/
Text
Р. Уокер
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
КРИВЫЕ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
А. И. У 3 К О В А
и*л
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва—1952
ALGEBRAIC CURVES
by
R. J. WALKER
PRINCETON, NEW JERSEY
1950
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга Уокера является введением в алгебраическую геомет-
геометрию в той ее части, которая связана с кривыми линиями. Две
первые главы содержат все сведения из алгебры и проективной
геометрии, необходимые для дальнейшего чтения книги, а делают
ее доступной студенту второго курса университета. В третьей
главе рассматриваются вопросы, связанные с особыми точками
и точками пересечения алгебраических кривых. В последнем
параграфе этой главы доказывается, что любая алгебраическая
кривая квадратическими преобразованиями может быть обращена
в кривую, имеющую лишь кратные точки с различными каса-
касательными. Четвертая глава посвящена степенным рядам и их при-
приложениям. Здесь полностью решается вопрос об определении
кратности точки пересечения алгебраических кривых, доказы-
доказывается в полном объеме теорема Безу об общем числе точек пере-
пересечения двух кривых. Заканчивается эта глава теоремой Нётера
о кривой, проходящей через все точки пересечения двух данных
кривых. Пятая глава содержит изложение вопросов, связанных с
рациональными и бирациональными преобразованиями. В этой же
главе рассматриваются пространственные кривые, определяемые
первоначально как образы плоских кривых при бирациональных
преобразованиях. Заключительная глава вводит читателя в круг
идей, связанных с бирациональными инвариантами кривой.
Как правило, автор лишь постепенно подводит читателя к бо-
более абстрактным понятиям. Он начинает с самых простых пред-
представлений об излагаемом предмете, постепенно знакомя читателя
с возникающими при его изучении трудностями и делая, таким
образом, естественным введение в дальнейшем аппарата, необ-
необходимого для преодоления этих трудностей. Так, при подсчете
числа точек пересечения двух кривых сначала считаются лишь
геометрически различные точки (гл. III), для их числа докаэм-
Предисловие переводчика
вается ослабленная теорема Везу в виде неравенства, и лишь за-
затем, когда читатель сам начинает испытывать неудовлетворенность
от неумения считать каждую точку с необходимой кратностью,
вводится аппарат (гл. IV), позволяющий легко дать надлежащее
определение кратности точки пересечения, а также связать «крат-
«кратную» точку кривой с несколькими «ветвями», имеющими центры
в этой точке.
Автор разбирает большое количество конкретных примеров
и, кроме того, приводит много задач для самостоятельных упраж-
упражнений. Эти задачи не трудны, но требуют от читателя полного
понимания изложенного в тексте материала, причем их решение
должно привести к надежному овладению сообщенными методами.
Некоторые параграфы сопровождаются, помимо вычислительных
задач, еще. несколькими теоремами, которые предлагается до-
доказать читателю с помощью приемов, применявшихся автором.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Эта книга написана в качестве первоначального введения
в алгебраическую геометрию. Материал и метод изложения выбра-
выбраны в соответствии со следующими требованиями: 1) возможная
элементарность изложения, 2) введение в изложение некоторых
современных алгебраических методов подхода к проблемам ал-
алгебраической геометрии и раскрытие связей этих методов
с более старыми аналитическими и геометрическими методами,
3) демонстрация применения общих методов к частным геометри-
геометрическим вопросам. Эти требования привели к выбору материала,
концентрирующегося вокруг бирациональных преобразований
и линейных рядов на алгебраических кривых.
Опыт преподавания показал необходимость предварительного
изложения некоторых сведений из алгебры и проективной гео-
геометрии. Это сделано в первых двух главах. Включение указан-
указанного материала делает изложение почти полностью независимым
от других источников.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Ниже указаны страницы, где дается определение символов
(или впервые появляется соответствующий символ). Отрицание
соотношения записывается косой чертой, проведенной через вы-
выражающий это соотношение символ. ч
а ? S—а есть элемент S, 7
Fn—однородный много-
многочлен степени п, 34
... —элементы К (t)' или
K(tf, 1И
.—элементы
Ф, в,
AID В, BdA—А содержит В, 7
а~Ь—а эквивалентен Ь, 9
оо—значение параметра,
56 •
со—порядок степенного
ряда, 106
о | Ъ—о есть делитель Ъ, 19
а\Ь—а не является дели-
делителем Ъ, 21
|aj|—определитель, 16"
| A J — полный ряд, опреде-
-"""- ляемый циклом, 196
D [xlt ... , хг] — кольцо многочленов
над D, 18
D [х]' — кольцо степенных
рядов неотрицатель-
неотрицательного порядка, 105
К[х]* — кольцо дробно-сте-
дробно-степенных рядов не-
неотрицательного по-
порядка, 116
К (%i хг)—поле рациональных
функций над К, 18
К (х)' — поле степенных ря-
рядов, 105
К (х)* — поле дробно-степен-
дробно-степенных рядов, 115
К (8,, ... , ег) — поле,' порожденное
«1 0г, 147
/' (ж)—производная, 27, 110
производ-
производная, 28
Нумерация теорем и формул— последовательная по каждому
параграфу. Ссылка «теорема 3.5» означает: теорема 5, §3 той же
главы, в которой ссылка помещена. Если теорема содержится
в другой главе, указывается и глава. Например, «теорема
IV—3.5» означает: теорема 5, § 3, гл. IV.
—сопровождающие
многочлены или кри-
кривые, 210
Ап—re-мерное аффинное
пространство, 55
й% — дифференциал, 206
gn—линейный ряд по-
порядка п и размер-
размерности г, 190
К—основное поле, 39
К—канонический ряд,
207
О (/)—порядок степенного
ряда, 106
Of (9) — порядок рациональ-
рациональной функции на вет-
ветви, 155
OP(f)—порядок многочлена
на ветви, 126
Sn, SKn—n-iie]>noe проектив-
проективное пространство
над К, 42
2 —поле рациональных
функций на кри-
кривой, 152
fXl, fx—частная
Глава I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ
Как видно из самого названия, алгебраическая геометрия всег-
всегда связана с существенным использованием алгебры. С течением
времени алгебраический аппарат' занимает в ней все более и бо-
более важное место, и к настоящему времени значительная часть
алгебраической геометрии стала, по существу, главой ^алгебры.
Поэтому безнадежно заниматься систематическим изучением
этого предмета без надлежащей алгебраической подготовки. Ма-
Материал этой главы подобран именно с целью обеспечения такой
подготовки. Мы не пытаемся здесь изложить полностью какую-
либо алгебраическую теорию и даем лишь те сведения, которые
будут необходимы в дальнейшем.
Более полное изложение рассматриваемых в этой главе вопро-
вопросов можно найти, например, в книге ван-дер-Вардена «Современ-
«Современная алгебра», т. 1 и 2, ГТТИ, 1947 г.
§ 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1.1. Множества. Во всех математических рассуждениях мы
интересуемся свойствами определенных классов объектов. Так,
в элементарной алгебре мы имеем дело, главным образом, с дей-
действительными числами, в планиметрии —с точками плоскости.
Говоря о каком-либо классе объектов, мы называем его множе-
множеством, а сами объекты — элементами этого множества. Если S —
некоторое множество, а а —объект, то знак а? S выражает, что а
есть элемент S. Знак a$S выражает, что а не является элемен-
элементом S.
Множество S называется подмножеством множества S', если
каждый элемент из S является также элементом S'. В этом слу-
случае пишут SdS' или S'ZDS. Например, если Si есть множе-
множество действительных чисел, S2 — множество всех целых чисел,
а ^д—множество, состоящее из одного числа 3, то мы имеем
">i ID uj ZD o^.
В силу нашего определения, каждое множество является под-
подмножеством самого себя. Необходимым и достаточным условием
того, "что два множества совпадают, т. е. состоят из одних и тех же
элементов, является TOf что каждое из рассматриваемых множеств
Гл. I. Предварительные сведения из алгебры
является подмножеством другого. Если мы хотим подчеркнуть,
что S есть подмножество S', но не совпадает с S', то мы гово-
говорим, что S — собственное подмножество S'.
Своеобразным множеством является пустое множество, вообще
не содержащее элементов. Это множество, очевидно, будет под-
подмножеством любого множества. Использование понятия пустого
множества удобно во многих рассуждениях.
1.2. Однозначные отображения. Под однозначным отображе-
отображением (или преобразованием) множества S в множество S' пони-
понимают любой закон, который каждому элементу а из S ставит
в соответствие определенный элемент а' из S'. Элемент а', соот-
соответствующий а, называется образом а при рассматриваемом
отображении. Отображение S в S' называется взаимно однознач-,
ним соответствием, если каждый элемент а' из S' соответствует
точно одному элементу а из S. В таком случае определено также
обратное отображение множества S' в S.
Привычные примеры отображений можно заимствовать из
аналитической геометрии. Пусть S есть множество всевозможных
пар (а, Ъ) действительных чисел, а ^' — множество точек эвкли-
эвклидовой плоскости* Тогда декартовы и полярные координатные си-
системы определяют отображения множества S в S'. Отображение,
определяемое любой декартовой координатной системой, является
взаимно однозначным. Отображение же, определяемое полярной
координатной системой, взаимно однозначным не будет. Отобра-
Отображения, связанные с проективными системами координат, будут
рассмотрены в гл. И.
В каждом из различных типов множеств, которые встретятся
нам в дальнейшем, будут определены некоторые соотношения меж-
между элементами или подмножествами. Отображение будет назы-
называться гомоморфным (или гомоморфизмом) по отношению к дан-
данной системе соотношений, если оно сохраняет эти соотношения,
т. е. если образы любых элементов удовлетворяют тем же соот-
соотношениям, что и сами элементы. Взаимно однозначное соответ-
соответствие, гомоморфное в обоих направлениях, называется изоморфиз-
изоморфизмом. Если множества S и S' имеют общее подмножество So и
если при некотором гомоморфизме S в S' каждый элемент из So
соответствует самому себе, то гомоморфизм называется гомомор-
гомоморфизмом над So. Например, если S есть множество комплексных
чисел, $! — множество всех действительных чисел, то отображе-
отображение, переводящее каждое число а-\-Ы в а, является гомоморфиз-
гомоморфизмом S в Si над Slt сохраняющим аддитивные соотношения
между элементами.
Если два множества изоморфны по отношению к некоторым
соотношениям, то, поскольку рассматриваются только эти соот-
ношения, бесполезно делать различие между этими множествами, и
§ 2. Области целостности и поля
мы будем часто рассматривать изоморфные множества просто как
совпадающие.
1.3. Классы эквивалентности. Когда мы говорим, что два
элемента а и b некоторого множества S равны, а = 6, это озна-
означает, что буквы а и b представляют один и тот же элемент из S.
Соотношение равенства между элементами множества (точнее,
между знаками, изображающими элементы) обладает следующими
свойствами:
1. Рефлексивность: а = а.
2. Симметрия: из а = Ь следует Ь = а.
3. Транзитивность: из а — b и Ь — с следует а = с.
Часто рассматриваются и другие соотношения, обладающие
теми же свойствами. Такие соотношения обы^яо называются
соотношениями эквивалентности. В качестве примера можно взять
множество S положительных целых чисел и назвать два элемента
из S эквивалентными, если их разность является четным чис-
числом. В таком случае свойства 1, 2 и 3 легко устанавливаются
проверкой.
Пусть ~ означает некоторое соотношение эквивалентности
между элементами множества S. Для любого элемента a?S
обозначим через Sa множество элементов из S, эквивалентных
элементу о. В силу свойства 1, будет a?Sa- Заметим теперь, что
для любых элементов а и b будет либо Sa — Sb, либо множества
Sa и Sb не имеют общих элементов. Действительно, если Sa и So,
содержат один и тот же элемент с, то с ~^ а и с ~ Ь, откуда сле^
дует, что а~й. Если теперь d?Sa, то d-~~a, откуда следует,
что d~i, а значит d 6 Sb- Поэтому Sa С <SV Но так как тем же-
путем получается, что SbdSa, то будет Sa — Sb- Поэтому мно>-
жество S оказывается разбитым на непересекающиеся подмноже-
подмножества Sa- Эти подмножества называются классами эквивалентности.
Равенство Sa~Sb имеет место тогда и только тогда, когда
а~Ь. Действительно, если а~ 6, то a?Sb, a так как a^Sa>:
то мы должны иметь Sa = Sb. Наоборот, если Sa = Sb, то agiSV,
а поэтому w-^b. Таким образом, соотношение эквивалентности^
между элементами S может быть заменено соотношением равен-
равенства между некоторыми подмножествами множества S. Этот прием
очень полезен, так как он освобождает нас от необходимости
вводить различные обозначения для различных соотношений
эквивалентности, которые мы встретим ниже.
§ 2. ОБЛАСТИ ЦЕЛОСТНОСТИ И ПОЛЯ
2.1. Алгебраические системы. Объектами, интересующими-
нас в элементарной алгебре, являются, главным образом, дей-
действительные числа. Замечательно, однако, что при этом мы не
10 Гл. I. Предварительные сведения из алгебры
обращаем внимания на природу этих объектов, а занимаемся
только их свойствами, т. е. способами, которыми эти объекты
могут комбинироваться, и соотношениями, которые при этом
получаются. Алгебраическая система общего тепа представляет
собою некоторое множество S, для которого указаны правила
или аксиомы, определяющие соотношения между элементами S.
Следующая система аксиом определяет важный тин алгебраи-
алгебраических систем, называемых полями.
Ах. Каждой упорядоченной паре а, Ъ элементов S поставлен
в соответствие определенный элемент из S, называемый суммой
а и Ь и обозначаемый а-\-Ь.
А2. a-\-b —
Аа. (a + b) + ( )
At. Существует такой элемент 0?S, что а + 0 —
для любого a?S. Элемент 0 называется нулем.
А5. Для любого элемента а из S существует такой элемент —я,
что a -j- (—- а) == — а + а =- 0. Элемент — а называется противо-
противоположным элементом для а.
АЛ. Каждой упорядоченной паре a, b элементов S соответ-
соответствует определенный элемент из S, называемый произведением
а и Ь и обозначаемый через аЬ или а • Ь.
Л7. ab — ba.
As. (ab)c~a(bc).
А9. Существует элемент и б S, и Ф 0, такой, что аи = иа — а
для любого a?S. Элемент и называется единицей.
А19. Для каждого элемента а Ф 0 из S существует такой
элемент а~1, что аа~1 = а~1а = м. Элемент а-1 называется обрат-
обратным для а.
Ап. a {b-\-c) — ab-\-ac; (b + с) а = Ьа + са.
Аи. Если-аб —0 и а Ф 0, то 6 = 0.
Так как множество действительных чисел удовлетворяет всем
этим условиям, то это множество является полем. Множество
комплексных чисел и множество рациональных чисел также
являются полями. Множество целых чисел не будет полем, так
как аксиома Ахо не выполнена. Остальные аксиомы в случае
множества целых чисел выполнены. ,
Множество, для которого выполнены аксиомы Аг, ..., А9, Лц,
А12, называется областью целостности.
Если ослабить условия еще более, оставив лишь условия
А1г ..., Ait As, Ап, то придем к понятию кольца. Кольцо
называется коммутативным, если выполнена также акси-
аксиома А7.
Множество, удовлетворяющее условиям Аи А3, Ait A&, назы-
называется группой.
Примеры. 1. Пусть множество S состоит из двух элемен-
элементов 0 и и со следующими правилами сложения и умножения:
§ 2. Области целостности и поля It
U + W = O, 0 + и =-11+0 = и,
Множество S есть поле.
2. Если в том же множестве S определить:
то S будет коммутативным кольцом, но не полем и не областью
целостности.
3. Совокупность квадратных матриц заданного норядка при
обычных правилах сложения и умножения является некомму-
некоммутативным кольцом.
4. Множество непрерывных функций, определенных на интер-
интервале — оо < х < -f- оо, является коммутативным кольцом. Будет ли
это кольцо областью целостности? ;>'
2.2. Области целостности. Наибольший интерес для алге-
алгебраической геометрии представляют поля и области цело-
целостности. Следующие свойства области целостности D вытекают
•непосредственно из аксиом (их доказательства мы опускаем).
D1. Элементы 0 и и являются единственными. Для каждого
a?D элементы —аи а~х однозначно определены.
ZJ- Для любого конечного множества аг, ..., ап элементов D
однозначно определена сумма 2 ц (или ]>] ait 2 аь если нет
опасности смешения). Она не зависит от порядка последова-
п
тельного образования попарных сумм. Произведение П сц также
однозначно определено.
В3. Если пх~ ...=ап = а, то пишут 2<н = па == an. В таком
случае п(та)~(пт)а, (na)(mb) = (nm)ab, n(a + b) — naJrnb,
(п + т) а — па + та. Каждое из этих соотношений остается спра-
справедливым, если заменить п и т, соответственно, на пи и та.
Поэтому, если в качестве множителя появляется положительное
целое число п, оно может быть отождествлено с элементом пи
из D. В частности, мы будем писать 4 вместо и. Этот же прием
может быть применен к отрицательным целым числам с помощью
соотношения ( — п)а-п(--а).
D4. Если Oj= ...--оп —о, то произведение Па{ обозна-
обозначается через ап. При этом имеют место обычные правила дей-
действий со степенями.
А>- (S <*i) B bi) • • • B Jfc) = 2 aibi ••¦lk> где последнее сум-
суммирование распространяется на все произведения указанного
12 Гл. I. Предварительные сведения из алгебры
вида. В частности, имеет место «формула бинома»
где
= -мт-—гл > 01 = 1, п\ — \ -2 .. . п.
De. Вместо а + (— Ь) обычно пишут а — Ъ. В таком случав
а( — Ь) — — (ab), ( — а)( — b) — ab, a{b — c) = db — ac и т. д. ,
2O. а0 = 0а = 0 при любом а. Это является причиной исклю-
исключения нуля в формулировке аксиомы Ai0.
De. Если ab=--ac и а Ф О, то 6 = с.
?)9. Если а = Ьс, то говорят, что а делится на Ъ. При этом
пишут с = а/b. Если 6^0 ис существует, то элемент с одно-
однозначно определен.
Ьго. Если для некоторого элемента а Ф 0 из Z) найдется такое
положительное целое число п, что па = 0, то nb = O при любом
6g Z>. Наименьшее число такого рода называется характеристи-
характеристикой' области целостности D. Если таких целых чисел не суще-
существует, то говорят, что D имеет характеристику нуль.
2.3. Поля. Поля обладают всеми свойствами, указанными
выше. Кроме того, они имеют еще следующие свойства:
Fx. Если ЬфО, то а/Ъ существует и равно а б. Имеют место
обычные свойства частных.
F2. Если принять, по определению, а~п = (а)™, то обычные
правила действий будут верны для степеней с любыми целыми
пока з ател ями.
_F3- Если поле имеет характеристику 0, то пи Ф 0 при п Ф 0.
Поэтому мы можем определить частное а/п равенством а/п — а/пи.
2.4. Гомоморфизмы областей целостности. Отображение
области целостности D в область целостности D' будет назы-
называться гомоморфным, если оно сохраняет сложение и умножение.
Другими словами, если а' и Ъ' — образы элементов а и Ь, то
образами а-\-Ъ и аЬ должны быть элементы а' -\-Ь' и а' Ъ'. Отсюда
следует, что образами а — Ь, а/Ъ, па будут а' — Ь', а'/Ь', па'. Для
того чтобы показать, например, что а—Ь отображается на а' — Ь',
положим с-а — Ъ. Тогда a — b + с, и поэтому должно быть
' Ь' + ' т. е. с' = а' — Ъ'.
2.5. Упражнения. 1. Характеристика любой области целост-
целостности является либо нулем, либо простым числом.
2. а) Каждое поле характеристики нуль содержит подполе,
изоморфное полю рациональных чисел.
§ 2. Области целостности и поля 13
б) Каждое поле характеристики 2 содержит подполе, изо-
изоморфное полю примера 1 из п. 2.1.
3. Пусть S — кольцо целых чисел и S'—поле примера 1 из
п. 2.1. Определим отображение S'в S' условиями
а —> 0, если а четное.
а —»• и,, е/ущ а нечетное.
Показать, что это отображение есть гомоморфизм.
4. Пусть К — поле, a iS" — множество всевозможных упорядо-
упорядоченных систем (а1; ..., а„), состоящих из п элементов поля К.
Определим в S сложение и умножение правилами
(аи . ..,an) + Fj, . ..,bn) = (fli4-bi, ¦¦¦,an-\-bn),
(«i ап) • (&!, . .., bn) = (Ci cn),
тде Ci = ^7{yitttJbft, a fyh — определенные элементы из К. В таком
S, к
«лучае S называется гиперкомплексной системой, или алгеброй
над К. Показать, что для любой алгебры выполнены аксиомы
Ai, ...,Ав, Ац. Алгебра будет коммутативной (т. е. будет удо-
удовлетворять условию A-i), если выполнены равенства Тоъ~ТШ-
Она будет ассоциативной (удовлетворять условию Ая), если
всегда
5. Показать, что поле комплексных чисел является алгеброй
ранга 2(п = 2) над полем действительных чисел, и определить
в этом случае значения «структурных констант» f.
6. Если S -^>S' — гомоморфное отображение поля S в кольцо
S', то либо все элементы S отображаются в нуль кольца S',
либо это отображение будет изоморфизмом S и некоторого под-
подмножества Sq кольца S'.
7. Показать, что аксиома Ai2 следует из Аъ ..., Аг1.
8. Показать, что система аксиом Ах, А3, Ai, A5 эквивалентна
следующей:
А^. То же, что' и At.
А^. То же, что и А3.
А\. Существует хотя бы один такой элемент 0 из S, что
= а для любого a?S.
А'6. Для каждого элемента а из S найдется хотя бы один
элемент —а, такой, что о + ( — а) — 0. (Прежде всего' показать,
что — ( — а) = а.)
14 Гл. I. Предварительные сведения из алгебры
§ 3. ПОЛЯ ЧАСТНЫХ
Один из способов определения поля действительных чисел
заключается в его построении из множества целых чисел путем
ряда последовательных расширений. Одно из этих расширений
состоит в переходе от целых чисел к рациональным, связанным
с рассмотрением каждого рационального числа, как упорядочен-
упорядоченной пары целых чисел. Этот же» прием может быть применен •
для расширения любой области целостности до поля.
Теорема 3.1. Для каждой области целостности D сущест-
существует единственное поле К1), называемое полем частных D, такое,
что
2. Каждый элемент поля К является частным двух элемен-
элементов ua D.
Доказательство. Поле К будет построено с помощью
приема, описанного в п. 1.3. Пусть S есть множество всех пар
(а, Ъ) элементов D, в которых ЬфО. Мы будем писать (а, Ь)~
~(е, d) тогда и только тогда, когда существуют неравные нулю
элементы р, а из D, удовлетворяющие равенствам pa — ос, pb = ad.
Очевидно, что определенное таким образом соотношение рефлексив-
рефлексивно, симметрично и транзитивно, так что оно является соотноше-
соотношением эквивалентности. Обозначим через S(a, b) тел асе эквива-
эквивалентности, содержащий нару (а, Ь), и определим сложение
и умножение з-тих классов формулами
S (а, Ь) + S (с, d) = S (ad + be, bd),
S(a, b)- S(c, d) = S(ac, bd).
Покажем, что множество К всех таких классов является полем
нужного типа.
Прежде всего, сумма и произведение двух элементов из К
однозначно определены. В самом деле, если
S(alt bJ-^Siaz, Ьг), S (cly dx) = S (c2, d2),
то мы будем иметь
Отсюда следует, что
!) В соответствии с соглашением, упомянутым в п. 1;2, это означает,
что любые два таких поля изоморфны.
' § 4. Линейная зависимость и линейные уравнения 15
и поэтому
S {ax, h) + S (cu dj) = S (а„ Ъ,) + S (е„ d2),
¦ S (elf 60 • 5 (с1( d,) = S (а„ 62) ¦ J (с„ d2).
Теперь аксиомы определения поля проверяются непосредствен-
непосредственно; в частности, мы находим, что классы S (О, Ь) и S (а, а)
являются нулем и единицей, а классы S ( — а, Ь) и S(b, a) —
противоположным и рфратным элементами для S(a, Ъ). Наконец,
отображение a—±S(a, 1) является изоморфизмом D и некоторого
подмножества из К, так что можно отождествить S(a, 1) с эле-
элементом а и рассматривать D как подмножество К. При этом
будет S (а, Ъ) — а/Ь, так что условие 2 также выполнено. Един-
Единственность К является непосредственным следствием условий 1
и 2. Действительно, если L — поле, удовлетворяющее условиям
1 и 2, то егор элементы являются частными элементов D. Легко
проверить, Ч11 о отображение а/Ь —* S (а, Ь) устанавливает взаимно
однозначное соответствие между элементами L и элементами К,
причем это соответствие будет изоморфизмом.
Эта теорема часто позволяет упростить решение задачи, так как
оперировать с элементами поля проще, чем с элементами произ-
произвольной области целостности. Пример этого можне найти в § 6.
§ 4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.1. Линейная зависимость. Так как в полях выполнимы
операции сложения, вычитания, умножения и деления с их обыч-
обычными свойствами, то любая алгебраическая теория, связанная
только с этими операциями, применима к произвольному полю.
В частности, это относится к вопросам линейной зависимости.
Ввиду того, что обыяные доказательства переносятся на случай
любого поля1), мы приведем здесь лишь сводку определений и
основных результатов.
Упорядоченные системы 2)
(а*, ..., я*), а = 1, 2, ...,'т,
элементов поля К называются линейно зависимыми (или просто
зависимыми), если существуют элементы Ьл из К, не все равные
нулю, удовлетворяющие условиям "
2btta*-0, » = 1,2 п. .
г) См., например, Курош А. Г., Курс высшей алгебры, ГТТИ, 1949 г.
(Прим. перев.)
2) В этом разделе значки сверху означают индексы, а не степени.
16 Гл. I. Предварительные сведения ив алгебры
Система (аъ ..., ап) называется зависимой от систем (а* а?)
((или комбинацией этих систем), если существуют такие ЪЛ?К, что
Основной теоремой о линейной зависимости является
Теорема 4.1. Системы
(а\, ..., о"), а==1 то,
являются зависимыми тогда и только тогда, когда матрица
11а? || имеет ранг, меньший чем т.
Из этого результата получается
Теорема 4.2. 1) При туп указанные выше системы
¦всегда зависимы.
2) Если заданы независимые системы (а*, .. ., а*), а= 1, . .., то,
ти<п, то найдется п — т таких систем (а*, ..., а*), а —то + 1,..., га,
что все системы (а*, ..., а*) будут независимыми.
4.2. Линейные уравнения. С линейной зависимостью тесно
•связана теория решений систем линейных уравнений. Нам будут
нужны следующие свойства решений таких уравнений:
Теорема 4.3. Пусть ранг матрицы ||ajj| равен г. Тогда
¦система однородных уравнений
п
2 eiач =¦¦(>, a=l т, . D.1)
-имеет п — r линейно независимых решений
Все остальные решения системы D.1) являются линейными ком-
комбинациями этих решений.
Теорема 4.4. Если определитель \а\\ = афО, то система
имеет единственное решение.
Это решение дается формулами
где А\ есть алгебраическое дополнение элемента а\ в определите-
-ле \а\\, деленное на сам определитель.
§ 5. Многочлены 17
§ 5. МНОГОЧЛЕНЫ
5.1. Кольцо многочленов. В элементарной алгебре выраже-
выражения вида х2 — 2х— 3 мы воспринимаем как «функции», а символ
х— как «переменную», могущую принимать некоторые числовые
значения. Однако формальные процессы сложения, умножения и
дифференцирования таких многочленов производятся вне какой-
либо связи с этим функциональным пониманием. Поэтому алгебраи-
алгебраическую теорию многочленов Можно развивать на чисто формаль-
формальной основе. Именно это мы и сделаем теперь.
Пусть /? —произвольная область целостности. Элементы D мы
будем называть постоянными или константами. Для каждого
упорядоченного конечного множества а0, ах, ..., ап констант мы
образуем выражение аох° + аххх + ... + ап хп. Такие выражения
мы будем называть многочленами от х над D. Символ х назы-
называется неизвестным или переменным. Он вводится лишь для
упрощения вычислений и не должен пониматься как элемент из D.
Множество всех многочленов от х над D обозначается через D [ж].
Два многочлена аох° + • • • + ап хп, Ьох° + ... + Ът хт, т^>п,
будут считаться равными, если а4=Ь< при ? = 0, ...,п, ?н~=0
при i — n-\-1, ..., т. При записи многочленов часто бывает
удобно опускать члены с нулевыми коэффициентами ai и писать
х1 вместо 1ж\ Многочлен, в котором все ai = 0, мы будем обоз-
обозначать как 0х°. Для краткости мы будем обозначать многочлены
одной буквой, а если требуется указать также и неизвестное,
будем пользоваться функциональным обозначением f(x).
Сложение и умножение многочленов определяется правилами:
(<Vc° + ... + а&") + (Ьох° +...+ Ъпх") --=
=-¦ К + К) х* + ... + (о„ + Ьп) х"
(число членов в обоих слагаемых можно считать одинаковым,
так как можно вводить члены с нулевыми коэффициентами)
(аохо +...+ апх") ¦ (Ьох° +...+Ътхт) =
= aobox° + (а^ + a1b0)x1 + (ао62 + а А + а2Ъ0)хг +...+" апЪт хт+п.
При этих определениях легко показать, что D[x] есть область
целостности, а многочлены 0*ж° и \х° — ее нуль и единица. Кроме
того, можно считать, что D [x] ZD D, так как множество много-
многочленов вида ах° образует область целостности, изоморфную D.
Если писать х вместо х1, то ж становится элементом 2) [я], так
что многочлены оказывается возможным рассматривать как
обычные, а не просто формальные, алгебраические выражения,
содержащие х.
Подобным же образом элементы кольца D [x, y] = D [х] [у]
можно рассматривать как образованные из двух элементов х
2 р. уокер
18 Гл. I. Предварительные сведения из алгебры,
а у с помощью умножений и сложений. С этой точки зрения
кольцо D[x, у] будет тем же самым, что и D[y, x].
Кольцо многочленов D [х1г ... , xr] or r неизвестных хл, ..., хг
определяется индуктивно
D [xi xr] = D [xu ..., xr_t] [xT].
Это кольцо однозначно определено, независимо от порядка х^.
Большинство свойств кольца D[xl7 . .., хг] при г > 1 можно
получить индукцией, рассматривая его как D' [хг], где
B'^D[Xu ...,xr-i].
Поле частных D [хг хг] обозначается через D{xt хт)
и называется полем рациональных функций от х1г ..., хг над D.
5.2. Алгоритм деления. Многочлен ай-\-а1х-{- ... -}-апхпт
в котором ап =1= 0, называется многочленом степени п. Нулевому
многочлену вообще не приписывается никакой степени. Степень
многочлена / обозначается знаком deg/.
Очевидно, что
, deg/2),
Многие свойства многочленов основаны на том факте, что
любой процесс, уменьшающий степень многочлена, может быть
повторен лишь конечное число раз. Следующая теорема устана-
устанавливает существование одного из процессов такого рода, назынае-
мого алгоритмом деления:
Теорема 5.1. Если fug. —многочлены, g Ф 0, то суще-
существует отличная от нуля константа а и два многочлена q и г,
удовлетворяющие условиям:
1. г либо равен нулю, либо deg r < deg g.
2. af^=qg + r.
Доказательство. Если deg/<degg, или/ = О, то пола-
полагаем а-—1, <7 — 0, r = f. Если g является константой, полагаем
a = g> 9 = /> '" = 0. Поэтому далее можно считать, что degg>0
и, применяя индукцию, предположить теорему верной, если
многочлен/ заменен многочленом низшей степени или нулем. Пусть
f g = 60+ ... + bmxm,
где и>т, а„Ьтф0. В таком случае либо
bmf-anxn-™g = O,
либо
~m g) < deg /.
Таким образом, мы будем иметь
а' (Ът f - ап хп~т g) = q' g + г,
§ 6. Разложение многочленов на множители 19
где г —0 или degr < degg. Поэтому
a'bmf-=(a'anxn-m + q')g + r,
что и доказывает теорему.
Имея в виду указанный процесс, говорят, что многочлен af
при делении на g дает частное q и остаток г. Внеся в доказа-
доказательство теоремы 5.1 небольшие изменения, мы покажем, что
если элемент Ьт имеет обратный, то можно взять а = 1. В част-
частности, это всегда можно сделать, если D является полем. ,
5.3. Упражнение. 1. Доказать существование в кольце целых
чисел алгоритма деления в следующей форме:
Если / и g — целые числа, g =t= О, то существуют целые числа
q и г, удовлетворяющие условиям:
1. /-==0 или |r| < \g\. • .
2. f= +
§ 6. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
6.1. Разложение на множители в областях целостности.
Одна из важнейших частей теории колец связана с возмож-
возможностью разложения элементов кольца на множители, т. е. выра-
выражения элемента в виде произведения двух или более элементов.
В этом разделе мы докажем известные свойства разложений
многочленов на множители.
Прежде всего дадим несколько определений. Пусть D — за-
заданная область целостности. Пусть a, b?D. Мы будем говорить,
что а есть делитель (или множитель) били что Ъ делится на а,
если существует c?D, для которого справедливо равенство b¦-—
— ас. Делимость b на а будем записывать знаком а\Ь. Непосредст-
Непосредственно видно, что
1) Из а
2) Из а
b, b\c следует, что а\с.
Ь, а\с следует а\\&Ь-{-§с) при любых a,
3) о | 0 при любом а.
4) Если b — ac, bj=Q то элемент с однозначно определен
элементами а и Ь.
Элемент е из D, имеющий в D обратный, называется дели-
делителем единицы. Элементы вида ае, где е —делитель единицы, на-
называются ассоциированными с о.
5) Делители единицы из D образуют коммутативную группу
относительно умножения.
6) Каждый элемент D делится на ассоциированные с ним,
а также на делители единицы.
Элемент называется неприводимым, если он делится только
на ассоциированные с ним и на делители единицы.
2*
20 Гл. I. Предварительные сведения из алгебры
Важнейшие в приложениях, кольца таковы, что в них имеет
место известная однозначность разложения на множители. Мы
охарактеризуем ее следующим образом: будем говорить, что
в области целостности D имеет место однозначность разложения
на множители, если:
А. Для каждого элемента а Ф О из D найдется конечное мно-
множество неприводимых элементов аъ- а2, •.. , аГ, произведение
которых равно а.
Б. Если di а2.. .аг= Ъх Ъ2.. .bs, где ai и ^ — неприводимые
элементы, не являющиеся делителями единицы, то r = s и мно-
множители могут быть перенумерованы так, что каждый <Zi ассоции-
ассоциирован с bi.
Условие А означает, что каждый элемент допускает разло-
разложение на неприводимые множители, а Б гласит, что такое раз-
разложение однозначно с точностью до ассоциированности множите-
множителей.
Наиболее известным примером области целостности с одно-
однозначным разложением на^шожители является кольцо целых
чисел. Следующий пример показывает, что существуют области
целостности без такой однозначности разложения. Пусть D состоит
из комплексных чисел вида а -\-b\f—3, где аи Ь — целые.
Тогда
Легко показать, что элемент 2 является неприводимым. А так
как в нашем кольце делителями единицы являются только +1
и —1, то условие Б не имеет места. В упражнении 7, ниже,
дан пример области целостности, в которой не выполнен!) усло-
условие А.
6.2. Однозначность разложения многочленов на множители.
Свойство колец с однозначностью разложения, с которым мы
будем, главным образом, иметь дело в дальнейшем, содержится
в следующей теореме:
Теорема 6.1. Если однозначность разложения на множи-
множители имеет место в области целостности D, то она имеет
место и в D [х].
Отсюда с помощью индукции получается
Теорема 6.2. Если однозначность разложения имеет место
в D, то она имеет место и в D[xu ..., хг].
Доказательство теоремы 6.1, ввиду его относительной слож-
сложности, будет разбито на ряд отдельных теорем. Всюду в даль-
дальнейшей части этого раздела будет предполагаться, что в D имеет
место однозначность разложения на множители.
Теорема 6.3. Если константа а является делителем мно-
многочлена /, то а есть делитель каждого из коэффициентов /.
§ в. Раалом&ние многочленов на множители 21
Доказательство. Если f=--bo + b1x-\-...-Jrbnxn и о|/,
то найдется такой многочлен g — c0Jrc1x-\-... -\-спхп, что ag = f.
Но отсюда следует, что aci=bi, i = 0 п, так что а есть
делитель каждого из h.
Теорема 6.4. Если а, Ь, с — константы, из которых а не-
приводима, и а) 6с, то либо а| 6, либо а\с.
Доказательство. Если а\Ьс, то найдется константа d,
для которой ad = be. Разлагая Ь, с, d на их неприводимые мно-
множители, будем иметь
adi... dr = b-y... bs C\ ... ct.
Отсюда следует,, что множитель а либо является делителем еди-
единицы, либо ассоциирован с одним из Ьх или q. Во всех этих
случаях либо а \ Ь, либо а \ с.
Теорема 6.5. Если а — неприводимая константа и a\fg,
где f> g?D[x], то либо a\f, либо a\g.
Доказательство. Пусть
bb ... +bnxn, g = co + c1x+ ...+cmxm
и пусть at/, a\g (знак a\f выражает, что о не является дели-
делителем /). Тогда найдется по меньшей мере один bit для которого
а\Ьс, пусть р — наименьшее значение i, при котором это имеет
место (при i < р будет а\Ь$. Подобным же образом пусть a\cq,
но а | Ci при i < q. Коэффициент при xp+Q в произведении fg есть
&0 CP+Q + Ь\ Ср-i-g-l -Г ... +bpCq+ ... + bp+q Co,
где 6{ = Cj = 0, если i > n, j' > т. Ввиду выбора р и q и в силу
теоремы 6.4, произведение bpcq не делится на а, а остальные
члены написанной суммы делятся на а. Поэтому вся сумма
не делится на а, и, следовательно, по теореме 6.3, a\fg.
Теорема 6.6. Пусть К — поле частных D. Если многочлен
f неприводим в D[x\, то он неприводим и в К[х].
Доказательство. Пусть / приводим в К[х], так что
f^g'h', g', h' gjfiT [x], причем ни g', ни А' не принадлежат К.
Выразим коэффициенты g' в виде частных элементов из D
и обозначим через а некоторое общее кратное знаменателей.
Тогда ag' — gx ? D [x]. Подобным же образом bh' = hx g D [х].
Поэтому abf~g1h1. Если теперь е —один из неприводимых мно-
множителей ab, то e\g1h1 и, следовательно, по теореме 6.5, будет
либо e\g1, либо e\hi. Таким образом, множитель е можно
исключить. Повторяя этот процесс, мы в конце концов получим
f — gh, где g, h?D[x], причем g и h не будут константами.
Теорема 6.6 сводит нашу задачу, по существу, к доказатель-
доказательству того, что в К [х] имеет место однозначность разложения.
Чтобы доказать это, нужен следующий важный результат:
22 Гл. I. Предварительные сведения из алгебры
Теорема 6.7. Если f,g?K[x], то существует такой
многочлен h?K[x], что
)|/, \g
2) Если k\f, k\g, то k\h.
3) Существуют многочлены А, В?К [х], удовлетворяющие усло-
условию h = Af + Bg.
Доказательство. Последовательным применением алго-
алгоритма деления (теорема 5.1) получаем
F.1)
где deg g > deg r^ > deg r2 > - -. . Так как степень многочлена
является неотрицательным целым числом, она не может бесконеч-
бесконечно убывать. Поэтому для некоторого р мы будем иметь гр+1 = 0.
Тогда последовательность равенств F.1) заканчивается так:
Докажем, что многочлен h = rp имеет требуемые свойства.
1) Из Гр_! = др+1/г следует /г|гр_1. Затем из гр_2 = qPrp-i + rp
вытекает h I гр_2. Продолжая тем же путем, получаем, что h I g,
h\f- ¦ , .
2) Пусть А |/, k\g. Тогда из rx-^f—q^g следует, что k\r1.
Далее из г2 — g — д^х следует, что k \ г2. Продолжая эти рассужде-
рассуждения, получим, наконец, k\h.
3) Начав с предпоследнего равенства и последовательно ис-
использовав предыдущие, будем иметь
= Гр-г — qp (гр-з — др-1Гр-2) =
^Af + Bg.
Элемент h, удовлетворяющий условиям 1 и' 2, называется
общим наибольшим делителем многочленов / и g. Из условий 1
и 2 следует, что h однозначно определен с точностью до ассоции-
ассоциированности. Последовательное применение алгоритма деления,
ишолъзованное в доказательстве теоремы 6.7. известно под на-
названием алгоритма Эвклида.
Теорема 6.8^ Если многочлены /, g, h?K[x], причем f не-
неприводим и f\gh, то либо f\g, либо f\h.
I б. Разложение многочленов на множители
Доказательство. Предположим, что /1gh, но f\g. Тогда
/ и g не имеют общих делителей, кроме элементов ноля К. В силу
теоремы 6.7 найдутся многочлены А, В?К[х], удовлетворяющие
условию 1 = Af + Bg. Тогда h = Afh -f- Bgh. Ho /1 gh, следовательно,
f\Afh + Bgh, т. e. f\h.
Теорема 6.9. Если многочлены f, g, h?D[x], причем f не-
неприводим и f]gh, то либо f\g, либо f\h.
Доказательство. Случай f?D охватывается теоремой 6.5,
так что можно предполагать, что / не является константой. В силу
теоремы 6.6, / неприводим в .ЙГ[я], следовательно, по теореме 6.8,
либо f\g, либо f\h в К[х]. Предположим, что h — fk, k?K[x].
Как видно из доказательства теоремы 6.6, найдется константа
a?D, для которой ak ? D [х]. Тогда ah^afk. Пусть е — один
из неприводимых множителей а, так что а = еах. Согласно тео-
теореме 6.5, должно быть е\ак, так как / неприводим и не является
константой. Отсюда следует, что dik?D[x], и поэтому a-Ji — aifk.
Рассматривая теперь аг таким же образом, как только что рас-
рассматривали а, мы можем продолжить исключение неприводимых
множителей. В конце концов будем иметь h = fk, где k?D[x].
Это и доказывает теорему.
Доказательство теоремы 6.1. Пусть f?D[x]. Если /
приводим, мы будем иметь / = /i f2, где f'v f'2^D[x] и ни один
из этих многочленов не является делителем единицы. Если один
из f[, /j приводим, можно представить его произведением мно-
множителей, не являющихся делителями единицы. Это разложение
можно продолжить и дальше. При каждом шаге мы либо пони-
понижаем степень одного из множителей, либо выделяем множитель
старшего коэффициента. Так как ни одно из этих действий
не может совершаться бесконечно, условие А будет выполнено.
Предпололшм теперь, что / = Д ... /r=gi ••• gs, где каждый
из множителей /,, gi неприводим. Тогда gi\fi • ¦ • fr, и, следо-
следовательно, в силу очевидного обобщения теоремы 6.9, g\\fi при
некотором i. Можно считать, что i= 1. Ввиду неприводимости
ё\ и /i> они должны быть ассоциированными, так что будет
иметь место равенство е/2 ... fr — gz ••• gs, где е —делитель
единицы. Продолжая это рассуждение, мы увидим, что каждый
из gi ассоциирован с соответствующим Д, так что условие Б
также удовлетворено.
6.3. Упражнения. 1. Применяя алгоритм деления, указанный
в упражнении 1 § 5.3, доказать существование общего наиболь-
наибольшего делителя двух целых чисел.
2. Доказать, что однозначность разложения на множители
имеет место в кольце целых чисел.
3. Для любого конечного множества flt ..., /п элементов К [х]
доказать существование общего наибольшего делителя h,
24 Гл. I. Предварительные сведения и» алгебры
определяемого условиями:
1) h\fu i'=l, ..., п., ^^
2) Если k\fi, i^-.l, ..., h>jo k\h.
Доказать также, что . \
3) Существуют gi?K [as], i — l\ ..., п, удовлетворяющие ус-
условию 2 gi/i — А. I .
(Применить индукцию по и).
4. Доказать, что для любого конечного множества ft, ...,/„
элементов области целостности Ь с однозначным разложением
на множители найдется такое^конечное множество попарно не ас-
ассоциированных неприводимых элементов Oi, a2t, ... из D, что
будут иметь место равенства /i = е< П я**ь в которых &ц — не-
неотрицательные целые числа, а е\ — делители единицы. Если
P, = mm(<X]j, aM, ..-), то элемент ЦаЬ является общим наиболь-
наибольшим делителем Д. ,.. *
5. Для любого конечного множества элементов flt ..., fn
области целостности D с однозначным разложением на множители
найдется элемент т из D, единственный с точностью до ассоции-
ассоциированности, удовлетворяющий условиям:
1) fi\m при всех i.
2) Если /i | п при всех i, то т ] п.
3) Если o^ = max(aw, a^-, ...) в обозначениях упражнения 4,
то те = е Пл/, гДе е —делитель единицы.
Элемент т, удовлетворяющий условиям 1 и 2, называется
общим наименьшим кратным элементов /,.
6. Если hum суть, соответственно, общий наибольший дели-
делитель и общее наименьшее кратное двух элементов / и g области
целостности с однозначным разложением на множители, то
hm = efg, где е — делитель единицы.
7. Пусть D состоит из всех выражений вида
где а0, ..., ak — целые числа, к, тъ ..., ть— положительные
целые числа и п — неотрицательное целое число.
Доказать, что: • '
1) При очевидных формальных определениях сложения и ум-
умножения элементов D, D будет, областью делостности.
2) Делителями единицы будут только ' ± 1.
7. Подстановка 25
3) Любой элемент D, для которого а0 — О, приводим.
4) ж не может быть представлен произведением конечного"
числа неприводимых множителей.
#§ 7. ПОДСТАНОВКА
7.1. Подстановка в многочлен. Всем знакома, операция под-
подстановки в многочлен некоторой константы вместо неизвестного.
Если
/ (ж) = а0 + ахх + ... + апхп € D [ж],
п
томы определяем значение /(а), как сумму ao + flia+ ...+а«й
при любом agZ). /(a) называется значением f(x) при х--а. Из
правил сложения и умножения многочленов следует, что если
f(x) + g(x) = h(x) и f(x)-g(x) = k{x), то /(a) + g(a) = A(o) и
/(а) • g(a) = fc(a). Таким образом, соответствие между f(x) и /(а)
определяет гомоморфное отображение кольца D [х] в область
целостности D (и нод D). Эта же операция, очевидног может быть
обобщена на случай многочленов от любого числа неизвестных.
Если /(ж) есть элемент поля ¦ЙГ(ж), то можно записать
/ (x)=g(x)/h(x), где относительно многочленов g(x) и h (x) можно
предполагать, что они не имеют общих делителей (кроме делите-
делителей единицы). В таком случае значения g(a) и А (о) определены
при любом а?К, и мы можем определить значение /(а) равен-
равенством /(a) = g(a)/A(o), если И(а)Ф0. В случае, когда А (о) —О,
значение /(о) не определено. Это обстоятельство делает подста-
подстановку в рациональные функции несколько более затруднительной,
чем в случае многочленов, так как необходимо все время иметь
в виду указанный исключительный случай. Подчеркнем, что
из равенства f(a)~O следует, что g(fl) = 0.
Иногда полезно несколько обобщить операцию подстановки.
Пусть/)'—область целостности, содержащая!). Тогда D'[x]ZDD[x]r
и при f(x)?D [ж] мы будем иметь / (ж) ? D' [ж]. Поэтому мы можем
подставлять в f(x) вместо х любой элемент а из D', причем
значение /(а) будет также принадлежать D'. Например, если
взять D' — D[x] и выбрать g(x)?D't то будет определено выра-
выражение f(g(x)), представляющее собой элемент D',
7.2. Корни многочленов; теорему об остатке. Константа a
называется корнем многочлена f(x)t если /(о) = 0. Этот факт
выражают также, говоря, что а есть корень уравнения f(x) = O.
Обратим внимание на то, что это «уравнение» не означает равен-
равенства^ обеих его частей, так как f(x) совсем не обязан быть нулевым
элементом кольца Х)[ж]. На языке элементарной алгебры это —
«условное равенство», в то время как здесь мы употребляем знак
равенства только в случае «тождеств». Хотя мы и могли бы
2E Гл. I. Предварительные сведения из алгебры
обойти эту двусмысленность в употреблении знака равенства,
применяя выражение «корень многочлена» вместо «корень уравне-
уравнения», все же лучше следовать обычной терминологии, особенно
когда мы будем говорить об «уравнении алгебраической кривой».
Основные свойства корней многочленов следуют из известной
теоремы об остатке: ¦ *
Теорема 7.1. Остаток при делении многочлена f(x) на дву-
двучлен (х — а) равен f(a).
Доказательство. Пусть f(x) = (x — a)q(x)-\-r, где г либо
нуль, либо имеет степень, меньшую, чем deg(x — a) = 1. Поэтому г
необходимо является константой. Подставляя теперь вместо х
значение а, получим r = f(a). ~
Из теоремы об остатке обычц^м образом получаются:
Теорема 7.2. а есть корень многочлена f(x) тогда и только
тогда/ когда (х — а) является делителем f(x).
Теорема 7.3. Многочлен степени п может иметь не боль-
больше п корней.
При изучении алгебраических кривых полезно следующее
обобщение теоремы 7.3 на случай мдогочленов от нескольких
неизвестных:
Теорема 7.4. Ecjuif(xlt ...,xr)^D[xu ...,xr] и f(alt ...,яг)=0
при произвольном выборе аг, .. ., аг из некоторого бесконечного
подмножества области целостности D, то /(яь ..., хг) = 0.
Доказательство. Из теоремы ,7.3 следует чаЛный случай
этой теоремы при г—Л. Поэтому можно применить индукцию.
Предположим, что теорема верна для многочленов от г— 1 не-
неизвестных. Пусть
f(xlt .. -., Xr) = fo + flXr+ ¦ ¦¦ +fnXr, П>0,
где fi?D[xlf ..., хг-\]. Если f-pO, то можно считать /п Ф 0.
Тогда, по предположению, /n(oi, ..., аг^г)ф0 при некотором
выборе ах, . .., аг_х из указанного бесконечного подмножества.
Отсюда следует, что может существовать не более п различных аТ,
при которых / (а,х, .. ¦, йг-1, «г) = 0, вопреки условию. Следователь-
Следовательно, f(Xx, ..., Хг) = 0.
7.3. Алгебраически замкнутые области целостности. Теоремы
§ 7.2 показывают, что никакое уравнение не может иметь «слишком
много» корней. С другой стороны, очевидно, что в некоторых
областях целостности существуют уравнения, вообще не имеющие
корней. Например, такими уравнениями будут 2х — 1 — 0 в кольце
целых чисел и х2 ¦+-1 — 0 — в поле действительных чисел. Важный
класс образуют такие области целостности, в которых каждый
многочлен имеет хотя бы один корень. Такие области целостности
называются алгебраически замкнутыми. Точнее говоря, область
целостности D называется алгебраически замкнутой, если для
i 8. Производные 27
любого f(x)CD [х], не являющегося константой, найдется такой
а?/>, для которого /(о) = 0. Алгебраически замкнутая область
целостности необходимо будет нолем, так как уравнение ах—1 = 0
имеет в ней корень при любом а Ф 0.
Так называемая «основная теорема алгебры» показывает, что
поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Это свойство
вместе с тем обстоятельством, что поле комплексных чисел имеет
характеристику 0, обусловливает большинство алгебраических
свойств поля комплексных чисел. В частности, мы увидим, что
любым полем, имеющим указанные два свойства, можно поль-
пользоваться вместо поля комплексных чисел на протяжении большей
части теории алгебраических кривых.
Из теоремы 7.2 обычным образом получается
Теорема 7.5. Если D алгебраически замкнута и если много-
многочлен f?D[x] имеет степень п, то существует однозначно опре-
определенная система констант аъ .,., ап, при которой
f(x) = a(x — a1) ... (х — а„), a?D
(ai не обязательно различны).
. 7.4. Упражнения. 1. Область целостности с конечным числом
элементов не может быть алгебраически замкнутой.
2. Показать, что определитель Вандермонда
1 xi х\, ..., х"~
1 х2х1 ..., хГ
г г2 огп~1
делится на х-х — х,, i=frj и поэтому равен Щ^Ч — #>)•
i>y
3. Доказать следующее обобщение теоремы 7.4: Пусть
/(«!, .. ., хг) многочлен над D, имеющий степень, не превышаю-
превышающую щ по каждому Х{. Пусть, кроме того, заданы следующие
подмножества D: S — любое подмножество D, содержащее больше
чем «! элементов; для любого а1 CZ S задано множество Sul из D,
содержащее более щ элементов; для каждого о2 С Sa задано мно-
множество ^a^j» содержащее более щ элементов, и т. д. Если
/(alf ,.., аг)=--0 при любых a1^S, a^^Sa^ Язб^а,, и т. д., то
§ 8. ПРОИЗВОДНЫЕ
8.1. Производная от многочлена. Производная от многочлена,
рассматриваемого как функция, определяется с помощью перехода
к пределу. Однако полученная при этом формула вообще не
28 Гл. I, Предварительные сведения из алгебры
содержит явного указания на такой процесс. Мы покажем сейчас,
что и чисто формальное применение упомянутой формулы дает
многие из свойств производных.
Определим производную по х от любого элемента
из D [х] посредством формулы
Частную производную от f(xlt ..., хг) по неизвестному xt можно
определить, рассматривая f(xx xT) как многочлен над
D[xlt ..., Xi-lt xi+1, ..., хг]. Нам будут нужны следующие
свойства производных:
1) (/-г-*)' = /'+§'•
2) если о —константа, то о'==0 и (о/)'==а/'.
4) f{gl(x), .... gr(x)Y
i
где fi(xlt ..., xr) — производная / по хг (i—1, 2 г).
Свойства 1 и 2 непосредственно следуют из определения.
Первая часть свойства 3 легко проверяется. Вторая часть свой-
свойства 3 получается многократным применением первой части этого
свойства. Свойство 4 может быть доказано прежде всего в случае,
когда / состоит из одного члена (с использованием свойства 3),
а затем — в общем случае (с помощью свойств 1 и 2).
В случае многочленов над областью целостности характери-
характеристики р Ф 0 производные обладают некоторыми нежелательными
свойствами. Это связано с тем, что в таком случае любой много-
многочлен вида о0 + а1жр + а2Ж2р+... имеет производную, равную
нулю. Поэтому в остальной части этого параграфа мы будем
считать, что D имеет характеристику нуль. Предположим также,
что в D имеет место однозначность разложения на множители.
Производные находят себе наиболее важное применение при
исследовании кратных множителей многочленов. Основной теоре-
теоремой в этом направлении является следующая:
Теорема 8Л. Если g неприводим и не является константой,
то g2\f в том и только в том случае, если g\f и g\f.
Доказательство. Если g\f, то f=gh, и, следовательно,
f=gh' + g'h. Если g\f, то g\g'h. Но так как degg'<degg,
то gig'. Поэтому g\h, g2|/, так как / неприводим. Обратно,
если. / = g2k, то /' = 2gg'k + gik'. Отсюда следует, что g \ f и g \ /'.
Важным частным случаем доказанной теоремы является
Теорема 8.2. (х — aJ\f тогда и только тогда, когда f(a) —
= /'(а) = 0 (получается из 8.1 с помощью 7.2).
I 8. Производные 29
8.2. Формула Тэйлора. п-я производная от / (х) определяется
индуктивно равенствами fn^ (x) — (f^n~l> (x))', fi°>~f. Таким же
образом могут быть определены частные производные высшего
порядка от }(хъ ..., хг). Частная производная от f(xlt ..., хт)
по xi будет обозначаться через df/dxit fX{ или через /i( причем
эти обозначения очевидным образом распространяются на про-
производные высших порядков. Легко проверяется соотношение
fij — fji, из которого следует независимость производных любого
порядка от последовательности дифференцирований.
Докажем теперь формулу Тэйлора:
Террема 8.3. Для любого многочлена f(x) степени п и для
•любой константы а имеет место равенство
...+ГЧа)(хаГ.
Д"оказательство. Пусть
f(x + a)=ao + axz+...+aTx«. (8.1)
ч /
Дифференцируя обе части этого равенства по х, получаем, в силу
свойства 4,
/' (х + о) = at + 2а2а? + ... + папхп~1,
Полагая теперь х — 0 в каждом из написанных равенств, имеем
а0 = / (а), в1 = /' (а) а„ = ± /(«) (а).
Подставляя эти выражения в (8.1) и заменяя х на х — а, полу-
получаем требуемый результат.
Эта теорема легко распространяется на многочлены от не-
нескольких неизвестных:
Теорема 8.4. Пусть f(xlt . .л , хг) б D[xx, ..., хг], аъ ..
... , ar?D. Если через /у... обозначить результат подста-
подстановки аъ ..'. , аТ вместо xlt ...,xf в частную производную f
по Х{, Xj, ... , то
f{xu ... , xr) =
и
30 Гл. I. Предварительные сведения из алгебры :
Доказательство. Пользуясь предыдущей теоремой, раз-
разложим F (t) = / (ах + (я — ai) t> ¦ • ¦ > ar + (x — ar) t) по степеням t.
Применив свойство 4, получим
Если положить t = l, то получится нужный результат.
8.3. Упражнения. 1. Обобщим определение производных
на случай рациональных функций. Свойства 1 — 4 будут иметь
место в том и только в том случае, если положить (f/g)' —
= (f'g-8'f)/g2-
2. Обобщить теоремы 8.1 и 8.2 на случай п-х степеней, вместо
указанных там квадратов. \
3. Обобщить теорему 8.2 на случаи области целостности лю-
любой характеристики.
§ 9. ИСКЛЮЧЕНИЕ
9.1. Результант двух многочленов. Задачей теории исключе-
исключения является указание условий, которым должны удовлетворять
коэффициенты системы многочленов для того, чтобы эти много-
многочлены имели общий множитель, не являющийся делителем еди-
единицы. Эта общая задача очень сложна, и мы будем рассматривать
лишь случай двух многочленов J). В таком случае один из воз-
возможных ответов на постоянный вопрос дается теоремой 6.7, так
как мы, очевидно, имеем:
Теорема 9. 1. Если К —поле и /, g?K[x], то f и g имеют,
непостоянный общий множитель в том и только в том
случае, если многочлен h, указанный в теореме 6.7, не будет
константой.
Из теоремы 6.6 следует, что рассмотрение многочленов над.
полем не будет здесь являться ограничением общности.
Теорема 9.1 позволяет в любом заданном случае сказать,
имеют ли два многочлена об^ций множитель. Она также позво-
позволяет найти этот множитель, если он существует. Однако ее
отрицательная сторона заключается в необходимости утомитель-
утомительных вычислений. Чтобы избежать их, мы приведем другой метод.
Пусть
f = ao + atx+ ...+anxn, апф0,
Ц=Ъ1)+Ъгх-\ + Ьтхт, Ьтф0,
*) См. В а н-д е р-Ва р д е н, Современная алгебра, т. 2, гл. 11, 19Л7.
§ 9. Исключение
31
примем коэффициенты этих многочленов принадлежат области
целостности с однозначным разложением на множители. Будем
предполагать, что в нашем распоряжении имеется способ разло-
разложения констант па множители, так что можно установить,
имеют ли / и g своим общим множителем константу. Поэтому
можно считать, что п, ?/г>1.
Теорема 9.2. / и g имеют непостоянный общий множи-
множитель тогда и только тогда, когда существуют ненулевые много-
многочлены ср и ф степеней, соответственно, меньших пит, для
которых ф/ — cpg.
Доказательство. Если / и g имеют непостоянный общий
множитель h, то / = Л<р> ё~Щ> и> следовательно, ф/ = <р#. Обратно,
пусть ф/ = <р#. Разложим g на неприводимые множители. Непо-
Непостоянные множители g или ассоциированные с ними много-
многочлены должны встречаться среди множителей ф/ Но они но
могут все быть среди множителей ф, так как degij;<degg.
Следовательно, хотя бы один из них будет среди множителей /,
так что / и g имеют общий множитель, отличный от кон-
константы.
, Теорема 9.3. / и g имеют непостоянный общий множи-
мгель тогда и трлъко тогда, когда
а0
b0
. .. ап
n-i ar,
а0
b0 . .. bm
= 0,
где в определителе берется т строк из «а» и п строк из «6»ь
Незанятые места заполняются нулями.
Доказательство. Мы докажем, что обращение этого
определителя в нуль необходимо и достаточно для существова-
существования многочленов (риф, указанных в теореме 9.2. Предположим,
что / и g имеют непостоянный общий множитель. Тогда [суще-
[существуют многочлены ср и ф, для которых tyf~<?g- Пусть
где хотя бы один оц Ф 0 и хотя бы один р« Ф 0. Из условия
32 Гл. I. Предварительные сведения из алгебры
^f = cpg следует,' что
Будем считать эти равенства однородными уравнениями
•с т-\-п неизвестными р1? .,. , лп. Мы знаем, что они имеют
ненулевое решение. Поэтому определитель из коэффициентов
должен быть равен нулю, (т. е. R — 0. Обратно, если Л — 0,
то эти уравнения имеют ненулевое решение (теорема 4.3)
в ноле частных D. Умножив на общий знаменатель всех <xi( p4,
получим решение в самом D, причем хотя бы один из <ц, §i
отличен от нуля. Если, например, один из оц не равен нулю, то
ср Ф 0, а так как мы имеем ф/ = cpg, то должно быть также ф ф 0.
Выражение R называется результантом многочленов / и g.
Результант многочлена и его производной называется дискрими-
мантом многочлена. Из теоремы 8.1 получается
Теорема 9.4. Многочлен над областью целостности характе-
характеристики нуль тогда и только тогда имеет непостоянный крат-
кратный множитель, когда его дискриминант равен нулю.
Важным следствием теоремы 9.3 является '
Теорема 9.5 Пусть D'ZDJD и /, g?,D[x]. Если fug
имеют общий множитель в D' [х], не принадлежащий D', то они
имеют также общий множитель в D [х], не принадлежащий D.
Доказательство. Рассмотрим / и g как элементы D' [х].
Тогда R, рассматриваемый как элемент D', должен обращаться
в нуль. Но в таком случае R как элемент D также должен обра-
обращаться в нуль. Следовательно, / и g имеют общий множитель
в /)[ж], отличный от константы.
Следующая теорема устанавливает важное выражение для
результанта:
Теорема 9.6. Существуют многочлены А и В степеней,
не превышающих, соответственно, т — 1 и п—1, такие, что
RA B
f g
Доказательство. Имеем
xf=
аохт~1 + + апхт+п~1,
+ ... +Ьтхт,
xg= box+ ... + bm_ixm + Ьтхт+*,
§ 9. Исключение 33.
Пусть Alt ... , Ат+п — алгебраические дополнения элементов
первого столбца результанта R. Умножим обе части i-го из на-
написанных уравнений на Ai и сложим соответствующие члены
при i=l, ... , т-\-п. Мы получим
~i)f + (Am+l
что и доказывает теорему.
9.2. Применение к многочленам от нескольких неизвестных.
Если многочлены /, g^DlXx, ... , хг], то мы можем рассматри-
рассматривать их как многочлены от хТ над D\xx, ... , av-i]'.
f(xu ... , xr)--=ao
... + bmx?,
где a4, bi?J)[xi, ... , a;r_i]. Если anbm ФО и n, m > 0, то резуль-
результант fug относительно xr будет многочленом R (xlt ... , xr-i).
Он обращается в нуль тогда и только тогда, когда / и g имеют
общий множитель, содержащий хт.
Пусть, теперь а1( ... , ar_i ?D. Рассмотрим R(au ... , ar_i).
Из определения R мы видим, что R(alt ... , ar_i) есть резуль-
результант многочленов f(alt ... , aP_t, xr) и g(alt ... , cir-ii xt)j если
только an{alt ... , ar_i) Ьт(аъ ... , aP) ф 0. Легко усмотреть
также, что если an(a1( ... , ar-i) = bm(a1, ... , <хг) = 0, то
jR(a1( ... , ar) =0 даже в том случае, когда /(аь ... , ar_ja;r)
и g(ai> •¦• . ar-i> *r) не имеют общих множителей. В даль-
дальнейшем мы часто будем иметь случай использовать эти свойства
результанта.
Позже нам понадобится такое следствие из теорем 7.4 и 9.6:
Теорема 9.7. Пусть область целостности D алгебраиче-
алгебраически замкнута, /, g^D[xl7 ... , хг], причем многочлен f непри-
неприводим. Если из равенства /(olf , аР) = 0 всегда следует
g(au ... , ar) = 0, то f\g.
Доказательство. Пусть сначала /€¦?>• Если fФО, то
утверждение следует просто из того, что D — поле. Если / = 0,
то, по условию, будет g(a) = 0 при любом выборе alt ... , аг,
следовательно, в силу теоремы 7.4, g — 0 и f\g. Таким образом,
можно предполагать, что
f^bo+b1xr+...+bnx", ktDlxu... , xr-i], Ьпф0, n>0.
Если при этом g — О, то f\g и нечего доказывать. Пусть
поэтому gфO. Предположим, что g$.D[xx, ... , xr-i]. Тог-
Тогда, по теореме 7.4, существуют такие alt ...', ar_i, что
g(au..., or_i) bn(alt..., аг-{)ф0. Так как область D алге-
алгебраически замкнута, уравнение /(olt ... , аг_4, жг) = 0 имеет ко-
корень аг. Но в таком случае существование системы значений
3 Р. Уокер
34 Гл. I. Предварительные сведения us алгебры
аъ ... , ar_i,ar противоречит нашему предположению, так что
не может быть g?D[xlt ... , #r_i]. Ввиду сказанного, мы
можем образовать результант R(xly ... , xr-i) для многочленов
fug относительно хг. В силу теоремы 9.6, R—Af + Bg, где
A, B?D[zlt ... , Xr-i]. Но из этого соотношения следует, что
равенство / (о) = 0 влечет за собой равенство R (а), — 0. Но так
как R?D[xly ... , :zr_i], то должно быть R = 0 (см. рассужде-
рассуждение выше). Отсюда следует, что fug имеют общий множитель
и, следовательно, f\g, так как многочлен / неприводим.
9.3. Упражнения. 1. Показать, что дискриминанты многочле-
многочленов ахг -(- Ьх + с и х3 + рх -f- q равны соответственно — о (?>2 — 4ас)
и Ар3 + 27<72.
2. Доказать, что
а0 flj а2 ... яп_1 ап
-X 1 0 ... 0 0
0 —X 1...0 0 =ao + ai~k+ ... + я„Хп.
0 0 0 ... -X 1
3. Доказать, что многочлен с действительными коэффици-
коэффициентами, имеющий комплексный корень, имеет также сопряжен-
сопряженный комплексный корень (применить теорему 9.5, беря в каче-
качестве D и D' поля действительных и комплексных чисел).
§ 10. ОДНОРОДНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
10.1. Основные свойства. Степенью отдельного члена много-
многочлена называется сумма показателей степеней, с которыми . со-
содержатся в этом члене переменные. Степенью многочлена назы-
называется наибольшая степень его членов. Многочлен называется
однородным, если все его члены имеют одну и ту же степень.
В дальнейшем для обозначения однородных многочленов мы
будем применять заглавные буквы. Если это нужно и удобно,
то индекс снизу будет указывать степень многочлена.
В качестве определения однородных многочленов часто берется
следующее их свойство:
Теорема. 10.1. Многочлен f(xu ... , хг) Ф 0 степени п
является однородным в том и только в том случае, если в
D[xi, . .. , xr, t] имеет место соотношение
f(txx, ... , txr) = tnf(xly ... , xr). A0.1)
Доказательство. Необходимость этого условия очевидна.
Для доказательства достаточности положим
§ 10. Однородные многочлены 35
где многочлен Fn. однороден и имеет степень щ(Рщ Ф 0).
В таком случае равенство A0.1) обращается в такое
Отсюда следует, что должно быть tni — tn при всех i, т. е. что
к — 1 и Tii —п.
Следующая теорема называется теоремой Эйлера:
Теорема 10.2. Если многочлен F(х1г ... , хг) однороден и
имеет степень п, то
Доказательство. Подставив tx^ вместо х\ в F, мы получим
F(tXl, ... , tar) = t*F(xi xr).
Дифференцируя это равенство по t, находим
/ dF \
где ( -д— ) — результат подстановки txlt ... , txr вместо xlt ... , xr
в -д—. Положив теперь t = l, получим требуемое.
Подобным же образом получается более общий результат:
Теорема 10.3. Если многочлен F(х1щ ... , хг) однороден и
имеет степень п, то .
2 Ц,"-*.^*, =n(n-l)...(n-s+l)F.
10.2. Разложение на множители. Однородные многочлены от
г -\-1 неизвестных ведут себя во многих отношениях подобно
неоднородным многочленам от г неизвестных. Эта особенность
однородных многочленов будет нам очень нужна в дальнейшем.
Пусть Fn?D[x0, ..., хг]. Выделим одно из неизвестных, на-
например х0. Если xo\Fn, то многочлен/^,... ,xr) = Fn(l,x1,.. .,хг),
вообще говоря, неоднородный, будет также иметь степень п.
Многочлены / и Fn будут называться соответствующими. Если
дан любой многочлен f{xx хТ) степени и, мы можем полу-
получить соответствующий ему однородный, вставляя надлежащую
степень л0 в каждый член /, степень которого ниже п.
Теорема 10.4 Если многочлены Fn и./ соответствуют друг
другу, то каждый делитель Fn соответствует некоторому дели-
делителю /, в наоборот.
Эта теорема непосредственно вытекает из следующей теоремы:
Теорема 10.5. Любой делитель однородного многочлена
однороден.
36 Гл. I. Предварительные сведения ив алгебры
Доказательство. Пусть Р-= fg, причем / не однороден.
Тогда морено записать
/ = Fi + F i+i + • • • + Р i+y,
где Fi Ф О, Fi+j ФО и / > 0. Подобным же образом
где Gft ^fc 0, Gh+i ф 0 и I > 0. Но в таком случае
F^fg = FiGh +,(Fi+1 G -I-FiGfe+1) + ... + Fi+J-Gk+l,
причем FiGft^O, Fi+jGb+i ф 0 и
deg F{ Gft ¦-¦= i 4- Л < ,i + / + Л +1 = deg Fi+/Gft+l.
Таким образом, jP" не будет однородным, вопреки предположению.
Следствием теоремы 10.5 является
Теорема 10.6. Однородный многочлен неприводим тогда и
только тогда, когда неприводим соответствующий ему неоднород-
неоднородный.
Теореме 9.3 соответствует в случае однородных многочленов
такая
Теорема 10.7. Однородные многочлены
G= Ьох
имеют отличный от константы общий множитель тогда и только
тогда, когда равен нулю их результант R.
Доказательство. Если ат — Ът = 0, то R = 0, причем
многочлены имеют общий множитель х0. В случае а„ Ьт Ф 0 мы
можем рассмотреть соответствующие неоднородные многочлены
и непосредственно применить теоремы 9.3 и 10.4. Если ап — 0,
Ьтф0, мы положим F = xqF*, где xo\F*, и применим тео-
теоремы 9.3 и 10.4 к многочленам, соответствующим F* и G.
Из выражения результанта в виде определителя легко следует,
что результант F* viG отличается от результанта F и G лишь
множителем ± $п- Поэтому требуемый результат получается
так же, как и в предыдущем случае. Подобным же образом мож-
можно рассуждать и тогда, когда апФ 0, Ьт = 0.
Теорема 10.7 в некоторых отношениях более удовлетворитель-
удовлетворительна, чем теорема 9.3, так как в однородном случае не нужно
налагать каких-либо ограничений на коэффициенты многочленов.
Это обстоятельство имеет место и в общей теории исключения1).
См. ван-дер-Варден, Современная алгебра, т. 2, §80, 1947.
> §10. Однородные многочлены 37
Теореме 7.5. соответствует
Теорема 10.8. Если область целостности D алгебраически
замкнута и Fn?D[x0, xt], то существует система п пар кон-
констант п{, bit для которой имеет место равенство
: Fn(x0, Xi)-=aU(aix1—biX0), аФО, a?D.
Эта система однозначно определена с точностью до ненулевых
множителей, общих в каждой паре.
Доказательство. Положим Fn — xlFn-r, 0 < г < п, где
х0 уже не является делителем Fn_r. Тогда многочлен Fn-r A> #i)
имеет степень п — r относительно хх и, по теореме 7.5,
У-1
Поэтому
Fn-r(x0, x1) = aU(x1 — bjx0).
Отсюда требуемое разложение Fn получается непосредственно.
Однозначная определенность системы пар следует из однознач-
однозначности разложения на множители в D[x0, Xx].
Отношение а : Ь, в котором о и b не равны одновременно
нулю, часто удобно называть корнем однородного уравнения
Fn(xo, Xj) — O, если Fn(a, b) — 0. Отношение pa'. pb при любой
ненулевой константе р считается тем же самым, 'что и а : Ь.
В таком случае теорема 10.8 может быть сформулирована так:
однородное уравнение степени п имеет однозначно определенную
систему п корней.
10.3. Результанты. Нам будет впоследствии нужна следующая
Теорема 10.9. Пусть
Gm — Вт + Вт-!Хг-\-... -\-Вох™,
где Аи Вг—однородные многочлены степени i относительно xlt ...,
..., Xr-i и АоВо ф 0. Тогда результант R(xt, ..., хг-г) мно-
многочленов F и G относительно хг либо равен нулю, либо является
однородным многочленом степени тп от х1г ..., хг-\.
Доказательство.
R(txu ...,
Ао
^ ... tB,. Во
tmBm
38 Гл. I. Предварительные сведения из алгебры
Умножим каждую г^ю строку из А на tm~l+l, а /-ю строку
из В—на tn~i+1. Получим
tn+mAn tn+m-1An-1 ... tmA0
tn+m-xAn ... t^Ax
tm+1Rm tB0
где р — т(т+1)/2 + п(п+1)/2 и q =
Поэтому будет выполняться равенство
R(txlt ..., txr-l) = tm*R(xl, ..., xr_x).
Требуемый результат вытекает отсюда в силу теоремы 10.1.
Из этой теоремы следует
Теорема 10.10. Пусть Д(ух уп, zx, ..., zm)—резуль-
zm)—результант многочленов
n m
П (x — tft), П (X — Zj)
относительно х. Тогда
-z,), афО, a?D.
Доказательство. Если в данных многочленах вместо ух
подставить zlt то эти многочленыЛ5удут иметь общий множитель.
Поэтому R должен при такой подстановке обращаться в нуль.
Следовательно, (yi — Zi) есть множитель R. Подобным же обра-
образом и (yi — Zj) будут множителями R при всех i и /, так что
П (Уг — Zj)\R- Но так как многочлены П (х — yi) и П (х— Zj)
•*, i
однородны и имеют соответственно степени п и т, то R — одно-
однородный многочлен степени тп. Многочлен П (.У\ — Zj) также одно-
i, 3
роден и имеет степень тп. Поэтому он может отличаться от R
только постоянным множителем. Этот множитель отличен от нуля,
так как R, очевидно, не равен тождественно нулю.
Глава II
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Геометрия имеет дело со свойствами пространств.
¦этой главы является ознакомление с основными свойствами про-
пространств тех типов, с которыми нам придется встречаться в даль-
дальнейшем. Как и в предыдущей главе, мы не будем пытаться дать
полное изложение предмета и рассмотрим только вопросы, имею-
имеющие бтношение к дальнейшему.
§ 1. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.1. Проективные системы координат. Термин «пространство»
имеет в математике множество смысловых оттенков. Мы не будем
давать здесь его общего определения. Тот частный тип про-
пространств, которым мы будем заниматься, известен под именем
проективных пространств. Из различных способов определения
этих пространств мы изберем здесь способ, наиболее прямо ве-
ведущий к обнаружению свойств, важных для алгебраической
геометрии. Он основан на использовании координатных систем.
Каждое проективное пространство связано с некоторым мно-
множеством S, элементы которого называются точками, и некоторым
полем К, называемым основным полем. Элементы поля называются
константами или числами, п-мерной проективной координатной
¦системой в множестве S над полем К называется соответствие
между точками S и упорядоченными системами из га + 1 чисел
(а0, Ох, ... , оп), удовлетворяющее условиям:
A. Каждая точка соответствует по меньшей мере одной системе
(а0, ..., ап), в которой не все о4 = 0.
Б. Каждая система (а0, ... , ап), в которой не все Oi = 0,
соответствует одной и только одной точке.
B. Системы (о0, ..., оп) и (Ьо, ..., Ь„) соответствуют одной
точке тогда и только тогда, когда существует число р Ф О, удовле-
удовлетворяющее соотношениям О{ — pbi, i = 0, ..., п.
Числа а0, .. ., ап любой из числовых систем, связанных
с некоторой точкой А, называются координатами этой точки
в заданной координатной системе. Для краткости вместо (о0, ..., оп)
мы будем писать (о4) или даже просто (о). По той же причине
40 Гл. II. Проективные пространства
мы будем говорить «точка (о)» вместо—«точка, координаты кото-
которой суть (а0, аг а„)>>.
Чтобы показать общность такого определения, приведем не-
несколько примеров проективных координатных систем. В некото-
некоторых из этих примеров в качестве элементов множества берутся
точки эвклидовой плоскости. При рассмотрении таких точек
удобно применять обычные декартовы координаты. Для отличия
их от проективных координат мы будем заключать декартовы
координаты в квадратные скобки.
Примеры. 1. S состоит из точек эвклидовой окружности
я2 + У2 — У ~ 0. В качестве проективных координат любой точки Р
окружности, отличной от трчки .А = [0, 1], возьмем пары чисел
(р, рх), где х—абцисса точки пересечения прямой АР с осью х,
а р—произвольное действительное число, отличное от нуля. Проек-
Проективными координатами точки А будем считать @, р), где р Ф 0.
Легко проверить, что этим действительно задана одномерная
проективная координатная система в множестве S над полЪм R
действительных чисел.
2. Пусть S состоит из всех точек [х, у] эвклидовой плоско-
плоскости, а также из некоторых «идеальных точек». Эти идеальные
точки соответствуют направлениям в плоскости и могут быть
определены как классы эквивалентности в множестве прямых,
если в качестве отношения эквивалентности взять параллельность.
С точкой [х, у] мы связываем проективные координаты (р, рх, ру)+
где р—отличное от нуля действительное число. Идеальной точке,
определяемой системой параллельных прямых ax-\-by-\-k = O,
мы ставим в соответствие проективные координаты (О, b — а).
В этом случае мы получаем двумерную проективную коор-
координатную систему над полем R действительных чисел.
3. Пусть S состоит из всех прямых, проходящих через фикси-
фиксированную точку эвклидова трехмерного пространства. В качестве
проективных координат любой из этих линий возьмем ее напра-
направляющие коэффициенты, т. е. любые три числа, пропорцио-
пропорциональные направляющим косинусам. Этим также определена дву-
двумерная проективная координатная система над полем R.
4. Пусть S состоит, во-первых, из внутренних точек круга
х*-\-у2=1 и, во вторых, из пар [х, у], [*-х, —у] диаметрально
противоположных точек его окружности. Если [х, у] — одна из
внутренних точек или одна из точек рассматриваемой пары, то
проективные координаты точки или пары мы определим тремя
числами (рх, ру, рA — ж2 — уг)), где р=^=0. Условие А, очевидно,
выполнено. Проверку условий Б и В мы оставляем читателю.
5. В каждом из приведенных выше примеров поле К было
полем действительных чисел. В качестве примера, связанного с
другим основным полем, возьмем такой: пусть К—поле из двух
элементов, определенное в примере 1, 1—2.1, a S—любое мно-
§ 1. Проективные пространства 41
жество, содержащее семь элементов. Тогда любое взаимно одно-
однозначное соответствие между элементами S и системами @, 0, и),
(О, и, 0), (и, 0, 0), @, и, и), (и, 0, и), (и, и, 0) (и, и, и) будет дву-
двумерной координатной системой в множестве S над полем К.
6. Проективная координатная система размерности 0 может
быть построена только в том случае, если множество S состоит
из единственной точки. Действительно, если (а) и (Ь)—любые
координаты, мы будем иметь о = р6, р = о6~1 (ведь ни о, ни Ь
не могут быть равны нулю I).
Приведенные выше примеры 2, 3 и 4 могут быть легко обоб-
обобщены для получения координатных систем с числом измерений,,
большим двух.
1.2. Эквивалентность координатных систем. Проективное-
пространство связывается не с одной координатной системой,
а с целым классом координатных систем. Чтобы дать определе-
определение проективного пространства, мы должны сначала рассмо-
рассмотреть одно отношение эквивалентности между координатными
системами.
Из заданной n-мерной координатной системы можно получить
) некоторые другие системы следующим путем. Пустьх) а\, i, j =
= 0, 1, ..., п — числа, подчиненные лишь тому условию, что<
определитель а = \ а) | ф 0. Тогда по заданной координатной
системе © можно определить другую координатную систему ©',
связывая с каждой точкой X координаты (у) посредством формул
y-.^aixi, A.1)
i
где (xi) — координаты точки X в системе ©. Из свойств линейных
уравнений (теорема I — 4.4) непосредственно следует, что при
этом будут удовлетворены условия А, Б и В.
Покажем теперь, что определенное так отношение между
системами © и ©' является отношением эквивалентности. Прежде
всего, полагая а) равными 1, если ? = /, и равными 0, если i Ф j,
мы видим, что это отношение рефлексивно. Далее, согласно тео-
теореме I — 4.4, существует преобразование, обратное преобразова-
преобразованию A.1)
iyi. A-2)
Здесь j А{ | = а'1 Ф 0, н поэтому формулы A.2) выражают симмет-
симметрию нашего отношения. Наконец, если система ©" определяется
*) На протяжении этой главы значки сверху—индексы, а не степени.
42 Гя,- II. Проективные пространства
по системе ©' формулами
то
где
c*=.
Здесь также | с* | = Ьа Ф О, т. е. рассматриваемое отношение тран-
зитивно.
Определим теперь п-мерное проективное пространство над
полем К, как множество S вместе с совокупностью всех эквива-
эквивалентных друг с другом проективных координатных систем над
нолем К в этом множестве. Такое пространство будет обозна-
обозначаться Sn или SKn, если мы хотим подчеркнуть роль основного
поля К. Под координатной системой в пространстве Sn мы всег-
всегда будем понимать одну из класса эквивалентных систем коор-
координат, связанного с Sn.
Смысл этого определения можно сделать более ясным, срав-
сравнив наш случай со случаем эвклидовой плоскости Е. С Е также
связаны некоторые координатные системы — декартовы. Имеются
и некоторые уравнения преобразований —уравнения параллельных
переносов и вращений, которые связывают декартовы координат-
координатные системы друг с другом. При рассмотрении геометрических
задач координатные системы используются только в качестве
инструмента и могут выбираться наиболее удобными примени-
применительно к каждой задаче.
Однако координатные системы играют и другую, более важ-
важную роль. Если пространство определено с помощью координат-
координатных систем, то многие свойства геометрических фигур в таком
пространстве также определяются, прямо или косвенно, через
координаты. Мы будем говорить, что алгебраическое условие,
связывающее координаты точек пространства, определяет геоме-
геометрическое свойство этих точек, если выполнение этого условия
в одной из координатных систем влечет за собой его выполне-
выполнение во всех эквивалентных координатных системах.
Рассмотрим опять эвклидову плоскость. Если (х1з уг)
и (ж2, г/а) —координаты точек, то условие х2 — хг = Ъ не опреде-
определяет геометрического свойства точек, поскольку оно, очевидно,
не будет выполняться одновременно во всех прямоугольных коорди-
координатных системах. Наоборот, соотношение (ж3—а^J + (г/2 — УгJ=2 5,
если оно верно в одной из таких систем, будет верно также
§ l< Проективные пространства 43
в любой другой и поэтому определяет геометрическое свойство
двух точек — то, что они отстоят друг от друга на пять единиц.
Те свойства фигур в пространстве, которые могут быть опре-
определены независимо от координатной системы, например общность
точек двух фигур, мы будем рассматривать как геометрические
свойства. Геометрия того или иного пространства имеет своим
предметом изучение связи между геометрическими свойствами
фигур в этом пространстве1).
Так как в дальнейшем нас интересует геометрия простран-
пространства Sn, существенно обратить внимание на то, какие из последу-
последующих определений инвариантны относительно преобразований
координатной системы. В некоторых случаях мы будем указывать
на это явно, но часто доказательство того, что введенное поня-
понятие имеет геометрический смысл, будем оставлять читателю.
В качестве примера геометрического свойства в проективных
пространствах рассмотрим двойное отношение четырех точек в S±.
Двойное отношение определяется выражением
где {х\, х\), i= 1, 2, 3, 4 —координаты четырех данных точек
в какой-либо координатной системе. Независимость г от коорди-
координатной системы мы можем доказать, подставив вместо аЛ их выра-
выражения через гЛ, получаемые из A.2), и проверив, что получае-
получаемое при этом выражение приводится к первоначальной форме,
в которой вместо координат ж* стоят соответствующие у*.
1.3. Примеры проективных пространств. Так как класс
эквивалентности определяется любым из его представителей, для
построения проективного пространства на данном множестве точек
необходимо указать лишь одну проективную координатную систе-
систему в этом множестве. Поэтому каждый из примеров п. 1.1 опре-
определяет проективное пространство. Пространство примера 3
является обычной проективной плоскостью (мы будем применять
термины «прямая» и «плоскость» в случаях пространств одного
и двух измерений). Пример 4 показывает способ представить
себе проективную плоскость как ограниченное подмножество
в эвклидовой плоскости. Пример 6 обнаруживает, что про-
пространство iSq состоит из единственной точки.
г) Это определение геометрии не совпадает с определением, данный
Ф. Клейном в его Эрлангенской программе. [См., например, Н. В. Ефимов,
Высшая геометрия, ГТТИ, 1949. (Прим. перев.)] Однако в случае проек-
проективной, эвклидовой и аффинной геометрий оба определения равносильны.
Принятое здесь определение в нашем изложении более естествеано.
44 Гл. II. Проективных пространства
Следует отметить, что одно и то же множество может послу-
послужить основой для нескольких проективных пространств.. Так,
если в примере 4 мы заменим выражение 1—ж* — у2, например,
на \/ 1-х2 — у2, мы получим пространство S2, отличное от пер-
первоначального, так как соотношение между координатными систе-
системами в этих случаях не может быть выражено формулами A.1).
Можно привести более сложные примеры, показывающие, что
одно и то же множество может быть основой проективных про-
пространств различного числа измерений.
1.4. Упражнения. 1. Если К — конечное поле, состоящее
из q элементов, то SKn содержит \-\-q-\- ...+qn точек.
2. Показать, что в случае поля К из двух элементов любое
множество S из трех точек служит основой единственного SKi.
Будет ли это верным в случае семи точек некоторого SK2?
3. Будем записывать двойное отношение четырех точек Pi, P%
и Р8, Р* (в указанном порядке) знаком (PiP2, PzP*)- Тогда:
;
3) Для четырех точек можно образовать менее шести различ-
различных двойных отношений только в следующих случаях:
а) Случай гармонических точек, когда г= —1, г/2, 2.
б) Случай эквигармонических точек, когда г имеет два зна-
значения, равные корням уравнения ж2 — 1 0
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
2.1. Линейная зависимость точек. Так как в заданной коор-
координатной системе точки пространства Sn представляются систе-
системами п + 1 чисел, к точкам можно применить понятие линейной
зависимости. Первое, что следует при этом отметить, это — неза-
независимость результатов от выбранной координатной системы. Дей-
Действительно, предположим, что точки РЛ, а=1, ...,т, будут
зависимыми, если рассматривать их координаты (ж?) в определен-
определенной координатной системе, т. е. что существуют числа с», не рав-
равные одновременно нулю и удовлетворяющие равенствам
2с«а;? = 0' ^ = ° п-
§ 2. Линейные подпространства 45
Если мы перейдем к другой координатной системе по формулам
A.1), то будем иметь
а . е, i i
т. е. точки Ра оказываются зависимыми и при рассмотрении
их координат (гф. Ввиду симметрии соотношения между рас-
рассматриваемыми координатными системами, линейная зависимость
в одной системе эквивалентна линейной зависимости в другой.
Поэтому о линейной зависимости точек можно говорить безотно-
безотносительно к координатной системе, и линейная зависимость точек
оказывается их геометрическим свойством.
2.2. Репер. Линейная зависимость позволяет дать интересную
и полезную интерпретацию координатных систем. Рассмотрим
системы чисел (aj, ..., ajj в равенствах A.1) как координаты
некоторых точек Р1 в системе ©'. В таком случае формулы A.1)
выражают зависимость точки X от точек Р°, Р1, ..., Рп, при-
причем координаты (х) точки X в системе © являются не чем иным,
как коэффициентами этой зависимости. Сами по себе точки
Р°, Р1, ..., Рп линейно независимы, так как |а*| Ф 0. Их коор-
координаты в системе <5 будут A, 0, 0 0), @, 1, 0 0), ...
..., (О, 0, 0, ...,1).
Наоборот, если (aj, ..., а^) — координаты (л+1) независи-
независимых точек jP1 в системе ©', то каждая точка X зависит от этих
точек, причем коэффициенты линейной зависимости будут коор-
координатами X в некоторой координатной системе ©.
Следует заметить, что система © определяется не самими
точками Рг, а значениями координат этих точек. Эта неопреде-
неопределенность в определении системы © обычно устраняется следу-
следующим путем: пусть Р* — точка, линейно независимая от любых
га точек Р°, Р1., ..., Рп. Тогда, если F0, ..., 6„) — координаты Р*
в системе ©, мы должны иметь bi Ф 0, ? = 0, ..., га. Переход
от одних значений координат точек Р1 в системе ©' к другим.
например от (aj) к (р{я*-), приводит к умножению 64 на 1/р<. По-
Поэтому существует единственный способ выбора pi, т. е. единствен-
единственный способ выбора значений координат Р* в системе ©', при
котором Р* имеет в качестве своих координат в системе © числа
A, 1, .... 1). Резюмируем этот вывод в виде
Теоремы 2.1. Если заданы п-\-2 точки Рг, Р* про-
пространства Sn, каждые га-f-l из которых независимы, то суще-
существует единственная координатная система ©, в которой коорди-
координатами этих точек будут: A, 0, О, ..., 0), @, 1, 0, ..., 0), ...
..., (О, 0, 0, .... 1), A, 1, .... 1).
46 Гл. II. Проективные пространства
Упорядоченная система и+ 2 точек Р\ Р* называется репе-
репером определенной указанным образом координатной системы <5.
Обычно выбор точки A, 1, ..., 1) («единичной точки») бывает
не очень важен. Наоборот, целесообразный выбор «вершин»
A,0, ..., 0), ..., @, 0, ..., 1) часто бывает очень полезен.
2.3. Линейные подпространства. Изучение геометрии про-
пространства состоит, главным образом, в обнаружении свойств
некоторых из его подмножеств. В случае проективных про-
пространств простейшие из таких подмножеств соответствуют пря-
прямым на плоскости или прямым и плоскостям в трехмерном про-
пространстве. Мы определим их с помощью линейной зависимости.
Рассмотрим подмножество S' точек пространства Sn, линейно
зависимых от г + 1 независимых точек РЛ, а. = 0, ..., г, того же
пространства. Построим в ?' проективную координатную систему.
Так как точки Р0- независимы, то, по теореме I — 4.2, 2, суще-
существуют п — г таких точек Pr+i Рп, что все точки Рй, ...,/>"
линейно независимы. Возьмем эти точки в качестве вершин
репера некоторой координатной системы в пространстве Sn. В та-
таком случае очевидно, что точка X = (х0,..., хп) пространства Sn
лежит в S' тогда и только тогда, когда av+i = ...= хп = 0.
Если поставить в соответствие точке X из S' систему чисел
(х0, ..., хг), это соответствие будет /•-мерной координатной
системой в S' над полем К и определит г-мерное проективное
пространство Sr, точками которого будут точки iS". Определенное
таким образом пространство Sr мы будем называть линейным
подпространством (или просто подпространством) простран-
пространства Sn.
Теорема 2.2. Система из г+1 независимых точек про-
пространства Sn лежит в одном и только в одном подпростран-
подпространстве размерности г.
Доказательство. По определению, г+1 независимые
точки Ра из Sn лежат по меньшей мере в одном г-мерном под-
подпространстве Sr. Пусть S'r — любое г-мерное подпространство .?„,
содержащее точки Ра. Заметим прежде всего, что ?г и S'r состоят
из одних и тех же точек. Действительно, так как точки РЛ
лежат в S'r, каждая их линейная комбинация также должна
лежать в S'r, откуда следует, что SrdSr. Обратно, каждая
точка S'r будет линейной комбинацией г-\-1 независимых точек Ра,
так что SrdSr. Пусть теперь X — точка подпространств Sr и S'r,
имеющая в этих подпространствах координаты (х0, ..., хг)
и B/о> •••,Уг)- По определению линейного подпространства, в Sn
существуют две координатные системы, в которых точка X имеет
своими координатами соответственно (х0, ..., хг, 0, ¦.., 0) и
(г/0, *.., уг, 0, ..., 0). Эти системы связаны уравнениями A.1).
Применяя эти уравнения к точкам подпространств Sr и «Sr, Для
§ 2. Линейные подпространства 47
которых av+i = •...= хп — Уг+i ~ • • • = Уп — 0, получим
Определитель | а\ \ не может быть равен нулю, так как, если бы
это имело место, независимые точки Р* оказались бы линейно
зависимыми в координатах (у). Это показывает, что координат-
координатные системы в Sr и S'r эквивалентны, так что рассматриваемые
пространства совпадают.
Для значений г = 1 и г— 2 эта теорема является проектив-
проективным аналогом известных предложений эвклидовой геометрии,
гласящих, что прямая определяется двумя ее точками, а пло-
плоскость—тремя неколлинеарными (т. е. линейно независимыми)
точками.
Теорема 2.3. Если Sr — подпространство пространства Sn,
то для любой координатной системы © в подпространстве Sr
найдется такая координатная система ©' в Sn, что координа-
координатами произвольной точки из Sr в системе ©' будут координаты
той же точки в системе ©, сопровождаемые п — г нулями.
Доказательство. Пусть Р0,..., Pr, P* — репер си-
системы ©. Выберем в качестве вершин репера системы ©' точки
Р°,..., Pr, Pr+i, ...,Pn, указанные в определении подпростран-
подпространства. Тогда каждая точка из Sr имеет своими координатами
в системе <5' числа (х0, . . .,хг, 0, ..., 0). В частности, коорди-
координаты точки Р* будут (р0, ..., рг, 0 0). Надлежащим выбором
«единичной точки» для системы ©' можно добиться, чтобы было.
Pi= I, i = 0, ...,г. Тогда координатная система ©0в множестве <Sr*
которая получится, если взять в качестве координат каждой точки
из Sr ее первые г + 1 координат в системе ©, будет иметь тот же
репер, что и система ©. Поэтому системы ©0 и © совпадают.
Теорема 2.3 оказывается полезной при исследовании даль-
дальнейших свойств подпространств. Одним из непосредственных ее
следствий является
Теорема 2.4. Точки подпространства ST пространства Sn
линейно зависимы в подпространстве тогда и только тогда,
когда они линейно зависимы во всем пространстве.
Такое свойство подпространств очень удобно, так как благо-
благодаря ему при рассмотрении линейной зависимости точек можно
в большинстве случаев не учитывать, в каком из подпространств
лежат эти точки.
2.4. Размерность. Так как и-мерное пространство Sn не может
содержать более га+1 линейно независимых точек, оно не может
содержать также подпространств с размерностью, большей п.
Sn содержит единственное подпространство размерности « — само
48 Тл, II. Проективные пространства
¦Sn. Подпространства Sn размерности п — 1 называются гипер-
гиперплоскостями в Sn. Таким образом, гиперплоскости в Sx будут
точками, в S2 — прямыми, в iSg —плоскостями.
Целесообразно рассматривать пустое множество как линейное
подпространство размерности — 1. Это условие согласуется с тео-
теоремой 2.2 и полезно. с точки зрения избежания необходимости
рассмотрения отдельных частных случаев в некоторых из даль-
дальнейших теорем (в частности, в теореме 2.8).
2.5. Соотношения между подпространствами. Рассмотрим
теперь соотношения между подпространствами данного простран-
пространства «У„.
Теорема 2.5. 1) Если Ss — подпространство Sr, a Sr — под-
подпространство Sn, то Ss — подпространство Sn.
2) Если Ss и Sr — подпространства Sn и если все точки Ss
лежат в Sr, то Ss — подпространство Sr.
Доказательство. 1) Непосредственно получается дву-
двукратным применением теоремы 2.3.
2) Двукратным применением теоремы 1 — 4.2 B) получаем
такие независимые точки Р°, ..., 7м из Sn, что Р°, . .., Ps лежат
в 5„, а />°,...,/"- в Д.. Беря эти точки в качестве вершин
реперов в указанных трех пространствах, мы видим, как и в до-
доказательстве теоремы 2.3, что при надлежащем выборе единич-
единичных точек в Sr и в iSe, координаты любой точки Sr (или Ss)
в пространстве Sn будут ее координатами в Sr (или в Ss), сопро-
сопровождаемыми п — г (или n — s) нулями. Рассматривая теперь
соотношение между координатами в Sr и в S,, видим, что
¦Ss — подпространство Sr.
Теорема 2.6. Если некоторое подпространство пространства
?п содержит г +1 независимых точек из подпространства ST,
то оно содержит все точки Sr.
Доказательство мы оставляем читателю.
Теорема 2.7. Для любого подмножества S из Sn суще-
существует единственное подпространство Sr наименьшей размерно-
размерности, содержащее S.
Доказательство. Пусть г-\-\ есть наибольшее число
независимых точек из S, а Р°, ...,/"" — одна из систем таких
точек. Обозначим через Sr подпространство, определяемое точками
Р°, ..., Рг (здесь г— —1, если множество S пусто). Тогда каж-
каждая точка из S будет линейно зависимой от точек Р°, .. .,РТ и
поэтому множество S будет лежать в Sr. Так как точки Р°, ...
,..,/"" независимы, они не могут лежать в подпро-
подпространстве меньшей размерности, чем г. Если теперь S'r — любое
подпространство размерности г, содержащее S, то оно должно
содержать также Sr, ибо оно содержит г + 1 независимых точек
последнего. Следовательно, S'r совпадает с Sr.
§ 2. Линейные подпространства 49
Sr называется линейной оболочкой (или просто оболочкой) мно-
множества S.
Теорема 2.8. Если подпространства Ss и St имеют линей-
линейную оболочку Sr, то общие точки подпространств Ss и St запол-
заполняют подпространство Ss+t-r.
Доказательство. Пусть максимальное число линейно
независимых общих точек Ss и St будет q~\-\ (<?= — 1, если Ss
и St вообще не имеют общих точек), а Р° Рч — одна из
систем таких точек. В силу теорем 2.5 и 2.6, подпространство Sq,
определяемое этими точками, будет подпространством как Ss,
так и Sf Более того, это подпространство ^ содержит все общие
точки Ss и St, так как в противном случае система линейно
независимых общих точек Р°, ..., Р« могла бы быть расширена.
Таким образом, множество общих точек Ss и St образует неко-
некоторое Sq; остается лишь доказать, что q — s-\-t — r.
Пусть QQ+i,..:,Qs и -RG+1, ..., i?' — такие точки соответ-
соответственно из Ss и St, что системы точек Р°, .. .,Pq, Qq+l, .. -,QS
и Р°, ...,Р9, R?+l, ...,Rl линейно независимы. Тогда система
всех точек Р, Q и R также линейно независима. Если это не так,
то должна существовать некоторая линейная комбинация точек R,
выражаемая линейной комбинацией точек Р и Q. Эта комбина-
пия должна быть точкой Sq, так как Д —точки из St, a P
и Q — точки из Ss. Поэтому такая комбинация должна выра-
выражаться также только через Р. Но это противоречит предполо-
предположению, что Р и R линейно независимы. Подпространство, опре-
определяемое точками P,Q,R, будет иметь размерность s-j-t — q и
будет являться линейной оболочкой Sr пространств Ss и St,<T. e.
r = s-\-t — q, или q — s + t—г.
Подпространство Sq, общее для Ss и St, называется пере-
пересечением этих подпространств, а линейная оболочка Ss и St назы-
называется также их объединением. Теорему 2.8 можно сформулиро-
сформулировать в следующем симметричном виде: сумма размерностей двух
подпространств равна сумме размерностей их пересечения и объ-
объединения.
Одним из важных следствий теоремы 2.8 является то, что
любые подпространства Sr и Ss пространства Sn имеют общее
подпространство размерности, не меньшей, чем r-f~s — п. Отсюда
следуют известные свойства пересечений прямых на плоскости
fi плоскостей и прямых в трехмерном пространстве.
Доказательство следующей теоремы, которая понадобится
в дальнейшем, мы оставляем читателю:
Теорема 2.9. Пусть ST и Ss —подпространства Sn,
Р°,...,РГ и Q0,..., Qs — линейно независимые системы точек
соответственно из Sr и из Ss. Тогда точки Р°, ...,РТ, Q0, ..., Qs
линейно независимы в том и только в том случае, если подпро-
подпространства Sr и Ss не имеют общих точек.
¦4 V. Уокер
50 Гл. II. Проективные пространства
2.6. Упражнения. 1. Если гиперплоскость из Sn не содержит
некоторого подпространства Sr, то она пересекает Sr по под-
подпространству Sr-i.
2. Пересечение г гиперплоскостей из Sn является простран-
пространством размерности >и — г.
3. Для любых координатных систем пространства Sn и под-
подпространства Sr соотношения между координатами произвольной
точки из Sr в этом подпространстве и ее координатами во всем
пространстве имеют вид
п
У* = 2 я*3*' а==0 г>
i=0
где матрица \\а\ \\ имеет ранг r-f-l.
4. Точки пространства St из примера 1, п. 1.1, являются
также точками пространства S2 примера 2. Будет ли St под-
подпространством. nSV
5. Бели К — конечное поле, содержащее q элементов, то число
различных подпространств Sr размерности г в пространстве SKn
равно
i
§ 3. ДВОЙСТВЕННОСТЬ
3.1. Координаты гиперплоскостей. Одна из наиболее инте-
интересных сторон проективной геометрии на плоскости состоит
в теории двойственности, которая показывает, что точки и пря-
прямые могут быть заменяемы друг, другом во всех предложениях
этой геометрии. Мы в состоянии показать теперь, что подобного
рода двойственность имеется также и* в любом пространстве Sn.
Первое, что мы сделаем, — это установим некоторую координат-
координатную систему для гиперплоскостей из Sn.
Рассмотрим некоторую определенную координатную систему
в Sn. Пусть тс — гиперплоскость, определяемая системой независи-
независимых точек РЛ =-(al), a —0, ... , и—1. В таком случае система
уравнений 2м'а? —0 имеет ненулевое решение (Ь1), единствен-
i
ное с точностью до ненулевого множителя (теоремы 1 — 4.1 it
I — 4.3). Так как каждая точка из тс линейно зависит от то-
точек Ра, то линейная форма S b'xi будет обращаться в нуль
г
для любой точки (ж) из тс. И наоборот, если задана любая си-
система д+1 чисел V, не равных одновременно нулю, то уравне-
уравнение 5j blXi — 0 имеет п независимых решений (at), a — 0, ... , п—1
и его остальные решения являются линейными комбинациями
3. Двойственность ' 51
этих. Отсюда следует, что ненулевые решения уравнения
2» Ь1Х{ = 0 в точности соответствуют точкам некоторой гиперпло-
гиперплоскости. Уравнение 2 b'xi = 0 называется уравнением этой гипер-
гиперплоскости, а коэффициенты б1 —ее координатами. Из определе-
определения координат гиперплоскости непосредственно следует, что эти
координаты удовлетворяют условиям А и Б, налагаемым на
проективные координаты. Условие В также выполнено: если
2 blXi = 0 и S c'xi = 0 — уравнения одной и той же гиперплоскости-
то эти уравнения должны иметь п общих линейно независимых
решений. Но это возможно лишь в том случае, когда ранг мат-
матрицы коэффициентов Ъг и с1 равен 1, т. е. когда &' = рс1 при.не-
при.некотором р -т= 0.
Множество гиперплоскостей пространства Sn, вместе с клас-
классом координатных систем в этом множестве, эквивалентных толь-
только что определенной, оказывается, таким образом, и-мерным
проективным пространством над полем К. Это пространство мы
будем обозначать через S*-
Построение пространства Sn было выполнено с помощью не-
некоторой заданной координатной системы в Sn. Покажем, что мы
всегда получим это же пространство, независимо от того, из
какой координатной системы в пространстве Sn мы будем исхо-
исходить. Пусть некоторая другая, координатная система в Sn опре-
определена соотношениями A.1) и пусть уравнения одной и той же
гиперплоскости в этих системах будут 2 Ъ*щ = 0 и $J c't/t = 0.
Точка (у) лежит на ъ тогда и только тогда, когда Л b'A{yj = 0.
Другими словами, уравнение гиперплоскости тс в системе (у)
должно иметь вид S (S klA\) У} — 0- Отсюда следует, что най-
i ' i
дется такое число р Ф 0, что
i
При этом |p4i| = pn+1a~1 Ф 0. Полученные равенства показывают,
что координатные системы для гиперплоскостей, определенные
с помощью координатных систем (ж) и (у) пространства Sn, экви-
эквивалентны между собой. Поэтому они определяют один и тот же
класс эквивалентных систем, а следовательно, одно и то же про-
пространство Sn-
3.2. Дуальные пространства. Пространство S% называется
дуальным для Sn. Обычно слово «дуальный» применяется в ма-
математике в смысле, симметричном относительно тех объектов,
к которым оно относится. Поэтому можно было бы ожидать, что
дуальным для S%, является Sn. Однако это, строго говоря, не так,
ибо элементами дуального пространства для S* будут гиперпло-
4*
52 Гл. II. Проективные пространства
скости в Sn, т. е. множества гиперплоскостей в Sn- Чтобы под-
подчеркнуть взаимность соотношения между Sn и Sn, мы будем
представлять себе элементы Sn не как подмножества из Sn, a
как индивидуальные объекты. В связи с этим мы будем гово-
говорить об инцидентности точки и гиперплоскости, вместо того,
чтобы сказать, что точка лежит в гиперплоскости. Из опреде-
определения пространства S%, видно, что каждой координатной системе
в Sn соответствует определенная координатная система в ?*.
Эти системы таковы, что точка Р = (fli) и гиперплоскость ic = (Ь')
инцидентны тогда и только тогда, когда ^аф1 =0. Координат-
Координатные системы, связанные таким образом, мы будем называть со-
соответствующими. Нетрудно видеть, что каждая координатная
система в S%, имеет соответствующую систему в Sn. Действи-
Действительно, пусть © и ©* — какие-либо соответствующие координат-
координатные системы в пространствах Sn и Sn, а ©* — любая система
в Sn. Координаты (?) и (¦»)') произвольной точки в системах
©* и @* связаны соотношениями
if = 2jai%,1, j = 0, . .. , п.
i
Если теперь определить систему ©г в пространстве Sn формулами
в которых Xi — координаты точки в системе <S, то система <3Х
будет соответствующей ддя ©*.
Если выражать отношение между пространствами Sn и S%
при помощи понятий инцидентности и соответствующих коорди-
координатных систем, то это отношение становится вполне симметричным.
3.3. Дуальные подпространства. Из предыдущих рассмотре-
рассмотрений следует, что гиперплоскости пространства Sn, являющиеся
точками одной гиперплоскости S а&1 = 0 пространства Sn, имеют
единственную общую точку, координатами которой в системе,
соответствующей (!'), будут (а{). Это обстоятельство является
частным случаем следующей теоремы:
Теорема 3.1. Гиперплоскости пространства Sn, содержа-
содержащие заданное подпространство Sr, образуют подпространство
^*_г_1 пространства Sn-
Доказательство. Будем применять соответствующие ко-
координатные системы в пространствах Sn и Sn- Пусть подпро-
подпространство Sr определяется системой независимых точек (а%),
а = 0, ... , г. Гиперплоскость (?) содержит все точки (а0-) тогда
и только тогда, когда
Set5f = 0. C.1)
i
^ § 4i Аффинные пространства 53
Так как точки (ал) линейно независимы, эти уравнения имеют
п — г независимых решений (?р), Р = 0, ..., п — г —1. Поэтому
решения системы C.1) будут давать именно те плоскости, кото-
которые линейно зависят от (?р), т. е. они образуют некоторое Sn-T-i-
Подпространство ?n_r-i называется дуальным для »УГ. Сле-
Следует четко различать термины «дуальное пространство для Sr»
и «дуальное подпространство для Sri> (рассматриваемого как
подпространство в пространстве Sn). Дуальное пространство
является проективным пространством размерности г и состоит
из гиперплоскостей в Sr, дуальное же подпространство имеет
размерность п — г — 1 и состоит из всех гиперплоскостей про-
пространства Sn, содержащих Sr. Хотя это применение сходных по
звучанию терминов несколько неудачно, оно редко приводит
к недоразумениям. Отметим, в частности, что дуальным подпро~
странством для Sn (рассматриваемого как подпространство са-
самого Sn) является пустое множество S-\.
Следующая теорема является просто двойственной теореме 2.1.
Однако она достаточно важна, чтобы быть явно сформулированной:
Теорема 3.2. Если задана система из я + 2 гиперплоско-
гиперплоскостей в Sn, каждые п +1 из которых линейно независимы, то
существует единственная координатг/ая система в Sn, в кото-
которой уравнения этих гиперплоскостей будут иметь вид
(в указанном порядке). .
Очевидно, что вершины репера такой системы будут лежать
в точках пересечения каждых п из плоскостей ^ = 0. Сами эти
плоскости будут «гранями» репера и будут линейными оболоч-
оболочками для вершин, взятых по п. . .
3.4. Упражнения. . Если заданы произвольные координат-
координатные системы в Sn и в S*, то существует такая система констант
а} с определителем |а}|, отличным от нуля, что точка (а4) и
гиперплоскость (V) будут инцидентными тогда и только тогда,
когда S <*} а№ =? 0.
i,;' ¦
2. Дуальными подпространствами для пересечения и объеди-
объединения двух подпространств из Sn будут, соответственно, объеди-
объединение и пересечение в Sn подпространств, дуальных для данных.
3. Подпространства Sr+i из Sn, содержащие фиксированное
Sr, могут рассматриваться как точки в iSV-r-1 (ср. с приме-
примером 3, п. 1.1).
( § 4. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
4.1. Аффинные координаты. При рассмотрении некоторых
задач алгебраической геометрии представляет определенное не-
неудобство то обстоятельство, что соответствие между точками и
54 Гл. II. Проективные пространства
системами значений проективных координат не является взаимно
однозначным. Поэтому мы определим другой тин координатных
систем, в которых будет иметь место взаимная однозначность
указанного соответствия.
Пусть а0, ... , ап — координаты точки Р и некоторой проек-
проективной координатной системе © пространства Sn. Если а0 Ф О,
то п чисел uJuq, ... , ап/а0 называются координатами. точки Р
в аффинной координатной системе, соответствующей системе ©.
Непосредственно получаются следующие свойства аффинной коор-
координатной системы:
А. Точка Р имеет определенные координаты в заданной аф-
аффинной системе тогда и только тогда, когда она не лежит на
гиперплоскости те, имеющей в соответствующей проективной си-
системе координат уравнение хо--0.
Эта гиперплоскость по очевидным соображениям называется
бесконечно удаленной гиперплоскостью рассматриваемой аффин-
аффинной системы. Вершина репера A, 0 0), не лежащая на беско-
бесконечно удаленной гиперплоскости, называется началом аффинной
системы. Прямые, соединяющие начало с остальными вершинами
репера, называются координатными осями.
Б. Аффинная координатная система определяет взаимно одно-
однозначное соответствие между точками множества Sn — те (т. е. точ-
точками Sn, не лежащими на те) и всеми упорядоченными системами
из « чисел.
Преобразование проективных координат A.1), при котором
уравнение х0 = 0 переходит в уравнение у0 = 0, может быть запи-
записано в виде
f=A,
Отсюда следует:
В. Если две аффинные координатные системы имеют общую
бесконечно удаленную гиперплоскость, то координаты в этих
системах связаны равенствами
п
У/=2а*ж*"Ь ^у> /—1> • • ¦¦ > w>
где I о} | Ф 0.
Наоборот, любая система уравнений такого рода определяет
переход от одной аффинной координатной системы к другой.
Аффинные системы координат, связанные указанным образом,
называются эквивалентными.
§ 4. Аффинные пространства 55
Множество точек Sn — тс вместе с заданным классом экви-
эквивалентных аффинных координатных систем образует п-мерное
аффинное пространство Ап над полем К:
4.2. Соотношение между аффинным и проективным простран-
пространствами. Мы определили аффинное пространство Ап как подмно-
подмножество Sn. Причина такого подхода заключается в том, что
мы будем интересоваться прежде всего проективными простран-
пространствами, а аффинные пространства будем использовать лишь как
вспомогательное понятие. Очевидно, однако, что пространство Ап
можно было бы определить тем же способом, что и простран-
пространство Sn, используя условия А, Б, В для определения надлежа-
надлежащих координатных систем и их преобразований. Исторически
аффинные пространства, являющиеся, по существу, эвклидовыми
пространствами с исключенными понятиями расстояния- и угла,
были известны задолго до проективных пространств. Сами ^проек-
тивные пространства были первоначально определены посредством
дополнения аффинных пространств «несобственными» или беско-
бесконечно удаленными точками.
4.3. Подпространства аффинного пространства. По самому
своему определению, .пространство Ап лежит в определенном Sn-
Однако каждое Sn содержит много различных пространств Ап,
так как любая гиперплоскость из Sn, очевидно, может быть
взята в качестве бесконечно удаленной гиперплоскости некото-
некоторого Ап. Мы увидим позже, что именно эта свобода выбора
позволяет с большим удобством использовать аффинные коорди-
координаты.
Пусть Ап — аффинное пространство в некотором Sn, тс— его
бесконечно удаленная гиперплоскость. Если Sr — линейное подпро-
подпространство Sn, не лежащее в тс, то пересечение Sr с тс будет ST-i,
т. е. некоторой гиперплоскостью тс' в Sr. Поэтому точками Sr,
лежащими в Ан, будут все точки из Sr — тс', причем это мно-
множество естественным образом можно рассматривать как определен-
определенное аффинное пространство АТ, Ат будет называться линейным
подпространством Ап. Свойства объединений и пересечений линей-
линейных подпространств в Аи не столь просты, как соответствующие
свойства в Sn. Это обусловлено существованием параллельных
подпространств, т. е. таких, которые при рассмотрении их в Sn
оказываются пересекающимися на бесконечно удаленной гипер-
гиперплоскости. Именно желание.избавиться от исключительных свойств
параллельных "подпространств привело к введению понятия
проективного пространства.
Подпространства пространства Ап могут быть определены
также с помощью понятия линейной зависимости. Однако сами
по себе аффинные координаты не приспособлены для такой цели,
56 Гл. II. Проективные пространства
и мы будем иметь мало случаев пользоваться ими в этой связи.
Следует лишь заметить, что гиперплоскости в пространстве Ап
определяются линейными уравнениями, но их уравнения не будут
обязательно, однородными. Это непосредственно следует из соот-
соотношения между проективными и аффинными координатами.
В пространстве An отсутствует двойственность. Например, две-
точки из Ап всегда определяют инцидентную с ними прямую,
а две гиперплоскости могут быть параллельными и поэтому
не быть инцидентными с каким-либо подпространством Л„_2.
4.4. Прямые в аффинном пространстве. Из вопросов, связан-
связанных с линейной зависимостью точек в аффинных координатах,
мы рассмотрим только зависимость между точками одной и той ж&
прямой. Если (а) и F) — проективные координаты двух точек»
то любая точка (х) соединяющей их прямой L (т. е. линейной
оболочки этих точек) определяется равенствами
Xi-^&i + tbu i=-0, ..., п, D.1>
в которых (s, t) могут рассматриваться как проективные коор-
координаты на L. Прежде всего мы введем аффинные координаты
на L и напишем
xi = ai + ubu i = 0,-..., n, D.2)
где и— аффинная координата. Точка (Ь) оказывается при этом
бесконечно удаленной и не может быть получена из формул D.2).
Во многих случаях удобно ввести фиктивное значение и, обозна-
обозначаемое знаком оо. Тогда точка (Ь) получится из формул D.2)
при и = оо. Запись и = оо в действительности означает, что мы
возвратились к уравнениям D.1) и положили s = 0, t фО.
Если мы введем аффинные координаты в Sn, то формулы D.2)
обратятся в такие:
Xi = (ai + ubi)/(ao + ubo), i=l п. D.3)
Наконец, если (Ь) будет точкой бесконечно удаленной гипер<-
плоскости в Sn, а (о) не лежит на этой гиперплоскости, то будет
Ьо — О, а0ф0 и уравнения D.3) можно записать в виде
i~l, ..., п. D.4)
Уравнения D.4) называются параметрическими уравнениями
прямой.
4.5. Упражнения. 1. Если (at), ..., (а\) — линейно незави-
независимые точки некоторого подпространства Аг из* Ап, то все точ-
точки Лг могут быть получены из уравнений
§ 5. Проекции 57
при конечных значениях ?а. Соответствие между точками под-
подпространства Аг и системами чисел (tlt ..., tr) является коорди-
координатной системой в Аг, причем любая координатная система в Аг
может быть получена этим путем.
2. Два подпространства Аг и As (*О) некоторого простран-
пространства Ап называются параллельными, если бесконечно удаленная
гиперплоскость Ss-i подпространства As содержится в бесконечно
удаленной гиперплоскости iSV_i подпространства Аг. Доказать, что
1) При фиксированном г параллелизм подпространств Аг про-
пространства Ап является соотношением эквивалентности.
2) Если в Ап задано некоторое Аг и точка Р вне Аг, то суще-
существует одно и только одно Аг, параллельное Аг и содержащее
точку Р.
3) При s < г подпространство Аа параллельно Аг тогда и только
тогда, когда As параллельно некоторому A's, содержащемуся в Аг~
§ 5. ПРОЕКЦИИ
5.1. Проектирование точек из подпространства* Простейшим
видом проектирования, от которого проективная геометрия полу-
получила свое название, является следующий: пусть тс — гиперпло-
гиперплоскость в Sn, a Р — некоторая точка Sn, не лежащая в тс. Тогда
при любом выборе точки А, отличной от Р, прямая АР пере-
пересекает iz в единственной точке А', А' называется проекцией
точки А на гиперплоскость чс из точки Р. ,Если S — любое мно-
множество точек, не содержащее Р, проекцией его па гиперпло-
гиперплоскость те из точки Р называется множество проекций всех точек
множества S.
Это построение может быть легко обобщено. Пусть Sr,
0<г<га —1 и Sn-r-i— два подпространства Sn, не имеющие
общих точек (ниже будет доказано, что такие пары подпро-
подпространств существуют при любом г). При любом выборе точки А,
не лежащей в Sn-r-i, линейная оболочка А и Sn-T-\ являете»
некоторым подпространством Sn-rf пересекающимся с iSr по под-
подпространству Ss. При этом подпространства Ss и Sn-r-i имеют
подпространство ^п своей линейной оболочкой и не пересе-
пересекаются между собой, ибо в противном случае подпространства
iSV и Sn-r-t также пересекались бы. Отсюда вытекает, что s = 0,
и, следовательно, Ss есть некоторая точка А' подпространства Sr.
Мы можем называть А' проекцией точки А на подпространство
Sr из j?n_r_f. Подпространство »yn_-r_i называется центром проек-
проектирования. Как и в предыдущем абзаце, можно определить
проекцию любого множества, не пересекающегося с центром
проектирования.
Чтобы выяснить соотношения между координатами точек А
и А', выберем сначала специальную координатную систему в Sn^
58 Гл. II- Проективные пространства
Пусть Р°, ..., Рг и Pr+i, . .., Рп — линейно независимые точки
соответственно из Sr и Sn-r-i- Тогда, по теореме 2.9, система
всех точек Р°, . .., Рп будет линейно независимой [и обратно,
если эта система линейно независима, то линейные оболочки
систем /*°, ..., РТ и Pr+i, ..., Рп не пересекаются; этим,
в частности, доказано существование пар непересекающихся под-
подпространств Sr и Sn-r-i при любом г (от 0 до п — 1)]. Если
взять РЛ в качестве вершин репера некоторой координатной
системы в Sn, то соотношение между координатами А и А' будет
очень простым. Подпространство Sr определяется уравнениями
xr+i = ...=«„ -•-- 0, a Sn-r-i — уравнениями х0 = ... = хт =¦- 0.
Если А имеет координаты (О(), то любая точка линейной обо-
оболочки А и Sn-r-i имеет., координаты (>Л{-|-|аЬ4), где (bi) — неко-
некоторая точка Sn-r-{. Так как точка А' принадлежит указанной
оболочке, ее коордицйты должны иметь такой вид. Но так как А'
является также точкой Sr, последние п — r из ее координат
должны быть нулями. Поэтому ее первыми координатами будут
Учтя теперь, что (Ъ{) есть точка Sn-T-i, для которой должно
¦быть Ьо— .., -.- Ьт — О, мы получим, что точка А' имеет коорди-
координаты (а0, . .., аг, 0, ..., 0). Другими словами, переход от коор-
координат т.очки А к координатам точки А' состоит просто в замене
последних п — г координат нулями.
5.2. Упражнения. 1. Пусть в Sn и в Sr заданы произволь-
произвольные координатные системы. Если (у) — координаты в простран-
пространстве Sr проекции точки (х), то
где матрица \\<и\\ имеет ранг г + 1 (ср. с примером 3, п. 2.6).
2. Проектирование на Sr из центра Snr-r-i равносильно
последовательному проектированию из и —г независимых точек
подпространства Sn-r-i на п — г надлежащим образом подобран-
подобранных гиперплоскостей, содержащих Sr.
3. Пусть Sr, S'r, i9n_r_i— такие подпространства Sn, что
Sn-r-i не пересекает ни Sr, ни Sf. Тогда соответствие Р*~*Р'
между точками подпространств Sr и S'r, определяемое проек-
проектированием из центра Sn-r-1, будет взаимно однозначным и обла-
обладает следующими свойствами:
1) Точки Р1, ..., Pk независимы тогда и только тогда,
когда независимы точки Р1 , ..., Ph .
§ 6. Линейные преобразования 59
2) Проекцией любого подпространства S, из Sr является под-
подпространство S's из S'r и наоборот.
3) В Sr и S'r существуют такие координаты системы, в кото-
которых соответствующие точки имеют одинаковые координаты.
Определенное таким образом соответствие между точками
подпространств Sr и S'T называется перспективным соответствием
с центром л5те_г_1.
4. Взаимно однозначное соответствие, определяемое после-
последовательностью перспективных соответствий, обладает-свойствами
1, 2, 3, указанными в упражнении 3. Обратно, любое взаимнв
однозначное соответствие между точками двух подпространств
Sr и S'r из Sn, имеющее эти свойства, может быть получен»
с помощью последовательности перспективных соответствий. Такое
соответствие называется проективным соответствием.
§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
6.1. Коллинеации. Уравнения A.1) были введены для опре-
определения перехода от одной координатной системы к другой.
Мы рассматривали (х) и (у) как координаты одной и той же
точки в различных координатных системах. Но можно получить
и другое истолкование этих уравнений, рассматривая (х) и (у)
как координаты различных точек в одно'й и той же координат-
координатной системе. Тогда уравнения A.1) дают нам способ, при помощи
которого каждой точке (х) можно поставить в соответствие одно-
однозначно определенную точку (у), могущую совпадать или не
совпадать с (х).
Таким образом, уравнения A.1) определяют, однозначное ото-
отображение множества точек Sn в себя. Ввиду существования
обратного преобразования A.2), указанное отображение будет
взаимно однозначным.
Такое отображение проективного пространства в себя назы-
называется коллинеацией. Удобно записывать коллинеацию A.1) одной
буквой, например Т, и обозначать образ {у) точки (х) посред-
посредством Т(х).
Так как преобразование координат и коллинеация являются
просто различными истолкованиями одних и тех же алгебраи-
алгебраических соотношений, каждое свойство одного из этих понятий
может быть истолковано как свойство другого. Например, из
теоремы B.1) мы получаем
Теорему 6.1. Точки (ха) линейно зависимы тогда и только
тогда, когда линейно зависимы их образы Т(ха).
В качестве непосредственного следствия мы будем иметь
Теорему 6.2. Коллинеация переводит линейное подпростран-
подпространство в подпространство той же размерности.
60 . Гл. Л. Проективные пространства
6.2. Упражнения. 1. Определим произведение двух коллине-
апий
: у, -=
i
формулами
в которых
= 2
Доказать, что коллинеации в Sn образуют группу (см. 1—2.1)
по отношению к определенной таким образом операции умноже-
умножения.
2. Любые п-\-2 точки из Sn, каждые n-4-l из которых
линейно независимы, могут быть преобразованы некоторой одно-
однозначно определенной коллинеацией в произвольно заданные дру-
другие точки с тем же свойством (ср. с теоремой 2.1).
3. Коллинеация A.1) в пространстве Sn индуцирует кол-
лияеацшо
в дуальном пространстве Sn-
4. Преобразование Т называется инволюцией, если ТТ (х) —
- (х) для всех точек (х), но Т (х) Ф (х) хотя бы для одной точки.
Показать, что коллинеация в Sx является инволюцией тогда
и только тогда, когда ао + в} — 0.
Глава III
ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
В этой главе мы изучим некоторые из наиболее простых
свойств алгебраических кривых на плоскости. При этом мы будем
иметь дело с точками фиксированного пространства SK2, где К —
любое алгебраически замкнутое поле характеристики нуль.
Многие из наших рассуждений остаются применимыми в случае
основного поля более общего типа, но рассмотрение такого рода
обобщений мы будем оставлять читателю.
Дополнительный материал, связанный с содержанием этой
главы, можно найти в следующих книгах:
Б. Л. ван-дер-Вар-ден, Введение в алгебраическую гео-
геометрию (В. L. van-der-Waerden, Eirifiihrung in die Alge-
braische Geometrie, Berlin, Springer, 1939).
Дж. Л. Кулидж, Плоские алгебраические кривые (J. L. Coo-
lidge, Algebraic Plane Curves, Oxford,. 1931)').
§ 1. ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
1.1. Приводимые и неприводимые кривые. Будем рас-
рассматривать определенную проективную систему координат в S2.
Пусть F(x) — F (х0, х\, хг) — неприводимый однородный многочлен
степени п от неизвестных х0, хъ х2 с коэффициентами из К.
Если некоторая совокупность (а) значений координат точки Р
удовлетворяет уравнению F(x) = 0, то все другие значения ко-
координат этой точки также удовлетворяют тому же уравнению,
так как F(pa0, раъ ра2) = рпF(а0, аъ а2). Совокупность всех
точек Р с указанным свойством называется неприводимой алге-
алгебраической кривой степени п. Уравнение F(x)~0 называется
уравнением этой кривой в заданной координатной системе. Если
мы перейдем к новой координатной системе по формулам A.1) гл. II
и обозначим через G(y) многочлен, получаемый из F (х) под-
подстановкой в него вместо ж{ выражений V &Уи т0 координаты
i
х) Вопросы, связанные с построением действительной алгебраической
кривой вблизи особой точки, разбираются в книге: Г. М. Фихтенгольц,
Курс дифференциального и интегрального исчисления. ГТТИ, 1947, т. 1,
гл. 7. (Прим. перев.)
62 Гл. III. Плоские алгебраические кривые
некоторой точки в системе (у) будут удовлетворять уравнению
G (у) — О в том и только в том случае, если координаты той же
точки в системе (х) удовлетворяют уравнению F (х) — 0. Следова-
Следовательно, G (у) = 0 будет уравнением той же кривой в новых ко-
координатах. Так как переход от F к G обратим, приводимость G
влекла бы за собой приводимость F< Поэтому многочлен G непри-
неприводим. Понятие неприводимой алгебраической кривой является
геометрическим понятием, ибо его определение не зависит or
использованной координатной системы.
Из теоремы I — 9.7 следует, что уравнение неприводимой
алгебраической кривой однозначно определено с точностью до
постоянного множителя: если уравнения F(x) = 0 и G(x)~O
определяют одну и ту же неприводимую алгебраическую кривую,
то F{x) и G(x) должны делиться друг на друга, так как они
неприводимы и каждое из равенств F(a)~-6 и G(a) — 0 влечет
за собой другое. Так как уравнения F (х) = 0 и pF (x) = 0 опре-
определяют, очевидно, одно и то же множество точек, мы будем счи-
считать их одним и тем же уравнением.
Указанное свойство неприводимой кривой связано с алгебраи-
алгебраической замкнутостью поля К. Это видно из следующего приме-
примера. Пусть К — поле действительных чисел (оно не будет алгебраи-
алгебраически замкнутым). Тогда многочлены F — х\-)-х\ + х\ и G=-x\-\-
-\-x\-\-x\ неприводимы и обращаются в нуль на одном и том же
(пустом) множестве точек. Однако отличие F от G не сводится
к постоянному множителю.
Любой однородный многочлен F (х) степени п допускаег
разложение F--F^Ft ..., Fr на неприводимые однородные
множители. Такое разложение однозначно с точностью до посто-
постоянных множителей. Система неприводимых кривых Съ ..., Сг,
уравнениями которых будут F\ (х) = 0, ..., Fr (ж) = 0, называете»
алгебраической кривой С, определяемой уравнением F (х) = 0.
Неприводимые кривые Сь ..., Сг называются компонентами,
кривой С. Следует отметить, что эти компоненты не обязательно-
различны. Например, кривая, определяемая уравнением х%х\ = 0,
имеет пять компонент. Неприводимая кривая, встречающаяся
среди, компонент кривой С более одного раза, называется крат-
кратной компонентной кривой С. Кривые с кратными компонентами
имеют много неприятных свойств и часто исключаются из рас-
рассмотрения. Если рассматривать кривые просто как множества
точек пространства ?2, то такое исключение несущественно.
Неприводимая кривая может рассматриваться как кривая,
имеющая одну-единственную компоненту. Кривая, имеющая две
или более компонент, называется приводимой. Как легко видеть,
понятия приводимости компоненты и кратной компоненты не
зависят от той координатной системы, в которой они опреде-
определены.
§ 1. Плоские алгебраические кривые
Для краткости мы будем употреблять выражения «кривая
/?(а;) = 0» или просто «кривая F» вместо того, чтобы говорить
«кривая, уравнение которой есть F(x) = 0».
1.2. Кривые в аффинной плоскости. Пусть F (х) -= 0 — неко-
некоторая кривая ЧС, не имеющая своей компонентой прямую хо = О.
Тогда многочлен F (х) не делится на х0, и поэтому существует
соответствующий неоднородный многочлен F A, х, у) той же
степени, что и F (х). Мы будем писать обычно f(x, у) вместо
F A, х, у). Уравнение f(x, у) -0 будет называться уравнением
кривой С в соответствующей аффинной координатной системе.
Если (а, Ь) — аффинные координаты некоторой точки кривой С,
то f(a, Ь)-= О, и обратно, если /(а, Ь)=^=0, то (а, Ъ) будут аф-
аффинными координатами некоторой точки кривой С. Таким образом,
решениями уравнения / (х, у) = 0 будут являться те точки
кривой С, которые не лежат на бесконечно удаленной прямой.
Применение аффинного уравнения крипой позволяет пользо-
пользоваться преимуществами аффинных координатных систем, упомяну-
упомянутыми в § И —4. Большая часть нашего исследования будет
проводиться в выбранных надлежащим образом аффинных ко-
координатах. Однако не следует забывать, что аффинное предста-
представление кривой неполно, так как при этом исключаются беско-
бесконечно удаленные точки. Переход к аффинным координатам
представляет собой просто инструмент для изучения свойств
кривой на проективной плоскости.
В дальнейшем будет очень полезна свобода выбора бесконеч-
бесконечно удаленной прямой аффцнпой плоскости. Здесь мы отметим
только, что любая кривая допускает аффинное представление.
В самом деле, так как поле К — бесконечно, то в *У2 содержится
бесконечное множество прямых. Поэтому в S2 всегда найдется
прямая, не являющаяся компонентой заданной кривой С и могущая
поэтому быть взятой в качестве бесконечно удаленной прямой
нужной аффинной координатной системы.
1.3. Упражнения. 1. Если это возможно, найти уравнения
кривой
XqX% XqX^ ~p XqX^ ¦ diX^X-\X^ X^X^ ~ l*X-\X^ :z== v)
в каждой из следующих координатных систем:
1) В системе с репером A, 1,-1), A,0,-2), A,0, 0,), @,1,0).
2) В аффинной системе, имеющей прямую х0 4- хг = 0 в каче-
качестве бесконечно удаленной прямой.
3) В аффинной системе, осями которой будут прямые х0 + х2 — 0
и хх + xz = 0, бесконечно удаленной прямой — прямая х2 = О-
и единичной точкой —точка @,0,1).
Найти компоненты этой кривой.
Гл. III. Плоские алгебраические кривые
2. Гиперповерхностью в Sr, г>1, называется .множество
точек, удовлетворяющих уравнению F (х0, ..., хг) — <д, где F —
однородный многочлен степени га>1. Обобщить определения
и результаты § 1 на гиперповерхности.
§ 2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
2.1. Пересечение кривой и прямой. Пусть С — алгебраиче^
«екая кривая, имеющая уравнение F (х) = 0, где F (х) — однородный
многочлен степени п. Точка (.с) лежит на прямой L, соединяющей
различные точки (а) и (Ь) тогда и только тогда, когда хг — <ZiS+ bit
при некоторых s и t. Значения s и t, дающие точки, лежащие
также на-кривой С, будут решениями уравнения F(as-{-bt) — 0.
При этом возможны два случая:
1) Выражение F(as+bt) равно нулю тождественно относи-
относительно sat. Тогда все точки прямой L будут точками кривой С.
Если координатную систему выбрать так, что L будет прямой
хо — О, то будет F @, съ с2) = 0 при всех с1( са из К, а поэтому
(теорема 1 — 7.4) будет F @, %, ?2) = 0. Таким образом, в этом
•случае многочлен F делится на х0, и, следовательно, прямая L
будет компонентой кривой С.
2) Если F(as + bt) не является нулем тождественно по s и t,
он будет однородным многочленом степени п от этих неизвестных.
В силу теоремы 1—10.8, уравнение F (as-)-bt) = Q удовле-
удовлетворяется точно п значениями отношения s:t, если считать корни
•этого уравнения в соответствии с их кратностью. Каждое значе-
значение отношения s: t определяет точку, общую для L и С. Точку,
соответствующую г-кратному корню уравнения F (as-\-bt) — O,
'удобно считать также г-кратной точкой пересечения L и С,
Эти результаты можно сформулировать в виде
Теоремы 2.1. Если уравнение кривой С имеет степень п,
то любая прямая либо является компонентой С, либо имеет с С
ровно п общих точек (с учетом кратностей).
Отсюда видно, что степень уравнения кривой имеет простой
геометрический смысл. Она называется также' порядком кривой.
Для кривых, не имеющих кратных компонент, можно доказать
следующую более сильную теорему:
Теорема 2.2. Если кривая С порядка п не имеет кратных
компонент, то через любую точку Р, не лежащую на С, можн»
провести прямые, пересекающие С в п различных точках.
Доказательство. Выберем координатную систему так,
чтобы было Р = @, 0, 1). Пусть f(x, у) — уравнение кривой С
в соответствующей аффинной координатной системе. Параметри-
Параметрические уравнения прямых ЬЛ, проходящих через точку Р, будут
иметь вид
§ 2. Особые точки 65
Все точки прямой Ьл, кроме Р, соответствуют конечным значе-
значениям t. Так как мы интересуемся лишь точками пересечения
прямой Ьл с кривой С и так как точка Р не лежит на С, ее
исключение для нас несущественно. Точки пересечения Ьл и С
определяются корнями уравнения /(a, t)=0. Это уравнение
будет иметь степень п относительно t, ибо точка @, 0, 1)
не лежит на кривой. Предположим, что уравнение /(a, f) = 0
относительно t при всех значениях а имеет кратный корень,
и обозначим через В. (х) дискриминант многочлена / (х, у) относи-
относительно у. Так как В (а) будет дискриминантом /(a, t) отно-
относительно t (см. 1 — 9.2), при нашем предположении должно быть
R (а) = 0 для всех а из К. Отсюда следует, что R (х) = О
(теорема 1—7.3), и, следовательно, многочлен f(x, у) имеет
кратный множитель (теорема 1 — 9.4), а кривая С —кратную
компоненту.
В. силу сказанного, порядок кривой, не имеющей кратных
компонент, может быть определен как наибольшее число точек
пересечения этой кривой с прямой линией. Такое определение
Вполне геометрично.
Кривая первого порядка, очевидно, является прямой линией,
и обратно, каждая прямая — линией первого порядка. Кривые
второго и третьего порядка иногда называются, соответственно,
квадратичными и кубичными.
2.2. Кратные точки. Рассмотрим теперь более внимательно
пересечение кривой С и прямой L в том случае, когда L про-
проходит через заданную точку Р кривой С. С этой целью выберем
аффинную систему координат, в которой точка Р имеет коор-
координаты (а, Ь). Пусть f(x, y)~0 уравнение кривой С в этой
системе. Параметрические уравнения L могут быть записаны
в виде
x = a + lt, у — Ъ-\-^Л. B.1)
Прямая L определяется отношением X: ц. Точки пересечения L
и С соответствуют корням уравнения f(a + \t, 6 + ц«) = 0. Разла-
Разлагая левую часть этого уравнения по степеням t и учитывая,
что f(a, Ь) = 0, получаем
(М + М t +1 (/хх>.2 + 2/^Хц + fvy^) ««+...= О,
где fx, fy, ... — значения производных от / в точке Р.
Случай 1. Предположим, что fx и fy не равны одновременно
нулю. Тогда почти каждая прямая, проходящая через jP, имеет
с кривой С однократное пересечение в точке Р. Единственным
исключением будет прямая, соответствующая значению отноше-
отношения X: |х, для которого /x^ + /«J»~0. Эта прямая называется
касательной к кривой С в точке Р.
¦5 р. Уокер
66 Гл. III. Плоские алгебраические кривые
Случай 2. fx = fy — O, но не все fxx, fxy, fyy равны нулю.
Тогда каждая прямая, проходящая через Р, имеет в этой точке
по меньшей мере двукратное пересечение с кривой С. Только
одна или две прямые, соответствующие решениям уравнения
имеют более чем двукратное пересечение с кривой С в точке Р.
Эти прямые называются касательными к С в точке Р. В случае,
когда уравнение B.2) имеет двукратный корень, мы будем го-
говорить, что кривая С имеет в точке Р две совпадающие каса-
касательные.
Сл у ч а й г. Предположим теперь, что все производные мно-
многочлена / до (г—1)-го порядка включительно обращаются
в точке Р в нуль и что хотя бы одна производная г-го порядка
отлична от нуля в этой точке. Тогда каждая прямая, про-
проходящая через Р, имеет с кривой С по меньшей мере г-кратное
пересечение в точке Р. При этом точно г прямых (если их
надлежащим образом считать) имеют более чем r-кратное пере-
пересечение с кривой С. Исключительные прямые, касательные
к кривой С в точке Р, соответствуют решениям уравнения
и должны при подсчете их числа браться такое же число раз,
какова кратность соответствующего корня. В этом случае точка Р
называется г-кратной точкой кривой С (или точкой кратности г).
Так как многочлен f(x, у) не равен тождественно нулю, неко-
некоторые из его производных порядка < п должны быть отличными
от нуля в точке Р. Поэтому случай г всегда будет иметь место
при некотором г, 1<г<в.
Иногда бывает удобно говорить о точках, не лежащих на С,
как о точках кратности 0 (на этой кривой).
Точка кривой С, имеющая кратность 1, называется простой
или обыкновенной точкой этой кривой. Точки кратности 2 назы-
называются также двойными. Это название обобщается также на точки
более высокой кратности. Точка кратности г называется обыкно-
обыкновенной r-кратной точкой, если в ней существуют г различных
касательных.
Точки кратности 2 и более называются также особыми точка-
точками. Очевидно, что необходимое и достаточное/ условие того, что
точка (а, Ь) является особой точкой кривой С, дается равенствами
f(a, b) = fx(a, b) — fy(a, Ь) = 0. Мы увидим далее, что особые
точки играют весьма важную роль в теории алгебраических
кривых. Кривая называется неособенной, если она вообще не
имеет особых точек.
§ 2. Особые точки 67
При изучении особых точек весьма полезно следующее предло-
предложение:
Теорема 2.3. Если многочлен f(x, у) не содержит членов
степени < г и содержит хотя бы один член степени г, то
начало координат является r-кратной точкой кривой / = 0.
У равнение, получаемое приравниванием нулю суммы членов сте~.
пени г, определяет кривую, компонентами которой являются
вее касательные к кривой / в начале координат.
Доказательство очевидно.
Критерии для нахождения особых точек кривой в проектив-
проективных координатах могут быть выражены в более удобной форме.
Теорема 2.4. Точка Р тогда и только тогда является
r-кратной точкой кривой F (х) — 0, когда в этой точке все
производные от F порядка г—1 обращаются в нуль, но суще-
существует производная порядка г, отличная от нуля.
Доказательство. Можно предполагать, что точка Р не
лежит на прямой хо = О, так как этого всегда можно достиг-
достигнуть изменением нумерации координат. Если х0 | F — то кривая F
не имеет уравнения в аффинных координатах. Однако уравнение
f(x, y) = F(\, x, y) = 0 будет аффинным уравнением кривой,
отличающейся от F только отсутствием компоненты х0 = 0. Так
как эта компонента, очевидно, не влияет на кратность точки Р,
можно считать F(i, x, у) = 0 аффинным уравнением кривой F.
Равенство f(a, &) —0 равносильно равенству F(l, а, Ь) = 0.
Кроме того,
/*(я, y)-=FXi(l, х, у), fv(x, y) = FX2(i,x, у).
Поэтому равенства
fx(a,b) = fy(a,b) = O
равносильны таким
FXi(l,a,b) = FX2(l,a,b) = 0.
Но
xaFXo + xtFXi + x2FX2 = nF,
и поэтому равенства
F(l, a, b)=---FXi(l, a, b) = F4{\, a, b) = 0
будут иметь место в том и только в том случае, если
FX<>A, a, b) = FXi(l, a, b) = FXi(l, а, й) = 0.
Продолжая этот процесс, мы найдем, что для выполнения
равенств
/ (а, Ь) - fx (а, Ь) =/„ (а, Ъ) = f# (а, Ь) - . .. = fyr (а, Ь) = 0
5*
68 ^ Гл. III. Плвекие алгебраические кривые
необходимы и достаточны равенства
Fxr(l, a, b) = Fxr-iXi(l,a, &)=... =^ягA, а, Ь) = 0.
Отсюда наша теорема следует непосредственно.
В качестве следствия доказанной теоремы получаем такое
предложение: точка (а) кривой F (х) = 0 будет особой тогда
й только тогда, когда Fo (а) — Fx (а) — F% (а) = 0 (мы будем
и дальше применять обозначения F{, Fi,- и т. д. для частных
производных dF/dXi, d2F/dxidx] и т. д.).
Для простых точек кривой справедлива следующая теорема:
Теорема 2.5. Если (а}—простая точка кривой F(x) — 0,
то уравнение касательной к F в точке (а) имеет вид —..
Доказательство мы оставляем читателю, как и доказательство
следующего обобщения теоремы 2.2, которое понадобится впослед-
впоследствии:
Теорема 2.6. Если С —кривая порядка п, не имеющая
кратных компонент, то через любую ее точку Р кратности г
можно провести прямые, пересекающие кривую С в п — г раз-
различных точках, отличных от Р.
Точно так же мы оставляем читателю доказательство того,
что различные понятия, определенные в этом разделе (кратность
пересечения кривой с прямой линией, кратность точки, каса-
касательная, кратность касательной), не зависят от координатной
системы и поэтому являются геометрическими понятиями.
2.3. Замечания о чертежах. В этом месте удобно сделать
несколько замечаний о чертежах, иллюстрирующих геометри-
геометрические предложения. В любой области геометрии чертеж являет-
является лишь средством показа некоторых геометрических соотно-
соотношений. Его значение тем больше, чем больше таких соотношений
он охватывает. Все или почти все чертежи выполняются на пло-
плоской поверхности, наиболее хорошо иллюстрирующей свойства
аффинной плоскости AR2, где Л —поле действительных чисел.
При игучении алгебраических кривых мы будем рассматри-
рассматривать главным образом пространство SK2, где К — алгебраически
замкнутое поле. То обстоятельство, что это проективная,
а не аффинная плоскость, не очень сильно снижает иллюстра-
иллюстративную ценность чертежей. Основная неприятность заключается
в том, что поле i? не является алгебраически замкнутым. Мно-
Многие из наших наиболее важных результатов опираются на алгеб-
алгебраическую замкнутость К, так что чертеж будет мало помогать
при уяснении этих результатов. Однако если иметь в виду это
обстоятельство, то надлежащий чертеж часто может оказать
существенную помощь в сложных случаях.
§ 2. Особые точки 69
Если / (х, у) — многочлен над полем R, уравнение / (х, у) = 0 мо-
может рассматриваться как уравнение некоторой кривой С\ в AR2,
а также как уравнение кривой С2 ъ АКг, где К — поле комплекс-
комплексных чисел. Так как RcK, то будет также AR2CZAK2, и поэтому
точки кривой Сх будут также точками кривой Са. Обычно гово-
говорят, что Сг состоит из «действительных» точек кривой Сг. На чер-
чертежах изображаются кривые Clt и мы пытаемся по этим изображе-
изображениям получить представление о некоторых свойствах кривых С%.
2.4. Примеры особых точек. Приведем' теперь несколько
простых примеров особых точек. Эти особенности будут распола-
располагаться в начале координат, так что можно применять теорему 2.3.
Пример 1. л3 — х* + у2=--0 (рис. 1). Здесь начало координат
является обыкновенной двойной точкой с различными касатель-
касательными х + у—0 и х — у~О. Обыкновенные двойные точки назы-
называются также точками самопересечения.
Пример 2. х3-\-хг + у2 = 0 (рис. 2). Здесь начало координат
также является точкой самопересечения с касательными х -\- ъу = О
их — iy = 0. Различие между кривыми, изображенными на рис. 1 и
рис. 2, обусловлено тем обстоятельством, что действительвые части
кривых различны. На рис. 2 начало координат представляет
собой «изолированную» точку действительной кривой.
Пример 3. х3 — у2 — 0 (рис. 3). Здесь начало —также
двойная точка, но не обыкновенная. Этот тип особенности назы-
называется острием (или точкой заострения). Дальнейшие подробно-
подробности об остриях нам еще встретятся.
Пример 4. 2а;4 — Ъхгу-f-у2 — 2у3 + у1 — 0 (рис. 4) —еще один
тип двойной точки — точка самокасания.
Пример 5. х*4-х2у2 — 2х2у — ху2 + У2 — 0 (рис. 5) — «когте-
образное» острие.
Особые точки кратности, большей, чем 2, могут быть весьма
сложными. Рассмотрим лишь три простейших примера:
Пример 6. (х2 + у2J + Ъх2у — у3 = 0 (рис. 6) —начало коор-
координат—обыкновенная тройная точка.
Пример 7. (я2 + у2K — 4ж2г/2 =.-0 (рис. 7) — начало — точка
кратности 4 с попарно совпадающими касательными.
Пример 8. уъ — х3у2 — хъ = 0 (рис. 8) —в начале имеется
одна касательная кратности 3 и две простые касательные.
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что действитель-
действительная кривая — совершенно гладкая в этой особой точке.
2.5. Упражнения. 1. Исследовать особенности кривой
Х1уь _ хьу1 _ 2xy5z + X5Z2 _|_ ^2 _ X3yz3 _j_ 2ax*y2za — xy3z3 = 0,
я?К, в точках A, 0, 0), @, 1, 0), @, 0, 1) (буквы г, х, у взяты
вместо х0, xlt %).
Рис. 1.
Рис. 2.
Р и с. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.
Рис. 6.
О.
о
Рис. 7.
Рис. 8.
§ 2. Особые точки 71
Замечание. Во всех числовых задачах в качестве основного
поля берется поле комплексных чисел.
2. Найти особые точки следующих кривых:
1) xz2 — 0
2) (x
3) я2у + y
3. При каких значениях к кривая
хз _|_ у3 -f z3 + к (х + у + zK = О
имеет не менее одной особой точки? Определить положение осо-
особых точек в этих случаях.
4. Доказать, что кривая
ху2 + у z2 + zx* + х2у -]- уН + z2x -f kxyz = О
является неособенной, если к отлично от значений 2, 3 или 6.
5. Пусть кривая С имеет компоненты Clt C2, ¦ ¦ • (не обяза-
обязательно различные). Доказать, что если точка Р является
Г{-кратной точкой каждой из кривых Cit то она будет, как точка
кривой С, иметь кратность г -= rx -j- гг -f ... В частности, каждая
точка s-кратной компоненты кривой С будет, по меньшей мере,
s-кратной точкой этой кривой.
6. Доказать, что уравнение кривой без кратных компонент
однозначно определено множеством точек этой кривой.
7. Доказать, что если К — поле комплексных чисел и Р —
простая точка кривой F, то приведенное выше определение
касательной согласуется с классическим определением (т. е. что
касательная в точке Р является предельным положением секу-
секущей PQ, если точка Q приближается к Р вдоль кривой F).
8. Доказать, что существуют неособенные кривые любого
заданного порядка п.
9. Дать определение кратности точки гиперповерхности, рас-
рассмотрев пересечение гиперповерхности с прямыми. Обобщить
теоремы 2.1 (с надлежащими изменениями), 2.2, 2.4 и 2.6
на случай гиперповерхностей.
10. Гиперповерхность F называется конусом с вершиной
в точке V, если F содержит все прямые, соединяющие V с любой
точкой поверхности F. Обобщить на случай гиперповерхностей
теорему 2.3, заменив фразу «компонентами которой являются..-»
такой: «есть конус, состоящий из всех прямых, касательных к F
в начале координат».
11. Доказать, что если точка (а) —простая точка гиперпо-
гиперповерхности F, то конус касательных к F в точке (а) будет гипер-
гиперплоскостью 2J F\ (а) хг = 0.
72 Гл. III. Плоские алгебраические кривые
§ 3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ
3.1. Теорема Безу. Большая часть теории алгебраических
кривых опирается на изучение их пересечений, в котором основ-
основную роль играет одна теорема Безу. Эта теорема появляется
в различных формах во всех частях алгебраической геометрии,
а не только в теории кривых. Мы докажем сейчас теорему Безу
в ослабленной форме:
Теорема 3.1. Если две кривые порядков тип имеют
более тп общих точек, то они имеют общую компоненту.
Доказательство. Пусть F и G — кривые порядков т и п,
имеющие более тп общих точек. Выберем тп -\-1 любых из этих
точек и соединим их попарно прямыми. Так как таких прямых
конечное число, найдется точка Р, не лежащая ни на этих
прямых, ни на данных кривых F или G. Выберем координатную
систему так, чтобы было Р = @, О, 1). Тогда
G{x)^Boxl + BlxTl+...+Bn,
где Ао, Во — отличные от нуля константы, a Ait B\, i > 0,—
однородные многочлены степени i относительно х0, хх. В силу
теоремы 1 — 10.9, результант R многочленов F и G относительно
х% является либо нулем, либо однородным многочленом степени
тп от неизвестных х0, хх. При этом R(c0, cJ — O тогда и только
тогда, когда существует такое значение с2, что F (c) — G (с) = 0,
т. е. когда с0, сх будут первыми двумя координатами некоторой
точки пересечения кривых F и G. Но все тп +1 выбранные
точки пересечения дают различные значения отношения co:Ci,
так как ни одна из пар выбранных точек не лежит на одной
прямой с точкой Р — @, 0, 1). Поэтому R(x0, xx) должен быть
равен нулю, так что F и G имеют общий множитель, а кривые —
общую компоненту.
В п. 2.1 мы определили кратность точки пересечения кривой
с прямой линией таким образом, чтобы общее число точек
пересечения данной кривой и прямой, подсчитанных с учетом
их кратностей, было в точности равно порядку кривой. По спо-
способу, при помощи которого мы использовали в приведенном
выше доказательстве степень результанта, нетрудно заключить,
каким образом следует определить кратность точки пересечения
двух кривыг для того, чтобы общее число точек пересечения
(с учетом их кратностей) было бы в точности равно тп: нужно
лишь определить кратность точки пересечения, как кратность
соответствующего решения уравнения R(x0, x^) — 0. Однако такой
подход обладает двумя недостатками. Прежде всего, трудно
доказать, что определенная таким образом кратность независима
от координатной системы, использованной в этом определении.
§ 3. Пересечение кривых 73
Кроме того, сложность выражения результанта делает затруд-
затруднительным какое-либо суждение о его корнях. Поэтому мы не
воспользуемся указанным приемом и отложим обсуждение
вопроса о кратности пересечения до тех пор, пока будет развит
более подходящий для этого аппарат. Следующий результат
все же полезен.
Теорема 3.2. Пусть F (х) и G(x) имеют вид C.1), причем
точка Р =- (а0, аг, а2) является r-кратной точкой кривой F и
s-к ратной точкой кривой G. Если результант R(x0, xt) много-
многочленов F и G относительно хг не обращается в нуль, то отно-
отношение ао:а1 является его корнем кратности, не меньшей, чем rs.
Доказательство. Так как точка @, 0, 1) не лежит
на кривых F и G, то по меньшей мере одно из чисел а0, ах
будет отлично от нуля. Пусть а0 Ф 0. Произведем преобразо-
преобразование координат
x'Q = x0/a0, x'i = x1 — a1xolao, x'2=- х2.
Точка Р будет иметь после этого координаты A, 0, а2). Резуль-
Результант левых частей преобразованных уравнений R(a0X(>, x[ -j-a^o)
будет иметь отношение 1:0 своим корнем той же кратности,
какую имело отношение ао:а1 для R(x0, хг). Поэтому можно,
не ограничивая общности, предполагать, что с самого начала
а8 — 1, а1—-0. Покажем теперь, что можно также считать, что
а2 —0. Действительно, рассмотрим результант многочленов
F(х0, хх, х2 + Ха;0) и G(xQ, хг, х2-\-У.х0) относительно х2. Этот
результант является многочленом R(x0, хх, Х) = со + с1Х+.. .
...+cNXN, iV:>0, в которому б К[хй,хг]. Так как со = R (хо, хг, 0)есть
результант F и G, то с0 =j= 0. Предположим, что N > 0, С^ Ф 0.
Тогда найдутся такие константы <х0, alt что с0 (а0, at) cjv (а0, ах) Ф 0.
Так как поле К алгебраически замкнуто, найдется такая кон-
константа Хо, для которой R(a0, аъ Хо) = 0, и поэтому многочлены
G^, aj, х2 + Хоао)и F(ao,alr ж2 + Хса0) будут иметь общий корень а2.
Но в таком случае многочлены F (а0, alt х2) и G(a0, au хг)
имели бы общий корень а2 + Х0ап, что невозможно, ввиду условия
i?(a0, aj, 0) ф 0. Отсюда следует, что R(x0, хх, X) не содержит X
и, следовательно, результант рассматриваемых многочленов
не изменится при преобразовании координат по формулам
x'q = x0, x'i—xlt х'2 = х2 — агх0, при котором координаты точки Р
обращаются в A, 0, 0).
Перейдем теперь к аффинным координатам. Так как начало
координат является г-кратной точкой / и s-кратной точкой g,
многочлены / и g могут быть записаны в виде
/ - /o*r + fix'^y +¦•¦+ fr
g = goxs + gxx*-ly + ... + gsys
74
Гл. III. Плоские алгебраические кривые
где /i,
i —многочлены от х. Поэтому
f0Xr UX*~X •¦¦ fr fr+l ¦¦• fm
IqA . . . /j._x^ /r • • • /tn—1/tn
gOxs
g, gs+1
gn-ign
Если теперь первую, вторую и т. д. (до s-й) строки умно-
умножить, соответственно, на xs, xs~l, ..., х, а строки, содержащие g,
l i
умножить, соответственно, на хт, x
б б
T~l
., х, то из
у
столбца, люжно будет вынести множитель #r+s+1-i. Отсюда
следует, что R(x) делится на степень х с показателем
Г+З
= rs.
Нажным применением теоремы 3,2 является
Теорема 3.3. Если две кривые порядков m и п не имеют
общих компонент и если их точки пересечения Р{ имеют, как
точки данных кривых, соответственно, кратности ri и Su то
2 r{Si < тп.
Доказательство. Как и в доказательстве,теоремы 3.1,
выберем такие координаты, чтобы уравнения кривых имели
вид C.1) и чтобы ни одна пара точек пересечения не лежала
на прямых вида ауХ0 — аохг = 0. Тогда каждой точке пересечения
(а0, Ох, а2), имеющей на наших кривых кратности г4 и Su соот-
соответствует корень а^:ах результанта R(x0, хх), имеющий крат-
кратность, не меньшую, чем г^. Так как при сделанном выборе
координатной системы различные точки пересечения соответ-
соответствуют различным значениям отношения а0: Ох, то корни
результанта R(x0, хг), соответствующие различным точкам пере-
пересечения, будут различными. Поэтому результант имеет не менее
2 J4*i корней (с учетом кратностей), а значит 2г^<т/г.
Теорема 3.3 полезна при доказательстве приводимости кри-
кривых, обладающих особенностями некоторых типов. Например,
кривая третьего порядка с двумя двойными точками должна
иметь компонентой прямую, соединяющую эти точки; в против-
противном случае ее точки пересечения с этой прямой не удовлетво-
удовлетворяли бы только что доказанному неравенству. Таким же рас-
рассуждением легко показать, что неприводимая кривая порядка п,
обладающая точкой кратности п— 1, не может иметь других
§ 4. Линейные системы кривых 75
особенностей. Прежде чем рассматривать более общие вопросы
такого рода, нам нужно изучить некоторые другие свойства
кривых.
3.2. Нахождение точек пересечения. Метод доказательства
теоремы 3.1 подсказывает также способ нахождения точек пере-
пересечения. Для этого следует выбрать координаты так, чтобы
уравнения кривых приобрели вид C.1), вычислить результант
относительно хг, определить отношения х0: хъ при которых
результант обращается в нуль, и для каждого из этих отно-
отношений найти общие корни многочленов C.1).
Первый шаг описанного процесса часто нежелателен, если
в заданной системе координат кривые имеют простые уравнения
или пересекаются в удобных точках (например, в вершинах
репера). Преобразование координат, как правило, уничтожает
обе упомянутые особенности. К счастью, выполнение такого
преобразования не является необходимым, так как непосред-
непосредственное выполнение второго и третьего шага описанного про-
процесса, как легко видеть, дает все точки пересечения, отличные
от точки @, 0, 1). Эта последняя точка может быть рассмотрена
отдельно.
3.3. Упражнения. Найти точки пересечения следующих пэр
кривых:
a) x(y*-xzf-yb = 0,
б) х3 — у3 — 2xyz = О,
2х3 - 4х*у — Ъху* — у3 — 2x4 = 0.
в) х* + у* — у222==0,
— хуН + y2z* = 0.
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КРИВЫХ
4.1. Линейные системы. Любая кривая порядка п имеет
уравнение вида ^ацпх\х{х\ = 0, где суммирование распростра-
распространяется на неотрицательные значения i, j, k, для которых
i + j-\-k = n. Такая кривая однозначно определяется коэффи-
коэффициентами ее уравнения и, наоборот, однозначно определяет эти
коэффициенты с точностью до общего множителя. Поэтому коэф-
коэффициенты a^k можно рассматривать как проективные координаты
кривой, а множество кривых —как множесто точек некоторого
пространства Sn. Число измерений N будет при этом на единицу
меньше числа членов суммы. Как легко вычислить, N -=п(п-\-3)/2.
76 Гл. III. Плоские алгебраические кривые
Преобразование координат (II— 1.1) в пространстве S% пере-
переводит 2^**0^2 В
2 «и* B А*у*У B АЬ$ B A^)h •= 2
При этом
bpqr— Jj
ijfe
где коэффициенты М являются многочленами от А\. Эти фор-
формулы определяют в пространстве SN преобразование координат
того же типа, что и II —1.1. Определитель преобразования
отличен от нуля, так как переход от х к у обратим, и потому
коэффициенты aijh должны выражаться через bpqr. Отсюда сле-
следует, что координатные системы в пространстве Sit, определяемые
двумя различными координатными системами пространства S2,
будут эквивалентными, так что пространство S^ действительно
однозначно определено.
Кривые, являющиеся точками некоторого подпространства
Sr из Sn, образуют линейную систему кривых размерности R.
Такая система определяется заданием Л 4-1 независимых кри-
кривых, ей принадлежащих. Уравнение любой кривой из системы
я
может быть записано в виде y^i\iFi(x), где F% — линейно неза-
о
висимые однородные многочлены степени га. В силу двойствен-
двойственности, подпространство Sr может быть определено с помощью
N — R линейно независимых гиперплоскостей, содержащих Sr.
Соответственно этому линейную систему кривых можно задать
таким же образом. Линейные уравнения гиперплоскостей в Sn
в таком случае называются линейными связями для кривых
порядка п. Кривая «удовлетворяет» такой связи, если она
является точкой соответствующей гиперплоскости. Ввиду того
что N гиперплоскостей всегда имеют по меньшей мере одну
общую точку, всегда можно указать кривую, удовлетворяющую
N линейным связям. Общее: в любой ^-мерной линейной систе-
системе можно указать кривую, удовлетворяющую R линейным свя-
связям. Это же тем более возможно, если связей будет меньше R.
Конечно, найденная при этих условиях кривая может оказаться
приводимой или имеющей кратные компоненты.
Наиболее важный тип линейных связей возникает из требования,
чтобы кривая имела точку кратности г(г>1) в заданной точке
плоскости. Необходимым и достаточным условием этого является
обращение в нуль в этой точке всех производных (г — 1)-го по-
порядка от соответствующего многочлена. Всего таких производных
$ 4. Линейные системы кривых 77
имеется r(r-{-i)/2, причем значения производных в заданной
точке явдяются линейными однородными многочленами от ац^.
Поэтому указанное требование налагает на кривую г (г +1)/2
линейных связей. Точка, являющаяся точкой кратности >•/• для
всех кривых линейной системы, называется базисной точкой
кратности г для этой системы.
4.2. Базисные точки. Каждая простая базисная точка (/• = 1)
налагает одну линейную связь не. кривые порядка д. Поэтому
можно было бы ожидать, что линейная система всех кривых
порядка га с заданными к базисными точками будет иметь раз-
размерность N — k. Однако это не всегда так. Рассмотрим, напри-
например, систему линий второго порядка (га = 2, iV = 5) с четырьмя
простыми базисными точками. Если три из этих точек лежат
на одной прямой L, "то все кривые системы должны иметь,эту
прямую в качестве компоненты (в силу теоремы 3.3). Поэтому
если четвертая из заданных точек также лежит на прямой L,
то она не налагает на кривые ни одной дополнительной связи.
Линейная система в таком случае будет иметь размерность 2
и будет состоять из всех приводимых линий второго порядка,
.имеющих прямую L своей компонентой (в качестве второй ком-
компоненты может быть любая прямая).
Линии третьего порядка позволяют построить пример, в ко-
котором не все кривые оказываются приводимыми. Всегда можно
указать две линии третьего порядка Clt C%, имеющие девять
различных точек пересечения (например, если каждая из кривых
состоит из трех прямых линий). В таком случае одномерная
линейная система XjC^ -f- X2C2 имеет по меньшей мере девять
базисных точек, хотя N — 9 = 0.
Эти примеры иллюстрируют общее положение: если к базис-
базисных точек лежат на одной или нескольких кривых достаточно
низкого порядка, они не могут налагать независимых линейных
связей на кривые данного порядка га. Аналогичное положение
будет справедливо также для базисных точек высшей кратности.
Можно показать, однако, что задание положений и кратностей
базисных точек определяет независимые связи для кривых доста-
достаточно высокого порядка. Мы не будем пользоваться этим обсто-
обстоятельством и отошлем читателя, интересующегося доказательством
указанного предложения, к книге Севери и Леффлер, Лекции
по алгебраической геометрии (Severi — Loffler, Vorlesungen
uber Algebraische Geometrie, Teubner, Berlin, 1921).
Линейные системы размерностей 1, 2 и 3 называются, соответ-
соответственно, пучками, связками и сетями. Пучок обладает тем свой-
свойством, что его кривые проходят через все точки пересечения
двух любых независимых кривых пучка. Приведем одно из при-
применений этого свойства.
78
Гл. Ill: Плоские алгебраические кривые
Рис. 9.
Теорема 4.1. Если две кривые порядка п пересекаются в п*
точках, причем тп из этих точек лежат на неприводимой кри-
кривой порядка т, то остальные точки лежат на кривой порядка
п — т.
Доказательство, Пусть Fx и F2 — две кривые порядка п,
пересекающиеся в п2 точках, и G — неприводимая кривая по-
порядка т, содержащая тп из этих точек пересечения. В пучке
XxFj-f-X2F2 можно найти кривую, проходящую через любую
заданную точку. Выберем эту точку на кривой G. Тогда кривые
^i-^i + ^2^2 и G имеют не менее тп + 1
общих точек и, следовательно, имеют
общую компоненту. Общей компонен-
компонентой должна быть G, так как она непри-
водима. Так как кривая Х^ -f- X2F2 =
= GII проходит через п2 точек, то кри-
кривая Н должна проходить через т(п — т)
точек, не лежащих на кривой G.
Важным частным случаем этой тео-
теоремы является
Теорема 4.2. (теорема Паскаля).
Пары противоположных сторон ше-
шестиугольника, вписанного в неприводимую кривую второго по-
порядка, пересекаются в точках одной прямой.
Доказательство. Пусть L1( ...,L6 — последовательные
стороны шестиугольника (рис. 9). Тогда две кривые третьего
порядка LxLzLb и Ь2Ь^Ъ пересекаются в шести вершинах шести-
шестиугольника и в трех точках пересечения пар противоположных
сторон. Требуемый результат следует непосредственно из те-
теоремы 4.1.
4.3. Верхние границы для кратностей. Из теоремы 3.3 можно
получить некоторые сведения о влиянии особенностей на строе-
строение кривой. Рассмотрим, например, кривую третьего порядка
с двумя двойными точками. Применяя теорему 3.3 к точкам
пересечения этой кривой с прямой, соединяющей две указанные
точки, получим, что наша кривая должна содержать эту прямую
в качестве компоненты. Менее очевидный пример дается кри-
кривыми четвертого порядка с четырьмя двойными точками: всегда
можно указать линию второго порядка, проходящую через эти
четыре точки и произвольную пятую точку данной кривой.
Но тогда, по теореме 3.3, рассматриваемая кривая должна иметь
общую компоненту с кривой второго порядка и, следовательно,
будет приводимой.
Эти примеры показывают, что имеется некоторая верхняя
граница для числа особых точек данной неприводимой кривой.
Такая граница указывается следующими теоремами:
§ 4. Линейные системы кривых 79
Теорема 4.3. Если кривая порядка п, не имеющая кратных
компонент, содержит точки Рг кратностей г4 то
п(п-1)>2/ч(/Ч-1). ' D.1)
Доказательство. Выберем координатную систему так,
чтобы ни одна из вершин репера не лежала на данной кривой
F = 0. Тогда частная производная Fo не равна тождественно
нулю. Кроме того, многочлен F не содержит множителей, в ко-
которых отсутствует х0. Ввиду того, что F не имеет кратных ком-
компонент, Fo не может иметь общих множителей с F. Заметим
теперь, что кривая F0(x)=^0 имеет каждую из точек Р^ точкой
кратности ri — 1, так как все производные порядка /ч —2 от
Fo, являющиеся производными порядка г\— 1 от F, обращаются
в точке Pi в нуль. Нужное неравенство получается при приме-
применении теоремы 3.3 к точкам пересечения Pi кривых F — 0
и F0 = 0.
Если кривая F распадается на п различных прямых, прохо-
проходящих через общую точку, то эта точка будет иметь кратность
га и в соотношении D.1) будет стоять знак равенства. Поэтому
неравенство D.1) в общем случае не может быть улучшено.
Однако для неприводимых кривых имеет место
Теорема 4.4. Если неприводимая кривая С порядка п
содержит точки Р\ кратностей rit то
Доказательство. Так как кривая С не имеет кратных
компонент, то, по предыдущей теореме, будем иметь
Отсюда следует, что существует кривая С порядка п — \, содер-
содержащая точки Pi в качестве (г4 — 1)-кратных точек и проходящая
через
простых точек кривой С. Кривые С в С не могут иметь общих
компонент, так как С неприводима, а С имеет меньший поря-
порядок, чем С. Поэтому, в силу теоремы 3.3, будем иметь
что и дает соотношение D.2).
Неравенство D.2) также не может быть улучшено, так как
равенство обеих частей достигается для кривой хп-\- уп~1 ¦-- О,
имеющей точку кратности в-1 в начале координат.
80 Гл. III. Плоские алгебраические кривые
4.4. Упражнения. 1. Доказать, что линейная система кривых
порядка 2, имеющая 4 базисных точки, будет пучком, если
базисные точки не лежат на одной прямой. (Если бы эта система
имела размерность > 1, то в ней можно было бы найти кривую,
проходящую через две произвольные точки. Доказать, что это
невозможно.)
2. Доказать, что при данных значениях пик, где 0<&<
<iV + l, существует к таких точек, что линейная система кри-
кривых порядка п с этими базисными точками имеет размерность,
точно рапную N — k. (Применить индукцию по к.)
3. Если кривая порядка п имеет к различных компонент и со-
содержит точки Pi в качестве /ч-кратных точек, то
{Применить индукцию по к.) ¦
4. Построить связку кривых четвертого порядка, имеющую
13 простых базисных точек. (Сначала построить сеть с 12 базис-
базисными точками.)
5. Гиперповерхности порядка п в пространстве Sr образуют
проективное пространство размерности N — (r J — 1.
§ 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
5.1. Достаточные условия рациональности. В элементарной
аналитической геометрии часто задают кривые, выражая коорди-
координаты их точек как функции некоторого параметра. Мы уже при-
применяли этот прием в случае прямой линии [уравнения B.1)
и являются параметрическими уравнениями прямой]. Рассмотрим
теперь более общий случай, когда координаты оказываются ра-
рациональными функциями параметра. Позже мы увидим, что такое
выражение может быть получено только для кривых частного
типа, называемых рациональными кривыми.
Мы будем называть неприводимую кривую / (х, у) = 0 рацио-
рациональной, если существуют такие две рациональные функции
<р(Х), ф(Х)е#(Х), что:
1) Для почти всех значений1) Ъ0?К точка (<р(Х0), $(Ю)
является точкой кривой /.
2) Для почти каждой точки (х0, у0) кривой / существует един-
единственное значение \0?К, удовлетворяющее условиям жо = ср(Хо),
а) Термин «почти все» означает: все, кроме конечного числа. Слово
«почти» будет иметь аналогичный смысл и в других сочетаниях. (Прим.
перев.)
§ 5. Рациональные кривые 81
В условиях сформулированного определения невозможно из-
избежать конечного числа исключений. Последние возникают из
двух источников. Одним из них является то обстоятельство, что
рациональная функция определена не для всех значений пере-
переменной. Другим источником исключений являются особые точки
кривой /. Рассмотрим в качестве примера кривую примера 8,
п. 2.4. Если мы положим
9 \к) — хр
то, как легко проверить, условия 1 и 2 выполняются. Исклю-
Исключительным значением Хо в условии 1 будет Ко = 0; исключитель-
исключительной точкой в условии 2 будет особая точка @, 0), соответствую-
соответствующая значениям к ¦-= ± i.
Докажем здесь лишь одну теорему о рациональных кривых.
Теорема 5.1. Если неприводимая кривая порядка п, для
которой точки Pi являются точками кратности rit удовлетво-
удовлетворяет условию
то она рациональна.
Доказательство. Рассмотрим линейную систему Sr кри-
кривых порядка и —1, имеющую точки Pi своими (/ч — 1)-кратными
базисными точками и, кроме того, имеющую еще In — 3 простых
базисных точек на кривой /. Размерность R этой системы удо-
удовлетворяет неравенству
Предположим, что R > 1. Тогда в системе .Уд найдется кривая g,
проходящая через две точки кривой /, не принадлежащие к числу
базисных точек системы. Применяя теорему 3.3 к точкам пере-
пересечения кривых jug, найдем, что эти кривые должны иметь
общую компоненту, так как
Но это невозможно, ввиду неприводимости кривой / и того, что
порядок кривой g ниже, чем порядок кривой /. Следовательно,
R — 1 и кривые системы ^н, за единственным исключением,
могут быть выражены уравнением ^1 + ^2 = 0-
Выберем аффинную систему координат так, чтобы было
f^=ayn+... , афО,
gl==byn~l + ... , ЬФО,
gi = cyn~i + .-- , сФО,
6 Р. Уокер
82 Гл. III. Плоские алгебраические кривые
и чтобы кривые / и gx не имели пересечений в бесконечности.
Обозначим через R(x, X) результант многочленов / и gt + Xg2
относительно у. Тогда будем иметь
где N — и (и — 1). R(x, 0) есть результант / и gx. Он имеет сте-
степень и (га — 1) относительно х. Следовательно, Ья@)Ф0, и ра-
равенство bjy (Хо) = 0 может иметь место лишь при конечном числе
значений Хо. Исключим эти значения во всем дальнейшем рас-
рассмотрении. В таком случае кривые / и gi + Xg2 He будут иметь
пересечений в бесконечности. Так как точка /)i = (ai, bi) является
тч-кратной точкой кривой /, то уравнение R(x, Хв) = 0 будет
иметь ai своим корнем, кратность которого > тч (тч — 1) (по тео-
теореме 3.2). Кроме того, для каждой из выбранных 2и— 3 простых
точек {cj, dj) кривой / числа с,- будут корнями того же уравнения.
Но равенство
показывает, что мы учли все корни этого уравнения, кроме
одного. Оставшийся неучтенным корень будет
Указанным образом определена некоторая рациональная функ-
функция <р (X). Поступая таким же образом с результантом многочле-
многочленов / и gi + Xga относительно х, получим другую рациональную
функцию ty (X). Покажем, что эти рациональные функции удовле-
удовлетворяют условиям, содержащимся в определении рациональной
кривой.
1) По самому определению <р(\) и <]>(Х), для каждого из не-
исключенных значений X точка (?(Х0), ф(Хо)) будет точкой кри-
кривой /. . .
2) Если (ж0, г/0) —точка кривой /, не лежащая на g2, то су-
существует единственное значение Хо, при котором кривая g1 + Xg2
проходит через точку (х0, у0): Хо= — gx(x0, yo)/g2{xo, yQ). Следо-
Следовательно, уравнение R (х, Хо) имеет х0 своим корнем, а значит
жо = ср(Хо). Подобным же образом, гуо==ф(Хо)- Этим доказательство
теоремы закончено, так как существует лишь конечное число
точек кривой /, лежащих на g2.
Следующий пример показывает, что существуют рациональ-
рациональные кривые, для которых 2 ri (ri—1) < (п—1)(и —2). Кривая
четвертого порядка (х2 — уJ — у3 — 0 имеет единственную особую
точку кратности 2 в начале координат. Эта кривая рациональна,
так как функции
=
6. К ривые второго и третьего порядка 83
удовлетворяют условиям 1 и 2 (последнее — вследствие того, что
Полное исследование рациональных кривых будет проведено
в гл. 6.
5.2. Упражнения. 1. Показать, что если точка (а, Ь) есть
(п— 1)-кратная точка кривой /, то в приведенном выше дока-
доказательстве кривые gi + Xg2 могут быть заменены прямыми
2. Провести доказательство теоремы 5.1 при п > 2, применяя
кривые порядка п — 2, которые в каждой из точек Pi имеют
(/Ч — 1)-кратную точку и проходят через и —3 простых точек
кривой /.
3. Доказать, что определение рациональной кривой в проек-
проективных координатах может быть сформулировано так: кривая F
будет рациональной, если существуют однородные многочлены
Gi (X, [а) одной и той же степени, удовлетворяющие условиям:
1) Для почти всех значений отношения Хо; [а0 точка (Gi (Хо, [а0))
лежит на кривой F.
2) Почти каждой точке (а) кривой F соответствует единствен-
единственное значение отношения Хо : [а0, при котором р«ц = Gi (Хо, [х0), р Ф 0.
. 4. Доказать, что кривая без кратных компонент, для которой
удовлетворены условия 1 и 2, будет неприводимой, а значит
и рациональной.
§ 6. КРИВЫЕ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
6.1. Кривые второго порядка. В качестве иллюстрации при-
применим некоторые из полученных результатов к простейшим кри-
кривым. Рассмотрим кривые порядка, меньшего четырех. С этой точ-
точки зрения кривые первого порядка, т. е. прямые линии, не имеют
интересных свойств. Начнем с кривых второго порядка.
Для кривой второго порядка мы имеем (п — 1)(п — 2) = 0.
Отсюда следует, что каждая неприводимая кривая С второго
порядка является неособенной и рациональной. Если gi + tyz —
пучок прямых с базисной точкой на кривой С, то координаты
второй точки пересечения прямой пучка с кривой С будут рацио-
рациональными функциями X, дающими рациональную параметризацию
рассматриваемой кривой. Если в качестве вершин репера выбрать
две произвольные точки кривой С и точку пересечения касатель-
касательных к кривой С в этих точках, то уравнение рассматриваемой
кривой примет вид х% — ахххг = 0, причем коэффициент а может
быть сделан равным единице, если выбрать единичную точку
репера также на кривой.
6*
84 Гл. III. Плоские алгебраические кривые
Приводимая кривая второго порядка, очевидно, является либо
парой прямых, либо одной прямой, считаемой дважды. Следую-
Следующая теорема часто полезна для определения того, является ли
данная кривая второго порядка приводимой, или нет:
Теорема 6.1. Кривая второго порядка
2
F= 2 aijXiXj = 0,
i,j=0
где aa = aji, приводима тогда и только тогда, когда определи-
определитель | ау | = 0.
Доказательство. В силу сделанного выше замечания,
кривая F приводима тогда и только тогда, когда она имеет
особую точку. Это будет иметь место в том и только в том слу-
случае, если уравнения Fi = 0, i = 0, 1, 2 имеют ненулевое решение.
Но Fi~2^aijXj, т. е. указанные уравнения линейны и одно-
i
родны. Они имеют ненулевое решение тогда и только тогда, когда
К; 1 = 0.
6.2. Кривые третьего порядка. Перейдем теперь к более
интересному случаю кривых третьего порядка. Следующая теорема
устанавливает любопытное свойство кривых третьего порядка,
которое будет обобщено позже (теорема IV—7.3):
Теорема 6.2. Если две кривые третьего порядка пересе-
пересекаются точно в девяти точках, то любая такая кривая, прохо-
проходящая через восемь из этих точек, проходит и через девятую.
Доказательство. Пусть Ft и F2— две кривые третьего
порядка, пересекающие друг друга в различных точках Ръ ..., Рв,
и пусть F — кривая третьего порядка, проходящая через точки
Рг, ..., Р8. Если многочлен F линейно зависит от Fi и F2, то
при некоторых U[t будет выполняться равенство XF1 + \iFz = F.
В таком случае кривая F проходит через точку Р9, так как через
нее проходят Fx и F2. Если F\, F2 и F линейно независимы,
то X, {г, v могут быть выбраны так, чтобы кривая \F1-\-pF2 + vF
проходила через любые две заданные точки. Покажем, что это
приводит к противоречию.
1) Никакие четыре из девяти точек Р\ не могут лежать на
одной прямой, так как эта прямая была бы общей компонентой
Fx и F2. По аналогичной причине никакие семь из точек Pi не
могут лежать на кривой второго порядка. Предположим теперь,
что точки .Рх, Р2, Р3 лежат на прямой L. Тогда пять точек
Pt, ..., Ps расположены на однозначно определенной кривой Q
второго порядка. Действительно, если две различные кривые второго
порядка имеют пять общих точек, то они имеют общую компо-
компоненту. Другие их компоненты могут иметь лишь одну точку
пересечения, не лежащую на общей прямой. Отсюда следует,
§ 6. Кривые второго и третьего порядка 85
что остальные четыре точки лежат на прямой, а это невозможно.
Пусть теперь А — точка прямой L, отличная от Рг, Рг, Р3,
и В — точка, не лежащая ни на L, ни на Q (рис. 10). Если
X, |х, v выбраны так, что кривая \FX + p,F2 + vF, всегда прохо-
проходящая через Ръ ..., Ps, проходит также через А и В, то эта
кривая должна иметь прямую L своей компонентой. Другой
компонентой должна быть кривая Q. Но это невозможно, так
как L и Q не содержат точки В.
2) Предположим теперь, что
точки Plt .. ., Рв лежат на кривой
второго порядка Q. Тогда Р7, Ps
лежат на некоторой прямой L.
Беря в качестве точки А любую
из других точек кривой Q, а в ка-
качестве В — точку, не лежащую ни
на Q, ни на L, приходим к про-
противоречию тем же путем, что и
выше.
3) Если никакие три из то- Рис. 10.
чек Рг, ..., Ps не лежат на пря-
прямой и никакие шесть — на кривой второго порядка, то возьмем
в качестве L прямую />1/>2> а в качестве Q кривую второго по-
порядка, проходящую через точки Р3, ..., Р7- Беря точки А и В
на прямой L и поступая как в случае 1, снова приходим к про-
противоречию, так как точка Ps не лежит ни на Q, ни на L. Этим
исчерпаны все возможности и теорема доказана.
Одно из следствий доказанной теоремы заключается в воз-
возможности снять требование неприводимости в теореме 4.1 в слу-
случае, когда n = 3, nt=--2. Действительно, если кривая второго
порядка содержит шесть из девяти точек пересечения двух кри-
кривых третьего порядка, то кривая третьего порядка, состоящая
из указанной кривой второго порядка и прямой, соединяющей две
из остальных трех точек, будет содержать и третью из остав-
оставшихся точек. Теперь доказательство теоремы 4.2 может быть без
изменения проведено и в случае приводимой кривой второго по-
порядка. Получается теорема Паппа.
6.3. Точки перегиба. Точкой перегиба кривой F называется
такая неособая точка этой кривой, в которой касательная имеет
с кривой не менее чем трехкратное пересечение. Любая точка
прямолинейной компоненты кривой F будет точкой перегиба
в смысле этого определения. Этот неинтересный случай мы не
будем рассматривать, ограничиваясь рассмотрением кривых, не
имеющих прямолинейных компонент.
Простейшими кривыми, могущими иметь точки перегиба,
будут кривые третьего порядка.
Гл. III. Плоские алгебраические кривые
Теорема 6.3. Точками перегиба кривой F являются все не-
неособые точки пересечения кривой F с кривой
Кривая Н (х) = 0 называется кривой Гессе для F, а выражение
Н (х) — гессианом F.
Доказательство. Пусть (а) —простая точка кривой F,
а (Ь) — любая другая точка. Тогда
F (as +bt) = F (а) б" + 2 ^i (a) hsn~4 + \^ FV <a) bi ь^~
Обозначим через L прямую 2 Fi (а) а* — О, а через Q кривую
второго порядка 2 Рц (а) х&} — О- В силу сказанного в п. 2.1,
точка (а) будет точкой перегиба кривой F в том и только в том
случае, если прямая L является компонентой Q, т. е. если из
равенства 2^i (a) 6i = 0 следует равенство 2 Рц (а) bibj ¦= 0. Сле-
Следовательно, если (а) —точка перегиба, то Q приводима и Н (а) = 0
(теорема 6.1). Наоборот, если Н(а) — 0, то кривая Q приводима.
Тогда кривая Q обязательно содержит точку (а), ибо, в силу
теоремы Эйлера (теорема I —10.3), ]?} Fij (a) aiuj = n(n — l)F(a) = 0.
Кроме того, L будет касательной к Q, так как уравнение каса-
касательной к Q в точке (а)
может быть (снова в силу теоремы Эйлера) переписано так:
Отсюда следует, что в случае приводимости кривой Q пря-
прямая L будет ее компонентой, а потому точка (а) — точкой пере-
перегиба кривой F.
Если кривая F имеет порядок и>3, то кривая Н имеет
порядок 3(п — 2) > 0 и, следовательно, пересекает F хотя бы
в одной точке. Отсюда вытекает
Теорема 6.4. Каждая неособая кривая порядка >3 имеет
хотя бы одну точку перегиба.
Легко видеть, что неособая кривая . второго порядка вообще
не имеет точек перегиба.
6.4. Точки перегиба и нормальная форма кривой третьего
порядка. Возвращаясь к кривым третьего порядка, докажем
прежде всего
Теорему 6.5. Уравнение любой неособой кривой С третьего
порядка надлежащим выбором координатной системы может
§ 6. Кривые второго и третьего порядка 87
быть приведено к виду
У2 = в(х), F.1)
где g (x) — многочлен третьей степени с различными корнями.
Доказательство. В силу теоремы 6.4, кривая С имеет
хотя бы одну точку перегиба. Выберем систему координат так,
чтобы точкой перегиба была точка @, 0, 1), а уравнение каса-
касательной в этой точке имело вид жо = О. В таком случае уравне-
уравнение кривой С в аффинной системе будет
*• + ?(*, У) = 0, F.2)
где многочлен <р имеет степень 2. Он должен содержать член
ауг, а фО, так как в противном случае точка @, 0, 1) была бы
особой. Разрешив уравнение F.2) относительно у, получим
, F.3)
где g (x) — многочлен третьей степени от х. После этого преобра-
преобразованием У--у — ах — р, х = х уравнение F.3) приводится
к виду F.1). Если бы при этом многочлен g(x) имел кратный
корень г, то дальнейшим преобразованием х = х — г, у = у урав-
уравнение приводилось бы к виду
и кривая имела бы в начале координат особую точку.
Мы можем доказать теперь одно из наиболее интересных
свойств кривых третьего порядка:
Теорема 6.6. Неособая кривая третьего порядка имеет
девять точек перегиба. Любая прямая, соединяющая две ив этих
точек, обязательно проходит через третью ив них.
Доказательство. Надлежаще подобранным преобразова-
преобразованием х' = ах-\-ф, у' =У уравнение F.1) можно привести к такому:
где Ь (а2 — АЬ)ФО, так как многочлен х3 -f- ax2 + Ьх имеет различ-
различные корни. Непосредственным вычислением получим гессиан кривой
h = (г/2 + Ьх) (За; + а) — (ах +ЬJ.
Исключив у из / и Л, получим
к (х) .= Зж* + Ьах3 + 6&са — Ь2 = 0.
Это уравнение имеет четыре различных корня, так как
и результант к я к' равен
6* (а2-
Гл. III. Плоские алгебраические кривые
Для каждого из указанных корней найдутся два различных
значения у, так как ни одно из полученных значений х не удо-
удовлетворяет уравнению xs+ax2 -\-bx=^0. Так как мы имели с самого
начала одну точку перегиба ь бесконечности, то всего получается
девять точек перегиба. Второе утверждение теоремы теперь полу-
получается непосредственно, ибо из любых двух таких точек одна
может быть принята за @, 0, 1), другая —за A, а, Ь). Но в таком
случае точка A, а, —Ъ) также является точкой перегиба и эти
точки лежат на одной прямой.
Конфигурация, образованная девятью точками перегиба
кривой третьего порядка, была предметом многих исследований.
Некоторые из ее свойств указаны в приведенных ниже упражне-
упражнениях. По поводу других свойств отсылаем интересующегося
читателя к «Энциклопедии математических наук» (Encyklopadie
der Mathematischen Wissenschaften), т. III, 2.1, стр. 475 — 479.
6.5. Упражнения. 1. Пусть три кривых второго порядка
Qu (?2. (?з имеют четыре общие точки Ръ . . ., Pit не лежащие
на одной прямой, а прямые Ьъ L2, Ls проходят через пятую
точку Рб. Если каждая из прямых 1ц пересекает соответствующую
кривую Qi в различных точках А\ и Bi, ни одна из которых
не совпадает с Р,, то существует единственная кривая третьего
порядка, проходящая через 11 точек Рг, ..., Р5, Alt A2, А3т
В1у В2, В3.
2. Показать на примере, что кривые четвертого порядка,
проходящие через 13 точек, не обязаны иметь еще одну точку,
общую им всем. (Воспользоваться упражнением 4 п. 4.4.)
3. Неприводимая кривая третьего порядка, имеющая обыкно-
обыкновенную особую точку, имеет три точки перегиба, лежащие на
одной прямой. Ее уравнение может быть приведено к виду
у2 = х2{х + \).
4. Неприводимая кривая третьего порядка, имеющая особую
точку с совпадающими касательными, имеет одну точку перегиба.
Ее уравнение можно привести к виду у2 = х3~
5. Точки перегиба неособой кривой третьего порядка обра-
образуют систему из девяти точек, обладающую тем свойством, что
прямая, соединяющая две из этих точек, обязательно проходит
еще через одну точку (теорема 6.6). Показать,, что надлежащим
выбором координат можно добиться того, чтобы точки любой
такой системы имели координаты
(О, 1, -1) (-1, 0, 1) A, -1, 0)
@, 1, а) (а, 0, 1) A, а, 0)
@, 1, р) (р, 0, 1) A, р, 0)
где аир — корни уравнения х2 — х -f-1 = 0.
§ 7. Анализ особенностей 89»
6. Любая кривая третьего порядка,, проходящая через точки,
о которых шла речь в упражнении 5, определяется уравнением.
= 0.
r
Эта кривая имеет особую точку только тогда, когда т принимает
одно из значений оо, -1, а, р и когда кривая распадается;
на три прямых. Еели кривая неприводима, то она имеет упомя-
упомянутые девять точек своими точками перегиба.
7. Если F — неособая кривая третьего порядка и Н — ее кри-
кривая Гессе, то каждая кривая третьего порядка вида aF-j-bH,.
кроме четырех исключительных, является такжо неособой
и имеющей те же точки перегиба, ч*о и F.
8. Неособая кривая третьего порядка преобразуется в себя
группой, состоящей из 18 коллинеаций.
9. Гиперповерхность второго порядка Q в пространстве S
имеет уравнение вида 2 «^^, = 0, где а^ = а'ч. Она имеет особые
точки в том и только в том случае, если |й^| = 0. Если особая
точка существует, то гиперповерхность является конусом с вер-
вершиной в этой особой точке. Общее: если матрица || Оу.Ц имеет
ранг s, то особые точки гиперповерхности Q образуют некоторое
подпространство Sr_s, каждая точка которого может быть при-
принята за вершину конуса. Если s = 2, то Q состоит из двух;
гиперплоскостей. Если *=1, то Q будет двукратной плоскостью.
§ 7. АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ
7.1. Необходимость анализа особенностей. Рассматривая)
кратные точки, мы обращали внимание лишь на их кратность.
Следующий пример показывает необходимость более подробного
изучения таких точек. Кривая
xi + х*у* — у2 — 2а2х* Jf а1 = 0
неприводима при любом значении а и при а Ф 0 имеет обыкно-
обыкновенные особые точки в (± а, 0) и в бесконечно удаленной точке
оси у. Поэтому наша кривая при а ф 0 является рациональной,
(теорема 5.1). Действительно, можно взять
При а —0 кривая имеет только две двойных точки: в начале
координат и в бесконечности. Но первая из этих точек не будет
обыкновенной. Очевидно, что и в этом случае кривая будет
рациональной, так как рациональная параметризация получается,
если в формулах G.1) положить а = 0. Это подсказывает воз-
возможность рассмотрения особой точки в начале, как двух «сов-
«совпадающих» или «бесконечно близких» особых точек, так, чтобы.
SO Гя. III. Плоские алгебраические кривые
теорема 5.1 и в этом случае оказалась применимой в некотором
расширенном смысле. Один из общих способов определения
«бесконечно близких» особенностей состоит в применении ква-
квадратичных преобразований.
7.2. Квадратичные преобразования. Рассмотрим две проек-
проективные плоскости 1У2 и ^2 и соответствие между их точками,
¦определяемое формулами
G.2)
где I, /, к — 0, 1, 2, причем все числа i, /, к различны, (х0, хх, х2)
и (у0, ух, у2) — координаты некоторых точек (х) и (у) в выбран-
выбранных координатных системах. Соответствие, определяемое форму-
формулами G.2), будем называть квадратичным преобразованием
плоскости S2 в S'2 и будем обозначать его через Т. При этом
образ {у) точки (х) можно обозначить через Т (х). Преобразова-
Преобразование Т имеет следующие свойства:
1) Каждая точка плоскости <У2, за исключением точек A, 0, 0),
40, 1, 0) н @, 0, 1), преобразуется в определенную точку плоско-
плоскости S'2. Три исключительные точки называются фундаменталь-
фундаментальными точками преобразования Т. Их образы формулами G.2)
•не определены.
2) Ike точки прямой ж4 = 0, кроме фундаментальных, отобра-
отображаются в точку yi=l, 2/у = 0, ун — О- Три прямые зч = 0 назы-
называются иррегулярными прямыми преобразования.
Обозначим через 7" преобразование
ач == У 0 k
плоскости ^ в ^2- Оно, очевидно, также обладает свойствами,
•подобными свойствам 1 и 2. Кроме того, мы имеем:
3) Если (ж) —точка, не лежащая на иррегулярных прямых
преобразования Т, то точка (у) = Т{х) не лежит на иррегуляр-
вых прямых преобразования 7", причем Т'(у) = (х).
Так как аналогичное свойство имеет место также для Т',
мы видим, что Т и Т' определяют взаимно однозначное соответ-
соответствие между точками плоскостей S% ъ S'%, не лежашими на ирре-
иррегулярных прямых. Преобразования Т и Т' являются взаимно
обратными.
7.3. Преобразование кривой. Если
F (х0, Хх, х2) = F (xi) = 0
—кривая на плоскости Sit то образы ее точек при преобразо-
преобразовании Т будут удовлетворять уравнению
yoyit
§ 7. Анализ особенностей 91
Кривую G мы будем называть алгебраическим образом кривой F.
Чтобы увидеть точный геометрический смысл отношения между F
и G, нужно рассмотреть, что получается, если кривая F содержит
фундаментальные точки преобразования Т. Рассмотрим сначала
простейший случай, когда F будет прямой линией L-- 2 о, гхг — 0.
Случай 1. Все коэффициенты aiфO. В таком случае ни
одна из точек прямой^ не будет фундаментальной точкой, так
что каждая точка L имеет однозначно определенный образ.
Образы всех точек L лежат на кривой второго порядка
С — 2 щУзУн — 0, содержащей фундаментальные точки преобра-
преобразования Т', но не имеющей других точек пересечения с ирре-
иррегулярными прямыми этого преобразования.
Легко видеть, что в рассматриваемом случае соответствие
между точками линий L и С будет взаимно однозначным. Фун-
Фундаментальные точки на кривой С будут образами точек пересе-
пересечения прямой L с иррегулярными прямыми преобразования Т.
Взаимная однозначность соответствия между остальными точками
гарантируется свойством 3.
Случай 2. Прямая L — хх-4-\хг = 0 проходит через одну
из фундаментальных точек. Ее алгебраический образ у^у^-\-
+ Хг/Ог/1 = О является приводимой кривой второго порядка, состо-
состоящей из прямой L' = у2 + ^j/i = 0 и иррегулярной прямой уй — 0.
Как и в случае 1, можно показать, что соответствие между точ-
точками L и L' будет взаимно однозначным, так что естественно рас-
рассматривать именно прямую L' как действительный геометрический
образ прямой L. Вторая компонента уо = О должна рассматри-
рассматриваться при этом как «излишняя», обусловленная лишь множите-
множителем у0, появляющимся при алгебраических преобразованиях.
Случай 3. Если L = x0 — 0—одна из иррегулярных пря-
прямых, то ее алгебраическим образом будет пара иррегулярных
прямых преобразования Т. Но для каждой точки прямой L,
имеющей определенный образ, этим образом будет точка A, 0, 0),
так. что в качестве геометрического образа L естественно рас-
рассматривать единственную точку. Такое нарушение взаимной
однозначности соответствия всегда нежелательно, и мы будем
избегать его, ограничиваясь рассмотрением только таких кри-
кривых, которые не содержат в качестве компонент иррегулярных
прямых. •
Рассмотрев приведенные выше частные случаи, мы приходим
к такому определению: пусть кривая F(x)-—0 не содержит
иррегулярные прямые своими компонентами и пусть
— алгебраический образ F. Если G(y) = n(y)F' (у), где к(у) —
произведение степеней гд, а многочлен F' не делится ни на
92 Гл. III. Плоские алгебраические кривые __
один из yi, то кривую F' мы будем называть образом кривей F при
преобразовании Т. В таком случае имеет место следующая
Теорема 7.1. Если F' — образ кривой F при преобразо-
преобразовании Т, mo F есть образ кривой F' при преобразовании Т'.
Взаимная однозначность соответствия между точками кри-
кривых F и F' при преобразованиях Т и Т' может нарушаться
лишь для конечного числа точек. Образами компонент каждой
из кривых F и F' будут компоненты другой кривой, причем
соответствие между компонентами взаимно однозначно.
Доказательство. Имеем
Р(У\У*> УгУо' УоУ1):=к1(у)Р' (Уо, Уи Уг)- G-3)
Подобным же образом
0, xlt x2), G.4)
F(xjXiy x&o, xilx1) = v:i(x)F(x0, xlt x2),
где F" ~- образ F' при преобразовании Т'. Заменив в G.3) yi на
XjXh, получим
F(xlx1x2, хйх\хг, xox1xl) = n3(x)F'(хгх2, х2х0, хохг) =
^^i(x)F''(x0, хг, x2)t
где все и будут произведениями степеней переменных. Ввиду од-
однородности многочлена F должно быть
xQxfx2, xox-ix^=--(xQx1xi)nF{xu, хг, х2)
и, следовательно, должно иметь место равенство F" = F, так как
ни F", ни F не делятся ни на одну из переменных xi. Этим
доказано первое утверждение. Взаимная однозначность соответ-
соответствия между точками следует из свойства 3 квадратичного пре-
преобразования, ибо кривые F и F' имеют только конечное число
точек пересечения с иррегулярными прямыми. Взаимная одно-
однозначность соответствия между множителями F и F' непосред-
непосредственно вытекает из соотношений G:3) и G.4).
7.4. Преобразование особой точки. Как уже отмечалось
в п. 7.1, предметом нашего изучения будет влияние квадратичного
преобразования на особые точки кривой. Прежде чем рассмат-
рассматривать общий случай, обратимся снова к приведенным выше
примерам (случай 2). В определенном там соответствии между
точками прямых L и L' фундаментальная точка ^ = A, 0, 0)
на прямой L соответствует точке @, 1, —I), в которой прямая//
пересекает иррегулярную прямую уо = О. Придавая I различные
значения, мы можем сделать точку Р соответствующей различным
точкам прямой у0 = 0. Следовательно, точки иррегулярной прямой
у0 —0, в некотором смысле, однозначно соответствуют направле-
направлениям в фундаментальной точке A, 0, 0). Мы увидим сейчас,
что подобное соответствие можно установить в случае любой
§ 7. Анализ особенностей 93
кривой. При этом точки пересечения кривой F' с иррегуляр-
иррегулярными прямыми будут соответствовать касательным к кривой F
в надлежащей фундаментальной точке.
Теорема 7.2. Пустр F — кривая порядка п, имеющая
в фундаментальных точках Xj =xh~0 (i, j, k различны) ri-крат-
ные точки. Если ни одна из касательных к F в этих точках
не является иррегулярной прямой, то
1) Алгебраический образ G кривой F имеет прямую yi = О
своей ri-кратной компонентой, так что кривая F' имеет порядок
2п-ч%п.
2) Существует взаимно однозначное и сохраняющее кратности
соответствие между касательными к кривой F в точке Xj — х^ — О
и точками пересечения кривой F' с прямой уг~0, отличными
от фундаментальных точек.
3) Точка 2/, = 2/fe = O является {n — rj — ГкУкратной точкой
кривой F'. Касательные к F' в этой точке не совпадаете ирре-
иррегулярными прямыми и находятся во взаимно однозначном соот-
соответствии с не фундаментальными точками пересечения кривой F
U ПрЯМОй Xi = 0.
Доказательство. Сосредоточим внимание на фундамен-
фундаментальной точке A, 0, 0). Многочлен F должен иметь вид
F (х) = 4ГГ0Л0 («ь ж») + эгГ1 А„+1 (Хъх2)+...+ Ап (хъ х2),
Где каждый из Ар — однородный многочлен степени р и АГоАп Ф 0.
Следовательно,
G = F (yjVk) = УТ^УТ^^о B/22/о. УоУг) + ¦ ¦ • + Ai (у2у0,
Отсюда видно, что г/'* есть наивысшая степень у0, на которую
делится G. Так как подобное рассуждение применимо также
к 2/i и 2/г, то утверждение 1 доказано. Для доказательства
утверждения 2 достаточно просто заметить, что касательные
к кривой F в точке A, 0, 0) будут компонентами кривой
АГо (xi, ж2) = 0, а точки пересечения F" с прямой у0 = 0 опре-
определяются корнями уравнения
Отсюда с очевидностью следует требуемое соответствие. Для
доказательства 3 напишем
F' = уП-го-Пуп-Ч-г2Аго(у^ у1)+... +у^оуТПу-г,Ап(у2, У1).
Кратность точки A, 0, 0) кривой F' будет, очевидно, степенью
многочлена
ъ У г) - У\
94 Гл. III. Плоские алгебраические кривые
и поэтому равна п — гх — /*а. Кроме того, касательными к Fr
в этой точке будут компоненты кривой В (уи у3) = 0. Если бы
одна из них была иррегулярной прямой, например уг = 0, то
многочлен Ап (уг, г/i) делился бы на у\ при г > гх. Но в этом
случае кривая F имела бы r-кратное пересечение с прямой х0 = О
в точке @, 1,0). Так как это означало бы, что прямая х0 — О
является касательной к кривой F в точке @, 1, 0), то наше
предположение невозможно. Последняя часть утверждения S
получается применением утверждения 2 к преобразованию Т'.
Поучительно проверить доказанную теорему, применив ее
последовательно к преобразованиям Т и Т'. Преобразование Т
обращает числа п, rQ, rx, гг, соответственно, в
Т' переводит п', г'о, г[, г'2 в числа п", r"Q, r'{, г'^, определяемые
подобными же формулами. Прямой подстановкой можно убедиться,
что п" = п, Го = r0, r\ = rlt Tj = га, как и должно быть.
Так как преобразование Т переводит действительные точки
в действительные, теорему G.2) можно иллюстрировать чертежом.
На рис. 11 изображена кривая, полученная из кривой
хх (х\ + х\ — 2ж0Ж14) = О
преобразованием координат, а также преобразованная кривая F'.
В новой координатной системе имеем
п = Ъ, го = 4, /ч = 0, /-2=1.
Следовательно,
п' = 10-4-0-1 = 5, г; = 5-1-4 = 0,
Го==5-О-1 = 4, г2 = 5-4-0=1.
Четыре касательные к кривой F в точке A, 0, 0) попарно
совпадают, а поэтому кривая F' имеет две двукратные точки
пересечения с прямой у0 = 0. Четырем простым точкам пересе-
пересечения F с прямой «0 = 0 соответствуют четыре простые каса-
касательные к кривой F' в точке A, 0, 0).
Теорему 7.2 можно без большого труда обобщить, исключив
из ее формулировки условие о касательных в фундаментальных
точках. Это обобщение не будет применяться в дальнейшем, так
что его точную формулировку и доказательство мы оставим
читателю.
Наше исследование поведения особых точек при квадратичном
преобразовании завершает следующая теорема:
Теорема 7.3. r-кратная точка кривой F, не лежащая
на иррегулярной прямой, преобразуется в r-кратную точку
§ 7. Анализ особенностей
95.
кривой F'. Касательные в этих точках соответствуют друг-
другу с сохранением кратности. ,
Доказательство. Можно предполагать, что данная г-крат-
ная точка Р — A, 1, 1) является единичной точкой, так что ее-
Рис. и.
образ Р' имеет те же самые координаты. Действительно, есл1г
Р — (а0, аъ а2) и если ввести новые координаты
то уравнения квадратичного преобразования будут иметь тот же-
вид y'i = x'jXh, а в новых координатах Р = A, 1, 1). Ввиду того,
что кривые G и F' отличаются лишь компонентами, не содер-
содержащими точки Р', достаточно доказать это утверждение для
кривой G, вместо F". Пусть равенства
определяют преобразование координат в плоскости S%- Тогда
точка Р имеет z-координаты A,0, 0), и поэтому
F (х) = Fx (z) = zl~rAr (zlt z2) + ... + An (z1( z2) =
... +An(a?! — xQ, x2 — x0)^
i — x
0,
$6 , Гл. III. Плоские алгебраические кривые
¦Следовательно,
G(vi = уТгуТГа.т(у&о — 2/i2/2. 2/o2/i — У1У2) + ¦¦¦ +
j +Ai (г/22/0 — г/12/2, 2/o2/i — 2/12/г).
Выполним в плоскости 1^2 аналогичное преобразование координат
/ &о = Уо, Wi = yo — yi, «Ъ ¦-2/о — 2/г>
-обр/ащающее координаты точки Р' в A, 0, 0). Тогда
W0W2 —
И'г, <*о«-
+ . . . + An {WOWX — WxWz, W0W2 —
где (...) означает члены, содержащие низшие степени wQ, чем
предшествующий член. Наивысшая степень w0 содержится в пер-
первом члене, и поэтому многочлен Ar(wlt w2) определяет касатель-
касательные в точке Р'. Но это и доказывает теорему, так как касатель-
касательные к кривой F в точке Р определяются многочленом Ar(zlt z2).
7.5. Редукция особенностей. Мы в состоянии теперь доказать
•следующую основную теорему:
Теорема 7.4. Любую неприводимую кривую последователь-
последовательными квадратичными преобразованиями можно обратить в не-
неприводимую кривую, имеющую лишь обыкновенные особенности.
Доказательство. Назовем индексом, кривой F число
2(^ — 1), где тч — кратности всех особых точек F,- кроме обык-
обыкновенных. Так как теорема очевидна для кривых индекса нуль,
то можно применить индукцию. Предположим, что данная кри-
кривая имеет индекс / и что теорема верна для кривых индекса < /.
Достаточно доказать лишь, что наша кривая может быть пре-
преобразована в кривую индекса < /.
Пусть Р — одна из не обыкновенных /--кратных точек F. Тогда
существует координатная система, в которой:
1) Точка Р имеет координаты A, 0, 0).
2) Каждая из прямых хг = 0 и х2 — 0 пересекает F в п — г
различных точках, отличных от Р (теорема 2.6). '
3) Прямая жо = О пересекает кривую xxx2F в ra-f-2 различ-
различных точках (теорема 2.2).
В таком случае кривая F удовлетворяет условиям примени-
применимости теоремы 7.2. При этом г0 = /•, гг — гг = 0. Преобразование Т
превращает F в неприводимую кривую jF", обладающую следу-
следующими свойствами:
__ § 7. Анализ особенностей 97
4) F' имеет порядок In — r [теорема 7.2, 1].
5) Любая особая точка F, отличная от Р, преобразуется
в точку той же кратности; обыкновенная особенность пре-
преобразуется в обыкновенную (теорема 7.3).
6) Кривая F' имеет три новых обыкновенных особенности:
одну порядка и и две порядка п — г [теорема 7.2, 3].
7) Точке Р соответствуют некоторые точки Р'Л, а= 1, ..., к,
кривой F', лежащие на иррегулярной прямой уо = ® [тео-
[теорема 7.2, 2].
Особые точки кривой F', указанные в условиях 5 и 6, не
вызывают изменения индекса кривой. Если обозначить через г'а
кратность точки Р'а, то индекс кривой F' будет меньше индекса
кривой F на число
Но из теоремы 7.2, 2 видно, что ^г'а^,г, так как сумма крат-
ностей точек пересечения Р'а. кривой F' и прямой у0 — 0 должна
быть > 2 r'i и должна быть равна кратности точки Р кривой F.
Следовательно,
Отсюда видно, что h = О тогда и только тогда, когда к = 1 и г[ = г.
Если в действительности имеет место неравенство, то кривая F'
имеет индекс < / и теорема доказана. Если имеет место равенство,
то кривую F' можно подвергнуть квадратичному преобразованию
с фундаментальной точкой в одной из точек Р' и продолжать
этот процесс до тех пор, пока произойдет понижение индекса.
Чтобы показать, что действительно должно произойти понижение
индекса, рассмотрим кривую Fp+i, полученную из F последов
вательными (р+1) квадратичными преобразованиями, для каж-
каждого из которых было k = 0. Кривая Fp+i имеет порядок np+j =
= 2пр — г, имеет по две особых точки каждой из кратностей
п — г,¦ пг — г,...,щ — г и по одной особой точке кратностей
п, Пх, ..., Пр. В силу теоремы 4.4, целое число
р
Л* р+1 = (Wp+i -1) (пр+1 - 2) - 2 2 (nt - г) («i - >• -1) -
Р
— S«i(«i—1),
i=0
где п0 = п, должно быть неотрицательным. Но мы находим не-
непосредственным вычислением, что
Л/р+1 -Мр = /•(/• - 1)< -2,
7 Р. Уокер
Гл. III. Плоские алгебраические кривые
так как г>2. Поэтому число р не может быть произвольно
велико. Этим доказательство закончено.
Доказанная теорема не только интересна сама по себе,
но и очень важна при изучении некоторых свойств кривых,
в частности, свойств, связанных с теорией линейных рядов
(гл. VI). Сейчас мы укажем лишь одно ее применение к изуче-
изучению рациональных кривых. Легко видеть, что кривая, полу-
получаемая квадратичным преобразованием рациональной кривой,
снова рациональна. Поэтому достаточное условие, указанное-
в теореме 5.1, может быть применено к упрощенной кривой,
полученной на основании теоремы 7.4. В п. VI — 5.3 доказано,,
что в этом случае условие теоремы 5.1 также необходимо. Тем
самым получена полная характеристика рациональных кривых.
Теорему 7.4 можно обобщить на любые кривые, не обладаю-
обладающие кратными компонентами. Доказательство полностью сохра-
сохраняется, если использовать неравенство, установленное в упражне-
упражнении 3 п. 4.4 и заменить Mv на Mv-\-k — 1.
7.6. Идеальные точки. Квадратичные преобразования позво-
позволяют дать интересное и полезное описание сложных особых точек.
Пусть Р есть г-кратная точка кривой F без кратных компонент.
Бели точка Р взята за фундаментальную точку преобразования,
примененного в теореме 7.2, то после преобразования она заме-
заменяется точками Р{, ¦ ¦ ¦, Р'ь преобразованной кривой, имеющими
кратности r'u ...,r'h- Будем выражать это иначе, говоря, что
кривая F содержит идеальные точки Ръ ..., Ръ. кратностей
r'i> ¦ • •» r'k в окрестности первого порядка точки Р. Нужно, конечно,
понимать, что эти «соседние точки» вовсе не являются точками
в обычном смы.сле слова: они являются лишь средством словес-
словесного описания некоторых свойств кривой F. Так, утверждение,
что кривая F на рис. И имеет одну двойную и одну простую
идеальные точки в окрестности первого порядка точки хг = х2 = О,
означает, что кривая F' имеет одну двойную и одну простую точку
пересечения с прямой г/0 = 0 (кроме фундаментальных точек).
Такой способ выражения оказывается полезным, так как
идеальные точки обладают многими свойствами, подобными свой-
свойствам обычных точек. Будем называть точки Р» образами точек Ра.
Тогда каждая точка кривой F' будет образом одной или боль-
большего числа точек кривой F. Кроме того, каждая точка кривой F,
кроме точки Р, отображается на вполне определенную точку
кривой F'. Сама точка Р просто исчезает при отображении.
Ввиду того, что положение точек Pi при фиксированном пре-
преобразовании Т зависит от направления касательных к кривой F
в точке Р, мы будем говорить, что «положение» идеальных
точек РЛ определяется этими касательными. Поэтому о двух
кривых Fi и F2 мы будем говорить, что они имеют общую точку
§ 7. Анализ особенностей 99
в окрестности первого порядка точки Р, если они пересекаются
в Р и имеют общую касательную в этой точке. Другими сло-
словами, это означает, что образы F[ и F'% кривых Fy и F2 при
одном и том же преобразовании Т имеют общую точку Р'а.
Эта терминология может быть легко обобщена. Если F' имеет
точку кратности г$ в окрестности первого порядка точки Pi, мы
будем говорить, что эта точка является образом rg-кратной
идеальной точки Р$ кривой F, лежащей в окрестности второго
порядка точки Р. Таким образом, можно определить точки
окрестностей любого наперед заданного порядка.
Примеры. 1. Если Р — простая точка кривой F, то она
может иметь только одну соответствующую ей точку Р' кривой F'.
Таким образом, простая точка Р имеет только одну идеальную
точку в своей окрестности первого порядка. Эта точка также
простая. Отсюда непосредственно следует, что то же самое имеет
место для окрестностей любого порядка. Таким образом, анализ
особой точки можно прекратить, как только в результате квад-
квадратичных преобразований мы получим простую точку.
2. Если Р — обыкновенная r-кратная точка, то она заменяется
на кривой F' простыми точками Р'х, ..., Р'г. Таким образом,
в окрестности первого порядка точки Р лежит г простых идеаль-
идеальных точек.
3. В п. 7.1 мы видели, что кривая ж4 + х*У2 — У2 = 0 имеет
в начале координат двойную точку Р, не являющуюся обыкно-
обыкновенной и ведущую себя как пара обыкновенных двойных точек.
Чтобы применить квадратичное преобразование к точке Р, нужно
сначала изменить координатную систему так, чтобы оси не были
касательными к кривой в точке Р. Удобным преобразованием
координат будет замена у на у — х. Введя проективные коорди-
координаты, будем иметь
F = х\ + х\ (х2 - хху - (а;а - Xl)* xl
Поэтому
F' = У\ У1 + У1 B/1 - Уг? - B/1 - УгУ У\-
Точке Р соответствует на этой кривой точка/•' = ((), 1, 1). Заме-
Заменив теперь г/а на у'2 + уъ получим уравнение кривой F"
(Ух + 2/гJ У% + У\ У? - У\ У? = О,
причем точка Р' будет иметь координаты @, 1, 0). Кривая имеет
обыкновенную двойную точку в Р'. Поэтому особенность кри-
кривой F состоит из одной двойной точки в окрестности первого
порядка точки Р и двух простых точек в ее окрестности второ-
второго порядка. Такого рода особенность называется точкой самока-
самокасания (см. п. 2.4, пример 4).
100 Гл. III. Плоские алгебраические кривые
4. Пусть Р — начало координат на кривой у2 + я3 = 0
(см. п. 2.4, пример 3). Как и выше, заменим это уравнение
таким
и найдем,' что
или
Здесь точке Р соответствует точка Р' = @, 1,0), которая будет
простой точкой кривой F'. Отсюда следует, что острие представ-
представляет собою двойную точку кривой с одной простой идеальной
точкой в окрестности первого порядка.
* Непосредственным следствием теоремы 7.4 является то обсто-
обстоятельство, что в окрестностях всех порядков любой точки непри-
неприводимой кривой может содержаться лишь конечное число особых
точек. Таким образом, анализ особенности, связанный с поня-
понятием окрестностей различных порядков, является конечным про-
процессом и приводит к полной классификации особых точек. Такая
классификация допускает, однако, возражение, которое внима-
внимательный читатель, может быть, уже заметил. При редукции
особенностей каждый шаг допускает широкий произвол в выборе
координатной системы, а следовательно, и преобразования Т.
Мы не привели доказательства того, что окончательный резуль-
результат анализа особенности не зависит от указанного произвола.
Это доказательство существует, но оно чересчур длинно и сложно.
Кроме того, оно содержит идеи, которых мы не касались. Чита-
Читателя, который им интересуется, мы отошлем к книге ван-дер-Ва/р-
дена, Введение в алгебраическую геометрию (van der Waer-
den, Einfuhrung in die Algebraische Geometrie, Springer, Berlin,
1939), гл. IX. В дальнейшем мы не будем пользоваться упомя-
упомянутой инвариантностью.
7.7. Пересечение в идеальных точках. Даже не предполагая
независимости анализа особенностей от системы координат, мы
можем доказать два интересных свойства особых точек кривой!
Дадим прежде всего небольшое обобщение способа определения
идеальных особенностей некоторой кривой F. В силу теоре-
теоремы 7.4, существует такая конечная последовательность квадра-
квадратичных преобразований Tlt Tt, .. .,Th, что если обозначить
через Fp+i образ кривой Fp при преобразовании Тр (начиная
с Fi — F), преобразование Тр будет удовлетворять условиям 1,2,
3 теоремы 7.4 (относительно кривой Fp). При этом кривая Fft+i
имеет;только обыкновенные особенности (а следовательно, уже
не имеет идеальных особых точек в их окрестности, см. выше,
§ 7. Анализ особенностей 101
пример 2). Каждое из преобразований Тр в действительности влияет
только на одну особую точку соответствующей кривой. Любая
другая особая точка Р кривой Fp преобразуется в особую точ-
точку Р' той же кратности на кривой Fp+i. Условимся говорить,
что Тр преобразует точки окрестности r-го порядка точки Р
в точки той же кратности в окрестности r-го порядка точки Р'.
Это условие согласуется с теоремой 7.3. Идеальные особенности
кривой F мы будем определять описанным выше образом с по-
помощью последовательности преобразований Тъ Т2, ¦ ¦ ¦', 7V
При таком способе определения идеальных особенностей
имеется произвол не только в выборе иррегулярных прямых
отдельных преобразований ТР, но также и в выборе последова-
последовательности, в которой особые точки выбираются в качестве фун-
фундаментальных точек. Мы не будем даже делать попытки доказать
инвариантность такого определения и будем рассматривать
идеальные особенности, как определенные заданной последова-
последовательностью преобразований.
Тем же путем можно определить идеальные точки, общие
двум кривым. Если кривые F и G не имеют общих или кратных
компонент, то найдется последовательность квадратичных пре-
преобразований, устраняющая все не обыкновенные, особые точки
кривой FG. Эта последовательность преобразований не только
дает редукцию особенностей кривых F и G отдельно, а одновре-
одновременно превращает кривые F и G в кривые F' и С, не имеющие
общих касательных в точках пересечения и поэтому не имеющие
общих идеальных точек (идеальные точки кривых F и G опре-
определяются очевидным образом относительно заданной последова-
последовательности преобразований).
Докажем теперь обобщение теоремы 4.4: , .
Теорема 7.5. Пусть гъ г2, ...—кратности всех особых
точек (включая идеальные) неприводимой кривой F no-рядка п.
Тогда
Доказательство. Пусть идеальные точки F определены
с помощью последовательности преобразований Tlt ... , TV Pac1
смотрим влияние преобразования Тг на число
Пусть фундаментальная точка Р преобразования Tt имеет на
кривой F кратность гх. Тогда кривая F2 имеет порядок 2и — гг
и имеет особые точки кратностей г2, г3, ..., являющиеся образа-
образами всех нефундаментальных точек и идеальных точек окреет«
ноети точки Р. Кроме того, F2 имеет три обыкновенные особые
точки кратностей п, п — гъ п — г^ Особенность порядка г^
102 Гл. III. Плоские алгебраические кривые
кривой F полностью исчезает. Поэтому число N для кривой
обращается в
N2 = Bга - /-! - 1) Bга - гг - 2) -
которое равно N. Подобным же образом мы получим Nk+t =
= iVft= ... = N2 = N. Но кривая Fk+i не имеет идеальных осо-
особенностей и поэтому, в силу теоремы 4.4, будет Nk+i >0. Отсюда
следует, что и iV>0, т. е. теорема доказана.
В действительности мы доказали более сильную теорему, чем
утверждается в ее формулировке: мы доказали, что неотрицатель-
неотрицательное число N, связанное с кривой F и с последовательностью
преобразований Тъ ..., Tk, остается неизменным, когда эти пре-
преобразования одно за другим применяются к кривой F. Далее
будет видно, что число N инвариантно по отношению к более
общему типу преобразований и является наиболее важным инва-
инвариантом неприводимой кривой.
Можно дать аналогичное обобщение теоремы 3.3.
Теорема 7.6. Пусть F и G — две кривые порядков тип,
не имеющие ни общих, ни кратных компонент. Если кривые
F и G имеют кратности п и Si в их общих точках (включая
идеальные), то тп> JJ r» s*-
Доказательство. Поступаем так же, как в доказатель-
доказательстве теоремы 7.5. Положим
Тогда
nSi — ^Si J —
— mn — 2 (m — Гх) (га — Si) = N.
Отсюда, как и раньше, следует, что Nk+i = N. Но, в силу
теоремы 3.3, ,/Vk+1>0, а потому и iV>0.
Здесь опять доказано больше, чем утверждается в формули-
формулировке. Рассмотрев более подробно результант R (х) в теоре-
теореме 3.2, можно показать, что если кривые F и G не имеют
общих касательных в некоторой точке их пересечения, то соот-
ветструющиц этой точке корень результанта будет иметь крат-
кратность, в точности равную rs. Однако более простое доказатель-
доказательство этого факта будет дано ниже (теорема IV — 5.10). Применяя
полученный результат к кривым Рь±1 и Gk+i, мы найдем, что
iVfc+i = 0. Отсюда следует, что N = 0, а потому сумма З^4
в точности равна тп.
§ 7. Анализ особенностей 103
7.8. Упражнения 1. При преобразовании координат уравне-
уравнения G.2) квадратичного преобразования переходят в
, ; = 0, 1, 2,
где многочлены G{ (х) определяют линейно независимые кривые
второго порядка, имеющие 3 точки, общие им всем и не лежа-
лежащие на одной прямой. Обратно, если Go, G1(Ga —три такие
кривые второго порядка, то преобразование yi — Gi(x) надлежа-
надлежащим выбором координат приводится к виду G.2).
2. Если гъ г2, ...— кратности особых точек неприводимой
кривой порядка п, включая идеальные, и если (га— 1)(га— 2) =
— 5jri{ri—~ 1)> т0 кривая рациональна.
3. «Когтеобразное острие» (п. 2.4, пример 5) представляет
собою двойную точку с одной двойной точкой в окрестности пер-
первого порядка и одной простой точкой в окрестности второго
порядка.
4. Исследовать особые точки кривых:
а) хо{х\ — хохг)*—a:f=fcO, б) x* + xfx2—a;ga;| = O.
5. Проверить, что для кривых упражнения 4 будет справед-
справедливо равенство "^
Глава IV
ФОРМАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Пусть К — поле действительных или комплексных чисел
и пусть кривая f(x, у) = 0 имеет в (х0, у0) обыкновенную точку.
Тогда по крайней мере одна из производных fx (х0, у0), fv(x0, y0)
отлична от нуля. Можно считать для определенности, что
fy(x0, у0) Ф 0. Из теоремы о неявных функциях следует, что
существует функция у (х), аналитическая в некоторой окрест-
окрестности значения х0 и удовлетворяющая условиям:
1) У(ч) = Уо-
2)f{x,y(x)) = 0.. '
3) Для любой точки (х, у) кривой /, лежащей в некоторой
окрестности точки (х0, у0), будет выполняться равенство у = у(х).
Функция у (х) может быть выражена степенным рядом, рас-
расположенным по степеням разности х — х0 и сходащимся в неко-
некоторой окрестности значения х0.
Если К — поле комплексных чисел и (х0, ув) — произвольная
точка кривой /, обыкновенная или особая, то можно показать,
что существует конечное .число пар функций x(t), y(t), анали-
аналитических в некоторой окрестности значения ( = 0 и таких, что
)
2) /((), У@)
3) Для любой точки (х, у) кривой /, отличной от (х0, г/ь)
и лежащей в некоторой окрестности (х0, у^), найдется только
одна пара функций а: (г), у (t) и единственное значение t, удовлет-
удовлетворяющие равенствам х = х (t), y = y(tI).
Такого рода параметризация некоторого куска кривой в окрест-
окрестности выбранной точки очень удобна при исследовании струк-
структуры особых точек кривой, а также пересечений кривых в их
особых точках. В настоящей главе мы применяем для той же
цели формальные степенные ряды, чтобы получить возможна
далеко идущее обобщение аналитической теории на случай про-
произвольного основного поля.
г) Это можно легко получить из результатов, приводимых в книге:
А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций, ГТТИ, 1950, гл.
8, § 6. (Прим. перев.)
§ 1. Формальные степенные ряды 105
§ 1. ФОРМАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
1. 1. Кольцо и поле формальных степенных рядов.
В § 1 — 5 мы определили многочлен над областью целостности D,
как формальную конечную сумму а0 + ах х + ... + ап хп, гд&
коэффициенты at принадлежат D, а ж —неизвестное. Бели мы
будем рассматривать бесконечные суммы того же вида а0 -f- ахх +
+ ... -\-anxnJr ..., мы получим множество объектов, называе-
называемых формальными степенными рядами над D. Эти ряды можно
складывать и перемножать точно так же, как многочлены.
Совокупность формальных степенных рядов будет областью»
целостности D [х]'. D [х]' Ц) D [х], так как каждый степенной
ряд, в котором лишь конечное число коэффициентов отлично от
нуля, можно рассматривать как многочлен. Для рядов будут?
применяться те же обозначения, что и для многочленов.
Теорема 1.1. Ряд а0 + ахх-\- ... будет делителем единицы
в D\x\ тогда и только тогда, когда а0 является делителем еди-
единицы в D.
Доказатель с т в о. Если а0 есть делитель единицы, то ми
определим последовательность b0, blt ... , bn, ... формулами
аоК + ei Ь„_1 + ... -f an bQ = 0.
Тогда
..)=t.. A.1)
Обратно, если имеет место соотношение A.1), то aofy=l и а^.
является делителем единицы в D.
Теорема 1.2. Если К — поле, то каждый элемент пол»
частных К(х)' кольца К[х}' может быть записан в виде
Доказательство. Пусть
1 е„ + схх + ...
и пусть h — наименьшее целое число, для которого сйдь0.
Ввиду того, что К — поле, с& будет делителем единицы и поэто-
поэтому ряд ch-i-Cfi+i х +,.. имеет обратный ему йй-\-йхх-\-.... Но-
в таком случае справедливо равенство
, _
106 Гл. IV. Формальные степенные ряды
Удобно записывать элемент / в виде
При этом К(х)' оказывается состоящим из формальных степен-
степенных рядов с конечным числом членов, содержащих отрицатель-
отрицательные степени неизвестного. Эти ряды можно складывать и пере-
перемножать по тем же правилам, что и элементы К[х]', Каждый
отличный от нуля элемент К (х)' может быть однозначно запи-
записан в виде
где к — целое число и а0 Ф 0. Число к называется порядком ряда
/ и будет обозначаться через O(f). Непосредственно видно, что
1) O(fg) O{f) + O(g)
) (fg) {f) + (g)
2) O(f ±g)>mm [О (f), 0(g)]. Если #(/)<# 0(g), то в. этом
соотношении имеет место равенство.
Удобно считать, что 0(О) = оо, где символ с» обладает следу-
следующими свойствами: оо > га, и+со==оо+и=оо для любого пелого
числа га. В таком случае свойства 1 и 2 будут иметь место для
всех без исключения элементов / .и g из К(х)'.
1.2. Подстановка в степенных рядах. В приложениях
к алгебраической геометрии нет необходимости рассматривать
«тепенные ряды над произвольной областью целостности. Поэто-[
му, начиная с этого места, мы будем считать, что в качестве
«констант» берутся элементы поля К. Многие из приводимых
ниже теорем будут справедливы и в случае более общей области
целостности, но такие обобщения мы будем оставлять чита-
читателю.
Теория многочленов концентрируется, главным образом, во-
вокруг разложения на множители. Можно было бы ожидать, что
это будет и в случае степенных рядов. Однако разложение
на множители в кольце К [х]' оказывается значительно более
простым, чем в АГ[ж], так как из теоремы 1.1 непосредственно
¦следует, что каждый отличный от нуля элемент -/?[#]' ассоцииро-
ассоциирован с некоторой степенью х и поэтому делимость /1 g будет
иметь место тогда и только тогда, когда 0(/)<0(g).
Подстановка в степенной ряд вместо неизвестного некоторой
константы обычно не имеет смысла. Однако, если этот ряд
имеет только конечное число отличных от нуля коэффициентов
и является, по существу, элементом кольца К [х], такая под-
¦становка возможна. Точно так же, если f{x) = ao + a1x-\-..., то
мы можем определить /@) равенством /@) = а0. В других слу-
случаях трудно указать удовлетворительное определение f(a), если
в самом поле К не введено некоторое понятие непрерывности,
позволяющее определить сходимость рядов.
§ 1. Формальные степенные ряды 107
Можно, однако, определить подстановку в степенной ряд
вместо неизвестного х другого степенного ряда. Мы увидим, что
такая подстановка имеет важные приложения. Для системати-
систематического описания процесса подстановки мы используем понятие
сравнения. Два элемента f я g из К[х]' называются сравнимы-
сравнимыми по модулю хт, если разность / — g делится на хт. Сравни-
Сравнимость / и g по модулю хт записывается так: / = g(modsm).
Другим выражением того же самого является условие О (/ — g) > m
или требование, чтобы первые т коэффициентов рядов / и g были
соответственно равны. Основные свойства сравнений устанавли-
устанавливаются следующей
Теоремой 1.3. 1) Сравнимость по модулю хт является
соотношением эквивалентности.
2) Если
/i = /2> gi = gz (mod xm),
то
h±gi = fi±g*, hgi = hgz (modxm).
3) Если f = g (mod xm) при сколь угодно большом т, то f = g.
4) Если fi и /2 — многочлены и если O(g1), O(g2)~>0, a
gi = ga, /i =/2 .(mods'»), mo f1(g1) = fi(gi) (mods'»).
5) Если fi, /2, . .. —такие элементы кольца К[х]', что
/m+i==/m (mods'»), m=l, 2
то существует единственный элемент f б К [х]', удовлетворяющий
условиям
fm = f (mods'»), m= 1, 2, ...
Доказательство. Утверждения 1, 2 и 3 непосредствен-
непосредственно следуют из последнего замечания предыдущего абзаца. Для
доказательства утверждения 4 запишем /i = /2+#m/3, гДе /з~"
многочлен. Воспользовавшись дважды свойством 2, получим
АЫ^АЫ^ЛЫ+ёГ/зЫ (mods'»).
Это сразу приводит к искомому результату, так как
О (g? /3 (ft)) - тО (g2) + О (/, Ы) > т.
Чтобы доказать утверждение 5, заметим, что мы должны иметь
/З = а10 "Т" а21 Х ~Ь а32 X . . . ,
fm = а10 + «21 S + . . . -f- Ят—1, пг—2 Sm~2 + йщ, m—i Sm—1 -|-
108 Гл. ГУ- Формальные' степенные, ряды
Рледовательпо, если положить
то fm=f (mod хт) при всех иг. Если g—другой элемент из К [х]',
удовлетворяющий условиям fm =sg (mod xm) при всех т, то, в силу
утверждения 1, j: = g (mod хт) при всех т, а потому, в силу
утверждения 3, f = g. Таким образом, ряд/ — единственный.
Пусть /,g?K[x]' и O(g)>0. Обозначим через fm и gm
многочлены, удовлетворяющие условиям
fm = f, gmiEE g (mod xm)
(в качестве fm и gm могут быть взяты суммы первых т членов
рядов / и g). Тогда
/m+l ^ fm, gm+1 = gm (mod Xm)
и, в силу теоремы 1.3, 2,
Отсюда следует, что существует единственный элемент h?K[x]f,
для которого
¦ fm(gm)=Bh (moda;™), m=i,2,
Если бы мы исходили из других последовательностей многочле-
многочленов fm и g'm, мы имели бы
fm(g'm) = fm(gm) (mod ж)
и поэтому пришли бы к тому же самому h. Условимся писать,
что h^f{g).
Ряд h легко вычисляется формальной подстановкой, сопро-
сопровождаемой группировкой членов с одинаковыми степенями х.
Так, если
то
аф\) ж2 + (axbz + 2афф3 + a3bf) xs+ ...
Важные свойства подстановки устанавливаются следующей
Теоремой 1.4. 1) Соответствие f—>f(g) при фиксирован-
фиксированном g является гомоморфизмом кольца К[х]' в себя.
2) Если fg Ф 0, то О (/ (g)) = О (/) О (g).
3) Если О (g) > 0, О (h) > 0, то результат подстановки h
в f (g) совпадает с результатом подстановки g (h) в f.
Доказательство. Утверждения 1 и 2 являются непосред-
непосредственными следствиями определения/^). Чтобы доказатьутвержде-
§ 1. Формальные степенные ряды 109
ние 3, обозначим k = f(g), l — g(h). Кроме того, пусть много-
многочлены fm, gm, hm сравнимы с соответствующими степенными
рядами по модулю хт. Положим km = fm(gm), lm = gm(hm).
Тогда
km \P>m) = fm ('»»)•
Но
и поэтому
km{hm) = k{h), /m(/m) = /(Z) (mod ж).
Отсюда следует
k(h)==f(l) (modzm).
Так как это сравнение имеет место при любом т, должно быть
k(h) = f(l), что и доказывает утверждение 3.
Особенно интересный случай подстановки / (g) будет при
О (g) —1. В этом случае имеют место следующие слшйсхва:
Теорема 1.5. Если O(g) = l и f'—f(g), то
1) 0{f)-=0(j).
2) Существует такой степенной ряд g', что 0{g') = \
и f = f'(g') при любом f?K[x]'.
Доказательство. Утверждение 1 является частным слу-
случаем теоремы 1.4,2. Для доказательства утверждения 2 положим
g = bxx-\- b2x2+ ..., Ъх ф 0 и g' = c1x + c2x2+ В таком случае
gig') =& "
b2, ..., Ъп, съ ..',, сп_1))жп+...,
где Р„ —многочлен от указанных аргументов. Если мы определим
сх из условия 61с1=1, а остальные сп при га>0 — рекуррентной
формулой
Ъп, съ
то получим g(g') = х. Теперь утверждение 3 непосредственно
следует из теоремы 1.4, 3.
U Выводы теоремы 1.5 можно формулировать еще так: гомомор-
гомоморфизм f—>f(g) является изоморфизмом кольца К [х]' с самим
собой над полем К (т. е. автоморфизмом К [х]' над К), сохра-
сохраняющим порядок элементов. Мы оставляем читателю доказатель-
доказательство обратной теоремы о том, что каждый сохраняющий порядок
элементов автоморфизм кольца К[х] над К имеет вид /—/()
Эта обратная теорема не будет нужна нам в дальнейшем.
110 Гл. IV. Формальные степенные ряды
1.3. Производные. Как и в случае многочлена, производ-
производную /' степенного ряда / = 2 а„х* ? К [х]' мы определим форму-
формулой /' = 2 папхп~1.
Чтобы показать сохранение свойств производных и в случае
степенных рядов, заметим прежде всего, что из сравнения
/irs/^moda:7") следует f'1^f'2(modxm-t). Рассмотрим, например,
производную произведения fg. Пусть fm, gm-rтакие многочлены,
что
/=е/го, g=gm (modxm), m = l, 2, ...
Тогда.
и поэтому
(fg)'=E=(fmgm)'
Так как написанные сравнения имеют место при любом иг,
должно иметь место равенство
Другие формальные свойства производных (см. § I — 8) могут
быть получены подобным, же образом.
1.4. Упражнение. 1. Пусть f?D[x]'. Определим |/| фор-
формулой |/| = 2~v, где v = 0(/). Тогда
1) /| |/l||
) /g| |/l|g|
2) /±g|<max[|/|, \g\].
3) /1 = 0 в том и только в том случае, если / = 0.
2. Применяя приведенное выше определение абсолютной
величины и используя обычные определения анализа, доказать
следующее:
1) Последовательность степенных рядов /п имеет предел f
тогда и только тогда, когда lim(/n+i—/я)==0.
п-»оо
п
2) lim 2 Д существует тогда и только тогда, когда lim /n = 0.
П-МХ> . _ W-+CO
3) а0 + ахх -\- .. . = lim (a0 -j- агх +...-(- апхп), так что мно-
п-юэ
жество D [х] всюду плотно в D [х]'.
3. Если /„(^ — последовательность многочленов, сходящаяся
(при приведенном выше определении абсолютной величины) к / (ж)
и если \g(x)\<l, то последовательность fn{g) сходится к f{g).
§ 2. Параметризации lit
4. Производная f'(x)- ряда / (х) может быть определена формулой
§ 2. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ
2.1. Параметризации кривой. В дальнейшем мы будем поль-
пользоваться степенными рядами от вспомогательного неизвестного t.
Удобно обозначать элементы поля К {()' буквами с черточками
наверху (а, х и т. д;). При этом мы условимся, что каждая
буква с черточкой обозначает элемент из K(t)', но некоторые-
элементы из K(t)', например t, не обявательно будут обозна-
обозначаться буквами с черточками наверху. Буквы с черточками
наверху будут применяться также для обозначения определяе-
определяемых ниже элементов полей, родственных полю K(t)'.
Пусть F (х) — О — уравнение алгебраической кривой С в проек-
проективной плоскости над алгебраически замкнутым полем К харак-
характеристики нуль. Мы будем говорить, что элементы х0, хх, хг
поля К (f) являются координатами некоторой параметризации.
кривой С, если
•1) F(z) = O.
2) Не существует элемента ефО, для. которого
0 1 2
Если (х0, хъ х2) — координаты параметризации кривой С, та
(ех0, ехъ е х2), где еФО, также будут координатами некоторой
параметризации С. Как и в случае точек (II —1.1), мы будем
рассматривать эти тройки как координаты одной и той же пара-
параметризации кривой.
При переходе к новой координатной системе координаты пара-
параметризации будут подвергаться тому же преобразованию, что
и координаты точек. При таком условии выполнение соотноше-
соотношений 1 и 2, определяющих координаты параметризации, в одной
из координатных систем влечет за собою их выполнение во всех
координатных системах. Говоря о параметризациях, мы условимся
применять те же сокращенные выражения, что и в случае точек.
Так, выражение «параметризация (х)» будет применяться вместо»
«параметризация, координатами которой являются (х)» и т. п..
Параметризации можно рассматривать, в некотором смысле,,
как точки кривой. Для этого нужно только рассматривать урав-
уравнение F (х) — 0 как уравнение кривой С в. проективной плоско-
плоскости над основным полем K(t)'. В таком случае точками кри-
кривой С" будут все точки кривой С',, а, также все параметризации
последней.
112 Гл. IV. Формальные степенные ряды
Пусть (ж) — произвольная параметризация кривой С и пусть
Л= — minOfai). Тогда, если положить yi — thxit то элементы ух
*>УДут определять ту же самую параметризацию. При этом
yi?K[t]' и хотя бы одно из значений O(yi) равно нулю. Отсюда
«ледует, что хотя бы одно из значений г/$ @) = п{ Ф 0. Точка (а)
называется в таком случае центром параметризации. Очевидно,
что при преобразовании координат координаты центра ведут себя
подобно координатам точки. Отсюда следует, что параметризация
имеет однозначно определенный центр.
Если х0 ф 0, то можно положить х = хх/хй, у = хг/х0. Пару
{х, у) можно рассматривать как аффинные координаты нашей
параметризации в соответствующей координатной системе. Обратно,
если х и у удовлетворяют условиям:
1) /(ж,у)=^A, х, у) = 0,
2) х и у не являются одновременно элементами поля К,
то A, х, у) будут проективными координатами некоторой пара-
параметризации кривой С. Таким образом, связь между двумя типами
координат параметризаций оказывается точно такой же, как и для
точек.
Если (х), Xi б К [Р] — некоторая параметризация и если
¦0(г)>О, t ф 0, то (у), в которой yi-—Xi(t), также будет пара-
параметризацией с тем же центром. В случае, если O(t)=l, мы будем
называть такие две параметризации эквивалентными. В силу
теорем 1.4 и 1.5, такая эквивалентность будет рефлексивной,
«имметричной и транзитивной, так что каждая параметризация
определяет некоторый класс эквивалентности.
В случае, когда x'i$,K(tr)' при некотором г > 1, мы можем
упростить степенные ряды, заменяя f новой неизвестной t'.
В этом случае параметризация (х) (а также любая эквивалент-
эквивалентная ей) называется приводимой. Мы будем заниматься, главным
образом, неприводимыми параметризациями, в связи с чем необ-
необходим критерий, позволяющий устанавливать, является ли данная
параметризация приводимой. Такой критерий указывает сле-
следующая
Теорема 2.1. 'Параметризация
в которой
0 < п, 0 < пг < ге2 < ,.., ai Ф 0
приводима тогда и только тогда, когда числа п, пи пг, .
имеют общий делитель, больший единицы.
I 2. Параметризации 113
Доказательство. Достаточность условия очевидна.' Чтобы
доказать необходимость, предположим, что существует такой I, что
0G) = 1, x{t), y(t)?K[tr\', r>\. Докажем прежде всего,' что
t/t?K[tr]'. Если бы это не было так, элемент 7 имел бы вид
где Ьос ф О и г \ s. В таком случае
= t«Fe+ ...
Так как ряд х A) начинается членом b$tn и так как, по пред-
предположению, х [t]?K(tr)', должно быть г\п. Отсюда следует, что
x(t) — tn (b0 + ... -Ь bhtrh)n ^ пс1п+'Ь™~1 + ... '
i
есть элемент K[tr]'. Но это невозможно, так как г\п f s. И»
доказанного следует, что t — tz, где z?K[tr]'.
Предположим теперь, что хотя бы одно из чисел пи пъ, ...
це делится на г. Пусть rih+i-оперное такое число. Тогда
У @ - ЫпГ2п1 +...+ ак?Фь) = •
Левая часть этого равенства является элементом кольца К [tr]',
а правая —нет. Полученное противоречие означает, что г должно
быть делителем всех щ. Теорема доказана.
Теорема 2.1 имеет довольно широкое применение благодаря
следующей
Теореме 2.2. Любая параметризация в надлежащим обра-
образом выбранной координатной системе эквивалентна некоторой
параметризации вида
О < га, 0 < щ < я, < ...
Доказательство. Возьмем центр заданной параметриза-
параметризации в качестве начала аффинной координатной системы. В таком
¦случае параметризация обращается в
x1 = tn(b0+b1t+...), 7»>0,
yi = tni{co + cit+...), га,>0.
* Р. Уокер
114 Гл. IV. Формальные степенные ряды
При этом хотя бы один из коэффициентов Ьо, с0 отличен от нуля.
Можно предполагать, что Ьо Ф О (в противном случае можно
переименовать оси). Положим
х =
Тогда
-.., h, dt <*»_
где Д — многочлен от указанных аргументов. Определяя после-
последовательно dlt d2, . .. формулами
dt= -
X)-Wit i = 3, 4
получим x = tn. Параметризация (ж, у) будет требуемой.
2.2. Ветви кривой. Класс эквивалентных неприводимых пара-
параметризаций кривой С называется ветвью этой кривой. Общий
центр всех параметризаций класса есть центр ветви.
Оправдание такого определения можно усмотреть в замеча-
замечаниях начала этой главы. Рассмотрим лищь случай, когда К
есть' поле комплексных чисел. Разложения функций x(t) и y(t)
в степенные ряды дают пару формальных степенных рядов,
являющихся координатами некоторой параметризации с центром
(ж0) у0). Функции x{t) и у(t) не определены единственным обра-
образом, но можно доказать, что для любой другой пары функ-
функций (x1(t), yi(t)), дающей то же множество точек, что и пара
(x(t), y(t)) при изменении t в некоторой окрестности нуля,
найдется функция z(t), аналитическая вблизи нуля и такая, что
z@) = 0, г'@)#0,
Но это означает, что параметризации (x(t), y(t)) и (#i@> У\ @)
эквивалентны. Требование, чтобы любая точка, достаточно близ-
близкая к (х0, у0), получалась лишь при единственном значении t,
означает неприводимость любой такой параметризации. Таким
образом, понятие ветви кривой является алгебраическим анало-
§ 3. Дробно-степенные ряды Н5
гом аналитической ветви кривой над полем комплексных чисел,
определяемой как множество точек (x(t), y(t)), получаемых при
изменении t внутри достаточно малой окрестности куля, в кото-
которой функции x(t), y(t) аналитичны.
Возвращаясь к чисто алгебраическому случаю, легко видеть,
что центр любой ветви кривой С является точкой этой кривой.
Действительно, если (х) — параметризация рассматриваемой ветви,
для которой Xi — ai-f bit + • • • и не все ai=0, то F(x)~Q,
и поэтому F (ж) = 0 (mod г). Но #i = ai(mocU), а потому
F (а) ее: 0 (mod t), откуда, очевидно, следует, что F(a)--=0. Очень
важным для теории алгебраических кривых является обращение
этого свойства. Оно устанавливается следующей
Теоремой 2.3. Каждая точка кривой С является центром
хотя бы одной ветви этой кривой.
Доказательство этой теоремы очень длинно и будет разбито
на несколько этапов.
§ 3. ДРОБНО-СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
3.1. Поле К (зе)* дробно-степенных рядов. Мы докажем тео-
теорему 2.3, установив существование параметризации вида (tn, y(t)).
При этом в процессе рассуждений будет полезным небольшое
обобщение понятия степенного ряда. Возьмем вместо неизвестно-
неизвестного t символ я1'™, установив между различными такими символами
при га = 1, 2, ... определяющие соотношения
Отсюда следует, что
Д.Г7П/ГП _-.
Параметризация указанного выше вида может быть теперь запи-
записана как (х, у), где у — некоторый элемент из К (ж1'")', удовлетво-
удовлетворяющий соотношению /(я, у) = 0. ' '*'
Из соотношения (х^гп)г = ж1'" следует, что К (ж4'™)' ClK (xifrnf.-
Рассмотрим объединение всех полей К (ж1/™)', га = 1, 2, ... , т. е.
совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы
некоторым из этих полей. Обозначим эту совокупность через
К(х)*. Если у и z —два элемента из К(х)*, то при некоторых
тип будет y?K(xllmy_, ^К_{х^п)'. Тогда у, Ч^К{х^тп)', и
поэтому элементы у i z, у z, у z~x (если z Ф 0) также принад-
принадлежат K(xllmny, а следовательно, и К(х)*. Отсюда следует,
что К (ж)* есть поле.
Если
а(х) = ^ж1»!/"! + а2жт2/ + ... 6 К (ж)*,
В*
,.116 Гл. IV- Формальные степенные ряды
.где
а{ ф О, mj/й! < 7И2/иа < • • ¦.
то мы определим порядок О (а) элемента а(х), как дробь
Совокупность элементов из К(х)*, имеющих неотрицательный
порядок, будет некоторым подкольном #[ж]* поля К(х)*. Если
а(х)?К [х]*, то коэффициент при х° в выражении а (х) будет
обозначаться через а @). Очевидно, что а @) Ф 0 в том и только
в том случае, когда О (а (х)) — 0.
3.2. Алгебраическая замкнутость К(х)*. Основная теорема
о параметризациях алгебраических кривых может быть сформу-
•лирована так:
Теорема 3.1. Поле К (х)* алгебраически замкнуто.
1 Доказательство. Мы хотим показать, что если f{x,y)~
элемент кольца К (х)* [у], не принадлежащий К(х)*, то пай-
дется такой у?К(х)*, что /(х, у) — 0. Чтобы сделать понятной
конструкцию такого элемента у, рассмотрим сначала необходи-
необходимые условия, которым должен удовлетворять корень у уравне-
уравнения / (ж, у) = 0^
Пусть f(x,y)=-'O, где у?К(х)* и
f(x,y) = ao + a1y+ ... +апуп. C.1)
Здесь ui?K(x)*, апф0, п > 0. Если О(а{) = а{< со, то мы по-
положим п{ = щх'ч + • • • • Элемент у может быть нулем, если
о0 = 0. Ограничимся рассмотрением случая у фО. Элемент у,
отличный от нуля, можно записать в виде
.. , C.2)
Щ Ф 0, ^2 > 0, 7з > 0, .. . Коэффициентов Ci может быть
конечное или бесконечное множество. Запишем это выражение
«ороче, у = хг(с + у1), где положено ? = Тъ c~clt г/г==с2жГ2+ ...
Тогда
/ (ж, у) = о0 + «i^ (с + у0 -I- • • • +^nZ"T (с 4-Vi)n =
= а0 + caxxt +...-(- cnanx'n^ 4- g (ж, г/i),
где g содержит все члены, заключающие г/х. Ввиду того что
0 О/i) = Тг > 0> каждый член, включенный в g, имеет порядок,
больший порядка одного из ск а^. Так как для выполнения равен-
равенства / (х, у) —0 необходимо, чтобы члены низшего порядка вза-
взаимно уничтожались, должны удовлетворяться следующие условия:
I 3. Дробно-степенные ряды .
117*
1) Хотя бы два из выражений с*сцх^ имеют один и тот те'
порядок, не превышающий порядка любого другого из этих вы-,
ражений. Другими словами, найдутся по меньшей мере два
такие значения /, к, что
О(с>а]хк)=О(скакхкг)<О(с{а1х*), ? = 0, 1, ... , га,
или
a/-f~/7 = afc + ^7^ai"i~^T> i — 0, 1, ... , га. C-3)
2) Коэффициенты членов наименьшего порядка должны унич-,
тожиться, т. е.
^>jahCh = 0, C.4)
где суммирование распространяется на все значения А, при ко-
которых CLh-\-f,
V
•Р.
J L U
Рис. 12.
Для определения возможных значений ^, удовлетворяющих
условиям C.3), можно воспользоваться так называемым много-
многоугольником Ньютона. В некоторой декартовой координатной си-
системе нанесем точки Р4 с координатами u=i, у = сц. (Если
оц= оо, то точка />{ пропускается.) В таком случае условие C.3)'
означает, что найдется такое число р, что все точки /\ лежат
на прямой L, v -j- ~[u = C или выше нее, причем хотя бы две из
Pi лежат на L. Таким образом, если мы соединим Ро с Рп вы-
выпуклой ломаной линией с вершинами в некоторых из точек Pi и
такой, что ни одна из точек Pi не лежит ниже нее, то звенья
этой ломаной будут давать все возможные положения прямой L.
На рис. 12 показан многоугольник Ньютона для уравнения,
я котором га---8, ao = 5, ax = 7/г, а2 —1. <*3= — 1, а4--=оо,
118 Гл. IV'• Формальные степенные ряди
у __
а5= — 72, <*в-=72, ат--=10/3, а8 = 5/2- (Если ао= ... :=ае_г-=О,
ае # 0, так что многочлен / имеет пулевые корни, то мы можем
начать многоугольник от точки Р{ вместо Ро.) Возможные зна-
значения 1 определяются наклонами звеньев многоугольника Нью-
Ньютона. При заданном значении f, а следовательно — при заданной
прямой L, значения с должны удовлетворять условию C.4), где
точки Ph берутся на L.
Этим установлены необходимые условия, которым должны
удовлетворять -ji и сх в выражении C.2). Чтобы установить ана-
аналогичные условия для ^2 и с2, положим
h (х, уд - х-» f {x, x-n (Cl + уг))
и рассмотрим корень у1 многочлена Д (х, уг). (Множитель х~*
в определении /] может быть отброшен, но -он упрощает неко-
некоторые из дальнейших рассмотрений.) При этом можно восполь-
воспользоваться теми же соображениями. Нужно только учитывать, что
должно быть ~B > 0. и потому следует рассматривать лишь те
звенья многоугольника, которые имеют отрицательный наклон.
Процесс может быть продолжен неограниченно и дает необходи-
необходимые условия для всех ft и с4.
Теперь мы сможем доказать теорему 3.1, показав, что тот же
процесс может быть проведен для любого многочлена вида C.1)
с целью построения одного из корней уравнения / (х, у) —¦ 0.
Нужно доказать три положения: 1) что на каждой стадии про-
процесса уравнение C.4) имеет ненулевое решение (если корень еще
не получен); 2) что, начиная со второго этапа, многоугольник
Ньютона имеет хотя бы одну сторону с отрицательным наклоном
и 3) что, начиная с некоторого этапа, все f» имеют один и
тот же знаменатель.
Первое из этих положений следует из алгебраической замк-
замкнутости поля К, так как уравнение ^]ahch = O, Содержащее хотя
бы два члена, обязательно имеет хотя бы один отличный от нуля
корень. Для доказательства остальных положений нужно более
основательно изучить многоугольник Ньютона.
Заметим прежде всего, что найдется такое значение г», что
все ai?K(xilm)'. (Ведь каждый а\ является элементом некоторого
K(xi<ni)', i = 0, ¦. . , п.) Поэтому G(i-=n?i/ffi, t = 0, ... , п, mi-
целые. Если Pj и Ph будут левой и правой вершинами звена L
= р1) многоугольника Ньютона, то
или
aj — «ft mj — mk p
k — j = m(k — j)~ ~mq
§ 3. Дробно-степенные ряды И 9
где q > О, q и /? —целые числа, не имеющие общих множите-
множителей. Если точка Рп также лежит на L, то будет
р ау — аЛ mj — тд
тд '* Л—/ m(h—j)
Следовательно,
Но так как р vl q взаимно просты, то q должен быть делите-
делителем h — /. Таким образом, для каждой точки Ph на прямой L
будет h = j-\-sq, где s—неотрицательное целое число. Поэтому
уравнение C.4) будет иметь вид
где ср (z) — многочлен степени k — j/q, для которого ср @) Ф 0.
Если . значение сх Ф 0 является r-кратным корнем многочлена
<p(z«), r>\, то будет
В таком случае
U (х, Уд = х-** f (x, x-
+ а1 жп
где h пробегает те из значений i, для которых точки Pi лежат
на прямой L, а / пробегает остальные значения i. Так как
ah — ahx°-h + ... , то
Л (ж, 2/i) = *-**
+ аг-Pi [ 2 К - oha»») ^h^ (с, + Vl
В силу соотношений a/l + Af1 = p1, первая сумма приводится к
^Pl (Ci + УгУ Т ((Ci + 2/i)?) = »P^I (Ci + У1У Ф (ci + 2/i),
но, в силу неравенств О (ah — адж0-'1) > ah, О(а1х1лх) > рь мы
получаем
Л (ж, г/i) -
где ba = с{ ф (сх) Ф 0 и каждая степень г/i в g (ж, г/!) имеет коэф-
коэффициент положительного порядка. Поэтому если мы запишем
то
O(bi)>0, г==0, ... , n,
^0, i=0 /¦-1,
120
Гл. IV. Формальные степенные ряды
Выполняя следующий шаг, в котором yi = x'ti{ciJry^), нужно
учитывать лишь положительные значения ^г- Их можно.полу-
можно.получить, рассматривая часть РОРГ многоугольника Ньютона для
/i (ж> У\) (рис 13). Выбор хотя бы одного значения 72 возможен
всегда, кроме случая, в котором 60 = , ... , = 6r_i = 0. В этом
исключительном случае имеется корень ух — О и потому можно
взять у = с1хп. В остальных случаях процесс можно продолжить.
Рис. 134
Рис. 14.
Осталось лишь показать, что последовательные значения f
имеют ограниченные знаменатели, т. е. что, начиная с некото-
некоторого шага, все значения q равны единице. Ввиду того что г са-
самое большее равен А — /, т. е. длине горизонтальной проекции
выбранного звена многоугольника Ньютона, и ввиду того что
звено, выбираемое на следующем этапе процесса, должно иметь
длину, не превосходящую г, число г не может расти от шага
к шагу. Поэтому после конечного числа шагов для г устанавли-
устанавливается постоянное значение г0. В таком случае многоугольник
Ньютона принимает вид, изображенный на рис. 14. При этом
ср (z«) = d (z - c)r° .= dzr° - ... Trcdc7"' z ± de*.
Но так как поле К имеет характеристику нуль и так как каж-
каждое из значений rQ, d, с отлично от нуля, то
rodcr°-1 Ф О,
ж поэтому 9 = 1. Этим доказательство закончено.
3.3. Замечания и примеры. Приведенное доказательство тео-
теоремы 3.1 не является самым коротким из возможных (см., на-
например, уже цитированную книгу ван-дер-Вардена, Введепие
в алгебраическую геометрию, теорема 14), но оно дает наибо-
наиболее удобный способ построения корней заданного уравнения.
Если К — поле комплексных чисел и если степенные ряды а%
сходятся в некоторой области |ж|<е, то можно показать, что
§ 3. Дробно-степенные ряды
121
каждый корень у уравнения / (х, у) = 0 будет рядом, также схо-
сходящимся в некоторой области. В этом случае можно получить
чрезвычайно короткое доказательство теоремы 3.1, если исполь-
использовать аналитическое продолжениел). Но такое доказательство
также нельзя приспособить для
действительного вычисления сте-
степенных рядов.
Пример. Рассмотрим уравне-
уравнение
. х р
\
— 2х%у — ху2 + 2ху* -\-у6 = 0.
Многоугольник Ньютона (рис. 15)
состоит из двух отрезков. Для от-
отрезка Р0Рг мы имеем
Рис. 15.
Уравнение C.4) обращается в — 1 — 2с — с2 = 0
— — A+сJ. Следовательно, сх——\. Поэтому
h (х> Vi) =? х~* / (». х (~ 1 + У\)) =
так что <р(с) =
Замечание. Подстановка в f(x,y) выражения х( — l+2/i)
вместо у может быть упрощена следующим образом. На диа-
диаграмме Ньютона отметим точки,
соответствующие всем членам
f(x,y), и проведем через них
прямые (пунктир на рис. 15), па-
параллельные PqPz- Если объеди-
объединить члены f(x, у) в группы по
линиям, содержащим соответ-
соответствующие этим членам точки, то
алгебраические выкладки станут
несколько проще, В нашем примере мы имеем
f(x,y)-=( — xs— 2х2у - ху2) + х* +
' = х {х + уJ + х* + у* {2х + у).
= хух, будет
Рис. 16.
у5) =
Ввиду того что х + х( — 1
Многоугольник Ньютона для Д показан на рис. 16. Он со-
состоит лишь из одного отрезка, для которого р = 1, q = 2, f2= "-Vs.
г) См., например, А. И. Маркушевич, Теория аналитических
функций, ГТТИ, 1950, гл. 8. (Прим. перев.)
122 Гл. IV. Формальные степенные ряды
ра = 1, <р(с2) = 1 — сг, и поэтому С2~-±1. Возьмем с2 = 1. Тогда
U (*' Уг) = z U {х, x'h A + yt)) =,
Теперь r = ro=l и, следовательно, мы можем быть уверены,
что у2 будет рядом по степеням х112. Поэтому можно не пользо-
пользоваться методом многоугольника Ньютона, а подставить в /2 (х, г/2)
вместо у2 ряд
и определить коэффициенты с так, чтобы было ft(x, у^) = 0. Мы
получим
/2 (х, Cgtfh + cix-h ...) =
( —2с4 + 1-е*) х+ ( — 2с5 — 3 — 2с3с4) ж'
Отсюда следует, что
1
Л 1 3
С3 = U, С4 = у , С5 = — у ,
и, таким образом, одним из корней уравнения / (х, у) = 0 будет
Подобным же образом, выбирая с2= —1, получим корень
Рассмотрим теперь отрезок Р^Р5 на рис. 15. Здесь будет
р=1, <7 = 3, 11 = 1/3, $i = 5/3. Уравнение C.4) принимает вид
— с2 4- с5 = 0 и поэтому <р (с3) = — 1 + с3. Отсюда следует, что с
может иметь одно из значений 1, ш, ш2, где ш —корень уравне-
уравнения ш2 4-ю+1 = 0. Беря, например, с1 — ш, получим
Л (ж. Ух) =¦¦ x-5lsf(x, x1!» (ю 4- Ух)) =
- (- х*1» 4- ж'/s) 4- Cu> 4- 6а;2/з) г/х + (9 4- 12u>2 z2'») ^ +
4- A(Ь2 + 8«>х2/з) у\ 4- Eш + 2^2/з) у\ + у\.
Здесь мы вновь встречаемся со случаем, когда г = 1 и поэтому г/
может быть выражен рядом по степеням ж1'', коэффициенты ко-
которого можно определить подстановкой.
Приведенный пример показывает, что вычисление корня упро-
упрощается, как только г принимает постоянное значение /•„. Если
го — \, то легко обнаружить, достигнуто ли это состояние. В слу-
§ 3. Дробно-степенные ряды 123
¦чае же, когда г0 > 1, мы не имеем способа определить, будет ли
уменьшаться в дальнейшем значение г. Однако случай г0 > 1
может иметь место только тогда, когда многочлен f(x,y)
имеет кратный корень. Для доказательства этого положим
f{x, y) = 0, где
Значения р даются формулой |3{ = у ~\-щ{, в которой (и, у) —
любая точка на прямой L. Так как точка (г0, 0) лежит на L,
мы имеем j3i = ro"ft -—гьрг/т. Положив t~xllm, получим
1™, y2) и т. д.
Следовательно,
f(tm, C^Pi + C^Pi+Pa -f ... 4-^i+--+P'2/s) =
Дифференцируя это равенство относительно ys, получаем
f'(tm, сг№+ ... -f-fPi+-+pS2/8) = ^o-D(Pi+... +vs)f's(tm, ya),
где f (х, у) — производная от f(x, у) по у. Ввиду того что р4>1,
¦будем иметь
* /itm, c^pi + . .. +№+¦¦¦+vsys)~0 (mod*8)
и, если /•<> > 1, также
f'(lm, c^pi+ ... -f*Pi+- +p«2/s) = 0 (modi8).
Пусть теперь D (ж) —дискриминант многочлена f(x,y) относи-
относительно у. Тогда, по теореме 1 — 9.6,
D (х) = Л (аг, у) / (ж, у) + В (х, у) f (x, у).
Замена х на tm и у на
дает, в силу предыдущих замечаний,
D(tm)~ 0 (modi3)-
Но так как это верно для любого s, должно быть D (tm) = 0,
т. е. D (х) — 0 и / (я, у) должен иметь кратный корень.
Кратные корни могут быть обнаружены по обращению в нуль
дискриминанта и вычислены, если они имеются, с помошью
общего наибольшего делителя / и /'. Поэтому при вычислении
корней всегда можно обойти случай го>1.
124 Гл. IV. Формальные степенные ряды
3.4. Уточнения основной теоремы. Следующие четыре теоремы
являются простыми уточнениями теоремы 3.1. Во всех теоремах
положено
Теорема 3.2. Существует однозначно определенная система
элементов уъ .. ., уп из К (ос)* для которой
f(x, у)=~ап11{у-'у1).
Это — теорема I — 7.5, в которой D — K(x)*.
Теорема 3.3. Если 0(ап)<0(йц), i=.O, I, ...,n— 1, то эле-
элементы г/i, указанные в теореме 3.2, будут элементами К [х]*.
Теорема 3.4. Если O(an) = 0, _O(o"o)>0, J>(ai) > О,
i — 1, ..., п — 1, то хотя бы для одного у, будет О (yj) > 0.
Теорема 3.5. Если многочлен f(x, у)?К [х, у] не имеет
множителей, свободных от у, то он имеет кратные множители
в К [х, у] тогда и только тогда, когда уравнение f(x, г/) = 0
имеет кратный корень в К(х)*.
Это следует из теоремы 1 — 9.5.
3.5. Упражнения. 1. Найти по четыре первых неисчезающих
члена каждого из корней следующих уравнений:
a) z4 —
б)
в) (z2
2. Если в теореме 3.4 число к будет последним, для которого
О (аи) = 0, то ровно к из корней г// имеют положительный порядок.
§ 4 ВЕТВИ КРИВОЙ
4.1. Ветвь с заданным центром. Связь между корнями
уравнения f(x, г/) = 0 и ветвями кривой / определяется следующей
теоремой:
Теорема 4.1. Если f(x,y)?K[x,y], то каждому корню
yd К (х)* уравнения / (х, у) — 0, для которого О (у) > 0, соответ-
соответствует однозначно определенная ветвь кривой f (х, у) — 0 с цент-
центром в начале координат. Обратно, каждой ветви (х, у) кривой f
с центром в начале соответствует О(х) корней уравнения
f(x> У)~^' каждый из которых имеет положительный порядок.
Доказательство. Пусть / (х, у) =- 0, О (у) > 0. Пусть п —
наименьшее целое число, для которого у?К(xiln)*. Тогда, пола-
§ 4. Ветви, кривой. . 125
гая xiln = t, мы получим параметризацию (tn, у) кривой / с цент-
центром в начале. Эта параметризация, в силу теоремы 2.1, непри-
водима. Наоборот, если (х, у) — неприводимая параметризация /,
для которой О(х) — п>0; О(у)>0, то, по теореме.2.2, суще-
существует эквивалентная параметризация вида
{tn, в1Л + а^ +...), агф0. D.1)
Другая такая параметризация может отличаться от написанной
только появлением et вместо t, где гп=1. Таких значений е
существует п. Нам нужно показать только, что все они дают
различные корни уравнения J (х, у) —0. Значениями у, соответ-
соответствующими б! и е2, будут
Предположим, что они совпадают, т. е. что
а^ = а^, » = 1, 2, ... D.2)
Так как числа п, геъ ... не имеют общих им всем множителей,
больших единицы (по теореме 2.1), то можно найти такие целые
числа а, а1; . .., ат, что
A — 6.3, упражнение 1). Записывая 4.2 в виде
•? = е2*' * = *. 2, -.., Я,
и учитывая соотношения
ei = e2 = l, .
получим с помощью возведения в степени ы перемножения, [что
a1n1 + ... + amnm-(-an а.1п1 + ...+а.,пПт+а.п
1 ' ~" 2 '
т. е; что et = е2. Следовательно, существует п различных пара-
параметризаций, подобных D.1), каждая из которых определяет неко-
некоторый корень
уравнения
Теперь мы в состоянии доказать теорему 2.3. Пусть Р —
•любая точка кривой С. Можно предполагать, что система коор-
126 /\i. IV. Формальные степенные ряды
динат выбрана таким образом, что точка Р лежит в начале
и что кривая не проходит через бесконечно удаленную точку
оси у. В таком случае
/fo Э>= «о (х) + а1(х)у+,..+ уп, а0 @) -= 0.
В силу теоремы 3.4, существует корень у уравнения f(x, y)==Qr
имеющий положительный порядок. В силу теоремы 4.1 этот
корень определяет ветвь кривой с центром в точке Р.
Обратно, каждая ветвь кривой / с центром в Р определяет
по меньшей мере один корень уравнения / (х, у) = 0. Следова-
Следовательно, таких ветвей будет самое большее п.
4.2. Случай кратных компонент. Для дальнейшего изложе-
изложения удобно установить следующее соглашение о ветвях кривой
с кратными компонентами. Мы уже видели (теорема 3.5), что
если С —такая кривая, то ее уравнение f(x, y) = 0 имеет крат-
кратный корень у, и обратно. Соответствие между ветвями кривой
и корнями уравнения, описанное в теореме 4.1, мы обобщим
теперь в том смысле, что каждой ветви, соответствующей крат-
кратному корню, будем приписывать кратность, равную кратности
этого корня. Таким образом, каждая ветвь /"-кратной компоненты
кривой С будет считаться г ветвями кривой С.
4.3. Упражнения. Для каждой из кривых упражнения 1 п. 3.5
определить число ветвей с центром в начале и написать пара-
параметризации этих ветвей. ' :
§ 5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ
5.1. Порядок многочлена на ветви. С помощью понятия
ветви кривой и ее параметризаций можно дать такое определе-
определение кратности точки пересечения двух кривых, что общее число
точек пересечения двух любых кривых порядков т и п будет
точно равно тп. Это определение представляет собой обобщение
соответствующего определения кратности пересечения кривой
с прямой линией (см. III —2.1). Уравнения III —3.1 можно рас-
рассматривать как параметризацию прямой L с центром в (а, Ь),
а кратность пересечения L с С оказывается просто числом
О(f {а-\-~kt, Ь-\-\>.1)). Прежде чем переходить к более общему слу-
случаю, сделаем несколько предварительных замечаний. •
Пусть (х, у) — ветвь Р рассматриваемой кривой с конечным
центром, a g (x, у) — произвольный многочлен. Порядком много-
многочлена g (х, у) на ветви Р мы будем называть порядок степенного
ряда g(x,y). Из теоремы 1.5, 1 следует, что порядок g (x, у)
зависит только от ветви Р, а не от выбора параметризации.
§ 5. 'Пересечение кривых 127
Порядок многочлена g на ветви Р будем обозначать через OP(g).
Очевидно, что
0{,(g±h)>mm[0P(g), OP(h)].
Если мы произведем преобразование координат и сделаем
соответствующее преобразование многочлена g', то порядок g
на Р не изменится. Это означает, что в действительности поря-
порядок g на ветви Р указывает на некоторое соотношение не только*
между многочленом g и параметризацией, но и между ветвью Р
и кривой g = 0. Таким образом, любое понятие, ' определенно©
с помощью многочлена на ветви, является геометрическим поня-
понятием, не зависящим от координатной системы.
Подобным же образом, если (х) — параметризация ветви Р
в проективных координатах, для которой все О (xi) > 0 и хотя бы
одно из значений О (xi) — 0, и если G(x)— любой однородный
многочлен от х0, xlt x2, то мы можем определить порядок OP(G)
многочлена G, как порядок ряда G(x). Порядок OP(G) также
не зависит от параметризации. Более того, если Р имеет конеч-
конечный центр в аффинной плоскости и если g — неоднородный много-
многочлен, соответствующий G, то OP(g) -~OP(G).
5.2. Пересечение кривых. Теорема Безу. Определение крат-
кратности точки пересечения двух кривых основывается на сле-
следующей теореме:
Теорема 5.1. Если j(x,y)=Q> и g(x, у) = 0— кривые, имею-
имеющие общую точку р1), то сумма порядков многочлена / на вет-
ветвях кривой g с центрами в р равна сумме порядков многочлена g
на ветвях кривой / с тем же центром.
Доказательство. Выберем оси координат так, чтобы
точка р лежала в начале и чтобы бесконечно удаленная точка
оси у не лежала ни на одной из кривых / и g. В таком случае
коэффициенты старших степеней у в / и g могут быть сделаны
равными единице и, на основании теоремы 3.2, мы имеем
yi), g(x, У)=- Il(y-Zj),
1 i
где у\, Zj?K [xilm]' при некотором т. Пусть корень г/{ соответ-
соответствует ветви P = (tr, ^] bit1) с центром в начале. Тогда
, 2 fa') =<""+••-. афО, E.1)
х) Начиная с этого места точки будут иногда обозначаться малыми
буквами, соответствующими заглавным буквам, обозначающим ветви.
(Прим. перев.) ,
128 Гл. ТУ. Формальные степенные ряды
где OP{g) = N. Если 0P(g) = oo, то ряд atN+... обращается
в 0. Ветвь Р имеет эквивалентную параметризацию (tr, ^]-bi^\tl),
в которой зд — любой корень г-ж степени из единицы. Каждая
такая параметризация порождает свой корень ук многочлена
f(x,y). Из E.1) мы получаем
g{x, y1) = axN>r+...
и подобным же образом
Следовательно,
Ilg(x,lx) = bxN+..., Ь-ФО.
i
Применяя те же самые рассуждения к каждой ветви кривой /
с центром в начале, находим, что
где произведение распространено на все значения а, для кото-
которых корни у а, уравнения f(x, г/) = 0 имеют положительный поря-
порядок (теорема 4.1), а сумма — на все ветви кривой / = 0 с цент-
центром в начале.
Пусть теперь zp — корни уравнения g (x, z) = 0, имеющие поло-
положительный порядок, a zp- —корни порядка нуль. Тогда
П g (х, ~уа) = П (уо. — zp) П (у* — zp.) = П (Уа — Ц) h (х),
ft,
где О (h) — 0. Отсюда следует, что
SOp(g)-О( П(у.-н)) = О ( П(h-У*)) = SOQ (/),
где последняя сумма распространена на все ветви Q кривой g,
имеющие центр в начале. Последнее равенство получается, если
переменить ролями / и g в предыдущих рассуждениях. Этим
доказательство теоремы закончено.
Назовем число 2 ®р (s) = S ^С (/) кратностью пересечения
кривых / и g в точке р. Как уже отмечалось, такое определение
дает одно и то же число во всех координатных системах. Обра-
Обратим внимание на то, что кратность пересечения может быть
и бесконечной.
Следующее вспомогательное предложение связывает кратность
пересечения с результантом:
§ 6. Пересечение кривых 129
Теорема 5.2. Пусть кривые f(x,y) — O и g(x,y)±Q
не имеют точек пересечения на оси у, кроме, быть может,
пересечения в начале. Если R (х) — результант fug относитель-
относительно у, то уравнение R(x) — 0 имеет нуль своим корнем кратно-
кратности, равной кратности пересечения кривых / = 0 и g = 0 в начале,
координат. .
Доказательство. Положим
где ¦
О Ы > О, О (а,) > О, О (уЛ-) = О Aр.) = 0.
В силу теоремы 1 — 10.10, имеем
П (г/а-геШ (y.--ze)n (Уа-zy) П (ус'-
а, ? а', Р а, у а', 0'
Очевидно, что
Кроме того,
так как если О(уЛ- — zy) > 0 при некоторых а', р', то ряды
г/а- и zp- должны начинаться с . одной и той же константы а.
Соответствующие ветви имели бы тогда один и тот же центр
@, а) на оси у, вопреки предположению, что кривые / и g
не имеют точек пересечения на оси у, кроме начала. Отсюда
следует, что
O(R(х)) -=0 ( П {Уа-~г&) )— кратности пересечения в начале
координат, и теорема доказана..
Предлагаем читателю в качестве задачи произвести в преды-
предыдущем доказательстве необходимые изменения, чтобы получить
Теорему 5.3. Если бесконечнд удаленная точка оса.у не
лежит ни на одной из кривых /, g, то кратность любого корня а
уравнения R(x) — 0 равна сумме кратностей Пересечений кривых
/ = 0 и g = 0 на прямой х~а.
9 Р. Уокер
130
Гл. IV. Формальные ' степенные ряды
Теперь мы в состоянии доказать теорему Безу для плоских
кривых в усиленной форме:
Теорема 5.4. Две плоские кривые порядков тип, не имеющие
общих компонент, имеют точно тп точек пересечения (с учетом
кратностей).
Доказательство. Мы уже знаем (теорема III —3.1), что
такие кривые имеют самое большее тп различных точек пере-
пересечения. Выберем проективные координаты так-; чтобы ни одна
из них не лежала на прямой хо — 0 и чтобы точка @,0, 1)
не лежала ни на одной из кривых.
Тогда уравнения кривых будут иметь
вид
1 + ... +ат=--0,
Рис. 17,
Пример. Пусть
где аи hi — однородные многочлены сте-
степени i от х0, хг. Так как многочлены
F и G не имеют общих делителей,
их результант R(а0, ^i) относительно
#2 не равен нулю и поэтому будет одно-
однородным многочленом степени тп (тео-
(теорема I—10.9). Если бы было R @,1) = О,
то нашлось бы такое значение а, что
точка @, 1, а) была бы общей точкой
кривых F и G. Но это исключено вы-
выбором прямой хо — О. Таким образом,
Л@, I) Ф 0, и поэтому многочлен
/2A, х) также должен иметь степень
тп. Перейдя к аффинным координатам
и применив теорему 5.3, получим тре-
требуемый результат.
Результант относительно у будет
и мы находим, что точками пересечения являются @, 0), A, 1)
и (*/7) —8/?) (рис. 17). Рассмотрим сначала пересечение в точке
@, 0). Кривая g имеет только одну ветвь с этим центром, именно
P=(t2, ts+ ...). Поэтому
..)=-2*»+...,
§ 5. Пересечение кривых 131
и, следовательно, 0Р(/) = 5. G другой стороны, кривая / имеет
две ветви с центром в @, 0),- а именно
Имеем
g(t, y*2+...) = 2*s+.,.
...,i) = 2*«+...
и поэтому Op (/) = Орх (g) + Op2 (g). В точке A,1) обе кривые /
и g имеют но одной ветви, причем порядок каждого многочлена
на ветви другой кривой равен 3. Подобным же образом находим,
что оба порядка, соответствующие точке (*/¦,, -8/7), равш 1.
Следующие две теоремы являются полезными следствиями
теоремы Безу:
Теорема 5.5. Если F (х) и G(x) имеют степени тип,
то сумма порядков многочлена G на всех ветвях кривой F равна тп.
Теорема 5.6. Если G(x) имеет бесконечный порядок на не-
некоторой ветви кривой F(a:) = 0, то F (х) и G(x) имеют нетри-
нетривиальный общий делитель.
5.3. Касательная, порядок и класс ветви кривой. Мы закон-
закончим исследование пересечений кривых, установив связь введен-
введенных понятий с понятиями, рассмотренными в § III —2. Прежде
всего докажем следующее вспомогательное предложение:
Теорема 5.7. Если Р —ветвь с центром р, то среди всех
прямых L = 0, проходящих через р, существует единственная
прямая LQ, для которой Op(L0) > minOp(L).
Доказательство. Пусть
— параметризация ветви Р. Так как прямая L проходит через
точку р, будем иметь L = a(x — ao)-\-b(y — b0) и L(x, у) —
= 2 (fla% + bbi) tl. Если теперь г — наименьшее положительное
число, для которого хотя бы один из коэффициентов аГ, Ъг отли-
отличен от нуля, то Op (L) будет равно г в том и только в том слу-
случае, если ааТ-\-ЪЪгф0. С другой стороны, если ааг-\-ЪЪт — О,
то Op(L)> г. Таким образом, условие aar+bbr — O определяет
единственную прямую Lo, для которой рассматриваемый порядок
будет больше его минимального значения.
Положительное число r = mm0p(L), где L — любая прямая,
проходящая через центр ветви Р, называется порядном ветви.
Ветвь называется линейной, если она имеет порядок, равный
единице. Единственная прямая Lo, для которой Op(L0) > г, назы-
9*
132 Гл. TV ¦ Формальные степенные ряды
вается касательной к ветви /\ Положительное число s — Op (Lo) — г
называется классом ветви Р. Класс может быть бесконечным,
но это будет только в том случае, когда Р является ветвью пря-
прямой пинии.
Пример. Ветвь (t2, ts-{-...) имеет порядок 2 и класс 1.
Эти значения являются характерными для простого острия
(см. пример 3, III-^2.4 и пример 4, III —7.6). Когтеобразное
острие (t2, 24 + *8-b-..) примера 5, III —2.4 имеет порядок 2
и класс 2.
Соответствие между введенными здесь понятиями и понятиями,
введенными в § III —2, определяется следующей
Теоремой 5.8. 1). Если р есть r-кратная точка кривой F,
то сумма порядков ветвей F, имеющих р своим центром,
равна г.
2) Точка кривой F будет пробтой тогда и только тогда,
когда она является центром единственной ветви Р, притом —
линейной.
3) Касательные к кривой F в точке р являются касатель-
касательными к ветвям F, имеющим точку р своим центром и обратно.
Доказательство. 1) Прямая, не являющаяся касательной
ни к одной ветви кривой F с центром в р, будет иметь с F
2 /ч-кратное пересечение в точке р, где Г{ — порядки ветвей F
с центром р. Но все прямые, проходящие через /--кратную
точку F, кроме конечного числа, имеют с F r-кратное пересече-
пересечение в точке р. Следовательно, ^г\ — г.
2) Следует непосредственно из утверждения 1,
3) Прямая будет касательной к F в точке р тогда и только
тогда, когда она имеет с F более чем V-кратное пересечение
в этой точке. С другой стороны, прямая будет касательной
к одной из ветвей кривой F с центром в р тогда и только тогда,
когда она имеет с F более чем 2 /-{-кратное пересечение. Но так
как ^>]ri~r, оба эти условия выполняются всегда одновре-
одновременно.
Полезным применением этих результатов является
Теорема 5.9. Если Р —ветвь порядка г и если кривая G
имеет s-кратную точку в центре р ветви Р, то OP(G)>rs. Ра-
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда касательная
к ветви Р не будет касательной к кривой G в точке р.
Доказательство. Выберем аффинные координаты с нача-
началом в точке р так, чтобы ось у не была ни касательной к вет-
ветви Р, ни касательной к кривой G в точке р. В таком случае
ветвь Р и ветви (?а кривой G с центрами в точке р будут иметь
параметризации вида
Р: i = r, у
§ 5. Пересечение кривых 133
где 2 r«= s- Соответствующие дробно-степенные ряды будут
Р : ~ух = ах + ..,, Х=--- 1 г,
Отсюда, как и в доказательстве теоремы 5.2, получается
IIg(a:,yi)= П (уд-г^)F+...) =
Л Д, а, Ц
= П ((а-в«)а:+...)
где & ^ 0. Из этого видно, что Op (G) > rs и что равенство будет
иметь место тогда и только тогда, когда коэффициент а отличен
от всех аа, т. е. тогда и только тогда, когда касательная к Р
не будет касательной к G в точке р.
Одно из следствий этой теоремы уже упоминалось выше
(III-7.7).
Теорема 5.10. Если р является r-кратной точкой кривой F
и s-кратной точкой кривой G, то кривые F и G имеют в точке р
не менее чем rs-кратное пересечение. Пересечение будет точно
rs-кратным в том и только в том случае, если ни одна т каса-
касательных к F в точке р не будет касательной к G в той оке
точке.
1 Нам понадобится в дальнейшем еще такое следствие из тео-
теоремы 5.9:
Теорема 5.11. Если р — обыкновенная r-кратная точка
кривой F, являющаяся центром ветвей Ри ..., РТ, и если при
любом i будет Opl(G)^>s<?r, то точка р является не менее
чем s-кратной точкой кривой G:
Доказательство. Если кратность точки р кривой G равна
s' < s, то, по теореме 5.9, касательная к ветви Pi должна быть
касательной к кривой G в точке р. Но тан как р есть обыкно-
обыкновенная r-кратная точка кривой F, то число различных таких
касательных будет г. Это приводит к противоречию, так как
кривая G может иметь в точке р самое большее s' <s<r раз-
различных касательных. Тем самым теорема доказана.
5.4. Упражнения. 1. Для каждой из следующих пар кривых
определить кратности всех точек пересечения, применяя для про-
проверки теорему Безу (часто выгодно применить теорему 5.10):
а) (*"_у)«_ *• = (),
134 Гл. IV- Формальные степенные ряды
(ср. с упражнением 4, III — 7.8);
б) у*-у* + х* = О,
у4 — 2г/3 + A — х) у2 — ЪхЪ) + х* = 0.
2. Кратность пересечения двух ветвей (a+tr, b+a1t+aiti+..^) и
(a-\-ts, b-\-bit-\-b2t2-\-...) с общим центром, по определению,
равна порядку произведения П (уЛ — zp), где
». Р
,' sra-=l, a = l, 2, ....г,
. -Чр=1, Р=1. 2, ...,s.
Если две ветви имеют различные центры, то кратность их
пересечения считается равной нулю. Доказать следующие утверт
ждения:
1) Кратность пересечения двух ветвей с общим центром, име-
имеющих порядки г и s, будет > rs. Равенство имеет место тогда и
только тогда, когда ветви имеют различные касательные.
2) Порядок многочлена G на ветви Р равен суммарной крат-
кратности пересечения ветви Р со всеми ветвями кривой G.
3) Кратность пересечения кривых F и G в точке р раина
сумме кратностей попарных пересечений ветвей кривой F с вет-
ветвями кривой G, имеющими центр в р.
4) Если кривые порядков т и п не имеют общих компонент,
то сумма кратностей попарных пересечений их ветвей равна т.п.
3. Доказать, что точка самокасания (пример 4, ИГ—2.4)
является центром двух линейных ветвей с двукратным пересе-
пересечением.
4. Проверить утверждение 3 упражнения 2 для кривых упраж-
упражнения 1. .
5. Доказать, что две различные неприводимые кривые не мо-
могут иметь общих ветвей.
§ 6. ФОРМУЛЫ ПЛЮККЕРА
6.1. Класс кривой. Пусть F (х) = 0 — кривая порядка п
в проективной плоскости, не имеющая кратных компонент, и
иусть q — точка, не лежащая на этой кривой. Предположим, что
точка q лежит на т прямых, касательных к F и таких, что
каждая из них касается F в единственной простой точке, не
являющейся точкой перегиба. В таком случае число т назы-
называется классом кривой F.
Для оправдания этого определения необходимо показать, что
для любой кривой F существуют точки, подобные точке q, и что
две такие точки дают одно и то же значение т. Хотя это и
§ 6. Формулы Плюккера 135
может быть сделано без больших затруднений, еще проще и более
поучительно так изменить определение, чтобы освободиться от
ограничений, налагаемых на касательные, введя понятие крат-
кратности касательной.
Пусть точка q с координатами (</0, qlt q2) лежит на касатель-
касательной к кривой F с точкой касания в неособой точке р. Необхо-
Необходимым и достаточным условием для этого будет равенство
Е ?i-Fi G») = 0» r«e Fi(z) = dF/dzi (теорема III —2.5). Другой
формулировкой того же самого является условие, что 2 4iF\ (#)
имеет положительный порядок на ветви кривой F с центром в р.
Это обстоятельство приводит к мысли исследовать порядок выра-
выражения 23 9 Л на любой ветви Р кривой F.
Покажем прежде всего, что 0р (Е <7^) не зависит от выбора
координатной системы. Пусть Р — {х). Если произвести преобра-
преобразование координат по формулам II — A.1), то точка (q) будет
иметь новые координаты (г), а ветвь Р (точнее — ее параметриза-
параметризация)— новые координаты (у), причем
Чг = S Мп, щ *= 2 Aiyj.
i i
Многочлен F (х) обратится при этом в G(y) = F ( 2
Отсюда
и поэтому
Пусть теперь /* —произвольная ветвь кривой F с центром р.
По теореме 2.2 можно выбрать координаты и параметризацию
Л36 Гл. IV. Формалънце степенные ряды
так, чтобы было
... F-1)
где г, s ^ 1, если только /* не будет ветвью прямолинейной ком-
компоненты F. Мы освободимся от этого исключения, введя требо-
требование, что F вообще не имеет прямолинейных компонент. Здесь г
и s соответственно порядок и класс ветви Р, прямая ж2 = 0 —
"касательная к Р. В силу теоремы Эйлера, (I —10.2) будет
Дифференцируя соотношение F (х) = 0, получаем
Подставив в эти два равенства значения Xi и х\ из F.1), будем
иметь
Обозначим теперь 0(F9(x)) через Ь(Р). Тогда
где
s(/)) = 0, если q не лежит на касательной к Р,
е (Р) = s, если q лежит на касательной к Р, но не совпа-
совпадает с р.
s(P)—s-\-r, если q совпадает с р.
Назовем е(Р) числом касательных или кратностью касатель-
касательной из точки q к ветви Р. Общим числом т касательных из
точки q к кривой F будем называть сумму 2е(^)> распростра-
распространенную на все ветви кривой F.
Легко усмотреть, что
2 OpiqiFi)^ n(n-l).
р
Поэтому будем иметь
или
= п(п-А)- S8(/>). F.2)
р
§ 6. Формулы Плюккера
137
Число Ь(Р), которое определено с помощью координатной
системы, в действительности не зависит от ее выбора. В самом
деле, это же число можно определить как минимальное значе-
значение Op(^giFi) при произвольном выборе точки q. Но мы уже-
доказали, что выражение Op(^]qiFi) вообще не зависит от коор-
координатной системы и обращается в выражение §(/*), если взяты
координаты, в которых имеют место формулы F.1). Отсюда сле-
следует, что 2^(^) зависит только от кривой F, а не от точки q~
р
Поэтому равенство F.2) означает, что общее число касательных
из точки q к кривой F, считаемых с надлежащими кратностями,
не зависит от положения точки q. Кроме того, если выполнены
указанные в начале этого пункта условия, то каждая касатель-
касательная будет иметь кратность 1. Следовательно, т есть класс кри-
кривой F.
6.2. Точки перегиба. В п. III —6.3 было показано, что точка
перегиба кривой F являются ее неособыми точками пересечение»
с кривой
'"lO ТП
= 0.
<??} дх
Пусть Р — ветвь кривой F с центром в простой точке. В таком
случае в параметризации F.1) будет г— 1. Перейдем к аффин-
аффинным координатам, в которых параметризация F.1) обращаете»
в параметризацию
x = t, ~y = ts+i + ... F.3)
с центром в начале. При этом /(ж, г/) —0 и хотя бы одно иа
значений fx @, 0), fv @, 0) отлично от нуля. Легко показать, что-
при этих условиях многочлен f(x, у) должен иметь вид
/ (х, У) = у - *s+1 + g (*, У), F.4>
где g(x, у) не содержит членов вида ау.
По теореме Эйлера
x0FQi = (n-l)Fi-
Подстановка этих значений приводит выражение Н к виду
1ь х
а (х) = г 1 г Х1 г 12
^21 ^22
138
Гл. IV¦ Формальные степенные ряды
Следовательно, в аффинных координатах, с точностью до по-
постоянного множителя, будет
h{x, у) =
fx fxx Jxy
fv /УХ lyy
Используя выражение F.4) для / и подставляя F.3), получаем
О
h (х, у) =
gyx
gxv
gyy
где буквы с черточками наверху означают результаты подста-
подстановки х и у в соответствующие многочлены.
Из F.4) мы имеем ts+i + ... — ts+i +g(x, у) = 0, так что
@{g{x> У)) >s + 2. Двукратное дифференцирование относительно
t дает
O[gx + gu((s+\)t°+. ..
О [g~xx + 2grxv((s+l)t°+. ..
Из условия относительно g следует, что O(gy)>l. Поэтому при-
приведенные выше соотношения дают О (gx) > s -f-1, О (gxx) > s. Отсюда
следует, что выражение h (x, y) — s(s-\-1) fs-1 -f ... имеет поря-
порядок s—1.
Одним из следствий полученного результата является то, что
любая общая компонента кривых / и h будет прямой линией.
Действительно, если Р — неособая ветвь такой компоненты, то
Op (h) -- оо. Но Op (h) = s— 1, и поэтому s= oo. Другими словами,
в этом случае Р есть ветвь прямой линии. Но так как в п. 6.1
мы условились рассматривать кривые без прямолинейных ком-
компонент, то в нашем случае кривые / и h вообще не будут иметь
Фбщих компонент.
Ветвь Р будет иметь центр в точке перегиба тогда и только
тогда, когда $3г2, т. е. тогда и только тогда, когда Ор [К) > 0.
Таким образом, мы получили второе доказательство теоремы
III — 6.3. Однако мы можем сделать больше. Назовем число
s—1 кратностью перегиба, на ветви Р. Если мы обозначим
через i общее число перегибов, считаемых в соответствии с их
§ 6. Формулы Плюккера 139
кратностями, то в силу того, что многочлен Н имеет степень
3(ге —2), будем иметь
F.5)
а
где РЛ — ветви кривой F, имеющие центры в особых точках.
6.3. Формулы Плюккера. Равенства F.2) и F.5) являются
обобщенными первыми двумя формулами Плюккера. Другие две
формулы будут получены цосле введения понятия дуальной кри-
кривой и рассматриваются в § V — 8. Обычный вид формул Плюк-
Плюккера относится к кривым, не имеющим других особенностей,
кроме простых самопересечений и точек заострения. Простая
точка самопересечения является центром двух ветвей кривой F,
каждая из которых имеет порядок 1 и класс 1, причем эти ветви
имеют различные касательные. Остриз является центром един-
единственной ветви порядка 2 и класса 1. Для получения формул
Плюккера нужно просто вычислить значения 8 (Р) и ОР (Н)
в этих двух случаях. (Очевидно, что 8 (Р) — О, если точка р
простая.)
1) Пусть Р — ветвь с центром в обыкновенной двойной точке.
Выбирая надлежащую координатную систему, мы будем иметь
параметризацию
x = t, y = t*+...
При этом f — xy-\-g, где каждый член g будет степени, не мень-
меньшей трех. Прямым вычислением находим, что
2) Подобным же образом для острия будет
где g — однородный многочлен степени 2 и каждый член к имеет
степень, не меньшую четырех. Тогда
Обозначив число двойных точек через 8# и число острий
через *, получим
т = п(п — 1) — 25 — Зх,
Это и есть формула Плюккера.
Подобные же выражения могут быть получены при рассмо-
рассмотрении особенностей более общего вида.
140 Гл. IV- Формальные степенные ряды
6.4. Упражнения. 1. Неприводимая кривая третьего порядка
не может иметь других особенностей, кроме обыкновенной двой-
двойной точки или острия. Ее точки перегиба имеют кратность 1.
Поэтому существует ровно три типа неприводимых кривых
третьего порядка, для которых соответственно и = 6, 4, 3 и
i = 9, 3,1-
2. Существует десять типов неприводимых кривых четвертого
порядка, не имеющих других особенностей, кроме обыкновенных
двойных точек и острий. Вычислить класс и число точек пере-
перегиба кривых каждого из этих типов.
3. Шесть точек касания касательных к неособой кривой тре-
третьего порядка, проведенных из внешней точки, лежат на кривой
второго порядка.
4. Если центр линейной ветви класса s считать точкой пере-
перегиба кратности s—1 (на этой ветви), то формулы Плюккера
будут иметь место и в случае наличия двойных точек, являю-
являющихся центрами двух любых линейных ветвей с различными
касательными.
5. При определении кратности точки перегиба, приведенном
выше, формулы Плюккера можно применять и для кривых,
имеющих острия и точки любой кратности с различными каса-
касательными, если только каждую такую точку кратности г считать
за /•(/•—1)/2 двойных точек.
§ 7. ТЕОРЕМА ВЁТЕРА
7.1. Теорема Нётера. Очень полезная теорема относительно
пересечений кривых была доказана М. Нётером. Эта теорема
гласит, что если три кривые F, G и Н удовлетворяют некоторым
условиям в точках их пересечения, то найдутся такие однород-
однородные многочлены А и В, что Н = AG + BF. Теорема допускает
различные формулировки,' в зависимости от ограничений, нала-
налагаемых на особые точки кривых F и G. Мы докажем эту теорему
в форме, наиболее удобной для наших дальнейших целей.
Докажем прежде всего такое вспомогательное предложение:
Теорема 7.1. Пусть F не имеет множителей, содержащих
только х0 и хх, и пусть R(xg, Xi) = UG + VF— результант F и G
относительно х2. Если существует такой однородный многочлен
Q, что многочлен T = UH — QF делится на R, то Н может
быть выражен в виде AG-\-BF.
Доказательство. Пусть Т = AR. Имеем
RH = UHG + VHF - QGF + TG + VHF = ARG + (QG + VH) F.
Отсюда следует, что R \ (QG + VH) F. Но так как F не имеет
множителей, содержащих только х0 и хх, должно быть QG + VH =
= BR. В таком случае H-=AG + BF.
§ 7. Теорема Нётера 141
Теперь мы в состоянии доказать теорему Нётера в следующей
форме:
Теорема 7.2. Пусть G и F не имеют общих множителей
а пусть комедия ветвь /\ кривой F, в которой <Яр4(С)>0,.
имеет своим центром обыкновенную ri-кратную точку кривой F.
Если для каждой из этих точек выполнено условие
OPl{H)>OPl{G) + ri-\,
то H = AG + BF.
Доказательство. Так как условия и утверждения теоремы
не зависят от системы координат, эту систему можно выбрать
произвольно. Поэтому точку @, 0, 1) можно считать не лежащей
на кривой F, а также на прямых, принадлежащих следующим
конечным множествам: 1) множеству прямых, попарно соединяю-
соединяющих точки пересечения кривых F и G; 2) множеству касатель-
касательных к кривой F в точках ее пересечения с кривой G; 3) множе-
множеству касательных к F, проведенных из этих точек пересечения;
4) множеству прямых, соединяющих точки пересечения F и G
с кратными точками кривой F. Ввиду того что при наших пред-
предположениях коэффициентом старшей степени ж2 в многочлене F
будет константа, многочлен UH можно поделить на F с остатком
и получить соотношение UH — QF -\-Т, где степень Т относи-
относительно я2 не больше п—1 (га есть степень F).
Пусть (а) —/--кратная точка кривой F, являющаяся центром
ветвей Plt .¦.,, Рг, и пусть
Op,(G) = o1>0, i=\,...,r.
Положим o=S°i- Так как> в СИЛУ условия 1, никакая другая
точка пересечения F и G не лежит на прямой L = axxu — аохъ
то Л будет делиться точно на степень V, Если мы сможем пока-
показать, что Т также делится на V', то теорема будет доказана,
ибо те же рассуждения применимы к любому множителю R.
Предположим поэтому, что T = LfTlt где р<о и Ь\ТХ. Из
равенства Т — UH — QF имеем
а из R = UG-\-VF следует, что
OPl (U) + OPl (G) = OPi (R) = a,
так как OPi {L) = \ в силу условия 2. Следовательно,
Из теоремы 5.11 следует теперь, что (а) есть, по меньшей мере,
/¦-кратная точка кривой Тх, а поэтому уравнение Тх (а0, а^Жг^О
имеет значение ж2 = а2 своим корнем, кратность которого не
меньше г.
142 Гл. IV- Формальные степенные ряды
Пусть (а0, alt bf)— другая точка пересечения L с F. В силу
условий 2, 3 и 4, таких точек пересечения будет п — r и каждая
из них будет центром ветви Pj кривой F. Все эти ветви имеют
порядок 1. Ввиду сказанного, будет
OP(L) = 1, OP.(G) = 0, Oj
и, как и выше,
- ОР. B\) = ОР.(Т)-Р = о + Op. (Я)-р > 1.¦
Поэтому кривая 3 = 0 должна проходить через все указанные
точки, т. е. уравнение Т1(а0, аъ х2) = 0 имеет корни blt ...,bn~r-
Вместе с r-кратным корнем а2 это дает п корней уравнения
Тг(щ> <*i> Хз) — 0. Но так как степень этого уравнения не пре-
превышает п — 1, оно должно быть тождеством. Отсюда следует,
что L есть делитель Тъ вопреки предположению. Тем самым
теорема доказана.
Из рассмотрения степеней многочленов, участвовавших в пре-
предыдущих рассуждениях, мы усматриваем, что
deg A — deg H — deg G,
degB^degH — degF.
Кроме того,
OPt (A) +OPi (G) = OPi (H) >OPl (G)+n-1,
так что
ОР1(А)>п-1.
Из теоремы 5.11 следует, что кривая А -имеет в центре ветви Pi
точку, кратность которой не меньше ri — 1.
7.2. Приложения. Одним из простых и интересных примене-
применений теоремы Нётера является следующее обобщение теоремы
Ш-6.2:
Теорема 7.3. Если девять точек пересечения кривых тре-
третьего порядка F и G являются простыми точками F, то каждая
кривая третьего порядка, проходящая черев 8 из этих точек,
проходит и через девятую.
Это утверждение нужно толковать так: пусть Pi — ветви кри-
кривой F, для которых OPi(G) = ni>0. Тогда если, Л — любая кри-
кривая третьего порядка, о которой известно, что 0Р1(Щ^П1, для
каждой из Рг, кроме одной, например Р1г для которой (?р1(/?)>
щ — 1, то будет Opi(H)>nx.
Доказательство. Пусть L — прямая, проходящая через
центр ветви Рх и пересекающая F в двух других различных
точках а и Ь, не лежащих на G. Тогда 0« (LH) > щ при лю-
§ 7. Теорема Нётера 14$
бом i, и поэтому теорема 7.2 может быть применена к кривым
F, G и LH. Она дает
Здесь оба многочлена L и F обращаются в вуль в точках а и Ь,
а так как при этом G не обращается в нуль, то А должен также-
обращаться в нуль в этих точках. В силу того, что многочлен А
линеен, он отличается от L только постоянным множителем..
Следовательно,
и поэтому L | BF. Но так как L \ F, мы должны иметь В — dL.
и получаем, таким образом,
откуда требуемое следует непосредственно.
Если выбрать G специальным образом, то можно получить,
несколько интересных следствий. . .
Теорема 7.4. Если прямая пересекает кривую третьего
порядка F в трех различных точках pit то касательные, про-
проведенные к кривой F в точках р{, пересекают F в трех других-
точках, лежащих на одной прямой.
Доказательство. Возьмем в качестве F данную кривую,
в качестве G — произведение трех касательных, а в качестве Н —
квадрат первоначальной кривой, умноженный на прямую, соеди-
соединяющую две из упомянутых точек пересечения» данной кривой
с касательными. Тогда H = AG-\-BF и требуемое следует непо-
непосредственно.
Прямая, соединяющая упомянутые точки пересечения каса-
касательных, называется сателлитом данной прямой.
В случае, если прямая теоремы 7.4 проходит через две точки'
перегиба, будем иметь
Теорему 7.5. Прямая, соединяющая две точки перегиба кри-
кривой третьего порядка, проходит через третью точку перегиба.
Теорема 7.6. Если кривая второго порядка касается кри-
кривой третьего порядка F в трех различных точках />», то каса-
касательные к F, проведенные в точках ри пересекают F в трех
других точках, лежащих на одной прямой.
Применением теоремы Нётера легко доказывается следующее-
обобщение теоремы III —4.1:
Теорема 7.7. Если тп точек пересечения кривых Gm и Fn
являются простыми точками кривой F и если кривая GT, г < т,
пересекает F в т из этих точек, то существует кривая Gm-Tr.
пересекающая F в остальных (т — г) п точках.
Доказательство. Так как все точки пересечения явля-
являются простыми точками F, теорема 7.2 может быть применена^
444 Гл. IV. Формальные степенные ряды
« кривым F, Gr и Сто* Она дает
«Отсюда непосредственно следует, что кривая Gm-r — Am-r — 0
имеет нужное свойство.
Теоремы 7.4, 7.5 и 7.6, как и их различные обобщения, непо-
непосредственно следуют из этой теоремы.
Ни одно из приведенных следствий теоремы 7.2 не исполь-
использует всех ее возможностей, так как во всех приведенных случаях
обходятся особенности кривой F, Действительное значение теоре-
теоремы 7.2 заключается в ее' применениях к теории линейных рядов
<гл. VI).
7.3. Упражнения. 1. Обобщить теорему 7.4 на любые прямые.
2. Если кривая второго порядка касается кривой третьего
порядка в трех различных точках, то прямые, попарно соединяю-
соединяющие эти точки касания, пересекают кривую в трех других точ-
точках, лежащих на одной прямой.
3. Пусть даны две неособые точки неприводимой кривой треть-
третьего порядка. Указать, как построить кривую второго порядка,,
касающуюся кривой третьего порядка в этих точках и еще
в одной точке. .
4. Неособая точка кривой третьего порядка, не являющаяся
# точкой перегиба, называется шестеричной точкой, если некото-
некоторая кривая второго порядка может иметь с данной кривой шести-
шестикратное пересечение в этой точке. Доказать, что шестеричные
точки являются точками касания касательных, проведенных
к кривой третьего порядка из ее точек перегиба. Таких точек
¦будет 27, 3 или 0, смотря по тому, будет ли кривая третьего
порядка неособенной, иметь точку самопересечения или острие.
5. Касательные к кривой третьего порядка в шести ее точках
пересечения с кривой второго порядка пересекают кривую треть-
третьего порядка в шести других точках, снова лежащих на некото-
некоторой кривой второго порядка. Обобщить.
6. Прямая, пересекающая кривую третьего порядка и класса т
в трех различных точках, ни одна из которых не будет точкой
перегиба, является сателлитом (т — 2J различных прямых. Если
т = 6, то 16 полученных прямых проходят по четыре через 12 то-
точек, из которых на каждой прямой лежат по три точки. (См.
Journal fur die reine und> angewandte Mathematik, 108, 1891 г.,
где подробно рассматривается эта конфигурация.) Исследовать
•конфигурацию, получаемую в случае, если данная прямая будет
касательной к кривой третьего порядка.
Относительно других применений теорем 7.3 и 7.7 см. книгу
Хилтона, Плоские алгебраические кривые, гл. 12 (Hilton H.,
Plane algebraic curves, Oxford, 1920).
Глава V
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КРИВЫХ
Понятие преобразования играет важную роль во всех обла-
областях геометрии. В этой главе мы рассмотрим в порядке возрастаю-
возрастающей общности три типа преобразований: бирацион.альные,
рациональные и алгебраические. Применение преобразований
позволяет так обобщить определение алгебраической кривой,
чтобы включить в рассмотрение геометрические места в про-
пространствах большей размерности, чем плоскость.
Прежде чем переходить к изучению преобразований, оказы-
оказывается полезным ознакомиться с некоторыми дальнейшими свой-
свойствами колец и полей.
§ 1. ИДЕАЛЫ
1.1. Идеалы в кольце. В любом коммутативном кольце В
важную роль играют некоторые его подкольца. Подкольцо /
кольца R называется идеалом в R, если для любого элемента
а?/ и любого элемента b?R произведение ab?l.
Следующие примеры иллюстрируют это определение:
1. R — кольцо целых чисел; / — множество четных чисел.
2. R — D[x, у]; I — множество всех таких f(x, y)?R, что
0) 0
)
3. R~D[x]'; / — множество всех таких f(x)?R, что 0(/)>т.
4. Л —любая область целостности; / — множество всех элемен-
элементов из R, кратных фиксированному элементу а.
5. R — любое коммутативное кольцо; / состоит из единствен-
единственного элемента — нулевого элемента кольца R.
6. R — любое коммутативное кольцо; I = R.
В случае примера 4 идеал называется главным идеалом;
говорят, что он порождается элементом а. Пример 2 показывает,
что не все идеалы являются главными.
Важная роль идеалов в значительной мере обусловлена сле-
следующим их свойством:
Теорема 1.1. Если I —идеал коммутативного кольца R,
то соотношение а~~Ь, определяемое условием b — a?l, является
соотношением эквивалентности, сохраняющимся при сложении
и умножении.
Доказательство. Действительно, если а — b?l, то будет
также Ь — а =¦¦ — (а — Ь)?/; если, кроме того, Ь — с?1, то а — с-=
10 р. уокер
146 Гл. V. Преобразования кривых
— (а — Ъ) + (Ь—с) € !• Другими словами, соотношение ~v есть
соотношение эквивалентности. Пусть теперь ах ~~ аа> Ьх ~ Ь2.
Тогда
(«1 ± *>i) - (а2 ± К) = (ах - а2) ± (Ьг -
и поэтому ах ± 6Х ~ а2 ± ^2- Кроме того,
ах (Ьх — 62) — Ь2 (ах — а2) € /,
так как Ь1 — Ь2?1 и а1 — а2^1. Следовательно,
Обозначим через 1а класс эквивалентности, содержащий эле-
элемент а. Определим сумму и произведение двух таких классов
условиями
Так как эквивалентность сохраняется при сложении и умноже-
умножении, то сумма и произведение классов однозначно определены.
Легко проверить, что совокупность всех классов образует комму-
коммутативное кольцо с классом /0 = / в качестве нулевого элемента.
Это кольцо называется кольцом вычетов (или фактор-кольцом)
кольца R по идеалу / и обозначается через R/I.
Пример. Пусть R есть совокупность всех целых чисел
и / — главный идеал, порождаемый числом т. В таком случае
вместо обозначения а ~ b можно применять обычное обозначение
теории чисел a = 6 (mod»i). Мы видим, таким образом, что
свойства вычетов по модулю т являются свойствами кольца Л//.
Связь между кольцами R и R/I выражается
Теоремой 1.2. Соответствие между а и 1а является гомо-
гомоморфным отображением кольца R в кольцо R/I, где I со-
состоит, из всех элементов R, переводящихся в нуль при этом
отображении. Обратно, если задано гомоморфное отображение
кольца R в некоторое кольцо R', при котором каждый элемент
из R' является образом некоторого элемента из R, то сово-
совокупность элементов, отображающихся в нуль, является идеалом I
кольца R и кольцо R/I изоморфно R'.
Доказательство. Первая часть теоремы непосредственно
следует из определения кольца R/I. Прэдположим теперь, что
отображение а —> а' есть гомоморфизм R в некоторое кольцо R'.
Пусть / — множество элементов, отображающихся в нуль. Как
видно непосредственно, из соотношений а —» О', Ь —» 0л следует,
что а ± Ь —> 0'. Поэтому множество / замкнуто относительно
сложения и вычитания. Если с —любой элемент R, то мы будем
иметь ас —» 0'с'=0'. Поэтому / есть идеал.
Если 1а и /ь — два элемента кольца R/I, то равенство 1а —- 1ъ
будет иметь место тогда и только тогда, когда a—b?l. В свою
очередь, последнее справедливо в том и только в том случае,
§ 2. Расширение полей 147
если а' — Ь'. Поэтому между элементами кольца R/I и элемен-
элементами R' существует взаимно однозначное соответствие. Но так
как равенства 1а + 1ь =1а+ь и 1а1ь"=1аь имеют место одновре-
одновременно с равенствами а'-\-Ь'¦-= {а-\-b)', a'b' — (ab)', то это соответ-
соответствие будет сохранять сложение и умножение, т. е. является
изоморфизмом.
1.2. Упражнения. 1. Если Л — коммутативное кольцо с еди-
единицей,~ то любое множество элементов а1г а2, ... из R (конечное
или бесконечное) определяет идеал, состоящий из всех конечных
сумм 2^ia»' B к°торых Mi € R-
2. Каждый идеал в кольце целых чисел является главным.
3. Если R — кольцо целых чисел, / — главный идеал, порож-
порождаемый простым числом р, то Л// является полем характери-
характеристики р, состоящим из р элементов.
4. а) В поле существуют лишь два идеала: само поле и нуле-
нулевой идеал, состоящий лишь из нуля.
б) Гомоморфизм поля К в некоторое кольцо R либо ото-
отображает все элементы К в нуль, либо является изоморфизмом
между К и некоторым подмножеством из R.
5. Если R—коммутативное кольцо с единицей, то кольцо RJI
будет областью целостности тогда и только тогда, когда идеал /
обладает следующим свойством: если a, b?R, a$I и ab?l, то
b g/. В этом случае идеал / называется простым.
§ 2. РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
2.1. Трансцендентные расширения. Мы займемся здесь про-
процессом расширения поля К, т. е. переходом от поля К к неко-
некоторому полю 2Z3-?- Мы уже встречались с таким процессом
при построении полей К(х), К(х)', К(х)*.
Пусть 2 — поле, содержащее К, и пусть 6lt ..., Sr —элемен-
—элементы из 2- Тогда существует наименьшее подполе 2» содержа-
содержащее К и все элементы 6Ь ..., 6Г. Мы будем обозначать его
через К FЪ . .., Ьг). Очевидно, что все элементы из,ЙГF1, ..., бг)
могут быть выражены в виде g(Въ ..., ег)/АF1( ..., 8Г), где
g и h — многочлены над К и где h{bx, ..., Sr) Ф 0. Действи-
Действительно, все такие элементы образуют поле, которое содержится
в любом поле, содержащем К и все элементы 61? ..., 8Г. Мы
будем говорить, что поле К (81? ..., 8Г) получено присоединением
к полю К элементов Ьи . .., вг. Элементы 6Х 6Г называются
образующими поля К FХ бг) над К. Любое поле, со-
содержащее К в качестве подполя, называется расширением
поля К.
Удобно обозначить через К [бг, . -., 6Г] множество всех эле-
элементов из КFj, ..., 6Г), имеющих вид /F1; ..., 6Г), где
10*
148 Гл. V. Преобразования кривых
f{xi, ..., хг)?К[хъ ..., хг]. Поле К (б1; ..., 6Г) является, оче-
очевидно, полем частных кольца К [6 х, ..., бг].
Если г—1, то расширение ^=К(в1) называется простым.
Простые расширения разделяются на два класса. Если элемент в
удовлетворяет уравнению вида /F) = 0, где /#=0, f(x)?K[x],
то элемент 6 называется алгебраическим над К и расширение К F)
называется алгебраическим расширением. Если б не удовлетво-
удовлетворяет никакому уравнению такого рода, то расширение назы-
называется трансцендентным.
Следующая теорема дает полное описание простых трансцен-
трансцендентных расширений:
Теорема 2.1 Если элемент 6 трансцендентен над К, то
поле К F) изоморфно полю К (х) рациональных функций одной
неизвестной х.
Доказательство. Мы видели, что любой элемент КF)
можно выразить в виде gF)/AF), где g, h?K[x]. Если, два
таких выражения были бы равны между собой, например
gl F) /hx (8) = g2/(S) h2 (в), то мы имели бы gl(в) А2 (в) -г g2 (8) Ах-(в) = 0.
Так как элемент б трансцендентен, то отсюда следует gi(x)h2{x)—
— g2(x)h1(x)-0, т.е. gi(x)/h1(x) = g2(x)/h1(x). Обратно, ра-
венство gi{x)/hi(x) — g2(x)/h2(x), очевидно, влечет за собой
равенство giF) /AjF) = g2F) /A2@). Отсюда следует, что соответ-
соответствие между g(б) /h(S) и g(x)jh(x) будет взаимно однозначным,
и так как оно сохраняется при сложении и умножении, то это
соответствие будет изоморфизмом.
Полученный результат может быть легко обобщен на непростые
расширения. Мы будем называть элементы б1( ..., бг алгебраи-
алгебраически независимыми над К, если они не удовлетворяют никакому
уравнению вида /(б1; ..., 6г)==0, где /—многочлен над К,
f ф 0. В таком случае имеет место
Теорема 2.2. Если элементы 6Х, ..., 6Г алгебраически
независимы над- К, то поле К(Ь1г ..., 6Г) изоморфно полю
К (х1г ..., Хг) рациональных функций от неизвестных xt, . . ., хТ.
Доказательство то же самое, что и для теоремы 2.1.
2.2. Простые алгебраические расширения. Рассмотрение
алгебраических расширений несколько сложнее. Докажем прежде
всего
Теорему 2.3. Если элемент В алгебраичен над К, то суще-
существует неприводимый многочлен / (х) ? К [х], единственный с точ-
точностью до постоянного множителя и. такой, что для любого
многочлена к (х) б К [х] равенство к F) = 0 имеет место тогда
и только тогда, когда f(x)\k(x). . ¦
Доказательство. Так как элемент В—алгебраический,
то существует такой многочлен g (х) Ф 0, что g @) = 0. Пусть
g(x) = gt(x) ... gr(x)—разложение g(x) на неприводимые мно-
§ 2. Расширение полей 14!)
жители. Тогда gi F) ... gr F) = 0, и поэтому хотя бы один из
множителей gi (S) равен нулю. Обозначим один из таких gt (х)
через / (х). Если f(x)\k (х), то, очевидно, к (в) — О, так как /-(в)'= 0.
С другой стороны, если / (х)\к (х), то f(x)nk (x) взаимно просты,
ввиду неприводимости f(x). Поэтому, в силу теоремы I—6.7,
найдутся такие многочлены а(х), Ь(х), что а/+ЬА=1. Отсюда
следует а F) / F) + b F) к F) = 1, а так как / F) = 0, то к F) ф 0.
Наконец, если /х (х)— другой неприводимый многочлен, обладаю-
обладающий тем свойством, что равенство к F) — 0, имеет место тогда
и только тогда, когда fi\k, то должно быть /|Д и Д|/. Следо-
Следовательно, Д = а/, где а?К.
Чтобы доказать об алгебраических расширениях теорему,
аналогичную теореме 2.1, мы должны сначала показать способ
построения алгебраических расширений. Этот способ дается
следующей
Теоремой 2.4. Если I—главный идеал в К [х], порождаемый
неприводимым многочленом f (x), то фактор-кольцо К [х]/1 является
полем К{%), где /(?) = ().
Доказательство. Для доказательства того, что кольцо
Л = К [х]/1 есть поле, нужно лишь показать, что для любых
Ли 1ъ?Л, 1аф1 найдется элемент Ig?&, удовлетворяющий ра-
равенству 1а1д = 1ъ- Действительно, в таком случае выбор 1ь = 1а
доказывает существование единичного элемента, а выбор единич-
единичного элемента в качестве 1Ь—существование обратного. Условие
Ialg — ^ь для элементов кольца К [х] означает, что существует
такой с?К[х], что ag — b-\-cf. Но f\a, так как 1а Ф I. Поэтому,
в силу неприводимости многочлена /, существуют такие d, е&К [х],
что da + е/ = 1 (теорема I—6.7). Беря g = bd, c= — be, мы получим
требуемое соотношение. Пусть теперь \ — 1х. Так как каждый
элемент кольца К [х] является многочленом от х, то вследствие
гомоморфизма К [х] и Л каждый элемент из Л является много-
многочленом от |, т. е. А — КЩ1). Поэтому также А = К(Ъ), ибо
Л—поле. Наконец, многочлен f(x) отображается при указанном
гомоморфизме в нуль, так что /(?) = 0.
Этим мы доказали существование алгебраического расширения,
соответствующего заданному неприводимому многочлену /(#).
Следующая теорема показывает, что такое расширение един-
единственно.
Теорема 2.5. Если элемент 6 удовлетворяет неприводимому
уравнению /(в) = 0 над К, то поле К (Ь) изоморфно полю K(z),
определенному в теореме 2.4.
*) Такая запись оправдывается тем обстоятельством, что различные
элементы ag/Г переходят в различные элементы /а?Л. Совокупность
таких 1а является подполем Кг С Л, изоморфным полю К. Автор молча-
молчаливо отождествляет каждый из /а с соответствующим элементом а и под^
поле Ку— с полем К. (Прим. перев.)
150 Гл. V. Преобразования кривых
Доказательство. Отображение К [х] в К [6] * определяемое
условием g{x)—>g(&), будет гомоморфизмом. В силу теоремы 2.3,
g (х) —»0 * тогда и только тогда, когда f\g. Следовательно,
идеал /, состоящий из элементов, отображающихся в нуль,
будет главным идеалом, порождаемым многочленом f(x). В таком
случае, по теореме 1.2, поле К (?) = К [х]/1 изоморфно кольцу К [в].
Следовательно, К [б] является полем, содержащим К и 6 и содер-
содержащимся в К (в). Поэтому К[Ь\—К{Щ, и теорема доказана.
Побочным результатом приведенного выше доказательства
является
Теорема 2.6. Если многочлен f(x) имеет степень г, то
каждый элемент из К (в) может быть выражен мночленом от б,
имеющим степень < г — 1.
Доказательство. То, что каждый элемент ср из К(Ъ)
выражается некоторым многочленом g F), следует из при-
приведенного выше замечания, что К(Ь)=-К [Ь]. Если g(x) имеет
степень, большую или равную г, то, деля его на f(x), получим
g(x) = q(x)f(x)+h(x),
где h-0 или degA<r. Очевидно, что <p = g(9) —hF), а это
и требовалось доказать.
Число г называется степенью расширения. Следующая тео-
теорема показывает, что эта степень зависит только от двух рас-
рассматриваемых полей, а не от выбора элемента 6, дающего нужное
расширение.
Теорема 2.7. Если элемент б удовлетворяет неприводимому
над полем К уравнению степени г, то каждый элемент у из К F)
удовлетворяет уравнению с коэффициентами из К, сгпепенЛ
которого не больше г. Если К (у)—К (в), то это уравнение будет
неприводимым и будет иметь степень г.
-~ Доказательство. Так как 1, ср, ..., срг—элементы КF),
то, по теореме 2.6, имеем
1 = 1
Так как элементы 1, ср, ..., срг в числе г+1 выражаются линей-
линейными комбинациями элементов 1, 6, ..., б71 с коэффициентами
из К, то они линейно зависимы над К, т. е. существуют коэф-
коэффициенты с0, ..., сТ ? К, ле все равные нулю, для которых
со + ci <р + • • • + сг срг = 0. Если К(^) — К (8) и если ср удовлетворяет
неприводимому уравнению степени s, то, в силу сказанного,
§ 2. Расширение полей 151
должно быть s < г. Подобным же образом, г •< s и, следова-
следовательно, r = s.
Метод доказательства этой теоремы с очевидностью показывает,
что степень К F) над К может быть определена как наибольшее
число элементов из поля К(Ь), линейно независимых над К.
2.3. Алгебраические расширения. Теоремы п. 2.2 описывают
строение простого алгебраического расширения. Мы хотим рас-
рассмотреть сейчас расширения более общего типа. Расширение 53
поля К называется алгебраическим, если каждый элемент из 2j
алгебраичен над К. Докажем прежде всего
Теорему 2.8. Результат конечного числа последовательных
простых алгебраических расширений является алгебраическим рас-
расширением.
Доказательство. Пусть 6Х, ..., 6т—такие элементы,
что 6Х алгебраичен над К, а каждый 64 алгебраичен над полем
К@1; ..., Sj-x). Мы должны показать, что каждый элемент
поля ^-К^х, ..., Ьт) алгебраичен над К. Пусть тч—степень
расширения, полученного присоединением б4 к полю if FХ, ..., 0i_x).
Тогда любой элемент поля 2 выражается линейной комбинацией
элементов 1, б„,, ..., &JJJ1 с коэффициентами из К(въ ..., 0m-1).
Каждый из этих коэффициентов выражается линейной комбина-
комбинацией элементов 1, 8m-i. •••. бпГ-} с коэффициентами из
К (въ ..., 8т_2). Продолжая этот процесс, увидим, что каждый
элемент поля 2 выражается линейной комбинацией элементов
вида 8?х б|2 ... eS»,0 < pi < п — 1 (их будет всего R = гх г2 ... гт)
с коэффициентами из К. Отсюда следует, что при любом <р б S
элементы 1, <р» •••> <PR (их число равно/?-|-1) линейно зависимы
над К и поэтому <р будет алгебраичен над К. ^
Теорема 2.9. Если каждый из элементов Ьъ ..., 6т алгеб-
алгебраичен над полем К характеристики нуль и если S—любое
бесконечное подмножество К, то существуют такие элементы
ai?S, что К(ВЪ ...(< 6т) = ^Г(ср), где положено <p=2~3atei-
Доказательство. Пусть L — К (хг хт)—поле рацио-
рациональных функций от неизвестных xlt ..., хт. Тогда поле
L F1( ..., 6тJ) будет алгебраическим расширением L. Пусть
У = S х&- Моншо считать, что у Ф 0, ибо случай В1 — ... = вт == О
тривиален. Так как элемент y?L(Bv ..., Sm), то у будет алге-
алгебраичен над L (по теореме 2.8) и поэтому найдется такой мно-
многочлен
t{x, z)=^bi,
*) Такая запись будет оправдана, если поля К («], ..., хт) и К (в1; ..., 6т)
являются подполями одного и того же поля. В качестве последнего можно
взять, например, КFj, ..., 6m) (хъ ..., хт), т. е. поле рациональных
функций от xlt ..., хт над K(%lt ..., 6m). (Прим. Нерев.)
152 Гл. V. Преобрааования кривых
неприводимый над L, для которого / (х, у) -¦= 0. Здесь bi (х) являются
элементами L, которые можно даже считать принадлежащими
К [xt, . .., хт] (так как их всегда можно умножить на общий
знаменатель). В таком случае элемент f(xlt ..., хт, х1в1+...
... +<rm6m)n=0, как элемент кольца К(%х, ..., 6т) [хъ . .., хт].
Поэтому
где у = хх 6j + • • • + Хт 9щ подставлен вместо z в выражения df/dxi
и df/dz. Если бы элемент (df/dz)z=y был нулем, то f(x, z) n df/dz
имели бы общий делитель z—у в кольце К FХ,. .., Sm) [xlt..., хт, z],
следовательно, по теореме I—9.5, и общий делитель в кольце
К [xlt . . ., xm,z]. Это противоречит предположению о неприводи-
неприводимости многочлена / над полем L. Поэтому (df/dz)Zm.v Ф 0. В таком
случае, в силу теоремы I—6.3, найдутся такие константы axb.S,
что df/dz Ф 0 при х{ = а-х, z = <? = a1Q1-\- ... +am6m. Из B.1) мы
получаем, что
т. е. что все б,- выражаются рациональными функциями от ср
над К. Отсюда следует, что в, ? К (<р), а потому К (вх 6т) ? К (ср).
Но, очевидно, К (<р) С Я Fi 9т). Поэтому /Г (elf ..., К)=К (ср),
что и требовалось.
2.4. Упражнения. 1. Любое поле, получаемое из поля К
характеристики нуль конечным числом последовательных простых
расширений, изоморфно простому алгебраическому расширению
поля рациональных функций К(х1г ..., хг) над К.
2. Если L — любое расширение поля К, то наибольшее число
элементов L, алгебраически независимых над К, называется
размерностью расширения. Оно обозначается через dimK-L-
Доказать, что если поле L получается из А" и поле М получается
из L конечным числом простых расширений, то dimjc^f =
= dim кL + dim lM .
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ НА КРИВОЙ
3.1. Поле рациональных функций на кривой. С неприводи-
неприводимой алгебраической кривой / (х, у) = 0 связывается важное обра-
образование, известное под названием поля рациональных функций
на кривой. Это поле, которое мы будем обозначать через 2>
определяется как расширение K(k,ii), где $ — трансцендентен
над К, а т] алгебраичен над К(Ъ) и удовлетворяет неприводи-
неприводимому уравнению / (?, т]) = 0. Эта конструкция оказывается невоз-
§ 3. Рациональные функции на кривой 153-
можной, если / (х, у) является многочленом от одного х. Но
тогда должно быть f(x) — ax + b. Этот тривиальный случай мы
исключим «з рассмотрения.
Такое определение поля 23 > хотя оно удобно при формулиров-
формулировках и оперировании с ним, несколько неудовлетворительна
в том отношении, что переменные х и у входят в определение
несимметричным образом. Оставим читателю доказательств»
следующего утверждения: 23 есть поле частных области
целостности К [х, у}/1, где / — главный идеал, порождаемый
многочленом f(x, у).
Так как 2]—.ЙГA, ?]), то каждый элемент из 23 можно выра-
выразить в виде рациональной функции от | и т), т. е. в виде-
g(s, "n)/h(l, ij), где g(x,y), h(x, y)?K[x, у) и h?, -ц)^0. Конечно,
такое выражение элемента из 23 не будет однозначным.
Легко видеть, на каком основании поле 23 называют полем
рациональных функций на кривой /. Если g1 (x, y)jhx (x, у)
и g2(x, y)/h2(x, у) — рациональные функции над К, а (а, Ь) — лю-
любая точка кривой /, в которой значения написанных рациональ-
рациональных функций определены, то эти значения обязательно будут рав-
равными, если gx(S, -q)/hi(b, f\) = gi(l, f^)/K{%, т]). Обратно, если послед-
последнее равенство не имеет места, то /(х, у) \gi{x, у)/г2(х, у) —
— gi (Я| У) h}?x> У) и поэтому на кривой / найдутся точки,.
в которых две данные рациональные функции принимают
различные значения. Другими словами, рациональные функции
ведут себя подобно элементам поля 2> ес^и рассматривать лишь
значения этих функций в точках кривой /.
• Для краткости мы будем называть 2 «полем кривой /» или
просто «полем /». Элементы 23 будут, как правило, обозначаться
малыми греческими буквами.
По определению поля 23» оно содержит хотя бы один элемент,
алгебраически независимый (т. е. трансцендентный) над полем К.
Следующая теорема ограничивает число таких элементов:
Теорема 3.1. Любые два элемента из 23 алгебраически
зависимы над К.
Доказательство. Так как поле 23 алгебраично над К (?),
любой элемент ср из 23 удовлетворяет некоторому уравнению
g(E, <р) = а„+..-+«*' = О, atеЛТ(Е).
Умножая его левую часть, если это нужно, на общий знамена-
знаменатель коэффициентов ai и деля на их общий делитель, можно
добиться, чтобы все а< были элементами К [I] и чтобы они не
имели общих множителей, т. е. чтобы многочлен g(?, z)?K[b, z]
не имел множителей, содержащих лишь \. Подобным же обра-
образом, для любого другого элемента <|> из 23 будет
А E, ф) = 0,
154 Гл. V¦ Преобразования кривых
где многочлен А(|, «^удовлетворяет тем же условиям. В таком
случае многочлены g (х, z) и h (х, w) не могут иметь нетривиаль-
нетривиальный общий делитель, и поэтому их результант R{z, w) будет
отличен от нуля. Однако g(x, <p) и h(x, ф) имеют общий дели-
делитель я —I, и поэтому должно быть Л(<р, ф)==0, а это и требова-
требовалось доказать.
Следующая теорема является уточнением теоремы 3.1 и дает
внутреннюю характеристику поля S-
Теорема 3.2. Расширение 23 алгебраически замкнутого
поля К характеристики нуль является полем рациональных
функций на некоторой кривой f в том и только в том случае,
если
1) 23 содержит элемент, алгебраически независимый над К,
но не содерэкягт ни одной пары таких элементов.
2) 23 имеет конечное число образующих над К.
Доказательство. Необходимость условий 1 и 2 следует
из определения поля рациональных функций на кривой и тео-
теоремы 3.1. Предположим теперь, что 23~поле> обладающее
свойствами 1 и 2. В силу условия 1, 23 содержит элемент %,
трансцендентный над К. Если 6Ь ..., Ьп — некоторая система
образующих 23 наД ^> то> в силу условия 1, каждый из 6(
является алгебраическим над К(%) и поэтому, по „теореме 2.9,
существует такой элемент т) из 2, алгебраический над К{1),
что ^\ — К(^,т\). Если /(I, т))-0 — неприводимое уравнение,
которому удовлетворяет -ц, то 23 есть попе кривой f(x, y) = 0.
Мы будем называть поля," удовлетворяющие условиям 1 и 2,
допустимыми полями.
3.2. Инвариантность поля. Если мы переходим от аффинных
координат к проективным по формулам x — xjx^ у = х^хй, то
удобно произвести соответствующую замену в выражениях эле-
элементов поля 23- Мы заменим ? и т\ на $i/?0 и 12/%>- Тогда эле-
элементы 23 можно будет представить рациональными функциями
от So, ?i, ?a> У каждой из которых числитель и знаменатель
являются однородными многочленами одной и той же степени.
Следует помнить, что при этом сами ?0, ?ъ %г не являются эле-
элементами 23- но отношения \ifek принадлежат 23-
Если при преобразовании координат переменные х, у заме-
заменяются на
Х' =Л1Х4-Ь1у +Сл, , , „ .„ ..
\Х% 1 «А-*А*0, C.1)
то I', V, выражаемые через \, т) соответствующими формулами,
будут элементами поля 23- Наоборот, если 23' есть ноле K(l',-q'),
•определяемое новым уравнением f (х', у') = 0 той же кривой, то
5, т), полученные из уномянутых формул, будут элементами поля
§ 3. Рациональные функции на кривой 155
33'. Следовательно, 2 = 2'- Так как преобразование проектив-
проективных координат может быть рассмотрено таким же образом, мы
видим, что поле 2 однозначно определено заданной кривой /.
3.3. Порядок рациональной функции на ветви. Пусть
х, у— параметризация ветви Р кривой /. Мы предположили,
что / не является многочленом вида ах -\- Ь. Поэтому ряд х
должен быть трансцендентным над К, следовательно, поле К (х)
изоморфно К{х) (в силу теоремы 2.1). Отсюда вытекает, что
многочлен f(x, у), рассматриваемый как многочлен над полем
К(х), будет неприводимым. Но так как f(x, ?/) = 0, отсюда сле-
следует, по теореме 2.5, что поле К(х,у) изоморфно полю 2- При
этом изоморфизме элементам хну соответствуют элементы I и rj.
Ввиду того что каждый элемент g из К (х, у) является сте-
степенным рядом и имеет определенный порядок, можно отнести
этот порядок соответствующему элементу ср из 2 и называть его
порядком рациональной функции ср на ветви Р. Порядок 0р(ср)
элемента ср на ветви Р имеет те же свойства, что и O(g). Именно:
Op (ср) = 0, если ср € К и ср Ф О,
ОР (ср) = с» тогда и только тогда, когда ср = 0.
Очевидно, что 0р(ср) не зависит от выбора параметризации
ветви Р, так как от этого выбора не зависят О (g). Из доказан-
доказанного в п. 3.2 следует, что Ор(<р) не зависит также от системы
координат. Действительно, если ср^ср (?, т]), ср(ж, у) ?К {х, у),
то Ор(<?) = 0(ср(ж, у)). Если мы перейдем к новой.системе коор-
координат по формулам C.1), то получим ср = ср' (I', •»)'), где
ср' {ахх-\-Ьху-\-сх, а2х + 6ат/ + е2) = <р (ж, у). А так как новые коор-
координаты (х', у') ветви Р получаются из старых по тем же фор-
формулам C.1), то, очевидно, что ср' (х1, у') — у(х, у) и поэтому
порядок Op(<p) — O(<f'(x',y') остается тем же самым.
Таким образом, с каждой ветвью Р кривой / связана неко-
некоторая функция 0р(ср), аргумент которой может пробегать поле 2»
а значения — целые числа и оо. Ниже (§ 10) мы увидим, что
ветвь Р вполне определяется этой функцией.
Если (ж0, xlt x2) — проективные координаты параметризации
ветви Р и если <? — G(V)/H(?), то мы, очевидно, имеем
ОР (ср) = Op (G)—OP(H)t где OP(G) и ОР (Л) определяются, как указано
в п. IV — 5.1. Так как G и Н — многочлены одной и той же
156 Гл. V. Преобразования кривых
степени, то применение теоремы IV — 5.5 дает следующий важ-
важный результат:
Теорема 3.3. Для любого отличного от нуля элемента,
поля 2 сумма его порядков на всех ветвях кривой f равна нулю.
3.4. Упражнения. 1. Является ли отображение g (ж, у) —? g (I, rj)
гомоморфизмом кольца К [х, у] в К [?, т]]? Является ли оно
гомоморфизмом К [х, у] в 2? Является ли оно гомоморфизмом
К{х,у) в 2?
2. Свяжем с каждой неприводимой гиперповерхностью
f(xi,...,xr)-—O поле j], являющееся полем частных области
целостности К [xlt ...,xr]/I, где / — главный идеал, порождае-
порождаемый многочленом /. Для того чтобы расширение 2 поля К было
полем некоторой гиперповерхности, необходимо и достаточно,
чтобы оно имело размерность г—1 над К и имело конечное
число образующих (см. п. 2.4, упражнение 2).
§ 4. БИРАЦИОНАЛЫЮЕ СООТВЕТСТВИЕ
4.1. Бирациональное соответствие между кривыми. Эле-
Элементы ?, т] составляют систему образующих поля 2 кривой /
над К. Однако могут существовать и другие системы образую-
образующих. Допустим, что мы имеем также "? = К(Ч', -ц'). Тогда,
по теореме 3.1 f будет иметь место некоторое соотношение/' (?', т]'У=О>
в котором /' (х'', у')?К[х', у'], и можно предполагать, что мно-
многочлен /' неприводим. Ввиду того что хотя бы один из элемен-
элементов Ч' ,-ц' трасцендентен над К (ведь в противном случае было
бы К (?', т]') = К Ф 2)> отсюда видно, что поле 2 является
также полем кривой /' = 0. Описанная связь между кривыми /
и /' называется бирационалъным соответствием. О кривых / и /'
говорят, что они бирационалъно эквивалентны.
Так как ?,"ц'?КA, т]), мы имеем
где ср(ж, у), ф (х, у)?К(х, у). Рассмотрим преобразование, опре-
определяемое формулами
х' = ч?{х, у), y' = ty(x, у). D.1)
Пусть {х, у) — некоторая/параметризация ветви Р кривой/. Тогда
ее образ (х', у'), определяемый формулами D.1), будет пара-
параметризацией некоторой ветви Р' кривой /'. Действительно, из
соотношений 0 = /' (I', V)~/'(?(?> 7i)> Ф (^ 7l)) и изоморфизма
полей К (Ч, т]) и К (х, у) следует равенство /' (х, у) = 0. Но так
как один из элементов I', т\'$К, то один из рядов х', у.' также
не будет содержаться в К. . .
§ 4. Бирационалъное соответствие 157
Подобным же образом получается обратное преобразование
х = ч'{х',у'), 2/=f(z',2/'),
в котором
Оно обращает ветвь Р' обратно в Р. Следовательно, бирацио-
нальное соответствие между двумя кривыми индуцирует взаимно
однозначное соответствие между их ветвями.
Если ветвь Р имеет конечный центр (а, Ь) и если опреде-
определены значения a'-tp(a, b), b' — ty(a,b), то {a'b') является цен-
центром ветви Р', и наоборот. Отсюда следует, что бирациональное
соответствие между кривыми индуцирует также взаимно одно-
однозначное соответствие между точками кривых, не принадлежа-
принадлежащими некоторому конечному множеству.
Следует обратить внимание на то, что преобразование D.1)
может быть записано во многих различных формах, так как
один и тот же элемент fj' из поля 2 может быть различными
способами выражен рациональными функциями от \ и -ц. Но
в силу изоморфизма полей К (?, т\) и К(х,у), образ (х',у')
любой ветви (х, у) зависит только от элементов %' и ч\ , а не
от выбора рациональных функций «if,
В проективных координатах преобразованию D.1) можно
придать более удобную форму. Мы имеем прежде всего
xj = Ct (x) x'2 =G2(x)
х'о Ge(x)' x'o Ge(x)'
так как две дроби всегда можно привести к общему знамена-
знаменателю. Здесь G{ (х) — однородные многочлены от х0, хъ х2, имеющие
одну и ту же степень. Теперь эти равенства можно переписать
в виде
ai=--Gi(x), i-0,1,2. D.2)
Пример. Пусть
«Р(*. У)= д-1 + yi . Их' У) =
В таком случае имеем
Следовательно,
—9?' yi' 4 ос
t' ' 'I с/ ц»
158
Гл. V¦ Преобразования кривых
так что
Таким образом, формулы
х' =¦-
, 4]) = 2-
„2 >
определяют бирациональное соответствие между кривой / ш
некоторой кривой /', уравнение которой нетрудно получить..
Мы имеем
Следовательно, ?'2 + tj'2 — S' = 0, и поэтому уравнение-/''будет
х'2 + у'* — х' = 0. На рис. 18 дана геометрическая интерпретация
указанного соответствия. Можно легко установить. поведение-
Ряс. 18.
ветвей и точек крирой при таком преобразовании. При этом
обнаружится, что две ветви исходной кривой, имеющие центр
в начале координат, переходят в ветви с различными центрами.
4.2. Квадратичное преобразование как бирациональное
соответствие. Важный тип бирациональных преобразований
связан с квадратичным преобразованием (III —7). Это преобра-
преобразование определяется в аффинных координатах формулами
х' = 1/х, у' = \/у. D.3>
§ 5. Пространственннш кривые 159
Если ни один из элементов % и щ не равен нулю, то элементы
%' -- 1Д и т]' = 1/т), очевидно, составляют систему образующих
поля К (I, т]). Следовательно, квадратичное преобразование D.3)
индуцирует бирациональное преобразование любой неприводимой
кривой, не совпадающей с иррегулярной прямой преобразования.
Сразу видно, что данное в п. III —7.3 определение образа кри-
кривой согласуется с приведенным выше.
Мы можем теперь сформулировать существенную часть тео-
теоремы III — 7.4 так: любая неприводимая кривая бирационалъна
эквивалентна кривой, имеющей лишь обыкновенные кратные
точки. Этот факт будет широко использоваться в следующей
главе.
4.3. Упражнение. Обобщить понятие бирационального пре-
преобразования на случай гиперповерхностей.
§ 5. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
5.1. Определение пространственной кривой. .Бирапиональ-
ные соответствия дают возможность легко обобщить понятие
неприводимой алгебраической кривой. При рассмотрении систем
образующих поля 2 'нет оснований ограничиваться только
системами, состоящими лишь из flBvx элементов. Пусть
2*(S ... , 5»), где
^ = ?|(Е. Tj), i = l, .... и,
У-
Здесь cpi(х, у)$К{х, у), <?{х)-=у (хи ... , хп)gК(хг хп),
<^(х)^К(х1, ... , хп). В таком случае, как и в п. 4.1, каждой
параметризации (х, у) ветви Р соответствует система степенных
рядов (хг... , хп), в которой не все элементы будут константами.
Мы будем рассматривать элементы системы (х1г ... , хп) как
аффинные координаты некоторой, параметризации неприводимой
алгебраической кривой С в пространстве Sn, а множество экви-
эквивалентных параметризаций — как ветвь Р кривой С. Соответствую
гощими проективными координатами ветви Р будут (у0, ... , уп),
где yi/yo-Xi. Как и в п. IV —2.1, можно выбрать элеадевты ук
так, чтобы было min О (yi) -= 0. В таком случае {yi @)) будет точ-
точкой пространства Sn. Эта точка будет называться центром
ветви Р. Точки пространства Sn, являющиеся центрами ветвей
кривой С, будут называться точками этой кривой. Сама кривая
будет рассматриваться как множество принадлежащих ей точек.
Термин «пространственная кривая» обычно применяют к кривой Ct
160 Гл. V. Преобразования кривых
«ели хотят подчеркнуть, что она не является обязательно
плоской кривой.
Введенная терминология будет оправдана в том случае, если
множество ветвей однозначно определено множеством точек кри-
кривой С. Это будет доказано ниже (§ 9), когда будет установлено
большее число свойств кривой С, чем мы знаем сейчас. Здесь же
мы можем рассматривать кривую С скорее как множество ветвей,
а не как /множество точек. Мы вполне можем продвигаться
.дальше, долго не упоминая вообще о точках кривой С, хотя
это и не совсем удовлетворительно с геометрической точки
зрения.
Ясно, что все, сказанное в §§ 3 и 4 о плоских кривых, может
<5ыть, с надлежащими изменениями, распространено на про-
пространственные кривые. В частности, мы можем рассматривать
бирациональные соответствия между двумя кривыми, имеющими
¦одно и тоже поле. Они определяются уравнениями вида
¦а в проективных координатах — уравнениями
6HG/& S»), / = 0, ... , т.
Каждое допустимое поле 2 определяет «целый класс бирацио-
нально эквивалентных кривых. Каждой системе образующих
поля 2 наД К соответствует одна из этих кривых, и обратно,
каждой кривой соответствует хотя бы одна система образующих
поля 2].
5.2. Ветви пространственной кривой. Ветви пространственной
кривой определены, как образы ветвей некоторой плоской кри-
кривой. Часто полезно иметь характеристику этих ветвей, в которой
яе упоминается никакая другая кривая, кроме самой кривой С.
Одна из таких характеристик дается
Теоремой 5.1. Система степенных рядов (хЛ, ... , хп) яв-
является параметризацией ветви кривой С тогда и только тогда,
когда существует изоморфизм между полем ^ и полем
К (ху , .. . , хп), при котором каждому ?i соответствует a;t.
Доказательство. Если (х) — параметризация кривой С,
то она является образом некоторой параметризации (х, у) пло-
плоской кривой /. В таком случае изоморфизм между К (xi . . . ,хп)
я 2 следует из изоморфизма между 2 й К (х> У)- Обратно,
•предположим, что мы имеем изоморфизм между 23 и
Ж (xi, ... , хп), при котором элементы ?4 и х\ соответствуют
,друг другу. Мы имеем
' ... . У.
§ 6. Пространственные кривые 161
и можем определить х и у формулами
х = ср (хх, ..., Хп), у = ф («!, ... , х„).
Сразу видно, что (а;, у) есть параметризация некоторой кривой /,
образом которой будет С. Таким образом, (х) есть параметриза-
параметризация С.
5.3. Геометрия пространственных кривых. Теорема Безу.
Распространим теперь на пространственные кривые некоторые
менее очевидные определения, относящиеся к плоским кривым,
и изучим связанные с ними свойства.
Пусть С —кривая в Sr и пусть
. . , i =- 0, ... , г,
— параметризация ее ветви Р, для которой не все «ц - 0. Если
G(x) — любой однородный многочлен от xi, то под его порядком
на ветви Р мы понимаем порядок элемента G(x) из K[t]'
(см. п. IV-5.1).
Очевидно, что ОР (G) Ф 0 тогда и только тогда, когда много-
многочлен G (х) обращается в нуль в центре (а) ветви Р.
Пусть тс (ж) — 2 b{Xi = 0—гиперплоскость в пространстве Sr.
Тогда неравенство Ор (тс) > 0 будет иметь место в том и только
в том случае, если тс содержит точку (а). Если это имеет место,
то . .
и Ор (тс) равен наименьшему значению s, для которого 2 h^is Ф 0.
Предположим теперь,, что при / < р справедливы равенства
ац = kju{ и что такие соотношения уже не имеют места
при j=-p. Тогда из равенства ^bioi — О следует, что ^Ь^ = 0
при / < р и что это уже неверно при j -р. Другими словами,
это означает, что каждая гиперплоскость, проходящая через
точку (а), имеет порядок >/? и что хотя бы одна из них
имеет порядок, в точности равный р. Мы будем говорить в таком
случае, что р есть порядок ветви Р (ср. с теоремой IV —5.7).
Для того чтобы было Ор (тс) > р, гиперплоскость « должна
удовлетворять двум независимым условиям:
2*401 = 0, 2&iaip=.O.
Но все гиперплоскости, удовлетворяющие этим уравнениям,
имеют общую прямую, определяемую параметрическими урав-
уравнениями
Эта прямая называется касательной прямой к ветви Р кривой С.
11 Р. Уокер
162 Гл. V¦ Преобразования кривых
В качестве следующего шага описанного процесса можно
было бы рассмотреть гиперплоскости, проходящие через каса-
касательную прямую, и выбрать те из них, для которых порядок
превышает возможное минимальное значение. Эти гиперпло-
гиперплоскости должны удовлетворять еще одному условию и поэтому
должны иметь общую плоскость, называемую соприкасающейся
плоскостью ветви Р кривой С. Последовательно можно опреде-
определять соприкасающиеся подпространства высших размерностей
до тех пор, пока не получится пространство, содержащее всю
кривую.
Следующая теорема является пространственным эквивалентом
теоремы Безу:
Теорема 5.2. Если гиперплоскость г, не содержит кри-
кривой С, то сумма порядков те на ветвях С равна одному и тому
же числу п, не зависящему от выбора те. Если G — однородный
многочлен степени т, имеющий конечный порядок на всех ветвях
кривой С, то сумма порядков G на ветвях С равна тп.
Доказательство. Пусть F(y0, ух, г/2) = 0 — плоская кри-
кривая, бирационально эквивалентная кривой С, и пусть
xi=Hi(y), ;=о,..., г
— соответствующее бирациональное преобразование.
Каждой ветви Р —(ж) кривой С, для которой не все Xi@) = 0,
соответствует ветвь Q = (y) кривой F, для которой t4Xi = ffi(y).
Если мы определим многочлен Gx (у) равенством Gx (у) —
= G (Hi (у)), то G1 (у) - t^G (х), а потому OQ {GJ >ОР (G).
По теореме Безу для плоских кривых, из соотношения
^Oq(Gi) — оо вытекает, что ^1^, т. е. Oq(G1)= со для каждой
Q
ветви Q. Отсюда следует, что Op (G) = со для любой ветви Р.
Если это не имеет места, то сумма S^q(^i) Должна быть ко-
конечной, следовательно, конечной будет и ^]Op(G). Если G'—
р
любой другой однородный многочлен степени т, имеющий
конечный порядок хотя бы на одной ветви кривой С, то
G (?)/С (?) ? 53 и> в силу теоремы 3.3, будет иметь место равен-
равенство %OP(G/G') = 0, т. е. ^iOp(G) = ^Op(G'). Беря т = 1,
р р р
получим первую часть теоремы. Вторая часть получается, если
положить G — %т.
Число и, указанным образом связанное с кривой С, назы-
называется ее порядком. Если кривая С —плоская, то это определе-
определение согласуется с данным раньше.
В соответствии с теоремой IV —5.8, назовем точку простран-
пространственной кривой особой точкой, если она является центром
§ 6. Рациональные преобразования 163
ветви, имеющей порядок, больший единицы, или если она
служит центром нескольких ветвей. Кривая называется неособой,
если она не имеет особых точек.
Более подробное рассмотрение пространственных кривых и их
особенностей мы оставляем до следующей главы.
5.4. Упражнения. 1. Система образующих х, хг, х3 допусти-
допустимого поля *2i=K.(x) определяет кривую С в S3, Доказать, что
1) Кривая С неособая.
2) Она имеет порядок 3.
3) Касательная прямая С в точке (а, а2, а3) определяется
параметрическими уравнениями:
4) Соприкасающаяся плоскость к С в точке (а, а2, а3) имеет
уравнение
а3 — 2>а2хг ~\- Зах2 — х3 = 0.
2. Если С — кривая ь Sn, определяемая системой образующих
?1( ..., in поля 2 и если г +1 — максимальное число линейно
независимых над К элементов в системе ?1? ..., |„, то линейная
оболочка множества точек кривой С будет подпространством Sr
размерности г.
3. Размерность линейной оболочки любой кривой порядка г
в пространстве Sn не превышает г.
§ 6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
6.1. Рациональные преобразования кривой. Пусть С — кривая
в пространстве Sn, определяемая системой образующих Еь ...,?„
S
поля S, и пусть
У-=1
— любые элементы из Е. В таком случае поле К(т\г, .. ., rim) = ?'
является подполем Е. Возможны два случая:
1) ?' = К. В этом случае все <р,- (?) ?К, и поэтому можно считать,
что <р; (х) = а.]?К.
2) Поле 2' трансцендентно над К. В этом случае 2' является
допустимым полем, и его система образующих 7]1; . . ., т]т опре-
определяет некоторую кривую С" в пространстве Sm.
Мы будем говорить, что уравнения
yy=<oj(x), /=1, ...,тп, F.1)
И*
164 Гл. V- Преобразования кривых
определяют. рациональное преобразование кривой С в точку (а)
(в случае 1) или в кривую С" (в случае 2). Впрочем, мы будем
интересоваться, главным образом, вторым случаем.
Как и в случае бирациональных преобразований, в проектив-
проективных координатах можно записать уравнения F.1) в виде
у, = Gj (х0, ..., хп), / --¦= 0, ..., т,
где Gi — однородные многочлены одной и той же степени. И на-
наоборот, каждая такая система уравнений, в которой хотя бы один
из Gi имеет конечный порядок хотя бы на одной ветви кривой С,
определяет рациональное преобразование этой кривой. В самом
деле, если, например, Go имеет конечный порядок на ветви (ж),
то Gi (x)/GQ (x) ? К {xJxq, ..., xnfx0) и поэтому
(*) 6 К (Ыо
6.2. Рациональное преобразование ветви. Рассмотрим теперь
«оответствие между ветвями кривой С и ветвями ее рационального
образа С" (мы будем считать, конечно, что С" не является точ-
точкой). В одном направлении это соответствие легко устанавли-
устанавливается
Теоремой 6.1. Уравнения F.1) преобразуют каждую ветвь
кривой С в некоторую ветвь кривой С".
Доказательство. Пусть (х) — ветвь С и| пусть
г7;=<Ру(я), /=1, -.., т.
В силу изоморфизма полей К (I) и К(х), при котором элемен-
элементам ?i соответствуют элементы Ж{, поля К (•»]) и К (у) будут также
изоморфны, причем элементы -гц и у,- будут соответствовать друг
другу. Следовательно, по теореме 5.1, (г/у) есть параметризация
кривой С". Очевидно, что эквивалентные параметризации (х) дают
эквивалентные параметризации (у). Параметризация (у) может
быть приводимой, но и в этом случае она однозначно определяет
некоторую ветвь кривой С, называемую образом ветви Р.
Установить соответствие в другом направлении не так легко.
Прежде чем пытаться это сделать, нужно подробнее рассмотреть
соотношение между полями S и S'. Мы знаем, конечно, что
ИЦ)Е'. Кроме того, из равенства % = КAЪ ..., ?„) вытекает,
что S = S' (Elf ..., ?п)- Заметим теперь, что поле S' содержит
элемент, трансцендентный над К, a S не содержит ни одной пары
элементов, алгебраически независимых над К. Поэтому каждый
элемент поля S алгебраичен над 2', и, следовательно, по тео-
теореме 2.9, S является простым алгебраическим расширением по-
поля S'. Пусть v — степень этого расширения. Тогда справедлива
§ 6. Рациональные преобразования 165
Теорема 6.2. Любая ветвь кривой С есть образ некоторого
числа р ветвей кривой С, Причем 1<[j,<v; существует лишь
конечное число ветвей. кривой С', для которых \i < v.
Доказательство. Пусть (у) — ветвь С. В таком случае
мы имеем изоморфизм между S' шК(у). Попытаемся продолжить
этот изоморфизм на поле 2. Так как S есть простое алгебраи-
алгебраическое расширение S' степени ч, то ? = ?'(?), где ao + aj.+ ...
...+я^7==0, ai6S', av Ф 0. Выражая коэффициенты пг рацио-
рациональными функциями от tj!, ..., 7jm с коэффициентами из К,
освобождаясь от знаменателей и от общих множителей в числите-
числителях, можно добиться, что все <Х{ = а4(т]), где ai{y)?K\yx, ¦ ¦ •» Ут]
и многочлены ui(y) не имеют общих им всем множителей. В такого
случае будет g (i\, С) = 0, причем
¦ ' g(y, z)^ao(y) + a1(y)z+...+aw(y)z4
является неприводимым элементом кольца К [у1у ..., ут, z].
Ввиду того что ov (~ц) Ф 0, будет также ау {у) Ф 0. Отсюда следует,
что уравнение
gtif, *) = 0 F.2)
имеет корень z в некотором поле K{sY, где s — tl>N (N — целое
число) (теорема IV —3.1).- Заменим теперь в каждом из yj пара-
параметр t на s^. Это не повлияет на изоморфизм между S' и К (у).
В силу неприводимости многочлена #(?], г) многочлен g(y, z)
будет также неприводим над К (у), и поэтому поле ? = ?'(?)
изоморфно полю К {у, z). При этом изоморфизме каждому ^ будет
соответствовать некоторый элемент хг. Система (х) будет пара-
параметризацией кривой С, а (у) — ее образом. Этим показано, что
,и>1.
Чтобы установить неравенство ;j.<v, заметим просто, что
каждой системе (х), имеющей своим образом систему (у), будет
соответствовать некоторый, корень уравнения F.2): это будет
элемент z, соответствующий С при изоморфизме полей S и К (х).
Ввиду того что элементы системы (х), в свою очередь, выражаются
рациональными функциями от (у) и z, различным системам (х)
должны соответствовать различные значения z. Требуемое не-
неравенство следует теперь из того, что уравнение F.2) имеет не
больше v различных корней.
Пусть D (у) — дискриминант многочлена g(y, z) относительно z.
В силу неприводимости многочлена g(t\, z) будет D(t\) Ф 0, и по-
поэтому D (tj) будет иметь порядок нуль на всех ветвях кривой С,
кроме конечного числа их (теорема 3.3). Пусть (у) —ветвь кри-
кривой С", на которой D{i\) имеет порядок нуль. Ветвь (у) имеет
166
Гл. V. Преобразования кривых
конечный центр (Ь) и О(Ь)Ф0. В таком случае уравнение
g(b, z)-=0 имеет ч различных корней Ь^\ ..., Ь^, и поэтому,
в силу теоремы IV —3.2, уравнение G(y, z)^=0 имеет корни
Z* = &(«•) + . .. $K[t]', a=l, ..., v. Так как все #Л) различны,
то никакие две из параметризаций z(a> не эквивалентны. Следо-
Следовательно, определяемые ими ветви (а;(а>) кривой С будут различны
{как замечено выше, z<"> рационально выражаются через Htf).
Этим доказательство закончено.
Важным следствием теоремы 6.2 является
Теорема 6.3. Если С —образ кривой С при рациональном
преобразовании и если существует бесконечное множество ветвей
кривой С, каждая из которых есть образ единственной ветви
кривой С, то преобразование, переводящее С в С, будет бирацио-
налъным.
Доказательство. В силу теоремы 6.2, условия этой теоре-
теоремы влекут за собой равенство v = l. Отсюда следует, что ?' = ?,
а это и нужно.
6.3. Пример. Рассмотрим преобразование кривой / = ж2 +
-(- х3 — у2 = 0, определяемое уравнениями
х' = х, у* — х.
Геометрически оно означает проектирование кривой / на прямую
у — х из бесконечно удаленной точки оси у (рис. 19). Очевидно, что
f' — x' — y' и S' — К (?). В качестве элемента С можно взять т\.
таком случае g(%', -ц', С) = ?'2 + ?'3 — С2, и поэтому v = 2, $ = 5',
Рис. 19.
§ 6. Рациональные преобрааования 167
tj —'(,. Любая ветвь Р' прямой /' имеет параметризацию вида
(a-fi, a-\-t). Следовательно, z должен быть корнем уравнения
которое можно записать так:
z2 = (a2 + a3) + Ba -|- 3a2) t + A + 3a) t2 +13.
Возможны три случая:
1) Если а Ф О, — 1, то
г--= ± |/(а2 + а3) + Bа + За2) t + A + За) t* + ts
¦ - ±
Ветвями кривой /, обращающимися при преобразовании в Р',
будут поэтому ветви
Рассматривая преобразование центров этих ветвей, мы видим,
что точки (а, ±аУ^1 + а) обращаются в точку (а, а).
2) Если а= — 1, то
Положив s = №*, получим
z=-±s(l —s2).
Отсюда следует, что параметризации
х=-. -
определяют ветви кривой /, переводимые в Р'. Но эти парамет-
параметризации, очевидно, эквивалентны, следовательно, существует лишь
одна такая ветвь.
3) Если а~0, то
Следовательно,
В этом случае две параметризации
168 Гл. V. Преобразования кривых
Hfe будут эквивалентными, и поэтому в ветвь Р' обращаются две
различные ветви кривой /. Эти две ветви имеют один и тот же
центр, так что центр ветви Р' является образом лишь одной
точки кривой /.
4) Прямая /' имеет бесконечно удаленную точку, проективные
координаты которой есть @, 1, 1). Параметризацией ветви Р'
с этим центром будет (l/t, i/t). В таком случае
?=--¦? + ¦?—? A + 0-
Положив снова t ¦= s2, получим
В этом случае мы снова имеем единственную ветвь, преобразуемую
в Р'.
В рассмотренном примере дискриминантом многочлена g будет
многочлен х'г + х'3. Пункт 1 исчерпывает все возможности, рас-
рассмотренные в доказательстве теоремы 6.2. Но из рассмотрений
пункта 3 видно, что иногда и в случае положительного порядка
дискриминанта ветвь Р' может быть образом v различных ветвей
кривой С.
6.4. Проектирование как рациональное преобразование. Важ-
Важный тип рациональных преобразований возникает при проектиро-
проектировании. Пусть точка (ж0, ..., хп) пространства 5» проектируется
из центра ?n-m-i в точку (у0, ..., ут) некоторого $т. В вы-
выбранных надлежащим образом координатах это соответствие между
точками имеет вид (см. II — 5)
yj=r-xh / = 0, ..., т. F.3)
Пусть теперь С — кривая в Sn и ? — поле этой кривой. Мы
не можем предполагать, что S = JE"(?i/?0» •••> ?пАо)> так как
координатная система заранее зафиксирована. Однако при не-
некотором р будет %—К(%о/Ьр, ..., ?пДр)- Рассмотрим отдельно
различные случаи:
1) Если \jfcv — 0 при / = 0, ..., т, то для любой парамет-
параметризации (х0, ..., хп) кривой С мы имеем ж, = 0. Но уравнения
ж,- = 0 являются определяющими уравнениями подпространства
/Sn-m-i- Следовательно, кривая С может рассматриваться как
лежащая в этом подпространстве, и поэтому ее проекция из
центра ?п_т_х в подпространство Sm не определена.
§ 6. Рациональные преобразования 169
2) Если не все указанные отношения ?,¦/?„ равны вулю, на-
например 1-дДр ф О, то число р можно заменить на q или, что
то же самое, можно предполагать, что 0</><т. Если при этом
окажется, что отношения ^Др = b,; ? К при / = 0, ..., т, то
кривую С можно рассматривать как лежащую в подпространстве,
являющемся линейной оболочкой подпространства Sn-m-i и точ-
точки (Ь) подпространства Sm. В этом случае рациональное пре-
преобразование F.3) обращает кривую С в точку (Ь).
3) Если выполнено первое из предположений предыдущего-
пункта, но не все отношения \jf\p являются элементами поля К,
то поле К(ko/lp, .. ., 1щ./^р) есть поле некоторой кривой С" в под-
подпространстве Sm. Эта кривая С и будет образом С при рацио-
рациональном преобразовании F.3).
Связь между рациональным преобразованием и проекциями
точек кривой С описывается следующей теоремой:
Теорема 6.4. В случае 3, указанном выше, каждая точка:
кривой С" является либо проекцией точки кривой €, не лежащей
в подпространстве Sn—m-\, либо точкой пересечения подпро-
подпространства Sm с некоторым подпространствам Sn^m, соприкаса-
соприкасающимся с ветвью кривой С, которая имеет центр в подпро-
подпространстве Sn-m-\.
Доказательство. Каждая точка кривой С является
центром некоторой ветви этой кривой, а каждая ветвь С", по
теореме 6.2, будет образом некоторой ветви кривой С. Следова-
Следовательно, мы должны рассмотреть лишь центры образов ветвей
кривой С. Если центр ветви Р кривой С не лежит в Sn-m-\t
то, очевидно, центром образа ветви Р будет проекция центра Р.
Остается лишь рассмотреть случай, когда ветвь Р = (х) кривой С
имеет центр в Sn-m-i- Пусть {у) есть образ ветви Р. Тогда
.., / = 0, т,
где уже не все 6,- ф 0. Пусть *SV_i —соприкасающееся подпро-
подпространство ветви Р, содержащееся в Sn-m~i и имеющее при этом
высшую размерность. В таком случае соприкасающееся подпро-
подпространство Sr уже не содержится в Sn-m-\- Из теоремы II—2.8
следует, что линейная оболочка *SV и Sn-m-\ будет подпростран-
подпространством ^п_от. Нам нужно доказать, что это подпространство пере-
пересекает Sm в точке (Ь). Чтобы это сделать, достаточно показать,
что любая гиперплоскость п пространства Sn, содержащая как *SV,
так и Sn-m-i, обязательно содержит точку (Ь). Если гипер-
т
плоскость ¦rcZD'S'n-ni-i) то должно быть тс =^CjXj и 0р(тс):>д.
3=0
При этом существуют гиперплоскости и, для которых Ор(к) = д.
А так как подпространство ?г определяется как пересечение-
170 Гл. V. Преобразования кривых
гиперплоскостей, имеющих на ветви Р порядок, не меньший
некоторого числа пг, и так как Sr ф. Sn^m-i, то должно быть лг > q.
Следовательно, для того чтобы гиперплоскость S CjXj — 0 содер-
содержала Sr, необходимо должно быть ЕсуЬу = 0, т. е. она должна
содержать точку (Ь).
Наиболее важен частный случай этой теоремы при т = п — \.
В этом случае точки кривой С" являются либо проекциями
точек кривой С, либо точками пересечения гиперплоскости, на
которую производится проектирование, с касательными прямыми
к кривой С. .
Одно из полезных применений проектирования указывается
в следующей
Теореме 6.5. Любая пространственная кривая может быть
<би рационально спроектирована на плоскую кривую.
Доказательство. Пусть кривая С определяется образу-
образующими 1Ъ ..., \п поля 2. По крайней мере один из элементов |4
трансцендентен над К. Можно считать, что таким будет ?х. Тогда
элементы $2, • • •, ?п алгебраичны над полем К{\х). По теореме 2.9,
существуют такие константы аи i — 2, 3,..., п, что ? — К (?1;..., ?„) =
— К (?1? Ig). где $2 — Е а&- Произведем в Sn преобразование ко-
" ординат
х'г = а2ж2 + •.. -Ь апхп,
x'k = Xjk, A = 3, ..., п,
где /а /„ выбираются из чисел 2, •.., п так, что исключен-
исключенным оказывается число i, для которого ai Ф 0. Такой выбор
делает определитель преобразования отличным от нуля. В новых
координатах мы имеем
Следовательно, проектирование, определяемое формулами
•бирационаяйно преобразует С в плоскую кривую.
Важным следствием этой теоремы является
Теорема 6.6. Пространственная кривая имеет лишь
конечное множество особых точек.
Доказательство. Пусть F — бирациональная проекция
пространственной кривой С. По теореме 6.4 каждая точка
кривой F будет проекцией точки кривой С за исключением
«центров ветвей.,/?, соответствующих ветвям С, центры которых
лежат в центре проектирования Sn-z- Так как кривая С не лежит
полностью в Sn-z, то точек второго типа будет лишь конечное
число и их .мозкно не учитывать. Но если точка А кривой С про-
§ 6. Рациональные преобразования 171
оптируется в точку А' кривой F, то каждая ветвь кривой С
с центром в А проектируется в ветвь кривой F с центром в А'.
Кроме того, очевидно, что ветвь порядка г проектируется в ветвь
порядка >г. Отсюда следует, что каждая особая точка кривой С,
не лежащая в Sn-3, проектируется в особую точку кривой F.
Так как число особых точек кривой F конечно, то конечным же
будет и число особых точек С.
Другим достаточно очевидным следствием теоремы 6.6 является
то, что кривая не может заполнять всего пространства Sn
при п > 1.
6.5. Алгебраические преобразования кривых. Теорема 6.2
может быть применена для определения преобразований кривых,
более общих, чем рациональные. Рассмотрим два рациональных
преобразования кривой С, обращающих ее в кривые С и С.
В таком случае каждой ветви Р' кривой С" соответствуют
различные ветви Рг, ..., Р^. кривой С, а им соответствуют
ветви Р'{, ..., Р^ кривой С", уже не обязательно различные.
Преобразование, устанавливающее соответствие между Р' и каждой
из Р*, будет называться алгебраическим преобразованием. Мы
не будем предпринимать общего исследования таких преобразо-
преобразований, а докажем о них лишь одну теорему.
Рациональные преобразования являются, очевидно, частным
типом алгебраических преобразований. Рациональное преобразо-
преобразование однозначно: каждая ветвь имеет при таком преобразовании
единственный образ. Следующая теорема устанавливает, что
имеет место и обратное.
Теорема 6.7. Алгебраическое преобразование, однозначное
на бесконечном множестве ветвей, будет рациональным.
Доказательство. Пусть преобразования С —> С и С —* С"
определяются формулами
и пусть И = S' (С), где, как и раньше,
g(V ,Q = ao + aJ.+ ...
Имеем
, ¦ &i = ?i(S\C).
Следовательно,
где &м€?'. Пусть теперь (х') — ветвь Р' кривой С с центром
F'). Существует лишь конечное число ветвей кривой С, для
которых уравнение g(b', z)—0 имеет кратные корни или bki(x')
будет отрицательного порядка. Если Р' не является одной из
172 Гл. V. Преобразования кривых
этих ветвей, то уравнение g(x', z) — 0 будет иметь корпи
2а = сл+..., где все са различны.
Тогда ветви
x'L = Ъм (xr) + bkl (x1) za + ...+bK v_! (x')'zf1
будут ветвями PI кривой С", которые являются образами ветви Р\
Эти ветви имеют конечные центры (Ы). В силу нашего пред-
предположения, существует бесконечное множество ветвей Р', для
каждой из которых существует лишь одна ветвь Р", следовательно,
бесконечное подмножество этого множества будет удовлетворять
наложенным выше условиям. Отсюда вытекает, что для бесконеч-
бесконечного множества точек (Ь') кривой С мы будем иметь
для v различных с». Рассматривая эти равенства как однородные
уравнения с v неизвестными — Ы + bko (b'), b^i (b') bk, v-i (b')t
мы видим, что их единственным решением будет нулевое реше-
решение, так как определитель этой системы есть определитель
Вандермонда (см. 1 — 7.4, упражнение 2):
Следовательно, для бесконечного множества точек кривой С
должно быть bki(t>') = 0, i=l, ..., v — 1, т. е. элементы Ьм(?)
должны иметь порядок, больший нуля, на бесконечном множестве
ветвей кривой С". Поэтому будет Ьм(Ъ') = О> следовательно,
и преобразование кривой С" в С" оказывается рациональным.
Эта теорема часто употребляется для доказательства рацио-
рациональности некоторых преобразований. Мы воспользуемся ею
в связи с теоремой VI — 8.4.
6.6. Упражнения. 1. Исследовать действие рационального
преобразования
х' = \, у'^у/х
на кривую х2 — Xs —у2 = 0. Сделать то же самое для кривой
x« — я4 —г/2==0.
2. Пусть С — образ кривой С при преобразовании F.1) и пусть
Р'(*У, <х=1, ,.., р., —ветви кривой С, преобразующиеся в ветвь Р'
кривой С. Если (х^) — параметризация ветви Р^Л\ то положим
?//а> = <р, (ж<*>). Так как параметризация B/w) может оказаться
§ 7. Рациональные кривые 173
приводимой, допустим, что при некотором выборе параметра I
будет у^ ?K(tn°-), где пЛ имеет наибольшее возможное значение.
Доказать, что 23ra* = v-
Числа пЛ можно рассматривать как кратности прообразов /><*)
ветви Р'. Таким образом получается обобщение теоремы 6.2:
любая ветвь кривой С есть образ точно v ветвей кривой С,
считаемых с учетом их кратностей.
§ 7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
7.1. Образ рациопальной кривой при рациональном преобра-
преобразовании. Мы видели, что в случае, если JJ'^S» ЛК)бая кривая
с полем 2' может быть рационально преобразована в любую
кривую с полем 23- Заметим теперь, что поле К (К), где элемент X
трансцендентен над К, изоморфно подполю любого допустимого
поля. Поэтому кривые, имеющие такое поле, являются рациональ-
рациональными образами любой кривой. Кривая, полем которой является К(Ц,
называется рациональной кривой. Так как полем прямой линии у = О
будет поле К (X), то кривая является рациональной тогда и только
тогда, когда она бирационалъно эквивалентна прямой.
Важное свойство рациональных кривых устанавливается
в следующей теореме:
Теорема 7.1. Образ рациональной кривой при рациональ-
рациональном преобразовании есть также рациональная кривая.
Это непосредственно следует из
Теоремы 7.2. Если элемент X трансцендентен над К и если
KzZ^dK(X), 23 Ф К, то найдется элемент р- 6 23» трансцен-
трансцендентный над К и такой, что Л = К(^).
Доказательство. Пусть <р = g(Х)/А(X) — элемент поля 2>
не являющийся константой. Тогда g(k) — <рй(Х) = О, т. е. X есть
корень уравнения g (х)—<рй (х) = 0 с коэффициентами из 23 и поэтому
будет алгебраичен над ^3- Пусть
f(x) — ao + a1x+ ...+arxr, atg 2> «r =^= 0,
неприводимый многочлен над 23» Для которого /(Х) = 0. Так как
<ц ? К (X), то они будут рациональными функциями X. Пусть h (X) —
общее наименьшее кратное их знаменателей и k(k) — общий
наибольший делитель числителей. Тогда, полагая
и
получим многочлен от X и z, не имеющий делителей, содержащих
только X. По меньшей мере одно из отношений Ъ^ЪТ, например
174 Гл. V. Преобразования кривых
ba/br, не лежит в К. Положим для краткости pQ.)~bs, ?(Х)-— ЪТг
V- — bs/br = ajar б 2. Тогда р (х) — jig (ж) € 2 [ж] > и» в СИЛУ равен-
равенства р(Х) — ;хд(Х) = О и теоремы 2.3, мы будем иметь
р (х) - щ (х) = g (х) f(x), g (х) 6 2 [х].
Это равенство приводится к
где
Но так как Д не может делиться на многочлен от а, то должно
быть gi$K[k, x]. Степени />(Х) и q(k) относительно X не могут
превышать степени многочлена Д относительно X. Поэтому
многочлен gx не может содержать X. Но если бы многочлен
q (X) р{х) — р (X) q (x) имел делитель, содержащий лишь х, он,
в силу симметрии, имел бы также делитель, содержащий лишь X.
Следовательно, gx есть константа, и поэтому степени каждого из
многочленов р и q не превышают г, т. е. степени многочлена /
относительно х. Таким образом, р (х) — pq (x) = 0 есть уравнение
степени г над полем -ЙГ([*), которому удовлетворяет X. Поле
Jf({i)€2- Если бы было K(p)=f=Ti, то было бы возможно найти
такой элемент <j>GS> что ФФ^О*)--В силу включения ty?iT(X)
и того, что X имеет над полем К (р) степень, не превышающую г,
мы имели бы
Но это означало бы, что X имеет над полем 2 степень, меньшую гг
вопреки определению г. Следовательно, ^([*•)= 2-
7.2. Теорема Люрота. Покажем теперь, что приведенное вы-
выше определение рациональной кривой согласуется с определением,
данным в связи с теоремой III —5.1. Предположим, что кривая
f(x,y) — Q рациональна в только что упомянутом смысле, т. е.
что существуют рациональные функции <р, ф?.ЙГ(Х), удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям:
1) Для почти всех значений \0?К, будет / (ср (Хо), ф (Хо)) = 0^
2) Для почти каждой пары (х0, г/0), удовлетворяющей урав-
уравнению f(x, 2/) = 0, найдется точно одно значение Хо, при котором
(Х) (Х)
р() 2ф()
Из условия 2 следует, что <р и ф не являются обе константами
и поэтому можно предполагать, что ср трансцендентна над К.
Из условия 1 следует, что /(<р, ф)--0 и поэтому йоле К (у, ф)
будет изоморфно полю К (I, tj) таким образом, что элементы <р
и Ф будут соответствовать | и т]. Но так как К (у, ^)CZK(k),
то поле 2 будет изоморфно некоторому подполю поля К (к).
§ 7. Рациональные кривые 175
В силу теоремы 7.2, найдется такое р ? К (X), что поле. 2 будет
изоморфно полю К(р), т. е. кривая / оказывается рациональной
в смысле последнего определения.
Обратно, если К (X) есть поле кривой /, то / бирационально
эквивалентна прямой у' —0 плоскости х'у'. Если
— соответствующие уравнения преобразования, то справедливость,
условий 1 и 2 вытекает из существования взаимно однозначного
соответствия между почти всеми точками кривой / и прямой у' = 0.
Отметим, что условие 2 мы использовали только для того,,
чтобы утверждать, что <р и <]> не являются обе константами-
Поэтому полученные результаты можно объединить в виде сле-
следующей теоремы Люрота:
Теорема 7.3. Если кривая /(ж, г/) = 0 удовлетворяет усло-
условию 1, в котором рациональные функции <р (X) и <|> (X) не являются
обе константами, то существуют рациональные функции =pi((J-)
^i (Iх)' удовлетворяющие обоим условиям 1 и 2, и потому кривая
f — рациональная.
Все три теоремы 7.1, 7.2 и 7.3 эквивалентны, и каждую из
них часто называют теоремой Люрота.
7.3. Упражнения. Кривая С в пространстве Sr рациональна
в том и только в том случае, если существуют однородные много-
многочлены Gi (s, t), i = 0, ,.., г одинаковых степеней, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям:
1) (G(s0, t0)) есть точка кривой С для почти всех значений
отношения s0: t0.
2) Для почти каждой точки (сц) кривой С найдется единствен-
единственное значение отношения s0: t0, при котором pai — Gi(s0, t0), р Ф 0.
2. Если С — рациональная кривая в пространстве Sr и если
Gi (s, t) — многочлены, связанные с этой кривой условиями упраж-
упражнения 1, то выражения Xi = Gi(s0, tQ-\-t) при любом значении
отношения s0: t0 дают параметризацию ветви кривой С. Наоборот,
для любой ветви Р кривой С найдется такое значение отношения
s0 : tn, при котором формулы х^ - G{ (s0, t0 -f t) дают параметри-
параметризацию этой ветви.
3. Если многочлены упражнения 1 имеют степень п, то
кривая С имеет порядок п.
4. Кривая С порядка п, для которой Sn будет линейной
оболочкой, является рациональной. (Рассмотреть пересечение С
с пучком гиперплоскостей, содержащих и—1 точку кривой С.)
Такая кривая называется рациональной нормальной кривой.
5. При надлежащем выборе системы координат рациональная
нормальная кривая определяется многочленами Gi^sH™'1.
6. Рациональная нормальная кривая является неособенной.
176 Гл. V. Преобразования кривых
§ 8. ДУАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
8.1. Дуальная кривая для плоской кривой. Пусть С —непри-
—неприводимая плоская кривая и 2 — ее поле. Мы видели, что каждой
ветви кривой С соответствует точка — центр ветви, — координаты
которой в заданной проективной координатной системе удовле-
удовлетворяют неприводимому уравнению F (х0, хг, х%) — 0. Мы убеди-
убедились также, что каждая точка, координаты которой удовлетво-
удовлетворяют этому уравнению, является центром по меньшей мере одной
ветви кривой С и что поле 2 определяется уравнением
F(x0, xlt ж2) = 0. Однако каждой ветви кривой С соответствует
также прямая — касательная к этой ветви. Мы покажем, что
если сама кривая С не является прямой, то существует такое
¦однородное уравнение G (м0, alf м2) = 0, которому удовлетворяют
координаты касательных ко всем ветвям кривой С в данной
проективной-координатной системе (для прямых линий). Мыпока-
экем также, что каждая прямая, координаты которой удовле-
удовлетворяют этому уравнению, будет касательной по меньшей мере
к одной ветви кривой С и что уравнение G (и0, мь м2) = 0 опре-
определяет то же самое поле JJ, что и кривая С.
Обозначим через Fi (x) производные F (х) относительно
jcit i = 0, I, 2. Уравнения
¦определяют рациональное преобразование кривой С. Если отно-
отношения Fi(fy/F0E) и F2(t,)/F0(fy не будут оба константами,
то образом кривой F будет кривая. Указанный исключитель-
исключительный случай может иметь место только тогда, когда при некото-
некоторых a, b?K оба многочлена F1(x) — aF0(x) и F2(x)—bFQ(x)
делятся на F(x). Это может произойти лишь в том случае,
если оба они равны нулю, так как их степени меньше степени F.
В таком случае, по теореме Эйлера,
nF = x0F0 + x1F1 + x2F1i = (x0 + ax1 + bx2)F0.
В силу неприводимости F, из этих соотношений следует, что
F0?K и га = 1, вопреки предположению о том, что F не является
.прямой. Следовательно, при наших предположениях образом кри-
кривой F будет неприводимая кривая G(и) — 0.
Пусть (ж) —любая параметризация ветви кривой F. Как
в теореме IV — 6.1, мы получаем
2 4^C) = о,
Ло образом (и) ветви (х) будет
§ 8. Дуальные кривые 177
и поэтому написанные выше соотношения обращаются в такие:
2*1 »• = <>, (8.1)
2ж4к4 = 0. (8.2)
Дифференцируя (8.2I и вычитая из результата (8.1), получаем
Рассмотрим теперь преобразование кривой G, определяемое
формулами
yi = Gi{u).
Точно так же, как и выше, мы видим, что это преобразование
переводит кривую G в некоторую кривую Н(у) — 0, а пара-
параметризацию (и) — в параметризацию (у), где
Отсюда следует, что ан и г/4 являются решениями уравнений
2 «i щ—о, 2z» u\=о
и поэтому будут пропорциональны, если только и[ не будут
пропорциональными и». То, что последняя возможность исклю-
исключена, доказывается ниже соотношением (8.3). Отсюда следует,
что (ж) и (у) являются одной и той же параметризацией, а потому
кривые F и Н тождественны. Это указывает не только на бирацио-
нальную эквивалентность кривых F и G, но также и на то,
что связь между ними вполне симметрична.
Чтобы исследовать преобразование более внимательно, поло-
положим, что
х0 = а0,
есть параметризация ветви Р кривой F, имеющей порядок /•
и класс s. Касательной к Р будет прямая
(аха — а2) х0 — аоаххх + аохъ = 0.
Разрешая (8.1) и (8.2), мы находим, что
и0 = (а^ —
t=—aQa — a0 ( 1 + —J bt*-\-..., (°-3)
12 p. Уонер
178 Гл. V. Преобразования кривых
Следовательно:
1) Координатами центра образа Р' ветви Р являются коор-
координаты касательной к ветви Р.
2) Порядок Р' равен классу .Р.
В силу симметричной роли кривых F и G, мы получаем
также:
3) Координаты центра Р являются координатами касатель-
касательной к Р'.
4) Класс Р' равен порядку Р.
Кривые F и G называются дуальными друг другу. Если мы,
как это обычно принято, будем рассматривать проективные про-
пространства с координатами (ж) и (и) как дуальные (II —3.2)
пространства с соответствующими координатными системами,
то кривая G будет геометрическим местом касательных к кри-
кривой F, a F — геометрическим Местом точек касания для G,
8.2. Формулы Плюккера. Обращаясь к определению класса
кривой, данному в п. IV —6.1, мы непосредственно видим, что
класс неприводимой кривой равен порядку ее дуальной.
Применяя две уже известные формулы Плюккера (IV —5.2)
к дуальной кривой, получим остальные две формулы. Мы будем
считать, что дуальная кривая G не имеет других особенностей,
кроме простых самопересечений и острий. Напомним, что острие
есть центр единственной ветви порядка 2 и класса 1. Поэтому
острию кривой G соответствует касательная к единственной
ветви кривой F, имеющей порядок 1 и класс 2, т. е. простая
точка перегиба. Подобным See образом, простому самопересече-
самопересечению на дуальной кривой соответствует на кривой F касатель-
касательная, касающаяся двух ветвей с различными центрами, имеющих
порядок 1 и класс 1. Такие прямые называются двойными каса-
касательными. Число их обозначается через т. В таком случае
мы имеем
п = т{т — 1) — 2т —3i,
х=*3яг(го — 2) — 6т — 8L
Это и есть остальные две формулы Плюккера. Все четыре фор-
формулы не являются независимыми, так как из любых трех сле-
следует четвертая. Однако можно привести примеры, показывающие,
что любые три из этих формул независимы.
Целые числа и, т, 8, т, х, i, связанные с любой алгебраи-
алгебраической кривой, Называются ее плюккеровыми характеристиками.
Они были предметом большого числа исследований, но, тем не
менее, несколько связанных с ними проблем остались до сих пор
нерешенными. Наиболее интересной среди них является, вероят-
вероятно, указание критерия, позволяющего судить о том, будут ли
заданные шесть чисел плюккеровыми характеристиками непри-
§ 9. Идеал кривой 179
водимой кривой. Необходимым' условием этого, конечно, будет то,
что эти числа удовлетворяют формулам Плюккера и неравенству
(п-1) (п-2)/2-8-х>0,
получаемому из теоремы III — 4.3. Известно, что этого условия
недостаточно (например, не существует неприводимой кривой,
для которой п — т — 7, x = i=ll, 8 = т = 1), но вопрос о том,
какие дополнительные условии были бы достаточными, остается
открытым. По вопросам, связанным с упомянутыми здесь,
мы отошлём читателя к уже цитированной книге Кулйджа
«Плоские алгебраические кривые», книга 1, гл. VII, теорема 2.
8.3. Упражнения. 1. Выразить т через х, 8, п. Вычислить т
для десяти типов неприводимых кривых четвертого порядка
(см. п. IV —6.4, упражнение 2).
2. Показать, что
(и—1) (п — 2)/2 — Ъ — х = (т—1) (т — 2)/2 — -с — i.
3. Показать, что
)
— 8) = (го — п)(т + п—9).
Исходя ив этого результата, доказать теорему:
Если две из плюккеровых характеристик равны своим дуаль-
дуальным, то это з#е имеет место и дЛй третьей характеристики, если
только сумма порядка и класса кривой не равна 9 (таких
случаев будет 4).
§ 9. ИДЕАЛ КРИВОЙ
9.1. Идеал пространственной кривой. Свойства точек кривой С
в пространстве Sn лучине всёТо исследовать с помощью некото-
некоторого идеала / кольца К[х] = К[х1, ..., хп]. Элементами /
являются те и только те многочлены f(x) = f{x1, ..., хп), для
которых /(S) = 0. To, что эти многочлены действительно обра-
образуют идеал, непосредственно очевидно.
Важнейшее свойство идеала / дается
Теоремой 9.1. К[х]/1 есть область целостности, полем
частных которой будет поле 2-
Доказательство. Отображение кольца К [х] в К[Ц,
определяемое условиями <р (ж) —> <р E), есть гомоморфизм. При
этом элементы К [ж], отображаемые в нуль, образуют идеал /.
Отсюда, по теореме 1.2, следует, что кольцо К [х]/1 изоморфно
К[Ц. Но так как поле ^ = ¦&(?) есть поле частных кольца К[Ц,
то этО и требовалось доказать.
Из доказанного следует, что идеал / однозначно определяет
кривую С, так как он определяет поле 2 кривой С и^его
12*
180 Гл. V. Преобразования кривых
систему образующих ?х> • • • > U- Связь между идеалом / и точ-
точками кривой С выражена в двух следующих теоремах:
Теорема 9.2. f{x)?I тогда и только тогда, когда /,(а) = 6
для любой конечной точка (а) кривой С.
Доказательство. Для любой параметризации (ж) любой
из ветвей кривой С существует изоморфизм между полями К (?)
и К (х). Поэтому из соотношения /(?) = 0, равносильного .усло-
.условию / ? /, следует, что / (х) — 0. Рассматривая лишь параметри-
параметризации с конечными центрами, мы будем иметь / (х @)) = 0. От-
Отсюда следует, что f(a)~O для любой точки (а) кривой С, так
как каждая такая точка является центром одной из рассмотрен-
рассмотренных параметризаций. Наоборот, если / (а) — 0 для любой конечной
точки (а) на кривой С, то /(?) будет иметь положительный
порядок на бесконечном множестве ветвей кривой С Отсюда следует,
что / (?) = 0, поэтому / 6 /.
Теорема 9.3. Если /(а)-—0 для любого /?/, то (а) есть
точка кривой С.
Доказательство. Предположим, что найдется точка (а),
не лежащая на кривой С, для которой /(а) = 0 при любом
/ ? I. Покажем, что путем последовательных проектирований
можно свести рассмотрение этой ситуации к рассмотрению ана-
аналогичной ситуации в S%. Пусть сначала п > 3. Прежде всего
сдроектируем кривую С из точки (а) на некоторое подпро-
подпространство Sn-i- В силу теоремы 6.4 проекцией, кривой С
будет некоторая кривая Со. Так как п — 1 > 1, то Со не может
заполнять всего &n-i- Пусть О —точка из ?n-i, не лежащая
на Со. Спроектируем кривую С из точки О на некоторое другое
подпространство ^п-1- Пусть при этом С—проекция С и (а')~
проекция точки (а). В силу теоремы 6.4 С будет кривой,
не содержащей точки (а'), так как прямая О (а) не проходит
через точки кривой С. Для того чтобы убедиться в том, что
точка (а') имеет свойства, соответствующие предположенным
свойствам точки (а), допустим, что О имеет проективные коор-
координаты @, 0, ..., 0, 1). При этом уравнения, определяющие
проектирование, имеют вид
Если / (у) — многочлен, для которого / (tj) = 0, то / (ж) будет
многочленом от неизвестных хг, ..., хп, не содержащим хп
и таким, что / (S) = 0. Другими словами, / (х) ? /. Отсюда следует,
что /(а) = 0. Но так как а', = а,- и так как ап не содержится
в выражении f(a), мы будем иметь f(a') — Q. Таким образом,
отношение точки {а') и кривой С в пространстве ^„-х будет
таким же, каким оно было для точки (а) и кривой С в ^п. Описан-
Описанный процесс можно продолжить до тех пор, пока^мы не придем
§ 9. Идеал кривой
к случаю пространства S2. В этом случае кривая имеет уравне-
уравнение /(«!, х2) = 0. Многочлен /g/, следовательно, должно быть
/ (а) = 0. Поэтому точка (о) должна лежать на кривой. Получен-
Полученное противоречие доказывает теорему.
Из доказанных теорем и результатов, полученных раньте,
мы видим, что кривая однозначно определяется любым из сле-
следующих объектов, которые мы с ней связали:
1) Множеством ее ветвей.
2) Множеством ее точек.
3) Системой образующих ее поля.
4) Ее идеалом /.
Первые два условия могут быть ослаблены и ваменены
такими:
1') Любой из ее ветвей.
2') Любым бесконечным множеством ее точек.
Достаточность условия 1' для однозначного задания кривой
следует из 3 и теоремы 5.1. Это же для условия 2' следует из 4
и теоремы 5.2.
9.2. Определение кривой с помощью ее идеала. Мы опреде-
определили идеал /, считая заданной кривую С. Эта связь между
Си/ может быть обращена, так что сама кривая С окажется
определенной посредством некоторого идеала / кольца К [х1г..., хп] ¦
Однако не каждый идеал / этого кольца может служить для
определения кривой. Для этого он должен удовлетворять неко-
некоторым условиям, формулировка которых требует введения поня-
понятия размерности идеала / кольца К [xlt ..., хп]. Будем гово-
говорить, что / имеет размерность г, если существуют такие элемен-
элементы /ь ...,/г из К[хг, ...,хп], для которых при любом нену-
ненулевом многочлене g(zi, ...,zr) над К будет g(/i, ...,/r)$/,
и если нельзя найти >-)-1 элементов /, удовлетворяющих этому
условию. Напомним также об определении простого идеала
(см. п. 1.2, упражнение 5).
Теорема 9.4. Идеал I кольца К[хх, ..., хп] тогда и только
тогда является идеалом некоторой неприводимой алгебраической
кривой в Sn, когда он прост и имеет размерность 1.
Доказательство. Докажем прежде всего необходимость
этих условий. Простота идеала / следует ив теоремы 9.1. Из
нее видно также, что 2 является полем частных кольца
К[хи ..., хп]/1. Отсюда следует, что при U{xlt-..., xn)?
^K[xlt ..., хп] и g(z1; . . ., zJtKlz!, . . ., zr] включение
g(fa.(x))?l будет иметь место тогда и только тогда, когда
g (/,,, (?))--0. Теперь одномерность идеала / непосредственно
следует из теоремы 3.2,1. Обратно, если идеал / прост,
то кольцо вычетов К [х1г ..., хп]/1 = I) есть область целост-
целостности и имеет некоторое поле частных 2 • Поле 2 имеет
182 Гл. V. П,р$фр№М>№иФ кривых
систему образующих ?1; ..., ?„, являющихся образами хи ..., хп
при гомоморфизме К[хъ ..., хп] —» D. Обращая приведенные
выще рассуждения, мы видим, что одномерность идеала / влечет
за собой условие 1 теоремы 3.2. Следовательно, поле 2 будет
допустимым и порождаемым образующими (*. Очевидно, что /
есть идеал кривой, связанной с таким заданием поля 2-
9.3. Упражнения. Если / есть идеал размерности г в кольце
К [хъ ...,хп], то говорят, что точ;ки (о) из Sn, для которых
/(о) = 0 при любом /?/, образуют r-мерное многообразие V в про-
пространстве Sn. Если идеал / прост, то многообразие V назы-
называется неприводимым. Поле частных кольца К [xlt ..., хп]/1
называется полем многообразия V. Два неприводимых многообра -
зия называются бирационально эквивалентными, если их поля
изоморфны.
1. Доказать, что любое неприводимое r-мерное многообразие
бирационально эквивалентно гиперповерхности в простран-
пространстве Sr+l-
2. Определить рациональное преобразование неприводимого
/•-мерного многообразия V. Показать, что оно индуцррует отоб-
отображение мношества точек, однозначное всюду, кроме, может
быть, точек некоторого (п—1)-мерного подмногообразия^. Пока-
Показать также, что образы точек V лежат на неприводимом мно-
многообразии размерности </•.
§ 10. НОРМИРОВАНИЯ
Из замечаний к теореме 5.1 видно, что множество ветвей
всех кривых, имеющих данное поле 2> может быть разбито на
классы так, что каждый класс содержит только одну ветвь ка-
каждой такой кривой и все ветви, принадлежащие одному классу,
будут бирациональными образами любой из них. Больше того,
если 9 — любой элемент из ^> а Р и Q — ветви, принадлежащие
к одному классу, то Op(<p) = Oq(^). Другими словами, каждому
классу ветвей соответствует некоторая функция F(cp), аргумент
которой может пробегать элементы 2> а значения заполняют
множество /, состоящее ив всех целых чисел и оо. Эта функция
удовлетворяет следующим условиям:
2) F((p±^)>min[F(9), V
3) V (9) = 0, если 9 € К, 9 Ф 0.
4) F(9) = oo в том и только в том случае, если 9 = 0.
Такая функция называется нормой поля 2 наД ^1)
Более точно, это—дискретная норма ранга один.
Мы покажем теперь, что и обратно, каждая норма ноля 2
над К, кроме одной исключительной, цолучается из определен-
определенного класса бирадионально эквивалентных ветвей кривых, свя-
связанных с полем Л- Исключение составляет тривиальная норма,
которая принимает на всех элементах поля 53 (кроме нулевого
элемента) значение нуль. Этот случай мы исключим из дальней-
дальнейшего рассмотрения.
Пусть V (ср) — любая нетривиальная корма поля 2 Н*Я &•
Докажем прежде всего два вспомогательных предложения:
Теорема 10.1. Если F(<p)>0, то найдется единственный
элемент а?К, для которого F(cp— а) > 0.
Доказательство. Если ср 6 К, то возьмем а — ср. Предпо-
Предположим теперь, что <?$К. Пусть \ — ненулевой.элемент из 2>
для которого V (S) Ф 0. В таком случае либо V (?) > 0, либо
V (S-1) > 0. Можно считать, что V (I) > 0. Элементы ср и I будут
удовлетворять некоторому уравнению, левая часть которого будет
многочленом
"=о,
причем о0 (ср) Ф 0, о„ (ср) Ф0, п > 0. Следовательно,'
V К (<Р)) = V(ах (ср)%+ , • • + ап(ср)е») >
> min [F (в1) + 7 (?) 7 (а„) +
Так как каждый из а\ есть многочлен от ср и V (ср) > 0, то от-
отсюда, с помощью повторного применения свойств 1 и 2, можно
получить, что V (ok (ср)) > 0. Из условия F(?)>0 следует теперь,
что V (а0 (ср)) > 0. Но поле К алгебраически замкнуто, и поэтому
Следовательно,
VF0) + V(?- 6i)+ ¦ • • +V(<f-br) > 0.
Так как V(bo) = 0, то отсюда вытекает, что хотя бы одно из
значений V (ср — bt) больше нуля, как и требовалось. Единствен-
Единственность такого значения получается сразу: если V (ср — а) > 0,
V(<? — b)>0, то
F(i-a)-F[(cp-a)-(cp-6)]>0
и поэтому Ь — а.
Теорема 10.2. Если г есть наименьшее положительное зна-
значение, принимаемое нормой на элементах поля 2> т0 значение
нормы любого элемента из 2 кратно г.
Доказательство. Пусть V(k) — r и F(«p)==s. Деля $ наг,
мы получим s = rq-\-t, где число q—целое, а i —целое неотри-
неотрицательное и меньшее, чем г. В таком случае F(cpH) = ?, и, в силу
нашего предположения относительно г, должно быть t — 0. Сле-
Следовательно, 5 кратно г, как и требовалось.
184 Гл. V- Преобразования кривых
Если F(<p) — норма, наименьшее положительное значение г
которой отлично от единицы, то V (<р)/т" будет нормой с наимень-
наименьшим положительным значением, равным единице. Ввиду того,
что такие две нормы имеют, по существу, одинаковые свойства,
можно ограничиться рассмотрением только норм последнего типа,
которые мы будем называть неприводимыми.
Теперь мы в состоянии доказать основную теорему:
Теорема 10.3. Если F(<p)— неприводимая норма поля 2
над К, то найдется единственная с точностью до бирационалъ-
ного преобразования ветвь Р кривой, связанной с полем 2> длч
которой V (cp) = Fp(<p).
Доказательство. Пусть \ — элемент поля 2- имеющий
норму 1. Тогда \§К, и поэтому ? трансцендентен над К. Отсюда
следует, что найдется такой элемент т)б2> что S=-^(^7))-
Ввиду того, что в таком случае также К (S, тр1) = S и
V(ifx)== —V (ц), всегда можно считать, что V(i\)>6. В силу
теоремы 10.1, найдется элемент ао?К, для которого F(*i— а0) > 0.
В таком случае будет также V ((¦») — о0) / ?) > 0, и поэтому найдется
К для которого
Продолжив это построение, получим такую последовательность
констант а0, аъ ..., ап, ..., что при обозначении
будет
или
Пусть теперь §-E, -ц)€К[Ь, т]] и пусть сначала g(?, tj) ф 0. Тогда
V (g (?, к))) = N < оо. В силу теоремы 1 — 7.2, имеем
g E, fl)-8 (Е, i)n) = (i) — in) A E, •>]„), .
и поэтому V (g (S, Т)) — g (^, т)„)) > N при любом n>N. Отсюда
следует, что при всех таких значениях п будет
') Из условия 2 определения нормы следует, что при V (<р) # У (Ф)
будет F(<p ± ф)=тт [F(9>, У (ф)]. Действительно, если бы было F(<p) < F(+)
и FCv^^) > V(9)> T0 условие 2 привело бы к противоречию F(f)=
=У((Ч ± Ф) Т Ф) 5* min [7(у ± ф), 7(фI > 7 (у). В рассматриваемом здесь
случае V(gd, ¦»))—?(?,%)> iV, a 7 (g(E, ti)) = JV. Поэтому должно быть
v((i ))V((S )). № )
§ 10. Нормирования 185
Но g (?, т)п) есть многочлен от \, и значение V (g (?, ~r\n)) в точности
равно наибольшей степени I, которая может быть выделена из:
него как множитель1). В случае, когда g(S, tj) — 0, такое ж&
рассуждение показывает, что при n>N многочлен #(?,%)>
делится на &1.
Рассмотрим теперь параметризацию (t, у), где положено
y
Обозначим
2/п =
Тогда из теоремы IV —1.3, 2 следует, что для любого много-
многочлена g(x, у) будет
или
смотря по тому, будут ли значения О (g (t, yn)) ограниченныг
или неограниченно возрастают вместе с га. Сравнивая это с поло-
положением, установленным в предыдущем абзаце, мы видим, чтг>
Очевидно, что такое же соотношение имеет место для всех эле-
элементов поля частных 2 кольца ^[?,т|]. Если f(x,y)-0 —не-
—неприводимое уравнение, которому удовлетворяют % и tj, to
О (/(*, у)) = 7 (/(?,ii)) = 7@) = оо
и поэтому / (t, у) = 0. Отсюда следует, что t, у есть параметри-
параметризация некоторой ветви Р кривой /.
Остается лишь показать, что ветвь Р однозначно определена..
Пусть Q — ветвь кривой /, для которой Oq (у) = 0Р (ср) при любом
ТбЗ- Тогда из соотношений 0q(?) = 1 и Oq(t\) >0 следует, что
ветвь Q имеет некоторую параметризацию вида (t, z). Поступив
так же, как при построении у, и использовав то обстоятельство,'
что константы, определяемые каждым шагом этого процесса,
определяются однозначно, мы увидим, что должно быть ?/ = z.
Следовательно, Q — Pn теорема доказана.
Это следует И8 примечания на предыдущей странице. {Прим. перев.)
Глава VI
ЛИНЕЙНЫЕ РЯДЫ
Среди наиболее интересных свойств неприводимых кривых
встречаются такие, которые остаются неизменными при любом
бирационалъном преобразовании кривой. Центральную роль
при изучении таких свойств играет теория так называемых
«линейных рядов», состоящих из систем ветвей кривой. Настоя--
щая глава посвящена изучению и некоторым применениям
линейных рядов.
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ РЯДЫ
1.1. Введение. Пусть F — ведриводимая плоская кривая
порядка т. Мы видели, что любая кривая G порядка т',
те содержащая F, пересекает кривую F в mm' точках, если
«читать точки пересечения с надлежащей кратностью. Зададим
•себе следующий вопрос: «На кривой F задано тот' точек. Суще-
Существует ли кривая G, дересекающая F в этих и только в этих
точках?» Если /п=1 или т = 2, то совершенно очевиден поло-
положительный ответ на этот вопрос. Однако при больших значе-
значениях то ответ зависит (по крайней мере, при некоторых значе-
значениях т') от расположения точек. Так, при т = 3 и т' = 1 ответ
будет положительным лишь в случае, когда точки коллинеарны;
в противном случае он будет отрицательным. При больших зна-
значениях то' ответ вообще не очевиден.
Обобщением указанного вопроса является такой: «Задано
некоторое число А < того' точек нривой F. Сколько линейно неза-
независимых кривых порядка т' могут пересекать F в этих точках
и в mm' — А; произвольных других?» О «линейно независимых»'
кривых мы говорим по той причине, что любая линей-
линейная комбинация кривых, проходящих через данные точки, также
будет проходить через эти точки. Таким образом, мы приходим
к рассмотрению пересечений кривой F с линейными системами
кривых.
1.2. Циклы и ряды. Для удобства рассмотрения пересечений
кривой F с другими кривыми введем понятие цикла на кри-
§ 1. Линейные ряды 187
вой F *). Циклом называется формальная сумма вида НгРх + ...
... -}-nfcPfc или 2 «iPi, где Pi —ветви кривой i*1 и /к —неотри-
—неотрицательные целые числа. Часто бывает удобно обозначать цикл
знаком 2 прР> гДе суммированиа распространено на все ветви
кривой F, но ир Ф О только для конечного числа этих ветвей.
При таком обозначении два цикла 2 прР и 2 трР считаются
равными в том и только в том случае, если пР = тр при всех Р.
Сумму и разность циклов определяют, как обычно, формулами
2 пРР + 2 тпрР = 2(«р + ™р) -Р и 2«р^ - ^гпрР = ±{пР - тр) Р,
причем последнее определение применяется лишь в случае, когда
пР>тпр при всех Р. Если все пР — 0, то цикл 2 прР имеет
обычные свойства нулевого элемента и будет обозначаться про-
просто 0. Для любого цикла 2 прР определено неотрицательное
целое число п = 2 пр> называемое порядком этого цикла.
Если А-=ч 2 прР и В == 2 ^р^ — Два цикла и если пр>тпр
при всех Р, то мы будем говорить, что цикл А содержит
цикл В. Другим способом выражения этого же соотношения
является утверждение, что А — В есть цдкл.
Если G--0— любая кривая, не содержащая кривую F своей
компонентой, то мы будем говорить, что кривая G (или много-
член G) пересекает кривую F по циклу 2 прР> гДе np = Op(G),
Цикл 2 прР называется пересечением F и G.
Одним из непосредственных следствий этого определения
является то, что кривая порядка т' пересекает кривую F по циклу
порядка mm'. Также непосредственно очевидно, что цикл, по кото-
которому кривая GH пересекает кривую F, равен сумме циклов,
по которым пересекают F кривые G и Н.
Если G пересекает кривую F цо циклу В, содержащему
цикл А, то будем говорить, что кривая G (или многочлен G)
высекает цикл А. Другими словами, кривая G высекает цикл
2P, если Op(G)^>np при всех Р.
Пусть
— некоторая линейная система кривых порядка то'.. Для крат-
краткости мы будем обозначать 2 ^» через G> Будем рассматри-
рассматривать только те значения Х4, при которых кривая Сд не содержит F
своей компонентой, и обозначим через Ах цикл, по которому Gx
пересекает F. Множество циклов Ах называется линейным рядом^
х) Термин «.цикл» введен А. Вейлсм в книге «Основы алгебраической
геометрии» (Foundations of algebraic Geometry, Amer, Math. Soc. Coll., 1946).
Классическим термином для выражения этого понятия был термин чвруппа
точек». В так называемой «арифметической» теории алгебраических функ-
функций аналогичное понятие называется «дивизором».
188 Гл. VI. Линейные ряды
на кривой F. Мы будем говорить, что система A.1) пересекает F
по этому линейному ряду.
Примеры. 1. Пусть F — неприводимая кривая второго
порядка, а система Gx состоит из всех прямых, проходящих через
точку р, не лежащую на F. Если прямая Gx не касается кри-
кривой F, то она пересекает F в двух точках, являющихся центрами
ветвей Рл и QK. В этом случае будет Ax — Px + Qx- Две касатель-
касательные, проведенные из точки р к кривой F, имеют порядок 2 на
соответствующих ветвях Р iiQ кривой F. Таким образом, в нашем
примере линейный ряд состоит из всех циклов вида Рх + Qi и из
циклов 2Р и 2^.
2. Если в приведенном примере точка р будет лежать на
данной кривой, то прямая Gx будет пересекать F по циклу
Р0-\-Рц, где Ро — ветвь кривой F с центром в р. В частности,
если Gx касается F в точке р, то будет РХ = РО. Таким обра-
образом, в этом случае линейный ряд состоит из циклов вида
^)о + (?> где Q — произвольная ветвь кривой F. Ро называется
неподвижной ветвью (а точка р — неподвижной точкой) ряда.
Возможное присутствие неподвижных ветвей или, в более
общем случае, неподвижных циклов позволяет обобщить опре-
определение линейного ряда. Пусть, как и выше, каждая кривая Gr
пересекает F по циклу Ах и пусть Ах может быть записан в виде
Вх + С, где цикл С не зависит от X. В таком случае множество
циклов Вх также называется линейным рядом. О ряде Вл мы
будем говорить, что он высекается системой кривых Gx. Это опре-
определение будет включать в себя первоначальное, если мы допу-
допустим, что цикл С может быть равным нулю. В случае приве-
приведенного выше примера 2 мы можем сказать, что пучок пря-
прямых Gx высекает ряд, циклами которого являются отдельные
ветви Q кривой F.
Следует отметить, что не обязательно брать цикл С таким,
чтобы он содержал все неподвижные ветви циклов Ал. Поэтому
ряд, состоящий из Вх, может также иметь некоторые неподвиж-
неподвижные ветви. В большинстве случаев, однако, оказывается наибо-
наиболее целесообразным выбирать в качестве цикла С наибольший
возможный, чтобы исключить из циклов Ах неподвижные ветви.
3. Неприводимая кривая F = xz-\- у3— 2ху = 0 имеет двойную
точку в начале координат. Касательные в этой точке совпадают
с координатными осями. Кривая
пересекает F по циклу Ax = 2Pl + Pi + P3 + Px + Qx, где Рх
и Р2 — ветви с центром в начале, а Р3 — ветвь с центром A,1)
(рис. 20). В этом случае в качестве цикла С можно взять
2Рг + Р2 + Р3 или любой цикл, содержащийся в нем.
§ 1. Линейные ряды
189
Если Ах = Вх + С, то порядок Вх равен разности порядков Лд
м С. Но цикл Ах, являющийся циклом пересечения кривых поряд-
порядков т и то', имеет порядок mm', независимый от X. Отсюда сле-
следует., что и порядок Вх также не зависит от X. Таким образом,
Рис. 20.
можно говорить о порядке линейного ряда, понимая под этим
порядок любого входящего в этот ряд цикла.
1.3. Размерность ряда. Рассмотрим ряд, по которому кривые
второго порядка Gx = Хоа;2 + \хху + Х2у2 + Х3ж + Х4г/ + Х5 = 0 пересе-
пересекают прямую у — О. Ситуация в этом случае отличается от поло-
положения в приведенных выше примерах в двух отношениях. Во-пер-
Во-первых, Gx содержит у множителем, если Хо = Х3 = Х5 = 0. Поэтому
при образовании линейного ряда мы должны исключить из рас-
рассмотрения соответствующие Gx. Во-вторых, можно заметить, что
различные Gx могут пересекать прямую по одному и тому же
циклу. В самом деле, очевидно, что цикл Ах не зависит от
¦Xlf X2 и Х4. Отсюда следует, что если мы заменим рассматри-
рассматриваемую систему кривых системой
Хда^ + Х^ + Ха — 0,
то получим тот же самый линейный ряд. Однако при этом
исчезнут отмеченные выше невыгодные особенности. Покажем,
¦что такая замена может быть произведена во всех случаях.
Рассмотрим систему кривых A.1). Как показано в п. III —4.1,
можно считать., что г есть размерность этой системы, так что
многочлены G± линейно независимы. В таком случае имеем сле-
следующую теорему:
Теорема 1.1. Если q+1 линейно независимых кривых
системы A.1) @<<7<г) пересекают F по одному и тому же
циклу А, то q линейно независимых кривых системы содержат
кривою F своей компонентой и обратно.
190 Гл. VI. Линейные ряды
Доказательство. Пусть $ — г — q. Мбжно считать, что
q + i линейно независимыми кривыми системы A.1), пересекаю-
пересекающими кривую F по циклу А, являются кривые Gs, Gs+i, ..., G,.
Рассмотрим кривые aGs + PGs+&, A=l, ...,q. Если Р — ветвь/?,
не входящая в А, то можно подобрать значения aft и (Зь так, чтобы
многочлен ajiGs + %Gs+h имел положительный ' порядок v на
ветви Р. В таком случае сумма порядков многочлена a.kGs -f- j3fcGs+fc
на всех ветвях кривой F будет равна (порядку А) + ч — mm' +
-(-v > mm', и поэтому кривая aftGs + PhGs+fe имеет F своей компо-
компонентой. Так как при этом было % Ф 0, к — 1 q, то полученные
кривые будут независимыми. Обратно, если q независимых кривых
системы A.1), например Glt ..., Gq, имеют кривую F своей ком-
компонентой и если кривая Gx пересекает кривую F по циклу Ах,
то q+i независимых кривых Glt Gx + G^ ..., Gx-\-Gq пересе-
пересекают F по тому же циклу Ах. Этим заканчивается доказатель-
доказательство теоремы.
Важным следствием этой теоремы является
Теорема 1.2. Любой линейный ряд может быть высечен
системой вида A.1), в которой не имеется кривых, содержа-
щих F своей компонентой. В этом случае каждая кривая системы
высекает цикл, причем каждый цикл высекается единственной
кривой системы.
г'
Доказательство. Пусть система У) XtGt высекает ряд В х-
Пусть q — максимальное число независимых кривых системы,
имеющий кривую F своей компонентой, и пусть Gr+i, ...,GT-,
г —г' — q, — одиа из систем таких кривых. В таком случае
система 51 ^* также высекает ряд Вх и удовлетворяет поставлен-
о
ным условиям.
Если система A.1) обладает свойством, указанным в тео-
теореме 1.2, то число г, являющеесй размерностью системы кривых,
называется также размерностью линейного рядй. Линейный ряд
порядка п и размерности г обозначается grn.
1.4. Упражнения. 1. Кривая F == х* + у4 — 4хуг — 0 имеет сле-
следующие ветви с центром в начале координат:
Рх = {t\ It - г*/16 - 5*9/Ю24 +...),
Р2 = (t\ ts/2 + f/№ + 7г9/4096 +...).
Показать, что система
Х2 (У2 - 4z) = 0
высекает на ней линейный ряд gf без неподвижных точек. Найти
условия для X, при которых цикл Вх содержит ветвь» Plt
§ 2. Полные ряды 19ft
и интерпретировать эти условия геометрически. Сделать то же
самое для ветви Р2. Обратить внимание на то, что если 5Л
содержит Р%, то он непременно содержит 2Рг.
' 2. Найти порядок и размерность линейного ряда без непо-
неподвижных точек, высекаемого на кривой у — х2 = 0 системой
О
3. Пусть а, р, q — три коллинеарные точки на неприводимой
кривой F третьего порядка. Пусть Ь, с, d, e — такие точки кри-
кривой F, что р, q, b, с, d, е оказываются лежащими на кривой
второго порядка. Показать, что пучок прямых, проходящих
через а, высекает на кривой F тот же линейный ряд q'2 без
неподвижных точек, что и пучок линий второго порядка, про-
проходящих через точки Ь, с, d, е.
§ 2. ПОЛНЫЕ РЯДЫ
2.1. Виртуальные циклы. В приведенном определении размер-
размерности линейного ряда мы использовали размерность системы
кривых, высекающей этот ряд. Однако один и тот же ряд может
высекаться различными системами кривых (см. выше, упражне-
упражнение 3). Это поднимает вопрос о том, будет ли размерность,
линейного ряда определена однозначно. Для ответа на этот
вопрос, а также по другим причинам, оказывается удобным-
рассмотреть циклы, высекаемые не многочленами, а рациональ-
рациональными функциями.
Прежде всего обобщим определение цикла, допустив для коэф-
коэффициентов пр отдельных ветвей также и отрицательные целые-
значения. В таком случае очевидно, что совокупность циклов
образует коммутативную группу относительно сложения. Циклы
того типа, который мы рассматривали выше (т. е. без отрица-
отрицательных коэффициентов), называются эффективными циклами.
Циклы же с одним или несколькими отрицательными коэффи-
коэффициентами называются виртуальными.
Если 9 — любой ненулевой элемент поля 2> т0 мы> как
и раньше, определяем цикл, по которому рациональная функ-
функция 9 пересекает кривую F, как сумму 2 прР, в которой
пр = Ор(<?). В таком случае новая формулировка теоремы V —3.3
будет гласить, что любой ненулевой элемент поля JJ пересекает
кривую F по циклу порядка нуль. Полезно следующее вспо-
вспомогательное предложение:
Теорема 2.1. Элементами поля 2> пересекающими F по
нулевому циклу, будут константы и только они.
Доказательство. Выражение «9 пересекает F по циклу О»
означает, что Ор (9) = 0 для любой ветви Р. Пусть Ро — любая
ветвь кривой F и а Ф 0—постоянный- член в разложении 9*
соответствующем ветви Р. В таком случае будет Ор0 (9 — а) > О,.
192 Гл. VI. Линейные ряды
в то время как для любой другой ветви Р будет Ор(у — а)>0.
Отсюда следует, что У\ Ор (ср — а) > 0 и поэтому 9 — а = 0 (теорема
V —3.3), т. е. ср = а.
Одним из следствий доказанного является
Теорема 2.2. Если 9 и ф пересекают F по одному и тому
ше циклу, то 9 = яф, где а?К.
.2.2. Эффективные и виртуальные ряды. Пусть 9o>Ti> • • • > <pr ~
элементы поля 2> линейно независимые над К. В таком
•случае 2 ^i?i ^ 0 для любой системы констант Xi; в которой
не все Х4 равны нулю. Поэтому 2 *¦»?» будет пересекать F
¦по некоторому циклу Ах- Как и раньше, положим Ах — Вх + С,
где С может быть любым циклом. • Множество циклов Вх будет
называться линейным рядом размерности г. Ряд Вк будет назы-
называться эффективным, если все входящие в него циклы будут
эффективными, В противном случае ряд называется вирту-
виртуальным. Прежде всего мы должны оправдать такое расширение
термина «линейный ряд», показав, что определенные раньше
линейные ряды являются эффективными линейными рядами
в смысле нового определения и имеют в обоих определениях
г
¦одну и ту же размерность. Пусть Gx — 2 ^i^i пересекает F по
о
чиклу Ах и пусть grn состоит из циклов Вх, где Ах — Вх + С.
Положим <pi = Gi (?)/?(,(?)• Тогда S^Pi пересекает F по циклу
Ах — Ао, где Ао — пикл, по которому Go пересекает кри-
кривую F. Поэтому 5j ^i^i будет пересекать F по циклу Вх + С',
где С' = С — А0. Обратно, пусть S^i?i пересекает F по циклу
Вх + С, где цикл Вх эффективен при любых X. В таком случае
>все ,9t могут быть выражены в виде Gi(l)/G0(V), где все d — одно-
однородные многочлены одной и той же степени. Можно считать при
этом, что порядок каждого из многочленов на всех ветвях, вхо-
входящих в выражение цикла С, настолько высок, что будет эффек-
эффективным цикл С-\-А, где А — пересечение F и Go. В таком
случае 2^i пересекает F по циклу ВХ + (С + А). После этого
остается доказать лишь совпадение определений размерности,
т. е. показать, что линейная комбинация элементов 9i равна
нулю тогда и только тогда, когда соответствующая линейная
комбинация Gi делится на F. Но это непосредственно следует
из определения поля 2 (см. V —3.1).
То, что размерность линейного ряда зависит лишь от мно-
множества циклов, образующих этот ряд, вытекает из следующей
Теоремы 2.3. Если системы Jj^Pi u S iM^' пересекают кри-
еую F соответственно по циклам Bx-\-C1 и Ву.-\-Съ и если мно-
мсество циклов Вх совпадает с множеством циклов В^, то r = s.
§ 2. Полные ряди 193
Доказательство. Пусть 9 — функция первого семейства,
пересекающая F по циклу B-\-Ci, и ф —функция второго семей-
семейства, пересекающая F по циклу В-\-С%. Обозначим фу
Тогда 2 рЖ будет пересекать F по циклам В^ -\- Сх. При
любом значении / функция фу пересекает F по циклу, совпадаю-
совпадающему с циклом, по которому пересекает F некоторая функ-
функция (f'j из семейства S^Pi- Поэтому, в силу теоремы 2.2, будет
фу = aff). Это означает, что фу линейно выражаются через ср<.
Но так как фу линейно независимы лишь одновременно с фу,
то s</\ Подобным же образом получается, что r<s, следова-
следовательно, s = /\
Метод доказательства последней теоремы позволяет ближе'
всмотреться в строение линейного ряда. Каждому циклу ряда
соответствует некоторая система значений X и некоторая система
значений \>.. В силу теоремы 2.2, обе эти системы значений одно-
однозначно определены. Если фу = J^ aty» то значения X и р, соот-
ветствующие одному и тому же циклу ряда, будут связаны фор-
формулами рХ4 = 2 a^j, P Ф 0, в которых, ввиду обратимости этой
связи, должно быть | al:\ Ф 0. Другими словами, коэффициенты
линейной комбинации функций, высекающей линейный ряд,
ведут себя как проективные координаты в некотором простран-
пространстве Sr, точками которого являются циклы ряда. Конечно, при
рассмотрении эффективных циклов рациональные функции могут
быть заменены многочленами.
2.3. Полные ряды. Так как каждый линейный ряд размер-
размерности г можно считать проективным пространством Sr, то можно
рассматривать различные подпространства этого Sr. Они будут
также линейными рядами. Однако более интересна обратная
постановка вопроса: «Можно ли построить пространство Ss, со-
содержащее ?г в качестве собственного подпространства (s > г)?»
Другим вопросом, тесно связанным с предыдущим, является такой:
«При каких условиях два цикла могут рассматриваться как точки
одного и того же »УГ?» Ответ на первый вопрос будет дан позже.
Второй же вопрос может быть легко решен сейчас.
Теорема 2.4. Два цикла Вг и В2 могут быть элементами
одного и того же линейного ряда тогда и только тогда, когда
найдется элемент 96 2. пересекающий F по циклу В\ — Вг.
Доказательство. Пусть 9 пересекает F по циклу Вх—Вг.
Обозначим через Вх-\-С цикл пересечения рациональной функ-
функции Х„9 + ХХ1 с кривой F. При этом положим С = — 2?2. Тогда
при Хо = 1, Хх == 0 будет Вх = Ви а при Хо = 0, Хх = 1 будет Вх = В2.
Таким образом, В1 и В2 оказываются элементами одного и того же
13 р. Уокер
194 Гл. VI. Линейные ряды
линейного ряда. Обратно, если 2 ^i?i пересекает F- по циклу
Вк-\-С и если В-у, В2 встречаются среди Вх, то можно считать,
что ср0 пересекает F по циклу Вх + С, а срх —по циклу Bz + C.
В таком случае функция <p--?c/?i будет пересекать F по циклу
81 — В2.
Эта теорема имеет несколько интересных следствий. Мы будем
говорить, что циклы By и Вг эквивалентны и записывать это
знаком Вг^В2, если эти циклы являются элементами одного
и того же линейного ряда. Так как любая ненулевая константа
пересекает F по циклу О— В — В, то В==В. Если некоторая да
пересекает F по циклу Вх — В2, то ср-1 будет пересекать F по
циклу Вг — Bt. Поэтому из соотношения Вх = В2 следует, что
82 = Вх. Наконец, если ср пересекает F по циклу Bx — Biy
a (J) — по циклу Вг — Въ, то функция срф будет пересекать F по
циклу 2?! — В3. Другими словами, из соотношений В1^В%
и В2=±Ва следует, что BX=BS. Следовательно, введенное поня-
понятие эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Поэтому множество циклов кривой распадается на классы экви-
эквивалентности.
Если cpi пересекает F по циклу At— Въ а ср2— по циклу
Аг — Вг, то функция <р!<р2 пересекает F по циклу (Аг-\-А2) —
— (Вх + В2). Следовательно, соотношения АХ = ВХ и А2^В2 вле-
влекут за собой соотношение .кх + ^^^ + ^г- Если мы обозначим
класс эквивалентности, содержащий некоторый цикл А, через {А},
то из сказанного следует, что класс [А + В] однозначно опреде-
определен классами {А} и {В}. Если мы определим сумму классов фор-
формулой {А} + {В} = {А + В}, то совокупность классов будет обра-
образовывать коммутативную группу относительно сложения. Эта
группа является фактор-группой группы циклов по подгруп-
подгруппе {0}, состоящей из пересечений F с рациональными функ-
функциями.
Циклы, принадлежащие к одному классу эквивалентности,
имеют один и тот же порядок, и поэтому мы можем говорить
о порядке класса. Все циклы линейного ряда всегда принадле-
принадлежат к одному и тому же классу. Наоборот, если Во, ..., Вг —
эквивалентные циклы, то можно указать функции (pi, пересекаю-
пересекающие F по циклам Bi — B0, i = 0 г. Тогда система 2^Т« пере-
пересекает F по циклам Вх — Во и В{ оказываются элементами одного
линейного ряда, образованного всеми Вх. Ввиду того, что суще-
существуют множества линейно независимых элементов поля 2> со~
держащие произвольно большое число элементов (можно взять,
например, 1, %, ?2..., %г при любом г), мы видим, что класс экви-
эквивалентности может содержать линейные ряды произвольно высо-
высокой размерности. Однако если мы ограничимся эффективными
рядами, то положение меняется. Это вытекает из следующей
Теоремы 2.5. Если линейный ряд gTn эффективен, то
§ 2. Полные ряды 195
Доказательство. Пусть ряд g? высекается системой
г
Gx— 2 XjGi. Предположим, что г > га. Если Р — ветвь кривой F,
на которой не все 6ч имеют положительные порядки, то совокуп-
совокупность Gx, имеющих положительный порядок на Р, образует ли-
линейную систему размерности г—1. Эта система высекает на F
линейный ряд gn~*i имеющий Р неподвижной ветвью. Исключая
эту неподвижную ветвь, приходим к линейному ряду g?l\ .
Продолжая таким же образом, мы получим в конце концов
линейный ряд g?, где г' = г—и>0. Но это невозможно, так как
единственным эффективным циклом порядка 0 является нулевой
цикл, а проективное пространство может содержать единствен-
единственный элемент лишь в случае размерности нуль. Следовательно,
Теорема 2.6. Совокупность эффективных циклов, принад-
принадлежащих одному классу эквивалентности, образует линейный ряд.
Доказательство. Пусть Во, . . ., Вг — эффективные циклы
класса {А). Обозначим через ср4 функции, Пересекающие F по
циклам Bi — B0. Если В0 = ^\пРР, то эффективность циклов Вг
равносильна условию Ор (?,-)> — пр. Но если это условие удов-
удовлетворяется каждой из функций cpi> т0 оно удовлетворяется
любой их линейной комбинацией. Следовательно, циклы Вк,
определяемые из условия, что 2^'?* пересекает F по циклу
Вх— Во, образуют эффективный ряд. Выберем теперь в классе {А}
любое конечное множество эффективных циклов и образуем ли-
линейный ряд с помощью описанного приема. Этот ряд будет
иметь некоторую размерность г (если в {.А} вообще не содер-
содержится эффективных циклов, то мы последуем обычному согла-
соглашению и положим г= — 1). Можно считать, что наш ряд
является совокупностью циклов В\, определяемых из условия,
что S ^i?i пересекает F по циклу Вх — Во, и что <pi линейно
независимы над К. Если множество ВЛ содержит все эффектив-
эффективные циклы класса {А\, то теорема доказана. Если это не так
и Br+i — цикл из {А), не принадлежащий множеству Вх, то обо-
обозначим через cpr+i функцию, пересекающую F по циклу Вг+\ — Во.
Функция 9r+i не может быть линейно зависимой от ср0, . .., срг,
и поэтому система <ро> . . ., срг. ?r+i будет высекать линейный ряд
размерности г + 1. В силу теоремы 2.5, такой процесс нельзя про-
продолжить неограниченно. Тем самым теорема доказана.
Таким образом, с каждым классом эквивалентных циклов
связывается однозначно определенный максимальный эффектив-
эффективный линейный ряд (может быть, пустой). Такой ряд называется
полным рядом. Так как каждый цикл А принадлежит определен-
определенному классу, то он однозначно определяет соответствующий пол-
13*
196 Гл. VI. Линейные ряды
ный ряд, обозначаемый через |.4|. Если цикл А эффективен, то
он является элементом ряда |^4|.
Из соотношения А==В следует, что |^4|=|В|, Наоборот, из
равенства |^4| = |5| не всегда следует, что А=.В. Если С — один
\А\ |В|
р || || у
из циклов ряда \А\, то он будет принадлежать также |В|, сле-
следовательно, будет А = С, В^С и поэтому А = В. Но если \А\
и | В | оказываются пустыми, то такого элемента С не существует
и мы ничего не можем утверждать. Например, если Р — ветвь
кривой F, то | — /)| = |—2/)|== пустому множеству, но —Рф—2Р,
так как эти циклы имеют различные порядки.
При изучении линейных рядов особенно важны полные ряды.
В остальной части этой главы мы будем иметь дело почти исклю-
исключительно с такими рядами. Некоторые их свойства, непосред-
непосредственно вытекающие из определения, указаны в следующей
Теореме 2.7. 1) Каждый эффективный линейный ряд grn со-
содержится в единственном полном ряде g^. При этом R~>r. Если
эти ряды рассматривать как проективные пространства, то
grn есть подпространство g%.
2) Если два эффективных ряда содержат общий цикл, то
они содержатся в одном и том оке полном ряде.
3) Если \А\ и \В\ — любые непустые полные ряды, то полный
ряд \А-{-В\ однозначно определен рядами \А\ и \В\. Он содер-
содержит все попарные суммы циклов из \А\ с циклами из \В\.
Следующее свойство полных рядов довольно важно и заслу-
заслуживает специального упоминания.
Теорема 2.8. Пусть g^~произвольный эффективный ряд
и А — любой эдЗфективный цикл. Если g есть множество -всех
таких эффективных циклов В, для которых сумма А-\-В является
циклом ряда g?, то g есть линейный ряд. Если ряд g^ — полный,
то ряд g —также полный.
Доказательство. Пусть кривые Gx пересекают F по
циклам В'х+С, где В'х — циклы ряда grn. Тогда G^, пересекаю-
пересекающие F по циклам вида В^+А-{-С, очевидно, образуют линей-
линейную систему, и поэтому множество циклов В^ будет некоторым
линейным рядом g'. Очевидно, что g'CZg. С другой стороны,
если В — любой элемент множества g, то найдется некоторый Gx,
пересекающий F по циклу В-\-А-\-С и поэтому этот Gx оказы-
оказывается одним из. упомянутых Gy, а цикл В —элементом g'. Сле-
Следовательно, g — g'. Наконец, если ряд g не будет полным, то
найдется такой цикл Вг, что Bx^B?g, но #i$g. Отсюда сле-
следует, что B'i — B1 + A:~B + A^g^, но Bl$grn и, следовательно,
ряд g? не является полным.
Ряд g обозначается grn — А и называется вычетом ряда grn отно-
относительно цикла А. Если ни один из циклов ряда g? не содер-
§- 3. Инвариантность линейного ряда 197
жит А, то этот вычет будет пустым. Если grn = \D\ и А = .4',
то grn — А = grn — А' = | Z) — Л |. Следовательно, можно говорить
о вычете | Z) | относительно ряда \А\.
г s
2.4. Упражнения. 1. Пусть системы S^iGj и S[*/#y высе-
о о
кают соответственно ряды gTn и gan, имеющие общий цикл А,
который можно предполагать соответствующим значениям Хо=1,
>¦!=...= Хг = 0, ,.(а0 =1, (J.! = ... = (j.s = 0. В таком случае система
Г S
veGeH0 -f S 4{GiH0 -}- S Vr+jGoffj высекает ряд ge, содержащий
ряды grn н g*n.
2. Проверить выводы упражнения 1 действительным вычис-
вычислением рядов порядка 2, высекаемых системами
на кривой 2у2 — х3 — х2 = 0.
3. а) Некоторый линейный ряд высекается на неприводимой
кривой третьего порядка, имеющей одну двойную точку, с по-
помощью системы кривых второго порядка, проходящих через три
простые точки данной кривой. Каковы размерность и порядок
ряда? Является ли этот ряд полным?
б) Каким образом на кривой четвертого порядка с тройной
точкой можно высечь ряд gj?
4. Показать, что доказательство теоремы* III — 5.1 зависит,
по существу, от построения ряда g\ на кривой. Доказать, что
любая кривая, содержащая некоторый ряд g\, рациональна.
Доказать то же самое для g?.
§ 3. ИНВАРИАНТНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО РЯДА
В проводившихся выше рассуждениях основная кривая F
вообще не играла существенной роли. Циклы были определены
с помощью понятия порядка рациональной функции на ветви,
а это понятие больше связано со свойствами поля 2» чем со
свойствами кривой F. Остальные понятия — линейный ряд, эффек-
эффективный ряд, порядок, размерность, эквивалентность и полный
ряд —были определены непосредственно в связи с йолем 2-
Отсюда следует, что каждый цикл или ряд на кривой F имеет
точный аналог на любом бирациональном образе F. Из этих
замечаний вытекают три важных следствия:
198 Гл.. VI. Линейные ряды
Во-первых, линейные ряды можно рассматривать на простран-
пространственных кривых с таким же успехом, как и на плоских. Это
относительно простое обобщение, разумеется, можно было ввести
в самом начале нашего рассмотрения. Рассуждения п. 2.2 можно
видоизменить так, чтобы получить доказательство возможности
высечения любого эффективного ряда grn на кривой С в про-
пространстве _'h с помощью системы однородных многочленов
г
_jM*i(?o> •••> xk), ни один из которых не обращается в нуль
о
во всех точках кривой С.
Во-вторых, каждый связанный с кривой F объект, определен-
определенный лишь с помощью линейных рядов на этой кривой, остается
тем же самым для любой кривой, бирационально эквивалентной F.
Обнаружение и изучение таких бирациональных инвариантов
является наиболее важным применением линейных рядов.
Наконец, при изучении этих бирациональных инвариантов
несущественно, какая из класса бирационально эквивалентных
кривых используется. Поэтому естественно, что мы будем делать
выбор так, чтобы иметь дело с наиболее простым из возможных
типов кривых. Такой свободой выбора мы воспользуемся в нашем
дальнейшем исследовании.
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, СВЯЗАННЫЕ
С ЛИНЕЙНЫМИ РЯДАМИ
4.1. Соответствие между преобразованиями и линейными
рядами. Существует простая связь между рациональными пре-
преобразованиями кривой и линейными рядами на этой кривой. Мы
приступим сейчас к установлению этой связи и используем ее,
чтобы осветить по-новому оба указанных понятия.
Пусть С — неприводимая кривая в Sm и _] —ее поле рацио-
в
нальных функций. Пусть система Gx = S ^jGj (#) пересекает кри-
о
вую С по циклам Ах-\-В, где множество всех Ах образует эффек-
эффективный ряд gn, не имеющий неподвижных точек. Свяжем с рядом
gn рациональное преобразование
У/ = С,(*)- D.1)
Докажем прежде всего, что образ С кривой С будет кривой
тогда и только тогда, когда п > 0.
Условием того, что С есть кривая (см. V — 6:1), является не-
непостоянство хотя бы одного из элементов Gt {%) / Gj (!) доля 2 •
Предположим, что Gi(?)/ Go ($,) $ К и что G0(x) и Gt(x) пересе-
пересекают С соответственно по циклам Ао-\-В и Аг-\-В. В таком
случае Gi(Z)/G0(Z) пересекает С по циклу At — А0ф0, откуда
§ 4. Рациональные преобразования, связанные с линейными рядами 199
следует, что А^ и Аг не являются оба нулями. Так как един-
единственным эффективным циклом порядка нуль является нулевой
цикл, мы должны иметь га > 0. Обратно, если п > 0, то найдутся
два многочлена системы S^/*> например Go и Glt пересекаю-
пересекающие С по различным циклам. В таком случае G1(S)/G0(E) пере-
пересекает С по циклу, отличному от нулевого, и поэтому не является
элементом К. Отсюда следует, что С есть кривая.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь случая,
когда п > 0.
Пусть упомянутый выше ряд gn имеет "размерность г. Комби-
Комбинируя результаты пп. 1.3 и 2.2, мы видим, что образующие
элементы G,- системы GK могут быть выбраны таким образом,
чтобы элементы ср0, ..., срг, сру = G> (?) / Go (?) были линейно неза-
независимыми над К и чтобы фг+1 = ... —-cpR. = O. Отсюда следует,
что последние координаты каждой точки кривой G' и каждой
параметризации любой ее ветви равны нулю. Поэтому кривую G'
можно рассматривать как лежащую в пространстве Sr, опреде-
определяемом условиями г/r+i = ... =ув = 0. Это позволяет ограничи-
ограничиваться рассмотрением случая, когда R--r.
Кривая С определена не непосредственно рядом grn, а много-
многочленами СЛ, высекающими этот ряд. Покажем теперь, что при
использовании другой системы многочленов, ^ысекающей ряд grn,
г
получается та же кривая. Пусть многочлены /Гц= S[*i^i пере-
о
секают С по циклам А^-\-В', где А^ пробегает циклы ряда gTn.
Полагая <j^ = #3-(i)/#0(?), мы будем иметь, как и в п. 2.2, что
<Ь = S fl;6?h) где | а) \ Ф 0 и 6 g 2 • Надлежащим выбором обра-
образующих многочленов системы Gx (это соответствует преобразова-
преобразованию координат в Sr) можно добиться, чтобы эти уравнения имели
вид фу = 6сру. Но так как ф0:=?о —1> то уравнения в действитель-
действительности приводятся к виду ф,==<р>. Требуемый вывод следует отсюда
непосредственно.
Если мы будем исходить из произвольного рационального пре-
преобразования D.1) кривой С, то многочлены системы 2^7 будут
пересекать С по циклам вида Ах + В, где Ак образуют эффектив-
эффективный ряд grn> не имеющий неподвижных точек. Две системы много-
многочленов, определяющие одно и то же рациональное преобразование
кривой С, будут давать одно и то же множество определенных
выше рациональных функций ср,-. Функции же <ру однозначно
определяют линейный ряд. Действительно, если бы пересече-
пересечение срд с кривой С можно было записать в виде Вх — Во, то мы
имели бы Ах — А0 — Вх — Во или Ах~\-В0 — Вх-\-Ац. Но так как,
в силу нашего предположения, не существует ветвей, общих
200 Гл. VI. Линейные ряды t ^__
всем циклам _4Л или всем циклам Вх, то отсюда следуют равен-
равенства Ао — Во, Аг = Вх.
Полученные выводы объединяются в виде
Теоремы 4.1. Между рациональными преобразованиями,
обращающими данную кривую С снова в кривую, и эффектив-
эффективными рядами положительного порядка на кривой С, не имею-
имеющими неподвижных ветвей, существует взаимно однозначное
соответствие. J
4.2. Строение линейных рядов. Наши познания о свойствах
рациональных преобразований можно применить теперь для того,
чтобы получить некоторые сведения о строении линейных рядов.
Рассмотрим прежде всего случай, когда преобразование D.1)
будет бирациональным.
Если В—^прР, то rain Op (Gf) == пр. Следовательно, при
любой параметризации (х) ветви Р, образом Р будет Р' = (у),
где yj = t~nPG,(x). В таком случае очевидно, что линейный много-
многочлен ух = 2 hyi пересекает кривую С по циклу, совпадающему
с образом цикла Ах на кривой С. Другими словами, образы
циклов линейного ряда g? кривой С образуют на кривой С ли-
линейный ряд, высекаемый гиперплоскостями пространства Sr. Так
как рассматриваемый ряд имеет порядок п, то отсюда следует,
что порядок кривой С также равен п.
Пусть теперь преобразование D.1) будет произвольным рацио-
рациональным преобразованием кривой С в кривую С. Как и раньше,
положим В = ^пРР и обозначим через (х) параметризацию
ветви Р. Если Р'=(у) есть образ Р, то найдется такое целое
число гр > 1, что
y,(*r') = G,(i)*-V.
Далее:
где Ра — ветви кривой С, которые преобразуются в ветвь Р'
кривой С. Обозначим через АР, цикл 2 гР Р*- Тогда будем иметь
Р'
§ 4. Рациональные преобразования, связанные с линейными рядами 201
Таким образом, каждый цикл ряда grn может быть выражен
суммой циклов Ар-. Согласно теореме V — 6.2, почти все циклы Ар-
имеют один и тот же порядок v. Следовательно, почти все циклы
S Ор" (Ул) Р' имеют порядок n/v. Но так как эти циклы пред-
представляют собой циклы пересечений кривой С" гиперплоскостями
ух — О, то мы видим, что кривая С" имеет порядок п' — n/v.
Множество циклов Ар' называется инволюцией порядка v
и обозначается через 7v- О ряде gTn мы будем говорить, что он
составлен из 7v Каждая кривая несет на себе некоторую инво-
инволюцию fii именно — совокупность всех ее ветвей. Каждый ряд
составлен из этой fi- Ряд, составленный из некоторой инволюции
7м при 1 > 1, называется составным. Если такое представление-
ряда невозможно, то он называется простым. В этих терминах
мы можем полностью сформулировать полученные результаты
так:
Теорема 4.2. Рациональное преобразование Т тогда и только
тогда будет бирационалъным, когда связанный с ним линейный
ряд g будет простым. Если g имеет порядок п и составлен
из инволюции максимального порядка v > 1, то образ кривой С
при преобразовании Т, соответствующем ряду g, будет иметь
порядок n/v.
Примеры. 1. Ряд gn, не имеющий неподвижных ветвей,
является инволюцией -\п. Действительно, ряд g\ на кривой С
определяет рациональное преобразование С в прямую L, причем
каждый цикл ряда g\ состоит из тех ветвей кривой С, которые
преобразуются в одну ветвь L. Следовательно, любой ряд gn, для
которого п>1, будет составным и составлен из самого себя.
Такой ряд часто называют рациональной инволюцией.
2. Пусть многочлены \G0-\-\1G1 пересекают кривую С по»
циклам Ах-\-В, где Ах образуют ряд g\ без неподвижных ветвей.
В таком случае многочлены \0GT0-\-\1G\i~iG1-\-...-\-\/п пересе-
пересекают С по циклам А'х + гВ и циклы А\ образуют ряд grnr без.
неподвижных ветвей, составленный из инволюции g^.
3. Система
Сд -= Хожо (*« + х\) + ХЛ (х* + xl) + X2z2 (*§ + х\) = 0
высекает на неособенной кривой третьего порядка С (см. III — 2.Ьг
упражнение 4)
Ч D + si) + *i (A + xl) + х2 {xl + 4) ~ 2ж0хлх2 = О
ряд gl без неподвижных ветвей. Так как кривая С и каждая
из кривых Gx инвариантны относительно квадратичного преобра-
преобразования
202 Гл. VI. Линейные ряды
то ряд g§ составлен из инволюции ~[2, элементами которой
являются пары ветвей с центрами в точках (х0, ж1( ж2)
и (ххх2, х2х0, хохх) кривой С. Отсюда следует, что образ С при
преобразовании
У о •-•= х0 (х\ + ж|), у у --= «1 (zg + ж!), 2/г := ж2 (ж§ + х\)
является кривой С" третьего порядка. Ввиду того, что кривая С
не меняется при перестановке х,- и что такая перестановка вызы-
вызывает лишь соответствующую перестановку у,-, кривая С должна
также оставаться неизменной при любой перестановке у,-. Отсюда
следует, что С" имеет один из следующих видов:
Cj: жюж| + ххх% -j- хгх% — хйх\ — ххх\ — хгх\ — 0,
С2 : h {хйх* + жож| + ххх\ + ххх\ + х2х1 + х2х\) +
+ kxQxxXi +1 (xl + х\ + х\) = 0.
Точка A, 1, ?) кривой С переходит в точку @, 0, 1) кривой С.
Следовательно, если С — С'^, то должно быть 1 = 0. Ветвь
кривой С преобразуется в ветвь
кривой С. Этим исключается предположение, что С — С\, и до-
доказывается равенство С" •¦- С'2, в котором должно быть к = kh.
Можно показать, что кривая С"—неособенная (см. III — 2.5,
упражнение 4). Ниже будет показано (п. 5.3), что неособенная
плоская кривая третьего порядка не будет рациональной. Из при-
приводимого ниже упражнения 3 следует поэтому, что инволюция ^v
также не является рациональной.
4.3. Нормальные кривые. Несколько интересных результатов
получается при применении теоремы 4.2 к рациональным пре-
преобразованиям, порождаемым проектированием. Пусть кривая С
порядка п в пространстве Sn проектируется в кривую С" под-
подпространства Sr из центра Ss. Здесь r+s~R—1 (см. И —5.1).
Пусть гиперплоскости пространства SR, проходящие через Ss,
высекают на С ряд gTn,, 1<г'О, 1<«'<« без неподвижных
ветвей. Тогда С" будет образом С при преобразовании, опре-
определяемом рядом g^,. Применяя теорему 4.2, мы видим, что
порядок С равен п'/ч, где v — порядок инволюции, из которой
составлен ряд §¦?',.
Непосредственным следствием этого результата является
Теорема 4.3. Порядок кривой не понижается при проекти-
проектировании в том и только в том случае, если проектирование будет
§ 4. Рациональные преобразования, связанные с линейными рядами 203
бирациональным преобразованием и если центр проектирования
не пересекает данной кривой.
Доказательство, n'/v будет равно п в том и только в том
случае, если v = 1 и п' = п, а эти условия эквивалентны условиям
теоремы. ,
Кривая, имеющая линейную оболочку размерности г, назы-
называется нормальной, если она не является проекцией кривой
того же порядка, имеющей линейную оболочку более высокой
размерности.
Теорема 4.4. Кривая С в пространстве Sr является нор-
нормальной тогда и только тогда, когда гиперплоскости из Sr
высекают на ней полный ряд.
Доказательство. Пусть Sr, ?•</?, есть линейная обо-
оболочка кривой С. Тогда гиперплоскости из Sr высекают на С
тот же ряд g?, что и гиперплоскости из Sr. Здесь га —порядок
кривой. Поэтому мы можем исключить из рассмотрения Sr и рас-
рассматривать кривую С, как лежащую в Sr.
Пусть С есть проекция некоторой кривой С порядка п,
имеющей линейную оболочку Sr<, г' > г. Можно считать, что
уравнениями проектирования будут
/--=0, . . ., Г.
г1
Гиперплоскости 2jXiXi=0 пространства Sr< высекают на С
содержащий в себе ряд g'J, высекаемый гиперплоскостями вида
г
2^12Ч"-0- В силу теоремы 4.3, проекция будет бирациональным
о
преобразованием, а так как на кривой С гиперплоскости
г
2 Xt^i = 0 высекают ряд gTn, то этот ряд будет образом ряда g'J.
Ряд g'? переходит в некоторый grn, содержащий grn. Следовательно,
ряд grn не будет полным.
Обратно, если grn не является полным, то найдется содержа-
содержащий его ряд g?, /•'>/•. Если grn высекается на кривой С систе-
г'
мой ^^.iGi(x), то можно предполагать, что многочлены G выбраны
о
г
так, что система 2^1^(ж) высекает циклы ряда gr, т. е. те же
о
г
самые циклы, что и система 2^ж»- Отсюда следует, что
о
Oi(?)/G0(?) = ?i/S;0, 0<f'<r. Бирациональное преобразование Т„
определяемое формулами x\ — Gi{x), допускает в таком случав
204 Гл. VI. Линейные ряды
обращение ж, = х), являющееся проектированием из ST> в под-
подпространство Sr. Если С" есть образ С при преобразовании Т,
то С будет являться проекцией С'. А так как С и С" имеют
один и тот же порядок, то теорема доказана.
В качестве следствия из этой теоремы мы имеем
Теорему' 4.5. Простой ряд без неподвижных ветвей будет
полным тогда и только тогда, когда соответствующая ему
преобразованная кривая является нормальной.
4.4. Полная редукция особенностей. В V —5.3 мы опреде-
определили особую точку кривой как точку, являющуюся либо центром
нескольких ветвей кривой, либо центром одной ветви порядка,
большего единицы. Полезно истолковать особые точки с помощыо
свойств линейных рядов. Пусть gTn— простой ряд без неподвиж-
неподвижных ветвей на кривой С и пусть С — соответствующий бира-
циональный образ С. В таком случае ,риду grn будет соответ-
соответствовать на С" ряд g'^, высекаемый гиперплоскостями про-
пространства Sr, содержащего С". Для любой ветви Р' кривой С
ряд g'J — P' будет, очевидно, некоторым g'?, высекаемым иа С
гиперплоскостями, проходящими через центр р' ветви Р'. Оче-
Очевидно, что точка р' будет особой тогда и только тогда, когда
ряд g'^— Р' имеет неподвижные ветви. Ввиду того, что свойства
линейных рядов сохраняются при бирациональных преобразова-
преобразованиях, мы можем утверждать, что образ кривой С, соответ-
соответствующий ряду gTn, будет неособенной кривой тогда и только
тогда, когда ряд grn — Р не имеет неподвижных ветвей при любом
выборе Р. Такой ряд grn иногда называют вполне простым.
Очевидно, что вполне простой ряд будет простым.
Применяя этот признак, можно доказать следующую важную
теорему:
Теорема 4.6. Каждая неприводимая кривая имеет неосо-
неособенный бирационалъный образ.
Доказательство. Наша задача состоит в доказательстве
существования вполне простого ряда gTn. Можно предполагать,
что кривая, с которой мы имеем дело, является плоской кривой F,
так как любая кривая бирационально эквивалентна некоторой
плоской. Пусть т — порядок F. Рассмотрим ряд g?«, высекаемый
на кривой F системой всех кривых порядка т—1*. Так как при
этом, очевидно, отсутствуют неподвижные ветви и ни одна
из кривых системы не содержит F, мы имеем
г0 ~ (т — 1) (т + 2) / 2, п0 — т (т — 1).
Если ряд gjj» вполне прост, то теорема доказана. Если нет, то
найдется такая ветвь Р, что ряд й™ — Р будет иметь неподвиж-
§ 4. Рациональные преобразования, связанные с линейными"рядами 205
ные ветви. Освобождаясь от них, мы получим некоторый ряд g1^
для которого
1
2.
Этот процесс можно продолжить. Если уже построенный ряд gTi
не будет вполне простым, то можно построить g^.+1, для которого
ri+t -—/•{ — 1, тн+1<Щ — 2.
Отсюда следует, что для каждого такого i мы имеем
Но, в силу теоремы 2.5, /4<«i. Следовательно,
/*0 ~~~ Ъ -^f TIq "**¦ ыЬ .
или
' (m — I) (m + 2)/2<m(m — I) — i.
Это приводится к
i<(m —I) (m —2)/2.
Отсюда следует, что для некоторого /<(т — 1) (пг — 2)/2+ 1 ряд
grj должен быть вполне простым. Для такого / мы имеем
7-j---r0 — j>(m— 1) (m + 2)/2 — (m — 1) (m — 2)/2— l = 2m — 3.
Исключив тривиальный случай те=1, мы будем иметь г,>1
и поэтому также Пу>1. Образ кривой F, соответствующий
ряду gjV, будет кривой без особенностей.
4.5. Упражнения. 1. Если п просто и г > 1, то ряд gTn без
неподвижных ветвей будет простым.
2. Каждый ряд gTn, составленный из инволюции g\, будет
частью некоторого g^, построенного по способу, указанному
в примере 2 п. 4.2.
3. Если ряд^ составлен из g\, то образ кривой С, соот-
соответствующий этому gTn, будет рациональной кривой.
4. Ниже будет показано, что каждый ряд g\ на неособенной
кривой третьего порядка высекается пучком прямых. Применить
это свойство для прямого доказательства того, что инволюция
примера 3 из п. 4.2 не будет рациональной.
5. Если ряд grn не имеет неподвижных ветвей, но ряды gTn — Р
имеют неподвижные ветви для бесконечного множества различных
ветвей Р, то ряд gTn — составной.
6. Любая плоская кривая является проекцией неособенной
пространственной кривой.
7. Доказать, что каждый цикл инволюции fv имеет порядок v.
206 ' Гл. VI. Линейные ряды
§ 5. КАНОНИЧЕСКИЙ РЯД
5.1. Якобиевы циклы и дифференциалы. Пусть gn, n > 0,
— эффективный ряд без неподвижных ветвей. Из теоремы V —6.2
и рассуждений п. 4.2 следует, что существует лишь конечное
число циклов инволюции gn, состоящих менее чем из п различ-
различных ветвей. Пусть ветвь Р входит в один из циклов ряда g\ с коэф-
коэффициентом тр (тР однозначно определен, так как каждая ветвь
входит в единственный цикл ряда gn)- В таком случае цикл
2 шр — 1) Р называется якобиевым циклом J ряда gn.
Чтобы исследовать структуру цикла /, допустим, что ряд gn
высекается на кривой С системой X0GQ-{-'k1G1. Введем обозначе-
обозначение 8= — G1(i)/G0(|N 2- Тогда циклами ряда gn будут циклы
Ах и Аю, где Дю — цикл, высекаемый на С многочленом Go, а Ах
определяется из условия, что АА — Аа, есть пересечение функ-
функции 6 — X, X 6-ЙГ» с кривой С.
Для любой ветви Р число пгР есть коэффициент при Р
в цикле Ахр ряда gn, содержащем Р. Рассматривая сначала
случай Хр Ф оо, имеем 0Р F — Хр) = тР > 0. Если (ж) — парамет-
параметризация ветви Р, то 0 (х) — Хр + at* -\- .. ., а Ф 0. Ди<)
цируя относительно t, получаем 8 (ж)' = amptmp i + • • • и поэтому
') = тР-1. E.1)
Другими словами, ветвь Р входит в / с коэффициентом 0F (х)').
С другой стороны, если ХР=оо, то
Ор(в)=—тР, Q(x) = at~mP+..., афО,
и
0F(г)')=-тр-1-=(тр-1)-2тр. E.2)
Таким образом, мы видим, что цикл / внутренним образом
связан с порядками выражения 6 (ж)' на различных ветвях (ж).
Для обозначения этой связи удобно ввести новый символ dQ,
называемый дифференциалом 8. При этом под d9 (x) мы будем
понимать 9 (ж)', а под Op {db) — порядок О (dB (х)) для некоторой
параметризации (х) ветви Р. Нетрудно видеть, что Op (dB) зависит
только от Р, а не от ее выбранной параметризации.
Теперь мы можем объединить уравнения E.1) и E.2) в такие
тР — 1, если Р (J Am,
Op Ш) = .
[ mP — 1 — 2mp, если
Следовательно,
л\ П I) л Т О Л • (*\ Ч\
§ 5. Канонический ряд 207
Дальнейшее исследование цикла J требует рассмотрения
цикла ^Op(dQ) P, который мы будем называть пересечением диф-
р
ференциала с№ с кривой С. Пусть <р — любой непостоянный эле-
элемент из 2- Тогда, по теореме V—3.1, найдется такой непри-
неприводимый многочлен g(x, у), что g(f, б) = 0. Следовательно, для
любой ветви (х) кривой С будет g (<р (х), б (х)) — 0. Дифферен-
Дифференцируя это соотношение, получаем
или
8 (а)' = <И(?) = gx(<f(x),
9(*)' <kf(x)
где <|) = —gx(?i 8)/gB(<p. 9) 6 S"> вследствие этого естественно ыоло-
db
жить, по определению, что-т- = ф.
Из теоремы 2.4 следует теперь, что пересечения дифферен-
дифференциалов dQ и dcp с кривой С являются эквивалентными циклами
и поэтому существует однозначно определенный полный ряд,
содержащий все эффективные циклы такого рода. Этот ряд
называется каноническим рядом кривой С и обычно обозначается
через К. Так как спутать этот ряд с основным полем К очень
трудно, мы также сохраним это обозначение канонического ряда.
Если кривая С бирационально преобразуется в кривую С",
то канонический ряд на С будет переходить в канонический ряд
на С, так как каждый из этих рядов может быть высечен диф-
дифференциалами элементов поля 2- Отсюда следует, что порядок
и размерность К являются бирациональными инвариантами кри-
кривой С. Мы увидим ниже (п. 6.4), что порядок К равен удвоен-
удвоенной размерности, так что в действительности мы получаем только
один числовой инвариант, а не два, как это можно было бы
ожидать.
5.2. Порядок канонического ряда. Порядок ряда К можно
вычислить, если использовать удобно выбранный простой бира-
циональный образ кривой С. Мы видели в п. V — 4.2, что каждая
неприводимая кривая бирационально эквивалентна плоской кри-
кривой с обыкновенными особенностями. Рассмотрим такую кривую /
и выберем координаты так, чтобы точка @, 0, 1) но лежала ни
на /, ни на касательных к / в особых точках. Пусть gn — ряд,
высекаемый системой прямых х — X = 0. Тогда / содержит лишь
ветви, касательные к которым параллельны оси у. В центрах
этих ветвей мы имеем fv — 0. Исследуем поэтому пересечение /?>
с кривой /.
208 Гл. VI. Линейные ряды
1) Рассмотрим сначала особую точку кривой /. Можно счи-
считать, что она имеет координаты @, 0). Если кратность этой точки
равна г>2, то можно написать f = F{x, y) + g(x, у), щеР(х, у)
•состоит из членов степени г. Так как все особые точки кривой /
являются обыкновенными, то все множители многочлена F(x, у)
различны. Кроме того, в силу сделанного выбора координатной
системы, F(x, у) будет содержать член аут, где а Ф 0. Отсюда
следует, что кривая fy~Fv-\-gv = O имеет в точке @, 0)
г — 1-кратную точку, в которой касательные отличны от каса-
касательных к кривой /. Из теоремы IV —5.10 следует, что fv имеет
в точке @, 0) г (г — 1)-кратное пересечение с кривой /.
2) Если fv пересекает / по ветви Р с неособенным центром,
то в этой точке fx ф 0 и поэтому ветвь Р имеет параметризацию
y = a-\-t, x = b-\-ctr-\-..., сфО.
Дифференцируя уравнение f(x, y) = 0 no t, получаем
Отсюда следует, что /„ имеет на Р порядок г — 1. Но Р входит
в цикл ряда gn, высекаемый прямой а; — Ь — 0 с коэффициентом г,
и, следовательно, в / — с коэффициентом г—1. Чвиду того, что
ни одна из прямых х — X =- 0 не является касательной к / ни
в одной из особых точек, будем иметь J—^(r — 1)Р, где сум-
суммирование распространено на все неособые точки пересечения
U с /•
Так как общее число точек пересечения /у и / равно п(п— 1),
мы видим отсюда, что порядок цикла / равен
где суммирование распространено на все особые точки, а /ч —
кратности этих особых точек.
Из соотношения K — \J~2A\ мы видим, что порядок К есть
п{п-\)~ %п(п-1)-2п = п(п-3)-%п(п-1). E.4)
При рассмотрении особых точек мы встретились е неотрица-
неотрицательным целым числом (теорема III —7.5)
E.5)
Сравнивая E.4) и E.5), видим, что порядок К равен 2р — 2.
Следующая теорема резюмирует наши результаты о якобие-
вых циклах:
' Теорема 5.1. Если J — якобиев цикл эффективного ряда g?
без неподвижных ветвей, С — данная кривая и А — любой цикл
ряда gli, то цикл J—2А является пересечением С е некоторым
дифференциалом. Этот цикл, с точностью до эквивалентности,
§ 6. Размерность полного ряда 209
¦в
не зависит от выбранного для его определения ряда g\. Если С
есть плоская кривая с обыкновенными особенностями порядков
гъ га, ... , то порядок цикла J — 2 А равен 2р — 2, где
jt> = (п-1) (п- 2)/2 - S/Ч (>Ч-1) /2.
5.3. Род кривой. Если канонический ряд кривой С пуст, то
род р кривой С, по определению, считается равным нулю. Если
ряд К не пуст, то род р на единицу превышает половину по-
порядка канонического ряда. Для плоской кривой с обыкновен-
обыкновенными особенностями род выражается формулой E.5).
Как упоминалось выше, род является бирациональным инва-
инвариантом, т. е. две бирационально эквивалентные кривые имеют
один и тот же род. Другими словами, это означает, что кривые,
для которых значения рода различны, не могут быть бирацио-
бирационально эквивалентными. Подобное утверждение мы встретили
здесь впервые. Если ограничиться лишь предшествовавшими ре-
результатами, то могло бы оказаться, что все неприводимые кри-
кривые бирационально эквивалентны. Наоборот, сейчас мы можем
легко убедиться, что существует бесконечное множество бира-
бирационально неэквивалентных кривых. В частности, две неособые
плоские кривые различных порядков несомненно неэквивалентны,
если исключить случай, когда одна из этих кривых — прямая,
а другая — кривая второго порядка.
Позднее мы увидим (п. 7.3), что даже в случае, если две
кривые имеют один и тот же род, они не обязательно должны
быть бирационально эквивалентными.
5.4. Упражнения. 1. Пусть С — неприводимая плоская кривая
порядка п, класса т и рода р и пусть ~{(Р) означает порядок
ветви Р кривой С. Тогда
Для кривой, имеющей лишь двойные точки и острия, это соот-
соотношение приводится к обычной формуле Плюккера (IV — 6.2).
2. Кривая будет рациональной в том и только в том случае,
если ее род равен нулю.
3. Показать, что якобиевы циклы всех рядов gj,, содержа-
содержащихся в некотором gn, эквивалентны. Они определяют полный
ряд, называемый якобиевым рядом данного ряда grn.
§ 6. РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛНОГО РЯДА
6.1. Сопровождающие кривые. Для более полного исследо-
исследования линейных рядов, в частности, для определения размерно-
размерности канонического ряда, мы применим теорему Нётера.
14 р. уокер
210 Гл. VI. Линейные ряды
Приведенное выше доказательство этой теоремы (теорема
IV—7.2) таково, что его можно использовать лишь в том слу-
случае, если кривая F не имеет других особенностей, кроме обык-
обыкновенных кратных точек. Но так как каждая неприводимая кри-
кривая бирационально эквивалентна плоской кривой такого типа,
то свойства линейных рядов, доказанные для таких кривых,
будут иметь место для всех кривых.
Предположим, что F — неприводимая плоская кривая, имею-
имеющая лишь обыкновенные особенности. Пусть для любой ветви Р{
кривой F число /ч означает кратность центра ветви Рг, рас-
рассматриваемого как точка кривой F. Обозначим через D цикл
2 (>ч — 1) Pi- Любой многочлен G, высекающий цикл D, будем
называть сопровождающим многочленом для F, а кривую G = 0 —
сопровождающей кривой для F. При применении этой термино-
терминологии целесообразно рассматривать уравнение G = 0 как урав-
уравнение некоторой кривой даже в том случае, когда G будет от-
отличной от нуля константой. Из теоремы IV — 5.11 следует, что
многочлен G будет сопровождающим для F тогда и только тогда,
когда он в каждой /ч-кратной точке кривой F имеет кратность,
яе меньшую /ч — 1. Сопровождающие многочлены F мы будем
обозначать прописными греческими буквами.
Основное применение теоремы Нётера к изучению линейных
рядов связано со следующей теоремой, называемой теоремой о
вычете:
Теорема 6.1. Если
Фт пересекает F по циклу А + В 4- D,
?т пересекает F по циклу A' + B + D,
Вг пересекает F по циклу А-\-В'-\-D,
то найдется Е,, пересекающий F по циклу А'-\-В' -\-D (здесь
индексы означают степени многочленов).
. Доказательство. Применяя теорему IV — 7.2, находим,
что
Здесь многочлен М должен иметь степень I. Но так как в?
пересекает F по циклу А-\-В-\-А' 4-В' -\-2D, то по этому же
циклу должен пересекать F многочлен МФ, следовательно, М
пересекает F но циклу А' -\- В' + D. Отсюда вытекает, что М
есть требуемый сопровождающий многочлен Е,.
Приводимое ниже следствие теоремы 6.1 .часто называется
также теоремой о вычете:
Теорема 6.2. Если циклы, А и А' эквивалентны и если суще-
существует сопровождающий многочлен, пересекающий F по циклу
^ § 6. Размерность полного ряда 211
A + B + D, то существует сопровождающий многочлен той оке
степени, пересекающий F по циклу A'-\-B-\-D.
Доказательство. Пусть Фг пересекает F по циклу
A-\-B-\-D и пусть б — рациональная функция, пересекающая F
по циклу А' — А. Мы можем записать 8 = Wm/ Wm, где Wm и
4P"ni — сопровождающие многочлены, пересекающие F соответ-
соответственно по циклам A-\-B' + D и A'-\-B'-\-D. Применив тео-
теорему 6.1, получим требуемый результат.
В качестве непосредственного следствия получаем следую-
следующую важную теорему:
Теорема 6.3. Если А —любой эффективный цикл и если не-
некоторый сопровождающий многочлен степени I пересекает кри-
кривую F по циклу А + В + Д то
полный ряд \А\ееть вычет ряда,
высекаемого на F всеми кривыми
степени I, относительно цикла
B + D.
Эта теорема дает специфиче-
специфический способ высечения полных
рядов. Следующие примеры пока-
показывают, как это делается.
Примеры 1. Пусть F — не-
неособая кривая четвертого порядка
(рис. 21). Тогда D = 0 и каждый
многочлен будет сопровождающим. р 9,
Пусть А = Рг + Р2 + Р3, где три ™ С' "'
ветви Ръ Р2, Р3 имеют неколли-
неарные центры рг, р2, р3. Пусть, далее, прямая х ррг
пересекает F еще в двух точках Pz, р5, а прямая L2, прохо-
проходящая через р3, пересекает F еще в точках рв, р7, ps (для
простоты мы будем предполагать, что эти восемь точек раз-
различны). В таком случае ЬгЬ2 будет сопровождающей кривой,
8
пересекающей F по циклу А-\-В, где В— 53^V Следовательно,
4
\А\ есть вычет ряда g\, высекаемого на F всеми кривыми вто-
второго порядка, относительно цикла В. Но так как никакие че-
четыре из точек pit ... , р8 не коллинеарны, то существует лишь
одна кривая второго порядка, содержащая эти точки. Поэтому
| А | является рядом g°s.
Однако в случае, если центры ветвей цикла А коллинеарны,
например А = Р1-\-Pz + Pit то сопровождающий многочлен Ьг
пересекает F по циклу А + В, где В = РЪ. Тогда \А\ есть
вычет ряда g\, высекаемого всеми прямыми, проходящими
через р6, относительно цикла Р6. В этом случае \А\ является
рядом gla.
14*
212 Гл. VI. Линейные ряды
2. Пусть F — кривая четвертого порядка с двойной точкой р
(рис. 22). Если Р и Q — ветви с центром р, то D — Р-\-Q. Как
и в примере 1, положим, что прямая Lx = ргр2 пересекает F
в точках р3 и р^ Предполагая, что Lt не проходит через р, мы
должны для получения сопровождающего многочлена взять
L2 = p3p. Прямая L2 имеет еще одну точку пересечения рв с' кри-
кривой F. В таком случае LXL2 пересекает F по циклу А-\-В -\-D,
где В~Р4-\-Р6-\-Рв. \А\ есть вычет ряда, высекаемого всеми
линиями второго порядка, относительно цикла B-\-D. Отсюда
следует, что | А | есть g\.
В этом случае не произойдет
изменения размерности ряда, если
центры трех рассматриваемых вет-
вей будут коллинеарными.
3. Пусть F — кривая четверто-
четвертого порядка с одной тройной точ-
точкой р, являющейся центром вет-
ветвей Р, Q, Р. В таком случае
D=-2P + 2Q + 2R, так что сопро-
сопровождающая кривая должна иметь
в р точку, кратность которой не
р и с 22 ниже 2. Если, как и раньше,
А=-Рх + Р2 + Рз> ТО МОЖНО ПОЛО-
ПОЛОЖИТЬ Ьх — рхР, L2 = р2р и взять
в качестве L3 любую прямую, проходящую через ps. Тогда
ЬхЬ2Ьг будет сопровождающей кривой, пересекающей F пр циклу
A-{-B-\-D, где В = Pt-\-Р&-{-Рв состоит из остальных пересече-
пересечений прямой L3 с кривой F. Поэтому ряд | А | будет высекаться
кривыми третьего порядка, имеющими в р двойную точку и про-
проходящими через точки pif p5, Ре- Этот способ неособенно хорош
для высечения ряда \А\, так как трудно сказать что-либо суще-
существенное об остальных точках поресечения (кроме pit рь, рв).
Но можно упростить положение, выбрав прямую L3 проходящей
также через точку р. В таком случае В = Р + Q + R- Тогда кри-
кривые' третьего порядка должны иметь в р тройную точку и по-
поэтому должны состоять из трех прямых линий, проходящих
через эту точку. Поэтому мы видим, что ряд | А \ состоит из
всех эффективных циклов третьего порядка на кривой F.
Мы оставляем читателю исследование полных рядов поряд-
порядков 2 и 3 на кривых четвертого порядка с двумя или тремя
двойными точками.
6.2. Нижняя граница для размерности. Предыдущие при-
примеры показывают, что, повидимому, увеличение порядка цикла D
вмзывает увеличение размерности полных рядов заданного по-
порядка. Сейчас мы установим точную связь между этими число-
§ в. Размерность полного ряда 213
выми характеристиками. Обозначим порядок цикла D через 28,
так что Ь— Sri(>4 —1)/2. Род кривой определяется в таком слу-
случае равенством р~ (т— 1) (т — 2) /2 — 8, где т — порядок F.
Теорема 6.4. Если ряд grn является полным, то г^-п — р.
Доказательство. Рассмотрим сначала вычет ряда, высе-
высекаемого на кривой F всеми сопровождающими кривыми по-
порядка I > т, относительно цикла D. Размерность этой системы
кривых будет
Следовательно, по теореме 1.1, будет r = R — q, где q есть число
линейно независимых многочленов Ф,, содержащих F своим мно-
множителем. Но, многочлен Hi-mF будет сопровождающим при
любом Н, и поэтому q будет числом линейно независимых мно-
многочленов степени 1—т. Иначе говоря, g = (I — m + l)(Z — m + 2)/2.
Следовательно,
= lm — Ь — p — 8 = n — p,
ибо n = lm — 28. Но любой ряд grn< будет вычетом g? относи-
относительно, некоторого цикла В. Если порядок В равен к, то мы
имеем
п' = п — к, г'>г — к.
Отсюда следует, что г'>п' — р. Теорема доказана.
6.3. Размерность канонического ряда. Следующая теорема
показывает, что сопровождающие кривые порядка т — 3 (если
они вообще существуют) представляют особый интерес.
Теорема 6.5. Если р>1, то вычет относительно цикла D
ряда, высекаемого всеми сопровождающими кривыми порядка
т — 3, есть канонический ряд.
Доказательство. Размерность системы всех Фт_з (см.
III — 4.1) будет не меньше, чем
(m-3)m/2- 2(/Ч-1)/ч/2 = />-1.
Следовательно, хотя бы один сопровождающий многочлен такого
рода существует. Пусть некоторый Фт_з пересекает F по циклу
Q-\-D и пусть прямая L пересекает F по циклу А. Тогда
2,2Фт_з естъ сопровождающий многочлен порядка m — 1, пересе-
пересекающий F по циклу Q-\-D-\-2A. Обращаясь к положению, рас-
рассмотренному в п. 5.2, найдем, что f'v есть сопровождающий
многочлен порядка m—1 (для F), пересекающий F по циклу
/J + D. Отсюда следует, что J-\-D==Q + D + 2A и поэтому
\Q\=>\J-2A\=K.
214 Гл. VI. Линейные ряды
То обстоятельство, что многочлены Фт_з высекают полный ряд К,
следует из теоремы 6.3. .
В качестве следствия получаем:
Теорема 6.6. Размерность канонического ряда >/> — 1.
Исключительный случай р = 0 в теореме 6.5 может быть
устранен надлежащим ее истолкованием. Если р = 0, то кано-
канонический ряд пуст, так как дифференциалы поля высекают лишь
виртуальные циклы порядка — 2. Кроме того, в этом случае
нет ни одного многочлена Ф«1_з, так как порядок
28 = (m-l)(m — 2) = тп2 — Зт + 2
цикла D превосходит число точек пересечения кривой F с кри-
кривой порядка т — 3, равное т(т — 3). Поэтому теорему 6.5 можно
считать справедливой всегда, если учитывать, что в случае р = О
как ряд К, так и множество возможных Фт_з пусты. Очевидно,
что теорема 6.6 в случае р = 0 также верна.
Легко видеть, что канонический ряд может быть определен,
как вычет ряда, высекаемого сопровождающими кривыми по-
порядка т — 3, относительно цикла D. Основываясь на этом опре-
определении и пользуясь теоремами, которые доказываются ниже,
можно доказать бирациональную инвариантность этого ряда, а
следовательно, и связанного с ним рода кривой. Такое изложе-
изложение будет независимым от содержания § 5.
6.4. Специальные циклы. Число i независимых циклов ряда
К, содержащих данный эффективный цикл А, называется инде-
индексом специальности (или, короче, индексом) цикла А. Говоря
иными словами, i — 1 есть размерность ряда К — А. Цикл назы-
называется специальным, если индекс специальности больше нуля.
Если А^А', то К — А^К — А' и поэтому индекс А' равен ин-
индексу А. Следовательно, можно говорить об индексе линейного
ряда, понимая под этим индекс любого цикла, входящего в этот
ряд. В частности, индекс самого ряда К будет равен единице.
Удобно называть все сопровождающие кривые порядка т — 3
специальными сопровождающими кривыми. Каждый специальный
ряд может быть высечен специальными сопровождающими кри-
кривыми.
Основное свойство индекса выражено в следующей теореме,
называемой теоремой редукции:
Теорема 6.7. Для любого эффективного цикла А и любой
ветви Р имеет место хотя бы одно из равенств:
размерность \ А-\-Р| = размерности \А\,
индекс | А + Р | = индексу \А\.
Доказательство. Применяя, если это нужно, к кривой F
квадратичное преобразование, можно добиться, чтобы центр ветви
§ 6. Размерность полного ряда 215
Р стал неособой точкой F. Предположим, что индекс ряда
l-A + i^l не равен индексу \А\. Тогда найдется специальный со-
сопровождающий многочлен Ф, пересекающий кривую F по циклу
А-\-В -\- D, где Р$В. Пусть L — прямая, пересекающая F по
циклу Р-\-С, где С —сумма т — 1 ветвей с различными цен-
центрами (теорема III —2.6). Тогда многочлен ЬФ будет сопрово-
сопровождающим многочленом степени т — 2, пересекающим F по циклу
А + В-\- D-\-C-\-P, и поэтому |Л + Р| будет вычетом ряда, высе-
высекаемого всеми сопровождающими многочленами степени т —2,
относительно цикла В + С -f- D. Но цикл С состоит из т — 1
коллинеарных ветвей, и поэтому многочлен Фт-2, высекающий
цикл С, должен содержать L множителем. Отсюда следует, что
кривая Фт_2 проходит через центр ветви Р, т. е. ветвь Р
является общей ветвью всех циклов ряда |.4 + Р|. Поэтому ряд
| А | = | А -\- Р | — Р имеет ту же размерность, что ^и ряд | А + Р \.
6.5. Теорема Римана —Роха. Мы подготовили теперь все,
что необходимо для доказательства центральной теоремы, отно-
относящейся к линейным рядам. Сформулируем ее в виде двух
отдельных частей.
Теорема 6.8. (Теорема Римана). Если полный ряд gn неспе-
неспециален, то г = п — р.
Доказательство. Предположим, что г>и — р. Цриме-
ним индукцию по г. Если г = 0, то, по нашему предположению,
должно быть п < р — 1. Ввиду того, что размерность К~>р — 1 > п,
в К найдется цикл, содержащий цикл из gTn, и поэтому ряд gn
будет специальным. Предположим теперь, что теорема верна
для всех рядов размерности < г. Пусть Р — ветвь кривой F,
не являющаяся неподвижной ветвью ряда gn . Тогда ряд gn — Р=\А[
будет некоторым gnz\. Так как, по предположению, г>п — р,
мы будем иметь также г — 1 > и — 1 — р, следовательно, по пред-
предположению индукции, ряд | А | будет специальным. Но так как
размерность ряда | А + Р \ равна г, а размерность \А\ равна/-— 1,
то из теоремы 6.7 следует, что индекс |А + Р| равен индексу
|j4| и поэтому > 0, т. е. ряд gn =\A + P\ является специальным.
Скомбинировав эту теорему с теоремой 6.4, получим другое
возможное определение рода кривой. Действительно, полный
ряд gn, для которого п > 2/> — 2, будет неспециальным, и по-
поэтому г = п — р или р--=п — г. Но так как для любого полного
ряда grn, по теореме 6.4, будет р>п — г, то род р может быть
определен как наименьшее значение разности п — г для всех
полных рядов gn.
Теорема 6.9. (Теорема Римана — Роха.) Если i есть индекс
полного ряда gn, то r = n — p + i.
216 Гл. VI. Линейные ряды
Доказательство. Теорема 6.8 является частным случаем
этой теоремы при i = 0. Применим индукцию, предполагая, что
теорема^верна для рядов g?. индекса ? —1. Пусть А — один из
циклов ряда gn и Р — ветвь, не являющаяся неподвижной
ветвью рядаЛГ — А. Тогда индекс ряда |Л + Р| равен i— 1 и, по
теореме 6.7, ряд | А + Р | является некоторым gn+i- Следовательно,
/• = п +1 — P + i — 1 = n — p + i.
Приводимые ниже следствия теоремы 6.9 показывают ее
важность.
Теорема 6.10. К является единственным рядом на кри-
кривой F, имеющим размерность р — 1 и порядок 2р — 2.
Доказательство. Мы видели, что порядок К есть 1р — 2,
а его индекс равен единице. Следовательно, размерность
К — 2р — 2 — р + \ = р — \. Для любого ряда ^2р-2. полного или
нет, имеем р — 1<2jd — 2 — p + i, так что ?>1 и поэтому ряд
будет специальным. Поэтому этот ряд, имеющий тот же порядок,
что и К, должен содержаться в К. Но так как он имеет ту же
размерность, что и ряд К, должно быть #2р-2 — К.
Ввиду того, что род р является бирациональным инвариантом,
отсюда, независимо от результатов § 5, следует бирациональная
инвариантность канонического ряда К.
Теорема 6.11. Если ряд \A\ — gTn специален, то условие,
что цикл из К codepotcum А, равносильно п — г независимым
линейным условиям, налагаемым на циклы из К.
Доказательство. Так как в К содержится р незави-
независимых циклов и i из них содержат А, то число независимых
условий, налагаемых указанным требованием, будет/) — i — n — r.
Следующая теорема является, в известном смысле, обраще-
обращением теоремы редукции:
Теорема 6.12. Для любого эффективного цикла А и любой
ветви Р имеет место не более уем одно из равенств:
размерность \ А + Р\ — размерности | А\,
индекс | А + Р\ = индексу \А\.
Доказательство. Пусть \А\ — некоторый рядgTn индекса i
и \А + Р\ — ряд gn+i индекса V. Тогда
г — п — р+ i, r' = n+l — p + i'.
Эти равенства не могут иметь место одновременно, если г = г'
и i — i'.
Теорема 6.13. (Теорема взаимности Бри л ля и Нётера.)
Если ряды gTn и g*n- являются вычетами канонического ряда друг
относительно друга (т. е. если |gTn + gTn>\ = К), то п — 2г — п'~ 2г'.
§ 7. Классификация кривых 217
Доказательство. Имеем i = r'-\-i, t'=r + l. Следова-
Следовательно, r = « — p-\-i=n — p-\-r'-\-i и подобным же обравом
г' = п'~ р-\-г-\-\. Требуемый результат получается вычитанием
второго из этих равенств из первого.
Теорема 6.14. (Теорема Клиффорда.) Для специального
ряда gn всегда п > 2г.
Доказательство. Можно предполагать, что ряд gn — пол-
полный, ибо любой ряд содержится в некотором полном. Пусть
g?=|.4] и \А-\-В'\=К. Обозначим через i и V индексы \А\
и \В\. Так как i независимых циклов ряда К содержат цикл А,
но только один из них содержит цикл А-\-В, то цикл В должен
налагать на содержащие его циклы из К i — 1 независимых
линейных условий. Иначе говоря, p — i'^-i — 1. Подставляя
в это неравенство значения i — г — п-(-р i i'-r-fl, получим
требуемый результат.
Теорема 6.15. Канонический ряд не имеет неподвижных
ветвей.
Доказательство. Предположим, что Р — неподвижная
ветвь К и А + Р — цикл из К. Тогда 1141 = g2p-L вопреки тео-
теореме 6.14.
6.6. Упражнения. 1. Для нормальной кривой порядка п
в пространстве размерности г род р равен п—г.
2. Условия, налагаемые на кривые порядка >тп — 3 требо-
требованием, чтобы они были сопровождающими кривыми для кри-
кривой порядка т, являются независимыми.
§ 7. КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ
7.1. Составной канонический ряд. Обратимся теперь к изу-
изучению кривых с бирациональной точки зрения. Мы раскласси-
расклассифицируем кривые по свойствам их канонического ряда, найдем
нормальные формы и рассмотрим некоторые свойства кривых
каждого класса.
Полезно следующее вспомогательное предложение:
Теорема 7.1. Если на кривой существует ряд g\, то
каждый специальный ряд без неподвижных ветвей составлен из
этого g\. Обратно, если ряд К составной, то на кривой суще-
существует ряд g\.
Доказательство. Нужно лишь рассмотреть случай,
когда р > 2. При этом ряд g\ является полным и специальным,
следовательно, его циклы налагают на специальные сопровож-
сопровождающие кривые, их содержащие точно 2 — 1 = 1 условие (тео-
(теорема 6.11). Другими словами, каждый специальный цикл,-содер-
цикл,-содержащий ветвь Р, будет необходимо содержать некоторую другую
218 Гл. VI. Линейные ряды
ветвь Р', для которой P-\-P'?gl. Этим доказана первая часть
теоремы. Наоборот, если ряд К — составной, то каждый специ-
специальный цикл, содержащий Р, должен содержать некоторую
другую ветвь Р', но это означает, что цикл Р-\-Р' наклады-
накладывает лить одно условие на содержащие его сопровождающие
кривые, т. е. что, как и выше, |Р-}-Р'| есть некоторый ряд g\.
7.2. Классификация. Рассмотрим сначала случай р = 0.
В этом случае ряд К пуст и поэтому каждый цикл будет не-
неспециальным. Следовательно, для любого полного ряда будет г = п.
Обратно, если на кривой существует ряд gZ при некотором п > 0,
то индекс этого ряда равен р. Но для рядов положительного
порядка это возможно лишь в случае р = 0.
В силу теоремы III — 3.2 (или упражнения 4 п. 2.4), каждая
кривая рода нуль рациональна. Обратно, любая рациональная
кривая бирационально эквивалентна прямой и поэтому имеет
род нуль. Таким образом, оказываются эквивалентными следую-
следующие три свойства: рациональность, равенство рода нулю и суще-
существование ряда gn при п > 0.
Пусть теперь р — \. В таком случае К будет рядом go, так
что каждый цикл положительного порядка не будет специаль-
специальным. Такие кривые называются эллиптическими1). Их наиболее
важное свойство дает
Теорема 7.2. Эллиптическая кривая С несет на себе
бесконечное множество неэквивалентных рядов g\.. Эти ряды
могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие
с ветвями кривой С.
Доказательство. Пусть Р — фиксированная ветвь кри-
кривой С. Если (? — любая ветвь С, то ряд |Р + (?| будет некото-
некоторым g\. Если Q=t=Q', то \P + Q\ Ф \P-\-Q' |, ибо эквивалент-
эквивалентность Q=:Q' влекла бы за собой существование g\, а это невоз-
невозможно. Так как любой ряд g\, должен включать в себя цикл,
содержащий Р, то множество рядов g\, получаемых при всевоз-
всевозможном выборе Q, будет исчерпывающим. Этим теорема дока-
доказана.
Кривые, для которых р > 1, подразделяются на два типа.
Те из них, которые имеют составной канонический ряд, назы-
называются гиперэллиптическими. Р1з теоремы 7.1 мы видим, что
каждая гиперэллиптическая кривая содержит однозначно опре-
определенный ряд g\, из которого составлен канонический ряд кри-
кривой. Негиперэллиптическая кривая не несет на себе ни одного g\.
J) Неудачный термин, так как эллипс не является эллиптической
кривой. Эллиптические кривые получили свое название из-за их связи
с эллиптическими функциями.
§ 7. Классификация кривых 219
7.3. Канонические формы. Мы уже неоднократно пользова-
пользовались тем обстоятельством, что каждая неприводимая кривая
бирационально эквивалентна некоторой кривой специального
типа, например, плоской кривой с обыкновенными особенностями.
Следующая теорема дает более точные сведения этого рода.
Теорема 7.3. 1) Кривая рода нуль бирационально экви-
эквивалентна прямой.
2) Эллиптическая кривая бирационально эквивалентна плос-
плоской кривой третьего порядка без особенностей.
3) Гиперэллиптическая кривая рода р бирационально экви-
эквивалентна кривой порядка р-\-2, имеющей единственную особую
точку кратности р.
4) Негинерэллиптическая кривая рода р> 2 бирационально
эквивалентна нормальной неособенной кривой порядка 2р — 2
в пространстве Sp-i, определенной однозначно с точностью до
проективных преобразований.
Доказательство. Утверждение 1 уже было доказано.
2) Полный ряд g3 на эллиптической кривой имеет размер-
яость 2 и является простым, так как его порядок прост. Соот-
Соответствующее этому ряду рациональное преобразование является
поэтому бирациональным и обращает кривую в плоскую кривую
третьего порядка. Но плоская кривая третьего порядка и рода 1
необходимо является неособенной.
3) Пусть А — цикл порядка р + 2, никакие две ветви которо-
которого не образуют цикла ряда g2. Тогда цикл А неспециален
и поэтому |А | = gp+2- Предположим, что этот g*,2 составной.
Тогда, если Р — одна из ветвей цикла А, ряд \А — Р\ будет
иметь неподвижный цикл положительного порядка Q. Отсюда
следует, что ряд \А — Р — Q] будет некоторым g*, где &</>.
Такой g* необходимо специален, а значит, в силу теоремы 7.1,
цикл А — P — Q, а вместе с ним и А, должен содержать неко-
некоторый цикл ряда g2. Это противоречит предположению. Следо-
Следовательно, ряд gp,2 ПР°СТ- Таким же образом можно доказать,
что g2 2 не имеет неподвижных ветвей. Отсюда следует, что со-
соответствующее этому ряду бирациональное преобразование пере-
переводит нашу кривую в плоскую кривую F порядка р-\-2. Эта
кривая необходимо имеет особенности, так как при /?>2 будет
р < (р +1) р/2. Рассмотрим ряд gp+2-n высекаемый на этой
кривой прямыми, проходящими через ее точку а кратности г > 1.
Полученный ряд будет полным, так как он является вычетом
ряда g2, 2 относительно цикла ^п^Рц, где РЛ— ветви порядков
пЛ с центром в точке а. Кроме того, ряд gp+2-r будет специаль-
специальным и не содержащим неподвижных ветвей, а значит составлен-
составленным из g\. Поэтому индекс gp+2-r будет равен р — (р -{- 2 — г)/2
220 Гл. VI. Линейные ряды
(каждый цикл ряда g\ налагает одно условие на содержащие
его циклы из К, и эти условия будут независимыми для любой
системы, содержащей не более р циклов из g\). Отсюда следует,
что \ — р-\-2 — г— р + р — (j0-f-2 — г)/2, т. е. что г —р. Наконец,
р = {р-\-\)р/2— р(р—1)/2, и поэтому не может быть особен-
особенностей ни в окрестности точки а (теорема III —7.5), ни отлич-
отличных от а.
4) Так как ряд К — g|~i2 — полный и простой и поэтому не
содержит неподвижных ветвей, то он определяет бирациональное
преобразование данной кривой в нормальную кривую С порядка
2р — 2 в пространстве Sp-i. Чтобы доказать отсутствие у кривой С
особых точек, нужно лишь доказать, что ряд \К-^-Р\ не имеет
неподвижных ветвей при любом выборе Р. Если бы ряд \К — Р
имел неподвижную ветвь Q, то рассуждения, примененные
в доказательстве теоремы 7.1, показали бы,, что l^ + ^^gi»
следовательно, кривая была бы гиперэллиптической. Так как
ряд К является единственным рядом g|ri2» T0 кРивая С одно-
однозначно определена с точностью до проективных преобразований.
Кривая С называется канонической кривой.
Следующая теорема дополняет части 3 и 4 предыдущей
теоремы.
Теорема 7.4. Существуют как гиперэллиптические, так
и негиперэллиптические кривые любого рода jd > 3. Существуют
кривые рода 2, необходимо являющиеся гиперэллиптическими.
Доказательство. Для случая гиперэллиптических кри-
кривых нужно лишь доказать существование плоских кривых по-
порядка /> + 2, имеющих одну обыкновенную /мкратнуго особую
точку. Такой кривой будет кривая / (х) y* + g (х) = 0, где / и g —
многочлены соответственно степеней р ш р-\-2, такие, что все
корни произведения fg различны. В случае негиперэллиптиче-
ских кривых мы рассмотрим две возможности. Если р — нечетное,
р = 2к + 1 > 3, то кривая /г/3 — g = 0, где многочлены / и g
имеют степени к и А + 3, а произведение fg не имеет кратных
корней, будет обладать единственной А-кратной точкой (а) и ее
род будет равен р. (Если А=1, то кривая будет неособенной
кривой четвертого порядка.) Специальными сопровождающими
кривыми этой кривой будут кривые порядка к, имеющие (к— 1)-
кратную точку в точке а. Среди таких кривых содержатся кри-
кривые, распадающиеся на к—1 прямых, проходящих через а,
и еще одну прямую. Описанную составную кривую, очевидно,
можно выбрать так, чтобы она проходила через данную точку р
и не проходила через другую точку р'. Отсюда следует, что
ряд К не будет составным. Если р — четно, р = 2к, то кривая
}у3 — g = 0 порядка А + 3, для которой g имеет двукратный
корень, а остальные корни произведения fg различны, будет
§ 8. Полюсы рациональных функций 221
иметь одну А-кратную точку и одну двойную точку. Поэтому ее
род будет равен р. Предыдущие рассуждения могут быть при-
применены снова и показывают, что кривая не будет гиперэллип-
гиперэллиптической.
7.4. Упражнения. 1. Если две неособенные кривые четверто-
четвертого порядка бирационально эквивалентны, то они и проективно
эквивалентны.
2. Кривая, несущая на себе полный ряд gJJ, n>3, являет-
является эллиптической.
3. Каждый ряд #2 на эллиптической кривой третьего поряд-
порядка высекается пучком прямых с центром на кривой.
4. Если в теореме Клиффорда имеет место равенство, то
либо ряд grn является каноническим, либо кривая--гиперэллип-
кривая--гиперэллиптической.
5. Каждый цикл специального ряда grn на канонической
кривой лежит на некотором «Sn_r_i-
6. Гиперэллиптическая кривая рода р бирационально экви-
эквивалентна кривой у2 -h (х), где h (х) — многочлен степени 2р-\-2
с различными корнями.
§ 8. ПОЛЮСЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
В построениях § 2 показана тесная взаимосвязь между ли-
линейными рядами и рациональными функциями. Действительно,
свойства линейных рядов могут быть определены и непосред-
непосредственно доказаны как свойства рациональных функций. И наобо-
наоборот, теоремы относительно линейных рядов можно истолковать
так, что они дадут нам сведения о рациональных функциях.
Мы рассмотрим одну особенно важную теорему, которую легко
доказать этим путем.
Если ср — рациональная функция, пересекающая кривую по
циклу А— В, где An i? — эффективные циклы, не содержащие
общих ветвей, то цикл А называется системой нулей функции <р,
а В—системой ее полюсов. Сосредоточим наше внимание на
системе полюсов.
Очевидно, что каждая рациональная "функция, кроме нуля,
имеет некоторую систему полюсов. Однако не каждый цикл
может быть системой полюсов рациональной функции. Следую-
Следующая теорема дает нам относящиеся сюда сведения.
Теорема 8.1. Эффективный цикл А является системой
полюсов некоторой рациональной функции в том и только в том
случае, когда ряд \А\ не имеет неподвижных ветвей.
Доказательство. Если А есть система полюсов рацио-
рациональной функции ср, то ср пересекает кривую по циклу В — А,
где цикл В — система нулей функции ср — является эффективным
222 ГЛ. VI. .Лтейные ряды
и не имеет общих ветвей с А. Ввиду того; что 5=Л, ряд \А\
будет содержать как А, так и В. Отсюда видно, что он н& имеет
неподвижных ветвей. Обратно, пусть ряд | .4 | не имеет неподвиж-^
ных ветвей. Покажем, что в таком случае существует цикл В,
эквивалентный А и не имеющий с А общих ветвей. Пусть
А — %пл Ра.- По предположению, в | А | найдется цикл А*, не со-
содержащий Ра. Если кривые Ga высекают циклы Ал, то кривая
G' = 2]AaGa будет высекать цикл В, содержащий один из Ра,
лишь в том случае, если коэффициенты удовлетворяют опреде-
определенному линейному соотношению. Выбрав X так, чтобы ни одно
из этих соотношений не было выполнено, получим цикл В
с требуемыми свойствами. Теперь можно обратить рассуждения
первой части доказательства.
В качестве следствия имеем
Теорему 8.2. Класс рациональных кривых исчерпывает все
кривые, на которых каждый эффективный цикл есть система
полюсов рациональной функции. В частности, только в случае
рациональных кривых единственная ветвь может бытъ.систе-
мой полюсов.
Следующая теорема представляет собой приложение теорем
6.12 и 8.1.
Теорема 8.3. Пусть An = Рг +... +Pn — неспециальный
цикл, в котором ветви Pi не обязательно различны. Обозначим
Ао = 0, Ап = Рг + ... + Рп- В таком случае существует h~>p
значений п, при которых Ап не будет системой полюсов рацио-
рациональной функции. Циклы Pi можно перенумеровать так, что
будет ft — /».
Доказательство. Пусть in есть индекс ряда \Ап\.
Тогда io — p, ijy = 0. В силу теорем 6.7 и 6.12, мы будем иметь
in = in-b если размерность | An-i | < размерности |Л„|,
in¦= in-i — 1, если размерность | An-i | = размерности \Ап\.
Следовательно, существует точно р значений п, при которых
размерность |.4n_i| равна размерности \Ап\, т. е. при ко-
которых ветвь Рп будет неподвижной ветвью ряда \Ап\.
Из теоремы 8.1 следует поэтому, что к^>р. Для доказатель-
доказательства второй части теоремы мы просто перенумеруем Р{ следу-
следующим образом: пусть «i — наибольшее значение п, при котором
ряд |Лп| имеет неподвижные ветви. Изменим нумерацию ветвей,
входящих в АП1 так, чтобы ветвь РП1 была неподвижной. При-
Применяя новую нумерацию, возьмем наибольшее значение щ числа
. п, меньшее пг и такое, что ряд \ Апг \ имеет неподвижную ветвь.
Изменим нумерацию так, чтобы этой неподвижной ветвью была
Рпг. Продолжая этот процесс, мы в конце концов получаем
расположение ветвей Р, обладающее тем свойством, что если
ряд |Л„| имеет неподвижную ветвь, то таковой является Рп-
§ 9. Геометрия на неособенной кривой третьего порядка 223"
Из рассуждений, приведенных выше, следует теперь, что к = р.
Следующий частный случай теоремы 8.3 известен под именем'
теоремы Вейерпгграсса о пробелах.
Теорема 8.4. Для любой заданной ветви Р существует
точно р значений п, при которых цикл пР не будет системой
полюсов рациональной функции. Все эти значения < 2р — 2.
§ 9. ГЕОМЕТРИЯ НА НЕОСОБЕННОЙ КРИВОЙ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
9.1. Сложение точек на кривой третьего порядка. Пусть F =
неособенная плоская кривая третьего порядка. F имеет
класс 6, род 1 и имбет девять точек перегиба. Каноническим'
рядом К будет ряд gl, а каждый полный ряд будет рядом вида
g^~i. В частности, существует некоторый ряд g\ и не существует
рядов g\. Ввиду того", что каждая точка кривой является цент-
центром точно одной ветви, слова «точка» и «ветвь» можно упо-
употреблять более или менее равноправным образом.
Для того, чтобы упростить наше рассмотрение, определим
операцию сложения, выполняемую над точками кривой F.
Пусть О—трчка перегиба кривой F. Если А и В—точки F, то
прямая АВ ффсательная к F в точке А, если будет В — А)
пересекает кривую F еще в одной гоше Сх. Пусть прямая СгО'
пересекает F еще в третьей точке С. Положим, по опредедевию,
что А-\-В = С. Определение сложения упростится, если «№выра-
«№выразить с помощью эквивалентности циклов. Имеем .A-J-.J?-j~Ci =
== С + О + С х- Следовательно, С = А + В — О. Эта эквивалентность
определяет точку С однозначно, так как если бы быля^' щв А +
-\-В — О, то было бы С' = С, т. е. С — С, так как в щ&гавном
случае кривая содержала бы ряд g\. '?
Теорема 9.1. Точки кривой F образуют коммутаптвщш
группу относительно сложения. Нулевым элементом этой г руту*,
является точка О. , •
Доказательство. Из определения вытекает непосред-'
ственно равносильность равенств А-\-В = С и В-\-А = С. Для
доказательства ассоциативного закона положим А-\-В — X,
X-\-C = Z, B-\-C = Y, A-\-Y~Z'. Эти равенства эквивалентны
соотношениям
Х — А + В-О, Z =
Следовательно, Z=aZ', а поэтому, как и выше, будет Z = Z'.
Другими словами, (А-\-В) + С—та же самая точка, что и
А + (В + С). Если А + О = В, то В = А + О — О и поэтому В = Л,
т. е. О является пулевым элементом. Наконец, если А' есть
третья точка пересечения прямой АО с кривой F, то можно
224 Гл. VI. Линейные ряды
непосредственно проверить, что А + А' = О, т. е. А' будет про-1
тивоположным элементом для А, Мы будем писать, как обычно,
А'=-А.
Суммы любого числа элементов также однозначно определены.
При этом равенство С — Аг + А2 + ... + Дг равносильно соотно-
соотношению Ai + А2 + .. . + Ап == С + (п — 1) О.
Теорема 9.2. Цикл А1 + ¦ ¦ • + Азп будет пересечением кри~
вой F с кривой порядка п тогда и только тогда, когда сум-
сумма At+. . .+А3п = О.
Доказательство. Сумма Ai~\-... + Азп равна О тогда
и только тогда, когда Аг + • • • + -4зп = ЪпО. Но ЪпО есть пере-
пересечение F с крЛой порядка п (нужно взять п-ю степень каса-
касательной в точке О). Ввиду того, что система всех кривых порядка п
пересекает F по полному ряду, требуемое заключение следует
отсюда непосредственно.
9.2. Касательные. Так как кривая F имеет класс 6 и так
как касательная к F в точке О должна считаться за три каса-
касательных, то должны существовать еще три касательные, прохо-
проходящие через точку О. Эти касательные, очевидно, различны
в поэтому касаются F в трех различных точках Ог, О2, О3. Из
теоремы 9.2 следует, что 10\ — О или Ог= —Ог, Точки Ot и О
исчерпывают все точки, обладающие этим свойством. Но точка
О' =^Oi-\-O2 также имеет указанное свойство. Поэтому должно
быть О1-\-О^ = Ог, так как О1-!ГО2 Ф О. Иначе говоря, Ох + О2-\-
¦\-Оъ — О. Таким образом, три точки Оъ О2 и О3 коллинеарны.
Если А—любая точка кривой F, то .через нее проходят
четыре различные касательные к F, отличные от касательной
в самой-точке А. (Если А есть точка перегиба, то касательная
в А должна считаться также одной из указанных четырех каса-
касательных.) Пусть точками касания этих касательных будут точки
4о, Аъ А2, А3, Тогда 2ЛХ= —А, причем точки Ai исчерпывают
все точки, обладающие этим свойством. Однако точки A0-\-Oi,
г = 1, 2, 3, также имеют это свойство. Поэтому при дадлежащей
нумерации точек должно быть Ai = A0-\-O{, г' = 1, 2, 3. В таком
случае
А0 + А1 + А2 + А3 = Ы0 + О1 + О2 + О3= -2А
или
А0 + Аг + А2 + А3-2А = 0. .
Следовательно, мы получаем следующую
Теорему 9.3. Точки касания четырех касательных к кри-
кривей F, проведенных из точки А этой кривой, лежат на кривой
второго, порядка, касающейся F в точке А (рис. 23).
Другие свойства, точек Ai непосредственно вытекают из их
связи с точками Oj. Мы имеем, например,
§ 9. Геометрия на неособенной кривой третьего порядка 225
Теорему 9.4. Прямые^АгAj и А^А\, где все числа i, /, k, I
различны, пересекаются на кривой F.
Доказательство.
A0 + Al = 2A0 + O1, А2 + A3 = 24, + 01 + 0, = 2Wo + 01.
Следовательно, прямые А0А1 и А2А3 пересекаются в точке
— BА0 + Ог) = А + Oj (рис. 23). Подобным же образом прямые
.40.4i и AjAh пересекаются в точке А-\-О{.
Р и с. 23.
Точки перегиба кривой F являются решениями уравнения
ZX — O. Если А и В—решения этого уравнения, то — (А-}-В)
также будет его решением. Отсюда мы снова получаем известную
теорему о том, что прямая, соединяющая две точки перегиба,
проходит также через третью такую точку. Пусть U—решение
этого уравнения, отличное от О, а V—решение, отличное от О,
U и —U. Тогда все девять решений даются таблицей
о, и, -и,
V, ' V + U, V-U,
-V, -V + U, -V-U.
Шестеричные точки кривой F являются центрами ветвей,
в которых неособенная кривая второго порядка может иметь с F
шестикратное пересечение. Поэтому они будут решениями уравг
нения 6F —0. Но если X удовлетворяет уравнению ЗХ — О, то
точка Y, определяемая равенством 2F== — X, будет решением
уравнения 6Г = 0. Отсюда следует, что шестеричные точки яв-
являются точками касания касательных, проведенных из точек
перегиба кривой F. Поэтому таких точек будет 27.
15 р. Уокер
226
Гл. VI. Линейные ряды
9.3. Двойное отношение. Система четырех касательных, про-
проведенных из одной точки кривой F, имеет важное, свойство,
могущее служить характеристическим для F. Для обнаружения
этого свойства рассмотрим сначала пучки прямых с центрами
в двух точках А и В кривой F (рис. 24). Пусть С—одна из
четырех точек, определяемых уравнением 2С — А-\-В, и пусть
для любой точки Ai соответствующая ей точка Вг определяется
Р тя с. 24.
равенством В{=—Ai — С. Тогда, если прямая а, проходящая
через А, пересекает F по циклу Аг-\-А2, то мы будем иметь
AAAO. В таком случае
Отсюда следует, что цикл Bi + B2 лежит на прямой Ъ, прохо-
проходящей через В. Иными словами, мы получили взаимно одно-
однозначное соответствие между прямыми, проходящими через точку А,
и прямыми, проходящими через В. Ввиду того, что равенства
Ах = А2 жВ1 = Вг, очевидно, равносильны, касательной в точке А
будет соответствовать касательная в В. Покажем, что найденное
взаимно однозначное соответствие будет проективным. Пусть
соответствующие прямые а' и Ъ', проходящие через А и В, пересе-
пересекают кривую F соответственно по циклам^-t-^+^lj и В-\-В[+В2.
Обозначим прямые САгВъ СА2В2, СА[В[, СА'2В'г через сх, с3,
с[, с'2. Тогда линии аЪс[с'2 и a'b'cfa будут линиями четвертого
§ 9. Геометрия на неособенной кривой третьего порядка 227
порядка, пересекающими F по одному и тому же циклу.
Отсюда, в силу теоремы 1.1, следует, что найдется линейная
комбинация этих линий четвертого порядка, содержащая кривую F
своей, компонентой. Но так как каждая из этих кривых чет-
четвертого порядка имеет точку С двойной точкой и содержит точки X
и X' пересечения пар прямых а, Ь' и а', Ь, то и линейная ком-
комбинация должна также обладать этими свойствами. Это озна-
означает, что точки X, X' и С лежат на одной прямой и поэтому
пучки прямых с центрами А и В проективны. При этом точка С
является центром гомологии.
Отсюда вытекает следующий важный результат:
Теорема 9.5. Четыре касательных, проведенных к неособен-
неособенной кривой третьего порядка из любой точки этой кривой,
имеют двойное отношение (точнее, систему шести двойных отно-
отношений), независимое от выбора точки.
Таким образом, это двойное отношение связано с самой кри-
кривой. Его значение указывается следующей теоремой.
Теорема 9.6. (Теорема Сальмона.) Две неособенных кривых
третьего порядка имеют одно и то же двойное отношение
в том и только в том случае, если они бирационалъно экви-
эквивалентны.
Доказательство. Чтобы усмотреть бирациональную ин-
инвариантность указанного двойного отношения, рассмотрим ряд gl
высекаемых пучком прямых, проходящих через точку А данной
кривой третьего порядка. Между прямыми пучка и циклами
ряда g\ существует проективное соответствие, причем касатель-
касательным, проведенным из А, соответствуют двойные точки ряда g\,
т. е. циклы вида 2Р. Отсюда следует, что указанное двойное
отношение для данной кривой является двойным отношением
четырех двойных точек любого ряда g\, а потому будет бирацио-
нальным инвариантом. Чтобы доказать достаточность этого
условия для бирациональной эквивалентности кривых, исполь-
используем тот факт, что любая неособенная кривая третьего порядка
при надлежащем выборе координат приводится к виду y2 = f(x)
(теорема III—6.1). В этом случае бесконечно удаленная точка
оси у есть точка перегиба и четыре касательных, проведенных
из этой точки, являются бесконечно удаленной прямой и прямыми
х — пх, где а1( а2, а3—корни уравнения f(x) = O. Отсюда следует,
что двойное отношение для данной кривой третьего порядка
равно двойному отношению точек (оо, а^ а2, а3). Но если для.
кривой y2 = g(x), которой соответствуют корни Ьг, b2, Ь3 много-
многочлена g(x), двойное отношение имеет то же значение, то точки
оо, hlt b2, b3 могут быть переведены в точки оо, аъ аг, а3 про-
проективным преобразованием. При этом уравнения кривых совпа-
совпадают, т. е. первоначальные кривые оказываются проективно,
а следовательно, и бирационально эквивалентными.
15*
228 Гл. VI. Линейные ряды
Ввиду того, что каждая эллиптическая кривая бирационально
эквивалентна некоторой плоской кривой третьего порядка, двой-
двойное отношение оказывается определенным также для любой Эл-
Эллиптической кривой и может служить средством разделения
таких кривых на классы бирацИонально эквивалентных кривых.
9.4. Преобразования в себя. С любой точкой А нашей кри-
кривой F можно связать преобразование ТА, переводящее любую
точку Р в точку А + Р. Это преобразование будет рациональным,
так как алгебраическим средством перехода от Р к А-\-Р яв-
является определение третьего корня кубичного уравнения, два и»
корней которого известны, а это рациональная операция. Ввиду
того, что обратное преобразование Т-А также рационально, пре-
преобразования вида ТА будут бирациональными преобразованиями
кривой F в себя. Совокупность таких преобразований, очевидно,
образует коммутативную группу, ибо
ТвТа, {ТаТв) Тс — ТА+в+с = ТА(ТВ Тф,
Подобным же образом можно убедиться, что преобразова-
преобразование Sa, переводящее каждую точку Р в точку А — Р, также
будет бирациональным. Такие преобразования не образуют
группы. Однако совокупность этих преобразований вместе с пре-
преобразованиями Та будет группой, ибо имеют место соотношения
Sa Sb — Та-Ву Sa Тв "= Sa-b, Та Sb — Sa+b>
позволяющие легко проверить групповые свойства. Эта группа
не будет коммутативной, так как SaTb Ф TbSa, если только
В не совпадает с О или Oi.
Преобразования Sa допускают весьма простое геометрическое
истолкование. Действительно, если положить Р' — А — Р, то
будет Р' + Р — А — О, а поэтому Р'-\-Р будет циклом ряда g\,
высекаемого прямыми, проходящими через точку —А. Преобра-
Преобразование Sa состоит в простой перестановке точек каждого цикла
ряда gi
Покажем теперь, что для любых неособенных кривых тре-
третьего порядка, не принадлежащих двум исключительным классам
бирационально эквивалентных кривых, все бирациональные пре-
преобразования в себя исчерпываются преобразованиями Та и Sa-
Докажем прежде всего подобную теорему для рациональных
кривых.
Теорема 9.7. Любое бирационалъное преобразование рацио-
рациональной кривой в себя определяется дробно линейным преобра-
преобразованием образующего элемента поля 2_
Доказательство. Если 2j=j^00> то ЛН)бое рациональ-
рациональное преобразование ставит в соответствие элементу X некоторый
^ § 9. Геометрия на неособенной кривой третьего порядка 229
элемент (* = <р (X) поля 2 • Если преобразование является бирацио-
бирациональным, то должно быть также Х = ф((л). Пусть
447 ьо+ь1к+...+ьАг
—выражение ср (X), соответствующее наименьшему возможному
значению п Тогда уравнение
(а0- Ьор) + (а1- blV.)l+ ... +(ar-brp)\'=--0
неприводимо и поэтому X имеет степень г над полем К (ja).
Но Х?,йГ((а), следовательно, г—1. Этим теорема доказана.
Частным случаем доказанной теоремы является теорема о том,
что каждое бирациональное преобразование прямой в себя будет
проективным преобразованием.
, Вернемся теперь к нашей кривой F третьего порядка. Пусть ,
Т — любое бирациональное преобразование F в себя. Рассмотрим
сначала случай, когда Т оставляет неподвижной точку О. Пусть
ряд g\ высекается прямыми, проходящими через точку О. Тогда
О будет двойной точкой этого ряда. Но преобразование Т, будучи
бирациональным, должно переводить g\ в некоторый g?. Поэтому
двойная точка О должна перейти в двойную точку ряда g^1. Двой-
Двойные точки различных рядов g\ должны быть различными, так
как они являются точками касания касательных, проведенных
из различных точек кривой F. Отсюда следует, что §'%¦=¦ g\, т. е.
что Т переводит циклы ряда g\ в циклы того же ряда.
Пусть теперь L —прямая, не проходящая через О, и X —коор-
—координата точки Рх этой прямой. Прямая РХО высекает цикл С
ряда g\. Образ цикла С при преобразовании Т будет циклом С"
того же ряда g\, причем С будет лежать на прямой, проходя-
проходящей через О и пересекающей L в некоторой точке Р^. Тем самым
определено некоторое однозначное преобразование X —> р на пря-
прямой L. Это преобразование будет алгебраическим (см. V—6.4),
так как переход от точек цикла С к Рх будет рациональным
преобразованием Т', а переход от точек С к Р^ будет рацио-
рациональным преобразованием ТТ. Отсюда, в силу теоремы V—6.5,
следует, что преобразование X —> \х рационально. Но так как
наши рассуждения применимы и к обратному преобразованию,
то преобразование X —^ ц, будет бирациональным, следовательно,
в силу теоремы 9.7, проективным. Это проективное преобразова-
преобразование ж имеет неподвижную точку Q, являющуюся образом О при
преобразовании 7". Точки Qlt Q2, Q3, служащие образами осталь-
остальных двойных точек Оъ О2, О3 ряда g\ при преобразовании Т',
должны при нреобразовании ж меняться местами друг с другом.
Но если преобразование и переводит (?i в Qv, то двойные отно-
отношения (Q, Q^, Qz, Q3) и (Q, (?i.; Q2<, Qa) должны быть равны
друг другу. Поэтому возможны следующие случаи:
230 Гл. VI. Линейные ряды
1) Шесть двойных отношений, которые можно образовать для
указанных четырех точек, будут различными. Тогда равенство
((?> (?ъ (?2> <?з) = ((?> Qv\ (?2-> (?зО влечет за собой равенства
Qi = Qi-, и поэтому преобразование it должно быть тождествен-
тождественным. Отсюда следует, что преобразование Т переводит каждый
цикл ряда g\ в себя. Тогда для любого из этих циклов преобра-
преобразование Т может либо менять местами две точки цикла, либо
оставляет их обе неподвижными. Если для одного из таких
циклов (конечно, не содержащею двойной точки) преобразова-
преобразование Т будет оставлять обе точки неподвижными, то такие непо-
неподвижные точки будут определять другой ряд g'\ с теми же свой-
свойствами, что и g\. Но это, очевидно, возможно лишь в случае,
когда каждая точка кривой F остается неподвижной при преобра-
преобразовании Т, т. е. когда Т является тождественным преобразо-
преобразованием T'q- Отсюда следует, что если Т Ф То, то оно должно.
менять местами точки каждого цикла ряда g\. В этом случае
будет T = S0.
2) Существуют только три различных двойных отношения,
равные —1, 2 и 1/2. В таком случае кривая третьего порядка
называется гармонической. Тогда (Q, ^; Q2, Qs) = ((?> Qi\ Qz, <?г)>
причем в этом равенстве указана единственная возможная пере-
перестановка точек (?4. Следующий пример показывает, что такого
рода преобразование может существовать: возьмем кривую
уг-=х(х2 — \), а в качестве точки О выберем бесконечно удален-
удаленную точку оси у. Тогда преобразование х' = — х, y' = iy, в кото-
котором i удовлетворяет соотношению i'2+l=0, будет требуемым.
Назовем преобразование рассматриваемого типа преобразова-
преобразованием U. Непосредственно видно, что U'1 = So- Но если Т — любое
преобразование, переставляющее точки Q2 и Q3, то преобразова-
преобразование UT будет оставлять их неподвижными. Поэтому UT равно
либо То, либо So. Это означает, что Т либо равно So Ц_, либо U.
3) Существуют лишь два различных значения двойного отно-
отношения — ев, — ев2, где «> удовлетворяет уравнению о>2 -f- со + 1 = 0.
В таком случае кривая называется эквигармонической. Точки
(?i> $2. (?з можно переставлять, циклически. Беря уравнение
кривой в виде г/2 = ж3— 1, находим преобразование V, определяе-
определяемое равенствами х' = wx, у'=у. Оно дает циклическую переста-
перестановку точек Qv Q2, Q3 и удовлетворяет соотношениям Vz=To
и So V — VSq. Рассуждая так же, как в случае 2, мы видим,
что любое преобразование Т, дающее циклическую перестановку
точек Q, должно иметь один из следующих видов: V, F2, SoV,
SV*
Пусть теперь Т — совершенно произвольное бирациональное
преобразование кривой F в себя. Пусть Т переводит точку О
в А. Тогда преобразование S^T лмеет О своей неподвижной
точкой, т. е. является одним из преобразований,, найденных
§ 9. Геометрия на неособенной кривой третьего порядка 231
выше. Это позволяет сформулировать полученные результаты
в виде
Теоремы 9.8. 1) В случае, если эллиптическая кривая не
является ни гармонической, ни эквигармонической, ее бирацио-
нйлъные преобразования в себя образуют группу G с элемен-
элементами Sa и Та-
2) Бирациональные преобразования гармонической эллиптиче-
эллиптической кривой в себя имеют вид Т или TU, где 7—элемент из G,
a U* = S0.
3) Бирациональные преобразования эквигармонической эллип-
эллиптической кривой в себя имеют вид Т, TV, TV2, где Т — эле-
элемент G, a VZ=TO.
Дальнейшее изучение преобразований в случаях B) и C),
в частности, выяснение геометрических свойств преобразований,
мы оставляем читателю.
9.5. Упражнения. 1. Трижды касательной кривой второго
порядка к кривой F называется кривая второго порядка, высе-
высекающая на F цикл вида 2А-\-2В-\-2С. Показать, что любые
две точки кривой F могут быть точками касания такой кривой
второго порядка, и найти способ построения четырех возможных
положений третьей точки касания.
2. Для любой точки А кривой F существуют девять положе-
положений точки В, при которых существует кривая второго порядка,
высекающая на F цикл вида 3.4+ 31?.
3. Обобщить возможно шире результаты, полученные в упраж-
упражнениях 1 и 2.
4. Преобразование Р —> 2Р является рациональным преобра-
преобразованием F в себя. Соответствующий ряд g% составлен из неко-
некоторой иррациональной инволюции f4- Ряд g\i. может быть высечен
системой кривых четвертого порядка.
5. Ряд g\ на гиперэллиптической кривой рода р имеет 2р + 2
двойных точки. Две такие кривые бирационально эквивалентны
тогда и только тогда, когда системы двойных точек их ря-
рядов g\ проективно эквивалентны.
6. В случае 2 теоремы 9.8 имеем
В случае 3 будет
VSa =
(Sa V? = (SA F2N = (TA V)* = (TA F2K = To.
7. Каждое из преобразований SAU и TAU имеет две непо-
неподвижные точки. Преобразования SaV и ^а^2 имеют по одной
неподвижной точке, a TaV и TaV2 — по три.
I-
"t
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика' 3
Из предисловия автора 5
Указатель обозначений 6
Глава I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ
§ 1. Сведения из теории множеств • ¦ 7
1. 1. Множества G). 1. 2. Однозначные отображения (8)
1. 3. Классы эквивалентности (9)
§ 2. Области целостности и поля 9
2. 1. Алгебраические системы (9). 2. 2. Области целостности A1).
2. 3. Поля A2). 2. 4. Гомоморфизмы областей целостности A2)
2. 5. Упражнения A2)
§ 3. Поля частных . . . 14
§ 4. Линейная зависимость и линейные уравнения 15
4. 1. Линейная зависимость A5). 4. 2. Линейные уравнения A6).
§ 5. Многочлены 17
5. 1. Кольцо многочленов A7). 5.2. Алгоритм деления A8).
5. 3. Упражнение A9)
§ 6. Разложение многочленов на множители . - . 19
6. 1. Разложение на множители в областях целостности A9).
6. 2. Однозначность разложения многочленов на множители B0).
6. 3. Упражнения B3)
§ 7. Подстановка 25
7. 1. Подстановка в многочлен B5). 7. 2. Корни многочленов;
теорема об остатке B5). 7. 3. Алгебраически замкнутые области
целостности B6). 7. 4. Упражнения B7).
§ 8. Производные 27
8. 1. Производная от многочлена B7). 8. 2. Формула Тэйлора B9).
8. 3. Упражнения C0)
§ 9. Исключение , 30
9. 1. Результант двух многочленов C0). 9.2. Применение к
многочленам от нескольких неизвестных C3). 9.3. Упражне-
Упражнения C4)
§ 10. Однородные многочлены 34
10. 1. Основные свойства C4). 10. 2. Разложение иа множите-
множители C5). 10. 3. Результанты C7)
Оглавление 233
Глава II
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Проективные пространства 39 '
1. 1. Проективные системы координат C9). 1. 2. Эквивалент-
Эквивалентность координатных систем D1). 1. 3. Примеры проективных
пространств D3). 1. 4. Упражнения D4)
§ 2. Линейные подпространства 44
2. 1. Линейная зависимость точек D4). 2. 2. Репер D5).
2. 3. Линейные подпространства D6). 2. 4. Размерность D7).
2i 5.- Соотношения между подпространствами D8). 2. 6. Упраж-
Упражнения E0)
§ 3. Двойственность 50
3. 1. Координаты гиперплоскостей E0). 3. 2. Дуальные про-
пространства E1). 3. 3. Дуальные подпространства E2). 3. 4. Уп-
Упражнения E3)
§ 4. Аффинные пространства 53
4. 1. Аффинные координаты E3). 4. 2. Соотношение Между
аффинным и проективным пространствами E5). 4. 3. Подпрост-
Подпространства аффинного пространства E5).4. 4. Прямые в аффинном
пространстве E6). 4. 5. Упражнения E6)
§ 5. Проекции , 57
5. 1. Проектирование точек из подпространства E7). 5. 2. Уп-
Упражнения E8)
§ 6. Линейные преобразования , . 59
6. 1. Коллинеации E9). 6. 2. Упражнения F0)
Глава III
ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
§ 1. Плоские алгебраические кривые 61
1. 1. Приводимые и неприводимые кривые F1). 1. 2. Кривые
в аффинной плоскости F3). 1. 3. Упражнения F3)
§ 2. Особые точки 64
2. 1. Пересечение кривой и прямой F4). 2. 2. Кратные точки F5)
2. 3. Замечания о чертежах F8). 2. 4. Примеры особых точек F9)
2. 5. Упражнения F9)
§ 3. Пересечение кривых 72
3. 1. Теорема Безу G2). 3. 2. Нахождение точек пересечения G5).
3. 3. Упражнения G5)
§ 4. Линейные системы кривых 75
4. 1. Линейные системы G5). 4. 2. Базисные точки G7).
4. 3. Верхние границы для кратностей G8). 4. 4. Упражне-
Упражнения (80)
§ 5. Рациональные кривые 80
5. 1. Достаточные условия рациональности (80). 5. 2. Упраж-
Упражнения (83)
234 Оглавление v
§ 6. Кривые второго и третьего порядка . . . .- 83
6. 1. Кривые второго порядка (83). 6. 2. Кривые третьего по- -
рядка (84). 6. 3. Точки перегиба (85). 6. 4. Точки перегиба и
нормальная форма кривой третьего порядка (86). 6. 5. Упраж-
Упражнения (88)
§ 7. Анализ особенностей • 89
7. 1. Необходимость анализа особенностей (89). 7. 2. Квадра-
Квадратичные преобразования (90). 7. 3. Преобразование кривой (90).
7. 4. Преобразование особой точки (92). 7. 5. Редукция особен-
особенностей (96). 7. 6. Идеальные точки (98). 7. 7. Пересечение в
идеальных точках A00). 7. 8. Упражнения A03).
Глава IV
ФОРМАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 1. Формальные степенные ряды 104
1. 1. Кольцо и поле формальных степенных рядов A05).
1. 2. Подстановка в степенных рядах A06). 1. 3. Производ-
Производные A1Q). 1. 4. Упражнения A10)
§ 2. Параметризации 111
2. 1. Параметризации кривой A11). 2. 2. Ветви кривой A14)
§ 3. Дробно-степенные ряды 115
3. 1. Поле К (х)* дробно-степенных рядов A15). Ъ. 2. Алгебра-
Алгебраическая замкнутость К (х)* A16). 3. 3. Замечания и примеры
A20). 3. 4. Уточнения основной теоремы A24). 3. 5. Упражне-
Упражнения A24)
§ 4. Ветви кривой 124
4. 1. Ветвь с заданным центром A24). 4. 2. Случай кратных
компонент A26). 4. 3. Упражнения A26)
§ 5. Пересечение кривых 126
5. 1. Порядок многочлена на ветви A26). 5. 2. Пересечение
кривых. Теорема Безу A27). 5. 3. Касательная, порядок и класс
ветви кривой A31). 5. 4. Упражнения A33)
§ 6. Формулы Плюккера 134
6. 1. Класс кривой A34). 6. 2. Точки перегиба A37). 6. 3. Фор-
Формулы Плюккера A39). 6. 4. Упражнения A40)
§ 7. Теорема Нётера 140
7. 1. Теорема Нётера A40). 7. 2. Приложения A42). 7. 3. Упра-
Упражнения A44)
Тлава V ¦
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КРИВЫХ
§ 1. Идеалы 145
1. 1. Идеалы в кольце A45). 1. 2. Упражнения A47)
§ 2. Расширения полей 147
2. 1. Трансцендентные расширения A47). 2. 2. Простые алгебраи-
алгебраические расширения A48). 2. 3. Алгебраические расширения A51).
2. 4. Упражнения A52)
Оглавление 235
§ 3. Рациональные функции на кривой 152
3. 1. Поле рациональных функций на кривой A52). 3. 2. Инва-
Инвариантность поля A54). 3. 3. Порядок рациональной функции
на ветви A55). 3. 4. Упражнения A56)
§ 4. Бирациональное соответствие 156
4. 1. Бирациональное соответствие между кривыми A56).
4. 2. Квадратичное преобразование как бирациональное соот-
соответствие A58). 4. 3. Упражнение A59)
§ 5. Пространственные кривые . 159
5. 1. Определение пространственной кривой A59). 5. 2. Ветви
пространственной кривой A60). 5. 3. Геометрия пространствен-
пространственных кривых. Теорема Безу A61). 5. 4. Упражнения AоЗ)
§ 6. Рациональные преобразования 163
6. 1. Рациональные преобразования кривой A63). 6. 2. Рацио-
Рациональное преобразование ветви A64). 6. 3. Пример A66). 6. 4. Про-
Проектирование как рациональное преобразование A68). 6- 5. Алгеб-
Алгебраические преобразования кривых A71). 6. 6. Упражнения A72)
§ 7. Рациональные кривые 173
7. 1. Образ рациональной кривой при рациональном преобразо-
преобразовании A73). 7. 2. Теорема Люрота A74). 7. 3. Упражнения A75)
§ 8. Дуальные кривые 176
8. 1. Дуальная кривая для плоской кривой A76). 8. 2. Форму-
Формулы Плюккера A78). 8. 3. Упражнения A79)
§ 9. Идеал кривой 179
9. 1. Идеал пространственной кривой A79). 9. 2. Определение
кривой с помощью ее идеала A81). 9. 3. Упражнения A82)
§ 10. Нормирования 182
Глава VI
ЛИНЕЙНЫЕ РЯДЫ
§ 1. Линейные ряды 186
1. 1. Введение A86). 1. 2. Циклы и ряды A86). 1. 3. Размер-
Размерность ряда A89). 1. 4. Упражнения A90)
§ 2. Полные ряды 191
2. 1. Виртуальные циклы A91). 2. 2. Эффективные и виртуаль-
виртуальные ряды A92). 2. 3. Полные ряды A93). Упражнения A97)
§ 3. Инвариантность линейного ряда 197
| 4. Рациональные преобразования, связанные с линейными рядами 198
4. 1. Соответствие между преобразованиями и линейными ряда-
рядами A98). 4. 2. Строение линейных рядов B00). 4. 3. Нормаль-
Нормальные кривые B02). 4. 4. Полная редукция особенностей B04).
4. 5. Упражнения B05)
§ 5. Канонический ряд 206
5. 1. Якобиевы циклы и дифференциалы B06). 5. 2. Порядок
канонического ряда B07). 5. 3. Род кривой B09). 5. 4. Упраж-
Упражнения B09)
236 Оглавление
6. Размерность полного ряда 209
6. 1. Сопровождающие кривые B09). 6. 2. Нижняя граница для
размерности B1.2). 6. 3. Размерность канонического ряда B13).
6. 4. Специальные циклы B14). 6. ~Ь. Теорема Римана— Роад B15).
6. 6. Упражнения B17)
7. Классификация кривых , 217
7. 1. Составной канонический ряд B17), 7. 2. Классификация B18).
7. 3. Канонические формы B19). 7. 4. Упражнения B21).
8. Полюсы рациональных функций 221
9. Геометрия на неособенной кривой третьего порядка 223
9. 1. Сложение точек на кривой третьего порядка B23). 9. 2. Ка-
Касательные B24). 9. 3. Двойное отношение B26). 9. 4. Преобразо-
Преобразования в себя B28). 9. 5. Упражнения B31)
Редактор Я. Б. ЕГОРОВА
Переплет художника Я. Я. Пешкова
Технический редактор В.И. Шаповалов
Сдано в производство 23/IV 1952 г. Подписано к печати 13/VI 1952 г. А 04650.
Бумага 60X921/U =7,4 бум. л., 14,8 печ. л. Уч.-иодат. л. 14,8. Изд. № 1/1630.
Цена 11 р. 85 к. (по прейскуранту 1952 г.). Зав. 262
16-я типография Г.лавполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9,.