Tags: арифметика
Year: 1868
Text
№ 1.
АРИѲМЕТИЧЕСКІЯ ПРАВИЛА.
А. О дробяхъ десятичныхъ.
1) Способъ изображенія. Десятичныя дроби принадлежатъ къ ряду
десятичной системы чиселъ. Какъ значеніе цифръ въ цѣлыхъ числахъ
зависитъ отъ ихъ мѣстъ, такъ точно и въ дробяхъ десятичныхъ
на первомъ мѣстѣ послѣ единицъ стоятъ десятыя части, на второмъ
сотыя и т. д. Цѣлыя отъ десятыхъ отдѣляются запятою или точкою:
И такъ въ дробяхъ десятичныхъ пишутъ только числителя, а знаме-
натель
Число
детъ, то
5 4
100 " 10000 ’
производитъ ни-
зависитъ отъ мѣста числителя послѣ запятой.
7 35
2 — пишутъ 2,7; также 4 — 4,035. Если цѣлыхъ чиселъ ие бу-
15
передъ запятою пишутъ пуль, напрны. =0,15.
2
Слѣдовательно въ числѣ 0,2504 нѣтъ цѣлыхъ чиселъ, по і
посему вмѣстѣ 2504 десятитысячныхъ.
5
Числа 0,5; 0,50; 0,500 означаютъ одно и то же, именно — •
Слѣдовательно нули, стоящіе съ правой стороны цифры 5, ие
какой перемѣны въ величинѣ. Напротивъ, числа 0,5; 0,05; 0,005 всѣ уменьшаются
въ 10 разъ.
2) Обращеніе обыкновенныхъ дробей въ десятичныя и періодич-
ныя и обратно. Къ числителю обыкновенной дроби приписываютъ
опредѣленное число нулей и дѣлятъ это число ня знаменателя; въ
полученномъ частномъ отъ правой руки къ лѣвой отдѣляютъ запятою
столько цифръ, сколько къ числителю было приписано нулей.
Мехаа. Берауиа. 1
— 2 -
Примѣры:
7 « а,г 7000
-а- = 0,875 ; потому-что д = 875.
О о
Д = 0,15625; потому-что = 15625.
йб Ой
Дѣленіе не всегда оканчивается, полученная дробь называется періодическою или
безконечною. Въ такомъ случаѣ останавливаются на опредѣленномъ мѣстѣ и чрезъ
то получаютъ приближенную величину. Напримѣръ:
2 3
у = 0,6666 -у = 0,428 57
Если въ сихъ десятичныхъ дробяхъ хотятъ остановиться на 4-мъ знакѣ, то обы-
кновенно берутъ:
2 3
-у = 0,6667 — = 0,4286.
Для обращенія десятичной дроби въ обыкновенную, надобно все число, выражае-
мое десятичными цифрами, сдѣлать числителемъ, а знаменателемъ поставить еди-
ницу, съ такимъ числомъ нулей, сколько было всѣхъ десятичныхъ цифръ, считая
отъ запятой, и полученную дробь, если можно сократить. Напримѣръ:
0,675
875
1000
0,15625 =
15625
ІОООбО
7
5
32 ‘
Для обращенія простой періодической дроби въ обыкновенную, надобно одинъ
періодъ сдѣлать числителемъ, а знаменателемъ поставить цифру 9 столько разъ
повторенною, сколько цифръ въ періодѣ; потомъ, если можно, сократить. Напри-
мѣръ:
0,666... = | = |
ѵ О
Чтобы обратить смѣшанную періодическую дробь въ обыкновенную, надобно
прежде перенести запятую до начала періода; чрезъ зто смѣшанная періодическая
дробь обратится въ простую періодическую, которую и обратить въ обыкновенную,
какъ выше сказано. Наконецъ полученную дробь раздѣлить на 10,100,1000 и проч.,
смотря потому, черезъ двѣ, три и проч., цифры перенесена была запятая. Напри-
мѣръ:
а- = 0,10606....
100 а: = 10,60606....
99 х = 10,50000 | _ 1050 7
9900а: = 1050 / 9900— бб'
3) Сложеніе и вычитаніе десятичныхъ дробей. Подписываютъ
цифры однородныя подъ однородными (десятыя под'ь десятыми и т. д.),
производятъ сложеніе или вычитаніе какъ съ цѣлыми числами и въ
суммѣ или разности отдѣляютъ запятою цѣлыя числа отъ десятич-
ныхъ.
Сложеніе.
I 0,90058
Слагаемые { 7,634
| 3,007956
Сумма 11,542536
Вычитаніе.
Уменьшаемое 0,975
Вычитаемое 0,483764
Разность 0,491236
— 3 -
4) Умноженіе десятичныхъ дробей. Умножаютъ оба производителя,
какъ цѣлыя числа, въ произведеніи отдѣляютъ отъ правой руки къ
лѣвой столько десятичныхъ мѣстъ, сколько было десятичныхъ цифръ
въ обоихъ производителяхъ вмѣстѣ, и недостающія мѣста дополня-
ютъ слѣва пулями.
Примѣры:
Множимое 113,5 Множитель 0,072 2270 7945 0,137 0,00057 959 685
Произведеніе 8,1720. 0,00007809.
5) Солращенное умноженіе. Оно имѣетъ цѣлію получить въ про-
изведеніи только нужное число десятичныхъ знаковъ.
Подписываютъ единицы множителя подъ тѣмъ десятичнымъ мѣ-
стомъ множимаго, которое въ произведеніи должно оставаться на по-
слѣднемъ мѣстѣ; остальныя цнФры мпожптеля пишутъ въ обратномъ
порядкѣ; умножаютъ каждымъ знакомъ множителя только стоящую
надъ нимъ п слѣва слѣдующія цифры множимаго и всѣ цифры справа
располагаютъ въ прямую линію одну подъ другой.
Притомъ первое число каждаго горизонтальнаго ряда должно увеличить тѣчъ,
чѣмъ бы оно увеличилось, еслибъ была умножена слѣдующая цифра справа во мно-
жимомъ.
Примѣръ. Умножить 3,042105 на 2,113061, чтобы въ произведеніи было только
5 десятичныхъ знаковъ.
Обыкновенный способъ. Сокращенный способъ.
3,042105 3,0421 05
2,113061 16 0311,2
3042105 6 0842 1
18 252630 3041 1
912 6315 304 2
3042 105 91 3
30421 15 1 8
6,08421 0 6,4281 5.
6,42815 3433405.
6) Дѣленіе десятичныхъ дробей. Прежде дѣленія, дроби приводятъ
къ одному знаменателю и уничтожаютъ ихъ общаго знаменателя, т. е.
переносятъ запятую въ дѣлимомъ и дѣлителѣ на одинаковое число
мѣстъ, пока въ обоихъ числахъ не останется болѣе десятичныхъ зна-
ковъ; потомъ дѣлятъ эти цѣлыя числа какъ обыкновенно.
Дѣлимое..
Дѣлитель .
Примѣры:
42,435 42435 П1 .
ТДГ"
— 4 —
4 00
0,25
0,046
1^=1600
25
460000 лЛпллі
0,0076089 - 76089 ” 6,03604 ’'1
В. 0 ііропорціяіъ.
Отношеніе двухъ величинъ показываетъ, сколько разъ одна ве-
личина содержится въ другой. Два равныя отношенія (частныя) со-
ставляютъ пропорцію.
3 6
Двѣ дроби -- и — могутъ быть разсматриваемы какъ два равныя отношенія.
4 о
Происшедшая отсюда пропорція
3 6
Т = "8 ’ ИЛИ
будетъ:
обыкновеннѣе 3:4 = 6:8;
т. е. 3 относятся къ 4 какъ 6 къ 8. Числа 3, 4, 6 и 8 суть члены и притомъ
3 и 8 крайніе, 4 и 6 средніе члены пропорціи.
2) Во всякой пропорціи произведеніе крайнихъ членовъ равно про-
• ТЛ Т 7 I х а с
изведенію среднихъ. Когда или (что все равно) -у =
получимъ ай = Ье.
3) Отсюда слѣдуетъ, что для нахожденія крайняго члена должно
произведеніе среднихъ раздѣлить на другой крайній; также средній
членъ равенъ произведенію крайнихъ, раздѣленному на извѣстный
средній.
Ь с
Примѣры. Въ пропорціи а:б = с:о: будетъх = —,
5:4 = х: 0,6 будетъ х — - = О,7б.
С. Извлеченіе квадратнаго корня.
1) Произведеніе, полученное отъ умноженія числа самого на себя,
называется квадратомъ сего числа, а самое число—квадратнымъ кор-
немъ.
Квадратъ 7 будетъ 49; квадратный корень изъ 81 есть 9. Изображаютъ это
такъ: 72 — 49 и 1^8? = 9.
2) Квадратъ двухъ-или-трехчленной величины: « -ь і, « + 4 + с
будетъ:
(а-4-і)2 = а2-ь 2яі-ьі.
[(а -+- і) -+- с]2 = (а -+- і)2 -+- 2 (а -+- 6) с -+- с2;
слѣдовательно, также чрезъ извлеченіе квадратнаго корня будетъ:
V а2 ч- 2 аб ч- й2 — а ч-6.
\/~(ач- 6)‘ ч~ 2 (а -+-1>) с -+- с2 = а -+- Ь -+- с.
— 5 —
3) Если цѣлое число написано 2-мя цифрами, то квадратъ его
содержитъ 3 или 4 цифры; посему, если цѣлое число написано
3-мя или 4-мя цифрами, то квадратный изъ него корень будетъ со-
держать двѣ цифры. Если квадратъ содержитъ 5 или 6 цифръ,
то квадратный изъ него корень будетъ имѣть 3 цифры, и т. д. Чрезъ
примѣненіе предъидущихъ Формулъ получается слѣдующее правило
для извлеченія квадр. корня изъ цѣлаго чнсла:^раздѣляютъ данное
число отъ правой руки къ лѣвой на грани (отдѣленія), чтобы въ
каждой было по 2 цифры (причемъ въ послѣдней или высшей грани
можетъ быть и одна цифра) ^пріискиваютъ квадр. корень въ высшей
грани: пишутъ его справа отъ числа, изъ котораго извлекаютъ ко-
реньдеоставляютъ изъ него квадратъ и подписываютъ его подъ пер-
вую грань; вычитаютъ его изъ первой границъ остатку сносятъ пер-
вую цифру ближайшей грани и принимаютъ это число за дѣлимое.
Л^Удвояютъ найденный корень н раздѣляютъ на него упомянутое
дѣлимое, частное будетъ вторая цифра корня.6)Симъ частнымъ умно-
жаютъ дѣлителя, произведеніе подписываютъ подъ дѣлимымъ и вы-
читаютъ;^къ остатку сносятъ вторую цифру второй грани, и отсюда
вычитаютъ квадратъ частнаго.
Такъ продолжаютъ съ каждою гранью. Если извлеченіе корня бу-
детъ съ остаткомъ, то прибавляютъ по два нуля, какъ дополнитель-
ныя грани, пока получится въ корнѣ желаемое число десятичныхъ
знаковъ. Если вмѣсто сихъ паръ нулей при цѣломъ числѣ будутъ
десятичныя цифры, то поступаютъ
Примѣръ 1-й.
а Ь с й
/8|50;30|56 = 2 9 1 6
а2=4
2а = 4(4б“
2аі=36
90
Ь3 = 81
2 (я+ Ь) = 58(93
2(«-+-6) с = 58
350
о3=1
2 (лч-4 ч-с)—-582(3495
2(ач-6ч-с) <1 = 3492_
36
іі8 = 36
точно также.
Примѣръ 2-й.
а Ъ о
/0,|00|85|4=0,0 9 2 4...
а3 = 81
2 а = 18(44
2 а Ь = 36
~8О
Ь 2 = 4_
2 (« + &) = 484(760
2 (а -+- 6) с = 736_
240
с 3 = 16
224 и т. д.
О
— 6 —
О. Извлеченіе кубичнаго корпя.
1) Если число умножено само на себя три раза, то полученное про-
изведеніе называется третьей) степенью или кубомъ сего числа, а
самое число кубичнымз корнемя изъ онаго куба.
Кубъ 5 есть 5X5X5 = 125; кубичный корень изъ 64 есть 4. Дѣйствія ати
3_______________________
означаютъ такъ: 5а=12б; і/б4”=4.
2) Кубъ двухъ-п трехчленнаго количества а -+- Ь, а -г Ь -ь о бу-
детъ:
(г/ -ь і)3 = а3ч- 3я 2і -ь 3яі2 -+ 6’.
) (а -+-1>) -+- С|’ = (а -+- і)3 + 3 («+ 4)гс + 3 (ач- 6) с2-+ с3, слѣдова-
тельно также:
3«2і-ь 3 а Ь2 -+- Ь'л=а -+- Ь.
|/(« + 5)’ + 3 (я -+-1>)2 с -+- 3 (а -+- і)с2 -+- с3 = а -+- Ь -+- с.
3) Третья степень чиселъ отъ 1 до 9, какъ показываетъ таблица I,
пишется 1-ю, 2-мя или 3-мя цифрами. Слѣдовательно, если какое-ни-
будь цѣлое число написано 1, 2 пли 3 цифрами, то кубичный корень
изъ него будетъ въ 1 цифру. Кубъ двухзначнаго корня содержитъ 4,
5 или 6 цифръ; посему на оборотъ у такого числа будетъ двухзнач-
ный кубичный корень. Кубическій корень числа, выраженнаго 7-ью,
8-ыо или 9-ыо цифрами, имѣетъ 3 цифры и т. д.
Для извлеченія кубичнаго корня изъ цѣлаго числа, употребляется
слѣдующее правило. Раздѣляютъ цифры даннаго куба отъ правой ру-
ки къ лѣвой на грани, каждая въ три цифры [причемъ первая (выс-
шая) грань слѣва можетъ состоять изъ 2 или 1 ціюры], каждая грань
будетъ соотвѣтствовать одной цифрѣ корня.
Число 21403276 раздѣленное на грани 21|403 276 даетъ въ кубическомъ кор-
нѣ 3 цифры.
4) Пріискиваютъ ближайшій кубичный корень къ первой грани,
пишутъ его справа отъ куба; составляютъ изъ него третью сте-
пень п подписываютъ подъ первую грань, вычитаютъ ее изъ первой
грани; къ остатку сносятъ первую цифру слѣдующей грани и при-
нимаютъ это число за дѣлимое. Составляютъ тройной квадратъ по-
лученнаго корня и дѣлятъ па пего вышеупомянутое дѣлимое. Частное
будетъ вторая цифра корня. Потомъ симъ частнымъ умножаютъ дѣ-
лителя; произведеніе вычитаютъ изъ дѣлимаго; къ остатку сносятъ
вторую цифру второй грани; отсюда отнимаютъ тройное произведе-
ніе первой цифры корня на квадратъ второй цифры; къ остатку сио-
— 7 —
сятъ третью цифру второй грани и отсюда вычитаютъ кубъ второй
цифры корня.
Такимъ образомъ продолжаютъ съ слѣдующею гранью, принимая
двѣ найденныя цифры корня за одну величину. Если извлеченіе ку-
бическаго корня будетъ съ остаткомъ, то приписываютъ три нуля,
какъ грань, пока получится въ корнѣ желаемое число десятичныхъ
знаковъ. Если вмѣсто сихт. нулей прн данномч, кубѣ будутъ деся-
тичныя цифры, то поступаютъ точно такъ же.
Примѣръ 1-й. Примѣръ 2-іі.
а Ь
/175|616= 56 |/2,056|47. I.. .
а3 = 125 а3=1
За2 = 7б|5О6 За2=3;1О
За2А = 45О За2А = 6
561 45
ЗаА2 = 540 3«А2 .= 42
216 336'
А3 = 216 А3 = 8
О 3(«ч- А)2 = 432; 3284
3 («-+-А)2с= 3024
2607
а Ь с 4
1, 2 7 1 ..
3 (« ч- А)с2 = 1764
8430
А3 = 343
3 (в + і + с)2 н-48387|80870 и т. д.
Употребленіе таблицы I для чиселъ превышающихъ 1600.
Квадраты и кубы чиселъ превышающихъ 1600 находятся съ по-
мощью таблицы.
1) Точно по Формуламъ:
(а -+- А)2 = а2-»- 2аЬ -+- Ь‘
(а-+• А)3 = а3-+- 'іагЬ-+- ЗаА2 А3 Напримѣръ:
2875922=(287000-+-592)2=2870002-ь2.287000.592
(82369000000)
-ь5922=< 3398080001 = 82709158464
\ 350464)
37543=(3750-+-4)’= 3750’-ьЗ. 37502.4-ьЗ. 3750.42-+- 43
152734375000)
168750000 г_коапяначпйі
1800001 52903305064
64)
— 8 —
2) Приблизительно, по Формуламъ
(ач-6)2=а2ч-2а5
(а-ь5)’=а’ч-3«2і,
гдѣ Ъ очень мало, сравнительно съ а. Напримѣръ:
0,93672=0,93602ч-2.0,9360.0,0007=0,8774
0,4802’=0,4800’-і-3.0,48002.0,0002=0,11073.
Корни изъ чиселъ большихъ 1600, можно найти слѣдующимъ
образомъ:
1. Пріискавъ во второмъ и третьемъ столбцѣ таблицы квадратъ
или кубъ, ближайшіе къ данному числу, найдемъ въ первомъ, столб-
цѣ соотвѣтствующій корень.
Такимъ образомъ получаются:
а) Квадратные корня — приблизительно:
До 0,1 — для чиселъ отъ 1600 до 25600 = 160’
До 1 » » отъ 25600 до 2560000= 16002
Ь) Кубическіе корни — приблизительно:
До 0,01—для чиселъ отъ 1600 до 4096 = 16’
До 0,1— » » отъ 4096 до 4096000=160’.
До 1— » » отъ 4096000 до 4096000000=1600’.
Напримѣръ:
I /9347 = 0,1 I'934700 = 96,6 или 96,7 (прнб. до 0,1)
/57342 = 239, или 240 (прнб. до 1).
з_____ з_________________
II. /3572 = 0,01 /3572000000 = 15,28 или 15,29 (приб. до 0,01)
з_________
/3456347= 151,1 или 151,2 (прибл. до 0,1)
з_________
/595706252 = 841 или 842 (приб. до 1).
Также:
III. /0,0013904 = 0,0001 /139040 = 0,0372 или 0,0373 (прибл. до
0,0001).
з з______
IV. /0,097062526 = 0,001 /97062526 = 0,459 или 0,460 (приб. до
0,001).
2. Съ большею точностью, посредствомъ Формулъ обращаясь также
къ столбцамъ квадратовъ и кубовъ:
а) Когда число М, данное для извлеченія корня, заключается въ
случаѣ квадратнаго корня, между 25600=160’ и 2560000=16002, а
въ случаѣ кубичнаго—между 4096000 = 160’ и 4096000000=1600’,
— 9 —
то надобно пріискать во второмъ и третьемъ столбцѣ таблицы бли-
жайшія числа (а-ьі)2 и аг, или (ан-Г)’ и а3, между которыми заклю-
чается данное число и потомъ, взявъ изъ перваго столбца число
а, вычислить искомый корень ио Формуламъ:
... ,/ѵ_ ^-а2
(1) . . . . 1/2Ѵ —
(менѣе настоящяго
на величину
3 дг____«2
(2) . . . |/2Ѵ = а н- * -5 (менѣе настоящаго на величину
Наибольшая погрѣшность корня, вычисленнаго по этимъ Форму-
ламъ, при употребленіи для него:
1) Трехъ цифръ таблицы, будетъ <0,001 для кв. корня и <0,01
для куб. корня.
2) Четырехъ цифръ таблицы, » <0,001 для кв. и куб. корня.
I. Найти 1/57342
Ближайшіе (57600 = 240’—(а-ь1)2і Данное число 57342=2Ѵ
квадраты (57121 =2392=а2 ) Меныи. кв. 57121=а2
Разность 479 Разность 221
Корень а меньшаго квадрата = 239.
„ ЛГ—а2 221
Поправка =(дч_1)2_а-2 = і7-д = 0,4613.
Искомый корень |/57342 =239,462.
II. У 595706252 = 841 -+- = 841,42.
Ь) Если данное число будетъ: 1) болѣе 2560000 = 1600’, или
4096000000=1600’, т. е. болѣе чиселъ втораго и третьяго столб-
цовъ таблицы; и 2) менѣе 25600= 1602 пли 4096000 = 160’, то для
полученія корня его можно примѣнить Формулы (1) или (2). Съ этою
цѣлью данное число, въ 1-мъ случаѣ, надобно уменьшить, а во 2-мъ
увеличить въ 10’, 1002, . . . или 10’, 100’, . . . для полученія числа
(заключающагося между 25600= 1602 и 2560000 = 1600’, или между
4096000 = 160’ и 4096000000 = 1600’), корень котораго найдется
по Формуламъ (1) или (2). Полученный въ такомъ случаѣ корень
надобно въ 1-мъ случаѣ — увеличить, а во 2-мъ — уменьшить, со-
отвѣтственно въ 10, 100, . . . разъ; тогда найдется искомый корень
съ погрѣшностью въ 10, 100, . . разъ болѣе въ 1-мъ, и менѣе во
— 10 -
2-мі> случаѣ, сравнительно съ погрѣшностью вывода Формулъ (1)
пли (2).
1) Примѣры для чиселъ большихъ 2560000 пли 4096000000.
1. (/13904056 = 10 ]/139040,56 = 10 ^372 -ь -^’66 ~ =
\ 27 о "— 272" /
3728,82.
і з
II. |/97062526893 = 10 1/97062526^893 = 4590 -+- _
000421
4595,7.
2. Примѣры для чиселъ меньшихъ 25600 или 4096000.
I. |/7415 = 0,1 |/Т41500 = 0,1 (86 Іч-^Щ) = 86,1104.
з з
II. (/2853=0,01 (/2853000000 = 0,01(1418-ь^||^)= 14,182970.
3. Примѣры для дробныхъ десятичныхъ чиселъ.
I. (/71,8 = 0,01 ]/748000 = 0,01 (864 ч- = 8,648698.
П. (/14/53 =0,01 (/14530000 = 0,01 ^224 -+- = 2,44017.
Наконецъ 3-е. Отъискивая первыя три или четыре цифры изъ та-
блицы, а остальныя по правилу извлеченія корней. Напримѣръ:
I. Найти 1/7875127437? .
Для этого надобно данное число раздѣлить на грани отъ правой
руки къ лѣвой, по двѣ цифры, и потомъ пріискать въ столбцѣ ква-
дратовъ число 786769, ближайшее меньшее къ первымъ тремъ клас-
самъ 787512 даннаго числа; число 887—(корень 786769), взятое изъ
перваго столбца, доставитъ трп первыя цифры искомаго корня. Для
отъисканія слѣдующихъ его цифръ, слѣдуетъ вычесть изъ трехъ пер-
выхъ классовъ даннаго числа найденный ближайшій меныпій квад-
радъ 786769 = 8872и продолжать нзвіеченіе корня, какъ видно изъ
примѣра:
И 78 75 12 74 37 78 67 69 88 741,9 . . .
74 37, 4 70 97, 6 17 744 4
33 983,7 17 748 1 17 77481 1
16 23 56 0,0 15 97 34 61 177 74 829 9
262139 < 2 X 887419 + 1.
11 —
3____________
II. Найти І/97О62526893?
Для извлеченія кубичнаго корня должно раздѣлить его, отъ правой
руки къ лѣвой, па классы, но три цифры, и потомъ въ столбцѣ ку-
бовъ пріискать къ первымъ тремъ классамъ 97062526 даннаго числа
ближайшее меньшее число 96702579. Соотвѣтствующее ему число
459, въ первомъ столбцѣ таблицы, доставитъ три первыя цифры кор-
ня. Для отъисканія слѣдующихъ цифръ корня, надобно вычесть изъ
первыхъ трехъ классовъ даннаго числа кубъ найденной части корня,
т. е. 96702579, и продолжай извлеченіе по общему правилу, какт.
видно изъ примѣра:
3
V 97062 526 893 45 95,6 . . .
96702 579 63204 ЗОО 6334 207 500
359 947 8,93 68 850 827 100
316 865 8 75 25 86
43 582 018 0,00 68 273 175 X 5 6335 034 636 X 6
38 010 207 8 16 316 365 875 |38О1 0207 816
5571 810 184 < 8 X 45 9562 -ь 3 X 45 956 -ь 1.
Числа п и * называются обратными величинами. Такъ обратная
величина 37-ми есть 0,0270. Обратныя величины служатъ во-
о 7
1-хъ,для обращенія обыкновенныхъ дробей въ десятичныя; а во-2-хъ
ври дѣленіи для замѣненія его умноженіемъ.
Примѣры:
I. = 0,027027027 X 5 = 0,135...
О і
П. ТгЙя = 0,001567 X 9200 ---- 14,4.
0,000 000 1
І>) При рѣшеніи пропорцій. Напримѣръ:
Если X: 32,5 = 179: 623, то X = = 0,001605X5817,5
ОвО
— 9,34.
с) При переводѣ мѣръ. Кубич. сажень ==• 343 куб. Футамъ; слѣдо-
вательно 1 куб. фут. = = 0,002915...куб. саж.
б) При опредѣленіи уклоновъ. Если паденіе рѣки будетъ 1 Футъ
на версту, то соотвѣтствующій ему уклонъ = 7 = —
0,000285.
Для чиселъ превышающихъ 1600, обратныя величины находятся
посредствомъ пропорціи.
— 12 -
Примѣры:
1. Найти обратную 2376?
Ближайшія обпатныя 1 обрат' 2370 = 0,0004219409
ьлижаишія Обратныя | о5рат 2380 = 0,0004201681
Разпость ихъ . . . . = 0,0000017728.
Поправка = X 0,0000017728 = 0,6 X 0,0000017728
= 0,0000010636.
Обратная 2370 = 0,0004219409.
Искомая обратная 2376 = обрати. 2670 — Поправ. = 0,00042087.
II.Обр. 304,2 = 0,003289 — 0,2(0,003289—0,003279) = 0,003289
— 0,000002 = 0,003287.
ІП. —= 0,02427 — 0,7 X 0,00006 = 0,02427 — 0,00004
- 0,02423
Обратныя величины чиселъ, вычисленныя по описанному способу,
будутъ болѣе настоящихъ, и наибольшая погрѣшность обратныхъ ве-
личинъ цѣлыхъ чиселъ, при употребленіи всѣхъ десятичныхъ зна-
ковъ таблицы, будетъ менѣе 0,00000001.
13
Таблица I.
Квадраты и кубы, квадратные и кубичные корни, обратныя величины
чиселъ отъ I до ІШ.
п ге2 п3 |/ п 3 К п 1 п
1 1 1 1'0000000 1-0000000 •100000000
2 4 8 Г4142136 1'2599210 500000000
3 9 27 Г7320508 1-4422496 333333333
4 16 64 2-0000000 1-5874011 •250000000
5 25 125 2'2360680 1'7099759 •200000000
6 36 216 2-4494897 1'8171206
7 49 343 2-6457513 1-9129312 142857143
8 64 512 2’8284271 2-0000000 •125000000
9 81 729 3-0000000 2-0800837 •111111111
10 100 1000 3-1622777 2-1544347 •100000000
11 121 1331 3-3166248 2-2239801 •090909091
12 144 1728 3-4641016 2-2894286 •083333333
13 169 2197 3’6055513 2-3513347 076928077
14 196 2744 3-7416574 2-4101422 •071428571
15 225 3375 3'8729833 2-4662121 •Обб666бб7
16 256 4096 4-0000000 2-5198421 062500000
17 289 4913 4 1231056 2-5712816 •058823529
18 324 5832 4'2426407 2-6207414 •055555556
19 361 6859 4’3588989 2-6684016 052631579
20 400 8000 4-4721360 2-7144177 •050000000
21 441 9261 4-5825757 2-7589243 •047619048
22 484 10648 4-6904158 2-8020393 045454545
23 529 12167 4-7958315 2-8438670 •043478261
24 576 13824 4-8989795 2-8844991 •041,666667
25 625 15625 5-0000000 2-9240177 040000000
26 676 Ц576 5-0990195 2-9624960 •038461538
27 729 19683 5 1961524 3-0000000 •037037037
28 784 21952 5-2915026 3-0365889 •035714286
29 841 24389 5-3851648 3-0723168 •034482759
30 900 27000 5-4772256 3-1072325 •озззззззз
31 961 29791 5-5677644 3-1413806 •032258065
32 1024 32768 5-6568542 3-1748021 •031250000
33 1089 35937 5-7445626 3-2075343 •030303030
34 1156 39304 5-8309519 3 2396118 029411765
35 1225 42875 5-9160798 3 2710663 •028571429
36 1296 46656 6-0000000 3-3019272 027777778
37 1369 50653 6-0827625 3-3322218 •027027027
38 1444 54872 6-1644140 3-3619754 •026315789
39 1521 59319 6-2449980 3 3912114 •025641026
40 1600 64000 6-3245553 3-4199519 •025000000
41 1681 68921 6'4081242 3 4482172 •024390244
42 1764 74088 6-4807407 3-4760266 •023809524
43 1849 79507 6 5574385 3-5033981 •023255814
44 1936 85184 6 6332496 3 5303483 •022727273
45 2025 91125 6-7082039 3 5568933 022222222
46 2116 97336 67823300 3 5830479 •021739130
14
п п- п3
47 2209 103823
48 2304 110592
49 2401 117649
50 2500 125000
51 2601 132651
52 2704 140608
53 2809 148877
54 2916 157464
55 3025 166375
56 3136 175616
57 3249 185193
58 3364 195112
59 3481 205379
60 3600 216000
61 3721 226981
62 3844 238328
3969 250047
64 4096 262144
65 4225 274625
66 4356 287496
67 4489 300763
68 4624 314432
69 4761 328509
70 4900 343000
71 5041 357911
72 5184 373248
73 5329 389017
74 5476 405224
75 5625 421875
76 5776 438976
77 5929 456533
78 6084 474552
79 6241 493039
80 6400 512000
81 6561 531441
82 6724 551368
83 6889 571787
84 7056 592704
85 7225 614125
86 7396 636058
87 7569 658503
88 7744 681472
89 7921 704969
90 8100 729000
91 8281 753571
92 8464 778688
93 8649 804357
94 8836 830584
95 9025 857374
96 9216 884736
97 9409 912673
98 9604 941192
99 9801 970299
/ п 3 Г П п
0'8556546 3-6038261 021276600
0'9282032 3'6342411 020833333
7 0000000 3-6593057 •020408163
7'07,10678 3-6840314 •020000000
7-1414284 3-7084298 •019607843
7-2111026 3-7325111 019230769
7-2801099 3-7562858 018867925
7 3484692 3-7797631 •018518519
7-4161985 3'8029525 •018181818
7'4833148 3'8258624 017857143
7'5498344 8-8485011 •017543860
7-6157731 3-8708766 •017241379
7-6811457 3-8929965 016949153
7 7459667 3-9148676 •016666667
7 8102497 3 9304972 '016393443
7-8740079 3’9578915 ‘016129032
7-9372539 3’9790'71 '015873016
8-0000000 4’0000000 •015625000
8-0622577 4 0207256 •015384615
8-1240384 4’0412401 •015151515
8-1853528 4’0615480 ‘014925373
8-2462113 4'0816551 '014705882
8-3066239 4’1015661 014492754
8-3666003 4’1212853 014285714
8-4261498 4Ч408178 •014084517
8-4852814 4’1601676 •013888889
8-5440037 4’1793390 •013698630
8 6023253 41983364 •013513514
8'6602540 4’2171633 •013313333
8'7177979 4-2358236 '013157895
8-7749644 4'2543210 •012987013
8'8317609 4’2726586 012820513
8-8881944 4-2908404 •012658228
8'9442719 4 3088695 012500000
9'0000000 4-3267487 •012345679
9'0553851 4’3444815 '012195122
9 1104336 4-3620707 •012048193
9-1651514 4 3795191 •011904762
9-2195445 4-3968296 011764706
9-2736185 4-4140049 •011627907
9 3273791 4-4310476 011494253
9 3808315 4-4470692 •011363636
9-4339811 4-4647451 •011235955
9-4868330 4'4814047 •011111111
9-5393920 4'4979414 •010989011
9-5916630 4-5143574 •010869565
9-6436508 4-5306549 •010752688
9-6953597 4 5468359 010638298
9-7467943 4-5629026 010526316
9-7979590 4’5788570 •010416667
9-8488578 4’5947009 •010309278
9-8994949 4'6104363 •010204082
9-9498744 4-6260650 •010101010
п пг п3 V п 3 /и 1^ п
100 10000 ІОоОООО 10'0000000 4'6415888 •010009000
101 10201 1030301 10'0498756 46570095 009900990
102 10404 1061208 10'0995049 4'6723287 '009803922
103 10609 1092727 10'1488916 4'6875482 •009708738
104 10816 1124864 10'1980390 4'7026694 009615385
105 11025 1157625 10'2469508 4'7176940 •009523810
106 11236 1191016 10'2956301 4 7326235 •009433962
107 11449 1225043 10'3440804 4'7474594 •009345794
108 11664 1259712 10'3923048 4'7622032 •009259259
109 11881 1295029 10'4403065 4'7768562 009174312
ПО 12100 1331000 10'4880885 4'7914199 •009090909
111 12321 1367631 10'5356538 4'8058995 009009009
112 12544 1404928 10 5830052 4'8202845 •008928571
113 12769 1442897 10'6301458 4 8345881 •008849558
114 12996 1481544 10'6770783 4'8488076 •008771930
115 13225 1520875 10'7238053 4'8629442 008695652
116 13456 1560896 10'7703296 4'8769990 008020690
117 13689 1601613 10'8166538 48909732 '008547009
118 13924 1643032 10'8627805 4'9048681 '008474576
119 14161 1685159 10'9087121 4'9186847 '008403361
120 14400 1728000 10'9544512 4'9324242 '008333333
121 14641 1771561 П'0000000 4'9460874 '008264463
122 14834 1815848 11'0453610 4'9596757 '008196721
123 15129 1860867 11'0905365 4'9731898 '008130081
124 15376 1906624 11'1355287 4'9866310 '008064516
125 15625 1953125 11'1803399 5'0000000 '008000000
126 15876 2000376 11'2249722 5'0132979 '007936508
127 16129 2048383 11'2694277 5'0265257 007874016
128 16384 2097152 11'3137085 5'0396842 •007812500
129 16641 2146689 11'3578167 5'0527743 '007751938
130 16900 2197000 11'4017543 5'0657970 '007692308
131 17161 2248091 11'4455231 5'0787531 '007633588
132 17424 2299968 11'4891253 5'0916434 '007575758
133 17689 2352637 11'5325626 5'1044687 '007518797
134 17956 2406104 11'5758369 5'1172299 '007462687
135 18225 2460375 11'6189500 5 1299278 •007407407
136 18496 2515456 11'6619038 5'1425632 '007352941
137 18769 2571353 11'7046999 5'1551367 '007299270
138 19044 2628072 11'7473444 5'1676493 '007246377
139 19321 2685619 11'7898261 5'1801015 '007194245
140 19600 2744000 11'8321596 5'1924941 '007142857
141 19881 2803221 11'8743421 5'2048279 '007092199
142 20164 2863288 11'9163753 5'2171034 '007042254
143 20449 2924207 11'9582607 5'2293215 '006993007
144 20736 2985984 12'0000000 5'2414828 '006944444
145 21025 3048625 12'0415946 5'2535879 '006896552
146 21316 3112136 12'0830460 5'2656374 '006849315
147 21609 3176523 12'1243557 5'2776321 '006802721
148 21904 3241792 12 1655251 5'2895725 •006756757
149 22201 3307949 12'2065556 5'3014592 •006711409
150 22500 3375000 12'2474487 5'3132928 •006666667
151 22801 3442951 12'2882057 5'3250740 •006622517
152 23104 3511008 12'3288280 5'3368033 •006578947
— 16 —
п п3 п3 /7 3 Ѵп 1 п
163 23409 3581577 12'3693169 5'3484812 •006535948
154 23716 3652264 12'4096736 5-3601084 •006493506
155 24025 3723875 12-4498996 5-3716854 •006451613
156 24336 3796416 12-4899960 5 3832126 •006410256
157 24649 3869893 12-5299641 5-3946907 •006369427
158 24964 3944312 12'5698051 5'4061202 •006329114
159 25281 4019679 12-6095202 5-4175015 •006289308
160 25600 4096000 12-6491106 5-4288352 •006250000
161 25921 4173281 12 6885775 5'4401218 •006211180
162 26244 4251528 12-7279221 5’4513618 •006172840
163 26569 4330747 12-7671453 5-4625556 •006134969
164 26896 4410944 12-8062485 5-4737037 006097561
165 27225 4492125 12 8452326 5'4848066 •006060606
166 27556 4574296 128840987 5'4958647 •006024096
167 27889 4657463 12-9228480 5'5068784 005988024
168 28224 4741632 12 9614814 5'5178484 •005952381
169 28561 4826809 13-0000000 5'5287748 •005917160
170 28900 4913000 13-0384048 5-5396583 •005882353
171 29241 5000211 13-0766968 5-5504991 005847953
172 29584 5088448 13-1148770 5-5612978 •005813953
173 29929 5177717 13 1529464 5-5720546 •005780347
174 80276 5268024 13-1909060 5-5827702 •005747126
175 30625 5359,375 13-2287566 5-5934447 •005714286
176 30976 5451776 13-2664992 5-6О4О787 •005681818
177 31329 5545233 13-3041347 5-6146724 •005649718
178 31684 5639752 13-3416641 5-6252263 •005617978
179 32041 5735339 13-3790882 5-6357408 005586592
180 32400 5832000 13-4164079 5-6462162 •005555556
181 32761 5929741 13-4536240 5'6566528 005524862
182 33124 6028568 13-4907376 5'6670511 •005494505
183 33489 6128487 13-5277493 5-6774114 005464481
184 33856 6229504 13'5646600 5-6877340 •005434783
185 34225 6331625 13-6014705 5 6980192 •005405405
186 34596 6434856 13-6381817 5-7082675 005376344
187 34969 6539203 13-6747943 5'7184791 •005347594
188 35344 6644672 13-7113092 5 7286543 •005319149
189 35721 6751269 13'7477271 5'7387936 005291005
190 36100 6859000 13-7840-188 5-7488971 005263158
191 36481 6967871 13-8202750 5-7589652 •005235602
192 36864 7077888 13'8564065 5-7689982 •005208333
193 37249 7189517 13'8924400 5-7789966 005181347
194 37636 7301384 13-9283883 5'7889604 •005154639
195 38025 7414875 13 9642400 5-7988900 •005128205
196 38416 7529536 140000000 5-8087857 •005102041
197 38809 7645373 14-0356688 5'8186479 005076142
198 39204 7762392 14-0712473 5-8284867 •005050505
199 39601 7880599 14-1067360 5 8382725 •005025126
200 40000 8000000 14'1421356 5-8480355 •005000000
201 40401 8120601 14 1774469 5-8577660 .004975124
202 40804 8242408 14-2126704 5-8674673 •004950495
203 41209 8365427 142478068 5.8771307 004926108
204 41616 8489664 14'2828569 5-8867653 •004901961
205 42025 8615125 14'3178211 5-8963685 '004878049
17 —
п п2 П:1 У~п 3 Ѵ~П 1 п
206 42436 8741816 14'3527001 5'9059406 .004854369
207 42849 8869743 14'3874946 5'9154817 •004830918
208 43264 8998912 14'4222051 5'9249921 •004807692
209 43681 9129329 14'4568323 5'9344721 •004784689
210 44100 9261000 14'4913767 5-9439220 004761905
211 44521 9393931 14-5258390 5-9533418 •004739336
212 44944 9528128 14'5602198 5-9627320 •004716981
213 45369 9663597 14 5945195 5'9720926 •004694836
214 45796 9800344 14-6287388 5 9814240 004672897
215 46225 9938375 14-6628783 5'9907264 •004651163
216 46656 10077696 14-6969385 60000000 •004629630
217 47089 10218313 14-7309199 6'0092450 •004608295
218 47524 10360232 14-7648231 6-0184617 •004587156
219 47961 10503459 14-7986486 60276502 •004566210
220 48400 10648000 14-8323970 6-0368107 004545455
221 48841 10793861 14-8660687 6-0459435 •004524887
222 49284 10941048 14-8996644 6-0550489 004504505
223 49729 11089567 14-9331845 6-0641270 •004484305
224 50176 11239424 14-9666295 6-0731779 004464286
225 50625 11390625 15-0000000 6 0824020 004444444
226 51076 11543176 15-0332964 6-0991994 •004424779
227 51529 11697083 15-0665192 6-1001702 '004405286
228 51984 11852352 15-0996689 6-1091147 004385965
229 52441 12008989 15-1327460 6-1180332 '004366812
230 52900 12167000 15-1657509 6 1269257 004347826
231 53361 12326391 15-1986842 6-1357924 004329004
232 53824 12487168 15-2315462 6'1446337 •004310345
233 54289 12649337 15-2643375 6-1534495 '004291845
234 54756 12812904 15-2970585 6-1622401 •004273504
235 55225 12977875 15'3297097 6'1710058 '004255319
236 55696 13144256 15'3622915 6-1797466 '004237288
237 56169 13312053 15'3948043 6-1884628 •004219409
238 56644 13481272 15'4272486 6 1971544 '004201681
239 57121 13651919 15'4596248 6'2058218 004184100
240 57600 13824000 15'4919334 6*2144650 '004166667
241 58081 13997521 15'5241747 6'2230843 •004149378
242 58564 14172488 15'5563492 6'2316797 •004132231
243 59049 14348907 15'5884573 6-2402515 •004115226
244 59536 14526784 15-6204994 6-2487998 •004093361
245 60025 14706125 15-6524758 6-2573248 •004081633
246 60516 14886936 15'6843871 6.2658266 004065041
247 61009 15069223 15-7162336 6-2743054 '004048583
248 61504 15252992 15'7480157 6-2827613 '004032258
249 62001 15438249 15-7797338 6-2911946 '004016064
250 62500 15625000 15-8113883 6’2996053 '004000000
251 63001 15813251 15'8429795 6-3079935 '003984064
252 63504 16003008 15-8745079 6-3163596 '003968254
253 64009 16194277 15-9059737 6-3247035 '003952569
254 64516 16387064 15-9373775 6-3330256 '003937008
255 65025 16581375 15-9687194 6-3413257 "003921569
256 65536 16777216 16-0000000 6'3496042 •003906250
257 66049 16974593 16'0312195 6-3578611 •003891051
258 66564 17173512 16-0623784 6'3660968 •003875969
Пехай. Бернулли.
2
— 18 —
п п2 п3 V п 3 _ У п 1 п
269 67081 17373979 16-0934769 6 3743111 •003861004
260 67600 17576000 16-1245155 6'3825043 003846154
261 68121 17779581 16-1554944 6'3906765 •003831418
262 68644 17984728 16-1864141 63988279 •003816794
263 69169 18191447 16-2172747 6-4069585 •003802281
264 69696 18399744 16-2480768 6-4150687 •003787879
265 70225 18609625 16-2788206 6-4231583 003773585
266 70756 18821096 16-3095064 6-4312276 •003759398
267 71289 19034163 16-3401346 6-4392767 •003745318
268 71824 19248832 16-3707055 6-4473057 •003731343
269 72361 19465109 16-4012195 6-4553148 •003717472
270 72900 19683000 16-4316767 6-4633041 •003703704
271 73441 19902511 16-4620776 64712736 •003690037
272 73984 20123643 16-4924225 6-4792236 •003676471
273 74529 20346417 16-5227116 6-4871541 •003663004
274 75076 20570824 16-5529454 6-4950653 003649635
275 75625 20796875 16-5831240 6-5020572 •003636364
276 76176 21024576 16-6132477 6-5108300 003623188
277 76729 21253933 16-6433170 6-5186839 -003610108
278 77284 21484952 16-6783320 6 5265189 003597122
279 77841 21717639 16-7032931 6-5343351 •003581229
280 78400 21952000 16-7332005 6-5421326 003571429
281 78961 22188041 16,7630546 6-5499116 •003558719
282 79524 22425768 16-7928556 6-5576722 •003546099
283 80089 22665187 16-8226038 6-5654144 •003533569
284 80656 22906304 16-8522995 6-5731385 •003522127
285 81225 23149125 16-8819430 6-5808443 003508772
286 81796 23393656 16-9115345 6-5885323 •003496503
287 82369 23639903 16-9410743 6-5962023 •003484321
288 82944 23887872 16-9705627 6-6038545 003472222
289 83521 24137569 17 0000000 6 6114890 003460208
290 84100 24389000 17-0293864 6 6191060 003448276
291 84681 24642171 17-0587221 6'6267054 003436426
292 85264 24897088 17-0880075 6'6342874 003424658
293 85849 25153757 17 1172428 6'6418522 •003412969
294 86436 25412184 17-1464282 66493998 003401361
295 87025 25672375 17-1755640 6 6569302 •003389831
296 87616 25934836 17-2046505 6'6644437 003378378
297 88209 26198073 17 2336879 6'6719403 •003367003
298 88804 26463592 17'2626765 6-6794200 003355705
299 89401 26730899 17.2916165 6'6868831 •003344482
300 90000 27000000 17 3205081 6 6943295 003333333
301 90601 27270901 17'3493516 6'7017593 •00.3322259
302 91204 27543608 17-3781472 6-7091729 •003311258
303 91809 27818127 17-4068952 6'7165700 003301330
304 92416 28094464 17'4355958 67239508 003289474
305 93025 28372625 17'4642492 6-7313155 003278689
306 93636 28652616 17-4928557 6’7386641 •003267974
307 94249 28934443 17'5214155 6'7459967 •003257329
308 94864 29218112 17-5499288 6-7533134 •003246753
309 95481 29503609 17'5783958 6-7606143 003236246
310 96100 29791000 17.6068169 6-7678995 •003225806
811 96721 30080231 17-6351921 7-7751690 •003215434
— 19 -
п и3 па V п 3 Ѵп 1 п
312 97344 30371328 176635217 6.7824229 •003205128
313 97969 30664297 17-6918060 6-7896613 003194883
314 98596 30959144 17'7200451 6-7968844 003184713
315 99225 31255875 17-7482393 6-8040921 003174603
316 99856 31554496 17-7763888 5-8112847 003164557
317 100489 31855013 17-8044938 6-8184620 003154574
318 101124 32157432 17-8325545 6-8256242 003144654
319 101761 32461759 17-8605711 6-8327714 003134796
320 102400 32768000 17-8885438 68399037 003125000
321 103041 33076161 17-9164729 68470213 003115265
322 103684 33386248 17.9443584 6-8541240 003105590
323 104329 33698267 17-9722008 6'8612120 •003095975
324 104976 34012224 180000000 6-8682855 •003086420
325 105625 34328125 18-0277564 6-8753433 003076923
326 106276 34645976 18-0554701 6-8823888 •003067485
327 106929 34965783 18-0831413 6-8894188 003048104
328 107584 35287552 18-1107703 6 8964345 •003048780
329 108241 35611289 18-1383571 6 9034359 003039514
330 108900 35937000 18 1659021 6-9104232 003030303
331 109561 36264691 18’1934054 6 9173964 •003021148
332 110224 36594368 18-2208672 6 9243556 •003012048
333 110889 36926037 18-2482876 6 9313088 •003003003
334 111556 37259704 18-2756669 6-9382321 002994012
335 112225 37595375 18-3030052 69451496 •002985075
336 112896 37933056 18-3303028 6-9520533 •002976190
337 113569 38272753 18-3575598 69589434 •002967359
338 114244 38614472 18-3847763 6-9658198 •002958580
339 114921 38958219 18-4119526 6 9726826 002949853
340 115600 39304000 18-4390889 6-9795321 •002941176
341 116281 39651821 18-4661853 6 9863681 002932551
342 •116964 40001688 18-4932420 6-9931906 002923977
343 117649 40353607 18-5202592 70000000 002915452
344 118336 40707584 18-5472370 7-0067962 •002906977
345 119025 41063625 18-5741756 70135791 •002898551
346 119716 41421736 18-6010752 7-0203490 •002890173
347 120409 41781923 18-6279360 7 0271058 002881844
348 121104 42144192 18-6547581 7-0338497 002873563
349 121801 42508549 18-6815417 7-0405860 •002865330
350 122500 42875000 18-7082869 7 0472987 002857143
351 123201 43243551 18-7349940 7-0540041 •002849003
352 123904 43614208 ІѲ’ТбІббЗО 7 0606967 •002840909
353 124609 43986977 18-7882942 7-0673767 •002832861
354 125316 44361864 18-8148877 7-0740440 •002824859
355 126025 44738875 18-8414437 7-0806988 •002816901
356 126736 45118016 18 8679623 7'0873411 002808989
357 127449 45499293 18-8944436 70939709 •002801120
358 128164 45882712 18-9208879 7'1005885 '002793296
359 128881 46268279 18-9472953 7-1071937 '002785515
360 129600 46656000 18-9736660 7-1137866 '002777778
361 130321 47045831 19-0000000 7-1203674 002770083
362 131044 47437928 190262976 7-1269360 002762431
363 131769 47832147 19-0525589 7-1334925 •002754821
364 132496 48228544 19-0787840 7-1400370 •002747253
— 20
п п2 п3 У п 3 _ У п п
365 133225 48627125 19-1049732 7.1465605 •002739726
366 133956 49027896 19’1311265 7.1530901 •002732240
367 134689 49430863 19-1572441 7.1595988 •002724796
368 135424 49836032 19 1833261 7.1660957 •002717391
369 136161 50243409 19-2093727 7.1725809 002710027
370 136900 50653000 19 2353841 7.1790544 002702703
371 137641 51064811 19 2613603 7-1855162 •002695418
372 138384 51478848 19 2873015 7-1919663 •002688172
373 139129 51895117 19-3132079 7'1984050 002680965
374 139876 52313624 19-3390796 7'2048322 •002673797
375 140625 52734375 19-3649167 7’2112479 •002666667
376 141376 53157376 19-3907194 7'2176522 •002659574
377 142129 53582633 19-4164878 7-2240450 •002652520
378 142884 54010152 19-4422221 7-2304268 002645503
379 143641 54439939 19-4679223 7-2367972 •002638521
380 144400 54872000 19-4935887 7'2431565 •002631579
381 145161 55306341 19-5192213 7-2495045 •002624672
382 145924 55742968 19-5448203 7'2558415 002617801
383 146689 56181887 19 5703858 7-2621675 002610966
384 147456 56623104 19-5959179 7-2684824 002604167
385 148225 57066625 19-6214169 7-2747864 •002597403
386 148996 57512456 19-6468827 7-2810794 •002590674
387 149769 57960603 19 6723156 7-2873617 •002583979
388 150544 58411072 19'6977156 7-2936330 •002577320
389 151321 58863869 19'7230829 7-2998936 002570694
390 152100 59319000 19'7484177 7'3061436 •002564103
391 152881 59776471 19'7737199 7-3123828 •002557545
392 153664 60236288 19'7989899 7'3186114 •002551020
393 154449 60698457 19'8242276 7'3248295 •002544529
394 155236 61162984 19'8494332 7-3310369 '002538071
395 156025 61629875 19'8746069 7'3372339 '002531646
396 156816 62099136 19'8997487 7-3434205 '002525253
397 157609 62570773 19'9248588 7 3495966 '002518892
398 158404 63044792 19'9499373 7 3557624 '002512563
399 159201 63521199 19 9749844 7 3619178 002506266
400 160000 64000000 20'0000000 7'3680630 '002500000
401 160801 64481201 20'0249844 7'3741979 '002493766
402 161604 64964808 20 0499377 7 3803227 '002487562
403 162409 65450827 20-0748599 7'3864373 002481390
404 163216 65939264 20-0997512 7-3925418 002475248
405 164025 66430125 20-1246118 7’3986363 002469136
406 164836 66923416 20-1494417 7'4047206 '002463054
407 165649 67419143 20-1742410 7 4107950 •002457002
408 166464 67917312 20'1990099 7-4168595 •002450980
409 167281 68417929 20’2237484 7'4229142 •002444988
410 168100 68921000 20-2484567 7'4289589 002439024
411 168921 69426531 20-2731349 7-4349938 •002433090
412 169744 69934528 20-2977831 7’4410189 •002427184
413 170569 70444997 20-3224014 7-4470343 •002421308
414 171396 70957944 20-3469899 7-4530399 •002415459
415 172225 71473375 20-3715488 7-4590359 •002409639
416 173056 71991296 20-3960781 7-4650223 •002406846
417 173889 72511713 20-4205779 7-4709991 •002398082
21
п 712 п і/ п 3 _ п 2 п
418 174724 73034632 20'4450483 7-4769664 •002392344
419 175561 73560059 20-4694895 7-4829242 •0023866ЙО
420 176400 74088000 20-4939015 7-4888724 •002380952
421 177241 74618461 20-5182845 7-4948113 •002375297
422 178084 75151448 20-5426386 7-5007406 •002369668
423 178929 75686967 20-5669638 7-5066607 •002364066
424 179776 76225024 20-5912603 7-5125715 •002358491
425 180625 76765625 20-6155281 7-5184730 002352941
426 181476 77308776 20'6397674 7-5243652 •002347418
427 182329 77854483 20'6639783 7-5302482 •002341920
428 183184 78402752 20'6881609 7-5361221 •002336449
429 184041 78953589 20-7123152 7-5419867 •002331002
430 184900 79507000 207364414 7-5478423 •002325581
431 185761 80062991 20'7605395 7-5536888 •002320186
432 186624 80621568 20’7846097 7-5595263 •002314815
433 187489 81182737 20-8086520 7-5653548 •002309469
434 188356 81746504 20’8326667 7-5711743 •002304147
435 189225 82312875 20'8566536 7-5769849 •002298851
436 190096 82881856 20-8806130 7-5827865 002293578
437 190969 83453453 20-9045450 7-5885793 •002288330
438 191844 84027672 20-9284495 7-5943633 •002283105
439 192721 84604519 20-9523268 7-6001385 •002277904
440 193600 85184000 20-9761770 7-6059049 002272727
441 194481 85766121 21 0000000 7-6116626 •002267574
442 195364 86350888 21-0237960 7-6174116 •002262443
443 196249 86938307 21-0175652 7-6231519 •002257336
444 197136 87528384 21 0713075 7-6288837 •002252252
445 198025 88121125 21-0950231 7-6346067 002247191
446 198916 88716536 21-1187121 7-6403213 •002242152
447 199809 89314623 21-1423745 7-6460272 .002237136
448 200704 89915392 21-1660105 7-6517247 002232143
449 201601 905188'19 21-1896201 7-6574138 002227171
450 202500 91125000 21-2132034 7-6630943 '002222222
451 203401 91733851 21-2367606 76687665 •002217295
452 204304 92345408 21-2602916 7-6744303 •002212389
453 205209 92959677 21-2837967 7'6800857 •002207506
454 206116 93576664 21-3072758 7'6857328 •002202643
455 207025 94196375 213307290 7'6913717 •002197802
456 207936 94818816 21-3541565 7-6970023 •002192982
457 208849 95443993 21-3775583 7-7026246 •002188184
458 209764 96071912 21-4009346 7’7082388 •002183406
459 210681 96702579 214242853 7-7188448 •002178649
460 211600 97336000 21-4476106 7’7194426 002173913
461 212521 97972181 21 4709106 7-7250325 •002169197
462 213444 98611128 21-4941853 7-7306141 002164502
463 214369 99252847 215174348 7'7361877 •002159827
464 215296 99897344 21-5406592 7-7417532 •002155172
465 216225 100544625 215638587 7-7473109 •002150538
466 217156 101194696 21-5870331 7-7528606 002145923
467 218089 101847563 21-6101828 7-7584023 002141328
468 219024 102503232 21-6333077 7-7639361 •002136752
469 219961 103161709 21-6564078 7-7694620 •002132196
470 220900 103823000 21-6794834 7-7749801 002127660
22
п п~ п3 к« 3 _ п 1 п
471 221841 104487111 21'7025344 7'7804904 •002123142
472 222784 105154048 21 7255610 7'7859928 •002118644
473 223729 105828817 217485632 7-7914875 002114165
474 224676 106496424 21-7715411 7'7969745 •002109705
475 225625 107171875 21’7944947 7'8024538 '002105263
476 226576 107850176 21-8174242 7'8079254 '002100840
477 227529 108531333 21'8403297 7'8133892 •002096486
478 228484 109215352 21-8632111 7'8188456 •002092050
471) 229441 109902239 21-8860686 7'8242942 '002087683
480 230400 110592000 21'9089023 7'8297353 '002083333
481 231361 111284641 21'9317122 7-8351688 •002079002
482 232324 111980168 21'9544984 7-8405949 002074689
483 233289 112678587 21'9772610 7-8160134 '002070393
484 234256 113379904 22-0000000 7'8514244 '002066116
485 235225 114084125 22-0227155 7'8568281 '002061856
486 236196 114791256 22-0454077 7'8622242 '002057613
487 237169 115501303 22'0680765 7-8676130 '002053388
488 238144 116214272 22'0907220 7-8729944 '002049180
489 239121 116930169 22-1133444 7-8783684 '002044990
490 240100 11764901X1 22 1359436 7-8837352 '002040816
491 241081 118370771 22-1585198 78890946 '002036660
492 242064 119095488 22 1810730 7-8944468 '002032520
493 243049 119823157 22-2036033 7-8997917 '002028398
494 244036 120553784 22-2261108 7-9051294 '002024291
495 245025 121287375 22'2485955 7'9104599 '002020202
496 246016 122023936 22-2710575 7-9157832 '002016129
497 247009 122763473 22'2934968 7-9210994 '002012072
498 248004 123505992 22'3159136 7-9264085 '002008032
499 249001 124251499 22'3383079 7-9317104 '002004008
500 250000 125000000 223606798 79370053 '002000000
501 251001 125751501 22-3830293 7’9422931 '001996008
502 252004 126506008 22-4053565 7'9475739 '001992032
503 253009 127263527 22'4276615 7'9528477 •001988012
504 254016 128024064 22-4499443 7'9581144 •001984127
505 255025 128787625 22-4722051 7’9633743 001980198
506 256036 129554216 224944438 7’9686271 001976285
507 257049 130323843 22-5166605 7-9738731 •001972387
508 258064 131096512 22-5388553 7-9791122 •001968504
509 259081 131872229 22-5610283 7-9843444 001964637
510 260100 132651000 22 5831796 7-9895697 001960784
511 261121 133432831 22’6053091 7-9947883 •001956947
512 262144 134217728 22'6274170 8-0000000 001953125
513 263169 135005697 22-6495033 8-0052049 •001949318
514 264196 135796744 22'6715681 8-0104032 •001945525
515 265225 136590875 22'6936114 8'0155946 •001941748
516 266256 137388096 22-7156334 8-0207794 •001937984
517 267289 138188413 22-7376341 8-0259574 •001934236
518 268324 138991832 22'7596134 8-0311287 001930502
519 269361 139798359 22'7815715 80362935 •001926782
520 270400 140608000 22'8035085 8-0414515 •001923077
521 271411 141420761 22-8254244 8-0466030 •001919386
522 272484 142236648 22-8473193 8-0517479 •001915709
523 273529 143055667 22-8691933 8-0568862 •001912046
23
п п2 Vе п 3 __ У п 1 п
524 274576 143877824 22’8910463 8’0620180 •001908397
525 275625 144703125 22’9128785 8’0671432 •001904762
526 276676 145531576 22-9346899 8’0722620 •001901141
527 277729 146363183 22’9564806 8’0773743 •001897533
528 278784 147197952 229782506 8’0824800 001893939
529 279841 148035889 23-0000000 8’0875794 •001890359
530 280900 148877001 23’0217289 8’0926723 •001886792
531 281961 149721291 230434372 8’0977589 •001883239
532 283024 150568768 23-0651252 8’1028390 •001879699
533 284089 151419437 23’0867928 8 1079128 •001876173
534 285156 152273304 23-1084400 8-1129803 •001872659
535 286225 153130375 23-1300670 8’1180414 •001869159
536 287296 153990656 23’1516738 81230962 •001865672
537 288369 154854153 23’1732605 8-1281447 •001862197
538 289444 155720872 23-1948270 8 1331870 •001858736
539 290521 156590819 23'2163735 8-1382230 ‘001855288
540 291600 157464000 23-2379001 8-1432529 •001851852
541 292681 158340421 23-2594067 8-1482765 •001848429
542 293764 159220088 23-2808935 8-1532939 •001845018
543 294849 160103007 23 3023604 8 1583051 '001841621
544 295936 160989184 23-3238076 8-1633102 '001838235
545 297025 161878625 23-3452351 8-1683092 '001834862
546 298116 162771336 23-3666429 8 1733020 '001831502
547 299209 163667323 23-3880311 81782888 '001828154
548 300304 164566592 23-4093998 81832695 '001824818
549 301401 165469149 23-4307490 81882441 •001821494
550 302500 166375000 23-4520788 8 1932127 '001818182
551 303601 167284151 23-4733892 8-1981753 '001814882
552 304704 168196608 23 4946802 8-2031319 •001811594
553 305809 169112377 23 5159520 8-2080825 •001808318
554 306916 170031464 23-5372046 8’2130271 •001805054
555 308025 170953875 23-5584380 8-2179657 '001801802
556 309136 171879616 23-5796522 8-2228985 •001798561
557 310249 172808693 23-6008474 8-2278254 •001795332
558 311364 173741112 23-6220236 8-2327463 •001792115
559 312481 174676879 23 6431808 8-2376614 •001788909
560 313600 175616000 23-6643191 8-2425706 •001785714
561 314721 176558481 23.6854386 8-2474740 •001782531
562 315844 177504328 23-7065392 8-2523715 •001779359
563 316969 178453547 23-7276210 8-2572635 •001776199
564 318096 179406144 23-7486842 8-2621492 •001773050
565 319225 180362125 23-7697286 8-2670294 001769912
566 320356 181321496 23-7907545 8 2719039 •001766784
567 321489 182284263 23-8117618 8'2767726 •001763668
568 322624 183250432 23-8327506 8'2816255 •001760563
569 323761 184220009 23.8537209 8'2864928 •001757469
570 324900 185193000 23-8746728 8’2913444 •001754386
571 326041 186169411 238956063 8’2961903 001751313
572 327184 187149248 23’9165215 8’3010304 •001748252
573 328329 188132517 23’9374184 8’3058651 •001745201
574 329476 189119224 23’9582971 8’3106941 •001742160
575 330625 190109375 23’9791576 8’3155175 •001739130
576 331776 191102976 24’0000000 8’3203353 001736Ш
п п2 п2 V п 3 _ V п 1 п
577 332927 192100033 24'0208243 8-3251475 •001733102
578 334084 193100552 240416306 8'3299542 •001730104
579 335241 194104539 24-0624188 8-3347553 •001727116
580 336400 195112000 24-0831891 8'3395509 •001724138
581 337561 196122941 24-1039416 8-3443410 •001721170
582 338724 197137368 24'1246762 8-3491256 •001718213
583 339889 198155287 24-1458929 8-3539047 •001715266
584 341056 199176704 24-1660919 8-3586784 •001712329
585 342225 200201625 24-1867732 8-3634466 •001709402
586 343396 201230056 24-2074369 8-3682095 •001706485
587 344569 202262003 24-2280829 8-3729668 001703578
588 345744 203297472 24'2487113 8-3777188 •001700680
589 346921 204336469 24-2693222 8-3824653 •001697793
590 348100 205379000 24-2899156 8-3872065 •001694915
591 349281 206425071 24'3104996 8-3919428 •001692047
592 350464 207474688 24-3310501 8-3966729 •001689189
593 351649 208527857 24-3515913 8-4013981 •001686341
594 352836 209584584 24-3721152 8-4061180 •001683502
595 354025 210644875 24-3926218 8-4108326 •001680672
596 355216 211708736 24-4131112 8-4155419 •001677852
597 356409 212776173 24-4335834 8-4202460 •001675042
598 357604 213847192 24-4540385 8-4249448 001672241
599 358801 214921799 24-4744765 8.4296383 •001669449
600 360000 216000000 24-4948974 8’4343267 001666667
601 361201 217081801 24-5153013 8-4390098 001663894
602 362404 218167208 24-5356883 8'4436877 •001661130
603 363609 219256227 24-5560583 8’4483605 •001658375
604 364816 220348864 24-5764115 8'4530281 •001655629
605 366025 221445125 24-5967478 8'4576906 •001652893
606 367236 222545016 24-6170673 8’4623479 •001650165
607 368449 223648543 24-6373700 8’4670001 001647446
608 369664 224755712 24-6576560 8-4716471 001644737
609 370881 225866529 24-6779254 8’4762892 •001642036
610 372100 226981000 24-6981781 8-4809261 •001639344
611 373321 228099131 24 7184142 8’4855579 •001636661
612 374544 229220928 24-7386338 8-4901848 •001633987
613 375769 230346397 24-7588368 8-4948065 •001631321
614 376996 231475544 24'7790234 8'4994233 •001628664
615 378225 232608375 24-7991935 8-5040350 •001626016
616 379456 233744896 24-8193473 8'5086417 001623377
617 380689 234885113 24-8394847 8'5132435 001620746
618 381924 236029032 24-8596058 8-5178403 •001618123
619 383161 237176659 24-8797106 8-5224331 001615509
620 384400 238328000 24'8997992 8-5270189 •001612903
621 385641 239483061 24'9198716 8-5316009 •001610306
622 386884 240641848 24-9399278 8’5361780 •001607717
623 388129 241804367 24-9599679 8-5407501 •001605136
624 389376 242970624 24-9799920 8-5453173 •001602564
625 390625 244140625 250000000 8’5498797 001600000
626 391876 245134376 25-0199920 8'5544372 •001597444
627 393129 246491883 25-0399681 8-5589899 001594896
628 394384 247673152 25-0599282 8-5635377 •001592357
629 395641 248858189 25-0798724 8-5680807 001589825
н п2 п3 п 3 _ V п 1 п
630 396900 250047000 25-0998008 8-5726189 •0015873С2
631 398161 251239591 25'1197134 8'5771523 •001584786
632 399424 252435968 25-1396102 8-5816809 •001582278
633 400689 253636137 25'1594913 8'5862247 •001579779
634 401956 254840104 25-1793566 8-5907238 •001577287
635 403225 256047875 25-1992063 8-5952380 •001574803
636 404496 257259456 25-2190404 8-5997476 001572327
637 405769 258474853 25-2388589 8-6042525 •001569859
638 407044 259694072 25-2586619 8-6087526 •001567398
639 408321 260917119 25-2784493 8-6132480 •001564945
640 409600 262144000 25-2982213 8'6177388 •001562500
641 410881 263374721 25-3179778 8'6222248 •001560062
642 412164 264609288 25-3377189 8'6267063 •001557632
643 413449 265847707 25-3574447 8'6311830 •001555210
644 414736 267089984 25-3771551 8'6356551 •001552795
645 416125 268336125 25-3968502 8'6401226 •001550388
646 417316 269585136 25-4165302 8-6445855 •001547988
647 418609 270840023 25-4361947 8'6490437 •001545595
648 419904 272097792 25-4558441 8’6534974 •001543210
649 421201 273359449 25-4754784 8'6579465 •001540832
650 422500 274625000 25’4950976 8-6623911 001538462
651 423801 275894451 25'5147013 8'6668310 001536098
652 425104 277167808 25-5342907 8'6712665 •001533742
653 426409 278445077 25-5538647 8’6756974 •001531394
654 427716 279726264 25-5734237 8-6801237 •001529052
655 429025 281011375 25-5929678 8.6845456 •001526718
656 430336 282300416 25-6124969 8.6889630 •001524390
657 431639 283593393 25-6320112 8.6933759 001522070
658 432964 284890312 25-6515107 8.6977843 •001519751
659 434281 286191179 25-6709953 8.7021882 001517451
660 435600 287496000 25-6904652 8.7065877 •001515152
661 436921 288804781 25-7099203 8.7109827 .001512859
662 438244 290117528 25-7293607 8.7153734 •001510574
663 439569 291434247 25-7487864 8.7197596 •001508296
664 440896 292754944 25-7681975 8.7241414 •001506024
665 442225 294079625 25-7875939 8.7285187 001503759
666 443556 295408296 25-8069758 8.7328918 •001501502
667 444899 296740963 25-8263431 8.7372604 •001499250
668 446224 298077632 25-8456960 8.7416246 •001497006
669 447561 299418309 25-8650343 8.7459846 001494768
670 448900 300763000 25.8843582 8.7503401 •001492537
671 450241 302111711 25.9036677 8.7546913 •001490313
672 451584 303464448 25.9229628 8.7590383 •001488095
673 452929 304821217 25.9422435 8.7633809 •001485884
674 454276 306182024 25.9615100 8.7677192 •001483680
675 455625 307546875 25.9807621 8.7720532 •001481481
676 456976 308915776 26.0000000 8.7763830 •001479290
677 458329 310288733 26.0192237 8.7807084 001477105
678 459684 311665752 26.0384331 8.7850296 •001474926
679 461041 313046839 26.0576284 8.7893466 •001472754
680 462400 314432000 26.0768096 8.7936593 •001470588
681 463761 315821241 26.0959767 8.7979679 .001468429
682 465124 317214568 26.1151297 8.8022721 001466276
— 26
п п- п3 V п 3 _ ]Л п ]_ п
683 466489 318611987 26 1342687 8-8065722 001464129
684 467856 320013504 26' 1533937 8-8108681 •001461988
685 469225 321419125 26-1725047 8-8151598 •001459854
686 470596 322828856 26-1916017 8-8194474 001457726
687 471969 324242703 26-2106848 8-8237307 •001455604
688 473344 325660672 26'2297541 8-8280099 •001453488
689 474721 327082769 26-2488095 8-8322850 •001451379
690 476100 328509000 26-2678511 8-8365559 '001449275
691 477481 329939371 26-2868789 8-8408227 '001447178
692 478864 331373888 26-3058929 8-8450854 •001445087
693 480249 332812557 26-3248932 8-8493440 ‘001443001
694 481636 334255384 26-3438797 8-8535985 •001440922
695 483025 335102375 26-3628527 8-8578489 •001438849
696 484416 337153536 26-3818119 8-8620952 •001436782
697 485809 338608873 26-4007576 8-8663375 •001434720
698 487204 340068392 26-4196896 8-8705757 •001432665
699 488601 341532099 26-4386081 8-8748099 •001430615
700 490000 343000000 26-4575131 8-8790400 •001428571
701 491401 344472101 26-4764046 8-8832661 •001426534
702 492804 345948408 26-4952826 8-8874882 •001424501
703 494209 347428927 26-5141472 8-8917063 •001422475
704 495616 348913664 26-5329983 8-8959204 001420455
705 497025 350402625 26-5518361 8 9001304 •001418440
706 498436 351895816 26-5706605 8-9043366 •001416431
707 499849 353393243 26-5894716 8-9085387 •001414427
708 501264 354894912 26’6082694 8-9127369 •001412429
709 502681 356400829 26-6270539 8-9169311 •001410437
710 504100 357911000 26-6458252 8-9211214 •001408451
711 505521 359425431 26-6645833 8-9253078 •001406470
712 506944 360944128 26-6833281 8-9294902 •001404494
713 508369 362467097 26-7020598 8-9336687 001402525
714 509796 363994344 26'7207784 8 9378433 •001400560
716 511225 365525875 26-7394839 8-9420140 •001398601
716 512656 367061696 26-7581763 8-9461809 •001396648
717 514089 368601813 26-7768557 8-9503438 •001394700
718 515524 370146232 26-7955220 8-9545029 •001392758
719 516961 371694959 26-8141754 8-9586581 •001390821
720 518400 373248000 26'8328157 8-9628095 •001388889
721 519841 374805361 26-8514432 8 9669570 •001386963
722 521284 376367048 26'8700577 8-9711007 •001385042
723 522729 377933067 26'8886593 8-9752406 •001383126
724 524176 379503424 26-9072481 8-9793766 •001381215
725 525625 381078125 26 9258240 8-9835089 •001379310
726 527076 382657176 26-9443872 8-9876373 •001377410
727 528529 384240583 26-9629375 8 9917620 •001375516
728 529984 385828352 26-9814751 8-9958899 •001373626
729 531441 387420489 27-0000000 9 0000000 •001371742
730 532900 389017000 27-0185122 9-0041134 •001369863
731 534361 390617891 27'0370117 9-0082229 •001367989
732 535824 392223168 27-0554985 9-0123288 •001366120
733 537289 393832837 27-0739727 9 0164309 •001364256
734 538756 395446904 27-0924344 9-0205293 •001362398
735 540225 397065375 27-1108834 9-0246239 •001360544
27
п пг Я3 п 3 Кя 1 п
736 541696 398688256 27-1293199 9-0287149 •001358696
737 543169 400315553 27-1477149 9-0328021 •001356852
738 544644 401947272 27-1661554 90368857 001355014
739 546121 403583419 27-1845544 9-0409655 •001353180
740 547600 405224000 27’2029140 9’0450419 •001351351
741 549801 406869021 27-2213152 9’0491142 •001349528
742 550564 408518488 27 2396769 9-0531831 •001347709
743 552049 410172407 27'2580263 9-0572482 •001345895
744 553536 411830784 27-2763634 9-0613098 •001344086
745 555025 413493625 27-2946881 9-0653677 •001342282
746 556516 415160936 27’3130006 9-0694220 •001340483
747 558009 416832723 27 3313007 9-0734726 •001338688
748 559504 418508992 27-3495887 9-0775197 •001336898
749 561001 420189749 27-3678644 9-0815631 •001335113
750 562500 421875000 27-3861279 90856030 •001333333
751 564001 423564751 27-4043792 9-0896352 •001331558
752 565504 425259008 27 4226184 9-0936719 •001329787
753 567009 426957777 27-4408455 9-0977010 •001328021
754 568516 428661064 27-4590604 9-1017265 001326260
755 570025 430368875 27-4772633 9-1057485 •001324503
756 571536 432081216 27-4954542 9-1097669 •001322751
757 573049 433798093 27-5136330 9-1137818 •001321004
758 574564 435519512 27-5317998 9-1177931 •001319261
759 576081 437245479 27-5499546 9-1218010 •001317523
760 577600 438976000 27-5680975 9-1258053 •001315789
761 579121 440711081 27-5862284 9-1298061 •001314060
762 580644 442450728 27-6043475 9-1338034 •001312336
763 582169 444194947 27-6224546 9-1377971 •001310616
764 583696 445943744 27 6405499 9-1417874 001308901
765 585225 447697125 27-6586334 9-1457742 •001307190
766 586756 449455096 27-6767050 9-1497576 •001305483
767 588289 451217663 27-6947648 9-1537375 •001303781
768 589824 452984832 27-7128129 9-1577139 •001302083
769 591361 454756609 27-7308492 9-1616869 •001800390
770 592900 456533000 27-7488739 9-1656565 •001298701
771 594441 458314011 27-7668868 9-1696225 •001297017
772 595984 460099648 27-7848880 9-1735852 •001295337
773 597529 461889917 27-8028775 9-1775445 '001293661
774 599076 463684824 27-8208555 9-1815003 -001291990
775 600625 465484375 27-8388218 9-1854527 •001290323
776 602176 467288576 27-8567766 9-1894018 •001288660
777 603729 469097433 27-8747197 9-1933474 •001287001
778 605284 470910952 27-8926514 9’1972897 •001285347
779 606841 472729139 27-9105715 9-2012286 •001283697
780 608400 474552000 27-9284801 9-2051641 •001282051
781 609961 476379541 27-9463772 9-2090962 •001280410
782 611524 478211768 279642629 9’2130250 •001278772
783 613089 480048687 27-9821372 9’2169505 001277139
784 614656 481890304 28-0000000 9-2208726 •001275510
785 616225 483736625 28-0178515 9-2247914 001273885
786 617796 485587656 28-0356915 9’2287068 •001272265
787 619369 487443403 28-0535203 9-2326189 •001270648
788 620944 489303872 28-0713377 9-2365277 •001269036
— 28 —
п п2 п'л V п 3 V и 1 п
789 622521 491169069 28 0891438 9 2404333 •001267427
790 624100 493039000 28 1069386 9 2443355 •001265823
791 625681 494913671 28 1247222 9-2482344 001264223
792 627624 496793088 28-1424946 9-2521300 •001262626
793 628849 498677257 28-1602557 9-2560224 •001261034
794 630436 500566184 28-1780056 9-2599114 •001259446
795 632025 502459875 28-1957444 9-2637973 001257862
796 633616 504358336 282134720 9 2676798 •001256281
797 635209 506261573 28'2311884 9-2715592 •001254705
798 636804 508169592 28-2488938 9-2754352 •001253133
799 638401 510082399 28-2665881 9 2793081 001251364
800 640000 512000000 28-2842712 92831777 •001250000
801 641601 513922401 28-3019434 9-2870444 •001248439
802 643204 515849608 28-3196045 9-2909072 •001246883
803 644809 517781627 28-3372546 9-2947671 •001245330
804 646416 519718464 28-3548938 9 2986239 •001243781
805 648025 521660125 28-3725219 9-3024775 •001242236
806 649636 523606616 28-3901391 9 3063278 •001240695
807 651249 525557943 284077454 9-3101750 •001239157
808 652864 527514112 28-4253408 9-3140190 •001237624
809 654481 529475129 28-4429253 9-3178599 •001236094
810 656100 531441000 28-4604989 9-3216975 •001234568
811 657721 533411731 28-4780617 9-3255320 •001233046
812 659344 535387328 28-4956137 9-3293634 •001231527
813 660969 537367797 28-5131549 9-3331916 •001230012
814 662596 539353144 28-5306852 9-3370167 •001228501
815 664225 541343375 28-5482048 9-3408386 •001226994
816 665856 543338496 28'5657137 93446575 •001225499
817 667489 545338513 28-5832119 9-3484731 001223990
818 669124 547343432 28-6006993 93522857 •001222494
819 670761 549353259 28-6181760 9-3560952 001221001
820 672400 551368000 28-6356421 9-3599016 •001219512
821 674041 553387661 28-6530976 9-3637049 •001218027
822 675684 555412248 28-6705424 9-3675051 •001216545
823 677329 557441767 28-6879716 9 3713022 •001215067
824 678976 559476224 28-7054002 9-3750963 •001213592
825 680625 561515625 28 7228132 9-3788873 •001212121
826 682276 563559976 28-7402157 9 3826752 •001210654
827 683929 565609283 28-7576077 9.3864600 •001209190
828 685584 567663552 28-7749891 9-3902419 001207729
829 687241 569722789 28-7923601 9 3940206 •001206273
830 688900 571787000 28-8097206 9-3977964 001204819
831 690561 573856191 28-8270706 9'4015691 •001203369
832 692224 575930368 28-8444102 9-4053387 001201923
833 693889 578009537 28-8617394 9-4091054 •001200480
834 695556 580093704 28-8790582 9-4128690 •001199041
835 697225 582182875 28-8963666 9-4166297 •001197605
836 698896 584277056 28-9136646 9-4203873 •001196172
837 700569 580376253 28-9309523 9-4241420 •001194743
838 702244 588480472 28-9482297 9'4278936 001193317
839 703921 590589719 28-9654967 9-4316423 •001191895
840 705600 592704000 28-9827535 9-4353800 •001190476
841 707281 594823321 290000000 9'4391307 001189061
— 29 —
п и! п3 п 3 _ V" п 1 п
842 708964 596947688 290172363 9-4428704 •001187648
843 710649 599077107 29 0344623 9-4466072 •001186240
844 712336 601211584 290516781 9-4503410 •001184834
845 714025 603351125 29-0688837 9-4540719 •001183432
846 715716 605495736 29-0860791 9-4577999 •001182033
847 717409 607645423 29-1032644 9-4615249 •001180638
848 719104 609800192 29-1204396 9-4652470 •001179245
849 720801 611960049 29-1376046 9'4689661 •001177856
850 722500 614125000 29-1547595 9-4726824 •001176471
851 724201 616295051 29-1719043 9-4763957 •001175088
852 725904 618470208 29-1890390 9-4801061 •001173709
853 727609 620650477 29'2061637 9’4838136 •001172333
854 729316 622835864 29-2232784 9-4875182 •001170960
855 731025 625026375 29-2403830 9-4912200 •001169591
856 732736 627222016 29-2574777 9-4949188 •001168224
857 734449 629422793 29-2745623 9-4986147 •001166861
858 736164 631628712 29-2916370 9-5023078 •001165501
859 737881 633839779 29-3087018 9-5059980 •001164144
860 739600 636056000 29-3257566 9-5096854 '001162791
861 741321 638277381 29-3428015 9-5133699 '001161440
862 743044 640503928 29-3598365 9-5170515 001160093
863 744769 642735647 29-3768616 9-5207303 •001158749
864 746496 644972544 29-3938769 9-5244063 •001157407
865 748225 647214625 29-4108823 9-5280794 001156069
866 749956 649461896 29 4278779 9'5317497 001154734
867 751689 651714363 29-4448637 9-5354172 •001153403
868 753424 653972032 29-4618397 9-5390818 •001152074
869 755161 656234909 29-4788059 9’5427437 •001150748
870 756900 658503000 29-4957624 9'5464027 •001149425
871 758641 660776311 29-5127091 9’5500589 •001148106
872 760384 663054848 29-5296461 9-5537123 •001146789
873 762129 665338617 29'5465734 9'5573630 •001145475
874 763876 667627624 29-5634910 9’5610108 •001144165
875 765625 669921875 29-5803989 9'5646559 •001142857
876 767376 672221376 29-5972972 9'5682782 •001141553
877 769129 674526133 29-6141858 9'5719377 •001140251
878 770884 676836152 29-6310648 9'5755745 •001138952
879 772641 679151439 29'6479342 9’5792085 001137656
880 774400 681472000 29-6647939 9-5828397 001136364
881 776161 683797841 29-6816442 9'5864682 •001135074
882 777924 686128968 29-6984848 9’5900937 •001133787
883 779689 688465387 29-7153159 9’5937169 001132503
884 781456 690807104 29-7321375 9-5973373 •001131222
885 783225 693154125 29-7489496 9-6009548 •001129944
886 784996 695506456 29-7657521 9'6045696 001128668
887 786769 697864103 29-7825452 9-6081817 •001127396
88д 788544 700227072 29’7993289 9'6117911 •001126126
889 790321 702595369 29-8161030 9'6153977 •001124859
890 792100 704969000 29-8328678 9-6190017 •001123596
89і 793881 707347971 29-8496231 9’6226030 •001122334
892 795664 707932288 29.8663690 9-6262016 •001121076
893 797449 712121957 29-8831056 9’6297975 •001119821
894 799236 714516984 29-8998328 9'6333907 •001118568
30 —
п п- и3 V п 3 _ V п 1 п
895 801025 716917375 29'9165506 9'6369812 •001117818
896 802816 719323136 29'9332591 9'6405690 •001116071
897 804609 721734273 29'9499583 9'6441542 •001114827
898 806404 724150792 29'9666481 9'6477367 •001113586
899 808201 726572699 29'9833287 9'6513166 •001112347
900 810000 729000000 30'0000000 9'6548938 •001111111
901 811801 731432701 30'0166621 9'6584684 •001109878
902 813604 733870808 30'0333148 9'6620403 •001108647
903 815409 736314327 300499584 9'6656096 •001107420
904 817216 738763264 30'0665928 9'6691762 '001106195
905 819025 741217625 30'0832179 9'6727403 •001104972
906 820836 743677416 30'0998339 9'6763017 •001103753
907 822649 746142643 30'1164407 9'6798604 •001102536
908 824464 748613312 30'1330383 9'6834166 '001101322
909 826281 751089429 30'1496269 9'6869701 '001100110
910 828100 753571000 30'1662063 9'6905211 '001098901
911 829921 756058031 30'1827765 9'6940694 '001097695
912 831744 758550825 301993377 9'6976151 '001096491
913 833569 761048497 30'2158899 9'7011583 '001095290
914 835396 763551944 30-2324329 9'7046989 '001094092
915 837225 766060875 30-2489669 9'7082369 '001092896
916 839056 768575296 30-2654919 9'7117723 '001091703
917 840889 771095213 30-2820079 9'7153051 •001090513
918 842724 773620632 30-2985148 9'7188354 •001089325
919 844561 776151559 30-3150128 9-7223631 •001088139
920 846400 778688000 30'3315018 9-7258883 •001086957
921 848241 781229961 30-3479818 9-7294109 •001085776
922 850084 783777448 30-3644529 9-7329309 •001084599
923 851929 786330467 303809151 9-7364484 001083423
924 853776 788889024 30-3973683 9-7399634 •001082251
925 855625 791453125 30-4138127 9-7434758 •001081081
926 857476 794022776 30-4302481 9-7469857 001079914
927 859329 796597983 30-4466747 9-7504930 001078749
928 861184 799178752 30'4630924 9-7539979 •001077586
929 863041 801765089 30-4795013 9-7575002 •001076426
930 864900 804357000 30-4959014 9-7610001 •001075269
931 866761 806954491 30-5122926 9-7644974 •001074114
932 868624 809557568 305286750 9-7679922 •001072961
933 870489 812166237 30'5450487 9-7714845 •001071811
934 872356 814780504 30-5614136 9'7749743 •001070664
935 874225 817400375 30'5777697 9'7784616 •001069519
936 876096 820025856 30'5941171 9'7829466 001068376
937 877969 822656953 30'6104557 9'7854288 •001067236
938 879844 825293672 30'6267857 9-7889087 •001066098
939 881721 827936019 30'6431069 9'7923861 •001064963
940 883600 830584000 30'6594194 9.7958611 •001063830
941 885481 833237621 306757233 9'7993336 •001062699
942 887364 835896888 30'6920185 9'8028036 •001061571
943 889249 838561807 30'7083051 9'8062711 •001060445
944 891136 841232384 30'7245830 9'8097362 '001059322
945 893025 843908626 30'7408523 9'8131989 •001058201
946 894916 846590536 30'7571130 9'8166591 •001057082
947 896808 849278123 30'7733651 9'8201169 •001055996
31
п п2 па V п 3 _ / п 1 п
948 898704 851971392 30-7896086 9-8235723 •001054832
949 900601 854670349 30'8058436 9'8270252 •001053741
950 902500 857375000 30'8220700 9'8304757 '001052632
951 904401 860085351 30'8382879 9'8339238 •001051525
952 906304 862801408 30'8544972 9'8373695 001050420
953 908209 865523177 30'8706981 9'8408127 001049318
954 910116 868250664 30'8868904 9'8442536 '001048218
955 912025 870983875 30'9030743 9'8476920 •001047120
956 913936 873722816 30'9192477 9'8511280 •001046025
957 915849 876467493 30'9354166 9'8545617 •001044932
958 917764 879217912 30'9515751 9'8579929 •001043841
959 919681 881974079 30'9677251 9'8614218 •001042753
960 921600 884736000 30'9838668 9'8648483 •001041667
961 923521 887503681 31'0000000 9'8682724 •001040583
962 925444 890277128 31'0161248 9'8716941 •001039501
963 927369 893056347 31'0322413 9'8751135 •001038422
964 929296 895841344 31'0483494 9'8785305 •001037344
965 931225 898632125 31'0644491 9'8819451 •001036269
966 933156 901428696 31'0805405 9'8853574 '001035197
967 935089 904231063 31'0966236 9'8887673 '001034126
968 937024 907039232 31'1126984 9'8921749 '001033058
969 938961 909853209 31'1287648 9'8955801 '001031992
970 940900 912673000 31'1448230 9'8989830 '001030928
971 942841 915498611 31'1608729 9'9023835 '001029866
972 944784 918330048 31'1769145 9'9057817 '001028807
973 946729 921167317 31'1929479 9'9091776 '001027749
974 948676 924010424 31'2089731 9'9125712 '001026694
975 950625 926859375 31'2249900 9'9159624 •001025641
976 952576 929714176 31'2409987 9'9193513 •001024590
977 954529 932574833 31'2569992 9'9227379 •001023541
978 956484 935441352 31'2729915 9'9261222 •001022495
979 958441 938313739 ЗГ2889757 9'9295042 •001021450
980 960400 941192000 ЗГЗО49517 9'9328839 •001020408
981 962361 944076141 31-3209195 9'9362613 001019168
982 964324 946966168 31-3368792 9-9396363 •001018330
983 966289 949862087 31-3528308 9-9430092 •001017294
984 968256 952763904 31-3687743 9-9463797 •001016260
985 970225 955671625 31-3847097 9'9497479 •001015228
986 972196 958585256 31-4006369 9-9531138 •001014199
987 974169 961504803 31-4165561 9'9564775 •001013171
988 976144 964430272 31-4324673 9'9598389 001012146
989 978121 967361669 31-4483704 9'9631981 001011122
990 980100 970299000 31-4642654 9'9665549 •001010101
991 982081 973242271 31-4801525 9'9699055 001009082
992 984064 976191488 31'4960315 9'9732619 •001008065
993 986049 979146657 31'5119025 9'9766120 •001007049
994 988036 982107784 31'5277655 9'9799599 •001006036
995 990025 985074875 31-5436206 9'9833055 •001005025
996 992016 988047936 ЗГ5594677 9'9866488 •001004016
997 994009 991026973 31-5753068 9'9899900 •001003009
998 996004 994011992 31'5911380 9'9933289 •001002004
999 998001 997002999 31'6069613 9'9966656 •001001001
1000 1000000 1000000000 31'6227766 10'0000000 •001000000
32
п п'- Г п л V п 1 п
1001 1000201 1003003001 31-6385840 10-0033222 •0009990010
1002 1004004 1006012008 31-6543866 100066622 0009880040
1008 1006009 1009027027 31'6701752 10-0099899 •0009970090
1004 1008016 1012048064 31-6859590 10-0133155 0009960159
1005 1010025 1015075125 31-7017349 10-0166389 •0009950249
1006 1010036 1018108216 31'7175030 10-0199601 0009940358
1007 1014049 1021147343 31'7332633 10’0232791 •0009930487
1008 1016064 1024192512 31'7490157 10-0265958 •0009920635
1009 1018081 1027243729 31'7647603 10'0299104 •0009910803
1010 1020100 1030301000 31'7804972 10’0332228 •0000900990
1011 1020121 1033364331 ЗГ7962262 10'0365330 •0009891197
1012 1024144 1036433728 31-8119474 10’0398410 •0009881423
1013 1026169 1039509197 31'8276609 10’0431469 •0009871668
1014 1028196 1042590744 31'8433666 10’0464506 •0009861933
1015 1030225 1045678375 31’8590646 10’0497521 •0009852217
1016 1032256 1048772096 31'8747549 10’0530514 •0009842520
1017 1034289 1051871913 31-8904374 10’0563485 •0009832842
1018 1036324 1054977832 31’9061123 10’0596435 •0009823183
1019 1038361 1058089859 31’9217794 10’0629364 •0009813543
1020 1040400 1061208000 31’9374388 10’0662271 •0009803922
1021 1042441 1064332261 31'9530906 10’0695156 •0009794319
1022 1044484 1067462648 31'9687347 10’0728020 •0009784736
1023 1046529 1070599167 31'9843712 10’0760863 0009775171
1024 1048576 1073741824 32-0000000 10’0793684 0009765625
1025 1050625 1076890625 32-0156212 10’0826484 •0009756098
1026 1052676 1080045576 320312348 10’0859262 •0009746589
1027 1054729 1083206683 32'0468407 10’0892019 0009737098
1028 1056784 1086373952 32-0624391 10’0924755 •0009727626
1029 1058841 1089547389 32-0780298 10’0957469 •0009718173
1030 1060900 1092727000 32'0936131 10’0990163 0009708738
1031 1062961 1095912791 32’1091887 10-1022835 •0009699321
1032 1065024 1099104768 32 1247568 Ю‘1055487 •0009689922
1033 1067089 1102302937 32'1403173 10-1088117 0009680542
1034 1069156 1105507304 32’1558704 10’1120726 0009671180
1035 1071225 1108717875 32'1714159 10’1153314 •0009661836
1036 1073296 1111934656 32’1869539 10’1185882 •0009652510
1037 1075369 1115157653 32’2024844 10’1218428 •0009643202
1038 1077444 1118386872 32’2180074 10’1250953 0009633911
1039 1079521 1121622319 32’2335229 Ю‘1283457 •0009624639
1040 1081600 1124864000 32’2499310 10'1315941 •0009615385
1041 1083681 1128111921 32-2645316 10’1348403 •0009606148
1042 1085764 1131366088 32-2800248 10-1380845 •0009596929
1043 1087849 1134626507 32-2955105 10-1413266 0009587738
1044 1089936 1137893184 32-3109888 10-1445667 •0009578544
1045 1092025 1141166125 32-3264598 10-1478047 0009569378
1046 1094116 1144445336 32-3419233 10-1510406 •0009560229
1047 1096209 1147730823 32-3573794 10-1542744 0009551098
1048 1098304 1151022592 32-3728281 10-1575062 0009541985
1049 1100401 1154320649 32-3882695 10-1607359 •0009532888
1050 1102500 1157625000 32-4037035 10-1639636 0009523810
1051 1104601 1160935651 32’4191301 10-1671893 •0009514748
1052 1106704 1164252608 32-4345495 10-1704129 •0009505703
1053 1108809 1167575877 32-4499615 10-1736344 •0009496676
— 33 —
91 II2 п3
1064 1110916 1170905464
1055 1113025 1174241375
1056 1115136 1177583616
1057 1117249 1180932193
1058 1119364 1184287112
1059 1121481 1187648379
1060 1123600 1191016000
1061 1125721 1194389981
1062 1127844 1197770328
1063 1129969 1201157047
1064 1132096 1204550144
1065 1134225 1207949625
1066 1136356 1211355496
1067 1138489 1214767763
1068 1140624 1218186432
1069 1142761 1221611509
1070 1144900 1225043000
1071 1147041 1228480911
1072 1149184 1231925248
1073 1151329 1235376017
1074 1153476 1238833224
1075 1155625 1242296^75
1076 1157776 1245766976
1077 1159929 1249243533
1078 1162084 1252726552
1079 1164241 1256216039
1080 1166400 1259712000
1081 1168561 1263214441
1082 1170724 1266723368
1083 1172889 1270238787
1084 1175056 1273760704
1085 1177225 1277289125
1086 1179396 1280824056
1087 1181569 1284365503
1088 1183744 1287913472
1089 1185921 1291467969
1090 1188100 1295029000
1091 1190281 1298596571
1092 1192464 1302170688
1093 1194649 1305751357
1094 1196836 1309338584
1095 1199025 1312932375
1096 1201216 1316532736
1097 1203409 1320139673
1098 1205604 1323753192
1099 1207801 1327373299
1100 1210000 1331000000
1101 1212201 1334633301
1102 1214404 1338273208
1103 1216609 1341919727
1104 1218816 1345572864
1105 1221025 1349232625
1106 1223236 1352899016
Иехав. Еериудзи.
3 1
1 п V п. п
32-4653662 10-1768539 0009487666
32-4807635 101800714 •0009478673
32-4961536 10-1832868 •0009469697
32-5115364 10-1865002 •0009460738
32-5269119 10-1897116 •0009451796
32-5422802 10-1929209 0009442871
32-5576412 10 1961283 •0009433962
32-5729949 10-1993336 0009425071
32'5883415 10-2025369 •0009416196
32-6036808 10-2057382 •0009407338
32-6190129 10-2089375 •0009398496
32'6343377 10-2121347 •0009389671
32-6496554 10'2153300 •0009380863
32-6649659 10-2185233 •0009372071
32-6802693 10-2217146 0009363296
32-6955654 10-2249039 0009354537
32 7108544 10'2280912 •0009345794
32-7261363 10’2312766 •0009337068
32-7414111 10-2344599 •0009328358
32-7566787 10-2376413 •0009319664
32-7719392 10-2408207 0009310987
32-7871926 10-2439981 •0009302326
32-8024389 10’2471735 •0009293680
32-8176782 10-2503470 •0009285051
32-8329103 10’2535186 •0009276438
32-8481354 10’2566881 •0009267841
82-8633535 10'2598557 •0009259259
32-8785644 10’2630213 0009250694
32-8937684 10’2661850 0009242144
32-9089653 10’2693467 •0009233610
32 9241553 10-2725065 •0009225092
32-9393382 10'2756644 •0009216590
32-9545141 10’2788203 •0009208103
32 9696830 10-2819743 •0009199632
82-9848450 10.2851264 •0009191176
83-0000000 10’2882765 •0009182736
33-0151480 10’2914247 •0009174312
33-030289І 10’2945709 •0009165903
33-0454233 10-2977153 •0009157509
33-06055'05 10’3008577 •0009149131
33-0756708 10’3039982 0009140768
33-0907842 10'3071368 •0009132420
33-1058907 10-3102735 0009124088
33-1209903 Ю’3134083 0009115770
33-1360830 10-3165411 •0009107468
33 1511689 10'3196721 0009099181
33 1662479 10’3228012 0009090909
33-1813200 10’3259284 •0009082652
33-1963853 10’3290537 •0009074410
33-2114438 10’3321770 0009066183
33-2266955 10’3352985 •0009057971
33-2415403 10’3384181 •0009049774
33-2565783 10’3415358 0009041591
3
— 34 —
п п- и3 ]Г~п 3 і/~и 1 п
1107 1225449 1356572043 33-2716095 10-3446517 •0009033424
1108 1227664 1360251712 33 2866339 10'3477657 •0009025271
1109 1229881 1363938029 33-3016516 10-3508778 •0009017133
1110 1232100 1367631000 33-3166625 10-3539880 •0009009009
1111 1234321 1371330631 33-3316666 10-3570964 0009000900
1112 1236544 1375036928 33-3466640 10'3602029 •0008992806
1113 1238769 1378749897 33-3616546 10-3633076 •0008984726
1114 1249996 1302469544 33-3766385 10-3664103 •0008976661
1115 1243225 1386195875 33-3916157 10-3695113 •0008968610
1116 1245456 1389928896 33-4065862 10'3726103 •0008960573
1117 1247689 1393668613 33-4215499 10-3747076 •0008952651
1118 1249924 1397415932 33-4365070 10'3788030 •0008944544
1119 1252161 1401268159 33-4514573 10-3818965 •0008936550
1120 1254400 1404928000 33-4664011 10-3849882 •0008928571
1121 1256641 1408694561 33-4813381 10-3880781 •0008960607
1122 1258884 1412467848 33-4962684 10-3911661 •0008912656
1123 1261129 1416247867 33-5111921 10'3942522 0008904720
1124 1263376 1420034624 33-5261092 10-3973366 0008896797
1125 1265625 1423828125 33-5410196 10’4004192 •0908888889
1126 1267876 1427628376 33-5559234 10'4034999 0008880995
1127 1270129 1431435383 33-5708206 10’4065787 0008873114
1128 1272384 1435249152 33-5857112 10'4096557 '0008865248
1129 1274641 1439069689 33-6005952 10’4127310 •0008857396
ИЗО 1276900 1442897000 33-6154726 10-4158044 0008849558
1131 1279161 1446731091 33 6303434 10-4188760 •0008841733
1132 1281424 1450571968 33-6452077 10-4219458 •ОЭі >8833922
1133 1283689 1454419637 33-6600653 10-4250138 •0008826125
1134 1285956 1458274104 33-6749165 10'4280800 0908818342
1135 1288225 1462135375 33-6897610 10-431)443 •0008810573
1136 1290496 1466003456 33-7045991 10-4342069 0)08802817
1137 1292769 1469878353 33 7194306 10-4372677 •0008795075
1138 1295044 1473760072 33 7342556 10-4403267 0008787346
1139 1297321 1477648619 33'7490741 10-4433839 0008779631
1140 1299600 1481544000 33-7638860 10-4464393 •0008771930
1141 1301881 1485446221 33-7786915 10-4494929 •0008764242
1142 1304164 1489355288 33’7934905 10-4525448 •0008756567
1143 1306449 1493271207 33-8082830 10-4555948 0098748906
1144 1308736 1497193984 33 8230691 10’4586431 •0)08741259
1145 1311025 1501123625 33-8378486 10’4616896 0008733624
1146 1313316 1505060136 33-8526218 10'4647343 0008726003
1147 1315609 1509003523 33-8673884 10’4677773 0008718396
1148 1317904 1512953792 33'8821487 10’4708184 •060 9710801
1149 1320201 1516910949 33-8969025 10-4738579 00)8703220
1150 1322500 1520875000 33’9116499 10'4768956 •0008695652
1151 1324801 1524845951 33'9263909 10'4799314 •0008688097
1152 1327104 1528823808 33-9411255 10’4829656 •0008680556
1153 1329409 1532808577 33'9558537 10'4859980 0008673027
1154 1331716 1536800264 33’9705755 10'4890286 0008665511
1155 1334025 1540798875 33'9852910 10’4920575 0008658009
1156 1336336 1544804416 34-0090000 10'4950847 •0008650519
1157 1338649 1548816893 340147027 10-4981101 0008643042
1158 1340964 1552836312 34’0293990 10-5011337 •0008635579
1159 1343281 1556862679 34-044089О 10'5041556 •0068628128
35
п п;| і Г П 1 3 К п 1 п
1160 1345600 1560896000 34-0587727 10-5071757 •0008620690
1161 1347921 1564936281 34-0734501 105101942 •0008613244
1162 1350244 1568983528 34-0881211 10-5132109 •0008605852
1163 1352569 1573037749 34-0127858 10-5162259 •0008598452
1164 1354896 1577098944 34'1174142 10-5192391 0008591065
1165 1357225 1581167125 34'1320963 10'5222506 •0008583691
1166 1359556 1585242296 34-1467422 10-5252604 •0008576329
1167 1361889 1589324463 34-1613817 10-5282685 •0008568980
1168 1364224 1593413632 34 1760150 10-5312749 •0008561644
1169 1366561 1597509809 34'1906420 10-5342795 0008554320
1170 1368900 1601613000 34-2052627 10-5372825 0006547009
1171 1371241 1605723211 34-2198773 10-5402837 0008539710
1172 1373584 1609840448 34-2344855 10'5432832 0008532423
1173 1375929 1613964717 34-2490875 10'5462810 •0008525149
1174 1378276 1618096024 34-2636834 10-5192771 0008517888
1175 1380625 1622234375 34-2782730 10'5522715 •0008510638
1176 1382976 1626379776 34’2928564 10-5552612 •0008503401
1177 1385329 1630532233 34'3074336 10-5582552 •0008496177
1178 1387684 1634691752 34-3220046 10-5612145 •0008488964
1179 1390041 1638858339 34'3365694 10-5642322 •0008481764
1180 1392400 1643032000 34-3511281 10 5672181 •0008471576
1181 1394761 1647212741 34-3656805 10-5702024 •0008467401
1182 1397124 1651400568 34’3802268 10-5731819 0008460237
1183 1399489 1655595487 34-3947670 10'57(51658 0008153085
1184 1401856 1659797504 34-4093011 10-5791449 •0008445946
1185 1404225 1664006625 34-4238289 10'5821225 •0008438819
1186 1406596 1668222856 34-4383507 10'5850983 •0008431703
1187 1408969 1672446203 34-4528663 10'5880725 ООО8424600
1188 1411344 1676676672 34-4673759 10-5910150 •0008417508
1189 1413721 1680914629 34-4818793 10-5940158 •0008410429
1190 1416100 1685159000 34-4963766 10-59(19850 •0008403361
1191 1418481 1689410871 34-5108678 10-5999525 •ООО83963О6
1192 1420864 1693669888 34-5253530 10-6029184 0008389262
1193 1423249 1697936057 34-5398321 10-6058826 •0008382320
1194 1425636 1702209384 34-5543051 10-6088451 0008375209
1195 1428025 1706489875 34-5687720 10-6118060 •0008368201
1196 1430416 1710777536 34-5832329 10-6147652 0008361204
1197 1432809 1715072373 34-5976879 10-6177228 0008354219
1198 1435204 1719374392 34-6121366 10-6206788 • 0098347245
1199 1437601 1723683599 34-6265794 10-6236331 •0008340284
1200 1440000 1728000000 34-6410162 1 0008333333
1201 1442401 1732323601 34-6554469 10'6295367 0008326395
1202 1444804 1736654408 34-6698716 10-6324860 -0008319468
1203 1447209 1740992427 34.6842904 10 6354338 •0008312552
1204 1449616 1745337664 34-6987031 10-6383799 •0008305648
1205 1452025 1749690125 34-7131099 10-6413244 0008298755
1206 1454436 17540.49816 34-7275107 10-6442672 •0008291874
1207 1456849 1758416743 34-7419055 10-6472085 •0008285004
1208 1459264 1762790912 34-7562944 10-6501480 •0008278146
1209 1161681 1767172329 34-7706773 10-6530860 0008271299
1210 1164100 1771561000 34-7850543 10(1560223 •0008264463
1211 1466521 1775956931 34-7994253 10-6589570 •0008257638
1212 1468944 1780360128 34-8137904 10-6618902 0008250825
36 —
п и2 я3 ілй" 3 1 п
1213 1471369 1784770597 34-8281495 10'6648217 0008244023
1214 1473796 1789188344 34-8425028 10-6677516 •0008237232
1215 1476225 1793613375 34-8568501 10'6706799 •0008230453
1216 1478656 1798045696 34-8711915 10-6736066 •0008223684
1217 1481089 1802485313 34-8855271 10-6765317 0008216927
1218 1483524 1806932232 34-8998567 10-6794552 •0008210181
1219 1485961 1811386459 34-9141805 10-6823771 •0008203445
1220 1488400 1815848000 34-9284984 10-6852973 •0008196721
1221 1490841 1620316861 34-9428104 10-6882160 •0008190008
1222 1493284 1824793048 34’9571166 10-6911331 0008183306
1223 1495729 1829276567 34'9714169 10'6940486 0008176615
1224 1498176 1833764247 34-9857114 10 6969625 •0008169935
1225 1500625 1838265625 35-0000000 10-6998748 •0008163265
1226 1503276 1842771176 35-0142828 10-7027855 •0008156607
1227 1505529 1847284083 35-0285598 10-7056947 •0008149959
1228 1507984 1851804352 35-0428309 10-7086023 •0008143322
1229 1510441 1856331989 35-0570963 10-7115083 •0008136696
1230 1512900 1860867000 35-0713558 10’7144127 0008130081
1231 1515361 1865409391 36 0856096 10-7173155 •0008123477
1232 1517824 1869959168 35-0998575 10-7202168 0008116883
1233 1520289 1874516337 35-1140997 10-7231165 •0008110300
1234 1522756 1879080904 35-1283361 10-7260146 •0008103728
1235 1525225 1883652875 35-1425568 10-7289112 •0008097166
1236 1527696 1888232256 35-1567917 10-7318062 •0008090615
1237 1530169 1892819053 35-1710108 10-7346997 •0008084074
1238 1532644 1897413272 35-1852242 10-7375916 •0008077544
1239 1535121 19020149І9 35-1994318 10-7404819 •0008071.025
1240 1537600 1906624000 35-2136337 10'7433707 •0008064516
1241 1540081 1911240521 35’2278299 10-7462579 •0008058018
1242 1542564 1915864488 35'2420204 10-7491436 •0008051530
1243 1545049 1920495907 352562051 10-7520277 0008045052
1244 1547536 1925134784 35-2703842 10-7549103 0008038585
1245 1550025 1929781125 35-2845575 10-7577913 •0008032129
1246 1552521 1934434936 35-2987252 10'7606708 0008025682
1247 1555009 1939096223 35-3128872 10-7635488 •0008019246
1248 1557504 1943764992 35-3270435 10-7664252 •0008012821
1249 1560001 1948441249 35-3411941 10-7693001 •0008006405
1250 1562500 1953125000 35-3553391 10-7721735 0008000000
1251 1565001 1957816251 35'3694784 10-7750453 •0007993605
1252 1567504 1962515008 35-3836120 10-7779156 •0007987220
1253 1570009 1967221277 35-3977400 10-7807843 •0007980846
1254 1572516 1971935064 35-4118624 10-7836516 0007974482
1255 1575025 1976656375 35-4259792 10-7865173 •0007968127
1256 1577536 1981385216 35-4400903 10-7893815 •0007961783
1257 1580049 1986121593 35-4541958 10-7922441 •0007955449
1258 1582564 1990865512 35-4682957 10-7951053 0007949126
1259 1585081 1995616979 35-4823900 10'7979649 0007942812
1260 1587600 2000376000 35-4964787 10-8008230 •0007936508
1261 1590121 2005142581 35-5105618 10-8036797 •0007930214
1262 1592644 2009916728 35-5246393 10-8065348 0007923930
1263 1595166 2014698447 35'5387113 10-8093884 •0007917656
1264 1597696 2019487744 35-5527777 10-8122404 •0007911392
1265 1600225 2024284625 35'5668385 10-8150909 •0007905138
— 37 —
п п2 па 1Л п 3 V п 1 п
1266 1602756 2029089096 35-5808937 10-8179400 •0007898894
1267 1605289 2033901163 35-5949434 10'8207876 •0007892660
1268 1607824 2038720832 35'6089876 10'8236336 0007886435
1269 1610361 2043548109 35’6230262 10’8264782 •0007880221
1270 1612900 2048383000 35-6370593 10’8293213 -0007874016
1271 1615441 2053225511 35-6510869 10’8321629 •0007367821
1272 1617984 2058075648 35’6651090 10-8350030 •0007861635
1273 1620529 2062933417 35-6791255 108378416 •0007855460
1274 1623076 2067798824 35'6931366 10-8406788 •0007849294
1275 1625625 2072671875 35-7071421 10-8435144 •0007843137
1276 1628176 2077552576 35'7211422 10-8463485 •0007836991
1277 1630729 2082440933 35-7351367 10-8491812 0007830854
1278 1633284 2087336952 35-7491258 10'8520125 •0007824726
1279 1635841 2092240639 35'7631095 10’8548422 0007818608
1280 1638400 2097152000 35'7770876 10'8576704 •0007812500
1281 1640961 2102071841 35’7910603 10'8604972 •0007806401
1282 1643524 2106997768 35'8050276 10-8633225 0007800312
1283 1646089 2111932187 35’8189894 10-8661454 •0007794232
1284 1648656 2116874304 35'8329457 10-8689687 •0007788162
1285 1651225 2121824125 35’8468966 10’8717897 •0007782101
1286 1653796 2126781656 35'8608421 10’8746091 •0007776050
1287 1656369 2131746903 35’8747822 10’8774271 0007770008
1288 1658944 2136719872 35'8887169 10-8802436 •0007763975
1289 1661521 2141700569 35'9026461 10-8830587 0007757952
1290 1664100 2146689000 35-9165699 10-8858723 •0007751938
1291 1666681 2151685171 35 9304884 10’8886845 0007745933
1292 1669264 2156689088 35-9444015 10'8914952 •0007739938
1293 1671849 2161700757 35-9583092 10'8943044 •0007733952
1294 1674436 2166720184 35-9722115 10-8971123 •0007727975
1295 1677025 2171747375 35-9861084 10'8999186 •0007722008
1296 1679616 2176782336 36-0000000 10’9027235 •0007716049
1297 1682209 2181825073 36-0138862 10’9055269 •0007710100
1298 1684804 2186875592 36-0277671 10-9083290 •0007704160
1299 1687401 2191933899 360416426 10-9111296 •0007698229
1300 1690000 2197000000 36-0555128 10-9139287 0007692308
1301 1692601 2202073901 36-0698776 10-9167265 •0007686395
1302 1695204 2207155608 36-0832371 10-9195228 0007680492
1303 1697809 2212245127 36-0970913 10-9223177 •0007674579
1304 1700416 2217342464 36-1109402 10’9251111 •0007668712
1305 1703025 2222447625 36-1247837 10’9279031 •0007662835
1306 1705636 2227560616 36'1386220 10-9306937 •0007656968
1307 1708249 2232681443 36-1524550 10-9334829 •0007651109
1308 1710864 2237810112 36 1662826 10’9362706 •0007645260
1309 1713481 2242946629 36-1801050 10'9390569 •0007639419
1310 1716100 2248091000 36 1939221 10’9418418 0007633688
1311 1718721 2253243231 36'2077340 10’9446253 •0007627765
1312 1721344 2258403328 36 2215406 10’9475074 •0007621951
1313 1723969 2263571297 36-2353419 10’9501880 0007616446
1314 1726596 2268747144 36'2491379 10'9529673 •0007610350
1315 1729225 2273930875 36 2626287 10'9557451 •0007604563
1316 1731856 2279122496 36-2767143 10-9585215 •0007598784
1317 1734489 2284322013 36-2904246 10’9612965 •0007593014
1318 1737124 2289529432 36 3042697 10-9640701 •0007587253
— 38 -
п и- п3
1319 1739761 2294744759
1320 1742400 2209968000
1321 1745041 2305199161
1322 1747684 2310438248
1323 1750329 2315680267
1324 1752976 2320940224
1326 1755625 2326203125
1326 1758276 2331473976
1327 1760929 2336752783
1328 1763584 2342039552
1329 1766241 2347334289
1330 1768900 2352637000
1331 1771561 2357947691
1332 1774224 2363266368
1333 1776889 2368593037
1334 1779556 2373927704
1335 1782225 2379270375
1336 1784896 2384621056
1337 1787569 2389979753
1338 1790244 2395346472
1339 1792921 2400721219
1340 1795600 2406104000
1341 1798281 2411494821
1342 1800964 2416893687
1343 1803649 2422300607
1344 1806336 2427715584
1345 1809025 2433138625
1346 1811716 2438569736
1347 1814409 2444008923
1348 1817104 2449456192
1349 1819801 2454911549
1350 1822500 2460375000
1351 1825201 2465846551
1352 1827904 2471326208
1353 1830609 2476813977
1354 1833316 2482309864
1355 1836025 2487813875
1356 1838736 2493320016
1357 1841449 2498846293
1358 1844164 2504374712
1359 1846881 2509911279
1360 1849600 2515456000
1361 1852321 2521008881
1362 1855044 2526569928
1363 1857769 2532139147
1364 1860496 2537716544
1365 1863225 2543302125
1366 1865956 2548895896
1367 1868689 2554497863
1368 1871424 2560108032
1369 1874161 2565726409
1370 1876900 2571353000
1371 1879641 2576987811
V п 3 _ ]/ п 1 п
36-3180396 10'9668423 •0007581501
36’3318042 10'9696131 0007575758
36-3455637 10-9723825 0007570023
36.3593179 10-9751505 •0007564297
363730670 10'9779171 •0007558579
36-3868108 10-9806823 •0007552870
36-4000494 10-9834462 •0007547170
36'4142829 10-9862086 •0007541478
36-4280112 10-9889696 0007535795
36-4117343 10-9917293 0007530120
36’4554523 10'9944876 0007524454
36-4691650 10-9972445 0007518797
36-4828727 11 0000000 •0007513148
36'4965752 11-0027541 •0007507508
36'5102725 11-0055069 •0007501875
36.5239647 11-0082583 •0007496252
36-5376518 11-0110082 •0007490637
36-5513388 11-0137569 •0007485030
36-5650106 11-0165041 •0007479432
36-5786823 11-0192500 •0007473842
36'5923489 11.0219945 •0007468260
36-6060104 11 0247377 0007462687
36'6196668 11-0274795 •0007457122
36-6333181 11 0302199 •0007451565
36'6469144 11-0329590 0007446016
26-6606056 11-0356967 •0007440476
36-6742416 1Г0384330 •0007434944
36'6878726 11 0411680 0007429421
36-7014986 11 0439017 0007423905
36-7151195 11 0466339 0007418398
36-7287353 11 0493649 •0007412898
36-7423461 11 0520945 •0007407407
36'7559519 11-0548227 •0007401924
36'7695526 11-0575497 •0007396450
36-7831483 11-0602752 •0007390983
36-7967390 11’0629994 •0007385524
36-8103246 11-0657222 •0007380074
36-8239053 11'0684437 •0007374631
36-8374809 11-0711639 •0007369197
36-8510515 11-0738828 •0007363770
36'8646172 11-0766003 •0007358352
36-8781778 Ц-0793165 •0007352941
36'8917335 11-0820314 •0007347539
36'9052842 11’0847449 •0007342144
36'9188299 11-0874571 •0007336757
36’9323706 11 0901679 0007331378
36’9459064 11-0928775 •0007326007
36'9594372 11-0955857 •0007320644
36-9729631 11-0982926 •0007315289
36'9864840 11-1009982 •0007309942
37-0000000 11-1037025 •0007304602
37-0135110 11-1064054 •0007299270
37-0270172 11-1091070 •0007293946
— 39 —
п п- п'3 V п Я __ 1 п
1372 1882384 2582630848 37'0405184 11-1118073 •0007288630
1370 1885129 2588282117 37-0540146 11 1145064 •0007283321
137-1 1887876 2593941624 37'0675060 11 1172041 •0007278020
1375 1890625 2599609375 37-0899924 11-1199004 •0007272727
1376 1893376 2605285376 37-0944740 11-1225955 0007267442
1377 1896129 2610969633 37-1079506 11-1252893 •0007262164
1378 1898884 2616662152 87-1214224 11-1279817 0007256894
1379 1901641 2622362939 37’1348893 11-1306729 0007251632
1380 1904400 2628072000 37-1483512 11-1333628 •0007246377
1381 1907161 2633789341 37'1618084 11-1360514 •0007241130
1382 1909924 2639514968 37’1752606 11'1387386 •0007235890
1383 1912689 2645248887 37'1887079 1Г1414246 •0007230658
1384 1915456 2650991104 37-2021505 11'1441093 •0007225434
1918225 2656741625 37-2155881 11'1467926 •0007220217
1380 1920996 2662500456 37“2290209 11'1494747 •0007215007
1387 1923769 2668267603 37’2424489 1Г1521555 •0007209805
1388 1926544 2674043072 37’2558720 11-1548350 0007204611
1380 1929321 2679826869 37’2692903 11-1575133 •0007199424
1390 1932100 2685619000 37’2827037 11-1601903 0007194245
1391 1934881 2691419471 37-2961124 11-1628659 •0007189073
1302 1937664 2697228288 37-3095162 11-1655403 •0007183908
1393 1940449 2703045457 37'3229152 11-1662134 •0007178751
1394 1943236 2708870984 37-3363094 11-1708852 •0007173601
1395 1946025 2714704875 37'3496988 11-1735558 0007168459
1396 1948816 2720547136 37’3630834 11-1762250 •0007163324
1397 1951609 2726397773 37-3764632 11 1788930 •0007158196
1398 1954404 2732256792 37-3898382 11 1815598 •0007153076
1399 1957201 2738124199 37-4032084 11-1842252 •0007147963
1400 1960000 2744000000 37-4165738 11-1866894 •0007142857
1401 1962801 2749884201 37’4299345 11-1895523 •0007137759
1402 1965604 2755776808 37’4432904 11 1922139 •0007132668
1403 1968409 2761677827 37’4566416 11-1948743 •0007127584
1404 1971216 2767587264 37'4699880 11'1975334 •0007122507
]4ОК 1974025 2773505123 37'4833296 1Г2001913 •0007117438
1406 1976836 2779431416 37'4966665 11-2028479 •0007112376
1407 1979649 2785366143 37'5099987 11-2055032 •0007107321
1408 1982464 2791309312 37'5233261 11'2081573 •0007102273
1409 1985281 2797260929 37’5366487 11'2108101 •0007197232
1410 1988100 2803221000 37’5499667 11'2134617 •0007092199
1411 1990921 2809189531 37-5632799 112161120 •0007087172
1412 1993744 2815166528 37’5765885 11-2187611 •0007082153
1413 1996569 2821151997 37-5898922 11-2214089 •0007077141
1414 1999396 2827145944 37’6031913 11-2240054 •0007072136
1415 2002225 2833148375 37’6164857 11-2267007 •0007067138
1416 2005056 2839159296 37'6297754 11-2293448 0007062147
1417 2007889 2845178713 37’6430604 11-2319876 0007057163
1418 2010724 2851206632 37'6563407 11-2340292 •0007052186
1419 2013561 2857243059 37'6696164 11-2372696 •0007047216
1420 2016400 2863288000 37’6828874 11-2399087 •0007042254
1421 2019241 2869341461 37’6961536 1Г2425465 •0007037298
1422 2022084 2875403448 37'7094153 11-2451831 •0007032349
1423 2024929 2881473967 37'7226722 11-2478185 •0007027407
1424 2027776 2887553024 37'7359245 11-2504527 •0007022472
— 41
п л2 я3 К Я 3 _ п 1 п
1478 2184484 3228667352 38'4447656 11'3909028 •0006765900
1479 2187441 3235225239 38'4577691 11-3934712 0006761325
1480 2190400 3241792000 38'4707681 11-3960384 •0006756757
1481 2193361 3248367641 38-4837627 11'3986045 •0006752194
1482 2196324 3254952168 38'4967530 11'4011695 •0006747638
1483 2199289 3261545587 38'5097390 11'4037332 0006743088
1484 2202256 3268147904 38'5227206 11'4062959 •0006738544
1485 2205225 3274759125 38'5356977 11-4088574 •0006734007
1486 2208196 3281379256 38'5486705 11-4114177 •0006729474
1487 2211169 3288008303 38'5616389 11-4139769 0006724950
1488 2214144 3294646272 38'5746030 11-4165349 •0006720430
1489 2217121 3301293169 38'5875627 11-4190918 •0006715917
1490 2220100 3307949000 38'6005181 11-4206476 0006711409
1491 2223081 3314613771 38'6134691 11-4242022 0006706908
1492 2226004 3321287488 38'6264158 1Г4267556 •0006702413
1493 2229049 3327970157 38'6393582 11.4293079 •0006697924
1494 2232036 3334661784 38'6522962 11-4318591 0006693440
1495 2235025 3341362375 38'6652299 11-4344092 •0006688963
1496 2238016 3348071936 38'6781593 11-4369581 •0006684492
1497 2241009 3354790473 38'6910843 11-4395059 •0006680027
1498 2244004 3361517992 38'7040050 11-4420525 0006675567
1499 2247001 3368254499 38'7169214 11-4445980 0006671114
1500 2250000 3375000000 38'7298335 11-4471424 •0006666667
1501 2253001 3381754501 38'7427412 11-4496857 •0006662225
1502 2256004 3388518008 38'7556447 11-4522278 •0006657790
1503 2259009 3395290527 38'7685439 11-4547688 0006553360
1504 2262016 3402072064 38'7814389 11-4573087 0006648936
1505 2265025 3408862625 38'7943294 11-4598476 •0006644518
1506 2268036 3415662216 38'8072158 11-4623850 •0006640106
1507 2271049 3422470843 38'8200978 11-4649215 •0006635700
1508 2274064 3429288512 38'8329757 11-4674568 •0006631300
1509 2277081 3436115229 38'8458491 11-4699911 •0006626905
1510 2280100 3442951000 38'8587184 1Г4725242 •0006622517
1511 2283121 3449795831 38'8715834 1Г4750562 •0006618134
1512 2286144 3456649728 38'8844442 11-4775871 •0006613757
1513 2289169 3463512697 38'8973006 11'4801169 •0006609385
1514 2292196 3470384744 38'9101529 11'4826455 •0006605020
1515 2295225 3477265875 38'9230009 11-4851731 •0006600660
1516 2298256 3484156096 38'9358447 11-4876995 •0006596306
1517 2301289 3491055413 33'9486841 11'4902249 •0006591958
1518 2304324 3597963832 38'9615194 11'4927491 0006587615
1519 2307361 3504881359 3^'9743505 11'4952722 •0006583278
1520 2310400 3511808000 38'9871774 11.4977942 0006578947
1521 2313441 3518743761 390000000 11'5003151 •0006574622
1522 2316484 3525688648 39'0128184 11'5028348 •0006570302
1523 2319529 3532642667 39'0256326 11'5053535 •0006565988
1524 2322576 3539605824 39'0384426 11'5078711 0006561680
1525 2325625 3546578125 39'0512483 11'5103876 '0006557377
1526 2328676 3553559575 39'0640499 11'5129030 '0006553080
1527 2331729 3567549552 39'0768473 11'5154173 '0006548788
1528 2334784 3560558183 39'0896406 11'5179305 '0006544503
1529 2337841 3574558889 39'1024296 11-5204425 '000654(ВЙ2
1530 2340900 3581577000 39'1152144 11-5229535 •0006№64»
- 42
п п- л.3 3 іЛѴ 1 Ѣ
1531 2343961 3588604291 391279951 11-5254634 •0006531679
1532 2347024 3595640768 39’1407716 11-5279722 •0006527415
1533 2350089 3602686437 39-1535439 11-5304799 •0006523157
1534 2353156 3609741304 39-1663120 11-5329865 •0006518905
1535 2356225 3616805375 39-1790760 11-5354920 •0006514658
1536 2359256 3623878656 39 1918359 11-5379965 .0006510417
1537 2362369 3630961153 39-2045915 11-5404998 •0006506181
1538 2365444 3638052872 39-2173431 11-5430021 0006501951
1539 2368521 3645153819 39-2300905 11-5455033 •0006497726
1540 2371600 3652264000 39'2428337 11-5480034 •0006493506
1541 2374681 3657983421 39-2555728 11-5505025 0006489293
1542 2377764 3666512088 39.2683078 11-5530004 •0006485084
1543 2380849 3673650007 39’2810387 11-5554972 •0006480881
1544 2383936 3680797184 39-2937654 11-5579931 •0006476684
1545 2387025 3687953625 39’3064880 11-5604878 •0006472492
1546 2390116 3695119336 39-3192065 11-5029815 •0006468305
1547 2393209 3702294323 39-3319208 11-5654740 '0006464124
1548 2396304 3709478592 39-3446311 11-5679655 0006459948
1549 2399401 3716672149 39'3573373 11-5704559 •0006455778
1550 2402500 3723875000 39'3700394 11-5729453 •0006451613
1551 2405601 3731087151 39-3827373 11-5754330 •0006447453
1552 2408704 3738308608 39-3954312 11-5779208 •0006443299
1553 2411809 3745539377 39'4081210 11-5804069 '0006439150
1554 2414916 3752779464 39-4208067 11-5828919 •0006435006
1555 2418025 3760028875 39-4334883 11-5853759 '0006430868
1556 2421136 3767287616 39-4461658 11-5878588 •0006426735
1557 2424249 3774555693 39-4588393 11-5903407 0006422608
1558 2427364 3781833112 39-4715087 11-5928215 •0006418485
1559 2430481 3789119879 39-4841740 11-5953013 •0006414368
1560 2433600 3796416000 39-4968353 11-5977799 •0006410256
1561 2436721 3803721481 39'5094925 11-6002576 •0006406150
1562 2439844 3811036328 39-5221457 11-6027342 •0006402049
1568 2442969 3818360547 39-5347948 11'6052097 •0006397953
1564 2446096 3825641444 39-5474399 11-6076841 •0006393862
1565 2449225 3838037125 39-5600809 11.6101675 •0006389776
1566 2452356 3840389496 39-5727179 11-6126299 •0006385696
1567 2455489 3847751263 39'5853508 11-6151012 •0006381621
1568 2458624 3855123432 59-5979797 11-6175715 •0006377551
1569 2461761 3862503009 39'6106046 11-6200407 •0006373486
1570 2464900 3869883000 39-6232255 11-6226088 0006369427
1571 2468041 3877292411 390358424 11-6249759
1572 2471184 3884701248 39-6484552 11-6274420 •0006361323
1573 1574 1575 2474329 2477476 2480625 3892119157 3899547224 3906984375 39-6610640 39'6736688 39-0862696 11-6299070 11-6323710 11-6348339 •0006357279 •0006353240 0006349206
1576 1577 1578 1579 1580 1581 1582 1583 2483776 2486929 2490084 2493241 2496400 2499561 2502724 2505889 3914430976 3921887033 3929352552 3936827539 3944312000 3951805941 3959309368 3966822287 39’6988665 39-7114593 39-7240481 39'7366329 39-7492138 39'7617907 39'7743636 39-7869325 1Г6372957 11-6397566 11-6422164 11-6446751 1Г6471329 11-6495895 11-6520452 11-6544998 •0006345178 •0006341154 •0006337136 •0006333122 •0006329114 0006325111 •0006321113 •0006317119
— 43 —
п п2 И' 1 3 1
1584 2509056 3974344704 39-7994976 11-6569534 •0006313131
1585 2512225 3981876625 39-8120585 11-6594059 •0006309148
1586 2515396 3989418056 39'8246155 11-6618574 •0006305170
1587 2518569 3996969003 39'8371686 11-6643079 •0006301197
1588 2521744 4004529472 39'8497177 11-6667574 •0006297229
1589 2524921 4012099469 398622628 11-6692058 •0006293266
1590 2528100 4014679000 39'8748040 11-6716532 •0006289308
1591 2531281 4027268071 39'8873413 11-6740996 •0006285355
1592 2534464 4034866688 398998747 11-6765449 •0006281407
1593 2537649 4042474857 39-9124041 11-6789892 •0006277464
1594 2540836 4050092584 39'9249295 11.6814325 •0006273526
1595 2544025 4057719875 39-9374511 11-6838748 •0006269592
1596 2547216 4065356736 39-9499687 11-6863161 •0006265664
1597 2550409 4073003173 39'9624824 11-6887563 •0006261741
1598 2553604 4080659192 39-9749922 11-6911955 0006257822
1599 2556801 4088324799 39-9874980 11-6936337 0006253909
1600 2560000 4096000000 40-0000000 11-6960709 •0006250000
Таблица II.
Четвертыхъ и пятыхъ степеней чиселъ отъ I до 130.
п л4 1 1 7Г- 1 п 1 1 11* і 1 1 п*
1 1 1 24 331776 7962624
2 16 | 32 25 390625 9765625
3 81 і 243 26 456976 11881376
4 256 1024 27 531441 14348907
5 625 ; 3125 28 614656 17210368
6 1296 I 7776 29 707281 20511149
7 2401 । 16807 30 810000 24300000
8 4096 і 32768 31 923521 28629151
9 6561 । 59049 32 1048576 33554432
10 10000 1 100000 33 1185921 39135393
11 14641 | 161051 34 1336336 45435424
12 20736 248832 35 1500625 52521875
13 28561 371293 36 1679616 60466176
14 38416 537824 37 1874161 69343957
15 50625 759375 38 2085136 79235168
16 65536 1048576 39 2313441 90224199
17 83521 1419857 40 2560000 102400000
18 104976 1889568 41 2825761 115856201
19 130321 2476099 42 ЗД11696 130691232
20 160000 3200000 43 3418801 147008443
21 194481 4084101 44 3748096 164916224
22 234256 5153632 45 4100625 184528125
23 279841 | 6436343 46 4477456 205962976
— 44
п п* Я5 п И4 Я*
47 4879681 229345007 89 62742241 5584059449
48 5308416 254803968 90 65610000 5904900000
49 5764801 282475249 91 68574961 6240321451
50 6250000 312500000 92 71639296 6590815232
51 6765201 345025251 93 74805201 6956883693
52 7311616 380204032 94 78074896 7339040224
53 7890481 418195493 95 81450625 7737809375
54 8503056 459165024 96 84934656 8153726976
55 9150625 503284375 97 88529281 8587340257
56 9834496 550731776 98 92236816 9039207968
57 10556001 601692057 99 96059601 9509900499
58 11316496 656356768 100 100000000 10000000000
59 12117361 714924299 101 104060401 10510100501
60 12960000 777600000 102 108243216 11040808032
61 13845841 844596301 103 112550881 11592740743
62 14776336 916132832 104 116985856 12166529024
63 15752961 992436543 105 121550625 12762815625
64 16777216 1073741824 106 126247696 13382255776
65 17850625 1160290625 107 131079601 14025517307
66 18974736 1252332576 108 136048896 14693280768
67 20151121 1350125107 109 141158161 15386239549
68 21381376 1453933568 ПО 146410000 16105100000
69 22667121 1564031349 111 151807041 16850581551
70 24010000 1680700000 112 157351936 17623416832
71 25411681 1804229351 113 163047361 18424351793
72 26873856 1934917632 114 168896016 19254145824
73 28398241 2073071593 115 174900625 20113571875
74 29986576 2219006624 116 181063936 21003416676
75 31640625 2373046875 117 187388721 21924480357
76 33362176 2535525376 118 193877776 22877577568
77 35153041 2706784157 119 200533921 23863536599
78 37015056 2887174368 120 207360000 24883200000
79 38950081 3077056399 121 214358881 25937424601
80 40960000 3276800000 122 221533456 27027081632
81 43046721 3486784401 123 228886641 28153056843
82 45212176 3707398432 124 236421376 29316250624
83 47458321 3939040643 125 244140625 30517578125
84 49787136 4182119424 126 252047376 31757969376
85 52200625 4437053125 127 260144641 33038369407
86 54700816 4704270176 128 268435456 34359738368
87 57289761 4984309207 129 276922881 35723051649
88 59969536 5277319168 130 285610000 37129300000
№ 2.
ТАБЛИЦЫ ЧЬРЬ И ВѢСА.
А. Таблицы русскихъ мѣръ.
а) Линейныя мѣры.
Основная единица линейныхъ мѣръ есть сажень.
1 сажень=7 Футамъ *)=84 дюймамъ=840 линіямъ.
1 » =3 аршинамъ=48 вершкамъ.
1 Футъ =12 дюймамъ *)= 120 линіямъ = 135,1142париж. лин.
1 арш. =4 четвертямъ=16 вершкамъ=28 дюймамъ.
1 верста=500 саженямъ.
Ь) Квадратныя мѣры.
1 квадратная сажень=49 квадр. Футамъ=7056 квадр. дюймамъ.
1 » » =9 квадр. аршинамъ=2304 квадр. вершкамъ.
1 квадратный Футъ =144 квадр. дюймамъ= 14400 квадр. линіямъ.
1 квадратн. аршинъ=256 квадр. вершкамъ.
1 квадратн. дюймъ = 100 квадр. линіямъ.
1 десятина = 9400 кв. саженямъ.
с) Кубичныя мѣры.
1 кубич. сажень=343 кубич. Футамъ= 592,704 кубич. дюймамъ.
1 » » =27 кубич.аршинамъ=110592 кубич.вершкамъ.
*) Русскій «утъ равенъ англійскому Футу.
’) Дюймъ часто дѣлягъ на восемь частей.
— 46 —
1 кубич. Футъ=1728 кубич. дюймамъ=1728000 кубич. линіямъ.
1 куб. аршинъ—4096 кубич. вершкамъ.
<1) Мѣры емкости.
1) Для оюидкостей. Основная мѣра жидкостей есть ведро. Оно
должно содержать въ себѣ 30 Фунтовъ перегнанной воды, при 13’/3°
Реом., взвѣшенной въ безвоздушномъ пространствѣ.
1 ведро—0,434356 куб. Футамъ—750,568 куб. дюймамъ.
1 бочка—40 ведрамъ.
1 ведро=8 штоФамъ=10 кружкамъ—100 чаркамъ.
2 ) Для сыпучихъ тѣлъ. Основная мѣра сыпучихъ тѣлъ есть четве-
рики.
1 четверикъ—2 2/15 ведрамъ—О,926627 кубич. Футамъ—1601,212
куб. дюймамъ.
1 четверть =2 осьминамъ—8 четверикамъ=7,41302 куб. Фут.
1 четверикъ =2 получетв,—4 четверткамъ=8 гарнцамъ.
е) Таблица ввса.
Основная единица вѣса есть фунтъ, равный вѣсу 25,0189 кубич.
дюймовъ перегнанной воды, при темнер. 13*/а° Реом., взвѣшенной
въ безвоздушн. пространствѣ.
1 берковецъ=1О пудамъ.
1 пудъ=40 Фунтамъ.
1 Фунтъ=32 лотамъ—96 золотникамъ—9216 долямъ.
1 золотвикъ=96 долямъ.
1 аптекарск. Фунтъ—7/,, русск. Фунта= 12уиціямъ=96 драхмамъ =
= 288скрупуламъ—5760 гран.=84 золотннк.=
= 8064 долямъ обыкновеннаго вѣса.
В. Таблица Французскихъ мѣръ (новая).
а) Линейныя мѣры.
Метръ есть десятимилліонпая часть четверти земнаго меридіана ')•
г) = 443,2959 парижскимъ линіямъ = 39,37079 англійскимъ или русскимъ дюй-
мамъ—3,280899 апгліГіск. Футамъ=0,4686999 сажени. 1 парижская линія=О,0888138
англійскимъ дюймамъ.
— 47 —
1 миріаметръ=10 километр.= 100 эктометр.=1000 декаметр.=
= 10000 метрамъ=9,3740 верстъ.
1 километръ=10 эктометръ.=100 декаметр.=1000 метрамъ.
1 эктометръ=10 декаметр.= 100 метрамъ.
1 декаметръ=10 метрамъ.
1 метръ=10 дециметрамъ=100 центиметр.=1,406 арпиша.
1 » =1000 мпллиметр.=39,371 дюйма=3,28 Футамъ.
1 дециметр.=10 центиметрамъ=100 миллиметрамъ.
1 центиметръ=10 миллиметрамъ.
1 новый локоть=12 дециметрамъ=47,245 дюймамъ.
1 новый Футъ=‘/3 метра='/г нов. тауза=0,4687 аршина.
1 льё (Ііеіі Іеітеяіе)=’/г.-, градуса=4,17355 верстъ.
1 почтовое лье=2 милямъ=2000 туазамъ=3897,07 метрамъ =
1,65405 верстъ,
1 инженерное лье = 4000 метрамъ=3,7496 верстъ.
й) Квадратныя мѣры.
1 эктаръ=100 арамъ=10000 квадратн. метрамъ=0,9153 десятины.
1 аръ=100 квадр. метрамъ=100 центіарамъ,
1 квадр. метръ=100 квадр. дециметрамъ=10000 квадр. цент.
1 » » =1000000 квадр. миллиметрамъ.
1 квадр. дециметръ = 100 квадр. центпметрамъ=10000 квадратн.
миллиметрамъ.
1 квадр. центиметръ=100 квадр. миллиметрамъ.
1 арпанъ (парижскій)=900 кв. туаз.=0,3129 десятины.
с) Кубичныя мѣры.
1 кубичн. метро или сягер»=1000 куб. дециметрамъ = 1000000 к.
центиметрамъ.
1 етера = 1000000000 куб. миллиметр. = вуа (ѵоіе) новаго =
35,31658 куб. Футамъ.
1 куб. дециметръ=1000 куб. центиметр. = 1000000 куб. мпллим.
1 куб. центиметръ=1000 кубич. миллиметрамъ.
д) Мѣры емкости,
1) Для жидкостей. Основная мѣра жидкостей есть литра.
1 литръ = 1 кубич. дециметру=‘/іооо ЕУб. метра=61,0270кубическ.
дюймамъ=0,08131 ведра.
- 48 —
1 декалитръ=10 литрамъ=100 децилитрамъ=0,8131 ведра.
2) Для сыпучихъ тѣлъ. Основная мѣра та же какъ и для жид-
костей.
1 килолитръ=10 эктолитрам ь = 100 декалитрамъ=1000 литрамъ,
1 эктолитръ=10 декалитрамъ=100 лптрамъ=100 куб. децимет-
ровъ='/іП килолитра=3,81131 рус. четверика.
1 декалитръ=10 литрамъ.
3) Мѣра для дровъ.
1 стеръ=1 кубич. метру=0,10296 куб. сажени.
1 вуа (ѵоіе)=2 етерамъ.
е) Таблица вѣса.
1 граммъ есть вѣсъ одного кубич. центиметра дистиллированной
воды мри температурѣ 4° Ц. (при которой вода имѣетъ наибольшую
плотность).
1 килограммъ есть вѣсъ одного кубич. дециметра дистиллированной
воды при той же температурѣ.
1 кнлограммъ=10 эктограммамъ=100 декаграммамъ.
1 » =1000 граммамъ = 2,44190 русск. Фунта.
1 эктограммъ = 10 декаграммамъ=100 граммамъ.
1 декаграммъ=10 граммамъ.
1 граммь=10 дециграммамъ=100 центиграммамъ.
1 » =1000 миллиграм.=0,00244 русскихъ Фунтовъ.
1 дециграммъ=10 центиграммамъ =100 миллиграммамъ.
1 центиграммъ=10 миллиграммамъ.
С. Французская система мѣръ (старая).
а) Линейныя мѣры.
Основная единица линейныхъ мѣръ есть Футъ.
1 туазъ=6 ®утамъ=72 дюймамъ=854 линіямъ.
1 » =76,735 русскимъ дюймамъ= 1,9490363 метрамъ.
1 Футъ=12 дюймамъ=144 линіямъ= 1,0657 русскимъ Футамъ.
1 » =0,3248 метрамъ.
1 дюймъ=12 линіямъ.
Старый парижскій локоть= 46,790 дюймамъ.
» » »= 1,188 метрамъ.
— 49 —
Впрочемъ уже давно во Франціи введенъ въ употребленіе новый
футъ, который составляетъ третью часть метра и имѣетъ десятерич-
ное подраздѣленіе. Такимъ образомъ новый Футъ=1,О261 парижск.
Фута.
1 парижскій Футъ=0,9746 новаго Французскаго Фута.
Ь) Квадратныя мѣры.
Основная единица есть арпанъ=(агрепІ).
1 арпанъ=100 квадрат. першамъ (регсѣе5саі'гёе«)=751,0560 квад.
саж.=О,3129 десятины.
1 эктаръ=2,924944 арпанамъ.
1 квадр. туазъ=3,798743 квадратнымъ метрамъ.
1 квадр. метръ=9,4768 квадратнымъ Футамъ.
с) Кубичныя мѣры.
1 корда (Іа согсіе <1ея саих сі ГогёЬз)—-2 вуа=0,49528 кубическ.
сажени.
<1) Мѣры емкости.
1 мюи=12 сетье=24 минамъ=48 шіпо8=144 боассо=2304 ли-
тронамъ (Иігопя)=71,40252 русскимъ четверикамъ.
1 сетье = 2 минамъ — 4 шіиоз =12 боассо = 192 литронамъ=
= 5,95021 русск. четверикамъ.
1 мина=2 шіпо8=6 боассо=96 литронамъ.
1 боассо=16 литронамъ=655,78 Франц. кубнч дюймовъ.
1 пинта=0,9315 литрамъ.
1 велта=8 пннтамъ=7,45 литрамъ.
1 кубич. Футъ=34,277255 литрамъ.
1 кубич. метръ=2 9,174 кубпч. парнжск. Футамъ.
1 сестеръ (зё!іег)=4,554 кубич. Футамъ.
Новый боассо”’|8 эктолитра.
е) Таблица вѣса.
Основная единица вѣса есть Фунтъ.
1 Фунтъ=2 маркамъ=16 унціямъ=128 гроссамъ=384 скрупу-
ламъ=9216 денье (йёпіег8)=1,19532 русск. Фунт.=0,4895 килограм.
1 марка=8 унціямъ=64 гроссамъ=192 скрупул.=4б08 денье.
Мехлн. Вериуллн.
- 50 —
1 унція =8 гроссамъ=24 скрупул. =576 данье.
1 гроссъ=3 скрупуламъ = 72 депье.
1 скрупулъ=24 данье.
1 тонна=1000 кплограм. = 10 метрическимъ цепгперамъ = 61,0475
русск. пудамъ.
1 килограммъ=2,042877 Франц. ®упт.=2 Фунта 5 гроссамъ 10715
депье.
1 граммъ = 18,82715 депье.
Приблизительно можно положить:
70 килограммовъ = 143 Франц. Фунтамъ.
11 эктограммовъ= 36 унціямъ.
8 дециграммовъ = 15 денье.
Примѣчаніе. Такъ-пакъ діаметръ пятифранковой монеты содержитъ въ себѣ ЗС
миллиметровъ, а діаметръ двухі>ранковой монеты 28 миллиметровъ, то 16 пятіі-
Франковыхъ монетъ, положенныя рядомъ съ 14 двухфранковыми монетами, состав-
ляютъ метръ, и длина новаго Франц. Фута равна одной двухФранковой монетѣ,
положенной рядомъ съ Ѳ-ыо плтифранковыии монетами.
Вѣсъ 40 пятифранковыхъ мспетт. равенъ одному килограмму.
Д. Таблица англійскихъ мѣръ.
а) Линейныя мѣры.
Основная единица линейныхъ мѣръ есть 1 Футъ.
1 Футъ=12 дюймамъ=144 лпніямъ=0,30479 мет.=1 русск. Футу.
1 миля=8 Ферлонгамъ=320 перчамъ=880 ГаіЬот=5280 Фут. =
1609,315 метрамъ= 1,508 верстамъ.
1 ГаіЬош=2 ярдамъ.
1 перлъ (реагсЬ, роіе, гой)=5,5 ярдамъ.
1 Ферлонгъ=40 перчамъ.
1 цѣпь (сЬаіп) = Ю0 звеньямъ (1івк)=22 ярдамъ = 66 Футамъ
1 звено=7,92 Фута.
1 ярдъ = 3 Футамъ = 0,91438 метрамъ.
1 дюймъ=12 линіямъ = 0,02540 метрамъ.
1 англійская морская миля=3 морскимъ милямъ='/2|) градуса =
5,21694 верстъ.
Ь) Квадратныя мѣры.
1 акръ = 4 рудамъ = 160 квадр. поламъ = 4840 квадр. ярдамъ =
0,3704 русск. десятинамъ.
1 квадр. ярдъ=9 квадр. Футамъ.
- 51
с) Кубичныя мѣры.
1 куб. ярдъ=27 куб. Футамъ=О,07872 куб. сажени.
1 ласта (Іоаб) пли тоннъ необтесаннаго дерева или корабельнаго
лѣса имѣетъ 40, а обтесаннаго и досокъ 50 куб. Футовъ.
(1) Мѣры емкости для жидкостей и для сыпучихъ тѣлъ.
1 галлонъ=4 квартамъ=8 пинтамъ=32 джилямъ=277,273 апгл.
куб. дюймамъ=0,36942 рус. ведра.
1 бушель=4 пекамъ=8 галлонамъ = 1,3853 русск. четверика.
1 ластъ (1оа<1)=г5 квартерамъ=40 бушелямъ=55,4128 четверика,
1 ластъ (для извести)=32 бушелямъ.
1 ластъ (для песку)=36 бушелямъ.
е) Тавлица вѣса.
1 фунтъ (роипй) торговый (аѵоіг (Іи роіз)= 16 упціямъ=1бХ16=
256 драхмамъ=7000 гранамъ = 0,4535976 кплограмма= 1,1076 рус.
фунта.
1 Фунтъ тройскій (марочный пли монетный) = 12 упціямъ=240
реппу іѵеІ8Ій = 240X24 = 5760 гранамъ = 0,373246 килограмма =
0,91142 рус. Фунта.
1 тонна (1оп)=20 центнерамъ (сіѵі, Ііпінігей \ѵеі§ІН)=80 кварте-
рамъ=160 8Іопе = 160X14 = 2240 торг. Фунтамъ = 2481,10 русск.
фунта.
Таблица III.
Линеіныя мѣры.
Футъ англійскій, принятыйвъ Россій. Метръ. Француз- скій Футъ (старый). Австрій- скій Футъ. Прусскій (рейнланд- скій) Футъ. Баденскій или швейцар. Футъ. Виртем- бергскій.
1 0,3048 0,9383 0,9642 0,9711 1,0160 1,0639
3,2809 1 3,0784 3,1635 3,1862 3,3333 3,4905
1,0658 0,3248 1 1,0276 1,0350 1,0828 1,1339
1,0371 0,3161 0,9731 1 1,0072 1,0537 1,1033
1,0297 0,3139 0,9662 0,2299 1 1,0463 1,0955
0,9843 0,30 0,9235 0,9490 0,9560 1 1,0471
0,9400 0,2865 0,8819 0,9063 0,9128 0,955 1
Примѣра. Сколько прусскихъ Футовъ содержится въ 2,943 англійскихъ «утахъ?
1 англійскій «утъ=0,9711 прусскаго «ута. Слѣдовательно 2,943 англійскихъ
«утовъ=0,9711 X 2,943 = 2,8591 ирусск. Фут.
52 —
Т а в л д а IV.
Квадратныя мѣры.
Русскій и англійскій кв. футъ. Квадрат- ный метръ. Француз- скій квад- ратный футъ. Австрій- скій квад- ратный футъ. Прусскій квадрат- ный футъ Баденскій илн швейц. квадратн. футъ. Виртем- бергскій квадратн. футъ.
1 0,0929 0,8804 0,9297 0,9438 1,0322 1,1319
10,7643 1 9,4768 10,0074 10,1517 11,1111 12,1840
1,7358 0,1055 1 1,0560 1,0716 1,1725 1,2854
1,0756 0,0999 0,9469 1 1,0143 1,1103 1,2173
1,0603 0,0985 0,9335 0,9858 1 1,0947 1,2003
0,9688 0,0900 0,8528 0,9006 0,9137 1 1,0965
0,8837 0,0821 0,7778 0,8214 0,8332 0,9122 1
Т а в л ц а V.
Кубичныя міры.
Русскій и англійскій кубичный футъ. Кубичный метръ. Француз- скій кубич- ный Футъ. Австрій- скій кубич ИЫЙ футъ. Прусскій кубичный футъ. Баденскій иди швей- царскій ку- бичн. футъ. Виртем- бергскій кубичный футъ.
1 0,0283 0,8261 0,8964 0,9159 1,0488 1,2038
35,3166 1 29,1738 31,6579 32,3462 37,0360 42,5351
1,2106 0,0343 1 1,0848 1,1087 1,2692 1,4577
1,1155 0,0316 0,9214 1 1,0220 1,1699 1,3432
1,0918 0,0309 0,9019 0,9791 1 1,1450 1,3147
0,9536 0,0270 0,7876 0,8547 0,8733 1 1,1482
0,8304 0,0235 0,6860 0,7445 0,7606 0,8711 1
Т а < л ц а VI.
Вѣсъ русскій і иностранный.
Русскій фунтъ. Кило- граммъ. ' Француз- скій Фунтъ. Англійскій Фунтъ. Австрій- скій фунтъ. Прусскій фунтъ. Баварскій фунтъ.
1 0,4095 0,8366 0,90283 0,73126 0,87558 0,7312
2,4419 1 2,0429 2,2046 1,7857 2,1381 1,9612
1,1958 0,4,895 1 1,0792 0,8741 1,0466 0,9615
1,10763 0,4536 0,9266 1 0,8099 0,9698 0,8906
1,3675 0,5600 1,1440 1,2346 1 1,1973 1,1000
1,1421 0,4677 0,9555 1,0311 0,8352 1 0,9187
1,3675 0,5600 1,1440 1,2346 0,9999 1,1973 1
Примѣрь. Сколько килограммовъ содержится въ 25,349 русскихъ Фунтахъ?
1 русскій фунтъ = 0,4095 килограммъ, слѣдовательно 25,349 русск. фунт. =
0,4095 X 25,349 = 12,0184 килогр.
53 —
Таблица ѴЦ.
Поземельныя мѣры.
Десатина. Англійскій экръ. Лнфляндскій лоФштель. Прусскій моргенъ. Французскія мѣры.
Парижскій арпанъ. Эктаръ.
1 2,69973 2,94000 4,27890 3,19550 1,09250
0,87041 1 1,08900 1,58494 1,18364 0,40467
0,34014 0,91827 1 1,45541 1,08691 0,37160
0,23370 0,63094 0,68709 1 0,74680 0,25532
0,31294 0,84485 0,92004 1,33904 1 0,34189
0,91533 2,47114 2,69107 3,91662 2,92494 1
Таблица ѴШ.
Мѣры емкости жидкихъ тѣлъ.
Ведро. Рижскій штосъ. Англійскій гал- лонъ. Прусскій эй- меръ. Декалитръ «= ’/іоо куб. метра.
1 0,10370 0,36942 5,5860 0,81308 9,6429 1 3,5623 53,865 7,8404 2,7070 0,28072 1 15,121 2,2010 0,17902 0,018565 0,066133 1 0,14556 1,2299 0,12754 0,45435 6,8702 1
Таблица IX.
Мѣры емкости сыпучихъ тѣлъ.
Четверикъ. Лифляндскій или рижскій ЛОФЪ. Англійскій куортеръ. Прусскій шеФ- Фель. Эктолитръ = ’Ао куб. метра.
1 2,6250 11,0826 2,0 475 8,81131 0,38095 1 4,2219 0,79800 1,4519 0,09032 0,28686 1 0,18901 0,34390 0,47738 1,2531 5,2906 1 1,8195 0,26238 0,68874 2,9078 0,54962 1
— 54 —
Таблица X.
Погонныя мѣры.
Метръ. Фра іі- цузскІІ футъ. Рейа- лаадскЮ футъ. Аагаій- 0К1* фуіъ. Русская ворота. ГеограФ. аѣмеик. МИЛЯ. фраа* Прокій лье. Англій- ская мила.
1 русская верста . . 1068 3286 3504 3500 1 0,14 0,24 0,66
1 географическаяили нѣмецкая миля . . 7427 22857 24370 23661 6,956 1 1,66 4,61
1 французскій лье. . 4457 13714 14623 14197 4,173 0,60 1 2,77
1 англійская мнля. . 1609 4953 5280 5128 1,509 0,22 0,36 1
1 морская миля . . . 1857 5714 6082 5915 1,739 0,25 0,42 1,15
1 километръ 1000 3078 3281 3187 0,94 0,13 0,23 0,62
1 градусъ меридіана = 111111 метрам. = 364644англійск. ф.
= 342050 Франц. Футовъ = 353644 прусск. ®ут.
1 новый Французск. градусъ меридіана = 100000 метр. =
51307,40 туаз. = 307844 Франц. ®ут. = 328090 англійск. фут.
1-му градусу экватора соотвѣтствуютъ:
104’/, русскихъ верста.
102/з шведскія мили.
13’/а датскія мили.
13’/ю швейц или бернскія мили.
14% австрійскія мили.
15 геограФич. (нѣмецк.) миль.
15% польскихъ миль.
17% испанскихъ миль.
20 Французскихъ морскихъ миль.
20 швейцарскихъ часовъ.
25 Французскихъ лье.
60 апгл. морск. или итальян. миль.
69% англійскихъ путевыхъ миль.
87 греческихъ миль.
66% турецкихъ Веегуез.
111,11 километровъ.
Примѣчаніе. Скорость хода корабля на морѣ обыкновенно выражается въ гео-
графическихъ миляхъ. Она опредѣляется длиною бичевки, постепенно во время
хода корабля разматывающейся; конецъ бичевки прикрѣпленъ къ досчечкѣ, обитой
свинцомъ и погруженной на %0 глубины въ воду. Время измѣряется песочными
часами, ходъ которыхъ продолжается полминуты.
Такъ какъ 1 географическая миля = 2361 рейнланд. фугамъ, и 4 часа содер-
жатъ въ себѣ 480 полминутъ, то изъ этого слѣдуетъ, что корабль, движущійся съ
такою скоростью, что бичевка въ каждую нолмнпуту разматывается на 49 ф. 3
дюйма, въ 4 часа проходитъ одну геограФич. милю. Но такъ какъ досчечка все-
гда не много слѣдуетъ движенію корабля, то настоящая скорость хода корабля
будетъ всегда немного болѣе скорости найденной вышесказаннымъ образомъ.
55
Для уппчтоиіеиія этихъ разностей, бичевку обыкновенно раздѣляютъ на нѣсколь-
ко частей узлами, находящимися другъ отъ друга иа разстояніи 48 «утовъ, и каж-
дая часть носитъ названіе узла. Такъ говорятъ: корабль движется со скоростью
6-ти умовъ; это значитъ, что онъ пробѣгаетъ въ нолмііпуту 6X^8=288 рейнланд.
«утовъ н въ 4 часа 6 географическихъ миль.
Таблица XI.
Для перевода метрическихъ погонныхъ мѣръ въ русскія мѣры.
Метры. Соотвѣтству- ющія сажени. Соотвѣтствуй ЮЩІ0 футы. Соотвѣтству- ющіе дюймы.
1 0,468700 8,28090 39,3708
2 0,937400 6,56180 78,7416
3 1,406100 9,84270 118,1124
4 1,874800 13,12360 157,4832
5 2,343499 16,40450 196,8540
« 2,812199 19,68539 236,2247
7 3,280899 22,96629 275.5955
8 3,749599 26,24719 314,9663
9 4,218299 29,52809 354,3371
10 4,686999 32,80899 393,7079
Таблица XII.
Для перевода метрическихъ квадратныхъ мѣръ въ русскія мѣры.
Квадратн. метры. Соотвѣтству- ющія ввадрат- іі ыясажепп. Соотвѣтству- ющіе квадрат- ные Футы. Соотвѣтству- ющіе квадрат- ные дюймы.
1 0,219680 10,7643 1550,06
2 0,439359 21,5286 3100,12
3 0,659039 32,2929 4650,18
4 0,878718 43,0572 6200,24
5 1,098398 53,8215 7750,30
6 1,318077 64,5858 9300,35
7 1,537757 75,3501 10850,41
8 1,757437 86,1144 12400,47
9 1,977116 96,8787 13950,53
10 2,196796 107,6430 15500,59
— 56
Таблица ХШ.
Для перевода метрическихъ кубичныхъ вѣръ въ русскія мѣры.
Кубичные Соотвѣтству- Соотвѣтству- Соотвѣтству-
ющіа кубичн. ющіе кубичн. ющіе кубичн.
метры. сажени. ®уты. дюймы.
1 0,102964 35,3166 61027,1
2 0,205928 70,6332 122054,1
3 0,308891 105,9497 183081,2
4 0,411855 141,2663 244108,2
5 0,514819 176,5829 305135,3
6 0,617783 211,8995 366162,3
7 0,720747 247,2161 427189,4
Ѳ 0,823710 282,5326 488216.4
9 0,926674 317,8492 549243,5
10 1,029688 353,1658 610270,5
Таблица XIV.
Для перевода потопныхъ, квадратныхъ и кубическихъ русскихъ
Футовъ въ метрическія мѣры.
Футы. Соотвѣтству- ющіеметры. Квадр. футы. Соотвѣтству- ющіе квадр. метры. Кубич. футы. Соотвѣтству- ющіе кубич. метры.
1 0,304794 10 0,928997 10 0,283153
2 0,609589 20 1,857994 20 0,566306
3 0,914383 30 2,786990 30 0,849459
4 1,219178 40 3,715987 40 1,182612
5 1,523972 50 4,644984 50 1,415766
6 1,828767 60 5,573981 60 1,698919
7 2,133561 70 6,502978 70 1,982072
8 2,438356 80 7,431975 80 2,265225
9 2,748150 90 8,860971 90 2,548378
.0 3,047945 100 9,289968 100 2,831581
№ 3.
ГЕОМЕТРИЧЕСКІЯ ПРАВИЛА.
А. О квадратѣ.
1. Квадратъ есть четыреугольникъ съ равными сторонами и углами.
Если сторона квадрата въ 1 метръ длины, то такой квадратъ назы-
вается квадратнымъ метромъ. Такъ же должно по-
нимать квадратный Футъ, квадратную сажепь и проч.
Изъ представленной Фигуры видно, что квадрат-
ный метръ содержитъ 100 квадратныхъ центимет-
ровъ; плн также, что квадратный Футъ содержитъ
100 квадратныхъ дюймовъ (по десятеричной систе-
мѣ). Изображаютъ это такъ:
1 □ центішетръ = 0,01 □ дециметра = 0,0001 □ метра.
1 =0,01 □” = 0,0001 □' (десятеричная система).
Посему число 0,31457 □ метровъ содержитъ: 31 □децпм. 4бПцентим. 70Пнилди-
метровъ.
По 12-тирпчиой системѣ имѣемъ 1 □' = 12 X 12 = 144Также !□"=>
144П'".
2. Пусть « сторона и « площадь квадрата, то
« = а X а = и2
а = I в.
Итакъ площадь квадрата найдется, когда сторону умножимъ саму на
себя; а сторона—когда изъ извѣстной площади извлечемъ квадратный
корепь.
Лриміър». Когда а = 2,5', то з = 2,5 X 2,б'= 6,25П'.
Когда ® = 12,96П', то а = V 12,96 = 3,6'.
58 —
В. О параллелограммѣ,
1. Параллелограммъ есть четыреугольникъ, у котораго противопо-
ложныя стороны параллельны.
2. Площадь параллелограмма равна произведенію изъ его основанія
на высоту (т. е. если сторону Вс=Ь умножимъ на перпендикуляръ
М\т=^к). Посему площадь
8= ЬХ к. Изъ этой Формулы выходить:
м
Итакъ найдемъ одно пзъ измѣреній, когда площадь раздѣлимъ па
другое измѣреніе.
Примѣръ. Какъ велика площадь прямоугольнаго пола, котораго длина = 24' и
шириппа — 18,5'? Площадь = 24 X 18,5 = 444П'.
Примѣчаяіе. Площадь квадрата болѣе площади прямоугольника при одинаковыхъ
периметрахъ.
Доказательство. Пусть сторона квадрата а, то его периметръ будетъ 4 п, а
площадь «2. Чтобы получить прямоугольникъ, у котораго периметръ былъ бы іа,
то основаніе его можно сдѣлать «ч-щ, а высоту а — х, и площадь его бу югъ
а3 — х3, что менѣе а3.
Итакъ, чтобъ оградить какое пибудь четыреугольное пространство, то тѣиъ
менѣе нужно будетъ кирпичей, чѣмъ болѣе это пространство, при томъ же пери-
метрѣ, приближается къ квадрату.
С. О треугольникѣ.
Площадь треугольника равна произведенію основанія наполовину
высоты (т. е. если умножимъ сторону 1)8=1, на перпендикуляра
МУ=к).
№ Слѣдовательно площадь:
« 1>ХЬ
8= , откуда выходитъ:
А
т. е. одно измѣреніе найдется, когда двойную площадь раздѣлпмт. на
другое измѣреніе.
Примѣръ. Если 1 = 16" н Л = 7", то 5 = = 5вп".
Если .9= 80’П иЬ —16', то Л = --у;,- = Ю‘.
— 59 -
1. Если три стороны треугольника суть: а, Ь, с н полупериметръ
его=С, то площадь треугольника: «=1/(С—«) (С—Ь) (О—о). О.
Примѣръ. Чему равна площадь треуг—на, коего стороны: в=6', Ь—8' и с=3'?
С = 64-84-3 = 8 6,; (8)6_8) (8,6-3)8,5=7,644 □ Фут.
3. Пиѳагорова теорема. Стороны прямаго угла въ прямоугольной ь
треугольникѣ, назыв. катетами, а 3-я сторона гипотенузою.
Квадратъ, построенный на гипотенузѣ « прямоугольнаго треуголь-
ника, равенъ суммѣ квадратовъ, построенныхъ на катетахъ бис, т. е.
«2=
а— )/б24- с~
Ь - І/а!—с2
с =]/«2— Ьг
Примѣръ. Пусть 6=4, с=3, то «=1/164-9=1/25=6. Такъ какъ Зг4-42=5’,
то построенный треугольникъ, у коего стороны относятся между собою какъ 3, 4
и 6, будетъ прямоугольный.
Г). О трапеціи.
1. Трапеція есть четыреугольникъ, у котораго только двѣ проти-
воположныя стороны параллельны.
2. Площадь трапеціи равна произведенію суммы параллельныхъ
сторонъ а и Ь па половину высоты 4 (перпендикуляра между парал-
лелями).
Слѣдовательно, площадь
5==(ач-б)х|-
Примѣръ. Найти площадь трапеціи, когда в=6", Ъ—ІО7 и 4=8''.
О
5=(6 4- 1О)Х о =16Х4=64О"?
А
— 60 —
3. Вычисленіе площади АВСО, ограниченной кривыми АВ и СО
основано на трапеціи.
Проводятъ прямую М Ы, раздѣляютъ ее иа произвольное (по воз*
можностн большее) число частей и изъ каждой точки дѣленія прово-
дятъ ординаты г0, г,, е2, е3......гп перпендикулярно къ Я2Ѵ; Фи-
гуры, лежащія между двумя послѣдовательными ординатами, прини-
маютъ за трапеціи; сумма площадей сихъ трапецій, даетъ прибли-
женную величину площади цѣлой Фигуры.
Если раздѣлимъ на четное число равныхъ частей и одну изъ
нихъ означимъ чрезъ <1, то цѣлая площадь «, по правилу Симпсона,
будетъ:
5 | -п-+-4 (г, ч-е3-к...)2 (е2-+-е4-к...)].
Итакъ, если сумму крайнихъ ординатъ сложимъ съ четверною сум-
мою ординатъ, имѣющихъ нечетные значки н съ двойною суммою
ординатъ, имѣющихъ четные значки, и потомъ сумму всѣхъ членовъ
умножимъ на треть разстоянія двухъ ординатъ, то получимъ иско-
мую площадь.
Примпръ. Пусть г0 = 12', г« = 13', г» = 13,4'
г0 = 9', г3 = 12.2’, г, = 11,2'
г, = 10'.
Далѣе пусть Л = 3,6‘, то
5 = ^у[12 + 9 + 4 (13+ 12,2+ 10)+ 2 (13,4 + 112)].
Я = 1,2 [21 +140,8 + 49,2].
Я= 253,2 □ фут.
Е. О многоугольникахъ.
1. Чтобъ найти площадь многоУгольника, то разбиваютъ его на
треугольники или трапеціи, отъискиваютъ площадь каждой его соста-
вляющей части п складываютъ ихъ.
2. Правильнымъ многоугольникомъ называется такой многоуголь-
— 61
никъ, у котораго всѣ стороны и всѣ углы равны между собою. Пра-
вильные многоугольники можно вписывать въ кругъ и описывать
около него; центръ круга будетъ центромъ многоугольника, и равно
удаленъ отъ каждой стороны и отт> каждаго угла.
Площадь правильнаго прямоугольника равняется произведенію его
периметра на половину радіуса круга вписаннаго.
Половимъ сторона правильнаго девятиугольника — 5", радіусъ вписаннаго кру-
га = 6,87, то периметръ = 9X5 = 45", и площадь = —— 154,57 □
Л
3. Площадь правильнаго многоугольника можетъ быть также опре-
дѣлена, если извѣстенъ радіусъ круга, описаннаго около сего много-
угольника.
Если радіусъ круга описаннаго — г,
то площадь правильнаго треугольника “ 1,2990 г2
> 4-ка = 2,0000 г2
. 5 = 2,3776 г1
• 6 = 2,5980 г’
> 7 = 2,7369 Г2
• 8 = 2,8286 г2
• 9 = 2,8924 г2
• 10 = 2,9389 гг
» И =2,9732 г2
« 12 = 3,0000 г2
Примѣрь. Чему равна площадь правильнаго 10-угольника, если радіусъ описан-
наго круга = 3'/і Фут.?
Отвѣтъ: га=3'/іХ372 = 12,25'. Площадь=12,25X2,9389=36,ООІбПфут.
Г. Вычисленіе круга н частей его.
1. Отношеніе діаметра къ окружности во всѣхъ кругахъ одинаково.
Приближенное отношеніе діаметра къ окружности есть ...7:22
точнѣе . . . 113: 355
или въ десятичныхъ дробяхъ . . . 1: 3,1415926...
Для практическихъ вычисленій берутъ только 3,14. Обыкновенно отношеніе 3,14
изображаютъ греческою буквою тс.
2. Окружность С круга равна діаметру, умноженному на отноше-
ніе тс, т. е.
С=і. тс, слѣдовательно </=—•
Примѣрь. Если діаметръ = 6', то окружность = 6X3,14= 18,84'.
_ 124
Если окружность = 124*', то діаметръ — =— = 39,46.
о,14
— 62 —
3. Окружность круга раздѣляютъ на 360 равныхъ частей, кои на-
зываются градусами. Слѣдоват. дуга А В можетъ быть выражена въ
градусахъ п въ линейной мѣрѣ. Если длина дуги АВ=1, соотвѣтству-
ющее число градусовъ=п, діаметръ круга =<і, то будетъ: 1‘.<1к=п°:
360, т. е. длина дуги относится къ цѣлой окружности, каіп> число
градусовъ сей дуги къ 360° градусамъ. Изъ этой пропорціи выхо-
дитъ:
....''х Длина дуги. . . ~
; 1 Число градус. и=360.^~
"" , I 360
\ Діаметръ . . . а = — •
Еслип= 1 градусу,соотвѣтствуюіцаядлина дуги будетъйх 3,14 X =
0,0087 Л. Чтобъ найти длину дуги, то умножаютъ 0,0087 А на число
градусовъ сей дуги.
Примѣръ 1-й. Чему равна длина дуги въ 25 градусовъ, когда радіусъ = 7'?
Длина дуги I— 14X3,14 =3,05375' или длина дуги 1=0,0087 ХІ^Х 25 =
3,05375.
Примѣръ 2-й. Длина дуги=3', діаметръ круга=4’, сколько градусовъ въ сей лугѣ?
Число градусовъ п= 360 X *= 85,98°.
4. Площадь пруга въ х=3,14 разъ болѣе площади квадрата АВСП,
построеннаго па радіусѣ сего круга. Означивъ чрезъ « площадь круга,
чрезъ г его радіуст. п чрезъ й діаметръ будетъ:
х<в||||ИС
/ <$” = г’ х, или
\ / 4
Какъ въ послѣдней Формулѣ =-^^=0,7854,то «=О,7854 Хіі2.
Примѣръ. Чему равна площадь круга, котораго діаметръ 9'?
Площадь круга = 0,7854 Х93 = 63,617П'.
5. Чтобы по данной площади круга съискать радіусъ пли діаметръ
его, то раздѣляютъ прежде площадь круга на х, чрезъ что получится
— 63 —
квадратъ радіуса, п потомъ изъ результата извлекаютъ квадратный
корень. Посему будетъ:
Примѣръ. Площадь круга = 132,73ц', какъ великъ его радіусъ?
п . |/132/73
Радіусъ г = у -д-^- = 13".
6. Площадь круговаго кольца, находящагося между двумя окружно-
стями, найдется, когда площадь меньшаго круга вычтемъ пзъ площа-
ди большаго круга.
Если П и Л суть діаметры круговъ, то площадь 8 кольца:
«=0,7854 (У)2—или
8=0,7854 (И-ь-й) (П—(1).
Послѣдняя Формула показываетъ, что для опредѣленія площади
кольца должно сумму діаметровъ умножить на ихъ разность п сіе
произведеніе умножить па = — 0,7854.
Примѣръ. Если діаметръ внѣшняго круга кольца — 16’/2 дюймамъ, а діаметръ
внутренняго круга = П’/г дюйма, то
V +• і = 16 '/г -+- Ц’/г = 28 дюймамъ.
V— </= І67г - П’/г = 5
5 = 0,7864 X 28 X 5 = 109,96Ц дюймамъ.
7. Площадь сектора круга равна площади треугольника, котораго
основаніе есть длина дуги, а высота радіусъ круга.
Пусть длина дуги АС=Ъ радіусъ АО—г, то площадь сектора АОС
Когда дуга дана въ градусахъ, то должно прежде по параграфу 3
сего отдѣленія найти ея длину. Вмѣсто сего, площадь сектора мо-
жетъ быть вычислена помощію слѣдующей пропорціи: число граду-
совъ дуги относится къ 360°, какъ площадь сектора къ площади круга.
Примѣръ. Чему равна площадь сектора, когда дуга его — 15°,20' и діаметръ
круга=8'? Площадь цѣлаго круга=0,7854Х82=50,2656Ц' и 360:157а=50,2656:
площади сектора. Площадь сектора = = 2,1409Ц'.
оѵм.
— 64 —
8. Площадь сегмента круга.
Вычисляютъ площадь цѣлаго сектора,потомъ площадь треугольника,
составленнаго изъ хорды и двухъ радіусовъ сектора, и если сегментъ
болѣе полукруга, то съисканныя площади складываются; а если сег-
ментъ менѣе полукруга, то ихъ вычитаютъ.
Примѣрь. Найти площадь сегмента АВС, зная радіусъ СО—10, хорду АС—12
и дугу АВС — 73°45'.
Площадь цѣлаго круга=0,7854ХЮ2=314,16; 360:7374=314,16: къпл. сектора.
_ 314,16Х733/4 с. о.пг
Площадь сектора = ——„-Ѣ:—— — 64,3405.
оЬО
Высота ОО треугольника А0С= VАО- — АО- — V 102 — 62= 8.
12x8
Площадь треугольника АОС — —-— = 48.
А
Площадь сегмента = 64,3405 — 48 — 16,3405.
С. Объ эллипсисѣ.
1. Начертитъ эллипсисъ по даннымъ большой АВ и малой БЕ его
оси. Пусть с точка, въ которой пересѣкаются по поламъ взаимно
прямоугольныя оси. Изъ с описываютъ на осяхъ два круга и прово-
дятъ нѣсколько радіусовъ; изъ концовъ радіусовъ внутренняго круга
проводятъ параллельныя линіи съ большею осью, а изъ концовъ ра-
діусовъ внѣшняго круга опускаютъ на сіи параллели перпендику-
ляры; точки пересѣченія т, т\ т','... будутъ точками эллипсиса.
Если изъ Е радіусомъ равнымъ половинѣ большой оси описать ду-
гу, то точки Е\ и Р', въ которыхъ пересѣчется большая ось, будутъ
Фокусы. Линія с Е называется половиною эксцентрицитета.
— 65 —
2. Уравненіе эллипсиса. Означивъ чрезъ х абсциссы, воторыя счи-
таются по большой оси отъ центра, чрезъ у перпендикулярныя въ
нимъ ординаты, чрезъ а половину большой оси, чрезъ Ь половину ма-
лой оси, уравненіе эллипсиса будетъ:
Ьг
а
3. Площадь эллипсиса. Площадь эллипсиса равно произведенію
обѣихъ осей, умноженному на- = 0,7854.
Н. О параболѣ.
1. Начертить параболу, зная направленіе оси, вершину и отдален-
ную точку параболы.
Если В вершина, ВО направленіе оси и А данная точка, то, опустивъ
ординату А1) перпендикулярно къ ВЕ, чертятъ прямоугольникъ ВВАЕ
раздѣляютъ АП и ВЕ на одно п то же число равныхъ частей, соеди-
няютъ В съ точками дѣленія линіи АЕ, а изъ точекъ дѣленія линіи
ВЕ проводятъ параллели съ осью; точки пересѣченія сихъ параллелей
съ линіями В„ В.,, В3,... будутъ принадлежать параболѣ.
2. Уравненіе параболы. Означивъ чрезъ а; абсциссы, считаемыя отъ
вершины В, и чрезъ у ординаты, уравненіе параболы будетъ:уг=рх,
гдѣ постоянная линія р называется параметромъ. Параметръ нахо-
дится изъ пропорціи ру—у\х. Если ВВ=х, ВА=-ВЕ=уиСЕпер-
пендикулярна къ ВЕ, то СВ будетъ длина параметра.
Отложивъ */« параметра отъ В до Е, получимъ Фокусъ параболы Е.
3. Въ параболѣ абсциссы относятся между собою, какъ квадраты
соотвѣтствующихъ ординатъ
4. Площадь параболы. Площадь параболы, заключающаяся между
.'Ьхян. Ннрпулли. 5
— 66 —
абсциссою ВВ и ординатою ЛВ, равна Ѵ, прямоугольника ВВАЕ
имѣющаго своими измѣреніями сказанныя абсциссу и ординату.
Примѣчаніе. Эллипсисъ, парабола и гипербола называются коническими сѣченія-
ми, потому-что они происходятъ отъ пересѣченія конуса плоскостію.
Если къ образующей ОВ конуса ВОС поставимъ перпендикуляръ
ОР, то сѣкущая плоскость 1і; перпендикулярная къ ОР или парал-
лельная къ образующей ОВ, произведетъ параболу.
Сѣкущая плоскость 22; проведенная подъ острымъ угломъ къ ОР,
даетъ эллипсисъ-, наконецъ сѣкущая плоскость 44; проведенная пер'
пендикулярно къ оси конуса, даетъ кругъ.
Такъ-какъ гипербола имѣетъ мало приложеній въ практикѣ, то и
свойства ея здѣсь не разобраны.
Таблица XV
дугъ круга, при радіусѣ равномъ единицѣ.
Град. Дуги. Град. Дуги. Град Дуги. Град. Дуги.
1 0,01745 7 0,12217 13 0,22689 19 0,33161
2 0,03491 8 0,13963 14 0,24435 20 0,34907
3 0,05236 9 0,15708 15 0,26180 21 0,36652
4 0,06981 10 0,17453 16 0,27925 22 0,38397
5 0,08727 11 0,19199 17 0,29671 23 0,40143
6 0,10472 12 0,20944 18 0,31416 24 0,41888
— 67 —
Град. Дуги. Град. Дуги. Град. Дуги. Град. Дуги.
25 0,43633 41 0,71558 57 0,99484 74 1,29154
26 0,45379 42 0,73304 58 1,01229 75 1,30900
27 0,47124 43 0,75049 59 1,02974 76 1,32642
28 0,48869 44 0,76794 60 1,04720 77 1,34390
29 0,50615 45 0,78540 61 1,0(>465 78 1,36136
30 0,52360 46 0,80285 62 1,08210 79 1,37881
31 0,94105 47 0,82030 63 1,(19956 80 1,39626
32 0,55851 48 0,83776 64 1,11701 81 1,41372
33 0,57596 49 0,85521 65 1,13446 82 1,43117
34 0,59341 50 0 87266 66 1,15192 83 1,44862
35 0,61087 51 0,89012 67 1,16937 84 1,46608
36 0,62832 52 0,90757 68 1,18632 85 1,48353
37 0,64577 53 0,92502 69 1,20428 86 1,50098
38 0,66323 54 0,94248 70 1,22173 87 1,51844
39 0,68068 55 0,95993 71 1,23918 88 1,53589
40 0,69813 56 0,97738 72 1,25664 89 1,55334
73 1,27409 90 1,57080
М и н У т ы.
Мин. Дуги. Мин. Дуги. Мин. Дуги. Мин. Дуги.
1 0,00029 16 0,00465 31 0,00902 46 0,01338
2 0,00058 17 0,00495 32 0,00931 47 0,01367
3 0,00087 18 0,00524 33 0,00960 48 0,01396
4 0,00116 19 0,00553 34 0,00989 49 0,01425
5 0,00145 20 0,00582 35 0,01018 50 0,01454
6 0,00175 21 0,00611 36 0,01047 51 0,01484
7 0,00204 22 0,00640 37 0,01076 52 0,01513
8 0,00233 23 0,00669 38 0,01105 53 0,01542
9 0,00262 24 0,00698 39 0,01134 54 0,01571
10 0,00291 25 0,00727 40 0,01164 55 0,01600
11 0,00320 26 0,00756 41 0,01193 56 0,01629
12 0,00349 27 0,00785 42 0,01222 57 0,01658
13 0,00378 28 0,00814 43 0,01251 58 0,01687
14 0,00407 29 0,00844 44 0,01280 59 0,01716
15 0,00436 30 0,00873 45 0,01309 60 0,01745
- 08 -
Таблица ХѴП
окружностей я площадей круга.
Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга.
1 0,3927 0,0123 6 18,850 28,274 ? 37,306 110,75
у 0,7854 0,0491 19,242 29,465 12 37,699 113,10
і 1,1781 0Д104 1 19,635 30,680 і 38,092 115,47
1,5708 0,1963 а 20,028 31,919 38,485 117,86
1 а. 1,9035 0,3068 У 20,420 33,183 34,472 У 38,877 120,28
2,3562 0,4418 5 20,813 1 39,270 122,72
7 2,7489 0,6013 .3. 21,206 35.785 5 V 39,663 125,19 127,68
1 3,1416 0,7854 і 21,598 37,122 3 4 40,055
1 3,5343 0,9940 7 21,991 38,485 7 * 40,448 130,19
у 3,9270 1,2272 1 22,384 39,871 13 40,841 132,73
1 4'3197 1,4849 1 22,777 41,282 1 41,233 135,30
1 4',7124 1,7671 і 23,169 42,718 41,626 137,89
к 5Д051 2,0739 1 2 23,562 44,179 3 I 42,019 140 50
д 5,4978 2,4053 5 У 23,955 45,664 42,412 143,14
і 5,8905 2,7612 .3 4 24,347 47,173 42,804 145,80
2 6,2832 3,1416 7 8’ 24,740 48,707 4 43,197 148,49 151,20
.1. 6,6759 3,5466 8 25,133 50,265 у 43,590
1 7,0686 3.9761 25,525 51,848 14 43,982 153,94
7,4613 4,4301 1 25,918 53.456 9 44,375 158,70
7^8540 4,9087 26,311 55,088 Т 3 $ 44,768 159,48
8'2467 5,4119 1 26,704 56,745 45,160 162,30
а 8^6394 5,9396 І 27,096 58,426 2 45,553 165,13
1 9'0321 6,4918 д 27,489 60,132 к 45,946 167,99
3 9Д248 7,0686 .7, 27,882 61,862 63,617 т 46,338 170,87
1. 8 9,8175 7,6699 9 28,274 46,731 173,78
1 <** 10,210 8,2958 1 28,667 65,396 15 47,124 176,71
10І603 8,9462 29,060 67,201 < 47,517 47,909 179,67
ь 10,996 9,6211 3 8 29Д52 69,029 4 182,65
5 . 11,388 х0,321 29'865 70,882 1 8 48,302 18&,ЬЬ
11,781 11,045 & 8 30,238 72,760 48,695 188,69
12Д74 И,793 .3. 30,631 74,662 49,087 191,75
4 12’566 12,566 7 8’ 31,023 76,589 4 49,480 194.83
12^959 13,364 10 31,416 78,540 49,873 197,93
13^352 14,186 1 8‘ 31,809 80,516 16, 50,265 201,06
13'744 15,033 У 32,201 82,516 8' 50,658 204,22
1 14,137 15,904 3 И 32,594 84,541 4‘ 51,051 207,39
14^530 16,800 і 32,987 86,590 88,664 90,763 8' 51,444 210,60
1 14І923 15,315 17,721 18,665 5 в‘ 3. 4 33,379 33,772 і 8 51,836 52,229 213,82 217,08
5* 15,708 19,635 7. 8 34,165 92,886 4 52,622 220,35
1 16,101 20,629 11 34,558 95,033 ’в’ 53,014 53,407 223,65
1 16,493 21,648 1 34,950 97,205 17 22В, 98
1 16,886 22,691 .1. 35,343 99,402 1 ? 53,800 230,33
17,279 23,758 а. 35,736 101,62 54,192 288//1
X 1Г 3 17,671 24,850 1 36,128 103,87 3 ’8 54,585 237,10
18,064 25,967 36,521 106,14 1 в 54,978 240,53 243,98
7 1 18357 27,109 3 4 36,914 108,43 55,371
69
Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга.
3 55,763 247,45 3 76,576 466,64 31 97,389 754,77
56,156 250.95 я 1 76,969 471,44 1 97,782 760,87
18* 56,549 254,47 2 л 77,362 476,26 1 98,175 766,99
1 '8 56,941 2502 н 3 77,754 481,11 98 567 773,14
57,334 261,59 78,147 485,98 1 7 98.960 779,31
57,727 265,18 25я 78,540 490,87 5 а 99,353 785,51
1 58,119 268',80 1 78,933 495,79 500,74 » 4* 99,746 791,73
5 58,512 272/15 А .1. 79,325 7 100.14 797,98
58,905 276,12 3 79,718 505,11 32 100,53 804,25
7. 59,298 279,81 Я 1 80,111 80,503 510,71 5 1 100,92 810,54
19в 59,690 283,53 7 5 Й 3 515,72 101,32
1 60^083 287,27 80,896 520,77 я 101,71 823.21
1 60476 291,04 4 7 81,289 525,84 102,10 829,58
60І868 294,83 26я 81,681 530,93 5 102,49 835,97
61,261 298,65 1 82,074 536,05 :? 102,89 842,39
61,654 302,49 я 82,467 541,19 7 103,28 й48,83
62,046 306,35 82,860 546,35 33я 103.67 855,30
7 62,439 310,24 к 83,252 551,55 1 104,07 861,79
2о" 62,832 314,16 ‘Я 5 83,645 556,76 1 104,46 868,31
1 63,225 . 318.10 Я 84,038 562,00 567,27 3 104,85 874.85
1 63,617 322,06 т 7 84,430 105,24 881,41
64,010 326,05 27е 84,823 572,56 л я а 105,64 888,00 894,62
1 64,403 330,06 1 85,216 577,87 106,03
I 64,795 334,10 я 85,608 583,21 106,42 901,26
м л 65,188 338,16 86.001 588,57 34 я 106,81 907,92
і 7 65.581 342,25 н 1 86,394 593,96 1 107,21 914,61
21" 65,973 346,36 ъ 86,786 599,37 107,60 921,32
1 66,366 350,50 я 3 87,179 604,81 Я 107,99 928,06
я V 66,759 354^66 4 7 87,572 610,27 108,38 934,82
г 67,152 358І84 28 я 87,965 615,75 108,78 941,61
я і 67,544 363,05 1 88,357 621,26 626,80 Я 109,17 948,42
ѵ 5 67,937 367,28 н 1 88,750 7 109,56 955,25
Я 68,330 371,54 4 3 89,143 632,36 637,94 35 я 109,96 962,11
4 1 68,722 375,83 А X 89,535 4 110,35 969,00
22 69,115 380,13 I 89,928 648,55 110,74 975,91
1 69,508 384,46 I т 7 90,321 649,18 а 111,13 982,84
к 1 69,900 388,82 90,713 654,84 111,53 989,80
т 3 70,293 393,20 29* 91,106 660.52 5 111,92 996,78
А' 1 70,686 397,61 1. 91,499 666,23 3 112,31 1003,8
т я 71,079 402,04 91,892 671,96 677,71 7 112,70 1010,8
я 3 71,471 406.49 I 92,284 36я 113,10 1017,9
і 71,864 410,97 1 92,677 683,49 1 113,49 1025.0
23° 72,257 415,48 я 93,070 689,30 1 113,88 1032,1
1 72,649 420,00 7 93,462 695,13 3 114,28 1039,2
я 4 73,042 424,56 93,855 700,98 114.67 1046,3
I 73,435 429,13 30* 94,248 706,86 115,06 1053,5
я 1 73,827 433,74 1 94,640 712,76 115,45 1060,7
I 74,220 438,36 95,033 718,69 7 115.85 1068.0
Я 3 74І613 443,01 95,426 724,64 37 116,24 1075,2
т 7 75.006 447^70 95,819 730,62 1- 116,63 1082,5 1089,8
24* 75,398 452,39 ? я 3. 96,211 736,62 117,02
75,791 457,11 96,604 742,64 117,42 1097,1
76,184 461,86 96,997 748,69 1 117,81 1104,5
— 70
Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга.
Я н 118,20 1111,8 1. 139,02 1537,9 71 223,05 8959,2
3 т 118,60 1119,2 5. 139,41 1546,6 72 226,19 4071,5
7 118,99 1126,7 139,80 1555,3 73 229,34 4185,4
38 119,38 1134,1 л 140,19 1564,0 74 232,48 4300,8
119,77 1141,6 3 140,59 1572,8 75 235,62 4417,9
1. 120,17 1149,1 т. 140,98 1581,6 76 238,76 4536,5
а 120,56 1156,6 45 141,37 1590,4 77 241,90 4656,6
і тр 120,95 1164.2 1 141,76 1599,3 78 245,04 4778,4
121,34 1171,7 1 142,16 1608 2 79 248,19 4901,7
з 121,74 1179,3 142,55 1617,0 80 251,33 5026,5
7 122,13 1186,9 1 142,94 1626,0 81 254,47 5153,0
33 122,52 1194,6 У 143,34 1634,9 82 257,61 5281,0
1 122,91 12(2,3 143,73 1643,9 83 260,75 5110,6
1 123,31 1210,0 7 144,12 1652,9 84 263,89 5541,8
123,70 1217,7 46 14»,51 1661,9 85 267,04 5674,5
124,09 1225,4 1 144,91 1670,9 86 270,18 5808,8
I 124,49 1233,2 1. 145,30 1680,0 87 273,32 5944,7
;г 124,88 1241,0 3 145,69 1689,1 88 276,46 6082,1
7 1 125,27 1248,8 146,08 1698,2 89 279,60 6221,1
40 125,66 1256,6 я 146,48 1707,4 90 282,74 6361,7
1 8 126,06 1264,5 3 146,87 1716,5 91 285,88 6503,9
1 4' 126,45 1272,4 147,26 1725,7 92 289,03 6647,6
3 й 126,84 1280,3 47 147,65 1734,9 93 292,17 6792,9
1 г 127,23 1288,2 1 148,05 1744,2 94 295,31 6939,8
127,63 1296,2 1 148,44 1753,5 95 298,45 7088,2
и 128,02 1304,2 3 148,83 1762,7 96 301,59 7238,2
I 128,41 1312,2 1 149,23 1772,1 97 304,73 7389,8
41 128,81 1320,3 149,62 1781,4 98 307,88 7543,9
1 129,20 1328,3 3 150,01 1790,8 99 311,02 7697,7
1 129,59 1336,4 7. 150,40 1800,1 100 314,16 7854,0
,< 129,98 1344,5 48 150,80 1809,6 101 317,30 8011,9
1. 130,38 1352,7 49 153,94 1885,7 102 320,44 8171,3
130,77 1360,8 50 157,08 1963,5 103 323,58 8332,3
3. 131,16 1369,0 51 160,22 2042,8 104 326,73 8494,9
7 131.55 1377,2 52 163,36 2123,7 105 329,87 8659,0
42В 131,95 1385,4 53 166,50 2206,2 106 333,01 8824,7
1 132,34 1393,7 54 169,65 2290,2 107 336,15 8992,0
1 132,73 1402,0 55 172,79 2375,8 108 339,29 9160,9
8 133,12 1410,3 56 175,93 2463,0 109 342,43 933і,3
1 133,52 1418,6 57 179,07 2551,8 ПО 345,58 9503,3
Л 133,91 1427,0 58 182,21 2642,1 111 348,72 9676,9
3 134,30 1435,4 59 185,35 2734,0 112 351,86 9852,0
7 134,70 1443,8 60 188,50 2827,4 113 355,00 10029
43 135,09 1452,2 61 191,64 2922,5 114 358,14 10207
1 135,48 1460,7 62 194,78 3019,1 115 361,28 10387
1 135,87 1469,1 63 197,92 3117,2 116 364,42 10568
•1 136,27 1477,6 64 201,06 3217,0 117 367,57 10751
.1. 136,66 1486,2 65 204,20 3318,3 118 370,71 10936
5 137,05 1494,7 66 207,35 3421,2 119 373,85 11122
3 137,44 1503,3 67 210,49 3525,7 120 376,99 11310
} 137,84 1511,9 68 213,63 3631,7 121 380,13 11499
44 138,23 1520,5 69 216,77 3739,3 122 383,27 11690
1 я 138,62 1529,2 70 219,91 3848,5 123 386,42 11882
71
Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруік- ПОСТЪ. Площадь круга. Діам. Окру ар- ность. Площадь круга.
124 380,56 392,70 12076 177 556.06 24606 230 722,57 41543
125 12272 178 559,20 24885 231 725,71 41910
126 395^84 398,98 402,12 12469 179 562,35 25165 232 728,8.> 422/3 42638 43005
127 128 12668 12868 180 181 565,49 568,63 25447 25730 233 234 731,99 735,13
129 130 405,27 408,41 411,55 414,69 417,83 420,97 424 12 13070 13273 182 183 571,77 574,91 26016 26302 235 236 738,27 741,42 43374 43744
131 13478 184 578,05 26590 237 744,56 44115
132 133 134 135 13685 13893 14103 14314 185 186 187 188 581,19 584,34 587,48 590,62 26880 27172 27465 27759 238 239 241) 241 747,70 750,84 753,98 757,12 44488 44863 45239 45617
136 137 138 ]ЭД 427>і 430,40 433,54 436 68 14527 14741 14957 15175 189 190 191 192- 593,76 596,90 600,04 603,19 28055 28353 28652 28953 242 243 244 245 760,27 763,41 766,55 769,69 45996 46377 46759 47144
140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 439,82 442,96 446,11 449,25 452,39 455,53 458,67 461.81 464,96 468,10 471,24 474,38 477,52 480,66 15394 15615 15837 16061 16286 16513 16742 16972 17203 17437 17671 17908 18146 18385 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 606,33 609,47 612,61 615,75 618,89 622,04 625,18 628,32 631,46 634,60 637.74 640,88 644,03 647,17 29255 29559 29865 30172 30481 30791 31103 31416 31731 32047 32365 32685 33006 33329 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 772,83 775,97 779,12 782,26 785,40 788,54 791,68 794,82 797,96 801,11 804,25 807,39 810,53 813,67 47529 47916 48305 48695 49087 49481 49876 50273 50671 51071 51472 51875 52279 52685 53093 53502 53913 54325 54739 55155 55572 55990 56410 56832 57256 57680 58107 58535 58965 59396 59828 60263 60699 61136 61575 62016 62458
154 155 156 157 158 483І81 486,95 490,09 49'3,2.3 496,37 18627 18869 19113 19359 19607 207 208 209 210 211 650,31 653,45 656,59 659,73 662,88 33654 33979 34307 34636 34967 260 261 262 263 264 816,81 819,96 823,10 826,24 829,38
159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 499,51 502,65 505,80 508,94 512,08 515,22 518,36 521,50 524,65 527,79 530,93 534,07 537,21 540,35 543,50 546,64 549,78 552,92 19856 20106 20358 20612 20867 21124 21382 21642 21904 22167 224.32 22698 22966 23235 23506 23779 24053 24328 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 666,02 669,16 672,30 675,44 678,58 681,73 684,87 688,01 691,15 694,29 697,43 700,58 703,72 706,86 710,00 713,14 716,28 719,42 35299 35633 35968 36305 36644 36984 37325 37668 38013 38360 38708 39057 39408 39761 40115 40471 40828 41187 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 832,52 835,66 838,81 841,95 845,09 848,23 851,37 854,51 857,65 860,80 863,94 867,08 870,22 873,36 876,50 879,65 882,79 885,93
72
Діа». Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга.
283 889,07 62902 336 1055,58 88668 389 1222,08 118847
284 892^21 63347 337 1058,72 89197 390 1225,22 119459
285 895,35 63794 338 1061,86 89727 391 1228,36 120072
286 898>0 64242 339 1065,00 90259 392 1231,50 120687
287 901,64 64692 340 1068,14 90792 393 1234,65 121304
288 904,78 65144 341 1071,28 91327 394 1237,79 121922
289 907,92 65597 342 1074,42 91863 395 1240,93 122542
290 911,06 66052 343 1077,57 92401 396 1244,07 123163
291 914,20 66508 344 1080,71 92941 397 1247,21 123786
292 917,35 66966 345 1083,85 93482 398 1250,35 124410
293 920,49 67426 346 1086,99 94025 399 1253,50 125036
294 923,63 67887 347 1090,13 94569 400 1256,64 125664
285 926,77 68349 348 1093,27 95115 401 1259,78 126293
296 929;91 68813 349 1096,42 95662 402 1262,92 126923
297 933.05 69279 350 1099,56 96211 403 1266,06 127556
298 936,19 69747 351 1102,70 96762 404 1269,20 128190
299 939,34 70215 352 1105,84 97314 405 1272,35 128825
300 942,48 70686 353 1108,98 97868 406 1275,49 129462
301 945,62 71158 354 1112,12 98423 407 1278,63 130100
302 948,76 71631 355 1115,27 98980 408 1281,77 130741
303 951,90 72107 356 1118,41 99538 409 1284,91 131382
304 955,04 72583 357 1121,55 100098 410 1288,05 132025
305 958Д9 73062 358 1124,69 100660 411 1291,19 132670
306 961,33 73542 359 1127,83 101223 412 1294,34 133317
307 964,47 74023 360 1130,97 101788 413 1297,48 133965
808 967,61 74506 361 1134,11 102354 414 1300,62 134614
309 970,75 74991 362 1137,26 102922 415 1303,76 135265
310 973,89 75477 363 1140,40 103491 416 1306,90 135918
311 977,04 75964 364 1143,54 104062 417 1310,04 136572
312 980,18 76454 365 1146,68 101635 418 1313,19 137228
313 983,32 76945 366 1149,82 105209 419 1316,33 137885
314 986,46 77437 367 1152,96 105785 420 1319,47 138544
315 989,60 77931 368 1156,11 106362 421 1322,61 139205
316 992,74 78427 369 1159,25 106941 422 1325,75 139867
317 995',88 78924 370 1162,39 107521 423 1328,89 140531
318 999,03 79423 371 1165,53 108103 424 1332,04 141196
319 1002Д7 79923 372 1168,67 108687 425 1335,18 141863
820 1006,31 80425 373 1171,81 109272 426 1338,32 142531
821 1008,45 80928 374 1174,96 109858 427 1341,46 143201
322 1011,59 81433 375 1178,10 110447 428 1344,60 143872
823 1014І73 81940 376 1181,24 111036 429 1347,74 144545
824 1017,88 82448 377 1184,38 111628 430 1350,88 145220
325 1021,02 82958 378 1187,52 112221 431 1354,03 145896
826 1024,16' 83469 379 1190,66 112815 432 1357,17 146574
327 1027І30 83982 380 1193,81 113411 433 1360,31 147254
328 1030,44 84496 381 1196,95 114009 434 1363,45 147934
329 1033,58 85012 382 1200,09 114608 435 1366,59 148617
830 1036,73 85530 383 1203,23 115209 436 1369,73 149301
831 1039,87 86049 384 1206,37 115812 437 1372,88 149987
332 1043,01 86570 385 1209,51 116416 438 1376,02 150674
838 1046,15 87092 386 1212,65 117021 439 1379,16 151363
334 1049,29 87616 387 1215,80 117628 440 1382,30 152053
835 1052,43 88141 388 1218,94 118237 441 1385,44 1 152745
73
Діа». Окруж- ность. Площадь круга.
442 1388,56 153439
443 1391,73 154134
444 1394,87 154830
445 1398,01 155528
446 1401,15 156228
447 1404,29 156930
448 1407,43 157633
449 1410,58 158337
450 1413,72 159043
451 1416,86 159751
452 1420,00 160460
453 1423,14 161171
454 1426,28 161883
455 1429,42 162597
456 1432,57 163313
457 1435,71 164030
458 1438,85 1441,99 164748
459 165468
460 1445,13 166190
461 1448,27 166914
462 1451,42 167639
463 1454,56 168365
464 1457,70 169093
•165 1460,84 169823
466 1463,98 170554
467 1467,12 171287
468 1470,27 172021
469 1473,41 172757
470 1476,55 173494
471 1479,69 174234
472 1482,83 174974
473 1485,97 175716
474 1489,11 176460
475 1492,26 177205
476 1495,40 177952
477 1498,54 178701
478 1501,68 179451
479 1504,82 180203
480 1507,96 180956
481 1511,11 181711
482 1514,25 182467
483 1517,39 183225
484 1520,53 183984
485 1523,67 184745
486 1526,81 185508
487 1529,96 186272
488 1533,10 187038
489 1536,24 187805
490 1539,38 188574
491 1542,52 189345
492 1545,66 190117
493 1548,81 190890
494 1551,95 191665
Діа». Окруж- ность. Площадь круга.
495 1555,09 192442
496 1558,23 193221
497 1561,37 194000
498 1564,51 194782
499 1567,65 195565
500 1570,80 196350
501 1573,94 197136
502 1577,08 197923
503 1580,22 198713
504 1583,36 199504
505 1586,50 200296
506 1589,65 201090
507 1592,79 201886
508 1595,93 202683
509 1599,07 203482
510 1602,21 204282
511 1605,35 205084
512 1608,50 205887
513 1611,64 206692
514 1614,78 207499
515 1617,92 208307
516 1621,06 209117
517 1624,20 209928
518 1627,35 210741
519 1630,49 211556
520 1633,63 212372
521 1636,77 213189
522 1639,91 214008
523 1643,05 214829
524 1646,19 215651
525 1649,34 216175
526 1652,48 217301
527 1655,62 218128
528 1658,76 218956
529 1661,90 219787
530 1665,04 220618
531 1668,19 221452
532 1671,33 222287
533 1674,47 223123
534 1677,61 223961
535 1680,75 224801
536 1683,89 225642
537 1687,04 226484
538 1690,18 227329
539 1693,82 228175
540 1696,46 229022
541 1699,60 229871
542 1702,74 230722
543 1705,88 231574
544 1709,03 232428
545 1712,17 233283
546 1715,31 234140
547 1718,45 234998
Діам. Окруж- ность. Площадь круга.
548 1721,59 235858
549 1724,73 236720
550 1727,88 237583
551 1731,02 238448
552 1734,16 239314
553 1737,30 240182
554 1740,44 241051
555 1743,58 241922
556 1746,73 242795
557 1749,87 243669
558 1753,01 244545
559 1756,15 245422
560 1759.29 246301
561 1762,43 247181
562 1765,58 248063
563 1768,72 248947
564 1771,86 249832
565 1775,00 250719
566 1778,14 251607
567 1781,28 252497
568 1784,42 253388
569 1787,57 254281
570 1790,71 255176
571 1793,85 256072
572 1796,99 256970
573 1800,13 257869
574 1803,27 258770
575 1806,42 259672
576 1809,56 260576
577 1812,70 261482
578 1815,84 262389
579 1818,98 263298
580 1822,12 264208
581 1825,27 265120
582 1828,41 266033
583 1831,55 266948
584 1834,69 267865
585 1837,83 26*783
586 1840,97 269703
587 1844,11 270624
588 1847,26 271547
589 1850,40 272471
590 1853,54 273397
591 1856,68 274325
592 1859,82 275254
593 1862,96 276184
594 1866,11 277117
595 1869,25 278052
596 1872,39 278986
597 1875,53 279923
598 1878,67 280862
589 1881,81 28і802
600 1884,96 282748
- 71 -
Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга.
601 1888,10 283687 654 2054,60 335927 707 2221,11 392580
602 1891/24 284631 ббб 2057,74 336955 708 2224,25 393692
603 1894,38 285578 656 2060,88 337985 709 2227,39 394805
604 1897,52 286526 657 2064,03 339016 710 2230,53 2233,67 3959 19
605 1900,66 287475 658 2067,17 340049 711 397035
606 1903'81 288426 659 2070,31 341084 712 2236,81 398153
607 1906.95 289379 660 2073,45 342119 713 2239,96 399272
608 1910,09 290333 661 2076,59 343157 714 2243,10 400393
609 1913,23 291289 662 2079,73 344196 715 2246,24 401515
610 1916,37 292247 663 2082,88 345237 716 2249,38 402639
611 1919Д1 293206 664 2086,02 346279 717 2252,52 403 ?60
612 1922Д5 294166 665 2089,16 2092,30 347323 718 2255,66 404892
613 1925'80 295128 666 348368 719 2258,81 406020
614 1928/4 296092 667 2095,44 349415 720 2261.95 407150
615 1932,08 297057 668 2098,58 350464 721 2265,09 408282
616 1935,22 298024 669 2101,73 351514 722 2268,23 4-09416
617 1938/6 298992 670 2104,87 352565 723 2271,37 410550
618 1941,50 299962 671 2108,01 353618 724 2274,51 411687
619 1944,65 300934 672 2111,15 354673 725 2277,65 412825
620 1947,79 301907 673 2114,29 355730 726 2280,80 2283,94 413965
621 1950,93 302882 674 2117,43 356788 727 415106
622 1954/7 303858 675 2120,58 357847 728 2287,08 416248
623 1957/1 304836 676 2123,72 358908 729 2290,22 417393
624 1960,35 305815 677 2126,86 359971 730 2293,36 418539
625 1963,50 306796 678 2130,00 361035 731 2296,50 419686
626 1966/4 1969,78 307779 679 2133,14 362101 732 2299,65 420835
627 308763 680 2136,28 2139,42 363168 733 2302,79 421086
628 1972/2 1976,06 309748 681 364237 734 2305,93 423139
629 310736 682 2142,57 365308 735 2309,07 424293
630 1979/0 1982,35 311725 683 2145 71 366380 736 2312,21 425448
631 312715 684 2148,85 367453 737 2315,35 426604
632 633 1985Д9 1988,63 313707 314700 685 686 2151'90 2155,13 368528 369605 738 739 2318,50 2321,64 427762 428922
634 1991/7 1994,91 1998,05 315696 687 2158,27 370684 740 2324,78 430084
635 636 316692 317690 688 689 2161,42 2164,56 371764 372845 741 742 2327,92 2331,06 431247 432412
637 2001'19 318690 690 2167,70 373928 743 2334,20 433578
638 2004,34 319692 691 2170,84 375013 744 2337,34 434746
639 2007/8 320695 692 2173,98 376099 745 2340,49 435916
640 2010,62 2013,76 2016,90 321699 693 2177,12 377187 746 2343,63 437087
641 322705 694 2180,27 378276 747 2346,77 438259
642 323713 695 2183,41 379367 748 2349,91 439433
643 2020/4 2023,19 324722 696 2186,55 380459 749 2353,05 440609
644 325733 697 2189,69 381554 750 2356,19 441786
2026'33 326745 698 2192,83 382649 751 2359,34 442965
2029,47 327759 699 2195,97 383746 752 2362,48 444146
647 2032,61 328775 700 2199,11 384845 7бЗ 2365,62 2368,76 445328
648 2035,75 329792 701 2202,26 385945 75* 446611
649 2038/9 330810 702 2205,40 387047 755 2371,90 447697
650 2042/4 331831 703 2208,54 388151 756 2375,04 448883
651 2045,18 332853 704 2211,68 389256 757 2378,19 450072
652 2048/2 333876 705 2214,82 390363 758 2381,33 451262
653 2051/6 334901 706 2217,96 391471 759 2384,47 452453
— 75 —
Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга.
760 2387,61 453646 813 2554,11 519124 866 2720,62 589014
761 2390,75 454841 814 2557,26 5204О2 867 2723,76 590375
762 2393,89 456037 815 2560,40 521681 868 2726,90 591738
768 2397,04 457234 816 2563,54 522962 869 2730,04 593102
764 2400,18 458434 817 2566,68 524245 870 2733,19 594468
766 2403,32 459635 818 2569,82 525529 871 2736,33 595835
766 2406,46 460837 819 2572,96 526814 872 2739,47 597204
767 2409,60 462041 820 2576,11 528102 873 2742,61 598575
768 2412,74 463247 821 2579,25 529391 874 2745,75 599947
769 2415,88 464454 822 2582,39 530681 875 2748,89 601320
770 2419,03 465663 823 2585,53 531973 876 2752,04 602696
771 2422,17 466873 824 2588,67 533267 877 2755,18 604073
772 2425,31 468085 825 2591,81 534562 878 2758,32 605451
773 2428,45 469298 826 2594,96 535858 879 2761,46 606831
774 2431,59 470513 827 2598,10 537157 880 2764,60 608212
775 2434,73 471730 828 2601,24 538456 881 2767,74 609595
776 2437,88 472948 829 2604,38 539758 882 2770,88 610980
777 2441,02 474168 830 2607,52 541061 883 2774,03 612366
778 2444,16 475389 831 2610,66 542365 884 2777,17 613754
779 2447,30 476612 832 2613,81 543671 885 2780,31 615143
780 2450,44 477836 833 2616,95 544979 886 2783,45 616534
781 2453,58 479062 834 2620,09 546288 887 2786,59 617927
782 2456,13 480290 835 2623,23 547599 888 2789,73 619321
783 2459,87 481519 836 2626,37 548912 889 2792,88 620717
784 2463,01 482750 837 2629,51 550226 890 2796,02 622114
785 2466,15 483982 838 2632,65 551541 891 2799,16 623513
786 2469,29 485216 839 2635,80 552858 892 2802,30 624913
787 2472 43 486451 840 2638,94 554177 893 2805,44 626315
788 2475,58 487688 841 2642,08 555497 894 2808,58 627718
789 2478,72 488927 842 2645,22 556819 895 2811,73 629124
790 2481 86 490167 843 2648,36 558142 896 2814,87 630530
791 2485,00 491409 844 2651,51 559467 897 2818,01 631938
792 2488,14 492652 845 2654,65 560794 898 2821,15 633348
793 2491,28 493897 846 2657,79 562122 899 2824,29 634760
794 2494,42 495143 847 2660,93 563452 900 2827,43 636173
795 2497,57 496391 848 2664,07 564783 901 2830,58 637587
796 2500,71 497641 849 2667,21 566116 902 2833,72 639003
797 2503,85 498892 850 2670,35 567450 903 2836,86 640421
798 2506,99 500145 851 2673,50 568786 904 2840,00 641840
799 2510,13 501399 852 2676,64 570124 905 2843,14 643261
800 2513,27 502655 853 2679,78 571463 906 2846,28 644683
801 2516,42 503912 854 2682,92 572803 907 2849,42 646107
802 2519,56 505171 855 2686,06 574146 908 2852,57 647533
803 2522,70 506432 856 2689,20 575490 909 2855,71 648960
804 2525,84 507694 857 2692,34 576835 910 2858,85 650388
805 2528,98 508958 858 2695,49 578182 911 2861,99 651818
806 2532,12 510223 859 2698,63 579530 912 2865,13 653250
807 2535,27 511490 860 2701,77 580880 913 2868,27 654684
808 2538,41 512758 861 2704,91 582232 914 2871,42 656118
809 2541,55 514028 862 2708,05 583585 915 2874,56 657555
810 2544,69 515300 863 2711,19 584940 916 2877,70 658993
811 2547,83 516573 864 2714,34 586297 917 2880,84 660433
812 2550,97 517848 865 2717,48 587655 918 2883,98 661874
76 -
Діам. Окруж- ное гь. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга. Діам. Окруж- ность. Площадь круга.
919 2887,12 663317 946 2971,95 702865 973 3056,77 743559
920 2890,27 664761 947 2975,09 704352 974 3059,91 745088
921 2893,41 666207 948 2978,23 705840 975 3063,05 746619
922 2896,55 667654 949 2981,37 707330 976 3066,19 748151
923 2899,69 669103 950 2984,51 708822 977 3069,34 749685
924 2902,83 670554 951 2987,65 710315 978 3072,48 751221
925 2905,97 672006 952 2990,80 711810 979 3075,62 752758
926 2909,11 673460 953 2993,94 713307 980 3078,76 754296
927 2912,26 674915 954 2997,08 714803 981 3081,90 755837
928 2915,40 676372 955 3000,22 716303 982 3085,04 757378
929 2918,54 677831 956 3003,36 717804 983 3088,19 758922
930 2921,68 679291 957 3006,50 719306 984 3091,33 760466
931 2924,82 680753 958 3009,65 720810 985 3094,47 762013
932 2927,96 682216 959 3012,79 722316 986 3097,61 763561
933 2931,11 683680 960 3015,93 723823 987 3100,75 765111
934 2934,25 685147 961 3019,07 725332 988 3103,89 766662
935 2937,39 686615 962 3022,21 726842 989 3107,04 768214
936 2940,53 688084 963 3025,35 728354 990 3110,18 769769
937 2943,67 689555 964 3028,50 729867 991 3113,32 771325
938 2946,81 691028 965 3031,64 731382 992 3116,46 772882
939 2949,96 692502 966 3034,78 732899 993 3119,60 774441
940 2953,10 693978 967 3037,92 734417 994 3122,74 776002
941 2956,24 695455 968 3041,06 735937 995 3125,88 777564
942 2959,38 696934 969 3044,20 737458 996 3129,03 779128
948 2962,52 698415 970 3047,84 738981 997 3132,17 780693
944 2965,66 699897 971 3050,49 740506 998 3135,31 782260
945 2968,81 701380 972 8053,63 742032 999 3138,45 783828
№ 4.
ВЫЧИСЛЕНІЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМОВЪ ТЪ.ІЪ
А. Кубъ.
1, Кубъ ограниченъ равными квадратами. Кубъ, ребро котораго =
1 Футу, называется кубическимъ Футомъ. Точно также должно пони-
мать кубическій дюймъ, кубическій метръ, и проч.
Какъ площади измѣряются квадратомъ, начерченнымъ на линейной единицѣ,
такъ объемы тѣлъ измѣряются кубомъ, котораго ребро есть линейная единица, какъ
напр. кубическимъ «утомъ, кубическимъ метромъ н т. д.
2. Кубическій метръ содержитъ 1000 кубическихъ дециметровъ;
ибо разбивши его на 10 равныхъ слоевъ, каждый слой будетъ состо-
ять изъ 10 X Ю = 100 кубическихъ дециметровъ; слѣдовательно всѣ
10 слоеръ будутъ содержать 10 X 10 X 10 = 1000 кубическихъ де-
циметровъ. Подобнымъ образомъ получаются подраздѣленія всякой
другой кубической мѣры.
По причинѣ этого 1000 разъ кратнаго отношенія мѣры къ своему ближайшему
подраздѣленію (въ десятичномъ дѣленіи) будетъ:
0,478026 кубическ. «ута = 473 кубнческ." и 26 куб.'"
2,54367245 кубическ. метр. = 2 куб. метр. Ч- 543 куб. дециметр.
ч- 672 кубическ. центиметр. ч-450 кубнческ. миллиметрамъ.
И такъ въ числѣ кубическихъ метровъ первыя 8 цифры нослѣ запятой суть
кубическіе дециметры, слѣдующіе 3 кубическіе центнметры и т. д.
По двѣнатцатиричиому дѣленію мѣръ будетъ:
1 кубическ.' = 12 X 12 X 12 = 1728 кубнческ."
1 кубическ." = 1728 кубич.'"
- 78 -
3. Объемъ куба 3 равняется третьей степени его ребра Л пли
-7=ХІХІХ7/=7А
Примѣръ. Сколько кубическихъ «утовъ въ сажени?
1 сажень — Т
1 кубическая сажень = 7X7X7=343 кубич.'
4. Ребро куба равняется кубичному корню изъ объема даннаго
куба. Посему
э
Примѣръ. Чему равно ребро куба, котораго объемъ 100 кубич."?
з____
I = |/ 100 = 4,641".
В. Призма.
1. Призма ограничивается двумя равными н параллельными мно-
гоугольниками, а боковыя ея стороны суть параллелограммы.
Объемъ призмы равняется площади ея основанія, помноженной на
высоту призмы.
2. Прямоугольный параллелепипедъ ограниченъ 6-ью прямоуголь-
никами.
Объемъ прямоугольнаго параллелепипеда 3 равняется произведе-
нію трехъ реберъ а, Ь, Л трехгравнаго его угла, т. е.
3 = а .Ь. />,
Примѣръ. Если четыреугольнаго бруса ширина а =1,1', толстота 6 = 0,9' и
длина Ѣ = 24', то объемъ его будетъ: } = 1,1 X 0,9 X 24 = 23,70 кубич.'.
3. Одно изъ измѣреній этого тѣла найдется, когда объемъ его раз-
дѣлимъ па произведеніе другихъ двухъ измѣреній, т. е.
" = Ѣ Ь = «7’ н ПР°Ч-
— 79 -
Примѣра. Какъ длина должна бытъ водопойная колода, имѣющая видъ прямо-
угольнаго параллелепипеда, вмѣщающаго въ себѣ 4 кубическихъ метра воды и которой
ширина 1,4 метра, а г.іубипа=0,9 метра?
4
Длина водопойной колоды =і~4^0 9—3,174 метра.
С. Пирамида.
1. Пирамида имѣетъ въ основаніи многоугольникъ, а боковыми
сторонами только треугольники.
Объемъ пирамиды равняется произведенію плоінадн основанія на
треть высоты пирамиды.
2. Объемъ усѣченной пирамиды плоскостію параллельною основа-
нію, находится по Формулѣ:
-7 = |(У»- з
гдѣ 5 означаетъ площадь основанія пирамиды, 5 площадь сѣченія, и
Л высоту усѣченной пирамиды.
О. Цилиндръ.
1. Цилиндръ есть призма, у которой основанія суть два параллель-
ные круга.
Линія, соединяющая центры сихъ круговъ, называется осью и въ
прямомъ цилиндрѣ она перпендикулярна къ кругамъ.
2. Боковая поверхность цилиндра можетъ быть развернута въ пря-
моугольникъ, котораго длина равняется длинѣ окружности 2кг осно-
ванія, а высота его I равна высотѣ цилиндра. Означивъ чрезъ А бо-
ковую поверхность цилиндра, будетъ:
8—2 г к .1.
Примѣръ. Чему равна боковая поверхность цилиндрической ко.юпны, которой ді-
аметръ основанія 4'2'', а высота 18'?
5= 4,2 Х8Д4Х 18=237,384 □'.
3. Объемъ цилиндра равняется произведенію площади его основа-
нія г‘к на высоту I цилиндра или
1= г-’тг./.
ІІриліиро. Сколько кубическихъ Футовъ воды помѣщается въ цилиндрической
трубкѣ, которой длина 9 Футовъ, а ширина 6 дюйм.1?
7=0,3-ХЗЛ4X9=2,6434 куб.’.
80 —
4. Чтобы найти высоту цилиндра, то должно объемъ его раздѣ-
лить на площадь г’гс основанія; а чтобъ найти радіусъ или діаметръ
основанія, то должно объемъ цилиндра раздѣлить на высоту и изъ
полученной чрезъ то площади круга опредѣлить радіусъ. Посему:
Примѣръ 1-й. Въ цилиндрической трубкѣ помѣщается 10 кубич.'; діаметръ ея
0,4’; найти высоту трубки.
ВнС0Та ^0,4X0,4X3,14=ОЖ^19>904’
Примѣръ 2-іі. Цилиндрическая трубка, вышиною въ 5’Д' (по двѣнадцатиричной
системѣ) должна вмѣщать вЧ2 кубич.'; какъ великъ внутренній ея діиметръ?
Приведемъ данныя мѣры въ дюймы. Высота = 5’/•» X 12=63" и объемъ=8’/и
Х12’=8’/,Х 1728 = 14688 куб.''.
Посему
»=
|/^ХМ4=8)6„,
г 14688
Діаметръ=17,2" = Г-+-52"'.
Е. Конусъ.
1. Конуст» есть пирамида, имѣющая въ основаніи кругъ. Прямая
линія, соединяющая вершину съ центромъ круга, называется осью и
въ прямомъ конусѣ перпендикулярна къ основанію.
2. Боковая поверхность конуса можетъ быть развернута въ круго-
вой вырѣзокъ, котораго радіусъ есть образующая ОС конуса, а дуга
равна окружности основанія.
Еслп С боковая поверхность конуса и И радіусъ основанія, то
5'= Вп.ОС.
Примѣрь. Какъ велика боковая новѳр ость конуса, котораго высота 0^=16'
радіусъ С<2=6'?
- 81 -
По Пиѳагоровой теоремѣ прежде вычисляютъ ОС. Будетъ:
ос= у од^сд;- = /ів2 -+- б2 = / 28І =16,76'...
Посему боковая поверхность конуса:
5 = 5 X 3,14 X 16,76 = 263,13
3. Боковая поверхность усѣченнаго конуса плоскостію, параллель-
ною основанію, можетъ быть развернута въ часть кольцеобразной
плоскости, слѣдовательно для отъисканія ея должно полусумму окруж-
ностей верхняго и нижняго основанія, умножить на образующую АС
Если г будетъ радіусъ верхняго круга, то
С = (11+-г) к X АС.
Примѣръ. Если радіусъ нижняго круга Сд= 4', радіусъ АР верхняго круга
=2,5' и образующая АС = 10', то боковая поверхность
5 = (4-+- 2,5) X 3,14 X Ю = 204,1
4. Объемъ конуса равняется трети произведенія площади его осно-
ванія на высоту. Означивъ объемъ конуса чрезъ .7 п высоту его Од
чрезъ Л, будетъ:
,7 * нак 0,7854
о з
Примѣръ. Если радіусъ основанія конуса будетъ = 8,4 метра, высота его 7
метровъ, то его объемъ
7 = -^ X 0,7854 X (6,8)2 = 84,739 кубич. метр.
□
5. Объемъ усѣченнаго конуса плоскостію параллельною основанію
находятъ такъ: къ суммѣ квадратовъ радіусовъ основанія и сѣченія,
придаютъ произведеніе сихъ радіусовъ, и всю полученную сумму
умножаютъ на разстояніе А, находящееся между основаніемъ и сѣче-
ніемъ, и полученное произведеніе умножаютъ на = 1,0472; итакъ:
О
<7 = (Л2++2 +- Пг).
Примѣръ. Найти объемъ усѣченнаго конуса, у котораго радіусъ основапія=7',
радіусъ сѣчеііія=4', н высота Рд=9'.
7=^X9 (72ч-42-+-7Х4)= 1,0472X9 (49+16+28);
7=9,4248X93=876,5 кубич. фута.
Е. Шаръ.
1. Сѣченіе шара черезт, центръ его называется большими кругомъ.
Часть АВС поверхности шара, полученная отъ какого-нибудь сѣченія
Мі'Хіш. Вернулли. 6
82
АС, назыв. поясомъ, ВО есть высота его. Тѣло АВС, заключающееся
между поясомъ и сѣченіемъ АС, называется сферическимъ сегмен-
томъ.
2. Поверхность шара равна четыремъ площадямъ большаго круга,
слѣдовательно при радіусѣ г поверхность шара будетъ:
51 = 4 і"2~ = </!я.
Примѣръ. Чему равняется поверхность шара котораго діаметръ 7'?
Поверхность шара 5’=7Х7ХЗ,1416= 153,94П'.
3. Поверхность пояса АВС равна окружности <1- большаго круга,
умноженной на высоту ВО пояса;
посему 8 = (ІкХВІ).
4
4. Объема шара равняется произведенію тс или 4,1888 иа кубъ
его радіуса;
посему/ = 4,1888 г3.
Примѣръ. Чему равенъ объемъ шара, коего діаметръ 7'?
Объемъ Д=4,1888Х^-ХІгХ'5= 179»с кубич. фута.
5. Радіусъ шара опредѣляется изъ послѣдней Формулы, для сего:
Примѣръ. Чему равенъ діаметръ шара, коего объемъ 1 кубич:?
ра^сь'-і45=о’62-
Діаметръ=2ХО,62=1,24'.
6. Объемъ сферическаго сегмента получается пзъ Формулы:
гдѣ Л означаетъ высоту ВО сегмента АВС.
Примѣръ. Чему равенъ объемъ сегмента, кони высота его 2' н діпметръ
шара=8'?
Объемъ 7 = 3,14 X 23 ^4—^=3,14X4X3 ^—41,888 кубич.'?
— 83 —
С. Общее правило для приближеннаго опредѣленія объемовъ.
1. Если видъ тѣла не подходитъ подъ виды предъидущихъ отдѣ-
леній, то проводятъ по длинѣ его ось п назначаютъ рядъ попереч-
ныхъ отрѣзковъ, перпендикулярныхъ къ этой оси. Потомъ прибли-
женно вычисляютъ объемъ части тѣла, находящейся между двумя
поперечными отрѣзками,—для сего полусумму этихъ поперечныхъ
отрѣзковъ умножаютъ на перпендикулярное между ними разстояніе.
2. Точнѣе, объемъ опредѣляется чрезъ приложеніе правила Симп-
сона, гдѣ за ординаты принимаются поперечныя сѣченія.
Примѣрь. Нужно провести горизонтальную дорогу чрезъ неровную мѣстность
такъ, чтобы свозка земли (гІеЫаіз) на извѣстномъ пространствѣ равнялась насыпи
земли (гешЫаіэ).
Пусть ЛВС Г) будетъ продольные профиль натуральной почвы.
Горизонтальная плоскость АЕИ должна быть такъ найдена, чтобы свозка ЕС1)
равнялась насылкѣ АВЕ. Высоту плоскости АЕІ) берутъ на глазомѣръ н испы-
тываютъ правильность ея положенія, слѣдующимъ образомъ;
І : : ! і4
\ Ъ Ч, '*і •> <.
Опредѣляютъ па равныхъ разстояніяхъ плоскости поперечныхъ разрѣзовъ :а
, .... перпендикулярныхъ къ ЕО. Пусть:
•'□=0, іі= 8,2П метр. л2=12,5 □ метр.; разстояніе </=16,5 метр.
,=0, г3=14,7
•\=17,2
-«=10,4
• ••.=15,3
-7= 7,8
то объемъ свозки:
7=—д-(0н-0-ь4 (8,2-ь14,7ч~1б,ЗЧ'7,8>~>-2(12,5-ьІ7,2н-10,4)|
=5,5 (4Х46,0+2х40,1)-:1453,1 куб. метровъ.
Такимъ же образомъ опредѣляютъ объемъ насыпи. Если оба объема равны, то
положеніе АЕВ выбрано правильно. Если свозка болѣе иди менѣе насыпи, то
должно эту плоскость брать выше пли ниже. Въ этомъ случаѣ переносятъ, АО на
соотвѣтствующее разстояніе и повторяютъ прежній опытъ до-тѣхъ-поръ, пока АО
будетъ точно соотвѣтствовать назначенію.
— 84 —
Н. Объемъ бочекъ,
1. Если дно бочкн кругъ, то разсматриваютъ ее какъ составленную
изъ двухъ усѣченныхъ конусовъ. Пусть в? и д! два діаметра—среди-
ны бочкн и дна, Л длина ея; то объемъ >] бочки:
,7 =^((/2ч-<г'2-ьйв?')Л; ^=0,2618.
1Л іа
2. Если разсматривать бочку какъ цилиндръ, коего діаметръ В
есть среднее ариѳметическое между наибольшимъ и наименьшимъ
діаметромъ бочки, то будетъ:
<7 = Вг.Ъ\ 0,7854.
4 ’ 4 1
При бочкахъ значительной выпуклости точнѣе берутъ:
в= </'-+-§-((/' -<1).
м
При менѣе выпуклыхъ:
= (іі' — іі).
При почти цилиндрическихъ:
О = <!' -1 0,55 (іГ — </).
Вриміьрь. Чему равняется объемъ очень выпуклой бочки, которой діаметръ дна=4,
діаметръ средины 4,6' п длина ея = 5'?
2
Діаметръ О = 4 -+- —(4,6 — 4)=4,4.
Объемъ бочки 7 = 0,7854 X (4,4)2Х5 = 76,027 кубич.'?
3. Если дно бочки эллиптическое, то опредѣляютъ площади дна и
средняго поперечнаго сѣченія, умножая произведеніе большой и ма-
лой оси эллинспса на ^-и среднее ариѳметическое обѣихъ площадей
помножаютъ на длину бочки.
1. О геометрическихъ отношеніяхъ.
1. Треугольники называются подобными І когда углы одного по-
рознь равны угламъ другаго; въ такихъ треугольникахъ сходствен-
ныя стороны пропорціональны.
Вообще подобными фигурами называются такія, которыя разбива-
ются на подобные треугольники одинаково расположенные.
Тѣлами подобными называются такія тѣла, коихъ поверхности
состоять изъ одинакаго числа подобныхъ Фигуръ одинаково располо-
женныхъ.
— 85 —
2. Площади подобныхъ Фигуръ относятся между собою какъ квад-
раты сходственныхъ сторонъ.
Итакъ если стороны квадратовъ иди діаметры круговъ относятся какъ числа
1,2,3,4 то площади такихъ квадратовъ или круговъ, будутъ относиться между
собою какъ 1,4,9,16.... Сторона квадрата къ діагонали его относится какъ
1:/2 пли 1:1,4142
Если площади двухъ круговъ относятся какъ 1:2, то діаметры пхъ будутъ также
относиться какъ:
1:1/2 или 1:1,414....
Площадь квадрата къ площади вписаннаго круга относится какъ 4:8,1416.
Когда площадь круга равна площади квадрата, то діаметръ круга къ сторонѣ
квадрата будетъ относиться какъ 1:0,8862.
3. Подобныя тѣла относятся между собою какъ третьи степени ихъ
сходственныхъ реберъ:
а) Посему если діаметръ шара А въ 3 раза болѣе діаметра шара Л, то окруж-
ность большаго круга шара А въ 3 раза болѣе окружности большаго круга шара
В-. поверхность шира А въ 9 разъ, а объемъ въ 27 розъ болѣе, поверхности и
объема шара В.
Ь) Тоже относится къ кубамъ и другимъ тѣламъ, также къ моделямъ, машинамъ,
постройкамъ, которыя сдѣланы по одинакому плану, но при различныхъ масшта-
бахъ. Наприм. если 6" приведены къ 1", то каждая площадь модели въ 36 разъ и
каждый объемъ въ 6.6.6 или 216 разъ менѣе.
с) Ребро куба къ діагонали его относится какъ 1:1/3 или 1:1,73206.
б) Когда одинъ шаръ вдвое болѣе другаго, то діаметры ихъ относятся между
собою какъ 1,259:1.
е) Шаръ относится къ описанному кубу какъ 3,1416:6.
Г) Когда цилиндръ, шаръ и конусъ, имѣютъ разныя измѣренія (т. е. высота и
діаметръ цилиндра и конуса равны діаметру шара), то объемы нхъ относятся
какъ 8:2:1.
№ 5.
ТРИГОНОМЕТРІЯ.
Предметъ тригонометріи состоитъ въ томъ, чтобы по даннымъ
частямъ треугольника опредѣлять прочія части вычисленіемъ.
Ордината и абсцисса угла ВАС.
Если изъ произвольной точки т стороны А В опустимъ перпенди-
куляръ тп на другую сторону АС, то тп называется ординатою, а
Ап абсциссою этого угла.
Ординаты умовъ между 0 и 180° всегда имѣютъ одинаковое направленіе къ
сторонѣ угла, между тѣмъ какъ абсцисса остраго угла лежитъ на сторонѣ А С,
а тупаго на продолженіи А С. Посему абсциссы остраго угла принимаются за по-
ложительныя, а тупаго за отрицательныя.
Тригонометрическія соотношенія.
Синусъ угла есть отношеніе между ординатою и гипотенузою:
. . тп . . .
8іп А = 1 откуда т п — А т . ып А
Косинусъ угла есть отношеніе между абсциссою и гипотенузою,
соя А — Ч- 4- , откуда А п = -ь А т. сои А.
— А ні •
— 87 —
Тангенсъ, уг.іа есть отношеніе ординаты къ абсциссѣ этого угла.
<8 л = ' откуда т п = ± А п. 1$ А.
Котангенсъ угла есть отношеніе абсциссы къ ординатѣ:
соіан§ А = - ’ откуда А. п = + тп. соІап&Л.
Пріпиіьчапіе 1-е. Эти отношенія не измѣняются для равныхъ угловъ, пакъ бы
велику ординату не взяли. Если уголъ увеличивается, то синусъ и тангенсъ увели-
чиваются, а косинусъ н котангенсъ умепыпаются.
Въ предъидущихъ отношеніяхъ знакъ ч- относится къ острому, а — къ тупому
углу.
Примѣчаніе 2-е. Если уголъ данъ, то можно опредѣлить тригонометрическія ве-
личины, и если даны послѣднія, то можно опредѣлить уголъ, и тотъ и другія по-
мощію тригонометрическихъ таблицъ.
Приближенныя величины получаются помощію построенія. Отмѣчаютъ, напримѣръ,
уголъ А транспортиромъ, проводятъ ординату и измѣряютъ 3 стороны треуголь-
ника. Пусть, папрпм., найдены: гипотенуза = 100, ордината = 35, абсцисса =
93,67; то будетъ:
8ІП .4 = 0,35; соз Л=^= 0,9367.
18 Л - 9-Й = °>337"; С0І°' 7 = = 2’674"
Если, напротивъ, дана одна изъ 4 тригонометрическихъ величинъ, иапр. 1&А-—
0,4, то чертятъ прямой уголъ, на одной сторонѣ его отъ вершины откладываютъ
4, а на другой 10 и проводятъ гипотенузу; тогда уголь А, противъ котораго сто-
итъ ордината 4, птьищется транспортиромъ и будетъ около 22°.
Тригонометрическія формулы.
А
_______ Ій А 2 ій 2
8іп А = Г1—Соз2 А = ,--=^=-==
V 1 ч- іа2 А 1ч- іц2 А
2
А
„ . _____1__ 1 1 — іг22
Соз А = / 1 — 8іп2 А = і7^7~'г-2 -г = і—л-гт
V 1 ч- і$52 А 1 ч- і§2А
2
Гр * 5іП А
А==т=
„ . * Соз А
1 2 І8 | А
Соід А = 1 — іц2 | А
^л=8ПГА = іТА
8іп ѵегз А = 1 —Соз А = 2 8іп2^-
Соз ѵегз А = 1 — 8іп А
8іп (А±В) = 8іп А Соз В + Соз А . 8іп В
88
Соя (А + В) — Соя А. Соя В + Ьіп Л . 5іп В.
А + іа В
і + і^АЛев
Тв (А±В) =
8ІП 2 А = 2 8ІП А Соя В = ?-^-Д-г
1 -ь і82 а
Соя 2 А = 1 — 2 8іп2 А = 2 Соя2 А — 1.
Тй 2 А = 2 18 А Соіг 2 А = С0*8 °А ~ 1
8 2 А і — іц2 а’ ѵо'8 2 А 2 соі8 а
Яп = і/1-СоГа Со8 А і/іч-СозА
2 Г 2 2 г 2
у А _ 1 — соя А _ яіп А _ |7 і — соз а .
°2 8Іп А 1-ьсозА Г і с08 а’
яіп 4- А ч- соя 4- А =1/1 ч- яіп А
а л
. 1 . 1 . у Г.----.—\
яіп у А — соя у А = у 1 — яіп А
яіп у А = у | )/1 ч- яіп А ч- |/1 — яіп А ]
яіп у А = у Г ]/\ ч- яіп А — |/1 — яіпА I
соя 2 А
1 ч- яіп 2 А
= »8 (45° —А)
А + В = 8Іп- дА ~ Вр; соів А + соів В = 5.‘” . Л А
яіп А ч- яіп В = 2 яіп у (А -ь В) соя 7,- (А — В)
яіп А — яіп В = 2 соя (А ч- В) яіп (А — В)
соя А ч- соя В = 2 соя -і- (А ч- В) соя -і- (А — В)
40 40
соя В — соя А = 2 яіп -і- (А ч- В) яіп -і- (А — В)
а а
2 яіп А соя В = яіп (А+ В) -+- яіп (А — В)
2 соя А яіп В = яіп (А -ь В) — яіп (А — В)
2 соя А соя В = соя (А — В) -ь соя (А -ь В)
2 яіп А яіп В = соя (А — В) — соя (А ч- В)
агс
агс
аіс
яіп А = агс соя }/1 — А’ = агс ф
А
V 1-А2
соя А = агс яіп |/1 — А2 = агс 1 . А
< . . А 1
Іс А = агс яіп ... = агс соя
° I' 1 - А2 ИТч
— 89 —
Когда А уголъ острый, то будетъ:
8Іп А = сое (90 — А)-, А = соій (90 — А);
наприм.: 8ІП 40° = соз 60°; ід 70° = соі® 20°.
Когда уголъ А тупой, то
біп А = 8іп (180 - А), 18 = —18 (І8О “ Л)
соз А = — сое (180 — Л); соі§ А = — соі§ (180 — А)-,
наприм: віп 112° = 8іП 68°; 112°= — 1(5 68.
Рѣшеніе прямоугольнаго треугольника.
Когда даны двѣ части прямоугольнаго треугольника, изъ коихъ
по-крайней-мѣрѣ одна должна быть сторона, то остальныя части най-
дутся по слѣдующей таблицѣ.
к-
т о
Данныя. Искомыя. Рѣшеніе.
а, Ь А, В, е А = ?-; /? = — ; с = Ка2-і-йа ° Ь 3 а
а, с А, В, Ъ зіп А = —; соз В = —; Ъ = р7" с2 — а2 с с
а, А Ь, с !> = а соіц А-. с - —в—; ° ’ зіп А
6, А а, о а — Ь ік А-. с— . ° 1 соз А
е, А а, Ь а = с зіп А; Ь'= о соз А
Примѣръ. Длпна нагорной дороги 142 мегра, подъемъ 8,5 метра; какъ великъ
подъемный уголъ?
Здѣсь: с = 142, а = 8,5 слѣдовательно
віп Л = - = ^| = 0,0598-
с 142
Въ таблицѣ ХѴІІ-й находимъ:
віп 3° = 0,0523
віп 4° = 0,0698.
Итакъ приблизительно:
0,0598 = кіи 3° 80'.
90 -
Чрезъ употребленіе логариѳмовъ вычисляется точнѣе:
108 8,6=0,9294189
108 142=2,1522883
Іо» віп Л=8,7771306-10
Л=3°25'51",3.
РѢШЕНІЕ КОСОУГОЛЬНАГО ТРЕУГОЛЬНИКА.
Когда дани три части косоугольнаго треугольника, изъ коихъ по-
крайней-мѣрѣ одна есть сторона, то прочія части найдутся по слѣ-
дующимъ Формуламъ:
Данныя. Искомыя. Рѣшеніе.
а, Ъ, с А, В, С <М-6-ЬС. 8іп І/2 .<=1/ (3—6)(8-с) 2 Ъо 62ч-с2—а2 , , сое Л— - 2 ь с ; соз 4 А-— . / я (5_я) У Ье
я, 1>, С о, А, В в2=а2-ь62—2 а Ъ соз 0 . . Ь — а сое 0. . „ а — ЬеовС ь а 8іп С ° Ь 8іп С
а, с, С 1>, А, В . і (і зіп С п > л л 8ІП А = ; В - 180 — А — 0 С г СЗІпВ Ь~ 8ІП С
а, В, С Ь, с, А , а віп В а віп С —т; с=—*.—т 8ІП А 8Ш А А = 1во—В — С
а, В, А Ь, с, С , а 8Іп В а віп С ь=.—: 2 ; С= —: г зіп А зіп А Г=180 — А -В
Примѣръ. По даннымъ тремъ сторонамъ треугольника съискать одинъ изъ его
угловъ.
Пусть «=74,6=49, с=83.
По Формулѣ:
®'п 5 ,4=1/(«—6 )—«—с) получится:
Ьо ’
91
^74~Ь49—83=103; « - 6 = 54; « - О — 20.
Л
8ІП ~ ^=)/Ч><.2О=і<о,26555....=О,5153.
2 49 X 83 к
Въ таблицѣ ХѴП находимъ:
зіп 31» = 0,6150.
Слѣдоват. приближенно
—А = 31°, итакъ А = 62°.
Л
Точнѣе всегда находится результатъ чрезъ вычисленіе логариѳмовъ.
]оё (« — &) = 1,7323938 1о§ & = 1,6901961
Іод (« — с) = «,3010300 108 с = 1,9190781
1о8 (5 — 6)(«—с) = 3,0334238 Іод Ъ с = 3,6092742
(5~21 = 19,4241496 - 20
° Ь с
108 8ІП ^-Л = 9,7120748 - 10
Л
1-4 = 31° 1' 7"
2
4 = 62° 2' 14"
Таблица XVII.
Трнгонометряческія величины.
Градусы. Синусъ. Косинусъ. Тангенсъ. Котангенсъ, Градусы.
1 0,0175 0,9998 0,0175 57,2899 89
2 0,0349 0,9994 0,0349 28,6363 88
3 0,0523 0,9986 0,0524 19,0811 87
4 0,0698 0,9976 0,0699 14,3007 86
5 0,0872 0,9962 0,0875 11,4301 85
6 0,1045 0,9945 0,1051 9,5144 84
7 0,1219 0,9925 0,1228 8,1443 83
8 0,1392 0,9903 0,1405 7,1154 82
9 0,1564 0,9877 0,1584 6,3138 81
10 0,1736 0,9848 0,1763 5,6713 80
11 0,1908 0,9816 0,1944 5,1446 79
12 0,2079 0,9781 0,2126 4,7046 78
13 0,2250 0,9744 0,2309 4,3315 77
14 0,2419 0,9703 0,2493 4,0108 76
15 0,2588 0,9659 0,2679 3,7321 75
16 0,2756 0,9613 0,2867 3,4874 74
17 0,2924 0,9563 0,3057 3,2709 73
18 0,3090 0,9511 0,3249 3,0777 72
19 0,3256 0,9455 0,3443 2,9042 71
20 0,8420 0,9397 0,3640 2,7475 70
92 —
Градусы. Синусъ. Косинусъ. Тангенсъ. Котангенсъ. Градусы.
21 0,3584 0,9336 0,3839 2,6051 69
22 0,3746 0,9271 0,4040 2,4751 68
23 0,3907 0,9205 0,4245 2,3559 67
24 0,4067 0,9135 0,4452 2,2460 66
25 9,4226 0,9063 0,4663 2,1445 65
26 0,4384 0,8988 0,4877 2,0530 64
27 0,4540 0,8910 0,5095 1,9626 63
28 0,5695 0,8829 0,5317 1,8807 62
29 0,4848 0,8746 0,5543 1,8040 61
30 0,5000 0,8660 0,5774 1,7321 60
31 0,5150 0,8572 0,6009 1,6643 59
32 0,5299 0,8480 0,6249 1,6003 58
33 0,5446 0,8387 0,6494 1,5399 57
34 0,5592 0,8290 0,6745 1,4826 56
35 0,5736 0,8192 0,7002 1,4281 55
36 0,5878 0,8090 0,7265 1,3764 54
37 0,6018 0,7986 0,7536 1,3270 53
38 0,6157 0,7880 0,7813 1,2799 52
39 0,6293 0,7771 0,8098 1,2349 51
40 0,6128 0,7660 0,8391 1,1918 50
41 0,6560 0,7547 0,8693 1,1504 49
42 0,6691 0,7431 0,9004 1,1106 48
43 0,6820 0,7314 0,9325 1,0724 47
44 0,6947 0,7193 0,9657 1,0355 46
45 0,7071 0,7071 1,0000 1,0000 45
Градусы. Косинусъ. Синусъ. Котангенсъ. Тангенсъ. Градусы.
Ля 6.
УДѢЛЬНЫЙ ВѢСЪ ТѢЛЪ.
1. Удѣльнымъ вѣсомъ тѣла называется отношеніе его абсолютнаго
вѣса къ вѣсу другаго тѣла, равнаго съ нимъ объема. Обыкновенно за
единицу вѣса принимаютъ вѣсь перегнанной воды при темпер. 4° Ц и
съ нпмъ сравниваютъ вѣса другихъ тѣлъ.
2. Правила для нахожденія удѣльнаго вѣса.
а) Если тѣло, совершенно погруженное въ воду, остается въ покоѣ
при всякомъ положеніи, то абсолютный вѣсъ такого тѣла равенъ вѣсу
объема воды пмъ вытѣсненной. И поэтому удѣльный вѣсъ такого
тѣла= 1.
Ь) Удѣльный вѣсъ тѣла, которое тонетъ въ водѣ, находятъ слѣду-
ющимъ образомъ: взвѣшиваютъ сперва тѣло въ воздухѣ и потомъ въ
водѣ (опуская его въ воду на нити), вычитаютъ послѣдній вѣсъ изъ
перваго, чрезъ то опредѣлится потеря вѣса испытуемаго тѣла въ. водѣ,
раздѣливъ на которую абсолютный вѣсъ даннаго тѣла, находятъ его
удѣльный вѣсь.
Примѣръ. Положимъ, что абсолютный вѣсъ тѣла = 400 граммамъ.
Вѣсъ тѣла въ водѣ 280 грпммамъ;
слѣдов. удѣльный вѣсъ даннаго тѣла (испытуемаго тѣла) = —3,833.
с) Для опредѣленія удѣльнаго вѣса тѣла, плавающаго на водѣ, сое-
диняютъ данное тѣло съ какимъ-нибудь тяжелыми тѣломъ, наприм.
со свинцомъ. Взвѣшиваютъ оба тѣла въ воздухѣ и въ подѣ, чрезъ то
опредѣляютъ потерю вѣса тѣла въ водѣ. Потомъ отнимаютъ свн-
— 94 —
нецъ, взвѣшиваютъ его въ воздухѣ и в'ь водѣ, и находятъ потерю
вѣса свинца въ водѣ; вычтя изъ потери вѣса обоихъ тѣлъ потерю
вѣса свинца, находятъ потерю вѣса испытуемаго тѣла, раздѣливъ на
которую абсолютный вѣсъ даннаго тѣла, находятъ его удѣльный вѣсъ.
Примѣрь. Найти удѣльный вѣсъ дерева, которое при рапномъ объемѣ съ по-
дою легче ее?
Пусть: абсолютный вѣсъ испытуемаго дерева . . . = 200 гр.
Абсолютный вѣсъ привѣшиваемаго свинца..............= 600 —
Потеря вѣса свинца въ водѣ.........................= 54 —
Потеря вѣса обоихъ тѣлъ въ водѣ....................= 450 —
Слѣдовательно, потеря вѣса дерева въ водѣ 450—54 = 396 —
п удѣльный вѣсъ даннаго дерева.
200 п . ,,
• =396~ °’и°б ГР‘
<1) Для опредѣленія удѣльнаго вѣса жидкости, берутъ тѣло (невса-
сывающее испытуемую жидкость), опредѣляютъ вѣсъ его въ воздухѣ,
водѣ и испытуемой жидкости. Потеря вѣса тѣла въ жидкости, раз-
дѣленная на потерю вѣса его въ водѣ, даетъ намъ удѣльный вѣсь
испытуемой жидкости.
Напримѣръ. Тѣло виситъ въ воздухѣ 15 лот.; въ водѣ 11 лот. и въ одномъ изъ
испытуемыхъ жидкостей 93/4 лота. Потеря вѣса тѣла пъ водѣ — 4 лот. п въ ис-
пытуемой жидкости б’м лот.
Слѣдоват.:
51/
удѣльный вѣсъ испытуемой жидкости =-^- = 1,3125 лот.
Примѣч. I. Удѣльный вѣсъ смѣси ие можетъ быть съ точностію опредѣленъ
изъ отдѣльныхъ вѣсовъ каждаго изъ веществъ составляющихъ смѣсь, потому-что
часто при смѣшеніи происходитъ химическое соединеніе. Въ такомъ случаѣ удѣль-
ный вѣсъ смѣси долженъ быть опредѣляемъ прямымъ опытомъ. Если смѣшать
кубич. дюймъ свинца съ кубич. дюймомъ олова пли одну мѣру купоросной ки-
слоты сь одною мѣрою воды, то смѣсь не будетъ имѣть среднюю плотность, но
большую или большій удѣльный вѣсъ; ибо сплавъ не составитъ совершенно 2-хъ
кубич. дюймовъ и смѣшанныя кислоты—2-хъ мѣръ. Такимъ же образомъ смѣ-
шавъ равныя части чистаго виннаго спирта удѣльнаго вѣса 0,791 и воды удѣль-
наго вѣса 1,000, иолучнмъ смѣсь, удѣльный вѣсъ которой не будетъ
1 791
0,895, но 0,914.
в
- 95 —
Таблица XVIII.
Удѣльный вѣсъ тѣлъ.
Таблица удѣльнаго вѣса твердыхъ тѣлъ.
Названіе тѣлъ. Удѣльный вѣсь. Вѣсъ куби- ческаго Фу- та въ ну- дахъ.
1. Металлы и металлическіе сплавы. а) Металлы. Висмутъ . . 9,8 16,9
Желѣзо полосовое въ проволокѣ и проч. . . . 7,6 до 7,9 13,14 до 13,66
Желѣзо (среднимъ числомъ) 7,7 13,31
Золото листовое 19,258 33,29
» кованное 19,362 33,47
Кобальтъ 8,5 —
Молибденъ 8,6 —
Мѣдь (красная) литая 8,8 15,21
» > кованная въ проволокѣ и прокатная 8,9 15,38
желтая (латунь), см. сплавы. Мышьякъ 5,8
Ииккель 8,8 15,2
Олово 7,3 12,62
Палладій 11,8 —
Платина 21 до 22 36,30 до 38,03
Ртуть (см. жидкія тѣла) 13,596 23,502
Свинецъ 11,33 до 11,45 19,58 до 19,76
Серебро 10,474 18,11
Сталь 7,7 до 7,9 13,31 до 13,66
» (среднимъ числомъ) 7,8 13,48
Сурьма 6,7 —
Цинкъ литой 7,0 12,1
> прокатный 7,19 до 7,30 12,43 до 12,62
я » среднимъ числомъ 7,2 12,45
Чугунъ сѣрый (среднимъ числомъ) 7,202 12,45
» бѣлый 7,5 12,96
Ь) Сплавы. Артиллерійскій металлъ (русскій) 8,6 14,87
Бронза 8,56 до 8,73 14,80 до 15,09
Колокольный метталлъ 8,81 15,23
Латунь литая 8,4 14,52
> прокатная и въ проволокѣ 8,5 14,69
» англійская (66,18% мѣди; 33,82% цинка) 8,3 14,35
» нѣмецкая (49,47% мѣди; 60,53% цинка) 8,23 14,23
2. Камни. Алебастровый или гипсовый камень 1,9 до 2,3 3,28 до 3,98
Алебастръ нли 1 истолченный 1,23 2,13
гипсъ обожженный | просѣянный 1,26 2,18
Алебастровый иди ( въ сыромъ состояніи. . . . 1,6 2,77
гипсовый растворъ^ въ сухомъ состояніи. . . . >.« 2,44
— 96 —
Удѣльный Вѣсъ куби-
Названіе тѣлъ. вѣсъ. ческаго Фу- та въ пу-
дахъ.
Баритъ 4,28 до 4,63
Базальтъ 2,72 . 2,86 4,70 до 4,94
Гипсовый камень и гипсъ (см. а.іеба'стр. камень
и проч.). Гнейсъ 2,ЗУ • 2,71 4,13 . 4,68
Голышъ 2,3 . 2,7
Гранитъ, сіэянтъ . Жерновый камень . 2,4 » 3,0 1,24 » 2,61 4,15 до 5,19 2,14 « 4,51
» « среднимъ числомъ 2,48 4,29
Змѣевикъ .... 2,81 —
Известнякъ. . . . 2,0 до 2,8'» 3,46 до 4,91
Известь негашеная (пушонка) 0,8 » 0,9 1.38 . 1,56
» гашеиая въ видѣ густаго теста. . . 1,33 » 1,43 2,30 » 2,47
Известковый растворъ 1,64 • 1,86 2,83 • 3,22
изъ гранита и бута . . 2,4 4,15
Каменныя кладки: изъ песчаника. . . , изъ известияка. . . . 2,05 до 2,12 1,70 •• 2,30 3,54 до 3,66 2,94 3,98
изъ кирпича 1,47 • 1,7 2,54 • 2,94
Кварцъ 2,3 > 2,7 —
( хорошо обожженный 2,2 3,80 2,59
Кирничь: < худо обожженный 1,5
1 клинкеръ 1,52 до 2.29 2,63 до 3,96
Кремень .... 2,58 » 2,59 —
Лава 1,71 • 2,86 —
Мраморъ .... 2,52 » 2,85 4,36 до 4,93
» черный и бѣлый (среднимъ числомъ). . 2,72 4,70
» паросскій . 2,84 4,91
> каррарскій. 2,72 4,70
• сибирскій . . . . 2,73 4,72
® норвежскій. 2,73 4,72
Мѣлъ Песчаникъ.... 1,8 до 2.7 1,90 • 2,70 0,56 • 0,93 3,11 до 4,67 3,28 » 4 67
Пемза 0,97 » 1 61
Порфиръ 2,4 » 2,8 4,15 » 4 84
Нортлендскій камень 2,57 4,44
тт ( итальянская 1,16 до 1,23 2,01 до 2,13
Пуццолана: изъ Виварэ 1,09 . 1,13 1,88 1,95 4,77 « 4,98
Сланецъ глинистый . 2,76 • 2,88
» квасцовый. 2,34 » 2,59 2,57 . 2,93 4,04 в 4,48
Слюда —•
Строительный камень 1,14 . 3,28 1,97 до 5,67
> среднимъ числомъ 2,5 4,32
Талькъ 2,61 до 2,78 —
Трассъ голландскій . 1,08 1,87
Туфъ волканическій . 1,21 до 1,39 2,09 до 2,40
Шпатъ нолевой . . 2,56 —
» плавиковый . 3,19 —
> тяжелый . . 4,43 —
Черепица .... Яшма 2,00 2,36 до 2,81 3,46 4,08 до 4,86
— 97 —
Названіе тѣлъ. Удѣльный вѣсъ. Вѣсъ куби- ческаго фу- та въ гу- дахъ.
3. Дерево.
Дерево вообще.
1-е лиственичпое сухое, среднимъ числомъ . . * пропитанное водою 2-е хвойное сухое, среднимъ числомъ .... » пропитанное водою Абрикосовое дерево Акація Бакаутъ или танковое дерево Береза сухая » полусухая і> свѣжая Бразильское дерево Букъ полусухой > свѣжій Бузинное дерево Буксовое дерево (самшитъ) Ветла, верба Вишневое дерево Вязъ, илемъ, полусухой і свѣжій Грабина полусухая • свѣжая Грушевое дерево Дубъ сухой » полусухой > свѣжій » пропитанный водою » (сердцевина) » африканскій і адріатическій 9 канадскій Ель сухая в полусухая > свьжая » пропитанная водою * Новой Англіи Ива Каштановое дерево Кедръ ливанскій • индійскій Илемъ (см. вязъ) Кипарисъ Кизильникъ Кленъ сухой » полусухой Красное дерево Лавровое дерево Лаковое дерево 0,66 1,11 0,45 0,84 0,77 0,80 1,33 0,61 0,71 0,92 1,13 0,77 0,98 0,70 0,9 до 1,3 0,58 0,58 до 0,72 0,62 0,91 0,76 1,04 0,7 0,68 0,7 до 0,95 0,9 » 1,1 1,12 1,17 0,98 0,99 0,87 0,47 0,5 до 0,6 0,79 0,86 0,55 0,6 0,67 0,6 1,31 0,64 0,94 0,66 0,70 0,90 0,64 до 1,06 0,82 0,82 1,14 1,92 0,78 1,45 1,38 2 30 1,05 1,23 1,59 1,95 1,33 1,69 1,21 1,56 до 2,25 1,00 1,00 до 1,24 1,07 1,57 1,31 1,80 1,21 1,18 1,21 до 1,64 1,56 » 1,90 1,94 2,02 1,69 1,71 1,50 0,81 0,86 до 1,04 1,37 1,49 0,95 1,04 1,16 1,04 2,26 1,62 1,14 1,21 1,56 1,11 до 1,83
Мехав. Беріуии. 7
— 98 —
Названіе тѣлъ. Удѣльный вѣсъ. Вѣсъ куби- ческаго Фу- та въ пу- дахъ.
Липа по.іѵсухая 0,58 1,00
» свѣжая 0,8 1,38
» пропитанная водою 0,13 1, 5
Лиственница полусухая 0,57 0,99
» свѣжая 0,81 1,40
Можжевельникъ 0,55 —
Ольха полусухая 0,59 1,02
» свѣжая 0,90 1,56
Орѣховое дерево 0,68 1,18
Осина полусухая 0,43 0,74
к свѣжая 0,77 1,33
Пихта полусухая 0,47 0,92 0,81
а свѣжая 1,59
Пробковое дерево 0,24 0,41
Ракитникъ 0,81 —
Рябинное дерево- { л”І|ое 0,91 0,74 1,57 1.28
Сосна сухая 0,47 0,81
» полусухая 0,55 до 0,65 0,95 до 1,12
» свѣжая 0,91 1,57
Тисъ 0,81 1,40
Тополь полусухой 0,49 0,85
• свѣжій 0,86 1,49
Черемуха 0,88 —
Черное дерево американское 1,2 до 1,33 2,07 до 2,30
» > альпійскихъ горъ 1,04 1,80
Яблонное дерево полусухое 0,76 1,31
> > свѣжее 1,04 1.80
Яворъ (чинаръ) 0,7 1,21
Ясень полусухой 0,69 1.19
> свѣжій 0,85 1,47
4. Земли и грунты.
Глина 1,7 до 1,9 2,94 до 3,28
Глинистая земля 1,6 2,77 3,96
> > смѣшанная съ камешками . . . 2,29
Гравій 1,37 до 1,49 2,37 до 2,58
Гравелистая земля 1,4 2,42 _
Илъ 1,64 2,83
Песокъ мелкій и сухой 1,40 до 1,64 2,42 до 2,83
> » и влажный 1,90 » 1,95 3,28 > 3,37
> крупный 1,37 » 1,49 2,37 » 2,58
> землистый 1,7 2,94
Мергель 1,57 до 1,64 2 71 до 2,83
Растительная земля 1,21 » 1,29 2,09 » 2,23
Торфъ сухой 0,51 0,88 !
» влажный 0,79 1,37.
Черноземъ 0,83 до 0,86 1,43 до 1,49
5. Разнаго рода вещества.
Антрацитъ 1,8 3,11
— 99
Названіе тѣлъ. Удѣльный вѣсъ. Ь’ѣсъ куби- ческаго Фу- та въ пу- дахъ.
Асбестъ 2,1 до 2,8 3,63 до 4,84
Асфальтъ 1,07 » 1,16 1,85 » 2,01
Бура 174 —
Ворвань (китовый жиръ) 0,95 1,64
Воскъ 0,97 1,68
Графитъ чистый 2,25 до 2,42 3,89 до 4,18
Глетъ 9 3 » 9,5 16,1 » 16,4
Гуммилакъ Жиръ разнаго рода 1,14 0,92 до 0,94 1.97 1,59 до 1,62
Каменный уголь 1,21 > 1,51 2,09 до 2,61
Камедь аравійская 2,42
Каѵчѵкъ 0,93 1,61
Квасцы 1,72 2,97
Киноварь 7,79 ДО 10,22 13,47 до 17,67
Коровье масло Ку норос •.> желѣзный 0,94 1,8 2,27 1,62 3,11 3,92
» мѣдный
Ледъ при 0° Р 0,93 1,61
Мышьякъ бѣлый 3 7 до 3,8
Мѣдная лазурь 3,83 6,62
Нашатырь 1,5 2,59
Поваренная соль 2,1 3,63
Поташъ 2,26 1,56 3,91
Пшеничная мука 2,70
Рожь 0,78 1 ,у6
Сало свѣчное 0,94 1,62
Сахаръ бѣлый 1,61 2,78
Свинцовый блескъ 0,75 1,30
Селитра плотная » рыхлая Слоновая кость 2,00 0,85 1,92 3,46 1,47 3,32
| обыкновенная 1,07 1,85
Смола < корабельная ( пикъ 1,03 1,15 1,78 1,99
Снѣгъ рыхлый 0,1 13,76 0,17
Сортучка природная —
Стекло нростое бутылочное » оюнное 2,6 2.6 4,49
» зеркальное Сурикъ Сурьма сѣрнистая 2 37 8,62 до 9,08 4,62 4,10 14,90 до 15,70 7,99 3,56
( природная кристаллическая 2,06
Сѣра { черенковая 2,00 3,46
( измельченная 0,78 1,00
У | изъ лиственичиаго дерева 0,17 0,29
.ноль | идъ ХВОІ“Іиаг0 дерева 0,18 0,31
Фарфоръ 2,20 до 2,49 —
• китайскій 2,38 —
Флинтгласъ 3,2 ДО 3,78 —
2,89 —
1,08 А
*
— 100 —
2. Таблица сравнительнаго вѣса равныхъ матеріаловъ.
Сосна полусу- хая. Желѣзо. Чугунъ, Сталь Мѣдь. Латунь. Свинецъ. Цинкъ.
1 13,31 12,45 13,48 15,38 14,69 19,69 12,45
0,075 1 0,935 1,013 1,156 1,104 1,479 0,935
0,080 1,069 1 1,083 1,235 1,180 1,582 1
3. Таблица удѣльнаго вѣса жидкихъ тѣлъ.
Назвапіе тѣлъ. Удѣльный вѣсъ. Вѣсъ ведра въ пудахъ.
Алкооль при 14,4° Р 0,795 0,597
Спиртъ при 14,4° Р. содержащій въ себѣ:
80% алкооля но объему 0,848 0,637
60% » » 0,895 0,672
40% • » 0,934 0,701
20% » » 0,970 0,728
Вино разное 0,92 до 1,02 0 691 до 0,766
Вода перегнанная и дождевая 1,000 | 0,750319
о рѣчная 1,000
» колодезная 1,000 до 1,014 0,751 до 0,761
> Балтійскаго моря 1,015 0,762
> Средиземнаго » 1,029 0,773
Кислота азотная (селитряная или крѣпкая водка)
при 12“ Р 1,500 1,126
Кислота азотная обыкновенная при 12“ Р. содер-
жащая въ себѣ:
20% воды но объему 1,438 1,080
40% • . 1 348 1,012
60% • . 1.234 0,927
80% 1,111 0,834
Кислота сѣрная англійская 1,848 1,388
• » при 12“ Р 1,840 1,382
» содержащая въ себѣ:
20% воды по объему 1,709 1,283
40% » « 1,486 1,116
60% » » 1,297 0,974
80% • » 1,139 0,854
Кислота хлороводородная (соляная) при 15° Р. . 1,192 0,895
содержащая 39,675% хлора = 1,2
» 35,31% » = 1,18
» 29,757% » =1,152
» 23,805% > = 1,12
» плавиковая 1,06 —
» уксусная 1,062 —
» лимонная 1,034 —•
Масло деревянное при 12“ Р 0,919 0,690
» Льняное и конопляное 0,940 0,706
» оливковое при 15° Р 0,915 0,687
» китовое 0,923 0,693
» рѣпное при 15“ Р 0,913 0,685
101 —
Названіе тѣлъ. Удѣльный вѣсъ. Вѣсъ ведра въ пудахъ.
Масло терпентинное (скипидаръ) Молоко Нефть Пиво Разсолъ (насыщенный) попаренной соли при 18,2° Р Ртуть Эѳиръ сѣрный Уксусъ 4. Таблица удѣльнаго вѣса гаао 0,870 1,02 до 1,04 0,848 1,03 1,208 13,696 0,716 1,009 въ и паровъ 0,653 0,766 до 0,781 0,637 0,773 0,907 10,203 0,758
Названіе тѣлъ. Удѣльный вѣсъ. Вѣсъ куби- ческаго Фу- та въ Фун- тахъ.
Азотъ Водородъ Воздухъ (сравнительно съ водою) = 0,001297. . Кислородъ Окись азота » углерода Освѣтительный газъ Сѣрнистая кислота Сѣрнистый водородъ Углекислота Углеродисто-двуводородиый газъ » четырсхводородный газъ (болотный) . Хлоръ Пары алкооля ) . . . • » водяные (при 80" Р. и давленіи въ 30 дюйм.) » ртути » сѣрнаго эѳира 0,97137 0,06927 1,00000 1,10564 1,038 0,957 0,726 2,247 1,1912 1,52910 0,985 0,559 2,47 1,613 0,623 6,976 до 7,03 2,586 0,08713 0,006214 0,08970 0,09918 0,09311 0,0876 0,0651 0,2016 0,1069 0,1372 0,0884 0,0501 0,2216 0,0562
ІІрнімѣчаніе 2. Результаты, получаемые изъ опыта, часто чувствительно отли-
чаются отъ величинъ, данныхъ въ вышепредложенпой таблицѣ, что зависитъ отъ
слѣдующихъ причинъ:
1) Плотность иоименованпыхъ веществъ очень часто бываетъ различна, такъ
наприм. одинъ сортъ известняка, мрамора, гранита, каменнаго угля, примѣтно
тяжелѣе другаго сорта.
2) Плотность металловъ не только зависитъ отъ степени чистоты металла, но
на плотность имѣетъ большое вліяніе и то, какимъ образомъ вылитъ, кованъ, по-
лированъ данный металлъ. Даже иногда одна плавка бываетъ плотнѣе другой.
3> Влажность также имѣетъ большое вліяніе на вѣсъ вещества, особенно на
вѣсъ нѣкоторыхъ сортовъ деревьевъ и камней. Напр. цссчанніг.іъ, погруженный въ
воду, дѣлается на 3—4 процента тяжелѣе.
4) Кромѣ влажности, на удѣльный вѣсъ деревьевъ равно какъ и на вѣсъ добы-
ваемыхъ изъ нііхь углей, имѣетъ большое вліяніе: свойство почвы, на которой
дерево выросло, время рубки, степень пережиганія и друг.
Вслѣдствіе этихъ замѣчаній, для точнаго опредѣленія удѣльнаго вѣса какого-
нибудь тѣла, необходимо подвергнуть сго опыту, руководствуясь вышеизложенными
правилами.
') Всѣ пары для относительнаго вѣса сравнены съ воздухомъ, полагая, что да-
вленіе и температура паровъ н воздуха одинаковы.
№ 7.
ВЫЧИСЛЕНІЕ ВШ ТѢЛЪ
1) Для опредѣленія вѣса кубической единицы какого-нибудь веще-
ства, должно умножить вѣсъ кубической единицы чистой воды
(табл. XIX) на удѣльный вѣсъ даннаго вещества.
Примѣрь. Опредѣлить вѣсъ кубическаго фута чугуна?
Вѣсъ кубическаго Фута воды (таблица XIX) = 69,2 рус. Фунтамъ.
Удѣльный вѣсъ чугуна (таблица ХѴШ) = 7,207.
Слѣдоват. вѣсъ одного кубическаго Фута чугупа = 69,2 X 7,207 = 498,72
фунтовъ.
2) Для опредѣленія вѣса Р какого-ннбудь вещества, должно объ-
емъ ,1 умножить на вѣсъ р кубической единицы этого вещества.
Слѣдовательно:
І' = <7Х^ = р.Р = т-
р
Примѣрь 1. Опредѣлить вѣсъ желѣзнаго вала, употребленнаго для нѣкоторой
передачи, длина коего = 7 2,5 ®ут. и діаметръ = 0,?3 ®ут.
Объемъ вала 7 = х 3,14 \ 12,5 = 0,1068.
Вѣсъ одного кубическаго фута кованнаго желѣза (табл. XVIII) р=* 13,31 пуда.
Слѣдовательно вѣсъ вата Р = 0,1068 X 13 81 = 1,421 пуда.
Примп>рь 2. Опредѣлить вѣгъ песчанішка, удѣльный вѣсъ коего = 2,23 Фраи.
Фуит. и объемъ коего = 17% француз. кубическихъ Футамъ.
Вѣсъ одного кубич. Фута воды =70 Фр. Фунт. И слѣд. вѣсь песчанн іка = 17%
X 70 X 2,23 = 2714 Фуит.
Примѣрь 3. Шаръ, сдѣланный изъ чугупа, вѣситъ 6,105 пудовъ. Найти діа-
метръ даннаго шара?
— 103 —
Вѣсъ одного кубическ. Фута чугуна = 12,46 пудамъ.
. 6,105 ,
Кубическій- объемъ шара...........= ’ = 0,49 кубическ. Футамъ.
Слѣдовательно діаметръ шара = (I — 2 I/ 0>49 = 0,487 Футовъ.
ѵ 4,19
Таблица XIX.
Вѣсъ чистой рѣчной воды, выраженной въ различныхъ мѣрахъ.
Кило- граммъ. Русскіе •унты. Вѣнскіе фунты. Нюренб. фунты. I Француз. фунты. Прусскіе фунты. Ангдійск. фунты.
1 кубическій метръ воды
ьѣситъ 1000 2441,90 1785,71 1960,32 2042,88 2138,07 2205,48
1 Французскій кубичес-
кій Футъ воды. . . 34,28 83,71 61,21 61,20 70,02 73,29 75,60
1 вѣнскій кубическій
футъ воды .... 31,57 77,09 56,37 61,87 64,49 67,49 69,62
1 рейплапдскій кубиче-
скій Футъ воды. . . 30,92 75,50 55,21 60,50 62,93 61,11 68,19
1 берлинскій кубическій
футъ ВОДЫ . . . . 29,69 72,50 53,01 58,20 60,64 63,47 65,47
1 россіііеісіІ^Лияи ан- глійскій. Пруінъ води 28,32 69,18 50,07 55,55 57,86 60,55 62,46
1 баденскій иди швей-
царскій куб. Фут.
ВОДЫ 27,00 65,93 48,21 52,93 55,16 57,73 59,55
1 виртембергскій ку- бич. Футъ воды вѣ-
ситъ 23,50 57,38 41,96 47,07 48,01 50,24 51,83
Примѣрь 1. Опредѣлить вѣсъ воды, наполняющей трубу, длина которсй = 3
рейп. дюйи., а высота = 40 дюймамъ?
Объемъ трубы = 7,0686 кв. дюйм. X 480 дюйм. = 3393 куб. дюіім. = 1,9635
куб. Футамъ.
Вѣсъ воды = 1,9635 X 75,50 = 234 русскимъ фунтамъ.
П/іимѣръ 2. Опредѣлить длину трубы, вмѣщающей въ себѣ 20 центнеровъ воды
и имѣющей внутренній поперечникъ — 18 швейцарскимъ дюймамъ?
Вѣсъ одного кубич. фута воды = 54 швейцар. фунтамъ.
Объемъ трубы -- -= 37,037 куб. футамъ.
п к 37>037
Длина трубы = з и = 14,55
футамъ.
104
Таблица XX.
Вѣсъ погоннаго Фута колосоваго желѣза.
Ширина въ. дюймахъ т 0 л Щ И н а
дюйма. 7і» дюйма. 7. дюйма. 7і. дюйма. 7» дюйма. 7» дюйма. 7» дюйма. 7» дюйма. 1 дюймъ.
дюйм. 1 ф 0,92 1,16 У 1,39 1,62 н 1,85 2,31 т 2,77 3,23 и. 3,70
І’/в 1,04 1,30 1,56 1,82 2,08 2,60 3,12 3,64 4,16
1'/* 1,16 1,44 1,73 2,02 2,31 2,89 3,47 4,04 4,62
І7в 1,27 1,59 1,91 2,22 2,54 3,18 3,81 4,45 5,08
І’/з 1,39 1,73 2,08 2,43 2,77 3,47 4,16 4,85 5,55
і5/. 1,50 1,88 2,25 2,63 3,00 3,75 4,51 5,26 6,01
17» 1,62 2,02 2,43 2,83 3,23 4,04 4,85 5,66 6,47
17. 1,73 2,17 2,60 3,03 3,47 4,33 5,20 6,07 6,93
2 1,85 2,31 2,77 3,23 3,70 4,62 5,55 6,47 7 39
27. 1,96 2,46 2,95 3,44 3,93 4,91 5,89 6,87 7’86
27» 2,08 2,60 3,12 3,64 4,16 5,20 6,24 7,28 832
27. 2,20 2,74 3,29 3,84 4,39 5,49 6,59 7,68 8’78
27г 2,31 2,89 3,47 4,04 4,62 5,78 6,93 8,09 9’24
27. 2,43 3,03 3,64 4,25 4,85 6,07 7,28 8,49 9’70
274 2,54 3,18 3,81 4,45 5,08 6,35 7,63 8,90 1017
27» 2,66 3,32 3,99 4,65 5,31 6,64 7,97 9,30 10’63
3 2,77 3,47 4,16 4,85 5,55 6,93 8,32 9,70 11,09
3 74 3,00 3,75 4,51 5,26 6,01 7,51 9,01 10,51 12,02
37» 3,23 4,04 4,85 5,66 6,47 8,09 9,70 11,32 12,94
37» 3,47 4,33 5,20 6,07 6,93 8,66 10,40 12,13 13,86
4 3,70 4,62 5,55 6,47 7,39 9,24 11,09 12,94 14,79
47» 3,93 4,91 5,89 6,87 7,86 9,82 11,78 13,75 15,71
4*/-> 4,16 5,20 6,24 7,28 8,32 10,40 10,98 12,48 14,56 16,64
47» 4,39 5,49 6,59 7,68 8,78 13,17 15,37 17,56
5 4,62 5,78 6,93 8,09 9,24 11,55 13 86 16,17 18,48
577 4,85 6,07 7,28 8,49 9,70 12,13 14’56 16,98 19,41
57» 5,08 6,35 7,63 8,90 10,17 12,71 15’25 17,79 20,33
574 5,31 6,64 7,97 9,30 10,63 13,29 15’94 18,60 21,26
6 5,55 6,93 8,32 9,70 11,09 13,86 16’64 19,41 22,18
Таблица XXI.
Вѣсъ металлическихъ листовъ.
2 « Й | Вѣсъ листа въ квадратный Футъ изъ:
Прн шинѣ дюйм Желѣза. Чугуна. Красной мѣди. Латуни. Свинца. Цинка. Олова.
ф У н т и
7і« 2,77 2,59 3,21 3,06 4,09 2,59 2,63
7» 5,55 5,19 6,41 6,12 8,18 5,19 5,26
>/»« 8,32 7,78 9,62 9,18 12,26 7,78 7,89
7» 11,09 10,37 12,82 12,24 16,35 10,37 10,52
7і« 13,86 12,97 16,03 15,31 20,44 12,96 13,14
7» 16,64 15,56 19,23 18,37 24,53 15,56 15,77
7і« 19,41 18,16 22,44 21,43 28,62 18,15 18,40
22,18 20,75 25,64 24,49 32,71 20,74 21,03
В/ /»« 24,96 23,34 28,85 27,55 36,79 23,34 23,66
— »-» ѵ -1 64 « - V. « - -< - **" ж~~*Г~а7~~ а'-*?' а~~ м~~ х*~і»~~ <в" ~ 1 — *"* = * * *" Толщина въ дюймахъ. Вѣсь четы- рехграннаго желѣза Таблица ХХП. Вѣсъ ногоннаіо Фута четырехграннаго и круглаго желѣза.
Ю ЬЭ І-* и- І-* І-* І-* СОфООСіЙ^СОЬ-СССЮОО'Й^СО со ЬЭЬЭ ТО 1-‘НН ООООО 'ь- сю''-д'^<1 ©Чо <і'Ъо'ф <і~<35<3 <і'ок'і-*'с© <1 ок ьо'іо МОімС^ОІСфи^СОСЮО ©’СОЙ^СЮСЛЙ^^ІЬЭ’-^ЬЭ'ЛСО Вѣсъ въ Фунтахъ.
ЬЭЮЮЬЭ I- н- к- І-» к- Ь- к- - м - X б.<? - '• 64 « - 64 ~ а~" ®~~ ос" «3“ а" *Г" «й в*’®06®1'8®*®-* Діаметръ въ дюймахъ. ( ѣсъ круглаго желѣза.
^со^сі йь.ро *-* о ао <і |-А *“• р © © © 'н-'со'*!'>-•’Ъі'Іо'Оэ'^'Ьх'й^ Сл ОІО 'Ь»'1о'со'оі'«'й-‘'со'<і'Ъ<'^'к>'»-‘ СЛСЮ©»—‘ЬЭІ—‘СР—^СОСРЙ^СЮ© СЛЬЭЮСО*1оакОЬОФі-' 00 00 Вѣсъ въ фунтахъ.
СП СП СЛ Й*. Й=*- СО СО СО Ю ю ЬЭ м Н І-* м м н Н С5 ® сл СО ЬЭ м « » - и Н-* *Г~ іл ^'~’І4 *. *Г* |б" фГ~ 4-"~ 14 х"*Г' Х~ 14~ ІХ~ *?~ ф"' Окружность въ дюймахъ.
о ©ро сю <ірр ю,*-»»-»»-»і-* ©рр оофо '?л ср^-со 05 сэ Ъэ^і н* о'и* сэ ^Ъо^^'о'ср'^і'Ъі'Ът^'Ьэ'іо ф «Х> © 1-• ОЬ Й^ © н- 1-• 4* © •-• СЛ С04*СООССОфСЮСіСіС5<ІСО Вѣсъ въ Фунтахъ.
СЛ СЛ СЛ СП СП СП СП ф. > Й^ йь. йь. 4* со со со со со ьэ со юною л~4. = і4Х*-а а 4. X 14 х 4. ’ X ф 4*' х 14 ае~ *- <х <Ю *?" ® Толщина въ дюймахъ. Вѣсъ четы- рехграннаго желѣзо.
ьо*зюі-,>--ФФсэсрсюсю*з<і«<іа5Сэ©тс?тслй^»й‘4’,со«сосоі>эео оэр ^►рірі^к.эррь-ррл^ор р> со © <і сп 5^Ъ5Іо'ср'ао'ао'со’и''4>'ао'ч* ф'оо'<і'<і ф^-‘Ък ф'Ьт'і.о'н*'©'и'’іо'сл'Ъ'4* ©і-*.₽.сю«р’і.о©і-*со<ігсф-<і*5Сю>— С5(ооазфн<лнчіаіС5СО Вѣсъ въ фунтахъ.
СП СЛ СП СЛ СП СЛ СП 4* 4> 4> »и 4> 4* СО СО СО СО СО СО Ш ГО ЬЭ &Э а'іГ' а" іб х 4» а>' х~ ® ~ і* х~ 4.'я" ®~ *?а іТ'і ,4 х^ х"" дв" а-"~ Діаметръ въ дюймахъ. Вѣсъ круглаго желѣза.
офсосооосюсю^і^іооілслслслок-^^іиеосососоіююіоіюво *»• о о^^^^^^°5°5,‘.іс5ю5?Ч,і'.5®.?:'.5,о.Р.90 01 *•!-•© Ъ»Іо*©Ъо оо'ао © *^ сл ©'©'*>-• ЪоЪ<'л'<»*4*'а5'(ю'1--'Ът'ф'сті'Ъа'»-‘'ф'ф,о Й^СОІ-»аой^Ф4*І!СФ’-*ІО»“‘ Ф 00 СП і-*О5фСОС5<іСЮ<ІОСОф0іі-‘ Вѣсъ въ фунтахъ.
нісісюимнмнфффм^соо сю со СЮ М <1 -о С5 05 <Ф *Г~ 14 & *- 14 4» *• 14 ’ 4- ^''14'*»’" 4?'|4~*Г~ .и- и'й^"~ Окружность въ дюймахъ.
0‘-Й^>йьО*.і₽^Й^СОСОСОСССОСОЬЭГОЬЭКЭГ\ЭГ<.|ОГ01—‘1—‘ >—‘ і—1 »—1 р ••рр°^5?'^х,*рФ<іФслсогоі-‘фао<іірсл->соіе»-‘ <і сю ©'►-‘'соЪь'фТс оі'ф'*«р- о^ЧоЪх'^'аоЪх'То'ф'ао^-'сл'х- й^'й^'й-'о*. к‘ •© сл -л к> <—• »> ф ф й^ •— << *и сл -м со со сі со со о сл ф »й. оз ф Вѣсъ въ Фунтахъ.
105
— 106 —
Таблица ХХШ.
Вѣсъ чугунныхъ трубъ.
и Вѣсъ погоннаго «ута трубы при толщинѣ стѣнокъ въ:
>-» 09
СО
При немъ 2/а дюйм. 3/8дюйм. 4/„дюйм. “/а дюйм. "/а ДЮЙМ. ’/а дюйм, 1 дюйм. 9/8дюйм. ’%ДЮЙ
въ дюйм. <І> У и т 0 В ъ.
1 3,40 5,60 8,15 11,03 14,26 17,82 21,73 25,97 30,56
і'Л 4,07 6,62 9,51 12,73 16,30 18,33 20,20 24,45 29,03 33,95
1'7, 4,75 7,64 10,86 14,43 22.58 27,16 32,08 37,35
і3А 5,43 8,66 1 :,22 16,13 20,37 24,95 29,88 35,14 40,74
2 6,11 9,68 13,58 17,82 22,41 27,33 32,59 35,31 35,20 44,14
2’Л 6,79 10,69 14,94 19,52 24,45 29,71 41,25 47,53
2’А. 7,47 11,71 16,30 21,22 26,48 32,08 38,03 44,31 50,93
23/4 8,15 12,73 17,66 22,92 28,52 34,46 40,74 47,36 54,32
3 8,83 13,75 19,01 24,62 30,56 36,84 43,46 50,42 57,72
з*/« 9,51 14,77 20,37 26,31 32,59 39,21 46,17 53,47 61,11 64,51
З'/г 10,19 15,79 21,73 28,01 34,63 41,59 48,89 56,53
33/4 10,86 16,81 23,09 29,71 36,67 43,97 51,61 59,59 67,90
4 11,54 17,82 24,45 31,41 38,71 46,34 54,32 62,64 71,30
4'Л 4'/2 12,22 18,84 25,80 33,10 40,74 48,72 57,04 65,70 74,69
12,90 19,86 27,16 34,80 42,78 51,10 59,76 68,75 78,09
4% 13,58 20,88 28,52 36,50 44,82 53,47 62,47 71,81 81,49
5 14,26 21,90 29,88 38,20 46,85 55,85 65,19 74,86 84,88
б’/д 14,94 22,92 31,24 39,89 48,89 58,23 67,90 77,92 88,28
б’/2 5а/4 15,62 23,94 32,59 41,59 50,93 60,60 70,62 80,98 91,67
16,30 24,95 33,95 43,29 52,97 62,98 73,34 84,03 95,07
6 16,98 25,97 35,31 44,99 55,00 65,36 76,05 87,09 98,46
6’/« 17,66 26,99 36,67 46,68 57,04 67,73 78,77 90,14 101,86
6’/, 18,33 28,01 38,03 48,38 59,08 70,11 81.49 93.20 105,25 108,65
63/4 19,01 29,03 39,38 50,08 61,11 72,49 84,20 96,25
7 19,69 30,05 40,74 51,78 63,15 74,86 86,92 99,31 112,04
7‘А 7 7г 20,37 31,07 42,10 53,47 55,17 65Л9 77,24 89,63 102,37 115,4'і
21,05 32,08 43,46 67,23 79,62 81,99 92,35 105,42 118,83
7»/« 21,73 33,10 44,82 56,87 69,26 95,07; 108,48 122,23
8 22,41 34,12 46,17 58,57 71,30 84,37 97,78 111,53 125,62
В'/4 23,09 35,14 47,53 60,26 73,34 86,75 100,50 103,21 114,59 129,02
87г 23,77 30,16 48,89 61,96 75,37 89,12 117,64 132,41
83/, 24,45 37,18 50,25 63,66 77,41 91,50 105,93 120,70 135,81
9 25,12 38,20 51,61 65,36 79,45 93,88 108,65, 123,76 139,20
9’Л 25^80 39,21 52,97 67,06 81,49 96,25 111,36 114,08 126,81 142,60
9'/2 26,48 40,23 54,32 68,75 83,52 98,63 129,87 145,99
9% 27,16 41,25 55,68 70,45 85,56 101,01 116,80 132,92 149,39 152.78
10 27,84 42,27 57,04 72,15 87,60 103,38 1-19,51 135,98
ю’/4 28,52 43,29 58,40 73,85 89,63 105,76 122,23 139,03 156,18
107г 29,20 44,31 59,76 75,54 91,67 108,14 124,94 142,09 159,57
юз/4 29,88 45,33 61,11 77,24 93,71 110,51 127,66 145,15 162,97
11 30,56 46,34 62,47 78,94 95,74 112,89 130,38 148,20 166,37
И71 31,24 47,36 63,83 80,64 97,78 115,27 133,09 151,26 154,31 169,76
11 ’/. 31,91 48,38 65,19 82,33 99,82 117,64 135,81 173,16
117« 32,59 49,40 66,55 84,03 85,73 101,86 120,02 138,52 157,37 176,55
12 ' 33,27 50,42 67,90 103,89 122,40 141,24 160,42 179,95
— 107 —
Таблица XXIV.
Приблизительный вѣсъ кубической сажена тѣлъ *).
Вѣсъ куб. сажени,
пъ пудахъ.
Вода..................................593
Глина въ плотномъ тѣлѣ. .•............1075
Земля растительная въ плотномъ тѣлѣ. . . 950
Песокъ................................1000
Гравій гранитной породы...............1100
» смѣшанной породы.................950
Булыжный камень самый крупный . . . . 1350
» » средній..................1250
» » самый мелкій...............1100
Гранитъ...............................1600
Плита.................................1435
Известь негашеная....................... 5С О
Щебень кирпичный........................... 700
» сырцовый изъ булыжнаго камня . . 1100
Кладка изъ гранита и бута...............1425
» » известняка и песчаника. . . . 1200
» » кирпича........................... 940
Мохъ................................... 80
Хворостъ свѣжій........................125
» годовалый....................... 100
Уголь изъ сосноваго и елеваго дерева. . . 100
» каменный.......................... 670
Дрова сосновыя и еловыя свѣжія .... 275
» » » годовалыя. . . . 225
» березовыя и ольховыя свѣжія. . . . 375
» » » годовалыя. . . 300
Примѣчаніе. Кирпича, одна тысяча вѣситъ. 250 пудовъ.
3) Опредѣленіе вѣса литья.
Вѣсъ большихъ отлитыхъ вещей приблизительно вычисляется по
слѣдующей Формулѣ:
') Здѣсь приведенъ средній вѣсъ тѣлъ и въ круглыхъ числахъ.
Въ этой Формулѣ:
« означаетъ удѣльный вѣсъ модели,
Я » » » » литья,
М » абсолютный вѣсъ модели,
а » отношеніе объема первоначальнаго къ
уменьшенію этого объема во время остыванія отлитой вещи. Для чу-
гуна а = 32; потому что потерянный объемъ равняется ‘|32 части
первоначальнаго объема.
Таблица XXV
чиселъ, на которыя надобно помножать вѣсъ модели для того, что-
бы получить вѣсъ отлитой вещи.
Матеріалъ модели. Матеріалъ отлнтоЯ вещи.
Ч у г У н ъ. 1 Желт мѣдь, Красная мѣдь. Пушеч- ный ме- таллъ. 1 Цинкъ.
а.
Сосна плн ель 14 16,4 16,3 13,5
Дубъ 9,0 10^9 10Д 10,4 ю',3 8’б
Букъ. . 9,7 11,1 10,9 11,4 11,3 9,4
Липа 13,4 15,0 15^4 15^7 ібЗ 12,9
Береза 10,2 13,0 11,5 11,9 11,8 9,8
Желтая мѣдь 0,84 0,95 0,95 0,99 0,98 0,81
Цинкъ 1 — 1,13 1,17 1,16 0,96
Олово 0,89 1,11 1 1,03 1,03 0,85
Свинецъ 0,64 0,79 0,72 0,74 0,74 0,61
Чугунъ 0,97 — 1,09 1,13 0,12 0,93
Въ столбцѣ а означены среднія числа, въ столбцѣ р—наибольшія числа
Таблица XXVI осадки.
Осадка будетъ. Лииѣйная. Кубичная.
Для чугуна » желтой мѣди » пушечнаго металла. » статуйной бронзы. . . » олова > свинца & ’/.5 У2’ 744 ’/зп /аі
— 109 —
4) вѣсъ зубчатыхъ колесъ п шкивовъ находится приблизительно, у-
множая діаметръ (въ центиметрахъ на ширину и па слѣдующіе вѣса:
Для малыхъ колесъ до 90 цент. въ діам.....0,(0—0,13 кпл.
» большихъ колесъ до 240 цент. въ діам...0,13—0,17 »
» » колесъ отъ 250 до 400 цент.....0,17—0,22 »
» колесъ въ катальныхъ станахъ........... 0,25—0,36 »
» шкивовъ............................... 0,033—0,05 »
Примѣръ. Вѣсъ колеса въ 3,1 метра діаметромъ и 17’/, цент. шириною бу*
детъ, смотря по величинѣ колеса:
отъ 310 X 17,5 X 0,17 =- 922 килиграммовъ
до 310 X 17,5 X 0,22 = 1193
5) При оцѣнкѣ машинъ, приводовъ, желѣзныхъ мостовъ, и пр., при-
нимается въ соображеніе в»са отдѣльныхъ частей матеріала и работа,
которую надобно употребить на изготовленіе этихъ частей. Когда
исполнительные чертежи составлены, тогда необходимо раздѣлить
составныя части проектированной постройки на группы. Одна группа,
положимъ, содержитъ такія части, которыхъ единица вѣса требуетъ
наибольшей работы, а другая—такія, которыхъ единица вѣса тре-
буетъ наименьшей работы. Послѣ этого остается только вычислитъ
вѣсъ каждой группы н помножить его на соотвѣтствующую цѣну
единицы вѣса. Сумма произведеній дастъ цѣну всей машины п ш
вообще всей постройки.
№ 8.
СЛОЖЕНІЕ И РАЗЛОЖЕНІЕ СИЛЪ.
1) Силы измѣряются вѣсомъ: въ чертежахъ онѣ представляются
линіями, которыхъ направленіе и длина выражаютъ направленіе
и величину силъ.
2) Параллелограмма сила. Пусть будетъ АВ = Р и АС = О двѣ
силы, дѣйствующія на одну точку. Если составить параллелограммъ
АВПС, то діагональ его А П = М представитъ силу, которая на
точку А производитъ такое же дѣйствіе, какъ силы Р и <2 вмѣстѣ.
Потому М называется составной, сплой изъ двухъ составляющихъ
Р и С, а чертежъ называется параллелограммомъ силъ.
Назовемъ углы между (2 и М, Р и Л/ чрезъ а и Ь,
то:
Р: М = зіп а: зіп (а -+- Ь)
Р-.Ц = .зіп а:зіп Ь п
Л/ = ]/ Р* ч- <22 н- 2 РЦ. соз (а -+- Ь)
— 1)1 —
У/риллра. Канатъ А С И укрѣпленъ въ двухъ точкахъ А и В, находящихся на
одинаковой высотѣ. Въ средней точкѣ С виситъ тяжесть Л/; какъ веднко пітяже-
піе двухъ половинъ АС я ВС каната, когда уголъ СА В = 5е?
Изобразимъ силу М вертикальной линіей СЕ\ она составляетъ съ СА уголъ
въ 85°. Построимъ параллелограммъ С Е Г В, тогда линія С Г> — С Е предста-
витъ натяженіе двухъ частей каната. Изъ треугольника же СРВ находись:
СВ : СЕ = &'\п СЕВ-.а'т СОЕ, нли
С7>:ЛГ=8ііі 85°:5Іп 10°; откуда
СО= «X = Л/Х = 5,738 М-.
8ін 10° 0,1736
т. е. натяженіе въ 5,738 разъ больше тяжести М.
3) Если составляющія силы Р и перпендикулярны другъ къ
другу, то:
Р « Л/яіп а, (] = М соя а,
тт = (ап§ а, М = У Р2 4- Ц2.
ѵ
Примѣрь 1. Судно движ тся въ рѣкѣ иди въ каналѣ силой Л/; какъ велики со-
ставляющія силы: Ц, дѣйствующая по направленію движенія, и Р, приближающая
судно постоянно къ берегу, когда М съ направленіемъ движенія составляетъ
уголъ а = 20°.
Величина силы, дѣйствующей по направленію движенія Ц = М сое а = 0,9397 А/.
Величина силы, дѣйствующей перпенцікулярно къ берегу /'= М віп а — 0,3420 М;
т. е. сила 0 составляетъ около 94%, сила Р — 34 процента дѣйствующей
силы М.
Примѣрь 2. Шаръ брошенъ въ косвенномъ направленіи АВ къ стѣнѣ. Отъ этого
шаръ производитъ по этому направленію давленіе ВС. Если начертимъ паралле-
— 112 —
лограммъ ВЕСІ), котораго одна сторона БЕ перпендикулярна, а другая ВП па-
раллельна къ стѣнѣ, то БЕ представитъ силу перпендикулярнаго давленія шара
на стѣну, и ВБ силу, съ которою шаръ стремится вдоль стѣны. Если шаря и
стѣна совершенно иеуируги, то сила БЕ теряется и шаръ будетъ двигаться
вдоль стѣны. Если же соударяющіяся тѣла будутъ совершенно упруги, то сжатыя
волокна въ точкѣ прикосновенія отбросятъ шаръ перпендикулярно отъ стѣны съ
силою ВЕ'. равною БЕ. Начертимъ на силахъ В1> и БЕ' параллелограммъ, то
діагональ ВС, представитъ силу, сь которою отпрыгнетъ шаръ. Прпсемъ ВС рав-
но ВС и уголъ паденія ЛВЕ' равенъ углу отраженія СВЕ'
4) Если на тѣло дѣйствуютъ три пли болѣе силъ, находящихся въ
одной пли въ различныхъ плоскостяхъ, то находятъ сперва равно-
дѣйствующую двухъ силъ, потомъ эту новую силу соединяютъ съ
третьей составляющей и т. д. до тѣхъ поръ, пока не получимъ одну
силу, которая будетъ равнодѣйствующая всѣхъ дѣйствующихъ силъ.
5) Параллелепипедъ силъ. Если на точку дѣйствуютъ три силы,
не лежащія въ одной плоскости, то для опредѣленія равнодѣйствую-
щей принимаемъ эти силы за трп пересѣкающіяся въ одной точкѣ
(въ точкѣ приложенія) ребра параллелепипеда, котораго діагональ, т. е.
линія, соединяющая точку приложенія съ вершиной противополож-
наго угла, покажетъ величину и направленіе равнодѣйствующей.
Если дѣйствующія три силы Р, (^, Б взаимно между собой перпен-
дикулярны п составляютъ съ равнодѣйствующей М углы а, Ь, с, то:
М = I/Р--л-ч-1Р
Р — М соза, “ Мсоз Ъ,ІІ «= Л/соз с,
соз2 а соз2 Ь -ч~ соз2 с = 1.
№ 9.
РАВНОМѢРНОЕ ДВИЖЕНІЕ.
1) Скоростью въ равномѣрп< мъ движеніи называется пространство,
проходимое тѣломъ въ единицу времени (въ секунду, минуту и т. д.).
2) Равномѣрное поступательное движеніе. Если іо означаетъ про-
странство, пройденное тѣломъ въ I секундъ, и ѵ скорость въ одну
секунду, то:
, н> . 10
го = и (, и = — ч і= —
і ѵ
Примѣръ 1. Какое пространство проходитъ поѣздъ желѣзной дороги впродол-
женіе 12-ти минутъ, когда онъ движется съ одинаковою скоростью 42,65 Футовъ въ
секунду?
Пройденное пространство го — 42,65.12.60 = 3068,8 футовъ.
Примѣръ 2. Если скорость строгальной мапиіиы = 0,26 Фута, ширина рѣзца
—0,0098 ф., ширина обстругиваемой поверхности = 1,3 ф., длина ея = 9,19 ф.,
то сколько нужно времени, чтобы обстругать поверхность одинъ разъ?
Величина обстругиваемой площади — 1,3.9,19 = 11,95 □ ф.
1 3
Число рядомъ Лежащихъ стружекъ———^— = 133.
СІуСЮиО
Все пространство, проходимое рѣзномъ го — 2.133.9,19 = 2444,5 ф.
Искомое время і = = секундъ = 2,612 часа.
3) Равномѣрное вращательное движеніе вокругъ неподвижной оси.
Если г радіусъ вращающагося вала, колеса и т. и.,
ѵ скорость какой-нибудь точки на окружности,
/ число секундъ, нужныхъ для одного оборота,
то ѵі = 2 я г,
и если п число оборотовъ въ минуту, то
60 е — 2 я г. п.
Мехав. Бернулли.
8
- 114 —
Примѣръ 1. Скорость на окружности водянаго колеса = 4,92 ф. и радіусъ ко-
леса=9,51 ф., сколько секундъ нужно для совершенія одного оборота и сколько
оборотовъ дѣлаетъ колесо въ минуту?
„ л 60. о 60.4,92
Число оборотовъ въ минуту п = --— = „ „ ! —• = 4,941;
г 1 1 2пг 2.3,14.9,51 ’ ’
60
или еще п = = 4,941.
Примѣръ 2. Маховое колесо дѣлаетъ въ минуту 36 оборотѴзъ и діаметръ его
=12,47 ф., какъ велика скорость на окружности колеса?
„ 2пгл 12,47.3,14.36
Скорость на окружности ѵ — —= ——--------------= 23,493 Футовъ.
Таблица XXVII.
Величина нѣкоторыхъ скоростей въ секунду.
Пѣшехода .............................= 4,6 фута.
Лошади, шагомъ..........................= 2,95 — 3,6 »
» рысью.............................= 6,6 — 7,2 »
» въ галопѣ.........................= 13,1 —16,4 »
Нагруженной телѣги......................= 2,6 »
Почтоваго экипажа.......................= 10 »
Товарнаго поѣзда по желѣзной дорогѣ . . = 26 »
Пассажирскаго поѣзда....................= 37 »
Легкаго поѣзда..........................= 48 »
Воды большей части рѣкъ.................— 3 »
Воды въ заводскихъ каналахъ.............= 1,2 »
Обыкновеннаго вѣтра.....................= 10 »
Бурнаго вѣтра...........................= 49 »
Урагана.................................= 98 »
Звука въ воздухѣ (при 16° Ц)............= 1115 »
Звука, когда проводникомъ служитъ вода . = 4708 »
» » » дубовое дерево = 11893 »
Воздуха при давленіи одной атмосферы въ пу-
стое пространство, безъ сжатія струи . = 1296 »
Пара, при такомъ же давленіи въ пустое про-
странство, безъ сжатія струи . . . = 1640 »
115
Однофунтоваго ядра, при обыкновенномъ за-
рядѣ = 1575 фута.
Двадцати-четырехъ Фунтоваго ядра . . . = 2559 н
Вращенія земли подъ экваторомъ. . . . = 1470 »>
Поступательнаго движенія земли . . . . = 96458 »
Свѣта = 296687 верстъ.
Электричества по мѣдной проволокѣ. . . = 3150)0 »
Поршня небольшой паровой машины. . . = 3,3 »
» нѣсколько большей » . . . — 4,6 ю
» локомотива = 6,6 — 8,2 «
» водянаго насоса = 1,0 л
Цилиндрическаго мѣха = Водянаго колеса на окружности (обыкно- 2 )>
венно) = 4,9 I»
Жернова на окружности = 27 »
Вентилятора » = 118 »
Круглой пилы » = 36 ))
Голландера (для тряпокъ) = 26
Точильнаго камня для инструмента . . . = 30 )>
Полировальнаго камня = 72 ))
Пилы обыкновенной = 6 »
Пплы Фанерочной и круглой = 33
Пилы ленточной =•-= 30 ))
Салазокъ металлострогальной машины . . = 0,26
Рѣзца (вращающагося) деревострогалыюй . = Прп механической обточкѣ чугунныхъ ве- 39
щей, па окружности = 0,26
Желѣзныхъ вещей, на окружности . . . = Чугунныхъ вещей прп обточкѣ на ручной 0,39 »
самоточкѣ, на окружности = Желѣзныхъ вещей при обточкѣ на ручной 0,39 »
самоточкѣ, на окружности — 0,59 »
При окончательной отдѣлкѣ тѣхъ же вещей на самоточкѣ скорость будетъ . . . . = При просверливаніи чугунныхъ Цилин- 0,92 *
дровъ скорость вращательнаго движенія. = При этомъ скорость поступательнаго дви- 0,164
женія '/4 до 'Д миллиметра на каждый оборотъ. *
— 116 -
При просверливаніи желѣзныхъ или чу-
гунныхъ вещей, скорость на окружности
сверла измѣняется отъ 0,33 до 0,59 Фута,
смотря по величинѣ диры. Чѣмъ больше
дира, тѣмъ меньше скорость.
Стержни (на окружности) при нарѣзаніи
винтовъ................................= 0,30 верстъ
Пробивная машина для котельнаго желѣза
въ '/2 дюйма толщиною, дѣлаетъ отъ 13
до 15 ударовъ въ минуту.
Скорость рукоятки подъемной машины . . = 2,6 »
> 10.
РАВПОНЬРИО-УСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНІЕ.
Свободное паденіе п вертикальное бросаніе.
1) Равномѣрно-ускоренное движеніе происходитъ вслѣдствіе силы,
постоянно дѣйствующей на тѣло и сообщающей ему скорость,
возрастающую равномѣрно.
Законы этого движенія слѣдующіе:
«) Пространства, проходимыя тѣломъ, возрастаютъ для каждой по-
слѣдующей единицы времени пропорціонально нечетнымъ чис-
ламъ: 1, 3, 5, 7 и т. д.
Такъ, если время движенія раздѣлимъ напр. на 4 равныя части п въ первую
часть тѣло проходитъ пространство = а, то во вторую оио проходитъ За, въ
третью 5а п въ четвертую 7а.
і) Цѣлыя пространства, пройденныя отъ начала движенія, относят-
ся какъ квадраты временъ движенія, т. е. если тѣло движется вдвое
или втрое большее время, то проходитъ пространство вчетверо или
вдевятеро большее.
с) Скорость тѣла въ концѣ какого-нибудь промежутка времени,
считая отъ начала движенія, такъ велика, что оно съ этой скоростью
въ такой же промежутокъ времени могло бы пройти двойное про-
странство равномѣрнымъ движеніемъ.
Если, наир. въ 4 секунды тѣло проходитъ пространство = 78,74 с. и вслѣдъ
за тѣмъ будетъ двигаться впродолженіе 4-хъ секунъ равномѣрно, то оно прой-
детъ въ это время двойное пространство = 157,48 *., слѣдовательно въ 1 се-
кунду 39,37 *. Поэтому скорость равномѣрно ускореннаго движенія въ концѣ 4
секундъ = 39,37 ф.
сі) Скорости пропорціональны временамъ, т. е. послѣ вдвое, втрое
большаго времени и скорость вдвое, втрое больше.
2) Эти законы выражаются слѣдующими Формулами, служащими къ
рѣшенію различныхъ вопросовъ равномѣрно-ускореннаго движенія:
, « = |/2 рЛ,
118
гдѣ д означаетъ спорость въ концѣ первой секунды, т. е. двойное простран-
ство, пройденное въ первую секунду,
/д пройденное пространство,
I число секундъ, употребленныхъ на это прохожденіе, и » скорость въ копцѣ
этого періода времени.
3) Свободное паденіе тѣлъ есть равномѣрно-ускоренное движеніе,
потому что сила тяжести дѣйствуетъ на тѣла постоянно одинаково
(для незначительныхъ только высотъ).
Еслп не принимать во вниманіе сопротивленіе воздуха, то скорость
свободно падающаго тѣла въ концѣ первой секунды:
д =-- 9,8088 метрамъ
д = 33,608 баварскимъ Футамъ.
= 30,195
= 32,102
= 31,253
= 31,030
парижскимъ Футамъ — 34,637 саксонскимъ »
англійскимъ »
рейнскимъ >
австрійскими, »
= 33,581 ганноверскимъ »
= 34,232 вюртембергск. »
= 32,696 швейц. плпбадепск. ф.
Пространство, пройденное въ первую секунду, составляетъ полови-
ну этпхъ чиселъ. Поэтому
если дано о, то: если дано Л, то:
к 0,0509с2.........г, = |/19,62 /і . . . въ метрахъ.
к = 0,0155/...........г, -|/64,36 к . . • » англійскихъ Футахъ.
к 0,0160с2.............® = 1/62,50 к ...» рейнскихъ »
к =~ 0,0161®2.........г = }/б2,06 к . . . » австрійскихъ »
к 0.0149/..............с = |/67,22 к . . . » баварскихъ »
к --= 0,0144с2.........ѵ ---= |/б9,27 к . . . » саксонскихъ
к = 0,0146с2...........г = }/б8,46 к ... * вюртемберск. »
к -= 0,0156с2...........с -- 1/65,39 к . . . » швейцарскихъ »
Примѣрь 1. Если тѣло пъ концѣ паденія имѣетъ скорость = 48 англ. Футамъ,
то какъ велика высота паденія?
Высота 4 = 0,0155. г2 = 0,0155 . (48)2 = 0,0155. 2304 = 85,712 ф.
Примѣрь 2. Какую скорость пріобрѣтаетъ тѣло, падающее съ высоты = 180
рейнскимъ Футамъ?
Скорость ѵ = у/62,5.180= 105,99 рейиск. Футамъ.
4) Эти правила относятся также къ паденію тѣла по наклонной
плоскостп, только нужно пройденное пространство умножить на дробь,
выражающую отношеніе высоты плоскостп къ ея длинѣ.
Такъ, еслп плоскость имѣетъ покатость= ‘/5, т. е. на 30 ф. длины,
напр. приходится 6 ф. высоты, то шаръ, катящійся по этой плоскости
въ первую секунду, пройдетъ только пространство = 16,09. '/6 = 3,21
Ф., во вторую секунду 3.3,21 9,63 ф., въ третью 16,05 ф.
— 119 —
5) Если тѣло брошено вертикально вверхъ, то оно употребляетъ
столько же времени для подъема, сколько потомъ для паденія; и
въ концѣ паденія пріобрѣтаетъ ту самую скорость, съ какою было
брошено. Въ первой половинѣ пути скорость тѣла уменьшается по
тѣмъ же законамъ, по какимъ она во второй половинѣ (т. е. при па-
деніи) возрастаетъ. Слѣдовательно, изложенныя Формулы могутъ быть
приложены и къ бросанію, если только и здѣсь не принимать во вни-
маніе сопротивленія воздуха.
Примѣръ 1. Какъ і ысоко было брошено тт.ло, которое чрезъ 6 секундъ воз-
вратилось на первоначальное мѣсто?
Для паденія нужно столько же времени, сколько для подъема, слѣдовательно
3 секунды; а въ это время тѣло можетъ пройти пространство
Л = ’/г . 32,182 . V- = 16,091 . 9 = 144,82 ф.
Примѣръ 2. Какъ высоко и какъ долго поднимается ядро, пущенное вверхъ
по вертикальному направленію со скоростью = 250 Фут.?
ГТ 4 ѵ 250 » о
Число секундъ і= - = ^82= 7,8.
Высота подъема Л — 0,0155.250-= 968,75 ф.
6} Если тѣло брошено вверхъ по наклонному направленію, состав-
ляющему съ горизонтомъ уголъ а, то сила тяжести такъ будетъ
отклонять тѣло отъ сообщаемаго ему направленія движенія, что оно
опишетъ параболу касательную къ этому направленію. Если скорость
тѣла во всякой точкѣ его пути разложить на двѣ, одну горизонталь-
ную, другую вертикальную, то горизонтальная во все время движенія
остается безъ перемѣны н равна с.сояа, если сообщенная тѣлу на-
чальная скорость = с; а пространство, пройденное тѣломъ по гори-
зонтальному направленію въ I секундъ = ѵі. соз а. Движеніе (проек-
ціи) тѣла но вертикальному направленію въ первой половинѣ пути
(т. е. при подъемѣ) равномѣрно укосненное, во второй равномѣрно
ускоренное, какъ при свободномъ паденіи, поэтому это двиліепіе мо-
жетъ быть опредѣлено по прежнимъ Формуламъ.
Примѣчаніе. Въ дѣйствительности результаты не совсѣмъ согласуются съ из-
ложенными здѣсь правилами, потому что сопротивленіе воздуха п треніе (па
наклонкой плоскости) замедляютъ паденіе часто очень значительно.
Первое препятствіе, впрочемъ, производитъ значительное вліяніе, когда тѣло
падаетъ съ большой высоты и когда оно имѣетъ малый удѣльный вѣсъ, или
разрѣзываетъ воздухъ большой поверхностью. Потому что чѣмъ большее количе-
ство воздуха тѣло должно вытѣснять при паденіи, тѣмъ больше оно теряетъ въ
скорости, пріобрѣтаемой отъ наденія.
№ 11.
О МАЯТНИКЪ.
1. Маятникомъ называется всякое тѣло, качающееся вокругъ го-
ризонтальной оси, не проходящей чрезъ его центръ тяжести.
Отъ этого, такъ называемаго Физическаго, маятника нужно отличать
математическій, воображаемый, состоящій изъ тяжелой точки, соеди-
ненной съ осью невѣсомымъ прутомъ.
Къ такому маятнику относится слѣдующая Формула:
гдѣ I означаетъ время одного качанія (въ секундахъ),
I » длину маятника,
д » скорость свободно падающаго тѣла въ концѣ
первой секунды, т. е. мѣру напряженія силы тяжести. Для Парижа
д = 9,8088 метр., потому для всѣхъ мѣстъ этой широты.
2) Ь = 0,9936 . I* метрамъ.
2. Изъ этихъ Формулъ слѣдуетъ:
а) Что для одного и того же мѣста времена качаній относятся
какъ корни квадратные изъ длины маятниковъ.
Если Т и /—времена качаній двухъ маятниковъ, Ь и I ихъ дли-
ны, то:
Т: I = /1 : VI.
Ь) Времена качаній одного и того же маятника въ различныхъ мѣ-
стахъ обратно пропорціональны корнямъ квадратнымъ изъ напря-
женій тяжести въ этикъ мѣстахъ.
На основанія этого праннла могло быть найдено измѣненіе силы тяжести отъ
экватора къ полюсамъ п, слѣдовательно, сжатіе земли.
— 121
с) Для равныхъ временъ числа колебаній обратно пропорціональны
временамъ одного колебанія и, слѣдовательно, обратно пропорціональ-
ны квадратнымъ корнямъ изъ длины маятниковъ.
Такъ, если Ъ и I длины двухъ маятниковъ,
Кпп числа ихъ колебаній въ одинаковое время, то
я-п = ]/7: Кл.
б) Ни вѣсъ качающагося тѣла, ни величина размаха не имѣютъ
замѣтнаго вліянія на время качанія.
3. Если маятникъ дѣлаетъ одно качаніе въ секунду или 60 въ ми-
нуту, то онъ называется секунднымъ маятникомъ.
Если въ Формулѣ 2) сдѣлать I = 1, то находимъ для широты Па-
рижа:
Длина секунднаго маятника Ь = 0,9936 метр. = 362Д парижск.
дюйм. = 39 '/8 англ, дюймовъ.
Эта длина, на основаніи предложенія Ь), нѣсколько измѣняется
для различныхъ шпротъ, такъ для широты =
0° длина секунднаго маятника = 0,9908 метр. = 3,2507 Фут.
30° » » » = 0,9923 » = 3,2556 »
45° » » = 0,9935 » = 3,2596 1)
60° )> » » = 0,9949 » = 3,2642 ))
90° » )) = 0,9966 » = 3,2697 »
длина маятника, который въ минуту дол-
Примѣрь 1. Какъ велика должна быть
женъ дѣлать 40 колебаній.
п л 4 60
Время одного колебанія < = —1,6 секунды.
Длина ^. = 39% (1,6/= 7,3361 ф. = 2,23 6"1.
Примѣрь 2. Сколько колебаній въ минуту дѣлаетъ маятникъ, котораго длина =
40 англ, дюймамъ?
Число колебаній въ
п
минуту секунднаго маятника = 60, потому, на основаніи с)
« : 60 = 1/49 : ]/39%,
60.7
= =63,61 колебаніямъ.
V 39%
4. Маятникъ можетъ служить также для измѣренія скоростей. Зная
длнау маятника, который дѣлаетъ въ извѣстное время столько же
двойныхъ качаній, сколько колесо или валъ оборотовъ, легко найти
время одного оборота, на основаніи предложенія а). Для такого спо-
соба опредѣленія составлена слѣдующая табличка:
— 122 —
Число двойныхъ качаній. Соотвѣт- ствующая длина маятника. Число двойныхъ качаній. Соотвѣт- ствующая длина маятника. Число двойныхъ качаній. Соотпѣт- ствующая длина маятника. Число двойныхъ качаній. Соотпѣт - ствующая длина маятника.
20 2,236 •) 7,336 *) 30 0,994 3,261 46 0,423 1,388 65 0,211 0,692
21 2,028 6,654 32 0,873 2,864 48 0,388 1,273 70 0,182 0,597
22 1,848 6,063 34 0,773 2,536 50 0,358 1,175 75 0,159 0,522
23 1,691 5,548 36 0,690 2,264 52 0,331 1,086 80 0,140 0,459
24 1,552 5,092 38 0,619 2,031 54 0,307 1,007 85 0,123 0,404
25 1,431 1,695 40 0,559 1,834 56 0,285 0,933 90 0,110 0,361
26 1,323 4,341 42 0,507 1,663 58 0,266 0,873 95 0,099 0,325
27 1,227 4,026 44 0,462 1,516 60 0,248 0,804 100 0,089 0,292
28 1,141 — — — — — —
3,7435 — — — — —
Верхнее
число вы[ажіктъ длину маятника
въ метрахъ, шіжнее — въ англій-
скихъ Футахъ.
.V 12.
О МЕХАНИЧЕСКОЙ РАБОТЪ.
1. Механическая работа (ігаѵаіі тёсапігріе, сріапШё, сіе ІгаѵаіІ) со-
стоитъ въ преодолѣти какого либо сопротивленія па какомъ нп-
будь пространствѣ.
Примѣрами такихъ механическихъ работъ могутъ служить; подъемъ тяжестей
на какую-нибудь высоту; перемѣщеніе тяжестей но улицамъ, желѣзнымъ доро-
гамъ, каналамъ; рііздалліівііпіе или превращеніе зеренъ въ муку; пряденіе шер-
сти; сплющиваніе желѣза; вколачиваніе свай; обтесываніе камня п дерева, и тому
подобныя.
Во всѣхъ этихъ случаяхъ работа будетъ тѣмъ больше, чѣмъ боль-
ше преодолѣваемое препятствіе п чѣмъ больше пространство, на ко-
торомъ оно преодолѣвается.
Если тяжесть въ о Фунтовъ поднимается па высоту 1 Фута, то работа въ 5
разъ больше, чѣмъ при подъемѣ 1 фунта па 1 Футъ.
Также для подъема 1 фунта на высоту 4-хь Футовъ, ііапр. нужна вчетверо
большая работа, чѣмъ для подъема той же тяжести па высоту только 1 Фуга.
Такимъ же образомъ, если па разстояніи 10 ф. въ горизонтальномъ пли на-
клонномъ направленіи нужно преодолѣть треніе въ 50 Фунтовъ, то длл этого
очевидно нужна 50 . 10 = 500 разъ большая работа, чѣмъ для преодолѣнія
тренія въ 1 Фунтъ на разстояніи 1.
То, что здѣсь сказано о треніи п о подъемѣ тяжестей, относится
ко всякому другому случаю, гдѣ на извѣстномъ пространствѣ дѣй-
ствуетъ какая-нибудь сила.
Итакъ механическая работа пропорціональна величинѣ пре-
одолѣваемаго препятствія и длинѣ пути, т. е. пропорціональна произ-
веденію изъ силы и пространства.
Отсюда видно также, что сила и работа въ механикѣ два совер-
шенно разнородныя понятія. Сила есть причина перемѣщенія, слѣдо-
— 124 —
вательно, только одинъ производительработы; другой производитель
будетъ пространство, проходимое силой.
Если сила преодолѣваетъ извѣстное препятствіе, то предполагается,
что направленіе обѣихъ совпадаетъ ст> направленіемъ проходимаго пу-
ти. Если же напр. сила Р составляетъ съ направленіемъ движенія
уголъ а, то движущая сила будетъ только Р. соз а, т. е. проложеніе
на направленіе движенія.
2. Для выраженія двухъ производителей работы въ числахъ, упо-
требляются какія'угодно единицы мѣры, какъ напр. Фунтъ, Футъ, и
т. д. Обыкновенно употребляютъ килограммъ, пли пудъ, какъ единицу
силы, н метръ пли Футъ, какъ единицу пространства.
Работа, производимая силой = 1 к. на протяженіи 1 м. въ такомъ
случаѣ, будетъ едпнпца работы; опа называется килограмметромъ
и обозначается чрзъ КМ пли К. М. Мы будемъ принимать за еди-
ницу работы фуито</утз, т. е. работу произведенную силой вт. 1
Фунтъ, па протяженіи 1 Фута (1 КМ — 8,0054 ф., ф.), пли пудофутъ-
который равняется 5-ти килограмметрамъ пли 40 ФунтоФутамъ.
Послѣ этого понятно, что работой въ 20 ф. - ф. называется такая
работа, которая нужна для подъема 20 Фунтовъ на 1 Футъ, или 10
Фунтовъ на 2 Фута, или 5 Фунтовъ на 4 Фута и т. д. Величина работы
не измѣняется отъ большей или меньшей продолжительности ея,т. е.
она не зависитъ отъ времени.
3. Для промышленныхъ цѣлей необходимо, чтобы опредѣленное
количество работы было всегда совершаемо въ извѣстное время. Ко-
личество работы, производимое въ 1 секунду, называется діъйствіемо
машины, двигателя и т. п.
Такъ-какъ пространство, проходимое силой, при равномѣрномъ дви-
женіи, въ 1 секунду, есть скорость ея, то дѣйствіе равно произведенію
изъ силы Р на скорость ея V, т. е. равно РР.
Дѣйствіе двигателей выражается очень часто не килограмметрами
или Фунтофутами, а другой единицей—лошадиной силой (сііеѵаі-ѵа-
репг, Ьогве ро\ѵег).
Величина этой единицы различна, точно также, какъ и лошадиная
сила въ разныхъ странахч> принимается различно. Въ Англіи работа
лошади принимается въ 37465 ф.-ф. (но русск. мѣрамъ) въ миниту,или
78/Г. ІИ=624,42 ф.-ф. въ секунду, а иногда даже въ 49953,67 ф.-ф.
въ минуту, что составить 837,56 ф.-ф. = 104 К.М въ секунду.
— 125 —
Слѣдуя Поиселе, Морену, Редтенбахеру и др., мы принимаемъ си-
лу лошади = 75 К.М ’), или 15 пудофутамъ въ секунду.
Эта величина по другимъ мѣрамъ выражается такъ:
Въ русскихъ мѣрахъ = 600 ф.-ф. вт> секунду — 36000 въ минуту.
» півейц. пли бад. — 500 » » » = 30000 » »
» англійс. мѣрахъ — 542 » » » : 32550 >1 >1
» Французск. » — 472 » » » == 28300 » »
» вѣнскихъ » — 424 » » =~ 25420 .) »
» рейнскихъ л — 510 » » >> — 30600 » о
» вюртемб. » — 560 » " » — 33600 4. Графическое изображеніе величины работы. » ’)
а) Когда сила постоянна.
1_
4
Отложивъ по горизонтальной лппін величину
АВ, выражающую пройденное пространство, п по
линіи, перпендикулярной къ ней, величину А1), про-
порціональную силѣ, площадь А В. АО прямоуголь-
ника АВС1) выразитъ величину работы.
Ь) Когда сила перемѣнная.
Откладывая различныя величины ея Р, Р',
Р'... на перпендикулярахъ, возставленныхъ
изъ соотвѣтствующихъ точекъ пути АВ, сое-
динима. оконечности ординатъ кривой линіей
ОЕС-, тогда площадь Фигуры АВСЕО выра-
зитъ работу этой силы.
с) Среднее напряженіе перемѣнной силы.
Постоянная сила АА', которая на пространствѣ АВ производитъ
такую же работу, какъ п перемѣнная сила, называется средними на-
пряженіемъ перемѣнной силы.
Въ этомъ случаѣ долженъ быть:
прямоугольникъ АВВ'А' = площади АВСЕВ\
слѣдовательно среднее напряженіе АА' = “^остр.^лй^ ‘
Пршліьръ 1. Для того чтобы двигать экипажъ ио горизонтальной дорогѣ, нужна
средняя сила въ 1200 *унт.; если лошади его двигаютъ со скоростью 3 Фут., то
вакъ велико ихъ дѣйствіе?
Дѣйствіе = 1200.3 = 3600 ф. ф. = 6 лошадиныхъ силъ.
*) Гашеттъ, Клеманъ, и др. принимаютъ за единицу дѣйствія динамію, т. е.
силу, поднимающую 1000 кплогр. = 2440 Фунт. воды на 1 И =3,28 фут.; слѣд.
величина этой единицы — 1000 К. М — 8006,4 ф. ф.
126 -
Примѣрь 2. Обыкновенный водяной насосъ, котораго поршень дѣлаетъ пъ ми-
нуту 40 подъемовъ, доставляетъ при каждомъ подъемѣ 01 фунтъ воды на высоту
65,6 Футовъ; какъ велико дѣйствіе насоса?
Насосъ даетъ въ секунду-•• 402/'3 Фунта,
а потому его дѣйствіе = 402/3 . 65,6 = 260?, 16 ф.ф/= 4,44 л. с.
Примѣръ 3. Давленіе на поршень Л" пароваго цилиндра, за вычетомъ проти-
вудавленіп = 7320 ф. величина хода поршня = 2,95'; на */3 хода вступленіе пара
въ цилиндръ прекращается и дальнѣйшее движеніе поршня происходитъ отъ рас-
ширенія заключеннаго пара; какъ велика работа послѣдняго во время одного хо-
да поршня.
ід—вм—да- Раздѣлимъ высоту ЛЕ цилиндра па 6 равныхъ частей.
—-рт—-л' При прохожденіи поршнемъ первыхъ двухъ дѣленій, наръ
—......—| дѣйствуетъ полнымъ своимъ давленіемъ въ 7320 ф.; если
-......лі —------/-я' на перпендикулярѣ, возставленномъ изъ Л, отложить это
- с|----у1 давленіе, то работа пара въ это время выразится площадью
........._а|----/ прямоугольника ЛЛ’ІЗП',
----------------4---------------/' т. е. эта работа=2'„.2,95.7320=0,984.7320=7202,88ф.ф.
,...............Начиная отъ точки 13, паръ расширяется и, такъ-какъ
давленіе обратно-пропорціонально степени расширенія (т. е.
чѣмъ большій объемъ занимаетъ газъ, тѣмъ меньше
его давленіе), то въ точкѣ С давленіе равно 2/3 первоначальнаго (потому-что
объемъ, занимаемый пароиъ=а/г прежняго въ 1) ’/2 и т. д.;
т. е. давленіе въ С = 2/3 7320 = 4880 ф.
. въ І> = ’/а 7320 = 3660 •
. въ Е = 2/5 7320 = 2928 .
. въ Е = ’/□ 7320 = 2440 .
Отмѣчая величины этихъ давленій
па перпендикулярахъ, возставленныхъ изъ со-
отвѣтствующихъ точекъ дѣленія, получимъ Фигуру, ограниченную съ одной сторо-
ны кривою 13'Е’, и которой площадь выражаетъ величину работы пара во время
пути 13Е-, величина этой работы будетъ:
= ’/з ’/« . 2,95 [(7320 -ь 2440 -ь 2.3660-ь 4(4880 -+- 2928)] = 0,164. 48312 =
7923,17 ф.ф.
и вся работа во время одного хода = 7923,17 -+- 7202,88 = 15126,05 ф. ф.
Если поршень дѣлалъ 36 двойныхъ ходовъ въ минуту, то дѣйствіе машины
было бы
15126.2.36 , „„„„
=-----------= 18151,2 ф.ф' =30,23 лошад. силамъ.
60
4. Какъ живые, такъ и неживые двигатели имѣютъ извѣстный
предѣлъ скорости и силы, при которомъ получается «««большее дѣй-
ствіе, гдѣ, слѣдовательно, скорость и сила имѣютъ наиьыгодніъйіиія
величины.
Такъ напр. наибольшая скорость, которую можетъ имѣть водяное
колесо на окружности, есть скорость воды, давящей па лопатки. Но
въ этомъ случаѣ вода не будетъ больше давить на лопатки, слѣдо-
— 127
вательно сила и также работы = О для наибдльшей величины ско-
рости.
Съ уменьшеніемъ скорости давленіе увеличивается въ прямомъ от-
ношеніи, и оно будетъ наибольшее, когда скорость = 0, т. е. когда
колесо въ покоѣ; но въ этомъ случаѣ, когда давленіе наибольшее и
скорость наименьшая, работа опять = 0. Поэтому между двумя край-
ними предѣлами должна быть средняя величина скорости, при кото-
рой дѣйствіе воды больше, нежели во всякомъ другомъ случаѣ.
Точно также, если въ цилиндрѣ паровой машины поршень будетъ
имѣть скорость равную скорости входящаго пара, то давленіе по-
слѣдняго = О, и работа также = 0; то же будетъ при наибольшемъ
давленіи пара, т. е. когда скорость поршни = 0.
То, что здѣсь сказано о водѣ и парѣ, относится ко всѣмъ двига-
телямъ.
6. Для живыхъ двигателей Верге (Веі-диег) выразилъ зависимость
между силою и скоростью слѣдующей Формулой, которая между из-
вѣстными предѣлами даетъ довольно вѣрные результаты:
гдѣ выражаетъ наибольшую силу двигателя, т. е. ту силу, прн ко-
торой скорость = 0.
с выражаетъ наибольшую скорость, для которой сила = О,
Р выражаетъ силу, соотвѣтствующую скорости с.
Если принять
е = 4-с, то Р = 4- У, т. е. при средней величинѣ скорости и сила имѣетъ
среднюю величину, и работа двигателя у с{]с будетъ наи-
большая.
Если ъ больше пли меньше 4- с, то соотвѣтствующая работа въ
обоихъ случаяхъ меньше, и тѣмъ меньше, чѣмъ больше разность ме-
I
жду ъ и у с; для равныхъ положительныхъ и отрицательныхъ разно-
стей величина работы одинаковая; такъ напрл
для с = -т- с, Р - — У, и соотвѣтств. работа -5- • су — су.
О і > ' □ о У
2 „ 1 2 1 л 2 п
» V = у С, Р = у У, » » » = -. у су = у с(}.
7. Для живыхъ двигателей, впрочемъ, не только сила п скорость
двигателя, но и продолжительность работы имѣетъ значительное
вліяніе на величину ея. На короткое время животное и человѣкъ мо-
— 128 —
гутъ значительно усилить свое дѣйствіе, но не надолго. По Герст-
неру, продолжительность работы имѣетъ на величину ея такое же
вліяніе, какъ и скорость, т. е. при большей продолжительности эта
величина уменьшается гораздо быстрѣе, нежели возрастаетъ время.
8. Объ абсолютномъ гг полезномъ дѣйствіи двигателей.
Дѣйствіе двигателя, приложенное въ какой-ннбудь машинѣ, разла-
гается на двѣ части: одна изъ нихъ издерживается на преодолѣніе
тренія между частями машины, и потому не доставляетъ никакой вы-
годы; другая часть вся идетъ на совершеніе желаемой работы, н по-
тому можетъ быть названа полезнымъ дѣйствіемъ двигателя. Вредное
дѣйствіе вмѣстѣ съ полезнымъ, составляютъ абсолютное дѣйствіе
двигателя.
Таблица XXVIII.
Полезное дѣйствіе нѣкоторыхъ машинъ, по Мореву.
Лошади.
Мельничный поставъ съ камнями въ 4,92 Фута діаметромъ 3—4
Пильпя съ однимъ листомъ, дѣлающая 88 прорѣзовъ въ ду-
бовомъ деревѣ въ минуту................................ 3,3
Пильня съ 3-мя листами, дѣлающая 90 прорѣзовъ въ дубовомъ
деревѣ каждую минуту................................... 4,9
Круглая пила, діам. 27'/2 дюймовъ, дѣлающая 266 оборотовъ
и прорѣзающая 232 кв. дюйма въ дубѣ.................... 3,4
Круглая пила, діам. 27'/2 дюймовъ, дѣлающая 244 оборота
и прорѣзающая 1,163 квадр. дюйма въ минуту въ сосно-
вомъ деревѣ..................................... . 7,4
Фанерная пила.......................................... 0,7
Деревострогальная машина, совершающая 600 оборотовъ въ
минуту................................................ 1,5
ДеревоФальцовая машина при 600 оборотахъ въ минуту. . 1
Точильный камень 6'/„Футовъ въ діаметрѣ при 80-тн оборо-
тахъ въ минуту.......................................2,5—3,5
Фабрика для ворсованія суконъ въ 50 машинъ.............. 20
Шерстопрядильня о 2,720-тп веретенахъ.................. 9,8
Бумагопрядпльня о 26,000-хъ веретенахъ, пряжа А» 30 —40. ПО
Механическая ткацкая о 60-ти станахъ для миткаля въ 3,9
Фута шириною........................................... 8
— 129 —
Толчея съ 16-ью пестами на писчебумажной Фабрикѣ...... 2,7
Голландеръ (ролль) для писчебумажной массы, 220 оборотовъ
въ минуту............................................. 3—4
Безконечная писчебумажная машина...................... 3—4
Вертикальный жерновъ для масла, вѣсомъ въ 183 пуда, при
6-ти оборотахъ........................................ 2,7
Цилиндрическій мѣхъ, 4,26 Фута въ діаметрѣ, при скорости
поршня въ 1,8 Фута, доставляющій 11 куб. Футовъ воздуха
въ секунду.............................................. 9
Лобовой молотъ, въ 180 пудовъ вѣсомъ при 75-ти ударахъ
въ минуту.............................................. 30
Подсерёдочный молотъ, въ 40 пудовъ, при 95-ти ударахъ
въ минуту.............................................. 11
Молотъ въ 2'|2 пуда при 324-хъ ударахъ................. 5,9
Катальные станы, 6 паръ валковъ для толстаго желѣза съ 60-ью
оборотами и 8 паръ вальковъ для мелкаго желѣза съ
140-ка оборотами въ минуту...........................50—60
Катальный станъ для листоваго желѣза, съ 2-мя парами валь-
ковъ и 50-ью оборотами въ минуту.................... 25—30
Таблица XXIX.
Полезное дѣйствіе живыхъ двигателей при подниманіи тяжестей и нри работѣ на
машинахъ.
1) Человѣка, поднимаю- щагося вверхъ по лѣстницѣ и, кромѣ собственной тя- жести не несущаго ничего.. 2) Работника, поднимаю- щаго тяжести рукой. . . . Величина произво* димаго давленія. Средияя скорость въ секуя- ДУ* Работа, въ секун- ДУ- Продоі. втедь- в ость работы ВЪ 1’НЪ давъ. Работа въ продол- женіе дня.
Фуаты. Футы. Фуито- футы. Часы. Фуято- футы.
158,6 48,8 0,492 0,558 78,053 27,218 8 8 22479163,2 587916,58
Мехац. Бврвулли. 9
130 —
Величина 1 Средняя произво- і скорость Работа въ секун- ДУ- Продол- житель- ность работы въ 1-нь день. Работа внродол- женіи дня.
димаго давленія. въ секун- ДУ-
Фунты. Футы. Фунто- футы. Часы. Фунто- фугы.
3) Работника, поднимаю- щаго тяжести веревкой и опу- скающаго пустую веревку 43,9 0,656 28,819 6 622499,9
4) Работника, несущаго на спинѣ тяжести вверхъ по лѣстницѣ и возвращающаго- ся порожнякомъ 158,6 0,1312 20,814 6 449583,26
5) Работника, перевозяща- го камни тачкой по дорогѣ, имѣющей Ѵі подъема и воз- вращающагося порожнякомъ 146,4 0,0656 9,606 10 345833,28
6) Работника, вскидываю- щаго лопатой землю на вы- соту 5,25' 6,59 1,312 8,646 10 311249,95
7) Работника, приводящаго въ движепіе ступеньчатое колесо, когда онъ находится на наружной сторонѣ коле- са и когда: а) онъ стоитъ на одной высотѣ съ осью колеса. . 146,4 0,492 72,049 8 2074999,68
Ь) когда онъ стоитъ ниже оси, подъ угломъ въ 25° съ горизонтальной плоскостью, проходящею чрезъ ось. . . 29,3 2,297 67,245 8 2010316,05
8) Работника, производя- щаго круговое движеніе по- мощью рукоятки 19,5 2,461 48,032 8 1383333,12
9) Лошади, работающей у привода и идущей шагомъ. 109,8 2,953 324,219 8 9337498,56 7784450,96
10) і(1. идущей рысью . 73,2 6,562 480,324 4,5
11) Вола, движущаго при- водъ, шагомъ 12) Мула 158,6 1,9685 312,211 8 8991665,28
73,2 2,953 216,146 8 6224999,04
13) Осла 34,2 2,625 89,66 8 2582221,8
Полезныя дѣйствія этихъ четырехъ животныхъ относятся между собою какъ
100:89:67:28.
— 131 —
Таблица XXX.
Полезное дѣйствіе живыхъ двигателей при неремѣніенін тяжестей по горизон-
тальнымъ дорогамъ обыкновеннаго устройства.
Величина перемѣ- щаемаго груза. Средняя скорость въ секун- ду- Дѣйствіе въ секун- ду- Продолжи- тельность работы въ 1-нъ день. Величина дѣйствія □продолже- ніи дня.
Фунты. Футы. ФуНТОФу- ты. Часы. ФунтОФу- ты.
1) Пѣшехода, идущаго безъ ноши 2) Работника, везущаго двухколесную телѣжку и возвращающагося норож- 158,6 4,92 780,5 10 28098954
някомъ 244 1,64 400,3 10 14409720
3) гЛ. везущаго тачку . 4) Путешественника, нѣ- 146,4 1,64 240,2 10 8645832
шехода съ ношей на спииѣ. 97,6 2,461 240,2 7 6052082,4
5) Работника, перенося- щаго тяжести на спинѣ и возвращающагося порожня- комъ 6
158,6 1,64 260,2 5619790,8
6) Работника, отбрасы- вающаго лопатой землю на
разстояніе 13,12 ®ут. . . 6) Лошади, несущей грузъ 6,59 2,23 3,61 14,4 10 518749,9
иа спинѣ и идущей шагомъ. 292,2 1056,7 10 38041660,8
іЛ. идущей рысью. . . 8) Лошади, припряженной къ повозкѣ, постоянно на- груженной, рысью . . . 195,2 7,22 1408,95 7 35503949
854 7,22 6164,16 4,5 99859359,6
9) Лошади,припряженной къ телѣгѣ, постоянно на- груженной, шагомъ. . . 1708 3,61 6164,16 10 221909688
Ы. на возвратномъ пути яенагружѳнноіі .... 1708 1,97 3362,27 10 121041648
Примѣчаніе. Отсюда видно, что при перемѣщеніяхъ по горизонтальному направ-
ленію, подъ полезнымъ дѣйствіемъ разумѣется произведеніе передвигаемаго груза
(за вычетомъ вѣса повозки) на проходимое пространство. Это полезное дѣйствіе,
измѣряемое также фуитофутамн, должно отличать отъ настоящаго полезнаго дѣй-
ствія, какъ оио опредѣлено было прежде. Въ разсматриваемомъ случаѣ одинъ и тотъ
же двигатель можетъ производить рааличиое полезное дѣйствіе, смотря по состоя-
нію дороги и но употребляемой повозкѣ.
Абсолютная сила, которую обнаруживаетъ человѣкъ нри передвиженіи тяжестей,
составляетъ обыкновенно, при постоянной работѣ, отъ 17 до 24,5 фунтовъ, на ко-
роткое же время можетъ быть доведена и до 340 Фунтовъ. Сила лошади въ обы-
кновенныхъ случаяхъ равна отъ 120 до 170 фунтовъ, но можетъ быть доведена
отъ 975 до 1220 фунтовъ.
№ 13.
ИЗМѢРЕНІЕ ПОЛЕЗНАГО ДѢЙСТВІЯ ПОСРЕДСТВОМЪ ДИНА-
МОМЕТРА ПРОНИ.
Этотъ простой аппаратъ не только опредѣляетъ съ достаточною
вѣрностью полезное дѣйствіе водянаго колеса, паровой машины и т. п.»
и даетъ средство сравнивать это дѣйствіе съ теоретической работой
двигателей, но можетъ показать еще, какъ велико должно быть дѣй-
ствіе для того, чтобы какую нибудь машину привести въ движеніе
или исполнить извѣстную работу, и какъ велика часть работы, кото-
рая теряется при передачѣ движенія вслѣдствіе тренія и другихъ
сопротивленій.
Основная мысль этого способа опредѣленія работы состоитъ въ
томъ, что сила работающаго вала уравновѣшивается (поглощается)
треніемъ, и что опредѣляется моментъ этого тренія.
Аппаратъ состоитъ изъ двухъ полуцилиндрическихъ подушекъ аа,
которыми обхватывается валъ с, или хомутъ, укрѣпленный на немъ, къ
— 133 —
одной изъ подушекъ прикрѣпленъ рычагъ Ъ, на концѣ котораго ви-
ситъ чашка для принятія гирь.
Обѣ иодушкн помощью винтовъ « 5 крѣпко прижимаются къ валу,
такъ что если въ чашку не положены гири, то валъ, съ принадлежа-
щей ему скоростью, приведетъ рычагъ во вращательное движеніе.
Но въ чашку кладется столько гирь, сколько нужно для того, что-
бы вѣсъ ихъ удерживалъ рычагъ въ горизонтальномъ положеніи (ес-
ли валъ горизонтальный), причемъ валъ принужденъ бываетъ сколь-
зить въ подушкахъ. При этомъ нужно принять во вниманіе также
вѣсъ прибора, который можно вообразить сосредоточеннымъ въ цен-
трѣ тяжести его и который нужно перенести въ точку приложенія
гирь, т. е. къ вѣсу гирь нужно прибавить вѣсъ прибора, умножен-
ный на дробь, выражающую отношеніе разстоянія центра тяжести
отъ вала къ длинѣ I рычага (считая длину до точки прикрѣпленія
чаши). Назовемъ вѣсъ гирь, вмѣстѣ съ измѣненнымъ такимъ обра-
зомъ вѣсомъ прибора чрезъ Р, то искомое полезное дѣйствіе двига-
теля выразится чрезъ Р, умноженное на скорость рычага, которую
онъ имѣлъ бы, если бы могъ слѣдовать за движеніемъ вала. Если
горизонтальное разстояніе точки прикрѣпленія чашки отъ центра
вала = I, и число оборотовъ вала въ минуту = п, то скорость рычага
въ минуту (т. е. точки привѣса чашки) была бы = 2 ~1п, а потому по-
лезное дѣйствіе въ секунду
ПІпР . т.І
зсГ ’ или — збГбоо ’ "
лошадинымъ силамъ, если I выражено въ футахъ и Р въ фунтахъ.
Если при всѣхъ опытахъ I имѣетъ постоянно одинаковую величи-
ну, то дробь остается безъ перемѣны и можетъ быть вычислена
разъ навсегда; остается тогда ее умножать только па п. п Р.
Примѣрь. Длина рычага положимъ = 13,1236' и валъ, на который насаженъ при-
боръ, при первомъ опытѣ дѣлаетъ 15 оборотовъ въ минуту, не приводя въ дви-
женіе никакого механизма. Сила, нужная для удержанія рычага въ горизонталь-
номъ положеніи вмѣстѣ съ вѣсомъ рычага и чашки = 366 ф., тогда полезное
. 3,14.13,1236
дѣйствіе вала — глх— • 15-366 = 12,56 лошадки, силамъ.
□О.оОО
Если, нажимая больше или меньше подушки на валъ и измѣняя сообразно съ
этимъ число гирь въ чашкѣ, замѣтимъ при каждоиъ такомъ измѣненіи скорость
пала и опредѣлимъ для каждаго случая полезное дѣйствіе его, то можно будетъ
опредѣлить ту скорость, которую долженъ имѣть валъ для того, чтобы произво-
дить наибольшее полезное дѣйствіе.
— 134 —
Если наир. болѣе крѣпкимъ нажиманіемъ подушекъ сила, удерживающая ры-
чагъ въ горизонтальномъ положеніи, вмѣсто 366 Фунтовъ сдѣлается = 395,28 ф. и
ватъ дѣлаетъ при этомъ только 13 оборотовъ въ минуту, то полезное дѣйствіе его
въ этомъ случаѣ будетъ:
3,14.13,1236 „ „„„
'1 ол ------- 13.395,28 = 11,757 лошад, силамъ:
сдѣдоват. первая скорость въ 15 оборотовъ гораздо выгоднѣе.
Предположимъ теперь, что валъ соединенъ со всѣми передаточными механиз-
мами (приводомъ, исключая тѣхъ, которые производятъ дѣйствительную работу, и
что сила, удерживающая рычагъ въ горизонтальномъ положеніи — 434,8 ф. а валъ
дѣлаетъ только 11 оборотовъ въ минуту, то остающееся еще безъ употребленія
полезное дѣйствіе
3,14.13,1236 ,п..
~ пл — 11.434,8 = 10,44 лошад. силамъ;
ЗЦ.ОІЮ
слѣдовательно на приведеніе въ ходъ привода нужно 12,56—10,44 = 2,12 лошади-
ныхъ силъ.
Предположимъ теперь, что всѣ машины пущены въ ходъ, что передаточные ме-
ханизмы приводятъ въ движеніе, иапр. 100 прядильныхъ станковъ со всѣми при-
надлежностями, и сила Р въ зтомъ случаѣ — 104,92 ф., а валъ дѣлаетъ въ минуту
10 оборотовъ, то остающееся еще полезное дѣйствіе, расходуемое на другія ра-
боты, составляетъ
3,14.13,1236 ,П1Л.
оайлл~ • 10.104,92 =2,4 лошад. силъ;
сдѣдоват. на приведеніе въ дѣйствіе станковъ нужно
10,44 — 2,4 = 8,04 лошад. силъ.
Практическія замѣчанія относительно употребленія динамометра.
1) Обѣ подушки вмѣстѣ съ рычагомъ дѣлаются обыкновенно изъ дерева, хо-
мутъ изъ чугуна, гладко обточеннаго. Для того, чтобы приборъ можно было на-
кладывать на валъ, пе вынимая его изъ подшипниковъ, обѣ подушки устроены
такъ, что совершенно отдѣляются одна отъ другой и соединяются четырьия крѣп-
кими винтами.
2) Для того чтобы, при сильномъ нажиманіи, ие было скользеиія муфты по
валу, она должна быть соединена съ нимъ самымъ прочкыиъ образомъ. Лучше
всего если она сдѣлана по размѣрамъ вала и соединяется съ иимъ одною шпон-
кою. Но для того, чтобы тотъ же приборъ могъ служить для валовъ различной тол-
щины, а также и для необточенныхъ валовъ, удобнѣе прикрѣплять къ нему хо-
мутъ крѣпкими винтами или, еще лучше, четырьмя закрѣпами.
3) Винты з з во все время опыта должны быть такъ устанавливаемы, чтобы
валъ ммѣлъ возможно правильное движеніе, потому что тогда только можетъ
быть съ точностью опредѣлена скорость его, соотвѣтствующая извѣстиоиу нажи-
манію.
— 135
4) Для того, чтобы ату установку винтовъ легко было совершать, и для того
чтобы, вслѣдствіе тренія, ие происходило сольнаго нагрѣванія му«ты (хомутъ), не-
обходимо, чтобы она имѣла въ діаметрѣ не менѣе 1*/з нлн 2 «утовъ; нагрѣваніе
должно отстранять постояннымъ смачиваніемъ му«ты мыльвой водой.
5) Чашка съ гирями можетъ быть замѣнена одной постоянной гирей, передви-
гаемой вдоль рычага; въ этомъ случаѣ величина I перемѣнная и для измѣренія ея
могутъ быть сдѣланы на рычагѣ дѣленія, какъ въ римскихъ вѣсахъ.
6) Для того, чтобы, при случайномъ увеличеніи силы двигателя, не произошло
вращеніе рычаги, опаснаго для наблюдателя, нужно укрѣпить какимъ-нибудь обра-
зомъ рычагъ такъ, чтобы онъ могъ измѣнять свое положеніе только между не-
большими предѣлами.
7) Чтобы ири зтихъ опытахъ получать вѣрные результаты, необходимо прини-
мать во вниманіе вѣсъ рычага; такъ-какъ этотъ вѣсъ распредѣленъ приблизитель-
но равномѣрно но всей длинѣ, то половина его должна быть прибавлена къ вѣсу
гирь.
Ѳ) Если приборъ насаживается на вертикальный валъ, какъ иапр. при опредѣ-
леніи работы турбинъ, то чашка съ гирями соединяется съ рычагомъ посредствомъ
веревки, прикрѣпленной къ концу рычага н перекинутой чрезъ неподвижный блокъ,
котораго ось параллельна длинѣ рычага; въ этомъ случаѣ, конечно, вѣсъ рычага
не берется въ разсчетъ.
№ и.
О ЖИВОЙ СИЛЪ ТЪЛА.
Если тѣло свободно падаетъ съ высоты Л и въ концѣ паденія прі-
обрѣтаетъ скорость ®, то
, с2
Во все время паденія на тѣло дѣйствуетъ постоянная сила — вѣсъ
Р тѣла, который есть причина движенія, потому работа, произведенная
этой силой, будетъ
Р /і——’
Ръ*
Величина -5— показываетъ, какъ велика должна быть работа для
2 У
того, чтобы вывести тѣло изъ состоянія покоя и сообщить ему ско-
рость ѵ.
Эта работа издерживается, слѣдовательно, на ускореніе массы, на
преодолѣніе ея инерціи, а не какого-либо другаго сопротивленія; она
сохраняется въ тѣлѣ, скопляется въ немъ, какъ напр. вода въ резер-
вуарѣ, такъ-что, встрѣчая на пути препятствіе, тѣло, прежде нежели
придетъ въ состояніе покоя, истратитъ для преодолѣнія его столько
же работы, сколько получило.
Рѵ2
Величина-х—, называется живою силою (Гогсѳ ѵіѵе) тѣла,
лу
Если бы тѣло было выведено изь состоянія покоя и получило ско-
рость ® отъ дѣйствія какой-либо другой постоянной или перемѣнной
силы, въ большій или меньшій промежутокъ времени, то результатъ
былъ бы тотъ же: тѣло содержало бы въ себѣ одинаковое количе-
ство работы.
— 137 —
Если скорость ѵ, пріобрѣтенная тѣломъ, измѣняется въ К, то по-
слѣдней скорости соотвѣтствуетъ живая сила ^-А72, а начальной с си-
лу
ла а потому приращеніе живой силы вслѣдствіе измѣненія ско-
лу
р
рости г въ V будетъ (РЧ2).
р
Примѣчаніе. Въ теоретической механикѣ величина — выражаетъ массу тѣла').
Если обозначимъ послѣднюю чрезъ М, то живая сила = Мѵ-, т. е. равна произве-
денію массы на квадратъ скорости.
Примѣръ 1. Какова должна быть работа пороховаго газа, который шестифунто-
вому ядру сообщаетъ скорость = 1640 Футамъ въ секунду?
Въ этомъ случаѣ Р=6,о •= 1640, у=32,2, потому работа = ^'^2 =250552,8
ф. ф.=417, 3 лошад. силамъ.
Примѣръ 2. Какъ велика работа пара, который выводитъ локомотивъ изъ со-
стоянія покоя и сообщаетъ ему скорость = 32,8 Футамъ, предполагая, что преодо-
лѣвается только инерція массы локомотива, и никакія другія сопротивленія?
Предположивъ вѣсъ локомотива = 36600 ф., находимъ живую силу его, и слѣдо-
вательно работу пара = =611424,96 ф. ф.—1018,35 лошад. силамъ.
Примѣръ 3. Если этотъ локомотивъ прошелъ пространство = 656,18', прежде
нежели достигъ скорости = 32,8’ и если треніе составляетъ ’/гоо вѣса локомотива,
то какъ велика должна быть работа на этомъ пространствѣ для ускоренія массы
и для преодолѣиія тренія?
Постоянная величина тренія = = 183 ф., работа этой силы = 183.656,18 —
120080,94 ф' =200 л. с. На ускореніе массы по предъидущему примѣру нужна
работа = 1018,35 л. с., потому вся работа = 1018,36-+-200 = 1218,35 л. с.
Слѣдовательно, при пусканіи локомотива въ ходъ, слишкомъ въ 5 разъ боль-
шая работа идетъ па ускореніе массы, чѣмъ иа иреодолѣніе тренія.
Если на прохожденіе пространства 656,18’ потребовалось 40 секундъ, то дѣй-
1218,35
ствіе пара (въ секунду) =—— = 30,46 л. с.
Если, начиная съ этого мгновенія, скорость должна оставаться постоянною, то
нужно преодолѣвать только треніе, а для этого дѣйствіе машины должно быть
= 183.32,8 = 600,4 ф’ = 10 л. с.
Примѣръ 4. Какое пространство могъ бы пройти этотъ локомотивъ, вслѣдствіе
накопленной впродолжеиіп 40 секундъ живой сиды, пока треніе не остановитъ
его?
Живая сила локомотива (по примѣру 2) = 611424,96 ф.ф. Постоянное сопротивле-
611424,96 „„
иіе тренія = 183 ф., потому искомое пространство =----— = 3341,12 ф.
Іоо
’) Чаще массою М называютъ дробь — •
— 138 —
Примѣрь 5. Какъ велика работа пожарной трубы, которая въ секунду выбра-
сываетъ 24,4 ф. воды со скоростью — 49,2'?
Дѣйствіе трубы = —= 917,1 ф.ф.
Сюда не включена, конечно работа, которая издерживается на другія сопротив-
ленія, иапр. на преодолѣніе тренія воды при движеніи ея внутри трубы и др.
Примѣръ 6. Какъ велика работа, которую можетъ произвести текущая вода,
когда въ секунду чрезъ какое-иибудь сѣченіе протекаетъ 2440 ф. со скоростью
6,66' ф. ?.
2440 6 562
Дѣйствіе этой воды =—5-3^5— =1630,2ф.ф. = 2,7л.с.
Примѣръ 7. Какая живая сила заключена въ чугунномъ ободѣ маковаго колеса,
котораго средній радіусъ = 9,19', площадь разрѣза обода = 0,323 □' и колесо дѣ-
лаетъ 40 оборотовъ въ минуту?
Вѣсъ обода = 29,19.3,14.0,323.500 ф. = 9340 ф.
л 2.3,14.9,19 40
Скорость его = —2-----------= 38,45 ;
оО
а потому живая сила = ^^2'22’2^ — 214414,27 ф.ф. = 357,35 лошад. силъ.
№ 15.
О СОПРОТИВЛЕНІЯХЪ.
I. О треніи скользенія.
Сопротивленіе, противополагаемое треніемъ движенію, происходитъ
отъ шероховатостп соприкасающихся поверхностей.
Треніе бываетл. двоякаго рода; треніе скользенія и треніе катяща-
гося тѣла. Первое происходитъ, когда одно тѣло скользитъ по дру-
гому; второе, когда круглое тѣло движется не скользя (катится) по
какой-нибудь поверхности. Первое гораздо значительнѣе втораго.
Для обоихъ родовъ тренія найдены опытомъ слѣдующія правила:
1) Треніе бываетъ тѣмъ меньше, чѣмъ тверже и глаже трущіяся
поверхности. Оно значительно уменьшается отъ смазыванія этихъ по-
верхностей саломъ, маслбмъ, графитомъ и т. п.
Для большихъ давленій кидкая смазка не годится, и если трущіяся поверхно-
сти круглы, то треніе отъ смазки очень мало уменьшается. Впрочемъ, чѣмъ
меньше давленіе, тѣмъ мягче и жиже должна быть смазка.
2) Треніе въ началѣ движенія гораздо значительнѣе, чѣмъ во все
остальное время. Въ практикѣ этотъ избытокъ не принимается во
вниманіе, потому-что продолжается только нѣсколько мгновеній.
По Куломбу, треиіе въ началѣ движенія относится къ тренію во время движенія
для дубоваго дерева какъ 4,3:1; для металловъ оба тренія почти равны, въ осо-
бенности, если трущіяся поверхности ие смазаны.
3) Треніе прямо пропорціонально давленію трущагося тѣла. Отно-
шеніе тренія къ давленію для одного и того же случая и при одина-
ковыхъ обстоятельствахъ постоянно, но въ разныхъ случахъ, оно за-
виситъ отъ свойства трущихся тѣлъ и оть смазки. Эго отношеніе
называется коэффиціентомъ тренія.
— 140 —
Если К выражаетъ величину тренія, Р величину давленія и /'коэф-
фиціентъ тренія, то
Г=~,Іі = ГР.
Слѣдовательно, чтобы найти величину тренія двухъ тѣлъ, достаточно знать
давленіе одного тѣла (движущагося) на другое; это давленіе нужно умножить на
коэффиціентъ тренія, который опытомъ опредѣленъ для всякаго отдѣльнаго случая;
произведеніе даетъ величину тренія.
Если напр. одно тѣло давитъ на другое силой=100 ф. и треніе между ними
= 10 ф., то коэффиціентъ тренія = 0,1. Но если бы коэффиціентъ треиія
былъ=0,2, то треніе было бы = 100.0,2 = 20 ф.
4) Треніе не зависитъ отъ величины соприкасающихся поверхно-
стей. Но тѣла тѣмъ скорѣе сглаживаются, портятся, чѣмъ меньше,
при одинакихъ прочихъ обстоятельствахъ, величина трущейся поверх-
ности.
Если напр. при давленіи Р, вся площадь сокрикосиовенія=50 кв. дюйм. и да-
вленіе равномѣрно распредѣлено по всей площади, то на одинъ кв. дюймъ при-
ходилось бы Р X до, » Для поверхности, иапр. въ 10 кв. дюймовъ давленіе на 1 кв.
дюймъ было бы у() Р, слѣдоват. въ 5 разъ больше. Въ обоихъ случаяхъ величина
треиія одинаковая, но во второмъ случаѣ поверхность гораздо скорѣе сглажи-
вается, нежели въ первомъ.
5) Величина тренія не зависитъ отъ скорости движенія трущихся
тѣлъ, т. е. треніе будетъ одинаково, скользитъ ли медленно или бы-
стро одно тѣло по другому; но во второмъ случаѣ гораздо большая
часть работы поглощается треніемъ, и вообще работа, поглощаемая
треніемъ, пропорціональна скорости. Эта работа равна величинѣ тре-
нія, умноженной на скорость движущагося тѣла.
6) Треніе между однородными тѣлами нѣсколько больше, нежели
между разнородными, при одинаковыхъ прочихъ обстоятельствахъ.
Примѣрь. Сани вѣсомъ въ 610- фунтовъ двигаются по горизонтальной дорогѣ
со скоростью = 6,56 Футамъ. Какъ велико треніе и работа, поглощаемая имъ,
если принять коэффиціентъ тренія = 0,35.
Давленіе саней на дорогу Р=610 ф.
Треніе /?=/• Р=0,35.610=215,5 ф.
Дѣйствіе треиія въ секунду = 215,5.6,56 = 1413,68 ф. ф.= 2,35 л. с.
7) Если тѣло лежитъ на наклонной плоскости въ такомъ состояніи,
что малѣйшее увеличеніе наклоненія заставляетъ тѣло скользить
внизъ, то этотъ уголъ а, образуемый наклонной плоскостью съ гори-
зонтомъ, называется угломъ тренія. Тангенсъ этого угла всегда ра-
венъ коэффиціенту тренія, т. е. іда = /. Такъ, если напр. С— 0,14,
то по таблицѣ ХѴП, а = 8°, потому что Ід 8° = 0,14. И наоборотъ, при
а = 8", /=0,14.
141
Таблица XXXI.
КоеФФНціенты тренія скользенія во время движенія.
Названіе тѣлъ. Положеніе волоконъ. Состояніе поверх- ности. Коэффи- ціентъ тренія.
Дубовое дерево по дубовому Ясень, сосца, букъ по дубу. Кожаииый ремень по дубовому шкиву Пеньковый канатъ | Желѣзо по дубу < Чугунъ по дубу Дубленая кожа по чугуну или! бронзѣ ' Чугунъ по чугуну . , . . . Желѣзо по чугуну Чугунъ по бронзѣ Желѣзо но бронзѣ Бронза но бронзѣ Чугунъ, желѣзо, бронза, сталь, твердое дерево, сами съ собой или другъ по другу. 1 Параллельны. Перпендикулярны Параллельны. 9 9 Перпендикуляр- ны. Параллельны. » и » 9 9 Плашмя 1 или < ребромъ. * ! сухая смочена водою . . безъ смазки . . . 9 9 смочена 9 безъ смазки. . . . натерта мыломъ . . безъ смазки . . . смочена водой. . . натерта мыломъ . . безъ смазки . . . смочена водой. . . смоч. жиромъ и водой смазана масломъ . . немного жира. . . смочена сухая 9 9 9 чуть жирна. . . . смазана обыкновен- нымъ образомъ . . смазываемые безпре- рывно 0,48 0,34 0,25 0,36—0,40 0,27 0,52 0,33 0,26 0,62 0,21 0,49 0,22 0,19 0,56 0,36 0,23 0,15 0,15 0,31 0,18 0,15 0,17 0,20 0.15 0,07—0,08 0,054
Изъ опытовъ Ренни о треніи по льду слѣдуетъ, что оно значительно умень-
шается съ увеличеиіеиъ давленія. Такъ коэффиціентъ тренія равенъ:
Іпри давленіи въ 1,5 ф. = 1І8
Л.
> » въ 144 ф. = ’/з»
Іпри давленіи въ 1,5 ф. = ‘ь.
,,. і,
» > въ 144 ф. = 7,о.
П. О треніи осей.
Преніе осей есть треніе скользенія, а потому величина его опредѣ-
ляется по правиламъ предъидущаго отдѣла.
Чтобы опредѣлить работу, теряемую, вслѣдствіе тренія горизон-
тальной оси, эксцентрика и т. п., нужно скорость на окружности вра-
щающагося тѣла умножить на величину тренія.
142 —
Въ вертикальныхъ осяхъ, треніе и теряемая работа, при одинако-
выхъ обстоятельствахъ ’/3-ю меньше, чѣмъ въ горизонтальныхъ.
Примѣрь. Какъ велико дѣйствіе, теряемое вслѣдствіе тренія шиповъ маховаго
колеса, когда вѣсъ колеса вмѣстѣ съ осью = 10980 ф., толщина шиповъ =7 д.; ле-
жатъ они въ бронзовыхъ подшипникахъ, смазываются саломъ и дѣлаютъ вмѣстѣ
съ колесомъ 100 оборотовъ въ млиуту:
здѣсь слѣдуетъ принять . . . . / = —•>
а потому
скорость
Если
„ 10980 (1,к
=916 *’
иа окружности шиповъ = 3,14.0,7.-^°= 32/3 ф.,
теряемое дѣйствіе = 32/3 X 915 = 3355 ф. ф.
величина тренія. .
вѣсомъ
а потому
бы кромѣ маховаго колеса, на ось было насажено зубчатое
, Ю980-*-3660 14640
въ 3660 ф., то треніе было бы =-------—-----=—= 1220 ф.
ІЛ Лл
колесо,
и те-
ряемое дѣйствіе = 32/3 X 1220 = 4473,3 ф. ф. = 7,4 лош. стамъ.
Если бы, вмѣсто 7 дюймовъ, оси были толщиной въ 9 дюйм., то хотя по пра-
вилу 4 треиіе осталось бы то же самое, но скорость на окружности была бы не
Зг/3 ф., а 4,7 ф., и теряемое дѣйствіе = 9% лошад. силамъ. Отсюда видно, какъ
вредно давать шипамъ излишнюю толщину; длина же не имѣетъ вліянія на поте-
рю работы.
III. Треніе камня о камень.
По опытамъ Ронделе (Нопсіеіеі), хорошо обточенные камни начина-
ютъ скользить по наклонной плоскости только при наклоненіи отъ
28° до 36°.
Такъ-какъ Іап^. 28°=0,5317 иіапв-360 = 0,7265, то этимъ угламъ
соотвѣтствуютъкоэФФиціенты тренія 0,53 и 0,73.
Для стѣны, построенной на бетонномъ фундаментѣ, коэффиціентъ
тренія, по Мери, = 0,76; если же она выложена на естественномъ
грунтѣ, то коэффиціентъ = 0,57.
Во всѣхъ постройкахъ, въ особенности же въ тѣхъ, которыя дол-
жны выдерживать значительное горизонтальное давленіе, необходимо,
чтобы коэффиціентъ тренія имѣлъ какъ можно большую величину;
треніемъ поддерживается равновѣсіе сводовъ, мостовъ, подпоръ, стѣн-
ныхъ обшивокъ и т. п.
IV. Треніе колесъ экипажей по ц рогамъ. (Треніе катящихся тѣлъ.)
Величина сопротивленія движенію экипажей по дорогамъ, вмѣстѣ
съ осевымъ треніемъ колесъ, была опредѣлена Мореномъ помощью
точныхъ опытовъ, которыхъ результаты изложены въ слѣдующей
таблицѣ.
— 143 —
Таблица ХХХП.
Коэффиціенты тренія колесъ этажей по дорогамъ.
е». “ЙІ
Состояніе дороги. Ні «а п § с И б и а —• в « «а « ів м Треніе колесъ почтовыхъ
Треві арти; По Трені игру повозо экипажей (каретъ.)
а) Шоссе.
1. Нѣсколько влажное съ раз- [ шагомъ . > . і/ • /33»?
бросаннымъ кое-гдѣ щебнемъ. 7з8,7 7« рысью ..44 • /з«»8
2. Очень твердое и мокрое съ 1 быстрой рысью. 7,4,
шагомъ . . . . '/40,8
большими кусками щебня . . ѴбОуВ 748,8 рысью.... • /а«,8
быстрой рысью. • ’/аз.п
шагомъ . . . • 7гі
3. Твердое съ колеями и грязью. ’А 4,(1 */25,8 ' рысью .... ‘ /іН»5
быстрой рысью. • 7і;,з
4. Сильно изъѣзженное съ гус- шагомъ . . .
тою грязью 7,0,8 7,1,8 ; рысью.... 7і.
5. Сильно изрытое, съ колеями въ быстр. рысью . • 7-5
0,2 ф. и 0,26 ф. глубины, н 7«« шагомъ . . . • 7.3,1
густою грязью рысью .... • 7,2,4
быстр. рысью . 711,8
6. Очень дурное, колеи въ 0,3 ф. 1
и 0,4 ф. глубины, густая грязь, 7,4,3 714,8 шагомъ . 7ѵ>,з
иочва твердая и неровная . . рысью .... ‘ /10>5
Мостовая. 1 шагомъ. . . 7«з
1. Очень хорошая 7, о 7,4,5 । рысью. . • 7.з
2. Парижская мостовая изъ фои- быстр. рысью . • ’/3»2
/«9)8 1 шагомъ . . . . ’/з»
тенблоскаго песчаника, сухая . 7«4-8 рысью .... \зв
1 быстр. рысью .
с) Деревянная настилка моста . . ’/4В,8 /4»>8 шагомъ н рысью • /40,4
V. Несгибаемость (жесткость) веревокъ.
Если веревкой, перекинутой черезъ блокъ или валъ, должна быть
поднята извѣстная тяжесть, то часть веревки, ложащаяся на валъ илп
блокъ, должна сгибаться, а часть веревки, оставляющая валъ, разги-
баться въ прямую линію. Это сгибаніе п разгибаніе, производящее
треніе между частями веревки, поглощаетъ извѣстную часть силы
которая идетъ на преодолѣніе жесткости веревки. Жесткость тѣмъ
больше, чѣмъ толще веревка, чѣмъ больше натяженіе ея и чѣмъ мень-
ше діаметръ вала или блока.
— 144 —
Формулы, служащія къ опредѣленію величины жесткости, большею
частью очень сложны и невѣрны, вслѣдствіе измѣняющихся обстоя-
тельствъ. По Эйтельвейну величина жесткости подержанныхъ канатовъ
можетъ быть выражена приблизительно такой Формулой:
з= о;і8
гдѣ выражаетъ вѣсъ поднимаемаго груза въ килограммахъ,
X/ 'ІІДыЛІѵ л) ЛЭСіЛСѵ
Примѣра. Грузъ вѣсомъ въ 500 килогр. поднимается веревкой въ 4 центим.
перекинутой черезъ блокъ, котораго діаметръ=40 центим.; какъ велика несги-
баемость веревки?
4 4
5= 0,18.500 . = 36 килогр.
Слѣдовательно сила, поднимающая грузъ, должна быть по-крайнѳй-мѣрѣ = 500
-+- 36 = 536 килограммамъ, не считая еще тренія осей.
Примѣчаніе. Статья о жесткости веревокъ изложена авторомъ крайне неудо-
влетворительно въ научномъ отношеніи. Любопытствующіе найдутъ подробныя
свѣдѣнія объ этомъ предметѣ въ сочиненіи Морена: Моііопз Гоипйаіпепіаіез 4е
шёсапіцие, 1855 г., стр. 316 н слѣдующія. Ред.
5 = 0,44<?^,
если Ц выражено въ «утахъ, Л и Р въ дюймахъ.
№ 16.
О ПРОСТЫХЪ МАШИНАХЪ.
Машиною называется всякій приборъ, посредствомъ котораго сила
преодолѣваетъ другія силы или сопротивленія, кт> нему приложенныя.
Тѣ точки машины, къ которымъ приложены силы, называются
точками приложенія силъ. Еслп машпна пущена въ ходъ, то всякая
Н37> этихъ точекъ приложенія движется съ извѣстной скоростію.
Произведеніе силъ на скорости пхт> точекъ приложенія *) выразитъ
дѣйствіе этпхч. силъ (см. отдѣли, о механической работѣ).
Прп равномѣрномъ ходѣ машины, во всякое время, сумма дѣй-
ствій движущихъ силъ равна суммѣ дѣйствій сопротивляющихся
силъ.
Поэтому,если сопротивленіе будетъ напр. вчетверо больше сиди движущей, то
точка приложенія послѣдней должна двигаться въ четыре раза быстрѣе, нежели
точка приложенія сопротивленія. Только такимъ образомъ малая сила въ состоя-
ніи преодолѣть большое сопротивленіе, пли медленное движеніе силы движущей
произвести быстрое движеніе силы сопротивляющейся. И только такимъ образомъ
нужно понимать слова, что какая-нибудь машина даетъ выигрышъ въ силѣ или
скорости. Выигрышъ въ силѣ возможенъ только при соотвѣтствующей потерѣ
въ скорости; и наоборотъ, выигрышъ въ скорости предполагаетъ соотвѣтствую-
щую потерю силы. Сила въ 10 Фунтовъ можетъ уравновѣсить силу во 100 Фун-
товъ, при условіи въ 10 разъ большей быстроты точки своего приложенія.
Такъ-какъ машины обыкновенно состоять изъ разнообразнаго со-
четанія немногихъ простыхъ машинъ, то для опредѣленія выигры-
ша, пли потери силы скорости какой-нибудь машины, нужно умѣть
опредѣлять выигрышъ пли потерю, производимую каждою простою
машиною.
Этн скорости должны быть проектированы па паправлепія силъ въ томъ
случаѣ, когда направленіе движенія не совпадаетъ съ направленіемъ силы. 1\д.
Мѳхав. Бериуллв. Ю
— 146
Этп прсстыя части составной машины называются иногда меха-
ническими дѣятелями, н число ихъ можно привести кт> шести, а
именно: рычагъ, колесо съ валомъ (воротъ), блокъ, наклонная плос-
кость, клипъ и впитъ.
А. Рычагъ.
Рычагами называется негибкій брусокъ, на который дѣйствуютъ
силы, стремящіяся вращать его въ противоположныя стороны около
одной неподвижной точки. Перпендикуляры, опущенные изъ непо-
движной точки (точки опоры) на направленія силъ, называются
плечами рычага.
1. Рычагъ при дѣйствіи двухъ силъ. Предположимъ, что силы
Р п дѣйствующія на рычагъ, находятся въ равновѣсіи, тогда
при вращеніи рычага механическія работы обѣихъ силъ будутъ
равны. Если пространства, проходимыя въ одинаковое время обѣими
силами Р и (}, равпы V и ѴИ то должно быть:
Р.Ѵ^Ѵ.Ъ-,
а такъ-какъ эти пространства пропорціональны плечамъ р п у,
или разстоянію силъ отъ неподвижной точки, то вмѣсто прежняго
уравненія получаемъ:
Р.р
или = у.р.
Произведеніе силы на принадлежащее ей плечо (Р.уд и (?. у)
называется апатическимъ моментомъ силы. Слѣдовательно, между
двумя силами, дѣйствующими на рычагъ, существуетъ равновѣсіе,
когда эти моменты равны, или когда силы обратно-про порціональны
соотвѣтствующимъ плечамъ.
Въ представленныхъ здѣсь рычагахъ, непод-
вижная точки обозначена чрезъ А. По черте-
жамъ видно, что эта точка можетъ находиться
между точками приложенія двухъ силъ или па
продолженіи линіи, соединяющей точки прило-
женія; по въ обоихъ случаяхъ величина плечъ
считается отъ неподвижной точки перпендику-
лярно иъ направленію силъ.
Примѣръ 1. Если къ плечу у = 1,97 ф. привѣшенъ грузъ = 244 *ун., то к.ікъ
велика должно быть сила, уравновѣшивающая его, когда плечо ея — 4,92 *.?
„ „ О. а 244.1,97 „
Сила Р= — = 97,6 Фунта.
р 4,92
Примѣръ 2. Силой въ 50 ф. прн помощи рычага въ 10 Фут, желаютъ поднять
тяжесть въ 350 ф., гдѣ должна быть помѣщена точка опоры?
— 147 —
Мы имѣемъ:
р -+- д = 10 *ут.
и р : д = 350: 50=7 :1; отсюда
р = 7, д = 7(10—р)=70—7 р.
или 8 р = 70, и р = 8,75 фут.
такъ велико должно быть плечо силы, т. е. на такомъ разстояніи отъ точки при-
ложенія силы должна быть положена подпора, если не принимать во вниманіе
вѣсъ самаго рычага.
2) Равновѣсіе рычага при дѣйствіи многихъ силъ. Назовемъ силы,
стремящіяся вращать рычагъ въ одну сторону чрезъ и @г, въ про-
тивоположную чрезъ Р} Р2 Р3, плечи пхъ пусть будутъ д, и ді}
р„ р2 и р3; равновѣсіе рычага будетъ, когда сумма моментовъ силъ
дѣйствующихъ въ одну сторону, равна суммѣ моментовъ силъ, дѣй-
ствующихъ въ другую, т. е.
РіРі +* Р2Р2 Р^Рз ~ ЯіЧі ЯгУг-
Изъ десяти величинъ, входящихъ въ это уравненіе, одна можетъ
быть опредѣлена, когда девять другихъ даны.
Лриміьръ. Положимъ Р, = 24,4, Р3 = 73,2, Рг = 97,6 Фунтамъ, д = 122
рі = 6,56'; р3 = 4,92’; р3 = 1,97’; д3 = 3,94’; д3 = 2,62'; требуется вайти ве-
личину д3.
По Формулѣ: 24,4 . 6,56 -+- 73,2 . 4,92 -+- 97,6 . 1,97 = д . 3,94 -+-122.2,62,
или 712,48 = д3 . 3,94'-+- 320,22;
,, 712,48—320,22 пп ..
отсюда (?, =.- 334—’—= 99,56 фунта.
3. Колѣнчатый рычагъ. Если силы Р и ф перпендикуляры къ ча-
стямъ АС и АВ (ф. 1-я) рычага, то эти части будутъ и плечами
силъ. Въ противномъ случаѣ проводимъ линіи АВ н АС перпен-
дикулярно къ направленію силъ Р и б (ф. 2-я); эти перпендикуляры
будутъ плечи силъ.
Для равновѣсія имѣемъ, какъ п прежде:
Р . АС = Ц . АВ.
— 148 —
4. Сложный рычагъ. Если
томъ ВВ, и если, напр.
рычаги ЛВ и СВ соединены еще пру-
плечо КВ въ 6 разъ больше Л'(?,
» ЛР» 5 » » кВ, то
р=О к(^.кВ___д 1
Ч'КВ.кР узо‘
Слѣдовательно силой Р— 50 ф. можетъ быть поднятъ грузъ=
50.30 = 1500®.; но зато $ поднимается только паі д., когда сила
Р проходитъ пространство въ 30 д.
В. Блокъ.
1. Неподвижный блокъ можно разсматривать какъ рычагъ съ рав-
ными плечами; а потому равновѣсіе будетъ въ томъ случаѣ, когда
сила равна грузу.
Если принимать во вниманіе еще несгибаемость веревки, или ремня, н осевое
треніе, то сила должна быть больше поднимаемаго груза. Такіе блоки служатъ
большею частію къ тому, чтобы измѣнить направленіе силы, и потому называ-
ются еще направляющими блоками.
2. Подвижной блокл находится въ равновѣсіи, когда спла равна
половппѣ груза.
3. Сложный блокъ состоитъ изъ сочетанія извѣстнаго числа по-
движныхъ и неподвижныхъ блоковъ.
Сила, уравновѣшивающая грузъ, прикрѣпленный къ такой системѣ
блоковъ, должна быть равна грузу, раздѣленному на двойное число
подвижныхъ блоковъ.
Если число подвижныхъ блоковъ, напр. = 4, то сила должна быть въ 2.4 = 8
разъ меньше груза. Но зато и скорость ея въ 8 разъ больше скорости груза.
С. Воротъ.
Воротъ можно разсматривать какъ такого рода рычагъ, котораго
неподвижная точка лежитт> между точками приложенія силы и груза;
въ случаѣ равновѣсія, спла, приложенная къ окружности колеса,
должна относиться къ грузу, привѣшенному къ окружности вала,
какъ радіусъ вала относится къ радіусу колеса.
Примѣръ. Сколько нужно силы, чтобы поднять грузъ въ 1200 фунтовъ, при-
вѣшенный къ валу въ 7" діаметра, и если діаметръ колеса = 11'/г' •
— 149 —
Если не принимать во вниманіе жесткости веревки и осеваго
тренія, то силу Р найдемъ изъ пропорціи:
Р: 1220 = 7:138, отсюда
1> = .7.1.229= 61,88 ф.
138 ’
Если веревка, къ которой привѣшенъ грузъ, очень длинна, то вѣсъ
ея увеличиваетъ величину сопротивленія, которое должна преодолѣть
сила, пе измѣняя, впрочемъ, соотношенія между силой и сопротивле-
ніемъ. При постепенномъ наматываніи каната на валъ, величина
сопротивленія постоянно уменьшается, а потому и сила можетъ
въ той же мѣрѣ уменьшаться.
3. Если канатъ наматывается на валъ такъ, что одинъ рядъ ло-
жится па другой, то при каждомъ оборотѣ увеличивается плечо
груза однимъ діаметромъ веревки, тогда-какъ плечо силы остается
безъ перемѣны, а потому сила должна возрастать пропорціонально
увеличенію плеча сопротивленія, предполагая, что веіичпна сопро-
тивленія не измѣняется.
П. Наклонная плоскость.
Если сила поднимаетъ грузъ по вертикальному направленію, то
она должна быть равна вѣсу груза; если грузъ движется по горизон-
тальной плоскости, то эта послѣдняя поддерживаетъ его и силѣ
остается только преодолѣвать треніе.
Если плоскость, по которой движется грузъ, составляетъ какой-
нибудь острый уголъ съ горизонтомъ, то она называется наклонною
плоскостью.
Назовемт. чрезъ:
Ь
Л
длину наклонной плоскости,
длину основанія ея (считая по горизонтальной
линіи),
высоту ея (считая по вертикальной лпніп),
вѣсъ груза, лежащаго на ней,
то имѣемъ слѣдующія соотношенія:
1. Сила Р, параллельная наклонной плоскости, удерживающая
грузъ отъ движенія, относится къ вѣсу груза, какъ высота наклон-
ной плоскости къ ея длинѣ, т. е. Р:С^ = Л:^откуда,
— 150 —
Выраженіе у означаетъ также силу, побуждающую тѣло двигаться
книзу.
2. Давленіе, производимое грузомъ, перпендикулярно къ наклеп-
ной плоскостп, относится къ вѣсу груза, какъ основаніе къ длинѣ,
т' е‘ давленіе=С .у
Треніе по наклонной плоскости равпо этому давленію, умножен-
ному на коэффиціентъ тренія С, поэтому
треніе = / <2
При движеніи груза вверхъ по наклонной плоскости, сила двигаю-
щая должна преодолѣть силу побуждающую тѣло двигаться внизъ
вмѣстѣ съ силою тренія; при движеніи тѣла внизъ, преодолѣвается
разность этихъ двухъ силъ, а потому:
при движеніи вверхъ = Д2 •у-*- у,
при движеніи внизъ = у—Ѵу
Примѣръ. Какая сила можетъ двигать тѣло въ 1464 Фунта вверхъ и внизъ по
наклонной плоскости, которая на 39,37 Футовъ длины поднимается на 3,28 фун-
товъ и коэффиціентъ тренія = 7’Д?
сдвинуть тѣло внизъ
Основаніе наклонной плоскости і=]Л39,372—3,282=39,23’.
і 39.23
Треніе общее обоимъ движеніямъ — _ . 1464 . оп — 181,33 ф.
ф I
Сила удерживающая тѣло въ равновѣсіи на наклон-
ной плоскости, или, что все равно, сила стремящаяся
3,28
= 1464‘ 23Д7 = 122 *
Поэтому сила, двигающая вверхъ, должна быть .. .— 303,33 ф.
Сила, двигающая внизъ........................= 59,33 ф.
Если бы коэффиціентъ тренія былъ = -1,
1 ЧО 94
15 ' 1464 39^87 = 97,18 *•’
а сила, съ которою тѣло стремится двигаться внизъ = 122 ф., поэтому для движе-
нія тѣла вверхъ должна быть употреблена сила = 122ф.-+-97,18 = 219,18 ф.,
а для движенія внизъ = 97,18—122 = —24,82 ф.; т. е. въ этомъ случаѣ сила
должна дѣйствовать въ направленіи противоположномъ движенію, должна задер-
живать тѣло для того, чтобы движеніе было постоянію равномѣрное.
3. Въ обыкновенныхъ дорогахъ, и въ особенности въ желѣзныхъ,
наклонъ часто бываетъ очень малъ, такъ-что за основаніе можетъ быть
— 151
принята длина наклонной плоскости (какъ видно изъ послѣдняго при-
мѣра, разность пе велика).
Отношеніе высоты наклонной плоскости къ основанію, называется
подъемомъ; обозначимъ его чрезъ е, то получаемъ при означенномъ
предположеніи:
для силы двигающей вверхъ = Ц/~ -л- ()е,
для силы двигающей внизъ = — (?с;
гдѣ (?/'обозначаетъ ту часть силы, которая уравновѣшивается треніемъ,
Це ту часть, которая производить движеніе; если обѣ части равны
между собой, то для движенія кверху нужно употребить силу вдвое
большую, чѣмъ треніе; для движенія же кинзу не нужно ппкакой силы.
Этотъ сіучай встрѣчается на желѣзныхъ дорогахъ, гдѣ отношеніе
длинѣ = ——и при/' = —— .Для такого или нѣсколько мепьшаго
200 200
работа при движеніи поѣзда вверхъ и потомъ вппзъ равпа работѣ,
движенія по горизонтальной дорогѣ, съ тою только разницею, что въ
случаѣ работа распредѣляете! разномѣрно па оба поѣзда,, тогда-какъ
вся работа издерживается въ первой половинѣ пути, т. е. прп подъемѣ, а при
опусканіи опа = О.
Если вторая часть дѣйствующей синя вдвое больше первой (что зависитъ отъ
отношенія подъема къ коэффиціенту тренія), то при подъемѣ можно употребить
силу втрое большую тренія, прп опусканіи силу равную тренію, по дѣйствующую
въ противоположномъ направленіи движенія, т. е. замедляющую. Такой случай
1
встрѣчается на дорогахъ, въ которыхъ отношеніе высоты къ длппѣ= , па та-
кихъ дорогахъ для одного подъема и опусканія нужна, слѣдовательпо, вдвое
большая работа, чѣмъ при движеніи по горизонтальной дорогѣ.
Точно также
высоты къ
подъема,
пушной для
послѣднемъ
въ первомъ
для подъема въ 2„, т. е. гдѣ отношеніе высоты къ длнпѣ
четыре раза большую работу, чѣмъ прп движеніи по горпзон-
= — , нужно въ
50 ’
та.іьноіі дорогѣ.
Прн движеніи
обыкновенно-нагруженныхъ повозокъ по хорошей дорогѣ, ко-
11 х „ 1
ЭФФіщіентъ треиія равенъ отъ ^до-., такъ-что прн подъемѣ отъ Зудо 4,',’
вверхъ, требуется уже двойная сила, а вппзъ сила = О.
Е. О клинѣ.
Въ равнобедренномъ клинѣ, сила, дѣйствующая перпендикулярно
къ головѣ его, относится къ сопротивленію, какъ величина головы къ
длинѣ одной пзч> сторонъ.
Если, наир., голова клипа относится къ одной изъ сторонъ какъ 1: 20, то
сила, дѣйствующая на голову, можетъ произвести въ 20 разъ большее да-
вленіе па стѣнки. Поэтому зубчатыя колеса и шкивы скрѣпляются съ валомъ
помощью клиньевъ, и такое скрѣпленіе самое прочное.
— 152
Е. О винтѣ.
1. Если прямую линію навертывать на цилиндръ такъ, чтобы опа
съ образующими составляла постоянно одинаковый острый уголъ,
то получается винтовая линія. Если по направленію этой линіи обво-
дить около цилиндра треугольникъ пли четыреугольникъ, то полу-
чается винтовая нарѣзка, которая обыкновенно движется въ соотвѣт-
ствующихъ углубленіяхъ гайки.
Винты часто служатъ къ тому, чтобы давленіемъ по направленію оси сбли-
жать (сжимать) или отдѣлять два тѣла.
2. Равновѣсіе на винтѣ безъ тренія. Пока точка приложенія груза
(или сопротивленія по направленію осн) проходитъ пространство, рав-
ное высотѣ хода,точкаприложенія силы (которая приложенакъокруж-
ности впита) проходитъ пространство, равное окружности впнта.
Поэтому сила относится къ сопротивленію какъ высота хода къ
длинѣ окружности винта.
Подъ окружностью винта мы разумѣемъ окружность, проведенную черезъ сре-
дину толщины нарѣзки.
3. Большею частью впнтъ или гайка ворочаются рычагомъ; въ
такомъ случаѣ сила, приложенная къ оконечности рычага, относится
къ сопротивленію, какъ высота хода къ окружности, описанной кон-
цомъ рычага.
4. Въ внитѣ съ нѣсколькими ходами, напр. съ двумя, во время
одного оборота, грузъ проходитъ вдвое большее пространство, чѣмъ
въ случаѣ (2).
При тройномъ ходѣ винтъ, пли гайка, при одномъ оборотѣ подни-
мается на три хода. Такіе винты съ крутымъ подъемомъ легко
соскальзываютъ, т. е. опускаются (принимаютъ обратное движеніе)
вслѣдствіе давленія груза.
5. Равновѣсіе на винтѣ при дѣйствіи тренія. Для винта съ четы-
реугольной нарѣзкой, сила, Р, поднимающая пли опускающая грузъ (],
выражается:
р=У ——.6-
гдѣ /* означаетъ коэффиціентъ тренія, е отношеніе высоты хода къ
длинѣ окружности винта.
Примѣрь. Для желѣзнаго винта, движущагося вь металлической гайкѣ / =
0,17; поэтому при е = 0,О4 находимъ:
— 153 —
.. 0,17 4-0,04 о._ /і
силу, поднимающую грузъ, I>=|_и) 47оо4^=:()’2 2
„ 0,17 — 0,04 п10ОЛ
сиду, опускающую грузъ, ^=і_0 17 004 =0,129 <?,
если бы не было тренія; т. е. при / = О, получили бы. Р=Ц -С = 0,04 . <2; слѣдо-
вательно сила, поднимающая грузъ при отсутствіи тренія, относится къ силѣ
поднимающей грузъ при треніи, какъ
0,04:0,212 = 1:5;
т. е. треніе въ разсматриваемомъ случаѣ поглощаетъ около 4у5 всей дѣйствую-
щей силы.
Л» 17.
О ЦЕНТРЪ ТЯЖЕСТИ.
Во всякомъ твердомъ тѣлѣ находится точка, которую одну достаточно
подпереть для того, чтобы тѣло не падало. Такая точка называется
центрами тяжести (сепіго сіе цгаѵі(ё).
Еслп тѣло свободно виситъ на ниткѣ, укрѣпленной въ какой-нибудь
точкѣ, то центръ тяжести всегда лежитъ на вертикальной линіи, прове-
денной черезъ точку привѣса. Поэтому центръ тяжести всякаго т Ьла
можно найти, привѣшивая это тѣло поочередно за различныя точки такъ,
чтобы оно вокругъ точекъ привѣса могло свободно качаться, и отмѣ-
чая направленіе вертикальныхъ линій, проведенныхъ черезъ этн точки.
Центръ тяжести долженъ лежать въ пересѣченіи всѣхъ этихъ линій.
Но въ большинствѣ случаевт. такой практическій пріемъ не можетъ
быть употребленъ; тогда опредѣляютъ центръ тяжести геометри-
ческимъ построеніемъ пли помощью вычисленій, причемъ руковод-
ствуются слѣдующими правилами:
1. Хотя въ строгомъ смыслѣ центръ тяжести могутъ пмѣть толь-
ко тѣла, но обыкновенно употребляютъ выраженія: центръ тяжестп
линіи, центръ тяжестп плоскости, подразумѣвая въ первомъ случаѣ
тѣло, котораго вѣсъ равномѣрно распредѣленъ по всей длинѣ, а про-
чія измѣренія незначительны; во второмъ случаѣ плиту пли доску,
которая вездѣ имѣетъ одинаковую толщину п вѣсъ распредѣленъ рав-
номѣрно.
2. Для плоскостей положеніе центра тяжестп тогда будетъ извѣстно,
когда дано разстояніе его отъ двухъ прямыхъ, обыкновенно перпен-
155
дпкулярныхъ между собою и лежащихъ въ той же плоскости. Для
кривыхъ поверхностей и для тѣлъ нужно знать разстояніе центра
тяжести отъ трехъ данныхъ параллельныхъ плоскостей.
3. Изъ этпхъ разстояній нѣкоторыя опредѣляются сами собою,
когда тѣло симметрично. Напр. въ плоскомъ тѣлѣ, ограниченномъ кру-
гомъ или эллипсисомъ, въ шарѣ, въ кольцѣ одинаковой толщины,
центръ тяжести совпадаетъ съ геометрическимъ центромъ. Въ цп-
літндрѣ и въ призмѣ центръ тяжести находится на срединѣ линіи,
соединяющей центры тяжести верхняго и нпжняго основаній; въ па-
раллелограммѣ онъ находится въ пересѣченіи діагоналей. Если въ
повозкѣ, или на кораблѣ, грузъ распредѣленъ такъ, что обѣ поло-
вины ихъ имѣютъ одинаковый вѣсъ, то центръ тяжести лежитъ въ
плоскости, раздѣляющей обѣ половины. Въ мостахъ, въ крышахъ, ко-
торыя спмметричпо расположены по длинѣ п ширинѣ, центръ тяжестп
лежитъ въ пересѣченіи плоскостей, раздѣляющихъ длпну н ширину
пополамъ.
4. Если пужпо опредѣлить разстояніе цептра тяжести 8 какой-ип-
будь плоской Фигуры отъ двухъ перпендикулярныхъ прямыхъ ОР и
ОС, то разлагаемъ данную плоскость па произвольное число такихъ
Фпгуръ, которыхъ центръ тяжестп извѣстенъ, или легко можетъ быть
найденъ. Положимъ, что центръ тяжестп вспомогательныхъ Фпгуръ
находится въ а, Ь, с, и разстояніе пхъ отъ О<? равно аа, ЬѴ, сс, а
искомое разстояніе = 8*'.
Перенесемъ вѣсъ этпхъ Фпгуръ, пропорціональный пхъ площадямъ
,1, В, С изъ точекъ а, Ъ, с'; на прямую въ точки 6', с'. Этп
силы стремятся произвести вращеніе прямой 0(2 вокругъ О суммою
моментовъ, равною
А.Оа’н-ВОЪ-і-С.Ос'.
— 156 —
Если силу, приложенную къ 5 и уравновѣшивающую вѣсъ тѣла,
слѣдовательно равную суммѣ вѣсовъ всѣхъ Фигуръ, перенести изъ $
въ то она будетъ дѣйствовать на линію О(] по направленію про-
тивоположному направленію силъ А, В, С, съ моментомъ Оз' (Лч-
В ч- С), и въ случаѣ равновѣсія должно быть:
Оз’ (Л ч- 7?ч- С) = А. Оа ч- В. ОЬ’ ч- С. Ос’,
отсюда пскомое разстояніе.
Оз'=
А. Оа ч— В. ОЬ' ч- С. Ос'
А+В+С
такимъ же способомъ находимъ разстояніе центра тяжести отъ ли-
ніи
с,, А. ап' ч— В. Ы> ч— С. сс
= Лч-^ч-С
Слѣдовательно, разстояніе центра тяжести какой ннбудь плоской
Фпгуры отъ данной прямой, равно суммѣ произведеній площадей ея
составныхъ Фигуръ на соотвѣтствующія пмъ разстоянія пхъ цен-
тровъ тяжести отъ данной прямой, раздѣленной на площадь всей
Фигуры.
Если примемъ линію Хе' за ось двуплечнаго рычага, то въ случаѣ равновѣсія,
т. е. въ случаѣ, если линія Хе' проходитъ черезъ центръ тяжести площади, мо-
ментъ силъ, находящихся по одну сторону оси, долженъ быть равенъ моменту
силъ, дѣйствующихъ съ другой стороны, или
Л .а'з'=В .Ьз'-*- С. с'з'.
5. Такимъ же способомъ опредѣляется центръ тяжести всякаго
тѣла, и пменно, нужно умножить объемъ различныхъ частей его, илн
вѣсъ ихъ при неравной плотности, на разстояніе центра тяжести со-
отвѣтствующей части отъ какой нибудь плоскости и сумму этихъ
произведеній раздѣлить на объемъ или вѣсъ всего тѣла.
Примѣръ. Прутъ вѣсомъ въ 40 Фунтовъ, котораго центръ тяжести находится на
разстояніи 35" отъ ОЦ, на одномъ концѣ поддерживаетъ тяжесть Л во 120 фун-
товъ, на другомъ тяжесть В въ 70 Фунтовъ. Гдѣ находится центръ тяжести всѣхъ
трехъ тѣлъ вмѣстѣ?
Разстояніе его отъ плоскости
120 ф. X 5"ч-40 ф. X 35"-ь70 Ф. X 71" _
1204-40 ч-70
Разстояніе отъ плоскости
120 ф. X 17"ч-40 ф. X 24"ч-70 ф. X 28" _
~ 120Ч-40Ч 70
— 157 —
Прилагая правило 4-е къ различнымъ случаямъ, находимъ слѣ-
дующія Формулы, выражающія разстояніе центра тяжести различныхъ
геометрическихъ Фигуръ.
I. Центръ тяжести дуги круга.
Если Ь выражаетъ длину дуги, I длину хорды, г радіусъ, то раз-
стояніе центра тяжести дуги отъ центра окружности
ті
х — Ь *
Для полуокружности I = 2г, Ь = кг, а потому
х = — =0,6357. г.
л ’
II. Центръ тяжестп треугольника.
Если соединить средину какой нибудь стороны треугольника съ
вершиной противоположнаго угла, то центръ тяжестп будетъ на этой
линіи, и на разстояніи ’/3 ея длины отъ избранной стороны, плп
па 2/3 отъ вершины.
Ш. Центръ тяжести трапеціи.
Если а и Ь выражаютъ длину двухъ параллельныхъ сторонъ, I
разстояніе, пли высоту трапеціи, то разстояніе центра тяжести
стороны а,
ихъ
отъ
__ I а-+-2Ь
3 * а-4-6
Примѣръ. Сторона «, положимъ, =6", 6 = Іо", / = 8",
8 6-4-2.10
то разстояніе центра тяжести отъ а = -у = 4 /3 .
, 8 10-4-2.6
разстояніе центра тяжести отъ і = ——— = 3’/а".
□ О—ю
— 158 —
IV. Центръ тяжести площади параболическаго отрѣзка
(сектора).
Если хорда, ограничивающая отрѣзокъ, будетъ перпендикулярна къ
оси параболы, то центръ тяжестп будетъ на оси въ разстояніи 3/5 ея
длины отъ вершины параболы.
V. Центръ тяжести сегмента круга.
Назовемъ чрезъ I длину хорды, чрезъ 8 площадь сегмента; центръ
тяжести находится на оси, на разстояніи
1 I3
12 6'
кг2
отъ центра круга. Для полукруга I = 2г, 8= почему
4г
х = = 0,4244 г.
VI. Центръ тяжести неправильнаго многоугольника.
Для нахожденія его разлагаемъ многоугольникъ на треугольники,
опредѣляемъ площадь п положеніе центра тяжести каждаго изъ нихъ,
потомъ поступаемъ по правилу 4-му.
VII. Центръ тяжести прямаго пли наклоннаго цплпндра или призмы
съ параллельными основаніями, находится на срединѣ линіи, сое-
диняющей центры тяжести двухъ основаній.
VIII. Центръ тяжестп пирамиды, плп конуса,
находится на линіи, соединяющей вершину съ центромъ тяжести
основанія, и на разстояніи ’/4 этой линіи отъ основанія.
IX. Центръ тяжести шароваго отрѣзка.
Назовемъ чрезъ г радіусъ шара, чрезъ Л высоту отрѣзка, то раз-
стояніе центра тяжести отъ центра шара
____ А 4г — Л
а 4 * Зг — А ’
Для полушара Л =• г, а потому
3
х=~8-г-
Теорема Гульдина.
Величина поверхности какого нибудь тѣла вращенія равна длинѣ
производящей кривой (дёпеііісо), умноженной на окружность круга
пройденнаго центромъ тяжести кривой при образованіи поверхно-
сти вращенія. Объемъ какого нибудь тѣла вращенія равенъ произ-
водящей площади кривой, умноженной иа окружность круга, прой-
деннаго центромъ тяжести образующей площади.
№ 18.
О РАСТЯЖИМОСТИ И СЖИМАЕМОСТИ МАТЕРІАЛОВЪ.
I. Предѣлъ упругости.
Во всякомъ твердомъ тѣлѣ силы, дѣйствующія между частицами,
находятся въ равновѣсіи. Если такое тѣло сжимать или растягивать,
то находящіяся въ немъ частичныя силы оказываютъ извѣстное со-
противленіе, такъ-что всякой сжимающей пли растягивающей силѣ
соотвѣтствуетъ опредѣленное сокращеніе пли растяженіе тѣла. Для
газовъ по закону Маріота, сжатіе или расширеніе пропорціонально
силѣ, производящей его. Для твердыхъ тѣлъ удлпннеиіе пли сокраще-
ніе, вообще измѣненіе Формы, также пропорціонально силѣ, произво-
дящей это измѣненіе, но только до извѣстнаго предѣла, который на-
зывается предѣлами неизмѣняемой упругости, или предѣломъ проч-
наго сопротивленія.
Если удлннненіе или сокращеніе переходитъ за этотъ предѣлъ, то
измѣненіе Формы возрастаетъ быстрѣе, нежели дѣйствующая сила
и послѣ прекращенія ея дѣйствія тѣло принимаетъ не вполнѣ преж-
ній впдъ; въ немъ остается извѣстная часть цѣлаго растяженія или
сокращенія, т. е. происходитъ другое расположеніе частицъ и новыя
условія ихъ равновѣсія.
Съ дальнѣйшимъ возрастаніемъ силы сжимающей, происходптт.
при извѣстной величинѣ ея совершенное отдѣленіе частицъ или
разрывъ тѣла. Величина сопротивленія частицъ ихъ отдѣленію, или,
что все равно, величина дѣйствующей силы въ моментъ разрыва,
называется твердостью и крѣпостью тѣла.
— 160 —
II. Растяженіе и сокращеніе; коэффиціентъ упругости.
Сила, сжимающая или растягивающая призматическое или цилин-
дрическое тѣло по направленію геометрической оси и непереступаю-
щая предѣла упругости, прямо-пропорціональна площади попереч-
наго сѣченія « (перпендикулярно къ оси), величинѣ удлинпенія или
сокращенія а, и обратно-пропорціональна длинѣ прута I.
Назовемъ Р дѣйствующую силу и чрезъ Е коэффиціентъ, зави-
сящій отъ вещества, изъ котораго сдѣланъ прутъ, тогда
р=^ь -т-8.
Коэффиціентъ Е, различный для различнаго матеріала и опредѣ-
ляющій собою степень его упругости, называется коэффиціентомъ
упругости.
Если бы прутъ, котораго сѣчепіе 5 = 1, могъ быть растянутъ или
сжатъ на столько, чтобы а сдѣлалось = ’, тогда сила, производящая
такое измѣненіе, была бы равна Е; т. е. коэффиціентъ упругости,
есть такая сила, которая, дѣйствуя на прутъ съ площадью равною
единицѣ, способна удвоить ея длину.
Примѣръ. По Годгкннсову сила въ 2944 ф. можетъ удлинить желѣзный прутъ
длиной въ 1 Футъ, и при л=1Ц’' на 0,0Г". Какъ великъ коэффиціентъ упругости
этого желѣза.?
При 4=1 7= 2-’= 12", Р=2944 ф. а = 0,0Г" = 0,001", имѣемъ:
Е = Р•— • « = —= 35.328.000 ф.
а 0,001
Таблица XXXIII.
О растяженія желѣза и чугуна на каждый Футъ длины.
Желѣзная проволоки (но Ардану). Желѣзный прутъ, по Годгкинсону. Чугунъ по Годгкинсопу.
СИЛЫ ,фун- Растяженіе въ линіяхъ. силы фун- & :ееся гое) ііевъ св и В * Растяженіе въ линіяхъ.
Велич. наО"вт тахъ. Прока- ленная. Твер- дая. Велич. на □"въ тахъ. Полное тяженіе линіяхъ. Остаюл (неупру растяжеі линіяхъ. гйэ тэді Пол- ное. Остаю- щееся (пеупр.)
7871 0,035 0,031 2944 0,010 1165 0,009 0,0002
15742 0,071 0,062 5900 0,022 1747 0,0137
23618 0,140 0,125 8847 0,034 2330 0,0186 0,0005
31484 0,176 0,156 11790 0,046 0,0003 3463 0,0245 0,0011
39355 0,300 0,188 14750 0,057 0,0004 4660 0,0391 0,0018
47226 1,560 17710 0,068 0,0005 5824 0,0500 0,0026
51161,5 1,692 0,266 20654 0.080 0,0006 6988 0,066 0,0037
55097 2,160 0,288 23613 0,091 0,0008 8139 0,073 0,0052
62968 2,460 26557 0,105 0,0012 9319 0,086 0,0067
66903,5 разрывъ 0,338 29516 0,422 0,0040 10484 0,099 0,0084
0839 0,372 35420 0,267 0,0100 11649 0,113
77136 разрывъ 41320 1,100 0,0314 12830 0.128 0,0131
47226 2,146 1,0163 13947 0,145 0,0161
53130 2,973 1,9817 15160 0,167 0,0210
56073 4,192 разрывъ 2,7250 16372 0,186 0,0241
58954 3,9384
— 161 —
Иаъ таблицы XXXIII видно, что постоянное удлиненіе дѣлается для желѣ-
за нѣсколько ощутительнѣе при грузѣ равномъ 23613 Фунтовъ, такъ что
обыкновенно для желѣза предѣлъ прочнаго сопротивленія принимаютъ равнымъ
24000 Фунтовъ, или 600 пудовъ.
Безопасный же коэффиціентъ для частей находящихся:
въ покоѣ 999 = 200 пуд. = 8000 фунт.,
въ движеніи —? = 150 » = 6000 Фунт.,
4
при ударѣ 999 = юо » = 4000 Фунт.
Для чугуна предѣлъ прочнаго сопротивленія 9319 Фунтовъ, но ириннмаю'.ъ 9600
фунтовъ или 240 пуд.; но какъ во время отливки могутъ внутри чугуна образоваться
пустоты, то для большей прочности принимаютъ не 240, но ’/а240 = 120 и.
120
безопасный коэффиціентъ въ покоѣ = —- = 40 пуд. = 1600 Фунт.,
О
120
» въ движеніи = — =30 • =1200 Фунт.,
120
> іц и ударѣ = — - = 20 » = 80") Фунт.
Таблица XXXIV.
О сжатіи желѣза и чугуна на каждый 4>утъ длины,
по Гадгкшісону.
Желѣзный прутъ. Чу'Униый прутъ.
2. сжатіе яхъ. • 0>
з« Я йО 1 * о и
3 « й я 5 § ~ й ® и § 1
3 я а сз ч е й ё “Т я аз а >. са ч & ч п й ё
5370 0,085 5290 0,1664
11140 0,157 7670 0,232
14800 0,222 10030 0,311
17200 0,259 12470 0,383
19600 0,293 14860 0,460
21920 0,326 19360 0,527
24320 0,363 21570 0,640
26680 0,396 24050 0,658
28970 0,433 28730 0,913
31400 0,469 0,520 33370 1,086
83770 38100 1,291
36050 0,653 42820 47540 52250 56990 66120 1,530 1,752 2,065 2,634
Мохаи. Верпулліі.
11
— 162 -
Примѣчанія въ двумъ таблицамъ.
1) Растяженія пропорціональны силамъ въ желѣзѣ до 22,000 ф., въ чугунѣ до
10,400 ф.: сжатія пропорціональны силамъ для желѣза и чугуна, приблизительно,
до 26,000. ф.
2) При одинаковыхъ силахъ растягивающихъ и сжимающихъ, до иредѣла упру-
гости, сокращенія желѣза и чугуна больше нежели растяженія; за предѣломъ упру-
гости, наоборотъ, растяженія больше сокращеній.
Зі Растяженіе и сжатіе чугуна почти вдвое больше растяженія и сжатія желѣза,
при одинаковой величинѣ силъ *).
4) Зависимость между растяженіемъ или сокращеніемъ и величиной силы можетъ
быть представлена графически, если на прямой линіи, начииая съ какой-нибудь
точки, откладывать различныя величины растяженій или сокращеній и на линіяхъ
перпендикулярныхъ, проведенныхъ черезъ крайнія точки зтихъ растяженій или
сокращеній, откладывать соотвѣтствующія величины силы; соединивъ потомъ между
собой вершины перпендикуляровъ, получаемъ кривую, выражающую искомое со-
отношеніе для даннаго матеріала. Выпуклая сторона этой кривой обращена къ
линіи, па которой откладываются растяженія или сокращенія (къ оси абсциссы)
и въ началѣ своемъ (т. е. отъ точки пересѣченія кривой съ осью абсциссы до
юго мѣста, гдѣ измѣненія длины достигаютъ предѣла упругости) она почти
нрямолинѣйна, потому-что измѣненія длины до предѣла упругости прямо-пропор-
ціональны силѣ.
По опытамъ Годгкинсона предѣлъ упругости разлнчныхі. матеріа-
ловъ очень непостояненъ. Пенселе составилъ слѣдующую таблицу
среднихъ величинъ этого предѣла для различныхъ матеріа ювъ.
Таблица XXXV.
О растяженіяхъ до предѣла упругости.
Названіе тѣлъ. Растяженіе на 1 Фугь длины въ доляхъ фута. Сила, соотвѣт- ствующая этому растя- женію, па !□ дюймъ въ Фун- тахъ. Коэффиціентъ упругости Е на 1 □ дюймъ въ Фунтахъ.
Дубъ 7<и>о=0,00167 ’/нг>,>=0,00117 «/4:0=0,00210 ’/вВ5=0,00113 1/іа5»=0,00080 71400=0,00071 Ѵм5=0,00120 ’,'45оо=О,< 0022 'А 200=0,00083 7:42=0,00136 71500=0,09063 3150 1'889'000
Пихта или бѣляя і‘лі> 3420 2'046'460
Красная ель или сосна 4960 2'361'300 1'731'620
Ясень 2000
Мягкое желѣзо, вытянутое въ про- волоку 23'220 28'335'600
Полосовое желѣзо 22'040 31'484'000
Нѣмецкая сталь, очень хорошая, сма- занная масломъ 39'355 33'058'200
Литая сталь, хорошо обработанная смлвянная масломъ 103'600 47'226'000
Чугунъ, мелкозернистый 10'550 14'318'900
Мѣрная проволока 23'600 15'742'000
Пушечный металлъ, литой 3150 5'037'440
') Поэтому желѣзо предпочитается чугуну въ такихъ постройкахъ, которыя под-
вергаются перемѣннымъ напряженіямъ н когда нужно избѣгать слишкомъ замѣт-
ныхъ измѣненій длины. Рсд.
№ 19.
ОБЪ АБСОЛЮТНОЙ КРѢПОСТИ.
Сопротивленіе, которсе оказываетъ какой-нибудь прутъ силѣ, дѣй-
ствующей по направленію его длины и стремящейся удлинннть п
разорвать прутъ, называется сопротивленіемъ разрыву, или абсолют-
ной крѣпостью (прочностью) прута.
Абсолютная крѣпость не зависитъ отъ длины прута, а только отъ
матеріала, изъ котораго онъ сдѣланъ и отъ площадп его сѣченія.
Чтобы опредѣлить абсолютную крѣпость какого-нибудь прута, ну-
жно площадь его разрѣза, выраженную въ □ центнметрахъ, или □
дюймахъ, умножить на силу, которая способна разорвать прутъ, сдѣ-
ланный изъ того же матеріала при площади сѣченія = 1 □ цент. или
1 □ д. Величины этой силы для различныхъ матеріаловъ опредѣлены
опытомъ и приведены въ нижеслѣдующихъ таблицахъ.
Прн постройкахъ принимается для вычисленія размѣровъ никакъ
пе болѣе ’/3 части (на каждый □" сѣченія) этихъ силъ; при болѣе
прочныхъ постройкахъ берется '/„ и даже ’/,0 часть отт. нихъ. По
изслѣдованіямъ Понселэ наибольшая нагрузка никакъ не должна пре-
вышать половину той силы, которая соотвѣтствуетъ предѣлу ихъ
упругости.
I. Крѣпость камней на каждый □ д. сѣченія.
Оверньскій базальтъ.................................... 1213 ф
Портлэпдскій известнякъ............................... 945 »
— 164
Бѣлый, мелкозернистый пзвесгпякъ......................... 236 ф.
Песчаный, крупнозернистый известнякъ..................... 362 »
Кирпичъ, хорошо обожженный. *)........................... 299 »
» обыкновенный, слабо обожженный.............. 126 »
Гипсъ приготовленный, отвердѣвшій........................ 189 »
» » обыкновеннымъ способомъ.................. 63 »
Цементъ изъ отличной гидравлической извести.............. 336 »
» 40 лѣтній, изъ жирной извести.................... 63 »
И. Крѣпость ДЕРЕВА, НА КАЖДЫЙ □ Д. СѢЧЕНІЯ.
Направленіе силы.
Удѣльный По направленію Перпендикулярно
вѣсъ. волоконъ. къ волокнамъ.
Сосна.............. 0,50—0,60 7089 —11028 Ф. 315— 772 ф.
Буковое дерево .... 0,70—0,80 6300— 9452 » 945—1260 »
Дубъ............... 0,85 7877 — 11028 » 945—2363 »
Ясень.............. 0,64—0,90 11028—14179 » 315— 788 »
Клепъ.............. 0,67 6300— 7877 » 1100-1575 »
Самшитовое дерево
(Буксъ)............ 0,98 17330 — 19600 »
III. Крѣпость металловъ па 1 □ д. сѣченія.
Желѣзо, самое крѣпкое, въ тонкихъ прутьяхъ............ 94450 ф.
» самое слабое, въ толстыхъ полосахъ........... 39360 »
» полосовое, средней толщины.................... 63000 »
Желѣзная проволока, самая крѣпкая, въ діаметрѣ отъ 0,2"'
до 0,4"'.............................................. 110200 »
» » въ діаметрѣ 0,6'" до 1,2'”........ 97600 »
» » прокаленная средняго діаметра. . .. 70840 »
Прокатанная жесть, по направленію Фибръ............... 55800 »
» » перпендикулярно къ Фибрамъ......... 55500 »
Чугунъ сѣрый.......................................... 17300 »
» бѣлый ................................... 16530 »
Цементная (томленая) сталь, очищеппая (жженая)...... 155850 »
» » неочищенная................... 47225 »
Литая сталь, кованная................................. 157420 »
Пушечный металлъ...................................... 36200 »
•) Для фундаментовъ машинъ нужно брать не болѣе какъ 16 фунтовъ на 1 □
дюймъ.
— 165 —
Красная мѣдь, прокатанная по направленію длины. . . . 33060 ф.
г г кованая........................................ 39360 »
» » литая.....................................21100 »
Желтая мѣдь или латунь, лучшая..................... 19680 »
Проволока изъ красной мѣди, самая крѣпкая, въ діаметрѣ
менѣе 0,4"'....................................... 110200 »
» » желмй мѣди, въ діаметрѣ менѣе 0,4'". . 133800 »
Литое олово......................................... 4720 »
Литой цинкъ......................................... 9450 »
Прокатанный цинкъ................................... 7880 »
Свинецъ............................................. 2050 » *)
.Примѣръ. Какого діаметра должны быть четыре :келЬ)иыя подпоры гидравличе-
скаго пресса, который производитъ давленіе въ 500000 Фунтовъ?
Если взять тройную прочность, т. е. положить давленіе = 1500000 «унтамъ,
и крѣпость жеіѣза принять въ 63000 «. па квадратный дюймь, то площадь раз-
рѣза всѣхъ четырехъ подпоръ вмѣстѣ должна быть равна
ІаООООО п, „ к
_ = 24 □ дюймамъ.
63000
и площадь каждой подпоры должна быть равна 6 □ д. или діаметръ каждой пзъ
ішхъ = 2,77 д.
Еслибъ была принята шестикратная нрочность, то площадь разрѣза каждой
подпоры была бы вдвое больше, т. е. = 12 □" и діаметръ каждой изъ нихъ
былъ бы = 3,91".
IV. Крѣпость желѣзныхъ цѣпей.
По Морену, сила, которую долженъ выдерживать желѣзный канатъ,
употребляемый во Французскомъ Флотѣ = 26780 ф. па каждый
квадратный дюймъ двойной площади разрѣза желѣза, для цѣпей
съ поперечинами, въ которыхъ діаметръ желѣза больше 6,3"'; для
болѣе топкихъ цѣпей, «безъ поиеречинт,, эта пробная сила=22050Ф.
па □ д.
При такой силѣ предполагается только двойная прочность; если же
принять для обыкновеннаго употребленія четверную прочность, то
для цѣпей съ поперечинами крѣпость (въ фунтахъ) = 210 <і2,
» » безъ поперечинъ « » = 173 Л2.
По этимъ Формуламъ составлена слѣдующая таблица:
*) Если дія какого лпбэ матеріала иззѣегеиь ирздѣіь сэлротіівлѳиіл пр;і раз-
дробленіи, то для безопаснаго уелліл иужло брагь ’/І0 длі дерева, '/• для метал-
ла и ’/2о для каменной кладки.
— 166 —
Цѣпи безъ поперечниковъ. Цѣпи съ поперечинами.
Діаметръ. Крѣпость. Вѣсъ 1-го «ута длины. Діаметръ. Крѣпость. Вѣсъ 1-го Фута длины.
1,6"' 389 ф. 0,24 ф. 6,5/7 8336 ф. 4,55 ф.
2,0'" 692 » 0,42 » 6,5'" 8872,5 • 4,84 .
2,5'" 1081 . 0,65 » 7,0'" 10'290 . 5,61 >
8,0'" 1557 > 0,94 » 7,5"' 11'813,5 » 6,44 >
8,5"' 2119 » 1,28 » 8,0'" 13'440 » 7,34 .
4,0'" 2768 • 1,67 > 8,5"' 15'172,5 . 8,27 .
4,5'" 3503 » 2,12 • 9,0'" 17'010 . 9,27 >
5,0'" 4325 • 2,63 » 9,5'" 18'952,5 » 10,34 .
5,5'" 5233 . 3,17 » 10,0'" 21'000 . 11,45 >
6,0'" 6228 » 3,77 • 10.5'" 23'152,5 . 12,62 >
6,5"' 7309 . 4,44 » 11,0'" 25'410 » 13,85 »
7,0'" 8477 . 5,14 » 11,5"' 27'772,5 » 15,14 .
7,5'" 9731 » 5,90 » 12,0'" 30'240 . 16,49 »
8,0'" 11072 » 6,71 » 12,5'" 32'812,5 » 17,89 .
8,5"' 12499 > 7,58 » 13,0'" 35'490 . 19,35 х
9,0'" 14013 • 8,50 » 13,5"' 38'272,5 » 20,87 »
На всѣхъ лучшихъ Фабрикахъ, занимающихся изготовленіемъ цѣ-
пей, опи прежде чѣмъ выпускаются съ завода подвергаются пробѣ.
На Адмиралтейскихъ Нжорскихъ заводахъ въ Колпинѣ установлена
слѣдующая проба цѣпей:
Діаметръ цѣпна- го желѣза въ дюймахъ. Пробный грузъ въ тон- нахъ. Діаметръ цѣп- наго желѣза въ центиметрахъ. Пробный грузъ въ ки- лограммахъ. Безопасный грузъ въ килограммахъ 9^0 8.2
17» 0,80 1779 627
7» ’/і. 2*/а 0,96 2542 903
8’/,в 1,12 3496 1013
4% 1,27 4546 1581
/16 7» ’7і. & 5’7,,,! 1,43 5784 2004
7 1,59 7119 2477
8’/, 1,75 8644 3001
10’/» 1,90 10297 3538
11’/» 2,06 12076 4159
13»/4 2,22 13983 4830
15,' 15”/,. 2,38 16077 5551
1 18 2,54 18306 6329
171. 2071» 2,70 20658 7144
1У„ 2274 2,86 3,02 23126 8016
1’А, 25% 25806 8938
1’/4 287» 3,18 28603 9910
Г/1« 31 3,34 31525 10932
17» 34 3,49 34578 11936
— 167 —
Діаметръ цѣпна- го желѣза въ дюймахъ. Пробный грузъ въ тон- нахъ. | Діаметръ цѣп- наго желѣза въ і центиметрахъ. । Пробный грузъ въ ки- лограммахъ. Везопасиый грузъ въ килограммахъ 9-Л) 8?
1 ’.’иі 37^,, 3,65 37820 13056
Г/. 4О'/3 3,81 41188 14226
Ѵ/н 47’/, 4,13 48307 16716
55’/„ 4,45 56062 19406
63’/. 4,77 64325 22298
2 72 5,08 73224 25290
2’/» 81 'Л 5,40 82631 28577
2’,4 ЭГ/я 5,72 92674 32046
Изъ таблицы видно, что безопасный грузъ вычисленный по Фор-
мулѣ
980
почти постоянно составляетъ одну треть того груза, которому под-
вергается цѣпь при пробѣ. (Изъ лекцій профессора И. А. Выіпне-
гридскаго, читанныхъ въ Технол. Инст. въ 1867 году.)
V. Крѣпость проволочныхъ канатовъ.
Пряди скручиваются изъ проволокъ одинаковой толщины, числомъ
отъ трехъ до шести. Отъ четырехъ до восьми прядей, скрученныхъ
вмѣстѣ, составляютъ канатъ. Скручиваніе необходимо, когда канатъ
долженъ идти чрезъ валъ, барабанъ и т. п., потому что только вт.
этомъ случаѣ спла равномѣрно распредѣляется по всѣмъ проволокамъ.
Для всякаго другаго употребленія пе нужно никакого, или почти ни-
какого скручиванія.
Крѣпость желѣзныхъ проволокъ не постоянна и измѣняется между
предѣлами 70900 и 110300 ф. на квадратный дюймъ. Если взять 4-хъ
или пятикратную прочность, то сила каната можетъ быть выражена
такой Формулой:
Р= 148 . п . сГ-,
гдѣ (I означаетъ діаметръ одной проволоки въ линіяхъ, и число про-
волоки вь канатѣ.
Примѣ]!". Если толщина проволоки — 1,2"' и число проволокъ = 36, то канатъ
можетъ поддерживать грузъ:
1' = 148 (1,2)-. 36 — 7672 Фунтамъ,
пли приблизительно 19,000 ф, па кпадратннй дюймъ.
Проволока въ 1 ф. длины, при ІПд. сѣченія, растягивается отъ силы въ 23600
*. на 0,14'", а потому сп.іа вь 19000 ф. удлпиніітъ ее на
0-*4-^ = О,1і27'".
— 168 —
іі если канатъ имѣетъ 296 «утовъ длины, то полное его растяженіе будетъ
= 295 . 0,1127=33,25'".
Вѣса проволочнаго каната, пеньковаго и цѣпи, одинаковой длины
и крѣпости, относятся между собою какъ числа: 1:2:5.
VI. Крѣпость пеньковыхъ канатовъ.
Крѣпость такихъ канатовъ зависитъ отъ рода пеньки п отъ спо-
соба приготовленія канатовъ.
Самые крѣпкіе тѣ, которые не слишкомъ скручены.
Сухой канатъ въ полтора раза крѣпче сильно мокраго.
Несмоленый канатъ одной четвертью крѣпче смоленаго.
Крѣпость на □ д.
Смоленые канаты въ англійскомъ Флотѣ....................6140 ф.
» » » Французскомъ флотѢ................. 6850 ф.
Канаты изъ страсбургской пенькн, въ діаметрѣ отъ 5,1 до
5,5 линій............................................. 13860 »
Канаты изъ лотарингской пеньки, діаметромъ въ 9 л. . 9450 »
Старый канатъ, діаметромъ въ 9 л. . . ................. 6620 »
Слѣдующая таблица составлена для натяженія=197О ф. на квад-
ратный дюймъ, такъ-что канаты при этой нагрузкѣ имѣютъ трехъ
и даже четырехкратную прочность.
Діаметръ въ линіяхъ. Крѣпость въ фунтахъ. Діаметръ въ линіяхъ. Крѣпость въ Фунгахъ. Діаметръ въ линіяхъ. Крѣпость въ Фунтахъ.
1,5 35 7,0 758 15 3481
2,0 62 7,5 870 16 3961
2,5 97 8,0 990 17 4471
3,0 139 8,5 1118 18 5013
3,6 189 9,0 1253 19 6585
4,0 247 9,5 1396 20 6189
4,5 303 10 1547 21 6823
6,0 386 11 1872 22 7488
6,5 468 12 2228 23 8186
6,0 657 13 2625 24 8912
6,5 654 14 3033 25 9670
ѴП. Опыты Кокилья (СоциіПіаІ) надъ работой, издерживаемой при
СВЕРЛЕНІИ, РАСПИЛИВАНІИ И Т. П.
Работа, которая нужна для того, чтобы кубическій дюймъ мате-
ріала превратить въ порошокъ или опилки, или для того, чтобы съ
поверхности въ 10 □ дюймовъ снятъ слой въ 1 линію толщиной, по
этимъ опытамъ, равняется:
— 169 —
Названіе матеріала. Употребленное орудіе. Работавт фунтофу тахъ. Положеніе волоконъ дерева.
Сухое дубовое дерево. . Желѣзо Чугунъ Пушечная бронза . . , Средній выводъ изъ че- тырехъ сортовъ извест- няка Средній выводъ изъ восьми сортовъ твердаго камня. Англійскій песчаникъ. . Средній выводъ изъ де- вяти сортовъ кирпичей. Средній выводъ изъ четы- рехъ сортовъ цемента . (Вертло (сверло, на- парье) тоже Буравъ съ перкой о трехъ остріяхъ . . тоже Цилиндрическая пи- ла Эксцентрическій бу- равъ Буравъ съ закруг- леннымъ остріемъ. Эксцентрическій бу- равъ Буравъ съ закруглен- нымъ остріемъ. . Эксцентрическій бу- равъ Буравъ съ закруглен. остріемъ .... Буравъ съ закругл. остріемь. . . . тоже тоже тоже тоже 1601,1 1732,3 4357,0 1049,9 1574,8 46195,1 78741,6 22703,8 36746,1 17060,7 34121,4 7874,2 8661,6 577,4 1706,1 2128.6 параллельное оси орудія. перпендикулярное. параллельное оси. перпендикулярное. параллельное оси.
По изслѣдованіямъ Кокилья, круговое сверленіе камней, состоящее въ томъ, что
отнимаемая масса камня раздѣляется круглыми бороздками на множество концен-
трическихъ частей, и выгоднѣе и скорѣе обыкновеннаго сверленія (ударами).
Для того, чтобы снять одно кольцо, діаметромъ въ 1 метръ (3,28'), шириной въ
2,5 сантиметра (1") толщиной въ 20 сант.=8 д. въ твердомъ камнѣ, нуженъ былъ
1 часъ и 7352560Ф. Футовъ, или въ секунду 1841 ’/4 ф. ф.=3’/15 лошадиныхъ силъ;
а для того, чтобы снять кубическій дюймъ, нужно 7612 ф. Футовъ.
Примѣръ. Во втулкѣ чугуннаго колеса, которой длина = 8 д., сдѣлано отверзтіе
=3,5 д. въ діаметрѣ, требуется его увеличить на 0,5 д. Какая нужна для этого
работа.
Объемъ снимаемаго матеріала =8 (12,57 — 9,62) = 23,6 кубическихъ дюймовъ.
Работа для снятія 1-го кубич. дюйма чугуна помощью эксцентрическаго бурава
= 22703,8 ф.-ф. а потому въ данномъ случаѣ работа = 23,6X22703,8 = 535.806 ф.-
ф. = приблизительно 892,4 лошадинымъ силамъ.
Если на буравъ дѣйствуетъ только ’/з силы лошади, то работа можетъ быть
окончена въ 2 X 892,4 секунды = 28 минутамъ приблизительно.
Еслибы во втулкѣ вовсе ие было отверзтія, то объемъ сннмаемаго матеріала
— 170 —
былъ бы — 8 12,57 = 100,56 вубич. дюймамъ, н работа = 3802,6 л. с., т. е. почти
въ 5 разъ больше.
VIII. Продавливаніе дыръ въ чугунныхъ листахъ,
По опытамъ, производимымъ въ Англіи, для того чтобы изъ же-
лѣзнаго листа выдавить круглый кусокъ діаметромъ въ 8 д., нужно,
при толщинѣ листа въ 1,5" давленіе въ 1.736,400
» » » » 2” » » 2.232,500
» » » » 2,5” » » 3.100,700
» » » » 3,5” » » 5.085,200
ф.
»
»
))
Или приблизительно 50,000 ф. на квадратный дюймъ площади раз-
рыва (цилиндрической поверхности) желѣза; для чугуна давленіе
втрое меньше.
Подобное сопротивленіе, то есть почти 50000 Фунтовъ на квадр.
дюймъ, встрѣчается при разрѣзаніи желѣза ножницами.
№ 20.
ОБЪ ОБРАТНОЙ КРѢПОСТИ ТѢЛЪ.
Обратной крѣпостью (Вйсклѵігкеп<1е Еезіідкеіі, гёзіьіапсе а Гёсга-
зетепі) называется сопротивленіе тѣла раздавливанію.
Если прутъ изъ какого нибудь матеріала сдавливается по направ-
ленію своей длины, то изломъ происходитъ или вслѣдствіе раздав-
ливанія, или вслѣдствіе сгибанія прута. Сгибаніе происходитъ тогда,
когда длина прута отъ 3-хъ до 10-ти разъ (смотря по матеріалу)
больше наименьшаго размѣра поперечнаго сѣченія. Если воспрепят-
ствовать сгибанію такихъ брусьевъ, то крѣпость цѣлаго будетъ поч-
ти такъ же велика, какъ и отдѣльной кратчайшей его части.
А. Обратная крѣпость безъ сгибаній.
Обратная крѣпость тѣлт> одинаковаго матеріала, пропорціональна
площади ихъ поперечнаго сЬченія. Предпол ігается, что при опре-
дѣленіи крѣпости какого нибудь тѣла берется наименьшая площадь
сѣченія, перпендикулярнаго къ направленію давящей силы.)
Такъ напр., если тѣло въ I □ д. сѣченія выноситъ давленіе въ
3150 Фунтовъ, то тѣло нзъ того же матеріала, которое имѣетъ въ
поперечномъ сѣченіи 15 □ д., способно выдержать давленіе въ
15 X 3150 = 47250 Ф.
I. Крѣпость камней.
Плотность *) Крѣпость на □ 1.
Оверньскій п шведскій базальтъ. . . . о,1197 31500 ф.
Порфпрт.................................0,1161 33900 «
') Т. е. вѣсъ кубическаго дюйма въ «унтахъ.
— 172 —
Вогезскій гранитъ, зеленый............... 0,1156 9770 ф.
» » сѣрый...................... 0,1071 6620 »
Песчанннкъ, твердый....................0,1014 13710 »
» мягкій........................ 0,1006 157 »
Фландрскій черный мраморъ..............0,1103 12450 »
Парижскій известнякъ твердый............. 0,0957 4880 »
» » мягкій................... 0,0840 1890 »
Мецскій желтый известнякъ................ 0,0811 1570 »
» голубой графитовый известнякъ
(употребленный на гидравлическую из-
весть) ................................ 0,1055 4730 »
Мягкій известнякъ, противящійся водѣ. . 0,0738 945 »
Кирпичъ сильно жженый.................. 0,0633 2360 »
Кирпичная кладка (въ мосту Британія). 570 »
Гипсъ, разведенный въ известковомъ
молокѣ............................................. 1150 »
» » въ водѣ.................................... 790 »
Обыкновенный цементъ изъ извести и
песку................................................. 550 »
Цементъ изъ сильно гидравлической из-
вести................................................ 2270 »
» » обыкновенной » » » 1170 »
II. Крѣпость дерева (на □ д.).
Красная ель, по направленію волоконъ................. 6380 ф.
Бѣлая ель (пихта) » ». 7480 »
Дубъ » » 7170 »
Буковое дерево » » 8500 »
Ясень » » 9610 »
Дубъ, перпендикулярно къ волокнамъ................... 2520 »
Примѣчаніе. Эти числа относятся къ дереву обыкновенной сухости. Крѣпость
очень сухаго дерева отъ 10 до 20 процентовъ больше. Это въ особенности от-
носится въ дубу.
III. Крѣпость металловъ.
Желѣзо.............................................. 77140 ф.
Чугунъ въ большихъ массахъ......................... 107045 »
» вылитый въ небольшіе куски, л вслѣдствіе о-
хлаждеиія затвердѣвшій на пувзрхпостн.............. 204650 »
— 173 —
Пушечный металлъ................................ 157420 ф.
Мѣдь, сдавленная на '/І0 высоты................. 60700 »
Латунь.......................................... 56900 »
Олово............................................ 9760 »
Свинецъ.......................................... 2280 »
Примѣчаніе. Абсолютная крѣпость желѣза относится къ его обратной крѣпости,
какъ 4:5; для чугупа какъ 1 : 6, 5.
По Ропделе, па практикъ давленіе никогда не должно превышать ’/і означен-
ныхъ цифръ для дерева, ’/ю для камня и желѣза н */< лля чугуна.
Примѣрь. Сколько круглыхъ свай, 9 д. въ діаметрѣ, нужно вбить въ землю для
того, чтобы опѣ могли поддержать зданіе вѣсомъ въ 785000 предполагая, что
не можетъ быть сгибанія п принимая 10-тпкратпую прочность.
Примемъ крѣпость дерева на П Д- — 6300 пли ири 10 кратной прочности = 630.
Площадь сѣченія одной сваи, при діаметрѣ въ 9 д. = 63,6Пд., а потому крѣпость
одной сваи=63,6.630 = 40068 ф. и число свай 20.
В. Обратная крѣпость при сгпбапіи.
Для крѣпости прута, котораго концы отрѣзаны перпендикулярно
къ длинѣ и который можетъ свободно сгибаться, теорія даетъ слѣ-
дующія Формулы (нѣсколько отступающія отъ практики):
Для прямоугольнаго сѣченія
1Г г • о Ек3' <Р
Для круглаго сѣченія......Р
ІА V
гдѣ Р означаетъ сплу, дѣйствующую на прутъ,
Е—коэффиціентъ упругости матеріала,
Ь — большую, Л—меньшую сторону сѣчеаія,
сі—діаметръ круглаго сѣченія.
I—длину прута.
Изъ этпхъ Формулъ впдпо, что крѣпость прута преимущественно за-
виситъ отъ отношенія діаметра ніп наименьшей стороны сѣченія къ
длинѣ прута.
Если принять за единицу крѣпость такого бруса, котораго длина
равна діаметру или наименьшей сторонѣ сѣченія, то по Ронделэ полу-
чаемъ такую крѣпость:
— 174 —
а) ДЛЯ ЖЕЛѢЗА.
Отношеніе крѣ-
Отношеніе длины пости бруса въ Величина крѣпо-
къ толщинѣ, крѣпости приня- сти на □ дюйм.
той за единицу.
1 ......... 1 ......... 75560 Ф.
18..........а’/40 ...... 51000 »
27 .........’/2 37780 »
36..........% 30225 »
45..........7,в ......... 23615 »
54 .........'/4 18890 »
63..........'/5 15113 »
81........................ 9445 »
92........................ 7556 »
100 ........'/12 ......... 6300 »
108....................... 4726 »
Ь) для ЧУГУНА.
1 ........ 1 ..... 155845 »
4..........7з ......... 103900 »
8 .........'/2 77925 »
15 .........'/, 51948 »
20 ......... 4/15 ........ 41560 »
25..........'Д ........... 31170 »
30 .........'/0 .......... 25974 »
36..........а/15 ......... 20780 »
С) ДЛЯ СТРОЕВАГО ЛѢСА.
1.........1 ..... 6615 »
12...........7, 5510 »
24 ..........'/2 3310 »
36...........'/, 2206 »
48 ..........'/, 1103 »
60..........'/І2 554 »
72 .........'/24 277 »
Изт> опытовъ Годгкинсона надъ чугуными колоннами слѣдуетъ:
1) Что длинныя колонны почти втрое крѣпче, когда концы ихъ
плоскіе, срѣзанные перпендикулярно къ длинѣ и, слѣдовательно, къ
силѣ, чѣмъ такія колонны, которыхъ концы выпуклые, при одинако-
выхъ размѣрахъ.
— 175 —
2) Что чугунныя колонны, которыхъ толщина въ срединѣ въ 1,5
или 2 раза болѣе, нежели на оконечностяхъ, при одинаковомъ вѣсѣ
и одинаковой длинѣ съ цилиндрическими столбами, оказываютъ со-
противленіе не болѣе, какъ отъ до ’/8 больше обыкновенныхъ ци-
линдрическпхт. колоннъ.
(3 Что сила, при которой происходитъ изломъ,
для цилнидрпческпхі. массивныхъ колоннъ = 1927,44^-Фунтамъ,
№"____________________________________________________»«
» » внутри пустыхъ = 1927,44 Фунт.,
гдѣ I означаетъ длину колонны въ дюймахъ, <1 и <11 величину діамет-
ровъ въ линіяхъ.
Пустыя колонны, слѣдовательно, имѣютъ гораздо большую крѣ-
пость, чѣмъ массивныя одинаковаго съ ними вѣса.
Сравненіе обратной крѣпости колонны при слѣдующихъ обстоя-
тельствахъ'.
I. Оба конца срѣзаны перпендикулярно къ длинѣ и изгибъ про-
исходитъ въ одну сторону.
II. Оба конца срѣзаны перпендикулярно къ длинѣ и изгибъ двой-
ной, въ двѣ противоположныя стороны.
III. Нижній конецъ укрѣпленъ, верхній свободенъ и отклоняется
вт. сторону.
IV. Нижній конецъ укрѣпленъ, верхній перпендикуляренъ къ дли-
нѣ и не можетъ отклоняться въ сторону.
V. Оба конца укрѣплены, изгибъ въ срединѣ.
Крѣпости колонны въ случаяхъ 1, II, III, IV, V,
относятся между собой какъ числа 4:16:1:9:16.
По Ронделэ, постоянное давленіе для дерева никогда не должно
— 177 —
крѣпо-
колоины
фунтовъ
превышать '/5, для камня и желѣза и для чугуна '/4 11X71
сти. Обыкновенно имъ даютъ еще меньшее напряженіе.
Примѣръ. Какъ великъ долженъ быть діаметръ чугунной массивной
въ 10 Футонъ вышины, которая должна поддерживать тяжесть въ 50000
при 5-ти кратной прочности?
Возьмемъ отношеніе діаметра колонны къ ея высотѣ, какъ 1:25; при такомъ
отношеніи крѣпость чугуна = 31170 ф. на □ д., или при пятикратной прочности
50000
= 6235 ф., потому площадь сѣченія колонны должна быть = = 8 □ д., и
ОлйОО
діаметръ ея долженъ быть = 3, 2 д.
Но при такомъ діаметрѣ отношеніе его къ высотѣ колонны
= 3,2 : 10.12= 1: 37,5.
20780
Для отношенія 1:36 крѣпость =—=—=4154 ф. пи □ д., а потому площадь сі -
э
чепія колонны должна быть=^^>.°= 12 □ д. и діаметръ ея = 3, 91 д.
4104
Отношеніе діаметра къ высотѣ въ этомъ случаѣ опять = 3,91: 10.12 = прибли-
1 25970
зитеіьно^-} а въ этомь случаѣ крѣпость == —-—= 5194 ф. па квадратный дюймъ,
30 5
х • , 50000 „„
потому площадь сѣченія колонны должна быть =9,6 □ д. и дшметръ ея
= 3,5 д.
Такъ-какъ этотъ діаметръ занимаетъ почти средину между другими двумя
діаметрами (3,2 и 8,9), то его можно принять за искомый діаметръ колонны.
Если требуется большая прочность, то нужно продолжать это вычисленіе до тѣхъ
поръ, пока два раза сряду не получится одинъ и тотъ же діаметръ или, что все
равно, одно и то же отношеніе діаметра къ длинѣ.
Л» 21.
ОБЪ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЮНОСТИ.
Сопротивленіе, которое оказываетъ тѣло силѣ, дѣйствующей пер-
пендикулярно къ его длинѣ п сгибающей его до перелома, называется
относительною или поперечною крѣпостью (гоіаііѵе илиігапзѵегзаіе,
Гезііцкеіі, гозізіапсе а Іа Лехіоп).
I. О СГИБАНГП И О НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ.
Четыреугольный призматическій брусъ, котораго одинъ конецъ у-
крѣпленъ горизонтально, будетъ сгибаться при дѣйствіи па другой
конецъ какой-нибудь силы. Это сгибаніе сопровождается растяже-
ніемъ волоконъ на верхней (выпуклой) части бруса и сокращеніемъ
оныхъ на нижней (вогнутой) сторонѣ. Въ самомъ верхнемъ слоѣ во-
локонъ удлипненіе будетъ наибольшее; книзу удлиненія уменьша-
ются. Въ самомъ нижнемъ слоѣ происходитъ точно также наиболь-
шее сокращеніе; кверху сокращенія становятся меньше. Изъ этого
слѣдуетъ, что въ срединѣ долженъ быть слой волоконъ, вт> которомъ
наименьшее сокращеніе встрѣчается съ наименьшимъ удлиненіемъ, и
который отдѣляетъ растягиваемую часть бруса отъ сжимаемой части,
а самъ остается безт> перемѣны. Такой слой называется нейтраль-
нымъ слоемъ, и пересѣченіе его съ плоскостью, вт> которой лежитъ
геометрическая ось бруса, называется нейтральной осью.
Если матеріалъ представляетъ одинаковое сопротивленіе растяже-
нію и сжатію, той нейтральная ось бруса изъ такого матеріала совпа-
даетъ всегда съ линіей, соединяющей центры тяжести всѣхъ попе-
речныхъ сѣченій, какой бы Формы ни были этп сѣченія. Если обрат-
Мехап. Бернулли. 12
178 -
пая крѣпость больше абсолютной, какъ напр. въ чугунѣ, то нейтраль-
ная ось леяіптъ ниже линіи центровч. тяжестп, и наоборотъ, если об-
ратная крѣпость меньше, то нейтральная ось лежитъ выше этой ли-
ніи.
Растяженія п сокращенія волокопъ пропорціональны разстоянію их-ь
отъ нейтральнаго слоя. Но въ одномъ н томъ же слоѣ волоконъ растя-
женіе пли сокращеніе происходитъ неравномѣрно по всей длинѣ слоя;
оно наименьшее въ томъ мѣстѣ, гдѣ находится точка приложенія си-
лы (или у свободнаго конца бруса) и начиная съ этого мѣста, растя-
женіе п также сокращеніе возрастаетъ пропорціонально разстоянію
отъ свободнаго копца (или отъ точки приложенія силы), такъ-что вь
мѣстѣ прикрѣпленія бруса опо будетъ наибольшее.
Въ приложенномъ здѣсь чертежѣ обозначено числами измѣненіе
растяженій и сокращеній, вмѣстѣ съ измѣненіемъ разстоянія отъ ней-
тральной оси и отъ свободнаго копца.
Эти числа показываютъ также отношеніе растягивающихъ и сжи-
мающихъ силъ въ этихъ волокнахъ; слѣдовательно они показываютъ
также участіе каждаго волокна въ общемъ сопротивленіи всего бруса.
Если бы всѣ волокна растягивались одинаково,т. е. принимали бы
одинаковое участіе въ сопротивленіи всего бруса, и если бы абсолют -
ная и обратная крѣпость волоконъ были одинаковы, т. е. разрывъ въ
верхней части н раздавленіе вь нижней части бруса происходили бы
въ одно время, то брусъ прп такомъ распредѣленіи волоконъ пред-
ставлялъ бы наибольшую относительную крѣпость Изъ всѣхъ этпхч.
разсужденій слѣдуетъ:
— 179 —
1) Что волокна, лежащія близъ нейтральной оси, мало увеличиваютъ
крѣпость бруса, такя, что скопленіе матеріала въ этомъ мѣстѣ без-
полезно.
2) Такъ какъ наибольшее растяженіе и сокращеніе пропсходятъ въ
мѣстѣ прикрѣпленія бруса и, слѣдовательно, въ этомъ мѣстѣ скорѣе
всего можеть послѣдовать разрывъ или раздавленіе, и вообще
изломъ бруса, то выгоднѣе увеличивать количество матеріала въ этомъ
мѣстѣ, уменьшая его постепенно къ другому свободному концу.
До этимъ причинамъ, при одинаковой площади сѣченія, брусъ съ квадратнымъ
сѣченіемъ менѣе крѣпокъ, нежели брусъ сь прямоугольнымъ сѣченіемъ укрѣп-
ленный такъ, что большая сторона параллельна силѣ; брусъ квадратный, положен-
ный на ребро, не такъ крѣпокъ, какъ брусъ квадратный, лежащій на сторонѣ; но
слѣдній крѣпче цилиндрическаго круглаго, который, въ свою очередь, слабѣе эллип-
тическаго, положеннаго такъ, что большая ось вертикальна, если спла дѣйствуетъ
по тому же направленію.
II. О МОМЕНТѢ СОПРОТИВЛЕНІЯ СГДБАНПО.
а) Возьмемъ брусъ, укрѣпленный однимъ концомъ въ горизонталь-
номъ положеніи и иа другой копецъ котораго, на разстояніи Ь отъ
перваго, дѣйствуетъ сила Р.
Какъ видно по чертежу, вовремя перелома бруса, волокна, лежащія
надъ нейтральной осью, разрываются, лежащія ниже —раздавливаются,
п въ первое мгновеніе перелома происходить вращеніе вокругъ А.
- 180 —
Если сопротивленіе верхняго слоя разрыву = р, то при изломѣ
плечо этой силы=Ла и, слѣдовательно, верхній слой сопротивляется
вращенію вокругъ А, или вообще разрыву, моментомъ = р. Аа.
Если сопротивленіе самаго нижняго слоя раздавленію=у, и раз-
стояніе нейтральной оси отъ нижняго слоя=-45, то послѣдній сопро-
тивляется раздавливанію моментомъ=у. АЬ. Всякому слою выше или
ниже А, соотвѣтствуетъ свой моментъ разрыва илн раздавливанія,
только съ меньшимъ плечомъ и съ меньшей силой, и чѣмъ ближе
къ нейтральному слою, тѣмъ меньше плечо и сила. Сумма всѣхъ мо-
ментовъ разрыва п раздавливанія, выражающая общее сопротивленіе
бруса перелому, вообще называется моментомъ крѣпости бруса или
моментами сопротивленія сгибанію.
Когда моментъ дѣйствующей силы РЬ дѣлается равнымъ моменту
крѣпости, тогда происходитъ переломъ.
Ь) Для опредѣленія относительной крѣпости брусьевъ съ различ-
ными поперечными сѣченіями, теоретически найдены слѣдующіе
момепты крѣпости, гдѣ В означаетт» силу, разрывающую волокно
верхняго слоя разсматриваемаго бруса и отнесенную к’ь единицѣ
площади поперечнаго сѣченія.
Моментт. крѣпости = • 6/г
_ КІІ
32 іі
КІІ
— 32 " и
— 181 —
Моментъ крѣпости =
Изъ этихъ Формулъ выводятся слѣдующія практическія правила:
1) Относительная крѣпость двухъ брусьевъ одинаковой длины, но
различныхъ квадратныхъ или круглыхъ сѣченій, пропорціональна
кубу сторонъ или діаметровъ двухъ сѣченій.
Если сторона квадрата или діаметръ круга одного изъ сѣченій вдвое больше
стороны или діаметра другаго сѣченія, то первый брусъ въ 8 разъ крѣпче вто-
раго, при одинаковой ихъ длинѣ.
2) Крѣпость двухъ брусьевъ одинаковой длины, но различной ве-
личины прямоугольнаго сѣченія, прямо пропорціональна основанію и
прямо пропорціональна квадрату высотъ двухъ сѣченій *).
Примѣръ. Брусъ въ 12 д. высоты п 8 д. основанія, поддерживаетъ грузъ въ 2500
какъ великъ будетъ грузъ, который поддержитъ брусъ такой же длины, котора-
го высота = 9 д. п основаніе = 7 д.?
7 92
Отвѣтъ = 2500 • ^22=1230 ф.
’) Подъ основаніемъ здѣсь разумѣется то измѣреніе, которое перпендикуляр-
но къ направленію силы, горизонтальное измѣреніе, если сила находится въ плос-
кости вертикальной, п въ такомъ случаѣ высота будетъ вертикальное измѣреніе
сѣченія. Одно и тоже измѣреніе можетъ быть то высотой, то основаніемъ, смот-
ря по положенію бруса относительно направленія силы.
— 182 —
3) Если призматическій прямоугольный брусъ перевернуть съ
меньшей грани на большую, то его сопротивленіе перелому измѣ-
нится въ отношеніи высоты къ основанію.
4) Прн одинаковой площади сѣченій круглаго и квадратнаго бру-
са, крѣпости ихъ приблизительно относятся какъ 5:6, п такое же
отношеніе должно быть между стороной квадрата п діаметромъ кру-
га для того, чтобы оба бруса имѣли одинаковую крѣпость:
5) Крѣпость квадратной трубы относится къ крѣпости круглой,
когда діаметръ послѣдней равенъ сторонѣ квадрата:
прп одинаковой толщинѣ стѣнокъ какъ 16: Зтс = 1:0,59;
прн одинаковой площади сѣченій какъ 4:3 = 1:0,75.
6) Сопротивленія эллиптическихъ нлп круглыхъ брусьевъ, одина-
ковой длины, внутри пустыхъ и когда толщиной стѣнокъ можно пре-
небречь въ сравненіи съ діаметромъ, пропорціональны площадямъ
сѣченій, умноженнымъ на высоту брусьевъ.
Такъ, если круглая труба пмѣетъ вдвое большій діаметръ, нежели
другая, при одинаковой толщинѣ стѣнокъ н одинаковой длинѣ трубъ,
то площадь сѣченія первой (окружность круга) вдвое болѣе п крѣ-
пость ея вчетверо болѣе второй.
7) Сопротивленія подобныхъ тѣлъ пропорціональны квадратамъ
линейныхъ измѣреній, или что все равно, площадямъ сѣченій.
Примѣрь. Модель трубы Корейскаго моста (Согпѵау-Ьгі<І§е), испытываемая
Ферберполъ и Стефенсономъ, имѣла въ поперечномъ сѣченіи 54 □ д. п выдер-
живала грузъ = 221120 ф. приложенный къ срединѣ длины (оба конца подперты).
Сколько можетъ выдержать настоящій Конвеііскій ноеть, котораго площадь сѣче-
ііія=153О Д т. е. въ 28'/о расъ больше.
Искомый грузъ = 221120Х28'/а=6265000 <і>.
8) При одинаковыхъ сѣченіяхъ внутри пустой брусъ пмѣетъ боль-
шую крѣпость, нежели массивный, и крѣпость перваго бруса тѣмъ
больше, чѣмъ больше внутренній діаметръ въ сравненіи съ внѣш-
нимъ. Для чугунныхъ колонит. дѣлаютъ внутренній діаметръ обы-
кновенно не болѣе ’/, внѣшняго.
9) Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что подобныя и пзъ одинаковаго мате-
ріхла сдѣланныя машины тЬм . крѣпче, въ сравненіи съ количествомъ
уп .теребленнаго матеріала, чѣмъ онѣ меньше, потому-что количество
матеріала или вѣсъ машины пропорціоналеиъ кубу лпиѣйныхъ измѣ-
реній, тогда какъ крѣпость пропорціоиальна только квадрату этихъ
измѣреній.
— 183 —
Такъ если машина Д сдѣлана въ три раза меньшемъ масштабѣ,
нежели машина В, то вѣсъ каждой отдѣльной части первой въ 27
разъ меньше, а крѣпость только въ 9 разъ меньше.
ІП. Нлпвыгодньйшля ФОРМА СѢЧЕНІЙ.
Общія условія выгодной Формы сѣченіи слѣдующія:
1) Матеріалч. долженъ быть распредѣленъ по возможности дальше
отъ нейтральной оси.
2) Матеріалъ, который представляетъ одинаковое сопротивленіе
относительно растяженія и сжатія, долженъ быть равномѣрно рас-
предѣленъ по обѣ стороны нейтральнаго слоя.
3) Если сопротивленіе раздавливанію больше, нежелп разрыву, то
нужно на сторонѣ растягиваемой увеличить до надлежащей степени
количество матеріала, т. е. увеличить на этой сторонѣ площадь сѣ-
ченія.
Частныя правила относительно выгоднѣйшихъ Формъ сѣченій для
нѣкоторыхъ матеріаловъ.
1) Для того, чтобы изъ круглаго бревна приготовить брусъ, кото-
рый имѣлъ бы возможно большую крѣпость, нужно, чтобы измѣренія
послѣдняго удовлетворяли слѣдующему условію: квадраты сторонъ
прямоугольнаго сѣчепія бруса должны относиться между собою и къ
квадрату діаметра бревна какъ 1:2:3, вслѣдствіе чего ширина бруса
будетъ относиться къ его высотѣ какъ 5:7.
Размѣры такого наивыгодпѣіішаго сѣченія для дерева
легко паііти графически. Для этого раздѣлимъ діаметръ
АВ бревна на три части и изъ точки дѣленія возстав-
ляемъ перпендикуляръ къ АВ. Точку С пересѣченія
перпендикуляра съ окружностью соединяемъ съ око-
нечностями А п В діаметра, тогда линіи АС и ВС
будутъ стороны того прямоугольнаго сѣченія, которое
даетъ наибольшую крѣпость брусу, приготовляемому
изъ даннаго бревна. Чтобы дополнить прямоугольникъ,
чрезъ точки А и В проводимъ линіи параллельныя
АС п ВС.
2) Опредѣленіе наиеыіодшьйшей формы сѣченія для чугунныхъ ко-
лонна по опытамъ, произведеннымъ въ чугуннолптейной въ Лимингто-
нѣ (Ьеапгіпдіохѵп). Одинъ конецч» бруса укрѣпленъ въ горизонталь-
номъ положеніи, на другой конецъ дѣйствуетъ сила.
— 184 —
Сѣченіе нижней планки = '/, сѣченія-»-‘/щ сѣче-
нія средняго ребра.
По Кюбитту (СйЬіН) размѣры этого сѣченія должны быть слѣдую-
щіе:
Ширина нижней планки = 1,
» верхней планки = 2,17,
» средняго ребра = 0,25,
Высота каждой планки = 0,3,
Высота всего сѣченія . . = 6,35.
Пршмьч, Часто площадь разрѣза верхней планки дѣлается отъ 4 до 6 разъ
больше площади разрѣза нижней.
V. Сравненіе крѣпости бруса при различныхъ способахъ его укрѣп-
ленія и различномъ распредѣленіи силы.
Предположивъ, что сила дѣйствуетъ перпендикулярно къ длинѣ бру-
са и назвавъ чрезъ:
Р силу, производящую изломъ бруса.
I длину бруса, слѣдовательно РЬ моментъ внѣшней силы,
и Р моментъ крѣпости, котораго величина для различныхъ Формъ
сѣченія опредѣлена (на стр. 180), получимъ для наибодьшей силы, ко-
торой онъ способенъ сопротивляться, въ различныхъ случаяхъ слѣдую-
щія выраженія:
I. Одинъ конецъ укрѣпленъ, на другой дѣйствуетъ сила:
II. Одинъ конецъ укрѣпленъ, сила распредѣлена равномѣрно по
длинѣ:
--X
— 185 -
III. Средина подперта, и оба конца одинаково нагружены:
Р = 4т
IV. Оба конца подперты, сила дѣйствуетъ въ срединѣ:
V. Оба конца подперты, грузъ распредѣленъ равномѣрно по длинѣ:
VI. Оба конца укрѣплены, спла дѣйствуетъ въ срединѣ:
Р-8Г
VII. Оба конца укрѣплены, сила распредѣлена равномѣрно по длинѣ:
Г
Р = 12
VIII. Оба конца подперты, сила находится на разстояніяхъ т и я
отъ двухъ точекъ опоры, такъ-что т-і-п = I:
Р =
у Г
т.п.Ь
давленіе на подпору въ разстояніи т ^=у-Р •
» » » » » П = • 1
Наибольшее давленіе происходитъ на ту подпору, воторая ближе
къ точкѣ приложенія силы.
— 186 —
IX. Оба конца подперты н на разстояніи т отъ каждой подпоры,
дѣйствуютъ силы Р, Р.
Р Р
іи іи Ъ
Сравнивая ати результаты, находимъ,
что для случаевъ I, П, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX
нагрузки относятся какъ 1:2: 4: 4 : 8:8: 12; ——•
тп т '
т. е. въ случаѣ II брусъ въ состояніи выдержать вдвое болѣе, нежели въ случаѣ
I, въ случаѣ V въ 8 разъ болѣе и т. д.
Если желаемъ ввести въ вычисленіе еще вѣсъ р бруса, и если величина сѣче-
нія вездѣ одинаковая и плотность бруса во всѣхъ точкахъ одна и та и:е, то во
всѣхъ девяти случаяхъ вмѣсто Р нужно вставить /•’-+-’/я р-
Если брусъ не прямой, а изогнутый, или имѣетъ видъ ломаннаго рычага, или
находится въ наклонномъ положеніи, то разстоянія ѣ, т и п считаются, какъ въ
рычагѣ, по горизонтальнымъ направленіямъ, преднолагая, что сила вертикальна.
V. Коэффиціентъ относительной крѣпости н числовые примѣры.
Величины коэффиціента И относительной крѣпости для различныхъ
матеріаловъ слѣдующія:
Для дубоваго дерева..... 10630 ф. на □ д.
» еловаго дерева........ 9450 » » »
» чугуна...................... 28336 — 47220
» желѣза въ тонкихъ прутахъ . 94450 » » »
» желѣза въ толстыхъ прутахъ. 63000 » » »
» жестяныхъ трубъ...... 55100 » » »
По Банксу (Вапсз) п Третгольду, для бруса неподвижнаго, изъ
предостарожностн, нужно брать никакъ не болѣе ’/л этихъ коэф-
фиціентовъ; для такого же бруса, который долженъ имѣть вра-
щательное движеніе, и потому не долженъ имѣть большаго сгибанія,
не болѣе коэффиціентовъ. Чтобы имѣть достаточную прочность,
совѣтуемъ для неподвижныхъ брусьевъ брать 14 для валовъ этихъ
величинъ.
— 187 --
Таблица XXXVI.
Въ большей части случаевъ изгиба можно пользоваться слѣдующею таблицею.
Названіе матеріаловъ. Значеніе коэффиціента въ Формулахъ изгиба.
Въ пудахъ на 1 □ дюймъ. Въ килограммахъ па 1 кв. центим.
Покой. Движе- ніе. Ударъ. Покой. Движе- ніе. Ударъ.
Желѣзо 336 252 168 840 630 420
Цементная сталь .... 432 324 216 1100 780 555
Литая сталь 780 585 390 2000 1500 1000
Чугунъ 168 126 84 420 315 210
Дерево: дубъ, ельи сосна. 24 18 12 60 45 30
Если въ Формулы отдѣла IV вмѣсто Р вставить различные мо-
менты крѣпости, принадлежащіе различнымъ Формамъ сѣченій, то
изъ сочетанія всѣхъ случаевъ, исчисленныхъ въ отдѣлѣ IV, со всѣми
величинами Р для различныхъ сѣченій, получаемъ отвѣты па всевоз-
можные встрѣчающіеся въ практикѣ случаи.
Такъ для случая I (отд. IV) п для круглаго сѣченія имѣемъ:
а для бруса цилиндрическаго пустаго имѣли бы:
р т__г^і4)
32 ’ (К '
Для случая VI и при прямоугольномъ сѣченіи имѣемъ:
Р/, = 8.^/г,
О
И т. д.
Вставляя въ эти Формулы данныя величины, выраженныя въ дюй-
махъ п Футахъ, получимъ возможно меньшіе, при данной силѣ, раз-
мѣры бруса, п при данныхт. размѣрахъ наибольшую силу, которую
брусъ способенъ выдержать безъ опасности.
Примѣръ 1. Какую силу можетъ вынести, при 4-хъ кратной прочности, ело-
вый брусъ, котораго одинъ конецъ укрѣпленъ, на другой должна дѣйствовать сила
при ѣ = 20 Фут. = 240 д., Ь =12 д., Л = 20 д.?
Коэффиціентъ относительной крѣпости ди еловаго дерева, по стр. (186) = 9450
ф.; а ирн 4-хъ кратной прочности /7=2362 ф.
Вставимъ данныя измѣренія въ выраженіе момента крѣпости:
п П Ък-
РЬ = —Ьк-, или искомое Г = — •
6 6 ь
— 188 —
то получаемъ:
7230 *. если
30810 ф.
белъ опасности
сре-
т. е.
его
сила дѣйствуетъ иа копцѣ.
« » въ срединѣ,
держать круглый ци.іин-
р=^.ц^7в7
Если бы оба конца бруса были подперты и сила была бы приложена къ
дпиѣ, то при той же прочности онъ могъ бы держать въ 4 раза больше,
31480 ф.
Если требуется принять во вниманіе еще вѣсъ бруса, то нужно половину
(вѣса) вычесть изъ найденной величины Р.
Объемъ бруса=2Ю . 12.20—57600 кубич. дюймовъ,
вѣсъ 1 кубич. дюйма еловаго дерева=0,0228 ф.,
а потому вѣсъ бруса=57600X0,0223 = 1284,5 ф.
, , 1284
и крѣпость бруса =7870--— =
. > =31480-’-^ =
Л
Лриміър» 2. Какую тяжесть можетъ
дрическій чугунный валъ, котораго д.іипа=112'', діаметръ=8", оба конца под-
перты и сила дѣйствуетъ въ срединѣ?
Не принимая во вниманіе вѣсъ вала, имѣемъ:
р=4Г=425.І3
ѣ 32 Ь
при пятикратной прочности Л=7877 ф., а потому
8’ 1Н30 ф
О а 11 а
Вѣсъ же вала=Н2 .3,14.8\О,292=164-1 ф., слѣдовательно крѣпость его
1644
=14130— —13300 ф.
Лримпръ 3. Какой толщины долженъ быть квадратный желѣзный брусъ, под-
пертый въ двухъ концахъ, п который въ двухъ точкахъ, на разстояніи 30 д. отъ
каждаго конца, несетъ тяжестп = 4400 ф. каждая?
По случаю IX стр. (186) имѣемъ:
„ р 1І ... , а.т.р
”‘ т ="Т ’ ПІ>=~6 * ІРі откуда Іі3=° —ц—
Взявши /?=23230 ф., имѣемъ А3=^-^-^'^° =33,6</, отсюда, Л=3,23Л
Есіи требуется принять во вниманіе вѣсъ бруса, то при длинѣ— 16 ф.= 1Щ и
Д = 3,23</, имѣемъ:
вѣсъ бруса = 192.3,232.0316= 6033 ф.; половину этого вѣса нужно прибавить
къ данной силѣ 4400 ф., получимъ 7420 ф,, а этой силѣ соотвѣтствуетъ сторона
квадрата
Л=1А™0 84
23630 ’
VI. о ВЕЛИЧИНѢ СГИБАНІЯ.
Если одинъ конецъ бруса укрѣпленъ въ горизонтальномъ поло-
женіи, а на другой конецъ дѣйствуетъ сила, то величина пониже-
нія » этого конца:
— 189 —
Для прямоугольнаго сѣченія
Для сѣченія вида
Для круглаго массивнаго сѣченія
Для круглаго внутри пустаго
сѣченія
ИЬ м — 4 Е ‘ 6Л3'
гдѣ Р означаетъ силу, дѣйствующую на свободномъ концѣ, въ
Фунтахъ.
Е коэффиціентъ упругости, въ Фунтахъ на □ д. сѣченія.
Ь длину бруса (всѣ линѣйныя измѣренія въ дюймахъ).
Отъ собственнаго вѣса брусъ понижается на 3/в того сгибанія,
которое онъ принялъ бы, если бы сила равная вѣсу, была прило-
жена къ свободному концу.
Примѣрь. На сколько понизится конецъ дув шаго бруса, котораго шіір:іпа=8 д.,
высота = 12 д., длина 120 д., одинъ конецъ укрѣпленъ, па другой дѣйствуетъ
сила=5850 *.?
1) Пониженіе вслѣдствіе силы Р.
Р=585О ф., Е = 1890 500 ф., 1=120, 6 = 8, 6=12,
п=іі^2_ . =1,547 д.
1 890 500 8.123
2) Пониженіе отъ собственнаго вѣса.
Вѣсъ бруса = 120.12.8.0,0365 = 420,5 ф.
3 4.420,5 ,1203
Пониженіе и= й • і 590500’8.123—0‘2 д’’
а потому полное поннженіе=1,547-+-0,052=1,589 д.
Пониженія одного п того же бруса въ семи первыхъ случаяхъ,
изложенныхъ въ отдѣлѣ IV, и при дѣйствіи силъ, производящихъ
переломъ, относятся между собой какъ:
1: %: ’Л : 'Л: 5Ас: ’/о: 7;.а-
Если вт> этихъ семи случаяхъ силы будутъ равны и при этомъ
величина наибольшаго изгиба въ 1-мъ положеніи бруса не превы-
шаетъ предѣла упругости, то пониженія должны относиться какъ:
1 і 'Уа : Уь : '/іо : ’/ип: '/іи : ’/іас*
ѴП. Опредѣленіе формы брусьевъ, имѣющихъ одинаковую относи-
тельную крѣпость во всѣхъ сѣченіяхъ.
(Тѣла равнаго сопротивленія.)
Такъ-какъ изломъ призматическаго или цилиндрическаго бруса
легче всего можетъ произойти вл. мѣстѣ его укрѣпленія, то попереч-
— 190 —
ныя сѣченія бруса,который долженъ пмѣть вездѣ одинаковую крѣпость,
будутъ уменьшаться по мѣрѣ приближенія къ свободному концу.
Но при одинаковой ширинѣ, крѣпости двухъ брусьевъ пропорціо-
нальны квадрату высотъ, при одинаковой же высотѣ прямо пропор-
ціональны ширинѣ; а потому если брусъ долженъ имѣть во всѣхъ
мѣстахъ одинаковую крѣпость, то при одинаковой ширинѣ верти-
кальный разрѣзъ такого бруса дастъ параболу. Еслп измѣняется
одна ширина, то она должна возрастать прямо пропорціонально
разстоянію отъ свободнаго конца, слѣдовательно въ горизонтальномъ
разрѣзѣ такой брусъ представляетъ видъ треугольника, котораго
вершина находится въ свободномъ концѣ бруса.
а) Итакъ, при постоянной тиринл и прп перемѣнной высотѣ бру-
са, находимъ высоту СС'=у, соотвѣтствующую данному разстоянію
АС=х отъ свободнаго конца, изъ уравненія параболы..
У = —’
гдѣ х = А С,
1 = АВ.
1і = ПІУ.
Если напр. АС = ^АЛ. то С'С —к X /Т = 2/3
Брусъ можетъ быть также съ
двухъ сторонъ ограниченъ парабо-
лой; для этого откладываемъ по
обЬ стороны линіи, выражающей
длину, половину высоты, соотвѣт-
ствующей данному разстоянію отъ
свободнаго конца. (Приложеніе въ
коромыслахъ.)
Ь) Еслп отношеніе ширины бруса къ высотѣ должно остаться безъ
перемѣны, т. е. еслп въ прямоугольныхъ сѣчэгіяхъ измѣняется вы-
сота и ширина вмѣстѣ, то различныя величины у опредѣляются
пзъ уравненія:
I
а между шириной с и высотой существуете данное постоянное от-
ношеніе г = -^ •
- 191
Притри. Найти Форму бруса, котораго длина Ь = 16 ф. іі наибольшіе размѣры
(у мѣста прикрѣпленія) Л — 8 д., Ь = 6 д., при одинаковомъ отношеніи высоты къ
ширинѣ; каковы должны быть промежуточные размѣры?
Они изложены въ слѣдующей таблицѣ.
Разстояніе отъ свобод- наго конца, х= Соотвѣтству-1 Соотвѣтству- ющія высоты ющія ширины
ч У,
1' 3,1 >" 2,38"
2 4,00 3 00
3 4.58 3,43
4 5,04 3.78
5 5,43 4,07
6 5,77 4,33
7 6,07 4,55
8 6,35 4,76
9 6,60 4,95
10 6,84 5,13
11 7,06 5,295
12 7,27 5,45
13 7,46 5,60
14 7,65 5,74
15 7,83 5,87
16 8,00 6,00
Уравненіе II можетъ быть приложено п къ брусьямъ съ круглымъ
сѣченіемъ; тогда Л означаетъ наибольшій, у искомый діаметръ.
Длина бруса ѣ — 80 д.,
наибольшій діаметръ (у мѣста укрѣпленія) Л=16 д ,
діаметръ на разстояніи ‘/і дшны отъ свободнаго коцца=16І/ -59=10 08.
’ 80
з __
11 ’ 2/< * » • • =161/-^9=12,70.
3
с) Если брусъ подпертъ въ двухъ концахъ, а сила дѣйствуетъ въ
срединѣ, то перемЬпныя измѣренія вышина, пли ширина, или обѣ
вмѣстѣ) возрастаютъ ст> приближеніемъ къ срединѣ, такъ точно, какъ-
будто подперта средина, а сила дѣйствуетъ на концы.
Если брусъ, или валъ, подпертъ въ двухъ концахт> и на равныхъ,
разстояніяхъ отъ опорныхъ точекъ поддерживаетъ два равные груза
— 192 —
(случай IX. отд. IV), то часть бруса между грузами должна имѣть
постоянные размѣры, а частямъ между грузами и концами даютъ
перемѣнные размѣры, уменьшающіеся съ приближеніемъ къ концамъ.
Формы брусьевъ, здѣсь описанныя, чисто теорическія. На прак-
тикѣ обыкновенно довольствуются приближенными Формами.
Прибавленіе.
Объ опытахъ Фэрберна (Гаіі Ьаігп) надъ относительной крѣпостью
желѣзныхъ трубъ.
Занимаясь устройствомъ двухъ мостовъ чрезъ каналъ Менэ (Мепаі)
для честеръ-голигедской желѣзной дороги, Фэрбернъ производилъ
опыты надъ трубами различной Формы изъ прокатанныхъ и склепан-
ныхъ желѣзныхъ листовъ. Слѣдующая таблица показываетъ важнѣй-
шіе результаты этихъ опытовъ.
Примѣчаніе 1. Изъ опытовъ I, II, Ш и другихъ подобныхъ, Фэрбернъ нашелъ,
что при одинаковой длинѣ, высотѣ и при одинаковомъ вѣсѣ, крѣпость круглой
трубы относится къ крѣпости эллиптической, какъ 4:5, и къ крѣпости прямоуголь-
ной какъ 4:7, и потому послѣднее сѣченіе можно считать самымъ выгоднымъ,
предполагая, что верхнее дно усилено посредствомъ перегородокъ. Въ этомъ слу-
чаѣ самое выгодное отношеніе площади верхняго сѣченія къ площади нижняго,
какъ 12 : 11.
Примѣчаніе 2. Такъ какъ по опытамъ надъ одной изъ трубъ Копвепскаго моста,
для силы = 746654 ф. было найдено Л = 12100 ф. на □ д., тогда какъ для пере-
лома величина II не превышаетъ 55100 ф., то слѣдовательно Конвейскій мостъ
имѣетъ только 4*/і прочность. А такъ какъ пониженіе моста довольно значитель-
ное, то слѣдовало бы, при опредѣленіи крѣпости моста съ такими размѣрами, при-
нять II никакъ не болѣе 11000 ф.
Примѣръ. Какъ велика крѣпость моста, состоящаго изъ трехъ прямоугольныхъ
трубъ, которыхъ высота — 50 д., ширина = 12 д., разстояніе между подпорами
= 60 Ф. = 720 д. и толщина каждой изъ четырехъ стѣнокъ = 0,35 д.
Для одной трубы имѣемъ:
--------------------------йь---- ’
гдѣ 6|=12—0,70=11,3,ЛІ=50 -0,71=49,3,
6^=12 X 503=1500000, 6, Аі“=И,3 • (49,3^=1354001,67.
6/.3 —6і/<і3=145998,33; /6=11000 ф.
р _ 2Д1000.145998,33 _
3 50.720 ’
слѣдовательно крѣпость всѣхъ трехъ трубъ вмѣстѣ 63300 ф., такъ что, если
весь мостъ вѣситъ 50000 ф., то опъ, безъ опаснаго пониженія, можетъ въ среди-
нѣ поддержать тяжесть — 63300 — 60000 __ ддддд ф
а
Мехян. Бернулли.
Фориа трубъ. Толщина листовъ. 1 Разстояніе между точка- ми опоры. Вѣсъ трубъ. Величина силы приложенной къ срединѣ. Пониженіе средины. Примѣчанія.
Круглая. 0,037" 17' 118,5*. 2994,4 ф. 0,65" При означенномъ грузѣ вверху раз- давлена.
- йлІ 8 Эллиптическая л 0,042" 17' 120,7 » 2325,5 • 0,62" Вверху раздавлена.
-л=г-<1 Квадратная вверху внизу 17,5' 249,2 • 2334,4 . 3574,7 • 4194,8 • 0,45" 0,80" 0,90" Отъ послѣдней силы верхнее дно сло- жилось въ складки и раздавилось.
5,0757" 0,142"
Квадратная въоб- 2 ратномъ доложеніи. 0,142'’ 0,0757" 17,5' 249,2 . 4194,8 > 7295,5 » 7915,7 . 0,90" 1,75" 1,76" Отъ послѣдней силы верхнее дно раз- давилось; труба почти вдвое крѣпче предъидущей.
: і | 1 * г1 і 6 перегородокъ. । | і Прямоугольная. 24,02 □" 8,80 П" 12,80 • 17,80 • 22,45 > 75' 87125 > 139674 > 16Ю38 > 171040 . Перегородки препятствуютъ образова- нію складокъ. Первыя трп трубочки внизу разорвалось, послѣдняя раздави- лась вверху.
11.11 1 і ' 1* Гт~пті, Вверху 8 перего- родокъ. ’ Форма трубъ Кон- вейскаго моста. Снизу 6 перего- родокъ. 670 □" 517 □" 400' 322475 Ф. 0 . 235655 » 382009 • 498596 • ।745653 > 7,91" 9,02" 9,50" 10,50" 10,95" 1 Эта труба (Конвейскаго моста) понизи- лась отъ собственнаго вѣса на 7,91". Послѣдняя сила произвела, сдѣдоват., пониженіе въ 3,04". Коэффиціентъ крѣ- пости 1і для послѣдней силы = 12100 ф. наП".
№ 22.
ДИНАМИЧЕСКАЯ КРѢПОСТЬ МАТЕРІАЛОВЪ.
Динамической крѣпостію называется сопротивленіе, противопола-
гаемое матеріаломъ механической работѣ силы или живой силѣ мас-
сы.
Разсмотримъ призматическій или
цилиндрическій брусъ, растяги-
ваемый извѣстною силою. На про-
долженіи бруса по прямой Л В
будемъ откладывать удлиипенія и па перпендикулярахъ къ этой пря-
мой-силы, соотвѣтствующія этнмъ удлиннепіямъ. Такъ напр. удлинив-
ши) Ат соотвѣтствуетъ, положимъ, сила т в/, уддішиенію Л и сила
л », и т. д., тогда площади треугольниковъ Л т т„ Л п пл, выража-
ютъ работы, которыя употребляетъ сила для того, чтобы растянуть
брусъ на величины А т и Ап.
Если полное растяженіе бруса (передъ разрывомъ) будетъ АВ=а,
а сила, производящая разрывъ, пусть будетъ ВВ^Р^о, по причинѣ
того, что сила возрастаетъ пропорціонально растяженію, площадь
АВВІ будетъ площадь треугольника п, слѣдовательно, работа нуж-
ная для произведенія разрыва бруса будетъ
= ‘/2Р«.
Такое же выраженіе получаемъ для работы силы сжимающей, сги-
бающей или скручивающей брусъ, если подъ а будемъ разумѣть ве-
личину сжатія, сгибанія или величину дуги, описываемой силой при
скручиваніи.
— 195 —
Примѣръ 1. По опытамъ Ардана, прокаленная желѣзная проволока разорвалась
прп силѣ=66900 ф. па □ д. и па каждый Футъ длппы растянулась на 0,02 ф.
Какъ велика должна быть работа для того, чтобы разорвать проволоку въ 35 ф.
длины н 0,15 д. діаметромъ?
Сила, нужная для разрыва, Р=^?1Щ—’ — -66900=1182,2 ф.
Растяженіе всей проволоки =-0,02X35 = 0,70 ф.
Работа силы для разрыва=,/2.1182,2.0,70=МЗ,77 фуптофутопъ.
Если вообразимъ, что проволока виситъ, укрѣпленная за одинъ
конецъ, а къ другому концу привѣшена тяжесть приблизительно въ
450 ф., то эта тяжесть, падая съ высоты одного Фута, въ состояніи
произвести работу равную 4501 = 450 фунтофут., которая разорветъ
проволоку. То же дѣйствіе произвели бы 900 ф., упавшіе съ высоты
только 0,5 Фута. Но если бы проволока была въ три раза длиннѣе, то
опа была бы въ состояти выдержать тройную работу, если бы была
вдвое короче, то могла бы выдержать только ноловииу этой работы.
Слѣдовательно, динамическая крѣпость призматическаго или цилин-
дрическаго тѣла пропорціональна длинѣ его; поэтому статическая
крѣпость, которой величина опредѣлена въ прежнихъ отдѣлахъ, должна
быть отличаема отъ динамической, п между ними такая же разница,
какъ между силой и работой.
Примѣръ 2. Ронделэ производилъ опыты надъ чугуннымъ квадратнымъ бру-
сомъ въ 1 д. толщиною, уложивъ его въ горизонтальномъ положеніи на двухъ под-
порахъ на разстояніи 3,5 ф. одна отъ другой; при силѣ въ 720 ф., приложенной
къ срединѣ, брусъ сломался, опустившись въ срединѣ на 0,11 ф. Какая тяжесть дол-
жна бы упасть на брусъ съ высоты 2 ф. для того, чтобы произвести разломъ?
Работа силы для того, чтобы произвести изгибъ въ ОДІ^ф.— ’/2. 720 0,11=39,6
ф.ф.’). Тяжесть, которая, падая съ высоты 2-хъ Футовъ, въ состояніи произвести
к 39>6 ,0о
такую же работу= -^-=19,8 ф.
А
Редтенбахеръ въ Формулѣ: работа Ь=\а.Р,
а
выразилъ растяженіе а въ коэффиціентѣ упругости и силу Рвъ коэф-
фиціентѣ абсолютной крѣпости п получилъ такимъ образомъ:
а) Для растяженія п сжатія призматическаго бруса
Г ф -*утамъ..
*) Въ теоріи сопротивленія матеріаловъ доказывается, что пониженіе средины
бруса пропорціонально силѣ.
— 196 —
і) Точно также для сгибанія бруса съ прямоугольнымъ сѣченіемъ,
укрѣпленнаго однимъ концомъ (сила приложена къ другому концу)
или подпертаго въ двухъ концахъ (сила приложена къ средппѣ).
работа
Т' = Гів(? ) Г ф--фУтамъ
с) Для скручиванія цилиндрическихъ брусьевъ
Л = 2Ь(?)Гф’ФУТаЖ’’
гдѣ 4 означаетъ коэффиціентъ крѣпости относительно сжатія и растя-
женія, то есть А означаетъ такое напряженіе растянутой или
сжатой призмы, имѣющей поперечное сѣченіе, равное единицѣ
площади, которое можетъ быть допущено безъ всякаго опасе-
нія ея разрыва или раздробленія,
П коэффиціентъ крѣпости относительно сгибанія,
Т коэффиціентъ крѣпости относительно скручиванія,
Е коэффиціентъ упругости, всѣ этп коэффиціенты выражепы въ
Фунтахъ па квадратный дюймъ.
V объемъ бруса въ кубическихъ дюймахъ.
Изъ этихъ Формулъ слѣдуетъ:
«) Что динамическая крѣпость бруса пропорціональна объему его
и, слѣдовательно, не зависитъ отъ отдѣльныхъ измѣреній.
і) Что динамическая крѣпость прямо-пропорціональна квадрату
коэффиціента статической крѣпости и обратно-пропорціональна коэф-
фиціенту упругости.
При этомъ предполагается, что измѣненіе Формы тѣла до самаго
момента разрыва остается пропорціональнымъ сплѣ, и что живая си-
ла, дѣйствующая на тѣло при ударѣ, не сосредоточивается въ одномъ
мѣстѣ (въ мѣстѣ встрѣчи двухъ тѣлъ), но успѣваетъ распростра-
ниться по всему тѣлу.
Слѣдующіе примѣры послужатъ къ объясненію этихъ выводовъ:
Двѣ цѣпи, сходныя во всѣхъ отношеніяхъ, имѣютъ одинаковую
статическую крѣпость. Если одна изъ нихъ втрое длиннѣе другой,
то, при быстромъ порывѣ, прп паденіи напр. прикрѣпленнаго къ нимъ
груза, длинная цѣпь можетъ выдержать втрое большую живую силу,
потому что объемъ ея втрое больше.
Если звенья одной цѣпи имѣютъ вдвое меньшую плоіцадь разрѣза,
но зато цѣпь вдвое длиннѣе другой, то обѣ цѣпи выдержатъ одина-
ковую живую силу, потому что объемы пхъ равны.
197
Бруса, съ прямоугольнымъ сѣченіемъ, котораго ширина папр. втрое
больше высоты, статически втрое крѣпче, когда лежитъ па подпо-
рахъ узкой стороною, чѣмъ тотъ же брусъ, положенный широкой
стороною. Если же па пег > падаетъ тяжесть съ какой-пибудь высоты,
то вч> обоихъ положеніяхчі будетъ одинаковая вѣроятность излома.
Два вала одинаково сопротивляются ударам ъ и сотрясеніямъ, когда
объемы у нихч> одинаковые, что можетъ быть, когда одинъ пзънпх'ь
ванр. вдвое толще, а другой вчетверо длиннѣе.
Если цѣпные и въ особенности проволочные мосты достаточно
прочны вь статическомъ отношеніи, то въ дппамнческомч, отноше-
ніи они рѣдко имѣютъ надлежащую крѣпость; потому что именно тѣ
части, которыя подвержены вліянію живой силы, цѣпи и канаты, имѣ-
ютъ малый объемъ. Если войско напр. проходитъ по такому мосту,
то опъ получаетъ качатсльпос движеніе, которое можетъ на столько
усилиться, что живая сила, соотвѣтствующая этимъ качаніямъ, будетъ
въ состояніи разорвать цѣпь, или канатъ.
Для опредѣленія динамической крѣпости различныхъ матеріа-
ловъ, служить слѣдующая таблица различныхъ всличпнт. отношеній
Названіе матеріаловъ. Л2 Е Для растя- женія. Л2 /•; Для сжатія. я- п Дія сгибанія. г, к Дія скручи- ванія.
Дубъ 47,226 26,76 58,245 18,89
Е.ть 55,097 17,3 44,08 14,17
Желѣзная проволока . 304,84 — —
Желѣзо въ полосахъ.. 149,678 204,646 220,39 283,356
Чугунъ 25,687 1054,7 110,19 204,646
Литая сталь .... 569,486 — — 1416,76
Кожа 1770,136 — — —
Примѣчанія къ иіаб.іицѣ:
1) Кои;а въ статическомъ отношеніи въ 13 разъ слабѣе, въ динамическомъ от-
ношеніи въ 12 разъ прочнѣе желѣза.
2) Обратная крѣпость чугуна статически въ 6'/> разъ, динамически же въ 6'/, . 6'/,
— 42*/4 раза больше абсолютной.
3) Абсолютная крѣпость желѣза статически втрое, а динамически въ 5 разъ
больше абсолютной крѣпости чугуна; зато обратная крѣпость чугуна статически
въ І'/а раза, а динамически пъ 5 разъ больше обратной крѣпости желѣза.
198 -
Сравнивая подобнымъ образомъ различные матеріалы, мы видимъ, что въ ди-
намическомъ отношеніи матеріалы обнаруживаютъ крѣпость совершенно отличную
отъ статической, такъ что размѣры такой постройки, которая подвержена пре-
имущественно дѣйствію живыхъ силъ, не могутъ быть опредѣлены по правиламъ
статической крѣпости.
Лримярд. На чугунный цилиндрическій валъ насажены зубчатое и маховое
колеса, на разстояніи одно отъ другаго = 12 ф. Толщина вала = 5,5 д.; вѣсъ обода
маховаго колеса = 3600 ф. и скорость его =- 23 ф. въ секунду. Если зубчатое ко-
лесо случайно остановится, то будетъ ли валъ имѣть достаточную толщину, для
того, чтобы не сломаться подъ вліяніемъ живой силы маховаго колеса?
7'2
По таблицѣ отношеніе ~.г для чугуна = 204,646.
Объемъ пала = 144
(5,5) . 3,14 _ кубич. дюймовъ.
Динамическая крѣпость его = • 3420.204,65 — 24300 ф. ф.
Живая сила маховаго колеса = • (23)а = 29570 ф. ф.,
слѣдовательно больше динамической крѣпости вала, который непремѣнно сло-
мается. Чтобы не было разлома, нужно, чтобы объемъ вала былъ по-крайией-мѣрѣ
2957
иЬ2430
1,2 раза больше, слѣдовательно при постоянной длинѣ площадь сѣ-
ченія должна быть въ 1,2 раза больше, или діаметръ вала приблизительно = 6 д.
№ 23.
КРѢПОСТЬ КРУЧЕНІЯ И СОПРОТИВЛЕНІЕ ВАЛОВЪ
СКРУЧИВАНІЮ.
I Вообразіімт» призматическій или цилиндрическій брусъ, котораго
одинъ конецъ укрѣпленъ, а къ другому концу прикрѣплено колесо,
блок'ь или, вообще, рычагъ.
Назовемъ чрезъ //—длину рычага, чрезъ Р—силу, приложенную
къ концу рычага, перпендикулярно къ плечу, по направ-
ленію крученія,
то /' X Іі будетъ моментъ силы, производящей скручиваніе.
Величина скручиванія, или уголъ крученія, прямо пропорціоналенъ
моменту Рх И, длинѣ бруса, и обратно-пропорціопалепъ четвертой
степей и діаметра бруса.
Разломъ происходитъ отъ того, что волокна, ближайшія къ поверх-
ности, скручиваясь винтообразно, разрываются.
Назовемъ чрезъ Т величину силы въ Фунтахъ, которая в’ь состоя-
ніи разорвать па поверхности бруса сѣченіе въ 1 квадратный дюймъ,
то, выражая Р и И въ Фунтахъ и дюймахі., получимъ моментъ раз-
рыва для круглаго цилиндрическаго бруса, діаметромт. Л дюймовъ:
Р.Я = Т. <Р =0,19635. т. а3
10 1
и для бруса съ квадратиымч» сѣченіемъ, котораго сторона = Л дюй-
мамъ
Р.Н= -±= РА3 = 0,23571 Т./р.
200 —
Если площади сѣченій квадратнаго и круглаго бруса равны между
собою, то ихъ моменты относятся какъ 0,63.1, слѣдовательно круг-
лый брусч> значительно крѣпче.
Величины Т вь фунтахъ па □ д. сѣченія.
Для чугуна.............. 47200—55000
» желѣза................ 71000—76700
» дубоваго дерева. . . 4400— 6300
2. Прн опредѣленіи размѣровъ приводныхъ валовъ обыкновенно
дается число оборотовъ въ минуту и работа, которую валъ долженъ
передавать. Въ такомъ случаѣ моментъ, скручивающій валъ, по стр. 211
Р. 11 = 68801,3
гдѣ А означаетъ число передаваемыхъ силъ (лошадей),
п число оборотовъ въ минуту.
Если это выраженіе Р. И вставимъ въ первое, относящееся къ ци-
линдрическимъ валамъ, то получимъ:
68801,3 Л 350401,3 Л
— 0,196357’' я 7’ ’ п‘
Изъ этой Формулы слѣдуетъ:
а) Если два вала дѣлаютъ одинаковое число оборотокъ въ минуту, то сиды
которыя они способны передавать, пропорціональны кубу ихъ діаметровъ; такъ-
что если одинъ валъ вдвое толще другаго, то онъ можетъ передавать въ 2 -ь-
2 -4- 2 = 8 разъ большую силу.
І>) Если вилы передаютъ одинаковое число силъ, то валъ, имѣющій большую
скорость, можетъ быть сдѣланъ тоньше, потому-что въ этомъ случаѣ толщина
валовъ обратно-пропорціональна кубичному корню изъ числа оборотовъ.
Если одинъ валъ напр. дѣлаетъ въ 27 разъ больше оборотовъ, чѣмъ другой)
то толщина его можетъ быть въ |/ 27 = 3 раза меньше.
с) Два вала должны имѣть одинаковую толщину, когда отношеніе числа пе-
редаваемыхъ силъ къ числу оборотовъ для обоихъ одинаковое.
Если наир. одинъ валъ передаетъ 80 силъ при 80 оборотахъ въ минуту, дру-
гой только 8 силъ при 8 оборотахъ, то толщина ихъ должна быть одинаковая.
По Буханану діаметръ вала, который передаетъ 50 силъ прн 50
оборотахъ въ минуту, долженъ быть приблизительно = 7 д. Если эту
величину вставимъ въ послѣднее уравненіе, то находимъ:
,,, 350401,3 50
7 = -343^-50 =102 2 Ф,
47200
слѣдовательно такіе валы, имѣютъ поБуханану,илп слишкомъ
46-ти кратную прочность. Въ новѣйшее времядаютътодькосамымъ тол-
- 2ПІ —
стымъ валамъ такую прочность; въ большинствѣ случаевъ доволь-
ствуются отъ 31 до 33-хъ кратною прочностью, такъ-что:
Для чугуна Т — 1500 ф.,д.ія желѣза 7’ = 2400 Ф.
Эти величины дают'ь приблизительно:
для чугуна. для желѣза.
<г = 0,15|/_н7Г * = О,12^/7ГЛ'
^ = 6,299і/]Г <г = 5, 12|/2*)
* п * п ’
гдѣ сі п И должны быть выражены въ дюймахъ, Р въ Фунгахъ.
ІІ/шмііі/п 1. Какой толщины долженъ быть чугунный валъ, приводимый въ
движеніе силой въ 3600 ф., приложенной къ окружности колеса, котораго ра-
діусъ = 14 д.
Діаметръ Л — 0,15 [/"3600.14 = 5,54 д.
Пініміі‘і>ъ 2. Какую силу можетъ передать желѣзный валъ въ 3,5 д. толщиной,
дѣлая 80 оборотовъ въ минуту?
;| ___
Изъ выраженія Л= 5,І2І/^1, находилъ:
г п
, 4л.п і3.5)а.8О „ _
Л = (5Д2)з=-(5ЬГ = 2Н’5 •,0Шад С,иЪ
*) Собственно |/3бО4ОІ,3_5 2бб6 что соотвѣтствуетъ на Французскія мѣры
л400
коэффиціенту 13,448, Въ оригиналѣ коэффиціентъ принятъ = 13, отчего отношенія
— въ таблицѣ (ХХХѴП) и также величина Л во второмъ примѣрѣ получаются го-
раздо больше, чѣмъ ири коэффиціентѣ —13,448 (или 5,2656). Чтобы не было боль-
шой разницы между моей таблицей и таблицей въ оригиналѣ, я принялъ коэф-
фиціентъ =5,12, что даетъ почти совершенно сходные результаты. Точно та.:жѳ
а
для чугуна, вмѣсто настоящаго коэффиціента 6,1534 =і/ 350401,3 НуЖН0 было
' 1500 7
взять приближенный 6,299, отчего, вмѣсто обѣщанной 30 или 33-хъ кратной
прочности, получается нѣсколько меньшая, у/ср.
— 202 —
Таблица XXXVII.
О крѣпости валовъ относительно крученія.
Діаметръ валовъ. Соотвѣгств. для чугуна. А величины — п Для желѣза. Діаметръ валовъ. Соотвѣтств. ДЛЯ чугуна. А величины — п для желѣза.
1,0" 1,2 1,4 1,6 1.8 2,0 0,0320 0,00745 0,0129 0,0204 0,0305 0,0434 0,0596 4,8" 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 0,4425 0,5002 0,56265 0,6301 0,7027 0,7808 0,8642 0,9312 1,0475 1,1731 1,3084 1,4536
2,2 0,0426 0,0794 6,0 0,8643 1,6092
2,4 0,0549 0,1030 6,5 1,0989 1,3725 2,0159
2,6 0,0703 0,1309 7,0 2,5553
2,8 0,0878 0,1635 7,5 1,6882 3,1431
3,0 0,1080 0,2011 8,0 2,0488 3,8145
3,2 0,1311 0,2441 8,5 2,4575 4,5754
3,4 0,1572 0,2928 9,0 2,9172 5,4312
3,6 0,1866 0,3476 9,5 3,4309 6,3876
3.8 0,2195 0,4088 10,0 4,002 7,4502
4,0 4,2 4,4 4,6 0,2560 0,29635 0,3407 0,3893 0,4768 0,5520 0,6346 0,7246 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 4,6323 5,3261 6,0859 6,9148 7,8156 8,7915
Примѣръ 1. Валъ долженъ передавать 50 силъ при 40 оборотахъ въ минуту.
Какова должна бить его толщина?
_ , А 60 . _
Въ этомъ случаѣ — = •= = 1,25
1 п 40
Если валъ желѣзный, то этой величинѣ — соотвѣтствуетъ по таблицѣ величина
п
діаметра между 5,4 д. и 5,6 д.; если чугуииыЙ, то величина діаметра заключаете»
между 6,5 д. и 7 д.
Примѣръ 2. Желѣзный валъ діаметромъ въ 4 д. дѣлаетъ 60 оборотовъ въ ми-
нуту. Сколько силъ можетъ онъ нередавать?
Для <1 = і д., отношеніе ^-=0,4768, итакъ какъ и=60, то Л = 0,47 68.<>0 =28,6.
3. Длинные валы Фабрикъ и заводовъ совершаютъ обыкновенно отъ
50 до 100 оборотовъ въ минуту; ихъ діаметръ увеличивается помпо-
н
женіемъ вышеприведенныхъ величинъ на і/ гдѣ Ь означаетъ:
4)
203
а) всю длину вала (въ метрахъ), если сопротивленіе приложено въ
концѣ вала;
Ь) половину длины вала, если сопротивленіе распредѣлено равно-
мѣрно по всей длинѣ вала;
с) треть длины вала, если сопротивленія равномѣрно уменьшаются,
начиная отъ двигателя.
Прн этомъ число лошадппыхч. силч> А берется дня каждой вѣтви
прпводныхчі валовч> то самое, которое приходится па эту вѣтвь, и по-
этому числу 4-1, равно какъ по числу оборотовъ п въ минуту, прін-
8'__________________________________________________________
свивается діаметръ въ таблицѣ XXXVI, и умножается на уѣ , кото-
2
рый будетъ:
для Ь = 4 8 10 12 16 20 25 30 35 40 50 60 70 80
ч
і/Г
у 2 = М» 1.22 1,25 1,30 1,33 1,37 1,40 1,43 1,45 1,50 1,53 1,56 1,59.
№ 24.
О ШИПАХЪ.
I. Шипы вертикальныхъ валовъ.
I. Если діаметръ стоячаго шипа очень малъ, то, вслѣдствіе тренія,
происходитъ сильное нагрѣваніе шипа въ подшипникѣ; еслп же діа-
метръ очень великъ, то треніе производитъ значительную потерю
силы.
Если трущіяся поверхности состоятъ изч> желѣза, чугуна или мѣди,
то давленіе на 1 □ дюймъ должно быть никакъ не болѣе:
«) при очень малой скорости шипа . . . 780 ф.
Ь) при средней скорости шипа......... 470 ф.
с) при большой скорости................ 280 ф.
Для шиповъ изъ стали давленіе можетъ быть вдвое болѣе, т. с.
діаметръ стальнаго шипа можетъ составлять діаметра желѣзнаго
шипа.
Примѣръ, Вѣсъ турбины=850 вѣсъ ея вала=1300 *. и вѣсъ зубчатаго ко-
леса, прикрѣпленнаго къ верхней части вала = 360 ф.; скорость турбины средни.
Какой толщины долженъ быть шинъ вала?
Давленіе шина на иодшилникъ==
= 850-+ 13004-360 = 2510 Ф.
Величина площади шина, если давленіе должно быть не болѣе 470 ф. на □ дюймъ =
=7^7Г=5,34П дюйма;
470
атой площади соотвѣтствуетъ діаметръ, если шипъ желѣзный =2,61 д.( если
шинъ стальной, то діаметръ его можетъ быть=2,61.0,7 = 1,8дюйиа.
II. Подпятника, Формы подпятника различны. Фигуры представ-
ляютъ двѣ главнѣйшія его Формы.
Фпг. 1 изображаетъ подпятникъ для обыкновенныхъ приводныхъ
валовъ, и шипъ; Ь бронзовая подкладка; с бронзовая чашка; Л штифтъ,
препятствующій вращенію подкладки; [ подпятникъ.
— 205 —
Фиг. 2 изображаетъ подпятникъ турбины, и стальной типъ; Ъ
стальная подкладка, снизу шарообразная, можетъ вращаться, если
валъ пли подпятникъ принимаютъ небольшія отклоненія; Л штифтъ,
препятствующій вращенію і; с бронзовая чашка, въ которой вращает-
ся шипъ; [ подпятникъ; т клинъ, на который опирается чашка и валъ.
При натягиваніи впита гайкою р клинъ, скользя по шпонкѣ //, бу-
детъ приподнимать чашку и валъ. Такимъ образомъ высота турбины
регулируется; г трубочка, приводящая масло къ шипу; г ' трубочка
отводящая масло.
II. Шины лежачихъ валовъ.
1. Давленіе Р, которымъ типъ прижимается къ подшипнику, рас-
предѣляется равномѣрно по всей длинѣ шипа, слѣдовательно точка
приложенія этого давленія будетъ находиться на срединѣ I длины
іпнпа. Такъ-какъ толщина шиповъ дѣ-
лается но всей длинѣ одинаковая, то раз-
ломъ можетъ произойти только въ точкѣ
х, гдѣ начинается налъ, и потому моментъ
силы ломающей будетъ:
Р — — . ./а
’2 “ѣ"2 а
или 1 1в • у •
Итакъ, прп одинаковой длинѣ, крѣпости двухъ шиповъ пропорціональ-
ны корню кубичному изъ пхъ діаметровъ. Если принять отношеніе
- 206 —
,? 4 .
у за постоянное *) для всѣхъ шиповъ, напр. =-&у то находимъ:
я К 4 , г , і/б.іб , гг
и при 15-тп кратной прочности
сг=О,О45ІЛ? для чугуна, и
й=0,038]/Р для желѣза,
если <1 выражено въ дюймахъ, Р въ Фунтахъ.
Шипи, построенные по этпмъ правиламъ, имѣютъ то свойство, что
треніе на единицу площади будетъ для всѣхъ одинаково.
Примѣръ. Какой толщины должны быть чугунные шипы вала водянаго колеса,
когда вѣсъ колеса вмѣстѣ съ валомъ=36600 ф.
На каждый шипъ происходитъ
36000 л
давленіе = ——=18300 ф.,
Л
_______________________ 5
а потому <1 — 0,045|/18300 = 6,1 д., и Л = Д. = 7,75 д.
Таблица ХХЖѴІИ.
О тшнііѣ шоковъ.
Соотвѣтств. величина
Величина давленія:
діаметра. дли чугуна. для желѣза.
0,8" 448 ф.
0,9 567 •
1,0 700 .
1,1 847 .
1,2 700 ф. 1000 »
1,3 822 » 1183 »
1,4 950 • 1372 .
1,5 1095 » 1575 .
1,6 1245 > 1792 »
1,7 1400 . 2023 »
1,8 1576 » 2268 »
I,9 1756 » 2527 >
Величина діаметра. Соотвѣтств. величина давленія:
для чугуна. для желѣза.
2,0" 1946 ф. 2800 ф.
2,1 2145 . 3087 »
2,2 2355 » 3388 .
2,3 2574 > 3700 »
2,4 2800' 4032 »
2,5 3040. 4375 »
2,6 3289 » 4732 »
2,7 3546 » 5100 »
2,8 3814 > 5488 »
2,9 4090 • 5887 .
3,0 4378 » 6300 »
3,1 4675 » 6727 »
*) Шипы половъ, медленно вращающихся, имѣютъ длину почти равную толщинѣ
но при большой скорости ...іа въ I раші больше толщины.
— 207 —
Величина діаметра. | Соотвѣтств. величина давленія: Величава діаметра. Соотвѣтств. величина давленія;
для чугуна. для желѣза. для чугуна. для желѣза.
3,2" 4980 ф. 7168 *. 5,8" 16,866 ф. 23,550 *.
3,3 5298 . 7623 . 6,0 17,514 . 25,200 .
3,4 5624 > 8092 » 6,5 20,555 » 29,575 .
3,5 5960 . 8575 » 7,0 23,838 . 34,300 >•
3,6 6300 » 9072 » 7,5 27,365 . 39,375 •
3,7 6^660 » 1,583 < 8,0 31,136 . 44,800 .
3,8 7,025 » 10,100 • 8,5 35,150 .
3,9 7,400 . 10,650 . 9,0 39,400 .
4,0 7,784 . 11,200 « 9,5 43,900 »
4,2 8,580 » 12,348 « 10,0 48,650 •
4,4 9,420 . 13,550 . 10,5 53,686 »
4,6 10,294 » 14,800 . 11,0 58,866 »
4,8 11,209 • 16,128 . 11,5 64,340 •
5,0 12,162 » 17,500 « 12,0 70,066 •
5,2 13,155 . 18,928 . 12,5 76,015 •
5,4 14,186 » 20,400 » 13,0 82,218 •
5,6 15,156 » 21 950 » 13,5 88,665 »
14,0 95,354 .
2. Толщина нала. Еслп недалеко отъ шипа насаживается па валъ
маховое колесо, пли другой какой либо грузъ Р, п пусть разстояніе
средины груза отъ средины шина будетъ Л, то діаметрі. /) вала
будетъ:
для желѣза 1) =• 0,14 ]/РЛ’ п—-я—~'Т
для чугуна 1) = 0,171/РІ’ |
Итакъ, для облегченія вала, полезно грузъ помѣщать ближе къ
подшипнику.
3. Подшипникъ для лежачихъ валовъ. Въ прилагаемомъ чертежѣ:
а шипъ, Ъ бронзовые вкладыши, въ которыхъ вращается валъ, /“ и /
закраины, которыя пе позволяютъ вкладышу двигаться ни въ одну,
пь */и> натур. пелічипн.
- 208 —
ни въ другую сторону вдоль оси, они легко замѣняются, въ случаѣ
порчи; с тѣло подшипника, Л крышка.
Въ большихъ подшипникахъ крыша входитъ немного въ нижнюю
часть подшипника для того, чтобы она не могла двигаться ни налѣво,
ни направо; т болтъ для связи крышки съ подшипникомъ, п болтъ
для соединенія подшипника съ основною плитою «; р болтъ, прикрѣп-
ляющій плиту къ Фундаменту; к клинъ для передвиганія подшипника
налѣво и направо; у отверзтіе для масла.
Наибольшая толщина вкладышей можетъ быть принята рапною ’/н діаметра вала,
но при валахъ имѣющихъ менѣе 2-хъ дюймовъ въ діаметрѣ не слѣдуетъ толщину
вкладышей дѣлать меньше ’Ц", такъ какъ при меньшей толщинѣ, края вкладышей
легко загибаются во внутрь и царапаютъ валъ, наибольшая же толщина не должна
быть болѣе 3|4", слѣдовательно для обыкновенныхъ паловъ отъ 2 до 6" въ діаметрѣ,
правило выше данное совершенно справедливо, при большихъ діаметрахъ тол-
щина вкладышей можетъ быть принята равною 0,125 0, гдѣ Г) діаметръ вала. Въ
срединѣ толщина вкладышей дѣлается нѣсколько менѣе. Толщина и ширина за-
краинъ /' и /' дѣлается равною толщинѣ-вкладышей.
Тѣло подшипника состоитъ изъ двухъ столбовъ, соединенныхъ въ нижней части,
соединительное ребро вмѣстѣ со столбами ограничиваетъ гнѣзда для вкладышей, въ
столбахъ проходятъ круглыя диры для болтовъ іп, укрѣпляющихъ крышку подшипника, въ
наружу отъ столбовъ идутъ лапы, въ которыхъ продѣланы продолговатыя диры для
болтовъ и, укрѣпляющихъ подшипниковъ къ основанію. Поперечное сѣченіе столбовъ
представляетъ полуцилиндръ для помѣщенія крышечнаго болта, полуцилиндръ этотъ
переходить въ вертикальную доску, толщина которой равна толщинѣ стѣнки полуци-
линдра и составляетъ 3/4 діаметра болта.
Крышка состоитъ изъ тѣла, образующаго ея средину двухъ лапъ, сквозь кото-
рыя проходятъ крышечные болты т и двухъ роговъ, между которыми помѣщается
верхній вкладышъ, и которые входятъ сами между столбами падшппника.
Крышечныхъ болтовъ бываетъ 2 или 4.
Если ихъ 2, то діаметръ й =і-Я.
О
Если діаметръЛ выходитъ болѣе 1’", то употребляютъ 4 болта н тогда /, = у-р.
Ширина крыши равна 1,25 /).
Высота лапы » 0,5 I).
Толщина крышки » 0,83 й.
Болты проходящіе черезъ лапы подшипника имѣютъ тотъ же діаметръ, что и кры-
шечные болты.
Разстояніе между осями крышечныхъ болтовъ 1, д О.
Разстояніе между осями болтовъ укрѣпляющихъ подшипникъ 3, 6 І>.
Толщина тѣла подшішиика 0,750.
Полная длина подшипника 4,60.
№ 25.
О КРУГОВОМЪ ДВИЖЕНІИ ШАТУНА И КРИВОШИПА
I 0 круговомъ движеніи кривошипа.
Посредствомъ кривошипа измѣняется прямолпнѣйное движеніе въ
круговое, и наоборотъ.
Для такого измѣненія необходимы: валъ, колѣно или кривошипъ,
шейка и шатунъ.
Если поршень водянаго насоса соединенъ съ колѣномъ вала, то
движеніе передается отъ вала къ поршню, слѣдовательно круговое дви-
женіе измѣняется въ прямолпнѣйное. Въ паровой машинѣ, наоборотъ,
движеніе поршня передается валу, т. е. прямолпнѣйное движеніе пре-
вращается въ круговое.
Въ обоихъ случаяхъ длина кривошипа равна половинѣ хода поршня.
Въ то время, какъ поршень дѣлаетъ одинъ двойной ходъ, шейка
кривошипа описываетъ окружность круга, котораго діаметръ равенъ
высотѣ хода. Слѣдовательно пространства, проходимыя поршнемъ п
шейкою во время одного оборота, относятся какъ 2:3,14.
Но работа силы, давящей на поршень, во время одного оборота шей-
ки, равна работѣ той силы, которая дѣйствуетъ на кривошипъ по
касательной къ окружности, описываемой шейкою, и производитъ вра-
щеніе послѣдней. Слѣдовательно среднія величины этихъ двухъ силъ
обратно-пропорціональны среднимъ скоростямъ поршня и шейки, т. е.
относятся какъ 3,14:2; откуда видно, что среднее давленіе на шейку
2
но касательной къ окружности составляетъ только = 0,636 сред-
няго давленія на поршень.
Если давленіе на поршень постоянное, то тангенціальное давленіе на
шейку кривошипа будетъ перемѣнное п зависитъ отъ угла, составляе-
Мвхяя. Бернулли. |4
210 —
маго кривошипомъ съ шатуномъ, именно оно пропорціонально синусу
этого угла, а потому когда кривошипъ составляетъ съпіатуномъпря-
мую линію, т. е. уголъ въ 0° или 180°, то тангенціальное давленіе на
шейку=0.
Если шатунъ длиненъ, такъ-что можно положить, что раз-
личныя положенія его параллельны между собой, то при 90° давленіе
его на шейку будетъ наибольшее и равняется въ этомъ случаѣ давле-
нію силы на поршень.
Если четверть окружности, отъ 0° до 90° раздѣлить на 6 равныхъ
частей, то
для угла въ касательная сила составляетъ
0° . . . . 0,000 давленія на поршень
15° . . . • . 0,259 » »
30° ... . . 0,500 х> »
46° . . . . 0,707 » » »
60° ... . . 0,866 » и »
75° ... . 0,966 » )) и
90° ... . • . 1,000 х> « »
Вслѣдствіе этой измѣнчивости силы и движеніе кривошипа вмѣстѣ
съ валомъ будетъ неравномѣрно. Эта неравномѣрность можетъ быть
отчасти отстранена маховымъ колесомъ, насаживаемымъ на валъ.
Если кривошипъ движется равномѣрно и дуги «5,
Ьс, сі, равны между собой, то въ то время, какъ опи-
сываются эти дуги, поршень проходить пространства
а,*,, 5,6,, сй]5 слѣдовательно движеніе поршня»
начиная отъ средины, къ концамъ хода постепенно
замедляется; въ двухъ крайнихъ положеніяхъ ско-
рость его = О. Если шатунъ, какъ предполагали прежде,
очень длиненъ, то движеніе поршня сходно съ дви-
женіемъ маятника.
Вслѣдствіе этой измѣнчивости движенія поршня, его масса, масса
шатуна и всего, что связано съ этой передачей, должна поперемѣнно
получать то ускоренное, то замедленное движеніе.Вся эта масса,слѣ-
довательно, впродолженіп извѣстнаго періода времени то пріобрѣ-
таетъ, то теряетъ извѣстное количество живой силы, чѣмъ и объяс-
няются толчки, которымъ безпрестанно подвержена шейка.
— 211 —
П. Діаметръ шейка кривошипа.
Шейка кривошипа дѣлается обыкновенно изъ желѣза и можетъ
быть сравнена съ шипомъ обыкновеннаго желѣзнаго вала. Вслѣдствіе
толчковъ, которымъ подвержена шейка, ее дѣлаютъ приблизительно
въ 1,4 раза толще обыкновеннаго желѣзнаго шипа при одинаковомъ
давленіи, потому
Л = 0.0532ГЛ
гдѣ <1—означаетъ діаметръ шей ки въ дюймахъ, Р—давленіе на шей ку
въ Фунтахъ.
Величина же давленія опредѣляется слѣдующимъ образомъ:
Если ѵ скорость шейки (по окружности) въ секунду, въ Футахъ,
И длина кривошипа, въ Футахъ,
п число оборотовъ шейки въ минуту, и
А число передаваемыхъ силъ, дѣйствіе въ секунду Р.ѵ = 600. А
и пространство проходимое шейкой
2кЯ. п
въ секунду V = 60 ;
поэтому Р = 5733,45
Изъ этой Формулы опредѣляется давленіе Р; зная Р, находимъ по
таблицѣ XXXVIII діаметръ желѣзнаго шипа, соотвѣтствующій этому
давленію; умноживъ этотъ діаметръ на 1,4, находимъ діаметръ шейки
или же можемъ его получить прямо по Формулѣ:
а = 13,95і/-^ ?
’ ' Н.п
еслу В выражено въ дюймахъ.
Примѣръ, Водяной насосъ въ 15 силъ дѣлаетъ 22 оборота пъ минуту; какой
величины долженъ быть діаметръ шейки кривошипа при В — 12 д. = 1 ».!’
Давленіе на шейку, 7* = 5733,46. зд00 ф
Этому давленію соотвѣтствуетъ (по ХХХПІ) приблизительно
діаметръ...............................................Л = 2,4 д.,
поэтому діаметръ шейки..........................=2,4. 1,4=3,36 д.
или по Формулѣ..............................Л = 0,0532 Р~= 3,32 д
или же изъ выраженія. . . і = 13,95 ѵ _^_= 13,95 і/ = 3 82 і
' Н.п г 22. 12 ’
Примѣчаніе. Обыкновенно головки кривошипа, обнимающія валъ н шейку 5,
дѣлаются очень толстыми. Подшипникъ устанавливается сколь возможно ближе
къ кривошипу.
— 212 —
Чертежъ представляетъ чугунный кривошипъ для паровой маши-
ны въ 20 силъ, съ 36-ью оборотами въ минуту и ходомт> въ 3,28 Фу-
та. Масштабъ
Длина кривошипа......................1,64 Фута.
„ . А 20 ,
Отношеніе. . . —=—=................1,555
п ЗЬ
Діаметръ желѣзнаго вала (табл. XXXVII) — 4,2 дюйма.
Діаметръ шейки й=ЛЗ,95 I/ „У* , = ‘Л37 дюйм.
' 13,Ьэ 36
По даннымъ діаметру шейки кривошипа <1 и діаметру вала О, о -
предѣляются размѣры чугуннаго кривошипа слѣдующимъ образомъ
(Арманго), черт. 2-іі:
Чер. 2.
Средній внутренній діаметръ........... — 1,17 1).
Длина тѣла ступицы вала.......................А = 1,2 7>.
Толщина металла.............................. Е =0,5257Л
— 213 -
Ширина тѣла............................Л=1,55і9.
Толщина тѣла...........................И = 1,22 Б.
Длина около шейки......................I = 1,3 Л.
Толщина металла........................е = 0,63 Л.
Ширина тѣла............................а = 1,5 Л.
Толщина тѣла...........................А = 0,9 Л.
III. Размѣры шатуна.
Длина шатуна. Длина шатуна зависитъ отъ геометрической свя-
зи машины п также отъ мѣстныхъ обстоятельствъ. Въ паровыхъ ма-
шинахъ она дѣлается обыкновенно отъ 4 до 5 разъ больше длины
кривошипа.
Разрѣзъ въ срединѣ. Шатунъ подверженъ вліянію то растягиваю-
щей, то сжимающей силы. Его поперечное сѣченіе опредѣляется по
дѣйствію послѣдней. Это сѣченіе пропорціонально діаметру Л шейки
кривошипа и длинѣ Ѣ шатуна. Полагаютъ:
а) для круглаго желѣзнаго шатуна діаметръ въ срединѣ
= 0,21 У ЛЬ, гдѣ Л и Б выражены въ дюймахъ;
Ь} для желѣзнаго шатуна съ прямоугольнымъ сѣченіемъ, ....$.
котораго стороны- относятся какъ 1 : 2, малая сторона і
прямоугольника = 0,138
с) для чугуннаго шатуна, имѣющаго сѣченіе, по- Д~ |
казанное па чертежѣ, толщина Л ребра = 0,052Ѵ/і/Л. у
Покажемъ построеніе желѣзнаго шатуна. Возьмемъ для примѣра
шатунъ 20-ти сильной машины. Пусть эта машина должна дѣлать
36 оборотовъ въ минуту и имѣть кривошипъ длиною въ 7,64 Фута.
Получимъ:
Діаметрт> желѣзнаго вала . . . . =4,2 дюйм.
Діаметръ желѣзной шейкп . . . . = 2,37 »
Длину шатуна положимъ.............= 80 »
Діаметръ круглаго шатуна въ срединѣ
(наибольшее сѣченіе)=0,21 И$0 X 2,37. =2,9 »
ФПГ. 1
— 214 —
ф. 2.
'/п натуральная величины.
Фиг. 1-я и 2 представляютъ конецъ, которымъ шатунъ соединяется
съ кривошипомъ А; фиг. 3 представляетъ конецъ, которымъ шатунъ
соединяется съ стержнемъ В поршня.
а, Ь, бронзовые вкладыши, обнимающіе шейку;
с, с желѣзное стремя, обхватывающее вкладыши и шатунъ;
с, / клинъ и шпонка, для соединенія стремени съ шатуномъ и
для прижатія вкладышей къ шейкѣ;
д болтъ для соединенія вилки съ стержнемъ поршня. Такъ какъ
этотъ болтъ опирается обоими концами, то его поперечное сѣчепіе
вдвое меньше сѣченія шейки.
Размѣры шатуна къ обоимъ концамъ уменьшаются.
Арманго для опредѣленія размѣровъ головки шатуна даетъ графиче-
скій чертежъ, въ которомъ по данному діаметру шейки кривошипа опре-
дѣляются всѣ прочіе размѣры. Черт. А.
Шкала Р Н озаачаетъ діаметры шеекъ въ сантиметрахъ, каждая изъ наклон-
ныхъ Ре?, Рв, РЕ', м т. д. представляетъ величины соотвѣтствующія е', », Е', Е
Е", С, В а I. Такъ наир. если діаметръ цан*ы 20 сант., то па горизонтальной
ММ находимъ:
— 215
Черт. А.
Тоііцииа пкладміпа. . . е' = 1,1»
Шприца загиба...............я = 2,2.
Толщина стремени. . . . Е' = 4,3.
. • . ... Е = 5,25.
11 т. д.
Значенія буквъ видны изъ чертежа.
№ 26.
О винтъ.
1. Мы уже знаемъ, что такое винтовая линія н винтовая поверх-
ность, и какъ выражается равновѣсіе винта, принимая въ соображе-
ніе треніе и не принимая въ соображеніе онаго. Скажемъ нѣсколько
словъ о нарѣзаніи винтовъ. Многіе строители машинъ заботились о
введеніи единообразнаго нарѣза и постояннаго отношенія между
толщиною винта и числомъ нарѣзовъ на единицѣ длины. Знаменитый
англійскій инженеръ-механикъ Витвортъ обратилъ также вниманіе
на толщину гаекъ п головокъ для винтовъ. Толщину гайки (размѣра,,
параллельный осн вннта) дѣлаютъ для винтовъ съ острымъ нарѣ-
зомъ равною діаметру винта. Гайки вннтов'ь съ плоскимъ нарѣзомъ
захватываютъ отъ 5 до 9 нарѣзовъ.
Толщина головки дѣлается равною половинѣ діаметра круга, впи-
саннаго въ многоугольное очертаніе гайкн.
Таблица XXXIX.
Табліца Витворта для винтовъ съ острымъ (треугольнымъ) нарѣзомъ.
№ Діаметръ наружны? въ дюймахъ. Діаметръ наружный въ саитнме трахъ. Діаметръ вііутреніЛ въ дюймахъ і Грузъ вы- держивае- мый въ Фун- тахъ. Число нарѣзокъ.
ВЪ 1 в. въ 1 на дюймъ’ длины. Іна длину —діамет- Іру болта.
1 ',4 0,2500 0,6350 0,1860 110 20 5
2 7і. 0,3125 0,7937 0,2414 195 18 5’’/ч
3 ’/« 0,3750 0,9525 0,2951 293 16 6
4 ' ’іч 0,4375 1,1112 1,2700 0,3461 403 14 6’,
5 7-2 0,5000 0,3933 488 12 6
6 '/» 0,6250 1,5875 0,5086 866 11 67 н
7 0,750 1,9050 0,6220 1293 10 7*/2
8 7/ 0,875 2,2225 0,7328 1793 9
9 і 1,000 2,5400 0,8400 2355 8, 8
10 17в 1,125 2,8575 0,9421 3074 7 7г/я
11 1’А 17, 1,250 3,1750 1,0671 3806 7 8-' ,
12 1,375 3,4925 1,1617 4514 6. 8’ 4
13 і’Л 1,500 3,8100 1,2887 5612 «.о 9
14 17. 1,675 4,1275 1,3690 6283 5 Ѳ'.'и
15 17. 1,750 4,4450 1,4940 7503 5 8’ 4
16 і’/к 1,875 4,7625 1,5906 8479 473 87, „
17 2,000 5,0800 1,7156 9882 4’ 2 9
18 27. 2,250 5,7150 1,9300 12444 4 9
19 2’/3 2,500 6,3500 2,1800 15921 4 10
20 27. 2,750 6,9850 2,3842 19093 3‘/2 95«
21 3 3,000 7,6200 2,6342 23302 3’/2 11’і
— 217
Таблица ХЬ.
Таблица для прямоугольныхъ впитовъ.
.V» Діаметръ наружный въ дюймахъ. Діаметръ на- ружный въ сантиметрахъ Діаметръ вну- тренній въ дюймахъ. Грузъ выдер- живаемый въ Фунтахъ. Число на- рѣзокъ на 1 дюймъ длины.
въ '/« въ ’Ао
1 1 1,000 2,5400 0,7500 1891 4
2 1% 1,125 2,8575 0,8393 2355 з’А
3 4’А 1,250 3,1750 0,9643 3099 8’/а
4 1% 1,375 3,4925 1,0417 3599 3
5 і’А 1,500 3,8100 1,1667 4575 3
6 15/» 1,675 4,1275 1,2250 5063 2*А
7 і’А 1,750 4,4450 1,3500 6100 2’А
8 1’/8 1,875 4,7625 1,4306 6832 2’А
9 2 2,00 5,0800 1,5556 8113 2’А
10 2’А 2,25 5,715 1,7500 10248 2
11 2’4 2,50 6,350 2,0000 13420 2
12 23Л 2,75 6,985 2,1786 15372 13Л
13 3 3,00 7,620 2,4286 16043 Р/4
14 З’А 3,25 8,255 2,6346 23241 І’А
15 З3'. 3,50 8,890 2,8846 27938 1%
16 З’А 3,75 9,525 3,0833 31842 і’А
17 4 4,00 10,160 3,3333 37332 і’А
18 4’А 4,25 10,795 3,5544 42334 1' /16
19 4’Л 4,50 11,430 3,8044 46726 г/і.
20 4’/* 4,75 12,065 4,0227 54290 13А
21 5 5,00 12,700 4,2727 61244 V/.
22 5'А 5,25 13,335 4,4881 67588 і’А»
23 51/-> 5,50 13,970 4,7381 75152 1’/і«
24 б’А 5,75 14,605 4,9500 81984 і’А
25 6 6,00 15,240 5,2000 90768 1’/4
У винтовъ съ плоскимъ нарѣзомъ (четыреугольнымъ) ходъ винто-
вой линіи обыкновенно бываетъ вдвое больше, нежели у винтовъ съ
острымъ нарѣзомъ того же діаметра.
2. Если вннтъ употребляется для соединенія частей между собою,
то діаметръ его й въ дюймахъ опредѣляется по уравненію:
сі =о,оіб)/7Г
гдѣ Р выражаетъ натяженіе, производимое винтомъ въ Фунтахъ.
— 218 —
Примлрл. На врыппгу пароваго цилиндра произ-
водится давленіе равное 8000 «унтамъ. Крышка
придерживается 8-ью винтами; слѣдовательно на каж-
дый винтъ приходится 1000 «унтовъ, а потому
</ = 0,01б/ 1000 = 0,505 д.
размѣры головки и гайки означены на чертежахъ.
№ 27.
О ЗУБЧАТЫХЪ КОЛЕСАХЪ.
I. Общая часть.
Зубчатыя колеса имѣютъ цѣлью вращательное движеніе одного вала
передать другому. Колеса бываютъ:
а) цилиндрическія, когда оси ихъ параллельны, и
Ь) коническія, когда оси ихъ пересѣкаются. Обыкновенно оси со-
ставляютъ тогда между собой прямой уголъ.
Колеса бываютъ съ внѣшнимъ зацѣпленіемъ, когда зубцы находятся
на наружной сторонѣ колеса, и съ внутреннимъ, когда зубцы на внут-
ренней сторонѣ колеса (идутъ отъ окружности къ центру).
Окружности двухъ зацѣпляющихся колесъ, которыя касаются и
имѣютъ одинаковыя скорости, называются начальными окружно-
стями.
На изображенной здѣсь части цилиндрическаго колеса, гМ есть дуга
начальной окружности.
На этой окружности откладываются дѣленія. Дѣленіемъ или шагомъ
(сіепіиге, ріісЬ, ТЬеіІип^) называется толщина 6 зубца вмѣстѣ съ ве-
— 220 —
личиной прилежащаго промежутка по, пли дуга в начальной окружно-
сти отъ средины одного зубца до средины другаго.
Подъ радіусомъ зубчатаго колеса всегда разумѣется радіусъ началь-
ной окружности.
Въ двухъ зацѣпляющихся коническихъ колесахъ, оси АВ н АС дол-
жны пересѣкаться всегда въ одной точкѣ А.
Вообразимъ два конуса, которыхъ основанія ОВ и ОВ и которыхъ
вершины совпадаютъ съ точкой А, то поверхности этихъ конусовъ
касаются по линіи ОА, и когда одинъ изъ нихъ начинаетъ вращаться
вокругъ своей оси, то другой приходитъ также въ движеніе (при до-
статочномъ между ними треніи) съ одинаковою скоростью на окруж-
ности.
Колеса должны быть такъ расположены, чтобы очертанія зубцовъ
Р, В, К сходились въ точкѣ А пересѣченія осей.
Приложенный здѣсь чертежъ показываетъ непра-
вильное расположеніе зубцовъ. Зубцы большаго ко-
....$--... .. леса направлены къ точкѣ Л,, зубцы меньшаго къ
—''у точкѣ л/тогда какъ они должны бы сходиться въ
точкѣ Л. Предположимъ, что точка т имѣетъ одн-
' наковую скорость на окружности двухъ колесъ. Точ-
.. .1»'. . ___А' .. ка т на большемъ колесѣ описываетъ окружность
I / радіуса на меньшемъ колесѣ радіуса тт-^;
эти радіусы относятся между собой какъ число
I / зубцовъ большаго колеса кь числу зубцовъ меньшаго.
Какая-нибудь другая точка я описываетъ на боль-
— 221
шемь колесѣ окружность радіуса ппѵ на меньшемъ радіуса ппу, но отношеніе
. шт,
этихъ радіусовъ уже не равно отношенію а больше его, сдѣдоват. точка и
па большемъ колесѣ будетъ двигаться быстрѣе нежели точка и на меньшемъ;
зубцы будутъ тѣсниться и если не сломаются, то будутъ передавать движеніе
толчками м неправильно. Этого можно избѣжать тогда только, когда зубиы обо-
. . . тт, пп,
ихъ колесъ направлены къ точкѣ Л; тогда отношенія и — равны между
собой для всѣхъ точекъ линіи касанія.
Изъ этого видно еще, что наклонъ зубцовъ зависитъ отъ отношенія радіусовъ
двухъ колесъ, пли отъ числа зубцовъ на каждомъ изъ нихъ; такъ-что, если ко-
ническое колесо должно зацѣпляться съ колесомъ, имѣющимъ наир. 32 зубца,
то нельзя это послѣднее замѣнить другимъ, въ которомъ только 31 или 33 зубца.
II. Объ отношеніи между числами оборотовъ зубчатыхъ колесъ.
а) Два колеса, насаженныя на одинъ и тотъ же валъ, дѣлаютъ въ
одинаковое время одинаковое число оборотовъ, каковы бы ни были
ихъ діаметры; но скорости на окружностяхъ этихъ двухъ колесъ
пропорціональны пхъ діаметрамъ или радіусамъ.
Два зацѣпляющіяся колеса, находящіяся на двухъ различныхъ ва-
лахъ, имѣютъ одинаковыя скорости на окружностяхъ; но числа ихъ
оборотовъ, для одинаковаго времени, обратно-пропорціональны радіу-
самъ, или числу зубцовъ, потому-что число зубцовъ прямо пропорціо-
нально величинѣ радіуса.
Если напр. на колесѣ А 64 зубца, а на колесѣ В только 16, то
послѣднее дѣлало бы въ 4 раза большее число оборотовъ, нежели пер-
вое. Если бы оба колеса имѣли одинаковое число зубцовъ, то число
оборотовъ обоихъ было бы одинаковое, только направленія движенія
были бы противоположны.
Ь) Отношеніе числа оборотовъ движущаго колеса, къ числу оборо-
товъ колеса, приводимаго въ движеніе, называется степенью передачи,
или просто передачей. Если движущее колесо больше приводимаго въ
движеніе, то происходитъ передача изъ тихаго въ быстрое; въ про-
тивномъ случаѣ, передача идетъ изъ быстраго въ тихое.
с) Величина промежуточнаго колеса В на степень передачи двухъ
колесъ Л и С не имѣетъ никакого вліянія, ______'х
потому-что окружности двухъ крайнихъ ко- /' св
лесъ А в С должны имѣть такую же ско-/ 0
ростъ, какъ окружность колеса В. Такое про- \ у ' о »
межуточное колесо служитъ только къ то-
му, чтобы движеніе вала А могло быть пе-
редано валу С безъ измѣненія направленія движенія.
— 222 —
й) Если степень передачи — двухъ колесъ дана и дано разстояніе
между двумя осями, т. е. сумма радіусовъ г-*-г, двухъ колесъ, то
величины г и г, могутъ быть найдены изъ слѣдующихъ двухъ урав-
неній:
г я(г-4-г,) г
1 тч-п т-ьп
Графически радіусы могутъ быть найдены, если построить треугольникъ, кото-
раго одна сторона была бы= гн„ другая = тч-п и чрезъ точку, раздѣляю-
щую послѣднюю сторону на двѣ части т и п, провести линію параллельную
третѣей сторонѣ, до пересѣченія съ стороной гч-г,, которая раздѣлится на двѣ
части пропорціональныя т н п, и которыя, слѣдовательно, будутъ соотвѣтство-
вать радіусамъ г и г,.
е) Если движеніе одного вала передается другому помощью нѣсколь-
кихъ паръ зубчатыхъ колесъ, то всякой парѣ соотвѣтствуетъ своя
степень передачи.
Произведеніе отдѣльныхъ (частныхъ) передачъ даетъ степень пе-
редачи крайнихъ двухъ колесъ.
Напримѣръ. Двѣнадцатикратная передача помощью двухъ паръ колесъ можетъ
быть произведена:
или одной 2-хъ-кратноіі, другой 6-тп кратн. части, передай, пот.-что 2.6 — 12
> » 3-хъ » » 4-хъ > • > • >3.4 = 12
> > 2’/. > . б'/з • • • 2’/4.5«/, = 12
п т. д.
Какъ видно, одну н ту же степень передачи между крайними колесами можно
достичь самымъ различнымъ сочетаніемъ частныхъ передачъ. Гдѣ только позво-
ляютъ мѣстныя обстоятельства, избираютъ всегда такія сочетанія, чтобы нн одна
изъ частныхъ передачъ по была болѣе 7 иди 8-ми кратной. Если требуется пе-
ренести большую силу, какъ напр. въ механическихъ ткацкихъ смлу водянаго
колеса, которое дѣлаетъ только 5 оборотовъ въ минуту, на валы, дѣлающіе до
100 оборотовъ въ тоже время, то выгодно первую передачу дѣлать какъ можно
больше (напр. 5-ти или 6-ти кратную), потому что, какъ видно пзъ № 23, чѣмъ
больше скорость, тѣмъ тоньше могутъ быть сдѣланы валы.
III. О равновѣсіи зубчатыхъ колесъ.
Въ воротѣ сила относится къ сопротивленію, какъ радіусъ вала
къ радіусу колеса.
Всякая система зубчатыхъ колесъ можетъ быть разложена на
столько частей, сколько осей въ системѣ, и тогда всякая часть пред-
ставляетъ вбротъ (валъ съ колесомъ), гдѣ валъ замѣненъ шестерней,
рычагомъ и т. п.
— 223 —
Назовемъ чрезъ а, Ъ, радіусы шестерней, чрезъ В и Срадіусы ко-
лесъ, чрезъ с радіусъ вала и чрезъ А плечо рычага.
Если сопротивленіе на окружности вала = (},
то давленіе на зубцы въ мѣстѣ зацѣпленія т =
с Ь
давленіе на зубцы въ мѣстѣ зацѣпленія п = О
ѵ а
и давленіе на рычагъ.............
Р= о
Ѵ С В А’
слѣдовательно сила Р относится къ сопротивленію ф какъ произве-
деніе радіусовъ шестерней и вала относвтся къ произведенію радіу-
совъ колесъ и плеча рычага.
Вмѣсто радіусовъ зубчатыхъ колесъ можно ввести въ вычисленіе
число зубцовъ каждаго колеса.
Скорости точекъ приложенія силы и сопротивленія обратно-про-
порціональны отношенію Р:
Примири. Журавль долженъ
этого, если:
поднять
грузъ
въ ІОООО ф.; какая спла нужна для
12,6 дюйм.
15,7 .
17,7 .
А. М=120 ф.
А =
В =
С =
Въ этомъ случаѣ Р = 10000 . ~ =
12,0 10,7 17,7
_8,5
17,7
3,5
17,7
<2 = 3
6 = 4
с = 3,5 д.
д.
л.
Давленіе въ мѣстѣ зацѣпленія т = 10000
п =10000.
= 2000 ф.
4
ібд = 610 *•
Въ настоящемъ примѣрѣ сила приблизительно въ 84 раза меньше сопротивле-
нія, поэтому, когда Ц поднимается на 1 Футъ, конецъ рукоятки, или рычага, про-
ходитъ пространство въ 84 Фута.
При устройствѣ зубчатыхъ колесъ необходимо знать давленіе, ко-
торому должны быть подвержены зубцы, потому что по этому да-
вленію опредѣляются размѣры зубцовъ и прочихъ частей колеса.
— 224 -
О треніи между зубцами.
Треніе, происходящее при скользеніи зубцовъ одного по другому,
измѣняетъ нѣсколько выведенное соотношеніе между силой н сопро-
тивленіемъ.
Работа, поглощаемая одной парой цилиндрическихъ зубчатыхъ ко-
лесъ съ внѣшнимъ и внутреннимъ зацѣпленіями, вслѣдствіе тренія,
можетъ быть выражена чрезъ:
для внѣшняго зацѣпленія: для внутренняго зацѣпленія:
гдѣ А означаетъ передаваемую работу,
» $ » дѣленіе,
» г, г, радіусы колесъ (всѣ эти величины выражены въ какой-ли-
бо единицѣ мѣры),
» / коэффиціентъ тренія.
Слѣдовательно теряемая работа тѣмъ больше, чѣмъ больше дѣле-
ніе, чѣмъ меньше колеса н чѣмъ большая разница въ величинѣ ра-
діусовъ двухъ колесъ. Для внутренняго зацѣпленія менѣе чѣмъ для
наружнаго.
Если напр. С — 0,1 и л = 0,2 ф., то теряемая работа,
при г — г,= 1 ф. ’/і • О»1 • 0,2 А = А,
> г = г,= 2ф, .0,1.0,2 Л == 0,01 Л,
, г=гі=4ф. ’/2 . 0,1.0,2 А = О,006 А,
> ,=2ф.г,=6ф. .0,1 • 0,2 л = 0,00667 А.
Изъ этого видно, что работа, теряемая вслѣдствіе тренія зубцовъ, очень мала
и для колесъ средней величины составляетъ никакъ не болѣе одного процента
передаваемой работы.
Въ коническихъ колесахъ, также теряемая работа меньше, чѣмъ въ
цилиндрическихъ такого же размѣра.
О Формѣ зубцовъ.
Зубцы должны имѣть такое очертаніе, чтобы скорость на началь-
ныхъ окружностяхъ двухъ зацѣпляющихся колесъ зо всякое время
— 225 —
была одинаковая; вмѣстѣ съ тѣмъ зацѣпленіе должно происходить
безъ толчковъ. Этимъ двумъ условіямъ можно удовлетворить, давши
зубцамъ надлежащее очертаніе. Не вдаваясь въ изложеніе теорети-
ческихъ правилъ, мы здѣсь сообщаемъ только два пріема, употреб-
ляемые въ практикѣ для опредѣленія надлежащихъ очертаній.
Первый способъ. Форма зубцовъ одного колеса дѣлается произволь-
ная, Форма другаго опредѣляется слѣдующимъ образомъ:
Данную Форму зубцовъ одного колеса (Л) вырѣзываютъ изъ толстой
бумаги въ настоящемъ плн въ уменыпе іномъ видѣ; этотъ кусокъ бу-
маги кладутъ на другой кусокъ (В) такъ, чтобы отмѣченныя на нихъ
начальныя окружности СС п СЕ двухъ колесъ, касались между собою.
Центры А и В этихъ окружностей закрѣпляютъ штифтиками, такъ,
чтобы разстояніе АВ — г -з- г', не могло измѣниться. Изберемъ на-
чальное положеніе кусковъ А п В такое, чтобы отмѣченные па нихъ
радіусы АВ п ВЕ составляли прямую линію АСВ; отмѣчаемъ это
положеніе Лна кускѣ В, обводя зубцы карандашомъ; поворачиваемъ
за тѣмъ оба куска такъ, чтобы точки 1) и Е проходили одинаковое
пространство, т. е. чтобы дуги СВ и СЕ были всегда равны между
собой, и при всякомъ ловомъ положеніи А и В отмѣчаемъ Форму
зубцовъ А па бумагѣ В, получаемъ такимъ образомъ рядъ очерта-
ній даннаго зубца Ц вмѣстѣ съ промежуткомъ. Обведя всѣ эти очер-
танія одной линіей, получимъ Форму зубцовъ И втораго колеса. Ос-
тается тогда только уменьшить толщину зубца II на столько, чтобы
при зацѣпленіи зубцы колеса В могли свободно, не тѣснясь и пе
толкаясь, входить въ промежутки колеса В.
Этотъ способъ можетъ быть употребленъ во всѣхъ случаяхъ прп
внѣшнемъ или внутреннемъ зацѣпленіи цилиндрическихъ илн кони-
ческихъ колесъ нли зубчатыхъ полосъ.
Мехпн. Берз/іди. 15
— 226 —
Въ коническихъ колесахъ при очертаніи зубцовъ, вмѣсто радіусовъ колесъ нуж-
но брать линіи НО н СО (черт. сгр. 220). Линія ВС получается, если чрезъ точ-
ку I) провести линію перпендикулярную къ линіи касанія .//> и продолжить до пе-
ресѣченія съ осями АВ и АС.
Второй способъ, помощью дугъ круга. Кривыя линіи, ограничиваю-
щія зубецъ, строго говоря, не сходны съ дугами круга, но прибли-
зительно могутъ быть ими замѣнены, если радіусы нхъ имѣютъ над-
лежащую величину.
Еслп внутренняя часть зубца (отъ обода колеса до начальной о-
кружности) ограничена прямыми линіями, сходящимися въ центрѣ
колеса, то внѣшняя часть можетъ быть ограничена дугой круга ко-
торой радіусъ опредѣляется изъ слѣдующей таблицы, составленной
Редтенбахеромъ (дѣленіе принято за единицу мѣры).
Отношеніе меж- ду радіусами ко- лесъ. Величина радіуса дуги для зубцовъ меньшаго колеса. Величина радіуса дуги для зубцовъ большаго колеса.
Цилиндрическое колесо. Коническое колесо. Цилиндрическое колесо. Коническое колесо.
1 : 1 0,75 0,75 0,75 0,75
5 : 4 0,72 0,70 0,77 0,80
4 : 3 0,71 0,68 0,79 0,82
3 : 2 0,70 0,65 0,80 0,85
2 : 1 0,67 0,60 0,83 0,90
3 : 1 0,63 0.55 0,87 0,94
4 ; 1 0,60 0,53 0,90 0,96
5 : 1 0,68 0,52 0,92 0,97
10 : 1 0,55 0,51 0,95 0,99
безконечность:1 0,50 0,50 1,00 1,00
Центры этпхъ дугъ лежатъ на начальной окружности. По табли-
цѣ видно, что для меньшаго колеса величины радіусовъ заключают-
ся между ''/л и */,, для большаго колеса между ;'/4 и 1 дѣленія. Без-
конечный радіусъ соотвѣтствуетъ зубчатой полосѣ.
Примѣръ. Радіусы двухъ колесъ — 5 ф. и 2,6 дѣленіе = 3 д. Какъ велики
должны Лить радіусы дугъ, ограничивающихъ зубцы?
Отношеніе радіусовъ — 5 : 2,6 = приблизительно 2 :1; діа этого огноиіеіиі
имѣемъ по таблицѣ:
Для большаго колеса, радіусъ = 0,83.3 = 2,49 дюйм.
Для меньшаго колеса, радіусъ = 0,67.3 = 2,01 дюйм.
__ 227 —
VI. Зависимость между числомъ зубцовъ, величиной колеса и ве-
личиной дѣленія.
Число зубцовъ какого нибудь колеса получается, если окружность
начальнаго круга раздѣлить на дѣленіе.
Окружность начальнаго круга равна числу зубцовъ, умноженному
на дѣленіе.
Нрнміърі. Радіусъ колеса = 24 д., дѣленіе = 2 д., сколько зубцовъ имѣетъ
колесо?
Начальная окружность = 2.3,1416.24 = 150,8 дюйм.
Число зубцовъ — ~= 75,4; такъ какъ число зубцовъ должно выражаться
въ цѣлыхъ числахъ, то беремъ ближайшее цѣлое число 75.
Для опредѣленія діаметра, когда извѣстно число зубцовъ и вели-
чина дѣленія, служитъ слѣдующая Формула:
, Л
а ~ . /іѳо\ ;
81,1 ы
гдѣ Л означаетъ діаметръ колеса,
» в величину дѣленія
и п число зубцовъ.
Для колеса напр. съ 45 зубцами, когда дѣленіе = 2 дюйм., нахо-
димъ, такъ какъ
яіп = 8ІП 4° = 0,06977,
40 3 1
о
= 0,06977 = 2М66 Д.
Эта Формула даетъ точный діаметръ колеса, тогда какъ произведеніе изъ числа
зубцовъ на величину дѣленія даетъ только периметръ многоугольника, котораго сто-
роны равны дѣленію; потому что обыкновенно дѣленіе откладывается на началь-
ной окружности циркулемъ, слѣдовательно какъ хорда дуги. А такъ какъ пери-
метръ многоугольника всегда меньше окружности описаннаго круга, то величина
діаметра, опредѣленная но периметру, принятому за окружность, всегда меньше
настоящаго діаметра.
По этой Формулѣ вычислена Донкиномъ слѣдующая тяблипя. Она
содержитъ величину діаметра всѣхъ колесъ, начиная отъ 10 до 280
зубцовъ, выраженнаго въ дѣленіяхъ начальнаго круга.
— 228 —
Таблица XII,
Число зубцовъ. Соотвѣтств. величина діаметра при шагѣ = I. Число зубцовъ. Соотвѣтств. величина діаметра при шагѣ = I. Число зубцовъ. Соотвѣтств. величина діаметра ири шагѣ — I.
10 3,236 50 15,926 90 28,654
11 3,549 51 16,244 91 28,972
12 3,864 52 16,562 92 29,290
13 4,179 53 16,880 93 29,608
14 4,494 54 17,198 94 29,927
15 4 810 55 17,517 95 39,245
16 5,126 56 17,835 96 30,563
17 5,442 57 18,153 97 30,881
18 5,759 58 18,471 98 31,200
19 6,076 59 18,789 99 31,518
20 6,392 60 19,107 100 31,836
21 6,710 61 19,425 101 32,155
22 7,027 62 19,744 102 32,473
23 7,344 63 20,062 103 32,791
24 7,661 64 20,382 104 33,109
25 7,979 65 20,698 105 33,427
26 8,296 66 21,016 106 33,746
27 8,614 67 21,335 107 34,064
28 8,931 68 21,653 108 34,382
29 9,249 69 21,971 109 34,700
30 9,577 70 22,289 110 35,018
31 9,885 71 22,607 111 35,337
32 10,202 72 22,926 112 35,655
33 10,520 73 23,244 113 35,974
34 10,838 74 23,562 114 36,292
35 11,156 75 23,880 115 36,611
36 11,474 76 24,198 116 36,929
37 11,792 77 24,517 117 37,247
38 12,110 78 24,835 118 37,565
39 12,428 79 25,153 119 37,883
40 12,746 80 25,471 120 38,202
41 13,064 81 25,790 121 38,520
42 13,382 82 26,108 122 38,838
43 13,700 83 26,426 123 39,156
44 14,018 84 26,741 124 39,475
45 14,336 85 27,063 125 39,793
46 14,654 86 27,381 126 40,111
47 14,972 87 27,699 127 40,429
48 15,290 88 28,017 128 40,748
49 15,608 89 28,336 129 41,066
— 229
Число зубцовъ. Соотвѣтств. величина діаметра при шагѣ = I. Число зубцовъ. Соотвѣтств. величина діаметра прн шагѣ = I. Число зубцовъ. Соотвѣтств. величина діаметра при шагѣ = I.
130 41,384 170 54,116 210 66,848
131 41,703 171 54,434 211 67,166
132 42,021 172 54,752 212 67,484
133 42,339 173 55,078 213 67,803
134 42,657 174 55,389 214 68,121
135 42,976 175 55,707 215 68,439
136 43,294 176 56,026 216 68,757
137 43,612 177 56,344 217 69,075
138 43,931 178 56,662 218 69,349
139 44,249 179 56,980 219 69,712
140 44,567 180 57,299 220 70,081
141 44,885 181 57.617 221 70,349
142 45,204 182 57,935 222 70,667
143 45,522 183 58,253 223 70,985
144 45,840 184 58,572 224 71,304
145 46,158 185 58,890 225 71,622
146 46,477 186 59,209 226 71,941
147 46,795 187 59,527 227 72,258
148 47,113 188 59,845 228 72,577
149 47,432 189 60,163 229 72,895
150 47,750 190 60,480 230 73,214
151 48,068 191 60,800 231 73,532
152 48,387 192 61,118 232 73,850
153 48,705 193 61,436 233 74,168
154 49,023 194 61,755 234 74,487
155 49,341 195 62,073 235 74,805
156 49,660 196 62,392 236 75,123
157 49,978 197 62,710 237 75,441
158 50,296 198 63,028 238 75,760
159 50,560 199 63,346 239 76,078
160 50,933 200 63,665 240 76,397
161 51,251 201 63,983 241 76,715
162 51,669 202 64,301 242 77,033
163 51,888 203 64,620 243 77,351
164 52,206 204 64,938 244 77,670
165 52,524 205 65,256 245 77,988
166 52,843 206 65,574 246 78,306
167 53,161 207 65,893 247 78,625
168 53,479 208 66,211 248 78,943
169 53,789 209 66,529 249 79,261
— 230 —
Число зубцовъ. Соотвѣтств. величина діаметра при шагѣ = I. Число зубцовъ. Соотвѣтств. величина діаметра при шагѣ =1. Число зубцовъ. Соотвѣтств. величина діаметра при шагѣ = I.
250 79,850 260 82,763 270 85,946
251 79,898 261 83,081 271 86,265
252 80,216 262 83,399 272 86,582
253 80,534 263 83,717 273 86,900
254 80,853 264 84,038 274 87,219
255 81,171 265 84,354 275 87,537
256 81,489 266 84,673 276 87,855
257 81,808 267 84,991 277 88,174
258 82,126 268 85,309 278 88,462
259 82,444 269 85,627 279 88,810
По этой таблицѣ легко найти діаметръ для всякаго даннаго дѣленія и при
данномъ числѣ зубцовъ.
Примѣрь. Какъ великъ діаметръ колеса, которое имѣетъ 125 зубцовъ прп дѣ-
леніи — З’/ч Д.?
Таблица даетъ для колеса съ 125 зубцами при дѣленіи, равномъ единицѣ (1 д.);
діаметръ = 39,793 д., слѣдовательно для дѣленія = 3’/'4 д., онъ долженъ быть въ
3’/4 раза больше, т. е. = 3’/4 . 39,793 = 129,327 д.
VII. 0 размѣрахъ зубцовъ.
Размѣры зубцовъ зависятъ отъ крѣпости матеріала, изъ котораго
они строятся, и отъ давленія, которому они должны быть подвер-
жены. Такъ какъ они могутъ быть сравнены съ призмами, которыхъ
одинъ конецъ укрѣпленъ, а другой подверженъ давленію, то размѣ-
ры ихъ опредѣляются по слѣдующей Формулѣ:
•п № (I "“і)
1 = "б Т’
гдѣ Р—означаетъ давленіе на зубцы,
К—коэффиціентъ крѣпости матеріала,
и—толщину зубца, считая по начальной окружности,
Са-л 1)—ширину зубца и
-—' '*і~- і—длину зубца.
По этой Формулѣ видно, что зубцу можно дать произвольную тол-
щину, если только ширина и высота зубца взяты сообразно съ тол-
щиной.
Чѣмъ меньше, при одинаковой высотѣ, толщина зубца, тѣмъ боль-
ше должна быть ширина. При небольшой толщинѣ дѣленіе можетъ
быть меньше, слѣдовательно число зубцовъ больше, п большее число
ихъ участвуетъ въ зацѣпленіи; поэтому передача будетъ раиномѣр-
— 231 —
пѣе и правильнѣе. Чѣмъ больше ширина зубцовъ, тѣмъ больше вѣсъ
колеса, тѣмъ труднѣе его построить, тѣмъ дороже обходится, по за-
то тѣмъ менѣе портятся зубцы. Чѣмъ больше пхъ длина, тѣмъ боль-
шее число участвуетъ въ зацѣпленіи, но зато тѣмъ больше должна
быть ихъ толщина.
А. Чугунные зубцы передаточныхъ колесъ.
Передаточными колесами называются тѣ, которыя передаютъ ра-
боту большихъ водяныхъ, паровыхъ и др. силъ.
Бухананъ даетъ для размѣровъ зубцовъ такихъ колесъ слѣдующія
соотношенія:
Ширина............................ Л = 4 а.
Длина...............................Ь = 1,2а.
Часть длины внѣ начальной окружности — 0,45 Ь.
Часть длины внутри начальной окружности = 0,55 Ь.
Въ настоящее время, когда на постройку чугунныхъ колесъ обра-
щается большое вниманіе, дѣлаютт> ширину отъ 5 до 8 разъ больше
толщины. Мы принимаемъ:
Ширину зубцовъ.........................= 5 я до 7 а.
тг ' /г 3
Длину зубцовъ..........................= — а.
4 •
Длину внѣ начальной окружности. . . = а.
Длину внутри начальной окружности. . = а.
Просторъ между двумя зацѣпляющимися
, і
зуоцамп.............................= іо я.
Величина всего промежутка между двумя
сосѣдними зубцами (по начальной о-
кружности).............................= 1,1 я.
Величина дѣленія......................= 2,1 а.
При опредѣленіи толщины я зубцовъ, Бухананъ принимаетъ 2,200 ф.,
Арманго—8,935 ф. на □ д. для величины 11. Но такъ-какъ крѣпость
зубцовъ обусловливается еще толчками, на присутствіе которыхъ во
всякомъ случаѣ нужно разсчитывать, и скоростью на окружности, по-
тому что вредное вліяніе то.ічкозъ возрастаетъ пропорціонально квад-
рату скорости, то мы принимаемъ величину давленія па □ д.:
— 232 —
а) Для легкихъ передаточныхъ колесъ сь умѣренной
скоростію и спокойнымъ ходомъ, какъ напр.
зубчатые ободы на водяныхъ колесахъ. ... И = 3900 ф.
Ь) Для болѣе тяжелыхъ передаточныхъ колесъ, съ
большей скоростью, которыя постоянно въ ходу,
какъ напр. передаточныя колеса на Фабрикахъ. Я = 2800 ф.
с) Для совсѣмъ тяжелыхъ колесъ, подверженныхъ
толчкамъ, какъ напр. колеса прп паровыхъ моло-
тахъ и въ плющильныхъ машинах-ь. Я = отъ 1260—1570 ф.
Большею частью давленіе Р на зубцы передаточныхъ колесъ не
дано, а извѣстна только работа, которую колеса должны передавать и
число оборотовъ, которое они должны дѣлать въ минуту.
Арманго для опредѣленія давленія на зубецъ поданному числу лошадиныхъ силъ
и скорости на окружности, даетъ графическій черт. В.
Черт. В.
Давлен е на зубецъ въ килограммахъ.
Наклонныя прімыі, идущія отъ В, выражаютъ лсшадипыі силы отъ 1 до 10, го-
ризонтальная АВ соотвѣтствуетъ скорости на окружности отъ 0.1м, до 1 метра,
233 —
верхняя горизонтальная ПС, раздѣленная на равныя части, даетъ давленія на зу-
бецъ отъ О до 8000 килограммовъ.
Для опредѣленія но этому чертежу, поступаютъ слѣдующимъ образомъ: положимъ,
требуется опредѣлить давленіе на зубецъ колеса, которое передаетъ б лошадиныхъ
силъ и имѣетъ скорость на окружности = О'л, 26 въ 1".
Изъ точки пересѣченія ѵ вертикальной 0й, 25 съ наклонной 5, проводимъ го-
ризонтальную а/’ до встрѣчи ея въ р съ наклонною АЕ, часть р/' перенесен-
ная на масштабъ ПС, даетъ искомое давленіе 1500 килограммовъ.
По стран. 211. Р = 137602,6-^р
гдѣ П означаетъ діаметръ колеса въ дюймахъ,
п число оборотовъ въ минуту,
н Л число силъ, которое нужно передать.
Если это выраженіе І^вставпмъ вт> первое, замѣнивъ въ немъ Л ве-
личиной 1,5 « и предполагая II = 3900 ф. для легкихъ колесъ, II =
2800 для болѣе тяжелыхъ, получимъ:
Для легкихъ передаточныхт, колесъ
(1) «і - 0,0023. Р,. . . . (2) аЬ = 316,5^ •
Для болѣе тяжелыхъ колесъ:
(3) аЬ = 0,0032. Р,. ... (4) «Л = 440^ •
Бъ этихъ Формулахъ отношеніе толщины а къ ширинѣ Ь оставлено
неопредѣленнымъ. По нимъ можно опредѣлить толщину, когда извѣ-
стна ширина, и наоборотъ, пли когда извѣстно отношеніе ширины ігь
толщинѣ; можно также опредѣлить давленіе, которое въ состояніи
выдержать уже построенное колесо.
Примѣрь 1. Какое давленіе могутъ выдержать зубцы колеса, когда толщина
ихъ = 1,2 д., ширина = 7 д., и сколько силъ можетъ оно передавать, дѣлая 30
оборотовъ въ минуту, когда діаметръ его = 40 д.
Если обстоятельства говорятъ въ пользу тяжелаго колеса, то употребляемъ
Формулы (3) и (4).
По Формулѣ (3)Р= 0^=^2= 2600*.
,.. . аб. Пп
» » (4) А =—т-;- = 22,9 лошад. силамъ.
440
Примѣрь 2. Какой толщины должны быть чугунные зубцы пары легкихъ пе-
редаточныхъ колесъ, когда одно изъ нихъ, при діаметрѣ въ 80 д., должно діі-
лать 15 оборотовъ въ минуту и передавать 12 силъ и когда предполагается
ширину зубцовъ сдѣлать въ 5 разъ больше толщины?
Сдѣлавъ въ уравненіи (2) Ь = 5а, находимъ:
12 12
5а.а = 316,5 —, „3 = 63,3 —-=0,633,
толщина зубцовъ а = V 0,633 = 0,795 д.
— 234
ширина зубцовъ Ь = 5.0,795 — 3,975 д.
дѣленіе « = 2,1.0,795 — 16,695 д.
Если ширина зубцовъ должна быть ві> 6 разъ больше толщины»
то, полагая въ выведенныхъ Формулахъ Л = ба, находимъ:
для легкихъ передаточныхъ колеся. (Л — 3900 ф.і.
а = 0,01957)/Р, о = 7,261/^1.
г
Для болѣе тяжелыхъ передаточныхъ колесъ (Л = 2800 ф.)
а = 0,023 |/Р,
а = 8.561/ Л
" 1)п
Подобныя Формулы можно вывести для Ъ = ба п = 7а. По
такимъ Формуламъ составлены слѣдующія двѣ таблицы.
Таблица ЖГИ
Толщина чугунныхъ зубцовъ легкихъ передаточныхъ колесъ
съ спокойнымъ ходомъ (зубчатые ободы и.т. д)
Толщина і зубцовъ. Ширина 1> = 5 а Ширина Ь = 6 а Ширина Ъ = 7 а
Давленіе на зубцы Р Отношеніе А ])п Давленіе на зубцы Р Отношеніе А 1)п Давленіе на зубцы Р Отношеніе А І)п
0,50" 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 080 543*. 0,00395 652 ♦. 0,00474 760*. 0,00553
658 0,00476 789 0,00573 920 0,00669
783 0’00568 939 0,00682 1095 0,00796
918 0,00667 1102 0,00801 1285 0,00934 0,01084
1065 0,00774 1276 0,00929 1490
1222 0,00888 1467 0,01066 1712 0,01244
1390 0,01011 1669 0,01213 1948 0,01416
0,85 0,90 0,95 1,00 1570 0,01141 1884 0,01370 2199 0,01598
1760 0,01279 2113 0,01536 24 5 0,01792
1962 0,01426 2354 0,01711 2746 0,01996
2174 0,01580 2609 0,01896 3048 0,02212
1,05 2396 0,01742 2876 0,02090 3355 0,02439
1 10 2630 0,01911 3156 0,02294 3682 0,02676
115 2875 0,02089 3450 0,02507 4025 0,02925
1,20 3130 0,02275 3756 0 02730 4882 0,03185
125 3396 0,02468 4076 0,02962 4755 0,03456
1,30 1 35 3674 0,02670 4408 0,03204 5143 0,03738
3962 0,02879 4754 0,03455 5546 0,04031
1’,40 4260 0,03096 5113 0,03716 5965 0,04335
— 23й
Толщина Ширина Ь = 5 л Ширина Ь = 7 л Ширина Ъ — 6 а
зубцовъ а Давленіе на зубцы Р Отношеніе А Рп Давленіе на зубцы Р Отношеніе А Рп Давленіе на зубцы Р Отношеніе Л Рп
1,45'’ 4570 ♦. 0,03321 5484 ф. 0,03986 6399 0.04(151
1,50 4890 0,03554 5869 0,04266 6848 0,04977
1,55 5222 0,03795 6267 0,04555 7312 0,05314
1,60 5565 0,04044 6678 0,04854 7791 0,05663
1,65 5918 0,04301 7102 0,05162 8286 006022
1,70 6282 0,04565 7539 0,05479 8795 0,06393
1,75 6657 0,04838 7989 0,05806 9320 0,06774
1,80 7043 0,05118 8452 0,06143 9860 0,07167
1,85 7440 0.05107 8928 0,06489 10416 0,07570
1,90 7847 0,05703 9417 0,06844 10987 0,07985
Таблица X 1л III.
Толщина чугунныхъ зубцовъ тяжелыхъ передаточныхъ колесъ
(съ большою скоростью безъ толчковъ),
Толщина Ширина Ь = 5 а Ширина Ь — 6 а Ширина Ь = 7 а
зубцовъ. Давленіе Отношеніе Давленіе Отношеніе Давленіе Отношеніе
на зубцы А на зубцы А на зубцы. А
а Р Рп Р Рп Р Рп
0,70 765 Ф. 0,00559 919 ф. 0,00669 1072 Ф. 0,00779
0,75 879 0,00639 1055 0,00769 1230 0,00894
0,80 1000 0,00727 1200 0,00874 1400 0,01017
0,85 1129 0,00821 1355 0,00987 1580 0,01148
0,90 1266 0,00920 1519 0.01117 1772 0,01288
0,95 1410 0,01025 1692 0,01233 1974 0,01435
1,00 1562 0,01136 1875 0,01367 2187 0,01590
1,05 1723 0,01252 2067 0,01507 2412 0,01753
1,10 1800 0,01374 2269 0,01654 2647 0,01924
1,15 2066 0,01502 2480 0,01808 2893 0,02102
1,20 2250 0,01636 2700 0,01968 3150 0,02289
1,25 2441 0,01775 2929 0,02135 3418 0,02484
1.30 2640 0,01920 3169 0,02310 3697 0,02687
1,35 2847 0,02070 3417 0,02491 3987 0,02897
1,40 3062 0,02226 3675 0,02679 4287 0,03116
1,45 3285 0,02388 3942 0,02874 4599 0,03363
1,50 3516 0,02556 4219 0,03075 4922 0,03577
1,55 3754 0,02729 4505 0,03284 5255 0,03820
1,60 4000 0,02908 4800 0,03499 5600 0,04070
Ц65 4254 0,03093 5105 0.03721 5955 0,04328
1,70 4516 0,03283 5419 0,03950 6322 0,04595
1 75 4785 0,03479 5742 0,04186 6699 0,04869
1,80 5062 0,03680 6075 0,04429 7087 0,05151
1,85 5348 0,03888 6417 0,01678 7487 0,05441
1,90 5640 0,04101 6769 0,04934 7897 0,05740
1,95 5911 0,04319 7130 0,05198 8318 0,06046
2,00 6250 0,04544 7500 0,05468 8750 0,06360
— 236 —
Пініміъра. Водяное колесо въ 60 силъ дѣлаетъ 7 оборотовъ въ минуту; какоіі
толщины должны быть зубцы зубчатаго обода (’/.ііЬпкгііп?.), когда діаметръ его
= 212 Д.?
л
Здѣсь Л = 60, п = 7, Р = 212, поэтому ^(= 0,04043.
Если ширина зубцовъ должна быть въ 6 разъ больше толщины, то этой вели-
чинѣ соотвѣтствуетъ (по таблицѣ ХЫ) толщина зубцовъ между 1,45 д. и 1,50
д.; полагая а — 1,46 д. находимъ:
Толщина . . а = 1,46 д.
Ширина зубца Ь = 6.1,46=8,76 д.
Длина . . . Ь = 1,5.1,46=2,19 д.
Дѣленіе. . . 5 = 2,1.1,46 = 3,07 Д.
Такъ какъ окружность колеса = 3,1416.212 = 666,019 д., то число зубцовъ
666,019 , ,,
=—’ =217,2, чего не можетъ быть. Если же колесо состоитъ изъ 8 сегмен-
о,07
товъ и каждому дается 27 зубцовъ, то число всѣхъ зубцовъ будетъ 8.27=216, и
, . , 666,019 , ,
дѣленіе будетъ =—* = 3,083 д.; слѣдовательно оно измѣнится на такую не-
примѣтную величину, что найденная толщина зубцовъ можетъ быть оставлена
безъ перемѣны.
В. ДЕРЕВЯІІНЫе ЗУБЦЫ ПЕРЕДАТОЧНЫХЪ колесъ.
Для того, чтобы уменыпігн» треніе и чтобы произвести спокойную
передачу и, наконецъ, для того, чтобы облегчить починку, дѣлаютъ
очень часто, особенно прп большой скорости на окружности, зубцы
большаго колеса изъ твердаго дерева (большею частью изъ грабили
(бѣлый букъ), или изъ бѣлаго боярышника). Эти зубцы, равно какъ
чугунные зубцы меньшаго колеса, вѣрно обтачиваются и прилажи-
ваются другъ къ другу.
Крѣпость такихъ деревянныхъ зубцовъ, если волокна ихъ идугь
параллельно длинѣ, почти въ четыре раза меньше крѣпости чугун-
ныхъ зубцовъ такихъ же размѣровъ. Но такъ-какъ, въ случаѣ излома,
они легко могутъ быть замѣнены новыми и вообще порча ихъ замѣт-
нѣе, чѣмъ въ чугунныхъ зубцахъ, то ихъ можно подвергать давленію,
соотвѣтствующему восьмой части той силы, которая производитъ раз-
ломъ. Слѣдовательно, црн одинаковой ширинѣ и длинѣ, толщина ихт>
должна быть = 1,4«, т. е. должна быть въ 1,4 раза больше тол-
щины чугунныхъ зубцовъ того колеса, съ которымъ должно проис-
ходить зацѣпленіе. И такъ-какъ деревянные зубцы, если они стара-
теіьно сдѣланы, требуютъ только отъ ‘/„в до чі2„а простора, до дѣ-
леніе « = 2,46«.
— 237 —
Соединеніе зубцов?> съ вѣнцомъ колеса усматривается изъ прила-
гаемыхъ чертежей.
По Редтенбахеру, принимая ширину зубца равную 1 для деревян-
ныхъ вставныхъ зубцовъ:
Ширина тѣла..........................0,88
Ширина хвоста........................0,81
Ширина обода..........................1,2
Толщина обода........................0,33
Толщина обода отъ зубца до края = 0,1.
Приміьръ- Требуется передать 30 силъ двумя колесами (одно деревянное, дру-
гое чугунное); діаметръ одного изъ нихъ = 60 д. и число оборотовъ этого колеса
въ минуту должно быть — 22. Каковы должны быть размѣры деревянныхъ и чу-
гунныхъ зубцовъ, когда ширина должна быть въ 5 разъ больше толщины?
этой величинѣ соотвѣтствуетъ но таблицѣ ХІЛ толщина зубца а = 1,2 д.; слѣ-
довательно:
Толщина чугунныхъ зубцовъ . . = 1,2 д.,
Толщина деревянныхъ зубцовъ. . = 1,4.1,2 = 1,68 д.
Высота зубцовъ........... = 1,5.1,2 = 1,8 д.
Дѣленіе....................= 2,46.1,2 = 2,95 д.
С. Толщина чугунныхъ зубцовъ колесъ, приводимыхъ въ движеніе
людьми.
Для опредѣленія размѣровъ такихъ колесъ, которыя встрѣчаются
въ журавляхъ, воротахъ и т. п., дается обыкновенно давленіе, которое
должны выдерживать зубцы. Если эти размѣры опредѣлять по выше-
приведенными Формуламъ, то для малыхъ силъ зубцы будутъ такъ
слабы, что не вынесутъ какого-нибудь случайнаго измѣненія давле-
нія. По этому выгоднѣе опредѣлять толщину зубцовъ такихъ колест.
по слѣдующей таблицѣ, которая составлена по Формулѣ:
а (въ дюймахъ) = 0,16 -+- 0,0175 [/7^
ширина зубцовъ такихъ колесъ дѣлается обыкновенно въ 4 раза
больше толщины.
238 —
Толщина Соотвѣтств.
зубцовъ. давленіе.
0,30" 64 ф.
0 35 118
0,40 188
0,45 275
0,50 377
0,55 496
0,60 632
0,65 784
0,70 952
0,75 1136
Толщина Соотвѣтств.
зубцовъ. давленіе.
0,80" 1337 ф.
0,85 1555
0,90 1788
0,95 2038
1,00 2303
1,05 2586
1,10 2884
1,15 3200
1,20 3532
1,25 3878
Примѣръ. Если журнавль въ примѣрѣ (стр. 223) требуется построить для наи-
большаго поднимаемаго груза въ 1000 то каковы размѣры зубцовъ?
Давленіе на зубцы первой пары колесъ = 2000 ф.
Давленіе на зубцы второй нары колесъ = 510 *.
Поэтому толщина зубцовъ первой пары колесъ = 0,95 д.
Толщина зубцовъ второй пары колесъ = 0,57 д. (приблизительно)
и соотвѣтствующія ширины зубцовъ будутъ:
для первой пары = 0,95.4 = 3,8 д.,
для второй пары = 0,57.4 = 2,28 л.
Примѣчаніе. Такъ-какъ въ коническихъ колесахъ діаметромъ начальной окруж-
ности считается обыкновенно наибольшій діаметръ и, слѣдовательно, дѣленіе и
толщина зубцовъ съ приближеніемъ къ меньшему діаметру постоянно уменьшаются,
то для такихъ колесъ толщина зубцовъ, полученная по послѣдней Формулѣ, долж-
на быть соотвѣтственнымъ образомъ увеличена.
VIII. О размѣрахъ обода, спицъ и втулки зубчатаго колеса.
1. Число сипцъ колеса почти совершенно зависитъ отъ величины
колеса.
Если діаметръ колеса меньше 3' (Iм), то колесу даютъ обыкн. 4 спицы
» » » заключ. между 3’ н 6’, то » » 6 »
» » >> » » 6 и 10 » » » 8 »
л » » больше 10 » » отъ 10 до 12 »
2) Чугунныя спицы состоятъ обыкновенно изъ двухъ реберъ, такъ-
что поперечное сѣченіе имѣетъ виді. креста. Главное ребро т, р ле-
житъ вч> плоскости движенія; оно должно сопротивляться сгибанію.
Второе ребро предохраняетъ колесо отъ боковыхъ отклоненій.
— 239 —
Шорина главнаго ребра для тяжелыхъ передаточныхъ колесъ
опредѣляется по Формулѣ:
е = 9,45 1/
' с.п
гдѣ А означаетъ число силъ, которое колесо передаетъ въ секунду,
п число оборотовъ колеса въ минуту,
е число спицъ колеса,
с ширину главнаго ребра у втулки, въ дюймахъ.
Для легкихъ передаточныхъ колесъ берутъ ’/п этой ширины.
3. Толщина главнаго ребра должна быть = ’/5 ширины, и оба раз-
мѣра, постоянно уменьшаясь съ отдаленіемъ отъ втулки, у обода
должны имѣть только :ІД начальной величины.
4. Толщина обода должна быть равна толщинѣ главнаго ребра у
втулки. Размѣры ребра на внутренней сторонѣ обода вокругъ колеса
зависятъ отъ разстоянія между спицами; толщина и ширина этого
ребра дѣлается одинаковая и равная толщинѣ главнаго ребра.
5. Длина втулки равна ширинѣ зубцовъ, увеличенной, приблизитель-
но, одной пятнадцатой долей радіуса колеса. Толщина втулки долж-
на быть равна толщинѣ зубца, увеличенной, приблизительно, одной
пятой частью діаметра вала.
По послѣдней Формулѣ составлена слѣдующая таблица для ширины
главнаго ребра спиц'ь тяжелыхъ передаточныхъ колесъ.
240 —
Ширина главнаго ребра спицъ. г> Л Величины — для п
4 спнцъ. 6 спицъ. 8 спнцъ. 10 спнцъ.
1,50” 0,01600 0,02400 0,03199 0,03000
1,75 0,02540 0,03810 0,05080 0,06350
2,00 0,03792 0,05688 0,07584 0,09480
2,25 0,05399 0,08099 0,10798 0,13498
2,50 0,07406 0,10999 0,14812 0,18515
2,75 0,09855 0,14782 0,19710 0,24637
3,00 0,12798 0,19197 0,25596 0,31995
3,50 0,20323 0,30484 9,40645 0,50807
4,00 0,30336 0,45504 0,60672 0,75840
4,50 0,43193 0,64790 0,86386 1,07983
5,0 0,59250 0,88875 1,18500 1,48125
5,5 0,78862 1,18293 1,57723 1,97154
6,0 1,02384 1,53576 2,04768 2,55960
6,5 1,30162 1,95258 2,60345 3,25430
7,0 1,62582 2,43873 3,25164 4,06455
7,5 1,99969 2,99953 3,99937 4,99922
8,0 2,42688 3,64032 4,85376 6,06720
8,5 2,91085 4,36643 5,82191 7,27737
9,0 3,45546 5,18319 6,91092 8,63865
9,5 4,06396 6,09594 8,12791 10,15989
Примѣрь. Два зацѣпляющіяся колеса передаютъ 30 силъ; большее изъ ннхъ
дѣлаетъ 20, меньшее 60 оборотовъ въ минуту: первому колесу даютъ 6 спицъ,
второму 4. Какіе должны быть размѣры главнаго ребра этихъ спицъ?
Для большаго колеса число реберъ с = 6, — = ~5 =1,5.
Этому отношенію соотвѣтствуетъ по таблицѣ ширина главнаго ребра = 6 д.,
слѣдоват. толщина его = ^- = 1,2 д.
5
Для меньшаго колеса е=4,^-= |^=О,5 д.
Этой величинѣ ^-соотвѣтствуетъ ширина между 4,5 д. и 5,0 д., потому беремъ
4 75
ншрпиу=4,75 д., тогда толщина ребра — — 0,95 д.
Ширина реберъ у обода:
для большаго колеса = 6 . •/« = 4,5 д.,
для меньшаго колеса = 4,75 . :,/4 = 3,56 д.
№ 28.
О БЕЗКОНЕЧНОМЪ ВИНТЪ.
Безконечный влнтъ и зацѣпляющееся съ нимъ колесо передаютъ
движеніе подъ прямымъ угломъ: ось винта перпендикулярна кт> оси
колеса.
Эти винты, какъ и обыкновенные, бываютъ съ однимъ п съ нѣ-
сколькими ходами. Въ винтахъ съ однимъ ходомъ колесо поворачи-
вается только на одинъ зубецъ, когда винтъ дѣлаетъ цѣлый оборотъ;
слѣдовательно для того, чтобы колесо сдѣлало одинъ оборотъ, винтъ
долженъ сдѣлать столько оборотовъ, сколько колесо имѣетъ зубцовъ;
у винта съ двойнымъ ходомъ шагъ винтовой линіи вдвое больше
шага колеса, а потому винтъ сдѣлаетъ 15 оборотовъ, когда колесо,
имѣющее 30 зубцовъ, сдѣлаетъ только одинъ оборотъ.
Зубцы на колесѣ должны имѣть такой же наклонъ, какъ нарѣзка
винта.
Слѣдовательно наклонъ зубцовъ колеса, которое зацѣпляется съ
винтомъ о двухъ ходахъ, долженъ быть вдвое болѣе наклона зубцовъ
такого колеса, которое зацѣпляется ст> винтомъ объ одномъ ходѣ.
Форма нарѣзки винта опредѣляется точно такъ же, какъ Форма
зубцовъ зубчатой полосы для даннаго колеса. Если сдѣлаемъ сѣче-
ніе вдоль оси винта, то Форма нарѣзки въ этомъ сѣчеаіи должна
быть такая же, какъ Форма зубцовъ зубчатой полосы.
Мехав. Берпулліі. 10
242 —
Спла приложенная къ начальной окружности винта (правильнѣе,
къ начальной винтовой линіи), относится къ сопротивленію, прило-
женному къ начальной окружности колеса, еслп не принимать во внима-
ніе тренія, какт, скорость точки приложенія силы кт> скорости точки
приложенія сопротивленія. Но треніе, вызываемое такой передачей
движенія, такъ велико, что ее употребляютъ большею частью толь-
ко въ тѣхъ случаяхъ, гдѣ при небольшой силѣ требуется значитель-
ное уменьшеніе скорости (н наоборотъ). Въ очень тщательно устроен-
пыхъ винтахъ трейіе пог.іощаелъ половину дѣйствующей (переда-
ваемой) силы, въ дурно устроенномъ винтѣ даже двѣ трети.
На чертежѣ, аЬ означаетъ среднюю окружность винта; с равно
этой окружности и равно шагу винта, а потому наклонная линія
с/' означитъ среднее наклоненіе винтовой поверхности, а вмѣстѣ сі.
тѣмъ и наклоненіе зубца къ оси колеса.
Форма зубцовъ колеса наносится въ плоскости В, проходящей че-
резъ ось винта перпендикулярно къ оси колеса. Зубцы вычисляются
какъ для колест>, движимыхъ людьми. Винтъ обыкновенно дѣлается
изо» желѣза и заклинивается на валу.
243 —
Если означимъ:
Діаметра, оси вращенія вала...........................Л
в » » колеса.............................
Число зубцовъ колеса...................................V.
Толщину зубца ........................................а.
Ширину зубца..........................................Ь.
Радіусъ колеса..........................................И.
Радіусъ винта.........................................г.
Если даны Л? Л и , то прочія величины найду гея по Формуламъ:
</, = о,б а
Н =-- 0,21 (І.к
Ъ = 2,5 а
г = 2 (I
№ 29.
О ПЕРЕДАЧЪ ДВИЖЕНІЯ ПОМОЩЬЮ БЕЗКОНЕЧНЫХЪ
РЕМНЕЙ.
1. При передачѣ движенія отъ одной оси другой помощью вожа-
ныхъ ремней, канатовъ, струнъ и т. д, скорости на окружностяхъ
двухъ шкивовъ равны, а числа оборотовъ обратно пропорціональны
радіусамъ. Степень передачи опредѣляется здѣсь точно такъ же, какъ
въ зубчатыхъ колесахъ.
2. Передача движенія помощью безконечныхъ ремней производит-
ся вслѣдствіе одного только тренія между ремнемъ и шкивомъ, или
барабаномъ.
По опытамъ Морена этотъ коэффиціентъ тренія равенъ:
Для пеньковыхъ канатовъ по деревяннымъ шкивамъ. . = 0,50
» новыхъ ремней » » » . . — 0,50
» обыкновенныхъ нѣсколько жирныхъ ремней по дере-
вяннымъ барабанамъ..............................= 0,47
» влажныхъ ремней по обточеннымъ чугуннымъ шки-
вамъ ...........................................= 0,38
» обыкновенныхъ нѣсколько жирныхъ ремней . . . = 0,28
» смазанныхъ жиромъ...............................=0,12
Чѣмъ больше коэффиціентъ тренія, тѣмъ меньше, при одинаковыхъ
прочихъ обстоятельствахъ, будетъ спользеніе ремня по окружности
шкивовъ, тѣмъ меньше, слѣдовательно, онъ можетъ быть натянутъ.
— 245 —
3. Если оси двухі, шкивовъ довольно далеки другъ отъ друга и
разность между радіусами ихъ пе очень велика, то ремень обхваты-
ваетъ почти половину окружности каждаго изъ нихъ. Пусть будетъ
А движущій шкивъ, В приводимый въ дви-
женіе, Р сопротивленіе, которое долженъ
преодолѣть послѣдній, перенесенное на
окружность его, то натяженіе ремня во
время движенія, предполагая самый обы-
кновенный случай, т. е. что ремень нѣ-
сколько жиренъ, составляетъ:
въ чугунныхъ шкивахъ въ деревянныхъ
для части т................1,71 Р 1,29 Р
» » п.................0,71 Р 0,29 Р.
Слѣдовательно среднее натяженіе ремней во время покоя
въ чугунныхъ шкивахъ =1,21 Р,
въ деревянныхъ » =0,79 Р,
и каждый изъ шиповъ нрижимается къ подшипнику силой въ 2,42 Р
для чугунныхъ шкивовъ и въ 1,58 Р для деревянныхъ.
Такъ какъ, вслѣдствіе этого давленія, шипамъ дается большая тол-
щина и, притомъ, скорость пхъ почти всегда бываетъ довольно зна-
чительная, то треніе часто поглощаетъ значительную долю переда-
ваемой работы, именно отъ 2 до 5 процентовъ.
Изъ этого слѣдуетъ, что ремнямъ никогда не нужно давать слиш-
комъ большаго натяженія.
4. Такъ-какъ при одинаковой скорости на окружностяхъ шкивовъ
передаваемая сила прямо пропорціональна передаваемой работѣ, то
ширина ремней должна быть также прямо пропорціональна послѣд-
ней; кромѣ того, при одинаковой величинѣ работы, сила обратно про-
порціональна скорости на окружности, а слѣдовательно обратно про-
порціональна и діаметру шкива, то и ширина ремня должна быть въ
такой же зависимости отъ діаметра.
Опытъ *) показываетъ, что ширина въ 3 дюйма (франц. мѣрыпрн-
близиг. 3,2 д. англійск.) совершенно достаточна для передачи рабо-
ты въ одну силу прн скорости на окружности въ 8'|а Футовъ (при-
близ. 8,88 ф. англ.) въ секунду; а потому для передачи работы въ 2
силы при той же скорости нуженъ ремень шириной въ 6 дюймовъ,
*) Си. Виііеііп <1е Іа восіёіё <іе МиІЬоизе № 6.
— 246 —
а при спорости на окружности = 12 ф., ширина должна быть равна.
-ЧМ*
Вообще если число передаваемыхъ силъ въ секунду рав о Л, ско-
рость на окружности = ѵ (въ англійсп. Футахъ), то ширина ремия
/» = 28,4^ дюймамъ.
Примѣрь. Какъ велика должна бытъ іпприпа ремня, который долженъ пере-
давать 3,5 силы помощью барабана діаметромъ въ 4 ф., дѣлающаго 75 оборотовъ
въ минуту?
Скорость па окружности
, , 4.3,14.75 ,в„,
барабана въ секунду ——--------= 15,71 ф.
60
Ширина ремня, Ь = =6, 3 д.
Примѣчаніе 1-е. Здѣсь предполагается, что діаметры двухъ шкивовъ имѣютъ
одинаковую величину, т. е. что ремень обхватываетъ половину окружности каждаго
изъ нихъ. Если діаметры не одинаковой величины (и если нѣтъ промежуточныхъ
шкивовъ (Ьеіігоііеп), то ремень обхватываетъ меньше, нежели половину окруж-
ности меньшаго шкива; слѣдовательно, для того, чтобы треніе оставалось безъ
перемѣны, нужно въ послѣднемъ случаѣ нѣсколько увеличитъ натяженіе ремня
Скрещенный ремень можетъ быть уже, нежели открытый.
Примѣчаніе 2. Наблюденія показываютъ, что шкивы, гладко обточенные, лучше
дѣйствуютъ, нежели шкивы съ шероховатой поверхностью, или съ борозд-
ками (съ выемками). Полезно смазывать ремни жиромъ для увеличенія ихъ
гибкости.
Примѣчаніе 3. Такъ-какъ по Формулѣ ширина ремня прямо-пропорціональна
передаваемой работѣ и обратпо-пропорціональиа скорости на окружности, то для
большаго числа силъ, при небольшой скорости, получается очень большая ширина
ремня. Чтобы ремень не соскакивалъ со шкивовъ, нужно ширину его дѣ-
лить не менѣе 2,5 д. (6 сантим.); ему можно дать въ этсмъ случаѣ меньшее натя-
женіе; онъ можетъ, слѣдовательно служитъ болѣе долгое время и можно
употребить болѣе тонкую кожу. Реміш шириной болѣе 12 д. (30 сантим.) рѣдко
употребляются. Для уменьшенія ширины увеличиваютъ скорость на окружности
п употребляется болѣе толстая кожа, дозволяющая большее натяженіе ремня.
Впрочемъ, для передачи значительныхъ силъ при небольшой скорости большею
частью употребляютъ, вмѣсто ремней, зубчатыя колеса, потому что движеніе пе-
редается ими вѣрнѣе, силы поглощается горпздо меньше и уходъ за ними легче.
Примѣчаніе 4. Скрещиваніемъ ремней измѣняется направленіе движенія. Скре-
щенные ремнп перетираются скорѣе отъ прикосновенія одной части ремня съ
другою.
Примѣчаніе 5. Валъ, приводимый въ движеніе безконечнымъ ремнемъ, можетъ
быть остановленъ, если какимъ-нибудь образомъ уничтожить натяженіе ремня,
’) Ширина ремия не имѣетъ вліянія на величину треиія; можно сказать толь-
ко, что широкій ремень менѣе вытягивается. Рсд.
— 247
отдвнгая, напримѣръ, промежуточный шкивъ, натягивающій ремень; но боль-
шею честью прекращаютъ движеніе, передвигая ремень помощью вилки съ не-
подвижнаго шкива иа сосѣдній холостой. Въ этомъ случаѣ движущій шкивъ дол-
женъ имѣть такую же ширину, какъ неподвижный и холстой шкивъ вмѣстѣ, и
видка должны находиться у той части ремпя, которая находитъ на приводимый
въ движеніе шкивъ; такъ нанр. если движущій шкивъ а движется слѣва на-
право, то прп открытомъ ремнѣ вилка должна находиться на сторонѣ с, прн скре-
щенномъ ремнѣ — на сторонѣ Ь.
Примѣчаніе 6. Если двѣ оси, приводимыя въ движеніе
безконечнымъ ремнемъ, перпендикулярны между собой, то
шкивы должны быть установлены такъ, чтобы:
а) Часть Ь ремня, которая находитъ на шкпфт, была пер-
непдіікулариа къ оси его и лежала бы въ плоскостп шкива;
точно также и другая часть ремня лежитъ въ плоскости
верхняго шкива, и
Ь) Средняя плоскость аа одного шкива касалась бы
окружности другаго шкива.
с) Вообще линія пересѣченія среднихъ плоскостей
шкивовъ должна касаться этихъ окружностей въ точ-
кахъ отхожденіи ремня; тогда условіе а будетъ вы-
полнено. Это послѣднее правило служитъ тіікже для
установки шкивовъ, если оси не пересѣкаются и не
перпендикулярны между собою.
Размѣры шкива по Армапго опредѣляются графическимъ чер-
теаіемъС Верхняя шкала ВС означаетъ ширину ремня отъ 0 до 300
миллиметровч., вертикальная АВ данное давленіе отъ 0 до 250
килограммовъ, наклонныя идущія отъ А соотвѣтствуютъ обвертыва-
нію окружности шкива на '/4 '/э ‘/2 2/3 и ’ІА.
Линія У представляетъ скорость соотвѣтствующую количеству работы отъ О
до 1000 килоірам. на вертикальной ЛС. Нижняя горизонтальная ЛЛ означаетъ
искомую скорость.
Опредѣлить, какой ширины ремеіи, долженъ переносить усиліе въ 100 кплогр.
при условіи, что онъ обхватываетъ 1 2 окружности шкивп.
— 248
Черт. С.
Ширина ремней.
Усиліе въ килограммахъ.
Работа въ киллограмметрахъ
Па горизонтальной соотвѣтствующей этому давленію, отъ 100 до ея пересѣченія
въ а съ наклонной '/> откладываемъ длину этой горизонтальной отъ вертикальной
ЛИ, на верхней шкалѣ ВС получимъ искомую длину = 205 миллиметровъ. Эти
данныя относятся къ толщинѣ ремня = 5 миллиметрамъ. Зная ширину ремня, на
вертикальной шкалѣ 1)С находимъ работу = 600 кил., и на горизонтальной А Г)
наименьшую скорость = 4,4 метра.
Ширина вѣнца шкива Ь —— ширины ремня.
Толщина вѣнца > е— » >
Толщину вѣнца менѣе б миллиметровъ не дѣ-
лаютъ.
По краямъ ободъ имѣетъ толщину
равную 2/а толщины въ срединѣ /= 2/3
е. Если шкивъ назначается для пріема
шнура, то внутри его дѣлается жело-
бокъ отъ 1 ’/2 до 3/4 діаметра шнура.
Наклонъ щекъ желобка составляетъ
отъ 30 до 40° градусовъ.
Толщина металла дѣлается отъ '/2 до
*/4 діаметра шпура.
— 249 —
Число ручекъ шкива обыкновенно
4 » » до діаметра 80 цепт.
6 » » » » 180 »
8 » » » » большаго.
Въ шкияахъ менѣе 20 цснг. діаметромъ, ручекъ вовсе пе дѣлаютъ, а вмѣсто
нихъ служитъ сплошной кругъ.
Сѣченіе ручекъ эллиптическое, большая ось въ два раза больше малой. Для о-
предѣленія величины большой оси служитъ черт. С, въ которомъ кривая идущая
отъ точки А представляетъ ширину ручекъ откладываемую по горизонтальной НС.
Напр. опредѣлить ширину ручки шкипа, имѣющаго діаметръ равный 1 метру; идя
по горизонтальной отъ 100 на пересѣченіи съ кривой, получимъ искомую ве-
личину 64 цеит. При діаметрахъ шкива большихъ 15 метровъ, ручки дѣ-.аютъ
прямыми и крестовиднаго сѣченія, причемъ отношеніе толщины къ ширинѣ соста-
вляетъ ’|6.
Толщина ступицы Е = 0,4 діаметра вала, на который насаживается
шкивъ.
№ 30.
ПЕРЕДАЧА ПРОВОЛОЧНЫМИ КАНАТАМИ.
Для передачи движенія на большія разстоянія съ давнихъ поръ
употребляются проволочные канаты. Проволоки въ каждой отдѣльной
бичевкѣ скручиваются отъ 8° до 15° съ направленіемч. оси бпчевки;въ
свою очередь бичевкп скручиваются до такой же сте-
пени въ канатѣ, но только въ противоположную сторону.
Канатъ обыкновенно имѣетъ отъ 3-хъ до 6-тн прядокъ, при
чемъ каждая прядка состоитъ изъ 4-хъ до 12 проволокъ.
^Наиболѣе употребительные канаты слѣдующіе.
Діаметръ проволоки.
Число проволокъ.
Въ миллимет- рахъ. Въ цюймахъ.
0,5 0,0199 30 36
0,6 0,02864 48 60
0,7 0,02758 36 54 66
0,8 0,03152 86 60 72
0,9 0,03546 36 54 78
1 0,03940 36 48 78
ІД 0,04384 86 54 78
1,2 0,04,728 36 60 78
1,3 0,05122 36 54 72
1,4 0 05516 36 48 78
1,6 0,05910 36 48 78
Для сбереженія каната блокъ дѣлается изъ дерева, и глубокая гор-
ловина его покрывается кожею.
Въ настоящее время блоки устраиваются чугунные и въ ободѣ
дѣлаютъ желобъ, имѣющій Форму поперечнаго сѣченія трапецію.
Вч> этотъ желобъ вкладываютъ или гуттаперчу цѣлымъ кускомъ,
или для дешевизны употребляютъ куски нвы или осины, имѣющіе
размѣры означенные иа чертежѣ 1.
251
Чер. 1.
Черт. 2-й представляетъ устройство чугуннаго блока н главнѣйшіе
его размѣры въ центиметрахъ число ручекъ можно принять равнымъ
центим., гдѣ Л діаметръ каната н Л радіусъ блока
(шкива).
Форма пеперечнаго сѣченія ручекъ дѣлается овальная, причемъ
большая ось = 5 -+- 5о" чент.
н
Малая ссь = 2,5 -+ цент.
Этотъ приводъ устроивается на слѣдующихъ соображеніяхъ:
1, Натяженіе каната. Такъ какъ въ разсматриваемомъ случаѣжелѣзо
скользить по кожѣ, то треніе будетъ почти то же самое, какое между
ремнемъ и шкивомъ. Растяженіеканатапроисходнтъ отчасти отъ колеба-
ній свободно-внсящихъ частей каната, а отчасти отъ возвышеній темпе-
ратуры, а потому, при новомъ устройствѣ привода, канатъ долженъ быть
сильнѣе натянутъ. Пусть А будетт. число передаваемыхъ лошадиныхъ
силъ, Р сопротивленіе па окружности блока, въ Фунтахъ, и 7скорость
проволочнаго каната, въ Футахъ, то натяженіе каната въ состояніи
покоя будетъ = 1,5 Р, въ состояніи движенія для работающей ча-
сти = 2 Р. При этомъ надобно замѣтить, что Ре = 600 А, откуда
(1) . . . . Р=6ОО ѵ
— 252 —
Итакъ натяженіе каната и толщина его могутъ быть велики при
медленномъ движеніи. Легкій канатъ возможенъ только при значи-
тельной скорости передачи движенія.
2. Натяженіе каната отъ сгибанія. При навертываніи проволоки
па блокъ, внѣшнія волокна растягиваются; отъ этого происходитъ
излишнее натяженіе. Если Л означаетъ діаметръ проволоки, В — діа-
метръ блока и Е коэффиціентъ упругости проволоки, то натяженіе
отъ сгибанія будетъ = Е . . .. (2). Отъ растяженія и отъ сгиба-
нія проволоки въ совокупности натяженіе не должно превышать 600
пудовъ на кв. дюймъ. А потому, если на долю растяженія положимъ
только 150 пудовъ, то на сгибаніе останется 450 пуд. и такъ-какъ
Е = 750000 пуд., то получимъ:
750000 = 459; откуда
т. е. наименьшій діаметръ блока долженъ быть по крайней мѣрѣ въ
1666 разъ больше толщины проволоки. Въ обыкновенной практикѣ
. Л 1 ,
принимаютъ отношеніе въ такомъ случаѣ наибольшее натя-
женіе, передаваемое отъ одного шкива къ другому, будетъ 800 кя-
логр. на кв. цент., что соотвѣтствуютъ около 500 пуд. на 1 кв.
дюймъ.
.3. Прочность проволочнаго каната. При каждомъ оборотѣ каната,
напряженіе проволокъ рѣзко измѣняется: онѣ то растягиваются, то
сжимаются. Отъ этого происходитъ ослабленіе каната. Полагаютъ,
что разстройство его идетъ тѣмъ скорѣе, чѣмъ толще проволока, чѣмъ
болѣе скорость движенія и чѣмъ болѣе натяженіе. Прочность каната,
пли, правильнѣе, продолжительность его служенія, требуетъ тонкой
проволоки, медленнаго движенія п большихъ блоковъ.
4. Провисаніе каната. Части каната принимаютъ Форму обыкно-
венной цѣнной линіи. Но такъ-какъ провисанія бываютъ не велики, то
можно цѣпную линію разсматривать какъ параболу.
— 253
а) При блокахъ, расположенныхъ на одной высотѣ, пусть ВОВ' бу-
детъ часть каната въ состояніи покоя, ВР натяженіе каната, по
направленію касательной ВЕ, равное 1,5 Р. Если силу ВР разложить
на двѣ, то ВН, вертикальная, выразитъ вѣсъ половины каната ВО.
По свойству параболы СО = ОЕ. Обозначая чрезъ:
а половину разстоянія между осями блоковъ, почти равную длинѣ ВС,
р вѣсъ части каната длиною а и
Л величину провисанія ОС, получимъ:
СЕ-.ВЕ^ ВН:ВР или 2/і: |/а2 ч- 4Л2 = р: 1,5 Р
откуда 1,5. Р X 2А — |/«2р2 ч-4Л2р2 и ]/9р2— 4р2 = ар.
Во многихъ случаяхъ р2 можно пренебречь противт, Р2, и тогда
(3)........................А
Въ состояніи движенія вмѣсто ЗР нужно брать 4Р для части ка-
ната работающей и 2Р для части увлекаемой. Если новый канатъ
провисаетъ на величину А, то его натяженіе достаточно.
Ь) Прописанія при неравныхъ или на различныхъ высотахъ распо-
ложенныхъ блокахъ. Начертивши въ большомъ масштабѣ блоки, изо-
бразимъ параболическій изгибъ каната ВОЕІ- приблизительно, и про-
ведемъ горизонтальную ВЕ- вершина параболы О будетъ подъ сре-
диною С этой линіи.
Потомъ измѣряютъ ВС, вычисляютъ р и по Формулѣ (3) величину
Л = сО’. Далѣе чертятъ параболу черезт. точку В и которой верши-
на находится въ О'. Если парабола пройдетъ чрезъ точку Е, то
это значитъ, что длина ВС и вѣсъ р избраны были достаточно вѣрно;
если же опа пройдетъ черезъ Р' пли Р', то ВС должно быть взято
нѣсколько большею или меныпею, и дѣйствія повторяются.
5. Разстояніе между блоками. Для продолжительности служенія
каната большое разстояніе между блоками благопріятно.
Канаты страдаютъ, независимо отъ медленнаго вліянія атмосферы,
преимущественно отъ сгибанія. Но это сгибаніе повторяется тѣмъ
254
чаще, чѣмъ ближе блоки поставлены другъ къ другу. Если разстоя-
ніе не менѣе 100 Футовъ, то блоки должны быть очень велики.
6. Промежуточные блоки. При большихъ разстояніяхъ между бло-
ками употребляются промежуточные, которыхъ діаметръ для нера-
ботающей части каната можетъ быть нѣсколько меньше діаметра
главныхъ блоковъ. Эти промежуточные блоки могутъ быть въ тоже
время натяжными для сообщенія канату надлежащаго натяжепія.
7. Вліяніе температуры. Предположимъ, что нормальное натяже-
ніе кіната сдѣлано при температурѣ 10° Ц. и что уклоненія отъ этой
температуры позможны на 25" въ обѣ стороны. Такъ-какъ удлине-
ніе на каждый градусъ равняется 0,0000123, то на 25° длина а уве-
личится на 0,0003075 а. Если означимъ чрезъ х провисаніе каната
при 35" пли —15", то получимъ для половины длины каната ВВ:
(4) ]/аа-+-я:2= |/а2-+-А2 ± 0,0003075 а,
откуда опредѣляется х.
Въ заключеніе приведемъ примѣры выполненныхъ передачъ про-
волочными канатами.
Имя и мѣсто.
Гаусманъ пъ Логельбахѣ..............
Дольфусъ, Мигъ въ Мюльгаузенѣ . . .
Гударо въ Авиньонѣ..................
240 м.
60
38
3 и.
2
1,5
1,2 цм.
0,9
0,9
15 м.
6,7
6
42
10
5,5
Лримп,[к. Для а = 36, А = 1,23 Формула (4), выражающая длину половины
каната, будетъ:
/1296-ьх2 = /1296 ч- 1,5139 ± 0,01007,
Знакъ ч- принимается для лѣта, а знакъ — для зимы. Изъ послѣдняго урав-
ненія опредѣляется провисаніе х. каната; оно будетъ .іимомь х - 1,52
зимою х — 0,84.
Изъ этого видно, что блокъ долженъ быть такъ устроенъ, чтобы
можно было давать канату лѣтомъ большее, а зимою меньшее натя-
женіе.
Л» 31.
О ПАХОВЫХЪ КОЛЕСАХЪ.
1. Цѣлъ маховыхъ колеса. Маховыя колеса служатт. къ тому, что-
бы по возможности уменьшить неравномѣрность движенія машинъ;
потому что въ то время, когда двигатель производитъ больше рабо-
ты, нежели сколько поглощается сопротивленіями, маховое колесо
принимаетъ въ себя этотъ излишекъ; но зато въ другое время,
когда работа двигателя меньше работы сопротивленій, отдаетъ полу-
ченный прежде излишекъ, содѣйствуя преодо.тѣнію сопротивленій.
Маховыя колеса особенно часта употребляются въ тѣхъ машинахъ,
втэ которыхъ преобразованіе движенія происходить помощью криво-
шипа (въ паровыхт> машинахъ, въ насосахт. и т. д.), когда сила, дѣй-
ствующая на крпвоіплпъ, періодически измЬпяется, равно какъ и въ
тѣхъ случаяхъ, вь которыхъ преодолЬваеиое сопротивленіе та уве-
личивается, то уменьшается, пли обнаруживается только по време-
намъ, съ перерывами, какъ напр. въ валыювальныхъ машинахъ, мо-
лотахъ и т. п.
Маховое колесо вовсе не даетъ приращенія работы, какъ многіе
думаютъ; оно, напротивъ, поглощаетъ извѣстную долю работы, кото-
рая идетъ на преодолѣніе довольно значительнаго осеваго тренія и
сопротивленія воздуха, вытѣсняемаго быстрымъ движеніемъ колеса.
2) О количествѣ работы, накопляющейся, въ маховомъ колесѣ. Ра-
бота, которая накопляется во время движенія въ ободѣ маховаго ко-
леса, такч> же велика, какт> еслибы этотъ ободъ свободно падалт» съ
— 256 —
той высоты, которая соотвѣтствуетъ скорости на его окружности,
т. е. эта работа равна Произведенію вѣса обода на высоту паденія.
Если Р означаетъ вѣсъ обода въ Фунтахъ,
V скорость на окружности въ секунду въ Футахъ.
у ускореніе тяжести = 32,18 Футамъ,
Г2
= 0,0155 V2 высота паденія, соотвѣтствующая скорости ѵ,
то работа, заключенная въ ободѣ колеса = 0,0155’ Ѵ2Р фунтофутамъ.
Примѣрь. Если паровая машина въ 25 силъ снабжена маховымъ колесомъ,
котораго ободъ вѣситъ 10000 ф. и скорость на окружности котораго = 20 ф., то
накопленное въ немъ количество работы
— 0,0155 . (20)2. ЮООО = 62000 ф. = 103,26 лошад. силамъ;
слѣдовательно въ маховомъ колесѣ н заключено слишкомъ въ 4 раза больше ра-
боты, нежели сколько производитъ въ секунду паровая машина.
Формула показываетъ, что живая сила маховаго колеса возрастаетъ
пропорціонально квадрату скорости на окружности; слѣдовательно
одному изъ этихъ множителей можетъ быть дана произвольная вели-
чина. Но такч> какч» съ увеличеніемъ вѣса возрастаетъ стоимость
маховаго колеса и осевое треніе значительно увеличивается, то ма-
ховыя колеса большею частью насаживаются на тотъ валъ, который
дѣіаетъ наибольшее число оборотовъ. Но при этомъ должны бытъ
приняты вэ вниманіе слѣдующія два обстоятельства:
1) Для избѣжанія вредныхъ возвратныхъ толчковъ, маховое колесо
должно быть помѣщаемо какъ можно ближе, или, еще лучше, на томъ
самомъ валѣ, котораго ходъ долженъ быть уравниваемъ, и
2) Увеличеніе скорости на окружности ограничено извѣстными пре-
дѣлами, которые зависятъ отъ сцѣпленія, пли просто, отъ крѣпости
различныхъ частей маховаго колеса.
Въ паровыхъ машинахъ скорость на окружности (считая по сред-
нему радіусу обода) бываетъ обыкновенно не болѣе 20 или 23-хъ
Футовъ въ секунду. Но въ другихъ машинахъ, въ особенности въ
вхіьцовальныхъ и въ паровыхъ молотахъ, скорость маховаго коле-
са бываетъ гораздо значительнѣе и достигаетъ иногда 65—100 Фу-
товъ въ секунду.
3. О степени равномѣрности движенія машинв, приводимыхъ въ
движеніе кривогиипомз.
Если наибольшая скорость маховаго колеса = 20 ф.
наименьшая » =19,34®-,
20 -+- 19,34
то средняя скорость будетъ » ---------= 19,67 ф.
и отношеніе средней скорости іп> наибольшей разности скоростей
19> 67____________________________зо
20—19,34
Эго число 30 въ настоящемъ примѣрѣ называется степенью рав-
номѣрности движенія.. ЧЬм7> больше это число, мѣмт» равномѣрнѣе
движеніе.
Выборъ извѣстной степени равномѣрности зависитъ отъ той рабо-
ты, которую должна исполнять машина.
Въ паровыхъ машинахъ, которыя приводятъ въ движеніе мельни-
цы, насосы п тому подобные механизмы, гдѣ ненужна, слѣдователь-
но, большая правильность движенія, достаточно взять отт> 15 до
20-тпкратиую равномѣрность; въ тѣхъ же машпнахт», которыя при-
водятъ въ движеніе прядильные, ткацкіе станки и т. и., гдѣ нужна
большая правильность, берутъ, смотря по надобности, отъ 30 до
60-ти кратную равномѣрность.
4. Правила д.гл опредѣленія размѣргвп маховыхъ колеси. Вѣсъ
маховыхъ колесъ опредѣляется но слѣдующимъ Формуламъ:
а) Въ паровыхъ машинахъ безъ расширенія, когда шатунъ длин-
нѣе кривошипа:
въ 6 разя....Р = 137365——ті—
г |/ -. п
» 5 » . . . . Р = 145245 с ,—
» 4 » . . . . Р = 153124-4-—
р. и
съ коромысломъ.
С /і
. . Р = 147033 безъ коромысла.
Ь) Въ паровыхъ машинахъ съ расширеніемъ, когда шатупъ
въ 5
разъ длиннѣе кривошипа и расширеніе начинается:
безъ холодильника: съ холодильникомъ:
на ’/., хода поршня. . . . Р = 214479 у?, -Р = 189107
» » » .........Р = 244000-—Л Р = 200138
'* | 2. и ]/-. и
гдѣ /’ означаетъ вѣсъ обода въ Фунтахъ,
/'скорость на окружности ко.іеса въ секунду, въ Футахъ,
и число оборотовъ кривошипа въ минуту,
А число силъ машины
и с степень равномѣрности движенія.
Ііініміірн. Качъ ведикь долженъ б:лгь вѣсъ маховаго колеса 18 сильной па-
ровой машины, когда средній діаметръ колеса долженъ бить равенъ 13 ф., число
Мехав. Бврпуллв. 17
— 258 —
оборотовъ кривошипа и также колеса, въ минуту = 30, н степень равномѣрности
должна быть =40?
Скорость на окружности колеса Г = 13.3,14Л0 _ 20,4 4>.
60
Если паровая машина безъ расширенія а безъ коромысла и шатунъ въ 5 разъ
длиннѣе кривошипа, то вѣсъ обода маховаго колеса
= 147083 = 8480 ф.
(20,4)2.30
Такъ-какъ кубическій Футъ чугуна вѣситъ 500 ф,,то объемъ обода = ^^=42,4
500
42 4
кубич. Футамъ; слѣдовательно площадь сѣченія = = 1,039П ф. и если сѣ-
ченіе круглое, то діаметръ его слѣдовательно =1,15 ф.; если сѣченіе квадратное,
то сторона квадрата = 1,08 ф.
Если бы, при одинаковыхъ прочихъ условіяхъ, средній діаметръ колеса могь
быть сдѣланъ въ 16 ф., вмѣсто 13, то вѣсъ маховаго колеса могъ бы быть умень-
шенъ въ отношеніи 13 . 13 : 16 . 16;
т. е. онъ вѣсилъ бы тогда только
8480 ‘йб =;560°ф-
с) Въ молотахъ, если 1/ означаетъ средній радіусъ маховаго ко-
леса:
1) Въ лобовомъ молотѣ, который дѣлаетъ въ минуту отъ 70 до 80
ударовъ и котораго вѣсъ составляетъ:
отъ 7000— 8500 ф
» 10000— 12000ф.
525298
Я2 ’
787947
Л2
2) Въ подсередочномъ молотѣ, который дѣлаетъ отъ 100 до ПО
ударовъ въ минуту п вѣситъ вмѣстѣ съ шлемомъ и обшивкой
отъ 1500 до 2000 ф.........Р = •
3) Въ хвостовоміі молотѣ, который дѣлаетъ отъ 150 до 200 уда-
рові» въ минуту, и вѣситъ вмѣстѣ сч> шлемомъ II обшивкой
, 71 236384
1200 ф..........Р = —цг-
157589 .
іе-
(1) Въ вальцовальпыхъ машинахъ по Редтенбахеру:
„ 39397 .А. Т
Р= -------Г2----’
гдѣ Т означаетъ число секундъ, во время которыхъ, при порожнемъ
ходѣ машины, маховое колесо должно быть приведено изъ состоя-
900 Ф.
259 —
иія покоя въ движеніе со скоростью И на окружности. Величина Т
для большихъ силъ = 30, для среднихъ 45 и для малыхъ 60 секундамъ.
Лримѣр». Водяное колесо работаетъ съ силой 40 лошадей и должно виродол-
женіп 45 секундъ, нрн порожнемъ ходѣ машины, сообщить маховому колесу, кото-
рое находится въ покоѣ, скорость на окружности = 82 какъ великъ долженъ
быть вѣсъ маховаго колеси?
„ 39397.40.45 1П..„
Р = —тзлп— = Юо 40 ф.
(о2)"
Примѣчаніе. Такъ-какъ маховое колесо должно содержать въ себѣ больше жи-
вой силы, когда вальцуются длинныя желѣзныя полосы или длинное листовое же-
лѣзо, чѣмъ тогда, когда вальцуются только короткіе куски, прп одинаковыхъ
прочихъ обстоятельствахъ, то и время впродолжеиіп котораго накопляется жи-
вая сила, должно быть взято въ первомъ случаѣ больше и, слѣдовательно, вѣсъ
маховаго колеса подучится по Формулѣ во столько же разъ больше.
о) Въ пилыіыхч, машинахъ по Морену:
р _ 787947
и величина противовѣса
520
р = -у- Фунтамъ.
Этотъ противовѣсъ употребляется для уравненія вѣса пильной ра-
мы кривошипа и шатуна (которыхъ вѣсъ никогда не бываетъ болѣе
1000 ф.) при движеніи ихъ вверхъ и внизъ; величина г означаетъ
разстояніе общаго нхь центра тяжести отъ центра маховаго колеса.
Примѣрь. Пила дѣлаетъ 120 двойныхъ ходовъ и маховое колесо столько же
оборотовъ въ минуту; кикъ великъ долженъ быть вѣсъ колеса, когда средній
діаметръ его принятъ въ 5 ф.?
Скорость на окружности колеса
V = 5.3,14.120 = 311 ф
Вѣсъ его Р = = 800 ф-5
(31,4)-
наконець, если принять /• = 1,5 ф., то противовѣсъ
р—~= 346,6 Ф.
г 1,0
№ 32.
О РАВНОВѢСІИ ЖИДКОСТЕЙ.
1) Если въ какомъ-нибудь сосудѣ, или резервуарѣ, находится вода,
то боковыя стѣнки его и дно претерпѣваютъ извѣстное давленіе.
Это давленіе, зависящее отъ вѣса жидкости, возрастаетъ съ при-
ближеніемт. ко дну сосуда прямо-пропорціонально вертикальному
разстоянію отъ свободной поверхности или отъ уровня жидкости.
Давленіе на дно сосуда [вертикальны ли его боковыя стѣнки или
наклонны—все равно] равно вѣсу столбца жидкости, котораго основа-
ніе равно площади дна, а высота равна разстоянію дна отъ свобод-
ной поверхности жидкости.
Давленіе жидкости, перпендикулярное къ боковой стѣнѣ сосуда
(нормальное давленіе), будетъ ли эта стѣна вертикальна или наклон-
на, равно вѣсу призмы, которой основаніе равняется площади стѣны,
а высота вертикальному разстоянію центра тяжестп стѣны *) отъ
свободной поверхности.
Примѣръ. Какъ велико давленіе воды на дно резервуара, которое итЬегъ видъ
прямоугольника длиною въ 10 ф. и шириною въ 5 ф,, если глубина воды — 6, О ф.?
Площадь дна рпвпа 5.1О = 5ОП ф.
Объемъ столба воды = 50.6,5 = 325 куб. ф.
Вѣсъ этого столба поды или давленіе на дно сосуда (гакь-к.ікь кубачезхій
футъ воды вѣситъ 69,1 ф.) = 325.69, 1 = 22457,5 ф.
Примѣръ. Какъ велико давленіе на прямоугольныя шлюіныа ворота, которыхъ
ширина =16 ф., глубина воды = 9ь,и какое давленіе претерпЬваетъ іірямоуголь-
*) ИрИа«.іьиѣе снизать: центра тяжести тоіі части сгѣны, которая покрыта апд-
костью.
- 261 —
ныіі засовъ въ этихъ ворогахъ, котораго площадь = 2,25 □ *. и котораго центръ
тяжести находится па разстояніи 2 ф. отъ дна канала?
Давленіе на ворота = 16 X 9.9/а . 69, 1 = 44770 ф.
Разстояніе центра тяжести засова отъ свободной по-
верхности ........................=9 — 2 = 7 ф.
Слѣдовательно давленіе па засовь=2,25.7.69,1=1088 ф.
Примѣчаніе. Такъ какъ всякая часть боковой стѣны испытываетъ тѣмъ большее
давленіе, чѣмъ ниже она лежитъ, то отсюда ясно впдпо, какому огромному давле-
нію подвержены нижнія части трубъ высокихъ водоподъемныхъ машинъ и какъ
необходимо этн трубы дѣлать книзу постоянно толще.
Водяной столбъ высотой въ 33,39 Фута производитъ давленіе равное давленію
одной атмосферы (стр. 263), потому если раздѣлить водопроводъ водоподъемной
машины на равныя части, каждая въ 33,39 ф. вертикальной высоты, то давленіе
па нижній конецъ первой части равно одной атмосферѣ, на ішжпій копецъ вто-
рой—двумъ атмосферамъ, па нижній конецъ третьей части—тремъ атмосферамъ
п т. д.
Если трубы водопровода должны быть построены такъ, чтобы могли выдержи-
вать еще излишекъ давленія въ 9 атмосферъ, то размѣры трубъ первой части долж-
ны быть вычислены для давленія въ 10 атмосферъ, второй части для давленія въ
11 атмосферъ, третьей части въ 12 и т. д. и только девятая часть должна выбыть
въ состояніи выдерживать давленіе въ 19 атмосферъ, т. е. почти двойное давленіе,
слѣдовательно имѣла бы только двукратную прочность.
2) Давленіе, производимое на свободную поверхность жидкости
(давленіе воздуха пли поршня ві. гидравлическихъ прессахъ, насо-
сахъ, пожарныхъ трубахъ п т. д.), распространяется равномѣрно по
всей массѣ жидкости.
3) Если какое впбудь тѣло легче той жидкости, въ которую оно
погружено, то оно будетъ плавать на ея поверхности, погружаясь на
столько, чтобы вѣсъ жидкости, вытѣсненной погруженною частью,
былъ равенъ вѣсу всего тѣла.
Слѣдовательно, удѣльный вѣсъ плавающаго тѣла относится къ
удѣльному вѣсу жидкости, въ которой оно плаваетъ, какъ объемъ
погруженной части тѣла относится къ объему всего тѣла.
Если напр. какое нибудь тѣло въ четыре раза легче жидкости, въ которую оно
опущено, то оио погрузится въ ней только на '/г своего объема, котому что толь-
ко въ этомъ случаѣ вѣсъ вытѣсненной жидкости равенъ вѣсу всего тѣла.
На этомъ правилѣ основано опредѣленіе удѣльнаго вѣса различ-
ныхъ тѣлъ.
Если какое нибудь тѣло, которое тяжелѣе извѣстной жидкости,
должно на ней плавать, то это тѣло должно быть соединено въ нз-
— 262 —
вѣстной пропорціи съ другимъ тѣломъ, которое легче данной жид-
ко зги. Если р—означаетъ вѣсъ легчайшаго тѣла,
Р— вѣсъ болѣе тяжелаго тѣла,
п и т—удѣльные вѣса этпхъ двухъ тѣлъ, то изъ уравненія
Р(т — 1)ті=р(1 — п) т
опредѣляется вѣсъ и, слѣдовательно, также то количество болѣе лег-
каго тѣла, которое должно быть соединено съ даннымт. тяжелымъ
тѣломъ для того, чтобы послѣднее плавало въ водѣ.
Прчміщіъ. Сколько нужно сосноваго дерева для того, чтобы удержать на водѣ
40 Фунтовъ каменнаго угля.
Такь какъ удѣльный вѣсъ сосноваго дерева п = 0,65, удѣльный вѣсъ каменнаго
угля т = 1,33, то:
р (1-0,55). 1,33=40 . (1,33—1). 0,55,
40.0,33.0,55
отсюда р=-М51-3з-= 12,13
такъ какъ кубическій Футъ сосноваго дерева вѣситъ 69,18.0,55=38 ф., то раз-
дѣливъ 12,13 на 38, получимъ объемъ необходимаго количества дерева.
4) Однородная жидкость, наполняющая два сообщающіеся сосуда,
какой бы Формы и величины п въ какомъ бы положеніи они ни бы-
ли, только тогда можетъ быть въ равновѣсіи, когда свободныя по-
верхности жидкости въ двухъ сосудахъ находятся въ одной гори-
зонтальной плоскости. Слѣдовательно небольшое количество жидко-
сти въ одномъ сосудѣ можетъ вполнѣ уравновѣсить всякое количество
жидкости въ другомъ сосудѣ, лишь бы высота уровня была одинаковая.
Если заключенныя въ двухъ сообщающихся сосудахъ жидкости не
одинаковой плотности, то, въ случаѣ равновѣсія, уровень болѣе плот-
ной жидкости будетъ находиться во столько разт> ниже уровня бо-
лѣе легкой жидкости, во сколько разъ удѣльный вѣсъ первой боль-
ше удѣльнаго вѣса второй.
Напр. такъ какъ ртуть въ 13,59 ризъ тяжелѣе воды, то въ колѣнчатой или си-
фонной трубочкѣ столбецъ ртути въ 1 дюймъ вышиной можетъ уравновѣсить во-
дяной столбъ вышиной въ 13,Г9 д. Этимъ способомъ можно съ достаточной точ-
ностью опредѣлять удѣльный вѣсъ различныхъ жидкостей.
5) На только что изложенномъ законѣ о сообщающихся трубкахт.
основано устройство барометра. Ртутный столбецъ, заключенный вт>
стек гянной трубкѣ, уравновѣшивается здѣсь столбомъ воздуха. Ртуть
въ трубочкѣ постоянно понижается, чѣмъ выше мы поднимаемся надъ
уровнемъ моря, т. е. чѣмъ выше надъ уровнемъ моря тѣмъ давле-
ніе воздуха меньше.
Высота барометра у поверхности моря равна 76 центиметрамт.
— 263 —
(29,9 д.); давленіе ртутнаго столбца такой вышины на одинъ квад-
ратный дюймъ основанія равно вѣсу 29,9 кубич. дюймовъ ртути
= 29,9.0,5434 = 16,26 ф.
поэтому у морскаго уровня давленіе воздуха = 16,26 ф. на квадрат-
ный дюймъ.
Хотя величина этого давленія нѣсколько измѣняется, смотря по
погодѣ и по высотѣ мѣста надъ уровнемъ моря, но въ механикѣ это
давленіе принято какъ постоянная единица для измѣренія давленія
воды, пара и всякихъ другихъ жидкостей въ паровыхъ котлахъ, въ
гидравлическихъ нрессахч>, въ воздуходувныхъ машинахъ и т.д.Такъ
напр. паромъ упругостью въ четыре атмосферы, или просто паромъ
въ четыре атмосферы, называется паръ, доведенный до такого состоя-
нія, что производитъ на каждую единицу площади въ четыре раза
сильнѣйшее давленіе, нежели атмосферный воздухъ у поверхности
морской.
Такъ какъ ртутный столбецъ вышиной въ 29,9 д. уравновѣшивает-
13 59
ся водянымъ столбомъ вышиной въ 29,9 X ' = 33,89, то атмо-
сферное давленіе можетъ быть выражено:
а) давленіемъ въ 16,26 Ф’ на □ д.,
б) ртутнымъ столбцомъ вышиной въ 29,9 д.,
с) столбомъ воды вышиной въ 33,89 д.
Для большаго удобства прп вычисленіяхъ, въ слѣдующей табличкѣ
приведены различныя выраженія этого давленія въ другихъ мѣрахъ.
Высота водянаго столба — Высота ртутнаго сіолба = Величина давленія =
10,33 метрамъ 31,80 Франц. Фут. 32,68 ввнскимь » 32,91 рейнскимъ» 33,89 англійск. » 34,43 швейц. > Примѣръ. Сколькнм1 76 цептиметр. 28,06 Франц. д. 28,83 вѣнск. » 29,04 реппск. » 29,90 англійск. > 25,32 швейцарск. » ь атмосферамъ соотвѣ 1,033 килограммамъ на □ цент. 15,45 Франц. Фунт. на Франц. □ д. 12,80 вѣнск. » > вѣнск. » 15,10 кельнск. » » рейнск. » (14,70 англійск. • • 1 іійои .......... {англшск.і (16,26 русск. » » ( 18,60 швейц. » » швейц. » тсгвуетъ давленіе въ 50000 ф. на нор-
шавь, діаметровъ въ 8 д., гидравлическаго пресса (швейцарск. мѣры)?
8-’. 3,14 г
Площадь поршня =-------— = 5О,27П д.
. • „ « 50000
Давленіе на квадратный дюнмъ = -=—— = 9946 ф.
„ 9946 Ео.
Число атмосферъ — = »35.
1О.ОМ
№ 33.
ОБЪ ИСТЕЧЕНІИ ВОДЫ ИЗЪ СОСУДОВЪ ПРИ ПОСТОЯН-
НОМЪ ДАВЛЕНІИ.
1. Скорость давленія.
Если въ днѣ, пли въ боковой стѣнѣ сосуда сдѣлано отверзтіе, то
вода вытекаетъ изъ него вслѣдствіе собственнаго вѣса н вслѣдствіе
вѣса слоевъ воды, лежащихъ надъ отверзтіемъ. Разстояніе центра
тяжести отверзтія отъ свободной поверхности воды, называется вы-
сотой давленія, или напоромъ. Если этимъ отверзтіемъ сосудъ сооб-
щается съ другимъ резервуаромъ, также наполненнымъ водой, то вы-
сотой давленія называется вертикальное разстояніе между уровнями
воды въ двухъ сосудахъ.
На приложеннымъ здѣсь чертежахъ высота давленія означена бук-
вой /г.
Если свободная поверхность воды подвержена еще какому нибудь
внѣшнему давленію, наир. давленію поршня, то нужно опредѣлить вы-
соту столба воды, котораго оспованіе было бы равно площади сво-
бодной поверхности (нли что все равно, площади поршня) п котораго
вѣсъ производилъ бы давленіе, равное давленію поршня. Къ высотѣ
этого столбца нужно прибавить разстояніе центра тяжестп отверзтія
— 265 —
отъ свободной поверхности, для того чтобы получить полную высоту
давленія.
Скорость, съ которою вода, иди вообще всякая жидкость, высту-
паетъ изъ отверзтія сосуда, равна той скорости, которую пріобрѣло
бы тѣло, свободно падающее съ высоты, соотвѣтствующей высотѣ дав-
ленія. Слѣдовательно скорость истеченія пропорціональна корню квад-
ратному изъ высоты давленія.
Въ случаяхъ а и с (см. прежніе чертежи) высота давленія для всѣхъ
точекъ отверзтія одна п та же, слѣдовательно и скорость истеченія въ
различныхъ частяхъ отверзтія одинаковая. Въ случаѣ Ь различнымъ
частямъ отверзтія соотвѣтствуютъ неодинаковыя высоты давленія,
слѣдовательно п скорости истеченія будутъ различны. Но если высо-
та боковаго отверзтія не велика, то разность между различными ско-
ростями очень незначительна, такъ что можно принять за среднюю
скорость ту, которая соотвѣтствуетъ центру тяжести отверзтія.
Назовемъ чрезъ ѵ скорость истеченія въ одну секунду,
чрезъ у скорость свободно падающаго тѣла ьъ концѣ первой се-
кунды,
чрезъ к высоту давленія или, что все равно, высоту паденія, то
получимъ:
® = ]/Ъук И к =
нлп, выражая въ опредѣленныхъ мѣрахъ:
ъ = ]/19,62.А въ метрахъ,
ъ = І/б0,4. к въ парижскихъ Футахъ,
ѵ = 1/64,36/4 въ англійскихъ Футахъ,
ѵ — (/65,4.А въ баденскихъ пли швейцарск. Футахъ.
Таблица ХЪІѴ.
Скорости истеченій, соотвѣтстпующія разлнчвывъ высотамъ
давленій.
Высота к Въ Фут. Скорость I Высота Скорость Высота Скорость « Въ Фут. Высота к Въ *ут. Скорость 1 V Въ Фут.
V Въ Фут. к Въ *ут. Въ Фут. к Въ *ут.
0,0026 0,4012 0,0175 1,0615 0,0325 1,4466 0,0475 1,7488
0,0050 0,5673 0,0200 1,1347 0,0360 1,5011 0,0600 1,7942
0,0075 0,6949 0,0225 1,2036 0,0375 1,5538 0,0625 1,8385
0,0100 0,8024 0,0250 1,2687 0,0400 1,6018 0,0550 1,8818
0,0125 0,8971 0,0275 1,3304 0,0425 1,6542 0,0575 1,9241
0,0150 0,9827 0,0300 1,3897 0,0450 1,7021 0,0600 1,9655
266
Высота А Въ фут. Скорость Въ фѵт. Высота Л Въ Фут. Скорость с Въ Фут. Высота Л Въ Фут. Скорость V Въ Фут. Высота Л Въ Фут. Скорость V Въ фут.
0.0625 2.0060 2,25 12,0360 4,85 17,6710 7,9 22,5530
0.0650 2.0457 2,30 12,1690 4,90 17,7628 8,0 22,6953
0.0675 2,0847 2,35 12,3005 4,95 17,8523 8,1 22,8367
0,0700 2,1229 2,40 12,4307 5,00 17,9422 8,2 22,9772
0,075 2,1075 2,45 12,5596 5,05 18,0311 8,3 23,1169
0,080 2,2695 2,50 12,6867 5,10 18,1207 8,4 23,2558
0,085 2,3394 2,55 12,8133 5,15 18,2093 8,5 23,3938
0,090 2,4072 2,60 12,9383 5,20 18,2975 8,6 23,5310
0,095 2,4732 2,65 13,0621 5,25 18,3853 8,7 23,6674
0,100 2,5374 2,70 13,1848 5,30 18,4726 8,8 23,8030
0,15 3,1077 2,75 13,3038 5,35 18,5596 8,9 23,9379
0,20 3,5884 2,80 13,4267 5,40 18,6461 9,0 24,0720
0,25 4,0120 2,85 13,5460 5,45 18,7322 9,1 24,2053
0,30 4,3949 2,90 13,6644 5,50 18,8180 9,2 24,3380
0,35 4,7471 2,95 13,7817 5,55 18,9033 9,3 24,4699
0,40 5,0748 .3,00 13,8976 5,60 18,9882 9,4 24,6011
0,45 5,3827 3,05 14,0133 5,65 19,0728 9,5 24,7316
0,50 5,6739 3,10 14,1277 5,70 19,1570 9,6 24,8615
0,55 5,9507 3,15 14,2411 5,75 19,2409 9,7 24,9906
0,60 6,2154 3,20 14,3537 5,80 19,3243 9,8 25.1191
0,65 6,4692 3,25 14,4655 5,85 19,4075 9,9 25,2469
0.70 6,7133 3,30 14,5763 5,90 19,4902 10,0 25,3743
0.75 6,9488 3,35 14,6863 5,95 19,5726 10,1 25,5006
0,80 7,1769 3,40 14,7955 6,00 19,6547 10,2 25,6265
0,85 7,3977 3,45 14,9039 6,05 19,7364 10,3 25,7518
0,90 7.6122 3,50 15,0113 6,10 19,8178 10,4 25,8764
0.95 7,8203 3,55 15,1183 6,15 19,8989 10.5 26,0007,
1.00 8,0240 3,60 15,2245 6,20 19,9796 10,6 26,1240
1,05 8,2222 3,65 15,3298 6,25 20,0600 10,7 26,2471
1,10 8,4156 3,70 15,4345 6,30 20,1401 10,8 26,3694
1,15 8,6048 3,75 15,5385 6,35 20,2198 10,9 26,4912
1.20 8,7899 3,80 15,6417 6,40 20,2993 11,0 26,6124
1,25 8,9708 3,85 15,7442 6,45 20,3785 11,1 26,7333
1,30 9,1488 3,90 15,8461 6,50 20,4573 11,2 26,8533
1,35 9,3231 3,95 15,9474 6,55 20,5358 11,3 26,9728
1,50 9,4941 4,00 16,0180 6,60 20,6140 11,4 27,0921
1,45 9,6622 4,05 16,1480 6,65 20,6919 11,5 27,2106
1,50 9,8270 4,10 16,2474 6,7() 20,7696 11,6 27,3285
1^55 9,9899 4,15 16,3461 6,75 20,8470 11,7 27,4463
1,60 10,1496 4,20 16,4443 6,80 20,9240 11,8 27,5633
1,65 10,3070 4,25 16,5418 6,85 21,0008 11,9 27,6797
1,70 10,4620 4,30 16,6389 6,90 21,0773 12,0 27,7959
1,75 10,6148 4,35 16,7354 6,95 21,1537 12,1 27,9114
1,80 10,7653 4,40 16,8313 7,00 21,2295 12,2 28,0266
1,85 10,9138 4,45 16,9266 7,1 21,3806 12,3 28,1410
1'90 11,060.3 4,50 17,0215 7,2 21,5306 12,4 28,2552
1'95 11,2049 4,55 17,1157 7,3 21,6796 12,5 28,3689
2,00 11,3475 4,60 17,2995 7,4 21,8276 12,6 28,4823
2,05 11,4886 4,65 17,3029 7,5 21,9746 12,7 28,5950
2,10 11,6279 4,70 17,3956 7,6 22,1206 12,8 28,7074
2,15 11,7655 4,75 17,4879 7,7 22,2657 12,9 28,8193
2'20 11,9015 4,80 17,5797 7,8 22,4098 13,0 28,9309
— 267 —
Высота Л Въ Фут. Скорость и Въ Фут. Высота' Скорость Высота Скорость V Въ фут. Высота Л Въ Фут. Скорость V Въ Фуі.
Л Въ фут. V Въ Фут. ІІ Въ «ут.
13,1 29,0418 16,00 32,0930 20,25 36,1070 28,0 42,4590
13,2 29,1524 16,25 ’ 32,3447 20,50 36,3300 28,5 42,8361
13,3 29,2628 16,50 32,5934 29,75 36,5504 29,0 43,2108
13,4 29,3724 16,75 32,8386 21,00 36,7707 29,5 43,5814
13,5 29,4820 17,00 33,0837 21,5 37,2056 30,0 43,9490
13,0 29,5909 29,6995 17,25 33,3252 22,0 37,6358 30,5 44,3137
13,7 17,50 33,5667 22,5 38,0610 31,0 44,6760
13,8 29,8076 17,75 33,8046 23,0 38,4815 31,5 45,0343
13,3 29,9154 18,00 34,0426 23,5 38,8976 32,0 45,3909
14,0 30,0234 30,2889 18,25 34,2775 24,0 39,2 >95 32,5 45.7437
14,25 18,50 34,5124 34,7441 24,5 39,7'66 33,0 46,0947
14,50 30,5544 18,75 25,0 40,1200 33,5 46,4420
14,75 30,8156 19,00 34,9758 25,5 40,5190 34,0 46,7879 47,1302
15,00 31,0769 19,25 35,2043 26,0 40,9144 34,5
15,25 31,3336 19,50 35,4328 26,5 41,3058 35.0 47,4708
15,50 31,5904 19,75 35,6585 27,0 41,6943 35,5 47,8982
15,75 31,8432 20,00 35,8841 27,5 42,0780 36,0 48,1440
II. Теоретическое количество воды.
Если впродолжеиіи одной секунды изъ сосуда вытекаетъ непре-
рываюіцаяся струя воды, то она имѣетъ видъ цилиндрическаго пли
призматическаго тѣла, котораго основаніе равно площади отверзтія
сосуда, а высота пли длина равна пространству, пройденному во время
одной секунды, и количество вытекающей воды равно объему этого
цилиндра.
Если « означаетъ площадь отверзтія, М количество воды, вытекаю-
щей въ секунду, то
М = я-, пли Іі[ — « |/2§Іі.
III. Сжатіе струи.
Частицы воды, устремляясь къ отверзтію, отклоняются нѣсколько
отъ прямолинѣйиаго пуги перпендикулярно къ площади отверзтія;
такъ что на нѣкоторомъ разстояніи отт> послѣдняго происходитъ
сжатіе или сокращеніе струи, вслѣдствіе чего количество дѣйстви-
тельно вытекающей воды меньше, нежели найденное теоретически.
Отношеніе количества дѣйствительно вытекающей воды къ тео-
ретическому количеству называется коэффиціентомъ сжатія струи.
208 —
Если этотъ коэффиціентъ напр. = 0,65, то это значитъ, что изъ ста
теоретическихъ частей дѣйствительно вытекаютъ только 65, пли вы-
текаетъ только 65 процентовъ теоретическаго количества воды. Въ
этомъ случаѣ количество дѣйствительно вытекающей воды
= 0,65. « |/2 § Іл.
Коэффиціентъ сжатія зависитъ отъ положенія отверзтія относительно
боковыхъ стѣнъ сосуда, отъ высоты давленія, отъ толщины стѣны,
въ которой сдѣлано отверзтіе, отъ вставныхч. трубокъ и т. д., какъ
будетъ видно изъ слѣдующихъ отдѣловъ.
IV'. Количество истеченія при полномъ сжатіи струи.
Если сжатіе происходитъ по всей окружности струи, то оно назы-
вается полнымі, ежатіемл, пли сокращеніемъ. Оно бываетъ, когда
разстояніе краевъ отверзтія отъ дна и отъ боковыхъ стѣнъ сосуда
по-крайней мѣрѣ въ 1 — 2 раза больше наименьшей стороны от-
верзтія.
Для круглаго отверзтія, сдѣланнаго въ днѣ сосуда, имѣемъ:
Высота давленія въ Коэффиціентъ сжатія.
200 разъ больше діаметра отверзтія 0,615
100 >) )» » 0,618
10 " ) л 0,620
8 >• 0,622
6 » 1) 0,625
4 л 0,630
о )> л 0,637
1 п > 0,642
0,1—0,5 > >> л 0,650.
26!)
Таблица ХЕѴ
О коэффиціентахъ сжатія для прямоугольныхъ отверзтій но
опытамъ Понесяе и Леброса.
Высота давленія. Коэффиціентъ сжатія для отверзтій вышиной въ:
Въсіштнм. Въ дюйм. 20 сантим. 7,9 дюйм. и больше. 10 сантим. 2,9 дюйм. 5 сангнм. 2 дюйм. 3 сантим. 1,2 дюйм. 2 сантим. 0, 8дюйм.
0 0 0,519 0,667 0,713 0,766 0,783
1 0,4 0,595 0,618 0,642 0,687 0,762
2 0,8 0,594 0,614 0,638 0,668 0,697
4 1.6 0,594 0,612 0,636 0,654 0,678
6 2,4 0,594 0,613 0,635 0,647 0,668
8 3,1 0,594 0,613 0,635 0,643 0,662
10 3,9 0,595 0,614 0,634 0,640 0,657
15 5,9 0,597 0,614 0,632 0,636 0,633
20 7,9 0,599 0,615 0,630 0,633 0,649
30 11,9 0,601 0,616 0,629 0,632 0,644
50 19,7 0,603 0,617 0,628 0,630 0,640
75 29,5 0,604 0,616 0,627 0,629 0,637
100 39,4 0,605 0,615 0,626 0,628 0,633
130 51,2 0,604 0,613 0,623 0,624 0,625
175 68,9 0,602 0,010 0,617 0,616 0,615
200 78,7 0,601 0,607 0,614 6,612 0,612
300 118,1 і 0,601 0,603 0,606 0,608 0,610
Высотой давленія здѣсь наіываегся разстояніе верхняго края огверзгія отъ
уровня воды надъ самымъ отверзтіемъ.
Эти коэффиціенты одинаково относятся къ тому случаю, когда отверзтіе нахо-
дится внѣ воды, какъ п къ тому, когда оно подъ водою, т. е. все равно всту-
паетъ ли выходящая струя въ воздухъ, или другой сосудъ, наполненный водою.
Примѣра 1. Въ вертикальной стѣнѣ резервуара сдѣлано прямоугольное от-
верзтіе шириной въ 23,6 д., вышиной въ 7,9 д.; верхній край отверзтія лежитъ па
17,2 д. ниже уровня воды. Сколько воды вытекаетъ изъ резервуара въ секунду?
7 9
Высота давленія А = 47,2 >'-С.= 51,2 д. коэффиціентъ сжатія для отверзтія вы-
шиной въ 7,9 д., нрп разстояніи верхняго края отъ уровня воды пъ 47,2 д. = 0,004,
слѣдовательно вытекающее количество воды
___ 23,6 7,9і/64,36.51,2
= 0,604 ?< « ѴЧд/і = 60,4 X “□““"ПН ------------12,9о
кубическимъ Футамъ.
Примѣръ. 2. Въ ш.іюзныхъворотахънаходигся засовъ шириной въ 61,2 д. = 4,26 ♦.
вышиной въ 8,27 д.=0,689 ф., котораго средина лежитъ 9,8 ф. подъ поверхностью
воды. Сколько нужно времена для того, чтобы выгекю изъ этого отверзтія 150
кубич. Футовъ воды?
270 —
Коэффиціентъ сжатія здѣсь по таблицѣ = 0,601.
Количество вытекающей воды въ секунду
= 0,601 X 4,267 X 0,689 X V 64,36 X 9,8 = 44,38 кубпч.Футамъ.
и время истеченія 660 кубич. «утовъ =^60 = 14,6 секундамъ.
Примѣръ 3. Въ сосудъ накачивается 2,8 кубич. «ута воды съ секунду. Какой
величины долженъ быть діаметръ круглаго отверзтія въ сосудѣ для того, чтобы
изъ него вытекло столько же воды, сколько протекаетъ, предполагая еще, что
центръ отверзтія долженъ лежать па 12 ф. подъ поверхностью воды.
Если высота давленія приблизительно во 100 разъ больше діаметра отверзтія,
то. коэффиціентъ сжатія = 0,618, слѣдовательно площадь отверзтія
И М
0,618 X /64,36 0,618 X /64,36 X 12~’ 0,1628 С Ф‘
„ I/4 X 0,1628 Л.„
н діаметръ 1) = у -----------= 0,4о5 ф.
V. Коэффиціентъ полнаго сжатія.
Если отверзтіе въ боковой стѣнѣ или на днѣ сосуда расположено
такъ, что одинъ, два пли даже три края отверзтія составляютъ про-
долженіе стѣнокъ сосуда, то сжатіе струи бываетъ неполное; онъ
можетъ быть только съ трехъ, съ двухъ пли съ одной стороны, пред-
полагая, что отверзтіе прямоугольное. Въ этомъ случаѣ коэффиціентъ
сжатія, относящійся къ полному сокращенію, нужно умножить на вы-
раженіе
п
1 -ь 0,1523 р
г
гдѣ р означаетъ цѣлый периметръ отверзтія,
п только ту часть его, которая производитъ сокращеніе струи.
Примѣръ. Ширина прямоугольнаго отверзтія. . . = 6,56 Ф.
Вышина..................................= 0,98 ф.
Коэффиціентъ полнаго сжатія.............= 0,63
и сокращеніе происходитъ у нижняго горизонтальнаго и двухъ вертикальныхъ
реберъ, тогда
цѣлый периметръ р = 2.6,56 -г- 2.0,98 = 15,08 ф.,
величина и = 6,56 -+- 2.0,98 = 8,52 ф.,
. п 8,52
отношеніе —— — 0,565,
р 15,08
и, слѣдовательно, коэффиціентъ сжатія для этого отверзтія
= (1 -ь 0,1523. О,565).О,63 = 0,684.
ѴІ.КоэФФиціеитъ сжатія струи въ отверзтіяхъ затворовъ (вешекъ',
ведущихъ къ желобу.
а) Если затворъ наклоненъ нпѣть сжатія ни съ боковъ, ни на днѣ
отверзтія (канала), то при наклонѣ:
— 271
въ 1 единицу сснованія на 5 единицъ
высоты коэффпц. сжатія = 0,651
» 1 » » » 2 » » » » » = 0,725
>, 1 » » » 1 » » и » » = 0,810
» 1 » » » *!2 » » » » » =0,884.
наклонные затворы, употребляемые напр. при водя-
Слѣдовательно
ныхъ колесахъ, пропускаютъ большее количество воды, нежели вер-
тикальные, п вытекающее количество воды тѣмъ больше, чѣмъ на-
клоннѣе затворъ.
5) Если затворъ вертикаленъ, то большій или меныпій наклонъ же-
лоба не имѣетъ замѣтнаго вліянія на коэффиціентъ сжатія, если высо-
та уровня воды надъ срединой отверзтія не меньше:
1,6 ф.— 2 ф. при вышинѣ отверзтія въ 0,5 ф. — 0,66 •».
1,0 ф.— 1,3 ф. » » » » » 0,33 Ф.
0,66 ф. » » л >> » 0,2 ф. и меньше.
с) Если высота давленія меньше, то наклонъ канала имѣетъ нѣко-
торое вліяніе на коэффиціентъ сжатія. Въ слѣдующей таблицѣ нахо-
дятся среднія величины коэффиціентовъ для обыкновенно устронвае-
мыхъ желобовъ.
Высота отверзтія. Высота уров- ня надъ сре- диной отверз- тія. Средняя ве- личина коэффиціента. Высота отверзтія. Высота уров- ня надъ сре- диной отверз- тія. 1 Средняя ве- 1 личина коэффиціента.
1,30 ф. 0,588 0,66 ф. 0,625
0,66 ф. 0,80 0,563 П 1Я * 0,36 0,605
0,40 0,484 0,16 0,488
0,50 0,591 0,13 0,439
0,36 0,563 0,66 0,638
0,33 Ф. 0,30 0,517 0,10 ф. 0,20 0,601
0,20 0,462
Примѣ]». Отверзтіе, сквозь которое вода помощью капала притекаетъ къ
водяному колесу, имѣетъ въ ширину 8 д., въ вышину 0,66 ф.; высота уровня падъ
срединой отверзтія = 1 ф. Если сжатіе струи полное, то какъ велико количество
воды, притекающей къ колесу?
Этотъ случай относится къ отдѣлу (с). Такъ какъ высота уровня по таблицѣ
„„ . . 0,688-ь 0,663
средняя между величинами 1,30 и 0,80, то коэффиціентъ сжатія —------------=
0,675 и количество воды М = 0,576. я. К— 0,575. 8. 0,66, V 64,36. 1 =
24,36 кубич. Футамъ.
— 272 —
VII. Коэффиціентъ истеченія цилиндрическихъ приставныхъ
трубокъ.
При отношеніи діаметра трубки къ Коэффиціентъ сжатія струи ра-
длииѣ ея венъ:
= : 1 и меньше....................0,62
: 2— 3.........................0,82
: 12...........................0,77
: 24...........................0,73
: 36...........................0,68
: 43...........................0,63
: 60...........................0,60
ѴШ. Коэффиціентъ истеченія изъ коническихъ приставныхъ трубокъ.
Коническія трубки приставляются къ отверзтію такт>, чтобы діа-
метръ постоянно уменьшался съ отдаленіемъ отъ стѣны сосуда. Опы-
ты надъ истеченіемъ изъ коническихъ трубокъ, которыхъ длина въ
2,6 разъ больше наименьшаго діаметра, производились Касселемъ.Ре-
зультаты этихъ опытовъ изложены въ слѣдующей таблицѣ:
Уголъ меж- ду образую чцими ко- К оэффиціеитъ. Уголъ меж- ду образую- щими ко- Коэффиціентъ.
Количества Скорости Количества Скорое ги
иуса. истеченія. истеченія. нуса. истеченія. истеченія.
0 градус. 0,829 0,830 20градус. 0,921 0,973
2 0,872 0,903 0,870 22 0,915 0,974
4 0,902 24 0,910 0,975
6 0,924 0,924 26 0,904 0,898 0,976
8 0,937 0,940 28 0,977
10 0,943 0,9 эО 30 0,894 0,978
12 0,946 0,9'18 35 0,882 0,980
14 0,943 0,964 40 0,870 0,981
16 0,939 0,969 45 0,857 0,983
18 0,930 0,972 50 0,843 0,986
IX. Количество вытекающей воды прн совершенномъ водосливѣ.
Если прямоугольное отверзтіе резервуара сверху ничѣмъ не огра-
ничено, то образуется водосливъ. Нижнее горизонтальное ребро от-
верзтія называется вершиной или порогомъ водослива. Водосливъ бы-
ваетъ совершенный, когда уровень капа іа, принимающаго воду, лежитъ
ниже порога водослива.
— 273 —
Различнымъ другъ на другѣ лежащимъ слоямъ воды, переливаю-
щейся черезъ водосливъ, соотвѣтствуютъ различныя высоты давленія
и, слѣдовательно, различныя скорости; назовемъ чрезъ:
к высоту уровня протекающей воды надъ вершиной водослива (смѣ-
ренную на разстояніи отъ 3 до 7 Футовъ позади водослива, т. е.
выше его по теченію).
Ь ширину водослива.
Ь .к приблизительно площадь сѣченія проходящей чрезъ водосливъводы,
]/2дк теоретическая скорость самаго нижняго слоя воды въ этомъ
сѣченіи.
Если бы эта скорость принадлежала всѣмъ слоямъ, то количество
вытекающей воды въ секунду было бы:
Ьк. Ѵ^дк.
По такъ-какъ средняя скорость воды меньше 1/2^Л, да кромѣ то-
го, большею частью бываетъ еще сжатіе струи, то это выраженіе дол-
жно быть умножено на извѣстный коэффиціентъ.
Если водосливъ сдѣланъ во всю ширину канала, или резервуара,
такъ, что съ боковъ нѣтъ сжатія струи; если далѣе водосливъ верти-
каленъ и по-крайней-мѣрѣвъ 1'|, илн 2 раза выше высоты давленія,
(считая вышину водослива отъ вершины до дна канала) и если, нако-
нецъ, вершина водослива заострена, т. е. нижнее горизонтальное ребро
острое, то этотъ коэффиціентъ = 0,443, такъ что количество вытекаю-
щей воды въ секунду
М = 0,443 Ъ. к |/2д/і.
Этотъ коэффиціентъ измѣняется съ измѣненіемъ высоты давленія Л
и отношенія ширины водослива къ ширинѣ канала; первая, т. е. вы-
сота, не имѣетъ, впрочемъ, почти никакого вліянія на величину коэф-
фиціента, пока заключается между предѣіами 0,1 ф.—0,7 ф., такъ что
для этихъ высотъ, принимая во вниманіе только отношеніе ширины
водослива къ ширинѣ канала, имѣемъ ио Кастелю и д’Обюиссону *)
слѣдующія величины коэффиціентовъ:
Остальная ширина водо- слива Величина коэффиціента. . Относительное количество вы- текающей воды 1,00 0,443 1 0,90 0,438 0,989 0,80 0,431 0,937 0,70 0,423 0,955 0,60 0,416 0,925 0,50 0,410 0,935 0,40 0,405 0,914 0,30 0,399 0,901
*) Си. Могіп, тёсапіцие ргаііцие, 1846.
Мехап. Вериул.ти.
18
— 274 —
Такъ, если напр. ширина водослива составляетъ половину ширины
канала, то соотвѣтствующій коэффиціентъ = 0,410, и количество выте-
кающей воды = 0,410 Ь. к.
Такъ-какъ въ третьей горизонтальной строкѣ за единицу принято
количество воды, протекающей черезъ водосливъ, котораго ширина
равна ширинѣ канала, то въ разсматриваемомъ случаѣ,т.е. при Ь = 0,5
ширины канала, количество вытекающей воды составляетъ только
0,925 или 91 ’|, процента того количества, которсе принято за еди-
ницу.
Водосливы даютъ очень простое средство для опредѣленія количе-
ства воды въ каналахъ, рѣчкахъ и т. д. прн устройствѣ гидравличе-
скихъ работъ.
Для этого поперегъ канала устраиваютъ толстую досчатую стѣну,
хорошо законопаченную и закрѣпленную такъ, чтобы вода, кромѣ
отверзтія, сдѣланнаго въ стѣнѣ, не имѣла никакого другаго стока. По-
рогъ водослива долженъ быть сдѣланъ въ такой высотѣ отъ почвы,
чтобы горизонтъ шіжней воды не имѣлъ вліянія на утекающую воду.
Какъ только высота уровня перестаетъ измѣняться, чтб бываетъ, ко-
гда стекаетъ столько же воды, сколько притекаетъ тогда помощью
шеста тп измѣряютъ высоту давленія, т. е. разстояніе уровня отъ
порога водослива; эту высоту давленія нужно, впрочемъ, измѣрять на
разстояніи по-крайней-мѣрѣ отъ 3 до 7 Футовъ выше водослива, по-
тому что у самаго отверзтія уровень нѣсколько понижается (прибли-
зительно иа '|5 глубины). Зная высоту давленія, находимъ количество
воды, доставляемое источникомъ по слѣдующей таблицѣ:
275 —
Таблица XI. VI.
Количество воды, стекающей черезъ совершенный водосливъ.
Высота давленія. Количество стекаю- щей воды въ секунду. Высота давленія. Количество стекаю- щей воды въ секунду
Въ сан- тпмет- трахъ. Въ дюй- махъ. Въ кубич. метрахъ о Въ куонч. футахъ Въ сан- тимет- рахъ. Въ дюй- махъ. Въ кубич. метрахъ Въ кубич. ♦утахъ
на каждый па каждый па каждый на каждый
метръ ши- рины. Футъ ши- рины. метръ ши- рины. Футъ ши- рины.
2 0,8 0,0055 0,0076 0,0592 20 7,9 8,8 0,1758 1,8913
2,5 1,0 0,0818 21 0,1891 2,0355
3 1,2 0,0102 0,1098 22 8,7 0,2094 2,1786
3,5 1,4 0,0129 0,1388 23 9,0 0,2166 0,2306 2,3315
4 1,6 0,0156 0,1679 24 9,4 2,4822
4,5 1,8 0,0187 0,2013 0,2379 25 9,8 0,2452 2,6393
5 2,0 0,0221 26 10,2 0,2601 2,7997
5,5 2,2 0,0253 0,2723 27 10,6 11,0 0,2755 2,9655
6 2,4 0,0288 0,3100 28 0,2906 3,1280
6,5 2,5 0,0325 0,3498 29 11,4 0,3067 3,3013
7 2,7 0,0363 0,3907 30 11,8 0,3226 3,4725
7,5 2,9 0,0400 0,4305 31 12,2 0,3388 3,6468
8 3,1 0,0444 0,4779 32 12,6 0,3554 3,8255 4,0031
8,5 3,3 0,0485 0,5220 33 13,0 0,3719
9 3,5 0,0530 0,5705 34 13,4 0,3889 4,1861
9,5 3,7 0,0572 0,6157 35 13,8 0,4065 4,3745
10 8,9 0,0620 0,6674 36 14,2 0,5237 4,5607
11 4,3 0,0717 0,7718 37 14,6 15,0 0,4414 4,7512
12 4,7 0,0817 0,8794 38 0,4593 4,9439
13 5,1 0,0921 0,9914 39 15,3 0,4758 5,1215
14 5,5 0,1030 1,1087 40 15,7 0,4962 5,3411
15 5,9 0,1142 1,2292 41 16,1 0,5149 5,5425
16 6,3 0,1256 1,3519 42 16,5 0,5350 5,7588 5.9526
17 6.7 0,1378 1,4833 43 16,9 0,5530
18 7,1 0,1501 0,1625 1,6157 44 17,3 0,5725 6.1625
19 7,5 1,7482 45 17,7 0,5921 6,3735
X. О стокѣ воды черезъ несовершенный водосливъ.
Если вертикальное разстояніе между двумя уровнями воды, лежа-
щей выше п ниже водослива по теченію, меньше высоты давленія,
т. е. меньше вертикальнаго разстоянія между порогомъ водослива и
уровнемъ воды, лежащей выше, тогда водосливъ называется несовер-
шеннымъ.
Для опредѣленія количества воды, протекающей черезъ такой во-
досливъ, раздѣлимъ все отверзтіе водослива на двѣ части; первая
*
— 276 —
часть, которой высота АС равна
разстоянію между двумя уровня-
ми, соотвѣтствуетъ совершенно-
му водосливу такой же высоты;
вторую часть ВС можно срав-
нить съ прямоугольнымъ отверзтіемъ въ вертилкаыюй боковой стѣ-
нѣ. Слѣдовательно нужно опредѣлить количество воды, вытекающей
изъ каждой части отдѣльно; сумма ихъ дастъ количество воды, вы-
текающей изъ всего водослива.
Примѣрь, Ширина водоолива равна ширинѣ канала и равна 7 ф.
Часть ВС—АС=1 слѣдоват. АВ = 2 ф.
Количество воды, вытекающей чрезъ верхнюю часть АС въ секунду
= 0,443.7. |/ 64,36.1 = 24,88 кубическимъ футамъ.
Для нижней части ВС высота давленія = 1 -+- ’|2 = 1,5 ф.
Коэффиціентъ сжатія по таблицѣ Х1ЛѴ, если бы сокращеніе было полное,=
0,602;
такъ какъ сжатіе происходитъ только съ одной нижней стороны, то этотъ коэф-
фиціентъ (но стр. 270)= 0,602 (1 н-0,1523.0,4375 =0,642.
Слѣдовательно, количество вытекающей воды = 0,642.7.1 .V 64,36.1,5 = 44,2
кубическимъ Футамъ.
И количество воды вытекающей изъ всего водослива, АГ= 44,2-ь 24,88 = 69,08
кубическимъ Футамъ.
XI. О водяномъ дюймѣ.
Въ небольшихъ ручьяхъ, или источникахъ, количество протекаю-
щей воды опредѣляется слѣдующимъ очень простымъ способомъ: за-
пруживаютъ ручей во всю его ширину досчатой стѣной, въ которой
на одинаковой высотѣ подъ уровнемъ устроено множество отверзтій.
Закрывая или открывая, смотря но надобности, столько отверзтій,
сколько нужно для того, чтобы уровень воды не измѣнялся, зная разъ
навсегда, сколько изъ каждаго отверзтія можетъ вытекать воды вь
опредѣленное время, и зная, сколько отверзтій открыто, легко опре-
дѣлить количество воды, доставляемое источникомъ.
Этотъ способъ преимущественно употребляется во Франціи для из-
мѣренія количества воды, доставляемаго источниками. Количество во-
ды, вытекающей изъ отверзтія діаметромъ въ 2 центиметра (0,8 д.)
при высотѣ давленія въ 3 центиметра (1,2 д.), принято за единицу мѣ-
ры п обозначено названіемъ ронсе й’еан (водяной дюймъ). При этихъ
— 277 —
условіяхъ изъ одного отверзтія можетъ вытекать въ секунду 0,2222
лнтра воды, иди въ 24 часа, приблизительно, 20 кубич. метровъ (706
кубич. Футовъ).
Если наир. уровень воды не измѣняется, когда открыто 18 отверз-
тій, то количество воды, доставляемое источникомъ = 18 водянымъ
дюймамъ =15 кубическимъ метрамъ или 529,75 куб. ф. въ часъ.
XII. Истеченіе воды при перемѣнной высотѣ давленія.
Если къ сосуду, изъ котораго вытекаетъ вода, вовсе нѣтъ притока,
то уровень воды постепенно понижается, высота давленія и скорость
истеченія, слѣдовательно, уменьшается также постоянно.
Скоростъ истеченія уменьшается пропорціонально корню квадрат-
ному изъ высоты давленія, слѣдовательно уменьшается точно также
какъ скорость тѣла, брошеннаго вверхъ по вертикальному направле-
нію; а такъ каки, извѣстно, что тѣло, брошенное вверхъ, достигаетъ
только половины той высоты, до которой оно дошло бы въ то же са-
мое время, если бы скорость его оставалась безъ перемѣны, то п во-
да въ какой нибудь промежутокъ времени должна вытекать вдвое
меньше, когда высота уровня постоянно понижается, т. е. когда во-
все нѣтъ притока, чѣмъ тогда, когда скорость воды вовсе не измѣ-
няется.
Это правило справедливо, впрочемъ, тогда только, когда сосудъ
имѣетъ вездѣ одинаковый разрѣзъ; но оно не можетъ относиться къ
сосудамъ конусообразнымъ пли пирамидальнымъ, вообще къ сосу-
дамъ съуживающимся или расширяющимся книзу; изъ такихъ сосу-
довъ вода вытекаетъ медленнѣе или быстрѣе, потому что давленіе
измѣняется медленнѣе или быстрѣе, нежели въ призматическихъ или
цилиндрическихъ сосудахъ.
Примѣръ. Во сколько времени можетъ опорожниться прямоугольный ііараллеле-
пііпедическій резервуаръ длинной въ 32,8 ф., шириной въ 20 *. и вышиной въ 16,4
ф., когда нѣтъ притока, отверзтіе сдѣлано въ двѣ сосуда и вдовицъ этого отверз-
тія — 1,6 ф.
Объемъ резервуара = 32,8. 20.16,4 = 10758,4 куб. ф.
Если бы высота давленія не измѣнялась, то, прп полномъ сокращеніи струи, въ
секунду вытекало бы воды
0,63.1,6 ./64,36.16,4 = 32,75 куб. ф ,
слѣдоват. 10758,4 куб. Фут. вытекло бы въ „„--1- = 328,65 секундъ;
оЛ, /э
но какъ нѣтъ притока воды, то резервуаръ опорожнится только послѣ двойнаго
времени, т. е. послѣ 2.328,65 = 657,3 секундъ.
№ 34.
О ДВИЖЕНІИ ВОДЫ ВЪ РѢКАХЪ И КАНАЛАХЪ.
I. О движеніи воды вообще.
Такъ какъ русло рѣки, пли канала, всегда нѣсколько наклонно къ
горизонту, то вода скользитъ по немъ какъ по наклонной плоскости.
Сцѣпленіе частицъ и трѣніе воды о стѣнки канала замедляютт. па
столько это движеніе, что, при постоянной!, наклонѣ л при постоян-
номъ поперечномъ сѣченіи, движеніе вмѣсто равномѣрно ускоренна-
го дѣлается просто равномѣрное. Сопротивленіе движенію при оди-
наковомъ количествѣ воды тѣмъ больше, чѣмъ больше поверхность
касанія воды къ стѣнкамъ канала и чѣмъ больше скорость поды.
Въ какомъ нибудь поперечномъ сѣченіи вода не имѣетъ во вся-
комъ мѣстѣ одинаковую скорость. Близъ свободной поверхности во-
ды въ срединѣ ширины канала, или надъ самымъ глубокимъ мѣ-
стомт. рѣки, скорость наибольшая; но съ приближеніемъ ко дну пли
берегамъ она уменьшается.
II. Ней ссредствепное измѣреніе наибольшей скорости.
Наибольшая скорость воды въ рѣкѣ пли каналѣ, если на извѣст-
номъ протяженіи наклонт. и величина сѣченія постоянны, опредѣ-
ляется непосредственно слѣдующимъ образомъ:
Въ воду кладутт> поплавокъ (кусокъ дерева, бутылку, до извѣстной
высоты наполненную пескомъ для того, чтобы опа до горла погружа-
лась въ воду н т. д.), который чрезъ нѣсколько времени пріобрѣтаетъ
— 279 —
скорость воды. Остается тогда только помощью секундныхъ часовъ
замѣчать время, въ которое поплавокъ проходитъ извѣстное, заранѣе
измѣренное, пространство.
Если, напр., пои іовокь проходитъ 700 Фуговъ въ 215 секуніь, то пространство
пройденное въ одну секунду или скорость води = Ід?== 8,256 ф.
Для того чтобы измѣреніе имѣло пах.те.кащую точность, нужно повторять опытъ
сь поплавкомъ но крайней мѣрѣ отъ 5 до 10 разь, и потомъ взіть ариѳметиче-
ское среднее число.
ПІ, Средияи скорость води и опредѣленіе количества воды.
Зная наибольшую скорость воды, можно опредѣлить среднюю по
слѣдующей Формулѣ Прони, выведенной пмъ пзт. многочисленныхъ
опытовъ Дюбѵа (ВиЬпаі).
ѵ 1,11
V V +-10,зз’
гдѣ і: означаетъ среднюю скорость |
V » наибольшую скорость ) ВЪ Ф^1с Ъ'
По этой Формулѣ сосгавіепа слѣдующая небольшая таблица.
Наибольшая скорость V Отношеніе у Наибольшая скорость Р Отношеніе у-
0,5 Фут. 0,764 6,0 Фут. 0,843
1,0 0,774 6,5 0,848
1,5 0,184 7,0 0,852
2,0 0,792 7,5 0,856
2,5 0,800 8,0 0,860
3,0 0,808 8,5 0,864
3,5 0,815 9,0 0,868
4,0 0,821 9,5 0,871
4,5 0,827 10,0 0,874
5,0 0,833 10,5 0,877
5,5 0,838 11,0 0,880
Слѣдовательно, во. случаяхъ обыкновенно встрѣчающихся на прак-
тикѣ, средняя скорость составляетъ отъ 80 до 85 процентовъ наи-
большей скорости.
Примѣръ. Помощью поплавка найдена наибольшая скорость = 3,256 отноше-
ніе средней скорости къ наибольшей пэ таблицѣ должно быть среднее между 0,808
н 0,815, т. е. равно 0,812, поэтому средняя скорость
в = 0,812.3,256 = 2,644 ф.
Для опредѣленія количества воды, протекающаго вь секунду черезъ
какое-нпбудь мѣсто, нужно площадь поперечнаго сѣченія въ этомъ
— 280 —
мѣстѣ умножить на среднюю скорость. Результатъ будетъ точнѣе,
если опредѣлено нѣсколько величинъ поперечнаго сѣченія вдоль того
пространства, на которомъ опредѣлялась наибольшая скорость, и если
потомъ изъ нихъ взята средняя величина.
Примѣръ. Сколько воды протекаетъ въ рѣкѣ въ секунду, когда повлавокъ въ 120
секундъ, проходитъ пространство—325 и когда площади шести поперечныхъ
сѣченій, сдѣланныхъ на этомъ пространствѣ, равны:
64,6; 72,6; 76,4; 73,4; 70,6; 66,75 квадратн. Футамъ.
325
Скорость поплавка = |20== 2’7® ФУТI|МЪ•
Средняя скорость воды 2,70.0,804 = 2,17 ф.
Величина средней площадки сѣченія
64,6 -+- 72,6 ч- 76,4 ч- 73,4 ч- 70,6 4-66,75
= ----------------0--’---------= 70,725 □ ф.
Количество воды въ секунду = 2,17.70,725 — 153,47 кубическимъ Футамъ.
IV. О наибольшей скорости, которую можно сообщить водѣ, не но*
вреждая дна.
Скорость на днѣ канала будетъ = 2 ѵ — V.
Для того чтобы вода не повреждала дна каналовъ, скорость ея у
дна не должна превышать слѣдующихъ предѣловъ:
Свойство Высшій предѣлъ скорости:
Разрыхленная земля . . . .0,25 Футовъ.
Жирная глина..................0,50 »
Песокъ........................1,00 »
Крупный песокъ (хрящъ;. . . 2,00 »
Кремень, голышъ...............3,00
Острые угловатые камни. . . 4,00 »
Конгломератъ, сланецъ . . . 4,25 »
Слоистый камень...............6,00 »
Твердый камень..................10,00 »
По опытамъ Дюбуа (ПиЬііаі) скорость у дна составляетъ прибли-
зительно 3/4 средней скорости воды.
V. Опредѣленіе средней скорости и количества воды но высотѣ па-
денія и но нроФнли канала.
Прони даетъ слѣдующую Формулу для опредѣленія средней скоро-
сти воды въ каналѣ или рѣкѣ:
с = ЮЗ |/—. — —0,236,
г Ь V
гдѣ Ь означаетъ длину канала пли рѣки,
— 281 —
Н всю высоту паденія, т. е. вертикальное разстояніе нижняго кон-
ца канала отъ верхняго,
8 часть площади сѣченія каната занятую водой.
V часть периметра канала покрытую водой.
с среднюю скорость теченія (всѣ измѣренія въ Футахъ).
Примпр». Длина канала . . . . Ь= 3280 ф.
Все паденіе . . . . Ц = 1,3 ф.
Ширина дна канала . = 10 ф.
Наклонъ боковыхъ стѣн. = 45"
Глубина воды въ каналѣ. — 2 ф.
Требуется найти среднюю скорость и количество воды, доставляемое въ секунду
Такъ-какъ АВ = ВС = 2 ф.,
то АІ) = 10 ч- 2.2 = 14
слѣдовательно, часть площади занятая водой =
10-4-14 _
---«2 = 240
Сторона АС = ВСУ'2 = 2.1,414= 2,828 ф. Слѣдовательно часть периметра, по-
крытая водой = 10 -+- 2.2,828 = 15,656 ф.
7/8 18 24
Величина г {/= =0,000607,
средняя скорость о = 103 X Ѵо,000607 — 0,236 = 2,538 — 0,236 = 2,302 Ф.
количество воды = 2,302.24 = 55,248 кубическимъ футамъ.
VI . Устройство новаго канала.
Когда требуется провести новый каналъ, то обыкновенно дается
длина его и количество воды, которое онъ долженъ доставлять въ
секунду, равно какъ и средняя скорость воды.
Чѣмъ больше скорость воды, тѣмъ меньше могутъ быть размѣры
поперечнаго сѣченія канала, такъ что если водѣ сообщить наиболь-
шую скорость, допускаемую почвой, тогда размѣры будутъ имѣть
наименьшую величину, и устройство канала обойдется дешевле; но
тогда паденіе должно быть велико, что во многихъ случаяхъ, въ-
особепности въ тѣхъ, гдѣ вода должна совершать извѣстную меха-
ническую работу, вовсе невыгодно (см. отдѣлъ о работѣ воды).
Если водѣ сообщить небольшую скорость, то размѣры поперечнаго
сѣченія должны быть больше п стоимость канала выше; но зато то-
гда достаточно очень пеболыпаго паденія для того, чтобы водѣ сооб-
щить данную скорость; отъ этого в