.—Т. 10.—С. 1276—1281.
105. Гриб А. А., Мамаев С. Г. // ЯФ,— 1971.—Т. 14.— С. 800—805.
106. Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты в
интенсивных внешних полях.— М.: Атомиздат, 1980.— 295 с.
107. Гриб А, А., Мостепаненко В. М. // Письма в ЖЭТФ.—1977.—Т. 25.—
С. 302-305.
108. Гриб А. А., Мостепаненко В. М., Фролов В. М. // ТМФ.— 1972.— Т. 13,—
С. 377—390.
109. Гриб А. А., Мостепаненко В. М., Фролов В. М. // ТМФ.— 1976.— Т. 26.—
q 221 *^33
110. Гриб А.~А., Мостепаненко В. М., Фролов В. М. // ТМФ.— 1977.—Т. 33.—
С. 42-53.
111. Данишевский Ю. А., Шварцман Ш. М. // Изв. вузов, Физика.—1978.—
Т. 21.— № 8.— С. 51—54.
112. Де Витт Б. С. Динамическая теория групп и полей./Пер. с англ.
В. Ф. Муханова; Под ред. Г. А. Вилковыского.— М.: Наука, 1987.— 287 с.
113. Де Витт Б. С. Общая теория отпосительности./Сб. статей. Пер. с англ.
под ред. Я. А. Смородинского.— М.: Мир, 1983.— С. 262—296.
114. Де Витт Б. С. Черные дыры./Сб. статей. Пер. с англ. И. В. Воловича,
В. А. Загребнова, В. П. Фролова,—М.: Мир, 1978.—С. 66—168.
115. Жуковский В. Ч., Морозов И. Б. // Международный семинар по пробле-
проблемам физики высоких энергий и квантовой теории поля, Протвино,
1983.—Протвино, 1983.—Т. 1.—С. 200—211.
116. Жуковский В. Ч,, Морозов И. Б,, Борисов А. В, // Международный семи-
семинар по проблемам физики высоких энергий и квантовой теории поля,
Протвино, 1983.—Протвино, 1983.—Т. 1.—С. 212—217.
117. Зельдович Я. Б. // Письма в АЖ.— 1981.— Т. 7.—С. 579—581.
284

118. Зельдович Я. Б. // Письма в ЖЭТФ.—1970 —Т. 12 —С. 443—446.
119. Зельдович Я. Б. // Письма в ЖЭТФ.—1971.—Т. 14.—С. 270—272.
120 Зельдович Я. Б., Питаевский Л. П., Попов В. С, Старобинский А. А. //
УФН.-1971.—Т. 105.-С. 780-781.
121. Зельдович Я. Б., Попов В. С— УФН.— 1971.— Т. 105.—С. 403—440.
122. Зельдович Я. Б., Старобинский А. А. // ЖЭТФ.— 1971.— Т. 61.— С. 2161—
2173.
123 Зелъников А. И., Фролов В. П. // Физические эффекты в гравитацион-
гравитационном поле черных дыр. Труды ФИЛИ СССР.— М.: Наука, 1986.— Т. 169.—
С. 132—158.
124. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры/Пер, с ном. А. Н. Матвеева,
Б. В. Медведева; Под ред. Я. А. Смородинского.— М.: ИЛ, 1956,—Т. 2.—
694 с.
125. Зон Б. А., Машков Н. Л., Рапопорт Л. Я. / ЯФ.—1972.—Т. 15.—
С. 508-517.
126. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. Т. l./Пер с англ. под
ред. Р. М. Мир-Касимова.— М,: Мир, 1984.—448 с.
127. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. Т. 2./Пер. с англ.;
под ред. Р. М. Мир-Касимова.— М.: Мир, 1984.—400 с.
128. Кабо А., Шабад А. Е. // Теоретико-групповые методы в физике.— М.:
Наука, 1983.-Т. 1.—С. 135-148.
129. Кабо А., Шабад А. Е. Ц Поляризационные эффекты во внешних кали-
калибровочных полях. Труды ФИАН СССР.— М.: Наука, 1988.—Т. 192.—
С. 153-203.
130. Карманов О Ю., Менский М. П // ТМФ.— 1979.— Т. 41.—С. 245—255.
131. Карманов О. Ю., Менский М. Б. // ТМФ.—1980.— Т. 42.—С. 23—36.
132. Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле. Труды ФИАН
СССР,—М.: Наука, 1979.—Т. 111.-279 с.
133. Келдыш Л. В. // ЖЭТФ.— 1964.— Т. 47.— С. 1515—1527.
134. Когерентные состояния в квантовой теории./Пер. с англ. В. И. Мань-
ко.—М.: Мир, 1972.—232 с.
135. Крючков Г. Ю. II ЖЭТФ —1980.—Т. 78.-С. 446-457.
136. Крючков Г. Ю. II Изв. АН Арм. ССР, Физика.—1980.—Т. 15.—С. 153—
161.
137. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля.—М.: Наука, 1988.—510 с.
138. Лебедев С. Л., Ритус В. И. // ЖЭТФ.-1984.-Т. 86.-С. 408-421.
139. Лебедев С. Л., Ритус В. И. // Письма в ЖЭТФ.— 1978.— Т. 28.— С. 298—
301.
140. Лихтциер И. М., Шварцман Ш. М — Препринт/ТФ СО АН СССР.—Томск,
1988.— № 25 — 33 с.
141. Лобанов А. Е., Халилов В. Р. // ЖЭТФ — 1979.— Т. 77.— С. 548—559.
142. Лобанов А. Е., Халилов В. Р. // ЯФ.—1980.—Т. 32.—С. 174—182.
143. Малкин И. А., Манько В. И. Динамическая симметрия и когерентные
состояния квантовых систем,— М.: Наука, 1979.— 320 с.
144. Мамаев С. Г., Мостеппненко В. М. // ЖЭТФ.— 1980.—Т. 78.—С. 20—27.
145. Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Ц Изв. вузов, Физика —1983 —
Т. 26 — № 3.— С. 34—38.
146. Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М., Старобинский А. А. II ЖЭТФ —
1976.— Т. 70.— С. 1577—1586.
147. Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М., Старобинский А. А. II Письма в
АЖ.- 1976 — Т. 2.- С. 136-138
148. Мамаев С. Г., Трунов Н. П. // ЯФ.—1983.—Т. 37.—С. 1603—1612.
149. Маринов М. С, Попов В. С. // ЯФ.—1972 —Т 15,— С 1271—1285
150. Маринов М. С, Попов В. С. // ТМФ— 1973 —Т 17 — С 34—41
151. Маршаков А. В., Файнберг В. Я. II Письма в ЖЭТФ.—1987.—Т. 46 —
С. 253—255.
152. Маслов В. П. Операторные методы.— М : Наука, 1973.— 473 с.
153. Матинян С. Г.— Научн. сообщ. ЕрФИ.—Ереван, 1977.—№ 235B8)-77.—
29 с.
154. Менский М. В. // ТМФ.— 1974.— Т 18 — С 190—202
155. Мигдал А. Б. // ЖЭТФ.— 1971.—Т. 61.—С. 2209—2217.
285

156 Мигдал А. Б. Фермионы и бозоны в сильных полях,— М.: Наука, 1978.—
272 с.
157. Милехин Г. А., Фрадкин Е. С. // ЗКЭТФ.— 1963.— Т. 45 — С. 1926—
1939.
158. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики./Пер. с англ.;
под ред. С. П. Аллилуева, Н. С. Кошлякова, А. Д. Мышкиса, А. Г. Свеш-
Свешникова.—М.: ИЛ, 1958 —Т. 1.—930 с.
159. Мостепаненко В. М., Фролов В. М. // ЯФ.— 1974.— Т. 19.— С. 885—896.
160. Мостепаненко В. М., Фролов В. М., Шелюто В. А. // ЯФ.— 1983.—
Т. 37 —С. 1261-1269.
161. Нарожный Н. В. Ц ЖЭТФ.— 1968.- Т. 54.— С. 676—688.
162. Нарожный Н. Б., Никишов А. И. // ЖЭТФ.— 1973,— С. 65.—С. 862—874.
163. Нарожный Н. Б., Никишов А. И. // Проблемы квантовой электродина-
электродинамики интенсивного поля Труды ФИАН СССР.— М: Наука, 1986.—
Т, 168.—С. 175-199.
164. Нарожный Н. Б., Никишов А. И. // ТМФ.— 1976.— Т. 26.—С. 16—34.
165. Нарожный Н. Б., Никишов А. И. // ЯФ.— 1970.—Т. П.—С. 1072—1077.
166. Нарожный Н. Б., Никишов А. И., Ритус В. И. // ЖЭТФ.— 1964.—Т. 47.—
С. 931—940.
167. Нарожный Н. Б., Никишов А. И., Ритус В. И. // ЖЭТФ.—1964.—
Т. 47,— С. 1768—1781.
168. Никишов А. И. II ЖЭТФ.— 1969.— Т. 57.— С. 1210—1216.
169. Никишов А. И. II ЖЭТФ.—1970.—Т. 59.— С. 1262—1272.
170. Никишов А. И. II Квавтовая электродинамика явлений в интенсивном
поле. Труды ФИЛИ СССР.—М.: Наука, 1979,—Т. 111.—С. 153—271.
171. Никишов А. И. I/ Проблемы теоретической физики. Сб., посвященный
памяти И. Е. Тамма.— М.: Наука, 1972.— С. 299—305.
172. Никишов А. И. II ТМФ.—1974.—Т 20 — С 48—56.
173. Никишов А. И., Ритус В. И. Ц ЖЭТФ.—1964.—Т. 46,—С. 776—796.
174. Никишов А. И., Ритус В. И. Ц ЖЭТФ.— 1964.— Т. 46 — С. 1768—1781.
175. Никишов А. И., Ритус В. И. Ц ЖЭТФ.—1964.—Т. 47.—С. 1130—1133.
176. Никишов А. И., Ритус В. И. // ЖЭТФ.—1967.—Т. 52.—С. 1707—1719.
177. Никишов А. И., Ритус В. И. // ЖЭТФ.- 1969 — Т. 56.-С. 2035-2042.
178. Никишов А. И., Ритус В. И. // ЖЭТФ.—1983,—Т. 85.—С. 24—40.
179. Никишов А. И., Ритус В. И. // Проблемы квантовой электродинамики
интенсивного поля. Труды ФИАН СССР.— М.: Наука, 1986.—Т. 168.—
С. 232—268.
180. Новейшее развитие квантовой электродинаыики/Пер. с англ. А. М. Брод-
Бродского; Под ред. Д. Д. Иваненко.— М.: ИЛ, 1954.—393 с.
181. Носков М. Д., Шварцман Ш. М. // Изв. вузов, Физика,— 1989.—Т. 32.—
№ 6.- С. 70-74.
182. Носков М. Д., Шварцман Ш. М — Препринт/ТФ СО АН СССР.— Томск,
1988.- Х° 39 — 38 с.
183. Олейник В. П. II УФЖ.— 1968.— Т. 13.— С. 1205—1214.
184. Папанян В. О., Ритус В. И. Я ЖЭТФ.—1971.—Т. 61.—С. 2231—2241.
185. Папанян В. О., Ритус В. И. // ЖЭТФ.— 1973.— Т. 65.— С. 1756—1771.
186. Папанян В. О., Ритус В. И. // Проблемы квантовой электродинамики
интенсивного поля. Труды ФИАН СССР.—М.: Наука, 1986.—Т. 168.—
С. 121—140.
187. Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и их примене-
применения.— М.: Наука. 1987.— 269 с.
188. Переломов А. М. // ТМФ —1973 —Т. 16.—С. 303—314.
189. Переломов А. М. Ц ТМФ.—1974.—Т. 19.—С. 83—96.
190. Попов В. Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля.— М.:
Атомиздат, 1976.— 256 с.
191. Попов В. С. II ЖЭТФ.— 1970,— Т. 59,— С. 965—984.
192. Попов В. С. II ЖЭТФ.—1971.—Т. 60,—С. 1228—1244.
193. Попов В. С. II ЖЭТФ— 1971,-Т. 61 —С. 1334-1351.
194. Попов Б. С. I/ ЖЭТФ.- 1972.- Т. 62- С. 1248-1262.
195. Попов В. С. II Письма в ЖЭТФ.—1971 —Т. 13 —С. 261-263.
196. Попов В. С. II Письма в ЖЭТФ.- 1973.- Т. 18.- С. 435-437. .. :.•
286

197 Попов В. С. И ЯФ.— 1971.— Т. 14.— С. 458—468.
198 Попов В. С. /I ЯФ.— 1972.—Т. 15,— С. 1069—1081.
199. Попов В. С. II ЯФ- 1973.—Т. 17 —С. 621—633.
200 Попов В. С II ЯФ.— 1974,— Т. 19 —С. 1140—1156.
201. Попов В. С, Маринов М. С. // ЯФ.— 1972.— Т. 16.— С. 809—822.
202 Проблемы квантовой электродинамики интенсивного поля. Труды
ФИАН СССР. М.: Наука, 1986.—Т. 168.—265 с.
203 Ритус В И II ЖЭТФ.— 1969.— Т. 56.— С. 986—1005.
204 Ритус В. И. II ЖЭТФ- 1975.-Т. 69-С. 1517-1536.
205 Ритус В. И. II ЖЭТФ —1977.—Т. 73.-С. 807-821.
206. Ритус В. И. II ЖЭТФ.— 1978.— Т. 75.— С. 1560—1583.
207 Ритус В. И II Квантовая электродинамика явлений в интенсивном по-
поле. Труды ФИАН СССР.—М.: Наука, 1979.—Т. 111—С. 5—151.
208. Ритус В. И. II Письма в ЖЭТФ.— 1970.—Т. 12,— С. 416—418.
209. Ритус В. И. I/ Письма в ЖЭТФ.— 1974.—Т. 20.—С. 135—138.
210. Ритус В. И. II Проблемы квантовой электродинамики интенсивного по-
поля. Труды ФИАН СССР,—М.: Наука, 1986.—Т. 168.—С. 5—51.
211. Ритус В. И I/ Проблемы квантовой электродинамики интенсивного
поля. Труды ФИАН СССР,—М.: Наука, 1986.— Т. 168.—С. 52—119.
212. Ритус В. И. II Проблемы теоретической физики. Сб., посвященный па-
памяти И Е. Тамма.— М.: Наука, 1972.— С. 307—334.
213. Родионов В. Н., Тернов И. М., Халилов В. Р. // ЖЭТФ.—1976.—Т. 71,-
С. 871—883.
214 Саввиди Г. К. // Изв АН АрмССР, Физика.—1977.—№ 12.—С. 72—74.
215. Сахаров А. Д. // ТМФ—1975.-Т. 23.-С. 178-190.
216. Синхронное излучение.— М.: Наука, 1966.— 228 с.
217. Скалозуб В. В. // ЯФ.— 1978.— Т. 28.— С. 228—230.
218. Скалозуб В. В. // ЯФ.— 1980.— Т. 31.— С. 798—805.
219. Скалозуб В. В. Ц ЯФ.— 1981.— Т. 34.— С. 1397—1402.
220. Скалозуб В. В. // ЭЧАЯ.— 1985 — Т. 16.— С. 1005—1052.
221. Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон.— М.: Наука,
1974 — 392 с.
222. Соколов А. А. Тернов И. Л/., Багров В. Г. // Синхронное излучение. Сб.
статей.—М.: Наука, 1966.—С. 18-71.
223. Соколов А. А., Тернов И. М., Багров В. Г., Рзаев Р. А. // Синхротрон-
ное излучение. Сб. статей.— М.: Наука, 1966.—С. 72—151.
224. Старобинский А. А. // ЖЭТФ.— 1973.— Т. 63.— С. 48—57.
225. Тернов И. М., Багров В. Г., Бордовицын В. А., Дорофеев О. Ф. // ДАН
СССР.— 1968.— Т. 183.— С. 810—812.
226. Тернов И. М,, Багров В. Г., Бордовицын В. А., Дорофеев О. Ф. //
ЖЭТФ.— 1968.— Т. 55.— С. 2273—2280.
227. Тернов И. М., Багров В. Г., Бордовицын В. А., Дорофеев О. Ф. // Изв.
. вузов, Физика.—1968.—Т. 11.—№ 11.—С. 17—22.
228. Тернов И. М., Багров В. Г., Дорофеев О. Ф. и др. Ц Изв. вузов, Физи-
Физика.— 1977.— Т. 20.— № 5.— С. 62—68.
229. Тернов И. М., Багров В. Г., Халилов В. Р. Ц Изв. вузов Физика.—
1968 —Т. 11 —№ 11 —С. 102-107.
230. Тернов И. М., Багров В. Г., Хапаев А. М., Клоповский К. С. Ц Изв. ву-
вузов, Физика.— 1967.— Т. 10.— Л"» 8.— С. 77—84.
231. Тернов И. М., Халилов В. Р. // ЖЭТФ.—1981.—Т. 81 — С. 1953-1964.
232. Тернов И. М., Халилов В. Р., Родионов В. Н. Взаимодействие заряжен-
заряженных частиц с сильным электромагнитным полем.— М.: Изд-во МГУ,
1982.— 304 с.
233. Тернов И. М., Халилов В. Р., Родионов В. Н. Ц ЖЭТФ— 1978.—Т 74 —
С. 1201-1207.
234. Тернов И. М., Халилов В. Р., Родионов В. Н., Клименко Ю. И: Ц
ЖЭТФ — 1978.- Т. 74- С. 1201—1207.
235. Тютин И. В.— Препринт/ФИАН.— Москва, 1975.— № 39.— 62 с.
236. Умэдзава X., Мацумото X., Татики М. Термополевая динамика и кон-
конденсированные состояния./Пер. с апгл. под ред М. И. Каганова.— М :
Мир, 1985.- 504 с.
287

237. Усов В. В., Шабад А. Е. // Письма в ЖЭТФ.— 1985 — Т. 42.— С. 17—20,
238. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям/
Пер. с англ. Э. М. Барлита, Ю. Л. Обухова; под ред. В. С. Барашенко-
ва.— М.: Мир, 1968.— 382 с.
239. Фрадкин Е. С. // Acta Phys. Hung.— 1965.— V. 19.— P. 175—198.
240. Фрадкин Е. С. ff ДАН СССР.— 1954- Т. 98.- С. 47-50.
241. Фрадкин Е. С. ff ДАН СССР.- 1955- Т. 100 — С. 897-900.
242. Фрадкин Е. С. // ЖЭТФ.— 1954.- Т. 26.— С. 751-754.
243. Фрадкин Е. С. II ЗКЭТФ.— 1955 — Т. 29.— С. 121—134.
244. Фрадкин Е. С. // ЖЭТФ.—1955.-Т. 29 —С. 258—261.
245. Фрадкин Е. С. /I Квантовая теория поля и гидродинамика. Труды
ФИАН СССР.- М.: Наука, 1965 — Т. 29- С. 7-138.
246. Фрадкин Е. С. ff Международная Зимняя школа теоретической физики
при Объединенном Институте ядерных исследований. Т. 2, Дубна,
1964.- С. 5—37.
247. Фрадкин Е. С. // Метод функций Грина в теории квантованных полей
и в квантовой статистике: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук, Москва, 1960.—
153 с.
248. Фрадкин Е. С. ff Проблемы теоретической физики. Сб., посвященный
Н. Н. Боголюбову в связи с его шестидесятилетием.— М : Наука, 1969.—
С. 386—414.
249. Фрадкин Е. С. // Проблемы теоретической физики. Сб., посвященный
памяти И. Е. Тамма.— М.: Наука, 1972.— С. 146—176.
250. Фрадкин Е. С, Шварцман Ш. М.— Препринт/ФИАН,— Москва, 1986.—
№ 183.— 47 с.
251. Фролов В. Л. И Физические эффекты в гравитационном поле черных
дыр. Труды ФИАН СССР.-М.: Наука, 1986 —Т. 169 — С. 3-131.
252. Халилов В. Р. Электроны в сильном магнитном поле,— М.: Энергоатом-
издат, 1988.—208 с.
253. Халилов В. Р., Линьков В. Ю., Обухов И. А. ff ЯФ.—1988.—Т 48.—
С. 1067—1074.
254. Халилов Б. Р., Перес-Фернандес В. К. II Вести. МГУ, сер физ., астр.—
1984.— Т. 25.- № 6.— С. 35-38.
255. Шабад А. Е. // Поляризационные эффекты во внешних калибровочных
полях. Труды ФИАН СССР.-М.: Наука, 1988.—Т. 192.—С. 5-152.
256. Шахматов В. М., Шварцман Ш. М. // Изв. вузов, Физика —1977,—
Т. 20.—№ 6.—С. 101—105.
257. Шварц А. С. Математические основы квантовой теории поля.— М.:
Атомиздат, 1975,— 368 с.
258. Шварцман Ш. М. Некоторые квантовые процессы в интенсивных элект-
электромагнитных полях: Дис. ... каид. физ.-мат. наук, Томск, 1976.— 122 с.
259. Ш веб ер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля/Пер, с
англ. Б. Н. Валуева, В. И. Огиевецкого, И. В. Полубаринова; под ред.
Я. А. Смородинского.— М.: ИЛ, 1963.—842 с.
260. Швингер Ю. Новейшее развитие квантовой электродинамики/Сб. ста-
статей; Пер. с англ. А. М. Бродского; Под ред. Д. Д. Иваненко.— М.: ИЛ,
1954- С. 254-283.
261. Швингер Ю. Частицы, источники, поля. Т. 2/Пер. с англ. А. И. Наумо-
Наумова; Под ред. А. М. Бродского.— М.: Мир, 1976.— 477 с.
262. Швингер Ю. Теория квантованных полей./Пер. с англ. Н. П. Клепико-
Клепикова, Л. И. Лапидуса,—М.: ИЛ, 1956.—252 с.
263. Adler S. L. // Ann. Phys.—1971.—V. 67.—P. 599—647.
264. Ambjorn J., Hughes R. J. // Ann. Phys.—1983.—V. 145.—P. 340—377.
265. Ambjorn ]., Hughes R. J. // Nucl. Phys. В.— 1982.—V. 197.—P. 113—131.
266. Ambjorn J., Hughes R. J. // Phys. Lett. В.—1982.—V. 113 — P. 305—307.
267. Andertsch J., Shafer G. I J. Phys. A—1978.—V. 11.—P. 1583—1602.
268. Anishetty R. ff Phys. Lett. В.—1982.—V. 108.—P. 295—298.
269. Auerbach B. K., Goldhaber A. S., Johnson M. В., Miller L. D. // Phys. Lett.
В.— 1986.— V. 182 — P. 221—225.
270. Bagrov V. G., Buckbinder I. L., Gitman D. M. ff J. Phys. A— 1976.—V. 9.—
P. 1955-1961.
288

271. Bagrov V. С, Gitman D. M. Exact solutions of relativistic wave equati-
equations.— Dortrecht — Boston — London: Academic Publishers, 1989,— 323 p.
272. Bagrov V. G., Gitman D. M., Shvartsman Sh. M. // II Conference on inte-
interaction of electrons with strong electromagnetic field, Budapest, 1975.—
Budapest, 1975.— 105 p.
273. Bagrov V. G., Gitman D. M., Jushin A. V. // Phys. Rev. D.— 1975.—V. 12.—
P. 3200—3202.
274. Baier V. N., Milstein A. I. // J. Phys. A.— 1978.— V. 11.— P. 279-310.
275. Barashev V. P., Shabad A. E., Shvartsman Sh. M.— Preprint/PhlAN.—
Moscow, 1985 — № 106a.— 25 p.
276. Bardakci K., Halpern M. B. // Phys. Rev.—1968.—V. 175.—P. 1686-1692.
277. Bargman V., Michel L., Telegdi V. II Phys. Rev. Lett—1959.—V. 2.—
P. 435-436.
278. Barvinsky A. O., Vilkovisky G. A. // Nucl. Phys. В.—1987.—V. 282,—
P. 163—188.
279. Batalin I. A., Fradkin E. S. // Мйждународный семинар по функцио-
функциональным методам в квантовой теории поля и статистике, Москва,
1971.- Препринт/ФИАН.- Москва, 1971.—№ 140 — С. 15-22.
280. Batalin I. A., Fradkin E. S., Shvartsman Sh. M. // Nucl. Phys. В.— 1985,—
V. 258.— P. 435—467.
281. Batalin I. A., Fradkin E. S., Shvarlsman Sh. M.— Preprint/PhlAN.— Mos-
Moscow, 1984.— K° 254.— 41 p.
282. Batalin I. A., Vilkovisky G. A. // Phys. Lett. В.— 1977.— V. 69.— P. 309.
283. Becchi C, Rouet A., Stora R. // Commun. Math. Phys.— 1975.— V. 42.—
P. 127—162.
284. Bellissard J. / Commun. Malh. Phys.—1976.—V. 46.—P. 53—74.
285. Berezin F. A., Marinov M. S. II Ann. Phys. (USA).—1977.—V. 104.—
P. 336-362.
286. Bialynicki-Birula I., Bialynicka-Birula Z. Quantum electrodynamics.— Ox-
Oxford: Pergamon Press, 1975.—550 p.
287. Birrel N. D., Davis P. S. // J. Phys. A.—1980.—V. 13.—P. 961—968.
288. Birrel N. D., Ford L. H. // Ann. Phys.—1979.—V. 122.—P. 1—25.
289. Bjorken J. D., Kogut J. В., Soper D. E. // Phys. Rev. D.— 1971.— V. 3.—
P. 1382—1399.
290. Bleuler K. // Helv. Phys. Acta — 1950,- V. 23.- P. 567—581.
291. Brezin E., Itzykson С // Phys. Rev. D.—1970.—V. 2.—P. 1191—1199.
292. Brown L. S., Kibble T. W. I/ Phys. Rev. A.-1964.—V. 133.—P. 705—713.
293. Brown M. R. /I J. Math, phys.—1984.-V. 25.—P. 136—140.
294. Brown L., Weisberger W. // Nucl. Phys. В.—1979.—V. 157.—P. 285—326.
295. Buchbinder I. L., Fradkin E. S. II Fortsch. Phys.— 1988.— Bd 36.— S. 97—
105.
296. Buchbinder I. L., Fradkin E. S., Gitman D. M. II Fortsch. Phys.—1981 .—
Bd. 29.— S. 197—218.
297. Buchbinder I. L., Fradkin E. S., Gitman D. M — Preprint/PhlAN.— Mos-
Moscow, 1981.— № 138 — 24 p.
298. Cabo A., Shabad A. E.— Preprint/Academia de Ciencias de Cuba.— Hava-
Havana, 1980.-N 167.—23 p.
299. Candelas P., Raine D. J. // Phys. Rev. D— 1977.—V. 15.—P. 1494—1500.
300. Castagnino M. A. // Ann. Phys.—1984.—V. 152 —P. 85—104.
301. Chang S. J., Ma S. K. jj Phys. Rev.—1969.—V. 180.—P. 1506—1511.
302. Charach Ch. II Phys. Rev. D.—1982.—V. 26 —P. 3367—3383.
303. Chitre D. M., Hartle J. B. II Phys. Rev. D.—1977.—V. 16.—P. 251—260.
304. Choroku K. // Prog. Theor. Phys.— 1982.— V. 68.— P. 1340—1353.
305. Claudson M., Yildiz A., Cox P. H. II Phys. Rev. D.—1980.—V. 22.—
P. 2022—2026.
306. Clemente M., Berdermann F., Keinle P. a. oth. II Phys. Lett. В.— 1984.--
V. 137.- P. 41-46.
307. Constantinescu D. M. II Nucl. Phys. В.—1972.—V. 36.—P. 121—129.
308. Constantinescu D. M. // Nucl. Phys. В.— 1972.—V. 44.—P. 288—300.
309. Cowan Т., Васке H., Gegemann M., Bethge К. a. olh. I/ Phys. Rev. Lett,—
1985.—V. 54.-P. 1761—1764.
289

310. Demeur M. // Physica.—1951.—V. 17.—P. 933—937.
311. De Witt B. S. Dynamical theory of groups and fields.— N. Y.: Gordon and
Breach, 1965.— 245 p.
312. De Witt B. S. I/ Phys. Rep. C— 1975.—V. 19.- P. 295—357.
313. De Witt B. S. /I Phys. Rev.—1967.—V. 162.-P. 1195—1238.
314. De Witt B. S. I/ Phys. Rev.— 1967.— V. 162 — P. 1239-1256.
315. De Witt B. S. // Relativity, groups and topology Г I. Les Houches, Sessi-
Session 40, Amsterdam, 1983. The Spacetime approach to quantum field theo-
theory. Course 5.—Elsevier Science Publishers B. V., 1984.—P. 381—738.
316. Ditlrich W., Reuter M. // Phys. Lett. B — 1983.—V. 128,—P. 321—326.
317. Dodonov V. V., Malkin I. A., Man'ko V. I. // 1. Phys. A.—1976 —V. 9.—
P. 1791—1796.
318. Dodonov V. V., Malkin I. A., Man'ko V. I. /I Physica A.— 1976 — V. 82.—
p ^j3 133
319. Eberly J. H., Reiss H. R. // Phys. Rev.—1966 —V. 145.—P. 1035—1050.
320. Elizalde E. // Nucl. Phys. В.—1984.—V. 243 —P. 398-410.
321. Elizalde E. // Zeitschr. Phys. C— 1985.—V. 28.—P. 559—561.
322. Elizalde E., Sato I. // Ann. Phys.—1985.—V. 162.—P. 192—211.
323. Elizalde E., Sato I. // Nucl. Phys. В.— 1987.— V. 283.— P. 577—590.
324. Fainberg V. Ya., Marshakov A. V.— Preprint/Phi AN.— Moscow, 1987.—
№ 338.—22 p.
325. Feynman R. P. // Phys. Rev.—1949.—V. 76.—P. 749—759.
326. Feynman R. P. // Phys. Rev.—1951 —V. 84.—P. 108—128.
327. Feynman R. P. // Rev. Mod. Phys.—1947.—V. 20.—P. 376—386.
328. Fock V. II Sov. Phys.—1937.—Bd'12.—S. 404—425.
329. Ford L. H. I/ Nucl. Phys. В.— 1982.— V. 204.— P. 35—44.
330. Fradkin E. S. // Nucl. Phys.— 1966.— V. 76.—P. 588—624.
331. Fradkin E. S. // Proceeding of X-lh Winter School of Theoretical Physics
in Carpacz, Wralslaw, 1973.— Acta Univ. Wfatsl.—1973.—№ 207.—
P. 93—115.
332. Fradkin E. S., Esposito U., Termini S. // Rev. Nuovo Cimento.— 1970.—
V. 11.—P. 498—560.
333. Fradkin E. S., Gitman D. M. // Fortsch. Phys.—1981.—Bd 29.—S. 381—
411.
334. Fradkin E. S., Gitman D. M.— Preprint/CRIP.— Budapest 1979.—
№ KFKI - 1979 - 83.- 102 p.
335. Fradkin E. S., Gitman D. M.~ Preprint/MIT,— Boston, 1978.— № 3.—
58 p.
336. Fradkin E. S., Gitman D. M.— Preprint/PhlAN.— Moscow, 1979.—№ 106.—
62 p.
337. Fradkin E. S., Gilman D. M.— Preprint/PhlAN.— Moskow, 1979.—№ 107.—
40 p.
338. Fradkin E. S., Gitman D. M., Shvartsman Sh, M. // Fortsch. Phys.—
1988.— Bd 36.— P. 643—669.
339. Fradkin E. S., Shvartsman Sh. M. // Fortsch. Phys.—1988 —Bd 36.—
S. 831-862.
340. Fradkin E. S., Vilkowisky G. A. // Phys. Lett. В.— 1975.—V. 55.—P. 224—
226; Lett. Nuovo Cim.—1975.—V. 13.—P. 187—192.
341. Fradkin E. S., Vilkowisky G. A. II Phys. Rev. D.— 1973.—V. 8.—P. 4241—
4285.
342. Frolov V. P. II Fortsch. Phys.— 1978.— Bd 26.— S. 563—608.
343. Frolov V. P., Gitman D. M. // J. Phys. A.-1978-V. 15 —P. 1329-1333.
344. Falcher L. P., Greiner W. II Lett. Nuovo Cimenlo.— 1972,— V. 2.— P. 279—
284.
345. Falling S. A., Sweeny M., Wald R. M. // Commun. Math. Phys.—1978.—
V. 63.— P. 257—265.
346. Furry W. II. II Phys. Rev.—1951.—V. 81.—P. 115—124.
347. Geheniau J. // Physica.— 1950.— V. 16.— P. 822—830.
348. Geheniau J., Demeur M. jj Physica.— 1951.—V. 17.—P. 71—75.
349. Gitman D. M. // J. Phys. A.— 1977.—V. 10 — P. 2007—2020.
350. Glauber R. J. // Phys. Rev.—1963.—V. 130.—P. 2529—2534.
290

351. Glauber R. J. // Phys. Rev.—1963.—V. 131.—P. 2766—2771.
352. Glauber R. J. // Phys. Rev. Lett.— 1963.— V. 10.— P. 84—86.
353. Greiner W:, Mailer В., Rafelski J. Quantum electrodynamics of strong fi-
fields.— Berlin — Heidelberg — New-York — Tokyo.: Springer Verlag, 1985.—
600 p.
354. Grib A. A., Mamaev S. G., Mostepanenko V. M. II Gen. Relat. and Grav.—
1976.— V. 7.- P. 535-541.
355. Gupta S. N. II Proc. Phys. Soc. A,— 1950 — V. 63.— P. 681—689.
356. Hartle J. В., Hawking S. W. / Phys. Rev. D.— 1976.— V. 13.— P. 2188—
2203.
357. Hawking S. W. // Commun. Math. Phys.—1975 — V. 43.—P. 199—220.
358. Hawking S. W. II Commun. Math. Phys.—1981.—V. 80.—P. 421—444.
359. Hawking S. W. II Phys. Rev. D.—1976.—V. 13.—P. 191-197.
360. Hawking S. W. jl Phys. Rev. D.—1976.—V. 14.—P. 2460—2473.
361. Heisenberg W., Euler H. // Ztschr. Phys.—1936.— Bd 98.— S. 714—732.
362. Horibe M., Hosoya A. If Prog. Theor. Phys.—1980.—V. 64.—P. 1814—
1827.
363. Hylton D. J. /I J. Math. Phys.-1984.-V. 25.-P. 1125-1132.
364. Jauch J. M., Rohrlich F. The theory of photons and electrons.—Cambrid-
electrons.—Cambridge: Addison-Wesley, 1955.—546 p.
365. Kalashnikov O. K., Fradkin E. S. // Acta Phys. Austr.— 1976,— V. 45.—
P. 81-95.
366. Kalashnikov O. K., Fradkin E. S. // J. Phys. A.—1976.—V. 9.—P. 158—
168.
367. Kirseh J., Mailer В., Rafelski Л— Preprint/GSI — Report.— Darmstadt,
1981.- № 81-5,— 183 p.
368. Klein O. II Ztschr. Phys.— 1929.— Bd 53.— S. 157—162.
369. Kogut 1. В., Soper D. E. // Phys. Rev. D.—1970.—V. 1.—P. 2901—2914.
370. Kugo Т., Ojima I. // Progr. Theor. Phys. (Suppl.) —1979.—V. 66.—P. 1—
130.
371. Kuroda Y. I/ Progr. Theor. Phys.— 1983.—V. 69.— P. 842—856.
372. Lotze К. Н. I) Class. Quant. Grav.— 1985.— V. 2.— P. 351—362.
373. Lotze К. Н. // Class. Quant. Grav.— 1985.— V. 2.— P. 363—372.
374. Макки С II Ann. Phys.—1985.-V. 162.-P. 335—371.
375. Marinov M. S., Popov V. S. Ц Forlsch. Phys— 1977,— Bd 25.— S. 373—401.
376. Malinian S. G.— Preprint/Int. Cent. Theor. Phys.— Triest, 1977.—IC/77/
/154.—33 p.
377. Matinian S. G., Savvidy G. К. Ц Nucl. Phys. В.— 1978.— V. 134 — P. 539—
545.
378. Matthews P. T. // Phys. Rev,—1949 —V. 76.—P. 684—685.
379. Matzubara T. / Progr. Theor. Phys.— 1955.— V. 14.— P. 351—369.
380. Mensky M. В., Karmanov O. Yu. // Gen. Relat. and Grav.— 1980.—V. 12.—
P. 267—277.
381. Morozov D. A., Ritus V. I. // Nucl. Phys. В.— 1975.—V. 86.—P. 309—332.
382. Muller В., Peitz H., Rajelski J., Greiner W, // Phys. Rev. Lett.— 1972.—
V. 28.— P. 1235—1238.
383. Nariai H. Ц Nuovo Cimento В.— 1976.—V. 35.—P. 259—267.
384. Nariai H. Ц Progr. Theor. Phys.— 1977 — V. 57.— P. 67—81.
385. Nariai H., Azuma T. // Progr. Theor. Phys.— 1978 — V. 59.— P. 1522—
1531.
386. Nariai H., Tanabe K. // Progr. Theor, Phys.—1976.—V. 55.—P. 1116—
1132.
387. Narozhny N. B. // Phys. Rev. D—1979.—V. 20.—P. 1313—1320.
388. Narozhny N. В. Ц Phys. Rev. D.— 1979.—V. 21,—P. 1176—H83.
389. Nencia G. // Commun. Math. Phys.—1987 —V. 109.—P. 303—312.
390. Neville R. A., Rohrlich F. // Phys. Rev. D.— 1971 —V. 3.—P. 1692—1707.
391. Nielsen N. K., Olesen P. Ц Nucl. Phys. В.— 1978 — V. 144.— P. 376—396.
392. Nielsen N. K., Olesen P. J/ Nucl. Phys. В.— 1979.— V. 156.— P. 1—28.
393. Nikishov A. I. / Nucl. Phys. В.— 1970.— V. 21.— P. 346—358.
394. Parker L. // Phys. Rev.—1969.—V. 183.—P. 1057—1068.
395. Parker L. // Phys. Rev. D.— 1971,—V. 3.—P. 346—356.
291

396. Parker L. Л Phys. Rev. D.— 1975.—V. 12.— P. 1519—1528.
397. Parker L. ff Proceeding of symposium on Asymplolic properties of Spa-
Space — time, New-York, 1975.— N. Y.: Plenum, 1976.— P. 127—235.
398. Passarino С ff Nucl. Phys. В.—1987 —V. 284.—P. 473—487.
399. Perelomou A. M. ff Phys. Lelt. A.— 1972.—V. 39.—P. 165—168.
400. Perelomov A. M. ff Phys. Letl. A.— 1972,— V. 39.— P. 353—359.
401. Perez Rojas H., Shabad A. E. ff Ann. Phys.—1979.—V. 121.—P. 432—
464.
402. Rafelski J., Falsher L. P., Klein A. ff Phys. Rep. C—1978,—V. 38^
P. 227—361.
403. Redmond P. F. ff J. Math. Phys.— 1965.—V. 6.—P. 1163—1167.
404. Reiss H. R. // J. Malh. Phys.— 1962.—V. 3.—P. 59—67.
405. Reiss H. R., Eberly J. H. ff Phys. Rev,—1966.—V. 151.—P. 1058—1066.
406. Rohrlich F. II Acta Phys. Austr.—1970,—V. 32.—P. 87—101.
407. Rohrlich F. ff Phys. Rev.—1950.—V. 80.—P. 666—087.
408. Ritas V. I. ff Ann. Phys — 1972.— V. 69.— P. 555—582.
409. Ritus V. I. И Nucl. Phys. В.—1972.—V. 44.—P. 236—252.
410. Rampf H. I/ Gen. Relat. and Crav.— 1979.— V. 10.— P. 509—523.
411. Rumpf H. II Gen. Relat. and Grav.—1979.—V. 10 —P. 524—533.
412. Rumpf H. If Gen. Relat. and Grav.— 1979.— V. 10.— P. 647—658.
413. Rumpf H. II Nuovo Cimento В.— 1976.—V. 35 —P. 321—332.
414. Rumpj П., Urbanlke R. K. ff Ann. Phys.—1978 —V. 114.—P. 332-355.
415. Saito Т., Shigemolo К. ff Progr. Theor. Phys.—1980,—V. 63.—P. 256—
261.
416. Salam A., Slralhdee J. ff Nucl. Phys. В.—1975.—V. 90.—P. 203—220.
417. Sauler F. ff Ztschr. Phys.—1931.—Bd 69.—S. 742—764.
418. Sauler F. ff Ztschr. Phys.— 1931.— Bd 73.— S. 547—552.
419. Savvidy G. K. ff Phys. Lett. В.—1977.—V. 71.—P. 133—134.
420. Schanbacher V. ff Phys. Rev. D.— 1982 — V. 26.— P. 489—498.
421. Schellekens A. N. ff Nucl. Phys. В.— 1984- V. 246- P. 494-544.
422. Schellekens A. N. // Phys. Rev. D —1984.—V. 30.-P. 833-835.
423. Schwinger J. // J. Math. Phys.—1961.—V. 2.—P. 407—439.
424. Schwinger J. // Phys. Rev.—1948.—V. 73.—P. 416—421.
425. Schwinger J. ff Phys. Rev.—1951.—V. 82,—P. 664—679.
426. Schwinger J. Ц Phys. Rev.— 1954.—V. 93.—P. 615—628.
427. Schwinger J. Ц Phys. Rev.—1954.—V. 94 —P. 1362—1384.
428. Schwinger J. Ц Phys. Rev. D.—1973.—V. 7 —P. 1696—1701.
429. Schwinger J. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA —1951.—V. 37.—P. 452—457.
430. Schwinger J. I/ Proc. Nat. Acad. Sci. USA.—1951—V. 37.—P. 457—459.
431. Schwinger J. ff Proc. Nat. Acad. Sci. USA.—1954,—V. 40.—P. 132—136.
432. Schwinger J., Tsai W. Y. ff Ann. Phys.—1978.—V. 110.—P. 63—84.
433. Shabad A. E. ff Ann. Phys.—1975.—V. 90,—P. 106—195.
434. Shabad A. E. ff Lett. Nuovo Cimento.—1972.—V. 3.—P. 457—460.
435. Shabad A. E., Usov V. V. // Astrophys. and Space Sci.—1985,—V. 117.—
p зод g25
436. Shabad A. E., Usov V. V. ff Astrophys. and Space Sci.—1986.—V. 128.—
P. 377-384.
437. Shabad A. E., Usov V. V. ff Nature.—1982 —V. 295.—P. 215—217.
438. Shearer J. W., Garrison /., Swain J. E. // Phys. Rev. A.—1973.—V. 8.—
P. 1582-1587.
439. Sokolov A. A., Ternou 1. M., Bagrov V. G. ff Ann. dor Phys.—1970.—
Bd 25 — S. 44—55.
440. Ten Eyck J. H., Rohrlich F. // Phys. Rev. D-— 1974.— V. 9.— P. 2237—
2245.
441. Ternou I. M., Bagrov V. C, Dorofeyev O. F. a. oth. ff J. Phys. A.— 1978 —
V. 11.—P. 739—747.
442. Ternov I. M., Bagrov V. G., Khalilov V. R., Rodionov V. N. ff Ann. der
Phys.— 1976 — Bd 33.— S. 241—248.
443. Ternov I. M., Bagrov V. G., Khapaev A. M. ff Ann. der Phys.—1968.—
Bd. 22.— S. 25—32.
444. Tsai W. Y. /I Phys. Rev. D.-1973,—V. 8,-P. 3460—3469,
292

445. Tsai W. Y. // Phys. Rev. D.—1974,—V. 10.-P. 1342-1345.
446. Tsai W. Y. // Phys. Rev. D.— 1974.- V. 10.— P. 2699-2702.
447. Tsai W. Y. jj Phys. Rev. D.— 1978.— V. 18 — P. 3863—3872.
448. Tsai W. Y., Yildiz A. Ц Phys. Rev. D.— 1973.— V. 8.—P. 3446-3460.
449. Urratia L. P. // Phys. Rev. D.— 1978.— V. 17 —P. 1977—1984.
450. Viswanathan P. R. // Phys. Lett. В.—1980 —V. 89.—P. 215—217.
451. Wald R. M. // Commun. Malh. Phys.—1975.—V. 45 — P. 9—17.
452. Wald R. M. II Phys. Rev. D.— 1976.— V. 13.— P. 3176—3182.
453. Weisberger W. // Nucl. Phys. В.—1979.—V. 161— P. 61—77.
454. Weisskopf V. II Kgl. dan. vid. selsk-math.-fys. medd.— 1936.— Bd 14.—
S. 1-39.
45Г). Wong S. К. И Nuovo Cimonto A.—1970.—V. 65.—P. 689—694.
456. Yildiz A. // Phys. Rev. D — 1973 — V. 8.— P. 429—433.
457. Yildiz A., Cox P. H. // Phys. Rev. D.—1980.—V. 21.—P. 1095—1099.

Научное издание
ГИТМАН Дмитрий Максимович
ФРАДКИН Ефим Самойлович
ШВАРЦМАН Шмарю Мардпович
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
С НЕСТАБИЛЬНЫМ ВАКУУМОМ
Заведующий редакцией Н. А. Носова
Редактор В. Я. Дубнова
Младший редактор Е. Б. Тихонова
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технические редакторы И. Ш. Акселърод, С. Я. Шкляр
Корректор Т. С. Вайсберг
ИВ М 41138
Сдано в набор 03.05.90. Подписано к печати 28.01.91.
Формат 60Х9Ю/16. Бумага типографская № 2. Гарнитура
обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 18,5. Усл.
кр.-отт. 18,5. Уч.-изд. л. 22,45. Тираж 1800 экз. За-
Заказ № 185. Цена 5 р. 40 к.
Издательсио-производствеиное
и книготорговое объединение «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука»
630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25

Efim S. Fradkin, D. Sc, Full member of the Academy of the Sciences of
the USSR (Phys. & Math.)
Dmitri M. Gilman, D. Sc. (Phys. & Math.)
Skmarya M. Shvartsman, D. Sc. (Phys. & Math.)
QUANTUM ELECTRODYNAMICS WITH UNSTABLE VACUUM
Moscow, Nauca, Main Editorial Board for Physical and Mathematical Lite-
Literature, 1900, 296 pp.
Readership: researchers in quantum electrodynamics and quantum field theory.
Expert's view: «The autors are well known researchers in quantum field
theory and quantum electrodynamics»
Full member of the Academy of Sciences
of the USSR
V. Ginzburg
Summary: Problems of quantum field theory with an unstable vacuum are
considered using quantum electrodynamics (QED) w:th an external field
as an example. The perturbation expansion for matrix elements of transi-
transition processes is developed in the Furry picture; this theory takes an exact
account of the interaction with a pair creating external field. It is shown
that to calculate the mean values of the operators of physical quantities
in quantum field theory with an unstable vacuum a special perturbation
theory is required in which propagators are of malrix structure. In QED
with an external field, for the purpose of perturbation theory serving the
transition processes and mean values, besides the causal function many
other Green functions in an external field are required. Various methods
for finding the Green function are disscussed. An analogue of th&
optical theorem for the theory with unstable vacuum is formulated and
the rules for computing total probabilities on the basis of this theorem are
given. Calculations are presented for various processes in pair-creating
fields. The solution oE the problem for non-Abelian theories is given by
analogy.

Contents: The problems of external field in Quantum Electrodynamics. Furry
picture in QED with unstable vacuum. The problem of average value. To-
Total probabilities. Zero-order processes. Particles propagators in external
fields. Radiation processes. The Yang-Mills theory with external gauge
field.
The authors: Efim Fradkin, Full member of the Academy of Sciences of the
USSR, Professor, a head of a division in P. N. Lebedev Physical Institute
Ac. Sci. Moscow.
Dmilri Gitman, Professor of the Math-Department of the Moscow Institute
of Radio Engeneering, Electronics and Automation, Moscow.
Shmaryu Shvartsman, doctor in physico-mathematical sciences, Professor
of the Chair of mathematical analysis in the Tomsk State Pedagogical
Institute, Tomsk.