ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
Рекомендуемая розничная цена: 279 руб. Розничная цена: 49,90 грн, 990 тенге
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI
Пятнашки 16
«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ» Издание выходит раз в две недели Выпуск №12,2012 РОССИЯ
ИЗДАТЕЛЬ. УЧРЕДИТЕЛЬ. РЕДА» |ИЯ ООО Де Агостини»> Россия ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 105 066, г. Мссгка.
ул. Александра Лукьянова, д.З, стр 1
Письма читателей по данному адресу не принимаются
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Николаос Скилакис ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР: Анастасия Жаркова
ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР: Наталия Василенко КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР Александр Якутов МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ; Михаил Ткачук МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ
Любовь Мартынова
Свидетельство о регистрации средства массовой информации в Федеральной службе по надзору в Сфере Связи, информационных технологии и массовых коммуникации (Роскомнадзор) ПИ № ФОТ-433 >0 от 28.12 2010 г.
Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru
по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной «горячей пинии- в России
С 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии- для читателей Москвы:
С 8-495 660 02 02
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Россия, 170100. г. Тверь. Почтамт, а/я 24$, - Де Агостини-, Занимательные головоломки
РАСПРОСТРАНЕНИЕ.
ООО ’Бурда Днстрибьюшен Серв^сиз-
УКРАИНА
ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ: ООО ’Де Агостини Паблниингк Украина юридическим адрес; оюзг, Украина, г. Киев. ул. Саксага некого, д. 119 ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР; Екатерина Клименко
Свидетельство о государственной регистрации печатного СМИ Министерства юстиции Украины
КВ № 175C2 62S2P от 01.03.2011
АДРЕС ДЛВ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ;
Украина. 01033. г. Киев, a/я «Де Агостини-*. «Занимательные головоломки
Украша, 01033. ьс Кив, л/с «Де Агоспнж
Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации с коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua
по остальным вопросам оидоцаитест по телефону бесплатной -горячей пинии, в Украине:
С 0-800 500-8-40
БЕЛАРУСЬ
ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР В РЬ ООО «Росчерк». 220037, г, Минск, уп. Авангардов, д. 4fia, литер В/к, теп./факс: +375 17 2 999-260
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ; Республика Беларусь, 220040. г. Минск, а/я 224. ООО «Росчерк».
Де Агостини иа чЗанимательные головслсмки
КАЗАХСТАН
РАСПРОСТРАНЕНИЕ;ТОО «КГП *Ьурда-Алатау Пресо
РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА 279 руб. РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 49.90 грн,990 тенге
ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ; G. Candle & С. S.pA Sos. Cernica47,Buoiresti. Pantdin'ion - llfov. Romania
ТИРАЖ-68 000 ЭК1
Издатель оставляет за собой право изменять псслрдовагельность номеров и их содержание
Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую цену выпусков.
Неотъемлемой частью каждого выпуска является приложение.
© ООО «Де Агостини^, 2012 © RBA Coleccronables, 2011 ISSM 2225 1782
ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ 17.07.2012
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI
В этом выпуске:
Математическая вселенная

От иерее чета к вероятностям Стал icti гка — довольно часто у потребляемое слово в современном мире: мы слышим его с экранов телевизоров, читаем в заголовках газет. А что мы на самом деле инеем об этой науке? Кто ечн гавтся се основателем? Какие задачи она решает и какие методы для этого используются? Вссгла ли объективны статистические данные? Какова степень взаимодействия теории вероятности и статистики? Возможно ли получить точные результаты путем статистического прогнозирования? Ответы на эти и многие дру гие вопросы вы найдете на этих страницах.
Q
Блистательные умы
«Отецг> кпмннттеров Великий новатор, генератор множества гениальных идей, изобретатель разностной машины — прототипа современного компьютера, английский математик Чарльз Бэббидж, считавший, что он намного опередил свое время, имел только одну мечту' -— обменять оставшиеся годы жизни на грн дня в далеком будущем.

Математика на каждый деьп
Когда пря ные ио.рнв.и ются С фср.гческая тригонометрия находит свое практическое применение в решении различных астрономических и геодезических задач. Например, арабские астрономы использовали ф’ нкцыи тригонометрии для того, чтоЬы найти направление к Мекке из любой точки. А немецкого магсмагика Региомонтана Ьоль-шс интересовало звездное небо, он описал траекторию, по которой двигалась комета. 11равда, в своих расчетах он исходил из того, что Земля неподвижна.
1\чшее от Сэма loiida На повестке дня — вопросы материальные (кто больше заработает, засадив поле картофелем — Хоббс или Ноббс?), а также семейные: выясняем степень родства Мэри Энн и загадочного племянника. Ответ на вопрос «который чве» на этот ра > натолкнет нас на некоторые размышления. А также нам придется задуматься над тем, koi да все-таки полковника-шахматистаотправят на фронт. Добро пожаловать в мир логики и математического расчета, в который вы окунетесь, решая хитроумные задачи от Сэма Лойда.
Головоломки
Пятнашки 16 Все гениальное просто. Эта фраза как нельзя лучше подходит к нзвёс гнои головоломке « Пятнашки», изобретенной Сэмом Лойдом. Эта, казалось бы, простая по своей сути головоломка заняла умы многих людей: популярность се была настолько велика, что владельцы фирм вывешивали специальные объявления, запрещавшие играть в «Пятнашки» в рабочее Время.
Понятие статистики гораздо шире, чем просто сбор и упорядочивание данных в таоЛицах и диаграммах. Как в естественных, так и в социальных НАУКАХ ЭТО НЕЗАМЕНИМЫЙ ИНСТРУМЕНТ для прогнозирования по многим направлениям.
Статистика
От пересчета к вероятностям
Одна из основных и похчас самых трудоемких задач статистики — это сбор данных в определенно» группе с целью выявить, например, рост людей в коллективе или количество бракованных детален производственной цепочки. Такой метод носит на 1нанпе « генеральная совокх пноегь». К' гда па множества людей для net ледования выбирают определенную группу, речь идет о выборочной совокупности. Если исследование oi оаничивастся выборочной совокупное гью без какого-либо вывода о генеральной совокупности, эта техника носит название «дескриптивная статистика». Если мы в качестве элемента суждения используем выборку, взятую из генер 1\ьной совокупности, чтобы получить суждение о уанной гениальной совокупности, шачит мы исполыуем метол, носящий название «индуктивная статистика». В последней области мы обязательно стол
кнемся с элементами неопределенности, что, так и ли иначе, потр, оует вмешательства pat  чета вероятностей.

'S,'S>4s

Одг
▼ Оилажка фундамента наготруда т> imammmuKr « /•. mat твенные и »«iu-тичепт наьлнмн чигчгд пниK.iuu 1 мерших* Лжоча Гранта, тгуИашхванного в
Переменные
Переменная — это символ, обозначающий какую-либо количественную характеристику исследуемой нами генеральной совокупности. Например, театр вмещает 1000 человек, переменная X — это «количсст во человек, посещающих вечернии спектакль», она можл! принимать следующие значения: X ~ 275, X - 983, X — 14, и т, д. в генеральной совокупности, состоящей из всех вечерних спектаклей одного сезона. Область ее изменчивости — множество чисел от 0 до 1000. В некоторых случаях переменна л может принимать любое значение между двумя мдан ними значениями. Например, если время ожи дания на автобусной остановке мпжс г колебаться между ну сем и пятнадцатью минутами, то переменная Т «время ожидания» может получить значение Т — 3 минуты, 25 секунд и восемь десятых. В этом случае речь идет и непрерывной переменной, в отличие от примера о вместимости театра, где представлена дискрсгптя переменная, гак как между copoi пятым и сорок шестым человеком нс существует никак' го промежуточного значения Нспр, рывнме данные в основном относятся к измерениям (время, высота, температура, и т.д.), в то время как дискретные касаются пересчета (деньги, количество детей в семье и т.д.).
Лондон Джона Граунта
Джон Граунт '1620—1674) —сын лондонского галантерейщика. Ничто не предвещало его увлечения с гатис гикай. Но он проявил интерес к таблицам, содержащим данные о крещении и смертности жителей Лондона, опубликованным в «Билле о смертности», первый номер которого вышел в 1592 году. Поскольку этот ежегодник включал в себя такую информацию, как пол умерших и причина смерти, Граунт, прорабатывая эти сведения, начал делать интересные заключения. В своем труде «Естественные и политические наблюдения над списками умерших» (Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality) он уточнил такие данные, как количество мужчин и женщин, состоящих и не состоящих в браке, количество женщин д тороднот возраста, доля умерших в каждом конкретном случае, прибыльные и «черные» годы, и т.д. Можно подумать, что его мотивация, по иолыней части, была продиктована любопытством, удовольствием от получения «заумных и неожиданных выводов» от изучения таблиц. Но им также двигало с .ремление создать бопее прочную базу дг.л политики и торговли.
61
От чего умирали в XVII веке Данные из лондонского «Билля о смертности» за 1632 год
Аборты	445	Черви	27
Абсцессы	74	Геморрой	267
Несчастные т лучаи	46	Водянка	267
Уныние	11	Гипертрофированная печень	187
Афта и зубная боль	40	Желтуха	43
Утопленники	34	Несварение	86
Утонувшие или умершие от голода выла,дентtecгве	1	Младенцы	2268
Старики	638	Летаргия	2
Ангина	7	Лунатики	5
Апоплексия	17	Укус бешеной собаки	1
Убийства	7	Умершие । а улице и от голода	6
Испуг	1	Тошнота	7
Рак и волчанка	10	Паралич	25
Шанкр	1	Кровотечения и язвы	28
Ишиас	1	Чума	8
Колики, калькулез и мочекаменная болезнь	56	Растерянность	13
Истощение	1797	Плеврит и заболевание селезенки	36
Судороги	241	Пустула и оспа	531
Отказ почек	5	Обожженные и обваренные	5
Депрессия	8	Грыжа	9
Обескровливание	3	Внезапная смерть	62
Зубы	470	Простуда и кашель	55
Дизентерия и кровоизлияния	348	Корь	80
Казненные и осужденные	18	Осложнения после родов	171
Цинга и чесотка	9	Самоубийства	15
Скрофулез	38	Сытной тиф и гипертермия	38
Горячка	1108	Метеоризм	13
Прерывающаяся лихорадка	43	Чахотка	34
Свищ	13	Опухоль легких	98
Гангрена	5	Ветряная оспа	6
Подагра	4	Оспа	12
Графики
Статистические данные определенной генеральной совокупности обычно группируются в таблицах, специально создаваемых для каждого отдельного случая. Но сообразнее найти такой способ, чтобы наглядно представлять визуальную информацию. Это достигается использованием графиков и диаграмм На графике представлены две перпендикулярные оси, сообщающие между собой две переменные. Например, демография определенной страны может быть представлена на графике, на горизонтальной оси которого отмечены годы, а на вертикальной — численность населения.
С толбиковая диаграмма более понятна, чем график. Высота каждого се столбика будет соответствовать числу жителей, находясь прч этом на уровне соответствующего года
Ширина столбика может быть любой, лишь бы она вносила в диаграмму наибольшую ясность. Важно чтобы все столбики были одинаковой ширины. В некоторых случаях удобнее использо-вать круговые диаграммы, получившие название «сыр» из-за их сходства с головкой голландского сыра. Например, если мы хотим представить
соотношение площадей разных континентов, то именно круговая диаграм-ма покажет это наиболее на1 хядно.
Азия
Европа
Северная Америка
Африка
Океания Южная
Америка
Частоты
, и распределения
\ Когда речъ идет о множестве \ статистических данных, це-i лесообразно поместить их I в таблицу, в которой они / будут сгруппированы по f классам и категориям. Например, в школе определяют рост в сантиметрах в группе из 100 учеников, затем строят
62
От пересчета к вероятностям
таблицу с данными, устанавливая для них определенные интервалы роста:
Рост	количество учеников
185—180	5
179—174	18
173—168	46
167—162	24
161—156	7
Это то, что называется таблицей частоты.
Для большей простоты мы создали в с.олбике гак называемый интервал группировки, определяющий нижний и верхний предел для каждой ipvn пн. Например, во второй строчке 179 см это верхний предел роста группы, а 174 — нижний, то есть интервал в каждой из групп равен 5 см. Средняя величина каждой группировки называется сред
Насеяение (миллионов человек) ГЕРМАНИЯ
Население (тысяч человек) КАТАР
Ч Одного вл 1ядл на. эти диаграммы достаточно, чтобы понять, какие факторы влияют на демографию страны. Например, Фи липпины — это типичная развивающаяся страна, а по тому пирамида почти север' шенной формы. В то время как в 1ерионии очевиден эф' фехт низкой рождаемости, а в Котаре значительное количество мужской части населения среднего возраста мигрирует, что объясняется нуждами нефтяной пром ышлекностн.
ним арифметическим выборки и получается посредством вычисления среднего арифметического мея^у верхним и нижним пределами. Если следовать этому, то среднее арифметическое выборки второй строчки равно (179 + 174)/2 = 17Д5.
Нарисуем систему координат, на ее горизонтальной оси отметим рост в сантиметрах, а на оси ординат — частоту (правая колонка нашей таблицы). Итак, мы получили гистограмму, состоящую из нескольких прямоугольников одинаковой ширины на горизонтальной оси, таким образом, что середина каждого столбика соответствует среднему арифметическому каждой выборки.
Ясли мы соединим все верхние серединные точки каждого прямоугольника, то получим пунктир, называемый полигоном ча^гез
Кривая частоты
Если данные, собранные для создания таблицы частот, относятся к генеральной совокупности, можно задать интервалы выборки столь маленькие, сколь это необходимо, чтобы полигон частот смягчился и принял форму волнистой кривой. На практике эти кривые частот принимают характерные формы, которые позволяют делить их на стандартные виды. Симметричные формы, или формы колокола, показывают нам, что те наблюдения, кот"рые отклоняются от максимума в одинаковом количестве, имеют одинаковую частоту. Это демонстрирует, что справа и слева от максимума находится одинаковое число случаев. В асимметричных распределениях, наоборот, появляется кривизна справа или слева. )-обра„ные кривые полностью асиммс гричны и представляют максимальное значение лишь с одной
Статистика
63
стороны, в отличие от U-образных кривых, которые показывают максимальное значение с обеих - I эрон. Если у кривой две Моды, т. е. две высшие точки на разной высоте, то речь идет о бимодальном распределении, а если более двух, то о полимодальном.
Мода
Понятие «середины» или «среднего значения» плотно укоренилось
▲ Такое размещение знаков
Самос простое из этих понятий — среднее арифметическое.
Например, даны числа 3, 14, 26 и 32. Чтобы рассчитать их среднее арифметическое, достаточно получить их общую сумму и разделить ее на их общее количество:
3+14+26 + 32
---------------= ’875
в популярной культуре. Вероятно, пото-
му что оно дает нам предстааление о том. что есть «норма» и насколько мы от нес отклони диск Мы говорим о средней скорости автомобиля, о средних оценках или о среднем балле за все время обучения в школе и т. д. В статистике величина, которая наиболее часто встречается и приобретает показательное значение в совокупности, носит название мода.
на компьютерной клавиатуре £ целью облегчения печатания было придумано Кристофером Шоулзом в 1867 году. Оно основано на частоте использования разных букв в английском алфавите.
Чтобы рассчитать среднее статистического распределения, необходимо использовать тит же метод. Если, например, нам необходим расчет среднего человеческого роста определенной генери 1ьной совокупности, то необходимо сложить их все и поделить на общее количество человек. Приблизительный способ сложения всех ростов в случае с уже рас_матриваемой нами школой состоит из следующих действий: взять выборку из каждого
▼ Один из первых случаев
па районам. Наибольшая
и бедный районам (34 и 3$)
примсненил с'папшсти
< чгрпшчсть соответствует
а паи чечыиая — самым
Смерть на каждую тысячу жителей
от 50 до 59
от I до 9 от 10 до 19 от 20 до 29 от 30 до 39 от 40 до 49
варианта рост а, умножит ь се на количество учеников, ей соответству юыих, и сложи! ь все факторы;
182,5 • 5 + 176,5  18 + 170,5 • 46 + + 164,5 • 24 + 158,5  7 = 16.990
Если мы разделим это на количеез во человек, 100, то получим средний рост, равный 169,90 сантиметра, немного выше, чем наиболее часто встречающийся рост. Для множества упорядоченных значений медиана определяется в качестве основного. В совокупности семи чисел 2,4,4, 8, 9 23, 32, медианой являе гея число 8. Когда в це нтре находятся два числа, то мсдиача высчитывается как среднее арифметическое обоих этих чисел. В случае с восемью числами 1, 3, 3- 5,7,12, 24,30 медианой было бы
2
Значение, появляющееся с наибольшей частотой в совокупности чисел, называется мода. Мода совокупности 2,4,7, 7,7,9. 23 — число 7. Могут встречаться совокупности, не имеющие моду или с двумя модами (бимодальные). Например:
2,4,34. 65,79 не имеет моду,
а 1,4,4, 4,6,9. 23,23,23.45,78 имеет две моды — 4 и 23-
В статистических распределительных кривых мо да — это значение или значения, появляющиеся с наибольшей частотностью. К заключению выводов на основе этих показателей необходимо подходить с крайней осторожностью. Весьма популярно следующее утверждение: «Если у нас
64
От пересчета к вероятностям
с тобой сеть курица, но ты один се съешь, то статистика будет утверждать, что каждый из нас съел по полкурнцы », что очеви и to показывает неправильное применение среднего арифметического. Если в коллекции платьев каждая модель имела бы номер: 2,3,7,16,22, 3-1,45.45.67.78,90,91.... модель 4 5 являлась бы самой модной, и мы не задумывались бы. в каком платье выхолить на улицу.
Некоторые законы распределения Статистика очень тесно связана с вероятностью, ведь то, чем она по сути занимается, это определение вероятной частоты событий. Например, информация в нашей табличке о росте ученн ков школы, показывающей, что 4'6 учеников имеют роет между 168 и 173 сантиметрами, может быть интерпретирована так. вероятность того, что один из учеников школы, выбранный наугад, имеет рост в ’тих пределах, равна О.чб. В типичных примерах, которые анализирует сеормя вероятностей, таких как подбрасывание монет или игральных костей, или шра в карты, вероятности можно определять, основываясь на симметрии ситуации ^все стороны кости одинаковы); статистика, наоборот, занимается пересчетом случай ныл величин Поэтому примечательно, что некоторые математически четко определенные законы вероятностного распределения ес гсствснным об-ра юм появляются в физическом мире и в повседневной жизни, и их присутствие подтверждает ся статистикой. Наиболее значимый и частотный закон — это так называемое нормальное распределение, или распределение Гаусса. Речь здесь идет о колоколообразной кривой, симметрично уменьшающейся в обе стороны о г максимального значения:
Вершина колокола соотвстствусттому. что мы на 1ываем средним значением, а ширина показывает нам частоту, с которой появляются отклонения от заданной нормы, таким образом, чем уже колокол, тем более редки значительные отклонс ния от нее.
Эта кривая настолько распространена, что уже вошла в определенный статистический « тдравый смысл». Она применима для многих ситуаций: распределение веса или роста внутри определенной возрастной группы; распределение IQ_ (коэффициента интеллекта): распределение толщины деталей в процессах механической обработки; распределение воздействия при длинней серии выстрелов, и т.д.
Огромное число значений обычно зависит от комбинации множества рискованных факторов. 11 хотя каждый из этил факторов сам по себе может не подчиняться обычному распределению, расчет вероятностей предсказывает, что если соединить многие из этих факторов или средние из них, то итоговое распределение будет гауссовским. Противоположностью распределения Гаусса является распределение Пуассона, пли распределение редких событий. Редкое событие может быть описано как случайное сочетание ра личных фаь торов или, что то же самое, как счастливая случайность. Распределение Пс ассона показывает нам, что такого рода событии управляются экспоненциальным законом, а это означает, что вероятность того, что произойдет редкое собы тие, уменьшается в геометрической прогрессии при увеличении его редкости. Например, вероят
А Эти лимодые .юди cUwm тесгп н.1 л.омрфпцмены ин-теллгът я. Хотя нешторые еамневлюмкя А его мелоере-шимоети. он имеет точное чолнчеетегняое знрлжение Регулы» гты при luupjKOU генеральной совокупности
.UWiJ HpU \i€pOM ХЛуС-СОВсКвгО КОлОКОЛОобраЗНвго распределения.
л Симеон Дени Пулаон (1781—1S40) —одною величайших имен в исте-
ность того, что на бирже будет зарегистрировано повышение цен в течение деся гы дней подряд — одна на кал дне четыре года, но вероятность того, ЧТО 310 произойдет в течение двадцати дней подряд — одна на четыре тысячи лет. Аналогичный закон экспоненциального типа в физике — это закон Больцмана, согласно которому любое тело, имеющее температуру выше абсолютного нуля, излучает энергию.
рим теории вероятностей первой половины XIX вгкл. Несмотря на то, что его труды ей гтывают многие центральные аспекты ?той науки, он прославил, я благодаря то му, что сам считал незначительной работой — р. ипределенык, получившему его имя.
Статистика
6U
Закономерности шанса
Наиболее интересным аспектом стати стики является оценка характеристик совокупности в целом в соответствии с выборочной совокупностью. Такое Следование от частного к общему базируется на основном положении теории вероятностей, опубликованном в труде «Искусство предположений » Якоба Бернулли (Г 13), — законе больших чи сел. Данный закон гласит, что относительная частота собы-
тия с увеличением числа произведенных опытов н проанализированных случаев каждый раз все Польше приближается к своей теоретической вероятности. В соответствии с этим можно было бы, например, узнать приблизительное содержимое урны с черными И белыми шариками без надобности се открывать. Н ;обходпмо лишь провести достаточно большое
А Оомпккл pjnopn{’o wow.j гшшогя аю/ыикя рлгнпн Яко* fit Бернулли. tfr.wARti IMWfM JJWHK WthtJU npfJtWMy определения играхшногтей
количество опытов по извлечению шаров и отмстить относительную многократность. Аура таинственности. которая окружает быстроту, с которой мы узнаем результаты выборов, рассеивается, когда нам становится понятен главный трюк: необходимо лишь опросить определенную доста-
черел пересчет сооытнн.
If роди ЯСЯ ЗЛКОН ЬОЛЬШНЛ чагег. бллгодлрч которому можно получать мпАгатм/г стагнистиче/ кае длниые посредством iiwjtt -л яы^ороч-
этошюто ♦
। Пара шуток о статистике:
* 20% людей умирает по вине табака. Но в го же время 80% людей умирает по другим причинам. Получается, что не курить хуже, чем курить.
♦ Статистик может поместить голову в горящую печь, а ноги — в лед, и сказать, что в среднем все хорошо
। 0 законе больших чисел великий русск/й математик Андреи Колмогоров говорил так: «Он порождает строгую закономепность, в которой случайное, в некотором смысле, исчезло».
। Термин «статистика» происходит от латинского status, что ознгчало политическое состояние государства. Лиц, обладающих знаниями об устройстве и состоянии дел в различных государствах, то есть государственных деятелей, политиков, называли statista (статиста).
ТОЧНО многочисленную группу голосующих, вы- пой совокупности. бранных наугад. Тем нс менее, неопределенность
никогда нс исчезает полностью, хотя и становится достаточно небольшой с практической точки .зрения. Расчет резулыататов. которые можно получит! путем случайной выборки, при условии что кандидат набирает, предположим. 39% голосов, всегда следует вести в следующем порядке: << Есть .у % вероятности, что процент голосующих, под-
▼ J ченыс. мгнимлвшнесл внедрен нс и сшатнстн ча ки v истодов в сацнавгмые нлука а пая. югн/о: n,tp Кетле (спрмы) и Фрикасе Биыион (в центре).
держпвдющих кандидата, будет равен 39%, с доверительным интервалом у %». Это означает, что у нас есть х % уверенности в том, что процент голосующих от общего количества и от дающих свои голос за данного кандидата — между 39 + v и 39 -у. Надежность мето да обеспечивается тем, что количество элементов данной совокупности делает .д- максимально высоким (обычно порядка 95%), а интервал доверия — максимально низким.
Краткая история статистики
Статистика появилась почти в одно время с расчетом вероятностей, хотя и в совершенно ином контексте. Первым статистиком был английский коммерсант Джон Граунт, опубликовавший подробный отчет о жизни в Лондоне (см. вставку).
Благодаря этим и другим подобным таблицам, математики, такие как астроном и статистик-любитель Эдмунд Галлей (1656— 1742), стали обладателями богатой базы данных, дававшей возможность применить теорию вероятностей на практике для предсказания будущих событий, а страховые компании смогли начать свою трудовую деятельность. В1733 году французский математик Абрахам де Муавр (1667—1754) открыл нормальное распределение, которое Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) изучал и объяснил спустя десятилетия. Ведущей фигурой статистики первой половины XIXвека был бельгиец Адольф Кетле <1796—1874), который, с его homme тоуеп, ввел понятия статистики в психологии и социологии. Последователем
Кетле был Фрэнсис Гальтон '1822— 1917), кузен и друг Чарльза Дарвина, который прос одил исследования по	’л
генетике и отстаивал наследствен-	«
ность гения. Но то, что он открыл, оказалось, напротив, «регрессией к середине»: большие отклонения относительно средней величины, например, появление большого индивидуального таланта, не сохраняются из-за случайных векторов в последующих поколениях. Расчетом вероятности наследования занимался также Карл Пирсон (1857—1936), кроме! того, он изучал особенности корреляции между переменными и параметры эмпирических распределении через теоретические кривые.
Чарльз Бэббидж был пионером автоматизированного счета. Он не дошел до конца в создании ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ СКОРЕЕ ИЗ~ЗА ПРАКТИЧЕСКИХ ОШИБОК В РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЕКТА, НЕЖЕЛИ ИЗ-ЗА НЕСОВЕРШЕНСТВА ТЕХНОЛОГИЙ ТОГО ВРЕМЕНИ.
«Отец» компьютеров
Чарльз Бэббидж
Чарльз Беббидж родился 26 декабря 1791 года в Лондоне. Его родите ли — Бенджамин Бэббидж, бан кир, и Беатрис Плюмлайт Тип — при надлежали к высшем! классу буржуазии. Он обу чался в Триниги Колледже в Оксфорде, и вскоре заинтересовался математикой, особенно исчислением бесконеч но малых Ньютона и дифференциальным и интегральным вычислением Лакруа. Бэббидж был одним из основателей Ана литического общества (1812) и Астроид мического общества (1820).
I Невероятно широк был Kpvi интересов Бэббиджа, и почти во всех сферах он преуспел. Он был пионером в создании различных ноу-хау, таких как установка
шой точности, специально сделанные часовщиками. Через четыре года после начала рабехг Бэббидж потратил в 50 раз больше денег, чем ему было предос гавле-но, а машина 1ак и не работала, ио большей части из-за механических проблем. Бенджамин Дизраэли, занимавший в то время пост премьер-министра, остановил проект, произнеся перед английским Парламентом лапидарную фралт «Единственное, для чего может служить этот аппарат, так это для расчета тех огромных сумм обществе иных денег, что были на него растранжирены».
Универсальность идей
Бэббиджа это не остановило, и он начал
электронных ламп в домах. Одно из лучших его изобретений — путеочиститель, или скотосбрасыватель — устройство, смонтированное на передней части локомотива для удаления с железнодорожного пути любых посторонних предметов: скота, снега, веток деревьев (п< рвый путеочиститель, использованный в Великобритании, был прихуман им). Он также написал руководство по страхованию жизни. Его работа о разделении труда была рассмотрена и затем доработана Джоном Стюартом Миллером, а эссе о технологиях производства на заводах оказали влияние на теорию капитала Карла Маркса. Понимая, как в свое время Непер, бесполезность и объем временных затрат, которых требовали математ нческие расчеты, он посвятил свою жизнь созданию ручной вычислительной машины.
Разностная машина Чарльза Бэббиджа
Пробная модель разностной машины, которая была способна решать квадратные уравнения, была построена Бэббиджем в 1821 году. Затем, по ходатайству Е ролсвского общи гва. Британское правительство предоставило Бэббиджу субсидию в 1500 фунтов стерлингов для создания полномасштабной работающей машины. Бэббидж имел достаточно крупное состояние, более ста тысяч фунтов, унаследованных после смерти отца. Первоначал) но машина была сделана из латуни, состояла из 96 колес, 2ч осей и весила две тонны. Кроме этого, были различные детали боль-
Л Дазерротин Чарльза Бзо-биджж. вЫПО 1НГННЫй при черно в	С юности
члтсм.яшик.г бп покоило большое количество ошибок, содержмцихсч в вычигли-
разработку нового устройства, которое напоминает современный программируемый процессор: контролируемый ввод/вывод, процессор, опера-
тивная память, принтер и последовательность инструкций, контролируемая посредством пер-фокарт. Ада Лавлейс, покоренная « универсаль-
тельных тл&лицлх того времена, и Бэббидж стал одержим идеей механизации pin четок, чему и not вхтмл нею свою жизнь.
костью идеи», о которых Бэббидж говорил на всех посещаемых им собраниях, полностью отдалась разработке
Общий и детальный вид разностной машины Чарияа Буобиджщ пригнанной компьютерными историками перлы.» автоматическим калькулятором. Инженер (жозеф A tew пт закончил работу над ней е 1832 году после одиннадца т и t ет у север* шенетмваннй и изменений, которые Бэббидж- внес tr первоначальный нлян.
Иэбби&к (I "9/—18~1)

новой аналитической машины. Бэббидж так и не смог уви деть окончательный вариант машины, поскольку умер 24 октября 15S71 года, в самом разгаре работы над ней.
Факт того, что Бэббидж намного опередил свое время взрас гид в нем мизантропию. За десять лет до своей смерти он заявил, что ни дня не был счастлив и с удовольствш м поменял бы все те годы, что ему остались, на три дня жизни через 500 лет.
Говард Хатуэй Эйкен, бывший в 19чч году директором проекта МАРК I — проекта по созданию первого компьютер т, однажды сказал « Если бы Бэббидж жил на 75 лет позже, то я бы остался безработным ».
Блестящая помощница
Лда Августа Байрон, графиня Лавлейс (1815— 1851), или Леди Лавлейс, была первой женщиной в истории, связанной с развитием компьютеров. Она бг 1 да дочерью английского поэта Лорда Байрона. Через несколько недель после своею рождения девочка осталась под попечительством матери. Леди Байрон, которая уже решила ра (водиться со своим мужем. А да начала у читься математике в I7 лет. На одном ужине она познако мп л.кт, с Бэббиджем и впервые услыша са о его знаменитом проекте ана литической машины. Она превратилась в абсолютного приверженца «дела Бэббиджа» и уже в 28 лет написала первые в мире вычислительные программы для аналитической машины. Одной из самых новаторских ее мыслей была идея ввести последовательность инструкций, предназначенную для мнсгЬкрат-
ного исполнения, позже получившую название «цикл». Для реализации проектов она прибегла к поддержке своего супруга, который, кроме всего прочего, помогал ей следить за их гремя детьми. Ада Лавлейс, которая продала все свои драгоценности. ч гобы помочь Бэббиджу в воплощении ci о проекта, умерла от рака, провоцировавшего ужасные боли, в возрас те 36 лет. Ес идеи были подхвачены Аланом Тьюрингом гг Джоном фон Ненма ном, двумя отцами современных компьютерных технологий. В 19^9 году Департамент Обороны США ра (работал компьютерную программу. производную от Паскаля, которую назвали «Ада», в память о топ, которую можно считать первой женщиной в истории программирования
л /Zspwpmi .дды. Ьм <™с, выпе ииииый пришли катионов 1838 году, через и/гупэь-ко trm яст miuiumtu c Ч-tp илом Ьзпбиджел/ и его проекте н. Дочь гчгсийского позт i-рочантикл It рд,г Байрона, она пыталась совместить свои творческие порывы г лил, итичегки ни епособнвстг/т стр чтась создать, с tedyv ее собственным . совам «поэтическую науку *•. Раннчя сссерть придала ее биографии некий ром ентнческий ореол, а се вклад в работу над ана енти-4ft кои пашиной Бтбндма нагвалей т на team о иодной из вс шчлйшик чсснщин-уче Лак в истерии.
ЭТО тооо
Бэббидж был предшественником дендрохроно логии — одной из методик датирования археологических находок и древних предметов, основанной на исследовании годичных колес древесины.
। Чарльз Бэббидж, который ребенком пытался вызвать дьявола, находясь внутри круга, нарисованного собственной кровью, впоследствии не перестал интересоваться паранормальными явлениями и уже будучи взрослым создал «Клуб духов.» для сбора информации о сверхъестественных феноменах.
В конце своей жизни Бэббидж глубоко ненавидел уличных музыкантов, по отношению к которым у него развилась настоящая мания преследования. Ученый писал письма вТпе Times с рассказами о преследованиях со стороны шарманщиков, которые якобы угрожали его работе.
Мир, в котором мы живем, имеет форму сферы, и то же самое можно сказать о небесном своде. Если МЫ ПОПЫТАЕМСЯ нарисовать на сферической поверхности знакомые геометрические фигуры, ОНИ ПРЕТЕРПЯ1 ЗАМЕТНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ
Сферические треугольники
Когда прямые искривляются
Если бы двухмерное существо, живущее на сферической поверхности, решило нарисо вать треугольник, то должно было бы начать с прямых. И для него, как для обитателя плоского мира, прямая была бы кривой маленькой протяженности между двумя точками. На сферической поверхности эти «более прямые»? линии, которые обычно называются геодезическими, — боль-
В сферической геометрии ситуация несколько иная, так как стороны сферического трсуго сьника можно измерить единицами для измерения дуги.
шис круги пересечения поверхности с плоскостями, проходящими через центр. Таким образом, сферический треугольник — часть сферической поверхности, ограниченной тремя большими кругами, при условии, что размер каждой из дуг меньше 180 градусов.
Плоский треугольник
Сферический треугольник
В принципе, можно было бы измерить стороны этих трее гольников в метрах, километрах или морских милях, как и де сается при расчете расстояний на земной сфере, но это не лучший
Диэдры (двугранны* углы)
В рамках сферической геометрии, которая изучает фш уры, погруженные в трехмерное пространство, рассмотрим понятие угла. Так же как и плоский угол — это часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, угол в трех измерениях определяется как часть пространства между двумя полуплоскостями и называется двугранным
Двугранник угол
углом. Например, с гена и потолок в комнате являют собой двугранный угол, который, как правп со, прямой (90 градусов), а если угол образуется между стеной и нак лонной крышей — это ту пой угол (больше 90 гра ус сов).
Измерение углов и сторон
В плоской тригонометрии углы измеряются в градусах, а стороны — в сантиметрах, метрах или других единицах длины
Задача про 1меди<!дя
Исследователь пошел на охоту. Выйдя из лагеря, он прошел 10 км на юг, затем 10 км на запад и, в заключение, 10 км на север, в конце пути он замечает, что снова пришел в лагерь, а в своей палатке встречает медведя. Какого цвета медведь?
Предположим, что исследователь выходит с Северного полюса. Тогда первые 10 км пути, АВ, он проделывает, следуя меридиану, затем, ВС, — по параллели, а последнюю часть, СА, — вдоль другого меридиана, который закрывает сферический треугольник на Северном полюсе. Речь идет о сферическом треугольнике, длина каждой из сторон которого равна 10 км Получается, что медведь белый.
Это решение. Но единственное ли? Есть ли еще точка на земном шаре, от которой, проделав подобный маршрут мы придем в точку отправления? На самом деле — да. Речь идет о точке Р, находящейся на расстоянии 11592,35 м от Южного полюса. Если мы пройдем 10 км на юг, то придем к другой точке Р', находящейся на расстоянии 1592,35 м от полюса. Итак, это радиус окружности с периметром, равным именно 10 км. Поэтому, если мы пройдем 10 км на запад то вернемся к точке Р', а если пройдем 10 км на север, то снова придем к точке Р.
31
A Появление и ра чистке трнгонометричес кик таблиц, со временем становившихся все бЬлгг точными, облегчало работы по геодезии и созданию карт. На рисунке показана мера триангуляции буен меридиана в Перу. Работа французской лкспеди-цин начала ХГТН в.
вариант, когда речь идет о геометрических решениях задач, задаваемых фигурами такого вида. Самый естественный способ измерения сторон сферического треугольника — в градусах (или в любой другой мерс измерения дуги). Причина заключается в следующем; представим себе плоский угол, например, в 60 градусов, и рассмотрим часть дуги, которая определяет единичную окружность. Гак как сторона сферического треугольника — эго часть большого круга, то естественно измерять его таким образом, учитывая, что он определен центром окружности. Для измерения углов нам необходимо измерить диэдры, которые его определяют. Две плоскости которые при пересечении с поверхностью сферы формируют сферический треугольник, образуют диэдр. Из этого следует, что размер угла, образованного этими дв) мя сторонами, определяется размером диэ дра, его формирующего.

Градусы и длины Когда мы говорим, что дуга АВ равна 60 градусам.

мы ничего не говорим о длине этой дуги. Тем более что угол дуги CD тоже равен 60 градусам. И при этом прекрасно видно, что длина дуги CD больше, чем длина АВ. Предположим, что меньшая из двух окружностей имеет радиус г. Дугу АВ можно определить посрсдст вом перекрестного умножения: если 360 градусов соответс.ву ют длине всей окружности (2тгг), то 60 градусам будет соответч вовать длина
60  2ят яг
360	3

то есть длина одной трет» — тг раз радиуса, о котором идет речь, Если мы говорим об окружности, радиус которой равен одному сантиметру, то дуга, равная 60 градусам, будет иметь длину 3,14/3 = 1,046 сантиметра, и если бы речь шла о дуге меридиана через поверхность земли, го эта длина составляла бы около 6700 километров. Тем нс менее, в сферической тригонометрии мы заинтересованы нс столько в измерении длины, сколько во взаимоотношениях между углами и сторонами. Это и есть одна из причин, по которым мы всегда । сворим об окружностях и сферах единичного радиуса. Арабские матсмагики в конце VIII века ввели значение г = 1 и дали современную форму тригонометрическим функциям.


Л0 IHMO
Уже в конце X века арабские астрономы знали шесть тригонометрических функций и докаэа ли несколько основных теорем сферической тригонометрии. Главной целью эгого. кроме .измерения времени, была возможность найти направление к Мекке из любой точки
DOCTI8BIMI VIRf ЕТ МАТНЕ. ditapllfiamm cximfj profefiofij
IOANNIS DE RE'
GIO ИОЯТ1 J7U ТмАЦСШ! DUHl* J1ODU	qjdklv»:
Qrrftro орЬфхтт re nwdTanse cogranj,»jteuit*rt *1 faa tfstnirt	Ч*гшп	mj druaii-
rtfODsr сцтпийрнаЫл hoc ctmporc cxpoGrx l^tiHMH^tiruftra Gru: huum пЦш qiulquam jtlpirsru.
►	питой книги
главного труда Региомонтана «О всех видах
треугольников .
ДцдДищ kg Inola plenty D NjccbiCMrfi Зе Qua dnmnctr^-^Ddpafld « a™ «гашпЬпВаос bnWj In Jr mmRtgfo adandc я UqA, E hxfa и^опшмрвЬЙо а
Огромное достижение Региомонтана со поит ’ подробном описании кометы, которая будет откр> гта заново через 270 лет английским астрономом Галлеем Но он совершил и oi ром-ную ошибку сказав с абсолютной непримирим гостью, что Зэмля нг ДБИжетср
Лучшее от Сэма Лойда
Человеческие задачки
1.	Заболевший племянник
Вот небольшая задачка о родстве, ответ на которую очень любопытен Дядя Рубен поехал в большой юрод повидать свою сестру Мэри Энн. Они вместе прогуливались по улице, когда увидели небольшой отель. «Прежде чем попрощаться, — сказал Рубен своей сестре, — мне бы хотелось остановиться ненадолго и справиться о своем больном племяннике, который живет в этом отеле».
«Хорошо — ответила Мэри Энн, — так как у меня нет никакого больного племянника, о котором я должна беспокоиться, то пойду домой. Мы можем продолжить нашу прогулку после обеда».
Какое отношение имеет Мэри Энн к этому загадочному племяннику?
2.	Человек с мотыгой
Следующая задачка очень проста, она лишена математических сложностей, и я даже сомневаюсь, загадывать ли се вам. Без сомнения, как в поэме Эдвина Маркхама, она дает пищу для интересных рассуждений.
За пять долларов Хоббс и Ноббс согласились засадить картофельное поле фермера Шоббса. Ноббс может засеять одну грядку’ картофеля за 40 минут п засыпать борозду с такой же скоростью. Хоббс, в свою очередь, может засеять грядку картошки всего лишь за 20 минут, но за то время, пока он засыпает две борозды. Ноббс засыпает три. Предположим, что оба мужчины работают непрерывно каждый на своей борозде, пока не засеют все поле, и, как видно на иллюстрации, на поле 12 грядок. Как поделить пять долларов, чтобы каждый из трудяг получил вознаграждение в соответствии с выполненной работой?
3.	Полковник, который играл в шахматы
Во время поездки в Санкт-Петербург я познакомился с Чигоринским — русским шахматистом, который рассказал мне, что с началом русско-японских военных действий его назначили командиром армейского подразделения, состоящего из 20 полков непрерывно пополняющегося состава. Каждую неделю добавлялось по 100 человек в каждый полк. В последний день каждой недели полк, насчитывающий наибольшее количество солдат, отправлялся на фронт. Получилось так, что в момент, когда первый полк насчитывал 1000 человек, второй — 950, а третий — 900, и так последовательно на 50 меньше в каждом вплоть до двадцатого полка, где было всего лишь
А Отгадайте, как mjdr.iu.trt OMpyvxy jmu двое работы.
50 человек, генерал Чмгорннскпй узнал, что полковник пятого полка (гдебыло 800 человек) был .хорошим игроком в шахматы. Итак, чтобы предотвратить его отправку на фронт, что должно было произойти пятью неделями позже, генерал прибавлял в гот полк еженедельно по 30 человек вместо 100, как во все другие полки. Учитывая, что таких полков было 20, можете ли вы сказать, сколько недель прошло до того момента, как полковник-шахматист все-таки был отправлен на фронт?
4.	Полицейский математик
«Хорошего вам дня. офицер, — сказал господин МакГуайр. — Вы не могли бы мне сказать, который час?». «Я могу это сказать абсолютно точно, — ответил агент Клэнси, который был любителем математики, — прибавьте четверть времени между полуночью и временем сейчас к половине времени между сейчас и полуночью, и вы узнаете, который час». Можете ли вы подсчитать, сколько времени было, когда происходила эта интригующая беседа?
5.	Старый маяк
Туристы, которые решили провести летний от пуск на побережье Джерси, смотрят на старый маяк Бикон в Пойнт-Лукаут. Прослуживший более половины с голетия маяк находится на последней стадии разрушения.
Данная иллюстрация была сделана с эскиза, которому более 50 лет, а предоставил нам его 96-лстний местный житель.
21
Он вспоминает, что башню построили во времена его детства. Вее жители очень гордились тако* постройкой, и лишь немногие сомневались, что эта баш ня не ниже Вавилонской. Сейчас от башни осталась лишь иолу разрешенная колонна 60 футов в высоту, а лестница сгорела при ио жаре более 20 чет назад. Раньше высота башни сое гавляла Я00 ф\ тов — эта цифра тафиксирована в официальных документах.
В течение более одною века при упоминании высокого здания в Нью-Йорке не аильзовали поговорку: «Так же высок, как шпиль Церкви Троицы». Но времена изменились, и вот уже капеллан церкви жалуется на то, что па шпн хь колокольни падает
мусор из соседних офисных зданий. Центральным основанием маяка являлись гигантские мастерски смонтированные колонны, вокрт г которых обвивалась лестница с железной балюстрадой и перилами. Эти перила опоясывали колонну чстыреж ды (как показано на картинке). Каждая ступень имела опору, а так как опоры имели дистанцию в один фу г, то определил, количество ступеней не составляет никакого труда. Однако, со слов капитана Хаффа, предоставившего нам иллюстрацию и историю этой башни, «не было ни одного че-
A	ItOyUlWA. в 1УПЛ-
ловека из тех, кто приезжал сюда на лето, кто бы смог правильно ссччитатьс!} иегш». Итак, резюмируем полученную информацию: башня имела ,00 футов в высоту от первой до последней ступени металлические перила четырежды опоясы вали башню и опоры, одну на каждую сттпеньку на расстоянии один фут. Сюда стой г добавить ди амстр всей башни (то есть мнимого цилиндра оси винта), равный 23 футам и 10,5 дюймам. Запомним, что в одном футе 12 дюймов). Сколько ступеней в винтовой лестнице?
Решения
1.	Мэри Энн являлась матерю больного мальчика.
2.	Если Ноббс может посадить грядку картофеля за 40 минут, то чтобы засадить все шесть грядок, ему понадобится 240 минут. Так как он закрывает их с такой же скоростью, то чтобы закончить свою часть, ему потребуется 480 минут, или 8 часов. Хоббс, работая на других шести грядках, засадил бы их за 120 минут (одна каждые 20 минут), а чтобы закрыть их — еще 360 минут, то есть всего 480 минут, что равно 8 часам. Каждый из мужчин выполнит одинаковую работу за 8 часов. Таким образом, каждому из работников причитается по два с половиной доллара
3.	Пятый полк игрока в шахматы перегонит все остальные 19 по численности солдат, их станет 1370 человек. Будет
необходимо 18 недель, прибавляя понедельно по 30 человек, чтобы количество солдат в этом полку превысило 1900 необходимых для отправки на фронт человек; таким образом, правильный ответ— 37 недель и 1910 человек.
4.	Разговор проходил в 9 часов 36 минут потому как четверть времени, прошедшего с полуночи — 2 часа 24 минуты. Прибавив эти цифры к половине времени, оставшегося до полуночи (7 часов 12 минут), получим 9 часов 36 минут. Если бы МакГуайр не уточнил, что разговор происходит утром, тогда правильным ответом можно была бы считать и 7 часов 12 минут вечера.
5.	Если нарисовать диагональ на прямоугольном листе и затем свернуть лист в форму цилиндра, то диагональ превратится в спираль вокруг этого цилиндра.
Другими словами, спираль, опоясывающую колонну, можно рассматривать в качестве гипотенузы прямоугольного треугольника В нашем случае это прямоугольный треугольник, четырежды опоясывающий колонну. Основа этого треугольника в четыре раза больше окружности цилиндра (п на диаметр на четыре), чья сумма чуть больше 300 футов. Это также и высота башни, что является совпадением, потому как высота абсолютно не вовлечена в решение нашей задачи. Также не надо учитывать длину лестницы. Ведь если ступени расположены на расстоянии один фут и находятся в основании прямоугольного треугольника, то такое же число даст и разделение по гипотенузе вне зависимости от длины. Так как основание нашего прямоугольного треугольника равно 300 ^утам, го и ступеней в винтовое лестнице тоже 300.
22
Будучи классической среди игр такого рода, эта головоломка занимает отдельное место в истории игр. А в свое время она привлекла к себе такой интерес общественног ти, что стала настоящим СОЦИАЛЬНЫМ «БЕДСТВИЕМ».
Пример простоты и изобретательности
Пятнашки 16
Основной прием, используемый в этой головоломке, — механическое перемещение сегментов. Ее цель состоит в том. чтобы, передвигая помещенные в квадратную коробку пронумсрованньк фишки (но не вытаскивая 11.x), расположить их пи порядку номеров.
Великий выдумщик
Сэм Лойд (1ST I — 1911I Был главным изобретателем задач и загахок в истории США. Известный автор задач Мартин Гарунср описывал его так. «Высокий, худой, молчаливый индивиду а лиса, обладающий большим и способностями к заклинаниям, пантомимам, чреновс щанпю. шахматам
► СзмЛойд flXJl— I9H), великий гюпул чрн tamop игры «Пчтнашкн J6*», легенда разе <екатезьнон на тем. I ти к и. 1 it к im чител ьно п юдовнтыв автор, он глиД/ f огромное количествораз-
в trveHuu — от шахматных задач до различных игр и предметов, способных на
V Наша игра предельно про-tma. Когт,чшки не могут быть извлечены, и единственное, чям ра ^решено — зто передвигать их внутри коробки. Естественно. передвигать их можно только на одну единственную свободную ячейку.
► JhxWfflBmKf Обман-чнвыеослики^, одно из м лнчайшнх изобретений O.w.1 Лойда. Непбходи по ъитлвнть шло: усталых at tuxoe галоннро^ть под всадниками, правильно скомбинировав все три картинки. Вы можете попробовать решить зтот ребус, л .можете посмотреть отгадку а конце статьи.
и быстрому вырезанию силуэтов из черной бумаги». Его страсть к шахмлгам* игре* в коюрую он начал играть в десять лет* не позволила ему блистать на турнирах, но сделала его очень популярным изобретателем оригинальных шахматных задач. В детстве он заинтересовался математическими загадками и изобретением удивительных и парадоксальных задач. Одна из самых известных — Yrffi’ Donkeys, или «Обманчивые ослики», которая была изобретена им еще в юноше-
скис годы и вскоре принесла ему немалый доход. Хотя «Пятнашки 16» и появились несколь-
неверо.чтные преврл/ценн ч.
кими годами ранее, но настоящий успех пришел к ним только в 1878 году с легкой подачи Сэма Лонда — его «Головоломки 14—15» сразу же произвели фурор и стали известны за пределами страны. Говорят, что всюду можно было видеть людей, играющих в них: в поезде или в офисе (в рабочее время шрать запретили), в Немецкой законодательной Ассамблее (в Рейхстаге) и в Париже, в городе и в деревне... Лойд предложил премию в тысячу долларов тому, кто сможет решить задачу «14—15»- Многие говорили, что решили ее, но нс могут вспомнить ходы. На самом деле у задачи не было решения, что было прекрасно известно Лойду. 11менно по згой причине ему отказали н выдаче патента на изобретении. Однако игра существует и ио сей день, и «столько в нерешаемой версии, но и в комбинациях, которые решение имеют.
В чем заключается игра
«Пятнашки 16» — неглубокая коробочка с шестнадцатью ячейками и пятнадцатью
37
костяшками, пронумерованными от 1 до 15 в возрастающем порядке, слева-направо и сверху-вниз, и одна свободная ячейка, предназначенная для того, чтобы иметь возможность их передвигать (из игры изымается костяшка номер 16).
Необходимо нарушить порядок фишек и вернуть
их в прежнюю позицию за наименьшее количество ходов. Идея «14—15» Сэма Лойда — не более чем еще один из вариантов игры: начав с основной позиции, надо поменят! 14 и 15 мес гамм, не нарушив при этом порядок остальных фишек что является невозможным.
Некоторые версии игры нс позволяют извле-кать фишки из рамки, таким образом всегда возможно вернуться на старую позицию (всего лишь приделав все ходы в обратном порядке). Но да-я е если мы и достанем костяшки — как в данном случае — и переложим их в произвольном порядке, у нас нс будет никакой гарантии того, что в игре появится решение. Один из вариантов « Пятнашек» — игра с восьмью фишками, в которой мы молем играть во внутренней части, оставив недвижимыми костяшки на сером фоне. Есть вариант игры, где можно поменять порядок чисел от одною до восьми (так, я гобы порядок изменился с восьми до одного) в наименьшее количество ходов (можно достигнуть в 30 ходов).
WMlWH* ПрС-краиреш patiumy, чпки/ы paicm. itiumt» 14 it ! $ пи toulm местам. 7а*.. на рисунке того времени имтразкены терзания крестьянина, пытающегося решить гаммныимлу Сзм.г Лондл.
Игра с перемещениями
Давайте посмотрим, какая самая простая последи вательность движении нс изменяет расположение свободного места на игровой дощечке. Ограничимся группой из трех фишек и сформируем из них квадрат с одним свободным мес 1 ом. Например:
Меняя эти фишки местами, возвращаем свободное место на его изначальную позицию посредством елед) ющих шагов:
Если мы позволим себе вытащит» фишки из коробочки, то тот же результат может получиться при
Пятнашки 16
амене двух пар фишек. Первый шаг — это взли мозамена фишек I и 2, а затем — фишек 3 и 2:
Любая точная последовательность движений (при передвижении фишек) равносильна перестановке фишек (поднимая их), что в теории групп называется транспозицией. Представим как (л, / транспозицию фишек а и Ь. Например, (1 2) (2 3) — последовательное применение двух прсды-А) щих транспозиции. Так как самая простая по
слсдоватсльность взаимозаменяет две пары (это эквивалентно двум транспозициям), общее их количество всегда будет парным. Это говорит о том, что если число транспозиций нечетно, то задача не имеет решения. Но решение негарантировано и в случае с четным количеством транспозиций. Без сомнения, хотя мы этого и не продемонстрировали, условия задачи также достаточно, чтобы убедиться в существовании ее решения.
Позиции, имеющие решения
С 'кажем, что позиция имеет решение, если от нее мы можем попасть на изначальную позицию или, что то же самое, от изначальной позиции обратно. Убеди 1 ься в том, что необходимое количество транспозиций парное или непарное, не всегда
Четность как и н ва риантность
Анализ «Пятнашек 16» дает нам два основных понятию четность и инвариантность.
В математике следует знать инварианты объекта, прежде чем подвергать его определенным изменениям. Речь идете сохраняющихся свойствах или о числовых выражениях, которые являются постоянными, когда к ним применяют одно или несколько последующих преобразований. Например, цвет клетки слона на шахматной доске инвариантен не зависимо от передвижения фигу ры. R случае с конем цвет клетки, на которую он встает, меняется:
Если если мы хотим разрешить задачу хода конем, где он должен пройти по всей доске, встав на каждую клетку только один раз, то мы обязательно закончим в клетке другого цвета, нежели в той, с которой начинали движение. Количество необходимых движений равно 63, ведь мы не должны считать первую клетку, так как она нечетная. Если бы на доске было 7 клеток по краям, то мы бы заканчивали на клетке того же цвета, как та с котор >и начинали движение. Итак, чтобы ход конем по всей доске закончился в клетке того же цвета, что и начальная, доска должна иметь нечетное количество клеток.
Посмотрим, как можно использовать четность как инвариантность в жизни. Представим, что на экзамене нам необходимо ответить на десять вопросов теста посредством выбора одного из вариантов. Каждый правильный ответ прибавляет один балл, в то время как неправильный — отнимает. Вопросы без ответов не считают^ Проходными являются пять баллов. На сколько вопросов ответили бы вы?
Не меньше пяти (даже если вы не знаете ни одного ответа)! В ином случае вы просто не сдадите экзамен. Кроме того, вам необходимо ответить на нечетное количество вопросов. Если мы складываем два числа одинаковой четности (оба четные или оба нечетные), результат всегда будет четный. То же самое происходит, когда мы их вычитаем. Это подразумевает, что если мы ответим на четное количество вопросов, то получим четное количество баллов. В частности, никогда не будет точно пять, так что если бы мы ответили на вопрос больше (или меньше), то ничего бы не потеряли: если бы проходной балл был шесть, то мы бы не рисковали ничем, а если бы был четыре, то имели бы возможность сдать экзамен.
Пример простоты и изобретательности
39
легко. Приведем еще один способ, чтобы определить. какие позиции имеют решение, что, кроме того, позволит кам еще pus броеиг ь вызов Сэму Лойду.
11ервым делом надо заметить последовательность чисел, которая получается при пересечении поля способом, показанным на рисунке.
Таким образом, направление нашей цепочки следующее: 1 —2— 3—ч—8—7 —6—5—9— 10— 11 — 12—15—14— В.
Затем подсчитаем число последовательных пе
рестановок, то есть сколько пар чисел расположено таким образом, что большее стоит перед меньшим. В случае с объективной последовательностью число 8 предшествует трем меньшим числам (7,6 и 5), число 7 — двум числам (6 и 5), число 6 — одному (5), 15 — двум (14 и 13) и 1ч — одному (13). Следовательно, полное число перестановок равно 9.
11- наконец, у нас есть критерии, позволяющий определить, какая позиция возможна для «11ят-нашск 16>': Можно перейти с одной полиции на другую лишь в той с сучив, если число перестановок ь обеих позициях имеет одинаковую четность, то есть либо они обе четные, либо обе нечетные. Так как это начальная позиция, то она имеет нечетное количество перестановок, то есть мы можем прийти к ней только с тех позиций, которые также имеют нечетное количество перестановок. Это объясняет, почему невозможно помспяч ь 1ч и 15, ведь в этом случае номер для перестановки четный. Действительно, перестановки одинаковы, как и в начальной позиции, кроме номеров 14— 15, а потому окончательное чис уо перестановок равно восьми.
Простое доказательств1
Мы увидим, что после любого движения количество перестановок продолжает быть четным или нечетным, в зависимости оттого, какие деп-
ф
С1 вия привели к этому Другими словами, мы покажем, что четность количества перестановок — это инвариант движения. Для начала убедимся в том, что боковое перемещение не изменяет персе гановкн, так как его движение ограничивается фишкой относительно пустого места, что не имеет воздействия на числовую цепь, которую мы строим. Теперь рассмотрим эффекты вертикального движения и проверим, что в этом случае сохраняется парность перестановок.
В такой позиции:
перемещение вверх чет верки заставит отстать четыре следующих позиции. Это происходит от 1—3—12—9—7—4—15—5... до 1—4—3— 12—9—7—15—5... Мм могли бы просчитать количество перестановок до и после передвижения, но удобнее считать, какие передвижения остались, а г акие исчезли. Единственное новоч. перемещение — эю 4-—-3, в ю время как перемещения 12- -4, 9— t и 7—1 еже не производятся. 11а имин деле все, что происходит теперь С четными фишками, —. п о то, ч го раньше было перестановкой еще до начала движения, а сейчас нереста со ею быть, и наоборот.
Являясь всеобщим, движение eiioeobe твовало тому, чтобы стало на две персе гановкн меньше, таким ойразом, парность перестановок сохранЯ' ется. Относительно позиции пустого места может быть Q, 2, 4 или 6 фишек, на которые повлияло движение, то есть фишка, которая двигается, может обгонять и отставать на 0, 2, 4 или 6 мест В юйом случае, если это парное число, эм рлзни ца в количестве перестановок между первоначаль н< .1 и окончательной позициями до окна обязательно быть парной
4 )трешение шлменишой JWlAn ItUldu обпбчлнчивых осликах. Как оы мочееии видено, н.1 изображении.
ра. алел тогарбилбсил .1ийда доспс птнш прияи и xtcmpny инл.
D^AGOSTINI ПРЕДСТАВЛЯЕТ
Пропустили выпуск любимой коллекции?
© Просто закажите ег на сайте
www.dea^ostini.ru
Для украинских читателей:
заказ возможен на сайте www.deagostini.ua или по телефону горячей линии 0-800-500-8-40
В следующем выпуске через 2 недели Овальный танграм
Числовая ось
Числа как геометрические точки
Апостол точности
Огюстен Луи Коши
Теория очередей
Математика заторов
Спрашивайте	. Г А ~	,
Лучшее от 1енри Э. Дьюдени
в киосках!	Гыюволомки на рассечение