И. Г. Башмакова, Е. И. Славутин
ИСТОРИЯ
ДИОФАНТОВА
АНАЛИЗА
ОТ ДИОФАНТА
ДО ФЕРМА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«НАУКА»
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ
И. Г. Башмакова, Е. И. Славутин
ИСТОРИЯ
ДИОФАНТОВА
АНАЛИЗА
ОТ ДИОФАНТА
ДО ФЕРМА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1984
УДК 512 (091)
Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История дио*
фантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.
Монография резюмирует многолетние исследования авторен
по истории одного из важнейших разделов современной мате-
матики — теории диофантовых уравнений. Она содержит ори-
гинальный анализ «Арифметики» Диофанта Александрийского»
(III в. н. э.), трудов математиков средневекового Востока и
Европы вплоть до Ферма.
Книга адресована специалистам-математикам, историкам,
науки, а также читателям, интересующимся математикой и ее*
историей.
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Изабелла Григорьевна Башмакова, Евгений Иосифович Славутин?
ИСТОРИЯ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ОТ ДИОФАНТА
ДО ФЕРМА
Утверждено к печати Институтом истории естествознания и техники
Академии наук СССР
Редактор А. Ф. Лапко. Редактор издательства И. М. Столярова.
Художник Л. А. Григорян. Художественный редактор Т. П. Поленова.
Технический редактор Т.В. Калинина. Корректоры Г.Н.Лащ, И. А. Тала лай-
ИБ № 27030
Сдано в набор 12.08,83. Подписано к печати 20.12.83. Т-24107.
Формат бОхОО^н. Бумага типографская № 1. Гарнитура обыкновенная^
Печать высокая. Усл. печ. л. 16. Уч-изд. л. 15,1. Усл. кр. отт. 16,25.
Тираж 1800 экз. Тип. зак. 3114 Цена 2 р.
* Издательство «Наука» 117864 ГСП-7, Москва В-485 Профсоюзная ул. 90
2-я типография издательства «Наука» 121099, Москва, Гт99, Шубинский пер., 10
Б ^2(02)°^^	И8-84-1	© Издательство «Наука», 1984 ;
ПРЕДИСЛОВИЕ
Задачи на неопределенные или диофантовы уравнения воз-
никли в глубокой древности. Мы находим их за две тысячи лет
до нашей эры в клинописных текстах Вавилона. С тех пор на
протяжении всей истории науки интерес к ним не ослабевает,
я за последние 20—30 лет он особенно возрос. По-видимому,
в этом сыграла роль и близость диофантова анализа к алгебраи-
ческой геометрии — властительнице дум современных матема-
тиков, и то обстоятельство, что к таким уравнениям привлекли
внимание проблемы алгоритмической разрешимости.
Однако история диофантовых уравнений, даже в первом
приближении, еще не написана. В общих курсах истории мате-
матики она выпадала из поля зрения, так как не укладывалась
целиком ни в одно из звеньев традиционного деления математи-
ки: анализ, алгебра, арифметика, геометрия. Скорее она стояла
на стыке всех этих наук. Но даже отдельные исследования, по-
священные диофантову анализу, стали появляться лишь в самое
последнее время.
В этой книге мы предлагаем очерк развития теории диофан-
товых уравнений от Диофанта, положившего начало этой науке,
до Ферма, в творчестве которого круг идей и методов, восходя-
щих к Диофанту, получил известное завершение. Мы останав-
ливаемся также на предыстории вопроса, т. е. на приемах реше-
ния задач, эквивалентных неопределенным уравнениям, в древ-
нем Вавилоне, в классической греческой математике и у Герона
Александрийского, жившего в начале нашей эры.
Мы не претендуем на полноту изложения. Наша цель состоит
скорее в том, чтобы проследить развитие основных для данного
периода идей и проиллюстрировать их на строго ограниченном
числе задач. Мы надеемся, что наша книга будет иметь продол-
жение, относящееся уже к диофантову анализу XVIII—XIX вв.
Мы рассматриваем развитие диофантовых уравнений в тесной
связи с общей эволюцией алгебры. Наше исследование, как мы
надеемся, покажет, что в изучаемый период решающее влияние
на развитие алгебры оказали нужды учения о диофантовых урав-
нениях, во всяком случае влияние этого учения на формирова-
ние алгебры было не менее значимым, чем стимулы, идущие от
проблемы решения уравнений в радикалах.
Книга рассчитана на широкие круги математиков, любителей
математики и истории науки, имеющих знания по математике
в размере первых двух курсов физико-математических факуль-
тетов. Ниже (после «Введения») мы даем краткие сведения из
алгебраической геометрии, необходимые для понимания мето-
дов решения неопределенных уравнений.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Мы приносим глубокую благодарность всем тем, кто помогал
нам советами при написании этой книги. Особенно мы благодар-
ны И. Р. Шафаревичу, без постоянного участия которого наша
книга не была бы написана, а также А. И. Лапину и А. Н. Пар-
шину за ценные советы и замечания. Мы выражаем нашу призна-
тельность А.П. Юшкевичу, Б. А. Розенфельду и С. С. Демидову,
многочисленные дискуссии с которыми помогли нам уточнить не-
которые выводы этой книги.
Я. Г. Башмакова
ВВЕДЕНИЕ
Эта книга посвящена истории диофантова анализа от работ
Диофанта, положившего начало этой науке, до середины XVII в.
Основное произведение Диофанта «Арифметика» представляет
собой сборник задач, большая часть которых эквивалентна не-
определенным уравнениям. Каждая задача сопровождается одним
или несколькими решениями. Многие задачи имеют длинную
предысторию: некоторые из них восходят к школе Пифагора,
другие — к древнему Вавилону. Однако до Диофанта эти задачи
трактовались чисто арифметически. Новое, что внес Диофант,
состоит в его методе или, вернее, в его методах.
Прежде всего Диофант сводит задачу к неопределенному урав-
нению
F (хг, х2, ...,	= 0, п > 2,	(1)
или системе таких уравнений
Р1	• • ч #п) == О,
...................................................... (2)
Рт (#1? • ♦ хп) О,
где т < п и F, Fx, . . ., Fm — многочлены с коэффициентами
из поля рациональных чисел Q. Затем он находит методы для
решения различных классов таких уравнений. При этом решение
он всегда ищет в полуполе положительных рациональных чисел
Q+, что часто приводит его к необходимости проводить допол-
нительное исследование.
Диофант трактовал свои задачи чисто алгебраически. Боль-
шинство его методов пригодно и для случая, когда уравнение (1)
или система (2) рассматриваются над произвольным алгебраи-
ческим полем. Иногда для вывода условий существования по-
ложительного рационального решения он прибегает к теоретико-
числовым исследованиям, но никогда не трактует эти вопросы
геометрически Ч ,
При изучении «Арифметики» все исследователи, начиная с
Франсуа Виета — изобретателя буквенного исчисления, поль-
зовались «переводом» задач и их решения на язык буквенной
алгебры. Так поступали Виет и Баше де Мезириак, П. Ферма
и Ж. де Бильи, Л. Эйлер и Ж. Лагранж. Этот путь избрали
и историки науки XIX—XX вв., исследуя творчество Диофанта
и комментируя его «Арифметику», например, И. Г. Цейтен [39],
1 При постановке и решении некоторых задач (главным образом в книге VI)
Диофант пользуется пифагорейскими треугольниками с рациональными
сторонами, но нигде не применяет геометрических образов: окружности,
гиперболы, касательной и т. д.
6
ВВЕДЕНИЕ
М. Кантор [65, т. 1], Т. Хизс [83, 84], П. Т аннери [73], Г. Верт-
хейм [75], Э. Стаматис [107] и многие другие. Собственно говоря,
буквенной символикой пользовался и сам Диофант (см. ч. I,
гл. III), но в более ограниченных пределах, чем мы.
В XVI—XVIII вв. на этом пути было сделано многое. Ко
времени Эйлера математики овладели основными методами Дио-
фанта и сумели их обобщить и развить. В это время изучением
«Арифметики» занимались такие «полубоги» как Ферма и Эйлер,
но и они с помощью одной только буквенной алгебры не смогли
провести обоснованную классификацию задач диофантова ана-
лиза, например, не сумели охарактеризовать класс неопределен-
ных уравнений вида Fn (х, у) = 0, для которых х и у выражаются
как рациональные функции одного параметра. С тех пор сами ;
творения математиков XVI—XVIII вв. стали историей, а те !
методы, которые они извлекли из «Арифметики» Диофанта, и те
средства, с помощью которых можно подвергнуть более глубо- |
кому исследованию и классификации задачи диофантова анализа |
(понятие рода кривой, бирациональные преобразования, эллип- j
тические аргументы кривой и т. д.) получили развитие не в ал- i
гебре, а в алгебраической геометрии и теории эллиптических
функций. Поэтому продолжение историко-математических ис-
следований методов диофантова анализа при помощи одной только
буквенной алгебры представляется в настоящее время делом
довольно безнадежным. И действительно, пользуясь только та-
ким «переводом» многие крупнейшие историки науки, такие как
Б. Л. ван дер Варден и И. Гофман пришли к неверному выводу, 
что у Диофанта вообще не было общих методов (подробнее об
этом см. ч. I, гл. II, раздел 3). Пример такого рода суждений '
дает выдержка из книги О. Беккера и И. Гофмана «История
математики»: «Диофант не дает никакого общего метода, но при- *
меняет, по-видимому, для каждой новой задачи новый неожидан- ’
ный искусственный прием, напоминающий восточные» [54,
с. 90]. Неудивительно поэтому, что в математической литературе
можно найти разнообразные, но весьма малообоснованные мне-
ния относительно того, кто был автором «метода касательной»
и «метода секущей», о которых мы будем подробно говорить в
нашей книге. Так Т. Сколем в своей известной книге «Диофан-
товы уравнения» пишет, что эти методы были применены впервые
Коши и Люка [106, с. 79], а сам Люка называет, в свою очередь, ,
автором «метода касательной» Пьера Ферма. Таким образом,
разрыв в дате появления одного из важнейших методов для на- |
хождения рациональных точек на эллиптических кривых дости-
гает 200 лет! На самом деле, как мы покажем, дата, указанная
Сколемом, отстает от действительности на полторы тысячи лет.
Изучая сочинения Диофанта и его последователей на Востоке
и Западе мы пришли к убеждению, что для понимания их смысла
ВВЕДЕНИЕ
7
необходим «перевод» на другой язык, отличный от языка элемен-
тарной алгебры.
Здесь возможны различные интерпретации. Перечислим не-
которые из них: 1) можно выбрать геометрическую интерпрета-
цию, т. е. воспользоваться языком аналитической геометрии и
элементами алгебраической геометрии (понятием алгебраической
кривой, алгебраического многообразия, касательной, секущей,
особой точки, рода кривой и т. д.); 2) можно избрать аналити-
ческую интерпретацию, как это делали К. Якоби, а затем
А. Пуанкаре, и для изучения арифметики кривых рода 1 при-
метить теорию эллиптических функций; 3) можно, наконец,
воспользоваться языком алгебраических полей, применяя теорию
дивизоров.
Каждая из предложенных интерпретаций имеет свои сильные
и слабые стороны. При этом некоторые методы выглядят проще
при одной, другие — при другой интерпретации (примеры этого
читатель найдет в этой книге). Для наших целей — анализа
развития диофантова анализа до Ферма — будет достаточно пер-
вой из перечисленных интерпретаций. Итак мы будем система-
тически пользоваться языком геометрии.
Если задано уравнение
Fn (х, у) = 0,	(3)
где Fn (х, у) — неприводимый] над Q многочлен степени и, то
мы будем говорить, что задана плоская кривая Г порядка п.
Если ж0, У о — рациональное решение уравнения (3), то мы будем
говорить, что дана точка М (xQ, у0), лежащая на кривой Г. Если
произведена подстановка
У = к (х — xQ) + у0,	(4)
то мы будем говорить о прямой, проходящей через точку М кри-
вой Г, если к— —’ то — 0 касательн°й к кривой Г в
точке Л/, и т. д. Из элементов алгебраической геометрии мы будем
пользоваться также понятиями рода алгебраической кривой,
многообразия п измерений и бирациональной эквивалентности.
Кроме того, мы будем использовать в некоторых случаях одно-
родные координаты и рассматривать бесконечно удаленные эле-
менты кривых и поверхностей. Необходимые сведения из алгеб-
раической геометрии приведены ниже в соответствующем разделе *
нашей книги.
Заметим, что геометрический язык, который мы выбираем,
предпочтительнее еще и потому, что с конца прошлого века он
стал общеупотребительным в математике. Мы привыкли мыслить
геометрически. На этом языке будет легче и яснее представить,
в чем суть методов Диофанта и его многочисленных последова-
телей.
8
ВВЕДЕНИЕ
Разумеется, мы будем сначала излагать методы представлен-
ных здесь авторов в тех терминах, которые они сами употребляли,
и только затем будем давать «перевод» на геометрический язык,
так чтобы читатель сам мог судить о том, удалось ли нам избе-
жать излишней модернизации и насколько адекватна наша ин-
терпретация оригиналу.
Выбранный нами путь отнюдь не является новым: историки
науки всегда пользовались переводом изучаемых сочинений на
тот или иной математический язык и, вероятно, никогда от этого
не откажутся. Именно так поступали и сами математики
XVI—XVIII вв., а вслед за ними и историки науки, при изучении
работ Архимеда, переводя их сначала на язык бесконечно малых,
а затем на язык интегрального и дифференциального исчисления,
пользуясь понятиями верхних и нижних интегральных сумм,
дифференциального треугольника, предела и * т. п. Так до нас
поступали и с «Арифметикой», переводя ее на язык буквенной
алгебры, так будем поступать и мы, избирая при этом новую,
более адекватную природе изучаемых методов геометрическую
интерпретацию.
В «Арифметике» мы рассмотрим, в основном, три класса задач:
1.	Задачи, сводящиеся к уравнению вида
F2 (х, у) = 0,	(5)
где F2 (%, у) — многочлен второй степени с рациональными коэф-
фициентами. Этот класс задач был изучен Диофантом достаточно
глубоко. На современном языке его результат состоит в том,
что если уравнение (5) имеет рациональное решение <г0, уОг то
оно имеет и бесконечно много других рациональных решений,
которые могут быть выражены как рациональные функции с
рациональными коэффициентами от одного параметра:
 х = (0, у = У (О-
В этом случае говорят, что имеет место униформизация, а кривая,
задаваемая уравнением (5), называется рациональной.
2.	Задачи, эквивалентные решению уравнения вида
F3 (х, у) = 0,	(6)
где Fs (х, у) — неприводимый многочлен третьей степени с ра-
циональными коэффициентами. Кривая Г, определяемая этим
уравнением может иметь либо род 0, либо род 1 (определение
рода плоской кривой см. ниже.) В первом случае уравнение (6)
решается тем же методом, что и уравнение (5). Во втором случае
уравнение (6) не может быть униформизировано в рациональных
функциях, но его можно униформизировать в эллиптических
функциях. Кривые рода 1 поэтому называют также эллипти-
ческими. Для нахождения рациональных решений в этом послед-
нем случае Диофант применяет два метода:
ВВЕДЕНИЕ
9
1) «метод касательной», позволяющий по одному решению
уравнения (6) найти еще одно его рациональное решение,
и 2) «метод секущей», позволяющий по двум рациональным реше-
ниям уравнения (6) найти третье его рациональное решение.
Последний метод применялся Диофантом не во всей его общности.
Заметим, что оба эти метода и до сих пор являются единственными
для нахождения рациональных точек на кривых рода 1 (любого
порядка), если известны одна или две рациональные точки.
3.	Задачи, сводящиеся к решению «двойного равенства», т. е.
системы вида
ах2 + Ъх + с = и2, агх2 + Ьгх + с± = v2.	(7)
Такая система определяет пространственную алгебраическую кри-
вую рода 0 или 1. Диофант предлагает методы отыскания рацио-
нальных решений системы (7) и в том и в другом случае. Эти
методы, разумеется, совершенно различны.
Кроме того, мы рассмотрим некоторые задачи Диофанта,
эквивалентные нахождению рациональных точек на кривых вида
j/2 = Ft (х) и на некоторых алгебраических поверхностях треть-
его порядка.	&
В дальнейшем мы проследим историю этих проблем на араб-
ском Востоке, в средневековой Европе, в эпоху Возрождения и
в XVII в. Мы покажем, что раньше всего был воспринят алгеб-
раический аспект «Арифметики». Эта книга ознаменовала новый
этап в развитии алгебры, а именно,— рождение буквенной ал-
гебры. До этого можно выделить два этапа в развитии алгебры:
1) числовая алгебра древнего Вавилона и 2) геометрическая
алгебра классической греческой математики. Числовая алгебра
не давала возможности проводить общим образом выводы и уста-
навливать общезначимые формулы. Этих недостатков лишена
геометрическая алгебра. Однако, поскольку она опиралась на
геометрию Евклида, т. е. геометрию циркуля и линейки, то в
ней рассматривались, в основном, формулы, связывающие ве-
личины двух измерений (площади), и квадратные уравнения.
Оперирование с алгебраическими величинами производилось с
помощью геометрических преобразований, что делало ее весьма
громоздкой. Свой истинный язык — буквенную символику —
алгебра обрела на третьем этапе, начало которому и положила
«Арифметика» Диофанта. В ней содержались две фундаменталь-
ные для алгебры идеи: 1) введение буквенной символики и начал
буквенного исчисления (правила действий с буквенными выра-
жениями, уравнениями, применение подстановок), и 2) расши-
рение основной числовой области до поля рациональных чисел Q
путем введения отрицательных чисел. Без этого развитие алгебры
было бы невозможно.
В истории науки до последнего времени было принято связы-
ВОТь развитие алгебры только с исследованием и решением опре-
10
ВВЕДЕНИЕ
деленных уравнений (особенно свопросом решения их в радикалах),
неопределенные же уравнения рассматривались в теоретико-
числовом аспекте. Разумеется, исследование определенных урав-
нений было одной из центральных проблем в алгебре, особенно
в XVI и XVIII—XIX вв., однако тенденция считать эту проблему
единственной, на наш взгляд, привела к искажению историче-
ской перспективы. Мы постараемся показать, что такой взгляд
на развитие алгебры является весьма односторонним. Более
того, успехи алгебры от Диофанта до Ферма были существенным
образом связаны именно с учением о неопределенных уравне-
ниях и в значительной степени вызывались потребностями этого
учения. Не случайно почти во всех трактатах по алгебре этого
времени неопределенным уравнениям отводилось такое почет-
ное место! Это можно проследить даже в книге Л. Эйлера «Вве-
дение в алгебру» [76], где учению о неопределенных уравнениях
отводится весь второй том. То же самое мы видим в трактатах
Диофанта, Абу Камила, ал-Караджи, Леонардо Пизанского,
Бомбелли и др. И это понятно, так как именно для исследования
проблем диофантова анализа были необходимы и применялись
наиболее тонкие алгебраические методы, искусные подстановки,
остроумные преобразования. С этим же учением были связаны
и расширения числовой области, сначала до поля рациональных,
а затем и алгебраических чисел (напомним, что числа а + Ъ Y — 3
были введены Эйлером при доказательстве великой теоремы
Ферма для п = 3).
При этом основные проблемы и методы диофантова анализа
черпались из самой «Арифметики». Эта же книга служила образ-
цом того, как нужно вводить в алгебру новые объекты, такие
как отрицательные числа, мнимые числа, степени неизвестного
и т. д. Без преувеличения можно сказать, эта книга сыграла в
истории алгебры Нового времени такую же роль, как трактаты
Архимеда в развитии дифференциального и интегрального ис-<
числения.
Но в «Арифметике», как мы говорили, содержатся и более
глубокие слои, относящиеся к диофантову анализу. Идеи и мето-
ды, относящиеся к этой области, усваивались гораздо медленнее.
История этих идей и методов и составляет основной предмет
нашей книги. Мы доводим наше исследование до работ Пьера
Ферма, в которых круг идей, идущих от Диофанта, получил
известное завершение.
После Диофанта неопределенные уравнения были предметом
изучения математиков арабского Востока в X—XI вв., а затем,
начиная с XIII в., и в Европе. При этом уже на арабском Востоке
наряду с методами Диофанта мы встречаем другие более древние
методы решения задач диофантова анализа, основанные на ком-
позиции форм х* + у2 и на применении пифагоровых троек.
Оба эти метода были известны ранним пифагорейцам, но восхо-
ВВЕДЕНИЕ
И
дят, по-видимому, к древнему Вавилону. Именно эти методы и
перекочевали первыми в Европу. Мы находим их у Леонардо
Пизанского, Луки Пачоли, Джироламо Кардано. Эти методы
были чисто арифметическими и* излагались без применения языка
буквенного исчисления и учения об уравнениях. Эта линия
получила известное завершение в творчестве Ф. Виета (1540—
1603), который на основе формулы композиции форм х2 + у2
ввел композицию прямоугольных треугольников, равносильную
операции умножения комплексных чисел.
Весьма примечательно, что до знакомства с «Арифметикой»
Диофанта ни одному европейскому математику не пришла в
голову мысль применить элементы учения об уравнениях (т. е.
запись условия задачи в виде алгебраического уравнения или
системы таких уравнений, а также применение правил действия
с уравнениями, подстановок и т. д.) к решению задач диофанто-
ва анализа. Но сразу же после того, как текст «Арифметики»
был найден и прочтен (т. е. в 70-х годах XVI в.), произошел
решительный перелом во всей методике алгебраических иссле-
дований европейских математиков. Книги Р. Бомбелли (1572)
и Ф. Виета (начиная с 1596) — это уже трактаты по алгебре в
нашем смысле этого слова. Пользуясь методами Диофанта, Бом-
белли ввел не только отрицательные числа, но и мнимые, а также
обозначения для любых целых положительных степеней неиз-
вестного. Ф. Виет сделал следующий шаг, сыгравший фунда-
ментальную роль в развитии символики — он ввел буквенные
обозначения не только для неизвестных, но и для произвольных
величин (параметров), и создал первое буквенное исчисление,
ставшее неотъемлемым языком не только современной алгебры,
но и всей математики.
Р. Бомбелли и Ф. Виет выделили из «Арифметики» методы
решения как уравнений вида (5), что делали до них и математики
арабского Востока, так и уравнений вида (6), определяющих
эллиптические кривые. Применив «метод касательной», оба они
сумели решить сформулированную Диофантом проблему четы-
рех кубов, однако сделали это не самым общим образом.
Проникнуть в наиболее глубокие слои «Арифметики» сумел
только Пьер Ферма (1601—1665), который и был основателем
теории чисел и учения о неопределенных уравнениях нового
времени. Именно он показал, каким образом можно последова-
тельно повторять «метод касательной» (см. ч. III, гл. 3) и таким
путем находить бесконечно много рациональных решений урав-
нения, определяющего эллиптическую кривую. Он же решил
проблему четырех кубов в самом общем виде.
Исследования Ферма были продолжены и систематизированы
Леонардом Эйлером (1707—1783). В его творчестве были рассмот-
рены все основные аспекты «Арифметики». Последующие мате-
матики, занимаясь неопределенными уравнениями, обращались
12
ВВЕДЕНИЕ
уже не к Диофанту, а к Эйлеру. Но в творчестве этого великого
ученого не только нашла завершение традиция, идущая от Дио-
фанта, но и был поднят совершенно новый круг вопросов, сыграв-
ших решающую роль в дальнейшем развитии диофантова анали-
за — мы имеем й виду открытие Эйлером теоремы сложения и
умножения эллиптических интегралов. Но это уже новый этап
в развитии диофантова анализа, в создании которого приняли
участие ученые прошлого века от Карла Густава Якоба Якоби
до Анри Пуанкаре. В 1901 г. появилась знаменитая работа
Пуанкаре «Об арифметических свойствах алгебраических кривых»
[31, 98], где были подведены итоги и первого, и второго этапов
развития диофантова анализа и намечена программа для его
дальнейшей разработки. В настоящее время мы присутствуем
при осуществлении основных идей Пуанкаре на основе совре-
менной алгебраической геометрии.
Предлагаемая книга делится на три части. В первой рассмат-
ривается диофантов анализ в античности, главным образом,
в «Арифметике» Диофанта. Во второй — на средневековом Востоке.
Здесь анализируются трактаты по алгебре и неопределенному
анализу Абу Камила, Ибн ал-Хусапна, ал-Караджи, творчество
которых в последнее время привлекает довольно большое внима-
ние в связи с интенсивными исследованиями алгебры и арифмети-
ки в X—XI вв. на арабском Востоке. Вторая часть суммирует
наиболее интересные результаты, полученные в этом направлении
за последние 5—10 лет.
Третья часть посвящена истории диофантова анализа в XIII—
XVII вв. в Европе. Она, в свою очередь, делится на два раздела:
в первом рассказывается об исследованиях европейских матема-
тиков др знакомства с «Арифметикой» Диофанта (Леонардо Пи-
занского, Луки Пачоли, Джироламо Кардано), во втором —
после знакомства с ней (Рафаэль Бомбелли, Франсуа Виет, Пьер
Ферма). Разительное различие в применяемых методах и самом
стиле этих работ свидетельствует о том, какое сильное влияние
оказала «Арифметика» на алгебру, неопределенный анализ и
теорию чисел Нового времени.
Мы ни в коей мере не претендуем на сколько-нибудь полный
анализ «Арифметики». Скорее мы рассматриваем нашу книгу
как первый шаг на пути более глубокого ее изучения и исследо-
вания ее влияния на дальнейшее развитие математики. Мы на-
деемся, что наша книга побудит историков науки вновь обратиться
к гениальному произведению Диофанта, богатства которого еще
далеко не исчерпаны.
ВВЕДЕНИЕ
13
СВЕДЕНИЯ
ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Пусть задано уравнение
F (9, У) = 0,	(1)
где F (х, у) — многочлен с коэффициентами из поля рациональ-
ных чисел Q, неприводимый над полем комплексных чисел С.
Множество точек вещественной плоскости R2, координаты кото-
рых удовлетворяют уравнению (1), называется плоской алгебраи-
ческой кривой.
Порядком кривой Г, определяемой уравнением (1), называется
степень п многочлена F (х, у). Кривая Г порядка п пересекается
с любой прямой, определяемой уравнением
Ах + By + С = О
ровно в п точках. При этом необходимо учитывать кратность
точек пересечения, а также комплексные и бесконечно удален-
ные точки. Приведем примеры.
а.	Кривая х3 + у2 = 1 и прямая х + у = 10 пересекаются
в двух комплексных точках;
б.	Кривая у3 = 1 — х3 имеет с прямой у = 1 тройную точ-
ку 1 пересечения Р (0, 1);
в.	Кривая у2 = 4х2 + я + 2 имеет с прямой у = 2х одну
конечную точку пересечения М (—2, —4) и одну бесконечно уда-
ленную.
Для определения бесконечно удаленной точки нам придется
ввести однородные координаты, т. е. по существу, перейти от
вещественной плоскости R2, в которой мы рассматриваем кри-
вую, к проективной плоскости Р2. Каждая точка Р2 характери-
зуется упорядоченной тройкой вещественных чисел (и, и, ш),
из которых хотя бы одно отлично от нуля. Две такие тройки
(u, р, w) и (их, определяют одну и ту же точку тогда и толь-
ко тогда, когда и : иг = v : vr = w :	Любой набор (u, v, w)
называется однородными координатами плоскости Р2.
Установим соответствие между точками плоскостей R2 и Р2.
Пусть (u, v, w) есть некоторая точка Р2. Если w ф 0, то возьмем
тройку (u/w, v/w, 1), которая определяет ту же точку в Р2. По-
ставим ей в соответствие точку плоскости R2 с координатами
# =« u/w, у — v/w. Если же w = 0, то точке (и, у, 0) не будет
отвечать ни одна точка плоскости R2. Такие точки называются
бесконечно удаленными или несобственными. Все такие точки
лежат на бесконечно удаленной прямой w = 0.
х Об особых точках и кратных точках пересечения кривых см. [37J.
14
ВВЕДЕНИЕ
Для перехода от уравнения (1) к уравнению в однородных
координатах, полагаем х = u/w, у = vlw. Сделав соответствую-
щую подстановку и приведение к общему знаменателю, получим
однородное уравнение
Ф (u, v, w) = 0,	(2)
для которого бесконечно удаленная точка вполне равноправна
с обычными.
В нашем случае кривая у2 = 4#2 4- х + 2 в однородных ко-
ординатах будет иметь уравнение v2 = 4ц2 + xw + 2w2. Пола-
гая w = 0, найдем две бесконечно удаленные рациональные
точки Мг (1, 2, 0) и М2 (1, —2, 0). Прямая и = 2и пройдет через
точку Мг — это и будет вторая точка пересечения нашей прямой
с заданной кривой.
Классификация кривых по их порядкам имеет большое зна-
чение. Она была введена Р. Декартом (который объединил
в один класс кривые порядков 2п — 1 и 2п) и уточнена И. Нью-
тоном.
Основная теорема здесь принадлежит Безу: кривая порядка
т пересекается с кривой порядка п ровно в тп точках. Здесь*
разумеется, опять надо учитывать комплексные и бесконечно
удаленные точки, а также кратность пересечения.
Однако классификация кривых, учитывающая только их по-
рядок еще слишком груба для нужд диофантова анализа. Две
кривые, имеющие один и тот же порядок, могут иметь совершенно
различные множества и рациональных точек. Так кривая Г*
заданная уравнением х2 + У2 == 1? имеет, как будет показано
в дальнейшем (ч. I, гл. IV, раздел 1), бесконечно много рацио-
нальных точек, координаты которых выражаются в виде
_ 2k	_ k2—l
Х~ & +1 ’	/с21 ’
а кривая х2 + у2 == 3 не имеет ни одной рациональной точки»
Очень важным для диофантова анализа является понятие
бирационального изоморфизма кривых.
Определение 1. Две кривые / (х, у) = 0 и g (u, v) = 0
называются бирационалъно изоморфными или эквивалентными над
полем Q, если координаты каждой из этих кривых выражаются
через координаты другой с помощью рациональных функций с
рациональными коэффициентами:
X — <р (и, р),	и = <Pi (х, у),
у = ф (и, р),	р = Ф1 (х, У)-
Ясно, что у двух бирационально эквивалентных кривых мно-
жества и рациональных точек совпадают с точностью до
конечного числа точек. Бирационально эквивалентными могут
быть кривые различных порядков, иначе говоря, порядок кри-

ВВЕДЕНИЕ
15
вой не является бирациональным инвариантом. Так, например,
кривая 4-го порядка L
_ хз + 2х - 2 = (х - 1)(я3 + 2)
может быть преобразована с помощью подстановки
® кривую 3-го порядка L'
V* = За3 + За2 + Зи + 1,
причем u, v также выражается рационально через ж, у:
и = 1/(х — 1), V — у/(х — I)2.
Мы увидим, что любая кривая второго порядка, если на ней
лежит рациональная точка, бирационально эквивалентна ра-
циональной прямой.
На основное значение бирациональных преобразований для
изучения арифметики алгебраических кривых обратил внимание
А. Пуанкаре во введении к своей знаменитой работе «Об арифмети-
ческих свойствах алгебраических кривых»: «Я спросил себя,
нельзя ли многие проблемы анализа связать друг с другом на
•систематической основе, благодаря новой классификации одно-
родных полиномов высшего порядка, аналогичной в некотором
смысле классификации квадратичных форм.
Эту классификацию следовало бы строить на основе группы
бирациональных преобразований с рациональными коэффициен-
тами, которую допускает алгебраическая кривая» [31, с. 901].
Одним из основных инвариантов группы бирациональных пре-
образований является род кривой. Для определения этого поня-
тия введем предварительно понятие простейшей двойной точки
кривой.
Известно, что особыми точками кривой Г, задаваемой урав-
нением (1), будут те, координаты которых удовлетворяют урав-
нениям
fx (х, у) = 0,	4 (х, у) = 0.
Таких точек у алгебраической кривой может быть только конеч-
ное число. Если при этом одна из вторых производных /хх, fxy,
/уу отлична от нуля, то соответствующая точка Р (<г0, у0) называ-
ется двойной- Наконец, простейшей двойной точкой мы будем на-
зывать такую, в которой кривая имеет две несовпадающие каса-
тельные (рис. 1). При определении рода мы будем считать, что кри-
вая Г может иметь в качестве особых точек только простейшие
Двойные точки. Это — не существенное ограничение, так как мож-
но доказать, что любую алгебраическую кривую можно бирацио-
16
ВВЕД Б HfiE
нально преобразовать в кривую, имеющую только простейшие
двойные точки.	i
Теперь мы можем дать определение рода кривой.
Определение 2. Родом плоской алгебраической кри-
вой Г порядка п называется число
(3)
где d — число простейших двойных точек кривой.
Ясно, что g — целое число. Доказывается, что g 0. Если
порядок п равен 1 или 2, то g — 0. Такие кривые называются еще
рациональными, так как если на кривой Г:
F (х, у) = 0
рода 0 лежит рациональная точка Р (х0, z/0), то координаты х и у
могут быть выражены в виде х = ср (£), у = г|) (£), где ф и гр — ра-
циональные функции с рациональными коэффициентами и такие,
что F (ф (£), гр (£)) = 0. При этом t = % (х, у), где х также рацио-
нальная функция с рациональными коэффициентами.
Говорят еще, что кривые рода 0 униформизируются в рацио-
нальных функциях.
Если п = 1, то ясно, что любые две прямые Ах + By + С =
= 0 и Агх + Вгу +	= 0, коэффициенты которых рациональны,
будут бирационально эквивалентны, т. е. существует только один
класс бирационально эквивалентных прямых.
Если п = 2, т. е. кривая является коническим сечением, и
если на ней лежит рациональная точка Р (х0, yQ), то кривая будет
бирационалъно эквивалентна прямой. Чтобы в этом убедиться
достаточно рассмотреть какую-нибудь прямую D с рациональны-
ми коэффициентами (такие прямые в дальнейшем будем называть
рациональными) и задать соответствие между точками М кониче-
ского сечения и точками М' прямой D так, чтобы три точки Р,
М, М' лежали на одной прямой. При изучении «Арифметики»
Диофанта мы увидим, как такое соответствие задается аналитиче-
ски. Так как любое коническое сечение, содержащее рациональную
точку, эквивалентно рациональной прямой, то все такие сечения
будут эквивалентны друг другу, т. е. будут составлять один класс
и к этому классу будут принадлежать все рациональные прямые.
Отсюда следует, что если на коническом сечении лежит одна ра-
циональная точка, то на нем лежит и бесконечно много рациональ-
ных точек. Как мы увидим, уже Диофант показал по существу
что координаты всех таких точек представимы в виде
ж = ф (i), у = ф (t),
где ф и ф — рациональные функции с рациональными коэффи-
циентами.
ВВЕДЕНИЕ
17
Конические сечения, не содержащие ни одной рациональной
точки, разбиваются на многочисленные классы эквивалентных,
между собой кривых.
А. Пуанкаре доказал теорему: «Всякая кривая рода 0 и по-
рядка и, п > 2, бирационально эквивалентна кривой порядка
п — 2» [31, с. 905] Ч Следовательно, рациональная кривая рода (X
всегда эквивалентна прямой или коническому сечению.
Если кубическая кривая имеет род 0, это означает, что
(3 — 1)0^)____d = 0
2
т. е. d = 1, и поэтому кривая должна иметь одну простейшую,
двойную точку. Эта точка, очевидно, будет рациональной. Всякая
\d
Рис. 2
прямая, проходящая через двойную точку Р пересечет кривую F
еще только в одной точке. Покажем, что в этом случае кривая 3-го
порядка Г будет бирационально эквивалентна рациональной пря-^
мой. Для этого возьмем некоторую рациональную прямую D и за-
дадим соответствие между точками М кривой Г и точками Mf
прямой D так, чтобы три точки 'М, М' и двойная точка Р лежали
на одной прямой (рис. 2). Итак, наша кривая Г, имеющая прос-
тейшую двойную точку, бирационально эквивалентна рациональ-
ной прямой. Такую кривую можно униформизировать в рацио-
нальных функциях. Например, у кривой г/2 — х* — 2х2 двойной
точкой будет Р (0, 0). Проводя через нее прямые у ~ кх, получим
к2х2 = х* — 2х2, откуда х — к2 + 2, у = к (к2 + 2).
Рассмотрим теперь кривые рода 1.
Доказывается, что кривые рода 1 не могут быть уииформизи-
рованы в рациональных, функциях, но их можно представить
в виде эллиптических функций одного аргумента, поэтому эти*
кривые называют еще эллиптическими.
Если уравнение
/з (*, у) = О	(4Х
определяет кривую Г рода 1, на которой лежит рациональная точ-~
ка Р (*го, У о), то ее можно с помощью бирационального преобразо-
—----
За 10 лет до Пуанкаре аналогичный результат был получен Гильбертом^
и Аурвицем [86].
18
ВВЕДЕНИЕ
вания привести к виду
у2 = х3 + ах + Ъ.	(5)
Это так называемая вейерштрассова нормальная форма. В этом
случае х и у можно представить с помощью функций Вейерштрасса
х = 8* (О, У = F (О-
Итак, координаты рациональных точек кривой 3-го порядка
не могут, вообще говоря, быть выражены как рациональные
функции одного параметра. Однако, зная одну или две рациональ-
ные точки кубической кривой, можно найти еще одну ее рацио-
нальную точку. Для этого применяют два метода, получившие на-
звание метода касательной и метода секущей:
1. Если Р — рациональная точка кубической кривой Г, то,
проводя к кривой Г касательную в точке Р, получим рациональ-
ную прямую (так как угловой коэффициент ее будет рациональ-
ным), которая пересечет Г еще в одной точке, очевидно рациональ-
ной. Это — метод касательной.
2. Если и Р2 — рациональные точки кривой Г, то через
них проводится рациональная прямая РгР^ которая пересечет
кривую Г в третьей рациональной точке Р3. Это — метод секу-
щей.
Мы увидим, что Диофант пользовался обоими этими методами.
Первым — во всей его общности, а вторым — только в том случае,
когда одна из заданных точек конечна, а другая — бесконечно
удалена.
Основная теорема о кривых рода 1 была доказана А. Пуанка-
ре: Любая кривая рода 1 и порядка п с рациональными коэф-
фициентами, на которой лежит рациональная точка, бирационально
эквивалентна кубической кривой.
Таким образом, кривые 3-го порядка служат как бы моделью
для изучения арифметики кривых рода 1.
Если ЭД — множество рациональных точек эллиптической
кривой 3-го порядка, то можно с помощью методов касательной
и секущей ввести в него структуру абелевой группы. По существу,
это было сделано уже К. Якоби [88] в 1835 г. Более глубокое изу-
чение этой группы провел А. Пуанкаре в неоднократно цитируе-
мом нами мемуаре [31, 98]. Ему принадлежит гипотеза о том, что
эта группа имеет конечное число образующих. Это число он наз-
вал рангом кубической кривой. Ранг кривой, как было, впоследст-
вии доказано, является инвариантом группы бирациональных
преобразований. Пуанкаре поставил вопрос о том, какие значе-
ния может принимать ранг кубической кривой. Этот вопрос оста-
ется пока открытым. Важный результат здесь принадлежит анг-
лийскому математику Л. Дж. Морделлу, который показал, что
ранг эллиптической кривой всегда конечен.
А. Пуанкаре показал, что в группе рациональных точек эл-
липтической кривой могут быть элементы конечного порядка
ВВЕДЕНИЕ
19
0. это группа с кручением). Мы увидим, что этот факт был
по существу известен Ферма и Эйлеру.
Остановимся в заключение на геометрическом смысле группо-
вых операций, определяемых на основе метода секущей и метода»
касательной. Кубическую кривую, если на ней лежит рациональ-
ная точка, предварительно приведем к виду (5). Суммой точек А
и В кривой Г назовем точку С, симметричную относительно оси.
абсцисс с точкой С' пересечения прямой АВ с кривой Г:
А ф В = С.
Таким образом, если С' имеет координаты (х, #), то точка С бу-
дет иметь координаты (х, —у). Такой переход от точки пересечения
С' к симметричной точке С очень важен. Только после этого опе-
рация сложения приобретает свойства групповой операции: она:
становится ассоциативной, будет существовать точка, играющая
роль нуля, каждый элемент будет иметь обратный или противопо-
ложный элемент. Коммутативность такой операции очевидна.
Однако таким способом нельзя сложить точку А с собой, т. е.
получить точку 2А. Для этого применим метод касательной: точ-
кой 2А == D назовем точку, симметричную с точкой пересечения,
касательной в точке А с кривой Г.
Нам остается найти точку, которая играет роль нуля. Среди
конечных точек такой нет. Поэтому перейдем к однородным коор-
динатам, положив х = u/w, у = v/w. Тогда уравнение (5) примет
вид
v2w = u3 + auw2 + bw3.	(6)i
При w = 0, и = 0, v — произвольно. Можно принять v ~ 1..
Обозначим буковй О бесконечно удаленную точку кривой Г с ко-
ординатами (0, 1, 0). Ясно, что точка О', симметричная точке О
относительно оси абсцисс, совпадает с (?.
Покажем, что точка О и будет играть роль нуля. Для этого за-
метим, что все вертикальные прямые и = mw пересекаются в точ-
ке О. Действительно, при = 0 и и = 0, v можно принять рав-
ным 1. Пусть теперь дана некоторая рациональная точка А (х0, yQ)
кривой Г. Тогда, согласно только что доказанному, прямая, про-
ходящая через Л и О, будет вертикальной, т. е. уравнение ее будет
х = х0. Эта прямая пересечет кривую Г в трех точках: точке Л,
точке О и точке Л' (х0, — yQ), симметричной точке Л относительно
оси абсцисс. Согласно нашему определению сумма точек А и О
есть точка, симметричная А', т. е. сама точка Л. Итак, ЛфО = Л.
Наконец, точкой, противоположной точке Л, будет Л' (х0>.
Действительно, соединяющая их прямая будет вертикаль-
ной, следовательно, она пересечет кривую Г еще в точке О, т. е._
л Ф Л' = 0.
20
ВВЕДЕНИЕ
Точка конечного порядка будет характеризоваться тем, что
при некотором n: nA = Л, т. е. произойдет возврат к исходной
лочке.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Пусть задана система т алгебраических уравнений от п неиз-
вестных, п т:
(*^1» • • ч ^п)	0»
• • .................................................. (7.
т (^1> • • ч #n) =
где F14 . . ., Fm — многочлены с рациональными коэффициента-
лии. Такая система определяет, вообще говоря, алгебраическо
многообразие размерности п — т1 *.
Если т — 1, п = 3, т. е. система сводится к уравнению
F (хъ х2. х3) = 0,	(8
то множество точек из R3, координаты которых удовлетворяю?
уравнению (8), называется алгебраической поверхностью в R3
Это — многообразие размерности 2.
Если т = 1, а п — произвольное число, большее 3, то урав
нение
р (®i, . . жп) = 0	(9
определяет гиперповерхность в пространстве Rn. Ее размерност]
72 — 1.
Поверхность (8) называется рациональной. если она бирацио
нально эквивалентна рациональной плоскости
АХ} + Вх2 -J- Сх3 + D = 0,
где C,DeQ< В этом случае х±, х2. х3 можно выразить ка
рациональные функции с коэффициентами из Q от двух параме'
ров: х± = фг (и. и). х2 = ф2 (и, р), х3 = ф3 (u, и).
Если т = 2, га-3, то множество точек из R3, координат
которых удовлетворяют системе (7), называется пространственно
.алгебраической кривой.	с
Порядок пространственной кривой Г определяется по аналоги
с плоской кривой, как число точек пересечения Г с любой пло<|
костью
Ах -J- By	С % 4“ D = 0	I
(с учетом краткости точек пересечения, а также комплексна
1 Мы не даем здесь общего определения алгебраического многообразия. Эта
определение см. в [43].	j
ВВЕДЕНИЕ
21
и бесконечно удаленных точек). Для определения рода простран-
ственной кривой Г рассматривают ее проекцию Г' на любую плос-
кость, но такую, чтобы Г и Г' были бирационально изоморфны.
Тогда*родом кривой Г называется род ее проекции Г'.
У Диофанта часто встречается система вида
дх2 4- Ъх + с = у2, агх2 + Ъгх + сг = z2,	(10)
которую он называет двойным равенством. Двойное равенство оп-
ределяет, вообще говоря, пространственную кривую 4-го порядка.
В алгебраической геометрии доказывается, что кривая Г 3-го или
4-го порядка, лежащая на гладкой поверхности S 2-го порядка
в пространстве R3, может иметь либо род 0, либо род 1 (см. [43,
с. 274—278]). В первом случае координаты кривой (10) могут быть
выражены как рациональные функции одного параметра
х = ф (О, у = 4 (t), z = х (0,	(11)
причем t = г (х, у, z), где г — рациональная функция.
Если при этом исходная система (10) имеет одно рациональ-
ное решение (xQ, у$, z0), то коэффициенты функций <р, ф, %, г будут
рациональными, и формулы (11) дадут все рациональные решения
системы (10), если параметр t будет пробегать множество рацио-
нальных чисел.
Во втором случае кривая, задаваемая системой (10), не может
быть униформизирована в рациональных функциях, однако, зная
одну ее рациональную точку, можно найти еще одну рациональ-
ную точку. Диофант, как мы покажем, рассматривает оба случая
и дает методы для отыскания рациональных точек и когда кривая,
задаваемая системой (10), имеет род 0, и когда ее род 1.
Наконец, для определения рода кривой Г, задаваемой двойным
равенством (10), мы будем пользоваться следующим удобным кри-
терием.
Пусть корни уравнений ах2 + Ъх + с = 0 и + Ъ±х 4- ег —
= 0 будут, соответственно, а, (3 и у, S. Тогда для того, чтобы кри-
вая Г имела род 1, необходимо и достаточно, чтобы все четыре
корня а, р, у, б были попарно различны.
Вывод этого критерия см. в работе [22].
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
В АНТИЧНОСТИ
*
ГЛАВА I
ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА
ДО ДИОФАНТА
1. ДРЕВНИЙ ВАВИЛОН	’
Одной из наиболее древних задач диофантова анализа была
задача о нахождении троек целых или рациональных чисел х, уЛ
2 таких, что	*
хг + У2 = z2-	(1)
Такие тройки получили название «пифагоровых», однако они
привлекали внимание математиков задолго до Пифагора — мы
находим их уже в клинописных математических текстах древнего
Вавилона в XIX—XVIII вв. до н. э. Чаще всего встречается троп-
ка (3, 4, 5), которая долгое время (без достаточного основания)
называлась «египетской», но в некоторых текстах имеются и дру-
гие тройки. Так в табличке VAT 7531 мы находим тройки (5, 12,
13), (7, 24, 25) и (19, 180, 181), а в табличке ВМ 34568 — тройки
(5, 12, 13), (8, 15,17) и (20, 21, 29). Большой интерес представляет
клинописный текст «Plimton 322» [81, 116], в котором приведена'
таблица, содержащая 15 пифагоровых троек. Ван дер Варден:
полагает, что эти тройки были получены по формулам
х = Р* — У = 2pq, 2 = Р2 + q\	(2)
которыми впоследствии широко пользовался Диофант [14, с. 108].
От «пифагоровых троек» вавилоняне умели переходить к так
называемым «вавилонским числам», т. е. тройкам целых или ра-
циональных чисел, удовлетворяющих уравнению
u2 +	= 2w\	(3)
Это уравнение возникло при решении задачи о делении трапе-;
Ции прямой, параллельной основанию, на две равновеликие части. 
Пусть задана трапеция ABCD и прямая MN делит ее на части
равной площади = 52 (рис. 3). Если обозначить ВС =
AD = v и MN = iv, то, как нетрудно видеть, u, v, w должны!
удовлетворять уравнению (3). Вавилонские вычислители заме-*
тили, что между решениями уравнения (1) и (3) существует про-|
стая зависимость: если х, у, г — решения уравнения (1), то и, |
w можно получить по формулам и = у — х, v = х + у, w =	»
ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА
23
Полагая р — п + 1» g = п, п = 1, 2, 3, 4, можно составить
таблицу пифагоровых и вавилонских троек (табл. 1). Мы увидим,
что в дальнейшем вплоть до работ Виета будут чаще всего встре-
чаться тройки с номерами 1, 2, 4
Таблица 1
п	X	V	Z	и	v	п	X	V	2	и	V
1	3	4	5	1	7 1	3	7	24	25	17	31
2	5	12	13	7	17 1	4	9	40	41	31	49
Заметим, что уравнение (3) тесно связано с системой
ш2 + а = v2,	и?2 — а = и2,	(4)
которая была предметом самых тщательных исследований на
арабском Востоке и в Европе (подробнее об этом см. во II и III
частях этой работы, а также в книге А. П. Юшкевича [44, с. 224]).
Искомые квадраты, как нетрудно видеть, должны составлять ариф-
метическую прогрессию: р2 — w2 ~ w2 — и2 или 2ip2 = и2 + р2.
Вавилонские тройки дают путь к решению системы (4), т. к. если
У) - решения уравнения (1), то получаем
и = у — X = ~р2 + q2 4- 2pq,
V = х + у = р2 — q2 + 2pq,
w = z = p2 + q2.
Аналогичные формулы мы встречаем у математиков арабского
Востока и у Леонардо Пизанского.
С другой стороны, система (4) связана с нахождением прямо-
угольных треугольников с рациональными сторонами, имеющими
3Манную площадь. Действительно, если х, у, z — пифагорова
тройка, то
22 ± 2ху = (у ± х)2.	(5)
Таким образом, решение уравнения (4) можно свести к вопросу
0 существовании прямоугольного треугольника с рациональными
Ст°ронами, учетверенная площадь которого 2ху была бы равна
^Данному числу а, и о нахождении сторон такого треугольника.
^Ь1 Увидим, что именно вторую часть этой задачи при а = 5
24
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
решил Герои Александрийский. Соотношение (5) мы в дальнейшем’
находим у Диофанта, а поиски критерия существования треуголь-
ника с рациональными сторонами и заданной площадью привели
впоследствии к формулировке ограничительных условий, налага-
емых на число а, эквивалентных великой теореме Ферма для
п = 4. Такое ограничение, как мы увидим, было высказано Лео-
нардо Пизанским, а затем и самим Пьером Ферма. Это показывает,
что задача о «вавилонских числах» имеет длинную историю.
Наконец, у вавилонян встречается и формула композиции
(и2 + р2)(а2 + р2) = (аи ± Рр)2 + (₽и + ар)2.	(6)
В Сузской таблице Т,20, как на это обратил внимание
Э. М. Брёйнс, она применяется дважды. В обоих случаях она
служит для нахождения новых решений уравнения (3), если одно
его рациональное решение u, р, w известно [62].
Пример I1. Берется решение и — 0; 15, р = 1 ;45, w =
= 1;15. Оно получается из вавилонской тройки (1, 7, 5) путем
умножения на 0;15, где 0;15 означает 15/60 = 1/4. Новое решение,
отвечающее новым un при том же значении гр, ищется в виде
Pi = 0;48-1;45 + 0;36-0;15 = 1;33,
иг = 0;36*1;45 - 0;48-0;15 = 0;51.
Здесь р = 0;48 = 4/5, а - 0;36 = 8/6, т. е. а2 + р2 = 1.
Очевидно, для нахождения а, р была взята пифагорова тройка
(3, 4, 5). Теперь ясно, что для получения нового решения вавило-
няне пользовались формулой композиции
2гр2-1 = 2гр2 (а2 + р2) = (и2 + р2)(а2 + Р2) = (аи + Рр)2 +
+ (ар — ри)2.
Пример 2. В качестве исходного решения уравнения (3)
взята тройка и = 0;35, р = 1;25, w = 1;5, которая получается,
из вавилонской тройки (7, 13, 17) путем умножения на у = 0;5<
Новое решение получается по формуле
рх = 1;25 - 0;24 (1;25 - 2*0;35) - 1;19,
их = 0;35 + 2*0;24 (1;25 - 2-0;35) = 0;47.
Здесь, если судить по внешнему виду формул, решение не-
сколько иное, но и его удается свести к применению формулы (6).
Для этого заметим, что 0;24 = 2/5, и что решение имеет вид
Pi == р — 2/5 (р — 2и) = 8/5р + 4/би = ар + Pw,
= и + 4/б (р — 2и) = 4/6р — 3/6и = рр — аи,
иными словами, применено второе разложение из формулы (6)<
1 См. книгу А. А. Ваймана [13, с. 199—202J и статью Э. М. Брёйнса [63f-
ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА	26
Итак, древние вавилоняне знали формулу (6) и искусно ее
применяли. Впоследствии мы будем неоднократно встречаться
<• этой формулой и у Диофанта, и на средневековом Востоке,
и в Европе. Формула композиции (6), как мы постараемся пока-
зать, сыграла исключительную роль в истории диофантова ана-
лиза.
Вавилонская традиция, по-видимому, просуществовала очень
долго. Вероятно, греческие математики широко пользовались ею,
особенно в эпоху эллинизма и в период Римской империи. Не ис-
ключено, что ученые средневекового Востока получили ее не
только через греков, но и непосредственно от народов Двуречья
и Сирии. Эту же традицию мы находим и в Европе, где ее можно
проследить вплоть до работ Франсуа Виета. По-видимому, евро-
пейские математики восприняли эту традицию через посредство
арабских авторов.
2. ДРЕВНЯЯ ГРЕЦИЯ
В своих «Комментариях к первой книге «Начал» Евклида»
Прок л пишет, что метод нахождения прямоугольных треуголь-
ников в целых числах восходит: один — к пифагорейцам, а другой —
к Платону. «Пифагорейцы,— пишет он далее,— исходили из не-
четного числа. А именно, они брали данное нечетное число в ка-
честве меньшего катета, затем возводили его в квадрат, вычитали!
и брали половину остатка в качестве большего катета; если же
к остатку прибавить 1, то получится третья сторона — гипотенуза»
197, с. 464]. Итак, для уравнения (1) пифагорейцы предлагали
решение
где а — 2п + 1. Простейшее решение получается при а = 3 = х,
тогда у == 4 и z = 5. Платон в своем методе исходил из четных
чисел. Если а = 2п, то решением уравнения (1) по Платону
будет
х - а, у = (а/2)2 - 1, z = (а/2)2 + 1.	(8)
При а = 4 мы вновь получаем треугольник (3, 4, 5).
Формулы (7), также как и (8), не дают всех решений уравнения
(1). Это можно усмотреть хотя бы из того, что общее решение
Уравнения (1) должно зависеть от двух параметров, тогда как
® приведенных выше формулах (7) и (8) участвует только один.
Полное решение уравнения (1) мы находим впервые в X книге
«Начал» Евклида. Первая лемма к предложению 29 это i книги
гласит: «Найти два квадратных числа так, чтобы и [число], со-
ставленное из них, было квадратом».
26
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Для решения поставленной в лемме задачи Евклид берет
два подобных плоских числа. Пусть это будут АВ = тпр2 и
ВС = mnq2. Евклид предполагает, что АВ, ВС одновременно либо
четные, либо нечетные, так что их разность АВ — ВС всегда чет-
на. Пусть AD — половина этой разности (рис. 4), тогда по пред-
ложению 6 книги II
АВ-ВС + CD2 = BD2
или
(тпр*) (mnq*) +	,	j
т. е. Евклид получает решение поставленной задачи в виде
тпр2 — mnq2	тпр2 4- mnq2
х=-----y — mnpq, z =-----------------------— .
Если разделить х, у, z на общий множитель тп и умножить на 2»
то получим это решение в более привычном для нас виде, которым
пользуется и Диофант: х = р2 — q2, у = 2pq, z = р2 + q2.
О другой задаче, также восходящей к пифагорейцам, Плутарх
пишет в своем сочинении «Изида и Озирис». По словам Плутарха:
«Пифагорейцы питают отвращение к числу 17. Ибо 17 лежит как
раз посередине между числом 16, представляющим полный квад-
рат, и числом 18, являющимся удвоенным квадратом; оба эти
числа являются единственными плоскими числами, для которых
периметр прямоугольника равен его площади» [14, с. 134]. Иначе
говоря, пифагорейцы решали уравнение ху = 2х + 2у, откуда
у - 2х/(х - 2) - 2 + М{х - 2).
Т ак как у должно быть целым, то х — 2 должно быть делителем 4,
т. е. возможны следующие случаи:
х — 2=1,	тогда	х = 3,	у — З,	ху — 13,
х — 2 = 2,	тогда	х = 4,	у = 4,	ху = 16,
х — 2 = 4,	тогда	х = 6,	у — 3,	ху = 18.
Аналогичная задача встречается еще в вавилонских текстах,
а именно в учебном тексте МКГ II, 39: «Длина и ширина вместе
равны площади», т. е. х + У = ху, причем решение дается в виде
1
у =------г*.
* х — 1
Здесь, правда, не требуется, чтобы решения были целыми. Моди-
фикацию этой задачи мы находим впоследствии у Герона.
Наконец, третья задача диофантова анализа, которую рас-
сматривали в античности, эквивалентна решению в целых числах
ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА
27
уравнения
— ах2 = ±1-	(9)
Это уравнение получило в XVIII в. наименование уравнения
Пелля, а в наши дни его начали более справедливо называть
уравнением Пелля—Ферма или просто уравнением Ферма.
При а = 2 это уравнение рассматривали еще пифагорейцы.
В своем комментарии к «Государству» Платона, а именно, к тому
месту, где Платон называет число 7 «рациональной диагональю»,
отвечающей стороне 5 («Государство», 576С), Прокл приводит
следующий метод решения этого уравнения: «Единица, как начало
всех чисел, в потенции является и стороной и диагональю. В таком
случае возьмем две единицы: одна будет боковой, а другая —
диагональной. Теперь образуем новую сторону, прибавив к еди-
нице-стороне единицу-диагональ, и новую диагональ, прибавив
к единице-диагонали дважды единицу-сторону» [14, с. 176].
Итак, в качестве первого решения берется хх = 1, уг = 1,
тогда у* — 2xi = —1. Второе получается по формулам
х2 =	+ У1 = 2, у2 = 2xj + у± = 3
и у— 2я* = 1. Аналогично получаем и дальнейшие решения
хп ~ хп-1 + Уп-V	Уп ~ 2хп^1 4- ^п-1*	(10)
При этом платоновские рациональные сторона и диагональ полу-
чаются на 3-м шаге:
хз = хч + Уч = Уз = 2х2 + */2 = ?—
Доказательство того, что формулы (10) дают решения уравнения
(9) при а ~ 2 содержится согласно Проклу в предложениях 9
и 10 книги II «Начал» Евклида. Действительно, в предложении 9
доказывается тождество (рис. 5)
ЛО2 + BD2 = 2А С2 + 2CD2,
гДе АС = ВС, или
AD2 - 2АС2 - — (BD2 — 2CD2).
28
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Следовательно, если BD2 — 2CD2 = ±1, то таковы же будут
значения и AD2 — 2АС2. Но, как видно из чертежа (рис. 5)у
АС = CD + BD = х + у, AD = 2CD + BD = 2х + у.
Предложение 10 двойственно к предложению 9. В нем pac-j
сматривается случай, когда точка D лежит на продолжении пря-
мой АВ.
Аналогичные упоминания о «диагональных» и «боковых»
числах и описание процесса их образования содержатся в коммен-
тариях Теона Смирнского (II в. н. э.) к «Государству» Платона
и у Ямблиха (см. об этом в [14, с. 175—177]).
Заметим, что формулы (10) дают возможность получить сколь
угодно хорошие рациональные приближения для *142.
Весьма вероятно, что ко времени Архимеда (III в. до н. э.)^
были известны и формулы для решения уравнения (9) при других
значениях а. По крайней мере, Архимед в «Измерении круга»
приводит приближенное значение для УЗ, которые можно полу-
чить, как отношения уп/хп, где хп и уп являются рациональными
решениями уравнения (9) при а = 3. При этом
==:::	1 Уп—V	Уп === ^'П—1 Уп—1«
Последовательными приближениями для уАЗ будут 1/1, 2/1,
5/3, 7/4, 19/11, 26/15, 71/41, 97/56, 256/153, . . .
Архимед берет в качестве приближения 265/153, ничего не
говоря о том, как именно это приближение было получено. Эта
свидетельствует о том, что метод, которым он пользовался, был
достаточно широко известен.
С другой стороны, известно, что Архимед поставил перед алек-
сандрийскими математиками так называемую «задачу о быках»,
которая приводится к уравнению (9) при а = 4 729494. Видимо,
великого ученого интересовало не столько конкретное решение
уравнения (9) при заданном а, сколько общий метод нахождения
решения.
Все перечисленные нами задачи рассматривались в доевкли-
довой математике. П. Таннери и Т. Хизс полагали, что в эпоху
Архита (т. е. около 400 г. до н. э.) должен был существовать
трактат по арифметике, содержание которого примерно совпадала
с VII—IX книгами «Начал» Евклида. Этого же мнения придер-
живается и Б. Л. Ван дер Варден, который сделал попытку более*
точно восстановить содержание этого трактата. Авторами его ов
считает пифагорейцев [14, с. 155—156]. Мы полагаем, что в этот
трактат могли входить и некоторые предложения из книги X
«Начал» (например, лемма к предложению 29). Все эти гипотезы
получили теперь подтверждение: в конце недавно опубликован-
ного трактата Ибн ал-Хусайна [46] автор пишет, что многие ре-
ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА
29*
зультаты и предпосылки были даны «Никомахом в искусстве чи-
сел и в «Началах», в которые Евклид включил три числовые кни-
ги куДа он перенес теоремы из «Арифметики» и доказал их с по-
мощью линий» [46, с. 157—158]. Далее Ибн ал-Хусайн говорит
об авторах «Арифметики».
Таким образом, теперь документально подтверждено, чта
1) до Евклида существовала книга по арифметике, совпадающая
по содержанию с арифметическими книгами «Начал»; 2) эта книга
была написана не одним автором, а группой лиц, так как Ибн.
ал-Хусайн говорит об ее «авторах»; 3) стиль изложения в этой
книге был иной, чем в «Началах», где все доказательства прово-
дились геометрически («на линиях»).
Итак до Евклида теория чисел трактовалась, по-видимому г
арифметически. Евклид изложил все арифметические предложе-
ния на языке геометрии. В таком виде они просуществовали около
300 лет (III—I вв. до н. э.).Язык геометрии сделался привычнымг
он имел преимущество строгости и общности. До нас теория чисел
древних дошла в изложении, приданном ей Евклидом. Сломать
построенное им прочное и красивое здание было, разумеется,,
очень трудно. Новая трактовка появилась только в первых веках
нашей эры и пробивала себе путь постепенно. Прежде чем при-
ступить к ее описанию отметим две характерные черты трактовки
Евклида: 1) решения неопределенных уравнений ищутся в целых
положительных числах (отношение целых чисел, т. е. рациональ-
ное число Евклид числом не считал); 2) в основу арифметики была
положена геометрия.
3.	ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА
У ГЕРОНА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО
Впервые новую трактовку арифметических задач мы находим
У Герона Александрийского (I в. н. э.) в его «Геометрике» [69, 85]..
Правда, задачи формулируются еще геометрически, однако
в них уже допускается сложение площади с периметром, т. е..
геометрический язык применяется по традиции, по существу же,
трактовка задач арифметико-алгебраическая. Решения ищутся
либо в области целых положительных, либо рациональных по-
ложительных чисел. Методы решения не излагаются, но совершен-
но ясно, что такие методы уже существовали ко времени Герона
и, вероятно, объяснялись при устном изложении.
Мы приводим интересующие нас задачи Герона (их всего 12).
либо в современных обозначениях, либо с кратким изложением
Условия.
1-	а (х + у) = и + у, ху = auv. а = 3.
2.	х -|- у = и + v, ху = auv. а = 4.
3.	я2 -J- 4* = 896.
30
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
4.	В прямоугольном треугольнике (х, у, z) периметр равен
50 футам; найти стороны, т. е.
х2 + у2 = z2, Р = х + у + z — 50.	j
Г	;
5.	Площадь прямоугольного треугольника равна 5; найти ;
юго стороны; т. е.	,
я2 + У2 = 22, 1^ХУ = л, а = 5.
6.	В прямоугольном треугольнике высота равна 12 футам, ;
основание — 16 футам и гипотенуза — 20 футам. Его площадь ?
96 футов. Разделить его между 16 людьми, чтобы каждый получил •
прямоугольный треугольник в 6 футов.	|
7.	В прямоугольном треугольнике высота 12 футов и площадь'}
96 футов; найти основание и гипотенузу, т. е.	|
х2 + у* = 22, у = а, Ч2ху = S |(а = 12, S = 96).	1
8.	Если основание прямоугольного треугольника 24 фута,
каковы его высота и гипотенуза? Т. е.,	J
х2 у2 = z2, х = 24.
9.	Площадь вместе с периметром прямоугольного треугольни-
ка составит 280 футов; выделить стороны и найти площадь; т. е.
я2 + У2 = 22, г/2ху + X + у + z = 280.
10.	х2 + у2 == z2,
11.	х2 + у2 = и2,
12.	х2 + у2 = и2,
Ч2ху + х + у + z = 270.
1/2ху 4- х 4- у + z = 100.
г12ху 4- х 4- у 4- z = 90.
Как мы видим, большинство из этих задач являются неопреде-
ленными. Для нас наиболее интересными являются задачи 4, 5
л 9—12, поэтому воспроизведем здесь их решения, предложенные
Героном.
Решение задачи 4. Герои говорит здесь, что будет
применять «пифагоров метод». Он полагает стороны искомого
треугольника 3 фута, 4 фута и 5 футов. Тогда периметр будет
12 футов. Но периметр равен 50 футам. Поэтому первая сторона
будет 12V2 футов, вторая — 162/3 и третья — 201/21/3.
Итак, здесь Герои опирается на «пифагорову тройку» (3, 4, 5)
и пользуется «методом ложного положения»: поскольку Р± =*
= 3 + 4 + 5 == 12, а Р = 50, то х = З-P/Pj = 3-50/12 - 12V2,
у = 4’6О/12 = 162/3, z — 5 ’ 50/12 = 205/б, или в египетских дробях
z = 20V//3 Л
Аналогичным методом | неоднократно пользуется Диофант
в книге VI, где он полагает х = at, у == bt, z = ct, если а2 +
+ Ъ2 — с2. Например, задачи] VI3_4 сводятся, соответственно.
ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА
31
к системам уравнений
я2 + Z/2 = А	х2 + у2 = z2,
1/2ху + т ~ и2, иг = 5;	112ху т1 ~ и2, т1 = 6.
Б обоих случаях он ищет треугольник в виде (32, 4t, 5t), в резуль-
тате чего задачи сводятся к уравнениям
6^2 + иг = и2 и 6i2 — т1 = и2,
для решения которых Диофант проводит тонкий анализ и полу-
чает, что вместо треугольника (3, 4, 5) надо взять треугольник
/331 151	2	332401 \
\ 14400- ’	14 400 /’
Итак, один из методов Диофанта восходит к Герону, а по его»
собственным словам, является пифагорейским, т. е. имеет весьма
древнее происхождение.
Совершенно особый интерес имеет задача 5, которая потом
встречается и у Диофанта (в усложненном виде), и у математиков
арабского Востока, и как одна из основных задач у Леонарда
Пизанского и Луки Пачоли. Рассмотрим ее решение у Герона.
Решение з а д а ч и 5. «Я делаю так: необходимо рас-
смотреть 5, умноженное на некоторое квадратное число, содержа-
щее 6, чтобы так умноженное оно могло образовать площадь пря-
моугольного треугольника. Умножим на 36, получим 180. Оно
будет площадью прямоугольного треугольника с высотой 9 футов г
основанием 40 футов и гипотенузой 41 фут.
И я делю 180 на 5, и 36 имеет в длину 6 футов. Беру шестую
часть от сторон, т. е. от 9, это будет Р/2фута, от 40 шестая часть
будет 62/3 фута, это основание, и от 41 шестая часть будет 61/21/3J
фута, это гипотенуза, а площадь будет 5 футов» [85, с. 18].
Приведенное решение опирается на формулы для «пифагорей-
ских троек»:
х = В2 — Л2, У = 2gr|, z = £2 + т]2,
поэтому площадь S треугольника будет равна £т) (£2 — ц2). Геро-
ну известно, что S должна делиться на 6. Это важное свойства
было впоследствии доказано Леонардо Пизанским (см. ч. Illг
Гл- I, раздел 3). Поскольку S = 5, то стороны я, у, z искомого
треугольника не могут быть целыми. Поэтому Герои ищет сначала
треугольник с целыми сторонами xt, yt, zt, площадь которого
равна 5i2. Ясно, что t2 должно делиться на 6 и что наименьшим
квадратом, обладающим нужным свойством, будет 36. Взяв
5=2 36, мы получаем уравнение 5-36 =	(|2 — ц2), которое-
определяет эллиптическую кривую. Метод нахождения рациональ-
ного решения таких уравнений до сих пор неизвестен. Герон
входит решение подбором; поскольку левая часть является про-
ведением 4*5*9, то можно принять ц = 4, | = 5, тогда |2 —
32
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
— f|2 = 9, и мы получим треугольник со сторонами xt = 9, yt =ч
= 40, zt = 41. Стороны искомого треугольника будут 9/6, 40/6.
41/6.
Задача нахождения прямоугольного треугольника с рацись
нальными сторонами и заданной площадью а может быть сведена
к системе уравнений
z2 + 4<z = u2, z2 — 4а = v2.
-которая, в свою очередь, приводится к уравнению 2z2 = и2 + и2
Решения этого последнего уравнения находили еще в древней
•Вавилоне. Поэтому весьма вероятно, что Герон опирался на древч
невавилонскую традицию, с которой мы еще неоднократно встреч
тимся в дальнейшем (см. ч. II, дл. II, раздел 4).
Задача 6 является обращением задачи 5. Здесь заданы сторо-
ны прямоугольного треугольника х = 16, у — 12, z = 20,
а значит и его площадь S = 96. Требуется разделить его межд)
16 людьми так, чтобы каждый из них получил треугольник с ра-
циональными сторонами площадью в 6 футов.
Решение задачи 6 таково: 96 : 6 = 16, 16 — этс
асвадрат 4. После этого берется х/4*12 = 3 — это высота, х/4-16 ==
— 4 — это основание и 1/4*20 = 5 — это гипотенуза. Наш тре
угольник разделяется на 16 прямоугольных треугольников с(
«сторонами (3, 4, 5).
Очевидно, Герон исходил из того, что стороны искомого тре
угольника суть хг = х/t. уг = у It. zx ~ z/t. тогда
г/2ху = 1l2x1y1t2 = 96.
Но == 6, откуда £2 = 16, £ = 4и решение найдено.
В задаче 7 задан прямоугольный треугольник с высотой 12
-футов и площадью 96 футов. Требуется найти основание и гипо-
тенузу.
Решение: Vg-12 = 4 фута, 12 + 4 = 16 футов, оснований
^/4*16 = 4 фута, 16 + 4 = 20 футов — гипотенуза.
Ясно, что Герои и здесь предполагает, что искомый треуголь-
ник имеет вид х = 42, у = 3£, z — 5f. Тогда 3 t == 12, t == 41
-д = 16, у — 12, z = 20.
Аналогичным методом решается и задача 8.
Задачи 9—12 представляют, по существу, варианты одной Я
той же задачи. Меняются только коэффициенты уравнений. Мы
приведем здесь (для примера) решение задачи 10.	;
Сначала Герон разлагает сумму площади и периметра, т. ej
270, различными способами в произведение двух сомножителей
270 = 2-135 = 3-90 = 6-45 = 9-30= 10-27. Затем он выбирае?
разложение 6-45 и показывает, что с его помощью можно полу-*
ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА
33
чить решение, сделав следующую последовательность операций
1) _£ . 270 = 45,	7) 2401 —1440 = 961,
2)	6-2 = 4,	8)/961=31,
3)	45 + 4 = 49,	9) —~ 31 = 9 — это высота,
4)	492 = 2401,	10)	+31 =40 — это основание,
5)	45-4=180,	11)45 — 4 = 41.
6)	180-8 = 1440,
Тогда площадь 1!t-xy = х/2-9-40 = 180 и г/2ху + (ж + у -f- z) =
= 270.
Таково решение Герона. Одна из реконструкций этого способа
решения была дана Э. М. Брёйнсом в его издании Герона [69,
т. 3, с. 89—901. На наш взгляд она несколько усложнена, так как
основана на преобразовании алгебраических выражений 4-й сте-
пени. Мы предлагаем здесь более простую реконструкцию мето-
да, которым решена эта группа задач.
Задачи 9—12, как мы видели, сводятся к решению системы
уравнений
ж8 + у* = za, Чгху + x + y + z = a,	(11)
эквивалентной системе уравнений
x» + / = z’,	(£ + У_+2)(*±У-*4.2) = а.	(12)
Действительно, из условия х2 + у2 = z2 легко получить сле-
дующее выражение для площади прямоугольного треугольника
Подставив это выражение во второе уравнение системы (11)
и разложив левую часть на множители, получив второе уравнение
системы (12). Возможность подобного преобразования системы
(Н) в систему (12) подтверждается тем, что Герон владел формулой
Для площади произвольного треугольника со сторонами х, у, z:
£__1 я +	+ — zx —	— х
V 2	2	2	2
которая была названа в дальнейшем его именем. Если теперь
предположить, что треугольник (я, у, z) — прямоугольный, т. е.
х + У2 == z2, то имеют место соотношения
У + Z х-\-у — z____х — у + z у + z — х____ ху
2	2	2	2	— Т ‘
2 Заказ № 3214
34j
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Поэтому из формулы Герона следует, что
1	x + v + z Х + У~ z
2	У 2	2	‘
Смысл нашей реконструкции состоит в том, что вычисления
Герона, приведенные выше, соответствуют не системе (11), а эк-
вивалентной ей системе (12).
Пусть а = ai-a2 и
« + У + * _п а? + у —Z
---2----~аъ -------2--=а2’
тогда проведенные Героном в задаче 10 вычисления при а = 270,
а± = 6, а2 == 45 в общем виде запишутся следующим образом:
n x + y + z _ а	x + y — z_	9
1) g--------	—	----2---— Д
3) х + у = 4- а2 ~ 2,	4) (х + у)2 = («1 + й2 — 2)2,
xy_x + y±zx + y — Z (
о) — —------g---—2------= «1 (^2 —
Итак, в пунктах 3) и 5) Герои получает систему уравнений,
которая была канонической еще в древнем Вавилоне
X + у = т, ху == п9	(14)
где т =	+ а2 — 2, п = 2аг (а2 — 2).
Дальнейшие вычисления Герона представляют собой не что
иное, как решение этой системы уравнений. В пункте 4) Герои
уже нашел т2 = (^ + а2 — 2)2, а* в пункте 6) он находит 4п =
= 8аг (а2	2), поэтому оставшиеся вычисления можно записать
следующим образом:
7) т2 — 4п,	8) ]Ап2 — 4п,
+	10)у=т-У^^.1
11) Z = x + v + z _	= Й1 - (а2 - 2).
Таким образом, начиная с пункта 6) мы имеем дело с канони-
ческим способом решения системы уравнений (14). Для того
чтобы решение было рациональным, необходимо, чтобы дискрими-
нант т2 — in был полным квадратом. Поэтому разложение а на
сомножители и а2 не может быть произвольным, а именно,
и а2 должны быть целочисленными решениями системы уравнений
uv = а, (и + v — 2)2 — 8и (и — 2) == ip2«
Мы полагаем, что Герон не решал эту последнюю систему,
а заранее выбрал значения х, у, z и по ним нашел значение а
и необходимое разложение. Заметим, что так поступали древне-
L
ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА
35
вавилонские математики, составляя знаменитые серии задач с од-
ним и тем же решением.
Отметим также, что у Диофанта в книге VI имеются аналогич-
ные задачи
VIg-9- ± (зс + у) тп,
VIio-u- 1^ХУ ± (* + 2) = ш,
где х* + у2 = 22. Однако решаются они совсем иным способом.
Таким образом, уже конце I в. н. э. Герон решал задачи,
эквивалентные неопределенным уравнениям, причем искал реше-
ние в области положительных рациональных чисел. Однако сам
Герон не сводил эти задачи к уравнениям и не пользовался при
их решении методами, которые мы теперь отнесли бы к алгебраи-
ческой геометрии. Подход к этим задачам у Герона, как и у его
предшественников, был скорее арифметическим. Решение изла-
галось догматически: почему надо было «делать так», нигде не
поясняется. Наконец, искалось всегда только одно решение.
От Диофанта Герона отделяет 200 (или 100) лет. Мы не знаем,
было ли в это время сделано что-либо новое в области неопреде-
ленных уравнений или они оставались на одном и том же «геро-
новском» уровне. В последнем случае следует считать, что реши-
тельный шаг вперед был сделан именно Диофантом. И этот шаг
заключался в том, что Диофант применил к «неопределенным за-
дачам» совершенно новые методы. Он первый свел эти задачи
к неопределенным уравнениям и разработал методы решения
целых классов таких уравнений. При этом он, по существу,
оперировал с алгебраическими кривыми, плоскими и простран-
ственными, алгебраическими поверхностями и многообразиями
многих измерений. Он расширил числовую область, ввел буквен-
ную символику и широко пользовался подстановками.
Переворот, произведенный Диофантом в области неопределен-
ного анализа, можно сравнить только с преобразованием геомет-
рии после введения метода координат Декартом и Ферма.
Но может быть, наиболее удивительным является то обстоя-
тельство, что не только никто из предшественников Диофанта, но
и никто из последующих математиков, занимавшихся «неопреде-
ленным анализом», не пришел к подобной идее. Европейские
математики начали пользоваться методами Диофанта только после
прочтения его «Арифметики». Как это ни удивительно, до этого
пи одному ученому не пришла в голову мысль свести задачу к не-
определенному уравнению и решать последнее по правилам алгеб-
ры. Никаких методов, хоть сколько-нибудь напоминавших дио-
фантовы, изобретено не было.
Итак, если некоторые задачи из «Арифметики» имеют долгую
предысторию, то идеи и методы ее совершенно новы. В этом от-
ношении, насколько нам известно, у Диофанта не было пред-
шественников.
2*
36
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
ГЛАВА II
ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ
1.	ДИОФАНТ
Мы очень мало знаем о Диофанте. В одной из эпиграмм Пала- •
тинской Антологии говорится:
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;	j
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.	•
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей Ч
Отсюда нетрудно подсчитать/ что Диофант прожил 84 года. :
Однако для этого вовсе не нужно владеть «мудрым искусством ;
его». Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним |
неизвестным, а это умели делать египетские писцы еще за 18 ве- »
ков до нашей эры.
Но когда же жил Диофант? Теон Александрийский в своих <
комментариях к «Альмагесту» Клавдия Птолемея привел отрывок
из сочинений Диофанта. Поскольку деятельность Теона падает 4
на вторую половину IV в. н. э., очевидно, Диофант не мог жить \
позднее середины IV в. Этим определяется верхний предел про- J
межутка времени жизни Диофанта. G другой стороны, сам Дио-
фант в своей работе «О многоугольных числах» дважды упоми-
нает Гипсикла, математика, жившего в Александрии в середине
II в. до н. э. Итак, нижним пределом является вторая половина
II в. до н. э. Таким образом, получаем промежуток в 500 лет!;
Сузить этот промежуток попытался П. Таннери, известный I
историк науки, издатель критически проанализированного |
текста сочинений Диофанта, который теперь принят в качестве ?
канонического. В библиотеке Эскуриала он нашел отрывок из|
письма Михаила Пселла, византийского ученого XI века, текст
которого был искажен при переписке. После восстановления |
текста Таннери, один из отрывков письма может быть переведен 
так: «Что касается этого египетского метода, то Диофант рассмот- |
рел его более точно, и ученейший Анатолий, после того, как /’
собрал наиболее важные части этой науки, посвятил их своему ‘
----- ?
* Перевод С. П. Боброва. Греч, текст см. [47, т. II, Ер. XIV, с. 1261, а также х
[73, т. II, с. 60].	1
ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ
37
другу Диофанту» 1 [73, т. II, с. 37—42], Известно, что Анатолий
Александрийский составил «Введение в арифметику» в десяти
частях, фрагменты из которой дошли до нас в передаче Ямблиха
[90] (IV в. н. э.). Но Анатолий, познания которого в арифметике,
геометрии и астрономии превозносит Евсевий, жил в Александрии
в середине III века, причем в 270 г. он покинул ее, став епископом-
Лаодикийским (в Сирии) [20].
Таким образом, если Таннери правильно прочел письмо
Пселла, то Диофант жил в середине III века н. э.
Это подтверждается еще и тем обстоятельством, что сама
«Арифметика» посвящена «достопочтенному Дионисию», который,
как это видно из введения к первой книге, интересовался наукой
о числах и ее преподаванием. Между тем, с 231 по 247 гг. во
главе Александрийского училища для юношества стоял Дионисий,
ставший в 247 г. епископом Александрийским. По предположе-
нию Таннери, именно ему и была посвящена «Арифметика».
Мы приведем еще один довод и пользу гипотезы П. Таннери.
Ниже (см. ч. I, гл. II, раздел 3) мы будем подробно говорить
о символике Диофанта. Здесь отметим, что он ввел буквенные
обозначения для 6 первых положительных и отрицательных
степеней неизвестного. До этого употребляли только три первые
положительные степени неизвестного, которые допускали есте-
ственное геометрическое истолкование. Четвертая, пятая и ше-
стая степени неизвестного не находили интерпретации в трехмер-
ной евклидовой геометрии и потому введение их могло вызвать
недоумение у современников. По некоторым дошедшим до нас
высказываниям выдающихся геометров можно судить о том, что
это так и было.. Так, Папп Александрийский писал: «Если же
прямых больше шести, то уже нельзя говорить о данном отно-
шении какого-нибудь предмета, построенного на четырех прямых^
к предмету, построевному на остальных, потому, что не сущест-
вует ничего, что заключало бы больше чем три измерения 1 (курсив
наш — Авт.).
Однако незадолго до нас стали позволять себе выражаться
подобным образом, не указывая, впрочем, при этом на что-либо
сколько-нибудь вразумительное» [95, т. 2, с. 509].
Поскольку Папп жил во второй половине III в. н. э., приве-
денное место свидетельствует, что книга Диофанта была написана
незадолго перед этим. Таким образом, все косвенные доводы ука-
зывают нам на середину III в. н. э.
В то же время существуют свидетельства, правда весьма позд-
ние, которые ставят эту дату под сомнение. Дело в том, что пер-
вым европейским математиком, серьезно изучавшим «Арифметику»
Диофанта был Рафаэль Бомбелли (XVI в.). В предисловии к
х Поль Таннери исправил в дошедшем до нас тексте слово етерох; (по-
ДРУгому) на етсирсо (другу), после чего вся фраза приобрела смысл.
38
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
своей «Алгебре» (1572 г.) Бомбелли писал, что он нашел в би-
блиотеке Ватикана замечательную рукопись, посвященную
науке о числах, составленную «неким Диофантом, греческим ав-
тором, жившим в эпоху Антонина Пия». Эту же дату повторяют
затем Виет, Ферма и другие ученые XVI—XVII вв. Но Антонин
•Пий был римским императором середины II в. н. э., т. е. время
жизни Диофанта отодвигается на 100 лет назад, и он оказывается
современником астронома Клавдия Птолемея и деятелем «грече-
ского возрождения».
Откуда же почерпнул свои сведения Бомбелли? Сам он ничего
об этом не говорит. Можно только предположить, что он читал
в библиотеке Ватикана какие-то дополнения к рукописи Дио-
фанта, которые были с тех пор утеряны. Быть может, новые
находки на арабском Востоке или в недрах европейских библио-
тек прояснят этот вопрос. Пока наиболее вероятным временем
жизни Диофанта представляется столетие с середины II до сере-
дины III в. н. э., что вполне возможно, если учесть, что он про-
жил 84 года.
Если о времени жизни Диофанта можно спорить, то место его
жизни сомнения не вызывает — это Александрия Египетская,
знаменитый город, основанный Александром Македонским.
Перефразируя известную римскую поговорку, можно сказать,
что города, как люди, имеют свою судьбу. Давно уже стерты
с лица земли знаменитые в свое время Ниневия, Вавилон, Кар-
фаген, но все еще стоят и славятся Афины, Рим, Александрия.
Александр во время своего похода на Восток основал много горо-
дов с названием Александрия, но мировая слава досталась толь-
ко одному из них — Александрии Египетской.
С этим городом неразрывно связан расцвет эллинистической
науки и культуры, поэтому мы коротко остановимся на его
истории.
После смерти Александра Македонского (323 г. до н. э.) Алек-
сандрия сделалась столицей Египта — крупнейшего государства
эллинистического мира. Население Александрии было смешанным,
однако полноправными гражданами этого города считались толь-
ко греки и македоняне. Только для них это был город, имеющий
самоуправление. В Египте правила династия царей — Птоле-
меев, которые покровительствовали науке и искусству. Уже
первый из них, ^Птолемей Сотер, сын Лага, желая сделать Алек-
сандрию центром эллинистической цивилизации, пригласил туда
поэтов, писателей, философов и ученых. По совету знаменитого
философа-перипатетика Деметрия Фалерского, он основал два
учреждения, которые стали средоточием науки и культуры,—
Музейон и Библиотеку. Музейон представлял собой прообраз
современных университетов. Там жили и занимались крупней-
шие ученые (в лучшие времена их было до 100), туда стекались
со всех стран мира юноши, жаждавшие пополнить свои знания.
ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ
39
Вот как описывает знаменитый географ Страбон (I в. до и. э.—
I в. н. э.) устройство Музейона:
«Мусей также является частью помещений царских дворов;
он имеет место для прогулок, «экседру» и большой дом, где на-
ходятся общая столовая для ученых, состоящих при Мусее.
Эта коллегия ученых имеет не только общее имущество, но и
жреца-правителя Мусея, который прежде назначался царями,
а теперь — Цезарем» [35, XVII, с. 794].
Крупнейший астроном и математик Клавдий Птолемей (II в.
и. э.), создатель геоцентрической системы, сообщает, что при
Музейоне была оборудована астрономическая обсерватория.
Здесь же был анатомический театр, а возможно, при Музейоне
находился и знаменитый зоологический сад, в котором были
собраны редкие животные со всех сторон света.
Но наибольшая слава выпала на долю Александрийской
библиотеки, где хранились сочинения всех видных поэтов, писате-
лей, философов и ученых. К I в. н. э. число свитков достигало
700000. На базе этого уникального хранилища в Александрии
родилась и развивалась филология как наука, там была разработа-
на грамматика греческого языка, по образцу которой была впо-
следствии составлена латинская, а затем и грамматики всех евро-
пейских языков. Здесь же проводились критические исследования
произведений классиков античной литературы.
Наряду с филологией в III в. до н. э. необыкновенных успехов
достигли математика и естественные науки, прежде всего астро-
номия и география.
Среди первых приглашенных математиков был Евклид, кото-
рый именно в Александрии написал свои знаменитые «Начала» —
книгу, подводящую итог 300-летнему развитию греческой матема-
тики. Без тщательного изучения классических исследований
пифагорейцев, Гиппократа Хиосского, Архита, Теэтета и Ев-
докса — такой труд был бы невозможен. «Начала» заложили
прочный фундамент для дальнейшего развития математики и
легли в основу обучения геометрии на протяжении более двух
тысяч лет. Несколько позднее в Музейоне жил и работал крупней-
ший географ, математик, историк, филолог и поэт Эратосфен из
Кирены (его называли пентатлосом, т. е. пятиборцем), который
Долгое время стоял во главе Александрийской библиотеки.
В Александрию из родных Сиракуз приезжал для завершения
своего образования Архимед — величайший математик и меха-
ник всех времен и народов. Здесь он приобрел друзей — видных
Ученых, с которыми переписывался по возвращению на родину.
Почти все дошедшие до нас сочинения Архимеда — это письма,
которые он отсылал в Александрию. Наконец, во второй полови-
не Ш в. до н. э. в Александрии учился, а затем и работал замеча-
тельный геометр Аполлоний из Перги, создатель трактата «Кони-
ческие сечения», в котором были всесторонне изучены кривые
40
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
2-го порядка. Этот трактат был впоследствии основой для
построений Галилея, Кеплера и Ньютона.
Первые три Птолемея поддерживали Музейон и Библиотеку/
Последующие цари, по словам Страбона, «испорченные жизнью
в роскоши, управляли делами гораздо хуже своих предшествен-
ников» [35, XVII, с. 796] и все же научная жизнь в Музейоне не
замерла, хотя и стала менее интенсивной.
Музейон пережил династию Птолемеев, он продолжал сущест-
вовать и тогда, когда Египет сделался провинцией Римской
империи. Императоры продолжали субсидировать Музейон и
Библиотеку. И вот научные исследования, которые начали при-
ходить в упадок в I в. до н. э.— в период жестоких завоеватель-
ных и гражданских войн Рима — вновь ожили в начале нашей
эры. Александрия по-прежнему осталась научным и культурным
центром, уступив Афинам только в области философии. Рим
никогда не мог сравниться с ней в этом отношении. По существу,
он так и не приобщился к глубинам эллинской науки.
Желая объяснить это, Цицерон в «Тускуланских беседах»
(русский текст см. в книге [41]) писал:
«Греция превосходит нас наукой и всеми видами искусств,
ибо легко победить тех, кто не оказывает сопротивления...»
(Tusc. I, 1, 3). И далее: «Почет питает искусства, слава воспламе-
няет всякого к занятиям ими, а что у него не в чести, то всегда
влачит жалкое существование... Далее, в величайшем почете
была у них (т. е. у греков) геометрия, поэтому нет ничего ярче их
математики, у нас же развитие этой науки было ограничено на-
добностями денежных расчетов и земельных межеваний» (Tusc.,
I, 2, 3).
Римляне и после Цицерона не проявляли никакого интереса
ни к математике, ни к естественным наукам, ценя в этих областях
только узко практические знания. Но и этими областями должны
были заниматься не римляне, удел которых, согласно Вергилию,
состоял в том, чтобы разумно управлять миром, а греки, сирийцы
и другие покоренные ими народы.
Итак, центром математической жизни остается Александрия.
Однако направление математических исследований в первых
веках нашей эры коренным образом меняется. В эпоху эллинизма
основой греческой математики была геометрия, алгебра еще не
выделилась в самостоятельную науку, а воспринималась как
один из разделов геометрии, даже сама арифметика строилась
геометрически. Теперь же происходит арифметизация всей мате-
матики, геометрическая основа отбрасывается и, наконец, про-
исходит вычленение и самостоятельное построение алгебры. Этот
процесс можно наблюдать уже в творчестве Герона (I в. н. э.),
Менелая (конец I в. н. э.) и Клавдия Птолемея (II в. н. э.), у ко-
торого отношения величин уже отождествлялись с числами. Но
решительный переворот в математике, заключающийся во введе-
ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ
41
нии буквенной символики и в построении алгебры, на основе
арифметики, был делом рук Диофанта Александрийского, «Ариф-
метика» которого знаменовала рождение двух великих наук:
алгебры и диофантова анализа.
2.	СОДЕРЖАНИЕ «АРИФМЕТИКИ»
Еще более загадочным, чем жизнь Диофанта, представляется
его творчество. Из сочинений Диофанта до нас дошло два: «Ариф-
метика» и «О многоугольных числах», однако оба они сохрани-
лись не полностью. Из 13 книг «Арифметики», о которых говорит
Диофант во введении к книге I, до нас дошло шесть на греческом
языке и не так давно были найдены еще четыре книги в арабском
переводе, которые приписываются Диофанту. Об этих книгах
мы будем подробно говорить в главе V. Сейчас скажем
только, что вряд ли эта арабская версия представляет часть
«Арифметики». Сочинение «О многоугольных числах», которое
написано совершенно в ином стиле, чем «Арифметика», сохра-
нилось только в отрывках. Здесь мы не будем говорить о нем.
В «Арифметике», когда речь идет о теоретико-числовых пред-
ложениях, Диофант обычно отсылает к своим «Поризмам». Не-
известно, была ли это отдельная книга, или доказательства
«поризмов» были включены в «Арифметику». Во всяком случае,
ни одного доказательства теоретико-числового предложения от
Диофанта не дошло.
В дальнейшем мы будем говорить только об «Арифметике» „
точнее о тех шести книгах, которые сохранились на греческом
языке. Мы будем пользоваться текстом «Арифметики» в издании
Поля Таннери [73] или русским переводом этого текста, сделанным
И. Н. Веселовским [18]. О других изданиях этого текста читатель
найдет сведения в Приложении 2.
Содержание «Арифметики» столь непохоже на все то, что мы
знаем об античной математике, оно столь неожиданно и по поста-
новке вопросов, и по методу их решения, что невольно ставит
в тупик любого исследователя.
Прежде всего, «Арифметика» — это* не сборник предложений
и их доказательств, как, например, «Начала» Евклида или
«Конические сечения» Аполлония, а сборник задач (их 189),
каждая из которых снабжена решением (или несколькими раз-
личными решениями) и необходимыми пояснениями. Только
в начале первой книги помещено краткое алгебраическое введе-
ние, в котором излагаются необходимые сведения о числовой об-
ласти и символике, а также правила действий с многочленами
и Уравнениями. Поэтому на первый взгляд может показаться,
что «Арифметика» не является теоретическим произведением.
Однако при более внимательном чтении становится ясно, что
тщательный подбор и продуманное расположение задач направ-
42
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
лены на то, чтобы проиллюстрировать применение вполне опреде-
ленных, общих методов. Как это было принято в античной мате-
матике, методы не формулируются общим образом, отдельно от
задач, а раскрываются в процессе их решения. Напомним, что
даже знаменитый «метод исчерпывания» — первый вариант тео-
рии пределов — не был выделен в чистом виде ни его создателем
Евдоксом из Книда, ни Архимедом. Только математикам XVI—
XVII вв., на основании анализа «Начал» Евклида и квадратур
Архимеда, удалось извлечь этот метод и сформулировать его
в общем виде. То же самое относится и к «Арифметике» Диофанта.
Его методы были выделены, как мы покажем это ниже, в XVI—
XVII вв. итальянскими и французскими математиками. Следуя
им, мы попытаемся там, где это возможно, извлечь эти методы
из текста и изложить их в общем виде.
Теперь расскажем вкратце о содержании шести книг грече-
ского текста.
Все задачи книги I являются определенными. Если они и
ставятся как неопределенные, то доопределяются в процессе
решения. В этой же книге имеется несколько задач (127-зо),
которые приводятся к системам двух уравнений от двух неизвест-
ных, эквивалентным квадратному уравнению. Для того чтобы
решения были рациональными, Диофант требует, чтобы дискри-
минант уравнения был полным квадратом. Делает он это без
специальных пояснений, что свидетельствует о том, что в его
время формула квадратного уравнения во всех ее вариантах была
хорошо известна.
Начиная со II книги большинство задач относится к неопреде-
ленному анализу, т. е. они сводятся к решению неопределенного
уравнения
F (хх, . . хп) = 0	(1)
или системам таких уравнений
(яь . . ., хп) ^’0,	(2)
(#1, • • •> #п)	0,
где т n, a F, Fr, . . ., Fm — многочлены с рациональными ко-
эффициентами.
Но что означало для Диофанта решить такую систему? До-
статочно ли было отыскать какое-нибудь одно решение или не-
обходимо было найти их все?
В настоящее время эта задача ставится так: пусть коэффициен-
ты всех уравнений системы (2) принадлежат некоторому полю К,
тогда требуется найти множество М (К) всех рациональных ре-
шений системы (2) и определить его алгебраическую структуру.
При этом решение (xi°\ . . ., Хп) называется рациональным $
если все ^0) К. *
ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ
43
Множество М (К), разумеется, зависит от поля К. Одна и та
ясе система может не иметь решения в некотором поле Кг и иметь
конечное число или бесконечно много решений в другом поле
Х2. Так, например, уравнение х2 + у2, = 3 не имеет решений
в поле рациональных чисел Q, а в поле Q (]ЛЗ) у него бесконечно
много решений.
Перейдем теперь к постановке вопроса у Диофанта.
Во-первых, в качестве основного поля К он всегда берет поле
Q, однако решения ищет только положительные, т. е. принадле-
жащие Q+. Мы покажем, что основная цель Диофанта состоит
в том, чтобы выразить, если это возможно, неизвестные уравнений
вида (1) или систем уравнений вида (2) как рациональные функции
от одного или нескольких параметров
SS ф (^1» • • •»,	• • •> фп G1, • • •»
так, чтобы каждому набору рациональных значений tx, . . .,
отвечало решение задачи.
При этом Диофант не ставит вопроса о том, существует ли
по крайней мере одно решение. Все его методы направлены»на то,
чтобы найти новое решение, если одно решение уже известно.
Его не интересует также вопрос о том, нашел ли он все решения
задачи или только некоторую, хотя бы и бесконечную часть их.
Все эти утверждения будут обоснованы в последующих главах.
Как мы уже говорили, большинство задач книги I сводится
к определенным уравнениям и системам уравнений 1-й или 2-й
степени. Рассмотрение задач на неопределенные уравнения
Диофант начинает во II книге «Арифметики».
Первые десять задач этой книги эквивалентны уравнениям
вида	г
Л (*, У) = 0,	(3)
где F2 (х, у) — многочлен 2-й степени с рациональными коэффи-
циентами (т. е. соответствующая кривая имеет род 0). На этих
задачах Диофант показывает свой основной метод и, по существу,
доказывает частный случай теоремы Гильберта—Гурвица—Пуан-
каре, о которой мы говорили выше, а именно: если уравнение (3)
имеет рациональное решение, то оно имеет и бесконечно много
рациональных решений, причем неизвестные могут быть выражены
как рациональные функции одного параметра х = ф (t), у = ф (t).
Остальные задачи книги II сводятся к системам уравнений,
каждое из которых не выше 2-й степени. В задачах Пщз Диофант
излагает свой метод решения «двойных равенств» простейшего
вида, т. е. системы уравнений
±а2я + а = у2, ±Р2я + Ь = у*
(в задачах книги II а2 =1, £2 = 1).
44
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
В дальнейших задачах Диофант так выбирает выражения для
неизвестных через основное неизвестное и параметры, чтобы все
уравнения системы, кроме одного, обратить в тождества; Остав-
шееся уравнение дает ему возможность выразить основное неиз-
вестное (а значит и все искомые в задаче числа) как рациональную
функцию параметров.
В конце книги II и в начале книги III появляются задачи,, ко-
торые представляют собой обобщение уже решенных на большее
число неизвестных. Во многих случаях метод таков, что проходит
для аналогичных задач, поставленных относительно любого числа
неизвестных (см., например, задачи П20-21 и Пз2-зз)«
Книга III по своему содержанию и методам непосредственно
продолжает книгу II. Здесь рассматриваются системы трех,
четырех и большего числа уравнений, каждое из которых имеет
степень Здесь встречаются задачи, в которых Диофанту
удается путем подстановок обратить в тождества все уравнения,
кроме двух, причем эти оставшиеся уравнения образуют «двойное
равенство». В этой книге встречаются уже «двойные равенства»
вида
ах2 + Ъх + с = у2, atx2 + btx +	— z\
которые определяют пространственные кривые, в общем случае,
рода 1. В дошедшем до нас тексте «Арифметики» нет явного пра-
вила решения таких систем, однако при определенных значениях
коэффициентов Диофант проводит решение, которое позволяет
реконструировать его метод (см. ч. I, гл. IV, раздел 5).
В книге IV впервые рассматриваются неопределенные урав-
нения е й и 4-й степени. В первых 23 задачах (кроме задачи IV18,
б которой появляется уравнение 6-й степени) встречаются, одна-
ко, только такие уравнения, которые униформизируются в рацио-
нальных функциях. Задачи IV24 и IV26-28 сводятся к нахождению
рациональных решений уравнений 3-й и 4-й степени, которые
задают эллиптические кривые (т. е. кривые рода 1). В этом слу-
чае, как мы уже знаем, неизвестные не могут быть выражены как
рациональные функции параметра.
Мы покажем (см. ч. I, гл. III, раздел 4), что для нахождения
рациональных положительных решений Диофант применил два
метода, первый из которых эквивалентен современному «методу
касательной», а второй — «методу секущей». Оба эти метода, как
известно, являются в современной алгебраической геометрии
единственными методами получения рациональных точек на эл-
липтических кривых в случае, если известны одна или две рацио-
нальные точки (см. [43]).
Книга V содержит наиболее трудные задачи. Может быть,
именно этим объясняется, что текст ее во многих местах испорчен.
Так, например, в задаче V9 Диофант формулирует ограничение,
которое нужно наложить на некоторое число а для того^ чтобы
ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ
45
2д 4- 1 представлялось в виде суммы двух квадратов. Это огра-
ничение, которое свидетельствует о глубоких познаниях Диофан-
та в теории чисел, было при переписке испорчено. Благодаря пол-
ному непониманию вопроса, никто из последующих ученых
вплоть до Фёрма не смог его восстановить. Только Ферма, кото-
рый независимо пришел к аналогичной теореме, сумел воспол-
нить пробел. Имеются и другие пропуски. Поэтому над этой кни-
гой работало немало филологов и математиков, из которых назо-
вем Баше де Мезириака, Ферма, Якоби и Таннери.
В книге V появляется новый тип задач (V9_14), в которых
заданное целое число N требуется представить суммою двух, трех
или четырех рациональных квадратов, каждый из которых удов-
летворяет некоторым неравенствам. Диофант применяет для их
решения четкий алгоритм, который он называет «методом приб-
лижения» (карьз6тт)то; бфоут)). При этом он решает квадратные
неравенства и рассматривает уравнение
ах2 + 1 = у2, а = 26, 30,
решение которого ищет в целых числах.
Последующие задачи книги сводятся к отысканию рациональ-
ных точек на кубических поверхностях. Примененные при их
решении методы эквивалентны проведению пучка плоскостей,
каждая из которых проходит через бесконечно удаленную пря-
мую, лежащую на поверхности.
Все задачи книги VI ставятся относительно прямоугольных
треугольников с рациональными сторонами, т. е. таких трех ра-
циональных чисел, которые удовлетворяют уравнению х2 + У2 =
— z2, К этому условию, общему для всех задач, присоединяются
дополнительные условия относительно площади, длины перимет-
ра, суммы площади и одной из сторон и т. д.
При решении этих задач Диофант особенно искусно оперирует
с конкретными числами как с произвольными параметрами (под-
робнее об этом см. ч. I, гл. III, раздел 4).
В этой же книге содержатся две леммы, которые дополняют
результаты книги I, а именно к задачам VI12 и VI15, где доказы-
вается, что уравнение ах2 + Ъ = у2 имеет бесконечно много ра-
циональных решений, если у него есть хотя бы одно такое реше-
ние.
Книга VI интересна ещё и тем, что в ней Диофант применяет
почти все методы, которые имелись в предыдущих книгах: тут
применяется «метод касательной» и «метод секущей», решаются
Двойные равенства различного вида и т. п.
Задачи VI книги послужили поводом для многих теоретико-
числовых предложений П. Ферма. Особенно важно его замечание
к задаче, добавленной Баше де Мезириаком, в которой требует-
ся отыскать прямоугольный треугольник в рациональных числах,
площадь которого была бы рациональной. Ферма заметил, что эта
46
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
площадь не может равняться квадрату. Эта задача сводится к до-
казательству неразрешимости в целых числах уравнения
я4 — У* = z2
(4)
Отсюда, в свою очередь, следует великая теорема Ферма для
случая и = 4. В своем замечании Ферма привел полное доказа-
тельство неразрешимости уравнения (4). Это единственное до-
шедшее до нас теоретико-числовое доказательство Ферма. Оно
основано на применении «метода спуска», получившего впослед-
ствии такое широкое применение в теории чисел.
Итак, большинство задач «Арифметики» сводится к решению
неопределенного уравнения или систем таких уравнений. И мы
утверждаем, что Диофант владел общими методами для нахож-
дения рациональных решений уравнений или, говоря языком
современной алгебраической геометрии,— методами нахождения
рациональных точек на кривых рода 0 и рода 1. У него встречают-
ся и другие вполне общие методы (см. ниже). Все эти вопросы
рассматриваются в настоящее время в алгебраической геометрии
и над их решением трудились такие математики, как Якоби
и Пуанкаре.
Насколько же общими были методы Диофанта? Последующие
главы III—IV будут посвящены исследованию этого вопроса.
Но, разумеется, мы не первые изучаем Диофанта. Каково же было
мнение крупнейших историков науки о методах Диофанта и о его
числовой области?
3.	ИСТОРИКИ НАУКИ ОБ «АРИФМЕТИКЕ»
А. МНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧИСЛОВОЙ ОБЛАСТИ,
КОТОРОЙ РАСПОЛАГАЛ ДИОФАНТ
Во введении к «Арифметике» Диофант приводит «правило зна-
ков» для умножения отрицательных чисел (см. ч. I, гл. III, раз-
дел 2). При этом само отрицательное число Диофант обозначает
специальным термином ХеТфсс, а положительное — термином
бпарЬс. Приведем толкование этих терминов и интерпретацию
правила знаков различными историками науки. Поль Таннери
в своем латинском переводе текста «Арифметики» передает слово
Xstcpcc как minus а бкарВк как plus.
Флориан Кэджори в книге [64], русский перевод которой
был сделан известным историком науки И. Ю. Тимченко, пишет,
что Диофант первый говорил, что «отнимаемое число, будучи ум-
ножено на отнимаемое, дает число прибавляемое» [24, с. 37]. И да-
лее: «Следует обратить особое внимание на то обстоятельство, что
у Диофанта нет обоснованного алгебраического понятия об от-
рицательных числах. Рассматривая выражение 2х — 10, он избе-
гает как лишенные смысла все случаи, когда 2х < 10» [24, с.39].
ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ
47
Сам И. Ю. Тимченко в приложении к книге Кэджори дает
другой перевод «правила знаков» Диофанта. Оп пишет: «Недоста-
ток, умноженный на недостаток, дает положительное число, недо-
статок же — на положительное число дает недостаток» [24,
с. 317].
Наконец, в своей книге «Основания теории аналитических
функций» (Одесса, 1899) тот же И. Ю. Тимченко перевел правило
Диофанта следующим образом: «Отрицательное количество, бу-
дучи умножено на отрицательное, дает положительное» [36,
с. 73].
Мнение Тимченко, по-видимому, ни у кого не нашло поддерж-
ки. Крупнейший историк математики Мориц Кантор в первом
томе своих «Лекций по истории математики» дал следующую ин-
терпретацию «правила знаков» Диофанта: «Вычитаемое (abzug-
liche) число, умноженное на вычитаемое, дает прибавляемое,
вычитаемое на прибавляемое дает вычитаемое. Едва ли нужно
особо отмечать, что здесь и речи нет о положительных и отрица-
тельных числах как о мерах противоположных величин» [65, т. 1,
с. 471].
Чтобы показать, что мнение о наличии отрицательных чисел
у Диофанта не изменилось и в наше время, приведем слова Н. Бур-
баки: «Диофант не знает отрицательных чисел; это правило (речь
идет о правиле знаков) может быть интерпретировано только как
относящееся к исчислению многочленов и позволяющее «развер-
нуть» такие произведения как (а — Ъ) (с — d)» [И, с. 65]. Впро-
чем автор оговаривается, что «правило знаков» — это «первый
росток исчисления с отрицательными числами».
В. МНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО МЕТОДОВ ДИОФАНТА
Первое слово здесь по праву принадлежит Г. Нессельману,
который в своей книге «Алгебра греков» посвятил целую главу
методам решения Диофанта. В ней он писал: «Описать все мно-
жество методов Диофанта означает не что иное, как переписать
всю книгу» [92, с. 355].
Прцведя это мнение, Мориц Кантор добавляет, что Диофант
не имел единообразия метода, а также «конечного числа методов,
каждый из которых служил бы для того, чтобы справиться с оп-
ределенной группой задач» [65, т. 1, с. 479].
В таком же духе высказывается и Г. Ганкель: «... Современному
математику после изучения 100 решений Диофанта трудно решить
101-ю задачу... Диофант скорее ослепляет, чем приводит в вос-
хищение» [82, с. 165].
Можно было бы подумать, что такая оценка объясняется тем,
ито книги Нессельмана и Ганкеля были написаны до работ Пуан-
каре, который по-новому осветил проблемы и методы диофантова
анализа. Но и в нынешнем веке взгляды на методы «Арифметики»
48
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
мало изменились. Мы видели это на примере Кантора. Такой же
точки зрения придерживаются в своей книге «История математики»
О. Беккер и И. Гофман: «Диофант не дает никакого общего ме-
тода, но применяет, по-видимому, для каждой новой задачи но-
вый неожиданный искусственный прием, напоминающий восточ-
ные» [54, с. 90].
Аналогичные высказывания мы находим даже в книге «Про-
буждающаяся наука» Ван дер Вардена: «Обычно он [Диофант]
удовлетворяется каким-нибудь одним решением, не делая разли-
чия, будет ли оно целочисленным или дробным. Его метод меня-
ется от одного случая к другому» [14, с. 375].
Другую точку зрения на методы Диофанта мы находим у
Г. Г. Цейтена: «Вообще говоря, Диофант старается найти какое-
нибудь одно решение задачи, не отыскивая общего решения
ее, которое включает все возможные решения, но не следует при-
давать особого значения этому факту, если желать понять полу-
ченные Диофантом результаты, ибо частные его решения заклю-
чаются лишь в том, что он сейчас же придает определенные зна-
чения вспомогательным количествам, служащим для решения
задачи» [39, с. 167—168].
После этого Цейтен разбирает способы Диофанта для реше- ч
ния некоторых неопределенных уравнений 2-й степени 1 (подроб-
нее см. ч. I, гл. IV, раздел 1).
Однако и он не видит у Диофанта общих методов для решения >
неопределенных уравнений 3-й степени. До сих пор эти методы :
приписывались различным математикам нового времени. Так j
Т. Сколем в своей фундаментальной книге «Диофантовы уравне-
ния» [106, с. 74] приписывает эти методы О. Коши и Э. Люка, 5
а сам Люка — Коши и Ферма.
Мы видим, что и мнения о числовой области Диофанта и, осо- .
бенно, мнения о наличии у него общих методов весьма разнообраз- ;
ны. Однако большинство из них сводятся к следующему:	|
1.	У Диофанта не было отрицательных чисел. «Правило» зна- |
ков служило для перемножения многочленов.
2.	У Диофанта не было и общих методов. Каждую из задач он
решал специально приспособленным для нее искусным (а скорее
искусственным) приемом.
3.	Диофант довольствуется только одним рациональным реше-
нием и не интересуется всем множеством решений.
Мы постараемся показать, что эти «общие мнения» совершенно
несправедливы: Диофант первый ввел отрицательные числа
1 В 1957 г. аналогичное мнение высказал О. Беккер: «Все-таки можно найти
там (т. е. в «Арифметике» — Авт.) некоторые общие методы, которые всег-
да применяются в типичных случаях» [53, с. 114]. В качестве таких мето-
дов он отметил: 1) решение уравнений вида у2 * * = ахг + Ьх 4- с\ 2) решение
«двойных равенств» (двух типов); 3) решение некоторых уравнений высших
степеней. Все эти методы он интерпретирует чисто алгебраически.
ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА
49
и нашел общие методы для решения неопределенных уравнений 2-й
и 3-й степени. Оба отмеченных нами факта были хорошо известны
Рафаэлю Бомбелли, Франсуа Виету, Альберу Жирару, Пьеру
ферма и другим математикам нового времени. Именно из «Ариф-
метики» Диофанта они черпали и способы введения новых чисел
и новые алгебраические и алгебро-геометрические методы.
Таким образом, мы постараемся провести анализ творчества
этого замечательного математика античности, которое до сих пор
оставалось непонятым и недооцененным.
ГЛАВА III
ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ
И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА
1. СИМВОЛИКА
Элементы алгебры возникли еще в древнем Вавилоне в XX—
XVIII вв. до н. э. В это время было открыто правило решения
квадратных уравнений, а также некоторые алгебраические тожде-
ства (например, что произведение суммы двух чисел на их раз-
ность равно разности квадратов этих чисел), которые, однако,
не формулировались в общем виде, а применялись при решении
конкретных задач. Никаких доказательств не было или, по край-
ней мере, они не дошли до нас.
В древней Греции, после того как математические знания бы-
ли преобразованы в абстрактную дедуктивную науку — математи-
ку, алгебру начали строить на основе геометрии. Алгебраические
тождества записывались и доказывались на языке геометрии:
в виде равенств некоторых площадей. Квадратные уравнения фор-
мулировались и решались геометрически. Такое построение по-
зволило греческим математикам доказать основные алгебраические
тождества и провести полное исследование квадратных уравне-
ний. Кубические уравнения, интерпретируемые как равенства
между некоторыми объемами, были изучены гораздо хуже. Для
их решения применялись конические сечения. Ни отрицательных
чисел, ни уравнений выше 3-й степени в это время не было.
Описанный этап известен в истории математики под назва-
нием «геометрической алгебры». Эта алгебра была хороша для
Решения задач, сводящихся к квадратному уравнению или по-
следовательному решению нескольких квадратных уравнений,
и только для таких задач. Иначе говоря, она в точности соответст-
вовала геометрии циркуля и линейки. Однако и для этих задач
°на была менее оперативна, чем наша буквенная алгебра. Что
-50
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
же касается дальнейшего развития алгебры, то геометрические
основы оказались для нее слишком тяжелы.
В первые века нашей эры, когда математические исследова-
ния вновь оживляются, совершается поворот к арифметизации
математики особенно заметный у Герона. Однако простой возврат
к числовой алгебре вавилонян уже не может удовлетворить ученых,
знакомых с сочинениями классической греческой науки. Иссле-
дователи ищут новые пути построения алгебры. Уже у Герона и
в Мичиганском папирусе II в. н. э. появляются буквенные обозна-
чения для неизвестного. Но решительный шаг здесь принадлежит
Диофанту, которого по праву можно считать основоположником
буквенной алгебры. Свое «введение» к первой книге, о котором
мы говорили, Диофант начинает с подробного описания симво-
лики. Он вводит символы для неизвестного и его степеней и опре-
деляет правила действия с ними.
Диофант называет неизвестное «числом» (apt 9^;) и вводит
для него знак который в текстах задач иногда удваивается,
если коэффициент, следующий за 1 неизвестным, отличен от 1.
Неизвестное с коэффициентом = 1, соответственно #= 1, напри-
мер, с коэффициентом = 12, в записи Диофанта имеют вид са,
соответственно ctfi или cap, где а и ф запись чисел 1 и 12 в ио-
нийской нумерации. Знак для неизвестного вошел в употребле-
ние, видимо, незадолго до Диофанта. Похожий знак встречается
ранее в двух текстах: в «Геометрике» Герона (I в. н. э.) и в Мичи-
ганском папирусе 620 (II в. н. э.). В «Геометрике» Герон приводит
таблицу «Геометрических знаков» Sr^eta ysto^srpiac [85, с. 12],
в которой имеются символы для четырех различных граммати-
ческих форм греческого слова dpt&poc. С помощью добавления
к основному знаку с одной или двух букв окончания Герон раз-
личает именительный и родительный падеж, а такще единственное
и множественное число. Героновские обозначения неизвестного
позволяют явно проследить некоторые особенности возникнове-
ния из риторической алгебры ранних форм алгебраической сим-
волики. Первоначально, по-видимому, алгебраические знаки
вводятся для сокращения наиболее часто встречающихся мате-
матических терминов, в результате чего их употребление подчи-
няется как алгебраическим, так и грамматическим правилам. По-
степенно более четко осмысливаются их алгебраические функции
и стираются ненужные грамматические дифференциальные при-
знаки. В диофантовых обозначениях неизвестного сделан шаг впе-
ред, т. к. в них не различаются именительный и родительный па-
деж, хотя иногда сохраняется дифференциальный признак един-
ственного и множественного числа. В Мичиганском папирусе
1 В отличие от общепринятого в современной математике соглашения за-
писывать коэффициент перед неизвестной, Диофант придерживается об-
ратного порядка их следования.
ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА
5!
620 мы не находим и этого различия. Для неизвестного здесь ис-
пользуется один и тот же знак.
Относительно происхождения знака z существует несколько
гипотез. Наиболее правдоподобна, на наш взгляд, гипотеза Нес-
сельманна [92], по мнению которого знак с является концевой сиг-
мой, т. к. ею оканчивается диофантовое название неизвестного —
Кроме того, Нессельманн указывает еще одно обстоятель-
ство, подтверждающее его мнение. Дело в том, что Диофант поль-
зуется в «Арифметике» ионийской нумерацией. Важная особен-
ность ионийской нумерации состоит в том, что все буквы грече-
ского алфавита в порядке следования заняты для обозначения еди-
ниц, десятков и сотен. При этом буква сигма имела различные
написания в середине и в конце слова. Числовое значение полу-
чила серединная сигма а, в то время как концевая Q оставалась
свободной. Именно это Нессельманн считает причиной использо-
вания концевой сигмы длр обозначения неизвестного.
Во «Введении», кроме знака для неизвестного, Диофант также
вводит символику для первых шести его степеней как положи-
тельных, так и отрицательных. Символы для положительных сте-
пеней являются сокращениями их греческих названий. Квадрат
неизвестного (SovopLic — сила, степень) Диофант обозначает
символом Дг, куб (хбро; — куб) — Кг, четвертую степень
(6uvoqjto£6va[jtt<; — квадрато-квадрат) — ДГД, пятую степень
(6uva[Jiox6po; — квадрато-куб) ДКГ, шестую степень (хорохбр©;—
кубо-куб) — КГК.
Отрицательные степени Диофант определяет как дроби с чио-
лителем единица и знаменателем, равным соответствующей сте-
пени неизвестного. Для отрицательных степеней вводится знак %,
который добавляется справа сверху к символу соответствующей
положительной степени, например, неизвестное в степени минус
Два обозначалось Д*Х
У Диофанта есть также специальный символ для неизвестнога
в нулевой степени, М, которое он не отождествляет с числом 1.
Например, многочлен I-#2 + IO*#1 + 1-я°, который мы записы-
ваем обычно более кратко х2 + 10#+ 1, отождествляя 1-я2 с
г2и1-ж° с 1, в символике Диофанта выглядит следующим
образом:
у»—з _ 0_
Д agiMa.
Отождествления Klcr cay Диофанта нет и не может быть. Это
происходит из-за того, что Диофант не ввел специальных знаков
Для сложения и умножения. Их отсутствие восполняется строго
определенным порядком записи степеней неизвестного и коэффи-
циентов, при котором коэффициент всегда следует за знаком сте-
пени. При этом для того чтобы свободный член не сливался с
*
52
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
коэффициентом при старшей степени, необходим символ для нуле*
вой степени неизвестной, выступающей в роли знакоразделителя.
Помимо перечисленных символов Диофант употребляет еще
знак Q для неопределенного квадрата.
Заметим, что введение шести первых степеней неизвестного
означало решающий шаг на пути построения алгебры, не зависи-
мой от геометрии. Ведь только три первые степени неизвестного
с, Дг и Кг могли быть истолкованы геометрически как образы
в трехмерном пространстве. Введя четвертую, пятую и шестую
степени, а также обратные к ним величины, Диофант решительно
порвал с классической геометрической алгеброй. Этот шаг, по-ви-
димому, оставался непонятным многим из его современников и
многим из последующих ученых. Напомним приведенные выше
слова Паппа Александрийского (конец III в. н. э.): «Нельзя го-
ворить о данном отношении какого-нибудь предмета, построен-
ного на четырех прямых, к предмету, построенному на остальных,
потому что не существует ничего, что заключало бы больше, чем
три измерения».
После введения символов для степеней неизвестной Диофант
формулирует правила умножения хт на хп, где | т |	6, | п |
<^6, I т + п I 6 \ которые в наших обозначениях можно за-
писать как х *х = х
При этом он выделяет два правила, носящих совершенно об-
щий характер.
1. «Всякий вид (есбо;), умноженный на одноименную ему часть,
производит единицу», т. е. произведение степени хт на обратную
ей величину х~т дает 1.
2. «Так как единица остается всегда неизменной, то умно-
женный на нее вид остается тем же видом», т. е. существует такой
элемент, что для каждого т
х™Л = хт.
Нетрудно видеть, что здесь впервые в явном виде выделены
основные теоретико-групповые свойства операции умножения.
Приходится только удивляться глубине проникновения Диофанта
в алгебраическую суть вопроса.
Наконец, Диофант вводит знак /f\ (который он сам характе-
ризует как «перевернутую и укороченную буку ар), отвечающий
нашему знаку «минус». О нем мы будем говорить подробнее в сле-
< дующем разделе 2. Сейчас скажем только, что при записи мно-
гочленов или уравнений, Диофант выписывает сначала подряд
всехположительные члены, а затем после знака А — все отри-
цательные. Например, многочлен
х3 — 2я2 + 10х — 3
в записи Диофанта выглядел бы так:
1 Мы будем в дальнейшем пользоваться для обозначения,степе ней неизвест*
ного современными знаками хт, ут и т. д.
ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА
53
„__ о _
л А ₽MV
/здесь а = 1,Р = 2, *j = 3, 7 = 10).
При записи уравнений Диофант применяет знак равенства сб,
представляющий собой две первые буквы слова соо; — равный.
Например, уравнение л3 = 2 — х в его записи будет: К7асбМ^Д<;а.
В конце «Введения» формулируются правила преобразования
уравнений, попавшие в Европу через посредство арабов и полу-
чившие поэтому арабские названия «ал-джабр» и «ал-мукабала».
Эти правила разрешают прибавление к обеим частям уравнения
равных членов и приведение подобных членов.
Таким образом, мы видим, что во «Введении» Диофант изло-
жил в аксиоматической форме основные алгебраические понятия
и элементы алгебраической символики, т. е. теоретические
основы той части математики, которая в дальнейшем получила
название алгебры, а не арифметики.
Однако анализ решений задач позволяет обнаружить в «Ариф-
метике» более широкие теоретические основания, чем те, которые
явно изложены во «Введении». Прежде всего это относится к чис-
ловой области Диофанта.
2.	ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ
Во «Введении» дается традиционное определение числа
(о	как определенного количества или множества единиц.
При решении задач под числом уже понимается любое положи-
тельное рациональное число. Решение задачи Диофант всегда ищет
в области положительных рациональных чисел, В то же время,
когда возникает угроза получения отрицательного или иррацио-
нального решения, Диофант, чтобы придти именно к положитель-
ному рациональному решению, проводит дополнительный анализ
условий. Часто этот анализ сложнее и тоньше самого способа ре-
шения. Таким образом, казалось бы, напрашивается вывод,
к которому обычно приходили исследователи «Арифметики», что
Диофант работает в области положительных рациональных чисел.
С этим нельзя согласиться в полной мере. Верно лишь то, что
Диофант имеет решения задач в области положительных рацио-
нальных чисел.
Как хорошо известно, расширение числовой области до по-
луполя положительных рациональных чисел Q недостаточно для
Построения алгебры. Действительно, для этого нужна область,
в которой можно беспрепятственно производить все четыре
Действия арифметики, т. е. поле.
Как же мог построить свою алгебру Диофант?
54
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Мы постараемся показать, что он ввел отрицательные числа,
свободно оперировал с ними, хотя они еще и не получили у него
«права гражданства».	!
Действительно, в определении (IX) «Введения» он сформулая,
ровал «правило знаков» «(IX) Недостаток (Хетфк;), умноженный
на недостаток, дает наличие (окар^с); недостаток же, умноженныД
на наличие, дает недостаток; знак же для недостатка — Д, уко:
роченное и опрокинутое вниз ф».
Здесь словом «недостаток» переведено греческое слово Xsupic,
Это слово является специальным математическим термином^
в обычных словарях оно отсутствует. Слово это произведено от гл ал-
гола ХеГтссо, одним из значений которого является «недоставать»;
«не хватать». Поэтому в русском переводе «Арифметики» был вы*
бран термин «недостаток». Поль Таннери, как мы говорили, пере-
вел этот термин на латынь словом «plus», а термин бяар&с —
словом «minus». Само это слово означает по-гречески «существо-
вание», «бытие», а во множественном числе — «имущество». Во
Введении к «Арифметике» оно является специальным термином
для обозначения положительного числа. Заметим еще, что Xeicpic
нельзя переводить словом «вычитаемое», как это иногда делают,
так как вычитание Диофант обозначает словами, производными от
глагола оироирею — отнимать. К тому же он приводит правило (IX)
до рассмотрения многочленов.
Таким образом, Диофант вводит отрицательные числа, по су-
ществу, аксиоматически, формулируя для них «правило знаков»:
(-)•(-) = (+), (-)•(+) = (-).
Диофант не вводит специальных правил для сложения и вы-
читания отрицательных чисел, попользуется ими при оперирова-
нии с многочленами, имеющими как положительные, так и отри-
цательные коэффициенты. Так, например, в ходе решения задачи
III8 Диофанту необходимо из я2 + 4а: + 1 вычесть 2х + 7. В ре-
зультате он получает х2 + 2х — 6. Здесь Диофанту для вычита-
ния многочленов необходимо произвести вычитание их свободных
членов 1—7 = —6, т. е. из меньшего числа вычесть большее, что
невозможно без введения отрицательных чисел. Другой интерес-
ный пример мы находим в задаче VIU, по ходу решения которой
из 54 вычитается 90—15я2 и получается 15а:2 — 36. Здесь, кроме
того, что из меньшего числа вычитается большее 54—90 = —36г
производится также вычитание одночлена —15а:2. При этом Дио-
фант, очевидно, пользуется правилом —(—а) = а. Отсюда видног
что он владел правилами знаков не только для умножения, но и
для сложения и вычитания. Последние, видимо, были достаточно
хорошо известны, так как Диофант не счел нужным их специаль-
но формулировать.
Наконец, отрицательные числа неявно встречаются в проме-
жуточных вычислениях. Например, в задаче Иц Диофант полагаем
ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА
55
сторону некоторого квадрата равной х — 4, при этом в решении
участвует только квадрат (х — 4)2, а не его сторона. В концо за-
дачи Диофант, решая уравнение относительно х, находит х =
15/8. Легко видеть, что тогда выражение х — 4 = —17/8 < 0.
Это, однако, не смущает Диофанта, т. к. для нахождения решения
он оперирует со значением квадрата х — 4, т. е. с положитель-
ным числом 289/64. Аналогичная ситуация имеет место в задачах
Пц-13, 20, 21, 23,28,29, 32» 1117,14, 1 б ? 1^11, 13, Н, 20» ^2, 4, 6, 13, 15, 29, 30»
У1б, 11, 23*
Таким образом, хотя решения задач по традиции ищутся в
области положительных рациональных чисел, в ходе решения
задач Диофант вводит отрицательные числа и оперирует с ними,
расширяя тем самым числовую область до поля рациональных
чисел.
Интересно сравнить ситуацию с отрицательными числами у
Диофанта и ситуацию с комплексными числами у Бомбелли. Точ-
но так же, как Диофант, БоМбелли вводит комплексные числа ак-
сиоматически и использует их при решении уравнений лишь в
промежуточных вычислениях, а конечный результат все же ста-
рается найти в области действительных чисел. Это сравнение по-
казывает, что числовая область, в которой ищутся решения
задач, более традиционна и консервативна в истории, чем та
числовая область, в которой фактически ведутся вычисления для
нахождения этих решений.
3.	ВОЗМОЖНОСТИ И ГРАНИЦЫ
СИМВОЛИКИ ДИОФАНТА
Выяснив, что представляет собой числовая область Диофанта,
мы рассмотрим сейчас возможности его алгебраической символики.
С помощью описанных во «Введении» алгебраических символов
Диофант может записать, во-первых, любой многочлен от неиз-
вестного ж, степень которого 6, и, во-вторых, любой многочлен
от аГ1, степень которого также 6. При решении некоторых
задач Диофант также работает с рациональными функциями от
я, степень числителей и знаменателей которых 6.
Таким образом, в своей символике Диофант может записать
любую рациональную функцию от одной неизвестной над полем
Рациональных чисел, степень как числителя, так и знаменателя
которой
Мы видим, что символика Диофанта характеризуется двумя
ограничениями: во-первых, на число неизвестных и, во-вторых,
5а величину степени. Возникает вопрос, насколько каждое из
отих ограничений существенно.
Начнем с ограничения на степень. Диофант вводит символику
только для первых шести степеней неизвестного. Разумеется,
ограничение именно шестой степенью не принципиально.
56
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Перейдем ко второму более существенному ограничению -ч
к отсутствию у Диофанта явной символики для нескольких не
известных.
Алгебра Диофанта, на первый взгляд, должна быть алгебро!
рациональных функций от одного неизвестного, т. к. он явщ
вводит степени лишь для одного неизвестного. С другой стороны,
большинство его задач сводится к системам неопределенных
уравнений от нескольких неизвестных (часто пяти, шести и боль
ше). Как же он записывает эти уравнения и оперирует с ними?
Основной»прием Диофанта заключается в следующем: он фор-
мулирует задачу словесно, затем выбирает одно основное неиз-
вестное, а все остальные искомые числа выражает как рациональ-
ные функции (обычно многочлены) от этого неизвестного и парат
метров. Параметрам, правда, придаются конкретные числовые
значения, но при этом, как правило, оговаривается особо, что они
могут быть и любыми другими числами.
Рассмотрим, например, задачу 1П4: «Найти такие три числа,
чтобы квадрат суммы всех трех вычтенный из каждого числа,
давал квадрат».
Мы бы записали условие задачи в виде системы:
— (*i +	+ х3)2 = yb i = 1, 2, 3.	(1)
Диофант поступает так: он полагает сумму трех чисел равной
t1, ее квадрат Z2, а искомые три числа
Ъ = (а2 + 1) *2, я2 = (Р2 + 1) i2, х3 == (у2 + 1) t2,
где а = 1, Р == 2, у = 3, т. е. = 2f2, х2 = 5t2 и х3 = 10^
Легко видеть, что вместо а, р, у можно взять любые целые или
дробные числа.
Далее уг = at, у2 = Р(, у3 = yt и все уравнения системы (0
удовлетворяются, если выполнено условие (а2 + Р2 + У2 + 3)Х
X t2 = t, откуъь
а2+р2 + ?2 + 3 •
Этот основной прием осложняется тем, что не всегда параметры'
могут быть выбраны произвольно, иногда на них приходится на-
лагать дополнительные условия, впрочем на этом мы подробнее
остановимся ниже.	f
Помимо этого Диофант использует следующие приемы.	J
Во-первых, он иногда разбивает задачу на несколько после-|
довательных задач, в каждой из которых символом g он обозначает!
новое основное неизвестное. Таким образом, g в ходе решении?
одной и той же задачи может последовательно обозначать различ*|
-----	I
* Основную неизвестную g мы будем обозначать буквой t.
ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА
57
sbie неизвестные числа. Во-вторых, знак § может иногда выпол-
нять роль свободного параметра.
Приведем пример использования знака g (= t) в роли неизвест-
ного и в роли параметра. Сравним для этого решения задачи 114
й леммы к задаче IV38.
В обоих случаях решается неопределенное уравнение
ху = 3 (х + у).
В задаче 1ц Диофант полагает х = t, у = 12 и решает отно-
сительно t уравнение 12J = 3 (£ + 12):
Решение леммы разбивается на две части. В первой части реше-
ния леммы к IV3e Диофант поступает так же, как при решении за-
дачи 114, полагая х = t, у == 5 и решая относительно t уравнение
= 3 (t + 5), откуда
3*5 _ 15
1 ~ 5 — 3	2
Во второй части решения леммы Диофант замечает, что в выра-
жении
3*5
вместо числа 5 можно взять любое другое (например, 12, как это
имело место в задаче 114) и, заменяя число 5 на £, получает для
неопределенного уравнения ху = 3 (х + у) общую формулу ре-
шения
х = 3t/(t — 3), у = t.
При решении задачи Z14 и в первой части решения леммы знак t
используется как знак неизвестного, а во второй части решения
леммы — как знак свободного параметра. Кроме того, в первой
части леммы знак t обозначает х, а во второй у, т. е. по ходу ре-
шения леммы к-задаче IV36 Диофант производит переобозначе-
ние неизвестных, при котором изменяется функция знака t.
Сравнение этих задач интересно еще в одном отношении. В за-
даче 114 Диофант при помощи подстановок х = t, у = 12 находит,
на первый взгляд, только одно рациональное решение, однако из
сравнения с леммой к задаче IV36, мы видим, что он прекрасно
понимает общность своего метода решения. Общее решение легко
получается, если вместо подстановки х = t, у = 12 взять подста-
новку х = t, у — к, т. е. если число 12 заменить свободным па-
раметром к. Именно это и делает Диофант в лемме к IV3e, но не
со всем привычным для нас способом, т. к. у него имеется только один
знак как для неизвестного, так и для параметра. Диофант находит
58
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
__	О • О	г*
сначала частное решение х— 5	, у ~ 5, из которого получаем
общее решение заменой числа 5 на знак t.
Таким образом, число начинает выступать в функции алгеб-
раического знака, не столько показывая, с каким конкретным
числом ведутся вычисления, сколько — какие алгебраические
операции надо проделать, чтобы получить решение. При этом
интерес с объекта оперирования (числа) переносится на последо-
вательность операций. Поэтому неявный алгебраический форма-
лизм Диофанта наиболее ярко проявляется в весьма своеобраз-
ной работе с конкретными числами, выполняющими у него самые
разнообразные алгебраические функции.
4.	РОЛЬ КОНКРЕТНЫХ ЧИСЕЛ
(ПАРАМЕТРОВ)
Уже в математике древнего Вавилона решение алгебраи-
ческой задачи с конкретными числовыми данными одновременно
служило двум различным целям: получению численного решения
задачи и демонстрации общего приема решения целого класса од-
нотипных задач. Например, имелся класс задач на отыскание
«длины» и «ширины», если заданы их сумма (или разность) и «пло-
щадь», т. е. произведение «длины» на «ширину». При этом состав-
лялись группы таких задач, имеющих одни и те же заранее подоб-
ранные ответы. Это делалось для того, чтобы выпуклее показать
общность алгоритма их решения. Действительно, в этом случае
центр тяжести переносился на сам алгоритм, так как численные
ответы были заранее известны и могли служить только для про-
верки правильности применяемого способа решения и отсутствия
ошибки в промежуточных вычислениях.
В «Арифметике» Диофанта роль числовых параметров суще-
ственно расширяется. Как правило, для решения задачи Диофант
представляет все искомые числа как рациональные функция
от одного неизвестного и параметров. Этим параметрам, правда,
придаются конкретные числовые значения, но при этом обычно
Диофант оговаривает, что они могли бы быть и любыми другими
числами. Эти-то параметры и играют в «Арифметике» роль допол-
нительных неизвестных. Мы видели это на приведенном вышо
примере задачи Ш4. Мы показали, что решение системы (1) за-
висит от трех свободных параметров. Чтобы подчеркнуть возмож-
ность произвол ьного выбора конкретных числовых значений этих
параметров, Диофант берет, в качестве их значений, последова-
тельные натуральные числа: 1, 2, 3. Если учесть также, что за-
пись этих чисел у Диофанта имела вид а, |3, у, то становится яснОг
насколько все это близко подходит уже по форме и смыслу к бо-
лее поздней буквенной алгебре.
ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА
59
Однако иногда оказывается, что произвольно выбранные зна-
чения для параметров не годятся, т. е. основное неизвестное по-
дучается отрицательным или иррациональным. Тогда необходимо
провести дополнительное исследование- задачи для выяснения
*гого, какие ограничения следует наложить на выбор параметров.
Так, например, задача IV8 сводится к системе
X? + *2 = J/3»	«! + «2 = у.
Диофант полагает х2 — t, хг — где р — 2. Тогда из второго
уравнения получим у = (Р + 1)£, а из первого
£2----------------
1 ~ (₽ + I)3 - ₽3 ’
Поскольку Р = 2, то /2 = 1/19, т. е. t будет иррациональным.
Диофант анализирует, как t2 составлено из параметра р, т. е.
находит t =	(Р), где / (Р) = (Р -h I)3 — Р3, откуда делает вы-
вод, что исходная система будет иметь рациональное решение,
если
(P + 1)3-P3 = D.
Он берет р в качестве нового неизвестного р — т (обозначает его
той же буквой, что и первоначальное) и получает
Зт2 + Зт + 1 =
Решая это последнее уравнение своилМ методом, который мы опи-
шем ниже, Диофант получает
_ 3 + 2%
V-3 ’
О	3 4-2%
т. е. параметр р можно выбрать только из класса чисел jrzry •
Замечательно, что Диофант часто сознательно выбирает для
несвободных параметров числа, которые не приводят к решению,
чтобы показать как надо проводить анализ задачи.
То обстоятельство, что Диофант смотрит на параметры не как
на конкретные числа, аскорее как на символы, ярко подтвержда-
ется при решении задачи 11110 и 1Пц. Рассмотрим первую из них.
Она сводится к системе
‘^'1^'2 + &   У1,	^2*^3 4“	У 2ч	^3^*1 Ч- &   Уз*
Диофант принимает а = 12 и полагает уг = 8, где е = 5, тогда
= е2 — а, и он принимает хг = (в2 — a) t, х2 = i/t. Этим
первое уравнение обращается в тождество. Затем он полагает
У2 = 6, где 6 = 4, тогда х2х3 = 62 — а, но#2 — 1/t, значит х3 —
(S2 — а) t. Остается удовлетворить третьему уравнению
(в2 — a)(S2 — a)t2 + a = yl.	(2)
60	ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
При выбранных Диофантом параметрах получаем 52Z2 + 12 =
Это уравнение имеет рациональное решение /=1, у3 = 8>
а значит, оно имеет и бесконечно много других рациональных ре-
шений, которые могут быть найдены методом, изложенным во IJ
книге «Арифметики». Но Диофант как будто не замечает этого|
Ведь существование решения уравнения (2) при 6 = 4 и е == 5
получилось чисто случайно! И Диофант ищет общие условия*
которые надо наложить на параметры е и 6, чтобы было обеспе-
чено существование рационального решения.
Таким образом, в алгебраическом формализме Диофанта на-
ряду со знаком для неизвестного и его степеней большую роль
играют знаки конкретных чисел, которые несут дополнительную
нагрузку, выполняя функцию параметров. При этом они могут
выполнять две различные функции, служа 1) знаками свободных
параметров, 2) знаками для несвободных параметров (парамет-
ров, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям).
Алгебраический формализм Диофанта представляет, как мы
думаем, особый этап в развитии алгебры. Он характеризуется тем,
что отсутствие буквенных обозначений для нескольких неизвест-
ных и параметров компенсируется полифункциональным исполь-
зованием знаков единственного неизвестного и его степеней, q
также знаков конкретных чисел. Этот этап, начало которому был<)
положено «Арифметикой» Диофанта, просуществовал в европей-
ской алгебре вплоть до второй половины XVI в. 1 Только в это
время в алгебре были введены, сначала знаки для второго*
третьего и т. д. неизвестных (Бомбелли и Стевин), а затем знаки
для параметров и буквенное исчисление (Виет).
Развитие алгебры показало, что алгебраический формализм
Диофанта, хотя и менее мощный, чем современный, способствовал
замечательным успехам как в изучении диофантовых уравнений,
так, позднее, в решении определенных уравнений 3-й и 4-й сте-
пеней.
1 Математики стран арабского Востока не применяли буквенной символик*
Диофанта, однако пользовались словесными эквивалентами соответствуй
щих символов, что изменяло лишь внешний вид, а не принципиальные осг
новы алгебраического формализма Диофанта.
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
6.1
ГЛАВА IV
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
1. УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Мы уже говорили, что большинство задач II—VI книг «Ариф-
метики» сводятся к решению неопределенного уравнения
F (хх, . . хп) = 0	(1>
или системы таких уравнений
Fi • • •> хп) — 0»	(2);
Р • • •» ^п) — О,
где F, м Рт— многочлены с рациональными коэффициен-
тами, а т < п. В книгах II и III рассматриваются такие задачи^
для которых все многочлены F,	не выше второй сте-
пени.
Мы, как и Диофант, начнем с рассмотрения задач, которые
сводятся к решению уравнения (1), где F — многочлен 2-й сте-
пени, а п = 2.
Мы постараемся показать, что в этом случае Диофант владел
общим методом нахождения всех рациональных решений, если
одно рациональное решение заранее известно.
Еще Г. Г. Цейтен заметил, что Диофант знал общий прием
решения уравнений вида
Z/2 = ах2 + Ьх + с£	(3>
если либо а, либо с являются полными квадратами. На самом деле
Диофант знал гораздо больше. А именно, пусть задано уравнение
Р к, у) = 0,	(4)
где F (х9 у) неприводимый многочлен 2-й степени над полем Q
и пусть известно одно рациональное решение х = х0, у — yQ.
Тогда Диофант дает метод, с помощью которого неизвестный
можно выразить как рациональные функции одного параметра:
с = <Р (Or У = (О	(5)‘
такие, что F (<р (0, ф (/)) а креме того, параметр t такжемо-
Жет быть выражен как рациональная функция неизвестных t =
X (я, У)- Придавая t различные рациональные значения, мы
получим по формулам (5) все рациональные решения уравнения
(4). Метод, о котором идет речь, имеет простую геометрическую
I
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ	|
интерпретацию, знакомство с которой облегчает анализ интересую*
дцих нас задач.
Пусть L — кривая, заданная уравнением (4), и на ней суще-
ствует рациональная точка М у0). Тогда метод состоит в том,
что через точку М (я0, уо) проводится пучок прямых
У — у0 = к (х — x0)t	(6)
или в параметрической форме
X = t + х0, у = kt + уа,	(7)
а затем ищутся точки пересечения с кривой L. Легко показать,
что каждая прямая пучка с рациональным коэффициентом к пе-
ресекает кривую L еще в одной рациональной точке.
Действительно, если в уравнение (4) подставить значение х и
у из (7), то получим
F (х0 4- t, у0 + kt) = F (х0,у0) + tA (х0, у0) +
4- ktB (х0, у0) 4- t2C (х0, yQ, к) = 0.
Но F (х0, у0) = 0, поэтому
t _ _ А (хл, у0) + кВ (Хр, у0)
С (я0, !/о> к)
Таким образом, каждому рациональному к (кроме, быть мо-
жет, одного) будет отвечать одно и только одно рациональное
решение.
На языке алгебраической геометрии этот результат формули-
руется так: кривая второго порядка над полем Q, имеющая ра-
циональную точку, бирационально эквивалентна рациональной
прямой*
Это же предложение, но в алгебраической форме Диофант
устанавливает в несколько этапов.
Он начинает с простейшего случая, который рассматривается
в пяти первых задачах книги II, которые сводятся к неопределен-
ным уравнениям
X2 + у2 = а (х 4- у),	а = 10;	(Hi)
х2 — у2 = а (х — у),	а — 6;	(1Ы
ху — а (х ± у),	а = 6;	(Пз)
х2 + у2 = а(х — у),	а = 10;	(П4)
х2 — у2 = а(х + у),	а = 6.	(II*)
Все эти уравнения характеризуются тем, что свободные члены
равны нулю, т. е. каждое из них имеет очевидное решение — 0,,
yQ = 0, которое, однако, отнюдь не является решением в смысле
Диофанта, так как он ищет только строго положительные реше-
ния.
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
6$
Для отыскания таких решений Диофант делает подстановку
х = t, у = kt,	(8>
которая является простейшим частным случаем подстановки (7).
Поскольку он не имеет символа для обозначения произвольного
параметра к, он показывает это на примере к — 2.
Подстановка (8) в случае, например, задачи Пг приводит к
уравнению
(1 + /с2)/2 = 10 (1 + к) t,
откуда
г .	10(1 + *)	„ л Ю(1+ft)
х — 1—	1 +	» У —К 1 -f-	’
т. е. неизвестные х и у выражаются как рациональные функции
параметра к и при к = 2 принимают значения х — 6, у — 12.
Верно также и обратное, параметр к рационально выражается
через х и у: к = ylx.
Задачи П2-5 решаются аналогично задаче IIV
Легко видеть, что с геометрической точки зрения здесь приме-
няется описанный нами прием: каждое из уравнений II1-& задает
на плоскости R2 кривую L второго порядка (окружность в случа-
ях П1>4 и гиперболу в случаях П2>3>6), на которой лежит рацио-
нальная точка М (0, 0). Подстановка (8) равносильна проведению
через М пучка прямых у = кх с рациональным коэффициентом к.
Каждая прямая пучка (за исключением одной) пересечет кри-
вую L еще в одной и только одной точке, координаты которой
дают искомое Диофантом решение.
Далее этот метод применяется в задаче П8, на которой мы
остановимся более подробно.
Приведем сначала ее формулировку и полный текст решения,
а затем попытаемся путем его анализа выявить метод Диофанта.
Задача 8 книги II. «Заданныйквадрат разложить на два квад-
рата.
Пусть надо разложить 16 на два квадрата. Положим, что 1-й
равен х2; тогда 2-й будет 16 — х2; следовательно, 16 — х2 тоже
равно квадрату.
Составляю квадрат из некоторого количества х минус столько
единиц, сколько их найдется в стороне 16-ти; пусть это будет
2# — 4. Тогда сам этот квадрат равен 4х2 + 16 — 16хг; он дол-
жен равняться 16 — х2.
Прибавим к обеим сторонам [равенства] недостающее и выч-
тем подобные из подобных. Тогда
5Х2 _
а z окажется равным 16/5.
64
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Один квадрат 256/25, а другой 144/25; сложенные вместе они
дают 400/25, или 16, и каждый будет квадратом».
Итак, требуется решить уравнение
х2 + у2 = а2.	(9)
Поскольку у Диофанта нет буквенных символов для парамет-
ров, он принимает а2 = 16.
Однако, чтобы лучше понять его метод, мы будем вместо 16
писать а. Диофант полагает х = £, у = 2t — а, но оговаривает^
что у должно быть составлено из «некоторого количества» t минус
а. Поэтому мы точнее передадим его мысль* если запишем
подстановку в виде
х = t, у = kt — а,	(10)
где к — любое рациональное число. Тогда
, t2 + (kt — а)2 — а2 и
2к	Р—1
х — t = а , у = а  .
1 f к* ’	* к14- 1
Геометрическая интерпретация этого решения сводится к
следующему: х2 + У2 = л2 является уравнением окружности с
центром в начале координат. Система (10) задаёт пучок прямых
с рациональным угловым коэффициентом, проходящим через ра-
циональную точку (0, — а) этой окружности. Каждая прямая
пучка (за исключением одной — отвечающей к = 0) пересечет ок-
ружность (10) еще в одной и только одной рациональной точке.
Наоборот, каждой рациональной точке (я0, z/0) окружности будет
отвечать прямая пучка (10) с коэффициентом к = (у0 + а)/я0.
В этой задаче Диофант ничего не говорит о числе решений и прос-
то берет к = 2. Однако он понимает, что его метод позволяет най-
ти неограниченное число решений и сам говорит об этом в задаче
Ш19: «Мы знаем, что разложение данного квадрата на два квад-
рата можно производить бесконечным числом способов».
* В заключение анализа задачи Не заметим, что именно к ней
на полях «Арифметики» Ферма сделал замечание (№ II), извест-
ное как большая или великая теорема Ферма (см. ч. III, гл. IV,
раздел 2).
Наконец, в задаче П9 Диофант применяет свой метод к наибо-
лее общему случаю. Чтобы показать это, мы рассмотрим подроб-
но эту задачу. Начнем с ее формулировки и полного текста реше-
ния.
Задача 9 книги II. «Данное число, которое складывает-
ся из двух квадратов, подразделить на два другие квадрата.
Пусть число 13, составленное из квадратов 4 и 9, надо под-
разделить на два другие квадрата.
Возьмем стороны 2 и 3 упомянутых квадратов и положим сто-
роны искомых квадратов: одну равной х + 2, а другую — нес-
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
65
кольким .r-ам минус столько единиц, сколько их будет в сто-
роне другого квадрата: 3. Пусть она будет 2х — 3. И получатся
квадраты: один я2 + 4я + 4, а другой 4я2 + 9 — 12я.
Остается лишь сделать, чтобы два сложенных квадрата дали 13.
Но два сложенных дают 5я2 + 13 — 8х; это равно 13; и х оказы-
вается 8/5.
К подстановкам. Я положил сторону 1-го х -[- 2; она будет
18/5.
Сторона же 2-го 2х — 3; она будет 1 [пятая]. А сами квадраты
будут: один 324/25, а другой одна двадцать пятая. И оба сло-
женные дадут 325/25, что сводится к заданному 13».
Эта задача сводится к уравнению
х2 + у2 = N = а2 + &2,	(П9)
где N = 13. Чтобы отыскать рациональное решение, Диофант
представляет 13 в виде суммы двух квадратов 4 и 9. Последнее
равносильно тому, что уравнение (П9) имеет рациональные реше-
ния (2, 3), (2, —3), (—2, 3), (—2, —3). Затем он делает подста-
новку
х — t + 2, у = kt — 3,	(11)
полагая, как и в задачах IIi_5,8, к = 2. Однако в задаче оговоре-
но, что следует взять «несколько £» (например, 2).
Подстановка (И) равносильна проведению пучка прямых
у + 3 = к (х — 2) через исходную рациональную точку (2, —3).
6 А/ - 4
После подстановки в (П9) он получает £ —	• Отсюда легко
видеть, что неизвестные х и у выражаются через рациональные
функции параметра к. Кроме того, как и в предыдущих задачах,
параметр выражается через рациональную функцию неизвестных
у + з
Сравнение задач 11^5,8,9 позволяет сделать некоторые предва-
рительные выводы.
1.	Для нахождения подстановок необходимо знание одного
рационального решения. Обычно это решение не является решением
в смысле Диофанта, так как числовая область, в которой он ра-
ботает — положительные рациональные числа, а исходное ре-
шение, как правило, не удовлетворяет условию положительности.
Поэтому он не выписывает явно исходного рационального реше-
ния, но неявно использует его при выборе подстановок.
2.	Задачи Hi-5,8,9 расположены в таком порядке, что подста-
новки постепенно усложняются и принимают все более общий
вид (табл. 2)
3 Заказ № 3214
66
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Таблица 2
№ задачи	Подстановки
	х = t,	у = 2t
щ	х = t,	у = 2t — b
II»	x = t + 2, y — 2t — 3
3.	Выше мы уже говорили о том, что из-за отсутствия симво-
лики для свободных параметров Диофант придает им стандарт-
ные числовые значения и тем самым использует число в роли ал-
гебраической знака. Задачи Пм,м дают нам подтверждающий это
пример. В каждой из рассмотренных задач мы имеем дело с един-
ственным свободным параметром к, которому Диофант придает од-
но и то же стандартное значение 2, оговаривая иногда, что может
быть взято любое другое число.
Таким образом, наш сравнительный анализ показывает, что
подбор и расположение задач 111-5,8,9 сознательно подчинены из-
ложению общего метода. Этот метод неоднократно применяется
в дальнейшем. Однако только в двух леммах книги VI он сфор-
мулирован в общем виде.
Приведем эти леммы.
Лемма 2 к задаче VI12. «Для двух данных чисел, сум-
ма которых составляет квадрат, можно найти бесконечное число
квадратов, каждый из которых, умноженный на одно из данных
[изложенный с другим числом], образует квадрат».
Лемма сводится к уравнению
ах2 + Ъ = у2,	'	(12)
при этом выполняется условие а + Ъ = т2, где т — рациональ-
ное число. Требование а + Ъ = т2 равносильно тому, что урав-
нение (12) имеет рациональные решения (1, тп), (1, — тп), (—1, тп),
(—1, — т). Диофант утверждает, что уравнение (12) имеет беско-
нечно много решений. Чтобы доказать это утверждение, он де-
лает подстановку
x=t-\-l,y = yt — т,	Х
равносильную проведению прямой у т = у (х — 1) через ис-
ходную рациональную точку (1, — т). Поле подстановки в (12)
он получает * = 2—, откуда# и у выражаются через рацио-
нальные функции параметра у, каждому рациональному значению
которого соответствует рациональное решение уравнения (12).
Лемма к задаче VI16. «Даны два числа; если некоторый
квадрат, помноженный на одно из них, после вычитания другого
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
67
дает квадрат, то можно найти и другой квадрат, больший упомя-
нутого и производящий то же самое».
Иначе говоря, если уравнение
ах2 —- Ь = у2	(13)
имеет некоторое рациональное решение (р, д), то можно найти
другое большее решение (plt qt), отправляясь от которого найдем
решение (р2, q2) и т. д., причем
р <	< р2	< Рп < • • •
Диофант проводит доказательство для а — 3, 6=11. За исход-
ное решение он принимает (5,8).
Сделав подстановку
х = t + р, у = q — pZ,
равносильную проведению прямой у —• q = — (х — р) через
исходную точку (р, q), Диофант находит t = 2	. При р2 > а
Таким образом, мы видим, что Диофант владел общим мето-
дом нахождения бесконечного числа рациональных решений неоп-
ределенных уравнений 2-й степени с двумя неизвестными, если
одно рациональное решение известно.
Будем называть его методом А.
У Диофанта имеется также класс задач, которые сводятся к
уравнениям вида
у2 = а2х2 + Ъх + с.
(14)
К ним Диофант применяет другой метод, представляющий собой
некоторую модификацию метода А. Мы будем называть его мето-
дом В. Он заключается в том, что делается подстановка
х = t, у = at + а,	(15)
где а — параметр, после чего t находится как рациональная функ-
ция параметра
__ с — а2
2аа — Ь
Впервые метод В применяется в задаче П1о, которая сводится
к уравнению
у® _	= 60.	(16)
Диофант делает подстановку
х= t, у = t + у (у = 3)
и получает
.	60 — у2	60 + у2
68
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Каков же геометрический смысл этого метода? Почему прямая
(15) встречает кривую (14) только в одной точке?
Чтобы ответить на эти вопросы, мы рассмотрим кривую, за-
данную уравнением (14), в проективной плоскости Р2. Для этого
запишем уравнение (14) в однородных координатах
V2 = a2U2 + bUW + cW2,	(17)
формулы перехода к которым имеют вид
х = U/W, у = V/W.
Легко видеть, что кривая L, заданная уравнением (17), пересе-
кает бесконечно удаленную прямую W = 0 в двух рациональных
точках (1, а, 0) и (1, —а, 0). Прямая, заданная системой (15),
в однородных координатах будет иметь следующий вид
х = Г, у = аТ — уРИ,
где t = Т/W, т. е. проходит через бесконечно удаленную точку
(1, а, 0).
Таким образом, метод В состоит в том, что прямая проводится
не через конечную, как в случае метода А, а через бесконечную
рациональную точку кривой второго порядка F2 (х, у) — 0.
Заметим, что с чисто алгебраической точки зрения метод В
очень прост. Вид подстановок при нем даже проще, чем в методе
А (если известно конечное рациональное решение). Это — один
из первых примеров того, что некоторые классы задач проще
трактовать алгебраически, другие же — геометрически.
2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
СО МНОГИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Мы рассмотрели те задачи «Арифметики», которые сводятся к
одному неопределенному уравнению 2-й степени с двумя неиз-
вестными, и показали, что Диофант владел совершенно общим
методом их решения.
Теперь мы перейдем к рассмотрению систем уравнений 2-й
степени от многих неизвестных, что и делает Диофант, начиная
с задачи Пх1. Прежде всего заметим, что если дана система
F! (хх, . . .9 хп) — 0,
Fm (#i, • • •, Хп) — 0,
где тп < и, а степени уравнений соответственно равны пх, и2, • • •
. . ., п^, то путем исключения ш — 1 неизвестного (например,
Яп-т+ь - •	#п) мы можем свести ее к одному уравнению @ (хи...
. . xn_m) степени . пт.
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
69
Диофант сначала рассматривает такие системы, которые сво-
дятся к уравнению 2-й степени от нескольких неизвестных. Наи-
более простые из них «двойные равенства»	т. е.
системы уравнений вида
ах +	= у[, ах + Ь2 = у2,
к которым сводятся задачи II1W3. В этих задачах Диофант при-
нимает
Пи:	а = 1,	&х= 3,	Ь2 = 2,
	а = —1,	= 21,	62 = 9,
Щз:	а — 1,	= -6,	Ъ2= -7
Эти простейшие двойные равенства он решает двумя способа-
ми, которые мы продемонстрируем, как это делает и сам Диофант,
на примере системы Пп.
Способ 1. Вычитая из первого уравнения системы вто-
poej Диофант получает
— ь2 = yl —	= (У! — У2)(У! + у2).
(Эта операция эквивалентна проектированию пространственной
кривой Г на плоскость (уи у2).) Затем он представляет разность
&i — Ь2 в виде произведения двух множителей
Ь!-Ь2=к^^
и приравнивает
,	bi — &2
У1 + У2 =	У1~ У2 =---Т-- ,
откуда
F +	— b2	к* — bi + Ъг
У1~ 2к ’	У2~ 2к
После этого х находится из первого или второго уравнения:
X = Vl - Ьг -- (--Тк---- Ьг = у2 - Ъ2 = (----------) — Ь2.
Такой способ решения Диофант применяет в дальнейшем (см.,
например, задачу Ш12).
Способ 2. Второе решение также основано на исключении
х из заданных уравнений (т. е. на проектировании), однако это
исключение производится другим способом. Из первого уравне-
ния Диофант находит ах = yi — br и подставляет это значение во
второе у* —	+ Ъ2 = yl или у\ — у} = &i — Ъ2. Это пос-
леднее уравнение решается методом, изложенным в П10.
70
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Таким образом, здесь производится сведение системы к урав-
нению 2-й степени от двух неизвестных \
В дальнейшем у Диофанта встречаются «двойные равенства»
более общего вида
а^1 2 + Ь2х +	= г/L а2ж2 + b2x + с2 = у2,
которые, вообще говоря, определяют пространственную кривую
4-го порядка и рода 1. (О них см. раздел 4, п. В.)
Теперь рассмотрим другие группы задач Диофанта, которые
ему удается свести к одному уравнению 2-й степени.
Во многих группах задач можно выделить такие п — т неиз-
вестных, от КоторыхFlt . . .,Fm зависят линейно. В этих случаях
систему уравнений удобно записать в виде
Fj (#1» . . . , Хт, . ., ^n-тп) === О,
F к (#1, • • •» хтч У и • • м Уп-гп) — О»
где через у1ч . . . , уп-т обозначены те неизвестные, от которых Fi
зависят линейно. Исключение производится в этих группах
особенно просто. Рассмотрим несколько таких групп.
1. Задачи II14-i5 и Ш20_21
1114 И Ш21	П15 и Ш20
Ух + У 2 = а,	У1 + У 2 = а,
2 I	2	2	2
+	=	Х2—у1 = Х1,
2 1	2	2	2	2
Х3 4“ У2-Х2'	Х3-У2 — ^2*
Выразив уг и у2 из двух последних уравнений этих систем и
подставив их выражение в первые, получим
#1 + #2= 2х3 + л»	Xi -f- х2 ==z 2я3 —	(Z?
Ух	#з>	У1	= х§ ^1»
У 2 === ^2	*^3’	У2	#3	— Х2*
Решение их равносильно решению результирующего уравнения
xl + 4 = 2x1 ± а.
2. Вторую группу составляют задачи II24-25 и П!^. Они сво-
дятся к
(У1 + ... + ут)2 + уг = xl, i = 1, ..., m; (П24, Ш2)
(2/14-... + г/™)2 — yi = х-, i = 1,. .тп; (П25» 1П3)
1 Легко видеть, что эти же методы применимы к двойным равенствам вида
4- Ъг = у*,	+ Ь2 =
где «1 = /с2а2.
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
71
У	1 — (г/1+ • • • + */m)2 = 4. t = l. ...,тп. (Ш4)
В книге II задача, отвечающая задаче П14, отсутствует. Вероят-
но, она выпала при переписке текста.
В книге II принимается т = 2, в книге III — т = 3. Однако
метод Диофанта пригоден для любого т, поэтому мы изложим
его здесь в общем виде.
Проиллюстрируем метод Диофанта на примере систем типа
П24, Ш2. Полагая
У	1 + Уг + • • • + Ут = Z,	(18)
получим
yt = Xi — z2, i = 1,	2, . . ., т.
Подставляя эти значения z/j в равенство (18), будем иметь
#	1 + #2 + • • • + Ят —*	= Z,
т. е. опять все свелось к одному уравнению 2-й степени от многих
неизвестных
* F2 (х1ч . . z) = 0.	(19)
Для нахождения решения уравнений (19) Диофант применяет
те же методы А и В, которыми он пользовался для случая т = 2.
Пример применения метода А дает нам задача П24, эквивалент-
ная, как уже показано, уравнению
4 + £ _ 2z2 = z,	(20)
решая которое, Диофант делает подстановку
z = х± = а2£, х2 = а3£	(а4 = 1, а2 = 2, а3 = 3)
(21)
,	0С1
и находит t= ———-——
+ аз ~ 2<Ч
Геометрический смысл этого решения состоит в том, что по-
верхность, определяемая уравнением (20), имеет рациональную
точку (0,0, 0). Поэтому подстановка (21) равносильна проведению
через эту точку рациональной прямой, пересекающей поверхность
(20) еще в одной рациональной точке.
Пример применения метода В мы находим в задаче П14, кото-
рая сводится к уравнению
я i + я2 = 2z| 4- а (а = 20).	(22)
Диофант в этом случае делает подстановку
*1 = * + Pi, х2 = I + 02, х3 — t
(0i = 2, 02 = 3, 0?+02<а)
а-(02 + р2)
И находит t= 2(р1 + й .
72
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Покажем, что здесь Диофант применяет метод В. Действи-
тельно, в этом случае поверхность S, определяемая уравнением
(22), имеет бесконечную удаленную рациональную точку. Чтобы
убедиться в этом, запишем (22) в однородных координатах
Xi + Xi = 2X1 +	(23)
где х^-Ху/и, x2 = X2/U, х3 = X3/U. Поверхность (23) имеет
бесконечно удаленную точку М (1, 1, 1, 0). Подстановка
Xi = Т + Х2 = Т + р2[7, Х3 = Т
равносильна проведению рациональной прямой через бесконечно
удаленную рациональную, точку М. Конечная рациональная точ-
ка пересечения этой прямой с поверхностью S соответствует ре-
шению, найденному Диофантом.
3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
В книге V «Арифметики» Диофанта содержится группа задач
(Ve, Vn, V14) совершенно новых и по своей постановке, и по методу
решения. В этих задачах требуется в общем случае отыскать та-
кие квадраты у[, . . ., уп, что
Ух + . . . + Уп = АГ, п = 2, 3, 4,
причем каждый из этих квадратов удовлетворяет некоторому
неравенству yl> г или у? < s, i = 1, . . ., и. При решении
Ддофант применяет метод последовательного приближения
(кар^оттро; аусоут}).
Этот метод привлек внимание математиков, например. П. Фер-
ма, однако у историков науки ему повезло гораздо меньше. Пер-
вое применение метода последовательных приближений мы на-
ходим в задаче V9. Приведем ее текст.
«Разложить единицу на две дроби и прибавить к каждой из
них заданное число так, чтобы получился квадрат.
Данное число не должно быть нечетным, [и удвоенное от него
увеличенное на единицу, не должно делиться на простое число,
которое, после прибавления единицы, является кратным четы-
рем] 4
Предположим, что к каждой дроби добавляется 6 и получает-
ся квадрат.
Так как мы желаем разложить единицу, прибавить к каждой
части 6 и образовать квадрат, то, значит, сумма квадратов должна
равняться 13. Таким образом, нужно разложить 13 на два квад-
рата, чтобы каждый из них был больше 6.	х
1 В дошедших до нас списках «Арифметики» текст этого ограничения испор-
чен. Впервые в новое время вид чисел, представимых суммою двух квадра-
тов, был найден П. Ферма. Он же восстановил ограничение Диофанта.
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
73
Если я разложу 13 на два квадрата, разность которых мень-
ше единицы, то решу задачу. Беру половину 13; получится 6 V2;
и ищу, какую квадратичную дробь нужно придать к 6 V2 для
образования квадрата. Увеличим всё в 4 раза. Тогда я буду ис-
кать, какую квадратичную дробь нужно приложить к 26, чтобы
получить квадрат. Пусть прибавляемая дробь будет 1/л?2 и 26 +
Множу все на х2\ получается 26о?2 + 1 = Q. Пусть будет на
стороне 5я + 1; и получим я равным 10. Тогда х2 будет 100, а 1/л:2
будет 1/100. Таким образом, к 26 нужно придать 1/100, ак61/2—-
одну четырехсотую, что дает квадрат на стороне 51/20.
Таким образом, 13 надо разложить на два квадрата так, чтобы
сторона каждого была возможно ближе к 51/20. И будем искать,
что надо вычесть из 3 и прибавить к 2, чтобы получить именно
51/20.
Образую два квадрата: один на Их + 2, а другой на 3—9х.
И сумма этих квадратов
202л;2 + 13 - Юж = 13,
откуда получаем х = 5/101. Значит сторона одного квадрата бу-
дет 257/101, а другого 258/101.
И если от каждого из этих квадратов отнимем 6, то одна из
долей единицы будет 5358/10201, а другая 4843/10201, и ясно,
что каждая вместе с 6 единицами образует квадрат».
Итак, эта задача равносильна системе
У1 + Уз = 1, У1 + а = Уз + а = *2,
решение которой, как всегда, Диофант ищет в рациональных поло-
жительных числах, т. е. ух > 0, у2 > 0.
Складывая два последних уравнения, Диофант приходит к но-
вой задаче, эквивалентной уравнению
4“ #2 = 2а 1,	(24)
причем х\ a, х$ а.
Остановимся теперь на том, в чем смысл ограничения Дио-
фанта, которое мы привели в реконструированном виде. Диофанту
нужно, чтобы уравнение (24) было прежде всего разрешимым, т. е.
чтобы число 2а + 1 можно было представить в виде суммы двух
целых или рациональных квадратов. Из ограничения видно, что
Диофант знал, что никакое число вида 4п — 1 не представимо
суммой двух квадратов. Он знал также, что число N не будет пред-
ставимым, если оно имеет простые делители вида 4п — 1 (надо
было бы добавить «простые делители вида 4и — 1, которые входят
в нечетной степени», но, по-видимому, Диофант предполагал, что
из числа N = 2а + 1 уже выделен наибольший квадрат Z2, на
который оно делится, т. е. рассматривал простые делители част-
74
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
ного (2а + 1)7/2, которое уже не содержит квадратов простых чи-
сел) *.
Итак, Диофант требует, чтобы уравнение (24) имело, по край-
ней мере, одно рациональное решение. Саги он выбирает а — 6,
тогда 2а + 1 = 13 и решением будет, например, пара (2,3).
Далее хх и х2 должны быть примерно равны |Л 13/2. Поскольку
этот корень иррационален, то, казалось бы, естественно было бы
непосредственно искать в качестве хх и х2 его рациональные при-
ближения. Диофант, на первый взгляд, поступает иначе — он
вводит промежуточное уравнение, которое в XVIII в. получило
название уравнения Пелля
Ах2 + 1 =
Оно встречалось до этого у Евклида для А == 2 («Начала», предло-
жения П9 и П1о) и Архимеда (в «Задаче о быках»).
Диофант ищет такую дробь 1/р2, чтобы
4+4-=^	<25)
или умножая все на 4z? и полагая v = 2х, и = у!2х, он получает
уравнение
26я2 + 1 = г/2,	(26)
которое и есть уравнение Пелля—Ферма для А = 26. Далее он
решает уравнение (26) своим обычным методом, т. е. применяя
подстановку х = Z, у = kt + 1, получает
х = 2Лт/(26 - F).
Он выбирает к = 5, так чтобы к2 = 25 был наибольшим целочис-
ленным квадратом, меньшим 26, тогда х = 10, v = 20, и = 51/20.
Однако Диофант не может положить хг = х2 = и — 51/20, так
как тогда
х{ + xl = 2 (51/20)2 = 13х/2Оо > 13.
Заметим, что х± и х2 должны быть приближенно равны. Диофант
ищет такие числа аир, что
3 - а = 51/20,	2 + Р = 51/20,
т. е. а = 9/20, р = 11/20, а затем полагает
хг = ilt + 2, х2 = 3—9Z	(27)
и подставляет эти значения в уравнение (24), после чего находит
t = 5/101, хг = 257/101, х2 = 258/101.
Эти числа и дают решение. 1
1 В разделе 6 будет подробнее говориться об ограничении Диофанта.
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
75
В чем же состоит метод? Зачем нужно было приводить задачу
к уравнению Пелля—Ферма? В чем смысл подстановок (27)?
Прежде чем ответить на все эти вопросы, опишем вкратце за-
дачи Vn и V14. Условия их таковы:
У1 + У2 + Уз = 1»
i = l, 2, 3;
У1 + У2 4~ Уз + У к — (h
У г + У1+1 + Z/i+2 =
i = 1, 2, 3, 4, если i 4- к > 4, то надо
писать i + к — 4.
Диофант сводит их, соответственно, к системам
vir	v14,
xi 4* х2 4~ хз За 4“ > xi ~F х2 4“ хз 4* х4к За >
i = l, 2, 3; xl<a, i = l,2, 3, 4.
При этом в задаче Vn он накладывает ограничение на число а,
так как знает, что не всякое число N = За + 1 может быть пред-
ставлено суммою трех целых или рациональных квадратов. А имен-
но, он требует, чтобы а 8т 4- 2, т. е. 7V = За + 1 =# 24m 4~ 7.
Как показал Ферма нужно исключить также все числа вида
21 (8т 4~ 7). Для второй задачи ограничений он не ставит. Оче-
видно, ему было известно, что всякое целое число представимо
суммою четырех квадратов.
При решении задачи Vn Диофант принимает а = 3 и повторяет
все те шаги, которые мы видели в задаче V9, а именно:
1)	получает уравнение Пелля—Ферма ЗОх2 + 1 = у2 и, ре-
шая его, находит, что хг ~ х2 х3 11/6 = и, причем 3(Х1/6)2<^ 10;
2)	исходя из некоторого рационального решения уравнения
х{ + xl + xl - 10,	(28)
а именно, х± — 3, х2 — 3/5, х3 — 4/5, находит числа а, р, у та-
кие, что
1£_ 7 и —Л_______________L— 37
a — j 6 — 6, Р— 6	5 — 30 ’
И	4	31
Y — 6	5 — 30 ’
умножает все эти числа на 30 и полагает
Х1 = 3—35*, х2 = 37t 4- 3/5, х3 = 31* + 4/5,	(29)
после чего подставляет эти значения в (28) и находит решение.
Во второй задаче Диофант ограничивается указанием плана
решения, полагая, очевидно, что метод уже достаточно ясен. За-
метим, что если принять вместе с Диофантом о = 10 и следовать
76
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
его плану, то придем к уравнению Пелля—Ферма при А — 30,
т. е. к такому же, что и в Vn.
Попробуем теперь дать интерпретацию метода Диофанта.
Решение каждой из задач V9tlljl4 можно разбить, как мы виде-
ли, на два шага, изложение которых мы приведем в более общем
виде, чем это сделано Диофантом, и там, где это удобно, будем
прибегать к геометрическому представлению.
Во всех трех задачах на гиперсфере 5, заданной уравнением
«2^1 “г-	“I-  . . З'п ’==z'	=== 2» 3, 4,
системой неравенств задается область G, внутри которой нужно най-
ти рациональную точку, если заранее известна рациональная
точка гиперсферы, лежащая вне этой области.
Во всех трех случаях иррациональное решение этого уравнения
==	. ., хп = ]Лг/тг удовлетворяет неравенствам, задан-
ным в условии, т. е. точка (хх, . . ., хп) ЕЕ G.
1-й шаг. На 1-м шаге рассуждения ищется число и, являющееся
рациональным приближением jAz/n. Для этого Диофант состав-
ляет уравнение
~+4-=»‘	да
и отыскивает его рациональное решение. После домножения обеих
частей уравнения на п2р2, он получает уравнение
пах2 + 1 = у2, х = v/п, у = vu,	(31)
рациональное решение которого получается при помощи подста-
новки выражений = у = А#Ч~1в уравнение (31)
nat2 + 1 = (kt + I)2
откуда
,2к	па-}- к2	па + к2
X = t~------тт-, у =---------L__ и =--------
па — к2 v па — к2 1	2кп
Если теперь несколько иначе переписать уравнение (30)
2	а   1   1
U	п	*77*	п2х2 ’
то можно получить следующую оценку для рационального прибли-
жения и квадратного корня а/п:
Т f а 1 f 9 а 1 па — к2
U — I/ ---< 1/ W2-----=-----= ---.
г п т	п пх 2кп
В задачах V9>11 па = 26, 30; к = 5, т. е. является наибольшим це-
лым числом, квадрат которого меньше па. В задаче VX4 п = 4,
а == 30 и, значит, дробь а!п — 30/4 может быть сокращена на 2,
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
77
поэтому мы получаем уравнение ЗОя2 + 1 = у* точно такое же,
как в задаче Vu.
2-й шаг. Геометрический смысл 2-го шага состоит в нахожде-
нии пересечения сферы 2, заданной уравнением
-J- #2 + • • • + %П ==
и прямой, проходящей через исходную рациональную точку В
сферы 2, лежащую вне области G, определенной неравенствами,
и через точку В (и, . . ., и), координаты которой найдены на 1-м
шаге решения. При этом точка В лежит вне сферы 2. В задачах
V9,n координаты найденной таким образом точки пересечения
являются решением, т. е. удовлетворяют уравнениям и неравенст-
вам, указанным в условии. Таким образом, смысл подстановок
(27) и (29) в задачах V9, ц состоит в проведении прямых, проходя-
щих соответственно через точки В (3,2), В (51/20, 51/20) и
В (3, 3/5, 4/5), В (11/6, 11/6, 11/6).
Проанализируем теперь, при каких условиях «метод прибли-
жения» приводит к решению. Все рассмотрения мы будем вести на
геометрическом языке, который в этом случае наиболее удобен.
На сфере 2 (в задаче V9 — одномерной, в Vn —• двумерной,
в Vi4 — трехмерной) системой неравенств задана область G, внут-
ри которой ищется рациональная точка. При этом известна рацио-
нальная точка В (В е 2, В G) и иррациональная точка
С е G. Для наглядности через точки В, С и центр сферы О про-
ведем плоскость П, в которой будут вестись дальнейшие построе-
ния (рис. 6). Пусть Рг и Р2 точки пересечения этой плоскости
с границей области G. На 1-м шаге решения на прямой ОС отыски-
вается рациональная точка В (и, . . ., и), достаточно близкая
к точке С (Уа/п, . . ., Уа/п), а на 2-м шаге — ищется точка пере-
сечения М прямой ВВ и окружности о = 2 П П. Для того чтобы
найденная точка М принадлежала дуге Р^г, точка В должна ле-
жать на отрезке ССГ, где С± есть точка пересечения прямых ОС
и ВРГ. Отсюда ясно, что найденная на 1-м шаге точка В должна
удовлетворять условию СВ <^СС±. Это эквивалентно отысканию
78
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
и — рационального приближения сверху у а/п. Действительно,
если	__
0<М2-_ < — ’ то СВ2 — п	<
Мы видели, что приближение, полученное Диофантом на 1-м
шаге, удовлетворяет оценке
«I Г а 1 _ па — к2
U У п пх 2кп
Поэтому, для того чтобы приближение и давало решение исходной
задачи, достаточно, чтобы для к выполнялось неравенство
л па — к2	ССг
2пк	у п ’
или, если к 1/2,
О < па — к2 < У пСС^
Условия задачи V9, п, 14 составлены Диофантом так, что для вы-
полнения этого неравенства достаточно взять к наибольшим це-
лым числом, квадрат которого меньше па. На наш взгляд, мало ве-
роятно, чтобы Диофант оценивал длину отрезка ССЪ для вычис-
ления которой необходимо свободно оперировать с квадратичными
иррациональностями. Поэтому мы предлагаем реконструкцию
«метода приближения», аппарат которой не выходит за границы
технических средств и понятий греческой математики первых ве-
ков нашей эры.
Реконструкция. Заметим прежде всего, что нет необходимости
оценивать величину отрезка ССЪ если у нас есть способ найти
последовательность рациональных точек	лежащих на
луче ССг и сходящихся к точке С. Проводя 2-й шаг метода Дио-
фанта, вместо точки В последовательно для точек Во, Вг, . . .,
мы получим вместо точки Мпоследовательность точек ЛГ0, Мъ ...,
для которых утверждение Мт £ Р^Р^ равносильно утверж-
дению СВт < С(\. Поэтому проверка выполнения условия
СВт < в котором нахождение величины отрезка ССГ затруд-
нительно для Диофанта, может быть заменена проверкой выпол-
нения неравенств, определяющих область G, для координат то-
чек Мо, М19 .... Далее, так как координаты точек Вт имеют вид
(ит, . . ., um), то задача отыскания последовательности точек
равносильна нахождению последовательности рацио-
нальных точек {uw}meN» сходящихся к У а/п или, что то же самое,
последовательности рациональных чисел {zm}meN» сходящейся
к У па.
Рассмотрим в этом контексте 1-й шаг метода Диофанта.
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
79
Исходя из уравнения
z2 — А = 1/х2, А — па, z — пи,
Диофант после преобразования, равносильного замене неизвест-
ных z = у/х, приходит к уравнению у2 — Ах2 — 1, решение ко-
торого дает формулу для достаточно хорошего рационального
приближения А:
z = (А + к2)12к,
где к — более грубое целочисленное приближение.
Это формула совпадает с известной формулой нахождения при-
ближения квадратного корня у Герона (I в. н. э.), более привычный
вид которой
*=4(4+4	<32>
Сам Герои применял формулу (32) как итерационную, т. е. даю-
щую возможность находить по тп-му рациональному приближе-
нию более точное (т + 1)-е приближение. Приведем в переводе
М. Я. Выгодского отрывок из «Метрики», в котором Герои на
примере приближенного извлечения квадратного корня из 720
описывает формулу (32) и связанные с ней итерации:
«Так как 720 не имеет рационального корня, то возьмем ко-
рень с очень малой погрешностью следующим образом. Так как
ближайший в 720 квадрат есть 729, и оно имеет корнем 27, то раз-
дели 720 на 27. Получается 26 2/3. Приложи 27. Получится 53 2/3.
Половину этого. Получается 26 х/2 Итак, ближайший корень
из 720 будет 26 х/2 х/3. [Если помножить] на самое себя, получается
720, так как погрешность есть 36-я часть единицы. Если мы поже-
лали бы, чтобы погрешность стала меньшей частью [единицы],
чем 36-я, то вместо 729 мы возьмем только что найденное 720 х/в и,
проделав то же самое, найдем, что погрешность гораздо меньше,
чем х/36» [16, с. 338—339].
Таким образом, если z0 = к — наибольшее целое число, для
которого к2 < А, то первое приближение z1 вычисляется по фор-
муле
+ zm )
Повторяя процесс, мы придем к последовательности рациональ-
ных чисел {2m}mGN, связанных соотношением
_ 1 / А
zm+l — “Т" ( “
\ zm
и сходящихся к |ЛЛ.
В древней Греции этот метод мы находим впервые у Архита из
Тарента (первая половина IV в. до н. э.), но уже в древнем Вави-
80
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
лоне для приближенного извлечения квадратных корней приме-
нялась формула
z = k+^-, В = А-к2,
£К
%
эквивалентная формуле Герона.
В случае А — 2 греческим математикам был известен еще один
способ нахождения последовательности рациональных приближе-
ний, отличных от геронова, но также связанный с уравнением
41елля—Ферма. Мы имеем в виду способ, известный нам из сочи-
нений Теона Смирнского (II в. н. э.) и Прокла (V в. н. э.) и состоя-
щий в построении двух последовательностей	и
отношение Которых {dm/am}m^ дает последовательность рацио-
нальных приближений У*2. Рецепт Теона заключается в следую-
щем: если dr =	= 1, то т-е члены последовательностей полу-
чаются из (т — 1)-х по формулам
===: ат-1 dm-v dm 2ат^ -J- dm^19
причем dm — 2а2т = + 1, т. е. четные члены удовлетворяют урав-
нению Пелля—Ферма у2 — 2х2 = 1. Теон указывает, что обосно-
вание приема дают предложения 9 и 10 книги II «Начал» Евклида.
Заметим, что т-е приближение ]Л2 по формуле Герона совпадает
с 2™-м приближением по способу Теона.
Возвращаясь теперь к «методу приближения» Диофанта, осно-
ванном на построении последовательности рациональных прибли-
жений к можем сделать следующие выводы.
1.	На 1-м шаге метода, найдя для уравнения Пелля—Ферма
у2 — Ах2 = 1 рациональное решение
2к	А +к*
Х~ А —к2 ' У~ А —к2 ’
Диофант выводит из него формулу Герона
_ Л + к2 _ j ! А ,	\
х~2к~2\к+к)'
Выбирая к наибольшим целым числом таким, что к2 < А, он полу-
чает тем самым первое приближение zr == z к У А.
2.	На 2-м шаге ищется точка пересечения М прямой RB и сфе-
ры S, где R — исходная рациональная точка, а В имеет коорди-
наты_(г/п, . . ., zln) и z — найденное на 1-м шаге приближение
к УА.
3.	Анализ метода показал, что найденная таким образом точка
М будет принадлежать области G тогда и только тогда, когда точ-
ка (z/n, . . ., zln) взята достаточно близко к (У а/п, . . ., У а/п),
точнее СВ < ССЪ что в свою очередь эквивалентно нахождению
рационального приближения z к j/'A = У па.
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
81
4.	Числовые данные в задачах V9,n,i4 подобраны Диофантом
так, что для выполнения условия СВ <ZCC1 достаточно взять
2 — первым приближением к '\[А.
5.	В общем виде «метод приближения», видимо, состоял в сле-
дующем. Выведенная на 1-м шаге формула Герона дает способ для
вычисления последовательности рациональных чисел	схо-
дящихся к |А4, которой соответствует последовательность точек
Вт ~ (zm /п, . . zm/n)- Применив 2-й шаг метода вместо точки В
к точке Вт, мы получим точку Мт и проверим для нее выполне-
ние условия Мт EEG. Если это условие не выполняется, то, пере-
ходя от приближения zm к zm+1, найдем точку Мт+1 и проверим для
нее выполнение условия Мт+1 ЕЕ G. Будем повторять этот процесс
до тех пор, пока для некоторого mQ не станет выполняться условие
Мт<) ЕЕ G.
4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ
И ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
А. КУБИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
В книге VI Диофант решает задачи, которые сводятся к урав-
нениям 3-й, 4-й и 6-й степени от двух неизвестных. Напомним, что
метод решения таких уравнений принципиально отличается от
методов решения неопределенных уравнений 2-й степени, так как
кривые, определяемые этими уравнениями, могут иметь род
£ > 1-
Кривая 3-го порядка может иметь род g = 0 или 1 (в зависи-
мости от наличия или отсутствия двойных точек). В случае g = 1
координаты рациональных точек (если таковые имеются), уже не
могут быть выражены рациональными функциями одного пара-
метра. Однако, зная одну или две рациональные точки кубиче-
ской кривой, можно найти еще одну ее рациональную точку,
применяя «метод касательной» или «метод секущей» (см. Введение).
Оба эти метода до сих пор приписывались тем или иным матема-
тикам прошлого века, мы же покажем, что оба метода применя-
лись уже в «Арифметике» Диофанта. Именно отсюда они были из-
влечены впоследствии математиками XVI—XVII вв.— Р. Бомбел-
ли, Ф. Виетом, А. Жираром и П. Ферма.
«Метод касательной» впервые встречается в задаче IV24.
«Данное число разложить на два числа и сделать [так], чтобы
их произведение было кубом без стороны.
Пусть данное число будет 6.
Положим 1-е число х, тогда остаток 6 — х будет 2-м числом.
Остается [сделать так], чтобы их произведение было кубом без
стороны. Но их произведение будет 6х — х2; это должно равнять-
ся кубу без стороны. Образую куб на х, взятом сколько-то раз ми-
82
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
нус 1, пусть на 2х — 1. Построенный куб без стороны будет 8х3 +
+	— 12х2. Это должно равняться 6х — х2.
Если бы количества х в каждой стороне равенства были рав-
ными, то остались бы для сравнения члены с х3 и х2, и х получи-
лось бы рациональным. Но получается из разности (эх и 2х,
т. е. из утроенного 2х; и если из утроенного 2х вычесть 2<г, то по-
лучится дважды 2х. Но 6 является произвольным согласно пред-
положению. Таким образом, я вынужден отыскивать число, как
это 2х, которое, будучи взято 2 раза, дало бы 6. Это число есть 3.
Я ищу 6х — я2, равное кубу без стороны. Теперь сторону этого
куба я беру Зх — 1; построенный на ней куб без своей стороны
будет
27х? + Зх — 27х2 = 6х — я2;
и х получается равным 26/27.
К подстановкам. 1-е число будет 26, а 2-е 136 [двадцать
седьмых долей]».	'
Проанализируем метод Диофанта. Задача сводится к уравне-
нию
х (а — х) = у3 — у,	(33)
где а = 6. Это уравнение, очевидно, имеет рациональные решения
х = 0, у = 1ия — 0, г/ = —1. Диофант делает подстановку
х = t, у = kt — 1,	(34)
равносильную проведению прямой у = кх — 1 через точку (0, —1).
Он берет сначала к — 2, но анализ задачи показывает ему, что
к не может быть выбрано произвольно. Действительно, после под-
становки получим
k3t3 - (3&2 - I)/2 + (2к — a)t = 0.
Чтобы t рационально выражалось через &, Диофант полагает
2к — а = 0, откуда к = а/2. Нетрудно видеть, что при таком вы-
боре к прямая (34) будет касательной к кривой (33). Процедура,
примененная Диофантом для нахождения к, равносильна чисто
алгебраическому определению производной dyldx неявной функ-
ции (33) в точке (0,— 1). Метод его совершенно общий. Если дано
уравнение 3-й степени F (х, у) = 0, которое имеет рациональное
решение х = а, у = Ъ, то, сделав подстановку
х = а + t, у = Ъ + kt,
получим
F (а + t, Ъ + kt) = F (a, b) + Р (a, b) t + Q (а, b) kt +
+ R (а, Ь, к) t2 + S (а, Ъ, к) t3 = 0.
Но F (а, Ь) = 0. Чтобы t было рациональным, достаточно при-
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
83
равнять нулю коэффициент при t. Тогда
, _ _ Р(а, b) _	OF/dx
Q(a,b)~~	dF/Oy
Причем dFIdx и dFIdy находят чисто алгебраически.
Тем же методом Диофант решает задачу VI18, которая сводится
к уравнению
х3 — Зя2 + 3# + 1 = у2.	(35)
Это уравнение имеет рациональное решение х = 0, у = 1. Для
отыскания другого решения Диофант делает подстановку
х = t, у ~ 3/2t + 1,	(36)
где к = 3/2 сразу выбрано так, чтобы в результирующем уравне-
нии коэффициент при t в первой степени равнялся нулю. Это со-
ответствует тому, что прямая (36) касается кривой (35) в точке
(ОД).
Далее Диофант говорит, что в «Поризмах» (которые до нас
не дошли) он решил задачу я3 4~ у3 = а3 — Ь3. Легко видеть, что
ее можно решить тем же методом. Именно так ее решали Бомбелли,
а впоследствии Ф. Виет (XVI в.) и П. Ферма (XVII в.) (см. ч. III).
Покажем теперь, что в задачах IV26_27 Диофант применяет
«метод секущей». Рассмотрим задачу IV26.
«Найти такие два числа, чтобы их произведение, сложенное
с каждым из них, давало куб.
Составляю 1-е число из кубического количества я?-ов; пусть
оно будет 8х\ 2-е полагаю х2 — 1; одно условие удовлетворено:
их произведение, сложенное с 1-м числом, дает куб.
Остается лишь, чтобы их произведение вместе со 2-м числом
давало куб. Но это произведение, сложенное со 2-м числом будет
&г3 + х2 — %х — 1;
оно должно равняться кубу. Строю этот куб на стороне 2х — 1
и х будет 14/13.
К подстановкам. 1-е число будет 112/13, 2-е 27/169».
Итак, задача эквивалентна системе
XrX2 + Xt = U3 Х]Х2 + х2 — V3.
Если положить, следуя Диофанту, хг = а3х, х2 = х2 — 1, то пер-
вое уравнение системы удовлетворяется, а второе дает
сРх3 + х2 — а3х — 1 = v3.	(37)
Кривая, задаваемая уравнением (37), имеет конечную рациональ-
ную точку Р (0, — 1). Диофант делает подстановку
х “ t, v = at — 1	(38)
и находит рациональное решение.
84
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Каков же геометрический смысл этой подстановки? Почему
прямая (38) встречает кривую третьего порядка (37) еще только
в одной точке? Ведь легко видеть, что прямая (38) не касается
кривой (37) в точке Р\
Покажем, что прямая (38) и кривая (37) имеют общую беско-
нечно удаленную рациональную точку. Действительно, переходя
к однородным координатам (т, у, z), где х — x/z, v — y!z, получим
а3т3 + t2z — a3Tz2 —- z3 = у3	(39)
и
у = ах — z.	(40)
Полагая z = 0, получим, что кривая (39) и прямая (40) проходят
через одну и ту же бесконечно удаленную рациональную точку
(1, а. 0). '
Итак, здесь применяется метод секущей, для случая, когда одна
из известных рациональных точек является конечной, а другая —
бесконечно удаленной.
Аналогичную ситуацию мы находим и в задаче IV2?, в которой
Диофант приходит сначала к уравнению
8х3 — х3 + %х — 1 = у3.
Он утверждает, что его левую часть невозможно сделать кубом.
Вероятно, подразумевая «невозможно методом предыдущей зада-
чи». Действительно, если мы положим у = 2х — 1, то решение
будет отрицательным. После этого Диофант предлагает другой
способ сведения первоначальной задачи к одному уравнению и
приходит на этот раз к уравнению 8х3 + х2 — Зх —1 = у3,
которое уже было решено в IV26.
Заметим, что и все последующие математики XVI—XVII вв.
от Виета до Ферма применяли метод секущей к той же ситуации,
что и Диофант, т. е. когда одна из рациональных точек была бес-
конечно удаленной. Почему же сложилась такая, казалось бы,
парадоксальная ситуация? Дело в том, что случай двух конечных
рациональных точек, который является наиболее простым при
геометрической интерпретации, алгебраически приводит к более
громоздким подстановкам, не говоря уже о том, что для нахождения
этих подстановок надо было знать уравнение прямой, проходящей
через две точки. Поэтому-то даже Эйлер в своей «Алгебре» огра-
ничился рассмотрением той же ситуации, что и Диофант, и только
в конце жизни исследовал случай двух конечных рациональных
точек. Между тем, Ньютон, который излагал методы нахождения
рациональных точек геометрически, сразу же начал с рассмотре-
ния двух конечных точек (см. [93, с. 112—114]).
Приведенные примеры свидетельствуют о том, что Диофант,
по-видимому, пришел к убеждению, что для неопределенного урав-
нения 3-й степени неизвестные х и у уже, вообще говоря, нельзя
выразить как рациональные функции параметра. По крайней мере,
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
85
он не искал такого выражения, а дал метод нахождения еще одно-
го рационального решения уравнения, если известно одно или два
«таких решения.
Положение здесь можно сравнить с тем, которое сложилось
в античности по отношению к задачам удвоения куба или квадра-
туры круга. Математики, во всяком случае начиная с Евклида,
были убеждены, что эти задачи неразрешимы с помощью построе-
ний циркулем и линейкой, не искали уже их решения, однако не
могли доказать их неразрешимости. Такова же, по-видимому, бы-
ла позиция Диофанта в интересующем нас вопросе.
В. МЕТОД ПАРАБОЛ
Три задачи «Арифметики» сводятся к решению уравнения
у2 = Ах1 + Вх* + Сх2 +Dx + Е,	(41)
причем А = а2, Е — 1, т. е. и Е является квадратом. Это задачи
IV28 и VI10>11.
Задача IV28 эквивалентна системе
+ (жх 4- Ж2) = yl, ХуХ2 — (X! + Хг) = yl,
складывая и вычитая эти уравнения, Диофант получает
. +
^1 + ^2 = —g=	^2 = —§— =
Чтобы корни этой системы были рациональны, необходимо и доста-
точно выполнения условия
Полагая yi = ar + l,jf2 = x—1, Диофант получает
9#4 - 4#3 + 6#2 - 12# + 1 = □ - у2.	(42)
Это — эллиптическая кривая, на которой лежит рациональная
точка (0, 1). Для получения новой рациональной точки, Диофант
применяет подстановку
у == Зя2 — 6# + 1.	(43)
Аналогичный метод применяется и в задаче VI10. В ходе ее
решения Диофант приходит к уравнению
х* + 8#3 + 18#2 + 12# + 1 — у2,	(44)
для нахождения рациональных решений которого он делает под-
становку
у == 6# 4- 1 — #2.	(45)
86
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Задача VIn сводится к тому же уравнению (44), поэтому Дио-
фант не приводит подробного решения этой задачи, а только наме-
чает ее план.
Этот метод Диофанта, и притом чисто алгебраически был опи-
сан Ж. де Бильи при изложении исследований П. Ферма (см. здесь
ч. III, гл. IV, раздел 3).
Ход мысли Диофанта в алгебраическом плане, вероятно, шел
так: вместо линейной подстановки он применил квадратичную
у = ах2 + Ъх + с, причем значение коэффициентов а и с выби-
ралось так, чтобы в результирующем уравнении исчезли коэффи-
циент при х4 и свободный член, а коэффициент Ъ доопределяется
так, чтобы в результирующем уравнении исчезли, кроме того,
либо коэффициент при х, либо коэффициент при х?.
Если мы теперь обратимся к геометрической интерпретации,
то увидим, что эллиптическая кривая £, определяемая уравнением
а2х4 + Вх3 + Сх2 + Dx + 1 = у2,	(46)
и парабола у = а#2 + тх + 1 проходят через рациональную точ-
ку М (0, 1) и при т — D/2 касаются в этой точке кривой L. По
теореме Безу кривая L и парабола у = ах2 + тх + 1 должны
иметь восемь точек пересечения. Можно показать, что бесконечно
удаленная точка кривой L будет рациональной и имеет с парабо-
лой пересечение в этой точке кратности 5. Таким образом, кривая
L и парабола должны пересекаться еще в одной точке и притом
рациональной.
Подведем итог. В «Арифметике» встречаются четыре задачи,
которые Диофант сводит к /неопределенным уравнениям 3-й сте-
пени, определяющим кривые рода 1, а именно
(IV24)	х (а —	х)	= у3 — у,	а	=	6,
(IVae)	a3#3 +	х2	— а3х.— 1	=	у3,	а	=	2,
(IV27)	а3#3 —	х2	+ а3х — 1	=	у3,	а	=	2,
(IVlg) х3 — Зх2 + Зх + 1 = у3.
В первой и четвертой задачах Диофант применяет «метод ка-
сательной», иначе говоря, делает подстановки
Л	л	3	। j
У = —Х — 1 и у^ — х+1.
Во второй и третьей задачах он применяет метод секущей, т. е.
делает подстановку у = ах — 1, которая в задаче IV2e сразу при-
водит к решению, а в случае IV27 решение получается отрицатель-
ным, поэтому Диофант изменяет первоначальную подстановку и
приводит задачу к уравнению вида IV26.
Наконец, в задаче Vie Диофант, ссылаясь на доказательство,
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
87
данное им в «Поризмах», утверждает, что задача
я3 + !73 = л3 — &3, л Ь,
всегда разрешима.
Неопределенные уравнения 4-й степени встречаются три раза:
(IV28)	9я4 - 4Х3 + 6я2 - 12* + 1 - у2,
(VIio, п) + 8я3 + 1&г2 + 12я + 1 = у2.
Эти уравнения определяют кривые рода 1, Диофант применяет
для их решения метод парабол, т. е., соответственно, делает под-
становки:
у = Зя2 — Qx + 1 и у — 6х + 1 — х2.
Таким образом, в «Арифметике» содержится три типа задач
(две — на метод касательных, две — на метод секущих и две —
на метод парабол), причем в первой задаче каждого типа Диофант
поясняет метод подробно, а во второй применяет его уже без пояс-
нений.
Именно эти шесть задач и послужили для математиков XVI—
XVII вв. моделями для исследования и решения задач, сводящихся
к нахождению рациональных точек на кривых рода 1.
5. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ РОДА 1
И ПОВЕРХНОСТИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
А. Пространственные кривые рода 1
Мы уже говорили, что в «Арифметике» Диофанта встречаются
«двойные равенства» вида
ахх2 + Ьхх + сх = у2, а2х2 + b2x + с2 = z2.	(47)
Еще Лагранж в примечаниях к «Алгебре» Эйлера заметил, что,
вообще говоря, из этой системы х не удается выразить в виде ра-
циональной функции параметра. Даже если мы униформизируем
одно из уравнений системы, то, как показывает Лагранж, х будет
функцией, содержащей квадрат параметра, и при подстановке этой
функции во второе уравнение системы (47), получим неопределен-
ное уравнение 4-й степени: «Но мы до сих пор не имеем никакого
общего правила для решения уравнений такого вида» [77, т. 2,
с 564]. Иначе говоря, системы вида (47) определяют в общем слу-
чае пространственные кривые рода > 0.
У Диофанта такие системы встречаются в задачах Ш13,
Ш17,18, iv23, v1>2, vi6.7, vi8>9 и VI22.
Эти системы уравнений можно разбить на два класса (А) и (В):
а2#2 + Ьхх + сг = г/2, а2х2 + Ъ2х + с2 = z2,	(А)
88
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
системы этого вида мы находим в задачах III13, IHi7,is> IV23;
х2 + Ъхх + cr = у2, b2x + c2 = z2, Cj = m2c2,	(B)	|
системы этого вида встречаются в задачах V1>2, VI6j7, VIs,9, VI22.	!
Напомним, что для решения «двойных равенств» вида	|
ах 4-	= г/2, ах + Ь2 = z2,	|
определяющих кривую рода 0, Диофант вычитал одно уравнение I
из другого и разлагал разность на множители	|
х- 61 г&2, = (У~z)(j/+z)-	1
После этого он приравнивал множители левой и правой части друг
к другу и находил у и z как функции от X. Подставляя их в исход-
ные уравнения, он получал х, у, z как рациональные функции от X.
Этот метод Диофант подробно объясняет в задаче Пп.
В противоположность этому, в дошедшем до нас тексте Дио-
фанта метод решения задач типа (А) и (В) не объясняется. Однако
этот метод можно извлечь как из анализа решения конкретных
задач, так и из некоторых беглых замечаний Диофанта. Одно из
них Диофант делает в задаче IV23, принадлежащей классу (А).
Эту задачу Диофант сводит к двойному равенству х2 + х — 1 =
= у2, х2 — 1 = z2. Решение его он излагает так: «Беру разность:
она будет х\ составляю два числа, произведение которых было бы
[этим] х. Это х я разделю на 1/2; частное будет 2х, т. е. удвоенной
стороной квадрата х2; это ты уже знаешь; получается х равным
17 восьмым».
Итак, в этом случае также надо взять разность уравнений
системы, однако разность левых частей уже нельзя представить
в виде X- , где X — произвольный параметр, а следует взять X
таким, чтобы коэффициент при х (в данном случае 1/Х) равнялся
«удвоенной стороне» коэффициента при х2, т. е. в общем случае
1/Z — 2а, К = 1/2а.
Из фразы «это ты уже знаешь» следует, что в какой-то из преды-
дущих задач Диофант объяснил свой метод более подробно. К со-
жалению, это изложение до нас не дошло.
Изложим метод Диофанта в общем виде и попытаемся понять,
из каких соображений он находил X. Вычитая в двойном равенстве
класса (А) одно уравнение из другого, получаем:
(6Х — Ь2) х + (сх — с2) = у2 — z2.
Правую и левую части разлагаем на множители
X • [	= (у + Z) (у _ 2).
L	л	J
Тогда, полагая'
y-z = K, y + z =	+	,
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
89
получим
Диофант требует, чтобы (&х — &2)/Х = 2а, т. е.
*=2iirL-	(48)
Действительно, если это так, то у == ах + Р, z = ах + у и при
подстановке у или z в соответствующее уравнение системы (А)
получим одно рациональное значение для х.
Можно предположить, что Диофант при своем решении брал
сначала произвольный параметр X, тогда
1 [ Ь\ — Ь% I с 1
у= — L-V-x + 6]’
и при подстановке в первое уравнение системы получал
О Л .	7	,	.	1/^1 —	2 1 X	I б2 Л
aV + bix -t-+ ci = — [—x—/	+ 6 f2 x
Для того чтобы х был рациональным, надо потребовать выпол-
нение условия
т(-тг—)=» т-е- 1=-Е--
Перейдем к системе класса (В).
Заметим, что поскольку сх = m2r2, то можно без ограничения
общности дальнейших рассуждений принять сг = с2 = с. Рассмот-
рим сначала задачу Vj, решение которой Диофант сводит к двой-
ному равенству
х* - 12 = z/2,	(6 V2) х - 12 = z2.
Далее Диофант пишет: «Их разность равна х* — (6 г/2) х\ деление
на х дает частное х — 6 1/2. Половина разности, умноженная на
себя, 169/16; это приравняем меньшему, т. е. (6 х/2) х — 12.
И х будет 361/104».
Итак, если дана система класса (В), то после вычитания одного
уравнения из другого, получаем разность
я2 + (&i — h) х = У2 —
Диофант разлагает левую часть на множители х и х + (Ь1 — Ь,}
тогда, если положить
У z = X + (Ьх — Ь2), у — Z = X.
то z = (6Х — &2)/2, откуда находим
90
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Действительно, если разложить х2 + (Ьг — Ь2) х на множители
= (у — z) (у + Z.)>
то, как нетрудно видеть, требование, чтобы х было рациональным,
приведет после подстановки в первое уравнение системы к тому,
что
т. е. X — 1, а после подстановки во второе уравнение:
т. е. X = ±1. Откуда естественно следует необходимость принять
X - 1.
Заметим также, что тот же метод применим и в случае систем
вида
а2х2 + ЪуХ + с1 = у2, b2x + с2 = z2, с± = с2.	(В')
В этом случае разность уравнений системы нужно, как легко по-
казать, разложить на множители ах (ах + (&х — Ъ2)1а).
Следует отметить, что и в случае систем класса (А) и в случае
систем класса (В). Диофант находит только одно рациональное
решение, причем из метода нахождения решения не видно, каким
путем можно получить еще одно решение. Этот жуть оставался
скрытым для всех исследователей неопределенных уравнений
вплоть до П. Ферма. Только Ферма сумел дополнить метод Дио-
фанта таким образом, что открылась неожиданная возможность для
получения любого числа рациональных решений.
В заключение приведем геометрическую интерпретацию мето-
дов Диофанта для решения систем классов (А) и (В), что позволит
нам выявить их смысл с современной точки зрения.
Система класса (А) определяет в пространстве R3 неприводимую
кривую К 4-го порядка. Перенесем рассмотрение кривой К в про-
ективное пространство Р3, т. е. перейдем от системы координат
(х, у, z) к однородным координатам (X, U, V, W), где х = X/W,
у = U/W, z - V/W.
В однородных координатах (X, U, V, W) система (А) имеет
вид
а2Х2 + bxXW + cxW2 - U2, а2Х2 + b2XW + c2W2 = V2.
(49)
Перенесение кривой К с бесконечно удаленной плоскостью опре-
деляется системой уравнений (49) при W = 0:
а2 X2 = U2, а2Х2 = V2.	'	(50)
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
91
Четыре рациональных решения системы (50) определяют четыре
рациональные точки Мх (1, а, а, 0), М2 (1, —а, а, 0), М3 (1, а,
—а, 0), М4 (1, —а, —а, 0), в которых кривая К пересекает беско-
нечно удаленную плоскость.
Таким образом, система класса (А) определяет кривую К,
пересекающую бесконечно удаленную плоскость в четырех рацио-
нальных точках.
Теперь выясним, каков смысл условия
у _ z == л.	(51)
В однородных координатах оно имеет вид
U - V = Ш	(52)
и определяет пучок плоскостей в Р3, проходящих через бесконечно
удаленную прямую, уравнение которой на бесконечно удаленной
плоскости W = 0 имеет вид U — V. Эта прямая проходит через
бесконечно удаленные рациональные точки М4 и М4 кривой К.
Теперь осталось выяснить смысл условия (48).
В общем случае плоскость в проективном пространстве пере-
секает кривую 4-го порядка в четырех точках с учетом их крат-
ностей. Поэтому любая плоскость пучка (52), кроме точек Мг и
будет пересекать кривую К еще в двух точках. Однако плос-
кость л пучка (52), в которой лежит касательный вектор к кривой
К в точке Мъ пересечет кривую К еще лишь в одной точке, так
как точка Мг будет в этом случае двукратной точкой пересечения.
Можно показать, что условие (48) как раз и означает, что соот-
ветствующая плоскость л пучка (52) касается кривой К в беско-
нечно удаленной точке Мх.
Рассмотрим теперь метод решения систем класса (В) в геомет-
рической интерпретации. Эта система задает в пространстве R3
с координатами (х, у, z) неприводимую кривую 4-го порядка и
рода 1. Плоскость, определяемая уравнением х — 0, пересекает
кривую К в четырех иррациональных точках М4 (0, Ус, Ус)
М2 (0, - Ус, УГ), М3 (0, Ус, -Ус), М4 (0, -Ус“, - Ус). Хотя
сами точки Mi и Л/4 иррациональны, пучок плоскостей, прохо-
дящих через прямую М4М4, рационален. Его уравнение имеет
вид
у — z = кх.	(53)
Таким образом, смысл условия (49) состоит в том, что оно опре-
деляет рациональный пучок плоскостей, проходящих через, в об-
Щем-то, иррациональные точки Мг и М4 кривой К. Любая плос-
кость пучка (53) пересекает кривую К еще в двух точках. Если
одна из этих точек рациональна, то и другая точка также должна
быть рациональной. Именно это соображение лежит в основе раз-
бираемого случая.
92	ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ	|
------------------------------------------------------------- |
Действительно, рассмотрим кривую К в проективном прост-
ранстве Р3. В однородных координатах (X, U, V, W), связанных I
с аффинными координатами (х, у, z) соотношениями
х = Х/W, у = U/W, z = V/W,	|
кривую К определяет система уравнений	'
а2Х2 + btXW + cW2 = U2, btXW + cW2 = V2.	(54)
Пересечение кривой К с бесконечно удаленной плоскостью опре-
деляется системой уравнений (54) при W — 0:
Л2Х2 _ ^2, V2 _ 0.
Два решения этой системы уравнений определяют две рациональ-
ные (двойные по отношению к бесконечно удаленной плоскости,
но не особые) точки Nx (1, а, 0, 0) и N% (1, —а, 0, 0) кривой К.
В координатах (X, U, F, W) пучок (53) определяется уравне-
нием
U - V = КХ.	(55)
Найдем в этом пучке плоскость, проходящую через точку
Для этого координаты точки должны удовлетворять условию
(55) а = Ка, откуда X = 1.
Таким образом, смысл условия X = 1 состоит в том, что оно
определяет в пучке плоскостей (55) плоскость, проходящую через
бесконечно удаленную точку Nx. Полученная таким ©способом
плоскость пересекает кривую L в двух иррациональных точках
Мг и М4, а также в рациональной бесконечно удаленной точке
при этом сама эта плоскость рациональна, а следовательно,
должна пересечь кривую L еще в одной рациональной точке, ко-
торая и соответствует решению Диофанта.
В. Кубические поверхности
В книге V содержатся три интересные задачи F15_17, которые
эквивалентны, соответственно, системам уравнений
(Vi5) (yi + У2 + уз)3 + Уг — i = l,2, 3;
(Vie) (j/i 4- yz + Уз)В. 9 — Vi = 4, i = l,2, 3;
(V„) yi — (у1 + уг + уз)9 = э?1, i = 1,2,3.
Эти задачи Диофант сводит к нахождению рационального решения
неопределенного уравнения 3-й степени с четырьмя неизвестными,
т. е. рациональной точки гиперповерхности 3-го порядка. Повто-
ряя те же самые рассуждения, которые мы проводили выше при
рассмотрении задач на решение систем уравнений 2-й степени
(см. ч. I, гл. IV, раздел 2), легко убедиться, что системы (V15_17)
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
93
равносильны системам
(V«)	x3 4~	+ x3 — 3<e4 = Хц yi + У2 + уз = 1 У г	Xi — *^4» 1=== 1, 2, 3;
(Vie)	3^4 — (х^ -j- Х2 "Ь *^з) :===’ ^4» У1 + у 2 + Уз — . yi = xl — xf, i = 1, 2, 3;
(Vi,)	Х± -р *^2 “F Х3 -р 3#4 === Х±, У1 + Уз + Уз = х^ . уi — xl+ xf, i = 1, 2, 3.
В свою очередь каждая из систем (V15-i7) сводится к своему 1-му
уравнению. После замены неизвестных
В =	v = -^,	6=—, z = —
г я4 * х4	х4	х4
1-е уравнение систем (Vi^i7) примут вид
рз + уЗ + б3 _ 3 = Z2?	3 _ (рз + уЗ + б3) = Д
РЗ _|_ уЗ _|_ б3 + 3 = 22.
Сам Диофант эти преобразования в задачах V15 и V17 (которые ре-
шены у него, как мы увидим ниже, одним и тем же методом) про-
делывает следующим образом.
Сначала он подбирает для у19 у2, у3 такие выражения от неиз-
вестного х и параметров, чтобы все три уравнения удовлетворя-
лись, а именно, он полагает
У1 + У2 + Уз =
Уг = (Р3 Т !) я3, У* = (?3 + !) х3, Уз = (S3 Т 1) я3, ₽ = 2, у = 3,
6=4 (где знак «—» берется для задачи V15, а знак «+» — для
V17). Тогда хг — Р<г, х2 — ух, х3 = 8х и все уравнения системы
удовлетворяются при условии, что ^1 + у2 + у3 = х, т. е.
Р3 + У3 + S3 3 = z2, z = 1/я.	(56)
После этого он рассматривает р, у, 6 не как закрепленные пара-
метры, а уже в качестве неизвестных. Таким образом, в обеих зада-
чах Диофант приходит к отысканию рациональных решений
неопределенного кубического уравнения (56). Для этого он за-
крепляет одно из неизвестных, полагая 6 = т, и делает подста-
новку
Р = at + Ъ, у = ct + d.
94
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Коэффициенты а, 5, с, d он подбирает так, чтобы 1) при подста-
новке в уравнение (56) уничтожались члены 3-й степени; 2) коэф-
фициент при t2 был полным квадратом.
Для выполнения требования 1) достаточно положить а =
= —с ~ 1, что и делает Диофант. Тогда коэффициент при t2 будет
3 (6 + d), т. е. надо требовать, чтобы Ъ + d ~ Зк2. Диофант выби-
рает в V15 Ъ = 1, d = 2, а в Vi? Ъ == 0, d — 3, и получает
9Z2 — Qt + тп3 -|- 6 = z2 в V15,
9Z2 - 27Z + т3 + 30 =z2 в Vi7.
Последние уравнения легко решаются с помощью подстановки
z = 3t + к.
Рассмотрим теперь, в чем состоит геометрический смысл реше-
ния Диофанта. Уравнение (56) задает гиперповерхность в четы-
рехмерном пространстве (Р, у, б, z). Условие б = т равносильно
пересечению этой гиперповерхности пучком гиперплоскостей, при
этом в пересечении с любой из этих гиперплоскостей получается
кубическая поверхность в пространстве (Р, у, z). Перейдем теперь
к проективным координатам, положив
Р = u/т, у = р/т, z — гр/т.
Тогда уравнение (56) примет вид
u3 + v3 + (т3 + 3) т3 = гр2т.	(57)
Подстановка Диофанта эквивалентна проведению пучка плоско-
стей
u v = (b + d) т = 1%,	(58)
проходящих через бесконечно удаленную прямую
u + v = /т, т = 0,	(59)
лежащую на поверхности (57). При этом параметр I остается неоп-
ределенным.
Всякая плоскость пересекает поверхность (57) по кривой 3-го
порядка, а каждая плоскость пучка (58) — по кривой, которая
распадается на две компоненты: прямую (59) и кривую 2-го порядка
3/и2 - 3/2нт + (тп3 + I3 + 3) т2 = 0.	(60)
При этом каждая из плоскостей (58) будет касаться поверхности
(57) в двух точках А (1, —1; “/ЗТ, 0)и В (1, —1, — */3/, 0), кото-
рые будут точками пересечения прямой (59) с кривой (60). Теперь
остается только подобрать параметр I так, чтобы точки А и В
были рациональными. Для этого достаточно положить, следуя
Диофанту, I = ЗА:2.
Задача Vie решается иным методом. Сначала, как и в задаче
V15, Диофант подбирает для у1ч у2, у3 такие выражения от х и па-
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
95
раметров, чтобы все три уравнения удовлетворялись, а именно,
он полагает
У1 + Уз + Уз =
Тогда %! — х/р, х2 = х/у, х3 = х/6, где 0 = 2, у == 3, 6=4,
и уравнения удовлетворены при условии, что
3-(-f + t + ^) = d=z2’	(61)
причем
Диофант требует, чтобы 1/fJ3 + 1/у3 + 1/б3 < 1, тогда 2 < и2 < 3.
Он берет z2 = 9/4 и раскладывает число 3 — (9/4) = 3/4 в сумму
трех кубов 3/4 = 162/216 = (5/6)3 + (4/6)3 — (3/6)3. Поскольку
третий куб отрицателен, Диофант предлагает преобразовать раз-
ность кубов 43— З3 к сумме двух других кубов, как это было сде-
лано в «Поризмах» (об этой задаче мы уже упоминали выше). Пос-
ле этого (не производя вычислений) он возвращается к первона-
чальной задаче.
Итак, в этом случае Диофант закрепил не б, как в V15 a z,
положив z2 = 9/4. Это эквивалентно пересечению гиперповерх-
ности (61) двумя пучками гиперплоскостей z = ±3/2. Диофант
изменяет метод, по-видимому, из-за того, что иначе ему пришлось
бы иметь дело со сложной системой неравенств.
Приведенные примеры показывают, что и в случае с кубически-
ми поверхностями наши современные методы построения арифме-
тики на них восходят к Диофанту. Действительно, если на непри-
водимой кубической поверхности известна рациональная точка
М, то через М можно провести касательную плоскость, которая
пересечет поверхность по кривой Г 3-го порядка. Для этой кривой
М будет двойной точкой, поэтому Г будет рода нуль и ее можно
униформизировать в рациональных функциях над полем рацио-
нальных чисел Q. У Диофанта картина несколько иная. Он про-
водит плоскость через бесконечно удаленную прямую, лежащую
на поверхности, в результате чего кривая Г, получаемая в сечении,
оказывается приводимой.
Пятая книга «Арифметики» производит впечатление сокра-
щенного конспекта. Решение многих задач в ней не доведено до
конца (например, V12_14), в некоторых задачах намечен только
план решения. Найденная недавно арабская рукопись задач,
приписываемых Диофанту, подтверждает впечатление о том, что
книга эта дошла до нас в искаженном виде. Уже многие исследо-
ватели старались восполнить пробел межу задачами Vi9 (решение
96
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
которой отсутствует) и V20. В арабской рукописи имеется задача,
о которой мы будем говорить ниже (ч. I, кл. V, раздел 4) — в ней
метод касательной применен к кубическим поверхностям.
6. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ У ДИОФАНТА
Все изложенные до сих пор методы Диофанта носили чисто
алгебраический характер, т. е. они могли быть применены над
любым полем характеристики 0. Однако, помимо чисто алгебраи-
ческих, в «Арифметике» рассматриваются и теоретико-числовые
или арифметические вопросы, связанные с исследованием делимос-
ти целых чисел, их представимости в виде суммы двух, трех или
четырех квадратов и тому подобное. Эти вопросы возникают обыч-
но при исследовании условий разрешимости той или иной задачи.
Именно в таком виде и появляются в «Арифметике» теоремы
теории чисел. Судя по одному замечанию самого Диофанта, все
эти и другие теоремы такого рода были им рассмотрены в специ-
альной книге «Поризмы», которая до нас не дошла.
Поэтому нам ничего другого не остается, как судить о знаниях
Диофанта в теории чисел на основании замечаний и диоризмов х,
имеющихся в «Арифметике». Большинство из них относится к проб-
лемам представления целых чисел суммами двух, трех и четырех
квадратов. Первая из этих проблем сыграла огромную роль
в дальнейшем развитии теории чисел. Она может быть сформули-
рована так:
Дано целое число А. Определить, можно ли его представить
формой х2 + z/2, где х. у — целые, и если да, то сколькими раз-
личными способами возможно такое представление.
Эта проблема встречается в нескольких задачах «Арифмети-
ки». Начнем с задачи 19 книги III.
«Найти четыре числа таких, чтобы квадрат суммы всех четырех
чисел оставался квадратом, если к нему прибавить, или из него
вычесть каждое из этих чисел.
Так как во всяком прямоугольном треугольнике квадрат на
гипотенузе остается квадратом, если к нему прибавить или от него
отнять удвоенное произведение сторон, прилегающих к прямому
углу, то прежде всего я ищу четыре прямоугольных треугольника,
имеющих одинаковые гипотенузы; эта задача одинакова с задачей
на разложение какого-нибудь квадрата на два квадрата, и притом
четырьмя способами, а мы знаем, что разложение данного квадра-
та на два квадрата можно производить бесконечным числом спо-
собов.
Теперь возьмем два прямоугольных треугольника из наимень-
ших чисел, как например, 3, 4, 5 и 5, 12, 13, и помножим каждый
из взятых на гипотенузу другого; тогда первый треугольник будет
1 Т. е. ограничительных условий.
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
97
39, 52,65, а второй 25, 60, 65. Это будут прямоугольные треуголь-
ники, имеющие одинаковые гипотенузы.
По своей природе число 65 разлагается на квадраты двумя
способами, а именно на 16 и 49, а также и на 64 и 1. Это происхо-
дит потому, что 65 получается от произведения 13 и 5, а каждое
из этих чисел раскладывается на два квадрата. Теперь для взятых
49 и 16 я нахожу стороны, они будут 7 и 4, и образую прямоуголь-
ный треугольник на двух числах 7 и 4; это будет 33, 56, 65.
Точно так же у 64 и 1 сторонами будет 8 и 1; я опять образую
на этих числах прямоугольный треугольник со сторонами 16,
63, 65.
Таким^образом, получаются четыре прямоугольных треуголь-
ника с одинаковыми гипотенузами; возвращаясь к первоначальной
задаче, в качестве суммы нужных четырех чисел я беру 65я,
а каждое из этих чисел в я2, взятых число раз, равное учетверен-
ной площади, именно: 1-е 4056я2, 2-е ЗОООя2, 3-е 3696#2 и 4-е
2016а:2.
И сумма четырех чисел 12 768 х2 будет равна 65а:, так что х
получается равным 65/12 768.
К подстановкам. 1-е число будет 17 136 600 [2-е 12 675 000]
таких же долей, 3-е 15 615 600 таких же долей, четвертое 8 517 600,
а знаменатель равен 163’021 824».
Эта задача замечательна во многих отношениях. Во-первых
здесь Диофант впервые говорит о прямоугольных треугольниках
«в наименьших числах» и о образовании таких треугольников из
«двух чисел». На самом деле речь, конечно, идет о решении в ра-
циональных числах неопределенного уравнения х2 + у2 = z2, кото-
рое рассматривали еще в Древнем Вавилоне и решение которого
нашли до Диофанта пифагорейцы. Диофант, не оговаривая это-
го специально, пользуется общими формулами, дающими все целые
решения этого уравнения: х = 2pq, у — р2 — q2, z = р2 + q2.
Поскольку уравнение однородно, то расширение области решения
до поля рациональных чисел на дает тут ничего нового. Эти ре-
шения можно получить, например, тем же методом, который Дио-
фант применил в задаче 8 книги II для разложения заданного квад-
рата в сумму двух квадратов.
Во-вторых, она содержит утверждение, что произведение двух
целых чиселpnq, каждое из которых является суммой двух квад-
ратов, само представимо суммой двух квадратов и притом двумя
различными способами (если только p=/=k2q). При этом, если
р = а2 + Ь2 и q = с2 + d2, то pq — (ас + bd)2 + (ad — be)2 —
= (ас — bd)2 + (ad + 6c2). Именно в примечаниях к этой задаче
Ферма высказал свое знаменитое утверждение, что каждое про-
стое число вида 4га + 1 представимо в виде суммы двух квадратов
и притом только одним способом. Здесь же он дал формулу для
определения, сколькими способами заданное число можно пред-
ставить в виде суммы двух квадратов. *
4 Заказ № 3214
98
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Известны ли были эти предложения Диофанту? Для ответа
на этот вопрос рассмотрим задачу V9, о которой уже шла речь
в разделе 3.
Эта задача сводится к уравнению 2а + 1 = и2 + и2, поэтому
число а должно быть выбрано так, чтобы 2а + 1 представлялось
в виде суммы двух квадратов. Общие условия для того, чтобы чис-
ло можно было представить в виде суммы двух квадратов, целых
или дробных, после Диофанта были найдены только П. Ферма
(XVII в.), который сформулировал их так: если число после де-
ления на наибольший содержащийся в нем квадрат дает частное,
которое делится на простое число вида 4п — 1, то заданное числа
не будет квадратом и не может быть разложено в сумму двух целых
или дробных квадратов.
Эти условия могут быть выведены из- одной замечательной тео-
ремы, которую сформулировал Ферма, а доказал Эйлер, а именно:
суммой двух квадратов представимы те и только те простые числа,
которые имеют вид 4n + 1.
Знал ли Диофант доказательство своего диоризма и подозре-
вал ли он о том, что выставленные им условия не только необхо-
димы, но и достаточны для представимости целого числа суммою
двух квадратов?
Этому вопросу посвятил специальное исследование [89] один
из знаменитых математиков прошлого века, младший современник
Гаусса, Карл Якоби. Прежде всего он провел тщательный фило-
логический анализ текста Диофанта /и предложил следующую его
реконструкцию: необходимо, чтобы заданное число не было нечет-
ным, и чтобы удвоенное его и единица не имело делителя, крат-
ного четырем без единицы.
Примерно так же этот текст был впоследствии восстановлен
большим знатоком античности и издателем Диофанта Полем Тан-
нери [73].
Это условие будет необходимо и достаточно, если к нему приба-
вить оговорку «после деления на наибольший содержащийся
в нем квадрат», но, по-видимому, Диофант подразумевает это.
Якоби в своей статье исходит из положения, что античные
математики не высказывали в своих произведениях утверждений,
доказательство которых им было неизвестно. По-видимому, Дио-
фант нашел с помощью неполной индукции, что приведенный им
диоризм полностью определяет числа, представимые суммою двух
квадратов, однако доказать его во всем объеме ой не мог. Что же
касается необходимости диоризма, то Якоби не сомневается в том,
что он был доказан Диофантом со всей строгостью. Якоби предла-
гает свою реконструкцию этого доказательства, выдержанную,
как он полагает, в духе Диофанта и Евклида.
Действительно, из вполне элементарных соображений Диофант
мог получить, что нечетное число N = 2п + 1 может быть пред-
ставлено суммой двух*квадратов только в случае п = 2k, т. е^
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
9Й
7V = 4А + 1. Однако обратное неверно, не каждое нечетное число
вида 4А + 1 представляется суммой двух квадратов (например,
21 непредставимо в таком виде). Поэтому надо было найти и дру-
гие свойства суммы а2 + Ъ2.
Заметим, что N и где а — рациональное число, одновре-
менно представимы или одновременно непредставимы в виде
а2 + Поэтому достаточно рассматривать числа, которые не де-
лятся ни на какой квадрат.
Открытие Диофанта и состояло в том, что такие числа N, если
они являются суммой двух целых квадратов, не должны иметь
простых делителей вида 4п — 1.
Якоби считает, что доказательство Диофанта состояло в после-
довательном установлении следующих теорем:
Теорема 1. Каждое целое нечетное число, являющееся
оуммой двух квадратов, имеет вид 4n + 1.
Мы уже отмечали, что эта теорема устанавливается элементар-
но. Заметим, что на нее у Диофанта есть прямая ссылка в задаче
VI14, в которой он утверждает, что уравнение
15я2 - 36 = □
не имеет рациональных решений: «это равенство невозможно,—
пишет он,— вследствие того, что 15 не раскладывается на два
нвадрата», т. е. представление
невозможно.
Теорема 2. Если JV = а2 + Ь2 и а, b не имеют общего де-
лителя вида 4и — 1, то каждый делитель р числа N имеет вид
4n + 1.
При доказательстве этого предложения Якоби применил метод
^бесконечного спуска.
Теорема 3. Если заданное нечетное число является суммой
двух квадратов, которые не имеют общих делителей, то и любой
делитель заданного числа является суммой двух рациональных
квадратов.
Эта теорема легко следует из предыдущей.
Теорема 4. Любой делитель суммы двух целых квадра-
тов, не имеющих общего делителя, вновь является суммой двух
целых квадратов (т. е. имеет вид 4n + 1).
Хотя мы и не можем сказать с уверенностью, что Диофант дока-
зывал свой диоризм именно так, тем более что реконструкция
Якоби, по нашему мнению, слишком сложна, однако мы присо-
единяемся к его мнению, что этот диоризм был, безусловно, строго
доказан Диофантом. В этом нас, как и Якоби, убеждает общая уста-
новка античных математиков: никогда не высказывать в качестве
утверждения предложение, которое еще не доказано. Так, Прокл
4*
100
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
в своих «Комментариях к Евклиду» писал, ссылаясь на Гемина:
«Мы научились у начинателей этой науки не принимать во внима-
ние правдоподобных заключений, когда речь идет о рассуждениях,
которые должны войти в наше учение о геометрии».
Подведем итог. Диофант умел доказывать, что целое число V,
не делящееся ни на какой квадрат, и имеющее простой делитель
вида 4п — 1, не может быть представлено формой а2 + Ь2. Дио-
фант открыл, но, по-видимому, не умел доказывать* что всякое про-
стое число р вида 4n + 1 представимо формой а2 + Ь2*
Из других задач «Арифметики» можно установить, что Диофант
знал теорему: каждое целое число N представимо суммой не более
четырех квадратов, причем числа вида 8п + 7 не могут быть пред-
ставлены суммою трех квадратов.
Первую часть приведенного утверждения можно усмотреть
из метода решения задач IV29 и IV30, которые сводятся соответст-
венно к уравнениям
4	4
2j + 25 = а-
г=1	4=i
Диофант прибавляет к обеим частям равенства 1 и получает
£1(^±4)2=о + 1-
4=1
Затем он раскладывает а + 1 в сумму четырех рациональных
квадратов, причем не накладывает на число а никаких дополни-
тельных ограничений, т. е. считает, что число а + 1 при любом
а представимо в виде
Ух + у! + Уз + у!>
Баше де Мезириак в комментариях к своему изданию «Арифме-
тики» заметил, что всякое число является либо квадратом, либо
суммой двух, трех или четырех целочисленных квадратов. По-ви-
димому, он пришел к этому предложению чисто эмпирически,
никаких попыток доказать его он не сделал.
Ферма добавил к этому замечанию Баше следующее (№ XVIII):
«Более того, мы открыли впервые прекраснейшее и наиболее
общее предложение, а именно: каждое число является либо тре-
угольным, либо суммою двух или трех треугольных; либо квадра-
том, либо суммою двух, трех или четырех квадратов; либо пяти-
угольным, либо суммою двух, трех, четырех или пяти пятиугольных,
и так далее до бесконечности, для шестиугольных, семиугольных
или любых многоугольных чисел; это чудесное и общее предло-
жение может быть высказано, очевидно, для любого числа углов.
Здесь невозможно дать его доказательство, которое зависит
от многочисленных и сокровеннейших тайн науки о числах; мы
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
101
намерены посвятить этому предмету целую книгу и продвинуть
удивительным образом эту часть Арифметики за пределы, извест-
ные в древности» [18, с. 242—243].
Теоремой, высказанной Баше, занимался впоследствии
Л. Эйлер, полное доказательство ее получил Ж. Л. Лагранж в
1770 г. Доказательство теоремы Ферма о представимости любого це-
лого числа суммою не более п n-угольных чисел предложил О. Коши,
Утверждение, относящееся к числам, не представимым суммою
трех квадратов, высказано Диофантом в виде диоризма к задаче
Vn, условие которой следующее:
«Разложить единицу на три числа, к каждому из них прибавить
одно и то же заданное число-и сделать каждое квадратом».
Иными словами, требуется решить систему
х + у + z = 1. у + а = v1 2,
х + а = u2, z + а = w2,
или За + 1 = и2 + v2 + w2.
К условию задачи Диофант добавляет диоризм: «Нужно, одна-
ко, чтобы данное число не было двойкой, а также и числом, полу-
ченным из двойки увеличением на кратное восьмерки», т. е. а 2,
а Ф 8п + 2. Отсюда 7V = За + 1 #= 7, N =/= 2in + 7. Таким
образом, чтобы число N можно было представить в виде трех квад-
ратов и2 + v2 + ы2, Диофант требует, чтобы оно не имело вида
24м + 7 х.
К этой задаче П. Ферма сделал следующее замечание (XXVII):
«Условия, наложенные Баше 2, недостаточны: более того, он не
провел свои исследования с нужной аккуратностью, так, напри-
мер, число 37 не исключается этими условиями, но оно не может
быть взято.
Вот каковы должны быть условия:
Возьмем две геометрические прогрессии со знаменателем 4 и
имеющие первые члены 1 и 8, и напишем их одну под другой сле-
дующим образом:
1,	4,	16,	64,	256,	1024,	4 096	и т. д.,
8,	32,	128»	512,	2048,	8192,	32 768	ит.д.,
и рассматриваем сначала первый член второй прогрессии, т. е. 8,
нужно, чтобы данное число не равнялось удвоенной единице, т. е.
1 Как известно, числа, не представимые суммою трех квадратов, имеют
вид 8к + 7. Но в задаче Диофанта числа должны быть вида 3Z + 1, т. е.
8к = 3Z — 6 и к = Зга.
2 Баше сформулировал следующие условия: данное число а не должно быть
вида 32га + 9. Он утверждал, что проверил все числа до 325 и^е нашел
ни одного исключения.
102
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
члену, стоящему над 8, и не превосходило на удвоенную единицу
кратное от 8.
Затем рассматриваем второй член второй прогрессии, который
равен 32, берем и удваиваем верхнее число, т. е. 4, что даст 8,
и прибавляем к нему сумму всех предшествующих членов той же
прогрессии (в данном случае эта сумма сводится к единице), что
гдаст 9.
Возьмем числа 32 и 9, тогда нужно, чтобы данное число не рав-
нялось 9 и не превосходило 9 на кратное от 32.
Теперь рассмотрим третий член второй прогрессии, т. е. 128,
удвоим стоящее выше число, т. е. 16, получим 32; прибавим сумму
предшествующих членов той же верхней прогрессии, т. е. 1 и 4,
получим 37. Итак, возьмем два числа 128 и 37; нужно, чтобы дан-
ное число не равнялось 37 и не превосходило 37 на кратное от 128.
Рассмотрим теперь четвертый член второй прогрессии, тем
же методом получим числа 512 и 149. Итак, нужно, чтобы данное
число не равнялось 149 и не превосходило 149 на кратное от 512.
Это и есть единообразный метод, который можно продолжать до
бесконечности. Он не был указан в общем виде Диофантом и не
был известен самому Баше; исследования этого последнего были
ошибочны не только для числа 37, как я это уже указал, по и для
149 и других, которые также попадают в границы исследованных
им чисел» [18, с. 268—269].
Итак, согласно Ферма, заданное число а не должно равняться
2,8п -Ь 2,32л + 9, 128п + 37,512п + 149, . . ., т. е. N = За + 1
не должно быть равным 7, 24п + 7, 96п + 28 = 4 (24п + 7),
42 (24п + 7) и т. д. Отсюда видно, что числа, исключенные Ферма,
отличаются от чисел, исключенных Диофантом, множителями 4,
42,43, .... По-видимому, и здесь Диофант полагал, что N не
содержит никакого квадратного множителя.
В задаче V16 Диофант представляет числа а суммою трех кубов.
Текст задачи, по-видимому, испорчен, поэтому Ферма замечает,
что «либо греческий текст испорчен, либо Диофант не изложил
способа решения». Действительно, в ходе решения Диофант при-
ходит к задаче: представить число 3/4 в виде суммы трех кубов
3/4 = я3 + z/3 + z3.
Вот его решение. «Тогда нужно разложить на [три] куба 3/4 или
какое-нибудь его кратное, могущее быть разложенным на три куба.
Пусть это будет 216; тогда нам нужно разложить 162 на три куба.
Но 162 представляет сумму куба 125 и разности двух кубов
64 и 27. Из «Поризмов» мы имеем: «Разность всяких двух кубов
равна сумме двух кубов».
П. Таннери так восстанавливает это место:
216 = 63 = 53 + 43 + З3	(62)
или
1 = Х5/6)3 + (4/6)3 + (1/2)3.
МЕТОДЫ ДИОФАНТА
103
Вычитая из обеих частей последнего равенства 1/4, получим
3/4 = (5/6)3 + (4/6)3 - (3/6)3
или
3/4-216 = 162 = 53 + 43 - З2.
Далее, разность 43 — З3 представляется, согласно поризму,
в виде суммы двух кубов. О том, как было получено разложение
(62), Диофант ничего не говорит.
Ответ на этот вопрос был дан в исследованиях Бомбелли,
Виета и Ферма (см. ч. III).
Из разрешимости уравнения я3 + г/3 = а3 — Ь3 можно усмот-
реть также, что каждый куб а3 может быть представлен в виде сум-
мы трех кубов.
Но знал ли Диофант, что всякое целое или рациональное число
можно представить в виде суммы трех кубов?
Во всяком случае, предложение это не было замечено Ферма
(что видно из его комментария к этой задаче). О нем не знали
Эйлер. Доказано оно было только в XIX в. [72, т. 2, с. 726].
Наш обзор был бы неполным, если бы мы не коснулись Вели-
кой теоремы Ферма. На полях принадлежащего ему экземпляра
«Арифметики» Ферма записал ее в первый раз напротив задачи П8,
в которой требуется разложить заданный квадрат в сумму двух
квадратов. Запись Ферма гласит: «Наоборот, невозможно разло-
жить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вооб-
ще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же
показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство,
но эти поля для него слишком малы», т. е. уравнение хп + уп = zn
при п 2 и xyz 0 не имеет решений в целых числах.
Диофант нигде не ставит задачи о представлении куба суммою
двух кубов (вероятно, он убедился, что она невозможна), но ста-
вит задачу о представлении разности двух кубов суммою двух
кубов, откуда, как следствие, вытекает возможность представле-
ния куба суммою не двух, а трех кубов.
Во второй раз Ферма говорит о своей теореме в за-
мечании к задаче VI24 (ч. III, гл. IV, раздел 2).
104
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
ГЛАВА V
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
В АНТИЧНОСТИ
ПОСЛЕ ДИОФАНТА
1. АРАБСКАЯ ВЕРСИЯ ЧЕТЫРЕХ КНИГ «АРИФМЕТИКИ»
ДИОФАНТА
Мы очень мало знаем о том, как развивался в античности
диофантов анализ после Диофанта. До недавнего времени мы рас-
полагали только свидетельством Свиды [НО] о том, что дочь Теона
Александрийского Гипатия (погибла в 418 г.) писала коммента-
рии к «Арифметике» Диофанта.
Теперь положение вещей изменилось. Недавно в Мешхеде
была найдена рукопись Косты ибн Луки ал-Ба’лбакки (родился
в Гелиополисе, умер около 912 г. в Армении), содержащая, как
сказано в ней самой, арабский текст четырех книг «Арифметики» \
именуемых, соответственно, «Четвертой книгой сочинения Дио-
фанта о квадратах и кубах», «Пятой книгой сочинения Диофанта
Александрийского об арифметических задачах», «Шестой книгой
сочинения Диофанта» и «Седьмой книгой сочинения Диофанта».
Все сочинение называется вначале «Искусством алгебры Диофан-
та», а в конце последней книги — «Сочинением Диофанта об ал-
гебре и алмукабале».
IV—VI книги арабского перевода не совпадают с одноимен-
ными книгами, сохранившимися на греческом языке. Известно,
что Косте ибн Луке принадлежали не дошедшие до нас коммен-
тарии к трем с половиной книгам «Арифметики», что побудило из-
дателя книг арабского перевода Р. Рашеда предположить, что
арабский переводчик Диофанта располагал только первыми тре-
мя из шести книг «Арифметики», а после того как к нему попали
эти четыре книги, он назвал их IV—VII книгами. Другой пере-
водчик и комментатор этих книг. Ж. Сезиано считает, что они и
на самом деле являются четвертой, пятой, шестой и седьмой книгами
первоначального текста «Арифметики», а книги IV—VI грече-
ского текста называет условно книгами «4», «5» и «6», т. е. ставит
под сомнение подлинность их нумерации.
Между тем, подробный историко-математический анализ этих
книг указывает на то, что арабская версия не является переводом
утерянных книг «Арифметики». Скорее всего это текст, написан-
ный неизвестным автором на основе «Арифметики» Диофанта. По-
видимому, в исходный греческий текст были включены как под-
1 Полный текст рукописи был издан и изучен Р. Раше дом [17, 101]. Крити"
ческий текст, английский перевод и подробные комментарии опубликованы
Ж. Сезиано [104].
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА
105
линные задачи Диофанта, так и обширные комментарии к ним.
Если это так, то найденные рукописи проливают некоторый
свет на то, в каком направлении шло в античности развитие дио-
фантова анализа после Диофанта. И тогда в этом развитии можно
выделить две тенденции, вообще характерные для любой школы
последователей великого математика. Это, во-первых, системати-
зация материала, стремление рассмотреть все возможные вариан-
ты той или иной задачи, и, во-вторых, продвижение вперед по уже
открытым путям: в данном случае это введение (тем же методом)
более высоких степеней неизвестного, а именно, 8-й и 9-й 1 (Дио-
фант остановился на 6-й степени).
По-видимому, основное внимание последователей Диофанта
было обращено на развитие алгебры. В найденных книгах отсут-
ствуют теоретико-числовые предложения, которые в виде диориз-
мов часто встречаются в греческом тексте «Арифметики».
Арабский перевод отличается от греческого оригинала, види-
мо, прежде всего тем, что все обозначения чисел и алгебраических
величин и знаков, для которых Диофант применял алфавитную
нумерацию и специальные символы, в арабском переводе даны сло-
вами; при этом дробные части чисел, там, где это несложно сделать,
записаны с помощью часто применявшихся арабами аликвотных
дробей. Знак g Диофанта для неизвестной х в арабском переводе
заменен арабским термином шай — «вещь», знак квадрата Аг —
термином мал — «квадрат», знак куба Кг — термином касб —
«куб», обозначения для четвертой, пятой и шестой степеней
ДГД, ДКГ, КГК заменены словами мал мал — «квадрато-квад-
рат», ка‘6 мал —- «кубо-квадрат», касб касб — «кубо-куб». Вво-
дятся также аналогичные термины для высших степеней. Знак
Диофанта для вычитания Д заменен словами илла — «без».
Знак «единица» перед числом переводится словом «единицы» после
соответствующего числительного 2 *.
Первой из книг арабской рукописи, которая носит название
«Четвертая книга Диофанта о квадратах и кубах», предпослано
1 Заметим, что по арабской рукописи мы можем только догадываться о гре-
ческих обозначениях для х8 и хд (вероятно, это были ДДДДГ и ККК *),
2 Русский перевод цитируемых ниже отрывков из арабской версии «Ариф-
метики» выполнен Б. А. Розенфельдом. Для соблюдения единства с рус-
ским переводом греческих книг «Арифметики» термины, соответствующие
знакам д, Дг, Кг, ДГД, ДКГ, КГК и т. д., заменены символами х, я2, я8,
х4 *, х6 *, xQ и т. д., слово «без», заменяющее знак Д, передано знаком минус,
союз «и» — знаком плюс, слова «единица» и «один», как правило, опущены;
в русском переводе слова «квадрат» и «квадратное число» (в формулах)
заменены символом □, как в тексте Диофанта. При ссылках на издание
Р. Рашеда [17] указываются листы рукописи (от 1 л. об. до 80 л. об.).
Ввиду того, что книги «Арифметики», сохранившиеся в арабском пере-
воде, могут иметь те же номера, что и не совпадающие с ними греческие
книги, номера книг в обозначениях задач, сохранившихся в арабском
переводе, обозначаются не римскими, а арабскими цифрами.
106
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
короткое алгебраическое введение. Как говорилось выше, в гре-
ческом тексте «Арифметики» Диофанта также имеется введение;
оно помещено в начале первой книги и в нем содержится чрезвы-
чайно богатый алгебраический материал: вводится неизвестное,
его первые шесть положительных и шесть отрицательных степеней,
даются обозначения для них, а затем с помощью таблицы опреде-
ляются правила умножения степеней хт*хп = хт+п, где
—6 т, п < 6, —6 т + п 6. После этого Диофант форму-
лирует правило знаков при умножении положительных и отрица-
тельных чисел, а также правила оперирования с уравнениями
(перенос из одной стороны уравнения в другую и приведение по-
добных).
Это введение, как указывает сам Диофант, предваряло все
13 книг «Арифметики». Поэтому появление нового введения перед
«четвертой книгой» арабского текста говорит о каком-то изменении
первоначального плана. Это второе введение написано так, как
будто читатель уже познакомился в первых трех книгах (которые
в рукописи отсутствуют) с первыми двумя положительными степе-
нями неизвестного и умеет оперировать с ними. Й вот перед «чет-
вертой книгой» вводятся третья, четвертая, пятая и шестая сте-
пени неизвестного.
Все это дает нам основание для предположения, что в новом из-
ложении «Арифметики» первой книге было предпослано введение,
в котором определялись только две первые степени неизвестной.
Оперированию с ними читатель должен был научиться, решая за-
дачи первых трех книг. Только после этого автор рукописи зна-
комил его с более высокими степенями неизвестного.
Заметим, что автор этого второго введения нигде не говорит об
отрицательных степенях неизвестного. Он также приводит таб-
лицу умножения и деления хт на хп, но только для тп, п = 3, 4,
5, 6;0<^лг±п^6. Деление определяется только для т > п.
Итак, перед нами небольшой кусок из введения Диофанта, выр-
ванный из контекста и помещенный в начале книги 4. Примеча-
тельно, что хотя в этом втором введении рассматриваются лишь
степени неизвестной, не превосходящие шестой, в дальнейшем
тексте книги 4 встречаются х9 и х9. Эти степени вводятся прямо
в задачах. Впервые они встречаются в задаче 429: «Мы хотим най-
ти такие два числа, кубическое и квадратное, что куб кубического
и квадрат квадратного в сумме образуют квадратное число» [17, лл.
18 об.—19], т. е. ищется решение уравнения (X3)3 + (У2)2 =
« Z2. Автор пишет: «Положим куб ж3, тогда его куб — х9 на х\
это называется кубо-кубо-кубом» [17, л. 19].
Аналогично вводится и х9, названный в тексте квадрато-квад-
рато-квадрато-квадратом, а также кубо-кубо-квадратом.
Таким образом, текст книги не отвечает заглавию («книга квад-
ратов и кубов»), так как в первых 28 задачах автор оперирует
с первыми шестью степенями неизвестного. Он не отвечает также
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА
107
введению, так как в нем оказываются необходимыми восьмая и
девятая степени неизвестного. Странная небрежность в построе-
нии! Тем более странная, что в греческом тексте Диофанта введе-
ние очень продумано и нигде никаких дополнительных определе-
ний не дается.
Резюмируем: во введении, которое предпослано книге 4 араб-
ской рукописи, нет ничего нового по сравнению с введением к гре-
ческой рукописи «Арифметики». Единственно новое, что там мог-
ло быть — введение высших степеней неизвестного помещено не
там, а в тексте задач.
2. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ АРАБСКОЙ ВЕРСИИ
«АРИФМЕТИКИ»
Четыре книги арабской рукописи «Арифметики» содержат око-
ло 100 задач. Как правило, они расположены таким образом,
что их легко разбить на последовательные группы однотипных
задач, имеющих единый способ решения. Такой порядок распо-
ложения задач в рукописи дает достаточное основание для вы-
явления и анализа общего метода их решения.
Рассмотрим наиболее интересные группы задач, общие методы
решения и их геометрический смысл.
Группа 1
4Р X3 + У3 = Z2.	42. X3 - У3 = Z2.
43. X2 + У2 = Z3.	44. X2 - У2 - Z3.
Задачи этой группы решают при помощи подстановки вида
X = ж, У = ах, Z = fkr.
Решение проводится при следующих числовых значениях сво-
бодных параметров аир
(4Х). а = 2, 0 = 6;	(42). а = 2, 0 = 7;
(43). а = 2, р = 1;	(4Д а = 5, 0 = 2.
Однако автор, без сомнения, понимает возможность их произволь-
ного выбора и лишь отсутствие алгебраической символики застав-
ляет его ввести рассуждения с конкретными числовыми значения-
ми. Подстановки приводят к уравнениям
(4М). (1 ± а3)я* = pV, (4W). (1 ± а2) х2 = 0V,
откуда
(41-2)« Х — | ^_а3 ’	Х = рз •
Возвращаясь к исходной подстановке, легко видеть, что решения
являются рациональными функциями двух свободных параметров
108
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
а и Р л 1 +а8 v 1±а2 А —	р8	’	у	 °Ф2	у	Р3	/Д \ Y “ 1±а8*	1±а3 ’ у=М1М	(V.) р	р
Заметим, что свободные параметры аир могут быть выражены
как рациональные функции неизвестных X, У, Z
а = Y/X, ₽ = Z/X.
Это решение, изложенное нами в общем виде, имеет с точки зре-
ния алгебраической геометрии довольно ясный смысл. Каждое из
уравнений 4Х24 задает кубическую поверхность в R3, на которой
лежит двойная рациональная точка (0, 0, 0). Любая прямая, про-
ходящая через двойную рациональную точку кубической поверх-
ности в направлении рационального вектора, либо пересекает по-
верхность еще в одной и только одной рациональной точке, либо
принадлежит поверхности. Подстановка X — х, У = ах, Z —
== как раз и означает, что через двойную точку (0, 0, 0) прово-
дится прямая, пересечение которой с кубической поверхностью
дает нам искомое решение. По существу, описанный метод приво-
дит к установлению бирационального изоморфизма кубической по-
верхности с двойной рациональной точкой и вещественной плоско-
сти R2. Такие поверхности называются в алгебраической геомет-
рии рациональными.
Группа 2
45. Х2У2 = Z3.	4в. Х2У3 = Z2.
47. Х2У3 = Z3. 48,9а. Х3У3 = Z2.
z — — z2 4	— __Z3
^96 • уз •	^9В* уг & •
Общее свойство уравнений этой группы задач состоит в том, что
они задают поверхности 4-го, 5-го и 6-го порядка в R3, для которых
точка (0, 0, 0) является, как и в группе 1, рациональной особой
точкой.
В задаче 45 кратность особой точки (0, 0, 0) равна 3, а порядок
поверхности 4, поэтому, так как порядок поверхности на единицу
больше кратности особой точки, любая прямая, проходящая через
точку (0, 0, 0) в направлении рационального вектора (1, а, Р),
пересечет поверхность еще в одной и только одной рациональной
точке. Таков геометрический смысл подстановки X = х, У — ах,
Z = Рх, с помощью которой при а = 2, р == 2 решается зада-
ча 45.
Как и в случае задач группы 1, метод решения задачи можно
интерпретировать как установление бирационального изоморфиз-
ма поверхности 4-го порядка с тройной рациональной точкой и
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА
109
плоскости R2, который имеет вид
X = 03/а2, Y = 03/а, Z = 04/а2 и а = Y/X, 0 =*
= Z/X.
В отличие от задач 4Х_5 уравнения в задачах 46-9 определяют
поверхности, порядок которых больше чем на единицу превышает
кратность особой рациональной точки (0, 0, 0). Поэтому для отыс-
кания решения применяются нелинейные подстановки.
Задача 4б решается при помощи подстановки X = х, Y =
= ах, Z = 0х2, которая приводит к уравнению
а3Хб — ^2^4^
откуда
х = 02/а3 и X = 02/а3, Y = 02/а2, Z = 0б/а*.
Задача 47 решается при помощи подстановки того же вида
X = х, Y = ах, Z = 0х2, приводящей к уравнению
а3х5 = 02хв,
откуда
х = аз/р2 и х = а3/02, . Y = а4/02, Z ~ а6/03.
В обоих случаях свободные параметры а и 0 могут быть представ-
лены в виде одних и тех же рациональных функций неизвестных
X, У, Z
а = У/Х, 0 - Z/X2.
Это показывает, что как и выше, метод решения задач 43__7 приво-
дит к установлению бирационального изоморфизма между соответ-
ствующими поверхностями 5-го порядка и плоскостью R2.
Задачи 48 и 4эа посвящены решению одного и того же уравне-
ния. В задаче 48 дается анализ и в очень сжатой форме намечается
ход решения. Само же решение со всеми подробностями приводится
в задаче 49а. Весьма вероятно, что задача 49а представляет собой
вставку комментатора. Приведем перевод текста обеих задач.
«8. Мы хотим найти два кубических числа, охватывающих
квадратное число.
Положим в этой задаче сторону меньшего куба х, тогда мень-
ший куб х3. Примем сторону большого [куба] за несколько х-ов,
пусть эта сторона 2х, тогда большой куб 8х3. То, что охватывается
ими, 8х6. Необходимо, чтобы это было равно квадрату. Будет не-
правильно принять сторону этого квадрата за несколько х-ов,
так как квадрат нескольких х-ов — несколько х2, и если ты при-
равняешь их нескольким х6, а затем разделишь на общее в обеих
сторонах [равенства], т. е. на несколько х2, получится: х4 = еди-
ницам. Поэтому они необходимо [должны] равняться квадрату
ПО	ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
квадратного [числа! единиц. Ввиду этого мы приходим к требова-
нию, чтобы квадратное и кубическое числа охватывали квадратное
число, так как мы уже объяснили легкость этого действия, и най-
дем, как мы разъяснили это раньше, что одно из этих чисел, квад-
ратное — 4, а другое, кубическое — 64. То, что охватывает эти
два числа, — 256. Это квадрат, его сторона — 16. Это и есть тог
что мы хотели найти.
9. [9а]. Мы хотим найти два кубических числа, охватывающих
квадрат.
Положим сторону большего куба 4г, а сторону меньшего куба х.
Тогда больший куб 64л:3, а меньший х3. То, что охватывается
ими, 64#в. Необходимо, чтобы это было равно квадратному числу.
Примем сторону квадрата за несколько#2. Тогда их число рав-
но стороне квадрата, получаемого при умножении 64 на 4, т. е.
256 [это число равно 16 и сторона квадрата] 16#2, а квадрат 256#\
Поэтому 64#6 = 256#4.
Разделим все ца #4 в обеих сторонах равенства. Если ты разде-
лишь 64#’ на #4, получится 64#2, а если мы разделим 256#4 на
#4, получим 256. Поэтому 64#2 = 256 и #2 = 4.
Но #2 — квадратное [число], 4 — квадратное [число] и их
стороны равны: сторона #2 есть #, а сторона 4 есть 2, поэтому
х = 2.
Так как мы положили сторону меньшего куба #, он 8. Так как
мы положили сторону большего куба 4#, она - 8 и больший куб
512. Если умножить это на меньший куб, получится то, что их
охватывает это 4096: сторона 64.
Мы нашли два кубических числа, охватывающих квадратное
число, это 8 и 512. Это и есть то, что мы хотели найти.
[96]. Мы хотим найти такое кубическое число, что если мы раз-
делим его на куб, получится квадратное число. Будем искать такое
квадратное число, что если умножить его на другое кубическое
число, которое мы также ищем, в произведении получится куби-
ческое число. Если мы найдем это, то произведение одного из них
на другое будет кубическим числом, которое мы хотим [найти],
[9в]. Точно так же, если мы хотим найти такое квадратное чис-
ло, что если мы разделим его на квадрат, получится куб, мы по-
ступаем обратно тому, как в том, что было перед этим, и точно так
же всюду, где [применяется] метод деления, мы ищем, как в томг
что было перед этим, один род из двух, так как деление — обрат-
но по отношению к умножению».
Метод, изложенный в задачах 4С_7, легко мог бы быть применен
для решения уравнения X3Y3 = Z2, рассматриваемого в задачах
48 и 49. Для этого нужно было бы воспользоваться подстановкой
X = #, Y = a#2, Z == р#4, которая привела бы к уравнению
а3#9 = Р2#8, откуда # = р2/а3, что дало бы следующее решение
X = р2/а3, Y = р4/аБ, Z = р9/а12.
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА
111
Но при этом в процессе решения возникает необходимость в ис-
пользовании 8-й и 9-й степеней неизвестного!
Автор рукописи идет по другому пути, который позволяет
ему обойтись без введения степеней неизвестного, выше Шестой.
Он как будто твердо решил остаться в рамках введенной для пер-
вых шести степеней неизвестного символики.
Действительно, вместо того, чтобы прямо применить подста-
новку X = х, Y ~ аж2, Z = 0Ж4, он применяет подстановку
X = t, Y = yt, Z = zt2 (где коэффициенты у и z выступают
в роли неизвестных), которая сводит уравнение Х8У3 = Z2
к уравнению t2y2 = z2. Решение последнего уже было дано в зада-
че 46. Если мы вспомним, что последнее уравнение решалось
с помощью подстановки t = ж, у = аж, z — £ж2, то становится
очевидно, что неявное введение дополнительных неизвестных у
и z есть лишь другой способ записи подстановки X = ж, Y = аж2,
Z = Рж4, позволяющей избежать в процессе решения введения сте-
пеней неизвестной выше 6-й.
В задачах 4Эб и 49в имеется лишь формулировка условия и
указание на то, что они сводятся к уравнениям У3/2 = X2 и
У223 = X2, т. е. к задачам 47 и 46J
Г р у п п а 3
410. X2 + аХ2 = У2.	4И. X2 - аХ2 = У2.
41а. X2 + аХ2 = У3.	413. X2 - аХ2 = У3.
Эта группа задач прямо примыкает к группе 1. Во всех четырех
задачах решаются уравнения, задающие кубическую кривую
в R2 с двойной особой точкой (0, 0). Поэтому применение подста-
новки X = ж, У = аж, задающей прямую, проходящую через
двойную точку (0, 0) и пересекающую кривую еще в одной и толь-
ко одной точке, приводит соответственно к уравнения?*!
(410-ц). я3 == (a2 =F а)ж2.	(412). аж2 — (а3 — 1)ж3.
(413). ах2 = (1 - а3) ж3.
Откуда
(4ю-11) X = а2 а, У = а (а2 Т а)*
(М
Метод решения задач группы 3 позволяет выразить неизвестные X
и У в виде рациональных функций свободного параметра а.
Верно и обратное, так как а =« Y/X.
112
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Поэтому метод можно интерпретировать как установление
рациональности кубической кривой с двойной рациональной
точкой,
Подводя итог анализу первых трех-групп (задачи 4^3) мы мо-
жем сделать вывод, что в них решаются уравнения, определяющие
рациональные алгебраические многообразия. Применяемый при
этом метод решения можно интерпретировать как установление
факта их рациональности.
3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К УРАВНЕНИЯМ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
И «ДВОЙНЫМ РАВЕНСТВАМ»
Основная цель задач групп 4 и 5, по-видимому, состоит в том^
чтобы познакомить читателя с оперированием высшими степенями
неизвестного, в том числе с 8-й и 9-й степенями. Приведем неопре-
деленные уравнения, к которым приводятся условия задач:
	Группа		4	
423- (X2)2	+ (У2)2 = Z8.	4з8«	(X2)2	+ аУ8 = Z2.
4М. (X2)2	- (У2)2 = Z3.	^29*	(X3)3	+ (У2)2 = Z2.
426- (X2)2	+ (У3)2 = Z2.	^30*	(X3)8	- (У2)2 = Z2.
42ва- (X3)2	_ (У2)2 = Z2.	^31’	(X2)2	- (У3)3 = Z2.
42вб. (X2)2	- (У3)2 = Z2.	^32*	(X3)3	+ аХ3У2 = Z2.
4j7. (X2)2	+ аУ2 = Z2.		(X3)8	- аХ3У2 = Z2.
Группа 5
434. X? + X2 =	- У?,.	4О. (X2)2 + Xl = yL
X? - XI-	= П	(Xi)2 - Х| = Yl.
4,в. Xf + Xl:	= П	4„. Х? + (Х2)2 = ЦГ
X? - xl --		X? - {XI)2 = yt
43e. X3 + аХ2	= y?t	442a. (X3)3 + (Xi)2 = У?,
Xs - ЬХ2	-	(X3)3 - (Xi)2 = У2\
4з7. Х3 + аХ2	= п	4Ш. {XD2 + (Х1)3 = У2Г
х3 + ъх2	=	(X?)2 - (X3)8 = У2.
438. X3 - аХ2	= п	•к W и Н* W со + & и Ь9 tO to II л
Xs - ЪХ2	= п	{Xl)2 - b {Xl)2 = Yl
43#. аХ2 — X3	= И,	44«. (X?)3 + а (X22)2 = У2,
ЬХ2 — Xs	= п	(X?)3 + b (Xt)2 = У2.
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА lift
4М3. (Х?)3-а(Х2)2 (X?)3 - ь (Xi)2	= п = п	53.	(X2)2 - aXi = Yl, (X?)2 - bxl = yt
4«в. а (Xi)2 - (X?)3 Ь (Xf)2 - (X3)3	= П = П	54.	II II CO co ©? И И + 1 «1^ <N с’’-i ©77s И x
5V (X?)2 + аХ1 = (X?)2 - ьх1 =	Yl, Yl.	55.	(X!)2 + a (Xi)3 = Yl, (X?)2 + b (X|)3 = Yl
52. (X!)2 + axl = (Х[)2 + bXf =	Yl, YI	5в-	(Xb2 - a (Xi)3 = Yl, (xi)2 - ь (Xi)3 = Yl.
Большинство задач групп 4		и 5 в	процессе решения сводится
к задачам Пв-п, образующим ядро второй книги греческого текста.
В арабском тексте решения задачи 426а имеется ссылка: «необ-
ходимо, чтобы мы разделили 625, т. е. квадратное число, на два
квадратных числа, в соответствии с тем, что мы описали во второй
книге» [17, л. 17 об.]. Имеется в виду задача П8, в которой решает-
ся в рациональных числах неопределенное уравнение Xs + У2 —
= а2.
Заметим, что на задачу П8 опирается также решение задач
62 и 7у2.
В задаче 435 мы также находим ссылку на книгу II: «8 состоит
из двух равных квадратных чисел. Поэтому, нам необходимо раз-
делить 8 на два другие квадратные числа, как мы доказали во вто-
рой книге. Пусть одна из частей 4/25, а другая 721/25» [17, л. 24].
Здесь имеется в виду задача П9, в которой излагается метод нахож-
дения рациональных решений уравнения X2 + У2 = а2 +
когда одно рациональное решение X = а, У = Ь уже известно.
На задачу П9, но без прямых ссылок на книгу II, опираются
также задачи 440, 442. Решение задачи 427 приводит к следующей
задаче: «Потребуем два квадрата, разность которых 20. Это 36
и 16» [17, л. 18]. Как мы видим, решение здесь опущено и
сразу Же дается ответ. Видимо, автор предполагает, что читатель
совершенно свободно владеет методом решения в рациональных
числах неопределенного уравнения X2 — У2 = а, который изло-
жен в задаче П1о.
На задачу П1о, хотя и без явных ссылок на нее, опираются
также задачи 434_39, 441, 443.|
Косвенную ссылку на задачу П10 мы находим в задаче 6X:
«Потребуем такое квадратное число, что если вычесть из него 64 >
останется квадратное число. Это находится в соответствии с тем,
что мы доказали в написанном раньше, это 100» [17, л. 50].
Таким образом, решение значительного числа задач арабской
рукописи (в основном в группах 4 и 5) опирается на задачи II8-io
греческого текста.
114
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Теперь мы рассмотрим задачи арабского текста, процесс реше-
ния которых приводит к группе задач П1Г_13:
Пи. X + а = Yl П12. a~X = Y^	П13. Х-а = У2,
X + Ъ = У2.	Ъ - X = У2. X - Ъ = Yl
Системы уравнений этого вида в греческих книгах «Арифмети-
ки» носят название «двойных равенств». Мы уже писали о двух
способах их решения (ч. I, гл. IV, раздел 1).
Арабский текст содержит интересные параллели и обобщения.
Здесь тема «двойных равенств» получает дальнейшее развитие
в задачах 434_44 группы 5. Их решение находится двумя спосо-
бами:
1) либо перенесение на них способов решения задач II1W8;
2) либо прямым сведением их к задачам II1WJ.
Рассмотрим оба случая.
1) Пример перенесения обоих способов решения «двойных ра-
венств» на систему уравнений третьей степени дает нам задача 434.
Приведем перевод арабского текста этой задачи.
«34. Мы хотим найти такие два числа, кубическое и квадрат-
ное, что если прибавить к кубическому квадратное, сумма будет
квадратным числом, а если вычесть из него квадратное, останется
также квадратное число.
Положим, куб ж3, а квадрат 4я2. Тогда
х3 + 4я2 — □ и х3 — 4#2 = и.
Будем действовать при этом действием двойного равенства.
Возьмем разность между этими двумя квадратами, это 8я2.
Потребуем такие два числа, произведение одного из которых на
другое &г2. Это 2х и 4я. Их разность 2х. Половина 2х — один
[ж], его квадрат х2. Это равно х3 — 4а;2. Также прибавим 2х к 4а;,
получится ба:. Половина этого За;, квадрат Зх [равен] 9а;2. Это
равно х3 + 4а;2. Отбросим общее 4а;2 с обеих сторон, останется
х3 = 5х2.
Но ты уже имел это равенство и, таким образом, в обоих слу-
чаях пришел к тому; что х3 — 5а:2. Разделим все на х2 получится
х = 5. Поэтому сторона куба 5, а куб 125, сторона квадрата 10,
а квадрат — 100.
Если ты прибавишь [его] к кубическому числу, сумма будет
225, это квадратное число, его сторона 15, если же ты вычтешь [его]
из кубического числа, остается 25, это квадратное число, его сто-
рона 5.
Иначе. Проделаем то же действие без равенства.
Мы говорим, что так как х3 + 4я2 = □, примем сторону этого
квадратного числа за несколько х. Тогда квадрат — несколько ж2,
которые равны х3 + 4я2.
Если мы разделим это на х3 даст х, а несколько х2 дадут чис-
ло, равное числу нескольких х2. Поэтому число, за которое в этой
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА
115Г
задаче принимается х, равно оставшемуся числу нескольких х\
Так же, так как л:2 —4л:2 — □ , примем его сторону за несколько
х, тогда квадрат — несколько х2. Если мы прибавим общее 4л:*
к обеим сторонам, получится ж3 = нескольким ж2.
Поэтому число, за которое в этой задаче принимается х, равно
числу нескольких х2 в сумме. Поэтому необходимо, чтобы число
оставшихся нескольких х2 в 1-м уравнении было бы равно числу
нескольких х2 в сумме во 2-м уравнении. Но оставшиеся несколько
х2 в 1-м уравнении — это то, что остается от квадратного числа
после вычитания 4, а несколько х2 в сумме во 2-м уравнении — это
число, получающееся от прибавления к квадратному числу 4х.
Так как если мы потребуем два таких квадратных числа, что если
мы вычтем из большего из них 4 и прибавим к меньшему из них 4^
получатся равные [числа], то необходимо, чтобы мы потребовали
два квадратных числа, разность которых 8, это 121/4 и 201/4.
Примем большой квадрат, равный х3 + 4х, за фО1/*)#2, а меньший
квадрат, равный х3 — 4х, за (121/4) х2. В обоих уравнениях мы
приходим к тому, что х3 — (16г/4) л:2, х — 16*74.
Так как мы положили сторону куба х, сторона куба IG1/^
а куб 42911/б4. Так как положили сторону квадрата 2х, сторона
квадрата 32х/2, а квадрат Юбб1^. Если мы прибавим его к куби-
ческому числу, получится 534717/64, это квадратное число, его сто-
рона 131/s. Если мы вычтем его из кубического числа, останется
323449/в4, это квадрат, его сторона 567/8.
Мы нашли два таких числа, кубическое и квадратное, что если
прибавить к кубическому числу квадратное, получится квадрат-
ное число, а если вычесть из него квадратное число, останется так-
же квадратное число» [17, л. 22 об.— 23 об.].
Легко видеть, что в этой задаче в полном соответствии с гре-
ческим текстом задач Пи и П13 обобщены оба способа решения
«двойного равенства» на случай системы уравнений более высокой
степени. При этом первый способ называется «действием двойного
равенства», а второй — «действием без равенства». Последующие
задачи 435_42 решаются лишь вторым способом.
2) В задаче 442, после того как изложено ее решение вторым
способом, показан также метод сведения систем двух уравнений
непосредственно к «двойному равенству» типа Hn-xs"* опишем его.
В задаче 442 решается система уравнений
(X?)8 + (Х|)2 = Yl, (X?)8 - (Х1)8 = Yl.
После того, как сделана подстановка Хх = 2х, Х2 = 4а^, исход*
ная система преобразуется в систему
512л:9 + 256я8 = У?,	512л:9 — 256л:8 = Yl
Эта система сводится к «двойному равенству» следующим образом:
«Если разделить каждый квадрат [на квадрат], то частное от деле-
ния также является квадратом. Поэтому если мы разделим
116
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
512л:9 + 256л;8 и 512л;9 — 256л:8 на квадрат, а именно на х8 или
на 4л:8, или на 9л:8, или на 16л:8, или на подобное этому квадратное
число, после того как мы приняли каждое из них за х8 или несколь-
ко х8, частное от деления нескольких х8 будет числом, а частное от
деления нескольких х9 будет несколько х. Предположим, что мы
разделили обе [стороны равенства] на 16л:8, тогда частное от деления
* будет 32л: + 16. По примеру того, как мы делили этот квадрат, раз-
делим другой квадрат, а именно 512л:9—256л;8, получится 32л;—16;
32л: + 16 будет квадратом и 32л;— 16 [также будет] квадратом.
Потребуем такое число, что если мы прибавим к нему заданное
число, т. е. 16, то получится квадрат, и если мы вычтем из него
заданное число, т. е. 16, получится квадрат. Если мы нашли та-
кое число, разделим его на 32, частное от деления будет х. Если
же мы узнаем это число, произведем синтез задачи тем путем, ко-
торый мы разъяснили при ее анализе» [17, лл. 32 об.—33]. Тем
самым исходная система уравнений сводится к «двойному равен-
ству»
X + а = Z2, X - а = Zt
где а = 16, X = 32л;,	= У^Х4, Z2 = У2/Х4. Эта задача
легко решается любым из двух способов, описанных в задачах
Пц-1з, и> по существу, прямо к ним примыкает, однако, в точно-
сти такой задачи мы не находим в греческом тексте. Поэтому араб-
ский текст заставляет предположить, что ранее эта задача уже ре-
шалась. Отсюда следует, что группа задачи Пц-13 является не
полной и к ней следует присоединить задачу, сводящуюся к си-
стеме уравнений
X + а = У2, X - Ь - У1.
Системы уравнений, рассматриваемые в задаче 444, совершенно
аналогично сводятся к «двойным равенствам», которые мы уже
находим в греческом тексте. В задаче 444 решаются три системы
уравнений
4«а>б. (X?)3 ± а (Х1)2 = Yl,	4Ив. а (X2)2 - (X?)3 = У?,
(xt)3 ± ъ (х|)2 = У1, ъ (xi)2 - (xi)3 = Yl
при а — 3, b = 8. После подстановки Хх = х, Х2 = 2д;2, они сво-
дятся к системам
х9 ± 48л:8 = У?,	48л;8 - х9 = У2,
х9 ± 128л;8 = У|,	128л:8 - х9 = У|.
Последние, в свою очередь, после деления на л;8, преобразуются
в «двойные равенства»
X ± 48 = Zi,	48 - х = Zi,
х ± 128 = Z|,	128 - х = Zl,
a
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА
117
метод решения которых имеется в задачах греческого текста Ип_13.
Таким образом, последние 11 задач 4-й книги (434_44) прямо
связаны с группой задач Пи.18 греческого текста и содержат обоб-
щение способов решения «двойных равенств» на системы двух
уравнений высших степеней.
Вместе с тем, заметим, что «двойных равенств», которые опре-
деляли бы эллиптическую кривую, в отличие от греческого текста
в арабском тексте нет.
Первые 6 задач 5-й книги (б^б) также связаны с задачами кни-
ги II.
Первые три задачи б^з довольно просто сводятся к задаче
отыскания трех квадратных чисел, таких, что «отношение избыт-
ка большего из них над средним к избытку среднего над меньшим»
£17, л. 38, 38 об., 39 об.] равно заданному числу, т. е. к решению
уравнения	<2^
XI - X2 = а (X2 - X2),
которое мы находим в задаче П19.
Следующие три задачи 5-й книги (б4_в) в результате несложных
преобразований, аналогичных тем, которые мы описали для слу-
чая задачи 444, сводятся к следующим системам уравнений
А2 + аХ = Zi, А2 + аХ = Z*, А2 — аХ = Z{,
А2 - ЪХ = Z1. А2 + ЪХ = Zl. А2 — ЬХ =
Метод решения этих систем мы находим в задаче П1в, где решает-
ся система уравнений вида
А2 + X = Z2, А2 + ЬХ = Z22
(у Диофанта А =9, 6 = 3). Покажем это. Метод Диофанта, из-
ложенный в задаче П1б, состоит в следующем. Полагая Zx = ах +
+ А, мы получаем из первого уравнения
X = а¥ + 2Аах.
Подставляя это во второе уравнение и полагая Z2 = fix — Ая
мы находим
г__Р +
Х р2 - да2 ’
после чего легко отыскиваются X, Zlt Z2.
Покажем, как применяется этот метод для решения системы
уравнений
А2 + аХ = Z?, А2 — ЬХ = Z22.
Для остальных двух систем он применяется совершенно аналогич-
но. Полагая Zx = ах + А, мы получаем из первого уравнения
% а2х2-[~2Аах
а %
118
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Подставляя это во второе уравнение и полагая Z2 = fix — А,
мы находим
z = 2A
gfl — ba
аР2 4- ba2
после чего легко отыскиваются X, Zn Z2.
Проведенный анализ задач группы 5 позволяет сделать вывод,
что решение входящих в нее задач существенно опирается на ме-
тоды, разработанные в задачах Пц-13, Hie, П19 книги II грече-
ского текста.
4. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ
Группа 6
51з*	eXj + Ъ — Х2 + Х3,	515. aXi-d = X2 + X3,
	X? + Х2 = Yl Xi + Х8 = Yl.	xi + x2 - yi, v3	V 	 V3 Ai — А з — I 2.
5и.	aXl - b = X2 + X8, xi - x2 = yi, V3	V 	 V"3 Ai — A3 — 1 2.	5ie. aX* — b = Xa + X8, X? - X2 = У?, у	y3 	 v3 A3 — Ai — 1 2.
В рассматриваемой арабской рукописи это, на наш взгляд *
самая интересная группа задач. Ее характер проясняется после
следующего эквивалентного преобразования входящих в нее си-
стем: неизвестные Х2 и Х3 выражаются через неизвестные Х1Э
ylt У2 посредством второго и третьего уравнений систем, полу-
ченные таким образом выражения подставляются в первое урав-
нение. В результате системы приобретают вид
5isr. 2X1 + aXl + Ъ =	51Г. аХ\ - Ь = У? - У*,
= у? + П	Xz	=	У?	-	X?,
ст _ v'S V3	Y	___ V3	V3
Л2 — 1 i — Ai,	A3	—	Aj	—	I 2.
v ___	v3
А з — 1 % — Ai.
514«. 2Xi -aXl + b= 5ie-. 2xf - aXi + b =
= У? + Yl	= У? - У^
Y ___ V3	V3	V	_ V3	V3
A2 —	Al	— 1 1,	A2	—	Al —	1 1,
Y ___ V3	V*3	V	__ V3	I	V3
A3 —	Ai	— 1 2.	A3	—	Ai T	I 2’
Отсюда видно, что решение этих систем сводится к решению лишь
их первых уравнений. Все четыре системы решаются одним и тем
же методом, поэтому рассмотрим только задачу 5ХЗ» Ее решение
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА
119
находят при помощи подстановки
Хг — х, У1 = х+.а, У2 = х + Р,	(1)
где а + р = а/3, а3 4- р8 < Ъ. Эта подстановка фактически
преобразует систему 513 в систему 513-. В результате получается
уравнение
2х3 + ах2 + b = 2х° + 3 (а + р) х2 + 3 (а3 + р2)х + а3 +
+ Р3,
, которое после приведения подобных членов приобретает вид
3 (а2 + р2) х = b - (а3 + р3),
откуда
д_(аз + р8)
3 (а2 + р2) •
Далее из подстановки (1) находятся и У2, а Х2 и Х3 из 2-го
и 3-го уравнений системы. Каков же алгебро-геометрический
смысл этого решения?
Первое уравнение системы 513-
2X1 + аХ1 + Ъ = У? + У23,	(2)
к решению которого сводится система 513, задает в пространстве
R3 кубическую поверхность с бесконечно удаленной рациональ-
ной точкой. Чтобы убедигься в этом, перейдем к однородным коор-
динатам
X. = 7\/Г0, Ух = Г2/Т0, У2 = Т3!Т„
в которых уравнение (2) примет вид
2Т[ + аТйП + ЬТ1 = Tl+ Tl.	(3)
Последнее уравнение имеет очевидное решение Го = О,
7\ = 1, Г2 = 1, Т3 = 1, определяющее рациональную бесконечно
удаленную точку (О, 1, 1, 1) поверхности (3).
* Вместо аффинного пространства То Ф 0 с координатами точек
(Xlf Уь У2), для которого точка (0,1,1,1) является бесконечно уда-
ленной, рассмотрим другое аффинное пространство 7\ #= 0, в ко-
тором точка (О, 1, 1, 1) будет иметь координаты
Zx = То/Д = 0, Z2 = Т2/Т\ = 1, Z3 = Г3/7\ = 1.
Уравнение (3) в координатах точек (Zn Z2, Z3) примет вид
bZ| + aZx + 2 = Z| + Z|.	(4)
Если через рациональную точку (О, 1, 1) кубической поверхности
(4) провести касательную, то она пересечет поверхность еще в
одной и только в одной рациональной точке. Уравнения прямой,
120
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
проходящей через точку (0, 1, 1), имеют вид
Zx = z, Z2 = az + .1, Z3 = |Jz + 1.	(5)
Условие касания состоит в перпендикулярности направляющего
вектора (1, a, |J) прямой (5) и градиента к поверхности (4) в точ-
ке (0, 1, 1)
grad(feZx + aZ± + 2 — Z| — Z|) | (0>	= (a, —3, —3).
Это условие имеет вид а —- За — 3(3 = 0. Координаты (Zx, Z2t
Zs) связаны с координатами (Х1? Ух, У2) соотношением
Zx - 1/Хь Z2 = YxIX^ Z3 = У2/ХР
Подстановка (5) в координатах (Zx, Z2, Z3) равносильна подста-
новке (1) в координатах (Хх, Ух, У2).
Таким образом, подстановка (1) определяет прямую, прохо-
дящую через бесконечно удаленную рациональную точку куби-
ческой поверхности, заданной уравнением (2), а условие а =
= 3 (a + Р) означает, что эта прямая является касательной. Тем
самым мы показали, что метод решения системы 513 состоит в том,
что через бесконечно удаленную рациональную точку кубической
поверхности проводится касательная прямая, которая поэтому
пересекает поверхность еще в одной и только одной рациональной
точке*
5. НЕКОТОРЫЕ ПАРАЛЛЕЛИ ГРЕЧЕСКОГО
И АРАБСКОГО ТЕКСТОВ «АРИФМЕТИКИ»
Мы остановимся еще на трех группах задач, представляющих
интерес в связи с вопросами об отношении греческого и арабского
текстов «Арифметики».
	г	руппа 7	
5?.	Хг + Х2 = а, х] + XI = Ъ.	510* Хг xf	Х2 — й, - xl = b (Хх + Х2)2.
5в«	И и 1 1 и и to II II .°4'	5ц. Хх х?	Х2 + X’ = Ь (Хх + Х2)г
5д.	Хх + Х2 = а, X? + Х| = Ъ (Хх - - Х2у.	512. Хх х;	+ ха = а, - Х| = Ъ (Хх - Х2).
Эти задачи посвящены решению определенных систем уравне-
ний 3-й степени с двумя неизвестными. При этом коэффициенты
подобраны таким образом, чтобы решение было целочисленным.
Первые две задачи и по условию и по методу решения совпадают
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА
121
с задачами IVX.2 греческого текста, но изложены более подроби^
я с другими значениями коэффициентов а и Ь.
Труп	n a 8		
74. (X?)3 = Yf + Yl + Yt.	7s. (X?)2	+ x2 =	
77. (X?)* = X2 + X3 + X4,	(xly	+ 2Xa =	= n
X2 + x3 = Yl	7», (X?)2	— x, =	Yl,
X3 + X4 = Yl	(Xt)2	- 2X2 =	- Yl,
Xt + X2 = y|.	710. (Xl)2	+ x2 =	Y2u
	(X?)2	-x2 =	Yl,
В этой группе решаются уравнения и системы уравнений 6-й
степени, общим свойством которых явлется сводимость к соответ-
ствующим уравнениям и системам 2-й степени.
74„	X?	= Yl + Yl + Yl	78-.	xf	+ x8 —	Yl
7r.	x!	= x2 + x8 + X4,		Xl	+ 2X2 =	-Yl
	x2	+ X3 = Yl	79,.	Xl	-X2 =	Yl
	x8	+ X4 = Yl		Xl	- 2X2 =	= 71
	x4	+ X, = У3.	7io'-	XI	+ x2 =	Yl
v _____
-A-i — Л2 — X 2.
Задача 74 решается следующим образом. Автор предполагает
известным рациональное решение уравнения
tt2 == CL1 4“	4~
Далее он полагает Хх = х, Yt = atx2, У2 = а2х2, У3 = а3х2я
и подставляя это в уравнение 74, получает
х? = («1 + «I + *4) х\
откуда
х2 — ах 4"	т. е. х = а, Хх = а, Ух = аха2,
У2 = а2а2, У3 = а3а2.
Легко видеть, что это решение с алгебро-геометрической точки
зрения является установлением бирационального изоморфизма
трехмерных алгебраических многообразий, заданных уравнения-
ми 74 и 74>:
Хг = Хх, Yr = YrXl, Y2 = 7tXj, Ys = YsXl и
X1 = XU Y1 = Y1/Xl Y2 = Y2/Xl Ys^Y2!XI
122
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Хотя в явном виде задача 74, в греческом тексте не встречается,
но в задачах Vn-13 мы, по существу, находим принцип ее реше-
ния, состоящий в том, что если число разлагается в сумму двух
квадратов, то оно может быть разложено в сумму трех квадратов
повторным разложением в сумму двух квадратов одного из квад-
ратов первого разложения.
Задача 77 сводится к системе 7Г двумя способами. В обоих слу-
чаях имеется ссылка на задачу 1П6 греческого текста, где дается
решение системы 77*. Первый способ сведения системы 77 к систе-
ме 7?' аналогичен решению задачи 74. __
Если = аъ Х2 = а2, Х3 = а3, Х4 = а4 есть решение си-
стемы 7?', то, полагая Хг = х, Х2 = а2^4,	^4 =
автор подставляет это в первое уравнение системы 77
X* = («2 + «3 + Л4)Я4,
откуда после деления обеих частей уравнения на я4 он получает
ж2 =	+ ^3 + а4 = а?
и находит х === tij, Х± =z Х2 === л2^1>	== ^з^1» Х4 л4Л1*
Как и в задаче 74, решение задачи 77 представляет собой с алгебро-
геометрической точки зрения установление бирационального изо-
морфизма трехмерных алгебраических многообразий, задаваемых
системами уравнений 77 и 7Г:
х1 = х1, х2 = ад, х3 = х8г1( х4 = ад,
Г! = ад, у2 = у2хХ) у3 = ад
и
= хХ) х2 = x2/xi, х3 = x3/xi, xi = x4/xj,
Y^YJXt y2 = y2/Xt У8 = Х8/П
Второй способ, как утверждается в рукописи, легче первого»
В общем виде он состоит в следующем.
Пусть Xj = аъ Х2 = а2, Х3 = а3, Х4 = а4, Y\ = Ъъ У2 = &2,
У3 == Ъ3 решение системы 7Г, тогда Хг — 1, Х2 = a2/ai, Х3 =
= а3/а|, Х4 = a4/ai, У\ == Ьг/а19 У2 = Ъ21а^ У3 = Ь3/ах также
будет решением. Последнему решению системы 77* отвечает одно-
параметрическое семейство решений системы 77 вида
Х1 = Л, х3 = -^кв, Х3 = -Ц-к\ Х4 = -4Л“,
а2	а2
Ух^-у-^8- У2=-^Л3,	Уз = -^4'3,
а1	ах ’	ai
где к — свободный параметр, которому можно придать любое ра-
циональное значение.
Ход рассуждений, примененный при втором способе решения
задачи 77, переносится на задачи 78-ю- Отличие состоит лишь в том,
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА
123
что системы уравнений 7в*-юч к которым они сводятся, не пред-
полагаются решенными ранее, а решаются тут же.
7И. ^ = Хх + Х2,
Группа
714.
а* +	= Yl
а2 - Х2 = У22.
712. аа = Х1 + Х2
а2 - X. = У2,
а2 - Х2 = Yl
15*
713. а2 = Х1 + Х2 + Хя,
а2 +	= У?,
а2 + Х2 = У|,
а2 + Xs - Yl
9
а2 = Х1+Х2+Х3,
а2 - Хг = У?,
а2 - Xt = Yl
а2 - Х3 = Yl
л2 — Хг + Х2 + Х3 +
+ Х4,
а2 _	= Yl
а2 - Х2 = Yl
а2 + Х3 = Yl
а2 + Х4 = Yl
7
Эти задачи мы объединили в группу лишь на основании общно-
сти способа образования их условий. Единый метод решения для
всех задач группы здесь отсутствует. Задача 7П решается тем же
методом, что и система 710', и, по существу, с ней совпадает.
Задача 712 после исключения неизвестных Хг и Х2 сводится
к решению уравнения
У? + Yl = а2,
т. е. к задаче П8 греческого текста.
Особый интерес в этой группе представляют задачи 713_14,
которые после исключения неизвестных Х1? Х2, Х3 сводятся к за-
дачам совместного решения уравнения и неравенств
713'. Yl + Yl + Yl = 4а2,	71V. У2 + У? + Y2 = 2а,
Yt>az, i = 1,2,3.	У2 < a2, i = 1,2,3.
Метод решения этих задач предполагается известным. У Диофан-
та он называется «методом приближения» (яаркзб-щго; аушу-?()
и первый раз встречается в книге V греческого текста в задачах
11, 13, 14*
6. КТО АВТОР АРАБСКОЙ ВЕРСИИ «АРИФМЕТИКИ»
После проведенного анализа арабского текста естественно воз-
никает вопрос: кто автор этого текста? Можно ли приписать его
Диофанту? Действительно ли четыре арабские книги относятся
к числу семи утраченных книг «Арифметики»? Или это книги, на-
писанные на основе «Арифметики» Диофанта кем-нибудь из его
124
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
последователей? Не названы ли они «Искусством алгебры Дио-
фанта» или «сочинением Диофанта об алгебре и алмукабале» в том
смысле, как де Бильи назвал свое сочинение «Исчисление г. Фер-
ма»?
Итак, перед нами две возможные гипотезы.
1. Все четыре книги арабской версии принадлежат Диофанту
и являются книгами его «Арифметики».
2. Эти книги были написаны на основе «Арифметики» Дио-
фанта каким-нибудь его учеником или последователем. При этом,
возможно, что часть задач, помещенных в них, была взята из са-
мой «Арифметики», другие же задачи включены в качестве коммен-
тариев для пояснения методов Диофанта или развития некоторых
из них.
Разберем «рго» и «contra» каждой из этих гипотез. Прежде
всего отметим, что вновь найденные книги существенно отличают-
ся от тех книг «Арифметики», которые были до сих пор известны.
Остановимся сначала на внешних отличиях, сразу бросающихся
в глаза.
А. Алгебраическое введение, в котором определяются 6 поло-
жительных и 6 отрицательных степеней неизвестного, а также пра-
вила оперирования с ними, Диофант помещает в начале I книги.
Ни в одной другой книге дополнительных определений нет. Во!
всех известных книгах греческого текста Диофант пользуется толь-
ко теми степенями неизвестного, которые были определены во
введении.
В начале 4-й книги арабской рукописи приводится другое
«введение», во многом повторяющее «введение» греческого текста
и представляющее, на наш взгляд, его испорченный вариант
(см. ч. Ij гл. V, раздел 1). В ходе решения задач этой книги доопре-
деляются также 8-я и 9-я степени неизвестного, с которыми затем
мы встречаемся в отдельных задачах этой рукописи. Далее, в фор-
мулировке задач 6-й книги (68-ю) использована операция извле-
чения квадратного корня. Это противоречит тому месту «введе-
ния» греческого текста, где говорится, что задачи составляются
при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления
и возведения в степень.
В. В рукописи имеются ссылки на ранее решенные задачи.
При этом в некоторых случаях указывается номер книги, а при
решении задачи 77 — номер книги и задачи Шв. В греческом текс-
те «Арифметики» также имеются ссылки к ранее решенным зада-
чам, но при этом никогда не дается точная ссылка. Ни номера
книги, ни тем более номера задачи Диофант никогда не указывает.
С. Текст решения задач в арабской рукописи гораздо более
подробный и педантичный, чем у Диофанта. Он снабжен деталь-
ными пояснениями и излишними повторами. Это особенно хоро-
шо видно, если сравнить задачи IV^ и 57_8, совпадающие и по
условию, и по методу решения. Решение этих задач в арабской
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА
125
рукописи изложено более обстоятельно, чем в греческом тексте;
имеется, например, формулировка правила возведения бинома
в куб, которой сам Диофант свободно пользуется, но соответствую-
щее правило не приводит, считая его, вероятно, хорошо извест-
ным.
Разумеется, отличия В и С могут быть отнесены и на счет пе-
реводчика, который мог ввести в текст свои комментарии.
Разберем теперь возможность первой гипотезы: все четыре
найденные книги входили в «Арифметику». Сразу же возникает
вопрос: на каком месте их следует поставить? Какова была после-
довательность книг?
Рашед в своем издании рукописи сделал предположение, что
все найденные четыре книги шли последовательно за III книгой
«Арифметики». Таким образом, книга, которую мы называем IV,
должна была иметь порядковый номер VIII. Это мнение подкреп-
ляется тем, что в арабской рукописи имеются ссылки на II и III
книги «Арифметики» и нет ссылок на последующие книги. Однако^
анализ, проведенный выше, показал, что решение задач 713_14?
опирается на «метод приближения», изложенный в книге V. По-
этому книги 4—7 арабской рукописи не могут быть помещены
между книгами III и IV греческого текста «Арифметики».
Остаются две возможности: либо эти книги были включены
в разные места «Арифметики», например, частично между III и IV
книгами, а частично — между V и VI; либо все они помещались
после V книги (может быть, после VI).
Покажем, что ни одно из этих предположений не могло иметь
места. Действительно, пусть справедливо первое. Тогда придется
допустить, что Диофант, введя после III книги 8-ю и 9-ю степени
неизвестного^ пользовался ими не во всех последующих книгах, а
только в четырех книгах, дошедших в арабском переводе. При
этом «греческие» и «арабские» книги в первоначальном тексте
чередовались... Совершенно невероятная гипотеза!
Остается вторая возможность. Все книги арабской рукописи
следовали за книгой VI, т. е. имели порядковый номер VII—X.
(Их включение между книгами V и VI опровергается выше приве-
денными доводами.) Для того чтобы ее обосновать или опроверг-
нуть, нам придется углубиться в изучение внутренних особенно-
стей греческого и арабского текстов.
Общий уровень задач арабской рукописи не превосходит уров-
ня IV книги «Арифметики». Более того, они представляют собой,,
как правило, несложное обобщение материала, сосредоточенно-
го, в основном, во Пив III книгах. В арабской рукописи мы не
находим ни одного общего метода, который бы уже не встречался
н греческом тексте. Единственное исключение составляют задачи
51з-16, которые близки по постановке и методу решения к задачам
^15-17. В них по существу применяется «метод касательной»^
но в несколько модифицированном виде (см. ч. I, гл. V, раздел 4).
Г26
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
Между тем задачи книг IV—VI, особенно последних двух, очень
«сложны. Достаточно сказать, что из 24 задач книги VI к 11 имеют-
ся обширные примечания Ферма. Именно в этой книге помещены
общие теоремы относительно неопределенных уравнений 2-й сте-
пени с двумя неизвестными.
Но еще важнее, пожалуй, то обстоятельство, что в арабской
рукописи совершенно нет теоретико-числовых предложений. Ав-
тор рукописи улавливает один только алгебраический аспект
«Арифметики». Он прекрасно справляется с введением высших
степеней неизвестного, которые он образует по аддитивному прин-
ципу, т. е. так же как и Диофант на искусно подобранных при-
мерах он показывает, как уравнения относительно высших сте-
пеней неизвестного можно свести к уравнениям низших степеней.
Автор прекрасный алгебраист, но теория чисел ему как будто
чужда. Для сравнения мы отсылаем читателя к ч. I, гл. IV, раз-
дел 6.
Все то новое, что вносит автор рукописи, по-существу, исчер-
пывается введением высших степеней неизвестного. Да и то, как
мы видели, делается это весьма осторожно, с некоторой робо-
стью,— не во введении к книге 4, а в самом тексте задач.
Итак, мы можем отбросить первую гипотезу. Значит, перед
нами текст, написанный каким-то последователем Диофанта на
основе его «Арифметики». Проведенный выше анализ текста пока-
зывает, что скорее всего это какая-то переделка «Арифметики»,
которая включает как подлинные задачи, так и добавления и ком-
ментарии. Очень характерны в этом отношении группы задач 5
и 6, особенно задачи 434_44, которые сводятся к решению «двойных
равенств» (т. е. 11ц-1з Диофанта), но поставленных относительно
высших степеней неизвестных. Как показано выше (см. ч. I, гл. V,
раздел 3), автор рукописи решает эти задачи тремя различными
способами: 1) он обобщает на них два метода Диофанта, изло-
женных им при решении задач Пп, 13; 2) показывает, что с по-
мощью простых подстановок эти обобщенные задачи можно не-
посредственно свести к задачам Нп_13.
Что же это, если не работа хорошего комментатора?
Но в этом комментированном издании встречаются и группы
задач, которые отсутствуют в дошедшем до нас греческом тексте
«Арифметики». Таковы, например, очень красивые задачи
Таким образом, арабская рукопись позволяет восстановить
некоторые группы задач, которые, вероятно, входили в перво-
начальный текст «Арифметики». В этом состоит первое неоспори-
мое значение арабской рукописи. Но рукопись ценна и в другом
отношении. Она показывает, в каком направлении происходила
работа последователей и комментаторов Диофанта.
Остается поставить вопрос: кто же были эти последователи?
И кто же автор греческой рукописи, с которой Коста ибн Лука
сделал перевод на арабский?
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИОФАНТА
127
Поскольку оригинал несомненно был написан на греческом,
мы должны искать автора либо среди ученых александрийской
школы IV—-VI вв., либо среди математиков Византии. Что каса-
ется Византии, то до нас дошли комментарии Георгия Пахимера
и Максима Плануда (вторая половина XIII в.), т. е. написанные
примерно через 300—500 лет после Косты ибн Луки.
Мы уже говорили, что по сообщению Свиды (см. ч. I, гл. V,
раздел 1), Гипатия, дочь Теона, была автором комментариев к
Диофанту, к астрономическому Канону, по-видимому, Теона,
и «Коническим сечениям» Аполлония. Естественно предположить,
что именно она была автором книг, арабский перевод которых мы
исследуем. Точнее говоря, что арабская рукопись представляет
перевод части комментированного Гипатией издания Диофанта,
причем подлинные задачи Диофанта перемежаются с ее коммен-
тариями. Приведем некоторые доводы в пользу этой гипотезы.
«Арифметика» Диофанта, которую мы вслед за Полем Танне-
ри, предположительно датируем серединой III в. н. э., должна
была произвести сильное впечатление на александрийских уче-
ных, находившихся еще под влиянием классической геометриче-
ской алгебры.
Правда, уже в сочинениях Герона (I в. н. э.) и египетских па-
пирусах II в. н. э. употребляется символ для неизвестного g.
Однако в это время, по-видимому, алгебраисты не шли дальше
употребления первых трех степеней неизвестного.
Введение Диофантом 4-й, 5-й и 6-й степеней неизвестного, ко-
торые не имели никакого геометрического аналога, было воспри-
нято многими с недоумением. Мы уже говорили, что Папп Алек-
сандрийский (конец III в.), не признавал введения произведения
более трех величин (см. ч. I, гл. II, раздел 1).
Из его слов видно, что алгебраический способ образования сте-
пеней неизвестного без привлечения геометрии остался ему чуж-
дым.
В IV в. Теон Александрийский в своих комментариях к «Ма-
тематической системе» («Алмагейту») Клавдия Птолемея, объясняя
способ умножения «частей», уже прямо ссылается на Диофанта.
Он отмечает, что при умножении на единицу никакой вид не из-
меняется. «И Диофант говорит также»,— пишет он в комментариях
к IX главе I книги «Алмагеста» [73, т. 2, с. 35]. Таким образом,
Теон уже считает бесспорным способ умножения степеней неизвест-
ного и обратных им величин, изложенный Диофантом во введе-
нии к «Арифметике».
.Автор арабской рукописи, как мы видели, несколько изменяет,
по сравнению с Диофантом, способ Диофанта введения степеней
неизвестного, стараясь подготовить к ним (степеням) читателя.
В первой книге, по-видимому, вводились привычные уже две пер-
вые степени неизвестного и рассматривались задачи, относящиеся
только к этим двум степеням (эта часть соответствует, в основном,
128
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ
трем первым книгам «Арифметики»). Затем в начале книги вводи-
лись степени от 4-й до 6-й, но не упоминалось об отрицательных
степенях неизвестного. Наконец, в самом тексте задач автор по-
казывает, что можно определить и более высокие степени неиз-
вестного, а именно 8-ю и 9-ю. Таким образом, автор хорошо пони-
мает чисто алгебраический способ введения положительных сте-
пеней неизвестного и делает в этом направлении некоторый шаг
вперед по сравнению с Диофантом. Однако во введении к книге 4
не говорится об отрицательных степенях и отрицательных числах.
Возможно, что их введение казалось автору рукописи слишком
смелым. Эта некоторая ограниченность комментатора по сравне-
нию с самим Диофантом вполне закономерна, более того, она при-
суща в той или иной степени любому комментатору любого выдаю-
щегося произведения.
Важно уже то, что комментатор уловил мысль Диофанта о воз-
можности чисто алгебраического ведения степеней неизвестного,
не на основе геометрической интерпретации, а на основе арифме-
тики. И не только уловил, но и несколько развил дальше эту идею.
Кто же в эпоху от конца IV до IX вв. обладал достаточно
высоким математическим уровнем, чтобы сделать это?
Последним из александрийских математиков и философов и
была Гипатия. Именно к ней Паллад, прославившийся своей
эпиграммой: «Всякая женщина — зло», обращал восторженные
строки:
Когда ты предо мной и слышу речь твою,
Благоговейно взор в обитель чистых звезд
Я возношу,— так все в тебе, Гипатия;
Небесно, — и дела, и красота речей,
И чистый, как звезда, науки мудрый свет.
Синесий, ученик Гипатии, называл ее в рвоих письмах «учи-
тельницей философии», матерью своей и сестрой. «Если в Аиде
даже память о живых угасает,— писал он,— то я и там буду
номнитьго нашей Гипатии» [29, с. 172, 174].
После ее трагической гибели последние ученые покинули
Александрию и переселились в Афины, где, однако, получила
развитие в основном философия, а не точные науки.
Таким образом Гипатия была последним математиком Александ-
рийской школы и, по свидетельству Свиды, комментировала
Диофанта. На протяжении четырех веков (с середины V по сере-
дину IX) мы не знаем никого другого, кто мог бы сравниться
с ней. Естественно полагать, что арабская версия книг Диофанта
является переводом комментированного ею издания. Если это так,
то этот текст является единственным трудом Гипатии, дошедшим
до нас.	у
Неслучайно также, что этот текст дошел до нас только в араб-
ском переводе X в., так как именно в X в. на средневековом Вос-
токе снова возникает интерес к диофантову анализу.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
*
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
После Диофанта Александрийского, в «Арифметике» которого
мы находим поразительные по своей глубине результаты в области
неопределенного анализа, наступает закат античной математики.
В IV—VI вв. н. э. мы можем назвать только работы комментато-
ров. Выше уже говорилось о комментировании «Арифметики»
Диофанта Гипатией или каким-нибудь ученым из ее окружения.
В отдельных средневековых трактатах встречаются лишь самые
простые неопределенные задачи первой степени, о характере кото-
рых можно судить, например, по арифметическим эпиграммам Па-
латинской антологии — греческому источнику V—VI вв. [47]. По-
добные задачи имели широкое хождение задолго до Диофанта, и
их появление в средневековых трактатах не представляет инте-
реса для истории диофантова анализа.
Некоторые результаты в области неопределенного анализа бы-
ли получены средневековыми индийскими математиками но
в отличие от того направления, в котором работал Диофант, ин-
дийские математики обычно излагают решение в форме рецепта,
что указывает на связь их исследований с более древней вавилон-
ской традицией.
Лишь в IX—X вв. на арабском Востоке мы находим первые
следы продолжения исследований в том направлении, в котором
они были намечены Диофантом. Этому предшествуют определен-
ные успехи арабских математиков в «искусстве алгебры и алмука-
балы»: Мухаммада ибн Мусы ал-Хорезми (IX в.) и его современ-
ников Абд ал-Хамида ибн Турка ал-Хуттали и Абу абд-Аллаха
Мухаммада ибн Иса ал-Махани. Их исследования в это время
посвящены в основном изучению решения квадратного уравнения,
хотя Омар Хайям (1048—1131) упоминает также о сделанной ал-
Махани попытке решения кубического уравнения.
Первое дошедшее до нас исследование на арабском языке, в
котором мы находим обобщение и развитие методов Диофанта,
принадлежит Абу Камилу Шудже ибн Асламу (ок. 850—930), из-
вестному также под именем ал-Хисаб ал-Мисри, что значит еги-
петский вычислитель. Мы не располагаем прямыми свидетельств
® Наиболее полный обзор и анализ этих результатов содержится в фунда-
ментальном исследовании Датты и Сингха [70].
5 Заказ № 3214
130	ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
вами знакомства Абу Камвла с трудами Диофанта, однако тож-
дественность методов и стиля их исследований, не оставляет сом-
нений* что оба математика работали в русле единой традиции^
особенно процветавшей на территории Египта.
Почти в то же время современник Абу Камила Коста ибн Лука
переводит и комментирует труды Диофанта. В списке сочинений
Косты ибн Луки упоминаются «Книга, касающаяся перевода Дио-
фанта об алгебре и алмукабале» и «Комментарий к трем главам
и одному отрывку из книги Диофанта о числовых вопросах». О его
переводе книг Диофанта на арабский язык мы уже говорили выше
(см. ч. I, гл. V).
Довольно тонкие результаты в области неопределенного ана-
лиза и теории чисел мы находим в исследованиях арабского мате-
матика и астронома X в. Абу Джафара Мухаммада ибн ал-Хусай-
на, отождествляемого некоторыми историками математики с круп-
ным астрономом Абу Джафаром Мухаммадом ибн ал-Хусайном
ал-Хазином (ум. ок. 970). Кто бы ни был автор этих исследований*
он прекрасно знал «Арифметику» Диофанта и продолжал разра-
батывать его методы.
Итог бурному развитию неопределенного анализа на арабском
Востоке подводит в своих трактатах знаменитый иранский мате-
матик Абу Мухаммад ибн ал-Хусайн ал-Караджи (X—XI вв.).
Он суммирует результаты своих предшественников и в некоторых
случаях обобщает их.
Судьба идей и методов Диофанта с IV по IX век нам совершен-
но неизвестна. Лишь в конце IX—XII вв. они совершенно неожи-
данно оказываются в центре исследований по алгебре, которые
ведут арабские математики. Именно в это время «Арифметика»
Диофанта становится известна на арабском Востоке, что очевид-
но и оказывает глубокое влияние на эти исследования, определяя
круг основных проблем и методов. Наряду с прямым влиянием
Диофанта на арабских математиков, как мы увидим, многие фак-
ты говорят о существовании неизвестных нам пока посредников*
исследования которых сыграли, вероятно, далеко не последнюю
роль в развитии диофантова анализа.
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ V АБУ КАМИЛА
131
ГЛАВА I
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
У АБУ КАМИЛА
1. АЛГЕБРА АБУ КАМИЛА
Уже в XIV в. считалось, что Абу Камил был первым арабским
ученым, «писавшим по алгебре» после ал-Хорезми. Если это дейст-
вительно так, то его вклад в развитие этой новой для того време-
ни области математики заслуживает самой высокой оценки. Су-
щественно опираясь на труды ал-Хорезми, он настолько углубил
и расширил изучаемый предмет, что именно его исследования ста-
ли вершиной развития алгебры на средневековом Востоке.
О преемственности исследований ал-Хорезми и Абу Камила
говорит уже прямое сравнение их основных трактатов: «Краткой
книги об исчислении алгебры и алмукабалы» (Ал-китаб ал-мухта-
сар фил хисаб ал-джабр ва-л-мукабала) [38] — первого и «Книги
об алгебре и алмукабале» (Китаб ал-джабр ва-л-мукабала) [48,
105] — второго.
В самом начале своего трактата Абу Камил пишет, Что чита-
телю его книги необходимо знать о существовании трех видов ве-
личин, которые ал-Хорезми упоминает в своей книге; а именно:
корни (джизр), квадраты (мал) и числа (дирхем). При этом корень
или вещь (шай) соответствует неизвестному х, а квадрат —
квадрату неизвестного я:2. Но вслед за этим Абу Камил вво-
дит высшие степени неизвестного: куб (ка’б) — х3, квадрато-
квадрат (мал ал-мал) — х4, квадрато-квадрато-вещь (мал мал
шай) — х5, кубо-куб (ка’б ал-ка’б) — х6 и квадрато-квадрато-
квадрато-квадрат (мал мал мал ал-мал) — х8. Так же как Дио-
фант, Абу Камил применяет аддитивный принцип образования
степеней, но с двумя отличиями: во-первых, определяет х® как
х2+2+1 а не как х2+3 у Диофанта; во-вторых, вводит х8 в то время
как Диофант ограничивается лишь х®. Однако высшие степени не-
известного Абу Камил применяет лишь при решении определен-
ных уравнений.
В отличие от ал-Хорезми, у которого мы находим определенные
уравнения только 1-й и 2-й степени, Абу Камил владеет уже ме-
тодами решения некоторых определенных уравнений более высо-
ких степеней, например, биквадратных
(х2)2 + 2х2 = 1,	(х2)2 = х2 + 1,	(х2)2 4- 4х2 = 16
и уравнения вида
(х2)2 (х2)2 + 100 (х2)2 = 10000.
Абу Камил также свободно оперирует с квадратичными ирра-
циональностями, используя правила
а 4- j/" b = cl 4* b 4- 2 ab.
5*
132
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Кроме того, он использует квадратичные иррациональности в ка-
честве коэффициентов уравнений.
Всем этим ал-Хорезми, видимо, еще не владел.
Таковы в общих чертах основные результаты по алгебре Абу
Камила.
2. МЕТОДЫ АБУ КАМИЛА
Наиболее глубокие исследования по неопределенному анализу
у Абу Камила мы находим в третьей части его «Книги об алгебре
и алмукабале» [105]. Этот раздел содержит 38 задач, условия ко-
торых в современной алгебраической записи имеют вид:
1.	х2 + 5 = у2.	16.	20 — ж = у2,	28.	ж2 + 2ж = у2,.
2.	ж2 — 10 = у2.		10 — ж = у2.		у2 + у = Z2.
3.	х2 + Зж = у2.	17.	30 + ж = у2,	29.	ж2 + 4ж = у2,.
4.	ж2 — 6ж = у2.		20 + ж = у2.		y2 + 2y = z2.
5.	ж2 + Юж+ 20 = = У2.	18.	Ю + ж = у2,	30.	ж2 — 4ж = у2.
6.	ж2—8ж— 30 = у2.		10 — ж = у2.		y2 — 2y = z2.
7.	х2 + х = у2, ж2 + 2ж = у2. х2 + х = у2,	19.	— ж2 + 8ж + + 109 = у2.	31.	ж2 + ж = у2,
8.		20.	8ж + ж2 = у2,		ж2+ 1 = у2.
9.	х2 + Зж = у2. ж2 — 2ж = </?,	21.	2ж — х2 = у2. — ж2 + 2ж +	32.	ж2 — 5 = у2, у2 + у = 22-
	। г «1 II to	* * ьэ to и		+ 49 = у2.	33.	ж2 + 4ж = у2,
10.		22.	ж2 + ж = y2v		ж2 — 2ж — 1 = z2.
11.	X + ж2 = у2,		х2 — х = у2.	34.	ж2 — 2ж = у2,
	ж — ж2 = у2.	23.	ж2 + 2ж = у2,		У2 + У = z2.
12.	5 = ж2 + у2.		х2 — 3х = у2.	35.	ж2 + Зж + 1 =yl,
13.	Ж1 + ж2 = 10, ‘	24.	— ж2 + Юж —		х2 — Зж + 2 = у2.
	20 + xJ = y2,		-8 = у2.	36.	ж2 —ж + 1=у2,.
	50 — ха = у2.	25.	— ж2 — 6ж +		ж2 + ж — 1 = у2.
14.	х% == 10,		+ 260 = у2.	37.	ж2 — ж + 2 = у2г
	20 + ж^у2,	26.	х2 + 2ж = у2,		ж2 + ж — 3 = у2
	50 + ж2 = у|.		У2 + Зу = z2.		
15.	2 + ж = у2,	27.	ж2 + Зж = у2,	38.	Ж2 + ж + 1 = у2,
	3 —ж = у2.		Уя + бу = z2.		ж2 + 2ж + 2 = у»
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У АБУ КАМИЛА
133
Что же представляет собой в целом это собрание задач? Имеет
ли оно какую-либо логическую структуру? С чисто алгебраической
точки зрения наличие здесь общего композиционного принципа
далеко не очевидно. В то же время анализ алгебро-геометрическо-
го смысла рассматриваемых проблем сразу же приводит к поло-
жительному ответу на поставленные выше вопросы.
Действительно, все 38 проблем Абу Камила сводятся к неопре-
деленным уравнениям и системам уравнений, которые определяют
алгебраические кривые. С алгебро-геометрической точки зрения
объектом исследования Абу Камила являются алгебраические кри-
вые. Основная задача, которую он решает, состоит в отыскании
рациональных точек на алгебраических кривых.
Первая, большая часть задач (1—25) посвящена в этом смысле
методам нахождения рациональных точек на алгебраических кри-
вых рода 0. Вторая, меньшая часть задач (26—38) — методам на-
хождения рациональных точек на алгебраических кривых рода 1.
Таким образом, здесь мы видим совершенно поразительный
для того времени принцип классификации задач: сначала после-
довательно идут 25 проблем, посвященных плоским и пространст-
венным кривым рода 0, а затем — 13 проблем, которые все без
исключения относятся к пространственным кривым рода 1. Ко-
нечно, предположение о том, что Абу Камил владел понятием
рода кривой, представляется совершенно невероятным, однако
какие-то алгебраические эквиваленты этого алгебро-геометриче-
ского инварианта у него должны были быть. Во всяком случае
именно род кривой определяет композицию задач у Абу Камила.
Отысканию рациональных точек на плоских кривых рода 0
эквивалентны проблемы 1—6, 10, 12, 21, 24, 25. Все указанные
12 проблем Абу Камил решает одним и тем же методом, геометри-
ческий смысл которого состоит в проведений через заранее извест-
ную рациональную точку рациональной прямой, пересекающей
кривую еще в одной рациональной точке, что и дает решение.
Хотя речь идет о едином с точки зрения алгебраической гео-
метрии методе, его чисто алгебраическая форма, которую мы,
собственно, и находим у Абу Камила, зависит от того, какова ис-
ходная рациональная точка (конечная или бесконечная). Обра-
щая внимание на порядок следования задач, мы видим, что Абу
Камил различает эти два случая.
Случай бесконечно удаленной исходной рациональной точки,
имеющий более простую, алгебраическую форму, рассмотрен им
в самом начале (в задачах 1—6). Последовательно решая неопре-
деленные уравнения все более общего вида
х2 ± с — у2, (задачи 1—2)
х2 ± Ъх = у2, (задачи 3—4)
х2 ± Ьх ± с = у\ (задачи 5—6)
134
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Абу Камил показывает, что одна и та же подстановка у = х ± т
приводит к рациональному решению. Рассматривая примеры ре-
шения неопределенных уравнений этого вида у Диофанта, мы ви-
дели выше, что он применяет точно такую же подстановку, смысл
которой состоит в том, что через бесконечно удаленную точку кри-
вой, определяемой решаемым уравнением, проводится рациональ-
ная прямая, пересекающая кривую еще в одной, но уже конечной
рациональной точке, что и приводит к решению.
Случай конечной исходной рациональной точки рассмотрен
в следующих шести задачах 10, 12, 19, 21, 24 и 25. Таким обра-
зом, как в случае конечной, так и в случае бесконечно удаленной
рациональной точки, Абу Камил дает по шесть примеров приме-
нения метода.
Задачи 10, 12, 19, 21, 24 и 25 также расположены по степени
трудности угадывания исходной рациональной точки. Так, в за-
даче 10
х — х2 — у2
исходная рациональная точка совершенно очевидна (х0, у0) =
= (0, 0), при этом и подстановка, т. е. уравнение, определяющее
прямую, проходящую через точку (0, 0), также имеет простейший
вид у = тх.
В задаче 12
я2 + у2 — 5
Абу Камил явно указывает, что 5 = I2 + 22, откуда следует су-
ществование исходного решения. Принципиально решение этой
задачи у Абу Камила ничем не отличается от решения задачи Щ
х2 + у2 = 13,	13 = 2а + З2
в «Арифметике» Диофанта.
Далее Абу Камил рассматривает четыре задачи 19, 21, 24
и 25 на решение уравнений вида
—я2 + Ьх + с = у2,	(1)
где исходное рациональное решение не только не очевидно, но
и не всегда существует. В начале задачи 19 он формулирует необ-
ходимое и достаточное условие разрешимости уравнений этого ти-
па, состоящее в представимости числа (Ь/2)2 + с в виде суммы двух
квадратов.
После подстановки х = (Ь — и)/2 уравнение (1) приобретает
вид
(fe/2)2 + с = у2 + (н/2)2.
Последнее уравнение решается методом задачи 12 при условии
представимости (fe/2)2 с в виде суммы двух квадратов.
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У АБУ КАМИЛА
135
Таким образом Абу Камил доказывает лишь достаточность
выведенного условия. Доказательство необходимости, хотя и от-
сутствует, но не представляет большого труда.
Большое внимание Абу Камил уделяет решению неопределен-
ных систем уравнений, определяющих кривые рода 0 в трехмер-
ном (задачи 7—9, 11, 15—18, 20, 22 и 23) и в четырехмерном (за-
дачи 13 и 14) аффинном пространстве.
Все проблемы Абу Камила, связанные с кривыми рода 0 в трех-
мерном пространстве, можно разбить на две группы.
Задачи первой группы (задачи 15—18) представляют собой
системы двух уравнений с тремя неизвестными, равносильные,
как это выясняется в процессе их решения, одному из двух при-
веденных ниже уравнений вида
У1 — yl = а (задачи 16, 17), у* + yl = а (задачи 15, 18).
Подобные системы уравнений Диофант называет «двойными ра-
венствами» (задачи 11п-13 «Арифметики»). При этом он рассмат-
ривает только тот случай, когда методом исключения неизвест-
ной, входящей в оба уравнения системы, она сводится к уравне-
нию вида
2	2
У1 — У2 = л,
в то время как Абу Камил применяет этот метод исключения
и в случае «двойных равенств», сводящихся к уравнению вида
2 1	2
У1 + Уъ = Л*
В последнем случае Абу Камил замечает, что рациональное ре-
шение существует, если а представимо в виде суммы двух квадра-
тов.
Вторая группа задач (задачи 7—9, 11, 20, 22, 23), связанная
с кривыми рода 0 в трехмерном пространстве также распадается
на два случая.
В первом случае системы уравнений вида
х2 + агх — yl, х2 + а2х — у*, (задачи 7—9, 22, 23)
где коэффициенты аг, а% могут быть как положительными, так и
отрицательными рациональными числами, сводятся к уравнениям
вида
и2 + Ьи + с — р2,
решение которых было разработано Абу Камилом в задачах 1—6.
Во втором случае системы уравнений вида
ахх + х2 = у и	а2х — х2 = у*, (задачи 11, 20)
где коэффициенты а2 — положительные рациональные числа,
сводятся к уравнениям вида
— и2 + Ьи + с = и2;
136
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
метод и условие, при котором они разрешимы, были получены
Абу Камилом в задачах 19, 21, 24 и 25.
Рассмотрим теперь наиболее интересную часть трактата Абу
Камила, посвященную, как говорилось выше, изложению методов,
эквивалентных нахождению рациональных точек на кривых рода 1
в аффинном трехмерном пространстве.
г Задачи этой группы представляют собой неопределенные си*
стемы уравнений двух типов
х2 + 1хх + кг = yl, х2 + Z2x + к2 == у2;	(2)
х2 + 1х + к = у2, у2 + hy = z2.	(3)
Системы вида (2) встречаются в задачах 31, 33, 35—38. Ж. Созва-
но дает следующее алгебраическое описание общего метода, при-
меняемого Абу Камилом для их решения.
Положим у! = у2 4- р, тогда х2 4- 1гх 4- кг — (у2 + р)2, т. е.
х2 + ltx + кг = у2 + 2ру2 + р2,
учитывая, что у2 = х2 + 12х + к2, имеем
х2 4- 1хх 4- кг = х2 4-	4- к2 4- 2руа 4- р2>
откуда
2рУа == (^i	% 4~ (к1 к2 Р%)'
Если возвести обе части в квадрат и опять учесть, что yf — х2 4-
4- 12х 4- к2, то
-/2)V 4- 2 <гх — 12) (к. - к2 - р2) х + (йх - к2 - р2)2=
= 4р2х2 4- 4р21^с 4- 4р2к2.	J
Для того чтобы уничтожились члены с х2, необходимо выполне-
ние условия (Zx — 12)2 == 4р2. Поэтому, если положить р == (Zx —
- Z.J/2, то
~___	(*г — к2 — Р2)2 —
ip42 + 2 (Z2 - Zj) (kt - kt - p3) ’
что и дает рациональное решение системы (2).
Этот метод Абу Камила для систем уравнений вида (2), по-су-
ществу, ничем не отличается от рассмотренного выше метода ре-
шения «двойных равенств» первого типа у Диофанта и имеет тот
же самый алгебро-геометрический смысл (см. ч. I, гл. IV, раз-
дел 5).
Действительно, система вида (2) или в однородных координа-
тах (X, Ух, У2, Т), где х = XIТ, уг = Yx/T, у2 — Y2IT, система
X2 4- \ХТ 4- к±Т2 = Yl, X2 4- ЦХТ 4- к2Т2 = У|,
определяет кривую L рода 1, имеющую четыре рациональные
бесконечно удаленные точки Mi (1, 1, 1, 0), М2 (1, — 1, 1, 0),
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У АБУ КАМИЛА
137
М3 (1, 1, —I, 0), М4 (1, —1, —1, 0). Подстановка уг = у2 + р$
или в однородных координатах Ух = У2 + рТ определяет пучок
плоскостей, проходящих через две рациональные бесконечно уда*
ленные точки М± и М4. Условие р = (Zx — Z2)/2 определяет в этом
пучке рациональную плоскость П, проходящую через касательный
вектор к кривой L в точке 7ИХ. Поэтому в точках Мг и М4 крат*
ность пересечения кривой L с плоскостью П будет, соответствен*
но, равна 2 и 1. Учитывая, что кривая L имеет порядок 4, а точки
МгМ4 и плоскость П — рациональны, мы получаем, что плоскость
П пересечет кривую L еще в одной и притом рациональной точке,
которая и соответствует найденному решению системы (2).
Рассмотрим теперь системы вида (3). Метод их решения Абу Ка-
мил излагает в задачах 26—30, 32, 34. Ж. Сезиано предлагает
следующее алгебраическое описание этого метода в общем виде.
Положим z = х + р, тогда у2 4- hy = (х 4- р)2, а так как
у2 = х2 + 1х + fc, то
х2 + 1х + к + hy — х2 4- 2рх 4- Р2 или hy = (2р — I) х +
4- Р2 — к.
Возведем обе части в квадрат
h2y2 = (2р - 1)2х2 + 2 (2р - I) (р2 - к) х + (р2 - /с)2,
и опять учитывая, что у2 = х2 4“	4~ имеем
h2x2 + h2lx 4- h2k = (2р - l)2x2 4- 2 (р - I) (р2 - к) х 4-
+ (Р2 - к)2.
Для того чтобы член с х2 уничтожился, необходимо выполнение
условия h2 — (2р — Z)2. Поэтому, если положить
Ч-h + l	(р* — к)*—№к
Р— 2	’ Т0	Х~ h*l — 2(2p — l)(p* — k) *
Теперь покажем, что с алгебро-геометрической точки зрения
решение систем вида (3) проводится Абу Камилом тем же методом,
что и в случае систем вида (2).
Система вида (3), или в однородных координатах (X, У, Z, 7),
где х = Х/Т, у = У/Т, z = Z/Т, система
X2 4- 1ХТ 4- кТ2 = У2, У2 4- hYT = Z2
определяет кривую L рода 1, имеющую, как и кривая, определяе-
мая системой вида (2), четыре рациональные бесконечно удаленные
точки Мх (1, 1, 1, 0), М2 (1, 1, -1, 0), М3 (-1, 1, 1, 0), М4 (-1,
1, —1, 0). Подстановка z = х + р или в однородных координа-
тах Z = X 4- рТ определяет пучок плоскостей, проходящих че-
рез две рациональные точки Мг и М4. .
Покажем, что условие
1 ±^ + 1
Р==	,
138
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
определяет в этом пучке плоскость П, проходящую через каса-
тельный вектор в точке Мг.
Дальнейший анализ удобнее вести в координатах (u, v, t), где
х = и!Z, у — i/t, z = v/t. В этих координатах кривая L определя-
ется системой уравнений
и1 2 + lut + kt2 = 1,	1 + ht = Л
Точки Мг и ЛГ4 будут иметь, соответственно, координаты (1, 1, 0)
и (—1, —1, 0), а пучок плоскостей, проходящих через эти точки,;
будет определять уравнение
v — и — pt — 0.
Касательный вектор к кривой L в точке как легко показать,;
равен (1, —h!l, — 2/Z). Условие касания плоскости пучка к кривой
L в точке Мг эквивалентно равенству 0 скалярного произведения
нормали к плоскости пучка (—1, 1, —р) на касательный вектор
к кривой L в точке Мх. Отсюда имеем
-1-— + ат = 0, р =----------.
Аналогично условие р — (h 1)/2 означает, что в пучке вы-
брана плоскость, проходящая через касательный вектор (1, h/l$
—2/1) к кривой L в точке М±.
Таким образом, переходя обратно к координатам (х, у, z), име-
ем, что подстановка z — х + р, где р — ± (h + Z)/2, эквивалент-
на проведению рациональной плоскости через две рациональные
бесконечно удаленные точки М\ и М4 касающейся кривой L в од-
ной из этих точек. Отсюда ясно, что найденная таким образом
плоскость, как и в случае систем вида (2), пересечет кривую L
еще в одной и притом рациональной точке.
ГЛАВА II
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ
И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ
НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
1. ОБЗОР ИСТОЧНИКОВ
Некоторые задачи неопределенного анализа, как мы видели это
уже у Диофанта (ч. I, гл. IV, разлел 6), были принципиально свя-
заны с важными проблемами теории чисел..
В X в. на средневековом Востоке также появляются исследо-
вания в этом направлении. Они посвящены, главным образом, изу-
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ 139
чению двух неопределенных задач
я2 + !/2 = 22,	(1)
г2 + к == u2, z2 — к — р2,	(2)
на пути решения которых в целых числах арабские математики
пришли к постановке целого ряда теоретико-числовых проблем.
Сохранилось три арабских трактата, написанных на эту тему.
Автор одного из них не известен, так как утеряна начальная часть
текста. Автор двух других — математик X в. Абу Джасфар Му-
хаммад ибн ал-Хусайн.
Оба трактата Ибн ал-Хусайна представляют собой послания,
адресованные одному и тому же лицу Абу Мухаммаду Абдаллаху
ибн Али ал-Хасибу — астроному, работавшему в Бухаре и пред-
ложившему реформу календаря.
Сравнение анонимного трактата и первого послания ал-Хусай-
на 1 позволяет высказать некоторые предположения относительно
автора первого из них.
Первое, что обращает на себя внимание,— удивительное сход-
ство обоих трактатов. Если отбросить начальную часть трактата
Ибн ал-Хусайна, то сравнение оставшейся части и анонимного
трактата, дошедшего без своего начала, показывает, что почти все
утверждения, которые содержат оба текста, и порядок их следо-
вания совпадают. Однако автор анонимного трактата утверждает,
что никто из его современников не писал подобных трактатов, и он
не знает никого, кто бы «открыл это раньше». С другой стороны, ал-
Хусайн упоминает Абу Мухаммада ал-Худжанди (математика
X в.), занимавшегося теми же проблемами, но получившего част-
ные и неполные результаты, а иногда и просто неверные.
В целом при сравнении складывается впечатление, что трактат
ал-Хусайна представляет собой обработку анонимного трактата,
при которой была частично изменена терминология, добавлены до-
казательства на линиях и сделаны ссылки на Евклида и ал-Худ-
жанди. Поэтому естественно предположить, что автором аноним-
ного трактата был Абу Мухаммад ал-Худжанди.
Кто бы ни был автором анонимного трактата, он еще не успел
познакомиться с близкими результатами Диофанта, которого
в это же время переводит и комментирует Коста ибн Лука.
Что касается ал-Хусайна, то он не только знаком с соответ-
ствующими результатами «Арифметики», но во втором послании
дает им дальнейшее развитие.
Остановимся теперь на содержании рассматриваемых тракта-
тов. Все три трактата очень во многом похожи друг на друга.
В каждом из них можно выделить два относительно самостеятель-
1 Оба трактата переведены на французский язык и подробно прокомменти-
рованы <1>. Вёпке [118].
’ 140
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
ных круга вопросов. К первому кругу вопросов относится реше-
ние в целых числах уравнения (1), т. е. отыскание прямоуголь-
ных целочисленных треугольников, и возникающие при этом
теоретико-числовые проблемы. Вопросы второго круга связаны с
решением как в целых, так и в рациональных числах, системы урав-
нений (2) и установлением его связи с решением уравнения (1).
Во втором послании Ибн ал-Хусайн связывает систему уравне-
* ний (2) также с некоторыми другими вопросами неопределенного
анализа. При этом следует обратить внимание, что первый круг
вопросов оказывается вспомогательной ступенью к решению вто-
рого круга вопросов. Так Ибн ал-Хусайн прямо говорит о реше-
нии системы уравнений (2) как о «цели, к которой мы направля*
лись» [46, л. 209 об.].
2.	ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ,
СВЯЗАННЫЕ С РЕШЕНИЕМ УРАВНЕНИЯ х2 + ^ = г2
Выше уже говорилось^ что древнегреческие математики владе»
ли формулами
# = а2 — Ь2, у .== 2ab$ z = а2 + Ь2	(3)
для решения уравнения (1). В лемме 1 к предложению 29 книги
X «Начал» Евклид показал, что формулы (3) дают решение урав-
нения (1), а Диофант уже совершенно свободно пользовался ими,
например, в шестой книге «Арифметики».
Эти результаты не только были усвоены на средневековом
Востоке, но и получили дальнейшее развитие.
Автор анонимного трактата, а вслед за ним и Ибн ал-Хусайн
в своем первом послании изучают множество целочисленных ре-
шений уравнения (1). При этом они используют следующие поня-
тия: 1) первичного прямоугольного треугольника с целыми сторо-
нами, т. е. треугольника, катеты которого взаимно просты (х,
— 1; 2) прямоугольных треугольников одного вида, т. е. треуголь-
ников с пропорциональными сторонами (кх, ку, kz). Они замечают,
что задача нахождения всех целочисленных решений уравнения (1)
сводится к задаче нахождения лишь примитивных решений. И на-
оборот, примитивные решения уравнения (1) ищутся путем исклю-
чения кратных решений. Рассматриваются два’случая: 1) а + Ъ =
= 2п и 2) а + b = 2n + 1. Оба автора замечают, что можно рас-
сматривать лишь второй случай, так как в первом случае всегда
получаются решения кратные 2. Во втором случае, если а и Ъ
имеют общий делитель, отличный от 1, то и решение, полученное
по формуле (3), имеет общий делитель, отличный от 1. В результа-
те правило нахождения всех целочисленных пар а и Ъ, при кото-
рых формула (3) задает примитивные решения уравнения (1), име-
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ 141
от вид:
а = га + а, Ь = n + 1 — а	(4)
при (а, Ь) = 1; п = 3, 5, . . а = 1, . . ., п.
Таким образом обосновывается необходимость этих условий,
но отсутствует доказательство их достаточности.
Особо выделены в рассматриваемых трактатах два частных слу-
чая формулы (3): 1) а = п + 1, Ъ = п и 2) а = га, Ь == 1, которые
в греческой математике приписывались, соответственно, Пифагору
и Платону.
В анонимном трактате и первом послании Ибн ал-Хусайна изу-
чается также вопрос о том, какие целые числа являются гипотену-
зами целочисленных прямоугольных треугольников; т. е. ставит-
ся проблема представимости целых чисел суммой квадратов, Хотя
окончательный результат так и не был ими получен, сама поста-
новка этой проблемы заслуживает внимания. Оба автора пони-
мают, что вопрос о представимости четных чисел сводится к вопро-
су о представимости нечетных числе. Они пытаются установить
эмпирическую закономерность, состоящую в том, что представи-
мые нечетные числа образуют последовательность 5, 13, 17, 25,
29, . . ., 12га + 1,12га + 5, . . ., однако сами же замечают, что
некоторые члены этой последовательности непредставимы, на-
пример, 49 = 12*4 + 1 и 77 = 12-6 + 5. С другой стороны, не
замеченным осталось, что пропущено 45, представимое суммой
двух квадратов З2 + 62.
Нетрудно видеть, что верным является исключение нечетных
чисел вида 4га + 3, действительно непредставимых суммой двух
квадратов. Кроме того, мы видим, что они знали также, что не все
числа вида 4га + 1 представимы суммой двух квадратов.
Хотя проблема не получила окончательного решения, в ходе
*ее исследования было замечено, что некоторые числа, например,
€5 и 85, представимы суммой двух квадратов двумя различными
способами.
Это, а также знакомство с соответствующим местом в «Ариф-
метике» Диофанта (задача Ш19), приводит Ибн ал-Хусайна к ис-
следованию композиции квадратичных форм, чему посвящена ко-
нечная часть его второго послания: «С тем, что мы упомянули
раньше, связан ряд’свойств чисел, каждое из которых подразде-
ляется на два квадратных числа и умножается на число, подраз-
деляющееся на два^квадратных числа, одно из которых квадрат,
или каждое из которых’квадрат, или ни одно из которых не квад-
рат. Это -т- из того, что разъяснено во введении, которое Дио-
фант предпослал в девятнадцатой^задаче третьей книги его «Книги
об алгебре»; ими пользуются и "в других задачах» [46, л. 213].
Далее Ибн ал-Хусайн^формулирует следующие утверждения,
которые он иллюстрирует на числовых примерах.
142
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Предложение 1. Для всякого числа, подразделяющего-
ся на два квадратных числа, его квадрат также подразделяется на
два квадратных числа, т. е. если z = а2 + Ь2, то z2 = А2 + В2,
где А = а2 — Ь2 и В = 2аЬ.
Предложение 2. То же положение имеет место для вся-
кого числа, подразделяющегося на два подобных числа, т. е. если
2 = а + & и b = а2а, то z2 — А2 + В2, где А = а — Ъ и В =
• = 2|Л ab = 2аа.
Предложение 3. Если число, которое подразделяется
на два квадратных числа, является квадратом, то его квадрат под-
разделяется на два квадратных числа двумя способами, т. е. если
z = а2 + £>2 = Р2, то z2 = А* + В2 = С2 + В2, где А = a2 -д2,
В = 2аЬ, С = ар, D = Ър.
Предложение 4. Если мы умножаем число, подразде-
ляющееся на два квадратных числа одним способом, на число,
подразделяющееся на два квадратных числа одним способом, то
число, состоящее из них, подразделяется на два квадратных числа
двумя способами, т. е. если z — а2 + Ь2 и w = с2 + d2, то zw =
= Л2 + В2 = С2 + В2, где А = ас + bd, В = ad — be, С —
— ас — bd, В = ad + be.
Это важное предложение также разъясняется на числовом
примере: z = 5 — I2 + 22, w — 13 — 22 + З2, который мы встре-
чаем в задаче Ш19 «Арифметики».
Предложение 5. Если число, подразделяющееся на два
квадратных числа двумя способами, умножить на число, подразде-
ляющееся на два квадратных числа одним способом, то получится
число, подразделяемое на два квадратных числа четырьмя спосо-
бами, т. е. если z — a2 + b2 — а2 + b2, w = с2 + cP, то
zw = А2 + В| — А2 -|- Ва = А2 + В| — А2 + В2,
где
41 = агс + bid,
А2 = ajc — bid,
48 = а2с -|- b2d,
Ад а2с —* b2d,
Bi —— aid — brc,
В a = aid	bic,
В з = a2d — b2c,
Вд = a2d + b2c.
Предложение 6. Если число, подразделяющееся на два
квадратных числа двумя способами, умножить на квадратное чис-
ло, подразделяющееся на два квадратных числа, то получится
число, подразделяющееся на два квадратных числа шестью спосо-
бами, т. е. если z = а2 + Ъ2 = а22 + b2\ w2 = с2 + (Р = р2, то
zw = Al + В2, i = 1, . . .6, где Aif Bit i = 1, 2, 3, 4 те же, что
и в предложении 5, а 46 = агр, Въ = brp, Ae = а^р, Be = bip.
Пр едложение7. Квадрат числа, подразделяющегося
на два квадратных числа двумя способами, подразделяется на два
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ 143
квадратных числа четырьмя способами, т. е. если z = а2 + Ь2 =
= c2 + d2, то z2 = Al + Bl = Al + Bl = A23 + Bl^Al + B^
где Аг = а2 — Ь2, Вг = 2аЬ, 42 = с2 — d2, В2 = 2cd, А3 =
== ае + bd, В3 — ad — be, А4 = ас — bd, В4 = ad 4- be.
Последнее предложение совпадает, как указывает сам Ибн
ал-Хусайн, с замечанием Диофанта в задаче Ш19.
Таким образом, Ибн ал-Хусайн в своем исследовании обосно-
вывает замечание Диофанта и ставит в связи с этим вопрос о числе
различных представлений чисел определенного вида суммой двух
квадратов. Вопрос этот был впоследствии полностью решен
П. Ферма в его замечании № VII к той же самой задаче Ш19 «Ариф-
метики», которая вызвала к жизни и исследования Ибн ал-Хусай-
на (см. ч. III, гл. IV, раздел 2).
В самом конце второго послания Ибн ал-Хусайн говорит так-
же о том, что арифметические книги «Начал» являются переложе-
нием более раннего трактата «Арифметики», авторы которого при
изложении не пользовались языком геометрии. Мы уже писали,
что эти слова Ибн ал-Хусайна подтверждают существование пи-
фагорейской книги по теории чисел. Кроме того, Ибн ал-Хусайн
пишет, что теорема о совершенных числах является высшей целью
арифметических книг Евклида. Как известно, Евклид доказал, что
если 1 + 2 + 22 + . . .+ 2* = р является простым числом, то
2fep — число совершенное 1 (предложения 36, кн. IX). Только
в XVIII в. Эйлер доказал, что все четные совершенные числа име-
ют вид, найденный Евклидом. Ибн ал-Хусайн ставит также инте-
ресный вопрос о нечетных совершенных числах. До сих пор не най-
дено ни одного нечетного совершенного числа, но и не доказано,
что таких чисел не существует.
3.	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ х2 + у2 = «2 В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
И ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИБН АЛ-ХУСАЙНА
[Второе послание Ибн ал-Хусайна интересно следующим важ-
ным результатом.
Евклид показал, что числа вида (3) являются решениями урав-
нения^!). Видимо, Ибн ал-Хусайн был первым, кому удалось до-
казать обратное более трудное утверждение, а именно, что форму-
лы (3) дают все решения уравнения (1).
Этому результату Ибн ал-Хусайн предпосылает три леммы, ко-
торыми начинается трактат.
В лемме 1 утверждается, что сумма двух нечетных квадратных
чисел не может быть квадратным числом. Лемма 2 состоит в том,
что сумма двух квадратных чисел вида 22П также не может быть
1 Число N называется совершенным, если оно равно сумме своих делителей,
например, 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
’ 144
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
квадратным числом. В Лемме 3 формулируется тождество
(р + «)2 = Я2 ++	(5)
при р = 2m, 5 = 2п + 1ир = 2m, q = 2п. Для его обоснования
он ссылается на предложение 8 книги II Евклида.
Вслед за этим он доказывает основное утверждение: любое
г примитивное решение уравнения (1) имеет вид (3).
Пусть х, у, z — примитивное решение уравнения (1). Так как
х и у не могут быть одновременно четными или нечетными числами
(лемма 1), то предположим, что х — нечетное, а у — четное число.
Тогда z — нечетное, a z — х — четное число и (z — х)/2 — целое
число. Далее Ибн ал-Хусайн образует два числа х + z~~x = -
и z называя их соответственно «составным числом» и «избыт-
ком». Используя тождество (5), полученное в лемме 3, он находит?
полагая р = z — х, q = х, что
„	9 . ; lz + x\ IZ- х\
и, следовательно^ так как z2 = х2 +^г/2,
,.=4(1+l)(2=£),
т. е. четный квадрат равен учетверенному произведению «состав-
ного числа» на «избыток». Он замечает, что при этом и отношение
«составного числа» к «избытку» равно отношению квадратных чи-
сел
z + < , z — &
2	:	~
а2: Ь2.
Если а2 и Ь2 взаимно просты (т. е. это наименьшие квадраты, имею-
щие данное отношение), то положим
z + х 9 z — X
=	—2—=62’
так как (z + х)/2 и (z — х)/2 также взаимно просты \
Ибн ал-Хусайн берет а2 = 4, Ъ2 — 1 и получает тройку (3,4, 5).
Он замечает, что аналогично можно получать и другие пифагоро-
вы тройки.
Далее Ибн ал-Хусайн показывает, как, исходя из этого реше-
ния уравнения, могут быть получены решения других уравнений.
Он утверждает, что для любого натурального п разрешимо урав-
нение
^4-... +4 = z2,	(6)
Здесь он неявно опирается на VII—VIII книги «Начал» Евклида.
т
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ 145
ограничиваясь при этом выводом общей формулы решения
^i = ai — (а| 4- ... 4-
Хп =
z = йм + . . .4* an (w = 2, 3).
Затем, исходя из формулы (3), он находит решение уравнения
4-й степени
и2 + и2 == п?4.	(7}
Он замечает, что если х = а2 — Ь2, у = 2аЬ, z = а2 4- Ъ2 решение
уравнения х2 4- у2 = я2, то и = х2 — у2, v == 2ху, w = z решение
уравнения (7). Заметим, что пифагоровы тройки (я, у, z) связаны
с возведением комплексного числа в квадрат
х + yi = (а + Ы)2, z2 = | х 4* yi |2 = (а2 4“ Ь2)2.
В этом смысле решение Ибн ал-Хусайна соответствует возве-
дению комплексного числа в четвертую степень
и 4* vi = (х 4- yi)2 = (а 4“ &04»	а?4 = | и 4* vi |2 =
= |* + уЧ4= (я2 4- Ь2)4.
Подробнее об этом мы будем говорить ниже (ч. III, гл. III, раз-
дел 5).
Основываясь на формуле (3), Ибн ал-Хусайн решает также
уравнение 4-й степени
t* + У2 =	(8)
которое необходимо ему для исследования системы уравнений (2)<
К этому вопросу мы сейчас переходим.
4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
£24-fc = w2, £2 — k = v2...
Прежде всего заметим, чт’о эта система уравнений в общем слу-
чае определяет кривую рода 1 и поэтому отыскание рационального
решения, а тем более целого, представляет собой не всегда разре-
шимую задачу.
В изучаемых нами трактатах решение этой задачи заменяется
решением более простой системы уравнений
z2 4- t = и2, z2 — t = v2,	(9)
которая определяет рациональную поверхность в R4 и может быть
легко параметризована.
146
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Действительно, взяв сумму и разность уравнений системы (9).
мы получаем эквивалентную систему уравнений
2и2 = и2 +	2£ = u2 — v2.
После замены неизвестных
и = х + у, v ~ х — у,
система уравнений (10) преобразуется в эквивалентную систему
уравнений
z2 = X2 + У2, t = 2ху,	‘	(11)
общее решение которой получается из общего решения ее первого
уравнения х = а2 — Ь2, у =* 2ab, z = а2 + 62,
t = 4аЬ (а2 — 62).
Отсюда видно, что система уравнений
z2 + к = u2,	z2 —- к = v2
разрешима, если к имеет вид 4аЬ (а2 — Ь2).
В трактате анонимного автора это решение получается просто
из соотношений
z2 + 2ху = (х + у)2, z2 — 2ху = (ж — у)2х	(13)
который удовлетворяют решения уравнения z2 = х2 + у2. Под-
ставляя х = а2 — Ь2, у = 2ab, z = а2 + Ь2 в (13), он находит сле-
дующие тождества
(а2 + &)2 + 4а& (а2 - &2) = (а2 - б2 + 2а&)2,
(а2 + б2)2 — tab (а2 — Ь2) = (а2 — Ь2 — 2аЬ)2х
позволяющие находить решение системы уравнений (12) при к —
= 4аЬ (а2 - Ь2).
В первом послании Ибн ал-Хусайн замечает также, что
поделить оба тождества (14) на (а2 — Ь2)2, то тождества
/ а2 + &2 \2	4а&	__f» . 2аЪ \2
V а2 — Ь2/ + а2 —Г2 — \ а2 — Ъ2 ) 9
/ а2 + &2 \2	4а&	—	V
\ а3’-Ь2 / а2 —62 I1 а2 - Ь2 )
(Ю)
(12)
(14)
если
(15)
при
позволяют находить решения системы уравнений (12)
k — ^аЬ
а2 — Ъ2 •
Во втором послании он приходит к более общему утверждениюя
что решение системы’(12) позволяет найти решение системы
z2 + Z == u2, z2 — I = у2,	(16)
если кН — квадратное число.
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ 147
В этом же трактате он показывает, что система уравнений (12)
эквивалентна системе уравнений
z2 = х2 + у2, 2ху = к.
Доказательство этого утверждения основано на эквивалентно»
сти уравнений
22 = х2 + у2 и 2z2 = и2 + V2,
так как они преобразуются друг в друга при
и = X + у, V = X — у И
и + V	и — V '
х = ~Г-> У — ~г^-
Ибн ал-Хусайн выводит даже более общее утверждение, что
уравнения
ип + Un — 2пк
при любом целом п эквивалентны друг другу. Это, как он замеча-
ет, следует из того, что уравнение
4 + ^ = 2Ч
преобразуется в уравнение
wn-i + vn= 2п~1к
при
ип = ип„1 + 1?„_ь Vn = U„_x — Vn-!.
Обратное преобразование имеет вид
и v	и — V
______ п ' п „	__ п п
ип-1—--------------------g ’ ип-1—-g- ’
Выше уже говорилось, что в конце первого послания Ибн ал-
Хусайн, деля обе части тождества (14) на (а2 — Ь2)2, приходит
к тождествам (15). Учитывая, что а2 — Ъ2 = х, легко видеть, что
по существу Ибн ал-Хусайн из соотношений
z2 + 2ху = (х + у)2, z2 — 2ху=\(х — у)2,
делением их на х2, получает соотношения
верные для х, у, z, удовлетворяющих уравнению
Я2 + у2 sas z2.
148
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
♦Отсюда видно, что система уравнений (12) разрешима при
Л = 2-|-. Вероятно, отталкиваясь от этого способа нахождения
чисел, при которых система уравнений (12) разрешима, и желая
/получить более простое выражение зависимости к лишь от у Ибн
ал-Хусайн дает еще один способ для получения решений системы
уравнений (12).
Ход его мысли, очевидно, был следующим. Если х = t2, где
t — рациональное число, то, деля обе части соотношений
z2 + 2ху = (х + у)2, z2 — 2ху = (х — у)2
не на я2, как в первом послании, а на х = £2, приходим к соотно»
шениям
^ + 2y = ^+t)\
верным для £, у, z, удовлетворяющим уравнению
t* + У2 = 22.	(17)
Таким образом, решения этого уравнения t, у, z дают решение
системы уравнений
z2 + к = u2, z2 — к = v2
при к = 2у, исходя из формул
г —-f-, и =»-£- + «, v = -^- — t.
Для применения этого метода Ибн ал-Хусайну необходимо
найти способ решения неопределенного уравнения
Z4 + у2 = Z2,
что он с успехом делает, решая эквивалентную этому уравнению
систему уравнений
Я2 + У2 = 22, X == t2.
Оба способа решения, предложенные Ибн ал-Хусайном, основаны
на общей формуле решения первого уравнения этой системы. По-
этому, полагая
х = 2аЬ, у = а2 — b2, z = а2 + Ь2,
либо
х == а2л— &2, у = 2аЪ, z = а2 + Ь2,
он ищет а и Ь, при которых соответственно либо 2ah = t2, либо
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАР АДЖИ
149
^2 — Ь2 = t2. В первом случае он полагает а = р2, b ~ q2/2
а тогда
t = pq, х = p2q2, у = р4 — g4/4, z = р4 + г/4/4.
Во втором случае для решения уравнения
а2 = b2 + t2
он снова применяет общую формулу (3).
ГЛАВА Ш
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
В ТРУДАХ АЛ-КАР АДЖИ
1.	АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ АЛ-КАРАДЖИ
Творчество крупнейшего иранского математика Абу Бакра
Мухаммада Ибн ал-Хусайна ал-Караджи (X — XI вв.) посвяще-
но, в основном, систематизации и обобщению того, что было сде-
лано до не^о. Мы не находим у него существенно новых методов
или оригинальных результатов, зато в своих трудах он подводит
своеобразный итог бурного развития алгебраических исследова-
ний X века— века алгебры на средневековом Востоке.
Поэтому трактаты ал-Караджи имеют важное значение при
изучении развития алгебры на средневековом Востоке и позже
в Европе. Такие известные трактаты ал-Караджи, как «Посвящен-
ный Фахр ал-Мулку трактат об искусстве алгебры и ал-мукаба-
ды» (ал-Фахри фи-Сина ал-джабр ва-л-мукабала) [118] и «Чудес-
ное в арифметике» (ал-Бади фи-л-Хисаб) [103] неоднократно рас-
сматривали многие историки математики. Особого внимания, как
нам кажется, заслуживают классические исследования Ф. Вёпке
51118], А. П. Юшкевича [44] и недавняя работа Ж. Сезиано [103].
В своих алгебраических исследованиях ал-Караджи достигает
такого теоретического уровня, которого мы не находим у его пред-
шественников ал-Хорезми и Абу Камила. Ал-Караджи вводит
произвольные степени неизвестного, дает вывод формулы бинома
Ньютона и расширяет понятие числа, по существу, оперируя с
.отрицательными числами.
Остановимся на самых важных результатах ал-Караджи-ал-
тебраиста.
В самом известном своем трактате «ал-Фахри», следуя араб-
ской версии «Арифметики» Диофанта, он вводит первые девять
степеней неизвестного, но, не останавливаясь на этом, замечает,
Что геометрическая прогрессия, которую образуют степени неиз-
вестного, может быть продолжена до бесконечности, т. е. х2 : х =
: х2 = . . . =5 хп : ж71"1 или хп =* я71-1-#.
150
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Затем он определяет отрицательную степень — «долю вещи»,
как то, что при умножении на «вещь» дает 1. Последующие отри-
цательные степени вводятся следующим образом: «знай, что отно-
шение доли вещи [1/я] к доли квадрата [1/я2] как отношение доли
квадрата [1/я2] к доли куба [1/а?3], как отношение доли куба [1/я3]
к доли квадрато-квадрата [1/я4], как отношение доли квадрато-
квадрата [1/х4] к доли квадрато-куба [1/яБ], и поэтому пропорция
долей продолжается по этому правилу до бесконечности» [118,
л. 2 об.], т. е.
1 . 1	1 . 1 _ =J—« 1
X ‘ хг	X9 ‘ X9 ' ‘	‘ хп
При этом он формулирует следующие общие правила:
при п т.
Введение произвольных степеней неизвестного позволяет ал-
Караджи распространить формулы решения квадратных уравнений
ау2 + Ьу = с (1), ау2 + с = by (2), ay2 = by + с (3)
на уравнения высших степеней вида
аа:ар + Ьхр = с,	(4)
а®ар с = Ьхр,	(5)
ах2Р = Ьхр + с.	(6)
При помощи подстановки Xе = у он сводит эти уравнения (4)—
(6) к квадратным уравнениям (1)—(3) и получает следующие ре-
шения
Ал-Караджи замечает также, что уравнения вида
аж2р+т — Ъх^т СХт
после деления на хт сводятся к выражению (6).
Ниже мы познакомимся с другими примерами решения урав-
нений высших степеней у ал-Караджи.
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАР АДЖИ
151
2.	ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТРАКТАТА «АЛ-ФАХРИ».
МЕТОД «ИСТИКРА»
Трактат ал-Караджи «ал-Фахри» — самое полное и системати-
ческое исследование по алгебре и неопределенному анализу на
-средневековом Востоке. До ал-Караджи подобные исследования,
начиная с Диофанта, всегда представляли собой собрания опреде-
ленных или неопределенных задач, и лишь специальный анализ
их решения позволяет реконструировать контуры лежащих в их
основе алгебраических представлений и степень общности приме-
няемых методов. «Введения» к трактатам Диофанта, ал-Хорезми,
Абу Камила и книгам арабской версии «Арифметики» содержат
только самые необходимые определения и более чем краткие спис-
ки основных алгебраических правил действия с неизвестным.
У ал-Караджи соответствующее «введение» утрачивает свою вспо-
могательную функцию, превращается в теоретическую часть трак-
тата «ал-Фахри». Вторая практическая часть не столько ориги-
нальна и представляет собой сборник задач и их решений, заим-
ствованных, как мы увидим ниже (см. ч. II, гл. IV, раздел 3), у дру-
гих авторов.
Теоретическая часть «ал-Фахри» включает 12 глав.
В первых шести главах ал-Караджи подробно излагает прави-
ла умножения (глава 1), деления (глава 2), извлечения корней
(глава 4), сложения (глава 5) и вычитания (глава 6) одночленов
и многочленов от одного неизвестного. Здесь он, существенно рас-
ширив «Введение» Диофанта к «Арифметике», превращает его в
теоретическое изложение основ алгебры.
Глава 3 «Об отношении» интересна тем, что в ней ал-Караджи
определяет отношение целых чисел через операцию деления (гла-
ва 3 следует за главой 2 «О делении»), включая тем самым отно-
шения в смысле VII книги «Начал» Евклида в область рациональ-
ных чисел.
В главах 7—10 и 12 изучаются алгебраические операции с кор-
нями 2-й, 3-й и 4-й степени, выводятся алгебраические тождест-
ва (например, формула бинома (а 4- Ъ)п при п =* 2, З)1 и правила
суммирования арифметических рядов (например, ряда квадратов
и кубов последовательных чисел), а также рассматриваются реше-
ния линейных и квадратных уравнений.
При этом одно и то же утверждение ал-Караджи стремится
обосновать двумя способами: чисто геометрически на языке Ев-
клида и чисто алгебраически на языке Диофанта. Например, вы-
вод формулы для суммы кубов он дает двумя способами: алгебраи-
чески («доказательство по числу») и геометрически («доказатель-
1 Арабский математик и астроном XII в. ас-Самавсал в одном из своих трак-
татов приводит цитату из неизвестного нам трактата ал-Караджи, содержа-
щую вывод этой формулы в общем случае (см. об этом статью Б. А. Розен-
фельда [32]).
152
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
ство по чертежу»). Точно так же двумя способами выводится фор-
мула решения квадратного уравнения, причем алгебраический вы-
вод называется в этом случае «решением по методу Диофанта».
Глава 11 специально посвящена проблемам и методам неопре-
деленного анализа. На ней мы остановимся более подробно. Эту
главу ал-Караджи называет «Истикра», что в математических тек-
стах переводится обычно как «последовательный подбор». Наряду
с этим значением термин «истикра» ал-Караджи использует, как:
название вполне определенного метода решения уравнений вида
ах2 + Ъх + с = г/2,	(7)
где левая часть не равна тождественно (ах + (З)2.
Ал-Караджи пишет: «Истикра» применяется в арифметике,
когда тебе предложена сумма одного, двух или трех последова-
тельных видов и эта сумма по формальному выражению не состав-
ляет квадрата, но ее значение должно быть квадратом и ты хочешь
узнать его корень» [118, л. 26].
Ал-Караджи формулирует в этой главе достаточное условие
разрешимости уравнения (7). Оно состоит в том, что а или с долж-
ны быть положительными квадратными числами. Точно так же,
как Диофант, а позднее Абу Камил, ал-Караджи применяет либо
подстановку у = ах + (3, если а = а2, либо у = (Зя + у, если
с = у2. Хотя сам метод, как мы видели выше, был достаточно под-
робно разработан до ал-Караджи, он впервые явно формулирует
его в общем виде, а не на конкретных примерах. Кроме того, он.
ставит вопрос о существовании рациональных решений уравне-
ния (7) и повторяет критерий разрешимости уравнений вида
Ья + с) = г/2,
который мы находим уже у Абу Камила (см. ч. II, гл. I, раздел 2)._
Затем приводит примеры неразрешимых в рациональных числах
уравнений
10я — (я2 + 1) = г/2,	2я2 + 10я + 10 = у2.
В конце этой главы ал-Караджи пишет: «Этого в этом месте бу-
дет достаточно, но я, конечно, возвращусь к этому в комментариях
к моей работе, которая относится к кубам, квадрато-квадратам и
последующим степеням. Я написал также работу, в которой метод,
«истикра» рассматривается в развернутом виде» [118, л. 27].
Нам представляется, что здесь идет речь о трактате «ал-Бади»г
в котором метод «истикра» действительно, находит более развер-
нутое изложение (см. раздел 4).
3.	ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТРАКТАТА «АЛ-ФАХРИ»
Практическая часть «ал-Фахри» представляет собой самое вну-
шительное на средневековом Востоке собрание алгебраических
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ
153
задач. По числу проблем оно сравнимо лишь с «Арифметикой»
Диофанта, однако уступает ей в оригинальности, разнообразии
я сложности методов. Отдавая предпочтение уже известным за-
дачам, ал-Караджи в самых редких случаях включает сюда соб-
ственные задачи. Создается впечатление, что целью этой части
является попытка составить достаточно полную сводку известных
ранее проблем и методов.
Естественно возникает вопрос, какими источниками пользо-
вался ал-Караджи?
Прежде всего это три первые книги «Арифметики» Диофанта.
Из книги I без каких-либо изменений он берет лишь группу
задач /16-21, в которой Диофант решает определенные системы
уравнений с 3-мяи 4-мя неизвестными. Другие группы задач кни-
ги I (на решение линейных уравнений с одним неизвестным и оп-
ределенные системы уравнений 1-й и 2-й степени с двумя неиз-
вестными) представлены у ал-Караджи резко уменьшенным числом
примеров и с измененными числовыми данными. Что касается до-
вольно простых неопределенных задач книги I (I14, 122-2з)» то ал~
Караджи их вообще опускает.
С книгой II он обходится более бережно и помещает в «ал-Фах-
ри» почти все задачи этой книги. Исключение составляют лишь
задачи Пм и IIi7, примыкающие по своему содержанию соответ-
ственно к задачам 131-34 и /22, также не включенным, как мы ви-
дели, в «ал-Фахри».
Наконец, книга III фактически полностью процитирована.
Пропущены лишь задача Ш4, по существу повторяющая задачи
IIIi-з, и задачи Ш20-21, тождественные задачам IIi4-15, что, ве-
роятно, было замечено ал-Караджи и послужило причиной их ис-
ключения. При этом, если у части задач книги II (особенно из пер-
вой половины книги) он меняет числовые данные, то задачи из
книги III не изменены даже в этом отношении.
Таким образом, чем выше номер книги Диофанта, т. е. чем
труднее задачи и сложнее методы их решения, тем ближе ал-Ка-
раджи старается быть к оригиналу, все меньше задач пропускает
и варьирует.
Задачи книги III «Арифметики» (III1_5, Ills-ig) завершают
четвертый раздел практической части «ал-Фахри». Далее следует
последний пятый раздел, почти без изменений повторяющий кни-
гу 4 арабской версии «Арифметики» (опущены лишь задачи 4i2-i3,
я задача 420 воспроизведена еще раз в конце раздела). Отсюда мож-
но сделать вывод, что ал-Караджи располагал арабской версией
«Арифметики» Диофанта. Кроме того, он имел не дошедший до нас
перевод первых книг «Арифметики», выполненный Костой ибн
Лукой. Видимо, книги IV—VI греческого текста «Арифметики»
вообще не были известны на средневековом Востоке. Во всяком
случае ал-Караджи не был с ними знаком, что подтверждает также
анализ «ал-Бади» (см. ч. II, гл. III раздел 4).
154
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Другой фундаментальный источник, из которого ал-Караджи
заимствовал в общей сложности более 50 задач — алгебраический
трактат Абу Камила. При этом из рассмотренной выше части это-
го трактата, содержащей проблемы неопределенного анализа
(см. ч. II, гл. I, раздел 2), в «ал-Фахри» включено более половины
задач. Ал-Караджи берет в этом случае из каждой группы задач,,
связанных между собой общим методом решения, лишь половину
задач данной группы.
Нам остается рассмотреть те задачи, которые либо составлены
самим ал-Караджи, либо заимствованы им из неизвестного нам
источника. Оставляя, в стороне определенные задачи (уравнения
1-й и 2-й степени с одним неизвестным), остановимся на неопре-
деленных задачах.
Можно выделить две группы неопределенных задач, точный ис-
точник которых нам неизвестен. Прежде всего это задачи на ре-
шение неопределенных линейных уравнений и систем уравнений,,
вкрапленные между задачами, заимствованными из Диофанта и
Абу Камила. В первом разделе практической части «ал-Фахри»
мы находим задачи на решение линейных уравнений с двумя не-
известными (задачи 25—31, 33, 34), а в третьем разделе решаются
неопределенные системы 2-х и 3-х уравнений соответственно с 3-мя
и 4-мя неизвестными (задачи 33—35).
Ко второй группе мы относим неопределенные задачи 3, 4, 39^
и 50 раздела III, решение которых удивительно напоминает прие-
мы Диофанта.
Задача 3
х2 + у2 = z2	(8)
решается с помощью подстановки х — t, у =ж t 1, z = 2t — 1,
т. е. через рациональную точку (0, 1, —1), лежащую на рацио-
нальной поверхности (8),шроводится прямая в направлении век-
тора (1, 1, 2). Вторая точка пересечения (3, 4, 5) отвечает реше-
нию, найденному ал-Караджи.
В задаче 4
х2 + у2 = z2, х2 + у — и2, у2 + х — V2
первое уравнение системы на основе решения задачи 3, униформи-
зируется с помощью подстановок х = at, у = bt, z — ct, где а = 3,
Ъ = 4, с — 5, и тогда два других уравнения дают «двойное равен-
ство» вида
a?t2 + bt= и2, . ЬЧ2 + at = и2.
В том, как ал-Караджи решает это «двойное равенство», нет ничего
нового по сравнению с Диофантом и Абу Камилом, но задачи этого
типа у них все же не встречаются, так как они всегда принимают
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ
>155
Задача 39
х2 _|_ -g — U2, у2 + Z = V2
й задача 50
х2 у2 = U2, Z2 + W2 = U2
также представляют собой простые вариации на темы «Арифме-
тики» Диофанта.
Таким образом, трактат «ал-Фахри», за исключением неболь-
шого числа неопределенных линейных уравнений, а также только
что рассмотренных задач раздела III, представляют собой монтаж
задач из трех источников: «Арифметики» Диофанта (книги I—III),
арабской версии «Арифметики» (4-я книга) и алгебраического
трактата Абу Камила.
4.	НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ АНАЛИЗ В ТРАКТАТЕ «АЛ-БАДИ»
Трактат «ал-Бади» состоит из пяти книг. К неопределенному
анализу имеют отношение лишь три последние книги, недавно
переведенные на французский язык и подробно изученные Ж. Се-
зиано [103]. В третьей книге этого трактата ал-Караджи дает бо-
лее полное, чем в «ал-Фахри», изложение метода «истикра». Все 33
задачи этой книги за немногими исключениями представляют со-
бой серию примеров решения неопределенного уравнения
ах2 + Ъх + с = у2	(9)
или неопределенных уравнений более высоких степеней но легко
сводящихся к уравнению (9).
Большая часть задач повторяет те случаи, которые уже были
рассмотрены как самим ал-Караджи, так и Диофантом и Абу Ка-
милом. Поэтому мы не будем на них специально останавливаться,
а рассмотрим прежде всего те задачи, которые нам раньше не
встречались.
Начнем с задач 17—19
2х2 — 2 = у2, Зя2 - 12 = у2,	12 - Зя2 = у2,
и задачи 20
5х6 — 20z4 = z2,
которая после деления на х* сводится к уравнению
5х2 — 20 = у2,
где у = z/x2.
На этих примерах ал-Караджи излагает метод решения неоп-
ределенного уравнения
ах^ — с = у2,	(10)
156
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
когда а и с не являются квадратными числами, а их отношение
с/а — квадрат рационального числа.
В общем виде метод ал-Караджи состоит в следующем. Уравне-
ние (10) он преобразует в уравнение
и, применяя подстановку х = ку — а, где а = У с/а, находит
к2у2 — 2аку ±~ Уг>
У--	I >	|
к2——	к2— —
а	а
Легко видеть, что геометрический смысл решения состоит в
том, что уравнение (10) определяет рациональную кривую, а под-
становка х = ку — а — пучок прямых, проходящих через ра-
циональную точку (а, 0) этой кривой. У Диофанта и Абу Камила
рассматриваются лишь случаи, в которых соответствующий под-
становке пучок рациональных прямых проводится через рацио-
нальные точки вида (0, 0) и (а, 0), где а, 0	0, а ал-Караджи^
как мы видим, исследует также случай, соответствующий исход-
ной рациональной точке вида (а, 0).
Далее следуют задача 21
З#2 + 13 = z/2
и задача 22
2х4 + 2х2 = z2,
которая после деления обеих частей уравнения на х2 сводится к
решению уравнения
2х2 + 2 = у2,
где у = zlx.
Обе задачи являются частными случаями уравнения
ах2 + с —у2,
при а + с = zn2, где т — рациональное число.
Ал-Караджи делает подстановку у = к и получает
а ’
либо подстановку у = кх и тогда
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ
157’
В обоих случаях он предлагает далее искать решение путем под-
бора к. что, разумеется, нисколько не проще исходной задачи.
Это показывает, что ал-Караджи не владеет методом решения за-
дач этого типа. В задаче Ш1о Диофант также приходит к уравне-
нию этого вида
52я2 + 12 = г/2,
так как 52 + 12 = 82, и уходит от его решения. Однако в книге
У1 Диофант снова ставит этот вопрос и при этом в самом общем ви-
де. Постановку задачи и метод ее решения он дает в лемме 2 к за-
даче IV12: «Для двух данных чисел, сумма которых составляет
квадрат, можно найти бесконечное число квадратов, каждый из ко-
торых, умноженный на одно из данных [и сложенный с другим*
числом] образует квадрат» (см. ч. I, гл. IV, раздел 1).
Как справедливо заметил Сезиано [103, с. 318], безнадежный?
подход ал-Караджи к задачам 21—22 доказывает, что он не был
знаком с книгой VI «Арифметики» Диофанта, где изложен полный^
метод решения подобных задач. Вероятнее всего из шести извест-
ных нам книг греческого текста ал-Караджи, да пожалуй, и дру-
гие средневековые арабские математики, знали лишь первые три
книги в переводе Косты ибн Луки.
В третьей книге «ал-Бади» рассматриваются также неопреде-
ленные уравнения 4-й и 3-й степени
ах4 + с == г/2,	(задача 23)<
ах? + сх = у2.	(задачи 24—26}i
Задача 23, как и в предыдущем случае, сводится подстановками
у == к или у = кх2 к решению уравнений
4	Ла—-с	4 с
X* — ------ ИЛИ Ж4 ==-72-----
а	к2 — а
все тем же малообещающим способом подбора к.
В задачах 24—26 он применяет подстановку у = кх, которая
приводит к уравнению
ах2 — к?х с = 0.
Ал-Караджи замечает, что это уравнение, квадратное относитель-
но неизвестного х, имеет рациональное решение, если его дискри-
минант является квадратом, т. е.
к4 — 4 ас = Z2.
Таким образом, он опять приходит к уравнению того же видаг
что и в задаче 23, и все сводится к сомнительному способу подбора-
Не останавливаясь на четвертой книге «ал-Бади», частично
повторяющей некоторые задачи «ал-Фахри», частично посвящен-
ной вопросам, не имеющим отношения к нашей теме, перейдем к
158
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
рассмотрению пятой книги, представляющей собой исследование
«двойных равенств».
В первых трех задачах пятой книги
х + 5 = и2,
5 — х — и2,
х — 4 = и2,
х + 4 = V2,
4 _ х = и2.
х — 5 = v2
(задача 39)
(задача 40)
(задача 41)
рассматриваются простейшие «двойные равенства», метод реше-
ния которых мы впервые находим у Диофанта (задачи IIu-i3),
а затем у Абу Камила (задачи 16—17) и, наконец, у самого ал-Ка-
раджи в третьем разделе практической части «ал-Фахри» (задачи
40-42).
Далее следуют две более интересные задачи
z2 + к = и2,	z2 — к = г?2, к = 5	(задача 43)
z2 + г = u2, z2 — s = и2, г — 10, s = 8. (задача 44)
Эти системы уравнений определяют уже нерациональные кривые
рода 1. Вычитая из первого уравнения каждой из этих систем второе
п разлагая полученную разность на множители, ал-Караджи при-
ходит, соответственно, к уравнениям
которые опять решает путем подбора, иначе говоря, угадывает от-
вет. Заметим, что задачу 43 в несколько иной форме впервые по-
ставил и нашел решение Герон (см. ч. I, гл. I, раздел 3). Интерес-
но, что ал-Караджи решает ее так же, как Герон, при к = 5 и на-
ходит путем подбора t — 1 х/2 то же самое числовое решение. Ре-
шение этой задачи сыграло важную роль в исследованиях Леонар-
до Пизанского (см. ч. III, гл. I, раздел 3).
Следующие четыре задачи
X8 + 6ж2 = иг,	з? — Зж2 = у2,	(задача 44)
6хг — X3 — и2,	Зж2 — ж3 = г?,	(задача 45)
з? — Зж2 = иг,	ж8 — 6ж2 = V2,	(задача 46)
х3 -J- 2ж* = и2,	ж5 — 4ж4 = v2	(задача 47)
после деления на х2 в задачах 44—46 и на ? в задаче 47 сводятся
к «двойным равенствам» того же вида,-что и в задачах 39—41. Этот
прием сведения систем уравнений вида
#2n+1 -JL ах2П _ и2,	х2п+1 ах2П — и2,	ах2П д;2п+1 — ^2 ,
^2П+1 fo2n — р2?	х2п+1 _ ^Х2П — р2,	fain _ ^2П+1 — р2
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ
159
делением на х2п к системам уравнений вида
х -±- а = и'2,	х + а = г?2,	а — х ~ и'2,
х + Ь = у'2,	х — Ъ == у'2,	Ъ — х = у'2,
где и' = и/яп, vf = v!xn, ал-Караджи мог заимствовать из 4-й кни-
ги арабской версии «Арифметики», которую, как показывает ана-
лиз «ал-Фахри», он хорошо знал.
В конце пятой книги «ал-Бади» ал-Караджи помещает группу
задач
я2 + г/ = и2,	у2 + х = у2,	(задача 48)
х2 + х = и2,	х2 — х = v2,	(задача 49}
я2 + У2 + * + У = и2, х2 + у2 — (х + у) = у2,
Ж2 + У* — Z2, & 4- У2 + Z2 + X + у + Z = W2,		(задача 50).
х2 + У2 4" Z2 — (х + у + z) = V2, Я2 + У2 + Z2 = IP2,		(задача 51)
X2 4- X = и2,	х2 — 2х = у2,	(задача 52)
X 4- х2 = и2,	х — х2 ~ У2,	(задача 53)
4ж 4~ 5ж2 = и2,	4х — Зя2 = у2,	(задача 54)
х + 2х2 == и2,	х — Зх2 = у2,	(задача 55)
х2 4- х = и2,	х2 — 1 = У2,	(задача 56)
представляющих собой вариации задач и методов Абу Камилаг
связанных с решением «двойных равенств». Так задачи 49 и 53
просто совпадают с задачами 22 и 11 Абу Камила. В задачах 52
и 56 по сравнению с задачами 7 и 31 Абу Камила изменены коэф-
фициенты во втором уравнении соответствующей системы. Осталь-
ные задачи мы находим впервые у ал-Караджи, и его заслуга со-
стоит в том, что он распространил на них методы решения «двойных
равенств» Абу Камила, частично разработанные уже Диофантом.
В некоторых случаях прослеживаются и более древние связи
с вавилонской традицией. Например, задачи 50 и 51 соответст-
венно подстановками х = 3£, у = 4Z, z == 5t и х = 2f, у = 3tr
z = &t сводятся к «двойным равенствам»
25f2 -f- 7t = u2,	49f2 + Ш = и2,
и
25/2 — It = у2,	49£2 — lit = у2.
Как и Абу Камил, ал-Караджи приводит эти системы к уравнению*
2s2 = и2 + у2,
о вавилонском происхождении которого мы уже говорили выше
I, гл. I, раздел 3).
160
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Таким образом, несмотря на значительные временные переры-
вы, исследования, связанные с некоторыми проблемами неопреде-
ленного анализа, имели глубокую внутреннюю связь и преемст-
венность. Одновременно с усвоением античной, а очевидно и
вавилонской, алгебры средневековые восточные математики пыта-
лись расширить и обобщить традиционный круг проблем и методов
неопределенного анализа. Наиболее успешно эта работа шла по
двум направлениям: во-первых, изучение и дальнейшее распрост-
ранение метода решения неопределенного уравнения
ах2 + Ьх + с = у2,	’	а_
во-вторых, исследование и обобщение, так называемых, «двойных
равенств». Именно эти проблемы находились в центре внимания
средневековых арабских математиков, а затем стали исходным
пунктом в трудах европейских математиков эпохи Возрождения.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ
XIII—XVI вв.
*
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В XIII — XVI вв. в Европе особые успехи выпали на долю
алгебры. Именно в это время было создано буквенное исчисление,
иными словами в математику были введены формулы, оперирова-
ние с которыми заменило часть умозаключений и рассуждений ме-
ханическими выкладками. С другой стороны, была расширена
числовая область: сначала были введены отрицательные числа,
а затем и мнимые.
Все эти успехи по традиции связывают с исследованием про-
блемы решения уравнений в радикалах и только с ней. И действи-
тельно, тогда как квадратные уравнения научились решать еще в
древнем Вавилоне, уравнения 3-й и 4-й степени были решены в
середине XVI в., что явилось первым крупным достижением евро-
пейской науки. С решением этих уравнений было связано и вве-
дение мнимых чисел, и первые исследования теории алгебраи-
ческих уравнений.
Однако эта традиционная картина далеко не полна. В ней со-
вершенно не учитывается, что в европейской алгебре XIII —
XVI вв. наряду с проблемой решения уравнений в радикалах, и
даже раньше ее, исследовались задачи, относящиеся к диофанто-
ву анализу. Многие методы алгебры возникали и оттачивались
именно при решении неопределенных уравнений, которыми зани-
мались все крупные алгебраисты этого времени от Леонардо Пи-
занского до Франсуа Виета и Симона Стевина.
Своеобразие рассматриваемого периода в истории диофантова
анализа заключается в том, что вплоть до последней четверти
XVI в. европейские математики, хотя и были знакомы со многими
задачами Диофанта и даже с некоторыми его методами, однако
самой «Арифметики» не читали. Они не сумели открыть вновь те
' алгебраические методы, которые были у Диофанта. Вместо этого
они восприняли другие приемы решения некоторых групп дио-
фантовых задач, основанные на дальнейшем развитии вавилоны
ской традиции. На этом пути они пришли к построению исчисле-
ния, эквивалентного оперированию с комплексными числами.
Этот путь был начат Леонардо Пизанским и нашел определенное
завершение в трудах Франсуа Виета. В основе новых методов
6 Заказ № 3214
162
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ ХШ—XVI ВВ.
лежала формула композиции квадратичных форм
(я1 2 + Z/2) (w2 + у2) =	— У»)* +	+ уи)2 = (хи + yv)2+
+ (xv — уи)2,	(1>
которую в Европе впервые применил к неопределенному анализу
Леонардо, а Виет, основываясь на этой формуле, построил новое
исчисление.
Таким образом, в конце XVI в. комплексные числа появились
в двух различных видах: 1) как символы, над которыми можно по
известным правилам производить алгебраические операции;
2) как прямоугольные треугольники (х, у, z), х2 + у2 = z2 и
(и, V, w), и2 + v2 = ip2, над которыми определены законы ком-
позиции на основании формулы (1).
Первый способ принадлежит Рафаэлю Бомбелли, второй —
Франсуа Виету. Первый был связан с проблемой решения уравне-
ний в радикалах. Он достаточно хорошо изучен. Второй — с ре-
шением неопределенных уравнений. Изучение последнего и явля-
ется основной темой этой части нашей книги.
ГЛАВА I
ИССЛЕДОВАНИЯ
ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО
1. ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ И ЕГО ВРЕМЯ
Леонардо был первым крупным математиком Европы. Ни до
него, ни в течение более трех столетий после него нельзя назвать
ни одного ученого его ранга. Его творчество оказало решающее
влияние на исследования в области алгебры и теории чисел вплоть
до работ Франсуа Виета и Пьера Ферма.
Леонардо родился около 1180 г. в большом торговом городе —
республике Пизе. Его часто называют Фибоначчи (т. е. сын Бо-
наччи — Доброго). Настоящая его фамилия была, по-видимому t
Биголло. По крайней мере, так он поименован в акте о покупке
земли, которую он совершил по доверенности для своего родствен-
ника.
Отец Леонардо был нотариусом республики Пиза. Вскоре
после рождения сына он был послан со служебным поручением
в Буджи (северная Африка), где выполнял функции, близкие
к консульским. Когда Леонардо исполнилось 12 лет, отец выписал
его к себе, чтобы познакомить его с делами, особенно коммерче-
скими расчетами. Все эти сведения сообщает сам Леонардо в пре-
дисловии к своему фундаментальному труду «Liber abaci» (Книга
ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО
163
абака) [91 „ т. 1]. Леонардо совершил путешествие в Египет, Си-
рию, Грецию, Сицилию и Прованс, знакомясь с различными спо-
собами счета и началами алгебры. Он убедился, что счет по де-
сятичной позиционной системе (который он называл индийским)
намного превосходит все другие. Вернувшись в Пизу, он более
серьезно занялся математикой. Он познакомился с «Началами»
Евклида и, соединив эти знания с тем, что узнал от арабов, соста-
вил в 1202 г. «Liber abaci», книгу, которая представляла пре-
восходную энциклопедию математических знаний его эпохи. Уже
здесь проявилась высокая одаренность автора: книга Леонардо
является не ученической компиляцией, а глубоко продуманным
и во многом оригинальным произведением. Достаточно сказать,
что именно здесь был введен в рассмотрение знаменитый ряд Фи-
боначчи:
1 + 1 + 2+ 3+ 5 + 8+ ...,
в котором un-i 4- ип = un+i, а также рассмотрены интересные
вопросы алгебры, геометрии и теории чисел.
Второе издание этой книги (1223) Леонардо посвятил Михаилу
Скотту (М. Scott), придворному астрологу императора Фридриха II,
тому самому, которого впоследствии Данте поместил в своем «Аде»
в четвертый ров вместе с другими обманщиками, выдававшими
себя за прорицателей. Данте писал о нем:
А следующий, этот худо боной,
Звался Микеле Скотто и большим
В волшебных плутнях почитался докой.
(Песнь XX, строфы 115—117).
Уже посвящение говорит о связи Леонардо с Сицилийским дво-
ром Фридриха II Гогенштауфена (1194—1250), первого из просве-
щенных деспотов Италии, которыми впоследствии было так богато
Возрождение. Даже в то жестокое время Фридрих прославился
своей жестокостью. Но наряду с этим он покровительствовал ли-
тературе и наукам и сумел окружить себя учеными и философами.
Связь Леонардо с блестящим сицилийским двором весьма приме-
чательна, так йак Сицилия наряду с Испанией играла большую
роль в передаче арабской науки в Западную Европу. Но в отличие
от Испании здесь имели место и непосредственные контакты с эл-
линской наукой. Дело в том, что Сицилия с древнейших времен
была эллинской колонией (IX—VIII вв. до н. э.) с богатыми куль-
турными городами. Эллинская традиция сохранилась здесь и
после завоевания Рима (конец III в. дон. э.). Сарацины высади-
лись в Сицилии в 827 г. и к 878 г. завершили ее покорение. Они
были вытеснены оттуда норманнами (1060—1092), которые и осно-
вали Сицилийское королевство. И арабы, и норманны проявляли
религиозную терпимость. Поэтому на острове свободно исповедо-
6*
164
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
вались христианская и мусульманская религии и были в ходу три
языка: греческий, латинский и арабский.
Помимо «Книги абака» перу Леонардо принадлежит интерес-
ная книга «Практическая геометрия» (Geometria practica) [91,
т. 2], написанная около 1223 г., на которую, по-видимому, оказа-
ла влияние «Метрика» Герона. В 1225 г. Леонардо написал два
замечательных произведения, поводом для которых послужили
задачи, предложенные ему магистром Иоганном Палермским
в присутствии императора Фридриха II, это — «Цветок» (Flos)
и «Книга квадратов» (Liber quadratorum) [91, т. 2]. Хотя эти
книги были изданы типографским способом только в 1862 г.,
они были хорошо известны математикам Средневековой Европыг
которые почти дословно повторяли изыскания Леонардо. Кроме
того, следует отметить «Письмо Леонардо к магистру Теодору,
философу императора» (Epistola Leonardi ad magistram Theodo-
rum Phylosophum domini Imperatoris), написанное в том же году
и содержащее решение интересных задач [91, т. 2].
Уже в последней части «Практической геометрии» содержится
следующая задача: «предлагается найти некоторое квадратно©
число, которое при сложении с 5 снова дает квадратное число.
И это можно сделать многими способами», т. е. решается неопре-
деленное уравнение z2 + 5 = у2.
Леонардо решает это уравнение сначала способом Диофанта,
который мог к нему дойти через арабов. В этом случае он пола-
гает большой квадрат (т. е. у), равным «вещи и нескольким драх-
мам». Сначала он берет у = х + 1 и получает х = 2, у = 3.
Затем он полагает у = х + 2, тогда решением будет х =
у = »/4. Ясно, что этим способом можно найти бесконечно много
других решений.
После этого он интерпретирует это решение геометрически
(в терминах геометрической алгебры), а затем дает другое реше-
ние, основанное на теореме о том, что каждое квадратное число
можно представить как сумму последовательных нечетных чисел,
начиная с 1:
ъ
3 (2п-1) = Л».
71=1
Он полагает х2 = 1 + 3 = 4, тогда у2 =1 + 3+ 5 = 9, и одно
решение найдено. Для нахождения решения, большего 5, Леонар-
до умножает обе части исходного уравнения на какой-нибудь
нечетный квадрат, например, на 9:
(За:)2 + 45 = (Зг/)2.
Тогда
22	23
(Зж)2 = 3 (2п - 1) = (22)2;	(Зг/)2 =	(2п - 1) = (23)а,
п=1	п=1
ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО
165
т. е. решениями будут х = 22/3, у = 23/3. Свое решение он распро-
страняет также на случай., когда множитель будет четным числом.
Этот новый метод, по-видимому, придумал сам Леонардо.
Он считал его ничуть не хуже алгебраического метода.
В книгах «Цветок» и «Книга квадратов» рассматриваются две
задачи Иоганна Палермского. Первая из них состоит в нахожде-
нии корня кубического уравнения
х* + 2х2 + Юя = 20,	(1)
а вторая сводится к системе
х2 + 5 = и2, х2 — 5 — у2.	(2)
В книге «Цветок» он дает следующее решение системы (2)
х = З1//^, тогда х2 =	и2 = 16 г21^1ш, v2 = 6 2/31/144
являются полными квадратами. Здесь он ничего не говорит
о том, как именно было найдено это решение. Зато он подвергает
детальному исследованию уравнение (1). При этом он показывает
себя настоящим мастером, намного опередившим свое время.
Прежде всего он делит обе части уравнения (1) на 10 и получает
откуда видно, что положительный корень будет больше 1 и мень-
ше 2. Затем — и это наиболее замечательное его изыскание — он
показывает, что это уравнение не может иметь дробного корня.
Действительно, если бы х = p/g, (р, q) = 1, то, подставляя это
значение в уравнение (1) и приводя к общему знаменателю, мы
бы имели
р3 + 2p2g + 10pg2 = 20g3, т. е. р3 = 20g3 — 2p2g — 10pg2.
Все члены, стоящие справа, делятся на д, значит и р3, а следова-
тельно, и р должны делиться на д, что противоречит предполо-
жению.
По существу, перед нами доказательство теоремы о том, что
если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами и ко-
эффициентом 1 при старшем члене не имеет целого корня, то оно
не может иметь и рационального корня. Смысл этой теоремы
был полностью раскрыт только в XIX в. при построении теории
целых алгебраических чисел.
Далее Леонардо убеждается, что корень не может иметь вида
Vр и вообще не может быть представим ни одной из иррациональ-
ностей X книги «Начал» Евклида, а затем дает его приближенное
значение, найденное неизвестным нам способом:
1
166
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ Й ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Остальные 13 задач этой книги сводятся к определенным и
неопределенным уравнениям первой степени, которые мы здесь
рассматривать не будем.
Наконец, в «Книге квадратов» подробно исследуется система
(2). В предисловии к книге Леонардо пишет:
«Когда, о знаменитейший князь, господин Фридрих, магистр
Доминик привел меня в Пизе к ногам Вашего величества, магистр
Иоанн Палермский, встретив меня, предложил мне вопрос,
о котором я напишу ниже и который не менее относится к геомет-
рии, чем к числам, а именно, найти квадратное число, которое
будучи увеличено или уменьшено на пять, всякий раз порождало
бы квадратное число.
После размышления над решением этого вопроса, которой я
уже нашел, я увидел, что источники этого решения лежат во мно-
гих вещах, которые относятся к квадратным числам самим по
себе и в их отношении друг к другу. Кроме того, узнав из разго-
воров в Пизе и других, которые дошли до меня из императорского
двора, что Ваше величество соблаговолило прочесть книгу, кото-
рую я написал о числах, и что Ему иногда доставляет удовольст-
вие слышать изящные рассуждения, относящиеся к геометрии,
я вспомнил о вопросе, который я сформулировал и который был
мне предложен при Вашем дворе Вашим философом. Я взял
этот вопрос в качестве темы и предпринял составление настоящей
работы, которую решил назвать «Книгой о квадратных числах».
Теперь я прошу Вашей снисходительности в том случае, если
книга содержит что-либо более или менее верное и необходимое;
так как помнить обо всем и ни в чем не ошибаться свойствен-
но божественному уму более, чем человеческому, и нет нико-
го, кто свободен от недостатков и способен учесть все».
Итак, поводом для написания книги была задача Иоанна
Палермского, которую мы записали в виде системы (2).
Однако, как и отмечает Леонардо, в книге собрачо много
теорем и задач, имеющих самостоятельный интерес. Именно они,
как мы покажем, и оказали наибольшее влияние на последую-
щих математиков.
2. ЗАДАЧИ ДИОФАНТА В «КНИГЕ КВАДРАТОВ»
В первой части «Книги квадратов» Леонардо показывает, что
квадратные числа получаются как суммы нечетных, начиная
с единицы, а затем формулирует и решает задачи Из и П» из
«Арифметики» Диофанта. Однако имени Диофанта он не упоми-
нает. Анализ решения показывает, что Леонардо не читал Дио-
фанта, а знал лишь постановку задач.
Напомним, что названные задачи Диофанта сводятся соответ-
ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО
167
ственно к неопределенным уравнениям
(3)
я2 + у2 — а2 + Ь2 #= □.	(4)
О том, как ставит и решает эти задачи Диофант, мы говорили
выше. Посмотрим, как это делает Леонардо.
Первую из них он ставит так:
«Найти два числа, квадраты которых, сложенные вместе, об-
разуют квадрат, образованный сложением двух других данных
квадратов» [91, т. 2, с. 256].
Пусть даны &2и£2 и сумма их составляет а2. Леонардо выбирает
какие-нибудь числа de и ez такие, что сумма их квадратов дает
квадрат, т. е. (de)2 + (ez)2 == (dz)2. Если dz = а, то задача решена,
если нет, то строим прямоугольный треугольник zed (рис. 7) и
. откладываем zJ = а. Из J опускаем на катет ez перпендикуляр
JK. Тогда zK и JK будут искомыми.
Действительно
* Kz zJ	r-r z]
---— —x = Kz = —r ez.
ez zd	zd
Аналогично
v	zd
Таким образом, предполагается, что мы уже умеем находить
такие два квадрата, которые дают в сумме квадрат. Если мы на-
шли р2 + q2 = г2, то решение Леонардо можно записать в виде
^=-7-^,	=	(х2 + у2==а2).
Но не только указанное предложение отличает решение Леонар-
до от диофантова. Основное отличие заключается в том, что ре-
шение Леонардо совершенно неалгебраическое. Хотя он сначала
и обозначает данные величины буквами а, Ь, g, d и т. д., и созда-
ется впечатление, что он собирается с ними оперировать, но затем
он представляет их, следуя Евклиду, отрезками, обозначая уже
каждый из них двумя новыми буквами. После этого он проводит
словесные рассуждения и часто, как и в приведенной выше задаче,
пользуется геометрическими теоремами, например о подобии тре-
угольников. Он не вводит никаких символов для неизвестных и
не оперирует с ними. Поэтому изложение его очень тяжеловесно.
Даже элементов буквенной алгебры у Леонардо нет.
После решения своей первой задачи, Леонардо выводит в об-
щем виде следующую замечательную теорему: «Если предложены
четыре непропорциональные числа и если первое меньше второго,
а третье меньше четвертого, и если сумму квадратов первого и
второго умножить на сумму квадратов третьего и четвертого и
168
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
ни одна из сумм не будет квадратом, то возникшее число ровно
двумя способами равно двум квадратным числам» [91, т. 2, с. 257].
Мы видели, что соответствующую формулу композиции
pq = (а2 4- fe2)(g2 + d2) = (ag- fed)2 + (ad + feg)2 = (ag +
+ fed)2 + (ad-feg)2	(5)
*знали уже древние вавилоняне. Этой формулой пользовался
Диофант (задача IIIi9), ее широко применяли на арабском Восто-
ке. Новое, что мы находим у Леонардо — это общий вывод фор-
мулы композиции (5). Леонардо доказывает ее, пользуясь очень
тяжеловесным словесным доказательством и представлением чи-
сел и их произведений с помощью отрезков. Он отмечает также,
что если р = тп2, то произведение pq представимо суммою двух
квадратов тремя способами, если же и q = п2, то — четырьмя.
Действительно, в этом случае имеют место еще одно, соответст-
венно, два "разложения:
pq == (zng)2 4- (md)2 — (па)2 4“ (nfe)?.
После вывода формулы (5) Леонардо ставит задачу: «Найти
другим способом квадратное число, которое равно двум квадрат-
ным числам».
Он рассматривает четыре числа, составляющие пропорцию
а : bg : d и такие, что а2 4- 62 = и g2 + d2 = z. Тогда, как
утверждает Леонардо, произведение чисел е и z само будет квад-
ратом и будет представляться в виде суммы двух квадратов.
В наших обозначениях найденное им разложение (которое он
получает сложным оперированием с пропорциями и с помощью
интерпретации чисел и их пропорций отрезками) выглядит так:
(а2 4- fe2)(g2 4- d2) = (ag 4- bd)2 4- (ad — feg)2 = (ag — fed)2 +
+ (ad + feg)2.
Отсюда он получает возможность решить уравнение
X2 ± у2 = Z2,	(6)
исходя из двух произвольных чисел a, fe, (а, Ь) = 1. Действитель-
но, берем в предыдущей формуле g — а и d = ft, тогда
(а2 + fe2)2 - (а2 - fe2)2 + (2afe)2,
т. е. общие формулы решения уравнения (3) в случае, если z,
?/, z попарно взаимно просты.
Наконец, Леонардо приступает к задаче, совпадающей с зада-
чей П9 Диофанта. Вот ее формулировка:
«Найти два числа, квадраты которых, сложенные между собой,
образуют неквадратное число, образованное от сложения двух
данных квадратов» [91, т. 2, с. 261].
Пусть а2 4 Ъ2 = N ф [j. Требуется найти два другие числа
ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО
169
х, у, удовлетгоряющие уравнению (4). Решение Леонардо основа-
но на формуле (5). Он берет такие g, d, что
g2	е2 ' и	а/ь
Умножим е2 на N и пусть i = e2N. Получаем число i, которое
можно по формуле (5) представить как сумму двух квадратов и
притом двумя способами. Леонардо берет прямоугольный тре-
угольник АВС (рис. 8) с гипотенузой АВ = и катетами
АС = т и ВС = п, где т = ag — bd, п = ad + bg. _3атем на
гипотенузе от точки А он откладывает отрезок AJ = N и опус-
Рис. 8
кает перпендикуляр JK на катет АС. Тогда отрезки А К и JK
дадут решение задачи. Действительно,
х = АК АС = т ~ -ZL	.
|ЛВ	у/е	е
Аналогично у = JK = nle = (ad + bg)/e.
Свое решение Леонардо поясняет следующим примером:
пусть N — 41, а2 = 16, Ь2 = 25. В качестве значений g, d, е
он берет 3, 4, 5, тогда х2 = (8/5)2, у2 = (31/5)2 и сумма их дает 41.
Разумеется, мы передаем здесь только схему рассуждений
Леонардо, которые в подлиннике значительно длиннее.’ Отметим,
что и здесь Леонардо нигде не оперирует с уравнением, подстанов-
ками и не производит действий с неизвестными. Короче, его реше-
ние не носит алгебраического характера.
3. ЗАДАЧА ИОАННА ПАЛЕРМСКОГО
Во второй части работы Леонардо приступает к исследованию
и решению задачи
+ a = и2, х2 — а — у2, a = 5,	(7)
которая, как мы видели, входит в круг задач вавилонской тради-
ции. Различные ее варианты мы встречаем в древнем Вавилоне,
в «Арифметике» Диофанта, на арабском Востоке в трактате ано-
нима и у Ибн ал-Хусайна. Основные этапы исследования этой
170
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
задачи у Леонардо те же самые, что и у Ибн-ал-Хусайна, однако
все его утверждения снабжены оригинальными доказательствами.
Он, как и Ибн ал-Хусайн, переходит от системы уравнений (7)
к системе уравнений
ж2 4- у = и2, х2 — у — р2,	(8)
которая определяет двумерную поверхность в R4. Эта поверх-
ность рациональна, поскольку выражения
х = р2 + у = 4pq (р + q)(p — q),
и = р2 — q2 + 2pq, v = р2 — q2 — 2pq
тождественно удовлетворяют системе уравнений (8). Эти формулы
мы встречаем уже на арабском Востоке. К ним приходит и Лео-
нардо, но из других соображений.
Леонардо ищет сначала решения системы (8) в области целых
положительных чисел. При этом он не связывает решение системы
(8) с отысканием пифагоровых треугольников, как это делали
до него. Его идея состоит в том, чтобы представить искомые квад-
раты я2, u2, v2 как суммы последовательных нечетных чисел,
начиная с единицы. П^ть
р2=2(2п —1),	a:2=S (2га-1), 71—1	71—1	v+k+l и2 = S (2га-1). п—1
Из системы (8) следует, что	
и2 — х2 — х2 — т	(9)
и I должно быть меньше к. Поскольку 3 (2« — 1) — иг2, то получим
П=1
(у + к + I)2 - (р + к)2 = (р + к)2 - Р2.	(10)
Отсюда Леонардо получает решения вида
р = | I2 + 21к - к21, х = I2 + к2, и = к2 + 2lk- I2.
Разность между квадратами этих чисел будет
у = ^1к(к 4- Г)(к- Z).	(И)
Таким образом, решение системы (8) сводится к решению урав
нения
4W (к + l)(k -I) = а,	(12)
которое определяет эллиптическую кривую. При заданном а
Леонардо, как и его предшественники, ищет решение подбором.
Однако предварительно он изучает свойства выражения К =
= ikl (к + 1)(к — Z), которое он называет конгруумом. Заметим
еще раз, что конгруум Леонардо равен учетверенной площади
прямоугольного треугольника, построенного на A, Z.
ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО
171
Леонардо показывает, что если (А, I) = 1 и к + I — четно, то
К делится на 24. Он рассматривает примеры:
1)л = 5, Z = 3, тогда -^Л = 240, х = 3*-+52 = 17,
и = 23, г? = 7;
2) к = 2, 1=1, тогда К = 24, х = I2 + 22 = 5, и = 7,
v = Г,
3) к = 5, 1 = 2, тогда К = 840, х = 22 + 52 = 29, и = 41,
v = 1',
1 = 5, тогда -1-Я = 840, х = —+ 72 = 371
и = 47, ve=23.
Возвращаясь к задаче Иоанна Палермского, Леонардо отме-
чает, что поскольку разность искомых квадратов, т. е. число 5‘,
не делится на 24, то решения не могут быть целыми. Для отыска-
ния рациональных решений, Леонардо ищет сначала конгруум
К вида 5а2. Он требует, чтобы I, 5 4- I и 5 — I были кгадрата-
ми, и находит, что это будет иметь место при I = 4. Тогда
а2 = 144. Поэтому он умножает искомые квадраты на 122 и при-
ходит, таким образом, к системе
(12я)2 + 5-122 = (12а)2,	(12лг)2 - 5-122 = (12г)2.	(13)
Решения ее могут быть найдены по формулам1
12я = F + Z2 = 41,	12а = к2 + 2kl — I2 = 49,	12г =
= 12+ 21к-к2 = 31,
откуда	л
/ 41 \2 ’ с / 49 \2	/ 41 \2 с / 31 \2
(-12-; + 5=Ы«	(~w) - 5=(чг) •
Таким образом, Леонардо приходит к тому же треугольнику
(9г, 40г, 41г), что и Герои (см. ч. I, гл. I, раздел 3).
Итак, задача решена. Но Леонардо на этом не останавливается.
Он ставит и следующий вопрос: при каких значениях числа К,
т. е конгруума, задача разрешима. Прежде всего он утверждает,
что «никакой квадрат не может быть конгруумом» [91, т. 2, с. 272].
Это утверждение представляет огромный интерес, так как оно
равносильно великой теореме Ферма для п = 4, т. е. утвержде-
нию, что уравнение
а4 + у4 = z4	(14)
1 Мы видели, что в книге «Цветок» приведены эти решения, однако значения
неизвестных выражены с помощью «основных дробей» х = 41/12 =
=	- 1Р/з Via и т. д.
172
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
не имеет решений в целых числах, если только xyz 0. Действи-
тельно, если бы конгруум равнялся квадрату, т. е.
Ш (к + l)(k - I) = □
или
kl (к + 1)(к - I) = □
* и если принять (к, 1) = 1, то к = s2, I = Z2, к2 — I2 = г2, т. е.
s* _ р = г2. Из невозможности последнего равенства следует
невозможность уравнения (14).
Заметим, что и сам Ферма высказал свою великую теорему
для случая п = 4 по поводу задачи нахождения пифагорова тре-
угольника с рациональными сторонами, площадь которого была
бы заданным числом (см. ч. III, гл. IV, раздел 2).
Леонардо пытался доказать свое утверждение, однако его
доказательство не полно. Сначала Леонардо доказывал невоз-
можность равенства
Т- = 4±7-’ к>1‘	<15>
Действительно, оно равносильно
к (к - I) = I (к + I)	(16)
или 2к2 = (к + Z)2, т. е. 2 = Z что невозможно. Но, умно-
жая равенство (16) на I (к + Z), получим
kl (к + l)(k -l) = [l(k+ Z)]2,	(17)
т. е. равенство (15) также невозможно. Однако отсюда еще не
следует, что конгруум не может равняться некоторому другому
Квадрату.
Итак, великую теорему для п — 4 и Леонардо, и Ферма сфор-
мулировали в виде утверждения, что выражение тп (т + п)«
• (т — п), где т, п — целые, не может быть квадратом. Только Лео-
нардо называл это выражение конгруумом, а Ферма — площадью
прямоугольного треугольника в числах.
, Далее Леонардо пишет, что «отсюда можно сделать вывод, что
существует много чисел, которые не могут быть конгруумами;
но всякое число может быть конгруумом, если при делении на
него какого-либо конгруума происходит квадрат; или если оно
является одним из четырех составляющих (конгруум), а осталь-
ные три являются квадратами» [91, т. 2, с. 272]. Он приводит при-
мер: к = 16, I = 9, тогда К = 4-9-16-25-7, т. е. при у = 7
система (8) имеет решение. Итак, по Леонарду система (7) разре-
шима, если уравнение
аа2 = 4|ц (£ n)(g _
имеет рациональные решения.
ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО
173
Сам Леонардо применил конгруумы в «Книге квадратов» для
решения систем
я1 2 + я = yt	х* + пх = У1,
X2 —- X = У2,	х* — пх =	(п = 2, 3, . . .).
Он решает в своей книге еще ряд задач, пользуясь своим мето-
дом представления квадратов с помощью сумм последовательных
нечетных чисел. Все его методы носят ярко выраженный арифмети-
ческий характер. Можно констатировать, что в «Книге квадратов»
Леонардо не только не пользуется буквенной алгеброй, но и во-
обще не применяет никаких алгебраических методов и приемов.
Возникает вопрос, знал ли Леонардо об исследованиях системы
(7) математиками арабского Востока? Вероятнее всего, что на
него следует ответить отрицательно. Во-первых, эти исследования
не могли быть в то время широко известны, иначе Иоанн Палерм-
ский вряд ли выбрал бы задачу (7) для конкурса. Во-вторых, все
доказательства Леонардо вполне оригинальны. И, наконец, Лео-
нардо сделал следующий важный шаг, а именно, поставил и начал
исследовать вопрос о том, при каких К уравнение
К = 4£п (5 + n)(g - п)
имеет рациональное решение. Он открыл, что при К = а2 реше-
ний нет. Вопрос о том, какие значения может принимать конгру-
ум ЛГ, занимал многих математиков XVIII—XIX вв., из которых
назовем здесь А. Дженокки и Э. Люка.
ГЛАВА II
ЛУКА ПАЧОЛИ
И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО
1. ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО «СУММА ЗНАНИЙ
ПО АРИФМЕТИКЕ, ГЕОМЕТРИИ, ОТНОШЕНИЯМ
И ПРОПОРЦИЯМ»
В течение более трехсот лет после Леонардо не только нельзя
назвать никакого европейского математика его ранга, но и уче-
ного, способного хотя бы понять и оценить те богатства, которые
содержались в его произведениях. Только во второй половине
XV в.— века «Возрождения» — началось новое оживление ис-
следований по математике. Этому особенно способствовало два
события мирового значения: 1) падение Константинополя (Визан-
тии) и переезд греческих ученых в Западную Европу и 2) изобре-
тение книгопечатания.
174
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII-XVI ВВ.
Как известно, арабские алгебраисты не пользовались симво-
ликой, записывая неизвестное и его степени специальными тер-
минами — словами. Поэтому идея буквенного обозначения на
могла придти в Европу с арабского Востока. Леонардо пользо-
вался для обозначения неизвестного и его степеней либо специ-
альными терминами radix, res, census, представляющих перевод
соответствующих арабских слов «джизр», «шай», «мал», либо^
следуя Евклиду, отрезками. Между тем, византийцы, как эта
следует из письма Михаила Пселла, найденного и опубликован-
ного Полем Таннери [73, т. 2, с. 38], знали три способа обозначе-
ний для неизвестных:
I.	Обозначение по аддитивному принципу, введенное Диофан-
том (см. подробнее ч. I, гл. III, раздел 1), при котором х, х2, х3
обозначались индивидуальными знаками g, Дг, Кг, а остальные
степени неизвестного составлялись из них по принципу сложения
показателей:
я4-ДгД, я5-ДКт, а:® —КТК.
II.	Обозначение по мультипликативному принципу, которое
по всей вероятности восходит к современнику Диофанта Анато-
лию, ученику Порфирия, впоследствии епископу Лаодикии. Пер-
вые три степени назывались как и у Диофанта:
х _ dpiB'^c или rcXeupd (т. е. сторона),
ж2 — SuvcqAic,
х3 — xojBo;.
Далее шли названия по мультипликативному принципу образо-
вания показателей:
я4 — 56vapio66vapit<;.
х5 — dkoyoG тсрштос- (т. е. первое невыразимое),
xQ — fiuvapioxvpoc,
х1 — dXoyo; 8s 8s6xspo; apt&puk (т. e. второе невыразимое)
и т. д. При этом отмечается, что «второе невыразимое», т. е. х7
есть произведение «первого невыразимого» нал;2. Термин хброхб^ос
в этой системе обозначений не я6, как у Диофанта, а х9.
III.	После наименования степеней неизвестного по этим двум
системам, Пселл именует их просто по порядку
х — dpt$^<; прюто^ (первое число),
х2 — i Setkepos (второе число),
х3 — d тркос (третье число),j
я4 — d тешртос (четвертое число),
хь — а лерлто; (пятое число), и т. д.
ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО
175
Мы не знаем, какие из этих обозначений были более всего рас-
пространены в Византии XV в. Во всяком случае, в XV в. в Ев-
ропе получила распространение наименее удобная система обоз-
начений, а именно II. Ее мы нахоим и у немецких коссистов и у
Луки Пачоли. Первая система вытеснила вторую только после
знакомства европейских математиков с «Арифметикой» Диофанта.
Тогда же вошла в употребление (особенно у Стевина и Бомбелли)
н III система, которую в конце XV в. употреблял, как нам ка-
жется, только Николай Шюке.
Введение символики дало мощный толчок развитию европей-
ской алгебры. Следующий, XVI в. можно назвать веком алгебры.
Именно он закончился созданием буквенного исчисления — истин-
ного языка алгебры, принципы которого потом были перенесены
и в другие математические дисциплины.
Всем известно огромное общекультурное значение книгопеча-
тания. Оно внесло новую жизнь и в математику. Одной из первых
напечатанных книг и явилась «Сумма [знаний] по арифметике,
геометрии, отношениям и пропорциям» Луки Пачоли [94]. Она
была опубликована в Венеции в 1494 г.
Лука Пачоли родился около 1445 г. в городе Борго (Умбрия).
Его земляком и старшим современником был известный худож-
ник Пьеро делла Франческо, который был хорошим математиком и
одним из первых в Европе изучал законы перспективы. По-ви-
димому, Лука впервые познакомился с математикой либо непо-
средственно слушая Франческо, либо по его трудам. В 1470 г.
мы находим Луку уже в Венеции, где он читал публичные лекции
по математике и составил книгу по алгебре (ныне утерянную).
В это же время он вступил в монашеский орден францисканцев.
С 1475 г. он в качестве профессора математики посещает Перуд-
жу, Флоренцию, Пизу и Болонью, читает публичные лекции и,
вероятно, знакомится с трудами Леонардо Пизанского. В 1494 г.,
как мы уже говорили, в Венеции был напечатан его основной
труд, который мы будем в дальнейшем сокращенно именовать
«Сумма». Это была энциклопедия математических знаний XV в.,
причем Лука включил в нее в адаптированном виде основные
достижения Леонардо Пизанского, имя которого неоднократно
упоминается в «Сумме». Заметим, что книга Луки была написана
не на латыни (латинскими были только заглавия), а на народном
итальянском языке. Она содержала много сведений, необходимых
для купцов и ремесленников. Другая книга Луки «Божественная
пропорция» (Divina Proportione) была опубликована в Венеции
в 1509 г. В нее был включен трактат о правильных многогранни-
ках, который принадлежал Пьеро делла Франческо. Лука пере-
вел его на итальянский, но не упомянул имени автора. Эта книга
особенно знаменита, благодаря великолепным иллюстрациям
Леонардо да Винчи, который был другом Луки Пачоли. Лука
умер около 1517 г. в Риме.
{76	ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.	f
Из всего разнообразного содержания «Суммы» нас будут ин-
тересовать только два вопроса: 1) числовая область и символика;
2) решение неопределенных уравнений.
Числовую область Лука строит весьма тщательно. Он сначала
определяет целые числа, как множества единиц, выделяя среди
них, следуя древним, числа четные и нечетные, простые, взаимно-
простые, треугольные, квадратные и вообще многоугольные,
затем вводит дроби и вещественные иррациональности.
Отрицательные числа Лука Пачоли вводит тем же способом,
как это делал Диофант, а вслед за ним арабские алгебраисты,
а именно, он определяет правила умножения новых чисел с по-
мощью таблицы:
Piu via piu sempre fa piu,
Meno via meno sempre fa piu,
Piu via meno sempre fa meno,
Meno via piu sempre fa meno.
Здесь словом piu — «плюс» или «больше» обозначаются положи-
тельные, а словом meno — «минус» или «меньше» — отрицатель-
ные числа. После этого правила Лука, желая показать его целе-
сообразность, рассматривает числовые примеры (аналогично
поступили и арабские математики):
Примеры: р 4 via р 4 fa р 16 —это ясно. Но и m 4 via
m 4 fa p 16 и m 2 via m 4 fa p 8.
Для тех, кто думает иначе, Лука поясняет:
(10 - 2).(10 - 2) = 8-8 = 64 = 100 m 20 in 20 р 4 =
= 104 m 40 = 64.
Если бы m*2*m2 = ш4, то 8*8 = 56, что абсурдно.
Приведем также систему обозначений степеней неизвестного,
принятую Лукой:
х° —• n° — p(rimo),
х — со — cosa (2°),
х2 — се — censo (3°),
х3 — cu — cubo (4°),
ж4 — се се — censo de censo (5°),
ж5 — p°r° — primo relato (6°),
ж3 — ce cu — censo de cubo (7°),
x1 — 2°r° — secundo relato (8°),
x8 —ce ce ce —censo de censode cenSo (9C),
x* — cu cu — cubo de cubo (10°),
x10 — ce p°r° — censo de primo relato (IIе),
ж2э _ ro __ nono re}ato (30°)
finis.
Здесь знак n° — это сокращение слова «numero» (число). Слово
ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО
177
же «relate» означает «невыразимое», по-видимому, перевод гре-
ческого слова аХоуос.
Мы видим, что он воспринял мультипликативный принцип
обозначения степеней, однако отмечал порядковый номер сте-
пени — зародыш будущего ее обозначения.
Впрочем, при изложении неопределенных уравнений, к ко-
торым мы сейчас перейдем, Лука, следуя Леонардо, не применял
ни своих обозначений для степеней, ни отрицательных чисел.
2. УЧЕНИЕ О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ
У ЛУКИ ПАЧОЛИ
По существу, здесь Лука повторяет исследования Леонардо.
И хотя он не пользуется символикой и алгебраическими преобра-
зованиями, однако сопровождает методы Леонардо четкими схе-
мами, заменяющими формулы. Поэтому его изложение является
важным промежуточным звеном между Леонардо и математиками
XVI в., которые знакомились с неопределенными уравнениями
вплоть до 70-х гг. XVI в. именно по «Сумме» Луки Пачоли.
«Сумма» разделяется на части (Distinctio), а части — на трак-
таты. В 4-м трактате 1-й части Лука рассматривает свойства квад-
ратов (например, в § 4 (articulus quartus) он рассматривает обра-
зование квадратов как сумм последовательных нечетных чисел,
начиная с 1), а также «конгруэнтные числа». В § 7 (articulus
septimus) этого трактата он образует конгруумы для чисел п,
п + 1 (n = 1, 2, ...) и для каждого конгруума определяет соот-
ветствующий ему квадрат:
Kt = 4-1-2.(2 + 1) - 24,	х2 = (I2 + 22)2 = 25,
К2 = 4-2 -3-(2 + 3) = 120, х2 = (22 + З2)2 = 169,
Л’5 = 4-5-6-(5 + 6) = 1320, х2 = (52 + 62)2 = 3721,
а’ затем решает задачи, эквивалентные системе
х* а = и2, х2 — а = v2 (а — 30, 7, 5, 13).
Метод он демонстрирует на двух первых задачах. При а — 30
Лука умножает а и искомые квадраты на 4, тогда конгруум будет
равным 120, а отвечающий ему квадрат %2 = 4х2 == 169, т. е.
х = 13/2.
При а = 7 Лука пользуется замечанием Леонардо, что
конгруум, образованный числами 9 и 16, делится на 7:
К = 4.9.16.(9 4- 16). (16 — 9) = 4-9.16-25.7.
Итак, хотя вначале Лука ввел конгруумы, образованные
Двумя последовательными числами п и п + 1, но он совершенно
свободно пользуется и конгруумами, образованными любыми
Двумя числами.
478
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Так как 91 2 + 162 = 337, Лука получает решение я: ±= 273.4.5" ‘
При а = 5 он повторяет решение Леонардо, а при а = 13 дает
лишь ответ: искомый квадрат равен Зи 375^4400 ’что ПР°ИЗВ°ДИТ
достаточно сильное впечатление. Лука, очевидно, предлагает
читателю самостоятельно догадываться, какой конгруум следует
подобрать Ч
В отличие от Леонардо, Лука не анализирует задачи, не дает
выводов, только иногда — скупые пояснения. Приведем, напри-
мер, его решение «двойного равенствах:
х + 10 — г, х — 10 = □*.
«Возводим 10 в квадрат, получаем 100; 100 + 4 = 104; 104 : 4 =
= 26» [94, л. 16]. Аналогично решается система
х + 6 = о, х — 6 =
Наибольший интерес представляют предлагаемые им решения
неопределенных уравнений
я2 + У2 = 52, х2 + у2, = 42 -г 52.
Первое из них ставится так:
«3 на 3 дает 9 и 4 на 4 дает 16, сложенные вместе, они дают
квадрат 25. Найти два другие квадрата, сумма которых дает 25»
194, с. 17].
Решение дается посредством рецепта: выбираются два ква-
драта, сумма которых также будет квадратом, а именно: 52, 122
и 52 т 122 = 132. Затем составляется произведение пятерки «взя-
той из первой суммы» на 5 и на 12 из второй суммы. Получа-
ем 25 и 60. Тогда первый искомый квадрат будет (25/13)2, а
второй — (60/13)2 и их сумма равна 25.
Чтобы подчеркнуть общность приема, Лука выбирает затем
другие числа 15, 8 и 17 такие, что 152 + 82 = 172, и с их помощью
получает второе решение.
Только недостаток буквенной символики не позволяет ему
записать решение в общем виде: х = р — , у = q—, где р, д, г
такие три числа, что р2 + q2 == г2, а а2 — заданное квадратное
число, которое нужно представить суммою двух квадратов.
Вторая задача формулируется так: «4 на 4 дает 16, 5 на 5 дает
25, и, сложенные вместе, эти два «квадрата дадут 41. Найти два
других числа, квадраты которых, сложенные вместе, дадут 41»
[94, л. 17].
1 Интересная реконструкция метода решения Луки Пачоли при а = 13 была
дана в диссертации А. П. Каучикаса [22]. Она основана на применении
формулы композиции форм.
ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО
17$
Заметим, что та же задача и с теми же числовыми данными
встречается у Леонардо в «Книге квадратов», тогда как у Дио-
фанта в соответствующей задаче берется число 13.
Лука Пачоли решает задачу методом Леонардо, но придает
решению вид четкой арифметической схемы. Он берет два квадрат-
ные числа З2 и 42, сумма которых является квадратом 52, и распо-
лагает числа 3 и 4 в левом столбце друг под другом, а числа 4
и 5 (сумма квадратов которых дает 41) напротив них в правом
столбце (см. схему 1). Затем производятся следующие вычисле-
ния: 3 X 4 = 12, 4 X 5 = 20, 3 X 5 — 15, 4 х 4 = 16. После
чего составляются:
20—12 = 8, 15 + 16 = 31.
Тогда
41 = (8/5)2 + (31/5)2.
Для получения второго разложения числа 41 на сумму двух
квадратов Лука составляет схему 2 и, проведя нужные вычисле-
ния, получает:
41 = (32/5)2 + (1/5)а.
Эти схемы, как нетрудно видеть, являются табличным пред-
ставлением композиции форм (а2 + Ь2) (р2 + ^2). Если обозна-
чить N = а2 + Ь2, а вторую компонируемую форму р2 Д- q2 == г\
то схемы будут таковы:
180
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Заметим, что при компонировании Лука полагает а < Ь,
р < q так, что разность в первой схеме qb — ра будет всегда по-
ложительна. Что касается схемы 2, то разность qa — pb может быть
как положительной, так и отрицательной, поэтому надо было бы
брать | qa — pb |.
Итак, даже не применяя алгебраической символики, Лука
Пачоли сумел придать формуле композиции форм
(а2 + ь2) {р2 + q2) = {ра — qb)2 + {qa + pb)2 =
= {pa + qb)2 + {qa — pb)2
весьма наглядный щ в сущности, алгебраический вид.
3. ВЛИЯНИЕ «СУММЫ»
НА ТВОРЧЕСТВО МАТЕМАТИКОВ XVI В.
Влияние «Суммы» Луки Пачоли можно проследить на творчест-
ве математиков XVI в. вплоть до Виета.
Напомним, что алгебраическая часть «Суммы» заканчивается
словами о том, что для решения кубических уравнений х3 +
-4гах~Ьих3-\-Ь = ах «искусство алгебры еще не дало способа,
как не дан способ квадратуры круга» [94, л. 150]
Именно с решения этой задачи и начали математики следующе-
го столетия.
Что касается неопределенных уравнений, то до знакомства
с «Арифметикой» Диофанта они просто переписывали задачи и их
решения из «Суммы». Для примера приведем диофантовы уравне-
ния, встречающиеся у Дж. Кардано (1501—1576).
Вопросом арифметики Кардано посвятил сочинение «Общая
практическая арифметика самая полная и полезная из всех»
(Practica arithmetca generalis omnium copiosissima et utilissima)
167, t. 4].
Здесь в главе «О чудесных свойствах чисел» (De proprietatibus
numerorum mirificis) мы находим наряду с традиционным изложе-
нием вопросов о числах четных и нечетных, простых и взаимно-
простых, совершенных и дружественных, треугольных, квадратных
и многоугольных, идущих еще от древности, также рассмот-
к
репие сумм последовательных нечетных чисел 3 (2п — 1) и опре-
п=1
деление конгруэнтных чисел. В этом определении он следует за
Лукой, т. е. берет два последовательных числа и строит из них кон-
груум кп {п + 1) (2n + 1), а также соответствующий квадрат
[n2 + (п + I)2]2. Кардано приводит (на числовых примерах) схе-
му для образования конгруума
ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО
181
2 3	4 5
Г~6	.	9 20
30 120	180 720
22 + З2 = 132 = 169	(42 + 52)2 = 412
Соответствующий квадрат Соответствующий квадрат
В этой же главе Кардано приводит некоторые алгебраические
^формулы, например: «Квадрат от половины уменьшенного на 1
нечетного квадрата, сложенный с самим первым квадратом, об-
разует квадрат и так до бесконечности» (вопрос 38), т. е.
или, если а = 2п + 1,
(2га2 + 2п)2 4- (2n + I)2 = (2n2 + 2п + I)2.
Сам Кардано приводит численные примеры: 25 — нечетный
квадрат
25-1 - 24, 24/2 = 12,	122 = 144,	144 + 25 = 169 =
- 132
и т. д.
В главе «Об арифметических вопросах сверх тех, которые вхо-
дят в предыдущую главу» (De quaestionibus arithmeticis super
capitala praecedentia) Кардано среди прочего приводит и задачи
на неопределенные уравнения, которые мы встречаем у Пачоли.
Так он решает задачу (вопрос 38), эквивалентную системе
ж2 6 = □, х2 — 6 =
Кардано пишет, что надо найти конгруум, который при делении на
6 дает квадрат. Таким будет 24. Ему отвечает квадрат 25. Тогда
^2х)2 = 25 и х2 = 25/4. После этого Кардано тем же методом, что
и Лука, решает задачи, эквивалентные уравнениям
я2 + У2 ~ л2, а2 = 25,	(вопросы 44 и 45)
и
я2 + у2 = а2 + Ь2 =/= □.	(вопрос 46)
Ничего нового в трактовку этих уравнений он не вногит. Стоит
отметить, что хотя ход его решений ближе к изложению в «Сумме»,
но он ссылается на Леонардо Пизанского, который все это «ясно
объяснил».
Примерно в том же духе излагает неопределенные уравнения
Никола Тарталья. Перелом наступает только после знакомства
€ «Арифметикой» Диофанта.
182
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII-XVI ВВ.
ГЛАВА III
ВЕК АЛГЕБРЫ
1.	XVI ВЕК-ВЕК АЛГЕБРЫ
XVI в. в математике по праву может быть назван веком алгеб-
ры. Именно в это время были найдены решения в радикалах урав-
нений 3-й и 4-й степени, изложение которых украсило знамени-
тый труд Дж. Кардано «Ars magna» (1545 г.) [66]. Там же было на-
чато исследование алгебраических уравнений, причем Кардано
удалось установить некоторые общие факты, например, что во
всяком уравнении, которое mLi теперь можем записать как
ж3 + аж2 + Ъх + с = О,
линейной подстановкой х = у — (а/3) можно уничтожить второй
член.
Однако никакого эквивалента приведенной нами записи в то
время еще не было. Несмотря на сделанное крупное открытие,
которое убедило европейских математиков в том, что «древние не
все знали», никакого существенного прогресса ни в создании бук-
венного исчисления, ни в расширении числовой области не после-
довало. Отрицательные числа продолжали называть «фиктивными»
или «ложными», а перед «софистическими минусами» вида
Дж. Кардано остановился, проявив здесь не свойственную ему
осторожность.
Решительный сдвиг в алгебре произошел только в 70-е годы,
после того как сначала Рафаэль Бомбелли, а затем и другие мате-
матики Европы познакомились с «Арифметикой» Диофанта.
Недаром все крупные математики этого времени — Рафаэль Бом-
белли, Франсуа Виет, Симон Стевин, а позднее его издатель Аль-
бер Жирар — в своих сочинениях перелагали Диофанта, искали
в «Арифметике» общие методы и общие точки зрения. Короче —
они делали по отношению к Диофанту то же самое, что впослед-
ствии пришлось делать всем математикам, механикам и астрономам
XVII в. по отношению к Архимеду: начиная от Кеплера и кончая
И. Барроу все они перелагали труды Архимеда, пытаясь выявить
его общие методы.
В XVI в. события развертывались следующим образом. Как
мы говорили, ни Никколо Тарталья, ни Джироламо Кардано не
знали «Арифметики» Диофанта. Между тем, еще в XV в. извест-
ный астроном и математик Региомонтан (Иоганн Мюллер) (1436—
1476), путешествуя по Италии, открыл рукопись Диофанта в Ве-
неции и сообщил об этом в письме к своему другу. Рукопись пора-
зила его богатством содержания. Он решил перевести ее, но не
раньше, чем найдет все 13 книг, о которых пишет Диофант во Вве-
ВЕК АЛГЕБРЫ
183
дении. Однако было найдено только 6 книг, те, которые известны
и нам, и перевод так и не был сделан.
Прошло еще 100 лет. И вот в 1572 г. в «Алгебре» Рафаэля Бом-
белли, профессора Университета в Болонье, вдруг появляется
143 задачи из «Арифметики» Диофанта! В предисловии Бомбелли
пишет, что «в прошлом году труд, посвященный этому предмету,
был найден в библиотеке в Ватикане, составленный неким Дио-
фантом, греческим автором, жившим в эпоху Антонина Пия».
Напомним, что римский император жил в середине II века н. э.
Откуда взял свое утверждение о времени жизни Диофанта Бом-
белли, абсолютно неизвестно. Прочтя рукопись, Бомбелли убе-
дился, что автор ее «весьма сведущ в науке чисел». И вот «с целью
обогатить мир произведением такой важности» Бомбелли при-
нялся совместно с римским математиком Пацци за перевод. «Мы
перевели пять книг из семи,— сообщает Бомбелли, но не смогли
окончить остальные из-за других работ, которые выпали на нашу
долю». (В Ватиканской рукописи «Арифметика» делится на 7 книг.)
Как отмечал Э. Бортолотти 1 и как мы постараемся подтвер-
дить это некоторыми новыми соображениями, «Арифметика»
Диофанта оказала столь сильное влияние на Бомбелли, что он
коренным образом переработал первоначальную рукопись своей
«Алгебры», составленную около 1556 г. Мы будем говорить об
этом подробнее в следующем параграфе.
Уже через три года после выхода в свет «Алгебры» был опубли-
кован первый латинский перевод «Арифметики». Он был выполнен
известным филологом и философом того времени Ксиландером
(настоящее имя — Вильгельм Хольцман). Перевод этот был весьма
точен, хотя и чувствовалось, что он сделан человеком, далеким от
математики.
После этого задачи из четырех первых книг Диофанта были
включены в книгу известного математика и механика и инженера
Симона Стевина [108]. Стевин сохранял только смысл задач Дио-
фанта, не переводя их дословно, о чем он сам предупреждает чи-
тателя: «Что касается текста Диофанта, то мы будем стремиться
не столько к дословной верности, сколько к передаче смысла»
И08, с. 433-434].
В 1621 г. вышло издание «Арифметики» Баше де Мезириака.
Здесь впервые был опубликован греческий текст, снабженный но-
вым переводом на латынь. Кроме того, Баше снабдил свое издание
обильными комментариями, в которых выявлял и обобщал некото-
рые методы Диофанта; многие задачи он дополнял новыми, именно
это издание и послужило отправным пунктом для занятий теорией
чисел и диофантовым анализом Пьера Ферма.
В 1625 г. появилось второе издание книги Стевина, подготов-
1 Цит. по: [74, с. LXIIIJ.
184
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
ленное талантливым алгебраистом Альбером Жираром, который
добавил задачи V и VI книг Диофанта.
Но еще до этого методы Диофанта получили новую жизнь
в творчестве Ф. Виета. Вместе с тем у Виета получила известное
завершение и другая линия развития, которая берет начало в твор-
честве Леонардо Пизанского и продолжение которой мы просле-
дили у Луки Пачоли и Дж. Кардано.
Замечательно, что и Бомбелли, и Виет пришли к необходимо-
сти введения новых объектов, эквивалентных комплексным чис-
лам: Бомбелли сделал это чисто формально, почерпнув метод вве-
дения новых объектов у Диофанта. Виет же построил свое «ис-
числение» или «порождение» треугольников, стараясь оставаться
на твердой почве классической геометрии Евклида.
Таким образом, поток идей, содержащихся в «Арифметике»
Диофанта и хлынувший в Европу, разделился как бы на два ру-
кава: один из них нашел выражение в творчестве Р. Бомбелли,
другой — Ф. Виета. Мы начнем с рассмотрения первого из них.
2.	ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ У РАФАЭЛЯ БОМБЕЛЛИ
О Р. Бомбелли мы знаем почти так же мало, как ио Диофанте.
Только время жизни его более определенно — это середина XVI в.
причем, по-видимому, «Алгебра» была опубликована в конце его
жизни, т. е. умер Бомбелли около 1573 г. Известно, что он жил
в Болонье и славился как хороший инженер-гидравлик. Однако
его «Алгебра» свидетельствует о том, что он был одним из наиболее
выдающихся алгебраистов нового времени. В 1572 г. были опуб-
ликованы три части его книги. Две другие, в которых во многом
предвосхищены исследования Декарта, были изданы только
в наши дни (1929 г.).
Первая часть посвящена построению числовой области, необ-
ходимой для развития алгебры. Бомбелли вводит прежде всего
последовательные целые степени рациональных чисел, причем
применяет мультипликативный принцип, поэтому 5-ю степень он
называет «primo relate» («первое невыразимое»), а 6-ю — квадрато-
кубом. Это — дань традиции, сложившейся в европейской мате-
матике XIV—XVI вв., следов которой осталось в книге очень не-
много. Впрочем, впоследствии Бомбелли обычно называет сте-
пени по номеру их показателя: «пятая»г «шестая» и т. д.
Вслед за тем Бомбелли вводит иррациональные величины —
корни квадратные (обозначая их R.q.), кубические (R.C.), квадра-
то-квадратные (R.R.q.) и т. д., а также биномы и триномы, состав-
ленные из этих иррациональностей. Он рассматривает арифмети
ческие действия над всеми этими величинами, прибегая иногда-
к геометрическим доказательствам.
Затем Бомбелли вводит отрицательные числа (meno), делая
это точно так же, как и Диофант, т. е. определяя «правило знаков»
ВЕК АЛГЕБРЫ
185
при умножении. Вот его таблица, где piu обозначает плюс, a meno—
минус
Piu via piu fa piu.
Meno via meno fa piu.
Piu via meno fa meno.
Meno via piu fa meno.
[57, c. 62].
Такое аксиоматическое введение он сопровождает, как это делал
Лука Пачоли, пояснениями. А именно, он «доказывает», что минус
на минус дает плюс. Точнее говоря, он доказывает, что это необ-
ходимо принять, если мы желаем сохранить дистрибутивность ум-
ножения по отношению к сложению.
Бомбелли отмечает, что таким же будет правило знаков и при
делении. Он формулирует также правила сложения и вычитания
отрицательных чисел.
Для введения мнимых чисел, которые, по его словам, скорее
будут «софистическими», Бомбелли поступает так же, как и при
определении отрицательных чисел: он вводит их чисто формально
при помощи «таблицы умножения»; + У — 1, который не может
быть «ни положительным, ни отрицательным», он называет piu
di meno (плюс из минус), и соответственно, — у*—1 ~ meno di
meno, после чего приводит следующую таблицу
Piu via meno di meno, fa meno di meno.
Meno via meno di meno, fa piu di meno.
Piu di meno via piu di meno, fa meno,
Piu di meno via meno di meno, fa piu.
Meno di meno via pin di meno, fa piu.
Meno di meno via meno di meno, fa meno.
[57, c. 133-134].
После этого Бомбелли рассматривает арифметические действия над
’	3/------=—-
новыми числами. Например, он умножает (V 2 + У— 3) X
X (1^ 2;4 У~ 3) (в его записи это выглядит так: Moltiplichisi R. с.
L2 piu di meno R. q. 3_J per R. c. [_2 piu di meno R. q. 3 |),
складывает игУ — 1 ± пУ — 1, возводит выражение вида
яг + п У —1 в квадрат и в куб и т. д.
Бомбелли, как отмечает Н. Бурбаки, считает аксиомой, что
piu и piu di meno не могут быть сложены (в смысле приведения по-
добных членов), а это есть первое появление понятия линейной
независимости [11, с. 90].
Вторая часть посвящена решению уравнений первых 4-х сте-
пеней в радикалах. Здесь Бомбелли вводит свою символику для
степеней неизвестного: 1, 2, 3,. . . и определяет точно так же, как
и Диофант, с помощью таблиц правила действий над степенями
186
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
неизвестного: т X п = т + и, где т = 1, 2, 3, 4, 5, 6, а ттг 4-
+ п 12. Затем он рассматривает правила действий над одно-
членами где А — конкретное число, и многочленами. Изло-
жение весьма прозрачное и последовательное — ему не хватает
только буквенных обозначений для произвольных параметров,
чтобы получить набор нужных ему формул: (а ± &)2, (а + Ь) х
х (а — Ъ) и т. д.
Столь же систематично и последовательно Бомбелли излагает
решение алгебраических уравнений, начиная с уравнения вида
ах = Ъ и кончая4 уравнениями 3-й и 4-й степени. Свои правила
Бомбелли все еще снабжает геометрическими доказательствами::
ведь у него не было буквенного исчисления! В этой части он дает
объяснения «неприводимого случая» кубического уравнения
с помощью мнимых чисел.
Наконец, третья часть содержит 272 задачи с решениями, из
которых 143 взяты из первых пяти книг «Арифметики» Диофанта
(кончая задачей V20). Задачи Диофанта при этом перемежаются
другими, иногда дополняющими их, а иногда не имеющими к ним
прямого отношения.
В первоначальной рукописи задачи имели псевдо-практичес-
кий характер, однако после знакомства с «Арифметикой» Дио-
фанта Бомбелли придал им абстрактную форму. Напомним, что*
Диофант формулировал свои задачи в самом общем виде, а затем
придавал свободным параметрам конкретные значения. Напри-
мер, задачу П8 он формулировал так: «Заданный квадрат разло-
жить на два квадрата», а затем полагал этот квадрат равным 16..
В отличие от него Бомбелли ставит задачу сразу для конкретных
значений параметра. Соответствующая задача (она имеет в «Ал-
гебре» номер LXI) звучит так: «Разложить квадратное число 25
па два квадрата».
При этом если метод решения задачи был для Бомбелли впол-
не ясен, то он обычно изменял числовые данные, если же он не
вполне овладевал тем или иным методом, то точно воспроизво-
дил задачу «Арифметики», не меняя числовых параметров. Это про-
стое замечание позволяет заключить, что Бомбелли был первым из
европейских математиков, кто понял метод решения неопределен-
ных уравнений 2-й степени от двух неизвестных F2 (х, у) = О
и свободно его применял. Что касается методов «касательной» и
«секущей», то соответствующие задачи (IV24 и IV26-27 Диофанта и
CLXIX, CLXXI, CLXXII у Бомбелли) воспроизведены с полным
сохранением всех значений параметров. Мы могли бы усомниться
в том, заметил ли Бомбелли эти методы, если бы не задачи
Диофанта (у Бомбелли ССХХХШ), в которой по ходу дела нужно
было представить разность двух кубов в виде суммы двух других
кубов, иначе говоря, решить уравнение
х3 + уз = аз _ Ьз	(1)
ВЕК АЛГЕБРЫ
187
{у Диофанта а = 4, Ъ = 3). Сам Диофант утверждает, что (1) всег-
да имеет решение, Бомбелли решает уравнение (1) при выбранных
значениях параметров, применяя метод «касательной» (см. об этом
ниже в разделе 7). Таким образом, он понял этот метод, хотя и не
придал ему особого значения.
Аналогичные «дополнения» к Диофанту встречаются и в других
задачах Бомбелли. В некоторых задачах, где Диофант только на-
мечает метод решения, Бомбелли доводит решение до конца, при-
чем делает это с блеском. Его решения всегда очень изящны и про-
сты (стоит сравнить, например, решение задачи IV19 у Бомбелли
и у комментаторов Диофанта XIX—XX веков!).
Итак, Бомбелли первый в Европе оценил алгебраические ме-
тоды Диофанта, предпочел их традиции, идущей от Леонардо
Пизанского, и творчески применил эти методы для решения задач.
Отметим, что теоретико-числовая часть «Арифметики», видимо,
осталась чужда Бомбелли. Так, в задаче V9 Диофанта было сфор-
мулировано условие для того, чтобы некоторое число N было пред-
ставимо суммою двух квадратов. Это условие дошло до нас в ис-
порченном виде. Бомбелли, пытаясь восстановить его, делает из-
лишнее ограничение, требуя, чтобы число N было простым вида
4к + 1. Таким образом, Бомбелли воспринял и развил только ал-
гебраический аспект «Арифметики» Диофанта. Мы увидим, что
в этом же плане воспринял «Арифметику» и другой великий ал-
гебраист конца XVI в.— Франсуа Виет, к творчеству которого мы
сейчас и перейдем.
3.	ФРАНСУА ВИЕТ
В похвальном слове, посвященном Виету, известный француз-
ский историк и государственный деятель де Ту писал:
«Франсуа Виет, уроженец Фонтенея в Пуату, был человеком
такого громадного гения и такой глубины мысли, что ему удалось
раскрыть сокровенные тайны самых непонятных наук, и что он без
труда сделал все то, что вообще доступно человеческой проница-
тельности. Но среди его разнообразных занятий, от которых ни-
когда не был свободен его огромный и не знающий усталости ум,
он более всего применил свое искусство к математике, и так отли-
чался в ней, что все то, что было придумано в этой науке древни-
ми, и чего мы лишились из-за разрушительного действия времени,
которое уничтожило их творения, все это он придумал заново,
ввел в обращение и даже добавил к их замечательным открытиям
много нового. Он размышлял с таким упорством, что зачастую про-
водил три дня сряду в своем кабинете без еды и даже без сна, ес-
ли не считать того, что время от времени он склонял голову на ру-
ку, чтобы поддержать свои силы несколькими мгновениями дре-
моты» [111, т. 3, с. 1003].
Мы прерываем красочное изложение де Ту, к продолжению
188
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
которого мы еще не раз вернемся, для того чтобы с помощью су~
хой прозы изложить основные события жизни Виета.
Франсуа Виет родился в 1540 г. в городе Фонтене-ле-Конт
в 60 км от ла-Рошели — знаменитой гугенотской крепости* Виет
был сыном прокурора и сам избрал карьеру юриста. По окончании
курса в г. Пуатье, он начал заниматься юридической практикой
в родном городе. Но уже через 4 года он поступил секретарем и
домашним учителем к знатному дворянину-гугеноту де Партеней..
Виет занимался с его 12-летней дочерью Екатериной космогонией
и очень увлекся изучением астрономии и тригонометрии. Уже
в это время, по-видимому, он выразил sin тх и cos тх в виде мно-
гочленов от sin х и cos х. После смерти де Партенея и замужества
Екатерины, Виет последовал за своей ученицей в Париж. В 1571 г.
иы находим его там Советником Парламента (т. е. Суда). Вскоро
Виет получил видную придворную должность рекетмейстера и<
стал тайным советником королей сначала Генриха III, а затем*
Генриха IV.
В это время Виет оказал французскому двору крупную услу-
гу; красочный рассказ об этом мы находим у де Ту: «Так как госу-
дарства испанцев разрознены и удалены друг от друга, то для
сохранения секретности при передачи своих намерений и своих сове-
тов во все части этого обширного тела, испанцы пользуются раз-
личными тайными шифрами, чтобы их секреты не были разгаданы.
И когда им приходится применять новые шифры, то они могут. эт<г
сделать много времени спустя после принятого решения, так как
необходимо, чтобы был предупрежден вице-король Индии. Во вре-
мя беспорядков времен Лиги 1 их шифр состоял более чем из 500
различных знаков, и хотя часто удавалось перехватить чрезвычай-
но длинные письма, в которых были изложены все намерения ис-
панцев, но те, которым была поручена их расшифровка, никогда
не могли достичь цели из-за бесконечного числа знаков, которые
были использованы. Но эти письма по приказу короля были от-
правлены Виету, он их разъяснил без труда, а затем и все осталь-
ные, которые ему были доставлены. Это приводило испанцев в те-
чение двух лет в такое замешательство и повергало их в такое уди-
вление, что они публично заявили в Риме и других местах, что
король смог открыть их шифр только с помощью магии» [111,
с. 1005]*
Виет жил в эпоху кровопролитных религиозных войн.
Вопрос о том, был ли сам Виет католиком или гугенотом, ос-
тается невыясненным. Нам известно только, что его связь со знат-
ными и активными деятелями-гугенотами (первый муж Екатери-
ны Партеней был убит в Варфоломеевскую ночь, второй — принц
де Роган — являлся одним из признанных гугенотских вождей,
сама Екатерина играла видную роль при защите ла-Рошели) при-
1 В это время Нидерланды находились в испанском владении.
ВЕК АЛГЕБРЫ
189
вела к тому, что по настоянию ярых католиков-герцогов Гизов
Виет был отстранен от должности. Это случилось в конце 1584 г.,
Виет был вновь приглашен ко двору только в начале 1589 г. (пос-
ле разрыва короля с Гизами); Эти четыре года оказались чрезвы-
чайно плодотворными для творчества Виета. Все это время он
работал над большим трудом «Искусство анализа» или «Новая ал-
гебра». Несмотря на поразительную работоспособность Виета,
о которой так ярко повествует де Ту, труд не был завершен.
Прежде чем переходить к основным трудам Виета по алгебре,
скажем о триумфе, который выпал на его долю в конце жизни.
Нидерландский математик Адриан ван Ромен (латинизированное
имя его — Романус) опубликовал в 1593 г. трактат, в котором
вычислял число л с 17-ю верными знаками, а затем поставил перед
математиками всего мира задачу решения уравнения
г45 -45г43 + 945г41 - ... - 3.795я3 + 45г - 4,
где A = V 1®/4 - /*/le - V Г/8 -	,
При этом было дано три примера, в которых для конкретных значе-
ний А приводилось (без пояснений) соответствующее значение г, так,
при4=]/ 2 +1^2 + /2 + уГ, х=^\/~ 2 +К 2 + У2 + уз".
Нидерландский посланник рассказал об этом вызове королю
Генриху IV и добавил, что к французским математикам ван Ро-
мен не обращается, так как таковых во Франции, видимо, нет.
«И все же,— возразил король,— у меня есть математик и весьма
выдающийся. Позовите Виета». Виет познакомился с задачей ван
Ромена и сразу же нашел один корень, а на следующий день на-
шел еще 22 решения этого уравнения (остальные 22 решения это-
го уравнения будут отрицательными). Мы еще вернемся к методу
Виета, который он здесь применил. Сейчас скажем только, что он
послал свой ответ ван Ромену вместе со своим сочинением «Apol-
lonius Gallus seu exsuscitata Apollonii Pergaei itspl eiwpiv
geometria» (Аполлоний Галльский или восстановленная геомет-
рия Аполлония Пергского «О касании»). Это сочинение было
издано в 1600 г. в Париже. По словам де Ту, обе присланные
работы произвели на ван Ромена столь сильное впечатление, что
ОН «пустился в путь во Францию, чтобы познакомиться с ним
[Виетом] и добиться его дружбы. Но прибыв в Париж, он не за-
стал Виета, который поехал для поправки здоровья в Пуату, тог-
да он продолжил свое путешествие, хотя ему предстояло сделать
еЩе 100 миль. Наконец, увидев Виета, он поделился с ним своими
8атРУДнениями, и исполнился таким восхищением перед этим не-
°быкновенным мужем, что признался, что все увиденное им было
намного выше того представления о Виете, которое он себе соста-
вил» (Ц1, с. 1004].
190
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Умер Виет 23 февраля 1603 г.
У Виета было два выдающихся ученика: Марино Гетальдич из
Дубровника (Рагузы) и шотландец Александр Андерсон, который
внес многие дополнения в сочинения Виета, снабдив некоторые
утверждения учителя доказательствами.
Собрание сочинений трудов Виета было издано Ф. Ван Схооте-
ном в Лейдене в 1646 г.
4.	СОЗДАНИЕ БУКВЕННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Франсуа Виет стремился создать новую науку — он назвал ее
аналитическое искусство — Ars analytica, которая обладала бы
строгостью геометрии древних, и вместе с тем, оперативностью ал-
гебры. Это аналитическое искусство должно было обладать такой
силой, чтобы не оставалось нерешенных задач: nullum non ргоЫе-
ma solvere.
Основы этой новой науки Виет изложил в трактате «Введение
в искусство анализа» (In artem analyticam isagoge) [113], в кото-
ром построил буквенное исчисление, иными словами, ввел в мате-
матику язык формул. До этого буквенные обозначения применя-
лись только для неизвестного и его степеней. Такие обозначения
ввел еще Диофант, а европейские ученые XV—XVI вв. несколько
их усовершенствовали.
Следующий после Диофанта принципиально новый шаг сде-
лал только Виет — он ввел обозначения не только для неизвестно-
го, но и для параметров и, таким образом, впервые мог записать
в общем виде уравнения и тождества. Трудно переоценить этот шаг.
Формулы математики — это не только сокращенный язык для за-
писи предложений, которые мо жно выразить и словесно; например,
^формулу
(а + Ь)2 = а2 + Ь2 + 2аЬ	(2)
с помощью фразы «квадрат суммы двух количеств равен квадрату
первого количества, плюс квадрат второго количества, плюс уд-
военное их произведение». Ведь сокращенную запись дает и сте-
нография! Главное не в этом, а в том, что над формулами можно
производить операции, производить чисто механически, и таким
путем получать новые формулы и соотношения. Для этого надо
применять три правила: 1) правило подстановки, 2) правило рас-
крытия скобок и 3) правило приведения подобных. Так, например,
из формулы (2) можно чисто механически (не пользуясь рассужде-
ниями) получить формулы (а 4- с + d)2 и (а + Ь)3. Первую из них
мы получаем, применяя правило подстановки — вместо Ъ под-
ставляем сумму с + d, а затем правило раскрытия скобок:
ВЕК АЛГЕБРЫ
191
[а + (с + d)l2 = а2 + (с + d)2 + 2а (с + d) = а2 + .с2 +
d2 2cd -|~ 2ас -4~ 2ad,
Вторую — умножая (а + Ь)2 на (а + Ь):
(а + Ь)2 (а + &) = (а + Ъ)2а + (а + Ь)2Ь = а3 + ab2 +
+ 2а2Ь + а2Ь + Ь3 + 2аЬ2 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ъ3.
Таким образом, с помощью буквенного исчисления, мы заме-
няем часть умозаключений (рассуждений) выкладками (механи-
ческими операциями). Как говорил Лейбниц, буквенное исчисле-
ние «разгружает воображение».
Сейчас нам трудно представить математику без формул, без
исчисления. Но именно такой она была до Виета.
Шаг, сделанный Виетом, имеет настолько фундаментальное-
значение, что мы остановимся подробно на том, как именно он его
сделал. Виет воспринял основной принцип греческой геометрии,
согласно которому складывать и вычитать можно только одно-
родные величины, и только однородные величины могут иметб от-
ношение друг к другу. «Homogenea homogenei сотрагаге»,— пи-
сал он.
Поэтому все величины он делит «по родам»: к первому роду от-
носятся «длины», т. е. величины одного измерения. Произведение-
двух величин 1-го рода относится ко 2-му роду, к которому при-
надлежат «плоские величины», или «квадраты» и т. д.
В современных терминах область V величин, рассмотренных
Виетом, можно описать следующим образом:
и...,
где 7?^ — область величин измерения к, к GE Z+. Внутри каждой из
областей R(+> можно производить операции сложения и вычитания
меньшей величины из большей, можно также брать отношение вели-
чин.
Если а ЕЕ R(+\ Р ЕЕ R(+, то существует величина у = а X р,
причем у е R++l).
Если к Z, то существует величина б = а : р, причем б ЕЕ
е R(+~l}.
После построения такой «лестницы» величин, Виет предлагает
обозначить неизвестные величины с помощью гласных букв алфа-
вита: Л, Е, J, О,. . а известные — с помощью согласных:
В, С, D,. . .
При этом Виет отмечает специальным символом, помещаемым
справа внизу соответствующей буквы, к какому роду принадлежит
обозначаемая величина. Так, если В е то Виет пишет
®pian (т. е. planum — плоское), если же 4 Е 7?+?, то он пишет
^quad. Аналогично, величины, принадлежащие получают
' 192
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII— XVI ВВ.
индексы solid или cub, а принадлежащие R(± — индексы piano-
planum и quadrato-quadratum и т. д.
Для сложения и вычитания Виет принимает коссические зна-
ки «+» и «—», а также вводит новый знак ===== для обозначения
абсолютной величины разности двух чисел:
Для умножения он пользуется словом in: A in В, для деления —
словом adplicare.
После этого он вводит правила:
А — (В. ± С) — А — В =F С, A in (В ± С) — A in В ± A in Св
а также операции над дробями, записанными с помощью букв,
например,
Л	л , + Zin В
В +z— в
В следующем трактате Ad logisticen speciosam notae priores
[114], который появился только в собрании сочинений 1646 г.,
Виет выводит сводку наиболее необходимых для алгебры формул:
(А±Ву = Ап±пАп'1В+. ..±Вп,	п = 2,3,4,5;
Ап + Вп = (А + В) (Ап~г - Ап^В + .. . + Вп~\ п = 3,5;
Ап — Вп = (Л - В) (А71"1 + ЛП“2В 4- .. . + Б71'1), п = 2, 3, 4,5;
и др.
Буквенное исчисление Виета было усовершенствовано Рене
Декартом (1596—1650), который освободил исчисление от прин-
ципа однородности и придал ему современную форму. В конце
XVII в. исчисление было построено для анализа бесконечно малых ,
(который долгое время называли «алгеброй бесконечного») — это |
были метод флюксий и бесконечных рядов (обобщение многочле-
нов!) Ньютона и дифференциальное и интегральное исчисление
Лейбница. В XVIII в. были построены вариационное исчисление
и исчисление для частных дифференциалов и производных. На-
конец, в XIX в. исчисление было перенесено и в логику. В настоя-
щее время почти в каждой математической теории существует ।
овое исчисление (векторное, тензорное и т. д.), более того, сне- ।
циальные исчисления строятся для отдельных задач как теорети-
ческих, так и практических. Аппарат формул стал неотъемлемый ।
языком математики. И родоначальниками были Диофант и Виет. |
ВЕК АЛГЕБРЫ
193
5.	«GENESIS TRIANGULORUM»
«Genesis triangulorum» — так озаглавлена последняя часть Ad
logisticen speciosam, notae priores, содержащая 12 предложений
(XLV — LVII). В первых девяти из них Виет строит своеобраз-
ное исчисление треугольников, опираясь на формулу композиции
форм
{х2 +	(и2 + у2) = {хи — г/р)2 + {xv + уи)2 =
= {хи + yv)2 + {xv — уи)2,	(3)
которая была выведена и использована Леонардо Пизанским (см-
гл. I). Форме х2 + у? Виет сопоставляет прямоугольный треуголь-
ник с основанием х9 высотой у и гипотенузой z = у х2 + у2;
мы будем записывать его в виде (я, у, z) тогда формулу (3) в случае,
треугольников (я, у, z) и {и, v, w).
Он ставит задачу: «Из двух прямоугольных треугольников «со-
ставить» (effingere) третий прямоугольный треугольник». И по-
ясняет далее, что гипотенуза третьего треугольника должна рав-
няться произведению гипотенуз данных.
Согласно формуле (3) такой третий треугольник можно «со-
ставить» из данных (я, у, z) и {и, v, w) двумя способами:
\ 1) (\xu — yv\, xv + yu, ZW),
(«, У, Z) (g) (и, v, w) =	.	.	.	,	.
I 2) {xu + yv, I xv — yu |, zw)
(см. рис. 9).
Треугольник, полученный в результате первой операции,
Виет называет synaereseos от греческого глагола oovaipico — «со-
четать», «объединять», а треугольник, полученный в результате
Вт°рой операции,— diareseos от греческого глагола (katpeco —
«Разрезать», «рассекать». Он не разъясняет здесь смысл этих на-
7 Заказ № 3214
194
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
званий, но пишет, что причину этого объяснит в своем месте («оЬ
causam suo experimendam loco»).
Из других произведений Виета и из примечаний его ученика
Андерсона следует, что Виет дал такие названия результирующим
треугольникам потому, что знал, что острый угол при основании
первого из них равен сумме острых углов при основании состав-
ляемых треугольников, а при основании второго — их разности.
Итак, операция «составление» треугольников распадается на
две. Мы будем обозначать первую из них символом а вторую —
®2. Постараемся выяснить смысл обеих операций с точки зрения
современной математики.
Установим связь между операциями «составления» и умноже-
ния комплексных чисел. Для этого поставим в соответствие пря-
моугольному треугольнику (ж, у, z) комплексное число а = х -(-
+ iy с нормой Na = х2 + У2 и аргументом ср = arctg,(y/x). Об-
ратно, каждому комплексному числу а — х + iy, х^> 0, у О,
можно поставить в соответствие прямоугольный треугольник Вие-
та (х, у, У Na).
Если мы теперь произведем операцию ®х над двумя такими
треугольниками (х, у, z) и (и, у, w) с острыми углами при основа-
нии <р и причем если Ф + ф < л/2, то этой операции будет в
точности отвечать умножение соответствующих комплексных чи-
сел а = х + iy и 0 = и -f- iv.
Если же л/2<ф4-г|)-< л, то Виет получает путем композиции
форм хи — yv < 0, т. е. с нашей точки зрения, комплексное чис-
ло, лежащее во второй четверти. Однако он ставит ему в соответст-
вие треугольник со сторонами (| хи — yv |, xv + yu, zw), т. е.
переходит от числа —а + Ы\а > О, Ъ > 0) к числу а + bi. Лег-
ко видеть, что результат его первой операции можно записать так:
| а0, если 0<^ф + ф<^л/2,
ц—если я/2<^ф л.
Как же применить эту операцию к умножению трех, четырех
и т. д. множителей? Виет делает это весьма искусно; если нужно
применить операцию 0Х к треугольникам (х, у, z) и (u, v, w) и
(р, q, г), то он делает последовательно композицию форм х2 + у*,
и2 + v2 и р2 + 02- Пусть результирующей формой будет а2 + Ъ2.
Проделанные композиции отвечают умножению (х + ,yi) (и +
+ vi) (р + qi) = а Ы, N (а + bi) = а2 + Ъ2, где, разумеется,
а и Ъ могут быть как положительными, так и отрицательными.
После этого Виет интерпретирует окончательный результат как
прямоугольный треугольник (| а |, | Ъ |, У а2 + Ъ2). Таким об*
разом, по существу, прямоугольный треугольник (| а ], | Ь
У а2 + Ь2) является образом четырех комплексных чисел а +
+ Ы, —а + Ы, а — Ы, -—а — Ы. В этом состоит неудобство ис*
числения Виета, происходящее от его нежелания пользоваться
ВЕК АЛГЕБРЫ
195
отрицательными числами. Однако, поскольку треугольник (| а |,
| Ъ |, Y л2 + Ь2), который мы будем называть «приведенным»,
обычно появляется только для интерпретации конечного резуль-
тата, то никаких недоразумений не возникает.
Аналогично 2-ю операцию составления треугольников можно
определить соотношениями
а®2₽ =
ар, если ф — ф > О,
(а,*Р), если ф — ф О,
т. е. эта операция отвечает умножению комплексного числа а
на число Р = и — vi с последующей интерпретацией на «приве-
денный треугольник».
Заметим, что каждый прямоугольный треугольник (ж, у, z)
однозначно определяется гипотенузой z и острым углом при осно-
вании ф. Таким образом, треугольнику Виета можно поставить
в соответствие не только «алгебраическую форму» комплексного
числа х -|- yi, но и его «тригонометрическую форму»
z (cos ф + i sin ф).
В предложениях XLVIII—LX Виет применяет 1-ю операцию
«составления» к двум равным треугольникам (а, Ъ, с), затем к тре-
угольнику, полученному в результате этой композиции (а1ч сх),
и первоначальному треугольнику (а, Ъ, с) и т. д. Мы могли бы ска-
зать, что он рассматривает возведение треугольника (а, Ь, с) в це-
лую положительную степень и, что эквивалентно возведению в сте-
пень а + Ы или с (cos ф -|- i sin ф). Рассмотрим подробнее эти
предложения. В предложении XLVIII Виет находит (а, Ъ, с) 01 (а,
Ь, с) ~ (| а2 — Ь21, 2аЪ, с2). Он отмечает, что угол при основании
полученного треугольника равен 2ф, и называет его, поэтому,
’треугольником двойного угла Ч В предложении XLIX Виет,
применяя композицию к первоначальному треугольнику и
треугольнику двойного угла, получает треугольник (| а3 — ЗаЬ2 |,
1 За2Ь — Ь3 |, с3), который называет треугольником тройного угла.
Как нетрудно видеть, этот третий треугольник получен путем ком-
позиции форм
((а2 _ £,2)2 + (2аЬ)3) (а2 + £,2).
Аналогично в предложении L Виет, компонируя треугольник
тройного угла с первоначальным, получает треугольник
(|«4 - 6а«Ь2 + Ь4 |, | 4а3й - 4а&3 |, с4).
—----
Если 2<р < л/2, то а2 — Ь2 > 0, и утверждение Виета не требует дополни-
тельных рассуждений. Если же л/2 < 2<р < л, то а2 — Ь2 < 0. Если взять
приведенный» треугольник (| а2 — Ь21, 2аЬ, с2), то острый угол при его ос-
новании будет л — 2(р. Такое же «приведение» придется делать и в дальней-
196
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Наконец, в предложении LI он получает тем же путем треуголь-
ник с углом при основании 5ф и со сторонами
(|а5 - 10а3Ь2 + 5аЬ4 |, | 5а4Ь - 10а2Ь3 + Ьб |, с5).
После этого Виет формулирует общее правило «развертывания»
(diductionibus) прямоугольных треугольников».
«ОТСЮДА ПОЛУЧЕНО
общее следствие о раздвижении прямоугольных
треугольников.
Если образована какая-нибудь степень от бинома и получен-
ные отдельные однородные члены последовательно распределе-
ны на две части, и в обеих взяты сначала положительными, а за-
тем отрицательными, то основание некоторого прямоугольного
треугольника будет подобно первой части, а высота — второй.
Гипотенуза же будет подобна самой степени.
Тот треугольник, основание которого подобно или равно одно-
му из корней составленного (бинома), высота же — другому, по-
лучает название от своего угла, стягиваемого высотой. В самом
деле, треугольники, полученные развертыванием тех же корней,
путем возведения в любую степень удобно называть по кратности
того же угла. А именно, двойного, когда степень квадрат, трой-
ного, когда степень куб, учетверенного, когда степень квадрато-
квадрат, упятеренного, когда — квадрато-куб, и в такой же по-
следовательности до бесконечности» [114, с. 37].
Таким образом, правило Виета равносильно формуле возведе-
ния а + Ы в любую целую положительную степень:
(а + bi)n = ап 4- па^Ы — —С? 9 ап-262 —
Действительно, Виет предлагает возвести в соответствующую
степень п бином а + Ъ
(а Ь)п = а" + пап~1Ь +	=	+
1 • А
п	ап-зьз _|_... + &П
1 * Z * м
затем разделить полученные однородные члены на два ряда (че-
рез один член), причем придать членам этих рядов чередующиеся
знаки:
1) а« - (р ~1} а"-2&2 + .. .,
2) na^b — ,?("-J)(»-2) а"-з&8 _|_ ...
'	1 • 2 • 3	*
ВЕК АЛГЕБРЫ
197
Тогда первый ряд будет отвечать основанию результирующего
треугольника, а второй — его высоте. Иначе говоря
Re (а 4- Ы)п — ап--и(”~1) а"-Ч2 + . ..,
Im (а + Ы)п = иа"-*1 —»(» — !)(» —2) ап-з^з .
1 • Z • о
Здесь Виет ничего не говорит о том, что для результирующего
«приведенного» треугольника надо взять ] Re (а + bi)\ и
| Im (а + Ы) |, но очевидно, если следовать его методу, придется
это сделать.
Во второй части следствия Виет замечает, что гипотенуза ре-
зультирующего треугольника равна яп, а угол при основании есть
пф1, иначе говоря
[z (cos ф + i sin ф)]п = zn (cos пф + i sin пф).
Таким образом, это предложение содержит и так называемую
формулу Муавра. Заметим, что знание этой формулы и помогло
Виету сразу решить задачу ван Ромена (см. раздел 3). Действи-
тельно, из «формулы Муавра» Виет нашел выражения sin пф
и cos иф в виде многочленов от sin ф и cos ф:
( 7?п(зтф), при и = 2Л-|- 1,
sinпф = Рп (sinф, cos ф) = { т	.	П7
у	( зшфГп^Лсозф), при и = 2Л,
cos пф = Qn (sin ф, cos ф) = Sn (cos ф).
Виет заметил, что заданное значение а является выражением
для хорды правильного 15гугольника, вписанного в круг радиуса
1 (т. е. хордой дуги в 24°), а коэффициенты уравнения показали
ему, что уравнение выражает sin ф через sin (ф/45), т. е. х должен
быть хордой 1/45 этой дуги, иначе говоря стягивать дугу в 8715
или х = 2 sin (4715). Таким образом, задача была сразу решена,
так как требовалось дать ее геометрическое решение. Однако Виет
не ограничился нахождением одного решения, на другой день
он нашел еще 22 решения:
Xt = 30»+.2- ,	.....22
(остальные 22 решения будут отрицательными, поэтому Виет их
не учитывал).
Заметим, что в интерпретации комплексных чисел а + bi тре-
угольниками, одно из чисел, а именно i, представления не полу-
чило. Действительно, этому числу должен был бы отвечать вы-
рожденный треугольник (О, 1, 1), который Виет, разумеется,
*— ——
1 Если мы захотим представить результат «приведенным» треугольником, то
гипотенуза его будет zn, а угол гаф надо будет привести к острому.
198
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
принять не мог. Но умножение на i в его исчислении было необ-
ходимо ввести, и Виет сумел это сделать следующим образом.
В предложении LII он доказывает, что если строить два треуголь-
ника — первый на числах ц, а второй на числах li = t — т),
т)1 = £ -|- ц, то второй треугольник будет подобен первому с коэф-
фициентом подобия 2, причем базис и высота его меняются места-
ми (т. е. происходит поворот на л/2).
Но построение треугольника на числах ц эквивалентно воз-
ведению треугольника (|, т), I2 + Ц2) в квадрат. Действитель-
но, если |	т), то
(L ть / F + Л2)	(I, Л. V l2 + n2) =
= (£2- ¥, 2U 12+Л2).
‘Г’-/	4/ -7/=
Г 2D, 2В, 2 z)
Рис. 10
С другой стороны, -|- т)1 i можно получить как произведение
(е + по а + о = (? - п) + (в + n) i-
Значит,
(11 + V)2 = (5 + ПО2 (1 + О2 = (В2 - П2 + 2gT)i)-2f,
т. е. треугольник, построенный на числах т)х, будет получаться
из треугольника, построенного на ц путем умножения послед-
него на 2i (рис. 10).
Вернемся к пропущенному нами предложению XLVII. В нем
Виет ставит задачу: пусть даны два подобных прямоугольных
треугольника (аг, у, z) и (u, р, w)-. х : и = у : v = z : w, требуется
«вывести» из них (deducere) третий прямоугольный треугольник,
у которого квадрат гипотенузы равен сумме квадратов гипотенуз
заданных треугольников, т. е. z2 + w2. При этом подразумевается,
что стороны результирующего треугольника должны рациональ-
но выражаться через стороны данных. С первого взгляда кажется,
что Виет определяет здесь третью операцию операцию «вы-
ведения», однако в процессе решения оказывается, что эта новая
операция сводится к первым двум.
Действительно, пусть и = кх, v — ку, тогда z2 + w2 ~ z2 (1 +
+ к2), т. е. искомый треугольник можно получить, применяя обе
операции «составления» и ®2 к прямоугольному треугольнику
ВЕК АЛГЕБРЫ
199
(х, у, z) и одному из треугольников (1, к, 1 + к2\ или (А, 1,
1 + А2). Итак, эта третья операция эквивалента умножению
комплексного числа а = х + yi на одно из четырех чисел [3 =
= 1 + ki, р = 1 — ZcZ, у = к i, у — к — i.
Для этой третьей операции Виет определяет обратную опера-
цию. Это он делает в предложении 4 книги 4 трактата «Zetetica»
[112]. Задачу он формулирует следующим образом: «Найти два
подобных прямоугольных треугольника с заданными гипотенуза-
ми, если известен базис «выведенного» из них третьего треуголь-
ника, который состоит из высоты первого и базиса второго. Необ-
ходимо кроме базиса, чтобы была известна гипотенуза первого из
них».
Хотя Виет не говорит об этом в своей теореме, однако молча-
ливо предполагает, что квадрат гипотенузы третьего треугольни-
ка равен сумме квадратов первых двух. Это подтверждается не
только последующим решением, но и терминологией: Виет гово-
рит о выведении (deducere), а не «составлении» (effingere), третьего
треугольника из двух данных.
Предположим, что первый из искомых треугольников имеет
гипотенузу 2, второй w и w : z = к. Обозначим катеты первого
треугольника через х, у, а второго, подобного ему, через кх.ку.
«Выведенный» треугольник имеет заданные гипотенузу z2 w2
и базис кх + у = N. Но тогда задана и высота М этого треуголь-
ника. Отсюда получаем систему уравнений
кх + у — N,	\х — ку | = М.
Виет рассматривает два случая:
1) ку ~ х = М и 2) х — ку = М.
первом из них он получает
wN — zM	zN 4- wM
X	2 I 2	Z., У * - о . n Z
z*-\- w2 v z2 4- w2
(в этом случае wN — zM 0). Легко видеть, что здесь Виет на
другом яэкке определяет обратную операцию, точнее говоря, из
равенства
(х + iy) (к — г) = N + Mi
он определяет
, .	N + Mi
х + 1у = -—Г,	_
В торой случай соответствует определению у + xi из равенства
(у + #0 (1 — ki) = N + Mi.
Заметим, что эти операции над треугольниками допускают и
Другие интерпретации. Например, первый случай мы можем ис-
толковать как решение задачи: найти число у — xi. удовлетворяю-
200
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
щее равенству
(1 + ki) (у -xi) = N + Mi,
а второй случай — как решение задачи: найти число х — yi такое,
что
(А: + i) (х — iy) = N + Mi,
Такая неоднозначность получается потому, что Виет при ком-
позиции треугольников может менять местами базис и высоту,
а также переставлять треугольники с тем, чтобы получить в ре-
зультате положительные основание и высоту.
|h> Заметим, что операция «выведение» и обратная к ней имеют дос-
таточно общий характер. Действительно, прямая операция экви-
валентна умножению любого комплексного числа а — х + yi
на число у вида 1 ± ki или к ± i. Но любое число Р — а + bi =
=	+-~~ = Ъ	,т. е.отличается от у только действи-
тельным множителем.
Итак, Виет построил безупречно строго оригинальное исчис-
ление треугольников, которое эквивалентно умножению комплек-
сных чисел и их делению. Он вывел формулу, эквивалентную воз-
ведению комплексного числа как в обычной (а + Ы), так и в три-
гонометрической форме г (cos ф + i sin ф) в любую положительную
целую степень. При этом он не вводил никаких новых «объек-
тов» или «символов» типа 1.
Сравним комплексные числа-символы Бомбелли с исчисле-
нием треугольников Виета. Каждая из этих систем имела свои
достоинства и свои недостатки: числа-символы Бомбелли были
удобны для производства четырех действий арифметики, по сов-
ременной терминологии, они составляли поле, т. е. определенные
для них два закона композиции обладали теми же «хорошими»
свойствами как сложение и умножение рациональных чисел.
Однако они не имели «тригонометрической формы», т. е. с ними
не были связаны понятия модуля и аргумента. Поэтому они были
неудобны для выполнения операции извлечения корня, а также
для приложений к тригонометрии.
Исчисление треугольников Виета допускало как алгебраиче-
скую, так и тригонометрическую интерпретацию, и поэтому оно
было сразу же применено для получения ключевых формул три-
гонометрии. Виет пользовался им и при решении неопределенных
уравнений. Однако это исчисление было малооперативным, к тому
же над треугольниками был определен только один закон компо-
зиции (соответствующий умножению), короче, оно было построе-
но еще в духе античной математики. Поэтому при дальнейшем
развитии математики Нового времени предпочтение было отдано
оперативным числам-символам. В XVIII в. они получили триго-
нометрическую интерпретацию, а в прошлом веке, особенно после
ВЕК АЛГЕБРЫ
201
того, как Гаусс построил арифметику комплексных чисел, они
приобрели права гражданства, превратившись в «настоящие» числа.
6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
У ВИЕТА
«Zetetica» Виета состоит из пяти книг [112, 114]. В первых
трех решаются уравнения первой и второй степени и различные
задачи на пропорции. Начиная с IV книги, Виет приступает к ре-
шению неопределенных уравнений.
Первые пять задач книги IV (за исключением задачи 4, о ко-
торой мы говорили в предыдущем параграфе) сводятся к уравне-
ниям
х2 + у2 _	(4). Х2 + у2 = В2 +	De	(5)
Заметим, что именно у Виета впервые эти задачи трактовались
с помощью буквенной алгебры. До него для решения задач пара-
метрам BuD придавали те или иные конкретные значения.
Решая задачи (4) и (5), Виет сначала применяет метод Леонар-
до Пизанского (не называя его имени), затем метод Диофанта и,
наконец, показывает, что оба метода приводят к эквивалентным
рациональным выражениям для неизвестных. В случае (5) он при-
водит еще один метод решения — свой собственный.
Приведем решение задачи (5).
Первое решение. Виет рассматривает прямоугольный
треугольник (В, Р, z) где z — У В2 + D2 и может быть ирра-
циональным, и другой прямоугольный треугольник (р, q, г), где
р, q, г •— рациональные. К этим треугольникам он применяет
композицию, определенную в Genesis triangulorum. В результате
получим-.^
(В, D, z) 0Х (р, q, г) = (\Вр — Dq |, Bq + Dp, rz),
(В, D, z) 02 (p, q, r) = (Bp + Dq, \ Bq — Dp |, rz).
После этого Виет берет прямоугольные треугольники, подоб-
ные получившимся и имеющие гипотенузу z. Это будут:
о(№7Да| , _a±"£-,,
2) ( BP + DQ \Bq — Dp\
°ткуда сразу получаем два разложения В2 -f- D2 на сумму двух
Других квадратов:
ъ =	t У1 =	;	(6)
т»— BP + D9 „ _ Bq —Dp
---------- , yt------------.	V'/
202
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
В терминах комплексных чисел первое из этих решений полу-
чается умножением числа а — В -|- Di на число Р = —- 4- -у- у
которого вещественная часть и коэффициент при мнимой части ра-
циональны, а Дф = 1. Второе получается соответственно умноже-
нием а = В — Di на 0.
Второе решение. Оно приводится по Диофанту, но
Виет впервые алгебраизирует его. Первое из искомых неизвест-
ных он обозначает А + В, второе — А— D, подставляет эти вы-
ражения в уравнение (5) и получгет
. 2RSD + В (S« - Я2)	S л п
х=4=------------------L, y=—A—D=
(£2 — Л2) D — 2SRB
_ Я* + В* *	1°)
После этого Виет замечает, что выражение (7) и (8) совпадают,
если принять, что
р = S2 - 7?2, 2RS и г = 7?2 + S\
Третье решение. Оно дано в предложении IV3 и опи-
рается на операцию «выведения» из двух подобных прямоугольных
треугольников третьего. А именно, Виет рассматривает два пря-
моугольных треугольника со сторонами (u, и, В) и (fcu, kv, D),
где к = DIB, и строит третий с гипотенузой j/7?2 + D2.
Тогда основание его будет х = | и — км |, а высота у = ки +
+ v. Таким образом, мы получаем новое решение, если учтем, что
и2 -|- р2 = В2, т. е.
Тогда
_ 2Bi—D(l —Г2)	_ B(i — ?) + 2Dt
х~ 1+«а	» у~ 1+f	•
Если подставить t = SIR, то легко убедиться, что этим новым
способом мы вновь получаем те же диофантовы решения (8).
[Итак, Виет приводит три различных метода решения, причем
все три он излагает в общем виде. Только после вывода общих
формул он приводит числовой пример В => 4, D =я 5, р =* 3,
q — 4, г = 5.
Следует, однако, заметить, что первый и третий методы реше-
ния максимально приспособлены к виду уравнения (5), тогда как
второй метод — метод Диофанта — пригоден для любого неопре*
деленного уравнения второй степени от двух неизвестных F2 (#,
у) = 0, одно решение которого я0, yQ известно.
В задаче IV5 Виет решает задачу Диофанта «с ограничением»,
ВЕК АЛГЕБРЫ
203
т. е. найти такие х, у, что
х* 4- у3 = В2 + D3,	f<x3<g.
Он делает это, применяя свою операцию «выведения» и обратную
ей. Мы не будем приводить здесь это интересное решение (ввиду
его длины) и отошлем желающих с ним познакомиться к статье
[8, 49]. Список неопределенных уравнений, решенных Виетом в
книгах IV и V «Zetetica» см. в «Приложении».
7. ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КУБОВ
Решая задачу V18, Диофант пришел к необходимости предста-
вить число 162 в виде суммы трех кубов. Он заметил, что
162 = 58 + 48 — З8,
после чего сформулировал следующее предложение: «Из «Пориз-
мов» мы имеем: «Разность всяких двух кубов равна сумме двух ку-
бов» [18, с. 140]. Никакой книги «Поризмов» до сих пор не найде-
но, поэтому теорема Диофанта о том, что уравнение
уЗ = а3 _ Ь8	(9)
всегда разрешимо, предстала перед математиками XVI—XVII вв.
как проблема, которую нужно исследовать. Этой проблеме посвя-
тили свои силы Р. Бомбелли, Ф. Виет, Баше де Мезириак, А. Жи-
рар и П. Ферма.
Первое решение было предложено Р. Бомбелли в его «Алгеб-
ре». В задаче № 233 третьей части этой книги Бомбелли приводит
формулировку и решение задачи V18 «Арифметики» и по ходу дела
приходит к необходимости представить разность двух кубов 43 — З3
в виде суммы двух других кубов.
Для этого Бомбелли полагает сначала
х = t — 3, у — 4 — t
(мы пользуемся для удобства современными обозначениями, сам
Бомбелли сторону первого куба обозначал 11тЗ, а второго —
4wll). Тогда
«з =	_ Qt2 + 27t - 27, у3 = -t3 4- 12f2 - 48i 4<64.
«Но доля 27 от 48 будет 9/16; поэтому она должна быть числом
при t, которое вычитается иэ 4, так что остаток будет 4 — ®/18t»
(11 271 si parte per 481 ne viene ®/i8 e questo ё Ц numero delli che si
deve cavare di 4, che resta 4 — ®/18J) [57, c. 454]. Полагая^у ==
4 — ®/iet, Бомбелли получает
21312	_ 11211 —	« 1480 |
3367 ’ X ~~ 3367 ’ У ~ 3367 Г
Странным образом Бомбелли ес замечает, что полученные им дро-
204
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
би могут быть сокращены на 37, т. е. что
,	576	303	40
Х~ 91 ’ У ~~ 91 *
Мы видим, что Бомбелли применил здесь «метод касательной»,
причем подробно пояснил, каким должен быть коэффициент к при
подстановке
х — t — а, у — kt + Ь.
Правило Бомбелли сводится к тому, что после возведения х и у
в куб и подстановки в уравнение (9), следует приравнять нулю
коэффициент при первой степени t. Таким образом, Бомбелли по-
нимал, что в этом случае к не может быть произвольным. Способ
определения к он извлек из задачи IV24 Диофанта, которую он
изложил в своей задаче № 169.
Однако Бомбелли не выделил «проблему четырех кубов» в ка-
честве самостоятельной задачи и не рассмотрел ее общим образом,
а только при конкретных значениях а и Ъ. И то и другое было сде-
лано Виетом, который в задачах IV18_20 рассмотрел последователь-
но уравнения
IV18. я3 + у3 = В3 - D3. IV19. х3 - у3 = В3 + D3.
IV20. х3 - у3 - В3 - D3.
Остановимся на задаче IV18, которая в точности соответствует
поризму Диофанта. Пусть В > D > 0. Тогда Виет делает подста-
новку
в2
x — B — t,	y = -^t — D.
При этом в IV18 пропадают свободные члены и член с первой сте-
пенью t, и Виет получает
. _ 3BD3	_pB3 — 2D3	п 2B3 — D3
В3+ D3' Х В3+ D3 3 У U В8 + D3 *
Для того чтобы оба куба были положительны, Виет требует, чтобы
В3 — 2D3	0, т. е. В3 2D3. Таким образом, он доказывает «по-
ризм» Диофанта, только при дополнительном ограничении. Это же
ограничение повторил в своих комментариях к Диофанту и Баше.
На это обстоятельство обратили внимание, по-видимому, неза-
висимо друг от друга, Альбер Жирар и Пьер Ферма, об изыска-
ниях которых мы расскажем в следующей главе. Теперь же за-
метим, что только у Виета метод касательной приобрел вполне
общую форму. Значение к — B2/D2 Виет мог получить только при-
равнивая нулю коэффициент при £, т. е. по существу, определив
чисто алгебраически угловой коэффициент касательной в точке
(В, —D). Тем же методом Виет решает задачи IV19 и IV2d. Таким
образом, этот метод Диофанта был ему уже вполне ясен.
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
205
Интересно также, что Виет замечает, что его решение позволяет
выразить любой куб В3 в виде суммы трех кубов
В» = D® 4- (В ВЗ~22?8У + (d 2Bi~D3 У
D ф	В» + D3 / ф В» + 2)8 /
или
В3(В3 + В3)3-
= D3 (В3 + В3)3 + В3 (В3 - 2D3)3 + В3 (2В3 — В3)3,
откуда, полагая В = 2, В = 1, он получает красивое разложение,
известное еще Диофанту, 63 = З3 + 43 + 53.
8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы видели, что в конце XVI в. в развитии алгебры наступает
крутой перелом: алгебра, наконец-то, обретает свой собственный
язык, который позволяет начать общие исследования определен-
ных и неопределенных уравнений. Особая роль этих последних
достаточно видна в творчестве и Бомбелли, и Виета.
Более глубокий, теоретико-числовой слой, пока остался не-
тронутым. Впервые он был поднят и исследован величайшим ма-
тематиком следующего столетия — Пьером Ферма. Ему же при-
надлежит и более глубокое проникновение в суть методов решения
неопределенных уравнений. К его творчеству мы теперь и перей-
дем.
ГЛАВА IV
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
У ПЬЕРА ФЕРМА
1. ПЬЕР ФЕРМА И ЕГО ВРЕМЯ
В XVII в. необыкновенные успехи выпали на долю механики.
Именно в это время была создана классическая механика небес-
ных и земных тел: начало века было ознаменовано открытием Кеп-
лера законов движения планет, а конец — созданием первой си-
стемы мира в «Математических началах натуральной философии»
Ньютона. Такой необыкновенный взлет механики был бы невоз-
можен без соответствующего преобразования математики. Все
крупные физики и астрономы того времени — Кеплер, Галилей,
Торричелли, Гюйгенс, Ньютон, Лейбниц — занимались также
разработкой математических методов. Если в нескольких словах
резюмировать те изменения в математике, которые произошли
в результате всех этих изысканий, то можно сказать, что наряду
206
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
с числами, фигурами и величинами основным математическим
объектом становятся функции. Для их изучения строится сначала
аналитическая геометрия, а затем анализ бесконечно малых.
' В создании последнего приняли участие ученые различных стран
Европы: Италии, Испании, Австрии, Германии, Англии и Фран-
ции. Н. Бурбаки пишет: «По правде говоря, в то время, когда дру-
гие открытия в математике, как, например, теория чисел Ферма
и динамика Ньютона, носят печать индивидуальности, развитие
исчисления бесконечно малых в XVII в. напоминает постепенное
и неизбежное развертывание симфонии, в которой «Zeitgeist», яв-
ляясь одновременно композитором и дирижером, держит в руках
дирижерскую палочку. Каждый выполняет отдельную роль в сво-
ем музыкальном тембре, но никто не является создателем той те-
мы, которая почти безнадежно запутана введением сложного
контрапункта» [И, с. 176].
Добавим, что большинство ученых отдало делу создания ана-
лиза все свои силы, только немногие из них были настолько твор-
чески одарены, что занимались и другими областями математики.
Здесь первое место, безусловно, принадлежит Пьеру Ферма (1601 —
1665), который оставил глубокий след во всех областях
математики своего времени: наряду с Декартом он явился созда-
телем аналитической геометрии, ему принадлежит метод максиму-
мов и минимумов, а также касательных, который для алгебраи-
ческих функций совпадает с отысканием производной, в интеграль-
ном исчислении он дал метод для нахождения площадей, которые
мы теперь записываем в виде
ЗС1
Хо
где p/q > 0, и
оо
£ —"Т~
J xp!q ’
Xq
где p/q 1, х0 0. Короче, Ферма принадлежат в анализе беско-
нечно малых самые крупные результаты, которые предшествова-
ли созданию дифференциального и интегрального исчисления
Ньютоном и Лейбницем.
Помимо этих, традиционных для XVII в. тем, Ферма занимал-
ся алгеброй, комбинаторикой и оптикой. Ему принадлежит от-
крытие закона распространения света и первая формулировка прин-
ципа: «Природа всегда действует наиболее короткими путями»,
который можно считать предвосхищением принципа Эйлера—
Мопертюи. И все же главным делом его жизни была теория чисел.
Здесь он был первооткрывателем и основоположником. Он сумел
выделить из множества задач и вопросов арифметики те основные
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
207
проблемы, которые стали ядром теории чисел двух последующих
веков. При этом впервые после Ферма разработку вопросов тео-
рии чисел продолжил только Эйлер. Объясняя это явление,
П. Л. Чебышев писал, что такой перерыв в развитии высшей
арифметики объясняется тем, что «эти изыскания требовали не но-
вых приложений приемов, уже известных, и не новых развитий
приемов, прежде употреблявшихся; эти изыскания требовали
создания новых приемов, открытия новых начал, одним словом,
основания новой науки» [42, т. 1, с. 10].
Ферма при жизни был признан первым математиком своего
времени. После' его смерти, в «Похвальном слове», опубликован-
ном 9 февраля 1665 г. в «Journal de S^avans» («Журнале ученых»),
говорилось: «Это был один из наиболее замечательных умов на-
шего века; такой универсальный гений и такой разносторонний,
что если бы все ученые не воздали должное его необыкновенным
заслугам, то трудно было бы поверить всем вещам, которые нужно
о нем сказать, чтобы ничего не упустить в нашем похвальном сло-
ве» [71, с. 194].
Но несмотря на славу, которую приобрел Ферма, о нем самом,
о его жизни, мы знаем очень мало. Можно подумать, что он жил
не в XVII в., когда общественная и политическая жизнь Франции
била ключом, а в глухие времена раннего средневековья!
Вот то немногое, что известно о нем: он родился на юге Фран-
ции в небольшом городке Бомон-де-Ломань, где его отец Доминик
Ферма был «вторым консулом», т. е. состоял в должности типа по-
мощника мэра. Метрическая запись о его крещении от 20 августа
1601 г. гласит: «Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго
консула города Бомона». Мать Пьера, Клер де Лонг, происходила
из семьи юристов. Итак, Пьер Ферма принадлежал к «третьему
сословью».
Доминик Ферма дал своему сыну очень солидное образование.
В колледже родного города Пьер приобрел хорошее знание язы-
ков: латинского, греческого, испанского, итальянского и фран-
цузского. Впоследствии он писал стихи на латинском, француз-
ском и испанском языках «с таким изяществом, как если бы он жил
во времена Августа или провел большую часть своей жизни при
дворе Франции или Мадрида» [71, с. 196].
Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему обра-
щались за консультациями по поводу трудных мест при изданиях
греческих классиков. По общему мнению, он мог бы составить
себе имя в области греческой филологии. Но Ферма направил всю
силу своего гения на математические исследования. И все же ма-
тематика не стала его профессией. Ученые его времени не имели
возможности посвятить себя целиком любимой науке. Виет был
юристом и тайным советником французских королей, Декарт —
офицером, Мерсени и Кавальери — монахами. Ферма избирает
юриспруденцию. Мы не знаем, в каком городе он изучал право.
208
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Эту честь оспаривают Тулуза и Бордо. Известно только, что сте-
пень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 г. Фер-
ма появляется в Тулузе, где получает место советника в Парла-
менте (т. е. суде). О его юридической деятельности мы читаем в
упоминавшемся уже «Похвальном слове», что он выполнял ее
«с большой добросовестностью и таким умением, что он славился
как один из лучших юрисконсультов своего времени» [71, с. 196].
В 1631 г. Ферма женился на своей дальней родственнице с ма-
теринской стороны — Луизе де Лонг. У Пьера и Луизы было
пять детей, из которых старший — Самюэль — стал поэтом и уче-
ным. Ему мы обязаны первым собранием сочинений Пьера Ферма,
вышедшем в 1679 г. Пьер Ферма скончался 12 января 1665 г. во
время одной из деловых поездок.
Вот перечень тех сухих фактов, которые мы знаем о жизни
величайшего математика. К сожалению, Самюэль Ферма не оста-
вил никаких воспоминаний об отце. Впрочем жизнь ученого обыч-
но бывает бедна внешними событиями. Основное ее содержание
раскрывается только в творчестве, которое и составляет огромный
духовный подвиг ученого.
Что же осталось из произведений Ферма? Собрание сочинений,
которое он неоднократно пытался подготовить, так и не было им
написано. Да это и неудивительно при той напряженной работе
в суде, которую ему приходилось выполнять. Ни одно из его сочи-
нений не было опубликовано при жизни. Однако нескольким трак-
татам он придал вполне законченный вид, и они стали известны
в рукописи большинству современных ему ученых. Это были
трактаты по аналитической геометрии, о максимумах и миниму-
мах и о квадратуре парабол и гипербол, т. е. кривых вида
= ахр и yqxp = а. Кроме этих трактатов, сохранилась также об-
ширная и чрезвычайно интересная переписка.
В XVII в., когда еще не было специальных научных журна-
лов х, переписка между учеными играла особую роль. В ней ста-
вились задачи, сообщалось о методах их решения, обсуждались
острые научные вопросы.
Корреспондентами Ферма были крупнейшие математики того
времени: Р. Декарт, Ж. Роберваль, Этьен и Блез Паскаль,
Б. Френикль де Бесси, Хр. Гюйгенс, Э. Торричелли, Дж. Вал-
лис. Письма посылались либо непосредственно корреспонденту,
либо в Париж аббату Мерсену (соученику Декарта по‘колледжу),
который размножал их и посылал тем математикам, которые за-
нимались аналогичными вопросами. Разумеется, письма почти
никогда не бывают только короткими математическими мемуара-
ми. В них проскальзывают живые чувства автора, что помогает
воссоздать образ писавшего, узнать его характер и темперамент.
х «Журнал ученых» был одним из первых, он начал выходить с 1665 г.
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМД
209
Обычно письма Ферма проникнуты дружелюбием, иногда в них
сквозит тонкая ирония.
Несмотря на то, что нас отделяет от Ферма более 300 лет, чи-
тать эти письма и теперь легко. Они написаны чрезвычайно изящ-
ным языком, который в основном совпадает с современным фран-
цузским. Ведь Ферма и Паскаль были одними из создателей этого
языка.
Особое значение переписка Ферма имеет для теории чисел:
ее теоремы и задачи он формулировал либо в письмах в виде про-
блем, которые он ставил перед другими математиками, либо
в кратких заметках на полях принадлежащего ему экземпляра
«Арифметики» Диофанта в издании Баше де Мезириака. Толька
однажды Ферма рассказал в письме о своем «методе спуска», и еще
один раз на полях «Арифметики» он записал основные этапы дока--
зательства теоремы о том, что никакой биквадрат нельзя предста-
вить в виде суммы двух биквадратов.
Мы говорили уже о том, что в «Арифметике» Диофанта теоремы
теории чисел появлялись как «диоризмы» или «ограничения»,
накладываемые на параметры для того, чтобы та или иная задача
была разрешима. Для Ферма теория чисел — учение о целых
числах — становится самостоятельным предметом исследования.
Сам Ферма писал: «Арифметика имеет свою собственную область,
теорию целых чисел, эта теория была лишь слегка затронута Ев-
клидом и не была достаточно разработана его последователями
(если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых
нас лишило разрушительное действие времени); арифметики, сле-
довательно, должны ее развить или возобновить» [80, т. 2, с. 334] t
Мы остановимся кратко на тех теоретико-числовых проблемах
Ферма, которые непосредственно связаны с «Арифметикой» Дио-
фанта, а затем перейдем к наименее известной части его творчест-
ва — к исследованиям Ферма по диофантову анализу.
2. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ФЕРМА. |
МЕТОД СПУСКА
Первой из теоретико-числовых проблем Ферма, навеянные
«Арифметикой», является проблема представления чисел квад-
ратичными формами, т. е. однородными многочленами 2-й степени
ах2 + 2Zm/|+[cz/®j	(1)
где а, Ь, с — целые числа. Если а, Ь, с — заданы, то проблема’со-
стоит в определении множества {п} целых чисел, представимых в
ьиде (1) при целых значениях х, у.
Диофант, как мы видели, знал решение этой задачи для формы
вида
& +	(2)
210
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
Однако никаких доказательств от него не дошло. Более того,
^ам текст соответствующего «диоризма» был испорчен и восстано-
вить его удалось только Ферма х. Ферма понял, что вопрос о пред-
ставимости следует ставить для простых чисел, а затем уже ре-
шать задачу и для составных чисел. Действительно, легко пока-
зать, что никакое число вида 4га + 3 не может представляться
формой (2), однако составные числа вида 4га + 1 могут быть как
представимыми, например, 65 = 81 2 + I2, так и непредставимыми,
как число 21, т. е. непосредственного общего закона для них за-
метить нельзя.
В замечании № VII к задаче Ш19 «Арифметики» Ферма форму-
лирует теорему, что простое, «которое превосходит на единицу
кратное четырех» и «его квадрат только одним способом предста-
вимы суммою двух квадратов».
Эта теорема была доказана только Эйлером. Следствием ее
является первое дополнение к закону взаимности.
z После этого Ферма установил, что число N представимо в ви-
де (2), если после деления на наибольший, содержащийся в нем
квадрат, оно имеет только простые делители вида 4га + 1. Ферма
дал также алгоритм для определения, сколькими различными спо-
собами заданное число N представимо в виде (2).
От формы (2) Ферма перешел к рассмотрению форм
х2 + 2у2 (3), я2-2^ (4), я2 + 3у2 (5).
Он установил, что все простые числа вида 8га + 1 и 8га + 3 пред-
ставимы формой (3), наоборот, ни одно простое число вида 8га +
+ 5 и 8га + 7 нельзя представить в виде (3).
Аналогично для формы (4) представимыми будут простые чис-
ла вида 8га + 1 и 8га + 7, а непредставимыми — вида 8га + 3
и 8га + 5. Это последнее утверждение было доказано Ж. Л. Лаг-
ранжем, из него следует так называемое второе дополнение к за-
кону) взаимности.
Ферма нашел также, что формой (5) представимы все простые
числа вида 6га + 1 и не представимы — вида 6га + 5.
Уже на примерах Ферма было видно, что в каждом случае
число прогрессий, в которых лежат представимые простые числа,
равно числу прогрессий, содержащих' только непредставимые
простые числа. Это был первый подход к законам взаимности.
Начиная с Эйлера вопрос о представимости чисел квадратич-
ными формами становится одним из центральных. Им занима-
лись Лагранж, Лежандр, Гаусс и др. По существу, на языке
квадратичных форм была построена арифметика квадратичных
полей. Полное построение этой теории было сделано Гауссом в
его «Арифметических исследованиях».
1 О достаточно интересных попытках решения этой проблемы на средние*
вековом Востоке говорилось выше (ч. II, гл. II, раздел 2).
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
211
Вторая проблема связанная с «Арифметикой» — это решение
неопределенного уравнения
ая2 + 1 = у2,	'	(6)
где а — целое неквадратное число, в целых числах.
Это уравнение впоследствии по недоразумению получило имя
Пелля. Мы будем называть его уравнением Пелля—Ферма.
Решение уравнения (6) для а = т2 + к, где к = +1, ±2,
содержится в задачах V9, Vn и V14 «Арифметики». Ферма поставил
эту проблему для любого а Ф □. В феврале 1657 г. в письме к
английским математикам, которое получило название «второго
вызова математикам», он пишет: «Пусть дано некоторое неквадрат-
ное число, тогда существует бесконечно много определенных квад-
ратов таких, что, прибавляя единицу к произведению одного из
них на заданное число, получаем квадрат.
Например, дано неквадратное число 3, 3-14-1=4 (квад-
рат); 3-16 + 1 = 49 (квадрат). Вместо квадратов 1 и 16 можна
найти бесконечно много других, удовлетворяющих предложенно-
му условию, но я прошу дать общее правило, применимое к любо-
му неквадратному числу, которое может быть задано.
Например, пусть нужно найти квадрат такой, что при прибав-
лении 1 к его произведению на 149 или 109 или 433 и т. д. полу-
чался бы квадрат».
Эти значения для а Ферма выбрал потому, что наименьшее ре-
шение уравнения (6) в этих случаях столь велико, что его нельзя
найти подбором. Нужно знать регулярный метод для его нахожде-
ния. Из дальнейшей переписки видно, что Ферма уже четко раз-
личал два вопроса,, на которые распадается проблема решения
уравнения (6):
1) построение регулярного способа нахождения наименьшего^
положительного решения этого уравнения;
2) отыскание рекуррентной формулы для нахождения беско-
нечного числа решений, исходя из наименьшего.
«Второй вызов» повлек за собой весьма интересную переписку
между Ферма и английскими математиками: лордом Броункером*
сэром К. Дигби и Дж. Валлисом, профессором математики в
Оксфорде. В ней приняли участие также Френикль де Бесси из
Парижа и ван Схоотен, профессор математики в Лейдене. По ини-
циативе Валлиса вся переписка была издана в 1658 г.1 Уравне-
ние (6) вызвало страстные споры и резкие выпады.
Мы не можем здесь входить в подробности всех удачных и не-
удачных приемов и методов, примененных к этому уравнению..
Скажем только, что Броункер и Валлис дали регулярный^алго-
ритм для нахождения наименьшего решения уравнения (6), одна-
1 Она помещена в переводе на французский язык в третьем томе собрания^
сочинений Ферма [80].
212
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
ко не обосновали, что этот алгоритм всегда приводит к цели в ко-
нечное число шагов. Они также дали формулы для получения
всех решений, исходя из наименьшего. Впоследствии этим урав-
- нением занимался Эйлер, который связал нахождение наименьше-
* гсГрешения уравнения (6) с разложением а в непрерывную дробь
и нахождением периода этой дроби. Он утверждал, что эта дробь
«будет всегда периодической, но не доказал это. Окончательное
решение уравнения Пелля—Ферма принадлежит Лагранжу.
Заметим, что и уравнение Пелля—Ферма связано с арифме-
тикой квадратичных полей. Действительно, если
1 = у2 — м? = (у + (У VaxY
то ясно, что задача состоит в отыскании таких целых чисел поля
Q (Уа), норма которых равна единице, т. е. «единиц» кольца це-
лых чисел этого поля.
Наконец к «Арифметике» восходит и знаменитая великая
теорема Ферма, которая была сформулирована в общем виде на
полях этой книги (см. ч. I, гл. IV, раздел 1). Напомним, что в ней
утверждается, что уравнение
xn + yn = zn	(7)
при п>2 и xyz=/=0 не имеет решений в целых числах (а значит
и в рациональных).
Впоследствии Ферма в своих письмах неоднократно возвра-
щался к уравнению (7), но только для п = 3 или п = 4 Ч Возмож-
но, что Ферма нашел ошибку в своем «чудесном» и нигде не за-
писанном доказательстве, которую все время надеялся исправить.
В его заметках к Диофанту содержится доказательство нераз-
решимости уравнения (7) для п = 4, а в письме к Каркави (август
1659 г.), которое получило название «Отчет о новых открытиях в
науке о числах» или «Завещание Ферма», он изложил свой метод
доказательства теоретико-числовых проблем, который он назвал
методом неопределенного или бесконечного спуска.
Рассмотрим этот метод и его применение для доказательства
великой теоремы Ферма для п == 4. Ферма утверждает, что пло-
щадь прямоугольного треугольника «в числах» (т. е. с рациональ-
ными сторонами) не может быть квадратом. Мы видели выше, что
это утверждение было высказано еще Леонардо Пизанским и что
оно равносильно великой теореме Ферма для п = 4. Метод спуска
Ферма пояснял именно на этом примере. Он писал: «Поскольку
обычные методы, которые изложены в книгах, недостаточны для
доказательства столь трудных предложений [речь идет о теоремах
теории чисел.— Авт.], я нашел совершенно особый путь для того,
чтобы достичь этого.
1 Первые известные попытки доказать неразрешимость в рациональаМ*
числах уравнения z3 + у3 = z3 принадлежат арабским математикам л
ал-Худжанди и Ибн ал-Хусайну [100].
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
213
Я назвал э^от способ доказательства бесконечным или неопре-
деленным спуском (descente infinie ou indefinie): вначале я поль-
зовался им только для доказательства отрицательных предложе-
ний, как то:
что не существует числа, меньшего на единицу кратного трех,
которое составлялось бы из квадрата и утроенного квадрата;
что не существует Прямоугольного треугольника в числах,
площадь которого была бы квадратным числом».
Доказательство проводится путем приведения к абсурду та-
ким образом: «Если бы существовал какой-нибудь прямоугольный
треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную
квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого,
который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал
второй, меньший первого, который имел бы это же свойство, то
существовал бы в силу подобного рассуждения третий, меньший
второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый,
пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, то не
существует бесконечности по спуску меньших его (я все время под-
разумеваю целые числа), откуда заключаю, что не существует
никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью»
180, т. 2, с. 43].
Приведем теперь это доказательство так, как оно изложено в
замечании № XLV к «Арифметике»: «Если бы площадь треуголь-
ника была квадратом, то|были бы даны два квадрато-квадрата,
разность которых была бы квадратом»,— т. е. если
s = Ч2аЬ = gq - Т]2),
то предполагая (В, ц) = 1 и £, ц — разной четности, мы бы имели
В = и\ Т) = у2, В2 — Л2 “ или
и4 — у4 == w29	(8)
где (и, у) = 1, а и, v — разной четности.
Далее: «откуда следует, что были бы даны два квадрата, сум-
ма и разность которых были бы квадратами». Действительно^
(и2 4- у2) (у2 — У2) = 1У2,
где и2 4- у2 и и2— у2 нечетные и взаимно простые^ поэтому
и2 4- у2 = £2, и2 — у2 = s2.	(9)
«Значитимелось бы квадратное число, равное квадрату и удвоен-
ному квадрату при условии, что квадраты, которые его составля-
в сумме дают квадрат».
Это можно получить так: вычитая одно из уравнений (9) из
Другого, получим
2у2 = £2 __ 52 ^£2 = $2 + 2v2,
^Ри Этом S2 4“ У2 = и2.
214
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
«Но если квадратное число составлено из квадрата и удвоен-
ного другого квадрата, то его сторона подобным же образом со*
. ставляется из квадрата и удвоенного квадрата, что мы можем
легко доказать». Действительно, поскольку
2vI 2 * = t2 - s2 = (t + 5) (t - 5),
причем t и s нечетны, то i + и - s четны и могут иметь общим
множителем только 2. Но 2г?2 делится на 4, значит и на’^8, поэтому
t + S = 4р2,	t + s = 2р2,
t — s = 2q2,	ЛИ	°	t — s — iq2.
Откуда
t = 2р2 + q2,	t = p2 + 2q2,
s = 2p2 — q2,	ЛИ	°	s = p2 — 2q2.
ферма продолжает: «Откуда заключаем, что эта сторона яв-
ляется суммой сторон при прямом угле прямоугольного треуголь-
ника, и один из этих составляющих квадратов будет основанием,
а удвоенный второй — высотой».
Остановимся на первом случае (второй трактуется аналогично)^
t — 2р2 4- q2, но 2v2 = (t + s) (t — s) — 8p2q2, значит
и2 = s2 + v2 = (2p2 — <?2)2 + 4p2g2 = 4p4 4- g4,
t. e. q2 и 2p2 являются соответственно основанием и высотой пря-
моугольного треугольника в числах.
«Значит, этот прямоугольный треугольник будет составлен
из двух квадратных чисел, сумма и разность которых будут
квадратами», т. е. пусть прямоугольный треугольник с гипотену-
зой и, основанием q2 и высотой 2р2 образован из чисел х, у, тогда
q2 = х2 — у2, 2р2 = 2ху в и2 = х2 у2, где х, у взаимно просты.
Но тогда, поскольку ху — р2, то х = I2, у = т2, значит^4 — т* »
*= q2 или
4- го2 = □ = г2, I2 — т2 =;□.	(Ю)
«Значит, если даны два квадрата, сумма и разность которых
образует квадраты, то даны в целых числах два квадрата, имею-
щих то же свойство, но сумма которых меньше первой».
Действительно, в равенстве (10) г2 меньше, чем t2 неравенствах
I2 + ^2 = г2 < q2 < t < i2.
«Таким же рассуждением получим затем другую сумму, менЬ~
шую той, которая была выведена из первой, и так до бесконечности
будем находить целые числа, постоянно убывающие. Но*это не-
возможно, так как если дано целое число, то^не может иметься
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
215
бесконечности целых чисел, меньших его». Разумеется Ферма име-
ет в виду положительные целые числа.
«Полное доказательство с развернутыми пояснениями не может
быть помещено на полях из-за их узости».
Это и есть единственное теоретико-числовое доказательство
Пьера Ферма, которое дошло до нас. Ферма утверждал, что с по-
мощью метода спуска он доказывал не только отрицательные, но
и утвердительные предложения. В письме к Каркави он пишет:
«Долго я не мог применить мой метод к утвердительным предложе-
ниям, потому что увертки и окольные пути достижения этой цели
гораздо более трудны, чем те, которыми я пользовался для отри-
цательных предложений. Так что, когда мне нужно было доказать,
что каждое простое число, которое превосходит на единицу крат-
ное 4, составляется из двух квадратов, я находился в большом за-
труднении. Но, наконец, одно рассуждение, неоднократно повто-
ренное, пролило недостающий свет и мой метод смог быть при-
ложен к утвердительным предложениям. Для этого пришлось по
необходимости прибавить к нему некоторые новые принципы.
Этот прогресс в моих рассуждениях относительно утвердительных
предложений таков: если некоторое произвольно взятое простое
число, которое на единицу превосходит кратное 4, не составляется
из двух квадратов, то будет существовать простое число той же
природы, меньшее данного, а затем третье, еще меньшее и т. д.,
спускаясь до бесконечности пока не дойдем до числа 5, которое
является самым маленьким из чисел этой природы, которое, сле-
довательно, не должно составляться из двух квадратов, что, одна-
ко, имеет место. Откуда следует заключить, путем приведения к
абсурду, что все числа этой природы составляются из двух квад-
ратов.
Существует бесконечно много проблем этого рода, но существу-
ют и другие, которые требуют новых принципов для того, чтобы
к ним был применим спуск, и поиски их иногда бывают настоль-
ко затруднительны, что добраться до них можно только с чрезвы-
чайным трудом. Таков следующий вопрос, который Баше, как он
в этом признается в Диофанте, никогда не смог доказать, и по
поводу которого г. Декарт делает в одном из писем такое же за-
явление, причем добавляет, что считает его настолько трудным,
что не видит никакого пути для его решения.
Всякое число либо является квадратом, либо составляется из
двух, трех или четырех квадратов.
Я, наконец-таки, и его подвел под свой метод и доказал, что
вели бы заданное число не обладало таким свойством, то сущест-
вовало бы другое число, меньшее и также не имеющее этого свой-
Ства, затем третье, меньшее, чем второе и т. д. до бесконечности,
°ТкУДа заключают, что все числа имеют указанное свойство.
Г. Френиклю я предложил другой вопрос, но такой же, если
большей ^трудности: всякое неквадратное число обладает тем
216
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
свойством, что существует бесконечно много таких квадратов,
которые при умножении на данное число дают некоторый квадрат j
минус единица. Я доказал это предложение с помощью спуска,
примененного совершенно особым способом.	’
Признаюсь, что г. Френикль дал различные частные решения,
так же как и г. Валлис, но общее решение будет найдено с помо-
щью спуска, примененного соответствующим образом: я указал ’
им на это, чтобы они присоединили доказательство теоремы и !
общую конструкцию проблемы к частным решениям, которые они
дали.	|
Затем я рассмотрел некоторые вопросы, которые, хотя и от-
рицательные, но представляют большие трудности, так как ме~ j
тод приложения к ним спуска совершенно отличен от предыдущих,
как это нетрудно проверить. Таковы следующие вопросы:
Не существует куба, который разбивался бы на два куба. j
Существует только один квадрат в целых числах, который
при прибавлении двойки становился бы кубом. Названный квадрат '
есть 25.	!
Существуют только два целых квадрата, которые при прибав- (
лении 4 становились бы кубами. Эти квадраты суть 4 и 121. ।
Все квадратные степени 2, увеличенные на единицу, являются
простыми числами х.
Вот кратко отчет о моих размышлениях по поводу чисел. Я на-
писал его потому, что боюсь, что мне не^хватит времени для раз-
вития и полного проведения всех этих доказательств и методов;
во всяком случае это указание послужит ученым для того, чтобы
они сами нашли то, что я не развиваю...
Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я
показал ему, что Древние не все знали, и это может проникнуть
в сознание тех, которые придут после меня для traditio lampadis
ad filios 1 2 3 * * как говорит великий канцлер Англии^8, следуя девизу
которого я добавляю: Multi pertransibunt et augebitur sciential *
[80, т. 2, c. 433-434].
Заметим, что после Ферма метод спуска к утвердительным пред*
ложениям, насколько нам известно, не применялся б *. Все пере-
численные Ферма предложения были доказаны без его помощи*
Что касается отрицательных предложений, то уже Эйлер провел
доказательство великой теоремы Ферма для п = 4 с помощь#
метода спуска (1738), а спустя 30 лет и для п = 3 (1769). Такой
1 Это последнее предложение, как показал Эйлер, неверно: 226 + 1 дел##
на 641.
2 Передачи светильника сыновьям.
3 Т. е. Френсис Бэкон.
* Многие будут приходить и уходить, а наука обогащаться.
6 Недавно предложение о том, что всякое простое число вида’4& + 1
ставимо суммою двух квадратов, было доказано методом спуска в
Scharlou W., Opolke Н. Von Fermat bis Minkowski. В. etc.: Springer,
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
217
большой временной интервал между обоими доказательствами
объясняется, по-видимому, тем, что случай п = 3 потребовал при-
менения существенно новых идей (как это и отмечал Ферма),
з именно перенесения понятия целого числа и свойств целых чисел
на выражения а +"Ъ )/*—3, где а, &EZ.
В настоящее время метод спуска является не только мощным
приемом для доказательства теорем теории чисел, но и широко
применяется в алгебраической геометрии. При этом, когда речь
идет о решении неопределенных уравнений не в целых, а в рацио-
нальных числах, вводится целочисленная функция на множестве
решений этого уравнения, называемая высотой. «Спуск» в этом слу-
чае ведется по «высоте». Если проблема состоит в решении уравне-
ния
/ (xlt х2, . . хп) = О
в целых числах, то h — max |х«|. Если это же уравнение требу-
ется решить в рациональных числах, то его сначала записывают
в однородных координатах х19 я2, . . ., xn, z, и спуск ведут по
высоте h = max {| Xi |, | z |}. Методом спуска Ферма была дока-
зана основная теорема о конечности ранга эллиптической кривой
Л. Дж. Морделлом (1922). В 1929 г. с помощью того же метода
А. Вейль показал, что гипотеза о конечности ранга верна для ал-
гебраических кривых любого рода >1 и над любым полем К.
3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
J?n(tf,2/) = 0 ДЛЯ п = 3 И 4
До сих пор мы излагали наиболее знаменитые исследования
Ферма. Теперь мы приступаем к менее известным его работам,
а именно к его методам решения неопределенных уравнений
Fn (х, у) = о	(11)
8 рациональных числах, где п — 3 и 4, a Fn (х, у) — неприводи-
мый над С многочлен с коэффициентами из Q.
Методы Ферма для этого случая можно извлечь из двух источ-
ников: 1) из его замечаний к «Арифметике» Диофанта и 2) из
трактата Жака де Вильи «Новое открытие в аналитическом уче-
нии»1 (Doctrinae analyticae inventum novum) [80, т. 3, с. 325—398].
Заметим, что второй источник до недавнего времени привлекал
н себе удивительно мало внимания. Свет на это обстоятельство
Заливает предисловие П. Таннери к третьему тому сочинений
еРма, в который был включен перевод этого трактата на француз-
00 язык. Таннери пишет: «Inventum novum, во всяком случае,
1 Эт
«Апил?актат л опубликован Самюэлем Ферма в 1670 г. вместе с изданием
Мы Метики>> Диофанта, содержащим замечания Ферма. В дальнейшем
Удем для краткости называть его «Inventum novum».
218
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
имеет важное значение; из него мы узнаем и притом весьма деталь-
но всю ту часть арифметических исследований Ферма, которая
наиболее интересовала его современников, тогда как сегодня она
находится почти е полном пренебрежении» [выделено нами.-.
АвтД [80, т. 30, с. XI].
Надо сказать, что с тех пор (3 том сочинений Ферма был из-
дан в 1896 г.) положение дел изменилось. Сегодня та часть ариф-
метических исследований, которая изложена в Inventum novum,,
вновь привлекла самое пристальное внимание математиков. Этим
мы обязаны успехам алгебраической геометрии и исследованиям
арифметики алгебраических кривых, мощный импульс для разви-
тия которой был дан знаменитым мемуаром А. Пуанкаре «О&
арифметических свойствах алгебраических кривых».
Впервые к анализу Inventum novum обратился известный
историк науки И. Э. Гофман, который в своем докладе в 1960 г.
рассмотрел методы Ферма и Эйлера для нахождения рациональ-
ных решений уравнений Рп (х, у) = 0, где п = 3 или п = 4Г
а также двойных равенств [87]. В частности, он показал, как Ферма
итерировал метод парабол для получения последовательности
рациональных решений уравнений вида
у2 == Ах* + Вз? + Сх2 + Dx + Е.
Он показал также, как Ферма применял свои методы для решения
некоторых задач Диофанта или их обобщений. Эти весьма интерес-
ные исследования были продолжены в 1977—1979 гг. А. П. Кау-
чикасом, который провел классификацию методов Диофанта для
решения двойных равенств и сопоставил их с соответствующими
методами Ферма [23]. В дальнейшем мы будем опираться на оба
эти исследования. Для уяснения методов Ферма мы привлечем
и некоторые (до сих пор не разобранные) замечания Ферма к «Ариф-
метике». Мы постараемся уточнить постановку вопроса и выявить
суть методов Диофанта и Ферма для нахождения рациональных
точек на эллиптических кривых.
Трактат де Вильи, как он сам пишет в подзаголовке, был со-
ставлен на основе писем Пьера Ферма, присланных в разное вре-
мя. Как мы увидим, де Вильи не всегда понимал идеи Ферма,
в трактате имеются и прямые ошибки. Однако в целом трактат со-
держит ясное и систематическое изложение методов Ферма для
решения проблем, эквивалентных нахождению рациональных то-
чек на плоских и пространственных эллиптических кривых. Затем
методы эти с успехом применяются для пояснения некоторых за-
мечаний Ферма к «Арифметике», которые, как правило, очень
лаконичны и без пояснений де Вильи малопонятны. Таким обра-
зом, трактат существенно дополняет наши сведения об арифме-
тических исследованиях Ферма. Он заслуживает самого полного
внимания со стороны историков науки.
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
219
Заметим, что Ферма, как и Диофант рассматривает уравнение
^1) специального вида
у2 = Fn (*),	(12)
где 71 = 3 и 4, или
У3 == Рз (*)	(13)
Напомним, что если многочлены, стоящие в правых частях этих
уравнений, не имеют кратных корней, то уравнения определяют
кривые рода 1. Поэтому х, у нельзя выразить как рациональные
функции параметра (как это имеет место в случае уравнений 2-й
степени F2 (х, у) = 0), но зная некоторое рациональное решение
уравнения вида (12) или (13), либо два таких решения, можно с
помощью методов Диофанта найти еще одно рациональное реше-
ние. Это можно сделать либо «методом касательной» либо «методом
секущей», если степень соответствующего уравнения равна 3,
и «методом парабол», если в уравнении (12) п = 4. Диофант в «Ариф-
метике» не итерирует ни один из этих методов. Он довольствуется
нахождением только одного нового решения. Имеются лишь кос-
венные соображения в пользу того, что Диофант повторно приме-
нял «метод касательной» (см. далее раздел 4).
Первым, кто не только хорошо понял методы Диофанта, но и
понял, что путем их повторения можно находить бесконечно мно-
го рациональных решений уравнений (12) и (13) (получая их по-
следовательно, а не все сразу), был Пьер Ферма. Это обстоятельст-
во следует и из его замечаний к «Арифметике» и из трактата де
Бильи. Более того, де Бильи особо отмечает этот факт в своем вве-
дении к трактату. Он пишет: «Кто когда-либо находил столько
решений, сколько это желательно для выражений, составленных
из пяти членов, которые содержат последовательные степени не-
известного? Кто мог из примитивных решений извлечь производ-
ные первого порядка, второго, третьего и т. д. до бесконечности?
Конечно, никто: это открытие принадлежит только Ферма...»
180, т. 3, с. 326].
В пояснении к этому месту заметим, что «выражение, состав-
ленное из пяти членов, означает здесь многочлен 4-й степени:
К (я) = я4 + Ьх* + ex2 + dx 4- е,
который нужно приравнять квадрату: «Примитивным решением»
(la solution primitive) де Бильи называет первое найденное ра-
циональное решение уравнения (12) или (13), а «производными»
(les solutions derivees) первого, второго, третьего и т. д. порядков
последовательные решения его, найденные одним из методов Фер-
ма, исходя из «примитивного решения».
Сразу же заметим, что речь может идти только об итерировании
либо метода касательной, либо метода парабол, так как оба эти
Метода позволяют по одной рациональной точке А кривой L (кото-
рая в первом случае имеет порядок 3, а во втором 4) находить еще
220
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
одну ее рациональную точку Аг. Беря Аг за исходную, можно, во-
обще говоря, путем повторения метода в обоих случаях найти но-
вую рациональную точку 42, затем аналогичным путем — точку
А3 и т. д. Иначе обстоит дело с применением метода секущей:
действительно, если даны две рациональные точки А и В кривой
3-го порядка £, то проводя прямую АВ. получим в пересечении
< ее с L новую рациональную точку С. Все три точки лежат на од-
ной прямой, поэтому без перехода от точки С к некоторой другой
рациональной точке С кривой L (например, к симметричнрй точке
относительно оси ОХ. если кривая L имеет симметрию относитель-
но этой оси) итерировать метод невозможно. Но подобный переход
был впервые осуществлен только Эйлером в работах, опубликован-
ных посмертно (см. об этом в Заключении). До него метод секущей
итерировать не умели.
Впервые мы встречаемся с «повторением метода» в замечании
№ XI к задаче IVn «Арифметики». Ферма пишет: «Если требуется
найти два квадрато-квадрата, разность которых равна разности
их сторон, то вопрос может быть решен с помощью нашего метода
(de ma methode). Действительно, пусть нужно найти два квадрато-
квадрата, разность которых равна кубу, а разность их сторон L
Применяя первую операцию, найдем стороны — 9/22 и 13/22. По-
скольку первое из этих чисел отмечено знаком «—», то нужно
повторить операцию, следуя нашему методу, приравняв первую
сторону х — 9/22, вторую х + 13/2а» и таким образом мы получив
положительные числа, удовлетворяющие задаче».
Итак, Ферма решает уравнение
у4 — х4 = z3.	(14)
Он принимает у — х = i. т. е. у = х + 1, тогда уравнение (14)
примет вид
4я3 + 6я2 + Ьх + 1 = z3.	(15)
Слева стоит неприводимый многочлен 3-й степени и, кроме
того, уравнение (15) имеет очевидное рациональное] решение
(О, 1). Значит, можно применить «метод касательной» Диофанта,
т. е. положить
2 = 4/з X + 1.	(16)
Тогда получим
- -9/22, Уг = хг + 1 = 13/22,	- 5/11,
т. е. решение, указанное Ферма.
Поскольку Xi < 0, а Ферма, как и Диофант, ищет только ра-
циональное положительное решение, то пара (—9/22, 13/22) не яв-
' ляется решением уравнения (14).
Чтобы найти решение, Ферма предлагает «повторить операцию».
Для нас это повторение означало бы, что нужно провести каса-
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
221
тельную к кривой L, определяемой уравнением (15), в точке
Xi (—9/22, б/ц), т* сделать подстановку
Z — 5/ц = к± (х + ®/22),	(17}
где к± — угловой коэффициент касательной к кривой L в точке
и найти точку пересечения прямой (17) с кривой L. Ферма
проделывает ту же подстановку, но в «два приема»: сначала он
полагает х = t — 9/22 (это он и называет своим методом), тогда
уравнение (15) преобразуется в уравнение
4t3 +	+ Bt + z3 - z3,	(18
где z± = 5/11, а затем подстановку
Z=~^t + Z1' (19>
где B/3z* =	= 133/75, и получает новое решение, на этот раз
уже положительное.
Почему Ферма разбивает одну подстановку на две? Это проис-
ходит потому, что Ферма мыслил в иных терминах, чем мы. Для
нас исходным является то обстоятельство, что уравнение (15}
имеет решение (0, 1), для Ферма — что оно имеет вид z3 = F3 (x)r
где свободный член F3 (х) равен полному кубу. Сделав подстанов-
ку (17), которая сразу пишется на основании вида уравнения (15),.
Ферма находит «примитивное решение» хъ zv Для получения сле-
дующего решения (Ферма называет его «первым производным»
или «производным первого порядка»), он преобразует уравнение
(15) путем подстановки х = t + хг (вместо t Ферма снова употреб-
ляет ту же букву, что и для х) в новое уравнение
G3 (0 = 23,	(20>
того же вида, так как свободный член б?3 (0 равен zf. Поскольку
мы получили уравнение того же вида, мы можем применить к
нему подстановку вида (16) и т. д.
Приведенное место дает повод для предположения, что первона-
чально идея преобразования уравнения (15) путем «сдвига» х —
= t + хг и последующего повторения метода возникла у Ферма
при попытках решить задачу в тех случаях, когда «примитивное
решение» не принадлежало Q+. Затем он понял, что таким же пу-
тем можно найти и другие решения и даже бесконечно много ре-
шений.
Описанный прием Ферма применил и при решении двойных ра-
венств (см. раздел 5 этой главы).
Теперь обратимся к Inventum novum. Трактат этот состоит
из введения и трех частей. В первой части рассматриваются двой-
ные равенства, с которыми мы встречались уже в «Арифметике»
Диофанта и у математиков арабского Востока. Напомним, что-
222
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
система
ах2 + Ьх + с = □, atx2 + btx +	= □'
определяет пространственную кривую либо рода 0, либо рода 1,
В первом случае Диофант находил бесконечно много решений,
представляя х, у, z как рациональные функции одного параметра.
Во втором случае он находил только одно рациональное решение
(при определенных условиях, накладываемых на коэффициенты).
Ферма дал метод, который позволил в этом случае от этого «при-
митивного» решения (хи ух, z±) переходить ко второму (х2, у^ 22)ji
затем к третьему (а;3, z/3, z3) и т. д. до бесконечности. Изложению
этого метода и его иллюстрациям на примерах и посвящена пер-
вая часть (подробнее см. раздел 5 этой главы).
Во второй части трактата рассматриваются «тройные равен-
ства» и «многократные равенства» при любой кратности, т. е.
системы вида
а^2 + Ъкх + ск = yl, к = 1, 2, . . п.
Примеры решения «тройных равенств» встречаются в замечаниях
Ферма к «Арифметике». Так, для решения системы
х + 4 = □, 2х + 4 = 5я + 4 -
Ферма полагает х = t2 + 4f, тогда первое из уравнений системы
обращается в тождество, а два других образуют двойное равенство
2t2 + 8J + 4 =•□, 5£2 + 20f + 4 =□',
которое он и решает обычным методом (замечание № XLIII).
В целом эта часть изложена менее строго, чем остальные. Мы
не будем здесь ее анализировать, так как она выпадает из круга
проблем, рассматриваемых в этой книге.
Наконец, в третьей части Inventum novum мы находим впервые
систематическое рассмотрение неопределенных уравнений вида
ах* + Ьх* + сх2 + dx + е = у2, (21)' ах* 4- bx2 + сх + d ==
= у2. (22) ах* + Ьх2 + сх + d = у* (23)
и исследование методов их решения. До сих пор считалось, что
это было сделано только в «Алгебре» Эйлера. Однако де Бильи
во многом предвосхитил изложение великого ученого.
Заметим прежде всего, что уравнения (21)—(23) де Бильи фор*
мулировал словесно. Уравнение (21) — это «выражение, содержа-
щее пять членов с х*, х*, х2, х и константу», которые надо прирав*
нять квадрату, два следующие — «выражения, содержащие четыре
члена», которые надо приравнять квадрату или соответственно
кубу. Де Бильи прибегал к символической записи только тогда»
когда дело шло об уравнениях с числовыми коэффициентами.
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
22а
Мы пропустим пока решение уравнения (21) и обратимся к
уравнениям (22) и (23). Де Бильи рассматривает следующие слу-
чаи, когда уравнение (23) разрешимо
1) d = f, 2) а = а3,	3) d = /3, а = а3.
Вот формулировка де Бильи: «Выражение, составленное из четы-
рех членов, можно сделать равным кубу, если только член, не
зависящий от х, или же коэффициент при х3, будет кубом» [80,
т. 3, с. 386]. И далее: «Если коэффициент при х и независимый
член будут оба кубами, то имеется три способа, чтобы сделать
кубом предложенное выражение».
Если d = У3, то де Бильи предлагает сделать подстановку
У = f 4- -gjr#-	(24)
Если а = а3, то подстановку
у = ах + -^-.	(25>
В первом случае в результирующем уравнении уничтожатся сво-
бодный член и член, содержащий х. Во втором случае — члены,
содержащие х3 и х2. В третьем случае можно сделать одну из под-
становок (24), (25) или подстановку
у = ах + /.	(26)
Заметим, что точно такое же рассмотрение методов решения урав-
нения (23) мы находим в «Алгебре» Эйлера с той только разни-
цей, что де Бильи описывает подстановки (24)—(26) словесно, а
Эйлер приводит их в буквенной символике.
Напомним, что подстановка (24) означает на современном язы-
ке проведение касательной к кривой L, задаваемой уравнением
(23) в точке Р (0, /). Эта касательная пересечет L еще в одной ра-
циональной точке.
Подстановка (25), как нетрудно видеть, определяет касатель-
ную к кривой L в бесконечно удаленной рациональной точке R
(1, а, 0), а подстановка (26) равносильна проведению секущей
перез конечную точку Р и бесконечно удаленную точку R кри-
вой L.
Первый и последний из этих методов мы вйдели уже и в
«Арифметике» Диофанта, правда, они не были там изложены так
систематично и в таком общем виде. Метод, отвечающий подста-
новке (25), в «Арифметике» не встречается, однако случай, когда
а = а3 может быть легко сведен к предыдущему путем замены
*	1/L
Основное отличие изложенных де Бильи методов от диофан-
товых заключается в том, что Диофант во всех дошедших до нас
3аДачах ограничивался нахождением одного рационального реше-
224
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII-XVI ВВ.
яия, тогда как Ферма дал способ нахождения путем повторения
метода второго решения, затем третьего и т. д. до бесконечности.
Это отличие, как мы видели, особо подчеркивал де Бильи в своем
«Введении».
Производные решения находят по следующей схеме: если
хх, Уг — примитивное решение уравнения F3 (х) — у3, то делается
подстановка х = t х^ после чего это уравнение переходит в
уравнение G3 (t) = у3, того же вида, что и исходное, свободный
член которого dr будет кубом, а именно у3. После этого следует
повторить сделанную раньше подстановку (24):
У = У± + -“Г t-
3,yj
Таким образом получим новое рациональное решение (t14 у2), от
которого перейдем к рациональному решению исходного уравне-
ния (23) : (х2 = tr + хи у2). Это, по терминологии Ферма, первое
производное решение. Для получения следующего решения весь
процесс следует повторить. Так получим второе производное ре-
шение и т. д.
Мы уже говорили, что повторение подстановки (26), т. е. ме-
тода секущей, не приводит к нахождению новых точек. Нетрудно
видеть, что и подстановка (25) при повторении не даст ничего
нового. Итак, метод Ферма — это способ итерировать метод ка-
сательной.
В случае, когда свободный член d = /3, Ферма получает на
соответствующей кривой последовательность точек с эллипти-
ческими аргументами —2а, 4а, —8а, . . ., если точке Р (0, /)
приписать аргумент а. Таким образом, Ферма поставил вопрос о
нахождении бесконечного числа решений, если это возможно.
Вопрос о нахождении всех решений, по-видимому, еще не ставился.
Ферма знал, что не всякое рациональное решение приводит к
получению бесконечной последовательности других (иначе гово-
ря, знал, что существуют рациональные точки «конечного поряд-
ка»). Де Бильи пишет: «...может случиться, что выражение, со-
ставленное из четырех членов, у которого один из крайних членов
есть куб, или оба крайних— кубы, не может быть приравнено
кубу...» [80, т. 3, с. 387] и приводит пример
1 + Зх + Зх2 + 4я3 = у3.	(27)
Поскольку свободный член есть куб, то следует положить
у = х + 1,	(28)
что приводит к х = 0, у = 1, т. е. мы вновь получаем исходное
решение. Как нетрудно видеть, это происходит потому, что точ-
ка Р (0, 1) является тройной точкой пересечения прямой (28) и
заданной кривой (27).
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
225
Таким образом, Ферма положил начало исследованию струк-
туры множества рациональных решений эллиптической кривой.
Аналогичные примеры мы впоследствии встречаем в «Алгебре» Эй-
лера, где также приводятся примеры рациональных точек «конеч-
ного порядка», а именно:
1)	у2 = х3 + 1 имеет только рациональные точки (0, 1), (2, 3),
(-1.0);
2)	у3 = х3 + 1 имеет только очевидное решение (0,1) и (—1,0);
3)	у3 = х3 + 2 имеет только одно решение (—1, 1).
Нам остается коротко рассмотреть методы, описанные де Бильи
для решения уравнений (21) и (22).
Уравнение (22) он решает при условии, что d = /2. В этом
случае он делает подстановку
Н-/,	(29)
после чего в результирующем уравнении остаются члены с х3 и
х2, поэтому находим новое рациональное значение для х, а зна-
чит и у.
С точки зрения геометрии — это «метод касательной». Прямая
(29) проходит через точку М (0, /) кривой Г, определяемой урав-
нением (22), и касается Г в точке М. Поскольку кривая содержит
также точку Мх (0, —/), то можно было бы сделать подстановку
y = -L.x-f,	(30)
Такого рода подстановки часто встречаются у Диофанта.
И здесь Ферма также находит последовательные «производные»
решения, отвечающие эллиптическим аргументам —2а, 4а,
—8а, . . ., если точке М приписать аргумент а.
Для решения уравнения (21) Ферма, как и Диофант, приме-
няет метод парабол. Де Бильи рассматривает в третьей части In
ventum novum следующие случаи:
а) а = а2, Ь) е = /2, с) а = а2, е = Z2.
В первом из них он делает подстановку
2 . Ь . с— (6/2а)2	....
y==ax+i^x + —<31)
во втором — подстановку
+	С~^2/)8 х*	(32)
8 Заказ N 3214
226
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII—XVI ВВ.
и в третьем — одну из подстановок
г/= ах2 +-gy-x +/>	(33)
у = ои:2+^х + /.	(34)
В этом последнем случае можно также применить подстановку
(31) или (32). Напомним, что в «Арифметике» встречается только
подстановка (33).
Все эти подстановки подобраны так, чтобы в результирующем
уравнении осталось только два члена, содержащие последова-
тельные степени х\ хт и я™*1, поэтому с их помощью мы получим
новое рациональное значение х.
Мы не будем подробно останавливаться на геометрическом
смысле подстановок (31)—(34). Скажем только, что в случае,
рассмотренном Диофантом, парабола (33) проходит через конеч-
ную точку М (0, /) кривой L, определяемой уравнением
у2 = а2я4 + Вх3 + Сх2 + Dx + /,
и касается ее в этой точке. Таким образом, точка М является
точкой пересечения порядка 2. Кроме того, парабола (33) прохо-
дит через бесконечно удаленную точку R (0, 1, 0) кривой L, ко-
торая является точкой пересечения кратности 5. Поэтому кривая
L и парабола (33) пересекутся еще в одной рациональной точке»
4. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЧЕТЫРЕХ КУБОВ
Мы уже писали (ч. III, гл. III, раздел 7), что проблема че-
тырех кубов, формулировка которой содержится в задаче Vw
«Арифметики» Диофанта, не была решена полностью ни Р. Бом-
белли, ни Ф. Виетом, ни Баше де Мезириаком. Действительно,
Диофант утверждал, что разность любых двух кубов, а3 — Ь3,
а Ь можно представить как сумму двух других кубов. Между
тем, решая уравнение
х3 + у3 = а3 — Ь3	(35)
Виет и Баше пришли к дополнительному ограничению а3 2Ь3*
Первым к проблеме Диофанта обратился Альбер Жирар (1595-^
1632). В 1625 г. он переиздал «Арифметику» Симона Стевина я
включил в нее задачи V и VI книг «Арифметики» Диофанта (тогда
как в первом издании 1585 г. содержалось переложение задач
книг I—IV Диофанта). В задаче V16 Жирар провел все выкладки
до конца, т. е. представил разность 43 — З3 в виде суммы двух
кубов. Все это вычисления в точности совпадают с теми, который
провел до него Бомбелли. Более того, Жирар привел ответы
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
227
в том же громоздком виде, что и Бомбелли
_ 11211	_ 1480
Х ~~ 3367 ’ У ~ 3367 ’
не замечая, каки он, что обе дроби сокращаются на 37. Поэтому
весьма вероятно, что Жирар взял все решение из «Алгебры» Бом-
белли.
После решения проблемы, Жирар приводит очень интересный
комментарий, в котором анализирует задачу и, по существу, ите-
рирует метод касательной. Он пишет, что в проблеме (35) либо
а3 > 2Ь3 и тогда задача решается методом Виета—Баше, либо
а3< 2Ь3 и тогда нужно найти два других куба, имеющих ту же
разность, т. е. решить уравнение
х3 — у3 = а3 — Ь3.	(36)
Это уравнение, как мы видели, решал уже Виет. Если а3 <
< 263, то решениями будут
?ач _	2Ъ3 — а3
xi — b аз_|_6« •	УI —Л аз+Ьз •
Далее он пишет: «Если случится, что меньший куб будет сно-
ва больше, чем половина большего, тогда вместо них будем искать
другие по тому же самому правилу...» [109, с. 636]. Жирар ут-
верждает, что через конечное число шагов мы придем к двум
кубам той же разности, но теперь уже «меньший куб будет меньше
половины большего», т. е. эти кубы можно взять для решения
проблемы Диофанта (35).
Итак, для решения задачи Жирар итерирует метод касатель-
ной. Он не доказывает, что повторение его правила всегда приве-
дет к цели. Это было доказано А. П. Каучикасом [22].
Жирар подчеркивает, что «имеется множество пар кубов, раз-
ность которых одинакова» [109, с. 637]. Он приводит пример:
728 = 123 - 10» = 9s — Is =	- (-^-)3 =	—
_ / 403 У* —
\ 341)
Аналогичное решение проблемы четырех кубов мы находим
и у Пьера Ферма. Он также в случае a3 < 2&3 обращается к
уравнению (36) и итерирует метод касательной до тех пор, пока
не получим ап > 26*, т. е. уравнение х3 + у3 = al — bl не будет
разрешимо.
«Повторяя операцию,— пишет Ферма,— легко можно изба-
виться от условия [т. е. от условия а3 > 2Ь3 — А ат.] и решить
общим образом как этот вопрос, так и следующие, чего не могли
сделать ни Баше, ни сам Виет» (замечание № VIII к «Арифметике»
Диофанта) [18, с. 222].
8 •
228
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ XIII— XVI ВВ.
В качестве новой задачи, которую можно решить этим методом'
Ферма приводит уравнение
я3 + ?/3 = а3 + &3,
которое никто до него не ставил, так как однократное применение
метода касательной приводит к решению (х^, yj, у которого либо*
хг < 0, либо yi < 0.
Приведем его собственные слова: «...на основании вышеиз-
ложенного мы благополучно решим задачу, неизвестную Баше:
данное число, составленное из двух кубов, разложить на два дру-
гих куба, и это бесконечным числом способов путем непрерывного
повторения операций, как это было указано выше.
Пусть надо найти два куба, сумма которых равна сумме дру-
гих двух 8 и 1. Сначала на основании задачи 2 найдем два куба,
разность которых равна сумме данных; они будут 8000/343 и
4913/343. Так как удвоенный меньший превосходит больший, то-
дело сводится к задаче 3, от которой перейдем к задаче 1 и полу-
чим решение.
Если мы хотим получить второе решение, то возвращаемся
к задаче 2 и т. д.»1 (замечание № IX к «Арифметике») [18, с. 223L
В свете вышеизложенного и этот процесс нахождения решения
становится вполне ясным.
5. «ДВОЙНЫЕ РАВЕНСТВА» У ФЕРМА
В большом числе своих замечаний к «Арифметике» Диофанта
Ферма сводит решение вопроса к «двойным равенствам». Система-
тическому рассмотрению «двойных равенств» посвящена и первая
часть Inventum novum де Бильи. И здесь, как и в случае эллип-
тических кривых (см. ч. III, гл. IV, раздел 3), основная цель
Ферма состоит в получении бесконечного числа решений этих
систем.
Де Бильи отмечает это в своем введении. Он пишет: «Сущест-
вуют некоторые трудные двойные равенства, для которых ана-
листы до сих пор могли находить только одно решение; даже
Баше утверждает, что нельзя найти для них двух решений, тог-
да как Ферма получает, как мы сейчас увидим, бесконечно много
решений, причем для него не является помехой числа ложные
и меньшие чем нуль, которые часто возникают при решении воп-
росов подобного рода; он укажет весьма тонкий способ, который
сейчас же сведет их к числам истинным» [80, т. 3, с. 326].
Эту же мысль о том, что Ферма дает способ получения беско-
нечного числа решений, де Бильи подчеркивает в заголовке пер--
* Здесь задача 1: х3 + у3 = а3 — Ь3,
задача 2: х3 — у3 = а3 + Ь3,
задача 3: х3 — у3 = а3 —
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
229
вой части Inventum novum: «Бесконечное число решений двой-
ных равенств».
Напомним, что «двойные равенства», т. е. системы вида
ах2 + Ъх + с = у2. ахх2 + Ъгх + сг = z2,
делятся на два типа: 1) системы, определяющие пространственные
кривые рода 0, и 2) системы, определяющие пространственные
кривые рода 1. Для первого случая метод решения подробно опи-
сан Диофантом (см. ч. I, гл. IV, раздел 2).
Второй случай также встречается у Диофанта, но описание
метода решения до нас не дошло. Во втором случае Диофант на-
ходит (при определенных условиях, наложенных на коэффициен-
ты) только одно решение, причем из его метода неясно, каким
путем можно было бы найти другие решения.
Ферма описывает свой метод в замечании № XLIII к «Ариф-
метике». Приведя задачу к «двойному равенству»
2х2 + 8х + 4 = □,	5#2 + 20# -г 4 =
он пишет: «... и получаем двойное равенство, из которого най-
дем, правда, только одно решение, но из него можно вывести но-
вое решение, а из второго выведем третье и так до бесконечности.
Чтобы сделать это, надо, если найдено некоторое значение #,
положить вместо х в уравнения х + первоначально найденное
значение для #. Таким путем получим бесконечно много решений,
каждое из которых выводится из предыдущего и присоединяется
к уже полученным» [18, с. 308].
Рассмотрим метод Ферма подробнее. Де Бильи выделяет сле-
дующие типы двойных равенств:
(I)
(П)
ах -г Ь ~ □,
ахх -г Ъх =
a2#2 -J- Ъх + с == □,
а2х2 -j- Ъхх
(III) ах2 + Ъх + с2 = □,
ахх2 + Ъхх 4- с2 =
(IV) а2х2 + Ъх + с = □,
bxx + Ci =
Первое из них определяет кривую рода 0 и решение его под-
робно проводится в задачах 11ц-13 «Арифметики».
Системы (II) и (IV) также решаются в «Арифметике» (но без
описания метода решения). Система (III) не встречается в «Ариф-
метике», но она легко получается из (II) заменой х = 1/L Системы
(II)—(IV) в случае, если многочлены, стоящие слева, не имеют
общих корней (а также кратных) определяют пространственные
кривые рода 1.
Де Бильи подробно излагает метод решения каждой из систем
(II) и (III) (см. ч. I, гл. IV, раздел 5): Метод решения системы
(III) по де Бильи состоит из следующих шагов:
230
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ ХШ-XVI ВВ.
1)	вычитаем одно уравнение из другого, тогда получим
(а — ajx2 + (b — bi) х = у2 — z2;
2)	разлагаем обе части на множители
кх р ~ .к +	-] = (у — г) (у + z)
и полагаем
а — ci\ . b — bi	__а
у Z —--------X ------£	, у Z — лх,
3)	чтобы х получилось рациональным, надо выбрать X = (6 —
— Ьх)/2с, тогда у и z будут вида тх + с и после подстановки сво-
бодный член уничтожится.
Де Бильи приводит для иллюстрации этого метода совершенно
неудачный пример, а именно систему
х2 - 8х + 16 = □, Зя2 - 48я + 64 =
в которой первое уравнение является тождеством, поэтому дело
сводится к решению второго уравнения, которое легко униформи-
зировать методом (А) Диофанта. Этот пример показывает, что
уровень понимания де Бильи методов Ферма был весьма невысок.
Мы рассмотрим, поэтому, пример самого Ферма
5я2 + 20# + 4 = у2,	2х2 + 8х + 4 = z2.
Разность будет:
Зя2 + 12я = у2 - z2.
Левую часть надо разложить на множители лх1-%~х н—
так, чтобы 12/1 = 4, т. е. X = 3, и
Зх (х + 4) = (у — z)(y + z),
откуда
у = 2х + 2, . z = х — 2.
Подставляя эти значения в соответствующие уравнения системы,
получим х = —12, у = —22, z = —14.
Чтобы получить новое рациональное решение, надо положить
х == t — 12. Система примет вид
5*2 - 100* + (22)2 = у/,	2t2 - 40* + (14)2 « zf.
Для уравнивания свободных членов умножаем первое уравне-
ние на 72, а второе — на И2. После этого повторяем весь метод
(вычитаем, разлагаем на множители и т. д.). Выше (см. ч. I, гл-
IV, раздел 5) мы уже дали подробную геометрическую интерпре-
тацию методов Диофанта для решения систем (II) и (IV). Поэто-
му мы только коротко остановимся на геометрическом смысл#
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА
231
решения системы (III). Эта система определяет неприводимую
пространственную кривую L 4-го порядка (мы предполагаем, что
многочлены ах2 + Ьх -}- с2 и агх2 + Ъгх + с2 не имеют кратных
корней и не имеют общих корней). Плоскость х == 0 пересекает
эту кривую в четырех рациональных точках Мг (0, с. с), М2 (О,
— с, с),Мз (0, с,—с), М4 (0, —с, —с). Проведем пучок плоскостей
через прямую М±М4: у — z = кх. Если теперь положить, вслед
за Ферма, (Ь— Ьг)/2с, то из этого пучка будет выбрана плос-
кость л, в которой лежит касательная Т к кривой L в точке М±.
Поэтому плоскость л пересечет L еще в одной точке Р, которая
будет рациональной.
В заключение мы остановимся на реконструкции метода Фер-
ма, который был им применен в замечании № XXIII к лемме 2,
предшествующей задаче V7 «Арифметики» В этой лемме тре-
буется найти три прямоугольных треугольника, имеющих одина-
ковые площади. Ферма ставит вопрос: «Но можно ли найти че-
тыре или даже большее число, растущее до бесконечности, тре-
угольников равной площади?»
Для решения вопроса он дает формулы: если (я0, i/0, z0) пер-
вый треугольник с площадью S0:= х/2Х0р0, то стороны другого
треугольника той же площади будут иметь вид:
_ 42ожоУо	_ го-4Фо _ го.+ 4Фо
У1	— у%) ’ Z1 2z2(x2-4)
(Стороны х^ уъ построены на z% и 2#oj/o, а затем разделены на
2z0(4- Уо).)
Ферма ничего не пишет о том, как были получены его форму-
лы. Некоторый свет проливают пояснения, данные де Бильи в
Inventum novum [80, т. 3, с. 34$—349]. Де Бильи берет треуголь-
ник (3, 4, 5) в качестве исходного, тогда = 6. Чтобы найти
второй треугольник с той же площадью де Бильи полагает =
= 3, X} — t + 4, откуда получает уравнение
+ xt = i* + 8t + 25 = Q.
Второе уравнение он поручает из условия 112х1у1 — 6; или
V2-3 (t + 4) = 6 • □.
Умножая все на 6, получим
Qt + 36 = □.
Итак, имеем двойное равенство типа (IV), которое решается мето-
дом Диофанта.
Проведем теперь рассуждение Ферма—де Бильи в общем виде.
1 Эта реконструкция была дана в диссертации А. Каучикаса [22].
232
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ ХШ—XVI ВВ.
Пусть дана система
я2 + у2 = Л V2 ху = 5,	(37)
одно решение которой (х0, у0, z0) известно. Требуется найти дру-
гое решение той же системы.
Полагаем х — t + у == у0 и подставляем полученные
уравнения в «обобщенную» систему (37), т. е. в систему
х2 + у2 = и2, ^ху = Sv2.	(38)
Тогда получаем
t2 + 2я0£ + 4 = w2,	+ ^оУо = S0v2.
Второе уравнение делим на 50 и умножаем на 4» тогда получаем
t2 + 2я0г + zq = u2,	(4/^о) t + 4 = р?,
где = zQv.
Если решить эту систему методом Диофанта (см. ч. I, гл. IV,
раздел 5), то получим формулы Ферма. Это яркий пример приме-
нения «двойных равенств» в замечаниях Ферма к «Арифметике».
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Первый этап истории учения о неопределенных уравнениях,
начало которому положил Диофант, нашел свое завершение в ра-
ботах Леонарда Эйлера (1707—1783).
Величайший математик XVIII в., один из первых петербург-
ских академиков, Леонард Эйлер занимает в нашей науке столь
большое место, что буквально нельзя найти такую область мате-
матики, в которой ему не принадлежали бы фундаментальные
результаты, глубокие идеи или мощные методы. Его воздействие
на диофантов анализ было двояким: во-первых, он привел в си-
стему и завершил все те исследования, которые развивались со вре-
мен Диофанта, а во-вторых, его исследования положили начало
новому этапу в развитии этой науки.
В своей «Алгебре» [76, 77] Эйлер систематически рассмотрел
вопросы решения в рациональных числах уравнений вида
(I)	у2 — ах2 + Ъх + с,
(II)	у2 — ах3 + Ъх2 + сх + d,
(III)	у3 = ах3 + Ъх2- + сх + d,
(IV)	у4 = ах4 + Ъх3 + сх2 + dx + е
и четко сформулировал, в чем заключается отличие между слу-
чаем (I) и случаями (II)—(IV). Он писал:
«Мы должны заметить заранее, что здесь [т. е. в случаях (II)—
(IV).— Авт.] нельзя найти общего решения, как это было в пре-
дыдущих случаях, и метод, употребляемый ниже, приводит не к
бесчисленному множеству решений одновременно, но теперь каж-
дая операция позволяет нам узнать только одно значение х» [77,
часть II, пункт 112].
Эйлер нашел также условия, при которых уравнения вида
(II) и (III) могут быть униформированы в рациональных функциях
(т. е. имеют, согласно Эйлеру, «общее решение»). Он показал, что
для этого достаточно, чтобы многочлен F3 (ж), стоящий в правой
части, имел кратный корень. Действительно, если
F3 (х) = ах* + Ъх2 + сх + d = а (х — а)2(я — Р)
(легко показать, что в этом случае корни а и £ будут рациональ-
ными), то подстановкой у — к (х — а) можно найти рациональ-
ные выражения х ъ у через параметр к (там же, п. 124, 161).
Условие Эйлера равносильно требованию, чтобы кривые, оп-
ределяемые уравнениями (II) и (III), имели двойную точку, т. е.
чтобы род их равнялся нулю. Впоследствии было показано, что
Условие Эйлера является не только достаточным, но и необходи-
мым (см. [31, 98]).
Следует отметить, что Эйлер трактует неопределенные урав-
нения чисто алгебраически, нигде не прибегая к геометрической
интерпретации. Как и Ферма, он итерирует метод касательной,
234
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
а метод секущей в своей «Алгебре» применяет в той же ситуации,
что и Диофант, т. е. когда одна из заданных точек является бес-
конечно удаленной. Для применения метода касательной Эйлер
требует, чтобы в уравнении (II) свободный член был квадратом
d — у2, а в уравнении (III) — кубом d = у3. Если это не так, но
известно одно рациональное решение (xlt z/J, например уравне-
ния (II), то он, как и Ферма, делает подстановку х = t + хъ
после чего приходит к уравнению, свободный член которого есть
квадрат: dt = у{ [77, часть II, п. 119, 152].
Только в конце жизни Эйлер предложил метод, эквивалент-
ный проведению секущей через две конечные точки кривой тре-
тьего порядка (см. [87, 25]). Но и тут он трактовал вопрос алгеб-
раически, не прибегая к уравнению прямой, проходящей через
две точки (см. работы Эйлера [78, 791).
Весьма существенно при этом, что Эйлер сумел итерировать
метод секущей. Мы не можем здесь входить в подробности иссле-
дований Эйлера (см. об этом [25]). Скажем только, что смысл их
состоит в следующем: если А (х0, у0) и В (х13 уг) — известные
рациональные точки кривой Г:
У2 = Fs (®),
то проводится прямая АВ, которая пересекается с кривой Г в
рациональной точке С jfa). Тогда Эйлер переходит от точки
С к симметрической точке С (х2, — у%) кривой Г, что и позволяет
ему повторить метод секущей, проводя ее через точки С и А или
С и В. Как раз такого «перехода» и недоставало Пьеру Ферма,
поэтому-то он смог итерировать только метод касательной.
Этот последний цикл работ Эйлера по диофантову анализу
был опубликован посмертно в 1830 г. Поименно онпоказал'решаю-
щее влияние на работы К. Якоби и последующих математиков.
Но еще раньше Эйлером был начат другой круг исследований,
с первого взгляда как будто не связанный с диофантовым анали-
зом, однако именно эти исследования ознаменовали начало но-
вого этапа в его развитии. Мы имеем в виду знаменитые теоремы
сложения эллиптических интегралов, открытые Эйлером: пусть
дана кривая Г:
У2 = F3 (х)	(1)
(мы берем уравнение 3-й степени, хотя у самого Эйлера оно мог-
X
Sdx
— , где А — точка
рассматриваемой кривой с координатами (х, у). Тогда имеют
место следующие теоремы:
Теорема!. Если А (х0, у0) и В (хъ уг) — две точки кривой
Г, то существует такая точка D (хй, уг) этой же кривой, что
П (А) + П (В) = Щ(2>),
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
235
причем координаты х2, у2 рационально выражаются через х0,
*i, Ух-
Теорема 2. Если А (х0, у0) — точка кривой Г, то для вся-
кого целого п существует точка G (г3, у3) той же кривой такая,
что
П (G) = пП (А),
причем координаты у3 рационально выражаются через х0, у3.
Ясно, что если координаты точек АиВ будут рациональны,
то и координаты новых точек D и G также будут рациональными,
т. е. теоремы Эйлера дают возможность получать новые рацио-
нальные точки эллиптических кривых. На это обстоятельство
впервые обратил внимание К. Якоби, который в своем мему аре
[88] писал, что методы Эйлера в его посмертных работах по дио-
фантову анализу аналогичны теоремам сложения эллиптических
интегралов. Действительно, 1-я теорема Эйлера аналогична «ме-
тоду секущей», причем точка D будет совпадать с точкой С, кото-
рая симметрична точке С, найденной по методу секущей. 2-я тео-
рема Эйлера при п = 2 аналогична «методу касательной», причем
и здесь точка будет симметрична той, в которой касательная пе-
ресекает кривую.
Заметив эту аналогию, Якоби, по существу, ввел сложение
точек на эллиптической кривой и поставил вопрос ц наличии ко-
нечного базиса во множестве рациональных точек кривой (это
множество на самом деле образует абелеву группу с конечным
числом образующих, что было выяснено много позднее). Таким
образом, диофантов анализ оказался связанным с теорией эллип-
тических функций. Но это уже совершенно новый круг идей,
развитие которых шло на протяжении всего прошлого века и
продолжается и в наши дни. Изучение истории диофантова ана-
лиза этого времени — это тема для другой книги и мы не будем
его здесь касаться.
Но и теперь, как и во времена Диофанта, основными методами
в арифметике алгебраических кривых рода 1 являются методы
касательной и секущей, которыми мы обязаны великому мате-
матику поздней античности.
Мы обязаны ему и методами нахождения рациональных точек
на кривых второго порядка, если одна из таких точек известна.
Он же положил начало буквенному исчислению, которое теперь
пронизывает вск> нашу математику. К Диофанту восходит и вве-
дение отрицательных чисел, причем метод, которым он их ввел,
стал одним из главных методов для определения новых понятий
и объектов. Наконец, его книги послужили основным источником
Для развития теории чисел нового времени. Итак, «Арифметика»
Диофанта — это книга, положившая начало нашей алгебре, тео-
рии чисел и диофантову анализу.;
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
СВОДКА ЗАДАЧ «АРИФМЕТИКИ» ДИОФАНТА
КНИГА I
1. х + у = а.		17. Xl + #2 4* X3 ~	
	х — у = Ь.		a?2 4~ #a 4~	= b,
	ху — а,		x3 + Xi + Xi = c,
	х = ку.		#4 4- Xl 4- X2 = di
3.	х + у = а,		, ограничение:
а	р — ку = Ь.		д 4~ 4~g 4-
4.	У = кх.		 		 g	• > a, b, c, d.
!	1 — х = а.	18.	a?i + a?2 — x3 = af
5.	х + у = а, X	у т ' п	19.	a?2 4” x9 — Xi = 6, x3 + Xi — a?2 = <•,. xi + x2 4~ x9 — a?4 = a,
6.	X + у = а,		x3 + x3 + x± — Xi = bf
	*	У f		x3 + X4 4~ Xi — x3 = ct
	т п		X4 + xi + x3 — x9 = d,
7.	х — а		ограничение:
	х—Ь~К-		Д + ^ + с + с?
8.	х+Ь ~к‘	20.	2	> a, bf ct tf, a = x + у 4- Zf
9.	а — х		х + У , z -b’
	»	— к. о — X		
10.	а + *		z + y
	Ь — х ~к-		X	~c*
11.	х + а , „ h — X "  О	21.	H II 1 ?r| *
12.	а — х + у = u+v,		X
	X	V — — fc, — = Z.		У z —— — == a.
	и	у		
13.	a = x+ y = w+ v = s + f,		х>У> г.
	X	v	,	t	22.	1 1 1
	— =sk, — — If — = tn. и	’ s	У		—л + ^гг = у4-“гж — n	m	1 н
14.	_ К		1 1 1 - — y = *+ — y-^r
	X + у	’		
	ограничение: у > к.	23.	x — ax 4~	= у — Ру4’аа?=т
15.	x + a		= z — yz + 0y — U —	4*
	y — a~ ’	24.	x 4- a (y 4-^) =у4-0(з4-я) =
	У+ 6	,		4-*4-?(s4-y)-
	х-Ь=1-	25.	s4-a(y4-s4-w) = v4-
16.	x$ 4" a?g == а»		4- p (z + и 4- x) = z 4- y(u 4-
	x3 4“ #a ~		4- x 4- y) = и 4- 6 (x 4- у 4“ ^)*
	*a +	= g>	26.	ax = и.
	ограничение:		bx = w2.
	a + fr + g	,	27.	x + у = л,
	•	g	 >a, о» g«		'ху = b.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
237
28.	x 4- у — о, x2 4- у2 = ь.	34.	X = ку, хг — у2	_ 1	
:29. 30. 31. 32.	” II «	1 II « II • Sb ., *< . I	I t 1	1	1 II + + M + + J 1	11 H 11 "h	35. 36. 37. 38.	»	сэ	ьэ	еэ IIIIIIIIIIIIIIII 1 н н ? н £ н 1 "Ь	। НН Н	«Ч	А	А “ А А н	н		< у.
33.	x —у	• x = ky, хл~уг _ ;	39.	Найти ' (а + Ь) Ху	гаков х, (6 4-х)	чтобы числа а, (х + а) b
	х4-У		имели одинаковые		разности.
КНИГА II
х + у
х* + у* ~а'
X —у1
2. л»_ V2 -а-
ху	ху
3. т+7^а или 7^7 = “•
„ f хг — у2 = ь + (х — у),
Ъ. 1
[а? — у =* а.
7. а?2 — у2 = b (х — у) + а.
3. х2 + у2 = а2.
9.	х2 + у2 = а2 + Ь2.
10.	х2 — у2 = а,
11.	х + а = у^
X + b = у|.
12.	а — х = у2,
Ъ — х = у2.
13.	х — а = у2,
х — Ъ = у2.
14 хг + х2 == а,
15.	х1 +	= а,
«3 — «X =
*1 — х, = уг.
16.	ж + а* — у2,
Ьх + а2 = у|.
17.	хх — (AjXi + ах) + (Agxt +
+ «») = xt — (А»®, + «г) + (*i»i+
+ в1) = х» — (к9хг 4- а,) +
+ fe®» + а»).
18.	х2 + х9 4* х9 — а,
Х1 — (&i®i 4- ах) 4" (к9х9 4* <»з)в
= Xt — (fcaX2 4- в») 4- (Ml 4-
4- 01) = х9 — (к9х9 4- а,) 4-
4- (Ms 4- «»)•
19.	х2 — х2 = о (х2 — х2).
20.	xj 4- х8 = у2,
xl 4- Xi = у2.
21.	х2 — r2 = yj,
xl — xi = у2.
22.	xf 4- (Xi 4- xa) = у2,
+ (®i + ®s) = bl-
23.	x2 (xi 4* xa) == y^>
X2 — (xx 4- Xt) = y2.
24.	(xj 4* ®a)2 4- xi = У?»
(xi + xs)2 4- X4 = y2.
25.	fa 4- x»)2 — Xi — yj,
(®i 4- x2)2 — xt = y|.
= zx +	+ zxTx -gp
~~ '$“=lx +lxtx'l
^A = 'x + *xzx
‘Iя = Iх + *x'x 'fl
•Sfl = zx — ix^x
*|/J — Tx — *xzx
^A = *x — Wx *gp
•Sfl == ZX 4- Trc8x
‘|/2 = *X -}- 8#2#
= SX 4- Wx -gp
**A = v — ixzx
z
l*A — v — sxzx
о
‘*/£ = v — zxlx -pp
•®Л = v 4- тхех
*|/S = и 4- *xzx
1*А = v 4- 8ятя *op
= v — ix 4* 8я
<	8Л = v — *x 4- 8«
‘^/2 = V — ZX 4- X%
^a = v — ex 4- 4-Tx *6
•	|4 = V + lx + *x
*	8/? == D 4- SX 4- ZX
*	|л = ъ 4-~Р'Тж
‘*4 = я 4- 8я -|- 8# + тя *8
III VJHHM
•	8Л = (*х + *ж + Ъ;) — *х
*	&А = (8я + zx 4- тя)— |я
lXA = (*х _]_ *х 4- тя) — SS
*	Л = (в® + *х + t®) + |®
‘®Л = (?х + *х + ix) + «®
1Я = («® + 8® + I®) + J® ^g
•«Л = т® - |®
‘®Л = «® — ®®
Z	Z
= 8® — J® gg
•8Д = I® + «®
Ча =«® +1®
=г» + г« ’ге
*8^ = (ZX 4- lx) — zxlx
•	fA = ix 4- 8я
== ^x 4- zx
l^A = zx 4- lx
1Ъх — zx = zx — lx ч
’	^ = lx 4- eiC
*	8/l = ЪХ 4- ZX
= zx 4- lx
=1 6x 4- zx 4- ix *9
•	*/? = *X — Tx 4- 8rc
*8tf 2=2 lx - *X -\-ZX
= SX — ZX 4- lx
4-Zx 4"Xx ’S
•|/i = г(8ж 4- zx 4- Ъ:) — 8ж
= z^x 4- zx 4- ix) — zx
‘Iя = z(Sx + *x + 4 — Xx 9
•8л == ^x — г(8я 4- ъх 4-т#)
^=zx — g(8# 4- zx 4- lx)
= lx —. г(ех 4- zx 4- Tz) -g
ль = *x 4- s(8s + zx 4-	’
= zx + ^X 4-^4- lx)
‘J/I = lx 4- Z(*X + ZX 4- -g
•®/i = ^x — sx 4- г^ 4~ T;r
= zx — €x 4- *x 4-
= fx — ex 4- *x 4- lx -p
Xfi ~ (zx 4- T#) 4-Zxlx
= *x 4- ix -pg
= (zx 4- lx) — zxxx
‘I/? = (*x 4- lx) 4- *xix *oe
Iя = Iх -
'Iя = Iх - ЪАХ -62
= I® +
= Iх +lxlx ’82
’t? = ZA 4- iA
*^A — zx — zxxx
z
^A = ix — zxix
.v = zn 4- i/i
*|/? = zx 4- zxix
^A = ix 4- zxix -gz
i яиняжоииап
gez
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
239
«2*3 + «2 + Х3 = Ур *з«1 Н- хз Н~ xi = у8- 16.	Х&3 — (хх + *1) = Ур «2*3 — (»2 + *з) = Ур «3*1 — (х3 + хх) = у®. 17.	ххх2 + хх + х3 = Ур «1*2 + хх = у®, «1*2 + х2 = у®. 18.	ххх2 — (хх + х2) = у®, ®1«з — х3 = у®,	XiXt — хг = у|. 19.	(»! + Х3 + х3 + х4)® + Xi — yl, (®1 + »з + ®3 + ®«)s — »i = г®, i = 1, 2, 3, 4. 20.	а = х + у, и2 — X = Z2, и2 — у = V2. (Другое решение задачи П1б). 21.	а = х + у, х + и2 ~ z2y у + и2 = V2. (Другое решение задачи П14). КНИГА IV
1.	я3 + У3 = а, а? + у = &. 2.	je3 — у3 = а, х — у = Ъ. 3.	х2у = и, ху — и3. а?2 4~ У = и2, Ж + у = U. 5.	х2 + у == w, х + у = и2. 6.	Ж3 + у3 = 17s, Z2 + у2 = и2. 7.	ж3 + у2 = и2, Z2 + у2 = Р3. 8.	х3 + у = и3, х + у = и. 9.	х3 + у = и, X + у = и3. 10.	х3 + у3 = х + у. 11.	а:3 — у3 = х — у. 12.	х3 + у = у3 + х. 13.	х + 1 = z2, у + 1 = t2, х + у + 1 = U2, х — у 1 = и2, <4. х2 + У2 + z2 = = (z2 - У2) + (у2 - х2) + + (z2 - X2). 15.	(х + у) z = а, (у + z) х = Ъ, (z + х) у = с. 16.	Xi 4~ *^2 “F	Ур	+ ®а = Уз> «2 + ®з = У|> »3 + ®1 = У*- 17. xi + х2 + xt = у®, 2	2 = у«, ®2 х3 = Уз» 2	2 »; — »! = Ур 18. as* + у = и®, у* + х = »®. 19. XiXt + 1 = yj, «з«з + 1 = У2» kSXi 4- 1 = у®. 20. xix3 + 1 = ух, «1®з + 1 = У2» + 1 ~ Уу «з*з + 1 = У1> а^»4 + 1 = Ур «1*4 + 1 = У®- 21. xixt = х®, «з — «1 = Уг х2 хх = у|, «3 — «1 = Уз- 22. XiX%x%	|	Xi	У^ XjXQXg	4“	x%	yg, a?ia?ja?3	4~	Уд* 23. XiXtfc3	—	Xi = y2,
240
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
а?2 2 Я? 1X 2^3	#3	У$* 2ъ. х + у = а, ху = и3 — и. 25. х + У + z — а'	34. 35. 36.	xy + (* + y) = a2 — Д, yz + (У + z) — b2 — 1, zx + (z + x) = c2 — 1. Лемма к 35. xy — (x + y) = xy — (x + y) = a2 — 1, yz — (y + z) = b2 ~ 1, zx — (Z + x) = c2 — 1. Лемма к 36. xy == m (x + y). xy = m (x + y), yz = n (y + z), zx = p (z + x).
xyz = [(z — у) + (у — х) + + (Z — х)1\ « < » < Z. 26.	ху + х = и3, ху + У = Л 27.	ху — х = и3, ху — у'= Vs- 28.	ху + (х + у) = и8,		
		
	37.	xy = m (x + у + z), yz = n (x + у + z),
ху — (х + у) = V3-		zx = p (x + у + z).
29. х* + х% +	+ х% + Жх + xt +	38.	a(a + 1) (г + у + z) x — - 2 -	,
+ Х3 + Х4 = а.		+ У + z) у = и3,
30. 4 + X* + «1 + ж2 — (Xt + Xi +		(x + У + z) z = p2.
+ xs + xt) = a.	39.	
31. x + у = 1,		x у = и2,
(x + a) (y + fe) — z2.		у + Z = V2,
32. x + у + z = a,		Z + X = M?2.
xy + Z = 142,		z2 — w2
♦1	40.		y 	]
xy — z = v.		y2 — X	*
33. x + ay = к (у — ay),		ж + у = и3,
у 4“ ax = I (x — ax).		У + Z = V3,
Лемма к 34. xy + (x + -y) = a.		Z + x — u)2-
КНИГА V
1.		ar2 x2’	4.	Xi — a = yi
	xi — a	= Vv		Xi — a = yi
	x2 — a	= Ук		x3 —a - y23,
	x3 — a	= yi		xtXi — a = yi
2.	^'1^'3 ==	x2 ^2’		х^3 “ a yi
	xx + a	= yi		x3xi ti y3>
	x2 + ®	= yi	5.	= yi
	x3 4~ a	= yi		Ф1 + («2 + xi = yi
3.	Xi + a	= yi		ф1 + н + ^)=^>
	x2 + a	= yi		‘•’il + хз = vi
	&3 + a	= vi		Ф1 + *1 = yi
	a?3r2 +	a y^		xlxl + ^ = J/26-
	r2#3 +	a=	6.	»i — 2 = yf,
	•^3^1 H-	a = 4		Xi 2 = yi
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
241
а?з 2 =
(^l	4“	^2)	^*1»
3'2^'S	(^2	*4"	Хз)	~	Z2'
X3X1	(X3	+	^1)	=	Zg»
а?1#2	хз	^1»
•^2*^3	X1	^2»
®3*^1	x2	^3*
Лемма 1 к 7.
a?i^2 + xl + xl = У2-
Лемма 2 к 7.
V^ibi — 11^Ь2 = 1/2^3^31
ai + bi = cv
«1+^ = 4
7.	Я2 + (Xi + Х2 + Х3) = У^,
xi “ (Х1 + Х2 + Хз) = Zf»
i = 1, 2, 3.
Лемма к 8.
^1^2 — ®2,
а?2#з = &2,
«3^1 = с2.
8.	ХгХ2 + (хг + %2	+	хз)	~	У1»
#2^3 4" (Х1 4“ Х2	4"	Хз)	У %*
хзх1 4~ (^i 4” х2	4~	хз)	Уу
Х1Х2 (Х1 4“ х2	4-	*з)	~	^1»
Х2Х3 (Х1 + х2	+	хз)	^2»
s3a?i — (о?! + х2	4-	х3)	=	z|.
9.	a?i + х2 = 1,
xi + « = Уг
х2 4- « = у1-
10. хг + х2 = 1,
*1 4- а = у2,
х2 4- ь = у2.
11. Х-L + Х2 4- х3 == 1»
xi 4- л = у^
х2 4- а = У&
х3 + а == у*.
12$ a?j | з?2 | х3 1,
*1 + а = у8,
ха + 6 = у®,
®з + с — Уз-
13.	o?i + х2 4- хз = а»
*1 + *а = У®,
+ Х3 = у®»
»8 + «1 = У|-
14.	xi + х2 + ®з +	= at
“F	“	У^|
+	«3	+	®4 =	yf,
®3 +	«4	+	=	yf,
*4 +	=	yj.
15.	(хх + х2 + ®з)8 + Xi = у^
i = 1, 2, 3.
16.	(®х + х2 + X3)S — Xi = у8,.
i = 1, 2, 3.
17.	xi — (®x + х2 + ar3)3 = y^f
i = 1, 2, 3.
18.	Xi + x2 + xs = u*,
(x3 + x2 + ®8)3 + Xi = y8,.
i = 1, 2, 3.
19.	Xi 4" x2 + x3 = u*9
(*1 + X2 4“ »з)3 — xi = У*>
i = 1, 2, 3.
19x. »i + x2 4- x3 = u2,
xi ~~ (X1 + x2 + хз)3 = у1*
i= 1,2,3.
192.	xt + x2 + x3 = a,
a3+ Xi = y^,
i = 1, 2, 3.
19g. 0?l 4- x2 4- x3 =
a3 — xi = Уг*
.	i=l,2, 3.
20.	Xj 4" x2 4~ хз = 1/m,
xi — (*i 4~ x2 + a?3)8 = y\^
i = 1, 2, 3.
21.	а;2ф| + 4 = yt
i = 1, 2, 3.
22.	4ф23 - xl = yl
i = 1, 29 3.
23.	x\ —
i = 1, 2, 3.
24.	x*x% 4“ 1 = y^
^%2+l = ^
2А2
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ф® + 1 = Уз-
25. х®х® — 1 = у®,
*1*1 ~ 1 “’4
ф2_1=>3.
26.	1 — х®х| = у®>
1 — ф® = yf,
1 - ф® = у®.
27.	х* + х® + а = у®,
®2 + *3 + “ = »3>
х| + х® + а = у®.
28.	х® + х| — а = у®,
*2 + 4 ~ а = У®’
х® + х® — а = у®.
29.	х4 + у4 + z4 = и2.
30.	8xi + 5sa = у2,
(xi + ха)2 - у2 + 60.
КНИГА VI
В этой книге всюду положено
S = ^-ху, х2 + у2 ~ z2.
1.	Z — X = и3,
Z — у = V3.
2.	z + х = и3,
z + у = <А
3.	s + т = и2.
4.	S — т = и2.
5.	т — S = и2.
6.	S х = т.
7.	S — х ~ т.
8.	S + (х + у) = т.
9.	S — (а? + у) = т.
10.	5 + (х + z) = т.
11.	5 — (х + z) = т.
Лемма 1 к 12. у — х — и2,
у = у2,
S + х = ш2.
Лемма 2 к 12. Если а + Ь = и2,
то существует бесконечно много
квадратов х2, у2 таких, что ах2 + b =
= у2.
12.	S + х = и2,
S + у = и2.
13.	S — х = и2,
S ~ у == v2.
14.	S —- z = и2,
S — х = v2.
Лемма’к 15. Если аи Ь = р2, то
существуют и > u0, v > v0 такие,
что аи2 — b ~ и2.
15.	S + z = и2,
S + х = iA
xf + у2 == и2.
17.	S + z = у2,
+ У + 2 = U8.
18.	S + z = и3,
X + у + Z = V2.
19.	S + у = v2,
® + У + z = и3,
20.	S + у = w3,
S + у + Z = iA
21.	х + У + z = v2,
s + y + z + S = w3.
22.	а? + у + z = и3,
s + y + z+ S = iA
23.	z2 = и2 + и,
z2
— = v3 + и.
24.	х == и3 — и,
у = у3,
z = ш3 + w.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
243
СВОДКА ЗАДАЧ ЧЕТЫРЕХ КНИГ
АРАБСКОЙ ВЕРСИИ «АРИФМЕТИКИ» ДИОФАНТА
	КНИГА 4
1.	*3 + Я» = у2. 2.	«3 — ж® = у2. 3-	= У3- 4.	X2 —	= У3- 5.	х2х2 = У3- 6.	х2х® = у2. 7.	х2х® = у8- 8,	9а. xfx3 = у2. • 9б- з’хЧ = У2' 9В. х2/ж2 = у3. 10.	х3 + ах2 = у2. 11.	х3 — ах2 = у2. 12.	х3 + ах2 = у3. 13.	х3 — ах2 = у3. 14.	ах = у*, Ьх = уф 15.	ах = у3, Ьх — у. 16.	ах± = у3, ах2 = у. 17.	ах2 = у. ах% = у®, 18.	ах3 = у, аж® = у2. 19.	ах3 = у3, Ьх3 = у. 20.	ах3 = у2, Ьх3 = у. 21.	ах2 = у8, Ьх2 = у.	1 22.	ах3 = у3, Ьх3 = у. 23.	(ж2)2 +	= у3. 24.	(ж2)2— (ж|)2 = у3. 25.	(ж2)2 + (ж®)2 = у2. 26a- Ц)2 - И)2 = У3- Ч- Н)2= (*|)2=У2- 27- (»?)2 + ах2 = у2.	28. (х2)2 + ах® = у2. 29. (ж2)2+ (жЗ)з = у2. -	30. (ж®)3 - (ж2)2 = у2. 31.	(ж2)2 - (жф® = у2. 32.	(ж®)» + аж®ж2 = у2. 33.	(ж®)3 — аж®ж2 = у2. 34.	х[ + ж2 = у2, ~ Х2 = Уг 35.	^ + 1» = ^ X2 — X3 — 1/^ 36.	х3 + ах2 = у2, х3 — Ьх2 ~ у2. 37.	х3 + ах2 — у2, а?3 + Ъх2 = у2. 38.	х3 — ах2 = ур х3 ~ Ьх2 = у 39.	ах2 — х3 = у|, Ьх2 — х3 = у|. 40.	(х*)2+х| = у2, (ж2)2 - ж® = у2. 41.	ж® + (ж2)2 = у2, - («ф2 = уф 42а. (ж®)3 + (ж2)2 = (ж®)3 - (а^)2 = у2. 42б. (a$2+ (ж®)9 = у2, (ж2)2 — (ж®)3 = у2. 43. (ж3)3 + а (ж2)2 = у2. (ж®)3 - b (ж2)2 = у2. 44а. (ж®)3 + а (ж2)2 = уф (ж®)3 + Ъ (ж2)2 = у2. ^б- Ц)8 ~ а = У?»- (ж®)3 - 5 (ж2)2 = у2. 44в. а (ж2)2 - (ж®)3 = уф 6 (х2)2 - (г®)3 = уф
244
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
КНИГА 5
1. (ж1 2 3 4 5 * *)2 + ах% = yj,
(4>8 - Ъх* = у*.
2. (х2)2 + «4 = V*,
Сф8 + Ьх* = у®.
-3. (®f)8 — а4 = У»
(Ж2)» - Ьх* = у».
4. (ж81)’+а(х8)8 = у8,
5. (4>* + а (х8)’ = у®,
(4>8 + ь (эф* = 4
<6. (4)« - а (4)» = у*,
(4)а -ь (4>* = у\-
7. а?1 + #2 = а>
х? + 4 =ь-
*8.	•— х2 = а,
4 — 4 = ь-
9.	a?i + х2 ~ <h
4 + 4 = ь to — «»)*•
10.	хг — х2 = а,
4 - 4 = ь fa + ”»)’
11.	х± — х2 = а,
4 + — ь (*1 + *•)•
12. xi + х2 = а,
Х1 ~ 4 в Ь “ х*)-
13. ах% + Ь = х2 + #8,
Х1 + х2 = У^
4 + Х3 = 4*
14.	axf — Ъ = х2 + х81
4 х%=
4 — *« = 4-
15.	«4 — Ь —	+ ^2,
4 + ®2 = 4»
4 - х3 = 4.
16.	ах^ — Ь ® х2 + «в»
х| — tc2 =
Хз — 4 Ут
КНИГА 6
1. (4)2+(4)2 = ^,
Х2 = kxlt
2. (4)8- (4)8=1/*,
а;2 = кх^.
3. (4)8 - (4)« = у*.
а?2 « кх^.
4. Х84 + (4)8 = У2,
х2 = kxt,
5. x*x*t + (4)8 = у»,
Х1 = х2*
«. х[х* — (4)» = У»,
хх = xt.
7- 4^ — (4)1 = v*'
«1 = «»• ______
8. х*х* + Vх*х* = у*.
э. ж84 _ У44 = V*-
40.	—x24 = y8.
11.	х* + (х*)« = у».
4
12.	-i+4=4,
^2
4
> + 4 = 4-
Х2
13.	х1--т = у1
х2
Х1
ж2 — — — V2
Х2
Х1
^-4 = 4’
Х2
4
— __ х2 — I/2
2	*2-"УЗ*
Х2
15. х* + (х| - х«) = у*
4 + <4 — 4) = 4>
ха > xv
to	to
p	₽>	»	&
bo to to to
II	I	I	II
8	8	8	8
+	11	II	+
8 <C «= H
К «мН to to
+ '
8
w
to to b»
I + II
« H
II II +
*8	<4	H
О CO 00
Д*» mw ДыmwД« 4^
to to Ь0 to » Ю
I + I I + +
£	£	»«	£
11	11	11	я	“ll	я
«а	«г	<ч
ьэ to M to <4 м to 45 MN
"* to to - to to ~
M Cb Crt rfN co p
«*	»«	Л*	£
+	+	+	+Х	+ ^4ГЧГ
£ -« B« “ л? И И JC
II	и	я	+	*	и
чг	4-	чг	н	ч-	Дэ	+	4- «to
W to to to H* to M	r^jP •	• '®3?
II T 	7
n++"
00	M	to	to	»u*
ЛАы.ПоЛЛ	*« °« e« °»e« *» г г ак *» в« °-
।	।	।	к и и + и и ii	I	I	и и	++	।	।	и	I	I	I	ii	+	+	+
> в»ыг з» > >	«и«	£	£	л*	д»	<?	»«	.?
II	и	и	»««««»+ *»»»»»	n	||	«..A	и и	и	и	_|_	и	и	||	+	и	и	||
<ч 45 4-	н	чгчг	<е«г4^н<чч:4й^<с:4
WtObOtOMtO	СЙ to	to to М» to	1^ to w to to to Mta bO GO to to to н* to Ю co to to H to
+ ’ * +  ’ ’ +  ’ *
Л.	<?	««
II	+
£
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
к
to
246
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ
ИЗ «КНИГИ КВАДРАТОВ» ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО
1. x2 + y2 = a2, a2 = m2 + 2. x2 + y2 = N - a2 + b2 #= 3.	x2	+	m =	u2, x2	—	m =	p2, m = 5, 240, 760, 840. 4.	x2	-|-	x =	w2, x2	—	X =	V2. 5. x2 4- nx — u2, x2 — nx — У2.	e-4 + ^ = 4 Xl + x2 + ж3 = Уз' 7. (хг + ж2 + х3) + х3 = «1 + = & у1 + А = vl-
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ
ИЗ ТРАКТАТА «ZETETICA» ВИЕТА
КНИГА IV
I. х2 + у2 = tf2.
II—III. х2 + у2 = а2 + Ь2.
IV.	Найти два подобных пря-
моугольных треугольника,
имеющих заданные гипоте-
нузы, и «вывести» из них
третий треугольник, базис
которого, составленный из
высоты первого и базиса вто-
рого, имеет определенное зна-
чение. .
V.	х2 + у2 == а2 + &2,
F < х2 < G.
VI.	х2 - у2 = а.
VII.	х 4- а = у*,
х + Ъ == у*.
VIII.	а — х = у*,
b — х =
IX.	х — а = i/p
* — Ъ =
X.	х2 + ху + у2 = z2.
Лемма к XI. Построить на двух
числах три тела оди-
накового объема.
XI.	xf+yf^zf, i= 1,2,3;
®1У1 — х3у3 = х3у3.
XII.	х? + yf = z|, i = 1, 2, 3;
У1УзУз
------- = и2.
Х^Х^Х^
XIII.	x2i + yf = z|, i=l, 2; ..
У1^2 — *1*2 = и2.
XIV.	xf + У2 = 4 f 2;
У1У2 + *1*2 =r u2-
XV.	x? + ya= z|, i = 1., 2, 3;
Z1Z223	«
------- = U2,
ХГХ2Х3
XVI.	X2 + у2 = z2,
a* — 6*
1/2^ = ------------- ♦
x у
xvn.
x 4- / = u2,
X + z = ®*.
XVIII. x3 + ys = a* — b3.
XIX. x3 - y* = a* + b3.
XX. x3-y3 = a3 — b3.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
247
КНИГА V
I.	х2 ~f~ х2 -|~ х3 У\-
X х2 = у*,
х2 + Х3 = у|,
*3 + *1 = у\-
II.	X2 — у2 = у2 — Z2.
III.	хг — х2 = х2 — х3,
Х1 + хг = Ур
х2 + х3 = Vtf
хз + Х1 = Уз-
IV.	хг + х2 4- х3 + а = у*,
х1 + хз + а = у^,
хз + хз+ в = Уу
хз + + а = vi-
У.	Xj + х2 + ха — а = у2,
®1 + х2 — а = у2,
х2 + х3 — а = у2,
xs + Xj — а = у2.
VI.	Найти бесконечно много ре-
шений уравнений х2 + а =
= у2 и х2 — а = л2.
VII.	х^х^ “} л — у
*2*3 + а = у^
*з*1 + « =
VIII.	х^хъ — а = yft
х2х3 — а =
хз#1 ~ а = yj.
IX.	х2 + у2 = z2,
1/гХу + а = и2,
а = р2 + д2.
X.	х2 + у2 = z2,
1/ъхУ — а = w3-
XI. х2 + у2 = z2,
а — Y!2xy = и2,
XII. Х^Х* _|_ д.2 z2 _
Х1Х1 + Х1 + *3 = Уг
х|4 + х2 + xj = у2,
XIII.	х + у = а,
(х + Ь) (у + с) = и2.
XIV.	х2 — а = и2,
Ъх < и2 < сх.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ОСНОВНЫЕ ИЗДАНИЯ «АРИФМЕТИКИ» ДИОФАНТА
1.	Diophanti Alexandrini rerum arithrreticarum libri sex, quorum primi duo
adjecta habent scholia, Maximi (ut conjecture est) Planudis. Item liber de
numeris polygonis seu multangulis. Opus incomparabile, verae arithmeticae
logisticae perfectionem continens, paucis adhuc visum. A Guil. Xylandro
Augustano incredibili labore latine redditum, et commentariis exp lan a turn.—.
Basileae, 1575.
2.	Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis
liber unus. Nunc primum graece et latine editi, atque absolutissimis com-
mentariis illustrati. Auctore Claudio Gaspare Bacheto Meziriaco Sebastiano.
Lutetiae Parisiorum, 1621.
3.	Heath Th. L. Diophantus of Alexandria. A study in the history of Greek
algebra.— Cambridge, 1885.
4.	Die Arithmetik und die Schrift fiber Polygonalzahlen des Diophantus von
Alexandria. Gbersetzt und mit Anmerkungen von G. Wertheim. Leipzig,
5.	Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis commentariis. Edidit
et latine interpretatus est Paulus Tannery, vol. 1—2. Lipsiae, 1893—1895.
6.	Diophante d’Alexandria. Les six livres arithmetiques et le livre des nombres
polygones. Oeuvres traduites pour la premiere fois du grec en franQais avec
une introduction et des notes par Paul Ver Eecke. Bruges, 1926; Paris, 1959.
7.	Diophantus Alexandrinus. Arithmetik des Diophantos von Alexandria.
Aus dem Griech. iibertr. und erklart von Arthur Czwalina. Gottingen, 1952.
8.	E. S. Aio^avTou Api-&pi7jTixa. AJhqvai, 1963.
9.	Диофант Александрийский. Арифметика и Книга о многоугольных числах/
Пер. с древнегреч. И. Н. Веселовского. Ред. и коммент. И. Г. Башмако-
вой. М.: Наука, 1974.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Архимед. Сочинения/Пер., вступ. статья и коммент. И. Н. Веселов-
ского; Пер. араб, текста Б. А. Розенфельда. М.: Физматгиз, 1962.
2.	Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых (от Диофанта до
Пуанкаре).— Ист.-мат. исследования, 1975, вып. 20, с. 104—124.
3.	Башмакова И. Г. Диофант Александрийский и его «Арифметика».—
В кн.: Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах/Пер.
с древнегреч. И. Н. Веселовского. М.: Наука, 1974, с. 5—27.
4.	Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972.
4). Башмакова И. Г. Диофант и Ферма.— Ист.-мат. исследования, 1966,
вып. 17, с. 185—204.
<6. Башмакова И. Г. «Книга квадратов» Леонардо Пизанского.—
История и методология естеств. наук, 1978, вып. 20, с. 38—48.
7.	Башмакова И. Г. Композиция квадратичных форм в математике XIII —
XVI вв.— Ист.-мат. исследования, 1980, вып. 25, с. 303—314.
8.	Башмакова И. Г., Славутин Е. И. Исчисление треугольников Ф. Виета
и исследование диофантовых уравнений.— Ист.-мат. исследования,
1976, вып. 21, с. 78—101.
О. Башмакова И. Г., Славутин Е. И. Метод последовательных прибли-
жений в «Арифметике» Диофанта.— История и методология естеств.
наук, 1974, вып. XVI, с. 25-35.
10.	Башмакова И. Г., Славутин Е. И., Розенфельд Б. А. Арабская версия
«Арифметики» Диофанта.— Ист.-мат. исследования, 1978, вып. 23,
с. 192—225.
11.	Бурбаки Н. Очерки по истории математики/Пер. с франц. И. Г. Баш-
маковой: Под ред. К. А. Рыбникова. М.: Изд-во иностр, лит., 1963.
12.	Вайман А. А. Вавилонские числа.— Ист.-мат. исследования, 1957,
вып. 10, с. 587—594.
13.	Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика. Ill—I тысячелетия
до н. э. М.: Изд-во вост, лит., 1961.
14.	Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего
Египта, Вавилона, Греции/Пер. с голланд. И. Н. Веселовского. М.:
Физматгиз, 1959.
15.	Васильев А. В. Целое число: (исторический очерк). Пг.: Научное книго-
издательство, 1919.
16.	Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука,
1967.
17.	Дийуфантус. Сина’а ал — джабр. Таджама Куста ибн Лука, хакака-
хива каддама лаху Рушди Рашид. Каир, 1975.
18.	Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах/Пер. с древне-
греч. И. Н. Веселовского; Ред. и коммент., вступ. статья И. Г. Башма-
ковой. М.: Наука, 1974.
19.	Евклид. Начала/Пер. с греч. и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовского.
М.; Л.: Гостехиздат, 1948—1950. Т. I—III.
20.	Евсевий. Церковная история. СПб., 1848.
21.	История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/Под.
ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970, т. 1; 1971, т. 2; 1972, т. 3.
22.	Каучикас А. П. Диофант и неопределенный анализ в трудах европей-
ских математиков XIII—XVI веков. Дис.... канд. физ.-мат. наук. М.,
1979.
23.	Каучикас А. П. Двойные равенства у Диофанта и П. Ферма.тг- Ист,-
мат. исследования, 1982, вып. 26, с. 179—189.
24.	Кэджори Ф. История элементарной математики. Одесса, 1910.
25.	Лавриненко Т. А. Решение неопределенных уравнений 3-й и 4-й степени
в поздних работах Эйлера.— Ист.-мат. исследования, 1983, вып. 27.
250
ЛИТЕРАТУРА
26.	Матвиевская Г. П, Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем
Востоке. Ташкент, 1967.
27.	Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук/Пер.
пред., примеч. С. Я. Лурье. М.; Л.: ОНТИ, 1937.	’*
28.	Нейгебауэр О. Точные науки в древности/Пер. Е. В. Гохман; Под ред.
с предисл. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1968.	4
29.	Памятники позднего античного ораторского и эпистолярного искусства.
М.: Наука, 1964.
30.	Платон. Сочинения: В 3-х т./Под общей ред. А. Ф. Лосева и В. ф. Ас-
муса. М., 1968—1972. Т. 1—3.
31.	Пуанкаре А. Об арифметических свойствах алгебраических кривых.
Избранные труды. М.: Наука, 1972, т. 2, с. 901—960.
32.	Розенфельд Б. А. Алгебраический трактат ас-Самав’ала.— Ист.-мат.
исследования, 1975, вып. 20, с. 125—149.
33.	Славутин Е. И. Обший метод решения неопределенных уравнений вто-
рой степени в «Арифметике» Диофанта.— Ист.-мат. исследования, 1979,
вып. 24, с. 310—330.
34.	Славутин Е. И. Алгебраические методы в древности. Автореф. канд.
дис. М.: ИИЕиТ, 1973.
35.	Страбон. География: В 17-ти кн./Пер. с треч., статья и коммент.
Г. А. Стратановского; Под ред. С. Л. Утченко. Л.: Наука, 1964.
36.	Тимченко И. Ю. Исторические сведения о развитии понятий и методов,
лежащих в основании теории аналитических функций. Одесса, 1899.
37.	Уокер Р. Алгебраические кривые. М., 1952.
38.	ал~Хорезми. Математические трактаты/Пер. с араб. Ю. X. Копелевич
и Б. А. Розенфельда; Коммент. Б. А. Розенфельда. Ташкент, 1964.
39.	Цейтен Г. Г. История математики в древности и средние века. М.:
ГОНТИ, 1938.
40.	Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.; Л.: ГТТИ,
1933.
41.	Цицерон. Избранные сочинения/Пер. с лат. М. Гаспарова. М.: Худ.
лит., 1975.
42.	Чебышев П.Л. Поли. собр. соч. М.; Л: Изд-во АН СССР, 1944—1951.
Т. 1—5.
43.	Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972.
44.	Юшкевич А. П. История математики в средние века. М.: Физматгиз,
1961.
45.	Anbouba A. L’algebre arabe aux IXе et Xе siecle. Aper^u general.—
J.for the History of Arabic Science, 1978, 2, N 1, 66—100.
46.	Anbouba A. Un traite d’Abu Ja’far [al-Khazin] sur les triangles rectan-
gles numeriques.— J. for the History of Arabic Science. 1979, 3, N 1»
134-178.
47.	Anthologia Palatina epigrammatum gr. et lai. cum adnot. in ed. Bois-
sonadii, Chardonis de la Rochette, Bothii. etc. ed. Fr. Dnebner.— Paris:
Didot, vol. 1, 1864; vol. 2, 1872.
48.	Abu Kamil. The algebra of Abu K< mil. Kitab fi al-jabr wa 1-muqabala
in a commentary by Mordecai Finzi. Madison, Milwaukee, and London,
1966.
49.	Bachmacova I. G., Slavutin E. I. «Genesis triangulcrum» de Francois
Viet et ses recherches dans 1’analyse indeterminee.— Archiv for History
of Exact Sciences, 1977, 16, N 4, 289—306
50.	Basmakova I. G. Diophant und diophantische Gleichungeri. < Basel und
Stuttgart: Bikhauser. Verlag, 1974.
51.	Bashmakova I. G. Arithmetic of algebraic curves from Diophantus to Poin-
care.— Historia Mathematica, 1981, 8, 393—416.
52.	Bachmdkova I. G. Diophante et Fermat.—Rev. d’Histoire de Sci., 1966,
19, 289—306.
53.	Becker O. Das mathematische Denken der Antike. Gottingen, 1957.
ЛИТЕРАТУРА
251
54.	Becker О., Hofmann J. E. Geschichte der Mathematik. Bonn, 1957.
55.	Billy J. de. Inventum novum. Oeuvres de Fermat. Paris: Gauthier-Vil-
lars 1896, vol. 3, p. 323—398.
56.	Bombelli R. L’Algebra. Bologna, 1572.
57.	Bombelli R. L’Algebra. Opera di Rafael Bombelli da Bologna. Prim a
edizioni di E. Bortolotti et di U. Forti. Milano: Feltrinelli, 1966.
58.	Bourbaki N. Histoire des mathamatiques. Paris: Hermann, 1974.
59.	Bruins E. M. Neuere Ergebnisse zur Babylonischen Arithmetik.— Pra-
xis der Mathematik, 1959, 1, N 4, 89—95.
60.	Bruins E. M. Pythagorean triads.—Summer, 1955, 11, N 2, 117—121.
61.	Bruins E. M. Pythagorean triads in Babylonian mathematics.— The
Mathematical Gazette, 1957, 41, N 335, 25—28.
62.	Bruins E. M. Rutten M. Textes mathamatique de Suse. Paris, 1961.
63.	Bruins E. M. Reciprocal and pythagorean triads.— Physis, 1967, 9,
373—392.
64.	Caiory F. A history of elementary mathematics with hints on methods
of teaching. Colorado College; Colorado Springs, 1896.
65.	Cantor M. Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1907—
1913, Bd. 1—4.
66.	Cardanus H. Ars magna sive de Regulis algebraicis. Norimbergae, 1545.
67.	Cardanus H. Opera omnia. Lyon, 1663, vol. 1 — 10.
68.	Cauchy A. Oeuvres completes d’Augustin Cauchy publiees sous la direc-
tion scientifique de FAcademie des Sciences, 2е serie. Paris: Gouthier-
Villars, 1882, t. 6, p. 320-353.
69.	Codex Constantinopolitanus, ed. by E. M. Bruins, pt 1—3, Leiden Brill,
1964.
70.	Datta B.. Singh A. N. History of Hindu mathematics. Lohore, 1935—
1938, vol. 1-2.
71.	Dedron P.t Hard J. Mathamatiques et mathematiciens. Paris: Magnard,
1959.
72.	Dickson L. E. History of the theory of numbers. Washington, 1919, re-
printed New York, 1952, 1966, vol. 1—3.
73.	Diophanti Alexandria! opera omnia cum Graecis commentariis. Ed.
et lat. interp. P. Tannery. Lipsiae, 1893—1895, t. 1—2.
74.	Diophante d'Alexandrie. Les six livers arithmetiques et le livre des nom-
bres polygones, trad. Paul Ver Eecke. Paris, 1959.
75.	Die Arithmetik und die Schrift iiber Polygonalzahlen des Diophantus
von Alexandria, iibers. und mit Anmerkungen v. G. Wertheim. Leipzig,
1890.
76.	Euler L. Vollstandige Anleitung zur Algebra. Petersburg, 1770.
77.	Euler L. Elements d’algebre avec des notes et des additions. Lyon, 1784,
vol. 1—2.
78.	Euler L. Methodus nova et facilis formulas cubicas et biquadraticas ad
quadratum reducendi.— Mem. de ГАс. des sci. de St. Petersbourg, 1830,
11, 69—91. Opera omnia, ser. 1, v. 5, p. 157—181.
79.	Euler L. Solutio problematis difficillimi, quo hae duae formulae a2x2 4-
+ &2^2 et a2y2 + fr2#2 quadrata reddi debent.— Mem. de ГАс. des sci.
de St.-Petersbourg, 1830, 11, 12—30. Opera omnia, ser. 1, v. 5,
p. 94—115.
80.	Fermat P. Oeuvres Ed. P. Tannery et Ch. Henry. Paris, 1891—1922,
vol. 1—5.
81.	Friberg J. Methods and traditions of babylonian mathematics, Plimpton
322, Pythagorean triples.— Historia mathematica, 1981, 8, N 3, 277—318.
82.	Hankel H. Zur Geschichte der Mathematik in Altertum und Mittelalter.
Leipzig, 1874.
83.	Heath Th. L. Diophantus of Alexandria. A’study in the history of Greek
algebra. Cambridge, 1910, reprinted New York, 1964.
84.	Heath Th. L. A history of greeK mathematics. Oxford, 1921, vol. 1—2.
252
ЛИТЕРАТУРА
85.	Heronis Alexandria! Metrika, ed. E. M. Bruins. Leiden, 1964.
86.	Hilbert D., Hurwitz A. Uber die diophantische Gleichungen vom Gesch-
lecht Null.— Acta Math., 1890, 14, 217-224.
87.	Hofmann J. E. Uber eine zahlentheoretische Aufgabe Fermats.— Centa-
urus, 1961, 16, 169—202.
88.	Jacobi C. G. J. De usu theoriae integralium ellipticorum et integralium
abelianorum in analysi Diophantea.— Crelle Journal fur di reine und
angew. Mathematik, 1835, 13, 353—355. Gesammelte Werke, Bd. 2»
S. 53-55.
89.	Jacobi C. G. J. Uber die Kentnisse des Diophatas von der Zusammen-
setzung der Zahlen.— Berliner Monatsberichte, 1847, Gesammelte Werke,
Bd. 7, 332-344.
90.	Jamblichus Chalcidensis. Theologumene arithmeticae. Lipsiae, 1817.
91.	Leonardo Pisano. Scritti di Leonardo Pisano. Roma: Publ. de B. Bon-
compagni, 1862, t. 1—2.
92.	Nesselmann G. H. F. Die Algebra der Griechen. Berlin, 1842.
93.	Newton I. The mathematical papers of Isaac Newton, ed. D. T. White-
side. Cambridge, 1971, vol. 4.
94.	Pacioli Luca. Summa de arithmetics, geometria, proportion! et proporti-
onalita. Venetiae, 1494.
95.	Pappus d'Alexandrie. La collection mathematique. Oeuvre traduite pour
la premiere fois du grec en fran^ais avec une introduction et des notes
par Paul Ver Eecke. Paris./Bruges, 1933, vol. 1—2.
96.	Proclus Diadochus. Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorunt
librum commentarii, ed. G. Friedlein. Lipsiae, 1873.
97.	Proclus Diadoches. Kommentar zum ersten Buch von Euklids «Elementen»,.
Ubersetzt v. L. Schonberger, ed M. Steck. Halle, 1945.
98.	Poincare H. Sur les proprietes arithmetiques des courbes algebriques.—
J. Math., 5е serie, 1901, 7, 161-233.
99.	Ptolemaei Magnae Construction is lib. XIII, Theonis Alexndrini in eosdem
comment, libri XI, graece, ed. S. Grynaeus. Basileae, 1558.
100.	Hashed B. L’analyse diphantienne au Xе siecle: 1’exemple d’al — Kha-
zin.— Revue Hist. Sci., 1979, 32, N 3, 193—222.
101.	Hashed R. Les travaux perdus de Diophante.—Revue Hist., Sci., 1974,.
27, N 2, 97—122; 28, N 1, 3—30.
102.	Schlesinger L. Uber eine Problem der Diophantischen Analysis bei Fer-
mat, Euler, Jacobi und Poincare.— Jahresbericht der deutschen Mathe-
matiker — Vereins, 1908, 17, H. 1.
103.	Sesiano J. Le traitement des equations indeterminees dans le Bad! fiT-
Hisab d’Abu Bakr Al-Karaj!.— Archive for Hisory of Exact Sciences,
1977, 17, 297—379.
104.	Sesiano J. The arabic text of books IV to VII of Diophantus’ translation»
and commentary. Thesis. Providance: Brown Universitet, 1975.
105.	Sesiano J. Les methodes d’analyse indeterminee ches Abu Kamil. — .Cen-
taurus, 1977, 20, N 2, 89—105.
106.	Skolem Th. Diophantische Gleichungen. Berlin, 1938.
107.	E. S.Aio^avTou ApiTpTjTixa. Alhjvai, 1963.
108.	Stevin S. L’Arithmetique de Simon Stevin de Bruges. Leyde: De 1’impri-
merie de Christophle Plantin, 1585.
109.	Stevin S. L’Arithmetique de Simon Stevin de Bruges. Reveue, corrigee
et augmentee de plusieurs traictez, et annotation par Albert Girard Sa-
mielois Mathematicien. Leyde: de 1’imprimerie des Elzeviers, 1625.
110.	Suidas lexicon graece recognovit J. Becker. Berolino, 1854.
111.	Thou J- Historiarum sui temporis continuatio. Francofurti, 1625,
112.	Viete F. Francisci Vietae Zeteticorum libri quinque. Turonis, 1593.
113.	Viete F. In artem analyticam isgoge. Turonis, 1591.
114.	Viete F. Vietae Francisci opera mathematica. Ludguni Batavarum, 1646.
ЛИТЕРАТУРА	253
Reprinted: Viete F, Opera mathematica recognita Francisci a Schooten.
Vowortund Register von J. E. Hofmann, Hildesheim — New York, 1970.
Ц5. Waerden van der. On pre-Babylonian mathematics, I.—Archive for his-
tory of exact sciences, 1980, 23, p. 1—25.
116.	Waerden van der. On pre-Babylonian mathematics, II.— Archive for
history of exact sciences, 1980, 23, p. 27—46.
117.	Woepcke F. Extrait du Fakhri, traite d’algebre par Abou Bekr Mohammed
ben Alha^an Alkarkhi. Paris, 1853.
118.	Woepcke F, Recherches sur plusieurs ouvrages de Leonardo de Pise. Tra-
duction d’un fragment anonyme sur la formation des triangles rectangles
en nombres entiers, et d’un traite sur le meme sujet par Abou Dja’far
Mohammed Ben Alho^ain.— Atti dell’Accademia Pontificia de Nouvi
Lincei. 1861, 14, p. 211—227, 241-268, 301—324, p. 343—356.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ............................................... 3
ВВЕДЕНИЕ......................................,	, ,	5
Сведения из алгебраической геометрии . . . . г s s .	13
Часть первая
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
В АНТИЧНОСТИ
Глава I
ЗАДАЧИ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА ДО ДИОФАНТА . г 22
1. Древний Вавилон......................................  22
2. Древняя Греция................................  в	25
3. Задачи диофантова анализа у Герона Александрийского	29
Глава II
ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ.....................................  36
1.	Диофант.............................................  36
2.	Содержание «Арифметики»........................*	41
3.	Историки науки об «Арифметике».............. . * <	46
Глава III
ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ И СИМВОЛИКА ДИОФАНТА ...	49
1.	Символика.................................... . . .	49
2.	Числовая область.............................  .	53
3.	Возможности и границы символики Диофанта......... « 55
4.	Роль конкретных чисел (параметров)......  .	. . »	58
Глава IV
МЕТОДЫ ДИОФАНТА..................................  .	61
1.	Уравнения второй степени с двумя неизвестными «...	61
2.	Уравнения второй степени со многими неизвестными . . «	68
3.	Метод последовательных приближений..................  72
4.	Неопределенные уравнения третьей степени и высших сте-
пенен ....................................   8	. . .	81
5.	Пространственные кривые рода 1 и поверхности третьего
порядка ...........................................	87
6.	Теория чисел у Диофанта....................... .	96
Глава V
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В АНТИЧНОСТИ ПОСЛЕ ДИО-
ФАНТА .	#	..................  .	104
1. Арабская версия четырех книг «Арифметики» Диофанта 104
2. Некоторые типы задач арабской версии «Арифметики» « «	107
3.	Методы сведения к уравнениям второй степени и к «двой-
ным равенствам»	112
ОГЛАВЛЕНИЕ
255-
4.	Системы уравнений третьей степени............... 118
5.	Некоторые параллели греческого и арабского текстов
«Арифметики»......................................  120
6.	Кто автор арабской версии «Арифметики».......... 123
Часть вторая
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ
Вводные замечания................................с-	120
Глава I
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У АБУ КАМИЛА...................... 131
1. Алгебра Абу Камила.............................. 131
2. Методы Абу Камила . . . ........................	132
Глава II
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И НЕОПРЕДЕЛЕН-
НЫЙ АНАЛИЗ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ ...	138
1.	Обзор источников , . . . . ..................... 138
2.	Вопросы теории чисел, связанные с решением уравнения
х2 + у2 = z2....................................... 140
3.	Решение уравнения х2 -J- у2 = z2 в целых числах и другие
результаты Ибн ал-Хусайна ......................... 143
4.	Решение системы уравнений z2 + Л = u2, z2 — к = и2 . .	145
Глава III
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ТРУДАХ АЛ-КАРАДЖИ ...	140
1.	Алгебраические исследования ал-Караджи..........	149
2.	Теоретическая часть трактата «ал-Фахри». Метод «истикра» 151
3.	Практическая часть трактата «ал-Фахри».......... 152
4.	Неопределенный анализ в трактате «ал-Бади». .	.. 155
Часть третья
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ В ЕВРОПЕ
XIII—XVI ВВ.
Вводные замечания.................................  161
Глава I
ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО .......	162
1.	Леонардо Пизанский и его время.................. 162
2.	Задачи Диофанта в «Книге квадратов»............. 166
3.	Задача Иоанна Палермского......................  169
256
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава II
ЛУКА ПАЧОЛИ И ДЖИРОЛАМО КАРДАНО......................... 173
1.	Лука Пачоли и его «Сумма знаний по арифметике, геомет-
рии, отношениям и пропорциям»....................... 173
2.	Учение о неопределенных уравнениях у Луки Пачоли . .	177
3.	Влияние «Суммы» на творчество математиков XVI в. . .	180
Глава III
ВЕК АЛГЕБРЫ ..........................,................  182
1.	XVI век —век алгебры................................ 182
2.	Диофантовы уравнения у	Рафаэля	Бомбелли............ 184
3.	Франсуа Виет........................................ 187
4.	Создание буквенного исчисления...................... 190
5.	«Genesis triangulorum».............................. 193
0. Неопределенные уравнения	второй	степени	у	Виета . . .	201
7.	Проблема четырех кубов.............................. 203
8.	Заключение.......................................... 205
Глава IV
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ У ПЬЕРА ФЕРМА.......................... 205
1.	Пьер Ферма и его время.............................. 205
2.	Теория чисел Ферма, Метод спуска.................... 209
3.	Неопределенные уравнения Fn (ж, у) = 0 для п = 3 и 4 . .	217
4.	Решение проблемы четырех кубов...................... 226
5.	«Двойные равенства» у Ферма......................... 228
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................. 233
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Сводка задач «Арифметики» Диофанта...................... 235
«Сводка задач четырех книг арабской версии «Арифметики»
Диоф&нта ........................................ 243
Неопределенные задачи из «Книги квадратов» Леонардо Пи-
занского ........................................ 246
Неопределенные задачи из трактата «Zetetica» Виета ....	246
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Основные издания «Арифметики» Диофанта.................. 248
ЛИТЕРАТУРА # . с. ® . * ......... ...................... 249
руб