АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ
И. Г. Башмакова, Е. И. Славутин
ИСТОРИЯ
ДИОФАНТОВА
АНАЛИЗА
ОТ ДИОФАНТА
ДО ФЕРМА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1984

УДК 512 (091)
Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История дио*
фантова анализа от Диофанта до Ферма, М.: Наука, 1984.
Монография резюмирует многолетние исследования авторев*
по истории одного из важнейших разделов современной
математики — теории диофантовых уравнений. Она содержит
оригинальный анализ «Арифметики» Диофанта Александрийского»
(III в. н. э.), трудов математиков средневекового Востока и
Европы вплоть до Ферма.
Книга адресована специалистам-математикам, историкам»
науки, а также читателям, интересующимся математикой и ее*
историей.
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Изабелла Григорьевна Башмакова, Евгений Иосифович Славутин?
ИСТОРИЯ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ОТ ДИОФАНТА
ДО ФЕРМА
Утверждено к печати Институтом истории естествознания и техники
Академии наук СССР
Редактор А. Ф. Лапко. Редактор издательства И. М. Столярова.
Художник Л. А. Григорян. Художественный редактор Т. П. Поленова.
Технический редактор Т.В.Калинина. Корректоры Г.Н.Лащ, И. А. Тала лай-
ИБ № 27030
Сдано в набор 12.08.83. Подписано к печати 20.12.83. Т-24107. J*
Формат 60x90Vu. Бумага типографская № 1. Гарнитура сбьшьовенная*
Печать вксоьая. Усл. печ. л. 16. Уч-изд. л. 15,1. Усл. кр. оат. 16,25.
Тираж 1800 экз. Тип. зак. 3114 Цена 2 р.
* Издательство «Наука» 117864 ГСП-7, Москва В-485 Профсоюзная ул. 90
2-я типография издательства «Наука» 121099, Москва, Гт99, Шубинский пер., 10
Б Д26У— И8-84-1 © Издательство «Науна», 1984

ПРЕДИСЛОВИЕ
1 Задачи на неопределенные или диофантовы уравнения воз-
я никли в глубокой древности. Мы находим их за две тысячи лет
|до нашей эры в клинописных текстах Вавилона. С тех пор на
■ протяжении всей истории науки интерес к ним не ослабевает,
Ь за последние 20—30 лет он особенно возрос. По-видимому,
1 в этом сыграла роль и близость диофантова анализа к алгебраи-
1 ческой геометрии — властительнице дум современных
математиков, и то обстоятельство, что к таким уравнениям привлекли
I внимание проблемы алгоритмической разрешимости.
I Однако история диофантовых уравнений, даже в первом
■ приближении, еще не написана. В общих курсах истории мате-
I матики она выпадала из поля зрения, так как не укладывалась
1 целиком ни в одно из звеньев традиционного деления математи-
I ки: анализ, алгебра, арифметика, геометрия. Скорее она стояла
I на стыке всех этих наук. Но даже отдельные исследования, по-
I священные диофантову анализу, стали появляться лишь в самое
I последнее время.
I В этой книге мы предлагаем очерк развития теории диофан-
I товых уравнений от Диофанта, положившего начало этой науке,
I до Ферма, в творчестве которого круг идей и методов, восходя-
1 щих к Диофанту, получил известное завершение. Мы останав-
I ливаемся также на предыстории вопроса, т. е. на приемах реше-
I ния задач, эквивалентных неопределенным уравнениям, в древ-
I нем Вавилоне, в классической греческой математике и у Герона
I Александрийского, жившего в начале нашей эры.
Мы не претендуем на полноту изложения. Наша цель состоит
•скорее в том, чтобы проследить развитие основных для данного
| периода идей и проиллюстрировать их на строго ограниченном
числе задач. Мы надеемся, что наша книга будет иметь
продолжение, относящееся уже к диофантову анализу XVIII—XIX вв.
Мы рассматриваем развитие диофантовых уравнений в тесной
«вязи с общей эволюцией алгебры. Наше исследование, как мы
надеемся, покажет, что в изучаемый период решающее влияние
! на развитие алгебры оказали нужды учения о диофантовых
уравнениях, во всяком случае влияние этого учения на
формирование алгебры было не менее значимым, чем стимулы, идущие от
проблемы решения уравнений в радикалах.
Книга рассчитана на широкие круги математиков, любителей
математики и истории науки, имеющих знания по математике
в размере первых двух курсов физико-математических
факультетов. Ниже (после «Введения») мы даем краткие сведения из
алгебраической геометрии, необходимые для понимания
методов решения неопределенных уравнений.

4 ПРЕДИСЛОВИЕ
Мы приносим глубокую благодарность всем тем, кто помогал 1
нам советами при написании этой книги. Особенно мы благодар- I
ны И. Р. Шафаревичу, без постоянного участия которого наша 1
книга не была бы написана, а также А. И. Лапину и А. Н. Пар- 1
шину за ценные советы и замечания. Мы выражаем нашу призна- |
тельность А. П. Юшкевичу, Б. А. Розенфельду и С. С. Демидову,
многочисленные дискуссии с которыми помогли нам уточнить
некоторые выводы этой книги.
И. Г. Багимакова

ВВЕДЕНИЕ
Эта книга посвящена истории диофантова анализа от работ
Диофанта, положившего начало этой науке, до середины XVII в.
Основное произведение Диофанта «Арифметика» представляет
собой сборник задач, большая часть которых эквивалентна
неопределенным уравнениям. Каждая задача сопровождается одним
или несколькими решениями. Многие задачи имеют длинную
предысторию: некоторые из них восходят к школе Пифагора,
другие — к древнему Вавилону. Однако до Диофанта эти задачи
трактовались чисто арифметически. Новое, что внес Диофант,
состоит в его методе или, вернее, в его методах.
Прежде всего Диофант сводит задачу к неопределенному
уравнению
F (*!, *2, ...,*п) = 0, и>2, (1)
или системе таких уравнений
Рг (хи . . ., хп) = 0, ,
(2)
Fm (*!, . . ., хп) = 0,
где т < п и F, Fx, . . ., Fm — многочлены с коэффициентами
из поля рациональных чисел Q. Затем он находит методы для
решения различных классов таких уравнений. При этом решение
он всегда ищет в полуполе положительных рациональных чисел
Q+, что часто приводит его к необходимости проводить
дополнительное исследование.
Диофант трактовал свои задачи чисто алгебраически.
Большинство его методов пригодно и для случая, когда уравнение (1)
или система (2) рассматриваются над произвольным
алгебраическим полем. Иногда для вывода условий существования
положительного рационального решения он прибегает к теоретико-
числовым исследованиям, но никогда не трактует эти вопросы
геометрически 1.
При изучении «Арифметики» все исследователи, начиная с
Франсуа Виета — изобретателя буквенного исчисления,
пользовались «переводом» задач и их решения на язык буквенной
алгебры. Так поступали Виет и Баше де Мезириак, П. Ферма
и Ж. де Бильи, Л. Эйлер и Ж. Лагранж. Этот путь избрали
и историки науки XIX—XX вв., исследуя творчество Диофанта
и комментируя его «Арифметику», например, И. Г. Цейтен [39],
ттРИА10СТаН0вке м Решешш некоторых задач (главным образом в книге VI)
Диофант пользуется пифагорейскими треугольниками с рациональными
сторонами, но нигде не применяет геометрических образов: окружности,
гиперболы, касательной и т. д.

ВВЕДЕНИЕ
М. Кантор [65, т. 1], Т. Хизс [83, 84], П. Таннери [73], Г. Верт- I
хейм [75], Э. Стаматис [107] и многие другие. Собственно говоря, I
буквенной символикой пользовался и сам Диофант (см. ч. I, I
гл. III), но в более ограниченных пределах, чем мы. I
В XVI—XVIII вв. на этом пути было сделано многое. Ко
времени Эйлера математики овладели основными методами
Диофанта и сумели их обобщить и развить. В это время изучением
«Арифметики» занимались такие «полубоги» как Ферма и Эйлер,
но и они с помощью одной только буквенной алгебры не смогли
провести обоснованную классификацию задач диофантова ана- i
лиза, например, не сумели охарактеризовать класс неопределен- j
ных уравнений вида Fn (х, у) = 0, для которых хну выражаются I
как рациональные функции одного параметра. С тех пор сами '■
творения математиков XVI—XVIII вв. стали историей, а те '
методы, которые они извлекли из «Арифметики» Диофанта, и те
средства, с помощью которых можно подвергнуть более глубо- j
кому исследованию и классификации задачи диофантова анализа
(понятие рода кривой, бирациональные преобразования, эллип- j
тические аргументы кривой и т. д.) получили развитие не в
алгебре, а в алгебраической геометрии и теории эллиптических
функций. Поэтому продолжение историко-математических
исследований методов диофантова анализа при помощи одной только
буквенной алгебры представляется в настоящее время делом
довольно безнадежным. И действительно, пользуясь только
таким «переводом» многие крупнейшие историки науки, такие как
Б. Л. ван дер Варден и И. Гофман пришли к неверному выводу,
что у Диофанта вообще не было общих методов (подробнее об
этом см. ч. I, гл. II, раздел 3). Пример такого рода суждений
дает выдержка из книги О. Беккера и И. Гофмана «История
математики»: «Диофант не дает никакого общего метода, но
применяет, по-видимому, для каждой новой задачи новый
неожиданный искусственный прием, напоминающий восточные» [54,
с. 90]. Неудивительно поэтому, что в математической литературе
можно найти разнообразные, но весьма малообоснованные
мнения относительно того, кто был автором «метода касательной»
и «метода секущей», о которых мы будем подробно говорить в
нашей книге. Так Т. Сколем в своей известной книге «Диофан-
товы уравнения» пишет, что эти методы были применены впервые
Коши и Люка [106, с. 79], а сам Люка называет, в свою очередь,
автором «метода касательной» Пьера Ферма. Таким образом,
разрыв в дате появления одного из важнейших методов для
нахождения рациональных точек на эллиптических кривых
достигает 200 лет! На самом деле, как мы покажем, дата, указанная
Сколемом, отстает от действительности на полторы тысячи лет.
Изучая сочинения Диофанта и его последователей на Востоке
и Западе мы пришли к убеждению, что для понимания их смысла

ВВЕДЕНИЕ
7
необходим «перевод» на другой язык, отличный от языка
элементарной алгебры.
Здесь возможны различные интерпретации. Перечислим
некоторые из них: 1) можно выбрать геометрическую
интерпретацию, т. е. воспользоваться языком аналитической геометрии и
элементами алгебраической геометрии (понятием алгебраической
кривой, алгебраического многообразия, касательной, секущей,
особой точки, рода кривой и т. д.); 2) можно избрать
аналитическую интерпретацию, как это делали К. Якоби, а затем
А. Пуанкаре, и для изучения арифметики кривых рода 1
применить теорию эллиптических функций; 3) можно, наконец,
воспользоваться языком алгебраических полей, применяя теорию
дивизоров.
Каждая из предложенных интерпретаций имеет свои сильные
и слабые стороны. При этом некоторые методы выглядят проще
при одной, другие — при другой интерпретации (примеры этого
читатель найдет в этой книге). Для наших целей — анализа
развития диофантова анализа до Ферма — будет достаточно
первой из перечисленных интерпретаций. Итак мы будем
систематически пользоваться языком геометрии.
Если задано уравнение
Fn(*, У) = 0, (3)
где Fn {x, у) —- неприводимый] над Q многочлен степени п, то
мы будем говорить, что задана плоская кривая Г порядка и.
Если х0, у0 — рациональное решение уравнения (3), то мы будем
говорить, что дана точка М (х0, */0), лежащая на кривой Г. Если
произведена подстановка
у = к(х — х0) + у0, (4)
то мы будем говорить о прямой, проходящей через точку М
кривой Г, если к— ^- I-^- , то — о касательной к кривой Г в
точке А/, и т. д. Из элементов алгебраической геометрии мы будем
пользоваться также понятиями рода алгебраической кривой,
многообразия п измерений и бирациональной эквивалентности.
Кроме того, мы будем использовать в некоторых случаях
однородные координаты и рассматривать бесконечно удаленные
элементы кривых и поверхностей. Необходимые сведения из
алгебраической геометрии приведены ниже в соответствующем разделе *
нашей книги.
Заметим, что геометрический язык, который мы выбираем,
предпочтительнее еще и потому, что с конца прошлого века он
стал общеупотребительным в математике. Мы привыкли мыслить
геометрически. На этом языке будет легче и яснее представить,
в чем суть методов Диофанта и его многочисленных
последователей.

8
ВВЕДЕНИЕ
Разумеется, мы будем сначала излагать методы представлен-1
ных здесь авторов в тех терминах, которые они сами употребляли, I
и только затем будем давать «перевод» на геометрический язык, I
так чтобы читатель сам мог судить о том, удалось ли нам
избежать излишней модернизации и насколько адекватна наша
интерпретация оригиналу. I
Выбранный нами путь отнюдь не является новым: историки I
науки всегда пользовались переводом изучаемых сочинений на 1
тот или иной математический язык и, вероятно, никогда от этого 1
не откажутся. Именно так поступали и сами математики 1
XVI—XVIII вв., а вслед за ними и историки науки, при изучении I
работ Архимеда, переводя их сначала на язык бесконечно малых, ]
а затем на язык интегрального и дифференциального исчисления, I
пользуясь понятиями верхних и нижних интегральных сумм, 1
дифференциального треугольника, предела и' т. п. Так до нас 1
поступали и с «Арифметикой», переводя ее на язык буквенной 1
алгебры, так будем поступать и мы, избирая при этом новую, 1
более адекватную природе изучаемых методов геометрическую 1
интерпретацию. 1
В «Арифметике» мы рассмотрим, в основном, три класса задач: 1
1. Задачи, сводящиеся к уравнению вида 1
F2 (ж, у) = 0, (5) 1
где F2 (х, у) — многочлен второй степени с рациональными коэф- I
фициентами. Этот класс задач был изучен Диофантом достаточно 1
глубоко. На современном языке его результат состоит в том, |
что если уравнение (5) имеет рациональное решение д:0, г/0г то 1
оно имеет и бесконечно много других рациональных решений, 1
которые могут быть выражены как рациональные функции с 1
рациональными коэффициентами от одного параметра: |
- * = <Р (О» У = * (О-
В этом случае говорят, что имеет место униформизация, а кривая, ]
задаваемая уравнением (5), называется рациональной.
2. Задачи, эквивалентные решению уравнения вида
F, (*, у) = 0, <6)
где Fs (х, у) — неприводимый многочлен третьей степени с pa- i
циональными коэффициентами. Кривая Г, определяемая этим j
уравнением может иметь либо род 0, либо род 1 (определение 1
рода плоской кривой см. ниже.) В первом случае уравнение (6) 1
решается тем же методом, что и уравнение (5). Во втором случае |
уравнение (6) не может быть униформизировано в рациональных 1
функциях, но его можно униформизировать в эллиптических I
функциях. Кривые рода 1 поэтому называют также эллипти- 1
ческими. Для нахождения рациональных решений в этом послед- 1
нем случае Диофант применяет два метода: 1

ВВЕДЕНИЕ 9
1) «метод касательной», позволяющий по одному решению
уравнения (6) найти еще одно его рациональное решение,
и 2) «метод секущей», позволяющий по двум рациональным
решениям уравнения (6) найти третье его рациональное решение.
Последний метод применялся Диофантом не во всей его общности.
Заметим, что оба эти метода и до сих пор являются единственными
для нахождения рациональных точек на кривых рода 1 (любого
порядка), если известны одна или две рациональные точки.
3. Задачи, сводящиеся к решению «двойного равенства», т. е.
системы вида
ах2 + Ъх + с = и2, агх2 + Ъгх + сг = и2. (7)
Такая система определяет пространственную алгебраическую
кривую рода 0 или 1. Диофант предлагает методы отыскания
рациональных решений системы (7) и в том и в другом случае. Эти
методы, разумеется, совершенно различны.
Кроме того, мы рассмотрим некоторые задачи Диофанта,
эквивалентные нахождению рациональных точек на кривых вида
у2 = F4 (x) и на некоторых алгебраических поверхностях
третьего порядка. &
В дальнейшем мы проследим историю этих проблем на
арабском Востоке, в средневековой Европе, в эпоху Возрождения и
в XVII в. Мы покажем, что раньше всего был воспринят
алгебраический аспект «Арифметики». Эта книга ознаменовала новый
этап в развитии алгебры, а именно,— рождение буквенной
алгебры. До этого можно выделить два этапа в развитии алгебры:
1) числовая алгебра древнего Вавилона и 2) геометрическая
алгебра классической греческой математики. Числовая алгебра
не давала возможности проводить общим образом выводы и
устанавливать общезначимые формулы. Этих недостатков лишена
геометрическая алгебра. Однако, поскольку она опиралась на
геометрию Евклида, т. е. геометрию циркуля и линейки, то в
ней рассматривались, в основном, формулы, связывающие
величины двух измерений (площади), и квадратные уравнения.
Оперирование с алгебраическими величинами производилось с
помощью геометрических преобразований, что делало ее весьма
громоздкой. Свой истинный язык — буквенную символику —
алгебра обрела нз третьем этапе, начало которому и положила
«Арифметика» Диофанта. В ней содержались две
фундаментальные для алгебры идеи: 1) введение буквенной символики и начал
буквенного исчисления (правила действий с буквенными
выражениями, уравнениями, применение подстановок), и 2)
расширение основной числовой области до поля рациональных чисел Q
путем введения отрицательных чисел. Без этого развитие алгебры
оыло бы невозможно.
В истории науки до последнего времени было принято связы-
вмь развитие алгебры только с исследованием и решением опре-

Ю ВВЕДЕНИЕ
деленных уравнений (особенно свопросом решения их в радикалах), 1
неопределенные же уравнения рассматривались в теоретико- I
числовом аспекте. Разумеется, исследование определенных урав- 1
нений было одной из центральных проблем в алгебре, особенно I
в XVI и XVIII—XIX вв., однако тенденция считать эту проблему
единственной, на наш взгляд, привела к искажению историче- ]
ской перспективы. Мы постараемся показать, что такой взгляд I
на развитие алгебры является весьма односторонним. Более
того, успехи алгебры от Диофанта до Ферма были существенным |
образом связаны именно с учением о неопределенных уравне- 1
ниях и в значительной степени вызывались потребностями этого '
учения. Не случайно почти во всех трактатах по алгебре этого ,
времени неопределенным уравнениям отводилось такое почет- j
ное место! Это можно проследить даже в книге Л. Эйлера «Вве- 1
дение в алгебру» [76], где учению о неопределенных уравнениях \
отводится весь второй том. То же самое мы видим в трактатах
Диофанта, Абу Камила, ал-Караджи, Леонардо Пизанского,
Бомбелли и др. И это понятно, так как именно для исследования ]
проблем диофантова анализа были необходимы и применялись
наиболее тонкие алгебраические методы, искусные подстановки, ]
остроумные преобразования. С этим же учением были связаны I
и расширения числовой области, сначала до поля рациональных, |
а затем и алгебраических чисел (напомним, что числа а + Ъ Y— 3 1
были введены Эйлером при доказательстве великой теоремы 1
Ферма для п = 3). |
При этом основные проблемы и методы диофантова анализа 1
черпались из самой «Арифметики». Эта же книга служила образ- 1
цом того, как нужно вводить в алгебру новые объекты, такие I
как отрицательные числа, мнимые числа, степени неизвестного 1
и т. д. Без преувеличения можно сказать, эта книга сыграла в 1
истории алгебры Нового времени такую же роль, как трактаты 1
Архимеда в развитии дифференциального и интегрального ис-*
числения.
Но в «Арифметике», как мы говорили, содержатся и более
глубокие слои, относящиеся к диофантову анализу. Идеи и
методы, относящиеся к этой области, усваивались гораздо медленнее.
История этих идей и методов и составляет основной предмет
нашей книги. Мы доводим наше исследование до работ Пьера |
Ферма, в которых круг идей, идущих от Диофанта, получил
известное завершение.
После Диофанта неопределенные уравнения были предметом
изучения математиков арабского Востока в X—XI вв., а затем, j
начиная с XIII в., и в Европе. При этом уже на арабском Востоке
наряду с методами Диофанта мы встречаем другие более древние
методы решения задач диофантова анализа, основанные на
композиции форм х2 + у2 и на применении пифагоровых троек.
Оба эти метода были известны ранним пифагорейцам, но восхо-

ВВЕДЕНИЕ
11
дят, по-видимому, к древнему Вавилону. Именно эти методы и
перекочевали первыми в Европу. Мы находим их у Леонардо
Пизанского, Луки Пачоли, Джироламо Кардано. Эти методы
были чисто арифметическими и* излагались без применения языка
буквенного исчисления и учения об уравнениях. Эта линия
получила известное завершение в творчестве Ф. Виета (1540—
1603), который на основе формулы композиции форм х2 + у2
ввел композицию прямоугольных треугольников, равносильную
операции умножения комплексных чисел.
Весьма примечательно, что до знакомства с «Арифметикой»
Диофанта ни одному европейскому математику не пришла в
голову мысль применить элементы учения об уравнениях (т. е.
запись условия задачи в виде алгебраического уравнения или
системы таких уравнений, а также применение правил действия
с уравнениями, подстановок и т. д.) к решению задач диофанто-
ва анализа. Но сразу же после того, как текст «Арифметики»
был найден и прочтен (т. е. в 70-х годах XVI в.), произошел
решительный перелом во всей методике алгебраических
исследований европейских математиков. Книги Р. Бомбелли (1572)
и Ф. Виета (начиная с 1596) — это уже трактаты по алгебре в
нашем смысле этого слова. Пользуясь методами Диофанта,
Бомбелли ввел не только отрицательные числа, но и мнимые, а также
обозначения для любых целых положительных степеней
неизвестного. Ф. Виет сделал следующий шаг, сыгравший
фундаментальную роль в развитии символики — он ввел буквенные
обозначения не только для неизвестных, но и для произвольных
величин (параметров), и создал первое буквенное исчисление,
ставшее неотъемлемым языком не только современной алгебры,
но и всей математики.
Р. Бомбелли и Ф. Виет выделили из «Арифметики» методы
решения как уравнений вида (5), что делали до них и математики
арабского Востока, так и уравнений вида (6), определяющих
эллиптические кривые. Применив «метод касательной», оба они
сумели решить сформулированную Диофантом проблему
четырех кубов, однако сделали это не самым общим образом.
Проникнуть в наиболее глубокие слои «Арифметики» сумел
только Пьер Ферма (1601—1665), который и был основателем
теории чисел и учения о неопределенных уравнениях нового
времени. Именно он показал, каким образом можно
последовательно повторять «метод касательной» (см. ч. III, гл. 3) и таким
путем находить бесконечно много рациональных решений
уравнения, определяющего эллиптическую кривую. Он же решил
проблему четырех кубов в самом общем виде.
Исследования Ферма были продолжены и систематизированы
Леонардом Эйлером (1707—1783). В его творчестве были
рассмотрены все основные аспекты «Арифметики». Последующие
математики, занимаясь неопределенными уравнениями, обращались

12 ВВЕДЕНИЕ
уже не к Диофанту, а к Эйлеру. Но в творчестве этого великого I
ученого не только нашла завершение традиция, идущая от Дио- 1
фанта, но и был поднят совершенно новый круг вопросов, сыграв- I
ших решающую роль в дальнейшем развитии диофантова анали- ]
за — мы имеем й виду открытие Эйлером теоремы сложения и J
умножения эллиптических интегралов. Но это уже новый этап ]
в развитии диофантова анализа, в создании которого приняли I
участие ученые прошлого века от Карла Густава Якоба Якоби 1
до Анри Пуанкаре. В 1901 г. появилась знаменитая работа
Пуанкаре «Об арифметических свойствах алгебраических кривых»
[31, 98], где были подведены итоги и первого, и второго этапов
развития диофантова анализа и намечена программа для его
дальнейшей разработки. В настоящее время мы присутствуем
при осуществлении основных идей Пуанкаре на основе совре- I
менной алгебраической геометрии. I
Предлагаемая книга делится на три части. В первой рассмат- ]
ривается диофантов анализ в античности, главным образом, 1
в «Арифметике» Диофанта. Во второй — на средневековом Востоке. 1
Здесь анализируются трактаты по алгебре и неопределенному ]
анализу Абу Камила, Ибн ал-Хусаста, ал-Караджи, творчество I
которых в последнее время привлекает довольно большое внима- 1
ние в связи с интенсивными исследованиями алгебры и арифмети- I
ки в X—XI вв. на арабском Востоке. Вторая часть суммирует 1
наиболее интересные результаты, полученные в этом направлении I
за последние 5—10 лет. 1
Третья часть посвящена истории диофантова анализа в XIII— ]
XVII вв. в Европе. Она, в свою очередь, делится на два раздела: I
в первом рассказывается об исследованиях европейских матема- ]
тиков до знакомства с «Арифметикой» Диофанта (Леонардо Пи- 1
занского, Луки Пачоли, Джироламо Кардано), во втором — 1
после знакомства с ней (Рафаэль Бомбелли, Франсуа Виет, Пьер |
Ферма). Разительное различие в применяемых методах и самом
стиле этих работ свидетельствует о том, какое сильное влияние
оказала «Арифметика» на алгебру, неопределенный анализ и
теорию чисел Нового времени. 1
Мы ни в коей мере не претендуем на сколько-нибудь полный ]
анализ «Арифметики». Скорее мы рассматриваем нашу книгу J
как первый шаг на пути более глубокого ее изучения и исследо- ]
вания ее влияния на дальнейшее развитие математики. Мы на- I
деемся, что наша книга побудит историков науки вновь обратиться 1
к гениальному произведению Диофанта, богатства которого еще 1
далеко не исчерпаны- ]

ВВЕДЕНИЕ
13
СВЕДЕНИЯ
ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОхМЕТРИИ
ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Пусть задано уравнение
F (*, У) = 0, (1)
где F (х> у) — многочлен с коэффициентами из поля
рациональных чисел Q, неприводимый над полем комплексных чисел С.
Множество точек вещественной плоскости R2, координаты
которых удовлетворяют уравнению (1), называется плоской
алгебраической кривой.
Порядком кривой Г, определяемой уравнением (1), называется
степень п многочлена F (х, у). Кривая Г порядка п пересекается
с любой прямой, определяемой уравнением
Ах + By + С = О
ровно в п точках. При этом необходимо учитывать кратность
точек пересечения, а также комплексные и бесконечно
удаленные точки. Приведем примеры.
а. Кривая х2 + У2 = 1 и прямая х + У = 10 пересекаются
в двух комплексных точках;
б. Кривая у* = 1 — х3 имеет с прямой у = 1 тройную
точку г пересечения Р (О, 1);
в. Кривая у2 = 4#2 + х + 2 имеет с прямой у = 2х одну
конечную точку пересечения М (—2, —4) и одну бесконечно
удаленную.
Для определения бесконечно удаленной точки нам придется
ввести однородные координаты, т. е. по существу, перейти от
вещественной плоскости R2, в которой мы рассматриваем
кривую, к проективной плоскости Р2. Каждая точка Р2
характеризуется упорядоченной тройкой вещественных чисел (и, у, w),
из которых хотя бы одно отлично от нуля. Две такие тройки
(ц, у, w) и (цх, vx, wx) определяют одну и ту же точку тогда и
только тогда, когда и : иг = v : vx = w : wx. Любой набор (и, v, w)
называется однородными координатами плоскости Р2.
Установим соответствие между точками плоскостей R2 и Р2.
Пусть (и, v, w) есть некоторая точка Р2. Если w Ф 0, то возьмем
тройку (ц/u?, v/w, 1), которая определяет ту же точку в Р2.
Поставим ей в соответствие точку плоскости R2 с координатами
х = ulw, у = v/w. Если же w = 0, то точке (и, у, 0) не будет
отвечать ни одна точка плоскости R2. Такие точки называются
бесконечно удаленными или несобственными. Все такие точки
лежат на бесконечно удаленной прямой w = 0.
1 Об особых точках и кратных точках пересечения кривых см. [37J.

14
ВВЕДЕНИЕ
Для перехода от уравнения (1) к уравнению в однородных!
координатах, полагаем х = и/и?, у = vlw. Сделав соответствую-!
щую подстановку и приведение к общему знаменателю, получим!
однородное уравнение I
ф (и, v, w) = 0, (2) I
для которого бесконечно удаленная точка вполне равноправна!
с обычными. I
В нашем случае кривая у2 = 4#2 -f х + 2 в однородных ко- I
ординатах будет иметь уравнение v2 = 4и2 + xw + 2и?2. Пола- I
гая w = О, найдем две бесконечно удаленные рациональные I
точки Мг (1, 2, 0) и Л/2 (1» —2, 0). Прямая i; = 2и пройдет через 1
точку Мх — это и будет вторая точка пересечения нашей прямой I
с заданной кривой. I
Классификация кривых по их порядкам имеет большое зна- I
чение. Она была введена Р. Декартом (который объединил I
в один класс кривые порядков 2п — 1 и 2п) и уточнена И. Нью- I
тоном. I
Основная теорема здесь принадлежит Безу: кривая порядка I
т пересекается с кривой порядка п ровно в тп точках. Здесь, I
разумеется, опять надо учитывать комплексные и бесконечна I
удаленные точки, а также кратность пересечения. I
Однако классификация кривых, учитывающая только их по- 1
рядок еще слишком груба для нужд диофантова анализа. Две 1
кривые, имеющие один и тот же порядок, могут иметь совершенно 1
различные множества SRX и 50?2 рациональных точек. Так кривая Г, I
заданная уравнением х2 + у2 = 1, имеет, как будет показано I
в дальнейшем (ч. I, гл. IV, раздел 1), бесконечно много рацио- I
нальных точек, координаты которых выражаются в виде I
_ Ik _ k* — 1 I
Х— А;2+1 » У— k%+i , I
а кривая х2 + у2 = 3 не имеет ни одной рациональной точки. I
Очень важным для диофантова анализа является понятие I
бирационального изоморфизма кривых. I
Определение 1. Две кривые / (х, у) = 0 и g (и, v) = 0 I
называются бирационалъно изоморфными или эквивалентными над I
полем Q, если координаты каждой из этих кривых выражаются 1
через координаты другой с помощью рациональных функций с |
рациональными коэффициентами: I
х = ф (и, и), и = фх (х, у), I
у = -ф (и, и), v = ifi (x, у). I
Ясно, что у двух бирационально эквивалентных кривых мно- ]|
ячества ^г и ЗЙ2 рациональных точек совпадают с точностью до 1
конечного числа точек. Бирационально эквивалентными могут 3
быть кривые различных порядков, иначе говоря, порядок кри- 1

ВВЕДЕНИЕ
15
вой не является бирациональным инвариантом. Так, например,
кривая 4-го порядка L
у2 ^ х* _ хъ + 2х - 2 = (х - 1){х* + 2)
может быть преобразована с помощью подстановки
1 + и v
® кривую 3-го порядка V
v* = Зи3 + Зи2 + Зи + 1,
причем u, z; также выражается рационально через я, у:
и = 1/(х - 1), i; - у/(* -~ I)2.
Мы увидим, что любая кривая второго порядка, если на ней
лежит рациональная точка, бирационально эквивалентна
рациональной прямой.
На основное значение бирациональных преобразований для
изучения арифметики алгебраических кривых обратил внимание
А. Пуанкаре во введении к своей знаменитой работе «Об
арифметических свойствах алгебраических крирых»: «Я спросил себя,
нельзя ли многие проблемы анализа связать друг с другом на
•систематической основе, благодаря новой классификации
однородных полиномов высшего порядка, аналогичной в некотором
смысле классификации квадратичных форм.
Эту классификацию следовало бы строить на основе группы
бирациональных преобразований с рациональными
коэффициентами, которую допускает алгебраическая кривая» [31, с. 901].
Одним из основных инвариантов группы бирациональных
преобразований является род кривой. Для определения этого
понятия введем предварительно понятие простейшей двойной точки
кривой.
Известно, что особыми точками кривой Г, задаваемой
уравнением (1), будут те, координаты которых удовлетворяют
уравнениям
fx (х, у) = 0, f'y (я, у) = 0.
Таких точек у алгебраической кривой может быть только
конечное число. Если при этом одна из вторых производных fxx, fxy%
tyy отлична от нуля, то соответствующая точка Р (х0, у0)
называется двойной. Наконец, простейшей двойной точкой мы будем
называть такую, в которой кривая имеет две несовпадающие
касательные (рис. 1). При определении рода мы будем считать, что
кривая Г может иметь в качестве особых точек только простейшие
Двойные точки. Это — не существенное ограничение, так как мож-
ао Доказать, что любую алгебраическую кривую можно бирацио-

16 ВВЕДЕНИЕ
нально преобразовать в кривую, имеющую только простейшим
двойные точки. I
Теперь мы можем дать определение рода кривой. I
Определение 2. Родом плоской алгебраической кри-1
вой Г порядка п называется число ]
J- <—'><—2> -d, (3)
где d — число простейших двойных точек кривой. I
Ясно, что g — целое число. Доказывается, что g ^ 0. Если]
порядок п равен 1 или 2, то g = 0. Такие кривые называются еще
рациональными, так как если на кривой Г: I
^ F (*, у) = 0
рода 0 лежит рациональная точка Р (х0, у0), то координаты х и у 1
могут быть выражены в виде х = <р (t), у = о|) (£), где ф и г|> — ра- 1
циональные функции с рациональными коэффициентами и такие, I
что F (ф (£), ^ (t)) == 0. При этом t = % (х, у), где % также рацио- 1
нальная функция с рациональными коэффициентами. 1
Говорят еще, что кривые рода 0 униформизируются в рацио- I
нальных функциях. 1
Если п = 1, то ясно, что любые две прямые Ах + By + С = 1
= 0 и Лх;г + Вху + Ci ~ 0, коэффициенты которых рациональны, 1
будут бирационально эквивалентны, т. е. существует только один 1
класс бирационально эквивалентных прямых. 1
Если п = 2, т. е. кривая является коническим сечением, и 1
если на ней лежит рациональная точка Р (х0, у0), то кривая будет ]
бирационально эквивалентна прямой. Чтобы в этом убедиться I
достаточно рассмотреть какую-нибудь прямую D с рациональны- 1
ми коэффициентами (такие прямые в дальнейшем будем называть I
рациональными) и задать соответствие между точками М кониче- 1
ского сечения и точками М' прямой D так, чтобы три точки Р, I
М, М' лежали на одной прямой. При изучении «Арифметики» 1
Диофанта мы увидим, как такое соответствие задается аналитиче- I
ски. Так как любое коническое сечение, содержащее рациональную 1
точку, эквивалентно рациональной прямой, то все такие сечения I
будут эквивалентны друг другу, т. е. будут составлять один класс 1
и к этому классу будут принадлежать все рациональные прямые. 1
Отсюда следует, что если на коническом сечении лежит одна pa- |
циональная точка, то на нем лежит и бесконечно много рациональ- 1
ных точек. Как мы увидим, уже Диофант показал по существу I
что координаты всех таких точек представимы в виде 1
х = ф (*), у = гр (*), I
где ф и г|) — рациональные функции с рациональными коэффи- 1
циентами. I

ВВЕДЕНИЕ
17
Конические сечения, не содержащие ни одной рациональной
чки разбиваются на многочисленные классы эквивалентных,
между собой кривых.
А. Пуанкаре доказал теорему: «Всякая кривая рода 0 и
порядка га, п > 2, бирационально эквивалентна кривой порядка
п — 2» [31, с. 905] х. Следовательно, рациональная кривая рода (X
всегда эквивалентна прямой или коническому сечению.
Если кубическая кривая имеет род 0, это означает, что
(3-Р(3-2)_ _^_п
2
т. е. d = 1, и поэтому кривая должна иметь одну простейшую,
двойную точку. Эта точка, очевидно, будет рациональной. Всякая
Z7/
Рис. 1
прямая, проходящая через двойную точку Р пересечет кривую Г"
еще только в одной точке. Покажем, что в этом случае кривая 3-га
порядка Г будет бирационально эквивалентна рациональной пря-v
мой. Для этого возьмем некоторую рациональную прямую D и
зададим соответствие между точками М кривой Г и точками М'"
I прямой D так, чтобы три точки М, М' и двойная точка Р лежали
на одной прямой (рис. 2). Итак, наша кривая Г, имеющая прос-
[ тейшую двойную точку, бирационально эквивалентна
рациональной прямой. Такую кривую можно униформизировать в
рациональных функциях. Например, у кривой у2 = х3 — 2а:2 двойной
точкой будет Р (0, 0). Проводя через нее прямые у — кх, получим
k*z* = х* - 2х2, откуда х = к2 + 2, у = к {к2 + 2).
Рассмотрим теперь кривые рода 1.
Доказывается, что кривые рода 1 не могут быть униформизи-
рованы в рациональных, функциях, но их можно представить,
в виде эллиптических функций одного аргумента, поэтому эти*
кривые называют еще эллиптическими.
Если уравнение
/з (*, у) = 0 (4Ц
определяет кривую Г рода 1, на которой лежит рациональная точ-~
ка Р (#о> У о), то ее можно с помощью бирационального преобразо-*
За Ю лет до Пуанкаре аналогичный результат был получен Гильбертов
и Гурвицем [86].

18
ВВЕДЕНИЕ
вания привести к виду
у2 = xz + ах + Ь. (5)
Это так называемая вейерштрассова нормальная форма. В этом
случае х и у можно представить с помощью функций Вейерштрасса
х = W (*), у = Г (0.
Итак, координаты рациональных точек кривой 3-го порядка
не могут, вообще говоря, быть выражены как рациональные
функции одного параметра. Однако, зная одну или две
рациональные точки кубической кривой, можно найти еще одну ее
рациональную точку. Для этого применяют два метода, получившие
название метода касательной и метода секущей:
1. Если Р — рациональная точка кубической кривой Г, то,
проводя к кривой Г касательную в точке Р, получим
рациональную прямую (так как угловой коэффициент ее будет
рациональным), которая пересечет Г еще в одной точке, очевидно
рациональной. Это — метод касательной.
2. Если Рг и Р2 — рациональные точки кривой Г, то через
них проводится рациональная прямая РгР2, которая пересечет
кривую Г в третьей рациональной точке Р3. Это — метод
секущей.
Мы увидим, что Диофант пользовался обоими этими методами.
Первым — во всей его общности, а вторым — только в том случае,
когда одна из заданных точек конечна, а другая — бесконечно
удалена.
Основная теорема о кривых рода 1 была доказана А.
Пуанкаре: Любая кривая рода 1 и порядка п с рациональными
коэффициентами, на которой лежит рациональная точка, бирационально
эквивалентна кубической кривой.
Таким образом, кривые 3-го порядка служат как бы моделью
для изучения арифметики кривых рода 1.
Если ЭД — множество рациональных точек эллиптической
кривой 3-го порядка, то можно с помощью методов касательной
и секущей ввести в него структуру абелевой группы. По существу,
это было сделано уже К. Якоби [88] в 1835 г. Более глубокое
изучение этой группы провел А. Пуанкаре в неоднократно
цитируемом нами мемуаре [31, 98]. Ему принадлежит гипотеза о том, что
эта группа имеет конечное число образующих. Это число он
назвал рангом кубической кривой. Ранг кривой, как было,
впоследствии доказано, является инвариантом группы бирациональных
преобразований. Пуанкаре поставил вопрос о том, какие
значения может принимать ранг кубической кривой. Этот вопрос
остается пока открытым. Важный результат здесь принадлежит
английскому математику Л. Дж. Морделлу, который показал, что
ранг эллиптической кривой всегда конечен.
А. Пуанкаре показал, что в группе рациональных точек
эллиптической кривой могут быть элементы конечного порядка

ВВЕДЕНИЕ
iS
(г. е.— это группа с кручением). Мы увидим, что этот факт был
по существу известен Ферма и Эйлеру.
Остановимся в заключение на геометрическом смысле
групповых операций, определяемых на основе метода секущей и метода
касательной. Кубическую кривую, если на ней лежит
рациональная точка, предварительно приведем к виду (5). Суммой точек А
и В кривой Г назовем точку С, симметричную относительно оси.
абсцисс с точкой С пересечения прямой АВ с кривой Г:
А 0 В = С.
Таким образом, если С имеет координаты (х, у), то точка С
будет иметь координаты (х, —у). Такой переход от точки пересечения
С к симметричной точке С очень важен. Только после этого
операция сложения приобретает свойства групповой операции: онаг
становится ассоциативной, будет существовать точка, играющая
роль нуля, каждый элемент будет иметь обратный или
противоположный элемент. Коммутативность такой операции очевидна.
Однако таким способом нельзя сложить точку А с собой, т. е..
получить точку 2А. Для этого применим метод касательной:
точкой 2А = D назовем точку, симметричную с точкой пересечения,
касательной в точке А с кривой Г.
Нам остается найти точку, которая играет роль нуля. Среди
конечных точек такой нет. Поэтому перейдем к однородным
координатам, положив х = u/w, у = v/w. Тогда уравнение (5) приметг
вид
v*w = и3 + auw2 + bw3. (6)1
При w = О, и = 0, v — произвольно. Можно принять v = 1..
Обозначим буковй О бесконечно удаленную точку кривой Г с
координатами (0, 1, 0). Ясно, что точка О', симметричная точке О
относительно оси абсцисс, совпадает с О.
Покажем, что точка О и будет играть роль нуля. Для этого
заметим, что все вертикальные прямые и = тю пересекаются в
точке О. Действительно, при о? = 0 и и = 0, v можно принять
равным 1. Пусть теперь дана некоторая рациональная точка А (х0, у0)
кривой Г. Тогда, согласно только что доказанному, прямая,
проходящая через А и О, будет вертикальной, т. е. уравнение ее будет
х = #о- Эта прямая пересечет кривую Г в трех точках: точке А,
точке О и точке А1 (х0, — г/0), симметричной точке А относительно
°си абсцисс. Согласно нашему определению сумма точек А и О
есть точка, симметричная А\ т. е. сама точка А. Итак, 4ф0 =Л..
Наконец, точкой, противоположной точке А, будет А' (х0г.
~~Уо)- Действительно, соединяющая их прямая будет
вертикальной, следовательно, она пересечет кривую Г еще в точке О, т. е..
ЛЪА' =0.

-20
ВВЕДЕНИЕ
Точка конечного порядка будет характеризоваться тем, что
при некотором п: пА = Лгт. е. произойдет возврат к исходной
точке.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Пусть задана система т алгебраических уравнений от п
неизвестных, п^> т:
Fx (хг, . . ., хп) = 0,
(7.
Fm (xxi . . ., хп) = 0,
тде Fx, . . ., Fm — многочлены с рациональными
коэффициентами. Такая система определяет, вообще говоря, алгебраическо
многообразие размерности п — т1.
Если И1 = 1, га = 3, т.е. система сводится к уравнению
F (slf я2, xz) = 0, (8
то множество точек из R3, координаты которых удовлетворяю!
уравнению (8), называется алгебраической поверхностью в Ra
Это — многообразие размерности 2.
Если т = 1, а п — произвольное число, большее 3, то урав
нение
F (*lf ,,.л)=0 (9
определяет гиперповерхность в пространстве Rn. Ее размерност]
л- 1.
Поверхность (8) называется рациональной, если она бирацио
лально эквивалентна рациональной плоскости
Ах1 + Вх2 + Схг + D = 0,
где Л, J5, С, £) ЕЕ Q. В этом случае х±1 х2, х3 можно выразить ка
рациональные функции с коэффициентами из Q от двух парамег
ров: х1 = фх (и, v), х2 = ф2 (и, у), х3 = ф3 (и, у).
Если т = 2, /г = 3, то множество точек из R3, координат
которых удовлетворяют системе (7), называется пространственно
алгебраической кривой. г
Порядок пространственной кривой Г определяется по аналоги
о плоской кривой, как число точек пересечения Г с любой пло<3
костью
Ах + By + Cz + D = 0 !
{с учетом краткости точек пересечения, а также комплексны*!
1 Мы не даем здесь общего определения алгебраического многообразия. ЭЛ
определение см. в [431. j

ВВЕДЕНИЕ 21
бесконечно удаленных точек). Для определения рода
пространственной кривой Г рассматривают ее проекцию Г' на любую
плоскость, но такую, чтобы Г и Г' были бирационально изоморфны.
Тогда'родом кривой Г называется род ее проекции Г'.
У Диофанта часто встречается система вида
ах2 -Ь Ьх + с = г/2, а^2 + Ьхх + сг = z2, (10)
.которую он называет двойным равенством. Двойное равенство
определяет, вообще говоря, пространственную кривую 4-го порядка.
В алгебраической геометрии доказывается, что кривая Г 3-го или
4-го порядка, лежащая на гладкой поверхности S 2-го порядка
в пространстве R3, может иметь либо род 0, либо род 1 (см. [43,
с. 274—278]). В первом случае координаты кривой (10) могут быть
выражены как рациональные функции одного параметра
х = Ф (*). У = * (О. * = 1 (*), (И)
причем t = г (х, у, z), где г — рациональная функция.
Если при этом исходная система (10) имеет одно
рациональное решение (х0, у0, z0), то коэффициенты функций <р, г|э, %, г будут
рациональными, и формулы (11) дадут все рациональные решения
системы (10), если параметр t будет пробегать множество
рациональных чисел.
Во втором случае кривая, задаваемая системой (10), не может
быть униформизирована в рациональных функциях, однако, зная
одну ее рациональную точку, можно найти еще одну
рациональную точку. Диофант, как мы покажем, рассматривает оба случая
и дает методы для отыскания рациональных точек и когда кривая,
задаваемая системой (10), имеет род 0, и когда ее род 1.
Наконец, для определения рода кривой Г, задаваемой двойным
равенством (10), мы будем пользоваться следующим удобным
критерием.
Пусть корни уравнений ах2 + Ьх + с = 0 и агх\ + Ь±х + сх =
= 0 будут, соответственно, а, Р и у, б. Тогда для того, чтобы
кривая Г имела род 1, необходимо и достаточно, чтобы все четыре
корня а, р, у, б были попарно различны.
Вывод этого критерия см. в работе [22].

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
В АНТИЧНОСТИ
*
ГЛАВА I
ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА
ДО ДИОФАНТА
1. ДРЕВНИЙ ВАВИЛОН .'
Одной из наиболее древних задач диофантова анализа была;
задача о нахождении троек целых или рациональных чисел х, уу1
z таких, что f
х2 + у2 = 22. (1);
Такие тройки получили название «пифагоровых», однако они!
привлекали внимание математиков задолго до Пифагора — мы|_
находим их уже в клинописных математических текстах древнего!
Вавилона в XIX—XVIII вв. до н. э. Чаще всего встречается троп-)
ка (3, 4, 5), которая долгое время (без достаточного основания)!
называлась «египетской», но в некоторых текстах имеются и дру-|
гие тройки. Так в табличке VAT 7531 мы находим тройки (5, 12,1
13), (7, 24, 25) и (19, 180, 181), а в табличке ВМ 34568 - тройки!
(5, 12, 13), (8, 15, 17) и (20, 21, 29). Большой интерес представляет!
клинописный текст «Plimton 322» [81, 116], в котором приведена!
таблица, содержащая 15 пифагоровых троек. Ван дер Вардеш
полагает, что эти тройки были получены по формулам
x = p*-q\ y = 2pq, z=p* + q\ (2).
которыми впоследствии широко пользовался Диофант [14, с. 108].
От «пифагоровых троек» вавилоняне умели переходить к так
называемым «вавилонским числам», т. е. тройкам целых или
рациональных чисел, удовлетворяющих уравнению
и2 + v2 = 2иЛ (3)
Это уравнение возникло при решении задачи о делейии трапе- ^
ции прямой, параллельной основанию, на две равновеликие части» •
Пусть задана трапеция ABCD и прямая MN делит ее на части
равной площади Sx = S2 (рис. 3). Если обозначить ВС = и,|
AD = v и MN — w, то, как нетрудно видеть, и, у, w должны ::
удовлетворять уравнению (3). Вавилонские вычислители заме-*
тили, что между решениями уравнения (1) и (3) существует про-|
стая зависимость: если х, у, z — решения уравнения (1), то и, |
v, w можно получить по формулам и = у — х, v = х + Уу w = *• i

ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА 23
Полагая р — п + 1» Я = п-> п — 1? 2, 3, 4, можно составить
абляцУ пифагоровых и вавилонских троек (табл. 1). Мы увидим,
что в дальнейшем вплоть до работ Воаета будут чаще всего
встречаться тройки с номерами 1, 2, 4
X
3
5
V
4
12
Z
5
13
и
1
7
Таблица 1
г?
7 I
17
п
3
4
ас
7
9
V
24
40
2
25
41
и
17
31
V
31
49
Заметим, что уравнение (3) тесно связано с системой
м;2 + а — у2> м?2 — а = и2,
(4)
которая была предметом самых тщательных исследований на
арабском Востоке и в Европе (подробнее об этом см. во II и III
*/
Ъ
^ Рис. 3
частях этой работы, а также в книге А. П. Юшкевича [44, с. 224]).
Искомые квадраты, как нетрудно видеть, должны составлять
арифметическую прогрессию: v2 — w2 = w2 — и2 или 2w2 = и2 + v2.
Вавилонские тройки дают путь к решению системы (4), т. к. если
х, У, z — решения уравнения (1), то получаем
и = у — х = -р2 + q2 + 2/?g,
v = x+y=p2^q2 + 2pq,
w = z = p2 + g2.
Аналогичные формулы мы встречаем у математиков арабского
Востока и у Леонардо Пизанского.
С другой стороны, система (4) связана с нахождением прямо-
Угольных треугольников с рациональными сторонами, имеющими
Жданную площадь. Действительно, если х, у, z — пифагорова
тРойка, то
z2 ± 2ху = {у± х)2. (5)
Таким образом, решение уравнения (4) можно свести к вопросу
0 сУЩествовании прямоугольного треугольника с рациональными
ст°ронами, учетверенная площадь которого 2ху была бы равна
^Данному числу а, и о нахождении сторон такого треугольника.
^Ь1 Увидим, что именно вторую часть этой задачи при а = 5

24
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
решил Герон Александрийский. Соотношение (5) мы в дальнейшем
находим у Диофанта, а поиски критерия существования треуголь~:
ника с рациональными сторонами и заданной площадью привели
впоследствии к формулировке ограничительных условий,
налагаемых на число а, эквивалентных великой теореме Ферма для
п = 4. Такое ограничение, как мы увидим, было высказано Лео-'
нардо Пизанским, а затем и самим Пьером Ферма. Это показывает,
что задача о «вавилонских числах» имеет длинную историю.
Наконец, у вавилонян встречается и формула композиции
(и2 + v2)(a2 + р2) = (аи ± pi;)2 + фи =F w)2. (6)
В Сузской таблице Т,20, как на это обратил внимание
Э. М. Брёйнс, она применяется дважды. В обоих случаях она
служит для нахождения новых решений уравнения (3), если одно*
его рациональное решение м, у, w известно [62].
Пример I1. Берется решение и — 0; 15, v = 1;45, w =
= 1;15. Оно получается из вавилонской тройки (1, 7, 5) путем,
умножения на 0;15, где 0;15 означает 15/60 = 1/4. Новое решение/*
отвечающее новым щ, vx при том же значении и?, ищется в виде-
vt = 0;48-1;45 + 0;36-0;15 = 1;33,
щ = 0;36-1;45 - 0;48-0;15 = 0;51.
Здесь р = 0;48 = 4/5, а - 0;36 = 8/5, т. е. а2 + р2 = 1.
Очевидно, для нахождения а, р была взята пифагорова тройка
(3, 4, 5). Теперь ясно, что для получения нового решения
вавилоняне пользовались формулой композиции
2u>M = 2w2 (а2 + р2) = (и2 + у2)(а2 + Р2) = (аи + Ру)2 +
+ (av — Ри)2.
Пример 2. В качестве исходного решения уравнения (3)
взята тройка и = 0;35, v = 1;25, w = 1;5, которая получается.'
из вавилонской тройки (7, 13, 17) путем умножения на у = 0;5/:
Новое решение получается по формуле
vx = 1;25 — 0;24 (1;25 — 2-0;35) = 1;19,
Ul = 0;35 + 2-0;24 (1;25 — 2-0;35) = 0;47.
Здесь, если судить по внешнему виду формул, решение
несколько иное, но и его удается свести к применению формулы (6)*
Для этого заметим, что 0;24 = 2/5, и что решение имеет вид
vx = v — 2/5 (v — 2и) = Vbv + Чьи = av + ри, ,
их = и + 4/5 (v — 2и) = 4/5у — г/ъи = $v — аи, |
иными словами, применено второе разложение из формулы (6)»'
1 См. книгу А. А. Ваймана [13, с. 199—202] и статью Э, М. Брёйнса [63JU;

ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА 2S
Итак, древние вавилоняне знали формулу (6) и искусно ее
применяли. Впоследствии мы будем неоднократно встречаться
с этой формулой и у Диофанта, и на средневековом Востоке,
и в Европе. Формула композиции (6), как мы постараемся
показать, сыграла исключительную роль в истории диофантова
анализа.
Вавилонская традиция, по-видимому, просуществовала очень
долго. Вероятно, греческие математики широко пользовались ею,
особенно в эпоху эллинизма и в период Римской империи. Не
исключено, что ученые средневекового Востока получили ее не
только через греков, но и непосредственно от народов Двуречья
я Сирии. Эту же традицию мы находим и в Европе, где ее можно
проследить вплоть до работ Франсуа Виета. По-видимому,
европейские математики восприняли эту традицию через посредство
арабских авторов.
2. ДРЕВНЯЯ ГРЕЦИЯ
В своих «Комментариях к первой книге «Начал» Евклида»
Прок л пишет, что метод нахождения прямоугольных
треугольников в целых числах восходит: один — к пифагорейцам, а другой —
к Платону. «Пифагорейцы,— пишет он далее,— исходили из
нечетного числа. А именно, они брали данное нечетное число в
качестве меньшего катета, затем возводили его в квадрат, вычитали 1
и брали половину остатка в качестве большего катета; если же
к остатку прибавить 1, то получится третья сторона — гипотенуза»
197, с. 464]. Итак, для уравнения (1) пифагорейцы предлагали
решение
я2-1 а2 4-1 /7Ч
ж = а, у =—^—> z =—2—' *'
где а — 2п + 1. Простейшее решение получается при а = 3 = х,
тогда у = 4 и z = 5. Платон в своем методе исходил из четных
чисел. Если а = 2п, то решением уравнения (1) по Платону
будет
х - а, у = (а/2)2 - 1, z = (а/2)2 + 1. (8)
При а = 4 мы вновь получаем треугольник (3, 4, 5).
Формулы (7), также как и (8), не дают всех решений уравнения
(I). Это можно усмотреть хотя бы из того, что общее решение
Уравнения (1) должно зависеть от двух параметров, тогда как
в приведенных выше формулах (7) и (8) участвует только один.
Полное решение уравнения (1) мы находим впервые в X книге
«Начал» Евклида. Первая лемма к предложению 29 это t книги
гласит: «Найти два квадратных числа так, чтобы и [число],
составленное из них, было квадратом».

26
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Для решения поставленной в лемме задачи Евклид берет
два подобных плоских числа. Пусть это будут АВ = тпр2 ы
ВС = mnq2. Евклид предполагает, что АВ, ВС одновременно либо^
четные, либо нечетные, так что их разность АВ — ВС всегда
четна. Пусть AD — половина этой разности (рис. 4), тогда по
предложению 6 книги II |
АВ-ВС + CD2 = BD2
или ]
, 2Ч, оч , / тпр2 — mnq2 \2 / тпр2 4- mnq2 \2 I
{тпр2) (mnq2) + (—^ ) =\ ^ ) •
т. е. Евклид получает решение поставленной задачи в виде ]
тпр2 — mnq2 тпр2 + mnq2 \
х= £-2—— , y = mnpq, z = *Ц±- — . ]
Если разделить я, г/, z на общий множитель тп и умножить на 2и
то получим это решение в более привычном для нас виде, которым]
пользуется и Диофант: х = р2 —- д2, у = 2pq, z = р2 + q2. I
О другой задаче, также восходящей к пифагорейцам, Плутарх]
пишет в своем сочинении «Изида и Озирис». По словам Плутарха:!
«Пифагорейцы питают отвращение к числу 17. Ибо 17 лежит как]
раз посередине между числом 16, представляющим полный квад-1
рат, и числом 18, являющимся удвоенным квадратом; оба эти!
числа являются единственными плоскими числами, для которых
периметр прямоугольника равен его площади» [14, с. 134]. Иначе
говоря, пифагорейцы решали уравнение ху — 2х + 2у, откуда
у - 2x1 (х - 2) - 2 + Щх - 2). |
Так как у должно быть целым, то х —- 2 должно быть делителем 4,
т. е. возможны следующие случаи:
х — 2=1, тогда х = 3, у = 6, ху — 18,
х — 2 = 2, тогда х — 4, у = 4, ху = 16, |
х — 2 = 4, тогда я = 6, у = 3, ху = 18. 1
Аналогичная задача встречается еще в вавилонских текстах,]
а именно в учебном тексте МКГ II, 39: «Длина и ширина вместе
равны площади», т. е. х + у = ху, причем решение дается в виде
Здесь, правда, не требуется, чтобы решения были целыми.
Модификацию этой задачи мы находим впоследствии у Герона. I
Наконец, третья задача диофантова анализа, которую рас-]
сматривали в античности, эквивалентна решению в целых числах]

ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА 27
уравнения
у*-ах2 = ±1. (9)
Это уравнение получило в XVIII в. наименование уравнения
Пелля, а в наши дни его начали более справедливо называть
уравнением Пелля—Ферма или просто уравнением Ферма.
При а = 2 это уравнение рассматривали еще пифагорейцы.
В своем комментарии к «Государству» Платона, а именно, к тому
месту, где Платон называет число 7 «рациональной диагональю»,
отвечающей стороне 5 («Государство», 576С), Прокл приводит
следующий метод решения этого уравнения: «Единица, как начало
всех чисел, в потенции является и стороной и диагональю. В таком
случае возьмем две единицы: одна будет боковой, а другая —
диагональной. Теперь образуем новую сторону, прибавив к
единице-стороне единицу-диагональ, и новую диагональ, прибавив
к единице-диагонали дважды единицу-сторону» [14, с. 176].
Итак, в качестве первого решения берется х1 = 1, ух = 1,
тогда у\ — 2#? = —1. Второе получается по формулам
Ч = *i + Ух = 2, У% = 2^i + Уг = 3
ж у\ — 2#! = 1. Аналогично получаем и дальнейшие решения
Хп = Хп„г + Уп-V Уп = 2^n-l + #7i-i. (Ю)
При этом платоновские рациональные сторона и диагональ
получаются на 3-м шаге:
*з = Ч + Уч = 5> Уз = 2х2 + У% = 7. .
Доказательство того, что формулы (10) дают решения уравнения
(9) при а = 2 содержится согласно Проклу в предложениях 9
и 10 книги II «Начал» Евклида. Действительно, в предложении 9
доказывается тождество (рис. 5)
AD* + BD* = 2АС2 + 2CD2,
где АС = ЯС, или
AD2 - 24С2 - —(Si)2 — 2С£2).

28 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Следовательно, если BD2 — 2CD2 = ±1, то таковы же будуЫ
значения и AD2 — 2АС2. Но, как видно из чертежа (рис. 5)J
АС = CD + BD = х + у, AD = 2CZ) + ££> = 2а: + р.
Предложение 10 двойственно к предложению 9. В нем pacJ
сматривается случай, когда точка D лежит на продолжении пря-1
мой АВ. ]
Аналогичные упоминания о «диагональных» и «боковых»!
числах и описание процесса их образования содержатся в коммен-1
тариях Теона Смирнского (II в. н. э.) к «Государству» Платона]
и у Ямблиха (см. об этом в [14, с. 175—177]). ]
Заметим, что формулы (10) дают возможность получить сколь!
угодно хорошие рациональные приближения для 1^2. 1
Весьма вероятно, что ко времени Архимеда (III в. до н. э.м
были известны и формулы для решения уравнения (9) при других!
значениях а. По крайней мере, Архимед в «Измерении кругаИ
приводит приближенное значение для |^3, которые можно поду-1
чить, как отношения уп/хп, где хп и уп являются рациональными]
решениями уравнения (9) при а = 3. При этом I
Хп = #п-1 + 2/п-1> Уп =' 3#п-1 ~Г Упг-1' 1
Последовательными приближениями для |АЗ будут 1/1, 2/1J
5/3, 7/4, 19/11, 26/15, 71/41, 97/56, 256/153, ... I
Архимед берет в качестве приближения 265/153, ничего не!
говоря о том, как именно это приближение было получено. Это»1
свидетельствует о том, что метод, которым он пользовался, был]
достаточно широко известен. 1
С другой стороны, известно, что Архимед поставил перед алек-|
сандрийскими математиками так называемую «задачу о быках»и
которая приводится к уравнению (9) при а = 4 729494. Видимой
великого ученого интересовало не столько конкретное решение]
уравнения (9) при заданном а, сколько общий метод нахождения]
решения. 1
Все перечисленные нами задачи рассматривались в доевкли-1
довой математике. П. Таннери и Т. Хизс полагали, что в эпоху!
Архита (т. е. около 400 г. до н. э.) должен был существовать!
трактат по арифметике, содержание которого примерно совпадало]
с VII—-IX книгами «Начал» Евклида. Этого же мнения придер-1
живается и Б. Л. Ван дер Варден, который сделал попытку более*!
точно восстановить содержание этого трактата. Авторами его ов|
считает пифагорейцев [14, с. 155—156]. Мы полагаем, что в этот!
трактат могли входить и некоторые предложения из книги Х|
«Начал» (например, лемма к предложению 29). Все эти гипотезы!
получили теперь подтверждение: в конце недавно опубликован-1
ного трактата Ибн ал-Хусайна [46] автор пишет, что многие ре-1

ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА 29*
зультаты и предпосылки были даны «Никомахом в искусстве
чисел и в «Началах», в которые Евклид включил три числовые
книги куда он перенес теоремы из «Арифметики» и доказал их с
помощью линий» [46, с. 157—158]. Далее Ибн ал-Хусайн говорит
об авторах «Арифметики».
Таким образом, теперь документально подтверждено, что*
1) до Евклида существовала книга по арифметике, совпадающая
по содержанию с арифметическими книгами «Начал»; 2) эта книга
была написана не одним автором, а группой лиц, так как Ибн.
ал-Хусайн говорит об ее «авторах»; 3) стиль изложения в этой
книге был иной, чем в «Началах», где все доказательства
проводились геометрически («на линиях»).
Итак до Евклида теория чисел трактовалась, по-видимому,,
арифметически. Евклид изложил все арифметические
предложения на языке геометрии. В таком виде они просуществовали око л а
300 лет (III—I вв. до н. э.).Язык геометрии сделался привычным,,
он имел преимущество строгости и общности. До нас теория чисел
древних дошла в изложении, приданном ей Евклидом. Сломать
построенное им прочное и красивое здание было, разумеется,,
очень трудно. Новая трактовка появилась только в первых веках
нашей эры и пробивала себе путь постепенно. Прежде чем
приступить к ее описанию отметим две характерные черты трактовки
Евклида: 1) решения неопределенных уравнений ищутся в целых
положительных числах (отношение целых чисел, т. е.
рациональное число Евклид числом не считал); 2) в основу арифметики была
положена геометрия.
3. ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА
У ГЕРОНА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО
Впервые новую трактовку арифметических задач мы находим
У Герона Александрийского (I в. н. э.) в его «Геометрике» [69, 85L
Правда, задачи формулируются еще геометрически, однако
в них уже допускается сложение площади с периметром, т. е-
геометрический язык применяется по традиции, по существу же,
трактовка задач арифметико-алгебраическая. Решения ищутся
либо в области целых положительных, либо рациональных
положительных чисел. Методы решения не излагаются, но
совершенно ясно, что такие методы уже существовали ко времени Герона
и> вероятно, объяснялись при устном изложении.
Мы приводим интересующие нас задачи Герона (их всего 12)
либо в современных обозначениях, либо с кратким изложение*»
Условия.
1. а (х + у) = и + v, ху = auv, а = 3.
2. х + у = и + v, ху = auv, a = 4.
3. х2 + 4* = 896.

30
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
4. В прямоугольном треугольнике (#, у, z) периметр равен
50 футам; найти стороны, т. е.
х2 + у2 = z2, Р = х + у + z = 50.
5. Площадь прямоугольного треугольника равна 5; найти
*его стороны; т. е.
я2 + У2 = z2, xUxy = а> а = 5.
6. В прямоугольном треугольнике высота равна 12 футам,
юснование — 16 футам и гипотенуза — 20 футам. Его площадь j|
96 футов. Разделить его между 16 людьми, чтобы каждый получил
прямоугольный треугольник в 6 футов. I
7. В прямоугольном треугольнике высота 12 футов и площадь4!
96 футов; найти основание и гипотенузу, т. е.
х2 + у2 = 22, у = а, Ч2ху == S \(а = 12, 5 = 96).
8. Если основание прямоугольного треугольника 24 фута, J
зкаковы его высота и гипотенуза? Т. е.,
Я2 -f- у* = 22, Ж = 24.
9. Площадь вместе с периметром прямоугольного
треугольника составит 280 футов; выделить стороны и найти площадь; т. е.
х2 + у2 = z2, V2^ + х + у + z = 280.
10. *2 + у2 - z2, V,*y + х + у + z - 270.
И. *2 + */2 =z2, V2;q/ + a; + */ + z - 100.
12. х2 + у» = z2, Va*0 + а: + у + z = 90.
Как мы видим, большинство из этих задач являются
неопределенными. Для нас наиболее интересными являются задачи 4, 5 Ц
и 9—12, поэтому воспроизведем здесь их решения, предложенные
Героном.
Решение задачи 4. Герон говорит здесь, что будет
«применять «пифагоров метод». Он полагает стороны искомого
треугольника 3 фута, 4 фута и 5 футов. Тогда периметр будет
12 футов. Но периметр равен 50 футам. Поэтому первая сторона
будет 12V2 футов, вторая — 162/3 и третья — 20V2V3.
Итак, здесь Герон опирается на «пифагорову тройку» (3, 4, 5)
ж пользуется «методом ложного положения»: поскольку Р± =
-3 + 4 + 5-12, а Р = 50, то х = 3-Р/Рг = 3.50/12 - 12V2,
у = 4-60/12 = 162/3, z = 5-50/12 = 205/6, или в египетских дробях
* = 20V2V8.3
Аналогичным методом | неоднократно пользуется Диофант
в книге VI, где он полагает х = at, у = Ы, z = ct, если а2 +
-|- ъ2 = с2. Например, задачи] VI3_4 сводятся, соответственно.

ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА
31
к системам уравнений
х2 + у2 = z\ х2 + у2 = z\
г1%ху + т = и2, т = 5; Ч2ху — т1 = и2, тг = 6.
Б обоих случаях он ищет треугольник в виде (3£, At, 5t), в
результате чего задачи сводятся к уравнениям
6^2 + rn = и2 и б*2 — т1 = и2,
для решения которых Диофант проводит тонкий анализ и
получает, что вместо треугольника (3, 4, 5) надо взять треугольник
/ 331151 9 332 401 \
(14 400"' ' 14 400 / •
Итак, один из методов Диофанта восходит к Герону, а по его»
собственным словам, является пифагорейским, т. е. имеет весьма
древнее происхождение.
Совершенно особый интерес имеет задача 5, которая потом
встречается и у Диофанта (в усложненном виде), и у математиков
арабского Востока, и как одна из основных задач у Леонарда
Пизанского и Луки Пачоли. Рассмотрим ее решение у Герона.
Решение задачи 5. «Я делаю так: необходимо
рассмотреть 5, умноженное на некоторое квадратное число,
содержащее 6, чтобы так умноженное оно могло образовать площадь
прямоугольного треугольника. Умножим на 36, получим 180. Оно
будет площадью прямоугольного треугольника с высотой 9 футовг
основанием 40 футов и гипотенузой 41 фут.
И я делю 180 на 5, и 36 имеет в длину 6 футов. Беру шестую
часть от сторон, т. е. от 9, это будет 1*/2фута, от 40 шестая часть
будет 62/3 фута, это основание, и от 41 шестая часть будет б1/^1/^
фута, это гипотенуза, а площадь будет 5 футов» [85, с. 18].
Приведенное решение опирается на формулы для
«пифагорейских троек»:
* = £2 - Л2, У = 2£т|, z = I2 + л2,
поэтому площадь S треугольника будет равна £г) (£2 — г]2).
Герону известно, что S должна делиться на 6. Это важное свойства
было впоследствии доказано Леонардо Пизанским (см. ч. Illr
Гл- I, раздел 3). Поскольку S = 5, то стороны я, у, z искомого
треугольника не могут быть целыми. Поэтому Герон ищет сначала
треугольник с целыми сторонами xt, yt, zt, площадь которого-
равна 5t2. Ясно, что t2 должно делиться на 6 и что наименьшим
квадратом, обладающим нужным свойством, будет 36. Взяв
^ 36, мы получаем уравнение 5-36 = £п (£2 — т)2), которое-
°пределяет эллиптическую кривую. Метод нахождения
рационального решения таких уравнений до сих пор неизвестен. Герок
а*одит Рвение подбором; поскольку левая часть является
проведением 4-5-9, то можно принять г) = 4, g = 5, тогда I2 —

32 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
— f|2 = 9, и мы получим треугольник со сторонами xt = 9, yt =Ц
= 40, zt = 41. Стороны искомого треугольника будут 9/6, 40/6J
41/6.
Задача нахождения прямоугольного треугольника с рацией
нальными сторонами и заданной площадью а может быть сведена!
к системе уравнений
z2 + 4а = и2, z2 — 4а = v2,
-«которая, в свою очередь, приводится к уравнению 2z2 = и2 + v
Решения этого последнего уравнения находили еще в древне:
•Вавилойе. Поэтому весьма вероятно, что Герон опирался на дре:
невавилонскую традицию, с которой мы еще неоднократно встр
тимся в дальнейшем (см. ч. II, ^л. II, раздел 4).
Задача 6 является обращением задачи 5. Здесь заданы сторо-|
яы прямоугольного треугольника х = 16, у — 12, z = 20-
а значит и его площадь S = 96. Требуется разделить его междзд
16 людьми так, чтобы каждый из них получил треугольник с
рациональными сторонами площадью в 6 футов.
Решение задачи 6 таково: 96 : 6 = 16, 16 — эт<й
аквадрат 4. После этого берется V4-12 = 3 — это высота, V4'16 =f
= 4 — это основание и V4'20 = 5 — это гипотенуза. Наш тре1
угольник разделяется на 16 прямоугольных треугольников с<|
«сторонами (3, 4, 5).
Очевидно, Герон исходил из того, что стороны искомого трв||
угольника суть хг = x/t, уг = ylt, zx = z/t, тогда |
xU*y = Ч&ЯгР = 96.
Но 11%х1у1 = 6, откуда £2 = 16, £ = 4 и решение найдено.
В задаче 7 задан прямоугольный треугольник с высотой 121
-футов и площадью 96 футов. Требуется найти основание и гипо^|
тенузу.
Решение: V8-12 = 4 фута, 12 + 4 = 16 футов, основание
^•le = 4 фута, 16 + 4 = 20 футов — гипотенуза.
Ясно, что Герон и здесь предполагает, что искомый треуголь^
яик имеет вид х = it, у = 3t, z — 5t. Тогда 3 f = 12, t = 4,
л = 16, у = 12, z = 20.
Аналогичным методом решается и задача 8.
Задачи 9—12 представляют, по существу, варианты одной Щ
той же задачи. Меняются только коэффициенты уравнений. Мы|
приведем здесь (для примера) решение задачи 10.
Сначала Герон разлагает сумму площади и периметра, т. eJj
270, различными способами в произведение двух сомножителей^
270 = 2-135 = 3-90 = 6-45 = 9.30=10-27. Затем он выбяра<
разложение 6-45 и показывает, что с его помощью можно полу-

ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА 33
чить решение, сделав следующую последовательность операций
D J- . 270 = 45, 7) 2401 - 1440 = 961,
' 6
2)6-2 = 4, 8)У"96Т = 31,
4Q 31
3) 45 + 4 = 49, 9) я = 9 — это высота»
4) 49а = 2401, 10) 49 + 31 = 40 — это основание,
5)45-4=180, 11)45-4 = 41.
6) 180-8 = 1440,
Тогда площадь V2-xy = V2-9-40 = 180 и Ч2ху + (х + у -f z) =
= 270.
Таково решение Герона. Одна из реконструкций этого способа
решения была дана Э. М. Брёйнсом в его издании Герона [69,
т. 3, с. 89—90]. На наш взгляд она несколько усложнена, так как
основана на преобразовании алгебраических выражений 4-й
степени. Мы предлагаем здесь более простую реконструкцию
метода, которым решена эта группа задач.
Задачи 9—12, как мы видели, сводятся к решению системы
уравнений
х2 + у2 = Л Ч2ху + х + у + z = а, (11)
эквивалентной системе уравнений
*•+»•-*•, (£±|±1)(£±Р1+2Н- аз)
Действительно, из условия х2 + у2 = z2 легко получить
следующее выражение для площади прямоугольного треугольника
4-хУ== <«+;»'-* , аз)
Подставив это выражение во второе уравнение системы (11)
и разложив левую часть на множители, получив второе уравнение
системы (12). Возможность подобного преобразования системы
(И) в систему (12) подтверждается тем, что Герон владел формулой
Для площади произвольного треугольника со сторонами х, у, z:
■=у*_ц
+ zx + y — zx — y~\-zy + z-
к°торая была названа в дальнейшем его именем. Если теперь
пРеДпол ожить, что треугольник (х, у, z) — прямоугольный, т. е.
х + У2 = z2, то имеют место соотношения
g_4- У + z x + y — z x — y + z у + z — x ху
2 2 — 2 2 — "Т*
2 Заказ № 3214

34j
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Поэтому из формулы Герона следует, что
1 ~»— Х + У + 2 x + y — z
— ху § 2 *
Смысл нашей реконструкции состоит в том, что вычисления
Герона, приведенные выше, соответствуют не системе (11), а эк»
вивалентной ей системе (12).
Пусть а = a,i-a2 и
* + У + * x + y — z
2 — aiJ 9 === 2*
тогда проведенные Героном в задаче 10 вычисления при а = 270,
ах = 6, а2 р= 45 в общем виде запишутся следующим образом:
4\ x + y + z _ а _ оч х + У — я о
1) g =_ = «!, 2) g = *2 —Д
3)a + */ = ai + a2-2, 4) (х + г/)2 = (ах + а2 -2)2,
с\ ху x + y-j-z x + y — z ( 9\
э) —2 2 2 х' — ''
Итак, в пунктах 3) и 5) Герон получает систему уравнений,
которая была канонической еще в древнем Вавилоне
х + у = т, ху = /г, (14)
где /71 = ах + а2 — 2, /г = 2аг (а2 — 2).
Дальнейшие вычисления Герона представляют собой не что
иное, как решение этой системы уравнений. В пункте 4) Герон
уже нашел т2 = (аг + а2 — 2)2, а* в пункте 6) он находит 4л =
= 8аг (а2 — 2), поэтому оставшиеся вычисления можно записать
следующим образом:
7) т* - 4л, 8) Ут? — 4и,
9) ^" + 1^-*», Ю) y=m"^-4,,-i
ll)2=±±|+l^£±|^=ai-_(a2^2).
Таким образом, начиная с пункта 6) мы имеем дело с
каноническим способом решения системы уравнений (14). Для того
чтобы решение было рациональным, необходимо, чтобы
дискриминант т2 — An был полным квадратом. Поэтому разложение а на
сомножители аг и а2 не может быть произвольным, а именно, ах
и а2 должны быть целочисленными решениями системы уравнений
ии = а, (и + у — 2)2 — 8и (у — 2) = и?2.
Мы полагаем, что Герон не решал эту последнюю систему,
а заранее выбрал значения х, у, z и по ним нашел значение а
и необходимое разложение. Заметим, что так поступали древне-

ЗАДАЧИ ДИОФАНТОНА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА 35
вавилонские математики, составляя знаменитые серии задач с
одним и тем же решением.
Отметим также, что у Диофанта в книге VI имеются
аналогичные задачи
VW ги*У ± & + У) = ™,
VIio-u. V23y ±(x + z) = m,
где х2 + у2 = 22. Однако решаются они совсем иным способом.
Таким образом, уже ^ конце I в. н. э. Герон решал задачи,
эквивалентные неопределенным уравнениям, причем искал
решение в области положительных рациональных чисел. Однако сам
Герон не сводил эти задачи к уравнениям и не пользовался при
их решении методами, которые мы теперь отнесли бы к
алгебраической геометрии. Подход к этим задачам у Герона, как и у его
предшественников, был скорее арифметическим. Решение
излагалось догматически: почему надо было «делать так», нигде не
поясняется. Наконец, искалось всегда только одно решение.
От Диофанта Герона отделяет 200 (или 100) лет. Мы не знаем,
было ли в это время сделано что-либо новое в области
неопределенных уравнений или они оставались на одном и том же «геро-
новском» уровне. В последнем случае следует считать, что
решительный шаг вперед был сделан именно Диофантом. И этот шаг
заключался в том, что Диофант применил к «неопределенным
задачам» совершенно новые методы. Он первый свел эти задачи
к неопределенным уравнениям и разработал методы решения
целых классов таких уравнений. При этом он, по существу,
оперировал с алгебраическими кривыми, плоскими и
пространственными, алгебраическими поверхностями и многообразиями
многих измерений. Он расширил числовую область, ввел
буквенную символику и широко пользовался подстановками.
Переворот, произведенный Диофантом в области
неопределенного анализа, можно сравнить толькб с преобразованием
геометрии после введения метода координат Декартом и Ферма.
Но может быть, наиболее удивительным является то
обстоятельство, что не только никто из предшественников Диофанта, но
и никто из последующих математиков, занимавшихся
«неопределенным анализом», не пришел к подобной идее. Европейские
математики начали пользоваться методами Диофанта только после
прочтения его «Арифметики». Как это ни удивительно, до этого
ни одному ученому не пришла в голову мысль свести задачу к
неопределенному уравнению и решать последнее по правилам
алгебры. Никаких методов, хоть сколько-нибудь напоминавших дио-
фантовы, изобретено не было.
Итак, если некоторые задачи из «Арифметики» имеют долгую
предысторию, то идеи и методы ее совершенно новы. В этом
отношении, насколько нам известно, у Диофанта не было
предшественников.
?*

36 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
ГЛАВА II ■
ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ 1
1. ДИОФАНТ 1
Мы очень мало знаем о Диофанте. В одной из эпиграмм Пала- а
тинской Антологии говорится: Ц
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень Я
Мудрым искусством его скажет усопшего век. * Ц
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком, А
И половину шестой встретил с пушком на щеках. *|
Только минула седьмая, с подругою он обручился. ~|1
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец; ||
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. II
Отнят он был у отца ранней могилой своей. II
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. II
Тут и увидел предел жизни печальной своей 1. 11
Я
Отсюда нетрудно подсчитать,^ что Диофант прожил 84 года. А
Однако для этого вовсе не нужно владеть «мудрым искусством ||
его». Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним II
неизвестным, а это умели делать египетские писцы еще за 18 ве- II
ков до нашей эры. Ц
Но когда же жил Диофант? Теон Александрийский в своих Ч
комментариях к «Альмагесту» Клавдия Птолемея привел отрывок I
из сочинений Диофанта. Поскольку деятельность Теона падает А
на вторую половину IV в. н. э., очевидно, Диофант не мог жить ||
позднее середины IV в. Этим определяется верхний предел про- §1
межутка времени жизни Диофанта. С другой стороны, сам Дио- §1
фант в своей работе «О многоугольных числах» дважды упоми- А
нает Гипсикла, математика, жившего в Александрии в середине А
II в. до н. э. Итак, нижним пределом является вторая половина ||
II в. до н. э. Таким образом, получаем промежуток в 500 лет! II
Сузить этот промежуток попытался П. Таннери, известный II
историк науки, издатель критически проанализированного Я
текста сочинений Диофанта, который теперь принят в качестве ц
канонического. В библиотеке Эскуриала он нашел отрывок из|1
письма Михаила Пселла, византийского ученого XI века, текст щ
которого был искажен при переписке. После восстановления ||
текста Таннери, один из отрывков письма может быть переведен А
так: «Что касается этого египетского метода, то Диофант рассмот- |[
рел его более точно, и ученейший Анатолий, после того, как/I
собрал наиболее важные части этой науки, посвятил их своему ;|
* Переводе. П. Боброва. Греч, текстом. [47, т. II, Ер. XIV, с. 126], а также
[73, т. II, с. 60].

ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ 37
другу Диофанту» г [73, т. II, с. 37—42], Известно, что Анатолий
Александрийский составил «Введение в арифметику» в десяти
частях, фрагменты из которой дошли до нас в передаче Ямблиха
[90] (IV в. н. э.). Но Анатолий, познания которого в арифметике,
геометрии и астрономии превозносит Евсевий, жил в Александрии
в середине III века, причем в 270 г. он покинул ее, став епископом-
Лаодикийским (в Сирии) [20].
Таким образом, если Таннери правильно прочел письмо
Пселла, то Диофант жил в середине III века н. э.
Это подтверждается еще и тем обстоятельством, что сама
«Арифметика» посвящена «достопочтенному Дионисию», который,
как это видно из введения к первой книге, интересовался наукой
о числах и ее преподаванием. Между тем, с 231 по 247 гг. во
главе Александрийского училища для юношества стоял Дионисий,
ставший в 247 г. епископом Александрийским. По
предположению Таннери, именно ему и была посвящена «Арифметика».
Мы приведем еще один довод ц пользу гипотевы П. Таннери.
Ниже (см. ч. I, гл. II, раздел 3) мы будем подробно говорить
о символике Диофанта. Здесь отметим, что он ввел буквенные
обозначения для 6 первых положительных и отрицательных
степеней неизвестного. До этого употребляли только три первые
положительные степени неизвестного, которые допускали
естественное геометрическое истолкование. Четвертая, пятая и
шестая степени неизвестного не находили интерпретации в
трехмерной евклидовой геометрии и потому введение их могло вызвать
недоумение у современников. По некоторым дошедшим до нас
высказываниям выдающихся геометров можно судить о том, что
это так и было.. Так, Папп Александрийский писал: «Если же
прямых больше шести, то уже нельзя говорить о данном
отношении какого-нибудь предмета, построенного на четырех прямых^
к предмету, построенному на остальных, потому, что не
существует ничего, что заключало бы больше чем три измерения 1 (курсив
наш — Авт.).
Однако незадолго до нас стали позволять себе выражаться
подобным образом, не указывая, впрочем, при этом на что-либо
сколько-нибудь вразумительное» [95, т. 2, с. 509].
Поскольку Папп жил во второй половине III в. н. э.,
приведенное место свидетельствует, что книга Диофанта была написана
незадолго перед этим. Таким образом, все косвенные доводы
указывают нам на середину III в. н. э.
В то же время существуют свидетельства, правда весьма
поздние, которые ставят эту дату под сомнение. Дело в том, что
первым европейским математиком, серьезно изучавшим «Арифметику»
Диофанта был Рафаэль Бомбелли (XVI в.). В предисловии к
Поль Таннери исправил в дошедшем до нас тексте слово етЕрах; (по-
ДРУгому) на ета(рсо (другу), после чего вся фраза приобрела смысл.

38 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
своей «Алгебре» (1572 г.) Бомбелли писал, что он нашел в би- 1
блиотеке Ватикана замечательную рукопись, посвященную I
науке о числах, составленную «неким Диофантом, греческим ав- I
тором, жившим в эпоху Антонина Пия». Эту же дату повторяют I
затем Виет, Ферма и другие ученые XVI—XVII вв. Но Антонин 1
•Пий был римским императором середины II в. н. э.., т. е. время 1
жизни Диофанта отодвигается на 100 лет назад, и он оказывается 1
современником астронома Клавдия Птолемея и деятелем «грече- 1
ского возрождения», 1
Откуда же почерпнул свои сведения Бомбелли? Сам он ничего 1
об этом не говорит. Можно только предположить, что он читал 1
в библиотеке Ватикана какие-то дополнения к рукописи Дио- 1
фанта, которые были с тех пор утеряны. Быть может, новые 1
находки на арабском Востоке или в недрах европейских библио- ||
тек прояснят этот вопрос. Пока наиболее вероятным временем 1
жизни Диофанта представляется столетие с середины II до сере- I
дины III в. н. э., что вполне возможно, если учесть, что он про- I
жил 84 года. 1
Если о времени жизни Диофанта можно спорить, то место его 1
жизни сомнения не вызывает — это Александрия Египетская, I
знаменитый город, основанный Александром Македонским. I
Перефразируя известную римскую поговорку, можно сказать, I
что города, как люди, имеют свою судьбу. Давно уже стерты I
с лица земли знаменитые в свое время Ниневия, Вавилон, Кар- 1
фаген, но все еще стоят и славятся Афины, Рим, Александрия. I
Александр во время своего похода на Восток основал много горо- I
дов с названием Александрия, но мировая слава досталась толь- I
ко одному из них — Александрии Египетской. I
С этим городом неразрывно связан расцвет эллинистической I
науки и культуры, поэтому мы коротко остановимся на его I
истории. •> I
После смерти Александра Македонского (323 г. до н. э.) Алек- I
сандрия сделалась столицей Египта — крупнейшего государства I
эллинистического мира. Население Александрии было смешанным, I
однако полноправными гражданами этого города считались толь- Л
ко греки и македоняне. Только для них это был город, имеющий I
самоуправление. В Египте правила династия царей — Птоле- I
меев, которые покровительствовали науке и искусству. Уже Л
первый из них, Д1толемей Сотер, сын Лага, желая сделать Алек- Л
сандрию центром эллинистической цивилизации, пригласил туда ;|
поэтов, писателей, философов и ученых. По совету знаменитого *|
философа-перипатетика Деметрия Фалерского, он основал два }|
учреждения, которые стали средоточием науки и культуры,— ||
Музейон и Библиотеку. Музейон представлял собой прообраз ||
современных университетов. Там жили и занимались крупней- щ
шие ученые (в лучшие времена их было до 100), туда стекались Ц
со всех стран мира юноши, жаждавшие пополнить свои знания. Я

ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ
39
Вот как описывает знаменитый географ Страбон(1 в. до н. э.—
I в. н. э.) устройство Музейона:
«Мусей также является частью помещений царских дворов;
0н имеет место для прогулок, «экседру» и большой дом, где
находятся общая столовая для ученых, состоящих при Мусее.
Эта коллегия ученых имеет не только общее имущество, но и
жреца-правителя Мусея, который прежде назначался царями,
а теперь — Цезарем» [35, XVII, с. 794].
Крупнейший астроном и математик Клавдий Птолемей (II в.
н. э.), создатель геоцентрической системы, сообщает, что при
Музейоне была оборудована астрономическая обсерватория.
Здесь же был анатомический театр, а в<ззможно, при Музейоне
находился и знаменитый зоологический сад, в котором были
собраны редкие животные со всех сторон света.
Но наибольшая слава выпала на долю Александрийской
библиотеки, где хранились сочинения всех видных поэтов,
писателей, философов и ученых. К I в. н. э. число свитков достигало
700000. На базе этого уникального хранилища в Александрии
родилась и развивалась филология как наука, там была
разработана грамматика греческого языка, по образцу которой была
впоследствии составлена латинская, а затем и грамматики всех
европейских языков. Здесь же проводились критические исследования
произведений классиков античной литературы.
Наряду с филологией в III в. до н. э. необыкновенных успехов
достигли математика и естественные науки, прежде всего
астрономия и география.
Среди первых приглашенных математиков был Евклид,
который именно в Александрии написал свои знаменитые «Начала» —
книгу, подводящую итог 300-летнему развитию греческой
математики. Без тщательного изучения классических исследований
пифагорейцев, Гиппократа Хиосского, Архита, Теэтета и Ев-
докса — такой труд был бы невозможен. «Начала» заложили
прочный фундамент для дальнейшего развития математики и
легли в основу обучения геометрии на протяжении более двух
тысяч лет. Несколько позднее в Музейоне жил и работал
крупнейший географ, математик, историк, филолог и поэт Эратосфен из
Кирены (его называли пентатлосом, т. е. пятиборцем), который
Долгое время стоял во главе Александрийской библиотеки.
В Александрию из родных Сиракуз приезжал для завершения
своего образования Архимед — величайший математик и
механик всех времен и народов. Здесь он приобрел друзей — видных
Ученых, с которыми переписывался по возвращению на родину.
Почти все дошедшие до нас сочинения Архимеда — это письма,
которые он отсылал в Александрию. Наконец, во второй
половине III в. до н. э. в Александрии учился, а затем и работал
замечательный геометр Аполлоний из Перги, создатель трактата
«Комические сечения», в котором были всесторонне изучены кривые

40
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
2-го порядка. Этот трактат был впоследствии основой для
построений Галилея, Кеплера и Ньютона.
Первые три Птолемея поддерживали Музейон и Библиотеку/
Последующие цари, по словам Страбона, «испорченные жизнью
в роскоши, управляли делами гораздо хуже своих
предшественников» [35, XVII, с. 796] и все же научная жизнь в Музейоне не
замерла, хотя и стала менее интенсивной.
Музейон пережил династию Птолемеев, он продолжал
существовать и тогда, когда Египет сделался провинцией Римской
империи. Императоры продолжали субсидировать Музейон и
Библиотеку. И вот научные исследования, которые начали
приходить в упадок в I в. до н. э.— в период жестоких
завоевательных и гражданских войн Рима — вновь ожили в начале нашей
эры. Александрия по-прежнему осталась научным и культурным
центром, уступив Афинам только в области философии. Рим
никогда не мог сравниться с ней в этом отношении. По существу,
он так и не приобщился к глубинам эллинской науки.
Желая объяснить это, Цицерон в «Тускуланских беседах»
(русский текст см. в книге [41]) писал:
«Греция превосходит нас наукой и всеми видами искусств,
ибо легко победить тех, кто не оказывает сопротивления...»
(Tusc. I, 1, 3). И далее: «Почет питает искусства, слава
воспламеняет всякого к занятиям ими, а что у него не в чести, то всегда
влачит жалкое существование... Далее, в величайшем почете
была у них (т. е. у греков) геометрия, поэтому нет ничего ярче их
математики, у нас же развитие этой науки было ограничено
надобностями денежных расчетов и земельных межеваний» (Tusc,
I, 2, 3).
Римляне и после Цицерона не проявляли никакого интереса
ни к математике, ни к естественным наукам, ценя в этих областях
только узко практические знания. Но и этими областями должны
были заниматься не римляне, удел которых, согласно Вергилию,
состоял в том, чтобы разумно управлять миром, а греки, сирийцы
и другие покоренные ими народы.
Итак, центром математической жизни остается Александрия.
Однако направление математических исследований в первых
веках нашей эры коренным образом меняется. В эпоху эллинизма
основой греческой математики была геометрия, алгебра еще не
выделилась в самостоятельную науку, а воспринималась как
один из разделов геометрии, даже сама арифметика строилась
геометрически. Теперь же происходит арифметизация всей
математики, геометрическая основа отбрасывается и, наконец,
происходит вычленение и самостоятельное построение алгебры. Этот
процесс можно наблюдать уже в творчестве Герона (I в. н. э.),
Менелая (конец I в. н. э.) и Клавдия Птолемея (II в. н. э.), у
которого отношения величин уже отождествлялись с числами. Но
решительный переворот в математике, заключающийся во введе-

ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ 41
нии буквенной символики и в построении алгебры, на основе
арифметики, был делом рук Диофанта Александрийского,
«Арифметика» которого знаменовала рождение двух великих наук:
алгебры и диофантова анализа.
2. СОДЕРЖАНИЕ «АРИФМЕТИКИ»
Еще более загадочным, чем жизнь Диофанта, представляется
его творчество. Из сочинений Диофанта до нас дошло два:
«Арифметика» и «О многоугольных числах», однако оба они
сохранились не полностью. Из 13 книг «Арифметики», о которых говорит
Диофант во введении к книге I, до нас дошло шесть на греческом
языке и не так давно были найдены еще четыре книги в арабском
переводе, которые приписываются Диофанту. Об этих книгах
мы будем подробно говорить в главе V. Сейчас скажем
только, что вряд ли эта арабская версия представляет часть
«Арифметики». Сочинение «О многоугольных числах», которое
написано совершенно в ином стиле, чем «Арифметика»,
сохранилось только в отрывках. Здесь мы не будем говорить о нем.
В «Арифметике», когда речь идет о теоретико-числовых
предложениях, Диофант обычно отсылает к своим «Поризмам».
Неизвестно, была ли это отдельная книга, или доказательства
«поризмов» были включены в «Арифметику». Во всяком случае,
ни одного доказательства теоретико-числового предложения от
Диофанта не дошло.
В дальнейшем мы будем говорить только об «Арифметике» „
точнее о тех шести книгах, которые сохранились на греческом
языке. Мы будем пользоваться текстом «Арифметики» в издании
Поля Таннери [73] или русским переводом этого текста, сделанным
И. Н. Веселовским [18J. О других изданиях этого текста читатель
найдет сведения в Приложении 2.
Содержание «Арифметики» столь непохоже на все то, что мы
знаем об античной математике, оно столь неожиданно и по
постановке вопросов, и по методу их решения, что невольно ставит
в тупик любого исследователя.
Прежде всего, «Арифметика» — это* не сборник предложений
и их доказательств, как, например, «Начала» Евклида или
«Конические сечения» Аполлония, а сборник задач (их 189),
каждая из которых снабжена решением (или несколькими
различными решениями) и необходимыми пояснениями. Только
в начале первой книги помещено краткое алгебраическое
введение, в котором излагаются необходимые сведения о числовой
области и символике, а также правила действий с многочленами
и Уравнениями. Поэтому на первый взгляд может показаться,
что «Арифметика» не является теоретическим произведением.
Однако при более внимательном чтении становится ясно, что
тщательный подбор и продуманное расположение задач направ-

h
42 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
лены на то, чтобы проиллюстрировать применение вполне опреде- 1
ленных, общих методов. Как это было принято в античной мате- I
матике, методы не формулируются общим образом, отдельно от 1
задач, а раскрываются в процессе их решения. Напомним, что 1
даже знаменитый «метод исчерпывания» — первый вариант тео- I
рии пределов — не был выделен в чистом виде ни его создателем 1
Евдоксом из Книда, ни Архимедом. Только математикам XVI— ]
XVII вв., на основании анализа «Начал» Евклида и квадратур 1
Архимеда, удалось извлечь этот метод и сформулировать его I
в общем виде. То же самое относится и к «Арифметике» Диофанта. I
Его методы были выделены, как мы покажем это ниже, в XVI— I
XVII вв. итальянскими и французскими математиками. Следуя I
им, мы попытаемся там, где это возможно, извлечь эти методы I
из текста и изложить их в общем виде. I
Теперь расскажем вкратце о содержании шести книг грече- I
ского теиста. I
Все задачи книги I являются определенными. Если они и I
ставятся как неопределенные, то доопределяются в процессе I
решения. В этой же книге имеется несколько задач (I27-30), I
которые приводятся к системам двух уравнений от двух неизвест- I
ных, эквивалентным квадратному уравнению. Для того чтобы I
решения были рациональными, Диофант требует, чтобы дискри- I
минант уравнения был полным квадратом. Делает он это без I
специальных пояснений, что свидетельствует о том, что в его I
время формула квадратного уравнения во всех ее вариантах была I
хорошо известна. I
Начиная со II книги большинство задач относится к неопреде- I
ленному анализу, т. е. они сводятся к решению неопределенного I
уравнения I
F fo, . . м Хп) = О (1) I
или системам таких уравнений I
Рг{хъ ..., *п) = 0, (2)
Fm 0*1, • • м Хп) = О, I
где т <^ п, a F, Ръ . . ., Fm — многочлены с рациональными ко- I
эффициентами. I
Но что означало для Диофанта решить такую систему? До- I
статочно ли было отыскать, какое-нибудь одно решение или не- I
обходимо было найти их все? I
В настоящее время эта задача ставится так: пусть коэффициен- I
ты всех уравнений системы (2) принадлежат некоторому полю К, I
тогда требуется найти множество М (К) всех рациональных ре- I
шений системы (2) и определить его алгебраическую структуру. I
При этом решение (хх\ . . ., х^) называется рациональным^ 1
если все х{0) €= К. ** I

ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ
43
Множество М (К), разумеется, зависит от поля К. Одна и та
же система может не иметь решения в некотором поле Кг и иметь
конечное число или бесконечно много решений в другом поле
К2. Так, например, уравнение х2 + у2 = 3 не имеет решений
в поле рациональных чисел Q, а в поле Q (1/^3) у него бесконечно
много решений.
Перейдем теперь к постановке вопроса у Диофанта.
Во-первых, в качестве основного поля К он всегда берет поле
Q, однако решения ищет только положительные, т. е.
принадлежащие Q+. Мы покажем, что основная цель Диофанта состоит
в том, чтобы выразить, если это возможно, неизвестные уравнений
вида (1) или систем уравнений вида (2) как рациональные функции
от одного или нескольких параметров
#1 — Ф (*i» • • •% t*)t • • •» хп = фп (*i, • • ., h)
так, чтобы каждому набору рациональных значений tv . . ., %
отвечало решение задачи.
При этом Диофант не ставит вопроса о том, существует ли
по крайней мере одно решение. Все его методы направлены \ на то,
чтобы найти новое решение, если одно решение уже известно.
Его не интересует также вопрос о том, нашел ли он все решения
задачи или только некоторую, хотя бы и бесконечную часть их.
Все эти утверждения будут обоснованы в последующих главах.
Как мы уже говорили, большинство задач книги I сводится
к определенным уравнениям и системам уравнений 1-й или 2-й
степени. Рассмотрение задач на неопределенные уравнения
Диофант начинает во II книге «Арифметики».
Первые десять задач этой книги эквивалентны уравнениям
вида *
F* (*, У) = 0, (3)
где F2 (x, у) — многочлен 2-й степени с рациональными
коэффициентами (т. е. соответствующая кривая имеет род 0). На этих
задачах Диофант показывает свой основной метод и, по существу,
доказывает частный случай теоремы
Гильберта—Гурвица—Пуанкаре, о которой мы говорили выше, а именно: если уравнение (3)
имеет рациональное решение, то оно имеет и бесконечно много
рациональных решений, причем неизвестные могут быть выражены
как рациональные функции одного параметра х = <р (£), у = i|) (t).
Остальные задачи книги II сводятся к системам уравнений,
каждое из которых не выше 2-й степени. В задачах Пц-и» Диофант
излагает свой метод решения «двойных равенств» простейшего
вВДа, т. е. системы уравнений
±а2* + а = yl ±$*х + Ъ = у*
<в задачах книги II а2 = 1, р2 = 1).

44
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
В дальнейших задачах Диофант так выбирает выражения для 1
неизвестных через основное неизвестное и параметры, чтобы все 1
уравнения системы, кроме одного, обратить в тождества. Остав- |
шееся уравнение дает ему возможность выразить основное неиз- 1
вестное (а значит и все искомые в задаче числа) как рациональную I
функцию параметров. |
В конце книги II и в начале книги III появляются задачи,, ко- I
торые представляют собой обобщение уже решенных на большее 1
число неизвестных. Во многих случаях метод таков, что проходит
для аналогичных задач, поставленных относительно любого числа 1
неизвестных (см., например, задачи 1120-21 и П32-33). J
Книга III по своему содержанию и методам непосредственно j
продолжает книгу II. Здесь рассматриваются системы трех,
четырех и большего числа уравнений, каждое из которых имеет
степень <!2. Здесь встречаются задачи, в которых Диофанту
удается путем подстановок обратить в тождества все уравнения,
кроме двух, причем эти оставшиеся уравнения образуют «двойное
равенство». В этой книге встречаются уже «двойные равенства»
вида
ах2 + Ьх Н- с = г/2, ахх2 + Ъхх + сг = z2,
которые определяют пространственные кривые, в общем случае,
рода 1. В дошедшем до нас тексте «Арифметики» нет явного
правила решения таких систем, однако при определенных значениях
коэффициентов Диофант проводит решение, которое позволяет
реконструировать его метод (см. ч. I, гл. IV, раздел 5).
В книге IV впервые рассматриваются неопределенные
уравнения .)-а и 4-й степени. В первых 23 задачах (кроме задачи IVl8,
в которой появляется уравнение 6-й степени) встречаются,
однако, только такие уравнения, которые униформизируются в
рациональных функциях. Задачи IV24 и IV26-28 сводятся к нахождению
рациональных решений уравнений 3-й и 4-й степени, которые
задают эллиптические кривые (т. е. кривые рода 1). В этом
случае, как мы уже знаем, неизвестные не могут быть выражены как
рациональные функции параметра.
Мы покажем (см. ч. I, гл. III, раздел 4), что для нахождения
рациональных положительных решений Диофант применил два
метода, первый из которых эквивалентен современному «методу
касательной», а второй— «методу секущей». Оба эти метода, как
известно, являются в современной алгебраической геометрии
единственными методами получения рациональных точек на
эллиптических кривых в случае, если известны одна или две
рациональные точки (см. [43]).
Книга V содержит наиболее трудные задачи. Может быть,
именно этим объясняется, что текст ее во многих местах испорчен.
Так, например, в задаче V9 Диофант формулирует ограничение,
которое нужно наложить на некоторое число а для того^ чтобы I

ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ
45
2# + 1 представлялось в виде суммы двух квадратов. Это
ограничение, которое свидетельствует о глубоких познаниях
Диофанта в теории чисел, было при переписке испорчено. Благодаря
полному непониманию вопроса, никто из последующих ученых
вплоть до Ферма не смог его восстановить. Только Ферма,
который независимо пришел к аналогичной теореме, сумел
восполнить пробел. Имеются и другие пропуски. Поэтому над этой
книгой работало немало филологов и математиков, из которых
назовем Баше де Мезириака, Ферма, Якоби и Таннери.
В книге V появляется новый тип задач (V9-14), в которых
заданное целое число N требуется представить суммою двух, трех
или четырех рациональных квадратов, каждый из которых
удовлетворяет некоторым неравенствам. Диофант применяет для их
решения четкий алгоритм, который он называет «методом
приближения» (rcapiaonjTo; ауюТу)- При этом он решает квадратные
неравенства и рассматривает уравнение
ах2 + 1 = у\ а = 26, 30,
решение которого ищет в целых числах.
Последующие задачи книги сводятся к отысканию
рациональных точек на кубических поверхностях. Примененные при их
решении методы эквивалентны проведению пучка плоскостей,
каждая из которых проходит через бесконечно удаленную
прямую, лежащую на поверхности.
Все задачи книги VI ставятся относительно прямоугольных
треугольников с рациональными сторонами, т. е. таких трех
рациональных чисел, которые удовлетворяют уравнению х2 + У2 =
— z2. К этому условию, общему для всех задач, присоединяются
дополнительные условия относительно площади, длины
периметра, суммы площади и одной из сторон и т. д.
При решении этих задач Диофант особенно искусно оперирует
с конкретными числами как с произвольными параметрами
(подробнее об этом см. ч. I, гл. III, раздел 4).
В этой же книге содержатся две леммы, которые дополняют
результаты книги I, а именно к задачам VI12 и VI15, где
доказывается, что уравнение ах2 + Ъ = у2 имеет бесконечно много
рациональных решений, если у него есть хотя бы одно такое
решение.
Книга VI интересна emfi и тем, что в ней Диофант применяет
почти все методы, которые имелись в предыдущих книгах: тут
применяется «метод касательной» и «метод секущей», решаются
Двойные равенства различного вида и т. п.
Задачи VI книги послужили поводом для многих теоретико-
числовых предложений П. Ферма. Особенно важно его замечание
к задаче, добавленной Баше де Мезириаком, в которой
требуется отыскать прямоугольный треугольник в рациональных числах,
площадь которого была бы рациональной. Ферма заметил, что эта

46
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
площадь не может равняться квадрату. Эта задача сводится к до- \
казательству неразрешимости в целых числах уравнения
я* _ г/4 = Z2 (4) \
Отсюда, в свою очередь, следует великая теорема Ферма для
случая п = 4. В своем замечании Ферма привел полное
доказательство неразрешимости уравнения (4). Это единственное
дошедшее до нас теоретико-числовое доказательство Ферма. Оно
основано на применении «метода спуска», получившего
впоследствии такое широкое применение в теории чисел.
Итак, большинство задач «Арифметики» сводится к решению
неопределенного уравнения или систем таких уравнений. И мы
утверждаем, что Диофант владел общими методами для
нахождения рациональных решений уравнений или, говоря языком
современной алгебраической геометрии,— методами нахождения
рациональных точек на кривых рода 0 и рода 1. У него встречают- ;
ся и другие вполне общие методы (см. ниже). Все эти вопросы |
рассматриваются в настоящее время в алгебраической геометрии
и над их решением трудились такие математики, как Якоби
и Пуанкаре.
Насколько же общими были методы Диофанта? Последующие
главы III—IV будут посвящены исследованию этого вопроса.
Но, разумеется, мы не первые изучаем Диофанта. Каково же было
мнение крупнейших историков науки о методах Диофанта и о его н
числовой области?
3. ИСТОРИКИ НАУКИ ОБ «АРИФМЕТИКЕ»
А. МНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧИСЛОВОЙ ОБЛАСТИ,
КОТОРОЙ РАСПОЛАГАЛ ДИОФАНТ
Во введении к «Арифметике» Диофант приводит «правило зна- \
ков» для умножения отрицательных чисел (см. ч. I, гл. III, раз- п
дел 2). При этом само отрицательное число Диофант обозначает I
специальным термином XsT^ic, а положительное — термином Ц
отгарЁ-ьс. Приведем толкование этих терминов и интерпретацию \
правила знаков различными историками науки. Поль Таннери ;
в своем латинском переводе текста «Арифметики» передает слово J
ХеТфьс как minus а йтгар&с как plus. ]l
Флориан Кэджори в книге [64], русский перевод которой |
был сделан известным историком науки И. Ю. Тимченко, пишет, Я
что Диофант первый говорил, что «отнимаемое число, будучи ум- |
ножено на отнимаемое, дает число прибавляемое» [24, с. 37]. И да- ||
лее: «Следует обратить особое внимание на то обстоятельство, что |
у Диофанта нет обоснованного алгебраического понятия об от- I
рицательных числах. Рассматривая выражение 2#— 10, он избе- I
гает как лишенные смысла все случаи, когда 2х < 10» [24, с.39]. 1

ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ
47
Сам И. Ю. Тимченко в приложении к книге Кэджори дает
другой перевод «правила знаков» Диофанта. Оп пишет:
«Недостаток, умноженный на недостаток, дает положительное число,
недостаток же — на положительное число дает недостаток» [24,
с. 317].
Наконец, в своей книге «Основания теории аналитических
функций» (Одесса, 1899) тот же И. Ю. Тимченко перевел правило
Диофанта следующим образом: «Отрицательное количество,
будучи умножено на отрицательное, дает положительное» [36,
с. 73].
Мнение Тимченко, по-видимому, ни у кого не нашло
поддержки. Крупнейший историк математики Мориц Кантор в первом
томе своих «Лекций по истории математики» дал следующую
интерпретацию «правила знаков» Диофанта: «Вычитаемое (abzug-
liche) число, умноженное на вычитаемое, дает прибавляемое,
вычитаемое на прибавляемое дает вычитаемое. Едва ли нужно
особо отмечать, что здесь и речи нет о положительных и
отрицательных числах как о мерах противоположных величин» [65, т. 1,
с. 471].
Чтобы показать, что мнение о наличии отрицательных чисел
у Диофанта не изменилось и в наше время, приведем слова Н. Бур-
баки: «Диофант не знает отрицательных чисел; это правило (речь
идет о правиле знаков) может быть интерпретировано только как
относящееся к исчислению многочленов и позволяющее
«развернуть» такие произведения как (а — Ь) (с — d)» [11, с. 65].
Впрочем автор оговаривается, что «правило знаков» — это «первый
росток исчисления с отрицательными числами».
В. МНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО МЕТОДОВ ДИОФАНТА
Первое слово здесь по праву принадлежит Г. Нессельману,
который в своей книге «Алгебра греков» посвятил целую главу
методам решения Диофанта. В ней он писал: «Описать все
множество методов Диофанта означает не что иное, как переписать
всю книгу» [92, с. 355].
Приведя это мнение, Мориц Кантор добавляет, что Диофант
не имел единообразия метода, а также «конечного числа методов,
каждый из которых служил бы для того, чтобы справиться с
определенной группой задач» [65, т. 1, с« 479].
В таком же духе высказывается и Г. Ганкель: «... Современному
математику после изучения 100 решений Диофанта трудно решить
101-ю задачу... Диофант скорее ослепляет, чем приводит в
восхищение» [82, с. 165].
Можно было бы подумать, что такая оценка объясняется тем,
что книги Нессельмана и Ганкеля были написаны до работ
Пуанкаре, который по-новому осветил проблемы и методы диофантова
■анализа. Но и в нынешнем веке взгляды на методы «Арифметики»

48 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
мало изменились. Мы видели это на примере Кантора. Такой же
точки зрения придерживаются в своей книге «История математики»
О. Беккер и И. Гофман: «Диофант не дает никакого общего
метода, но применяет, по-видимому, для каждой новой задачи
новый неожиданный искусственный прием, напоминающий
восточные» [54, с. 90].
Аналогичные высказывания мы находим даже в книге
«Пробуждающаяся наука» Ван дер Вардена: «Обычно он [Диофант]
удовлетворяется каким-нибудь одним решением, не делая
различия, будет ли оно целочисленным или дробным. Его метод
меняется от одного случая к другому» [14, с. 375].
Другую точку зрения на методы Диофанта мы находим у -
Г. Г. Цейтена: «Вообще говоря, Диофант старается найти какое-
нибудь одно решение задачи, не отыскивая общего решения
ее, которое включает все возможные решения, но не следует
придавать особого значения этому факту, если желать понять
полученные Диофантом результаты, ибо частные его решения
заключаются лишь в том, что он сейчас же придает определенные
значения вспомогательным количествам, служащим для решения
задачи» [39, с. 167—168].
После этого Цейтен разбирает способы Диофанта для реше- ч
ния некоторых неопределенных уравнений 2-й степени г
(подробнее см. ч. I, гл. IV, раздел 1). j
Однако и он не видит у Диофанта общих методов для решения |
неопределенных уравнений 3-й степени. До сих пор эти методы I
приписывались различным математикам нового времени. Так |
Т. Сколем в своей фундаментальной книге «Диофантовы уравне- *
ния» [106, с. 74] приписывает эти методы О. Коши и Э. Люка, \
а сам Люка — Коши и Ферма.
Мы видим, что и мнения о числовой области Диофанта и, осо- >
бенно, мнения о наличии у него общих методов весьма разнообраз- \
ны. Однако большинство из них сводятся к следующему:
1. У Диофанта не было отрицательных чисел. «Правило» зна- |
ков служило для перемножения многочленов.
2. У Диофанта не было и общих методов. Каждую из задач он |
решал специально приспособленным для нее искусным (а скорее
искусственным) приемом.
3. Диофант довольствуется только одним рациональным
решением и не интересуется всем множеством решений.
Мы постараемся показать, что эти «общие мнения» совершенно
несправедливы: Диофант первый ввел отрицательные числа
1 В 1957 г. аналогичное мнение высказал О. Беккер: «Все-таки можно найти
там (т. е. в «Арифметике» — Авт.) некоторые общие методы, которые
всегда применяются в типичных случаях» [53, с. 114]. В качестве таких
методов он отметил: 1) решение уравнений вида у2 = ах2 + Ьх + с\ 2) решение
«двойных равенств» (двух типов); 3) решение некоторых уравнений высших
степеней. Все эти методы он интерпретирует чисто алгебраически.

ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА 49
и нашел общие методы для решения неопределенных уравнений 2-й
и 3-й степени. Оба отмеченных нами факта были хорошо известны
Рафаэлю Бомбелли, Франсуа Виету, Альберу Жирару, Пьеру
ферма и другим математикам нового времени. Именно из
«Арифметики» Диофанта они черпали и способы введения новых чисел
и новые алгебраические и алгебро-геометрические методы.
Таким образом, мы постараемся провести анализ творчества
этого замечательного математика античности, которое до сих пор
оставалось непонятым и недооцененным.
ГЛАВА III
ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ
И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА
1. СИМВОЛИКА
Элементы алгебры возникли еще в древнем Вавилоне в XX—
XVIII вв. до н. э. В это время было открыто правило решения
квадратных уравнений, а также некоторые алгебраические
тождества (например, что произведение суммы двух чисел на их
разность равно разности квадратов этих чисел), которые, однакоt
не формулировались в общем виде, а применялись при решении
конкретных задач. Никаких доказательств не было или, по
крайней мере, они не дошли до нас.
В древней Греции, после того как математические знания
были преобразованы в абстрактную дедуктивную науку —
математику, алгебру начали строить на основе геометрии. Алгебраические
тождества записывались и доказывались на языке геометрии:
в виде равенств некоторых площадей. Квадратные уравнения
формулировались и решались геометрически. Такое построение
позволило греческим математикам доказать основные алгебраические
тождества и провести полное исследование квадратных
уравнений. Кубические уравнения, интерпретируемые как равенства
между некоторыми объемами, были изучены гораздо хуже. Для
их решения применялись конические сечения. Ни отрицательных
чисел, ни уравнений выше 3-й степени в это время не было.
Описанный этап известен в истории математики под
названием «геометрической алгебры». Эта алгебра была хороша для
Решения задач, сводящихся к квадратному уравнению или
последовательному решению нескольких квадратных уравненийг
й только для таких задач. Иначе говоря, она в точности соответст-
в°вала геометрии циркуля и линейки. Однако и для этих задач
°на была менее оперативна, чем наша буквенная алгебра. Что

^50
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
же касается дальнейшего развития алгебры, то геометрические |
основы оказались для нее слишком тяжелы.
В первые века нашей эры, когда математические
исследования вновь оживляются, совершается поворот к арифметизации
математики особенно заметный у Герона. Однако простой возврат
к числовой алгебре вавилонян уже не может удовлетворить ученых, '
знакомых с сочинениями классической греческой науки. Иссле- !
дователи ищут новые пути построения алгебры. Уже у Герона и
в Мичиганском папирусе II в. н. э. появляются буквенные обозна- !
чения для неизвестного. Но решительный шаг здесь принадлежит ;
Диофанту, которого по праву можно считать основоположником
буквенной алгебры. Свое «введение» к первой книге, о котором
мы говорили, Диофант начинает с подробного описания
символики. Он вводит символы для неизвестного и его степеней и
определяет правила действия с ними.
Диофант называет неизвестное «числом» (dpt^^o^) и вводит
для него знак ?, который в текстах задач иногда удваивается, -
если коэффициент, следующий за х неизвестным, отличен от 1.
Неизвестное с коэффициентом = 1, соответственно Ф 1,
например, с коэффициентом = 12, в записи Диофанта имеют вид с<х,
соответственно ар или с$ф, где а и ф запись чисел 1 и 12 в
ионийской нумерации. Знак для неизвестного вошел в
употребление, видимо, незадолго до Диофанта. Похожий знак встречается
ранее в двух текстах: в «Геометрике» Герона (I в. н. э.) и в
Мичиганском папирусе 620 (II в. н. э.). В «Геометрике» Герон приводит
таблицу «Геометрических знаков» StyxsTa увь>[дегр1ас [85, с. 12],
в которой имеются символы для четырех различных
грамматических форм греческого слова apiuuoc. С помощью добавления
к основному знаку q одной или двух букв окончания Герон
различает именительный и родительный падеж, а такще единственное
и множественное число. Героновские обозначения неизвестного
позволяют явно проследить некоторые особенности
возникновения из риторической алгебры ранних форм алгебраической
символики. Первоначально, по-видимому, алгебраические знаки
вводятся для сокращения наиболее часто встречающихся
математических терминов, в результате чего их употребление
подчиняется как алгебраическим, так и грамматическим правилам.
Постепенно более четко осмысливаются их алгебраические функции
и стираются ненужные грамматические дифференциальные
признаки. В диофантовых обозначениях неизвестного сделан шаг
вперед, т. к. в них не различаются именительный и родительный
падеж, хотя иногда сохраняется дифференциальный признак един- i
ственного и множественного числа. В Мичиганском папирусе *
1 В отличие от общепринятого в современной математике соглашения за- ^
писывать коэффициент перед неизвестной, Диофант придерживается об* ^
ратного порядка их следования. |
I

ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА 5f
620 мы не находим и этого различия. Для неизвестного здесь
используется один и тот же знак.
Относительно происхождения знака q существует несколько
гипотез. Наиболее правдоподобна, на наш взгляд, гипотеза Нес-
сельманна [92], по мнению которого знак q является концевой
сигмой, т. к. ею оканчивается диофантовое название неизвестного —
ipi&[ao<;. Кроме того, Нессельманн указывает еще одно
обстоятельство, подтверждающее его мнение. Дело в том, что Диофант
пользуется в «Арифметике» ионийской нумерацией. Важная
особенность ионийской нумерации состоит в том, что все буквы
греческого алфавита в порядке следования заняты для обозначения
единиц, десятков и сотен. При этом буква сигма имела различные
написания в середине и в конце слова. Числовое значение
получила серединная сигма а, в то время как концевая с оставалась
свободной. Именно это Нессельманн считает причиной
использования концевой сигмы длр обозначения неизвестного.
Во «Введении», кроме знака для неизвестного, Диофант также
вводит символику для первых шести его степеней как
положительных, так и отрицательных. Символы для положительных
степеней являются сокращениями их греческих названий. Квадрат
неизвестного (SovajAic — сила, степень) Диофант обозначает
символом Дг, куб (xopos — куб) — Кг, четвертую степень
(8ova(io66va[JU<; — квадрато-квадрат) — ДГА, пятую степень
(fovafoxofJos — квадрато-куб) АКГ, шестую степень (хо(}охб|3ос—
кубо-куб) — КГК.
Отрицательные степени Диофант определяет как дроби с чио-
лителем единица и знаменателем, равным соответствующей
степени неизвестного. Для отрицательных степеней вводится знак х»
который добавляется справа сверху к символу соответствующей
положительной степени, например, неизвестное в степени минус
Два обозначалось A*\
У Диофанта есть также специальный символ для неизвестнога
в нулевой степени, М, которое он не отождествляет с числом 1.
Например, многочлен 1-х2 + КЬя1 + 1-я0, который мы
записываем обычно более кратко х2 + 10# + 1, отождествляя 1-я2 с
я2и1.#° с 1, в символике Диофанта выглядит следующим
образом:
A agiMa.
Отождествления Л1су cay Диофанта нет и не может быть. Это
пРоисходит из-за того, что Диофант не ввел специальных знаков
Для сложения и умножения. Их отсутствие восполняется строго
определенным порядком записи степеней неизвестного и
коэффициентов, при котором коэффициент всегда следует за знаком сте- %
Пени. При этом для того чтобы свободный член не сливался с

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
коэффициентом при старшей степени, необходим символ для нуле-1
зой степени неизвестной, выступающей в роли знакоразделителя, 1
Помимо перечисленных символов Диофант употребляет еще I
знак □ для неопределенного квадрата. 1
Заметим, что введение шести первых степеней неизвестного I
означало решающий шаг на пути построения алгебры, не зависи- ]
мой от геометрии. Ведь только три первые степени неизвестного I
с, Дг и Кг могли быть истолкованы геометрически как образы!
в трехмерном пространстве. Введя четвертую, пятую и шестую I
степени, а также обратные к ним величины, Диофант решительно 1
порвал с классической геометрической алгеброй. Этот шаг, по-ви-1
димому, оставался непонятным многим из его современников и |
многим из последующих ученых. Напомним приведенные выше |
слова Паппа Александрийского (конец III в. н. э.): «Нельзя го-1
ворить о данном отношении какого-нибудь предмета, построен- Ч
ного на четырех прямых, к предмету, построенному на остальных, й
потому что не существует ничего, что заключало бы больше, чем 1
три измерения». й
После введения символов для степеней неизвестной Диофант
формулирует правила умножения хт на хп, где | т | ^ 6, | п | ^.1
<^6, [тга+^^б1, которые в наших обозначениях можно
записать как хгг[-хп^хт+п.
При этом он выделяет два правила, носящих совершенно
общий характер.
1. «Всякий вид (etSo;), умноженный на одноименную ему часть,
производит единицу», т. е. произведение степени хт на обратную
ей величину х~т дает 1.
2. «Так как единица остается всегда неизменной, то
умноженный на нее вид остается тем же видом», т. е. существует такой
элемент, что для каждого т
хтЛ = хт.
Нетрудно видеть, что здесь впервые в явном виде выделены
основные теоретико-групповые свойства операции умножения.
Приходится только удивляться глубине проникновения Диофанта
в алгебраическую суть вопроса.
Наконец, Диофант вводит знак Д (который он сам
характеризует как «перевернутую и укороченную буку я|э), отвечающий
нашему знаку «минус». О нем мы будем говорить подробнее в
следующем разделе 2. Сейчас скажем только, что при записи
многочленов или уравнений, Диофант выписывает сначала подряд
всетноложительные члены, а затем после знака /К — все
отрицательные. Например, многочлен
х* — 2х2 + iOx — 3
в записи Диофанта выглядел бы так:
1 Мы будем в дальнейшем пользоваться для обозначения.степеней яеизвес**
ного современными знаками хт, ут и т. д,

ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА 53
(здесь а — 1, Р = 2, ч = 3, Т = 10).
При записи уравнений Диофант применяет знак равенства 1б,
представляющий собой две первые буквы слова 1оо% — равный.
Например, уравнение ж3 = 2 — х в его записи будет: KYai3M[i/f\<;a.
В конце «Введения» формулируются правила преобразования
уравнений, попавшие в Европу через посредство арабов и
получившие поэтому арабские названия «ал-джабр» и «ал-мукабала».
Эти правила разрешают прибавление к обеим частям уравнения
равных членов и приведение подобных членов.
Таким образом, мы видим, что во «Введении» Диофант
изложил в аксиоматической форме основные алгебраические понятия
и элементы алгебраической символики, т. е. теоретические
основы той части математики, которая в дальнейшем получила
название алгебры, а не арифметики.
Однако анализ решений задач позволяет обнаружить в
«Арифметике» более широкие теоретические основания, чем те, которые
явно изложены во «Введении». Прежде всего это относится к
числовой области Диофанта.
2. ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ
Во «Введении» дается традиционное определение числа
{о aptfrjxos), как определенного количества или множества единиц.
При решении задач под числом уже понимается любое
положительное рациональное число. Решение задачи Диофант всегда ищет
в области положительных рациональных чисел. В то же время,
иногда возникает угроза получения отрицательного или
иррационального решения, Диофант, чтобы придти именно к
положительному рациональному решению, проводит дополнительный анализ
условий. Часто этот анализ сложнее и тоньше самого способа
решения. Таким образом, казалось бы, напрашивается вывод,
к которому обычно приходили исследователи «Арифметики», что
Диофант работает в области положительных рациональных чисел.
С этим нельзя согласиться в полной мере. Верно лишь то, что
Диофант имеет решения задач в области положительных
рациональных чисел.
Как хорошо известно, расширение числовой области до по-
лУПоля положительных рациональных чисел Q недостаточно для
Построения алгебры. Действительно, для этого нужна область,
в которой можно беспрепятственно производить все четыре
Действия арифметики, т. е. поле.
Как же мог построить свою алгебру Диофант?

54
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Мы постараемся показать, что он ввел отрицательные числад
свободно оперировал с ними, хотя они еще и не получили у нег<Д
«права гражданства». I
Действительно, в определении (IX) «Введения» он сформулаЛ
ровал «правило знаков» «(IX) Недостаток (Хетфк;), умноженны$|
на недостаток, дает наличие (6тгар£к;); недостаток же, умноженныеI
на наличие, дает недостаток; знак же для недостатка — Д, укЫ|
роченное и опрокинутое вниз г|)>>. I
Здесь словом «недостаток» переведено греческое слово XsT^icJ
Это слово является специальным математическим термином^
в обычных словарях оно отсутствует. Слово это произведено от гла*|
гола Xsnuo, одним из значений которого является «недоставать»;!
«не хватать». Поэтому в русском переводе «Арифметики» был вы-1
бран термин «недостаток». Поль Таннери, как мы говорили, пере-|
вел этот термин на латынь словом «plus», а термин orcapiic — I
словом «minus». Само это слово означает по-гречески «существо-1
вание», «бытие», а во множественном числе — «имущество». Во|
Введении к «Арифметике» оно является специальным термином!
для обозначения положительного числа. Заметим еще, что ХеТфьс I
нельзя переводить словом «вычитаемое», как это иногда делают,J
так как вычитание Диофант обозначает словами, производными от\
глагола acpaipeco — отнимать. К тому же он приводит правило (IX)!
до рассмотрения многочленов.
Таким образом, Диофант вводит отрицательные числа, по
существу, аксиоматически, формулируя для них «правило знаков»:
(-)•(-) = (+), (-)•(+) = (-).
Диофант не вводит специальных правил для сложения и
вычитания отрицательных чисел, но пользуется ими при
оперировании с многочленами, имеющими как положительные, так и
отрицательные коэффициенты. Так, например, в ходе решения задачи
Ш8 Диофанту необходимо из я2 + 4# + 1 вычесть 2х + 7. В
результате он получает х2 + 2# — 6. Здесь Диофанту для
вычитания многочленов необходимо произвести вычитание их свободных
членов 1—7 = —6, т. е. из меньшего числа вычесть большее, что
невозможно без введения отрицательных чисел. Другой
интересный пример мы находим в задаче VI14, по ходу решения которой
из 54 вычитается 90—15#2 и получается 15х2 — 36. Здесь, кроме
того, что из меньшего числа вычитается большее 54—90 = —36г
производится также вычитание одночлена —15а;2. При этом Дио~
фант, очевидно, пользуется правилом —(—-а) = а. Отсюда видно,
что он владел правилами знаков не только для умножения, но й
для сложения и вычитания. Последние, видимо, были достаточно-
хорошо известны, так как Диофант не счел нужным их
специально формулировать.
Наконец, отрицательные числа неявно встречаются в
промежуточных вычислениях. Например, в задаче 11ц Диофант полагает

ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА
55
сторону некоторого квадрата равной х — 4, при этом в решении
участвует только квадрат (х — 4)2, а не его сторона. В конц^
задачи Диофант, решая уравнение относительно х, находит х =
-в 15/8. Легко видеть, что тогда выражение х — 4 = —17/8 < 0.
Это, однако, не смущает Диофанта, т. к. для нахождения решения
он оперирует со значением квадрата х — 4, т. е. с
положительным числом 289/64. Аналогичная ситуация имеет место в задачах
Иц-13. 20, 21, 23,28,29, 32» НЬ,14,16* 1"ц, 13, 14, 20» ^2, 4, 6, 13, 15, 29, 30>
Vb, 11, 23-
Таким образом, хотя решения задач по традиции ищутся в
области положительных рациональных чисел, в ходе решения
задач Диофант вводит отрицательные числа и оперирует с ними,
расширяя тем самым числовую область до поля рациональных
чисел.
Интересно сравнить ситуацию с отрицательными числами у
Диофанта и ситуацию с комплексными числами у Бомбелли.
Точно так же, как Диофант, Бокбелли вводит комплексные числа
аксиоматически и использует их при решении уравнений лишь в
промежуточных вычислениях, а конечный результат все же
старается найти в области действительных чисел. Это сравнение
показывает, что числовая область, в которой ищутся решения
задач, более традиционна и консервативна в истории, чем та
числовая область, в которой фактически ведутся вычисления для
нахождения этих решений.
3. ВОЗМОЖНОСТИ И ГРАНИЦЫ
СИМВОЛИКИ ДИОФАНТА
Выяснив, что представляет собой числовая область Диофанта,
мы рассмотрим сейчас возможности его алгебраической символики.
С помощью описанных во «Введении» алгебраических символов
Диофант может записать, во-первых, любой многочлен от
неизвестного х, степень которого <^ 6, и, во-вторых, любой многочлен
от яг1, степень которого также <! 6. При решении некоторых
задач Диофант также работает с рациональными функциями от
я, степень числителей и знаменателей которых <^ 6.
Таким образом, в своей символике Диофант может записать
любую рациональную функцию от одной неизвестной над полем
Рациональных чисел, степень как числителя, так и знаменателя
которой <6.
Мы видим, что символика Диофанта характеризуется двумя
ограничениями: во-первых, на число неизвестных и, во-вторых,
й* величину степени. Возникает вопрос, насколько каждое из
Этих ограничений существенно.
Начнем с ограничения на степень. Диофант вводит символику
только для первых шести степеней неизвестного. Разумеется,
ограничение именно шестой степенью не принципиально.

56 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Перейдем ко второму более существенному ограничению -JI
к отсутствию у Диофанта явной символики для нескольких hJ
известных. II
Алгебра Диофанта, на первый взгляд, должна быть алгеброй
рациональных функций от одного неизвестного, т. к. он явв<||
вводит степени лишь для одного неизвестного. С другой стороны]!
большинство его задач сводится к системам неопределенныд!
уравнений от нескольких неизвестных (часто пяти, шести и боль!
ше). Как же он записывает эти уравнения и оперирует с ними? I
Основнойшрием Диофанта заключается в следующем: он фор»!
мулирует задачу словесно, затем выбирает одно основное неиз-J
вестное, а все остальные искомые числа выражает как рациональг!
ные функции (обычно многочлены) от этого неизвестного и парат!
метров. Параметрам, правда, придаются конкретные числовые!
значения, но при этом, как правило, оговаривается особо, что ониг|
могут быть и любыми другими числами. Л
Рассмотрим, например, задачу Ш4: «Найти такие три числа,I
чтобы квадрат суммы всех трех вычтенный из каждого числа,!
давал квадрат». I
Мы бы записали условие задачи в виде системы: I
*i- {xi + X2+*z? = yh f = 1,2,3. (Ш
Диофант поступает так: он полагает сумму трех чисел равной!
J1, ее квадрат J2, а искомые три числа I
хх = (а2 + 1) t\ х2 = (Р2 + 1) t\ xz = (v2 + 1) t\
где а = 1, Р = 2, у = 3, т. е. х± = 2*2, х2 = Ы2 и хъ = ЮЛ I
Легко видеть, что вместо а, р, у можно взять любые целые или I
дробные числа. I
Далее уг = otf, у2 = Р(, у в = Y* и все уравнения системы (1) I
удовлетворяются, если выполнено условие (а2 + р2 + у2 + 3)Х I
X t2 = tb откуда I
aa+pa + Y* + 3 '
Этот основной прием осложняется тем, что не всегда параметры'
могут быть выбраны произвольно, иногда на них приходится
налагать дополнительные условия, впрочем на этом мы подробнее
остановимся ниже. f
Помимо этого Диофант использует следующие приемы. J
Во-первых, он иногда разбивает задачу на несколько после-|!
довательных задач, в каждой из которых символом s он обозначает!
новое основное неизвестное. Таким образом, g в ходе решения.;
одной и той же задачи может последовательно обозначать различи
* Основную неизвестную £ мы будем обозначать буквой t.

ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА 57
sbie неизвестные числа. Во-вторых, знак g может иногда
выполнять роль свободного параметра.
Приведем пример использования знака g (== t) в роли
неизвестного и в роли параметра. Сравним для этого решения задачи 114
й леммы к задаче IV3s.
В обоих случаях решается неопределенное уравнение
ху = 3 (х + у).
В задаче 1н Диофант полагает х = t, у = 12 и решает
относительно t уравнение 12t = 3 (t + 12):
Решение леммы разбивается на две части. В первой части
решения леммы к IV36 Диофант поступает так же, как при решении
задачи 114, полагая х = t, у = 5 и решая относительно t уравнение
Ы = 3 {t + 5), откуда
._ 3-5 _ 15
%— Т^Ъ~ 2
Во второй части решения леммы Диофант замечает, что в
выражении
вместо числа 5 можно взять любое другое (например, 12, как это
имело место в задаче 114) и, заменяя число 5 на t, получает для
неопределенного уравнения ху = 3 (х + у) общую формулу
решения
х = 3t/(t — 3), у = t.
При решении задачи /14 и в первой части решения леммы знак t
используется как знак неизвестного, а во второй части решения
леммы — как знак свободного параметра. Кроме того, в первой
части леммы знак t обозначает #, а во второй у, т. е. по ходу
решения леммы к- задаче IV3e Диофант производит
переобозначение неизвестных, при котором изменяется функция знака t.
Сравнение этих задач интересно еще в одном отношении. В
задаче 114 Диофант при помощи подстановок х = t, у = 12 находит,
на первый взгляд, только одно рациональное решение, однако из
сравнения с леммой к задаче IV3e, мы видим, что он прекрасно
п°аимает общность своего метода решения. Общее решение легко
получается, если вместо подстановки х = t, у = 12 взять подста-
Новку х = t, у = к, т. е. если число 12 заменить свободным
параметром к. Именно это и делает Диофант в лемме к IV3e, но не
°всем привычным для нас способом, т. к. у него имеется только один
Нак как для неизвестного, так и для параметра. Диофант находит

I
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ |
сначала частное решение я= 5 ' ' у = 5, из которого получаем]
общее решение заменой числа 5 на знак t.
Таким образом, число начинает выступать в функции алгебр
раического знака, не столько показывая, с каким конкретны*
числом ведутся вычисления, сколько — какие алгебраические
операции надо проделать, чтобы получить решение. При этоц
интерес с объекта оперирования (числа) переносится на
последовательность операций. Поэтому неявный алгебраический форма*
лизм Диофанта наиболее ярко проявляется в весьма
своеобразной работе с конкретными числами, выполняющими у него самые
разнообразные алгебраические функции.
4. РОЛЬ КОНКРЕТНЫХ ЧИСЕЛ
(ПАРАМЕТРОВ)
Уже в математике древнего Вавилона решение
алгебраической задачи с конкретными числовыми данными одновременна
служило двум различным целям: получению численного решения
задачи и демонстрации общего приема решения целого класса
однотипных задач. Например, имелся класс задач на отыскание-
«длины» и «ширины», если заданы их сумма (или разность) и
«площадь», т. е. произведение «длины» на «ширину». При этом
составлялись группы таких задач, имеющих одни и те же заранее
подобранные ответы. Это делалось для того, чтобы выпуклее показать
общность алгоритма их решения. Действительно, в этом случае
центр тяжести переносился на сам алгоритм, так как численные
ответы были заранее известны и могли служить только для
проверки правильности применяемого способа решения и отсутствия
ошибки в промежуточных вычислениях.
В «Арифметике» Диофанта роль числовых параметров
существенно расширяется. Как правило, для решения задачи Диофант
представляет все искомые числа как рациональные функцшг
от одного неизвестного и параметров. Этим параметрам, правда,,
придаются конкретные числовые значения, но при этом обычно
Диофант оговаривает, что они могли бы быть и любыми другими
числами. Эти-то параметры и играют в «Арифметике» роль
дополнительных неизвестных. Мы видели это на приведенном выше
примере задачи Ш4. Мы показали, что решение системы (1)
зависит от трех свободных параметров. Чтобы подчеркнуть
возможность произвольного выбора конкретных числовых значений этих
параметров, Диофант берет, в качестве их значений,
последовательные натуральные числа: 1, 2, 3. Если учесть также, что
запись этих чисел у Диофанта имела вид а, |5, ^у, то становится ясно*
насколько все это близко подходит уже по форме и смыслу к
более поздней буквенной алгебре.

ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА 59
Однако иногда оказывается, что произвольно выбранные
значения для параметров не годятся, т. е. основное неизвестное
поучается отрицательным или иррациональным. Тогда необходимо
провести дополнительное исследование- задачи для выяснения
того, какие ограничения следует наложить на выбор параметров.
Так, например, задача IVg сводится к системе
х\ + х2 = у3, хг + х2 = у.
Диофант полагает х2 = t, х1 = fit, где р = 2. Тогда из второго
уравнения получим у = (Р + 1)£, а из первого
Поскольку Р = 2, то t2 = 1/19, т. е. t будет иррациональным.
Диофант анализирует, как t2 составлено из параметра р, т. е.
находит t = f1 (Р), где / (Р) = (Р +, I)3 — рз, откуда делает
вывод, что исходная система будет иметь рациональное решение,
если
(Р + 1)»-р»=*п.
Он берет р в качестве нового неизвестного р = т (обозначает его
той же буквой, что и первоначальное) и получает
Зт2 + Зт + 1 = □,
Решая это последнее уравнение своим методом, который мы
опишем ниже, Диофант получает
_ 3 + 2Д,
х~ а,2-з »
т. е. параметр р можно выбрать только из класса чисел i2.q -
Замечательно, что Диофант часто сознательно выбирает для
несвободных параметров числа, которые не приводят к решению,
чтобы показать как надо проводить анализ задачи.
То обстоятельство, что Диофант смотрит на параметры не как
на конкретные числа, а скорее как на символы, ярко
подтверждайся при решении задачи III10HlIIn. Рассмотрим первую из них.
Она сводится к системе
ххх2 + а = уи *2*з + <* = у\, хъхх + а = у\.
Диофант принимает а = 12 и полагает уг = е, где 8 = 5, тогда
*iX2 s е2 — а, и он принимает х± = (е2 — a) t, x2 = ift. Этим
Первое уравнение обращается в тождество. Затем он полагает
#2 == б, где 6 = 4, тогда х2х3 = 82 — а, ноя2 = l/t, значит хъ =
^ (б2 — a) t. Остается удовлетворить третьему уравнению
(е« - а)(б2 - а)*2 + а = yl (2)

60 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
При выбранных Диофантом параметрах получаем 52J2 + 12 = у^
Это уравнение имеет рациональное решение *=1, у3 = 8^
а значит, оно имеет и бесконечно много других рациональных ре,
шений, которые могут быть найдены методом, изложенным во 1|
книге «Арифметики». Но Диофант как будто не замечает этого[
Ведь существование решения уравнения (2) при 8 = 4 и е = 5
получилось чисто случайно И Диофант ищет общие условия^
которые надо наложить на параметры е и 8, чтобы было
обеспечено существование рационального решения.
Таким образом, в алгебраическом формализме Диофанта
наряду со знаком для неизвестного и его степеней большую роль|
играют знаки конкретных чисел, которые несут дополнительную
нагрузку, выполняя функцию параметров. При этом они могу*
выполнять две различные функции, служа 1) знаками свободных
параметров, 2) знаками для несвободных параметров
(параметров, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям).
Алгебраический формализм Диофанта представляет, как мы
думаем, особый этап в развитии алгебры. Он характеризуется тем,
что отсутствие буквенных обозначений для нескольких
неизвестных и параметров компенсируется полифункциональным
использованием знаков единственного неизвестного и его степеней,
также знаков конкретных чисел. Этот этап, начало которому былр
положено «Арифметикой» Диофанта, просуществовал в
европейской алгебре вплоть до второй половины XVI в. * Только в эта
время в алгебре были введены, сначала знаки для второго*
третьего и т. д. неизвестных (Бомбелли и Стевин), а затем знаки
для параметров и буквенное исчисление (Виет).
Развитие алгебры показало, что алгебраический формализм
Диофанта, хотя и менее мощный, чем современный, способствовал
замечательным успехам как в изучении диофантовых уравнений,
так, позднее, в решении определенных уравнений 3-й и 4-й
степеней.
l Математики стран арабского Востока не применяли буквенной символик*
Диофанта, однако пользовались словесными эквивалентами соответствуй
щих символов, что изменяло лишь внешний вид, а не принципиальные ос**
новы алгебраического формализма Диофанта.

МЕТОДЫ ДИОФАНТА 61
ГЛАВА IV
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
1. УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Мы уже говорили, что большинство задач II—VI книг
«Арифметики» сводятся к решению неопределенного уравнения
F (*ь . . ., *п) = О (1>
или системы таких уравнений
Ft(xu . . .,*n) = 0, t (2>
F (хг, . . ., хп) = 0,
где F, Fx, . . м Fm — многочлены с рациональными
коэффициентами, а т < п. В книгах II и III рассматриваются такие задачи^
для которых все многочлены Fy Fu . . ., Fm не выше второй
степени.
Мы, как и Диофант, начнем с рассмотрения задач, которые
сводятся к решению уравнения (1), где F — многочлен 2-й
степени, а п = 2.
Мы постараемся показать, что в этом случае Диофант владел
общим методом нахождения всех рациональных решений, если
одно рациональное решение заранее известно.
Еще Г. Г. Цейтен заметил, что Диофант знал общий прием
решения уравнений вида
^ у* = «J + Ъх + с, (3>
если либо а, либо с являются полными квадратами. На самом деле
Диофант знал гораздо больше. А именно, пусть задано уравнение
F (х, у) = 0, (4>
где F (х, у) неприводимый многочлен 2-й степени над полем Q
й пусть известно одно рациональное решение х = х0, у = у0.
Тогда Диофант дает метод, с помощью которого неизвестные
можно выразить как рациональные функции одного параметра:
«=<р(*)т y=^(t) (5>
такие, что F (<р (2), i|) (/)) ===0, а креме того, параметр t также
может быть выражен как рациональная функция неизвестных t =
^ X (х, у). Придавая t различные рациональные значения, мы
йолучим по формулам (5) все рациональные решения уравнения
(4). Метод, о котором идет речь, имеет простую геометрическую^

ф2 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ f
интерпретацию, знакомство с которой облегчает анализ интересую*
щих нас задач.
Пусть L — кривая, заданная уравнением (4), и на ней
существует рациональная точка М (х0, у0). Тогда метод состоит в том,
что через точку М (х0, уо) проводится пучок прямых
У — У о = к (х — *o)i (6)
или в параметрической форме
х = t + #о, у = kt + У о, (7)
а затем ищутся точки пересечения с кривой L. Легко показать,
что каждая прямая пучка с рациональным коэффициентом к
пересекает кривую L еще в одной рациональной точке.
Действительно, если в уравнение (4) подставить значение х и
у из (7), то получим
F (х0 + *» Уо + kt) = F (х0,у0) + ЬА (я0, у0) + '
+ ив (*01 у0) + t2c (*0, Уо> к) = о.
Но F (х0, у о) = 0, поэтому
. _ __ Л (х0, уо) + кВ (х0, у0)
С (х0у Уо, к)
Таким образом, каждому рациональному к (кроме, быть
может, одного) будет отвечать одно и только одно рациональное
решение.
На языке алгебраической геометрии этот результат
формулируется так: кривая второго порядка над полем Q, имеющая
рациональную точку, биратщонально эквивалентна рациональной
прямой*
Это же предложение, но в алгебраической форме Диофант
устанавливает в несколько этапов.
Он начинает с простейшего случая, который рассматривается
в пяти первых задачах книги II, которые сводятся к
неопределенным уравнениям
х2 + у2 = а{х + у), а = 10; (Щ
я2 — у2 = а (х — у), а = б; (П2)
ху — а (х ± у), а = 6; (П3)
ъ2 + у2 — а (х — у), а = 10; (1Ц
х2 - у2 = а {х + у), а = 6. (И6)
Все эти уравнения характеризуются тем, что свободные члены
равны нулю, т. е. каждое из них имеет очевидное решение х0 = 0*
у0 = 0, которое, однако, отнюдь не является решением в смысле
Диофанта, так как он ищет только строго положительные
решения.

МЕТОДЫ ДИОФАНТА 6$
Для отыскания таких решений Диофант делает подстановку
х = *, У = kt, (8>
которая является простейшим частным случаем подстановки (7)-
Поскольку он не имеет символа для обозначения произвольного
параметра /с, он показывает это на примере к = 2.
Подстановка (8) в случае, например, задачи Пх приводит к
уравнению
(1 + /с2)*2 = 10 (1 + к) t,
откуда
r t Ю(1 + *) , 10(l + fe)
х —* — 1 + /С2 * у~ 1 + fc2 '
т. е. неизвестные хну выражаются как рациональные функции
параметра к и при к = 2 принимают значения # = 6, */ = 12.
Верно также и обратное, параметр к рационально выражается
через х и у: к = *//#.
Задачи П2-5 решаются аналогично задаче Пх.
Легко видеть, что с геометрической точки зрения здесь
применяется описанный нами прием: каждое из уравнений IIi_6 задает
на плоскости R2 кривую L второго порядка (окружность в
случаях Пь4 и гиперболу в случаях Н2,з,б)> на которой лежит
рациональная точка М (0, 0). Подстановка (8) равносильна проведению
через М пучка прямых у = кх с рациональным коэффициентом к.
Каждая прямая пучка (за исключением одной) пересечет
кривую L еще в одной и только одной точке, координаты которой
дают искомое Диофантом решение.
Далее этот метод применяется в задаче П8, на которой мы
остановимся более подробно.
Приведем сначала ее формулировку и полный текст решения,
а затем попытаемся путем его анализа выявить метод Диофанта.
Задача 8 книги II. «Заданныйквадрат разложить на два
квадрата.
Пусть надо разложить 16 на два квадрата. Положим, что 1-й
равен х2; тогда 2-й будет 16 — х2\ следовательно, 16 — х2 тоже
равно квадрату.
Составляю квадрат из некоторого количества х минус столько
единиц, сколько их найдется в стороне 16-ти; пусть это будет
2# — 4. Тогда сам этот квадрат равен Ах2 + 16 — 16я; он дол-
Жен равняться 16 — х2.
Прибавим к обеим сторонам [равенства] недостающее и
вычтем подобные из подобных. Тогда
5х2 = 16я;
а х окажется равным 16/5.

64
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Один квадрат 256/25, а другой 144/25; сложенные вместе они
дают 400/25, или 16, и каждый будет квадратом».
Итак, требуется решить уравнение
х* + у2 = а\ (9)
Поскольку у Диофанта нет буквенных символов для
параметров, он принимает а2 = 16.
Однако, чтобы лучше понять его метод, мы будем вместо 16
писать а. Диофант полагает х = t, у = 2t — а, но оговаривает^
что у должно быть составлено из «некоторого количества» t минус
а. Поэтому мы точнее передадим его мысль* если запишем
подстановку в виде
х = t, у = kt — а, (10)
где к — любое рациональное число. Тогда
, /2 + (kt — а)2 = а2 и
2к А:а — 1
1 + fc* ' у к1 + 1
Геометрическая интерпретация этого решения сводится к
следующему: х2 + г/2 = а2 является уравнением окружности с
центром в начале координат. Система (10) задаёт пучок прямых
с рациональным угловым коэффициентом, проходящим через
рациональную точку (0, — а) этой окружности. Каждая прямая
пучка (за исключением одной — отвечающей к = 0) пересечет
окружность (10) еще в одной и только одной рациональной точке.
Наоборот, каждой рациональной точке (#0, у0) окружности будет
отвечать прямая пучка (10) с коэффициентом к = (у0 + а)/х0.
В этой задаче Диофант ничего не говорит о числе решений и
просто берет к = 2. Однако он понимает, что его метод позволяет
найти неограниченное число решений и сам говорит об этом в задаче
IIIi9: «Мы знаем, что разложение данного квадрата на два
квадрата можно производить бесконечным числом способов».
* В заключение анализа задачи lis заметим, что именно к ней
на полях «Арифметики» Ферма сделал замечание (№ II),
известное как большая или великая теорема Ферма (см. ч. III, гл. IV,
раздел 2).
Наконец, в задаче П9 Диофант применяет свой метод к
наиболее общему случаю. Чтобы показать это, мы рассмотрим
подробно эту задачу. Начнем с ее формулировки и полного текста
решения.
Задача 9 книги П. «Данное число, которое
складывается из двух квадратов, подразделить на два другие квадрата.
Пусть число 13, составленное из квадратов 4 и 9, надо
подразделить на два другие квадрата.
Возьмем стороны 2 и 3 упомянутых квадратов и положим
стороны искомых квадратов: одну равной х + 2, а другую — нес-

МЕТОДЫ ДИОФАНТА
65
кольким #-ам минус столько единиц, сколько их будет в
стороне другого квадрата: 3. Пусть она будет 2х — 3. И получатся
квадраты: один х2 + 4я + 4, а другой 4г2 + 9 — 12а\
Остается лишь сделать, чтобы два сложенных квадрата дали 13.
Но два сложенных дают 5#2.+ 13 — 8х\ это равно 13; и х
оказывается 8/5.
К подстановкам. Я положил сторону 1-го х -+- 2; она будет
18/5.
Сторона же 2-го 2х —- 3; она будет 1 [пятая]. А сами квадраты
будут: один 324/25, а другой одна двадцать пятая. И оба
сложенные дадут 325/25, что сводится к заданному 13».
Эта задача сводится к уравнению
х2 + г/2 = N = а2 + Ь2, (II.)
где N = 13. Чтобы отыскать рациональное решение, Диофант
представляет 13 в виде суммы двух квадратов 4 и 9. Последнее
равносильно тому, что уравнение (П9) имеет рациональные
решения (2, 3), (2, —3), (—2, 3), (—2, —3). Затем он делает
подстановку
х= t + 2, у = Ы — 3, (И)
полагая, как и в задачах IIi_5,8> Л = 2. Однако в задаче
оговорено, что следует взять «несколько t» (например, 2).
Подстановка (И) равносильна проведению пучка прямых
у + 3 = к (х — 2) через исходную рациональную точку (2, —3).
После подстановки в (П9) он получает t — -jf^-j . Отсюда легко
видеть, что неизвестные х и у выражаются через рациональные
функции параметра к. Кроме того, как и в предыдущих задачах,
параметр выражается через рациональную функцию неизвестных
Сравнение задач II1-5, s, 9 позволяет сделать некоторые
предварительные выводы.
1. Для нахождения подстановок необходимо знание одного
рационального решения. Обычно это решение не является решением
в смысле Диофанта, так как числовая область, в которой он
работает — положительные рациональные числа, а исходное
решение, как правило, не удовлетворяет условию положительности,
Поэтому он не выписывает явно исходного рационального
решения, но неявно использует его при выборе подстановок.
2. Задачи Ui-5,8,9 расположены в таком порядке, что
подстановки постепенно усложняются и принимают все более общи!
вид (табл. 2)
3 Заказ № 3214

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Таблица 2
№ задачи
И,-»
и»
II,
Подстановки
х = t, у = 2t
x = t, y = 2* —4
s = f + 2, y = 2f — 3
3. Выше мы уже говорили о том, что из-за отсутствия
символики для свободных параметров Диофант придает им
стандартные числовые значения и тем самым использует число в роли
алгебраического знака. Задачи П^^дают нам подтверждающий это
пример. В каждой из рассмотренных задач мы имеем дело с
единственным свободным параметром /с, которому Диофант придает
одно и то же стандартное значение 2, оговаривая иногда, что может
быть взято любое другое число.
Таким образом, наш сравнительный анализ показывает, что
подбор и расположение задач Пх-5,8,9 сознательно подчинены
изложению общего метода. Этот метод неоднократно применяется
в дальнейшем. Однако только в двух леммах книги VI он
сформулирован в общем виде.
Приведем эти леммы.
Лемма 2 к задаче VI12. «Для двух данных чисел,
сумма которых составляет квадрат, можно найти бесконечное число
квадратов, каждый из которых, умноженный на одно из данных
[изложенный с другим числом], образует квадрат».
Лемма сводится к уравнению
ах* + Ъ = у\ * (12)
при этом выполняется условие а + Ъ = иг2, где т —
рациональное число. Требование а + Ъ = т2 равносильно тому, что
уравнение (12) имеет рациональные решения (1, иг), (1, —/тг), (—1, иг),
(—1, —иг). Диофант утверждает, что уравнение (12) имеет
бесконечно много решений. Чтобы доказать это утверждение, он
делает подстановку
я = * + 1, у = yt — иг,
равносильную проведению прямой у -\- т = у (х — 1) через
исходную рациональную точку (1, —иг). Поле подстановки в (12)
он получает t = Z ^ ' > откуда л: и у выражаются через рацио-
нальные функции параметра у, каждому рациональному значению
которого соответствует рациональное решение уравнения (12).
Лемма к задаче VI15. «Даны два числа; если некоторый
квадрат, помноженный на одно из них, после вычитания другого

МЕТОДЫ ДИОФАНТА
67
дает квадрат, то можно найти и другой квадрат, больший
упомянутого и производящий то же самое».
Иначе говоря, если уравнение
ах2 - Ь = у2 (13)
имеет некоторое рациональное решение (/?, q), то можно найти
другое большее решение (рг, qt), отправляясь от которого найдем
решение (р2, q2) и т. д., причем
- Р < Pi < Р2 < • ■ ■ < Рп < • • •
Диофант проводит доказательство для а — 3, Ь = 11. За
исходное решение он принимает (5,8).
Сделав подстановку
х = t + р, у = q — fit,
равносильную проведению прямой у —• g = — $ (х —■ р) через
исходную точку (р, д), Диофант находит t = 2 а^ _ Pg . При [52 > а
имеем £>0и/>! = £ + £;>/>•
Таким образом, мы видим, что Диофант владел общим
методом нахождения бесконечного числа рациональных решений
неопределенных уравнений 2-й степени с двумя неизвестными, если
одно рациональное решение известно.
Будем называть его методом А.
У Диофанта имеется также класс задач, которые сводятся к
уравнениям вида
у2 = а2х2 + Ьх + с. (14)
К ним Диофант применяет другой метод, представляющий собой
некоторую модификацию метода А. Мы будем называть его
методом В. Он заключается в том, что делается подстановка
х = t, у = at + a, (15)
где а —- параметр, после чего t находится как рациональная
функция параметра
. с — а2
2аа — b
Впервые метод В применяется в задаче П10, которая сводится
к уравнению
у* —& = 60. (16)
Диофант делает подстановку
x=t, y = t + y (y = 3)
и получает
ь^
_,_ 60 —v* 60+ f»

68
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Каков же геометрический смысл этого метода? Почему прямая
(15) встречает кривую (14) только в одной точке?
Чтобы ответить на эти вопросы, мы рассмотрим кривую,
заданную уравнением (14), в проективной плоскости Р2. Для этого
запишем уравнение (14) в однородных координатах
У* = a2J72 + bUW + cW^ (17)
формулы перехода к которым имеют вид
х = UIW, у = VIW.
Легко видеть, что кривая L, заданная уравнением (17),
пересекает бесконечно удаленную прямую W = 0 в двух рациональных
точках (1, а, 0) и (1, —а, 0). Прямая, заданная системой (15),
в однородных координатах будет иметь следующий вид
х = Г, у = аТ — yW,
где t = TIW, т. е. проходит через бесконечно удаленную точку
(1, л, 0).
Таким образом, метод В состоит в том, что прямая проводится
не через конечную, как в случае метода А, а через бесконечную
рациональную точку кривой второго порядка F2 (#, у) — 0.
Заметим, что с чисто алгебраической точки зрения метод В
очень прост. Вид подстановок при нем даже проще, чем в методе
А (если известно конечное рациональное решение). Это — один
из первых примеров того, что некоторые классы задач проще
трактовать алгебраически, другие же — геометрически.
2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
СО МНОГИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Мы рассмотрели те задачи «Арифметики», которые сводятся к
одному неопределенному уравнению 2-й степени с двумя
неизвестными, и показали, что Диофант владел совершенно общим
методом их решения.
Теперь мы перейдем к рассмотрению систем уравнений 2-й
степени от многих неизвестных, что и делает Диофант, начиная
с задачи Ип. Прежде всего заметим, что если дана система
Fx («1, • • -1 *п) = 0,
Fm {х1ч . . ., хп) = 0,
где m <С п, а степени уравнений соответственно равны п1У и2,. . •
. . ., пт, то путем исключения m — 1 неизвестного (например,
Яп~т+ъ - . м хп) мы можем свести ее к одному уравнению @ (хи...
- . -э Хп-т) степени пхщ . . . пш.

МЕТОДЫ ДИОФАНТА 69
Диофант сначала рассматривает такие системы, которые
сводятся к уравнению 2-й степени от нескольких неизвестных.
Наиболее простые из них «двойные равенства» (йтсХо^сотт]?), т. е.
системы уравнений вида
ах + Ьг = у\, ах + Ь2 = у\,
к которым сводятся задачи Hn-i3. В этих задачах Диофант
принимает
Пп: а=1, Ь1 = 3, Ь2 = 2,
Ц12: а=— 1, Ьх = 21, Ь2 = 9,
П13: а=1, ^==—6, Ь2=—7.
Эти простейшие двойные равенства он решает двумя
способами, которые мы продемонстрируем, как это делает и сам Диофант,
на примере системы Пп.
Способ 1. Вычитая из первого уравнения системы
второе! Диофант получает
Ьг - Ь2 = у\ — у\ = (*/i - */2)(*/i + Уг)-
(Эта операция эквивалентна проектированию пространственной
кривой Г на плоскость (ух, */2).) Затем он представляет разность
Ъх — Ь2 в виде произведения двух множителей
и приравнивает
7 ьх - ъ*
У1 + У2 = к, У1 — у2 = -— ,
откуда
А;2 + bl _ &2 &2 _ &1 + &а
2/1= Тк , У* = 2к "
После этого х находится из первого или второго уравнения:
*=ri-&i=(—^—) -b!=yi-b«=(—й—)-ь%.
Такой способ решения Диофант применяет в дальнейшем (см.,
например, задачу IHi2).
Способ 2. Второе решение также основано на исключении
х из заданных уравнений (т. е. на проектировании), однако это
исключение производится другим способом. Из первого
уравнения Диофант находит ах == у\ — Ьг и подставляет это значение во
второе у\ — Ъх + Ь2 = у\ или у\ — у\ = Ъг — Ь2. Это
последнее уравнение решается методом, изложенным в И10.

7q ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Таким образом, здесь производится сведение системы к
уравнению 2-й степени от двух неизвестных *.
В дальнейшем у Диофанта встречаются «двойные равенства»
более общего вида
ахх2 + Ьгх + сг = у\, я2я2 + Ъ2х + с2 = у\,
которые, вообще говоря, определяют пространственную кривую
4-го порядка и рода 1. (О них см. раздел 4, п. В.)
Теперь рассмотрим другие группы задач Диофанта, которые
ему удается свести к одному уравнению 2-й степени.
Во многих группах задач можно выделить такие п — т
неизвестных, от йоторых^, . . .,Fm зависят линейно. В этих случаях
систему уравнений удобно записать в виде
^1 \Х1* • ■ • » хтч Уъ ' • ■» Уп-т) ==: U,
Fit WL» ■ • м хтч Уи • • м Уп-гп) — ",
где через у1ч . . . , уп-т обозначены те неизвестные, от которых F\
зависят линейно. Исключение yi производится в этих группах
особенно просто. Рассмотрим несколько таких групп.
1. Задачи П14-15 и III20-2i
П14 и Ш21 IIi5 и Ш2о
Уг + У2 = а, уг-\-у2 = а,
2 I 2 2 2
x% + yi = xv Xs—yi = Xv
2 j 2 2 2 2
Х3~\У2 #2» ХЪ 2/2 = #2»
Выразив уг и у2 из двух последних уравнений этих систем и
подставив их выражение в первые, получим
х\ + х\ = 2x1 + я» xl h х\ = 2х\ — а,
,.2 2 2 2
У\ = х± — #3, г/i = ^з — *и
1/2 = Х2 — Х$, у2-=.Хъ — Х2.
Решение их равносильно решению результирующего уравнения
х\ + х\ = 2х% ± а.
2. Вторую группу составляют задачи И24_25 и 1НН. Они
сводятся к
(yi + ... + */т)2 + 1/| = arf, i = 1, ..., т; (П24,1П2)
(Уг + ... + i/m)2 ^yi = xl i = 1,. .., т; (П25, Шз)
Легко видеть, что эти же методы применимы к двойным равенствам вида
«1* + &i = у?, аа* + Ь2 = у|,
где щ = /с2а2.

МЕТОДЫ ДИОФАНТА 71
У1 — {У1+ • -- + Ут)2=хЪ 1 = 1, .. „W. (III4)
В книге II задача, отвечающая задаче 1П4, отсутствует.
Вероятно, она выпала при переписке текста.
В книге II принимается т = 2, в книге III — т = 3. Однако
метод Диофанта пригоден для любого иг, поэтому мы изложим
его здесь в общем виде.
Проиллюстрируем метод Диофанта на примере систем типа
П24, 1П2. Полагая
Уг + Уг + ■ • • + Уы = 2, (18)
получим
уь = х\ — z2, i = l, 2, . . ., т.
Подставляя эти значения jji в равенство (18), будем иметь
#1 + #2 + • • • + Хт —- rrtZ2 = Z,
т. е. опять все свелось к одному уравнению 2-й степени от многих
неизвестных
■ F2(*i, . . .,*m, z) = 0. (19)
Для нахождения решения уравнений (19) Диофант применяет
те же методы А и В, которыми он пользовался для случая т = 2.
Пример применения метода А дает нам задача П24,
эквивалентная, как уже показано, уравнению
х\ + xl _ 2s2 = z, (20)
решая которое, Диофант делает подстановку
z = a±t, х± = а2£, х2 = а3£ (ах = 1, а2 = 2, а3 = 3)
(21)
и находит t —
а; + а»-2а«
Геометрический смысл этого решения состоит в том, что
поверхность, определяемая уравнением (20), имеет рациональную
точку (0, 0, 0). Поэтому подстановка (21) равносильна проведению
через эту точку рациональной прямой, пересекающей поверхность
(20) еще в одной рациональной точке.
Пример применения метода В мы находим в задаче П14,
которая сводится к уравнению
х\ + xl = 2x1 + а (а = 20). (22)
Диофант в этом случае делает подстановку
х1 = t + (jj, x2 = t -\- p2, #3 === ^
(р! = 2, р2 = 3, ?>1+№<а)
«находи*- 2(^+м .

72 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Покажем, что здесь Диофант применяет метод В.
Действительно, в этом случае поверхность 2, определяемая уравнением
(22), имеет бесконечную удаленную рациональную точку. Чтобы
убедиться в этом, запишем (22) в однородных координатах
XI + Х\ = 2Х\ + aU\ (23)
где #! = Хг/и, х2 = XJU, хъ = XJU. Поверхность (23) имеет
бесконечно удаленную точку М (1, 1, 1,0). Подстановка
х1 = т + w, х2 = т + р2с/, х3 = т
равносильна проведению рациональной прямой через бесконечно
удаленную рациональную, точку М. Конечная рациональная
точка пересечения этой прямой с поверхностью 2 соответствует
решению, найденному Диофантом.
3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
В книге V «Арифметики» Диофанта содержится группа задач
(Vg, Vn, V14) совершенно новых и по своей постановке, и по методу
решения. В этих задачах требуется в общем случае отыскать
такие квадраты */?,..., *Д, что
yl + . . . + у*п = N, п = 2, 3, 4,
причем каждый из этих квадратов удовлетворяет некоторому
неравенству у\> г или у\ < s, i = 1, . . ., п. При решении
Ддофант применяет метод последовательного приближения
(паркз6тт]то$ dytoyTj).
Этот метод привлек внимание математиков, например. П.
Ферма, однако у историков науки ему повезло гораздо меньше.
Первое применение метода последовательных приближений мы
находим в задаче V9. Приведем ее текст.
«Разложить единицу на две дроби и прибавить к каждой из
них заданное число так, чтобы получился квадрат.
Данное число не должно быть нечетным, [и удвоенное от него
увеличенное на единицу, не должно делиться на простое число,
которое, после прибавления единицы, является кратным
четырем] 4
Предположим, что к каждой дроби добавляется 6 и
получается квадрат.
Так как мы желаем разложить единицу, прибавить к каждой
части 6 и образовать квадрат, то, значит, сумма квадратов должна
равняться 13. Таким образом, нужно разложить 13 на два
квадрата, чтобы каждый из них был больше 6.
В дошедших до нас списках «Арифметики» текст этого ограничения
испорчен. Впервые в новое время вид чисел, представимых суммою двух
квадратов, был найден П. Ферма. Он же восстановил ограничение Диофанта.

МЕТОДЫ ДИОФАНТА
73
Если я разложу 13 на два квадрата, разность которых
меньше единицы, то решу задачу. Беру половину 13; получится 6 V2;
и ищу, какую квадратичную дробь нужно придать к 6 V2 для
образования квадрата. Увеличим всё в 4 раза. Тогда я буду
искать, какую квадратичную дробь нужно приложить к 26, чтобы
получить квадрат. Пусть прибавляемая дробь будет i/x2 и 26 +
+-?■-□■
Множу все на х2\ получается 26х2 + 1 = Qj. Пусть будет на
стороне Ъх -+-1; и получим а: равным 10. Тогда х2 будет 100, а 1/х2
будет 1/100. Таким образом, к 26 нужно придать 1/100, ак61/2—-
одну четырехсотую, что дает квадрат на стороне 51/20.
Таким образом, 13 надо разложить на два квадрата так, чтобы
сторона каждого была возможно ближе к 51/20. И будем искать,
что надо вычесть из 3 и прибавить к 2, чтобы получить именно
51/20.
Образую два квадрата: один на 11а: + 2, а другой на 3—9х.
И сумма этих квадратов
202а:2 + 13 - 10я = 13,
откуда получаем х = 5/101. Значит сторона одного квадрата
будет 257/101, а другого 258/101.
И если от каждого из этих квадратов отнимем 6, то одна из
долей единицы будет 5358/10201, а другая 4843/10201, и ясно,
что каждая вместе с 6 единицами образует квадрат».
Итак, эта задача равносильна системе
Уг + Уъ = 1» Уг + а = *ь #2 + « = *2»
решение которой, как всегда, Диофант ищет в рациональных
положительных числах, т. е. у± ^> 0, у% > 0.
Складывая два последних уравнения, Диофант приходит к
новой задаче, эквивалентной уравнению
а? + *5 = 2а + 1, (24)
причем х\ ^ а, х\ ]> а.
Остановимся теперь на том, в чем смысл ограничения
Диофанта, которое мы привели в реконструированном виде. Диофанту
нужно, чтобы уравнение (24) было прежде всего разрешимым, т. е.
чтобы число 2а + 1 можно было представить в виде суммы двух
целых или рациональных квадратов. Из ограничения видно, что
Диофант знал, что никакое число вида An — 1 не представимо
суммой двух квадратов. Он знал также, что число N не будет пред-
ставимым, если оно имеет простые делители вида An — 1 (надо
было бы добавить «простые делители вида An — 1, которые входят
в нечетной степени», но, по-видимому, Диофант предполагал, что
из числа N = 2а + 1 уже выделен наибольший квадрат Z2, на
который оно делится, т. е. рассматривал простые делители част-

74 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
ного (2а + 1)7/2, которое уже не содержит квадратов простых
чисел) х.
Итак, Диофант требует, чтобы уравнение (24) имело, по
крайней мере, одно рациональное решение. Сам он выбирает а = 6,
тогда 2а + 1 = 13 и решением будет, например, пара (2,3).
Далее хх и х2 должны быть примерно равны j/43/2. Поскольку
этот корень иррационален, то, казалось бы, естественно было бы
непосредственно искать в качестве хх и х2 его рациональные
приближения. Диофант, на первый взгляд, поступает иначе — он
вводит промежуточное уравнение, которое в XVIII в. получило
название уравнения Пелля
Ах2 + 1 = у2.
Оно встречалось до этого у Евклида для А = 2 («Начала»,
предложения Н9 и И10) и Архимеда (в «Задаче о быках»).
Диофант ищет такую дробь 1/у2, чтобы
т- + -^-=»2' <25>
или умножая все на 4i?2 и полагая v = 2х, и = у/2х, он получает
уравнение
26*2 + 1 = у\ (26)
которое и есть уравнение Пелля—Ферма для А = 26. Далее он
решает уравнение (26) своим обычным методом, т. е. применяя
подстановку х = t, у = Ы + 1, получает
х = 2/с/(26 - к2).
Он выбирает к = 5, так чтобы к2 = 25 был наибольшим
целочисленным квадратом, меньшим 26, тогда х = 10, v = 20, и = 51/20.
Однако Диофант не может положить хх = х2 = и — 51/20, так
как тогда
*? + ^2 = 2 (51/20)2 = 13V20o > 13.
Заметим, что хг и х2 должны быть приближенно равны. Диофант
ищет такие числа аир, что
. 3 — а = 51/20, 2 + р = 51/20,
т. е. а = 9/20, Р = 11/20, а затем полагает
хх = lit + 2, *2 = 3—9* (27)
и подставляет эти значения в уравнение (24), после чего находит
t = 5/101, хх = 257/101, х2 = 258/101.
Эти числа и дают решение.
В разделе 6 будет подробнее говориться об ограничении Диофанта.

МЕТОДЫ ДИОФАНТА 75
В чем же состоит метод? Зачем нужно было приводить задачу
к уравнению Пелля—Ферма? В чем смысл подстановок (27)?
Прежде чем ответить на все эти вопросы, опишем вкратце
задачи Vn и Vu. Условия их таковы:
Vu VM
г/i + г/2 + Уъ = 1» г/i + г/2 + 1/з + г/4 = а,
У г + а = *? > у% + yi+l + г/г+з = 4 >
i = l,2, 3; i = l,2, 3, 4, если i 4- к > 4, то надо
писать i-\- к — 4.
Диофант сводит их, соответственно, к системам
#i + х\ + #1— За +1, я* + x\ + 4 + #* = За,
*?>я, 1 = 1,2,3; 4<а, i = l,2, 3, 4.
При этом в задаче Vn он накладывает ограничение на число а,
так как знает, что не всякое число N = За + 1 может быть
представлено суммою трех целых или рациональных квадратов. А
именно, он требует, чтобы а Ф 8т + 2, т. е. N = За + 1 Ф 24т + 7.
Как показал Ферма нужно исключить также все числа вида
21 (8т + 7). Для второй задачи ограничений он не ставит.
Очевидно, ему было известно, что всякое целое число пред ставимо
суммою четырех квадратов.
При решении задачи Vn Диофант принимает а = 3 и повторяет
все те шаги, которые мы видели в задаче V9, а именно:
1) получает уравнение Пелля—Ферма 30#2 + 1 = у2 и,
решая его, находит, что хг ^ х2 ж xs s^ 11/6 = и, причем 3(u/e)2<10;
2) исходя из некоторого рационального решения уравнения
х\ + х\ + х\ = 10, (28)
а именно, хх — 3, х2 = 3/5, хв = 4/5, находит числа а, ($, у
такие, что
а —d 6 — 6» Р— 6 5 — 30 *
Y — 6 5 — 30 '
умножает все эти числа на 30 и полагает
Xl = 3-35*, х2 = 37* + 3/5, х3 = 31* + 4/5, (29)
после чего подставляет эти значения в (28) и находит решение.
Во второй задаче Диофант ограничивается указанием плана
решения, полагая, очевидно, что метод уже достаточно ясен.
Заметим, что если принять вместе с Диофантом о = 10 и следовать

76
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
его плану, то придем к уравнению Пелля—Ферма при А = 30,
т. е. к такому же, что и в Vn.
Попробуем теперь дать интерпретацию метода Диофанта.
Решение каждой из задач V9,ii,i4 можно разбить, как мы
видели, на два шага, изложение которых мы приведем в более общем
виде, чем это сделано Диофантом, и там, где это удобно, будем
прибегать к геометрическому представлению.
Во всех трех задачах на гиперсфере 2, заданной уравнением
%i + х\ + - - • + Яп — в» /г = 2, 3, 4,
системой неравенств задается область G, внутри которой нужно
найти рациональную точку, если заранее известна рациональная
точка гиперсферы, лежащая вне этой области.
Во всех трех случаях иррациональное решение этого уравнения
хх = У а/п, . . ., хп = Уа/п удовлетворяет неравенствам,
заданным в условии, т. е. точка (хъ . . ., хп) ЕЕ G.
1-й шаг. На 1-м шаге рассуждения ищется число и, являющееся
рациональным приближением Уа/п. Для этого Диофант
составляет уравнение
-f + 4-=«2 О©)
и отыскивает его рациональное решение. После домножения обеих
частей уравнения на n2v2, он получает уравнение
пах2 + 1 = *Л х = vln, у = vu, (31)
рациональное решение которого получается при помощи
подстановки выражений x = t,y = kt-\-lB уравнение (31)
nat2 + 1 = (Ы + I)2
откуда
+ _ 2к _ па + к2 па + к2
Х — г—па-к*у у— па - к* ' U~ 2кп '
Если теперь несколько иначе переписать уравнение (30)
2 а 1 1
п vL п2х2 '
то можно получить следующую оценку для рационального
приближения и квадратного корня Уа/п:
а 1 па — к2
п пх 2кп
В задачах У9Л1 па = 26, 30; к = 5, т. е. является наибольшим
целым числом, квадрат которого меньше па. В задаче V14 n = 4,
а = 30 и, значит, дробь а/п = 30/4 может быть сокращена на 2,

МЕТОДЫ ДИОФАНТА
77
поэтому мы получаем уравнение 30#2 + 1 = у2 точно такое же,
как в задаче Vu.
2-й шаг. Геометрический смысл 2-го шага состоит в
нахождении пересечения сферы 2, заданной уравнением
Xi -j- #2 ~\~ • • • ~f" хп = #»
и прямой, проходящей через исходную рациональную точку R
сферы 2, лежащую вне области G, определенной неравенствами,
и через точку В (и, . . ., и), координаты которой найдены на 1-м
шаге решения. При этом точка В лежит вне сферы 2. В задачах
V9,n координаты найденной таким образом точки пересечения
являются решением, т. е. удовлетворяют уравнениям и
неравенствам, указанным в условии. Таким образом, смысл подстановок
(27) и (29) в задачах V9, n состоит в проведении прямых,
проходящих соответственно через точки R (3,2), В (51/20, 51/20) и
R (3, 3/5, 4/5), В (11/6, 11/6, 11/6).
Проанализируем теперь, при каких условиях «метод
приближения» приводит к решению. Все рассмотрения мы будем вести на
геометрическом языке, который в этом случае наиболее удобен.
На сфере 2 (в задаче V9 — одномерной, в Vn — двумерной,
в V14 — трехмерной) системой неравенств задана область G,
внутри которой ищется рациональная точка. При этом известна
рациональная точка Л(йб2, R ф. G) и иррациональная точка
С ЕЕ G. Для наглядности через точки i?, С и центр сферы О
проведем плоскость П, в которой будут вестись дальнейшие
построения (рис. 6). Пусть Рх и Р2 точки пересечения этой плоскости
с границей области G. На 1-м шаге решения на прямой ОС
отыскивается рациональная точка В (ы, . . ., и), достаточно близкая
к точке С (Ya/n, . . ., Ya/n), а на 2-м шаге — ищется точка
пересечения М прямой RB и окружности а = 2 f| П. Для того чтобы
найденная точка М принадлежала дуге Р^Р*, точка В должна
лежать на отрезке ССЪ где Сг есть точка пересечения прямых ОС
и RPlm Отсюда ясно, что найденная на 1-м шаге точка В должна
удовлетворять условию СВ <ССг. Это эквивалентно отысканию

78 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
и — рационального приближения сверху у'а/гс. Действительно,
если
0<«2-^-<-^, то C^ = re(«-]/-f)2<
<п(и>-^)<СС\.
Мы видели, что приближение, полученное Диофантом на 1-м
шаге, удовлетворяет оценке
l/ а / ^ «. м — ^2
Поэтому, для того чтобы приближение и давало решение исходной
задачи, достаточно, чтобы для к выполнялось неравенство
л ^ па — /с2 ^ ССг
U<- 2пк <У^'
или, если к > 1/2,
О < па — к2 < УпСС^
Условия задачи V9, и, i4 составлены Диофантом так, что для
выполнения этого неравенства достаточно взять к наибольшим
целым числом, квадрат которого меньше па. На наш взгляд, мало
вероятно, чтобы Диофант оценивал длину отрезка ССи для
вычисления которой необходимо свободно оперировать с квадратичными
иррациональностями. Поэтому мы предлагаем реконструкцию
«метода приближения», аппарат которой не выходит за границы
технических средств и понятий греческой математики первых
веков нашей эры.
Реконструкция. Заметим прежде всего, что нет необходимости
оценивать величину отрезка ССи если у нас есть способ найти
последовательность рациональных точек {#m}m<=N, лежащих на
луче ССг и сходящихся к точке С. Проводя 2-й шаг метода
Диофанта, вместо точки В последовательно для точек В0, Въ . . .,
мы получим вместо точки Мпоследовательность точек М01 Мъ ...,
для которых утверждение Мт е= Р\Р<ь равносильно
утверждению СВт <С ССг. Поэтому проверка выполнения условия
СВт •< CCt, в котором нахождение величины отрезка СС1
затруднительно для Диофанта, может быть заменена проверкой
выполнения неравенств, определяющих область G, для координат
точек М01 Мъ ... . Далее, так как координаты точек Вт имеют вид
(ит, . . ., um), то задача отыскания последовательности точек
{5m}meN равносильна нахождению последовательности
рациональных точек {wm}meN, сходящихся к Yaln или? что то же самое,
последовательности рациональных чисел {zm}meN, сходящейся
к ~\fna.
Рассмотрим в этом контексте 1-й шаг метода Диофанта.

МЕТОДЫ ДИОФАНТА
79
Исходя из уравнения
z2 — А = l/x2, A = ла, 2 = пи,
Диофант после преобразования, равносильного замене
неизвестных z = у/х, приходит к уравнению у2 — Ах2 = 1, решение
которого дает формулу для достаточно хорошего рационального
приближения |ЛЛ:
z = (Л + й2)/2й,
где А: — более грубое целочисленное приближение.
Это формула совпадает с известной формулой нахождения
приближения кгадратпого корня у Герона (I в. н. э.), более привычный
вид которой
Сам Герон применял формулу (32) как итерационную, т. е.
дающую возможность находить по т-жу рациональному
приближению более точное (т + 1)-е приближение. Приведем в переводе
М. Я. Выгодского отрывок из «Метрики», в котором Герон на
примере приближенного извлечения квадратного корня из 720
описывает формулу (32) и связанные с ней итерации:
«Так как 720 не имеет рационального корня, то возьмем
корень с очень малой погрешностью следующим образом. Так как
ближайший в 720 квадрат есть 729, и оно имеет корнем 27, то
раздели 720 на 27. Получается 26 2/3. Приложи 27. Получится 53 2/8.
Половину этого. Получается 26 V2 1/3- Итак, ближайший корень
из 720 будет 26 х/2 V3. [Если помножить] на самое себя, получается
720, так как погрешность есть 36-я часть единицы. Если мы
пожелали бы, чтобы погрешность стала меньшей частью [единицы],
чем 36-я, то вместо 729 мы возьмем только что найденное 720 Ve и,
проделав то же самое, найдем, что погрешность гораздо меньше,
чем^авШб, с. 338—339].
Таким образом, если z0 = к — наибольшее целое число, для
которого к2 < А, то первое приближение zx вычисляется по
формуле
г*=-Н4+2°)-
Повторяя процесс, мы придем к последовательности
рациональных чисел {zm}m<=N, связанных соотношением
_ 1 / А \
и сходящихся к ~\[А.
В древней Греции этот метод мы находим впервые у Архита из
Тарента (первая половина IV в. до н. э.), но уже в древнем Вави-

80
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
лоне для приближенного извлечения квадратных корней
применялась формула
z = k+-Tk-> В = А-к2,
эквивалентная формуле Герона.
В случае А — 2 греческим математикам был известен еще один
способ нахождения последовательности рациональных
приближений, отличных от геронова, но также связанный с уравнением
Лелля—Ферма. Мы имеем в виду способ, известный нам из
сочинений Теона Смирнского (II в. н. э.) и Прокла (V в. н. э.) и
состоящий в построении двух последовательностей {am}meN и {dm}meN,
отношение Которых {dm/am}meN дает последовательность
рациональных приближений Y2. Рецепт Теона заключается в
следующем: если dt = аг = 1, то т-е члены последовательностей
получаются из (т — 1)-х по формулам
ат = am-i -\~ dm~v dm == 2am_! -f- аш-ъ
причем dm — 2ат = + 1, т. е. четные члены удовлетворяют
уравнению Пелля—Ферма у2 — 2х2 = 1. Теон указывает, что
обоснование приема дают предложения 9 и 10 книги II «Начал» Евклида.
Заметим, что т-е приближение ]А2 по формуле Герона совпадает
с 2™-м приближением по способу Теона.
Возвращаясь теперь к «методу приближения» Диофанта,
основанном на построении последовательности рациональных
приближений к ]/~А можем сделать следующие выводы.
1. На 1-м шаге метода, найдя для уравнения Пелля—Ферма
у2 — Ах2 = 1 рациональное решение
_ 2/с _ А + к2
Диофант выводит из него формулу Герона
Выбирая к наибольшим целым числом таким, что к2 < Л, он
получает тем самым первое приближение zx = z к ~\f A.
2. На 2-м шаге ищется точка пересечения М прямой RB и
сферы 2, где R — исходная рациональная точка, а В имеет коорди-
натьм^/я, . . ., zlri) иг — найденное на 1-м шаге приближение
к ут.
3. Анализ метода показал, что найденная таким образом точка
М будет принадлежать области G тогда и только тогда, когда
точка (z/n, . . ., zlri) взята достаточно близко к (j/Wn, . . ., |/Ww),
точнее СВ < ССЪ что в свою очередь эквивалентно нахождению
рационального приближения z к \[ А = У па.

МЕТОДЫ ДИОФАНТА 81
4. Числовые данные в задачах V9,n,i4 подобраны Диофантом
так, что для выполнения условия С В < ССг достаточно взять
z — первым приближением к |/"Л.
5. В общем виде «метод приближения», видимо, состоял в
следующем. Выведенная на 1-м шаге формула Герона дает способ для
вычисления последовательности рациональных чисел {zm}meN,
сходящихся к YА, которой соответствует последовательность точек
Вт = {zmln, . . ., zmln). Применив 2-й шаг метода вместо точки В
к точке Вт, мы получим точку Мт и проверим для нее
выполнение условия Mm€EG. Если это условие не выполняется, то,
переходя от приближения zm к zm+1, найдем точку Мт+1 и проверим для
нее выполнение условия Мт+1 ЕЕ G. Будем повторять этот процесс
до тех пор, пока для некоторого т0 не станет выполняться условие
4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ
И ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
А. КУБИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
В книге VI Диофант решает задачи, которые сводятся к
уравнениям 3-й, 4-й и 6-й степени от двух неизвестных. Напомним, что
метод решения таких уравнений принципиально отличается от
методов решения неопределенных уравнений 2-й степени, так как
кривые, определяемые этими уравнениями, могут иметь род
g> 1.
Кривая 3-го порядка может иметь род g = О или 1 (в
зависимости от наличия или отсутствия двойных точек). В случае g = 1
координаты рациональных точек (если таковые имеются), уже не
могут быть выражены рациональными функциями одного
параметра. Однако, зная одну или две рациональные точки
кубической кривой, можно найти еще одну ее рациональную точку,
применяя «метод касательной» или «метод секущей» (см. Введение).
Оба эти метода до сих пор приписывались тем или иным
математикам прошлого века, мы же покажем, что оба метода
применялись уже в «Арифметике» Диофанта. Именно отсюда они были
извлечены впоследствии математиками XVI—XVII вв.— Р. Бомбея-
ли, Ф. Виетом, А. Жираром и П. Ферма.
«Метод касательной» впервые встречается в задаче IV24.
«Данное число разложить на два числа и сделать [так], чтобы
их произведение было кубом без стороны.
Пусть данное число будет 6.
Положим 1-е число я, тогда остаток 6 — х будет 2-м числом.
Остается [сделать так], чтобы их произведение было кубом без
стороны. Но их произведение будет 6х — хг\ это должно
равняться кубу без стороны. Образую куб на х, взятом сколько-то раз ми-

82
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
нус 1, пусть на 2х — 1. Построенный куб без стороны будет 8х? +
-)- 4^— 12я2. Это должно равняться бх — х2.
Если бы количества х в каждой стороне равенства были
равными, то остались бы для сравнения члены с #3 и #2, л х
получилось бы рациональным. Но Ах получается из разности 6х и 2х,
т. е. из утроенного 2х; и если из утроенного 2х вычесть 2х, то
получится дважды 2х. Но 6 является произвольным согласно
предположению. Таким образом, я вынужден отыскивать число, как
это 2х, которое, будучи взято 2 раза, дало бы 6. Это число есть 3.
Я ищу 6х — х2, равное кубу без стороны. Теперь сторону этого
куба я беру Зх — 1; построенный на ней куб без своей стороны
будет
27а? + 6х — 27а:2 = 6х — х2;
и х получается равным 26/27.
К подстановкам. 1-е число будет 26, а 2-е 136 [двадцать
седьмых долей]». %
Проанализируем метод Диофанта. Задача сводится к
уравнению
х {а — х) = у3 — у, (33)
где а = 6. Это уравнение, очевидно, имеет рациональные решения
я = О, */ = 1 и # — О, у — —1. Диофант делает подстановку
х^г^у = кг__ i? v (34)
равносильную проведению прямой у = кх — 1 через точку (0, — 1).
Он берет сначала к = 2, но анализ задачи показывает ему, что
к не может быть выбрано произвольно. Действительно, после
подстановки получим
кН3 - (Зк2 - I)*2 + (2к - a)t = 0.
Чтобы t рационально выражалось через &, Диофант полагает
2к — а = 0, откуда к = а/2. Нетрудно видеть, что при таком
выборе к прямая (34) будет касательной к кривой (33). Процедура,
примененная Диофантом для нахождения к, равносильна чисто
алгебраическому определению производной dy/dx неявной
функции (33) в точке (0,— 1). Метод его совершенно общий. Если дано
уравнение 3-й степени F (х, у) = 0, которое имеет рациональное
решением = а, у = Ь, то, сделав подстановку
х = а + t, У = b + Ы,
получим
F (а + t, Ъ + Ы) = F (a, b) + P (a, b) t + Q (а, Ъ) kt +
+ R (а, Ь, к) t2 + S (а, Ь, А) *3 *» 0.
Но F (а, Ь) = 0. Чтобы t было рациональным, достаточно при-

МЕТОДЫ ДИОФАНТА 83
равнять нулю коэффициент при t. Тогда
Р(а,Ъ) _ dF/dx
*—— Q(a,b) ~ ~ dF/dy V1* °>'
Причем dF/dx и dFJdy находят чисто алгебраически.
Тем же методом Диофант решает задачу VIX8, которая сводится
к уравнению
хг - За:2 + Зх + 1 = у2. (35)
Это уравнение имеет рациональное решение х = 0, у = 1. Для
отыскания другого решения Диофант делает подстановку
х = tj у = з/2, + lf (36)
где к = 3/2 сразу выбрано так, чтобы в результирующем
уравнении коэффициент при t в первой степени равнялся нулю. Это
соответствует тому, что прямая (36) касается кривой (35) в точке
(0,1).
Далее Диофант говорит, что в «Поризмах» (которые до нас
не дошли) он решил задачу я3 + У3 = я3 — Ь8- Легко видеть, что
ее можно решить тем же методом. Именно так ее решали Бомбелли,
а впоследствии Ф. Виет (XVI в.) и П. Ферма (XVII в.) (см. ч. III).
Покажем теперь, что в задачах IV2e-27 Диофант применяет
«метод секущей». Рассмотрим задачу IV26.
«Найти такие два числа, чтобы их произведение, сложенное
с каждым из них, давало куб.
Составляю 1-е число из кубического количества #-ов; пусть
оно будет &г; 2-е полагаю х2 — 1; одно условие удовлетворено:
их произведение, сложенное с 1-м числом, дает куб.
Остается лишь, чтобы их произведение вместе со 2-м числом
давало куб. Но это произведение, сложенное со 2-м числом будет
8*3 + х2 - 8х — 1;
оно должно равняться кубу. Строю этот куб на стороне 2х — 1
и х будет 14/13.
К подстановкам. 1-е число будет 112/13, 2-е 27/169».
Итак, задача эквивалентна системе
Х-\Х% \~ Х-± == U ^\P^i ~i *^2 === ^ •
Если положить, следуя Диофанту, хг = авх, х2 = х2 — 1, то
первое уравнение системы удовлетворяется, а второе дает
aW + х2 - а*х - 1 = у3. ^ (37)
Кривая, задаваемая уравнением (37), имеет конечную
рациональную точку Р (0, — 1). Диофант делает подстановку
х = t, и = at — 1 (38)
и находит рациональное решение.

84 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Каков же геометрический смысл этой подстановки? Почему
прямая (38) встречает кривую третьего порядка (37) еще только
в одной точке? Ведь легко видеть, что прямая (38) не касается
кривой (37) в точке Р\
Покажем, что прямая (38) и кривая (37) имеют общую
бесконечно удаленную рациональную точку. Действительно, переходя
к однородным координатам (т, у, z), где х — т/z, v = y/z, получим
а3т3 + т22 — ahz* — z3 = у3 (39)
и
у = ах — z. (40)
Полагая 2 = 0, получим, что кривая (39) и прямая (40) проходят
через одну и ту же бесконечно удаленную рациональную точку
(1, а, 0). '
Итак, здесь применяется метод секущей, для случая, когда одна
из известных рациональных точек является конечной, а другая —
бесконечно удаленной.
Аналогичную ситуацию мы находим и в задаче IV27, в которой
Диофант приходит сначала к уравнению
8я3 — х2 + 8х - 1 = у3.
Он утверждает, что его левую часть невозможно сделать кубом.
Вероятно, подразумевая «невозможно методом предыдущей
задачи». Действительно, если мы положим у = 2х — 1, то решение
будет отрицательным. После этого Диофант предлагает другой
способ сведения первоначальной задачи к одному уравнению и
приходит на этот раз к уравнению 8х? + х2 — 8х —1 = у3,
которое уже было решено в IV26.
Заметим, что и все последующие математики XVI—XVII вв.
от Виета до Ферма применяли метод секущей к той же ситуации,
что и Диофант, т. е. когда одна из рациональных точек была
бесконечно удаленной. Почему же сложилась такая, казалось бы,
парадоксальная ситуация? Дело в том, что случай двух конечных
рациональных точек, который является наиболее простым при
геометрической интерпретации, алгебраически приводит к более
громоздким подстановкам, не говоря уже о том, что для нахождения
этих подстановок надо было знать уравнение прямой, проходящей
через две точки. Поэтому-то даже Эйлер в своей «Алгебре»
ограничился рассмотрением той же ситуации, что и Диофант, и только
в конце жизни исследовал случай двух конечных рациональных
точек. Между тем, Ньютон, который излагал методы нахождения
рациональных точек геометрически, сразу же начал с
рассмотрения двух конечных точек (см. [93, с. 112—114]).
Приведенные примеры свидетельствуют о том, что Диофант,
по-видимому, пришел к убеждению, что для неопределенного
уравнения 3-й степени неизвестные х и у уже, вообще говоря, нельзя
выразить как рациональные функции параметра. По крайней мере,

МЕТОДЫ ДИОФАНТА
85
он не искал такого выражения, а дал метод нахождения еще
одного рационального решения уравнения, если известно одно или два
таких решения.
Положение здесь можно сравнить с тем, которое сложилось
в античности по отношению к задачам удвоения куба или
квадратуры круга. Математики, во всяком случае начиная с Евклида,
были убеждены, что эти задачи неразрешимы с помощью
построений циркулем и линейкой, не искали уже их решения, однако не
могли доказать их неразрешимости. Такова же, по-видимому,
была позиция Диофанта в интересующем нас вопросе.
В. МЕТОД ПАРАБОЛ
Три задачи «Арифметики» сводятся к решению уравнения
у2 = Ах* + Вхг + Сх2 + Dx + Я, (41)
причем А = а2, Е — 1, т. е. и Е является квадратом. Это задачи
IV28 и VI10,n.
Задача IV28 эквивалентна системе
ххх% + (хг + х2) = у\, ххх2 — (хг + х2) = у\,
складывая и вычитая эти уравнения, Диофант получает
у\ + У%
хгх2 =—^— = д.
Чтобы корни этой системы были рациональны, необходимо и
достаточно выполнения условия
^2
до_,«(^)--*£*-□.
Полагая ух ^ х -{- 1, у2 = х — 1, Диофант получает
9х* — 4г> + 6х2 - 12* + 1 = а = у*. (42)
Это — эллиптическая кривая, на которой лежит рациональная
точка (0, 1). Для получения новой рациональной точки, Диофант
применяет подстановку
у = Зх2 — 6х + 1. (43)
Аналогичный метод применяется и в задаче VI10. В ходе ее
решения Диофант приходит к уравнению
я4 + 8.г3 + 18я2 + 12я + 1 = у2, (44)
для нахождения рациональных решений которого он делает
подстановку
у = 6х + 1 - х2. (45)

86 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Задача VIn сводится к тому же уравнению (44), поэтому
Диофант не приводит подробного решения этой задачи, а только
намечает ее план.
Этот метод Диофанта, и притом чисто алгебраически был
описан Ж. де Бильи при изложении исследований П. Ферма (см. здесь
ч. III, гл. IV, раздел 3).
Ход мысли Диофанта в алгебраическом плане, вероятно, шел
так: вместо линейной подстановки он применил квадратичную
у = ах2 + Ъх + с, причем значение коэффициентов a is. с
выбиралось так, чтобы в результирующем уравнении исчезли
коэффициент при х* и свободный член, а коэффициент Ъ доопределяется
так, чтобы в результирующем уравнении исчезли, кроме того,
либо коэффициент при х, либо коэффициент при я3.
Если мы теперь обратимся к геометрической интерпретации,
то увидим, что эллиптическая кривая L, определяемая уравнением
а¥ + Bxs + Сх2 + Dx + 1 = у2, (46)
и парабола у = ах2 + ли? + 1 проходят через рациональную
точку М (О, 1) и при т — DI2 касаются в этой точке кривой L. По
теореме Безу кривая L и парабола у = ах2 + тх + 1 должны
иметь восемь точек пересечения. Можно показать, что бесконечно
удаленная точка кривой L будет рациональной и имеет с
параболой пересечение в этой точке кратности 5. Таким образом, кривая
L и парабола должны пересекаться еще в одной точке и притом
рациональной.
Подведем итог. В «Арифметике» встречаются четыре задачи,
которые Диофант сводит к ^неопределенным уравнениям 3-й
степени, определяющим кривые рода 1, а именно
(IV24) х (а — х) = у* — z/, a = 6,
(IV26) а3х3 + х2 — а5х —I = у*, а = 2,
(IV27) aV — х2 + а*х — 1 = г/3, а = 2,
(IVi8) я3 - Зх2 + Зх + 1 = у2.
В первой и четвертой задачах Диофант применяет «метод
касательной», иначе говоря, делает подстановки
а л 3,*
у^—х—1 и y = -j-x+l.
Во второй и третьей задачах он применяет метод секущей, т. е.
делает подстановку у = ах — 1, которая в задаче IV26 сразу
приводит к решению, а в случае IV27 решение получается
отрицательным, поэтому Диофант изменяет первоначальную подстановку и
приводит задачу к уравнению вида IV2e.
Наконец, в задаче Vie Диофант, ссылаясь на доказательство,

МЕТОДЫ ДИОФАНТА 87
данное им в «Поризмах», утверждает, что задача
Xs + у3 = а? — Ь3, а > &,
всегда разрешима.
Неопределенные уравнения 4-й степени встречаются три раза:
(IV2e) 9х4 - 4*3 + &х2 — 12а: + 1 = У2,
(VIio, и) *4 + &г3 + 18х2 + 12* + 1 = у2.
Эти уравнения определяют кривые рода 1, Диофант применяет
для их решения метод парабол, т. е., соответственно, делает
подстановки:
у = Зх2 — 6х + 1 и у = 6х + 1 — х2.
Таким образом, в «Арифметике» содержится три типа задач
{две — на метод касательных, две — на метод секущих и две —
на метод парабол), причем в первой задаче каждого типа Диофант
поясняет метод подробно, а во второй применяет его уже без
пояснений.
Именно эти шесть задач и послужили для математиков XVI—
XVII вв. моделями для исследования и решения задач, сводящихся
к нахождению рациональных точек на кривых рода 1.
5. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ РОДА 1
И ПОВЕРХНОСТИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
А. Пространственные кривые рода 1
Мы уже говорили, что в «Арифметике» Диофанта встречаются
«двойные равенства» вида
ахх2 + Ъхх + сх = у2, а2х2 + Ъ2х + ,с2 = z2. (47)
Еще Лагранж в примечаниях к «Алгебре» Эйлера заметил, что,
вообще говоря, из этой системы х не удается выразить в виде
рациональной функции параметра. Даже если мы униформизируем
одно из уравнений системы, то, как показывает Лагранж, х будет
функцией, содержащей квадрат параметра, и при подстановке этой
функции во второе уравнение системы (47), получим
неопределенное уравнение 4-й степени: «Но мы до сих пор не имеем никакого
общего правила для решения уравнений такого вида» [77, т. 2,
с 564]. Иначе говоря, системы вида (47) определяют в общем
случае пространственные кривые рода^>0.
У Диофанта такие системы встречаются в задачах III13,
Ш17,18, IV23, Vb2, VI6,7, VI8,9 и VI22.
Эти системы уравнений можно разбить на два класса (А) и (В):
а2х2 + Ъхх + сх = у2, а2х2 + Ь2х + с2 = z2, (A)

88 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
системы этого вида мы находим в задачах Ш13, HIi7,i8» IV23;
х2 + Ъхх + сг = у2, Ь2х + с2 = я2, сх = w2c2, (В)
системы этого вида встречаются в задачах V1>2, VI6,7, VIe,9, VI22.
Напомним, что для решения «двойных равенств» вида
ах 4- Ъг = г/2, а# + Ь2 = я2,
определяющих кривую рода 0, Диофант вычитал одно уравнение
из другого и разлагал разность на множители
X.il^L=(j/-z)(!/ + z).,
После этого он приравнивал множители левой и правой части друг
к другу и находил у и z как функции от Я. Подставляя их в
исходные уравнения, он получал х, у, z как рациональные функции от Я.
Этот метод Диофант подробно объясняет в задаче Пп.
В противоположность этому, в дошедшем до нас тексте
Диофанта метод решения задач типа (А) и (В) не объясняется. Однако
этот метод можно извлечь как из анализа решения конкретных
задач, так и из некоторых беглых замечаний Диофанта. Одно из
них Диофант делает в задаче IV23, принадлежащей классу (А).
Эту задачу Диофант сводит к двойному равенству х2 + х — 1 =
= г/2, х2 — 1 = z2. Решение его он излагает так: «Беру разность:
она будет х; составляю два числа, произведение которых было бы
[этим] х. Это х я разделю на 1/2; частное будет 2х, т. е. удвоенной
стороной квадрата х2\ это ты уже знаешь; получается х равным
17 восьмым».
Итак, в этом случае также надо взять разность уравнений
системы, однако разность левых частей уже нельзя представить
в виде Х- -J- , где Я — произвольный параметр, а следует взять к
таким, чтобы коэффициент при х (в данном случае 1/Я) равнялся
«удвоенной стороне» коэффициента при х2, т. е. в общем случае
1/Я = 2а, К = 1/2а.
Из фразы «это ты уже знаешь» следует, что в какой-то из
предыдущих задач Диофант объяснил свой метод более подробно. К
сожалению, это изложение до нас не дошло.
Изложим метод Диофанта в общем виде и попытаемся понять,
из каких соображений он находил %. Вычитая в двойном равенстве
класса (А) одно уравнение из другого, получаем:
(Ъг — Ь2)х+ (ег — ct) = у2 — z2.
Правую и левую части разлагаем на множители
Тогда, полагая"
7/ 7 — % „JL.7— (&1 — М * + ^1 — Ч

МЕТОДЫ ДИОФАНТА
89
получим
Диофант требует, чтобы (Ьг — Ъ2)1Х = 2а, т. е.
Действительно, если это так, то у = ах + (J, z = аа; + Y и ПРИ
подстановке у или z в соответствующее уравнение системы (А)
получим одно рациональное значение для х.
Можно предположить, что Диофант при своем решении брал
сначала произвольный параметр Я, тогда
1
±^±-х + Ь
и при подстановке в первое уравнение системы получал
Для того чтобы х был рациональным, надо потребовать
выполнение условия
1 / Ьг — Ь9 \2 о ж л . б! —62
■№)'—•
т.е. К = -
Перейдем к системе класса (В).
Заметим, что поскольку сх = т?с2, то можно без ограничения
общности дальнейших рассуждений принять сг = с2 = с.
Рассмотрим сначала задачу У1? решение которой Диофант сводит к
двойному равенству
х* _ 12 = ^ (6 i/2) ж _ 12 = z\
Далее Диофант пишет: «Их разность равна х2 — (6 V2) x\ деление
на х дает частное х — 6 V2. Половина разности, умноженная на
себя, 169/16; это приравняем меньшему, т. е. (6 V2) x — 12.
И х будет 361/104».
Итак, если дана система класса (В), то после вычитания одного
уравнения из другого, получаем разность
я2 + Фг — Ь2) х = у2 — z2.
Диофант разлагает левую часть на множители х и х + (bx — be);
тогда, если положить
У + z = х + (bi — Ь2)> у — z = я,
то 2 = (Ьх — Ь2)/2, откуда находим
1
№)Ч

90 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Действительно, если разложить х2 + (bt —- b2) x на множители
te.(*+(ipM)=,(y-«)(y + «),
то, как нетрудно видеть, требование, чтобы х было рациональным,
приведет после подстановки в первое уравнение системы к тому,
что
-*-(*+4-М-
т. е. Я — 1, а после подстановки во второе уравнение:
4(^-i)-o,
т. е. X = ±1. Откуда естественно следует необходимость принять
Я = 1.
Заметим также, что тот же метод применим и в случае систем
вида
а2х2 + Ьхх + сг = г/2, Ь2х + с2 = z2, с± = с2. (В'}
В этом случае разность уравнений системы нужно, как легко
показать, разложить на множители ах (ах + (Ь± — Ъ2)1а).
Следует отметить, что и в случае систем класса (А) и в случае
систем класса (В). Диофант находит только одно рациональное
решение, причем из метода нахождения решения не видно, каким
путем можно получить еще одно решение. Этот жуть оставался
скрытым для всех исследователей неопределенных уравнений
вплоть до П. Ферма. Только Ферма сумел дополнить метод
Диофанта таким образом, что открылась неожиданная возможность для
получения любого числа рациональных решений.
В заключение приведем геометрическую интерпретацию
методов Диофанта для решения систем классов (А) и (В), что позволит
нам выявить их смысл с современной точки зрения.
Система класса (А) определяет в пространстве R3 неприводимую
кривую К 4-го порядка. Перенесем рассмотрение кривой К в
проективное пространство Р3, т. е. перейдем от системы координат
(х, г/, z) к однородным координатам (X, U, V, W), где х = X/W,
у = UIW, z = V/W.
В однородных координатах (X, U, V, W) система (А) имеет
вид
а2Х2 + bxXW + ClW2 = С/2, а2Х2%+ b2XW + c2W2 = V2.
(49)
Перенесение кривой К с бесконечно удаленной плоскостью
определяется системой уравнений (49) при W = 0:
а2Х2 = U2, а2Х2 = V2. * (50)

МЕТОДЫ ДИОФАНТА 91
Четыре рациональных решения системы (50) определяют четыре
рациональные точки Мх (1, а, а, 0), М% (1, —а, а, 0), Мъ (1, а,
—а, 0), М4 (1, —а, —а, 0), в которых кривая К пересекает
бесконечно удаленную плоскость.
Таким образом, система класса (А) определяет кривую К,
пересекающую бесконечно удаленную плоскость в четырех
рациональных точках.
Теперь выясним, каков смысл условия
у - z = Я. (51)
В однородных координатах оно имеет вид
U - V = М¥ (52)
и определяет пучок плоскостей в Р3, проходящих через бесконечно
удаленную прямую, уравнение которой на бесконечно удаленной
плоскости W = 0 имеет вид U = V. Эта прямая проходит через
бесконечно удаленные рациональные точки М1 и М4 кривой К.
Теперь осталось выяснить смысл условия (48).
В общем случае плоскость в проективном пространстве
пересекает кривую 4-го порядка в четырех точках с учетом их крат-
ностей. Поэтому любая плоскость пучка (52), кроме точек Мг и
М4 будет пересекать кривую К еще в двух точках. Однако
плоскость я пучка (52), в которой лежит касательный вектор к кривой
К в точке Mi, пересечет кривую К еще лишь в одной точке, так
как точка Мг будет в этом случае двукратной точкой пересечения.
Можно показать, что условие (48) как раз и означает, что
соответствующая плоскость я пучка (52) касается кривой К в
бесконечно удаленной точке М±.
Рассмотрим теперь метод решения систем класса (В) в
геометрической интерпретации. Эта система задает в пространстве R3
с координатами (х, у, z) неприводимую кривую 4-го порядка и
рода 1. Плоскость, определяемая уравнением х — 0, пересекает
кривую К в четырех иррациональных точках Мг (О, Ус, Ус)
М2 (О, - Ус, Ус), М9 (О, Ус, -У7), М4 (0, -Ус, - Ус). Хотя
сами точки Мг и М4 иррациональны, пучок плоскостей,
проходящих через прямую МгМ4, рационален. Его уравнение имеет
вид
у — z = Кх. (53)
Таким образом, смысл условия (49) состоит в том, что оно
определяет рациональный пучок плоскостей, проходящих через, в об-
Щем-то, иррациональные точки Мх и М4 кривой К. Любая
плоскость пучка (53) пересекает кривую К еще в двух точках. Если
одна из этих точек рациональна, то и другая точка также должна
быть рациональной. Именно это соображение лежит в основе
разбираемого случая.

^щ
92 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ |
_ |
Действительно, рассмотрим кривую К в проективном
пространстве Р3. В однородных координатах (X, U, V, W), связанных I
с аффинными координатами (х, у, z) соотношениями
х = XIW, у = UIW, z = V/W, |
кривую К определяет система уравнений
а2Х2 + \XW + cW* = t/*, b2XW +cW* = F2. (54)
Пересечение кривой jST с бесконечно удаленной плоскостью
определяется системой уравнений (54) при W = 0:
a2Z2 _ [/2? F2 = о
Два решения этой системы уравнений определяют две
рациональные (двойные по отношению к бесконечно удаленной плоскости,
но не особые) точки Nx (1, a, 0, 0) и N2. (1, —a, 0, 0) кривой К.
В координатах (X, U, V, W) пучок (53) определяется
уравнением
U - V = XX. (55)
Найдем в этом пучке плоскость, проходящую через точку Nx.
Для этого координаты точки Nx должны удовлетворять условию
(55) а = Ха, откуда Я = 1.
Таким образом, смысл условия К = 1 состоит в том, что оно
определяет в пучке плоскостей (55) плоскость, проходящую через
бесконечно удаленную точку N±. Полученная таким оспособом
плоскость пересекает кривую L в двух иррациональных точках
Мг и М4, а также в рациональной бесконечно удаленной точке
Л*!, при этом сама эта плоскость рациональна, а следовательно,
должна пересечь кривую L еще в одной рациональной точке,
которая и соответствует решению Диофанта.
В. Кубические поверхности
В книге V содержатся три интересные задачи F15_l7, которые
эквивалентны, соответственно, системам уравнений
(Vi6) (У1 + У2 + Уз)* + Уг = х1 i = 1,2,3;
(Vi6) (г/i -f i/2 + 2/з)3 — У\ = ХЬ i = l,2,3;
(V17) У1 — (У1 + У2 + Уъ? = х1, i = 1, 2, 3.
Эти задачи Диофант сводит к нахождению рационального решения
неопределенного уравнения 3-й степени с четырьмя неизвестными,
т. е. рациональной точки гиперповерхности 3-го порядка.
Повторяя те же самые рассуждения, которые мы проводили выше при
рассмотрении задач на решение систем уравнений 2-й степени
(см. ч. I, гл. IV, раздел 2), легко убедиться, что системы (V15_l7)

МЕТОДЫ ДИОФАНТА 93
равносильны системам
(Vis) [ х\ + х\ + х\ - Ъх\ = *4.
У1 + У2 + уз = х*;
ух^х\-х\, j = l,2,3;
(Vie) ( Зх\ - {х\ + х\ + х\) = х»
У\ + У 2 + Уъ = Хь
у1 = х1—х*, i== 1,2,3;
( * IV \ X\\~X% ~~Г #3 ~Г 3^4 === ^4»
У1 + Уъ + Уъ = Хь
Уг = х1+ х\, i = l, 2, 3.
В свою очередь каждая из систем (V^n) сводится к своему 1-му
уравнению. После замены неизвестных
Р = ^-, y = —> б=—, * = —
Г Я4 ^4 #4 ^4
1-е уравнение систем (Vi5_17) примут вид
рз + уз + бз _ з = z\ 3 - (р3 + V3 + б3) - 22,
РЗ + v3 + g3 + 3 = 22.
Сам Диофант эти преобразования в задачах V15 и Vl7 (которые
решены у него, как мы увидим ниже, одним и тем же методом)
проделывает следующим образом.
Сначала он подбирает для г/х, */2, у3 такие выражения от
неизвестного х и параметров, чтобы все три уравнения
удовлетворялись, а именно, он полагает
Ух + У г +
= х,
Ух - (Р3 =F 1) *3, Vt = (V3 =F 1) х\ у3 = (83 гр 1) х\ р = 2, т = 3,
6=4 (где знак «—» берется для задачи V15, а знак «+» — для
Vl7). Тогда хг = Р#, х2 = 7^» #з = бх и все уравнения системы
удовлетворяются при условии, что уг + у2 + г/3 = #» т- е-
рз + тз + бз ^ з - z2, z = 1/х. (56)
После этого он рассматривает (J, Y» б не как закрепленные
параметры, а уже в качестве неизвестных. Таким образом, в обеих
задачах Диофант приходит к отысканию рациональных решений
неопределенного кубического уравнения (56). Для этого он
закрепляет одно из неизвестных, полагая б = иг, и делает
подстановку
Р = at + Ь, у = ct + d.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Коэффициенты а, 6, с, d он подбирает так, чтобы 1) при
подстановке в уравнение (56) уничтожались члены 3-й степени; 2)
коэффициент при t2 был полным квадратом.
Для выполнения требования 1) достаточно положить а =
= —с = 1, что и делает Диофант. Тогда коэффициент при t2 будет
3 (6 + d), т. е. надо требовать, чтобы Ь + d ~ ЗА;2. Диофант
выбирает в V15 Ь = 1, d = 2, а в Vi7 Ь = 0, d — 3, и получает
9*2 - 9* + т* + 6 = z2 в V15,
9t2 - 27* + ms + 30 =z2 в Vi7.
Последние уравнения легко решаются с помощью подстановки
Z = 3* + fc.
Рассмотрим теперь, в чем состоит геометрический смысл
решения Диофанта. Уравнение (56) задает гиперповерхность в
четырехмерном пространстве (Р, у, б, z). Условие б = т равносильно
пересечению этой гиперповерхности пучком гиперплоскостей, при
этом в пересечении с любой из этих гиперплоскостей получается
кубическая поверхность в пространстве (Р, у, z). Перейдем теперь
к проективным координатам, положив
Р = u/т, у = у/т, z = w/t.
Тогда уравнение (56) примет вид
u3 + vs + (m3 + 3) т3 = wh. (57)
Подстановка Диофанта эквивалентна проведению пучка
плоскостей
и + v = (b + d) т = Zt, (58)
проходящих через бесконечно удаленную прямую
и + i; = Zt, t = 0, (59)
лежащую на поверхности (57). При этом параметр Z остается
неопределенным.
Всякая плоскость пересекает поверхность (57) по кривой 3-го
порядка, а каждая плоскость пучка (58) — по кривой, которая
распадается на две компоненты: прямую (59) и кривую 2-го порядка
31и2 - 312их + (то8 + Is + 3) т2 = 0. (60)
При этом каждая из плоскостей (58) будет касаться поверхности
(57) в двух точках А (1, -1< УЗГ, 0)я В (1, -1, — /3Z, 0),
которые будут точками пересечения прямой (59) с кривой (60). Теперь
остается только подобрать параметр I так, чтобы точки А и В
были рациональными. Для этого достаточно положить, следуя
Диофанту, I = ЗА2.
Задача Vie решается иным методом. Сначала, как и в задаче
V15, Диофант подбирает для ух, z/2, ys такие выражения от х и па-

МЕТОДЫ ДИОФАНТА
95
раметров, чтобы все три уравнения удовлетворялись, а именно,
он полагает
Vi + Уг + */з = х*
»1 = (!--£■) Л ^ = (i-^r)*3, г/з=(1 —
Тогда х1 = х/р, #2 = я/у, я3 = */б» гДе Р = 2, у = 3, 6 = 4,
и уравнения удовлетворены при условии, что
3-(-j|r + -f+ -5г) = П = *». (61)
причем
1 ^\ i ^\ i ^ \
Диофант требует, чтобы 1/р3 + 1/у3 + 1/63 < 1, тогда 2 < z2 < 3.
Он берет z2 = 9/4 и раскладывает число 3 — (9/4) = 3/4 в сумму
трех кубов 3/4 = 162/216 - (5/6)3 + (4/6)3 — (3/6)3. Поскольку
третий куб отрицателен, Диофант предлагает преобразовать
разность кубов 43— З3 к сумме двух других кубов, как это было
сделано в «Поризмах» (об этой задаче мы уже упоминали выше).
После этого (не производя вычислений) он возвращается к
первоначальной задаче.
Итак, в этом случае Диофант закрепил не 6, как в V15 a z,
положив z2 = 9/4. Это эквивалентно пересечению
гиперповерхности (61) двумя пучками гиперплоскостей z = ±3/2. Диофант
изменяет метод, по-видимому, из-за того, что иначе ему пришлось
бы иметь дело со сложной системой неравенств.
Приведенные примеры показывают, что и в случае с
кубическими поверхностями наши современные методы построения
арифметики на них восходят к Диофанту. Действительно, если на
неприводимой кубической поверхности известна рациональная точка
М, то через М можно провести касательную плоскость, которая
пересечет поверхность по кривой Г 3-го порядка. Для этой кривой
М будет двойной точкой, поэтому Г будет рода нуль и ее можно
униформизировать в рациональных функциях над полем
рациональных чисел Q. У Диофанта картина несколько иная. Он
проводит плоскость через бесконечно удаленную прямую, лежащую
на поверхности, в результате чего кривая Г, получаемая в сечении,
оказывается приводимой.
Пятая книга «Арифметики» производит впечатление
сокращенного конспекта. Решение многих задач в ней не доведено до
конца (например, V12_14), в некоторых задачах намечен только
план решения. Найденная недавно арабская рукопись задач,
приписываемых Диофанту, подтверждает впечатление о том, что
книга эта дошла до нас в искаженном виде. Уже многие
исследователи старались восполнить пробел межу задачами Vi9 (решение

36
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
которой отсутствует) и V20. В арабской рукописи имеется задача,
о которой мы будем говорить ниже (ч. I, кл. V, раздел 4) — в ней
метод касательной применен к кубическим поверхностям.
6. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ У ДИОФАНТА
Все изложенные до сих пор методы Диофанта носили чисто
алгебраический характер, т. е. они могли быть применены над
% любым полем характеристики 0. Однако, помимо чисто
алгебраических, в «Арифметике» рассматриваются и теоретико-числовые
или арифметические вопросы, связанные с исследованием
делимости целых чисел, их представимости в виде суммы двух, трех или
четырех квадратов и тому подобное. Эти вопросы возникают
обычно при исследовании условий разрешимости той или иной задачи.
Именно в таком виде и появляются в «Арифметике» теоремы
теории чисел. Судя по одному замечанию самого Диофанта, все
эти и другие теоремы такого рода были им рассмотрены в
специальной книге «Поризмы», которая до нас не дошла.
Поэтому нам ничего другого не остается, как судить о знаниях
Диофанта в теории чисел на основании замечаний и диоризмов х,
имеющихся в «Арифметике». Большинство из них относится к
проблемам представления целых чисел суммами двух, трех и четырех
квадратов. Первая из этих проблем сыграла огромную роль
в дальнейшем развитии теории чисел. Она может быть
сформулирована так:
Дано целое число N. Определить, можно ли его представить
формой х2 + у2, где х, у — целые, и если да, то сколькими
различными способами возможно такое представление.
Эта проблема встречается в нескольких задачах
«Арифметики». Начнем с задачи 19 книги III.
«Найти четыре числа таких, чтобы квадрат суммы всех четырех
чисел оставался квадратом, если к нему прибавить, или из него
вычесть каждое из этих чисел.
Так как во всяком прямоугольном треугольнике квадрат на
гипотенузе остается квадратом, если к нему прибавить или от него
отнять удвоенное произведение сторон, прилегающих к прямому
углу, то прежде всего я ищу четыре прямоугольных треугольника,
имеющих одинаковые гипотенузы; эта задача одинакова с задачей
на разложение какого-нибудь квадрата на два квадрата, и притом
четырьмя способами, а мы знаем, что разложение данного
квадрата на два квадрата можно производить бесконечным числом
способов.
Теперь возьмем два прямоугольных треугольника из
наименьших чисел, как например, 3, 4, 5 и 5, 12, 13, и помножим каждый
из взятых на гипотенузу другого; тогда первый треугольник будет
Т. е. ограничительных условий.

МЕТОДЫ ДИОФАНТА
97
39, 52, £5, а второй 25, 60, 65. Это будут прямоугольные
треугольники, имеющие одинаковые гипотенузы.
По своей природе число 65 разлагается на квадраты двумя
способами, а именно на 16 и 49, а также и на 64 и 1. Это
происходит потому, что 65 получается от произведения 13 и 5, а каждое
из этих чисел раскладывается на два квадрата. Теперь для взятых
49 и 16 я нахожу стороны, они будут 7 и 4, и образую
прямоугольный треугольник на двух числах 7 и 4; это будет 33, 56, 65.
Точно так же у 64 и 1 сторонами будет 8 и 1; я опять образую
на этих числах прямоугольный треугольник со сторонами 16,
63, 65.
Таким-образом, получаются четыре прямоугольных
треугольника с одинаковыми гипотенузами; возвращаясь к первоначальной
задаче, в качестве суммы нужных четырех чисел я беру 65а;,
а каждое из этих чисел в а;2, взятых число раз, равное
учетверенной площади, именно: 1-е 4056а;2, 2-е 3000а:2, 3-е 3696а;2 и 4-е
2016а;2.
И сумма четырех чисел 12 768 х2 будет равна 65а;, так что х
получается равным 65/12 768.
К подстановкам. 1-е число будет 17 136 600 [2-е 12 675 000]
таких же долей, 3-е 15 615 600 таких же долей, четвертое 8 517 600,
а знаменатель равен 163*021 824».
Эта задача замечательна во многих отношениях. Во-первых
здесь Диофант впервые говорит о прямоугольных треугольниках
«в наименьших числах» и о образовании таких треугольников из
«двух чисел». На самом деле речь, конечно, идет о решении в
рациональных числах неопределенного уравнения х2 + у2 = z2,
которое рассматривали еще в Древнем Вавилоне и решение которого
нашли до Диофанта пифагорейцы. Диофант, не оговаривая
этого специально, пользуется общими формулами, дающими все целые
решения этого уравнения: х = 2pq, у = р2 — q2, z = p2 + q2.
Поскольку уравнение однородно, то расширение области решения
до поля рациональных чисел на дает тут ничего нового. Эти
решения можно получить, например, тем же методом, который
Диофант применил в задаче 8 книги II для разложения заданного
квадрата в сумму двух квадратов.
Во-вторых, она содержит утверждение, что произведение двух
целых чисел р и д, каждое из которых является суммой двух
квадратов, само представимо суммой двух квадратов и притом двумя
различными способами (если только рфк2а). При этом, если
р = а2 + Ъ2 и q = с2 + d2, то pq = (ас + bd)2 + (ad — be)2 =
= (ас — bd)2 + (ad + be2). Именно в примечаниях к этой задаче
Ферма высказал свое знаменитое утверждение, что каждое
простое число вида An + 1 представимо в виде суммы двух квадратов
и притом только одним способом. Здесь же он дал формулу для
определения, сколькими способами заданное число можно
представить в виде суммы двух квадратов. щ
4 Заказ № 3214

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Известны ли были эти предложения Диофанту? Для ответа
на этот вопрос рассмотрим задачу V9, о которой уже шла речь
в разделе 3.
Эта задача сводится к уравнению 2а + 1 = и2 + у2, поэтому
число а должно быть выбрано так, чтобы 2а + 1 представлялось
в виде суммы двух квадратов. Общие условия для того, чтобы
число можно было представить в виде суммы двух квадратов, целых
или дробных, после Диофанта были найдены только П. Ферма
, (XVII в.), который сформулировал их так: если число после
деления на наибольший содержащийся в нем квадрат дает частное г
которое делится на простое число вида 4гс ■— 1, то заданное числа
не будет квадратом и не может быть разложено в сумму двух целых
или дробных квадратов.
Эти условия могут быть выведены из- одной замечательной
теоремы, которую сформулировал Ферма, а доказал Эйлер, а именно:
суммой двух квадратов представимы те и только те простые числаг
которые имеют вид 4/г + 1.
Знал ли Диофант доказательство своего диоризма и
подозревал ли он о том, что выставленные им условия не только
необходимы, но и достаточны для представимости целого числа суммою
двух квадратов?
Этому вопросу посвятил специальное исследование [89] один
из знаменитых математиков прошлого века, младший современник
Гаусса, Карл Якоби. Прежде всего он провел тщательный
филологический анализ текста Диофанта /и предложил следующую era
реконструкцию: необходимо, чтобы заданное число не было
нечетным, и чтобы удвоенное его и единица не имело делителя,
кратного четырем без единицы.
Примерно так же этот текст был впоследствии восстановлен
большим знатоком античности и издателем Диофанта Полем Тан-
нери [73].
Это условие будет необходимо и достаточно, если к нему
прибавить оговорку «после деления на наибольший содержащийся
в нем квадрат», но, по-видимому, Диофант подразумевает это.
Якоби в своей статье исходит из положения, что античные
математики не высказывали в своих произведениях утверждений^
доказательство которых им было неизвестно. По-видимому,
Диофант нашел с помощью неполной индукции, что приведенный им
диоризм полностью определяет числа, представимые суммою двух
квадратов, однако доказать его во всем объеме ой не мог. Что же-
касается необходимости диоризма, то Якоби не сомневается в томг
что он был доказан Диофантом со всей строгостью. Якоби
предлагает свою реконструкцию этого доказательства, выдержаннуюг
как он полагает, в духе Диофанта и Евклида.
Действительно, из вполне элементарных соображений Диофант
мог получить, что нечетное число N = 2п + 1 может быть
представлено суммой двух*1свадратов только в случае п = 2&, т. е*

МЕТОДЫ ДИОФАНТА 90
JV = 4Л-+ 1. Однако обратное неверно, не каждое нечетное число
вида Ак + 1 представляется суммой двух квадратов (например,
21 непредставимо в таком виде). Поэтому надо было найти и
другие свойства суммы а2 + Ь2.
Заметим, что N и a2N, где а — рациональное число,
одновременно представимы или одновременно непредставимы в виде
а2 + Ъ%. Поэтому достаточно рассматривать числа, которые не
делятся ни на какой квадрат.
Открытие Диофанта и состояло в том, что такие числа ЛГ, если
они являются суммой двух целых квадратов, не должны иметь
простых делителей вида 4/г — 1.
Якоби считает, что доказательство Диофанта состояло в
последовательном установлении следующих теорем:
Теорема 1. Каждое целое нечетное число, являющееся
суммой двух квадратов, имеет вид An + 1.
Мы уже отмечали, что эта теорема устанавливается
элементарно. Заметим, что на нее у Диофанта есть прямая ссылка в задаче
VI14, в которой он утверждает, что уравнение
15*2 - 36 = о
яе имеет рациональных решений: «это равенство невозможно,—
пишет он,— вследствие того, что 15 не раскладывается на два
квадрата», т. е. представление
невозможно.
Теорема 2. Если N = а2 + Ъ2 и a, b не имеют общего
делителя вида An — 1, то каждый делитель р числа N имеет вид
Ап+ 1.
При доказательстве этого предложения Якоби применил метод
^бесконечного спуска.
Теорема 3. Если заданное нечетное число является суммой
двух квадратов, которые не имеют общих делителей, то и любой
делитель заданного числа является суммой двух рациональных
квадратов.
Эта теорема легко следует из предыдущей.
Теорема 4. Любой делитель суммы двух целых
квадратов, не имеющих общего делителя, вновь является суммой двух
целых квадратов (т.е. имеет вид An + 1).
Хотя мы и не можем сказать с уверенностью, что Диофант
доказывал свой диоризм именно так, тем более что реконструкция
Якоби, по нашему мнению, слишком сложна, однако мы
присоединяемся к его мнению, что этот диоризм был, безусловно, строго i
доказан Диофантом. В этом нас, как и Якоби, убеждает общая
установка античных математиков: никогда не высказывать в качестве
утверждения предложение, которое еще не доказано. Так, Прокл
4»

J
100 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
в своих «Комментариях к Евклиду» писал, ссылаясь на Гемина:
«Мы научились у начинателей этой науки не принимать во
внимание правдоподобных заключений, когда речь идет о рассужденияхг
которые должны войти в наше учение о геометрии».
Подведем итог. Диофант умел доказывать, что целое число iV,
не делящееся ни на какой квадрат, и имеющее простой делитель
вида 4/г — 1, не может быть представлено формой а2 + &2-
Диофант открыл, но, по-видимому, не умел доказывать^ что всякое
простое число р вида 4тг + 1 представимо формой а2 + Ъ2,
Из других задач «Арифметики» можно установить, что Диофант
знал теорему: каждое целое число N представимо суммой не более
четырех квадратов, причем числа вида 8п + 7 не могут быть
представлены суммою трех квадратов.
Первую часть приведенного утверждения можно усмотреть
из метода решения задач IV29 и IV30, которые сводятся
соответственно к уравнениям
4 4
Диофант прибавляет к обеим частям равенства 1 и получает
Затем он раскладывает а + 1 в сумму четырех рациональных
квадратов, причем не накладывает на число а никаких
дополнительных ограничений, т. е. считает, что число а + 1 при любом
а представимо в виде
yl + yi + yl + yl.
Баше де Мезириак в комментариях к своему изданию
«Арифметики» заметил, что всякое число является либо квадратом, либо
суммой двух, трех или четырех целочисленных квадратов.
По-видимому, он пришел к этому предложению чисто эмпирически,
никаких попыток доказать его он не сделал.
Ферма добавил к этому замечанию Баше следующее (№ XVIII):
«Более того, мы открыли впервые прекраснейшее и наиболее
общее предложение, а именно: каждое число является либо
треугольным, либо суммою двух или трех треугольных; либо
квадратом, либо суммою двух, трех или четырех квадратов; либо
пятиугольным, либо суммою двух, трех, четырех или пяти пятиугольных,
и так далее до бесконечности, для шестиугольных, семиугольных
или любых многоугольных чисел; это чудесное и общее
предложение может быть высказано, очевидно, для любого числа углов.
Здесь невозможно дать его доказательство, которое зависит
от многочисленных и сокровеннейших тайн науки о числах; мы

МЕТОДЫ ДИОФАНТА Ю1
намерены посвятить этому предмету целую книгу и продвинуть
удивительным образом эту часть Арифметики за пределы,
известные в древности» [18, с. 242—243].
Теоремой, высказанной Баше, занимался впоследствии
Л. Эйлер, полное доказательство ее получил Ж. Л. Лагранж в
1770 г. Доказательство теоремы Ферма о представимости любого
целого числа суммою не более п гс-угольных чисел предложил О. Коши,
Утверждение, относящееся к числам, не пред ставимым суммою
трех квадратов, высказано Диофантом в виде диоризма к задаче
Vn, условие которой следующее:
«Разложить единицу на три числа, к каждому из них прибавить
одно и то же заданное числе-и сделать каждое квадратом».
Иными словами, требуется решить систему
х + у + z = 1, у + a = v2,
х + а = и2, z + а = и?2,
или За + 1 = и2 + v2 + w2.
К условию задачи Диофант добавляет диоризм: «Нужно,
однако, чтобы данное число не было двойкой, а также и числом,
полученным из двойки увеличением на кратное восьмерки», т. е. а Ф 2»
а ф 8/г + 2. Отсюда N = За + 1 Ф 7, N ф 24гс + 7. Таким
образом, чтобы число N можно было представить в виде трех
квадратов и2 + v2 + w2, Диофант требует, чтобы оно не имело вида
2Ап + 7 К
К этой задаче П. Ферма сделал следующее замечание (XXVII):
«Условия, наложенные Баше 2, недостаточны: более того, он не
провел свои исследования с нужной аккуратностью, так,
например, число 37 не исключается этими условиями, но оно не может
быть взято.
Вот каковы должны быть условия:
Возьмем две геометрические прогрессии со знаменателем 4 и
имеющие первые члены 1 и 8, и напишем их одну под другой
следующим образом:
1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4 096 и т. д., '
8, 32, 128t 512, 2048, 8192, 32 768 и т. д.,
и рассматриваем сначала первый член второй прогрессии, т. е. 8,
нужно, чтобы данное число не равнялось удвоенной единице, т. е.
Как известно, числа, не представимые суммою трех квадратов, имеют
вид 8к + 7. Но в задаче Диофанта числа должны быть вида 31 + 1, т. е.
8& = Ы — 6 и к = Ъп.
Баше сформулировал следующие условия: данное число а не должно быть
вида 32га + 9. Он утверждал, что проверил все числа до 325 и^е нашел
ни одного исключения.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
члену, стоящему над 8, и не превосходило на удвоенную единицу
кратное от 8.
Затем рассматриваем второй член второй прогрессии, который
равен 32, берем и удваиваем верхнее число, т. е. 4, что даст 8,
и прибавляем к нему сумму всех предшествующих членов той же
прогрессии (в данном случае эта сумма сводится к единице), что
гдаст 9.
Возьмем числа 32 и 9, тогда нужно, чтобы данное число не
равнялось 9 и не превосходило 9 на кратное от 32.
Теперь рассмотрим третий член второй прогрессии, т. е. 128,
удвоим стоящее выше число, т. е. 16, йо лучим 32; прибавим сумму
предшествующих членов той же верхней прогрессии, т. е. 1 и 4,
получим 37. Итак, возьмем два числа 128 и 37; нужно, чтобы
данное число не равнялось 37 и не превосходило 37 на кратное от 128.
Рассмотрим теперь четвертый член второй прогрессии, тем
же методом получим числа 512 и 149. Итак, нужно, чтобы данное
число не равнялось 149 и не превосходило 149 на кратное от 512.
Это и есть единообразный метод, который можно продолжать до
бесконечности. Он не был указан в общем виде Диофантом и не
был известен самому Баше; исследования этого последнего были
ошибочны не только для числа 37, как я это уже указал, но и для
149 и других, которые также попадают в границы исследованных
им чисел» [18, с. 268—269].
Итак, согласно Ферма, заданное число а не должно равняться
2,8га -Ь2,32л + 9, 128п + 37,512га + 149, . . ., т. е.ЛГ = За + 1
не должно быть равным 7, 24га + 7, 96га + 28 = 4 (24га + 7),
42 (24га + 7) и т. д. Отсюда видно, что числа, исключенные Ферма,
отличаются от чисел, исключенных Диофантом, множителями 4,
42,43, . . . . По-видимому, и здесь Диофант полагал, что N не
содержит никакого квадратного множителя.
В задаче Vl6 Диофант представляет числа а суммою трех кубов.
Текст задачи, по-видимому, испорчен, поэтому Ферма замечает,
что «либо греческий текст испорчен, либо Диофант не изложил
способа решения». Действительно, в ходе решения Диофант
приходит к задаче: представить число 3/4 в виде суммы трех кубов
3/4 = г5 + г/3 + z3.
Вот его решение. «Тогда нужно разложить на [три] куба 3/4 или
какое-нибудь его кратное, могущее быть разложенным на три куба.
Пусть это будет 216; тогда нам нужно разложить 162 на три куба.
Но 162 представляет сумму куба 125 и разности двух кубов
64 и 27. Из «Поризмов» мы имеем: «Разность всяких двух кубов
равна сумме двух кубов».
П. Таннери так восстанавливает это место:
216 = б3 = 53 + 43 + З3 (62)
или
1 = ^5/6)3 + (4/6)3 + (1/2)3.

МЕТОДЫ ДИОФАНТА
i03
Вычитая из обеих частей последнего равенства 1/4, получим
3/4 = (5/6)3 + (4/6)3 - (3/6)3
или
3/4-216 = 162 = 53 + 43 - З2.
Далее, разность 43 — З3 представляется, согласно поризму,
в виде суммы двух кубов. О том, как было получено разложение
(62), Диофант ничего не говорит.
Ответ на этот вопрос был дан в исследованиях Бомбелли,
Виета и Ферма (см. ч. III).
Из разрешимости уравнения Xs + у3 = а3 — Ь3 можно
усмотреть также, что каждый куб а3 может быть представлен в виде
суммы трех кубов.
Но знал ли Диофант, что всякое целое или рациональное число
можно представить в виде суммы трех кубов?
Во всяком случае, предложение это не было замечено Ферма
(что видно из его комментария к этой задаче). О нем не знали
Эйлер. Доказано оно было только в XIX в. [72, т. 2, с. 726].
Наш обзор был бы неполным, если бы мы не коснулись
Великой теоремы Ферма. На полях принадлежащего ему экземпляра
«Арифметики» Ферма записал ее в первый раз напротив задачи П8,
в которой требуется разложить заданный квадрат в сумму двух
квадратов. Запись Ферма гласит: «Наоборот, невозможно
разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и
вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же
показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство,
но эти поля для него слишком малы», т. е. уравнение хп + уп = zn
при п ^> 2 и xyz Ф О не имеет решений в целых числах.
Диофант нигде не ставит задачи о представлении куба суммою
двух кубов (вероятно, он убедился, что она невозможна), но
ставит задачу о представлении разности двух кубов суммою двух
кубов, откуда, как следствие, вытекает возможность
представления куба суммою не двух, а трех кубов.
Во второй раз Ферма говорит о своей теореме в
замечании к задаче VI24 (ч. III, гл. IV, раздел 2).

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
ГЛАВА V
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
В АНТИЧНОСТИ
ПОСЛЕ ДИОФАНТА
1. АРАБСКАЯ ВЕРСИЯ ЧЕТЫРЕХ КНИГ «АРИФМЕТИКИ»
ДИОФАНТА
Мы очень мало знаем о том, как развивался в античности
диофантов анализ после Диофанта. До недавнего времени мы
располагали только свидетельством Свиды [110] о том, что дочь Теона
Александрийского Гипатия (погибла в 418 г.) писала
комментарии к «Арифметике» Диофанта.
Теперь положение вещей изменилось. Недавно в Мешхеде
была найдена рукопись Косты ибн Луки ал-Ба'лбакки (родился
в Гелиополисе, умер около 912 г. в Армении), содержащая, как
сказано в ней самой, арабский текст четырех книг «Арифметики» х,
именуемых, соответственно, «Четвертой книгой сочинения
Диофанта о квадратах и кубах», «Пятой книгой сочинения Диофанта
Александрийского об арифметических задачах», «Шестой книгой
сочинения Диофанта» и «Седьмой книгой сочинения Диофанта».
Все сочинение называется вначале «Искусством алгебры
Диофанта», а в конце последней книги — «Сочинением Диофанта об
алгебре и алмукабале».
IV—VI книги арабского перевода не совпадают с
одноименными книгами, сохранившимися на греческом языке. Известно,
что Косте ибн Луке принадлежали не дошедшие до нас
комментарии к трем с половиной книгам «Арифметики», что побудило
издателя книг арабского перевода Р. Рашеда предположить, что
арабский переводчик Диофанта располагал только первыми
тремя из шести книг «Арифметики», а после того как к нему попали
эти четыре книги, он назвал их IV—VII книгами. Другой
переводчик и комментатор этих книг. Ж. Сезиано считает, что они и
на самом деле являются четвертой, пятой, шестой и седьмой книгами
первоначального текста «Арифметики», а книги IV—VI
греческого текста называет условно книгами «4», «5» и «6», т. е. ставит
под сомнение подлинность их нумерации.
Между тем, подробный историко-математический анализ этих
книг указывает на то, что арабская версия не является переводом
утерянных книг «Арифметики». Скорее всего это текст,
написанный неизвестным автором на основе «Арифметики» Диофанта. По-
видимому, в исходный греческий текст были включены как под-
1 Полный текст рукописи был издан и изучен Р. Рашедом [17, 101].
Критический текст, английский перевод и подробные комментарии опубликованы
Ж. Сезиано [104].

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА Ю5
линные задачи Диофанта, так и обширные комментарии к ним.
Если это так, то найденные рукописи проливают некоторый
свет на то, в каком направлении шло в античности развитие дио-
фантова анализа после Диофанта. И тогда в этом развитии можно
выделить две тенденции, вообще характерные для любой школы
последователей великого математика. Это, во-первых,
систематизация материала, стремление рассмотреть все возможные
варианты той или иной задачи, и, во-вторых, продвижение вперед по уже
открытым путям: в данном случае это введение (тем же методом)
более высоких степеней неизвестного, а именно, 8-й и 9-й г
(Диофант остановился на 6-й степени).
По-видимому, основное внимание последователей Диофанта
было обращено на развитие алгебры. В найденных книгах
отсутствуют теоретико-числовые предложения, которые в виде диориз-
мов часто встречаются в греческом тексте «Арифметики».
Арабский перевод отличается от греческого оригинала,
видимо, прежде всего тем, что все обозначения чисел и алгебраических
величин и знаков, для которых Диофант применял алфавитную
нумерацию и специальные символы, в арабском переводе даны
словами; при этом дробные части чисел, там, где это несложно сделать,
записаны с помощью часто применявшихся арабами аликвотных
дробей. Знак g Диофанта для неизвестной х в арабском переводе
заменен арабским термином шай — «вещь», знак квадрата Дг —
термином мал — «квадрат», знак куба Кг — термином касб —<
«куб», обозначения для четвертой, пятой и шестой степеней
ДГД, ДКГ, КГК заменены словами мал мал — «квадрато-квад-
рат», ка'б мал — «кубо-квадрат», ка'б ка'б — «кубо-куб».
Вводятся также аналогичные термины для высших степеней. Знак
Диофанта для вычитания Д заменен словами илла — «без».
Знак «единица» перед числом переводится словом «единицы» после
соответствующего числительного 2.
Первой из книг арабской рукописи, которая носит название
«Четвертая книга Диофанта о квадратах и кубах», предпослано
1 Заметим, что по арабской рукописи мы можем только догадываться о
греческих обозначениях для х8 и х9 (вероятно, это были ДДДД и ККК *)4
2 Русский перевод цитируемых ниже отрывков из арабской версии
«Арифметики» выполнен Б. А. Розенфельдом. Для соблюдения единства с
русским переводом греческих книг «Арифметики» термины, соответствующие
знакам g, Аг, Кг, ДГА, ДКГ, КГК и т. д., заменены символами х, #2, я8,
#4, #б, xQ и т. д., слово «без», заменяющее знак Д, передано знаком минус,
союз «и» — знаком плюс, слова «единица» и «один», как правило, опущены;
в русском переводе слова «квадрат» и «квадратное число» (в формулах)
заменены символом □, как в тексте Диофанта. При ссылках на издание
Р. Рашеда [17] указываются листы рукописи (от 1 л. об. до 80 л. об.).
Ввиду того, что книги «Арифметики», сохранившиеся в арабском
переводе, могут иметь те же номера, что и не совпадающие с ними греческие
книги, номера книг в обозначениях задач, сохранившихся в арабском
переводе, обозначаются не римскими, а арабскими цифрами.

106
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
короткое алгебраическое введение. Как говорилось выше, в
греческом тексте «Арифметики» Диофанта также имеется введение;
оно помещено в начале первой книги и в нем содержится
чрезвычайно богатый алгебраический материал: вводится неизвестное,
его первые шесть положительных и шесть отрицательных степеней,
даются обозначения для них, а затем с помощью таблицы
определяются правила умножения степеней хт*хп = #m+n, где
—6 < т, п < 6, —6 <^ т + п <; 6. После этого Диофант
формулирует правило знаков при умножении положительных и
отрицательных чисел, а также правила оперирования с уравнениями
(перенос из одной стороны уравнения в другую и приведение
подобных).
Это введение, как указывает сам Диофант, предваряло все
13 книг «Арифметики». Поэтому появление нового введения перед
«четвертой книгой» арабского текста говорит о каком-то изменении
первоначального плана. Это второе введение написано так, как
будто читатель уже познакомился в первых трех книгах (которые
в рукописи отсутствуют) с первыми двумя положительными
степенями неизвестного и умеет оперировать с ними. Й вот перед
«четвертой книгой» вводятся третья, четвертая, пятая и шестая
степени неизвестного.
Все это дает нам основание для предположения, что в новом
изложении «Арифметики» первой книге было предпослано введение,
в котором определялись только две первые степени неизвестной.
Оперированию с ними читатель должен был научиться, решая
задачи первых трех книг. Только после этого автор рукописи
знакомил его с более высокими степенями неизвестного.
Заметим, что автор этого второго введения нигде не говорит об
отрицательных степенях неизвестного. Он также приводит
таблицу умножения и деления хт на хп, но только для тп, п = 3, 4,
5, 6; 0^m± w ^ 6. Деление определяется только для т ]> п.
Итак, перед нами небольшой кусок из введения Диофанта,
вырванный из контекста и помещенный в начале книги 4.
Примечательно, что хотя в этом втором введении рассматриваются лишь
степени неизвестной, не превосходящие шестой, в дальнейшем
тексте книги 4 встречаются Xs и #9. Эти степени вводятся прямо
в задачах. Впервые они встречаются в задаче 429: «Мы хотим
найти такие два числа, кубическое и квадратное, что куб кубического
и квадрат квадратного в сумме образуют квадратное число» [17, лл.
18 об.—19], т. е. ищется решение уравнения (X3)3 + (У2)2 =
= Z2. Автор пишет: «Положим куб а:3, тогда его куб — хе на #3,
это называется кубо-кубо-кубом» [17, л. 19].
Аналогично вводится и #8, названный в тексте квадрато-квад-
рато-квадрато-квадратом, а также кубо-кубо-квадратом.
Таким образом, текст книги не отвечает заглавию («книга
квадратов и кубов»), так как в первых 28 задачах автор оперирует
с первыми шестью степенями неизвестного. Он не отвечает также

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА 107
введению, так как в нем оказываются необходимыми восьмая и
девятая степени неизвестного. Странная небрежность в
построении! Тем более странная, что в греческом тексте Диофанта
введение очень продумано и нигде никаких дополнительных
определений не дается.
Резюмируем: во введении, которое предпослано книге 4
арабской рукописи, нет ничего нового по сравнению с введением к
греческой рукописи «Арифметики». Единственно новое, что там
могло быть — введение высших степеней неизвестного помещено не
там, а в тексте задач.
2. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ АРАБСКОЙ ВЕРСИИ
«АРИФМЕТИКИ»
Четыре книги арабской рукописи «Арифметики» содержат
около 100 задач. Как правило, они расположены таким образом,
что их легко разбить на последовательные группы однотипных
задач, имеющих единый способ решения. Такой порядок распо-
ложения задач в рукописи дает достаточное основание для
выявления и анализа общего метода их решения.
Рассмотрим наиболее интересные группы задач, общие методы
решения и их геометрический смысл.
Группа 1
41# X* + У3 = Z2. 42. X3 - У8 = Z2.
43. X2 + У2 = Z3. 44. X2 - У2 - Z3.
Задачи этой группы решают при помощи подстановки вида
X = #, У = ая, Z = р#.
Решение проводится при следующих числовых значениях
свободных параметров аир
(4Х). а = 2, р = 6; (42). а = 2, р = 7;
(43). а = 2, р = 1; (44). а = 5, р = 2.
Однако автор, без сомнения, понимает возможность их
произвольного выбора и лишь отсутствие алгебраической символики
заставляет его ввести рассуждения с конкретными числовыми
значениями. Подстановки приводят к уравнениям
(4м). (1 ± а8)** « PV. (W (1 ± а2) *2 = PV,
откуда
(4Х_2). X = 1=^аз » (4g-4). X = —jjs— .
Возвращаясь к исходной подстановке, легко видеть, что решения
являются рациона льнывш функциями двух свободных параметров

408
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
аир
у Р2 у_ °Ф2 V Р3 // V
А— ТТ^з» г — 1±а»# л— 1 + аЗ ' V^-«;
1±а2 v_ а(1±а2) 7_ 1±а2 а х
А = р 1 * Q3 » ^ ft2 • V^3-4/
г Заметим, что свободные параметры аир могут быть выражены
как рациональные функции неизвестных X, F, Z
а = га, р = z/x.
Это. решение, изложенное нами в общем виде, имеет с точки
зрения алгебрадческой геометрии довольно ясный смысл. Каждое из
уравнений 4xj4 задает кубическую поверхность в R3, на которой
лежит двойная рациональная точка (0, 0, 0). Любая прямая,
проходящая через двойную рациональную точку кубической
поверхности в направлении рационального вектора, либо пересекает
поверхность еще в одной и только одной рациональной точке, либо
принадлежит поверхности. Подстановка X = х, Y = axf Z —
= $х как раз и означает, что через двойную точку (0, 0, 0)
проводится прямая, пересечение которой с кубической поверхностью
дает нам искомое решение. По существу, описанный метод
приводит к установлению бирационального изоморфизма кубической
поверхности с двойной рациональной точкой и вещественной
плоскости R2. Такие поверхности называются в алгебраической
геометрии рациональными.
Группа 2
Х2уз = Z2
ХЗуЗ = Z2
Общее свойство уравнений этой группы задач состоит в том, что
они задают поверхности 4-го, 5-го и 6-го порядка в R3, для которых
точка (0, 0, 0) является, как и в группе 1, рациональной особой
точкой.
В задаче 45 кратность особой точки (0, 0, 0) равна 3, а порядок
поверхности 4, поэтому, так как порядок поверхности на единицу
больше кратности особой точки, любая прямая, проходящая через
точку (0, 0, 0) в направлении рационального вектора (1, а, р),
пересечет поверхность еще в одной и только одной рациональной
точке. Таков геометрический смысл подстановки X = я, Y = ах,
Z = Р#, с помощью которой при а = 2, р = 2 решается
задача 45.
Как и в случае задач группы 1, метод решения задачи можно
интерпретировать как установление бирационального
изоморфизма поверхности 4-го порядка с тройной рациональной точкой и
4».
47.
49е-
хгу* = Z3.
Х3У3 = Z3.
4в.
4в, 9а
49в-

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА Ю9
плоскости R2, который имеет вид
X = р3/а2, У = р3/а, Z = pVct2 и а = У/Х, р -
= Z/Z.
В отличие от задач 4Х_5 уравнения в задачах 46_9 определяют
поверхности, порядок которых больше чем на единицу превышает
кратность особой рациональной точки (0, 0, 0). Поэтому для
отыскания решения применяются нелинейные подстановки.
Задача 4б решается при помощи подстановки X = я, У =
= ах, Z = fix2, которая приводит к уравнению
а3*6 = pV,
откуда
х = р2/а3 и X - Р2/а3, У = р2/а2, Z = р5/а6.
Задача 47 решается при помощи подстановки того же вида
X = а:, У = ая, Z = Р#2, приводящей к уравнению
aV = PV,
откуда
ж = сс3/р2 и X = а3/р2, . У = a4/p2, Z =* а6/р3.
В обоих случаях свободные параметры аир могут быть представ^
лены в виде рдних и тех же рациональных функций неизвестных
X,Y,Z
а = га, р = zix\
Это показывает, что как и выше, метод решения задач 43_7
приводит к установлению бирационального изоморфизма между
соответствующими поверхностями 5-го порядка и плоскостью R2.
Задачи 48 и 4эа посвящены решению одного и того же
уравнения. В задаче 48 дается анализ и в очень сжатой форме намечается
ход решения. Само же решение со всеми подробностями приводится
в задаче 49а. Весьма вероятно, что задача 49а представляет собой
вставку комментатора. Приведем перевод текста обеих задач.
«8. Мы хотим найти два кубических числа, охватывающих
квадратное число.
Положим в этой задаче сторону меньшего куба х, тогда
меньший куб х3. Примем сторону большого [куба] за несколько #-ов,
пусть эта сторона 2х, тогда большой куб &г3. То, что охватывается
ими, &г6. Необходимо, чтобы это было равно квадрату. Будет
неправильно принять сторону этого квадрата за несколько #-ов,
так как квадрат нескольких х-ов — несколько #2, и если ты
приравняешь их нескольким #6, а затем разделишь на общее в обеих
сторонах [равенства], т. е. на несколько я2, получится: х* =
единицам. Поэтому они необходимо [должны] равняться квадрату

110
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
квадратного [числа] единиц. Ввиду этого мы приходим к
требованию, чтобы квадратное и кубическое числа охватывали квадратное
число, так как мы уже объяснили легкость этого действия, и
найдем, как мы разъяснили это раньше, что одно из этих чисел,
квадратное — 4, а другое, кубическое — 64. То, что охватывает эти
два числа, — 256. Это квадрат, его сторона — 16. Это и есть тог
что мы хотели найти.
9. [9а]. Мы хотим найти два кубических числа, охватывающих
квадрат.
Положим сторону большего куба 4а:, а сторону меньшего куба х*
Тогда больший куб 64а:3, а меньший а;3. То, что охватывается
ими, 64а:6. Необходимо, чтобы это было равно квадратному числу.
Примем сторону квадрата за несколько а:2. Тогда их число
равно стороне квадрата, получаемого при умножении 64 на 4, т. е.
256 [это число равно 16 и сторона квадрата] 16а:2, а квадрат 256а:4*
Поэтому 64#6 = 256а:4.
Разделим все на а:4 в обеих сторонах равенства. Если ты
разделишь 64а:5 на а:4, получится 64а:2, а если мы разделим 256а:4 на
#4, получим 256. Поэтому 64а:2 = 256 и а?2 = 4.
Но я2 — квадратное [число], 4 — квадратное [число] и их
стороны равны: сторона х2 есть а:, а сторона 4 есть 2, поэтому
х = 2.
Так как мы положили сторону меньшего куба а:, он 8. Так как
мы положили сторону большего куба 4а:, она —- 8 и больший куб
512. Если умножить это на меньший куб, получится то, что их
охватывает это 4096: сторона 64.
Мы нащли два кубических числа, охватывающих квадратное
число, это 8 и 512. Это и есть то, что мы хотели найти.
[96]. Мы хотим найти такое кубическое число, что если мы
разделим его на куб, получится квадратное число. Будем искать такое
квадратное число, что если умножить его на другое кубическое
число, которое мы также ищем, в произведении получится
кубическое число. Если мы найдем это, то произведение одного из них
на другое будет кубическим числом, которое мы хотим [найти].
[9в]. Точно так же, если мы хотим найти такое квадратное
число, что если мы разделим его на квадрат, получится куб, мы
поступаем обратно тому, как в том, что было перед этим, и точно так
же всюду, где [применяется] метод деления, мы ищем, как в томг
что было перед этим, один род из двух, так как деление —
обратно по отношению к умножению».
Метод, изложенный в задачах 46_7, легко мог бы быть применен
для решения уравнения Х3У3 = Z2, рассматриваемого в задачах
48 и 49. Для этого нужно было бы воспользоваться подстановкой
X = х, Y = оса;2, Z = |3а^, которая привела бы к уравнению
а3д.9 __. р2£8? 0ТКуДа х — р2/аз^ что дало бы следующее решение
X = р2/а3, Y = р4/а5, Z = р9/а12.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА 111
Но при этом в процессе решения возникает необходимость в
использовании 8-й и 9-й степеней неизвестного!
Автор рукописи идет по другому пути, который позволяет
ему обойтись без введения степеней неизвестного, выше гйестой.
Он как будто твердо решил остаться в рамках введенной для
первых шести степеней неизвестного символики.
Действительно, вместо того, чтобы прямо применить
подстановку X = #, Y = аж2, Z = fte4, он применяет подстановку
X = ty Y = yty Z = zt2 (где коэффициенты у и z выступают
в роли неизвестных), которая сводит уравнение Х3У3 = Z2
к уравнению t2y* = z2. Решение последнего уже было дано в
задаче 46. Если мы вспомним, что последнее уравнение решалось
с помощью подстановки t = х, у — ах, z = $х2, то становится
очевидно, что неявное введение дополнительных неизвестных у
и z есть лишь другой способ записи подстановки X = я, У = ах2,
Z = р#4, позволяющей избежать в процессе решения введения
степеней неизвестной выше 6-й.
В задачах 4Эб и 49в имеется лишь формулировка условия и
указание на то, что они сводятся к уравнениям Y3Z2 = X3 и
У223 = X2, т. е. к задачам 47 и 46.1
Г р у п п а 3
410. X3 + аХ2 = У2. V X3 - аХ2 = У2.
412. X3 + аХ2 = У3. 413. Xs - аХ2 = У3.
Эта группа задач прямо примыкает к группе 1. Во всех четырех
задачах решаются уравнения, задающие кубическую кривую
в R2 с двойной особой точкой (0, 0). Поэтому применение
подстановки X — ху У = ах, задающей прямую, проходящую через
двойную точку (0, 0) и пересекающую кривую еще в одной и
только одной точке, приводит соответственно к уравнениям
(Vii). *3 = (a2 =F а)х2. (4ц). ах2 =* (а3 - 1)х*.
(413). ах2 = (1 - а3) ж3.
Откуда
(V-u) X = a2 =F а, У - а (а2 =F a).
(4и) * = зП="с?» 5Г = тгг^-
Метод решения задач группы 3 позволяет выразить неизвестные X
и У в виде рациональных функций свободного параметра а.
Верно и обратное, так как а =* У/Х.

Л 2 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Поэтому метод можно интерпретировать как установление
рациональности кубической кривой с двойной рациональной
точкой,
Подводя итог анализу первых трех-групп (задачи ^^д) мы
можем сделать вывод, что в них решаются уравнения, определяющие
рациональные алгебраические многообразия. Применяемый при
этом метод решения можно интерпретировать как установление
факта их рациональности.
3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К УРАВНЕНИЯМ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
И «ДВОЙНЫМ РАВЕНСТВАМ»
Основная цель задач групп 4 и 5, по-видимому, состоит в том*
чтобы познакомить читателя с оперированием высшими степенями
неизвестного, в том числе с 8-й и 9-й степенями. Приведем
неопределенные уравнения, к которым приводятся условия задач:
Группа 4
423. (X2)2 + (У2)2 - ZK 428. (X2)2 + aY* = ZK
424. (X2)2 - (У2)2 = Z\ 429. (X3)3 + (У2)2 = Z\
426. (X2)2 + (У3)2 = Z\ 430. (X3)3 - (У2)2 = ZK
426а. (X3)2 - (У2)2 = Z\ 431. (X2)2 - (У3)3 = Z\
426б. (X2)2 - (У3)2 - Z2. 432. (X3)3 + аХ3У2 = ZK
427. (Xs)2 + aY* = Z2. 433i (X3)3 - aXzY2 = ZK
Группа 5
434. Х1 + Х1^П, 440. (X\f + X3 = Y\r
x\-xi = n {x\f -xl = Yl
4a8. Xl + Xl = Yl, 441. Xl+(XlY = Ylr
V2 V3 V2 V3 /V2\2 V2
Л.1 — Л.2 — J2« л1 — ^2/ — •* 2-
43e. Х3 + аХ2 = У?, 4^. (X?)3 + (Xlf = Yf,
X3 - 6X2 = У|. (X?)3 - (Xlf = Yl
437. X3 + «X2 = Ц, " W (X?)2 + (X|)3 = Y\r
X3 + 6X2 = Yl. №f - (Xlf = Yl
X3-aX2 = Y!, 443. (X8)3 + a (Xlf = У",
±38 •
±39-
Xs - ЬХ2 = Yl (Xlf - b (Xlf = Y\.
аХ2-Х3 = У2, 444a. {Xlf + a (Xlf = Yl,
ЬХ2 - X3 = Yl. (X\f + b (Xlf = Yl.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА lift
4445. (Xlf - a {X\f = У2, 53. (X\f - aXl = У2,
(Xlf- 6 (X2)2 = Ц. (X2.)2 - ЬХ? = Y!
444B. a (X2)2 - (Xlf = У2, 54. (X2)2 + a(X\f = У*\
6 (X2)2 - (Xlf = У2. (Z?)2 __ ь (ха)3 = П
5X. (X2)2 + aX| = У2, 55. (X2X)2 + a (Xlf = Y\r
(x\f - bxl = y2. (Z2)2 + b {xlf ^ Yl
52. (X?)2 + aXl = Yl 56. (X?)2 - a (Xlf - У2,.
(X2)2 + bXl - У2. (X2.)2 - b (Xlf = Yt
Большинство задач групп 4 и 5 в процессе решения сводится
к задачам IIs-13, образующим ядро второй книги греческого текста.
В арабском тексте решения задачи 426а имеется ссылка:
«необходимо, чтобы мы разделили 625, т. е. квадратное число, на два
квадратных числа, в соответствии с тем, что мы описали во второй
книге» [17, л. 17 об.]. Имеется в виду задача Н8, в которой
решается в рациональных числах неопределенное уравнение X2 + У2 =
= а2.
Заметим, что на задачу П8 опирается также решение задач
62 и 712.
В задаче 435 мы также находим ссылку на книгу II: «8 состоит
из двух равных квадратных чисел. Поэтому, нам необходимо
разделить 8 на два другие квадратные числа, как мы доказали во
второй книге. Пусть одна из частей 4/25, а другая 721/г5» [17, л. 24].
Здесь имеется в виду задача П9, в которой излагается метод
нахождения рациональных решений уравнения X2 + У2 = а2 + Ь2У
когда одно рациональное решение X = а, У = b уже известно.
На задачу П9, но без прямых ссылок на книгу II, опираются
также задачи 440, 442. Решение задачи 42? приводит к следующей
задаче: «Потребуем два квадрата, разность которых 20. Это 3&
и 16» [17, л. 18]. Как мы видим, решение здесь опущено и
сразу Же дается ответ. Видимо, автор предполагает, что читатель
совершенно свободно владеет методом решения в рациональных
числах неопределенного уравнения X2 — Y2 = а, который
изложен в задаче П10.
На задачу П10, хотя и без явных ссылок на нее, опираются
также задачи 434_39, 441, 443.|
Косвенную ссылку на задачу Ню мы находим в задаче 6Х:
«Потребуем такое квадратное число, что если вычесть из него 64 >
останется квадратное число. Это находится в соответствии с тем,
что мы доказали в написанном раньше, это 100» [17, л. 50].
Таким образом, решение значительного числа задач арабской
рукописи (в основном в группах 4 и 5) опирается на задачи Ilg-ia
греческого текста.

114
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Теперь мы рассмотрим задачи арабского текста, процесс
решения которых приводит к группе задач ПХ1_13:
lIn.X+a = Yl II12. a-X = Yl II13. X-a = Y\>
X + Ъ = Yl Ь - X = Y\. X —b = Y\.
Системы уравнений этого вида в греческих книгах «Арифмети-
ки» носят название «двойных равенств». Мы уже писали о двух
' способах их решения (ч. I, гл. IV, раздел 1).
Арабский текст содержит интересные параллели и обобщения.
Здесь тема «двойных равенств» получает дальнейшее развитие
в задачах 434-44 группы 5. Их решение находится двумя
способами:
1) либо перенесение на них способов решения задач 11п.18;
2) либо прямым сведением их к задачам Пц-13.
Рассмотрим оба случая.
1) Пример перенесения обоих способов решения «двойных
равенств» на систему уравнений третьей степени дает нам задача 434.
Приведем перевод арабского текста этой задачи.
«34. Мы хотим найти такие два числа, кубическое и
квадратное, что если прибавить к кубическому квадратное, сумма будет
квадратным числом, а если вычесть из него квадратное, останется
также квадратное число.
Положим, куб х3, а квадрат Ах2. Тогда
Xs + Ах2 = □ и хъ — Ах2 = с.
Будем действовать при этом действием двойного равенства.
Возьмем разность между этими двумя квадратами, это 8х2.
Потребуем такие два числа, произведение одного из которых на
другое 8х2. Это 2х и Ах. Их разность 2х. Половина 2х — один
Ы, его квадрат х2. Это равно х3 — Ах2. Также прибавим 2х к 4#,
получится 6#. Половина этого 3#, квадрат Зх [равен] 9а;2. Это
равно Xs + Ах2. Отбросим общее Ах2 с обеих сторон, останется
Xs = Ъх2.
Но ты уже имел это равенство и, таким образом, в обоих
случаях пришел к тому; что х3 = Ъх2. Разделим все на х2 получится
х = 5. Поэтому сторона куба 5, а куб 125, сторона квадрата 10,
а квадрат — 100.
Если ты прибавишь [его] к кубическому числу, сумма будет
225, это квадратное число, его сторона 15, если же ты вычтешь [его]
из кубического числа, остается 25, это квадратное число, его
сторона 5.
Иначе. Проделаем то же действие без равенства.
Мы говорим, что так как хв + Ах2 = а, примем сторону этого
квадратного числа за несколько х. Тогда квадрат — несколько х2,
которые равны хъ + Ах2.
Если мы разделим это на я2, хъ даст #, а несколько х2 дадут
число, равное числу нескольких х2. Поэтому число, за которое в этой

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА Ц5
задаче принимается х, равно оставшемуся числу нескольких х2+
Так же, так как #2 — 4г2 = п, примем его сторону за несколько
х, тогда квадрат — несколько х2. Если мы прибавим общее 4га
к обеим сторонам, получится Xs = нескольким х2.
Поэтому число, за которое в этой задаче принимается #, равно
числу нескольких х2 в сумме. Поэтому необходимо, чтобы число
оставшихся нескольких х2 в 1-м уравнении было бы равно числу
нескольких х2 в сумме во 2-м уравнении. Но оставшиеся несколько
х2 в 1-м уравнении — это то, что остается от квадратного числа
после вычитания 4, а несколько х2 в сумме во 2-м уравнении — эта
число, получающееся от прибавления к квадратному числу 4#.
Так как если мы потребуем два таких квадратных числа, что если
мы вычтем из большего из них 4 и прибавим к меньшему из них 4,.
получатся равные [числа], то необходимо, чтобы мы потребовали
два квадратных числа, разность которых 8, это 12V4 и 20V4.
Примем большой квадрат, равный хъ + 4#, за (20V4)#2, а меньший
квадрат, равный хъ — 4#, за (12V4) х2. В обоих уравнениях мы
приходим к тому, что х3 = (16V4) #2, х = 16V4.
Так как мы положили сторону куба х\ сторона куба 16V4,
а куб 42911/б4. Так как положили сторону квадрата 2х, сторона
квадрата 32V2, а квадрат 1056V4. Если мы прибавим его к
кубическому числу, получится 534717/64, это квадратное число, его
сторона 73V8. Если мы вычтем его из кубического числа, останется
323449/в4, это квадрат, его сторона 567/8.
Мы нашли два таких числа, кубическое и квадратное, что если
прибавить к кубическому числу квадратное, получится
квадратное число, а если вычесть из него квадратное число, останется
также квадратное число» [17, л. 22 об.— 23 об.].
Легко видеть, что в этой задаче в полном соответствии с
греческим текстом задач Пи и Н13 обобщены оба способа решения
«двойного равенства» на случай системы уравнений более высокой
степени. При этом первый способ называется «действием двойного
равенства», а второй — «действием без равенства». Последующие
задачи 485-42 решаются лишь вторым способом.
2) В задаче 442, после того как изложено ее решение вторым
способом, показан также метод сведения систем двух уравнений
непосредственно к «двойному равенству» типа Пц-хз» опишем его*
В задаче 442 решается система уравнений
(X?)3 + (XI)2 = Y2, (XI)* - (Xt)2 = Y\.
После того, как сделана подстановка Хг = 2х, Х2 = 4#2,
исходная система преобразуется в систему
512я9 + 256а:8 « У?, 512я9 - 256*8 = У|.
Эта система сводится к «двойному равенству» следующим образом:
«Если разделить каждый квадрат [на квадрат], то частное от
деления также является квадратом. Поэтому если мы разделим

116
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
512а:9 + 256#8 и 512а:9 — 256я8 на квадрат, а именно на Xs или
на 4г8, или на 9я8, или на 16#8, или на подобное этому квадратное
число, после того как мы приняли каждое из них за х8 или
несколько #8, частное от деления нескольких х* будет числом, а частное от
деления нескольких х9 будет несколько х. Предположим, что мы
разделили обе [стороны равенства] на 16#8, тогда частное от деления
* «будет 32# + 16. По примеру того, как мы делили этот квадрат,
разделим другой квадрат, а именно 512#9—256#8, получится 32#—16;
32я + 16 будет квадратом и 32а; — 16 [также будет] квадратом.
Потребуем такое число, что если мы прибавим к нему заданное
число, т. е. 16, то получится квадрат, и если мы вычтем из него
заданное число, т. е. 16, получится квадрат. Если мы нашли
такое число, разделим его на 32, частное от деления будет х. Если
же мы узнаем это число, произведем синтез задачи тем путем,
который мы разъяснили при ее анализе» [17, лл. 32 об.—33]. Тем
самым исходная система уравнений сводится к «двойному
равенству»
X + а = Zi, X — а = Z2,
где а = 16, X = 32*, Zx = YJX*, Z2 = У2/Х4. Эта задача
легко решается любым из двух способов, описанных в задачах
IIи-131 и» по существу, прямо к ним примыкает, однако, в
точности такой задачи мы не находим в греческом тексте. Поэтому
арабский текст заставляет предположить, что ранее эта задача уже
решалась. Отсюда следует, что группа задачи Ип
~1з является не
полной и к ней следует присоединить задачу, сводящуюся к
системе уравнений
X + а = Ц, X - Ъ - YJ.
Системы уравнений, рассматриваемые в задаче 444, совершенно
аналогично сводятся к «двойным равенствам», которые мы уже
находим в греческом тексте. В задаче 444 решаются три системы
уравнений
444а,б. {X\f ± a (X2)2 = Yl 444в. а (X2)2 - (X?)3 = Y\,
' (XI)9 ± Ъ (ХЦ)2 - У22, Ъ (X2;)2 - {X\f - Y\.
при а — 3, Ъ = 8. После подстановки Хх = х, Х2 = 2#2, они
сводятся к системам
х9 ± 48*8 = У?, 48*8 - х9 = У?,
х9 ± 128а:8 = У22, 128а:8 -г х9 - У22.
Последние, в свою очередь, после деления на #8, преобразуются
в «двойные равенства»
х ± 48 = Zl 48 - х = Z?,
х ± 128 = Zl 128 - х = Zl

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА Ц7
метод решения которых имеется в задачах греческого текста Пц-хз*
Таким образом, последние 11 задач 4-й книги (434-44) прямо
связаны с группой задач IIn_13 греческого текста и содержат
обобщение способов решения «двойных равенств» на системы двух
уравнений высших степеней.
Вместе с тем, заметим, что «двойных равенств», которые
определяли бы эллиптическую кривую, в отличие от греческого текста
в арабском тексте нет.
Первые 6 задач 5-й книги (5г-в) также связаны с задачами
книги II.
Первые три задачи б^з довольно просто сводятся к задаче
отыскания трех квадратных чисел, таких, что «отношение
избытка большего из них над средним к избытку среднего над меньшим»
£17, л. 38, 38 об., 39 об.] равно заданному числу, т. е. к решению
уравнения ^^
Х3 — Х2 = a (Х2 — -X^i),
которое мы находим в задаче П19.
Следующие три задачи 5-й книги (54_6) в результате несложных
преобразований, аналогичных тем, которые мы описали для
случая задачи 444, сводятся к следующим системам уравнений
А2 + аХ = Z2X, А2 + аХ = Z{, А2 - аХ = Zj,
А2 - ЪХ = Z\. А2 + ЬХ = Zj. A2 - ЪХ = Z\.
Метод решения этих систем мы находим в задаче П1в, где решает-
€я система уравнений вида
А2 + X = Zl А2 + ЪХ = Z\
(у Диофанта А =9, Ь = 3). Покажем это. Метод Диофанта,
изложенный в задаче П1б, состоит в следующем. Полагая Zx = ах +
+ А, мы получаем из первого уравнения
X = а2х2 + 2Аах.
Подставляя это во второе уравнение и полагая Z2 = $х — At
мы находим
Т — 2А Р + 6а
после чего легко отыскиваются X, Zx, Z2.
Покажем, как применяется этот метод для решения системы
уравнений ,
А2 + аХ = Zt, А2- ЪХ = Z22.
Для остальных двух систем он применяется совершенно
аналогично. Полагая Zx = ах + А, мы получаем из первого уравнения

118 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Подставляя это во второе уравнение и полагая Z2 = fix — Л>
мы находим
г--2.4 а$-Ъа
после чего легко отыскиваются X, Zx, Z2.
Проведенный анализ задач группы 5 позволяет сделать вывод,
что решение входящих в нее задач существенно опирается на
методы, разработанные в задачах Иц-18, И16, И19 книги II
греческого текста.
4. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ
Группаб
К „V2 | Ь V I
°13'
J U'
В рассматриваемой арабской рукописи это, на наш взгляд *
самая интересная группа задач. Ее характер проясняется после
следующего эквивалентного преобразования входящих в нее
систем: неизвестные Х2 и Х3 выражаются через неизвестные Хи
Yu Y2 посредством второго и третьего уравнений систем,
полученные таким образом выражения подставляются в первое
уравнение. В результате системы приобретают вид
51Г. 2Х\ + аХ\ + Ъ = 516„ аХ\ -b = Y\-Y\,
\^3 _1_ v'3 Y V3 V3
— ■« 1 "Г *2> л2 — Х1 — А1»
V'3 V3 V V3 V3
2 — х 1 — л1» л3 — л1 — J 2«
V'3 V3
3 — Х 2 — л1«
514>. 2ХХ — aXi + Ъ = 5i6'. 2#x — aXx + Ь =
= yf + ц, " = у? - Ц,
Y V3 V3 V V3 V3
Л2 — Л.х — -* 1, Л2 — Ai — JT 1,
уЗ V"3 V V3 _]_ V3
3 — Лг — I 2. Л8 — ЛХ -\- ■* 2-
Отсюда видно, что решение этих систем сводится к решению лишь
их первых уравнений. Все четыре системы решаются одним и тем
же методом, поэтому рассмотрим только задачу 513* Ее решение
аХ\ + Ъ = Х2 + Х3,
xl + ха = П,
X\ + Xs = Y\.
аХ\ — Ь = Хг + Хъ,
уЗ хг V3
Ai — Л2 — ii,
хгЗ V V3
Лх — А3 — 1 2-
51Б. aZj — Ь = Х2 + Х3>
xl + х2 = у?,
V3 V V"3
Л1 — Л3 — -* 2-
5l6. aZi — Ъ = Х2 + Х8г
V3 V V3
V У3 V3
А3 — Л! — I 2.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА Ц9
находят при помощи подстановки
Х1 = х1 Y1 = x+.a, Г2 = * + р, (1)
где а + р = а/3, а3 + р3 < Ь. Эта подстановка фактически
преобразует систему 513 в систему 513'. В результате получается
уравнение
2*3 + ах2 + Ъ = 2х> + 3 (а + р) х2 + 3 (а2 + р2)я + а3 +
+ Р3,
которое после приведения подобных членов приобретает вид
3 (а2 + р2) х = Ъ - (а3 + р3),
откуда
л ~ 3 (а2 + р2) #
Далее из подстановки (1) находятся Хъ Yx и F2, а Х2 и Х3 из 2-го
и 3-го уравнений системы. Каков же алгебро-геометрический
смысл этого решения?
Первое уравнение системы 513'
2X1 + аХ\ + b = Ysx + Yl (2)
к решению которого сводится система 513, задает в пространстве
R3 кубическую поверхность с бесконечно удаленной
рациональной точкой. Чтобы убедигься в этом, перейдем к однородным
координатам
Х1 — Ti/Tq, Y! = Т2/Т0, j 2 === ^V* о»
в которых уравнение (2) примет вид
2Т\ + аТ0Т\ + ЪТ\ = Tl+ Tl (3)
Последнее уравнение имеет очевидное решение Т0 = О,
Тг = 1, Т2 = 1, Ts = 1, определяющее рациональную бесконечно
удаленную точку (О, 1, 1, 1) поверхности (3).
^Вместо аффинного пространства Т0 Ф О с координатами точек
(Хц У*!, Y"2), Для которого точка (0,1,1,1) является бесконечно
удаленной, рассмотрим другое аффинное пространство Тг Ф О, в
котором точка (О, 1, 1, 1) будет иметь координаты
%i = То/Т, = О, Z2 = Г2/7\ = 1, Z3 = 7У7\ = 1.
Уравнение (3) в координатах точек (Zx, Z2, Z3) примет вид
bZl + aZ1 + 2 = Z\ + Zl (4)
Если через рациональную точку (О, 1, 1) кубической поверхности
(4) провести касательную, то она пересечет поверхность еще в
одной и только в одной рациональной точке. Уравнения прямой,

120 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
проходящей через точку (0, 1, 1), имеют вид
Zx = 2, Z2 = az + .1, Z3 = fiz + 1. (5)
Условие касания состоит в перпендикулярности направляющего
вектора (1, а, |3) прямой (5) и градиента к поверхности (4) в
точке (0, 1, 1)
gmd(bZl + aZi + 2-Zl- Z%) | (0, lt 1} = (а, -3, -3).
Это условие имеет вид а — За — 3|5 =± 0. Координаты (Zu Z2t
Zz) связаны с координатами (Хи Yu У2) соотношением
Zi = 1/Xi, Z2 = Y JXi, Z3 = Y 2/ai.
Подстановка (5) в координатах (Z1? Z2, Z3) равносильна
подстановке (1) в координатах (Хи Yu Y2).
Таким образом, подстановка (1) определяет прямую,
проходящую через бесконечно удаленную рациональную точку
кубической поверхности, заданной уравнением (2), а условие а ±=
= 3 (а + Р) означает, что эта прямая является касательной. Тем
самым мы показали, что метод решения системы 513 состоит в том,
что через бесконечно удаленную рациональную точку кубической
поверхности проводится касательная прямая, которая поэтому
пересекает поверхность еще в одной и только одной рациональной
точке*
5. НЕКОТОРЫЕ ПАРАЛЛЕЛИ ГРЕЧЕСКОГО
И АРАБСКОГО ТЕКСТОВ «АРИФМЕТИКИ»
Мы остановимся еще на трех группах задач, представляющих
интерес в связи с вопросами об отношении греческого и арабского
текстов «Арифметики».
Группа 7
Xt + Х2 = а,
x\ + xl = ъ.
Х\ — Х2 = #,
xl -х\ = ъ.
Хг + Х2 = а,
Xl + Xl = b (*! -
- х2)2-
5io*
5U.
5l2-
Xi — Х2 — л,
xl - xl = ь (хг + х2)к
Xi — А2 = #,
XI + Xl =b (Xi + Х2)г
Хг + Х2 = а,
Хг — Х2 — Ъ (Хг — Х2)*
Эти задачи посвящены решению определенных систем
уравнений 3-й степени с двумя неизвестными. При этом коэффициенты
подобраны таким образом, чтобы решение было целочисленным.
Первые две задачи и по условию и по методу решения совпадают

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА 121
с задачами lVi~2 греческого текста, но изложены более подробн9
в с другими значениями коэффициентов а и Ъ.
Г р у п п а 8
74. (*!)» = Ц + Ц + Ц. 7в. №»)» + X, = Цг
77. (X?)2 = Х2 + Z3 + X4, fZ?)2 + 2Х2 = Y\.
X2 + X3 = Yl 7в. (Х?)2-Х2 = Ц,
Х3 + Х4 - Y\, (X?)2 - 2Z2 = Yl
X, + X2 = Yl 7l0. (X^ + Z.-H,
(X*)2 - X2 = У*.
В этой группе решаются уравнения и системы уравнений 6-й
степени, общим свойством которых явлется сводимость к
соответствующим уравнениям и системам 2-й степени.
7r. Xi=.X2 + Xs + I4, X\ + 2X2 = Yl.
Ja -f- Xs = 71 79>. Xl - Xt = F?,
X3 + Xt = FJ, ^ - 2X2 - У».
X4 + A2 — У3. 710'. Aj -f" -^2 ==: ^"li
V2 V V2
Л-i — A2 — * 2»
Задача 74 решается следующим образом. Автор предполагает
известным рациональное решение уравнения
о 2 | 2 | 2
а = «1 + я! + ^з-
Далее он полагает Хх = х, Yx = а^2, У2 = а2#2, У3 ^ лз#21
и подставляя это в уравнение 74, получает
а* - (а? + а2, + о1) а:4,
откуда
х2 = al -\- а\ + а%, т. е. # = а, Хг = а, 1^1 = аха2,
Г2 = а2а2, Y$ = а3а2.
г.
Легко видеть, что это решение с алгебро-геометрической точки
зрения является установлением бирационального изоморфизма
трехмерных алгебраических многообразий, заданных
уравнениями 74 и 74;:
Хх = Хи Y± = Y xXly Y2 = Y2XU Y3 = Y 3ХХ и
X± = Xu Yx = YJX-l, Y2 = Y2/Xu Y3 = У3/Х1я

122 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Хотя в явном виде задача 74/ в греческом тексте не встречается,
но в задачах Vn-19 мы, по существу, находим принцип ее
решения, состоящий в том, что если число разлагается в сумму двух
квадратов, то оно может быть разложено в сумму трех квадратов
повторным разложением в сумму двух квадратов одного из
квадратов первого разложения.
Задача 77 сводится к системе 7Г двумя способами. В обоих
случаях имеется ссылка на задачу П16 греческого текста, где дается
решение системы 7Г. Первый способ сведения системы 77 к
системе 7у аналогичен решению задачи 74. __
Если Хг = аи Х2 = а2, Хг = а3, -Х4 = а4 есть решение
системы 77;, то, полагая Хг = х, Х2 = я2я4, Х3 = а3х* Х± = а4я4г
автор подставляет это в первое уравнение системы 7^
хв = (а2 + ав + а4)я4,
откуда после деления обеих частей уравнения на хА он получает
ж2 = а2 + а3 + я4 = «1
и находит х == аъ Х1 = ах, Х2 = #2#i> -^з = аъаъ ^4 = #4#г
Как и в задаче 74, решение задачи 77 представляет собой с алгебро-
геометрической точки зрения установление бирационального
изоморфизма трехмерных алгебраических многообразий, задаваемых
системами уравнений 77 и 7Г\
Х± = Хг, Х2 = Х2ХЪ %3 == -^8-^1» -^4 == -^4-^1»
Yx = ^i^i, Y2 = ^2^1» Yz = YsXi
и
Хг = л1} Х2 = X2IX\, Х3 = X3AXi, Х4 = XjXl9
*i = YJX^ Y2 = j 2/X2, j 3 = л /л3.
Второй способ, как утверждается в рукописи, легче первого.
В общем виде он состоит в следующем.
Пусть Хг = аъ Х2 = а2, Х3 = а3, Х4 = а4, >\ = йь У2 = 62,
^з ^ &з решение системы 7Г, тогда Хх — 1, Х2 = a2/ai, X3 =
= a3/ax, X4 = a4/aj, Fx = bja^ Y2 = Ь2/аъ Ys = b3/ax также
будет решением. Последнему решению системы 7Г отвечает одно-
параметрическое семейство решений системы 77 вида
Xi = A, Х2 = ^-к\ Хг = \к\ Xt^^-k*,
aj aj aj
Yi=%P, 7,=^, У» = -£■ A»,
ai ai ai
где к — свободный параметр, которому можно придать любое
рациональное значение.
Ход рассуждений, примененный при втором способе решения
задачи 77, переносится на задачи 78-ю. Отличие состоит лишь в том,
J*4 |

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА J 23
что системы уравнений 78'-ю', к которым они сводятся, не
предполагаются решенными ранее, а решаются тут же.
Группа 9
7и. а2 = Хг + Х2,
a* + Xt = Yl,
а» - Хг = Yt.
712. а2 = Х1 + Х2
А2 - X, = Yl,
а2 - Хг = Yl.
713. а2 = Хг + Xz + Ха,
а2 + Х,= П,
а* + Х2 = Yl,
а* + Ха = Yt.
7М.
7».
-
а2 = -^i + Х2 + Х3,
а2 - X, = Я,
а2 - Х2 = У|,
а2 - Х3 = УЗ.
а2 = Xt + X, + Х3 +
+ х„
а*-Хг = Y\,
а2 - Х% = Y\,
а2 + Х8 = УЗ,
а2 + Х4 = У|.
Эти задачи мы объединили в группу лишь на основании
общности способа образования их условий. Единый метод решения для
всех задач группы здесь отсутствует. Задача 7П решается тем же
методом, что и система 710', и, по существу, с ней совпадает.
Задача 712 после исключения неизвестных Хг и Х2 сводится
к решению уравнения
Я + Я = а\
т* е. к задаче П8 греческого текста.
Особый интерес в этой группе представляют задачи 713-14,
которые после исключения неизвестных Хг, Х2, Хь сводятся к
задачам совместного решения уравнения и неравенств
7ir. Yl + Yl + Y*= 4а\ 714,. Yt + Y\ + Y\ = 2а,
П>а\ i = l,2,3. Y\<a\ * = 1,2,3.
Метод решения этих задач предполагается известным. У
Диофанта он называется «методом приближения» {шрьабщхог аусоу*^)
и первый раз встречается в книге V греческого текста в задачах
* », 11, 13, 14*
6. КТО АВТОР АРАБСКОЙ ВЕРСИИ «АРИФМЕТИКИ»
После проведенного анализа арабского текста естественно
возникает вопрос: кто автор этого текста? Можно ли приписать его
Диофанту? Действительно ли четыре арабские книги относятся
к числу семи утраченных книг «Арифметики»? Или это книги,
написанные на основе «Арифметики» Диофанта кем-нибудь из его

124
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
последователей? Не названы ли они «Искусством алгебры
Диофанта» или «сочинением Диофанта об алгебре и алмукабале» в том
смысле, как де Бильи назвал свое сочинение «Исчисление г.
Ферма»?
Итак, перед нами две возможные гипотезы.
1. Все четыре книги арабской версии принадлежат Диофанту
и являются книгами его «Арифметики».
2. Эти книги были записаны на основе «Арифметики»
Диофанта каким-нибудь его учеником или последователем. При этом,
возможно, что часть задач, помещенных в них, была взята из
самой «Арифметики», другие же задачи включены в качестве
комментариев для пояснения методов Диофанта или развития некоторых
из них.
Разберем «pro» и «contra» каждой из этих гипотез. Прежде
всего отметим, что вновь найденные книги существенно
отличаются от тех книг «Арифметики», которые были до сих пор известны.
Остановимся сначала на внешних отличиях, сразу бросающихся
в глаза.
A. Алгебраическое введение, в котором определяются 6
положительных и 6 отрицательных степеней неизвестного, а также
правила оперирования с ними, Диофант помещает в начале I книги.
Ни в одной другой книге дополнительных определений нет. Во!
всех известных книгах греческого текста Диофант пользуется
только теми степенями неизвестного, которые были определены во
введении.
В начале 4-й книги арабской рукописи приводится другое
«введение», во многом повторяющее «введение» греческого текста
и представляющее, на наш взгляд, его испорченный вариант
(см. ч. Ij гл. V, раздел 1). В ходе решения задач этой книги
доопределяются также 8-я и 9-я степени неизвестного, с которыми затем
мы встречаемся в отдельных задачах этой рукописи. Далее, в
формулировке задач 6-й книги (68-ю) использована операция
извлечения квадратного корня. Это противоречит тому месту
«введения» греческого текста, где говорится, что задачи составляются
при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления
и возведения в степень.
B. В рукописи имеются ссылки на ранее решенные задачи.
При этом в некоторых случаях указывается номер книги, а при
решении задачи 1^ — номер книги и задачи П1в. В греческом
тексте «Арифметики» также имеются ссылки к ранее решенным
задачам, но при этом никогда не дается точная ссылка. Ни номера
книги, ни тем более номера задачи Диофант никогда не указывает.
C. Текст решения задач в арабской рукописи гораздо более
подробный и педантичный, чем у Диофанта. Он снабжен
детальными пояснениями и излишними повторами. Это особенно
хорошо видно, если сравнить задачи 1Ух-2 и 57-8, совпадающие и по
условию, и по методу решения. Решение этих задач в арабской

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА 125
рукописи изложено более обстоятельно, чем в греческом тексте;
имеется, например, формулировка правила возведения бинома
в куб, которой сам Диофант свободно пользуется, но
соответствующее правило не приводит, считая его, вероятно, хорошо извести
ным.
Разумеется, отличия В и С могут быть отнесены и на счет
переводчика, который мог ввести в текст свои комментарии.
Разберем теперь возможность первой гипотезы: все четыре
найденные книги входили в «Арифметику». Сразу же возникает
вопрос: на каком месте их следует поставить? Какова была
последовательность книг?
Рашед в своем издании рукописи сделал предположение, что
все найденные четыре книги шли последовательно за III книгой
«Арифметики». Таким образом, книга, которую мы называем IV,
должна была иметь порядковый номер VIII. Это мнение
подкрепляется тем, что в арабской рукописи имеются ссылки на II и III
книги «Арифметики» и нет ссылок на последующие книги. Однако^
анализ, проведенный выше, показал, что решение задач 713-i4?
опирается на «метод приближения», изложенный в книге V.
Поэтому книги 4—7 арабской рукописи не могут быть помещены
между книгами III и IV греческого текста «Арифметики».
Остаются две возможности: либо эти книги были включены
в разные места «Арифметики», например, частично между III и IV
книгами, а частично — между V и VI; либо все они помещались
после V книги (может быть, после VI).
Покажем, что ни одно из этих предположений не могло иметь
места. Действительно, пусть справедливо первое. Тогда придется
допустить, что Диофант, введя после III книги 8-ю и 9-ю степени
неизвестного, пользовался ими не во всех последующих книгах, а*
только в четырех книгах, дошедших в арабском переводе. При
этом «греческие» и «арабские» книги в первоначальном тексте
чередовались... Совершенно невероятная гипотеза!
Остается вторая возможность. Все книги арабской рукописи
следовали за книгой VI, т. е. имели порядковый номер VII—X.
(Их включение между книгами V и VI опровергается выше
приведенными доводами.) Для того чтобы ее обосновать или
опровергнуть, нам придется углубиться в изучение внутренних
особенностей греческого и арабского текстов.
Общий уровень задач арабской рукописи не превосходит
уровня IV книги «Арифметики». Более того, они представляют собой,,
как правило, несложное обобщение материала,
сосредоточенного, в основном, во II ив III книгах. В арабской рукописи мы не
находим ни одного общего метода, который бы уже не встречался
в греческом тексте. Единственное исключение составляют задачи
513-i6, которые близки по постановке и методу решения к задачам
^15-17. В них по существу применяется «метод касательной»^
но в несколько модифицированном виде (см. ч. I, гл. V, раздел 4).

126 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Между тем задачи книг IV—VI, особенно последних двух, очень
«сложны. Достаточно сказать, что из 24 задач книги VI к 11
имеются обширные примечания Ферма. Именно в этой книге помещены
общие теоремы относительно неопределенных уравнений 2-й
степени с двумя неизвестными.
Но еще важнее, пожалуй, то обстоятельство, что в арабской
рукописи совершенно нет теоретико-числовых предложений.
Автор рукописи улавливает один только алгебраический аспект
«Арифметики». Он прекрасно справляется с введением высших
степеней неизвестного, которые он образует по аддитивному
принципу, т. е. так же как и Диофант на искусно подобранных
примерах он показывает, как уравнения относительно высших
степеней неизвестного можно свести к уравнениям низших степеней.
Автор прекрасный алгебраист, но теория чисел ему как будто
чужда. Для сравнения мы отсылаем читателя к ч. I, гл. IV,
раздел 6.
Все то новое, что вносит автор рукописи, по-существу,
исчерпывается введением высших степеней неизвестного. Да и то, как
мы видели, делается это весьма осторожно, с некоторой
робостью,— не во введении к книге 4, а в самом тексте задач.
Итак, мы йожем отбросить первую гипотезу. Значит, перед
нами текст, написанный каким-то последователем Диофанта на
основе его «Арифметики». Проведенный выше анализ текста
показывает, что скорее всего это какая-то переделка «Арифметики»,
которая включает как подлинные задачи, так и добавления и
комментарии. Очень характерны в этом отношении группы задач 5
ж 6, особенно задачи 434-44» которые сводятся к решению «двойных
равенств» (т. е. 11ц-13 Диофанта), но поставленных относительно
высших степеней неизвестных. Как показано выше (см. ч. I, гл. V,
раздел 3), автор рукописи решает эти задачи тремя различными
«способами: 1) он обобщает на них два метода Диофанта,
изложенных им при решении задач Пп, 13; 2) показывает, что с
помощью простых подстановок эти обобщенные задачи можно
непосредственно свести к задачам Пп_13.
Что же это, если не работа хорошего комментатора?
Но в этом комментированном издании встречаются и группы
задач, которые отсутствуют в дошедшем до нас греческом тексте
«Арифметики». Таковы, например, очень красивые задачи 513-1в.
Таким образом, арабская рукопись позволяет восстановить
некоторые группы задач, которые, вероятно, входили в
первоначальный текст «Арифметики». В этом состоит первое
неоспоримое значение арабской рукописи. Но рукопись ценна и в другом
отношении. Она показывает, в каком направлении происходила
работа последователей и комментаторов Диофанта.
Остается поставить вопрос: кто же были эти последователи?
И кто же автор греческой рукописи, с которой Коста ибн Лука
сделал перевод на арабский?

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА 127
Поскольку оригинал несомненно был написан на греческом,
мы должны искать автора либо среди ученых александрийской
школы IV—VI вв., либо среди математиков Византии. Что
касается Византии, то до нас дошли комментарии Георгия Пахимера
и Максима Плануда (вторая половина XIII в.), т. е. написанные
примерно через 300—500 лет после Косты ибн Луки.
Мы уже говорили, что по сообщению Свиды (см. ч. I, гл. Уя
раздел 1), Гипатия, дочь Теона, была автором комментариев к
Диофанту, к астрономическому Канону, по-видимому, Теонат
и «Коническим сечениям» Аполлония. Естественно предположить,
что именно она была автором книг, арабский перевод которых мы
исследуем. Точнее говоря, что арабская рукопись представляет
перевод части комментированного Гипатией издания Диофанта,
причем подлинные задачи Диофанта перемежаются с ее
комментариями. Приведем некоторые доводы в пользу этой гипотезы.
«Арифметика» Диофанта, которую мы вслед за Полем Танне-
ри, предположительно датируем серединой III в. н. э., должна
была произвести сильное впечатление на александрийских
ученых, находившихся еще под влиянием классической
геометрической алгебры.
Правда, уже в сочинениях Герона (I в. н. э.) и египетских
папирусах II в. н. э. употребляется символ для неизвестного д.
Однако в это время, по-видимому, алгебраисты не шли дальше
употребления первых трех степеней неизвестного.
Введение Диофантом 4-й, 5-й и 6-й степеней неизвестного,
которые не имели никакого геометрического аналога, было
воспринято многими с недоумением. Мы уже говорили, что Папп
Александрийский (конец III в.), не признавал введения произведения
более трех величин (см. ч. I, гл. II, раздел 1).
Из его слов видно, что алгебраический способ образования
степеней неизвестного без привлечения геометрии остался ему
чуждым.
В IV в. Теон Александрийский в своих комментариях к
«Математической системе» («Алмагедту») Клавдия Птолемея, объясняя
способ умножения «частей», уже прямо ссылается на Диофанта.
Он отмечает, что при умножении на единицу никакой вид не
изменяется. «И Диофант говорит также»,— пишет он в комментариях
к IX главе I книги «Алмагеста» [73, т. 2, с. 35]. Таким образом,,
Теон уже считает бесспорным способ умножения степеней
неизвестного и обратных им величин, изложенный Диофантом во
введении к «Арифметике».
.Автор арабской рукописи, как мы видели, несколько изменяет,
по сравнению с Диофантом, способ Диофанта введения степеней
неизвестного, стараясь подготовить к ним (степеням) читателя.
В первой книге, по-видимому, вводились привычные уже две
первые степени неизвестного и рассматривались задачи, относящиеся
только к этим двум степеням (эта часть соответствует, в основном,

128
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
трем первым книгам «Арифметики»). Затем в начале книги
вводились степени от 4-й до 6-й, но не упоминалось об отрицательных
степенях неизвестного. Наконец, в самом тексте задач автор
показывает, что можно определить и более высокие степени
неизвестного, а именно 8-ю и 9-ю. Таким образом, автор хорошо
понимает чисто алгебраический способ введения положительных
степеней неизвестного и делает в этом направлении некоторый шаг
вперед по сравнению с Диофантом. Однако во введении к книге 4
не говорится об отрицательных степенях и отрицательных числах.
Возможно, что их введение казалось автору рукописи слишком
смелым. Эта некоторая ограниченность комментатора по
сравнению с самим Диофантом вполне закономерна, более того, она
присуща в той или иной степени любому комментатору любого
выдающегося произведения.
Важно уже то, что комментатор уловил мысль Диофанта о
возможности чисто алгебраического ведения степеней неизвестного,
не на основе геометрической интерпретации, а на основе
арифметики. И не только уловил, но и несколько развил дальше эту идею.
Кто же в эпоху от конца IV до IX вв. обладал достаточно
высоким математическим уровнем, чтобы сделать это?
Последним из александрийских математиков и философов и
была Гипатия. Именно к ней Паллад, прославившийся своей
эпиграммой: «Всякая женщина — зло», обращал восторженные
строки:
Когда ты предо мной и слышу речь твою,
Благоговейно взор в обитель чистых звезд
Я возношу,— так все в тебе, Гипатия,'
Небесно,— и дела, и красота речей,
И чистый, как звезда, науки мудрый свет.
Синесий, ученик Гипатии, называл ее в рвоих письмах
«учительницей философии», матерью своей и сестрой. «Если в Аиде
даже память о живых угасает,— писал он,— то я и там буду
ломнить-о нашей Гипатии» [29, с. 172, 174].
После ее трагической гибели последние ученые покинули
Александрию и переселились в Афины, где, однако, получила
развитие в основном философия, а не точные науки.
Таким образом Гипатия была последним математиком
Александрийской школы и, по свидетельству Свиды, комментировала
Диофанта. На протяжении четырех веков (с середины V по
середину IX) мы не знаем никого другого, кто мог бы сравниться
с ней. Естественно полагать, что арабская версия книг Диофанта
является переводом комментированного ею издания. Если это так,
то этот текст является единственным трудом Гипатии, дошедшим
до нас. J
Неслучайно также, что этот текст дошел до нас только в
арабском переводе X в., так как именно в X в. на средневековом
Востоке снова возникает интерес к диофантову анализу.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
*
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
После Диофанта Александрийского, в «Арифметике» которого
мы находим поразительные по своей глубине результаты в области
неопределенного анализа, наступает закат античной математики.
В IV—VI вв. н. э. мы можем назвать только работы
комментаторов. Выше уже говорилось о комментировании «Арифметики»
Диофанта Гипатией или каким-нибудь ученым из ее окружения.
В отдельных средневековых трактатах встречаются лишь самые
простые неопределенные задачи первой степени, о характере
которых можно судить, например, по арифметическим эпиграммам Па-
латинской антологии — греческому источнику V—VI вв. [47].
Подобные задачи имели широкое хождение задолго до Диофанта, и
их появление в средневековых трактатах не представляет
интереса для истории диофантова анализа.
Некоторые результаты в области неопределенного анализа
были получены средневековыми индийскими математиками *, но
в отличие от того направления, в котором работал Диофант, ин- N
дийские математики обычно излагают решение в форме рецепта,
что указывает на связь их исследований с более древней
вавилонской традицией.
Лишь в IX—X вв. на арабском Востоке мы находим первые
следы продолжения исследований в том направлении, в котором
они были намечены Диофантом. Этому предшествуют
определенные успехи арабских математиков в «искусстве алгебры и алмука-
балы»: Мухаммада ибн Мусы ал-Хорезми (IX в.) и его
современников Абд ал-Хамида ибн Турка ал-Хуттали и Абу абд-Аллаха
Мухаммада ибн Иса ал-Махани. Их исследования в это время
посвящены в основном изучению решения квадратного уравнения,
хотя Омар Хайям (1048—1131) упоминает также о сделанной ал-
Махани попытке решения кубического уравнения.
Первое дошедшее до нас исследование на арабском языке, в
котором мы находим обобщение и развитие методов Диофанта,
принадлежит Абу Камилу Шудже ибн Асламу (ок. 850—930),
известному также под именем ал-Хисаб ал-Мисри, что значит
египетский вычислитель. Мы не располагаем прямыми свидетельств
1 Наиболее полный обзор и анализ этих результатов содержится в
фундаментальном исследовании Датты и Сингха [70].
5 Заказ Mi 3214

j30 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
вами знакомства Абу Камвла с трудами Диофанта, однако
тождественность методов и стиля их исследований, не оставляет сом-
нений^ что оба математика работали в русле единой традиции,
особенно процветавшей на территории Египта.
Почти в то же время современник Абу Камила Коста ибн Лука
переводит и комментирует труды Диофанта. В списке сочинений
9 Косты ибн Луки упоминаются «Книга, касающаяся перевода
Диофанта об алгебре и алмукабале» и «Комментарий к трем главам
и одному отрывку из книги Диофанта о числовых вопросах». О era
переводе книг Диофанта на арабский язык мы уже говорили выше
(см. ч. I, гл. V).
Довольно тонкие результаты в области неопределенного
анализа и теории чисел мы находим в исследованиях арабского
математика и астронома X в. Абу Джафара Мухаммада ибн ал-Хусай-
на, отождествляемого некоторыми историками математики с
крупным астрономом Абу Джафаром Мухаммадом ибн ал-Хусайном
ал-Хазином (ум. ок. 970). Кто бы ни был автор этих исследований*
он прекрасно знал «Арифметику» Диофанта и продолжал
разрабатывать его методы.
Итог бурному развитию неопределенного анализа на арабском
Востоке подводит в своих трактатах знаменитый иранский
математик Абу Мухаммад ибн ал-Хусайн ал-Караджи (X—XI вв.)*
Он суммирует результаты своих предшественников и в некоторых
случаях обобщает их.
Судьба идей и методов Диофанта с IV по IX век нам
совершенно неизвестна. Лишь в конце IX—XII вв. они совершенно
неожиданно оказываются в центре исследований по алгебре, которые
ведут арабские математики. Именно в это время «Арифметика»
Диофанта становится известна на арабском Востоке, что
очевидно и оказывает глубокое влияние на эти исследования, определяя
круг основных проблем и методов. Наряду с прямым влиянием
Диофанта на арабских математиков, как мы увидим, многие
факты говорят о существовании неизвестных нам пока посредников^
исследования которых сыграли, вероятно, далеко не последнюю
роль в развитии диофантова анализа.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У АБУ КАМИЛА
131
ГЛАВА I
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
У АБУ КАМИЛА
i. АЛГЕБРА АБУ КАМИЛА
Уже в XIV в. считалось, что Абу Камил был первым арабским
ученым, «писавшим по алгебре» после ал-Хорезми. Если это
действительно так, то его вклад в развитие этой новой для того
времени области математики заслуживает самой высокой оценки.
Существенно опираясь на труды ал-Хорезми, он настолько углубил
и расширил изучаемый предмет, что именно его исследования
стали вершиной развития алгебры на средневековом Востоке.
О преемственности исследований ал-Хорезми и Абу Камила
говорит уже прямое сравнение их основных трактатов: «Краткой
книги об исчислении алгебры и алмукабалы» (Ал-китаб ал-мухта-
сар фил хисаб ал-джабр ва-л-мукабала) [38] — первого и «Книги
об алгебре и алмукабале» (Китаб ал-джабр ва-л-мукабала) [48,
105] — второго.
В самом начале своего трактата Абу Камил пишет, что
читателю его книги необходимо знать о существовании трех видов
величин, которые ал-Хорезми упоминает в своей книге; а именно:
корни (джизр), квадраты (мал) и числа (дирхем). При этом корень
или вещь (шай) соответствует неизвестному х, а квадрат —
квадрату неизвестного х2. Но вслед за этим Абу Камил
вводит высшие степени неизвестного: куб (ка'б) — #3, квадрато-
квадрат (мал ал-мал) — #4, квадрато-квадрато-вещь (мал мал
шай) — #5, кубо-куб (ка'б ал-ка'б) — х9 и квадрато-квадрато-
квадрато-квадрат (мал мал мал ал-мал) — х8. Так же как
Диофант, Абу Камил применяет аддитивный принцип образования
степеней, но с двумя отличиями: во-первых, определяет х5 как
#2+2+1 а не как д.2+з у Диофанта; во-вторых, вводит х8 в то время
как Диофант ограничивается лишь я6. Однако высшие степени
неизвестного Абу Камил применяет лишь при решении
определенных уравнений.
В отличие от ал-Хорезми, у которого мы находим определенные
уравнения только 1-й и 2-й степени, Абу Камил владеет уже
методами решения некоторых определенных уравнений более
высоких степеней, например, биквадратных
(я2)2 + 2х2 = 1, (я2)2 = х2 + 1, (х2)2 + Ах2 = 16
а уравнения вида
(х2)2 (х2)2 + 100 (х2)2 = 10000.
Абу Камил также свободно оперирует с квадратичными ирра-
Циональностями, используя правила
Ya ± YT = Va + b ± 2 Yab.
5*

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Кроме того, он использует квадратичные иррациональности в
качестве коэффициентов уравнений.
Всем этим ал-Хорезми, видимо, еще не владел.
Таковы в общих чертах основные результаты по алгебре Абу
Камила.
2. МЕТОДЫ АБУ КАМИЛА
Наиболее глубокие исследования по неопределенному анализу
у Абу Камила мы находим в третьей части его «Книги об алгебре
и алмукабале» [105]. Этот раздел содержит 38 задач, условия
которых в современной алгебраической записи имеют вид:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
г2 + 5 = г/2.
я* _ Ю = у2.
х2 + 3х = у2.
х2 — 6ж = у2.
х2 + 10х + 20 =
х2—8х — 30 = у2.
х2 + х = у2,
х2 + 2х = у2.
х2 + х = у2,
х2 + 3х = у2
х2 — 2х = у2
х2 — 3х = у2
X — X2 = у2.
х + х2 = у\,
х — х2 — у2.
5 = х2 + у2.
#1 + «2 = Ю,
20 + х± = у2,
50-х2 = у2.
#i 4- *г = 10,
20 + х1 = у1,
50 + х2 = у2.
2 + х*=у\,
3-х = у2.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
20 -х = у\,
10-х = у2.
30+ x = y2v
20 + х = у\.
\0 + х = у\,
Ю — х = у2.
— х2 + 8ж +
4-109 = у2.
Ъх + х2 = у\,
2х^-х2 = у\.
— х2 4- 2х +
+ 49 = у2.
х2 + х =. у2,
х2 — х = у2.
х2 + 2х = у2,
х2-3х = у2.
— х2 + 10а; —
-8 = гД
— х2 — Ьх +
+ 260 = i/2.
х2 + 2х = у2,
y2 + 3y = z2.
х2 + 3х = у\
y* + Gy = z2.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
х2 + 2х = у2,.
у2 + у = z2.
х2 4- 4а; = у2у
y2 + 2y = z2.
х2 — 4а; = у2г
y2-2y = z2.
х2 + х = у\,
х2 + 1 = у2г
х*-Ь = у\
y* + y = z2.
х2 + 4х = у2,
х2 — 2х — \ = г2.
х2 — 2х = у2,
y2 + y = Z2.
х3 + 3а;4-1=^г
х2 — Зх + 2 = з^
x2-x+l=yl,
x2 + x-l = yl
х2-х + 2 = у2г
х2 + х-3 = у2.
х2 4- х 4-1 = у2,
х2 4- 2а; + 2 = у»

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У АБУ КАМИЛА
133
Что же представляет собой в целом это собрание задач? Имеет
ли оно какую-либо логическую структуру? С чисто алгебраической
точки зрения наличие здесь общего композиционного принципа
далеко не очевидно. В то же время анализ алгебро-геометрическо-
го смысла рассматриваемых проблем сразу же приводит к
положительному ответу на поставленные выше вопросы.
Действительно, все 38 проблем Абу Камила сводятся к
неопределенным уравнениям и системам уравнений, которые определяют
алгебраические кривые. С алгебро-геометрической точки зрения
объектом исследования Абу Камила являются алгебраические
кривые. Основная задача, которую он решает, состоит в отыскании
рациональных точек на алгебраических кривых.
Первая, большая часть задач (1—25) посвящена в этом смысле
методам нахождения рациональных точек на алгебраических
кривых рода 0. Вторая, меньшая часть задач (26—38) — методам
нахождения рациональных точек на алгебраических кривых рода 1.
Таким образом, здесь мы видим совершенно поразительный
для того времени принцип классификации задач: сначала
последовательно идут 25 проблем, посвященных плоским и
пространственным кривым рода 0, а затем — 13 проблем, которые все без
исключения относятся к пространственным кривым рода 1.
Конечно, предположение о том, что Абу Камил владел понятием
рода кривой, представляется совершенно невероятным, однако
какие-то алгебраические эквиваленты этого алгебро-геометриче-
ского инварианта у него должны были быть. Во всяком случае
именно род кривой определяет композицию задач у Абу Камила.
Отысканию рациональных точек на плоских кривых рода 0
эквивалентны проблемы 1—6, 10, 12, 21, 24, 25. Все указанные
12 проблем Абу Камил решает одним и тем же методом,
геометрический смысл которого состоит в проведении через заранее
известную рациональную точку рациональной прямой, пересекающей
кривую еще в одной рациональной точке, что и дает решение.
Хотя речь идет о едином с точки зрения алгебраической
геометрии методе, его чисто алгебраическая форма, которую мы,
собственно, и находим у Абу Камила, зависит от того, какова
исходная рациональная точка (конечная или бесконечная).
Обращая внимание на порядок следования задач, мы видим, что Абу
Камил различает эти два случая.
Случай бесконечно удаленной исходной рациональной точки,
имеющий более простую, алгебраическую форму, рассмотрен им
в самом начале (в задачах 1—6). Последовательно решая
неопределенные уравнения все более общего вида
х2 ± с = у2, (задачи 1—2)
х2 ± Ьх = у2, (задачи 3—4)
х2 ± Ъх ± с = у\ (задачи 5—6)

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Абу Камил показывает, что одна и та же подстановка у = х ± т
приводит к рациональному решению. Рассматривая примеры
решения неопределенных уравнений этого вида у Диофанта, мы
видели выше, что он применяет точно такую же подстановку, смысл
которой состоит в том, что через бесконечно удаленную точку
кривой, определяемой решаемым уравнением, проводится
рациональная прямая, пересекающая кривую еще в одной, но уже конечной
рациональной точке, что и приводит к решению.
Случай конечной исходной рациональной точки рассмотрен
в следующих шести задачах 10, 12, 19, 21, 24 и 25. Таким
образом, как в случае конечной, так и в случае бесконечно удаленной
рациональной точки, Абу Камил дает по шесть примеров
применения метода.
Задачи 10, 12, 19, 21, 24 и 25 также расположены по степени
трудности угадывания исходной рациональной точки. Так, в
задаче 10
х — х2 = у2
исходная рациональная точка совершенно очевидна (я0, у0) =
= (0, 0), при этом и подстановка, т. е. уравнение, определяющее
прямую, проходящую через точку (0, 0), также имеет простейший
вид у = тх.
В задаче 12
х2 + у% = 5
Абу Камил явно указывает, что 5 = I2 + 22, откуда следует
существование исходного решения. Принципиально решение этой
задачи у Абу Камила ничем не отличается от решения задачи Пд
х2 + у2 = 13, 13 = 22 + З2
в «Арифметике» Диофанта.
Далее Абу Камил рассматривает четыре задачи 19, 21, 24
и 25 на решение уравнений вида
-х2 + Ъх + с = у2, (1)
где исходное рациональное решение не только не очевидно, но
и не всегда существует. В начале задачи 19 он формулирует
необходимое и достаточное условие разрешимости уравнений этого
типа, состоящее в представимости числа (Ь/2)2 + с в виде суммы двух
квадратов.
После подстановки х = (Ь — и)/2 уравнение (1) приобретает
вид
(6/2)2 + с = у2 + (w/2)2.
Последнее уравнение решается методом задачи 12 при условии
представимости (Ь/2)2 + с в виде суммы двух квадратов.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У АБУ КАМИЛА
135
Таким образом Абу Камил доказывает лишь достаточность
выведенного условия. Доказательство необходимости, хотя и
отсутствует, но не представляет большого труда.
Большое внимание Абу Камил уделяет решению
неопределенных систем уравнений, определяющих кривые рода 0 в
трехмерном (задачи 7-—9, 11, 15—18, 20, 22 и 23) и в четырехмерном
(задачи 13 и 14) аффинном пространстве.
Все проблемы Абу Камила, связанные с кривыми рода 0 в
трехмерном пространстве, можно разбить на две группы.
Задачи первой группы (задачи 15—18) представляют собой
системы двух уравнений с тремя неизвестными, равносильные,
как это выясняется в процессе их решения, одному из двух
приведенных ниже уравнений вида
у\ — у\ — а (задачи 16, 17), у\ + у\ = а (задачи 15, 18).
Подобные системы уравнений Диофант называет «двойными
равенствами» (задачи IIU.13 «Арифметики»). При этом он
рассматривает только тот случай, когда методом исключения
неизвестной, входящей в оба уравнения системы, она сводится к
уравнению вида
у\ — у\ = я,
в то время как Абу Камил применяет этот метод исключения
и в случае «двойных равенств», сводящихся к уравнению вида
2 ■ 2
Уг + Уъ = а.
В последнем случае Абу Камил замечает, что рациональное
решение существует, если а представимо в виде суммы двух
квадратов.
Вторая группа задач (задачи 7—9, 11, 20, 22, 23), связанная
с кривыми рода 0 в трехмерном пространстве также распадается
на два случая.
В первом случае системы уравнений вида
х2 + агх = г/i, х2 + а^х = у\, (задачи 7—9, 22, 23)
где коэффициенты ах, а2 могут быть как положительными, так и
отрицательными рациональными числами, сводятся к уравнениям
вида
и2 + Ьи + с = у2,
решение которых было разработано Абу Камилом в задачах 1—6.
Во втором случае системы уравнений вида
ахх + х2 = у\% а2х — х2 = у\% (задачи 11, 20)
где коэффициенты ах, а2 — положительные рациональные числа,
сводятся к уравнениям вида
—и2 + Ьи + с = v2;

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
метод и условие, при котором они разрешимы, были получены
Абу Камилом в задачах 19, 21, 24 и 25.
Рассмотрим теперь наиболее интересную часть трактата Абу
Камила, посвященную, как говорилось выше, изложению методов,
эквивалентных нахождению рациональных точек на кривых рода 1
в аффинном трехмерном пространстве.
г Задачи этой группы представляют собой неопределенные
системы уравнений двух типов
х2 + 1гх + кг = yl х2 + 12х + к2 = у\\ (2)
х2 + 1х + к = у\ у2 + hy = z2. (3)
Системы вида (2) встречаются в задачах 31, 33, 35—38. Ж. Сезиа-
но дает следующее алгебраическое описание общего метода,
применяемого Абу Камилом для их решения.
Положим z/i == у2 + р, тогда х2 + 1±х + кг = {у2 + р)2, т. е.
х2 + hx + К = у\ + 2ру2 + р2,
учитывая, что у\ = х2 + 12х + к2, имеем
х2 + 1хх + кг = х2 + hx + к2 + 2ру2 + р2,
откуда
2рг/2 = (h — 12) х + (кг — к2 — р2).
Если возвести обе части в квадрат и опять учесть, что у\ = х2 +
+ 12х + &2, то
(h -«V + 2 (h - h) (kt -k2^p2)x + (кг - k2 - p2)2= %
— 4p2s2 + ApH2x + 4p2fc2. j
Для того чтобы уничтожились члены с я2, необходимо
выполнение условия (1г — 12)2 = 4р2. Поэтому, если положить р = (1г —
- г2)/2, то
4рЧ2 + 2 (J2 - Zi) (/ex - ft8 — р2) '
что и дает рациональное решение системы (2).
Этот метод Абу Камила для систем уравнений вида (2), по-су-
ществу, ничем не отличается от рассмотренного выше метода
решения «двойных равенств» первого типа у Диофанта и имеет тот
же самый алгебро-геометрический смысл (см. ч. I, гл. IV,
раздел 5).
Действительно, система вида (2) или в однородных
координатах (X, Ух, У2, Г), где х = Х/Т, уг = YXIT, y2 = У2/Г, система
X2 + ltXT + кгТ2 = У2, X2 + 12ХТ + к2Т2 = У22,
определяет кривую L рода 1, имеющую четыре рациональные
бесконечно удаленные топки М\(1, 1, 1, 0), М2(1, —1, 1, 0),

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У АБУ КАМИЛА
137
М3 (1, 1, —1, 0), М4 (1, —1, —1, 0). Подстановка ух = у2 + р%
или в однородных координатах Y± = Y2 + рТ определяет пучок
плоскостей, проходящих через две рациональные бесконечно уда*
ленные точки М± и МА. Условие р = (1г — /2)/2 определяет в этом
пучке рациональную плоскость П, проходящую через касательный
вектор к кривой L в точке Мг. Поэтому в точках Мг и М4 крат*
ность пересечения кривой L с плоскостью П будет, соответствен-
но, равна 2 и 1. Учитывая, что кривая L имеет порядок 4, а точки
МгМА и плоскость П — рациональны, мы получаем, что плоскость
П пересечет кривую L еще в одной и притом рациональной точке,
которая и соответствует найденному решению системы (2).
Рассмотрим теперь системы вида (3). Метод их решения Абу Ка-
мил излагает в задачах 26—30, 32, 34. Ж. Сезиано предлагает
следующее алгебраическое описание этого метода в общем виде.
Положим z = х + р, тогда у2 + hy = (х + р)2, а так как
у2 = х2 + 1х + ft, то
х2 + 1х + к + hy = х2 + 2рх + р2 или hy = (2р — I) х +
+ Р2-к.
Возведем обе части в квадрат
h2y2 = (2р - 1)2х2 + 2 (2р - Z) (р2 - к) х + (р2 - к)2,
и опять учитывая, что у2 = х2 + &г + ft, имеем
Л2*8 + h2lx + u2ft = (2р - 1)2х2 + 2 (р - I) (р2 - ft) x +
+ (р2 - А:)2.
Для того чтобы член с х2 уничтожился, необходимо выполнение
условия h2 = (2р — I)2. Поэтому, если положить
-hfr + Z _ (р2 — A;)2 — h4
Р— 2 ' Т0 Х~ h4 — 2(2p — l)(p* — k) "
Теперь покажем, что с алгебро-геометрической точки зрения
решение систем вида (3) проводится Абу Камилом тем же методом,
что и в случае систем вида (2).
Система вида (3), или в однородных координатах (X, F, Z, Г),
где х = XIT, у = YIT, z = Z/T, система
X2 + 1ХТ + кТ2 = Г2, Y2 + KYT = Z2
определяет кривую L рода 1, имеющую, как и кривая,
определяемая системой вида (2), четыре рациональные бесконечно удаленные
точки Мх (1, 1, 1, 0), М2 (1, 1, -1, 0), М3 (-1, 1, 1, 0), М4 (-1,
1, _ 1э 0). Подстановка z = х + р или в однородных
координатах Z = X + рТ определяет пучок плоскостей, проходящих
через две рациональные точки Мг и М4. .
Покажем, что условие

138
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
определяет в этом пучке плоскость П, проходящую через
касательный вектор в точке Мг.
Дальнейший анализ удобнее вести в координатах (и, vy £), где
х = u/t, у = i/t, z = vlt В этих координатах кривая L
определяется системой уравнений
и2 + lut + к? = 1, 1 + ht = Л
Точки Mt и М4 будут иметь, соответственно, координаты (1, 1, 0)
и (—1, —1, 0), а пучок плоскостей, проходящих через эти точки,:
будет определять уравнение
v — и — pt = 0.
Касательный вектор к кривой L в точке Мг, как легко показать,;
равен (1, —h/l, —2/1). Условие касания плоскости пучка к кривой
L в точке Мг эквивалентно равенству 0 скалярного произведения
нормали к плоскости пучка (—1, 1, — р) на касательный вектор
к кривой L в точке Мх. Отсюда имеем
л h . 2 п ?—h+l
Аналогично условие р = (h + 1)12 означает, что в пучке
выбрана плоскость, проходящая через касательный вектор (1, hllt
—2/1) к кривой L в точке М4.
Таким образом, переходя обратно к координатам (#, у, z),
имеем, что подстановка z = х + Р, где р = ± (h + Z)/2,
эквивалентна проведению рациональной плоскости через две рациональные
бесконечно удаленные точки Мг и М4 касающейся кривой L в
одной из этих точек. Отсюда ясно, что найденная таким образом
плоскость, как и в случае систем вида (2), пересечет кривую L
еще в одной и притом рациональной точке.
ГЛАВА II
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ
И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ
НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
1. ОБЗОР ИСТОЧНИКОВ
Некоторые задачи неопределенного анализа, как мы видели это
уже у Диофанта (ч. I, гл. IV, разлел 6), были принципиально
связаны с важными проблемами теории чисел. ,
В X в. на средневековом Востоке также появляются
исследования в этом направлении. Они посвящены, главным образом, изу-

ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ 139
чению двух неопределенных задач
х* + У2 = z\ (1)
Z2 + к = U2, Z2 - к = I*, (2)
на пути решения которых в целых числах арабские математики
пришли к постановке целого ряда теоретико-числовых проблем.
Сохранилось три арабских трактата, написанных на эту тему.
Автор одного из них не известен, так как утеряна начальная часть
текста. Автор двух других — математик X в. Абу Джасфар Му-
хаммад ибн ал-Хусайн.
Оба трактата Ибн ал-Хусайна представляют собой послания,
адресованные одному и тому же лицу Абу Мухаммаду Абдаллаху
ибн Али ал-Хасибу — астроному, работавшему в Бухаре и
предложившему реформу календаря.
Сравнение анонимного трактата и первого послания
ал-Хусайна * позволяет высказать некоторые предположения относительно
автора первого из них.
Первое, что обращает на себя внимание,— удивительное
сходство обоих трактатов. Бели отбросить начальную часть трактата
Ибн ал-Хусайна, то сравнение оставшейся части и анонимного
трактата, дошедшего без своего начала, показывает, что почти все
утверждения, которые содержат оба текста, и порядок их
следования совпадают. Однако автор анонимного трактата утверждает,
что никто из его современников не писал подобных трактатов, и он
не знает никого, кто бы «открыл это раньше». С другой стороны, ал-
Хусайн упоминает Абу Мухаммада ал-Худжанди (математика
X в.), занимавшегося теми же проблемами, но получившего
частные и неполные результаты, а иногда и просто неверные.
В целом при сравнении складывается впечатление, что трактат
ал-Хусайна представляет собой обработку анонимного трактата,
при которой была частично изменена терминология, добавлены
доказательства на линиях и сделаны ссылки на Евклида и
ал-Худжанди. Поэтому естественно предположить, что автором
анонимного трактата был Абу Мухаммад ал-Худжанди.
Кто бы ни был автором анонимного трактата, он еще не успел
познакомиться с близкими результатами Диофанта, которого
в это же время переводит и комментирует Коста ибн Лука.
Что касается ал-Хусайна, то он не только знаком с
соответствующими результатами «Арифметики», но во втором послании
дает им дальнейшее развитие.
Остановимся теперь на содержании рассматриваемых
трактатов. Все три трактата очень во многом похожи друг на друга.
В каждом из них можно выделить два относительно самостеятель-
1 Оба трактата переведены на французский язык и подробно
прокомментированы Ф. Вёпке [118].

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
ных круга вопросов. К первому кругу вопросов относится
решение в целых числах уравнения (1), т. е. отыскание
прямоугольных целочисленных треугольников, и возникающие при этом
теоретико-числовые проблемы. Вопросы второго круга связаны с
решением как в целых, так и в рациональных числах, системы
уравнений (2) и установлением его связи с решением уравнения (1).
Во втором послании Ибн ал-Хусайн связывает систему уравне-
* ний (2) также с некоторыми другими вопросами неопределенного
анализа. При этом следует обратить внимание, что первый круг
вопросов оказывается вспомогательной ступенью к решению
второго круга вопросов. Так Ибн ал-Хусайн прямо говорит о
решении системы уравнений (2) как о «цели, к которой мы
направлялись» [46, л. 209 об.].
2. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ,
СВЯЗАННЫЕ С РЕШЕНИЕМ УРАВНЕНИЯ х2 + у2 = г2
Выше уже говорилось^ что древнегреческие математики владе»
ли формулами
.* = а2 -* ft2, у.~ 2аЪг z = а2 + Ь* (3)
для решения уравнения (1). В лемме 1 к предложению 29 книги
X «Начал» Евклид показал, что формулы (3) дают решение
уравнения (1), а Диофант уже совершенно свободно пользовался ими$
например, в шестой книге «Арифметики».
Эти результаты не только были усвоены на средневековом
Востоке, но и получили дальнейшее развитие.
Автор анонимного трактата, а вслед за ним и Ибн ал-Хусайц
в своем первом послании изучают множество целочисленных рё->
шений уравнения (1). При этом они используют следующие
понятия: 1) первичного прямоугольного треугольника с целыми
сторонами, т. е. треугольника, катеты которого взаимно просты (я, г/) =
= 1; 2) прямоугольных треугольников одного вида, т. е.
треугольников с пропорциональными сторонами (кх, ку, kz). Они замечают,
что задача нахождения всех целочисленных решений уравнения (1)
сводится к задаче нахождения лишь примитивных решений. И
наоборот, примитивные решения уравнения (1) ищутся путем
исключения кратных решений. Рассматриваются два'случая: 1) а + Ъ =
= 2п и 2) а + Ъ = 2п + 1. Оба автора замечают, что можно
рассматривать лишь второй случай, так как в первом случае всегда
получаются решения кратные 2. Во втором случае, если а и Ъ
имеют общий делитель, отличный от 1, то и решение, полученное
по формуле (3), имеет общий делитель, отличный от 1. В
результате правило нахождения всех целочисленных пар а и ft, при
которых формула (3) задает примитивные решения уравнения (1)> име-

ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ 141
ет вид:
а = п + а, b = гс + 1 — а (4)
при (а, Ъ) = 1; п = 3, 5, . . .; а = 1, . . ., п.
Таким образом обосновывается необходимость этих условий,
но отсутствует доказательство их достаточности.
Особо выделены в рассматриваемых трактатах два частных
случая формулы (3): 1) а = п + 1, Ь = п и 2) а = п, Ъ = 1, которые
в греческой математике приписывались, соответственно, Пифагору
аз Платону.
В анонимном трактате и первом послании Ибн ал-Хусайна
изучается также вопрос о том, какие целые числа являются
гипотенузами целочисленных прямоугольных треугольников; т. е.
ставится проблема представимости целых чисел суммой квадратов, Хотя
окончательный результат так и не был ими получен, сама
постановка этой проблемы заслуживает внимания. Оба автора
понимают, что вопрос о представимости четных чисел сводится к
вопросу о представимости нечетных числе. Они пытаются установить
эмпирическую закономерность, состоящую в том, что представи-
мые нечетные числа образуют последовательность 5, 13, 17, 25,
29, . . ., 12га + 1,12гс + 5, . . ., однако сами же замечают, что
некоторые члены этой последовательности непредставимы,
например, 49 = 12*4 + 1 и 77 = 12-6 + 5. С другой стороны, не
замеченным осталось, что пропущено 45, пред ставимое суммой
двух квадратов З2 + б2.
Нетрудно видеть, что верным является исключение нечетных
чисел вида 4/г + 3, действительно непредставимых суммой двух
квадратов. Кроме того, мы видим, что они знали также, что не все
числа вида 4лг + 1 представимы суммой двух квадратов.
Хотя проблема не получила окончательного решения, в ходе
<ее исследования было замечено, что некоторые числа, например,
65 и 85, представимы суммой двух квадратов двумя различными
способами.
Это, а также знакомство с соответствующим местом в
«Арифметике» Диофанта (задача Ш19), приводит Ибн ал-Хусайна к
исследованию композиции квадратичных форм, чему посвящена
конечная часть его второго послания: «С тем, что мы упомянули
раньше, связан ряд'свойств чисел, каждое из которых
подразделяется на два квадратных числа и умножается на число,
подразделяющееся на два^квадратных числа, одно из которых квадрат,
или каждое из которых "квадрат, или ни одно из которых не
квадрат. Это -г- из того, что разъяснено во введении, которое
Диофант предпослал в девятнадцатой^задаче третьей книги его «Книги
об алгебре»; ими пользуются и "в других задачах» [46, л. 213].
Далее Ибн ал-Хусайн][формулирует следующие утверждения,
Которые он иллюстрирует на числовых примерах.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Предложение 1. Для всякого числа,
подразделяющегося на два квадратных числа, его квадрат также подразделяется на
два квадратных числа, т. е. если z = а2 + Ь2, то z2 = А2 + В2,
где А = а2 — Ъ2 и В = 2ab.
Предложение 2. То же положение имеет место для
всякого числа, подразделяющегося на два подобных числа, т. е. если
z = а + Ь и 6 = а2а, то z2 = А2 + В2, где Л = а — Ь и 5 =
== 2|Л*Ь = 2аа.
Предложение 3. Если число, которое подразделяется
на два квадратных числа, является квадратом, то его квадрат
подразделяется на два квадратных числа двумя способами, т. е. если
z = а2 + Ь2 = р2, то z2 = А2 + В2 = С2 + D2, где А = а2 —Ъ2Х
В =* 2аЬ, С = ар, D = Ър.
Предложение 4. Если мы умножаем число,
подразделяющееся на два квадратных числа одним способом, на число,
подразделяющееся на два квадратных числа одним способом, то
число, состоящее из них, подразделяется на два квадратных числа
двумя способами, т. е. если z = а2 + Ъ2 и w = с2 + d2, то zw =
= А2 + В2 = С2 + Z>2, где А = ас + bd, В = ad — be, С =
= ас — bd, D = ad + be.
Это важное предложение также разъясняется на числовом
примере: z = 5 = I2 + 22, и; = 13 = 22 + З2, который мы
встречаем в эадаче Ш19 «Арифметики».
Предложение 5. Если число, подразделяющееся на два
квадратных числа двумя способами, умножить на число,
подразделяющееся на два квадратных числа одним способом, то получится
число, подразделяемое на два квадратных числа четырьмя
способами, т. е. если z = а\ + Ъ\ = а2 + Ь2, w = с2 + d2, то
zw = А\ + В\ = At + В2 = А\ + В\ = А\ + Я2,
где
Аг = ахс + bxd, 5Х = axd — Ьхс,
Л2 = aic — feid, В2 = aid -f- &ic>
^48 = a2c + b2d, Z?3 = a2d — b2c,
-44 = «2C — b2d, В 4 = a2d + b2c.
Предложение 6. Если число, подразделяющееся на два
квадратных числа двумя способами, умножить на квадратное
число, подразделяющееся на два квадратных числа, то получится
число, подразделяющееся на два квадратных числа шестью
способами, т. е. если z = а\ + Ъ\ = а\ + b\\ w2 = с2 + d2 == р2, то
zw = А\ + Б2, i = 1, . . .6, где Аи Ви i = 1, 2, 3, 4 те же, что
и в предложении 5, а Аь = alP, Я6 = Ьхр, Лв = ад, В6 = 6^-
Предложение?. Квадрат числа, подразделяющегося
на два квадратных числа двумя способами, подразделяется на два

ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ 143
квадратных числа четырьмя способами, т. е. если z = а2 + Ь2 =
= ** + d2, то z* = А\ + В\ = А\ + В\ = А\'+ В\ = А\ + В%»
где Лх = а2 - Ь2, 5Х = 2аЬ, Л2 = с2 - d2, #2 = 2ctf, Л3 =
= ае + bd, В3 = ad — be, A4 = ас — bdy В^ = ad + be.
Последнее предложение совпадает, как указывает сам Ибн
ал-Хусайн, с замечанием Диофанта в задаче Ш19.
Таким образом, Ибн ал-Хусайн в своем исследовании
обосновывает замечание Диофанта и ставит в связи с этим вопрос о числе
различных представлений чисел определенного вида суммой двух
квадратов. Вопрос этот был впоследствии полностью решен
П. Ферма в его замечании № VII к той же самой задаче Ш19
«Арифметики», которая вызвала к жизни и исследования Ибн ал-Хусай-
на (см. ч. III, гл. IV, раздел 2).
В самом конце второго послания Ибн ал-Хусайн говорит
также о том, что арифметические книги «Начал» являются
переложением более раннего трактата «Арифметики», авторы которого при
изложении не пользовались языком геометрии. Мы уже писали,
что эти слова Ибн ал-Хусайна подтверждают существование
пифагорейской книги по теории чисел. Кроме того, Ибн ал-Хусайн
пишет, что теорема о совершенных числах является высшей целью
арифметических книг Евклида. Как известно, Евклид доказал, что
если 1 + 2 + 22 + . . .+ 2 = /> является простым числом, то
2кр — число совершенное * (предложения 36, кн. IX). Только
в XVIII в. Эйлер доказал, что все четные совершенные числа
имеют вид, найденный Евклидом. Ибн ал-Хусайн ставит также
интересный вопрос о нечетных совершенных числах. До сих пор не
найдено ни одного нечетного совершенного числа, но и не доказано,
что таких чисел не существует.
3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ x2 + y2 = s2 В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
И ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИБН АЛ-ХУСАЙНА
[Второе послание Ибн ал-Хусайна интересно следующим
важным результатом.
Евклид показал, что числа вида (3) являются решениями
уравнения^). Видимо, Ибн ал-Хусайн был первым, кому удалось
доказать обратное более трудное утверждение, а именно, что
формулы (3) дают все решения уравнения (1).
Этому результату Ибн ал-Хусайн предпосылает три леммы,
которыми начинается трактат.
В лемме 1 утверждается, что сумма двух нечетных квадратных
чисел не может быть квадратным числом. Лемма 2 состоит в том,
что сумма двух квадратных чисел вида 22П также не может быть
Число N называется совершенным, если оно равно сумме своих делителей,
например, 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
квадратным числом. В лемме 3 формулируется тождество
(p + 9)2 = 92 + 4-f-(<? + -f) (5)
при р = 2т, <7 = 2л + 1ир = 2m, q = 2п. Для его обоснования
он ссылается на предложение 8 книги II Евклида.
Вслед за этим он доказывает основное утверждение: любое
примитивное решение уравнения (1) имеет вид (3).
Пусть х, у, z — примитивное решение уравнения (1). Так как
х и у не могут быть одновременно четными или нечетными числами
(лемма 1), то предположим, что х — нечетное, а у — четное число»
Тогда z — нечетное, az-a; — четное число и (z — х)/2 — целое
число. Далее Ибнал-Хусайн образует два числа х + z~~x = -~4—
и -^г—, называя их соответственно «составным числом» и «избыт-
ком». Используя тождество (5), полученное в лемме 3, он находит*
полагая р = z —• х, q = x, что
--*, + «(iTi)(ifi)
и, следовательно^ так как z2 = х2 +**/2,
т. е. четный квадрат равен учетверенному произведению
«составного числа» на «избыток». Он замечает, что при этом и отношение
«составного числа» к «избытку» равно отношению квадратных
чисел
Z-\- X Z — X о/о
—-г-*: —о— = а2: о2.
Если а2 и Ъ2 взаимно просты (т. е. это наименьшие квадраты,
имеющие данное отношение), то положим
так как (z + х)/2 и (z — х)/2 также взаимно просты х.
Ибн ал-Хусайн берет а2 = 4, Ъ2 = 1 и получает тройку (3, 4, 5).
Он замечает, что аналогично можно получать и другие
пифагоровы тройки.
Далее Ибн ал-Хусайн показывает, как, исходя из этого
решения уравнения, могут быть получены решения других уравнений.
Он утверждает, что для любого натурального п разрешимо
уравнение
х\ + ... + 4 = *2, (6)
Здесь он неявно опирается на VII—VIII книги «Начал» Евклида.

ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ 145
ограничиваясь при этом выводом общей формулы решения
хх = а\ — (а\ + . . .4- а2),
х2 =[2^2,
хп — 2#!ЯП,
z = а** + • • .+ Яп (и = 2, 3).
Затем, исходя из формулы (3), он находит решение уравнения
4-й степени
и2 + v2 = и?4. (7>
Он замечает, что если х = а2 — Ь2, у = 2ab, z = а2 + Ь2 решение
уравнения #2 + i/2 = z2, то и = #2 — г/2, у = 2ят/, и; = z решение
уравнения (7). Заметим, что пифагоровы тройки (#, у, z) связаны
с возведением комплексного числа в квадрат
х + yi = {а + &02, *2 = I * + yi |2 - (а2 + Ь2)2.
В этом смысле решение Ибн ал-Хусайна соответствует
возведению комплексного числа в четвертую степень
и + vi = (х + уг)2 = (« + &04, и;4 = | и + i;i |2 =
= U + ^|4=(«2 + b2)4.
Подробнее об этом мы будем говорить ниже (ч. III, гл. III,
раздел 5).
Основываясь на формуле (3), Ибн ал-Хусайн решает также
уравнение 4-й степени
t* + у2 - z\ (8)
которое необходимо ему для исследования системы уравнений (2)*
К этому вопросу мы сейчас переходим.
4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
#24-й = гг2, г2 — k = v2...
Прежде всего заметим, чт'о эта система уравнений в общем
случае определяет кривую рода 1 и поэтому отыскание рациональнога
решения, а тем более целого, представляет собой не всегда
разрешимую задачу.
В изучаемых нами трактатах решение этой задачи заменяется
решением более простой системы уравнений
z* + t = и2, z2 — t = у2, (9)
которая определяет рациональную поверхность в R4 и может быть
легко параметризована.

146
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Действительно, взяв сумму и разность уравнений системы (9),
мы получаем эквивалентную систему уравнений
2z* = и2 + у2, It = и2 - v2. (10)
После замены неизвестных
и = х + у, v = х — у,
система уравнений (10) преобразуется в эквивалентную систему
уравнений
z2 = x2 + y2, t = 2xy, ' (11)
общее решение которой получается из общего решения ее первого
уравнения х = а2 — Ь2, у =* 2аЬ, z = а2 + Ь2,
* = 4аЬ (а2 - Ь2).
Отсюда видно, что система уравнений
Z2 4. к = w2, z2 — fc = i;2 (12)
разрешима, если к имеет вид 4аЬ (а2 — Ь2).
В трактате анонимного автора это решение получается просто
из соотношений
22 + 2ху = (х + у)2, z2 - 2ху = (х - у)2, (13)
которым удовлетворяют решения уравнения z2 = х2 + у2.
Подставляя х = а2 — Ь2, у = 2аЬ, z = а2 + Ь2 в (13), он находит
следующие тождества
(а2 + Ъ2)2 + АаЬ (а2 - Ь2) = (а2 - Ь2 + 2аЪ)\ {щ
(а2 + Ъ2)2 - 4аЬ (а2 - Ь2) = (а2 - Ь2 - 2аЬ)2ж
позволяющие находить решение системы уравнений (12) при к =*
= Aab (а2 — Ъ2).
В первом послании Ибн ал-Хусайн замечает также, что если
поделить оба тождества (14) на (а2 — Ь2)2, то тождества
/ а2 + ft2 \2 , 4аЬ _ /, 2аЬ \2
а2~Ь2 + а2 — Ь2 — \ + а2 — &2 / '
(15)
Г а2 + Ь2 \2 4а& /, __ 2аЬ \2
\ а3-Ь2 / а2 —б2 \Х а2~62 /
позволяют находить решения системы уравнений (12) при
, 4аЬ
Л — аа _ 5* *
Во втором послании он приходит к более общему утверждению1
что решение системы](12) позволяет найти решение системы
22 + I = и2, z2 — l = у2, (16)
если kll — квадратное число.
j

ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ 147
В этом же трактате он показывает^ что система уравнений (12)
эквивалентна системе уравнений
z2 = х2 + у2, 2ху = к.
Доказательство этого утверждения основано на эквивалентно»
сти уравнений
22 = х2 + у2 и 2z2 = и? + у2,
так как они преобразуются друг в друга при
и = х + у, v = х — у и
и -j-v ц — v '
X 2 у У 2 '
Ибц ал-Хусайн выводит даже более общее утверждение, что
уравнения
4+4 = 2**:
при любом целом п эквивалентны друг другу. Это, как он
замечает, следует из того, что уравнение
u2n+vl = 2nk
преобразуется в уравнение
ul-1+v2n-1=2"-4c
при
Обратное преобразование имеет вид
1£ w * n 7, n n
Выше уже говорилось, что в конце первого послания Ибн ал-
Хусайн, деля обе части тождества (14) на (а2 — Ь2)2, приходит
к тождествам (15). Учитывая, что а2 — Ъ2 = х9 легко видеть, что
по существу Ибн ал-Хусайн из соотношений
z2 + 2ху = (х + у)\ z2 - 2*у>;(*- у)29
делением их на х2, получает соотношения
верные для х, у, z, удовлетворяющих уравнению
ж2 + у' * г2.

|48 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
♦Отсюда видно, что система уравнений (12) разрешима при
,А = 2 —. Вероятно, отталкиваясь от этого способа нахождения
чисел, при которых система уравнений (12) разрешима, и желая
лолучить более простое выражение зависимости к лишь от у Ибн
ал-Хусайндает еще один способ для получения решений системы
уравнений (12).
Ход его мысли, очевидно, был следующим. Если х = £2, где
t — рациональное число, то, деля обе части соотношений
z2 + 2ху = (х + у)*, z2 - 2ху = (х- у)*
не на ж2, как в первом послании, анаж = £2, приходим к соотно*
шениям
*;+*-(++./. (f)'-2„-(i-,)-,
верным для £, у, z, удовлетворяющим уравнению
* + у* = z\ (17)
Таким образом, решения этого уравнения t, у, z дают решение
системы уравнений
«я + к = и2, 52 — ft = v2
при А: = 2у, исходя из формул
Для применения этого метода Ибн ал-Хусайну необходимо
найти способ решения неопределенного уравнения
*4 + г/2 = z2,
что он с успехом делает, решая эквивалентную этому уравнению
систему уравнений
X* -f у2 = Z2, X = £2.
Оба способа решения, предложенные Ибн ал-Хусайном, основаны
на общей формуле решения первого уравнения этой системы.
Поэтому, полагая
х = 2аЬ, у = а2 — Ь2, 2 = а2 + Ь2,
либо
х ••= а2,— Ь2, */ = 2аЬ, 2 = а2 + Ь2,
он ищет а и Ь, при которых соответственно либо 2ай = t2, либо

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ 149
и2 __ ь2 = t2. В первом случае он полагает а — р2, Ъ = д2/2
а тогда
* - pq, х = p2q2, У = i?4 - 94/4, 2 = ^4 + r/4/4.
Во втором случае для решения уравнения
а2 = b2 + £2
он снова применяет общую формулу (3).
ГЛАВА III
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ
I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ АЛ-КАРАДЖИ
Творчество крупнейшего иранского математика Абу Бакра
Мухаммада Ибн ал-Хусайна ал-Караджи (X — XI вв.) посвяще-
ло, в основном, систематизации и обобщению того, что было
сделано до него. Мы не находим у него существенно новых методов
или оригинальных результатов, зато в своих трудах он подводит
своеобразный итог бурного развития алгебраических исследова-
яий X века— века алгебры на средневековом Востоке.
Поэтому трактаты ал-Караджи имеют важное значение при
изучении развития алгебры на средневековом Востоке и позже
в Европе. Такие известные трактаты ал-Караджи, как
«Посвященный Фахр ал-Мулку трактат об искусстве алгебры и ал-мукаба-
лы» (ал-Фахри фи-Сина ал-джабр ва-л-мукабала) [118] и
«Чудесное в арифметике» (ал-Бади фи-л-Хисаб) [103] неоднократно
рассматривали многие историки математики. Особого внимания, как
нам кажется, заслуживают классические исследования Ф. Вёпке
([118], А. П. Юшкевича [44] и недавняя работа Ж. Сезиано [103].
В своих алгебраических исследованиях ал-Караджи достигает
такого теоретического уровня, которого мы не находим у его
предшественников ал-Хорезми и Абу Камила. Ал-Караджи вводит
произвольные степени неизвестного, дает вывод формулы бинома
Ньютона и расширяет понятие числа, по существу, оперируя с
.отрицательными числами.
Остановимся на самых важных результатах ал-Караджи-ал-
гебраиста.
В самом известном своем трактате «ал-Фахри», следуя
арабской версии «Арифметики» Диофанта, он вводит первые девять
степеней неизвестного, но, не останавливаясь на этом, замечает,
Что геометрическая прогрессия, которую образуют степени
неизвестного, может быть продолжена до бесконечности, т. е« х . х —-*
~Ь? : х2 = . . . =* хп : х71"1 или х11 — х^-х.

150 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Затем он определяет отрицательную степень — «долю вещи»,
как то, что при умножении на «вещь» дает 1. Последующие
отрицательные степени вводятся следующим образом: «знай, что
отношение доли вещи И/х] к доли квадрата [Их2] как отношение доли
квадрата [Их2] к доли куба [1/я3], как отношение доли куба [1/я3]
к доли квадрато-квадрата [1/х4], как отношение доли квадрато-
квадрата [1/хА] к доли квадрато-куба [1/я5], и поэтому пропорция
долей продолжается по этому правилу до бесконечности» [И8Л
л. 2 об.], т. е.
JL*_L = _L. _L— — i « 1
х " хг х2 " х3 "" xn-l ' хп
При этом он формулирует следующие общие правила:
_i-.J_--.JiL _L 1 _ 1 у 1 n n_m
хт ' хп ~ хт ' хт ' хп ~ хт-хп ' хт Х ~Х
при п^> т.
Введение произвольных степеней неизвестного позволяет ал-
Караджи распространить формулы решения квадратных уравнений
ау2 + Ьу = с (1), ау2 + с = by (2), ay2 = by + с (3)
на уравнения высших степеней вида
ax2V + bxv = c, (4)
ах2Р + с =» Ьхру (5)
ах2Р = Ьхр + с. (6)
При помощи подстановки х? = у он сводит эти уравнения (4)—
(6) к квадратным уравнениям (1)—(3) и получает следующие
решения
* — К 4аа + а 2а ' * —~2^± К 4а3 а '
х —у № + а + 2а '
Ал-Караджи замечает также, что уравнения вида
после деления на хт сводятся к выражению (6).
Ниже мы познакомимся с другими примерами решения
уравнений высших степеней у ал-Караджи.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ 151
2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТРАКТАТА «АЛ-ФАХРИ».
МЕТОД «ИСТИКРА»
Трактат ал-Караджи «ал-Фахри» — самое полное и
систематическое исследование по алгебре и неопределенному анализу на
.средневековом Востоке. До ал-Караджи подобные исследования,
начиная с Диофанта, всегда представляли собой собрания
определенных или неопределенных задач, и лишь специальный анализ
их решения позволяет реконструировать контуры лежащих в их
основе алгебраических представлений и степень общности
применяемых методов. «Введения» к трактатам Диофанта, ал-Хорезми,
Абу Камила и книгам арабской версии «Арифметики» содержат
только самые необходимые определения и более чем краткие
списки основных алгебраических правил действия с неизвестным.
У ал-Караджи соответствующее «введение» утрачивает свою
вспомогательную функцию, превращается в теоретическую часть
трактата «ал-Фахри». Вторая практическая часть не столько
оригинальна и представляет собой сборник задач и их решений,
заимствованных, как мы увидим ниже (см. ч. II, гл. IV, раздел 3), у
других авторов.
Теоретическая часть «ал-Фахри» включает 12 глав.
В первых шести главах ал-Караджи подробно излагает
правила умножения (глава 1), деления (глава 2), извлечения корней
(глава 4), сложения (глава 5) и вычитания (глава 6) одночленов
и многочленов от одного неизвестного. Здесь он, существенно
расширив «Введение» Диофанта к «Арифметике», превращает его в
теоретическое изложение основ алгебры.
Глава 3 «Об отношении» интересна тем, что в ней ал-Караджи
определяет отношение целых чисел через операцию деления
(глава 3 следует за главой 2 «О делении»), включая тем самым
отношения в смысле VII книги «Начал» Евклида в область
рациональных чисел.
В главах 7—10 и 12 изучаются алгебраические операции с
корнями 2-й, 3-й и 4-й степени, выводятся алгебраические
тождества (например, формула бинома (а -+- Ъ)п при «=s2, 3)1 и правила
суммирования арифметических рядов (например, ряда квадратов
и кубов последовательных чисел), а также рассматриваются
решения линейных и квадратных уравнений.
При этом одно и то же утверждение ал-Караджи стремится
обосновать двумя способами: чисто геометрически на языке
Евклида и чисто алгебраически на языке Диофанта. Например,
вывод формулы для суммы кубов он дает двумя способами:
алгебраически («доказательство по числу») и геометрически («доказатель-
1 Арабский математик и астроном XII в. ас-Самавсал в одном из своих
трактатов приводит цитату из неизвестного нам трактата ал-Караджи,
содержащую вывод этой формулы в общем случае (см. об этом статью Б. А. Розен-
фельда [32]).

352 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
ство по чертежу»). Точно так же двумя способами выводится
формула решения квадратного уравнения, причем алгебраический
вывод называется в этом случае «решением по методу Диофанта».
Глава 11 специально посвящена проблемам и методам
неопределенного анализа. На ней мы остановимся более подробно. Эту
главу ал-Караджи называет «Истикра», что в математических
текстах переводится обычно как «последовательный подбор». Наряду
с этим значением термин «истикра» ал-Караджи использует, как:
название вполне определенного метода решения уравнений вида
ах2 + Ьх + с = у\ (7>
где левая часть не равна тождественно (arc + Р)2.
Ал-Караджи пишет: «Истикра» применяется в арифметике*
когда тебе предложена сумма одного, двух или трех
последовательных видов и эта сумма по формальному выражению не
составляет квадрата, но ее значение должно быть квадратом и ты хочешь
узнать его корень» [118, л. 26].
Ал-Караджи формулирует в этой главе достаточное условие
разрешимости уравнения (7). Оно состоит в том, что а или с
должны быть положительными квадратными числами. Точно так жег,
как Диофант, а позднее Абу Камил, ал-Караджи применяет либо
подстановку у = ах + |5, если а = а2, либо у = fix + у, если
с = у2. Хотя сам метод, как мы видели выше, был достаточно
подробно разработан до ал-Караджи, он впервые явно формулирует
его в общем виде, а не на конкретных примерах. Кроме того, о»
ставит вопрос о существовании рациональных решений
уравнения (7) и повторяет критерий разрешимости уравнений вида
Ъя dt (ах2 + с) = г/2,
который мы находим уже у Абу Камила (см. ч. II, гл. I, раздел 2)..
Затем приводит примеры неразрешимых в рациональных числах
уравнений
10* - (а* + 1) = г/2, 2х2 + 10* + 10 = у2.
В конце этой главы ал-Караджи пишет: «Этого в этом месте
будет достаточно, но я, конечно, возвращусь к этому в комментариях
к моей работе, которая относится к кубам, квадрато-квадратам и
последующим степеням. Я написал также работу, в которой метод,
«истикра» рассматривается в развернутом виде» [118, л. 27].
Нам представляется, что здесь идет речь о трактате «ал-Бади»^
в котором метод «истикра» действительно, находит более
развернутое изложение (см. раздел 4).
3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТРАКТАТА «АЛ-ФАХРИ»
Практическая часть «ал-Фахри» представляет собой самое
внушительное на средневековом Востоке собрание алгебраических:

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ 153
задач. По числу проблем оно сравнимо лишь с «Арифметикой»
Диофанта, однако уступает ей в оригинальности, разнообразии
л сложности методов. Отдавая предпочтение уже известным
задачам, ал-Караджи в самых редких случаях включает сюда
собственные задачи. Создается впечатление, что целью этой части
является попытка составить достаточно полную сводку известных
ранее проблем и методов.
Естественно возникает вопрос, какими источниками
пользовался ал-Караджи?
Прежде всего это три первые книги «Арифметики» Диофанта.
Из книги I без каких-либо изменений он берет лишь группу
задач /i6-2i> B которой Диофант решает определенные системы
уравнений с 3-мяи 4-мя неизвестными. Другие группы задач
книги I (на решение линейных уравнений с одним неизвестным и
определенные системы уравнений 1-й и 2-й степени с двумя
неизвестными) представлены у ал-Караджи резко уменьшенным числом
примеров и с измененными числовыми данными. Что касается
довольно простых неопределенных задач книги I (I14, 122-25)» то ал~
Караджи их вообще опускает.
С книгой II он обходится более бережно и помещает в
«ал-Фахри» почти все задачи этой книги. Исключение составляют лишь
задачи П^ и IIi7t примыкающие по своему содержанию
соответственно к задачам I31-34 и Аг» также не включенным, как мы
видели, в «ал-Фахри».
Наконец, книга III фактически полностью процитирована.
Пропущены лишь задача Ш4, по существу повторяющая задачи
IIIi-з, и задачи П12о-2и тождественные задачам И14_16, что»
вероятно, было замечено ал-Караджи и послужило причиной их
исключения. При этом, если у части задач книги II (особенно из
первой половины книги) он меняет числовые данные, то задачи из
книги III не изменены даже в этом отношении.
Таким образом, чем выше номер книги Диофанта, т. е. чем
труднее задачи и сложнее методы их решения, тем ближе
ал-Караджи старается быть к оригиналу, все меньше задач пропускает
ш варьирует.
Задачи книги III «Арифметики» (Ill^g, III5-19) завершают
четвертый раздел практической части «ал-Фахри». Далее следует
последний пятый раздел, почти без изменений повторяющий
книгу 4 арабской версии «Арифметики» (опущены лишь задачи 4i2-i3,
-а задача 420 воспроизведена еще раз в конце раздела). Отсюда
можно сделать вывод, что ал-Караджи располагал арабской версией
«Арифметики» Диофанта. Кроме того, он имел не дошедший до нас
перевод первых книг «Арифметики», выполненный Костой ибн
Лукой. Видимо, книги IV—VI греческого текста «Арифметики»
вообще не были известны на средневековом Востоке. Во всяком
случае ал-Караджине был с ними знаком, что подтверждает также
«анализ «ал-Бади» (см. ч. II, гл. III раздел 4).

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Другой фундаментальный источник, из которого ал-Караджи
заимствовал в общей сложности более 50 задач — алгебраический
трактат Абу Камила. При этом из рассмотренной выше части
этого трактата, содержащей проблемы неопределенного анализа
(см. ч. II, гл. I, раздел 2), в «ал-Фахри» включено более половины
задач. Ал-Караджи берет в этом случае из каждой группы задач,,
г связанных между собой общим методом решения, лишь половину
задач данной группы.
Нам остается рассмотреть те задачи, которые либо составлены
самим ал-Караджи, либо заимствованы им из неизвестного нам
источника. Оставляя.в стороне определенные задачи (уравнения
1-й и 2-й степени с одним неизвестным), остановимся на
неопределенных задачах.
Можно выделить две группы неопределенных задач, точный
источник которых нам неизвестен. Прежде всего это задачи на
решение неопределенных линейных уравнений и систем уравнений,,
вкрапленные между задачами, заимствованными из Диофанта и
Абу Камила. В первом разделе практической части «ал-Фахри»
мы находим задачи на решение линейных уравнений с двумя
неизвестными (задачи 25—31, 33, 34), а в третьем разделе решаются
неопределенные системы 2-х и 3-х уравнений соответственно с 3-м*
и 4-мя- неизвестными (задачи 33—35).
Ко второй группе мы относим неопределенные задачи 3, 4, 39^
и 50 раздела III, решение которых удивительно напоминает
приемы Диофанта.
Задача 3
z2 + y2 = z2 (8)
решается с помощью подстановки х = t, у =* t -+■ 1, z = 2t — ls
т. е. через рациональную точку (0, 1, —1), лежащую на
рациональной поверхности (8)^ проводится прямая в направлении
вектора (1, 1, 2). Вторая точка пересечения (3, 4, 5) отвечает
решению, найденному ал-Караджи.
В задаче 4
х2 + у2 = z2, х2 + у = и2, у2 + х = v2-
первое уравнение системы на основе решения задачи 3, униформи-
зируется с помощью подстановок я = at, у = bt, z = ct, где а = 3*
b = 4, с = 5, и тогда два других уравнения дают «двойное
равенство» вида
a2t2 + Ы = и2, . ЪН2 + at _ у2
В том, как ал-Караджи решает это «двойное равенство», нет ничего
нового по сравнению с Диофантом и Абу Камилом, но задачи этого
типа у них все же не встречаются, так как они всегда принимают

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ 155
Задача 39
Х2 + z я и\ y* + z=v*
я задача 50
х2 + У2 = и2, z2 + w2 = и2
также представляют собой простые вариации на темы
«Арифметики» Диофанта.
Таким образом, трактат «ал-Фахри», за исключением
небольшого числа неопределенных линейных уравнений, а также только
что рассмотренных задач раздела III, представляют собой монтаж
задач из трех источников: «Арифметики» Диофанта (книги I—III),
арабской версии «Арифметики» (4-я книга) и алгебраического
трактата Абу Камила.
4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ В ТРАКТАТЕ «АЛ-БАДИ»
Трактат «ал-Бади» состоит из пяти книг. К неопределенному
анализу имеют отношение лишь три последние книги, недавно
переведенные на французский язык и подробно изученные Ж. Се-
зиано [103]. В третьей книге этого трактата ал-Караджи дает
более полное, чем в «ал-Фахри», изложение метода «истикра». Все 33
задачи этой книги за немногими исключениями представляют
собой серию примеров решения неопределенного уравнения
ах2 + Ъх + с = у2 (9)
или неопределенных уравнений более высоких степенейг но легко
сводящихся к уравнению (9).
Большая часть задач повторяет те случаи, которые уже были
рассмотрены как самим ал-Караджи, так и Диофантом и Абу Ка-
.милом. Поэтому мы не будем на них специально останавливаться,
а рассмотрим прежде всего те задачи, которые нам раньше не
встречались.
Начнем с задач 17—19
2х2 — 2 = г/2, Зх2 - 12 = у2, 12 - Ъх2 = у2,
и задачи 20
5х« — 20я4 = z2,
-которая после деления на #4 сводится к уравнению
Ъх2 - 20 = i/2,
где у = z/x2.
На этих примерах ал-Караджи излагает метод решения
неопределенного уравнения
ах2 - с = у2, (Ю)

156
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
когда а и с не являются квадратными числами, а их отношение
с/а — квадрат рационального числа.
В общем виде метод ал-Караджи состоит в следующем.
Уравнение (10) он преобразует в уравнение
и, применяя подстановку х = ку — а, где а = У с/а, находит
к*у*-2аку+^г^^г + -1Ту\
2Ш ** + ~
у= г-, х = а
к2 — /с2—
а а
Легко видеть, что геометрический смысл решения состоит в*
том, что уравнение (10) определяет рациональную кривую, а
подстановка х = ку — а — пучок прямых, проходящих через
рациональную точку (а, 0) этой кривой. У Диофанта и Абу Камила
рассматриваются лишь случаи, в которых соответствующий
подстановке пучок рациональных прямых проводится через
рациональные точки вида (0, |5) и (а, |i), где а, |5 Ф 0, а ал-Караджиг
как мы видим, исследует также случай, соответствующий
исходной рациональной точке вида (а, 0).
Далее следуют задача 21
и
За;2 + 13 =
задача 22
2х* + 2х*
= У*
= *»,
которая после деления обеих частей уравнения на х2 сводится к
решению уравнения
2х* + 2 = у\
где у = z/x.
Обе задачи являются частными случаями уравнения
ах2 + с = у*,
при а + с = т2, где т — рациональное число.
Ал-Караджи делает подстановку у = к и получает
либо подстановку у = кх и тогда

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ 157
В обоих случаях он предлагает далее искать решение путем
подбора к, что, разумеется, нисколько не проще исходной задачи.
Это показывает, что ал-Караджи не владеет методом решения
задач этого типа. В задаче Ш10 Диофант также приходит к
уравнению этого вида
Ъ2х2 + 12 = у\
так как 52 + 12 = 82, и уходит от его решения. Однако в книге
VI Диофант снова ставит этот вопрос и при этом в самом общем
виде. Постановку задачи и метод ее решения он дает в лемме 2 к
задаче IV12: «Для двух данных чисел, сумма которых составляет
квадрат, можно найти бесконечное число квадратов, каждый из
которых, умноженный на одно из данных [и сложенный с другим*
числом] образует квадрат» (см. ч. I, гл. IV, раздел 1).
Как справедливо заметил Сезиано [103, с. 318], безнадежный;
подход ал-Караджи к задачам 21—22 доказывает, что он не был
знаком с книгой VI «Арифметики» Диофанта, где изложен полный^
метод решения подобных задач. Вероятнее всего из шести
известных нам книг греческого текста ал-Караджи, да пожалуй, и
другие средневековые арабские математики, знали лишь первые три*
книги в переводе Косты ибн Луки.
В третьей книге «ал-Бади» рассматриваются также
неопределенные уравнения 4-й и 3-й степени
ах* + с = г/2, (задача 23)*
аэ? + сх = у2. (задачи 24—26}<
Задача 23, как и в предыдущем случае, сводится подстановками?
у = к или у = кх2 к решению уравнений
д к2 —С 4 С
х*— или я4 —_
а к2 — а
все тем же малообещающим способом подбора к.
В задачах 24—26 он применяет подстановку у = кх, которая*
приводит к уравнению
ах2 — №х + с = 0«
Ал-Караджи замечает, что это уравнение, квадратное
относительно неизвестного х, имеет рациональное решение, если его
дискриминант является квадратом, т. е.
А4 - 4 ас = Р.
Таким образом, он опять приходит к уравнению того же вида,,
что и в задаче 23, и все сводится к сомнительному способу подбора.
Не останавливаясь на четвертой книге «ал-Бади», частично
повторяющей некоторые задачи «ал-Фахри», частично
посвященной вопросам, не имеющим отношения к нашей теме, перейдем к

158
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
рассмотрению пятой книги, представляющей собой исследование
«двойных равенств».
В первых трех задачах пятой книги
х -}- 5 = и2, х + 4 = у2, (задача 39)
5 — х = и2, 4 — х = у2, (задача 40)
х — 4 = и2, х — 5 = у2, (задача 41)
рассматриваются простейшие «двойные равенства», метод
решения которых мы впервые находим у Диофанта (задачи 11Х1_13),
а затем у Абу Камила (задачи 16—17) и, наконец, у самого ал-Ка-
раджи в третьем разделе практической части «ал-Фахри» (задачи
40-42).
Далее следуют две более интересные задачи
22 + к = ^, 22 — к = у2, А: = 5 (задача 43)
z2 + г = и2, z2 — s = у2, г = 10, s = 8. (задача 44)
Эти системы уравнений определяют уже нерациональные кривые
рода 1. Вычитая из первого уравнения каждой из этих систем второе
и разлагая полученную разность на множители, ал-Караджи
приходит, соответственно, к уравнениям
которые опять решает путем подбора, иначе говоря, угадывает
ответ. Заметим, что задачу 43 в несколько иной форме впервые
поставил и нашел решение Герон (см. ч. I, гл. I, раздел 3).
Интересно, что ал-Караджи решает ее так же, как Герон, при к = 5 и
находит путем подбора t =* 1 Va то же самое числовое решение.
Решение этой задачи сыграло важную роль в исследованиях
Леонардо Пизанского (см. ч. III, гл. I, раздел 3).
Следующие четыре задачи
х* + 6я2 = и2, xz — Зя2 = у2, (задача 44)
&х2 — г* = и2, Зх2 — х3 = у2, с (задача 45)
я8 — Зх2 = и2, я3 — 6я2 = у2, (задача 46)
#5 + 2х* = и2, я5 — 4я4 = v2 (задача 47)
после деления на х2 в задачах 44—46 и на я* в задаче 47 сводятся
к «двойным равенствам» того же вида,-что и в задачах 39—41. Этот
-лрием сведения систем уравнений вида
Х2п+1 _{_ ах2п _ ^2 f Ж2п4.1 + ах2п = и2, ая2п — я2п+1 = и2,
Л;2П+1 ^ ^2П = у2 ? ^П+1 __ fo2n _ у2 f ^2П _ ^2П+1 _ у2

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ 15£
делением на хш к системам уравнений вида
х zfc а = и'2, а: + а = и'2, а — х = и'2,
# ± Ь = г/2, * — Ь = у'2, Ь - х = у'2,
где и' = и/хп, v' = у/яп, ал-Караджи мог заимствовать из 4-й
книги арабской версии «Арифметики», которую, как показывает
анализ «ал-Фахри», он хорошо знал.
В конце пятой книги «ал-Бади» ал-Караджи помещает группу
задач
х2 + у = и2, у2 + х = v2,
X2 + X = U2, X2 — X = У2,
х2 + у2 + х + у = и2, х2 + у2-
х2 + у2 = z2,
х2 + У2 + z2 + х + У + z = и2,
x2 + y2 + z2-(x + y + z) = v2,
х2 + у2 + z2 = ы>2,
х2 + х = и2, х2 — 2х = v2,
X + X2 = U2, X — X2 = У2,
4х + 5х2 = и2, 4г — Зх2 = у2,
х + 2х2 = и2, х — Зх2 = v2,
X2 + X = И2, X2 — 1 = У2,
-(* + *) =
(задача 48)
(задача 49}
-v\
(задача 50)
(задача 51}
(задача 52}
(задача 53}
(задача 54}
(задача 55}
(задача 56}
представляющих собой вариации задач и методов Абу Камилаг
связанных с решением «двойных равенств». Так задачи 49 и 53-
просто совпадают с задачами 22 и 11 Абу Камила. В задачах 52;
и 56 по сравнению с задачами 7 и 31 Абу Камила изменены
коэффициенты во втором уравнении соответствующей системы.
Остальные задачи мы находим впервые у ал-Караджи, и его заслуга
состоит в том, что он распространил на них методы решения «двойных
равенств» Абу Камила, частично разработанные уже Диофантом-
В некоторых случаях прослеживаются и более древние связи
с вавилонской традицией. Например, задачи 50 и 51
соответственно подстановками х = 3t, у = 4£, z = 5t и х = 2t, у = 3tr
z = 6t сводятся к «двойным равенствам»
25*2 + It = и2, 49*2 + lit = и\
и
25*2 — It « i;2, 49*2 — lit = Л
Как и Абу Камил, ал-Караджи приводит эти системы к уравнению
2s2 = и2 + у2,
о вавилонском происхождении которого мы уже говорили выше
fa- I, гл. I, раздел 3).

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Таким образом, несмотря на значительные временные
перерывы, исследования, связанные с некоторыми проблемами
неопределенного анализа, имели глубокую внутреннюю связь и
преемственность. Одновременно с усвоением античной, а очевидно и
вавилонской, алгебры средневековые восточные математики
пытались расширить и обобщить традиционный круг проблем и методов
^неопределенного анализа. Наиболее успешно эта работа шла по
двум направлениям: во-первых, изучение и дальнейшее
распространение метода решения неопределенного уравнения
ах2 + Ьх + с = г/2, ^ _
во-вторых, исследование и обобщение, так называемых, «двойных
равенств». Именно эти проблемы находились в центре внимания
средневековых арабских математиков, а затем стали исходным
пунктом в трудах европейских математиков эпохи Возрождения.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ
XIII—XVI ВВ.
*
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В XIII — XVI вв. в Европе особые успехи выпали на долю
алгебры. Именно в это время было создано буквенное исчисление,
иными словами в математику были введены формулы,
оперирование с которыми заменило часть умозаключений и рассуждений
механическими выкладками. С другой стороны, была расширена
числовая область: сначала были введены отрицательные числа,
а затем и мнимые.
Все эти успехи по традиции связывают с исследованием
проблемы решения уравнений в радикалах и только с ней. И
действительно, тогда как квадратные уравнения научились решать еще в
древнем Вавилоне, уравнения 3-й и 4-й степени были решены в
середине XVI в., что явилось первым крупным достижением
европейской науки. С решением этих уравнений было связано и
введение мнимых чисел, и первые исследования теории
алгебраических уравнений.
Однако эта традиционная картина далеко не полна. В ней
совершенно не учитывается, что в европейской алгебре XIII —
XVI вв. наряду с проблемой решения уравнений в радикалах, и
даже раньше ее, исследовались задачи, относящиеся к диофанто-
ву анализу. Многие методы алгебры возникали и оттачивались
именно при решении неопределенных уравнений, которыми
занимались все крупные алгебраисты этого времени от Леонардо Пи-
занского до Франсуа Виета и Симона Стевина.
Своеобразие рассматриваемого периода в истории диофантова
анализа заключается в том, что вплоть до последней четверти
XVI в. европейские математики, хотя и были знакомы со многими
задачами Диофанта и даже с некоторыми его методами, однако
самой «Арифметики» не читали. Они не сумели открыть вновь те
' алгебраические методы, которые были у Диофанта. Вместо этого
они восприняли другие приемы решения некоторых групп дио-
фантовых задач, основанные на дальнейшем развитии
вавилонской традиции. На этом пути они пришли к построению
исчисления, эквивалентного оперированию с комплексными числами.
Этот путь был начат Леонардо Пизанским и нашел определенное
завершение в трудах Франсуа Виета. В основе новых методов
6 Заказ № 3214

162 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
лежала формула композиции квадратичных форм
(х2 + у2) (и2 + v2) - (хи - yv)2 + (xv + уи)2 = (хи + yvf+
+ (xv - уи)2, (1>
которую в Европе впервые применил к неопределенному анализу
Леонардо, а Виет, основываясь на этой формуле, построил новое
исчисление.
Таким образом, в конце XVI в. комплексные числа появились
в двух различных видах: 1) как символы, над которыми можно по
известным правилам производить алгебраические операции;
2) как прямоугольные треугольники (х, у, z), х2 + у2 = z2 и
(и, у, w), и2 + v2 = м>2, над которыми определены законы
композиции н& основании формулы (1).
Первый способ принадлежит Рафаэлю Бомбелли, второй —
Франсуа Виету. Первый был связан с проблемой решения
уравнений в радикалах. Он достаточно хорошо изучен. Второй — с
решением неопределенных уравнений. Изучение последнего и
является основной темой этой части нашей книги.
ГЛАВА I
ИССЛЕДОВАНИЯ
ЛЕОНАРДО ИИЗАНСКОГО
1. ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ И ЕГО ВРЕМЯ
Леонардо был первым крупным математиком Европы. Ни до
него, ни в течение более трех столетий после него нельзя назвать
ни одного ученого его ранга. Его творчество оказало решающее
влияние на исследования в области алгебры и теории чисел вплоть
до работ Франсуа Виета и Пьера Ферма.
Леонардо родился около 1180 г. в большом торговом городе —
республике Пизе. Его часто называют Фибоначчи (т. е. сын Бо-
наччи — Доброго). Настоящая его фамилия была, по-видимому,
Биголло. По крайней мере, так он поименован в акте о покупке
земли, которую он совершил по доверенности для своего
родственника.
Отец Леонардо был нотариусом республики Пиза. Вскоре
после рождения сына он был послан со служебным поручением
в Буджи (северная Африка), где выполнял функции, близкие
к консульским. Когда Леонардо исполнилось 12 лет, отец выписал
его к себе, чтобы познакомить его с делами, особенно
коммерческими расчетами. Все эти сведения сообщает сам Леонардо в
предисловии к своему фундаментальному труду «Liber abaci» (Книга

ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО 163
абака) [91 > т. 1]. Леонардо совершил путешествие в Египет,
Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс, знакомясь с различными
способами счета и началами алгебры. Он убедился, что счет по
десятичной позиционной системе (который он называл индийским)
намного превосходит все другие. Вернувшись в Пизу, он более
серьезно занялся математикой. Он познакомился с «Началами»
Евклида и, соединив эти знания с тем, что узнал от арабов,
составил в 1202 г. «Liber abaci», книгу, которая представляла
превосходную энциклопедию математических знаний его эпохи. Уже
здесь проявилась высокая одаренность автора: книга Леонардо
является не ученической компиляцией, а глубоко продуманным
и во многом оригинальным произведением. Достаточно сказать,
что именно здесь был введен в рассмотрение знаменитый ряд Фи-
Зоначчи:
1+1 + 2+3+5 + 8+ ...,
в котором wn-i + ип = ип+1, а также рассмотрены интересные
вопросы алгебры, геометрии и теории чисел.
Второе издание этой книги (1223) Леонардо посвятил Михаилу
Скотту (М. Scott), придворному астрологу императора Фридриха II,
тому самому, которого впоследствии Данте поместил в своем «Аде»
в четвертый ров вместе с другими обманщиками, выдававшими
себя за прорицателей. Данте писал о нем:
А следующий, этот худо боной,
Звался Микеле Скотто и большим
В волшебных плутнях почитался докой.
(Песнь XX, строфы 115—117).
Уже посвящение говорит о связи Леонардо с Сицилийским
двором Фридриха II Гогенштауфена (1194—1250), первого из
просвещенных деспотов Италии, которыми впоследствии было так богато
Возрождение. Даже в то жестокое время Фридрих прославился
своей жестокостью. Но наряду с этим он покровительствовал
литературе и наукам и сумел окружить себя учеными и философами.
Связь Леонардо с блестящим сицилийским двором весьма
примечательна, так йак Сицилия наряду с Испанией играла большую
роль в передаче арабской науки в Западную Европу. Но в отличие
от Испании здесь имели место и непосредственные контакты с
эллинской наукой. Дело в том, что Сицилия с древнейших времен
была эллинской колонией (IX—VIII вв. до н. э.) с богатыми
культурными городами. Эллинская традиция сохранилась здесь и
после завоевания Рима (конец III в. до н. э.). Сарацины
высадились в Сицилии в 827 г. и к 878 г. завершили ее покорение. Они
были вытеснены оттуда норманнами ^(1060—1092), которые и
основали Сицилийское королевство. И арабы, и норманны проявляли
религиозную терпимость. Поэтому на острове свободно исповедо-
6*

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
вались христианская и мусульманская религии и были в ходу три
языка: греческий, латинский и арабский.
Помимо «Книги абака» перу Леонардо принадлежит
интересная книга «Практическая геометрия» (Geometria practica) [91 r
т. 2], написанная около 1223 г., на которую, по-видимому,
оказала влияние «Метрика» Герона. В 1225 г. Леонардо написал два
г замечательных произведения, поводом для которых послужили
задачи, предложенные ему магистром Иоганном Палермским
в присутствии императора Фридриха И, это — «Цветок» (Flos)
и «Книга квадратов» (Liber quadratorum) [91, т. 2]. Хотя эти
книги были изданы типографским способом только в 1862 г.г
они были хорошо известны математикам Средневековой Европыг
которые почти дословно повторяли изыскания Леонардо. Кроме
того, следует отметить «Письмо Леонардо к магистру Теодору,
философу императора» (Epistola Leonardi ad magistram Theodo-
rum Phylosophum domini Imperatoris), написанное в том же году
и содержащее решение интересных задач [91, т. 2].
Уже в последней части «Практической геометрии» содержится
следующая задача: «предлагается найти некоторое квадратное
число, которое при сложении с 5 снова дает квадратное число.
И это можно сделать многими способами», т. е. решается
неопределенное уравнение х2 + 5 = у2.
Леонардо решает это уравнение сначала способом Диофантаt
который мог к нему дойти через арабов. В этом случае он
полагает большой квадрат (т. е. у), равным «вещи и нескольким
драхмам». Сначала он берет у = х + 1 и получает х = 2, у = 3.
Затем он полагает у = х + 2, тогда решением будет х = V4r
у = 9/4. Ясно, что этим способом можно найти бесконечно много
других решений.
После этого он интерпретирует это решение геометрически
(в терминах геометрической алгебры), а затем дает другое
решение, основанное на теореме о том, что каждое квадратное число
можно представить как сумму последовательных нечетных чисел,
начиная с 1:
ъ
2 (2тг-1) = А2.
71=1
Он полагает х2 = 1 + 3 = 4, тогда у2 =1 + 3+5 = 9, и одно
решение найдено. Для нахождения решения, большего 5,
Леонардо умножает обе части исходного уравнения на какой-нибудь
нечетный квадрат, например, на 9:
(За:)2 + 45 = (Зу)2.
Тогда
(Зх)2 = S (2л - 1) = (22)2; (Зу)2 = § (2п - 1) = (23)а,
п=1 п=1
4

ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО
165
т. е. решениями будут х = 22/3, у = 23/3. Свое решение он
распространяет также на случай,, когда множитель будет четным числом.
Этот новый метод, по-видимому, придумал сам Леонардо.
Он считал его ничуть не хуже алгебраического метода.
В книгах «Цветок» и «Книга квадратов» рассматриваются две
задачи Иоганна Палермского. Первая из них состоит в
нахождении корня кубического уравнения
х3 + 2я* + 10* = 20, (1)
а вторая сводится к системе
х2 + 5 = и2, х2 — 5 = v\ (2)
В книге «Цветок» он дает следующее решение системы (2)
х = 3V4Ve, тогда х2 = 112/31/144, и2 = 16 ,V3V144, »» = 6 2/3V144
являются полными квадратами. Здесь он ничего не говорит
о том, как именно было найдено это решение. Зато он подвергает
детальному исследованию уравнение (1). При этом он показывает
себя настоящим мастером, намного опередившим свое время.
Прежде всего он делит обе части уравнения (1) на 10 и получает
х +~Г + 1о_=2,
откуда видно, что положительный корень будет больше 1 и
меньше 2. Затем — и это наиболее замечательное его изыскание — он
показывает, что это уравнение не может иметь дробного корня.
Действительно, если бы х = plq, (p, q) = 1, то, подставляя это
значение в уравнение (1) и приводя к общему знаменателю, мы
бы имели
р3 + 2рЦ + 10j^2 = 20g3, т. е. р* = 20д3 — 2p2q — 10pq2.
Все члены, стоящие справа, делятся на д, значит и ps, а
следовательно, и р должны делиться на д, что противоречит
предположению.
По существу, перед нами доказательство теоремы о том, что
если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами и
коэффициентом 1 при старшем члене не имеет целого корня, то оно
не может иметь и рационального корня. Смысл гтой теоремы
был полностью раскрыт только в XIX в. при построении теории
целых алгебраических чисел.
Далее Леонардо убеждается, что корень не может иметь вида
Vp и вообще не может быть представим ни одной из иррациональ-
ностей X книги «Начал» Евклида, а затем дает его приближенное
значение, найденное неизвестным нам способом:
1 22I7?43ni33IV4V40^1.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Остальные 13 задач этой книги сводятся к определенным и
неопределенным уравнениям первой степени, которые мы здесь
рассматривать не будем.
Наконец, в «Книге квадратов» подробно исследуется система
(2). В предисловии к книге Леонардо пишет:
«Когда, о знаменитейший князь, господин Фридрих, магистр
Доминик привел меня в Пизе к ногам Вашего величества, магистр
Иоанн Палермский, встретив меня, предложил мне вопрос,
о котором я напишу ниже и который не менее относится к
геометрии, чем к числам, а именно, найти квадратное число, которое
будучи увеличено или уменьшено на пять, всякий раз порождало
бы квадратдре число.
После размышления над решением этого вопроса, которое я
уже нашел, я увидел, что источники этого решения лежат во
многих вещах, которые относятся к квадратным числам самим по
себе и в их отношении друг к другу. Кроме того, узнав из
разговоров в Пизе и других, которые дошли до меня из императорского
двора, что Ваше величество соблаговолило прочесть книгу,
которую я написал о числах, и что Ему иногда доставляет
удовольствие слышать изящные рассуждения, относящиеся к геометрии,
я вспомнил о вопросе, который я сформулировал и который был
мне предложен при Вашем дворе Вашим философом. Я взял
этот вопрос в качестве темы и предпринял составление настоящей
работы, которую решил назвать «Книгой о квадратных числах».
Теперь я прошу Вашей снисходительности в том случае, если
книга содержит что-либо более или менее верное и необходимое;
так как помнить обо всем и ни в чем не ошибаться
свойственно божественному уму более, чем человеческому, и нет
никого, кто свободен от недостатков и способен учесть все».
Итак, поводом для написания книги была задача Иоанна
Палермского, которую мы записали в виде системы (2).
Однако, как и отмечает Леонардо, в книге собрало много
теорем и задач, имеющих самостоятельный интерес. Именно они,
как мы покажем, и оказали наибольшее влияние на
последующих математиков.
2. ЗАДАЧИ ДИОФАНТА В «КНИГЕ КВАДРАТОВ»
В первой части «Книги квадратов» Леонардо показывает, что
квадратные числа получаются как суммы нечетных, начиная
с единицы, а затем формулирует и решает задачи Ilg и Нд из
«Арифметики» Диофанта. Однако имени Диофанта он не
упоминает. Анализ решения показывает, что Леонардо не читал
Диофанта, а знал лишь постановку задач.
Напомним, что названные задачи Диофанта сводятся соответ-

ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО 167
ственно к неопределенным уравнениям
х2+У2=а\ (3)
х2 + у2 - а2 + Ъ2 ф п. (4)
О том, как ставит и решает эти задачи Диофант, мы говорили
выше. Посмотрим, как это делает Леонардо.
Первую из них он ставит так:
«Найти два числа, квадраты которых, сложенные вместе,
образуют квадрат, образованный сложением двух других данных
квадратов» [91, т. 2, с. 256].
Пусть даны b2ng2 и сумма их составляет а2. Леонардо выбирает
какие-нибудь числа de и ez такие, что сумма их квадратов дает
квадрат, т. е. (de)2 + (ez)2 == (dz)2. Если dz = а, то задача решена,
если нет, то строим прямоугольный треугольник zed (рис. 7) и
откладываем zJ = а. Из / опускаем на катет ez перпендикуляр
J К. Тогда zK и J К будут искомыми.
Действительно
* Kz zJ ч rjr zJ
— _-_ =х, х _ J£z _ _^ е2.
Аналогично
y=KJ=^ed-
Таким образом, предполагается, что мы уже умеем находить
такие два квадрата, которые дают в сумме квадрат. Если мы
нашли р2 + q2 = г2, то решение Леонардо можно записать в виде
x=-j-p, y = ^rq (x2 + y2 = af).
Но не только указанное предложение отличает решение
Леонардо от диофантова. Основное отличие заключается в том, что
решение Леонардо совершенно неалгебраическое. Хотя он сначала
и обозначает данные величины буквами а, Ь, g, d и т. д., и
создается впечатление, что он собирается с ними оперировать, но затем
он представляет их, следуя Евклиду, отрезками, обозначая уже
каждый из них двумя новыми буквами. После этого он проводит
словесные рассуждения и часто, как и в приведенной выше задаче,
пользуется геометрическими теоремами, например о подобии
треугольников. Он не вводит никаких символов для неизвестных и
не оперирует с ними. Поэтому изложение его очень тяжеловесно.
Даже элементов буквенной алгебры у Леонардо нет.
После решения своей первой задачи, Леонардо выводит в
общем виде следующую замечательную теорему: «Если предложены
четыре непропорциональные числа и если первое меньше второго,
а третье меньше четвертого, и если сумму квадратов первого и
второго умножить на сумму квадратов третьего и четвертого и

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
ни одна из сумм не будет квадратом, то возникшее число ровно
двумя способами равно двум квадратным числам» [91, т. 2, с. 257].
Мы видели, что соответствующую формулу композиции
pq = (а« + b2)(g\ + d2) = (ag - bdf + {ad + bgf = (ag +
+ bdf + (ad-bgf (5)
'знали уже древние вавилоняне. Этой формулой пользовался
Диофант (задача IIIio), ее широко применяли на арабском
Востоке. Новое, что мы находим у Леонардо — это общий вывод
формулы композиции (5). Леонардо доказывает ее, пользуясь очень
тяжеловесным словесным доказательством и представлением
чисел и их произведений с помощью отрезков. Он отмечает также,
что если р = т2, то произведение pq представимо суммою двух
квадратов тремя способами, если же и q = гс2, то — четырьмя.
Действительно, в этом случае имеют место еще одно,
соответственно, два "разложения:
pq = (mg)2 + {mdf = (naf + (nb)K
После вывода формулы (5) Леонардо ставит задачу: «Найти
другим способом квадратное число, которое равно двум
квадратным числам».
Он рассматривает четыре числа, составляющие пропорцию
а : Ъ» = g : d я такие, что а2 + Ь2 = е я g* + d2 = z. Тогда, как
утверждает Леонардо, произведение чисел е я z само будет
квадратом и будет представляться в виде суммы двух квадратов.
В наших обозначениях найденное им разложение (которое он
получает сложным оперированием с пропорциями и с помощью
интерпретации чисел и их пропорций отрезками) выглядит так:
(а2 + b2)(g2 + d2) = (ag + bdf + (ad-bg)* = {ag - bdf +
+ (ad + bg)\
Отсюда он получает возможность решить уравнение
х2 -h у2 = z\ (6)
исходя из двух произвольных чисел а, 6, (а, Ь) = 1.
Действительно, берем в предыдущей формуле g = а я d = Ь, тогда
(а2 + b2f - (а2 - Ъ2)2 + (2а6)2,
т. е. общие формулы решения уравнения (3) в случае, если х,
у, z попарно взаимно просты.
Наконец, Леонардо приступает к задаче, совпадающей с
задачей IIq Диофанта. Вот ее формулировка:
«Найти два числа, квадраты которых, сложенные между собой,
образуют неквадратное число, образованное от сложения двух
данных квадратов» [91, т. 2, с. 261].
Пусть а2 -f Ь2 = N Ф Q. Требуется найти два другие числа

ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО 169
х, у, удовлетгоряющие уравнению (4). Решение Леонардо
основано на формуле (5). Он берет такие g, d, что
g2 + d2 = е2 - и gld Ф alb.
Умножим е2 на N и пусть i = e2N. Получаем число £, которое
можно по формуле (5) представить как сумму двух квадратов и
притом двумя способами. Леонардо берет прямоугольный тре^
угольник ABC (рис. 8) с гипотенузой АВ = Yi и катетами
АС = т и ВС = п, где т = ag — bd, n = ad+ bg. _3атем на
гипотенузе от точки А он откладывает отрезок A J = ~\[N и опус-
Гис. 7
Рис. 8
/57
-^
кает перпендикуляр J К на катет АС. Тогда отрезки -4/f и J К
дадут решение задачи. Действительно,
\ЛВ ye*N e e
Аналогично у = J К = п/е = («rf + &#)/*.
Свое решение Леонардо поясняет следующим примером:
пусть N = 41, а2 = 16, Ь2 = 25. В качестве значений g, d, б
он берет 3, 4, 5, тогда #2 = (8/5)2, у2 = (31/5)2 и сумма их дает 41.
Разумеется, мы передаем здесь только схему рассуждений
Леонардо, которые в подлиннике значительно длиннее." Отметим,
что и здесь Леонардо нигде не оперирует с уравнением,
подстановками и не производит действий с неизвестными. Короче, его
решение не носит алгебраического характера.
3. ЗАДАЧА ИОАННА ПАЛЕРМСКОГО
Во второй части работы Леонардо приступает к исследованию
и решению задачи
х*+а = и2, x2 — a = v2, a = 5, (7)
которая, как мы видели, входит в круг задач вавилонской
традиции. Различные ее варианты мы встречаем в древнем Вавилоне,
в «Арифметике» Диофанта, на арабском Востоке в трактате
анонима и у Ибн ал-Хусайна. Основные этапы исследования этой

i7q ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
задачи у Леонардо те же самые, что и у Ибн-ал-Хусайна, однако
все его утверждения снабжены оригинальными доказательствами.
Он, как и Ибн ал-Хусайн, переходит от системы уравнений (7)
к системе уравнений
х2 + у = и\ х2-у^ v\ (8)
которая определяет двумерную поверхность в R4. Эта
поверхность рациональна, поскольку выражения
х = р2 + д2, У = bpq (p + q){p — q),
и = р2 — q2 + 2pq, v = р2 — q2 — 2pq
тождественно удовлетворяют системе уравнений (8). Эти формулы
мы встречаем уже на арабском Востоке. * К ним приходит и
Леонардо, но из других соображений.
Леонардо ищет сначала решения системы (8) в области целых
положительных чисел. При этом он не связывает решение системы
(8) с отысканием пифагоровых треугольников, как это делали
до него. Его идея состоит в том, чтобы представить искомые
квадраты х2, u2, v2 как суммы последовательных нечетных чисел,
начиная с единицы. Луртъ
v v-\-k v-\-k+l
»»=2(2*-l), *>=S(2n-l), иа= S (2»-l).
n^=l n~l n—1
Из системы (8) следует, что
и2 — х2 = х2 - if, (9)
т
и I должно быть меньше к. Поскольку 21 (2я — 1) = т2, то получим
п=1
(v + к + I)2 - {v + к)2 = (v + к)2 - и2. (10)
Отсюда Леонардо получает решения'"вида
v = | /2 + 2Ш — к21, х = I2 + к2, и = к2 + 2lk - Z2.
Разность между квадратами этих чисел будет
у = Ык{к + l)(k- Z). (11)
Таким образом, решение системы (8) сводится к решению ypai*
нения
Ш {к + 1)(к -1) = ач (12)
которое определяет эллиптическую кривую. При заданном а
Леонардо, как и его предшественники, ищет решение подбором.
Однако предварительно он изучает свойства выражения К =
= 4Ы (к + l)(k — Z), которое он называет конгруумом. Заметим
еще раз, что конгруум Леонардо равен учетверенной площади
прямоугольного треугольника, построенного на к, L

ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО
171
Леонардо показывает, что если (к, I) = 1 и к + I — четно, то
К делится на 24. Он рассматривает примеры:
1)а = 5, / = 3, тогда -LiT = 240, x= 32 + 52 = 17,
и = 23, v = 7;
2) А: = 2, Z = 1, тогда К = 24, а: = I2 + 22 = 5, и = 7,
3) А = 5, Z = 2, тогда К = 840, а: = 22 + 52 = 29, и = 41,
i;- 1;
4) А =7; / = 5, тогда 4-# = 840> *= ^t^ = 37>
и = 47, v<=23.
Возвращаясь к задаче Иоанна Палермского, Леонардо
отмечает, что поскольку разность искомых квадратов, т. е. число 5*,
не делится на 24, то решения не могут быть целыми. Для
отыскания рациональных решений, Леонардо ищет сначала конгруум
К вида 5а2. Он требует, чтобы /, 5-[-1 я 5-i были кгадрата-
ми, и находит, что это будет иметь место при I = 4. Тогда
а2 = 144. Поэтому он умножает искомые квадраты на 122 и
приходит, таким образом, к системе
(12а:)2 + 5-122 = (12и)2, (12а:)2 - 5-122 = (12i;)2. (13)
Решения ее могут быть найдены по формулам1
12* = А2 + I2 = 41, 12м = к2 + 2к1 — 12 = 49, 12и -
= 12+ 21к — к2 = 31,
откуда *
/ 41 \2 " к / 49 \2 / 41 \2 к / 31 \а
Ы) + 5=Ы) • Ы) - 5=Ы) •
Таким образом, Леонардо приходит к тому же треугольнику
(9*, 40£, 41*), что и Герон (см. ч. I, гл. I, раздел 3).
Итак, задача решена. Но Леонардо на этом не останавливается.
Он ставит и следующий вопрос: при каких значениях числа К,
т. е конгруума, задача разрешима. Прежде всего он утверждает,
что «никакой квадрат не может быть конгруумом» [91, т. 2, с. 272].
Это утверждение представляет огромный интерес, так как оно
равносильно великой теореме Ферма для п = 4, т. е.
утверждению, что уравнение
** + i/4 = *4 (14)
1 Мы видели, что в книге «Цветок» приведены эти решения, однако значения
неизвестных выражены с помощью «основных дробей» х = 41/12 =
-З*/*1/., *2= ll2/3Vl44H Т. Д.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
не имеет решений в целых числах, если только xyz Ф 0,
Действительно, если бы конгруум равнялся квадрату, т. е.
Ш {к + 1){к — 1) = п
или
Ы {к + 1){к — I) = а
* и если принять (к, I) = 1, то к = s2, I = t2, к2 — Z2 = г2, т. е.
$* _ & = г2. Из невозможности последнего равенства следует
невозможность уравнения (14).
Заметим, что и сам Ферма высказал свою великую теорему
для случая п = 4 по поводу задачи нахождения пифагорова
треугольника с рациональными сторонами, площадь которого была
бы заданным числом (см. ч. III, гл. IV, раздел 2).
Леонардо пытался доказать свое утверждение, однако его
доказательство не полно. Сначала Леонардо доказывал
невозможность равенства
т—тйг- к>1- <15>
Действительно, оно равносильно
к (к - I) = I {к + I) (16)
или 2к2 = (к + I)2, т. е. 2 =(—i—j , что невозможно. Но,
умножая равенство (16) на I (к + 0> получим
Ы (к + l)(k — l) = [l(k+ Z)]2, (17)
т. е. равенство (15) также невозможно. Однако отсюда еще не
следует, что конгруум не может равняться некоторому другому
Квадрату.
Итак, великую теорему для п = 4и Леонардо, и Ферма
сформулировали в виде утверждения, что выражение тп (т + п)-
•(т — /г), где m, n — целые, не может быть квадратом. Только
Леонардо называл это выражение конгруумом, а Ферма — площадью
прямоугольного треугольника в числах.
. Далее Леонардо пишет, что «отсюда можно сделать вывод, что
существует много чисел, которые не могут быть конгруумами;
но всякое число может быть конгруумом, если при делении на
него какого-либо конгруума происходит квадрат; или если оно
является одним из четырех составляющих (конгруум), а
остальные три являются квадратами» [91, т. 2, с. 272]. Он приводит
пример: к = 16, I = 9, тогда К = 4-9-16-25-7, т. е. при у = 7
система (8) имеет решение. Итак, по Леонарду система (7)
разрешима, если уравнение
аа? = 4grj (g + ц)(% _ л)
имеет рациональные решения.

ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО 173
Сам Леонардо применил конгруумы в «Книге квадратов» для
решения систем
х2 + х = у\, х2 + пх = у2и
х2 — х = у\, х2 — пх = #2, (л = 2, 3, . . .)•
Он решает в своей книге еще ряд задач, пользуясь своим
методом представления квадратов с помощью сумм последовательных
нечетных чисел. Все его методы носят ярко выраженный
арифметический характер. Можно констатировать, что в «Книге квадратов»
Леонардо не только не пользуется буквенной алгеброй, но и
вообще не применяет никаких алгебраических методов и приемов.
Возникает вопрос, знал ли Леонардо об исследованиях системы
(7) математиками арабского Востока? Вероятнее всего, что на
него следует ответить отрицательно. Во-первых, эти исследования
не могли быть в то время широко известны, иначе Иоанн Палерм-
ский вряд ли выбрал бы задачу (7) для конкурса. Во-вторых, все
доказательства Леонардо вполне оригинальны. И, наконец,
Леонардо сделал следующий важный шаг, а именно, поставил и начал
исследовать вопрос о том, при каких К уравнение
К = 4|n & + t|)(| - л)
имеет рациональное решение. Он открыл, что при К = а2
решений нет. Вопрос о том, какие значения может принимать конгру-
ум К, занимал многих математиков XVIII—XIX вв., из которых
назовем здесь А. Дженокки и Э. Люка.
ГЛАВА II
ЛУКА ПАЧОЛИ
И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО
1. ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО «СУММА ЗНАНИЙ
ПО АРИФМЕТИКЕ, ГЕОМЕТРИИ, ОТНОШЕНИЯМ
И ПРОПОРЦИЯМ»
В течение более трехсот лет после Леонардо не только нельзя
назвать никакого европейского математика его ранга, но и
ученого, способного хотя бы понять и оценить те богатства, которые
содержались в его произведениях. Только во второй половине
XV в.— века «Возрождения» — началось новое оживление
исследований по математике. Этому особенно способствовало два
события мирового значения: 1) падение Константинополя
(Византии) и переезд греческих ученых в Западную Европу и 2)
изобретение книгопечатания.

174
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Как известно, арабские алгебраисты не пользовались
символикой, записывая неизвестное и его степени специальными
терминами — словами. Поэтому идея буквенного обозначения не
могла придти в Европу с арабского Востока. Леонардо
пользовался для обозначения неизвестного и его степеней либо
специальными терминами radix, res, census, представляющих перевод
соответствующих арабских слов «джизр», «шай», «мал», либо*
9 следуя Евклиду, отрезками. Между тем, византийцы, как эта
следует из письма Михаила Пселла, найденного и
опубликованного Полем Таннери [73, т. 2, с. 38], знали три способа
обозначений для неизвестных:
I. Обозцачение по аддитивному принципу, введенное
Диофантом (см. подробнее ч. I, гл. III, раздел 1), при котором х, х2, ж3
обозначались индивидуальными знаками g, Ar, Кг, а остальные
степени неизвестного составлялись из них по принципу сложения
показателей:
^-ДГД, *5-ДКг, *в-КтК.
П. Обозначение по мультипликативному принципу, которое
по всей вероятности восходит к современнику Диофанта
Анатолию, ученику Порфирия, впоследствии епископу Лаодикии.
Первые три степени назывались как и у Диофанта:
х — ipi&\tiQ или rcXeupd (т. е. сторона),
х2 — SovajJttc,
х9 — уЛ$о<;.
Далее шли названия по мультипликативному принципу
образования показателей:
х4 — SovajJioSovajJuc.
хь — аХоуос тгрбпос (т. е. первое невыразимое),
xQ — 6uva[xo>cvj3oc,
х1 — аХоуо; Ьг Ssoxspo; dpt&|x6<; (т. е. второе невыразимое)
и т. д. При этом отмечается, что «второе невыразимое», т. е. х7
есть произведение «первого невыразимого» над:2. Термин хброхо^рс
в этой системе обозначений не х6, как у Диофанта, а х9.
III. После наименования степеней неизвестного по этим двум
системам, Пселл именует их просто по порядку
х — aoi&iioQ лрштос (первое число),
х2 — & Seo-cepos (второе число),
х3 — a Tpuos (третье число),*
хА — a Tsmpxos (четвертое число),
хъ — а тгертто; (пятое число), и т. д.

щ
ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО 175
Мы не знаем, какие из этих обозначений были более всего
распространены в Византии XV в. Во всяком случае, в XV в. в
Европе получила распространение наименее удобная система
обозначений, а именно П. Ее мы нахоим и у немецких коссистов и у
Луки Пачоли. Первая система вытеснила вторую только после
знакомства европейских математиков с «Арифметикой» Диофанта.
Тогда же вошла в употребление (особенно у Стевина и Бомбелли)
й III система, которую в конце XV в. употреблял, как нам
кажется, только Николай Шюке.
Введение символики дало мощный толчок развитию
европейской алгебры. Следующий, XVI в. можно назвать веком алгебры.
Именно он закончился созданием буквенного исчисления —
истинного языка алгебры, принципы которого потом были перенесены
и в другие математические дисциплины.
Всем известно огромное общекультурное значение
книгопечатания. Оно внесло новую жизнь и в математику. Одной из первых
напечатанных книг и явилась «Сумма [знаний] по арифметике,
геометрии, отношениям и пропорциям» Луки Пачоли [94]. Она
была опубликована в Венеции в 1494 г.
Лука Пачоли родился около 1445 г. в городе Борго (Умбрия).
Его земляком и старшим современником был известный
художник Пьеро делла Франческо, который был хорошим математиком и
одним из первых в Европе изучал законы перспективы.
По-видимому, Лука впервые познакомился с математикой либо
непосредственно слушая Франческо, либо по его трудам. В 1470 г.
мы находим Луку уже в Венеции, где он читал публичные лекции
по математике и составил книгу по алгебре (ныне утерянную).
В это же время он вступил в монашеский орден францисканцев.
С 1475 г. он в качестве профессора математики посещает Перуд-
жу, Флоренцию, Пизу и Болонью, читает публичные лекции и,
вероятно, знакомится с трудами Леонардо Пизанского. В 1494 г.,
как мы уже говорили, в Венеции был напечатан его основной
труд, который мы будем в дальнейшем сокращенно именовать
«Сумма». Это была энциклопедия математических знаний XV в.,
причем Лука включил в нее в адаптированном виде основные
достижения Леонардо Пизанского, имя которого неоднократно
упоминается в «Сумме». Заметим, что книга Луки была написана
не на латыни (латинскими были только заглавия), а на народном
итальянском языке. Она содержала много сведений, необходимых
Для купцов и ремесленников. Другая книга Луки «Божественная
пропорция» (Divina Proportione) была опубликована в Венеции
в 1509 г. В нее был включен трактат о правильных
многогранниках, который принадлежал Пьеро делла Франческо. Лука
перевел его на итальянский, но не упомянул имени автора. Эта книга
особенно знаменита, благодаря великолепным иллюстрациям
Леонардо да Винчи, который был другом Луки Пачоли. Лука
умер около 1517 г. в Риме.

{76 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Из всего разнообразного содержания «Суммы» нас будут
интересовать только два вопроса: 1) числовая область и символика;
2) решение неопределенных уравнений.
Числовую область Лука строит весьма тщательно. Он сначала
определяет целые числа, как множества единиц, выделяя среди
них, следуя древним, числа четные и нечетные, простые, взаимно-
простые, треугольные, квадратные и вообще многоугольные,
затем вводит дроби и вещественные иррациональности.
Отрицательные числа Лука Пачоли вводит тем же способом,
как это делал Диофант, а вслед за ним арабские алгебраисты,
а именно, он определяет правила умножения новых чисел с
помощью таблицы:
Piu via piu sempre fa piu,
Meno via meno sempre fa piu,
Piu via meno sempre fa meno,
Meno via piu sempre fa meno.
Здесь словом piu — «плюс» или «больше» обозначаются
положительные, а словом meno — «минус» или «меньше» —
отрицательные числа. После этого правила Лука, желая показать его
целесообразность, рассматривает числовые примеры (аналогично
поступили и арабские математики):
Примеры: р 4 via р 4 fa p 16 —это ясно. Но и ш 4 via
m 4 fa p 16 и in 2 via m 4 fa p 8.
Для тех, кто думает иначе, Лука поясняет:
(10 - 2).(10 — 2) = 8-8- 64 = 100 m 20 m 20 р 4 =
= 104 in 40 = 64.
Если бы m-2-m2 = m4, то 8-8 = 56, что абсурдно.
Приведем также систему обозначений степеней неизвестного,
принятую Лукой:
х° — n° — p(rimo),
х — со — cosa (2°),
л?2 — се — censo (3°),
#з __ cu _ cuk0 (4°),
я4 — се се — censo de censo (5°),
хь — p°r° — primo relato (6°),
xQ — ce cu — censo de cubo (7°),
xi _ 2°r° — secundo relato (8°),
x8 — ce ce ce — censo de censode censo (9C),
x° — cu cu — cubo de cubo (10°),
л10 — ce p°r° — censo de primo relato (IIе),
X29 __ ro _ nonQ relatQ (30o)
finis.
Здесь знак п° — это сокращение слова «numero» (число). Слово

ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО К АР ДАНО 177
же «relato» означает «невыразимое», по-видимому, перевод
греческого слова аХоуос.
Мы видим, что он воспринял мультипликативный принцип
обозначения степеней, однако отмечал порядковый номер
степени — зародыш будущего ее обозначения.
Впрочем, при изложении неопределенных уравнений, к
которым мы сейчас перейдем, Лука, следуя Леонардо, не применял
ни своих обозначений для степеней, ни отрицательных чисел.
2. УЧЕНИЕ О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ
У ЛУКИ ПАЧОЛИ
По существу, здесь Лука повторяет исследования Леонардо.
И хотя он не пользуется символикой и алгебраическими преобра^
зованиями, однако сопровождает методы Леонардо четкими
схемами, заменяющими формулы. Поэтому его изложение является
важным промежуточным звеном между Леонардо и математиками
XVI в., которые знакомились с неопределенными уравнениями
вплоть до 70-х гг. XVI в. именно по «Сумме» Луки Пачоли.
«Сумма» разделяется на части (Distinctio), а части — на
трактаты. В 4-м трактате 1-й части Лука рассматривает свойства
квадратов (например, в § 4 (articulus quartus) он рассматривает
образование квадратов как сумм последовательных нечетных чисел*
начиная с 1), а также «конгруэнтные числа». В § 7 (articulus.
septimus) этого трактата он образует конгруумы для чисел п>
п -f 1 (п = 1, 2, ...) и для каждого конгруума определяет
соответствующий ему квадрат:
Кг = 4.1-2.(2 + 1) = 24, х2 = (I2 + 22)2 = 25,
К2 = 4-2 .3.(2 + 3) = 120, х2 = (22 + З2)2 = 169,
А'5 = 4.5-6.(5 + 6) = 1320, х2 = (52 + б2)2 = 3721,
а*' затем решает задачи, эквигалентные системе
х' + а = и2, х2 — а = v2 (а = 30, 7, 5, 13).
Метод он демонстрирует на двух первых задачах. При а — 30
Лука умножает а и искомые квадраты на 4, тогда конгруум будет
равным 120, а отвечающий ему квадрат %2 = 4#2 = 169, т. е.
х = 13/2.
При а = 7 Лука пользуется замечанием Леонардо, что
конгруум, образованный числами 9 и 16, делится на 7:
К = 4.9.16.(9+ 16)-(16- 9) = 4.9.16.25-7.
Итак, хотя вначале Лука ввел конгруумы, образованные
Двумя последовательными числами п и п + 1, но он совершенно
свободно пользуется и конгруумами, образованными любыми
Двумя числами.

478
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
337
Так как 92 + 162 = 337, Лука получает решение х *=
2.3-4-5 '
При а = 5 он повторяет решение Леонардо, а при а = 13 дает
оП 164568241
лишь ответ: искомый квадрат равен oU Q755B44QQ 'что производит
достаточно сильное впечатление. Лука, очевидно, предлагает
читателю самостоятельно догадываться, какой конгруум следует
подобрать г.
В отличие от Леонардо, Лука не анализирует задачи, не дает
выводов, только иногда — скупые пояснения. Приведем,
например, его решение «двойного равенства):
х + 10 = г, х — 10 = п\
ч<Возводим 10 в квадрат, получаем 100; 100 + 4 = 104; 104 : 4 =
= 26» [94, л. 16]. Аналогично решается система
X + 6 = П, # — 6 = О'.
Наибольший интерес представляют предлагаемые им решения
неопределенных уравнений
#2 + у2 = 52, х2 + у2 = 42 + 52.
Первое из них ставится так:
«3 на 3 дает 9 и 4 на 4 дает 16, сложенные вместе, они дают
квадрат 25. Найти два другие квадрата, сумма которых дает 25»
194, с. 17].
Решение дается посредством рецепта: выбираются два
квадрата, сумма которых также будет квадратом, а именно: 52, 122
и 54 122 = 132. Затем составляется произведение пятерки
«взятой из первой суммы» на 5 и на 12 из второй суммы.
Получаем 25 и 60. Тогда первый искомый квадрат будет (25/13)2, а
второй — (60/13)2 и их сумма равна 25.
Чтобы подчеркнуть общность приема, Лука выбирает затем
другие числа 15, 8 и 17 такие, что 152 + 82 = 172, и с их помощью
получает второе решение.
Только недостаток буквенной символики не позволяет ему
записать решение в общем виде:# = р — ,У = Ч—, где р, g, r
такие три числа, что р2 + Ф = г2, а а2 — заданное квадратное
число, которое нужно представить суммою двух квадратов.
Вторая задача формулируется так: «4 на 4 дает 16, 5 на 5 дает
25, и, сложенные вместе, эти два квадрата дадут 41. Найти два
других числа, квадраты которых, сложенные вместе, дадут 41»
[94, л. 17].
1 Интересная реконструкция метода решения Луки Пачоли при а = 13 была
дана в диссертации А. П. Каучикаса [22]. Она основана на применении
формулы композиции форм.

ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО КАР ДАНО 17£>
Заметим, что та же задача и с теми же числовыми данными
встречается у Леонардо в «Книге квадратов», тогда как у
Диофанта в соответствующей задаче берется число 13.
Лука Пачоли решает задачу методом Леонардо, но придает
решению вид четкой арифметической схемы. Он берет два
квадратные числа З2 и 42, сумма которых является квадратом 52, и
располагает числа 3 и 4 в левом столбце друг под другом, а числа 4
и 5 (сумма квадратов которых дает 41) напротив них в правом
столбце (см. схему 1). Затем производятся следующие
вычисления: 3 X 4 = 12, 4 X 5 = 20, 3 X 5 = 15, 4 х 4 = 16. После
чего составляются:
20-12 = 8, 15 + 16 = 31.
Тогда
41 = (8/5)2 + (31/5)2.
Для получения второго разложения числа 41 на сумму двух
.квадратов Лука составляет схему 2 и, проведя нужные
вычисления, получает:
41 = (32/5)2 + (1/5)2.
Эти схемы, как нетрудно видеть, являются табличным
представлением композиции форм (а2 + Ь2) (р2 + д2). Если
обозначить N = а2 + Ь2, а вторую компонируемую форму р2 + q2 = r2f
то схемы будут таковы:

180 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Заметим, что при компонировании Лука полагает а < Ь,
р < q так, что разность в первой схеме qb — pa будет всегда
положительна. Что касается схемы 2, то разность qa — pb может быть
как положительной, так и отрицательной, поэтому надо было бы
брать | qa — pb |.
Итак, даже не применяя алгебраической символики, Лука
Пачоли сумел придать формуле композиции форм
(а2 + Ь2) (р* + ?2) = (pa - qbf + {qa + pb)* =
= {pa + qb)2 + {qa - pbf
весьма наглядный а, в сущности, алгебраический вид.
3. ВЛИЯНИЕ «СУММЫ»
НА ТВОРЧЕСТВО МАТЕМАТИКОВ XVI В.
Влияние «Суммы» Луки Пачоли можно проследить на
творчестве математиков XVI в. вплоть до Виета.
Напомним, что алгебраическая часть «Суммы» заканчивается
словами о том, что для решения кубических уравнений xz +
-\-ах=Ьжа?-\-Ь = ах «искусство алгебры еще не дало способа,
как не дан способ квадратуры круга» [94, л. 150]
Именно с решения этой задачи и начали математики
следующего столетия.
Что касается неопределенных уравнений, то до знакомства
с «Арифметикой» Диофанта они просто переписывали задачи и их
решения из «Суммы». Для примера приведем диофантовы
уравнения, встречающиеся у Дж. Кардано (1501—1576).
Вопросом арифметики Кардано посвятил сочинение «Общая
практическая арифметика самая полная и полезная из всех»
(Practica arithmetca generalis omnium copiosissima et utilissima)
167, т. 4].
Здесь в главе «О чудесных свойствах чисел» (De proprietatibus
numerorum mirificis) мы находим наряду с традиционным
изложением вопросов о числах четных и нечетных, простых и взаимно-
простых, совершенных и дружественных, треугольных, квадратных
и многоугольных, идущих еще от древности, также рассмот-
к
реиие сумм последовательных нечетных чисел 2J {2п — 1) и опре-
П=1
деление конгруэнтных чисел. В этом определении он следует за
Лукой, т. е. берет два последовательных числа и строит из них кон-
груум in {п + 1) {2п + 1), а также соответствующий квадрат
In2 + (п + I)2]2. Кардано приводит (на числовых примерах)
схему для образования конгруума

ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО
181
2 3 4 5
5~~6 . 9 20
30 120 180 720
22 + З2 = 132 = 169 (42 + 52)2 = 412
Соответствующий квадрат Соответствующий квадрат
В этой же главе Кардано приводит некоторые алгебраические
♦формулы, например: «Квадрат от половины уменьшенного на 1
аечетного квадрата, сложенный с самим первым квадратом,
образует квадрат и так до бесконечности» (вопрос 38), т. е.
(■4lr+--(-^L;
или, если а = 2п + 1,
(2п2 + 2п)2 + (2л + I)2 = (2п2 + 2п + I)2.
Сам Кардано приводит численные примеры: 25 — нечетный
квадрат
25-1 - 24, 24/2 = 12, 122 - 144, 144 + 25 = 169 =
- 132
и т. д.
В главе «Об арифметических вопросах сверх тех, которые
входят в предыдущую главу» (De quaestionibus arithmeticis super
capitala praecedentia) Кардано среди прочего приводит и задачи
на неопределенные уравнения, которые мы встречаем у Пачоли.
Тлк он решает задачу (вопрос 38), эквивалентную системе
X2 + 6 = О, X2 — 6 = 0\
Кардано пишет, что надо найти конгруум, который при делении на
6 дает квадрат. Таким будет 24. Ему отвечает квадрат 25. Тогда
{2х)2 = 25 и х2 = 25/4. После этого Кардано тем же методом, что
за Лука, решает задачи, эквивалентные уравнениям
х2 -\- у2 — а2, а2 = 25, (вопросы 44 и 45)
и
X2 + у* = а2 + Ь2 ф ^ (ВОПРОС 46)
Ничего нового в трактовку этих уравнений он не вносит. Стоит
отметить, что хотя ход его решений ближе к изложению в «Сумме»,
но он ссылается на Леонардо Пизанского, который все это «ясно
объяснил».
Примерно в том же духе излагает неопределенные уравнения
Никола Тарталья. Перелом наступает только после знакомства
£ «Арифметикой» Диофанта.

182 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII-XVI ВВ.
ГЛАВА III
ВЕК АЛГЕБРЫ
1. XVI ВЕК -ВЕК АЛГЕБРЫ
XVI в. в математике по праву может быть назван веком
алгебры. Именно в это время были найдены решения в радикалах
уравнений 3-й и 4-й степени, изложение которых украсило
знаменитый труд Дж. Кардано «Ars magna» (1545 г.) [66]. Там же было
начато исследование алгебраических уравнений, причем Кардано
удалось установить некоторые общие факты, например, что во
всяком уравнении, которое uU теперь можем записать как
я3 + ах2 + Ъх + с = О,
линейной подстановкой х = у — (а/3) можно уничтожить второй
член.
Однако никакого эквивалента приведенной нами записи в та
время еще не было. Несмотря на сделанное крупное открытие,
которое убедило европейских математиков в том, что «древние не
все знали», никакого существенного прогресса ни в создании
буквенного исчисления, ни в расширении числовой области не
последовало. Отрицательные числа продолжали называть «фиктивными»
или «ложными», а перед «софистическими минусами» вида Y—а*
Дж. Кардано остановился, проявив здесь не свойственную ему
осторожность.
Решительный сдвиг в алгебре произошел только в 70-е годы,
после того как сначала Рафаэль Бомбелли, а затем и другие
математики Европы познакомились с «Арифметикой» Диофанта.
Недаром все крупные математики этого времени — Рафаэль
Бомбелли, Франсуа Виет, Симон Стевин, а позднее его издатель Аль-
бер Жирар — в своих сочинениях перелагали Диофанта, искали
в «Арифметике» общие методы и общие точки зрения. Короче —
они делали по отношению к Диофанту то же самое, что
впоследствии пришлось делать всем математикам, механикам и астрономам
XVII в. по отношению к Архимеду: начиная от Кеплера и кончая
И. Барроу все они перелагали труды Архимеда, пытаясь выявить
его общие методы.
В XVI в. события развертывались следующим образом. Как
мы говорили, ни Никколо Тарталья, ни Джироламо Кардано
незнали «Арифметики» Диофанта. Между тем, еще в XV в.
известный астроном и математик Региомонтан (Иоганн Мюллер) (1436—
1476), путешествуя по Италии, открыл рукопись Диофанта в
Венеции и сообщил об этом в письме к своему другу. Рукопись
поразила его богатством содержания. Он решил перевести ее, но не
раньше, чем найдет все 13 книг, о которых пишет Диофант во Вве-

ВЕК АЛГЕБРЫ
183
дении. Однако было найдено только 6 книг, те, которые известны
# нам, и перевод так и не был сделан.
Прошло еще 100 лет. И вот в 1572 г. в «Алгебре» Рафаэля Бом-
<белли, профессора Университета в Болонье, вдруг появляется
143 задачи из «Арифметики» Диофанта! В предисловии Бомбелли
пишет, что «в прошлом году труд, посвященный этому предмету,
был найден в библиотеке в Ватикане, составленный неким
Диофантом, греческим автором, жившим в эпоху Антонина Пия».
Напомним, что римский император жил в середине II века н. э.
Откуда взял свое утверждение о времени жизни Диофанта
Бомбелли, абсолютно неизвестно. Прочтя рукопись, Бомбелли
убедился, что автор ее «весьма сведущ в науке чисел». И вот «с целью
обогатить мир произведением такой важности» Бомбелли
принялся совместно с римским математиком Пацци за перевод. «Мы
перевели пять книг из семи,— сообщает Бомбелли, но не смогли
окончить остальные из-за других работ, которые выпали на нашу
долю». (В Ватиканской рукописи «Арифметика» делится на 7 книг.)
Как отмечал Э. Бортолотти х и как мы постараемся
подтвердить это некоторыми новыми соображениями, «Арифметика»
Диофанта оказала столь сильное влияние на Бомбелли, что он
коренным образом переработал первоначальную рукопись своей
«Алгебры», составленную около 1556 г. Мы будем говорить об
этом подробнее в следующем параграфе.
Уже через три года после выхода в свет «Алгебры» был
опубликован первый латинский перевод «Арифметики». Он был выполнен
известным филологом и философом того времени Ксиландером
{настоящее имя — Вильгельм Хольцман). Перевод этот был весьма
точен, хотя и чувствовалось, что он сделан человеком, далеким от
математики.
После этого задачи из четырех первых книг Диофанта были
включены в книгу известного математика и механика и инженера
€имона Стевина [108]. Стевин сохранял только смысл задач
Диофанта, не переводя их дословно, о чем он сам предупреждает
читателя: «Что касается текста Диофанта, то мы будем стремиться
не столько к дословной верности, сколько к передаче смысла»
И08, с. 433-434].
В 1621 г. вышло издание «Арифметики» Баше де Мезириака.
Здесь впервые был опубликован греческий текст, снабженный
новым переводом на латынь. Кроме того, Баше снабдил свое издание
обильными комментариями, в которых выявлял и обобщал
некоторые методы Диофанта; многие задачи он дополнял новыми, именно
это издание и послужило отправным пунктом для занятий теорией
чисел и диофантовым анализом Пьера Ферма.
В 1625 г. появилось второе издание книги Стевина, подготов-
1 Цит. по: [74, с. LXIIIJ.

184 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
ленное талантливым алгебраистом Альбером Жираром, который
добавил задачи V и VI книг Диофанта.
Но еще до этого методы Диофанта получили новую жизнь
в творчестве Ф. Виета. Вместе с тем у Виета получила известное
завершение и другая линия развития, которая берет начало в
творчестве Леонардо Пизанского и продолжение которой мы
проследили у Луки Пачоли и Дж. Кардано.
Замечательно, что и Бомбелли, и Виет пришли к
необходимости введения новых объектов, эквивалентных комплексным
числам: Бомбелли сделал это чисто формально, почерпнув метод
введения новых объектов у Диофанта. Виет же построил свое
«исчисление» или «порождение» треугольников, стараясь оставаться
на твердой почве классической геометрии Евклида.
Таким образом, поток идей, содержащихся в «Арифметике»
Диофанта и хлынувший в Европу, разделился как бы на два
рукава: один из них нашел выражение в творчестве Р. Бомбелли,
другой — Ф. Виета. Мы начнем с рассмотрения первого из них.
2. ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ У РАФАЭЛЯ БОМБЕЛЛИ
О Р. Бомбелли мы знаем почти так же мало, как и о Диофанте.
Только время жизни его более определенно — это середина XVI в. ^
причем, по-видимому, «Алгебра» была опубликована в конце его
жизни, т. е. умер Бомбелли около 1573 г. Известно, что он жил
в Болонье и славился как хороший инженер-гидравлик. Однако
его «Алгебра» свидетельствует о том, что он был одним из наиболее
выдающихся алгебраистов нового времени. В 1572 г. были
опубликованы три части его книги. Две другие, в которых во многом
предвосхищены исследования Декарта, были изданы толька
в наши дни (1929 г.).
Первая часть посвящена построению числовой области,
необходимой для развития алгебры. Бомбелли вводит прежде всего
последовательные целые степени рациональных чисел, причем
применяет мультипликативный принцип, поэтому 5-ю степень он
называет «primo relato» («первое невыразимое»), а 6-ю — квадрато-
кубом. Это — дань традиции, сложившейся в европейской
математике XIV—XVI вв., следов которой осталось в книге очень
немного. Впрочем, впоследствии Бомбелли обычно называет
степени по номеру их показателя: «пятая»г «шестая» и т. д.
Вслед за тем Бомбелли вводит иррациональные величины —
корни квадратные (обозначая их R.q.), кубические (R.c), квадра-
то-квадратные (R.R.q.) и т. д., а также биномы и триномы,
составленные из этих иррациональностей. Он рассматривает арифмети
ческие действия над всеми этими величинами, прибегая иногда-
к геометрическим доказательствам.
Затем Бомбелли вводит отрицательные числа (meno), делая
это точно так же, как и Диофант, т. е. определяя «правило знаков»

ВЕК АЛГЕБРЫ
185
приумножении. Вот его таблица, где piu обозначает плюс, a meno—
минус
Piu via piu fa piu.
Meno via meno fa piu.
Piu via meno fa meno.
Meno via piu fa meno.
[57, с 62].
Такое аксиоматическое введение он сопровождает, как это делал
Лука Пачоли, пояснениями. А именно, он «доказывает», что минус
на минус дает плюс. Точнее говоря, он доказывает, что это
необходимо принять, если мы желаем сохранить дистрибутивность
умножения по отношению к сложению.
Бомбелли отмечает, что таким же будет правило знаков и при
делении. Он формулирует также правила сложения и вычитания
отрицательных чисел.
Для введения мнимых чисел, которые, по его словам, скорее
будут «софистическими», Бомбелли поступает так же, как и при
определении отрицательных чисел: он вводит их чисто формально
при помощи «таблицы умножения»; + У" — 1» который не может
быть «ни положительным, ни отрицательным», он называет piu
di meno (плюс из минус), и соответственно, —}/"—1 — meno di
meno, после чего приводит следующую таблицу
Piu via meno di meno, fa meno di meno.
Meno via meno di meno, fa piu di meno.
Piu di meno via piu di meno, fa meno,
Piu di meno via meno di meno, fa piu.
Meno di meno via piu di meno, fa piu.
Meno di meno via meno di meno, fa meno.
[57, c. 133-134].
После этого Бомбелли рассматривает арифметические действия над
3/
новыми числами. Например, он умножает (У 2 + }/"— 3) X
X (У 2;+ У—* 3) (в его записи это выглядит так: Moltiplichisi R. с.
L_2 piu di meno R. q. 3_J per R. с |__2 P"* di meno R. q. 3 _J),
складывает mY — 1 ± n>Y — 1, возводит выражение вида
m + «|/" —1 в квадрат и в куб и т. д.
Бомбелли, как отмечает Н. Бурбаки, считает аксиомой, что
piu и piu di meno не могут быть сложены (в смысле приведения
подобных членов), а это есть первое появление понятия линейной
независимости [11, с. 90].
Вторая часть посвящена решению уравнений первых 4-х
степеней в радикалах. Здесь Бомбелли вводит свою символику для
степеней неизвестного: 1, 2, 3,. . . и определяет точно так же, как
11 Диофант, с помощью таблиц правила действий над степенями

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
неизвестного: т X п = т + п, где т = 1, 2, 3, 4, 5, 6, а т -f-
+ га <^ 12. Затем он рассматривает правила действий над
одночленами Л~> где А — конкретное число, и многочленами.
Изложение весьма прозрачное и последовательное — ему не хватает
только буквенных обозначений для произвольных параметров,
чтобы получить набор нужных ему формул: (а ± Ь)2, (а + Ъ) х
X (а — Ъ) и т. д.
Столь же систематично и последовательно Бомбелли излагает
решение алгебраических уравнений, начиная с уравнения вида
ах = Ъ и кончая4 уравнениями 3-й и 4-й степени. Свои правила
Бомбелли все еще снабжает геометрическими доказательствами::
ведь у него не было буквенного исчисления! В этой части он дает
объяснения «неприводимого случая» кубического уравнения
с помощью мнимых чисел.
Наконец, третья часть содержит 272 задачи с решениями, из
которых 143 взяты из первых пяти книг «Арифметики» Диофанта
(кончая задачей V20). Задачи Диофанта при этом перемежаются
другими, иногда дополняющими их, а иногда не имеющими к ним*
прямого отношения.
В первоначальной рукописи задачи имели псевдо-практичес-
кий характер, однако после знакомства с «Арифметикой»
Диофанта Бомбелли придал им абстрактную форму. Напомним, что*
Диофант формулировал свои задачи в самом общем виде, а затем
придавал свободным параметрам конкретные значения.
Например, задачу П8 он формулировал так: «Заданный квадрат
разложить на два квадрата», а затем полагал этот квадрат равным 16.
В отличие от него Бомбелли ставит задачу сразу для конкретных
значений параметра. Соответствующая задача (она имеет в
«Алгебре» номер LXI) звучит так: «Разложить квадратное число 25
на два квадрата».
При этом если метод решения задачи был для Бомбелли
вполне ясен, то он обычно изменял числовые данные, если же он не
вполне овладевал тем или иным методом, то точно
воспроизводил задачу «Арифметики», не меняя числовых параметров. Это
простое замечание позволяет заключить, что Бомбелли был первым из
европейских математиков, кто понял метод решения
неопределенных уравнений 2-й степени от двух неизвестных F2 (х, у) = О
и свободно его применял. Что касается методов «касательной» и
«секущей», то соответствующие задачи (IV24 и IV26-27 Диофанта и
CLXIX, CLXXI, CLXXII у Бомбелли) воспроизведены с полным
сохранением всех значений параметров. Мы могли бы усомниться
в том, заметил ли Бомбелли эти методы, если бы не задачи V^
Диофанта (у Бомбелли ССХХХШ), в которой по ходу дела нужно
было представить разность двух кубов в виде суммы двух других
кубов, иначе говоря, решить уравнение
яз + ^з = аз _ Ьз (1)

ВЕК АЛГЕБРЫ
187
^у Диофанта а = 4, Ъ = 3). Сам Диофант утверждает, что (1)
всегда имеет решение, Бомбелли решает уравнение (1) при выбранных
значениях параметров, применяя метод «касательной» (см. об этом
ниже в разделе 7). Таким образом, он понял этот метод, хотя и не
придал ему особого значения.
Аналогичные «дополнения» к Диофанту встречаются и в других
задачах Бомбелли. В некоторых задачах, где Диофант только
намечает метод решения, Бомбелли доводит решение до конца,
причем делает это с блеском. Его решения всегда очень изящны и
просты (стоит сравнить, например, решение задачи IVl9 у Бомбелли
и у комментаторов Диофанта XIX—XX веков!).
Итак, Бомбелли первый в Европе оценил алгебраические
методы Диофанта, предпочел их традиции, идущей от Леонардо
Пизанского, и творчески применил эти методы для решения задач.
Отметим, что теоретико-числовая часть «Арифметики», видимо,
осталась чужда Бомбелли. Так, в задаче V9 Диофанта было
сформулировано условие для того, чтобы некоторое число N было пред-
ставимо суммою двух квадратов. Это условие дошло до нас в
испорченном виде. Бомбелли, пытаясь восстановить его, делает
излишнее ограничение, требуя, чтобы число N было простым вида
Ак + 1. Таким образом, Бомбелли воспринял и развил только
алгебраический аспект «Арифметики» Диофанта. Мы увидим, что
в этом же плане воспринял «Арифметику» и другой великий
алгебраист конца XVI в.— Франсуа Виет, к творчеству которого мы
сейчас и перейдем.
3. ФРАНСУА ВИЕТ
В похвальном слове, посвященном Виету, известный
французский историк и государственный деятель де Ту писал:
«Франсуа Виет, уроженец Фонтенея в Пуату, был человеком
такого громадного гения и такой глубины мысли, что ему удалось
раскрыть сокровенные тайны самых непонятных наук, и что он без
труда сделал все то, что вообще доступно человеческой
проницательности. Но среди его разнообразных занятий, от которых
никогда не был свободен его огромный и не знающий усталости ум,
он более всего применил свое искусство к математике, и так
отличался в ней, что все то, что было придумано в этой науке
древними, и чего мы лишились из-за разрушительного действия времени,
которое уничтожило их творения, все это он придумал заново,
ввел в обращение и даже добавил к их замечательным открытиям
много нового. Он размышлял с таким упорством, что зачастую
проводил три дня сряду в своем кабинете без еды и даже без сна,
если не считать того, что время от времени он склонял голову на
руку, чтобы поддержать свои силы несколькими мгновениями
дремоты» [111, т. 3, с. 1003].
Мы прерываем красочное изложение де Ту, к продолжению

188 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
которого мы еще не раз вернемся, для того чтобы с помощью
сухой прозы изложить основные события жизни Виета.
Франсуа Виет родился в 1540 г. в городе Фонтене-ле-Конт
в 60 км от ла-Рошели — знаменитой гугенотской крепости* Виет
был сыном прокурора и сам избрал карьеру юриста. По окончании
курса в г. Пуатье, он начал заниматься юридической практикой
в родном городе. Но уже через 4 года он поступил секретарем и
домашним учителем к знатному дворянину-гугеноту де Партеней..
Виет занимался с его 12-летней дочерью Екатериной космогонией
и очень увлекся изучением астрономии и тригонометрии. Уже
в это время, по-видимому, он выразил sin mx и cos rax в виде
многочленов от sin х и cos х. После смерти де Партенея и замужества
Екатерины, Виет последовал за своей ученицей в Париж. В 1571 г.
мы находим его там Советником Парламента (т. е. Суда). Вскоре
Виет получил видную придворную должность рекетмейстера и
стал тайным советником королей сначала Генриха III, а затем*
Генриха IV.
В это время Виет оказал французскому двору крупную
услугу; красочный рассказ об этом мы находим у де Ту: «Так как
государства испанцев разрознены и удалены друг от друга, то для
сохранения секретности при передачи своих намерений и своих
советов во все части этого обширного тела, испанцы пользуются
различными тайными шифрами, чтобы их секреты не были разгаданы.
И когда им приходится применять новые шифры, то они могут, это*
сделать много времени спустя после принятого решения, так как
необходимо, чтобы был предупрежден вице-король Индии. Во
время беспорядков времен Лиги г их шифр состоял более чем из 500
различных знаков, и хотя часто удавалось перехватить
чрезвычайно длинные письма, в которых были изложены все намерения
испанцев, но те, которым была поручена их расшифровка, никогда
не могли достичь цели из-за бесконечного числа знаков, которые
были использованы. Но эти письма по приказу короля были
отправлены Виету, он их разъяснил без труда, а затем и все
остальные, которые ему были доставлены. Это приводило испанцев в
течение двух лет в такое замешательство и повергало их в такое
удивление, что они публично заявили в Риме и других местах, что
король смог открыть их шифр только с помощью магии» [111 г
с. 1005]*
Виет жил в эпоху кровопролитных религиозных войн.
Вопрос о том, был ли сам Виет католиком или гугенотом,
остается невыясненным. Нам известно только, что его связь со
знатными и активными деятелями-гугенотами (первый муж
Екатерины Партеней был убит в Варфоломеевскую ночь, второй — принц
де Роган — являлся одним из признанных гугенотских вождей,
сама Екатерина играла видную роль при защите ла-Рошели) при-
В это время Нидерланды находились в испанском владении.

ВЕК АЛГЕБРЫ
189
вела к тому, что по настоянию ярых католиков-герцогов Гизов
Виет был отстранен от должности. Это случилось в конце 1584 г.,
Виет был вновь приглашен ко двору только в начале 1589 г.
(после разрыва короля с Гизами^ Эти четыре года оказались
чрезвычайно плодотворными для творчества Виета. Все это время он
работал над большим трудом «Искусство анализа» или «Новая
алгебра». Несмотря на поразительную работоспособность Виета,
о которой так ярко повествует де Ту, труд не был завершен.
Прежде чем переходить к основным трудам Виета по алгебре,
скажем о триумфе, который выпал на его долю в конце жизни.
Нидерландский математик Адриан ван Ромен (латинизированное
имя его — Романус) опубликовал в 1593 г. трактат, в котором
вычислял число л с 17-ю верными знаками, а затем поставил перед
математиками всего мира задачу решения уравнения
я45 -45*43 + 945а;41 - ... — 3.795*3 + 45* = А,
где А = У 1»/4 - Vb!u - YV/6 - Y1^*.
При этом было дано три примера, в которых для конкретных
значений А приводилось (без пояснений) соответствующее значение х, так,
при Л =У2 + V~2 + Y2 + yT, z=*V2 +V2 +Y2 + /3~.
Нидерландский посланник рассказал об этом вызове королю
Генриху IV и добавил, что к французским математикам ван
Ромен не обращается, так как таковых во Франции, видимо, нет.
«И все же,— возразил король,— у меня есть математик и весьма
выдающийся. Шзовите Виета». Виет познакомился с задачей ван
Ромена и сразу же нашел один корень, а на следующий день
нашел еще 22 решения этого уравнения (остальные 22 решения
этого уравнения будут отрицательными). Мы еще вернемся к методу
Виета, который он здесь применил. Сейчас скажем только, что он
послал свой ответ ван Ромену вместе со своим сочинением «Apol-
lonius Gallus seu exsuscitata Apollonii Pergaei гсер1 етаушу
geometria» (Аполлоний Галльский или восстановленная
геометрия Аполлония Пергского «О касании»). Это сочинение было
издано в 1600 г. в Париже. По словам де Ту, обе присланные
работы произвели на ван Ромена столь сильное впечатление, что
он «пустился в путь во Францию, чтобы познакомиться с ним
[Виетом] и добиться его дружбы. Но прибыв в Париж, он не
застал Виета, который поехал для поправки здоровья в Пуату,
тогда он продолжил свое путешествие, хотя ему предстояло сделать
еЩе 100 миль. Наконец, увидев Виета, он поделился с ним своими
8атРУДнениями, и исполнился таким восхищением перед этим
необыкновенным мужем, что признался, что все увиденное им было
намного выше того представления о Виете, которое он себе
составил» fin, с. 1004].

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Умер Виет 23 февраля 1603 г.
У Виета было два выдающихся ученика: Марино Гетальдич из
Дубровника (Рагузы) и шотландец Александр Андерсон, который
внес многие дополнения в сочинения Виета, снабдив некоторые
утверждения учителя доказательствами.
Собрание сочинений трудов Виета было издано Ф. Ван Схооте-
ном в Лейдене в 1646 г.
4. СОЗДАНИЕ БУКВЕННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Франсуа Виет стремился создать новую науку — он назвал ее
аналитическое искусство — Ars analytica, которая обладала бы
строгостью геометрии древних, и вместе с тем, оперативностью
алгебры. Это аналитическое искусство должно было обладать такой
силой, чтобы не оставалось нерешенных задач: nullum non proble-
ma solvere.
Основы этой новой науки Виет изложил в трактате «Введение
в искусство анализа» (In artem analyticam isagoge) [113], в
котором построил буквенное исчисление, иными словами, ввел в
математику язык формул. До этого буквенные обозначения
применялись только для неизвестного и его степеней. Такие обозначения
ввел еще Диофант, а европейские ученые XV—XVI вв. несколько
их усовершенствовали.
Следующий после Диофанта принципиально новый шаг
сделал только Виет — он ввел обозначения не только для
неизвестного, но и для параметров и, таким образом, впервые мог записать
в общем виде уравнения и тождества. Трудно переоценить этот шаг.
Формулы математики — это не только сокращенный язык для
записи предложений, которые мо жно выразить и словесно; например,
.формулу
(а + 6)2 = а2 + Ь2 + 2аЪ (2)
с помощью фразы «квадрат суммы двух количеств равен квадрату
лервого количества, плюс квадрат второго количества, плюс
удвоенное их произведение». Ведь сокращенную запись дает и
стенография! Главное не в этом, а в том, что над формулами можно
производить операции, производить чисто механически, и таким
путем получать новые формулы и соотношения. Для этого надо
применять три правила: 1) правило подстановки, 2) правило
раскрытия скобок и 3) правило приведения подобных. Так, например,
из формулы (2) можно чисто механически (не пользуясь
рассуждениями) получить формулы (а + с + d)2 и (а + Ь)3. Первую из них
мы получаем, применяя правило подстановки — вместо Ъ
подставляем сумму с + d, а затем правило раскрытия скобок:

ВЕК АЛГЕБРЫ 191
[а + (е + d)]* = а2 + (с + d)2 + 2а (с + d) = а2 +х2 +
+ d2 + 2cd + 2ас + 2ad.
Вторую — умножая (а + Ь)2 на (а + Ь):
(а + Ъ)* (а + Ь) = {а + Ь)2а + (а + Ь)2Ь - а3 + аЬ2 +
+ 2а2Ь + а2Ь + bs + 2ab2 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3.
Таким образом, с помощью буквенного исчисления, мы
заменяем часть умозаключений (рассуждений) выкладками
(механическими операциями). Как говорил Лейбниц, буквенное цсчисле-
ние «разгружает воображение».
Сейчас нам трудно представить математику без формул, беа
исчисления. Но именно такой она была до Виета.
Шаг, сделанный Виетом, имеет настолько фундаментальное-
значение, что мы остановимся подробно на том, как именно он его
сделал. Виет воспринял основной принцип греческой геометрии,
согласно которому складывать и вычитать можно только
однородные величины, и только однородные величины могут имет£
отношение друг к другу. «Homogenea homogeneicomparare»,—
писал он.
Поэтому все величины он делит «по родам»: к первому роду
относятся «длины», т. е. величины одного измерения. Произведение-
двух величин 1-го рода относится ко 2-му роду, к которому
принадлежат «плоские величины», или «квадраты» и т. д.
В современных терминах область V величин, рассмотренных
Виетом, можно описать следующим образом:
F^itf>utfl2)u.-.u^ru--.>
гдеД^ — область величин измерения к, к ЕЕ Z+. Внутри каждой иа
областей R(l} можно производить операции сложения и вычитания
меньшей величины из большей, можно также брать отношение
величин.
Если а е= R(l\ Р е /?+\ то существует величина у = а X р,
причем у е R+**}.
Если к ^> Z, то существует величина б = а : р, причем б е=
После построения такой «лестницы» величин, Виет предлагает
обозначить неизвестные величины с помощью гласных букв
алфавита: А, Е, /, О,. . ., а известные — с помощью согласных:
в, с, d,. ..
При этом Виет отмечает специальным символом, помещаемым
справа внизу соответствующей буквы, к какому роду принадлежит
^означаемая величина. Так, если В 6Е R(+\ то Виет пишет
"plan (т. е. planum — плоское), если же А Е= R+\ то он пишет
^quad. Аналогично, величины, принадлежащие R(+\ получают

' 192
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
индексы solid или cub, а принадлежащие R(+} — индексы piano-
planum и quadrato-quadratum и т. д.
Для сложения и вычитания Виет принимает коссические
знаки «+» и «—», а также вводит новый знак = для обозначения
абсолютной величины разности двух чисел:
b_d2*|b-d|.
Для умножения он пользуется словом in: A in В, для деления —
словом adplicare.
После этого он вводит правила:
А —{В.± C)=A -ВтС, A in (В ± C) = AinS ±A in С,
а также операции над дробями, записанными с помощью букв,
например,
Pi j У __ Pi '
В ' В
В следующем трактате Ad logisticen speciosam notae priores
1114], который появился только в собрании сочинений 1646 г.,
Виет выводит сводку наиболее необходимых для алгебры формул:
(А±В)" = Ап ±пАп-1В +... ±Вп, ra = 2,3, 4, 5;
Ап + Вп = (А + В) (А71"1 - Ап~*В + ...+ Я71"1), n = 3,5;
Ап~- Вп = (А - В)(Ап~1 + Ап-%В -f .. . + Вп~\ и = 2, 3, 4,5;
и др.
Буквенное исчисление Виета было усовершенствовано Рене
Декартом (1596—1650), который освободил исчисление от
принципа однородности и придал ему современную форму. В конце
XVII в. исчисление было построено для анализа бесконечно малых
(который долгое время называли «алгеброй бесконечного») — это
были метод флюксий и бесконечных рядов (обобщение
многочленов!) Ньютона и дифференциальное и интегральное исчисление
Лейбница. В XVIII в. были построены вариационное исчисление^
и исчисление для частных дифференциалов и производных.
Наконец, в XIX в. исчисление было перенесено и в логику. В
настоящее время почти в каждой математической теории существует
свое исчисление (векторное, тензорное и т. д.), более того,
специальные исчисления строятся для отдельных задач как
теоретических, так и практических. Аппарат формул стал неотъемлемым
языком математики. И родоначальниками были Диофант и Виет.

ВЕК АЛГЕБРЫ
193
5. «GENESIS TRIANGULORUM»
«Genesis triangulorum» — так озаглавлена последняя часть Ad
logisticen speciosam, notae priores, содержащая 12 предложений
(XLV — LVII). В первых девяти из них Виет строит
своеобразное исчисление треугольников, опираясь на формулу композиции
форм
(х2 + У2) (и2 + у2) = (хи - yv)2 + (xv + уи)2 =
= {хи + yv)2 + (xv - yuf, (3)
которая была выведена и использована Леонардо Пизанским (см-
гл. I). Форме х2 + у2 Виет сопоставляет прямоугольный
треугольник с основанием х, высотой у и гипотенузой z = у хъ j^ y2.
мы будем записывать его в виде (я, у, z) тогда формулу (3) в случае,
ЛУ • ЖУ =
X
и
ли+gir
Рис. 9
если х : у Ф v : v, он интерпретирует как формулу «составления»
треугольников (х, у, z) и (и, v, w).
Он ставит задачу: «Из двух прямоугольных треугольников
«составить» (effingere) третий прямоугольный треугольник». И
поясняет далее, что гипотенуза третьего треугольника должна
равняться произведению гипотенуз данных.
Согласно формуле (3) такой третий треугольник можно
«составить» из данных (х, у, z) и (и, v, w) двумя способами:
( 1) (\хи — yv\, xv + yu, zw),
^y>z)®(">^)={2Uxu + yV9lxu_yulzw)
(см. рис. 9).
Треугольник, полученный в результате первой операции,
Ьиет называет synaereseos от греческого глагола a^vatpico —
«сочетать», «объединять», а треугольник, полученный в результате
Второй операции,— diareseos от греческого глагола foatpsco —
^Разрезать», «рассекать». Он не разъясняет здесь смысл этих на-
7 Заказ т 3214

194 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ ХШ—XVI ВВ.
званий, но пишет, что причину этого объяснит в своем месте («оЬ
causam suo experimendam loco»).
Из других произведений Виета и из примечаний его ученика
Андерсона следует, что Виет дал такие названия результирующим
треугольникам потому^ что знал, что острый угол при основании
первого из них равен сумме острых углов при основании
составляемых треугольников, а при основании второго — их разности»
Итак, операция «составление» треугольников распадается на
две. Мы будем обозначать первую из них символом (g)x, а вторую —
<g)2. Постараемся выяснить смысл обеих операций с точки зрения
современной математики.
Установим связь между операциями «составления» и
умножения комплексных чисел. Для этого поставим в соответствие
прямоугольному треугольнику (х, у, z) комплексное число а = х +
+ iy с нормой Na = х2 + У2 и аргументом ф = arctg,(z/Ar).
Обратно, каждому комплексному числу а = х + ЧЛ х > 0> У > О,
можно поставить в соответствие прямоугольный треугольник
Виета (я, у, у Na).
Если мы теперь произведем операцию ®х над двумя такими
треугольниками (х, i/, z) и (w, v, w) с острыми углами при
основании ф и t|?, причем если Ф +1|) < я/2, то этой операции будет в
точности отвечать умножение соответствующих комплексных
чисел а = х + iy и р = и + iv.
Если же я/2<Сф+^-<я, то Виет получает путем композиции
форм хи — yv < 0, т. е. с нашей точки зрения, комплексное
число, лежащее во второй четверти. Однако он ставит ему в
соответствие треугольник со сторонами (| хи •— yv |, xv + yu, zw), т. е.
переходит от числа —а + Ы{а > О, Ъ > 0) к числу а + bi.
Легко видеть, что результат его первой операции можно записать так:
J о^ если 0<ф + а|)<я/2,
a®iP \(_сф)э если я/2<Ф + г|)<я.
Как же применить эту операцию к умножению трех, четырех
и т. д. множителей? Виет делает это весьма искусно; если нужно
применить операцию ®х к треугольникам (#, у, z) и (и, v, w) и
(р, д, г), то он делает последовательно композицию форм х2 + уг,
и2 + v2 и /?2 + £2- Пусть результирующей формой будет а2 + Ь2.
Проделанные композиции отвечают умножению (х + z/i) (и +
+ irt) (р + 20 = я + bi, N (а + &0 = а2 + Ь2, где, разумеется, I
а и Ь могут быть как положительными, так и отрицательными. t
После этого Виет интерпретирует окончательный результат как
прямоугольный треугольник (| а |, | Ь |, У а2 + Ь2). Таким об* '
разом, по существу, прямоугольный треугольник (j a |, | М*
У а2 + Ь2) является образом четырех комплексных чисел а +
+ biy —а + Ы^ а — bi, —а — Ы. В этом состоит неудобство и^
числения Виета, происходящее от его нежелания пользоваться

ВЕК АЛГЕБРЫ 195
отрицательными числами. Однако, поскольку треугольник (| а \,
| Ъ |, Y я2 + Ь2), который мы будем называть «приведенным»,
обычно появляется только для интерпретации конечного
результата, то никаких недоразумений не возникает.
Аналогично 2-ю операцию составления треугольников можно
определить соотношениями
ар, если ф —ф>0,
(а,'Р), если ф — ф < О,
т. е. эта операция отвечает умножению комплексного числа а
на число Р = и — vi с последующей интерпретацией на
«приведенный треугольник».
Заметим, что каждый прямоугольный треугольник (#, у, z)
однозначно определяется гипотенузой z и острым углом при
основании ф. Таким образом, треугольнику Виета можно поставить
в соответствие не только «алгебраическую форму» комплексного
числа х + yi, но и его «тригонометрическую форму»
z (cos ф + i sin ф).
В предложениях XLVIII— LX Виет применяет 1-ю операцию
«составления» к двум равным треугольникам (а, Ь, с), затем к
треугольнику, полученному в результате этой композиции (а1ч Ьх, сх),
и первоначальному треугольнику (а, Ь, с) и т. д. Мы могли бы
сказать, что он рассматривает возведение треугольника (а, Ь, с) в
целую положительную степень гс, что эквивалентно возведению в
степень а + bi или с (cos ф + i sin ф). Рассмотрим подробнее эти
предложения. В предложении XLVIII Виет находит (а, Ь, с) (g)i (а,
Ъ, с) = (| а2 — Ь21, 2аЬ, с2). Он отмечает, что угол при основании
полученного треугольника равен 2ф, и называет его, поэтому,
треугольником двойного угла г. В предложении XLIX Виет,
применяя композицию (g)b к первоначальному треугольнику и
треугольнику двойного угла, получает треугольник (| а3 — ЗаЬ2 |,
j За2Ь — Ь3 |, с3), который называет треугольником тройного угла.
Как нетрудно видеть, этот третий треугольник получен путем
композиции форм
((а2 - Ь*)2 + (2аЬ)2) (а2 + Ь2).
Аналогично в предложении L Виет, компонируя треугольник
тройного угла с первоначальным, получает треугольник
(|а4 - 6а2Ь2 + fc4 |, | 4а3Ь - 4аЬ3 |, с4).
Ьсли 2ф < я/2, то а2 — б2 > 0, и утверждение Виета не требует
дополнительных рассуждений. Если же я/2 < 2ср < я, то а2 — б2 < 0. Если взять
^приведенный» треугольник (| а2 — б21, 2аЬ, с2), то острый угол при его
основании будет я — 2ф. Такое же «приведение» придется делать и в дальней-
a(g)2p =

196 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Наконец, в предложении LI он получает тем же путем
треугольник с углом при основании 5ф и со сторонами
(\аь — 10а3Ь2 + 5ab4 |, | 5а4Ь — 10а2Ь3 + Ъъ |, съ).
После этого Виет формулирует общее правило «развертывания»
(diductionibus) прямоугольных треугольников».
«ОТСЮДА ПОЛУЧЕНО
общее следствие о раздвижении прямоугольных
треугольников.
Если образована какая-нибудь степень от бинома и
полученные отдельные однородные члены последовательно
распределены на две части, и в обеих взяты сначала положительными, а
затем отрицательными, то основание некоторого прямоугольного
треугольника будет подобно первой части, а высота — второй.
Гипотенуза же будет подобна самой степени.
Тот треугольник, основание которого подобно или равно
одному из корней составленного (бинома), высота же — другому,
получает название от своего угла, стягиваемого высотой. В самом
деле, треугольники, полученные развертыванием тех же корней,
путем возведения в любую степень удобно называть по кратности
того же угла. А именно, двойного, когда степень квадрат,
тройного, когда степень куб, учетверенного, когда степень квадрато-
квадрат, упятеренного, когда — квадрато-куб, и в такой же
последовательности до бесконечности» [114, с. 37].
Таким образом, правило Виета равносильно формуле
возведения а + Ы в любую целую положительную степень:
(а + Ы)п = ап + па^Ы — п(п~{>> ап-*Ь2 —
- п(п-^-г)а"-т + ...
Действительно, Виет предлагает возвести в соответствующую
степень п бином а + Ъ
(а + Ь)п = ап+ пап-*Ъ + "^Т1* a*-*6» +
1 • и
п(п-1Нп-2) an_sb3 + т _ _ + &п>
затем разделить полученные однородные члены на два ряда
(через один член), причем придать членам этих рядов чередующиеся
знаки:
1.2-3
2) na^b- п1п~*1%-2) a«ft» + .

ВЕК АЛГЕБРЫ
197
Тогда первый ряд будет отвечать основанию результирующего
треугольника, а второй — его высоте. Иначе говоря
Re(a -f Ы)« = a" w(^~1} a^b* + . ..,
1ш(а + Ы)п = па™ - П(П~^%~2) a"-W + . ..
Здесь Виет ничего не говорит о том, что для результирующего
«приведенного» треугольника надо взять J Re (a + Ы)\ и
J Im (a + bi) |, но очевидно, если следовать его методу, придется
это сделать.
Во второй части следствия Виет замечает, что гипотенуза
результирующего треугольника равна яп, а угол при основании есть
тгф1, иначе говоря
[z (cos ф + i sin ф)]п = zn (cos щ + i sin тгф).
Таким образом, это предложение содержит и так называемую
формулу Муавра. ^Заметим, что знание этой формулы и помогло
Виету сразу решить задачу ван Ромена (см. раздел 3).
Действительно, из «формулы Муавра» Виет нашел выражения sin ncp
и cos иф в виде многочленов от sin ф и cos ф:
Rn (sin ф), при п = 2к -f 1,
sin фТ1^! (cos ф), при п = 2к,
cos лф = Qn (sin ф, cos ф) = Sn (cos ф).
Виет заметил, что заданное значение а является выражением
для хорды правильного 15гугольника, вписанного в круг радиуса
1 (т. е. хордой дуги в 24°), а коэффициенты уравнения показали
ему, что уравнение выражает sin ф через sin (ф/45), т. е. х должен
быть хордой 1/45 этой дуги, иначе говоря стягивать дугу в 8715
или х = 2 sin (4715). Таким образом, задача была сразу решена,
так как требовалось дать ее геометрическое решение. Однако Виет
не ограничился нахождением одного решения, на другой день
он нашел еще 22 решения:
_ 360°*+12° , п 22
(остальные 22 решения будут отрицательными, поэтому Виет их
не учитывал).
Заметим, что в интерпретации комплексных чисел а + bi
треугольниками, одно из чисел, а именно г, представления не
получило. Действительно, этому числу должен был бы отвечать
вырожденный треугольник (0, 1, 1), который Виет, разумеется,
Если мы захотим представить результат «приведенным» треугольником, то
гипотенуза его будет zn, а угол гаф надо будет привести к острому.
sin тгф = Рп (sin ф, cos ф) = |

198 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
принять не мог. Но умножение на i в его исчислении было
необходимо ввести, и Виет сумел это сделать следующим образом.
В предложении LII он доказывает, что если строить два
треугольника — первый на числах £, т], а второй на числах 1г = ■ £ — т|,
f)i = £ + Л» то второй треугольник будет подобен первому с
коэффициентом подобия 2, причем базис и высота его меняются
местами (т. е. происходит поворот на я/2).
Но построение треугольника на числах £, г\ эквивалентно
возведению треугольника (£, т], Y I2 + Л2) в квадрат.
Действительно, если | ^> л» то
(I, л» V I2 + л2) ®1 (Б, л, / 12 + л2) =
= (6« - л2, 26л, £2+ л2).
f/=^
Рис. 10
/Z?, 2В, 2z)
С другой стороны, 6i + Л1* можно получить как произведение
(6 + лО (1 + 0 = (6 - л) + (6 + л) * = Ei + Л1«-
Значит,
(Si + %02 = (6 + ЛО2 (1 + if = (I2 - Л2 + 26л<)-2*.
т. е. треугольник, построенный на числах £х, Ли будет получаться
из треугольника, построенного на 6» Л путем умножения
последнего на 21 (рис. 10).
Вернемся к пропущенному нами предложению XLVII. В нем
Виет ставит задачу: пусть даны два подобных прямоугольных
треугольника (х, г/, z) и (и, и, w): х : и = у : v = z : w, требуется
«вывести» из них (deducere) третий прямоугольный треугольник,
у которого квадрат гипотенузы равен сумме квадратов гипотенуз
заданных треугольников, т. е. z2 + w2. При этом подразумевается,
что стороны результирующего треугольника должны
рационально выражаться через стороны данных. С первого взгляда кажется,
что Виет определяет здесь третью операцию (g)3— операцию
«выведения», однако в процессе решения оказывается, что эта новая
операция сводится к первым двум.
Действительно, пусть и = кх, v = ку, тогда z2 + w2 = z2 (1 +
+ к2), т. е. искомый треугольник можно получить, применяя обе
операции «составления» (g)x и ®2 к прямоугольному треугольнику

ВЕК АЛГЕБРЫ
199
(х, у, z) и одному из треугольников (1, к, У 1 + к2) или (к, 1,
j/Ч + А2). Итак, эта третья операция эквивалента умножению
комплексного числа а = х + yi на одно из четырех чисел р =
= 1 + Ai, Р = 1 — Ы, у = к + i, у — к — i.
Для этой третьей операции Виет определяет обратную
операцию. Это он делает в предложении 4 книги 4 трактата «Zetetica»
[112]. Задачу он формулирует следующим образом: «Найти два
подобных прямоугольных треугольника с заданными
гипотенузами, если известен базис «выведенного» из них третьего
треугольника, который состоит из высоты первого и базиса второго.
Необходимо кроме базиса, чтобы была известна гипотенуза первого из
них».
Хотя Виет не говорит об этом в своей теореме, однако
молчаливо предполагает, что квадрат гипотенузы третьего
треугольника равен сумме квадратов первых двух. Это подтверждается не
только последующим решением, но и терминологией: Виет
говорит о выведении (deducere), а не «составлении» (effingere), третьего
треугольника из двух данных.
Предположим, что первый из искомых треугольников имеет
гипотенузу я, второй w и w : z = к. Обозначим катеты первого
треугольника через х, у, а второго, подобного ему, через кх, ку.
«Выведенный» треугольник имеет заданные гипотенузу Y z2 -f- w2
и базис кх + у = N. Но тогда задана и высота М этого
треугольника. Отсюда получаем систему уравнений
кх + у = N, \х — ку \ = М.
Виет рассматривает два случая:
1) ку — х = М и 2) х — ку = М.
D первом из них он получает
wN — zM zN + wM
X~ za+u;a Z* У — z*+w2 Z
(в этом случае wN — zM ^> 0). Легко видеть, что здесь Виет на
другом языке определяет обратную операцию, точнее говоря, из
равенства
(х + iy) (к — i) = N + Mi
он определяет
В торой случай соответствует определению у + ы из равенства
(у + xi) (1 —ki) = N + Mi.
Заметим, что эти операции над треугольниками допускают и
Другие интерпретации. Например, первый случай мы можем
истолковать как решение задачи: найти число у — xi, удовлетворяю-

200 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
щее равенству
(1 + ki) (y-zi)=N + Mi,
а второй случай — как решение задачи: найти число х — yi такое,
что
(к + i) (х — iy) = N + Mi.
Такая неоднозначность получается потому, что Виет при
композиции треугольников может менять местами базис и высоту,
а также переставлять треугольники с тем, чтобы получить в
результате положительные основание и высоту.
|^. Заметим, что операция «выведение» и обратная к ней имеют
достаточно общий характер. Действительно, прямая операция
эквивалентна умножению любого комплексного числа а — х + yi
на число у вида 1 ± ki или к ± i. Но любое число fi — a + bi=z
= а(1 +—i) =з Ъ (-т~+И,т. е.отличается от у только
действительным множителем.
Итак, Виет построил безупречно строго оригинальное
исчисление треугольников, которое эквивалентно умножению
комплексных чисел и их делению. Он вывел формулу, эквивалентную
возведению комплексного числа как в обычной (а + Ы), так и в
тригонометрической форме г (cos ф + i sin q>) в любую положительную
целую степень. При этом он не вводил никаких новых
«объектов» или «символов» типа V"—1.
Сравним комплексные числа-символы Бомбелли с
исчислением треугольников Виета. Каждая из этих систем имела свои
достоинства и свои недостатки: числа-символы Бомбелли были
удобны для производства четырех действий арифметики, по
современной терминологии, они составляли поле, т. е. определенные
для них два закона композиции обладали теми же «хорошими»
свойствами как сложение и умножение рациональных чисел.
Однако они не имели «тригонометрической формы», т. е. с ними
не были связаны понятия модуля и аргумента. Поэтому они были
неудобны для выполнения операции извлечения корня, а также
для приложений к тригонометрии.
Исчисление треугольников Виета допускало как
алгебраическую, так и тригонометрическую интерпретацию, и поэтому оно
было сразу же применено для получения ключевых формул
тригонометрии. Виет пользовался им и при решении неопределенных
уравнений. Однако это исчисление было малооперативным, к тому
же над треугольниками был определен только один закон
композиции (соответствующий умножению), короче, оно было
построено еще в духе античной математики. Поэтому при дальнейшем
развитии математики Нового времени предпочтение было отдано
оперативным числам-символам. В XVIII в. они получили
тригонометрическую интерпретацию, а в прошлом веке, особенно после

ВЕК АЛГЕБРЫ
201
того, как Гаусс построил арифметику комплексных чисел, они
приобрели права гражданства, превратившись в «настоящие» числа*
6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
У ВИЕТА
«Zetetica» Виета состоит из пяти книг [112, 114]. В первых
трех решаются уравнения первой и второй степени и различные
задачи на пропорции. Начиная с IV книги, Виет приступает к
решению неопределенных уравнений.
Первые пять задач книги IV (за исключением задачи 4, о
которой мы говорили в предыдущем параграфе) сводятся к
уравнениям
Х* + г/2 = В2 (4); Х2 + у2 = В2 + £2 ф ^ ДО
Заметим, что именно у Виета впервые эти задачи трактовались
с помощью буквенной алгебры. До него для решения задач
параметрам В и D придавали те или иные конкретные значения.
Решая задачи (4) и (5), Виет сначала применяет метод
Леонардо Пизанского (не называя его имени), затем метод Диофанта и,
наконец, показывает, что оба метода приводят к эквивалентным
рациональным выражениям для неизвестных. В случае (5) он
приводит еще один метод решения — свой собственный.
Приведем решение задачи (5).
Первое решение. Виет рассматривает прямоугольный
треугольник (В, D, z) где z = Y В2 -\- D2 тя. может быть
иррациональным, и другой прямоугольный треугольник (/?, д, г), где
Р» 2» г — рациональные. К этим треугольникам он применяет
композицию, определенную в Genesis triangulorum. В результате
получим:!
(В, D, z) ®x (p, q, r) =(\Bp- Dq |, Bq + Dp, rz),
(В, D, z) ®2 (p, q, r) = (Bp + Dq, \Bq-Dp |, rz).
После этого Виет берет прямоугольные треугольники,
подобные получившимся и имеющие гипотенузу z. Это будут:
2)(-SL±5LfiU=££iiS),
откуда сразу получаем два разложения В2 + D2 на сумму двух
Других квадратов:
Жх=_ёр-М> ¥lBM±EJL. (6)
*--^, yt=**^L. (7)

202 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
В терминах комплексных чисел первое из этих решений
получается умножением числа а — В -(- Di на число Р = ——f- — i, у
которого вещественная часть и коэффициент при мнимой части
рациональны, а Аф = 1. Второе получается соответственно
умножением а = В — Di на р.
Второе решение. Оно приводится по Диофанту, но
Виет впервые алгебраизирует его. Первое из искомых неизвест-
ных он обозначает А + В, второе-^-4 — Z), подставляет эти
выражения в уравнение (5) и получгет
А _ 2RSD + B(S* — R*) _ S А п_
X—Л— S* + R* ' У — ~r A~~ u—
_ (S* — R*)D — 2SRB ,я.
S* + R* # ' '
После этого Виет замечает, что выражение (7) и (8) совпадают,
если принять, что
р = S2 - Д2, g]= 2RS и г =*JP + S2*
Третье решение. Оно дано в предложении IV3 и
опирается на операцию «выведения» из двух подобных прямоугольных
треугольников третьего. А именно, Виет рассматривает два
прямоугольных треугольника со сторонами (и, у, В) и (ки, kv, D),
где к =а D/B, и строит третий с гипотенузой "j/"2?2 + D2.
Тогда основание его будет х = | и — ко\, а высота у =* ки +
+ v. Таким образом, мы получаем новое решение, если учтем, что
и* + v2 = В2, т. е.
v = B
l + & » 1 + *2 *
Тогда
_ 2Bt—D{l — P) __ B(l — t2) + 2Dt
х— i+p 9 У— 1+t2 •
Если подставить t = SAR, то легко убедиться, что этим новым
способом мы вновь получаем те же диофантовы решения (8).
|Итак, Виет приводит три различных метода решения, причем
все три он излагает в общем виде. Только после вывода общих
формул он приводит числовой пример 2? = 4, Z) =а 5, /? == 3,
q = 4, г = 5.
Следует, однако, заметить, что первый и третий методы
решения максимально приспособлены к виду уравнения (5), тогда как
второй метод — метод Диофанта — пригоден для любого неодрв**
деленного уравнения второй степени от двух неизвестных F% (#>
у) = 0, одно решение которого х0} у0 известно.
В задаче IV5 Виет решает задачу Диофанта «с ограничением^

ВЕК АЛГЕБРЫ
203
т. е. найти такие х, у, что
z2 + y* = B* + D\ f<x*<g.
Он делает это, применяя свою операцию «выведения» и обратную
ей. Мы не будем приводить здесь это интересное решение (ввиду
его длины) и отошлем желающих с ним познакомиться к статье
[8, 49]. Список неопределенных уравнений, решенных Виетом в
книгах IV и V «Zetetica» см. в «Приложении».
7. ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КУБОВ
Решая задачу Vl6, Диофант пришел к необходимости
представить число 162 в виде суммы трех кубов. Он заметил, что
162 = 58 + 43 - З3,
после чего сформулировал следующее предложение: «Из «Пориз-
мов» мы имеем: «Разность всяких двух кубов равна сумме двух
кубов» [18, с. 140]. Никакой книги «Поризмов» до сих пор не
найдено, поэтому теорема Диофанта о том, что уравнение
х* + у3 = а3 - Ъ3 (9)
всегда разрешимо, предстала перед математиками XVI—XVII вв.
как проблема, которую нужно исследовать. Этой проблеме
посвятили свои силы Р. Бомбелли, Ф. Виет, Баше де Мезириак, А.
Жирар и П. Ферма.
Первое решение было предложено Р. Бомбелли в его
«Алгебре». В задаче № 233 третьей части этой книги Бомбелли приводит
формулировку и решение задачи Vxe «Арифметики» и по ходу дела
приходит к необходимости представить разность двух кубов 43 — З3
в виде суммы двух других кубов.
Для этого Бомбелли полагает сначала
х ~ t — 3, z/ = 4 — t
(мы пользуемся для удобства современными обозначениями, сам
Бомбелли сторону первого куба обозначал ll/тгЗ, а второго —
Ш1). Тогда
xQ = г3 - 9*2 + 27* — 27, у3 = -t3 + 12*2 - 48* +[64.
«Но доля 27 от 48 будет 9/16; поэтому она должна быть числом
пРи *, которое вычитается из 4, так что остаток будет 4 — Vie*»
(П 271 si parte per 481 ne viene 9/i6 e questo ё ilj numero delli che si
deve cavare di 4, che resta 4 — %61) [57, с 454]. Полагая^ в
"* 4 — 9/1в*, Бомбелли получает
f _ 21312 _ 11211 —- __« 1480 |
3367 » Х ~ 3367 ' У — 3367 J*
Странным образом Бомбелли е с замечает, что полученные им дро-

204
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
би могут быть сокращены на 37, т. е. что
576 303 _ 40
t — -gj-, я— 91 i У — 91 •
Мы видим, что Бомбелли применил здесь «метод касательной»,
* причем подробно пояснил, каким должен быть коэффициент к при
подстановке
х = t — a, I/ = Atf + Ь.
Правило Бомбелли сводится к тому, что после возведения х я у
в куб и подстановки в уравнение (9), следует приравнять нулю
коэффициент при первой степени t. Таким образом, Бомбелли
понимал, что в этом случае к не может быть произвольным. Способ
определения к он извлек из задачи IV24 Диофанта, которую он
изложил в своей задаче № 169.
Однако Бомбелли не выделил «проблему четырех кубов» в
качестве самостоятельной задачи и не рассмотрел ее общим образом,
а только при конкретных значениях а и Ъ. И то и другое было
сделано Вйетом, который в задачах IV18_20 рассмотрел
последовательно уравнения
IV18. x3 + y3 = B3-D3. IV19. x3 - у* = В3 + D3.
IV20. х3 - у3 - В3 - D3.
Остановимся на задаче IVl8, которая в точности соответствует
поризму Диофанта. Пусть В ^> D > 0. Тогда Виет делает
подстановку
В2
x = B — t, y = ^t — D,
При этом в IV18 пропадают свободные члены и член с первой
степенью t, и Виет получает
. _ WD* _ д Б3 — 2£з _ л 2Б3 — D*
^з + ^3' Х~ & + D* ' У — и & + D* *
Для того чтобы оба куба были положительны, Виет требует, чтобы
В3 — 2D3 ^> 0, т. о. В3 ^> 2D3. Таким образом, он доказывает «по-
ризм» Диофанта, только при дополнительном ограничении. Это же
ограничение повторил в своих комментариях к Диофанту и Баше.
На это обстоятельство обратили внимание, по-видимому,
независимо друг от друга, Альбер Жирар и Пьер Ферма, об
изысканиях которых мы расскажем в следующей главе. Теперь же
заметим, что только у Виета метод касательной приобрел вполне
общую форму. Значение к = B2/D2 Виет мог получить только
приравнивая нулю коэффициент при £, т. е. по существу, определив
чисто алгебраически угловой коэффициент касательной в точке
{В, —D). Тем же методом Виет решает задачи IV19 и IV2d. Таким
образом, этот метод Диофанта был ему уже вполне ясен.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА 205
Интересно также, что Виет замечает, что его решение позволяет
выразить любой куб В3 в виде суммы трех кубов
B'-^ + lB^g-f + ^D^g-)-
или
B3(B3 + D3)3 =
= D3 (В3 + D3)3 + В3 {В3 - 2Z?3)3 + D3 (2B3 - Я3)3,
откуда, полагая В = 2, D = 1, он получает красивое разложение,
известное еще Диофанту, б3 = З3 + 43 + 53.
8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы видели, что в конце XVI в. в развитии алгебры наступает
крутой перелом: алгебра, наконец-то, обретает свой собственный
язык, который позволяет начать общие исследования
определенных и неопределенных уравнений. Особая роль этих последних
достаточно видна в творчестве и Бомбелли, и Виета.
Более глубокий, теоретико-числовой слой, пока остался
нетронутым. Впервые он был поднят и исследован величайшим
математиком следующего столетия — Пьером Ферма. Ему же
принадлежит и более глубокое проникновение в суть методов решения
неопределенных уравнений. К его творчеству мы теперь и
перейдем.
ГЛАВА IV
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
У ПЬЕРА ФЕРМА
1. ПЬЕР ФЕРМА И ЕГО ВРЕМЯ
В XVII в. необыкновенные успехи выпали на долю механики.
Именно в это время была создана классическая механика
небесных и земных тел: начало века было ознаменовано открытием
Кеплера законов движения планет, а конец — созданием первой
системы мира в «Математических началах натуральной философии»
Ньютона. Такой необыкновенный взлет механики был бы
невозможен без соответствующего преобразования математики. Все
крупные физики и астрономы того времени — Кеплер, Галилей,
Торричелли, Гюйгенс, Ньютон, Лейбниц — занимались также
разработкой математических методов. Если в нескольких словах
резюмировать те изменения в математике, которые произошли
в результате всех этих изысканий, то можно сказать, что наряду

206 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
с числами, фигурами и величинами основным математическим
объектом становятся функции. Для их изучения строится сначала
аналитическая геометрия, а затем анализ бесконечно малых.
* В создании последнего приняли участие ученые различных стран
* Европы: Италии, Испании, Австрии, Германии, Англии и
Франции. Н. Бурбаки пишет: «По правде говоря, в то время, когда дру~
гие открытия в математике, как, например, теория чисел Ферма
и динамика Ньютона, носят печать индивидуальности, развитие
исчисления бесконечно малых в XVII в. напоминает постепенное
и неизбежное развертывание симфонии, в которой «Zeitgeist»,
являясь одновременно композитором и дирижером, держит в руках
дирижерскую палочку. Каждый выполняет отдельную роль в
своем музыкальном тембре, но никто не является создателем той
темы, которая почти безнадежно запутана введением сложного
контрапункта» [И, с. 176].
Добавим, что большинство ученых отдало делу создания
анализа все свои силы, только немногие из них были настолько
творчески одарены, что занимались и другими областями математики.
Здесь первое место, безусловно, принадлежит Пьеру Ферма (1601 —
1665), который оставил глубокий след во всех областях
математики своего времени: наряду с Декартом он явился
создателем аналитической геометрии, ему принадлежит метод
максимумов и минимумов, а также касательных, который для
алгебраических функций совпадает с отысканием производной, в
интегральном исчислении он дал метод для нахождения площадей, которые
мы теперь записываем в виде
xvlvdx,
ЭСо
где p/q > 0, и
оо
ЭСо
где p/q > 1, х0 ^> 0. Короче, Ферма принадлежат в анализе
бесконечно малых самые крупные результаты, которые
предшествовали созданию дифференциального и интегрального исчисления
Ньютоном и Лейбницем.
Помимо этих, традиционных для XVII в. тем, Ферма
занимался алгеброй, комбинаторикой и оптикой. Ему принадлежит
открытие закона распространения света и первая формулировка
принципа: «Природа всегда действует наиболее короткими путями»,
который можно считать предвосхищением принципа Эйлера—
Мопертюи. И все же главным делом его жизни была теория чисел.
Здесь он был первооткрывателем и основоположником. Он сумел
выделить из множества задач и вопросов арифметики те основные

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
207
проблемы, которые стали ядром теории чисел двух последующих
веков. При этом впервые после Ферма разработку вопросов
теории чисел продолжил только Эйлер. Объясняя это явление,
П. Л. Чебышев писал, что такой перерыв в развитии высшей
арифметики объясняется тем, что «эти изыскания требовали не
новых приложений приемов, уже известных, и не новых развитии
приемов, прежде употреблявшихся; эти изыскания требовали
создания новых приемов, открытия новых начал, одним словом,
основания новой науки» [42, т. 1, с. 10].
Ферма при жизни был признан первым математиком своего
времени. Послеу его смерти, в «Похвальном слове»,
опубликованном 9 февраля 1665 г. в «Journal de Sgavans» («Журнале ученых»),
говорилось: «Это был один из наиболее замечательных умов
нашего века; такой универсальный гений и такой разносторонний,
что если бы все ученые не воздали должное его необыкновенным
заслугам, то трудно было бы поверить всем вещам, которые нужно
о нем сказать, чтобы ничего не упустить в нашем похвальном
слове» [71, с. 194].
Но несмотря на славу, которую приобрел Ферма, о нем самом,
о его жизни, мы знаем очень мало. Можно подумать, что он жил
не в XVII в., когда общественная и политическая жизнь Франции
била ключом, а в глухие времена раннего средневековья!
Вот то немногое, что известно о нем: он родился на юге
Франции в небольшом городке Бомон-де-Ломань, где его отец Доминик
Ферма был «вторым консулом», т. е. состоял в должности типа
помощника мэра. Метрическая запись о его крещении от 20 августа
1601 г. гласит: «Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго
консула города Бомона». Мать Пьера, Клер де Лонг, происходила
из семьи юристов. Итак, Пьер Ферма принадлежал к «третьему
сословью».
Доминик Ферма дал своему сыну очень солидное образование.
В колледже родного города Пьер приобрел хорошее знание
языков: латинского, греческого, испанского, итальянского и
французского. Впоследствии он писал стихи на латинском,
французском и испанском языках «с таким изяществом, как если бы он жил
во времена Августа или провел большую часть своей жизни при
дворе Франции или Мадрида» [71, с. 196].
Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему
обращались за консультациями по поводу трудных мест при изданиях
греческих классиков. По общему мнению, он мог бы составить
себе имя в области греческой филологии. Но Ферма направил всю
силу своего гения на математические исследования. И все же
математика не стала его профессией. Ученые его времени не имели
возможности посвятить себя целиком любимой науке. Виет был
юристом и тайным советником французских королей, Декарт —
офицером, Мерсени и Кавальери — монахами. Ферма избирает
юриспруденцию. Мы не знаем, в каком городе он изучал право.

208
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Эту честь оспаривают Тулуза и Бордо. Известно только, что
степень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 г.
Ферма появляется в Тулузе, где получает место советника в
Парламенте (т. е. суде). О его юридической деятельности мы читаем в
упоминавшемся уже «Похвальном слове», что он выполнял ее
«с большой добросовестностью и таким умением, что он славился
как один из лучших юрисконсультов своего времени» [71, с. 196].
В 1631 г. Ферма женился на своей дальней родственнице с
материнской стороны — Луизе де Лонг. У Пьера и Луизы было
пять детей, из которых старший — Самюэль — стал поэтом и
ученым. Ему мы обязаны первым собранием сочинений Пьера Ферма,
вышедшем в 1679 г. Пьер Ферма скончался 12 января 1665 г. во
время одной из деловых поездок.
Вот перечень тех сухих фактов, которые мы знаем о жизни
величайшего математика. К сожалению, Самюэль Ферма не
оставил никаких воспоминаний об отце. Впрочем жизнь ученого
обычно бывает бедна внешними событиями. Основное ее содержание
раскрывается только в творчестве, которое и составляет огромный
духовный подвиг ученого.
Что же осталось из произведений Ферма? Собрание сочинений,
которое он неоднократно пытался подготовить, так и не было им
написано. Да это и неудивительно при той напряженной работе
в суде, которую ему приходилось выполнять. Ни одно из его
сочинений не было опубликовано при жизни. Однако нескольким
трактатам он придал вполне законченный вид, и они стали известны
в рукописи большинству современных ему ученых. Это были
трактаты по аналитической геометрии, о максимумах и
минимумах и о квадратуре парабол и гипербол, т. е. кривых вида уЦ=
= ахр и удхр = а. Кроме этих трактатов, сохранилась также
обширная и чрезвычайно интересная переписка.
В XVII в., когда еще не было специальных научных
журналов \ переписка между учеными играла особую роль. В ней
ставились задачи, сообщалось о методах их решения, обсуждались
острые научные вопросы.
Корреспондентами Ферма были крупнейшие математики того
времени: Р. Декарт, Ж. Роберваль, Этьен и Блез Паскаль,
Б. Френикль де Бесси, Хр. Гюйгенс, Э. Торричелли, Дж. Вал-
лис. Письма посылались либо непосредственно корреспонденту»
либо в Париж аббату Мерсену (соученику Декарта по'колледжу),
который размножал их и посылал тем математикам, которые
занимались аналогичными вопросами. Разумеется, письма почти
никогда не бывают только короткими математическими
мемуарами. В них проскальзывают живые чувства автора, что помогает
воссоздать образ писавшего, узнать его характер и темперамент.
«Журнал ученых» был одним из первых, он начал выходить с 1665 г.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬБРА ФЕРМА 209
Обычно письма Ферма проникнуты дружелюбием, иногда в них
сквозит тонкая ирония.
Несмотря на то, что нас отделяет от Ферма более 300 лет,
читать эти письма и теперь легко. Они написаны чрезвычайно
изящным языком, который в основном совпадает с современным
французским. Ведь Ферма и Паскаль были одними из создателей этого
языка.
Особое значение переписка Ферма имеет для теории чисел:
ее теоремы и задачи он формулировал либо в письмах в виде
проблем, которые он ставил перед другими математиками, либо*
в кратких заметках на полях принадлежащего ему экземпляра
«Арифметики» Диофанта в издании Баше де Мезириака. Толыщ
однажды Ферма рассказал в письме о своем «методе спуска», и еще
один раз на полях «Арифметики» он записал основные этапы
доказательства теоремы о том, что никакой биквадрат нельзя предста^
вить в виде суммы двух биквадратов.
Мы говорили уже о том, что в «Арифметике» Диофанта теоремы
теории чисел появлялись как «диоризмы» или «ограничения»,
накладываемые на параметры для того, чтобы та или иная задачу
была разрешима. Для Ферма теория чисел — учение о целых
числах — становится самостоятельным предметом исследования.
Сам Ферма писал: «Арифметика имеет свою собственную область,
теорию целых чисел, эта теория была лишь слегка затронута Ев-т
клидом и не была достаточно разработана его последователями
(если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых
нас лишило разрушительное действие времени); арифметики, сле^
довательно, должны ее развить или возобновить» [80, т. 2, с. 334]t
Мы остановимся кратко на тех теоретико-числовых проблемах
Ферма, которые непосредственно связаны с «Арифметикой» Дшн
фанта, а затем перейдем к наименее известной части его творчеств
ва — к исследованиям Ферма по диофантову анализу.
2. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ФЕРМА, f
МЕТОД СПУСКА
Первой из теоретико-числовых проблем Ферма, навеянные
«Арифметикой», является проблема представления чисел квад^
ратичными формами, т. е. однородными многочленами 2-й степени
ах* + 2Ъху1+1су\ (1)
гДе а, Ь, с — целые числа. Если а, Ь, с — заданы, то проблема^со-
стоит в определении множества {п} целых чисел, представимых в
виде (1) при целых значениях х, у.
Диофант, как мы видели, знал решение этой задачи для формы
вида
*2 + у*. (2)

210 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Однако никаких доказательств от него не дошло. Более того,
сам текст соответствующего «диоризма» был испорчен и
восстановить его удалось только Ферма г. Ферма понял, что вопрос о
представимости следует ставить для простых чисел, а затем уже
решать задачу и для составных чисел. Действительно, легко
показать, что никакое число вида 4л + 3 не может представляться
формой (2), однако составные числа вида 4гс + 1 могут быть как
представимыми, например, 65 = 82 + I2, так и непредставимыми,
как число 21, т. е. непосредственного общего закона для них
заметить нельзя.
В замечании № VII к задаче Ш19 «Арифметики» Ферма
формулирует теорему, что простое, «которое превосходит на единицу
кратное четырех» и «его квадрат только одним способом предста-
вимы суммою двух квадратов».
Эта теорема была доказана только Эйлером. Следствием ее
является первое дополнение к закону взаимности.
После этого Ферма установил, что число N пред ставимо в
виде (2), если после деления на наибольший, содержащийся в нем
квадрат, оно имеет только простые делители вида 4тг + 1. Ферма
дал также алгоритм для определения, сколькими различными
способами заданное число N представимо в виде (2).
От формы (2) Ферма перешел к рассмотрению форм
х* + 2у* (3), *2-2i,2 (4)t *2 + 3y2 (5).
Он установил, что все простые числа вида 8л + 1 и 8п + 3 пред-
ставимы формой (3), наоборот, ни одно простое число вида 8л +
+ 5 и 8/1 + 7 нельзя представить в виде (3).
Аналогично для формы (4) представимыми будут простые
числа вида 8/г + 1 и 8п + 7, а непредставимыми — вида Ъп + 3
и 8п + 5. Это последнее утверждение было доказано Ж. Л. Лаг-
ранжем, из него следует так называемое второе дополнение к за-
кону) взаимности.
Ферма нашел также, что формой (5) пред ставимы все простые
числа вида Qn + 1 и не прздставимы — вида 6п + 5.
Уже на примерах Ферма было видно, что в каждом случае
число прогрессий, в которых лежат представимые простые числа,
равно числу прогрессий, содержащих' только непредставимые
простыз числа. Это был первый подход к законам взаимности.
Начиная с Эйлера вопрос о представимости чисел
квадратичными формами становится одним из центральных. Им
занимались Лагранж, Лежандр, Гаусс и др. По существу, на языке
квадратичных форм была построена арифметика квадратичных
полей. Полное построение этой теории было сделано Гауссом в
его «Арифметических исследованиях».
О достаточно интересных попытках решения этой проблемы на средня^*
вековом Востоке говорилось выше (ч. II, гл. II, раздел 2).

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
211
Вторая проблема связанная с «Арифметикой» — это решение
неопределенного уравнения
ах* + 1 - у\ ' (6)
где а — целое неквадратное число, в целых числах.
Это уравнение впоследствии по недоразумению получило имя
Пелля. Мы будем называть его уравнением Пелля—Ферма.
Решение уравнения (6) для а = т2 + к, где к = +1, -±2, ±ш>
содержится в задачах V9, Vn и V14 «Арифметики». Ферма поставил
эту проблему для любого а Ф а. В феврале 1657 г. в письме к
английским математикам, которое получило название «второга
вызова математикам», он пишет: «Пусть дано некоторое
неквадратное число, тогда существует бесконечно много определенных
квадратов таких, что, прибавляя единицу к произведению одного из
них на заданное число, получаем квадрат.
Например, дано неквадратное число 3, 3-1 + 1 == 4
(квадрат); 3-16 + 1 = 49 (квадрат). Вместо квадратов 1 и 16 можна
найти бесконечно много других, удовлетворяющих
предложенному условию, но я прошу дать общее правило, применимое к
любому неквадратному числу, которое может быть задано.
Например, пусть нужно найти квадрат такой, что при
прибавлении 1 к его произведению на 149 или 109 или 433 и т. д.
получался бы квадрат».
Эти значения для а Ферма выбрал потому, что наименьшее
решение уравнения (6) в этих случаях столь велико, что его нельзя
найти подбором. Нужно знать регулярный метод для его
нахождения. Из дальнейшей переписки видно, что Ферма уже четко
различал два вопроса* на которые распадается проблема решения
уравнения (6):
1) построение регулярного способа нахождения наименьшего
положительного решения этого уравнения;
2) отыскание рекуррентной формулы для нахождения
бесконечного числа решений, исходя из наименьшего.
«Второй вызов» повлек за собой весьма интересную переписку
между Ферма и английскими математиками: лордом Броункером^
сэром К. Дигби и Дж. Валлисом, профессором математики н
Оксфорде. В ней приняли участие также Френикль де Бесси из
Парижа и ван Схоотен, профессор математики в Лейдене. По
инициативе Валлиса вся переписка была издана в 1658 г. х Уравне-
аие (6) вызвало страстные споры и резкие выпады.
Мы не можем здесь входить в подробности всех удачных и
неудачных приемов и методов, примененных к этому уравнению,,
Скажем только, что Броункер и Валлис дали
регулярныйАлгоритм для нахождения наименьшего решения уравнения (6), одна-
Она помещена в переводе на французский язык в третьем томе собрания*
сочинений Ферма [80].

212 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
ко не обосновали, что этот алгоритм всегда приводит к цели в
конечное число шагов. Они также дали формулы для получения
всех решений, исходя из наименьшего. Впоследствии этим урав-
- нением занимался Эйлер, который связал нахождение наименьгде-
* гсГрешения уравнения (6) с разложением \[а в непрерывную дробь
и нахождением периода этой дроби. Он утверждал, что эта дробь
«будет всегда периодической, но не доказал это. Окончательное
решение уравнения Пелля—Ферма принадлежит Лагранжу.
Заметим, что и уравнение Пелля—Ферма связано с
арифметикой квадратичных полей. Действительно, если
1 = у2 т ах**= (У + У**) (У — У"***)»
то ясно, что задача состоит в отыскании таких целых чисел поля
<Q (Ya), норма которых равна единице, т. е. «единиц» кольца
целых чисел этого поля.
Наконец к «Арифметике» восходит и знаменитая великая
теорема Ферма, которая была сформулирована в общем виде на
полях этой книги (см. ч. I, гл. IV, раздел 1). Напомним, что в ней
утверждается, что уравнение
xn + yn = zn (7)
при я>2 и хугфО не имеет решений в целых числах (а значит
и в рациональных).
Впоследствии Ферма в своих письмах неоднократно
возвращался к уравнению (7), но только для п = 3 или п = 4 Ч
Возможно, что Ферма нашел ошибку в своем «чудесном» и нигде не
записанном доказательстве, которую все время надеялся исправить.
В его заметках к Диофанту содержится доказательство
неразрешимости уравнения (7) для п = 4, а в письме к Каркави (август
1659 г.), которое получило название «Отчет о новых открытиях в
науке о числах» или «Завещание Ферма», он изложил свой метод
доказательства теоретико-числовых проблем, который он назвал
методом неопределенного или бесконечного спуска.
Рассмотрим этот метод и его применение для доказательства
великой теоремы Ферма для п = 4. Ферма утверждает, что
площадь прямоугольного треугольника «в числах» (т. е. с
рациональными сторонами) не может быть квадратом. Мы видели выше, что
это утверждение было высказано еще Леонардо Пизанским и что
оно равносильно великой теореме Ферма для п = 4. Метод спуска
Ферма пояснял именно на этом примере. Он писал: «Поскольку
обычные методы, которые изложены в книгах, недостаточны дл#
доказательства столь трудных предложений [речь идет о теореда*
теории чисел.— Авт.], я нашел совершенно особый путь для того,
чтобы достичь этого.
1 Первые известные попытки доказать неразрешимость в рационален1*
числах уравнения хъ + уъ = z3 принадлежат арабским математикам *
ал-Худжанди и Ибн ал-Хусайну [100].

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА 213
Я назвал э*от способ доказательства бесконечным или
неопределенным спуском (descente infinie ou indefinie): вначале я
пользовался им только для доказательства отрицательных
предложений, как то:
что не существует числа, меньшего на единицу кратного трех,
которое составлялось бы из квадрата и утроенного квадрата;
что не существует йрямоугольного треугольника в числах,
ллощадь которого была бы квадратным числом».
Доказательство проводится путем приведения к абсурду
таким образом: «Если бы существовал какой-нибудь прямоугольный
треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную
квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого,
который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал
второй, меньший первого, который имел бы это же свойство, то
существовал бы в силу подобного рассуждения третий, меньший
второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый,
пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, то не
существует бесконечности по спуску меньших его (я все время
подразумеваю целые числа), откуда заключаю, что не существует
никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью»
180, т. 2, с. 43].
Приведем теперь это доказательство так, как оно изложено в
замечании № XLV к «Арифметике»: «Если бы площадь
треугольника была квадратом, то|были бы даны два квадрато-квадрата,
разность которых была бы квадратом»,— т. е. если
S = Ч2аЬ = |т) (I2 - т,2),
то предполагая (6*т|) = 1иБ,т|— разной четности, мы бы имели
\ = и\ х\ = у2, I2 — т)2 = w2 или
М4 _ „4 e W2f (8)
где (u, v) — 1, а и, v — разной четности.
Далее: «откуда следует, что были бы даны два квадрата,
сумма и разность которых были бы квадратами». Действительно^
(и2 + v2) (и2 — и2) = w2,
где и2 + v2 и и2—- v2 нечетные и взаимно простые^ поэтому
и2 + v2 = t\ и2 — v2 = 52. (9)
«Значитимелось бы квадратное число, равное квадрату и
удвоенному квадрату при условии, что квадраты, которые его составля-
К)т» в сумме дают квадрат».
Это можно получить так: вычитая одно из уравнений (9) из
Другого, получим
2i* = t2 — s2 -* t2 = s2 + 2v2,
nP* этом s2 + v2 = u2.

,ч** -;
214 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII— XVI ВВ.
«Но если квадратное число составлено из квадрата и
удвоенного другого квадрата, то его сторона подобным же образом со-
. ставляется из квадрата и удвоенного квадрата, что мы можем
легко доказать». Действительно, поскольку
2v* = t2 - $2 = (t + s) (t - s),
причем t us нечетны, то t + s и f - s четны и могут иметь общим
множителем только 2. Но 2v2 делится на 4, значит и на'^8, поэтому
t + s = 4p\ t + s = 2p\
t-s = 2f, Либ° *-s = 4g2.
Откуда
t = 2р» + q\ e t = р2 + 2ф,
s = 2p*-q\ ЛИ6° S = p*-2<r>.
Ферма продолжает: «Откуда заключаем, что эта сторона
является суммой сторон при прямом угле прямоугольного
треугольника, и один из этих составляющих квадратов будет основанием1
а удвоенный второй — высотой».
Остановимся на первом случае (второй трактуется аналогично)*
t к 2р2 + q2, но 2v2 = (t + s) {t — s) = 8p2q2, значит
u2 = s2 + v2 = (2p2 - g2)2 + 4pV « 4p4 + g4,
т. e. q2 и 2p2 являются соответственно основанием и высотой
прямоугольного треугольника в числах.
«Значит, этот прямоугольный треугольник будет составлен
из двух квадратных чисел, сумма и разность которых будут
квадратами», т. е. пусть прямоугольный треугольник с
гипотенузой и, основанием q2 и высотой 2р2 образован из чисел ж, у, тогда
q2 = х2 — у2, 2р2 = 2ху и и2 = х2 + у2, где #, у взаимно просты.
Но тогда, поскольку ху = р2, то х = Z2, у = hi2, значит^4 — hi4 *=
*= q2 или
Z2 + m2 = р = r2,, Z2 - т2 *=\0. (10)
«Значит, если даны два квадрата, сумма и разность которых
образует квадраты, то даны в целых числах два квадрата,
имеющих то же свойство, но сумма которых меньше первой».
Действительно, в равенстве (10) г2 меньше, чем t2 в'равенствах
(9):
р + т2 = г2 < q2 < t < i2.
«Таким же рассуждением получим затем другую сумму,
меньшую той, которая была выведена из первой, и так до бесконечное**
будем находить целые числа, постоянно убывающие, Но^это
невозможно, так как если дано целое число, то^не может иметься

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА 215
бесконечности целых чисел, меньших его». Разумеется Ферма
имеет в виду положительные целые числа.
«Полное доказательство с развернутыми пояснениями не может
быть помещено на полях из-за их узости».
Это и есть единственное теоретико-числовое доказательство
Пьера Ферма, которое дошло до нас. Ферма утверждал, что с
помощью метода спуска он доказывал не только отрицательные, но
и утвердительные предложения. В письме к Каркави он пишет:
«Долго я не мог применить мой метод к утвердительным
предложениям, потому что увертки и окольные пути достижения этой цели
гораздо более трудны, чем те, которыми я пользовался для
отрицательных предложений. Так что, когда мне нужно было доказать,
что каждое простое число, которое превосходит на единицу
кратное 4, составляется из двух квадратов, я находился в большом
затруднении. Но, наконец, одно рассуждение, неоднократно
повторенное, пролило недостающий свет и мой метод смог быть
приложен к утвердительным предложениям. Для этого пришлось по
необходимости прибавить к нему некоторые новые принципы.
Этот прогресс в моих рассуждениях относительно утвердительных
предложений таков: если некоторое произвольно взятое цростое
число, которое на единицу превосходит кратное 4, не составляется
из двух квадратов, то будет существовать простое число той же
природы, меньшее данного, а затем третье, еще меньшее и т. д.,
спускаясь до бесконечности пока не дойдем до числа 5, которое
является самым маленьким из чисел этой природы, которое,
следовательно, не должно составляться из двух квадратов, что,
однако, имеет место. Откуда следует заключить, путем приведения к
абсурду, что все числа этой природы составляются из двух
квадратов.
Существует бесконечно много проблем этого рода, но
существуют и другие, которые требуют новых принципов для того, чтобы
к ним был применим спуск, и поиски их иногда бывают
настолько затруднительны, что добраться до них можно только с
чрезвычайным трудом. Таков следующий вопрос, который Баше, как он
в этом признается в Диофанте, никогда не смог доказать, и по
поводу которого г. Декарт делает в одном из писем такое же
заявление, причем добавляет, что считает его настолько трудным,
что не видит никакого пути для его решения.
Всякое число либо является квадратом, либо составляется из
двух, трех или четырех квадратов.
Я, наконец-таки, и его подвел под свой метод и доказал, что
если бы заданное число не обладало таким свойством, то сущест-
вовало бы другое число, меньшее и также не имеющее этого
свойства, затем третье, меньшее, чем второе и т. д. до бесконечности,
°ТкУДа заключают, что все числа имеют указанное свойство.
Г. Френиклю я предложил другой вопрос, но такой же, если
не болыпей^трудности: всякое неквадратное число обладает тем

216
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
свойством, что существует бесконечно много таких квадратов,
которые при умножении на данное число дают некоторый квадрат
минус единица. Я доказал это предложение с помощью спуска
примененного соЕершенно особым способом.
Признаюсь, что г. Френикяь дал различные частные решения,
так же как и г. Валлис, но общее решение будет найдено с
помощью спуска, примененного соответствующим образом: я указал
им на это, чтобы они присоединили доказательство теоремы а
общую конструкцию проблемы к частным решениям, которые они
дали.
Затем я рассмотрел некоторые вопросы, которые, хотя и
отрицательные, но представляют большие трудности, так как
метод приложения к ним спуска совершенно отличен от предыдущих,,
как это нетрудно проверить. Таковы следующие вопросы:
Не существует куба, который разбивался бы на два куба.
Существует только один квадрат в целых числах, который
при прибавлении двойки становился бы кубом. Названный квадрат
есть 25.
Существуют только два целых квадрата, которые при
прибавлении 4 становились бы кубами. Эти квадраты суть 4 и 121.
Все квадратные степени 2, увеличенные на единицу, являются
простыми числами х.
Вот кратко отчет о моих размышлениях по поводу чисел. Я
написал его потому, что боюсь, что мне не^хватит времени для
развития и полного проведения всех этих доказательств и методов;
во всяком случае это указание послужит ученым для того, чтобы
они сами нашли то, что я не развиваю...
Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я
показал ему, что Древние не все знали, и это может проникнуть
в сознание тех, которые придут после меня для traditio lampadis
ad filios 2 как говорит великий канцлер Англии/, следуя девизу
которого я добавляю: Multi pertransibunt et augebitur scientia» *
[80, т. 2, с. 433-434].
Заметим, что после Ферма метод спуска к утвердительным
предложениям, насколько нам известно, не применялся б. Все
перечисленные Ферма предложения были доказаны без его помощи.
Что касается отрицательных предложений, то уже Эйлер провел
доказательство великой теоремы Ферма для д = 4 с помощью
метода спуска (1738), а спустя 30 лет и для п = 3 (1769). Тако*
1 Это последнее предложение, как показал Эйлер, неверна: 225 + 1 делятся
на 641.
2 Передачи светильника сыновьям.
3 Т. е. Френсис Бэкон.
4 Многие будут приходить и уходить, а наука обогащаться. -„
Б Недавно предложение о том, что всякое простое число вида*4& + * °"А
ставимо суммою двух квадратов, было доказано методом спуска в кя»£
Scharlou W., Opolke Я. Von Fermat bis Minkowski. B. etc.: Springer, V*°

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА 217
большой временной интервал между обоими доказательствами
объясняется, по-видимому, тем, что случай п = 3 потребовал
применения существенно новых идей (как это и отмечал Ферма),
я именно перенесения понятия целого числа и свойств целых чисел
на выражения а + Ъ 1^—3, где с, 6 е Z.
В настоящее время метод спуска является не только мощным
приемом для доказательства теорем теории чисел, но и широко
применяется в алгебраической геометрии. При этом, когда речь
идет о решении неопределенных уравнений не в целых, а в
рациональных числах, вводится целочисленная функция на множестве
решений этого уравнения, называемая высотой. «Спуск» в этом
случае ведется по «высоте». Если проблема состоит в решении
уравнения
/ (#i, #2, . . ., хп) = О
в целых числах, то h — max |#*|. Если это же уравнение
требуется решить в рациональных числах, то его сначала записывают
в однородных координатах хи х21 . . ., хП1 z, и спуск ведут по
высоте h = max {| x-x |, | z |}. Методом спуска Ферма была
доказана основная теорема о конечности ранга эллиптической кривой
Л. Дж. Морделлом (1922). В 1929 г. с помощью того же метода
А. Вейль показал, что гипотеза о конечности ранга верна для
алгебраических кривых любого рода !>1 и над любым полем К.
3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Fn(x,y) = 0 ДЛЯ п = 3 И 4
До сих пор мы излагали наиболее знаменитые исследования
Ферма. Теперь мы приступаем к менее известным его работам,
а именно к его методам решения неопределенных уравнений
*"» (*,*) = О (И)
8 рациональных числах, где п — 3 и 4, a Fn (я, у) —
неприводимый над С многочлен с коэффициентами из Q.
Методы Ферма для этого случая можно извлечь из двух
источников: 1) из его замечаний к «Арифметике» Диофанта и 2) из
трактата Жака де Бильи «Новое открытие в аналитическом уче-
нии»1 (Doctrinae analyticae inventum novum) [80, т. 3, с. 325—398].
Заметим, что второй источник до недавнего времени привлекал
' себе удивительно мало внимания. Свет на это обстоятельство
Доливает предисловие П. Таннери к третьему тому сочинений
ерма> в который был включен перевод этого трактата на француз-
Иа язык. Таннери пишет: «Inventum novum, во всяком случае,
*Ат)Т хРактат бь л опубликован Самюэлем Ферма в 1670 г. вместе с изданием
Мы и етики>> ДИ0Фанта> содержащим замечания Ферма. В дальнейшем
°УДем для краткости называть его «Inventum novum».

218 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
имеет важное значение; из него мы узнаем и притом весьма
детально всю ту часть арифметических исследований Ферма, которая
наиболее интересовала его современников, тогда как сегодня она
находится почти в полном пренебрежении» [выделено нами.-.
Авт.] [80, т. 30, с. XI].
Надо сказать, что с тех пор (3 том сочинений Ферма был
издан в 1896 г.) положение дел изменилось. Сегодня та часть
арифметических исследований, которая изложена в Inventum novum,,
вновь привлекла самое пристальное внимание математиков. Этим
мы обязаны успехам алгебраической геометрии и исследованиям
арифметики алгебраических кривых, мощный импульс для
развития которой был дан знаменитым мемуаром А. Пуанкаре «0&
арифметических свойствах алгебраических кривых».
Впервые к анализу Inventum novum обратился известный
историк науки И. Э. Гофман, который в своем докладе в 1960 г.
рассмотрел методы Ферма и Эйлера для нахождения
рациональных решений уравнений Fn (#, у) = 0, где п = 3 или п = 4,
а также двойных равенств [87]. В частности, он показал, как Ферма
итерировал метод парабол для получения последовательности
рациональных решений уравнении вида
у2 = Ах* + Вз? + Сх2 +Dx + E.
Он показал также, как Ферма применял свои методы для решения
некоторых задач Диофанта или их обобщений. Эти весьма
интересные исследования были продолжены в 1977—1979 гг. А. П. Кау-
чикасом, который провел классификацию методов Диофанта для
решения двойных равенств и сопоставил их с соответствующими
методами Ферма [23]. В дальнейшем мы будем опираться на оба
эти исследования. Для уяснения методов Ферма мы привлечем
и некоторые (до сих пор не разобранные) замечания Ферма к
«Арифметике». Мы постараемся уточнить постановку вопроса и выявить-
суть методов Диофанта и Ферма для нахождения рациональных
точек на эллиптических кривых.
Трактат де Бильи, как он сам пишет в подзаголовке, был
составлен на основе писем Пьера Ферма, присланных в разное
время. Как мы увидим, де Бильи не всегда понимал идеи Ферма,
в трактате имеются и прямые ошибки. Однако в целом трактат
содержит ясное и систематическое изложение методов Ферма для
решения проблем, эквивалентных нахождению рациональных
точек на плоских и пространственных эллиптических кривых. Затем
методы эти с успехом применяются для пояснения некоторых
замечаний Ферма к «Арифметике», которые, как правило, очень
лаконичны и без пояснений де Бильи малопонятны. Таким
образом, трактат существенно дополняет наши сведения об
арифметических исследованиях Ферма. Он заслуживает самого полного
внимания со стороны историков науки.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬБРА ФЕРМА 219
Заметим, что Ферма, как и Диофант рассматривает уравнение
/Ц) специального вида
у* = Fn (x), (12)
где п = 3 и 4, или
у3 = F» (*)• (13)
Напомним, что если многочлены, стоящие в правых частях этих
уравнений, не имеют кратных корней, то уравнения определяют
кривые рода 1. Поэтому х, у нельзя выразить как рациональные
функции параметра (как это имеет место в случае уравнений 2-й
степени F2 (х, у) = 0), но зная некоторое рациональное решение
уравнения вида (12) или (13), либо два таких решения, можно с
помощью методов Диофанта найти еще одно рациональное
решение. Это можно сделать либо «методом касательной» либо «методом
секущей», если степень соответствующего уравнения равна 3,
и «методом парабол», если в уравнении (12) п = 4. Диофант в
«Арифметике» не итерирует ни один из этих методов. Он довольствуется
нахождением только одного ноеого решения. Имеются лишь
косвенные соображения в пользу того, что Диофант повторно
применял «метод касательной» (см. далее раздел 4).
Первым, кто не только хорошо понял методы Диофанта, но и
понял, что путем их повторения можно находить бесконечно
много рациональных решений уравнений (12) и (13) (получая их
последовательно, а не все сразу), был Пьер Ферма. Это
обстоятельство следует и из его замечаний к «Арифметике» и из трактата де
Бильи. Более того, де Бильи особо отмечает этот факт в своем
введении к трактату. Он пишет: «Кто когда-либо находил столько
решений, сколько это желательно для выражений, составленных
из пяти членов, которые содержат последовательные степени
неизвестного? Кто мог из примитивных решений извлечь
производные первого порядка, второго, третьего и т. д. до бесконечности?
Конечно, никто: это открытие принадлежит только Ферма...»
180, т. 3, с. 326].
В пояснении к этому месту заметим, что «выражение,
составленное из пяти членов, означает здесь многочлен 4-й степени:
/4 (х) = х* + Ьх* + сх2 + dx + e,
который нужно приравнять квадрату: «Примитивным решением»
(la solution primitive) де Бильи называет первое найденное
рациональное решение уравнения (12) или (13), а «производными»
(les solutions derivees) первого, второго, третьего и т. д. порядков
последовательные решения его, найденные одним из методов
Ферма, исходя из «примитивного решения».
Сразу же заметим, что речь может идти только об итерировании
либо метода касательной, либо метода парабол, так как оба эти
Метода позволяют по одной рациональной точке А кривой L (кото-
Рая в первом случае имеет порядок 3, а во втором 4) находить еще

220 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
одну ее рациональную точку Аг. Беря Аг за исходную, можно,
вообще говоря, путем повторения метода в обоих случаях найти
новую рациональную точку Л2, затем аналогичным путем — точку
А з и т. д. Иначе обстоит дело с применением метода секущей:
действительно, если даны две рациональные точки А и В кривой
3-го порядка L, то проводя прямую АВ, получим в пересечении
* ее с L новую рациональную точку С. Все три точки лежат на
одной прямой, поэтому ^>ез перехода от точки С к некоторой другой I
рациональной точке С кривой L (например, к симметричнрй точке j
относительно оси ОХ, если кривая L имеет симметрию
относительно этой оси) итерировать метод невозможно. Но подобный переход
был впервые осуществлен только Эйлером в работах,
опубликованных посмертно (см. об этом в Заключении). До него метод секущей |
итерировать не умели. i
Впервые мы встречаемся с «повторением метода» в замечании
№ XI к задаче IVU «Арифметики». Ферма пишет: «Если требуется
найти два квадрато-квадрата, разность которых равна разности |
их сторон, то вопрос может быть решен с помощью нашего метода \
(de ma methode). Действительно, пусть нужно найти два квадрато- !
квадрата, разность которых равна кубу, а разность их сторон 1»
Применяя первую операцию, найдем стороны — 9/22 и 13/22.
Поскольку первое из этих чисел отмечено знаком «—», то нужно
повторить операцию, следуя нашему методу, приравняв первую
сторону х — 9/22, вторую х + 13/22, и таким образом мы получи*!
положительные числа, удовлетворяющие задаче».
Итак, Ферма решает уравнение
/ _ ** = z\ (14)
Он принимает у — # = 1, т. е. у = х + 1» тогда уравнение (14)
примет вид
4s3 + Gx* + Ах + 1 = г8. (15)
Слева стоит неприводимый многочлен 3-й степени и, кроме i
того, уравнение (15) имеет очевидное рациональное)! решение
(О, 1). Значит, можно применить «метод касательной» Диофанта* |
т. е. положить |
2 = 4/за; + 1. (16) |
Тогда получим \
*i *= -9/22, Уг = *i + 1 = 13/22, *! - 5/11, I
т. е. решение, указанное Ферма. '
Поскольку хг < 0, а Ферма, как и Диофант, ищет только pa- |
циональное положительное решение, то пара (•— 9/22, 13/22) не яв-
' ляется решением уравнения (14). I
Чтобы найти решение, Ферма предлагает «повторить операцию»- '
Для нас это повторение означало бы, что нужно провести каса- .

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА 221
тельную к кривой L, определяемой уравнением (15), в точке-
Мг (—9/г2> б/ц)» т- е« сделать подстановку
z - 5/п = Ах (х + 9/22), (17)
где А?1 — угловой коэффициент касательной к кривой L в точке*
Мг и найти точку пересечения прямой (17) с кривой L. Ферма
проделывает ту же подстановку, но в «два приема»: сначала он
полагает х = t — 9/22 (это он и называет своим методом), тогда
уравнение (15) преобразуется в уравнение
At3 + At* + Bt + zl = z\ (18
где zx = 5/11, а затем подстановку
где B/Sz\ = кг = 133/75, и получает новое решение, на этот раз
уже положительное.
Почему Ферма разбивает одну подстановку на две? Это
происходит потому, что Ферма мыслил в иных терминах, чем мы. Для
нас исходным является то обстоятельство, что уравнение (15)
имеет решение (0, 1), для Ферма — что оно имеет вид ъь = Fs (x)r
где свободный член F3 (x) равен полному кубу. Сделав
подстановку (17), которая сразу пишется на основании вида уравнения (15),.
Ферма находит «примитивное решение» хи zv Для получения
следующего решения (Ферма называет его «первым производным»
или «производным первого порядка»), он преобразует уравнение
(15) путем подстановки х = t + x1 (вместо t Ферма снова
употребляет ту же букву, что и для х) в новое уравнение
Gz (t) = z\ (20>
того же вида, так как свободный член С?3 (0 равен z\. Поскольку
мы получили уравнение того же вида, мы можем применить к
нему подстановку вида (16) и т. д.
Приведенное место дает повод для предположения, что
первоначально идея преобразования уравнения (15) путем «сдвига» х =
= t + x± и последующего повторения метода возникла у Ферма
при попытках решить задачу в тех случаях, когда «примитивное
решение» не принадлежало Q+. Затем он понял, что таким же
путем можно найти и другие решения и даже бесконечно много
решений.
Описанный прием Ферма применил и при решении двойных
равенств (см. раздел 5 этой главы).
Теперь обратимся к Inventum novum. Трактат этот состоит
из введения и трех частей. В первой части рассматриваются
двойные равенства, с которыми мы встречались уже в «Арифметике»
Диофанта и у математиков арабского Востока. Напомним, что-
(19)

222 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
система
их2 + Ьх + с = П, ui#2 + М + <?! = □'
определяет пространственную кривую либо рода 0, либо рода 1%
В первом случае Диофант находил бесконечно много решений,
представляя х, у, z как рациональные функции одного параметра.
Во втором случае он находил только одно рациональное решение
(при определенных условиях, накладываемых на коэффициенты).
Ферма дал метод, который позволил в этом случае от этого
«примитивного» решения (хи уг, zx) переходить ко второму (х2, у2, z2)%
затем к третьему (дг3, */3> 2з) и т- Д- Д° бесконечности. Изложению
этого метода и его иллюстрациям на примерах и посвящена
первая часть (подробнее см. раздел 5 этой главы).
Во второй части трактата рассматриваются «тройные
равенства» и «многократные равенства» при любой кратности, т. е.
системы вида
Ч& + Ькх + ск = yl, к = 1, 2, . . ., п.
Примеры решения «тройных равенств» встречаются в замечаниях
Ферма к «Арифметике». Так, для решения системы
х + 4 = □, 2х + 4 = □', 5х + 4 = □"
Ферма полагает х = t2 + 4£, тогда первое из уравнений системы
обращается в тождество, а два других образуют двойное равенство
2t2 + 8* + 4 =•□, Ы2 + 20* + 4 =□',
которое он и решает обычным методом (замечание № XLIII).
В целом эта часть изложена менее строго, чем остальные. Мы
не будем здесь ее анализировать, так как она выпадает из круга
проблем, рассматриваемых в этой книге.
Наконец, в третьей части Inventum novum мы находим впервые
систематическое рассмотрение неопределенных уравнений вида
ах* + Ьх3 + сх2 + dx + e = у2, (21) - ах* 4 Ьх2 + сх + d =
= у2,' (22) ах3 + bx2 + cx + d = у* (23)
и исследование методов их решения. До сих пор считалось, что
зто было сделано только в «Алгебре» Эйлера. Однако де Бильи
во многом предвосхитил изложение великого ученого.
Заметим прежде всего, что уравнения (21)—(23) де Бильи
формулировал словесно. Уравнение (21) — это «выражение,
содержащее пять членов с хх, хг, х2, х и константу», которые надо
приравнять квадрату, два следующие — «выражения, содержащие четыре
члена», которые надо приравнять квадрату или соответственно
кубу. Де Бильи прибегал к символической записи только тогда»
когда дело шло об уравнениях с числовыми коэффициентами.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
22а
Мы пропустим пока решение уравнения (21) и обратимся к
уравнениям (22) и (23). Де Бильи рассматривает следующие
случаи, когда уравнение (23) разрешимо
1) d = Д 2) а = а3, 3) d = f, a = а3.
Вот формулировка де Бильи: «Выражение, составленное из
четырех членов, можно сделать равным кубу, если только член, не
зависящий от х, или же коэффициент при #3, будет кубом» [80,
т. 3, с. 386]. И далее: «Если коэффициент при х и независимый
член будут оба кубами, то имеется три способа, чтобы сделать
кубом предложенное выражение».
Если d = f, то де Бильи предлагает сделать подстановку
у =*f+ -&■*• (24>
Если а = а3, то подстановку
# = о* + -з|г. (25>
В первом случае в результирующем уравнении уничтожатся
свободный член и член, содержащий х. Во втором случае — члены,
содержащие хъ и х2. В третьем случае можно сделать одну из
подстановок (24), (25) или подстановку
y = ax + f. (26)
Заметим, что точно такое же рассмотрение методов решения
уравнения (23) мы находим в «Алгебре» Эйлера с той только
разницей, что де Бильи описывает подстановки (24)—(26) словесно, а
Эйлер приводит их в буквенной символике.
Напомним, что подстановка (24) означает на современном
языке проведение касательной к кривой L, задаваемой уравнением
(23) в точке Р (0, /). Эта касательная пересечет L еще в одной
рациональной точке.
Подстановка (25), как нетрудно видеть, определяет
касательную к кривой L в бесконечно удаленной рациональной точке R
(1, а, 0), а подстановка (26) равносильна проведению секущей
через конечную точку Р и бесконечно удаленную точку R
кривой L.
Первый и последний из этих методов мы видели уже и в
«Арифметике» Диофанта, правда, они не были там изложены так
систематично и в таком общем виде. Метод, отвечающий
подстановке (25), в «Арифметике» не встречается, однако случай, когда
а = а3 может быть легко сведен к предыдущему путем замены
* ** т.
Основное отличие изложенных де Бильи методов от диофан-
товых заключается в том, что Диофант во всех дошедших до нас
3аДачах ограничивался нахождением одного рационального реше-

224
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
яия, тогда как Ферма дал способ нахождения путем повторения
метода второго решения, затем третьего и т. д. до бесконечности.
Это отличие, как мы видели, особо подчеркивал де Бильи в своем
«Введении».
Производные решения находят по следующей схеме: если
« #и Уг — примитивное решение уравнения F3 (х) = г/3, то делается
подстановка х = t + хх, после чего это уравнение переходит в
уравнение G3 (t) = у3, того же вида, что и исходное, свободный
член которого d1 будет кубом, а именно у3. После этого следует
повторить сделанную раньше подстановку (24):
Таким образом получим новое рациональное решение (£х, у2), от
которого перейдем к рациональному решению исходного
уравнения (23) : (х2 = tx + хи у2). Это, по терминологии Ферма, первое
производное решение. Для получения следующего решения весь
процесс следует повторить. Так получим второе производное
решение и т. д.
Мы уже говорили, что повторение подстановки (26), т. е.
метода секущей, не приводит к нахождению новых точек. Нетрудно
видеть, что и подстановка (25) при повторении не даст ничего
нового. Итак, метод Ферма — это способ итерировать метод
касательной.
В случае, когда свободный член d = /3, Ферма получает на
соответствующей кривой последовательность точек с
эллиптическими аргументами —2а, 4а, —8а, . . ., если точке Р (О, /)
приписать аргумент а. Таким образом, Ферма поставил вопрос о
нахождении бесконечного числа решений, если это возможно.
Вопрос о нахождении всех решений, по-видимому, еще не ставился.
Ферма знал, что не всякое рациональное решение приводит к
получению бесконечной последовательности других (иначе
говоря, знал, что существуют рациональные точки «конечного
порядка»), Де Бильи пишет: «...может случиться, что выражение,
составленное из четырех членов, у которого один из крайних членов
есть куб, или оба крайних— кубы, не может быть приравнено
кубу...» [80,, т. 3, с. 387] и приводит пример
1 + Зх + Зх2 + 4*3 = г/3. (27)
Поскольку свободный член есть куб, то следует положить
у = х + 1, (28)
что приводит к х = 0, у = 1, т. е. мы вновь получаем исходное
решение. Как нетрудно видеть, это происходит потому, что
точка Р (0, 1) является тройной точкой пересечения прямой (28) я
заданной кривой (27).

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬВРА ФЕРМА
225
Таким образом, Ферма положил начало исследованию
структуры множества рациональных решений эллиптической кривой.
Аналогичные примеры мы впоследствии встречаем в «Алгебре»
Эйлера, где также приводятся примеры рациональных точек
«конечного порядка», а именно:
1) У2 = х3 + 1 имеет только рациональные точки (0, 1), (2, 3),
М.О);
2) у3 = Xs + 1 имеет только очевидное решение (0,1) и (—1,0);
3) у* = х3 + 2 имеет только одно решение (—1, 1).
Нам остается коротко рассмотреть методы, описанные де Бильи
для решения уравнений (21) и (22).
Уравнение (22) он решает при условии, что d = /2. В этом
случае он делает подстановку
V=i?*+f* (29)
после чего в результирующем уравнении остаются члены с #3 и
х2, поэтому находим новое рациональное значение для х, а
значит и у.
С точки зрения геометрии — это «метод касательной». Прямая
(29) проходит через точку М (0, /) кривой Г, определяемой
уравнением (22), и касается Г в точке М. Поскольку кривая содержит
также точку Мг (0, —/), то можно было бы сделать подстановку
y=ir*-1- (30)
Такого рода подстановки часто встречаются у Диофанта.
И здесь Ферма также находит последовательные «производные»
решения, отвечающие эллиптическим аргументам —2а, 4а,
—8а, . . ., если точке М приписать аргумент а.
Для решения уравнения (21) Ферма, как и Диофант,
применяет метод парабол. Де Бильи рассматривает в третьей части In
ventum novum следующие случаи:
а) а = а2, Ь) е = /2, с) а = а2, е = /*•
В первом из них он делает подстановку
во втором — подстановку
У-1 + 4г*+^^-* (32)
8 Заказ М 3214

226 ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
и в третьем — одну из подстановок
y = ax* + -±rx + f, (33)
В этом последнем случае можно также применить подстановку
(31) или (32). Напомним, что в «Арифметике» встречается только
подстановка (33).
Все эти подстановки подобраны так, чтобы в результирующем
уравнении осталось только два члена, содержащие
последовательные степени х: хт и хт*г, поэтому с их помощью мы получим
новое рациональное значение х.
Мы не будем подробно останавливаться на геометрическом
смысле подстановок (31)—(34). Скажем только, что в случае,
рассмотренном Диофантом, парабола (33) проходит через
конечную точку М (О, /) кривой L, определяемой уравнением
у2 в а2д4 + ВхЪ + Сх2 + Д* + /,
и касается ее в зтой точке. Таким образом, точка М является
точкой пересечения порядка 2. Кроме того, парабола (33) проход
дит через бесконечно удаленную точку R (0, 1, 0) кривой L,
которая является точкой пересечения кратности 5. Поэтому кривая
L и парабола (33) пересекутся еще в одной рациональной точке»
4. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЧЕТЫРЕХ КУБОВ
Мы уже писали (ч. III, гл. III, раздел 7), что проблема
четырех кубов, формулировка которой содержится в задаче Vie
«Арифметики» Диофанта, не была решена полностью ни Р. Б ом-
бел ли, ни Ф. Виетом, ни Баше де Мезириаком. Действительно,
Диофант утверждал, что разность любых двух кубов, #3 — Ь3,
а ^> Ъ можно представить как сумму двух других кубов. Между
тем, решая уравнение <
х* + уз = аг _ Ьъ (35)
Виет и Баше пришли к дополнительному ограничению а3 > 2Ь3.
Первым к проблеме Диофанта обратился Альбер Жирар (1595-^
1632). В 1625 г. он переиздал «Арифметику» Симона Стевина я
включил в нее задачи V и VI книг «Арифметики» Диофанта (тогда
как в первом издании 1585 г. содержалось переложение зада4
книг I—IV Диофанта). В задаче V16 Жирар провел все выкладки
до конца, т. е. представил разность 43 — З3 в виде суммы двух
кубов. Все это вычисления в точности совпадают с теми, которые
провел до него Бомбелли. Более того, Жирар привел отвеШ

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА 227
в том же громоздком виде, что и Бомбелли
_ 11211 _ 1480
Х ~ 3367 » у — 3367 '
не замечая, как и он, что обе дроби сокращаются на 37. Поэтому
весьма вероятно, что Жирар взял все решение из «Алгебры»
Бомбелли.
После решения проблемы, Жирар приводит очень интересный
комментарий, в котором анализирует задачу и, по сущэству,
итерирует метод касательной. Он пишет, что в проблеме (35) либо
а3 > 2&3 и тогда задача решается методом Ви'ета—Баше, либо
а3< 263 и тогда нужно найти два других куба, имеющих ту же
разность, т. е. решить уравнение
хъ _ f = аз _ Ьзл (36)
Это уравнение, как мы видели, решал уже Виет. Если а3 <[
< 2Ь3, то решениями будут
Далее он пишет: «Если случится, что меньший куб будет
снова больше, чем половина большего, тогда вместо них будем искать
другие по тому же самому правилу...» [109, с. 635]. Жирар
утверждает, что через конечное число шагов мы придем к двум
кубам той же разности, но теперь уже «меньший куб будет меньше
половины большего», т. е. эти кубы можно взять для решения
проблемы Диофанта (35).
Итак, для решения задачи Жирар итерирует метод
касательной. Он не доказывает, что повторение его правила всегда
приведет к цели. Это было доказано А. П. Каучикасом [22].
Жирар подчеркивает, что «имеется множество пар кубов,
разность которых одинакова» [109, с. 637]. Он приводит пример:
М03\з_
V 341 У -
Аналогичное решение проблемы четырех кубэв мы находим
и у Пьера Ферма. Он также в случае а3 < 263 обращается к
уравнению (36) и итерирует метод касательной до тех пор, пока
не получим an > 2Ьп, т. е. уравнение #3 + уъ = а\ — bl не будет
разрешимо.
«Повторяя операцию,— пишет Ферма,— легко можно
избавиться от условия [т. е. от условия а3 > 2Ь3 — Авт.] и решить
общим образом как этот вопрос, так и следующие, чего не могли
сделать ни Баше, ни сам Виет» (замечание № VIII к «Арифметике»
Диофанта) [18, с. 222].

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Б качестве новой задачи, которую можно решить этим методом'
фер ма приводит уравнение
х* '+ г/3 = а3 + Ъ\
которое никто до него не ставил, так как однократное применение
метода касательной приводит к решению (хъ у^), у которого либо«
хг < 0, либо у1 < 0.
Приведем его собственные слова: «...на основании
вышеизложенного мы благополучно решим задачу, неизвестную Баше:
данное число, составленное из двух кубов, разложить на два
других куба, и это бесконечным числом способов путем непрерывного
повторения операций, как это было указано выше.
Пусть надо найти два куба, сумма которых равна сумме
других двух 8 и 1. Сначала на основании задачи 2 найдем два куба,
разность которых равна сумме данных; они будут 8000/343 и
4913/343. Так как удвоенный меньший превосходит больший, то-
дело сводится к задаче 3, от которой перейдем к задаче 1 и
получим решение.
Если мы хотим получить второе решение, то возвращаемся?
к задаче 2 и т. д.»1 (замечание № IX к «Арифметике») [18, с. 223L
В свете вышеизложенного и этот процесс нахождения решения
становится вполне ясным.
5. «ДВОЙНЫЕ РАВЕНСТВА» У ФЕРМА
В большом числе своих замечаний к «Арифметике» Диофанта
Ферма сводит решение вопроса к «двойным равенствам».
Систематическому рассмотрению «двойных равенств» посвящена и первая
часть Inventum novum де Бильи. И здесь, как и в случае
эллиптических кривых (см. ч. III, гл. IV, раздел 3), основная цель
Ферма состоит в получении бесконечного числа решений этих
систем.
Де Бильи отмечает это в своем введении. Он пишет:
«Существуют некоторые трудные двойные равенства, для которых ана-
листы до сих пор могли находить только одно решение; даже
Баше утверждает, что нельзя найти для них двух решений,
тогда как Ферма получает, как мы сейчас увидим, бесконечно много
решений, причем для него не является помехой числа ложные
и меньшие чем нуль, которые часто возникают при решении
вопросов подобного рода; он укажет весьма тонкий способ, который
сейчас же сведет их к числам истинным» [80, т. 3, с. 326].
Эту же мысль о том, что Ферма дает способ получения
бесконечного числа решений, де Бильи подчеркивает в заголовке пер--
* Здесь задача 1: х3 + У3 = а3 — Ь3,
задача 2: х3 — у3 = а3 + Ь3,
задача 3: х8 — у3 = а3 — б3.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
229
вой части Inventum novum: «Бесконечное число решений
двойных равенств».
Напомним, что «двойные равенства», т. е. системы вида
ах2 -г Ьх + с = у2, агх2 + Ъгх + сх = г2,
делятся на два типа: 1) системы, определяющие пространственные
кривые рода 0, и 2) системы, определяющие пространственные
кривые рода 1. Для первого случая метод решения подробно
описан Диофантом (см. ч. I, гл. IV, раздел 2).
Второй случай также встречается у Диофанта, но описание
метода решения до нас не дошло. Во втором случае Диофант
находит (при определенных условиях, наложенных на
коэффициенты) только одно решение, причем из его метода неясно, каким
путем можно было бы найти другие решения.
Ферма описывает свой метод в замечании № XLIII к
«Арифметике». Приведя задачу к «двойному равенству»
2х2 + 8х + 4 = D, 5*2 + 20* + 4 = □',
он пишет: «... и получаем двойное равенство, из которого
найдем, правда, только одно решение, но из него можно вывести
новое решение, а из второго выведем третье и так до бесконечности.
Чтобы сделать зто, надо, если найдено некоторое значение я,
положить вместо х в уравнения х + первоначально найденное
значение для х. Таким путем получим бесконечно много решений,
каждое из которых выводится из предыдущего и присоединяется
к уже полученным» [18, с. 308].
Рассмотрим метод Ферма подробнее. Де Бильи выделяет
следующие типы двойных равенств:
(D
(")
Первое из них определяет кривую рода 0 и решение его
подробно проводится в задачах Пп-13 «Арифметики».
Системы (II) и (IV) также решаются в «Арифметике» (но без
описания метода решения). Система (III) не встречается в
«Арифметике», но она легко получается из (II) заменой х = \lt. Системы
(II)—(IV) в случае, если многочлены, стоящие слева, не имеют
общих корней (а также кратных) определяют пространственные
кривые рода 1.
Де Бильи подробно излагает метод решения каждой из систем
(И) и (III) (см. ч. I, гл. IV, раздел 5): Метод решения системы
(III) по де Бильи состоит из следующих шагов:
ах + Ъ = □,
агх -г Ь± = Ц'.
а2х2 -г Ъх -г с = П,
а2х2 -г Ьхх + сг = Jj'.
(Ш)
(IV)
ах2 + Ьх + сг — П.
ajx2 + btx + с2 = □'
а2х2 + Ьх + с = Q
bjx + et = D'.

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
1) вычитаем одно уравнение из другого, тогда получим
(а _ а±)х2 + {Ь - Ъг)х = у2 - z2;
2) разлагаем обе части на множители
и полагаем
y + z =—£—х Н J-—, y — z = Xx,
3) чтобы # получилось рациональным, надо выбрать X = (6 —
— Ьх)/2с, тогда I/ и z будут вида wo: + с и после подстановки
свободный член уничтожится.
Де Бильи приводит для иллюстрации этого метода совершенно
неудачный пример, а именно систему
х2-8х + 16 - С, 3*2 - 48я + 64 = D',
в которой первое уравнение является тождеством, поэтому дело
сводится к решению второго уравнения, которое легко униформи-
зировать методом (А) Диофанта. Этот пример показывает, что
уровень понимания де Бильи методов Ферма был весьма невысок.
Мы рассмотрим, поэтому, пример самого Ферма
Ъх2 + 20я + 4 = у2, 2х2 + 8х + 4 = z2.
Разность будет:
Ъх\ + \2х = у2 — z2.
Левую часть надо разложить на множители Кх (-у х -\—г-1
так, чтобы 12/Я = 4, т. е. А, == 3, и
Зх (х + 4) = (у — z)(y + z),
откуда
» = 2а: + 2, . z = х — 2.
Подставляя эти значения в соответствующие уравнения системы,
получим х = —12, у = —22, z = —14.
Чтобы получить новое рациональное решение, надо положить
х = £ — 12. Система примет вид
Ы2 - lOOt + (22)2 = у2, It2 - 40* + (14)2 =* *х*.
Для уравнивания свободных членов умножаем первое
уравнение на 72, а второе — на И2. После этого повторяем весь метод
(вычитаем, разлагаем на множители и т. д.). Выше (см. ч. I, гл.
IV, раздел 5) мы уже дали подробную геометрическую
интерпретацию методов Диофанта для решения систем (II) и (IV).
Поэтому мы только коротко остановимся на геометрическом смысл*

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
231
решения системы (III). Эта система определяет неприводимую
пространственную кривую L 4-го порядка (мы предполагаем, что
многочлены ах2 + Ъх + с2 и агх2 + Ьгх + с2 не имеют кратных
корней и не имеют общих корней). Плоскость х = 0 пересекает
эту кривую в четырех рациональных точках Мг (О, с, с), М2 (О,
— с, с), М3 (0, с, —с), Af4 (0, -~с, —с). Проведем пучок плоскостей
через прямую МгМА: у — z = he. Если теперь положить, вслед
за Ферма, А,= (Ь— &i)/2c, то из этого пучка будет выбрана
плоскость я, в которой лежит касательная Т к кривой L в точке Мг.
Поэтому плоскость п пересечет L еще в одной точке Р, которая
будет рациональной.
В заключение мы остановимся на реконструкции метода
Ферма, который был им применен в замечании № XXIII к лемме 2,
предшествующей задаче V7 «Арифметики» *. В этой лемме
требуется найти три прямоугольных треугольника, имеющих
одинаковые площади. Ферма ставит вопрос: «Но можно ли найти
четыре или даже большее число, растущее до бесконечности,
треугольников равной площади?»
Для решения вопроса он дает формулы: если (#0, i/0, z0)
первый треугольник с площадью S0r= 1/2£0Уо1 то стороны другого
треугольника той же площади будут иметь вид:
*Ф*у« _ 4-Чу1 = 4 + ^Уо
(Стороны х1У уг, zx построены на zl и 2х0у0, а затем разделены на
2zM-yl)-)
Ферма ничего не пишет о том, как были получены его
формулы. Некоторый свет проливают пояснения, данные де Бильи в
Inventum novum [80, т. 3, с. 34$— 349]. Де Бильи берет
треугольник (3, 4, 5) в качестве исходного, тогда Sb = 6. Чтобы найти
второй треугольник с той же площадью де Бильи полагает г/ь =
= 3, хх = t + 4, откуда получает уравнение
у\ + х\ = t2 + Ы + 25 - П.
Второе уравнение он поручает из условия 1/2#i*/i = 6,- или
V2.3(* + 4) = 6.D.
Умножая все на 6, получим
9* + 36 = П.
Итак, имеем двойное равенство типа (IV), которое решается
методом Диофанта.
Проведем теперь рассуждение Ферма—де Бильи в общем виде.
Эта реконструкция была дана в диссертации А. Каучикаса [22].

ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Пусть дана система
х* + у2 - z\ V2 ху = S, (37)
одно решение которой (x0l у0, z0) известно. Требуется найти дру-
гое решение той же системы.
Полагаем х = t + х0, у = у0 и подставляем полученные
уравнения в «обобщенную» систему (37), т. е. в систему
£* + у* = и\ Ч2ху = Sv2. (38)
Тогда получаем
t2 + 2x0t + 4 = и2, 42y0t + Ч2х0у0 = S0v2.
Второе уравнение делим на S0 и умножаем на z*, тогда получаем
t2 + 2x0t + zt = u2, {z2Q/x0) t + z\ = i£,
где i7x = z0y.
Если решить эту систему методом Диофанта (см. ч. I, гл. IV,
раздел 5), то получим формулы Ферма. Это яркий пример
применения «двойных равенств» в замечаниях Ферма к «Арифметике».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Первый этап истории учения о неопределенных уравнениях,
начало которому положил Диофант, нашел свое завершение в
работах Леонарда Эйлера (1707—1783).
Величайший математик XVIII в., один из первых
петербургских академиков, Леонард Эйлер занимает в нашей науке столь
большое место, что буквально нельзя найти такую область
математики, в которой ему не принадлежали бы фундаментальные
результаты, глубокие идеи или мощные методы. Его воздействие
на диофантов анализ было двояким: во-первых, он привел в
систему и завершил все те исследования, которые развивались со
времен Диофанта, а во-вторых, его исследования положили начало
новому этапу в развитии этой науки.
В своей «Алгебре» [76, 77] Эйлер систематически рассмотрел
вопросы решения в рациональных числах уравнений вида
(I) у2 я= ах2 + Ъх + с,
(II) у2 = ах3 + Ъх2 + сх + d,
(III) у3 = ахъ + Ъх2: + сх + d,
(IV) у4 = ах* + Ъх3 + сх2 + dx + e
и четко сформулировал, в чем заключается отличие между слу^
чаем (I) и случаями (II)—(IV). Он писал:
«Мы должны заметить заранее, что здесь [т. е. в случаях (II)-—
(IV).— Авт.] нельзя найти общего решения, как это было в
предыдущих случаях, и метод, употребляемый ниже, приводит не к
бесчисленному множеству решений одновременно, но теперь
каждая операция позволяет нам узнать только одно значение х» [77.
часть II, пункт 112].
Эйлер нашел также условия, при которых уравнения вида
(II) и (III) могут быть униформированы в рациональных функциях
(т. е. имеют, согласно Эйлеру, «общее решение»). Он показал, что
для этого достаточно, чтобы многочлен FB (#), стоящий в правой
части, имел кратный корень. Действительно, если
Fz (*) = ах* + Ъх2 + сх + d = а (х - а)2(х - Р)
(легко показать, что в этом случае корни аир будут
рациональными), то подстановкой у = к (х — а) можно найти
рациональные выражения х и у через параметр к (там же, п. 124, 161).
Условие Эйлера равносильно требованию, чтобы кривые,
определяемые уравнениями (II) и (III), имели двойную точку, т. е.
чтобы род их равнялся нулю. Впоследствии было показано, что
Условие Эйлера является не только достаточным, но и
необходимым (см. [31, 98]).
Следует отметить, что Эйлер трактует неопределенные
уравнения чисто алгебраически, нигде не прибегая к геометрической
интерпретации. Как и Ферма, он итерирует :метод касательной,

234
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
а метод секущей в своей «Алгебре» применяет в той же ситуации,
что и Диофант, т. е. когда одна из заданных точек является
бесконечно удаленной. Для применения метода касательной Эйлер
требует, чтобы в уравнении (II) свободный член был квадратом
d — V2» а в уравнении (III) — кубом d = у3. Если это не так, но
известно одно рациональное решение (хг, j/x), например
уравнения (II), то он, как и Ферма, делает подстановку х = t + хи
после чего приходит к уравнению, свободный член которого есть
квадрат: dt = у\ [77, часть II, п. 119, 152].
Только в конце жизни Эйлер предложил метод,
эквивалентный проведению секущей через две конечные точки кривой
третьего порядка (см. [87, 25]). Но и тут он трактовал вопрос
алгебраически, не прибегая к уравнению прямой, проходящей через
две точки (см. работы Эйлера [78, 79]).
Весьма существенно при этом, что Эйлер сумел итерировать
метод секущей. Мы не можем здесь входить в подробности
исследований Эйлера (см. об этом [25]). Скажем только, что смысл их
состоит в следующем: если А (х0, у0) и В (хъ у J — известные
рациональные точки кривой Г:
У* = Fs (*),
то проводится прямая АВ, которая пересекается с кривой Г в
рациональной точке С (х2, ^2)- Тогда Эйлер переходит от точки
С к симметрической точке С (#2, — у2) кривой Г, что и позволяет
ему повторить метод секущей, проводя ее через точки С и А или
С и В. Как раз такого «перехода» и недоставало Пьеру Ферма,
поэтому-то он смог итерировать только метод касательной.
Этот последний цикл работ Эйлера по диофантову анализу
был опубликован посмертно в 1830 г. Но именно он показал'решаю-
щее влияние на работы К. Якоби и последующих математиков.
Но еще раньше Эйлером был начат другой круг исследований,
с первого взгляда как будто не связанный с диофантовым
анализом, однако именно эти исследования ознаменовали начало
нового этапа в его развитии. Мы имеем в виду знаменитые теоремы
сложения эллиптических интегралов, открытые Эйлером: пусть
дана кривая Г:
У* - ^з (*) »)
(мы берем уравнение 3-й степени, хотя у самого Эйлера оно мог-
X
Sdx
— , где А — точка
рассматриваемой кривой с координатами (х, у). Тогда имеют
место следующие теоремы:
Teopeiial. Если А (я0, у0) и В («lf уг) — две точки кривой
Г, то существует такая точка D (ж2, У г) этой же кривой, что
П (А) + П (В) « Щ(/>),

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 235
причем координаты х2, у2 рационально выражаются через х0, г/01
*i» Hi*
Теорема 2. Если А (х0, Уо) — точка кривой Г, то для
всякого целого п существует точка G (хг, J/з) той же кривой такая,
что
П (G) = пП (Л),
причем координаты #3; уь рационально выражаются через х0, у0.
Ясно, что если координаты точек А я В будут рациональны,
то и координаты новых точек D и G также будут рациональными,
т. е. теоремы Эйлера дают розможность получать новые
рациональные точки эллиптических кривых. На это обстоятельство
впервые обратил внимание К. Якоби, который в своем мемуаре
[88] писал, что методы Эйлера в его посмертных работах по дио-
фантову анализу аналогичны теоремам сложения эллиптических
интегралов. Действительно, 1-я теорема Эйлера аналогична
«методу секущей», причем точка D будет совпадать с точкой С,
которая симметрична точке С, найденной по методу секущей. 2-я
теорема Эйлера при п = 2 аналогична «методу касательной», причем
и здесь точка будет симметрична той, в которой касательная
пересекает кривую.
Заметив эту аналогию, Якоби, по существу, ввел сложение
точек на эллиптической кривой и поставил вопрос с^ наличии
конечного базиса во множестве рациональных точек кривой (это
множество на самом деле образует абелеву группу с конечным
числом образующих, что было выяснено много позднее). Таким
образом, диофантов анализ оказался сгязанным с теорией
эллиптических функций. Но это уже совершенно новый круг идей|
развитие которых шло на протяжении всего прошлого века и
продолжается и в наши дни. Изучение истории диофантова
анализа этого времени — это тема для другой книги и мы не будем
его здесь касаться.
Но и теперь, как и во времена Диофанта, основными методами
в арифметике алгебраических кривых рода 1 являются методы
касательной и секущей, которыми мы обязаны великому
математику поздней античности.
Мы обязаны ему и методами нахождения рациональных точек
на кривых второго порядка, если одна из таких точек известна.
Он же положил начало буквенному исчислению, которое теперь
пронизывает всю* нашу математику. К Диофанту восходит и
введение отрицательных чисел, причем метод, которым он их ввел,
стал одним из главных методов для определения новых понятий
а объектов. Наконец, его книги послужили основным источником
Для развития теории чисел нового времени. Итак, «Арифметика»
Диофанта — это книга, положившая начало нашей алгебре,
теории чисел и диофантову анализу.;

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
СВОДКА ЗАДАЧ «АРИФМЕТИКИ» ДИОФАНТА
КНИГА I
1. х + у = а.
х — у = Ь.
. х + у = а,
а? = &у.
3. а: + у = а,
а: — ку = Ь.:
4. у — fta;,
у — а; = а.
5. я + У = «>
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
х у
т ' п
* + у = а,
— — — — &
х — а
х-Ь -'"
* + Д г
х+6 "*•
а — а:
Т = к.
b — х
а + х
-т = ft.
b — х
х + а
1 . = ft.
х — b
a = x+y=u+v,
X V
ИГ ^ ' у ~~
a = a?+y = w+i> =
a; v t
— = к, — = *, у
ограничение: у > ft.
* + a ь
У + Ь
Xf + х2 = af
а?2 + а?з = 6»
*а + *i = с,
ограничение:
а + Ь + с
• § -*>а' ' с'
s+ f,
= m.
17. a?x + a:2 + хв = а,
a?a + *з + *4 = &>
*з + *4 + ^! = с,
#4 + #1 + 2?2 == <*»
, ограничение:
а 4- 6 + g + rf
о ^> Л, &, С, Л?.
18. а?! + а?2 — a?s = а,
^2 + ^3 — #1 = &»
^з + ^i — a?2 = *>•
19. a?x + a?2 + a?3 — a?4 = л,
#2 + #з + #4 ~ Si = &f
#з + #4 + #i — a?2 = cf
*\ + #i + a?2 — x3 = d,
ограничение:
a + 6 -(-c + rf
•>a, 6, c, rf.
20.
21.
2
a = a: +
* + У
z ~~
z-4-y
a:
x — y =
y—z =
У
*>У>
1
.— ^
У + z,
= *>,
= c.
z
T»
a:
Tf
= a,
z.
1
1
22. a: —— a:+ —z = y-f-—-х —
1 1 1
23. x — ax + Sw = у — Py + ota: =r
= z — yz + Py = и — 6u -{- yz>
24. * + a(y+z)=y+p(z + *) =
+ z + у (x + y).
25. x + a (y + z + и) = у +
+ P (z + u + x) = z + v(» +
+ * + у) = и + 6 (а: + у + г)*
26. аа: = и,
Ьа:
= «*.
27. а? + у = л,
и:у = Ь.

ПРИЛОЖЕНИЕ i 237
28. х + у = а,
** + У2 = 6. __
:29. * + у = а, "7=7" = '•
х2 — у» = ь.
30. я — # = д, 2 ,
хУ = Ь. 36 ?' Х<У-
31. x = Ay, Зв. y-fe,
л:2 + t/З * == to, a? < у.
х + у =1' 37' У в **»
32. а; = %, ** = * (* + У), * < у.
Х2 + у2 38. у = Дх,
33. а; = А#, 39. Найти такое а:, чтобы числа
*2~Уа = z (*+Ь)х9 (Ъ + х) а, (х+ а)Ь
х + у имели одинаковые разности.
КНИГА II
' *%~У2 ~а- 16. «+а«-у£
^ Ху „ ™* *у Ь+а* = i
*в+Л ^^ "' ^-(V1 + a1) + (V,+
4.
+ У2 = + а*> в *а - (Va + а2) + (klXl+
х-У # + «i) = *» - (&8*3 + а,) +
gg-y2 _ + (&2*2 + а2).
* + У "*' 18" «1 + *2+Я3 = в»
А»«+у»-а». 19. **-x8 = a(xf-xf).
9. **+у»=а*+6«. 20. х*+х,= j,*,
10. x'-j,* = e. «J + «i-fj.
11. х + а = у*, 21. х? - х2 = ,«,
* + 6 = у\. *%-*! = у\.
12. а-х = у\, 22- 4 + (*1 + *•) - У\,
Ъ~х = у\ «I + (*i + х,) = у«.
13. х-а = у{, 23. х|-(*1+*,) = ,*,
14 *i + xa = а, , , „.. , i
5TXl_yr 25- <-i+*>•-*.-»?.
*з+ ** = **• (*i+ *,)»-*,=.у|.

238
26. хгх2 -j- x1 = у\у
#1*2 + х2 = У2»
У\ + У2 = а*
27. ххх% — a?i = у|»
2
а?!^ — #2 — У 2'
У1 + Уг = а*
28. х\х\+х\ = у\,
*%\ + А = А-
29. афт* - х\ = у*,
30»я?1ор2+ (a?i+'»i) = У?»
а;ха?2 — (*i + а?а) = #2*
31. а?! + ar2 = у2,
#i#2 + (#i + #2) = #2»
1. а;х + аг2 + х3 — х\ = у*,
#1 + *2 + Х3 — *| = ^t
х1 +.*2 И" *3 — *3 = ^3"
2. (я?! + х2+ х3)2 + «1 = yj,
(jr2 + #2 + а;8)2 + х2 = Уд*
. (a?i + *2 + *з)2 + хз = У\-
3. (а?! + а?2 + х3)2 — я?! = yj,
(а;х + ат2 + аг3)2 — х2 — у2,
(#1 + х2 + xzf — х3 = у*.
4. агх — (а?! + #2 + *з)2 =? У2»
*2 — (*i + *г + *з)2 = У%
жз — (#1 + х2 + *з)2 = Уз'
5. хг + х2 + xz = у\>
хх + х2 — хз = Уг»
*з + *! - *2 = £
6. а;х + х2 -+- х3 = у2,
а?1 + а;2 = У2»
*г + *з = Уз»
»з+ «1 = У2-
7. а?! — а;2 = аг2 — а;3,
*1 + Х2 = У2»
»2 + хг = У2.»
*з + xi — У§"
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
азд — (#х + х2) = у\.
32. а;* + х2 = у2,
*2 + *з = Уг,
2 I 2
4 + *i= у*-
33. а?2 — а;2 = у\,
2 2
*2 — *з = Уг,
4 - *i = Уз*
34. а;2 + (а?! + а;2 + а?3) = у\>
х\ + (xi + #2 + *8) = у\>
х\ + (хг + *а + ж») =. Уд-
35. а;2 — (а?! + а;2 + х3) = yj,
*! ~~(*i + *2 + *•) = У2»
Х\ — (Xl + Х2 + хз) = Уз-
КНИГА III
8. а?! + х2 + х3 + а = у*,
*i'+ a?2+ « = Уг»
х2 + х3 + а = у2,
«» + «1 + « = у|-
9. а;х + а?2 + х3 — а = у\7
xi + х2 — а = у2,
х2+ х8 — а = у|,
^з + »i — л = yj.
10. а;ха;2 + а = у*,
х&ц + а = у\,
х3хх + а = у\.
11. а7ХХ2 — а = г/2,
a?2a?s — а = у|,
^3^1 — а = Уз-
12. хгх2 + х3 = у1Г
^2^3 + «1 = Уг'
^3^1 + »2 = Уз-
13. а?^ — а?8 = У?»
*2*3 — ХХ = у2,
а?з^1 — а?г — Уз-
14. аг^г + ^3 = У?'
а?2а?з + х\ = у2,
!^3»1+ *2^3' -—
15. а?!а;2 + а^ + аг2 = у|г

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 239
#2#з + хг + а?3 = y2i
#3*1 + *3 + ХХ = у|.
16. а?!а?2 — (^ + а?а) = У^,
*2*8 — (*2 + Х3) = у\у
х%хх — (х8 + хг) = у|.
17. ххх2 + *i + а?2 = у\»
ххх% + а?х = ^,
#1*2 + #2 = у|-
18. а^ — (я?! + а?2) = у\»
а?^ — а?! = у|,
1. я3 + у3 = а,
а? + у = 6.
2. я8 — у8 = а,
ж — у = Ь.
3. а?2у «= и,
ху = и8.
4. х2 + у = и2,
аг + у = w.
5. а?2 + у = и,
х + у = и2.
6. а:3 + у9 = у8,
22 4- у2 = w2#
7. а?3 + у2 == и2,
*2 + У2 = Л
8. а:8 + У = и8,
а? + у = и.
9. а?3 + у = и,
х + у = и3.
10. х8 + у3 = х + у.
11. а:3 — у* = а: — у.
12. я3 + у = у3 + аг.
13. х + 1 = г2,
У + 1 = t\
х + у + 1 = и2,
» ~ У + 1 = *>2-
14. *2+у2+22 =
= (*2 - у2) + (у2 - а:2) +
+ (z2 — a:2).
15. (х + у) z = а,
(у + z) х = Ь,
(z + x) у = с.
16. а?! + а:2 + а:3 = У^,
а?!а?а — а:2 = у^
19. (*! + а:2 + а:3 + а:4)2 + 9%- = у2,
(*1 + *а + *з + *4)2--*Ч==^
1=1, 2, 3, 4.
20. а = х + у,
и2 — х = z2,
И2 __ у = „2.
(Другое решение задачи П1б).
21. а = а: + у,
я + и2 = г2,
у + и2 = и2.
(Другое решение задачи И14).
КНИГА IV
17.
18.
19.
20.
21.
«J + *i e #2'
*2 + *8 = Уз'
*{+«l-yJ-
«1 + *а + #8 = У
2 2
*1 — *а = Уг»
*2 — *8 = Уз>
2 2
а?| — а?! = yf.
а?8 + у = и3,
у2 + х = и2.
*i*a + 1 = У*»
*а*8 + 1 = у!|>
b**i +1=*у1-
хгх2 + 1 = у*.
«1*3 + 1 = У\ч
ххх< + 1 = у|»
*а*а + * = у|»
а?аа?4 + 1 = У5,
*а*4 + 1 = Уб#
a?ia?3 == а?о»
*з — *а = У?*
*2 — *i = yj,
*з — *i = Уз*
22. х1х%хж + *i = у|,
a?i*2*8 + *а = у| >
*1*а*з + *з = Уз-
23. 'х±х2х3 — ^ = У|_»

240 ПРИЛОЖЕНИЕ 1
хгх2хз — х2 = у\, 34. ху + (х + у) = а2 — Д,
24. г + У = а,
Z# + (z + х) = С2 — 1.
ху = аз _ и# Лемма к 35. *»-(*+*) = л*
25. х + у + z = а, 35' *У - (* + У) = а* - *>
*** «««-*) + <*-*) + ^^^t'l^K^t'
+ (* - a;)]3, ** ~ <z + *> = c ~ L
x<y <z. Лемма к 36. ху = m (a: + у).
26. ху + z = w3, 36, *У = ^ (* + У).
xy + y=ifi. У* = » (У + *),
27. xy-x=u\ zx = p(z+ x).
xy _ y=, л 37. try = m (a? + у + z),
28. zy + (x + y) = u*, yz=n(x+ y + ж),
*У.- (* + y) = Л za? = P (* + У + z>-
29. «J + x|+^+^ + aPl + *t+ 38. (ж + у + г)^= "(вИ-1) ^
+ #з + *4 = a- (a: + у + z) у = u2,
30.«; + ^S + *! + ^ - (*i + *i + (* + * + *)* = у2.
+ xz + a?*) = a. 39< z~y = ^
31. X+ у = 1, ^Г^ 2
(* + a) (i/ + &) = z\ y + z= v\
32. x + у + z = я, * 7 2
1 , 0 z + cr = w2.
*y + z = u2, 2a _ y2
xy — z = у2. 40. у»_д. = *>
33. x+ay = k(y- ay), x + y = a2?
у + ace = Z (a: — aar). y + z = y2?
Лемма к 34. яу + (x + -у) = a. z + x = w2.
КНИГА V
1.
2.
3.
' %1%3 ^j*
xx — a = y*,
«2 — * = y|i
a?3 — a = y|.
^l^S ^2'
*i + « = y|»
s2 + « == ^2'
a?3 + a = y*.
*Ч + a = y*,
ж2 + о = i/2,
*3 + a = У*,
2^2 + « = г/Ji
*2#3 + « = ^f
a^ + a = y*
4. Xi — a = yj,
»2 — a = »2i
хг — а — у*,
xtx2 — a = y\,
хгх3 — a = yj,
тзТ! — a = j/2.
5. ^ + («i+4) = »j;
4^+(4 + 4)^T».
«M + *§ = vt>
*2A + 4 = vl
xfri + x\ =»;.
6. *x - 2 = y»,
*s - 2 = J&

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
241
а?3 —
хгх2-
х2хь ■
a?8a?i
Х\Х2 -
а?2#з "
хгхг
Лемма 1
2==
- fat
- (*2
- («8
— #з
- хх
— а?2
к 7.
»3'
+ *2> =
+ *з) =
+ *l) =
-*
= 4
»*
4
4
4
*1Ж2+*1+4= ^'
Лемма 2 к 7.
lliflibi — xl<Jhbt = lU^b9,
«\ + bl = cv
«5+4 = *
7. ж? + (xi + x2+ x3) = y\,
A — (*1 + *2 + *з) = *J »
i = 1,2,3.
Лемма к 8.
a?aa?2 = a2,
a:2a?s = 62,
ж3#1 =s c2»
8. a?xa?2 + (#i + x2 + a?3) = y2,
а?2*з + (*i + x2 + x3) — У%
x3xx + (arx + x2 + a?3) = y2,
Ж1#2 ~ (xl + *2 + *s) — %,
#2*3 — (*1 + #2 + *з) = Z2i
#3*1 "~ (#1 + x2 + *з) = z3-
9. a?x + a?2 = 1,
xx + a = y[,
x2+ a = y\.
10. Xi + a?2 = 1,
#i + a = y\,
x2+ b = y\.
11. a?i + ar2 + a?3 = 1,
xi + л = y\,
x2 + a = y\,
*з + * = yj'
12. a?j + x2 + a?s = 1,
хг + a = y2,
*2 + Ь = У2.»
хв + с = y\.
13. a?x + a?2 + xz = a,
#1 + *2 = $£
X2 + X3 = 0*'
*з + «i = Уз-
14. а?х + а:2 + а?3 + а:4 = аг
х\ + *2 + *з = У?'
*а + *з + *4 = У%,
Xz + *4 + ХХ = у|,
*4 + *i + а?а = у\*
15. (^ + а;2 + а?3)3 + х{ = у?„
* = 1,2,3.
16. (а?! + а;2 + я3)3 — xt = у\у
* = 1, 2,3.
17. xi — (а?! + а;2 + а?3)3 = у\*
i = 1, 2, 3.
18. а?х + а?2 + а?3 = и2,
(а?! + а:2 + а?3)3 + ач = у\>.
1=1,2,3.
19. а?х + а;2 + а?3 = w2,
(а?х + а?2 + *з)3 — xi = yf,
i = 1, 2, 3.
19х. а?х + а:2 + аг3 = и2,
*г — (*1 + *2 + *з)8 = У\ь
i=l,2,3.
192. а?х + а?2 + а?з = а»
я3 + *i == yj,
I = 1, 2, 3.
193. а?х + аг2 + а?3 = а,
а3 — a?i = y\t
у i = 1. 2, 3.
20. а?з + a?2 + a?3 = 1/та,
*г — (*i + х2 + х3)3 = у\у
*= 1, 2, 3.
21. a:^a;| + я?} = yf,
*= 1,2,3.
22. х\х\х\ - or2 - у\ч
i = 1, 2,3.
23. х\ - х\х\х\ = ^>
i = 1, 2, 3.
24. х\х\ + 1 = if»,

242 ПРИЛОЖЕНИЕ 1
25.
26.
ф* + 1 = у\.
ф»-!=■»»
43-*->•.
4»;-1-«.
1 - ***! = у?.
4 + 4 +а = 4«
*» + 4 + • = y|s
27.
1 - 4*5 = й,
1 - xfrl = 4.
*• + *» + а = у\,
28. 4 + 4 ~ в = »i»
А + 4 ~а =
4 + 4
29. т* + у* + z* = »2.
30. 8xi + 5т2 = уг,
(*i + *а)2 = »Ё + 60.
,2
* = 4
В
S =
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
этой книге всюду
= Ч*ху\ х2 + у2 = i
Z — X = US,
z — у = уЗ.
2 + * = W3»
я + у = v3.
5 + т = и2.
«S — т = и2.
m _ 5 = и2.
5 + # — W.
£ — X = W.
S + (* + у) = ™.
S — (х + у) = т.
£ + (сг + г) = т.
5 — (cr + z) = т.
Лемма 1 к 12. у — х
у = у2,
S + * =
Лемма 2 к 12. Если
то
положено
52.
= и\
= и?2.
а+ 6
существует бесконечно
квадратов х%у у2 таких,
12.
13.
= Я2.
£ + X = И2,
5 + У = Л
5 — X = И2,
«5 - у = Л
что ах'4
= »2,
много
'+6 =
КНИГА VI
14. S
S — х= v2
Лемма'к 15
Если аи \-
6 =
'о»
то
существуют и > и0, р > у0 такие,
что аи*
& = Л
15. S + 2 = и2,
16.
17.
18.
19.
*i
2 X — Х\
х\ + У2 = и2.
£ + Z = У2,
* + У + * =
£ + z = и3,
я + У + *
S + У = р»,
х + У + z = и9,
V2.
20. 5 + у = и3,
а? + у + г = I?2.
21. х + У + z = р»,
22. а? + у + г = и8,
*+У+*+£=
23. г2 = и2 + и,
24. а? = и* — и,
У = у3,
z = ы?8 + и>.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 243
СВОДКА ЗАДАЧ ЧЕТЫРЕХ КНИГ
АРАБСКОЙ ВЕРСИИ «АРИФМЕТИКИ» ДИОФАНТА
КНИГА 4
!.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
*з + «f = у2.
*j - *5в у2-
*• + «5 = у3-
*2 - х\ = у».
*Й = У3-
44 = ^2'
х\х\ = у3.
8,9а. х\х\ = я2.
»б'
V
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22,
23.
24.
25.
».
28,
27,
. я3/** - уК
. *2/*22 = *3.
*8 + Дср2 = у2%
х3 — ах2 = г/2.
а?3 + я#2 = #3.
#3 __ ах2 = уЗш
ах = у\у
Ьх = у J.
а# = у8,
fez = у.
ахг = у3,
ла?2 = у.
аа?2 = г/.
а#| = у3,
ах\ = у,
а** = у2.
аа?з = уъ^
bxs = у.
аа.З _- у2?
fear3 = у.
ах2 = у8,
fea?2 = у. '
. да:3 = у8,
fear3 = у.
(а?)1+(*})■ = 1*
К2)2-^)2^3-
. (4)1+(4)1==у1-
1- (*?)2 - (*2)2 = У2'
5- И)2 = (*2*>2 = **■
. (x^+axl^yK
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40,
41.
(х\)2+ах\=у2.
(х1)2+(х*)* = у2.
К)8 - (4)2 = у2-
(х*)2 - (*23)3 - У2-
(аф3 + ах\х\ = у2.
(аф8 — ах\х\ = у2.
#1 i~ х2 == ^1»
*? - А = *J.
*J + 4 = ^.
~2 _ ~3 _ „2
ж3 + ах* = yj,
ж8 — Ьх2 = у*.
х3 + ах* = у2,
х8 + Ьх* = у*.
х8 - ах* = у*,
ж3 - Ьх* = у*.
,аха — ж8 = у2,
Ь*2 - xs = у2.
. (**)»+*f =v2,
(4)«-^ = »;.
*?+(*22)а=#
^-(«Ф,г=»;-
42а. (*})»+ (*3* = **,
(я»)8 _ (ж2)* = у*.
42б. (ж2)2 + (х*)8 = у*,
43.
4V
Щ
*«в
(*1)2 ~ (*t>3 = Уг
(х\)* + а (ж2)2 = у*.
(х*)* - Ъ (4Г = Vl
. (х*)* + а (ж2)2 = у*>
(х*)8 + Ь (х|)2 = у».
. (х*)8 - а (х*)* = у?,
(х3)8-6(^8 = У1-
. а (ж2)2 - (х|)8 = у2„
6(х?)2-(х«)»=у|.

244
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
КНИГА 5
«
1. (*«)■ + *4 = vl
<4>» - ь4 = 4.
2. (x?)» + axf = vl,
<4)« + &x* = „«.
^. (**)« - axl = Й-
4. (^)a+a(tr|)» = yf,
(x?)»-6(x^ = ir|.
5. (xxV+ « (*!)8 = 4,
(xj)»+6(x|)» = y|.
(**)*-«(х|)' = 4,
(*»)■ - 6 (аф* = y|.
7. Xi + x, = a,
x? + x\ = 6.
■8. xj — x2 = a,
x\-x\= b.
'9. xx + xa = a,
4 + 4 = * (*i - **)*
1. (**)«+ (x»)» = y«,
2. (х»)»-(х*)»=У,
а?2 == Aa?i«
3. (X*)* - (x|)* = y«,
a?2 в Aw?i»
4. x^ + (xf)« - y\
x% = кхг,
5. x^+(x^=y«,
Л?1 = X2.
*. x*x* - (x*)« = y»,
*1 = Xj.
7. x?x* - (яф* = Л
«l = *V
8. 44+/44~»а.
9. x*x£- УЯ*| = 1Г*.
no. /44-44 = 1*
10. a?! — x2 = л,
*l — *2 = 6 (*i + **-)f'
11. a?! — x2 = a,
12. a?i + а?2 ^ a»
«J ~ *| = b (*i — **)•
13. as2 + 6 = x2 + x9f
x\ + x2 = i£
*1 + X* = уЦ-
14. aa?j — b = a?2 + x9l
J*.
— „3
*i — x2 — У\>
xl-x9 = y\.
15. aa?2 — b =s arg + #$,
*? + *2 = If Jt
*? - *» = y\.
16. aa?2 — 6 = a?a + *«>
КНИГА 6
11.
12.
-?-
xz -
-tra =
-4-
a?8 + (**)*
*i
l
+4-
y\,
y%
= y*.
-*
X2
13.
■ —w2
a:2 — — — i/2
*2 „2 -2/2'
14.
1 -4-4,
2
2
— a:2 = I/2
a:2 — y2.
15. *2 + (*2 - X*) « y2,
*22+(*22-*?>== 4
a?2 >а?х.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
245
16. х\— {х\-х\) =*!&
^2 — (*2 — х\) =*= Уг'
17. ^+»J + *5 = yif
я2, = а:3.
18. х\х\х\+ (х\+х\+х^
19. 444-(*? + *5 + 4>
20. (xl+xl + xl)-xy2xl=yK
21. (*2)i+(jCJ+*2)=yJ,
= Уа
^х^г^з
•з = »а,
а?х = ах2,
а?2 == да?з*
2. (х{)> (xl)» (*>)« = (И)».
3. (*■)« = у? + у\ + у%.
4. <**)» = у\ + у| + у\.
5. (*»)^ + (*?)**§ " У'-
6. xj + xl = у*,
а$*| = а (х\ + х\).
7. x1 + xt + xa= (x*)\
xi+ xa = yv
хг + х9 = у\,
*• + *i = у| •
8. (аф« + *а = у*,
(аф» + 2*2 = у|.
9. (аф* - *, = у»,
(*•)» ~ 2*, = ,».
10. (*»)« + *2 = »?.
(*»)• - х2 = £
11. а2 = а?х + аг2,
а2 + »! = »1
а* — *а = у2*
12. а2 == а?! + а:2,
л2 — *х = У?,
а2 — ar2 = у£
13. д2 = агх + а?2 + а:,,
22.
23.
А
14.
15.
16.
17.
18.
>;>"+(*? +$ =
*1 + *2 = Уг
4*2 = *&
а2 а2
**+*; + *;-*;.
7
а2 + a?j = у*.
а2 + х2 = у%
*2+*з=*1
а2 = хг + ar2 + a?8,
«2 - *i = y2v
*2-*2 = 4
*2 - *з = У2-
а2 = хг + х2 + хв
*a-*i = y2,
а*~х2 = у\,
"* + ** = У2,
*2 + *4 = У\.
х\ = а2*2,
*! = *24
4-*\ = уЬ
*? = «24
*22 - a2*f,
х\ = а2**,
*i + *i + *2 + *2
*1 = а2*2,
*2=А2,
*2 = «4
~2 _ х2 e w2
2 П Ух'
а;2 — ж2 = i/2
x3 Х2 У2*
3? — х2 — л2
хь хъ ~~ Уз-

246
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ
ИЗ «КНИГИ КВАДРАТОВ» ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО
1. х2 + у2 = а2,
а2 = т2 + п-
2. х2 + у2 = N = а2 + Ь2 ф £*
3. а?2 + т = и2,
ж2 —- т = i;2,
т = 5, 240, 760, 840.
4. а?2 + а; = ы2,
а?2 — аг = у2.
5. х2 + па; = и2,
а:2 — иаг = у2.
»•*? + «; = *;,
*5 + *5 + *5 = tf.
7. (а?! + а?2 + я?8) + «J = ^*»
*! + «J = У%>
У\ + 4 = У1
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ
ИЗ ТРАКТАТА «ZETETICA» ВИЕТА
КНИГА IV
II—III. ar2 + у2 = а2 + Ь2.
IV. Найти два подобных
прямоугольных треугольника,
имеющих заданные
гипотенузы, и «вывести» из них
третий треугольник, базис
которого, составленный из
высоты первого и базиса
второго, имеет определенное
значение. . ■
V. х2 + у2 = а2 + б2,
XI. х\ + у\
*4»
1, 2, 3;
XII.
*\У\ — ^2 = *ЗУЗ-
Щ+ У
z\i i = 1,2,3;
У\УчУъ
= и»
И38.
Х\Х^Х*^
XIII. *J + yf = sj, <= 1, 2;
XIV.
XV.
^1^2 ~- #1*2 = **2.
*? + У2 = 4 ' = 1.2;
У1У2 + *л =? и2.
*? + у2 = 4 i' = 1»2>3»
^ < а:2 < G.
VI. я2 - у2 = а.
VII. х+ а = у\,
х+ Ь = у\.
VIII. a-*=*J,
& — х = у2..
IX. а; — а = #*,
* - ь = irj-
X. аг2 + ху + у2 = z2.
Лемма к XI. Построить
числах три
на двух
тела оди-
накового объема.
*\ЧЧ
= и*.
XiX2Xs
XVI. я2 + у2 = z2,
а* — 6*
1/2^== ^ •
х у
X + / = U2,
а? + s = v8.
XVIII. аг* + у8 « а» - б8.
XIX. я3 - у3 = а8 + б8.
XX. ar3 - у8 = а8 - Ь8.

ПРИЛОЖЕНИЕ i
247
I. a?! + x2+ хъ = г/J,
а: г я2 — ^2'
#2 + х3 = У%
*3 + *1 = У*'
II. х2 — у2 = у2 — з2.
III. Хг — Х% = а?2 — #з,
#1 + *2 = У*,
#2 + *3 = #2'
*3 + *1 = Уз*
IV. а^ + #2 + #3 + л =
*1 + *2 + а = У%
*2 + *3 + * = У*,
*3 + *1 + <* = у*.
V. a?j + х2 + аг3 — а =
*i + х2 — а = у*,
*2 + *3 — « = Уд%
*з + *1 — * = yj.
VI. Найти бесконечно
шений уравнений ,
= у2 и хг — а = у2
= #
-й
КНИГА V
иного
pes'+
.
а =
VII. ххх2 + а = у\у
х2х3 + а = у\,
х&г + а = у2..
VIII. а^ — а = у*,
а?2^з — а = у!»
агз#1 — л = у|.
IX. я2 + у2 = *2,
V^ry + а = и2,
а = р2 + q2.
X. я* + у2 = *2,
V2a:y — а = и2.
XI. *8 + у2 = z2,
а — V2#y = и2.
XII. х\х\ + а:2 + х\ = у*,
44 + *5 + *5 = 4
4*2 + 4 + 4 := 4
XIII. *+ у = а,
(* + Ь) (у + с) = и2.
XIV. х2- а = и2,
Ъх < и2 < со?.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ОСНОВНЫЕ ИЗДАНИЯ «АРИФМЕТИКИ» ДИОФАНТА
1. Diophanti Aiexandrini rerum arithrreticarum libri sex, quorum primi duo
adjecta habent scholia, Maximi (ut conjectura est) Planudis. Item liber de
numeris polygonis seu multangulis. Opus incomparabile, verae arithmeticae
logisticae perfectionem continens, paucis adhuc visum. A Guil. Xylandro
Augustano incredibili la bore la tine redditum, et commentariis explanatum,—.
Basileae, 1575.
2. Diophanti Aiexandrini Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis
liber unus. Nunc primum graece et latine editi, atque absolutissimis
commentariis illustrati. Auctcre Claudio Gaspare Bacheto Meziriaco Sebastiano.
Lutetiae Parisiorum, 1621.
3. Heath Th. L. Diophantus of Alexandria. A study in the history of Greek
algebra.— Cambridge, 1885.
4. Die Arithmetik und die Schrift iiber Polygonalzahlen des Diophantus von
Alexandria. Ubersetzt und mit Anmerkungen von G. Wertheim. Leipzig.
1890. '
5. Diophanti Aiexandrini opera omnia cum Graecis commentariis. Edidit
et latine interpretatus est Paulus Tannery, vol. 1—2. Lipsiae, 1893—1895.
6. Diophante d'Alexandrie. Les six livres arithmetiques et le livre des nombres
polygones. Oeuvres traduites pour la premiere fois du grec en franc,ais avec
une introduction et des notes par Paul Ver Eecke. Bruges, 1926; Paris, 1959.
7. Diophantus Alexandrinus. Arithmetik des Diophantos von Alexandria.
Aus dem Griech. iibertr. und erklart von Arthur Czwalina. Gottingen, 1952.
8. 2тауатт;<; Е. 2. Aio^avtoo Apt^TjTtxa. A^vjvat, 1963.
9. Диофант Александрийский. Арифметика и Книга о многоугольных числах/
Пер. с древнегреч. И. Н. Веселовского. Ред. и коммент. И. Г. Башмако-
вой. М.: Наука, 1974.

ЛИТЕРАТУРА
1. Архимед. Сочинения/Пер., вступ. статья и комме нт. И. Н. Весел
овского-, Пер. араб, текста Б. А. Розенфельда. М.: Физматгиз, 1962.
2. Башмакова Я. Г. Арифметика алгебраических кривых (от Диофанта до
Пуанкаре).— Ист.-мат. исследования, 1975, вып. 20, с. 104—124.
3. Башмакова Я. Г. Диофант Александрийский и его «Арифметика»,—
В кн.: Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах/Пер.
с древнегреч. И. Н. Веселовского. М.: Наука, 1974, с. 5—27.
4. Башмакова Я. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972.
5. Башмакова Я. Г. Диофант и Ферма.— Ист.-мат. исследования, 1966,
вып. 17, с. 185—204.
<6. Башмакова И. Г. «Книга квадратов» Леонардо Пизанского.—
История и методология естеств. наук, 1978, вып. 20, с. 38—48.
7. Башмакова И. Г. Композиция квадратичных форм в математике XIII —
XVI вв.— Ист.-мат. исследования, 1980, вып. 25, с. 303—314.
8. Башмакова Я. Г., Славутин Е. Я. Исчисление треугольников Ф. Виета
и исследование диофантовых уравнений.— Ист.-мат. исследования,
1976, вып. 21, с. 78-101.
$. Башмакова Я. Г., Славутин Е. Я. Метод последовательных
приближений в «Арифметике» Диофанта.— История и методология естеств.
наук, 1974, вып. XVI, с. 25-35.
10. Башмакова И- Г., Славутин Е. Я., Розенфелъд Б. А. Арабская версия
«Арифметики» Диофанта.— Ист.-мат. исследования, 1978, вып. 23,
с. 192—225.
11. Бурбаки Я. Очерки по истории математики/Пер. с франц. И. Г. Баш-
маковой: Под ред. К. А. Рыбникова. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
12. Вайман Л. А. Вавилонские числа.— Ист.-мат. исследования, 1957,
вып. 10, с. 587—594.
13. Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика. III—I тысячелетия
до н. э. М.: Изд-во вост. лит., 1961.
14. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего
Египта, Вавилона, Греции/Пер. с голланд. И. Н. Веселовского. М.:
Физматгиз, 1959.
15. Васильев А. Я. Целое число: (исторический очерк). Пг.: Научное
книгоиздательство, 1919.
16. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука,
1967.
17. Дийуфантус. Сина'а ал — джабр. Таджама Куста ибн Лука, хакака-
хива каддама лаху Рушди Рашид. Каир, 1975.
18. Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах/Пер. с
древнегреч. И. Н. Веселовского; Ред. и коммент., вступ. статья И. Г. Бапгаа-
ковой. М.: Наука, 1974.
19. Евклид. Начала/Пер. с греч. и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовского.
М.; Л.: Гостехиздат, 1948—1950. Т. I—III.
20. Евсевий. Церковная история. СПб., 1848.
21. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/Под.
ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970, т. 1; 1971, т. 2; 1972, т. 3.
22. Каучикас А. П. Диофант и неопределенный анализ в трудах
европейских математиков XIII—XVI веков. Дис канд. физ.-мат. наук. М.,
1979.
23. Каучикас А. П. Двойные равенства у Диофанта и П. Ферма.тг- Ист,-
мат. исследования, 1982, вып. 26, с. 179—189.
24. Кэджори Ф. История элементарной математики. Одесса, 1910.
25. Лавриненко Т. А. Решение неопределенных уравнений 3-й и 4-й степени
в поздних работах Эйлера.— Ист.-мат. исследования, 1983, вып. 27.

250 ЛИТЕРАТУРА
26. Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Средне»
Востоке. Ташкент, 1967.
27. Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук/Пер
пред., примеч. С. Я. Лурье. М.; Л.: ОНТИ, 1937. *
28. Нейгебауэр О. Точные науки в древности/Пер. Е. В. Гохман; Под ред.
с предисл. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1968. *
29. Памятники позднего античного ораторского и эпистолярного искусства
М.: Наука, 1964.
30. Платон. Сочинения: В 3-х т./Под общей ред. А. Ф. Лосева иВ.Ф.
Асмуса. М., 1968—1972. Т. 1—3.
31. Пуанкаре А. Об арифметических свойствах алгебраических кривых.
Избранные труды. М.: Наука, 1972, т. 2, с. 901—960.
32. Розенфелъд Б. А. Алгебраический трактат ас-Самав'ала.— Ист.-мат.
исследования, 1975, вып. 20, с. 125—149.
33. Славутин Е. И. Обший метод редгевия неопределенных уравнений
второй степени в «Арифметике» Диофанта.— Ист.-мат. исследования, 1979,
вып. 24, с. 310—330.
34. Славутин Е. И. Алгебраические методы в древности. Автореф. канд.
дис. М.: ИИЕиТ, 1973.
35. Страбон. География: В 17-ти кн. /Пер. с греч., статья и ком мент.
Г. А. Стратановского; Под ред. С. Л. Утченко. Л.: Наука, 1964.
36. Тимченко И. Ю. Исторические сведения о развитии понятий и методов,
лежащих в основании теории аналитических функций. Одесса, 1899.
37. Уокер Р. Алгебраические кривые. М., 1952.
38. ал-Хоревми. Математические трактаты/Пер. с араб. Ю. X. Копелевич
и Б. А. Розенфельда; Коммент. Б. А. Розенфельда. Ташкент, 1964.
39. Цейтен Г. Г. История математики в древности и средние века. М.:
ГОНТИ, 1938.
40. Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.; Л.: ГТТИТ
1933.
41. Цицерон. Избранные сочинения/Пер. с лат. М. Гаспарова. М.: Худ.
лит., 1975.
42. Чебышёв П. Л. Поли. собр. соч. М.; Л: Изд-во АН СССР, 1944—1951.
Т. 1-5.
43. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972.
44. Юшкевич А. П. История математики в средние века. М.: Физматгиз,
1961.
45. АпЪоиЬа A. L'algebre arabe aux IXе et Xе siecle. Aper^u general.—
J.for the History of Arabic Science, 1978, 2, N 1, 66—100.
46. Anbouba A. Un traite d'Abu Ja'far [al-Кпагт] sur les triangles
rectangles numeriques.— J. for the History of Arabic Science, 1979, 3, N 1»
134-178.
47. Anthologia Palatina epigrammatum gr. et lat. cum adnot. in ed. Bois-
sonadii, Chardonis de la Rochette, Bothii. etc. ed. Fr. Duebner.— Paris:
Didot, vol. 1, 1864; vol. 2, 1872.
48. Abu Kamil. The algebra of Abu K< mil. Kitab fi al-jabr wa 1-muqabala
in a commentary by Mordecai Finzi. Madison, Milwaukee, and London,
1966.
49. Bachmacova I, G., Slavutin E. I. «Genesis triangulcruna» de Francois
Viet et ses recherches dans Г analyse indeterminee.— Archiv for History
of Exact Sciences, 1977, 16, N 4, 289—306
50. Basmakova I, G. Diophant und diophantische Gleichungen.'Basel una
Stuttgart: Bikhauser Verlag, 1974.
51. Bashmakova I. G. Arithmetic of algebraic curves from Diophantus to Poin-
care.— Historia Mathematica, 1981, 8, 393—416. aa
52. Bachmdkova I. G. Diophante et Fermat.—Rev. d'Histoire de Sci., I-66»
19, 289—306.
'53. Becker O. Das mathematische Denken der Antike. Gottingen, 1957.

ЛИТЕРАТУРА
251
54. Becker О., Hofmann J. E. Geschichte der Mathematik. Bonn, 1957.
55. Billy /. de. Inventum novum. Oeuvres de Format. Paris: Gauthier-Vil-
lars 1896, vol. 3, p. 323—398.
56. Bombelli R. VAlgebra. Bologna, 1572.
57. Bombelli R. VAlgebra. Opera di Rafael Bombelli da Bologna. Prima
edizioni di E. Bortolotti et di U. Forti. Milano: Feltrinelli, 1966.
58. Bourbaki N. Histoire des mathSmatiques. Paris: Hermann, 1974.
59. Bruins E. M. Neuere Ergebnisse zur Babylonischen Arithmetik.—
Praxis der Mathematik, 1959, 1, N 4, 89—95.
60. Bruins E. M. Pythagorean triads.—Summer, 1955, 11, N 2, 117—121.
61. Bruins E. M. Pythagorean triads in Babylonian mathematics.— The
Mathematical Gazette, 1957, 41, N 335, 25—28.
62. Bruins E. M. Rutten M. Texbes mathamatique de Suse. Paris, 1961.
63. Bruins E. M. Reciprocal and pythagorean triads.— Physis, 1967, 9,
373—392.
64. Caiory F. A history of elementary mathematics with hints on methods
of teaching. Colorado College; Colorado Springs, 1896.
65. Cantor M. Vorlesungen liber Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1907—
1913, Bd. i—4.
66. Cardanus H. Ars magna sive de Regulis algebraicis. Norimbergae, 1545.
67. Cardanus H. Opera omnia. Lyon, 1663, vol. 1 — 10.
68. Cauchy A. Oeuvres completes d'Augustin Cauchy publiees sous la
direction scientifique de l'Academie des Sciences, 2e serie. Paris: Gouthier-
Villars, 1882, t. 6, p. 320-353.
69. Codex Constantinopolitanus, ed. by E. M. Bruins, pt 1—3, Leiden Brill,
1964.
70. Datta В.. Singh A. N. History of Hindu mathematics. Lohore, 1935—
1938, vol. 1-2.
71. Dedron P., Hard /. Math§matique3 et mathematiciens. Paris: Magnard,
1959.
72. Dickson L. E. History of the theory of numbers. Washington, 1919,
reprinted New York, 1952, 1966, vol. 1—3.
73. Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis commentariis. Ed.
et lat. interp. P. Tannery. Lipsiae, 1893—1895, t. 1—2.
74. Diophante d Alexandrie. Les six livers arithmetiqucs et le livre des nom-
bres polygone3, trad. Paul Ver Eecke. Paris, 1959.
75. Die Arithmetik und die Schrift iiber Polygonalzahlen des Diophantus
von Alexandria, ubers. und mit Anmerkungen v. G. Wertheim. Leipzig,
1890.
76. Euler L. Vollstandige Anleitung zur Algebra. Petersburg, 1770.
77. Euler L. Elements d'algebre avec des notes et des additions. Lyon, 1784,
vol. 1—2.
78. Euler L. Methodus nova et facilis formulas cubicas et biquadraticas ad
quadratum redu^eadi.— Mem. de ГАс. de3 sci. deSt. Petersbourg, 1830,
11, 69—91. Opera omnia, ser. 1, v. 5, p. 157—181.
79. Euler L. Solutio problematis difficillimi, quo hae duae formulae a2s2 -h
+ b*y* et aV + b*x* quadrata reddi debenb.— Mem. de ГАс. des sci.
de St.-Petersbourg, 1830, 11, 12—30. Opera omnia, ser. 1, v. 5,
p. 94—115.
B0. FermatP. Oeuvres Ed. P. Tannery et Ch. Henry. Paris, 1891—1922,
vol. 1-5.
81. Friberg /. Methods and traditions of babylonian mathematics, Plimpton
322, Pythagorean triples.— Historia mathematica, 1981, 8, N 3, 277—318.
82. Hankel H. Zur Geschichte der Mathematik in Altertum und Mittelalter.
Leipzig, 1874.
83. Heath Th. L. Diophantus of Alexandria. A study in the history of Greek
algebra. Cambridge, 1910, reprinted New York, 1964.
84. Heath Th. L. A history of greek mathematics. Oxford, 1921, vol. 1—2.
j

252
ЛИТЕРАТУРА
85. Heronis Alexandrini Metrika, ed. E. M. Bruins. Leiden, 1964.
86. Hilbert D., Hurwitz A. Ober die diophantische Gleichungen vom Gesch-
lecht Null.- Acta Math., 1890, 14, 217-224.
87. Hofmann J. E. Uber eine zahlentheoretische Aufgabe Fermats.— Centa-
urus, 1961, 16, 169—202.
88. Jacobi С G. /. De usu theoriae integralium ellipticorum et integralium
abelianorum in analysi Diophantea.— Crelle Journal fiir di reine undf
angew. Mathematik, 1835, 13, 353—355. Gesammelte Werke, Bd. 2»
S. 53-55.
89. Jacobi C. G. J. Uber die Kentnisse des Diophatas vcm der Zusammen-
setzung der Zahlen.— Berliner Monatsberichte, 1847, Gesammelte Werke,
Bd. 7, 332-344.
90. Jamblichus Chalcidensis. Theolcgumene arithmeticae. Lipsiae, 1817.
91. Leonardo Pisano. Scritti di Leonardo Pisano. Roma: Publ. de B. Bon-
compagni, 1862, t. 1—2.
92. Nesselmann G. H. F. Die Algebra der Griechen. Berlin, 1842.
93. Newton L The mathematical papers of Isaac Newton, ed. D. T.
Whiteside. Cambridge, 1971, vol. 4.
94. Pacioli Luca. Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proporti-
onalita. Venetiae, 1494.
95. Pappus d'Alexandria La collection mathematique. Oeuvre traduite pour-
la premiere fois du grec en francais avec une introduction et des notes
par Paul Ver Eecke. Paris./Bruges, 1933, vol. 1—2.
96. Proclus Diadochus. Procli Diadochi in primum Euclidis ElementorunL
librum commentarii, ed. G. Friedlein. Lipsiae, 1873.
97. Proclus Diadoches. Kommentar zum ersten Buch von Euklids «Elementen»,.
Ubersetzt v. L. Schonberger, ed M. Steck. Halle, 1945.
98. Poincare H. Sur les proprietes arithmetiques des courbes algebriques.—
J. Math., 5e serie, 1901, 7, 161-233.
99. Ptolemaei Magnae Construction is lib. XIII, Theonis Alexndrini in eosdem»
comment, libri XI, graece, ed. S. Grynaeus. Basileae, 1558.
100. Rashed R. L'analyse diphantienne au Xе siecle: Texemple d'al — Kha-
zin,— Revue Hist. Sci., 1979, 32, N 3, 193—222.
101. Rashed R. Les travaux perdus de Diophante.—Revue Hist., Sci., 1974,.
27, N 2, 97-122; 28, N 1, 3-30.
102. Schlesinger L. Ober eine Problem der Diophantischen Analysis bei Fer-
mat, Euler, Jacobi und Poincare.— Jahresbericht der deutschen Mathe-
matiker — Vereins, 1908, 17, H. 1.
103. Sesiano J. Le traitement des equations indeterminees dans le Badi fi'l-
Hisab d'Abu Bakr Al-Karaji.— Archive for Hisory of Exact Sciences,-
1977, 17, 297—379.
104. Sesiano J. The arabic text of books IV to VII of Diophantus' translation*
and commentary. Thesis. Providance: Brown Universitet, 1975.
105. Sesiano J. Les methodes d'analyse indeterminee ches Abu Kamil. —.Cen-
taurus, 1977, 20, N 2, 89—105.
106. Skolem Th. Diophantische Gleichungen. Berlin, 1938.
107. 2/rqiaT7j<; E. S.Atocfavrou ApiT^TjTiya. A^yjvai, 1963.
108. Stevin S. L'Arithmetique de Simon Stevin de Bruges. Leyde: De Timpri-
merie de Christophle Plantin, 1585.
109. Stevin S. L'Arithmetique de Simon Stevin de Bruges. Reveue, corrigee
et augmentee de plusieurs traictez, et annotation par Albert Girard Sa-
mielois Mathematicien. Leyde: de 1'imprimerie des Elzeviers, 1625.
110. Suidas lexicon graece recognovit J. Becker. Berolino, 1854.
111. Thou J. A. de. Historiarum sui temporis continuatio. Francofurti, 1625,.
t. 3.
112. Viete F. Francisci Vietae Zeteticorum libri quinque. Turonis, 1593.
113. Viete F. In artem analyticam isgoge. Turonis* 1591.
114. Viete F. Vietae Francisci opera mathematica. Ludguni Batavarum, 1646*

ЛИТЕРАТУРА
253
Reprinted: Viete F. Opera mathematica recognita Francisci a Schooten.
Vowortund Register von J. E. Hofmann, Hildesheim — New York, 1970.
Ц5. Waerden van der. On pre-Babylonian mathematics, I.—Archive for
history of exact sciences, 1980, 23, p. 1—25.
116. Waerden van der. On pre-Babylonian mathematics, II.— Archive for
history of exact sciences, 1980, 23, p. 27—46.
117. Woepcke F. Extrait du Fakhri, traite d'algebre par Abou Bekr Mohammed
ben Alhacan Alkarkhi. Paris, 1853.
118. Woepcke F. Recherches sur plusieurs ouvrages de Leonardo de Pise.
Traduction d'un fragment anonyme sur la formation des triangles rectangles
en nombres entiers, et d'un traite sur le meme sujet par Abou Dja'far
Mohammed Ben Alhocain.— Atti dell'Accademia Pontificia de Nouvi
LinceL 1861, 14, p. 211-227, 241-268, 301-324, p. 343-356.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ з
ВВЕДЕНИЕ , . . , 5
Сведения из алгебраической геометрии . . . . г 5 . s . 13
Часть первая
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
В АНТИЧНОСТИ
Глава I
ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА . г 22
1. Древний Вавилон * 22
2. Древняя Греция s , * 25
3. Задачи диофантова анализа у Герона Александрийского 29
Глава II
ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ , 36
1. Диофант s 36
2. Содержание «Арифметики» , 41
3. Историки науки об «Арифметике» s . * * 46
Глава III
ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА ... 49
1. Символика 9 . . . 49
2. Числовая область 8 . . . 53
3. Возможности и границы символики Диофанта * * 55
4. Роль конкретных чисел (параметров) * ... * 58
Глава IV
МЕТОДЫ ДИОФАНТА 5 . 61
1. Уравнения второй степени с двумя неизвестными «... 61
2. Уравнения второй степени со многими неизвестными . . « 68
3. Метод последовательных приближений s 72
4. Неопределенные уравнения третьей степени и высших
степеней * * . . . 81
5. Пространственные кривые рода 1 и поверхности третьего
порядка . . .............****...** 87
6. Теория чисел у Диофанта * . 96
Глава V
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ
ДИОФАНТА ...., в «...** * » . 104
1. Арабская версия четырех книг «Арифметики» Диофанта 104
2. Некоторые типы задач арабской версии «Арифметики» « t 107
3. Методы сведения к уравнениям второй степени и к
«двойным равенствам» . . ....*.........**.. 112

ОГЛАВЛЕНИЕ
255-
4. Системы уравнений третьей степени 118
5. Некоторые параллели греческого и арабского текстов
«Арифметики» 120
6. Кто автор арабской версии «Арифметики» 123
Часть вторая
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Вводные замечания с- 129-
Глава I
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У АБУ КАМИЛА 131
1. Алгебра Абу Камила 131
2. Методы Абу Камила . . . . * 132
Глава II
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ ... 138
1. Обзор источников , . . . 138
2. Вопросы теории чисел, связанные с решением уравнения
s2+3,2==22 140
3. Решение уравнения х2 + у2 = z2 в целых числах и другие
результаты Ибн ал-Хусайна ИЗ
4. Решение системы уравнений z2 + & = ы2, z2 — к = р2 . . 145
Глава III
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ ... Ш
1. Алгебраические исследования ал-Караджи ; 149
2. Теоретическая часть трактата «ал-Фахри». Метод «истикра» 151
3. Практическая часть трактата «ал-Фахри» 152
4. Неопределенный анализ в трактате «ал-Бади». . 155
Часть третья
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ
XIII—XVI ВВ.
Вводные замечания , 161
Глава I
ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО ....... 162
1. Леонардо Пизанский и его время 162
2. Задачи Диофанта в «Книге квадратов» 166
3. Задача Иоанна Палермского 169

256 оглавление
Глава II
ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО 173
1. Лука Пачоли и его «Сумма знаний по арифметике,
геометрии, отношениям и пропорциям» 173
2. Учение о неопределенных уравнениях у Луки Пачоли . . 177
3. Влияние «Суммы» на творчество математиков XVI в. . . 180
Тлава III
ВЕК АЛГЕБРЫ , в 182
1. XVI век —век алгебры 182
2. Диофантовы уравнения у Рафаэля Бомбелли 184
3. Франсуа Виет 187
4. Создание буквенного исчисления 190
5. «Genesis triangulorum» 193
6. Неопределенные уравнения второй степени у Виета ... 201
7. Проблема четырех кубов 203
8. Заключение 205
Глава IV
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА 205
1. Пьер Ферма и его время 205
2. Теория чисел Ферма, Метод спуска 209
3. Неопределенные уравнения Fn (ж, у) = 0 для » = 3и4 . . 217
4. Решение проблемы четырех кубов 226
5. «Двойные равенства» у Ферма 228
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 233
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Сводка задач «Арифметики» Диофанта 235
Сводка задач четырех книг арабской версии «Арифметики»
Диофанта 243
Неопределенные задачи из «Книги квадратов» Леонардо Пи-
занского 246
Неопределенные задачи из трактата «Zetetica» Виета .... 246
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Основные издания «Арифметики» Диофанта 248
ЛИТЕРАТУРА 9 . с. *.*..*...... 249