Лекции о кривых на алгебраической поверхности - Мамфорд Д.

Author: Мамфорд Д.
Tags: математика математический анализ алгебра алгебраическая геометрия
Year: 1968
Similar
Алгебраические кривые
Прямые и кривые
Принципы алгебраической геометрии. Том 2
Алгебраическая геометрия
Text
                    ANNALS OF MATHEMATICS STUDIES
Number 59
LECTURES ON CURVES
ON AN ALGEBRAIC SURFACE
by
DAVID MUMFORD
with a section by
О. М. BERGMAN
PRINCETON, NEW JERSEY
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
1966

БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА»
Д. МАМФОРД
При участии Г. М. БЕРГМАНА
ЛЕКЦИИ О КРИВЫХ
НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
Перевод с английского А. А. Вельского
По& редакцией Ю. И. Шанина
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1968

УДК 513.015.7
Предлагаемая книжка содержит прежде всего краткий, но
очень аыпуклый очерк основных понятий теории схем н техники
когомологий когерентных пучков иа иих. Далее, эта техника
применяется к теории кривых н поверхностей, для которых стро-
строятся схемы Пикара и доказывается ряд фувдаментальных алгебро-
геометрических фактов. Книга трудна, но написана очень живо
и иа редкость содержательно. В немногочисленной монографи-
монографической литературе по современной алгебраической геометрии оиа
занимает особое место: по ней можно изучать содержательные
результаты, хотя предварительные требования к читателю доста-
достаточно высоки.
Реоакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3

От редактора перевода
В мировой литературе до сих пор не существует книги,
которая могла бы служить учебником алгебраической гео-
геометрии. Такая книга должна дать возможность читателю
детально изучить основные понятия и методы, овладеть ими
с помощью серии задач, а также ознакомить с некоторыми
более глубокими результатами и показать красоту предмета.
Написать такую книгу тем труднее, что последние
двадцать лет были для алгебраической геометрии периодом
почти Непрерывной перестройки основ, в течение которого
связные изложения оснований предпринимались разными
авторами всякий раз заново для нужд собственной работы.
Серия монографий и статей А. Вейля, О. Зарисского,
Ж.-П. Серра, записки семинара Шевалле и, наконец, док-
доклады и первые главы фундаментальной публикации Гротен-
дика служат временными вехами этого процесса.
За это же время алгебраическая геометрия перестала
быть отраслью математики, замкнутой в себе. Оценки сумм
Клостермана, данные А. Вейлем, эффектно продемонстри-
продемонстрировали зозможность теоретико-числовых приложений.
(Впрочем, им предшествовали работы Хассе по дзета-
функциям эллиптических кривых, а еще раньше, в конце
двадцатых годов, А. Вейль и К. Зигель получили самые
глубокие известные результаты о диофантовых свойствах
кривых.) Принадлежащая Гротендику форма теоремы Ри-
мана — Roxa и понятие /{"-функтора, перенесенные в топо-
топологическую ситуацию, сыграли основную роль в решении

6 От редактора перевода
проблемы индекса эллиптических операторов (Атья — Зин-
Зингер). Через теорию линейных алгебраических групп алгебро-
геометрические идеи и методы пдоникли в теорию конеч-
конечных простых групп. Я сознаю, что эти, по необходимости
краткие, формулировки сильно упрощают существо дела;
кроме того, происходящее изменение статуса алгебраиче-
алгебраической геометрии следует рассматривать не как исключитель-
исключительный процесс, но скорее" как возвращение к норме.
В этих обстоятельствах лекции Мамфорда могут слу-
служить двоякую службу. Их первая часть — лекции 3—7,
9 и 11 представляют собой обзор оснозных рабочих поня-
понятий алгебраической геометрии (на общепринятом нынче
языке схем А. Гротендика), а вторая часть — полное изло-
изложение конструкции схемы Пикара для алгебраической по-
поверхности и исследование вопроса о ее приведенности.
Тем самым неспециалист может ознакомиться с основаниями
предмета, не продираясь сквозь детали подробных дока-
вательств технических утверждений, а специалист — овладеть
техникой доказательства ряда глубоких и важных теорем.
Стиль книги очень привлекателен. Изящные находки
изложения дают пищу геометрической интуиции: таковы,
например, интерпретация Spec k [x]l(x*) как вектора (доба-
(добавление к лекции 4) и объяснение роли плоских морфизмов
(лекция 6). Несколько лекций содержат ^доказательства
теорем, имеющих самостоятельный интерес: теорема об об-
обращении в нуль (лекция 14), теорема об индексе (лекция 18).
Книга обильно насыщена неформальными замечаниями и
мотивировками.
Я надеюсь, что выход лекций Мамфорда на русском
языке будет полезен для многих математикоз, интересую-
интересующихся методами и приложениями алгебраической геометрии.
Ю. И. Маши

Предисловие
Эти записки издаются точно в такой же форме, в какой
они были написаны с самого начала: в виде заметок, до-
дополняющих и разрабатывающих мои устные лекции').
Поэтому они далеки от отшлифованного изложения и
требуют многого от читателя. Выражаясь словами бывшего
издателя одного хорошо известного журнала, они написаны
в стиле, который напоминает „разве что личные письма
к близкому другу". Как бы то ни было, я надеюсь, что
твердый в своем намерении читатель все же сможет
постигнуть эти записки и научиться кое-чему в великолеп-
великолепной геометрии на алгебраической поверхности.
При написании этих лекций предполагалось, что читатель
прослушал последовательный курс коммутативной алгебры,
немного занимался алгебраической геометрией и, в част-
частности, немного знаком с теорией кривых, с теорией схем-
и их когомологий (например, по лекциям Дьедонне, про-
прочитанным в Мэриленде и Монреале2)). Тем не менее для
того, чтобы подготовить исходные идеи и доказать неко-
некоторые специальные результаты, которые потребуются позже,
') Принстонское издание лекций Д. Мамфорда A966) содер-
содержало ряд опечаток, которые при переводе были исправлены
с помощью харвард.ского издания рукописи A964). Отсутствующее
в принстонском издании добавление к лекции 13 переведено
с упомянутого рукописного издания. — Прим. перев.
2) Русский церевод см. в сб. Математика, 9:1 A965),
54— 126. — Прим. ред.

8 Предисловие
лекции 3 —10 посвящаются краткому и довольно поверх-
поверхностному обзору общей теории схем. В лекции'11 подво-
подводится итог тому, что нам понадобится из теории кривых.
Приношу извинения читателю, который, надеясь, что он
найдет здесь, на 100 с лишним страницах, простое и крат-
краткое введение в теорию схем, вместо этого безнадежно
запутается в лабиринте недоказанных утверждений и не-
нераскрытых намеков. Начиная с лекции 12 мы доказы-
доказываем все, что нам нужно.
Целью этих лекций является полное объяснение одной
теоремы теории алгебраических поверхностей: так назы-
называемой теоремы о полноте характеристической линей- _,
ной системы для .хороших" полных алгебраических си-
систем кривых на поверхности F. Для характеристики,
равной нулю, эта теорема была впервые доказана Пуанкаре
в 1910 г. аналитическими методами (см. литературу). При-
Примерно до 1960 г. не было известно ни одного алгебраи-
алгебраического доказательства этой чисто алгебраической теоремы»).
В 1955 г. Игуса показал, что упомянутая теорема в том
виде, в каком она формулировалась, в случае характери-
характеристики р неверна, и это представило ее еще более анали-
аналитической по природе. Однако около 1960 г. был достигнут
замечательный прогресс: Гротендику, который осуществляя
свой генеральиый план преобразования алгебраической гео-
геометрии — с поглощением ряда ключезых идей теории де-
деформаций Кодаиры и Спецсера,—представился случай на-
написать в явном виде несколько следствий из своей теории
(см. Гротендик [3], стр. 23 — 24). Объединив его резуль-
результаты с одной теоремой Картье о том, что групповые схемы.
в случае характеристики 0 редуцированы, мы обнаружи-
обнаруживаем, что эта старая проблема полностью решена: а) в слу-
случае характеристики 0 имеется чисто алгебраическое доказа-
доказательство, б) готов весь аппарат для получения необходи-
необходимого и достаточного условия справедливости теоремы
в случае характеристики р. В чем же дело, какой суще-
существенный момент проглядели итальянцы? Нет никакого
сомнения в том, что понимание достигнуто благодаря си-
систематическому использованию нильпотентных элементов,
>) Хотя нескончаемая и утомительная полемика несколько
затемнила этот факт.

Предисловие
в частности, благодаря систематическому анализу семейств
кривых на поверхности над параметрическим пространством
с одной-единственной точкой, но с нетривиальным
нильпотентным1 структурным пучком. Итальянцы в некото-
некотором смысле сделали и это, но только для того случая, когда
кольцо функций на базе было кольцом Штуди дуальных
чисел ЛЭДДе2), т. е. случая, соответствующего деформа-
деформациям первого порядка некоторой кривой. Но они
не рассматривали нильпотенты и деформации более высо-
высокого порядка.
Структура предлагаемых лекций следующая: лекции 1 и
2 дают интуитивное введение в задачу и набросок двух ана-
аналитических доказательств. В лекциях 3 — 10 напоминаются
основные понятия из теории схем. В лекциях 11 —21 речь
идет об основных вопросах теории поверхностей. В част-
частности, в них приводится конструкция универсальных се-
семейств кривых на поверхности — так называемой схемы
Гильберта, а также универсальных семейств классов диви-
дивизоров на поверхности — так называемой схемы Пикара.
В лекциях 22 — 27 излагается приложение всей теории
к главной проблеме; сюда входит длинная лекция Г. Берг-
Бергмана, которая дает не зависящее от прочего материала
описание кольцевых схем Витта.
Мне бы хотелось обратить внимание на несколько
обобщений и приложений наших результатов, которые были
опущены, чтобы сократить путь к главной цели:
а) Метод, которым мы построили универсальное се-
семейство кривых на поверхности F, без каких-либо изме-
изменений позволяет построить универсальное плоское семейство
подсхем произвольной схемы. X, проективной над нёте-
ровой схемой 5, т. е. схему Гильберта. В частности,
явная оценка, полученная в лекции 14, позволяет завершить
это построение, совпадающее с первоначальной конструк-
конструкцией Гротендика [3], без косвенных аргументов с исполь-
зованием „ограниченных семейств".
б) Метод, которым мы построили схему Пикара по-
поверхности F, обобщается для построения схемы Пикара
. любой схемы X, проективной и плоской над нётеровой
^схемой S, геометрические слои которой над 5 редуциро-
>< ваны и связны, а ее настоящие слои над схемой S абсо-
абсолютно неприводимы. Эта конструкция связана « той, на?

10 Предисловие
бросок которой я дал на Международном конгрессе в 1962 г.
и которая тяготеет к методам, используемым в гл. 3 и 7
моей книги „Geometric Invariant Theory".
в) Результаты лекции 18 можно использовать для по-
получения очень простого доказательства гипотезы Римана
для кривых над конечными полями. Это доказательство
Маттука—Тэйта (см. литературу). Если вы прочитали лек-
лекцию 18 и знаете формулировку гипотезы Римана на языке
морфизма Фробениуса, то вам будет легко прочитать их
статью, и это стоит сделать.
Кембридж,
март 1966 г.

ЛЕКЦИЯ 1
Кривые на поверхностях;
примеры и постановки задач
Здесь мы будем заниматься только алгебраической гео-
геометрией над фиксированным алгебраически замкнутым по-
полем k (произвольной характеристики). Нашей главной целью
будет изучение геометрии на неособой алгебраической по-
поверхности F, проективной над k, и, в частности, семейств
кривых С на F,
Кривой мы называем либо конечную сумму неприводи-
неприводимых 1-мерных подмногообразий на F с положительными
кратностями: 2Й<^> либо пучок главных идеалов на F.
(Эти понятия равносильны; по поводу точных определений
см. лекцию 9.)
Пример 1. F = P2. В этом случае, как известно,
каждая кривая С на Р2 определяется однородной формой
<р(лс0, xv лг2).. В частности, можно приписать кривой С ее
степень d — степень однородного многочлена <р, и семей-
семейство всех кривых степени d параметризуется множеством
всех форм ф степени d с точностью до скалярного мно-
множителя, т. е. проективным пространством размерности
Пример 2. F = PjXPi- Это квадрика в Р3. Тогда
каждая кривая С на F определяется биоднородной формой
xv Уo^ Уд

12 Лекция 1
с двумя степенями due. Числа due можно рассматри-
рассматривать как степени накрытий
pv p2:C->Pt,
заданных двумя проекциями PjXPi на Pr Обратно, каж-
каждым1) d и е соответствует единственное семейство кривых,
составляющих проективное пространство, на этот раз раз-
размерности
Обобщая явление, с которым мы встретились в этих
примерах, введем понятие линейной системы. Если / —
алгебраическая, функция на F, то пусть, как обычно, (/)
означает формальную сумму
2 ord? (/)•?.
распространенную на все 1-мерные неприводимые подмного-
подмногообразия Е, где ordf. (/) означает порядок нуля .или полюса
/ на Е. С любой кривой С связано векторное простран-
пространство функций, имеющих полюсы только на С:
(здесь 2»гЕ,>-0 означает, что все щ >-0). Если
/0 /„ — базис в й (С), то можно определить следую-
следующее семейство кривых, содержащее С:
Так как Са зависит только от отношений коэффици-
коэффициентов а'4,' то оно представляет собой неприводимое семей -
ство кривых, являющееся проективным пространством раз-
размерности
dim 2 (С) —1.
') Натуральным. — Прим. ред.

Кривые на поверхностях 13
Линейные системы—наиболее простые семейства кри-
j№rx на поверхности F, и только они встречались в при-
#«оах 1 и 2.
Определение. Две кривые Сх и С2 называются
щнейно эквивалентными, если выполняется одно из двух
равносильных условий:
1) существует такая функция / на F, что (/) =а» Сг — С2;
2) Cv C2 принадлежат одной линейной системе.
ШШ пишем в этом случае СХ = С2.
Пример 3. Пусть If— эллиптическая кривая над k
/7=Р1Х&'. Вновь для любой кривой С на F мы мо-
Щьи ввести степени due как порядки накрытий
ролучаемых проектированием. Оба числа due неотри-
Штельны ,(d > 0, е > 0), и по крайней мере одно из них
Пложительно (или d > 0, или е > 0).
Случай 1. d = 0. Тогда С имеет вид
такие С образуют «-мерную линейную систему.
Случай 2. d>0. Множество всех С типа (d, ё)
>ра8ует неприводимое (d{e-\- 1))-мерное семейство кри-
но оно не является линейной системой. Естественнее
бы сказать, что оно расслоено на (d(e-f-1) — 1)-мер-
линейные подсистемы.
Определение. Две кривые Ct и С3 называются
героически эквивалентными, если обе они содер-
ся в семействе кривых, параметризованном некоторым
W многообразием.
Пользуясь этой терминологией, мы можем сказать,
на Р]Х^ алгебраическая и линейная эквивалентности
совпадают.
Заметим также, что при d=0 формула для размер-
в случае 2 не сводится к формуле для случая 1
этом проявляется так называемая избыточность).

14 Лекция 1
Пример 4. Пусть у —„общая" кривая рода 2, т. е.
двукратное накрытие пространства Pj, ветвящееся в ше-
шести точках с независимыми трансцендентными координа-
координатами над простым полем (характеристики Ф 2). Пусть F —
якобиан для у. Напомним, что:
1) F— неособая алгебраическая поверхность,
2) F — алгебраическая группа,
3) кривая у естественным образом вложена в F.
Оказывается, что любая кривая С на F алгебраически
эквивалентна dy для некоторого натурального числа d.
Более того, С линейно эквивалентна подходящим образом
сдвинутой кривой dy (в смысле групповой структуры на F).
Множество всех кривых, алгебраически эквивалентных dy,
представляет собой неприводимое семейство размерности
d*-\- 1, а его линейные подсемейства имеют размерность
d2—1. На самом- деле можно определить отображение
1все кривые, алге-
алгебраически экви-
эквивалентные dy
! / (линейная 9кви-\
(I \валентность J »
где а н-> образ dy при сдвиге на а. Более того, это отобра-
отображение расписывается так:
{кривые, ал-
Это указывает на общий факт: множество алгебраи-
алгебраически эквивалентных кривых по модулю линейной экви-
эквивалентности имеет тенденцию не зависеть от семейства
рассматриваемых кривых.
Сравним поверхность f с ее куммеровой поверхно-
поверхностью К', она определяется как двукратное накрытие про-
пространства Р2, разветвленное в общей кривой шестой степени
(характеристика ф 2). Здесь все кривые линейно эквива-
эквивалентны dh, где h — прообраз прямой в Р2, и размерность
этого семейства равна d2 -f-1 (как и выше). Сходство с F
заключается еще и в том, что: (а) (у2) = 2 на F, (А2) =2
на К [(D2) обозначает индекс самопересечения, см. лек-
лекцию 12] и (б) F и К допускают двойные дифференциалы

Кривые на поверхностях . 15
^_
?без нулей и полюсов. Поверхность К имеет тот же тип.
|что и квартики (поверхности четвертой степени) в Р3.
I? Выше мы бегло рассмотрели примеры всех классов
|алгебраических поверхностей, на которых есть двойные
^дифференциалы без нулей (т. е. антиканоническая линей-
линейная система); по причинам, связанным с двойственностью
§Geppa, геометрия на таких поверхностях особенно проста.
!5Для выявления дальнейших характерных свойств поверх-
поверхностей рассмотрим другую рациональную поверхность.
Пример 5. Пусть F — поверхность, полученная раз-
раздуванием двух точек Рх и Р2 в Р2 (или одной точки
в Pj X Pi)-* Пусть Ех и Е2— рациональные кривые, яв-
являющиеся прообразами Рг и Р2 в F. Пусть /—прямая
В Р2, проходящая через точки Рх и Р2, и D — кривая
в F, являющаяся замыканием прообраза / — Рг—Р2.
Тогда для каждой кривой С на F можно ввести три ха-
характеристики kv k2 ив, где kv k2 и е неотрицательны
и не все равны нулю; множество всех кривых с харак-
характеристиками kv k2 и е образует единственную линейную
систему, содержащую кривую
kxEx~\-k2E2-\-eD.
Однако здесь положение иное, чем на Рх X Р^ не все
-такие системы являются „хорошими" системами кривых.
Случай 1. Если e^kv e^-k2 и kx-\~k2^e, то ни
одна из трех кривых ?\, Е2 и D не является компонентой
Цех кривых в линейной системе, содержащей ktEx -f-
<\-k2E2-\~eD, и эта линейная система имеет размерность,
которую можно вычислить:
Случай 2. Если е <ftp e<.k2 или kx-\~k2<.e, то
одна из трех кривых Ех, Е2 или D является компонен-
компонентой всех рассматриваемых кривых в линейной системе,

16 Лекция 1
содержащей k1B1-{-k2E2-\-eD, и, вообще говоря, это
семейство также избыточно, т. е. его размерность больше,
чем та, которая дается выражением (*).
Другой способ подразделения систем кривых на .пло-
.плохие" и .хорошие" таков:
Система кривых, линейно эквивалентных
- -
jj224
есть семейство сечений гиперпло-
гиперплоскостями поверхности F при
некотором вложении ее в Pjy
Условие в левой части есть определение следующего
понятия: кривая kxEx -f- kJE^ -f- eD очень обильна.
Какие вопросы о кривых на поверхностях возникают
естественно при рассмотрении этих примеров? На мой
взгляд, они подсказывают четыре главные линии исследо*
вания:
1. Проблема Римана — Роха. Для заданной кривой С
определить размерность линейной системы кривых, содер-
содержащей С. Мы увидим ниже, что это эквивалентно задаче
вычисления
где J& — некоторый пучок на F, локально изоморфный
пучку 6р регулярных функций.
2. Проблема Пикара. Описать семейство всех алгеб-
алгебраических деформаций кривой С по модулю его линейных
подсемейств. Оказывается, что это фактормножество не
зависит от С, если С достаточно „хороша", и его суще-
существование приводит к схеме (или многообразию) Пикара.
3. Плохие и хорошие кривые. Что делает кривую С
хорошей или плохой? Можно спросить: когда С очень
обильна, или когда она обладает избыточностью, или что
представляют собой такие плохие .исключительные" кри-
кривые С, которые аналогичны кривым Ev E2 и D в примере
5? В частности,, особенно важен вопрос о „регуляр-
„регулярности присоединенной системы" (эквивалентный теореме
Кодаиры — Спенсера об обращении в нуль); см. лекцию Н.

Основная проблема существования 17
4. Компоненты множества всех кривых С на F, В ча-
частности, какого типа утверждения о конечности можно
доказать?, Примеры доставляют теоремы о базе Нерона и
Севери и теорема о том, что только конечное число ком-
компонент представляет кривые любой данной степени.
ЛЕКЦИЯ 2
Основная проблема существования
и два аналитических доказательства
Рассмотрим проблему Пикара более подробна. Ее дей-
действительная природа становится яснее, если перейти от
кривых к дивизорам. Под дивизором на поверхности Р
мы подразумеваем любую конечную сумму неприводимых
одномерных подмногообразий с (положительными или от-
отрицательными) кратностями: 2tyC/, n«€Z. или пучок
дробных идеалов, т. е. когерентный подпучок постоянного
пучка s2T:
e2f(?/) = поле функций k(F) для всех U
(см. лекцию 9 по поводу точных определений). Множество
всех дивизоров на F образует группу, которую мы обо-
обозначим через G(F). Положим
Оа (/"*) = подгруппа дивизоров вид» Cj — С2, где
Cj и С2 — алгебраически эквивалентные
кривые;
¦ Gj (F) = подгруппа дивизоров вида С1 — С2, где
С1 ^? С2, или, что то же самое, подгруппа
дивизоров вида (/), где / ? k (F).
Теперь, если С — любая кривая на Р и {Са|а?$}-—
семейство всех кривых, алгебраически эквивалентных
I Д. Манфорд ;

18 Лекция 2
С= Со, то можно рассматривать отображение
определяемое отображением а на дивизор Са — Со. Легко
проверить, что это отображение инъективно, и можно пока-
показать, что для достаточно „хороших" (?!) кривых оно сюръек-
тивно. По этой причине проблема Пикара становится не
зависящей от С в большинстве случаев и сводится к вопросу:
каковы размерность и структура группы Ga(F)jGl(F), ин-
инвариантно связанной с Z7?
Опять без доказательства напомним когомологическую
интерпретацию этих групп. Пусть
ф* = пучок единиц структурного пучка ©,
= пучок единиц пучка qJ?'.
Тогда
о _> ©* _> jg* -> o^r/0* -> о,
откуда
l\\ IW
Ог(П O(F)
Следовательно, Ga {F)jGt (F) является подгруппой в груп-
группе л1 (©*) — так называемой группе Пикара (определяемой
на любом окольцованном пространстве) поверхности F.
Работы Кастельнуово и Мацусаки показали, что группе
Ga(F)jGl{F) можно естественным образом придать струк-
структуру алгебраической группы, на самом деле — абелева
многообразия. Существенный вопрос: какова размерность
этого многообразия? Перед нами проблема существования:
можно ли предсказать размерность множества решений
существенно нелинейной задачи при помощи некоторых
линейных данных, например когомологий когерентного
пучка? Севери выдвтшул предположение, что
(A)

Основная проблема существования 19
где 0 — структурный пучок на F (в обозначениях Севери
q = pg — ра). Это было доказано Пуанкаре в 1909 г. для
случая i = C и опровергнуто Игусой в 1953 г. для слу-
случая char (k) Ф 0.
Проще всего объяснить правдоподобность гипотезы (А),
заметив, что выражение в левой части является подгруп-
подгруппой в Н1 @*), и предположив, что должно существовать
что-то вроде „экспоненциального отображения" из//'(©)
в Я1 (©*) (см. ниже). Другой путь заключается в том,
чтобы перефразировать (А) в* утверждение, касающееся
деформаций кривой С на F; тогда мы получим частный
случай общей проблемы существования деформаций Ко-
даиры — Спенсера. Для того чтобы убедиться в этом, пред-
предположим опять, что {CaJa?S}—семейство деформаций
кривой С = С0. Пусть" еЛГ — пучок сечений нормального
расслоения С в F (С предполагается неособой). Тогда су-
существует фундаментальное характеристическое отображе-
отображение:
(Касательное пространство
J5 0
Грубо говоря, малая окрестность кривой С в F почти
изоморфна нормальному расслоению С в F, тогда как
кривая Са для а, близкого к 0, определяет сечение этой
окрестности: когда а-*0, эти кривые могут быть асимп-
асимптотически отождествлены с сечениями нормального рас-
расслоения С в F. Ключевая проблема существования теперь
такова: верно ли, что
(Б) для подходящих семейств [Са] отображение р би-
биективно.
Кстати, в этой форме нашу гипотезу можно было
с равным успехом высказать в случае подмногообразий
произвольной коразмерности в других многообразиях, на-
например для деформаций кривых в Р3. К сожалению, она
оказывается неверной, даже в случае характеристики 0,
для некоторых патологических пространственных кривых.
Для того чтобы связать (А) и (Б), мы воспользуемся
точной последовательностью пучков:
О -> 0 -> © (С) -$> „/Г -> О,
где 0(С)— пучок функций с простыми полюсами на кри-
кривой С, а ф отображает функцию Ajf в.нормальное век-
9»

20 Лекция 2
торное поле X, такое, что X (df) = А (здесь / = 0 есть
локальное уравнение кривой С).
Можно показать, что для „хороших" кривых С имеет
место коммутативная диаграмма:
) ()
1 4 f
(касательное Ъ Г касательно* \ (касательное
пространство I пространство I пространств
KSonpH [-*|к5при [-^{(^(/О/О
а = 0 J (а = 0 J (в нуле J
где SQcS есть линейное подсемейство, проходящее ч,ерез 0,
a 5 по модулю линейной эквивалентности отождествляется
с O^Fi/O^F). Более того, а всегда представляет собой
изоморфизм. Поэтому р биективно тогда и только тогда,
когда т биективно, так что (А) эквивалентно (Б).
Прежде чем приступить к систематическому изложению,
я хочу дать набросок двух доказательств гипотезы (А)
для случая h = С
Доказательство I [GAGA]'). Пусть @k — пучок
голоморфных функций на Р, и пусть 0*h с 0Д — подпучок
единиц. Тогда экспонента определяет точную последова-
последовательность
Следовательно, определен гомоморфизм
]) QAQA — сокращение названия работы Серра [1] (си. ли-
литературу). ? этой работе доказано, что на проективных алгебра-
алгебраических многообразиях над С когомологии алгебраических
когерентных пучков в топологин Зарисского совпадают с когомо-
логияин соответствующих аналитических пучков в обычной хаус-
дорфовой топологии. Это приводит к разнообразным результатам
о' совпадении алгебраических и аналитических понятии, и теоремы
такого рода часто называются в литературе утверждениями .типа
GAGA". — Прим, ред.

Основная проблема существования
21
Согласно GAOA,
следовательно, существует индуцированное экспоненциаль-
экспоненциальное отображение на алгебраическом уровне из W @) в
Доказательство II (Пуанкаре). В этом доказатель-
доказательстве единственное нужное нам утверждение типа GAGA
состоит в том, что мероморфные функции, определенные
на всей комплексной проективной прямой Plt являются
алгебраическими.
Выберем пучок кривых Ct на F,
Пусть Jt — якобиан (или обобщенный якобиан) кри-
кривой Ct, и пусть У= U Л — многообразие всех Jt. Поло-
Положим р = род(fit) в fsdimНг@). Если мы построим
0-мерное семейство сечений J над Pj, то мы сможем для
каждого сечения s определить 0-цикл %t(s) степени р на
каждой кривой Ct и, следовательно, кривую D(*) на F,
такую, что D{e) • Ctm=4lf(s). Можно доказать, что так
получается ^-мерное семейство линейно не эквивалентных
дивизоров. Более того, согласно сделанному выше заме-
замечанию* безразлично, будем ли мы строить эти сечения
алгебраическими или голоморфным».

22 Лекция 3
Напомним, что Jt получаются при рассмотрении инте-
интегралов от простых дифференциалов без полюсов на Ct
по модулю их периодов, или, что то же самое,
(пространство,
двойственное Г / f линейные функционалы, \
тЛ /г\1 4 1A заданные пеоиохами '*
¦ заданные периодами
где Qlc—пучок простых дифференциалов на Ct без по-
полюсов. Согласно двойственности Серра, на Ct
{двойственное пространство для ff (Qc j] ~H (@c )•
Поэтому у-мерное семейство получается просто выбором
а ? Н1 @), ограничением а на Н1 Шс \ для каждого / и
отображением этого элемента в точку на Jt посредством
указанного выше отождествления.
ЛЕКЦИЯ 3
Предсхемы а связанные с нами
„функторы точек"
Мы напомним сначала основные определения и резуль-
результаты из теории предсхем.
1°. Предсхемы, подобно всем геометрическим объектам
с дополнительной структурой, представляют собой топо-
топологические пространства X, снабженные пучком колец ©х
(или C), слои которого являются локальными кольцами.
Их характерным свойством является наличие таких откры-
открытых покрытий {U(}, что (Ut, ©|y,) изоморфно при всех /

Предсхемы и связанные с ними «функторы точек» 23
одной из стандартных предсхем вида
а) множество, точками которого
являются простые идеалы рсЛ;
б) оно топологизируется заданием базиса
открытых множеств:
х/={р\/?р}> /€^;
в) его структурный пучок определяется
тем, что
T{Xf. <dx) =
где А — любое коммутативное кольцо с единицей.
Понятие предсхемы как пространства, окольцованного
пучком локальных колец, выглядит очень „неклассическим".
Во-первых, в предсхемах много незамкнутых точек. Мы
говорим, что замкнутое подмножество Z в предсхеме X
неприводимо, если оно не' является объединением двух
своих собственных замкнутых подмножеств. При этом для
любого неприводимого подмножества Z в X существует
одна и только одна точка z ? Z, такая, что Z есть замы-
замыкание z. Эта точка z называется общей точкой множе-
множества Z. Так как для нётерова кольца А замкнутые под-
подмножества в Spec (Л) удовлетворяют условию обрыва убы-
убывающих цепей [условию минимальности — Ред.], то такие
схемы, как Spec (А), имеют, вообще говоря, много непри-
неприводимых замкнутых подмножеств и, следовательно, много
незамкнутых точек. В том случае, когда все локальные
кольца в @х нётеровы, можно ввести численную меру не-
незамкнутости точек:
COdim X = размерность Крулля кольца @х
и, следовательно, меру величины неприводимых подмно-
подмножеств:
COdim Z = коразмерность общей точки из Z.
Эти понятия обладают хорошими свойствами: если Zx(z.Z2,
Zi=fcZ2—два замкнутых неприводимых подмножества

24 Лекция 3
с общими точками соответственно гх и х2 (т. е. гх лежит
в замыкании z2, но не наоборот), то
codim Zx > codim Z2,
codim zx > codim zv .
(Для доказательства надо заметить, что ©Zl есть локализа-
локализация (@г,)р относительно простого идеала рс©*,, причем
идеал ? не максимален.)
Следующее простое свойство, сформулированное в тер-
терминах, входящих в определение любых локально околь-
окольцованных пространств, выделяет предсхемы из большин-
большинства других локально окольцованных пространств.
Предложение 1. Пусть X —локально окольцо-
окольцованное пространство, х?Х, и ©х — локальное кольцо
в точке х. Пусть
Sx = {у ? X | X принадлежит замыканию у}.
Тогда, если X — предехема, то Sx с индуцированной
в нем топологией и пучком колец изоморфно Spec@^).
(Доказательство: свести к случаю аффинного X,
в котором все ясно.)
Если даже ие обращать внимания на незамкнутые точки,
то предсхемы останутся очень нехаусдорфовыми объектами.
Рассмотрим'Х = Speck\T\—аффинную прямую над алге-
алгебраически замкнутым полем k. Простой идеал @) дает
общую точку, и при всех a?k простой идеал (Г — а)
дает замкнутую точку Ра ? X. Это — все точки X и
каждое открытое множество в X имеет вид
где а пробегает некоторое конечное множество. В част-
частности, любые два открытых множества пересекаются.
Следует, сразу же указать еще одно неклассическое
свойство предсхем. Как и на всяком локально окольцо-
окольцованной пространстве X, сечение / ? Г ([/, @х) для откры-
открытого UaX можно рассматривать как функцию m U..

Предсхемы и связанные с ними «функторы точек» . 25
В точке х ? U ее значение принадлежит полю вычетов
?Ю(х) слоя 6Х и определяется так:
/(х) = образ/ в $&(Х).
Может, однако, оказаться, что /ФО, хотя f(x) = 0 для
всех х. Именно эта возможность казалась самой скан-
скандальной, когда Гротендик впервые ввел предсхемЫ. Пред-
Предположим, что t/ = Spec(^> и f?A. В этом случае такие
сечения / легко описать, а именно
Следующие утверждения равносильны:
1) /(*) = 0 при всех x?U;
2) /6Р для всех простых идеалов рсА;
3) / нильпотентен (так как в А имеем
- П
все
простые
идеалы
2°. Пусть X и К — предсхемы; морфизмы / из X
в К определяются как произвольные морфизмы X и У
в категории локально окольцованных пространств; иными
словами, они определяются как непрерывные отображения
/': X-+Y
плюс гомоморфизмы
/lit jr\ . X/ /уд \
. Юу->/,(©Х),
индуцирующие локальные гомоморфизмы на слоях. Основ-
Основной результат, позволяющий представлять эти морфизмы
конкретно, дает
Теорема 1. Пусть X — произвольная предехема
и У = Spec (А). Тогда с каждым морфизмом /: X ->У
можно связать гомоморфизм
Это устанавливает изоморфизм
предсхем) {X, У) —«*НоШ(Как колец с 1) (А, Т(Х, @х)).
Следствие. Категория аффинных схем (схем
типа Spec (Л)) эквивалентна категории коммутатив-
коммутативных колец с единицей с обращенными стрелками.

26 Лекция 3
Пример. Если k — поле, то задать морфизм
/: X -> Spec (k) — это все равно, что превратить Г(Х, ©х)
в А-алгебру, или, локально, если X покрывается откры-
открытыми множествами Spec (Ai),— превратить каждое At
в А-алгебру, так что каждый слой @XtX имеет совершенно
определенную структуру А-алгебры.
Замечание. Предположим, что /: X —> Spec А соот-
соответствует гомоморфизму ф: А->Г(Х, @х). Отображение /,
как отображение множеств, восстанавливается по ф сле-
следующим образом: пусть х?Х, и пусть <$х — композиция
отображений
А->Г(Х, <дх)^<дх.
Тогда f(x) соответствует простому идеалу
где тх<=@х— максимальный идеал.
Предсхемы с более классическими свойствами харак-
характеризует следующее
Предложение-определение. Пусть f:X->Y—
морфизм предсхем. Тогда /называется отображением
конечного типа, если верно одно из двух равно-
равносильных утверждений:
A) существует открытое аффинное покрытие
•Ut = Spec (At) предсхемы Y, и для каждого i
существует конечное открытое аффинное
покрытие VtJ- = Spec (Btj) множества f~l (Ut),
такое, что Вц есть А{-алгебра конечного типа
для всех i, j;
B) для всех открытых аффинных множеств
U = Spec(A) в Y множество /-1(t/) квазиком-
пактно {т. е. каждое открытое покрытие его
содержит конечное подпокрытие), и для ка-
каждого аффинного открытого множества V =
= Spec (В) в f~l {U). кольцо В является А-ал-
геброй конечного типа.
Определение. Пусть k — поле. Предсхема X плюс
морфизм /:. X —> Spec (k) называется алгебраической пред-

Предсхемы и связанные с ними «функторы точек» 21
схемой над k-, если / — морфизм конечного типа. Кроме
того, в случае, когда поле к алгебраически замкнуто, мы
будем называть X пред многообразием над k, если X
неприводима и 6Х не имеет нильпотентных элементов
(пХ редуцирована"). В эквивалентной форме это можно
высказать так: X покрывается открытыми аффинными
множествами Spec(At), где At — области целостности,
лежащие в одном и том же поле К, и все простые-идеалы
@)cAt соответствуют одной и той же точке х?Х со
слоем @Xt x = ^-
3°. Поскольку точки предсхем обладают такими стран-
странными свойствами, можно подумать, что их роль отличается
от роли точек в других геометрических теориях. Так оно
и есть. Естественно задать вопрос: каков категорный
смысл точек? В этом отношении категория предсхем про-
проявляет существенные структурные отличия от других ка-
категорий.
Пример 1. Пусть С—категория дифференцируемых
многообразий. Пусть г — многообразие, состоящее из од-
одной точки. Тогда для любого многообразия X
Home (Z. Х)^Х как множество.
Пример 2.„Пусть С—категория групп. Пусть г=Ъ.
для каждой группы О
Ноте С?. О)=О как множество.
Пример 3. Пусть С — категория колец с 1 (и гомо-
гомоморфизмами /, такими, что / A)=1). Пусть z = Z[T\.
Тогда для любого кольца R
Ноте О*. /?)Si? как множество.
Это указывает на то, что в любой категории С для
фиксированного объекта z можно попытаться представить
себе Ноте (г, ^0 как множество точек объекта X. Дей-
Действительно, отображение
X н-э- Ноте (г, X)
продолжается до функтора из категории С в категорию
множеств (Sets). Однако неудовлетворительно называть

28 Лекция 3
Home (г, X) множеством точек объекта X, если только
функтор не является строгим, т. е. если морфизм / из
Л", в Х2 не определяется отображением множеств
/: Home(z, X1)->Homc(z, X?.
Пример 4. Рассмотрим категорию клеточных раз-
разбиений (Hot), в которой Нот (Л", К) представляет собой
множество гомотопических классов непрерывных отобра-
отображений X в К. Если г — одноточечный комплекс, то
Hottl(Hot) (•?¦ X) = Яо (X) (множество компонент X),
и это уже не дает строгого функтора.
Пример 5. Пусть С — категорияпредсхем. Руковод-
Руководствуясь примерами 1 и 4, возьмем в качестве г конечный
объект категории С: 2 = Spec(Z). Множество
Home (Spec (Z), X)
до смешного мало и не дает точного функтора.
Гротендик придумал остроумный способ обойти этот
недостаток: нужно рассматривать не один объект z, а все:
свяжем с X полное множество
(J Home (z, X).
г
Оно определяет естественный строгий функтор из катего-
категории С в категорию (Sets). Более того, на множестве
(J Home (z, X) можно ввести дополнительную структуру,
которая характеризует объект X. Она описывается сле-
следующими данными:
1) разложением {J Home (z, X) на подмножества ?,=
= Home (z, X) для каждого г;
2) естественными отображениями из одного Sz в дру-
другое Sz>, ваданными для каждого морфизма g: z/->z-
в исходной категории.
Суммируя все это формально, мы приходим к.следую-
щему: с каждым X из С можно связать функтор hx
(контравариантный, из категории С в категорию (Sets))
следующим образом:

Предсхемы и связанные с ними «функторы точек» 29
(¦) Ах(г) = Нотс(г, ^0, г — объект из С,
(¦*) Нх (?)—индуцированное -отображение из Ноте О*. X)
в Ноте (г', X), g'- z'-*z есть морфизм в С.
Функтор hx является также объектом некоторой кате-
категории, а именно
Fund(C°, (Sets))
(где Fund означает категорию функторов, С° — катего-
категорию С с морфизмами, обратными к морфизмам в С).
Ясно, что если g: Хх -> Х2 есть морфизм в С, то из
него получается морфизм функторов hg: йх.-^А*,. Все
это равнозначно заданию функтора
А: С-> Fund (С0, (Sets)).
Предложение. Функторh является вполне стро-
строгим, т. е. если Хх, Х2 — объекты в С, то h опреде-
определяет изоморфизм
Home (Xv Х2) —
Доказательство. В высшей степени тривиальное*).
Отсюда следует тот важный вывод, что объект X из
категории С может быть отождествлен с функтором пх,
который по существу просто является множеством с до-
дополнительной структурой.
Примеры из алгебраической геометрии.
Если X—предсхема, то морфизмы из 5 в X, т. е. эле-
элементы hx(S), будут называться
S-значными точками X,
или S-рациональными точками X.
Очень важный пример доставляет случай 5= Spec (Q),
где Q—алгебраически замкнутое поле. Тогда Q-значные
точки из X называются геометрическими точками X
') Мы настоятельно рекомендуем каждому читателю, впервые
знакомящемуся с предметом, провести это доказательство само-
самостоятельно. Главное — ие запутаться в стрелках. — Прим. ред.

30 Лекция 3
»(относительно Q). Полный функтор hx есть в этом слу-
случае абсолютный функтор точек X. Не менее важен в ал-
алгебраической геометрии „относительный случай", когда
фиксируется основная предсхема S (вроде Spec(А)) и
рассматривается „относительная категория":
(¦) ее объектами являются предсхемы X вместе со
структурными морфизмами f',X->-S,
(*¦) ее морфизмы g : Хх ->¦ Х2 таковы, что коммута-
коммутативна диаграмма
(Аналогичный пример дает категория аналитических про-
пространств, где 5= Spec (С): всякий морфизм аналитических
пространств должен переводить постоянные функции в по-
постоянные функции.)
В качестве последней иллюстрации мы сопоставим два
примера: пусть С — категория алгебраических предсхем
над k, где-ft — алгебраически замкнутое поле, и пусть
Со — полная подкатегория редуцированных алгебраических
предсхем. Если г = Spec (k), то „точки" hx(z) алгебраи-
алгебраической схемы X в точности совпадают
1) с замкнутыми точками схемы X;
2) с й-значными точками X, определенными выше;
3) с „точками" X в классическом смысле, т. е. как
у Серра [2], если схема X редуцирована.
Предсхема z является даже конечным объектом в ка-
категории С. Трактовка Серра становится очень простой,
потому что Х\—> hx{z) есть строгий -функтор, если его
сосредоточить на подкатегорию Со; эти предсхемы можно
представлять себе как множества А-рациональных точек.
Но X *—*¦ hx (z) не является строгим функтором на С
ввиду наличия нильпотентных элементов, поэтому на. С
нужно рассматривать функтор hx целиком.

Использование функтора точек 31
ЛЕКЦИЯ 4
Использование функтора точек
1°. Проблема существования Гротендика. Прежде всего
условимся, что если 5 = Spec (R), то 5-значная точка
предсхемы X будет называться просто /?-зиачной точкой X;
/?-значная точка — это обобщение понятия решения .си-
стемы уравнений над R. В самом деле, предположим, что
.....
, Тп],
Тогда немедленно проверяется, что Л-значная точка пред-4
схемы X является в точности решением уравнений
ft(av ..., а„) = 0, где 1</</ге, aj^R.
Интересно, что предсхема фактически определяется уже
функтором своих /?-значных точек, а не только ббльшим
функтором 5-значных точек. Точнее говоря, пусть X —
предсхема, и пусть ковариантный функтор h*$ из катего-
категории (Rings) коммутативных колец с единицей в категорию
множеств (Sets) определяется равенством:
А$ (#) = hx (Spec (R)) = Нот (Spec (R), X).
Рассматривая естественным образом hy как функтор от X,
приходим к следующей теореме:
Теорема. Для любых двух предсхем Xv X2
имеет место изоморфизм
Следовательно, А(о) — вполне строгий функтор из ка-
категории предсхем в категорию
Funct ((Rings), (Sets)).
Этот результат легче проверить самому, чем просле-
проследить за формальным доказательством. Быть может, все же
поучительно кратко описать, как морфизм F: hx\->-h§l
индуцирует морфизм /: Хх -> Х2- Выберем аффинное

32 Лекция 4
открытое покрытие L^^ Spec (Л,) для Xv Пусть
?,:'Spec (Л,) =i ?/,<=->*!
— включение. Тогда Lt является Лгзначной точкой Xv
Поэтому F (Lt) — fi представляет собой Л^значную точку,
Х2, т. е. ft определяет
С точностью до проверки того, что эти ft совпадают на
Ut П Uj, ft задают морфизм /, превращающий все диа-
диаграммы вида
Ut±'+X2
п /
x/f
л\
в коммутативные.
Проблема существования Гротендика встает, когда мы
задаем себе вопрос: почему бы не отождествить пред-
схему X с соотЬетствующим ей функтором f$ и попы-
попытаться определить предсхемы как подходящие функторы
F: (Rings) -> (Sets). ,
Задача заключается в нахождении таких „естественных"
условий на функтор F, при которых он изоморфен не-
некоторому функтору A$. бот, например, одно свойство
функторов й$', обнаруженное Гротендиком (совместность
со строго плоским спуском):
Пусть j?: А-*В — гомоморфизм колец, превращающий
В в строго плоскую Л-алгебру, т. е. такой, что
(*) Для всех идеалов /с Л
Обозначим через ри р2\ В-*В®АВ гомоморфизмы
р->Р®1 и р->1®Р; тогда индуцированная диаграмма
множеств
F (A) ^U F (В) ~tF (S ®A В)
точна, T.e..F(q) инъектавно и lmF(q) =* [x

Использование функтора точек 33
Этот подход к определению предсхем или объектов
других категорий был использован, например, в следующих
случаях:
(а) В работах Мацусаки: теория Q-многообразий по
существу является попыткой рассмотреть свойства более
общих функторов F'.
(б) В работах Тэйта глобальные р-адические аналити-
аналитические пространства определены подходящим функтором F,
более богатым в „структурном отношении", чем обычное
локально окольцованное пространство.
(в) В работах Мурре охарактеризованы функторы из
(Rings) в (Groups), что дает, по-видимому, удовлетвори-
удовлетворительное решение проблемы существования Гротендика.
(г) В работах Брауна, согласно которым в категории
(Hot) „по существу" все функторы определяют клеточные
разбиения.
2°. "Перенесение теоретико-множественных операций
в категории. При помощи функторов hx многие понятия
теории множеств можно определить в произвольной кате-
категории С.
Случай 1. „Одна точка". Объект X в С, который
является аналогом „одной точки", должен быть таким,
чтобы его функтор удовлетворял условию
(S) =
множество с одяим элементом
для всех S. Разумеется, такой объект X называется „ко-
„конечным объектом" категории С.
Случай 2. „Групповые объекты" (или, при помощи
очевидного обобщения, „кольцевые объекты", „объекты
полей" и т. д.). Можно сказать, что X имеет структуру
группового, объекта в С, если:
A) для всех S в С множество hx(S) снабжено груп-
групповой структурой;
B) для всех S—+S' в С индуцированное отображе-
отображение множеств hx (/): hx (S') -*¦ fix (S) является
3 Д. Мамфорд

34 Лекция 4
гомоморфизмом; равносильное условие состоит
в том, чтобы можно было поднять функтор ftx:
^ (Groups)
<
^ (Sets)
Если это понятие, применяется к категории предсхем
над S, то объекты, определенные таким образом, назы-
называются групповыми предсхемами над 5. Если 5= Spec (Z),
т. е. рассматривается категория всех предсхем, то эти
объекты называются абсолютными групповыми предсхе-
предсхемами. Дадим два примера таких групповых предсхем.
(а) Пусть (я)—конечная группа. Рассмотрим функ-
функтор F, такой, что
" '~1 = я
для всех связных предсхем 5 (все отображения тожде-
тождественные из л на я). Более общб, нужно положить
{непрерывные функции а из 5 в Я; )
группа Я сиабжена дискретной топологией j
Тогда функтор F представляется схемой
по одному экземпляру для каждого о?л
(проверьте это, пользуясь теоремой 1 из лекции 3) и я —
абсолютная групповая схема, соответствующая я.
б) Обратимся к категории предсхем над S = Spec (Z/2),
т. е. к таким предсхемам, где 0=2 в Г(Х, @х). Рассмо-
Рассмотрим функтор F, определенный так:
= {s е г (Л-,0Х)|52=1}.
(группа относительно умножения)
Здесь F есть, так сказать, множество квадратных корней
из 1 в характеристике 2; нетривиальные s такого сорта
существуют, конечно, в нильпотентных кольцах! Функтор F

Использование функтора точек 35
представляется схемой
Spec {(г/2)[Г]/(Г2 +1)}.
(Проверяется с помощью теоремы I из лекции 3.)
Случай 3. „Hom-объекты". Предположим, что С —
категория, в которой существуют произведения (см, ниже).
Тогда можно попробовать поднять множество Нот (X, К),
заданное для двух объектов X и К, до третьего объекта
Нот (Л", К) в С. Один метод состоит в использовании
формулы „ассоциативности":
НошE, Нот (A', K))^Hom(SX X, Y).
Если мы условимся, что эта формула определяет изомор-
изоморфизм между обеими частями как функторами от S.
то можно определить функтор НцОацх, г) с точностью
до изоморфизма и, следовательно, определить объект
Нот(А-, КI)- .
3°. Расслоенные произведения и их использование.
Наиболее важным категорным понятием для алгебраиче-
алгебраической геометрии является расслоенное произведение. Пусть
задана диаграмма
X Y
(*)
Если X, Y, Z — множества, то расслоенное произведение
есть просто
XxY = {(x, у)|*6*. У?У. ?1(*)-?а(У)Ь
Если же X, К, Z — объекты некоторой категории С, то
по крайней мере можно образовать функтор
F(S) = hx(.S) X MS).
hz(S)
Если hw S F, то W записывается в виде X X Y и назы-
z
вается расслоенным произведением. Можно проверить, что
') Он, однако, может не существовать! — Прим. ред.

36 Лекция 4
найти W—это все равно, что пополнить (*) до комму-
коммутативной диаграммы
У г Ч
Я.Х^ /9%
так чтобы выполнялось универсальное свойство отобра-
отображений (УСО):
Для всех объектов S и морфизмов S —¦> X, S -?¦> Y,
таких, что qx о / = q2 о g, существует единственный
морфизм S — ¦> Xy^Y, такой, что f^p^h, g== p2» h.
z
Этот морфизм h мы будем записывать так: (/, g)z
или (/, g). Обозначения рх и р2 всегда будут употребляться
для проекций X X У< Основным результатом является
Теорема. В категории предсхем всегда существуют
расслоенные произведения (см. Гротендик [1, гл. 1, § 3]).
Это утверждение используется вместе с более точным
результатом
Spec (А) X Spec"(B)SSpec(,4(g>?)
Spec^C) С
и с тем обстоятельством, что если UcX, V с Y — от-
открытые множества, то Uy^V открыто в XX Y. Дока-
зательство обоих результатов очень простое. Зная, чтб
такое расслоенное произведение, мы можем определить
многие операции и понятия.
Приложение 1: расширение полей определения —
как в классической алгебраической геометрии. Пусть
k с К — два поля и^ — алгебраическая предсхема над А.
Для рассмотрения „той же" предсхемы X над ббльшим

Использование функтора точек 37
полем К образуем расслоенное произведение:
/X X Spec(/Q (удобнее писать
| /Spec {К)
Spec (A) ^
Предположим, например, что К = Q — алгебраически зам-
замкнутое поле. В качестве приложения мы докажем такое
Предложение. Следующие множества канони-
канонически изоморфны:
A) геометрические точки X (относительно Q);
B) HomsPec(ft)(Spec(Q), X);
C) точки х ? X вместе с k-вложениями
?№ (л:) (=~> Q (gffl (л:) — поле вычетов кольца @х);
D) HomSpec(Q)(Spec(Q), XQ);
E) замкнутые точки Ха.
Доказательство. Множества A) и B) совпадают
по Определению. Их совпадение с C) следует непосред-
непосредственно из определения морфизма локально окольцован-
окольцованного пространства. Совпадение B) и D) следует из опре^
деления расслоенного произведения Ха. Для проверки
совпадения D) и E) мы можем предположить, что Ха —
аффинная схема Spec (А), где А — конечно порожденная
алгебра над Q. Тогда
HomsPec(Q)(Spec(Q), XQ) = Homa(A, Q),
и мы воспользуемся хорошо известным фактом:
(*) если тс А — максимальный идеал, то Л/ш =^Й,
что и доказывает требуемое.
Приложение 2: слои морфизмов. Пусть /: X-*¦ Y —
морфизм предсхем и у ? К — любая точка. Пусть 3№ (у) —

38 Лекция 4
поле вычетов для ©у; у определяет канонический морфизм
Spec {&€ (у) )-*¦> К,
[ точка
для которого {• _Л
( ел/(у)-«-0у (канонически).
Образуем расслоенное произведение:
. / X X Spec (#? (у)) = /-1 (у) или Ху
Здесь /~Чу) — это схемный слой /. Аналогично, если
g: Spec(Q)->-K — геометрическая точка Y, то раслоен-
ное произведение
/ X X Spec (Q)
•' '1
Spec(Q)
называется геометрическим слоем / над данной геометри-
геометрической точкой. На этом языке можно сформулировать
один забавный результат.
.Предложение. Пусть kcK-^-два поля, и пусть
/: Spec (К) -> Spec (jk) индуцируется включением k в К.
Тогда
I одии н, следовательно, все 1
\K[k сепарабельно} 4Ф { геометрические слон f явля- \.
\ ются редуцированными схемами )
(.Доказательство предоставляется читателю.)

Использование функтора точек 39
Приложение 3: прямое определение групповой
предсхемы над S.
Всякая группа — это множество X плюс- три отобра-
отображения:
умножение: Ху.Х->Х,
обратный элемент: X -> X,
единица: {е}-*Х,
удовлетворяющие хорошо известным соотношениям. Сле-
Следовательно, групповая предсхема X/S слагается из фун-
функтора hx (на категории предсхем над S) и трех фукторных
морфизмов:
умножение: hx X hx -> hx,
обратный элемент: hx -> hx,
единица: {1-функтор}->ЛХ,
удовлетворяющих тем же соотношениям. Но (a) hx X hx
изоморфно h\xx и (б) {1-фуктор} изоморфен As. где
s
5 — конечный объект в нашей категории. Поэтому X —
групповая предсхема над S, если заданы три морфизма:
умножение: Ху^Х->Х;
s
обратный элемент: X -> X;
единица: S->'X,
удовлетворяющие тем же условиям.
Последнее замечание: если X — групповая предсхема
над 5, то Г-значные точки X для всех TjS образуют
группу, но обычные точки на X ни в каком смысле
группу не образуют (даже в случае S = Spec(Q)).
Приложение 4: определение схемы. Пусть X —
предсхема, и пусть \х: X -*¦ X — тождественное отобра-
отображение. Индуцированный морфизм
называется диагональю.

40 Добавление к лекции 4
Предложени е-о пределение. Предсхема ^Х
есть с х е ма, если выполняется одно из следующих
равносильных условий:
A) диагональ h(X) замкнута в X X X;
B) для любой пары мор'физмов У IX X подмно-
подмножество \у ? У | /j (у) = /2 (у)} замкнуто в У.
Доказательство. B) =ФA). Возьмем в качестве У
произведение Ху^Х, и пусть ft есть i-я проекция pt
произведения X X X на X.
Разложим /,:
Ki?i^ ХХ^Z X
Х
Рг
и заметим, что
{у € Н Л W = Л (у)) = (Л.
что и требовалось доказать.
Всюду в дальнейшем мы будем иметь дело только со
схемами, если обратное не оговорено специально.
Добавление к лекции 4
О представимых функторах и касательных
пространствах Зарнсского
В качестве приложения двух понятий — функторов и
нильпотентов — мы свяжем их с геометрическим понятием —
касательным пространством Зарисского. Предположим, что
X — схема над полем k и лс'? X есть k-рациональная
точка, т. е. заданный гомоморфизм k->@x индуцирует
изоморфизм k-
Определение. Пусть ш с 0Х — максимальный идеал;
двойственное векторное пространство к пространству
nt/nt2 называется касательным пространством Зарис-
Зарис/
ского Тх к схеме X в точке х.
¦ Теперь рассмотрим следующий интересный класс схем.
Определение. Пусть V—векторное пространство
над k (всегда конечной размерности); полЪжим
/у = Spec (А ф К),

Добавление к лекции 4 41
где структура k®V определяется тем, что V2 = @).
Подчеркнем, что существуют два гомоморфизма
(именно: аь—>a-f-0; a -\-v y-^-a) и, следовательно, два
морфизма
/
Мы будем действовать только внутри категории схем
и морфизмов над Spec (Л). Теперь предположим, что
/: /v -*¦ X — произвольный морфизм над Spec (k). Аф-
Аффинная схема /у имеет только одну точку, и ее образ
при / должен быть ft-рациональной точкой х?Х. По-
Поэтому / определяется заданием х и локальным &-го-
моморфизмом
Но /* представляет собой просто линейное отображение
из m/nt2 в V, т. е. элемент из V®kTx. Это дает
Предложение. Для всех схем A'/Spec(А) суще-
существует естественный изоморфизм между множествами
Hotllg (/у, X) И \k-рациональные точки X ? X плюс элементы нз
V®kTx\. -
В частности, рассматривая k как 1-мерное векторное
пространство над самим собой, можно видеть, что под-
подмножество в HomA(/ft, X) с заданным образом х изо-
изоморфно самому касательному пространству Тх, т. е.
касательное пространство мо>кет быть восстановлено из
множества /А-значных точек X.
На самом деле даже структура векторного простран-
пространства на множестве /й-значных точек с данным образом
может быть определена непосредственно в терминах фун-
функтора точек X. Более того, существует очень общий
класс контравариантных функторов F (из схем над к
в (Sets)), для которых можно тем же путем определить
касательное пространство Зарисского, несмотря на то, что
они могут не быть представимыми.
Чтобы убедиться в этом, фиксируем такой функтор F.
Тогда множество F(Spec(к)) будет множеством Л-рацио-
нальных точек д: для F. Фиксируем одну такую точку х.

42 Лекция 5
Для всех векторных пространств V множество элементов
из F(JV) с теоретико-множественным образом х может
быть представлено в виде
F(Iv)x={t€F{Iv)\f(l) = x в /'(Spec(ft))]
(где J: Spec (k) -*-Iv— определенный выше морфизм).
Я утверждаю, что для „разумных* функторов F множе-
множество F(Ik)x имеет каноническую структуру векторного
пространства и что это и есть касательное пространство
к F в точке х\ Свойство, которым должен обладать F,
заключается в следующем:
(*) для всех, векторных пространств Vv V2 имеем
F(/к, © кДг^ F(/„,), X F(/„2),
(где отображение задается проекциями V\@V2-*-V[t ко-
которые индуцируют морфизмы 1у -*¦ fv, © v, и, следова-
следовательно, отображения F(/V}$v)x-> F(IV{)j).
Предположив это, фиксируем ?,, |2 ? F (fk)x и а,р ? А-
Что представляет собой a|t -f- p^2? Для ответа восполь-
воспользуемся диаграммой
где отображение [а, р] индуцируется гомоморфизмом
(Y, б) -^ (av -f рб) из йфА в А. Образ элемента %г Х?2
по определению равен a|t -f PI2- Мы оставляем в каче-
качестве упражнения проверку того, что это превращает F Aк)х
в векторное пространство.
ЛЕК ЦИЯ 5
Proj и обратимые пучки
До сих пор единственным типом схем, который мы
построили, были аффинные схемы Spec(/?). Сейчас мы
введем вторую фундаментальную конструкцию проектив-
проективного спектра Proj (/?), которая связывает с каждым гра-

Proj и обратимые пучка
дуированным кольцом
некоторую схему, почти никогда не являющуюся аффин-
аффинной.
а) как множество точек оно представ-
представляет собой множество однородных
простых идеалов р с R, таких, что
л-1
б) как топологическое пространство оно
имеет в качестве базиса открытых
множеств подмножества
в) как локально окольцованное про-
пространство X имеет структурный пу-
пучок, который задается так:
= подкольцо в R(i\ элементов степени 0.
Предложение 1. Проективный спектр X яв-
является схемой (заметьте, что не просто предсхемой).
Основные пункты доказательства. При
помощи отображения однородного простого идеала р с R
в р • R(fl П lR(/)\io) (причем /(?р) доказывается, что
при этом топологии соответствуют друг другу ввиду того,
что
(открытое подмножества в X„ определенное )
V у < \
лг ^fg [условием (g-m//")^= 0 на ием J'
/6« n
Наиболее важной схемой Proj является
0. ^ Та].

¦ 44
Лекция $
В частности, „внешний вид" Рг может бы*ь описан при-
примерно так:
Codim 1 [
Codim 2
~*-\ Codim О
| Общая
—' точка
B) C) E)
-t-
G)
(Р) @)
Слой Zip) Слой Q
Spec B)
мы подразделяем точки в соответствии с размерностью
их локальных колец и в соответствии с их образами
в Spec(Z); .нарисованы" также замыкание 1/5 и Y— 1 •
Я
Упражнение. Что представляет собой точка (*)?
Более существен следующий вопрос: каковы 5-значные
точки Рп, т. е. каков функтор Ар„. Ответ на этот вопрос
проводит нас немедленно к новому понятию:
Определение. Если X — локально окольцованное
пространство, то пучок J? @х-модулей, для которого
существует такое покрытие [U^ пространства X, что
S'\ui=:®x\ui как ©д-модули, называется обратимым
пучком.
Скажем более конкретно, что представляет собой та-
такой пучок J2?: так как он локально изоморфен 0Х, то
существенная часть задания _?* состоит в описании того,
как он склеен из @х. Иначе говоря, ^ может быть
построен* сначала как 6Х на каждом Ut, а потом склеен

Proj и обратимые пучки 45
из пучков 6х-модулей над Ut П Uj. Но
как пучков (®Х {u^Uy &Х \ufou) = Г((/, П V],
б^-мо дулей
(где гомоморфизму А?Нот соответствует АA)?Г(г/, П
П ^/. &х) и элементу / ? Г ((Уг П ^ у. ©х) соответствует
гомоморфизм умножения на /). Теперь дадим следующее
Определение. Элемент s^V(U, &x) является еди-
единицей, если выполняется одно из равносильных условий:
A) существует мультипликативно обратный элемент
s-l?T(U> ©х);
B) для всех х ? U индуцированный элемент sx в @х
не принадлежит максимальному идеалу тх.
Из B) ясно, что.единицы образуют подпучок ©х, кото-
который мы будем обозначать ©х- Из A) ясно, что 6х
является пучком групп относительно умножения. Теперь по-
понятно, что изоморфизмы пучка 6Х с самим собой таковы:
Isom
как пучков (@j
бх-модулей
^{единицы в Г((Уг П Uj, @х)}.
Поэтому для построения J2? следует склеивать ©х с са-
самим собой над U! П U) посредством умножения на еди-
единицу stj над Ut П U)¦ Так как все эти отождествления
должны быть совместимы на Ut f| t/y П ^*. то имеем
«(/•«/*-«а/=1 на
Это означает, что {stj} образуют 1-коцикл Чеха, и мы
определили элемент % из НХ(Х, ©х). Главным и притом
простым результатом в этой связи является
Предложение 2. Элемент % зависит только
от J2*, и соответствие J3? -> X устанавливает изо-
изоморфизм между множеством обратимых пучков на
X с точностью до изоморфизма и множеством
И'{Х, вх).
Определение. Р1с(Х) = И1 (X, ©х).

46 Лекция 5
Замечания: A°) Pic (Л")—коммутативная группа;
это ясно из того, что ©х является пучком групп. Более
прямое определение: если JS'i и Л?ч — два обратимых
пучка, то их произведение — это Л2?х 0 ^2> если 31
задан коциклом stj- по отношению к {Ut}, a J?2 задан
при помощи ttj на том же покрытии, то J2'l ® J3?2 —
это просто пучок, склеенный с помощью s^ • ttj.
B°) Pic (X) — контравариантный функтор от X. Для
любого морфизма X — -> Y определен гомоморфизм 0у —->
f* > @*х и, следовательно, индуцированный гомоморфизм
групп Я1. Вот более прямое описание: если J2? — обра-
обратимый пучок на Y, то f (JS') = &х ® 6^ — обратимый
пучок на X, и если JS7 задан коциклом stj относительно
{U{}, то f*(J?) задается коциклом f(stJ) относительно
Отметим еще, что сечения
индуцируют сечения
C°) Пусть s — сечение обратимого пучка J? над X.
Тогда, хотя s и не имеет „значений" в точках х ? X,
утверждения s (х) = 0 или s (*) ^= 0 имеют точный смысл.
Именно, если выбран некоторый изоморфизм между ^х
и @х и если s соответствует элементу #6©*> то свойство
элемента g (x) ? ^S? (jc) обращаться или не обращаться
в' нуль не зависит от выбора этого изоморфизма. В ча-
частности, определено подмножество в X
которое, как легко видеть, открыто. Эти открытые мно-
множества включают как частные случаи открытые множества
Xf, использованные для определения топологии в Spec (A)
и в Proj(/?) (см. ниже п. D)).
Возвращаясь к Proj (/?), предположим, что
(*) /?„ как /?0-модуль натянут на

Proj и обратимые пучки 47
Тогда мы обнаружим, что Proj (/?) имеет дополнительную
структуру:
A) X = Proj(/?) покрывается множествами X,, f?Rv
Доказательство: если х ? X — U X,, то х соот-
соответствует такому $cR, что все /?/?] лежат в р; следова-
тельно, /?/С:M, 2 Я„с:р, что и дает противоречие.
B) На Xf{\ Xg элемент fjg обратим. Поэтому покры-
покрытие \Xf\ и единицы fjg определяют 1-коцикл Чеха на
Proj (/?) и, следовательно, обратимый пучок. Он называется
пучком CA).
C) Через 0(я) обозначим я-ю тензорную степень
0A)®" пучка 0A); тогда существует канонический гомо-
гомоморфизм:
который показывает геометрический смысл градуирован-
градуированного кольца R.
[Построение: 0(я) определяется коциклом (f/g)"
на покрытии [Xf]. Элемент q?Rn позволяет определить
сечение qjf" пучка 0Х над Xf; так как эти сечения отли-
отличаются над Xff]Xg множителем (fjg)n, они склеиваются
в сечение пучка ©(я).]
D) Проверяется, что для q?Rn открытые множества Xq>
определяющие топологию на ^Y = Proj(/?),—те же, что
и открытые множества Х9 до, определенные, как в п. C°)
выше.
Применим теперь эту новую информацию для изучения
структуры функторов AprOj(^). Всякая 5-значная точка
5 -^->Proj(/?)
схемы Proj (/?) позволяет построить над S индуцирован-
индуцированный обратимый пучок /*(©A)). Выражая это функто-
риа'льно, мы получим очень важный морфизм функторов

48 Лекция 5
Этот морфизм интересен с двух точек зрения: он объясняет
нетривиальность функтора точек для Proj и является первым
шагом к представлению функтора Pic. Хотя рассмотрение
Proj(/?) или Р^ как аппроксимаций групповых схем, дей-
действительно представляющих Pic, может показаться стран-
странным, тем не менее это вполне корректно в категории (Hot).
Рассмотрим клеточное разбиение СР„ (комплексное проек-
проективное я-пространство) и вложение СР„ с=-> СР^; оно опре-
определяет морфизм функторов
[функтор, представныый] [функтор, представимый]
[объектом СР„ J ~"> [объектом СРШ J
III
[функтор S-^№{S, Z)]
• (II
Г функтор 
I ("группа классов топологи-") I
I 5 _>. I ческой эквивалентности I I
L (.пучков прямых иа 5 JJ
потому что CPa0^/C(Z, 2). где K(Z, 2) —- пространство
Эйленберга — Маклейна.
Мы можем теперь дать явное описание функтора Арп,
к которому давно уже клоним. Пусть сечение
соответствует, как в C), элементу Tt в ^-компоненте
кольца Z[TQ Т„]. Для всех S->Pn построим
Я = /*(©(!)).
Предложение 3. Имеет место изоморфизм функ-
функторов:
An fSi-Ti. \(-9"- s в \)/fс точностью до\
Прп{Э)-^.[{^, Ь0 5лЛДизоморфизма ]'
где J2?—обратимый пучок на S, s0, ..,.., sn—такие се-
сечения ^, что для всех x?S существует I, при кото-
котором st(x)^0.
Доказательство. Это нетрудное упражнение (см.
EGA 2, § 4); морфизм /: 5—>РЛ задается набором мор-
физмов ft: S.a —.> (Р„)ту 0-^/^п, которые склеиваются
воедино; поскольку схема (Р„)г. аффинная, можно исполь-
использовать теорему 1 из лекции 3.

Proj и обратимые пучки
49
В качестве приятного следствия получаем элементарное
определение проективного пространства над полем k\ можно
даже заменить при этом k любым локальным кольцом 0.
Следствие. Если 0— локальное кольцо, то мно-
множество Q-значных точек Р„ изоморфно множеству
q «л)
at ? 0, не в
лежат в максималь-
ном идеале Щ
(Oo ал) ~ |
для всех единиц % ? ©* j
Доказательство. Так как Spec@) есть единствен-
единственное открытое множество в Spec @), содержащее замкнутую
точку, на Spec@) существует только один обратимый
ПуЧОК ©Spec (б)- ПОСКОЛЬКУ аВТОМОрфИЗМЫ ©Spec F) — ЭТО
в точности умножения на единицы ?i?0\ наше следствие
есть частный случай предложения 3. •
В заключение интересно дать обобщение этого послед-
последнего предложения на грассманианы. Прежде чем опреде-
определить грассманиан явно, мы охарактеризуем его заданием
функтора.
Определение. Пучок W ©^-модулей называется
локально свободным ранга г, если существует такое от-
открытое покрытие {U[} пространства X, что
Тогда указанный функтор таков:
локально свободные пучки й?
ранга Г на 5 плюс (п-\- 1)
сеченнй SQ, . . ., Sn пучка |f,
которые порождают |?, т. е.
If'х =
siдля всех х € "S
с точностью до
изоморфизма
и погружение в проективное пространство с помощью
плюккеровых координат соответствует функториальному
отображению
один элемент для каждого набора 0< i, < /2 <• • • < 1г<п
{cf; j?o, .... sn) t-> {<f\r &; ...,sti Д ... Л%. •••}
15-значйые точки
грассыаниана
•S-зиачиые точки проек
тивного пространства
1
4 Д. Маыфорд

50 Лекция 5
Пусть pt t =st Л ••• Л*; и ^'=ЛГ^>- Тогда се-
сечения р, , удовлетворяют хорошо известным квадра-
тачным соотношениям
для любых последовательностей /j /r-1 и;', Jr+V
Теорема. Указанный выше морфизм из функтора
грассманиана в . функтор проективного пространства
инъективен, и его образ состоит в точности из S-знач-
ных точек проективного пространства, удовлетворяю-
удовлетворяющих (*¦).
Доказательство. 5-значную точку грассманиана
можно рассматривать как сюръективный гомоморфизм
С точностью до изоморфизма, эта точка определяется ядром
гомоморфизма <р; так как это ядро представляет собой
подпучок фиксированного пучка, то оно задается в целом,
будучи заданным локально. Отсюда будет следовать тре-
требуемый результат, если мы покажем, что для любой
5-значной точки проективного пространства, удовлетво-
удовлетворяющей (*¦), существует такое открытое покрытие про-
пространства S, что над каждым его множеством выбранная
5-значная точка однозначно продолжается до точки грас-
грассманиана. Поэтому мы можем перейти к открытому мно-
множеству, на котором фиксированная плюккерова координата
/\ ^ «, + °.
т. е. эта р порождает пучок J? в целом. Соотношения (¦*)
тогда „разрешимы*, и можно проверить, что они имеют
в точности вид
где по крайней мере два индекса j не принадлежат мно-
множеству /j 1Т и где F — однородный многочлен сте-
степени N от г(п+1—г) независимых переменных

Proj и обратимые пучки 51
р( 1 ( ,. С другой стороны, для того чтобы
S-значная точка ф грассманова функтора индуцировала
некоторую проективную точку, для которой pt{ t ФО,
необходимо и достаточно, чтобы сечения Si =ф(^), ...
.... si =ф(е/) являлись базисом пучка "?. Тогда идеал
ядро ф имеет единственный базис вида
/€{0. 1 «} — {*!,..., 1Г)
(где е0, .... еп — стандартный базис в ©х+1)- Коэффи-
Коэффициенты п)к выражаются через плюккеровы координаты так:
Поэтому существует один и только один набор сечений
ajk 6 f 0$. ©s). соответствующий заданным плюккеровым
координатам, ч. т. д.
Следствие 1. Функтор грассманиана представим
схемой
On>r=Pr0JZ[. . ., pt /»•••] /(квадратичные соотношения (*#)).
Следствие 2. Открытое множество в Gn<r, где
р( t Ф 0, изоморфно аффинному пространству раз-
размерности г(п-\- 1 —/¦).
Добавление к лекции 5
'¦* Дальнейшее развитие теории показывает, что операция
Proj в том виде, как она введена выше, часто имеет слиш-
слишком специальный характер. Для того чтобы понять харак-
характер возможного обобщения, рассмотрим градуированное
со
кольцо /?= 2 #л- Предположим, что Ro является S-алге-
брой; тогда определен квазикогерентный пучок
S
%
4*

52 Добавление к лекции S
©^-модулей на X = Spec (S). На самбм деле М есть ква-
квазикогерентный градуированный пучок @х-алгебр (длинное
название простого понятия). Все дело в том, что такие
пучки встречаются и на неаффинных схемах X. Пусть,
оо
скажем, ^=^Мп — такое образование на некоторой
схеме X. Тогда для всех аффинных открытых множеств
•UcX
Г([/, Л) =-2 Г (I/, <%п)
я-о
есть градуированное кольцо над Г (?/, 0Х). Поэтому можно
построить схему Proj [Г (?/, М)] вместе с морфизмом
я: Proj [Г (U, M))-+U.
Можно проверить (см. EGA 2, § 3), что эти объекты ка-
канонически склеиваются в схему Proj(<$) вместе с мор-
морфизмом
я: Proj (<$)->*.
Следующий пример особенно важен: пусть 8* — локально
свободный пучок ранга г на схеме X. Положим Мп равным
ге-й симметрической степени пучка cf (как пучка ^-моду-
^-модулей) и St = 2 <$п- Напишем
Эта схема обобщает пространство Р„, потому что
С другой стороны, это обобщение ненамного сложнее,
чем Р„, так как если пучок & изоморфен свободному
пучку (@х)г на открытом покрытии {0{\ схемы X, то
над U[ имеем
,Ц s P ((fixf) Ц S Рг_, X ?/,.
Это следует из того общего факта, что для любого мор-
физма /: X—>Y и квазикогерентного градуированного
пучка ©у-алгебр М имеем (см. EGA 2, § 3.5)
? Proj (JD>CJf.

Свойства морфизмов и пучков S3
Для Р(?") пучок 0A) строится в точности так же, как
раньше, и легко построить канонический гомоморфизм
(здесь л — проекция Р^) на базу X).
Более того, индуцированный гомоморфизм на P(cf)
я'(if)-> 0A)
является сюръективным. Предположим теперь, что задан
морфизм g: S->X. Тогда для любого подъема А:
мы можем построить обратимый пучок J?s=A*@(l)) и
сюръективный гомоморфизм
Несложное обобщение соответствующего результата для Р„
утверждает, что этим устанавливается функториальный изо-
изоморфизм между множеством 5-значных точек А схемы P(?f),
продолжающими g, и множеством пучков J& и гомомор-
гомоморфизмов <р.
ЛЕКЦИЯ 6
Свойства морфизмов и пучков
i
1°. Аффинный случай. Пусть X = Sptc(R). Напом-
Напомним, что для всех /^-модулей М можно определить пучок М .
©^-модулей, для которого
T(Xf, М) = Ми) при всех f?R.
/
Это полностью определяет вполне строгий и точный
функтор
(Категория I J Категория пучков \
/J-модулей J ""*' ( ©^-модулей |
(т. е. Нотвх(М, ^)^Нотл(Л1, Л^) и последовательность
0->M->N —>Р—*-0 точна, если точна последовательность

54 Лекция 6
Определение. Пучок <^" ©х-модулей называется
квазикогерентным, если of изоморфен М для некоторого
/?-модуля М.
Пример. Пусть R — кольцо дискретного нормиро-
нормирования ранга 1 с полем частных К. Тогда существуют лишь
два непустых открытых множества в X = Spec (/?): все
пространство X и его общая точка U'¦ Пучок <^~ ©х-моду-
лей состоит поэтому из
а) /?-модуля А = <?Г{Х); /С-векторного пространства
б) гомоморфизма А—>В над кольцом R.
Пучок $~ квазикогерентен тогда и^только тогда, когда
Теорема* 1. Если X аффинно и $~ квазикогерен-
квазикогерентен, то
(А) <&~ порожден как <дх-модуль своими сечениями
Т(Х, &¦);
(Б) Hl(X, <F) = (Q). если I > 0.
Мы можем теперь обобщить эти понятия различными
способами.
Определение. Пусть А!* —схема. Пучок <^" 0Х-мо-
0Х-модулей называется квазикогерентным, если выполняется
одно из эквивалентных условий:
A) существует покрытие {?/,) схемы X аффинными
открытыми множествами, такое, что пучки *<^"|у квази-
когерентны;
B) для любого открытого аффинного множества U с X
пучок <&~ \ц квазикогерентен.
Очень полезное применение этого понятия содержится
в следующем утверждении:
Предложение-определение. Пусть X — схема.
Замкнутая подсхема Y с X — это локально окольцо-
окольцованное пространство Y, базисное топологическое простран-

Свойства морфизмов и пучков 55
ство которого представляет собой замкнутое подмножество
в Л", а пучок колец @у является факторпучком пучка ©х,
т. е. имеет место точная последовательность: 0->& —>
-> @х —> @у ->• 0 (<*f — пучок идеалов в @х) при услдвии,
что или 0 квазикогерентен, или, что эквивалентно, Y яв-
является схемой.
Тот факт, что если Y — схема, то пучок' 0 квазико-
квазикогерентен, вытекает из следующего результата:
Предложение 2. Пусть X—+Y есть квазиком-
квазикомпактный морфизм схем (т. е. если U с Y открыто и
аффинно, то f~x(U) допускает конечное открытое аффин-
аффинное покрытие). Тогда, если ^ —'квазикогерентный пу-
пучок на X, то есе пучки R*/\{<&"') квазикогерентны на Y.
Из приведенного выше определения следует, что замк-
замкнутые подсхемы в X = Spec (/?) — это схемы вида Y =
== Spec (/?//), где / с R — идеал. Мы дадим также сле-
следующее
Определение. Если Y—!~>X — изоморфизм Y и
некоторой замкнутой подсхемы в X, то / называется
замкнутым погружением.
Определение. Пусть X — схема.Подсхемой Yс X
называется замкнутая подсхема открытого множества Uc X.
Погружение Y—+X — это изоморфизм Y и некоторой
подсхемы в X.
Пример. Одной из наиболее важных подсхем схемы X
является A'red („^ редуцированная"). Как замкнутое под-
подмножество, A'red = X, но ее определяющий пучок идеа-
идеалов д представляет собой подпучок
(СТП1 /» \ S С*) e 0 при всех X ? U или (эквивалентно)}
S 11 (<->, &х) s (Х) ? @х нильпотентен при всех X ? U )'
Можно проверить, что если i/ = Spec(/?), то &\v является
пучком 7, где
/ I ?П  каждому простому идеалу р \
| С *» или (эквивалентно) а — иильпотет j *
Поэтому 0 квазикогерентен (ср. лекция 3, 1°),

56 Лекция б
Приведем другое обобщение понятия „аффинный":
О преде л е'н ие. Морфизм X—+Y называется аф-
аффинным, если выполняется одно из эквивалентных условий:
A) существует такое аффинное открытое покрытие (?/г)
схемы Y, что f~l{Ufi аффинно для всех /;
B) для любого аффинного открытого множества VczY
прообраз f~x (V) является аффинным.
Следствие из теоремы 1. Если X —->Y — аф-
аффинный морфизм и пучок @х-модулей <&~ квазикогерен-
тен, то
(А) канонический гомоморфизм
}
сюрьективен;
(Б) #7.(<^") = @
Понятия расслоенного произведения и- аффинного мер-
физма связаны между собой простым, но важным резуль-
результатом.
Предложение 3. Пусть X—+Y — аффинный
морфизм, и пусть Y'-&->Y — произвольный морфизм.
Мы будем писать X' вместо Xy^Y' и обозначать
г
морфизмы так:
Y' — ->K
g
Тогда f — аффинный морфизм и, если <&~ — квазико-
квазикогерентный пучок на X, то
* (канонически) *
2°. Определим несколько новых понятий, добавляя усло-
условия конечности.
Определение. Схема X называется не/перовой, если
выполняется одно из эквивалентных условий:
A) существует конечное открытое аффинное покры-
покрытие {?//} схемы X, такое, что кольцо F(i/fl 0^) нётерово;

• Свойства морфизмов и пучков 57
B) X квазикомпактна, и для всех открытых аффинных
U с X кольцо Г (JU, @х) нётерово;
C) упорядоченное множество замкнутых подсхем X
удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей.
Определение. Квазикогерентный пучок <&" на не-
теровой схеме X называется когерентным, если выпол-
выполняется одно из эквивалентных условий:
A) существует такое аффинное открытое покрытие [U^
схемы X, что T(Ut, <&") является Г(?/г, 0х)-модулем ко-
конечного типа,
B). то же для всех аффинных открытых подмножеств
UcX.
Замечание. Квазикогерентные подпучки и фактор-
пучки когерентных пучков когерентны; @х когерентен;
если слой <^Гх когерентного пучка <^~ в точке х есть @),
то $" = @) в некоторой окрестности х.
Определение. Аффинный морфизм X—2-+Y, где
схема Y нётерова, называется конечным, если выполняется
одно из эквивалентных условий:
A) /,(©х) когерентен на Y,
B) / есть морфизм конечного типа (следовательно,
схема X нётерова), и для всех когерентных ^" на X
пучок ft{ff") когерентен на К.
Предложение 4. Если морфизм X —> Y конечен,
то для всех y?Y множество точек f~1(y) конечно
(это то свойство, которое Гротендик называет яквази-
конечностыо").
Доказательство. Пусть A — ft(@x)y ®6y
легко видеть, что теоретико-схемный слой /~: (у) — это
просто Spec(i4). Но, так как Д@Х) когерентен, А яв-
является конечномерной алгеброй над $в(у), следовательно,
Spec(i4) конечен, ч. т. д.
Основное свойство топологии нётеровой схемы со-
состоит в том, что такие схемы являются нбтеровыми топо-
топологическими пространствами, т. е. удовлетворяют условию

68 Лекция б
обрыва убывающих цепей для замкнутых подмножеств.
Следовательно, каждое замкнутое подмножество есть ко-
конечное объединение неприводимых замкнутых подмножеств,
которые называются его компонентами. Разумеется, это —
глобальный топологический аналог разложения идеала в нб-
теровом кольце в пересечение примерных идеалов. Более
тонкие свойства разложения формулируются в терминах
операции „А".
Определение. Пусть <&" — когерентный пучок на
нбтеровой схеме X. Тогда
= [х ? X (существует сеченне S ? $"х> к<по^ое аннулируется
идеалом / С @х, аримарным для максимального идеала, т. е. су-
существуют открытая окрестность U точки х и $ ? Г" (?/, <$"\
такие, что носитель 5 совпадает с замыканием х\\
подробное обсуждение этого понятия см. в книге Бур-
баки [1]. Из теоремы разложения для модулей немедленно
следует, что А {<&") — конечное множество. Более того,
А @") содержит, в частности, общую точку каждой ком-
компоненты носителя ъГ как замкнутого подмножества X,
а в общем случае оно содержит также и „вложенные
ассоциированные точки*. С другой стороны, если Z — замк-
замкнутое подмножество X и если мы превратим Z в замк-
замкнутую подсхему при помощи пучка всех функций, которые
всюду на Z равны 0 („структура редуцированной под-
подсхемы на Z"), то A (@z) есть в точности множество общих
точек компонент подсхемы Z.
3°. Плоские пучки и их свойства.
Определение. Пусть X—+Y — морфизм схем, и
пусть $" — пучок ©^-модулей. Тогда $~ называется пло-
плоским над К, если ?Fx есть плоский ©/^-модуль для всех
х ? X; говорят, что &~ имеет конечную Tot-размерность
над Y, если существует такое «, что <&"х есть ©/^-мо-
©/^-модуль Тог-размерности ¦< п для всех х ? X.
Используя тот факт, что построение функторов Тог и
локализации коммутируют, легко проверить, что если ?Г
квазикогерентен, то

Свойства морфизмов и пучков 59
(*) <&~ — плоский (соответственно конечной Тог-размер-
Тог-размерности) над Y тогда и только тогда, когда для всех
аффинных открытых множеств VcY, Uc.f~l(Y)
модуль Г(?/, $~) плоский (соответственно конечной
Тог-размерности) над кольцом Г(У, @у) (Тог-размер-
ность должна быть ограниченной независимо от U и V).
Важнейшее свойство плоских пучков состоит в том,
что они остаются плоскими при всех расширениях базы.
Иначе говоря, пусть задана диаграмма
X+fX
\ V
Y<-—Y'
е
где X' ^ X X Y'. Тогда для любого пучка ©^-модулей
плоского над К, пучок ©х1 -модулей g' {<&") является
плоским над У.
Априори понятие плоского пучка представляется не
имеющим геометрического смысла. Однако я думаю, что
это неверно. Эвристический смысл свойства „&Г плоский
над Y" заключается в том, что <^" индуцирует непрерывно
меняющееся семейство пучков на слоях Ху морфизма /.
По-моему, лучше всего проиллюстрировать это рядом
примеров.
Пример 1. Предположим, что Х~ц Y — нётеровы
схемы и пучок <^" когерентен над X.
Если &~ индуцирует в каком-то смысле непрерывно
меняющееся семейство пучков по Ху, то уж, конечно,
все точки на X, исключительные для &Г', должны лежать
над исключительными точками Y. Действительно, имеет
место
Предложение 5. Если ?f—плоский пучок над Y
и *еА(аТ), rno f(x)?A@Y). .
Доказательство. Пусть y=f(x). Напомним, что
у ? А (@у) тогда и только тогда, когда:
(*) глубина @у) = 0, т. е. все необратимые в @у эле-
элементы являются делителями нуля.

60 Лекция б
Поэтому, если /(*)(? А @У), то существует необратимый
элемент а?@у, такой, что
0— + 0
есть инъективное отображение. Если <&~ — плоский над Y,
то инъективно отображение
0
где f?(a) есть индуцированный необратимый элемент в @х.
Но тогда умножение на /*(а)" дает инъективное отобра-
отображение &х ПРИ всех п> и. следовательно, ни один s?<&~x
не аннулируется идеалом, примарным для тх.
Более точный результат можно найти у Бурбаки
[1, гл. IV]. Именно, если ^—плоский над К, то
^, где y = f(x).
На самом деле справедлив даже более сильный результат,
использующий понятие глубины. Напомним
Определение. Пусть О — нётерово локальное
кольцо, и пусть М есть 6-модуль конечного типа. Тогда_
глубина М [d (М)] равна d, если имеется точно d элементов
в каждой максимальной Ж-последовательности fv ..,, fd
[т. е. в каждой последовательности fx% .'.., fd ^ m, такой,
что
Заметим попутно, что, например, глубину самого О
следует рассматривать как меру топологической сложности
особенности в замкнутой точке спектра Spec (О): если глу-
глубина максимальна, т. е. равна размерности О, то О, в не-
некотором слабом смысле, неособенно, в то время как при
глубине, намного меньшей этой размерности, особенность
очень велика. Связь глубины со свойством «плоскости*
доставляет
Теорема. Для всех точек х?Х, $ля которых
?Гх — плоский модуль над @у, y = f(x), имеем
есть <дх1ту(дх-ыод,упъ; см. EGA 4, § 6.3).

Свойства морфизмов и пучков 61
Пример 2. Предположим дополнительно, что Y —
„неособая кривая", т. е. @у есть регулярное локальное
кольцо размерности 0 или 1 для всех у ? У. Тогда имеем
обращение:
Предложение 6.
/пучок &
I шюссий над У}Щ М
[где @у размерности 0J
Доказательство. Мы уже доказали „=ф". Пред-
Предположим теперь, что пучок <^Г не плоский над К, т. е.
для некоторой точки х ? X слой $~х не плоский над @у,
у-= f (х). Тогда 0у должно иметь размерность 1; пусть
(я) с: 0у — его максимальный идеал. Но S"х плоский
над ©у тогда и только тогда, когда умножение на /* (я)
дает инъективное отображение в <&"х. Поэтому существует;
такой элемент s ? ??х, что /* (я) • s = 0. Пусть
и пусть #> — простой идеал в 0Х, минимальный среди тех
простых идеалов, которые содержат 91. Согласно предло-
предложению 1 из лекции 3, существует единственная точка
х' ? X, такая, что х лежит в замыкании х' и 0Х- — (@Х)Р-
Относительно заданного гомоморфизма
©у —> ©х "> ©х1
прообраз максимального идеала nv есть в точности ту,
так как /* (я) ? 2t с #>. Согласно замечанию, сделанному
к теореме 1 в лекции 3, это означает, что f(x') = y;
рассмотрите, например, диаграмму
Spec (@х) <=-> X
Spec @y) =-> Y
Утверждение будет поэтому доказано, если мы установим,
что х' ? А (^"). Но идеал 910*- примарен для максигмаль-
ного идеала т** с: 6Х' и аннулирует индуцированное се-
сечение s'?qTX', ч. т. д.

62 Лекция 6
Пример 3. Теперь рассмотрим случай конечного
морфизма X —?¦> Y (У — нётерова схема) и когерентного
пучка <&" на X. Непрерывность ^ на К выражается
в следующем свойстве:
Предложение .7.
плоский над К}ф^{^(^" локально свободен над К}.
Доказательство. Результат локален на К, по-
поэтому предположим, что Y = Spec E); тогда X = Spec (А),
где А есть В-алгебра, и притом конечного типа как 5-мо-
5-модуль. Пусть eF" соответствует конечному Л-модулю М.
Если ^"—плоский над Y, то М плоский над В, следо-
следовательно, для всех простых идеалов #> с: В модуль
Мр = М ®вВр плоский над 5р, т. е. / (^") = Жр пло-
плоский над ©у = Вр. Но модуль конечного типа над нёте-
ровым локальным*кольцом является плоским тогда и только
тогда, когда он свободен. Поэтому существует изоморфизм
0у-модулей
<%¦*/.ипУ-
Но такой гомоморфизм индуцируется гомоморфизмом
в некоторой окрестности у; кроме того, ядро и коядро,
имеющие нулевые слои в у, также обращаются в нуль
в окрестности у. Поэтому /,(<^~) локально свободен.
Обратное очевидно, так как слой <&~х в точке х ? X
есть локализация ©/^-модуля /»(<&")* ,ху
Пример 4. Будем анализировать дальше ситуацию
примера 3 для случая редуцированной и неприводимой
схемы Y. Пусть у ? Y. Слой / над у определяет диаграмму
/Х.у
X*

Свойства морфизмов и пучков 63
и/ на А" индуцирует пучок ^у на Ху. Говоря алге-
алгебраически, если Y = Spec E), Л^ Spec (Л) и ?? соот-
соответствует Л-модулю М, то у появляется из простого
идеала fa В, е%? (у)— поле частных для кольца
Так как Л есть конечный 5-модуль, то
является конечномерной коммутативной алгеброй
Заметим прежде всего, что
(*) Г(*у, ?-у)^/,{&•)®бк^(ji]SAl®^(у)
(см. предложение 3 этой лекции).
Предложение 8.
[о?~ плоский нал Y] 4ф
фф Гу ~> dim^ . . / (<^~) ®$№(у) — постоянная функция].
Доказательство. Часть „гф" следует из утвержде-
утверждения 7, потому что Y неприводима и, значит, связна. Для
доказательства „4=° достаточно показать, что /,(<^г')у
является свободным 0у-модулем для всех у ? Y. Для про-
простоты мы рассмотрим лишь случай, когда ®у — область
целостности.
Лемма. Пусть А—нётерова локальная область
с полем вычетов k и полем частных К. Пусть М — ко-
конечный А-модуль. Тогда
[dim# М ®А К = dimftM ®A ft] =^ [М — свободный Л-модуль].
Доказательство. Заметим, что если тс Л—макси-
Л—максимальный идеал, то Ж ®А k = Ж/т • Ж. Пусть- /, /„ —
те элементы из Ж, чьи образы ft в Ж/т • Ж образуют
базис над k. Тогда /, определяют гомоморфизм ср:
(•) 0->г,->Л"-5^Ж-»-Л/->0
(L и N — соответственно ядро и коядро). Умножая тен-
ворно на k, получаем
Ля-2-». Ж/т ¦ M

64
Лекция 6
Но ф . сюръективно, так как ft порождают Ж/т • N; по-
поэтому N = m-N. По лемме Накаямы N = @). Умножим
теперь (*) тензорно на К. Так как К плоско над А, мы
получаем
О -> L ®А К т-> К" -> М ®А К -у 0.
По предположению. К" и М ®д К являются /С-векторными
пространствами размерности п. Поэтому L ®А К = @),
т. е. L — периодический модуль. Но поскольку LtzA",
это значит, что L — @), ч. т. д.
Пример 5. В заключение рассмотрим два вполне
конкретных случая:
(I) Y = Spec(k [y]),
X = Spec (k [x]),
у — x2
(k алгебраически замкнуто)- ' ~
Тогда, если {pck[y]—максимальный идеал (у — а2), то
а=?0,
а = 0,
k [x)№ -k[x] = k [х]/(х — а)ф k !*]/(*+а),
k[x\lf -k\x\^k 1х]Цх2), .
и оба эти кольца представляют собой коммутативные
алгебры размерности 2 над полем k. Ввиду того что это
число постоянно, / — плоский, морфизм. (Следовало бы
еще проверить незамкнутые точки на Y.)

Обзор теории когомологий 65
Если fck^x\, xxxv xQ—максимальный идеал (х\ — а2,
ххх2— ар, х\ — р2), то находим
x2]^k[xv x2]l(x1—a, x2 —
Ф k [xv x2\j{xx + a,
когда a или р Ф 0,
k\xv x2]№-k[xv jc2lsft + Jfi* + *8*
когда a = p = 0.
В первом случае получается коммутативная алгебра раз-
размерности 2, во втором — алгебра размерности 3. Поэтому
/ — неплоский морфизм.
ЛЕКЦИЯ 7
Обзор теории когомологий
когерентных пучков на Р„
Пусть, как и раньше, Pn = ProjZ[ro, ..., Гп]и0A) —
канонический пучок на Р„; отождествим Го Тп с се-
сечениями пучка 0A). Для любой схемы 5, чтобы упростить
запись, положим
на Р„ X S и
Если (^" —^когерентный пучок на Р„ X 5, положим
7\ = индуцированное сечение
1°. Результаты Серра. Обратимся сначала к легко обо-
обозримому случаю 5 = Spec (А), где k — поле. Зафикси-
Зафиксируем пучок <&" (по-прежнему когерентный) и обозначим
PnXSpec(fc) через Рп>к. Имеем:
5 Д. Мамфорд

66 Лекция 7
A) Я'(Pn> ft, <?Г) является конечномерным векторным
пространством над полем k для всех /; оно равно @)
при I > п.
B) Для всех пучков <&~ существует т0, такое, что
если т > т0, то Н1 (Р„_ к, <&" (т)) = @), / > 0, и <^Г («)
порождается как 0? -модуль своими глобальными се-
сечениями.
л
C) 2(—1)'dimft//'(Р„ ь, <&"(т)) является многочле-
/-о
ном от т, называемым многочленом Гильберта пучка <$"'.
D) Рассмотрим функтор
оо
а: <Г->0Г(Р
Здесь <^" — объект категории ?* когерентных пучков
на Pnft, а а(^") — объект категории ^' градуирован-
градуированных \ [То Г„]-модулей конечного типа. (Если
^6Г(Р„ ft, <iK(m)), то Гг • t представляет собой сечение
Tt пучка <^"(т)®0A)^^Г(«+!)•)
Морфизм в категории ST' определим так:
., (Ж, N) =
= lim ПОГПсохраняюшие [фт> /п0 "*/я» ©"> > "io "ml1
>¦ градуировку
/По
Тогда а является эквивалентностью категорий; в частности,
а „точен и переводит морфизмы в морфизмы. В основе
доказательства этого лежит явное построение функтора,
обратного к а. Этот функтор представляет собой обобще-
обобщение на градуированный случай операции --, применявшейся
в аффинном случае. Начнем с градуированного модуля М
конечного типа над k [TQ Г„].-Для данного i обра-
образуем тензорное произведение
пусть М$] — его подмодуль степени 0. Тогда Л$' является
модулем конечного типа над аффинным координатным
кольцом к [TttjTl TJTil пространства (Р„)г . Можно

Обзор теории когомологий 67
проверить, что пучки М^ на аффинных пространствах
склеиваются обычным образом; результатом является М,
что и дает обращение а.
E) Прежде чем продолжить обобщения, мы попытаемся
описать общие принципы теории когомологий. Когомоло-
Когомологий пучков применительно к геометрии используются как
инструмент для анализа связи между локальной и глобаль-
глобальной структурой пространства. Именно, пусть задан какой-
нибудь тип локальных данных; множество всех таких
локальных данных образует пучок, и его группы когомо-
когомологий представляют собой последовательность инвариантов,
описывающих, насколько .скручены" могут быть эти дан-
данные с глобальной точки зрения. Существенно здесь сле-
следующее: (а) эти группы почти всегда легко вычислимы;
(б) препятствиями для проведения глобальных конструкций
являются элементы таких групп когомологий.
В случае алгебраической геометрии объектами, инте-
интересными с глобальной точки зрения, являются глобальные
сечения когерентных пучков. Они возникают, например,
когда мы хотим определить, сколько функций существует
на некоторой схеме с заданными полюсами, в какие про-
проективные пространства может быть вложена данная схема,
сколько глобальных дифференциальных форм данного типа
существует на некоторой схеме, а также в вопросах,
связанных с инфинитезимальными линейными формами
многих нелинейных проблем существования. Но для того,
чтобы вычислишь векторное пространство сечений коге-
когерентного пучка <&" на проективном пространстве Р„, надо
преодолеть существенную трудность, заключающуюся в том,
что функтор сечений Г не является точным справа. Это
понимали итальянские геометры, в работах которых, как
мы теперь понимаем, уже появлялись, хотя и косвеннно,
объекты, тесно связанные с группами когомологий высо-
высокого порядка.
Следует указать, что новомодные определения кого-
когомологий через стандартные резольвенты и производные
функторы, особенно в категории всех пучков, которые
выглядят неподдающимися вычислению, являются всего
лишь техническим приспособлением для упрощения чьей-
нибудь общей теории. С таким же успехом можно
б»

68 Лекция 7
рассматривать когомологии когерентного пучка на Р„ как
сателлиты функтора Г в категории когерентных пучков.
(Выражаясь техническим языком, когомологии сти-
стираемы в этой маленькой категории.) Например, группа
И\Ри 0р,(—2))^ к — это просто коядро в последова-
последовательности
О-*Г(РЬ @Pl(-2))-*rXPi, еР|(—1))-
происходящей из точной последовательности пучков
> О
Яа Pj, где ?%>(х) — пучок с носителем, сосредоточенным
Лишь в точке х, в которой 7^ = 0, заданный модулем,
являющимся полем классов вычетов кольца 6Х.
Мы должны для дальнейшего напомнить следующие
факты о когомологиях пучков 0р (от):
Hlpn,k, ©р„(от)) =
@), если 0 < / < П,
@), если 1 = п, /И>— ft — 1,
@), если /=0, ОТ<0,
векторное пространство
с базисом, заданным
одночленами от То, , . ., Т„
степенн /И, если / = 0 И ОТ
2°. Глобализация Гротендика
Предположим теперь, что 5 — некоторая нётерова схема
и <^" -г- снова когерентный пучок на Р„ X 5. Пусть
р: Pn)><^S->S — проекция. Тогда
A) RlP,(<&~) когерентен для всех / и равен @),
если i > п;
B) для всех <&~ существует щ, такое, что если
-+-<&~(т.) — сюръективный гомоморфизм;
C) рассмотрим функтор
т-0

Обзор теории кагомологий 69
Здесь $~ — объект в категории S? когерент-
когерентных пучков <3рлх5-модулей, а а(<^")—объект
в категории '€' квазикогерентных пучков граду-
градуированных 6S[TQ, Tv .... Г„]-модулей конечного
типа, где морфизмы задаются так:
Homr {oM, JD =
= 111П НотСОХраняющие [фт > т0 Owm> ©т > т0 eWm\ •
>• граду нровку
/По
Тогда а есть эквивалентность категорий.
Действительно, обратный к а функтор ~ строится
точно так же, как в Г. Начнем с пучка о/И, на S. Для
простоты предположим, что 5 — аффинная схема, скажем
5 = Spec(/?). Тогда <М — это не что иное, как градуиро-
градуированный R [Го Г„]-модуль конечносо типа. Для всех /
положим
оА$ = компонента степени 0 модуля (о# ® д [Г] /? I 7\) Тп, jr I J.
Тогда <М склеивается из пучков а$/' над
3°. Связь высших прямых образов с когомологиями
НА СЛОЯХ
Главная трудность использования результатов из 2°
заключается в вопросе о связи пучков Rlp% (<&~) с- ког.о-
мологиями слоев проекции р. Так, пусть $?S, и пусть
РЛ1^ — слой р над $; предположим, что <^" индуцирует
когерентный пучок <&~s на Pn> r Существует ли какая-либо
связь между
RlP. i&~) ® «Я? (в) и Н1 (Рл> „ dT,).
Это — частный случай более общей проблемы: задано
„расширение базы" g: X—>S, рассмотрим диаграмму
X

70 Лекция 7
Какова связь между
для когерентного пучка ^" на Р„ X •$? Для любого
открытого множества UcS имеют место гомоморфизмы
откуда находим гомоморфизмы пучков
Если для каждого g это изоморфизм, то мы будем
говорить, что R'pt коммутирует с расширением базы.
Прежде всего, существует простой „стабильный* ре-
результат для того случая, когда <&~ достаточно закручен:
(.1) для любого <&~ и любого X—+S существует
такое т0, что если т ^ т0, то
(разумеется, оба множества высших прямых обра-
образов равны нулю).
Идея доказательства. По существу, это—утвер-
это—утверждение о совместимости эквивалентностей категорий а»
и ах с тензорными произведениями. Над 5 пучок &
определяется пучком градуированных ©$ [То Тп]-
модулей
ffl-0
а пучок А*((^") над X определяется пучком градуирован-
градуированных ©X[TQ, ..., Г„]-модулей:
ф ?.[
Ш-О
Нужно установить, что естественный гомоморфизм из
g*(att) в J\T является изоморфизмом в нашей странной
категории, где любым конечным числом однородных ком-

Обзор теории когомологий 71
понент морфизма можно пренебречь. Для доказательства
применим функтор ~->, обратный к а! Так как as и
ах — эквивалентности категорий, достаточно доказать, что
Но это — непосредственное следствие из определения функ-
функтора — [подробнее см. EGA 2, 2.8.10, когда'Л", 5—аф-
5—аффинные, и 3.5.3 в общем случае].
Однако, чтобы получить по-настоящему точные соот-
соотношения между этими высшими прямыми образами, мы
должны рассмотреть случай, когда <&" является плоским
над S.
B) Предположим, что пучок <&"—плоский над 5 и
что для некоторого / и некоторой точки $Q?S
гомоморфизм
&в (s0) -> Н1 (Р„,,,, <?\)
сюръективен. Тогда существует открытая окрест-
окрестность U точки s0 ? S, такая, что для любого рас-
ширепия базы g: X—>U гомоморфизм
g* Rl
является изоморфизмом (см, EGA 3, § 7.7).
C) При тех же предположениях, что и в B), полу-
получается, что гомоморфизм
& (so) -* Я' (Р„,,,. ^-1§).
также сюръективен тогда и только тогда, когда
/?'/>, (е?*) есть свободный пучок ©^-модулей в не-
некоторой окрестности s0 (см. EGA 3, § 7.8).
Следствие 1. В плоском случае, если
Hj+i(Vn,St, (^\) = @), то существует открытое мно-
множество С/с5, содержащее $0, такое, что для g: X -> U
^* R'4. (А* С
В частности,
RJP. (сУ) ® &в («>-<*¦ И' (Ря> s,
для всех s?U.

72 , Лекция' 7
Доказательство. Используем C) для Iг= у-{- I,
а затем B) для l = j.
Следствие 1 —. В плоском случае, если Rlp, (<^)=г
@) для всех I > /0, то И1 (РЯ) s, 4f s) — @) для всех
и всех
Доказательство. Применим следствие 1 сначала
для j = п, чтобы доказать, что Н" (РП| s, ^s) = @) при
всех * ?5, а потом то же следствие для j = п — 1, чтобы
доказать, что //""'(Р,,^, <^*^) = @) при всех s^S, и т. д.
Следствие 2. В плоском случае, если задан ко-
когерентный пучок $ на S и гомоморфизм <р из cf
в pt(<&~)> такой, что индуцированное отображение
есть изоморфизм при всех s, то <р — изоморфизм,
& — локально свободный пучок и для всех g
Доказательство. Применим B) для 1 = 0 и C)
для 1 = 0, а потом воспользуемся леммой Накаямы.
Следствие 3. Когерентный пучок <&~ на Р„ X S
является плоским над S тогда и только тогда, когда
существует т0, такое, что при т^т^ пучок pt{^~(т))
локально свободен. Следовательно, в этом случае по-
полином Гильберта для 4f s на РЯ) s локально постоянен.
Доказательство. Если $~ — плоский пучок над S,
то пусть т0 настолько велико, что Rlpt (^ (т)) = @)
при I > 0, т ^ т0. Используя следствия 1 и 1 —¦, получаем,
что р,(ъГ {т))®4%! (s) отображается на Я0(Pn> s, <&~s(m))
для всех s, т > т0. Тогда, согласно C), р„ (^ (т)) ло-
локально свободен. В качестве обращения получается, что
т=0

Обзор теории когомологий 73
является плоским &s-модулем после опускания конечного
числа компонент. Опять используя операцию ~, обратную
к а, немедленно получаем, что ^ определяется над под-
подходящими аффинными множествами модулями, которые
строятся в 2 шага: (а) путем локализации а(<^0 относи-
относительно Тг и (б) перехода к подмодулю степени 0, кото-
который является прямым слагаемым. Они, конечно, плоски
над 6S, если а(<^~) — плоский; следовательно, <&~—пло-
<&~—плоский над 5 (см. EGA 3, 7.9.14), ч. т. д.
Следствие 4. Проекция р: Р„ X5 —>• 5 тополо-
топологически замкнута.
Доказательство. Пусть ZczPny,S — замкнутое
подмножество. Пусть $~—структурный пучок редуци-
редуцированной замкнутой подсхемы с носителем Z. В соот-
соответствии с 2° выберем т0 таким, что отображение
Р*Р,(&"(т)) —>$"("О сюръективно, если т^т^. Я ут-
утверждаю, что
p(Z)=f] Supp [р„ {& (т))].
т > т0
Так как сечения пучка pt {<&~ (/я)) порождают З" (т.),
то, во-первых, р,((^"(т))аФ@) для любого s^p(Z).
Поэтому p(Z) содержится в этом пересечении. С другой
стороны, предположим, что s(fcp(Z); тогда ^"^ = @).
Согласно результату A) в п. 3°, для достаточно боль-
большого т
P.if (m))®3V(s)-*+ Н°(Рл>„ ^Г(m)s) = @);
следовательно, по лемме Накаямы /
Следствие 5.
*'/>. (©(«))=¦
@),
@).
свободный пучок
©j-модулей с базисом,
заданным одночленами
от Т0 Тп
степени /и, ,
если
если
т>
если
0<1<п,
1 = п,
— я-1.
1 = 0.
Доказательство. Используем 3°, B) и C), и 2°, E)

74 Лекция 7
4°. Стоит дать один .нетривиальный пример к этой
теории:
A) Пусть я=1, 5 = Spec k [t], k — алгебраически
замкнутое поле, Pj XS = Proj k[t, To, 7\]; пусть
R = k[t, To, TJ.
B) Для всех целых m и градуированных /^-модулей М
положим М (т) равным такому /?-модулю, что
C) определим градуированный модуль М так:
[/?®/?ф/?(— 1) по модулю влемента (TQ, 7*j, t) степени 1],
Положим -(&~ = М. В соответствии с его определением
как модуля $~ есть коядро в последовательности
где \]) = G'0, Tv t) (тензорное умножение на Tt отобра-
отображает ©plXs(ft) в eplXi(A-j- I). a умножение на обычную
функцию t отображает 0p,xs(A) в ©p,xs(&))- Так как
отображение \])^, заданное тензорным умножением \]) на
?№ (х) (х 6 Pi X 5), всегда отлично. от 0, то af — ло-
локально свободный пучок ранга 2, плоский над 5.
D) Пусть 0?S — точка ?=0. Тогда индуцированный
пучок <^~0 определяется так:
и, как легко проверить,
С другой стороны, если s^5 есть й-рациональная точка,
где /=а^=0(а?А), то диаграмма
0->©р,(— \)-*±+@
1 I'. 1
; _> 0

Уплощающие разбиения 75
где ф, задается B X 3)-матрицей
'1 0 — То
,0 1 -7у
определяет изоморфизм 4Fs с ©p,®0p,.
E) Когомологически интересное утверждение состоит
в том, что
т. е. рф не является эпиморфизмом Н° вдоль слоя; это
согласуется с общей теорией, потому что
т. е. пучок сконцентрирован в t=0, и слой как модуль
является полем классов вычетов k0 кольца ©0) s.
[Для того чтобы это доказать, рассмотрим точную
последовательность
где ZcPjXS — замкнутая подсхема ^ = 0, воспользу-
воспользуемся результатами из 3° для подсчета /?гр,(<^") и кого-
когомологической последовательностью.]
ЛЕКЦИЯ 8
Уплощающие разбиения
Задача, которую мы хотим рассмотреть, заключается
в следующем. Пусть задан когерентный пучок ?? на
Р„ X S, где 5 — нётерова схема; для всех морфизмов
X -?--> S определен индуцированный пучок:
<?"*=ApX ?)*<?" на Р„Х*-
Можно ли описатЬ множество всех морфизмов g, таких,
что пучок <^"g плоский над X} Чтобы ответить на этот
вопрос, дадим прежде всего

76 Лекция 8
Определение. Разбиением схемы S называется
конечное множество St S"m локально замкнутых под-
подсхем S, таких, что.каждая точка s?S находится точно
в одном подмножестве 5г.
Теорема. В описанной выше ситуации сущест-
существует такое^ разбиение Sv .... Sm схемы S, что для
морфизма X-?¦¦*¦ S (X — нётерова схема) пучок &g
является плоским над X тогда и только тогда, когда
морфизм g представляется в виде
Мы будем называть это разбиение уплощающим. Если
оно существует, то, очевидно, оно единственно. Анало-
Аналогичная проблема возникает, когда Р„ X S заменяется про-
произвольной схемой Y, собственной над 5. Гротендик до-
доказал для этого случая несколько более слабую теорему,
но гораздо- более глубокими методами.
1°. Рассмотрим сначала случай п = 0: g" — когерент-
когерентный пучок на схеме 5. Тогда ?Гg п-редставляет собой
просто ?*(<2?~) и является плоским над X тогда и только
тогда, когда он локально свободен над X. Для всех s ? 5
положим
е (s) = dimgets) {&~s ®е^ (s)).
Зафиксируем на время точку s, положим e = e(s) и
выберем элементы alt .... ae?o?~s, образы которых
в &"s& &в (s) составляют базис этого векторного про-
пространства. Тогда элементы аь продолжаются до сечений <&"
в некоторой окрестности Ux точки s и определяют гомо-
гомоморфизм
в Uv Так как at порождают <&~s(& i?6(s), то по лемме
Накаямы at порождают слой ^"s. Поэтому гомомор-
гомоморфизм ф сюръективен в (возможно) меньшей окрестности U2
точки s. Переходя к еще меньшей окрестности U3, мы
можем предположить, что Кег(<р) порождается »своимн

Уплощающие разбиения 77
сечениями над ?/3 и мы построили точную последователь-
последовательность
?^ &*> о
в ?/3 (при некотором /). Обозначим Ub через Us.
Заметим прежде .всего, что of" порождается e(s) сече-
сечениями всюду в U3, следовательно:
если s' ? Us, то е (s') <! е (s),
т. е. е полунепрерывна сверху. Поэтому множество
локально замкнуто. Более того, если s'?Us, то
= e(s) тогда и только то'гда, когда гомоморфизм
равен 0. Поэтому, если \]) выражается (е X /)-матри-
цей tl?^ из функций на Us, то замкнутая подсхема Ys
в t/^, определенная идеалом {ф//)все t ,, имеет носителем
Ze П ^,. Я утверждаю, что Ys обладает следующим
свойством:
(*) Если X—&->Us—любой морфизм (X — нётерова), то
* i0~
s
— локально свободный пучок ранга е = е (s)
тогда и только тогда, когда g можно провести черев
замкнутую подсхему Yr
Доказательство. Морфизм g проводится через К,
тогда и только тогда, когда все функции ?*01>*,/) равны 0
на X, Но, так *ак последовательность
точна на X, это эквивалентно утверждению, что
является изоморфизмом. Конечно, в свою очередь, отсюда
следует, что g*(o?~) локально свободен ранга е; обратно,
пусть g*(oF) локально свободен ранга е, и пусть ©—ядро
гомоморфизма #*(<}>). Умножая тензорно на поле вычетов k
в любой точке х ? X, находим

78 Лекция 8
Так как g*{^")®k есть ^-векторное пространство раз-
размерности е, то @ <g> k = @), следовательно, по лемме
Накаямы, © = @) в Окрестности х. Поэтому © = @)
всюду и ?*(ф) — изоморфизм.
Заметим, что свойство (*) характеризует подсхему Ys
в некоторой окрестности любой точки из Ze(] Us. Поэтому,
если sx и s2 — две точки из Ze, то в открытом мно-
множестве Us> П USl эти две подсхемы YSl и YSi совпадают.
Другими словами, подсхемы Ys склеиваются, что позво-
позволяет снабдить локально замкнутое подмножество Ze
структурой подсхемы. Обозначим эту подсхему через Ye.
Набор таких [Ye] есть разбиение схемы 5, и, в силу (*),
немедленно получаем, что \Ye) является уплощающим
разбиением для $~.
В п. 3° нам понадобится следующее замечание: мы
доказали больше, чем существование уплощающего раз-
разбиения [Ye\; мы смогли даже перенумеровать подсхемы Ye
так, что <& ®6s6ye — локально свободный пучок ранга е.
2°. Прежде чем приступить к общему случаю теоремы,
приведем один изящный образчик результатов „трудной"
алгебры (см. EGA, гл. IV, § 6.9), доставляющий некото-
некоторую зацепку для начала.
Предложение. Пусть X-?»Y — морфизм ко-
печного типа нётеровых схем, и пусть $~—когерент-
$~—когерентный пучок на X. Предположим, что Y редуцирована
и неприводима. Тогда существует непустое открытое
множество UczY, такое, что ограничение пучка <&~ на
f~l(U) плоско над U.
Доказательство. Мы, очевидно, можем заме-
заменить Y некоторым аффинным открытым подмножеством
Spec (Л), и так как схема X покрывается конечным числом
аффинных открытых подмножеств Vt, достаточно найти
одно U для каждого Vt так, чтобы в этом открытом
аффинном куске <&" был плоским над U. Поэтому пусть
X = Spec (В), пусть / превращает В в Л-алгебру и пусть $~
соответствует Б-модулю М. Докажем следующее утвер-
утверждение:
(*) Существует элемент а?А, такой, что Ма^=
= М®ААа есть свободный Аа-модуль.

Уплощающие разбиения 79
Заметим сначала, что если
О _»?_>. Ж->N-у О
— точная последовательность В-модулей и La свободен
над Аа, Nb свободен над Аь, то МаЬ свободен над АаЬ.
Для того чтобы это использовать, напомним, что Ж, бу-
будучи В-модулем конечного типа, допускает композицион-
композиционный ряд
каждый фактор которого Ml?-ljMl изоморфен Bjft для
некоторого простого идеала ftcB (Бурбаки [1, гл. 4,
§ 1, п. 4J). Поэтому достаточно доказать (*) для Bjft,
и тогда все будет доказано для любого Ж.
Итак, мы можем предположить, что Ж = В и В —
область целостности. Пусть К — поле "частных кольца А
и L — поле частных кольца В.' Мы докажем (*) индук-
индукцией по степени трансцендентности и поля L над по-
полем К. Применим сначала нормализационную лемму Нётер
к К-алгебре В®АК: из нее вытекает, что существуют я эле-
элементов /, /nffl, таких, что В®ДК—целое рас-
расширение кольца многочленов K\fv .... /„]. Тогда,
хотя В и не обязательно целозависимо над A [fv .... /„],
существует лишь конечное число знаменателей, встреча-
встречающихся- в соотношениях целой зависимости для образую-
образующих В над К[fv ..., /„]; поэтому для некоторого а?А
(**) Ва целозависимо над Aa\fx /„].
Тогда Ва есть Аа[/1 /я]-модуль конечного типа;
следовательно, мы можем найти т элементов cv ...
..., ст?Ва, порождающих свободный Aa[fv .... /„]-
подмодуль в Ва, такой, что фактор есть модуль кручения
Но Aa\fv... , /т)т, очевидно, есть свободный /^-модуль,
так что достаточно доказать (*) для D. И, наконец, за-
заменяя D факторами подходящих композиционных рядов,
мы сведем доказательство (•) к случаю целозависимых
Л-алгебр В' степени трансцендентности меньшей, нем п,
над 4,

80 Лекция 8
3°. Нам осталось разобрать общий случай: когерен-
когерентный пучок <^~ рассматривается над Р„ X 5. Пусть р —
проекция Р„ X S на S; положим
Во-первых, заметим, что
(*) Существует конечное число локально замкнутых под-
подмножеств Y1 Yk в S, таких, что 5= [}Yi, и
таких, что если Yt придана структура редуцирован-
редуцированной подсхемы, то пучок <&" ® б &у1 плоский над Yt.
Доказательство. Утверждение немедленно сле-
следует из 2° и условия обрыва убывающих цепей для зам-
замкнутых подмножеств из 5.
Отсюда мы выведем несколько упрощающих дело
фактов.
A) Существует постоянное п^, такое, что если т ^>/и0,
то для всех s?S имеем Н1 (РЯ) s< ??s(m)) = @)
при / > 0 (обозначения такие же, как в лекции 7)
и "пучок ^m®S^(s) изоморфен W°(PB>i) dTs.(in)).
Доказательство. Это следует из (*) вместе с ут-
утверждением B) для базисных схем Yt из п. 2° лекции 7,
а также следствием 1 -j и утверждением A) для случая
включения YtczS из п. 3° той же лекции.
B) Только конечное число многочленов Рг Рь
встречаются как гильбертовы многочлены пуч-
пучков 4Fs на слоях Рл> • над 5'.
л>
Зафиксируем т0, как в A), и пусть g: X-+S — лю-
любое расширение базы (X — нбтерова схема). Предполо-
Предположим, прежде всего, что пучок ,&~g на Р„ X X плоский
над X. Тогда, согласно следствию 2 из п. 3° лекции 7,
каноническое отображение
S* &J -* Ч* №ж (ж)). т >т0,
есть изоморфизм и g*(tfm) локально свободен над X
(где q\ РпХ. X->X — проекция). Обратно, предположим,

Уплощающие разбиения 81
что ^(^т) — плоский для всех /и>/»0, тогда, согласно
следствию 3 из п. 3° лекции 7, пучок <&~g — плоский
над X.
Для любых двух разбиений схемы S определено их
н. о. д.-разбиение, а именно, если
то 5 является также и объединением локально замкнутых
подмножеств Wtj=^ Supp (Yt)(\ Supp (Zj), и множество W(j
можно снабдить структурой схемы, взяв сумму пучков
идеалов, определяющих Yt и Zj. Из результатов п. 1°
следует, что каждый из когерентных пучков Wm имеет
соответствующее уплощающее разбиение. Мы только что
доказали, что уплощающее разбиение для <^~ по суще-
существу совпадает с н. о. д. уплощающих разбиений для
всех &т при т >/я0- Точнее, пусть к?т) — компонента
уплощающего разбиения cfm, на которой efm становится
локально свободным пучком ранга е. Пусть Pv ... , Pk —
многочлены Гильберта из B). Тогда я утверждаю, что
для всех I
*|= П »1?W
т—пц
имеет смысл. Каждое конечное пересечение представляет
собой, как мы только что объяснили, локально замкну-
замкнутую подсхему. Но в теоретико-множественном смысле
Щ+п
SuppZ,- f| Supp(K^(m)).
Доказательство. Пусть .s—точка, принадлежа-
принадлежащая Y(p\m) для п-\- 1 значений т. от т0 до та-{-.п. Пусть
Pj — многочлен Гильберта пучка 4F'a на PBi s. Так как
высшие когомологии пучка <&^s, согласно B), обращаются
в нуль, получаем
Pj («) = dim^ (.) %m%ffl (s) -ш> Р, (т).
Ho Pt—Pj имеет степень не больше и « я+1 ну'лей.
Следовательно-, этот многочлен есть тождественный нуль,
ч. т. д.
@ Д. Мамфорд

82 Лекция 9
Таким образом, Zt является пределом убывающей це-
цепочки локально замкнутых подсхем с фиксированным
носителем, т. е. замкнутых подсхем в фиксированном
открытом множестве U. Ввиду свойства обрыва цепочек
для замкнутых подсхем Zt на самом деле является ко-
конечным пересечением.
Теперь ясно, что Zx, .... Zk—уплощающее разбие-
разбиение для пучка of над схемой 5.
Очевидное усиление этого результата заключается
в следующем:
Следствие. Пусть У-?> S — морфизм, который
может быть разложен так:
где I — замкнутое погружение. Пусть ^ — когерент-
когерентный пучок на Y; тогда <&~ определяет некоторое уп-
уплощающее разбиение [Z^ на S.
Другое важное следствие, которое получается при
помощи нашего метода доказательства: разбиение {Z(}
можно занумеровать многочленами Гильберта Р{ так, что
A) индуцированный пучок <^*®бДг, имеет много-
многочленом Гильберта Р{ на Ря X.Zt;
B) если .1ф J. то Р, ф Pj.
ЛЕКЦИЯ 9
Дивизоры Картье
1°. Пусть X — нётерова схема со структурным пуч-
пучком вх.
Определение-предложение. Существует
единственный пучок е%Гх (@х-модулей) на X, такой, чтд

Дивизоры Картье 83
для каждого аффинного открытого подмножества UcX
Г (?/, off у) = полное кольцо частных кольца Г (?/, ©v)i
« для ?/сУ ограничением является гомоморфизм ко-
колец частных.
Доказательство. Все легко сводится к следую-
следующему: пусть заданы ?/ = Spec(/?) и U/{ = Spec (Rijj),
где U/[t 1 < / < п, образуют покрытие U, т. е.
l?(/i /„)¦ Предположим, что az, #*€/?(/,). ft, не
является делителем нуля в Ry^ и {a(/ft, 11 <;*<>} со-
тласованы на U^Uj, т. е. ft^a,— afil равно 0' в Rtj.f \
Тогда мы должны найти такие a, fi?R, чтобы р не яв-
являлся делителем нуля в R и чтобы а^ — ра; обращался
в 0 в /?(/|).
A) Умножая а< и ft/ на /^ (для N~^>0 и всех /),
мы можем предположить, что все элементы ait
bt лежат в R и что albj=aJbi в /?.
B) ПОЛОЖИМ 21 = (Р ? /? 10Я/ ? идеалу (ft,) в /?,/) «л»
всех i}.
Тогда можно, проверить, что ftj ^лб^- Пусть
теперь c?R и с-21 = @). Тогда с • ft, = 0 при всех /.
Но ft, не является делителем нуля в R// \, так что с дол-
должно переходить в 0 в R//,\, т. е. /^•с = 0. Так как
/«)• то 9ТО означает, что с = 0.
C) Но так как R — нётерово кольцо, любое множе-
множество 21 с этим свойством содержит элемент р, не
являющийся делителем нуля. Отсюда получается, что
на самом деле Pa,/ft, является сечением пучка ©х
над U, следовательно, р • at/bj = a для некоторого
a?R, ч. т. д.
Заметим, что пучок <^СХ не всегда квазикогерентен!
Кроме того, можно проверить, что слои е2ГЛ пУчка еЯГ^ яв-
являются полными кольцами частных слоев ©х. Наконец,
6*

84 Лекция 9
мы можем определить <?С\ как подпучок единиц пучка
колец ейГх, т. е.
T(U, еТх) = обратимые элементы из Г (U,
Заметим, что6Х<=¦ <ЖХ и <dx
Определение. Дивизором Картье D на схеме X
называется сечение над X пучка c?Fxf(8x. Более конкретно,
дивизор Картье задается набором элементов
таких, что для каждой точки х существует открытая
окрестность U в X и элемент / ? Г (t/, еЗГх), который
индуцирует Dx для всех x?U. Этот элемент / будет
называться локальным уравнением дивизора D в окрест-
окрестности ?/; / определен однозначно с точностью до обра-
обратимого элемента из @. Дивизор Картье может быть
определен заданием локальных уравнений {/Д относи-
относительно открытого покрытия {U^, если frffj есть единица
в U,t\Uj.
Заметим, что множество всех дивизоров Картье об-
образует группу. Хотя групповой закон определяется ум-
умножением локальных уравнений, мы будем следовать
классической традиции и записывать его аддитивно; ?>, + D2
соответствует комбинации fi-ff1 локальных уравнений.
С дивизором Картье D связан когерентный подпучок
являющийся обратимым пучком ©х-модулей. Именно, для
всех х положим
где fx — элемент из <Жх> индуцированный локальным
уравнением / для D. Ясно, что это не зависит от выбора
/, и если / — локальное уравнение в U, то
®х \и
т @
умножение на /~'
есть изоморфизм пучков ©^-модулей.
Нетрудно проверить, что это дает в действительности
изоморфизм между множеством дивизоров Картье на X

Дивизоры Картье
и множеством обратимых когерентных подпучков пучка
Определение. Дивизор Картье D называется эф-
эффективным, если выполняется одно из следующих экви-
валентйых условий:
A) его локальные уразнения / являются сечениями @х;
B) excex(D)cJfx;
C) 6Х(—D)—пучок идеалов.
Мы будем писать D?-0 для обозначения эффектив-
эффективности дивизора D. Предположим, что D — эффективный
дивизор Картье, и пусть <dD обозначает коядро
(.) О->0Х(— О)~>0х->0д->О.
Если взять @D в качестве структурного пучка на топо-
топологическом пространстве, являющемся носителем @D, то
цолучится замкнутая подсхема в X; для упрощения за-
записи мы будем обозначать эту замкнутую подсхему также
через D. Поскольку эта замкнутая подсхема Определяет
свой пучок идеалов (дх(—D), который, в свою очередь,
определяет локальные уравнения / в ©х (через @х(— D) =
— / ' ®х)> т0 дивизор Картье D определяется замкнутой
подсхемой D и опасность спутать D с соответствующей
подсхемой невелика.
Кроме того, когда Db-О, образ s сечения 1 ?F(,Y, @x)
в Г (Л", ©X(D)) будет называться глобальным урав-
уравнением дивизора D. Действительно, для любого изомор-
изоморфизма модулей
©, (D) -^> ех
<f(s) является локальным уравнением D в х. Более того,
в точной последовательности (•) вложение ©х (— D) в ©х
можно интепретировать как тензорное умножение на $.
С дивизором Картье D связаны и другие понятия.
Определение. Носителем D называется замкнутое
подмножество, состоящее из тех л: ? X, в которых 1 не
является локальным уравнением.
Определение. Классом дивизоров дивизора Картье
D называется элемент из Pic (Л), являющийся образом D

86 Лекция 9
относительно кограничного оператора
Pic (Л),
который соответствует точной последовательности
Немедленно проверяется, что этот элемент из Pic (.Я)
представлен обратимым пучком @X(D).
Определение. Два дивизора Картье Dx и D2 на-
называются линейно эквивалентными (D{ г D2), если вы-
выполняется одно из равносильных условий:
A) ®x(Di) = @x(D2) как ©^-модули;
B) класс дивизора Dx совпадает с классом дивизора
D2;
C) существует элемент /?Г(ЛТ, аЙГх)> такой, что
/ • <дх (?>j) = @х (Аг) (как подпучки пучка е2Гх).
Определение. Пусть / ? Г (X, зЯ^х); дивизор
Картье с локальным уравнением / всюду обозначается (/).
Такие дивизоры называются главными, и при помощи
точной последовательности («•) можно увидеть, что Dl^ D2
тогда и только тогда, когда Dt = D2-)-(/) для некото-
некоторого /6Г(Л-, еЯГх)-
Предположим далее, что задан обратимый пучок J?,
и рассмотрим множество всех эффективных дивизоров
Картье D, чей класс дивизоров есть J?. Иными словами,
рассмотрим изоморфизмы а:
У2"
/ h
6xcex(D)c:srx
Считая, что ф есть композиция в этой диаграмме, мы
видим, что и, обратно, для каждого инъективного гомо-
гомоморфизма ф существует единственный дивизор Картье D,
такой, что ф продолжается до изоморфизма а пучков
©X(D) и J?, Дивизор D может быть определен, напри-

Дивизоры Картье 87
мер, равенством s = q>(l) и выбором локальных изомор-
изоморфизмов
Тогда образ s в Г (t/^, @x) является локальным уравне-
уравнением для D. >Как и выше, мы называем s?F(.rY, J2^
глобальным уравнением для D. Заметим, что инъектив-
ность ф соответствует тому, что s не является делителем
нуля. Это рассуждение приводит к следующему резуль-
результату:
Предложение. Для всякого обратимого пучка J3?
существует естественный изоморфизм
( эффективные дивизоры! f сечения S ? Г (X, J2F), не являющиеся!
J Картье D, такие,, что I ——-> J делителями нуля, с точностью до I
[бФ)^:? j \s~a-swa€r(X,6x) J
Пример. Пусть X = Pto]k[T0, ... , Тп], k — поле.
Тогда, как в лекции 5, на X определен пучок 0ХA) и
имеют место гомоморфизмы
(векторное пространство однородных ) ..rV
|форМ от TQ Т„ степени d] V
Поэтому каждая форма F (То Тп) степени d пред-
представляет собой глобальное уравнение эффективного ди-
дивизора Картье DcX, такого, что @хФ) = &х(с1). Ди-
Дивизор D называется гиперповерхностью с уравнением F
(или, если d=l, —гиперплоскостью).
2°. Дивизоры Картье тесно связаны с понятием глу-
глубины. Если г ? X — точка, .где <1(©г) = 0, то аЙГг = @г,
следовательно, (е2Г7©*)г = О) и кажДый дивизор Картье
тривиален в окрестности г. Примечательно, что дивизоры
Картье определяются их уравнениями в точках глубины 1.
Предложение. Пусть X — нётерова схема, Dv
D2 — два дивизора Картье на X. Тогда DX = D2 в том
и только в том случае, когда их образы в слоях
(в%*1@*)х равны для всех тех точек х, где глубина
l
Доказательство. Достаточно доказать, что об-
образы (Oj)jt и (?>?)х дивизоров Dx и D? равны во всех

88 Лекция 9
слоях пучка (аЗГ*/©*).,. Умножая оба' эти выражения на
подходящий неделитель 0 в @х, мы сведем это утвержде-
утверждение к следующему:
(*) Пусть заданы два главных идеала /j и /2, порожден-
порожденные неделятелями 0 в локальном нётеровом кольце О;
тогда /j=/2, если /, (О)р = /2 (О)р для всех локали-
локализаций (О)р глубины I. _
Но, разумеется, /j = /2, если /j (О)р = /2 (О)р для всех
простых идеалов f, ассоциированных с /, или /2. И если #>
ассоциирован с /1 = (а1), то в кольце (О)р элемент aj
есть неделитель 0 с тем свойством, что все необратимые
элементы в кольце (О)р/а1 (О)р являются делителями О,
т. е. d (Ор) = 1, ч. т. д.
Совершенно так же можно доказать, что дивизор
Картье D эффективен тогда и только тогда, когда он
эффективен во всех точках х, где глубина <1@*)=1.
Следствие. Пусть X — нормальная нётерова
схема, т. е. все локальный кольца @х целозамкнуты.
•Два дивизора Картье Dv D2 равны тогда и только
тогда, когда они равны во всех точках коразмерности 1.
Доказательство. По основной теореме теории
идеалов* нормальное локальное кольцо размерности Крулли
!> 2 имеет глубину ^ 2, ч. т. д.
Теперь до конца п. 2° мы будем предполагать, что
X — неприводимая нормальная нётерова схема. Если е2Г —
слой пучка @х в общей точке схемы X, -ш е%"х —это
просто постоянный пучок:
Г(?/, еЯГх^еЯГ при всех U.
Кстати, это доказывает немедленно, что Я1 (X, <Ж*х) =* ФУ,
следовательно, из точной последовательности (**), п. 1°,
мы получаем, что каждый обратимый пучок J2* на X
является классом дивизоров некоторого дивизора Картье.
Определение. Дивизором Вей ля на X называется
формальная сумма
±
±

Дивизоры Картье 89
где Ev ..., Еп — замкнутые неприводимые подмножества
коразмерности 1.
Для всех точек х ? X коразмерности 1 определим
пучок Zx:
vm т. i@)> еСЛИ X?U'
I (U, ?jr) = \
\ Z, если x 6 U.
Тогда можно проверить, что дивизор Вейля — это то же
самое, что сечение пучка
Ф7
х коразмерности \**х"
Существует каноническая точная последовательность
(***) о -> е'х -> <ж*х -> @х КОразмераоста ггх.
Именно, образ элемента f?T(U, е2Гх) = еЯГ* опреде-
определяется так:
2 ordx(/) • {х},
хкоразмерности 1
где otdx(f) — порядок / в х. Другими словами, пусть
U = Spec(R) и f=glh, где g, h?R. Положим
где рЛ — минимальные простые идеалы и.|РМ) есть ^-я „сим-
„символическая" степень идеала f [f{t)= R(\ (f • Rp)']. Тогда
образом / является
л
2 (S[ —1() {замыкание точки, заданной p^j.
Заметим, что если sl=t( для всех /, то (?) = (й) и, сле-
следовательно, /—обратимый элемент в R; это показывает,
что последовательность (*„*) точна.
Объединяя (**) и (*#*), мы получаем включение
следовательно, групна дивизоров Картье вкладывается
в группу дивизоров Вейля; это естественная интерпретация

90 Лекция 10
только что сформулированного следствия: если х ? X
имеет коразмерность 1 и (я)— максимальный идеал в <дх,
то слой дивизора Картье в точке х имеет локальное
•уравнение вида- лг, где г — некоторое вполне определен-
определенное целое число. Соответствующий дивизор Вейля является
тогда суммой по л: слагаемых г- {х}.
Предложение. Группа дивизоров Картье совпа-
совпадает с группой дивизоров Вейля тогда и только тогда,
когда все локальные кольца @х являются кольцами
с однозначным разложением, например, если X—ре-
X—регулярная схема. ¦
Доказательство. Эти два типа дивизоров совпа-
совпадают тогда и только тогда, когда гомоморфизм слоев
в (%*):
1
)
> [©г коразмерности 1^*]у
сюръективел. Но ведь это обычное отображение
( 8 ¦
I минимальные и простые
которое сопоставляет элементу f=g/h разность поряд-
порядков g и h во всех f. Оно сюръективно тогда и только
тогда, когда каждый f с^ является главным идеалом,
т. е. тогда и только тогда, когда ©х является кольцом
с однозначным разложением.
ЛЕКЦИЯ 10
Функтораальные свойства эффективных
дивизоров Картье
1°. Наиболее простая операция над дивизорами Картье-
конструкция обратных образов. Пусть X-?+Y — морфизм
нётеровых схем и D — эффективный дивизор Картье на Y.
Тогда совершенно ясно, как определить g* (D): зафикси-
зафиксируем открытое покрытие {Ut} схемы Y и локальные

Функториальные свойства 91
уравнения /,- для D в Ut, где fi^r(U(, @Y). Тогда g*(D)
должен быть определен локальными уравнениями g*(fi)
в открытом покрытии {?-!(?/,)}. Однако g*(f() может
быть делителем 0, даже нулем. Лучше всего предполо-
предположить, что
(*) ?<X>?Supp(D) для всех jc?A(A").
Тогда g*(ft) не является делителем 0 и g*(D) имеет
смысл.
Доказательство. Предположим, что ag*(f,) = 0,
где а?©х и jc ? X. Пусть х' — общая точка некоторой
компоненты носителя сечения а пучка ©х, определенного
в окрестности х; мы можем считать, что
х' ? Spec (©,) а X.
Тогда ©д.- имеет глубину 0, так как индуцированный
элемент а' ?@Х' аннулируется степенью максимального
идеала til*' (см. лекцию 8, 2°) и а' Ф 0. Но тогда х' ?А(Х)
и, следовательно, . g (x') t? Supp (D). Поэтому локальное
уравнение ft для D есть обратимый элемент над g (xr)
и, таким образом,' g*(ft) обратим в х'. Значит, в §х>
Это противоречие и дает нужный результат.
Отметим, что если g — плоский морфизм, то (*) вы-
выполняется автоматически. В самом деле, при плоском g
для всех точек х?А(Х) имеем g(x)?A(Y) (см. лек-
лекцию 6), следовательно, g (х) не принадлежит носителю
никакого дивизора Картье (лекция 8, 2°).
2°. Более интересный вопрос: когда можно определить
прямой образ gt(D) эффективного дивизора Картье D
на X? В этом пункте мы разберем „элементарный"
случай:
g—конечный и плоский морфизм.
Тогда g9 можно определить с помощью норм! Задача по
существу алгебраическая, так как она локальна на Y:
пусть U = Spec (Л) — аффинное открытое подмножество

92 Лекция 10
в К, и пусть ^^((Z) =s Spec (В). Тогда В есть /t-алгебра,
имеющая конечный тип как Л-модуль. Более того, так
как gt(@x) является локально свободным пучком на Y,
то для достаточно малого U и В станет также свободным
Л-модулем. Тогда мы можем определить нормы:
Для любого р?В обозначим через Гр: В->В умно-
умножение на р. Пусть bv .... Ъп — базис В над А; положим
Тогда
Результат, конечно, не зависит от выбора базиса Ь{ и об-
обладает очевидными свойствами:
Nm (a) = а", если a ? A.
Хотя норма не всегда представляет собой произведе-
произведение (J и сопряженных с ним элементов, но «о всяком
случае
(*) для всех р существует такое р', что Nm(p) = p-p'.
Доказательство. Пусть Р (Г) = det (Г • е — Тр),
где е — тождественное отображение, — характеристический
многочлен для Г„. Тогда (теорема Кэли — Гамильтона)
Р(Гр) = 0, следовательно, получаем />(р) = />(Ге)A) = 0
или, расписывая Р,
(P) —0.
Важно также следующее утверждение:
(••) Если р?5 не делитель 0, то Nm(P) — не делитель 0.
Доказательство. Мы воспользуемся простым об-
общим фактом:
Лемма А. Пусть X -?* Y — конечный плоский
морфизм нётеровых схем. Пусть х?Х. Если g(x)
имеет глубину 0, то и х имеет глубину 0, и обратно.
Доказательство. Если глубина g(x) равна 0, то
существует элемент a?6gM, a + Q, аннудятором кото*

Функториальные свойства 93
рог о является ше^, максимальный идеал. Так как g—
плоский, g*: @g (*)->©*¦ инъективно и g*(a)?@x не
равно 0. Поскольку g конечен, ше^ • @х есть примарный
идеал для максимального идеала т^; так как mg ^ • 6Х
аннулирует g*(a), глубина х равна 0. Обратное было до-
доказано в лекции 6.
Вернемся к В\А\ предположим, что Nm(P) является
делителем 0. Тогда существует простой идеал рс А, та-
такой, что глубина d (А$) = 0 и Nm (Р) — делитель 0 в А$
(например, пусть a* Nm(P) = Q, и пусть $ — минимальный
простой идеал, содержащий аннулятор а). Заменим А
на А$ и В на В% = В®А Ар. Тогда В — полулокальное
кольцо, все локализации которого имеют глубину 0 по
лемме. В этой ситуации, если р— не делитель 0, то р не
принадлежит ни одному из максимальных идеалов кольца В,
т. е. р обратим в В. Так как норма мультипликативна,
то элемент Nm (P) также обратим, что противоречит на-
нашему предположению.
Чтобы применить норму к определению gt, нам нужна
Лемма Б. Пусть X-&+Y — конечный морфизм
нётеровых схем, и пусть J2? — обратимый пучок на X.
Тогда существует открытое покрытие {Ut} схемы Y,
такое, что J2? изоморфен @х на каждом открытом
множестве g~l {U{).
Доказательство. Для всех y?Y рассмотрим мо-
модуль M = gt(^)y над B = gtFx)y. Так как g конечен,
то В — полулокальное кольцо, и если 21 — его радикал, то
Поэтому Ж/ИМ — свободный модуль ранга 1; следова-
следовательно, М—свободный модуль ранга 1 над В (см. Бур-
баки [1, гл. II, § 3, предложение 5]). Пусть (iy — ба-
базис М\ тогда |iy индуцируется сечением (i пучка g,(J2?)
в открытой окрестности Ul точки у. Умножение на ц
определяет гомоморфизм

94 Лекция 10
над Uv Ядро и коядро представляют собой когерентные
пучки на Y, слои которых над у равны @); поэтому они
нулевые в целой окрестности U2 cz Ux точки у. Тогда
в g~l (U2) умножение на ц дает изоморфизм пучков @х
и _2*, ч. т. д.
В нашем случае задан эффективный дивизор Картье D
на X; по лемме существует открытое аффинное покрытие
U{ = Spec (At) схемы Y, такое, что D является главным
дивизором в g'1 {Ut) = Spec (Bt). Поэтому D определен
уравнением р; ? Bt для всех I; рг не является делителем 0.
Можно проверить, что р^р J1 обратим в I*(g~l(.Ul П U.), в Л
следовательно, NmCP^-NmCPy) обратим в Г(^ П Uj, ©у)-
Поэтому сечения .Nm (р() определяют дивизор Картье g,(D).
3°. Примечательно, что прямой образ gt(D) может быть
определен в гораздо более общей ситуации: 2° — это „слу-
„случай 0" в бесконечной последовательности случаев, когда
можно определить gt(D), каждый раз ценой вычисления
лишнего определителя, не говоря уже обо всем остальном.
Мы имеем в виду следующую ситуацию:
где (а) X — замкнутая подсхема в Ря X К, U открыто
в К;
(б). V = g~l (U). ?0 — ограничение g;
(в) g0 — конечный морфизм;
.(г) § — морфизм конечной Тог-размерности;
(д) все точки у ? Y, где @у имеет глубину 0 или 1.
лежат в U.
В этой ситуации имеется естественное определение g,(D)
(см. Мамфорд [1, гл. 5, § 3]).
На самом деле, если ?0 — еще и плоский, то g,(fi)
однозначно определен требованием

Функториальныё свойства 95
4°. В этом пункте я хочу определить понятие относи-
относительного (эффективного) дивизора Картье. Предположим,
что X —> Y — плоский морфизм конечного типа нбте-
ровых схем. Вопрос состоит в следующем: когда дивизор
D с X можно рассматривать как семейство дивизоров
Картье на различных слоях /?
Предложени е-о пределение. Эффективный
дивизор Картье D с X называется относительным диви-
дивизором над Y, если выполняется одно из эквивалентных
условий:
A) D плоский над Y;
B) для всех х ? X локальное уравнение F для D
в х не является делителем нуля в кольца,
@х®6 SV(y), где у = /(*);
у
C) для всех у ? Y
A(/~IO'))nSupp(D)=0.
Доказательство. Условия B) и C) эквивалентны—
это очевидно. Для доказательства их эквивалентности
условию A) перейдем к алгебраическому языку, так как
проблема локальна на А" и К. Тогда мы имеем плоскую
Л-алгебру В и элемент F ?В, не являющийся делителем 0.
Пусть f cz A — простой идеал. Поскольку алгебра В пло-
плоская над А, то B\f • В плоская надЛ/Р; поэтому все прос-
простые идеалы р с Bjf • В, ассоциированные* с @), ограничи-
ограничиваются до простых идеалов в Ajf, ассоциированных с @),
т. е. до @), ибо A/f — область целостности (это пример
1 из лекции 6). Другими словами, все простые идеалы
р с В, ассоциированные с f • В, удовлетворяют соотноше-
соотношению pf]A = f. Поэтому все такие р ассоциированы с @)
в В ® [поле частных кольца A/f], т. е. такие р соответствуют
точкам jt? A(/-1 (у)), если у соответствует f. Таким об-
образом, гипотеза C) утверждает:
C)* F не лежит ни в каком из ассоциированных
простых идеалов f - В для любого простого
идеала $> а А.

96 Лекция 10
Последнее эквивалентно тому, что B/F ¦ В является пло-
плоским над А; в самом деле, свойство быть плоским равно-
равносильно следующему:
для всех простых идеалов $ а А (см. Бурбаки [1, гл. 1,
§ 4]). Воспользуемся тем, что
Тог* (В, /i/j?)-> Tor? (B//^, Д/р)->В/рВ-^->В/рВ,
и тем, что В — плоский над А; тогда обращение в нуль
Тог эквивалентно C)*, ч. т. д.
Рассматривая относительные дивизоры Картье, важно
иметь в виду следующее: если задана диаграмма расслоен-
расслоенного произведения
V
и эффективный дивизор Картье D на К, относительный
для /, то g' (D) всегда определен. В самом деле, со-
согласно замечаниям в конце лекции 6, точка х' ? А {X')
лежит также в h(f'~-x(у'))> гДе У' = /'(л;)- Далее,
Г GO S Г1 (У) X Spec Я? 00.
S^ )
где у = #(/). Поэтому слой /'Чу') — плоский над
f~X(y) и, следовательно, #'(•*')€ А(/-1(У))- Таким об-
образом,
Это значит, что g'* (D) определен (см. 1°).
В частности, можно взять Y' — Spec {&в (у)) для раз-
различных у ^ Y, и тогда получится семейство дивизоров
Картье на слоях /-1(У) морфизма /, чего мы и доби-
добивались!

Возвращение к классическому случаю 97
ЛЕКЦИЯ 11
Возвращение к классическому случаю
Проведя столько времени в выжженной пустыне общих
нётеровых схем, мы вернемся к нашей программе —
исследованию множества кривых на данной поверхности.
В этой лекции мы подготовим почву для работы над
полем k, напомнив без доказательств некоторые основные
факты.
Зафиксируем раз и навсегда алгебраически замкнутое
поле k. Напомним, что алгебраическая схема над k —
это схема X конечного типа над k. Все схемы впредь
будут алгебраическими, и все функторы будут функто-
функторами на категории алгебраических схем. Напомним, что
многообразие над k — это редуцированная и неприводимая
схема над k. С этого момента Р„ будет обозначать
Proj k [Xo Хп] (а не Pro] Z [*0, .... Хп]).
(I) Напомним также главный результат теории размер-
размерности в этом случае (см. Зарисский и Самюэль [1, т. 2,
стр. 377]).
(*) Если X — неприводимая схема, то существует целое
число и—размерность X,—такое, что
dim @jf)] ~Ь [степень трансцендентности $в (x)\k\ = П
для всех х ? X.
1
Определение. Для любой схемы X пусть dim (Л")—
максимум размерностей компонент X.
Можно показать, что dim(^f) совпадает с когомоло-
когомологической размерностью схемы X: при / > dim (X) имеем
Н'(Х, <^) = @) для всех пучков <&" (см. Годеман
[1, стр. 223]).
(II) Определение. Схема X называется проектив-
проективной- (соответственно квазипроективной), если она изо-
изоморфна замкнутой (соответственно локально замкнутой)
подсхеме Р„ при некотором п.
1 Д. Мамфорд

98 Лекция 11
Определение. Обратимый пучок J2? на схеме X
называется очень обильным, если существует погружение
(для некоторого и), такое, что ф* @A) ) = .?'.
По поводу этого понятия следует сделать несколько
важных замечаний.
а) Пусть, более общо, ^ = ф*@A)) для некоторого
морфизма ф: Л"->РП. Тогда индуцированные сечения
sl = q>*(Xl) пучка J2? порождают J2?. Обратно, если
J?7 порождается своими глобальными сечениями, то можно
выбрать конечное множество сечений s0, sv .... sn, кото-
которые порождают «5*. Тогда (JS'; s0 sn) определяет
АГ-значную точку из Р„, т. е. морфизм ф: X -> Рл, такой,
что ф*@A))= .З7. В частности, очень обильный пучок
порождается своими глобальными сечениями.
б) Предположим, что пространство Н°(Х, .3?) конечно-
конечномерно: например, предположим, что X — проективная
схема. Тогда, если J2? порождается своими сечениями, суще-
существует почти канонический морфизм ф: А"->РЛ, такой,
что ^^Ф*@A)). Именно, возьмем базис sQ sn
пространства Н°(Х, J2?). Эти элементы не могут все обра-
обратиться в нуль в некоторой точке, поэтому (^; s0 sn)
определяет такой морфизм ф. Более функториально, наша
конструкция определяет морфизм
q>: X->P[H»(X, J3T)].
Заметим, что при этом вложении <р(Х) не содержится
ни в какой гиперплоскости (в теоретико-схемном смысле,
т. е. ф нельзя провести через гиперплоскость, //сР„),
иначе при подходящих Oq, аг, .... а„ получилось бы, что
в Н°(Х, J2?) вопреки независимости st.
Определение. Обратимый пучок З' на схеме X
называется обильным, если существует целое положитель-
положительное и, такое, что J3 очень обилен.

Возвращение к классическому случаю 99
(III) Важное свойство проективных многообразий X
заключается в том, что
Г (A", 6x)^k.
Действительно, кольцо А = Г (А", @х) есть конечномерная
коммутативная алгебра над k. Так как k алгебраически
замкнуто, то в случае, когда k ф А, кольцо А содержит
делители нуля. Но X редуцирована и неприводим а, поэтому
даже <дх не содержит делителей 0.
Для любой проективной схемы X конечномерные
векторные пространства Н1 (X, (дх) являются важными
инвариантами X. Особенно интересна альтернированная
сумма их размерностей %FХ)- По историческим причинам
для /г-мерных проективных многообразий X опускают
член dim (Я0 (А", ©х))=\ и считают от Я" „вниз"; при
этом получается так называемый арифметический род:
n(X, 0X) —dim Я" (AT.
Преимущество этого определения в том, что, когда
X — кривая,
ра (А") = dim Я1 (X, @х) = обычный род X.
С другой стороны, если X — поверхность, мы получаем
Ра (X) = dim Я2 (X, фх) — dim Я1 (X, @х).
[Дело в том, что итальянцы рассматривали член
dim Я2 (А", 6Х) как основной и называли его геометриче-
геометрическим родом Pg(X), тогда как член dim Я1 (А*, @х) рас-
рассматривался как „поправка" и назывался иррегуляр-
иррегулярностью q (X). Причина этого в том, что для поверхностей
в Р3, которые изучались ранее всего, q = 0 и ра =
Для любой проективной схемы X мы положим
(IV) Теорема, которую можно использовать без долгих
размышлений всегда, когда базой является поле, — это
формула Кюннета. Это простое, но удобное орудие при-
приобрело устрашающие размеры в книге Гротендика
7*

100 Лекция 11
[EGA, § 6, особенно теорема 6.7.3], однако для наших
скромных нужд достаточно следующей формулировки:
Пусть X, Y — любые схемы, й пусть <&~, &—квази-
&—квазикогерентные пучки соответственно на X, Y\ тогда
(Доказательство проводится при помощи когомологий Чеха
и теоремы Эйленберга — Зильбера.)
Вот одно следствие отсюда:
' ри. [р\^ ® Р\8\ S & ®ft Я° (У, 9)
(формула Кюннета применяется к U X У Для открытого
и аффинного U с X). В частности, в силу (I)
если Y — многообразие.
(V) Определение. Многообразие X называется не-
неособым, если все локальные кольца 6Х регулярны, х?Х.
Определение. Многообразие X называется нор-
нормальным, если все локальные кольца @х целозамкнуты,
х?Х.
Произведение неособых многообразий неособенно; более
общо, если X -?-*¦ Y — плоский сюръективный морфизм
с неособыми слоями, то X неособо тогда и только тогда,
когда неособо У. [Плоский морфизм с неособыми сло'ями
известен как простой, или гладкий, морфизм.]
Далее, произведение двух редуцированных схем реду-
редуцировано; более общо, если X— ¦> К — плоский сюръек-
сюръективный морфизм с редуцированными слоями, то схема X
редуцирована тогда и только тогда, когда редуцирована
схема К. Вот простое следствие из предыдущего: для
любых алгебраических схем X и Y
Если X—алгебраическая схема, то множество всех
х ? X, в которых ©х регулярно, является открытым под-
подмножеством Uа X. В частности, если X — многообразие

V
Возвращение к классическому случаю 101
и х ? X — его общая точка, то @х — поле и, следовательно,
регулярно; поэтому существует открытое плотное под-
подмножество UczX, являющееся неособым.
(VI) Наконец, мы хотим напомнить теорему Римана —
Роха для кривых, являющуюся основным результатом
в описании геометрии на кривой.
Определение. Кривая X — это 1 -мерная проек-
проективная схема, все замкнутые точки которой имеют глу-
глубину 1, т. е. все ее локальные кольца являются кольцами
Коэна — Маколея.
Пусть DcX — эффективный дивизор Картье на X, и
пусть fx — локальное уравнение D в точке х ? X. Для
всех, кроме конечного числа, точек, скажем хг хп,
можно считать, что fx = 1. Тогда можно разными спо-
способами определить степень D:
а) deg(D)=?dimft [©,,/(/,,)]•
Заметим, что ©D равен ©xl(fx\ в х1 и @) во всех
других точках, так что
б) deg(D) = dimH0(X, <dD).
Если X — неособая кривая и (tt) — максимальный идеал
в xt, то пусть
/ = (обратимый элемент) • X{.
я
Тогда D — дивизор Вейля 2 ri' xi и
л
в) deg(D)=2/v
Интересно, что этот инвариант зависит только от
класса дивизора D, а не от самого D. В этом можно
убедиться, пользуясь определением (б) и точной последо-
последовательностью
0 -> @х (— D) -> ©х -> 0д -> 0.
г) deg (D) = х (@х) - t (.©х (~ D) )¦

102 Лекция И
С помощью этой формулы можно распространить
определение на произвольный обратимый пучок J3?:
Риманова часть теоремы Римана — Роха утверждает
следующее:
Теорема 1. а)
следовательно,
" б) dim Я° C?) — dim Я1 C?) = deg (J3T) + х (<ВХ) =
Другими словами, степень определяет гомоморфизм
. Pic (JO —¦> Z.
[Если кривая JV неприводима, ядро его называется
Р1с* (X); хорошо известно, что оно канонически изоморфно
группе А-рациональных точек некоторой групповой схемы—
так называемого якобиева многообразия кривой X. Мы
гораздо подробнее поговорим об этом ниже.]
Принадлежащая- Роху часть теоремы Римана — Роха
указывает, как вычислять Н1 в терминах Н°.
Теорема 2. Существует канонический когерент-
когерентный пучок ах на X, такой, что векторные пространства
и векторные пространства
H°(X,J9>) и НХ{Х, &X®J3"-X) .
канонически двойственны друг другу (для любого обрати-
обратимого пучка J3T). В частности, %(.~2r) = ~%(<i)x®J2'rl).
[Доказательство см. в работе Серра [3, гл. 4] для
случая неприводимой и редуцированной схемы X, а для
общего случая — у Гротендика [Bourbaki Seminaire, ex-
expose 149] и у Хартшорна в лекциях о двойственности,
которые вскоре выйдут в серии Springer Lecture Note.
На самом деле в нашем случае доказательство совсем
простое. Выберем вложение
(при некотором п).

Возвращение к классическому случаю 103
Затем положим а>х = ExtSp' [0.x, 0р (—я—1I. После
этого используются стандартные результаты о замене
колец в Ext, связь между Н1 и Ext' в общей теории
пучков (см. Гротендик [4] или Годеман [1, § 7.3]) и,
наконец, последняя теорема в статье Серра [2], а именно,
если & — любой когерентный пучок на Рп, то про-
пространства
' S^ 0Р/|(—п—1))
канонически двойственны.
Нам понадобится еще вот что: если X — редуцирована
и неприводима, то а>х не имеет кручения и является 0х-моду-
лем ранга 1. Доказательство содержится в книге Серра [3];
можно также непосредственно подсчитать Ext".]
Дальнейшее следствие является прототипом большого
класса полезных результатов: теорем об обращении
в нуль.
Следствие. Пусть J3* — обратимый пучок на
редуцированной и неприводимой кривой X. Предполо-
Предположим, что
— 2.
Тогда НЦХ, .20 = @).
Доказательство. Предположим, чтоЯ1^,
Тогда
в то же время
dim Н° (X, юх ® S3'1) = dim И\Х,
~l\
Пусть о—сечение пучка ®х® J2?~l\ о определяет гомо-
гомоморфизм п:
1
Если гомоморфизм А не инъективен, то h аннулирует весь
когерентный пучок идеалов. Так как схема X редуцирована
и неприводима, то любой ненулевой когерентный пучок

104 Лекция И
идеалов изоморфен 6Х во всех, кроме конечного числа,
точках. Поэтому, если h не инъективен, то носитель
сечения о является 0-мерным и сах обладает кручением.
Таким образом, мы получаем точную последовательность
пучков
0 -*" ©х —¦*" о* ® -2Г"' -> и -> 0.
Более того, поскольку ранг шх®^~г равен 1, гомо-
гомоморфизм А':
0 -* еЯГх — ¦* («х ® &~') ® <Ж х -> и ® е2Г х -»¦ 0
является изоморфизмом; следовательно, и ® a%"x = @) и
к — пучок кручения. Поэтому мы получаем точную после-
последовательность
, ех)-+н1{х. (»х
@)
Так как dim Я1 (X, 0Х) = ра, то это приводит к противо-
противоречию.
Дальнейшее развитие теории показывает, что суще-
существует другая константа п0, зависящая только от X, такая,
что когда степень обратимого пучка 3" не меньше я0,
то ^ очень обилен (см. Мацусака — Мамфорд [1])- Это
дает изящное следствие': J3? обилен тогда и только тогда,
когда deg(^)>0. [Для доказательства необходимости
условия deg(^)^>0 используем теорему Серра о том,
что из обильности J2? следует, что Нх (J2) = @) для
больших я; поэтому %{З)->оо при п—>-\- оо, так что,
по теореме 1, deg(^)>0.]
Наконец, существует третья часть теоремы Римана —
Роха, которую мы используем в Следующей лекции. Это
результат, дающий возможность в некоторых случаях
вычислять пучок coD.
Теорема 3. Пусть X — неособая проективная по-
поверхность. Тогда существует канонический обратимый
пучок Q на X со следующим свойством: если DcX —
произвольный, аффективный дивизор, то D — кривая и

Полная классификация кривых на поверхностях 105
Пример. Если X = Р2, то, как хорошо известно,
Q = © (— 3). Тогда для любой плоской кривой DcP2
степени d (это значит, что 0p2(D) = (d(d)) теорема 3
показывает, что
Например, если d = 3, то (oD~©D и для всех обратимых
пучков J? на D пространства Hl (D, Л?) и Нх~1{р, J3?~l)
двойственны; в частности, Hl{D, @D) и H°(D, 6D) двой-
двойственны и, следовательно,
Такие неособые кривые D называются эллиптическими*
ЛЕКЦИЯ 12
Полная классафакацая кривых
на поверхностях.
Оратимся теперь к геометрии на фиксированной про-
проективной неособой поверхности F. На F мы определили
дивизоры (Вейля или Картье — безразлично) и группу
классов дивизоров Pic^). Среди дивизоров эффективные
дивизоры будут называться просто кривыми; они являются
тем самым 1-мерными замкнутыми подсхемами, но они
не обязательно редуцированы или неприводимы.
1°. Пусть DcE — некоторая кривая. В отличие от
случая эффективных дивизоров на самих кривых здесь
нельзя подсчитать число точек в носителе и назвать его
степенью, так как носитель имеет положительную размер-
размерность. Вот что, однако, можно считать:
Пусть D,, D2—две кривые на F, такие, что
dim (Supp (D,) П Supp (D2)) = 0.
Пусть [xv ..... xn) = Supp (D,) П Supp (D2). Пусть /,
(соответственно gt) — локальное уравнение для Dt

106 Лекция 12
(соответственно для D2) в xt. Определим
п
(D, ¦ D2) = S dimft [exjifi. f i)].
Это выражение имеет смысл, так как идеал (ft, gt) опре-
определяет подсхему поверхности F в окрестности xt, которая
в теоретико-множественном смысле представляет собой
пересечение Supp (D{) П Supp (D2), т. е. само множество
{xt}. Поэтому
(/г *«)=<,
при некотором N, и размерность конечна.
Это и есть индекс пересечения кривых D1 и D2, и
легко проверить, что он билинеен, если только он опре-
определен. Подобно степени в геометрии кривых, он зависит
только от классов дивизоров, а не от них самих.
Предложение 1. Если индекс (D1 • D2) определен,
то
+ Х «М-^-ад-
Доказательство. Рассмотрим два комплекса пучков
©р (— D2) -». 0р.
Перемножая их тензорно, мы получаем комплекс
6F (- D, — D2) -± <дР (— 0,)ф0„ (- D2) -» ©Р.
Поскольку исходные комплексы представляют собой ло-
локально свободные резольвенты пучков ©о, и 0оа, когомо-
логии комплекса (*) суть
Tor^(©D|, ©D}).
Но если х ? F и если fug — локальные уравнения Dt
и D2 в х, то либо хотя бы один из элементов /, g
обратим, либо / и f составляют ©^-последовательность.
В любом случае
TorJ* (©J (/), ©j{g)) = @), / > 0.

Полная классификация кривых на поверхностях 107
Поэтому (*) является резольвентой пучка 0o,<gHo2, имею-
имеющего слой 6xl(f, g) в точке х. Таким образом, этот
пучок равен @) всюду, исключая точки xv .... х„,
а в точке xt он изоморфен
Следовательно,
(D, • D2) = dim Я° (F, 0Dl
— D2)] -f x @,(- D,-D2))=
Это подсказывает следующее
Определение. Пусть J?x и ^2 —.любые обрати-
обратимые пучки на F. Положим
Если Dj и D2 — любые дивизоры на F, то
(D1-D2)=(eF(D1)-@F(D2)).
Предложение 2. (•) есть симметрическое били-
билинейное спаривание, т. е.
A)
B)
C)
Доказательство. Свойство A) очевидно, а C)
следует из B) в силу очевидного равенства:
На самом деле я утверждаю больше:
для любой кривой D на F. Для доказательства используем
последовательности
(^ ® ©о) -> 0.

108 Лекция 12
Отсюда
jar)=i% «ад—х FР (— D))] —
= X (©о) — X
Поэтому если JS'^ обладает сечением, то (J3'1 • ^2) ли-
линейно по J3*v согласно теореме Римана — Роха (теорема 1
лекции И).
Наконец, пусть 0A) — очень обильный обратимый
пучок на F. Если J3* — произвольный обратимый пучок
.на F, то jS'iri) имеет сечение при больших п по тео-
теоремам Серра. Выписав его в явном виде, легко проверить,
что выражение
симметрично относительно трех переменных J?v 3"x и ^2.
Так как оно равно 0, когда J2?2 имеет-сечение, оно обра-
обращается в 0 и тогда, когда допускает сечение jS"v' Поло-
Положив J3 = 6(n), получим
— @ (я)
Но и ©(я), и J3'1(n) допускают сечения, следовательно,
оба члена в правой части линейны по <3'2. Поэтому
(•2*1 ¦ J2?2) линейно по &2, ч. т. д.
Эта билинейная форма на Pic^F) заменяет гомомор-
гомоморфизм deg на Pic(-X) для кривой X. Она индуцирует сле-
следующее разложение.
Определение. Plcx(F) — это подгруппа в Plc(F),
состоящая из тех обратимых пучков .S", для которых
при всех _2
Определение. Num(F) = Pic(F)l?icx(F).
По определению Num^) — группа классов дивизоров
с точностью до численной эквивалентности — снабжена
невырожденным симметрическим спариванием в Z. Основной
результат о Num(F) — теорема Севери и Нерона — утвер-
утверждает, что Num (F) конечно порождена как абелева группа;

Полная классификация кривых на поберхНостях 10§
следовательно, она изоморфна Zp, где р — некоторое целое
'число, называемое базисным числом поверхности F. Нам,
не понадобится доказательство этой теоремы, и мы его
не будем приводить здесь (лучшее доказательство см.
в статье Ленга и Нерона [1]).
2°. Хотя полная информация о числовых инвариантах
; класса дивизоров {D} описывается его образом в группе
"NiimCF), или, что то же самое, числами FF(D) • JS?) для
всех J3?, тем не менее для многих целей лишь некоторые
из этих чисел особенно важны. Обычно достаточно знать
следующие два числа.
Определение. Пусть 0A) — фиксированный очень
обильный обратимый пучок на F; относительно 0A) опре-
определяются
deg (D) = deg [<dP (D)] = dego [&D ® 0 (t)].
Отметим, что если D эффективен, то deg(D)>0.
Пусть 0A) на F индуцируется вложением
Пусть ЯсРя — гиперплоскость, не содержащая ни одной
точки вида 1(х), где х — общая точка Supp(D). Тогда
определена кривая Н' = 1*(Н) и
dim {Supp (D) П Supp (Я')} = 0.
Поэтому
deg (D) = @f (D) • 0^ W)) = (D • H') > 0.
Предположим, что deg(D)=0; тогда Supp(D)D
flSupp(W')=0. Чтобы воспрепятствовать этому, выберем
замкнутую точку у ? Supp (D) и такую гиперплоскость Н,
что / (у) ? Н, а / (х) по-прежнему не принадлежит Н, если
х — общая точка в Supp (D). Это, конечно, возможно, и,
следовательно, deg(D)>0.
Вернемся к произвольному обратимому пучку J3? на Р..
Еще одним важным инвариантом является его эйлерова
характеристика. Она также может быть вычислена в тер-
терминах пересечений. Чтобы установить это, воспользуемся
третьей частью теоремы Римана — Роха на кривых.

НО Лекция 12
Предложение 3. Пусть J? — обратимый пучок
на поверхности F, и пусть Q — канонический обрати-
обратимый пучок на F, заданный теоремой 3 аз лекции 11.
Тогда
Доказательство. Формула, которую мы хотим
доказать, имеет вид
*= - х «ад+х (-20+х С-?'"
или
Если J2?~l имеет сечение, то J? = 6F(—D) для некото-
некоторой кривого. Затем используем точные последователь-
последовательности
(см. теорему 3 лекции 11). По теореме 2 лекции 11 имеем
X («о) + X (©о) = °; отсюда следует (**), если Л?~1 имеет
сечение.
Наконец, пусть 0A) — очень обильный обратимый
пучок на F. Если <*# — любой обратимый пучок на F,
то по теоремам Серра a4i~x (п) и <д(п) имеют сечения,
когда п велико. Простое вычисление показывает, что вы-
выражение в левой части в (**) линейно по J&. Именно:
[X (-2? ® оМ) — X «dF) - X (Q ® J3T'1 ® <•*'Х) + X (О)] —
- [х (-20 - х (^) - х (о ® ^"')+х (Q)] -
- [х («*) - X (в„) - X (О ® о^) + X (О)] =
= {Х (&Р) - X (-20 - X (О ® ^
+ {х (&Р)—х (о^)-х(й ® ^
— X (О ® -23 ® а4(-1)+ X (Q) =

Полная классификация кривых на поверхностях 111
Но тогда выражение (**) равно нулю для 3'=(Ж{—п)
и для J3* = 6(—п) в силу первой части доказательства.
Поэтому оно равно нулю и для J^ — oAt, ч. т. д.
Этот результат представляет собой самую слабую форму
теоремы Римана — Роха на F. В частности, мы видим,
что единственными действительно важными численными
характеристиками обратимого пучка J3? являются:
О).
3°. До сих пор мы изучали дискретные инварианты
элементов из Pic^F) и, следовательно, множества кривых
на F. Чтобы подойти к проблемам существования из
лекции 2, обратимся к непрерывной части этих двух мно-
множеств. „Склеивание", определяющее непрерывность, должно
возникать из понятия семейства обратимых пучков и семей-
семейства кривых. Введем следующие определения.
Определение. Пусть 5 — некоторая схема (алге-
(алгебраическая над k). Семейство кривых на F над 5 — это
относительный эффективный дивизор Картье Ъ a F X 5
над 5. Семейство обратимых пучков на F над схемой
5 — это обратимый пучок J3? на F X S; кроме того, два
обратимых пучка 3"х и J3?2 определяют одно и то же
семейство обратимых пучков, если существует обратимый
пучок o4i на S, такой, что
Как же в действительности понятие семейства приво-
приводит к склеиванию? Дело в том, что множество семейств
образует функтор:
а) Curves^ (S) = {множество кривых на F над S],
б) PiCp(S)= {множество семейств обратимых пучков на F над 5}.
Для есякого морфизма T-^->S получаем
F X Т — -> F X S;
следовательно, для IS^czFy^S (соответственно J9* на
FXS) имеем fi*(S>)c:FXT (соответственно А*(^) на

112 Лекция 12
F X Т)- В этом и состоит отображение:
a) Curves^ E)—?-> Curves^ (Г),
. б) ncP{S)-?+V\cp(T).
Склеивание теперь эквивалентно проблеме представления
этих функторов: представить эти функторы — это все равно,
что найти универсальное семейство кривых или обратимых
пучков. И если такое семейство найдено, скажем, над 5,
то множество ^-рациональных точек схемы 5 оказывается
канонически изоморфным множеству кривых на F, или
множеству Р1с(/7). т. е. эти множества соединены в схемы.
Заметим еще, что мы имеем морфизм функторов:
Curves^ —¦*¦ Pic/»,
который отображает JDcFXS на обратимый пучок
©fxs (?>)¦ Следовательно, если С (соответственно Р) —
схемы, представляющие эти функторы, то автоматически
получается морфизм схем:
который на &-рациональных точках ограничивается до
очевидного отображения множества кривых на F в мно-
множество Pic (Z7)-
В терминах этого склеивания мы можем точно сказать,
почему численные инварианты из 1° и 2° дискретны.
Пусть, скажем, «2*, и З'ч—два обратимых пучка на Fy^S.
Для каждой замкнутой точки s ? S они индуцируют пучки
3"\, s и .2^ s на слое поверхности F, и мы можем под-
подсчитать (-2*1, s • J?2, s)- ^T0 число постоянно на каждой
связной компоненте схемы 5! [Так как («2^,- ¦3>2,s) есть
сумма эйлеровых характеристик, а они являются значе-
значениями многочленов Гильберта, то это вытекает из след-
следствия 3 'лекции 7.] Другими словами, если задано любое
семейство обратимых пучков над связной базой S, то
образ каждого пучка «2s', в Num (F) один и тот же.
Поэтому если объект Р представляет функтор Pic^ для
каждого элемента из Num(F), то совокупность обратимых
пучков, индуцирующих этот элемент, образует открытое
и замкнутое множество в Р. Естественно поэтому расще-
расщепить функторы Р\сР и Curves^ на поддающиеся исследо-
исследованию куски.

Линейные системы и примеры 113
Определение. Пусть | ? Num (F). Для всех схем 5
обозначим через Pic|,E) подмножество в Pic/PE), состоя-
состоящее из таких пучков «2* на FX^, что для всех замк-
замкнутых точек s?S индуцированный пучок J2*s на F над s
имеет численный класс |. Кроме того, пусть Curves|,(S) —
подмножество в Curves^ E), отображаемое при помощи Ф
в Pic^E). Оба эти подмножества образуют подфункторы,
обозначаемые через Curves), и Р1с?,.
Главные результаты, которые мы хотим докааать,
состоят в следующем:
Первая теорема-конструкция. Для всех % функтор
Curves)* изоморфен функтору he ц), где С (Q — некоторая
проективная схема.
Вторая теорема-конструкция. Для всех | функтор Pici.
изоморфен функтору hp ц), где Р (|) — некоторая про-
проективная схема.
Как следствие отсюда получается, что полные функторы
Curves^ и Picj? представлены (не алгебраическими) схемами
(объединение непересекающихся компонент).
ЛЕКЦИЯ 13
Линейные системы и примеры
Прежде чем обратиться к общей задаче построения
С(|) и Р(|), мы хотим описать некоторые частные слу-
случаи, когда ответ очень прост, и затем показать, как неко-
некоторые иа примеров лекции 1 попадают в этот класс и,
следовательно, могут быть изучены теперь с полной стро-
строгостью.
1°. Мы начнем со случая, когда группа PJc(F) и, сле-
следовательно, группа Num(F) особенно проста.
Предположим, что
A) HcF — неприводимая кривая,
8 .Д. Мамфорд .

114 Лекция 13
B) F— Я аффинно,
(8) Г (F '¦— Н, 0Р) — область g однозначным разложе-
разложением на множители.
Предложение 1. В этом случае Pic(F)— беско-
бесконечная циклическая группа, порожденная образом h
кривой Я, и
Pic (/=•) ^ Num (F).
Доказательство. Мы должны показать, что лю-
любой дивизор D на F линейно эквивалентен пН для неко-
некоторого целого п. Так как дивизоры являются дивизорами
Вейля, то каждый из них представляет собой разность
двух эффективных дивизоров, и мы можем предположить,
что D эффективен. Пусть замкнутая подсхема D Л (F — Я)
схемы F — Я соответствует идеалу
Поскольку Щ индуцирует главный идеал в каждой лока-
локализации Йр кольца R, все простые идеалы, ассоциирован-
ассоциированные с .91, минимальны; следовательно, так как R — область
с однозначным разложением, 91—главный идеал. Пусть
9t = (/). Тогда дивизор D — (/) не имеет ни нулей, ни
полюсов на F — Я, т.е. Supp[D — (f)]c:H. Это озна-
означает» что
D — (f) = nH при некотором целом я ? Z.
Следовательно, D^nH. Таким образом, h порождает
PicC/7), а потому и NumC/7). Остается проверить, что
Nuta(F)—бесконечная циклическая группа, тогда это верно
и для группы Pic(F), и эти две группы изоморфны. Но
так как F проективна, дивизор пН очень обилен при не-
некотором я (т. е. ©р(пН) имеет вид @A)). Поэтому, как
было замечено в лекции 12,
п(Н-Н) = (бР (Я) • ®Р (пН)) =
и поэтому^ образ h в Num(F) имеет бесконечный порядок,
ч. т. д.
ч. т. д

' Линейные системы и примеры 115
Очевидно, этот результат применим к Р2, так как
если Н — прямая, то
Г(Р2 — Н, 6p^k[X, У).
Поэтому все кривые D на Р2 имеют некоторую степень а и
Z) = dW, т.е. 0p2(Z))^@p2(d). Поскольку H° (Р2, ®р, (d))
порождается однородными формами от однородных коор-
координат Хо, Хх, Х2 степени d, все кривые на Р2 имеют
ожидавшийся тип.
Отметим, что это утверждение переносится на любую
размерность, так что оно применимо к различным грас-
сманианам, гиперквадрикам и т. д. (а также к гиперпо-
гиперповерхностям некоторых типов—см. Андреотти, Залмон [1]).
2°. В тех случаях, когда группа Пикара проста, мно-
множестве кривых устроено также довольно просто. В дей-
действительности всегда просты слои множества кривых над
группой Пикара, т. е. множества кривых, линейно экви-
эквивалентных фиксированной кривой. Однако чтобы описать
их структуру корректно, мы снова должны найти способ
склеивания этих „линейных систем" кривых. Для этого
нам нужен слой морфизма Ф функтора Curves^ в функ-
функтор PiCj,.
Гротендик дал совершенно общее определение слоя
морфизма функтора. Пусть g, ©—контравариантные функ-
функторы из категории С в (Sets). Пусть Ф: g—>•© — неко-
некоторый морфизм. Пусть S — объект в С, и пусть а 6 © E);
мы определим слой морфизма Ф над а. Он также пред-
представляет собой функтор, но не из С в категорию (Sets).
Это функтор из категории С/5 объектов над 5, объекты
которой — морфизмы X —+ S, а морфизмы удовлетво-
удовлетворяют условию коммутативности диаграммы
в категорию (Sets). Обозначим его Ф":
Ф° (Г -U S) = IP 6 S (?) |Ф (р) = Г (<*> в © G)}..
8*

116 Лекция IS
Оставшаяся часть определения очевидна.
В нашем случае С — это категория алгебраических схем
над к и а ? © (Spec (&)), т. е. а должно быть замкнутой
точкой объекта, представляющего ©. Тогда Ф° — это
снова функтор на категории алгебраических схем над k,
потому что Spec (Л) является конечным объектом в этой
категории. Вот ключевое утверждение:
Если § и © представлены схемами X и Y, то Ф
индуцируется морфизмом q>: X -¦> Y, причем а — замк-
замкнутая тонка в Y и Фа представляется настоящим
слоем ф-1(а).
Доказательство проводится непосредственно.
В случае функторов Curves^ и Pic^ определим функ-
функтор слоя так: •
Определение. Пусть J9? — обратимый пучок на F.
Положим
Lin Sys* E) = {Фс/7 X 5 | 5D —относительный
эффективный дивизор Картье над S, такой, что
дла некоторого обратимого пучка д^" на S].
Определяя отображения обычным способом, получаем
контравариантный функтор от 5.
В лекции 1 мы описали соображения, по которым
S должно представлять собой проективное прост-
пространство. Теперь можно доказать полный результат.
Предложение 2. Пусть J? — любой обратимый
пучок на F. Пусть N = dimW0(/31, J^). Тогда
Lin Sys# = Ар. .
Доказательство. Предположим, что
Некоторый элемент из Lin Sys# (S); тогда @pxs(D) =
= р\ (-2*) ® р\ (еЯГ)- Другими словами, D определяется
обратимым пучком s2T на 5 и сечением
[т.е. образом l^F^XS, ©fxs(&)))• Более того, так
как Дивизор Картье s — 0 относителен над S, должно быть

Линейные сиШмы и Примеры 117
:$(х)ФО для всех х в A (z?-1^ (*))). ^сли У 6^ и
К=3ё(у), то слой рг'(У) над у есть Z7 X Spec (/С);
Spec(ft)
эта схема редуцирована и неприводима, так как F—мно-
F—многообразие; следовательно, ее единственной ассоциирован-
ассоциированной точкой является ее общая точка. Поэтому условие
на s следующее: s ф О на любом слое р-1 (у) морфизма р2.
Предположим теперь, .что в%'1 и s, определяют тот же
элемент D, что и в%'2 и s2. Я утверждаю, что сущест-
существует изоморфизм а^*! и аТ2. при котором сечения Sj и s2
соответствуют друг другу. Мы имеем изоморфизмы
Р\
Пусть е: S-+FXS—сечение р2, ваданное отображением
схемы 5 в {х} X SczFy^S для некоторой замкнутой
точки x?F. Тогда
Поэтому можно считать, что e%ft1==s%rt2- ^сли сечения
S[, 52 не равны, то они отличаются на элемент
так как они определяют один и тот же дивизор Картье.
Но
Поэтому, изменив отождествление e^Tj и оЗГа при помощи
этого скаляра, мы можем предположить, что s1 = s2.
Итак,
множество обратимых пучков
[ множество семейств
кривых DcF УХ} ^
p\
Теперь напомним, что
на 5 н сечений пучка
нулю на любом слое р2,
с точностью до изоморфизма
по формуле Кюннета (лекция 11, (IV)). Зафиксируем ба-
базис ех, .... eN в H°(F, &). Тогда сечения пучка

118
Лекция 13
p\(J2r)® p\W?') имеют вид
2
где s(?H°(S, а2Г). Более того, s==Q на р^Чу) тогда
и только тогда, когда st (у) = 0 для всех I. Поэтому
множество обратимых пучков
оХ' на <S и сечений пучка
неравных
нулю на любом слое р2,
с точностью до изоморфизма
множество обратимых пучков
е2Г на 5 н N сечений
Sv ..., SN от <j^f, не
равных одновременно нулю
в любой точке У ? S,
а точностью до изоморфизма
Но последнее — это в течности множество 5-значных то-
точек из PN-V Таким образом устанавливается изоморфизм
функторов Lin Sys^ и АР , ч. т. д.
Внимательнее рассматривая доказательство этого утверж-
утверждения, можно убедиться в том, что пространство PN-V
представляющее Lin Sys^, не является произвольным проек-
проективным пространством: оно канонически отождествляется
с проективным пространством
(где Ф — векторное пространство, двойственное к V).
3е. Казалось бц, мы теперь в состоянии полностью
описать С(?) и Р(|) в простых случаях: например, для Р2
группа Pic(P2) очень проста, а слои Ф всегда устроены
просто. Однако нужно проверить еще кое-что: даже в ди-
дискретном множестве точек Pic (P2) = Z может быть вве-
введена нетривиальная схемная структура, т. е. нильпотенты
в структурном пучке. На самом деле так бывает для не-
некоторых поверхностей, и даже при предположениях
пункта 1°, насколько мне известно, необходимо дополни-
дополнительное условие для предупреждения этой ситуации. В лек-
лекции 1 мы встречали ряд других случаев, когда единст-
единственными семействами кривых были линейные системы, так
что Pic{F) было дискретным множество!*. Нам потре-
потребуется прямой способ проверки того, когда это имеет
место.

Линейные системы и примеры 119
ПредложениеЗ. Предположим, что Я1 (F, ©р) = @).
Пусть S—произвольная связная алгебраическая схема,
и пусть Л? — обратимый пучок на F X S. Тогда су-
существуют обратимые пучки о/У на F и &? на S, та-
такие, что
Доказательство. Для всех замкнутых точек
S пучок Л? индуцирует обратимый пучок ff
) = f- Положим
Рассмотрим когомологии пучка o4ls относительно р2.
а) Индуцированный пучок a4ts®$6(s) на слое P2~1(s)
изоморфен @р по определению <yfCs.
б) Следовательно, по основному условию предложения
Используя следствие 1 п. 3° лекции 7, получаем, что
все сечения из fP^p^is), &%s <g &6(s)) поднимаются до
сечений пучка P2,*(a4ts) в некоторой окрестности s.
в) Но, поскольку &%s®e%?(s) = 6p, сечение 1 пучка
©р поднимается до сечения
а 6 Г (U, р2 , (в*,)) = № (F X U,
г) Тогда а определяет гомоморфизм
в F X U- Более того, так как а возникает из 1 в p~x(s),
то ф — изоморфизм индуцированных пучков J\Ts и
J3*®e%?(s) на слое p~1(s). Поэтому ф является изомор-
изоморфизмом р1(а^*,) и J9* во всех точках над s и, следова-
следовательно, ф — изоморфизм в некоторой открытой окрест-
окрестности W слоя p^1(s). Так как отображение р2: FXS-+S
топологически замкнуто, существует открытая окрестность

120 Лекция 13
UscU точки s, такая, что W^F y(Us. Это доказывает,
что р\ (в/У,) и ЛР изоморфны _в Р X Us.
д) Следовательно, для любой точки s' ? Us пучки <J\f s>
и e/f*j изоморфны. Так как 5 связна, это означает, что
все пучки J\Ts изоморфны. Обозначим этот пучок через J\T,
Тогда мы имеем открытое покрытие Ut на 5, такое, что
p\(<e/V) и «2* изоморфны в каждом открытом множестве
е) Зафиксируем изоморфизмы
в Py^Ut. Тогда в PX,(Ut{\Up отображение tfj1 от|?(
является автоморфизмом пучка р\{^). Он задается умно-
умножением на обратимый элемент
(UinUj), 6fXs)
Ill
[см. лекцию 11 (IV)}. Тогда {а^}—одномерный коцикл
Чеха «а 5 для покрытия {Ut). Пусть этот коцикл соста-
составляет функции перехода для обратимого пучка <?? на S.
Тогда из нашего построения следует, что S" глобально
изоморфен р\ У\Р) ® р\ (е%Г), ч. т. д.
Этот результат тесно связан с „принципом качелей"
Ленга [1].-
Следствие. Если H4F, бР) = @), то функтор
PiCp представим объединением (бесконечного) дискрет-
дискретного множества точек, т. е. схем Spec (А). Поэтому
функтор Curves^ представим объединением проектив-
проективных пространств (различных размерностей).
Тем самым наше описание кривых на Р2 полностью
оправдано. В заключение, для полноты картины, нам сле-
следовало бы подсчитать, что
(©(я) •©(«))'=« • т.

Линейные системы и примеры 121
. Это следует из билинейности и равенства
для двух различных прямых Н^ Я2 в Р2.
Упражнение. Выпишите явно универсальные семей-
семейства кривых на Р2.
Дальнейшие примеры. Дополним без доказа-
доказательства примеры 2 и 5 лекции 1, связав их с только что
полученными результатами. Обе рассматриваемые поверх-
поверхности бирационально эквивалентны Р2, т. е. изоморфны Р2
на открытых плотных подмножествах. Отсюда следует,
что
в обоих случаях. Поэтому к обеим поверхностям приме-
применимо только что доказанное следствие. В случае F =
Pic(/=")sNum(F)SZ© Z.
Действительно, базис задается двумя пучками
и ^2 =
и степени d и е дивизора D, описанные выше,— это как
ра'й те d и е, которые определяются формулой
Спаривание задается так:
В случае, когда F получается раздуванием двух точек
в Р2,
Pic (F) s Num (F) s 1® Z ф Z.
Действительно, базис задается тремя пучками:

122 . Лекция 13
Спаривание задается так:
в*!) = —1. (в*! • 0#2) = 0, (в*, • _g») = 1",
«*,)= 0.
Добавление к лекции 13
После всего сказанного ясно, каким образом группы
когомологий вроде Я1 (F, ©F) играют важную роль в гео-
геометрии на F. С одной стороны, я обнаружил, что не под-
подсчитал ни одной такой группы в этих лекциях; с другой
стороны, можно спросить, какой фундаментальный факт
отражается в обращении в нуль группы. Я1 (F, фр). На
самом деле обращение в нуль Я1 (F, фр) для F = Р2
использовалось уже давно. Оно было скрыто в старой
теореме „Ay-^-Bty* Макса Нётера. Указанный результат
является простым случаем теоремы о несмешанности для
колец многочленов, т. е. того факта, что кольца* много-
многочленов — это кольца Коэна — Маколея. Действительно
важным является следующий результат, который мы при-
приводим (в основном следуя EGA 3, § 2.1) за его красоту-
и для того, чтобы показать, что кое-что мы все-таки под-
подсчитали.
Предложение 4. Пусть R — конечно порожденное
градуированное кольцо, такое, что R0—k и Rn поро-
порождается тензорной степенью Rf . Пусть X = Proj (/?),
и пусть J3?— пучок 0A) на X. Пусть Rm обозначает
локализацию R относительно идеала
Тогда
гомоморфизм
+ 00
A) {Rm имеет глубину ^ 1}'
Я——00
инъективен
гомоморфизм
B) {Rm имеет глубину > 2} фф { ф: R-> Zi Y (X, J?)
П——1XJ
биективен

Добавление к лекции 13 123
гомоморфизм ф биективен
C) {Rm имеет глубину > 3} 4Ф
при всех п
( гомоморфизм ф биективен н 1
(k) (Km ™еет глубину > А;} фф|ЯЧА', -2) = @) , I.
I для 1 ^ / ^ k — 2 при всех П j
Доказательство. Рассмотрим сначала утвержде-
утверждение A): если глубина d(/?m) = 0, то существует такой
элемент а ? Rm, что ab = 0 для всех b ? Rm. He нарушая
общности, можно предположить, что а? R и что а— одно-
однороден, скажем, степени п. Но тогда для всех /6'/?i эле-
элемент а равен нулю в /?(^, поскольку а-/ = 0; следова-
следовательно, ф(а) — нулевое сечение Jga над Xf. Поэтому
ф(а)==0. Обратно, если ф(а) = 0, то для всех f?Rx
имеем а-/* = 0 при k^>0. Следовательно, аннулятор
элемента а содержит некоторую степень ш* идеала m и
d(#m) = 0.
Остальные утверждения доказываются но индукции.
Если d(/?m)^>l. то ш не является ассоциированным про-
простым идеалом с @); пусть р1 fyc/? — эти ассоцииро-
ассоциированные простые идеалы. Тогда 7?j не содержится ни в од-
одном р[, и, так как поле k бесконечно, существует элемент:
i
Говоря алгебраически, х не является делителем нуля в R,
а геометрически х определяет эффективный дивизор Картье
НсХ, где Я = Pro j (/?/*#). С одной стороны, u(Rjx-R)
есть в точности u{R)—1; с другой стороны, мы должны
выяснить, какому из второго множества условий удовле-
удовлетворяет Н. Используем точные последовательности:
0->#° (X, Хп~1) "*Я° (X, #")->№ (Я, Xя ® #)->#' (X, ,
->Я' (X, Хп)->Н1 (Я, jc" & Н)~*Н2 (X, JiT")^ ...

124 Лекция 14
(J) Допустим, что ф? биективен; тогда ф^ инъективен
в том и только в том случае, если ф^-1 сюръек-
тивен. Но мы предполагаем, что ф? инъективен для
всех » и, как и в п. 1° лекции 7, ф? биективен
для всех достаточно больших п. Поэтому индукцией
по убывающим п мы доказываем, что ф^ инъекти-
инъективен для всех » тогда и только тогда, когда q>?
биективен для всех п.
B) Предположим, что ф? «нъективен и ф? биективен
для всех п. Тогда образ ф^ — это образ Я0 {X, З)
в Н°(Н, ^п®Н). Поэтому, если Н1(Х, ^) = @),
то ф^ сюръективен тогда и только тогда, когда
Н1(Х, 3") = {Ъ). Так как группа Н\Х, &*)
непременно равна нулю для всех достаточно боль-
больших п, индукция по убывающим п показывает,
что ф^ биективен для всех п тогда и только тогда,
когда Н1(Х, ^п) = @) для всех д.
и т. д. и т. д., ч. т. д.
ЛЕКЦИЯ 14
Некоторые теоремы об обращении
в нуль
Некоторые из самых глубоких результатов алгебраиче-
алгебраической геометрии связаны с задачей вывода критерия обраще-
обращения в нуль" групп когомологий высших порядков некото-
некоторого пучка. Результатам такого рода принадлежит цент-
центральное место потому, что эйлерова характеристика
когерентного пучка на многообразии, как правило, легко
вычисляется — или непосредственно, или при помощи очень
мощной формы Хирцебруха — Гротендика теоремы Ри-
мана — Роха. С другой стороны, именно группа сечений
таких пучков обычно геометрически интересна и имеет
непосредственный смысл. Поэтому, если удается доказать.

Некоторые теоремы об обращении в нуль 125
что когомологии высокого порядка равны 0, можно ожи-
ожидать ряд следствий.
Первая теорема такого сорта была доказана в лекции 11.
Общая задача была сформулирована итальянцами; она.была
известна как задача постулирования (а именно: когда
размерность чего-либо совпадает с числом, которое было
постулировано!?). Пикар аналитическими методами доказал
очень известный результат такого рода (теорема о регуляр-
регулярности присоединенной системы, см. книгу Зарисского [1]).
Этот результат был значительно обобщен Кодаирой в од-
одной из его самых знаменитых статей [1J; сегодня он изве-
известен как теорема Кодаиры об обращении в нуль. Другой
результат в этом же направлении — теорема Серра о двой-
двойственности, сильно обобщенная Гротендиком; она предста-
представляет собой прямое продолжение результатов Роха и пока-
показывает, как на «-мерном неособом многообразии можно
вычислить Н1 при помощи Я""', что по крайней мере
сокращает задачу вдвое.
Мы докажем здесь (с помощью методов, развитых и
использованных Накаи, Мацусакой и Клейманом) лишь
одну слабую теорему об обращении в нуль, которая,
однако, дает равномерную оценку сразу для большого
класса пучков. Пусть $Г — когерентный пучок на Р„.
Определение. $~ называется т-регулярным, если
Я'(Р„, оГ(т — 0) = @) для всех />0.
Это определение, на первый взгляд довольно нелепое,
проявляет себя следующим образом.
Предложение (Кастельнуово). Пусть ?? есть
т-регулярный когерентный пучок на Р„. Тогда
а) Я°(Р„. оГ(А!)) порождается Я°(Р„, ^~(k— 1))®
®Я°(Р„, 6A)), если k>m;
б) Я'(Р„. оГ(*)) = @), если />0 и fc-f/>m.
Следовательно,
a') of (k) порождается как @р -модуль своими
глобальными сечениями, если k~%m.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по п.
Для я = 0 результат очевиден. В общем случае, если
задан 4f, выберем гиперплоскость Я, не содержащую ни

126 Лекция 14
одну из течек конечного множества А (<?Г). Умножим тен-
зорно твчную последовательность
О -> ©рв (— Я) -> 0Рп -+ Фн -> О
на <&~(k). Для всех х?Рп, если / — локальное уравне-
уравнение Н в х, то умножение на / есть инъективное отобра-
отображение в <?ГХ, так как по построению / обратимо во всех
ассоциированных с $~х простых идеалах. Поэтому резуль-
результирующая последовательность
точна. В частности, мы получаем
Отсюда следует, что если #" является m-регулярным, то
пучок ?Р'н на Я также m-регулярен. Так как Я^Р„_1,
то мы воспользуемся предположением индукции, чтобы
получить а) и б) для <?Гн- В частности, используем после-
последовательность
т — I — 1)) -> Я'+1 (<?" (га — 0)
Если / ^> О, то в силу б) для & н последняя группа
есть @); в силу «-регулярности первая группа равна @).
Поэтому средняя группа равна @) и пучок ^ является
(т-\- 1)-регулярным. Продолжая таким образом, мы дока-
докажем б) для ST.
Для того чтобы установить а), рассмотрим диаграмму
О» -
и
(<У (ft))
Заметим, что о сюръективно при k > m, потому что
Я1 (аТ" (k — 2) >= @). Более того, t сюръективно, если
k > т, согласно утверждению а) для <^~н. Поэтому

Некоторые теоремы об обращении в нуль 127
v (Im (ц.)) — вся группа Н° {<g~ H (k)), т. е. Я0 {&~ (*)-) поро-
порождается Ы(ц) и Н°(<&Г(к— 1)). Пусть A6/^(Pn, ©Pn(l))—
глобальное уравнение Н. Тогда образ W°(<^" (k—1))
в H0{?T{k)) равен, точнее говоря, h®H0(<&~(k—\)).
Другими словами, это тоже часть Im (ц). Поэтому ц
сюръективно и а) доказано для 4f •
Далее, по теореме Серра мы знаем, что пучок ?Г (k)
порождается своими сечениями, если k достаточно велико.
Объединяя это с а), получаем, что Н° (of (m)) ®
®Н°Fр (k — m)) порождает пучок ©р -модулей <&"(&),
если k ~^> 0. Для каждого х ? Р„ зафиксируем изомор-
изоморфизм @р (!) и @р в лг; это отождествляет 0р (k—m)
с ©р в лг и <^(&) с оГ{т) в х. Тогда Я°@р {k-r-m))
ft . ft
превращается в векторное пространство элементов локаль-
локального кольца ©х, и наше утверждение просто означает, что
Н°(<?Г(т))<?)@х порождает слой <&? {т)х, т. е. <>Г (т)
порождается своими глобальными сечениями, ч. т. д.
Наш главный результат состоит в следующем:
Теорема. Для всех п существует многочлен
Fn(x0 хп), такой, что для любого когерентного
пучка идеалов в на Р„, если а0, ах ап опреде-
определяются условием
то пучок 3 является Fn (а0, .... а„)-регулярным.
Доказательство. Снова прибегнем к индукции
по п, так как для и = 0 результат очевиден. Пусть задан 0',
и пусть ZcPn—соответствующая подсхема; выберем такую
гиперплоскость Н, что Н не пересекается с A FZ). Как
и выше, получаем точную последовательность
(*)ffl 0-
которая инъективна слева, ибо умножение на локальное
уравнение для Н инъективно в пучке if, так как он
является подпучком пучка @р . С другой стороны,
н

128 Лекция 14
ifн—:пучок идеалов на Я; пусть х?Рп, и пусть / — ло-
локальное уравнение для Я в лг.^ Тогда последовательность
после тензорного умножения на ©Jf • ©х = 0_Г) я дает
Тог, @1 f • ©,, ©,, z) -> (gH)x -> ©,, я.
И Tot1(@xlf • 0*. ©*,г) = @), так как / не является дели-
делителем 0 в 0Xt z (/. обратим во всех простых идеалах,
ассоциированных с @XjZ)- Это показывает, что 0Н — пу-
пучок идеалов, и мы можем использовать индукцию.
Далее, согласно (*)т.
i-0
л-1
1-0
Поэтому мы можем предположить, что &н является
O(av U2, .... ап)-регулярным, где О — подходящий много-
многочлен, зависящий только от п. Положим ml — Q{av .... ап).
Тогда мы получим, согласно (*)т,
-+ Н1 (g (m)) -> Н\д (m-r-1)) -> О
при т. > т1 — 2. И для любого / > 2 мы получаем
B) Q-^Hl(g{m))^Hl(g{m-\-\))^0 при т'^>т1- I,
Теперь, так как Н1(&(т)) = ф) для/>1 и т>0,
последовательность B) показывает, что Н1 {0 (т)) = @),
как только / > 2 и m'^>ml—l. Это значит, что пока мы
рассматриваем лишь Я2, Я3 Я", пучок 0 также
/«,-регулярен. С другой стороны, последовательность A)
показывает, что
(**) при т^-т1 — 2 либо рт+1 сюръективно,
либо dim (Я1 <JJ (от •+ 1) )< dim (Я1 (# (/»))).

Некоторые теоремы об обращении в нуль 129
Но предположим, что для m = m2, где m2^mv pm
сюръективно. Из доказанного предложения мы знаем, что
сюръективно. Поэтому образ Н° C {mi)) ® Н° ШР A))
в Н° {0 (щ + 1)) ¦ сюръективно отображается на
Н°@н(т2-\-\)). Следовательно, тем более pm+1 сюръек-
сюръективно. Другими словами, если при некотором m^mx
отображение рт сюръективно, то оно сюръективно для
всех ббльших т. Следовательно,
(**') если т~^т1 — 1, то dim (Я1 C (т)) есть
функция т, строго убывающая вплоть до 0.
Отсюда ясно, что
пучок 3 является \т^-\-6\пхНх{0{тх—1))]-регулярным.
До сих пор мы не пользовались тем, что 3 — пучок
идеалов. Но теперь проведем следующий подсчет:
аг а„; mj,
где Н — многочлен от а{ и т1. Короче говоря, пучок &
является [О (ах ап)+Н{а0 а„; G (av .... а„) )]-
регулярным, ч. т. д.
Несколько замечаний. Прежде всего, теорема неверна,
если не предполагать, что 3 есть пучок идеалов. Действи-
Действительно, положим я=1, и пусть
оГ* = ©р, Нт А) $ ©р, (— Ь).
Тогда x((^"fe(m)) = 2(m-+-1) при любом k; но наимень-
наименьшее т, при котором пучок S^k является т-регулярным,
равно т = | k | — 1.
Во-вторых, предположим, что мы изучаем геометрию
на фиксированной - проективной алгебраической схеме X;
тогда верен аналогичный результат:
Фиксируем погружение XcVn, и пусть г = dim (Л);
тогда существует многочлен F (х0, ..., хТ), такой, что
если За&х — любой пучок идеалов и %C(т)) =*
m0& является F(а0, ..., аг)-регулярным.
9 Д. Мамфорд

130 Лекция 15
Докажем это для данного 0'. Пусть 0 определяет
замкнутую подсхему ZcX, следовательно, ZcPB, и пусть
% — пучок идеалов на Р„, определяющий Z. Кроме того,
пусть e/g" — пучок идеалов на Рп, определяющий X. Тогда
имеет место последовательность
Следовательно, если % является то-регулярным и
Н*{<Ж (W)) == @) для / + /» = /»(,+1, то 0 является
Ото-регулярным как пучок на X. Но, поскольку
X (У (») ) = X (^ («) ) + Х (аУ («) ),
ие зависит
от ^
наше утверждение вытекает из теоремы. Из предложения
также следует, что отображение Н° @ (щ -)- ft)) (g>
®H°(@x(l))->H°@(mo-\-k-\-l)) сюръективно, если
ft ^ 0, и что 0 (т) порождается своими глобальными
сечениями при i
ЛЕКЦИЯ 15
Универсальные семейства кривых
Теперь мы в состоянии доказать, что схема С(|),
определенная в лекции 12, существует. Зафиксируем не-
неособую проективную поверхность F и вложение FcP^
Как обычно, пусть 0A) — индуцированный очень обильный
обратимый пучок. В лекции 12 мы ввели разложение
Curves» (S)= И Curves^ E)
SCNum^)
(iS связна). На самом деле для доказательства, которое
мы имеем в виду, нам потребуется лишь более грубое
разложение. Для данной кривой DcF мы будем рассма-
рассматривать лишь многочлен Гильберта

Универсальные семейства кривых 131
В силу предложения 3 из лекции 12, Р(п) определяется
численным классом | кривой D. Действительно, Р(п)
определяется двумя числами: а) степенью d дивизора D и
б) арифметическим родом pa(D). Это видно из точной
последовательности
откуда
Р (») — X (fi, (»)) — X (fiD (я» =
— х (<М«)) - ^ • д -14- Р« (*>)•
Так или иначе мы будем использовать разложение
Curves^ E) — П Curves? E)
E связна), где Curves^ (S) — множество таких дивизоров
DcFy^S, что @fxs(—D) имеет полином Гильберта Р
на каждом слое. Скажем точнее: если 5 не связна, то
S == JJ 5„, где Sa связна; положим
а
Curves^ (S)= П Curves^ (S\.
а
Очень легко проверить, что это подфунктор в Curves^,
и если он представляется (алгебраической) схемой С(Р),
то С(Р) есть объединение открытых подмножеств С(?),
представляющих различные подфункторы Curves^. Зафикси-
Зафиксируем теперь некоторый многочлен Р.
(I) Согласно лекции 14, существует т0, зависящее
только от Р, такое, что если DcF — любая кривая,
дающая полином Гильберта Р, то ©Р (— D) является
т0-регулярным. Мы можем предположить также, что
Тогда
(а)
и <дР (—D-\-m0) порождается своими сечениями.
Используя точную последовательность (*) для п=*щ, мы
заключаем, что
@).

132- Лекция 15
(II) Предположим теперь, что DczF X 5—произволь-
5—произвольное семейство кривых, дающих многочлен Гильберта Р.
Прежде всего, получаем:
F)s pt (<3D (m0)) локально свободен ранга г =
= %FF(m0)) — Р(щ) (зависящего только от Р),
.и образование pt коммутирует с расширением
базы Z
Это вытекает из (б), из следствия 1 п. 3°- лекции 7
и из точной последовательности (*).
Полезные следствия из (а):
сюръективно.
Первое верно в силу следствия 1 п. 3° лекции 7; второе же
верно потому, что pt [@fxs(—D-\-m^\ отображается на
Н°(<др(—Ds-+-m0)) для всех замкнутых точек s?S,
а Н° (<др (— Ds -j- щ)) порождает 6Р (— Ds -j- щ) =
6
s
(III) Предположим вновь, что DczFy^S — семейство
кривых. Из последовательности (*) для п = щ и из (a)s
получаем
0~>р, [@р х s (— D+mo)]->pt [0f х s (то)] -^ P. [6d (m0)} -*¦ О
Фиксируя базис е0, ev .... eN в Н°(<др(т0)), мы опре-
определили
а) локально свободный пучок p,[@D(m0)] ранга г,
б) N-+-1 сечений si = a(l®ei), которые порождают
Это S-значная точка грассманиана GNtr\ В свете F)s
образование пучка pt [6N (m0)] функториально по 5, и вся
эта процедура определяет морфивм функторов

Универсальные семейства кривых 133
(IV) Предположим теперь, что задана S-значиая точка
S—+GN<T грассманиана ONiT. Тогда / определяет локально
свободный пучок ?° ранга г и N-{-\ сечений s0 sN,
порождающих §°. Тем самым определяется сюръективный
гомоморфизм
Пусть C%" — ядро а. Продвигаясь через р: F ~X^S
мы получаем
я° FР к))] -* р* <&) -> о.
Обозначим через 8 образ р*(еТ)(—"*<>) в @Fxs\ это
пучок идеалов на F X 5. Вся эта процедура определяет
морфизм функторов:
h
(Ssch/, = Все подсхемы/,).
(V) Что такое ^ о ф? Начнем с Dcz/7 X 5 и построим /
так же, как в (IV). Тогда, следуя процедуре (IV), получаем
Но мы видели в (a)s, что подпучок 6pxs(—O-f-»^) из
¦ ®p-xs(m<i) порождается сечениями пучка <&, т. е. образ
P*(sT) в ©pxsim) — это в точности 0у7 х s (— D Ч- т)>
Поэтому 8 равен 6pxs(—D), т. е.
' W <Т> Гестественное вложение 1
Ч' о ф — [функторов CurveSy, в SschyjJ '
(VI) Мы можем теперь резюмировать остальную часть
рассуждений: пусть задана структура
'П
морфизмов функторов (из категории алгебраических схем
над к в категорию множеств); предположим, что

134 Лекция 15
(**) для всех a ?B(S) существует подсхема YcS, такая,
что для всех Т -?¦> 5 два утверждения равносильны:
[ S* (а) € в (Т)лежит ]а± [ S м°жн° про- )
[ в подмножестве А (Т) ) ^^ \ вести через Y ) '
Тогда существует подсхема QqczG, такая, что A~ho0,
при этом Ф есть вложение ho, в ho-
(Доказательство предоставляется читателю.)
(VII) Мы должны проверить (**). В нашем случае это
означает, что
(**H для всех замкнутых подсхем ZcFX •$ существует
подсхема YcS, такая, что для всех T-&+S два
утверждения равносильны:
есть
S
семейство кривых над Т,
пучо.к идеалов которых имеет
многочлен Гильберта Р
Л У ( g МОЖНО ВрО- 1
^ вести через / J
Но. согласно основному результату об уплощающих раз-
разбиениях, существует подсхема YczS, такая, что ^
плоско над Т, с многочленом Гильберта
X (©zx г (я)) = X (С* (»)) — /* (я).
s
тогда и только тогда, когда g можно провести через Y.
Остается проанализировать, является ли ZX^ действи-
s
тельно дивизором Картье. Это делается с помощью сле-
следующей леммы.
Лемма. Пусть Zc F X Т — замкнутая подсхема,
плоская над Т. Пусть t?T — такая замкнутая точка,
что Zt — кривая на F. Тогда существует открытая
окрестность U точки t в Т, такая, что Zfi(FXU)
является дивизором Картье на U.
Доказательство. Так как р: FX^->T — замк-
замкнутое отображение, то достаточно доказать, что F X Щ
имеет открытую окрестность V, в которой Z — дивизор
Картье. Пусть х ? F X Т — любая точка, такая, что
р {х) = t... Пусть gfxcz(dx — идеал, определяющий Z в х,
и пусть mtcet — максимальный идеал. Так как ©х1Щ'®х ~

Универсальные семейства кривых 100
ЭТО локальное кольцо точки х на F X {(} и так как
Zt — дивизор Картье, имеем
для некоторого /?<дх. Выбирая / подходящим образом,
мы можем предположить^ что J'?$'х. Рассмотрим теперь
.точную последовательность
Так как подсхема Z является плоской над Т, получаем
-> ем + щ®х -* ®х№х Ч- щ ¦ ®х -* о.
Поэтому [&xl(f)]®o%!(t) = (S!i), следовательно, по лемме
Накаямы &xl(f) = (O). Это доказывает, что gx = (f),
следовательно, Z — дивизор Картье в х, а потому и
в окрестности х, ч. т. д.
(VIII) Это доказывает первую теорему-конструкцию:
о существовании универсального семейства кривых. Одно
положение, однако, не следует из наших рассуждений.
Мы знаем, что параметрическая схема для этого универ-
универсального семейства является подсхемой Y в GNr. Однако
она представляет собой даже замкнутую подсхему, сле-
следовательно, Y — даже проективная схема.
¦ Доказательство. Пусть Y — замыкание К- как
подмножества в QNtr- Предположим, что К^ Y. Возьмем
тогда замкнутую точку у ? К — Y. Зафиксируем
A) i/=Spec(/?), аффинную окрестность точки y?Y,
B) максимальный идеал mczR. определяющий у,
C) идеал 21 с: га, определяющий замкнутое подмножество
(Y~Y)f]U.
Тогда легко проверить, что существует некоторый простой
идеал р, такой, что
pczm, р ф Я, dim [R,lf ¦ R,] = I.
Пусть 5 — целое замыкание области Rjf в ее поле част-
частных, и пусть С = Spec E). Тогда С — одномерное неособое
многообразие и данный гомоморфизм из/? в. 5 индуцирует

136 Лекция 16
морфизм _
Если fcS- простой идеал, лежащий над т • (R/f), то $
определяет замкнутую точку z ? С, такую, что у = ф (г).
Пусть С0=ф~1(К), и пусть ф0 — ограничение ф на Со.
Тогда ф0 есть С0-значная точка Y, не являющаяся ограни-
ограничением никакой С-значной точки Y, потому что y(x)^Y
в замыкании графика ф0.
Мы покажем, что этого не может быть. Функтор hY
изоморфен Curves^. Поэтому ф0 определяет семейство
кривых
(с многочленом Р), которое не является ограничением
семейства кривых над С. Но так как С и F неособенны,
то и F X С неособенно, и дивизоры на F/C можно
считать дивизорами Вейля. В частности, пусть Do как
дивизор Вейля записан в виде
А)— 2 %?«,<)¦
где Zt<0 — замкнутое подмножество в Fy^C0 коразмер-
коразмерности 'l. Пусть Zt — замыкание Zit0 в FX.C. Пусть
D = 2 tiiZf Тогда D —, разумеется, эффективный дивизор
на F X С. Более того, это относительный дивизор над С,
потому что его носитель не содержит ни одного слоя
f Х|г), z?C. Поэтому D — семейство кривых над С,
расширяющее Do. Наконец, поскольку схема С связна,
многочлен Гильберта пучка 6Р{—D) постоянен и, следо-
следовательно, равен Р. Это противоречие доказывает теорему.
ЛЕКЦИЯ 16
Метод схем Чжоу
Существование универсальных семейств является столь
важньш в доказательстве главных теорем существования,
что, по-видимому, имеет смысл кратко описать еще один

Метод схем Чжоу 137
известный подход к их конструкции — подход Чжоу и
ван дер Вардена. Пусть опять задана поверхность FcPn.
Теперь мы зафиксируем лишь степень d кривой DcF,
а не многочлен /^ как выше, т. е. будем рассматривать
разложение
Curves., (S) = Ц Curves* (S)
(для связной 5), где Curves^ E) обозначает множество
таких DczFy^S, что индуцированные кривые Ds на слоях
все имеют степень d.
Пусть X—проективная схема; тогда мы можем опре-
определить функтор
DlV^ E) = {I) CZ X X S | © — относительный аффективный
дивизор Картье иа S],
обобщающий Curves^. В некоторых случаях, когда
dim (X) > 2, этот функтор может оказаться легче под-
поддающимся изучению, чем Curves^, для'иных поверхно-
поверхностей F. Например, если X — грассманиан О, то методы
лекции 13 позволяют доказать, что
где D — некоторое объединение JJ проективных прост-
пространств. На самом деле Div0 разбивается на Div? для всех
целых /г^>0, а все Div? — это как раз линейные системы.
Метод Чжоу состоит в построении морфизма функторов
Curves^— -J-Divg,
где б=О„1„_1 — грассманиан. Для того чтобы это еде»
лать, мы сначала построим подсхему
Эвристически говоря, каждая замкнутая точка из О„,п_1
соответствует линейному подпространству ?сР„ размер-
размерности п — 2. Все вместе они образуют Z. Чтобы быть
точными, напомним (из лекции 5), что On,n-i==Proj(/?),
где R — градуированное кольцо, порожденное элементами
Р,,, , • 0</!</2< ... <t <
4 ¦ «— * ¦

138 Лекция 16
Если j < k — два целых числа, пропущенные в последо-
последовательности чисел /, мы можем упростить обозначения,
положив
Тогда Z определяется как схема нулей сечений
пучка р\@A))®р*2(©A)) для 0<*<л. Тогда в дей-
действительности Z представляет собой расслоение со слоем
Р„_2 над <3Я>Я_1, а также расслоение со слоем О„^и я_2
над Ря. На классическом языке Z называется инцидентным
собтветствием, и само Z есть некоторое многообразие
флагов.
Образуем теперь расслоенное произведение $ = F X Z:
Z7 с-* Р
A) р г— плоский морфизм; действительно, } есть рас-
расслоение на Ол_1>л-2 над ^ в том смысле, что F допу-
допускает открытое покрытие {?/,}, такое, что р~1 (С/,)s
S i// X O._i, .-а- В частности,
dim} =» dim F -(- dim 0B_ti „_2 =
== 2+ 2(я — 2) = 2(я — 1)==
и \ — неособенно.
B) Далее, q — сюръективный морфизм двух" неособых
многообразий одинаковой размерности. Это означает, что
существует открытое подмножество UcQnn_v содержа-
содержащее все точки коразмерности 1, на которых q —конечный
ц плоский.

Метод схем Чжоу 139
C) Более общо, можно произвести любое расширение
базы, чтобы получить
IX*
\
По-прежнему
р — плоский,
q — конечной Тог-размерности,
существует открытое подмножество Uc ОЯг „_t X •$.
содержащее все точки глубины 1, над которыми q — ко-
конечный и плоский.
Поэтому если DczFy^S — семейство кривых над S,
то мы можем образовать
в соответствии с п. 1° и 3° лекции 10.
Осталось показать, что Ф инъективно, как в лекции 15,
и что если Div^ = Ap . то существует замкнутая подсхема
YcPN, такая, что 5-значная точка из Div$ лежит в образе Ф
тогда и только тогда, когда соответствующая точка PN
является точкой Y. Отсюда Curves^ = Ar. Здесь даже
метод аналогичен использованному в лекции 15: строится
обратный морфизм
и потом применяются те же категорные соображения, что
и в части (VI) лекции 15. В некотором смысле самая
глубокая часть рассуждений остается прежней: исполь-
используется существование уплощающих разбиений для проверки
основного предположения, необходимого в чисто категор-
ных рассуждениях. *
Этот подход доставляет одно интересное следствие —
более сильную теорему конечности, чем использованная
вначале: для любой данной степени d существует только
конечное число элементов ? ? Num (F), таких, что
а) deg? = d,
б) 4 представляется кривой.

140 Лекция 16
Интересно и полезно понять, что скрывается за этим
результатом. Мы приведем сейчас полное доказательство
другого, но близкого факта, который понадобится нам
впоследствии; ключевые моменты доказательств, по-види-
по-видимому, одинаковы.
Теорема. Пусть DcF — кривая степени d. Тогда
пучок 0Р(—D-{-d) порождается своими сечениями.
Доказательство. Нам задано вложение FcPn,
индуцирующее пучок 0A). Предположим, чтоЛсР„ — ли-
линейное подпространство размерности п — 3. Напомним,
что тогда существует „проекция"
я: (Р„_/;)-*Р2.
[При нашем подходе мы можем определить я как (Р„—L)-
значную точку схемы Р2. Именно, пусть L = H1(]H2[]H3,
где Н[ — гиперплоскость, определенная Л/^Я°(Р„, 0A)).
Тогда три сечения hv h2 и hz от 0A) не имеют общих
нулей в Р„—L и определяют точку я.]
В частности, если F П L ¦=¦ 0, то я ограничивается
до морфизма
я': F-*P2.
Я. утверждаю, что я' — конечный и плоский.
а) я — аффинный: Р2 покрывается аффинными откры-
открытыми множествами Р2 — lt (lv l2, l3 — три фундамен-
фундаментальные прямые) и я (Р2 — lt) = Р„ — Ht аффинно.
б) Поэтому я' является аффинным, ибо я' — ограни-
ограничение я на замкнутую подсхему.
в) Пусть / обозначает включение F в Р„. Тогда я'
можно разложить так:

Метод схем Чжоу " 141
Так как (/, л') — изоморфизм F и замкнутой под-
подсхемы из РлХ^г- прямой образ ^ft(@p) совпадает
с Р2,,(@р) (где @р отождествлен со структурным
пучком образа F в Р„ X Рг)- Он когерентен (см. 2°,
лекция 7). Поэтому я' конечен.
г) Тот факт, что я' плоский, следует из такого общего
результата:
Лемма. Пусть А—регулярное локальное кольцо
размерности га, и пусть В есть А-алгебра, конечно
порожденная как А-модуль. Если все локализации В
относительно максимальных идеалов являются коль-
кольцами Козна — Маколея размерности п, то В — сво-
свободный А-модуль.
(См. Нагата [1, B5.16)] и EGA 4, § 15.4.) ¦
Теперь предположим, что DczF — кривая степени d
и п'—'Морфизм, построенный выше. Тогда n't(D) опре-
определен с помощью норм, как в п. 2° лекции 10. Это
плоская кривая, и я утверждаю, что ее степень тоже
равна d.
Вычисление степени
Начнем с прямой /сР2, которая не содержит никакую
общую точку множества п[(р)\ тогда *5^(О
0-мерно и
Пусть [xv ..., хп) — IП Supp я/ (D). В каждой точке д;^
пусть @t = ©х , ft ? ©i — локальное уравнение для /,
Rt = [п'г@)Р]Х , gi^Rt — локальное уравнение для. D
в окрестности множества я' (х{). Тогда Rt — конечно
порожденный свободный 0гмодуль и Nm(g1/) является
локальным уравнением для я^ (D). Более того,
•
(/ • я; (D)) = S dim,©,/(/„ Nm (gt)).

142 Лекция 16
Пользуясь элементарным результатом из теории опреде-
определителей1), получаем
. dimft CiKfi. Nm gt) = dim* /?,/(/„ gt),
и по определению
2 dlmft R-tHft. gi) = (я''@ • В) = @A) • 0F (D)) =
Мы подходим к основному пункту: имеем
.где Z)' аффективен, согласно утверждению (*) п. 2°
лекции 101 А так как на самом деле класс дивизоров nrt(D)
совпадает с классом 0(d), класс я' (я^(О)) также совпа-
совпадает с 0(сГ), следовательно, класс дивизоров D' равен
@F(—D-j-d). Теорема, таким образом, будет доказана,
если мы сможем доказать следующее:
(*) Для всех замкнутых точек x?F существует ли-
линейное пространство L размерности п — 3, такое,
что L{\F=0 и дивизор Dr, построенный выше,
не проходит через х.
Другими словами, мы требуем, чтобы
Прежде всего, проанализируем, что нам нужно для этого;
пусть 0 — локальное кольцо на Р2 в я' (х), и пусть R—слой
пучка я^ @Р) в я' (х). Пусть g ? R — локальное уравнение
для D во всех точках я' (я' (х)), и пусть тс/? —макси-
—максимальный идеал, такой, что Rm — локальное кольцо на F
в х. Переходя к пополнениям, находим:
') Пусть А — одномерное локальное кольцо, М — свободный
Л-модуль конечного типа, Т: М -> М — некоторый Л-линей-
ный инъективный гомоморфизм; тогда
длина (Af/7 (Af) ) =» длина (^/(det G) ).

Метод схем Чжоу 143
где вторая сумма берется по остальным максимальным
идеалам ш'с/?. Образ Nm(#) в § будет тогда произ-
произведением норм g из каждой компоненты (/?т-) в ©. Мы
хотим, чтобы g и Nm(#) различались лишь обратимым
элементом. Поэтому нам прежде всего нужно, чтобы
выполнялись следующие требования:
а) g обратим во всех других локализациях /?т<
кольца R, т. е. Supp(D) не содержит ни одной
точки х'Ф х, такой, что л' (х') = я' (х).
Если это выполняется, то образ Nm (g) в © — это как раз
норма из (Rm) в ©. Поэтому тогда мы сможем исполь-
использовать то, что
б) © = /?щ. т. е. Rn не разветвляется над 0, или,
что то же самое, отображение из касательного
пространства Зарисского к F в точке х в каса-
касательное пространство Зарисского к Р2 в п'(х)
есть изоморфизм.
Если это выполняется, то Nm(g') и g различаются лишь
обратимым элементом в Rm; поэтому они отличаются только
обратимым элементом и в /?то;
Каково соответствующее* геометрическое условие на ??
Очевидно, а) превращается в
а') если V— линейное пространство размерности п — 2,
порожденное L и х, то х — единственная точка
пересечения V и Supp(D).
С другой стороны, рассмотрим касательное простран-
пространство Зарисского Т к Р„ в х; оно содержит касательное
пространство Ту к L' размерности п — 2 и касательное
пространство ТР к F размерности 2. Более того, полная
проекция я индуцирует изоморфизм Т\Ти и касательного
пространства к Р2 в я(дг). Поэтому б) превращается в
б') касательные пространства Tv и Т> к L' и F пере-
пересекаются трансверсально в точке х.
Оставшаяся часть совсем проста: пусть М—двумерное
линейное пространство, проходящее через точку х, с ка-
касательным пространством Т^ в х. Выберем сначала

144 Лекция 17
„, 0A)) таким, что
h (у) Ф 0,
где у — общая точка из М или общая точка из Supp (D).
Пусть Н—соответствующая гиперплоскость. Затем выберем
й'€//°(Р„, 0A)) таким, что
й'(*) = 0. ¦
ti (у) Ф О,
где у — общая точка из М(]Н или из F(]H или у ?
? (Supp(D) П Щ—[х]. Пусть Н'—соответствующая гипер-
гиперплоскость. Пусть Lr — H[\Hr. Тогда L' удовлетворяет а')
и б') и U П F нульмерно. Пусть L — любое линейное
подпространство в V размерности п — 3, не содержащее
ни одну из конечного множества точек U П F- Доказа-
Доказательство закончено.
Вот следствие из этой теоремы, которое можно исполь-
использовать, чтобы дать' оценку для % {<дР {— D)) в терминах
deg(D):
Если D — кривая на F, то
где Л=»@A).0A)) — 2.
Мы опускаем доказательство, так как этот факт нам
не понадобится.
ЛЕКЦИЯ 17
Хорошие кривые
В этой лекции мы хотим дать частичный ответ на
третий вопрос, поставленный в лекции 1: что такое хорошая
кривая на нашей поверхности F? Точнее говоря, мы не
хотим различать линейно эквивалентные кривые, поэтому
вопрос формулируется так: что такое хороший класс
дивизоров на F? Ситуация следующая: если задан произ-
произвольный обратимый пучок J3?, то при очень больших п

Хорошие кривые 145
п^чок З'(п) должен обладать всеми „хорошими" свой-
свойствами, какие только можно вообразить. Каков ответ
на аналогичный вопрос на кривой С (например, редуци-
редуцированной и неприводимой)? Обратимый пучок 3" на С
„хорош", если достаточно велика его степень.
1°. Будем точными: зафиксируем раз и навсегда вло-
вложение FcPn, и пусть 0A) — индуцированный обратимый
пучок. Тогда множество классов дивизоров Pic (F) имеет
фиксированный автоморфизм: 3*-^* 3A). Вот список
различных хороших свойств пучка 3:
(I) 3 является О-регулярным: Н1 C (я)) = @), если
I -j- п = 0, / > 0 [следовательно, Hl C (я)) = @),
если / + я>0, 1>0];
(II) 3 порождается своими сечениями, или, что то же
самое, для каждой замкнутой точки х ? F суще-
существует кривая DcF, такая, что
(III) ^ очень обилен;
(IV) существует кривая DcF без кратных компонент,
такая, что
6Р (D) ^ З1.
Какова связь между этими различными свойствами? За-
Заметим, прежде всего, что если J3? обладает любым
из них, то J3? {п) обладает тем же свойством при
всех п
Доказательство. Это ясно для (I) и (II). Для (III)
нужна
Лемма А. Пусть 3 и а41 — два обратимых пучка
на F. Предположим, что J3? порождается своими се-
сечениями, а (М очень обилен. Тогда 3" ®Щ очень обилен.
Доказательство леммы. Так как 3 поро-
порождается своими сечениями, то существует морфизм
<р: F->Pmi, такой, что JP^<p*@(l)); поскольку o4t очень
обилен, существует замкнутое погружение-, тр: F—>Pmi,
такое, что &# = ij)*(©(l)). Вместе они определяют
10 Д- Мамфорд

146 Лекция 17
замкнутое погружение
(Ф. ф): F-+PmiXPm,-
С другой стороны, существует каноническое погружение
Сегре:
Оно определяется следующими свойствами:
(а) Г @A)) =^@A))®/;* @A));
. ф) /* (Xj) при 0 ^ У ¦< «tjff^ + Щ + % являются се-
сечениями /7*(A"ft)® /?*(А"г) для 0<А</и1, 0</</»2
в некотором порядке.
(Упражнение: проверить, что это — замкнутое по-
погружение.)
Поэтому /°(ф. Ф)— замкнутое погружение F
(
= Ф*(©A))®** (©(!))
Предположим, с другой стороны, что J3? обладает
свойством (IV). Мы используем без доказательства эле-
элементарную форму теоремы Бертини:
Лемма Б. Пусть ^ — очень обильный обратимый
пучок на F. Тогда существует неособая неприводимая
кривая DczF, такая, что ^ = (dD
Если J2? обладает свойством (IV), то ^^6р(О) и
я
D = 2 &i> где &1 — различные неприводимые кривые.
Предположим, что классы дивизоров кривых Dx DBo
являются кратными (непременно положительными) класса
0A), а классы дивизоров других компонент Dno+i, ..., Dn
не являются такими кратными. Положим
S0(r).
И 7
По лемме А, 6(г-\-\) очень обилен; по лемме Б,
©(r-f-1) = 0/г(?) для некоторой неприводимой кривой Ц,

Хорошие кривые 147
Тогда
^e,\E+ 2 da
и все кривые Е, Z)no+b ..., Dn различны, так как пучки
6р(Е) и <dp(PD не изоморфны при 1>п0. Это доказы-
доказывает, что ^A) обладает свойством (IV).
Итак, все „хорошие" свойства (I) —(IV) устойчивы в том
смысле, что замена ^ на ^A) их не нарушает. Наш
главный результат заключается в том, что они почти экви-
эквивалентны.
Теорема 1. Существует целое число k, зависящее
только от F и вложения F с Р„, такое, что если
обратимый пучок J3? хорош в смысле одного из свойств
(I)—(IV), то J2?(k) обладает всеми четырьмя хоро-
хорошими свойствами.
Доказательство. Проведем рассуждение по це-
цепочке.
•Первый шаг. Если J3? хорош в смысле (I), то,
в силу предложения из лекции 14, J3? хорош в смысле (II).
Если J3? хорош в смысле (II), то," по лемме A, J?(l) хорош
в смысле (III). Если ^ хорош в смысле (III), то, по
лемме Б, J& хорош в смысле (IV).
Второй шаг. Остается перейти в обратном напра-
направлении от (IV) к (I). Предположим, что J2> = @P(D),
где D не имеет кратных компонент. Умножим тензорио
точную- последовательность
О -> 0Р (— D) -> 0Р -> 0D -> О
на J3?{n); получим
где J2?D = J2?®0D. Пусть п0 — такое целое число, чт.о
Н1(@Р(п)) = ф), п>п0, />0.
.Тогда при п^>п0 из (*) следует, что
A)
10»

148 Лекция 17
Воспользуемся теоремой Римана — Роха на кривой D для
исследования этой последней группы. Пусть Я — канони-
канонический пучок на F (теорема 3, лекция 12). Тогда QD =
Q6(D]@ и
B) dim#1(.2'0(«)) = dimtfo(QD®.3'51(— л)).
Но
= [Q(—n)®6D].
Существует, конечно, такое целое число пх, что
Из доказанного на первом шаге следует, что Q-1(«) очень
обилен, если я^>я,-|-3. Предположим, что «^>«j-f-3;
тогда индуцированный обратимый пучок <М — Q~l(n)®0D
на D очень обилен на D, т. е. индуцирован вложением
/ : D С-^ Р„. Но заметим, что имеет место
Лемма В. Пусть X— замкнутая редуцированная
подсхема в Р„, все компоненты которой имеют поло-
положительную размерность. Тогда Н° (@х ® 6рп (— 1)) = @).
Доказательство леммы. Пусть Xv .... Хп —
компоненты X. Так как
1-Х '
то если бы пучок 6Х(—1) имел глобальное сечение,
пучок 6х,(—1) лпя некоторого / тоже имел бы глобальное
сечение. Поскольку Xt — многообразие, глобальными сече-
сечениями 6х, являются лишь константы (постоянные сече-
сечения). Пусть Н — гиперплоскость, не содержащая общую
точку Х$ тогда
@xt (—1) ^ @xt ® &рп (— И) с @хг
^ ¦
Поэтому постоянное сечение пучка ©х, должно быть сече-
сечением пучка 0х,(—О- т. е. Xt не должно пересекаться
с И. Тогда Xt—замкнутая подсхема в Р„—Н, т. е. Xt
конечна над k, и поэтому 0-мерна, ч. т, д.

Хорошие кривые 149
По лемме,
если п~^пх-\-Ъ. Объединяя A), B) и C), выводим,
что JPiti) является О-регулярным, если
л>тах[л0Н-2, т^
2°. Мы выяснили, в каком смысле кривую нужно счи-
считать „хорошей". Следующий вопрос: существуют ли числен-
численные критерии, позволяющие установить, что обратимый
пучок J2? представлен какой-нибудь хорошей кривой?
В этом направлении имеется
Лемма Г об обращении в нуль. Существует
константа cv зависящая только от F и очень обиль-
обильного пучка 0A), такая, что для всех обратимых
пучков J?
cl^H* (F, J3T) = @).
Доказательство. Пусть 0A)Ё±©/?(Я), где Н —
неособая неприводимая кривая на F. Для всех k имеем
обычную последовательность
(**) 0-
Если deg {J?) = degw (^ ® 6Н) > 2ра (И) — 2, то, по тео-
теореме об обращении в нуль из лекции 11, И1 (J2? ® ©я) = @).
Тем более Hl (J^ <g> ©H (k)) = @) для каждого целого
k > 0. Поэтому
№¦ {J2>) -*+ Н2 (^A)) ^> № (& B)) ^* ... .
Так как И2 (J? (п)) = @) для очень больших п, то
Я2(^) @), ч. т. д.
Следствие 1. Пусть с1 — такое, как выше,
и пусть обратимый пучок S" удовлетворяет условию
deg {J2?) > Cj, x C-^) > 0. Тогда существует кривая DcF,
такая, что iS'^Qpip).
Следствие 2. Пусть сх — такое, как выше, и
A=deg©(l). Если обратимый пучок J& удовлетворяет
условию deg(^)>c, + A и H^F, ^ = @), то .2" B)
„хорош* во всех отношениях.

150 Лекция 17
Доказательство. Согласно следствию 1, имеем
№{F, &(—1))=@), следовательно, ^A) является 0-ре-
гулярным, и поэтому -^B) очень обилен, ч. т. д.
Все это вместе с результатом, приведенным в конце
лекции 16, позволяет доказать следующее утверждение.
Теорема 2. Существуют константа с2 и положи-
положительное е, зависящие лишь от F и 0A) и обладающие
следующим свойством: если обратимый пучок J2? на F
удовлетворяет условиям
а) deg(^)>c2,
б) Х(-2*)>О -е)/B(©A) • 0A))) • (deg(^)J,
то J3? является ^-регулярным а очень обильным.
Доказательство. Пусть сх—константа из леммы Г,
пусть с3 — константа из теоремы 1, и пусть
А = @A). 0A)),
Пусть т| — такое положительное число, что
' 1
2А[1-)-А(А—2)] '
и пусть
с2 = max {-^-; 2А (с3 + 1 + А (й-2));
Наконец, положим
Шаг I.
. Доказательство,
deg(^(-*))= deg {J2T> — k, deg(©A))
> deg {&) - ( **}& ) A - т)й) Й >

Хорошие кривые 151
Шаг П.
Доказательство. Пусть Н — такая кривая, что
) 5(Я). Воспользуемся точной последователь-
последовательностью (**) из леммы Г и теоремой Римана — Роха на Я,
чтобы получить формулу
A)) = X(^)-Sx(-2'®<M-0) =
ft-i
= X (-20 - k% (©я) - 2 degw {^ ® ©я (- 01 =
Подставляя в нее все наши оценки, получаем
Шаг III. Из следствия 1 вытекает, что ^(—k)—@P (D)
для некоторой кривой D с F. Теперь воспользуемся резуль-
результатами лекции 16; пусть d=deg(?>). Тогда 6F(— D-\-d)
порождается своими сечениями. В частности, существует
кривая E<zF, такая, что 6Р{—D-\- d)^0Р(Е). Кроме
того,
deg (?) = — deg (D) + d ¦ h = d (ft — 1).
Снова по той же теореме, @р(—E-\-d(h — 1)) поро-
порождается своими сечениями. Далее
@Р(—Е + d(h—l))^©p(— D + d)-1 ®0p(d(h - 1)) д*
Следовательно, по теореме 1, J3?(d(h — 2) — к -f <f^)
является 0-регулярным и очень обильным. Поэтому тео»
рема будет доказана, если сделать

152 Лекция 18
Шаг IV. d(A —2) — fc-fe3<0.
Доказательство. Заметим, что d = deg(D) =
— k • А; таким образом,
d(h-2) —
< - -2I+c3+ 1 H- A (A - 2)< 0.
> Важно, что для любого обратимого пучка J2* обоим
условиям критерия удовлетворяет и 3" (и), если п ^> 0.
(Это не совсем очевидно и может послужить упражнением
для читателя.)
Следствие. Пусть A, co^Ntm^/7) — образы 0A)
и Q. Существуют константы с2 а е, такие, что если
элемент % ? Num (F) удовлетворяет условиям
A) (Я,
mo все ^^Pic^), представляющие %, ^-регулярны и
очень обильны.
Доказательство. Следует использовать только что
доказанную теорему и предложение 3 из лекции 12, умень-
уменьшая е, если это необходимо.
ЛЕКЦИЯ 18
Теорема об индексе пересечения
Теорема об индексе пересечения для кривых на поверх-
поверхностях является довольно простым следствием развитой
выше теории. Мы используем одну идею Гротендика [5J.

Теорема об индексе пересечения 153
Предложение. Пусть З1 — обратимый пучок
на F, такой, что C • З1) > 0. Тогда
для некоторого положительного п
Доказательство. Если H°(F, 3) Ф @), то
" для некоторой кривой DcF. Поэтому
= \ (®F (D) • 0 A)) == ± deg (D) > 0.
Обратно, если deg(^)>0, то H2 (F, S) = @) для
всех достаточно больших п в силу леммы об обращении
в нуль из лекции 17. Более того, согласно предложе-
предложению 3 лекции 12,
Это выражение положительно при всех достаточно боль-
больших п, следовательно, Я0 {F, JZ) ф @) для всех доста-
достаточно больших п, ч. т. д.
Следствие. Пусть J3? — обратимый пучок на F,
такой, что (J? • J?) > 0. Тогда, если аМ^ и о^2
очень обильных обратимых пучка на F, то
Доказательство. Дело в том, что условие
H°(F, 3) Ф @) не зависит от выбора очень обильного
пучка 0A), тогда как, по определению, deg(^) =
= (-27-©A)). Поэтому условие deg(^)>0 действи-
действительно не должно зависеть от выбора очень обильного
пучка 0A), ч. т. д.
Теорема об индексе. Рассмотрим векторное
пространство Num(F)®Q. Пусть h?Num(F) предста-
представляет образ 0A). Положим
= {Q • ft} © {Q • п]К

154 Лекция 18
Тогда на втором слагаемом {Q • h}^- индекс пересече-
пересечения отрицательно определен.
Доказательство. По определению, спаривание на
Num (F) (g) Q невырожденно. Поэтому оно невырожденно
также и на (Q • ft}-*-. Если бы теорема была неверна,
то существовал бы элемент &?{Q • h}\, такой,, что
(k • k) > 0. Предположим, что кратное а • k представляется
обратимым пучком З1. Тогда J2 (т) представляет т • ft -\-
-\-п • а • k и
(.2*1 (т) • &*' (т')) = (т ¦ А + я • а •k, m'-h + n'-a-k) =
= т-т' (ft, й)-}-и • п' ¦ a2(k, k).
В частности, (_2"ге) • Л?п(т)) > 0 всякий раз, когда
(и, т) Ф @, 0). Поэтому в силу следствия (J2 (т) • <М)
положительно для всех очень обильных пучков оМ, если
оно положительно для одного такого aft.
Но ©A) очень обилен. Более того, мы видели в лек-
лекции 17, что для достаточно больших п, скажем п^Пц, J^(n)
тоже очень обилен. Тогда мы приходим к противоречию,
потому что
(.2*4-1) • ©(!))= (©(О • 0A))< 0
и в то же время
¦ (-2*4—1) • S'(no)) = n(j2' ¦ Я)—йо@A) • 0A)) > 0.
если п достаточно велико.
Возвращаясь к примерам из лекции 13, мы можем
проверить этот " результат. Для Pj X Pi спаривание на
2-мерном пространстве Num^giQ задается матрицей
(° '
с одним положительным и с одним отрицательным соб-
собственным значением. Для второй поверхности спаривание
на 3-мерном пространстве Num(/7)B)Q задается матрицей
—1 0 0
О
1

Теорема об индексе пересечения
155
Ситуацию можно описать примерно следующим обра-
образом: возьмем действительное векторное пространство
Num (F) <gi R и построим в нем „световой конус" (д: • дг) = 0.
Рассмотрим замыкание множества положительных действи-
действительных линейных сумм классов очень обильных дивизоров:
Очень обильные
Кратные .элемента Л
(х-х) > 0
deg х > О
deg a - 0
(i-x) < О
fx-ar) > О
deg х < О
Полезно разобраться, как выглядит на этом чертеже
численный критерий свойства „быть очень обильным" из
лекции 17:
1-е
2 @A).0A))
Пусть A,?Num(/?)®Q — образ J2?, и пусть h — образ
пучка 0A). Пусть Q — канонический обратимый пучок
на F, со—его образ! Мы используем аддитивную запись
в группе Num(F) для произведения обратимых пучков.
С учетом предложения 3 из лекции 12 критерий лекции 17
можно привести к виду
(a) degfl,) —(Я,.й)>с,.
..(б) (Я,,Я,-1^

156 Лекция 18
Я утверждаю, что, изменив при необходимости кон-
константы с2 и е, можно получить (б) как следствие более
простого условия:
(б') (Я, -Я,) > -1=^- • (Я, • hf.
Доказательство. Пусть е'—любое положитель-
положительное число, меньшее е, и предположим, что К удовлетво-
удовлетворяет условиям
>
Тогда существует число А (не зависящее от Я,), такое, что
Отсюда немедленно следует, что (б) выполняется, если
deg(A,) больше, чем
f A(h-h)
{c2, -?-/
max
Для построения А воспользуемся таким фактом: из (*)
следует, что пХ представляется кривой для больших поло-
положительных п (первое предложение этой лекции). Кроме
того, применим следующую простую лемму:
Лемма. Для любого обратимого пучка аМ. на F
существует константа см, такая, что для всех кра-
вых DcF
Доказательство. Выберем п0 таким, что
и а4Г1{п^ очень обильны; тогда FР (D) • <М (и0)) и
(®P(D) ¦ a4t~l(n<$) положительны и лемма получается при
Co« = «o-
Следствие. Существует положительное е, такое,
что если ^^Num(F) удовлетворяет условиям
(a") deg(A,)>0,
(б") (Я..Я.)>.1=1
то все обратимые пучки J2?, представляющие К, обильны.

Схема Пикара: общие замечания 157
Заметим, что эти условия просто определяют положи-
положительную часть некоторого конуса в NumC/^&R. С дру-
другой стороны, условия (а) и (б') определяют кусок этого
конуса над некоторой плоскостью, т. е. перевернутый усе-
усеченный конус. Следовательно, множество очень обильных
пучков содержит такой конус'). Есть еще один результат,
который очень хорошо соответствует этой модели. Воз-
Возникает вопрос: каков точный вид действительного замкну-
замкнутого конуса Со, порожденного очень обильными пучками?
Такой конус будет, конечно, почти всегда больше конуса,
порожденного точками, удовлетворяющими нашему числен-
численному критерию. Но теорема Накаи и Мойшезона утвер-
утверждает:
Обратимый пучок J? на F обилен тогда и только
тогда, когда
а) для всех кривых DcF имеем (@р (D) • J2?) > О,
б) {& • &) > О
(см. Клейман [1]). В нашей модели пусть С — действи-
действительный замкнутый конус, порожденный обратимыми пуч-
пучками 6P(D) для эффективных D. Согласно предложению,
он содержит положительный численный конус (л:, дг)^-О,
deg(je)^-O. Тогда из теоремы Накаи следует, что С и
Со — двойственные конусы относительно индекса пересе-
пересечения!
ЛЕКЦИЯ 19
Схема Пикара: общие замечания
Наша следующая цель — доказательство существования (
схем Я(|) из лекции 12, или, что то же самое, доказа-
доказательство существования универсального семейства обрати-
обратимых пучков численного типа |. В этой лекции мы выскажем
¦) Это по крайней мере совершенно ясно показывает, что
если J27 — любой обратимый пучок, то J&7 (л) удовлетворяет
условиям а) и б) для достаточно больших п.

158 Лекция 19
некоторые общие замечания о проблеме и кратко опишем
наш метод ее решения.
В точной постановке задача заключается в следующем:
показать, что каждый функтор Pic^ представим. Прежде
всего, заметим, что все функторы Pic^ изоморфны: пусть,
скажем, \v ?2— два элемента из Num(F) и S'^ ^2 —
обратимые пучки на F, представляющие |t и |2. Опреде-
Определим изоморфизм
так: заданный пучок <М на F X S, представляющий эле-
элемент из Plc^(<S), отобразим в
Последний представляет элемент из Plc^(S); это, очевидно,
определяет требуемый изоморфизм.
Итак, нужно представить только функтор для | = 0.
Этот функтор будет обозначаться через PlcjJ (по Гротен-
дику). Он является^ естественно, групповым функтором,
т. е. каждое из множеств Pic?E) является группой,
а каждое участвующее в определении функтора отображе-
отображение между ними представляет собой гомоморфизм. Именно,
групповой закон определяется тензорным умножением обра-
обратимых пучков на схеме. F~^S. Согласно общим замеча-
замечаниям в лекции 4, схема Я(т), представляющая Р1с?, является
автоматически групповой схемой. Это и есть в существен-
существенном схема Пикара по Гротендику. (На самом деле Гро-
тендик рассматривает объединение схем, представляющих
каждый Pic|,, и называет его схемой Пикара. В нашем
изложении, над алгебраически замкнутым полем, эта кон-
конструкция не имеет особого смысла. Чтобы ее оправдать,
следует рассматривать более сложные базисные схемы.)
На самом деле удобнее представить Pic^ для одного
фиксированного, но очень обильного |. Наш метод заклю-
заключается в выборе одного такого |, который удовлетворяет
численному критерию из лекции 17; тогда любой пучок J2?
типа I заведомо О-регулярен и очень обилен. Поэтому мы

Схема Пикара: общие замечания 159
построим сечение s морфизма функторов Ф:
ф
Curves^, ^r± Pici.
Если Ф допускает сечение s, то Pic], представим
замкнутой подсхемой Р (?) схемы С (|).
Доказательство. По предположению, Ф°$—то-
Ф°$—тождественное отображение. С другой стороны, «оф есть
морфизм функтора Curves], в себя, который проектирует
весь этот функтор на подфунктор, изоморфный Pic^,. Но
'мы знаем из лекции 15, что существует проективная
схема С (?), представляющая Curves],. Поэтому s о Ф инду-
индуцируется морфизмом схем
Определим Я(|) как расслоенное произведение в диа-
диаграмме
где Д — диагональный морфизм.
Тогда Нот (S, Р (|)) изоморфно множеству пар а,.
P?Hom(S, С(|)), таких, что Д(а) = A, /)(Р). т- е- точки
аХа и РХ/(Р) в Нот (S, С (|) X С (|)) совпадают. Это
означает, что множество Нот (S, Р (|)) изоморфно под-
подмножеству элементов Нот E, С(|)), неподвижных слева
относительно /, т. е. подмножеству элементов в Curves^. E),
неподвижных слева относительно s о Ф. Поэтому функторы
№) и Р1с]>. изоморфны.
Наконец, так как Д — замкнутое погружение, то зам-
замкнутым погружением является и морфизм g, и поэтому
Р (|) — замкнутая подсхема в С (|), ч. т. д.
Чтобы построить s, нам придется сделать следующее:
для каждого обратимого пучка З1 на F X 5 типа | вдоль
слоев построить относительный эффективный дивизор
Картье DcF X 5, такой, что

160 Лекция 19
для некоторого o#?Pic(S). Эта конструкция должна
обладать двумя свойствами:
а) при замене 3 на 3 ® р\ (оМ1) для любого
аМ' ? Pic E) должен получиться тот же дивизор D;
б) конструкция должна коммутировать с любым рас-
расширением базы Г—>5. .
Основными для нашей конструкции являются следую-
следующие пучки: пусть задан 3 на F X S; для любой замкну-
замкнутой точки x?F пусть ix: S-^-Fy^S есть сечение р2,
отображающее 5 на замкнутую подсхему [х] SFS
Полежим
Кроме того, пусть
Тогда существует канонический гомоморфизм
hx: ^-><ЖХ
для каждой точки дг, т. е. сечение Ж над UcS опреде-
определяет сечение J? над F X U и, следовательно, сечение /*
над t/ = /;1(/7Xt/)-
Теперь напомним, что \, по предположению, удовле-
удовлетворяет численному критерию из лекции 17. Поэтому, если
обратимый пучок 3" на F имеет тип |, то, как мы знаем<
Hl(F, 3") = H2(F,J2") = (O) и 3" очень обилен. В част-
частности, ограничение 3" на любой слой р2 имеет тип |.
Поэтому известно, что W локально свободен и его ранг г
определяется только классом \. Теперь предположим, что
мы выбрали г — 1 замкнутых точек хх Arr-1 ? F.
Тогда определен гомоморфизм
2
i-i
Л Л: Л^^-^Л'©
Дуализация даёт
(Л А)': ® o^J.1 -> Horn (д ' Г. @s)-
i-i '

Схема Пикара: общие замечания 161
Но
[т. е. каноническое спаривание Л'^) и cf в обрати-
обратимый пучок Лг(^") индуцирует гомоморфизм из ^
в Нот(лг~1(^>)- Л'(?"))• а следовательно, из W®
®(Л'Ч^)) в Нот(лг(^). ©5); ясно, что это изо-
изоморфизм].
Заключая все обратимые пучки в фигурные скобки,
получаем гомоморфизм
и, следовательно, глобальное сечение
Предположим, что о не обращается в тождественный
нуль ни на одном из слоев р2- Тогда уравнение о = 0
определяет относительный эффективный дивизор Картье
DF^S, такой, что
т. е. именно такой, как мы хотели. Более того, ясно, что
все наши шаги коммутируют с расширением базы и что
мы получим тот же дивизор D, даже если заменим J2*
на З1 ® р\ (о4С) с самого начала. Итак, наша проблема
была бы решена и 5 было бы построено, если бы о не
обращалось в тождественный нуль на любом из слоев р2.
Что значит, что о тождественно обращается в нуль на
слое P2l(s)f Пусть J9?s — обратимый пучок, индуциро-
индуцированный «g7 на этом слое, и пусть
— каноническая F-значная точка на РГ_Р определенная
пучком J3*, (т. е. определенная пучком J2?\ и базисом
sv s2 sr пространства H°(F, З1^; см. лекцию 11).
11 Д. Мамфорд

162 Лекция 19
Лемма. Сечение о не есть тождественный О на
р^1 (s) тогда и только тогда, когда фл(;с1), .... Фл (.*,_!)
порождают гиперплоскость в Рг_х.
Доказательство. Так как конструкция о функто-
риальна, мы можем при желании сделать замену базы
Spec (k) e= Spec $Ю (s) -> S,
заменить Jg' на Jg', и посмотреть, обращается о в 0 или
нет. Тогда If = Я°(Л'. J2?s) иаМ*{ = .2% ® «$?(*,). Ясно,
что о Ф О тогда и только тогда, когда г — 1 линейных
функционалов
hx-. H° (X, J?s) -> J?t ® Зв{хд
независимы, т. е. когда пересечение ядер отображений Нх
1-мерно. Пространства H°(Pr_v 6A)) и Н°(Х, J2?s) изо-
изоморфны относительно <р*, а линейный функционал hx, соот-
соответствует отображению
Но элемент п?Н°(Рп, ©A)) переходит в нуль в ©A)®
®^?(у) тогда и только тогда, когда гиперплоскость, опре-
определенная h, содержит у. Поэтому ядро отображения НХ(
одномерно тогда и только тогда, когда существует един-
единственная гиперплоскость, содержащая г — 1 точек ф(л:г),
ч. т. д.
Мы знаем, далее, что образ фл(/7) не содержится ни
в каком собственном линейном подпространстве в Рг-1
(см. лекцию 11). Поэтому почти для всех наборов из г — 1
точек хх хг_х на F точки Ф(хх) ф(*г-1) неза"
висимы и офО на /^(s). Трудность, однако, в том,
чтобы найти один (г — 1)-набор, который годился бы для
всех s.
Мы не будем, решать эту задачу; на самом деле может
оказаться, что такого (г — 1)-набора не существует. Вместо
этого мы обобщим наш метод построения сечения s. Нач-
Начнем с выбора совокупности из Nr — 1 точек на F. Мы
сгруппируем их Лв Л/ — 1 наборов по г точек и один набор

Схема Пикара: общие замечания 163
из г — 1 точек:
\xl,V х\,2' • • " Х1, п
\Х2, V Х2, 2 Х2, г)
(Y) .- • •
{¦^ЛГ-Ь 1' xN-l,2 XN-1, A
\XN, I' XN,2 XN, r-\]
Проделав для последних г — 1 точек то же построение,
что и выше, получим
Для каждого из других наборов точек, однако, рассмот-
рассмотрим гомоморфизм
и
Л А: А
i
Это дает
А': ©з-КЛ'ЙОГ1
и, следовательно, сечение
(( if'
F X S, р*2 {(Лг(^))~ ® \®<
I L*—1
Теперь перемножим все это тензорно и получим
( P*2 f(Ar \
[ А . Лг,
Для сокращения записи положим
(Л'(Ю Г"
)\®
все
Ц *
Пучок <vT, с точностью до канонического отождествления,
не зависит от группировки (у).. Поэтому для каждой

164 Лекция 20
группировки (у) мы можем образовать сечение
Предположим, что каждому у мы приписали некоторый
скаляр oY ? k. Тогда определены также сечения 2 flv°v
Главная теорема. Выбрав подходящим образом |, N,
Nr — 1 точек на F и скаляры ау, мы можем добиться
следующего результата:
для всех обратимых пучков J27 на F типа |
каноническое сечение >ayay^H°(F, J?)
никогда не равно нулю.
Допустим, что мы это доказали; тогда сечение 2flv\
всегда определяет относительный эффективный дивизор
Картье и, следовательно, сечение у функтора Ф оказы-
оказывается найденным, а схема Я(|) — построенной.
ЛЕКЦИЯ 20
Независимые 0-циклы на поверхности
В этой лекции мы рассмотрим вопрос об отыскании
конечного множества точек на данной поверхности, кото-
которые находятся, грубо говоря, „в общем положении*. За-
Зафиксируем поверхность F и очень обильный обратимый
пучок J27 на F.
1°. Определение. Назовем Ъ-циклом 21 степени N
на F формальную сумму N (не обязательно различных)
замкнутых точек на F:
N
¦-§"«•
Определение. 0-цикл 2^*< называется Х-незави-
симым, если для всех кривых DczF
[число точек Pt в Supp (О)) < X • (deg (D) J.

Независимые О-циклы на*поверхности 165
Сначала выясним, какие О-циклы на плоскости неза-
независимы; если, например, 0-цикл 2-независим, то никакие
три точки этого цикла не коллинеарны, никакие его 9
точек не лежат на одной конике и т. д, Конечно, это
очень слабое требование: не существует причин, по кото-
которым даже 6 точек должны были бы лежать на одной ко-
конике. Для построения независимых 0-циклов индукцией
по их степени удобно доказать самый сильный результат:
Предложение 0. Для всех N существует 0-цикл
N
% = 2 Pi степени N на Р2, такой, что для всех под-
множеств 5с {1, 2, ..., N\ и для всех целых п, если
Ln s = {/ | / ;— однородная форма от XQ, Х^, Х% степени П, такая, что
0 при i?S), то:
а) Ln s = @). когда Card E) > (n + 1J
б) dim Ln< s = (" + l)?n + 2) _ Card (S) в остальных
случаях.
Доказательство. При М=\ пусть 21 = Я, —
любая замкнутая точка. Пусть уже построен цикл 21 =
N-1
= 2 Pi- M" должны выбрать PN так, чтобы цикл 21 + ^
удовлетворял всем условиям; теперь уже не нужно забо-
заботиться о подмножествах 5 с: {1, 2 Л/ —^ 1}, поскольку
с ними все в порядке. Пусть, скажем, Гс{1, 2 N— 1}
и S = TU [N\- Пусть, кроме того, LnT и LnS — линейт
ные пространства, определенные выше. Тогда наши тре-
требования сводятся к следующему:
г с /
L'n, S ф ип,Т'
если Ln,T*t@), т. е. если Сага(Г)< (я-f 1)(я + 2)/2.
Действительно, по индукции, dlm(Z.nr) задается формулами
а) и б); LnS имеет коразмерность не больше 1 в Ln< Г. Та-
Таким образом, если это собственное подпространство, то
его размерность задается теми же формулами а) и б).

166 Лекция 20
Пусть Zn<T — пересечение плоских кривых, определен-
определенных формами / ? ?„. т. Тогда
Ясно, что если PN?ZnjT, то условие f(PN) = 0 излишне,
и поэтому. LniS = LntT. Но если PN(fcZn<T, то существует
форма / ? Ln< т, такая, что / (PN) фО,и поэтому /' ?LnT —
Более того, Znt T z> Zn+l< T. В самом деле, пусть
Q?Zn+UT, и пусть f?LnT. Предположим, что f(Q) ф 0.
Пусть g — линейная форма от Хо, Xv X2, не являющаяся
нулем в Q. Тогда / • g? Ln+h т и / • g (Q) Ф 0 — противо-
противоречие. Поэтому /(Q) = 0 и ZnJ3Z,Hr Кроме того,
по условиям а) и б) для Т заключаем, что Znt т = Р2
тогда и только тогда, когда Card (Г) >. (я + 1)(л + -2)/2.
Объединяя все это вместе, получаем условия на PN:
U
tc{i, 2,.... N-i)
где \{Т)—наименьшее п, такое, что
Тбчка PN с этим свойством, очевидно, существует,
ч. т. д.
Следствие. Для всех N существуют 2-независа-
мые 0-циклы на Р2 степени N.
Доказательство. Только что построенный цикл 21 об-
обладает тем свойством, что самое большее '¦¦ "*" } — 1
его точек находятся на любой заданной кривой степени п.
Так как
для всех я >¦ 1, получаем утверждение следствия.
Теперь рассмотрим произвольную поверхность F вместо
плоскости. . .

Независимые О-циклы на поверхности 167
Предложение 1. Пусть F — неособая проектав-
Щая поверхность и ©A)—очень обильный обратимый
щучок. Существует положительное %, такое, что на
поверхности F имеются Х-независимые О-циклы любой
степени N.
Доказательство. Пусть вложение F с Р„ опре-
определено пучком 0A). Как и в лекции 16, существует про-
проекция Рл на Р2, которая определяет конечный плоский
морфизм
я: F->P2.
Более того, мы доказали в лекции 16, что если DcF—
любая кривая, то
deg(D) = deg ji,(D).
Пусть h—степень я, т. е. ранг локально свободного пучка
я* Fр). (В действительности h = @ A) • 6 A)), но это к делу
не относится.) Положим Я, = ЗА. При заданном N поло-
положим N0 — [Nlh], т. е. N = h-N0 + r, где 0<г<Л — 1.
Выберем 2-независимый 0-цикл Ъ на Р2 степени JVO. Пусть
%' = vf{Jb); как определено я*?
Определение.
б) если Q?P2 —замкнутая точка, то пусть n~1(Q) =
= {Pj Pt} в теоретико-множественном смысле.
Тогда теоретико-схемный слой задается так:
я- > (Q)-= Spec {я, @F)Q ® &в (Q)}
и п, FP)Q ® ^5? (Q) = ф Л,, где Л( — артиново" ло-
кальное кольцо, аффинным спектром которого явля-
является точка Pt; ¦
Заметим, что степень я* E1) в h раз больше степени 21.
Наконец, пусь Я,. .... Рд — любые q точек в F, и пусть
>Д = 31' -f- 2 ''j- Тогда я утверждаю, что 21 является

168 Лекция 20
^-независимым циклом степени N. Пусть DcF — любая
кривая:
[Число точек из 21 в Supp (D)] ^
< q + [Число точек из %' в Supp (D)] <
< Л — 1 + h [Число точек из Ь в Supp (it, (D) )] -<
<A-l + 2A[deg(ji,(D))]2<
<3A[deg(D)]2.
2°. В этом разделе мы хотим показать, что Х-незави-
симые 0-циклы хороши и в некоторых других отношениях.
Введем сначала одно новое понятие.
Определение. 0-цикл 21 на Р„ называется строго
устойчивым, если для всех гиперплоскостей НсР„
[Число точек из 21 в Щ
n+1 •
Предложение 2. Пусть 21—строго устойчивый
0-цакл степени г(п-\-1). Тогда существует группи-
группировка (-у):
¦-S»-
где Ь% есть 0-цикл степени п-\-\, состоящий изп-\-1
проективно независимых точек, т. е. точек, не содер-
содержащихся ни в какой гиперплоскости.
Доказательство. Рассмотрим все группировки
i
i-i
где каждый цикл bl Ь( состоит из п-\- 1 "независи-
"независимых точек. Выберем- такую группировку, в которой / ма-
максимально; мы хотим показать, что 1 = г. Пусть L — ли-
линейное пространство, порожденное точками из 21'. Мы про-
проведем вторичную индукцию по dim L. Ясно, что если L = Р„,
то можно найти я —{- 1 независимых точек в %' и образо-
образовать новый цикл bl+l из них, так что / не максимально.
Поэтому dim L < п. Теперь выберем такую группировку,

Независимые О-циклы на поверхности 169
чтобы dim L была максимальной среди всех группировок
с максимальным /.
Я утверждаю, что для некоторого /, 1 ^ / <^ I, 0-цикл bt
не пересекается с L. Если бы это было не так, то одна
точка из каждого bt была бы в L. Это дало бы по мень-
меньшей мере / -\- deg B1') точек в L. Но тогда
щ = ДдЦ^Р > [Чи™° точек изЩ в Ц >
Это противоречие доказывает наше утверждение.
Теперь пусть 0-цикл Ь1 не пересекается с L. Пусть
, —2Qz> пусть Н{[) — линейная оболочка всех точек
1-0
Qo Qn, кроме Qt. С другой стороны, положим
q = dim L и выберем q + 1 точек Ро, Рх Рд из 21',
которые порождают L. Пусть Р* — любая точка из %',
отличная от Ро, Рх Рд. Так как точки Q, независимы,
имеем
f)//(O=0.
Поэтому существует /, скажем /0, такое, что
Положим
S
и %* = %' —P*-\-Qio. Так как Р*?нA0), то ^по-преж-
^по-прежнему состоит из п-\-\ независимых точек. Но теперь 31*
содержит Ро, Рг Pq и Qia. Так как bl не пересека-
пересекается с L, то Qi^L. Поэтому эти точки порождают линей-
линейное пространство, большее чем L, и dim L не максимальна.
Следствие. Пусть % — строго устойчивый 0-цикл
степени г(п-\-1) — 1. Тогда для всех замкнутых- точек
Q 6 P/I существует группировка (у)

170 Лекция 21
где bv .... Ьт_г— циклы из n-f- 1 независимых точек
и где Ь* — цикл аз п независимых точек, порождающих
гиперплоскость И, такую, что <?(?//.
Доказательство. Нужно применить предложение
Ч
Связь между понятиями ^-независимости и строгой
устойчивости устанавливает
Предложение 3. Пусть F — неособая проектив-
проективная поверхность, пусть 0A) —данный очень обильный
пучок на F, и пусть % есть ^-независимый {относи-
{относительно ©A)) Q-цикл на F. Пусть З' — обратимый пу-
пучок на F, порожденный своими сечениями, и пусть .
—канонический морфизм, определенный J2? и его сечени-
сечениями. Если deg(?l)>X(re+l)(deg^J> то Ф.B1) —
строго устойчивый 0-цикл на Р„.
Доказательство. Если НсР„—гиперплоскость,
то ф*(#) определено и является кривой в классе дивизо-
дивизоров обратимого пучка Jg7. Поэтому
[Число точек из ф^ E1) а И] -^
< [Число точек из 21 в Supp (ф* (Я) )]<
< Я, [deg (Ф* (Я) )]2 = X [deg (J2>)]2 <
^ deg(gt)
< я+1 '
ЛЕКЦИЯ 21
Схема Пикара: вывод
Мы можем теперь завершить доказательство существо-
существования схемы Пикара. Напомним, что мы сделали основной
выбор численного класса | обратимых пучков. Позже мы
наложим на | дополнительные условия, но пока что мы
знаем только, что значения deg(|) и хA) (определенные

Схема fluKdpd: вывоё. iff
в силу предложения 3 из лекции 12) удовлетворяют пред--
положениям теоремы 2 из лекции 17. Пусть % — такое
целое число, что на F существуют ^-независимые О1-Циклы
всех степеней. Выберем целое число N так, чтобы
N> Х-[deg(&,)]*,
и найдем ^-независимый 0-цикл 31 на F степени N • %(|)— I.
Пусть теперь J3? — любой обратимый пучок типа \ на F;
тогда
а) HHF, ^')=Я2(Р, ^) = @), так что
dimH0(F, ^) = X(^) = X(i);
б) J2? очень обилен.
Пусть ф: F->-Pf_j — замкнутое погружение, определен-
определенное J3? и его сечениями (г = %(!))¦ Тогда для всех замк-
замкнутых точек x?F цикл %$L-\-x) строго устойчив по
предложению 3 предыдущей лекции. Кроме того, для всех
^f_j цикл 21 может быть записан в виде
таким образом, для 1 -^ I <С N — 1 цикл q^ (bi) состоит
из г независимых точек в Рг_х> а для l=N цикл <р (b^S
состоит из г — I независимых точек, порождающих гипер-
гиперплоскость Н, причем х(? И (следствие из предложения 2
лекции 20).
Теперь напомним определения из лекции-19. С помощью
Mr — 1 точек из 21 и их группировок (Y) в циклы Ь{
определяются сечения
где К — некоторое 1-мерное векторное пространство над k,
канонически конструируемое по J2? и 21 {К вводится здесь
не из педантизма, а чтобы читатель не заподозрил, что мы
незаметно спрятали что-то в рукав).
При сделанных выше предположениях оу ф 0.
Доказательство. По определению, ау = al g)
<g> о2 ® ... ® aN, где 1 <; / ^ N — 1, аг — канонический

172 Лекция 21
элемент 1-мерного векторного пространства
Если t = N, то aN — каноническое сечение J3? ®А KN,
где KN — одномерное, вектврное пространство
Мы видели в лекции 19, что aN Ф 0, если ядро всех
гомоморфизмов
H°(F, 4Г
для Q ? b*N одномерно, и тогда aN — ненулевой элемент
ядра. Более того, этот элемент соответствует сечению
h?H°(Pr_v 0A)), такому, что Л (ф (Q)) = 0 для всех
Q ^ b*N; Но 0-цикл ф (b*^\ порождает гиперплоскость Н,
не содержащую х. Поэтому такой элемент h однозначно
определен с точностью до скаляра и h (x) ф 0. Следова-
Следовательно, омФ0.
Как обстоят дела с другими а^? Возвращаясь к опре-
определению, устанавливаем, что они не равны нулю тогда и
только тогда, когда все г гомоморфизмов
ff>{F.
для Q ? bt независимы; это эквивалентно требованию,
чтобы они индуцировали изоморфизм
С другой стороны, это то же самое, что потребовать
независимости г гоморфизмов
Я°(Рг-г. 0A))->©A)®^(Ф(<2))
для Q?bt. Это условие выполнено, так как 0-цикл ф,(^)
состоит из г независимых точек.
Следствие. Для фиксированного J3? и различных
группировок (у) элементы aY порождают H°(Fi J2?®kK)

Схема Пикара: вывод 173
Доказательство. В проведенном выше доказа-
доказательстве элемент h можно выбрать так, чтобы h (jc) Ф О
для любой точки x^Pr-i- Поэтому множество тех А,
которые таким образом встречаются, порождает векторное
пространство H°(Pr_v 6A)). Таким образом, множество
элементов aN, которые можно построить, порождает век-
векторное пространство H°(F, ~S'®ilKN). Поэтому и мно-
множество aY порождает H°(F, J3?®kK), ч. т. д.
Оставшееся препятствие заключается в том, что только
некоторые группировки (у) дают ненулевые элементы
в пространстве H°(F, J3?®kK). Если J? меняется, то
какие ("у) следует выбирать? Но у нас есть еще одна воз-
возможность: мы можем выбрать скаляры aY, по одному
для каждой группировки (у), так, чтобы сумма 2 avav
не равнялась нулю для любого J3?. Чтобы это сделать,
однако, мы должны обратиться к одному очень представи-
представительному семейству обратимых пучков типа \. Оно задается
так: пусть D (|)сF X С(|) — универсальное семейство
кривых типа |, Рассмотрим пучок J? = @р х с ц) (D (|)).
Это семейство обратимых пучков над С(|), таких, что
каждый обратимый пучок на F типа \ появляется на
одном из слоев. Но размерность базы растет вместе с |,
что неудобно. Вместо этого возьмем один численный
тип |0, удовлетворяющий всем тем же условиям, что и \,
и пусть | — гораздо более обильный численный тип,
а именно пусть
[Этого можно добиться, сначала выбрав |0, а затем |
в виде ?о-|-ш1 для большого т, где Ti?Num(F) пред-
представляет 0A)-] Зафиксируем один обратимый пучок а/И,
типа \—|0, и пусть D(|0)cF X ?(?о) — универсальное
семейство кривых типа |q. Тогда
есть семейство обратимых пучков типа |, которое также
индуцирует каждый возможный пучок типа | на некото-
некотором слое. Это так, потому что если J&—любой пучок
типа \, тоЛ^фоМ'1 имеет тип Iq, так что H°(F, х
фф). Поэтому ^'®a^S0^(Do) и ^

174 Лекция ii
для некоторой кривой Do. Если Do определяет замкнутую
точку 6?С(?о), то J3? выступает как пучок, индуциро-
индуцированный семейством 8 на слое над д.
Теперь обозначим С(|д) через S, но пусть 8 на Fy^S
по-прежнему означает только что построенное семейство
пучков. Пусть Ж — РъУ,(8). Заметим, что в силу (*)
фанг Ж больше, чем размерность 5. Пусть
и 3№q=q)
Для всех группировок (у) .цикла 91 пусть
— соответствующее сечение.
Если скаляры oY обладают тем свойством, что для
всех замкнутых точек s?S образ сечения 2ev0v
в (У ® <Ж) ® &6 is) не нулевой, то 2evaY удовлетворяет
всем требованиям. Действительно, вся конструкция ком-
коммутирует с расширением базы, и поэтому если J2? —
пучок, индуцированный семейством 2 на p2T(s), то
образ 2 ву°у —это соответствующее 2 ayaY сечение
в H°(F, J&)®K. Каждый J& встречается над некоторой
точкой 5. С другой стороны, сечения ау имеют достаточно
свободы: для каждой замкнутой точки s?S образы ау
порождают векторное пространство (Ж ® <Ж) ® S6 (s) (по
доказанному выше следствию). Все, что нам нужно, те-
теперь следует из простой леммы Серра.
Лемма (Серр). Пусть X—(алгебраическая) схема,
и пусть Ж — локально свободный пучок ранга г на X.
Пусть VcH°(X, Ж) — конечномерное векторное про-
пространство; предположим, что
A) r>dim(A-),
B) для всех замкнутых точек х?Х отображение
из V в <? ® ?№ (х) сюръективно.
Тогда существует элемент s?V, имеющий ненулевой
образ в каждом пространстве &®S№ (x).

Схема- Пикара: вывод 175
Доказательство. Пусть N = (Цт(К), и пусть
.... е^—базис V. Построим гомоморфизм А:
положив h (av .... вЛГ)=2aiei'< 0H сюръективен в силу B).
Пусть 91—ядро гомоморфизма А; пучок 91 локально сво-
свободен ранга N — г; в самом деле, умножая тензорно на
поле вычетов gffi (х) любой точки х ? X, мы получаем
Тот?* (g5, #?(*))-> Я®^ (*) -^> ДО (хУ-*2>®3& (х)-+0
II •
@)
H.Tor^(W. Л?(ж)) —@).'
Обратимся к двойственной точной последовательности:
0-* Нот (Г, 0х)->0л -^¦НотСЯ, ©х)->0.
Тогда Я. индуцирует [см. EGA 2, D.1) и C.6)] морфизм
Я (Я,):
Но Я [Нот (91, 0Х)] локально является произведением X
на проективное пространство размерности на единицу
меньшей, чем ранг Нот (91, @х). Следовательно, по пред-
предположению A),
<НтЯ[Нот(91, 0x)] = dim X + N — г— 1 <W — 1.
Рассмотрим композицию
р2оР(Х): Р[Horn(9t, ©
Так как размерность первой схемы меньше, чем размер-
размерность РЛГ_1, этот морфизм не сюръективен. Пусть а?
€Рлг-1—замкнутая точка, не принадлежащая Im (p2 ° P (Я.)),
и пусть Oj, .... aN — однородные координаты а. Тогда
я утверждаю, что 2вЛ — требуемое сечение. Предполо-
Предположим, что 2й<е/ равна нулю в замкнутой точке х?Х.
Тогда точка (ог aN) лежит в векторном подпростран-
подпространстве 91®^(*) пространства ©л®^?(#), относительно
включения %х. Поэтому (Oj aN) определяет линейный

176 , Лекция 22
функционал на" HomCi, 6х)®3@(х) и, следователь-
следовательно, гомоморфизм Р из симметрической алгебры на
HomER, ©х)®<зй?(#) в ?Ю (х). Максимальный идеал т^. и
ядро гомоморфизма Р определяют градуированный пучок
идеалов в этом градуированном пучке алгебр, т. е. точку
из Р [НотC1, 6Х)] (см. добавление к лекции 5). Отсюда
немедленно следует, что р2оР(к) отображает эТу точку
в а, и мы приходим к противоречию.
ЛЕКЦИЯ 22
Характеристическое отображение
семейства кривых
Теперь мы готовы к штурму проблем существования
А и Б, поставленных в лекции 2. Начнем со'второй из
них. Прежде всего точно определим „характеристическое
отображение" р, упомянутое в лекции 2: это главное ли-
линейное приближение к задаче о семействах кривых. Сна-
Сначала приведем некоторые предварительные сведения.
(А) Нам понадобится следующий простой критерий
регулярности:
Предложение. Пусть 6 — нётерово локальное
кольцо и kc© — подполе, изоморфное полю вычетов.
Тогда 6 регулярно в том и только в том случае, когда
(*) для всех конечномерных локальных k-алгебр А, Ао
и сюръективных k-гомоморфизмов А->А0 отобра-
отображение
НотА F,' А) -> Нотй F, Ао)
сюръективно.
•Доказательство. Условие регулярности 0 и усло-
условие (*) эквивалентны тем же условиям на пополнение 0
кольца 6. Поэтому можно считать, что 6 полное, и, сле-
следовательно, по теореме' о структуре полных локальных
колец, существует сюръективный гомоморфизм
ё

Характеристическое отображение семейства кривых 177
Более того, мы можем считать, что ]) фл
индуцируют базис в т/т2 (гас@). В этом случае, если 0
регулярно,'то ф—изоморфизм и (*) легко проверяется
для колец формальных степенных рядов.
Обратно, начнем с гомэморфизма
Пользуясь (*), поднимем его до гомоморфизмов
/4ЦЛ-, *
, X,)""
/
@Js^kiix, xn])i{Xv .... xnr.
Переходя к пределу, получаем гомоморфизм
e-Kk\[Xlt .... хп]].
. Очевидно, чтоф о ф—автоморфизм кольца k [ [Хх Хп]];
так как ф сюръективно, это означает, что ф — изомор-
изоморфизм, т. е. что в регулярно, ч. т. д.
(Б) Предположим, что А — конечномерная локальная
^-алгебра. Мы будем довольно часто иметь дело со схе-
схемами F X Spec (А), поэтому удобно с самого начала со-
собрать вместе основные сведения об их структуре.
A) Как топологическое пространство ^Х Spec (Л) —
это в точности F. Изменяется лишь структурный пучок.
B) Пучок @pxspec(A) канонически изоморфен @F®kA.
Действительно, заметим, что проекции рг: F X Spec(A)->F
и р2: F X Spec (A) -> Spec (А) превращают 0/?xspec(A) соот-
соответственно в пучок ©^-алгебр и пучок Л-алгебр. Поэтому
существует канонический гомоморфизм
Но так как' для открытых аффинных множеств UcF
@F®kA) = T(U, 6F)®kA
=r(f/, 6F)®kA,
то (*) есть изоморфизм пучков.
12 Д. Мамфорд

178 Лекция 22
C) Далее, пусть 1 =?ev е2 еп — базис А над k,
где ftj е„ порождают максимальный идеал М. Тогда
л
@F X Spec (А) = ®F + 2
i-2
^ х Spec (Л,
" 0-F +•
Кроме того, усеченный ряд для экспоненты определяет
гомоморфизм
при условии, что ер — 0 при всех е?М, p = chat(k).
Лемма. Усеченное экспоненциальное отображение
всегда является изоморфизмом.
Доказательство. Усеченный логарифм дает обрат-
обратное отображение.
Мы подходим теперь к главной цели этой лекции:
исследовать семейства кривых на F над Spec k [e]/e2. Мы
обозначим SpecA[e]/e2 через /; при этом / является схе-
схемой над k, а пополнение
определяет замкнутое погружение спектра Spec (Л) в /.
Поэтому семейство кривых над / определяет в точности
одну обычную кривую на F. Схема / есть как бы оли-
олицетворение идеи вектора: она состоит из одной точки и
минимума .касательного материала", торчащего в одном
направлении. Семейство кривых над I — это по существу
объединение кривой на F и бесконечно малой деформа-
деформации этой кривой.
Зафиксируем некоторую кривую DczF.
Определение. wf*D = 0D®eF {@F(D)}.
Это обратимый пучок на D, и если D — неособая,
можно показать, что он является пучком ростков сечений
нормального расслоения. Отметим точную последователь-

; Характеристическое отображение семейства кривых 1?9
ность:
О -* ®Р -> 6Р (D) -> J\TQ -> 0.
Предложение. Существует естественный изо-
изоморфизм между множеством семейств кривых
DcFX^ няд I, которые продолжают DcF, и мно-
множеством глобальных сечений пучка JV'D.
Доказательство. Определить дивизор Картье
J)cf Х^—это все равно, что задать открытое покры-
покрытие {U(\ для F и локальные уравнения для 2). В силу (Б)
локальные уравнения имеют вид
где
Qlt
Индуцированная кривая на самой схеме F определяется
первыми членами Qt. Допустим, что этой кривой являетсяD.
Напомним, что на Ut[\Uj мы должны иметь
FI =з (обратимый элемент) • Fa
ИЛИ
(О, + eHt) = (аи + гЬф . (О} + ъН,\
где au^T^U^Uj, &p). btj^T{Ut[\Uy ®F). Это дает
уравнения
Gl = alJ-Oj,
Hl = auHJ-\-buQJ,
откуда
Но так как G^—локальное уравнение для D, Я//О(
является сечением пучка ®р (D), и эти уравнения означают,
что {HJQi} склеиваются в сечение пучка ЛГD. Это и
есть сечение, соответствующее Ж>.
Теперь предположим, что относительно некоторого
открытого покрытия {Ut} два множества локальных урав-
уравнений Ft, F't дают одно и то.же сечение пучка df/*
12» .

180 Лекция 22
Тогда
i i
Так как О{ и О/ являются локальными уравнениями для
D, Oijo't представляет собой обратимый элемент dt в L^,
Это показывает, что
(O| + e///)-(rf/ + «*/. dt) ¦ @{ + еЯ|).
следовательно, два дивизора 25 и 35' равны. Наконец,
легко проверить, что каждое сечение пучка e/VD опре-
определяет дивизор 3), продолжающий D указанным образом.
Следствие 1. Если заданы семейство кривых
2) с F X 5 и замкнутая точка s?S, то существует
канонический линейный гомоморфизм
{касательное пространство Зарнсского 1 . 1/л '
TskS.*s \-±H°(FterDs)
где Dsc F — кривая, индуцированная Щ. Это и есть
характеристическое отображение рассма-
рассматриваемого семейства.
Доказательство. Для каждой точки t ? Ts опре-
определено каноническое отображение
с образом s (см. добавление к лекции 4). Тогда замена
базы / доставляет семейство кривых 2)^ с F X Л про-
продолжающее Ds. По предложению 2)^ соответствует эле-
элементу p(t)?H°(F, J\To V Чтобы показать, что р линейно,
нужно воспользоваться функторной характеристикой струк-
структуры векторного пространства Ts (добавление к лекции 4)
и проверить, что она согласуется со структурой, введенной
нами непосредственно.
Следствие 2. Для универсального семейства кри-
кривых ©cf'xCd) гомоморфизм р является изомор-
изоморфизмом во всех замкнутых точках Cg

Характеристическое отображение семейства кривых 181
Доказательство. Следуя предыдущему доказа-
доказательству, заметим, что множество касательных векторов t
всегда изоморфно множеству морфизмов /; кроме того,
множество сечений а ? Н° (F, J\Td ) изоморфно, в силу
предложения, множеству семейств 25 с F X Л продолжаю-
продолжающих Ds. Но, по определению универсального семейства,
каждое ЗУ совпадает с 25^ для единственного /, поэтому
множество семейств ЗУ и множество морфизмов / также
изоморфны, ч. т. д.
Казалось бы, это и есть ответ на основную проблему Б
из лекции 2. Но на самом деле это«не так. Мы лишь
обобщили определение семейства кривых и вместо интуи-
интуитивно ясного понятия, когда базой является неособое
многообразие, ввели „ненастоящие" семейства, для которых
касательное пространство Зарисского к базе может быть
громадным, в то время как база состоит лишь из одной
точки! Основная трудность задачи действительного построе-
построения семейств кривых заменяется вопросом, как установить,
является ли универсальная база редуцированной или (что
еще лучше) неособой.
Пример. Следующая конструкция принадлежит Севери
и Заппа. Пусть С — эллиптическая кривая над k\ рас-
рассмотрим векторные расслоения У ранга 2 над С, которые
соответствуют точным последовательностям
По общей теории^ пучков такие расширения классифици-
классифицируются элементами группы
Ех?с(ес, 6С)^Н1(С, ©с).
Но Я1 (С, 0С) есть 1-мерное векторное пространство;
пусть У соответствует его ненулевому элементу. Положим
F = Р(^) (см. лекцию 5). Это линейчатая поверхность,
т. е. существует каноническая проекция
я: F->C,
превращающая F в расслоение над С со слоем Р,. Его
можно описать совсем явно. Пусть Р, Q — две различные
точки на С. С точностью до линейной замены существует
единственная функция / на С с простыми . полюсами в Р

182 Лекция 22
и Q и без других полюсов. Покрытие
и функция
дают одномерный коцикл Чеха на С, который представ-
представляет собой образующую для Я1 (С, ©с), определенную
однозначно (с точностью до скаляра). Можно проверить,
что
и что если tp — координата на Pt в первом куске, tQ —
во втором, то склеивание отождествляет замкнутые точки-*
(tP,
когда x?UpnUQ, tp — tQ = f.
Кривые (oo)X Up и (oo)X ^совпадают над Upf\ UQ,
так как первая имеет локальное уравнение /-1, вторая
имеет локальное- уравнение tQ1 и
(**) tp jtQ ^1 —f ' tp —обратимый элемент в окрестности
Обозначим эту кривую через Е. Кривая Е есть сечение
морфизма я, и поэтому она является неприводимой неосо-
неособой кривой на F, изоморфной С. Кроме того,
Поэтому
,' в
^ = 10* в
и склеивание на пересечении описывается ограничением
на Е функции tp1/^1. В силу (**) оно равно 1, следо-
следовательно, е/У°Е^.6Е глобально на Е. Поэтому

Основная теорема по Кодаире — Спенсеру 183
Это означает, что универсальное семейство Ср' кривых
чстепени d рода 1, содержащее Е, имеет нетривиальное
касательное пространство Зарисского в точке е, соответ-
соответствующей Е.
С другой стороны, легко проверить, что точка е
является целой компонентой пространства Ср \ Действи-
Действительно, можно показать, что если вторая кривая E'cF
соответствует точке е' в той же компоненте Ср1, что
и е, то Ef)E'= 0. [В самом деле, тогда пучок §P{Ef)
был бы деформацией пучка @Р(Е), следовательно» пучок
@е ® ®р №') был бы деформацией в/У в на Е; но первый
имеет сечение, которое обращается в нуль на Ef)E',
а е/У°Е имеет сечение, которое нигде не обращается в нуль;
так как эйлеровы характеристики этих пучков одинаковы,
это значит, что ?fl?'= 0.J Но степень Е' над С должна
равняться 1, как и степень Е над С; поэтому кривая Е'
должна была бы быть сечением л и иметь локальные урав-
уравнения
h = ёр (*) в п"! (ир)> ёР 6 Г (Up, @c),
tQ = gQ(х) в я"' (UQ), gQ€T(UQ, @с).
Тогда gp — gQ = f и / — кограница Чеха, что приводит
, к противоречию.
ЛЕКЦИЯ 23
Основная теорема
по Кодаире — Спенсеру
Мы можем теперь доказать теорему, сформулирован-
сформулированную в лекции 2, для которой мы привели наброски двух
аналитических доказательств. Мы докажем сильнейший из-
известный ее вариант, относящийся к поставленному там
вопросу Б.
Определение. Кривая DcF называется полуре-
полурегулярной, если отображение Я1 (@р (D) )-* Н1 (о/Ур) ну-
нулевое.

184 ¦ Лекция 23
Теорема (Севери — Кодаира — Спенсер). Пусть
DoczF — кривая типа |. Пусть Do соответствует
замкнутой точке 6?С(|). Если
а) char (&) = (),
б) Do полурегулярна,
то схема С(?) неособая в точке б.
Доказательство. Воспользуемся критерием из раз-
раздела (А) лекции 22. Пусть А — конечномерная локальная
А-алгебра, /с А — некоторый идеал и А = А//. Мы должны
показать, что каждая кривая D с F X Spec (А), продол-
продолжающая Do, продолжается до кривой DcFX Spec (Л).
Очевидно, можно считать, что dini/ = 1 и 1 — х\-А. За-
Зафиксируем локальные уравнения Ft для D в некотором
аффинном открытом покрытии {Ut} поверхности F. Для
начала поднимем Ft как-нибудь до элементов
Трудность в том, что они определяют кривую D только
в том случае, когда Ft и F} отличаются -на обратимый
элемент в Ut П ?/у Но во всяком случае существуют
обратимые элементы С/;- на U[(]Uj в FF ® А)*, такие,
что
Поднимем G[j произвольным образом до элементов Gl}?
? Г (и( П Ujt (<др ® А)*). Тогда
Ft — OtjFj = л • hiJt htj 6 Г (t/, П U}, 0F),
и мы должны показать, что при подходящем выборе F{
и Otj мы можем обратить в нуль все кц. Сначала отме-
отметим тождество
¦ hJk) = Ft- GijFj + Gu (Fj - G]kFk) =
= Fl-GljGJkFk =
Пусть Of) и F%} — образы Gtj и Fk в ©F. Тогда имеем

Основная теорема по Кодаире — Спенсеру 185
. Так как F$ — локальное уравнение для Do и Ff* =
= Ofj • Ff. это дает:
( hU 1
следовательно, ^—-^г) есть 1-мерный коцикл Чеха
' все I, /
для пучка d\TD. Пусть он соответствует элементу
ф — препятствие для отыскания D! Проверим, что если
§ = 0, то D существует. Действительно, рассмотрим за-
замены
Тогда
Так как ^ — произвольный элемент из T(Ut(]Uj. @p),
то мы сможем обратить все ft!, в 0, если добьемся того,
чтобы
при подходящем выборе {//}. Но это означает, что
hj fi fj
т. е. что — ф есть кограница Чеха в пучке J\PD. Это
показывает, что D существует, если ф = 0.
Далее, по предположению б) гомоморфизм
получающийся из точной последовательности
0 -> <др -> ©л (D) -> J\TD -> 0,

186 Лекция 23
инъективен. Поэтому достаточно доказать, что д (ф) = 0.
Но поскольку сечения hij/F^i пучка 6р (D) переводят ко-
коцепь, представляющую ф, в коцепь со значениями в (dF(D),
то из формулы. (*) следует, что д (ф) представляется
2-мерным коциклом Чеха
/-* г> г* — 1 '
Но \Oijk)—это препятствие для перевода 1-мерного ко-
коцикла {G[j} из FF ® А)* в коцикл из FF ® А)*, потому
что если этот перевод можно произвести, то можно вы-
выбрать {Gij} так, чтобы Gtj ¦ Gjk = Glk, т.е. a^ft = 0. Все
следует теперь из такой леммы:
Лемма. Расширение (бр ® А)* -> FF ® А)* -> 1 рас-
распадается.
Доказательство. Можно просто воспользоваться
экспоненциальным отображением, так как характери-
характеристика равна 0:
@F ® А)* ->• FР ® А)*
1\\ ¦ W
&р-(
_
<d*F-@p®M)+ +6*F-(<dF® M)+
Теперь, поскольку М -> М распадается как сюръективное
отображение векторных пространств, @F ® М -> ©F ® M
распадается как сюръективное отображение пучков абеле-
вых групп. Это и доказывает лемму.
Следствие. Пусть D с F удовлетворяет усло-
условиям теоремы. Тогда б содержится только в одной
компоненте Z пространства С(?) и
dim Z = dim Я0 OF, JTD).
Доказательство. Так как локальное кольцо 04
схемы С (?) в точке б регулярно, то, согласно след-
следствию 2 лекции 22,
dim Z = dim 06 = dim T6 = dim И0 (F, J\TD).

Строение морфизма Ф 187
Для правильного понимания этой теоремы следовало бы
добавить, что требование полурегулярности очень слабое.
Конечно, оно не выполняется для патологической кри-"
вой Е из примера в лекции 22; но любая 1-регулярная
кривая полурегулярна, и мы знаем, что для каждого обра-
обратимого пучка J? на F существует такое т0, что все кри-
кривые с глобальными уравнениями из H°(^(tn)) являются
1 -регулярными, если m ^- m0. Рассмотрение примеров из
лекции 1 показывает, что все кривые, не имеющие избы-
избыточности, 1-регулярны, и потому полурегулярны. Обра-
Обратимся еще к случаю, когда F заменяется (неособой) кри-
кривой у, а схема С (?) заменяется универсальным семейством
С (d) 0-циклов на у степени d. Тогда каждый 0-цикл
D с Y. полурегулярен, так как JV^ имеет 0-мерный но-
носитель, откуда
H
На самом деле, как хорошо известно, C(d) представляет
собой d-ю симметрическую степень у, которая не" имеет
особенностей.
С другой стороны, требование, чтобы характеристика
равнялась 0, очень важно. В оставшихся четырех лекциях
мы попытаемся проникнуть глубже в сущность теоремы
и дать несколько „объяснений" этого ограничения на ха-
характеристику. Чтобы показать, что будет дальше, отметим
следующее: механизм доказательства состоит в сведении
задачи подъема D к той же задаче для ассоциированного
обратимого пучка ©F x Spec C) (D), определенного коцик-^
лом G(j. В таком случае почему бы D не исключить пол-
полностью из задачи и не доказывать теорему в форме А
лекции 2 целиком в терминах обратимых пучков?
ЛЕКЦИЯ 24
Строение морфизма ф
1°. В этой лекции мы сведем воедино всю полученную
ранее информацию. В лекции 15 мы построили схемы С
параметризующие кривые, в лекции 21—схемы

188 Лекция 24
параметризующие обратимые пучки. Морфизет функторов
D i-
индуцирует фундаментальный морфизм схем
Ф:
В лекции 13 мы описали функторы слоев LinSys^; те-
теперь, после того как доказана представимость Curves^ и
Picp, мы получаем
Следствие. Слои морфизма Ф представляют со-
собой проективные пространства. Действительно, если
пучок J2? на F соответствует точке %?Р(&), то ка-
канонически
Глобальную структуру Ф можно описать в некотором
смысле аналогично (см. Гротендик [3]). Интересно, что
для разных ? схемы Р(?) все изоморфны, тогда как
схемы С(?) над ними ведут себя весьма по-разному: для
deg(i)<0 они пусты, при deg (?) -> -f- oo их размерность
может возрастать до бесконечности. Для некоторых ?
морфизм Ф определяет довольно сложное расслоение, и
его явное описание требует некоторых технических по-
понятий, появляющихся при дальнейшем развитии теории п. 3°
лекции 7. Поэтому мы приведем результат лишь в одном
частном случае:
Пусть C/cPg) — такое открытое множество, что
(*) для всех замкнутых точек x?U, обозначая через
J2?x обратимый пучок на F, соответствующий х,
имеем №{F, J^x)=@).
Например, пусть D с F — кривая, для которой
№(F, 0,@)) —@).
и пусть D соответствует точке 6?С(?); тогда некоторая
окрестность II точки Ф (б) 6 Р (I) удовлетворяет (*) (в силу
результатов п. 3° лекции 7).

Строение морфизма Ф
189
Предложение. Существуют локально свободный
пучок <f на U и коммутативная диаграмма
Доказательство. Пусть J3? — универсальное се-
семейство обратимых пучков на F y^U. Обозначим проек-
проекцию р2: fXU-yif через р. В соответствии с п. 3° лек-
лекции 7, p^JST) — локально свободный пучок на II, и для
любого морфизма расширения базы g: T-+-U
FXT—+FY.U
i I'
g
-->t/
имеем ?»(А* С^7) ) = ?*(/>„ (-?*))• Далее, пусть I9 —ло-
—локально свободный пучок, двойственный к />„(_?')• т. е.
|?=Нотбу(р,(_2Ь, ©и)-
Мы докажем теперь, что Ф~!(?/) и Р(?*) изоморфны над U,
методом, который был использован в лекции 13 для того,
чтобы показать, что Lin Sys^ представляется проективным
пространством: мы построим изоморфизм между их функ-
функторами точек. Точнее говоря, для любой Г-значной точки
g: T—>U схемы U мы построим естественный изоморфизм
между множеством Г-значных точек Ф (U) над g и
множеством Г-значных точек P(cf) над g. Так как этот
изоморфизм окажется функториальным по g, теорема бу-
будет доказана. Разобьем рассуждения на несколько шагов:
A)
множество Т-зилчвых
(?/) над g
точек Ф~
множество семейств кривых DcF ® 7\
таких, что для некоторого
обратимого пучка q/Н на Г

190 Лекция 24
Это следует из функториального определения С(|) и Ф.
множество семейств кривых DcF X Т
таких, что для некоторого
B) ¦ ^ обратимого пучка о/Я на Т
множество обратимых пучков
о/Я на Г и сечений пучка
Л* (.9*) ® Q* (&#), индуцирующих
ненулевые сечения в каждом
слое F X Щ над Т
Это так потому, что D и есть относительный дивизор
Картье над Т, глобальное уравнение которого является
сечением пучка вида h* (J27) ® q* (оМ), а произвольный ди-
дивизор Картье на F X Т есть относительный дивизор
Картье, если его глобальное уравнение не является дели-
делителем нуля на каждом слое над Т, т. е. если он не ну-
нулевой над точками Т.
Но сечение о пучка h* (J^) ® q* (оАС) над F X Т — это
то же самое, что сечение т над Т пучка
Я. (
Кроме того, условие, что о должно индуцировать ненуле-
ненулевые сечения на каждом слое над Т, равносильно условию,
что х должно иметь ненулевой образ в
{g* \P. (-201 ®<rft}®3& @
для всех замкнутых точек / ? Т. Но сечение т пучка
e*\Ptl{Sr)]®o4l — это то же самое, что гомоморфизм Л:
т. е. задание гомоморфизма из g*(pt(J3*)) в @т и сечения
пучка g* [/>„ (J9?)] ® сМ определяет некоторое сечение пучка
аМ\ это и есть h. Более того, условие на т эквивалентно
условию сюръективности А. Наконец, так как
Hom6r {g* (p, (J?)), ®г) ^ g* [Нот6у (р,

Строение морфизма Ф 191
мы получаем
множество обратимых пучков
<У% иа Г и сечений пучка
A* (L) ® q* {(Ж), индуцирующих
ненулевые сечения в каждом
слое F X \t) им Т
г множество обратимых пучков
C)
р уков >
.—> | o^f на 71 и сюръективных I ^
I отображений Ф: g* (<f )
Но, согласно добавлению к лекции 5, это последнее мно-
множество изоморфно множеству Г-значных точек Р(?"). под-
поднимающих данную Г-значную точку g из U. Это и дает
требуемый изоморфизм.
2°. Мы хотим теперь описать инфинитезимальную струк-
структуру схемы Р(?), т. е. ее /-значные точки, точно так же,
как мы только что сделали для С(?), в терминах F. Мы
можем, если угодно, обратиться к случаю ? = 0: эту схему
мы ранее обозначали Р(х). Это групповая схема, поэтому
она однородна в следующем смысле: если х, у— две замк-
замкнутые точки из Р(х), то существует автоморфизм Т схемы
Р(т), такой, что Т(х) = у. Отсюда уже немедленно сле-
следует, что все топологические компоненты схемы Р(х) не-
приводимы, что все они изоморфны друг другу, что они
не имеют вложенных компонент и что схема P(i)tei неосо-
неособая. [Последнее — в силу однородности и того факта, что
существует открытое плотное подмножество UcP(x)ttu,
которое неособо; см. лекцию 11, (V).] На самом деле
P(t)red тоже является групповой схемой—это легко про-
проверить с помощью замечания (V) в лекции 11. Компонента
в Р(х)кЛ, содержащая единицу е, также является группо-
групповой схемой: это классическое многообразие Пикара для F.*
Так как Р(т) — коммутативная групповая схема, то
для любых х, у существует даже канонический автомор-
автоморфизм Т, такой, что Т (х) = у. В частности, эти автомор-
автоморфизмы дают канонические изоморфизмы касательных про-
пространств Зарисского вго всех замкнутых точках Р(х) между
собой. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением
/-значных точек Р(х), для которых соответствующие
&-значные точки совпадают с 0. Воспользуемся усеченной

192 Лекция 24
экспоненциальной последовательностью
О -> 6р —-> 6*рх1 ±^" <д*р -*¦ О,
где а(/) = 1 —hе/ (см. лекцию 22, (Б)). Она распадается,
так как %х/ имеет также структуру .пучка 0^-алгебр,
определяемую проекцией рх: F X / ->F. Это дает диа-
диаграмму групп "
о -> я> (eF) -> №¦ (eFxr) *=5 Д1 (ej) - о
II
211 . 211 Pic(F)
Ггруппа /-значных  Г группа /-значных 1 Ггруппа /fe-значных
значных  Г группа /-значных 1 Гг
6Я(Т)Г[точек из ЦЯ(|)]">[т
Другими словами, касательное пространство Зарис-
ского То в единице канонически изоморфно Я1 (F, <дР).
Надо проверить, что это действительно изоморфизм век-
векторных пространств. Проверка предоставляется читателю;
ее можно провести методами, использованными в доба-
добавлении к лекции 4.
3°. Теперь предположим, что 6—замкнутая точка схемы
С(|). Пусть Я = ФF). Морфизм Ф индуцирует точную
последовательность векторных пространств:
(**)
[Касательное "I ГКасательное  ["Касательное 
пространство I I пространство ф I пространство I
Зарнсского к I —> I Зарисского I —*-> I Зарисского I .
слою О'1 (X) в 6 J ЬС (|) в 6J [к Я (|) в A.J
Мы хотим интерпретировать всю эту последовательность
в терминах F. Рассмотрим точную последовательность
пучков
О -> <дР -> <др (D) -> JTD -> О,
где DcF — кривая, соответствующая 6. Она определяет
точную последовательность векторных пространств
\ ил / л/а ч _^ Гкасательное пространство1
а) /fO(«yTD)S [зарисского к С(|) в б] в СИЛУ леК1«и
<\ о1 ,. ч , Гкасательное пространство] л0
б) Я1 Fр) S [зарисского к Я (|) в К \ В СИЛУ 2°

Строение морфизма Ф 193
и в силу автоморфизма Т на ЦЯ(?), переводящего 0 в А,
(т. е. Т — это сдвиг на к).
Предложение. Гомоморфизмы Ф„ и д в диаграм-
диаграммах (**) и (**)' совпадают при этих отождествлениях
векторных пространств.
Проверка совместности. Пусть кривая D опре-
определена локальными уравнениями О, в аффинных открытых
множествах {Ut}. Любое сечение J\fD определяется набо-
наборами сечений
н^о^ ot. Hter(Ut,eF).
где
u). eF),
и соответствующая кривая J в fX/ задается локальными
уравнениями
»
Тогда обратимый пучок Ф (В) = @Fxf (В) определяется
одномерным коциклом Чеха
на F X /¦ Он вычисляется так:
i) ¦ (G71) • A -еН, ¦ 0?)
Так как {О^Оу1} есть 1-мерный коцикл, определяющий
(dF(D), т. е. К, то /-значная точка [atj) сдвигается в исход-
исходную в ЦЯ(?) делением на этот коцикл. Это дает 1-мер-
1-мерный коцикл
который является образом при усеченном экспоненциальном
отображении 1-мерного коцикла
Hi н)\
g7~~~oj)
13 Д. Мамфорд

194 Лекция 25
пучка @Р. Тогда {т^}—это точка пространства Hl{@F),
соответствующая Ф(ф). С другой стороны, {т^} есть ко-
кограница сечения {Hi/Of} пучка <*ЛР0, ч. т. д.
Последнее отождествление предоставляется читателю:
именно, нужно проверить, что если .2* — обратимый пучок
на F и s ? Н° (F, J?) — сечение, соответствующее кри-
кривой D, а следовательно, замкнутой точке 6 в линейной
системе
пучка .2", то касательное пространство Зарисского к Р
в 6 канонически изоморфно
H°(F,
. ЛЕКЦИЯ 25
Основная теорема
по Гротендику—Картье
Пусть DcF— кривая типа \, D соответствует точке
6?С(!), a J? = @p(D) соответствует точке X?РA).
Если Hl(F, ^) = @), то следующие утверждения
эквивалентны:
1) P(Q—неособая схема в X,
2) С (|) — неособая схема в 6,.
3) С(|)—редуцированная схема в 6,
4) Р(|)—редуцированная схема в X.
Доказательство. Согласно результатам п. 1° пре-
предыдущей лекции, существует такая окрестность U точки
^€^A)- чт0 подсхема Ф (?/)<=(? (|) имеет вид VN X U.
Это означает, что утверждения 1) и 2) эквивалентны и
что утверждения 3) и 4) эквивалентны. Естественно, 4)
следует из 1). Верно и обратное, так как Р(|) изоморфна
Р(х) и Р (т) — групповая схема; поэтому если Р(|) и,
следовательно, Р(т) редуцированы, то они обе «еособые
(п. 2° лекции 24).

Основная теорема по Гротендику — Картье 195
В случае характеристики 0 эти утверждения выполнены
всегда в силу следующего результата:
Теорема 1 (Картье). Пусть О—(алгебраическая)
групповая схема над k. Если, char (Л) = 0, то О—не-
О—неособая.
Доказательство. Пусть О — пополнение локаль-
локального кольца @в схемы О в точке е. Умножение есть м ор-
орфизм
такой, что ц(еХв)=г! поэтому ц определяет гомо-
гомоморфизм
A*: О —> [пополнение кольца @ехе] == О ®j О, ,-
где ® — пополненное тензорное произведение (используется
то, что 0ехе есть локализация кольца 0t <gi @e относительно
максимального .идеала (J3e® me —f- me <g) 0e)). Но так как |i—
групповой закон, ограничение ц на
или на
является тождественным отображением О в О. Алгебраи-
Алгебраически это означает, что гомоморфизм 0®k0 на О, полу-
полученный отображением одного из двух множителей на его
поле вычетов к и последующей композицией с ц*, является
тождественным отображением другого множителя О в О.
Это означает, что если а ? га (максимальному идеалу в О),
то элемент
ц* (а) — 1 ® а — с ® 1
должен переходить в 0, когда один из множителей в
отображается на его поле вычетов, т. е.
(а) ц*(аN1®а4-я® 1 + m <§>ft m.
Теперь мы докажем следующее утверждение:
(•) Для всех линейных функционалов /: т/т2-*-к
существует дифференцирование D: 0^+0, аннули-
аннулирующее k и индуцирующее /.
13»

196 Лекция 25
Доказательство утверждения (*). Продол-
Продолжим /до линейного отображения F: 0->&, потребовав,
чтобы F = 0 на k и на т2. Пусть D — композиция
Тогда D, очевидно, линейно и аннулирует k. Более того,
согласно (а), при а?т имеем
D(a)= I ®F\\ ®а + а® 1 -
Но A ® F)(R) ? т, следовательно, D индуцирует / как ото-
отображение из m/m2 в Ojm = k. Остается проверить, что
D (а • Ь) = а • D (*) + * • D (а),
если а, Ь ? т. Это делается при помощи прямого вычи-
вычисления:
-f 5)
= (а в 1) • ц* (b) + (ft $ 1) • ц* (а) +
= (а ® 1) • ц*(*) + ф ® 1) • ц* (а) + Г,
где /?, S?m®m и Т ? О ® 1 -j- О ® ш2. Поэтому
D(e • *) = A ®F)[(a® 1) ¦ ц*(*) + (*® 1) • ц*(а)+ Г] =
= а • [A
Для завершения доказательства теоремы выберем базис
X, Л'я в m/m2. Пусть'Д /„—двойственный
базис; продолжим его до дифференцирований Dt Dn
кольца О. Введем обозначения:
Л = Л] . . . Л„
a! «s g^ I ... art!,

Кольцевые схемы. Схема Витта 197
ir :
рй.ы можем отобразить О гомоморфно в k[[Xv ..., Хп]]:
0<1а| <оо
'(здесь Ъ — образ элемента b ?0 в k). С другой стороны,
по общей теории полных локальных колец, существует
сюръективное отображение
В: к[[Хх *„]]-»>О.
такое, что B(X,) = Xt (mod m2). Поэтому АоВ предста-
,вляет собой гомоморфизм кольца k\[Xx Хп]] в себя,
индуцирующий единичное отображение по модулю
(Xv ..., ХпJ. Следовательно, А о В — автоморфизм, а так
как В сюръективно, это означает, что А — изоморфизм,
ч. т. д.
Следствие. Если char(k) = 0, mo все схемы Р(?)
неособенны. Поэтому
dimPa) = dimftW1(/7. ©F).
Доказательство. Утверждение следует из теоремы
Картье в силу изоморфизма касательного пространства
Зарисского к Р (т) в 0 и Hl(F, <др).
Это доказывает теорему существования (А) и вновь
доказывает теорему из лекции ?3 для кривых D, таких,
что Я1 (F, @P (D)) = @).
ЛЕ КЦИЯ 26
Кольцевые схемы. Схема Ватта
§ 0. Краткое содержание
В § 1 вводится понятие кольцевой схемы, некоторые
основные определения и конструкции.
В § 2 мы строим теорию кольцевой схемы Витта,
'связанной с простым числом р, и применяем ее к той
14 Д. Мамфорд

198 . Лекция 26
задаче, для решения которой она поначалу использовалась, —
обращение функтора, обратимость которого трудно за-
заподозрить. Эта задача изучается в.разделах А и Б; в разделе
В описывается схема Витта, а в разделе Г она используется
для решения задачи. При чтении этих лекций была рас-
рассказана только часть В. Читатель, готовый пропустить все,
что имеет лишь косвенное отношение к нашей теме, может
прочитать только раздел В.
В § 3, А, мы развиваем теорию «универсальной схемы
Витта", видоизменяя конструкцию § 2 (вводя ее „обобще-
„обобщение" в том смысле, что схема Витта, ассоциированная с лю-
любым простым р, получается .усечением" универсальной
схемы). Мы воспользуемся ею в разделе Б, чтобы построить
„кольцо логарифмов" — кольцо, аддитивная структура ко-
которого изоморфна мультипликативной структуре множества
формальных степенных рядов (над данным кольцом R)
с первым коэффициентом 1. В\ разделах В, Г и Д мы
описываем некоторые отображения и усечения схемы Витта,
которыми воспользуемся позже, когда будем иметь дело
со степенными рядами.
§ 1. Общие сведения
В любой категории С, имеющей прямые произведения
и конечный объект Р, мы можем определить „кольцевые
объекты*: наборы из шести элементов (//, о, i, v, о, ц),
где1 Н — объект, о, i, v, а и ц — отображения:
о: Р->Н (нулевой элемент),
i: P->H (единица),
v: H-+H (аддитивный обратный элемент),
а: Н X И -*¦ И (сложение),
(х: Н ХН->Н (умножение),
которые должны удовлетворять очевидным обобщениям
аксиом кольца для множеств и отображений множеств1).
Для любого другого объекта А нашей категории струк-
структура кольца индуцируется на Лд(Л), т. е. Лд превращается
в контравариантный функтор из С в Rings.
') Мы не включаем условие 1фО в число аксиом кольца;
мы, таким образом, допускаем тривиальное кольцо.

Кольцевые схемы. Схема Витта 199
В действительности мы уже хорошо знакомы с неко-
некоторыми примерами кольцевых объектов в категории схем.
Многообразие всех (я X л)-матриц — это некоммутативная
кольцевая схема. Более простым примером является аффин-
аффинная прямая, которая имеет очевидную структуру кольцевой
схемы.
Хотя наши определения годятся для категории Schemess
схем над произвольной схемой S, мы будем здесь работать
лишь с кольцевыми схемами над SpecZ („абсолютными
кольцевыми схемами") и над локализациями Z. Кроме того,
во всех случаях, с которыми мы будем иметь дело, соот-
соответствующие схемы будут аффинными. Отображения, опре-
определяющие кольцевые структуры схем, б$дут, таким обра-
образом, задаваться кольцевыми гомоморфизмами. Они будут
направлены в противоположную сторону по сравнению
с отображениями схем (так как связь между аффинными
схемами и кольцами контравариантна), но они на самом
деле приведут к ожидаемым уравнениям, только с другой
точки зрения. Так, сложение на аффинной прямой, которое
мы привыкли описывать как отображение (х, х') -*¦ х" (на
точках А1 X А1 -*¦ А1), х" = х' -j- x, превращается в терми-
терминах колец в гомоморфизм Z [X]-*Z[X\®Z[X\, опреде-
определенный тем, что X-»¦ X ® 1 -j- I ® X.
Менее тривиальный пример дает „функтор плоскости
Аргана", сопоставляющий каждому кольцу R кольцо пар
(х, у) ? R2 с почленным сложением и с умножением, за-
заданным так: (х, у)-(х', у') = (хх'—уу', ху' + х'у').
Он представляется кольцом SpecZ [Л", К] со сложением
а (X) = * ® 1 + 1 ® Л-, а (К) =Н-® 1-|-1® К
и умножением
— Y®Y, \i(Y)=
Временно обозначим эту схему через %\ какому элементу
кольца Aa B1) соответствует тождественное отображение?
Мы будем здесь интересоваться кольцевыми схемами Н
главным образом из-за ассоциированных функторов Ая-
Кольцевые схемы представляют собой некоторый класс
функториальных конструкций колец Ая(#) над кольцами
R. [По существу они описывают те конструкции, в которых
результирующее кольцо может быть описано как множество
14*

200 Лекция 26
я-строк (с конечным или бесконечным п) из элементов
кольца R, удовлетворяющих некоторым полиномиальным
условиям, и где сложение и умножение задаются много-
многочленами.]
Кольцевая схема над некоторой локализацией кольца Z
будет соответствовать конструкции, в которой используемые
многочлены могут содержать некоторые дробные коэффи-
коэффициенты, причем ее можно применить лишь к тем кольцам,
в которых некоторые целые числа обратимы.
Функтор, который легко представить, сопоставляет
кольцу R кольцо /?[[ЛТ]] формальных степенных рядов от
одной переменной. Мы будем обозначать представляющую
кольцевую схему через V. Как схема она совпадает
с Spec Z [Ад, Ах,... ], где At — неизвестные, представляющие
коэффициенты степенных рядов, а аддитивное я мульти-
мультипликативное отображения задаются (в терминах кольца
Z[A0, Av...]) равенствами
о (Aft = At <g> 1 -|- 1 <g> At,
i
/-о
Усеченные кольца степенных рядов R [X]/ X"
представляются (конечномерными). схемами Vп =
= Spec Z [Ао,..., An_j], схемами факторколец V. Они
образуют проективную систему: для каждой пары нату-
натуральных чисел т-^п существует усекающее отображение
Vn —> Vm, соответствующее включению
и V представляет собой проективный предел этой системы.
. [Несколько замечаний о представимости функторов Rings ->
-> Rings кольцевыми схемами.
Такие функторы должны обладать свойством Л {R (g) /?') =>
«= Л (R) <gi Л (R1), следовательно, функтор, переводящий каждое
кольцо в некоторое фиксированное кольцо А, не может быть
представнмым. Однако можно построить схему, которая отобра-
отображает каждое кольцо со связным спектром - в кольцо Z, — это
дискретное объединение бесконечного числа экземпляров Spec Z.
Она не аффиина, так как некомпактна.
Если А ->¦ В представляет собой взаимно однозначное отоб-
отображение колец, то h (A) -> h (В) должно быть взаимно однознач-
однозначным отображением колец. Следовательно, функтор /? -> Rjp не

Кольцевые схемы. Схема Витта 201
может быть представлен: взаимно однозначное отображение
^Е —> Q превращается в Z/p-*0.
У Хотя функтор .кольцо степенных рядов* представим, функ-
функтор „кольцо многочленов*, очевидно, не может быть представлен.
;,Что такое «общий многочлен конечной степени"?.]
§ 2. р-адические кольца и функтор Витта
Большая часть этого материала имеется в книге Серра
|4]; однако изложение там лаконичнее и несколько отли-
отличается от нашего по форме: формализм кольцевых схем
не используется.
А. Музыкальные стулья1)
Пусть р— простое число. Обозначим через А любое
кольцо, в котором р порождает идеал, совпадающий со
своим собственным радикалом (т. е. такой, что факторкольцо
А/р не имеет нильпотентов). Тогда, если два элемента
лежат в различных классах вычетов по mod р, то же верно
для их р-х степеней: а*> — ЬР^(а — by ф 0(mod p).
Другими словами, - эндоморфизм Фробениуса кольца Alp
не имеет ядра.
Однако если два элемента лежат в одном и том же
классе вычетов по mod p, то их р-е степени будут лежать
в одном классе по mod p2:
a"'2 (pxf-\- ... =a" (mod p\
Более общо, заменяя в этом выражении tf-f- рх на
a-{-pkx, мы видим, что если два элемента сравнимы по
mod pk {k Ф 0), то их р-е степени сравнимы по mod ph+l>
а отсюда, по индукции, их рп-е степени сравнимы по
mod pk+n.
Таким образом, хотя операция возведения в р-ю сте-
степень оставляет классы сравнимых по mod p элементов
') Музыкальные стулья — салонная игра, во время которой
п играющих поя музыку бегают вокруг п — 1 стульев. Когда
музыка кончается, все рассаживаются, а тот, кто остался без
места, выходит из игры. Перед следующим туром одни стул
убирается. — Прим. перев. ,

202 Лекция 26
различными, она .сжимает" каждый класс в /7-адической
метрике. Поскольку в общем случае эндоморфизм Фро-
бениуса кольца А/р не является тождественным, эти классы
сравнимых элементов, уменьшаясь, как бы ведут буйную
игру в .музыкальные стулья", несколько запутывая дело.
Предположим, однако, что кольцо А/р совершенно (т. е.
что эндоморфизм Фробениуса является взаимно однозначным
отображением на). Пусть [а] — некоторый класс вычетов
по mod p в кольце А. Для каждого я р"-я степень не-
некоторого класса смежности будет принадлежать [а]. Так
как рп-е степени членов этого класса все .сравнимы друг
с другом по mod pn+l, мы получаем канонический класс
смежности по mod p"+1, принадлежащий [а]. Более того,
при возрастании я каждый последующий подкласс смеж-
смежности в [а] будет содержаться в предыдущем.
Очевидно, так определяется некоторый элемент из /?-ади-
ческого пополнения А кольца А. (Чтобы это имело
смысл, следует здесь предположить, что /7-адическая топо-
топология отделима.) Если кольцо А с самого начала было
полным, получается
Лемма 1. Пусть А — кольцо, полное относительно
р-адической топологии и такое, что А/р совершенно.
Тогда существует каноническое отображение /: А/р -> А,
переводящее каждый класс вычетов в тот единствен-
единственный его элемент, который имеет корни рп-й степени
для всех п. Отображение f может быть охарактери-
охарактеризовано как единственный мультипликативный
гомоморфизм А/р ->• А, который определяет расщепле-
расщепление отображения А->А\р.
Доказательство последнего предложения предостав-
предоставляется читателю.
Пример. Если А — обычное кольцо целых /7-адичес-
ких чисел, то /(А/р) состоит из корней (р— 1)-й степени
из единицы и нуля.
Б. Конструкция Тейхмюллерд
Хорошо известно, что любое /7-адическое число одно-
однозначно представляется „степенным рядом" UQ-^-a^p-^
Н~<hP2-\- • • •. гДе at = 0, 1. .... р — 1 • Но это не очень

Кольцевые схемы. Схема Ватта 203
интересно с математической точки зрения, потому что
выбор системы представителей 0, 1 р — 1 классов
вычетов по mod p, очевидно, довольно произволен.
Теперь, однако, мы имеем прекрасную функториальную
систему представителей классов вычетов! Воспользовавшись
ею (и обобщив на случай колец А, которыми мы занима-
занимались в предыдущем разделе, — нам нужно, лишь предполо-
предположить дополнительно, что р не является делителем нуля в А,
так что эти степенные ряды действительно единственны),
получим следующее утверждение:
Лемма 2. Пусть А — полное р-адтеское кольцо,
в котором р не является делителем нуля, такое, что
А\р совершенно. Тогда существует взаимно однозначное
соответствие между элементами А и последователь-
последовательностями (Ig, |j, ...) элементов из Alp, определенное так:
do) (Ь>. Si. 6». •••)W(!o)+/>/(ii)+/>7(i2)+-...
Теперь предположим, что мы научились считать в А,
используя эти последовательности представителей классов
вычетов. Тогда получилось бы, что мы восстановили струк-
структуру кольца А по структуре А/р\
Оказывается, что это можио сделать, но результаты
приобретут более удобную форму, если воспользоваться
не в точности данным выше соответствием, а соответствием
(Это можио усмотреть из примера, разобранного в добав-
добавлении А.)
В. Схема Витта (на первый взгляд, интермедия)
Пусть W— схема SpecZ[Jf0, Xv ...]; отобразим W
в А00 = SpecZ[WQ, ...] с помощью многочленов Витта:
B)

204 Лекция 26
[Здесь р — по-прежнему фиксированное простое число.
Отметим, что обозначения рискуют быть ложно истолко-
истолкованными: Wt — это координаты в A05, la Xt—координаты
в W.]
Придадим к°° структуру кольцевой схемы при помощи
отображений:
для всех S
А05 представляет функтор, который сопоставляет кольцу R
кольцо бесконечных последовательностей (w0, wv ...)
элементов из R с покомпонентным сложением и умноже-
умножением, т. е. прямое произведение бесконечного количества
экземпляров кольца R.
Мы утверждаем, что структура кольцевой схемы на А00
индуцирует структуру кольцевой схемы на W—единствен-
W—единственную, в которой э*о отображение является гомоморфизмом.
Чтобы убедиться в этом, прежде всего заметим, что
если мы позволим себе делить на р, то сможем разрешить
уравнения B) и выразить Xs через Ws. Это означает,
в терминах #-значных точек, что если р обратимо в R,
то можно считать Х3 и Ws просто различными системами
координат, для элементов кольца /У°; W-координаты
более „простые" в том смысле, что в них сложение и
умножение в кольце соответствуют покоординатному сло-
сложению и умножению; но, очевидно, можно найти полино-
полиномиальные функции, описывающие эти кольцевые операции
в терминах Л!,-многочленов, коэффициенты которых должны
лежать в Z[l/p].
„Главное чудо" колец Витта состоит в том, что коэф-
коэффициенты этих „арифметических многочленов" и в самом
деле лежат в Z. Мы сейчас это докажем. Пусть wn означает
л-Й полином Витта wn(XQ, .... Хп) = Xg -f- ... -f- р"Х„.
Чтобы охватить одновременно все арифметические операции
(нам нужны сложение, умножение и, хотя мы и, не упомит
нали об этом явно, аддитивный обратный элемент и кон-
константы 0, 1), обозначим через Ф любой многочлен от двух
переменных (одна или обе они могут, впрочем, на самом
деле отсутствовать) с целыми коэффициентами. Мы знаем,

Кольцевые схемы. Схема Витта 205
?по существуют многочлены
%(**ХЪ Ф.(*о Хп> Ч К)
з?акие, что для всех п
.(%(*«>: Х'о)' •••> Ф„(*о Хп- Х'о
сокращенно Ф(дал(Л), wtt(X')) = wn(<p(X, X')).
1При употреблении этой сокращенной записи, желая напом-
напомнить о том, что ix>n(X) содержит только Хо, ..., Хп,
мы будем писать wn(X,,,n).] . *
Лемма 3. Все коэффициенты многочлена <рп целые.
Вспомогательное утверждение. Если
xtssyt (modpR) A = 0, я; xt, y(€R, R —любое
кольцо), то wn(x)~wtt(y) (modp"+1R).
-Доказательство. Утверждение немедленно сле-
следует из определения wn и замечаний, сделанных в разд. А
этого параграфа.
Доказательство леммы. Допустим, что резуль-
результат верен для всех I < и.
Заметим, что wn(X)—wn_1 (Хр)-\-р" X „ !). Применяя
это к правой части уравнения <b(wn(X), wn(X')) =
= wn (ф (X, X')) и разрешая относительно ф„ (X, X'),
получаем
IV У. Ф (*»<*>' ™п(ХУ-«>п-1«.п-1(Х< X')),
Ф(Л Л ) р
Это рекуррентная формула, по которой определяются ф,.
Чтобы установить, что фя имеет целые коэффициенты,
мы должны показать, что Ф (wn (X), wn (X')) =з
^wn.^4X, X')) (modpn).
') При л = 0 мы интерпретируем о»_ [ как 0. Поскольку это
многочлен от тех Xs, индекс которых меньше л, и он удовлетво-
удовлетворяет вспомогательному утверждению, доказательство благопо-
благополучно проходит.
15 Д> Мамфорд

206 Лекция 26
Подставляя wn{X) = <wn^(Xp)-\- pnXn в левую часть
и замечая, что членами „рпХпи можно пренебречь (mod р"),
мы получаем Ф('О)„_1(ХР), и»я_, (Х'^))- Перепишем это
выражение в виде wn_1(tp{Xp, X' )). Чтобы показать, что
оно сравнимо с дал_1(фр(Л', X')), достаточно (согласно
вспомогательному утверждению) заметить, чтофДЛ"", Х/Р)==
^<рР(Х, Л")(mod р) — благодаря автоморфизму Фробе-
ниуса. (Именно здесь мы используем индуктивное предпо-
предположение о том, что фг имеют целые коэффициенты.)
Отсюда следует, что эти многочлены можно использо-
использовать для определения кольцевой структуры на множестве бес-
бесконечных последовательностей элементов любого кольца R.
Операции будут удовлетворять аксиомам кольца, потому
что они задаются многочленами, которые удовлетворяют
этим аксиомам для всех элементов из Z[1/jo] и, следова-
следовательно, удовлетворяют им тождественно.
Получившееся кольцо уже не будет изоморфно R00;
преобразование Витта дает нам лишь гомоморфизм в R°°.
В случае когда р не является делителем нуля в R, можно
убедиться в том, что этот гомоморфизм имеет тривиальное
ядро, т. е. что кольцо Витта может быть отождествлено
с подкольцом в R. Если же р является делителем нуля,
например, если R имеет характеристику р, то это более
слабое утверждение перестает быть верным.
В терминах теории схем приведенное выше рассуждение
звучит так. Имеется отображение w. W—*-А°°. Умножая
тензорно на Z[1/jo], мы обнаруживаем, что
w': WXSpecZp-]-> А00 X Spec Z [—]
есть изоморфизм схем (потому что система B) обратима
над Z[l/^?])ЛCлeдoвaтeльнo, структура кольцевой схемы
A°°XSpecZ[l//>] над SpecZfl/j"] индуцирует аналогичную
структуру на WXSpecZ[l//?]. Последне'е множество плотно
в W, и оказывается, что кольцевые операции непрерывно про-
продолжаются на все W (т. е. они определяются уравнениями
с целыми коэффициентами). Они будут удовлетворять
аксиомам кольца, потому что это так на плотном под-
подмножестве, а поскольку w — кольцевой гомоморфизм между
плотными подмножествами в А и W, то он является коль-

Кольцевые схемы. Схема Витта 207
г.— : ¦¦
> • ¦ •
||евым гомоморфизмом. Наконец, ясно, что структура коль-
кольцевой схемы, которой мы наделили W,—единственная,
[Делающая w гомоморфизмом, ч. т. д.
Г. Торжественный финал
Вернемся к ситуации разд. Б.
Мы утверждаем, что многочлены, определяющие коль-
.цевую структуру схемы W, — это как раз те многочлены,
которые нам нужны для вычисления со „степенными ря-
рядами". Мы попытаемся сначала интуитивно объяснить,
почему это так.
Элемент кольца А, как мы знаем, представляется бес-
бесконечно многими способами в виде конечного или беско-
бесконечного степенного ряда ао-\-ра1-\-р2а2-\- .... Если
считать «правильным» то единственное представление, в ко-
котором каждый коэффициент а1 принадлежит f(Ajp),
а «правильным по mod р"» такое представление, у кото-
которого каждый член plat сравним по mod pn с соответствую-
соответствующим членом в «правильном» представлении, то, как легко
проверить, достаточное условие правильности представления
по mod р" состоит в том, что каждый коэффициент at
есть р"~{-я степень (при I < и).
Теперь, подставив произвольные значения х0, xv ...
из А вместо Хо, Xv ... в преобразование B):
wz = *$ + Р*К +
мы видим, что последовательные wt все более и более
приближаются к «правильно» представленным. Подробнее
рассматривая эту ситуацию, можно представить себе,
почему многочлены, описывающие, что делать с х(, чтобы
построить арифметику из wt, должны также объяснить,
как обращаться с коэффициентами «правильного пред-
представления» элементов, чтобы построить арифметику этих
элементов. То обстоятельство, что xt появляются
15»

208 Лекция 26
с убывающими показателями, согласуется с нашим использо-
использованием представлений вида /(?o) + />/(|f )+ •••• а не
o
Вот точное утверждение и его доказательство.
Лемма 4. Пусть заданы Аи/, как в лемме 1,
и Ф и <р,, как в лемме 3; тогда для любых ?0, %v ...;
l'o, l[, ... в кольце Ajp имеем
Доказательство. Достаточно показать, что это
равенство выполняется по mod pn+1 для заданного п.
Следовательно, в нашей записи мы можем опустить все
члены в вышеприведенном степенном ряде, начиная с рп+1.
Сделаем замену xt = %Pl , x'{ = l'tP . Заметив, что
/7-е степени коммутируют со всеми операциями в А/р
(по Фробениусу) и с / (так как это мультипликативный
гомоморфизм), перепишем формулу, которую надо дока-
доказать, в виде
• • • + P*f (ф< (*o xi> "'))" ~ ~\~ ••• (mod Pn+1)-
Заметим, что правая часть совпадает с wn (/(ф (*, *'))),
а левая—с Ф (wn (f(x)), wn(f(x'))), что сводится
к w.(q>(/(*). fix')).
Согласно вспомогательному утверждению леммы • 3,
чтобы показать сравнимость обеих частей по mod/7"+1,
достаточно проверить, что /(фДлг, х')) ^ ф, (/ (х), f(x'))
(mod p). Это ясно, так как по построению / «сохраняет»
классы вычетов по mod p.
Мы уже упоминали, что, выяснив, как проводить
вычисления с этими «степенными радами», мы смогли бы

Кольцевые схемы. Схема Витта
209
восстановить А по А\р. Мы знаем теперь, как это делать;
мы доказали следующий результат:
Теорема. Пусть А — такое же, как в лемме 2,
k = Ajp. Тогда hw(k)^,A (канонический изоморфизм).
[Теперь нетрудно доказать обратное: если k — совер-
совершенное кольцо характеристики р, то hw(k) — кольцо,
в котором р не является делителем нуля, полное отно-
относительно /7-адической метрики и имеющее поле вычетов k
по mod p. Нечего и говорить, что функторы hw и „/р"
обратны (для рассматриваемых колец) как на уровне
отображения, так и на уровне объектов. Так мы получаем
изоморфизм между категорией совершенных колец харак-
характеристики р и некоторой категорией /7-адических колец.]
§ 3. А. Универсальная схема Витта
Будем обозначать описанную выше схему Витта,
соответствующую простому числу р, через Wp; заме-
заменим также обозначения Хо, Xv W
Xlt Хр, Хр, ... и Wu Wp, W
принимают вид
W, =*„
р ;
и WQ, Wv ... на
Преобразования B)
Это семейство многочленов, очевидно, содержится
в семействе, которое не зависит от выбора р, именно:
C)
7i = x\+2X2
/¦n/d
din
+4*4,

210 Лекция 26
Мы можем показать для C), как мы это сделали
для B), что арифметические операции над W{ соответ-
соответствуют полиномиальным операциям над Х{ с целыми
коэффициентами.
Как и ранее, для Заданного Ф мы построим функции <ря,
такие, что Ф(дав(X), wn(Л")) = wn(<p(X, X')). Если
наши прежние функции „<р/ зависели только от Xt и Х\
с l-^п, то эти ф„ зависят только от тех Ха и Xd, для
которых d | п. Коэффициенты <р„ должны принадлежать Q,
но для каждого простого р верна
Лемма А'. Знаменатели коэффициентов <р„ не
делятся на р.
Вспомогательное утверждение. Если />* | я
и х==.у(mod/0. mo ix>tt(x)==wn(y)(modp't+l).
(Доказывается так же, как прежде.)'
Доказательство леммы. Предположим, что
результат верен для всех собственных делителей я.
Пусть jo* — наибольшая степень./?, делящая и, п=р*-т.
Заметим, что
d< \m -
mXn -(- члены, содержашие низшие
Подставляя это в правую часть уравнения Ф(в>я(Л), wn(X'))*=>
= wtt(<p(X, X')) и разрешая относительно последнего
члена, мы получаем
тц>п -f- члены, содержащие низшие ф^ =
_ Ф (wn (X), wn (X')) - wnlp (<fP (X, Х'Х) ¦
Так как „низшие фг" по индуктивному предположению
имеют „целые коэффициенты", достаточно показать, что
Ф(те>п (X), wa (X'))==<wtt/p(<p"{X,,X')) (mod A
') Как и прежде, еслн^ рХп, то мы полагаем я>я/р = 0.
Подчеркнем, что под «низшими Хр мы подразумеваем Xt,
индексы которых являются собственными делителями л.

Кольцевые схемы. Схема Витта 211
Это мы сделаем в точности так же, как прежде. Мы
нашу формулу „wn (Х)=и в левую часть,
устив „остаточный" член, так как он делится на /?*, и
^пользуемся „перестановочностью" Ф и wtt/p; интересую-
fie'e нас сравнение примет вид
. X')) (mod /»*).
ю выполняется в силу вспомогательного утверждения,
Й т. д.
Следовательно, все коэффициенты должны лежать в Z.
Поэтому, как и прежде, мы получаем схему We гомо-
гомоморфизмом
SpecZ[Xlt X2, ...] Spec Z[WV W2, ...)
который становится изоморфизмом при тензорном умно-
умножении на Spec(Q).
Б. Логарифмы степенных рядов
ВспоТйнив, что V обозначает кольцевую схему „фар,-
лальных степенных рядов", обозначим через V0 замкнутую
юдсхему, соответствующую уравнению Ло = 1. Она пред-
"тавляет степенные ряды с постоянным членом 1 и является
юммутативной групповой схемой относительно умножения
1 V. Мы будем ааписывать /?-значную точку A, av a2,...)
13 V0 в более привычном виде: 1 -}- axt + a^t2 -\- ... . Мы
>удем работать со схемой V0 в терминах ее функтора
т!-значных точек, чтобы иметь возможность использовать
¦.орошо известные результаты о формальных степенных
задах.
Рассмотрим следующие отображения схем:
W X Spec (Q) -5» А00 X Spec (Q) 4* V0 X Spec (Q).
•де
\ы утверждаем, что эта композиция продолжается до изо-
юрфизма схем W и V0. Чтобы проверить это, мы прежде

212
Лекция 26
всего пересчитаем это Отображение на /?-значные точки
в случае /?=>Q. Пусть
Получаем
= ехр
:ехр
= ехр
«о
•2
пй-п,
log A-*/¦)]=«
J
J
л-1
Элементы at и xt связаны теперь, очевидно, полиномиаль-
полиномиальными уравнениями с целыми коэффициентами, ч. т. д.
Но отображение из А°° X Spec Q в V0 X Spec Q есть
гомоморфизм структуры аддитивной группы исходной
схемы в структуру мультипликативной группы последней
схемы. Следовательно, композиция — такой же гомомор-
гомоморфизм. Таким образом, схемный изоморфизм между Wк V0,
будучи групповым гомоморфизмом на плотных подмно-
подмножествах, является на самом деле изоморфизмом групповых
схем:
W есть кольцевая схема с той же аддитивной
структурой, что и групповая схема V0.
(Вопрос: „Какой операции на V0 соответствует мульти-
мультипликативная структура W7" —исследуется в добавлении Б.)
В. Усечения
Мы можем „усечь" кольцевую схему степенных рядов V,
потому что ее арифметические операции таковы, что
я-й член суммы или произведения зависит только от я-х
И низших членов данных.элементов. В W л-й член зависит

Кольцевые схемы. Схема Витта 213
чголько от тех членов, индекс которых делит п. В резуль-
результате для любого множества 5 положительных целых чисел,
которое содержит каждый делитель некоторого числа, если
оно содержит это число, мы получаем кольцевую схему
'¦Ws — SpecZ[Xs]S?S— „усечение" W. Мы будем называть
такие множества 5 из целых чисел „множествами усече-
усечения". Для любого множества усечения 5 определен гомо-
гомоморфизм усечения
Ts: W—*¦ Ws.
Легко проверяются различные утверждения об этих
схемах: отображение w: W->A°° усекается до отображе-
отображения ws: WS-*AS и кольцевая структура на Ws — един-
единственная структура, делающая ws кольцевым гомоморфиз-
гомоморфизмом. Если заданы два множества усечения ScS', то
определен гомоморфизм усечения Ts, sr- WV -*¦ Ws и
Ts, s1 °Ts',s" = Ts, s"- Схема W сама совпадает, конечно,
с Wz+, "a W^h p p, у с W — схемой, которая выла
построена в § 2. Схемы Wr^ nly изоморфны усечен-
усеченным группам степенных рядов V°n, но другие усечения
не соответствуют никаким знакомым конструкциям с коль-
кольцами степенных рядов.
Нам нужны в этом месте некоторые пустяки общего
характера: гомоморфизм/: А -*¦ В коммутативных группо-
групповых схем называется A-1)-гомоморфизмом, если индуци-
индуцированные отображения групп hf (X): hA (X) -> hB (X)
являются A-1)-отображениями для всех схем X, и гомо-
гомоморфизмом „на", если hAX) все являются гомоморфиз-
гомоморфизмами „на".
Свойство быть (Ы)-гомоморфизмом ведет себя пре-
прекрасно. Оно эквивалентно, по определению, свойству быть
мономорфизмом в категории схем. Для произвольного
гомоморфизма /: А->В можно построить A-1)-гомо-
морфизм К-+А, функтор которого есть функтор ядер
индуцированных групповых отображений. (Мы строим К
как слой в А Z-значной точки 0 схемы В. Как показать,
что групповая операция поднимается до Ю)
С другой стороны, свойство, которое мы назвали
«быть гомоморфизмом «на»» сильнее свойства «быть эпи-
эпиморфизмом», как для. схем, так и для групповых схем,

214 Лекция 26
Оно эквивалентно существованию схемного отображения g
из В назад в А, которое является сечением / — правого
обратного отображения. Этого, очевидно, достаточно;
чтобы убедиться в необходимости, заметим, что по нашему
определению единичное отображение в йв (Б).должно полу-
получаться из отображения g в hA (В), такого, что f • g —
единичное отображение. (Но g' не обязано . быть гомо-
гомоморфизмом групповых схем!)
Мы не можем в общем случае построить групповую
схему со свойствами коядра для /. Следовательно, хотя точ-
точные последовательности можно определить (условием, что
индуцированные последовательности ->hA(X)->hB{X)-*
-+hc(X)-> все точны; заметим, что отсюда следует, что
ядро каждого отображения есть коядро предыдущего),
они встречаются нечасто. Однако, если задано отображе-
отображение „на" А->В->0, то мы можем получить точную
последовательность 0 -*¦ Кег / ~-> А -> В -*¦ 0.
Заметим, что свойства „1-1". .на" и „точный" сохра-
сохраняются при расширении базы.
Отображения усечения, которые мы определили, были
все отображениями „на": если заданы ScS', мы получаем
сечение из Ws назад в Ws1, „заполняя" места отсутствую-
отсутствующих координат Xs чем угодно, например нулями.
Г. Канонические отображения
^ (*«)«={
Существуют два полезных множества отображений из W
в W.
а) Определим Vn*. W-* W формулами
Хт/п, если п\т,
О в противном случае.
tB терминах /?-значных точек, например, V3(xv х2, ...) =
==@, 0, хх. О, О, х2, ...)•] Мы утверждаем, что
B) Vu—аддитивный изоморфизм из W на ядро усе-
усечения Ts, где 5= {m?Z+ \пX т].
Доказательство утверждения A) очевидно; рассматри-
рассматривая Л-значные точки, проверяем, что Vn есть по крайней

Кольцевые схемы. Схема Витта 215
Шере изоморфизм схемы W и этого ядра. Чтобы проверить
рцддитивность, достаточно тензорно умножить на Q и пока-?
1зать, что индуцированное отображение из А°° X Spec Q
^аддитивно. В самом деле, мы находим, что оно описывается
.формулами
| nWmin, если п\т,
ИГ
| nWmin,
( 0
т ( 0 в противном случае.
Заметим, что для любого множества усечения 5 определено
аналогичное отображение
Vs,n- WS/n-*Ws,
где 5/я = [т ? Z | пт ? 5}, которое отождествляет Ws/n
с ядром усечения
б) Определим гомоморфизм Fn\ W-> W его действием
на /?-значные точки изоморфной схемы К0: пусть Р (t) —
степенной ряд от t с первым коэффициентом 1. Обозначим
через Tj, ..., т„ формальные корни я-й степени _из t; тогда
произведение
симметричное по xt, будет снова степенным рядом от t.
а его коэффициенты будут многочленами от коэффициен-
коэффициентов ряда Р. Исследование отображения, определяющего
связь между К0 и А00, показывает, что F'„ соответствует
отображению
(wv w2, ...)-*• (wn, win, ...)
/?-значных точек из А°°. Заметим, что это кольцевой гомо-
гомоморфизм, поэтому Рп — кольцевой гомоморфизм. Кроме
того. FncFm=Fnm.
Обычными рассуждениями (типа «только те индексы,
которые делят т») мы получаем, что подобные отображе-
отображения (также кольцевые гомоморфизмы) определяются между
усеченными схемами: ,
Fs.n- Ws

216 Лекция 26
в) Обратимся к FnoVn; проверяя это отображение
на /?-значных точках из А00, находим:
Fu о Vu = умножение на № *).
В некоторых случаях можно делить на ft.
Лемма 5. Умножение на п обратимо в WX
X Spec Z [I/ft].
Доказательство. Напомним, что можно извлекать
корни ft-й степени из степенных рядов со свободным
членом единица, если допускать деление коэффициентов
на ft; следовательно, в WXSpecZ[l/ra] можно делить
на я, ч. т. д.
Таким образом, над схемой Spec Z[I/ft] отображе-
отображение — Vn является правым обратным для Fn.
Д. Разложения в прямые произведения
Прямое произведение двух кольцевых схем Я и Я'
над S определяется вполне аналогично прямому произ-
произведению двух колец. (Не путать это с тензорным произ-
произведением!) Его схема представляет собой произведение
над 5 схем Н и И'.
Начиная с коммутативной кольцевой схемы О, покажем,
что существует A-1)-соответствие между разложениями
Qz=H X #' и 5-значными идемпотентньпии точками е
в схеме О: элемент A, 0) из НУ, И' есть е, а Н и Н'
являются ядрами соответственно умножения на 1 —е и е.
Рассмотрим AOT=SpecZ[W1> W2, ...] над Spec(Z).
Для каждого подмножества / положительных целых чисел
схема А°° имеет Z-значную идемпотентную точку %
A. '€/¦
о. 41
') Мы имеем в виду, конечно, операцию кольцевого умно-
умножения иа п, которая не соответствует покоординатному умно-
умножению иа л, за исключением координат Wt в А°°. То же под-
подразумевается в следующей лемме, где рассматривается умноже-
умножение на SpecZ[l/«]-3Ha4Hyro точку «1/п>.

Кольцевые схемы. Схема Витта 217
и соответствующее разложение
A°°=A/XAz+~/.
Следовательно, схема W также допускает все эти раз-
разложения, но над SpecQ. Возникает вопрос: пусть Р —
любое множество простых чисел и
*» —SpecZ[..., 1//>. .
В таком случае какие из этих разложений схемы
W®SpecQ на самом деле определены над &"! Или, что
то же самое: какие из точек е/ = то~1(т]/) рациональны
над &", т. е. в знаменателях их координат нет простых
чисел из Р?
Ясно, что если мы заменим схему W ее усечением Ws,
тот же вопрос может быть поставлен для подмножеств
/с5.
Пусть Q — множество простых чисел, не принадлежа-
принадлежащих Р. Пусть Р (соответственно Q) обозначает мульти-
мультипликативную полугруппу положительных целых чисел,
порожденную множеством Р (соответственно множеством Q)
и 1. Заметим, что множества пР для n?Q определяют
разбиение Z+.
Лемма 6. Для любого n?Q точка &пр? W рацио-
рациональна над ?*.
Доказательство. Для любого числа n?Q проек-
проекция, заданная точкой е ,+, совпадает с —V.F., следо-
Пл> fl '* ••
вательно, она рациональна над &"; в частности, сама
точка ед2+ является рациональной. Имеем
Формально это бесконечное произведение. Однако оно
является покоординатно „сходящимся" в том смысле,
что каждая координата становится постоянной после не-
некоторого числа членов. Это ясно в А00-координатах, по-
поэтому это верно и в W-координатах. Следовательно,
левая часть рациональна.

218 Лекция 26 -
Следствие. Для каждого множества усечения S
и любого п ? Q точка znp(\s 6 Ws рациональна над &".
Лемма 7. Пусть S — множество усечения. Тогда
над S" имеет место разложение
(все схемы домножены тензорно на &").
Доказательство. Если бы наше множество идем-
потентов было конечным, метод доказательства был бы
ясен. Оказывается, мы можем применить то же доказа-
доказательство, не используя условия конечности. Мы должны
проверить универсальное свойство произведений на А'-знач-
ных точках. Если задано семейство отображений ап: Х-*
""*" enPUs{^s)> построим отображение 2 ад: X-*WS. Эта
бесконечная сумма определена по тем же причинам, что
и в последней лемме; она является единственным отобра-
отображением, композиции которого с проекциями дают а„.
Следствие. Если множество I является объеди-
объединением множеств nP[\S для некоторых чисел n?Q,
то точка г, рациональна над &".
Лемма 8. Пусть n?Q и S—некоторое множество
усечения. Тогда
(все схемы -домножены тензорно на еР).
Доказательство. Рассмотрим отображения:
enPns(Ws)+ npotKma* WS<-{yn)Vs * WS/n * любое WP(]S/n-
• * ССЧФНИ6
усеченна
Все они» рациональны над &". Достаточно показать,
что композиция отображений, направленных вправо, и
композиция отображений, направленных влево, являются
гомоморфизмами кольцевых схем и обратны друг другу.
Умножая тензорно на Spec Q и используя А-координаты,
мы легко проверяем, что это так.

Добавление к лекции 26 219
Итак, для каждого множества усечения 5 и мно-
множества простых чисел Р имеем
[Можно было бы спросить, всегда ли то, что мы по-
получили, является максимальным разложением в прямое
произведение схемы WS®S"? Или, что то же самое,
исчерпывают ли элементы г, при /, равном объединению
множеств nPcS(n?Q), все. идемпотенты из WS7 Мы
докажем в п. В добавления, что это действительно так.]
Добавление к лекции 26
А) (см. конец § 2, Б).
Вычислим явно, как складывать первые два члена ряда
типа (lo). Мы должны решить относительно s0 и щ
сравнение
(/ (а) + pf 0)) + (/ (a1) + pf(b')) за
as/(*<>)+ /»/(*i)'(mod/>»).
Редуцируя по то&р и вспоминая, что /(с) принад-
принадлежит тому же классу вычетов, что и а, получаем
a-j-a' = s0.
Подставляя это в исходное"' выражение и выделяя член,
зависящий от sv получаем
pf (s,) = />/(*) +pf(b') +
') - / <<Ч- <О) (mod />2).
Мы знаем, что последнее выражение делится на р.
Если бы мы могли представить его в таком виде явно,
то можно было бы „сократить" на р и этим закончить.
Задача заключается в вычислении f(a-{-ar). Решение
таково: (/\allp) -\-f (a'l/p))p принадлежит классу смеж-
смежности а-\-а! и, являясь />-й степенью*-должно принад-
принадлежать подклассу по mod p2 класса f{a-\-a')\
Но (х-\-у)р можно представить в виде хр-\- ур-\-
-^•р[х, у], где [jc, у] — некоторый полином от jc и у
с целыми коэффициентами. Следовательно, /(f')
U) Y [

220 Добавление к лекции 26
Отсюда
р/(s,)~pf(b)+pf(b')-p [/(а'/Р), /(a'Vp)] (mod р*),
-[/(fl1/p). f{a'Vp)\ (mod/>).
Итак, (с, b, ...) + (<*'. ft', . ..) = (a+a'.
-[a1/p, a'1/p]. ...)¦
Если бы мы предпочли систему координат, в которой
можно вычислять, пользуясь лишь полиномиальными опе-
операциями, то надо было бы сделать подстановку а = ар
либо b = p1^. Первый выбор был бы неблагоразумен,
так как, вводя третий член разложения, пришлось бы
изменить все вновь, и т. д. Мы используем в последующем
вторую возможность. В терминах разложения A) при-
приведенный выше результат выглядит так:
(а, р, ...) + («»'. р', ...) = (а + а'. Р + Р' — [а, а'], ...)
Б) (см. конец § 3, Б).
Мы хотим исследовать „умножение", индуцированное
на V0 изоморфизмом с W. Мы обратимся, как обычно,
к /?-значным точкам. Мы должны описать бинарную опе-
операцию над степенными рядами, которую мы будем обо-
обозначать символом о.
Прежде всего, используя формулу для изоморфизма
между A°°XSpecQ и V°XSpecQ, мы обнаруживаем,
что A — af)o{\ — bf)=\ — (ab)t, где a и ft — элементы
любого кольца, содержащего Q, Следовательно, это должно
выполняться для а и Ъ в любом кольце. Так как опера-
операция о дистрибутивна относительно умножения, мы по-
получаем
П A - «<0 ° П A - М) = П A - а<Р/>-
Ради простоты назовем щ (а не 1/аг) „корнями" много-
т
члена ЦA—att). (По этому определению многочлен
имеет неопределенное число нулевых корней.) Над алгеб-
алгебраически замкнутым полем k мы можем тогда точно

Добавление к лекции 26 221
описать операцию ° для конечных (т. е. обрывающихся)
степенных рядов: указанная операция переводит любую
пару многочленов в многочлен, корни которого являются
попарными произведениями корней двух заданных много-
многочленов. Отсюда легко видеть, что рациональные функции
(отношения многочленов) образуют подкольцо, которое
имеет структуру „группового кольца" группы А1).
Кольцо полных степенных рядов является пополнением
этого кольца относительно метрики, в которой две точки
„близки", если первые п симметрических функций на них
совпадают (хотя, конечно, нужно повозиться, чтобы опре-
определить „симметрические функции" на семействе, некоторые
элементы которого входят с отрицательными кратностями).
Эта трактовка более или менее формально переносится
на случай любого кольца без делителей нуля. Мы можем
построить над любым таким кольцом единственный много-
многочлен, все корни которого являются попарными произведе-
произведениями корней двух данных многочленов, даже если эти
корни не лежат в самом кольце. Рациональные функции
в группе формальных степенных рядов, начинающихся
с единицы, образуют подкольцо, которое можно пред-
представить себе как „полугрупповое кольцо" ненулевых эле-
элементов,— но теперь мы должны допускать не только
формальные суммы элементов, действительно лежащих
') Интересно, что сходная конструкция появляется в алге-
алгебраической топологии. Комплексное векторное расслоение на
пространстве X определяет многочлен .класса Чжэня* над коль-
кольцом Н1 {X) для четных I. Оказывается, что операция ф на рас-
расслоениях соответствует умножению многочленов, в то время как
взятие тензорных произведений расслоений соответствует опе-
операции, сопоставляющей паре двух многочленов многочлен, кор-
корнями которого служат попарные суммы корней «в» Я2 двух
данных многочленов!
Такую операцию нельзя определить на нашем языке степен-
степенных рядов, потому что .неопределенное число нулевых корней*,
на которые можно не обращать внимания при нашем .мульти-
.мультипликативном умножении', вступает в неразрешимое противоречие
с попыткой построить .аддитивное умножение*-. Сущность про-
проблемы заключается в том, что наши многочлены имеют неопре-
неопределенную степень по t. Топологические же многочлены имеют
определенную степень, соответствующую размерности рассма-
рассматриваемого расслоения.
}(} Д.

222 Добавление к лекций 2S
в кольце, но и суммы элементов, (целых) алгебраических
над кольцом, пока они входят полными системами сопря-
сопряженных элементов. Все кольцо снова получается попол-
пополнением .
Координаты Wn образа в А°° — это моменты 2а"-
В) Мы дадим набросок доказательства того, что раз-
разложение в прямое произведение схемы WS®S?, описанное
в нашей последней теореме, максимально.
Во-первых, заметим, что каждый идемпотент из Ws
над 3* задает идемпотент в As, а единственные идемпо-
тенты последней схемы — это тO для подмножеств / в S;
поэтому единственно возможными идемпотентами первой
схемы являются е7. Мы хотим сейчас доказать, что точка е;
рациональна над S^ тогда и только тогда, когда / пред-
представляет собой объединение множеств пР П 5 (»?<?). Вот
равносильное утверждение: для каждого р?Р и элемен-
элементов т, таких, что pm?S, имеем т?1€?рт?1.
Достаточно, очевидно, проверить это для случая
Р={р). Итак, предположим, что у нас есть рациональ-
рациональная точка е7 с /, не удовлетворяющим этому условию.
Тогда должны были бы существовать ненулевые n^Q в
k, такие, что т, рт, .... pk~1m^/, pkm?S — / (при
необходимости можно поменять местами / и 5 — /). Рас-
Рассмотри» множитель Ws (мы будем опускать 0^* для
удобства), соответствующий mP()S. Он изоморфен схеме
W-pfls/m' Усечением которой является W^ p рьу. Если
мы теперь проследим за поведением нашего идемпотента е/
при всех этих преобразованиях, то найдем, что он дает
нам разложение в прямое произведение этой схемы, откуда
можно заключить, что усечение
(все схемы домножены тензорно на S*) распадается. Но
если перейти к B/р)-значным точкам, то это будет озна-
означать, согласно § 2Г, что
Z/p*->Z/p*-1 распадается.
Противоречие!

Основная теорема в случае характеристики р 223
ЛЕКЦИЯ 27
Основная теорема в случае
характеристика р
1°. Пусть Н—произвольная кольцевая схема надполем k.
Тогда для всех схем X над k схема Н определяет пучок
колец (Н)х на X, заданный формулой
В частности, если схеме А1 придана ее каноническая
структура кольцевой схемы, то
т. е. получается структурный пучок на X. С другой
стороны, предположим, что характеристика равна р. Тогда,
используя кольцевую схему Витта для р, мы можем по-
получить интересный пучок колец
Аналогично, для каждого конечного » строится пучок колец
с помощью усеченной схемы
Полученные пучки колец образуют проективную си-
систему пучков относительно очевидных усечений:
с проективным пределом W^ х и первым членом wUv =
= /W/n\ =(А1)Х==0Х. Эти пучки были введены Сер-
ром [5]. Чтобы описать их когомологии, Серр ввел некото-
некоторые фундаментальные гомоморфизмы, названные опера-
операциями Бокшшейна. Чтобы понять их, удобно принять
очень общую функторную точку зрения.
Пусть С, С—две абелевы категории и F: С->С -—
точный слева функтор с производными функторами RlF.
Предположим, что
16*

224 Лекция 27
б) сюръективные гомоморфизы Ап->Ап>, все п'^п,
образуют проективную систему.
Пусть Л„=:@) и Ап->А0—нулевой гомоморфизм. Пусть
Кп, п'—ядро гомоморфизма Ап—>Ап-. Тогда существует
спектральная последовательность с первым членом
(Это р не имеет отношения к характеристике поля k.)
Действительно, полагая
В?'" = Ker RP+«F (tf,+li p) -> RP+9F (Kp+U p.r+1),
Z?' *= Im R*+<F (Kp,r, Р) -* RP+"F (Kp+h p)
(относительно очевидных отображений), проверяем, что
Тогда, по определению,
cr = z.r
Кроме того, существуют канонические гомоморфизмы
Здесь ядром является следующая группа Z, а именно Z?'+\,
а образом — следующая группа В, а именно
т. е. каждый последующий d определяется на ядре, пре-
предыдущего d и принимает вначения, определенные по модулю
образа предыдущего d. Это и есть в точности спектраль-
спектральная последовательность.
[За подробностями надежнее всего обратиться к семи-
семинару Картана 1950/51, сообщение 8; однако, по моему
опыту, легче и полезней проработать эти вещи самостоя-
самостоятельно для небольших г, чем старательно следить за
чьими-то верхними и нижними индексами.]
Я предоставляю читателю проверить, что в хороших
случаях эта последовательность сходится к
lim RnF (Ap).
р
Мы хотим применить этот аппарат для получения кри-
критерия того, что элемент из Н1(Х, @х) поднимается до

Основная теорема в случае характеристики р 225
Я1 (X, Wg^ x). С этой целью возьмем в качестве С кате-
категорию пучков абелевых групп на Л\ в качестве С — кате-
категорию абелевых групп, F — функтор Н°(Х, •), а Ап —
пучок Жп> х. Тогда
?f " = Ир+" (X, Кег [Жр+1, х -> *„ х\).
В частности,
??-9=я'(*. ^,х)=/^(^, ех),
a zj.'' — подгруппа в HQ(X, 6X), которая поднимается
ло H"(X,Wr>x).
Определение. Гомоморфизмы df на ^'"cff (X, 0Х)
называются опер иями Бакштейна рг.
Дело в том, что
(*) f|.ker(pr) =
г
== {x?H«(X, 6Х)\Х поднимается до Н9 (X, WT>X) Для всех г].
Для лучшего овладения этим аппаратом нам нужен
еще один факт.
Лемма. Кег {^л+1> х -v Жп, х] S ©х-
Доказательство. Это немедленно следует из соот-
соответствующего результата о кольцевых схемах Витта: ядро
усечения
W{i. р, р2 РпУ "* W{i. р. р> Р"-1)
изоморфно как аддитивная групповая схема схеме А1. Это
было замечено в лекции 26. § ЗГ, (а) (взять Крл).
Итак, рг+1 есть канонический гомоморфизм
П
. ех).
2°. Пусть F — неособая проективная поверхность над k
(на самом деле ни то, что она неособенна, ни то, что
размерность равна 2, роли не играет). Мы можем теперь

226 Лекция 27
доказать фундаментальную теорему о семействах кривых
на F, когда char (k) — p. Пусть Р — связная компонента
единицы схемы Пикара для F. Мы знаем из лекции 24,
что касательное пространство То< р к Р в 0 канонически
изоморфно Я1 (Л 6Р); при этом отождествлении справедлива
Теорема. Касательное пространство к Pre<i соот-
соответствует подпространству в ti1 (F, @р), аннулируемому
всеми операциями Бокштейна.
Доказательство. Пусть t ? Го> р. Пусть
/<n) = Spec*[e]/(e"),
и пусть t соответствует гомоморфизму
А2: /B)-> Р.
(a) t касается Рп& тогда и только тогда, когда
для всех п гомоморфизм h2 поднимается до морфизма hn:
n A
W
Доказательство утверждения (а). В терминах локаль-
локальных колец пусть 0 — @о,Р. и пусть А2 и t определяют
гомоморфизм
Пусть псО — идеал нильпотентов. Если t касается Pni,
то /2(п) = 0. Так как кольцо 0/п регулярно, то, согласно
предложению в лекции 22 (А), /2 поднимается до /„:
О—>О/п-^-'->
следовательно, А2 поднимается до А„. Обратно, если А2
поднимается до А„, то /2 поднимается для любого и до /л2.
Предположим, что х ?п; тогда ^ = 0 при некотором т.
Пусть /2(*)=а-е, а?А. Тогда
О = /т+1 (У)».[/я+1 (л)]т = [а • е + ... Г = ат • ет.

Основная теорема в случае характеристики р 227
Поэтому с^" = 0, откуда а=0. Это означает, что /2
аннулирует п, т. е. t касается Ркй.
Теперь переведем это на язык функторов: для всех »
Нот (/(я)> />)сНот (/(я), Ц Р (&))
.111
ill
Но ^«ftfel/Ce^r^e^-tl+^^CeVCe")], где (е) озна-
означает идеал, порожденный элементом е. Поэтому
Следовательно,
{Подгруппа /(я)-значных точек схемы Р над 0}
1\\
№(f.
Теперь мы воспользуемся результатами лекции 26 (Д).
Мы работаем с кольцевой схемой Вцтта над полем харак-
характеристики р, так что каждое простое число, кроме р,
обратимо. Поэтому W разлагается, как в (Д), если по-
положить
Q = все простые числа, кроме р;
Q = целые, взаимно простые с р\
Р=[Р\).Р={\, р. /*..".).'

228 Лекция 27
Поэтому если />'-<»— 1 и У+1>я, то мы получаем:
(б) При усечении
последняя кольцевая схема выделяется как пря-
прямое слагаемое первой.
Поэтому для каждого » мы получаем диаграмму
It -
ограничение Я1 (F, (W,
V x \U P P /' FJ
\ • \
/B)-значные точки! ~m(F /W \ \ ~W(F в 1
схемы Р над 0 ) = ( ' \ {lVW =Л^' ^
Это показывает, что элемент а ? Я1 (Z7, б/,) поднимается
до Я1^, ^i,/j) (для всех /) тогда и только тогда, когда
он поднимается до Hl(F, (W^l2>. h-i})p) (для всех я)-
а это происходит тогда и только тогда, когда соответст-
соответствующий касательный вектор t к Р в 0 поднимается до
/(я)-значной точки Р (для всех »). В силу (а) теорема
доказана.
Следствие. Схема Рредуцирована тогда и только
тогда, когда все операции Бакштейна из Я1 (F, @р)
в fP(F, eF) равны 0.
Следствие. Пусть DcF — кривая, такая, что
Hl(F, ©p(D)) — @). Пусть Ь?С&) — соответствую-
соответствующая точка. Тогда С(Ъ) редуцирована в том и только
в том случае, когда все операции Бок штейна равны 0.
Следствие (Севери — Накаи). Если Я2(F, 6Р) = @),
то схема Р редуцирована и имеют место те же тео-
теоремы существования, что и при char = (O).
Примеры ненулевых операций Бокштейца см. в статьях:
Игуса [1]. Серр [5].

Литература
Андреотти, Залмон (Andreotti A., Salmon P.)
[If Anelli con unica decomponibilita in fattori primi ed un
problema di intersezioni complete, Monatsh. fur Math., 61
A957), 97.
Браун (BrownE.j
[1] Cohomology theories, Ann. Math., 75 A962), 467—484.
Byp6aKH(BourbakiN.)
[1] Algebre commutative, fasc. 27, 28, 30, Elements de mathe-
matique, Hermann, Paris, 1961—1964. (Готовится русский
перевод.)
Годеман (GodementR.)
[1] Theorie des faisceaux, Hermann,- Paris, 1958. [Русский пе-
перевод: Годеман Р., Алгебраическая топология и тео-
теория пучков, М., 1961.]
Гротенднк (GrothendieckA.)
[1] EGA: Elements de geometrie algebrique, Publ. Math. IHES,
Paris, № 4, 8, 11, 17, 20, 24 etc.
[2] Seminaire de geometrie algebrique, IHES, Paris, 1960—
1961.
[3] Fondements de la geometrie algebrique, Secretariat ma-
thematique, Paris, 1962.
[4] Sur queiques points d'algebre homologique, Tohoku Math.
J., 9 A957), 119—221. [Русский перевод: Гротендик А.,
О некоторых вопросах гомологической алгебры, М., 1961.1
[5] Sur une Note de Mattuck — Tate, Crelle, 20 A958), 208.
[Русский перевод: Гротендик А., Об одной заметке
Маттука — Тэйта, Математика, 4:2 A960), 29—38.]
3 а р и с с к ий (Z a r i s k i О.)
[1] Algebraic surfaces, Heidelberg — Berlin, 1934.
Зарнсскнй, Самюэль (Zariski О., Samuel P.)
[1] Commutative algebra, Princeton, 1958. [Русский перевод:
Зарнсский О., Самюэль П., Коммутативная алгеб-
алгебра, М., 1963.]
Игу с a (Igusa J. I.)
[1] On some problems in abstract algebraic ¦ geometry,
Nat. Acad. Sci. USA, 41 A955), 964—967.
Proc.

230 Литература
Картан (Cartan H.)
{1] Seminaire, Mimeographed notes, Secretariat mathematique,
Paris.
Клейман (Kleiman S.)
[1] A numerical theory of ampleness, thesis, Harvard, 1965,
to appear in Ann. Math.
[2] A note on the Nakai — Moisezon test for ampleness of
a divisor, Am. I. Math., 87 A965), 221—226.
Кодаира (К о d a i г а К.)
[1] A differential-geometric method in the theory of analytic
stacks, Proc. Nat. Acad. Scl. USA, 39 A953), 1268-1273.
[Русский перевод: Кода"ира К., Одифференциально-гео-
метрическом методе в теории аналитических пучков, сб.
Математика, 2 : 6 A958), 126—131.]
Кодаира, Спенсер (Kodaira K-, Spencer D. С.)
[1] A theorem of completeness of characteristic systems of
complete continuous systems, Am. J. Math., 81 A959),
477-502.
Ленг (Lang S.)
[1] Abelian varieties, New York, 1959.
Ленг, Нерон (Lang S., Neron A.)
[1] Rational points of abelian varieties over function fields,
Amer. J. Math., 81 A959), 95—118. [Русский перевод:
Ленг С, Нерон А., Рациональные точки абелевых мво-
гообразнй над функциональными полями, Математика,
5:6 A961), 13—33.]
Мамфорд (Mumford D.)
[1] Geometric invariant theory, Heidelberg — Berlin — New-
York, 1965.
[2]* Further patologies in algebraic geometry, II, III, Amer. J.
Math.,,84, № 4 A962), 642—648; 89, № 1 A967), 94-104.
M а т т у к, Т э й т (M a 11 u с k A., T a t e J.)
[1] On the inequality of Castelnuovo — Severi, Hamb. Abh., 22
A958), 295—299. Русский перевод: Маттук А.,
T э й т Дж., О неравенстве Кастельнуово — Северн, Мате-
Математика, 4 :2 A960), 25—28.]
Мацусака (MatsusakaT.)
[1] Theory of Q-varieties, Publ. of Math. Soc. Japan, № 8,
1965.
Мацусака, Мамфорд (MatsusakaT., Mumford D.)
[1] Two fundamental theorems on deformations of polarized
varieties, Amer. J. Math., 86, № 3 A964), 668—684.
Мойшезdн Б. Г.
[1] Критерий проективности полных алгебраических абстракт-
' ных многообразий, ИАН, 28 A964), 179—224.

Литература 231
My ope (Mur re J. P.)
[11 Contravariant functors from preschemes to abelian groups,
Publ. Math. IHES, № 23, Paris, 1964.
Нагата (Nagata M.)
[1] Local rings, New-York, 1562.
Накаи (Nakai Y)
Jl] A criterion of an ample sheaf on a protective scheme, Am.
J. Math., 85 A963), 14—26.
[2] On the characteristic linear systems of algebraic families,
III. J. Math., 1 A957), 552—561.
Пуанкаре (Р о i n с а г ё Н.)
{1} Sur les courbes tracees stir les surfaces algebrique, Ann.
Ecole Norm. Sup., 27 A910).
Cepp (Serre J. P.)
[1] GAGA: Geometrie algebrique et geometrie analytique, Ann.
Inst. Fourier, 6 A955), 1—42.
B] Faisceaux algebriques coherents, Ann. Math., 61 A955),
197—278. [Русский перевод: Серр Ж- П., Когерентные
алгебраические пучки, сб. «Расслоенные пространства и
нх приложения», М., 1958, стр. 372—458.]
[3] Groupes algebriques et corps de classes, Hermann, Paris,
1959. [Русский перевод: Серр Ж- П., Алгебраические
группы и поля классов, М., 1968.]
Й Corps locaux, Hermann, Paris, 1962.
Sur la topologie des varietes algebrique en caracteristique
p, Symp. of Alg. Top., Mexico, 1956.
Тэйт (Tate J.)
[1] Rigid analytic spaces, Mimeographed notes, IHES, Paris.

Указатель
Абсолютная кольцевая схема
199
— предсхема 34
Алгебраическая предсхема над
полем 26
Алгебраически эквивалентные
кривые 13
Арифметический род 99
Аффинная схема 23
Аффинный иорфизи 56
Базисное число поверхности
109
Бокштейна операция 225
Вейля дивизор 88
Витта многочлен 203
— схема 203
универсальная 209
Геометрические точки 29
Геометрический род поверхно-
поверхности 99
— слой морфизма 38
Гиперплоскость 87
Гиперповерхность 87
Главные дивизоры 86
Глобальное уравнение дивизо-
дивизора 85
Глубина модуля 60
Группа Пикара 45
— Num(F) 108
— Pic t (F) 108
. Групповая предсхема 34
Групповой объект 33
Цнвизор на поверхности 17
— относительный 95
Замкнутая подсхема 54
Замкнутое погружение 55
Зарисского топология 23
S-значные точки предсхемы 29
Индекс пересечения дивизоров
107
кривых 106
обратимых пучков 107
Иррегулярность поверхности 99
Канонические отображения 214
Картье дивизор 84
эффективный 85
Касательное пространство За-
Зарисского 40
Квазикогерентиый пучок 54
Квазикомпактное множество 26
Класс дивизоров 85
Когерентный m-регулярный пу-
пучок 125
— пучок на нётеровой схеме 57
Кольцевая схема 199
Кольцевой объект категории
198
Кольцо усеченное степенных
рядов 200
Компонента пространства 58
Конечный морфнзм 57
— объект категории 33
Конструкция Тейхмюллера 202
Кривая 101
— полурегуляриаи 183
— эллиптическая 105
Линейная система 12
Линейно эквивалентные диви»
зоры 86
— — кривые 13

Указатель
233
Локальное уравнение дивизо-
дивизора 84
Локально окольцованное про-
пространство 23
— свободный пучок ранга г 49
Многообразие иад полем 97
— неособое 100
— нормальное 100
Морфнзм конечного типа 26
— конечный 57
— предсхем 25
Неособое многообразие 100
Неприводимое подмножество в
предсхеме 23
Нормальное многообразие 100
Носитель дивизора 85
Обильный пучок 98
Обратимый пучок 44
Общая точка множества 23
Окольцованное пространство 22
Операция Бокштейна 225
Операция «А» 58
— <~»53
Относительная степень кривой
109
пучка 109
Относительный дивизор 95
Очень обильный пучок 98
Плоская (строго) Л-алгебра 32
Погружение схемы 55
Подсхема 55
Полиномы Витта 203
Пред многообразие над полем
27
Предсхема 22
— абсолютная 34
— алгебраическая над полем
26
— групповая 34
— редуцированная 27 ч
Предсхеиы функтор точек 28
Проективная схема 97
Проективное пространство 43
Проективный спектр градуиро-
градуированного кольца 43
Пространство /у 40
— касательное к схеме 40
— локально окольцованное 23
— окольцованное 22
Пучок квазикогерентный 54
— когерентный на нётеровой
схеме 57
т-регулярный 125
— конечной Тог-размерноста 58
— локально свободный ранга г
49
— обильный 98
— обратимый 44
— очень обильный 98
— плоский 58
Разбиение пучка 81
Разбиения схемы 76
Размерность схемы 97
неприводимой 97
Расслоенное произведение 35
Редуцированная предсхема 27
Род арифметический 99
— геометрический 99
Семейство кривых 111
— обратимых пучков 111
Система линейная 12
Слой морфнзм а 38
Спектр проективный градуиро-
градуированного кольца 43
Степенных рядов усеченное
кольцо 200
Степень кривой относительная
109
— пучка относительная 109
Строго плоская /4-алгебра
32
— устойчивый 0-цнкл 168 ,
Схема 40
— абсолютная кольцевая 199
— аффинная 23
— Витта 203
универсальная 209
— кольцевая 199
— нётерова 56
— проективная 97

234
Указатель
Тейхмюллера конструкция 202
Топология Зарисского 23
Универсальная схема Внтта
209
Уплощающие разбиения 75
Уравнение -дивизора глобаль-
глобальное 85
локальное 84
Усечення 212
Усеченное кольцо степенных
рядов 200
Устойчивый строго 0-цикл 168
Функтор точек грассманиана
51
предсхемы 28
Функторы Curves ? и Pic ? 111
Характеристическое отображе-
отображение 180
Цикл нульмерный на поверхно-
поверхности @-цнкл) 164
^-независимый 164
Эллиптическая кривая 105

Оглавление
От редактора перевода 5
Предисловие 7
Лекции 1. Кривые иа поверхностях; примеры и постановки
задач • . . . 11
Лекция 2. Основная проблема существования и два анали-
аналитических доказательства . . 17
Лекция 3. Предсхемы и связанные с ними .функторы точек* . 22
Лекция 4. Использование .функтора точек 31
Добавление к лекции 4. О представимых функторах и
касательных пространствах Зарисского 40
Лекция б. Proj и обратимые пучки 42
- Добавление к лекции 5 51
Лекция 6. Свойства морфнзмов и пучков 53
Лекция 7. Обзор теории когомологий когерентных пучков
на Р„ 65
Лекция 8. Уплощающие разбиения 75
Лекция 9. Дивизоры Картье 82
Лекция 10. Функториальиые свойства эффективных диви-
дивизоров Картье -. 90
Лекция 11. Возвращение к классическому случаю 97
Лекция 12. Полная классификация кривых на поверхностях 105
Лекция 13. Линейные системы н примеры 113
Добавление к лекции 13 122
Лекция 14. Некоторые-теоремы об обращении в нуль . . . 124
Лекция 15. Универсальные семейства кривых 130
Лекция 16. Метод схем Чжоу 136
Лекция 17. Хорошие кривые «....,. 144
"екция 18. Теорема об индексе пересечения . .' 152

236 Оглавления
Лекция 19. Схема Пикара: общие замечания 157
Лекция 20. Независимые 0-цнклы на поверхности 164
Лекция 21. Схема Пикара: вывод 170
Лекция 22. Характеристическое отображение семейства
•кривых 176
Лекция 23. Основная теорема по Кодаире -г Спенсеру ... 183
Лекция 24. Строение морфизма Ф 187
Лекция 25. Основная теорема по Гротендику — Картье . . 194
Лекция 26. Кольцевые схемы. Схема Витта 197
Добавление к лекции 26 219
Лекция 27. Основная теорема в случае характеристики р . 223
Литература 229
Указатель 232
Д. Мамфорд
ЛЕКЦИИ О КРИВЫХ НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Редактор Я. Плужникова
Художественный редактор В. Шаповалов
Технический редактор А. Резоухова
Корректор Л. Т. Чучукияа
Сдано в производство 22/ХП 1967 г. Подписано к печати 11/VII 1968 г.
Бумага тнп. J* 3 84хЮ8'/м-3,69 бум. л.| усл. печ. л» 12,4. Уч.-изд. л. 10,37.
Изд. № 1/4423. Цена 72 коп. Темплан 1968 г. изд -ва «Мир», пор. }¦ 29.
Заказ J* 1019.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома Комитета по печати прн Совете Министров СССР.
Измайловский проспект. 29,