THE i RIE
■ ES Ni :ES
Cours et exercices corrigés
Daniel Duverney
Professeur de mathématiques spéciales
au lycée Baggio de Lille
2e édition
DUNOD

lustration de couverture : in magine^
Le pictogramme qui figure ci-contre
mérite une explication. Son objet est
d'alerter le lecteur sur la menace que
représente pour l'avenir de l'écrit,
particulièrement dans le domaine
de l'édition technique et
universitaire, le développement massif du
photocopillage.
Le Code de la propriété
intellectuelle du 1er juillet 1992 interdit
en effet expressément la
photocopie à usage collectif sans
autorisation des ayants droit. Or, cette pratique
s'est généralisée dans les établissements
DANGER
d'enseignement supérieur, provoquant une
baisse orutale des achats de livres et de
revues, au point que la possibilité même pour
les auteurs de créer des œuvres
nouvelles et de les faire éditer
correctement est aujourd'hui menacée.
Nous rappelons donc que toute
reproduction, partielle ou totale,
de la présente publication est
l£PHOIÛCOFiliAG£| interdite sans autorisation de
TUE LE LIVREJ l'auteur, de son éditeur ou du
Centre français d'exploitation du
droit de copie (CFC, 20, rue des
Grands-Augustins, 75006 Paris).
© Dunod, Paris, 1998,2007
ISBN 978-2-10-051234-8
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article
L. 122-5, 2° et 3° a), d'une part, que les «copies ou reproductions strictement
réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective »
et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et
d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite
sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est
illicite »(art. L. 1224).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit,
constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.

Table des matières
Avant-propos vii
Structure du livre ix
CHAPITRE 1 • Irrationalité et approximation diophantienne 1
1.1 Irrationalité de Vd 1
1.2 Irrationalité de e 1
1.3 Irrationalité de tt 2
1.4 Irrationalité des valeurs de la fonction de Tschakaloff 3
1.5 Approximation diophantienne 4
1.6 Remarques méthodologiques 6
Exercices 7
CHAPITRE 2 • Développement des nombres réels en séries et produits infinis 9
2.1 Développement p-adique d'un nombre réel 9
2.2 Développement d'un nombre réel en série de Engel 12
2.3 Produit infini de Cantor 13
Exercices 15
CHAPITRE 3 • Fractions continues 17
3.1 Introduction 17
3.2 Un critère de convergence 20
3.3 L'art et la manière de diviser par zéro 22
3.4 Développement en fraction continue dans 2 24
3.5 Un quotient de fonctions de Bessel 25
3.6 Fractions continues et irrationalité 27
Exercices 30
CHAPITRE 4 • Fractions continues régulières 33
4.1 Développement d'un nombre réel positif en fraction continue régulière 33
4.2 Développement de e en fraction continue régulière 36

iv Théorie des nombres
4.3 L'équation diophantienne ax -f by = c 37
4.4 Fractions continues régulières et approximation diophantienne 38
4.5 Nombres irrationnels quadratiques et fractions continues 40
4.6 L'équation de Pell 42
Exercices 44
CHAPITRE 5 • Corps de nombres quadratiques et équations diophantiennes 47
5.1 Corps de nombres quadratiques 47
5.2 Anneau des entiers d'un corps de nombres quadratiques 48
5.3 Unités de l'anneau des entiers d'un corps de nombres quadratiques 49
5.4 Décomposition en produit de facteurs premiers dans Z 51
5.5 Éléments premiers et éléments irréductibles 53
5.6 Anneaux euclidiens 55
5.7 Équations diophantiennes 56
Exercices 58
CHAPITRE 6 • Carrés et sommes de carrés 61
6.1 Sommes de deux carrés 61
6.2 Structures algébriques finies 62
6.3 Le symbole de Legendre 64
6.4 Calcul dans F* 68
6.5 Formes quadratiques binaires à coefficients entiers 68
6.6 Sommes de quatre carrés 73
Exercices 75
CHAPITRE 7 • Fonctions arithmétiques 78
7.1 Fonction génératrice ordinaire 78
7.2 Séries de Lambert 80
7.3 La formule du triple produit de Jacobi 82
7.4 Sommes de deux carrés 84
7.5 Théorème de Jacobi sur les sommes de quatre carrés 86
7.6 L'indicateur d'Euler <p(n) 86
7.7 Valeur moyenne de rjin) 88
7.8 Distribution des nombres premiers : la fonction ir(n) 89
Exercices 93

Table des matières v
CHAPITRE 8 • Approximants de Padé 98
8.1 Généralités 98
8.2 Fonction hypergéométrique de Gauss et approximants de Padé
du binôme f(x) = (1 -xf 99
8.3 Fonction hypergéométrique confluente et approximants de Padé de l'exponentielle 102
8.4 Applications arithmétiques 103
Exercices 106
CHAPITRE 9 • Nombres algébriques et mesures d'irrationalité 110
9.1 Nombres algébriques 110
9.2 Entiers algébriques 111
9.3 Nombres transcendants et théorème de Liouville 114
9.4 Mesures d'irrationalité 115
9.5 Équations diophantiennes et mesures d'irrationalité 118
9.6 Théorèmes de Thue et de Roth 120
Exercices 122
CHAPITRE 10 • Corps de nombres algébriques 126
10.1 Corps de nombres algébriques 126
10.2 Conjugués, normes et traces 128
10.3 Anneau des entiers d'un corps de nombres 130
10.4 Unités 131
10.5 Discriminants et bases entières 133
10.6 L'équation de Fermât x5 +y5 = z5 136
Exercices 138
CHAPITRE 11 • Idéaux 141
11.1 Idéaux d'un corps de nombres 141
11.2 Arithmétique des idéaux entiers 143
11.3 Norme d'un idéal 144
11.4 Décomposition de (p), p premier, en produit d'idéaux premiers 146
11.5 Nombre de classes d'idéaux 148
11.6 Application à l'équation de Mordell y2 = x3 + k 151
Exercices 152

vi Théorie des nombres
CHAPITRE 12 • Introduction aux méthodes de transcendance 155
12.1 Fonctions algébriques et fonctions transcendantes 155
12.2 Maison d'un nombre algébrique 157
12.3 La méthode de transcendance de Mahler 158
12.4 Remarques méthodologiques ; lemme de Siegel 160
12.5 Le théorème de Hermite-Lindemann 161
12.6 Le théorème de Gelfond-Schneider 163
12.7 La méthode de Siegel-Shidlovski 166
Exercices 167
Solutions des exercices du chapitre 1 170
Solutions des exercices du chapitre 2 175
Solutions des exercices du chapitre 3 180
Solutions des exercices du chapitre 4 186
Solutions des exercices du chapitre 5 194
Solutions des exercices du chapitre 6 202
Solutions des exercices du chapitre 7 208
Solutions des exercices du chapitre 8 217
Solutions des exercices du chapitre 9 228
Solutions des exercices du chapitre 10 237
Solutions des exercices du chapitre 11 243
Solutions des exercices du chapitre 12 250
Références bibliographiques 260
Index 261

Avant-propos
On doit à Cari Friedrich Gauss (1777-1855) l'affirmation selon laquelle, si les
mathématiques sont « la reine des sciences », la théorie des nombres (ou arithmétique supérieure) est
« la reine des mathématiques ».
Et Louis Mordell (1872-1952) renchérit : «La théorie des nombres est sans rivale pour
la quantité et la variété de ses résultats, la beauté et la force de ses démonstrations.
L'arithmétique supérieure semble renfermer une grande partie du romantisme des mathématiques.
Comme Gauss l'écrivait à Sophie Germain, ses beautés ne se révèlent qu'à ceux qui ont le
courage de l'étudier en profondeur. »
On pourrait ajouter que, bien souvent, les énoncés de la théorie des nombres s'avèrent
d'une extrême simplicité ; c'est précisément du contraste entre la simplicité des énoncés et la
complexité des démonstrations que provient une bonne part de son charme.
Ce livre se propose donc d'introduire le lecteur aux beautés de la théorie des nombres.
Les prérequis sont ceux que l'on peut acquérir durant les deux premières années d'université
ou des classes préparatoires aux grandes écoles : analyse réelle, séries entières, notions sur
les structures algébriques telles que groupes, anneaux et corps, algèbre linéaire. Pour ce qui
concerne l'arithmétique élémentaire, les seules connaissances nécessaires portent sur
l'anneau des entiers relatifs (ou entiers rationnels) Z : nombres premiers, congruences... Seuls
les chapitres 7 et 12 utilisent quelques notions d'analyse complexe : formule intégrale de
Cauchy, principe du maximum.
Il ne pouvait être question, dans un seul ouvrage, de donner un panorama complet de
la théorie des nombres. On s'est donc essentiellement limité aux problèmes diophantiens,
ainsi nommés en l'honneur de Diophante d'Alexandrie, qui vécut entre 150 et 350, on ne
sait exactement. Ceux-ci comportent deux aspects principaux : les problèmes d'irrationalité
et de transcendance, liés à l'approximation diophantienne, et les équations diophantiennes,
dont les inconnues sont des nombres entiers. Ces deux aspects entretiennent d'ailleurs des
rapports étroits.
Pour permettre une lecture plus active, certaines démonstrations ont été proposées en
exercice. Il va de soi que ces démonstrations, ainsi que les autres exercices, doivent être
cherchées crayon en main et avec persévérance.

Remerciements
Ce livre n'aurait jamais vu le jour sans le soutien et les encouragements de Rémi Goblot,
que je tiens à remercier ici.
Les nombreux avis et commentaires de Martine Lemonnier, Directrice d'édition aux
éditions Dunod, et de Sinnou David, Conseiller Scientifique, m'ont permis d'améliorer le projet
initial et d'arriver, en particulier, à un plan plus équilibré.
Mes collègues et amis Nicolas Brisebarre, Bernard Daignières, Marc Huttner et Géry
Huvent m'ont apporté une aide précieuse en relisant attentivement de grandes parties du
manuscrit, et en me signalant de nombreuses erreurs.
Myriam Varlamoff s'est chargée de la dactylographie en LATEX ; sans son concours très
efficace, ce travail n'aurait pu être mené à bien.
Enfin, je remercie mon épouse et ma fille, qui ont su créer autour de moi une ambiance
favorable à l'écriture.
Cette seconde édition (2007) de « Théorie des Nombres », réalisée à l'initiative d'Anne
Bourguignon, responsable d'édition sciences aux éditions Dunod, a été soigneusement
revue et corrigée. L'augmentation du nombre de pages a permis, en outre, de rajouter des
éléments sur la distribution des nombres premiers, les démonstrations des théorèmes de Gelfond-
Schneider et de Thue, ainsi que des exercices corrigés supplémentaires.
Cette nouvelle édition doit beaucoup aux lecteurs de la précédente (1998), qui y ont
relevé de nombreuses erreurs et fautes de frappe, et ont permis d'améliorer le texte par leurs
commentaires.
En particulier, je tiens à remercier Michel Garcia pour son aide précieuse. Cette nouvelle
édition lui doit beaucoup, par le temps qu'il y a consacré et la qualité de ses remarques
toujours pertinentes et constructives.

Structure du livre
Une flèche en traits pleins allant du chapitre p au chapitre q indique que l'étude du
chapitre p est indispensable à l'étude du chapitre q.
Une flèche en traits pointillés allant du chapitre p au chapitre q indique qu'une partie
du chapitre q utilise des résultats du chapitre p , mais que l'étude du chapitre p n'est pas
indispensable à la compréhension du chapitre q .
L'absence de flèche entre deux chapitres indique que ceux-ci peuvent être lus
indépendamment l'un de l'autre.
Chapitre 1
▼
Chapitre 2
>
r
>
r
Chapitre 3
>
r
Chapitre A
y
Chapitre 5
*
Chapitre 6
y
Chapitre 7
>
r
y
y
y
▼
Chapitre 8
' 1
r
Chapitre 9
i
r
Chapitre 10
>
f
Chapitre 11
>
r
Chapitre 12

Chapitre 1
Irrationalité et approximation
diophantîenne
Dans ce chapitre introductif, nous proposons au lecteur quatre démonstrations simples
d'irrationalité : celle de \fd , celle de e , celle de rr , et celle des valeurs de la fonction de
Tschakaloff (§1.4). Ces démonstrations nous permettent de dégager la notion
d'approximation diophantienne, et de montrer ses liens avec les problèmes d'irrationalité (§1.5). Nous
concluons par quelques remarques méthodologiques (§1.6).
1.1 IRRATIONALITÉ DE Vd
THÉORÈME 1.1. Soit d € N ; on suppose que d n'est pas un carré parfait. Alors \fd est
irrationnel.
DÉMONSTRATION. On raisonne par l'absurde. Supposons que yfd soit rationnel ; alors
yfd — ajb . où a et b sont des entiers que l'on peut choisir premiers entre eux. En
élevant au carré, il vient b2d = a2 . Puisque d n'est pas un carré, il existe un facteur premier
p et un entier k tels que d = p2k+l8, avec p \ 8. Alors p2k+l\a2, donc pk+x\a et on
écrit a = pk+la. D'où b28 = par . Le facteur premier p divise b28 mais ne divise pas
8 . Donc p|Z?2 , et par suite p\b . Ainsi p\a et p\b ; contradiction avec le fait que a et b
sont premiers entre eux. Le théorème 1.1 est démontré.
Corollaire 1.1. Si d G N n'est pas un carré parfait, les nombres 1 et \fd sont
linéairement indépendants sur Q, autrement dit : si p,q € Q, et p + q\/d = 0, alors p = q = 0.
En effet, si q était différent de zéro, l'égalité p + q\/d = 0 entraînerait
\fd = — p/q e Q , en contradiction avec le théorème 1.1. Donc q = 0, et p = 0 .
Nous utiliserons le corollaire 1.1 plusieurs fois dans les chapitres 4 et 5.
1.2 IRRATIONALITÉ DE e
THÉORÈME 1.2. e est irrationnel.

2 Théorie des nombres
Démonstration. On a pour tout entier naturel n
n -. +00 -.
e = J2j\+R>» avecff„= £ -. (1.1)
k=0 ' k=n+\
Il est clair que R„ > 0, et de plus
1 1 1
" _ (n + 1)! + (n + 2)! + (« + 3)! + " "
_ 1 / 1 1 1
" ~ (n + 1)! V + n + 2 + (n + 2)(n + 3) + (« + 2)(n + 3)(« + 4) + '
1 A 1 m2 an3
* « < r-r^TT 1 + ô+U + U +
(Ji + l)! ^ 2 \2j \2j J (« + 1)1
De la relation (1.1) on déduit donc
^—' fc! n+1
0
Raisonnons de nouveau par l'absurde, et supposons que e = a/b , avec a et b entiers.
On observe que an = n ! X^/Uo 77 est un entier> et (1.2) devient :
2b
0 < n\ a — ban <
n + 1
De cette double inégalité, on déduit que le nombre entier fin = n\ a — ban est non nul,
et qu'il tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Ceci est impossible, car un entier non nul a
une valeur absolue supérieure ou égal à 1. Cette contradiction démontre le théorème 1.2.
1.3 IRRATIONALITÉ DE 77
THÉORÈME 1.3. tt est irrationnel
DÉMONSTRATION. Soit P(x) un polynôme de degré 2n ; posons :
F(x) = P(x) - P"{x) + P(4)(x) + (-1)" Pw(x)
En remarquant que P(x) sinx = (F'(x) sin x — F(x) cosx)', on obtient aisément la fa)mule
d'Hennit e :
P(x) sinx dx = F(0) + F(rr). (1.3)
/o
Supposons que tt — a/b. a<b G N. On applique la formule d'Hermite (1 3) à
i r
P(x) = -r xn(a — bx)" , et on note /„ = / P(x)sinx dx . On a /„ > 0 car P(x)sinx
est continue, positive, non identiquement nulle sur [0, tt] . De plus, x(a — bx) < a1 /4b sur
1 / 2 \ n
[0, tt] , donc /„ < —tt ( —- ) . Ainsi lim /„ = 0 .
n\ \4b J h-h-oc

Chapitre 1 • Irrationalité et approximation diophantienne 3
Or, on peut démontrer (exercice 1.1) que F(0) G Z et F(rr) G Z pour tout entier n .
Ainsi In G Z, pour tout n G N. La suite d'entiers strictement positifs In tend vers zéro, ce
qui est impossible. Donc tt est irrationnel.
1.4 IRRATIONALITE DES VALEURS DE LA FONCTION DE TSCHAKALOFF
Soit q G C, \q\ > 1 . ha fonction de Tschakalojf est définie par
W^-^-, VxgC. (1.4)
Elle satisfait à l'équation fonctionnelle
Tq(qx)=l+xTqM. (1-5)
Nous allons démontrer le résultat suivant :
THÉORÈME 1.4. Soit q G Z, |g| > 2. Alors, pour tout x G Q*, ^(x) est irrationnel.
Nous aurons besoin du lemme suivant, qui servira également dans l'étude des approxi-
mants de Padé (chapitre 8).
Lemme 1.1. Soit K mw sous-corps de C, ef soir f(x) — S/Î^o^n-*'2* favec
a„ G K, V/2 G Nj, ^ rayon de convergence R > 0. Soient p,q,r trois entiers
naturels, avec p < r ^. p — # + 1. A/ore // ewfô deux polynômes P,Q G K[jc], Q ^0, et une
série g(x) = J^j^ &;lx" , |x| < 7?, vérifiant deg P < p, deg Q ^ q , et
Q(x)f(x) + P(x) = xrg(x). (1.6)
La démonstration du lemme 1.1 est laissée en exercice (exercice 1.2).
Démontrons le théorème 1.4. Soit x = a//3, (a, /3) G Z2. Supposons que
7^00 = —: (M- p) € Z- . Une récurrence facile, à partir de la relation fonctionnelle (1.5),
montre que 7„ ( — ] = ——. V/7 G N, avec A„ G Z .
H q\qn) van
Soit p un ^/zr/^ry?x^, tel que |a/#p| < 1.
Nous utilisons le lemme 1.1, avec K = Q. f(x) = Tq(x), p = q — 2p, r = 3p. Les
polynômes P et Q sont alors à coefficients rationnels, mais si nous multiplions (1.6) par le
PPCM de ces coefficients, nous voyons que nous pouvons supposer P et Q à coefficients
entiers. On a donc
Q(x)Tq(x) + P(x) = x3"g(x)J (1.7)
avec P.Q G Z[jc]. deg 0 < 2p, deg P ^ 2p. g ^ 0.
Or g n'est pas la fonction nulle, car si c'était le cas, Tq serait une fraction rationnelle
en vertu de (1.7), donc un polynôme puisqu'elle est définie sur C, ce qui est impossible
compte-tenu de son développement taylorien (1.4). Donc au moins un des coefficients de

4 Théorie des nombres
Taylor de g est non nul, ce qui signifie qu'il existe un entier cr > 0 et une fonction h tels
que
Q(x)Tq(x) + P(x) = x3p+ah(x). h(Q) ï 0. (1.8)
Remplaçons x = a/(3 par x/qn , multiplions l'égalité obtenue par van/32pq2pn , et
notons Bn le nombre obtenu :
n ~ /3p^°- \qp+fT) % \J3q"
Or (0»q*-p (-jjL)) 6 Z, ua-T, (jj~) 6 Z. (>V"Ô (^)) € Z. Donc
£„ G Z. De plus,
va3p+0- / a
^S-^T^I m>
et
ce qui prouve que lim Bn = 0 grâce au choix de p, et que 5W / 0 car a ^ 0
n —>+oc
/z(0) 7^ 0 . De nouveau, on a une suite d'entiers non nuls qui tend vers 0, et cette contradiction
démontre le théorème 1.4.
1.5 APPROXIMATION DIOPHANTIENNE
Construire une approximation diophantienne d'un nombre réel donné a, cela signifie
trouver une suite de rationnels Pn/Qn , et une fonction / tendant vers 0 en l'infini, telles
que
Pn
Qn
</(j2i,), V/zeN. (1.10)
On peut observer que l'irrationalité de e et celle de Tq ( — j ont été obtenues par
approximation diophantienne. Dans le cas de e, la relation (1.2) s'écrit
P ? ?
0<e -< - ^— (1.11)
Qn (* + l)Gn Qn
avec Pn = n\ Y?k==0 —, G« = n\.
Dans le cas de Tq (a/0) , c'est moins évident. Il faut remarquer que
f a \ kn (a\ £„
q \(3q" J an q \/3j ' a"
avec (kn.ln) G 1? (raisonner par récurrence à partir de la relation fonctionnelle (1.5)). Ainsi
(1.9) peut s'écrire

Chapitre 1
\c et approximation diophantienne
où Qn =
*» £2' q2pn
max„e^ a
3p+cr
p-
h (a(3
V).
an p2P g2Pn p^a/pqn) + ^ft,/*,,
La différence entre e et Tg(a/P) resi ^ dans le fait que l'approximation diophantienne
donnée par (1.11) est explicite (on sait calculer explicitement Pn et Qn en fonction de n ),
tandis que celle donnée par (1.12) ne Test pas : dans ce dernier cas, Pn et <2„ s'expriment
en fonction des polynômes P et Q : or le lemme 1.1 affirme V existence de ces polynômes,
mais ne fournit aucun moyen de les calculer.
Cependant, dans les deux cas, on arrive à un résultat d'irrationalité parce que, après
multiplication par Qn , le produit Q„f(Qn) tend \ers 0 \ on dit que Ton a une bonne
approximation diophantienne, et on a le résultat suivant :
Théorème 1.5. Soit a e }
fiant
Alors a est irrationnel.
[. On suppose qu 'il existe une suite Pn / Qn de rationnels véri-
0<
a
3l
Qn
<,
e(w)
Qn"
avec lim e(;i) = 0.
n—-J-+OG
DEMONSTRATION. Voir exercice 1.3.
Le théorème suivant, dû à Dirichlet (1805-1859), montre que, réciproquement, pour tout
nombre irrationnel a., il existe de bonnes approximations diophantiennes.
THÉORÈME 1.6. Soit a 6 JR ; on suppose que a est irrationnel. Alors il existe une suite
infinie de rationnels Pn/Qn vérifiant
0<
a
3l
Qn
^
1
Vu <E N.
Démonstration. Nous aurons besoin du
LEMME 1.2. Soit a irrationnel. Alors, pour tout entier Q > 1, il existe un rationnel p/q
tel que 1 < q < Q et 0 < \qa - p\ ^ — .
Démonstration du lemme 1.2. Considérons les Q+l nombres 0,1, a- [a] ,2a- [2a],
{Q — \)a — [(Q — \)a] (où [a] désigne Impartie entière du réel x ). Tous ces nombres
appartiennent à Fintervalle [0,1]. et ils sont tous de la forme aa -f b, a et b entiers,
0 ^ a ^ Q — 1 . Nous allons utiliser le principe des tiroirs : divisons l'intervalle [0,1]
en Q sous-intervalles égaux : [0. l/Q]. [l/Q. 2/g],.... [(Q - 1)/Ô, 1]. Alors deux au
moins des Q + 1 nombres précédents seront contenus dans le même sous-intervalle (c'est
une histoire de chaussettes et de tiroirs).
Notons les è\ =a\aJi-b\ et £2 = a2a + b2 , avec 0 ^ a\ ^ Q— 1 et 0 ^ a2 ^ Q — l,
ci\ ^ a2 (car on ne peut avoir simultanément £i = 0 et %2 = 1 ). On peut supposer par
exemple que a\ > a2 . Puisque £i et Ç2 sont dans le même sous-intervalle de longueur
l/Q . on a |£i — £2\ = \(a\ — a2)a — b\ — b2\ ^ l/Q , avec 0 < ai — a2 ^ Q — 1, ce qui
démontre le lemme 1.2.

6 Théorie des nombres
Démontrons maintenant le théorème 1.6. On procède par récurrence. Fixons un
entier Q > 1 arbitrairement. En vertu du lemme 1.2, il existe un rationnel P\/Q\ tel
que 0 < \a-P{/Q{\ ^ 1/fifii , et 1 < G, < Q ; donc 0 < \a-Pl/Qx\ < 1/fi?.
On utilise encore le lemme 1.2, où on choisit l'entier Q de telle sorte que
G-1 < \a — Pi/Qi\ \ il existe un rationnel P2/Q2 tel que 1 < Q2 < Q et
0 < \a-P2/Q2\ ^ I/GG2 < 1/Q?. Et par ailleurs on a PxjQx + P2/Q2 car
\P1IQ\-P2IQ2\ > \\PilQ\- cl\-\*iIQï- cl\\ î 0 car \pl/Ql-a\ > 1/Q,et
\P2lQ2 — cx\ ^ I/GQ2 ^ 1/2 • En poursuivant le procédé, on construit une suite Pn/Qn
de rationnels deux à deux distincts, vérifiant \a — Pn/Qn\ < 1/g^ , et le théorème 1.6 est
démontré.
Remarque 1.1. Le théorème 1.6 n'est pas explicite; il affirme l'existence de la suite
Pn I Qn , mais ne permet pas de la calculer. Une version explicite de ce théorème sera donnée
dans le cadre des fractions continues régulières (formule (4.8)).
1.6 REMARQUES MÉTHODOLOGIQUES
Nous avons utilisé, dans ce chapitre, trois méthodes qu'il vaut la peine de dégager.
Dans la démonstration de l'irrationalité de yfd ^ nous avons raisonné par l'absurde, et,
partant de \fd = ci/b, démontré que yfd = a'jb', avec a' < a^b' < b . Dans ce type
de situation, on peut, soit utiliser un argument de minimalité (ici : a/b irréductible), soit
considérer que, partant d'une valeur donnée a , on construit une suite strictement
décroissante a > a' > a" > • - • d'entiers positifs : ce qui est évidemment impossible. Ce dernier
procédé est la méthode de descente.
Le deuxième procédé, utilisé pour les démonstrations d'irrationalité de e, tt et Tq(a//3),
a consisté à construire une suite d'entiers strictement positifs tendant vers 0, ce qui est
impossible. Généralement, la partie la plus difficile de ce genre de démonstration, qui est à la
base des résultats de transcendance (chap. 12), consiste à démontrer que la suite en question
ne s'annule pas.
Le troisième procédé est le principe des tiroirs : si on range n + 1 chaussettes dans n
tiroirs, un tiroir au moins va contenir au moins deux chaussettes. Une conséquence de ce
principe est, par exemple, le résultat suivant : si (wn)„eN est une suite d'entiers bornée, alors
il existe deux entiers n et p, n =fi p , tels que u„ — up .

Exercices 7
EXERCICES
1.1 On utilise les notations du théorème 1.3. Démontrer que P(0) = P'(0) = ■ • • = P{n 1}(0) = 0 .
En déduire que F(0) G Z et F(tt-) G Z .
1.2 Démontrer le lemme 1.1.
1.3 Démontrer le théorème 1.5.
1.4 Démontrer que a = \/ï + ^/5 est irrationnel.
1.5 Démontrer que f3 = log10 2 est irrationnel.
1.6 Soit P (x) = ao + ûijc + • • • + flux11, avec a„ / 0, un polynôme à coefficients entiers. Soit
r = pjq, où p et q sont des entiers non nuls et premiers entre eux, une racine rationnelle d'ordre d
de P (x). Montrer que qd divise a„.
77
Application : montrer que cos — est irrationnel pour tout entier n ^ 4.
77
1.7 Soit m G Z , \m\ ^ 2 . Démontrer que Ylt=o —I est irrationnel. On donnera deux demons-
mn~
trations différentes.
1.8 Un nombre irrationnel a est dit quadratique s'il existe des entiers a, &, c, a\ec ac = 0 . efc
que aa2 + ba + c = 0 .
1) Montrer que le nombre d'or <ï> = (1 + V5)/2 est quadratique.
2) Montrer que e n'est pas quadratique.
1.9 Les nombres de Fermât Fn sont définis par Fn = 22" + 1 . On se propose de démontrer que le
nombre x — ]C/~ÏÏ) ~E~ est irrationnel. On pose pour \x\ < 1 :
/w = Eié^ ; s(*) = Eïf^-
a) Montrer que /(x) - g(x) = 2 f /(x) - —^
b) Montrer que /(^) est irrationnel.
c) Montrer que x — 5^^o 1T est irrationnel.

8 Théorie des nombres
IIHc-t ^iu *,ï ^(l+a)(l+aq)...q+aqn-l)xn ^ * i i ^
J - JU Soit a G N ; on pose fa(x) = 2^ w(w+1) avec q eZ,\q\^2
Démontrer que, pour tout x G Q* , avec |*| < |#| /a, /fl(x) $■ Q .
1.11 Équation de Pell
Soit d un entier naturel qui n'est pas un carré. Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation
diophantienne x2 — dx2 — 1 admet au moins une solution (jc, y) / (1,0) .
1) Démontrer qu'il existe une infinité de couples d'entiers positifs non nuls (x,y) tels que
0< |.x2-£/>-2| < l + 2y/d.
2) Démontrer qu'il existe un entier k (\k\ < 1 + 2\fd), et des entiers m et n tels que le système
x2 — dy2 = k , x ~ m (mod k ), y = n (mod k ) admette une infinité de solutions.
3) Soient {x',y') et (*"./') deux couples solutions de ce système. Démontrer qu'il existe
(£, 77) G Z2 tels que
(*' - y'yfdXx" -i- y"V?) = |*| (f + 77V?)
(j:/+yv5)(jc//-y/v?) = i*Kf-W£)-
4) Conclure.
1.12 Un exemple de nombre transcendant
Soit a G M. On dit que a est algébrique de degré d s'il existe un entier d ^ 1 et des entiers ao,
ai. • ■ ■ , cid* avec tfj ^ 0, tels que ao -f «1 a -\ h a,dad = 0. Par exemple, les nombres rationnels
sont algébriques de degré 1, les nombres quadratiques sont algébriques de degré 2. On dit que a est
transcendant s'il n'est pas algébrique. Le but de l'exercice est de démontrer que, pour tout q G Z
vérifiant \q\ > 2. le nombre a = J2^^o #~2 est transcendant.
1) Montrer que, pour tout /z G N \ {0} , ah = J^J £/, fa)*?-", où :
a) bh (n) = 0 si l'écriture de n en base 2 compte au moins h 4-1 chiffres 1 ;
b) bh(n) = h\ si l'écriture de /? en base 2 compte exactement /z chiffres 1.
2) Pour tout entier k > 2, soit w* = (l + 2 H h2</_,)2*. Pour tout h G {1,2, • • • , d} ,
calculer :
a) /?/, fe) ;
b) bh (nk + 1). bh Ou + 2),..., bh (nk + 2*"1) ;
c) bh (nk - 1), bh (n, - 2) fo> (nk - 2k~2) .
3) Démontrer que a est transcendant.

Chapitre 2
Développement des nombres réels en
séries et produits infinis
On donne quelques développements classiques des nombres réels : développements
/7-adiques, séries de Engel, produits infinis de Cantor. Dans chacun de ces cas, il existe
un critère d'irrationalité simple.
2.1 DÉVELOPPEMENT p-ADIQUE D'UN NOMBRE RÉEL
2.1.1 Soit p un entier naturel, p > 2. et soit 70 tm nombre réel positif. On définit les
nombres entiers co- ci, c2...., et les nombres réels 71,72,73, • • • par l'algorithme suivant
( [x] désigne la partie entière du nombre réel x ) :
7i
7o = co 1 , avec c0 = [70], 0 < 71 < p
P
(2.1)
7°
7i = c\ + —, avec ci = [71]. 0 < y2 < p
P
y -1-1
7« = cn + ——. avec cn = [y„]. 0 ^ 7;2+i < 77.
Par récurrence, il vient facilement
n
7 + ^TT- (2-2)
On en déduit, puisque 0 ^ yn+\ < P > que lim " = 0 , et
n—*+oc pn^~l
Nous avons obtenu le développement p -adique de 70 .

10 Théorie des nombres
2.1.2 Par construction, on a pour n > 1 : cn = [yn] ^ yn < p. Puisque c„ est entier,
on a donc c/7 ^ p — 1 pour tout n > 1. Montrons qu'il existe une infinité d'entiers n tels
que c,z ^ p — 2. Supposons qu'il n'en soit pas ainsi : il existe alors un entier N tel que ■
cn = p — 1 pour tout n ^ N .En vertu de l'algorithme (2.1), il vient
yn ~ p — 1 -\—— pour tout n ^ N.
Donc yn —p = (yn+\—p)/p pourtout n^N. On en déduit que yN~P ~ (yn—p)l pn~N
pour tout n ^ N. Faisant tendre n vers -hoc, on obtient, puisque \yn — p\ < p,
Jn — P = 0 ■ Contradiction car yN < p . Il existe donc bien une infinité d'entiers n tels que
cn ^ p - 2 .
2.1.3 Montrons enfin que le développement de yo sous la forme (2.3), avec cn ^ p — 1
pour n ^ 1 et cn ^ /? — 2 pour une infinité d'entiers n , est unique. Pour cela, supposons
que
7o = Yl ~T' avec 4 < /> - 1 Pour n ^ 1
*=o ^
dn ^ P — 2 pour une infinité de n.
+ OC i
On a donc yo = ^o + > —r , et
Z—• pk
(car l'un au moins des <4 est strictement plus petit que p — 1 ).
DoncO<V4<^liy—= 1-
Il en résulte que do = [yo] = co .
Supposons avoir démontré que du = c* pour k ^n . Montrons que dn+\ = cw+i . On a
en vertu de (2.4) et (2.2)
k=0 y k=n+l y y
Pk'
d'où yn+1 = dn+i + pn+] ^2
Jfc=,i+2 ^ A =#n-2 F
Par suite d„+i = [y„+i] = cn+\ . On a donc démontré par récurrence que dn = cH pour
tout entier naturel n . Résumons les points 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 sous la forme d'un théorème.

Chapitre 2 • Développement des nombres réels en séries et produits infinis 11
THÉORÈME 2.1. Tout nombre réel positif yo s'écrit, de manière unique, sous la forme
+ OC
7o = Y* -7 = Q) + 0, Cic2c3 .
#1=0 y
où Cq = [70] » 0 < c„ ^ p — 1 powr toitf 72 ^ 1 et c„ ^ p — 2 pour une infinité d'entiers
n . L^s nombres entiers Co, ci • ^2, • ■ - so/tf donnés par V algorithme (2.1) ; l'expression de 70
m>wf obtenue s'appelle son développement p -adique.
2.1.4 II est facile de reconnaître si yo est rationnel ou non lorsqu'on connaît son
développement p -adique.
THÉORÈME 2.2. Le nombre réel positif 70 est rationnel si, et seulement si, son
développement p -adique est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire s'il existe deux entiers
N ^ 0 et k > 0 tels que cn+k = cn pour tout n ^ N.
Démonstration. Supposons d'abord que y0 est rationnel, y0 = —*(a,b) G N2 . Alors
7o = c0 H => j\ = : . Par récurrence, y„ = —— , avec an £ N,
p b b
0^7/1 <P? 0^a„ < fe . Par suite û„ , qui est entier, ne peut prendre qu'un nombre uni de
valeurs (0.1,2, b — 1). Par conséquent il existe deux indices distincts N et TV + k tels
que a^v = ciN+k . On a ainsi y^ = y;v+£ . Ces deux nombres étant égaux, ont même partie
entière et même partie fractionnaire. Donc cÀ\ = c^^k et y^-i = y^+A+i • Par récurrence,
on obtient c^-rn = c^^k-n pour tout n > 0 , et ceci prouve que le développement p -adique
de 70 est périodique à partir du rang TV .
Réciproquement, supposons cn+k — c» pour tout n ^ N , avec k > 0 . Alors
N-l +oc
7o
^^ / \ 1
Cm ■ V^ / c^ , c^+] , , cN+k-\ \ l
#n=0 r «i=0
iV-1
Em \ Y^ N 1 Jy+1 1 4.
r>"/ z—• 1 «*v p v-1-1 pN+k—l I ptnk
ECm I CN CN^l CN+k~\ \ P
Donc 70 ^ Q' » et le théorème 2.2 est démontré.
J
+oc -,
EXEMPLE 2.1. Soit p un entier supérieur ou égal à 2, et soit 6 = V^ —^ . Alors 6 est
irrationnel, car son développement p -adique vérifie cn = 1 si /7 est un carré, cn = 0 si
n n'est pas un carré. La suite c„ n'étant pas périodique, le théorème 2.4 montre que 6 est
irrationnel (pour une autre preuve de l'irrationalité de 6 , voir exercice 1.4).

12 Théorie des nombres
2.2 DEVELOPPEMENT D'UN NOMBRE REEL EN SERIE DE ENGEL
Soit x0 E]0,1]. Le développement de x0 en série de Engel s'obtient grâce à l'algorithme
1 "0 =
1
Xq
- (
[ Ai = U0X0 - 1 (^
On démontre
e (voir exercice
Wi =
" 1 '
+ 1
A"2 = U\Xi — 1
2.1 pour
les détails) :
1
+ 1
(2.6)
■*#I+1 — UnXn — 1
Théorème 2.3. Tout nombre réel xq g]0, 1] s'exprime, de manière unique, sous la forme
d'une série de Engel :
111 1
x0 = — + + + ■ • ■ + + ■ ■ ■ .
«0 tlQlii UqU\U2 Uolli...lln
où un G N, u„ ^ 2, un croissante.
Exemple 2.2. Ona^-2 = -H 1 1 1 1 ; c'est le développement
2 2-3 2-3-4 n !
en série de Engel de e — 2 .
Exemple 2.3. Soit q eN.q^l. Soit a = Vf|~ — . Alors a-\ = £+_!? —=■ est un
développement en série de Engel, avec un = q2n+1 .
THÉORÈME 2.4. Soit xq €]0,1]. Alors xo est rationnel si, et seulement si, la suite un de
son développement en série de Engel est constante à partir d'un ceitain rang.
Nous donnons ci-dessous une démonstration de ce théorème ; une deuxième
démonstration est proposée à l'exercice 2.2.
Supposons d'abord que la suite un est constante à partir du rang N . Alors
N-l
Xq
M0"l •••"« ^U0U\ ...Un
«=0 Il—N
*■ ' Mo/lt IV- ^ ' UqII\ .
1 y_
W-l
w=0
N-i
+oo
+ -
UqU\ .. .!*„ UqII\
Xq
= £ —
+
1
Ar=0
M AT
*)*
H=0
M0"l ■ ■ . M» Mqm1 • • -UN uN — 1
Réciproquement, supposons xo rationnel, x0 = Aq/Bq avec A0 G N, 5o G N.
Effectuons la division euclidienne de B0 par A0 : /3o = Aq <2o + ^o > ayec 0 < 7?o < A0.
Utilisant (2.6), on obtient
Xi = U0X0 - 1
Ao
+ 1
#0
1 ■-=
n -u °
A0
+"5--

Chapitre 2 ■ Développement des nombres réels en séries et produits infinis 13
Puisque 0 ^ R0 < A0 , on a 0 ^ -^ < 1 , de telle sorte que la partie entière de go + —
An An
est <2o • Ainsi
<n , in^o , <2oAo + Ao-50 A0-#o
*!= (Go+1)^-1 = Wo = -^r-.
Donc jci = Ai/Bq , avec 1 ^ Ai < Ao . Par récurrence, il vient facilement xn = An/Bn ,
avec 1 ^ A71 < A„_i pour /? > 1.
Or une suite d'entiers naturels décroissante est nécessairement constante à partir d'un
certain rang. Donc il existe N G N tel que An = An+\ pour n ^ N. D'où xn+\ = xn = x^
pour n > N. En utilisant (2.6), il vient jc^ — un+\xN — 1 et xN = «„x/v — 1, d'où
un+\ = m„ pour n ^ N .
^+OC * . '^r^+OC
Exemple 2.4. Les nombres e = ^„^o — et a = 52«=o?~" te G N^ > 2)
irrationnels car les suites de leurs développement en série de Engel tendent vers -foc .
sont
2.3 PRODUIT INFINI DE CANTOR
Soit an un nombre réel strictement plus grand que 1. On pose
qo
ao
an - 1
; ax = anj 1 +
Par définition de qn , on a <?o ^
a0
«o - 1
1
qo
< q0 + 1 . En particulier :
(2.7)
ao < (qo -r l)(«o — 1) » d'où ûj0 > 1 + l/<?o • Donc ai > 1, et on peut recommencer;
les suites (qn) et (an) sont ainsi définies par l'algorithme
Cln
_an - 1
Il vient immédiatement par récurrence
; an+i =an/ Il +
ûf0 = 1
1
2o
1 +—)... (l + — )«„+!.
(2.8)
(2.9)
On peut démontrer (exercice 2.3) que la suite Pn = TT ( 1 H 1 converge vers a0 , et
on obtient le
THÉORÈME 2.5. Tout nombre réel an > 1 s'exprime, de manière unique, sous la forme
d'un produit infini de Cantor
ao
#i=0
avec qnGN, qn^v ^ q?0 Pour fout n ^ ^-> cln ^ 2, pour n assez, grand.

14 Théorie des nombres
Exemple 2.5. Soit qo 6 N \ {0,1} ; on définit la suite (qn) par la relation de
récurrence qn+\ = 2q% — 1 . Puisque l'on a qn+\ ^ q^ pour tout entier n , le produit infini
TT ( 1 H ) est un produit infini de Cantor, dont on peut calculer la valeur ; en effet, on
71=0
vérifie aisément que
°nj V Qn + l
1
i + -][i+ l *- qn+l
1
Doncnfi+^nh+r1
1
i qo
B=0 x ^/„iV <W i_i «o-i
qo
Ou encore :
/. \ i
il(' + -L) =-S5r(, + -L)-fi±î-
^=o V W/ «o - 1 V W go - 1
D'où le développement de * / en produit infini de Cantor :
qo ~ 1
/ . i +°°
1 / 1 \
q° - „=o
(2.10)
THÉORÈME 2.6. Soit aç^R, ao> 1. Alors «o est rationnel si, et seulement si, la suite
(q„) de son développement en produit infini de Cantor vérifie qn+\ = In pour tout n assez
grand.
DÉMONSTRATION. Voir exercice 2.4.
Exemple 2.6.
Pour q0 = 2 et q0 = 3 dans (2.9), on obtient les développements en produits infinis de
Cantor de y/ï et \fï :
+ OC
V3 = TT ( 1 + — ) ; 4o = 2 ; g„+i = 2g„2 - 1
+oc / 1 \
ioV In)
Ainsi \/2 et \/3 sont irrationnels, ce qui peut bien sûr se démontrer plus simplement
(§1.1). L'intérêt de ces développements réside dans le fait qu'ils convergent très rapidement.

Exercices 15
EXERCICES
2.1 Démonstration du théorème 2.3
1) Démontrer que , V/z G N, xn > 0 , et que la suite (xn) est décroissante.
2) Démontrer que la suite (t/,,) est croissante et que un > 2, VnGN.
3) Démontrer que xo = \_\
UqU\ . . . U„
/i=0
4) Démontrer l'unicité de ce développement ( u„ ^ 2 , m„ croissante).
2.2 Soit .vo = t^ , un G N\{0,1} , lim un — +oc . Démontrer que ao est i
Z—' MoWl • • • "n n-»xoc
tionnel par approximation diophantienne (th. 1.5).
2.3 Démonstration du théorème 2.5
1) Démontrer que, V/i G N, qn+i ^ ^ .
2) Démontrer qu'il existe un entier N tel que qu ^ 2 .
3) En déduire que ao — TT I 1 H 1 •
!iv i-)
4) Démontrer l'unicité de ce développement en produit infini de Cantor, c'est-à-dire : si la suite qn
+oc / 1 \
vérifie #,'_] > #';; pour tout n G M et si ao = TT ( 1 -\—- 1 , alors q'n = qn , V/z G N.
2.4 Démonstration du théorème 2.6
H—1 +OC
(1 +a" ) = 1 — x~ .En déduire que I 1(1 + r')=
Jt=0 *=0
pour \x\ < 1 , puis que ao est rationnel si qn+\ = qâ pour n assez grand.
2) Démontrer que, si ao est rationnel, alors qn+\ — qâ pour n assez grand.
2.5 Déterminer le développement p-adique de a = ——-
2.6 Déterminer le développement 7-adique de f3 = 35/9 .
Z. / En utilisant un développement en série de Engel, démontrer que e^ $ Q .

16 Théorie des nombres
2.8 Formule de Stratemeyer
Soit la suite (tn) définie par son premier terme to G N\{0,1} et par la relation de récurrence
tn+l = 2tn — 1.
1 ) Démontrer que
2) Démontrer la formule de Stratemeyer, qui donne le développement en série de Engel de
to ~ \Ao2 - 1 :
I +°°
1
n 2to2h ... 2în '
11=0
3) En déduire des expressions de \/2. -s/3, y/5 et \/ï à l'aide de séries de Engel, et l'irrationalité de
ces nombres.
2.9 Développement en série de Sylvester
Soit y G]0.1] .Onpose a0 — —,q0 = [ao]+l. — = 1 ;puis q\ = [ai]+l , — = 1 ,
y a0 qo ai où\ q\ a2
etc.
1) Démontrer que qn+\ ^ ql — qn + 1 -
2) Démontrer que tout nombre y G]0.1] s'exprime, de manière unique, sous la forme
1 1 1
y= — + — + ... + — + ...
qo q\ qn
avec qn+\ ^ q~ — qn + 1 pour tout n G N (développement en série de Sylvester).
3) Prouver que y est rationnel si, et seulement si, la suite qn de son développement en série de
Sylvester vérifie qn+i = ql — q„ — 1 pour tout n assez grand.
4) Démontrer que /_J x^i est irrationnel pour tout entier naturel a qui n'est pas de la forme 22 .
2.10 Un nombre remarquable
Hormis les nombres rationnels, il est exceptionnel que, connaissant le développement décimal d'un
nombre réel, on sache déterminer explicitement le développement décimal de son inverse. Le but de
l'exercice est de donner l'exemple d"un tel nombre (Blanchard et Mendès-France, 1982).
Soit E = {0.1.4,5,16,17,20,21.64,...} l'ensemble des entiers naturels dont l'écriture en base 4
n'est constituée que de 0 et de 1. Soit 2E = {0,2, 8,10,32. 34,40.42,...} l'ensemble des entiers
naturels dont l'écriture en base 4 n'est constituée que de 0 et de 2. Soit a — 3 X^e£ 10~".
1) Ecrire les 25 premiers chiffres du développement décimal de a.
2) Prouver que a est irrationnel.
3) Soit f {x) = IX^o f1 "t~a'4 ) • définie si |jc | < 1. Déterminer le développement en série
entière de / (r).
4) Soit f(x) = Ylt^o f1 +*2'4") < définie si |jc| < 1. Calculer f(x)g(x).
5) Déterminer le développement décimal de —.

Chapitre 3
Fractions continues
Ce chapitre est consacré à l'étude des fractions continues (générales) ; le cas particulier
important des fractions continues régulières occupera le chapitre 4. Dans le paragraphe 3.1, on
définit les fractions continues et on étudie leurs premières propriétés ; l'étude de ce
paragraphe suffit pour aborder le chapitre 4. Les paragraphes 3.2, 3.3, 3.4 sont consacrés à la
démonstration de théorèmes généraux sur la convergence des fractions continues dans C
et dans la sphère de Riemann S = C U {oo}. cadre "naturel" de l'étude de ce problème.
Ces théorèmes sont utilisés, dans le paragraphe 3.5, pour développer en fraction continue
un quotient Jv/Jv_\ de fonctions de Bessel contiguës. Enfin, en 3.6, on démontre un
critère d'irrationalité pour les fractions continues à coefficients entiers, avec une application au
quotient Jv/Jv^\ .
3.1 INTRODUCTION
Soient (a„)„^o et (bn)n^\ deux suites de nombres complexes, avec bn ^ 0 pour tout
n ^ 1. Soient les fractions suivantes :
Cl\
; /?3 = gq -i
Rq = flo
; Ri
b\
Cl\
• f?^ — n^ 1
, ivo — LlÇ) |
bn
a2
b2 + -±
bi
Rn s'obtient en remplaçant, dans Rn-\ ,1e terme bn^\ par bn-\+an/bn . Pour simplifier
l'écriture, on écrira
Ri = ClQ + — ; #2 = ClO + 7- , 7- » ^3 = OO + T- , T- , T- ; . . .
b\ b\ -f b2 b\ + b2 + £>3
Rn = «0 + 7- . 7- , 7 . 7- = «0 + 7- , 7" , (3-1)
bn-\ + 7-
À cause des divisions, certains termes de la suite R„ peuvent ne pas être définis ;
cependant, on supposera qu'il existe un entier N tel que Rn existe pour tout n > N . La suite
(Rn)n^N définit alors une fraction continue ; les termes Rn sont les réduites de la fraction
continue. On dira que la fraction continue est convergente si la suite Rn est convergente,

18 Théorie des nombres
divergente si la suite Rn est divergente. En cas de convergence, la limite R de Rn est
appelée la valeur de la fraction continue, et on écrira
_ ai an an
b\ + b2 H bn -\
Le théorème suivant est fondamental.
THÉORÈME 3.1. On a pour n ^ 0 : Rfl = P„/Q„, où les suites Pn et Qn, définies pour
n > — 1, vérifient
P-i = 1 ; Ô-i=o ; />o = a0 ; Go = i ;
( Pn =bnP„-i+a„Pn-2
\ Qn = b„Qn-i +anQn_2 pourn ^ 1.
DÉMONSTRATION. Observons les premiers termes de la suite Rn . On a RG = ao = Po/Qo ,
avec P0 = a0 , Qo = l. Puis R{ = ao + ai/bi = P\/Q\ , avec /^ = a0Z?i H-ûj , Qi = bx .
Remplaçons, dans R\>b\ par fei + a2/£>2 • On obtient
ao ( *i + 1T ) "i" fli l l , l D
\ 02/ aç)b\b2 -t a§a2 + a\b2 P2
2 = hx + °l = bxb2 + a2 = ~Q2
b2
p2 = b2{aob] + ai) + a2a0 = b2P\ + a2P0i
Qi = b2bi Jra2 = b2Q\ + a2Qo.
On voit ainsi apparaître les relations (3.3) pour n = 2. Si on définit P-\ et Q-i Par
P_i = 1 et Q-\ = 0, les expressions Pi = b\ao + «1 et Q\ = bi montrent qu'elles sont
vraies aussi pour n = \ . Démontrons maintenant (3.3) par récurrence. On a
ai û2 an an+x ai an-\ a» />„'
£i+Z?2H bn+bn+i b{-\ bn-i+ an+i Q'n
bn + T
bn+\
Ainsi Rn-i apparaît comme une réduite d'ordre n, où bn est remplacé par
b„ + a„+\/bn+\ . En lui appliquant l'hypothèse de récurrence, il vient
P^ibn + JT^Pn-l+anPn-l
V a \
Q'n = (bn + ^J G„-l +fl„G„-2
bn+iPt[ = bn+\ (bnP„-i +anP„-2) +an+\Pn-\
bn+iQ'n =bn+i (bnQn-i + a„Qn-2) +fln+iô«-i.

Chapitre 3 • Fractions continues 19
En utilisant de nouveau l'hypothèse de récurrence, il vient
bn+\ Q'n = bn^iQn + an+\Pn-\-
Sinousposons Pn+i = b„^iP£ et Qn_i = b„+iQ'n, nous obtenons ^n+1 = Pn+i/Q„^i,
et le théorème 1 est démontré.
Remarque 3.1. La n -ième réduite Rn de la fraction continue existe si Qn =£ 0.
Théorème 3.2. Pour tout n^\,ona
PnQn-l ~ Pn-lQn = (-l)"" Vfc - • • A» (3.4)
^-^-i-^1^1^2"-^ riGi.^0erj2„-i^0. (3.5)
SlnUn-l
La démonstration du théorème 3.2 est laissée au lecteur (voir exercice 3.1). On en déduit
le
THÉORÈME 3.3. La fraction continue ao + — — -^ est convergente si, et
seulement si, la série de tenue général est convergente. En cas de
QnQn-\
convergence, on a
ax a2 an ^ (-l)"-1^^ • • • an
ao + ^+^+...^+...=flo+At—ë^—!
à condition que Qn ^ 0 pour tout n ^ 1.
Démonstration. Voir exercice 3.2.
Le théorème 3.3 a une intéressante conséquence, permettant de transformer une série en
fraction continue :
+oc
THEOREME 3.4. On suppose que la série > — — est convergente. Si an + bn ^ 0
^ b0b\ ...bn
pour tout n ^ 1, la fraction continue
a§ a\bo a2b\
bo - a\ + b\ — a2 + b2
est convergente et
^ Z?0Z?i •.. b„ b0 - a\ + b\ - a2 — b2 an + bn

20 Théorie des nombres
Démonstration. Voir exercice 3.3.
+oc / i\M +00
exemple 3.1. e-i = y;^- = y:?ELii^Li
avec flo = 1 > «« = — 1 Pour n^\, bn = n + 2 . Il en résulte
1 _ 1 2 3 /?
7 ~ 2 + 2 + 3--n+-;
„ 2 3/i
et
(3.6)
+°° x2n+l
EXEMPLE 3.2. On sait que Arctan x = V\-l)"- ( 1*1 < 1 ). Pour x = 1, la série
H ^ 2w + l
converge, donc le théorème d'Abel permet d'écrire
+°° / i\« +°°
E = V (-1)" = i + V(-1X-3)(-5)"-(1-2") r37^
4 à2n + 1 èï 3-5-.(2n + l) •
On peut donc appliquer le théorème 4 avec a0 = 1, &0 = 1, #„ = 1 — 2/z, bn=2n + \
pour rc ^ 1 . Il vient
77 1 l2 32 52
4 1+2 + 2 + 2 -r-
D'où la célèbre formule de Brouncker :
i = ,4 * * <*+£ . (3.8,
•n- 2 + 2 + 2-1 2 -I
3.2 UN CRITERE DE CONVERGENCE
Le théorème 3.3 n'est pas très utile, dans la pratique, pour étudier la convergence d'une
fraction continue ; en effet, la suite Qn n'est pas connue explicitement, et ceci rend difficile
l'étude de la convergence de la série de terme général (- l)n~lci\a2 ... an/Qn Qn-\ •
Pour obtenir un critère de convergence plus pratique, nous supposerons d'abord que
a0 = 0, ce qui ne change rien, et observerons que la fraction continue
bi+b2-\ bn-\
se ramène à une fraction continue de la forme
1 1 1
C\ + C2 -\ Cn *
En effet, on a R\ = a\jb\ = \jc\, avec c\ —b\ ci\ :

Chapitre 3 • Fractions continues 21
a\ 1 11 b->a\
R2 = = -r = — — , avec c-> = —— ;
an 1± \ ai c\ +C2 " a2
1 + ^ a\ b2ax
R3 s'obtient en remplaçant, dans R2, b2 par b2 + «3/^3 . Donc
1 1 1 1 111 a2b3
R3 = — 7 r- = 1 7Tn~ = — — —î avec c3 = •
ci + cii ( u . ai \ c\ c . "i"3 ci + c2 + c3 axa3
Plus généralement, le lecteur vérifiera par récurrence le résultat suivant :
THÉORÈME 3.5. Soient (an)n^>\ et (bn)n^\, deux suites de nombres complexes non nuls.
Alors les fractions continues
ai ao an 111
— -^ — et — — — ou
b\ + b2 H bn-\ ci + c2 H cn-\
aia3... a2n-i a2a4...a2n
Cln = bln et C2„ + l = #2/1 + 1,
a2a± ... a2n axa3 ... a2n+\
ont les mêmes réduites (on dit qu 'elles sont équivalentes). Elles sont donc de même nature eu
en cas de convergence, elles ont la même valeur.
Après transformation, on se ramène donc à étudier la convergence d'une fraction continue
de la forme — — — , pour laquelle on a le critère simple suivant :
C\ -r C2 H Cn H
72 ^ 1, et telle que la série V^ -j ? soit convergente. Alors la fraction continue
^ \c„c}J+i\
THÉORÈME 3.6. Soit (cn)n^i une suite de nombres complexes telle que \cn\ > 2 pour
+ OC
tout
7Z = 1
1 1 1
— — — est convergente.
c\ + c2 H cn H
DÉMONSTRATION. On a P0 = 0, Pi = 1 et Pn = c„P„-i + Pn-2 •
Montrons par récurrence que |P„| ^ \Pn~\ | • C'est vrai pour n = 1.
Et |P,z+i| = |c„+iP„ + P„_i| ^ ||c/z_}_i| |P„| — |P„_i|| . Par hypothèse de récurrence,
\Pn\>\Pn-i\ ; comme |c,I+i| ^ 2 , il vient |P,I+1| ^ 2|P„| - |P„|, d'où \Pn^\ > |P„|.
Donc pour tout n ^ 1. |P,7+i| > |Pi| = 1 . Par suite Pn ^ 0 pour tout n ^ 1.
De même on démontre que Qn / 0 pour tout n > 1 . Il en résulte que les réduites Rn
sont définies pour tout n ^ 1 .
Posons maintenant pour tout n > 1 :
cn*n — \ Cn\2n-
(3.9)
p„ ' " a,
Les relations Pn = c„P„_i + Pn-2 et g,., = c„g„_i + Qn-2 s'écrivent
P„=cn(l + ^^-)pn-i ; Qn=cn(\ + ^^)Qn-i. (3.10)
V Cn-iC»J \ Cn_iCnJ

22 Théorie des nombres
Donc, puisque P\ = Qo = l :
n-l x v
Pn = c2c3 .. .cn TT ( 1 + -^ (n > 2)
<2„ = c1c2...c„n(i + —î^-) («>i).
(3.11)
Or, en utilisant (3.9) et (3.10), on a
1
1 +
Un-l
Cji — 1 Cji
i +
£/î — 1 ^72
(3.12)
Un raisonnement facile par récurrence montre alors que \u„\ ^2 et \v„\ ^2 pour tout
n ^ 1 (remarquer que wi = 0 et v\ = 1 ).
On en déduit que les séries de termes généraux
CkCk+\
<
2
et
CkCk+l
^
2
CjtQ+i
sont convergentes. Donc les produits infinis
uk
^ = II(1 +
fc=2
QCjt+i
+ OO
ety = n 1
fe=i
Vk
CkCk+\
sont convergents (voir exercice 3.4). En outre, on a (3 ^ 0 et y ^ 0 car 1 -h w^/to^+i) 7^ 0
et 1 + vk/(ckck+i) ^ 0 pour tout k ^ 1 (en effet, |w*/toc>c+i)| ^ 1/2 et
l^jfc/focjfc+i)! ^ 1/2 ) ; voir exercice 3.4, question 2. Finalement :
on Ci „„
n-\
Uk
K=l i
QQ+l/ . , 1 P
tend vers ,
c\ y
vk
CkCk+l
et le théorème 3.6 est démontré.
Exemple 3.3.
T ... 1 1 1 11 1
La fraction continue — — — est convergente car - - - 1 est en
vertu du théorème 3.6. Sa valeur s'exprime à partir des fonctions de Bessel (voir § 3.5).
3.3 L'ART ET LA MANIERE DE DIVISER PAR ZERO
Considérons une fraction continue -— — -^ , avec an G C* et bn G C*
bi-\-b2-\ b„ H
pour tout n > 1 .

Chapitre 3 - Fractions continues 23
Supposons que cette fraction continue soit convergente, et ait pour valeur 0. Alors
la fraction continue b\ 4 —^ -—■ est divergente, et ses réduites R„ vérifient
b2 4- ■ ■ ■ bn 4 ■ ■ ■
lim \Rn\ = -hoc . Par suite la traction continue bi 4- — —
n—►H-oo
Etc..
£3 4- • • • K 4- •
converge et vaut 0.
Ceci nous amène à adjoindre à C un élément noté 00, vérifiant les propriétés suivantes,
qui correspondent évidemment à des limites connues :
'Va et
a 4 00 = 00.
a
VaeC, — =0.
00
a
Ô=CC'
(3.13)
VaeC*,
La division de zéro par zéro est bien sûr interdite (forme indéterminée).
Fig. 3.1
On note 2 = C U {oc} . Une interprétation géométrique commode de 2 est la sphère de
Riemann (figure 3.1).
La ligne droite qui relie le pôle nord de la sphère 2 au nombre complexe z définit le
représentant Z de z - Le pôle nord est oc ; on observe que, si \z\ «—► 400 , son représentant
Z tend vers 00 dans 2 . Le pôle sud est 0.
Nous dirons qu'une fraction continue converge dans 2 si ses réduites Rn ont une
limite dans 2 . Ainsi, les fractions continues considérées au début de ce paragraphe sont-elles
convergentes dans 2 et
0
Cl\ Cil Cln
~b[ 4- b2 4 • • • K 4 •
b2 63 H bn H
b.
^3
b3
Cln
%+'
= 0, etc....

24 Théorie des nombres
On notera que, si an / 0 pour tout n ^ 1 , les réduites Rn sont bien définies dans S .
En effet, la relation PnQn-i — Pn-iQn = (—l)u~la\a2... a„ (théorème 3.2) entraîne que
Pn et Qn ne sont pas simultanément nuls ; donc, si Qn = 0, on a Rn = oo .
On prendra garde à ne pas confondre la convergence (sous-entendu : dans C ) et la
convergence dans 2.
3.4 DÉVELOPPEMENT EN FRACTION CONTINUE DANS X
Soit a^ = — — — ( c„ G C* pour tout n ^ 1 ) une fraction continue
ci + c2 H cn H
convergente dans 2 . Si nous posons an = — , nous voyons que
cn + cn+\ H
pour tout n > 1. (3.14)
cn + an+i
Réciproquement, soit (an)n^\ une suite dans 2 vérifiant la relation (3.14) où les cn sont
des nombres complexes non nuls. On a alors :
1 11 111
c\ + a2 c\ + c2 + a3 c\ + c2 + c3 + a4
et par récurrence :
«, = I 1 -i L_. (3.15)
ci + c2 H cw_i + cw + a„+\
Il est donc assez naturel de se demander si a\ = — — —
c\ + c2-\ cn H
À ce sujet, on a le résultat suivant :
THÉORÈME 3.7. Soient (cn)n^\ une suite de nombres complexes non nuls et soit (an)n^>\
une suite d'éléments de S vérifiant (3.14). On suppose qu'il existe un entier N tel que
\cn\ ^2 et an G C pour tout n ^ N . On suppose en outre que lim —-— = 0 et que la
+oo -
série y -. r est convergente.
Al 111
Alors a\ = — — —
ci + c2 H cn H
DEMONSTRATION. La relation (3.15) s'écrit à Tordre N :
«, = 11 -i 1—. (3.16)
O + c2 H c#-1 + cn + ow+i
Or on a aussi :
1 1
a'/v+i — . .
Qy+l + c^+2 + ' ■
1
' ' C^+n + <ZjV+n + i
1
cyv+i + • ■
1 tfAH-72+1
• • cN+n + 1
^
Q'n

Chapitre 3 • Fractions continues 25
Ainsi aN+{ apparaît comme une réduite d'ordre n + 1. En vertu du théorème 3.1 on a
donc :
{Pn — Pn+ OLN+n+\Pn-\
Q'n = Qn + ttjV+ii+lôii-1,
où Rn = Pn/Qn est la réduite d'ordre n de
Par suite aN+\ = " "
CN+\ H- C^+2 + ■
Qn j , ^»+iV+l ' 8w-l '
Des relations (3.11) et de la démonstration du théorème 3.6, il résulte que
Pn-\ 1
Pn +°° Cn+À'
et %± L_ . Donc
Qn +oc C„-n
v Pn 1 1
a^+i = hm —— =
En reportant dans (3.16), le théorème 3.7 est démontré.
3.5 UN QUOTIENT DE FONCTIONS DE BESSEL
Dans ce qui suit, nous supposerons pour simplifier que v est un nombre réel. Pour tout
v > 0 on pose
T(y)= [ t"-le-'dt. (3.17)
La fonction gamma ainsi définie vérifie la relation
I>+1) = *4», (3.18)
comme on le voit facilement en effectuant une intégration par parties dans (3.17). En
particulier, on a pour tout n G N :
T(n-r !) = /?! (3.19)
On a enfin (voir exercice 3.5) :
T{\) = V^- (3-20)
Soit x G C ; on pose x = rée avec — tt < 6 ^ tt , et xv = rvelv6 . La fonction de
Bessel Jv est définie pour tout v > — 1 et tout x G C par :
'*>-(§)'£iB£kô(§)"-

26 Théorie des nombres
On a en particulier (exercice 3.6) :
Ji(x) = \ — x - sinx
(3.22)
J_i(x) = \ —x 2 cosx.
2 V 77
Les fonctions de Bessel vérifient (exercice 3.7) l'équation différentielle
x2y" + xyf + (x2 - z/2)j' = 0
ainsi que la relation de contiguïté suivante (exercice 3.8) :
2v
Jv-\{x) 4- Jv-f.](x) = —Jv(x) pour x / 0 et v > 0.
(3.23)
(3.24)
Pour une famille de fonctions dépendant d'un paramètre, une relation de contiguïté est
une égalité entre termes de la famille dont le paramètre diffère de ± 1 . Une relation comme
(3 24) permet d'obtenir un développement en fraction continue de la façon suivante : en
divisant (3.24) par Jv(x), on obtient :
Jv-\{x) _ 2v_ Jv+\{x)
x
JÂx)
JÂx)
Cette relation est toujours vraie dans S , car Jv(x) et Jv_\{x) ne sont pas simultanément
nuls si x ^ 0 (exercice 3.9). On en déduit :
1
Jvix) =
/„_i(jO ~ 2j/ _ Jv+\(x)
x Jv{x)
(3.25)
Posons an{x) — /-^——- . Alors (3.25) s'écrit
Jp+n-2\X)
an(x) =
/ X \ v+n
1
2(*/ + w- 1)
(3.26)
IX
+ an^i(x)
1
(x\ !
O TV . . ^
2/ 1 (u-hw + 1)
(exercice 3.9 ), on a Jv+n^\(x) ^ 0 pour n
assez grand, et par conséquent an(x) G C pour /î assez grand. Le théorème 3.7 s'applique
2{v + n - 1)
avec c7I = : , et on obtient
IX
. Jv{x) 1 1 1 1
*J^ÔÔ~ 2^+2(^+l) + 2Ô7T2y+2(z. + 3)+..,
ix ix ix ix
(3.27)

Chapitre 3 - Fractions continues 27
Nous pouvons arranger cette expression (comme dans le théorème 3.5) ; en multipliant la
fraction continue par ix , il vient :
Jv{x) ix ix 1 1
i-
Jv-X{x) 2v + 2(v + 1) + 2(v + 2) + 2{v + 3) +
En multipliant par ix à partir du deuxième terme :
i-
J„_i(jc) 2y-2(r+l)+ 2(r + 2) + 2(y + 3) +
ix ix
Finalement :
2 ^2 v2
Jv{x) ix x x x
Jv-x{x) 2v - 2(* + 1) - 2(* + 2) 2{v + n)
(3.28)
Nous observons que cette expression reste vraie pour x = 0 (dans ce cas les deux
membres sont nuls) ; après division des deux membres de (3.28) par /, on obtient enfin :
UX) X Xl %1 Xl , (3.29)
Jv-i(x) 2v - 2{v + 1) - 2{v + 2) 2{v + n) '
égalité vraie dans S , pour tout x G C et v > 0 .
En particulier, pour v — 1/2, tenant compte de (3.22), on obtient la fraction continue de
Lambert :
.2 2 2
tanx = X- ±- ?- —^— , VxGC. (3.30)
1— 3 — 5 2/z + l —
Remarque 3.2. En faisant v = 1 et x = -2z dans (3.27), il vient
1
4-oc
E+o
1 + 2 + -.• + « + ••• l M-2i) ^+00 1
v*=° (&!)2
3.6 FRACTIONS CONTINUES ET IRRATIONALITE
Le théorème 3.8 ci-dessous donne une condition suffisante d'irrationalité pour la valeur
d'une fraction continue à coefficients entiers.
THEOREME 3.8. Soit où = — — — une fraction continue convergente, où
bi +b2-\ bn H
an G lis bn G Z pour tout entier n, 0 < |a„| < \b„\ pour tout n ^ N, \an\ ^ \bn\ — 1
pour une infinité d'entiers n . Alors a est irrationnel.

28 Théorie des nombres
DÉMONSTRATION. Soit ak = ^ ^ *
Gk+2
Nous montrons d'abord que |a^| ^ 1 pour tout k ^ N. Remarquons que :
k+i| < |**+i|
ûjt+i
^A
+ 1
< 1 => è* - 1 < bk +
< h + l.
Donc, si Z?£ > 0, on a bk + -— > \bk\ — 1 ^ |^| (car a* et bk entiers).
0*+i
fe+i
Si ^<0,ona fejt+1±±i< -|^| + 1 ^-K|.
bk
*+i
Dans les deux cas, \bk + ak+\/bk+\\ > \ak\ • Par suite, pour tout k ^ N,
ak ak+\
< 1
bk + &*+]
En remplaçant par -—- , on obtient par le même raisonnement : pour tout
k>N,
bk+i r " bk+\ + bk+2
ak ak+\ ak+2
h + &*+i + bk+2
< 1 . Plus généralement, il vient par récurrence :
Mk ^ N, Mn e N.
Qh+n
&k ÛJk+1
Z?fc + ^+i H è*+«
< 1.
D'où \ak\ ^ 1 en faisant tendre n vers l'infini.
Montrons maintenant qu'il existe une infinité d'entiers k ^ N tels que \ak\ < 1.
Supposons au contraire que pour tout k assez grand (k ^ N\ > N , disons) on
ait \ak\ = 1. Alors \ak+\\ = 1 et la relation a* — ûk/(bk + tf£+i) entraîne
|a*| = \bk + ak+i\ ^ |è*- 1| = \bk\ - 1 car |è*| > 2. Or |a/c| ^ |&*| - 1 par
hypothèse. Donc \ak\ = \bk\ — 1 pour tout k ^ A^, contradiction.
Supposons enfin que a: est rationnel. Puisque
a =
ax
cik-\
&k
Pjt-l + <**/>*-
?H bk-\ + 1 Qk-\+<*kQk-2
on a^
Ht—î
«G.
*-i
afit-2 - ft-2
(remarquer que
OùQk-2- Pk-2 =
(-1)* 2aifl2---^-i ^Q
en vertu du théorème 3.2). Il en résulte que ak est rationnel pour tout k . En particulier a^
est rationnel. Posons «jv = A2j A\, avec Ai, A2 G ^. On a
A2
A\
aN
bN + aN+\
, donc ûj^v+i
A\aN — bNA2
^1
Ai'
De même aN+2 = A4/A3, 0:^+3 = A5/A4 Or on a vu que \ak\ ^ 1 pour k > N, et
que pour une infinité de /:, |a^| < 1 . On en déduit que |Aïl+i| ^ \An\ pour tout n , et que
pour une infinité d'entiers «, |Aw+i| < |A„|. La suite \A„\ étant une suite d'entiers, tend
donc vers —00 . Contradiction avec le fait que \A„\ > 0. Le théorème 3.8 est démontré.
Théorème 3.9. Soit v e
irrationnel.
v > 0. Soit x e Q* ; si Jv-\(x) ^ 0,
Jv-\(X)
est

Chapitre 3 « Fractions continues 29
Démonstration. Posons x = a/b , v — c/d . La formule (3.29) donne un
développement de Jv{x)/Jv-\{x) en une fraction continue à coefficients rationnels, que nous
transformons en une fraction continue à coefficients entiers.
a
Jv(x) b
J„_i(*) 2- -
d
ad
2bc _
ad
2bc-
ad
2 ?
a ar
b2 b2
c + d c + 2d
d d
a2d a2
b2 b2
c + d c + 2d
d ~ d
a2d
a2d2 fr
-2b(c + d)-nc + 2d
" d
a2d2 a2d2
a2
b2
c + nd
a2
b2
c + nd
"2— -
a2
b2
c + nd
" d
a2d2
2bc - 2b(c + d)- 2b(c + 2d) 2b(c + nd)
Le théorème 3.8 s'applique, et Jv(x)jJv-\(x) est irrationnel.
Corollaire 3.1. Soit iGQ*, x ^ — + kir. Alors tan x g Q.
Démonstration. Utiliser (3.22).
COROLLAIRE 3.2. tt est irrationnel.
77 77
En effet, si 77 était rationnel, — le serait aussi, et tan— serait irrationnel; or
4 4
tan — = 1.
4
Cette démonstration de l'irrationalité de 77 est due à Lambert (1761).

30 Théorie des nombres
EXERCICES
3 -1 Démontrer le théorème 3.2.
3.2 Démontrer le théorème 3.3.
3 -3 Démontrer le théorème 3.4.
3.4 Soit (Mfi),i^o une suite de nombres complexes. On dit que le produit infini IXtS)^ + M«) est
convergent si la suite vn = IXt=o(l + M*) a une limite finie lorsque n —* +oc .
1) On suppose que la série X^o \u"\ converge- Démontrer que le produit infini n,S(l ~f~ w«)
converge.
2) Sous la même hypothèse, démontrer que 1X^5 (* + z/") = ^ s*» et seulemerit si» il existe un
entier m tel que 1 + um = 0 .
3.5 Démontrer que T(^) = ^/S7.
3.6 Démontrer que 7i(x) — J\x 2 sin.r et 7_i(.v) — J\x 2 cos;
3.7 Démontrer que /„ vérifie l'équation différentielle
2 // . / . / 2 2A n
3.8 Démontrer que, pour * 7^ 0 et v > 0
2ï/
Jv-\{x) + A+i(x) = —/„(*).
-3 n /a'V+" 1
3.Î7 Démontrer que /^(x) ~ — ) — — lorsque n —► +00 . En déduire que pour
+00 \2/ 1 {y + n + 1)
A' ^0, /^(a) et J„-i(jc) ne sont pas simultanément nuls.
1 l2 22 32 n2
3.10 Démontrerque E^ = l + T + T + T+...7+...

Exercices 31
3.11 Soit (F„)«>o la suite de Fibonacci définie par Fo = 0 , F] = 1 , et la relation de récurrence
Fn+\ = F„ + F„_i (7i ^ 1).
1) Calculer Fn en fonction de n et du nombre d'or <I> = (1 -f \/5)/2 .
2) Prouver que la fraction continue a = l + y + y+.-+... converge et calculer sa valeur
(—D" 1
3) Calculer la somme de la série ES -=-=
F„F„+i
3.12 Fractions continues à termes positifs
1) Soit la fraction continue — , — , — , , où c„ > 0 .
Cl + C2 +'" Cn +-
a) Prouver que la suite QnQn+i est croissante, et que Qn $J C Y\l=l(l + q) , où C est une
constante.
b) Prouver que Q2p ^ 1 + c\(a + a H h c2p), et que g2p+i ^ ci + C3 H h CzP+i.
c) On suppose que la série E/S c" conver£e- Prouver que la fraction continue diverge.
d) Démontrer le critère de Seideî : si c» > 0. Wn ^ 1 , la fraction continue — , — , — ,
ci + c2 ~*"" cn "1"""
converge si, et seulement si, la série Ej^ c» diverge.
2) En utilisant l'inégalité y/ôb ^ —-— , valable pour tout (ci,b) G j&+ x 3^+ , démontrer le
critère
de Pringsheim : si an > 0 et bn > 0 pour tout n ^ 1 , et si la série E*=? \ i~^—
diverge, alors la fraction continue — . -1 _ -^ converge.
b\ "*" bi '" bn +
3.13 Soient (an)n>i et (bn)n^\ deux suites d'entiers vérifiant 0 < an ^ bn pour n assez grand.
Prouver que la fraction continue — -1 , -^ converge, et que sa valeur est un nombre irrationnel.
b\ + bi i~'" bn +
En déduire l'irrationalité de e .
3.14 Prouver que th x est irrationnel pour tout jc G Q* . En déduire que ex est irrationnel pour
tout x G Q* .
3.15 Soit v G Q , i/ > -1 . Soit x G M* tel que /„(*) = 0 . Démontrer que x1 <£ Q . En déduire
que 77" est irrationnel (Legendre 1794).
3.16 Fraction continue de Rogers-Ramanujan
Soit çGC. tel que \q\ < 1. Pour tout complexe « et tout entier naturel «; on définit :
f (*:?)„= (1 - a)(l-^)---(l-^-1) (Ol)
Soit F, (jc) = E -^-r-v" = E ? ^ *"• définie Vx G C.

32 Théorie des nombres
1) Démontrer que Fq vérifie la relation fonctionnelle Fq (x) = Fq (qx) +qxFq (q2x) .
2) Pour tout x complexe non nul, on pose :
Fq {q2n-]x) Fq (q-»x)
Démontrer que. pour tout n ^ 1, on a an = , où c» est à déterminer.
cn + a„+i
3) Démontrer que, pour tout x complexe :
J2 — X"
n=o (g; q)n = i <?f i^ ^*
T-DO /7"2+« l^l-ul + l-j-
V - X"
n=0 (<?'>Ç)n

Chapitre 4
Fractions continues régulières
Nous définissons d'abord ce qu'est le développement d'un nombre réel positif en fraction
continue régulière et étudions ses premières propriétés, qui résultent directement des
propriétés générales des fractions continues (chap. 3). À titre d'exemple, nous déterminons le
développement de e en fraction continue régulière (§ 4.2) et résolvons l'équation diophan-
tienne du premier degré à deux inconnues ax + by = c (§ 4.3). Dans le paragraphe 4.4
nous montrons comment les réduites du développement en fraction continue régulière
fournissent de bonnes approximations diophantiennes des nombres irrationnels. Le paragraphe
4.5 est consacré à l'étude du développement des nombres irrationnels quadratiques ; ses
résultats (ainsi que ceux du paragraphe 4.4) sont appliqués à la résolution de l'équation de Pell
x2 — Dy2 — 1 . L'étude des rapports entre fractions continues régulières et sommes de deux
carrés est laissée en exercice (ex. 4.9 à 4.11).
4.1 DÉVELOPPEMENT D'UN NOMBRE RÉEL POSITIF EN FRACTION
CONTINUE RÉGULIÈRE
4.1.1 Soit cùq > 0. On pose a^ = co + bo, où cq = [a0] (partie entière de a0) et
bo G [0,1[. Si bo t1 0, c'est-à-dire si a0 n'est pas entier, on peut écrire Z?o = l/&\ , avec
ai > 1 puisque b0 < 1 . Ainsi
ao = c0 + — • (4-1)
ax
On recommence avec ai . Si ai n'est pas entier, on pose a\ — ci + 1/0:2, avec
ci = [ai] ^ 1 (puisque ai > 1 ) et a2 > 1 . D'où
«0 = ^0 + p. (4.2)
ci + —
a2
Le processus se poursuivra tant que an n'est pas un nombre entier. On obtiendra
11 1 ! 1 ! 1
«0 = c0 + — — . =— = c0 + — — (4.3)
ci + C2 H c-i T- , x ci H cn + an+i
C;
«
ttn+I
grâce à l'algorithme
«« = c„ -f . cn = [a;l]. (4.4)

34 Théorie des nombres
Deux cas peuvent se présenter : ou bien un des an est entier, auquel cas (4.4) s'écrit
&n = cn — [&n] » et (4.3) devient a0 = c0 H — ; alors olq est évidemment un
c\+--cn
nombre rationnel, puisque tous les c, sont entiers ; ou bien aucun des an n'est entier, auquel
cas on pourra écrire (4.3) pour tout n . Nous allons voir que, dans ce deuxième cas, a§ est
irrationnel et que la fraction continue co H — converse vers aç •
c\ + c2 H c;2 H
4.1.2 Pour démontrer que a0 est irrationnel si l'algorithme (4.4) se poursuit indéfiniment,
nous montrerons qu'il s'arrête à un certain rang si a0 est rationnel. Soit donc œq = — G Q.
fio
Effectuons la division euclidienne de Ao par Bq .
A0 = c0fio + #1, avec 0 ^ ^ < fi0-
Donc a0 = — = c0 + —- . Si #i = 0, a0 est entier et le processus s'arrête ; sinon :
fio fio
1 D
o;0 = co H , avec o^ = —- . On effectue la division euclidienne de fio par B\ :
ai #i
£0 = cifîi + #2, avec0 ^ B2 < Bx.
Bq Bi 1
Alors a\ — — = c\ H .Si B2 — 0 , #i est entier et oùq = c$ H ; sinon,
B\ B{ ci
1 fil
«o = <?o H î-, avec a2 = -z~.
, 1 #2
C\ + —
<^2
Et ainsi de suite ... on observe que la suite fio, fii, fi2,.. • décroît strictement; il va donc
exister un entier n tel que Bn = 0 ; alors a„_i est entier, et le développement en fraction
continue régulière du nombre rationnel œq est fini.
EXEMPLE 4.1. Soit à trouver le développement en fraction continue régulière de
37
ao = —-.On procède par divisions euclidiennes successives : 37 = 13 x 2 + 11,
11 _ 1 13 , 2 1 l
donc ûf0 = 2+—-=2H , avec ax = —- = l + •— = l H , avec
13 ai 11 11 #2
U * ! * ! .
a? = — = 5 + — =5H , avec a^ = 2 : puisque o^ est entier le processus
~ 2 2 a^
, * 37^1^11^111
s'arrête, et _=2+ —=2+-—=2 + ---.
13 û?i 1 + «2 1 + 5 + 2
4.1.3 Démontrons maintenant que si, a0 est irrationnel, la fraction continue
1 1 1
co + — — —
ci + c2 H c„

Chapitre 4 • Fractions continues régulières 35
P„ 1 1
définie par (4.4) converge vers œq . On sait (th. 3.1) que ses réduites — = cq H —
Qn Ci + • • ■ Cn
vérifient
/>-i = 1 ; 2-i = 0 ; P0 = c0 ; Go = 1
'n = Cn*n — 1 • *n—2
Qn =C„Qw-i 4 6„_2.
(4.5)
Puisque cw G N\{0} pour « ^ 1, on a />„ G N\{0}, Q„ e N\{0}
pour 7i ^ 1. D'autre part, Q„ = c„Qn-\ 4 Qn-i entraîne Qn > Q„-i, donc
Qn > Cn Qn-2 4 Qn-2 > 2Qn-2 ■ Donc Qn > 2^/2] .
Si nous appliquons le théorème 3.1 à la fraction continue finie de (4.3), nous obtenons
= Pt[ = Œn+xPn + Pn-x
Ρ Q'n an+lQn + Qn-X'
d'où
aQ~
Pn
QnPn-l — PnQn-l
(-lf
Qn QnipLn+\Qn + Qn-l) finfai + lGn + Qn-l)
car en vertu du théorème 3.2, on a
PnQn-l ~ Pn-lQn = (-ir~\
(4.6)
(4.7)
ce qui prouve au passage que Pn et Qn sont premiers entre eux d'après le théorème
de Bézout. On déduit alors de (4.6) que, si n est pair, a$ > Pn/Q„ , si n est impair,
ao < Pn/Qn ; ainsi ao est toujours compris entre deux réduites successives.
En outre, tenant compte du fait que Qn-\ > 0 et an+\ > 1, on obtient à partir de (4.6) :
a0 ■
3l
Qn
<
J_
Qï
(4.8)
Puisque Qn ^ 2[?], on a bien lim;2_+DC P„/Q„ = a0 .
Le développement de a0 donné par l'algorithme (4.4) est appelé son développement en
fraction continue régulière. Il est commode de le noter
CQ
11 1
C\ 4 C2 H Cn 4 • ■
[Co,Ci.C2î...,Cll ].
EXEMPLE 4.2. Soit a0 = \/2 ; c0 = [a0] = 1, donc : a0 = 1 4(\/2- 1) = 1 4-
1
V5+1 '
ainsi ai = y/î + 1 ; [ttl] =2, donc a, = 24(\/2- 1) = 2 4
1
\/24l
; donc 0:2 = ai,
— , et on voit que le développement en fraction continue de y/ï
[a2] = 2, a2 = 2 4 ,-
\/2+l
est périodique de période 1 à partir du rang 1, plus précisément cn = 2 pour n ^ 1. Ainsi
\/2=l4
1 1
1
424---2-h-
[1,2,2,2....,2,...].
(4.9)
Nous verrons plus loin (paragraphe 4.5) que les développements périodiques caractérisent
les nombres quadratiques.

36 Théorie des nombres
4.1.4 L'unicité du développement en fraction continue régulière pour les nombres
irrationnels est assurée par le
THÉORÈME 4.1. Si aQ = c'0 + — — — , avec c'n e N - {0} pour n ^ 1,
C\ ~^~ C2 ~^~ ' ' ' Cn "I"""*
alors c'n = cn pour tout nGN.
Démonstration. Voir Exercice 4.1.
Remarque 4.1. On notera qu'il n'y a pas unicité de développement de la forme
co H — — avec cn G N\{0} pour n ^ 1 dans le cas des nombres ration-
c\ + c2 H cn
37 111
nels. Par exemple, —- = 2 + - - - , comme on l'a vu plus haut, mais on a aussi
37 1111
— =2 + - - -
13 1 +5+ 1 + 1
Exemple 4.3. On sait que, pour tout rationnel a/b (voir exercice 3.14)
a _ a aL a~ a"
1 b = b + 3b + 5b + -<- (2/? + l)b + ■ • •
Pour a = 1, b = 2 il vient
u 1 1 1 1 1
th2 = 2 + 6 + ïô + ---2(2^TTj + --.' d°U
-^ = î±! = [2,6,10s... 2(2/2 + 1),...], (4.11)
*i —
avec dans cette fraction continue régulière c„ = 2(2n + 1) pour tout n G N.
4.2 DÉVELOPPEMENT DE e EN FRACTION CONTINUE RÉGULIÈRE
On doit à Euler (1707-1783) la découverte du développement de e en fraction continue
régulière. Voici comment il s'y est pris. À partir de la valeur approchée e = 2,718281828 ...,
Euler a calculé les premiers termes du développement et a conjecturé que
e = [2, 1,2,1,1,4,1,1,6,1,..., 1.2/z, 1,...], (4.12)
autrement dit que cq = 2, c^k-i ~ 1, C3*-i = 2£, c?>k = 1 pour tout k > 1 .
Pour démontrer (4.12), Euler a eu l'idée de comparer les réduites Rn = Pn/Qn de la
fraction continue [2,1,2/z, l]„=is2,3.... aux réduites /?,' = P,[/Qfn de la fraction continue
(4.11). En utilisant (4.5), on obtient :
Po__2 P]__3 P^ _ 8 P^ _ H. j^._^9.
Go" i' g7" i' ô2~3' g3 "T' ô4~T; '"
Go i' g; 6

Chapitre 4 • Fractions continues régulières 37
On observe que PY = 7>0' + Q'0 ; Qi = P0' - gj ; P4 = ^ + Ôi ; 04 = />/ - G'i ,
ce qui amène à conjecturer que Pw+i — Pu + Q'k * Qnc+i = P£ — Q'k, Vk € N. Pour
démontrer ces égalités, on démontre que les suites 7* = P[ + Q'k et 5* — P-$k+\ vérifient
la même relation de récurrence du second ordre ; comme 7b = Sq et 7\ = S\ , on aura
Tk ~ Sk pour tout k . Et la même chose pour G3A+1 = 7^' — Q[-.
En vertu de (4.5), et (4.12), on a pour k > 2 :
P*' = 2(2*: + 1)7^ + 7>/_2 ; Q[ = 2(2* + l)G[-i + G*_2-
Donc 71, = 2(2* + l)Tk-\ + 71_2. De même, d'après (4.5), on a pour * > 2 :
^3*-3 = ^3fc-4 + ftjfc-5 ; ^3/t-2 = ftfc-3 + ^3Jfc-4 '■> P?>k-\ = ^kP^-l + 7*3*-3 i
7>3* = ftifc-I + P3k-2 i ftik+1 = P3k + ^-1 •
On multiplie la première égalité par 1, la deuxième par -1, la troisième par 2, la
quatrième par 1, la cinquième par 1, et on additionne le tout. Il vient immédiatement :
Sk = 2(2fc+l)Sifc_1+Sik_2.
Ainsi on a bien T^+i = P/ + Q'k , et on démontre de même que G3*+i = P[ ~ Q'k Pour
tout entier k G N. D'où :
■2 + 1 î±i + i
lim A= iim ^i±L= iim C* = *^1 =£t
*-+oc g* *-»+oo Q3)t+1 ft-,+oo _/£ _ g+ 1 _ ,
ce qui démontre la formule (4.12).
4.3 L'ÉQUATION DIOPHANTIENNE ax + by = C
Une équation diophantienne est une équation en nombres entiers. La plus simple est
l'équation du premier degré à deux inconnues lvgZ :
ax + by = c, (4.13)
avec a,b,c G Z, donnés.
Si # et b ne sont pas premiers entre eux. on peut poser a — da', b = db', avec a7 et
b' premiers entre eux. Si d ne divise pas c, (4.13) n'a pas de solution. Si d divise c , on
se ramène à (4.13), avec a. b. c remplacés respectivement par a\ bf: c!. Dans (4.13), nous
pouvons donc supposer que a et b sont premiers entre eux.
Ceci étant, développons le rationnel a/b en fraction continue. Ce développement se
termine à une réduite Ru = Pn/Qn (§4.1.2) et a/b = Pn/Qn • Comme les fractions a/b et
Pn/Qn sont irréductibles (§4.1.3), a = Pn et b = Qn . La relation (4.7) montre alors que
aQn-i-bPv-^i-iy-1.
Multipliant par e = ± 1 suivant que n est impair ou pair, on obtient
«(cGh-i) + fcC-c^n-i) = 1 (4.14)
On multiplie (4.14) par c , et on la retranche à (4.13). Il vient
a(x -es G/i-i) = -b(c s P„_! + y).

38 Théorie des nombres
ou encore
cePn-l+y =-a
x - c s Qn-\ b
Comme a/b est irréductible, on déduit de (4.15) qu'il existe / G Z tel que
x = c s Qn-i -î-bt ; y = — c s Pn-i — aï. (4.16)
Réciproquement, x et y donnés par (4.16) sont solutions de (4.13) pour tout t G Z en
vertu de (4.14). Donc, si a et b sont premiers entre eux, Véquation (4.13) admet une infinité
de solutions, données par (4.16).
EXEMPLE 4.4. Résoudre l'équation diophantienne
37*+ 13)/= 5. (4.17)
On peut reprendre dans ce cas particulier le calcul général. On a vu (exemple 4.1) que
37/13 = [2,1,5,2].
Par récurrence, on a P_i = 1, P0 = 2, P, = P0 + P_x = 3 ; P2 = 5PX + P0 = 17 ;
P3=2P2 + Pi=31 ; <2_i=0; Go = 1 ; Gi = Go+G-i = l ; G2 = 5fii + Qo = 6 ;
Q3 = 2G2 + Qi = 13 . La relation (4.7) s'écrit P3Q2 - P2Q3 = 1, donc :
37-5Q2- 13-5/>2=5 (4.18)
Par soustraction (4.17) - (4.18), il vient 37(x - 5Q2) 4- 13(v -h 5P2) = 0 et finalement
f x =5<22 + 13f = 30+ 13r
| y = -5P2 - 37t = -85 - 37r5 t € Z.
4.4 FRACTIONS CONTINUES RÉGULIÈRES ET APPROXIMATION
DIOPHANTIENNE
On a vu dans le paragraphe 4.1, formule (4.8), que les réduites Pn/Q„ du développement
en fraction continue régulière du nombre irrationnel «o fournissent de bonnes
approximations diophantiennes de ce nombre. On a en effet
Pn
a°-Q-n
< i (4.19)
On notera que cette inégalité est une version effective du théorème 1.6. Ce théorème
affirme l'existence d'une infinité de fractions p/q vérifiant \a0 — p/q\ < l/q2 pour tout
irrationnel a$, mais ne donne aucun moyen de les calculer : il est ineffectif. La formule
(4.8) permet le calcul explicite d'une infinité de ces rationnels p/q , dès lors qu'on connaît
le développement en fraction continue régulière de a$ ; c'est le cas pour e , par exemple, ou
pour les nombres irrationnels quadratiques (§4.5).
Les fractions continues régulières permettent même un peu mieux que cela.

Chapitre 4 • Fractions continues régulières 39
THÉORÈME 4.2. Entre deux réduites p/q successives du développement en fraction
continue régulière du nombre irrationnel olq , l'une au moins vérifie \ao — pjq\ < l/2#2 .
La démonstration utilise le fait que, pour tout n, aG est compris entre Pn/Qn et
Pn+i/Qn+i (voir §4.1.3, conséquences de (4.7)) ; elle est proposée à l'exercice 4.2.
Le théorème 4.2 admet une réciproque, qui sera utile dans l'étude de l'équation de Pell
(§4.6).
THÉORÈME 4.3. Soit a$ un nombre irrationnel, et soit p/q un rationnel vérifiant
l^o — P/q\ < l/2q2. Alors p/q est égal à une réduite du développement de a$ en
fraction continue régulière.
DÉMONSTRATION. Posons a0 — p/q = e6/q2 , avec e = ±l,O<0<-,et développons
le rationnel p/q en fraction continue régulière :
^ = [co,c1;...,c„] = -^. (4.20)
q Qn
Comme on l'a déjà vu dans un cas particulier (Remarque 4.1), il est possible de choisir la
parité de n ; on a en effet, si cn > 1,
- = [co,ci,...,cw - 1,1], et sicK = 1,
q
- = [c0,ci,.. .,c„_i + 1].
q
On suppose donc que, dans (4.20), on a choisi n pour que e — (—1)" . L'égalité
ao — p/q — s9/q2 s'écrit
Pn (-Dn0
a0 -
Définissons w par
°°-t = -W' (421)
PnW + Pn-{
^o = — —z: . (4.22)
QnW + Qn-l
Alors on déduit de (4.21), (4.22) et (4.7) que
(-lye Pn-lQn ~ PnQn-l ("D"
Ql QniQnW + Qn-Ù QniQn™ + G«-l) '
t>>, v a Qn «. .«. Qn — OQn-l
D ou 6 — , et par suite w = .
Or 0 < 6 < 1/2, et Qn-\ < Qn . Donc w > 1, et w se développe en fraction continue
régulière :
w = [cn+i, cn+2, • -.], avec cn+x > 1. (4.23)
Mais on a, en vertu de (4.22) :
11 IIP'
co + - - -- = -£ = *(>, (4-24)
ci + c2 H cn + w Qfn
car />,; = wPn + P„_i et Q'n = wQn + Qn-{.

40 Théorie des nombres
En reportant (4.23) dans (4.24), on en déduit que le développement en fraction continue
de #o est exactement :
a0 = [cq.cu cn,cn+i.cn+2 ]«
et pjq = Pn/Q„ en est bien une réduite, c.q.f.d.
4.5 NOMBRES IRRATIONNELS QUADRATIQUES ET FRACTIONS
CONTINUES
Un nombre complexe a est dit irrationnel quadratique s'il est racine d'une équation du
second degré à coefficients entiers :
ace + ba + c = 0, (4.25)
a,b,cGZ,a^0, A = b2 - Aac =£ 0 .
Il existe alors une racine carrée co de A dans C, telle que a = {—b-r co)/2a .
La deuxième solution de (4.25) s'appelle le conjugué de a ; nous le noterons a* , avec
a* = (—b — û))/2a . Autrement dit, a* s'obtient à partir de a en changeant de signe la
"partie irrationnelle" de a . Par exemple, le nombre d'or O = ( 1 + \/5)/2 est irrationnel
quadratique ; il vérifie l'équation x1 —x — 1 = 0, et son conjugué est ^ = (1 — V5)/2 = — 1/$ .
Le lecteur vérifiera sans peine que, si a est irrationnel quadratique, l/a est irrationnel
quadratique et (l/a)* — l/a* . De plus, si a est irrationnel quadratique et si r G Q, alors
r + a est irrationnel quadratique et (r -r a)* = r -r a* . Ces résultats seront systématisés
dans le chapitre 5.
THÉORÈME 4.4. Le nombre irrationnel ao > 0 est quadratique si, et seulement si, son
développement en fraction continue régulière ao = [co, ci,..., cw,...] est périodique à
partir d'un certain rang, autrement dit s'il existe N G N et T G N\{0} tels que cn+r = cn
pour tout n ^ N . On notera alors ao = [co, c\,..., c^y-i, c#, • • • icn+t-\\ •
DÉMONSTRATION. Nous procédons en trois étapes ; les deux premières sont laissées au
lecteur en exercice.
Première étape : On montre que, si œq = [co,ci,..., cn,...] vérifie c„+t = cn pour
tout n ^ N , alors a0 est quadratique (exercice 4.3).
Deuxième étape : On montre que, si ûjq est un nombre quadratique, avec «o > 1 et
#q < 0, le développement de ao en fraction continue régulière est périodique à partir d'un
certain rang (exercice 4.4).
Troisième étape : On se ramène à la deuxième. Soit a0 un nombre quadratique, a$ > 0 .
Si œq < 1, on le remplace par a'0 = 1/ao ; on peut donc supposer ao > 1. Le
développement de a0 en fraction continue s'obtient en écrivant successivement
1 11 111
a0 = c0-\ = c0 H — = c0 H —.
»i c\ + a2 ci H c„_i + a/z

a^Hre 4 - Fractions continues régulières 41
En prenant les conjugués, il vient
1 111
ao = co + — = • ■ • = c0 + — —.
ax ci H cn-\ +a*
Si a* > 1 pour tout n ^ 1 , on obtient ainsi le développement en fraction continue de
û?o * ^i est donc le même que celui de #o, et aj = ao, ce qui est impossible. Il existe
donc un entier p > 1 tel que a*p < 1 . Si a*p > 0, on écrit o^ = cp -h \/ap^i ; en
conjuguant, il vient a* = cp + \/ot*p+l ; mais a* < 1 ^ cp car cp = [g^] et ap > 1.
Donc cp + l/#*+1 < cp et a*+1 < 0. Il existe donc un entier ^ ^ 1 tel que a^ > 1
et ûj| < 0. D'après le résultat de la deuxième étape, le développement de ai en fraction
continue est périodique à partir d'un certain rang. Il en est donc de même de celui de a$ ,
11 11
puisque ao = cq-\ — —- — .
ci -\-c2 -i ci-\ + ai
COROLLAIRE 4.1. e n'est pas quadratique.
En effet, son développement en fraction continue régulière n'est pas périodique à partir
d'un certain rang d'après (4.12). Voir aussi exercice 1.8.
On dit que le nombre a0 est irrationnel quadratique réduit s'il est irrationnel quadratique
et vérifie a0 > l , —1 < a% < 0. Par exemple, le nombre d'or O = (1 + \/5)/2 est
irrationnel quadratique réduit.
THÉORÈME 4.5. Si a0 est irrationnel quadratique réduit, son développement en fraction
continue régulière a§ = [co.c\ c„,...] est purement périodique, c'est dire qu'il existe
T e N\{0} tel que cn+T = cn , Vf? G N.
DÉMONSTRATION. On a a0 = c0 + l/«i , avec ai > 1 , et a% = c0 4- 1/or* € ] - 1,0[.
Puisque a0 > 1 , c0 ^ 1, donc 1/a* = afi — c0 < — 1 et — 1 < a* < 0. Ainsi
a\ est quadratique réduit et il en est de même, par récurrence, de an pour tout n G N. De
a#i = c„ + l/an+i, on déduit par conjugaison a* = c„-hl/a*+I , donc -1/g:*^, = cn-a* .
Puisque 0 < — a* < 1 , il vient
c„ = [-lK+J. VnGN. (4.26)
Supposons que la fraction continue régulière qui représente ao ne soit pas périodique à
partir du rang 0, c'est-à-dire que l'on ait
a0 = [Co.Ci Cn-i.Cn.Cn+i CN+T-l]
avec N ^ 1 . On a alors c^-i / c^+r-i . A cause de la périodicité, aN = a^^T , donc
— l/a% = — I/û^+j- • De (4.26), on déduit cjV-i = c/v+r-i ; cette contradiction démontre
le théorème 4.5.
COROLLAIRE 4.2. Soit D G N ; on suppose que D n 'est pas un carré parfait • alors le
développement en fraction continue régulière de \fD est périodique à partir du rang N = 1 :
plus précisément, il est de la forme y/~D = [cq, ci ,...> cj-i, 2c0] .
DÉMONSTRATION. Voir exercice 4.5.

42 Théorie des nombres
EXEMPLE 4.6. Soit a0 = a/Ï9 ; a0 = 4 + (\/Î9 - 4), donc
4 + \/Ï9 „ >/Ï9-2 2 + >/Ï9 , vT9-3
ai = —r-=2+^~; «2 = ^^ = 1 + ——;
>/Ï9 + 3 „ \/Ï9-3 3 + ^ , \/Î9-2
Q5 = 2+3 =2+^~4; a6 = \/Î9-r4 = 8 + (x/Ï9-4);
a-, = au donc v/Î9 = [4,2 1,3,1,2 8].
4.6 L'ÉQUATION DE PELL
L'équation de Pell est l'équation diophantienne d'inconnue (jc, y) G Z2 :
x2-Dy2 = l, (4.27)
où D est un entier positif qui n'est pas un carré parfait.
Cette équation est liée à la fois aux fractions continues régulières et aux unités des
corps quadratiques réels. Nous nous intéressons ici au premier aspect ; le second sera
étudie au chapitre 5. En fait, les fractions continues régulières permettent de résoudre, pour
1 ^ \L\ < \/D, l'équation plus générale :
x2 - Dy2 = L. (4.28)
On peut supposer (x, y) G N2 , et aussi x et y premiers entre eux ; dans le cas contraire,
leur P.G.C.D. d doit être tel que d2 divise L , et on se ramène à l'équation (4.27) avec L
remplacé par L/d2 . Le lecteur vérifiera (exercice 4.6) que :
Si (a',v) G N2, x et y premiers entre eux, est solution de (4.28), alors x = Pn et
y = Qn t où Pn/Qn est une réduite du développement de y/15 en fraction continue
régulière.
On cherche donc les réduites Pn/Qn du développement de y/D qui vérifient
P2 - DQl = L. Soit a0 = \]~D = [c0,ci,c2,...], aH = cn + l/a^i . En
procédant comme dans l'exercice 4.4, on voit que pour tout n G N, an = (An + \fD)/Bn , avec
An G N, Bn G N \ {0} . La suite atl étant périodique à partir du rang 1 (corollaire 4.2), il en
est de même des suites An et Bn ; en particulier, Bn ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Si D = 19 par exemple, les seules valeurs possibles pour Bn sont 1, 2, 3 et 5 (exemple 4.6).
Or la suite Bn permet de calculer P2 — DQ2r pour tout n. En effet, on a
1 IIP'
a0 = co H — = —y ; donc, en vertu du théorème 3.1:
d H c„-i +an Q'n
r- a„P„-i + Pn-2 (A„ + y/D)Pn-\ + B„Pn-2
V D = a0 = — = =
<*nQn-\ + Qn-2 (An + y/D)Qn-X + BnQn-2
Donc Qn-iD 4- (AnQn-\ + BnQn-2)y/D = AnPn-\ + BnPn-2

Chapitre 4 • Fractions continues régulières 43
Puisque y/D est irrationnel, il vient
P„_, = ARQn-i + £„G„_2 et fiII_1D=AII/>l-, + BnPn-2
(corollaire 1.1). On multiplie la première de ces égalités par Pn-\ , la deuxième par Qn-\,
et on soustrait membre à membre ; on obtient P2_l — DQjl_l = Bn(Pn-\ Qn-i — Pn-iQn-ù
et, en utilisant (4.7) : P2_x ~ DQ\_X = (-l)nBn . Donc :
THÉORÈME 4.6. L'équation (4.28) admet une solution si, et seulement si, il existe un entier
no ^ 1 tel que L = (— l)n°Bno. Dans ce cas, une solution de (4.28) est (x = PIh)-i l
y = Q»0-i), où P„0-i/QTl()-i est la réduite d'ordre no — 1 du développement de \fD en
fraction continue régulière ; de plus, soit T la période de ce développement ; alors, pour
tout entier naturel k G N, (x = Pn()+2kT-i » y = Qn0+2kT-i) est solution de (4.28); cette
équation a donc une infinité de solutions.
Exemple 4.7. Considérons l'équation
*2-19r = L, 1 < |i| <4. (4.29)
En utilisant les résultats de l'exemple 4.6, on voit que Bn est périodique de période
T = 6, donc (—l)"2?w est aussi de période 6; ses valeurs sont (— l)1^] = —3 :
(-1)2B2 = 5 ; (-1)353 = -2 ; (-1)4£4 - 5 ; {-\)5B5 = -3 ; (-l)6B6 = 1 .
Donc (4.29) admet des solutions (x, y), avec jc et y premiers entre eux, si et seulement
si L = —3, —2 ou 1. La plus petite solution de l'équation x2 — I9y2 = —2, par exemple, est
donnée par la réduite -^=4+-- = —-, donc x = 13 et y = 3 . Les suivantes sont
données par les réduites Ps/Qs, Pm/Qu, P20/Q20 ,etc... Si jc et v ne sont pas premiers
entre eux, soit d leur P.G.C.D. ; alors d2\L , donc L = 4 ou — 4 , et d = 2 . On se ramène
à x'1 - 19y/2 = ±1 , x = 2x', v = 2v;. Donc l'équation x2 - 19y2 = -4 n'a pas de
solutions, l'équation x2 — \9y2 = 4a une infinité de solutions.
Corollaire 4.3. Uéquation de Pell (4.21) a toujours une infinité de solutions.
En effet, on a vu dans la démonstration du corollaire 4.2 que \fD — [\/D] = œq — co est
quadratique réduit. Donc BkT = B0 = 1, VA: G N. Par suite (-l)2kTB2kT = 1, V* e N,
et x = P2kT-i , y = QikT-i est solution de (4.26).
Exemple 4.8. Les solutions de l'équation de Pell a-2 — 19y2 = 1 sont, d'après l'exemple
4.7 : x = P6k-\ : y = Qek-i ■ Pour k = 0, on obtient x = P-\ = 1 ; y = g-i = 0
(solution triviale). La plus petite solution non triviale (ou solution fondamentale) est
x = P5 = 170 ; >- = Q5 = 39 ; on a en effet Px = 9 ; gi = 2 ; P2 = 13 ; g2 = 3 ;
P3=3P2 + />i=48 ; Ô3 = 322 + Ôi = ll ; P4 = P3 + P2 = 61 ; Q4 = 03 + 02 = 14;
P5 = 2P4 + />3 = 170 ; 05 = 2Q4 + g3 = 39 .

44 Théorie des nombres
EXERCICES
4.1 Démontrer le théorème 4.1.
4-2 Démontrer le théorème 4.2.
4.3 Démontrer la première étape de la démonstration du théorème 4.4.
4.4 Prouver que, si ao est quadratique, alors a\ défini par olq = coH est quadratique également,
ai
et que l'équation du second degré vérifiée par a\ a le même discriminant que celle vérifiée par ao .
Puis démontrer la deuxième étape de la démonstration du théorème 4.4.
4.5 Démontrer le corollaire 4.2.
4.6 Démontrer que, si (x, y) G N2 vérifie (4.28), x/y est une réduite du développement en fraction
continue régulière de \/15.
4.7 Résoudre l'équation diophantienne
lbr + 43>- = 10.
4-8 Déterminer le développement en fraction continue régulière de \/34 . Puis déterminer les valeurs
de L pour lesquelles l'équation x2 — 34 v2 = L (1 < \L\ < 5 ) admet des solutions. Dans chacun
des cas trouvés, calculer la solution fondamentale.
4.9 Théorème de Galois
Soit ao = [co,ci,... ,cr-i] un nombre irrationnel quadratique réduit Démontrer que
= [C7-l,Cr-2,- . .,C].Co]
En déduire que, si Z)6N n'est pas un carré parfait :
VD = [co,ci,c2,. ..,C2,ci,2c0],
c'est-à-dire que Ck = cr-k pour k — 1,2,..., T — 1 .

Exercices 45
4.10 Sommes de deux carrés
1) Soit aç) = \Td . Avec les notations du paragraphe 4.6. on pose an — " . Démontrer
que, pour tout n ^ 0. A„ -f- An+i = cn B„ et D = A-+1 + BnBn^ .
2) Vérifier que £0 = BT et £i = BT-\ puis démontrer que fl* = BT-k , VA: G {0,1,2,..., T} .
3) En déduire que, si le développement de yfD en fraction continue régulière a une période T
impaire, alors D s'écrit sous la forme d'une somme de deux carrés
4) Application : décomposer D = 697 en somme de deux carrés.
5) Démontrer que £?* ^ 2 pour ^ = 1,2,..., T — 1. En déduire que, si l'équation x2 — Dy2 — —1
a des solutions, alors D est une somme de deux carrés. La réciproque est-elle vraie ?
4.11 Nombres premiers qui sont sommes de deux carrés
1) Soit p un nombre premier tel que p = 1 (mod 4). Soit (jci. vi) la solution fondamentale de
l'équation de Pell x2 — py = 1 ; montrer que x\ est impair, puis, en considérant (jci + 1) et (.ti — 1),
montrer que l'équation je2 — py2 = — 1 admet des solutions.
2) Démontrer que p premier impair est une somme de deux carrés si, et seulement si, p = 1 (mod 4).
4.12 Développement de e2 en fraction continue
Démontrer que e1 = [7.3/z + 2,1,1,3n + 3.12n + 1 8]£2.0 . En déduire que e n'est pas biquadra-
tique, c'est-à-dire que aeA + be" + c ^ 0 si a, b, c sont des entiers non tous nuls.
4.13 Démontrer, à l'aide de la formule de Stratemeyer (exercice 2.8), que si D n'est pas
parfait, y[D peut s'exprimer à l'aide d'une série de Engel :
y/D=- (b-Y i ) , aybeN.
un carré
4.14 Démontrer que, si D n'est pas un carré parfait, y/D peut s'exprimer à l'aide d'un produit
infini de Cantor (§3.2) :
4.15 Un nombre remarquable (suite de l'exercice 2.10)
Soit le nombre a défini dans l'exercice 2.10 par a = 3 Yl ( 1 + 10~4 ) .
On se propose de déterminer le développement en fraction continue régulière de a
1) Pour tout entier n ^ 1. on pose r„ = 3 f] f1^4" + 0 et 5" = ÎO^4""1)73.
Démontrer que, pour tout n ^ 1.
a
Sn
1 r
< —-y. Que peut-on en déduire pour — ?

46 Théorie des nombres
2) On pose c0 = 3, c\ = 3, cz =3, C3 = 30, et pour tout n ^ 2 :
C2„ = 3.10(4""'-,)/3'f[ (l04* + l) ; c2n+l = 3.10(2r"I+,)/3"ri |
*=0 k=0
Soit yS = [33 3.3.30,330,3003000. ■ • • , c„. • • ■ ]. On note ^- les réduites de yS
Démontrer que, pour tout n ^ 1 :
P2- = 3H;i(l04* + l) ; ?2„ = 10(4"-')/3
pw = 10(^ + 0/3 ; <E,+1= „._,,.
104
3rc=i(io* + i)
3) En déduire le développement en fraction continue régulière de a.
4.16 Fractions continues et séries
1) Soit [0, ci, C2, ■ ■ ■ , c„,■ • • ] une fraction continue régulière infinie. On note Pn/Qn ses réduites.
Démontrer que :
2) Soit ci, C2, - • • , c„, • ■ • , une suite d'entiers naturels, telle que cn ^ 1 pour tout n ^ 1. Soit
un définie par u0 = 1, z*i = ci, et w„+i = cn+\un + un-\ pour tout n ^ 1. Montrer que :
^Z = [0, Cl, C2. ' ' ' , Cn, ■ ' • ] •
~ UnUn+l
3) Soit ci,C2, ■ • ■ , c„, • • • , une suite d'entiers naturels, telle que c„ ^ 3 pour tout n ^ 1. Soit
un définie par uo — 1, «i = ci — 1, et w«+i = c„+ih,7 — nn_i pour tout n ^ 1. Montrer
que :
Y = [0,c, -2,l,c2-2,l,C3-2,l,.--].
n=U
4) Soit Fn la suite de Fibonacci, définie par F0 = 0, Fi = 1, F„+i = F„ + F„_i pour tout
« ^ 1. Calculer la somme des séries :
S = S^^Zll T = V - J7 = V - V = V
t^t F»F»+l ' ^ F2»F2«+2' ^ F2„+iF2„+3' ^-f
5) Retrouver la valeur de V par un calcul direct.
4.17 Méthode de Lagrange
j>
1) Montrer que l'équation x — 2x — 5 = 0 (F) admet une seule racine a dans l'intervalle
[2,3].
2) Déterminer les cinq premières réduites du développement en fraction continue de a, et en
déduire un encadrement de a.

Chapitre 5
Corps de nombres quadratiques et
équations diophantiennes
Après avoir défini les corps K — Q(\/d) de nombres quadratiques, nous étudions les
anneaux Ax des entiers de ces corps (§5.1 et 5.2); l'anneau Aj& joue, vis-à-vis de K, le
même rôle que Z vis-à-vis de Q. Nous consacrons le paragraphe 5.3 à l'étude détaillée des
unités, c'est-à-dire des éléments inversibles, de l'anneau Ak ; ces unités interviennent dans
la résolution de certaines équations diophantiennes, et permettent par exemple de donner la
solution complète de l'équation de Pell (théorème 5.8). Dans le paragraphe 5.4, nous
résolvons les équations de Fermât x2 + y2 = z2 et x4 + y4 = z4 en utilisant la décomposition en
produit de facteurs premiers dans Z, ce qui nous amène à définir les notions de nombres
premiers et irréductibles dans AK (§5.5) et à nous demander si Ak est, comme Z, un anneau
factoriel. La réponse est affirmative dans le cas où A& est un anneau euclidien (§5.6), ce
qui permet de résoudre certaines équations de Mordell y2 = x3 + k et l'équation de Fermât
x3 + y3 = z3 (§5.7).
5.1 CORPS DE NOMBRES QUADRATIQUES
On a vu (§4.5) que les nombres irrationnels quadratiques sont de la forme avec
2a
a.b,D G Z ; on écrira \/D = e\fd , où d est un entier sans facteur carré \ en particulier,
Vd est irrationnel (théorème 1.1); par exemple \/Î2 = 2\/3. \/—9 = 3\/^T, avec
évidemment >/—ï = i • Donc un nombre irrationnel quadratique est de la forme a -h py/d, où
a. fî G Q. et d G Z est sans facteur carré. D'où l'idée d'introduire
K = Q(Vrf) = {x G C/x = a + Py/d/a, (3 G Q}. (5.1)
THÉORÈME 5.1. K = Q(y/d) est un sous-corps de C contenant Q. C'est aussi un espace
vectoriel de dimension 2 sur Q, de base {1, \fd} .
DÉMONSTRATION. Exercice 5.1.
On dit que le corps E£ = Q(y/d) est un corps de nombres quadratiques ; on vérifiera
(exercice 5.2) que tout élément de Q(y/d) est rationnel ou irrationnel quadratique. Si d > 0,
on dit que Q(V^) est un corps quadratique réel ; si d < 0, que c'est un coips quadratique
imaginaire.

48 Théorie des nombres
Soit maintenant x = a 4- j3\^d G Q(VS) . Le conjugué de x est x* = a — fi\fd . On
notera que, si K = Q(\fd) est un corps quadratique imaginaire, alors Vx G K. x* = x, où
x est le conjugué complexe ordinaire de x .
La norme de x = a 4- fi\fd G Q(\/d) est définie par
//(je) = xx* = a2 - d^. (5.2)
La norme de x est toujours un nombre rationnel, et si x G Q. N(x) = x2 . Si d < 0, c'est-
à-dire si Q(\fd) est un corps quadratique imaginaire, alors N(x) = \x\" . Vx G Q(Vd).
THÉORÈME 5.2. So/f K = Q(y/d) un corps de nombres quadratiques. Alors, Vx, y G K :
' (x + y)*=x*+y*
N(xy) = N(x)N(y).
DEMONSTRATION. Exercice 5.3.
5.2 ANNEAU DES ENTIERS D'UN CORPS DE NOMBRES
QUADRATIQUES
Soit x = a -j- fiy/d G Q(\/d). On dit que x est un entier de Q(Vd) (ou enfter
quadratique) si x est racine d'une équation de la forme X2 4- aX 4- £> = 0, avec a. b G Z . Par
exemple, le nombre d'or $ = (1 + \/5)/2 est entier dans le corps quadratique réel Q(\/5)
car <I>2 — $ — 1 = 0 ; le nombre j = e2î77/3 = (— 1 4- i\/3)/2 est entier dans le corps
quadratique imaginaire Q(iy/3) car j2 4- j 4- 1 = 0 ; le nombre / est entier dans Q(z') car
12 4- 1 = 0. Bien entendu, tout élément m G Z est entier dans Q(y/d) (quel que soit d )
car m est racine de l'équation (X — m)2 = 0 ; réciproquement, si m G Q est entier dans
Q(\/d), alors m G Z (exercice 1.6).
REMARQUE 5.1. Sz x est un entier quadratique, alors N(x) G Z (exercice 5.4, 1)). La
réciproque est fausse (prendre par exemple pour x une des racines de 2x2 4 3x 4- 2 = 0 ).
THÉORÈME 5.3. Soit K = Q(\/d) un corps de nombres quadratiques. L'ensemble Ak des
éléments entiers de K est un sous-anneau de K qui s'appelle anneau des entiers de K. En
outre :
a) Si d = 2 ou 3 (mod 4 ),
AK = {x G K/x = a 4- pVd/a, £ G Z} = Z(\/rf)
6J Sî d = 1 (me*/ 4J,
^K=i
x G K/x = , a, (3 G Z, a: et (3 de même parité .
= A\±E

Chapitre 5 • Corps de nombres quadratiques et équations diophantiennes 49
DÉMONSTRATION. Voir exercice 5.4. On observera que, si d = 1 (mod 4), A^ contient
Z(y/d) (prendre a = 2m et (3 = 2p pairs), mais il existe d'autres entiers, de la forme
2m + 1 + (2p + Y)y/d
9myp GZ.
Dans le cas où d < 0, l'anneau Ak des entiers de K — Q(y/d) admet une
représentation graphique dans le plan complexe ; la figure 5.1 ci-dessous représente l'anneau Z(i) des
entiers de Q(/), ou anneau des entiers de Gauss ; la figure 5.2 représente l'anneau Z(j) des
entiers de Q(i y/3).
:—i
L
^-i
Yk
V°
r—
i
'F
1 T
^
F?
FlG. 5.1
FlG. 5.2
5.3 UNITES DE L'ANNEAU DES ENTIERS D'UN CORPS DE NOMBRES
QUADRATIQUES
5.3.1 Généralités
Soit A un anneau commutatif unitaire intègre quelconque. On dit que s G A est une
unité de A si s est inversible dans A, c'est-à-dire s'il existe rj G A tel que srj = 1 .
Par exemple, les seules unités de Z sont +1 et -1. Il est facile de vérifier (exercice 5.5)
que l'ensemble Ax des unités de A est un groupe pour la multiplication. Dans le cas où
A = Ak , anneau des entiers d'un corps de nombres quadratiques K, on a la caractérisation
suivante :
Théorème 5.4. Soit s <E Ak ; alors sgA^ \N(s)\ = 1.
Démonstration. Exercice 5.6.
5.3.2 Unités de l'anneau des entiers d'un corps quadratique imaginaire
THÉORÈME 5.5. Soit K = Q(i\/d) un corps quadratique imaginaire (d > 0). Alors
a) Si d = 1, c'est-à-dire si Ax est l'anneau des entiers de Gauss Z(/).

50 Théorie des nombres
b) Si d = 3 , c'est-à-dire si Ar^ = Z(y),
l+f\/3 l-i\/3 -1+/a/3 -1-zV3
^ = ^-1,1,-
c'est-à-dire que A^ ^r /e groupe multiplicatif des racines sixièmes de Vunité dans
C.
cj Si d^l et d^3, A* -{-1,1}.
DÉMONSTRATION. Voir exercice 5.7.
Remarque 5.2. Soit A un anneau commutatif unitaire quelconque. Deux éléments x et y
de A sont dit associés s'il existe s G Ax tel que x = ey . Le fait que l'anneau Ak = Z(y )
des entiers de Q(/\/3), qui n'est pas égal à Z(/\/3) car —3 = 1 (mod 4), possède
"beaucoup d'unités", lui confère la propriété suivante, qui sera utile plus tard.
THÉORÈME 5.6. Tout élément de Vanneau Z(7) des entiers de Q(f\/3) peut être associé
à un élément de Z(/\/3), autrement dit : Vi € ZQ), 3e G Z(j)x, 3v G Z(/a/3) te/s #«£
x = ey.
DÉMONSTRATION. Voir exercice 5.8.
5.3.3 Unités de l'anneau des entiers d'un corps quadratique réel
LEMME5.1. Soit G un sous-groupe du groupe multiplicatif (R+,-)- On suppose que
G\ = {x € G/x > 1} admet un plus petit élément co. Alors G = {con jn G Z} ;
autrement dit, G est monogène de générateur co.
DÉMONSTRATION. Soit x G G . Puisque lim co" = +oo et lim co" — 0, il existe
n—'+x «—»■—oc
n G Z tel que <w" ^ x < g/i+1 . Alors 1 ^ x/co11 < co ; puisque x/co11 G G , la minimalité
de <w entraîne x = cotl. Ainsi G C {co"/n G Z}. L'inclusion en sens contraire étant
évidente, le lemme 5.1 est démontré.
LEMME 5.2. Soit d > 0, et soit Ak l'anneau des entiers de Q(Vd). // existe s G A^ tel
que s > 1, et tout s G A^ tel que s > 1 vérifie e ^ (1 + yfd)/2.
DÉMONSTRATION. En vertu du corollaire 4.3 (ou de l'exercice 1.11), l'équation de Pell
x1 — dy2 = 1 admet une solution x > 0, y > 0. Alors s = x + y\fd G A^ (théorème 5.4)
et s > 1 . Soit maintenant s G A^ tel que e > 1 ; alors s = x + y\/d, avec 2x G Z et
2v G Z (théorème 5.3), et |N(e)| = \x2 - dy2\ = 1 (théorème 5.4). Montrons que v > 0
et y > 0 ; ni x , ni y n'est nul car |x2 — dy2\ = 1 et s > 1 ; x et y ne peuvent être
tous les deux négatifs car s > 1 ; enfin, si xy < 0, on a |x + y\/d| < |x — yy/d\, donc
1 = |x2 — dy2\ > (x + yVd)2 , ce qui contredit s > 1. Ainsi, si e = x + y\fd G A-£ , avec
e > 1, on a 2x G N* (donc x ^ 1/2 ) et 2y G N* ; d'où e >(1 + v^)/2 .

Chapitre 5 • Corps de nombres quadratiques et équations diophantiennes 51
THÉORÈME 5.7. Soit d > 0, et soit Ax Vanneau des entiers de Q(Vd). Il existe une imite
co > 1 (appelée unité fondamentale) telle que
A* = {±û>7fz G Z}.
DÉMONSTRATION. L'ensemble des unités > 0 est un sous-groupe multiplicatif de W+ .
On utilise le lemme 5.1 ; il suffit de démontrer l'existence d'une plus petite unité co > 1 .
Supposons qu'une telle unité n'existe pas; il existe alors une suite e& d'unités vérifiant
ei > £2 > £3 > • ■ ■ > £k > ■ ' ' > 1 ■ La suite e* est décroissante et minorée, donc converge
vers £ ^ 1. Ainsi lim e^/e^+i = 1 . Or Ek/sk+i > 1, et c'est encore une unité; donc
k—j-+oc
(lemme 5.2) Ek/sk+\ ^ (1 + y/d)/2 > 1 ne peut converger vers 1, contradiction.
Exemple 5.1. Soit d = 5. K = Q(\/5).AK = z((l + \/5)/2) = Z(<ï>), où $
est le nombre d'or. L'unité fondamentale co vérifie co > (1 + \/5)/2 (lemme 5.2). Or
N((l + \/5)/2) = -1, donc $ est une unité (théorème 5.4) ; c'est l'unité fondamentale
et A* = {=$772 e Z} .
Les lemmes 5.1 et 5.2 nous permettent, de même, de résoudre de manière élégante
l'équation de Pell.
THÉORÈME 5.8. Soit (x\, y\) la solution fondamentale de V équation de Pell x2—dy2 = 1.
Soient {xn, yn) les solutions vérifiant xn ^ 0. yn ^ 0, rangées dans l'ordre croissant.
Alors :
a) xn + yny/d = fo + y\y/d)n. Vn G N
b) xn+2 = 2xia-/î+i - x» et yn+2 = 2x1v„_^i - >'«, Vn G N.
Démonstration. Exercice 5.9.
Exemple 5.2. Soit l'équation de Pell x2 - 19v2 = 1 ; la solution triviale est x0 = 1 ;
yo = 0, et la solution fondamentale jci = 170 ; ji = 39 (exemple 4.8). Les suites (xn) et
(y/z) vérifient les relations de récurrence xn+2 = 340a'/?+i — xn ; yn+2 = 340v„+1 — y„ .
Les solutions suivantes sont donc x2 = 57799 ; V2 = 13 260 ; x3 = 19651490 ;
j3 =4508 361 ; x4 = 6681448801 ; y4 = 1532829480 ....
5.4 DÉCOMPOSITION EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS DANS Z
Une des propriétés les plus importantes de l'anneau Z est la décomposition en produit
de facteurs premiers : tout élément n G Z s'exprime, de manière unique, sous la forme
n = p\p2 ... Pk , où les pi sont premiers. Dans Z, les nombres premiers p sont
caractérisés par les deux propriétés suivantes :
p = ab ^> a = ±1 ou b = ±1 (5.3)
p\ab =^ p\a ou 77^. (5.4)

52 Théorie des nombres
L'unicité de la décomposition s'entend au sens suivant : si n = p\pi • • • Pk , on a aussi
évidemment n = (—p\)(—p2) - -. Pk , par exemple, et les nombres premiers p\ et —p\ sont
associés car -1 est inversible dans Z . L'unicité de la décomposition peut donc se formuler
ainsi : si n = p\p2 ... p* = p[p'2 • • • p'm , alors m — k et on peut ordonner les /?• de telle
sorte que /?■ soit associé à p; , pour tout i = 1,2,..., £ .
Nous donnons un premier exemple d'utilisation de la décomposition en produit de
facteurs premiers dans Z en résolvant l'équation diophantienne
x2 + y2 = z2, (5.5)
où on peut supposer x, y et z premiers entre eux. En effet, si x,y et z ont un diviseur
commun ô, on écrit x — ôxf, y = ôyf, z = <5z', et on simplifie l'équation (5.5). Cette
équation est un cas particulier de Y équation de Fermât
xn+y"=7r. (5.6)
L'équation (5.5) admet une infinité de solutions, les triplets pythagoriciens (par exemple :
x = 3, y = 4, z = 5), que l'on peut déterminer entièrement :
THÉORÈME 5.9. Les solutions de Véquation (5.5), avec x,y et z premiers entre eux, sont
données, à une permutation de x et y près, par : x = u2 — v2, y = 2uv, z = u2 + v2,
avec u, v G Z, premiers entre eux, de parités différentes.
Démonstration. Si x2 + y2 = z2 , l'un des deux nombres x et y est pair ; en effet, si
x = 2&+1 et y = 2m+1, alors x2 = l (mod4) et y2 = 1 (mod4), donc z2 = 2 (mod4), ce
qui est impossible car les carrés modulo 4 sont 0 et 1. On peut donc supposer que y est pair,
par exemple. Alors x est impair, car sinon z serait aussi pair, contrairement à l'hypothèse
x,y,z premiers entre eux. On écrit alors (5.5) sous la forme : (z + x)(z — x) = y2, et
on cherche les facteurs premiers communs à z + x et z — x . On observe que 2 divise
z + x et z — x car x et z sont impairs ; soit p ^ 2 divisant z + x et z — x . Alors
p\((z + x) + (z — x)) = 2z et p\((z + x) — (z — x)) = 2x . Comme p est premier impair,
p\z et p|x (propriété (5.4)) : impossible car alors p|j .
Donc PGCD (z+x,z-x) = 2, z+x = 2fl, z-x = 2fr, Aab = y2, avec a et b
premiers entre eux. La décomposition de (y/2)2 en produit de facteurs premiers n'a que des
exposants pairs ; les facteurs de (y/2)2 se retrouvent soit dans a, soit dans b car a et b
sont premiers entre eux. Donc les décompositions en produits de facteurs premiers de a et
b n'ont que des exposants pairs ; ainsi a = u2 et b = v2 , avec u, v e Z, u et v premiers
entre eux. Donc z + x = 2w2 et z — x = 2v2 ,etz = u2 + v2,x = u2 — v2, y = 2uv ;
u et v doivent être de parités différentes car z est impair. Réciproquement, il est facile de
vérifier que, si x = u2 - v2 , y = 2uv , z = u2 + v2 avec u, v premiers entre eux, de parités
différentes, alors (x, y, z) est un triplet pythagoricien.
Comme deuxième exemple, considérons l'équation de Fermât pour n = 4 .
THÉORÈME 5.10. L'équation diophantienne x4 -h y4 = z4 n'admet pas de solution autre
que le triplet x = 0,y = 0,z = 0.

Chapitre 5 • Corps de nombres quadratiques et équations diophantiennes 53
DÉMONSTRATION. Nous suivons l'idée de Fermât lui-même, qui consiste à remarquer que
toute solution de l'équation x4 -h y4 — z4 , avec x, y,z premiers entre eux, conduit à une
solution de l'équation
x4 + y4 = z\ (5.7)
avec x,y\z premiers entre eux. Il suffit donc de démontrer que (5.7) n'a pas de
solution non triviale. Supposons qu'elle en ait; soit une solution (x,y,z) avec z > 0 et z
minimum. En raisonnant comme pour (5.5), on peut supposer a et z impairs, y pair.
Alors (théorème 5.9), il existe u et v premiers entre eux, de parités différentes, tels
que x2 = u2 — v2, y2 = 2uv, z = u2 + v2. Donc x2 + v2 = u2 ; comme x
et v ne peuvent être simultanément impairs (voir démonstration du théorème 5.9), on
a x impair, v pair, u impair. En appliquant de nouveau le théorème 5.9, on obtient
x = a2 — b2, v = 2ab, u = a2 -h b2, avec a et b premiers entre eux, de
parités différentes. Donc y2 = 4ab(a2 -h b2). Or les nombres a,b,a2 + b2 sont premiers
entre eux deux à deux. Par unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers
a = a2, b = 01, a2 +b2 = y2, a, /3, y G N. Donc y2 = a2 + b2 = a4 + (34. Le tri-
plet (a, /3, y) vérifie donc (5.7), et 0 < y ^ u < z , ce qui contredit la minimalité de z ■
Ainsi (5.7) n'a pas de solution non triviale, et x4 + y4 = z4 non plus. La méthode utilisée,
consistant à construire, à partir d'une solution d'une équation diophantienne, une solution
plus petite, est la méthode de descente (voir §1.6).
5.5 ÉLÉMENTS PREMIERS ET ÉLÉMENTS IRRÉDUCTIBLES
L'équivalence entre les propriétés (5.3) et (5.4) dans Z ne demeure pas vraie,
malheureusement, dans l'anneau Â^ des entiers d'un corps quadratique quelconque, ce qui conduit à
poser les définitions suivantes :
DÉFINITION 5.1. Soit A un anneau commutatif unitaire intègre. On dit que p G A, non
inversible, est irréductible dans A si p — ab, avec a^b G A, entraîne a ou b inversible
dans A.
DÉFINITION 5.2. Soit A un anneau commutatif unitaire intègre. On dit que p G A, non
inversible, est premier dans A si pour tout m(a-b) G A2, p\ab entraîne p\a ou p\b.
Exemple 5.3. Soit AK l'anneau des entiers de Q(iV5).
AK = Z(/V5) = {x + iyV5/(x,y) £ Z2}, car -5 = 3 (mod 4). Soit p = 2 ; alors p
est irréductible dans Ax ; en effet 2 = ab => N(2) = N(a)N(b) ^> 4 = N(a)N(b). Or,
la norme de at ifiy/5 vaut a2 -r 501, donc N(a) = ±2 est impossible. Ainsi l'équation
4 = N(a)N(b) implique N(a) = 1 ou N(b) = 1 car N(a) et N(b) sont des entiers
naturels. Donc a , ou b , est inversible dans Z(f y/5), et 2 est irréductible dans Z(iy/5) (théorème
5.4). Montrons maintenant que 2 n'est pas premier dans Z(/\/5). On a évidemment 2|6, ou
encore 2|(1 + iy/5)(l — iy/5). Pourtant, 2 ne divise, ni 1 + iy/5 , ni 1 - iy/5 ; car si on
avait 1 -h iy/5 = 2a avec a G TU}y/5), en prenant les normes, on obtiendrait 6 = 4Af(a),
donc 4|6 dans Z, ce qui est faux. Ainsi, dans Z(/\/5) par exemple, // existe des éléments
irréductibles qui ne sont pas premiers. Par contre :

54 Théorie des nombres
THÉORÈME 5.11. Soit A un anneau commutatif unitaire intègre. Si p est premier dans A,
il est irréductible dans A.
DÉMONSTRATION. Soit p premier dans A, avec p = ab . Alors 1 • p = ab , donc p\ab
et p\a, par exemple. Ainsi a = a'p, a' G A. D'où p ~ ab — a'pb. Puisque A est
intègre, 1 = a'b et b est inversible dans A.
THÉORÈME 5.12. Soit x £ Ak. Si N(x) est premier dans %, alors x est irréductible
dans Ak-
Démonstration. Exercice 5.10. Même si le théorème 5.12 ne s'applique pas, on a vu,
dans l'exemple 5.3, comment on peut prouver l'irréductibilité en utilisant la norme.
THÉORÈME 5.13. Soit Âx l'anneau des entiers du corps de nombres quadratiques Q(y/d).
Alors tout élément de Ak s'exprime comme produit d'élément irréductibles.
Démonstration. Voir exercice 5.11. Malheureusement, il n'y a pas, en général,
unicité de cette décomposition. Par exemple, dans Ak = Z(iy/5), on a (exemple 5.2) :
6 = 2 - 3 = (1 + iy/5)(l -iy/5). Comme dans Z(iy/5) les nombres 2, 3, 1 + iy/5 et
1 — iy/5 sont irréductibles et non associés (exercice 5.12), il n'y a pas unicité de la
décomposition en éléments irréductibles dans Z(i y/5).
DÉFINITION 5.3. Soit A un anneau commutatif unitaire intègre. On dit que A estfactoriel
si tout élément non inversible de A s'exprime, de manière unique, sous la forme d'un produit
d'éléments irréductibles de A.
L'unicité signifie que, si x = p\p2. - • Pk = P1P2 • • • Pm » a^ors ^ — m , el on peut
ordonner les p- de telle sorte que p\ soit associé à p-x pour tout i = 1,2,...,/: (c'est-à-
dire qu'il existe e£- inversible dans A tel que p\ = e,-p,- ).
THÉORÈME 5.14. L'anneau Ak des entiers du corps de nombres quadratiques Q(y/d) est
factoriel si, et seulement si, tout élément irréductible de Ak est premier.
Démonstration. On sait déjà que tout x G Ak s'exprime comme produit
d'éléments irréductibles. Supposons que tout élément irréductible soit premier, et que l'on ait
x = P1P2 • • -Pk = p\p'2 • • • Pm • Puisque p\ est premier, et que P\\p[p'2 • • • p'm, P\ divise
l'un des p\. Quitte à les renuméroter, on peut supposer que p\ \p[ . Puisque p[ est
irréductible, on a p[ = s\p\ ,où s\ est une unité de A]g,et p\ et p[ sont associés. En simplifiant,
il vient p-± ... pu = £\p'2 • • • p'm » en recommençant on obtient finalement que Ak est
factoriel. Réciproquement, si Ax est factoriel et si p irréductible divise le produit ab , alors p
est un des facteurs irréductibles de a ou de b , donc p divise a ou b , et p est premier.
Ainsi, dans un anneau factoriel, il y a coïncidence entre éléments irréductibles et
éléments premiers ; on parlera alors, comme dans Z , de décomposition en produit de facteurs
premiers. Cela se produira, en particulier, dans le cas des anneaux euclidiens, que nous
étudions maintenant.

Chapitre 5 • Corps de nombres quadratiques et équations diophantiennes 55
5.6 ANNEAUX EUCLIDIENS
DÉFINITION 5.4. L'anneau Ak des entiers du corps quadratique K = Q(\^d) est dit
euclidien si, pour tout (a,b) G Ak x A^, il existe (q,r) 6 A^ vérifiant a = bq + r et
\N(r)\<\N(b)\.
Autrement dit, l'anneau Ak est muni d'une division euclidienne analogue à celle qui
existe dans Z (dans ce dernier cas, la condition \N(r)\ < \N(b)\ est remplacée par
|r|<|fc|).
Supposons que a et b sont premiers entre eux dans Ak euclidien, c'est-à-dire que les
seuls diviseurs communs à a et b sont les éléments inversibles de Ak • Alors il existe deux
éléments u et v de Ak tels que
au-\-bv — \ (identité de Bézout). (5.8)
L'identité de Bézout se démontre en utilisant l'algorithme d'Euclide (exercice 5.13). On
en déduit le
THÉORÈME 5.15. Si AK est euclidien, il est factoriel.
DÉMONSTRATION. D'après le théorème 5.14, il suffit de démontrer que tout élément
irréductible de Ax est premier. Soit donc p irréductible : on suppose que p\ab . Si p ne divise
pas a, il est premier avec a (si d\p et d\a, alors d = s ou d = sp avec e G A^ car
p est irréductible, et la seconde possibilité est exclue car p ne divise pas a ). Donc il existe
(m, v) G A\ tels que au + pv = 1 , c'est-à-dire abu -f bpv = b . Puisque p\ab , p divise
donc b, c.q.f.d.
THÉORÈME 5.16. L'anneau Ak des entiers de K = Q(y/d) est euclidien pour
tf = -11.-7.-3.-2,-1,2,3,5 étf 13.
Démonstration. Supposons d'abord d = -2, —1,2 ou 3. Alors d = 2 ou 3 (mod 4), et
Ak = Z(Vd) (théorème 5.3).
Soient a,b e Ak,£ ^ 0 ; alors a/b = jc -f- v\/j, avec x,y G Q. Soient a
et /3 les entiers les plus proches de x et y respectivement; ainsi |x — ar| < 1/2 et
I)' — P\ ^ 1/2 ; posons q = a + (3\/d, et r = « — bq . On a a = b(x.+ yVd),
donc r = fc((* - a) + (v - j3)\/</) et N(r) = N(b)((x - a)2 - d(y - (3)2). Si
\d\ ^ 2, \(X - a)2 - d(y - (3)2\ ^ (x - a)2 + \d\(y - (3)2) ^ 3/4. Si d = 3,
|(jc-o:)2-3(y-/3)2| ^ max((* - a)2,3(y - (3)2) ^ 3/4. Dans les deux cas,
|N(r)| < \N(b)\ et AK est euclidien.
Si d = -11, -7, -3, 5 ou 13, on a d = 1 (mod 4). Soient de nouveau a.b G Ak , avec
a/b = .v - y\/rf , .t. v G Q. Soit (3 l'entier le plus proche de 2y ; alors \(3/2 - y\ ^ 1/4.
Soit a l'entier de même parité que (3 le plus proche de 2x ; \a — 2x\ < 1, donc
\a/2 — x\ ^ 1/2 . Posons q = (a + /3\/d)/2, et r = a — bq .On a a = £>(* -f- y\/5) , donc
r = 6 ((.y - a/2) + (y - j8/2) V3) , et N(r) = N(b) ((x - a/2)2 - d (y - y8/2)2) .
Pour \d\ ^ 11, on a

56 Théorie des nombres
Si d = 13 ,
((x - a/2)2 - 13 (v - £/2)2) I ^ 13/16 < 1, par suite \N(r)\ < \N(b)\
et le théorème 5.16 est démontré.
5.7 ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES
5.7.1 L'équation de Mordell y2 = x3 +k
Soit k £ Z, donné. L'équation y2 = x3 + k a été étudiée par Mordell ; elle peut se
résoudre, dans certains cas, de manière élémentaire. Le cas général est beaucoup plus difficile ;
nous y reviendrons partiellement au chapitre 11. Soit par exemple l'équation
y2 = x3 - 1 (5.9)
On remarque d'abord que x est impair (sinon y2 = — 1 (mod 4), ce qui est impossible).
Factorisons dans Vanneau des entiers de Gauss Z(i), qui est euclidien (théorème 5.16), donc
factoriel. On a (y + i)(y — i) — x3. Montrons que y + i et y — i sont premiers entre eux ;
supposons que p £ Z(i), premier dans Z(/), divise y + i et y — i. Alors p divise leur
différence, donc p\2i . En prenant les normes, on a dans Z : N(p)|4, donc N(p) — 2 ou
N(p) — 4, puisque p n'est pas inversible. Or, puisque p\y + i, N(p)\N(y + i), donc
N(p)\y2 + 1 = x3 dans Z, ce qui est impossible car x est impair. Ainsi y + i et y — i
n'ont aucun facteur premier en commun. Comme tous les facteurs premiers figurant dans x3
sont des cubes, l'unicité de la décomposition (à un élément inversible près) implique que
y + i = s(piP2 • ■ • Pk)3-, £ £ Z(/)x . Or tout élément inversible s est un cube dans Z(z')
(théorème 5.5 : 1 = l3 ; -1 = (-1)3 ; i = (-i)3 ; -i = i3 ; donc y + i = (a + /Z?)3,
a, b £ Z. En développant, il vient y = a3 — 3ab2 et 1 = 3a2b — b3. Donc b\ 1, £ = 1 ou
-1, et ±1 = 3a2 — 1, ce qui implique b = — 1 et a = 0. Il en résulte y = 0 et x3 = 1
donc x = 1.
L'équation (5.9) a donc pour unique solution (x = 1 ; y = 0).
5.7.2 L'équation de Fermât pour n = 3
THÉORÈME 5.17. Uéquation x3 + y3 = z3 n'a pas de solutions en entiers relatifs x,y,z
non nuls.
DÉMONSTRATION. Supposons que x3+v3+z3 = 0 avec i,);,z,gZ,i^0j^0,z^0 ;
on peut supposer que x,y,z sont premiers entre eux, que x et z sont impairs et v pair (car
les combinaisons pair-pair-pair, pair-pair-impair, et impair-impair-impair sont impossibles).
Choisissons une telle solution avec \y\ minimum (méthode de descente). Suivant Euler,
posons x = a-\-b et z = a — Z? ; alors a et b sont premiers entre eux (sinon x et z , donc
x, v et z auraient un diviseur commun) et de parités différentes (car x et z sont impairs).
Il vient
2a{a2 + 3b2) = -y3. (5.10)
Puisque a et b sont de parités différentes, a2-\-3b2 est impair ; donc 8 divise 2a puisque
y est pair, et tout diviseur commun à 2a et a2 + 3b2 est impair, donc divise a , donc divise
3b2 . Puisque a et b sont premiers entre eux, il en résulte PGCD (2a, a2 + 3b2) =1 ou 3.

Chapitre 5 • Corps de nombres quadratiques et équations diophantiennes 57
1er cas : PGCD (2a, a2 + 3b2) = 1
On a alors 2a = r3 et a2 + 3b2 = s3 , r,s £ Z, s impair. On factorise dans Z(j) :
(a + ib\/3)(a — ib\/3) = s3 . Or a + ib\/3 et a — ib\/3 sont premiers entre eux dans
Z(j) euclidien, car si p premier dans Z(j) divise a + iby/3 et û- iby/3 , il divise leur
somme 2a et leur différence 2iby/3 ; prenant les normes, N(/?)|4a2 et N(p)\l2b2 dans
Z ; or N(p) est impair car N(p)\a2 + 3b2 , donc N(p)\a2 et N(p)\a2 + 3&2 , impossible
car a et a2 -\-3b2 sont premiers entre eux. L'unicité de la décomposition en produit de
facteurs premiers dans Z(j) montre alors qu'il existe t £ Z(j) et 77 G Z(j)x tels que
a + ib\/3 = Tjt3. Puisque —1 = (— l)3, on peut supposer que 77 = 1 ou -(1 + iy/3) ou
i(l-iV3).
Soit £ £ Z(j)x tel que et £ Z(iy/3) (théorème 5.6). Puisque s est une
racine sixième de l'unité dans C (théorème 5.5), on a e-3 = ±1 ; il vient alors
a + iby/3 = r]s~3 (st)3 = 77 (±e/)3 = rj(u + iv\/3)3, avec u £ Z et 1; £ Z. En
développant, il vient :
a + ibv3 = 77 u(u + 3?;)(w — 3v) + iv33v(u — v)(u + u)
(5.11)
Montrons que 77 ^ -(1 + iy/3). Si 77 était égal à -(1 + iy/3), en développant (5.11)
et en identifiant la partie réelle et la partie imaginaire, on aurait :
a — — [u(u + 3v)(u — 3v) — 9v (u — v) (u + v)]
b = - [3v (u — v) (u + v) + «(m + 3u)(w — 3v)]
Or ceci est impossible : si u et u sont de même parité, a et b ne sont pas
premiers entre eux; si u et u sont de parités différentes, l'un des nombres a ou b n'est
pas entier. Donc 77 ^ -(1 + z'\/3) et de même 77 7^ -(1 — z-\/3). Ainsi 77 = 1 et
(5.11) s'écrit a = u(u + 3v)(w — 3v) et Z? = 3u(w — v)(u + u). Mais a est pair, £>
est impair, a et Z? sont premiers entre eux; par suite w est pair, v est impair, et 2u
et 3u sont premiers entre eux. Puisque 2a = r3 , il vient r3 = 2w(w + 3u)(w — 3v).
On vérifie facilement que 2u,u -\- 3v,u — 3v sont premiers entre eux deux à deux. Donc
il existe £,m,n £ Z tels que 2u = £3,u + 3v = m3,w — 3v = n3 . Par addition,
on obtient immédiatement m3 + n3 = l3 , avec ^ pair, £:m,n premiers entre eux. Et
|v3| = \2a(a2 + 3b2)\ = \£3(u2 - 9v2)(a2 + 3b2)\ > 3 \£3\ > \£3\ . Donc 0 < \£\ < \y\, ce
qui contredit la minimalité de |v| .
2ème cas : PGCD (2a, a2 + 3b2) = 3
Il se traite de manière analogue, et est laissé au lecteur (exercice 5.14).

58 Théorie des nombres
EXERCICES
5.1 Démontrer le théorème 5.1.
5.2 Démontrer que tout élément de Q(\/5) est rationnel ou irrationnel quadratique.
5.3 Démontrer le théorème 5.2.
5.4 Soit x = a + fiVd G Q(Vd). La trace de x est définie par Tr(x) = 2a .
1) Démontrer que x est entier dans Q(Vd) si, et seulement si, Tr(x) GZ et N(x) G Z .
2) On suppose que x = — + —Vd est entier dans Q(Vd), avec ff,y G Z, /3, £ G N, a et
P ô
j3 d'une part, y et <5 d'autre part, premiers entre eux. Démontrer que j3 = 1 ou 2, puis que,
si /3 = 1 , alors x = a + y\/^, et que, si /3 = 2, alors a et 7 sont impairs, Ô = 2, et
</ = 1 (mod 4).
3) Démontrer le a) et le b) du théorème 5.3.
4) Démontrer que Ak est un anneau.
5.5 Démontrer que l'ensemble Ax des unités de l'anneau commutatif unitaire intègre A est un
groupe pour la multiplication.
5.6 Démontrer le théorème 5.4.
5.7 Démontrer le théorème 5.5.
5.8 1) On suppose que a = 1 (mod 4) et que b = — 1 (mod 4). Vérifier que
a + iby/3 1 + iy/3 ^ /r
^ x 2 %v3)-
2) Démontrer le théorème 5.6.
5.9 1) Démontrer que l'ensemble G des s = x + y\/d G lÂ^fd) vérifiant s > 0 et N(e) = 1 est
un sous-groupe multiplicatif de R+ .
2) Démontrer le a) du théorème 5.8.
3) Démontrer le b) du théorème 5.8.

Exercices 59
5.10 Démontrer le théorème 5.12
5.11 Soit x G Ak , non inversible ; prouver que x admet un diviseur irréductible ; en déduire la
démonstration du théorème 5.13.
5.12
1) Démontrer que les nombres 2, 3, 1 + iy/5 et 1 — iy/5 sont irréductibles dans Z(iy/5) .
2) Démontrer que 1 + iy/5 n'est associé ni à 2, ni à 3.
5.13 Identité de Bézout dans AK euclidien
On suppose Ak euclidien, et on considère deux éléments a et b premiers entre eux ; on effectue
la suite de divisions euclidiennes a = bq\ + n ; b = r\q2 + ri ; r\ = riq-$ + n ... (algorithme
d'Euclide). On pose b = ro .
1) Démontrer qu'il existe k tel que r* = 0 . En déduire que n~\ est un diviseur commun à a et b ,
donc que rk-i G AE^ .
2) Démontrer l'identité de Bézout.
5.14 Traiter le deuxième cas dans la démonstration du théorème 5.17.
5.15 Démontrer que 1 + i \/Ï3 est irréductible dans Z(z v/Ï3). En déduire que Z(/ y/Û) n'est pas
factoriel.
5.16 En utilisant les fractions continues (théorème 4.6), prouver que l'équation a2 — 81b2 = ±2
n'a pas de solution dans Z2 . En déduire que Z(\/87) n'est pas factoriel.
5.17 En travaillant dans l'anneau euclidien Z(z y/l), résoudre l'équation de Mordell y2 = x3 — 2 .
5.18 Résoudre l'équation de Mordell y2 = x3 — 11 .
5.19 Résoudre l'équation diophantienne x3 — y2 = 1 .
5.20 Utiliser la méthode de descente pour démontrer que l'équation diophantienne x4 — y4 = z2
n'a pas de solution x > 0, y > 0, z > 0 .

60 Théorie des nombres
5.21 Déterminer le groupe des unités de Z(\/2), anneau des entiers de Q(\/2), puis celui de
Z((l + VÎ3)/2), anneau des entiers de Q(\/Ï3) ■
5.22 Un résultat d'irrationalité
Soit (Fn) la swifë de Fibonacci définie par Fq = 0, F\ = 1, et la relation de récurrence
+oc 1
Fn+\ = Fn + F„_i pour n ^ 1 (voir exercice 3.11). Posons 0 = 2_] — • Le but de l'exercice
1 Pn
est de démontrer que 6 £ Q(\/5) (en particulier, 0 est irrationnel).
1) On définit, pour \q\ > 1
+2^ xn +2^ xn
/«W = i + g(î_lx^_1)...(,._1) : &W = g5T3ï-
a) Vérifier que /?(x) existe pour tout x G C, que gç(jt) existe pour tout x tel que \x\ < \q\ .
b) Exprimer fq{x) en fonction de fq{^). En déduire que fq(x) = JTT(1 H—-),Vi G C .
n=l ^"
+ 00
c) Montrer que gq(x) = ^ „ _ , |*| < \q\.
y"(_x)
d) Montrer que, pour x et g réels, avec |#| > 1 et |x| < |g| , gq{x) = x-jj-—- .
2) a) Soit 3> = (1 + \/5)/2 le nombre d'or, et soit ^ = -I/O = <ï>* . Démontrer que
^ = (0-^)g_$2(-cî>).
b) On suppose que 6 G Q(\/5), 0 = A/fl , avec A G Z(\/5), 5 G N . Montrer que
+00
A + £/î(<ï> - **■)
^ (1 + 0>2)(1 _ 0>4) . _ (1 _ (-O2)») '
c) Pour tout k G N \{0} , on pose
k
A + Bn(<3> - V)
^ (1 + ^2)(1 - O4)... (1 - (-3>2)»r
((1 + <Ï>2)(1 - O4)... (1 - (-O2/) .
x
Démontrer que X* G Z(<Ê>) et que \Xk\ < C£2 ( — ) pour k assez grand, C étant une
constante.
d) Prouver qu'il existe une constante C' telle que \X£ | ^ Cfk2 pour k assez grand.
e) Démontrer que N(Xk) — 0 pour k assez grand, et conclure.

Chapitre 6
Carrés et sommes de carrés
Ce chapitre est essentiellement consacré au problème de la représentation des entiers
par des formes quadratiques. Le cas le plus simple est celui des sommes de deux carrés
n — x2 + v2 ; il est traité au paragraphe 6.1. Le paragraphe 6.2 est consacre à des
compléments d'algèbre sur les groupes, anneaux et corps comptant un nombre fini d'éléments ; les
résultats obtenus sont utilisés en 6.3 et 6.4, où on définit et étudie le symbole de Legendre :
celui-ci permet de savoir si un entier n donné est un carré modulo p premier, c'est-à-dire
si l'équation x2 = n (mod p ) a une solution. L'étude proprement dite des formes
quadratiques binaires ax2 + bxy + cy2 occupe le paragraphe 6.5. Enfin, en 6.6, on démontre le
célèbre théorème de Bachet, qui affirme que tout entier naturel n s'exprime sous la forme
n = a2 + b2 + c2 + d2. a,b, c, d <E N.
6.1 SOMMES DE DEUX CARRÉS
Nous cherchons à déterminer à quelle condition un entier naturel n peut s'exprimer
comme somme de deux carrés : n ~ a2 + b2, a, b G N.
Nous connaissons le réponse dans le cas où n est premier (exercice 4.11) :
THÉORÈME 6.1. Soit p G N, p premier. Alors p est une somme de deux carrés si, et
seulement si, p = 2 ou p = 1 (mod 4).
De plus, si les entiers n et m sont sommes de deux carrés, il en est de même de leur
produit m n . Cela résulte directement de Y identité de Lagrange :
{a2 - b2){c2 + d2) = {ad + bcf + (ac - bd)2. (6.1)
Cette identité peut se vérifier directement ; on peut remarquer aussi (c'est plus intéressant)
que , si on pose x = a + ib , y = c + id , elle traduit l'identité N(x)N(y) = N(xy) dans
l'anneau des entiers de Gauss Z(i).
THÉORÈME 6.2. L'entier naturel n est une somme de deux carrés si, et seulement si, les
facteurs premiers congrus à — 1 (mod 4) de sa décomposition en produit de facteurs premiers
y figurent avec un exposant pair.

62 Théorie des nombres
Démonstration. Supposons d'abord que n est une somme de deux carrés, n = a2 ±b2.
Soit 8 = PGCD(a. b) ; on a n = <52(c2 -r d2). avec c et d premiers entre eux. Soit p un
diviseur premier impair de c2-\-d2 ; alors p\(c^-id)(c — id) dans Z(/).Si p était premier
dans Z(i), il diviserait c + /d dans Z(i), donc aussi c — id (en prenant les conjugués),
ainsi que la somme et la différence de ces nombres. Donc p\2c et p\2id dans Z(/) ; en
prenant les normes, p2\4c2 et /?2|4d2 dans Z. et puisque p premier impair. p\c et p\d 9
contradiction. Donc p n'est pas premier dans Z(/) et p = xy , a- et y non inversibles dans
Z(î).
En prenant les normes, il vient p2 = N(x)N(y), et puisque N(x) 7^ 1 et Af(y) 7^ 1,
on a N(x) = p . Si nous posons x = a + i(3, nous voyons que p = a2 + fi2 est une
somme de deux carrés, donc p = 1 (mod 4) (en vertu du théorème 6.1). Les seuls diviseurs
premiers possibles de c2 + d2 sont donc 2, ou les nombres premiers congrus à 1 (mod 4).
Les nombres premiers congrus à -1 (mod 4) figurant éventuellement dans la décomposition
de n sont donc dans le 32 , donc ils y figurent avec un exposant pair.
Réciproquement, si les nombres premiers p-x congrus à -1 (mod 4) figurant dans la
décomposition de n y figurent avec un exposant pair, on a n = [p0^ p?2 ... p^k ) -q^ q^2... qfn'.
Les qt sont des sommes de deux carrés (théorème 6.1), donc q^q^2 • • • Çmm = a2 + b2 en
vertu de l'identité de Lagrange (6.1). Donc n = {y a)2 + (yb)2 , avec y = p^1 ... p%k, est
une somme de deux carrés.
Exemple 6.1. 585 = 32 • 5 • 13 est une somme de deux carrés car le seul facteur congru à
-1 (mod 4) est 3, et il figure avec un exposant pair. On a 5 = 22 + l2 , et 13 = 32 + 22 .
En utilisant l'identité de Lagrange (6.1) avec a = 2, b = 1, c = 3, d = 2, on obtient
5 • 13 = 72 +42 ; si nous prenons a = 1, b = 2, c = 3, d = 2,on obtient 5 • 13 = 82 +12 ;
ainsi 585 = 212 + 122 = 242 + 32 .
6.2 STRUCTURES ALGÉBRIQUES FINIES
Les ensembles (groupes, anneaux, corps) intervenant en théorie des nombres sont
généralement infinis. Une des opérations les plus utiles consistera à classer les éléments de ces
ensembles de façon à opérer sur des ensembles finis. Mathématiquement, le classement des
éléments d'un ensemble E se fait au moyen d'une relation d'équivalence 1Z, c'est-à-dire
d'une relation réflexive (x1Zx,\/x G E), symétrique {xlZy =£> ylZx,\f(x,y) G E2),
transitive (xlZyetylZz => x7Zz*V(x,y,z) G E3). Une relation d'équivalence sur E permet
de définir une partition de E en classes d'équivalence : tous les éléments d'une classe sont
équivalents, et deux éléments x et y de deux classes disjointes sont non équivalents.
Soit maintenant (G.+) (respectivement (G,-) un groupe commutatif, et H un sous-
groupe de G. On définit la relation 1Z par (xlZy) <f> x — y G H (respectivement
xy~] G H ). On vérifie aisément (exercice 6.1) que 1Z est une relation d'équivalence ;
l'ensemble des classes d'équivalence est appelé quotient de G par H et noté G/H .
Exemple 6.2. Prenons (G, +) = (Z, -h) ; soit /i G Z \{0} , et soit H=nZ = {nm/m G Z}
( H est le sous-groupe des multiples de n ). La relation 1Z s'écrit :
(xlZy) <^> x — y G H 44> x — y est un multiple de n <£> „v = y (mod n ). Le quo-

Chapitre 6 - Carrés et sommes de carres 63
tient est Z/zzZ ; il s'agit d'un ensemble fini à n éléments, qui sont les restes modulo n :
0,1.2 n - 1.
Revenons au cas général : pour tout x G G, notons x la classe de x modulo 1Z ;
on observe que l'addition de G (respectivement la multiplication) est compatible avec TZ,
c'est-à-dire que (xTZy) et (zUt) => (x + z)7Z(v + t) (respectivement {xz)lZ{yt) ) ; ceci
permet de définir une addition (respectivement une multiplication) faisant du quotient G/H
un groupe commutatif, en posant x + y — x + y (resp xy — x~y ) ; voir exercice 6.2. Et
G/H s'appelle le groupe quotient de G par H .
Supposons maintenant que (A, +, ■) soit un anneau commutatif unitaire ; un sous-groupe
additif / de À sera appelé un idéal s'il vérifie la propriété
VxG/,VvGA. xyel. (6.2)
Puisque / est un sous-groupe pour l'addition, le quotient Â/I est un groupe, et on
peut vérifier en outre que la relation (xTZy) est compatible avec la multiplication, de telle
sorte que : si I est un idéal de Vanneau commutatif unitaire A, le quotient Â/I est un
anneau commutatif unitaire (exercice 6.3). C'est le cas, notamment, de Z/rcZ. Une situation
analogue existe si on remplace Z par l'anneau Ak des entiers du corps quadratique K :
THÉORÈME 6.3. Soit I — aA-& l'ensemble des multiples, dans Ajk, de l'entier quadratique
a G A&. Alors I est un idéal de Ak, et V' anneau-quotient A^/aA^ est fini.
Démonstration. Voir exercice 6.4.
Revenons à la situation générale, et considérons un groupe fini G, dont nous notons
card G le nombre d'éléments ; le résultat suivant est connu sous le nom de théorème de
Lagrange.
THÉORÈME 6.4. Soit G un groupe fini commutatif\ et soit H un sous-groupe de G . Alors
les groupes H et G/H sont finis, et card G = card H x card {G/H). En particulier,
card H divise card G.
DÉMONSTRATION. Supposons par exemple que G est un groupe pour l'addition; G/H
est l'ensemble de classes d'équivalences pour la relation (xlZy) <^> (x — y e H) , donc
H et G/H sont finis. Soit C une classe d'équivalence; fixons un élément xo G C ; tout
élément de C s'écrit xo + x , avec x G H , donc card C = card H . Ainsi chaque classe
d'équivalence a le même nombre d'éléments, et puisque les classes d'équivalence réalisent
une partition de G on a bien card G = card (G/H) x card H .
Exemple 6.3. Soit G un groupe fini multiplicatif ; soit a e G ; notons Ga = {an/n G Z}
le groupe monogène engendré par a . Puisque G est fini, il existe deux entiers m et n ,
m ^ n . tels que an = am (principe des tiroirs), d'où an~m = 1 . Ainsi il existe k G N*
tel que ak = 1 ; le plus petit entier k vérifiant cette propriété est appelé ordre de a dans
G : il est clair alors que Ga = {l.a.a2 ak~1} \ le groupe Ga est donc cyclique, avec
card Ga = k = ordre de a dans G . En vertu du théorème 6.4, on en déduit que l'ordre de
a dans G est un diviseur de card G . Par exemple, soit œ = e2l7r/15, et a = a)6 = e4'77"/5
dans le groupe G des racines quinzièmes de l'unité ; l'ordre de a dans G est 5.

64 Théorie des nombres
Pour terminer cette partie algébrique, demandons-nous à quelle condition un anneau fini
est un corps.
THÉORÈME 6.5. Tout anneau commutatif unitaire intègre fini est un corps.
DÉMONSTRATION. 11 suffit de démontrer que tout x G A, différent de 0, est inversible
pour la multiplication. Considérons l'application cp qui, à tout y de A, associe xy ; cp est
injective car (ç(y) = <p(y')) => (xy = xy') => (x(y - y') = 0) => (y - y' = 0) car
x 7^ 0 et A est intègre. Puisque A est fini et cp injective, cp est bijective. Donc 1 admet un
antécédent par cp, il existe y G A tel que xy = 1, et x est inversible.
THÉORÈME 6.6. Soit A un anneau commutatif unitaire intègre, et soit p G A, non
inversible. Alors p premier <4> A/p intègre.
DÉMONSTRATION. Voir exercice 6.5.
Exemple 6.4. En utilisant les théorèmes 6.3, 6.5 et 6.6, on voit que, si p est premier dans
l'anneau Ak des entiers du corps quadratique K, alors Kk/p&k est un corps. Il en est de
même si p > 0 est premier dans Z ; alors Z/pZ est un corps de cardinal p, noté Fp ;
en utilisant la notion d'ordre dans le groupe multiplicatif F* , on obtient le petit théorème de
Fermât :
THÉORÈME 6.7. Soit p G N un nombre premier ; alors ap = a (mod p).
DÉMONSTRATION. Voir exercice 6.6.
6.3 LE SYMBOLE DE LEGENDRE
6.3.1 Introduction
Soit p G N un nombre premier; la résolution de l'équation du second degré
ax2 + bx + c = 0 (mod p ) dans le corps ¥p conduit à se demander s'il existe co G ¥p , tel
que co2 = À , où À est le discriminant b2 — 4ac . Autrement dit, comment reconnaître les
entiers qui sont des carrés modulo p ? On définit le symbole de Legendre, pour tout entier
n , par
si n = 0 (mod p)
si n ^ 0 (mod p) et n est un carré mod p. (6.3)
si n ^ 0 (mod p) et n n'est pas un carre mod p.
Par exemple, ( - ) = 1 car 2 = 32 (mod 7), tandis que ( - 1 = — 1 car les carres
modulo 7 sont 0,1, 2, 4.
G)-

Chapitre 6 • Carrés et sommes de carrés 65
Démontrons le critère d'Euler :
— ] = «^(mod p). (6.4)
PJ
Si n = 0 (mod p ), c'est évident ; supposons donc n ^ 0 (mod p ), et
travaillons dans le groupe multiplicatif F* ; l'ensemble des carrés dans F* est le sous-groupe
Gp = {l2,22,..., ((p — l)/2)2} , dont tous les éléments sont distincts (a2 — b2 O a = b
ou a = — b dans F* ; or a = — b <^> a+b = 0 (mod /; ), impossible car 2 ^ a+b ^ p—1 ).
Donc il y a exactement (p — l)/2 carrés dans F* , et (p — l)/2 non carrés. Or, pour tout
x e F* , x *2~ = ± 1 (mod /? ) car x^~! = 1 (mod /? ) en vertu du petit théorème de Fermât.
Si x est un carré, on a x2^ = yp~l = 1 ; ainsi l'équation X2^ = 1 a (p — l)/2 racines
distinctes dans le corps Fp ; ces racines sont les éléments de Gp . Si x n'est pas un carré,
.v~2~ = —1 (mod p) car X ï = 1 a au plus (p — l)/2 racines. Le critère d'Euler est
démontré.
Exemple 6.5. Pour de petites valeurs de p , le critère d'Euler permet de calculer le
symbole de Legendre: par exemple (--) = V (mod 11) ; or 72 = 49 = 5 ; 73 = 35 = 2 ;
74 = 14 = 3 ; 75 = 21 = -] ; donc (^-) = -1 et 7 n'est pas un carré modulo 11.
COROLLAIRE 6.1. Le symbole de Legendre est multiplicatif, c'est-à-dire que, pour tout
nombre premier p :
' mn\ (m\ (n
t) = b)x U
En effet faf\ ~ (mn)*? = m^n*? = 0f\ U) (mod p).
Il suffit donc de savoir calculer (—),(-) et (^) pour tout nombre premier impair q .
L'expression de (—) se déduit directement du critère d'Euler :
y) =(-1)^- (6-5)
C'est-à-dire que (=±) = 1 si p = 4k -f 1, (—) = -1 si p = 4k - 1 .
6.3.2 Lemme de Gauss
Soit p G N un nombre premier ; pour tout entier a , il existe un unique entier a tel que
a =a (mod p ) et — E^- <a^ ^- . Le lemme de Gauss est l'énoncé suivant.
LEMME 6.1. Soit l le nombre d'entiers négatifs dans l'ensemble E = {a. la, lia ^Y~a}-
Alors, si a = 0 (mod p ), (Çj = (-1)1.

66 Théorie des nombres
DÉMONSTRATION. Soient x = ka et y = ma , avec fc,m <E {1.2 Q?-l)/2} , k j^m ,
deux éléments distincts de E. Alors \x\ ^ \y\ car \x\ = \y\ => (k — m) \a\ = hp, avec
h G Z, donc p|fc — m car p ne divise pas a ; impossible car 0 < \k — m\ ^ p — 1. Les
éléments de E ont tous une valeur absolue inférieure ou égale à (p — l)/2, et ils sont au
nombre de (p — l)/2 ; au signe près, ce sont donc les éléments de {1,2 , (p — l)/2)} .
Leur produit vaut donc a ■ la- ■ ■ ^-a = (-l)^(^1)!, d'où (-1/(^)1 = (^)la^1
(mod p),et a ï = (— 1/ , ce qui démontre le lemme 6.1 grâce au critère d'Euler (6.4).
Exemple 6.5. Soit à calculer le symbole de Legendre (-) pour tout nombre premier impair
p . Dans ce cas, l'ensemble E est h. 4.6 2[^]: 2 f[^p] + l\ - p -3. -1 j .
Donc £ = ^- — [^-J. Par suite £ est pair si p = ±1 (mod 8), et dans ce cas (-) = 1 ;
£ est impair si p = ±3 (mod 8), et alors (-) = — 1 . Ce que l'on peut résumer en écrivant :
- =(-i)^r-. (6.6)
PJ
6.3.3 Loi de réciprocité quadratique
THÉORÈME 6.8. Soient p et q deux nombres premiers impairs. Alors
£jQ=(_i)!£^
DÉMONSTRATION. Elle est basée sur une interprétation géométrique du lemme de
Gauss 6.1. On a (R) — (—1)£, où £ est le nombre d'éléments négatifs de
E = {xp/0 < x < \q} . Chacun de ces éléments est caractérisé par l'existence d'un
entier y tel que — \q < px — qy < 0. Ainsi £ est le nombre de points à coordonnées
entières (x, y) dans le domaine
0 < x < -q\ - -q < px - qy < 0 >
2"
du plan. La deuxième double inégalité s'écrit -x < y < -x + |, et ceci implique
y < ^~ < 2 car P Premier impair. Donc £ est le nombre de points à coordonnées entières
dans le rectangle
R = {(x, v)/0 <x< ^,0 < y < l-p\
vérifiant — \q < px — qy < 0. De même, l3-) = (— l)m , où m est le nombre de points à
coordonnées entières de R , vérifiant —\p<qy — px < 0 (figure 6.1).

Chapitre 6 • Carrés et sommes de carrés 67
pli
px- qy^-ql2
qy-px<-pl2
O I 1/2
qll
FlG. 6.1
Tl suffit donc de montrer que \{p — \){q — 1) — (£ + m) = h est un nombre /?af/\ Or
\{p — 1)(# — 1) est le nombre total de points à coordonnées entières dans R ; par suite
h est le nombre de points à coordonnées entières de R vérifiant px — qy ^ — ~q ou
qy — px ^ —\p . Ces inégalités définissent deux régions disjointes, et ces deux régions ont
le même nombre d'éléments (exercice 6.7) ; le cardinal de leur réunion est donc un nombre
pair, ce qui démontre la loi de réciprocité quadratique.
EXEMPLE 6.6. Soit à calculer (|^) . On a en vertu de la loi de réciprocité quadratique
(ë)-(ff)x(-D^=-(ff)=-(^)=-(fî)(Â) = -(-Dtè) (formule (6.6))
= (y) x (-l)"r = - (IL) = _ (|) = l. Donc 11 est un carre modulo 83.
Exemple 6.7. Soit à calculer (-) pour tout nombre premier impair p. On a
(?) = (_1)£?i (f) • Or /? = 1, 5, -1 ou -5 mod 12. Si p = 1 (mod 12), alors
p = 1 (mod 3), donc (f ) = (|) = 1 et ( - J = 1 . Les trois autres cas se traitent de même,
et on obtient
<
[(;)
[$
= 1
= -1
si p = ± 1 (mod 12)
si p = ±5 (mod 12)
(6.7)

68 Théorie des nombres
6.4 CALCUL DANS F*p
Le symbole de Legendre permet de savoir si un élément jéF* est le carré d'un élément
y G F* . Mais comment calculer y ? Dans le cas où x = — 1, il existe une formule.
Théorème 6.9. Si p = 1 (mod4), alors ((^-)!) = -1 (mod Pi
Il s'agit d'une conséquence du théorème de Wilson (exercice 6.8). Par exemple, si
p = 29, alors p = 1 (mod 4) et —1 est un carré mod 29 (formule (6.5)). On a
f £=l) ! = 2-3-4-5-6-7-8-9- 10- 11 ■ 12- 13- 14= 12 (mod 29). Ainsi (-1) = (±12)2
(mod 29).
Dans le cas général, il n'existe pas de formule, mais on peut utiliser des tables numériques
(table 6.1 page suivante) basées sur la notion de racine primitive modulo p :
THÉORÈME 6.10. Le groupe multiplicatif F* est cyclique, c'est-à-dire qu'il existe g G F*
tel que F* = {g0 = l,g,g2,. •. ,gp~2} • Un tel élément g s'appelle une racine primitive
modulo p.
Pour la démonstration, voir l'exercice 6.9. Par exemple, 3 est une racine primitive modulo
7, car F^ = {3° = 1,3! = 3,32 = 2:33 = 6.34 = 4r35 = 5}, les égalités dans F7
correspondant évidemment aux congruences mod 7.
Soit x e F* , et soit g une racine primitive mod p ; l'indice i de x relativement à g
se définit par g1 = x ( c'est-à-dire g1 = x (mod p )) : il est déterminé à p — 1 près puisque
xp~{ = 1 dans F* en vertu du petit théorème de Fermât (théorème 6.7). Il n existe pas de
méthode générale pour trouver les racines primitives des F* , ni pour calculer l'indice d'un
élément x : on ne peut procéder que par essai-erreur, et fabriquer des tables. La première
d'entre elles a été établie par Jacobi en 1839. pour les nombres premiers inférieurs à 1000. La
table 6.1 donne la plus petite racine primitive et les indices correspondants pour les nombres
premiers inférieurs à 40.
L'intérêt pratique d'une telle table est que, pour multiplier x et y modulo p, on a
xv — gagh = ga+b dans F* , donc les indices s'ajoutent. Soit à calculer 15 x 7 dans FJ3 ;
on ajoute les indices correspondants : 17 + 19 = 36, que l'on ramène à 14 en soustrayant
22 = 23 — 1 . Dans la table, l'indice 14 correspond à 13. Ainsi 15x7 = 13 (mod 23). Pour
trouver la racine carrée, on a y/x = ga^2 si x = ga . Par exemple, 5 est un carré modulo 31
car(||-) = (y) = Q) = l. Dans la table, on lit que 5 a pour indice 20 mod 31 ; donc sa
racine carrée a pour indice 10 ; on lit donc dans la table que 5 = (±25)2 (mod 31).
La table d'indices 6.1 s'utilise donc de manière analogue aux tables de logarithmes.
6.5 FORMES QUADRATIQUES BINAIRES À COEFFICIENTS ENTIERS
6.5.1 Introduction
Une fonne quadratique binaire à coefficients entiers est une fonction de la forme
<p(x, y) = ax1 -f bxy -r cy2 , avec (a, b. c)eZ3, les variables x et y étant des entiers
relatifs. La forme <p sera notée (a, by c) ; le discriminant de la forme (a. b, c) est A = b2—4ac ;
on remarque que A = b2 (mod 4), donc A est un multiple de 4 si b est pair, ou A = 1
(mod 4) si b est impair.

Chapitre 6 • Carrés et sommes de carrés 69
Table 6.1 : Racines primitives mod p et indices.
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
P
~~8
3
~^2~
~1~
31 1
32
33 ;
34
35
36
5
~^2~
~1~
3
2
7
~^~
~^T~
1
4
5
3
11
~^r~
ï
8
2
4
9
7
3
6
5
13
2
ï
4
2
9
5
11
3
8
10
7
6
17
~T~
14
1
12
5
15
11
10
2
3
7
13
4
9
6
8
19
2
ï
13
2
16
14
6
3
8
17
12
15
5
7
11
4
10
9
23
~~5~
2
16
4
1
18
19
6
10
3
9
20
14
21
17
8
7
12
15
5
13
11
~~29
2
ï
5
2
22
6
12
3
10
23
25
7
18
13
27
4
21
11
9
24
17
26
20
8
16
19
15
14
31
3
24
1
18
20
25
28
12
2
14
23
19
11
22
21
6
7
26
4
8
29
17
27
13
10
5
3
16
9
15
^7~
~~2
1
26
2
23
27
32
3
16
24
30
28
11
33
13
4
7
17
35
25
22
31
15
29
10
12
6
34
21
14
9
5
20
8
19
18
La forme (a.b.c) est définie positive si A < 0 et a > 0 ; dans ce cas on a aussi c > 0 ,
et <y. y) > 0 si (.y. y) ^ (0,0).
L'exemple le plus simple de forme quadratique binaire est cp(x. y) = x2-\-y2 , ou (1.0, l) .
Elle est définie positive, avec A = —4. Le théorème 6.2 donne une condition nécessaire et
suffisante pour qu'un entier donné n soit représentable par la forme x2 + y2 ; plus
généralement, on dira que l'entier n est représentable par la forme (a.b.c) s'il existe (x, y) G Z2
tel que n = ax2 -h bxy + cy2 .

70 Théorie des nombres
6.5.2 Formes équivalentes
Soit / une application linéaire de Z2 dans Z2, définie par x = px' + qy' : y = rx' + sy'.
avec /?, g, r, s G Z . On dit que / est unimodulaire si son déterminant ps — qr vaut 1.
Une transformation unimodulaire est inversible en tant qu'application linéaire de Z2 dans
Z2 , car les formules de Cramer montrent que x' = sx — qy. y' = —rx + py . Les exemples
les plus simples de transformations uni modulaires sont
x = y' : y = -A-'. (6.8)
x=x' + y' ; v = y'. (6.9)
x=x'-y' ; y = v'. (6.10)
Si on remplace, dans la forme quadratique <p(x. y) = ax2+bxy-rcy2 , .y par p.Y'+çy' et y
par rx'+sy', on obtient une nouvelle forme quadratique q>'(x\ y') = a'x'^-^b'x'y'+c'y'" .
avec
{a7 = ap1 + fcpr + cr2 = cp(p. r)
b' = 2apq + b(ps + #r) + 2crs (6.11)
c' = aq2 + £>gs -j- es2 — ç(q.s).
Deux formes quadratiques sont dites équivalentes si elles sont transformées l'une de
l'autre par une transformation unimodulaire ; ainsi, on notera {a. b. c) — (a', b'. c') si (6.11)
est vérifié avec ps — qr = 1 . Le lecteur vérifiera qu'il s'agit d'une relation d'équivalence,
et que deux formes équivalentes ont même discriminant (exercice 6.10). Par exemple, en
utilisant les transformations (6.8), (6.9) et (6.10), on obtient
(a,b,c)~(c,-b.a) (6.12)
(a,b,c) ~(a<b + 2a,a+b + c) (6.13)
(a. b. c) ~(a,b- 2a. a-b + c). (6.14)
Remarque 6.1. Soit cp une forme définie positive; si nous rangeons les valeurs
v0 = 0 < V{ ^ i?2 < t>3 ^ • • • de la forme <p dans Tordre croissant (chaque valeur
figurant autant de fois qu'il existe de couples (y, y) l'atteignant), nous voyons que deux
formes définies positives équivalentes ont la même suite vn . En particulier, elles
représentent les mêmes entiers.
6.5.3 Réduction des formes définies positives
THÉORÈME 6.11. Toute forme quadratique définie positive est équivalente à une forme
(a,Z?,c) vérifiant
-a <b ^a < c ou 0 O ^ ci = c. (6.15)
Une forme quadratique définie positive vérifiant (6.15) est dite réduite.
DÉMONSTRATION. La transformation (6.12) échange a et c, en laissant \b\ inchangé, et
les transformations (6.13) ou (6.14) diminuent \b\ en laissant a inchangé. En appliquant
alternativement ces transformations, on voit que toute forme définie positive est équivalente
à une forme (ao, £o3 Q)) avec ~~ a® ^ ^o ^ <3o ^ Q) • Si b$ = — ao , la transformation (6.13)
montre que (ao,bo,co) ~ (fli,&i,ci), avec —a\ < b\ ^ a\ ^ c\ car alors C\ — cq . Si
a\ = C[, la transformation (6.12) permet de remplacer b[ par — b±.

Chapitre 6 • Carrés et sommes de carres 71
Exemple 6.8. Réduisons la forme (10,34,29) ;ona
(10,34,29)~(10,14,5) ~ (10, -6,1) ~ (1,6,10) ~ (1,4,5) ~ (1,2,2) - (1,0,1)
en utilisant successivement (6.14), (6.14), (6.12), (6.14), (6.14), (6.14). Ainsi, la forme
cp(x) = 10x2 + 34xy + 29y2 est-elle équivalente à i//(x) = x2 + y2 ; donc n s'écrit sous la
forme 10x2 + 34xv + 29y2 si, et seulement si. n est une somme de deux carrés.
THÉORÈME 6.12. Deux formes quadratiques définies positives réduites sont non
équivalentes.
Démonstration. Soit cp= (a,b,c) une forme définie positive réduite (donc \b\^ a ^ c).
Si |x|>|y|>l, ç(x,y)^\x\(a\x\-\by\) + c\y\2^\x\\a-\b\) + c\y\2^a-b + c.
Par symétrie, cette inégalité demeure vraie si x ^ 0 et y ^ 0 . Donc les premières valeurs
de cp (voir remarque 6.1) sont t>o = 0. i>i = a, vj = tf, v$ = c, v4 = c. v5 = a — \b\ + c ;
elles sont atteintes pour (x,y) = (0.0). (1,0), (-1.0), (0,1).(0,-1),(1,1) respectivement.
Si cp1 — {a'.b'.c'), réduite, est équivalente à cp, elle a même suite de valeurs, donc
a' = a , c' = c , et a' — \b'\ + c' — a — \b\ -f c, d'où \b'\ = \b\. Il reste à démontrer que
b' = b . On distingue trois cas, et on utilise (6.15) :
a; Si b = a , on a |Z/| = a , et puisque <p' est réduite,
-V = -a < b' ^ a' = a ^> b' = a = b.
b) Si a = c, alors a1 = c', donc è > 0 et b' ^ 0 ; ainsi |Z/| = |£| => Z/ = Z?.
c) Les cas b = a et a = c étant exclus, il reste en vertu de (6.15) : —a<b<a<c.
Si on note x = j^x' + <r/y'. y = rx' -h sy' avec /?s — qr = 1, la
transformation unimodulaire qui transforme <p en cp', la première relation de (6.11) s'écrit
a' = a = <p(p.r) = vx = V2 < v3 . Donc /? = ±1, r = 0 ; par suite /?.s = 1 ;
la deuxième relation de (6.11) entraîne alors b' = b (mod 2a). Ceci, joint au fait que
\b'\ ~\b\, —a < b < a. —a<b'^a, implique b — b' .Le théorème 6.12 est démontré.
THÉORÈME 6.13. // n existe qu'un nombre fini de classes d'équivalence déformes
quadratiques de discriminant A < 0 donné.
Ce nombre, noté h(A), est appelé nombre de classes ; il est égal au nombre de solutions
(#,£>,<:) G N* x Z x N* de Véquation b2 — 4ac — A, vérifiant a ^ y/—A/3 ainsi que
(6.15).
DÉMONSTRATION. Toute forme étant équivalente à une forme réduite (théorème 6.11), et
deux formes réduites étant non équivalentes (théorème 6.12), le nombre de classes
d'équivalence de formes de discriminant A est donc le nombre de formes réduites <p — (a,b:c)
de discriminant A. On a alors b2 — 4ac = A, et \b\ ^ a \b\ ^ c => b2 < ac ; donc
—3ac ^ A et ac < —A/3 . Comme 0 < a ^ c, il vient a ^ yj—A/3. Donc a ne peut
prendre qu'un nombre fini de valeurs ; il en est de même de b puisque \b\ < a , et de c
puisque b2 — 4ac = A . Le théorème 6.13 est démontré.
Exemple 6.9. A = -4. Alors a ^ y/4/3 => a = l . Donc \b\ < a ^> \b\ = 0 ou 1.
Or b2 — 4ac = A entraîne b2 — 4ac = —4, donc b = 0 et c = 1. Il existe une seule
forme quadratique réduite de discriminant —4 , cp = (1,0,1), la somme de deux carrés, et
A(-4) = 1

72 Théorie des nombres
Exemple 6.10. A = -20. Alors a ^ ^20/3 => a — \ ou # = 2 . Le cas a
b = 0 et c = 5 ; le cas c = 2 implique £> = 0, ±1 ou 2 ; alors c vérifie —8c
1 — 8c = —20, ou 4 — 8c = —20 ; seule la dernière équation convient ; ainsi c
Donc il existe deux formes réduites de discriminant -20 : q>\ =(1,0,5) et cp2
et fc(-20) = 2 .
La table ci-dessous donne le nombre de classes /z(A) pour —79 ^ A ^ —3 .
Table 6.2 : Nombres de classes h(—D).
D
h(-D)
3
1
4
1
7
1
8
1
11 | 12 | 15
1
2 ! 2
16
2
19
1
20
2
23
3
24
2
27
2
D
H-D)
28
2
31
3
32
3
35
2
36
3
39
4
40
2
43
1
44
4
47
5
48
4
51
2
52
2
D
h(-D)
55
4
56
4
59
3
60
4
63
5
64
4
67
1
68
4
71
7
72
3
75
3
76
4
79
5
6.5.4 Représentation d'un entier par une forme quadratique
On dit que l'entier n est représenté proprement par la forme q> = (a.b.c) si
n = ax2 + bxy + c>'2 , avec x et y premiers entre eux.
THÉORÈME 6.14. U entier n est représenté proprement par une des formes quadratiques
de déterminant A si, et seulement si, l'équation A = k2 (mod An ) admet une solution.
DÉMONSTRATION. Supposons d'abord que l'équation A = k2 (mod An ) ait une
solution. Définissons m par A = Anm + k2 ; soit ç(x. y) = nx2-\-kxy—my2 ; alors ç a pour
discriminant A, et elle représente proprement n puisque n = ^(1.0). Réciproquement,
supposons que n = <p(p,r) — ap2 + bpr + cr2, avec £>2 — Aac — A, p et r premiers
entre eux ; en vertu du théorème de Bézout, il existe q et s tels que pq —rs = 1. Utilisant
(6.11), nous voyons que q> ~ q>' = (a', b\ c'), avec a' = (p(p: r) = n . Comme ^ et <p' ont
le même discriminant A = b'2 — 4a'c', l'équation A = k2 (mod 4/2 ) a une solution.
Le théorème 6.4 donne les meilleurs résultats dans le cas où /z(A) = 1. Donnons à titre
d'exemple une nouvelle démonstration du théorème 6.1. Soit n un nombre premier impair ;
n est représentable (la représentation est propre puisque n est premier) par une des formes
quadratiques de discriminant —4 si, et seulement si, l'équation —4 = k2 (mod An ) a une
solution, c'est-à-dire si et seulement si l'équation — 1 = x2 (mod n) a une solution ce
qui équivaut à n = 1 (mod 4) en vertu de (6.5). Comme h{—A) = 1, toutes les formes
quadratiques de discriminant-4 sont équivalentes à cp — (1,0. 1) (exemple 6.9) ; ainsi n est
représenté par une de ces formes si et seulement si n est représentable par cp(x y) — x2+y2 .
D'où le théorème 6.1.
En raisonnant de même, on voit que le nombre premier impair n est représentable par une
des deux formes réduites de discriminant -20, ç\ = (1,0,5) et cp2 =(2,2,3) (voir exemple
6.10) si et seulement si —20 = k2 (mod An ) est soluble, c'est-à-dire —5 = x2 (mod n ),
= 1 donne
= -20, ou
= 3.fc = 2.
= (2,2.3),

Chapitre 6 ■ Carrés et sommes de carrés 73
c'est-à-dire (^) = 1 ou n = 5. Or (^) - (=±) (£) - (-1)^ (f ) - 1 si et seulement
si /z = 1,3,7,9 (mod 20). Le nombre premier impair n est donc de la forme a2 + 5y2 ou
2x2 + 2a v + 3j2 si, et seulement si, /z = 1. 3,7 ou 9 (mod 20) ou si n = 5 . Le théorème
6.14 ne permet pas de dire laquelle de ces représentations est la bonne. On peut les distinguer
en remarquant que n = x2 + 5y2 implique que n est un carré mod 5, c'est-à-dire (|) = 1
ou n = 5 , tandis que n — 2x2 + 2av + 3 y2 implique 2n = (2a -r y)2 + 5v2 , c'est-à-dire
(y) = 1, ou encore (|) = — 1 . En conclusion, si n est premier impair, n — 5 ou n = 1
ou 9 (mod 20) =^ n = a2 + 5 v2 ;/îe3ou7 (mod 20) =>► n = 2a2 + 2xy + 3j2 ; sinon
n n'est représentable par aucune forme de discriminant -20. Par exemple, 61 = 42 + 5 ■ 32 ,
tandis que 67 = 2(-4)2 + 2(-4)5 + 3 • 52 .
6.6 SOMMES DE QUATRE CARRES
Il s'agit d'un des plus célèbres théorèmes de la Théorie des Nombres, énoncé par Bachet
en 1621, démontré par Lagrange en 1772.
THÉORÈME 6.15. Tout entier naturel s'écrit comme somme de 4 carrés.
Naturellement, certains de ces carrés peuvent être nuls. Ainsi 2 = l2 + l2 + 02 + 02 ,
12 = 22 + 22 + 22 . Cependant, ce résultat est le meilleur possible, car aucun nombre de la
forme 8n + 7 ne peut s'exprimer comme somme de 3 carrés seulement (exercice 6.11). Ainsi
7 = 22 + l2 + l2+l2, 15 = 32+22 + l2 + l2.La démonstration du théorème des quatre
carrés est basée sur l'identité
(a2 + v2 + Z2 + w2){x'2 + y'2 + z'2 + u'/2)
= (aa7 -r yy' + zz + ww'f + (xy' - yx' -r wz' - zw'f (6.16)
+ (a-' - zx + yw' - wy'f + {xw' - wx' + zy' - yz'f-
liée à la théorie des quaternions, mais qui peut se vérifier directement. Ainsi le produit de
deux sommes de 4 carrés est une somme de quatre carrés, et puisque 2 est une somme de 4
carrés, il suffit de démontrer que tout nombre premier impair est une somme de 4 carrés.
On utilise la méthode de descente, à partir du lemme suivant :
LEMME 6.2. Soit p premier impair. Alors il existe (a. y) G Z2 tel que 1 + a2 + y2 = 0
(mod p).
DÉMONSTRATION. Voir exercice 6.12.
Démontrons le théorème 6.15. Dans le lemme 2, on peut choisir a et y tels que
|a| < p/2 et \y\ < p/2. Ainsi 1 + a2 + v2 < 1 + ^2/2 < p2, et il existe k tel
que 1 + a2 -h v2 = kp, avec 1 ^ k < p. Soit m le plus petit entier positif vérifiant
a2 + b2 + c2 + d2 = mp, avec m < p. Alors m ^ k, et m est impair. En effet,
si m était pair, 0, 2 ou 4 des nombres a.b^c.d seraient impairs, par exemple a et b
dans le cas de 2; alors les nombres (a + b).(a — b),(c + d).(c — d) seraient pairs, et
fa+b\2 (a-b\2 fc + d\2 (c-d\2 m . ,..,..,..
I —-— 1 — I —-— I + I —-— I + I —-— I = —p , ce qui contredirait la mmimahte
de m .

74 Théorie des nombres
Ainsi m est impair; supposons que m > 3. Soient a'.b'.c'.d' vérifiant
\a!\ < m/2,\b'\ < m/2,\e'\ < m/29\d'\ < m/2,a' = aM = b,c' = c*d' = d
(mod m ). Posons n = a'2 + b'2 + c'2 + d'2 . On a n = a2 + b2 + c2 + d2 = 0 (mod
m ), et n > 0, car n = 0 => a7 = b' = c' = d' = 0 => mp = 0 (mod m2 ) => m\p,
impossible. De plus, ?z < 4(m2/4) = m2 ; ainsi n = um , avec 0 < // < m . Puisque
um = a'2 + b'2 + c'2 + d'2 et mp = a2 + è2 + c2 + d2 , (um)(mp) = A2 + B2 + C2 + D2
en vertu de (6.16) ; cette égalité montre même que A = B = C = D = 0 (mod m ) par
définition de a', b': c',df. Ainsi up = A'2 + B'2 + C/2 4- Z)/2 après simplification par m2 ,
avec 0 < u < m ; contradiction avec la rninimalité de m . Par suite m = 1, et le théorème
de Bachet est démontré.

Exercices 75
EXERCICES
6.1 Soit (G, +) un groupe commutatif. Soit H un sous-groupe de G . Montrer que la relation
définie par (xlZy) <=> (x — y G H) est une relation d'équivalence.
6.2 Avec les notations de l'exercice 6.1, montrer que l'addition est compatible avec 1Z. Puis
démontrer que l'ensemble quotient G/H est un groupe commutatif.
6.3 Soit A un anneau commutatif unitaire, et / un idéal de A . Montrer que A// est un anneau
commutatif unitaire.
6.4 Soit Ak l'anneau des entiers du corps quadratique K = Q(y/d). Soit a G Ak . En s'inspirant
de la démonstration du théorème 5.16, prouver que, pour tout x G Ak , il existe q,r G Ak vérifiant
x = aq + r , avec r = a + fiVd, \a\ < \a\ , |/3| ^ \a\ . Puis démontrer le théorème 6.3.
6.5 Démontrer le théorème 6.6.
6-6 1) Démontrer le petit théorème de Fermât en travaillant dans le groupe multiplicatif (F*, ■).
2) Soit p un nombre premier ; démontrer que le coefficient binomial Ckp est divisible par p pour
1 ^ k ^ p — 1 . En déduire une deuxième démonstration (par récurrence) du petit théorème de Fermât.
3) On dit que p est un nombre de Carmichael si ap = a (mod p ) pour tout a G Z et p est non
premier. Vérifier que 561 est un nombre de Carmichael et que, par conséquent, la réciproque du petit
théorème de Fermât est fausse.
6.7 Démontrer que / : (x,y) \—> (x\ y'), définie par x = \{q + 1) — x', y = \{p + 1) — y'
réalise une bijection entre les régions
A = | (xt y) G R/px -qy^--q\ et B = l (x, y) G R/qy -px^--p
6.8 Théorème de Wilson
1) Démontrer que, pour tout nombre premier p , (p — 1)! = —1 (mod p ) (on pourra associer, à
chaque élément x de F* , son inverse).
2) En déduire la démonstration du théorème 6.9.
6.9 On se propose de démontrer le théorème 6.10 par une méthode constructive, c'est-à-dire
permettant de calculer explicitement une racine primitive g de F* pour p premier donné. On note
p — 1 = pa{1 p? •.. pjJ la décomposition de p — 1 en produit de facteurs premiers.

76 Théorie des nombres
1) Démontrer que si a est d'ordre a, et b d'ordre ^. avec a et fi premiers entre eux alors ab est
d'ordre a fi .
2) Démontrer que la congruence xd — 1 =0 (mod p ) a exactement d solutions dans ?* si d\p — 1 .
En déduire que. pour tout facteur premier pk de p — 1 , il existe x G Y~p tel que je soit d'ordre pakk .
3) Démontrer l'existence de racines primitives mod p .
4) Application numérique : trouver toutes les racines primithes mod 41.
6-10 1) Écrire la forme quadratique <p(x, v) = ax1 + bxy + cv2 sous forme matricielle. Soit M la
matrice de <p dans la base canonique de M" : quelle relation existe-t-il entre A et det M ?
2) La matrice £/ est dite unimodulaire si £/ = ( ). avec p. #. r, s G Z et det U = 1 . Traduire
la relation ~ sous forme matricielle ; en déduire que ~ est une relation d'équivalence.
3) Démontrer que deux formes équivalentes ont le même discriminant.
6.11 Démontrer que, si w=8h + 7 , m ne peut pas s'écrire m=a1 + Z?2 + c2, ûi,cGZ.
6.12 Démontrer que les nombres 1 + x2 , avec .y G {0,1,..., ^-} sont tous distincts mod p .
Démontrer le lemme 6.2 grâce au principe des tiroirs.
6.13 Calculer les symboles de Legendre (|y) et (||) , puis résoudre x2 + Ix — 2 = 0 (mod 31),
ainsi que 2x2 + 5x — 1 = 0 (mod 37).
6.14 Réduire la forme quadratique cp = (12,31,21).
6.15 Déterminer les formes réduites et le nombre de classes pour A = —3, A = —12, A = — 31 .
6.16 Montrer que h(—l) = 1 , puis trouver les nombres premiers de la forme x2 + xy + 2v2 .
Application numérique : p = 211 .
6-17 1) Montrer que h{—8) = 1 , puis trouver les nombres premiers de la forme x2 + 2v2
2) En s'inspirant de la démonstration du théorème 6.2, trouver une condition nécessaire et suffisante
pour que l'entier naturel n soit de la forme x2 + 2y2 .
6.18 Nombres de Fermât
Les nombres de Fermât sont définis par Fn = 22 + 1, n ^ 0 .
1) Vérifier que Fo, F\, F2 et F3 sont premiers.
2) On suppose que n ^ 2 et on considère un diviseur premier p de Fn .
a) Déterminer l'ordre de 2 dans ¥p . En déduire que 2"+1 divise p — 1 .

Exercices 77
b) Calculer le symbole de Legendre (-). En déduire que p = k2n+2 + 1 .
c) Montrer que F4 est premier et que F5 et Fç ne sont pas premiers.
6.19 Théorème de Sophie Germain, 1823
Le but de l'exercice est de démontrer le célèbre théorème de Sophie Gennain sur 1 équation de Fermât
xp +yp = zp : si p est un nombre premier impair tel que 2p-\-\ ou 4p + l est aussi premier, et s'il
existe x,y,z premiers entre eux tels que xp + yp = zp , alors l'un des trois nombres x,y ou z est
divisible par p . On voit facilement que le théorème s'applique pour p = 3,5,7,11,13,23,29,37,.. .
Pour démontrer le théorème, on raisonne par l'absurde, et on suppose que xp + yp + zp = 0, p
premier impair, où x, y, z sont premiers entre eux deux à deux, x^0,y^0,z^0 (mod p ). On
suppose qu'il existe un nombre premier impair q vérifiant la propriété (P) :
xp + yp -f Zp = 0 (mod q ) => q\x ou q\y ou q\z.
1) Démontrer les relations d'Abel-Barlow (1810) :
ï + y = t";
C-r.ï=5p;
V
avec PGCD {t, h) = PGCD (r, ri) = PGCD {s. si) = 1 .
2) Montrer qu'il existe un entier k tel que p = kp (mod g ).
3) Démontrer le théorème de Sophie Germain dans le cas où 2p + 1 = q est premier.
4) Démontrer le théorème de Sophie Germain dans le cas où 4p + 1 = q est premier.
6.20 Anneaux principaux et anneaux euclidiens
On dit que l'idéal I de l'anneau A est principal s'il existe a G A tel que / = a A (voir théorème
6.3). On dit que l'anneau intègre A est principal s'il n'est pas un corps et si tout idéal / de A est
principal. On dit que l'anneau intègre A est euclidien s'il existe une application <p : A* —► N
telle que, pour tout couple (a.b) d'éléments de A, avec b ^ 0, il existe (q,r) dans A tels que
a = bq + r et cp(r) < <p{b) ou r — 0.
1) Donner des exemples d'anneaux euclidiens.
2) Montrer que tout anneau euclidien est principal.
3) Démontrer que. pour tout couple (a. b) d'éléments de A. l'ensemble / = {ax + by/(x, y) G A2}
est un idéal de A. En déduire que l'identité de Bézout (5.8) reste vraie dans un anneau principal.
4) Démontrer que tout anneau principal est factoriel.
xp + v'
X
yp
y
-p
—
-t-
-"-
i-
V
-P
Z
xp
-'f;
= t
■n*
— sp-
= -th
-rri
y = -SSl)

Chapitre 7
Fonctions arithmétiques
Ce chapitre est consacré à l'étude des fonctions arithmétiques élémentaires, telles que
d(n) (nombre de diviseurs de n ), r2(n) (nombre de décompositions de n en somme de deux
carrés), etc. On utilise essentiellement des outils analytiques, tels que les séries génératrices
(§7.1), les séries de Lambert (§7.2), et la formule du triple produit de Jacobi (§7.3). On
obtient ainsi une formule pour i'2(n) (§7.4) et pour ri(n), nombre de décompositions de n
en somme de quatre carrés, qui précisent quantitativement les résultats obtenus au chapitre 6
(§7.5). On étudie également l'indicateur d'Euler (p{n) (§7.6), et on démontre la majoration
PPCM (1,2,..., h) ^ 3'1 et les inégalités de Tchebicheff. Enfin, on consacre un paragraphe
à l'estimation de la valeur moyenne de ^(/z), qui s'obtient par des moyens géométriques.
Les exercices donnent quelques compléments, notamment sur la fonction de Môbius fx{n),
la fonction zêta de Riemann £(s), et les séries de Dirichlet.
7.1 FONCTION GÉNÉRATRICE ORDINAIRE
Soit (an)nef$ une suite de nombres complexes ; la fonction génératrice ordinaire de (an)
est définie par
+ OC
f(x) = Y,anx\ (7.1)
à condition que cette série entière ait un rayon de convergence non nul ; cela sera le cas si
(atl) est d'ordre exponentiel, c'est-à-dire s'il existe A > 0 tel que \an\ ^ An .
Exemple 7.1. Soit la suite de Fibonacci (Fn), définie par
F0 = 0 ; Fi = 1 ; F„+2 - F„+1 + Fn pour n ^ 0. (7.2)
La relation de récurrence Fn+2 = K+i + Fn montre que Fn ^ 0, puis que Fn ^ F„+i ,
enfin que Fn+\ ^ 2F„ pour n ^ 1 . On en déduit que Fn ^ 2" pour n ^ 1, donc la série
entière f(x) = X)^o ^"*" a un ray°n de convergence R ^ \ . On peut calculer f(x) en

Chapitre 7 . Fonctions arithmétiques 79
écrivant
+00 +00
f(x) = * + £ F»X" = X + I](F"-1 + F"-2)X"
n=2
4-oc -roc
^ + x ^ F^uc""1 + x2 Y, Fn-i*"'
n=2 n=2
4-oc
7i=2 n=2
+00 +00
= x + x ^ />x^ + x2 ^ Fpx^ = x + (x + x2)/(x).
p=l p=0
Donc la fonction génératrice ordinaire de la suite de Fibonacci est
/(*)= , ~X ■■ (7-3)
X2 + X — 1
En retour, /(x) permet d'obtenir l'expression de Fw en fonction de /7 (voir aussi
exercice 3.11) ; on a x2 + x - 1 = (x + <ï>)(x + M>) où <ï> = (1 -f \/5)/2 est le nombre d'or, et
M*1 = — l/<t> = (1 — y/5)/2 ; donc /(x) définie par (7.3) se décompose en éléments simples :
/(*) = -75 —t^ï: +
d'où, comme l/4> = -* et l/f = -<!>,
1/1 1 \ 1 /+oc +oc \
+ DC
En comparant à /(x) = 2_\ F„x" , on obtient
Fn = —{<$>n - V1). V/7 G N. (7.4)
EXEMPLE 7.2. Pour tout entier naturel n , notons n(n) le nombre de
décompositions de n comme somme des carrés de deux entiers relatifs, c'est-à-dire le
nombre de couples ordonnés (a:b) 6 Z2 tels que n = a2 + b2 ; par exemple
5 = l2 + 22 = 22 + l2 = (-12) + 22 = 22 -h (-1)2 = l2 + (-2)2 = (-2)2 + l2 =
(-1)2 + (~2)2 = (-2)2 - (-1)2 . de telle sorte que r»(5) = 8 : 9 = 32 + 02 = 02 + 32 =
(-3)2 -h 02 = 02 - (-3)2, et r2(9) = 4 : r2(7) = 0 car 7 = -1 (mod 4) (théorème 6.1).
On peut exprimer la fonction génératrice ordinaire f(x) = J2^^o ri(n)xn de ^a façon
suivante : considérons, pour |x| < 1 ,
+ 3C +OC
g(x)= Y, x"2 = l+2Y,xn\
77 = 1
et calculons (g(x))2 = [Yln^-oc*'1') • Le terme en xn dans (g(x))2 s'obtient en multi-
pliant les termes x1 de la première série par les termes xm de la deuxième, de telle sorte

80 Théorie des nombres
que xe" ■ xm~ = xtl ; ainsi n = £2 4- m2 ; chacun de ces produits donne un coefficient égal à
1, et il y a autant de produits que de solutions {je, m) G 1? de l'équation (r — m2 = n . Donc
le coefficient de xn dans (g(x))2 est exactement r2(n), et
+oo / j-oo \ "
w=0 v»=—oc /
REMARQUE 7.1. La fonction r2(fl) est un exemple de fonction arithmétique, c'est-à-dire de
fonction de N dans C . Un autre exemple est la fonction diviseur d(n), qui mesure le nombre
de diviseurs positifs de n ; ainsi d{\) = 1,J(2) = 2.d(3) = 2,d(4) = 3 rf(24) = 8,
etc ... On remarquera que d(n) = X^i/2 1 » de même la fonction somme des diviseurs s'écrit
o-(n) = £^„ ^ •
REMARQUE 7.2. La fonction génératrice ordinaire de la suite de Fibonacci (Fn), qui vérifie
la relation de récurrence linéaire Fn+n = Fn+\ + Fn , est une fraction rationnelle. Ceci est
un cas particulier du
THÉORÈME 7.1. La fonction génératrice f{x) = ^2n^unx?1 est une fraction rationnelle
P(x)/Q(x), avec deg P < deg Q si, et seulement si, la suite (u„) est récurrente linéaire,
c'est-à-dire s'il existe un entier p et des nombres complexes cïq ^ 0, û?i, olp-\ tels que
pour tout n G N
Un-tp =%ap_iM,,+p_i 4- a/,_2M/l+p_2 H h ao«n-
DÉMONSTRATION. Exercice 7.1.
7.2 SÉRIES DE LAMBERT
LEMME 7.1. Soit Cl un ouvert de C, et soit (/„) wne suite de fonctions holomorphes dans
fl, convergeant vers une fonction f uniformément sur tout compact de Cl. Alors f est
holomorphe dans Cl.
DÉMONSTRATION. Soit (C) un petit cercle entourant zo € Cl, inclus dans Cl. En vertu de la
formule intégrale de Cauchy, on a pour tout z à l'intérieur de (C), fn(z) = —— / ——dt ,
lirr Jc t — z
pour tout n G N. D'où
2î
puisque /„ —» / uniformément sur C . Ainsi
/fc)-/fa)= i /■ /(0_L_ f _L _ __ M<
z - zo 2ït7 Jc z - zo V - z t -zo
2/77 JC
/c (* - *)(' - zo)

Chapitre 7 • Fonctions arithmétiques 81
Il en résulte que
lim fW ~ ^o) = _L f f^dt
^ Je
*Zo Z — ZO 2Î7T Jc (t — Zo)2 '
ce qui prouve que / est holomorphe en zo . Cette démonstration montre même que l'on peut
"dériver (7.6) sous le signe somme" :
f\z) = ^r- I^ jP^dt. (7.7)
2itt Jc(t-z)2
Soit maintenant a{n) une suite d'ordre exponentiel, c'est-à-dire qu'il existe A > 0 tel
que \a(n)\ < A" . Posons p = inf (l/A, l) , et considérons la série
Soit V(p) = {x G C/ |x| < p} le disque de centre 0 de rayon p. Pour tout compact
K C £>, il existe /c > 0 tel que xeZ=>|x|^/:<p. Donc si x e K :
I ci(n)x"
1
|fl(;Q||*r (*A)"
1 I I" ^ 1 7
1 — \x\ 1 — A:
Puisque &A < 1, on en déduit que la série (7.8) converge normalement, donc
uniformément sur tout compact de V(p). En vertu du lemme 7.1, £{x) est donc une fonction
holomorphe dans V{p) ; la série £{x) définie par (7.8) s'appelle la série de Lambert associée à
la suite a[n).
Voici le résultat fondamental sur les séries de Lambert :
H-oc n +°° I \
«=1 n=\ \d\n j
Pour démontrer (7.9), remarquons que £{x) = Yl^=\ a(n)xnIQ ~~ x") est holomorphe,
donc analytique dans V{p) ; elle se développe donc en série entière £{x) — X^j^i b{n)xn .
Pour trouver b{n), on observe que
+ OG . j. J +OC -|-OC -J-OO +00
*w = £ f^i = E a^d Exkd = E E fl^md;
d=l d=l £=0 rf=lm=l
le terme de degré n dans £{x) s'obtient en posant n = md , donc chaque diviseur d de n
va y contribuer pour a(d). D'où b(n) = ^V a(d).
Exemple 7.3. Si a(n) = 1 , on a X^in^W) = J2d\n^ = ^00 > et s^ û(n) = 7î >
5Zrfi« flW) = ^2d\nd — o-(n). D'où l'expression des fonctions génératrices ordinaires de
la fonction diviseur d(n) et de la fonction somme des diviseurs cr(n) sous la forme de séries
de Lambert :
+oo +oc „
^J(«)x" = ^-—^ (|x|<l) (7.10)
i 1 IX
n~\ n=l
+00 +oc
nx
n=\ n=l
£^" = £t^ (W<d- (7-u>

82 Théorie des nombres
7.3 LA FORMULE DU TRIPLE PRODUIT DE JACOBI
Elle donne le développement en produit infini de la fonction
72= — OC
Nous aurons besoin du lemme suivant :
Lemme 7.2. Soit fl un ouvert de C ; soit (un) une suite de fonctions holomorphes dans
fi ; on suppose que la série X^J^o lw«C*)l converge uniformément sur tout compact de fi.
Alors le produit infini
-f-cc
h(x)=Y[(l+un(x))
converge uniformément sur tout compact de fi, h est donc holomorphe dans fi, et la
dérivée logarithmique de h est donnée par
(7.13)
h'(x) =^ u'n(x)
DÉMONSTRATION. Voir exercice 7.2.
THÉORÈME 7.2. La fonction 9% se développe en produit infini sous la forme
+ OC +OC j
63(q.x) = Y, Q"2*" = II^1 " <f"Kl +xcJ2'-i)(l + -g21-1)
72 = —OC 77 = 1
(formule du triple produit de Jacobi).
DÉMONSTRATION. Le Lemme 7.2 montre immédiatement que, pour \q\ < 1 fixé, la
fonction ho(x) = 1X^=7(1 + xqln~x) est holomorphe dans C ; elle est donc entière et on a
h0(x) = Y,t=*o an(q)*n , pour tout x G C .
Donc h(x) = n,!^1 + xq2n-x){\ + x~ V""1) = /z00c)/z0(l/*) est holomorphe
dans C* et, en effectuant le produit de la série en x et de la série en l/x, on obtient
h(x) — X^!=^oo an(q)xn » avec a-n(q) = an(q) puisque h{\/x) = h(x). Or on a aussi
Hq2x)=Y[(] +xq2"+])(l+l-q2"-A
n=\ \ X /
=ci+.v,)-1 gd+v-1) (i+±) g (i+v-)
77=1 x A ' n=\
Par conséquent h(q2x) = h(x)/qx . Donc
-f-oo 1 +oo 1 4-oc
Y an(qW"x* = - V fl,^)*"-1 = - Y" fl„+i(?Xï".

Chapitre 7 • Fonctions arithmétiques 83
On en déduit an+\{q) = q2n+lan(q), et une récurrence facile montre que
2
an(q) = qn ao(q) • Reportant dans l'expression de h(x), on obtient
-t-oc / -. \ -t-oc
fj(l + xq2"-1) ( 1 + -q2n~l J = flofe) 5Z «"2jc" = «0(9)^(9 -v).
#1=1 ^ ^ /! = —OO
Il reste à calculer cio(q). Suivant Gauss, nous remarquons que
03(<?, i) = 03(q, l/i) = 63(q, -i), donc
*3(«, 0 = 2^3(9- 0 + S3(q, -i)) = ^ <74"2(-ir = 03(«4, -!)•
n—oo
Or, à partir de (7.14), il vient
(7.14)
+ OC
a0(q)63(q.i)=Y[(l+q4"-2) =
n;=ia-g8""4)
nt°,(i-^4"-2)
a0(q4)ei(q4,~l) = l[(l-qs"-4)2.
n=l
+oo
En égalant 03(q,i) et 03(q4, — 1), on obtient
«o(<?4) = ao(q) JJd - ?8,,"4)(1 - ^4""2)
= flofe) ifci - «r(4'!-2))(i - r^'-^d - <?2(4-3)).
/z=l
car les nombres de la forme 4n — 2 se partagent en nombres de la forme Sn — 2 ou 8n — 6 .
Dans le produit ci-dessus, les exposants de q sont tous les nombres pairs, sauf les multiples
de 8 ; donc
, 4, , ,n,tl»-^')
Par suite, pour tout k G N :
—oc 4-oc
floo?) n^1 - ^=^(^4) n^1 - ^
n=\
4-oc
=.. ■=Û0G74*) n^1
«=1
?2'4").
Or. si nous fixons jc = 1 par exemple, (7.14) et le lemme 7.2 montrent que ao(q) est une
fonction holomorphe de q pour \q\ < 1, et que fl0(0) = 1 ; le lemme 7.2 montre également
que n«J^iO — Qn) est holomorphe dans \q\ < 1. Faisant tendre k vers +00, on obtient
donc aQ(q) J]Jj^(l — q2n) = 1, et la formule du triple produit est démontrée.

84 Théorie des nombres
+00 . _ n +oc
COROLLAIRE 7.1. Si \q\ < 1 , JJ -—^ = ^ (-l)"^
72 = 1 ^ 72 = — OC
DÉMONSTRATION. Exercice 7.3.
7.4 SOMMES DE DEUX CARRES
THÉORÈME 7.3. Pour tout n G N* , r2(n) = 4(Ji(/z) - d3(/z)) » ow d\{n) est le nombre de
diviseurs d de n vérifiant d = 1 (mod 4) £f ^(w) est le nombre de diviseurs d de n
vérifiant d = 3 (mod 4).
Nous aurons besoin de la formule suivante (\q\ < 1) :
\\{\ + qnf{\ ~ q") = HO + <74"~3)(1 + q*-')0. - q4")- (7.15)
77=1 7? = 1
Voir l'exercice 7.4 pour la démonstration de (7.15). Pour démontrer le théorème 7.3, on
part de la formule du triple produit de Jacobi, où on remplace x par —y/qx2 et q par yfq :
+oo , 4-oc
Ha - qn)(\ - jcVxi -*~Y_1) = E (-d"*2"^- aie)
72—1 71 = — OC
Or n^C1 - x-y_1) = (1 - x~2) nS(! - *~V) ; donc, après multiplication par
x , (7.16) s'écrit :
+oc -+-00
(x - v-1) fj(l - q")(l - x2q")(l - a"Y) = 2 (-l)".v2"+1g=^. (7.17)
77=1 7I = —OC
Dans la partie droite de (7.17), on sépare les termes d'indices pairs de ceux d'indices
impairs, puis on utilise la formule du triple produit à nouveau :
(x - x-1) Ha - ou - x y xi - x-y )
71=1
-foo +oo
= J2 .x4"+1q2"2+n - J2 x4"~^2"2~n
n= — oo 7ï= —oc
= x63(q2yqx4) - x-'63(q2jq-lx4)
+oo
= jt [](i - ^4")(i + A4"_1)(i +x"V'-3)
- x"1 JJ(1 - q4n)(l + x4ç4"-3)(l + x-V^1).
72 = 1
72=1

Chapitre 7 • Fonctions arithmétiques 85
Tous les produits infinis sont des fonctions holomorphes de x sur C* en vertu du lemme
7.2. On dérive par rapport à x en utilisant (7.13) :
4-co
(1 + x-2) J](l - q"){\ - *V)(1 " x-2q")
n=l
+(x - x-1) n^1 - «"x1 - * v)o - *~ V)
+00
=n(i -?4n)(i+^vK_i)(i+x"V"-3)
+oo
^ 1 + A-4^4"-"1 + ^ ï + X"V'1"3
n=l n—1
J](l - q4n)(\ + jcV""3)0 + JC-V^x
n=l
+ OC
/^ 4X3?4"-1 £? _4jc-s *.-3
n=l
'±2? 4xY"-3 , ^ -4X-5?4"-1
\/i=1 n=l
4^4/i-3
Pour x — 1, tout ceci se simplifie remarquablement, et on obtient après division par 2 :
rid - <?")3=n^1 - s4"*1+?4"_i)(i+?4"_3)x
+oc 4/7 — 1 +°° 4/2—3 \
/2=1 ± n=\
+ q
An-3
On utilise (7.15), puis le corollaire 7.1, pour obtenir
+ OC
+°° „4h-1 ±2? „4n-3
z——oc / /î=1 ^ «=1
,tï1+2
4n-3
(7.18)
Lorsqu'on remplace g par —q ,on obtient, grâce à (7.5), la fonction génératrice ordinaire
de rj(n) sous la forme d'une somme de séries de Lambert :
-oc -oc An-3 +°° ^4«-l
E^w' = ^Et^-4Et^t-
72=0
72 = 1
n=l
Dans la première de ces séries de Lambert, a(n) = 1 si n = 1 (mod 4) et a(/î) = 0
sinon, donc, en vertu de (7.9) :
Et^i = E^w-
n=l * «=1

86 Théorie des nombres
De même :
+ ^ „4/ï —1 -r^
;z=I 1 n = \
et le théorème 7.3 est démontré.
REMARQUE 7.3. Le théorème 7.3 donne une version quantitative du théorème 6.1. En effet,
si p est premier, p = 3 (mod 4), alors d\(p) = 1 car le seul diviseur de p congru à 1 mod
4 est 1, et di(p) = 1 car le seul diviseur de p congru à 3 mod 4 est p . Donc r^ip) = 0,
et p ne s'écrit pas comme somme de deux carrés. Si p est premier, p = 1 (mod 4), alors
d\(p) = 2 et di(p) — 0 , donc 7*2 (p) = 8 . Aux permutations de a et b, et aux changements
de signes ±a, ±b près, cela signifie que la décomposition de p sous lafonne a2 + b2 est
unique si p = 1 (mod 4). Rappelons que cette décomposition peut s'obtenir en développant
y/p en fraction continue (exercice 4.10).
7.5 THÉORÈME DE JACOBI SUR LES SOMMES DE QUATRE CARRÉS
En procédant de manière analogue (voir l'exercice 7.5 pour les détails), on démontre la
formule
(+00 \ 4 /+00 .. +00 „ 4- \
E^)-i+«(Ei^-E^=) *i<* *•■»
n = —00 / \«=1 ^ /z=l ^ /
Or, en notant r4(/7) le nombre de décompositions de n en sommes de quatre carrés, on
a, de manière analogue à (7.5) :
+oc / +oc \ 4
n=0 \n=—oc /
D'autre part, la parenthèse figurant dans le membre de droite de (7.19) est la série de
Lambert Et°ia(wV7(l - qn), avec a(n) = 0 si 4|/z, a(n) = 8;? sinon. En utilisant
(7.19), (7.20) et (7.9), on obtient le théorème de Jacobi :
THÉORÈME 7.4. Pour tout «eN*, r4(/z) = 8 E d.
d\nd^0(mod4)
En particulier, puisque 1 divise n, /4(/î) > 8, donc tout entier n est une somme de
quatre carrés ; le théorème de Bachet (théorème 6.15) apparaît donc comme un corollaire du
théorème de Jacobi.
7.6 L'INDICATEUR D'EULER <p{n)
On définit la fonction arithmétique (p(n) comme le nombre d'entiers naturels x ^ n qui
sont premiers avec n . Ainsi cp(2) = 1, <p(3) = 2, <p(4) = 2, cp(5) = 4, cp(6) — 2, etc.

Chapitre 7 • Fonctions arithmétiques 87
On peut donner une formule explicite pour cp(n) :
v(fl)=nTl(l--f)- (7-21)
où le produit est étendu à tous les diviseurs premiers pi de n . Par exemple, 1176 = 23 -3-72 ,
donc
ç>(1176) - 1176 [1 - I ) [ 1 - i ) [ i _ I ] = 336.
2y v 3/ V 7,
Pour démontrer (7.21), posons n — p"1 p%2 • • • P%m , et utilisons la formule du crible : si
A i, A2, - • •, Am sont des ensembles finis, on a
m
card (AiUA2U...UAm) = ^ card A,- - ^ card (A,- fl Aj)
i=\ Kj
+ 53 card (A< n A;n Ak) ^ (-ir_lcard (Ai n a2 n... n Am) (7.22)
(démonstration : exercice 7.6).
Les entiers x ^ n qui ne sont pas premiers avec n sont ceux qui sont multiples de p\ ,
ou de p2 , ... ou de /?,„ , autrement dit les éléments de Ai U A2 U ... U Am , où A/ est
l'ensemble des multiples de p\ . Puisque /?,- divise «, on a card Az- — 72/77; . De même
card (Ai n Ay-) = n/piPj si i ^ j , car les éléments de A/ fl A, sont les multiples de /?; et
Pj , qui sont premiers entre eux ; etc ...
En utilisant la formule du crible (7.22), on obtient
cp(n) ==n- card (Ai U A2 U ... U Am)
n
= «-£-+£ — - E -=- + - + (-ir
i Pi i^jPiPj i<~KkPiPJ'Pk PlP2-..Pm
^[i-E-^E- +(-!)m—!—V c^f-d-
l / P/ i<i PiPj P\P2---Pml
Démontrons maintenant :
53^(d) = n. (7.23)
d\n
Pour ce faire, considérons les n fractions de dénominateur n , qui sont :
12 3 n - 1 n
n n n n n '
et écrivons-les sous forme irréductible ; pour chaque diviseur d de n, il existe
exactement (p(d) fractions irréductibles de dénominateur d, car après simplification par
d' = n/d, la fraction obtenue est irréductible si et seulement si le numérateur est
premier avec d ; d'où (7.23). On en déduit, en utilisant (7.9), la série de Lambert génératrice
de ç(n) :
n—l n=l \d\n / n=l

88 Théorie des nombres
7.7 VALEUR MOYENNE DE r2 (n)
Les fonctions arithmétiques ont, en général, un comportement très irrégulier ; considérons
par exemple la fonction r2(n) ; ses valeurs peuvent se calculer facilement grâce à la formule
r2(n) = 4 H (r + 1) JJ (1±f^) , (7-25)
où r désigne l'exposant de p = 1 (mod 4) dans la décomposition de n en produit de
facteurs premiers, et s l'exposant de p = 3 (mod 4) (exercice 7.10). Pour n ^ 60, on
obtient la table suivante.
Table 7.1 : Valeurs de r2(n).
n
nin)
1
4
2
4
3
0
4
4
5
8
6
0
7
0
8
4
9
4
10
8
11
0
12
0
n
ri{n)
13
8
14
0
15
0
16
4
17
8
18
4
19
0
20
8
21
0
22
0
23
0
24
0
n
r2(n)
25
12
26
8
27
0
28
0
29
8
30
0
31
0
32
4
33
0
34
8
35
0
36
4
n
ri{n)
37
8
38
0
39
0
40
8
41
8
42
0
43
0
44
0
45
8
46
0
47
0
48
0
n
ri(n)
49
4
50
12
51
0
52
8
53
8
54
0
55
0
56
0
57
0
58
8
59
0
60
0
Cependant, si on fait la moyenne des n premiers termes de la suite /*2(n), on obtient un
résultat remarquable.
THÉORÈME 7.5. lunn^r2il) + r2(2)+---+r2(n)=TT.
n
DÉMONSTRATION. Soit k G N* , k ^ n ; r2(k) est égal au nombre de points à coordonnées
entières (x,v) sur le cercle de rayon \fk (figure 7.1). Donc S(n) = J2l=i ri(k) est égal au
nombre de points à coordonnées entières (ij), situés à l'intérieur du, ou sur le cercle (C)
de centre 0 de rayon y/n (on exclut l'origine 0).
À chacun de ces points A (figure 7.1), on associe le carré de côté 1 situé au
dessus et à droite de A. Ces carrés, si on leur adjoint IJKO , recouvrent le cercle de
centre 0 de rayon yfn — \/2, et sont contenus dans le cercle de centre 0 de rayon
y/n 4- y/î • La somme des surfaces des carrés étant égale à S(n) + 1, on en déduit
Tr(y/n - V2)2 ^ S(n) + 1 ^ 7r(v/w + \/2)2 , d'où le théorème 7.6.

Chapitre 7 • Fonctions arithmétiques 89
i
j_ _i
i
1
i
1
- -1 À
! 7 a
J_ A J
_ _1 \
_i_ _J
1
À
1 ^_____
j
L J
.
K
à
0
.
1_
iy
i
. _J
^l
\l
. -1
— \
-h -
i
. _i
. _i
i
i
_i
1 k
j W
j | X
_i
i
FlG. 7.1
7.8 DISTRIBUTION DES NOMBRES PREMIERS : LA FONCTION 7r{n)
On note 7r(n) le nombre d'entiers naturels premiers inférieurs ou égaux à n :
p premier ^/?
Les premiers résultats effectifs sur la fonction tt (n) ont été obtenus par Tchebicheff en
1851, sous la forme d'un encadrement de 77 (n). Nous démontrerons ici le résultat suivant,
un peu moins précis que celui de Tchebicheff, mais plus simple à obtenir :
THÉORÈME 7.6. // existe un entier N explicitement calculable tel que, pour tout n ^ N :
Log2
Logn
^ 77(n) ^Log3
Logn
Un résultat plus précis, connu sous le nom de théorème des nombres premiers, a été obtenu
simultanément, de manière indépendante, par Hadamard et De la Vallée Poussin en 1896 :
Théorème 7.7. tt(n) ~
Logn
(n —» +00).
La démonstration du théorème des nombres premiers, qui est un des plus beaux résultats
de la théorie analytique des nombres, dépasse le cadre de ce livre. Nous renvoyons pour celle-
ci à [1] ou [13]. Nous nous limiterons à la démonstration du théorème 7.6. Elle repose

90 Théorie des nombres
essentiellement sur une estimation du plus petit commun multiple des n premiers entiers,
qui nous sera d'ailleurs utile en tant que telle dans les chapitres 8 et 9 :
THÉORÈME 7.8. Pour tout entier n. posons 8(n) = PPCM(1.2 n). Alors, pour tout
T < 8{n) O".
a) Démontrons d'abord la minoration de 8(n), en suivant les idées de Nair (1982). Pour
1 ^ m ^ /?, considérons T intégrale :
„1 n—m / _ \ 1
On a d'une part 8(n)K(m,n) G N. Par ailleurs, en intégrant K(m,n) par parties
m — 1 fois, on obtient :
v< ^ (m-1)1 1
K (//?,/?) —
(n - m + i)(n - m + 2) ■ • • (n - \)n m(") '
Ainsi, pour tout m compris entre 1 et n. /w(w) divise 8{n). En particulier,
*(ï)l*(2»).
Puisque 5 (2/z) | 8 (2/z + 1), on voit que n (2") | 5 (2/2 + 1).
De plus (2/2 + 1) (2;) = (n + 1) (?+/) > donc (2/2 + X> (?) I 5 (2/z + *> ■
Or PGCD(/z.2/i +1) = 1. donc /z (2/z + 1) (;") | 8(2n + 1) ; il en résulte que
6(2/2 -j- 1) ^ /z(2/2 + 1) (2"). Mais pour tout entier k compris entre 0 et 2/z. on
a (?) > (?) par conséquent (2/2 + 1) £) ^ ^to (?) = 4"- Ainsi :
5(2/2 + I)^n4".
Par suite, si O 2 on a <5(2/z + 1) > 22"+1. et si n ^ 4, 5(2/2 + 2) ^ 5 (2/z + 1)
> 22"+2. Ainsi pour tout n ^9, on a <5(n) ^ 2". Les cas /z = 7 et n = 8 se
vérifient par un calcul direct ; la minoration tombe en défaut pour n — 6.
b) Démontrons maintenant la majoration pour 8 (n), qui est en fait vraie pour tout n ^ 1
Cette démonstration est due à Hanson (1972). Elle utilise de manière essentielle le
développement de 1 en série de Sylvester (exercice 2.9) ; si on définit (an) par ai = 1 ;
an+] = a2 — an + 1, on a (exercice 7.7) :
+oo 1
(7.27)
a»
^ Cl,
Un deuxième ingrédient est la formule de Legendre :
LEMME7.3. L'exposant ap du facteur premier p dans n\ vaut:
n
P
T
n
P"
-r
n 1
vA
~^\ -r —r +•■

Chapitre 7 - Fonctions arithmétiques 91
DÉMONSTRATION. Voir exercice 7.8.
Nous donnons maintenant le schéma de la démonstration de la majoration de 8 (n),
les détails techniques étant laissés au lecteur (exercice 7.9). On a d'abord
l" Log n 1
S(n)= Y[plL°zp\.
(7.28)
En effet, pour obtenir 8 (/?), on doit prendre tous les nombres premiers inférieurs ou
égaux à n, avec l'exposant maximal vp qu'ils peuvent posséder dans la
décomposition de m ^ n ; on a clairement ppp < n, donc vpLogp ^ Logn, et puisque vp
est entier, vp — [Logn/Logp] , d'où (7.28).
L'idée de la démonstration de Hanson consiste à majorer 8 (n) par C (n) défini par :
C(n) =
1" n
[ai_
!
n
n
_a2_
!
! . . .
n
_ak_
î
(7.29)
où la suite (an) est définie en (7.27) et où k est le plus grand entier vérifiant ak ^ n
(donc <3£+i > n) ; évidemment /c dépend de n. On observe que C (n) est enf/er ; en
effet:
n
—
Lfli.
+
/?
—
a2_
+ ■■■ +
^n ( —+ —+
«i a2
+ — ) < n ;
donc, en notant b{ = \n/aî\ pour z ^ A: et b^+\ —n — ^2i=l bj, on voit que
C(n)
?k+\
Z?i!Z?2!---^+i!
Et puisque b\ + fr2 + * ■ ■ + ^+i = w: n!/Z?i !Z?2! • ■ -^+i! est un coefficient
multinomial; c'est le coefficient de x±lx%2 ■ ■ ■ xkk^ dans le développement de
(x\ + *2 + ■ • • + *à--j-i) ; c'est donc un entier, ainsi que C (n).
On démontre alors (exercice 7.9) que :
C(n) < (gn)Miog,n)+3 (2.952)" ,
où log2 -X = Log xj Log 2 est le logarithme de base 2.
log.(log,»)+3 log,(log24 500)+3
Pour n > 4500, on a (en) n <; (4500e) 4500 <j 1.014. D'où :
C(n) < (1.014)" (2.952)" < (2.994)" < 3". (7.30)
L'utilisation d'un programme sous Maple ou Mathematica permet de vérifier que le
théorème est vrai pour n < 4 500. par le calcul direct de Log 8 (n) = ty (n). Ainsi
8 (n) < 3n pour tout entier naturel non nul.

92 Théorie des nombres
c) Démontrons maintenant que tt (ri) ^ Log 2
Logn
pour tout n > 4.
En utilisant le théorème 7.8 et la formule (7.28), il vient pour tout n > 7 :
n Log 2 < Log (6 (n)) ^ V^ Log n ^ 77 (n) Log n.
La minoration de 77 (n) obtenue reste vraie pour n = 4, 5 et 6, comme on peut le
vérifier directement.
d) Démontrons enfin la majoration de 77 (n).
En utilisant la majoration de 8 (n) donnée par (7.30), plus précise que le théorème
7.8, et la formule (7.28), il vient pour tout n > 4500 et tout entier m vérifiant
2 ^ m < n :
n p^n^5w^p-"4)"•
m<p^.n p^n
En prenant les logarithmes, on en déduit :
(Log m) (tt (n) - 77 (m)) ^ ^ Log p ^ n Log (2.994).
m<P^n
Puisque évidemment 77 (m) ^ m, il vient 77 (n) ^ (Log2.994)
n
+ m.
On choisit maintenant m
(Logn)2
Log 777
+ 1. On obtient pour n assez grand :
77 (n) ^ (Log 2.994)
Log n - 2 Log (Log n) (Log n)2
(
+ 1
o n 1
^ Log3- x
Log n Log 3
Log 2.994
1 Log n
+ - + ——
Log (Logn) Logn
Logn /
La parenthèse tend vers Log 2.994 quand n —> +00. Puisque Log 2.994 < Log 3, le
théorème 7.6 est démontré.

Exercices 93
EXERCICES
7.1 Démonstration du théorème 6.1
1) Démontrer que, si {un) est récurrente linéaire, sa fonction génératrice ordinaire est une fraction
rationnelle P(x)/Q(x), avec deg P < deg Q .
2) Démontrer la réciproque.
7.2 En s'inspirant de l'exercice 3.4, démontrer le lemme 7.2.
7.3 Démontrer le corollaire 7.1.
7.4 Démontrer la formule (7.15).
7.5 Démonstration de la formule (7.20)
1) En développant (1 — qn)~^ en série, démontrer que
+oo n +oo „
«=1 v ^ J n=\ *
2) On pose Dx: = x—- et Dq = q^— . Vérifier que D~63{q^x) — DQ6?>{q,x).
ox oq
3) En utilisant la formule du triple produit de Jacobi, montrer que
2
D2xe3(xyq)=e3(q,x)
/+oo 2n—1 +°° -1 2n — l \ l
1^1 + xqln~l *-" 1 + x~ V7"1 J
\n=l n=l ± /
+°° xq2n~l ^ x-lq2n-x
+ ^(1+A^2»-1)2 +^(1
^{\+xq2n-1)2 ^ (l+x-lq2n-})
« — 1 * n—\
\ n=l n=l n=l
4) En remplaçant # par q2 et x par — # , en déduire
/y? f g4""3 _ g4""' \\ = V f ^""3 4. g'""' ^
Vir vi - ?4"-3 i - ?4"-' y y £f va - <74n-3)2 a - 44'-1)2;
E(2/z - 1)<? _ ^ (2w - l)g _ y> 2nq
1 _ ^4n~l Z^ 1 _ qAn-3 Z^ 1 _ qAn ' ^
n = l /i=l « = 1
5) Démontrer la formule (7.20).

94 Théorie des nombres
7.6 Démontrer la. formule du crible (7.22).
7.7 Développement de 1 en série de Sylvester
Soit la suite d'entiers (an) définie par ai =2 et an^.\ = a» — an + 1 pour tout entier n ^ 1 .
4-oo
a) Montrer que la série V^ — converge et calculer sa somme.
. Cln
2
b) Montrer que an > an+i > (an — 1)" pour tout n ^ 1 . En déduire que la suite
un = a\ ■ a\ - • ■ a„ est convergente, et que un ^ 2,952 .
c) Soit n G N\{0} et soit k = k(n) le plus grand entier vérifiant a^ ^ n . Montrer que
k $J log2(log2 n) + 2 , où log2 désigne le logarithme de base 2, si k ^ 1 .
7.8 Démontrer la formule de Legendre (lemme 7.3).
7.9 Démonstration du théorème 7.5
La suite (an) est celle du développement de 1 en série de Sylvester (exercice 7.7).
1) Soit x un réel ^ 1 , et soit m G N* . Démontrer que — = — I . En déduire que
L/77 J L m
n
pour tout n G .
2) En utilisant (7.26), (7.27), et la formule de Legendre, démontrer que 8(n)\C(n) et que, par
conséquent, ô(n) ^ C{n).
'■K)"
3) Vérifier que, Vx > 0, ( 1 H— ) < e . En déduire que Vai ^ a,- ,
[n/ai][n/ai] \«J
alors //" ^ —j—p :n1ln22... njj* . En déduire que
4) Démontrer que, si /ii, «2,..., wjt sont des entiers naturels vérifiant wi + «2 + ■ - ■ + «* = w ,
ni!«2! •. .«*!
C(w) < p-—-j j—--j j——y , puis
[n/a^n/a]] [n/a2][n/a2] ... [/i/û*] [bM]
c n\en/aQto-l)'a*(en/a2)iai-l)/ai ■ ■ ■ (^M)(a*-1)/fl*
(n/ûi )"/fli (n/a2)"/ai ... (n/ak)n/a^
5) En déduire que C(w) < (é>>î)log2(lo^")+3(2.952)" .
7.10 Démontrer la formule (7.29) en utilisant le théorème 7.3.

Exercices 95
7.11 Démontrer que, pour \q\ < 1 ,
+00 +00
n<i-«")= e (-d"'
n(3n+l)
7.12 Démontrer que, pour |#| < 1
^+00 \ J +00
n^-^ =^-i^2,i+i^!LV
7.13 Partitions
On appelle partition de l'entier n toute suite croissante 1 ^ k\ ^ £2 ^ ■ ■ ■ ^ km d'entiers vérifiant
fa + fa + • • ■ + km = n (m ^ 1). On note p(n) le nombre de partitions de l'entier n . Par exemple, les
partitions de 5 sont 5 = 1+4 = 2 + 3 = 1 + 1+3 = 1 + 2 + 2=1 + 1 + 1+2=1 + 1 + 1 + 1 + 1,
de telle sorte que p(5) = 7 . Par convention p(0) = 1 .
1) Démontrer que la fonction génératrice ordinaire de pin) est donnée par
2) On pose a(n) = (—1)* si n est de la forme k(3k + l)/2 ou k(3k — l)/2 , a(n) = 0 sinon
En utilisant le résultat de l'exercice 7.11, démontrer que, pour n ^ 1 :
p{n) = -Y:Uoi{k)p{n-k).
3) Calculer p(n) pour 1 ^ n ^ 12 .
7.14 Nombres et polynômes de Bernoulli
1) Les nombres de Bernoulli Bn sont définis par la fonction génératrice
t 1 +o°
Z—• »7
7î!
(à cause des expressions tn/n\, on parle de fonction génératrice exponentielle). Calculer Bn
pour 0 ^ n ^ 6 .
2) Les polynômes de Bernoulli Bn{x) sont définis par
te- ÏZ„.t
+-=^S„(x)iT. (*)
ef — 1 ^-^ n\
a) Calculer B0(x) et Bj(jc).
b) Démontrer que, V« G N*. £,'(*) = nBn-X{x).
c) Vérifier que /(f) = — Bo — Bit est paire. En déduire que #2/?+i = 0 si p ^ 1 .

96 Théorie des nombres
t +0° t"
d) Montrer que = V(-l)"iWl)-r ,
«=o
puis que Bn(0) = Bn(\) = Bn pour n ^ 2.
n
e) Montrer que ft,(jc) = ^2,CknBkxn~k. Wn G N.
fc=0
f) Montrer que jB„(jc -f 1) — Bn(x) = wjc"-1, Vn G N. En déduire la valeur de la somme
&.(*) = EL'" •
7.15 Fonction de Môbius
Elle est définie par fi(l) = 1 ; ^(77) = 0 si n contient un facteur premier avec un exposant supérieur
ou égal à 2 ; /m(n) = (— ])k si n = p\ p2 ■.. p* est le produit de /c nombres premiers distincts.
1) Calculer fi(n) pour 2^/2^12.
2) Vérifier que <p(n) = n Yj , où <p(n) est l'indicateur d'Euler.
3) Prouver que Yj ^(d) = 0 si n > 1 .
d\n
4) Démontrer la formule cVinversion de Môbius :
si g(n) = J2 fid), alors /(«) = J> ( J) *(<0 •
7.16 Valeur moyenne de d(n)
En utilisant une interprétation géométrique analogue à celle du §7.8, démontrer que
d{\) + d{2) + - • • + d(n) = «Log /7 + 0(/i).
7.17 Fonction £ de Riemann
On pose £ (s) = V — .
Z • *7^
«=1
1) Prouver que g(s) existe pour /?e(s) > 1 et définit une fonction holomorphe dans
n={z£C/Re(s)> 1}.
2) Développer en série de Fourier la fonction fk(x) = B2k(x) pour x G [0,1], périodique de
période 1, où B2h(x) désigne les polynômes de Bernoulli (exercice 7.14). En déduire que, pour
tout k entier, k ^ 1, «2*) = (-\f-1^-^ •
(2k)l 2
3) Démontrer que, pour Re(s) > 1 , £(s) = TT p , où le produit est pris sur tous les nombres
premiers p G N .

Exercices 97
7.18 Séries de Dirichlet
Soit a(n) une suite de nombres complexes de type polynomial, c'est-à-dire qu'il existe a > 0 tel que
|a(/z)| ^na.\fn G N . La série de Dirichlet génératrice de a{n) est définie par
+oo
a(n)
1) Montrer que F(s) existe pour Re(s) > 1 + a et définit une fonction holomorphe dans
a={zG C/Re(s) > 1 + a} .
2) On suppose que F (s) et G (s) sont les séries de Dirichlet génératrices de a{n) et b(n)
respectivement. Montrer que F{s)G{s) est la série de Dirichlet génératrice de c(n) = ^ a(d)b(-).
d\n
Eu(/î) 1
= —— (Re(s) > 1), où fjjji) désigne la fonction de Môbius (exercice
7.15) et £(s) la fonction de Riemann (exercice 7.17).
+~</(n)
4) Montrer que V — = £2(s) (Re(s) > 1).
n=l
+ 30
<p(n) as - 1)
5) Montrer que V — = ^- (Re(s) > 2).
m
+ OC
o-(n)
6) Montrer que V —— = t(s)Ç{s - 1) (Re(s) > 2),
n=l
où cr(/z) désigne la fonction "somme des diviseurs de n ".
7.19 Postulat de Bertrand (1845)
Évaluer 8(2n) en faisant intervenir n et \/2n, et démontrer le postulat de Bertrand : pour tout entier
/7 > 2, il existe un nombre premier p tel que n < p < 2n.

Chapitre 8
Approximants de Padé
On définit d'abord (§8.1) les approximants de Padé d'une fonction analytique au
voisinage de 0, et on démontre le lemme 8.1, fondamental en approximation diophantienne. Dans
le paragraphe 8 2, on rappelle quelques propriétés de la fonction hypergéométrique de Gauss,
qui permet d'exprimer les approximants de Padé du binôme f(x) = (1 — x)a, a £ Z.
Un passage à la limite permet de calculer les approximants de Padé de la fonction
exponentielle à l'aide de la fonction hypergéométrique confiuente (§8.3). Enfin, dans le paragraphe
8.4, on montre comment les approximants de Padé permettent d'obtenir des approximations
diophantiennes et des résultats d'irrationalité.
8.1 GÉNÉRALITÉS
DÉFINITION 8.1. Soit f(x) = J2t^o akxk (kl < P) une fonction analytique au voisinage
de 0. Soit (m,«) G N2 . On dit que le triplet (Qm. P„. Rm,ji) est un [m/n] approximant de
Padé de f si
a) Qm et Pn sont des polynômes, deg Qm ^ m,degP„ ^ n.
b) Rm,n(x) = SiS bkxk (lA'l < ^ ) est analytique au voisinage de 0.
C) Qm(x)f{x)+Pn{*) = Xm+n+VRmAx) (M < *) ■
L'existence des approximants de Padé résulte du lemme 1.1. On remarquera que la somme
partielle d'ordre n de / , S„(x) — J2l=o akxk » fournit un [0//?] approximant de Padé de
/, puisque
+oo
1 - f(x) - Sn(x) = xn+l^2an+k+lxk.
k=0
Déplus, si (Qm, Pn, Rm.n) est un [m/n] approximant de Padé de /, il en est de même
de (Aem,APB,A/?m.„) pour tout A G C.
En Théorie des Nombres, nous utiliserons essentiellement les approximants de Padé
diagonaux (n = m) ; on note alors Rn^n = Rn .Le résultat suivant sera fondamental.

Chapitre 8 • Approximants de Padé 99
LEMME8.1. Soit (Qn,PnyR,i) une suite d'approximants de Padé diagonaux de f. On
suppose que Qn(Q) ^ 0 et Rn(0) ^ 0, Mn G N. Alors, \/n <E N,
Qn(x) Pn(x)
Qn+\(X) Pn+\{X)
cn x + , aveccn ^ 0.
DÉMONSTRATION. On a Qn(x)f(x) + Pn(x) = x2n+iRn(x).Donc
Qn(x) Pn(x)
Qn+\(x) Pn+\(X)
Qn(x) Pn(x)+Qn(x)f(x)
G«+iW P«+dx)+Qn+l(x)f(x)
Qn(x) x2n+lRn(x)
Gn+ito x2»+3Rn+l(x)
■- x2n+l(-Q„+i(x)Rn(x) + x2Q„(x)Rn^(x)).
D'où
Qn+lto Pn+lW
4-oc
*2"+1 -e»+i(0)i?1,(0) + 5^feJtjr*
k=\
(8.1)
Or le membre de gauche est un polynôme de degré < 2« + 1 . Il résulte donc de (8.1) que
bk = 0 pour tout k > 1, et cn = -Qn+i(0)Rn(0).
8.2 FONCTION HYPERGEOMETRIQUE DE GAUSS ET APPROXIMANTS
DE PADÉ DU BINÔME f{x) = (1 -xf
Pour tout nombre complexe a , on note
f (ah = 1
1 (a)n = a(a + 1) • ■ • (a + /? — 1) pour /7 ^ 1,
et on définit, pour |a| < 1 , la fonction hypergéométrique 2F1 par :
T-OC
V c I ) t=k (c>»"!
EXEMPLE 8.1. Pour a = b = c=l,on obtient la série géométrique
2-P\
(8.2)
(8.3)

100 Théorie des nombres
EXEMPLE 8.2. Pour a = —a. b = c, on obtient la série du binôme
+oo
2^1
-a,b
b
«=0
(-a)(-a+l)...(-a + n-l)xn
n\
Remarque 8.1. Il est clair que, dans (8.3), on doit supposer c ^ 0,-1.-2
Cependant, si a est un entier négatif, on voit que iF\ ( : \x ) est un polynôme de degré —a ;
dans ce cas, c peut être un entier négatif, à condition que que c < a (car alors, (c)„ s'annule
après (a)„ ). Ainsi :
Si a et c sont des entiers négatifs, avec c < a, 2^1
THÉORÈME 8.1. La fonction hypergéométrique 2F\
métrique
a,b
x(i - x)y" + (c - (a -h fc + l)x)y' - «fry = 0.
Déplus, si c £ Z, la solution générale de (8.4) sur 10,1[ es*
'a -c + l.fc-c + 1
a' ) ££/; zm polynôme de
x) vérifie Véquation hypergéo-
(8-4)
A2F1
W')
+ Bxl-c2Fi
2-c
(8.5)
DÉMONSTRATION. Exercice 8.1.
On déduit du théorème 8.1 la relation
2^1
a,b
x (1-*)'
a+fc-c F7 I C — a.C — b
- 2F1 .
(8.6)
(voir l'exercice 8.2 pour la démonstration), qui va nous servir, à la suite de Padé lui-même
(1900), à trouver les approximants de Padé de la fonction binôme f(x) = (1 — x)a .
Théorème 8.2. On a, pour a^Z, (777,72) e N2, |jc| < 1 :
-771, — n + a
—m — n
x)0-x)a-2Fl
-n, — m — a
—m — n
C»+Il(m+* + !)!
"2^1
n + 1 — a, m + 1
m +/1+2
DÉMONSTRATION. Soit e e [-5,5]. Dans la relation (8.6), on pose a = -m ;
b = — (n + s)-\- a ; c = — m — (n + e). On obtient
2^1
-772, — (n + e) + û;
*(!-*)" = 2^1
-77? — (72 + 8)
ergéométriqu
de degré 7?z qui tend, lorsque s —> 0, vers 2^1
-(77 + e), —777 — a
—m — (n + s)
(8.7)
La fonction hypergéométrique figurant dans le premier membre de (8.7) est un polynôme
—m, —n + a^
—m — n

Chapitre 8 • Approximatifs de Padé 101
La fonction hypergéométrique qui figure dans le second membre de (8.7) s'écrit sous la
forme d'une somme :
(-(n + s))k(~m - o)k k
x
F ( ~(n + e), -m - al \ _ ^ (-(n + g)),
k=Q x ... v. + e))*-*!
y? (-(« + s))k(-m - a)k k y? (-(w + e))jt(-m - a)k k
+ /-' (-m -(n + e))t •*! * + 2-< {-m-{n + e))k-k\ * ' '
/ —^ ■—ffl — (X
Lorsque s —► 0, le premier terme de la somme tend vers 2^1 ( '
Le second terme tend vers 0, car
(—n — s)k = (—n — s)(—n — s + 1)... (—n — s + k — 1)
contient toujours s en facteur pour n + 1 ^ /: ^ m + n .
Pour simplifier le troisième terme g(x), nous remarquons que :
(-n - e)k = [{-n - s)... (-e)] x [(-s + 1)... (-e + m)]
x [(-e + m + 1)... (-e + m + 1 + (k - m - n - 1) - 1)]
(—m — n — s)k = [(—m — n — s)... (—n — 1 — e)] x [(—n — s)... (—s)]
x [(-£ + 1)... (-e + 1 + (k - m - n - 1) - 1)]
(—m — a\ = [(—m — a) ... (n — a:)]
x [(n + 1 - a) ... (n + 1 - a + (k - m - n - 1) - 1)]
fc! = (m + n + l)!
x [(m +/i+2)...(m + n + 2 + (fc-m-n-l)- 1)].
Mais dans chacun des termes de g(x), on peut simplifier le quotient (—n - s)k/{—m — n — s))k
par [(—e)(—e — 1)...(—e — 72)]. Après mise en facteur et changement d'indice
£ = k — m — n — l,il vient
( , = [(-£ + 1)... (-e + m)] x [(-m -a)...(n-a)] m+n+l
[(-m - n - e)... (-71 - 1 - s)] x (m + n + 1)! *
E°° (-8 + m + 1)1(77 + 1 - oQix^
^=0 (-e+l)*(/f!+ii + 2)j
Pour |a| < 1 fixé, la série converge uniformément pour s G [— \, \]. Par conséquent
limsOc) = m!(-f>i-cO...(#i-cir) +B+1
s-0*V ^ {-m - 72) . . . (-72 - 1) ■ (7/2 + 72 + 1)!
E1 °° (m + 1)i(tz + 1 - a)g a
Ainsi, en faisant tendre e vers 0 dans (8.8), le théorème 8.2 est démontré.

102 Théorie des nombres
8.3 FONCTION HYPERGEOMETRIQUE CONFLUENTE ET
APPROXIMANTS DE PADÉ DE L'EXPONENTIELLE
Soit x G C, et soit b > \x\. On a
2-n
a,b
1 + -
12 - 1 \ X"
è 7 n
La série convergeant uniformément pour b G [2|x|.+oo[ si x fixé, on a
lim 2^1 ( '
Cette fonction, définie pour tout x G C, est appelée fonction hypergéométrique
confluente ; on la note
iFx
7 ^w«»>'
(8-9)
REMARQUE 8.2. Plus généralement, là fonction hypergéométrique généralisée
aua2:...,ap
p*q\bub2,...,bg
est définie pour q > p — 1 par :
(fll)n(fl2)n---(gp)ii ^
(8.10)
le
ce qui explique la notation utilisée pour 2F\ et i F\ .
x
Revenant à 1F1, en remplaçant x par - dans le théorème 8.1, on obtient (exercice 8.3)
THÉORÈME 8.3. La fonction hypergéométrique confluente \F\
différentielle
xy" + (c - x)y' - ay = 0.
Déplus, si c £ Z, la solution générale de (8.11) sur ]0, +oo[ est
'a — c+1
y = A\F\
x + Bxl~clFl
2-c
x ] vérifie l'équation
(8.11)
(8.12)
Lorsque a est un entier négatif, i F\
primer les approximants de Padé de la fonction exponentielle :
a* 1 se réduit à un polynôme, qui permet d'ex-

Chapitre 8 • Approximatifs de Padé 103
THÉORÈME 8.4. Pour tout (m, n) £ N2, pour tout x G C, on a
—m
-m — n
x e
—n
-m — n
(-iy"xm+>,+1 / w + i
C^m+n + l)!1 * V«+m + 2
DÉMONSTRATION. Dans le théorème 8.2, on remplace x par —x/a. On sait que
rim^^+oo (l + x/a) = e* . Par ailleurs
lim 2^1
de même :
-m, — n + a
^)= lim y (-">* fr.ji)
... 1
—m,
-m — n
— x
lim 2^1
a—»-|-oo
-n, —m — a
—m — n
m
—m — n
r _, /n + 1 - a,m + 1
lim 2^1 , , o
a-^+oo V m + n + 2
M= pf ro + 1
ai 1 1U + n + 2
D'où le résultat.
8.4 APPLICATIONS ARITHMETIQUES
Nous allons démontrer le résultat suivant :
THÉORÈME 8.5. Soit K = Q(iVd) un corps de nombres quadratiques imaginaire. Soit
a GK* ; alors ea <£K.
En particulier, si a G Q* , alors ea est irrationnel (voir aussi exercice 3.14). Une autre
conséquence intéressante (qui peut s'obtenir aussi à partir de l'exercice 3.15) est la suivante.
COROLLAIRE 8.1. Soit k eW ; alors 7T\fk est irrationnel
En effet, écrivons \fk = m^fd , où d est sans facteur carré, et supposons que rr \fk G Q .
Alors a = (iry/k)iy/k G Q(iy/d) ; donc ea = eik7T = (-1)* £ Q(iVd), contradiction.
Pour démontrer le théorème 8.5, nous partirons des approximants de Padé diagonaux de
ex , obtenus en faisant m = n dans le théorème 8.4 :
m
-n
-2n
x)ex-lFl
-n
-In
(-P"*2"+1 / n+1
C?„(2« + l)!1 ' \2n+2
(8.13)
et nous aurons besoin des lemmes suivants :

104 Théorie des nombres
LEMME 8.2. Soit Ar l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire K = Q(z \fd).
Soit (an) une suite d'éléments de Ak vérifiant lim/7_>_|_00 an = 0. Alors an — 0 pour n
assez grand.
DÉMONSTRATION DU LEMME 8.2. Dans As, on a N(a„) = \an\2 e Z (remarque 5.1).
Ainsi lim^+oc an = 0 => N(an) = 0 pour n assez grand, donc an — 0 pour n assez
grand.
REMARQUE 8.3. Le lemme 8.2 permet de travailler dans Ak par approximation diophan-
tienne comme dans Z (voir §1.6). On notera que ceci n'est pas possible si K est un
corps quadratique réel', par exemple, si Pn/Qn est la suite des réduites du développement
de y/l en fraction continue régulière, on a \Pn — QnV2\ ^ l/Qn (formule (4.8)), donc
\ïmn^+OQ(Pn — Qn\fï) — 0, cependant Pn — Qn\[ï n'est jamais nul car \[ï est
irrationnel.
LEMME 8.3. La fonction hypergéométrique confluente admet pour c > a > 0 la
représentation intégrale
m
ne)
V(a)Y(c - a) J0
f extta-l
(i - a
ç—a — l
dt.
DÉMONSTRATION. Exercice 8.4.
LEMME 8.4. Pour tout nombre complexe a, si c > a > 0, on a
m
^Max(l,eKea)
T(c)
r(a)r(c-a)'
Démonstration. Exercice 8.5.
LEMME 8.5. Pour tout n G Z et tout k eN, k\\(n)kl donc k\\n(n - 1)... (n - k + 1).
Démonstration. Exercice 8.6.
Démontrons maintenant le théorème 8.5.
Soit a G Q(iVd) ; on écrit a = (a + iby/d)/ô = (3/8, avec (a, b, 8) e Z3 , (3 e AK ; on
dit que 8 est un dénominateur de a . Puisque
k=0
)**!'
on voit, en utilisant le lemme 8.5 et en posant
Dn = (2n)(2n -!)...(„ + 1)8" = (^ôn,
(8.14)

Chapitre 8 ■ Approximants de Padé 105
que pn et qn définis par
Çn = 1 ^1
sont des éléments de Âk , puisque
(2n)! (-n)*
—w
-2n
a\xDn
-a\ x Dn
(2n-k)\
(8.15)
w ! (-2n)kk\ k\(n-k)\
En remplaçant x par a: dans (8.13) en en multipliant par Dn , il vient
#»£ ~ Pn— r„
{-\yDna2n+x f n + 1
CJ^ + l)! ' * V2" + 2
(8.16)
Tenant compte du fait que F (m + 1) = m\ pour tout entier naturel m , le lemme 8.4
montre que
\rn\ ^Max(\.eKeaY-
II en résulte immédiatement lim„_+oc rn = 0 .
(8.17)
Supposons ea e Q(iy/d), c'est-à-dire ea = y/8' avec y <E AK , 5; G N . Alors (8.16)
devient qny — 8' pn — 8'rn , et on a an = qny — 8'pn G Ak . Or lim„^+00 rn = 0, donc
lim^-j-so an — 0 , et par suite an = 0 pour w assez grand en vertu du lemme 8.2.
Ainsi, pour n assez grand, r„ = qnea — pn = 0 et r„_j_i = #n+i£a — /?w+i = 0. Le
système d'équations
l qnx + p„y = 0
admet donc la solution non triviale x
Or
e" , y
(8.18)
1 . Par suite son déterminant A„ ^r nw/.
An =
<7/i Pn
Çn + l Pn + \
DnQn{à) DnPn{a)
Ai+iQn+ite) Ai+i^+lO)
avec les notations du §8.1 pour les approximants de Padé. Le lemme 6.1 montre alors que
ln = -DnDn^cna2n^1 ï 05
et cette contradiction prouve le théorème 8.5.

106 Théorie des nombres
EXERCICES
8.1 1) Démontrer que la fonction hypergéométrique 2^1 : \x ) vérifie l'équation différentielle (8.4).
2) Démontrer que /(*) = -Y1"^, f° C +2-c ° + *
3) Prouver que la solution générale de (8.4) sur ]0.1[ est donnée par (8.5).
0
x ) vérifie également (8.4).
8.2 Démontrer la relation (8.6).
8.3 Démontrer le théorème 8.3.
8.4 Fonctions Bêta d'Euler et représentations intégrales
Soient a et fi deux réels strictement positifs. On définit \afonction Bêta d'Euler par
Jo
(1 - tf-ldt.
1) Démontrer que B{a,P) existe pour a > 0 et /? > 0 et que B(a.B) = B(fl,a).
2) La fonction T étant définie au §3.5, montrer que :
+oo /*-(-oo
Jp+oa p
1 /
e-UC+v-)u2a-\v2p-\dii dv En déduire que .
■L
\\a)Y{fi) = r(p -rq)-2 / cosza_1 6 sin p~l 6dd , puis que B(a, /3)
20-1
na)T(f3)
!> + /?) "
3) En utilisant la relation fonctionnelle T(x + 1) = xT(x) (formule (3.18)), exprimer (a)n à l'aide de
la fonction Y . En déduire la représentation intégrale de iFi ( \x ) donnée dans le lemme 8.3.
4) Démontrer que la fonction hypergéométrique de Gauss admet la représentation intégrale
2Fl\ „ \x I = rVTFT x / f 0-0 0 ~ **) dtt
valable pour c > a > 0 et \x\ < 1 .
8.5 Démontrer le lemme 8.4.
8.6 Démontrer le lemme 8.5.
8.7 Approximation diophantienne de y/\ï, Baker 1964
1) En utilisant le théorème 8.2, démontrer que
2F1
-n,— n +
-2ii
183
ly/VÏ -2FX
-77. —n -
-2n
1
183
(-l)»(-/7-+)2„+i
186«+2C£I (2/1 + 1)!
2F1
« + 1,« +
2/7+2
183

Exercices 107
2) Soit un = 3n -f- et {a G Z) une suite arithmétique de raison 3, et soit a(k) l'exposant de 3 dans la
décomposition de k\ en produit de facteurs premiers (voir lemme 7.3). Démontrer que mm ... Uk est
divisible par —— et que a(k) ^ k/2 .
3) On pose Dn = 3*(n)(3 ■ 183)nC^ . Démontrer que les nombres qn = 7D„ -2Fi f _n' ~n + 3
-2n
1
Ï83
et pn = \8Dn-2F1 [ 'n> n 3
-2n
—^ | sont entiers.
4) En utilisant le résultat de l'exercice 8.4, question 4), prouver que
2
ii \ i
2n + 2
1
Ï83
182 (2w + 1)! / 183 V
72-172/3 („i)2 ^4(183 — 1)/ '
5) On pose rB = qn\/YÎ - Pn • Démontrer que, Vn G N, \r„ | < ^ 72 _ /3 ( 4 . ?3 . 17 )
6) Déduire de ce qui précède que y 17 est irrationnel.
8,8 Approximants de Padé de Log (1 - x) et approximation
diophantienne de Log 2
1) Comment peut-on obtenir Log (1 — jc) à partir de (1 — x)a ?
2) En déduire les approximants de Padé diagonaux (g„, Pn, /?„) de Log (1 — x).
3) On pose D„ = 2" • C£,PPCMQ,2,... ,n). Démontrer que /?„ = D„/>„(£) et qn = DnQn{\)
sont des entiers.
4) On pose r„ = q7lLog 2 -\- pn . En utilisant le théorème 7.8, prouver que \rn | ^ (|)rt .
5) Démontrer que Log 2 est irrationnel.
8.9 Irrationalité de Y^ —
7!=0
Soit a G N , a / -22* pour k G N . On pose /(x) = ^ -——
0
r2" '
1) Prouver que / est analytique dans D = {x G C/ |a | < 1} , et vérifie f(x2) = f(x) — ,
Vx eD.
2) En déduire que, si f{\) G Q, alors /(t^t) G Q, et il existe une suite d'entiers Dn vérifiant
Dn ^ C • 22" et Dnf(2~2") G Z , où C ne dépend pas de « .
3) Calculer un [1/1] -approximant de Padé de f{x).
/l\ ^°° 1
4) Prouver que / ( - 1 = V^ — est irrationnel.
V 2 / ^-^ 2- -r a
5) Soit maintenant an G N . On suppose que, pour tout r\ > 1, an ^ y2 pour tout n assez grand.
Pour tout h fixé dans N, on pose
^—' 1 + an+hX-

108 Théorie des nombres
a) Montrer que fh est analytique dans D et, pour r\ > 1 fixé, majorer les coefficients de son
développement en série entière.
b) En utilisant les [l/l] approximants de Padé de //,. démontrer que Yl est irrationnel
/j=o 2- -h an
(Erdos 1954).
8.10 Fonction q-exponentielle
Soit q e C, \q\ > 1. On pose, pour tout hGN:
«,! = ta-l)(«2- l)---^-!) si/z^l ; 0,! = 1.
La fonction q -exponentielle Eq est définie par :
+oo „
Elle vérifie l'équation fonctionnelle Eq (qx) = (1 + x) Eq (x), d'où on déduit (exercice 5.22) le
développement en produit infini :
Eq (x) =
3H)-
Le fonction q -exponentielle est clairement entière, et elle est considérée comme un q -analogue de
la fonction exponentielle classique, car on a lirn^—i Eq [(q — \)x] = ex. Le but de l'exercice est de
déterminer les approximants de Padé de Eq et d'en déduire l'irrationalité de Eq (x) pour tout x G Q*
et tout q GZ, \q\^2 (Bundschuh 1969, Borwein 1988).
1) Pour tout entier naturel n ^ 1, on définit gn{z) = ; : ;
(z-l)(z-q)---(z- qn)
Trouver une relation entre gn (qz) et gn (z). En déduire que gn (z) — X^5? a>l W**> ou '-
m_ (-ir+1 (*+*y
—2—+nk K1'Hcl-
2) Pour tout entier naturel n, soit Cn le cercle de centre O de rayon |#|"+1, parcouru dans le
sens trigonométrique. On considère l'intégrale de variable complexe :
j , , J_ /* Eq (XZ) ,
'" W ~ 2îir JCn z«+i (z -l)(z-q)--.(z- <?»)
a) Evaluer /„ {x) grâce au théorème des résidus.
b) En développant Eq {xz) en série entière de la variable x, montrer que des [n/n]
approximants de Padé de Eq sont Qn (x) Eq (x) 4- Pn (x) = In (x), où :
A (-1)"+1 (n+k)q\ n_k
/-* (8 19>
*=°?2,*-^-*,!(n-Jt),!
fi. (•*) = Ë _ nftf-D^ O + x) (1 + qx) ■ ■ • (1 + f*-1*)

Exercices 109
I ln+1
c) Démontrer que, pour |9| ^ 2, |7„ (x)| < 'g' .EM (\xqn+l\) \x\2n+1.
(in + i)\q\ i
Y
3) On suppose maintenant que çGZ, \q\ ^ 2, et que x = - £ Q*.
a) Pour tout n,k <EN tels que 0 < k ^ n, on définit les coefficients # -binomiaux par :
n \ na !
/g
Démontrer que (fc) ^ =**("* J ^ + (* - î, ^
M*
En déduire que II G Z, c'est-à-dire que, pour tous entiers naturels n et fc :
(,-i)(92-i)...(^-i)i(,"+1-i)(9"+2-i)...(,"+*-i).
b) Démontrer que les [n/n] approximants de Padé de Eq (x) définis par :
n(3n+l) w(3n + l)
A M = nq \q 2 g„ (x) ; An (x) = n9 \q 2 />„ (x)
sont à coefficients entiers et que, pour tout x / 0 fixé tel que |x | ^ 1 et pour tout n
assez grand :
\Bn (x) Eq (x) + An (x)| < C£k, (|x^+11) |x|2"+1 ,
où C > 0 ne dépend ni de n ni de x.
c) Démontrer que Eq ( - ) est irrationnel en appliquant les résultats précédents à —-.

Chapitre 9
Nombres algébriques et mesures
d'irrationalité
Dans le paragraphe 9.1, nous généralisons les notions de nombre rationnel et de nombre
irrationnel quadratique en définissant ce qu'est un nombre algébrique. Les entiers algébriques
sont étudiés en 9.2 ; ce paragraphe constitue une introduction à la théorie algébrique des
nombres, développée dans les chapitres 10 et 11. Puis nous démontrons le célèbre théorème
de Liouville (§9.3), qui assure l'existence de nombres transcendants. Ce théorème donne,
en fait, une mesure d'irrationalité pour tout nombre algébrique ; nous développons cette
notion en 9.4, et montrons, sur l'exemple de e, que de bonnes approximations diophantiennes
permettent de calculer des mesures d'irrationalité. Dans le paragraphe 9.5, nous expliquons
comment la connaissance d'une mesure d'iiTationalité de \fd permet de résoudre l'équation
diophantienne x11 —dyn = k ( n ^ 3 ). Le chapitre se termine par un aperçu sur les théorèmes
de Thuc et de Roth, qui améliorent le théorème de Liouville.
9.1 NOMBRES ALGÉBRIQUES
DÉFINITION 9.1. Soit a G C ; on dit que a est algébrique s'il existe un polynôme
P G Z[x], non nul, tel que P(a) = 0.
Par exemple, a = \/\/2 est algébrique car 1er — 1=0; f3 = 1 + \/5 est algébrique
car 08 - l)3 - 5 = (33 - 3(32 + 3/3 - 6 = 0.
Soit a un nombre algébrique, et soit P ^ 0, P G Z[x], tel que P(a) ~ 0 et P soit de
degré minimal ; en divisant P par le coefficient de son terme de plus haut degré, on obtient
un polynôme unitaire Pa G Q[x], qui vérifie Pa(a) = 0, Pa de degré minimal ; un tel
polynôme est unique (exercice 9.1) et s'appelle le polynôme minimal de a .
THÉORÈME 9.1. Soit P un polynôme unitaire, P € Q[x] 3 tel que P(a) = 0. Alors P est
le polynôme minimal de a si, et seulement si, P est irréductible dans Q[x] (c'est-à-dire si
P(x) = P\(x)P2(x) avec Px et P2 G Q[jc] , implique Px(x) G Q ou P2(x) eQ).
On notera que la notion de polynôme irréductible est un cas particulier de la notion
d'élément irréductible dans un anneau A (définition 5.1), puisque les éléments inversibles de
Q[x] sont les polynômes constants P(x) = û G Q* . Pour la démonstration du théorème
9.1, voir l'exercice 9.2.

Chapitre 9 - Nombres algébriques et mesures d'irrationalité 111
Exemple 9.1. Soit a = (a + bVd)/c un nombre irrationnel quadratique, c'est-à-dire que
a,b,c,d sont entiers, et d n'est pas un carre. Alors a est racine de P(x) = (je — a)(x — a*),
où a* — (a — b\/d)/c est le conjugué de a . Donc a: est racine de
2 2a a2-db2
P(x) = x1 x -r ^ .
c c
Ce polynôme est irréductible dans Q[x] ; en effet, s'il était réductible, il s'écrirait
P(x) = (x + r)(x 4- r') avec r,/*7 € Q ; ses racines seraient donc rationnelles, ce qui
n'est pas le cas. Ainsi P est le polynôme minimal de a .
DÉFINITION 9.2. Le degré du polynôme minimal Pa du nombre algébrique a s'appelle le
degré de a et se note deg(a:).
Si a est rationnel, a est un nombre algébrique de degré 1. Si a est irrationnel
quadratique, a est algébrique de degré 2 (exemple 9.1). Un autre exemple intéressant est celui de
2i";r
la racine primitive p -ième de l'unité co = e~p~ lorsque p est premier, liée à l'équation de
Fermât xp + yp — zp ■ Pour le traiter, nous aurons besoin du lemme suivant, connu sous le
nom de critère d'Eisenstein.
Lemme 9.1. Soit P(x) — xn +an-\xn~l H htfiJt+ tf0, avec ^o?«i, • • • ,an-\ G Z. On
suppose que le nombre premier p divise ao, a\,..., an-\, mais que p2 ne divise pas ao .
Alors P est irréductible dans Q[x].
La démonstration, proposée dans l'exercice 9.3, utilise la notion d'entier algébrique et le
théorème 9.4. Comme exemple d'application, soit (3 = 1 -\-\^5 ; on a vu que P(fi) = 0, avec
P(x) = x3 — 3x2 + 3jc — 6 ; en vertu du critère d'Eisenstein, P est irréductible dans Q[x]
(prendre p = 3 ). Donc P est le polynôme minimal de (3 (théorème 9.1) et deg(/3) = 3 .
Revenons à co = e2l7r/p , p premier.
THÉORÈME 9.2. Soit co = e2l7r/p , p premier. Alors co est algébrique de degré p — 1, de
polynôme minimal Pœ{x) — xp~l + xp~2 -\ h x + 1.
DÉFINITION 9.3. Pour p premier, Pa>(x) = xp~]+xp~2-\ hx + 1 s'appelle le polynôme
cyclotomique d'ordre p.
DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 9.2. On a û)P~l-\-ù)p~2-{ h^+1 =(cop-l)/(co-l) = 0 .
Il reste à vérifier que P^ est irréductible dans Q[x] (théorème 9.1). Or Pw est irréductible
si et seulement si Q{x) = P(x + 1) l'est.
On a Q(x) = ((x + \)p - l)/((x + 1) - 1) = £Li Ckpxk~\ pour k = 1,2,..., p - 1 ,
p\Ckp car Ckp = (p(p-l).. .Q?-/:+l))/£! et p\k\ ; comme a0 = p, O est irréductible
dans Q[x] en vertu du critère d'Eisenstein, c.q.f.d.
9.2 ENTIERS ALGÉBRIQUES
On dit que a est un entier algébrique s'il est algébrique et si son polynôme
minimal Pa est à coefficients entiers; autrement dit. s'il existe ao.ai:... ,<^_i G Z tels que
ad -\-ad-\ad~l -t V axa — a0 = 0.

112 Théorie des nombres
Par exemple, y/ï, \/5, e V sont des entiers algébriques ; les entiers relatifs sont les entiers
algébriques de degré 1 ; les entiers quadratiques (§5.2) sont des entiers algébriques (de degré
2 lorsqu'ils sont irrationnels).
THÉORÈME 9.3. Soit a un nombre algébrique. Alors il existe k EN tel que (3 = ka soit
un entier algébrique.
DÉMONSTRATION. Soit Pa(x) = xd + ad-Xxd~x H Y a0 (avec a0,..., ad-\ E Q) le
polynôme minimal de a .
Soit k E N tel que kao = &o> ka2 = b\,..., kad-\ — bd-1 E Z . On a
kdad + kd-lbd-iad~l + ■ • ■ + ^-^o = 0,
d'où {kaf + ^-i^û;/-1 + kbd-2(ka)d-2 + ■ • ■ + fc*-1^ = 0, et /3 = ka est un entier
algébrique, c.q.f.d.
Le plus petit entier positif k tel que ka soit un entier algébrique s'appelle le
dénominateur de a et se note den(a). Si a = /?/<? est un nombre rationnel écrit sous forme
irréductible avec q > 0, le polynôme minimal de a est Pa(x) = qx — p ,et den{a) — q .
Il est nature] de se demander si la somme et le produit de deux entiers algébriques sont
des entiers algébriques. La réponse est positive (théorème 9.4) ; pour le démontrer, nous
avons besoin d'un lemme, dû à Newton, sur les polynômes symétriques. On dit que le
polynôme à n indéterminées P(x\, X2,..., xn), à coefficients dans un anneau A, est symétrique
si P(*t(1)j*t(2)j • • ■ ,^'r(«)) est égal à P(x\,X2, • • • ,x„) pour toute permutation r des
indices 1,2,.... n (c'est-à-dire pour toute permutation des indéterminées xi, x2j..., xn ). Par
exemple, le polynôme P(xi,X2,X3) = x^ — x| -r x| + 1x\x\ + 2x\x\ -h 2x|xf + 5x1X2X3
est symétrique.
LEMME 9.2. Soit P E A[xi,X2,... ,x„] un polynôme symétrique à coefficients dans
l'anneau A. Soient
ai = xi + x2 H +xn = X)/ Xi
0"3 =£,■<;■<****/** (9.1)
cr„ =xix2...x„.
A/ors P(xl5X2,... ,x7î) peut s'écrire sous la forme d'un polynôme des n variables
cr\, 0-2, • • -, o-n , à coefficients dans A.
DÉMONSTRATION. Soit ai l'exposant maximal de X! dans P . Parmi les termes contenant
x"1 , soit a2 l'exposant maximal de X2 ; parmi les termes contenant x^x"2, soit «3
l'exposant maximal de X3 On définit ainsi un terme dominant, de la forme ax"lx"2 • ■. x"n ;
puisque le polynôme est symétrique, on a a\ > a2 > ■ • • ^ an (en effet, P contient aussi
le terme ax^x"2... x%n donc a2 ^ ai , etc). On remarque alors que le terme dominant de
af~a2a^~az... (rlnZi~an<n est x^xf ... x%» . Donc, en calculant
r\Xi,x2,... ,x„; — aa} cr2 ... crn-\ <?n ,

Chapitre 9 • Nombres algébriques et mesures d'irrationalité 113
on élimine de P tous les termes de la forme ûa^jcÏL .. .xS^ . D'où le lemme 9.2, par
récurrence.
Remarque 9.1. La démonstration du lemme 9.3 est constructive ; elle permet de
transformer P e A[xi? x2, ...,x„] en P G A[cri? cr2,..., cr„]. Par exemple, soit
P(xi,X2,x-$) — x\ + x\ + x| + 2x^2 + 2x|x3 + 2x\xl + 5^1X2X3. D'abord
«1 = 3, o?2 = 0,0:3 = 0, et
P(*l,X2sX3)-<7? = ^Ul,^2,X3)-(-Xi +X2+X3)3
= 2x\x\ + 2x^X3 + 1x\x\ — 3xfx2 — 3xix| — 3x^X3
— 3X2X32 — 3xfx3 — 7>x\x\ — xix2x3.
On a maintenant a\ = 2, a2 = 2, ûj3 = 0, et
P(xi5x2,x3) - <j\ - 2o~\ = JP(xi,x2,x3) — <r\ — 2(xix2 -fx2x3 + Xix3)2
= —4x^X2X3 — 4xix|x3 — 4x1X2X3 — 3x^X2 — 3xix| — 3X3X3
— 3x2 x| — 3xfx3 — 3xix| — X1X2X3.
Il vient alors ot\ = 2, a2 = 1,0:3 = 1 , et
P(xi,x2,x3) - o-? - 2^ +40-JO-3 =
— 3x^X2 — 3Xj[X2 — 3X2 X3 — 3X2X3 — 3X|X3 — 3X]X3
Enfin ai = 2, a2 = 1, a3 = 0, P(xi,X2,X3) — a\ — 2a\ + 4<ti<t3 + 3a\a2
D'où:
P(x\, X2, x3) = o~] + 2<T2 — 4cr 10-3 — 3(Ti(T2 + 80-3.
THÉORÈME 9.4. Soient a et /3 deux entiers algébriques. Alors a + f3 et a/3 sont des
entiers algébriques.
DÉMONSTRATION. Soient Pa et Pp les polynômes minimaux respectifs de a et j3, de
degrés d et n respectivement. Soient x\ = f3,x2 ,xn les racines de Pp dans C. On
sait que Pp(x) = xn — a\xn~l + o-2xn~2 H h {—\)nan , où cri,cr2,... ,crn sont définis
en (9.1) ; ainsi a\, 0*2? • • •, 0"„ G Z .
Le polynôme Q(x) = Pa(x— xi)Pa(x— x2)... Pa(x—xn) vérifie Q(a-\-/3) = 0 puisque
x\ — j3 \ ses coefficients sont des polynômes symétriques en x\,x2,... ,x„ à coefficients
dans Z ; en vertu du lemme 9.2, on a donc Q £ Z[x], et a -\- (3 est un entier algébrique.
Pour a/3 , la démonstration est la même ; il suffit de considérer
R(x) = (X!X2 . ..Xn)dPa (—) Pa (—) ---Pa ( ~) •
\X)J \X2J \XnJ
COROLLAIRE 9.1. Si a et (3 sont algébriques, alors a-\- (3 et a/3 sont algébriques. Plus
précisément, l'ensemble Q des nombres algébriques est un sous-corps de C.
-X1X2X3.
= 8x1X2X3 .
DÉMONSTRATION. Exercice 9.4.

114 Théorie des nombres
9.3 NOMBRES TRANSCENDANTS ET THEOREME DE LIOUVILLE
DÉFINITION 9.4. Le nombre complexe a est dit transcendant s'il n'est pas algébrique,
c'est-à-dire si P(a) ^ 0 pour tout polynôme P non nul à coefficients entiers.
Alors qu'il est facile de trouver des exemples de nombres algébriques, il n'est nullement
évident de donner des exemples de nombres transcendants. Le premier exemple est dû à
Liouville (1844) : il est construit à partir du résultat suivant, connu sous le nom de théorème
de Liouville.
THÉORÈME 9.5. Soit a un nombre algébrique réel de degré d ^ 2. Soit k G N tel que
P = kPa £ Z[x]. On pose C = max[a_i,a+1] |P'(x)| et C — min(l, 1/C). Alors, pour
tout nombre rationnel p/q avec q > 0, on a
a-?-
C
(9.2)
DÉMONSTRATION. Pour tout rationnel p/q, le nombre qdP{p/q) est entier car
P G Z[x], et il est non nul car deg(ctf) > 2 (s'il était nul, Pa aurait une
racine rationnelle; contradiction avec le fait qu'il est irréductible dans Q[x] ). Donc
\qd(P(a) — P(p/q))\ = \qdP(p/q)\ ^ 1 . En appliquant le théorème des accroissements
finis, il vient
max \P'(x)\
[a. p/q]
1
Si \a — p/q\ > 1, on a évidemment \a — p/q\ > q d . Sinon, max[a p/q] \P'(x)\ ^ C',
et \a — p/q\ > q~d/C' ; le théorème de Liouville est démontré.
Remarque 9.2. Le théorème de Liouville est explicite ; il permet de calculer C lorsque
a est donné. Soit par exemple a = \f\ï. On a a3 — 17 = 0, et P(x) = x3 — 17 est le
polynôme minimal de a (P est irréductible dans Q[x] grâce au critère d'Eisenstein avec
p = 17 ). Il est clair que
max \P\x)\ = 3(^17 + l)2 = C\
[a — l,a-\-l]
donc C = l/C' > 0,026 . D'où, pour tout rationnel p/q avec q > 0 :
^Ï7-
>
0,026
(9.3)
DEFINITION 9.5. On dit que le nombre réel irrationnel a est un nombre de Liouville, si,
pour tout n assez grand, il existe un rationnel p/q avec q ^ 2, vérifiant
a —
P
q
1
< —
Qn
(9.4)

Chapitre 9 • Nombres algébriques et mesures d'irrationalité 115
Exemple 9.2. Suivant Liouville, considérons la série de Engel
+oo
a = E^
£=0
(9.5)
Le développement de a en base 10 est a = 1,11000100000000000000000100.... Pour
n ^ 1, on a
n j
k=0
+oo
k=n+l
1
1
^
1
<
iofc! io(n+\y.
1 10
<
j_ j_
+ 10 + 102
1
Si nous posons
(10"!)« 10'î! 9 (10"!)"'
*=0
il est clair que (9.4) est vérifiée pour tout n > 1 et a est un nombre de Liouville (il est
irrationnel grâce aux théorèmes 2.2 ou 2.4, au choix).
THÉORÈME 9.6. Tout nombre de Liouville est transcendant.
DÉMONSTRATION. Soit a un nombre de Liouville ; supposons que a soit algébrique (de
degré d > 2 , puisque a est irrationnel). Pour tout n assez grand, il existe p/q avec q > 2
vérifiant (9.4). En vertu du théorème de Liouville 9.5,
^
a —
<
1
contradiction en faisant tendre n vers +oc .
9.4 MESURES D'IRRATIONALITE
DÉFINITION 9.6. Soit a G M ww nombre irrationnel. On dit que fi > 0 est une mesure
d'irrationalité pour a s'il existe une constante C > 0 telle que, pour tout rationnel p/q
avec q > 0, on ait
>
C
qh
(9.6)
Le théorème de Liouville 9.5 entraîne que tout nombre algébrique de degré d admet
d pour mesure d'irrationalité. Par contre, un nombre de Liouville n'admet pas de mesure
d'irrationalité (exercice 9.5). Si a admet une mesure d'irrationalité, la borne inférieure de
toutes ses mesures d'irrationalité s'appelle la mesure optimale d'irrationalité de a et se
note /n(a) : on a jjl{o) > 2 (exercice 9.6). Dans le cas d'un nombre de Liouville, on pose
jx{a) = -I-dc .
Le théorème suivant, fondamental, nous permettra de trouver des mesures d'irrationalité
à partir de bonnes suites d'approximations diophantiennes, telles que celles fournies, par
exemple, par les approximants de Padé.

116 Théorie des nombres
Théorème 9.7.
Soit a G M. On suppose qu'il existe des constantes a > 0 5 fr > 0, k>0:£'^lih^li
une fonction strictement croissante g : N
diophantiennes de a vérifiant :
VneN,
Vn GN,
Vrc €N,
g(0) = 1,
et
\<2nPn+l -9n+lPn| 7^0
kl0(g(«))0,
k«^-Ail ^t/g(n).
lim g(n) = +oc
72—J-f-OO
Vn GN,
A/ors a est irrationnel et, pour tout rationnel p/q avec q > 0, on a
>
1+, et une suite pn/qn d'approximations
(9.7)
(9-8)
(9.9)
(9-10)
(9.11)
(9.12)
g(n + 1) ^ b(g(n)f
C
avec C =
2kb<h+1\2i)ah2
et /jl = ah2 + 1
Démonstration. Soit (p,q) G Z x N* donné. Soit z^ le plus petit entier vérifiant
< - ; v existe car lim g(n) = +oo ; puisque q ^ 1, g(0) = 1 et £ ^ -, on a
g{v) 2 n-»+oo 2
4^ 1
v^l. Alors — ^ - , donc g{v - 1) ^ 2#£ ; par (9.11). il vient g(v) ^ b{2q£f ;
g(i/ - 1) 2
en utilisant une deuxième fois (9.11), on obtient
g{v)<g{v+\)^bh+l{2qOh\
Considérons maintenant le déterminant
(9.13)
A,:
qv Pv
qv-\-\ /vn
qui est différent de zéro en vertu de (9.7) ; cela signifie que les vecteurs de composantes
{qviPv) et (qv+\,pv+\) forment une base de R2 ; par conséquent, un des deux déterminants
qv Pv
q p
ou
qv+\ pv+\
q p
est non nul. Notons m = v ou v + 1, tel que
8m
qm Pm
q p
7^0.
Puisque 8m G Z, on a donc \8m\ > 1, c'est-à-dire \pqm — qpm\ ^ 1, ou
encore \q(qma — pm) — qm(qa — p)\ > 1, ce qui entraîne par l'inégalité triangulaire
q \qm& — pm\ + km| |#<* ~ p\ ^ 1. En utilisant (9.9) et les définitions de v et m , on
. I / ^ / ^ l A I . . I l
q \qma - pm ^ —— ^ —- < -, donc \qm\ \qa - p> -.
g(m) g{y) 2 2

Chapitre 9 • Nombres algébriques et mesures d'irrationalité 117
De plus, par (9.8) et (9.13), \qm\ ^ k(g(m))a ^ kb°^l\2q£)ah2, d'où
1 1
\qa — p\ >
2kba(h+l\2£)ahl qahl
c.q.f.d.
Exemple 9.3. Déterminons une mesure d'irrationalité de e. En vertu de (8.14), (8.15),
(8.16), (8.17), (8.18), on a
e
Vn EN,
(2/0! _
Pn = J-l^l
-n
-2n
\qne - pn\ ^
1], ^ = ~^lF1{_2n
-1 ,
On applique le théorème 9.7 avec g(«) = n!, qui vérifie (exercice 9.7) :
VneN, (n + l)K3(n!)î,
Il reste à majorer \q„\ ; on a
(9.14)
(9.15)
(9.16)
(9.17)
—n
-2n
1
Y^- w(w — 1)... (w - fe + 1)
2n(2n - 1)... (2/2 - k + l)Jfc! ^ kl
n
Y-
^e,
_(2i0!
n!
donc |g„| ^ e—— = eC%nn\. En utilisant la majoration
'7,!
VneN,
on en déduit (voir exercice 9.8)
Vn GE
|^|^30(n!)2.
(9.18)
(9.19)
On applique donc le théorème 9.7 avec ci = 2, b = 3, k = 30,1 = e, h = - : pour tout
rationnel — avec q > 0 on a
10"9
> -75-. (9.20)
q5-5
Il en résulte que e n 'est pas un nombre de Liouville.
Remarque 9.3. La mesure d'irrationalité /x = 5.5 obtenue ici est loin d'être optimale; en
améliorant les majorations (9.17) et (9.19), on peut démontrer (exercice 9.9) que, pour tout
s > 0. il existe C tel que
^
C
;2+e
pour tout rationnel p/q avec g > 0 . Cela signifie que la mesure optimale d'irrationalité de
e vérifie f±{e) ^ 2 . Or f±(e) > 2 (exercice 9.6) ; donc
Me) = 2.
(9.21)

118 Théorie des nombres
9.5 EQUATIONS DIOPHANTIENNES ET MESURES D'IRRATIONALITE
THÉORÈME 9.8. Soient d e N\ {0, 1} er/?GN\{0.1.2} tels que <fd £ Q. Supposons
qu'il existe C > 0 et fi < n tels que, pour tout rationnel p/q avec q > 0, on ait
<Td
>
c
Soit k G Z ; alors l'équation diophantienne
xn - dyn
(9.22)
(9.23)
n'a qu'un nombre fini de solutions (x. y) G Z2 . Plus précisément, soit une solution (x, y)
de (9.23), avec x > 0, y > 0, x et y premiers entre eux; alors, ou bien y ^ 2 \k\, ou
bien x = Pn , y = Qn, où Pn/Qn est une réduite du développement de \fd en fraction
continue régulière vérifiant
m#
DÉMONSTRATION. Si n est pair on peut se limiter au cas x > 0, v > 0. Si n est impair,
et si x et y sont de signes contraires, (9.23) se ramène à |x|" 4- d \y\n = \k\, qui n'a qu'un
nombre fini de solutions ; on peut donc aussi se limiter au cas x > 0, y > 0 . Quitte à diviser
(9.23) par la puissance n -ième de PGCD(x, y ), on peut supposer en outre x et y premiers
entre eux.
Alors
\xn - dyn\ = \x - </dy\ (x""1 + xn-2</dy + • • • + «/jy)72"1)
> x — ydy
Donc si (x, y) est solution de (9.23), on a
y1 >
</d
x--<Td
y
<\k\_\k\ î
yn
y y
«—i •
Ainsi, si y > 2 \k\, - est une réduite du développement de \/d en fraction continue
régulai C \k\
licre (théorème 4.3). Dans ce cas, utilisant (9.22), on obtient — ^ — , d'où yn~^ < — ;
yn y^ C
par hypothèse, n — jjl > 0, et il vient
v <
ce qui achève la démonstration du théorème 9.8.

Chapitre 9 • Nombres algébriques et mesures d'irrationalité 119
REMARQUE 9.4. On notera que le théorème de Liouville 9.5 ne permet pas d'obtenir (9.22)
avec fi < n (il donne jul = n ). Le théorème 9.8 s'appliquera dans le cas où on aura obtenu
une amélioration de l'exposant de Liouville n ; en raffinant les méthodes du paragraphe
9.4, on peut obtenir cette amélioration dans de nombreux cas particuliers. La table 9.1 (ci-
dessous), due à Bennet (1997), donne des mesures d'irrationalité explicites pour cenains
nombres de la forme yfd, n ^ 3 .
Table 9.1 : Mesures explicites d'irrationalité \\fd — p/q\ > Cq^11.
<fd
inr
^3
^5
^6
^7
^ïô
Ifn
m
^Ï3
^Î5
^Ï7
■^Ï9
#20
\/22
^26
\/28
^30
^3Ï
^37
^39
^42
^43
^44
^52
^58
^60
</6Î
C
0,25
0,39
0,29
0,01
0,08
0,15
0,22
0,28
0.35
0,19
0,01
0,02
0,01
0,08
0,03
0,03
0,10
0,14
0,01
0,09
0.13
0.01
0,22
0.26
0,12
0,08
0,06
M
2,47
2,76
2,80
2,35
2,70
2,45
2,91
2,95
2,86
2,54
2,22
2,30
2.23
2,31
2,53
2,52
2,72
2,97
2,27
2,21
2,46
2.32
2.87
2,97
2,71
2,61
2,56
Vd
^62
^63
^65
^66
^67
^68
VÏÔ
^76
s/78
^83
^84
s/9Ô
^\
<fs
Ifw
<fîî
Ifïî
^Ï8
^37
>/39
Vï
n
^ïô
<ft\
^Î5
C
0,04
0,02
0,02
0,04
0,06
0,08
0.12
0,10
0,03
0,10
0,37
0,09
0,01
0,03
0,06
0,03
0,03
0,05
0,33
0,005
0.24
0,43
0,41
0,38
0.28
M
2,50
2,43
2,43
2,50
2,56
2,60
2,68
2,54
2,60
2,72
2,92
2,41
2,29
2,77
3,78
3,27
3,24
3,67
3,34
2,52
3.61
3,33
3,92
4,23
4,27
<fd
^Ï8
y/ZÏ
\/2S
</3Ô
^3Ï
\Y33
>^34
^37
^39
^40
^42
^5
VÏÔ
Vu
^Ï2
m
^T7
#23
^5
\/48
Wê
^20
^50
C
0,21
0,14
0,05
0,02
0,01
0,01
0.02
0,05
0,08
0,09
0,11
0,25
0,38
0,40
0,42
044
0,03
0,43
0,27
0,42
0,14
0,25
0,25
M j
4,29
4,91
3,41
3,04
2,83
2,82
3,02
3,48
2,91
3,90
4,19
4.43
5,17
3,34
3,88
4,91
5,20
6,03
5,10
5,05
4.22
5,87
6,96
Exemple 9.4. Soit à résoudre l'équation
.v3-6v3 = 1. (9.24)
Le cas a ^ 0. v ^ 0 donne la solution x = 1. y = 0. Le cas x ^ 0. y ^ 0 ne donne
pas de solution. On se ramène donc à résoudre les équations x3 — 6y3 = ±1 , avec jf > 0,
«

120 Théorie des nombres
y > 0 , x et y premiers entre eux. Le cas y ^ 2 \k\ = 2 ne fournit aucune solution puisque
7 et 49 ne sont pas des cubes. Donc x = Pn et y = Qn , où Pn/Q» est une réduite du
/ i \ rfï
développement de v6 en fraction continue régulière, avec Qn ^ I — I .En prenant les
valeurs de C et \x données par la table 9.1, on obtient y = Qn ^ 1193 .
Trouvons les premiers termes du développement de a = \/6 en fraction continue régu-
1 / 1 \3
lière. On a a3 — 6 = 0 et a = 1 ; en reportant, il vient 11-; 1 —6 = 0. d'où
ai \ oliJ
5a3 — 3a? — 3«i — 1 = 0 et ai = 1 H ; en reportant : 2a3 — 6a\ — 12a? — 5 = 0; donc
a2 "
a2 = 4 H et a3 vérifie 2\a\ - 36a? - 18a3 -2 = 0; a3 = 2 -j On obtient
a3 a4
en continuant \/6 = [1,1,4,2.7,3,511,1,2,...] ; les premières réduites se calculent par
(4.5) et on a (P0 = 1, Q0 = 1), (P, = 2, Qi = 1), (P2 = 9, Q2 = 5). (P3 = 20, fi3 = 1D,
(P4 = 149, Q4 = 82), (P5 = 467, Q5 = 257), (P6 = 238786. Q6 = 131409). Seules les six
premières pourraient donner une solution de (9.24) en vertu du théorème 9.8. En faisant le
calcul, il apparaît qu'aucun des couples x = Pf,y = Q\, avec 0 < i ^ 5 , n'est solution.
Donc (9.24) a pour unique solution x = 1. y = 0 .
9.6 THEOREMES DE THUE ET DE ROTH
De nombreux travaux ont été menés pour améliorer l'exposant de Liouville dans le cas
général. Le premier succès est dû à Thue (1908).
THÉORÈME 9.9. Soit a un nombre algébrique de degré d ^ 2. Alors il existe une constante
C > 0 telle que, pour tout rationnel p/q avec q > 0,
C
>
qi+2
Le théorème 9.9 fournit pour d > 3 une amélioration non explicite de l'exposant de
Liouville : la constante C ne peut pas se calculer en fonction de a . Sa démonstration relève
de la théorie des nombres transcendants. Voir l'exercice 12.17.
COROLLAIRE 9.2. Soit P(X) = a0 + axX -\ h adXd G Z[X], irréductible dans Q[X],
de degré d > 3 . Alors Véquation diophantienne
d
]rû|.jc,y-/ = k (9.25)
i=0
n 'a qu \in nombre fini de solutions (x, y) G Z x Z.
Voir l'exercice 9.10 pour la démonstration. Dans le cas général, on ne sait pas borner la
taille des solutions (x: y) de (9.25) en fonction des a\ (contrairement à ce qui se passe dans
le théorème 9.8). Ainsi le corollaire 9.2 ne permet-il pas de résoudre effectivement l'équation
(9.25).
Le résultat d'approximation diophantienne le plus fort a été obtenu par Roth en 1955 :

Chapitre 9 • Nombres algébriques et mesures d'irrationalité 121
THÉORÈME 9.10. Soit a un nombre algébrique de degré d ^ 2. Alors, pour tout s > 0,
il existe une constante C > 0 telle que
>
,2+e
pour tout rationnel p/q avec q > 0.
En d'autres termes, les nombres algébriques de degré cl ^ 2 ont une mesure optimale
d'irrationalité égale à 2. Le théorème de Roth, comme celui de Thue, est non explicite. Voir,
par exemple, [18].
-foc
Exemple 9.5. Soit a = 3[] (l+4~"). On sait que a est irrationnel (exercice 2.10).
Par ailleurs on a \ u dans l'exercice 4.15 qu'il existe une suite infinie de rationnels — tels
sn
que, pour tout n ^ 1 :
r„
a —
<
2sl'
Le théorème de Liouville montre alors que a ne peut être algébrique de degré 2. En effet,
s'il l'était, il existerait une constante C > 0 telle que, pour tout n ^ 1 :
<
*»
<
1
2sl'
Ceci entraîne une contradiction lorsque n —► +oc.
De même, le théorème de Thue montre que a n'est pas algébrique de degré 3, et le
théorème de Roth appliqué avec s = - montre que a est transcendant.

122 Théorie des nombres
EXERCICES
9.1 Soit a un nombre algébrique : démontrer que le polynôme minimal de a est unique.
9.2 Démonstration du théorème 9.1
1) Démontrer que le polynôme minimal Pa de a est irréductible dans Q[.v].
2) Soit P G Q[x] , unitaire, irréductible, vérifiant P(a) = 0 . Montrer que P = Pa .
9.3 Démonstration du critère d'Eisenstein
1) Soit P G Z[x] ; on suppose que P est réductible dans Q[x]. En utilisant le théorème 9.4,
démontrer que P est réductible dans Z[jc] .
2) Démontrer le critère d'Eisenstein.
9.4 Corps des nombres algébriques
1) On suppose a et j3 algébriques. Démontrer que a + /3 et a/3 sont algébriques.
2) Démontrer que l'ensemble Q des nombres algébriques est un sous-corps de C .
9.5 Démontrer que, si a est un nombre de Liouville, a n'admet pas de mesure d'irrationalité.
9.6 En utilisant les propriétés des fractions continues régulières, démontrer que la mesure optimale
d'irrationalité de a vérifie fi(a) ^ 2 .
9.7 Démontrer que, pour tout n G N, (// + 1)! ^ 3(?z ï)3/2 .
9.8 Démontrer que, V« G N, C\n ^ 4" . En déduire (9.19).
9.9 Mesure optimale d'irrationalité de e
1) Soit 7] > 0 . Démontrer qu'il existe C\ > 0 (dépendant de r\ ) tel que
(* + !)!< Ci(n\)l+7}, pour tout n G N .
2) Démontrer qu'il existe C2 > 0 (dépendant de 77 ) telle que \qn\ ^ CaOi!)1^77, pour tout n G N,
</„ étant défini en (9.15).
3) Soit e > 0 . Démontrer qu'il existe C > 0 (dépendant de e ) tel que \e — p/q\ ^ Cq~2~e pour
tout rationnel p/q avec q > 0.
9.10 Démontrer le corollaire 9.2.

Exercices 123
9.11 Déterminer le polynôme minimal de a + j3 dans les cas suivants :
1) a = V5 et j3 = \/3.
2) a — i et f3 — j .
3) a et p sont les racines réelles de x3 + x + 1 et x3 + x2 + 1 respectivement.
9.12 Soit a un nombre algébrique. Prouver que A = {P G Q[x]/f(a) = 0} est un wféa/ de
Q[jc] . En déduire que A est principal (voir exercice 6.20) et que A = Q[x]Pa .
9.13 Mesure d'irrationalité de vl7
1) Avec les notations de l'exercice 8.7, démontrer que. Vn £N,\qn\ ^ 7(12\/3 ■ 5833)" .
2) En déduire que, pour tout rationnel p/q vérifiant q > 0 , on a ?,rT"
fû-?-
>
9.14 Mesure d'irrationalité de Log2
1) Avec les notations de l'exercice 8.8, démontrer que. pour tout n G N, \qn\ ^ 36" .
2) En déduire que. pour tout rationnel p/q vérifiant g > 0 , on a "
Log2-^
>
ql3A6
9.15 Résoudre l'équation diophantienne
.v4-5v4=ll.
9.16 On note (an)nef: la suite des entiers de la forme 2fl3£> , rangés dans l'ordre croissant. Ainsi
ûo — l,fli = 2, fl2 — 3.a3 = 4. «4 = 6.^/5 = 8.^6 = 9,^7 = 12, «g = 16, ^29 = 18, «io = 24,
ûfn = 27: a 12 = 32 . Le but de l'exercice est de démontrer que lim„_»+ooO^+i — an) = +00 .
1) Soient a.b.c G N* donnés. Prouver que l'équation ax3 — by3 = c n'a qu'un nombre fini de
solutions (a\ y) G N" .
2) Soit c G N , donné. Prouver que l'équation au^\ — an = c. d'inconnue «, n'a qu'un nombre fini
de solutions.
3) Conclure.
9.17 Une variante du théorème 9.7
On se propose de démontrer le résultat suivant :
Soit a un réel. Soient ko > 0, £o ^ - ^ £\ > 0, l < Eq ^ E\ et Q > 1 des nombres réels tels
qu'il existe une suite (pn,qn) G Z" vérifiant :
v«eN, MOoe". (*)
Vu E N. £,£f" «J \q„a - p„\ < £0£0~"'■ (**)

124 Théorie des nombres
Alors, pour tout (p,q) G Z x M* ,
LogdQ/l] )
:of.a i "
ko
. C Log(2£i)
> — , m-ec fi = —-^—-— ef
4M Log EQ
C=-l((2£1) l ^*o
1) Soit /z le plus petit entier vérifiant \q„a — p„\ < i\/q . Prouver que n existe, que n > 1, que
#n 7^ 0 , et que /? ^ —^ ^ h 1
Log£0
2) Démontrer que, si qnp — pnq = 0 . alors
P
^ ——7— . En déduire que
^ Cq M , où C et /a sont donnés ci-dessus.
3) Démontrer que ce résultat reste valable si qnp — pnq 7^ 0 .
9.18 Mesures d'irrationalité de tt et tt
Soit f(2) = ^ —^ ; on sait (exercice 7.17) que £(2) = — .
77=1
p[ p\ j- S J J
1) Pour (r, s) G N2 , on pose I, s = / —f—:—- ■
Jo Jo 1 - *y
Prouver que 7,v = f (2) - Y^ — et que /r.s = f —— - ——r
^-^ k- r — s V s + 1 s + 2
A' = l x
1 J"
2) Soit Pn(x) = —(xn{l — x)n) le n -ième pohnôme de Legendre. Prouver que Pn G Z[.ï] ,
ni dx"
H h - j si r > ^ .
3) On pose K„
Jo Jo 1
x)(l - yf
■xy
dx dx
Démontrer que Kn = bn £(2) + a„ , avec an ,b„ G Q.
On note 8(n) = PPCM(\,2,... ,n). Vérifier que q„ = [8(n)]2bn et pn — [8(n)]2an sont entiers.
4) En utilisant le théorème 7.8, montrer que \qn | ^ (144)" .
5) Prouver que *„ = (-1)" / / ' } ,\ ' \[ . 1 ^ </* rfj •
Jo Jo U ~ xy)
6) Montrer que (1 — x)(l — y) ^ (1 — y/^)2 pour tous x > 0. y > 0 . En déduire que :
"*"|<t(
TT2 /a/5- 1
< 1.65 x (0.0902)".
7) En remarquant que \Kn\ ^ / —:— "—d.x dy pour e G
Je Je (1 — xy)
que |^„| > 5 • 10"8(0.0832)" .
8) En utilisant l'exercice 9.17, trouver une mesure d'iiTationalité pour tt2 , puis pour tt
0, -
montrer
9.19 Soit a un nombre algébrique et Pa son polynôme minimal. Démontrer que Pa n'a pas de
racine double.

Exercices 125
9.20 Un nombre remarquable (suite de l'exercice 4.15)
Soit a = 3[] (l +4-'1). On sait que a est transcendant (exemple 9.5).
En utilisant les suites rn et sn définies dans l'exercice 4.15, trou ver une mesure d'irrationalité pour a.
En déduire que a n'est pas un nombre de Liouville.
9.21 Un nombre transcendant (suite de l'exercice 1.12)
Trouver une mesure d'irrationalité pour le nombre transcendant yS = V^ q~~ (f/GZ, \q\ ^ 2).
En déduire que /3 n'est pas un nombre de Liouville.
+00
9.22 Soit r^N. avec r > 3. Soit g e Z. avec |#| ^ 2. Soit y = ^q
«=o
Montrer que y est transcendant et en donner une mesure d'irrationalité

Chapitre 10
Corps de nombres algébriques
Ce chapitre constitue une première approche de la théorie algébrique des nombres. Dans
le paragraphe 10.1, on généralise les corps de nombres quadratiques (chap. 5) en définissant
les corps de nombres algébriques. Le paragraphe 10.2 est consacré à l'étude des morphismes
de conjugaison, de la norme et de la trace. L'anneau Âx des entiers d'un corps de nombres
algébriques K est défini en 10.3, et ses unités, en 10.4 ; on s'intéresse en particulier au cas où
K est un corps cyclotomique. Le paragraphe 10.5 est une introduction à la théorie des idéaux
(qui sera développée dans le chapitre 11) ; on y définit le discriminant d'un idéal de A^.
avec, comme cas particulier, le discriminant du corps 3C lui-même. Pour terminer (§10.6),
on résout Téquation de Fermât x3 + y5 = z5 en travaillant dans le corps cyclotomique
K = Q(e2i7r/5).
10.1 CORPS DE NOMBRES ALGÉBRIQUES
Soit K un sous-corps de C. Alors 1 G K ; par récurrence, on en déduit n G K pour
tout entier naturel n ; donc n G K pour tout entier relatif n , et finalement n/m G K pour
tout rationnel n/m . Donc Q C K. Il en résulte aisément (exercice 10.1) que K est un
espace vectoriel sur Q .
DÉFINITION 10.1. Soit K un sous-corps de C. On dit que K est un corps de nombres
si, considéré comme espace vectoriel sur Q, il est de dimension finie d. Cette dimension
s'appelle le degré de K et se note [K : Q] = d.
Soit a £ C un nombre algébrique de degré d . On pose
K = Q(a) = {a0 + aia + ---+ad-lad-l/a0jali...iad-l G Q}. (10.1)
Le lecteur vérifiera (exercice 10.2) que 1, a , ad~1 sont linéairement indépendants
sur Q, que K est un sous-groupe additif de C , que K est stable par multiplication, et que
ïGl*^ l/x G K* . Ainsi K est un sous-corps de C, de dimension finie d sur Q ; c'est
donc un corps de nombres de degré d .
Exemple 10.1. a = 1 ; K = Q, de degré 1.
Exemple 10.2. a — \fd, où d G Z est sans facteur carré ; alors
K = Q(y/d) = {a + b\fd, a.beQ}
est un corps de nombres quadratiques, de degré 2 (chapitre 5).

Chapitre 10 • Corps de nombres algébriques 127
Exemple 10.3. co = e2l7T/p, p premier impair. Alors K = Q(co) s'appelle un corps
cyclotomique. On a [Q(co) : Q] = p — 1 , puisque le polynôme minimal de a est le polynôme
cyclotomique Pœ(x) = xp~l + jcp_2 H I- x + 1 (théorème 9.2 et définition 9.3).
Étant donnés deux corps de nombres K et L, on dit que L est une extension de K si
K C L . Il est clair, par définition, que tout corps de nombres K est une extension de <Q>.
Exemple 10.4. Considérons le corps cyclotomique L = Q(é>2/7r/5). Si co = e2i7T/5 , on sait
(exercice 10.3) que co-\-co4 = 2cos(2tt/5) = (-l + V5)/2 ; donc \/5 = 1-\-2ù)-\-2co4 G L .
Par suite a + by/5 G L, pour tout (a,b) G Q2 . Il en résulte que le corps cyclotomique
L = Q(e2z7r/5) est une extension du corps quadratique K = Q(\/5). On peut préciser en
posant 6 = 2i sin(2*7r/5). On a alors ar + w3 = 2 cos(4?r/5) = (-1 - y/5)/2, w - co4 = 6 ,
ù)2 - co3 = 2/ sin(4*7r/5) = (-1 + y/5)6/2. Par suite, soit x = a + bco + cw2 + dw3
(ai,c.^GQ)un élément de L . Alors x = a + £><w4 + c<w3 + dco2 , d'où
x + x = 2a + £>— (c + d)—-—
I A"
x - x = Z><9 + (c - rf) ~ 0.
On en déduit :
x = \Ua + b^fl - (c + d)^±l\ + (b + (c- d)^\ 6. (10.2)
Autrement dit, x est de la forme a + (36, avec a. (3 G K = Q(\/5). Donc L c K(0).
Réciproquement, puisque y/5 G L et 0 G L, on a K(6) C L . Ainsi L = K(0). On dit que
L a été obtenu, à partir de K, par adjonction du nombre algébrique 6 (le lecteur vérifiera
que 02 = -(5 + >/5)/2 , d'où 04 + 5<92 + 5 = 0).
Ce procédé d'adjonction est général ; si a, (3, y,... sont des nombres algébriques, on
définira K, L, M...., par K = Q(a). L = Q(a. (3) = K((3). M = Q(a, (3, y) = L(y),....
Le lecteur vérifiera (exercice 10.4) que K.L. M...., ainsi définis, sont bien des corps de
nombres.
Réciproquement, soit K un corps de nombres de degré d ; alors, pour tout x G K,
x est algébrique de degré inférieur ou égal à d car les nombres l,x,x2,... ,xd sont
linéairement dépendants sur Q. Choisissons a\ G K* ; alors Q(a\) C K ; si K = Q(ai),
c'est terminé; sinon, il existe ai dans K tel que ai ^ Q(«i) ; on a Q(ûji,û?2) C K et
[Q(#i, a2) • Q] > [Q(tfi) ■ Q], puisque a2 £ Q(«i) ■ On construit ainsi, par récurrence,
une suite strictement croissante de sous-espaces vectoriels de K. Puisque K est de
dimension finie, il existe donc a\. ai..... an G K tels que K — Q(#i, &2, • • • -, an) ■ H est tout à
fait remarquable que, en fait, on puisse choisir a\ de telle sorte que n = 1 ; ce résultat est
connu sous le nom de théorème de Vélément primitif :
THÉORÈME 10.1. Soit K un corps de nombres. Alors il existe 6 G K tel que K = <Q>(0).

128 Théorie des nombres
DÉMONSTRATION. Puisque K = Q(#i. a2 an). il suffit de promer que. pour tout
couple (a, (3) de nombres algébriques, il existe 0 tel que Q(a. f3) = Ç(0j. Nous
allons construire 0 explicitement. Soient Pa et Pp les polynômes minimaux de a et (3,
a\ = a, û?2ï • • • ? «h les racines de Pa , (3\ = j3, /32 fîp les racines de Pp . Alors les at
sont deux à deux distincts, ainsi que les f3j (exercice 9.19). Donc pour tout i — 1.2 n
et tout j —2 p , l'équation
ai-rxpj =al+\/3i (10.3)
a au plus une solution. Choisissons y G Z* , ne vérifiant aucune des équations (10.3).
et posons 6 = a-ty(3.Ona0€ Q(a. j3), donc Q(0) C Q(a. /3). Montrons que
Q(a, /?) C Q(0) ; pour cela, il suffit de prouver que (3 G Q(6). puisque a = 6 - y(3 .
Soit <2(x) = Pa(0 — yx) ; 2 est un polynôme à coefficients dans Q(0), et
<2(/3) = Pa(a) = 0. Ainsi (S est une racine commune à Q et Pp : c'est la seule, car,
si Pj U ^ 2) était racine de Q, alors 0 — y/3j serait racine de Pa , donc égal à un
des ai, contrairement au choix de y . Puisque Pa et Q sont dans Q(0)[.y] , il en est de
même de leur P.G.C.D., qui est du premier degré puisque Pa et Q ont une seule racine
commune (3. Ce PGCD est de la forme D(x) = ax -f b. avec a.b G Q(6), « ^ 0 et
D(/3) = a(3 + è = 0. donc £ = -è/a G Ç(0). c.q.f.d.
Exemple 10.5. Soit K = Q((\/3. v^). On a a, = a - \/3 , a2 = -\/3. 0i = 0 = ^2,
(32 = y v^, /?3 = j2^. U est clair que y = 1 ne vérifie aucune des équations (10.3). Donc
!K = Q(x/3 + ^2).
10.2 CONJUGUÉS, NORMES ET TRACES
Soit K un corps de nombres de degré d ; on appelle morphisme de conjugaison tout
morphisme de corps a de K dans C laissant Q invariant, c'est-à-dire :
[ ^(.y 4- y) = ct(a') + a(y) . pour tout a\ y G K2
l a{xy) = o-(jt)<7(y) . pour tout x. v G K2 (10 4)
I cr(r) = r . pour tout r G Q.
En particulier, considéré comme application du Q -espace vectoriel K dans C, cr est
Soit 0 un élément primitif de K, c'est-à-dire que K = Q(0) (théorème 10.1). Soit
P(x) = Yfi=oaixi ^e polynôme minimal de 0, et 6\ = 0, 02, 0</ les racines de P# ;
ces racines sont deux à deux distinctes (exercice 9.19). Pour tout morphisme de conjugaison
a de K, on a
d / à \ d d
0 = ^^-0'" => 0 = C7 I ^fl;0'" I = ^«7(fl;M0)'' = ^fl/<7(0)'"
i=0 \i=0 / 1=0 i=0
car a,- G Q. Donc cr(0) est racine de P# , c'est-à-dire que cr(0) = 0 , ou 02 , ou 0d .
Il existe donc au plus d morphismes de conjugaison de K. Réciproquement, définissons
<Ti : K —► C par
<Ti(a0 + fli0 + • • • + ad-X6d-x) = o0 + ûi0/ + ■ • ■ + flt/-i0f-1 ;

Chapitre 10 ■ Corps de nombres algébriques 129
on vérifie (exercice 10.5) que cr, est un morphisme de conjugaison et que <xz- / aj si i ^ j .
On a donc démontré le
THÉORÈME 10.2. Dans tout corps de nombres K = Q(0) de degré d, // ex/ste erac-
tement d morphismes de conjugaison a\.ai ov, définis par 0"z(0) = 0,-. ow
01 = 0. 6i: 0d sont les racines du polynôme minimal de 0.
Pour tout x dans K, les nombres a — ai(x). a2(x) ct^(a) sont appelés les
conjugués de x .
Exemple 10.6. Soit K = Q(Vd) un corps quadratique ; ici 0 = \fcl, i^(x) = x2 - d,
01 = 0 = \fd , 02 = —\[d . Donc en (a + fcv^f) = ci + &>/<? et cr2(« + &\/d) = # — b\/d ,
c'est-à-dire que cri est l'identité dans K, tandis que ai associe à x son conjugué x* au
sens du chapitre 5.
Soit K un corps de nombres de degré d , et a\ — ld, a2^ .., o^ les d morphismes de
conjugaison de K. Pour tout a* dans K, on définit la norme de x , N(x), et la trace de x ,
7\x) par :
N(x) = a](x)a2(x)...aAx) (10.5)
r(x) = a{(x) + cr2(x) + • • • -h ad(x). (10.6)
Si x G Q , on a ct7(a) = a pour tout /, donc N(x) = x"7.
EXEMPLE 10.7. Soit K = Q(Vd) un corps quadratique. On a vu que a\{a+b\fd)=a+b\fd
et a2{a + b\[d) = a — by/d , donc N(a + Z?V^) = # 2 — db2 , T(a + b^fd) = 2a , ce qui
correspond aux définitions du chapitre 5.
EXEMPLE 10.8. Soit K = Q(\/d), où r/ est sans facteur au cube ; on dit que K est un corps
cubique (de degré 3) pur (car il admet un élément primitif de la forme \fd). Ici 9 — \fd ,
pe(x) = x3 - d , 0, = (9 , 02 = 70 , #3 = 720 • Sôit a G K, a = a + Z?0 + c$2 . Alors
#(*)= (fl + b9 + c02)(a + bj0 + cj202)(fl + èj20 + cj02)
= (a2 - bcd -h (c2d - fiZ?)j20 + Qr - ac)j02){a + bj20 + c/02)
d'où
W(û -f &#/ + c\/tf2) = a3 + c//?? + rfV - 3abcd. (10.7)
Un calcul analogue, mais plus simple, montre que
T(a + b<fd - c\ff) = 3a. (10.8)
THÉORÈME 10.3. Soit K un corps de nombres de degré d. Alors, pour tout x G K,
N(x) e Q et T(x) çQ.En outre, pour tout (a. y) <E K2
7(a + v) = T(x) + riv) (10.9)
N{xy) = N(x)N(y) (10.10)
N(x) = 0**x = 0. (10.11)
DÉMONSTRATION. Exercice 10.6.

130 Théorie des nombres
10.3 ANNEAU DES ENTIERS D'UN CORPS DE NOMBRES
Soit K un corps de nombres de degré d . On a vu que tout a G X est algébrique de degré
inférieur ou égal à d . On dit que x est un entier de K si x est un entier algébrique, c'est-
à-dire si son polynôme minimal Pa est à coefficients entiers relatifs (voir §9.2). L'ensemble
Ak des éléments entiers de K est un anneau (théorème 9.4), qui s'appelle Vanneau des
entiers de K.
On observe que, si a G A&, alors N(a) G Z et T(a) G Z. En effet,
Pa(&) = 0 => Paio'i(a)) = 0 pour tout morphisme de conjugaison at de X ; donc
o"i(«), o~2(a),..., (Td{a) sont des entiers algébriques ; ainsi N(a) et T(a) sont des entiers
algébriques (théorème 9.4). Comme N(a) G Q et T(a) G Q, on en déduit N(a) G Z et
T(a) G Z.
Si K = Q(Vd) est un corps de nombres quadratiques, l'anneau A& de ses entiers est
donné par le théorème 5.3. Un autre exemple, lié à l'équation de Fermât xp + yp = zp , est
celui de F anneau des entiers du corps cyclotomique K = Q(e2l7r/p).
THÉORÈME 10.4. Soit K = Q(co). co = e2i7r/p , p premier impair. Alors
AK = Z(û>) = {flo + ûiwH 1- ap-2cop~2/ai G Z}.
La démonstration du théorème 10.4 utilise quelques calculs de traces et nonnes dans
Q(co). Le polynôme minimal de co est le polynôme cyclotomique
P(x) = 1 + x + x2 + ■ - • + xp~[ = (x - co)(x -co2)... (x - cop~x)\
donc les p — 1 morphismes de conjugaison de K — Q(co) sont définis par cr^co) = co1 pour
/ = 1,2,... ,p - 1. On a
P(l) = p = (1 - û>)(1 - <w2)... (1 - û^"1) = a{(l - co)a2(l -co)... o>_i(l - co).
donc :
N(\ -co) = p. (10.12)
On remarque ensuite que
Vx G AK, T(x(\ - co)) est un multiple de p . (10.13)
En effet, T(x(l - co)) = ^Ci' ^(-0(1 - */') = (1 - *>)Y%Zl <rfo) (E^o^) • Donc
il existe y G A& tel que T(x(l — co)) = (1 — <y)v. En prenant les normes, il vient
N(T(x(l - co))) = (T(x(l - co)))d = p • N(\) en vertu de (10.12), donc p\T(x(\ - co)).
Troisièmement, on a
7V) = -1 pour i = 1,2,..., p- 1, car: (10.14)
P-\ p-\ p-i /p-i \
t(coi) = J2vjiu1) = J2<°li = J2°"'^) = ^ E^ = ^-v = ~l ■

Chapitre 10 - Corps de nombres algébriques 131
Ceci étant, soit x = «o 4- ci\co -j- ••• + ap-2Cop 2 te G Q) un élément de
AK- On a x(l - co) = a0(l - <») + ^îO - w2) + • • • + ^_2(w/7~2 - cop~l),
d'où T(x(l - <»)) = a0(T(l) - T{co)) + ■•• + ap-2(T(cop-2) - T^"1)). Or
7(1) = EC/^/CD = EzCi1 ! = />-!. donc en utilisant (10.14) il vient
T(x(l — &>)) = pao . Ainsi £>a0 est un entier rationnel car x(l — co) G Ak , et cet
entier est un multiple de p par (10.13). Il en résulte a0 G Z.
On a ensuite (x —ao)cop~l = a] -j-anco-l t-ap-2<°p~3 G Ak , et le même raisonnement
montre que ci\ G Z . Par récurrence, on en déduit que x G Z(co). Donc Ak C Z(co) . Comme
Z(co) c Ak , on a Ak = Z(co), c.q.f.d.
10.4 UNITÉS
Soit Ak l'anneau des entiers du corps de nombres K. Les unités s de Ak sont les
éléments inversibles de Ak (voir §5.3.1). Pour généraliser le théorème 5.4, nous aurons
besoin du lemme suivant :
Lemme 10.1. Soit K un corps de nombres de degré d et soient o~\ = Id, cri...., o~â les
morphismes de conjugaison de K. Alors, pour tout x G Ak, o~2(x)cr3(x)... cidix) G Ak ,
c'est-à-dire que x divise N(x) dans Ak-
Voir l'exercice 10.7 pour la démonstration. On en déduit le
THÉORÈME 10.5. Soit A^ le groupe des unités de l'anneau Ak des entiers du corps de
nombres K. Pour tout s G Ak, s G A^ <^> |iV(e)| = 1.
DEMONSTRATION. Exercice 10.8.
Le groupe des unités de Ak est donné par le théorème 5.5 dans le cas où K est un
corps quadratique imaginaire, par le théorème 5.7 dans le cas où K est un corps quadratique
réel. Il est difficile, en général, de déterminer A^ lorsque K est donné. Au sujet des corps
cyclotomiques, on a cependant le remarquable résultat suivant, connu sous le nom de lemme
de Kummer :
LEMME 10.2. Soit K = Q(co), co = e2l7r/p, p premier impair. Alors les unités de Ak
sont de la forme s = cokrj, où k G N et 77 est une unité réelle.
DÉMONSTRATION.
Première étape : On démontre que, si s G A^ alors s/s = ±cok , avec k G N.
Posons e/ë = #o + ci\0) + • ' • + ap-ocop~2, avec «/ G Z, / = 1,..., p — 2 . Puisque
1+&H \-cop~l = 0 , on a s/s = (cio+m)+(ai+m)(o-\ \-{ap-2+m)cop~2-\~mcop~l pour
tout m G Z . On peut donc choisir m de telle sorte que s/s — bo + b\ co H \~bp-\cop~A ,
avec b{ = at +m pour i < p — 2 , bp-\ = m , et —f < b^ + b\-\ Vbp-\ < \ . Ce choix
étant fait, posons P(x) = bo + b\x H + bp-ixp~l . On a e/ë = P(co), s/s = P(co) =
P(cop~l) ; on effectue la division euclidienne de P(x)P(xp~l) par xp — 1 :
P(x)P(xp~l) = Q(x)(xp - 1) + R(x).
(10.15)

132 Théorie des nombres
On peut démontrer (exercice 10.9) que
p-\
R{x) = Y^BrXr. Br= J^ bibJ-< (10.16)
où Er = {(ij) G N2/0 ^ / ^ p - 1;0 ^ j < p - 1;/ - 7 = r (mod p )} .
En remplaçant a' par &> dans (10.15), on obtient 1 = Bq 4- #i&> 4- • • • + Bp_\cop~x ,
donc (#o — 1) 4- #i* 4- ■ ■ ■ 4- Z^-i-Y^-1 est un polynôme annulateur de co et c'est
un multiple de son polynôme minimal (exercice 9.12). Donc il existe h G Z tel que
B0 - 1 = Bx = ■•■ = £p_! = /i. En faisant a = 1 dans (10.15), il vient
#o + #i+--- + fî/>-i = (^o4-^i4---- + ^_i)2,donc (&0 + &1 4- • • • 4-ftp_i)2 = 1 + p/i et
fyj+^H 1-^/7-1 =±1 (mod p). Compte tenu du fait que — p/2 < b0+bi-\ \-bp-\ <
p/2 , il en résulte b0 + b\ H h Z?p_i = ±1 , d'où h = 0 et B0 = 1, /?,- = 0 pour / ^ 1 .
Mais en vertu de (10.16), on a 50 = Y^î=o tf • Donc £0 = 0 implique que l'un des bt
vaut ±1 , tandis que les autres sont nuls, et s/s = ±g/'.
Deuxième étape : On montre que, en fait, s/s = cok pour un entier naturel A'. S'il
existait un entier k tel que s/s = — cok , alors il existerait un entier s tel que e/ë = — or*
(si & est impair, le remplacer par A' 4- p ) : alors sw"s = —scos est une unité v ; posons
z/ = aQtù + axor + • ■ • + ap-2<op~l = P(&>) ( {<w. or g^-1} est une base de K). Alors
F = -v = P(W) = P(co~]), donc 2v = P(co) - P(co~l) = (co - co~l)a, avec a G AK.
En prenant les normes, on en déduit N(co - co~])\N(2p) ; or N(2v) = N(2)N(v) = 2^_1
et N(co - co~]) = N(co-[)N(co - \)N(co + 1) = -pN(co + 1) en vertu de (10.12). Donc
p\2p~] , contradiction.
Troisième étape : On a vu qu'il existait un entier naturel s tel que s/s = to2s ; d'où
sco~s = sa/ . Alors r] = 8w~5 est une unité vérifiant 77 = 77. Donc 77 est une unité réelle
et e = 7]cos, c.q.f.d.
Exemple 10.9. Soit K = Q(<w), co = ^2/î7/5. Pour trouver les unités de AK, on cherche
les unités réelles ; or on a vu (exemple 10.4), que K = Q(V5)(0) , avec 6 — 2/ sin(27r/5).
Donc les unités réelles de Ak sont les unités de l'anneau des entiers de Q(V5) ; par suite
(exemple 5.1)
A^ = {±con®k/0 < n ^ 4; k G Z} , où $ = (1 4- \/5)/2 est le nombre d'or.
Exemple 10.10. Soit K = Q(co), co = e2iir/1. On démontre (exercice 10.10) que
A| = {ia/^V/O ^ n ^ 6; (M) G Z2} , avec 77 = <y 4- co6 = 2cos(2tt/7) et
/x = co3 + &>4 = 2 cos(6tt/7) .
En fait, la structure générale du groupe des unités de Ak est très simple ; elle est donnée
par le théorème des imités de Dirichlet que nous ne démontrerons pas (voir [27] ou [18]).
THÉORÈME 10.6. Soit K un corps de nombres; alors il existe des imités rj],^ 77^
(appelées unités fondamentales) telles que tout s G A^ s'écrive, de manière unique, sous
la forme s = ÇvVv"2 ■ • • vT > ou ^es ni ^ ^» et £ est U11e racine de Vunité appartenant à

Chapitre 10 • Corps de nombres algébriques 133
10.5 DISCRIMINANTS ET BASES ENTIERES
Soit K = Q(0) un corps de nombres de degré d ; alors {1,0,.... 6d~]} est une base
du Q -espace vectoriel K.
Soit plus généralement {a\, a2,... ad} une base quelconque du Q -espace vectoriel K ;
son discriminant A[a\. a2,... ad] est défini par
(A[aua2-J..-ad] = (D[au a2,... ad])2, avec
D[aua2*...ad]
o-i(ai) Œi(a2) ... <r\{ad)
o-2(a\) o-2(a2) ... o~2{ad)
(10.17)
\o-d(ui) <rd(a2) ... crrf(arf)|
où les o~i sont les d morphismes de conjugaison de K.
LEMME 10.3. Soit K = Q(0) un corps de nombres de degré d, et soit Pq le polynôme
minimal de 0. Alors
A[1, 0,..., 6d~l] = (-l)dJ^N(P^e)).
DEMONSTRATION. On a, par définition :
A[l50....;0rf-1] = det(^^))2 =
1
0i
1...
02..
0?"1 tf"1
0'
1
0d
4-\
où 0i = 0. 02,..., 6d sont les racines de P# . On reconnaît un déterminant de Vandermonde
(exercice 10.11), et on a donc
A[1,0,....0^/-1]= H (0;-0;)2.
l<:j<Kd
Or ^(.v) = nf=i^-^),donc
(10.18)
péw=j2 ri(x -6i) et p^=H(6J -6i)-
7 = 1 W W
En multipliant ces expressions pour 7 = 1.2,... d , il vient
d
NiPïm^iniiOj-Oi).
Dans ce produit, pour chaque couple (i. j) avec / ^ j , on rencontre (6j — 6i){6i — 6j) —
-ifii - 6j)2. Donc, en comparant avec (10.18), on obtient A[l, 0,..., 0J_1] =
(—l)sN(Py(9)), où s vaut la moitié du nombre de couples (i,j) vérifiant 1 < i ^ d,
l^j^d.i^j:onas = (d2- d)/2 , d'où le lemme 10.3.

134 Théorie des nombres
LEMME 10.4. Soit K = Q(0) un corps de nombres de degré d. Soient {a\. a2 ad}
deux bases de K. Posons ctj = XZ/=i Q/A', avec
A[a1: a2i.... ad] = (det(c0-))2A[iSi. jS2 A/L
^r {fi\~p2 /3rf} deux bases de K. Posons olj — XZ/=i Q/A' » flr^c câ' ^ Q • Alors :
DÉMONSTRATION. Exercice 10.12.
THÉORÈME 10.7. Pour toute base {al.a2 ad} de K = Q(0), A[«i «</] € Q*+ .
.Si, e« oMfre, ai G A& /?owr fowf /, \[a\ ad] G N* .
DÉMONSTRATION. Exercice 10.13.
Soit maintenant / un idéal de Ak ; rappelons (voir §5.2) que / est un sous-groupe
additif de AK , vérifiant en outre : \/x G /, V j G Ak- xy G I.
THÉORÈME 10.8. Soit K = Q(0) un corps de nombres de degré d, et soit I ^ {0} un
idéal de Ak ■ Alors il existe ai,^,...,^ G / , linéairement indépendants sur Q, tels que
1 = {ri\ai + n2a2 H Vndad/n]:n2 nd G Z}.
Autrement dit, tout élément de l'idéal / s'exprime comme combinaison linéaire à
coefficients dans Z de a\. a2, ad . Un tel ensemble de combinaisons linéaires à coefficients
dans un anneau commutatif unitaire A s'appelle un A -module ; il vérifie les mêmes axiomes
qu'un espace vectoriel sur un coips K, sauf que les scalaires sont les éléments de A. Le
théorème 10.8 peut se reformuler en disant que tout idéal I de Ax est un Z -module de
rang d (dans le cas des modules, on parle de rang plutôt que de dimension).
DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 10.8. Soit a G / , a ^ 0 ; alors
N(a) = ao~2(a)... crd(a) G /
en vertu du lemme 10.1. Soit 8 un dénominateur de 6 ; on a 86 G Ax (théorème 9.3), donc
/5 = N(a)86 G / ; les nombres l,/3,.... (3d~[ sont linéairement indépendants sur Q car
8N(a) G Z ; ainsi {1, /3,..., (3d~l} est une base de K constituée d'éléments de / . Parmi
toutes les bases de K formées d'éléments de / , choisissons-en une, notée {a\,a2 , ad) ,
telle que A[a\, a2,..., ad] soit minimum (c'est possible car A[û?i. a2 ad] G N* en
vertu du théorème 10.7). Nous allons montrer que {a\^a2,... ,ad} répond aux
conditions du théorème ; supposons que ce ne soit pas le cas ; il existe alors x G / avec
x — x\cù\ + • • • + xdad (où xt G Q pour tout / ), tel que l'un au moins des xt■ <£ Z ;
quitte à renuméroter, on peut supposer que x\ ^ Z ; ainsi r = x\ — [x\] G]0,1[. Posons
y = x — [X]]a\ = rai + x2a2 + • • • + xdad G / . Alors {y. a2: ad} est une base de
K, constituée d'éléments de / ; le déterminant des composantes des vecteurs de la nouvelle
base dans l'ancienne base vaut
r
*2
xd
0 .
1 .
0
0 .
. 0
. 0
. 1

Chapitre 10 - Corps de nombres algébriques 135
Il résulte donc du lernme 10.4 que
A [y, 0:2- - • • 3 &d\ — /""A[a!i. ai* • • • < ad\ < A[q?i, c^2,.... <*</].
ce qui contredit le choix de a\, ai , a^ . Le théorème 10.8 est démontré.
Soient {ai.a2^-. &d} et {/3i P2 - -., Pd} deux bases de l'idéal
comme Z -module. Il existe donc ctj 6 Z, cf' • G Z, tels que a7-
/ considéré
£?=i cyfr
et /^/ = Sf=i co-a' • Les matnces carrées C = (c;y) et C' = (cj•) sont donc
inverses Tune de l'autre; en prenant les déterminants, il vient detC • detC' = 1 ; or
detC e Z et detC" e Z, et par suite detC = ±1 . Il résulte alors du lemme 10.4
que A[û?i ,a2, ^/] = A[y^i, ^82, ■. -, j8j], ce qui conduit à poser les définitions suivantes.
DEFINITION 10.2. Soit I un idéal de Vanneau Ak des entiers d'un corps de nombres K.
Le nombre entier naturel A(7) = A[g:i, 0:2,..., <*</], #w ne dépend pas du choix de la base
{a\. ao, ■ • • • #d} fifw Z -module I, s'appelle le discriminant de I.
Le théorème 10.8 et la définition 10.2 s'appliquent en particulier au cas / = Ak , qui est
évidemment un idéal. Ainsi l'anneau des entiers A& du corps de nombres K est-il un Z-
module de rang d . Toute base {ct\.ct2 &d} du Z -module Ak s'appelle une base
entière de K . Le discriminant du corps K est défini par A(K) = A(Ak) = M&1 &2 , &d\,
discriminant qui ne dépend pas du choix de la base entière {ai. ao,..., ad} .
Exemple 10.11. Soit K = Q(Vd) un corps de nombres quadratiques. On sait (théorème
5.3) que A:< = Z(\/d) si d = 2 ou 3 (mod 4) et AK = Z((l + y/d)/2) Ad = \ (mod 4).
Donc {\,Vd} est une base entière de K si d = 2 ou 3 (mod 4), tandis que {1 (\ + y/d)/2}
est une base entière de K si d = 1 (mod 4). On en déduit :
Si d = 2 ou 3 (mod 4), A(K) :
Si d = 1 (mod 4), A(K)
Vd
\ + \/d
Ad.
2
1-y/d
(10.19)
(10.20)
Exemple 10.12. Soit K = Q(<o), co = e2l7rl'v. p premier impair, un corps cyclotomique.
Le théorème 10.4 montre que Ax = Z(w), donc {1, co,..., cop~2} est une base entière de
K. Il résulte du lemme 10.3 que
MK) = (-\r-r^-2)/2N(PUco)).
Or Pœ(x) = (1 - xP)/(l - x), donc P^x) = -pcoP-l/(\ - co). Ainsi
en vertu de (10.12). Donc, puisque (—l)p~2 = —1 ,
A(K) = (-1)—p*
(10.21)

136 Théorie des nombres
10.6 L'ÉQUATION DE FERMAT x5 +y5=z5
THÉORÈME 10.9. L'équation de Fermât a5 + y3 = -3 n'a pas de solution en entiers x. y. z
non nuls.
Pour démontrer le théorème 10.9 nous travaillerons dans l'anneau A^ des entiers du
corps cyclotomique K = Q(co), avec co = e2*"^ . Nous aurons besoin des deux lemmes
suivants :
LEMME 10.5. Soit co = e2i7Tf5, K = Q(co). Alors Vanneau AK des entiers de K est
euclidien, c'est-à-dire que, pour tout (a.b) G Àv x A\, il existe (q.r) G A\ tel que
a = bq + r, avec \N(r)\ < \N(b)\.
DÉMONSTRATION. Exercice 10.14
On voit tout de suite que la définition 5.4 et le théorème 5.15 sont valables pour n'importe
quel corps de nombres, et pas seulement pour les coips quadratiques ; donc A& = Z(co) est
factoriel, et tout élément de Ak s'écrit, de manière unique, sous la forme d'un produit de
nombres premiers de Ak .
Soient a.b^c G Ak ; on dira que a = b (mod c) si a — b = ex, avec .y G A:<.
La notion de congruence dans Ar généralise visiblement celle dans Z, et a les mêmes
propriétés.
LEMME 10.6. Soit co = e2'77/5, K = Q(oj) . Soit s une imité de AK vérifiant s = k
(mod 5), où k G Z. Alors il existe une unité rj de Ak telle que s = rj5 .
DÉMONSTRATION. Exercice 10.15.
Démontrons le théorème 10.9. En vertu du théorème de Sophie Germain (exercice 6.13),
l'un des trois nombres a*, y. z est divisible par 5, par exemple z = 5zf. z' G Z . On suppose
naturellement que x,y,z sont premiers entre eux.
Soit A = 1 - co G Ax ; on a N(A) = 5 en vertu de (10.12). Comme À|N(À) (lemme
10.1), on a x5 4- y5 = à5(àV)5 , avec A'eAk, et le théorème 10.9 sera démontré si nous
démontrons que l'équation
je5 + y5 = eÀ5*-5 (10.22)
n'a pas de solutions (a, v,c) G AJ , a. y. - premiers entre eux deux à deux, k G N* .
s G A^ . Nous utiliserons la méthode de descente sur l'entier k. On écrit (10.22) sous la
forme
(a + y)(A + coy)(x + co2y)(x + *;3y)(x + co4y) = s\5kz5. (10.23)
Le théorème 5.12 restant évidemment valable dans n'importe quel anneau Ak , on voit que À
est irréductible, donc premier, dans Ak euclidien car N(X) = 5 est premier. Donc À divise
au moins l'un des x-\-coly.i = 0. 1.2.3.4.Or (x + coa y) — (x + cob y) = ycoa(\ — cob~a) pour
a <Z?,donc À divise (x-\-co° y) — (x-\-cob y) et À divise tous les a-h g/y. i =0,1.2.3,4.
De plus, les nombres (a 4- coly)/k G Ak sont premiers entre eux deux à deux (exercice
10.16).
Montrons maintenant que À2 divise l'un des x-\-coly (et un seul puisque les x + coly/\
sont premiers entre eux deux à deux). Pour cela, observons que {1. À. À2. À3 } est une base
entière de K puisque 1, co = 1 — À, co2, co3 s'expriment comme combinaisons linéaires à
coefficients dans Z de 1,À,A2.À3 . Donc il existe a^.bi G Z tels que x = aQ+aiX+ajJr—ciiÀ.3

Chapitre 10 • Corps de nombres algébriques 137
et y = bo + b\A + £2 A2 + b^X3 ; ainsi x = «o 4 # 1A (mod À2 ) et y = bo 4 Z?iÀ (mod À2 ),
û/' = 1 -/A (mod A2), i = 1.2.3.4, d'où
a- + Jy = ci0 + bo-\- (ai + b\ - /Z?0)A (mod A2). (10.24;
On sait que A\(x 4- co'y), donc À|(«o + bo) ; puisque #o 4- h) G Z, en prenant les normes,
il vient N(\) = 5|(fl0 + &o)5 * donc N(À)|(a0 + fco). En particulier (1-6>)(1-ù;4)|(«o + ^o) »
d'où — <w4(l — &>)2|(tfo t- bo) • Puisque — co4 G A^ , on a A2|(«o + bo) donc
X + ^ y =ai+bi- ïb0 (mod A). (10.25)
A
Or dans Z, Z?o ^ 0 (mod 5) car sinon A diviserait Z?0 puisque À|5 , A diviserait
ao, et A diviserait .v et y. Ainsi il existe / G {0.1.2,3,4} solution de la congruence
ai + bi - ib0 = 0 (mod 5), donc il existe i G {0,1.2,3.4} tel que A2|(jc 4- ojy)
en vertu de (10.25). Quitte à remplacer y par co1} dans (10.22), on peut supposer que
A2|Cv 4 y). Puisque A|(jc 4- co'y) pour / = 1,2,3,4, on a donc, dans (10.23), k > 2.
Les nombres (x 4- coly)/X étant premiers entre eux deux à deux, on a (x 4- y)/A5A'-4 G Ak ,
et (x 4 coly)/\ G Ak pour / = 1.2,3.4. Maintenant, Ak est factoriel, et chacun de ces
facteurs est, en vertu de (10.23), une puissance cinquième à une unité près (voir §5.7). En
particulier :
( x+y = e\X5k~4a5
< x 4- coy = e2A/35 (10.26)
[ .v 4- co2y = e^Ày5
avec (ei. e2. £3) G A*3 , (a. /3. y) G A|.
Aucun des nombres a. fi*y n'est nul (sinon z serait nul). Des deux dernières équations
de (10.26) on tire x = e^y^ — coe^fP . y = — coïeiy5 + co4e2/35 (donc (3 et y sont premiers
entre eux), et en reportant dans la première, (1 4- co^e^fî — £3 y5 = coe\\5(<k~l)a5 . Après
division par (1 i- co)e2 , on obtient
)35 4- sy5 = vk5{k-X)a5. (10.27)
où s et v sont des unités de À:< (car (1 + g/) G A^ puisque (1 + co)(\ + or + co4) — 1 ).
Or, si 6 = ao 4- tfi<w 4- fli^2 4- a^co3 G Ax ( a{ G Z ), on a
65 = Y . 5] ^(aico)Ha2Co2r(a3co3y\
6^ = «q 4- a\ 4- tf? 4- «3 (mod 5) ; donc 6~ est congru à un entier rationnel modulo 5. En
particulier, A = 1 — oj => A5 = 0 (mod 5). Réduisons (10.27) modulo 5, nous obtenons
A-eB =0 (mod 5), avec (A. B) G Z2 . Or B ^ 0 (mod 5), sinon A = 0 (mod 5), et f3
et 7 ne seraient pas premiers entre eux. Donc il existe C G Z tel que BC = 1 (mod 5), et
on obtient s = D (mod 5), avec D G Z . En vertu du lemme 10.6, il existe 77 G A^ tel que
s = ï]* . En reportant dans (10.27). il vient
£5 - (rjy)5 = p\5{k~l)a5. (10.28)
En comparant à (10.22), on voit que le théorème 10.9 est démontré par descente sur k .

138 Théorie des nombres
EXERCICES
10.1 Vérifier que tout sous-corps K de C est un espace vectoriel sur Q .
10.2 Soit a G C un nombre algébrique de degré d. Prouver que K = Q(a) est un Q -espace
vectoriel de dimension d . En déduire que K est un corps de nombres de degré d .
10.3 Calculer cos(2t7/5) .
10.4 Soit K un corps de nombres, et soit a G C un nombre algébrique. Démontrer que L = K(a)
est un corps de nombres.
10.5 Soit K = Q(9) un corps de nombres de degré d , et soient 6\ =6.62 , 0d les racines de
Pe , polynôme minimal de 6 . Soit <x, : K —»■ C, défini par
CTi(a0 + axe + • • • + ad-\Qà~x) = a0 + atfi + • • ■ + ^-ifl/"1.
Prouver que <x; est un morphisme de conjugaison de K, et que cr-, ^ ct} si / ^ j .
10.6 Démontrer les formules (10.9), (10.10), (10.11).
10.7 Démontrer le lemme 10.1.
10.8 Démontrer le théorème 10.5.
10.9 Démontrer la formule (10.16).
10.10 Unités de K = QO), co = e2i7r/7
1) Soient 77 = w + co~l , jjl = co3 + co~3 , v = a? + w-2 . Montrer que 77, /x et */ ont le même
polynôme minimal ; en déduire que 77, /jl et 1/ sont des unités réelles de Ax = Z(w).
2) Prouver que rfjas = ±1 , avec r, 5 G Z , implique r = 5 = 0 . En déduire que toutes les unités
de la forme £ = ±rf fAs , avec r,s E Z, sont distinctes.
3) Soit e = £(<w) une unité réelle de Ak - Montrer que E(co) = cnq + bii + cv , avec ûi,cGZ,
et qu'il existe des réefa r et s tels que £"(oj) = ± |r?|r |//.|J .
4) Soit E(co) — ar) -\- b/ui — ci/ une unité réelle positive telle que les nombres réels r et s de la
question 3) vérifient \r\ ^ 1/2, \s\ < 1/2 .

Exercices 139
a) Prouver que 0.667 < \E(co)\ ^ 1.499 ; 0.597 < \E(co2)\ ^ 1.674 ;
0.398 ^ \E(o)3)\ < 2.512.
b) Prouver que
' la = (77 - 2)E(co) + (fi- 2)E(co3) + {v - 2)E{co2)
7b = (fi- 2)E(ù>) + (v- 2)E(a?) + (V - 2)E(aT)
lc = {y- 2)E(co) + (77 - 2)E(a?) + (fi - 2)E(oT).
En déduire que \a\ ^ 2, \b\ ^ 1, |c| < 1 .
c) Montrer que [(a + b + c)3 - l(a2b + Z?2c + c2o + flfrc)]2 = 1 .
d) En déduire les valeurs possibles pour a,b,c puis montrer que r = s — 0 .
5) Conclure.
10.11 Déterminant de Vandermonde
Montrer que A = |. | = Ili^-<i^'" ~ 0j) •
0d~l dd~x
edd~l
10.12 Démontrer le lemme 10.4.
10.13 Démontrer le théorème 10.7.
10.14 Z(e2i*/5) est euclidien
Soit eu — e2l~/5 , et a = ciq + o\ co + a^ù? + a^a? un élément de K = Q(co)
1) Démontrer que N(a) = A2 — 5B2, avec A — ^ 5Hf=or/? — \ (Si=oûO ■ ^n déduire
0 ^ N(a) < A2 .
2) Soit bi = aj — [a,] pour i = 0, 1.2. 3, b+ = 0 . En utilisant le principe des tiroirs, prouver que
l'un au moins des nombres b\ — bj (z ^ j) vérifie |/?/ — bj\ < 1/5 . En déduire qu'il existe un entier
q G {1,2, 3,4}, et un élément /3 de AK tels que \N{awq - fi)\ < 1 .
3) Conclure.
10.15 Démontrer le lemme 10.6.
10.16 Démontrer que les nombres (.v + oj'\)/A. dans la démonstration du théorème 10.9, sont
premiers entre eux deux à deux.
10.17 1) Soient X C L C M trois corps de nombres. Montrer que
[M : K] = [M : L] x [L : K].
2) Soit M = Ç(\/2). Démontrer que tout élément de M est, soit rationnel, soit algébrique de degré 3.

140 Théorie des nombres
10.18 Soit K = Q(0) un corps de nombres, et soit P# le pohnôme minimal de 6 . On note
(Pv(x)) Fidéal principal de Q[.v] engendré par Pe , c'est-à-dire
(P0(x)) = {Q G QM/GfcO = P*(x)R(x)}.
Démontrer que K et Q[x]/(Pe(x)) sont isomorphes.
10.19 Anneau des entiers de Q(v^)
1) Soit K = Q(0), 6 = \fî, et .v = a + bd -r c62, a. b. c G Q , un entier de K. En utilisant la trace
et la nonne, démontrer que 3a. 3/?, 3c G Z.
2) Soient cr\, 0-2,0-3 les trois niorphismes de conjugaison de K. Montrer que si, x G Ak , alors
cri(x)cr2(x) + o-2(x)v3{x) + tri(A")cr3(x) G Z . En déduire que A:< = Z(0).
3) Calculer A(K), le discriminant de K.
10.20 Corps cyclotomique QO). <y = e2i7T/1
Soit 97 = 2 cos(27r/7). On sait (exercice 10.10) que r? est algébrique de degré 3. On pose K = Q(rj).
Montrer que L = Q(co), co = e2l7r^7 . est une extension de degré 2 de X. En déduire que {1.77. rf}
est une base entière de K et calculer A(X).

Chapitre 11
Idéaux
Introduite par Kummer (1810-1893) dans le cadre de ses recherches sur l'équation de
Fermât, développée par Dedekind (1830-1916). la théorie des idéaux a pour but de pallier le
fait que l'anneau Ax des entiers d'un corps de nombres n'est pas, en général, factoriel. Dans
le paragraphe 11.1, nous définissons la notion d'idéal d'un corps de nombres et l'addition et
la multiplication des idéaux. Le paragraphe 11.2 est consacré à l'étude des propriétés
arithmétiques des idéaux entiers ; en particulier, nous démontrons que tout idéal entier non nul
s'écrit, de manière unique, sous la forme d'un produit d'idéaux premiers. Dans le paragraphe
11.3. nous définissons et étudions la norme des idéaux. Le paragraphe 11.4 introduit quelques
compléments d'algèbre, permettant d'arriver, en pratique, à la factorisation de certains idéaux
principaux en produit d'idéaux premiers. Le nombre de classes d'idéaux est défini en 11.5 ;
on montre comment le calculer dans le cas d'un corps quadratique imaginaire, en faisant le
lien avec les formes quadratiques binaires (§6.5j. Enfin, le nombre de classes est utilise pour
résoudre, dans de nombreux cas, l'équation de Mordell v2 = .v3 + k .
11.1 IDÉAUX D'UN CORPS DE NOMBRES
Soit K = Q(0) un corps de nombres, Ax Tanneau des entiers de K. Soient
a\.a-i an G X ; X idéal de X (ou idéal fractionnaire ) engendré par a\,a2,... ,a„
est défini par
A = {a{.a2 a„) = {x\a} n h.y„an/.*,- G Ax}- (11.1)
Autrement dit, A est le Ax -module engendré par a\ an . On note X(K) l'ensemble
des idéaux fractionnaires de X.
Si les générateurs a\.a2 an de A appartiennent à Ax . on dit que A est un idéal
(sous-entendu : entier) de Ax : on vérifie aisément (exercice 11.1) que tout idéal A de Ax
est un idéal (au sens algébrique) de l'anneau Ax . c'est-à-dire que l'on a
fv.T.yeA. x-yeA.
1 Vx G A.Vv G Ax. xy G A.
et que. réciproquement, toute partie A de Ax vérifiant (11.2) est un idéal au sens de (11.1).
On note T{L-/) l'ensemble des idéaux de Ax .

142 Théorie des nombres
Soient A = (a\.a2 :a„) et B = (f3i.(32 fim) deux idéaux de A. On pose
( A + B = {a+b/a eA.be B}
| AB = i^tybi.q eW. a, eA. b, e B
On vérifie (exercice 11.2) que A -i- B et AB sont des idéaux de X et que
A + # =<*! an.fa pm)
AB = (axpx al^m anpx anpm).
Exemple 11.1. Soit le corps de nombres quadratiques K = Q(iy/5).
Soit A = (3,1 + iV5) et B = (3,1 - iy/5). On a A + B = (3,1 + i>/5< 1 - i\/5).
Donc 2 = (1 + iy/5) + (1 - /\/5) G (A + £), donc J = 3 - 2 G (A 4- 5). Ainsi
(1) C (A + B). Réciproquement, (A + B) C (1) = AK . Donc A + £ = (1). De même
A£ = (3 • 3.3(1 - i\/5),3(l + ?V5)56). Donc 3 = 9 - 6 G (AB) et (3) C (AB) ; mais
Vx G (AB), x = xi • 3 ■ 3 + x2 ■ 3(1 - i\/5) + x3 • 3(1 + iy/5) + x4 • 6 (x7- G AK ), d'où
x = 3(3*i + (1 - i\/5)jt2 + (1 + />/5)a-3 + 2x4) G (3). Ainsi (AB) C (3), donc finalement
AB = (3). Ici A et B sont des idéaux entiers de K.
DÉFINITION 11.1. Tout idéal de K admettant un seul générateur est dit principal
Donc un idéal A est principal s'il peut s'écrire A = (a) avec a G K. On observe
immédiatement que (a)(b) = (#Z?). Ainsi la multiplication des éléments de K correspond
à la multiplication des idéaux principaux de K.
Il est facile de voir que (X(K). -r) n'est pas un groupe ; bien que l'addition soit commu-
tative, associative et admette (0) pour élément neutre, seul (0) admet un symétrique. Par
contre, on a le résultat fondamental suivant :
THÉORÈME 11.1. (J(K)*, ■) est un groupe commutatifd'élément neutre (1) = Ax.
Démonstration. Le lecteur vérifiera sans peine que la multiplication est commutative,
associative, et admet (1) = Ak pour élément neutre, puisque
(1) • (aua2,...,an) = (1 • ai,. .. , 1 ■ an) = (au...:a„).
Le point difficile consiste à démontrer que tout idéal fractionnaire non nul A admet un
inverse ; cette démonstration est détaillée dans l'exercice 11.3.
Exemple 11.2. Soit K = Q(/\/5), A = (3? 1 + iy/5)9 B = (3.1 - /VE). On a
(exemple 11.1) : AB = (3) donc AB = (3) • (1), c'est-à-dire AB (±) = (1). Ainsi
A-1=(ï)B = (l,^).
Remarque 11.1. La multiplication est distributive sur l'addition dans T(K)
(exercice 11.4).
(11.3)

Chapitre 11 • Idéaux 143
11.2 ARITHMÉTIQUE DES IDÉAUX ENTIERS
Soient A. B G 2"(Ak) deux idéaux entiers. On dit que A divise B , et on note A\B , s'il
existe C G J(Ax) tel que AC = B .
Théorème 11.2. Soient A.Be J(AK) ; aforc A|£ ^BcA.
Démonstration. Supposons d'abord que A\B ; alors B = AC, avec C G T(AK), et
AC c A en vertu de (11.2) ; ainsi B c A.
Réciproquement, supposons B C A . Si A = (0) , alors £ = (0) et A|Z? ; sinon, A
est inversible dans J(K) (théorème 11.1) et 5 c A entraîne 5A-1 c AA~l = (1). Il
en résulte que 5A-1 C Ak , donc SA-1 est un idéal entier C , et 5A-1 = C implique
5 = AC.
Soient A, B G X(Ax) \leur plus grand diviseur commun D = PGCD{A)B) est défini
par: D\A. D\B , et si D'\A et D'\B , alors /y|Z).
Théorème 11.3. Sote/zr A:5g J(Ax) ; alors PGCD(A. B) = A -r B .
DÉMONSTRATION. On a (A + #) D A et (A + B) D 5 car 0 G A et 0 G B , donc
(A -f B)\A et (A 4 5)|£ en vertu du théorème 11.2. De plus, si D'\A et D'\B, on a
A + B = D'A1 -r DfBf = D'(A7 + £'), donc D'|(A + 5), c.q.f.d.
Soient A. B G Ï(A^) ; on dit que A et 5 sont premiers entre eux si
PGCD(A. B) = 1, autrement dit si A + £ = (1) en vertu du théorème 11.3. Ceci est
la généralisation de Y identité de Bézout\ en effet, si A et B sont des idéaux principaux de
A5 , A = (a), B = (b), a. b G AK , alors A + £ = {ah + feu/(w, v) G A|} .
On en déduit le théorème de Gauss :
THÉORÈME 11.4. Soient A, B.C EÎ(Ak). 5/ A|(£C) efs/ A est premier avec B, fl/ors
A|C.
DÉMONSTRATION. Exercice 11.5.
DÉFINITION 11.1. On dit que l'idéal P G X(A:/)* est premier si P/(l) et sif pour tout
A G Î(AK). AjP entraîne A = {!) ou A = P.
LEMME 11.1. 5<9zY i.5 deux idéaux entiers. On suppose que B\A. Alors A(#)|A(A) ; s/,
<?/z on/re, A(£) = A(A), fl/orj 5 = A .
DEMONSTRATION. Exercice 11.6.
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème fondamental de rarithmétique dans
J(A^). analogue à celui qui existe dans N .
THÉORÈME 11.5. Soit A G T(Ax). A ^ (0). A ^ (1) ; alors A s'exprime comme produit
d'idéaux premiers ; à l'ordre des facteurs près, cette expression est unique.
\

144 Théorie des nombres
Démonstration. Montrons d'abord l'existence de la décomposition; soit Pi ^ (1)
un diviseur de A de discriminant minimum. Alors Pi est premier car Q Pi et
Q ^ Pj => A(0 < A(Pi) en vertu du lemme 11.1. donc Q = (1). Posons A = PXA\ ,
A\ G 2"(Ak) ; on a A\ ^ A puisque Pi = (1). donc A(Ai) < A(A) grâce au lemme 11.1 ;
si Ai j£ (1), on peut recommencer et trouver A2 G 2"(A:<) tel que A(A2) < A(Ai), etc..
Comme une suite d'entiers positifs ne peut décroître strictement, il existe n G N* tel que
An = (l),et A-P,F2...P„.
Supposons maintenant que A = PiP2 ... Pn = P[P{ ■ ■ ■ Ki ou ^es P'i et Pj sont Pre_
miers. Si Pi et P[ sont premiers entre eux, alors P\\P{... P/n en vertu du théorème de
Gauss 11.4; en répétant ce procédé, on voit qu'il existe / tel que PY et P( ne soient
pas premiers entre eux; quitte à réordonner, on peut supposer que D ^ (1) divise Pi
et P[ ; puisque Pi et P[ sont premiers, D = P\ = P[ . Après simplification, on a
P2- — Pn — P{-- Pin > et Par récurrence, il vient m = n , P[ = P} pour tout i, d'où
l'unicité de la décomposition.
11.3 NORME D'UN IDÉAL
Soit A un idéal de AK . On dit que a = b (mod A ) si a — b G A ; c'est une relation
d'équivalence sur Ak ; l'ensemble des classes d'équivalence est l'anneau-quotient A^/A
(§6.2). A titre d'illustration, démontrons le
LEMME 11.2. Soit A G 2"(Ak) ; alors A premier <$=> AK/A est intègre.
DÉMONSTRATION. Supposons d'abord A premier; soient a. y G Ax tels que .vy = 0
(mod A ) ; alors xy G A , donc (xy) c A , c'est-à-dire A|(x)(y) (théorème 11.2). En vertu
du théorème de Gauss 11.4, on a A\(x) ou A|(y), donc .y G A ou y G A, donc .y = 0
(mod A ) ou y = 0 (mod A ) ; ainsi A&/A est intègre. Réciproquement, supposons que
AK/A est intègre ; soit D G T(Ax), avec D\A , D / A . Posons A = 5D, 5e X(AK) ;
soit jc G Z) \ A ; un tel x existe puisque A c D et D / A. Pour tout y dans B , on
a (*j) £ C^) = ^ > donc xy = 0 (mod A ) ; puisque A^/A est intègre, il vient x = 0
(mod A ) ou y = 0 (mod A ) ; or x; £ A , donc y G A . Ainsi BcA. mais #|A , donc
A C # , et enfin 5 = A ; par conséquent A = AD , donc D = (1) et A est premier.
Théorème 11.6. Pour tout A G X(Ak), A ^ (0). AK/A est fini.
Démonstration. Nous construisons d'abord une base "diagonale" du Z-module A
(§10.5). Soit d = [K : Q], et soit {û?i,of2, ■ • ■ ,o^} une base entière de K. Posons
pi = ciiûji, où en est le plus petit entier strictement positif tel que cn^i G A (un tel
entier existe car |A^(a')|«i = zbco^OO... av (*)<*! G A pour tout jc G A* en vertu du
lemme 10.1). Puis on pose p2 = C2i&\ + £22^2, où C22 est le plus petit entier strictement
positif pour lequel il existe un entier rationnel C21 tel que £21^1 + ^22^2 ^ A (c22 existe
car \N(x)\ (ai + a2) G A pour tout .y G A* ). En poursuivant de même, on obtient une suite
pi. p25 - - - , Pd d'éléments de A de la forme pz- = 5Z'-=1 c,yûf/, avec la propriété
x = ^*iyO/ G A, avec jcz7 G Z, xl7 > 0 => (*,-,- > c,-,- > 0). (11.5)

Chapitre 11 • Idéaux 145
Il est clair que pi- P2 , Pd sont linéairement indépendants sur Q.
Montrons que {pi-P2 Pd} engendre A en tant que Z-module. Soit x G A ;
on a A' = Aitti + ■ • • + xdad (xi G Z); posons xd = cddqd + ^(0 ^ rrf < c^) ;
alors x = J2iZ] (*/ - QdCdi)o^i + #</Pj + rdad. Puisque pd G A, on a
* — cldPd = X)f=Ti ^/^i + r^a^ £ ^- donc f*d = 0 en vertu de (11.5); en procédant
de même avec a — qdpd , on voit que a — ^p^/ — qd-\Pd-\ £ A , etc..
Ainsi par récurrence x = X)/=i #>P> - #/ t Z , et {pi, po,... p</} est une base du Z -
module A.
Montrons maintenant que £ = {/T^H \-rdad/0 ^ r; < c,/} est un système de
représentants de Ak/A , c'est-à-dire que tout xGÂk est congru (mod A ) à un élément de E , et
que deux éléments distincts de E sont congrus (mod A ). Soit d'abord x = x\a\-\ \-xdad
(cii G Z) G AK ; le calcul qui vient d'être fait montre que x = X^-=i ^"P/ + Z);=i '"/^i *
0 ^ r,- < c//, #/ G Z. Ainsi x = J2l^iriai (niod A). Supposons maintenant que
X)/=irïa* = J2i=\riai (mod A), avec 0 ^ r, < c,-/,0 ^ r/ < c/7 pour tout /'. On
peut supposer rd ^ ^ . Alors X^=1(r/ ~~ r*)a* ^ ^ > avec ® ^ rd ~ rd < Cdd > donc
/^ — /v = 0 en vertu de (11.5). De proche en proche, on montre que r,- = rj pour tout
/. Ainsi E est un système de représentants de Ax/A , donc Ak/A est fini, et on a même
card (Ak/A) = card E = C11C22 ■ • ■ Q/</ ■
DEFINITION 11.2. Pour tout idéal non nul A de Ar<, o/z définit la norme de A pai
N(A) = card (AyjA) G N* .
Le théorème 11.6 amène immédiatement les trois corollaires suivants.
COROLLAIRE 11.1. Pour tout idéal non nul A de Ax,
A(A) = (7V(A))2A(K).
DÉMONSTRATION. Avec les notations du théorème 11.6, on a, en vertu du lemme 10.4,
A[pi.p2,....pj] = (fet(Cij))2±[ai.a2 ad], c'est-à-dire A(A) = (N(A))2A(K) car
N(A) = card (A:</A) = cnc22 • • • cdd .
COROLLAIRE 11.2. Pour tout a G A^. N((a)) = \N(a)\ .
Autrement dit, la norme des idéaux coïncide, au signe près, avec la norme ordinaire dans
le cas des idéaux principaux. Pour démontrer le corollaire 11.2, il suffit de remarquer que,
pour tout .y G (a). x = ay = a\\a\ H \-aydad. yz- G Z ; donc {aai aad} est une
base du Z -module (a). On a donc
A«fl»
aiiaai) ... <r\(aad)
Œ2(aai) ... cr2(aad)
ad(aai) ... o-d(aad)
:(cri(fl)...crrf(fl))2A(K).
d'où le résultat en vertu du corollaire 11.1.

146 Théorie des nombres
COROLLAIRE 11.3. Soit A un idéal non nul de A^. Alors A est premier si, et seulement
si, Ak/A est un corps.
C'est une conséquence du lemnie 11.2 et des théorèmes 6.5 et 11.6.
Remarque 11.2. Le corollaire 11.2 montre que N((l)) = 1. Réciproquement, si
N(A) = 1, Ak/A a un seul élément, qui est 0 ; donc tout .v dans A^ est congru à 0
(mod A ), c'est-à-dire que .v G A . Ainsi A:< c A . et puisque A C Ax, A = Ax = (1).
Par conséquent
VA GX(AK)*; N(A)= 1^A = (1>. (11.6)
Enfin, le lecteur vérifiera (exercice 11.7) que la norme dans Z"(Ak)* , comme la norme
dans K, est multiplicative, c'est-à-dire que
VA, B G X(AK)*. N(AB) = N(A)N(B). (11.7)
Exemple 11.3. Soit encore K = Q(/\/5), A = (3. 1 + iy/5), B = (3,1 - /a/5) . On a
vu dans l'exemple 11.1 que AB = (3), donc N(A)N(B) = N((3)) = \N(3)\ = 9 . Par suite
N(A) = 1,3 ou 9. Or N(A) = 1 est impossible car A/(l), de même N(A) = 9 est
impossible car B ^ (1) (on a A / (1) car A = (1) => 5 = (3), ce qui est impossible car
N(3) = 9 ne divise pas N(\ — i\/5) = 6 ). Donc N(A) — 3 . On déduit alors du corollaire
11.1 et de (10.19) que A(A) = 9 • (-20) = -180.
Remarque 11.3. De (11.7) et (11.6) on déduit (exercice 11.8) que N(A) premier => A
premier. C'est le cas, par exemple, pour les idéaux A et B de l'exemple 11.3. Ainsi, la
décomposition de l'idéal principal (3) dans X(A^) en produit d'idéaux premiers s'écrit-elle
(3) = (3,1 + iy/5) ■ (3,1 — i\/5). On se rappellera que l'anneau Ax = Z(/\/5) n'est pas
factoriel (exemple 5.3).
11.4 DÉCOMPOSITION DE (p), p PREMIER, EN PRODUIT D'IDÉAUX
PREMIERS
Nous allons démontrer un théorème permettant de trouver la factorisation de (p), p G Z
premier, lorsque A^ = Z(0), ce qui couvre notamment le cas des corps quadratiques
(théorème 5.3) et des corps cyclotomiques (théorème 10.4). Quelques préliminaires algébriques
seront utiles.
Soient A et B deux anneaux commutatifs unitaires, et soit cp : A -—* B. Rappelons
que cp est un morphisme si cp{a -\- b) = cp(ci) + cp(b) et cp(ab) = tp(a)tp(b). M(a*b) G A2 .
Le noyau de cp est Ker cp — {a G Â/cp(a) = 0} . et Ker <p — {0} 4^ cp injectif. Enfin, si cp
est bijectif de A dans B, on dit que cp est un isomorphisme de A dans B ; A et B sont
alors isomorphes, et on note A = B .
LEMME 11.3. Soient A et B deux anneaux commutatifs unitaires, et soit cp un
morphisme de A dans B. Alors Ker cp est un idéal de A. En outre, si cp est surjectif, alors
B^ A/Ker<p.

Chapitre 11 - Idéaux 147
Démonstration. Le lecteur vérifiera (exercice 11.9) que Ker<p est un idéal de A. Soit
maintenant ^ : A/ Ker <p —» B qui, à la classe Zf de a modulo Ker cp , associe cp(a). Il
faut vérifier que ^(Zf) ne dépend pas du représentant de Zf choisi ; soient a et a' deux
de ces représentants : alors a = a' (mod Kerçp), c'est-à-dire a — a' G Ker<p, d'où
<p{a — fl;) = <p(à) — (p(a') = 0 et ç?(#) = <p(fl/). Ainsi >P définit bien une application de
A/ Ker <p dans 3 . De plus V(à + b) = M'fa -r fe) = (p(a + b) = cp(a) + ç?(fc) = ^O) + *'(ï)
et ^(ZfZ?) = ^{ab) — <p(ab) = <p(a)<p(b), donc M* est un morphisme. Puisque ç est surjec-
tif, tout b G B admet un antécédent a G A ; donc fr = <p(a) = ^(a), et M* est surjectif.
Enfin, soit â G Ker ^ ; on a
HTÇa) = 0^ <p(a) = 0 =^<z G Ker cp ^a = 0(mod Ker<p) => â = Ô
et M* est injectif. Donc A/ Ker <z> 9* B .
Soit maintenant K un corps commutatif quelconque, et K[x] l'anneau des polynômes à
coefficients dans K. On sait (exercice 6.20) que K[x] est un anneau euclidien, donc
principal, donc factoriel. Les éléments inversibles sont les polynômes constants : X[jc]x = K.
Soit P G K[x]. irréductible (voir définition 5.1). Nous allons démontrer que Ton peut
adjoindre à K un élément a de telle sorte que Ton ait le
LEMMEll.4. Soit K un corps commutatif, et soit P G K[x] irréductible; alors
K[x]/(P(x)) est un corps commutatif et il existe a tel que P(a) = 0 et
K(a)^K[.ï]/(PW).
Ce résultat généralise celui de l'exercice 10.18; cependant, dans le cas où K = Q,
l'adjonction de a ne pose pas de problème, puisqu'on dispose du théorème de d'Alembert.
Démontrons le lemme 11.4 : puisque (P(x)) est l'idéal principal engendré par P(x)
dans K(x), on sait que K[x]/(P(x)) est un anneau commutatif unitaire. Il reste à montrer
que tout élément non nul est imersible. Soit Q G K[x], Q jk 0 (mod P ) ; Q n est pas
un multiple de P ; puisque P est irréductible, P et Q sont premiers entre eux, donc il
existe R. S e K[x] tels que P(x)R(x) + Q(x)S(x) = 1 (identité de Bézout, cf. exercice
6.20). D'où Q(x)S(x) = 1 (mod P), et Q admet un inverse dans K[x]/(P(x)). Désignons
symboliquement par a le classe du polynôme x modulo P(x) ; on a P(a) = P(x) = 0
(mod P ), donc P(a) — 0 . L'application <p : K[x] —> K(a) qui, à tout polynôme Q(x),
associe Q(a), est évidemment un morphisme surjectif, donc K(a) = K[x]/(P(x)) en vertu
du lemme 11.3 (Q(a) = 0^ Q(x) = 0 (mod P(x)) <& Q G (P(x)) : ainsi K(a) est un
corps commutatif
Soit maintenant p 6 Z un nombre premier : notons ¥p = Z/pZ, qui est un corps fini à
p éléments (exemple 6.4;. Pour tout polynôme P G Z[x], on note P G ¥p[x] la réduction
de P modulo p .
THÉORÈME 11.7. Soit K = <Q>(0) w/2 co/ps de nombres de degré d, tel que AK = Z(0).
Soit p G Z un nombre premier. On suppose que le polynôme minimal Pe de 6 se factorise
dans ¥p[x] sous forme de produit de facteurs irréductibles :
p~e(x) = ŒwrŒwr- ■ ■ ■ Œ(x)r.
Alors, pour tout i = l.2,....k, l'idéal P, = (p. fi(6)) est premier et
(p) = Pr1>P?...P?.

148 Théorie des nombres
Démonstration. Pour tout i = 1.2. k, soit a\ tel que Ji(at) = 0 (lemme 11.4).
Soit vi : Z(0) —> ïïp(aj) défini par Vi(P(6)) — P{a-t) ; ^- est un morphisme d'anneaux
surjectif (exercice 11.10), donc Kerz/, est un idéal Pf de '"(fl) = Av . et Ay/Pz- = 7p(a/)
(lemme 11.3). Or Fp(ai) est un corps (lemme 11.4). Donc P, est premier (corollaire 11.3).
Montrons que P; = (p. fi(6)). On a d'abord (p) c P/ car
P(0) e (p) => P((?) = pQ(0) => ~P(ai) = 0.
et (MO)) C P,- car
P(0) e (MO)) => P{6) = fmo{6) => Pte) = Jiictimcti) = o.
Donc (p.fiid^czPi. _ _ _ _
Réciproquement, soit P(0) G P,- ; alors P(a/) = 0, donc P(,v) = fi(x)Q(x) ; donc
^W ~ fiWQW £ ^M a ses coefficients divisibles par p . D'où :
P(0) = (P(0) - M6)Q(6)) + .#(0)6(0) e (p. /■((?)).
On a donc bien Pz = (/;>, fi (9)), et P,- est premier.
Montrons maintenant que (p) = P[l P,'2... PA? . On observe que, pour a.b.c G Ax ,
(a,b)(a,c) — (a2.ab.ac,bc) C (a.bc) car a2.ab.ac sont des multiples de <7 .
Donc par récurrence P^P^ ... P* C (ps fi{9)r'f1{9J-. •. /*(0)r*> ;
or fi(9)nf2(9)r2.-.fk(0Yk = PeW = 0 (mod p). donc Pf1 ... P? c (p) . Ainsi
(p)!^1 • ■ • Pkk (théorème 11.2) et par unicité de la décomposition en produit d'idéaux
premiers, on obtient
(p) = p* p*... p*. avec Si < r,-, i = 1.2,... k (11.8)
Utilisons les normes ; on a N((p)) = \N(p)\ = pd ; N(Pt) = card (Ax/P,-) = card (Fp(<*z))
car on a vu que Ak/P/ — Fp(ûf|). Si nous posons J,- = deg fi , nous voyons que tout
élément de Fp(a,-) admet un représentant de la forme aq -\- CL\a\ + - • ■ + a^-ioif-1 ,
ai G F^ ; donc card (Fp(ûr/)) = pdi = N(P{). En prenant les normes, dans (11.8), il
vient pd = N(PlyiN(P2)S2... W(P*)* = ^i*+-+** , d'où d = M, + ■ ■ • + skdk . Or
d = deg Pe , donc d = n di + • • ■ + rkd^ ; puisque r; ^ 5/ , on en déduit r,- = Si pour tout
/ ; le théorème 11.7 est démontré.
Exemple 11.4. Soit K = <Q>(/\/5) ; alors AK = Z(/\/5) (théorème 5.3). Retrouvons
la décomposition de (3) en produit d'idéaux premiers laborieusement obtenue dans la
remarque 11.3. Ici 9 = iy/5, Pe = x2 + 5 . On regarde si Pe est réductible modulo 3 :
Pe(x) = x2 — 1 = (* + l)(x - 1). Donc en vertu du théorème 11.7, les idéaux (3,1+/ \/5)
et (3, -1 + i\/5) sont premiers et (3) = (3,1+ iy/5) ■ (3, -1 + iy/5).
11.5 NOMBRE DE CLASSES D'IDÉAUX
Soit K un corps de nombres ; on sait que les idéaux non nuls de K forment un groupe
multiplicatif X(K)* (théorème 11.1); les idéaux principaux en forment un sous-groupe

Chapitre 11 • Idéaux 149
'P(K), puisque (a)(b) = (aZ?) et (a) l — (a [) . Par définition, le groupe des classes
d'idéaux de K est le groupe-quotient de 2"(K)* par 7^(K) ; on posera
C(K)=I(K)*/V(K). (11.9)
On dira que deux idéaux fractionnaires A et B sont équivalents s'ils sont équivalents
modulo 'P(K), autrement dit :
\/A,B GÎ(K)*, (A - 5) O (3a; G K tel que A = (a)#). (11.10)
Pour les idéaux entiers, (11.10) se traduit par :
VA. B g J(AK)*. (A ~ fl) «* (3a. fc G AK tels que (a)A = (b)B), (H.H)
car tout élément de K s'écrit a = fe/a, b G A-<, a G N C Ak •
Théorème 11.8. Le groupe C(K) est fini.
Pour démontrer ce résultat, nous aurons besoin de trois lemmes.
LEMME 11.5. Soit m G N*, donné. Il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux entiers A tels
que N{A) — m .
Démonstration. Exercicell.il.
LEMME 11.6. Soit {o)i. coi, o)d} une base entière de K, et soient ai, a2...., o~d les
morphismes de conjugaison de K. On pose
d
M = H (M*>i)l + M^)| -f • • - + Wj(cod)\) . (11.12)
Alors pour tout A G X(AK)* , // emte a G A* te/ que \N(a)\ ^ M • N(A).
Démonstration. Soit k = [N(A)l/d] : alors kd ^ N(A) < (k + l)rf. Soient
<7i-fl2 «j € {0.1 £} ; les entiers .y = a^i + • • • + adO)d sont au nombre de
(k + îy7 > N(A) ; puisque A^(A) est le nombre de classes d'équivalence mod A , deux
de ces nombres y et .y' . .y ^ x', sont congrus mod A (principe des tiroirs). Donc
a = x- xf = ZU ifli ~ a>i e A* , et
tf d
\N{a)\ = \nYJ{cii-a'i)aj{œi)
^ *:JM ^ M • N(A).
d / d \
j=i \î=i y
Lemme 11.7. ftwr four A g X(Ak)*, /7 raste £ G X(AK)* reZ #^ A ~ 5 <?f
À7(£) < M , M étant défini en (11.12;.

150 Théorie des nombres
Démonstration. Soit 8 un dénominateur commun aux générateurs de l'idéal
fractionnaire A~l ; alors C = {8} A~l est un idéal entier, et AC = (8). En vertu du lemme 11.6,
il existe y e C* tel que \N(y)\ ^ M • N(C). Mais (y) C C =ï C\(y) =ï (y) = BC, où
B G 2"(Ak)* ■ Puisque AC et £C sont tous les deux principaux, on a AC ~ BC , donc
A~ B puisque C(K) est un groupe. Et N(B) = N((y))/N(C) = \N(y)\ /N(C) ^ M .
Le théorème 11.8 résulte immédiatement des lemmes 11.7 et 11.5. En effet, le nombre de
classes d'équivalences d'idéaux fractionnaires est égal au nombre de classes d'équivalences
d'idéaux entiers (exercice 11.12).
On note h(K) le nombre de classes d'idéaux (entiers ou fractionnaires). On a donc
/z(K) = cardC(K). (11.13)
Le calcul de h(K) est généralement difficile. Cependant, dans le cas où K = Q(iVd)
est un corps de nombres quadratiques imaginaires, on a le remarquable résultat suivant.
THÉORÈME 11.9. Soit K = Q(iVd), et soit À son discriminant. Alors h(K) est égal au
nombre de classes déformes quadratiques définies positives de discriminant À.
DÉMONSTRATION. Exercice 11.13.
Exemple 11.5. Si d = 1 ou 2 (mod 4), on a A(K) = -Ad 9 et si d = 3 (mod 4),
on a À(K) = — d (formules (10.19) et (10.20)). En se reportant à la table 6.2, on obtient
h(Q(i)) = 1, A(Q(îa/2)) = 1, h(Q(iy/3)) = 1, h(Q(iy/5)) = 2, h(Q(iVê)) = 2,
A(Q(iV7)) = l,etc...
Le théorème suivant (Kummer) est fondamental pour la résolution des équations diophan-
tiennes.
THÉORÈME 11.10. Soit A un idéal entier non nul de K, et soit pGN un nombre premier
On suppose que Ap est principal Alors, si p ne divise pas /z(K), A est principal.
DÉMONSTRATION. Si Ap est principal, Ap ~ (1) ; donc Tordre de la classe de A dans le
groupe C(K) vaut 1 ou p (car p est premier). Comme Tordre d'un élément d'un groupe
fini divise le cardinal de ce groupe (exemple 6.3), Tordre de la classe de A vaut 1, donc
A ~ (1) et A est principal.
Théorème 11.11. AK est principal ^ h(K) = 1.
En effet, si A^ est principal, tout idéal entier est principal, donc équivalent à (1) et
h(K) = 1. Réciproquement, si h(K) = 1, tout idéal entier est équivalent à (1) car C(K) ne
contient qu'un élément, donc est principal.
COROLLAIRE 11.4. Uanneau des entiers de K = Q(i\fd) est principal, donc factoriel,
pour d= 1,2,3,7,11,19,43,67,163.
C'est une conséquence immédiate du théorème 11.9 et de la table 6.2 pour
d = 1,2,3,7,11,19,43 et 67. Le lecteur vérifiera (exercice 11.14) le résultat pour d = 163 .
On notera que A^ est euclidien, donc principal, si d = 1,2,3,7,11 (théorème 5.16),
mais pas si d = 19,43,67,163 .
On peut démontrer que le corollaire 11.4 donne tous les corps quadratiques imaginaires
K pour lesquels A^ est factoriel. Ce résultat a été obtenu indépendamment par Baker et
Starkenl966.

Chapitre 11 • Idéaux 151
11.6 APPLICATION À L'ÉQUATION DE MORDELL y2 = x3 + k
THÉORÈME 11.12. Soit k < — 1, sans facteur carré, avec k = 2 ou 3 (mod4). Supposons
que le nombre de classes h(Q(\/k)) n'est pas divisible par 3 . Alors V équation y2 = a3 +k
admet une solution en nombres entiers si, et seulement si, k — ±1 — 3a2 , a G N* ; dans ce
cas, les solutions sont : x = a2 — k, y = ±a(#2 + 3k).
DÉMONSTRATION. Remarquons d'abord que x et y sont premiers entre eux; en effet, si
p premier divise a" et y , p2\k , contrairement à l'hypothèse que k est sans facteur carre.
De plus, x est impair ; sinon on aurait y2 = k (mod 4), or les seuls carrés mod 4 sont 0 et
1. Ceci étant, écrivons l'équation sous la forme (y + Vk)(y — Vîc) = a3 , puis passons aux
idéaux dans le corps quadratique imaginaire K = Q(Vk) ; il vient
(y + Vk)(y -Vk) = (a)3. (11.14)
Soit P un idéal premier divisant à la fois (y + Vk} et {y — Vk). Alors
y + Vk G P, y - \/k G P, 2y G P , donc P\{2y), et P\(x), car il intervient dans
la décomposition de (a)3 en produit d'idéaux premiers. En prenant les normes, il vient
N(P)\N(2y) = Ay2 , N(P)\N(x) = x2 . Puisque a est impair, N(P) est impair, d'où
N(P)\y2, N(P)\x2 ; or P ^ (!), donc N(P) ^ 1, et a et y ont un facteur premier en
commun, contradiction. Ainsi les idéaux principaux (y + \/k) et {y — \/k) sont premiers
entre eux. Par unicité de la décomposition en produit d'idéaux premiers, il résulte de (11.14)
que
(y + Vk)= A3, A G I(AK). (11.15)
Donc A3 est principal ; puisque 3 { /z(K), A est principal (théorème 11.10); ainsi il
existe (a, b) G Z2 (ici AK = Z(\/fc) car J = 2 ou 3 (mod 4)) tel que A = (a + b\fk),
et (y + Vk) = {(a + b\fk)3) . Mais, powr towf corps de nombres K, Végalité (a) = (/?),
(o:,y8) G A^ entraîne a — s/3, où s est une unité de Â^ (exercice 11.15). Ici, on est
vraiment dans le cas le plus simple, et les seules unités de Ak sont 1 et — 1 (théorème 5.5).
Donc y + \fk — ±(a -1- b\/k)3, et par identification on obtient
\ 1 = ±b(3a2 + kb2).
De la deuxième équation on tire b = ±1 et k = ±1 — 3a2 . D'où y = ±a(a2 + 3k) et, en
reportant dans l'équation de départ, a3 = a6 + 6a4/: + 9^2A:2 —k.Or {k + 3a2)2 = 1, donc
k = k3+ 6a2k2 + 9aAk ; ainsi a3 = a6 - 3a4k + 3a2&2 - k3 , et a = a2 - k .
Remarque 11.4. Cette démonstration met en lumière les deux points essentiels de
l'utilisation des idéaux dans la résolution des équations diophantiennes : a) Le théorème 11.10,
qui permet de passer des idéaux de Ax aux éléments de Ak ; b) Le problème des unités.
Ces deux points avaient été dégagés par Kummer dès 1847. Le lecteur intéressé trouvera une
introduction à l'œuvre de Kummer dans le chapitre 1 de [14] ; pour une étude détaillée, il
consultera [7] ou [23]. La démonstration du théorème 10.9 sur l'équation a5 -h y5 = z5 est
un cas particulier de la méthode de Kummer; elle utilise le fait que Q(e2l7r/5) est euclidien
(lemme 10.5), c'est-à-dire h(Q(e2l7T/5)) = 1. Dans ce cas, il n'est pas nécessaire de recourir
à la théorie des idéaux ; néanmoins, le problème des unités demeure (lemme 10.6).

152 Théorie des nombres
EXERCICES
11.1 Démontrer que les idéaux entiers de K sont exactement les sous-ensembles A de Ae qui
vérifient (11.2).
11.2 Démontrer (11.4).
11.3 Démonstration du théorème 11.1
1) Soit P(x) = cio + cax H \-anxn, a„ ^ 0 , où les ai sont des entiers algébriques. Soit p G C une
racine de P . Démontrer par récurrence sur n que les coefficients de P(x)/(x — p) sont des entiers
algébriques.
2) Soient A(x) = ao + a\x -f • • • + anxn , B(x) = bo + • • • + bmxm où les ai et les b,- sont des
entiers algébriques, anbm ^ 0 . Soit C(x) = A(x)B(x) = co H h Q.v£ ; on sait que les cf- sont des
entiers algébriques (théorème 9.4). On suppose qu'il existe un entier algébrique 8 tel que c\j8 soit
un entier algébrique pour tout / = 0 1,..., £ . Montrer que ûibj/8 est un entier algébrique pour tout
couple (i,j), 0 ^ i ^ n. 0 ^ j^ m .
3) Soit A = (ao, •.., ctn), a„ ^ 0 un idéal entier non nul du corps de nombres K. Soient
cri = Idt <72,..., ad les morphismes de conjugaison de K. On pose
f(x) = ao + aix-\ h anx'\
g(x) = rGL(cn(ao) + CTkiaùx + • • ■ + ^(a„)/) = £o + ■ ■ ■ + /^-i),^-0" .
a) Prouver que f(x)g(x) = yo + y\x H h y„rfx"rf G Z[x] et que g(x) G AkM •
b) On pose B = {/30, ySi,..., /^-D») , « = PGCD(y0, y{,..., y„j). Démontrer que (a) C A£ .
c) Montrer que o\ai/3j pour tout couple (1,7). En déduire que AB = (a) .
4) Montrer que tout idéal fractionnaire non nul admet un inverse pour la multiplication.
11-4 Démontrer que F addition est distributive sur la multiplication dans X(K).
11.5 Démontrer le théorème 11.4 (théorème de Gauss).
11.6 Démontrer le lemme 11.1 en utilisant les résultats du paragraphe 10.5.
11.7 Multiplicativité de la norme des idéaux
1) Soient A et P deux idéaux entiers, A ^ (0) , P premier. Montrer qu'il existe a G A tel que
a <£ (AP), et qu'il existe un idéal entier B tel que AB = (a) , P \ B , P + B = (1) . En déduire
que A = (a) -f AP .
2) Soient {«1,^2,. -. ,«axa)} un système de représentants des classes modulo A et soit
{p\,p2, • • • 5 Pn(P)} un système de représentants des classes modulo P. Montrer que
{ai + ap\,..., a\ + apN{Ph ao + api,..., cln{a) + &p\, • •., ^iV(A) + a/?iV(P)} est un système de
représentants des classes modulo (AP).
3) Conclure.

Exercices 153
11.8 Démontrer que ( N(A) premier) => (A premier).
11.9 Montrer que, si <p : A — jîî est un morphisme d'anneaux, Kenp est un idéal de A .
11.10 Démontrer que vi , dans la démonstration du théorème 11.7, est un morphisme d'anneaux
surjectif.
11-11 Soit AgX(Ax)* ; partant de la base {pi.p2, ■ ■ -,Pd} du Z -module A considérée dans la
démonstration du th. 11.6, montrer qu'il existe une base {co\, a>2 cod} du Z -module A de la
forme col■ — c'na\ -f • • • + c/ii_xai-\ + eu ai , où 0 ^ C/7- < Cjj pour tout j < i . En déduire qu'il
n'existe qu'un nombre fini d'idéaux A de norme donnée.
11.12 Montrer que le nombre de classes d'équivalence d'idéaux entiers est égal au nombre de classes
d'équivalence d'idéaux fractionnaires.
11.13 Démonstration du théorème 11.9
Soit K = Q(Vd). d < 0. un corps quadratique imaginaire de discriminant A = A(iiC).
1) Soit A un idéal entier de X. Montrer que A admet, comme Z -module, une base de la forme
{a. 6a} . avec 6 G K. Im(6) > 0 .
2) Soit A G X(Ak) , de base {a, 6a}. 6 G X. Im(6) > 0. On considère la forme quadratique
Q(x. y) = (ax — 6ay)Çax + 6ay) = px2 + qxy + ry2 . où a désigne le conjugué complexe de a ,
qui coïncide ici avec le conjugué a* de a dans K.
a) Montrer que p, q, r G Z
b) Montrer que q1 — Apr = N(A)2A .
c) Montrer que N(A) divise p.q et r.
3) On pose p = N(A)a . q = N(A)b, r = N(A)c, et on associe à A la forme quadratique
R(x.y) = ax2 -j- bxy -f- cv~ .
a) Vérifier que le discriminant de # est A et que R(x. y) — a(x + 6y)(x -f 6y).
b) Soient ii = (ai. #iû?i) et An = (<rs #2^2) deux idéaux entiers équivalents, et R\ = (a\,bita),
R2 = (a2.b2.c2) les formes quadratiques associées. Démontrer qu'il existe des entiers rationnels
s. 1.11. v .et Ai. À2 G Ak . tels que sv — ut = 1 et
J Àicvi = À:(5a2 + tOiai)
1 Ài^iûfi = À2(««2 + U02<*2).
En déduire que l'application A 1—>- R(x.y) définit une application ty de l'ensemble des classes
d'équivalence d'idéaux entiers de X dans l'ensemble des classes d'équivalence de formes quadratiques
de discriminant A .
4) Prouver que ty est surjective.
5) Prouver que \P" est injective et conclure.

154 Théorie des nombres
11.14 Démonter que hÇQ(i y/Ï63)) = 1 .
11.15 Démontrer que, pour tout corps de nombres _<. et tout (a. P) G AJ2 . {a} — (/3) <^3eÇ A-*
tel que a — s/3 .
11.16 Soit K = Q(/VT3). Décomposer l'idéal (10) en produit d'idéaux premiers dans Ax .
Vérifier le résultat en effectuant le produit des idéaux premiers obtenus.
11.17 Soit K = Q(\/5T). Soit A = (2.1 + VSÏ) .
1) Déterminer l'idéal fractionnaire A-1 .
2) Prouver que A est premier dans Ax ■
3) Calculer N(A).
11.18 Soit K un corps de nombres, et soit A G X(Ax). Montrer que N(A) E A .
11-19 Soit K = Q(co), o> = e2'"/D . Décomposer les idéaux (3) et (5) en produits d"idéaux
premiers.
11.20 Soit K un corps de nombres, et soit M défini dans le lemme 11.6, formule (11.12). On
suppose que, pour tout nombre premier p G 7L vérifiant p $J M , tout idéal premier divisant {p) est
principal ; démontrer que h(K) = 1 c'est-à-dire que Âv est principal.
11.21 En utilisant le résultat de l'exercice 11.20, démontrer que l'anneau Âv = Z(\/7) des entiers
du corps quadratique K = Q(\/7) est principal.

Chapitre 12
Introduction aux méthodes de
transcendance
On doit à Hermite la démonstration de la transcendance de e (1873) : voir l'exercice
12.14. Par une extension de la méthode d'Hermite, Lindemann démontra en 1882 la
transcendance de 77 , prouvant ainsi l'impossibilité de la quadrature du cercle. Ce dernier chapitre
constitue une introduction aux méthodes de transcendance développées dans les années 1930
par Gelfond, Mahler, Schneider et Siegel dans le prolongement de la méthode d'Hermite. Les
paragraphes 12.1 et 12.2 sont consacrés à des préliminaires ; fonctions algébriques, maison
d'un nombre algébrique, inégalité de la taille. La méthode de Mahler (§12.3) permet, sur un
exemple, de dégager les principales étapes d'une démonstration de transcendance (§12.4). Le
théorème de Hermite-Lindemann, qui fournit en corollaire la transcendance de e et tt , est
traité par la méthode de Gelfond (§12.5). On donne enfin des indications sur les méthodes de
Schneider (§12.6) et de Siegel-Shidlovski (§12.7).
12.1 FONCTIONS ALGÉBRIQUES ET FONCTIONS TRANSCENDANTES
DÉFINITION 12.1. Soit K un cotps commutatif, et soit A un anneau commutatif contenant
K. On dit que a G A est algébrique sur K s'il existe P G K[x] tel que P(a) = 0,
Par exemple, les nombres algébriques sont les éléments de C qui sont algébriques sur Q .
Soit fî un ouvert du plan complexe, et soit / une fonction analytique dans £1 ; on dit
que / est algébrique si elle est algébrique sur le corps K = C(x) des fractions rationnelles
à coefficients complexes, autrement dit s'il existe des polynômes Pq, Pi, ..., Pj G C[x],
non tous nuls, tels que, pour tout x G fi :
PAx)(f(x))d + Pd-i{x){f{x))d-1 + ■ ■ ■ + P0(x) = 0. (12.1)
Exemple 12.1. Toute fraction rationnelle est algébrique de degré 1.
Exemple 12.2. La fonction f(x) = (1 + x)1/2 est algébrique de degré 2, car
(/Cv))2-(l+*) = 0.
Lorsqu'un élément de A n'est pas algébrique sur K, on dit qu'il est transcendant sur
K. Les démonstrations de transcendance les plus faciles, et de loin, sont celles qui portent
sur la transcendance de fonctions. Nous donnons deux exemples, sous forme de lemmes.

156 Théorie des nombres
LEMME 12.1. La fonction exponentielle f{x) = ex est transcendante.
DÉMONSTRATION. Supposons-la algébrique, et écrivons
Pd(x)edx + Pd.1(x)eid~l)x t ■ • • + P0(x) = 0: (12.2)
où d est choisi minimum, donc Pd ^ 0. Alors, pour tout x G C :
PdW = -Pd-x{x)e~x PQ(x)e-dx. (12.3)
Lorsque a- G I et tend vers +oc, le membre de droite de (12.3) tend vers 0. Donc
Pd = 0 , contradiction.
LEMME 12.2. La fonction
+ 3C
f(x) = YJx2\ (12.4)
définie clans il = {x G C/ |x| < 1} , est transcendante.
DÉMONSTRATION. On remarque d'abord que / vérifie une équation fonctionnelle très
simple. En effet :
+ OC
f(x2) = ^>2"+1 = f(x) - a. (12.5)
/z=0
Supposons que / soit algébrique. Alors, pour tout x G O,
(f(x))d + Qd-iWifW?-1 + ■ • • + QoCv) = 0, (12.6)
où les Qi sont des fractions rationnelles à coefficients complexes, et où d est choisi
minimum. Dans (12.6), on remplace x par x2 et on utilise (12.5) ; il vient
(f(x) - x)d + Qd-,{x2){f{x) - x)d~l + ■ ■ ■ + Q0(x2) = 0,
d'où en développant :
VW)d + (e,/-i(x2) - dxXfixyf-1 + ■■■ = ().
On soustrait à (12.6); puisque J est minimum, il vient Qd-\(x) = <2j-i(a-2) — dx .
Posons (2</-iOO = A(x)/B(x), où les polynômes A et B sont premiers entre eux ; on a
A(x)B(x2) = A(x2)B(x) - dxB(x)B(x2). (12.7)
Par suite B(x2)\A(x2)B(x) ; puisque Z?(;t2) est premier avec A(x2), B(x2)\B(x). A
cause des degrés, ceci implique B(x) = fr G C* et (12.7) s'écrit A(y) = A(x2) — bdx .
Si deg A > 1, ceci est impossible. Donc deg A = 0 et A(x) — a G C . Contradiction.

Chapitre 12 • Introduction aux méthodes de transcendance 157
12.2 MAISON D'UN NOMBRE ALGÉBRIQUE
La plupart des démonstrations d'irrationalité sont basées sur le fait qu'une suite d'entiers
positifs ne peut tendre vers 0 (§1.6), ou, ce qui revient au même :
a GZ* => \a\ > 1. (12.8)
Il n'en est pas de même si on remplace Z par l'anneau A& des entiers d'un corps de nombres
K (remarque 8.3), sauf si K est un corps quadratique imaginaire (lemme 8.2). Or, pour les
démonstrations de transcendance, on doit travailler dans les corps de nombres ; on est ainsi
amené à introduire la notion suivante.
DÉFINITION 12.2. Soit a G C un nombre algébrique de degré d, et soient
a\ = a, û?2ï • • • j ad les conjugués de a, c'est-à-dire les racines de son polynôme
minimal Pa . La maison de a est le nombre réel positif défini par :
\a\ — max|ûj/|. (12.9)
THÉORÈME 12.1. Soit a un nombre algébrique, et soit K un corps de nombres contenant
a . Soient o~i}o~27 - ■ - ->o~m les morphismes de conjugaison de K. Alors
jô[ = max|c7I-(a)|. (12.10)
i
DÉMONSTRATION. Exercice 12.1.
THÉORÈME 12.2. Soient a et fi deux nombres algébriques. Alors
W\^W\W\-
DÉMONSTRATION. Exercice 12.2.
THÉORÈME 12.3. Soit a un entier algébrique non nul. Alors \a\ > 1.
DÉMONSTRATION. Exercice 12.3.
Le théorème 12.3 généralise (12.8). Pour les démonstrations de transcendance, on utilisera
plutôt Y inégalité de la taille, qui s'applique à tout nombre algébrique a (non nécessairement
entier), et met enjeu, en sus de la maison \a\, le dénominateur den (a) (théorème 9.3).
THÉORÈME 12.4. '(Illégalité de la taille)
Soit a un nombre algébrique non nul, de degré d. Alors
M > (\â\rd+l(den (a)yd. (12.13)
DÉMONSTRATION. Exercice 12.4.
(12.11)
(12.12)

158 Théorie des nombres
12.3 LA MÉTHODE DE TRANSCENDANCE DE MAHLER (1929)
Elle permet de démontrer des résultats de transcendance sur les valeurs de fonctions
vérifiant des équations fonctionnelles du type (12.5). Nous nous contenterons de l'exposer sur
l'exemple de la fonction / définie en (12.4).
THÉORÈME 12.5. Soit a un nombre algébrique non nul \a\ < 1. Alors f(a) = X],7^o ^
est transcendant.
DÉMONSTRATION.
Première étape : Il est facile de voir que f(x), (/(y))2 , (f(x)):\ ..., sont des séries
entières à coefficients entiers. Posons
+ OC
f{x)k = YJhnx\ bk„e%.
Soit m G N* fixé, dont nous choisirons la valeur plus loin. 11 existe des polynômes
Pô, P\ j • ■ ■, Pm non tous nuls, à coefficients entiers rationnels,
m
Pi(x) = J2ainx\ î=0,l,...,#n,
et une série entière gm(x), tels que
PmWifWr + Pm-i(x)(f(x))m-1 + ■ • • + P0(x) = x'"2gm(x). (12.14)
En effet, pour obtenu* (12.14), il s'agit de choisir les Pj(x) de telle sorte que, lorsqu'on
effectue les produits et sommes dans le premier membre, le coefficient de x11 soit nul pour
n — 0,1,2,..., m2 — 1, c'est-à-dire :
m min(w,«)
Y, J2 atkbi,n-k=0, n = 0,1,...,m2-1. (12.15)
i=0 Jk=0
Ceci est un système de m2 équations, à (m -1-1)2 inconnues (les a^ ), à coefficients dans
Z (les bijj-k ). Puisque le nombre d'inconnues est plus grand que le nombre d'équations, ce
système admet une solution non triviale dans le corps Q, donc dans Z en multipliant tout
par un dénominateur commun. D'où (12.14).
Par ailleurs, gm n 'est pas la fonction nulle ; dans le cas contraire, / serait algébrique
puisque l'un au moins des polynômes P; est non nul, contradiction avec le lernme 12.2.
Nous écrivons donc :
gm(x) = x°hm(x). a^O, MO) + 0. (12.16)
Deuxième étape : Supposons que f(a) soit algébrique ; soit K = Q(a, f(a)),
[K : Q] = d •. Soit a = den (a) le dénominateur de a, de telle sorte que a — (3fa ,
avec jSeAjk ; de même, posons b = den (f(a)) et f(a) = y/b, avec y G AK -

Chapitre 12 ■ Introduction aux méthodes de transcendance 159
Tenant compte du fait que, pour tout entier n > 1,
/(*r) = /(*)-J>2 , (12.17)
k=0
qui se déduit de (12.5) par récurrence, on voit que, pour tout entier n > 1,
M2
/(<*") =7-^=7, avecA7îG
Remplaçons x par ût dans (12.14) et (12.16) ; il vient
Le membre de gauche de (12.18) est un élément de IK ; notons-le Bn . Puisque les Pi
sont à coefficients entiers et deg P; ^ m , on voit que
den (Bu) < am2"bmamr~l <C V»amr+l - (12.19)
Troisième étape : Lorsque n —> -foc, en tenant compte de (12.18) et du fait que
hm(0) 7^ 0. on a
B„ ~ hm(P)a(m2+Œ)r. (12.20)
-foc
On en déduit immédiatement :
Bn / 0 pour n assez grand, (12.21)
et il existe c\ > 0, indépendant de n , tel que, pour tout n G N , (12.22)
Quatrième étape : Évaluons la maison de Bn . En vertu du théorème 12.2, on a
m I m \
ïâu £ £ mm'"2" (î/^)' •
i=0 \y=0 /
Posons ci = max/j ]ar-7-|, c3 = max(l. ja|. |/(a)|). Il vient (exercice 12.5) :
W\<c2(m + l)2cfn+\ (12.23)
Conclusion : On applique Vinégalité de la taille (12.13) à Bn , qui est différent de 0
grâce à (12.21). On obtient, en tenant compte de (12.19), (12.22), (12.23) et du fait que
deg(£„) ^ d car B„ e K :
c>\af^(c*n + l?c^) (bV+')

160 Théorie des nombres
On prend les logarithmes :
- mdLog b + (-J + l)Log (c2(m + l)2)
+ 2"(-w2Log \a\ + 2m((-d 4- l)Log c3 - dLog a)) < Log d. (12.24)
Puisque |or| < 1 , on peut choisir m tel que
—m2Log \a\ + 2m((—d + l)Log c3 — dLog a)) > 0.
Ce choix étant fait, le membre de gauche de (12.24) tend vers -h oc lorsque n —t +oc ,
contradiction car il est borné par Log c\ . Le théorème 12.5 est démontré.
Pour un exposé complet de la méthode de Mahler, voir [19].
12.4 REMARQUES MÉTHODOLOGIQUES; LEMME DE SIEGEL
La démonstration du théorème 12.5 montre bien les cinq principales étapes d'une
démonstration de transcendance.
a) Construction d'une fonction auxiliaire, généralement de manière non explicite
(contrairement à la plupart des démonstrations d'irrationalité) ; cette fonction auxiliaire est ici
xm2gm{x) (voir (12.14)).
b) Mise en évidence d'un nombre algébrique (3 lié à cette fonction auxiliaire ; ici le
nombre Bn .
c) Majoration de |/3|, den (f3), |/3|.
d) Démonstration du fait que j3 ^ 0 ; dans la méthode de Mahler, cette étape est
particulièrement simple grâce à (12.20). Mais généralement c'est la partie la plus difficile ; elle
nécessite souvent des résultats préliminaires connus sous le nom de lemmes de zéros.
e) L'application de Y inégalité de la taille (12.13) à (3 permet d'arriver à une
contradiction, avec un peu de chance.
Revenons à la première étape ; elle se ramène généralement à une résolution de système
d'équations linéaires à coefficients dans l'anneau Ax des entiers d'un corps de nombres
K ( Z dans l'exemple du théorème 12.5). Dans la méthode de Mahler, cette étape est très
simple, car on se contente de l'existence des solutions a^ G Z, sans avoir besoin de les
majorer. Dans les autres méthodes, il sera nécessaire d'utiliser le lemme de Siegel (1930) :
LEMME 12.3. Soient (A,-7-), 1 ^ i ^ m, 1 ^ y ^ n, des entiers rationnels avec n > m .
Soit A <E N, tel que
max(|Al7|) ^ A.
Alors il existe (x[, x2,..., xtl) G Z" , vérifiant
0 < max |x/| ^ (/iA)^ et (12.25)
( An.vi -f A]2X2 H h A\nxn = 0
A2\X\ + A22x2 H h A2nxn = 0
<
[ AmXx\ + Am2x2 H h Amnxn = 0
(12.26)

Chapitre 12 • Introduction aux méthodes de transcendance 161
Démonstration. Elle est basée sur le principe des tiroirs.
Pour 1 ^ j $ m . soit — V) (resp. Wj ) la somme des éléments négatifs (resp. positifs)
de l'ensemble {A//,..., A„y} . On a donc Vj + W) ^ nA . Soit X e N ; à chaque point
(x\ xn) G Ul vérifiant 0 ^ jtj^ X ( 1 ^ / ^ n ), on associe le point (y\,..., ym) de
Zm défini par
yj = ^2Auxi 0 ^7 ^m)-
ï=i
On a —VjX <; >'7- ^ W/X pour tout 7 = 1,..., m .
L'ensemble E des (xi,...,x„) compte (X + l)" éléments, tandis que l'ensemble F des
O'i, « • • ? }7/«) en compte au plus (nAX + 1)'" .
On choisit X
(/zA)"-'"
Alors (X + 1)"-'" > (nA)m ; par conséquent :
(X + }f > (X -r l),w(/2Ay" ^ (/îAX + l)m.
Ainsi card E > card F, et notre application n'est pas injective de E dans F ; donc deux
points de E au moins, (x[ x'n) et (x" x"), ont la même image, (vi, ywl).
Alors, pour j — 1,..., m :
Y^Aij(x'i-xï) = 0,
et Xi = x\ — x" vérifie (12.25) et (12.26) ; le lemme 12.3 est démontré.
En affinant ce raisonnement on obtient un lemme de Siegel dans les corps de nombres :
LEMME 12.4. Soit K un corps de nombres de degré d. Soient (A,-7), 1 ^ / ^ m, 1 ^ j ^ n ,
des entiers de K, avec n > dm . Soit A EN, tel que
max(|A/y|) <$ A.
Alors il existe (x) .X2,...,xn) G V , et un réel M > 0 ne dépendant ni de n ni de m ,
tels que
0 < max |jc/| < (jiMA)n-dm,
et que (12.26) soit vérifiée.
Démonstration. Voir exercice 12.6
Remarque 12.1. : On peut démontrer que, en fait, M = y/2 ; voir [28], chapitre 1.
/ \
12.5 LE THEOREME DE HERMITE-UNDEMANN
THÉORÈME 12.6. Soit a un nombre algébrique non nul. Alors ea est transcendant.
COROLLAIRE 12.1. e et tt sont transcendants.

162 Théorie des nombres
Seul 77 mérite (peut-être) une explication; si 77 était algébrique, irr le serait aussi car
i est algébrique ; donc el7T = —1 serait transcendant, ce qui est absurde.
Nous allons démontrer le théorème de Hermite-Lindemann par la méthode de Gelfond
(1934).
Soit n un entier ; nous construisons une fonction auxiliaire de la forme
p q
FnW = ^ ^7aV\ ^ G Z' (12'27)
i=0 j=0
avec /?
Log/z
, q = [(Log n)2] .
Supposons a algébrique, et ea également algébrique ; soit K = Q(a, ea) et soit
d = deg K. Désignons par a un dénominateur commun à a et ea . Le lecteur vérifiera
(exercice 12.7) que l'on peut trouver les a,y- dans (12.27) de telle sorte que :
Fn(0) = Fn'(0) = ■ ■ ■ = F^~]\0) = 0 ; (12.28)
Fn{a) = F» = • • ■ = F<»-l\a) = 0 ; (12.29)
0 < max \ciij\ ^ e" pour n assez grand. (12.30)
ij
Puisque la fonction exponentielle est transcendante (lemme 12.1) et les a-^ non tous nuls,
la fonction Fn n'est pas identiquement nulle. Donc il existe un entier k tel que F^k\0) ^ 0.
Soit m • le plus grand entier tel que :
F„(0) = • • • = F<r-»(0) = Fn(a) = ■'■ = F^~l\a) = 0. (12.31)
On a donc m > n , et il existe r G {0,1} tel que
/3 = FJTXra) ^ 0. (12.32)
Pour majorer |/?| en vue de lui appliquer l'inégalité de la taille, on introduit la fonction
Gn(x)= ,J"(X\m, (12.33)
x'"(x — a)">
qui est entière en vertu de (12.31), et on utilise le principe du maximum ; on obtient (exercice
12.8) :
|/3| ^ w"t. (12.34)
Le lecteur vérifiera d'autre part (exercice 12.9) que
den 08) ^ anfc+(L°sm>2 (12.35)
Ï/?K e3mL°sL°s"\ (12.36)

Chapitre 12 - Introduction aux méthodes de transcendance 163
L'inégalité de la taille (12.3) s'écrit en prenant les logarithmes :
Log m ^ d I h (Los m)2 ) Log a + 3m(d — 1) Log (Log m).
\Logm " y
et on obtient une contradiction lorsque n (et m avec lui) tend vers -roo . Le théorème de
Hermite-Lindemann est démontré.
12.6 LE THÉORÈME DE GELFOND-SCHNEIDER
Soit a un nombre complexe non nul. Il existe une et une seule valeur de l'argument de
a, notée arga, telle que —tt< arga ^ rr. On rappelle que la détermination principale du
logarithme complexe est définie sur C* par :
Logo; = Log|a| +/ argûf. (12.37)
Pour tout a eC* et tout z € C. on définit az par :
az =ezLoga (12.38)
Il est clair que la fonction fa (z) = or est entière. En outre, si a est différent de 1,
elle est transcendante : il suffit pour s'en rendre compte de remplacer, après l'avoir supposée
algébrique, z par xj Log a et d'utiliser le lemme 12.1. Le problème de la trasneendance de
cft lorsque a et (3 sont algébriques fut posé par Hilbert au congrès international des
mathématiciens de Paris en 1900. Il fut résolu de manière indépendante par Gelfond et Schneider
en 1934 :
THÉORÈME 12.7. Soit a un nombre algébrique différent de 0 et de 1. Soit (3 un nombre
algébrique irrationnel. Alors a^ est transcendant.
COROLLAIRE 12.2. e77 est transcendant.
En effet, (— \)~l = e-'L°ë(-i) — e^ est transcendant car —1 et —i sont algébriques, et
/ est irrationnel.
Démontrons le théorème 12.7 en utilisant la méthode de Schneider. Raisonnons par
l'absurde et supposons que y = a^ est algébrique. Notons K le corps de nombres
K = Q(a./3.y). Soit d = degK. et soit M le nombre défini dans le lemme 12.4, qui
ne dépend que du choix d'une base entière de X.
Posons A = denadenjSdeny, jul = |a||y| (l + W\) . v = é>2lLosal. Des calculs de
limites élémentaires montrent qu'il existe un entier N tel que, pour tout n ^ N :
(1 + |0|) (n -r D5 ^ n6 ^ l-n7 ; (Ayu)"* n5"' ^ n6""
d
(MnWy-* ^ en* ; ny^\^i^n^\u^a\ <j ^ (U39)
(4vyl0n-»m^e-»" ; A<"+1^ X
[ n1VV(,,+,)8 (n + l)5"8 < e"9 : n10 > (2rf - l)/z9
Choisissons et fixons un entier N vérifiant les conditions (12.39).

164 Théorie des nombres
La première étape de la démonstration consiste à construire un polynôme P (a\ y) eZ (a*, y)
N8-l Ar3-l
^C^y)= ]T ^^V, (12.40)
de telle sorte que la fonction auxiliaire
Ar8-1 ;V3-1
F(z) = P (s, cr) = X) Z fl^'"a* (12-41)
,-=o j=o
vérifie F (/: + ySm) = 0 pour tout k et tout m vérifiant 0 ^ k< AP et 0 ^ m < N5. Le
lemme de Siegel (voir l'exercice 12.16 pour les détails) montre qu'il est possible de trouver
P (i, y) tel que ces conditions soient vérifiées, avec 0 < max^7- \cijj\ ^ eN .
La deuxième étape consiste à démontrer que, pour tout entier n ^ N. on a :
(12.42)
f (/)„ F (k + m/3) = 0 0 < *. m < n5
{ (//)„ max,cK//6|Ffc);^^-"10
Cette deuxième étape se démontre par récurrence sur n .
a) On observe d'abord que (I)N est la conclusion de la première étape.
b)On montre ensuite que, pour tout n > N, (/)„ => (//)„ . Pour cela, on remarque
que :
maxkKll7|Ffc)|< Ë Ë kyl«7'VReUL°ga)
Puisque Re(zLoga) < |zLoga| ^ n1 |Loga| et maxij \cifj\ ^ eN . il vient :
max|,,^7 \F(z)\ < 7V8AA3^8^8Los»^VlLo^l < ^VV^"*"10'1^"' ^ ^
(12.43)
Ffc)
Comme en (12.33). introduisons la fonction G (z)
n5-lns-\
n U(z-k- m fi)
k=0 m=0
Puisque (3 est irrationnel, tous les nombres k + m(3 sont distincts ; par (/„). ce sont
donc des zéros de F, et par conséquent la fonction G est entière. Si on lui applique le
principe du maximum dans le disque \z\ ^ n1 en tenant compte de (12.43) il vient :
n10
\z\ < nb => \G (z)\ < maxU|=„7 \G (z)\ ^ ^^
n n w-\k+mi3\\
k=0 ™=0

Chapitre 12 - Introduction aux méthodes de transcendance 165
Par conséquent, pour tout complexe z tel que \z\ < n , on a :
' n' "fl {n6 + \k + m(3\) "f[ "ft (n6 + (l + \fi\) n5)
\F(Z)\^V W5_lw5_] ^ n5_lw5_1
"Û "iï W- \k + mf3\\ ^ "n \n>-{l + \P\)n*\
lc=0 m=0 k=Q m=0
775-l W5-l
n n M
^- n10 Jt=0 to=0
«5-l«5-l 1
n n ~m
k=0 m=0 L
Finalement on a donc bien max|,|^716 \F (z)\ ^ (4v)n n n ^ e n . Ainsi
(/)„ =► (//)„.
c) Montrons enfin que (//)„ => 00,7-t-i • Soient k et m deux entiers tels que
0^k,m <(/z + l)5.
Considérons le nombre algébrique F (k + /3m) = E^o"* TÏjLôl fl*/ ^ + £m)* a'V™.
Puisque \k + m/3\ < (l + |/3|) (/z + l)5 ^ /z6, par (//)„ on a \F(k + (3m)\ ^ e'11™.
Le dénominateur de F (k + /3m) est majoré par :
den [F (k + /3m)] ^ (den/3)"8 (den a den y^+D3 ^ A(,i+1)8 ^ en\
La maison de F (k + /3«0 est majorée par :
\F{k + j3m)\ ^ N*N3eN* (l +]${)" (" + l)5iy8 (RM)" ^
Si F(k-\-/3m) était différent de 0, l'inégalité de la taille (12.3) s'écrirait
e(\-id)n ^ e-n ^ contradiction avec la dernière condition de (12.39). Donc
(//)„ => (/)/ï+1. et (/)„ et (//)„ sont donc vraies pour tout n ^ N.
La troisième étape est la conclusion.
Soit zeC ; alors, pour tout n ^ N tel que n6 > |z|, on a \F (z)\ ^ é?-"'0 par (//)„ .
n3-i /V-i \
Il en résulte, en faisant tendre n vers +oc , que F (z) = X) X) a0^ O^)7 = 0
7=0 \ i=o y
Puisque les fl/7- sont non tous nuls, ceci exprime que / (z) = az est algébrique, et cette
contradiction démontre le théorème de Gelfond-Schneider.
Remarque 12.1. La méthode de Gelfond (présentée dans la section précédente dans le
cadre de la démonstration du théorème d'Hermite-Lindemann) et la méthode de Schneider
utilisent toutes les deux une fonction auxiliaire avec « beaucoup de zéros ». La différence
est que, dans la méthode de Gelfond, on utilise deux zéros d'ordres de multiplicité élevés
(et la propriété (ez)f = ez), tandis que dans la méthode de Schneider, on utilise des zéros
simples (et la propriété eaeh = ea^~b). Le lecteur intéressé trouvera la démonstration du
théorème 12.7 par la méthode de Gelfond dans [28].

166 Théorie des nombres
12.7 LA METHODE DE SIEGEL-SHIDLOVSKI
Développée par Siegel en 1930, puis par Shidiovski à partir de 1954, elle donne des
résultats de transcendance sur les E-fonctions. On dit qu'une fonction analytique
^-^ n\
est une E-fonction si elle satisfait les trois conditions
a„ G K pour tout /?, où X est un corps (12.44)
de nombres.
Pour tout e > 0, \a~^\ = 0(/ze"). (12.45)
Pour tout s > 0, den (an) = 0(nEn). (12.46)
Voici deux résultats typiques de la méthode de Siegel-Shidlovski.
Théorème 12.8. (Siegel 1930;
+25 (-1)" fx\2n
Soit Jq(x) = y. ~,—t ( ^ ) la fonction de Bessel d'ordre 0.
n=0
Alors, pour tout a algébrique non nul, J^{a)/ Jq{o) est transcendant.
COROLLAIRE 12.3. La fraction continue régulière (3 = [1.2. 3...., n....] représente un
nombre transcendant.
Pour démontrer le corollaire 12.3, on utilise la remarque 3.2 ; voir exercice 12.10.
Théorème 12.9. (Shidiovski 1954 )
+ OC
X
I X
Soit iF\
1 c
= 2_j ~TT~ une fonction hypergéométrique confluent e, avec
71=0
c G Q \ 7L~ . Alors, pour tout nombre algébrique a j^ 0.1 F\
a est transcendant
Le lecteur intéressé trouvera une introduction à la méthode de Siegel-Shidlovski dans [2]
et [17], et un exposé complet dans le livre de Shidiovski lui-même [26].

Exercices 167
EXERCICES
12.1 Soit a un nombre algébrique de degré d , et soit L = Q(o?). Soit K un corps de nombres
contenant a ; on pose K = L(0), [K : Q] = m , [K : L] = n ; on sait (exercice 10.17) que
{al6j/0 ^ / ^ d — 1; 0 ^ j ^ n — 1} est une base de K considéré comme espace vectoriel sur Q .
Démontrer que <pk défini par (pk(al 6j) = alk6j est un morphisme de conjugaison de K.
Puis démontrer le théorème 12.1.
12.2 Démontrer le théorème 12.2.
12.3 Maison d'un entier algébrique
1) Démontrer que. si a est un entier algébrique non nul, alors \a\ ^ 1 (théorème 12.3).
2) Soit a un entier algébrique non nul de degré n . On suppose que \a\ = 1. Pour tout entier
/" ^ 1. soit
Pi (x) = ao.i + aux + • ■ • + adi-lfixdi~l + xdi G Z [*]
le polynôme minimal de a'. Démontrer que \ajj\ $J C,-J pour tout 7=0, 1. •-• , d,— 1.
3) En déduire le théorème suivant : si a est un entier algébrique non nul qui n 'est pas une racine
de F unité, alors \a\ > 1.
12.4 Démontrer Y inégalité de la taille en utilisant la norme dans K = Q(a)
12.5 Démontrer (12.23).
12.6 Démontrer le lemnie de Siegel 12.4 en introduisant une base entière de K .
12.7 En utilisant le lemme de Siegel 12.4. vérifier (12.28). (12.29), (12.30).
12.8 On rappelle le principe du maximum ; si f est analytique dans P={:G C/ \z\ < R} , et si
0 < r < R . alors :
\x\^r => |/Cv)K max |/(c)|.
-I=r
En appliquant le principe du maximum à Gn . définie en (12.33), dans le disque \x \ < m2^3 , démontrer
(12.34).
12.9 Démontrer (12.35) et (12.36).

168 Théorie des nombres
12.10 Démontrer le corollaire 12.3.
12.11 Soit q G C. \q\ > 1 . Démontrer que la fonction de Tschakaloff (§1.4) est transcendante.
12.12 Un résultat de Lucas, 1870
Démontrer que, pour |*| < 1 , £,tÏÏ J*: +1 = j^l '
En déduire que X]"!LS) ~F~ ~ 7~-> ( F„ désigne la suite de Fibonaccï).
f Fnn
12.13 Soit aeZ* .Montrer que la fonction
*-^ 1 + ax
X"
est transcendante. En déduire que 6 = JZ,^ ^ est transcendant.
12.14 Transcendance de e d'après Hermite, 1873
1) Soit / G Z[x]. Prouver que tous les coefficients de f{n) sont divisibles par n\
2) Soit / un polynôme de degré N . On pose
Prouver la formule d'Henni te :
ex f me~rdt
F(0)er - F(x).
3) En utilisant le polynôme f(x) = —-.Yn_1((.Y — 1)... (x — d))n pour n premier tendant vers
+00 , prouver que e est transcendant.
12.15 Quadrature du cercle
1 ) Le plan est rapporté à un repère orthonormé (0, f, j) . On dit que le point A est constructible
(à la règle et au compas) s'il peut s'obtenir à partir d'un nombre fini d'opérations faisant intervenir
uniquement des droites et des cercles.
a) Prouver que tout point à coordonnées rationnelles est constructible.
b) Prouver que les coordonnées de tout point constructible sont des nombres algébriques.
2) Le problème de la quadrature du cercle consiste à construire, à partir d'un cercle (C) de rayon 1
donné, un carré de même surface que (C). Montrer que la quadrature du cercle est impossible.
12.16 Construire le polynôme P (a\ y) de la première étape de la démonstration de théorème de
Gelfond-Schneider.

Exercices 169
12.17 Démonstration du théorème de Thue
1) Démontrer que le théorème de Thue (théorème 9.9) peut s'énoncer ^ous les formes équivalentes
suivantes :
Enonce 1 : Si a est algébrique de degré d > 2, pour tout e > 0 l'inéquation
d
<q 2~
(/)
n'a qu'un nombre fini de solutions en nombres rationnels p/q avec q > 0.
Enoncé 2 : Si a est algébrique de degré d ^ 2, pour tout e > 0 l'inéquation (/) n'a qu'un
nombre fini de solutions en nombres rationnels p/q irréductibles, avec q > 0.
Dans toute la suite, on suppose que a est algébrique de degré d ^ 3 et qu'il existe s > 0 tel
que l'inéquation (/) ait une infinité de solutions — G Q, irréductibles, avec q > 0. On pose
cl
d 1
2) Soit A G 5L tel que 0 < A < 1. et soit m G N. m ^ 2. On pose « =
OtA)
dm

Démontrer qu'il existe deux polynômes P {x) — X^"=o Cli x' et Q M = S"=o ^x' ' ^ coefficients
dans Z, tels que la fonction A (y, y) = P (a) — y Q (.*) vérifie :
dh A
—Y (a, a) = 0 pour tout /* — 0,1, • • • , m — 1,
0 —
Qî I • \bj I) ^ /^A j ou /3 est une constante qui ne dépend que de a (mais
pas de m ni de A).
3) On pose W (a) = P (x) Q' (x) - P' (a) Q (x) = ^l"1 *** ■ Démontrer que :
a) a est une racine d"ordre au moins m — 1 de W
b) W est non nul.
c) max/ (Log |c,|) ^ y—, où y est une constante qui ne dépend que de a.
A
4) Soit — une solution irréductible de (E). que l'on choisit telle que Log^o ^ yA~2.
qo
Démontrer que, si — est racine de W, son ordre de multiplicité est au plus égal à
ym
w = — ^ km.
Pk
m = m (k) =
A Log qo
5) Pour toute solution — de (E) a\ec k ^ 1 et qu > #o> on choisit dans ce qui précède
q*
TLog^l
[Log^oJ
Démontrer qu'il existe un entier y. 0 $J j ^ w + 1 ^ \m +1, tel que le nombre
]\dxJ \q0 qkJ j\ |_ ^ ç0 / <7* \<?o
soit non nul. Poui tout k > 1. on fixe un tel y = j (k) et on note vk = fikj-
ni ,,_,
6) En utilisant la formule de Taylor, démontrer que |ï/jt) ^ <5a#q . où 8 ne dépend que
de a.
7) Démontrer que :i/*| ^ qQ
(¥"+•)-
et conclure.

SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 1
1.1 Puisque 0 est racine d'ordre n de P . on a P(0) = P'(0) = • • • = P ,,_1,(0) = 0 . Pour k^n.
le terme constant de P(k)(x) vaut Pik)(0) = — Ck~nciln~k{-b)k~nk\. car il correspond à la dérivée du
/?!
terme de degré k dans P(x), qui peut s'obtenir en développant (a — bx)n par la formule du binôme.
Puisque k ^ n , n\\k\ et P{k)(0) G 2 pour tout k *£ n . Donc F(0) G Z. Par symétrie. F(tt) G Z,
et F(0) + F{tt) est donc entier.
1.2 On cherche les polynômes inconnus Q et P sous la forme Q(x) = X]f=oa'A''
^(v) = Sf=o/^A"' • ^n développant Q(x)f(x) + P(a) suivant les puissances de .y , on \oit que
les ai, fii doivent vérifier le système
(aoao + f3o — 0
a\<xo +aQ<xi -r fii = 0
{a,-\ao + «,--2«i H =0.
car les termes de degrés 0,1, r — 1 doivent s'annuler. Il s'agit d'un système à p + q -+- 2
inconnues, comptant r équations. Puisque p + q 4- 2 > r . il admet donc une solution non triviale
( ao, #1, aqifio; /?i i • • • i /?/> ) (théorème du rang). Si tous les a,- étaient nuls, on aurait P ^ 0 . et
P(a) = Jtrg(jc), ce qui est évidemment impossible car r > p . Donc <2 =^ 0 .
1.3 Supposons a = a/b , avec a G Z. Z? G Z . Alors :
P"
0<
^ £W => 0 < |a<?„ - bp„\ ^ M/?).
Donc lim \aqn — bp„\ = 0 . Or |«ty„ — bpn\ G N. et une suite d'entiers non nuls (car strictement
H—> + OC
positive) ne peut tendre vers 0. Ceci prouve que a ne peut être rationnel.
1.4 Supposons que y/ï + y/5 — p/q avec p,q entiers. Alors :
Par suite y/5 G Q , ce qui contredit le théorème 1.1. Donc a = y/ï. + y/5 est irrationnel.
1.5 Supposons que log10 2 = a/b , a et Z? entiers positifs. On a 10,ogl°2 = 2 d'où 10* = 2 . d'où
10" = 2b . Puisque a ^ 1 , 10" est divisible par 5, donc aussi 2h . Contradiction.
1.6 On sait que P (x) = ( - - x ) g (a) . avec Q G Q [a] . Calculons Q (*). Pour |a I < - :
6w=$ 0~ f)J P{x)=y (em*-^) te***4) •
n-d / k ad+m \
Par unicité du développement en série entière il vient QW= ^ ^ Q"+w-i j, 6fc-»i ) ■**.
~ *=0 \m=0 P J

Correction des exercices 171
En identifiant les termes de plus haut degré dans l'égalité P (x) = I jc I Q (x), on obtient :
n-d
p an =(-1) q } Cd+m-xp q an-d~m.
Puisque les coefficients binomiaux et les <z/ sont des entiers, on en déduit que qd divise pnan. Puisque
p ci q sont premiers entre eux, qd divise an.
77 D
Application : supposons cos — = —, où p et q sont des entiers positifs, premiers entre eux.
n q
Classiquement on a par la formule de Moivre, pour tout réel 6 :
n
cos n6 + i sinn6 = (cos 6 + / sin 6f = 5^C*ï* sin* 6 cosn~k 6.
k=0
En identifiant les parties réelles, il vient cosnd = £«=0 C2m (-lf (l - cos2 6)m œsn~2m 6 (*).
Nous distinguons maintenant trois cas :
77 77
a) n est impair, n = 2k-\-1, fc ^ 2. En remplaçant 0 par — dans (*), on voit que cos — est
n n
k
racine de G (x) = ^ C2m (-1)'" (l - .r2)'" xn~2m + 1.
G est de degré 77, et le coefficient de x11 vaut :
On = J2 C»'" =\((] + 1>" + ^ " L)") = 2"_1-
Or g divise an, donc g = 2,z, avec 0 ^ h ^ n — 1. De même, le terme constant de G est
«œ-
«0 = G (0) = 1. En appliquant le résultat principal de l'exercice au polynôme xnG ( — ] , on
77 1
voit que p divise 1, donc p = 1. Or l'équation cos — = — a pour solution 77 = 3. h = 1,
77 2"
77
et plus aucune autre pour 77 ^ 4, puisque la suite cos — est croissante. Ainsi si n est impair
^5, cos— est irrationnel.
77
77
b) 77 est un multiple de 4. 77 = 4/c, A ^ 1. On remplace 77 par 2k, et 0 par — dans (*) ;
n
cos - est racine de # (x) = £* =0 C% (-1)"' (l - x2)m x2k~
De même qu'en a), H est de degré 2k. et le coefficient de x2k vaut:
Cl2k
v2k
tl 1C tUGllltlGlll Ut
1
= J2 c% = \{q + d2"+u- »") = 2^x-
»i=0
Par conséquent q = 2y\ avec 0 ^ h ^ 2/t — 1. De plus, le tenue constant de H est
77
ao = H(0) = (—l) . Ainsi p = 1. Donc si n est un multiple de 4, cos— est irrationnel.
77
77 77 / 77\
c) 77 = 2 (2k -f 1) ■ avec /c E N. /V ^ 1. Si cos — est rationnel, alors cos — = cos 2— 1
_ ' 77 2k +1 V ?7 /
= 2cos"— — 1 l'est aussi. D'après la partie a), ceci n'est possible que si k = 1. Or
cos — = est irrationnel (théorème 1.1). Donc cos — est encore irrationnel dans ce cas.
6 2 72
77
Il en résulte bien que cos — est irrationnel pour tout entier n ^ 4 , et rationnel pour 77 = 1, 2, 3.
n

172 Théorie des nombres
1.7 Première démonstration : On réalise une approximation diophantienne de a = X^„=o —ï grâce
aux sommes partielles de la série qui définit a (même méthode que pour l'irrationalité de e ) :
^—^ mk2 ^—" mk2 m{n+l
1 1
+ —TT7T + ——
. d'où
k=n+\ '
it—0 N
~ n- w- X—^ 111
0 < m a - m > —y < -^- x -.
^ mk m2" m - 1
Si a = a/b avec a et b entiers, alors m" a — Zwz" ^2k=0 —pr est un entier non nul qui tend vers 0
mk~
grâce à l'encadrement
0
< mn\i - bmn" y —r < t—-r- • Donc a é <
^ mk" (777 - 1)7772"
Deuxième démonstration : Dans l'expression de la fonction de Tschakaloff (1.4). on remplace q par
/772 et x par 7?z. On obtient
+ c^
Tmi(m) = V^ —-r = a ; donc a est irrationnel en vertu du théorème 1.4.
1.8 1) On a V5 = 2<î> - 1 donc 5 = 402 -40+1 et <Ê2 - <È - 1 = 0 ; ainsi le nombre d'or <£>
est bien irrationnel quadratique (il est irrationnel car, s'il était rationnel, >/5 serait rationnel ; on peut
aussi utiliser le résultat de l'exercice 1.6).
2) Supposons ae" + be + c = 0 , a.b.c G Z , tf^O. Alors «é* + Z? + c/é* = 0 . D'où
«eV^e—
^77! ^ 77
(-1)»
= 0.
«=0 /î=0
Faisons intervenir les sommes partielles des séries :
\k
Jt=0
n
£
a+c(-lf
kl
+ b-
y a + c(-\)k
k=n + \
kl
a + c(-lT
+ b
+ oo
*=n+l
*!
nl^^^+tol
A!
< (|a| + \c\)
n+V
en utilisant la majoration de R„ vue au théorème 1.2. Il en résulte que l'entier positif
n!ELo^^
k\
+ bn\
tend vers 0 lorsque n tend vers +œ. Donc Hn — 0 pour
tout entier n assez grand ; pour n assez grand, on a donc :
7z!(fl + c)+^(fl-c)+^(fl + c)+ •••+, "'• |(^+c(-l)"-1) + (^ + c(-iy7) + /?77! = 0.
1! 2! (77 — 1)!
Donc 77|(<7 + c(— 1)") pour tout /? assez grand. Donc a-\-c(— 1)" = 0 pour tout 77 assez grand : pour
77 pair, il vient a + c = 0 , et pour ;z impair, a — c = 0 : ainsi a = 0, contradiction. Le nombre e
n'est pas quadratique.

Correction des exercices 173
+oc / v v» \ +00 _ «jn+l —00 2"
— x" x~ \ \-^ 2.v~ ^ v-v y
1.9 a) /(*)-,(,) = Y. (ït^-ÏT^J = Elî^r = *£,
-2(™-rh)-
(on utilise les sommes partielles comme pour e et /~J #?"" ).
«=o
On remarque que 2" — 1 divise 2" — 1 pour tout k ^ n car
22" - I = (221)2""* - 1 = (22" - l)((22t)2""'-' + (22A)2'-t-2 + • • • + 1).
On a:
(2J -D/UI-P1 - H > ,-f— = (? - 1) V ~r— et
V"/ Jt=0 ~ *=/Z + ] ~
A—/I+1 ~ A=/z^l
Donc :
0<(^-l)/(l)-(2--,)g^-T<(22"-,)^(l + I + l + ...).
On a 0 < <?„/ (\) + £„ < e(«) avec lim e(/7)=0, an,bn G Z. Donc / (i) est irrationnel
(théorème 1.5).
c) Puisque / I - 1 = — g I - ) + 2 d'après a), g l - 1 = \J — est irrationnel.
1.10 La fonction fa vérifie une équation fonctionnelle analogue à celle de la fonction de Tschakaloff
7i(1.4):
f ,, _ 1 v^ (l + fl)(l+^)...(l+^-1)
/fl(ÇA) - 1 -r 2^ „,z(,i-l)/2 X
n=1
= ! + y5 o+^)(i + flg)---(1 + ^)^+1
qk(k+u/2
(l+fl)...(l + ^-1) *+1 , t^(l+fl)...(l+^'-1) , ,+1
1 ^ 2^ „m-ri>,2 A + Z^
^m-rD/2 ' ' Z_^ nk(k+\)/2
k=0 1 k=Q l
aq x
Donc fo(qx) = 1t.ï/„(.v) -j- axfa{qx). c'est-à-dire (1 — ax)fa(qx) = 1 + xfa(x). De ceci on déduit
comme-pour la fonction de Tschakaloff. que si x = a//3 G Q et fa(x) = jul/v G Q, on a, pour
tout entier ». fa(x/qn) = An/{van) .où An G Z . La démonstration est ensuite la même que pour la
fonction de Tschakaloff (théorème 1.4).
1.11 1) Puisque y/d est irrationnel, il existe une infinité de couples (x. v) avec y ^ 0 tels que
0 < i.v — yv d< 1/ \y\ en vertu du théorème 1.6. On en déduit
2 ,.2i - \x^yM ^\x\ + \y\Vd
0 < .v" -dy'\ <
l.vl

174 Théorie des nombres
Or \x - y\/d\ < 1/ |v| ^ 1 => \\x\ - \y\ y/d\ < 1 =* -1 < |.y| - |v| v^/ < 1
=> \x\ < 1 + |v| Vd < |y| + \y\ Vd . Donc 0 < |a-2 - dy2\ < 1 + 2y/d .
2) Comme x, y et d sont entiers, l'expression x~ — dy~ , qui est bornée, ne peut prendre qu'un nombre
fini de valeurs ; en vertu du principe des tiroirs, il existe donc un entier k 0 < \k\ < 1 + 2\fd tel
que Téquation x2 — dy2 = k admette une infinité de solutions. Maintenant, si nous regroupons ces
solutions suivant leurs restes modulo k (qui sont en nombre fini), en appliquant de nouveau le principe
des tiroirs nous voyons qu'il existe ktm et /? tels que le système x2 — dy2 = k , x = m (mod k ),
y = n (mod k ) admette une infinité de solutions.
3) On a (x' - y'Vd)(x" + y"Vd) = x'x" - dy'y" + (x'y" - y'x")y/d . et x'x" - dy'y" = m2 - drc
(mod k) = x'2 - dy,2(mod k). Or x'2-dy'2=k = 0(mod k); donc x'x" - dy'y" = 0(mod k)
et x'x" - dy'y" est un multiple de k : x'x" - dy'y" = k£, £ G Z. De même
x'y" - y'x" = mn - mn = 0(mod k), donc x'y" - y'x" = krj, rj e Z.
Et (x' + y'y/d)(x" - y"Vd) = x'x" - dy'y" - (x'y" - y'x")y/d = k(g - VVd).
4) Multiplions membre à membre les égalités précédentes ; il vient
k\e - dV2) = {x12 - dy'2){x"2 - dy"2) = k2;
donc f2 — d-ïf — l. Il reste à démontrer que l'on peut choisir les couples (x\y) et (.y", y") dételle
sorte que 777^0. Or 77 = 0 =$■ x'/y' = x" /y" , ce qui est impossible car les rationnels x/y donnés
par le théorème 1.6 sont tous différents. Donc l'équation de Pell admet une solution non triviale.
Remarque : La résolution complète de l'équation de Pell se fera aux chapitres 4 et 5.
+ OC
1.12 1) On a a = ^/?i Qi)q~'\ où b\ (n) = 1 si n = 2"\ b\ (n) = 0 sinon.
ii=0
Or\in calcul facile montre que bh (n) = ^. b\ (m\) b\ (1112) • • ■ bi (m h).
Wj+m2H \-mh=n
a) Si l'écriture de n en base 2 compte au moins h -h 1 chiffres 1. il n'est pas possible de trouver
h puissances exactes de 2 telles que leur somme soit n : ceci est évidemment vrai si ces
puissances sont distinctes, par unicité de l'écriture de n en base 2 ; cela demeure vrai si certaines
d'entre elles sont identiques, puisque 2' -f 2' = 2'+1. Donc l'un au moins des b\(nii) est nul
dans chacun des termes de la somme ci-dessus. Il en résulte que bh (n) = 0.
b) Si l'écriture de n en base 2 compte exactement h chiffres 1, il existe exactement h
puissances distinctes de 2, m\ < m2 < ■ ■ ■ < mti> telles que leur somme soit n. On a alors
b\ (m\)b\ (rri2)' • • b\ (mu) = 1. En tenant compte des permutations possibles, on voit que
bh(n) = h\
2) a) L'écriture de nk en base 2 compte exactement d chiffres l. Par conséquent bd (nu) = d\. Et
bh (rik) = 0 pour tout /? = 1, ■ ■ • , d — 1.
b) Il est clair que l'écriture de ?z* H- 1, /zjt + 2, ■ ■ ■ , rik + 2k~l compte au moins d -f 1 chiffres
1. Par conséquent on a bh («* +1) = bh («* + 2) = ••• = bh (m + 2k~l) = 0 pour tout
a = 1,2, ■-.,</.
c) On a nk - 1 = (2k - l) -h 2**1 + ■ ■ ■ + 2*+rf-1 = 1 -r • ■ - + 2k~l + 2k±] + • - - + 2*"h/-1.
Puisque & > 2, il en résulte que /?/, (/?* — 1) = 0.
Par ailleurs, si m ^ 2k~2 — 1 = 1 + 2 + • ■ • +2fc-3, la soustraction de m à /zj. — 1 laissera forcément
intactes les puissances 2k~2 et 2*-1.
Ainsi Z?a (nft - 1) = /?/« («Jt - 2) = • ■ • = bh (nk - 2k~2) = 0 pour tout h = 1, 2, - • • , d.

Correction des exercices 175
3) Supposons a algébrique. Il existe alors des entiers «o, fli, • ■ ■ , ad, avec aj ^ 0, tels que :
+oo / d \
y^ ( ^2fahbh («) j ^~"+«o = o.
/2=0 \/z=l /
En introduisant les entiers iik de la question 2, il vient, compte-tenu de 2b et 2c :
nk-2k~2-l / d \ d +oo / d \
^ 5^aAfe (71) ) #~" + ^fl/z2>/, (nk)q~nk + fl0 = - XI ( 5Zfl*fc* W ) *7"'
n-0 \/i=l / /i=l «=Mjt+2*: —1+1 \/i=l /
De la majoration bh (ri) < d! on déduit, en posant M — |#i | + • • • + \cid\ et en tenant compte de 2a ■
n=0 \/î=1
J2 J2 a"b" («) «""+«rf!-?-"* +
■ flo
^Md<
kl"
kl-i
On multiplie par \q\'lk. de telle sorte que la partie gauche devient un entier A* :
Ak =
»*-2*-2-i / rf
„=0 \A=1
J2 [52ahbh(n)\q-"+nk+add\ +
- aoq
^Mcl
ik!l
kl-i'
On déduit de cette inégalité que limjt->oc A*. = 0, d'où A* = 0 pour tout k assez grand.
Il en résulte que, pour tout k assez grand :
nt-2*-2-i / d \
add\ = - ^2 ( ^2,cLhbh 00 I #~"
—7j+7ijt ni
^ k - fl0Ç S
d"où on déduit que q" divise cidd\ pour tout A' assez grand. Cette contradiction prouve que a ne
peut pas être algébrique. Il est donc transcendant. Ce résultat, obtenu ici de manière élémentaire, sera
généralisé au chapitre 12 par utilisation de la méthode de Mahler (théorème 12.5).
SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 2
2.1 Puisque ito = [l/xo] -r 1. on a «o ^ 1/ao + 1 < uo + 1, donc 1 < m0*o ^ 1 + *o . Il en
résulte que 0 < x\ ^ a"o ^ 1. On peut recommencer et 0 < a*2 ^ x\ ^ 1. Par récurrence, on obtient
immédiatement 0 < a„^-i ^ xn ^ 1 .
2) Puisque la fonction "partie entière" est croissante, et que x„ > 0 et (xn) décroît, la relation
un = [I/a'o] + 1 montre que un-\ ^ u„ . V/z G N.
Or uq = [1/ao] + 1 ^ 2 car 1/aq ^ 1 , donc un ^ 2, V/z G '.
3)
1 *i 1 1 / 1 jr> \ 1 1
Ona ao = — + — = — + —— + —=— + +
UQ KO UO U0 \«1 U\ J "0 UqUi
UqU]
Xn+l
Par récurrence, il vient a*o = : h • • • H h
UO Uolll UQUi . . . Un Uolli . . . Un
Or 0 < xn+i ^ 1 pour tout n G N, et uoin ...un ^ 2"^1 (questions 1 et 2).
~°° 1
Donc lim a"~ /uqui ... un = 0 et a'« = y .
n^+oc ^—' t/0Z/i . . . lln

176 Théorie des nombres
4) Supposons que l'on ait xo — V^ , avec vn croissante, vn G N \ {0,1} . Alors
71=0
+oo , +oc
1 1 X~^ 1 1 *l ^ / ^ X"^ 1 • N
xo = 1 > = 1 . On a 0 < xx ^ > = xo car (vn) est crois-
vo vq ^—f vi... v„ vo vo ^—( uo ... u„
7Î = 1 7Z=0
1 x'
santé. Par suite vo = 1—- => 1/xo < uo ^ l/*o + 1 - Donc fo = [1/jco] + 1 = wo et la relation
Xo A"o
x[ = i>oxo — 1 entraîne x( = x\ . Par récurrence, le même raisonnement montre que vn = un , pour
tout «GN.
2.2 On approxime xo par ses sommes partielles :
» -. +oc
MOWl • • • W„Xo — UqU\ . . . Un > = >
^ l/0Ml ...H* ^ M„.
Puisque w» ^ 2 pour tout n G N , il vient
k=l "«+1 • • ■ "«+*
" i 111 2
0 < U0U] . . . UnXÇ) - UÇ)U\ • • . Un V^ ^ (1 + - + ^ H ) = •
^ M0Wl ■ ■ - Uk Un+1 2 2- W„+i
Puisque m„ —» +00 , xo est irrationnel (théorème 1.5).
2.3 1) On a pour tout n , qn ^ an/(an — 1) < #„ + 1 ,
d'où anqn - qn ^ a„ < anqn ~ qn + a„ — 1 . Par suite :
pour tout n G N, a„ > 1 + l/qn et an ^ 1 + l/(#„ — 1) si #„ > 2 .
Si ç„ = 1 , l'inégalité à démontrer est évidente, si bien que nous excluons ce cas.
Diaprés (2.8), an = an+\{\ + l/qn) , de sorte que les inégalités précédentes entraînent
(l + l/qn+i) (l + l/<?«) < 1 + l/(tfn - 1) ■ Après calcul, il vient ql - \ < qn+\ . Comme <?„
et g«+i sont entiers, on a bien ^ ^ #n_j_i .
2) Si pour tout n G N on avait qn = 1 , le fait que an > 1 pour tout n G N et l'égalité (2.9)
entraîneraient o?o > 2n+1 . Contradiction en faisant tendre h vers l'infini.
ry ryll — N r,ll — N
3) Soit N tel que qN ^ 2 . L'inégalité #„+i ^ #~ montre alors que qn ^ qù ^ 2~ , Wn ^ N .
L'encadrement (obtenu dans la question 1) :
1 H < an ^ 1 H r entraîne lim an = 1
tf« ^» - 1
n—»-+oo
Donc lim TT ( 1 H ) = ao en vertu de (9), et le produit infini converge vers ao .
4) Puisque #'„+1 ^ q n , on a ao ^ JT ( 1 H—-^- ) . Or ce produit infini se calcule pour qf0 ^ 2 de
la manière suivante :
+00 , , \ +00 / \ +00
-1-00 , 1 \ -1-00 / \ rcxj
n(i+iV)=nh-^r /n
n=0\ q 0 / B=0 v ^ 0 / »=o
7/2n y 1
10 / 1
On a donc (q'0 — 1)cxq ^ ^'0 si qf0 ^ 2 , et comme cette relation demeure vraie si q\ — 1 , on a
(#'0 — l)ao ^ q'o , pour tout ç'() G N\ {0} . Donc ç'o ^ «0/(^0'— 1) • Comme de plus ao > 1 + — ,

Correction des exercices 177
on a aussi
0+ 1 > -, donc q 0
aa — 1
1 \ +°°
Posant alors #o = ( 1 H ai , on a «i
<7o
ao — 1
= (/o-
et on obtient par le même raisonnement, par récurrence, q n = qn,Wn G -
2.4 1) Le raisonnement est le même que dans l'exercice 3, question 4. Si x n'est pas une racine de
F unité, on a :
(i-x)n(i+^)=(1"ff^(1~.f+l) =o-^)o-o/o-')=i-^-
jt=o lu=o v1 A' y
La relation est donc vraie par continuité pour tout x complexe. On en déduit immédiatement que
IXfc!do(l +*2 ) ~ 1/0 — -Y) pour tout v GC vérifiant \x\ < 1 . Si qn+\ = ql pour tout n ^ N ,on
a
+oc / i \ +oc / i \
a,v = TT ( 1 H ) = TT [ 1 h—— | = —- g Q d'après ce qui précède, donc
„uv qnj ^v ^; ^v-i
2) Si û?o est rationnel. a„ aussi, pour tout ;z .Posons an =an/bn , avec <7„ et bn premiers entre eux
( alt > bn car an > 1 ). L'égalité
a,, = I 1 H an-i entraîne —
— ) OLn-
qn ) ' b„+\ (qn -t l)b„ '
donc il existe dn G N* tel que qnan = an+\dn et (qn + \)bn = bn+\dn (car an+\ et Z?„+i sont
premiers entre eux). Par soustraction, il vient q„(an — bn) — bn = dn(an+\ — bn+\) > an+\ — bn+\ •
Mais q„ ^ a„/(a„ — 1) => <?„(<7,2 - £„) ^ <7„ ; donc an - bn ^ fl/I+i - bn+\ . La suite (a„ - bn) est
une suite d'entiers positifs, donc il existe k G N tel que o„ — bn = k pour n ^ N . Reportant dans
l'égalité q„(a„ — b„) — bn — dn(an+\ — bn+\), il vient q„k — b„ = dnk , donc b» est divisible par k ,
et an aussi car an — bn = A'. Puisque a„ et Z?„ sont premiers entre eux, il en résulte k = 1 . Donc
an = anj{an — 1) : par définition de #„ , on a donc q„ — an pour n ^ N , et puisque qnan = an+ydn ,
4» = ##i+idii > Çn-r-i pour n ^ N . Or #II+i ^ ql, donc g„+i = ql, V/i ^ N .
1 1 +oc 1
2.5 On a a = — x r = V^ — pour p G N, p^ 2.
Ceci est lé développement p -adique de a si p ^ 3 . Par contre, si p = 2 , les "chiffres" c„ vérifient
cn = 1 = p — 1 pour tout n G N* . donc ce n'est pas le développement 2-adique de a . En fait, si
p = 2 . a = 1 + Y2Î^i 0 x 2~" = 1.0000... est le développement 2-adique de a .
i * o 27~8 ^ 8 i.156 ,,154 + 2
" /? = -^ = 3 + - = 3 + -y=, + - —
o 6 1 / 5\ „ 6 1
On retrouve 35/9 et on voit apparaître la périodicité :
=>♦!
1 35
+
1
14
"9"
0 = 3,61361361361... = 3,61361 en 7-adique.

178 Théorie des nombres
2.7 Si e était rationnel. ch\/2 = (ev2 + e v2)/2 le serait aussi. Or
f 111 1
1 1(3-2) l(3-2)(5-3) 1(3-2)...(2ii-1)iz '
C'est le développement de chy/î en série de Engel, avec u„ = (2n — \)n pour n > 1 . Donc ch y/2
est irrationnel (théorème 2.4) et e aussi.
2.8 1) Soit xn la plus petite racine positive de l'équation X2 — 2t„X + 1 = 0. Alors
x„ = t„ — y/tn — 1 • Mais xn est aussi la plus petite racine positive de 1"équation tnX2 — 2t^X+tn = 0 .
donc xn = (itl - \/Atfl - 4tf) /2t„ = (2r2 - 1 + 1 - y/(2t^ - l)2 - l) /2t„ . Puisque
t„+i = 2tl - 1 , on a xn = t„ - y/fi - 1 = (l + f„+i - ^/V2+1 - l) /2în .
2) L'égalité de 1) entraîne, par récurrence :
1 , 1 ^ 1 -v„+i
2f0 2f02fi 2r0...2r„ 2r0... 2în
Or on a 0 < xn ^ 1 car ,y„ ^ \/tn . Comme tn croît et tend vers +oc , on en déduit
lim x,2+]/(2fo...2r„) = 0 et
«—>+oo
*0=/u_y^=^+^+...+_2_+....
Par unicité du développement en série de Engel. on voit qu'il s'agit du développement en série de Engel
de A'o .
3) Prendre r0 = 2 (^ - 1 = 3), r0 = 3 (y^ " * = 2v^) » >o = 8 (^ " 1 = 3>/7).
^o = 9(V^rT = 4v/5)--
En fait, on peut exprimer y/ri à l'aide de séries de Engel si n n'est pas un carré parfait ; ceci est lié à
la résolution de l'équation de Pell (exercice 4.13).
2.9 1) Puisque qn = [an] + l , on a q„ — 1 ^ a„ < qn , et l'égalité
111 . 111
— = 1 entraîne > 1 ,
an q„ an+i qn — 1 qn qn+\
d'où qn+\ > ql — qn . Comme qn est entier, on a bien q„+\ ^ q;x — qn + 1 .
2) On a qn+\ — q„ ^ {qn — l)2 . Comme qo ^ 2 ( ao ^ 1 ), on en déduit facilement par récurrence
que (qn) est strictement croissante. Donc qn —*■ +oo, et an aussi car qn — \ ^ a„ . Or on a
111111 11 11
y= — = — + — = — + — + — = ... = — + — + ... + _ + .
ao <?o #i (/o q\ «2 <?o <?i (fa tf/i+i
D'où y = y^ — . Il reste à démontrer l'unicité.
n=0 q*
+OC 1
Supposons donc que y = ^J — , avec #'II+1 ^ #'^ — q n + 1 .
n=o q n
1 A1 1 1 1 ^ 1 1
Posons y = — . Alors — = —— H—r , donc — > —— et q -0 > ao .

Correction des exercices 179
D'autre part q'n+l - 1 ^ q'n(q'n ~ ]), donc — < - — .
Q n+l l Q n l Q n
En sommant ces inégalités de 0 à +co , on obtient 1/ao ^ l/0?'o ~ x) » donc ao ^ qf0 — 1 ; ainsi
tf'o ^ ao + 1 < #'o + 1 - donc q'0 = qo . Par suite a\ = a\ , et par récurrence on obtient de même
q'n = qn. pour tout /z E N.
3) Montrons d'abord que y est rationnel si qn+\ = q~ — qn 4- 1 pour n ^ N . Dans ce cas
on a = — — pour n ^ TV. En sommant de n = N à +oo, il vient
qn+i — 1 #„ - 1 <?„
1^1 1^1
V^ — = . Donc — est rationnel, et y aussi.
~. Qn Qn — 1 oln
aN ^—-; <?„ qN — 1 <*N
71 — N
Supposons maintenant que y E Q, y = — . L'égalité y = — + - - - + + —
q qo qn-i 0Ln
montre que — = , avec k„ E N. Comme — = — + , il en resuite
an qqo---q,i-\ OLn qn «n+i
qqo • • • qn-i + h^i = k„qn(*). Or par définition de qn , on a an+\ ^ qn+\ - 1 ^ ql - qn . Donc
—? " ' ^ (frfe - 1) et qqo... qn-\ ^ kn-\{qn - 1). Reportant dans (*), il vient k„qn ^ kn+\qn .
*n + l
Donc (A'7Z) décroît, il existe donc un entier k tel que kn = /: pour tout n ^ N .
1 * 11 1/^1 1 \
On en déduit = = = — ( 1 .
tfn-ri qqO' — qn q>i ocn qn \qn an+\ J
D'où an+i = q„(q„ - 1). Or all+1 > ^n+i - 1 , donc qn+x ^ ql - qn + \ pour n^ N .
Comme qn+i > <?2 - qn -r 1 , on a <?„+! = ç2 - <?„ + 1 pour n ^ N .
4) Posons qn = 22 — a ; alors :
tfn+1 - 4,7 Tçn= 22"~1 - a - (22""1 - la 22" + a2) t22"-fl = (la + 1)22" - 2a - a1.
Puisque a ^ 0 . pour 77 ^ N on a <5r„_i — #2 -^ qn ^ 2. Donc 5^,"^ — est une série de Sylvester
qui représente un nombre irrationnel, d'où le résultat.
+ OC
Remarque : Ce résultat généralise la démonstration de l'irrationalité de Y^ l/(22 — 1) donnée à
n = \
l'exercice 1.9. Il demeure vrai pour a E 7L (exercice 8.9). En fait, tous ces nombres sont transcendants ;
on peut leur appliquer la méthode de Mahler.
2.10 1) « = 3.300330000000000330033000...
2)Pourtout n ^ 1. lesnombres 3.4", 3.4"+ 1. 3.4" + 2, ■■■ . 3.4"+4'I_1 ont au moins un chiffre
différent de 0 ou 1 dans leur écriture en base 4. Ainsi le développement décimal de a contient-il des
suites de zéros consécutifs de longueur arbitrairement longue. Comme par ailleurs il contient aussi une
infinité de 3. il ne peut pas être périodique et a est irrationnel (théorème 2.2).
N
3) On a /(.y) = lim Pn (a), où Pn (a) = ]Jk = 0" (l + y4*) = ^akxk. avec ak = 1 si
n~~x k=0
1 +oc
k E E et ak = 0 si k <£ E. et N = - (4,z-rl - l) . Ainsi f (x) = ^fljt-v* = ^/.
k=0 nÇE
4) f(x)8(X)=n (i+.v4") (i+x2-4")=n (i+,*■+.v2-4"+.v3-4").
/i=0 n=0
±=l-.r4"+1 .. 1-xU-x*2 l-.v4"+'
Ainsi / (a) g (x) = T[ ' = lim
1 - A*4" n—roc 1 - X 1
H=0

180 Théorie des nombres
Or par le même raisonnement que dans la question 3, on voit que g (a) = VJ .y" .
n£2E
.3030000030300...
Il en résulte que - = 3 ^ 10"""1 = 0. :
SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 3
3.1 En utilisant le théorème 3.1, on a
PnQn-l ~ Pn-\Qn = (bnPn-\ +attPn-2)Qn-\ ~ Pn-1 Q>n Qn-\ + Cln Q„-2)
= -an(Pn-iQn-2 - Pn-lQn-l).
Donc par récurrence :
PnQn-l ~ Pn-lQn = (-1)^2 • ■ -^(ftô-l " P-lQo) = (-1)""%^ ■ ■ ■ fl„
La relation (3.4) est donc démontrée. Et on a :
= P!L_P!1Z± = PnQn-l -Pn-lQn = (~ l)""1 ^2 • ■ ■ fl„
"-1 G» Q«-i G»G»-i QnG«-i
3.2 Utilisant la relation (3.5), on a :
" n / i\A —1
R„ — Rq = 2_^(Rk — Rk-l) — /_^ '
*=1 k=l QkQk~l
d'où le résultat.
3.3 Calculons les dénominateurs des réduites de la fraction continue —
bo — a\ + b\ — an + b2 — ■ ■ •
On a
Go = 1; Qi = bo\ Q2 = (a] +b])Q] - cuboQo = b\bo\ Q3 = (a2 +b2)Q2 - a2b\Q\ = b2bibo.
Par récurrence, on montre facilement que Qn = bob\ ... bn-\ . En utilisant le théorème 3,
>"-% ..
QnQn-l
+0° (—iy!_1A A
on en déduit que la fraction continue est convergente, de valeur Y^ * " '—- , avec
n=\
A\ = oo, An = — an-\bn-2 pour n ^ 2 . D'où le résultat.
3.4 1) Montrons que (v„) est une suite de Cauchy :
n
Vn+p ~ Vn — ]J(1 + uk) x [(1 + W„ + l)(l + Un+l) • • • (1 + Un+p) — 1]
n / p p-\ p \
Un+iUn+j + • ' • + Hn + lMn+2 • . • Un+p

Correction des exercices 181
Donc
n / p p—l p \
vn\ ^ Ha + iiiad y,!"»+'■ i+Y, J2 iM»+'i iM»+>i + ■ ■ ■ )
k=0 \i = l 1 = 1 7=1 + 1 /
i=l7=1+1
Si nous posons wn = n*=o(* + lM*D' on a donc \v»+p ~ VA ^ |w;n+p —iu„|. Or
Log w„ = S"=oL°g 0 + Kl) ^ S£=o Kl car L°g (1 + *) < * . Vx > -1. Donc la suite
Log wn , croissante et majorée par Xlïïa Kl » converge. Ainsi (u>,7) converge; c'est donc une suite
de Cauchy. Pour tout s > 0, il existe N tel que n^iVet/?^0=> \wn+P — von\ < s . Donc
|u/i+p — ^« | ^ e . Par suite (u„) est de Cauchy : elle converge dans C .
2) Puisque X^tJn Kl converge, on a lim w„ = 0. Soit iV G N tel que \u„\ < 1/2
H—> + 00
pour tout n ^ iV . On a |E[La/(1+^)| > TCUvC1 " Kl)- 0r ElLa^1 " Kl) a une ^
mite finie non nulle lorsque n —> +oo , car Log (n*=w(l — KD) = X!/UwLog(l — |m*|)
converge par le critère des équivalents (la série ^^^Log(l — \uk\) est de même nature que
la série — Y^ttSf K| ) vers une limite £ ; donc n^=Af(l — K|) —> ^ 7^ 0. On en déduit
|nS(! + «*)| ^ e£ > donc 11^(1 + n*) # 0. Ainsi n£^(l + "*) ne Peut être nul <lue si
un des facteurs (1 + i/o); (1 + mi) > (1 + "Ar-i) est nul.
J/>+oc A _ /*+oo 2
' t 2e *dt = 2 e x dx grâce au changement de variable x = \ft.
0 ./o
/"r3C -,2
Classiquement, l'intégrale de Poisson I = / e à se calcule de la façon suivante :
Jo
r+oc 2 r+oc 2 /»—se /-Tx , 2
I" = I e~x dx / e~v dv = / / e~"r e-> Jy dy . Passant en coordonnées po-
Jo Jo _ Jo Jo
laires, on obtient I2 = /' /" e~^r dr dd = [0]^ • [~e~r2]t°° = ^ ; donc / = ^ et
Je=oJr=o 2 4 2
ri +DO r—n* \-2A
3.6 Par définition Ji (x) = — Y" }—- —- . Or
>-a+t+i)-a+t)rG+t)-(ï+')G+t-i)rG+'-o--
=G+fc)G+t-i)--^rG)=^T(2fc+i)(2fc_i)-"3'i'v/^-
D'où
îw ^L[^nunm_n...M V^A ^ (2fc + l)l
,-i X2^ 2(-l)*A-2t+1
= \ — x 2 sin.v.
..3. 1
Jfc=0
Démonstration analogue pour J_ 1 (x).
3.7 On cherche des solutions de (3.23) sous la forme v = xv J2j^ anx" = SS anx"+P •
En dérivant terme à terme et en reportant dans l'équation, on obtient : Wn G N,
(y — n t 2){y — n + \)an+i — {v t n + 2)an^-2 — cin — v2cin+i = 0 ; pour les termes d'indices
pairs, cette relation s'écrit
—ciip
aip+2
4(/>+l)(i/ +p + D"

182 Théorie des nombres
En prenant ao = 1/2T(j/ + 1), on obtient la fonction de Bessel Jv .
3.8
r , x * ,, /xy-ipz (-x2/4y rx\v+]s^ (--*2/4)"
«=0 H—0
- fxY~' /v (~t2/4)" V (--vV4)"+1 \
V2/ l^n.TO + n) ^ n\T(v + n + 2) j
\n=0 n=0 /
= (X-V (—+r (—' l ) (=£)')
= x \2J \T(v+l) + JJ nlT(v + n + l) \TJ ) = 'x~Ux)-
La principale propriété utilisée est T(v + 1 ) = vT(v).
3.9
,+oc
M„W - g) g kT(p + n+k+l) (f )
/.x\v+" 1
= U) Vf . ■n^W-
\2/ T(^ + n + 1)
avec R„(x) = g fc!(v + n+ t)(„ + ll + i _ d. ..(y+ „ + 1} ■
Jt=l
2 +QQ • 2 \ *
Pour « assez grand, v + n> '— et |i?„(.v)| ^ V^ ( -rr r ) •
Donc |*,C*)| < . ^+ "> . :
1 — x2/4(v + /z)
/A'X1'-*-" 1
par suite limn^+oc Rn(x) — 0 et /„-„(*) ~ ( - ) ^z—; —rr .
+oc \2/ 1 {V + 77 + 1)
En particulier, /,,+n(A") 7^ 0 pour « assez grand. Supposons maintenant que Jv{x) = Jv-i(x) — 0
pour un x / 0. Alors par la relation de contiguïté, Jv+i(x) = 0 = Jp+iW = • • • = 7„+,z(.v) pour
tout «.Donc ./,,(*) et J^-ifx) ne sont pas simultanément nuls.
3.10 Partir de la série harmonique alternée
;z=l ;z=0
avec ao — 1, cin = —n pour n ^ 1. /3,z = /z + 1 pour tout n , et utiliser le théorème 3.4.
3.11 1) La suite (Fn) est une suite récurrente linéaire du second ordre, d'équation caractéristique
r2 = r + 1 , dont les solutions sont le nombre d'or <ï> = (1 + \/5)/2 , et ^ = -1/$ = (1 - \/5)/2 .
Donc Fn = A$" + £^" . Comme F0 = 0 et Fi = 1, on obtient Fn = (#" - Wn)/V5 .
2) Soit Rn — Pn/Qn la n -ième réduite de cette fraction continue. On a Q-i = 0> £?o = 1 , et
2n+i = Qn + ôn-i (théorème 3.1). Donc Q„ = F„+i pour tout n ^ — 1 . Il en résulte que Qn
est croissante et tend vers +00 (car Fn ~ <Ê>'2/\/5 ) ; la série de terme général (— l)"_1/2»Ô»-i
+00

Correction des exercices 183
conveige donc par le critère des séries alternées, donc la fraction continue est convergente (tnéorème
3.3). Comme visiblement a = 1 + 1 /a , on a a2 — a + 1 , donc a — <î> ou a = — l/M* . Comme
a > 0 , a — $ et
i 1 1 1
:1+i + T + ...ï + ...
3) En utilisant le théorème 3.3, on obtient immédiatement
/z=l
3.12 1) a) On sait que Q„ = cnQn~\ + Qn-2 (th. 3.1). Puisque cn > 0, Q„ > Qn-2 : par conséquent
QnQn-i > Qn-iQn-i : la suite Q„Qn+\ est croissante.
D'autre part si Qn-2 ^ Qn~\ , l'égalité Qn = cnQn-\-\-Qn-2 implique Qn ^ (l+cn)Qn-\ . Si, au
contraire, Qn-\ ^ Qn-1, elle implique gn ^ (l+cn)<2n_2 et, a fortiori, g„ < (l+cn)(l+c,z_i)2n-2 •
Donc, partant de Qn , suivant les cas, on arrivera par récurrence à Qn ^ (l+c«)(l+c„_i)... (1 +ci)<2o
ou Qn ^ (1 + cn)(l + cn-\) • • • (1 + c2)gi * donc Qn *k C nï=i(l + <*), C = go dans le 1er cas,
C = Qi/(l + ci) dans le 2ème.
b) L'égalité Qn = cnQn~\ + Qn-2 implique Qn - Qn-2 = cnQn-\ • Pour n pair, n — 2p ,
il vient Q2p — Ô2P-2 = c^pQip-i , et pour n impair, g2p+i — Q2p-\ = c2/>+i<22/J. La suite
Ô2p+i est donc croissante, donc Q2p+\ ^ Q\ — cv . Reportant dans l'égalité pour 72 = 2p , il
vient g2/? — (?2/>-2 ^ c2pCi , d'où Q2p — Qo ^ c\(c2 -f C4 -f ■ ■ ■ -f c2/>) par addition ; la première
inégalité en résulte car Qo = 1 . Démonstration analogue pour la deuxième.
c) Si la série X^n=^ c« converge, l'inégalité On ^ C fl/UiO + a) entraîne
;z «
Log Qn < Log C + ^Lo2 C1 + <*) ^ Lo§ c + Xe*'
jt=i k=i
Donc Log 2,z est majoré, ainsi Qn ^ M pour tout n G N. La suite QnQn-\ ne tend donc pas
vers -foo , donc la série de terme général {—l)n~ya\...an/QnQn-\ = (— l)"~l/QnQn-\ diverge,
puisque son terme général ne tend pas vers 0. Donc la fraction continue diverge (théorème 3.3).
d) Dans le c), on a montré que
— , — _,_ — _,_ converge ^> J^Z^ c« diverge par contraposition. Il reste à montrer que
C\ ^ Ci ' "" Cn ' '"
V— oc A. 111
V„_i cn diverse => — — — converge,
ci -r c2 cn -î
Or, si la série 51,7=^ Cn dherge. Tune au moins des séries c2 + a -f • • • + c2p -f • ■ • ou
ci + ci — • • • -f c2p-i -t- • • • diverge (séries à termes positifs). Donc d'après le b), l'une au moins
des deux'suites Q2p ou Q2p-\ tend vers +oc .
On en déduit que limn_>+oc Qn Qn-\ = +oc . Par ailleurs. Qn Qn-\ croît (question a).
Donc la série de terme général (— l)"-1#i .. .an/QnQ»-\ = (— \)n~l / QnQn-\ est une série alternée;
elle converge, ainsi que la fraction continue.
^x T r • Cl\ Cl2 , . , v 1 1
2) La traction continue — — est équivalente a — —
b\ -r b2 + ■ • • H ci + c2 + • • •
ciiai... #2/2-1 q^Qa ... a->n
avec c2n = b2n , c2n^\ = b2n^\ .
a2a a2n ci\ai... a2n-\
Donc c2„c2„_i = bznbzn-ri/aim-i et cm-icin = b^-ib^/o^ .

184 Théorie des nombres
De l'inégalité y/âb ^ (a + b)/2, il résulte c2n + c2n+\ ^ 2^/binb2n+i / ciin+\ et
C2n-1 + C2n > 2^b2n-\b2n /Cl2n •
En sommant les inégalités, il vient
ci + c3 + c4 + • • • + c2„ + c2n+i ^ 2{y/b2bi/ai + yjb^ja^ + • • • + \A^2«+1/^+1) et
Cl + C2 + C3 + • • • + C2n-1 + C2n ^ 2( ^/Z? i Z?2/«2 + yfb^ÂJcLA + • - ■ + \/b2n-\b2n /Cl2n) . Puisque
la série de terme général h„ = y/bnbn+i/an+i diverge, l'une au moins des séries extraites u2n ou
W2n+i diverge (séries à termes positifs) ; en vertu des inégalités précédentes, la série X},z=d Cn diverge,
et la fraction continue converge en utilisant le critère de Seidel.
3.13 Puisque an et b„ sont entiers, on a * — ^ 1 pour n assez grand. La série V * — -
V O-n V an
diverge donc, et le fraction continue converge en vertu du critère de Pringsheim. La démonstration
de l'irrationalité de sa valeur est analogue à la démonstration du théorème 3.8, mais plus simple. Soit
an = ~ -^— . Puisque tous les termes sont positifs, on a an < ~ ^ 1 pour tout n ^ N .Si
bn + 0»+i H bn
,..,,.. A2 clk A3
a\ était rationnel, a^ le serait aussi ; posons a^ = — ; alors a^ = => &n+i = — \
A\ bN + aN+i A2
puis aN+\ = =>• «a/+2 = —^ .... La suite A„ est une suite d'entiers positifs, stricte-
0JV+1 + # W+2 A3
ment décroissante car an < 1 pour n ^ N ; contradiction.
L'irrationalité de e résulte de ce critère et de (3.6).
3.14 En remplaçant x par ix dans (3.30), on obtient
tan(/x) = / thx = 4" ~^r V , d'où
1 + 3 + 5 H
2 2 2
X X X X
thx = -
1 + 3 + 5 + • • • 2« + 1 + • • •
Soit x = a/fc £ Q* . En procédant comme dans la démonstration du théorème 3.9, on obtient
22 2
, a a a a a
thx = th
b b + 3b + 5b + --- {In + \)b + ■ ■ ■
Le théorème 3.8 s'applique et th x est irrationnel pour xGQ*.
Si ex était rationnel pour un x G Q* , alors e2ï = (eA)~ le serait aussi, ainsi que
th* = (e2x - i)/(e2x + 1). Donc ex £ Q si x G Q* .
3.15 Si x r£ 0 et /„(*) = 0 , on a en vertu de (3.29) :
222
JL Ji> -As Jir *™k 1 * V
— = 0, d ou
2v - 2{v + 1) - 2{y + 2) - 2{y + 3)
2 ,2 2
= 00 , d'où
2(p + 1) - 2(v + 2) - 2(ï/ + 3) - •
2^2
X X X
{V + } ~ 2(v + 2) - 2(1/ + 3) - 2(1/ + 4)
Si x2 et v sont rationnels, x2 = - et ï> = — , cette égalité s'écrit
c ûJ ûd2 ad2 flJ
(dt } = 2b(c + 2d) - 2(c + 3d) - 2b(c + 4d) - 2(c + 5d) '
Cette égalité contredit le théorème 3.8, donc x2 est irrationnel si v est rationnel. En particulier, tt2
est irrationnel car tt est un zéro de J\_ (x).

Correction des exercices 185
3.16 1 ) On a immédiatement :
+oc /7»2+» +oo «2+2rc + l
Fq (qx) + qxFq {q2x) = E ^^ + E ~T^+1
+00 /7»2+" +oo //ffl + 1)2 (\ — nn + l\ +oc /7"2+« +oo nn2 +oo „"2+"
= E f-^x* + E , \ J*"+1 - E ^*" + E 7^rxn - E ^r*"
n=0(q\q)n n=0 (qiq)n+l n=0(q'>q)n n=\iq\<Un »=lW^)„
+00 „"2 +oc. >*2
= i + E -r-^x" = E 7^-r^n = *i (*)-
n=i te;?)» «=0 faq)»
2) Remplaçons x par qn~lx dans la relation fonctionnelle précédente; il vient, pour tout entier
n > 1 :
* * Fq (q»x) Fq (q"x)
Fq (q"x) 1
Par conséquent on a 7^ -r- = ;—,. x (*).
F, («->,) Fg(g»+1x)
Lorsque « est pair, (*) s'écrit:
f, (r"*) 1 ^ -, M?2"*) _ 1 _
,2»+I \ O 1 x
Fs (q2".ï) </"* Fq (q*'x)
Lorsque n est impair, (*) s'écrit :
f, G?2'-1*) 1 ^ „M<?2n+'*)
<^q
9 Mç^x) q-+9 * F, («*+«*)
Posons c>n = et o;!+i = —. Les relations ci-dessus s'écrivent :
q"x qn
1 1
Oiln = ; l «2/1+1 = ;
Cln + a2n+\ C2n+\ + #2,2+2
3) Le théorème 3.7 s'applique :
a) D'abord, on a lim,i^+oc Fq (cfx) = 1, donc a„ G C pour n assez grand.
b) Puisque \q\ < 1. il est clair que \c„\ ^2 pour 77 assez grand.
c) La série E converge car \q\ < 1.
cnc„+i
d) Enfin, «2,3 ^ ç"x et ajn-r-i ~ tf" lorsque w —* +oc. Donc limw_>+oo —-— = 0.
c„
On a donc pour tout x complexe non nul :
Fq {qx) _ 1 1 1 1 1 1
Fq(x) l-t-l-t-l+ 1 +1+ 1 +
En transformant la fraction continue comme dans le théorème 3.5, on obtient :
Fq (qx) _ J. qx^ <£x^ #^y <^v q5x
Fq (x) ~ 1 -r 1 + 1 -r 1 + 1 + 1 +

186 Théorie des nombres
Cette expression demeure vraie pour x = 0. En prenant 1"inverse, il vient enfin :
Fg M
Fq (qx)
1 +
3 4 5
1 x q x q x
qx_ q~x
1+1 + 1 + 1
1 -h
SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 4
4.1 Soit cxq = [co, ci, • • • , cw,• • • ] le développement de ao en fraction continue régulière ;
supposons que ao = cq -\—- — , avec cn G N\{0} , Vn ^ 1 ; alors 0 < — -7 < 1
c\ + • • • c'n + •
et donc c0 = [ao] = co .
On en déduit que [ci, C2,
et le même raisonnement montre que c[ = c\ , ci = ci,
c[ + ci + • •
On en déduit que [ci, c2, • •., cn, ...] = — —
cj h— q +
4.2 Supposons que l'on ait, au contraire,
a0 -
Qn
>m«
ao -
fin
Qn+l
>
1
2G;+,
pour un entier n G N. Puisque ao est irrationnel, l'égalité ne peut avoir lieu. Donc :
a0
Qn
1
2Ql
ao
Pn+l
Qn+X
>
2QU
Puisque ao est toujours compris entre Pn/Qn et P„+]/Qn+\ , on a
"Pn+l Pn
Qn+l Qn
Pn+l
Qn+X
«0
ao -
Qn
Donc
\Pn+lQn ~ PnQn+\
1
>
1
1. fj_ 1
(— l
QnQn + \ QnQn + \ 2
Par suite 0 > (Qn+i — Qn)2 , ce qui est impossible.
A ■» O • 1 1 1
4.3 Soit oln = cN H
CN+\ + • • • Cw+7"-l + Ca? + 7 + CN+T+] + '
Puisque cu+t = cn pour tout n ^ iV , on a ## = cjv +
1
1
1
En utilisant, classiquement, le théorème 3.1, on obtient
Pn+t-2 + cxnPn+t-i
cn+i H ca/+j_i + aN
<XN
Qn+t-2 + cxnQn+t-
donc Qn+t-\(*n + (Gn+r-2 — Pn+t-\)&n — Pn+t-2 = 0, et a^ est irrationnel quadratique réel ;
soit co = VA , où A = {Qn+t-2 — Pn+t-i)2 + 4gAH-r-i^W+r-2 ; il existe des rationnels p et q
1 11,
tels que a^ = p -\- qco . Mais ao = Co H . . — , donc
ao ■
Pn-2 + cxnPn
ci + • ■ • Cn-\ + aN
a + bco {a + bco){a' — b' co)
a,b,a',b', G '
Puisque co2 = A , on a ao = a" + Z/'gj , avec a",b" G Q et ao est irrationnel quadratique.

Correction des exercices 187
4.4 Supposons que A$a\ + Bqolq t Co = 0 . A0, i?o, Co entiers.
Alors Ao [ co -i ] + #o ( c0 H ) + C0 = 0, d'où Aiaj + #iai + Ci = 0, avec
Ai = — (A0Cq + Soco + Co) ; B\ — —(2AoCo + B0) ; Ci = — Ao . Ainsi a\ est quadratique. Le
discriminant Ai de l'équation qu'il vérifie vaut
Ai = (2A0c0 + Bof - 4A0(A0c6 + B0c0 + C0) = B% - 4A0C0 = À0,
discriminant de l'équation vérifiée par ao ■
Or, on peut supposer A0 > 0 et Co < 0 , car les deux racines ao et a^ de l'équation vérifiée par
ao sont de signes contraires. Puisque ao > 1 , on a «3 < [<*u] < «o , donc co est compris entre
les racines de l'équation et Ai > 0 , tandis que Ci < 0 . Donc a\ et a* sont de signes contraires,
et puisque a\ = c\ H — > 1 , on a a* < 0 . Ainsi ax a les mêmes propriétés que ao .
C2 + C3 H
Posant
1 1
OL\ = C\ H , «2 = C2 H . . . . ,
ai ai
les nombres a„ vérifient une équation (E„ ) de la forme Anal + Bnan + Cn = 0, où A„, Bn,Cn
sont entiers. A„ > 0. C„ < 0, \n = B2 — 4AnCn = A0 . Puisque AnCn < 0. on a B„ < \/^ô,
A„ < Ao/4, \Cn\ < A0/4 . donc le triplet (A„. B„.C„) ne prend qu'un nombre^m de valeurs. Il
existe donc un entier N ^ 0 et un entier T ^ 1 tel que A,v+r = A/y , Bn+t = BN , C^-^r = Cn
(principes des tiroirs). Ainsi a v = o?.v-r7- — ax—2T — ■ • • — a v+^-r = • ■ ■ . et par unicité du
développement en fraction régulière, cn-T — c„ pour tout n ^ N .
4.5 Soit co = [V~D], et soit ao = co -j- V^D - Alors a0 est irrationnel quadratique réduit, car
ao > 1 et aj = co — y/D G] — 1.0[ puisque yJ~D — co G]0 1[. Donc le développement
de ao est purement périodique ; puisque [ao] = 2co il s'écrit ao = [2co,ci, • • • , cr-i], d'où
y/D = a0 — c0 = [co-ci.- •• .Cr_i,2co] .
4.6 Supposons..!2 — Dy2 — L . 1 $J \L\ < y/~D . Alors :
(.v - VDy)(x + VDx)=L => \x - y/Dx\ < ^^ (*).
x + y/Dy
Supposons d'abord que L > 0 : l'équation x2 — Dy2 = L entraîne alors que x > y/15 y . Reportant
dans (*), il vient
±-vd
v
< —- , et — est égal à une réduite du développement de y/~D en vertu
du théorème 4.3.
Supposons maintenant que L < 0. Alors y/~Dy > x , et en reportant dans (*), on obtient
v 1 I 1 v , , v ,, . , w , , 1 jc , , v
— < —^r , donc — est esal a une réduite du développement de —= , et - est égal a
a- y/D\ 2x- x " y/D y
une réduite du développement de y/D .
Dans les deux cas. puisque x et v sont premiers entre eux. on a a* = Pn et v = Q„ , où P„/Qn est
une réduite de y/D .
4.7 11 et 43 sont premiers entre eux. Ondé\eloppe 11/43 : ao = —- — OH ; ai = — = 3+-— ;
43 ai 11 11
a2 = ^ = 1-r-^ : «3 = 10 ;donc ^ = [0.3.1.10] : P_, = 1 ; Q-i = 0 : ^o = 0 ; Q0 = 1 ;
1U 1U 43
P, = 3P0 - P-i = 1 : Gi = 3g0 + G-i = 3 : P2 = Pi + Po = 1 : Qi = Qi + Go = 4 ;
f>3 = 10P: - Pi = 11 : Q3 = \0Q2 + Qi = 43 (comme prévu). On a P3G2 - P2O3 = 1 , donc
11Q2 — 43 P2 = 1 • Soustrayant à l'équation proposée, on obtient .v — IOG2 = 43f, —y — IOP2 = lit,
î G Z, donc A=40-r43/, j = -10-lh, f GZ.

188 Théorie des nombres
Afi m «, PH s 5 + ^/34 , , %/34-4 4-J-V34 V34-4
4.8 a0 = V34 = 5+V34-5 ; a\ = —- = H : a2 = = 4-; :
az = — = H ; a± = a/34+5 = 10+\/34—5 : as = a\ . Donc an est périodique
y y
de période T = 4 . La suite (~l)nB„ est périodique de période 4 ; ses valeurs sont : (— l)1 B\ — — 9 :
(-1)2B2 = 2 ; (-1)3P3 = -9 ; (-1)4£4 = 1 .
Si I / ±4, les solutions (.y, y) sont telles que x et y sont premiers entre eux. Donc Téquation
x2 — 34y2 = L n'a pas de solution pour L — —5. —3. —2. —1,3.5 . Pour L = 1 , la solution
fondamentale est donnée par x = P3 ; y = Q3 . Or P_i = 1 : Q_i = 0 ; Po = 5 : <9o = 1 '•
Pi = Po + P-i=6; Qi = Q0 + Q-i = l: P2 = 4 Pi -t- P0 = 29 ; Q2 = 4Qi + Q0 = 5 ;
P3 = P2 + Pi = 35 ; Q3 = Q2 + Oi = 6. Donc la solution fondamentale de l'équation de Pell
x2 — 34y2 = 1 est x = 35, y = 6 . La solution fondamentale de x2 — 34y2 = 2 est .y = Pi = 6 :
y = Qi = 1 - Il reste les cas L = —4 et L = 4 , où on peut avoir des solutions de la forme .y = 2x'.
y = 2y'. On voit ainsi que l'équation x" — 34y2 = —4 n'a pas de solution, tandis que x2 — 34y2 = 4
a pour solution fondamentale x = 70 , y = 12.
4.9 On a ao = co H ; a\ = c\ H ; • • ■ ; ar-i = ct—i H ; «r-i = ct-i H car
ai a2 oct-i cto
cxq = oùt puisque ao est quadratique réduit. Conjuguons ces relations : on obtient :
1 * 1 1 ,1
=c0- a0 ; = ci- a{ ; • • - ; — = cT~i - aT_2 ; = cT-} - aT_x .
a\ a\ a*T_x a%
En partant de la dernière égalité et en utilisant les autres à partir de la fin, on obtient :
1 1 11
ct-\ H — = cT-] -f
01* CT-2 - Oij_2 CT-2 + CT-3 ~ «*_3
1 1 1
= cT-\ +
ct-i H ci + cq - al
Donc on a bien = [ct-i,ct~?, • ■ ■ , co] ; c'est le théorème de Galois.
Soit maintenant y/~D = [co, c\, C2,..., cr-i, 2co] (corollaire 4.2). On a alors
vD — co — — — , et /3o = —= = [ci, ci, ■ ■ ■ , 2co] est quadratique réduit.
ci + c2 H V D - co
On déduit donc du théorème de Galois que —■ = \/D -f co = [2co, ct-\ , ■ • ■ , C2, ci].
Po
Mais on a immédiatement à partir du développement de y/~D :
\/D + co = [2co,ct,C2,... ,cr-i,2co] = [2co,ci,c2,-- • ,cr-i].
Par unicité du développement d'un nombre irrationnel en fraction continue régulière, il en résulte
Ck ~ cT-k pour £=1,2 T — 1.
4.10 1) On a an = cn H , donc p = cn + ——^—— (A„+i — y/D). Puisque y/D est
irrationnel, il en résulte
an+\
An
+
Bn
Bn+iAn+i
et
n ' a2 -DK n+l
1 Paî + 1
B» A^+1 - D
La deuxième égalité équivaut à D = À2+1 + BnBn+i. En remplaçant A2+1 — D par —5„Bn+i dans
la première, on obtient An -f~ Art_)_i — cnBn .

Correction des exercices 189
2) On a a0 = VD = [c0, o,C2,- • • .Cr-i.2c0].
Donc #0=1; comme û?7 = [2co. ci, c2. ■ ■ ■ - cr-iL on a aj = co + V^D . D'où B7 = #o = 1 ■
» ~ 1 , 1 1 c0 + \/D
Montrons que Bt-i = B\ . On a ao = co H , donc û?i = = —7= = — — ;
a\ (xo — c0 y/D — co D — C5
• • r> 7^ "> t^ ,1 1 1 1 v£> — CO v
ainsi Bi = D — Cq . De même ar-i = cr_i -\ = ct-\ H 7= = cr_i H «- • D ou
oit co + yfD D - c\
BT-i = D-cl = B\.
Montrons maintenant par récuiTence que Bk = BT-k pour k = 0. 1,2,..., T . En utilisant la
question 1). on a : A*+i = y/D — B\B^\ , A* = \JD — BkBk-\ (k ^ 1 ). donc, en reportant dans
Ak + Afc+i = ct5jt :
y/D-BkBk-i + \/£> - ft*t+i = <*& (* > 1). (*)
Supposons que U* = Br-k et Z?*-i = fir-Jt+i , et remplaçons k par r —fc dans (*). Tenant compte
du fait que ck = cr-k (exercice 4.9), il vient
y/D-BkBr-k-i -r y/D - BkBk-{ = ckBk (k Js 1). (**)
La comparaison entre (*) et (**) montre que £*+] = BT-(k-\), C.Q.F.D.
3) Si T — 2m -f 1 est impair on a B,„ = Br-m = #>«+i ■ En reportant dans la relation
D = A2+1 -r BnBn-\ . il vient tout de suite D = A^+1 + £2+] , et D est une somme de deux
carrés î
4) Pratiquement, on va décomposer \Td en fraction continue jusqu'à ce qu'on tombe sur un en-
, , 21
tier m tel que Bm = Bm+\ ; a0 = \/697 = 26 + V697 - 26 = 26
26 + V697
26-\/697 „ >/697-16 „ 21 16 + V697 _
ori = — = 2 -\ — = 2 H == ; a2 = — . On a donc
21 21 16-rV697 21
B] = B2 = 21 : donc 697 = A5 + £,£2 = 162 + 212 .
5) Supposons qu'il existe k G {1.2. • • • . T — 1} tel que £* = 1 .
Alors otk = Ak -t- y/D = A* tCoi • Donc Ak + cq = [a*] et — = . Il en résulte
OL\ ai ak+\
&o = cq H — — , donc ao = [co.ci q] . et on obtient une période k < T , contra-
c\ H Ck + ai
diction. Par suite Bk ^2 si k G {1.2. T — 1} , ce qui implique, en vertu de la périodicité de la
suite Bk. que 5* = 1 si. et seulement si. k est un multiple de T .
Supposons maintenant que l'équation .y2 — Dy1 = — 1 ait des solutions. Alors .v et 3' sont premiers
entre eux ; donc, en vertu du théorème 4.6. il existe no tel que (— l)n°Bno = — 1 . Donc m est impair
et B,tz, = 1 : puisque no est un multiple de T . ceci implique T impair. D'après la question 3), il en
résulte que D est une somme de deux carrés.
La réciproque est fausse : 34 = 25 + 9 = 52 -*- 32 est une somme de deux carrés, mais l'équation
.r2 — 34y2 = — 1 n'a pas de solution (exercice 4.8).
4.11 1) Si .ri est pair, jyi = 2k . alors x\ = 0 (mod 4), donc en réduisant modulo 4 l'équation
AT — Pyï = 1 - on obtient y2 = — 1 . Ceci est impossible, car les seuls carrés modulo 4 sont 02 = 0
(mod 4). 1: = 1 (mod 4). 22 = 0 (mod 4). 32 = 1 (mod 4). Donc aï est impair.
Or a2 - pv? = 1 ^ (aï - l)Cvi + 1) = pyl . Mais PGCD (xi - I.aï + 1 )=2. car tout diviseur de
aï — 1 et Ai — 1 doit diviser leur différence 2 et ces deux nombres sont pairs ; donc aï — 1 = 2pu2
et aï — 1 = 2r2. ou bien aï — 1 = 2u2 et aï -ri = 2pv~, avec dans les deus cas yi = 2uv (utiliser
les décompositions en produits de facteurs premiers).

190 Théorie des nombres
1
Le premier cas est à exclure, car alors on a v~ — pu~ — -((.vi + 1) — (ai — 1)) = 1 .Mais 2v~ = .Y]-|-1 et
x\ > 1 => v < xi . Puisque (ai . y\) est la solution fondamentale de l'équation de Pell .y2 — py2 = 1 ,
il en résulte v = 1. u = 0 . ce qui est impossible.
Donc on a Ai — 1 = 2u2 et x\ + 1 = 2pv~ . Par soustraction il vient ir — pv~ = — 1 . et l'équation
.v2 — py2 = — 1 a bien une solution.
2) Si p = 1 (mod 4), l'équation .y2 — py2 = — 1 a une solution d'après 1). En utilisant le résultat de
l'exercice 4.10 question 5, on en déduit que p est une somme de deux carrés.
Réciproquement, supposons que p = x:~ + y2 , .y. v 6 N. On réduit modulo 4 : on a .y2 = 0 ou 1
(mod 4) et y2 = 0 ou 1 (mod 4). comme on l'a vu dans la question 1). Donc .y2 T v2 = 0 . 1 ou 2
(mod 4). Les cas p = 0 (mod 4) et p = 0 (mod 2) sont exclus car p est premier impair. Donc p = 1
(mod 4).
4.12 On procède comme pour le développement en fraction continue régulière de e . On part de (4.10)
avec a = l, b = l pour obtenir —- = [1,3. 5,7,...] = [c'0. c']y...] avec cn = 2n + 1 . Soient
Pn/Qn les réduites de ce développement ; on calcule facilement
^^_4J^_21^_1M.JP[_ _L380 P[ __ 15331
Q'0 " ; Q[ " 3 '' G2 " 16 : G3 " 115 ; QJ " 1051 ; 0'5 ~ 11676'
Soient maintenant P„/Qn les réduites du développement
a0 = [7,3#i + 2.1. 1.3(/i -h 1).6(2/* + 3)],;=o-
On calcule facilement :
Po_ __ 7.^i_ _ 25. Pi _ 22.jft _ ^Z.j^_ _ 133. A _ 2431. ft_ _ 12288
Go "" 1; Q\ ~ 2* Q2~ 3 ' Qi ~ 5 ; Q4 ~ 18 ; Q5 ~ 329 '' Q6 ~ 1663 :
P7 _ 14719 P8 _ 27007
2? ~ 1992 ' Qs ~ 3655 '
On observe que Pq = P[ + Q\ ; Go = P[ - Q[ ; P3 = Pi+Qi ; Gs = P{-Q'2 : ft - P4' + Ci ;
Q5 = p; - g; ; p8 = p5' -p Q^ ; Q8 = p5' - Q'5, On est ainsi conduit à penser que, V/? G N :
ftn = Psn + \ + G3// + 1 > Qsn = P3/1+I ~~ G3/2 + I
P5n+3 — P3n+2 + Gs«+2 i Qin-rl = ^3n+2 ~ G3«+2
Démontrons ces formules par récurrence, en observant qu'elle sont vraies pour n = 0 et n = 1 . En
utilisant les relations de récurrence (4.5), on obtient :
(a) P5/1+8 = P5n+1 + ftn+ô i (b) P5„+7 = Psn+6 + P5«+5 î
(C) P5„+6 = (3« + 5)P5„+5 + P5n+4 l
(d) P5„+5 = 6(2/z + 3)P5„+4 + P5«+3 ; (e) P5n+4 = 3(/z + l)P5„+3 + P5»+2 ;
(f) P5n+3 = P5n+2 + P5„+l ; (g) P5n+2 = P5,z+1 + P5n •
En faisant (f) — (g), on obtient 2P5n+2 = Psn+3 + Psn : en reportant dans (e), il vient (h)
2P5„_|-4 = (6n + 7)P5rt+3 + P5/1 , d'où, en remplaçant dans (d) :
Psn+5 = 4(3/î + 4)2 P5n+3 + 3(2/1 + 3) P5n. (*)
Par ailleurs, (a) +(b) => Ps^g = 2P5„+6 + Ps«+5 ; en utilisant (c), on obtient
P5„+8 = (6/7 + U)P5n+5 + 2P5„+4-
Utilisant (h), il vient
P5«+8 = (6W + 1 l)P5n+5 T (6/7 + 7)P5w+3 + P5„. (**)
Les relations (*) et (**) restent vraies pour Qn . Pour P'n et Q'n , on a :

Correction des exercices 191
(a') PL+5 = (6» + 1 l)PL+4 + Pi,,+3
(b') PL+a = (fin + 9)P3'„+3 -r PL+2
(C) PL+3 = (fin + 7)P3'„+2 + PL.+* -
En remplaçant P3'„+3 dans (b'), on a
Pin +4
= 4(3/7 + 4)2P3'„+2 + 3(2/7 + 3)P3'H+i - (D)
De même, en remplaçant P3'„+3 dans (a'), on obtient
P3'„+5 = (6n + 1 l)P3H+4 + (6« + 7)P3'„+2 + P3„+1. (□□)
L'addition des relations ( D ) pour P,' et Q'n , puis des relations ( □□ ), amène
(^3*+4 + G3h+4) = 4(3n + 4)2(P3'„+2 + Q'3n+2) + 3(2» + 3)(P3'„+I + fi3„+1). (A)
(AA)
(PL+5 + Q'in+5) = (6n + 1 IXPL-T4 + Ô3„+4) + (6/! + 7)(P3'„+2 + Q'3n+2)
En comparant (*) et ( A ) on obtient Pio = P\ + Q'j , puis en comparant (**) et ( AA ).
Pu — Ps + fis - etc- par récurrence, on a bien P5„ = P/,,^ - Q3ll+l : Ps„+3 = P3'„+2 t fiL+2 • De
manière analogue, on obtient Qin = P3n+1 - fi3„+I et Q5„+3 = P3'„+2 - Q'3n+2 ■
P5„ ÔCtI ZÏZTT + 1
On a donc ao = lim,,—roc -z^- = lim, J" — 2
G*. ■ n^ _ f^ _
Enfin, le dé\eloppement de e1 en fraction continue régulière étant non périodique, e2 n'est pas
quadratique, c'est-à-dire que aeA + be2 + c^0 si a^b.c G Z , non tous nuls.
4.13 Soit (.ri. ai) la solution fondamentale de l'équation de Pell a*2 — Dr2 = 1 ; alors x2~\ = Dy2.
Définissons la suite (x„) , pour n ^ 1, par xn+\ — 2x~ — 1 . Alors (exercice 2.8) :
ixn
j— +3C j
.X1_^Y2_1=A-1_,1^ = ^___
n — \
Donc 7ë = - (Xl - Y ——i-—-^ .
4.14 Soit encore (.ri. vi) la solution fondamentale de l'équation a'2 — Dy2 = 1 . et (x„) définie par
a-,,-;.] = 2a-2 — 1 pour n ^ 1 . Alors (formule (2.10))
Danc^=^xrCî(.-l).
Remarque : Dans le cas de l'exercice 4.13 comme de l'exercice 4.14. l'expression de y/D n'est pas
unique puisqu'on peut partir de n'importe quelle solution de l'équation de Pell, au lieu de (.vi, y{).

192 Théorie des nombres
rn /+°° 104 4- 1 "-1 104 4- l\ n~l 104* 4- 1 f~^ / ,*\
"">-£-'(il-i^-fl-Tsi-J-'fl^Ui (' + '»-')-'
Or, en procédant comme dans l'exercice 2.10, question 3, on voit que :
n (i + io-4A) -1 = £ icr* <£ io-* = ±io-^'= £,.->.
Par suite
Sn
kEE,k^4a
.'+°°104' + 1>\ 1 _3 «3
Puisque a = J] 10 * ^ J] 10 ft = —-. il vient finalement
Jt6£ jfc>0 9
En particulier, pour tout /z ^ 1, on a
Sn
<
2sy
a
Sn
1 ■ t'n , , .
< —j, ce qui prouve que — est une réduite du
-£sn Sn
développement en fraction continue de a (théorème 4.3).
2) Démontrons d'abord les formules pour p2n et pin-\ par récurrence. On a d'abord :
p\ = cipo + p-\ = c\cq + 1 = 10 ; p2 = c2pi + po = 33 ; p3 = c3p2 + p\ = 1000.
Les formules donnant p2n et pin+i sont donc vérifiées pour n = 1. Si nous les supposons vraies à
l'ordre n ^ 1, nous avons ensuite :
P2„+2 = cWP2„+l+P2n = s.iot4"-1)/3 "n (V +1) .io(2-4"+,)/3+3 n' r10t + a
*=0 V ' k=0 V '
= 3'n (io4" +1) (io4,! + 0 = 3 n 0°4* +1).
Ceci montre que la formule est vraie à l'ordre n + 1 pour les indices pairs.
Pw = c2n+iP2n+2 + P2n+1 = 3.10(2-4"+0/3 "n (lO2-4* + l) .3 fi (l04t + l) + 10(2-4"+')/3
k=0 V J k=0 V '
= io(2-4"+0/3 U (io4H +1) "n (î + 104* + io2-4* + io3-4') +1)
= 10(2.4- + l)/3 L ^ + ^ "fl i^—i + \\ = 10(2"4"+0/3 f9
= 10(^ + 0/3 X 1Q2-4- = 10(2-4" + 1 + 1)/3.
102-4" - 1
+ 1
Ceci achève la démonstration des formules donnant pn. Les formules donnant qn se démontrent de
manière analogue, les détails sont laissés au lecteur.
3) On observe immédiatement que, pour tout n ^ 1, — = ^—. Il en résulte que :
Sn qin
T ?„ r Pin n
a — lim — = lim = fi.
fi—t+oo sn n—>+oQ q2n
Donc le développement de a en fraction continue est a = fi = [co, ci, • - ■ , cn, ■ • ■ ].
4.16 l) Application directe du théorème 3.3.
2) On a uq = go, */i — gi, et w„ et Qn vérifient la même relation de récurrence. Donc un — Qn
pour tout n ^ 0, d'où le résultat par la question 1.

Correction des exercices 193
3) Les dénominateurs 0'n des réduites de [0. c\ — 2,1, o — 2. 1, C3 — 2, l, • ■ ■ ] vérifient (2-i = 0,
go = 1 - et les relations de récurrence :
Qip+i = (c/?+i — 2) Q?^ + Qip-i '■> Qip+2 = Qip+\ -1- G2p-
Il en résulte que Q\ — c\ — 2 et go = ci ~~ 1-
De la deuxième relation on tire g?p+i = Qip+i — Q'ip- En reportant dans la première, il vient :
Qip+i — cp+\ QiP — QiP-i>
Les suites un et Q'2n vérifient uq = Qf0l u\ = g2, et la même relation de récurrence. Donc
un = Q'2n pour tout /? ^ 0. En utilisant le résultat de la question 1 on obtient :
[0.Cl-2;l.C2-2,l,C3-2,l.-••] = E Xn> = £
n=0 QnQn + \ h=0 \22«22h + 1 G2/Z + I 22»+2
+ oc /V O' +oc 1 +oc
2-^ ~fV 7v 7v 2-^ /-)/ /->/ Z^
,,=0 22«22n+l22n+2 «=0 QlnQln+2 «=0 M"Hn+l
4) a) Pour calculer 5. on applique le résultat de la question 2 à la suite un = iwi . Il vient :
1 1
5 = [0,1.1..-. .1,.-.] =
Il en résulte que S2 -f S — 1 = 0. donc S
[1.1.l.-.. .1..-.] 1-1-5"
V5- 1
2
b) Pour calculer T. on observe que la suite u„ = F211+2 vérifie 110 = 1. u\ = 3 = c\ — 1, et la
relation de récurrence w„+i = 3z*,z — un~\. En appliquant le résultat de la question 3 on obtient :
r = [o,2,1,1,1,1,- •] = 2T5 = ^V^-
c) De même, la suite u„ = F2„+i vérifie w0 = 1- ni = 2 = ci — 1, et w/ï+i = 3h„ — wn-i. En
appliquant de nouveau le résultat de la question 3 on obtient :
£/ = [0.1,1.1.1. L--.] = S= ~ A.
d) Il est clair que V = T + £/ = 1.
5) V apparaît aussi comme une série télescopante :
V
^ Fn F„^, Fn^2 ^ V ^ ^1+1 Fn+1 ft+2 y F, F2
H —1 /7 = 1 X 1 1 •
4.17 1) La fonction P (.v) = .y3 - 2x - 5 est strictement croissante sur [2.3], P (2) = — 1,
P(3) = 16.
2) Posons a = 2 H , et reportons dans l'équation. Il vient —=■ H 7 H 1 = 0.
ai arf o?t ai

194 Théorie des nombres
L'équation a*3 + 6a2 -J- lO.v — 1 =0 a évidemment une et une seule solution — dans ]0. 1[. Donc
ai
l'équation
.y3 - 10a-2 - 6a - 1 = 0 (Ei)
a une solution et une seule dans l'intervalle J l. +oc[. Par essai-erreur, on \ oit que ai G ] 10.11 [. On
pose ai = 10 H , et on reporte dans (E\). On voit que q'2 vérifie Y équation :
ai
61a3 - 94a2 - 20a -1=0 (£2).
On en déduit que ai G ]1.2[. Posant ai = 1 -\ . on voit que a* vérifie l'équation :
ai
54a3 + 25a2 - 89a -61=0 (E3) -
D'où az G ]1,2[, #3 = 1 H , ■ ■ ■ - et a = [2.10. 1. 1.2. • • ■ ], et les cinq premières réduites
21 23 44 111
du développement en fraction continue régulière de a sont 2. —. —. —. —-. On en déduit
111 44
^3-<^<2Ï-
SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 5
5.1 Remarquons d'abord que l'égalité a + f3y/d = 0. avec a. f3 G Q, implique a = fî = 0 car
y/d est irrationnel. Maintenant, pour démontrer que K est un sous-corps de C , il suffit de démontrer
que (K, +) est un sous-groupe de (C, +), et que (K*, •) est un sous-groupe de (C*. ■).
Si a = a + by/d et y = a'+ b'y/d G K, avec a. a '. b, h' G Q . on a a - y = (a - a') -{b- b')y/d
avec a — a' £Q, b — b' £Q ; donc (K. +) est un sous-groupe de (C. -r).
Si y ^ 0 , on a y* = a' — b'y/d ^ 0 d'après notre remarque de départ, donc
a _ xy^_ _ (a + byfd){ar - b'y/d) _ ad - dbb' a'b - abr r-
y ~ vv* ~ (a' + b'y[d)<a! - b'y/d) ~ a'2 - db'2 a'2 - db1-
et (K*, -J est bien un sous-groupe de (C*. •).
Pour démontrer que K est un espace vectoriel sur Q , il suffit de vérifier que la multiplication par les
éléments de Q satisfait aux axiomes de la structure d'espace vectoriel, puisqu'on sait déjà que (K, +)
est un groupe commutatif. Or si À, fi G Q, on a immédiatement, pour tous x.y G K : àa G K,
A(x + y) = àa + Àv , (À + fï)x = àa + /jlx , (\fi)x = A(/jlx) et 1 - a = a . Enfin, le système {1. y/d}
est générateur de K en tant qu'espace vectoriel sur Q par définition de K, et il est libre d'après la
remarque préliminaire ; c'est une base de IK .
5.2 Soit x = —i—y/d , a, b, c. d G IL . Si c = 0 . a est rationnel. Sinon, a est irrationnel puisque
b d
y/d l'est, et on a bdx — ad = bcy/d , d'où en élevant au carré : b2d2x2 — 2abd2x-\-a2d2 —db2c2 = 0 ;
a est donc irrationnel quadratique.
5.3 Soit a = a + f3y/d, y = d + f3'y/d, a.p.a\fî G Q. Alors a* = a - f3y/d,
y* = a' - fi'y/d, et (a + y)* = (a + a1 + {fi + P')y/d)* = a + a'- (fi + $')y/d = a* + y* ,
(Ay)* = (aa' + dp/3' + (a/3' + a'f3)y/d)* = a a1 + d/3f3f - (af3f + a'p)yfd = a* y* . Enfin
N(xy) = (xyXxy)* = xyx*y* = N(x)N(y).

Correction des exercices 195
5.4 l) Supposons d'abord que x est entier dans Q(y/d). Alors x et x* sont les racines
(éventuellement confondues si x G Z ) d'une équation de la forme X2 + aX -\- b = 0 , avec a,b G Z. Alors
N(A) = xx* = Z? et 7>(a) = x + a* = — a sont dans Z. Réciproquement, si N(x) G Z et
7>(r) G Z, alors jc et x* sont les racines de X2 - Tr(x)X -f N(x) = 0 , et x est entier.
2) On a Tr(x) = 2— G Z. Puisque a et /? sont premiers entre eux, /3\2, donc /3 = 1 ou 2. Si
yS = 1, on a N(x) = aT —-^6Z, donc 8 \d . Puisque J est sans facteur carré, nécessairement
2 2
5=1 et x = a+yVd G Z(Vrf). Si /3 = 2 , 7V(x) =y-^GZ, donc 4S2|a2<52 -Ay2d . Donc
4 o^
4|ar<32 . Puisque a et j3 sont premiers entre eux, a est impair et 5 est pair, 8 = 28' . Revenaat à
N(x), on a 7V(a) = ^- - ^ G Z , donc 4<5,2|a2<5'2 - y2d . D'où 8,2\y2 . Puisque 5 et y sont
premiers entre eux, ceci entraîne 8' = 1 , d'où «5 = 2 , et A\a2 — y2d . Puisque a est impair, y doit
être impair aussi (ainsi, d'ailleurs, que d ). Puisque a et y sont impairs, on a a2 = 1 (mod 4) et
y~ = 1 (mod 4), donc a" — y2d = 0 (mod 4) entraîne d = 1 (mod 4).
3) Si d est sans facteur cane, les seules possibilités sont d = 1 (mod 4), d = 2 (mod 4), d = 3
(mod 4). Si d = 2 ou 3 (mod 4), les seuls entiers de Q(y/d) possibles sont d'après la question 2), les
x = a -r yV*/- or. y G Z . Dans ce cas, on voit, réciproquement, que Tr(x) G Z et N(x) G Z, donc
Âv = Z{y/d) .
Si d = 1 (mod 4). les seuls entiers de Q(Vd) possibles sont les x = ,
a\ec a et y tous les deux pairs, ou a et y tous les deux impairs. Si x est de cette%
or — dy~
forme, on a 7>x = a G Z, et Af(.i-) = —— G Z car d = 1 (mod 4). Donc
cy -4- yy/d
A-< = {-v = /a. 7 G Z. de même parité } . On remarque que les x G A& s'écrivent
aussi x = ^—^- + y * "^ . a\ec (a - y)/2 G Z , donc Ax = Z ( ]+9 ) si rf = 1 (mod 4).
4) Il suffit de vérifier que Ax est un sous-anneau de K, c'est-à-dire que x — y G A^ et xy G Ak
dès lors que x, y G A^ . Utiliser a) et b) du théorème 5.3.
5.5 Si e et s1 G Ax , il existe 77,77' G A tels que £77 = I et s'r) = 1 ; par définition même de
Ax , on voit que, en fait, 77 G Ax et 77' G Ax . Donc 1/e G Ax , et (ee'XW) = 1 => ee' G Ax .
Ainsi Ax est un groupe.
5.6 Puisque e G Av , on a 7V(e) G Z. Donc \N(s)\ = 1 => N(e) = ±1 =» se* = ±1 => e
inversible. Réciproquement. 877 = 1 =£> 8*77* = 1 => £8*7777* = 1 => ee* = 1.
5.7 Comme K est un corpb quadratique imaginaire, on a NÇx) = ,v.v* = xx~ = \x\ . Les
unités de A? sont donc les éléments de Az situés sur le cercle de centre 0 de rayon 1 dans le
plan complexe, et F examen des figures 5.1 et 5.2 montre que Z(/)x = {—1.1./. —/} , tandis que
ZO")x = {—\.\.e'~î.esiï~.e~~*. e 3 } . On va retrouver cela par le calcul, à l'aide du théorème 5.4.
Premier cas : — d = 2 ou 3 (mod 4). Alors Ay_ = Z(/\/d) : soit s = a — ifiyfd G Ak . On
a s 6 A? ^? \N(s) = 1 & "e|2 = 1 *± a2 - d/32 = 1 & [(a2 = letd/32 = 0) ou
(a~ = 0 et dj3~ = 1)]. La première condition donne les unités 1 et -1. La deuxième ne peut être
réalisée que si d = 1 et j3~ = 1 . ce qui donne les unités / et — / de Z(0.
r^ 7 ^ / , « *t . r» f 1+ i\fd\ . a + iQ\[d . x
Deuxième cas : —d = 1 (mod 4). Alors A? = Z ; soit e — ^" A
2 ) 2 A
avec û? et ^S de même parité. Si û et jS sont tous les deux pairs, le même calcul que dans

196 Théorie des nombres
le premier cas montre que s = 1 ou e = — 1 . Si a et /3 sont tous les deux impairs,
|e|2 = 1 <f> a2 + dp2 = 4 <=> [(a2 = 1 et dp2 = 3) ou (a2 = 3 et dfi2 = lj]. La première condition
„-> "> -i i . , 1 — / v3 Lr — 1 — / \ 3 2ÎJL
entraîne p = 1 et d = 3 . a" = 1 . ce qui donne les unîtes = e ? . = e -1 .
= ^"r" , = é»-r~ de Z(j). La deuxième condition ne peut se réaliser, car elle
implique d = 1 , or d = — 1 (mod 4).
5.8 1) a + ^3 x l +?* ^3 = i[(fl - 3/3) - i>/3(fl f b)]. Puisque a = 1 (mod 4) et b = -1
(mod 4), on a a — 3b = 0 (mod 4) et a -r b = 0 (mod 4), donc :
fl+;^xi+MgZ(;-v3).
2) Soit x G Z(j) ; alors x = , avec a et Z? de même parité. Si a et b sont tous les deux
pairs, il n'y a rien à démontrer car 1 • x G Z(z \/3). Si a et b sont tous les deux impairs, il y a quatre
cas à distinguer :
Premier cas : a = 1 (mod 4) et £> = — 1 (mod 4). On a vu au 1) que
Deuxième cas : a = — 1 (mod 4) et b = 1 (mod 4). On se ramène au premier cas car
a -h iby/ï -^73 ~° - ib^> ïtt/3 s- nie /^\
x e ' = x e1"'* G Z(z v3).
Troisième cas : a = —l (mod 4) et ft = — 1 (mod 4). On se ramène encore au premier cas car
a H- iby/3 _.v/i , , , a — iby/3 ,-_/^ _ . /r-
xe ' est le conjugue de x e /_ GZ(/v3).
Quatrième cas : a = \ (mod 4) et Z? = 1 (mod 4). On se ramène au troisième cas car
a + ib\/3 1J7r/3 —a —iby/3 _i7.n
x e ' = x e "'' .
2 2
5.9 1) Si rj et s appartiennent à G, on a N(srj) = N(s)N(tj) = 1. srj > 0. et
Nies'1) = 1 = N(e)N(e~l) => N(s~]) = l.e"1 > 0. Donc srj G G et e"1 G G ; G est
un sous-groupe de IR+ .
2) Le plus petit élément de G qui soit strictement plus grand que 1 est donné par la solution
fondamentale (exemple4.8) co = xi + yiy/d . Donc G = {(x\+y\yfd)n /n G Z} . Les n positifs correspondent
à (jfi + yiy/d)" = x„ -f- yny/d avec xn ^ 0 , y„ ^ 0 , tandis que les n négatifs correspondent à
xn ^ 0, yn ^ 0. Donc les solutions x„ ^ 0, v„ ^ 0 de l'équation de Pell x2 — dy2 = 1 vérifient
xn + yn\/d = (xi + y\y/d)n , avec « G N .
3) On a donc x„+i + yn+iVd = (x\ 4- _vi y/d)(x» + j„V^7) d'où
„ï„+i =x\xn +d\\y„
v«+i = via,, +xiv„.
En remplaçant h par n -f-1 dans la première relation, il vient x„-j_2 = x\x„+] -rdyi v„_j-i ; on multiplie
la deuxième relation par dy\ , et on obtient
Xn+2 ~ XlXn+l = dyïXn + A'^A'/j-i — A*i A„).
Donc, en tenant compte du fait que x2 — dy2 — 1 :
A/î+2 = 2*i_y,jj-i — xn.
La démonstration est analogue pour (}'„) -

Correction des exercices 197
5.10 Soit r G Ak- On suppose x = yz,y3z 6 Ax. Alors N(x) = N(y)N(z), et N(;y) et'NU)
sont éléments de Z.Si N(v) est premier dans Z, on a nécessairement iV(>') = ±1 ou N(z) = ±l ;
~ par suite y ou z est inversible dans Ak (théorème 5.4). Donc x est irréductible dans Ak -
5.11 Puisque .y est non inversible, \N(x)\ > 1 . Soit V = {y G AK/ \N(y)\ > 1 et y\x} . Alors
V est non vide, car il contient x ; donc il existe p\ G V tel que \N{p\)\ soit minimal Si p\ était
réductible, avec pi = v~ , y et z étant non inversibles, on aurait 1 < |N()0| < W(pi)\ car z non
inversible => |Af(z)| > 1 .Comme y G P , ceci contredit la minimalité de |iV(pi)| dans V . Ainsi x
admet un diviseur irréductible p\ .
Posons alors x = pix\ ; on a |./V(a'i)| < \N(x)\ ; si |N(.vi)| > 1 , X] admet un diviseur irréductible
P2 , et x — pipixi, avec \N{xi)\ < \N(x\)\.... La suite I^Vfe)! étant une suite d'entiers positifs non
nuls, il existe n tel que |iV(JC/i)| = 1 , c'est-à-dire que xn est une unité. Alors x = p\pi... pn-ipnXn
est une décomposition de x en produit d'éléments irréductibles.
5.12 1) Dans Z(/ V5), on a N(a 4- iby/5) = a2 + 5Z?2 . Donc les équations N(x) = 2 et 7V(x) = 3
n'ont pas de solutions dans Z(/ \/5). Si l'un des nombres 2, 3, l+/\/5 ou 1 — z" \/5 était réductible,
il existerait un y G Z(/\/5) tel que N(y) = 2 ou ^V(v) = 3 , impossible. Donc ils sont tous les quatre
irréductibles.
2) Si 1 -f- i\/5 était associé à 2, il existerait s G A-* tel que 1 + i\/5 = 2e ; prenant les normes, on
aurait 6 = 4N(e) = 4 , contradiction.
5.13 1) On a 1^(^)1 > |N(n)| > |Ar(^| - • • ; la division euclidienne pouvant s'effectuer tant que
rt / 0, il existe k tel que N(n) = 0, c'est-à-dire r* = 0. On a alors ru-i — l'k-iqk . donc
rk-i\n-2 . puis rjt_3 = rk-2qk-\ + a—i , donc rfc_i|rjt-3 et par récurrence rk-i\r„ pour tout
n ^ k — 1 . En particulier. rjt_i|ri.a_i|ro = £>. et nt_i|<3 car a = bq\ -f n . Comme a et Z? sont
premiers entre eux. il en résulte rjt-i G A* .
2) On a a = bq\ -f n . donc ri = a — bq\ . Reportant dans b = ri#2 + t'2 , il vient r2 = 1120 + f2& ,
avec W2, i>2 G A-*: ; par récurrence, on obtient r„ = unci -f vnb , avec ww, u„ G Ak . Puisque rjt-i est
inversible, il en résulte 1 = ui-\rk~^a -f Vk-\rk~}xb . C'est l'identité de Bézout.
5.14 Si PGCD {2a. a2 -h 3Zr)=3, on pose a = 3c ; (5.10) s'écrit 18c(3c2 + b2) = -y3, et 18c
et 3c2 + b2 sont premiers entre eux. On a donc, par factorisation unique dans Z, 18c = r3 et
3c2 -f b1 = s3 , s impair. Par le même raisonnement que dans la première partie de la démonstration,
on obtient b = u(u -f 3v)(u — 3l') et c = 3r(z/ — v)(u -f v), u impair, v pair, u et u premiers
entre eux. Puisque 18c = r3, il vient r3 = 54v(u — v)(u -f v). donc r est un multiple de 3, r = 3r'
et r'3 = 2r(z/ — v)(w -t- v). Les nombres 2i\ // — v et z/ + v sont premiers entre eux deux à deux,
donc il existe Lm.n tels que C3 = 2i\m3 = u — r./?3 = u -f- v et £3 -r m3 -f- (—n)3 = 0 £ pair.
Enfin |v3) = |l8c(3c2 -r b2)\ = |27£3(z/2 - r2)(3c2 -f- b2)\ ^ 27|£3| > \£3\ , contradiction avec la
minimalité de | v| .
5.15 On a Ar(l -i- iy/Ï3) = 14 = 2 • 7 : donc, si 1 -f- z\/Î3 = xy . avec .v et y non inversibles,
on a À^(.v) = 2 ou iV(.v) = 7. Or l'équation a2 + 13Z?2 = 2 n'a pas de solution dans Z2 , ni
l'équation a2 — 13b2 = 1. Donc 1 — iy/\3 est irréductible. Cependant, il n'est pas premier car
(l-f-/\/Î3Xl-?\^Ï3) = 2-7. donc l+z\/Ï3|2-7 :mais l+iy/Ï3 ne divise pas 2 et l+i>/l3 nedivise
pas 7 (sinon Ar(l +1 y/Ï3) = 14 devrait diviser N{2) = 4 • • • ). Conclusion : dans Z(z'\/Î3); 1 +1 y/\3
est irréductible mais pas premier, donc Z(z \/Î3) n'est pas factoriel.

198 Théorie des nombres
5 16 On détermine le développement de \'87 en fraction continue régulière.
a„ = VS7 = 9+0/87-9,: «. = ^— = ^=3-^:
\/87 - 9 6 6
ao = —J = a/87 -9=18 + (\/87 - 9).
V87-9
Donc la suite Bn ne prend que les valeurs 1 et 6 et. par conséquent, les équations a2 — 87i?2 = 2 et
a*2 — 87/r = —2 n'ont pas de solutions (théorème 4.6).
Il en resuite que, pour tout x G 3(\/87). \N(x)\ 7= 2 .
Soit maintenant y = 1 -r \/87 . Alors y est irréductible dans Z(\/87) car
y = xz =► |iV(v)| = |/Y(.v)| |iVl-j; =^> |(iV(jf)! ;iV(-)| = 86 = 2 • 43:
on donc |N(a)| = 2 ou |N(z)\ = 2 . impossible. Donc y est irréductible : mais y n'est pas premier
car y |2 • 43 mais y ne divise ni 2. ni 43 ( N(y) = -86. À7(2) = 4. V(43) = 1849 ). En conclusion.
Z(\/87) n'est pas factoriel, donc pas euclidien.
Remarque : Le théorème 4.6 permet de trouver les éléments de Ax de norme donnée inférieure à y/d
lorsque Q(y/d) est un corps quadratique réel.
5.17 Remarquons d'abord que x est impair. En effet, dans le cas contraire, on aurait
y2 = — 2 (mod 4), ce qui est impossible car les seuls carrés modulo 4 sont 0 et 1. Factorisons
dans Z(iy/2) : (y + iy/2){y — iy/2) = a3 . et montrons que y -f iy/2 et y — i\ 2 sont premiers
entre eux; soit d G Z{iy/2), tel que d\y + iy/2 et d\y — iy/2 ; alors d divise leur différence
2iy/2 , donc en prenant les normes N(d)|8 . Si N(d) ^ 1 . alors N(d) est pair; mais d\x3 . donc
N(d)\N(x3) = x6 ; donc a6 est pair, contradiction. Donc N(d) = 1. d est inversible, et y + iy/ï et
y — i\[2 sont premiers entre eux. D'où y + iy/ï = e(zf + ivy/2f . où e est une unité de Z(i\/2).
Les seules unités de Z(/"V5) étant 1 et -1, donc des cubes, on a y + iy/2 = (a + ibx/2)3 , avec
a, b G Z . Donc y + /\/2 = a3 - 6ob2 + (3«2Z? - 2Z?3)/\/2 et par identification y = fl(a2 - 6Z?2)
et 1 = b(3a2 — 2b2). Cette dernière équation a pour seules solutions b = 1. 3fl2 — 2£2 = 1 ou
£> = — 1, 3a2 — 2b2 = -1, donc on a (a. b) = (1,1) ou (—1,1), donc y = 5 ou y = —5 . Les
seules solutions (x. y) de l'équation sont donc (3,5) et (3.-5).
5.18 x est impair ; en effet, dans le cas contraire, on aurait y2 = — 11 = 5 (mod 8), or les seuls carrés
modulo 8 sont 0,1 et 4. On factorise dans l'anneau des entiers de Q(iy/ïï). qui est Z((l -j- /\/ff)/2)
et qui est euclidien, donc factoriel :
(y + /vTf)(y - /VTÎ) = a3.
Tout diviseur d commun à y + z'VTT et y — iy/ïï divise 2/VTÎ donc N(d)\44 : comme d\x3,
N(d)\xe et N(d) ne peut être pair car v est impair; si 11|JV(*7), alors 11|a et 11 divise y ; donc
112|11 ce qui est impossible ; ainsi N(d) = 1 , et y + iy/ïï et y — iy/ïï sont premiers entre eux.
Par suite y + iy/ïï est un cube dans Z((l + iy/ïï)/2) , donc ; y -h iy/ïï = ((a + ib\/ïï)/2)3, <7 et
& de même parité. En identifiant, il vient 8y = a{cr — 33b1) ; 8 = b{3cc — 11/?2). Les couples (a, b)
solutions de la deuxième équation sont (1,-1), (-1,-1), (4,2), (-4,2); d'où finalement quatre couples
(a,y) solutions de l'équation de Morde! y2 = a3 — 11 : (a = 3 y = 4) ; (a = 3. y = —4) ;
(x = 15. y = 58) ; (a = 15, y = -58) .
5.19.Puisque y2 = 0 ou l(mod 4), a est nécessairement impair. On factorise dans l'anneau des
entiers de Gauss Z(i) : a5 = (y + i)(y — i). Tout diviseur commun à y + / et y — i doit diviser
2/ ; donc ces deux nombres sont premiers entre eux (prendre les normes). Puisque Z(i) est euclidien,

Correction des exercices 199
donc factoriel, il existe une unité s de Z(z) et m G Z(z) tels que y + i = su . Or les unités
de Z(/) sont toutes des puissances cinquièmes (1 = 15;(—1) = (—l)5;/ = i5 : —/ = (—/)5) ;
donc y + i = (a + ibf\a,b G Z . Par identification, on obtient y = a5 — I0a3b2 + 5ab4 et
1 = b(5a4 — I0a2b2 -\-b4). Les seules solutions sont b — ±1, a = 0, donc y = 0 . Ainsi jc = 1,3? = 0
est la seule solution.
5.20 On peut supposer jc,v et z premiers entre eux deux à deux. Par ailleurs, x est impair;
sinon , par réduction modulo 4, on aurait z2 = — 1 (mod 4), ce qui est impossible. Supposons
d'abord que z est impair, z > 0 minimum. On a alors x impair, y pair, z impair et z,y2,x2
est un triplet pythagoricien. Donc il existe u, v premiers entre eux, de parités différentes, tels que
v",Y
2uv,x2 = u2 + v2 (théorème 5.9). Posons y — 2y' . On a uv ~ 2y'2 ; si u est
pair, on a donc u = 2£2 et v = m2 , et puisque x2 = u2 + v2 , u — 2aj3 , v = a2 — j32 (théorème
5.9). Donc a fi = £2 =^> a = h2 et /3 = k2 , et finalement tt?2 = /?4 — &4 , avec m impair, m < z ,
contradiction. Le raisonnement est le même si u est impair.
Supposons maintenant que z est pair ; alors y est impair et (jc — y)(x + y)(x2 + y2) = z2 . Puisque
jc —j,jc + v et jt2 + v~ sont pairs, z est divisible par 4, et l'un au moins des nombres x — y et jc + y
9 0 9
jc — v jc -\- y x -\- y~ z"
est divisible par 4. Supposons que ce soit x: + y , on a I : — = -— , et comme les
2 4 2 16
x — y 2 x + y 2
trois nombres du premier membre sont premiers entre eux deux a deux, ——-— = u ; —-— = v ;
x2 + y2
-——^— = w2 , u:v.w premiers entre eux deux à deux ; donc x = u2 + 2i>2, y = —m2 + 2v2 , et
en reportant dans la troisième équation, on obtient u4 + 4v4 = w2 . Ainsi u2,2v2, w est un triplet
pythogoricien et u2 = a2 — 01, 2ir = 2a/3, m = a2 + /32, a et fi premiers entre eux. Donc a = m2
et fi = h2 , et z/2 = m4 — /î4 avec 0 < u < z , contradiction. Le raisonnement est identique si c'est
x — y qui est divisible par 4.
5.21 Lorsque d = 2, l'unité fondamentale eu correspond à la plus petite solution de l'équation de
Pell .v2 — 2y2 = 1 ou de l'équation x~ — 2y2 = — 1 (théorème 5.4). Puisque (x = 1, y = 1) vérifie
la deuxième, il ne peut y avoir plus petit et co = 1 + a/2 . Donc A^ = {±(1 + a/2)", » £ Z} .
Lorsque d = 13 , l'unité fondamentale <y correspond à la plus petite des solutions de jc2 — 13y2 = 1,
ou x2 — 13v2 = — 1 ou x2 — 13y2 =4 (x et v impairs), ou x2 — 13y2 = —4 (x et y impairs)
car a priori co = (a + b\/TÏ)/2 avec « et Z? de même parité (théorèmes 5.3 et 5.4). On voit tout
de suite que x = 3. y = 1 est solution de la dernière, et c'est la plus petite (attention : on ne peut
utiliser le théorème 4.6 car 4 > VT3) car les couples (x = l,y = 1 ) et (jc = 2, y = 1 ) ne
sont pas solutions, ils ne sont pas solutions non plus de l'avant-dernière. Enfin, les solutions des deux
premières ne sauraient convenir, car elles ne peuvent engendrer (3 + a/Ï3)/2 . Donc co = (3 + a/Î5)/2
et A| = {± ((3 + x/Î3)/2)" /n G z} .
5.22 1) a) En utilisant la règle de d'Alembert, on voit que le rayon de convergence de fq est +00 ,
tandis que celui de gq est \q\ .
b)Ona
donc :/,W=(l+ !)/,(!

200 Théorie des nombres
Par récurrence, il vient pour tout »€N :
*«-H)(,+?)-(,+?)A(?)-
Lorsque n —* +oc , fq U^\ —> 1 , donc /,(.v) = n^ f1 + "t) •
c) On a de même gq(x) = gq [ — ) H '-— . Donc, pour tout n G N,
gqW = 8q
U")+£**-
Pour ;z —> +oo , on en déduit go00 = Y^t^? —:
#" — x
d) En utilisant b), on a
Log(M-x)) = ±Log (l " |f) + ^ (/, (-^))
En dérivant par rapport à x , il vient
/«'(-s) -i
y^v ç«
/9(-^) <T
Or on a lim fq ( ) = 1 et lim /' [ - — ) = .
Donc
; on conclut grâce à c).
2)
+oc (_<£>)» +OC
a) g_v(-<S» = £ 02 _ = E ^73
^—i ^ ' ^—i
xfr» •
<£" _ -qr"
b) Si 0 = A/5 , en utilisant la question précédente et 1) d), on a :
®B& - ¥)/:*2($) + 4/-*2(<&) = 0 , d'où
+oo
A + Bn($> - ¥)
2 \H\ V '
4 + V"
^ (1 + $2)(1 - <ï>4) ... (1 - (-O2)»)
c) On a
X, = A(l + <I>2)(1 - <ï>4)... (1 - (-<ï>2/)
+ E (A + ^"(^ - ^(-^"(l - (-«Ê2)""1"1)... (1 - (-<ï>2)').
n = l
Donc, puisque A, 5. $ G Z ((1 + V^j/2) = Z(0>), X* G Z(O). De plus, en tenant compte de 2) b), _
on a :
1**1 ■
(1 + $'-)(! _$«)...(] _(_$2)*) £
(1 +<Ï>2)...(1 — (-O2)")
^(-*)"

Correction des exercices 201
+oc <&»
\Xk\<: Y, \A + Bn(<S>-V)\-
n=k+i (<&2*+2-l)...(<ï>2"-1)"
Pour À assez grand, on a <l>2; — 1 ^ f <ï>2 — - 1 pour y > k 4- 1 , donc
+ oo ^
|Xjt| < V k\n - k)- :
1 ' £-*< v 7Ô2- Ivt+i
.-*+. (0>2 -!)*+.... (1,2 -I)»
Mais
$2 - i ^ 1, d'où |^| *C *2 £+~+1(« - *) (zJrrr)' • Or *2 = $ + 1 , donc
v^ ( 2<ï> Y"
d'où le résultat avec c= > ml —
d) Puisque $* = ^ . on a :
x: = a*(i+^2)d - ^4)... ci - c-^2)")
jfc
n=l
Jt
Donc |XÎ| < \A*\ H(l -r k2!") + Yl (\A*\ ~ Bn<& ~ ^)) Il (1 + M'> ■ °r on a vu dans la
question 1) b) que le produit infini 1X^(1 t l^l") converge vers /i^_2i(1) . Donc
\x;\ < /r_2|(D (\A*\(k +1) + b^ -m^*±22)
et |X£j ^ c'/r pour /: assez grand.
e) Des deux questions précédentes, on déduit \N(Xt)\ = |^*^t| ^ cr'/:4 I — j . Donc
lim lN(Xk)\ = 0 . Or Xjt 6 Z(<ï>). anneau des entiers de Q(\/5) et par suite A(X*) G Z . Ainsi
A roc '
pour A' assez grand. Ar(X*) = 0 . et par conséquent X* = 0. Pour k assez grand, on a donc :
Il en résulte que
n " **-' = (iT^i-»),„(i-f-$-y) = ° pour k assez ^
Ceci est impossible car £ ^ 0 . et on a donc démontré que V^ —- 0 Q(a/5) .

202 Théorie des nombres
SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 6
6.1 Réflexivité : (.v 11 x) car .v - x = 0 G H .
Symétrie : si (x H y), alors .v — y G H =^> y — x £ H => {y H x).
Transitivité: si (xHy) et (vT^c;. alors a-v <E H et y—z £ H , donc (a-y)-r(v—-) = x — z G //
et (a K z) •
6.2 Montrons d'abord que 1Z est compatible avec l'addition : (a 7£ y) et (zllt) =ï (a — y) G //
et (Z - /) G // => (a - v) + (- - f) = ((a -J- -) - (y + f )) G H => (a + -) ft (y -r t).
On définit ensuite la somme de deux classes par x — y = x — y . Il faut d abord vérifier que à + y
ne dépend pas des représentants choisis dans les classes À et y : soit donc x' et y' deux autres
représentants : alors x' Il x et y' H y . donc (a7 -^ y') 7£ (a -{- y) c'est-à-dire a' — y' = a — y .
L'addition ne dépend donc que de la classe choisie, c'est-à-dire des éléments À et y de G/H . EUe
est commutative : x + y = a + y = y + a = y — à à cause de la commutath ité dans G . Elle est
associative : x + (y + z) = x + (y + z) = (x + y) + c = (À + y) -j- i à cause de Tassociativité dans
G . L'élément neutre est 0, où 0 est l'élément neutre de G . car 0 -f- À = 0 + a = À . Le symétrique
de À est (—a) , car y + (-a) = x -f (-a) = Ô .
6.3 II suffit de montrer que la multiplication est compatible avec 11 ; or (a TL y) et
{Z 711) ^ (a - y) G / et (z - t) G / . Donc -(a - y) = ^a - -y G / et y(z — t) = yz - yt G / .
Par suite (zx - zy) + (yz - yt) = zx - yt G / , donc {zx) Il (yt), c.q.f.d.
6.4 Soit a G Ax • Alors x/a = a{ + ySi y/d . avec (a{. ySi)) G Q2 .
Il vient a/a = [ai] + a2 + ([0i] + yS2)V^, avec 0 ^ a2 < 1 et 0 ^ f32 < 1 .
D'où y = fl([ai] + iPi]Vd) + fl(a2 + PiVd). Posons q = [a{\ + ]fii]y/d G A? , et
r = a(ai -f /3o\/d) = a + fiy/d. On a a = aq -r r , donc r = x — aq G Aj, et
|a| = |fla2|<M, |/?| = |«yS2| < |«| .
Démontrons maintenant le théorème 6.3. Pour tout x G Ak , l'égalité x = aq + r montre que
x — r — aq G aAk - Donc tout x G Ax est équivalent à un élément r = a + /3\/d G Ax, avec
|a| $J \a\. \/3\ ^ |«| . Or il n'existe qu'un nombre fini de tels éléments r . car a et j3 sont entiers
ou demi-entiers (théorème 5.3). Donc il ne peut exister qu'un nombre fini de classes d'équivalences, et
Ak/aAk est fini.
6.5 Supposons d'abord que p est premier, et soient à et b deux éléments de A/pA vérifiant
ab = Ô ; cela équivaut à ab = 0 (mod p ), c'est-à-dire ab = kp, A G A (car ab G pA ). Donc p|#
ou p\b (définition 5.2), c'est-à-dire a G pA ou b E pA, c'est-à-dire À = Ô ou b = Ô et A/pA
est intègre.
Réciproquement supposons A/pA intègre.
Alors (p\ab) => (ab G pA) => (ÂZ? = Ô) => (àé = Ô) =» (À = Ô
ou i = Ô) =^ (fl 6 pA ou Z? G pA) =£► (p|« ou p\b).
6.6 1) Si a = 0 (mod p ), il est clair que ap =0 = a (mod p ). Supposons donc a ^ 0 (mod p ),
ce qui revient à dire a G F* (en notant par le même symbole a et sa classe d'équivalence mod p ). ~
Soit A' l'ordre de « dans le groupe multiplicatif F* ; alors k\card F* = p — 1 (exemple 6.3), donc
en posant p — 1 = km :
ap~] = (ak)m = T = l(mod p).

Correction des exercices 203
2) On a c£ = (p(p - 1) • • • (p - k 4- l))/k\ pour 1 < k < p . Si k < p , A! n'est pas divisible
par p puisque p est premier ; donc le facteur premier p subsiste dans l'entier Ckp après division de
~P(p - 1) • • • (p - A: + 1) par k\ . Ainsi Ckp = 0 (mod p ) si 1 ^ k ^ p - 1 .
Le petit théorème de Fermât peut alors se démontrer par récurrence sur a , en remarquant qu'il est vrai
pour a = 0 , et que (a + l)p = ELo CX = aP + * (mod P )•
3) On a 561 = 3x11x17; modulo 3, on a
561 _ 3x11x17 _ 11x17 _ , 3x3+2x17 _ , 3 2X17 _ , 2X17 _ 17 _ 3x5+2 _ 5 2 _ 3
a = a =a = (a ) = (a • a ) = (« • « ) = a = a ^ = a • a =a
= a (mod 3)
car a3 = a (mod 3) par le petit théorème de Fermât. De même on démontre a361 = a (mod 11)
et a561 = a (mod 17). Donc a561 — a est un multiple de 3, 11 et 17 ; c'est un multiple de 561 et
a561 -o = 0 (mod 561).
Remarque : Les premiers nombres de CarmichaeL sont 561 = 3-11-17, 1105 = 5-13-17,
1729 = 7-13-19, 2465 = 5-17-29, 2821 = 7 ■ 13 ■ 31 . On ne sait pas s'il existe une infinité
de nombres de CarmichaeL
6.7 Montrons d'abord que / est bien une application de A dans B . Si (a, y) G A , on a
0 < x < -q, 0 < y < -p. px — q\ ^ ~o#' ^onc x' ~ ô^ + 1) ~ * entraîne : a)
x' > ~(a + 1) ~~ ^° > 0 : b) x' < -(q + 1) < -q car a' et -{q -f 1) sont entiers. De même on
montre 0 < y' < -p . Enfin on a
qy - px =q
^(p-rl)-v
- P
2^ + 1)-a
11 _ 1 1 1 _ 1 , / /, „
= 2^ ~ ô*7 + ^ ~ ?-v ^ ô? ~ 2P ~ 2^ _2P' C X ,3' ) G
Réciproquement, tout élément (a', y') G 5 admet un antécédent unique (a,y) G A par le même
calcul, (a. y) et (a', y') jouant un rôle symétrique.
6.8 1) Dans le produit (p — 1)!, seuls 1 et p — 1 = — 1 (mod p ) sont leurs propres inverses mod
p , car a2 = 1 (mod p ) 44> (.v 4- 1)(-ï — 1) = 0 (mod p ) <=ï x = 1 ou x = —1 . Si on regroupe
chacun des nombres k ^ 1 et / p — 1 avec son inverse k~l , on obtient :
(p - 1)! = 1 • k{k~lk2k2~] • ■•kE-1k~El1 - (-1) = -1 (mod p ).
2) Si p = 1 (mod 4), (p - l)/2 est pair et on a
(p_1)!sl.2...£^.(_lx_2v..(-£^l)S(-i)V((£^l)!y(modp)t
d'où le résultat.
6.9 1) On a oa = 1 et ^ = 1 (égalités dans ?„ ). Donc aa/3 = lp = 1 et bafi = 1 ; par suite
(ab)af3 = 1 (ou encore (ab)af3 = 1 (mod p )); donc l'ordre À* de ab est un diviseur de a/3 . Posons
A' = aiySi , où ai|a' et /3i\/3 . On a («£>/" = aaifBl b°lfBl = 1 : si nous écrivons a = a^a2 et élevons
à la puissance a2 . H vient 1 = aa'a^ ba^a- = (aaflbk0C2 = bk(*2 . Il en résulte que /3 , l'ordre de
b . divise ka2 . Or a2|a, et a et yS sont premiers entre eux ; donc fî\k . Par le même raisonnement,
a\k . Enfin, a et /3 étant premiers entre eux, a/3\k . Comme A|ayS , on a k = afî , c.q.f.d.

204 Théorie des nombres
2) On a xp~l - 1 = xdk - 1 = (xd - l){xdlk'l) + xd{k~2] - ■ • • - xd - 1) . L'équation
xp~x — 1 = 0 a exactement p — 1 solutions dans le corps 7y, (petit théorème de Fermât). L'équation
xd(k-\) _^_ xd(k-i) _j j_xd _j_ ^ _ q a aupius jfi _ i j solutions dans le corps Jp . Donc l'équation
xd — l = 0 a au moins (p — 1) — d(k — 1) = d solutions. Comme elle en a au plus d , elle en a
exactement d .
ak
Donc l'équation ,yp* — 3 = 0 a exactement /?£* solutions. Parmi celles-ci. celles qui ne sont pas
a% — 1 1
d'ordre /?"* vérifient a*7* —1=0, car leur ordre divise p°k : il y en a p"k . Donc il existe
exactement pakk — pj?_1 éléments .y de Fp qui sont d'ordre pp .
3) Cela résulte directement de 1) et 2) ; pour obtenir une racine primitive g , il suffit de multiplier des
éléments d'ordre p^1. /v p -y .
4) p — 1 = 40 = 23 ■ 5 . Recherchons d'abord un élément d'ordre 23, c'est-à-dire \érifiant a8 = 1 ,
y4 / 1 . On a x8 - 1 = (a4 - 1)(a4 + 1), donc .y4 + 1 = 0. Posant X = x2 , l'équation X2 = -1
peut se résoudre grâce au théorème 6.9 (mais c'est assez long), ou en remarquant simplement que
92 = 81 = -1 (mod 41). Donc X2 = -1 o X = 9 ou -9, donc .y = 3 ou -3 ou 9 • 3 = 27
ou -27. Cherchons maintenant un élément d'ordre 5 : .y3 — 1 = 0 o xA -f x3 + x2 + .y -f 1 = 0.
1 o,l
Cette équation symétrique se résout classiquement en posant u = x -\— . d'où u~ = .y" i—- + 2 , et
A A""
a4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 44> a2 + a- + 1 + ~ -r -4 = 0 <^> ir -r « - 1 = 0 .
A A-
A = 5 . En essayant un peu systématiquement, on voit que 132 = 169 = 5 (mod 41). Donc
u\ = = 6 et u-> = = —7 sont les racines de ir -r u — 1 = 0. On a en-
2 2
suite a + - = 6 <^> a2 - 6a + 1 = 0 : A' = 8 : or 7: = 49 = 8 (mod 41). Les solutions de
x
x H— =6 sont donc Ai =3 + 7 = 10: *•> = 3 — 7 = — 4 .
A
1
Enfin a H = — 7 o x~ + 7a + 1 = 0 : A = 45 = 9 ■ 5 : d'où les solutions de
1 *L -7 + 3-13 1Z. -7-3-13 ^ A. .
a H = — 7 : ai = = 16 ; A4 = = —2j . Ainsi x\.x->. A3. A4 sont
a 2 2
les quatre éléments d'ordre 5.
Pour obtenir les racines primitives de F41 . on multiplie les solutions de a4 — 1 = 0 et
y4 + a3 + a2 + a + 1 = 0 deux par deux. On obtient g = 6, 7, 11, 12, 13. 15. 17, 19, 22, 24,
26, 28, 29, 30, 34, 35.
6.10 1) On a ç(x,y) = (-*" v) ( 1 2 1 ( 1 - La matrice de la forme quadratique est
M — ( ] ^ j ? et en notant X = 1 ) , on a classiquement cp(X) = ' XMX .
Et puisque det M = ac — b2/4, A = -4 - det M .
2) Si Xf = I , j , on a X = UX', ce qui correspond à un changement de base dans R2 , de
matrice U ; d'où <p'{Xf) = lX'M'X', avec M' — *UMU . Ainsi ç et <p' sont équivalentes si,
et seulement si, leurs matrices sont liées par la relation M' = lUMU où U est unimodulaire. La
relation est donc réflexive : <p ~ ç car M = x IMI, où I = f j . Elle est symétrique car
M' = lUMU <^ M = *(U~l)M'U-1 et U~A = ( 5 ~q) est unimodulaire. EUe est transitive
K~r P
car M' = *UMU et M" = 'VM'V avec t/ et V unimodulaires entraîne M" = f(UV)M(UV),
ei UV est unimodulaire cai det(UV) = det (7 det V = 1. les coefficients de C/V étant entiers.

Correction des exercices 205
3) Si (p et ip sont équivalentes, leurs matrices vérifient M' = tUMU , avec U unimodulaire. Donc
det Mf = det M, et A' — A en vertu de la question 1. Cette relation pourrait aussi, bien sûr, se
"démontrer par un calcul direct à partir de (6.11).
6.11 Les carrés modulo 8 sont 0,1 et 4; en essayant systématiquement toutes les combinaisons
possibles, on voit que cr + b" + c~ = 0,1,2, 3,4,5 ou 6 (mod 8), donc n'est jamais congru à 7. Les
nombres de la forme Sn + 7 ne peuvent s'écrire comme somme de 3 carrés.
6.12 Soient x, x' G {0,1,..., ^j , tels que 1 +x2 = 1 + x'2 (mod p ). Alors x = xf (mod p )
ou a = —xf (mod p ). La seconde possibilité est exclue car \x + x'\ ^ p — 1 . La première entraîne
A' = x' pour la même raison. Donc les 1 + x2 , avec x G {0,1,..., —^ } sont au nombre de E^-
dans ¥p . De même les —y2 , avec y G {0.1 E-^r~} sont au nombre de ^- dans ¥p . Puisque
card ¥p — p , le principe des tiroirs montre qu'il existe un élément de ¥p qui s'écrive à lofais 1 +x"
et —y2 , donc 3(a\ y) tel que 1 + x1 = —y2 (mod p ).
26\ {2\{U\ , ^120{U\ , _i2oo (3\ \ {5
4d2 /13\
4 UJ
613 a) liîJ - UrJ liïJ - ^I2U liîJ = <-^ InJ = lis > = <-»
3
«(i)Kè)(i)-<-'-(?)'-^(n)KO(ïï
car 1 et 4 sont des carrés .
c) a2 + 7a — 2 = 0 (mod 31) ; A = 57 = 26 (mod 31). Il résulte de a) que 26 n'est pas un carré mod
31. Donc l'équation n'a pas de solution.
d) 2a2 + 5a — 1 = 0 (mod 37) : A = 33 . qui est un carré mod 37. La table 6.1 montre que l'indice de
33 relativement à la racine primitive 2 est 20. Donc 33 = (210)2 , et la table nous indique 33 = (25)2 ;
20 —30 15 22
les racines de l'équation sont donc a*i = — =5 et x-> = —— = = — = 11 .
^ 4 " 4 2 2
6.14 (12.31,21) - (12.7.2) - (2. -7.12) - (2, -3.1) ~ (2, ]. 6).
6.15 a) A = -3 ; a < ï/T/3.donc a = 1 .Donc b = 0 ou l,et b2-4ac = -3=>b=ltc=l.
Il existe une seule forme réduite, ç = (1.1. 1), et /?(—3) = 1 .
b) A = —12 ; a ^ \f\. donc a = 1 ou 2 : si a = 1 , b = 0 ou L seul b = 0 convient et c = 3 ,
d'où <p\ = (1,0.3) ; si a = 2 . b = — 1. 0. 1 ou 2, et -1 et 1 sont à exclure immédiatement ; b = 0
ne peut convenir, il reste b = 2 qui donne c = 2 et <£2 = (2.2.2). Il existe deux formes réduites, <pi
et pz » et h{—12) = 2 . La forme çtz est imprimitive car a. b et c ne sont pas premiers entre eux ;
toute forme'imprimitive est le produit d'un entier par une forme primitive (a.byc premiers entre eux) ;
ici ç^ = 2cr , où (p est la forme du a).
c) a = 1.2 ou 3. On obtient trois formes réduites cpi =(1.1.8), ç?2 = (2,1,4), <p3 = (2,-1,4).
6.16 Lorsque A = —7. a ^ y/T/2 , donc a = 1 et il existe une seule forme réduite : <p = (1,1,2).
Le nombre premier impair p sera représenté (nécessairement proprement) par une forme de
discriminant -7 (c'est-à-dire par ç . puisque toute forme de discriminant -7 est équivalente à <p ) si, et
seulement si. ~k G Zt tel que —7 = £2 (mod 4 p ) (théorème 6.14) <=> 3m G Z tel que —7 = (2m + l)2
(mod 4 p) <=> m2 + m -i- 2 = 0 (mod p ). A = — 7 . Si p — 1. A = 0 et l'équation a des solutions.

206 Théorie des nombres
Si /? ^ 7. (—j = ( — )(-) = (-D^C-l)^" (^) = (^) • Les carrés mod 7 étant
1, 2 et 4, on en déduit que /; est représenté par c si. et seulement si. p = 1 ou p = 1. 2 ou 4
(mod 7). Par exemple. 211=1 (mod 7), donc 211 est représenté par ç . Par estais-erreurs, on obtient
211 = i2 + l- 10 + 2- 102.
6.17 1) On a a — 1 ou 2: après calcul, on voit que la seule forme réduite est c = (1.0.2). et
h(—8) = 1 . Le nombre premier p est représenté par ç si et seulement si l'équation — 8 = k2 (mod
4 p ) est soluble, c'est-à-dire si et seulement si —2 = m2 (mod p ) est soluble. C'est le cas si p = 2 :
f-2\ P-i --i
excluant ce cas. on a — = (—1) - . Donc p est représenté par kd si et seulement si
V P J
p = 2ou/? = lou3 (mod 8).
2) La représentation d'un entier n par la forme quadratique .y2 + 2y2 est liée à l'anneau L^ — ^{i\[2)
du corps de nombres quadratiques K = Q(z y/2) . On a
N(af3) = N(a)N(/3) & (a1 + 2b2){c2 -f 2d2) = (ac - 2bd)~ -r 2{ad - bcf.
analogue de l'identité de Lagrange (6.1). En utilisant le fait que l'anneau Z(/V2) est euclidien
(théorème 5.16), on peut reprendre presque mot pour mot la démonstration du théorème 6.2. et on obtient
que rentier naturel n s'écrit sous la forme .r~—2v~ si. et seulement si. les facteurs premiers congnis
à 5 oui (mod 8; de sa décomposition y figurent avec un exposant pair.
6.18 1) Fo = 3 ; Fi = 5 : F2 = 17 : F3 = 257 . Rappelons que. pour savoir si un nombre .V
est premier, il suffit d'essayer de le dhiser par tous les nombres premiers p ^ \AY . Pour F3 par
exemple, il suffit d'essayer p impair ^ 16 , c'est-à-dire 3 5. 7. 11, 13 ; on voit ainsi rapidement que
F3 est premier. Cette vérification élémentaire devient fastidieuse pour F4 = 65 537, et impossible pour
F5 = 4 294 967 297 et Ft = 18 446 744 073 709 551 617.
2) a) On a Fn = 0 (mod p ), donc 22 = — 1 (mod p ) et en élevant au carré 22 =1 (mod p ).
L'ordre m de 2 dans ¥p est donc un diviseur de 2"+1 , donc m = 2k , k ^ n + l . Mais k ^ n est
impossible, car alors 22 = (22 )2 = 1 (mod p ), contradiction. Ainsi l'ordre de 2 dans Fp est
m = 2"+1 ; par suite 2n+1\p - 1 .
b) Puisque n ^ 2 , on a en particulier 8|p - 1 . D'où f — J = (-1)^~ — (-l)*(*_1) = 1 . En vertu
du critère d'Euler, on obtient donc 2^=1 (mod p ), donc 2"~! |^-—— et il existe un entier k tel
que p = k • 2/î+2 -r 1 •
c) D'après ce qu'on vient de voir, les seuls diviseurs premiers possibles de F4 = 65 537 sont de la
forme p = 64k + 1 . On se ramène donc à essayer les nombres premiers de cette forme inférieurs à
256 ; seul p = 193 pourrait convenir; comme 193 ne divise par F4 , F4 est premier.
Les diviseurs possibles de F5 = 4 294 967 297 sont de la forme p = 128/: +1 ; les premiers candidats
sont 257, 641, 769,... On observe facilement que F5 = 641 x 6 700 417 , donc F5 n'est pas premier.
Un calcul analogue, mais un peu plus long (utiliser un ordinateur travaillant avec 20 chiffres
significatifs) montre que F6 = 274 177x 67 280 421 310 721.
Remarque : Fermât avait conjecturé que tous les F„ étaient premiers ; c'est Euler qui a factorisé F5 .
grâce au critère démontré en 2) pour les diviseurs premiers de F„ .
6.19 1) La relation xp + vp + zp = 0 s'écrit xp + yp = -zp , c'est-à-dire
(x + y)(xp~l - xp~2y + xp-\2 - • • • + (-D'-y-1) = ~zp.
Les entiers figurant dans le premier membre sont premiers entre eux ; en effet, si h est un diviseur
premier commun à ces deux nombres, x = — y (mod h ), donc pxp~x = 0 (mod h ) en reportant

Correction des exercices 207
dans xp~l — xp~2y + • • ■ = 0 (mod h ) ; mais h ne divise pas .y , sinon il diviserait aussi v , et
^Ji / p, sinon p diviserait z . Puisque Z est factoriel, il vient x + y = tp , a77-1 — xp~2y-\ = tp ,
^ = —ffi . Par permutation des rôles de a, y, c, on obtient les relations d'Abel-Barlow.
2) Réduisons mod q l'équation xp + yp + ^ = 0 ; il vient xp + yp + ^ = 0 (mod g ), d'où, en
vertu de ( P ), ç|x ou </|y ou # |z - On peut supposer que q\x (alors q \ y et q \ z ) ; les relations
* + v = rp. y + z = rp , z + x = 5^ entraînent 2x = /p - rp + sp , d'où îp - rp + sp = 0
(mod g ). En utilisant de nouveau ( P ), on voit que q\t ou ç|r ou g^ - et les relations z = —tt\ ,
x = — rr\ , y = — ss\ imposent q\r , g f 5 , ç \ î. Donc y 4- z = rp => y = —z (mod g ) (*) ; de
plus xp + yp = ff(x + y) => y77 = ytp (mod # ) =* yp~l = tp (mod 4 ) (**) car q\x et q \ y ;
enfin (*) et yp_1 — cyp~2 + z2yp~3 = rp entraînent pyp~l = rp (mod <? ), d'où en utilisant
(**) ptf = rp (mod q ). Puisque q\z, q\h, donc h est inversible dans F* et on a p = (rit^~l)p
(mod # ). Ainsi p est une puissance p -ième (mod g ). ce qu'il fallait démontrer.
3) Il suffit de prouver que, si q = 2p + 1 , ( P ) est vérifiée et p ^ kp (mod g ). Vérifions d'abord
( P ) ; si q — 2p + l, p = , donc si x ^ 0 (mod q ), x~r~ = ±1 (mod q ) ; donc, si
x ^ 0, y ^ 0, - ^ 0 (mod ^ ), P7 + y*7 + cp = 0 (mod q) => ±1 ± 1 ± 1 = 0 (mod q ), ce qui
est impossible car les valeurs de cette somme sont 1,-1,3. -3, et q ^ 7 .
Montrons maintenant que p n'est pas une puissance p -ième mod q . Supposons au contraire
que p = kp (mod q ). Calculons le svmbole de Lesendre ( — 1 : par le critère d'Euler on a
W
±1 = ( — ) = k~^~ = kp = p (mod q ). Donc p = ±1 (mod q ) ce qui est impossible puisque
W
q = 2p+\;
4) Si <? = 4p - 1 . vérifions ( P ) : si .y ^ 0 , y ^ 0, z ^ 0 (mod # ), on a x2/? = ±1 , y2p = ±1 ,
z2p = ±1 (mod q ), donc a' + yp + zp = 0 (mod 4 ) => x2/? + 2x/7y/? + y2/? = z2p (mod q )
^> 4x2V;' = (z2p - x2p - y2p)2 (mod q ), d'où -4 = 1 (mod q ) si x2py2p = -1 ou 4 = 1 ou 9
(mod g ) si .v"/ïy2p = 1 (mod q ). Dans les deux cas. c'est impossible car q ^ 13 .
Montrons que p ^ kp (mod # ). Si p = kp (mod g ) on a ml =( — )=£ ^ = k2p ~ p2 (mod
q ). Donc g = 4p -t- 1 => 16p2 = q2 — 2q -f- 1 => =16 = 1 (mod # ) ^ g = 3, 5 ou 17, ce qui est
impossible car (17 — l)/4 = 4 n'est pas premier.
6.20 l) Les trois principaux exemples sont : a) A = Z , avec <p(r) — \r\.
b) A = A:< . X = Z(yfd). J = -11.-7. -3. -2. -1 , 2. 3. 5 et 13 (théorème 5.16). ç>(r) = |iV(r)|.
c) A = ~&[x]. anneau des pohnômes sur le corps commutatif X. a\ec (p(P) = deg P (division
euclidienne des polynômes).
2) Il s'agit de montrer que tout idéal d'un anneau euclidien A est principal. Soit / un idéal de A ; si
/ = {0} . alors I = 0 ■ A et / est principal. Sinon, soit a = 0 G I , tel que (p{à) soit minimal. Soit
a- G / ; en effectuant la division euclidienne de .v par a . il vient x — aq -r r . avec ^(r) < ç?(a) ou
r = 0 ; or r = x — aq G / car / est un idéal, donc *p{r) < (p{à) est impossible car <p(a) minimal.
Donc r = 0 . x = aq et / C o?A . Comme l'inclusion en sens contraire est vraie, on a bien I = a A ;
7 est principal, et l'anneau euclidien A est donc principal.
3) / est un sous-groupe additif de A car (ax -\- by) -t- (axf -t- byf) = a(x + x') + b(y + y') G / et
a(-x) — b(-y) G I . De plus, V:6Â. ^(a.y -r fcy) = fl(.Y-) + Z?(y~) G / : donc I est un idéal de
A.
Si A est principal, / est principal, I = dA . Donc d divise tous les éléments de I, en particulier
« (pour x = 0. y = 1 ) et b (pour a' = 1 . v = 0 ). Si a et b sont premiers entre eux, d est

208 Théorie des nombres
donc inversible, d — s . Puisque d G / , il existe A'o. vo G A- tels que cixq — byo = d = e, donc
a(xos~~l) + b(yos~l) = 1 ; c'est l'identité de Bézoul.
4) Si on examine la démonstration du théorème 5.15. on voit qu'elle repose entièrement sur
l'identité de Bézout. Puisque celle-ci est vraie dans un anneau principal, tout anneau principal est factoriel.
Finalement, on a donc A euclidien =^ A principal => A factoriel.
SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 7
7.1 1) Supposons que un+p = ap-uin+p-i + ap-2jjLn+p-i H r aoiin* a0 ^ 0 . Alors
+ oc p—\ +cx: p— 1 p +oc
fM = ^2 unxn = ^2UnX"+^2iinX"= ^2i(nX" "^ 2Z ^p-* J3 w»-^a'" =
p—\ p +oo p—1 p p~k~\
n=0 k=l n—p~k n=0 k = \ n—0
d'où:
p~\ p p~k~\
,n—k
i - ^2 ap-k*k /(*) = ^2UnX'1 ~ 5Z 5^ ap~^{"-x'n
Ainsi /(x) = P{x)/Q(x) est une fraction rationnelle, avec deg Q = p puisque û?o ^ 0, et
deg P ^ p - 1.
2) Réciproquement, supposons que f(x)=P{x)/Q{x), avec GW=Ef=o^-^ ^ ^»
on peut supposer qo ^ 0, sinon / ne serait pas développable en série entière ; alors
GOO/to = ELo **** Et" "«*" = PM
En regroupant les termes de degré n , on obtient Q(x)f(x) = Eto ^"A" • avec ùfl = Ef=o QkUn-k ■
Puisque deg P ^ p — 1 , on a a,, = 0 pour n ^ p .
D'où qoun= — Ejt=i QkUn-k • pour /z ^ p , et (w/z) est une suite récurrente linéaire.
Remarque : On observe aisément que la fonction génératrice de (m„) est une fraction rationnelle (sans
restriction sur les degrés de P et 0 ) si et seulement si (un) est récurrente linéaire à partir d'un
certain rang ;?o .
7.2 Posons vn(x) = fllLo^ ~f~ uk(x)) ■ Le calcul de l'exercice 3.4 montre que
n
\Vn+pW - Vn(x)\ ^ \wn+p(x) ~ W„(x)\ , avec Wn(x) = ]^[(1 + |wjt(-V)|).
A=0
On en déduit que i;,, converge uniformément vers / sur tout compact K de O. donc / est holo-
morphe dans Q (lemme 7.1). Pour démontrer (7.13), il suffit d'appliquer à v„ la règle de dérivation
d'un produit de fonctions :
vu*) = y, um{x) TTd+uk{X))=U.C0 y; "}{X),,,
puis de faire tendre n vers l'infini.

Correction des exercices 209
7.3 Posons a = — 1 dans la formule du triple produit :
-J-oo +oo
no-^)a~^"i)=n
(l - q2n)(\ - g2'1"1)
1 + q"
n=l #i=l
7.4 La fomiule (7.15) se démontre par des manipulations élémentaires analogues à celle de
l'exercice 7.3 :
no+?,!)2(i - qH)=ne+«"x1 - «'■")
11 = 1 n=l
+ DC
=n^1+«""xi+<?4"-3)(i+?4""')(i - ç2")
n = l
=n(i+^3^i+^1^1-^
-j-oc -j-oc — oc +oc
7.5 1) On a Y~^ — — = V^ q" S^ ^"<k ^ = T^ 5^ ^tf"* • L'interversion des sommations en
•/z=l ^ * ' «=1 *=1 n = l A = l
7? et k est légitime car la série double V^ V^ A' \q\nk — V^ , ... , est convergente. On a donc
« = 1 v 7 y *=l n=l JL=1
2) Uopérateur d'EuIer Dx=x-^- vérifie Dx(xk) = kxk pour tout k.
Ainsi D;03fe.*) = E,t" ^ "^'V'2 ; de même D,03fe, v) = £,t~ oo '"V" .
3) En utilisant (7.13) dans la fomiule du triple produit, il vient :
/-roc Tu— 1 +OÇ —1 2/z — 1
+°° v«-n-1 +oc ,-l_2ii-l
1 /z=l
+*<*■*> (g (1 *Ç-v + E (l;T-V-'y
.vç2""' tS x-V'
D'où l'expression pour DJ03(q,x). Le calcul de Dq6i(q<x) est analogue.
4) En utilisant 2) et 3), on obtient l'égalité demandée après simplification par 6?,{q.x).

210 Théorie des nombres
5) Simplifions le second membre de l'égalité obtenue en 4) : d'abord :
+oc / -in-3 An-\ \ ~»= 2n-\
(1 -^«)- 2-/Q -<p)^'
n = l « = 1
En utilisant 1), il vient
+ oc / ^4«-3 „ 4n-l \ -r30 ,„„« t^
-roc • „4m-3 „4n-l \ t^ „^n tx 2,
Ef __? ^ \ = y* m y^ ^
(*)
D'autre part :
±g (2k - Dg4""1 ^ (277 - l>y4""3
1 — aAn~l 2-^ i _ ff4#i-3
n=l i n=l i
= 1 tS A^-IX/-1 (4„-3)^-3\ _ 1 ^ / g*-* _ g^ \
2^\ 1 - q4»~] 1 - tf4»"3 J 2 ^ \ 1 - ^4""1 1 - tf4""3 )
n=\
1 +^ (2n + i^+i ^ ^+i
2^ 1 - Ç2"+! f2^ ; 1 - ^-i
n=0 ^ n=0 7
En reportant cette dernière égalité et (*) dans 4), il vient :
U^ > i _ ^2n+i I 2 l ^ 1 - ?" ^ 1 - q-n I 2 ^ J 1 - ç2'^1
Cette égalité équivaut à :
Ce qui démontre (7.20) grâce à (7.18).
7.6 La formule du crible se démontre par récurrence. Pour /? = 2 , on a
card (Ai U Ai) — card Ai + card A2 — card (Ai D A2)
car, lorsqu'on additionne card Ai et card A2 , on compte deux fois les éléments de Ai n A2 .
Établissons la récurrence ; on a
card (A]UA2U- • -UA„+i) = card (AiUA2U- • -UA„)+card A„+i-card ((AiHA^OU- • ^(A^flAn+i))
car la propriété est vraie à l'ordre 2. Par hypothèse de récurrence, il vient
card (At U---U A„+i) = ^ card A/ -J^card(AJ- nAj)-\ h (-1/1-1 card (Ai n---nAn)-
i = l i<j —
I ^card (Ai H A„+i) -^ card (A, H A; H A„Ti) + • • • - (-lfVard (Ai n A2 n ... n A„Ti) J.
\/=i /<j /
ce qui démontre la propriété à l'ordre n + 1 .

Correction des exercices 211
7.7 a) On a an+\ — 1 = a* — an , donc
1 1 11.11 1
T = ~~, TT = 7 • Par smte "" = 7 T '
fl„+i - 1 a„{a„ — 1) «„ - 1 an an an - 1 an+\ - 1
+oc 1
et la série TJ — apparaît comme une série télescopante, c'est-à-dire que l'on a
1 ^. . ^ 1 1
*+i - 1 ^-f fl/i «î - 1
;z = J
F1» —
^—' fln fll — 1 flA'
n=l
b) Puisque c ^ 2, al = <77Z+i H- a„ — 1 > an+\ + 1 et a2. > an+\ . Déplus,
fl„+i =aï—an + \ > al - 2an + 1, et a„+i > («„ - l)2.
Pour étudier la convergence de {un), on prend évidemment son logarithme :
n n
Log Un = 5^L°g û*/fl* = y^U*"
*=1 À=l
et on étudie la comergence de la série de terme général vk par la règle de d'Alembert. On a, puisque
a~ > an+\ > (a„ — 1)" :
ujt+i Log ak+i ak 2ak . 1 7 . -
= -, x < 7 7TT < 7^ pour k ^ 3.
+oc 5 +oc
Donc la série converge, et : Y^ u* = \] Vk + ^ Vk , avec
Jt=l À = l k=6
Finalement V rt < V t?i* T ^2^ x H < 1.0824 et ,,. < ,10824 < 2.952.
c) L" inégalité an-\ > (an~l)~ permet de démontrer facilement par récurrence que an ^2 +1 pour
n ^ 2 . Donc a* ^ « => 22 ~" + 1 ^ n , d'où 22 " ^ n , 2A~2 ^ log2 n , et A - 2 ^ log2(log2 /?).
7.8 Cette formule est basée sur la remarque simple suivante : si a ^ 2 est un entier naturel, la suite
1.2, n contient exactement [n/a] multiples de a , les nombres a. 2a, 3a y..., [n/a\ a .
Soit donc p un nombre premier: dans la suite 1.2 n . il existe [h/p] multiples de p ; parmi
ceux-ci, ["/p2] sont des multiples de p2. Ui/p3] sont des multiples de p° ... (on s'arrête à k
vérifiant pk ^ n . c'est-à-dire A' = \}°gp w] = [Log ri/Log p\ ). D'où l'exposant de p dans n!.
7.9
1) On a [ J]
>
M
car .y ^ [a] et la partie entière est une fonction croissante. De plus,
x < [x] + 1 , donc — < - 1 ; effectuons la division euclidienne de [x] par m : on a
m m m
m
suite
[-"N — et finalement [-1 =
1.
m
Donc — <
m
. Il vient alors
"M"
m
+
m
"W"
+ 1. Par
£[-l=£[-l<£-<M car $:I = l.
Z = l L J 1 = 1 L J Z = l l — 1

212 Théorie des nombres
2) En utilisant la formule de Legendre (lemme 7.3), on voit que
ion 1), il vient
, avec f3p= y^ {
n
.F.
h«]
k
-E
7=1
Ip'cij
donc 8(n)\C(n) en vertu de (7.26). et par suite <5(/î) ^ C(n).
3) On sait que, VX > 0,Log (\ + X) < X . Donc Log M + - J
x Log [ 1 + - ) < 1 . et
par suite ( 1 H— j < e . Ceci étant, on observe que, si n = o( , le résultat à démontrer est trivial.
Si n > flj , on a r - ^-g + r , avec 0 ^ r < a} — 1 , et q =
donc
n - ax + 1 ,
^ . Il en resuite
(||/fl,^),,/fl,
<
(n/«,)'
,«/«/
[w/«î] ["/a'] (07 - fl« + U/«/)(n"a'+1)/o'
- f^Y^ (* _n__\tn-ai+U/ai
\at-J \n n-ai + lj
/ 1W II—Û.- + 1 O:—1
\cii ) V n-cii + lj V ^' /
fez-D/a,-
4) La facteur de x"1*"2 ... x"kk dans le développement de (xj + *2 + ■ ■ ■ + a*)* est donné par le
coefficient multinomial n\/(n\\n2\... rc*!) - En remplaçant jc,- par m G N,
n*>
n\\m\...nk
,"l "2
On reporte ce résultat dans (7.27), avec w,- = [n/a,-] et N = n\ + ■ ■ ■ + «* ; on obtient, puisque
N <n :
„, x 7V!(/V + L)(iV + 2)... n NNn"~N nn
C(n) =
/il !/i2! • • -tikl
<
<
l\
En utilisant la question 3), on a n"1 >
î)7C)
(û,-D/fl;
, d'où le résultat.
5) On sait d'après l'exercice 7.7, question a), que 1 1- • ■ • H = 1 , d'où en
ai. a2 cik ak+\ — 1
introduisant ut défini dans l'exercice 7.7
C(n) <
(«!-])/«! Aak — l)/ak
"l ' ■ ' ak
k-\ + -
C(n) < /*"*+'-' x (en) ak+^~1 x (ukf

Correction des exercices 213
Or Gfc+i ^ n + 1 ^ 2 , d'où en utilisant la question b) de l'exercice 7.7 :
C(n) < eV+1(2.952)n < (enf^a°^,l)+3 • (2.952)"
en vertu du résultat de la question c) de l'exercice 7.7.
7.10 On sait que r>(rc) = 4(d\(n)—d^(n)) (théorème 7.3). Supposons d'abord que n ne contienne que
des facteurs premiers p\, /?2, •. • ? pk vérifiant /?/ = 1 (mod 4). Alors di(n) = 0 et on obtient d\(n)
en considérant tous les nombres de la forme p"1 pT~ ... p"k , avec 0 ^ at ^ a,- si n = pavx p^2--- plk -
On a donc #; + 1 choix possibles pour or,- , donc d\(n) = nf=ife + 1) > ce qui démontre la formule
pour nÇn) dans ce cas.
On peut ensuite procéder par récurrence sur le nombre k de facteurs premiers distincts #, = 3 (mod
4). Si k — 0, le résultat est vrai ; supposons le vrai à l'ordre k — 1 , et notons n = m • q'[ . Si s
est impair, rzin) = 0 de sorte que (7.29) est vraie. Si 5" est pair, on augmente d'autant le nombre de
diviseurs d = 1 (mod 4) dans n (en multipliant ceux de m par ql,qt,- • ,#£ ) que le nombre de
diviseurs d = 3 (mod 4) (en multipliant ceux de m par qi q%...., ^_1 ) ; donc 7*2(«) = /*2(»0 > ce
qui démontre (7.29).
7.11 On remplace q par g3/2 et x par —g1/2 dans la formule du triple produit de Jacobi :
+oc ? -foc
£ (-1^5** = rj(i - ?3"xi - ^-'xi - g3"-2).
n= —oc /? = 1
7.12 Dériver (7.17) par rapport à x faire ,y = 1 , puis remarquer que
+ oc +oo -f-oc
E nta-j-l) ^—^ nlfi+1) -r—v n(n— 1)
(-1)"<7 * (2n -M) = £)(-l)"(2n + l)q— T ^(_i)»(_2„ _ i),"!"
/!= —OC H=0 /I=l
et conclure en posant m — n — 1 dans la deuxième somme.
7.13 1) Puisque la série ^2j^ qk converge normalement sur tout compact de
+ OC
V = {q € C/ \q\ < l},g(q) = J^d - qk)
Jt=l
est holomorphe dans V (lemme 7.2), et ne s'annule pas dans V (exercice 3.4, question 2). Donc
/(?) = (g(q))~} est holomorphe dans V . et /(<?) = Ut^i1 + <f + q2k + q3k + • • •) , \q\<l,ou
encore
f(q) = d -? +q2-q3----)(l+q2- ?4 ^ ?6 + • • • X W ?3 + q6 + q9 ^ - • ■)•■■-
Chaque partition de 72 contribue pour 1 dans le facteur de q" ; par exemple la partition
5-p4 — 4 — 3-r2-r2 + 2 — 1 de n = 23 correspond au produit du terme q5 dans la 5ième
parenthèse du produit infini, par le terme qs = q4~4 dans la 4ième, par q3 dans la 3ième, par
q6 = g2-1-2-1-2 dans la 2ième, et par q dans la 1ère. D'où le résultat.
2) On a (exercice 7.11) ;
g(q) = g (_l)V,3"+,)/2 = g(-l)V««+»/2 + 2(-l)-"9_"(~3"+1)/2-
n= — oc «=0 «=1
Donc g(#) = y^jj^ a(n)qn . Puisque f{q)g(q) = 1 . on en déduit en effectuant le produit des séries :
YH=o ot(k)p(n — k) = 0 pour n ^ 1, d'où le résultat puisque a(0) = 1.

214 Théorie des nombres
3) On peut calculer facilement a(n) pour 1 ^ n ^ 12 . On obtient a(l) = a{2) = a{\2) = — 1 :
a(5) = a(7) = 1 ; a(/z) = 0 sinon.
Puis p(n) se calcule par récurrence : p(l) = 1 : p(2) = —a(l)p(l) — a(2)p(0) = 2 :
p(3) = -a(l)p(2) - a(2)p(l) - a(3)p(0) = 3 : p(4) = p(3j + p(2) = 5 :
p(5) = p(4) -r p(3) - p(0) = 7 ; p(6) = p(5) -r p(4) - p(l) =11:
p(7) = p(6) + p(5) - p(2) - p(0) = 15 : p(8) = p(7) - p(6) - p(3) - p(l) = 22 :
p(9) = p(8) + p(7) - p(4) - p(2> = 30 : p(10) = p(9) - p(8) - p(5) - p(3j = 42 :
p(ll) = p(10) + p(9) - p(6) - p(4) = 56 : p(12) = p(l 1) + p(10) - p(7) - p(5) -r p(0) = 77 .
7.14 1) En effectuant la division puissances croissantes de 1 par 1 + — + — + — -r • • • ,on
B0 = 1 ; B, = -\ ; Bî = \ : A = 0 : B4 = ~ : B5 = 0 : B6 = ±- .
2 o jU 42
obtient
2) a) En prenant le développement limité à Tordre 2 de îetx/(eT — 1), on obtient tout de suite
BQ(x) = 1 ; Bi(x) = x- -.
b) Prenons les dérivées partielles par rapport à x dans (*) ; il vient
V B'n(x)— = î V Bfn+](x) = î V B„(x) — . D'où le résultat.
*-^ ni ^-^ (n -r 1)1 ^-^ n\
n=0
c) /(O = -2-r - 1 + ir et /(-r) = -^- -l-\t. D'où /(O - /(-f) = -?+? = 0 et /
e' — 1 2 £f — 1 2
est paire. Puisque f(t) = \~\ Bn —- , on a bien #2p+i = 0 pour p ^ 1 .
H =2
d) En remplaçant x par 1 et t par — f dans (*), on obtient = y^(—l)nB„(l)— .
En comparant avec (*), il vient £„(0) = B„(\) pour n pair. Le résultat reste vrai pour n impair ^ 3
(question c). Enfin l'égalité Bn(0) = Bn résulte de la définition de Bn .
e) Par récurrence; c'est vrai pour n = 0 ; supposons Bn(x) = ^2l=o^nBkx"~k ■ ^n intègre en
n xn+l~k n 4- 1
utilisant b) ; il vient B„+i(jc) = (n + 1) Y" C^fl*—— r + fl„+i(0). Or C*+1 = —— -C* et
^ /ï + 1 - k n -f 1 — k
Bn+i(0) — Bn+\ , d'où le résultat.
f) Par récurrence; c'est vrai pour n = 0, Pour passer de n à n + 1, on intègre :
Bn+](x + 1) — B„+i(x) -f A = (« + l)x" , où A est une constante. Pour x — 0, on obtient
;4 = 0 , c.q.f.d.
Puis en sommant les égalités obtenues pour x = 1.2 , k , il vient
* 1
yy = —7(4+1»+« - a+i).
^ ' 77 -4- 1
7.15 1) p(A) = M8) = tf°) = M12) = 0 ; ^(2) = /t(3) = p(5) = /*(7) = p(ll) = -1 ;
/x(6) = p-(lO) = 1 -

Correction des exercices 215
2) Dans $2</|#i M*0/^ » ^es seuls diviseurs de /z = p"1 p"2... p?nm qui interviennent sont 1 et ceux qui
sont de la forme /?,-, pi2... pi} , avec pa ^ Pb si a ^ b . Donc
^ d V P' T^P'PJ P,P2...PmJ
(voir la démonstration de (7.21)).
m
3) On a de même ^ /*(</) = 1 ~ ]C * + ]C * = c™ ~ C/« + c« = (1 - If = 0, à
rf|/i i = l Kj
condition que n ait au moins un diviseur premier, c'est-à-dire n > 1 .
4)
E ^ © *<<*) = E ^)* ( J) = E /*<<*) E /<c> = E mwwo = E /<c> E /**>•
rf|« ^/|n d\n c\^ cd\n c\n d\-
Mais si c < n , on a. n/c > 1 et V~] M^) = 0 en vertu de la question 3). Le seul diviseur c de n
qui reste dans la somme est donc c = n , et on obtient Y^ /jl ( — ) g(d) = f{n) 2_\ J*(d) = /(«).
</|n d\l
7.16 Les diviseurs de n sont les abscisses des points à coordonnées entières sur l'hyperbole xy = >z.
Alors J2k=i ^W = ^(1)+^(2) H Hd(w) est le nombre de points à coordonnées entières non nulles
situés au-dessous, ou sur. l'hyperbole xy = n .
Parmi ces points, n ont pour abscisse 1, — ont pour abscisse 2, — ont pour abscisse 3, etc ...
Donc£Li^) = "+g] + [^
ï " El G [0, U P°Ur * = ! »2» • ■ ■ »w • D'où Eï=i <*(*) = ,z(1 + 5 + "* + i) +0(n) " °r
que la somme partielle de la série harmonique vérifie lim„^+00 ( M 1 H log/z = y,
constante d'Euler. Donc YH=i **W = "Log /? + 0(n). Voir [13], p. 264, pour une estimation plus
précise.
7.17 1) On a ns = esLo*n , donc si s=x + iy , ns = exL^neiyLoë" et \ns\ = ex^n = nRe s. Donc
Xl^JT V"5 existe si /?£ s > 1 et définit une fonction ((s). Pour montrer que £ est holomorphe
dans le demi-plan ouvert H, considérons un compact K de D ; Vs G /£ , on a /?£ 5 ^ 7?£ so > 1 .
Donc |l/n*| < |l/wJ°|, série convergente, et la série converge normalement, donc uniformément sur
K . Donc £ est holomorphe dans H en vertu du lemme 7.1.
2) Posons B2k(x) — cio + X]«=^ #« cos(2t77za) + Z?„ sin(27r/zA-).
fl 1 1
Onao0= / B2k{x)dx = — [B2l+i(x)]0 = 0 pour k ^ 1 (exercice 7.14, 2). c)).
jo 2k + 1
Pour n ^ 1 , an = 2 / I^Mcos^tt/za-)*/* . En intégrant deux fois par parties, tenant compte du
Jo
fait que Brn(x) = nBn-\(x) et Z?2*-i(0) = Bik-iW = 0 pour k ^ 2 , il vient
(2*)(2À-1) ,. 1N , lxJfc_12it(2A:-l)...4-3 /1N
««« = -—£—V-^an(k - 1 = (-if 1—^— -£— «„(1 .
on sait

216 Théorie des nombres
Le calcul de a„(\) est facile grâce à deux intégrations par parties successives (attention : B\ (0) :
1
ft(l) = - ), on obtient an{l) = 2
2 (2 77/7)
^ ;d'0ù«^) = (-l/-1-^^
"2 '
De manière analogue, on montre que bn(k)
{27rn)2k '
2 I B2kWsw(277nx)dx
■■f
+ oo
B2k(x)
(-1)*"1
k-\ 2(2/:)! ^ cos(2tt77x)
(2tt)'
.2*
E
pour /: ^ 1 . Pour x
= 0. D'où
0, on obtient
M) = (-l/-^f -En particulier, f<2) = f «4) = £,«Q = ^
3) Puisque p ^ 2 , on a
1 ^ 1
On observe donc que
-£ i
- +OC +OC +OC ,
— ,V-xV- = V-
_ _L Z_^ 2^"5 ^-—' 3ks ^ ns
k=0
où les m sont les entiers de la forme 2a3 . Plus généralement, si nous notons Sm l'ensemble des
entiers 2fll3fl2 ... p%? , où 2,3,..., pm sont les m premiers nombres premiers, on a :
11 1 _ _L 2^ ns'
k=l Psh neSn
1 +oc 1
Or lim ;► — = >^ — car
m—+oo *-^ ns *-^ ns
nesm
n = \ n€Sm
+ oc
^
Z^ w/fc* ^ Z-'
h£S„,
"=/Wi
Donc TT j- converge vers £(s).
7.18 l)Ona
précédent.
a(n)
<
D'où le résultat en raisonnant comme dans l'exercice
+oo +oo
2) F<s)G<s) = J2Yl
a(d)b(h) „ u. J 1 ,., . J J. .
. On obtient autant de termes en — qu il existe de diviseurs a de
(dh)s n* H
d=l h=l
n , la contribution de chacun d'entre eux étant a(d)b(h) = a(d) b(n/d) ; donc
F(s)G(s) = ]T lj2«WMn/d) j ^ , c.q.f.d.
n=\ \d\n J
+oo
fi(n)
+oo
3) On a £(s) S^ ^— = Y^ ( Y^ fi(d) -il — d'après 2), et ceci vaut 1 en vertu de la question 3)
de l'exercice 7.15.
«=l W|n
i pi <«»)
«f«"E &•> î-EÏ
« = 1 \ rf|H
+ OC
g>(w)
/Zv
Donc v ^ x as) = a* -1).
5)E^><Ei=E 5>»> ^7 =EJ -vertu de (7.23).
« = 1 /2=1 n=l W|n / «=1

Correction des exercices 217
+00 +00 +00 / \ +00
— n=l n—1 /t = l \ Jj« / n —1
7.19 En utilisant (7.28), on voit que, pour n > 2 :
(fLogg»)] \ / rLog(2n)] \ / |"Lo£(2h)]
n pLL°^j n pLLogpj yi pLLog^ j
p<v^] y \[v^]<^n y ^7<p<2"
< n ^ I f n p) ( n p) ^c^t^^wf n *)
\p<[VST] 7 V[^<^« / ^"</7<2" ' \n<P<2n /
Or il est facile de vérifier que, pour tout n ^ 8. 77(77) ^ —. En effet, la suite 9. 10, •■■ , n contient
n-8
au plus —-— nombres premiers (car 9 n'est pas premier et un nombre pair n'est jamais premier), et il
existe seulement 4 nombres premiers ^7. Donc pour tout n ^ 8 :
4n<fi(2n)<*5^^&)fi(n)( f] p ] < ^ogS+^LogCn) f J| \
\n<p<2n y \n<p<2n y
Il en résulte que :
\»</7<2« y
dès lors que n ^ 226, ce qui prouve qu'il existe au moins un nombre premier p entre n et 2/z si
n ^ 226. Une vérification directe montre que le résultat demeure vrai pour n = 2, 3, • • • , 225. Le
postulat de Bertrand a été démontré par Tchebicheff en 1850.
SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 8
8.1 1) Cherchons une solution de (8.4) sous la forme d'une série entière y = y^ anxn ,
71=0
-j-OC +DC
y — ^T^nanxn~x . y" = Y^«(" — \)anxn~2 ; en reportant dans (8.4), il vient
;z=0 n=0
-foc -f-DC ' +OC +OC +00
Y^ «(« - iK*rt-1 - 5^nfa ~ 1)fl"x"+c 5Z na»-v"_1 - («+^+1) X)nanX" ~ab^Z a"x" = ° •
n=l h=0 n = \ /î=0 n=0
Le changement de /z en n — 1 dans la première et la troisième somme amène la relation de récurrence
(n + l)(c + n)an-\ = (n2 + an + bn + a/>)fl,2 = (n + fl)(« + 6)a„ , d'où atl = —-^—~ao , et la série
(c)nti\
hypergéométrique est solution de (8.4).
c-\ ,c/..\ __ T7 I u ~ c-\~ l.b — c + 1
2) La fonction .tc_1/W - -- m
. = 2Fx(fl-
jc ) est solution de
jc(1 - x)v" -f (2 - c - {a + fc - 2c + 3)*)v' - (a - c + l)(fc -c + l)v = 0 .

218 Théorie des nombres
Donc
ï(l - jc) • a*"1 [(c - l)(c - 2)x-f(x)
+ 2(c - Dx"7'(*) + /"(*)] T (2 - c - (a + fc - 2c + SMx^Rc - Dx~7(j0
+ /'(r)] - (fl - c + 1)0 - c + 1)ac-7M = 0.
Après simplification par xc~l , un calcul facile montre que / est solution de (8.4).
3) Puisque f(x) ~ a1_c avec c £ Z, on a limT^0- /(a*) = 0 ou limr^0+ f(x) — +oc . Donc /
et i Fi ( ' a 1 sont linéairement indépendantes, et la solution générale de (8.4) est donnée par (8.5).
c — a,c — b\
8.2 Posons f(x) = 2F\
hypergéométrique. On a :
x (1 - xf
et montrons que / vérifie une équation
a(1 - *)(/(*)(! " x)a-b-c)" + (C-(2c--a-b + l)x)(f(x)(l - x)-*-*)'
(c-a)(c-b)f(x)(\-x)a-b-c = 0.
Après calcul, il vient a(1 - x)f"{x) + (c-(a+b- l)x)f'(x) - abf{x) = 0 .
D'où
/(je) = A2FX
(VI*)
+ fl*'-<2Fi'f-fl'C-
Puisque / est analytique (développable en série entière) pour |a| < 1, on a nécessairement B = 0 si
c est non entier, et le résultat demeure vrai pour tout c ^ Z~ par continuité. Pour a = 0 , on obtient
A = 1, d'où (8.6).
8.3 a) Pour |a| < b , on a
('-f)"î'(*^ï)+('-«"+»+'>f)"t(*;1f)-^(*.
''"(:hH"-.'t;10-
0.
-limfc_-rOC2F1/ f ^'
b \ c
En divisant l'équation précédente par b , on obtient
*0-ï)^
c
+ c
-(ï+i+ï)*)p"(v|f)-«(*/|i)^
d'où (8.11) en faisant tendre Z? vers +oo.
b) Pour montrer (8.12), même procédé que pour (8.5).
8.4 l)Ona ttt-\l-tf~y ~ ta~] et ta-\l-tf-x - (l-r/-1 , d'où la convergence de l'intégrale
définissant B(a, /3). De plus, Bip, a) = Z?(a. /3) grâce au changement de variable u = 1 — t.
J/'+oo P+oo
' e"^jca_1 Ja- / e~yyp~xdy : En posant a = h2, y = ir , il vient
o ./o
f-roo r+oc
r(a)r08)=4/ e~" u^-'di, e^v^dv
Jq Jo
r+oc r+oo
4/ / e-6,-+,r>H2-,^-1diidi>.

Correction des exercices 219
En passant en coordonnées polaires, on obtient
r(a)fC8) = 4
rr
Je=o Jr=o
e-'r3»™-1 cos2"-' esin^"1 0rf0 dr.
On pose a- = r~ ; T(a)T(f3) = 2 e~xxa^~ldx I cos2a~l 6
Jx=o Je=o
= 2T(a + f3) f2 (cos20)a~\:
Je=o
sm2a~l 0d6
sin2ef~lsm6cosdd6.
On pose enfin t = sûr 6 , pour obtenir T(a)T(/3) = T(a + f3)B(a, fi).
3) En itérant la relation fonctionnelle de F , on a T(a + n) = {a + n — l)(a+n—2)... oF(a), d'où
(à)n = —7^7—.— • Par suite
r(a)
fa\ \ = r(c)yS T(a+n) „
l\c\XJ T{a)f^n\nc + n)X
+oo
T(c) y^ T(a + n)T((c + n) - (a + n)) xn
D'après la deuxième question :
n=0
+oc , pi
T(c + n)
ClO-n^ôSGf^'-^S
T(.a)T(c ■
_iË_ /VVl ,.c-0-,^(^y.
n=0
ri
(l'interversion des sommes est légitime car la série V^ ta~l(\ — t)c~a~l ' converge normalement
pour t G [0,1], puisque
4) On a de même
/fl_1(l - r)c
-a-l(txf
fa,b\ \ _ m ^
'Ul'7 r(0)r(c-a)f-<
F(fl + n)r(c - a) b(b+l)...(b + n-l) n
n=0
T(c + n)
-b(-b-l)...(-b-n+\)
(-*)"
(t^- -b(-b - 1)... (-fc - n + 1),
T{a)T(c ■
T(c)
m àîI!r"~1(l -/)C"a_1 (2 "v " "'-'-" " " ' "(-txT 'df
r(«)r(c-a)7o
ï>jfr
'(1 - r)c_"_,Cl - tx)-bdt.
(a\ \ j T(c) /"
^V P IW(c - a) ./„
8.5 En utilisant le lemme 8.3, on a „* x , , ^ ,. -^ _, _,
r(fl)I (c — a)
Puisque >ff'j = ëRea (voir exercice 7.17. l));ona <?'*'" < 1 si Re a < 0, ëRe a < eRe a si
/?£ a ^ 0 ; d'où le lemme 8.4.

220 Théorie des nombres
8.6 Si n = — k + 1, — k + 2,..., — 1 ou 0, (n)k est nul et le résultat est évident
(n)k n{n + 1)... (n + fc - 1) ,
Si n > 0,
fc!
Jt!
;^-!€N.
Si n ^ -fc, -— = (-1) — = (-1) C_n G A.
Enfin, n(n - 1). . . (n - fc + 1) = (-l)ft(-rt)fc .
8.7 1) Prendre m — n,
1 \i /5831V
(-£)'
18-V V 183 J
multiplication par 18.
17 • T
183
—- dans le théorème 8.2. On a (miraculeusement !)
7 3/
= — v 17 , d 'où le résultat de la question 1) après
lo
2) Soit p un nombre premier différent de 3. Puisque 3 est inversible dans Z/'pZ , il existe m tel que
p\um ; puisque um+p = um (mod p ), les multiples de p dans la suite u„ se succèdent de p en
p ; par suite il existe exactement - multiples de p parmi les nombres iii.uj , iik - De même, 3
est inversible dans Z/p2Z , et il existe \ multiples de p2 parmi les nombres wi, uj: - - -, iik • • • •
Finalement donc, l'exposant de p dans le produit u\ui... uu est - + 4- + • • ■ , c'est-à-dire le
même que dans k\ (lemme 7.3). Donc u\ui... iik est divisible par k\/3a(k) .
Enfin a(k) =
3) On a
+
k k
^~3 + y +
-^
, d'où a{k) < k/2 .
2F1
-n, -n +
-2n
1 \ _ V"^ K~n
n
1^ (_„).(_„+!). !
2m)//! 183<
(~n)j (-3/2 + l)(-3n + 4)... {-3n + 3/ - 2) 1
1 ! (-l)f(2/i)(2« - 1)... (2/7 - ï + 1) (3 • 183)1"
En vertu de 2), i \/3a(i) divise (-3/2 + l)(-3n + 4)... (-3n + 3i - 2), donc il existe des entiers 8(1)
tels que
2F1
-n, —n +
-2/2
1
1
183
ô(i)n(n- l)...(/2-z+ 1)
3^')(2n)(2n
1
(2n)(2n - 1)... (2/z - 1 + 1) (3 • 183)1'
x. , „„ n(n-l)...(n-i+1) (2/7 - i)... (2n - i - 1)... (n 4- 1) „„_••
Déplus, C^-^2 ^—777—7-777 = ^ 7^ = C^ estunen-
2n(2n- 1)... (2/7 -î + 1)
tier. Donc qn G Z . De même pn G
4) \lFl[n + hn + \
2/7 + 2
(11-i)!
1
Ï83
* w^wi!m-tr(i-^y~idt °ri'étuded-
variations de t{\ — t) sur [0,1] montre que t{\ — t) ^ \ . De plus :
-îP>-ï?*o-i?r'<(
18j
183- 1
182 /
72 - ni V
183
183-1
D'où la majoration annoncée.

Correction des exercices 221
Ï8ï'-0r
Dn(-l)"(-n-
c,n V ■*J2n+i c, I n+ l,n+ —
_5)0nar.= ^^ + ^ ^ ^3
D„ ^ (\/3)" • (3 • 183)"C?n ; en outre :
|V J/2n+l| jt=0 V û / 3 k=0\ * J
1 / 3 /ï \n
En utilisant le résultat de la question 4), on obtient \rn\ < =- [ — — ) ,
comme
annonce.
6) Pour tout n , on a
q,i pn
qn+\ pn+\
D„Dn
+1
^0 en vertu du lemme
Qn+1(18-3) P„+i(18-3)|
8.1. Par suite l'un des deux nombres rn =qny/VÏ-pn ou rn+] = qn+\ — pn+i est non nul (sinon,
le système homogène de matrice ( ) aurait une solution non triviale, et son déterminant
Vtfn + l -Pn + lJ
serait nul).
L'irrationalité de \^V7 résulte donc du théorème 1.5.
Remarque : Bien sûr, cette démonstration de l'irrationalité de \/\ï est compliquée (on peut la
démontrer plus simplement en raisonnant comme au §1.1). Cependant, on a obtenu ici une très bonne
approximation diophantienne, qui nous permettra, dans le chapitre suivant, d'arriver à une mesure
d'irrationalité de \/Ï7.
8.8 1) On a ^-((1 - xf) = ^- (e^1"^) = Log (1 - *)(1 - x)a.
da
Donc Log (1 — x) =
da
2) Pour m = n , le théorème 8.2 s'écrit
i7 f-n,-n + a\ \ a r f -n,-n- a\ \
2/H -in \*)u-x)-2Fi{ _2n Y)
_ 2/.+1 (-!)"(-» -a)h,+\
C^Çtn + 1)! :
On dérive par rapport à a en utilisant les dérivées logarithmiques
F,
n + 1 — a, n + 1
2n + 2
d f -n.-n + a
d^2Fl [ -2»
v^ (-«)*&[(-« + «)*] *
t^ (-2n)t*! *
(—n. —n -h al \
-2* |*J
y\ (-n)iL(-n + a)k ( 1 1 1 A
^ {-2n)kk\ \-n + a -n + l + a "' -n+k-l+aj'
= E
(-«;*
t.=1(-2«M! Vf^-» + '
£
De même
da
-n, —h — a
-2n
(-");

222 Théorie des nombres
Il n'est pas nécessaire de calculer la dérivée du 2F\ qui figure dans le second membre, car le
produit (—n — a)2n-\-\ contient le terme (—a), donc s'annule pour a = 0. Pour cette même
raison, il suffit de calculer, dans la dérivée de (—n — a)2n+i » Ie terme où on dérive le (— a) :
~-(-n - a)2n+i = ~ K~n - a){-n - a + 1)... {-a - l)(-a + 1) ... (-a + n)]a=0 =
(-l)"+1(rc!)2 . Finalement, on a donc gn(x)Log (1 - *) - Pn(x) = x2n+l Rn(x), avec :
Qn{x) = 2Fl
-n, — n
-2n
™ (—n)k k
^k=° {-2n)kk\X
k
w-^MsÇz^y
Rn(x) :
<n\Y
Cn2n{2n + 1)!
1F1
n + l,w + 1
2n + 2
3) On remarque d'abord que pour k ^ 1, (—ri)k = (—n)(—n + 1)... (—n + £—!) =
(-\fn\/(n - k)\, (-2n)jt = (-l)*(2n)!/(2n - k)\. Donc
{-n)i
(-l)k(n\)2(2n-k)\
(-l)*(2#i -k)...(2n-2k + l)C£-_*a
C«nk\
{-2n + k)kCn2^lk
C»2nk\
{-2n)kk\ (2n)\k\(n - k)\2
. En vertu du lemme 8.5,
k— 1
'(-2/i)^
en posant Z)„ = 2"C£1 PPCM(1,2, ...,n), on a bien pn = DnPn{\) G Z et <?„ = DnQn{\) G Z
\2
(-2n + *)*/*! G Z , donc C"„ ( ")/:,, G Z . Par ailleurs PPCM(1,2,..., « ) V —— G N. Donc,
(—2ri)kk\ *r^i n — 1
'C^ PPCM(1,2,..., n ), on a bien pn
-Dn(nl)2 //1+1,/z + ll l\
1Q„(2/7-hl)!2 ! V 2/1 + 2 | 2J
de 2^1 donnée à 1
M ^ (2n + D! Z11 ... ,.,/. f\—l ,,
4) On a r„
22r+1
En utilisant la représentation intégrale de 2^1 donnée à l'exercice 8.4, 4), on obtient
fn + l,/i+ 1
2/1 + 2
et puisque t{\ — t) ^ - , 1 — - ^ - sur [0,1], il vient
n+ l,#i + 1
2/1 + 2
0
^ (2w + 1)! 9 A
^ (n!)2 "2'U
D'où, puisque Dn ^ 6nC^ (th. 7.5), \rn\ < (3/4)'1
5) Pour tout n , on a
Z)„D,
'nMi+l
^0 en vertu du lemme 8.1.
e„(i/2) p„(i/2)
|Q«+i(l/2) ft+i(l/2)|
Par suite, pour tout n , l'un au moins des nombres rn = qnhog 2 + pn ou r„+i = #n+iLog 2 + p„+i
est non nul. Puisque limn_^-f-oo rn — 0 , l'irrationalité de Log 2 résulte du théorème 1.5.
qn Pn
qn+\ Pn+i
Remarque : Ici aussi, l'irrationalité de Log 2 peut se démontrer plus simplement : si Log 2 était
rationnel, eLog2 = 2 serait irrationnel (théorème 8.5) ce qui est absurde. L'exercice 8.8 nous permettra
d'obtenir une mesure d'irrationalité de Log 2 .
Donc la série définis-
8.9 1) Si |jc| ^ k < 1 , on a pour n assez grand : — ^ 2 \x2
1 + axl I 1
sant f(x) converge normalement sur tout compact de D , et / est analytique dans D en vertu du

Correction des exercices 223
lemme 7.1. Et on a pour |.r| < 1 :
+00 9"+1
X"
/^) = ETT^r = ErT^ = /«
1 + ax
2) Par récurrence, on en déduit pour tout entier n ^ 1 : f{x ) = f(x) — /. p" ■ Supposons
fc_w 1 + ax2
P r- tn ai™ *, ^ _ P V- Donc f^) g Q, et D„/(A) G Z, avec
/(i)= j€Q. Alors /(_) = £-£-
<Z ' -^2*" ç fbJ2*+fl"
Mais le produit infini fl^o
converge vers une limite l ^ 0 (exercice 3.4).
D'où A, ~ qt- 2'+2+-+2"-1 = ^ • 22" , c.q.f.d.
+oc 2
3) Comme on a un "petit" développement de Padé à calculer, on peut se contenter du développement
limité de / à l'ordre 4 au voisinage de 0. On a
/(*) = t^— + TT"^ + °(*4) = * + (1 - «)*2 + «2*3 + °(*4)-
1 + ax 1 + ax"
On cherche Q(jc) = ax -f /3 et P(jc) = y* -f 5 tels que (ax -f f3)f(x) — yx — 8 = 0(jc3) , ce qui,
en annulant les termes de degrés 0,1 et 2, amène le système
-5 = 0
£-7 = 0
qui a pour solution évidente a — a — 1 , /? = 1 , y = l, 8 = 0. Ainsi, en effectuant le calcul du
développement limité à l'ordre 4 : [(a - l)x + l]/(x) — x = (2<7 — l)x3 + 0(x4).
4) Si /(^) est rationnel, on a Az/(i) G Z en vertu de la question 2). On remplace x par 2~2
dans la question 3) :
(a " D^r + 1
/(2i)-2i = (2fl-1)2^ + 0(^)
Multiplions par 22 • D„ ; le membre de gauche est un entier An et on a
An - (2a - l)-^r - —
ce qui prouve simultanément que lim,i_+3c A„ = 0 et que A,, / 0. Puisque A„ est entier, c'est
impossible et f(\)£Q.
Remarque : On peut démontrer que ce nombre est en fait transcendant (exercice 12.13).
5) a) Pour tout r G [0,1[, choisissons rj = 2/ (r -f 1). Alors pour tout x G C tel que |.*| < /-, on a
pour h fixé et n suffisamment grand :
2" 1
2 2 / i i \
1 + an+hx2"
<2r

224 Théorie des nombres
Donc ff, est analytique dans D. On a de plus :
j-oo 2" +00 7 d
fh (x) = 2^ — =- = y 2 >
n=0 d=l
où Z?j = 1 si d = 2" et 0 sinon, a = —a„+h si d = 2" et 0 sinon. Ainsi //, apparaît quasiment
comme une série de Lambert, et en procédant comme dans la démonstration de (7.9) on obtient :
+ oo -foo +oc / \ +oc
/* w = EEb"^)m_Ixmd = E Efcd^_1 K = E/*.**"•
Puisque bd = 0 si d ^ 2k, on obtient la majoration suivante pour |/?/j,/i| lorsque h est assez grand :
Log2 «
fc=0
b) Observons d'abord que :
x—\ — v—r ik+h v — / oh \ n
\Pn,h | ^ Yl !«*+* I ^ < E V * < " (^ j
/<■ (*2) - E i+«„+^2»+. - E i+^Vi*» - /*-i <*> !+*„_1X •
Il en résulte que :
h-\ 2k
Par ailleurs, on a comme dans la question 3 :
2
/* M = 7-T— + TT^ 2 + ° (x*) = * + 0 ~ *>)*2 + aW + O (x*) ,
de telle sorte que les approximants de Padé calculés en 3) restent valables si on y remplace a par an,
et on a :
[(a/, -\)x + l]fh(x)-x = (2ah -l)x3 + 0 (V) = x3gh (x).
Puisque a/T est entier, on remarque d'abord que gh (0) ^ -.
Par ailleurs, on peut majorer les coefficients du développement en série entière de gh ; en effet, en
notant :
*3gh m = yr qn,hx\ (**)
n=3
on a, pour tout 77 > 1 fixé, pour n ^ 4 et h assez grand :
2h ( 2h\n~l { 2h\n ( 2h\"
\qn,h\ = \{ah - l)p«-i,/z + pn,h\ ^ V (n - l) \rj ) + n (77 J ^ 2n (^77 J .
I . 7h ~
Choisissons 77 = 25. Pour /z assez grand, il vient en remplaçant x par 1/2 dans (**) :
ar-(an-Gr(-*g-an-

Correction des exercices 225
Or on voit que :
(n-3).2h
-+-00 / 1 \ in—3).z -t-oo x i \ in —jj.2 o -hoc
s*.. <5>(<TG) «(0'e-(!)
^v (n-3).2*
€
-œ'-ar
Puisque Ç3,/7 = 2a*, — 1 ^ -, on en déduit immédiatement que, lorsque /? —► +oo :
Supposons maintenant que /c
r°G) = i
est rationnel. Alors, par (*) :
h
G) HG)-!^
«A
est rationnel également En notant Bh = nî=o (22* + fl*J = 22' l IIit=o f1 + ~^f) ' ^ est cla*r 9ue
PBhfh
G)
est entier et que Bh ^ C?22 . Multiplions maintenant l'égalité :
:«-»G)'-]*(G)>a)*"ar-(G)')
par /3Bh22\ nous obtenons finalement £„ = /3Bh22' ( - ) g/, I ( - )
Or (* * *) montre d'abord que Eh ^ 0. De plus pour h assez grand :
\E„\ < \/J\ C222-2".2(2ah - 1) Qj < 4|/?| C2 (|)
Ainsi lirriA—+00 £n = 0, contradiction.
où Eh est entier.
8.10 l)Ona g„(qz) =
1
1 Z-qn
8n(z).
(qz -\){qz-q)-- {qz - q") qn qz - 1
En posant gn (z) = Y^h°Q cin (k)zk, qui converge pour \z\ < 1, la relation précédente se traduit par :
+oo +oo
qn {qz - 1)^2qkan (k)zk = (z - qn) ^a« (k)zk.
it=0 A:=0
En développant et en effectuant un changement d'indice, il vient :
-j-oo -|-oc +oo
-j-OO
^ 9-*fll, (k-l)Zk-J2 l"+kOn (*) Z* =£>(*" 1) Z* ~ £ <? O» (*) «*■
Jt=l
Jfc=0
<?n+* - 1
Par identification, on en déduit que, pour tout k ^ 1, an(k) = _ f h -^an (k — 1).
qn (qk -1)

226 Théorie des nombres
Puisque an (0) = (—l)n+ q 2 , il vient finalement :
,,,_ (~1)"+1 {qn+k-l){qn+k-l-l)--{qn+X-\) (-!)"+' (» + *),!
ûn ( } q"-^+nk {q* - 1) (9*-i - 1) ... (9 - 1) ç^+-* MV '
2) a) Notons hq (z) = —n tt~^ , ^- On a :
Zn+1 (z - 1) (Z - q) ■ ■ ■ (Z - q")
n
In (x) = ]TRes (hq,qk^j + Res {hq, 0) .
Jt=0
Il est clair que :
Re.(h n*\ = E* W)
Kes ynq, q ) ^+i)fc ^ _ ^ ^ _ ^ ^ _ ^ ^ _ ^ ^ _ ^
= (l+x)(l+gx)---(l+/-'x)
?(«+D* [qk _ !) (ç* _ ?) ... (g* _ ?*-i) (qk _ ?*+i) ... (qk _ ?«) « W
_ (l + x){l+qx)---(l+qk-lx)
ç(«+i)tg—2~ (qk-l) (qk-i -l)--.(9-l)9*(»-«(l - «) • ■ ■ (1 - ?"-*)
_(-iy-*d+*) g+<?*)■• ■(! + <?*-'*) F
q™-^kq\{n-k)q\
Le résidu de hq en 0 sera le coefficient de zn dans le développement en série entière de Eq {xz) gn (z) -
Celui-ci vaut :
n n_ic
Res(hq,0)=Y,*n(k)-?-—
On voit donc que /„ (x) = Qn (x) Eq (x) + Pn (x), où Pn et Qn sont donnés par (8.19).
2) b) On a immédiatement :
1 +00 • „ £ j \ fc i +oo £
/n(X) = 27^ ^ UCn z"+'(z-l)(z-<?)---(z-<?») J M = 2Î^ S^ V '
_2_
Or, en notant T„ le cercle de centre O de rayon -j— ^ parcouru dans le sens trigonométrique
et en effectuant le changement de variable t = -, on voit que :
z
zk~n~ldz f t2n~kdt
Jk ■
f zk-n~ldz f
JcAz-l)(z-q)---(z-q») L
cn (z-l)(z-q)--'(z-qn) JTn <l-t)<l-qt)...{\-qH)
Or le seul pôle de l'intégrande intérieur à Tn est 0, et encore uniquement si k ^ 2n -f- 1. Si k ^ 2n,
Jk = 0 . Par conséquent /„ (x) = x2n+l fn (x), où :
1 +0° x*-2"-1
Il en résulte que Qn et P„ donnés par (8.19) fournissent les [n/n] approximants de Padé de la
fonction q -exponentielle. En outre il est clair que :
/n(0)=J 1 f dl = \ ^0 (*)
JnK ' 2i*r(2n+l) Q\Lt (1-0(1 -qt) •■•(!- ?"0 (2n+l)„r

Correction des exercices 227
c) Si z e Cn, on a \z\ - \q\m ^ \q\n+l - \q\n ^ \q\" pour tout m ^ w, donc pour k ^ 2» +4
. |(n+l)(fc-n-l)
i*i <2^i^r1 , ,^+1) <2-kin+1 ^+,^-lî-
-H en résulte que :
l/„MKkl £ tw, -kl lj(t + 2ll + lw
kl"+1 r /i .+.i\
ur
' ri i
3) a) Comme pour les coefficients binomiaux classiques (qui se retrouvent quand q —» 1)
s(n-1) + (n~l) =«* (""1V + (n"lv
= An-^1 w> («-*'-1) + («* - i)i = (<-1v^-1) = M
Puisque I I = I 1=1 Pour t°ut «i ceci montre que (
b) On a :
2O2+I) " (-1)""* /n\ / v , \
*„(*) = « 2 E lt_ta=a(J (i+*>a+«*)••• (i + «*_1*)-
fc=o q 2 \ / q
r ^ , k(k-l) . , ,«(3/2 + 1)
Or pour A: = 0,1. • • • , n, 2/î/: est maxrmum pour k = «, et vaut alors .
Par conséquent Bn G Z[x]. De même on a :
De la question 2)c) on tire alors, pour tout jc ^ 0 :
»(3n + l) \a\n+l /l ..IN n .,
|A (x) £, (*) + ^ (*)| < nq\ \q\ 2 _J2J__£k| (|^»+' |) \x^ .
Mais on a :
K-'l ^ (kl +1) (kl2 +!)■•■ (kl" +1) < ( II (' + M ) ) M-5- •
Tandis que, pour tout « assez grand :
(2n + 1)W! = (k| - 1) (k|2 -])••■ (kl^1 -l)>\ kl<2"+2"2"+1> ff 0 - l«l"*) "
Jfc=l
D'où le résultat.

228 Théorie des nombres
c) Supposons que Eq (-) est rationnel, égal à —, yS > 0. Alors Eq ( —- I est rationnel
nap+gr)
car :
)+oc ,
n(fi+l)
*q
Si nous posons D„ = fi n*=i (r + s*?*) , il est clair que DnEq I —- ) G !
»(«+i) ^ / \r\ i\ , "M
|^|^s"i8|?|-5-n l + ^M -k)^C's"/3\q\ —
k=l ^ '
Nous voyons donc que les nombres Kn et Ln définis par :
G)
et:
n+i)
Ln = 5-+Vw+"ft A+i
+ A7J+i
^# / \scin j \scr
sont des entiers. Or pour tout n assez grand on a d'après la question précédente :
2h + 1
\Kn\<Cs«\qf DnEw{^\)
[ |LB|<Cj»+M9r+I)ft£kl(|^|)
sqn
2n+3
(**)
Compte-tenu de (**), dans les deux cas, le facteur du second degré dans l'exposant de \q\ est ——
Ainsi Kn et Ln tendent vers 0. Puisque ce sont des entiers, on a Kn = Ln = 0 pour tout n assez
grand. On en conclut que :
= 0.
pour tout n assez grand. Contradiction avec le lemme 8.1, compte-tenu de (*) ; on notera que
Qn (0) ^0carP„ (0) ^ 0 et Eq (0) # 0.
SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 9
9.1 Supposons que a, algébrique, admette deux polynômes minimaux Pa et Qa ; on a donc
Pa / 0, ga / 0, Pa(a) = 0, Qa{à) — 0, et puisque Pa et Qa sont de degré niinimum, '
deg Pa < deg Qa et deg Qa ^ deg Pa , donc deg Pa = deg Qa .
Posons Pa(jc) = xd + ^_,jcd_1 + ••• + a0, Qa(x) = xd + bd-\xd~l + • ■ • + fc0 : alors
R[x) = fe-i — bd-\)xd~l + h (#o — bo) est non nul puisque Pa ^ Qa , et vérifie /?(«) = 0 et
deg R < deg Pa . Contradiction.

Correction des exercices 229
9.2 1) Si Pa était réductible, on aurait
pa(x) = Q(x)R(x), avec g, R G Q[x], deg g ^ 1, deg R ^ 1 . D'où g(<*) ou P(a) = 0, contra-
dietion avec le fait que Pa est de degré minimal.
2) Effectuons la division euclidienne de P par Pa - On a P(jr) = Ptt(*)gM + W. avec
deg R < deg Pa. D'où R(a) = 0, et R . = 0 puisque Pa est de degré minimal. Ainsi
P(x) = PftOOgOO. Puisque P est irréductible dans Q[jc] , il en résulte Q(x) = constante = q
( Pa ne peut être constant car Pa / 0 et Pff(a) — 0). D'où P(jc) = P«(v) - # . En identifiant les
termes de plus haut degré, on obtient q = 1 , c.q.f.d.
posons d — deg P , Q{x) = -x*7 + • • • , P(x) = — xd ç + • • • , on a —— G Z,on peut donc
b b' bb'
écrire P{x) = go(x)Po(*), avec go(*J = Tnx<i H » Ro(x) = xd~q H- ■ • • , c'est-à-dire que les
9.3 1) Supposons que PÇx) = Q(x)R(x), avec Q,/? G Qpt], deg g ^ 1, degP>l . Si nous
_xH..,,W,_^ + ..,0na_.
bb'
coefficients des termes de plus haut degré de go et Po sont des entiers relatifs. Soient a\,..., aq les
racines de go dans C , û^+i, ad celles de Rq ; alors ai, aq sont racines de P(x), ce sont
donc des entiers algébriques. Donc les coefficients de go(*) = ti~(x — a\)... Çx — aQ) sont entiers
bb'
algébriques en vertu du théorème 9.4; puisqu'ils sont aussi rationnels, on a go G Z[jc] . De même
Po G Z[x].
2) Supposons que P est réductible dans Q[jc] ; en vertu de la question 1), il existe g,P G TL\x\
tels que P{x) — Q{x)R{x) avec deg g ^ l,degP ^ 1 . Si nous notons 77 la classe de n modulo
P » Q(x) — âo + â\x H- ■ ■ ■ + jc9, P(jc) = Z?o + ^ïjc + • • - + xrf~9 , en réduisant modulo p on
obtient xd = Q(x)R(x). Cette égalité dans l'anneau ¥p[x] des polynômes sur le corps F,, entraîne
Q(x) = xq, R{x) = xd~q . Donc ao = bo = 0 (mod p ), ao&o est un multiple de p2 , contradiction.
9.4 1) Soient a et b les dénominateurs de a et /3 , et /?/ = PPCM{a b). Alors 77zof = m'{aa) et
mfi — m"{ba) sont des entiers algébriques en vertu du théorème 9.4 (produit d'entiers algébriques) ;
donc m(a + fi) est un entier algébrique (somme d'entiers algébriques) et a + fi est algébrique. De
même abafi est un entier algébrique, et a/3 est algébrique.
2) Si a et /3 sont algébriques, a + /? et a fi sont algébriques. De plus, —a est algébrique car
«o + a\ a + h adad = 0 => ao - fli(-a) + a2{-af + (-l)dOd(-a)d = 0 ; si a ^ 0, 1/a
est algébrique car ao(l/a)d + a\{\/a)d~x + • • • + û^ = 0 . Ainsi Q est bien un sous-corps de C .
9.5 Supposons que a admette une mesure d'irrationalité /x et soit un nombre de Liouville. Pour tout
n assez grand, il existe un ratiomiel p/q avec q ^ 2 , vérifiant
qv ^
1
< —
q"
D'où 0 < C ^ q* n . Contradiction lorsque n —► +oo .
9.6 Supposons que fi(a) < 2 . Soit /jl G]fi(a), 2[, fixé. Puisque fi(a) est la borne inférieure de toutes
les mesures d'irrationalité de a , on a
«-£
C
^ —, où C est une constante. Prenons p = Pn ,
4^
(7 = gn ..où Pn/Qn est la 7ï-ième réduite de développement de a en fraction continue régulière. En
utilisant (4.8), il vient
1
é<
Qn
<&-
D'où 0 < C ^ Qn . Puisque ^ — 2 < 0 et Qn —> +co , on aboutit à une contradiction.

I
230
Théorie des nombres
9.7 II s'agit de démontrer n + 1 ^ 3y/n\, Vn G N . La propriété est visiblement vraie pour n — 0 .
Si nous supposons n + 1 ^ 3y/n\ pour n ^ 1, alors
n + 2^3v/^! + 1^4v/^U . 4 V(/7 + 1)! < ^(,1 + 1)! <3\/(w+l)-',
V w + 1 l
et la propriété est démontrée par récurrence.
9.8 On a (1 + xfn = Y,lU C2n*k , donc J2T=o C2n = 22n = 4" . Par suite C£, < 4" .
Puisque |#„| ^ £ ■ C^n!, il vient \qn\ ^ e ■ 4nn\, et il reste à démontrer que 4ne ^ 30n!, Vr6N.
C'est vrai pour n = 0,1,2,3 . Pour n ^ 3 , on a
4w+1e < 4 • 4"e ^ 4 • 30 • n! < (n + 1) • 30n\ ^ 30(n + 1)!,
et la propriété est démontrée par récurrence.
9.9 1) Soit fin) = ^ t 1+^' = ?—— . On a lim^+oo f(n) = 0 , donc f{n) est borné sur N et il
existe Ci > 0 tel que fin) ^ Ci,Vn e N.
2) On a vu que |^„| ^ e • 4"/?! (exercice 9.8). Soit <p(n) =
limn_>+00 ç>(n) = 0 , <p(n) est borné sur N et e --Ann\ ^ C2(n\)}+V .
e-4nn\ _ e-4n
(n\)l+-n ~ (ni)7*
. Puisque
3) Appliquons le théorème 9.7 avec g(n) = n\, a = 1 + 17, £ = G, A; = C2, £ = e (voir 9.14),
h = 1 + 77. Alors \e — —\ ^ — avec (jl = (1 +17)3 + 1. Pour e > 0 donné, choisissons 77 de telle
I q\ q11
sorte que /x ^ 2 + e (c'est possible car lim^o fi = 2).
Ce choix étant fait,
Cis)
^ -^— pour tout rationnel p/q avec # > 0.
Remarque : C(e) peut être calculé explicitement en fonction de s ; en effet, on peut calculer
numériquement une valeur de 77 pour e > 0 donné. Ceci fait, G et G peuvent se calculer, ainsi que C(e),
en utilisant un programme informatique simple.
9.10 Supposons que l'équation (9.25) admette une infinité de solutions {xn,yn) • Alors
limn-^+oo \yn\ = +00 ; en effet, dans le cas contraire, la suite (yn) ne prendrait qu'un nombre fini de
valeurs b\, Z?2, • • ■, bx , et (9.25) se ramènerait à un nombre fini d'équations Yl1=o aibdj~lxl = k ,
chacune d'entre elles ayant un nombre fini de solutions en jc , contradiction. Ainsi lim^^+oo \yn | = +00 .
Or (9.25) s'écrit V^ ai I — ) = —7 . Donc limfl^+oo P { — ) = 0, et on peut trouver deux
i^ \y»J y» \ynj.
sous-suites (pm) et (qm) de (xn) et (yn), et une racine a de P, avec limm^+oo —=a,
qm
limm^+oo \qm\ = +00 . Alors a est algébrique de degré d ^ 3 , puisque P est irréductible dans
Q[X] et P'ia) 7^ 0 (sinon a serait algébrique de degré ^ d — 1 ). Pour m assez grand, on a donc
"*l^l>0,«
-(£)
(£)-«•»-**(£-) t- S (-)'"""'

Correction des exercices 231
Lorsque m —► +og, YJa/ Z~l ( ) a' * *' ~> Z_.aii°L * = P(a) ■ Donc pour m assez grand,
i=0 j=0
>
P'(a)
, c'est-à-dire
9.9, il vient pour tout m assez grand :
£
2k
P'(a)
\qi
te»
|i+f
^
2k
P>(a)
\é
d'où 0 <
C P'(a)
2k
. Utilisant le théorème de*Thue
^
te*
Or — — 1 ^ - car d ^ 3 , et lim,„^-|_oo |#m| = +oo , d'où contradiction en faisant tendre m vers
-j-oo . Ainsi (9.25) n'admet qu'un nombre fini de solutions.
9.11 1) On peut procéder ici de manière élémentaire. Soit y = a + /3 ; on a (y — \/2) = 3 ,
d'où (y3 +67 — 3) = y/2(3y2 + 2). En élevant au carré, on voit que P(y) = 0, avec
P(x) = x6 - 6xA - 6x3 + 12*2 - 36jc + 1 . Il s'agit de montrer que P est irréductible dans Q[x].
Le critère d'Eisenstein ne s'applique pas, mais on peut raisonner de la façon suivante; il est clair
par construction que les six racines complexes de P sont xi = yfï. + y/?>, X2 — V2 + j\/3,
jC3 = V2 + j2V3, x4 = -v^ + v^, x5 = -y/î + jjfi, x6 = -V2 + j2^39d
P(x) = (x — x\)(x — xi)(x — xi)(x — x^)(x — xs)(x — xe) . Si P était réductible dans Q[a] . on pourrait
regrouper un, deux, trois, quatre ou cinq des facteurs de telle sorte que leur produit soit à coefficients
rationnels, ainsi que le produit des facteurs restants. Par exemple, on aurait Q(x) = (x — xi)(x — A3)
et R(x) = (x — X2)(x — X4)(x — Xs)(x — xt) ; sur ce cas particulier, on en déduirait x\ + A3 G Q
et A'2 + X4 + *5 + xe G Q . Or il est vite vu que ces sommes de racines ne peuvent déjà être réelles
que si on les regroupe de façon à éliminer les j , par,exemple xa + Xb + xc avec xa = ±\/2 + y/3,
Xb = ±\/2 + jy/ï , xc ± y/2 + j2 y/% ; mais dans tous les cas la somme est irrationnelle, et P est
irréductible dans Q[x] ; c'est donc le polynôme minimal de a + /3 .
2) En reprenant la démonstration du théorème 9.4, on voit qu'un polynôme annulateur de a + f3 est
P(x) = ((a - if + (x - 0 + 1)((jc + if + (a + 1) + 1)
P(x) = x4 + 2a3 + 5a2 + 4x + 1.
Il est facile de voir que P est irréductible dans Q[x] (ou, ce qui revient au même, dans
exercice 9.3, 1). Si P était réductible, on n'aurait que deux possibilités :
P(x) = (a + a)(x3 + bx2 + ex + d)
P(x) = (x' + ax + b)(x" + ex + </).
[a] , voir
(*)
avec a.b^c^d G Z .
Le cas (*) est impossible ; en effet, il entraîne ad = 1, donc « = 1 ou a = —1 , ou ni 1 ni —1 ne
sont racines de P .
Le cas (**) est impossible ; par identification, il entraîne bd = 1 ; bc -f ad = 4 : a + c = 2 .
La première équation implique b = d = 1 ou b = d = — 1 ; dans les deux cas, on obtient une
contradiction en reportant dans la deuxième équation.
Donc P , irréductible dans Q[x], est le polynôme minimal de / + j .
3) Les polynômes Pi (a*) = a'3 + a + 1 et Pi{x) = x3 + x2 + 1 n'ayant chacun qu'une racine réelle,
1 3 1 0
on voit que P = — -Or ar+a + l=0=> — = —1 — ar, donc
a + j3 = a-\
(□)

232 Théorie des nombres
En élevant au carré, on obtient y2 = a4 — 2a3 -\-3a2 ~2a-\-l .Mais a3 = —a—1 et a4 = — a2 — a ;
en remplaçant, il vient
y2 = 2a2 - a + 3. (□□)
Le système ( □ ), ( □□ ) permet d'exprimer a et a2 en fonction de y et y2 : a = — 1 + 2y -f y2 ;
a2 = — 2 + y + y2 - Enfin, en multipliant membre à membre les équations ( □ ) et ( DD ), on obtient
y3 = — 2a4 + 3 a3 — 6a2 + 4a — 3 = —4a2 + 3 a — 6 , et en remplaçant a et a2 en fonction de
7 ■' 73 + y2 — 2y + 1 = 0 . Le polynôme P(x) = x3 + x2 — 2x + 1 est irréductible dans Q[x] car il
n'a pas de racine dans Z ; c'est donc le polynôme minimal de a -\- j3 .
Remarque : Ceci est un exemple de calcul dans le corps cubique Q(a) (voir chapitre 10).
9.12 II s'agit de montrer :a)PGAetgGA=>P-QGA;b)PGAet
Q G Q[x] => PQ G A , ce qui est immédiat. Donc A est un idéal de Q[x].
Puisque Q[x] est euclidien, donc principal (exercice 6.20), tout élément de A est de la forme
Q(x)Pq(x) , et on peut supposer Pq unitaire. En outre, Pq est irréductible dans Q(x) , puisqu'il
est de degré minimal (voir exercice 6.20) ; donc P0 = Pa . Ainsi, si a est algébrique, tout polynôme
annulateur de a est un multiple (dans Q[x] ) de son polynôme minimal.
( —n _n 4. il i \
9.13 On a vu dans l'exercice 8.7, 3), que qn = 7Z)„2^i ( ' 3 -r^j )
0 < Dn < (3\/3 • 183)"C£, < (12\/3 ■ 183)" en vertu de (9.18). Par ailleurs
-77, —n + |
-2n
183
^ n(n-l)...(«-/ + l)(n - \){n - \ + 1)... (n ■
i=0
■î + 1) 1
2n(2w- 1)... (2w - i + 1) • i!
183/
" , (n - i)(n - | + 1) ... (n - I - / + 1) 1
i=0
2ti(2/7 - 1)... (2n - i + 1)
1
183i
Chacun des facteurs de Cln —j? étant visiblement plus petit que 1, on obtient
■'■("■:i+i|îp)ht<ïîk-('+î?)"
D'où \qn\ ^ 7(12V3 • 5833)" , c.q.f.d.
2) D'après l'exercice 8.7, questions 5) et 6), on a L,vf7 - p„\ ^ 1.03 x 10~3(4488)~" , avec
qn Pn l^ 0 pour tout entier n Qn vient de voir que \qn\ <^-j . (4488)1392" . On applique
<?«+l Pn+l |
le théorème 9.7 avec g(w) = (4488)" , k = 7, a = 1.392, .£ = 0.5, b = 4488, /z = 1 . On obtient le
résultat annoncé. Celui-ci avait été obtenu par Baker dès-1966. Celui de Bennet (table 9.1) est meilleur.
9.14 1) On a vu dans l'exercice 8.8 que qn = Dn2Fh ( ~"'2~" \ ) , avec Dn < 6nC{n < 24" . En
procédant comme dans l'exercice 9.13, question 1), on obtient aisément \qn\ < 24" $^"=o ^«ô7 = 36"^
2) Dans l'exercice 8.8, on a démontré que |#nLog 2 — pn\ ^
tout n , et il résulte de la question 1) que \qn\ ^
(i)"
<?« + ! Pn+\
2l
/ 0 pour
. On applique le théorème 9.7 avec

Correction des exercices 233
/4V 4
g(n) =1-1 , k = ly £ = 1, a = 12.46, b = -, /z = 1 . Il conduit au résultat annoncé, obtenu
~-par Baker en 1964. Celui-ci entraîne notamment que Log 2 n'est pas un nombre de Liouville.
Remarque : On sait maintenant que fiÇLog 2) ^ 3.9 (E.A. Rukhadze,1987).
9.15 On peut supposer Jt>0,y>0,xetv premiers entre eux car 11 ne contient pas de
facteur premier à la puissance quatre. On utilise le théorème 9.8. L'étude des solutions (x,y)
vérifiant y ^ 22 conduit à .la seule solution x = 2, y = 1. Pour trouver d'éventuelles autres
solutions, nous utilisons la mesure d'irrationalité de y/5 donnée dans la table 9.1; on a ainsi à
chercher les réduites Pn/Qn de \Y5 vérifiant Q„ ^ (11/0.03)1/L23 , donc Q„ ^ 121. On
obtient à.partir d'une valeur numérique de \/5 le développement \/5 — [1,2,53,4,...] d'où
p, = 1,(2, = \,P2 = 3, Q2 = 2,P3 = 160,g3 = 107;P4 = 643, Q4 = 430. Ceci n'amène
aucune solution de l'équation ; celle-ci a donc seulement x = ±2, y = ±1 pour solutions.
9.16 1) Si le polynôme P(x) = ax3 — b est irréductible sur Q, l'équation ax3 — by3 = c n'a qu'un
nombre fini de solutions en vertu du corollaire 9.2. Si le polynôme P(x) = ax3 — b est réductible,
il admet une racine rationnelle p/q , avec p et q premiers entre eux. Alors — = — , et il existe
b p5
d G N tel que a = dq3, b = dp3 .Si d\ c , l'équation ax3 — by3 = c n'a pas de solution. Sinon, elle
s'écrit X3 - Y3 = c' avec X = qx, Y = py, c' = c/d . On a alors {X - Y)(X2 + XY + Y2) = c' ,
donc X2 ^ X2 + XY + Y2 < c , et l'équation n'a qu'un nombre fini de solutions.
2) Posons an = 2a'T2 , an+] = 2^3^ , avec
at = 3ui + vt, Pi = 3fi + Wi,0^Vi^ 2, 0 ^ wt < 2.
L'équation an+\ — an = c s'écrit
2u'13u'2(2'i3'2)3 - 2Ui3ï;2(2"i3"2)3 = c.
Pour chaque valeur de (ifi ,W2,Vi, vi), cette équation n'a qu'un nombre fini de solutions x = 2h 3'2 ,
y = 2U] 3"2 . Comme il n'y a que 34 valeurs possibles pour (w\, W2, vi, f:), l'équation a„+i — a„ = c
n' a qu'un nombre fini de solutions.
3) Soit m G N* donné. L'inéquation an+\ — an ^ m n'a qu'un nombre fini de solutions, puisqu'elle
équivaut à {an+\ —an — Y) ou (a„+i — a« =2) ou (a„+i — a« = m ), et que chacune de ces équations
n'a qu'un nombre fini de solutions. Donc Vm G N*, 37V G N tel que n ^ N => <zn+i — a„ > m .
Ceci exprime que lim„_>+00(^+1 — fln) = +00 .
9.17 1) Puisque limn_*+0c \qna — p„| = 0 par (**), n existe.
Puisque \qoa — po\ ^ £\ par (**), on a n ^ 1 .
^1 1
#„ = 0 => \pn\ < — ^ - => /?„ = 0 => fi^j " ^ 0, ce qui est impossible. Donc qn 7^ 0. Enfin,
puisque n est minimum, on a £\/q ^ \qn-i<x — pn-i\ ^ £oE^n+i , d'où ^q"1 ^ ~1~ et, en prenant
les logarithmes, n ^ —f ^ h 1.
Log^o
2) On écrit comme dans la démonstration du théorème 9.7 :
0 = qnp - pnq = ^n(p - ^«) + <?(^n« - Pn), d'où
P
T—r\qna-pn\ ^£\EX nj\qn\.

234 Théorie des nombres
Utilisant (*), il vient
P
ko k0
fi Log(f0/£1) Log^)
^ /(G^O Log£° -tf Los£° , c.q.f.d.
ko
3) Si qnp - pnq ^ 0, on a \qnp - pnq\ ^ 1 , d'où 1 ^ \qn\ \p - qa\ -f- q \q„a - pn\ ^
\qn\ \p — qa\ + - par définition de n . Par suite \p — qa\ ^ ——r ^ ; on obtient en procé-
2 £\qn\ 2k0Qn
dant comme dans la question 2 :
Q
1 Logdp/l]) Log g
^ —q LogE° # Log£°
2k$
1 1 Log^o/gj) / Log^p/^)
Or - ^ £i et g£i ^ Q, donc —Q ^Eo > tHGEi) Log£° ■ Déplus
2 2/c0 k0
Log(g£i) = Loge LogEi > LogQ J , -£*£-i . _t££lg£i)
Log £0 Log E0 Log £0 ^ Log E0
de 2) reste valable si qnp — qpn / 0 .
donc q Lo^Eo > q L°g£o , et le résultat
9.18 1) On a un problème de convergence en x = 1, y = 1 . Pour a G]0,1[. b G]0,1[, on a :
ra fb„r„sj„j„ pa pb +°° +°° ^r+n+l^+«^l
/ l x y axcty l l ^* r+« *+n , , v^ « 0
+00
Donc
fraction rationnelle
Pour s = r , il vient /,v = J^ —7 = f (2) — ^ — . Pour s < r , on peut décomposer la
n=o ^r 7 ' «=o /7
rationnelle en éléments simples, et on obtient
(r + n + 1)0 + n + 1) F
/ = iim y-_i_(_i 1 A
iv + iy
lim
1 1 1
+ —r-^ + --- +
r - 5 #->+«? V s + 1 5 + 2
_Lf_L_ 1
r — s V s + 1 s + 2 r
r s+N+2
r + j
')•
2) En utilisant la formule du binôme de Newton, il vient
1 dn
*=0 k--
Donc Pn(x) = EJ=0C*C;+Jk(-l)*JC* G Z[jr] .
3) On a
,* (n + *)(#!+*-!)■..(*+1) 1}^>
jo A i - -«y t_n „_n

Correction des exercices 235
En distinguant les cas k = £ et k 7^ £ , on obtient
Kn = J2(ckn?cukht+E E c- c+*c„£(- d*+£/m
>t=0 Jt=0 £<ik
Grâce à la question 1), il vient Kn = bnÇ{2) + an , avec bn = Y.l=o(CnfCn+k € N,
£=0 £>Jt
Puisque 7*^ £ Q si & ^ £, il est clair que an G Q. En outre, puisque & < ri et ^ ^ n ,
(ô(n))2Iki£ G Z, ainsi que (ô(n))2 Y^=i l~2 Pour k ^ n. Donc pw = (8(n))2an G Z et
ç„ = (S(w))2fc„ G Z.
4) Pour tout k = 0,1,2,..., n , C£+A: < C^ . Donc fc„ < C{n YH^Cnf • Cette somme se calcule
grâce au coefficient de x" dans (1 + x)2n = (1 + x)n(l + x)n : on a ELo(C")2 = C2n • Donc
qn ^ (5(«))2(C2„)2 ^ (32 ■ 42)n en vertu de (9.18) et du théorème 7.5.
1 f1 f1 fn(xn(\ -x)n)(\-y)n
5) On a Kn = — / / — dx dy . Puisque 0 et 1 sont des racines d'ordre n
n\ Jo Jo l-xy
dn~l
de x"(l — x)n , le polynôme -——j-(x"(l — x)n) s'annule pour x = 0 et x = 1 . En intégrant par
parties par rapport à x , il vient
~n\J0 l
1 "yJT^T(*"a-*)")(i-?)"
(1 - xy)2
*« = r/ / ,. hf —dxdy.
En recommençant n fois, on obtient l'expression proposée.
6) Il est bien connu que, pour x ^ 0 et y ^ 0, ^/ry ^ (x + y)/2 (inégalité entre la moyenne
arithmétique et la moyenne géométrique). Donc
(1 — sfxy) = 1 — 2-^/ïcy + xy ^ 1 — x — y + xy = (1 — x)(l — y) . D'où
Une étude de variations facile montre que f(u) = u2{\ — u)/{\ + m) passe par son maximum sur [0,1]
pour u = (-1 + >/5)/2 ; ce maximum vaut ((>/5 - l)/2) . D'où
l^/i I ^ /o,o
6 V 2
7)Pour x G [e, 1— s] et y G [s, 1 — s] , ona x ^ e, y ^ e, 1—x ^ e, 1 —y ^ e, 1—xy ^ 1—e2 , d'où
(1 -2e)2 / e4 \"
|^/i| ^ —j- f y ) • Il est facile de voir que e4/(l — e2) est minimum pour e = \ ; mais
1 — s- \ 1 — s J
cette valeur ne peut être utilisée car elle annule 1 — 2e ; on prend une valeur très proche : e = 0.4999 ,
et on obtient \Kn\>5- KT8(0.0832)n .

236 Théorie des nombres
8) On a qn7r2 + 6pn = 6(D{n))2K(n) = rn . avec 3 • KT7(0.0832)" < rn < 9.9(0.8118)" grâce
aux résultats de 6) et 7) et au théorème 7.5. On applique le résultat de l'exercice 9.17 avec ko = 1,
Q = 144, £i = 3 • 10"7, Ei = 12.0193 , £0 = 9.9, E0 = 1.2318 .
On obtient
On en déduit
D'où
1Q-279
^ ._,, pour tout (p. q) e Z x N*
>> 10"279 H" - , -,
^ —^r-^T" , d OU | 77 , | 77 —
>
10"
10
^ 7154 pour tout (p, ç) G Z x N* . En effet, si
279
77 +
?)
> — , c'est vrai. Sinon,
^
577
et le résultat.
77 D 377 ,, v 10
ona 2<^<T'd0U^
Remarque : Il résulte de ce qui précède de 77 n'est pas un nombre de Liouville. La mesure
d'irrationalité trouvée ici (/jl(tt) ^ 71.54) est très mauvaise; par d'autres méthodes, on peut obtenir
fi(7r) ^ 8.0161 (Hâta 1993).
9.19 Soient a\ = a,an,..., &n les racines de Pa dans C . Alors Pa est le polynôme minimal de
ai pour tout i (théorème 9.1). Si un des ai était une racine double de Pa , on aurait Pfa(cti) — 0 ,
contradiction avec la définition du polynôme minimal.
9.20 On a r„ = 3 n*=Ô (>04< + l) , sm = loC4""1)/3, \Sna - rn\ < 1/fcJ.
Un calcul facile montre que snrn+] — sn+ir„ = snrn 7= 0.
n 1
Le théorème 9.7 s'applique avec g (n) = s„. k = 1. a = 2, / = -. b = 100 h = 4
Il vient
a-P-
q
^ —rr pour tout rationnel — avec g > 0. où C — 0.5.10
9.21 Les sommes partielles convergent suffisamment rapidement ici pour permettre d'obtenir une
mesure d'irrationalité. En effet pour tout « E H on peut écrire :
9*/3-£*2
+OO
+ OC
kl
1
^
kl kl
^«-«irf-.Eki-s,.,^.,^
On pose qn = qr et pn = ^ tf2" 2 • On a qnpn+i - qn+\pn = q» # 0.
Le théorème 9.7 s'applique avec g(n) ■
kl
1 1 , k=\q\, a = i, f = -j-
kl k
kl
1
Il vient \B > — pour tout rationnel - avec j > 0, où C = r —-—»-
, * = kl, h = 2.
9.22 Le même calcul que dans l'exercice précédent montre que :
kl kr'
r" V^ r"
q y-i^q
k=Q
<
\q\~i\q\ir-l)r"'
<
\q\ 1
Puisque r ^ 3. le théorème de Roth montre que y est transcendant.
En posant qn = qr et Pn = Y^ q* * > on v°it clue
r

Correction des exercices 237
Le théorème 9.7 s'applique avec g(n) — ———j—, k = \q\, a
b=\q\ir-])\ k = r.
Il vient 7 ^ —5— pour tout rationnel — avec d > 0, où C
I l> I vr-/(r—1)+1 y
SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 10
10.1 É, est un sous-corps de C, donc (K, +) est un groupe commutatif. Puisque <Q> C K,
on a Ax G K pour tout A G Q,x G K, ce qui définit la multiplication externe. Enfin,
M* + y) = Ajc + Ày, (À + (jl)x = àjc + jujc, (À/^)x = ÀQ-uir), 1 • x = x pour tous À, jjl G Q, jc, y G K .
Donc K est un Q -espace vectoriel.
10.2 K est le Q -espace engendré par {1, a,..., ad~]} .
Ce système est libre car ûq + ■ ■ • + cid-\ad~l = 0 (at G Q) implique P(a) = 0, avec
P(x) = ao + ■ ■ ■ + ad-ixd~l . Donc P = 0 car le polynôme minimal de a est de degré d, et
do = ai = • • • = a.d-\ — 0 . Donc {1, a,..., ad~1} est une base du Q -espace vectoriel K et
dimK = d .
Pour montrer que K est un sous-corps de C, il suffit de montrer que (K*,-) est un sous-
groupe de (C*.*)- On observe d'abord que an G X, pour tout n G N : en effet, si
Pa(x) = xd -h ad-ixd'] H hflo est le polynôme minimal de a , on a ad = —a^-io^-1 ao ,
d'où ad G K , et le résultat vient facilement par récurrence. Il en résulte immédiatement que, pour tout
(x, y) G K2 , xy G K, et la multiplication est interne dans K. Il reste à montrer que, si x G K* ,
l/x G K* . Pour jc donné, posons <p(y) = xy , pour tout y Gl. Alors <p est un endomorphisme
du Q -espace vectoriel K, et Ker <p = {0} . Puisque K est de dimension finie, <p est bijectif, donc il
existe y G K tel que xy = 1 , c.q.f.d.
10.3 Soit ta = e2i7r/5 .On sait que 1+ûH-<w2+<w3+û>4 = 0,donc l+2cos(27r/5)+2cos(47r/5) = 0
Or cos(47r/5) = 2 cos2(47r/5) - 1 ; ainsi 4 cos2(27r/5) 4- 2 cos(2tt/5) - 1 = 0 . La résolution de
cette équation amène cos(27r/5) = (—1 + \/5)/4 .
10.4 Puisque a est algébrique (sous-entendu : sur Q ), il est algébrique sur K . Soit P son polynôme
minimal sur K ; P n'est pas nécessairement égal à Pa : par exemple, si a = y/ï, Pa(x) = x2 — 2 ,
mais le polynôme minimal de a sur K = Q(\/2) est P(x) = x — y/ï. Ceci étant, le fait que
L = K(a) soit un corps de nombres résulte du même raisonnement que celui de l'exercice 10.2.
10.5 II est clair que <j,-(.y + y) = <Ti(x) + <J,(y), pour tout x,y G K, et que <J;(r) = r si
r G Q. Il reste à démontrer que <j,-(jcv) = <7;(jt-)<7,(y), pour tout a. y G K. Pour cela, il faut
noter le point important suivant : si x = P(8).y = Q{6), alors xy = R{6), oz/ i?(X) as/
le reste de la division euclidienne de P(X)Q(X) par Pe(X), polynôme minimal de 6 ; en
effet on a P{X)Q{X) = Pe(X)H{X) + R{X), avec deg R < d - 1 . On observe également que
cn(x) = cri(P(d)) = P(6i) par définition. Donc <n(xy) = (n(R(6)) = R(6f) = Pe(6i)H(6i)+ R(6i)
car Si est une racine de Pe ; ainsi crfey) — P(0i)Q(0i) = o~i(x)o~i(y).
Le fait que cri soit différent de crj si / / j résulte du fait que les racines de Pe sont distinctes
(exercice 9.19).
r-T \q\-V
\2\q\r )
i"70—1>

238 Théorie des nombres
d d d
10.6 1) T(x + y) = J2<r>(x + >0 = I>'W + 5^0') = rW + r(y) •
i=l i = l i=l
2) Wfcy) = o-i(xy)... (Td(xy) = a](x)ai(y)... ad(x)ad(y) = N(x)N(y).
3) N(x) = 0 si, et seulement si, il existe i G {1,2, ...,*/} tel que cr,(x) = 0. Posons
x = ao + aid + -■• + ad-i6d~l = P{6) ; on a alors P(0f-) = 0. Or ffc est le polynôme
minimal de Q\ aussi bien que de 6 (théorème 9.1), et 0/ est algébrique de degré J ; donc
(Ti(x) = 0 <3> P = 0 O x = 0 (ceci revient à dire que <j,- est injectij).
10.7 Soit jr G Ak ; alors Pr G Z(x), donc il existe #o,fli,... ,«*-1 G Z tels que
00 + ai.r + ■ ■ ■ + a^-ut*-1 + xk = 0. Par suite cn(ao + ai* + - - - + xk) = 0-/(0) = 0. donc
ao 4- aicr-,(X') + h (Ti(x)k = 0 et <j;(a) est un entier algébrique pour tout morphisme de
conjugaison <jx de K . En vertu du théorème 9.4, (T2(x)... (Td(x) est donc un entier algébrique. Par ailleurs
xcriOc)... (Td(x) = N(x), donc <72(jc) ... (Td(x) = N(x)/x G K . Ainsi aiix)... trj(jt) est un entier
algébrique de K , donc un élément de Ak .
10.8 (N(e) = ±1) =ï (sa2(s)... <Td(s) = ±1) => (ex(±<j2(e)... crd{s)) = 1) => e inversible dans
Ak en vertu du lemme 10.1. Réciproquement, es = 1 avec e,e' G Ak entraîne N(e)N(e') = 1,
donc \N{s)\ = 1 car N(s) G Z et W(e') G Z. '
10.9 On a P(x)P(xp~A) = Y^Ï=o £y=o bibjXpS+i-J . Soit r/j7- le reste de division euclidienne de
py 4- i — j par p . Alors i — j = nj (mod /? ), et
/?-i P-\
p(x)P(xp-') = j2YsbibJxPgi,j+riJ
1=0 y=0
p-l/j-l p-1/7-1
/=o 7=0 i=o y=o
= (** - l)Q(x) + W Z bibi ) *'■ C^L±
r=0 \(iJ)G£r /
10.10 1) On a l + a) + co2 + co3 + co4 + co5 + a)6 = 0, et 77 = <y + co~} = co + w6 ;
r;2 = w2 + oT1 + 2 = w2 + co5 + 2 ; t;3 = w3 + 3w + 3w_1 + û>~3 = w3 + W4 + 3t? . Par suite :
1 + ^ + (T-2) + (r73-377) = 0,d'où t;3 -h ?72 — 2t; — 1 = 0 ; le polynôme P(x) = x3+x2-2x-l
n'a pas de racine dans Q , donc il est irréductible dans Q[x] et c'est le polynôme minimal de 77.
Par ailleurs, soit cr le moiphisme de conjugaison de K défini par a(co) = co2 ; on a v = (7(77) et
^ = o-2(77), donc 773 -f 772 - 27? - 1 = 0 => ï/3 + ï/2 - 2v - 1 = 0 et fj? + ^t2 - 2/jl - 1 = 0 ; ainsi
77, ^t et v sont les trois racines de P . Par suite r^xv = 1 , donc rj. fi et p sont des unités de Ak ;
enfin 77 = 2 cos(2tt/7) , {jl = 2 cos(6tt/7) p = 2 cos(4tt/7) , ce sont donc des unités réelles.
2) Supposons que 7?r// = ±1, avec r>s G Z . En appliquant le morphisme de conjugaison a défini
dans la question 1), il vient a{rj)ra{[if = ±1 , d'où ^r77J = ±1 .En prenant les logarithmes, on
obtient le .système homogène
f rLog M+sLog |^| =0
[ rLog |z'|+sLog I77I =0,
de déterminant A = (Log |2cos(2tt/7)|)2 - Log |2cos(47r/7)|Log |2cos(67r/7)| = 0.525..., et
A ^ 0 . Donc r = s = 0 .

Correction des exercices 239
Alors, si e = ±rfjji? — ±rf [is , on a rf r /jls s = ±1 , donc r = r' et s = s' ; toutes les,unités
de la forme ±rf/n5 sont donc distinctes.
3) Utilisons la base {co^or,..., co6} ; soit s = E(co) — 5^f=1 a/w1 (oj G Z) une unité réelle
de Âx . Alors ë = E{Jo) = s — X)?=i ^'^ = X^i'7'^'- D'où a, = 07-,- pour tout î,
2e = X),=i flK^' + W_I) et e = tfirç + «2^ + ci^y .
Inspirés par la question 2), considérons le système d'inconnues r^vGR :
f r Log \rj\ + 5 Log \fi\ = Log \E(co)\
\ r Log \v\ -f 5 Log I77I = Log \E(ù)2)\ ,
Ce système a une solution unique (r,s) G R2 car À = 0,525... / 0 . On a alors |^71^ \/jl\s = |£"(w)|,
donc E(co) = a |77|r \jjl\s , où a est un complexe de module 1 ; comme a est réel, a = ±1 , c.q.f.d.
4) a) Le système (*) s'écrit \E(œ)\ = \v\s H* , \E(oj2)\ = \v\r \r]\s ; puisque \rj\ = 77 = 1.24697...,
|M| = -fi = 1.80193..., \v\ = -v = 0.44504..., M~1/2 M~1/2 ^ l£(w)l ^ \v\l/2 MU2 ^
d'où 0,667 < \E(ùj)\ < 1,499, et \v\1/2 \v\~1/2 ^ |^(w2)| < \v\~lfl \v\l/2, d'où
0.597 < \E(oj2)\ < 1.674.
Enfin, on a E{ù))E{ùt)E{û?) = ±y/N(E(œ)) = ±1 , donc 0.398 < \E(co3)\ ^ 2.512 .
b)Ona
(77 - 2)E(co) + (ji - 2)E(o?) + (*/ - 2)E(co2)
= (77 - 2)(ar] + bfi + cv) + (jjl - 2)(ajjL + bv + C77) -r (^ - 2)(«ï/ + br) + c/x)
= fl(772 + fi2 + ï'2) + (/? + 0(77,11 + 771/ + /«/) - 2(fl -r b + c)(/x + v + 77).
Or on sait, d'après la question 1, que ^i + ï> + 77 = — 1 ; tj/jl -\- r}v -\- fiv = —2;
r}2+fjL2-\-v2 = (77+^+r)2 — 2(7] fjL+r] v+fip) — 5 .D'où la première relation; les autres s'obtiennent de
même. On déduit de la première \la\ ^ I77 - 2| |£(w)| + \{i - 2| |£(w3)| + \v - 2| |£(ût)| ^ 14.78 ;
de la deuxième \lb\ ^ 13.11 ; de la troisième \lc\ < 11.93 . Puisque «,/?,c G Z, on a bien |a| ^ 2,
|^| < 1, M ^ 1.
c) On a
N(E(co)) = 1 = [E(to)E(ù>2)E(to3)]2 = [(«77 + V + cv){av + fcrç + c(i)(afi -f fcp + C77)]2
= [(abc)(V3 + /jl3 + v3) + (a2b + ac2 + b2c)(rj2fi + /jl2v + p2V)
+ (fl£2 + a2c + bc2)(r]{JL2 + /xï/2 + ï/772) + («3 + b3 + c3 + 3aZ?c)77^]2.
Or on a vu dans la question 1) que 772 = v-\-2 ; appliquant a , on en déduit v2 = /jl+2 , et y2 = rj-\-2 .
Donc 7]"/jl -h /r 1/ -f v2rj = 2(jul + ï^ + 77) -f- y)/jl + 77^ + fiv = — 4 .
De même 77//2 + v2 y, + ^772 = 772 + /x2 + ï^2 -r 2(77 -\- y-\- p) = 5 — 2 = 3.
Enfin t?3 + M3 + j/3 = -(rç2 + M2 + ï/2) + 2(77 + M + v) + 3 = -5 - 2 + 3 = -4.
Donc 1 = [-abc - 4(a2b + ac2 + b2c) + 3(flZ?2 + a2c + fcc2) + (a3 + b3 + c3)]2 ,
d'où [(a + fc + c)3 - 7(fl2/? + b2c + r2fl + abc)]2 = 1
d) Un petit programme informatique montre immédiatement que les seules valeurs de («,/?,c),
avec \a\ ^ 2, \b\ ^ 1 . |c| ^ 1, vérifiant Féquation ci-dessus, sont (—2,-1,-1),
(-2,-1,0) (-1,-1,-1), (-i,-i,0),(-l,0,-l), (-1,0,0), (-1,1,-1), (-1,1,1),'
(0,-1,-1), (0.-1.0), (0,0,-1), (0,0.1). (0,1,0). (0,1,1), (1,-1,-1). (1,-1,1), (1,0 0),
(1,0.1). (1.1.-1), (1.1,0), (1.1,1), (2.1.0), (2,1.1). Les valeurs numériques à 10-2 près
des unités E(co) = arj + by + cv correspondantes sont —0.25 , —0.69 , 1 , 0.55 , 0.11 , —0.80 ,

240 Théorie des nombres
-1.24, -2.60, -3.49, 2.24, 1.80, 0.45, -0.45, -1.80, -2.24, 3.49, 2.60, 1.24, 0.80,
—0.11 , —0.55 , —1 , —0.69 , 0.25 . En comparant avec les bornes pour |£"(ct;)| obtenues en 4) a),
on voit que les seules possibilités sont E(co) = —2rf — /z, —77 — /jl — v = 1, — 77 — v , —77, 77,
7] -\- v, 77 + /jl + v = —1, 277-hyu,. Les valeurs correspondantes de E(co2) sont, à 10-2 près,
E(co2) = -2v - 77 = -0.35 , -rj- fi-v = 1, -p - fi = 2.24, -v = 0.45 , v = -0.45 ,
v + fi — —2.24, 7] -\- fi -\- p = —l, 2v + 77 = 0.35 . Les seules correspondant aux bornes pour
|£(c(;2)| sont 1 et — 1 . Donc E(co) = 1 ou — 1 , et par suite r = s = 0 .
5) Soit E(co) une unité réelle de Ak . Alors E(co) = ± \r}\r \/jl\s , avec (r,s) G M2 en vertu de 3).
Soient m et n des entiers tels que |r — m\ ^ - , \s — n\ ^ - ; alors \r]\m \fi\n est une unité, donc
E(co) \rj\~m \fi\~n = ± \v\' ~m \lASH est une unité. Grâce à la question 4), on a r — m = s — n = 0 ,
donc E(co) = ± \r]\m \fi\n = ±(-l)n W = ±rjm/jl" . Donc grâce au lemme de Kummer 10.2, les
unités de Ak sont ±cokr)m/j!1.
10.11 A est un polynôme à coefficients réels des indéterminées 0i, 02,..., 0y , qui s'annule dès que
0,-= 0/(i # 7). Donc A= fi (0i-0j)QWu02,...,ed).
Pour des raisons de degré, Q(6\, 02,..., 6d) = C . En comparant les termes de plus haut degré en 0i ,
il vient C = 1 .
10.12 Avec les notations usuelles pour les matrices carrées, on a
(aiiaj)) = lai lY^CkjPtj J = \i2ckjCTi(fik)) = (ViiPj)) X fc7),
d'où le résultat en prenant les déterminants.
10.13 On a A[l,..., 6d~l]eQ en vertu du lemme 10.3. Donc A[au ..., ad]e Q grâce au lemme
10.4 pour toute base {ai, a2,. ■ ■, ctd) de K. En outre, si les en sont entiers, A[ai,a2.... ,a<j] est
un entier algébrique car il s'exprime sous forme de sommes et de produits des at(aj), qui sont tous des
entiers algébriques ; donc A[ai, «2, • • •, &d] est un entier de Q , c'est-à-dire A[#i, a2,..., ad] GZ,
10.14 1) Soit P(x) = ao + a\x + eux2 + a3x3 . Alors N(a)=P(co)P(œ)P(co2)P(œ2) car les 4
;s de co
0-4(00) = 004 =7ô .Or
morphismes de conjugaison de K sont définis par o\(oo) = 00 ; 0-2(00) = oo2, 03(0)) = co3 = co2
P(oo)P(co) = (ao +a2 + al + a\) + (a0cn + a\a2 + a2a3)(co + co) + (aoa2 + fli^3 + aoa3)(co2 + w2).
Utilisant le fait que w+ôJ = 2cos(2tt/5) = (-l + >/5)/2 et w2+ôJ2 = 2cos(4tt/5) = (-1- V5)/2
(ex. 10.3), il vient P(oo)P(œ) = £;U ai ~ \ £o</<;<3 "W + 5^> * G Q-
2
Mais l ^ fljfly = «Il ^2rai ) _5Zfl'2 ' donc P(œ)P(œ) = A + By/5, avec
0^i<j<3 \\i=0 / i=0 J
3 1 f 3 V
/]af — - I z_\at I ■ Quand on remplace co paie co2 , on intervertit les rôles de cos(27r/5)
i=Q \ i=0 /
A=4
et cos(4tt/5) , donc P(œ2)P(œ2) = A - BV5 et N(a) = A2 - 5B2 .

Correction des exercices 241
2) On a bi G [0,1[ pour i = 0,1,2,3,4 . Si on divise l'intervalle [0,1] en cinq parties égales,,on voit
tout de suite que l'un au moins des bi — bj vérifie \bi — bj\ ^ 1/5 ( i / j ). Or on a :
( aco — —0,3 + (ao — a{)co + (a\ — ai)co2 + (ai — a?>)o)~
au)2 = («3 — a-l) — Cl2ù) + (ciQ — C12)(J02 + (CL\ — an)o?
ao? = (ai — ciy) + (fl3 — a\)co — ci\ù? + («o — a\)o?
aco4 — (ci] — ao) + («2 — «0)^ + (#3 — ao)&>2 — clqco .
Donc 3# G {1,2,3,4} tel que acoq = Ao + A\co + A2&>2 + A3W3 et que, pour l'un des Aj , il
existe Bj G Z vérifiant \Aj — Bj\ ^ - ; pour les trois autres A, , il existe un entier Bt tel que
3
E^i+37=°'79'et
25 4
1=0
1=0
^ - + | = 1.7 . Alors |7V(W - 0)| = tf(a£y* - /3) ^ A2
|Af- - #-| ^ - . Ainsi 3<ry G {1,2, 3,4} , et /3 = ^Btco1 tels que acoq - )3 = £)?=0W ' avec
3
£*
1=0
d'après la question 1), avec -- [ J^fc J ^ A ^ - J^Z?2 , d'où -0.7225 ^ A ^ 0.9875 . Ainsi
\i=0 / i=0
|A| < 1 et \N(acoq - f3)\ < 1 .
3) On déduit de la question précédente que |N(û? — f3co~q)\ = N(co~q) \N(acoq — j3)\ < 1 car
N(co~q) = 1. Donc pour tout a G K, il existe y G Ak tel que |iV(a — y)| < 1 . En procédant
comme dans la démonstration du théorème 5.16, pour (a,b) G Ak x AJ , il existe y G Ak tel que
\n (y - y) I < 1 ; posant r = a - by , on a |iV(r)| = |W(M| \n (y - y) I < \N(b)\, et AK est
euclidien.
10.15 Soit e G A| . On sait que s = ±con<&k (exemple 10.9). Supposons que s = ±con<Pk = a
(mod 5), avec a G Z. Alors e = ±ûf <E>* = a (mod 5) car a G Ak ^ â G Ak . D'où es = a2
(mod 5), c'est-à-dire <ï>2* = a2 (mod 5).
Puisque <E = (1 + V5)/2 , il existe c G Z tel que ( 14- \/5)2/: = c (mod 5), d'où l-\-2ky/5 = c (mod
5). Cette congruence est dans l'anneau des entiers de Q(\/5). Par conjugaison, il vient 1 — 2ky/5 = c
(mod 5), d'où Aky/5 = 0 (mod 5), c'est-à-dire Aky/5 = 5q , q G Z(<E>). En prenant les normes dans
Z(<E>), il vient 16&2 - 5 = 25N(q), donc k = 5h . On a donc e = ±co"<&5h ; en remarquant que
<E> = 1 + (-1 + y/5)/2 et que (-1 + y/5)/2 est un entier de K , on voit que <ï>5 = 1 (mod 5), donc
±cû" = a (mod 5); ainsi ±7ôn = a (mod 5), et cos(2/î7t/5) = ±2a (mod 5), a G Z. Si rc n'est
pas un multiple de 5, les seules valeurs de cos(2nrr/5) sont (—1 + y/5)/A et (—1 — y/5)/4 , et en
procédant comme précédemment, on voit que les congmences — 1 + y/5 = c (mod 5) et 1 + y/5 = c
(mod 5) sont impossibles si c G Z . Donc « = 5/w , e = ±co5m<$5h = (±com<&h)5 , c.q.f.d.
10.16 Soit d G Ax un diviseur premier commun à x -\- co'y et a: + coJy pour / > j .
Alors d divise leur différence y(&/ — w-7) ; puisque d est premier dans Ak euclidien, d\y ou
^|&>' — coJ . Or J ne peut diviser y car * et y sont premiers entre eux. Donc d\coJ(co1 ~J — 1) ;
or fc/~y — 1 = (co — 1)(1 + co + • • ■ + col~j~l). Les possibilités pour 1 + co + ■ ■ • + co'~j~l sont
1,1 + co, 1 + <y + co1 = -o? - œA = -o?(\ + co), et 1 + w + or + w3 = -w4 . Mais 1+wGÂ^
car (1 + co){\ + or + co4) — 1 , donc coj(col~j — 1) = eA . e G Ar^ . Puisque À est premier dans
Az . on a d = 77À , où 77 G Ar^ , et les nombres (x + &>' v)/À sont premiers entre eux deux à deux.
10.17 1) Soit {ai, ai,. • •, an} une base de L considéré comme espace vectoriel sur K, et
{/3i./?23... • j3m} une base de M considéré comme espace vectoriel sur L . Alors [M : L] = m

242 Théorie des nombres
et [L : K] = n . Montrons que F = {a\/3u ..., aij3m, a2j3u ... ,a2j3m,. •., anfiu ... ,an(3m}
est une base de M considéré comme espace vectoriel sur K. D'abord F est générateur car,
m m n
Vx G M, x = ^^Xi/SiÇxi G L), donc x = ^^^yij^jfiiiyij G K). Et F est libre sur
1 = 1 i=l j=\
m n m / n \ n
K car ^CX^'^' = 0 (Jy e K) => ^(X^^)^ = ° ^ ^yijaj = ° car
i=l j=l i=l \y=l / y=l
{/3i,/?2,-■ ■, An} base de M sur L => v^ = 0 car {a\,...,a„} base de L sur K. D'où
[M : K] = mn = [M : L] x [L : K].
2) Soit a G M . Alors a est algébrique de degré ^3 car 1, a, a2, a3 sont linéairement dépendants
sur Q ( [M : Q] = 3 ). Si a était algébrique de degré 2, L = Q(a) serait de degré 2. On aurait
alors [M : Q] = 3 = [M : L] x* [L : Q], donc 2|3 , contradiction. Ainsi a est algébrique de degré 1
(rationnel) ou algébrique de degré 3.
10.18 Soit P G Q[x]. Alors P est équivalent, modulo l'idéal (Pe(x)), au reste de la division
euclidienne de P par Pe ,puisque P(x) = Q(x)Pe(x) + R(x) => P-R £ (Pe(x)) (cf. §6.2). Soit a G K.
Alors il existe un polynôme E G Q[x] tel que a = E(fi). Soit <p : K —> Q[x]/(Pe(x)) l'application
qui, atout a de K, associe la classe de E modulo (Pe(x)) .On a clairement <p(a+P) = q>(a)+(p(fi).
Il reste à montrer que <p(a/3) — <p(a)<p(/3). Posons a = E(B), yS = F (fi), soit R le reste de la
division euclidienne de E(x)F(x) par Po . On a a/3 = 7?(0), donc <p(a/3) est la classe de 7? modulo
(Pe(x)) ; puisque E(x)F(x) est équivalent à R(x) modulo (Pe(x)), on a bien <p(a/3) = <p(a)<p(p).
Enfin, çp est évidemment surjective, et elle est injective car a G Ker cp => E(x) = 0. Donc
K £= QM/(P,(jc)) .
10.19 1) Si x G AK , 0* G AK et 62x G AK . Donc T(x), T(fix\ T(62x) G Z ; en utilisant (10.8),
il vient 3a G Z, 6fc G Z, 6c G Z . Puisque N(x) G Z, en posant 3a = a , 6b = b" , 6c = c"
et en utilisant (10.7), on voit que b"3 + 2c"3 - 6a'b"c" est un multiple de 4, donc Z?" = 2b' ; en
reportant, il vient c" = 2c . Donc a' — 3a , b' — 3b , c' = 3c G Z .
2) Soit x G Âk ; alors x est rationnel ou algébrique de degré 3 (exercice 10.17, 2)). Si
x est rationnel, alors x G Z, donc cr,(x) G Z pour tout i . Si x est de degré 3, soit
P(X) = X3 + aX2 + J3X + y, a,(3,y G Z, son polynôme minimal; les racines de P sont
<7l(x), <72(x), <73(x) , donc <7|(x)<72(x) + CT2(x)(T3(x) + <7i(x)<73(x) = /? G Z . Or :
(T\(x)a2(x) + a-2(x)a-3(x) + ^(x)^*) = {a + b0 + c82)(a + fc/0 + c/202)+
(a + fc/0 + cj262)(a + ^"20 + c^02) + (a + £0 + c02)(û + fc/20 + cj02)
- ((a2 - 2bc) + (2c2 - ab)j26 + (Z?2 - ac)j62) + ((«2 - 2bc) + (2c2 - fl6)0+
(b2 - ac)62) + ((«2 - 2bc) + (2c2 - ab)j0 + (^ - flc)y202)
(remarquer que le deuxième terme de la somme s'obtient à partir du premier en remplaçant 6 par j8 ,
et le troisième en prenant le conjugué complexe). D'où
Ti(x)<J2(x) + Cr2(x)(T3(x) + CTi(x)(T3(x) = 3(fl - 2bc).
Donc, en utilisant aussi la norme :
f a2 - 2b'c' G 3Z
\ a'3 + 2b'3 + 4c/3 - 6a'b'c' G 27Z.
Modulo 3, la deuxième condition s'écrit a'3 - b'3 + c'3 = 0 (mod 3) <=> a/3 = (/?' - c')3 (mod 3)
«=> a' =b' — c' (mod 3). En reportant dans la première, il vient b' + c' = 0 (mod 3). Donc c' = — b'

Correction des exercices 243
et a = —b' (mod 3). Posons a = 3p + s , b' — 3q — s , c' — 3r + 5 et reportons dans la deuxième
condition ; après calcul, on obtient 9s3 = 0 (mod 27), donc s3 = 0 (mod 3) et s est un multiple de
^3. Ainsi a , b'. c' sont des multiples de 3 donc a,b,c eZ et Ak = %(0) ■
3) En utilisant le lemme 10.3, on a A(K) = A[l, 0, 6>2] = -N(362) , puisque {1, 0,62} est une base
entière de K . Donc A(K) = -N(3)(N(6))2 = -27 • (6 • j8 ■ j26)2 = -108 .
10.20 Puisque {&>, œ2,..., <w6} est une base de L , on peut écrire x = $^f=1 aiw1 ( a, G Q ) pour
tout x G L . On en déduit
x = (ai + ae) cos(2tt/7) + (an + «s) cos(4tt/7) + fe + «4) cos(6tt/7)
+ /[(ai — «6) sin(27r/7) + (a2 — «5) sin(47r/7) + fe — «4) sin(67r/7)].
Or, si 77 = 2cos(2tt/7), on a cos(4tt/7) = 772/2 - 1, cos(6tt/7) = (t?3 - 3iy)/2,
sin(47r/7) = 7?sin(27r/7), sin(67r/7) = (7?2 - l)sin(27r/7), donc L = K(i sin(2?r/7)) est une
extension de degré 2 de K (remarquer que cos(47r/7) = 1 + 2(/ sin(27r/7))2 implique que / sin(27r/7)
est algébrique de degré 2 sur K, ou utiliser [L : Q] = [L : K] x [K : Q]).
Soit maintenant a = a + br] + 072 (a, £>, c G Q ) un entier de K . Alors a est un entier de L ; or
a = a + b(œ + œ6) + c(w2 + 2 + w5) = a - fc + 2c -p (c - 6)e<r - fcw3 - fcw4 + (c - b)*>5 ; on en
déduit a — b + 2c, c — b, — b G 7L , donc a,b,c G Z et {1,77, t;2} est une base entière de K.
On sait que le polynôme minimal de 77 est P(x) — x3 + jc2 — 2x — 1 (exercice 10.10, question 1).
Avec les notations de l'exercice 10.10, on a
N(P\v)) = P\7ÙP\v)P'(ji) = (3T72 -r 277 - 2)(3^2 + 2^ - 2)(3{ir + 2fi- 2).
Or on a vu dans l'exercice 10.10 (question 4.c) que rf — v + 2 , v2 = jjl + 2 , jjt — rj + 2 . donc
N(P'(v)) = (?*> + 277 + 4)(3ju + 2*/ 4- 4)(3t7 4- 2M 4- 4)
= 3577^ 4- 12(v2jjl 4- M2 77 + 772j/) 4- 18(ï^2 + {JL-rf 4- 77Ï/2) 4- 16(vt] + ijlv + tj/jl)
4- 24(/x2 + i/2 + rç2) 4- 80(77 4- fi + *0 + 64.
En utilisant les résultats de l'exercice 10.10, question 4.c, on obtient :
N(P'(V)) = 35 + 12 • 3 - 18 • 4 - 2 • 76 + 5 ■ 24 - 80 + 64 = -49.
Utilisant le lemme 10.3, on a enfin A(K) = 49 .
SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 11
11.1 Soit d'abord A — (a\.ai, an) un idéal entier de K ( ai G A& pour tout /);soit
.v G A ; alors .y = X\ai 4- • - • + x„a„ , xt G Ak . Donc x — y G A pour tout (x, y) G A2 et
xy G A pour tout x G A et tout y G Ax : A est bien un idéal au sens algébrique.
Réciproquement, soit 4 C Ax un idéal au sens algébrique, c'est-à-dire vérifiant (11.2). En vertu du
théorème 10.8, tout x G A s'écrit x = xiai + • - • + xaaa , Xj G Z, ai G A, où d = [K : Q].
Par suite A C (ai* an aj) . Mais comme (a^^an, ctà) G A et A vérifie (11.2), on a
{ai. #2, • •., ad) C A ; ainsi A = (ai,..., ad) .
Remarque : On prendra garde de ne pas confondre les expressions de l'idéal A sous forme de Z-
module et sous forme de A& -module.

244 Théorie des nombres
11.2 a) Soit A = (ai,of2,.-.,a„> et B = (fii.fii Pm) ; alors
x e A + B &\=xia\-\ h xna„ — yifi\ i h ympm> (*/, Vi € iix)
<^> a G (ai,...,a„,^i,...,ySm),
et
A + B = (ai a„.p},...,P„).
b) Soit a G AB : alors, par (11.3), a* s'écrit comme une somme finie de produits d'un élément de A
et d'un élément de B , donc
q q / n \ / m \
* = 5^«*fe = Yl ( ]C**/of/ ) ( ^yvfij ) (A>/->v G Az)
*=1 *=1 \l=l / \j=\ /
n m / q \
/=i 7-=i \a=i /
et x G (aiySi,... , aj/3,,,,... :an/3u... ,anpm) . Réciproquement, si a G (aiySi,....
M /H
aif3m,...,anPi,...,anf}m), x = ]PJ^Xijatfij,x\j G Ak, donc a G AB car Afya/ G A
1=1 y=i
pour tout i .
11.3 1) Si n — 1 , on a P(a) = <7|(a — p), donc le résultat est vrai. Supposons la propriété vraie à
l'ordre n , et soit P(x) — m + ci\x -\ -f <7,z+ia"+1 . Considérons Q(x) = P(x) — a„+ixn(x — p) ;
puisque p est racine de P , on a «o«/"+i + fli^+Jtfn+i + • • • + (tf,i+ip)/,+1 = 0 , donc an+ip est
un entier algébrique ; ainsi deg Q ^ n , Q est à coefficients entiers algébriques, et p est racine de
Q : par hypothèse de récurrence, Q(x)/(x — p) = P(a)/(a — p) — ^/,+ia" est à coefficients entiers
algébriques, donc aussi P(x)/(x — p).
2) Posons A(a) = an(x - p\)...(x - p„), B(x) = bm(x - cr,)...(.r - am). Par
hypothèse, le polynôme —— = n m (a — pi)... (a — p„)(a — <7i)... (a — cr,„) est à coefficients
o o
entiers algébriques. En vertu de la question 1), il en résulte que tous les produits de la forme
" m (x—p;l )... (a —pik)(x — crji )... (x — ctj€) sont à coefficients entiers algébriques, donc en
particulier tous les produits -^r~Pi, •. • Piko"jx • • • crj£ sont des entiers algébriques, 1 ^ i\ < ■ • • < ik ^ n ,
o
1 ^ j\ < • • • < je ^ m . Or on a pour 0 ^ k ^ n et 0 ^ t ^ m :
(■hi-k ,r^
bm-i
~ ±^^h<-
<j£^™ Jl
(Tix .. .a,-
Donc a„-kbm-e = ±^2^/aflbwpil ...Pik(Th .. .crJ£ = (^ ^ a;,,...,,^,...,^ x ^ ' ou les
Gii....tikJi,-~Jt sont ^es entiers algébriques. Ainsi, puisqu'une somme d'entiers algébriques est un
entier algébrique, a»-kbm-e/8 est un entier algébrique.
3) a) Les y; sont des fonctions symétriques à coefficients rationnels des <7/(aj0 (pour toute
permutation sur* y ). Ce sont donc des fonctions symétriques à coefficients rationnels de 6\ =6,62. 6d , si
K = Q(0). Donc les y,- sont des nombres rationnels (lemme 9.2). Comme en outre les y,- sont des~
entiers algébriques car les (Tj(ak) le sont, on a bien jt GZ.
Montrons maintenant que jS/ G Ak : les fii s'obtiennent en divisant f(x)g(x) G Z[a] par
f(x) G Ak[a] ; donc fît G K. Comme les fi, sont des entiers algébriques car les (Tj(ak) le sont,
Pi € AK .

Correction des exercices 245
b) Puisque a = PGCD(y0, yu ..., ynd), a = E"=0 my* » "' € ^ (Bézout). Donc :
a = Ello EU W<*kPi-k G A£ , et {a) C AB .
c) Puisque a|y, pour tout /, d'après la question 2) on sait que a\ai/3j pour tout (i,y). Donc
û?,/3; G (a) et par suite A£ C (tf) . Comme (a) C AS , (a) = AB .
4) En appliquant ce qui précède on voit que l'idéal (a~l)B est l'inverse de A pour la multiplication.
11.4 Posons A = (ai,...,a„), B = (/3i,... ,/3ra), C = (n,..., y9) .
Alors A(£ 4- C) = (ûfiySi5...,ai)Sm,ai')/iJ...,aiyg,...,ûf,ïySi,... ,an/3m,anyu ... ,ûf„79) =
(o?i/3i,..., ai/3m,..., an/3\}..., a„pm)+{aiyi,..., ony^,..., any\,..., ûf„y9) = AS+ AC.
11.5 Puisque A est premier avec S , A 4- 5 = (1) (théorème 11.3); donc AC 4- BC = C ; or
A|PC , donc BC = AD , où D G J(AK) - Ainsi C = A(C + D) et A|C .
11.6 Soient (ai, c*2 , ctd) et (/3j, fii...., /?</) deux bases de A et S respectivement en tant que
</
Z -modules (d = [K : Q]). Puisque £|A, on a A C B (théorème 11.2), donc ctj = J^c///?; ,
i=l
dj G Z. En vertu du lemme 10.4, on a A(A) = (det(c,v))2A(£), donc A(£)|A(A). Si A(A) = A(£),
detfci/) = ±1 , donc aj = Ef=i cO'A" =^ A- = E/=i ^/^v" » CU e ^ grâce aux formules de Cramer;
ainsi S C A , d'où A = B .
11.7 1) On a AP / A car AP == A <^> P = (1) puisque X(K)* est un groupe ; or P ^ 1 car F
est premier. Puisque AP / A et AP C A , il existe a G A tel que a £ AP . Et comme (a) C A ,
A\{a) , donc il existe un idéal entier B tel que (a) = AS ; si P divisait B t AP diviserait (a) ,
contradiction. Donc P f 5 ainsi P et B sont premiers entre eux puisque P est premier; d'où
p + B = (1) et A = AB + AP = (a) + AP .
2) Montrons d'abord que tout x G Ak est congru modulo (AP) à F un des a; 4- apy-. D'abord, il
existe un indice z et un élément y de A tel que x = ai + y . Or A = (a) 4- AP , donc il existe
jttE Ak et z G AP tel que y = jua 4- z , d'où je = ai 4- ^ia 4- z ; enfin, il existe un indice j et un
élément r de P tel que fi = pj + t. Ainsi ^ = ai + a/?/ + fa -f z \ puisque a G A , ra G AP ,
donc je = ai + ûfpj (mod AP ).
Démontrons maintenant que a\ -f ap;- = a* + ap* (mod AP) ^ i — k et y = £ . On a APcA,
donc ci{ 4- «Py = fljt + ap/> (mod AP ) =>• a; 4- ap7- = cik + ap^ (mod A ) => a,- = a* (mod
A ) car û; Ç A. Donc / = k car {«,•,.... ûa^a)} est un système de représentant des classes modulo
A . Ainsi apj = api (mod AP ). Comme AP C P , apj = ape (mod P ); or a g P , sinon
a appartiendrait à AP , et P est premier, donc A:</P est un corps (corollaire 11.3); donc a est
inversible mod P et pj = pt (mod P ). Par suite j = £.
3) Soit S = PiP2 ... P*:, P,- premier. En 2) on a vu que A^(AP) = N(A)N(P) pour tout idéal
premier P . Donc
tf(A£) = A^(AP!... ft-i)iV(fl) - N(APi ... Pk-2)N{Pk-i)N(Pk)
= A^(APi ... Afc-2)W(ft-ift) = N(A)N(Pi ... ft) = N(A)N{B).
11.8 Supposons que A = BC, Ô,CG X(A:<). Alors N(A) = N(B)N(C), donc (W(£) = 1 ou
A^(C) = 1), (B = (1) ou C = (1) ) par (11.6), et A est premier.

246 Théorie des nombres
11.9 Soient a,b G Kerçe ; <p(a - b) = cp(a) - cp(b) = 0 => (a - b) G Kerçe. Soit x G A ;
<p(ax) = (p(a)cp(x) = 0, donc ax G Ker <p et Ker çp est un idéal de A .
m
11.10 Soit X = T(ai), avec T(x) G ¥p[x], un élément de ¥p(ai) ; posons P"(x) = ^ô£jc* ,
jfc=0
et soient ao,ai,... ,am G Z des représentants de âo,... ,âm modulo p. Si on pose
m
P(x) = S~]akXk G Z[jc] , il est clair que Vi(P(6)) = P(a{) par définition de ^- , et v\ est
fc=0
donc surjectif.
11.11 Partons de pc\ = Y^^i cdjaj \ on lui soustrait p</-i autant de fois que nécessaire pour obtenir
Pj!) = YldZi cdjaJ + cddOLd , avec 0 ^ c^^ < c^-i^-i . Ensuite on soustrait autant de fois que
nécessaire pj_2 pour obtenir p{2) = Y?j=l cdj + cd?d-i>ad-i + cddOLd , avec 0 ^ 4^-2 < cd-2,d-2 ;
en répétant ce procédé, on obtient à la fin cod = Y^fjZ] c'djaj + Cddotd , avec 0 ^ q,- < c7/- pour
j = 1,2,..., d — 1 . On a par construction A(pi,..., p^-i, (od) = A(pi,..., pd-\, pj). En
recommençant avec pd-i,..., pi , on obtient finalement un système {co\, c^, • •., coa} de la forme indiquée,
avec à(a>i,... ; w</) = A(pi,..., pa). Donc {toi ..., c^} est une base de l'idéal A en tant que Z -
module (théorème 10.8).
Or on a vu dans la démonstration du théorème 11.6 que N(A) — c\\Cn ... Cdd ■ Si N(A) est
fixé, eu, C22, • • •, c<w ne peuvent prendre qu'un nombre /zra de valeurs ; il en est donc de même de
û>i, û>2, • ■ •, (Od . Par suite, il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux de norme donnée.
11.12 Soient A et B deux idéaux fractionnaires; alors il existe a et b G N tels que
a A = A' et Z?£ = B' soient des idéaux entiers. Et A ~ B <^> 3p G Ak,3# G N tels que
A = (-) # ^ (tf)A = (p)B <^> (^)A' = {ap)Br <& A' ~ B'.
11.13 l)Soit {»,yS} une base de A en tant que Z-module. Posons q> = p/a ; remarquons d'abord
que Imç> / 0 ; en effet, si çp était réel, on aurait
<pa — f3 = 0 => <p(a -f- ibyd) — (a -f ib'vd) = 0 => çp rationnel => {a,/?}
lié sur Q , contradiction. Si /mçp > 0 , il n'y a rien à démontrer. Si Im<p < 0 , on voit tout de suite
que {a, —yS} est une base de A , et on pose 6 = —filet, 7m0 > 0 .
2) a) On a p = aâ = iV(a) G Z car a G AK , r = iV(0aO G Z ; ç = a(0â) + â(0a) =
71(a((9û')) G Z.
b) ç2 - 4pr= (a(5a) + â(0a))2 - 4(aa)(6a)(ëâ) = (a(Sâ) - â{fla)f =
= A(A) = N(A)2A(K)
en vertu du corollaire 11.1.
c) Puisque a G A , (a) C A , donc A|(a) et N(A)\N({a)). Ainsi N(A)|p . De même N(A)\r . De
la question 2) b) on déduit N(A)2\q2 , donc iV(A)|# .
3) a) b2 - Aac = (q2 - 4pr)/N(A)2 = A en vertu de 2) b). De plus :
Q(x, y) = aâ(x + 6y)(x + 6y) = p(x + 6>};)(x + ^).
a a
Sa ~6â~

Correction des exercices 247
b) Puisque Ai ~ A2 , il existe Ai, A2 E Ax tels que (Ai)Ai = (A2)A2. Donc il existe s,f, uxv G Z
tels que
I Aiai = A2(sai + td2a2)
s (*)
I \\6\a\ = kiiuan + vdictT)-
De même il existe s\ t\ u\ i;'gZ tels que
A202<*2 = \\{u'où{ -\-vf0\a\).
Donc ( 1 ( , , j = ( ] ; en prenant les déterminants, il vient (sv—ut){s'v'—u't') = 1,
donc sv — ut = ±1 . Mais par (*) on a
U + V02 (U + V02)(S + f fl2) ,, . _ ..
#i = — = 7y , d ou (***)
s + te2 \s + te2\2
] - -
6\ = =(us + vt \6->\ + sv62 + utOi).
\s+t6\2
Comme Im{6\) > 0 , Im(6i) > 0 on en déduit sv — ut > 0, et par suite sv — ut = 1 .
Montrons maintenant que (a\,b\,c\) ~ (a2.b2.c2). La substitution X = s* + i<y , Y = tx + in1
conduit à :
«2X2 4- b2XY + c2F2 = a2(X + (92F)(X + 02F)
= a2[(s + f 02J* -h (m -h u02)v]ft* + '#2)* + (ïi + L'02)y]
= a2 \s + f 6>2|2 (a- - 6iy)(x -h 0i v) (en vertu de (***))
N(a2)
N(A2)
N(M) N(a{)
N(A2) N(A2)
N(s + t62)(x + 6iy)(x + 0iy) (question 2)a)
(x + 0j >')(a' + 6\ y) (en prenant les normes dans (*))
- au a ^x + e*yKx + ^ (car <Al)^i = <A2)A2)
/Y(Ai)
= ci\(x + 0iy)(x + 0i)O = fliA2 + &ury + ci v2.
Ainsi, si Ai ~ A2 , on a bien R\(x.y) ~ ^(a,)?) (§6.5.2). Donc M* : A —> R(x,y) définit une
application de l'ensemble des classes d'idéaux entiers de K dans l'ensemble des classes de formes
quadratiques définies positives de discriminant A.
4) -Soit R(x.y) = ax1 + bxy + cy2 une forme quadratique définie positive de discriminant
A = A(K) < 0, K = Q(y/d). On a A = 4d si d = 2 ou 3 (mod 4), A = d si d = 1 (mod 4)
(exemple 10.11). Posons 6 = (b + iyf^\)/2a , de sorte que R(x%y) = fl(x -h 6y)(x + 0y). On a
6 G K, et 6to est entier car a S1 + Z?^ -f c = 0 =^ (fl<9)2 + b(a6) + ca = 0 . Ainsi A = Z(a, 6a)
a a
\6a ~6a\
N(A) = a car a > 0 . La forme quadratique Q(x,y) associée à A au sens de la question 2) est
Q(x, y) = (ax + ady)(ax + a0y) = «/?(*. y) donc R(x\ y) = g(A, y)/N(A), et la classe
d'équivalence de R est l'image de la classe d'équivalence de A par ^ ; ^ est donc surjectif.
est un idéal entier de X. Son discriminant vaut A(A)
a\6 - df = a2A . Donc
5) Supposons que Ri = ^(AO = R2 = ^(A2). Posons Ax = Z(au6iai), A2 = Z(a2:62a2)i
Im(6i) > 0, Im(62) > 0, de sorte que Ri(x.y) = aix1 + Z?iav + ci>'2 = a\(x + 6iy)(x + 6\y)

248 Théorie des nombres
et R2(XyY) = a2(X + S2Y)(X + 62Y) soient équivalentes. Tl existe donc s,t^u,v G Z, avec
5 u \
t V
Ri . TI vient
1, de telle sorte que la substitution X = sx + uy , K = rx + iry , transforme R2 en
/?2(sJt + uy tx + uv) = a2{(s + f 02)x + (m -f u6>2)y)((.s + f 02)v + (w + u02>v)
/ w -J- f^ \ / « 4- vÔn \
= a2N(s + r 02) * + "y x + =^ = «i(x + 0,>O(.t + 0i>O-
V s + r02 y V s + t62yj
D'où par identification :
S + t&2
(a priori, on pourrait aussi avoir 6\ = (u + vd2)/(s + f 02), mais ceci est impossible car
//ii(0i) > 0, Jm(02) > 0,sv - w/ = l ).
Choisissons Ai et A2 G Ak de façon à vérifier la première équation de (*) (par exemple
Ai = a2(s + £02), A2 = «1); on a donc Ai ai = À2(sa2 + td2a2). Utilisant ( □ ), il vient
0iAiû?i = À2(iia2-\-vd2a2). On obtient donc le système (*), qui exprime que (M) A] C (A2)A2.Orce
système s'inverse en (**) avec s\t\u\v' G Z car sv — ut = 1 . On a donc aussi (A2)A2 C (Ai) A\ .
Ainsi (Ai) Ai = {À2)A2 , Ai ~ A2 et M' est injective. Donc ^ est bijective par la question 4) et le
théorème 11.9 est démontré.
11.14 En vertu du théorème 6.13, on doit résoudre l'équation b2 — Aac = —163. avec
(a, b, c) G N* x Z x N* et a ^ 7 (car —163 = 1 (mod 4) => A(Q(i n/Îd^)) = -163 ). En vertu de
(6.15), puisque b2 + 163 doit être divisible par 4a , la seule valeur possible est a = l,b = 1. c = 41 .
D'où le résultat grâce aux théorèmes 6.13 et 11.9.
11.15 (a) = (0) => ((a) C (fi) et (fi) C (a)) => (3w.v G AK tels que a = u/3 et
0 = va) => (ayS = (uv)afi) ^> («u = 1) => (n et v inversibles) => (3e G A* . tel que a = s/3) .
Réciproquement, si a = e/3 , alors a G (/?) et /3 G (a) car /3 = e_1a , donc (a) = (fi) .
11.16 Décomposons d'abord l'idéal (2) en utilisant le théorème 11.7. Ici 0 = /\/Î3 car
-13 = 3 (mod 4) => AK = Z(/>/l3). Donc ft(jc) = je2 H- 13 = jc2 — 1 (mod 2). D'où
/>„(*) = (je + l)(x - 1) => (2) = (2,1 + /%/Ï3)(2,1 - 1 v/Ï3) .
De même P^(x) = x1 + 13 = x1 + 3 (mod 5). Ce polynôme est in-éductible (mod 5) car il n'a pas de
racine dans F5 (il suffit d'essayer 0,1 et 2). Donc (5) est un idéal premier dans Z(/\/Ï3). On obtient
donc
(10) = (2,1 + /VT3)(2,1 - iVÏ3)(5).
On vérifie aisément que
A = (2,1 + ïVT3)(2, 1 - />/Ï3) = (4,2(1 - iy/Ï3),2(l + />/Ï3), 14).
Donc 2=14-3-4GA.De plus, V* G A,
jc=*|4+jc22(l-iVÏ3)+jt32(l + /V^)+J^ (2).
D'où A = (2) . '
11.17 1) Calculons le produit
B = (2,1 + >/5Ï)(2,1 - V5Ï) = (4,2(1 - V5Ï),2(1 + \/5Î),-50).

Correction des exercices 249
On a -50 + 13 • 4 = 2 G B , donc (2)CJ5,et5C (2) car 4,2(1 - V5Ï), 2(1 + V5T), -50 sont
des multiples de 2. Donc B = (2). A-1 = / 1, ~o — \ .
2) Décomposons (2) en produit d'idéaux premiers dans Ak = Z(\/5Î). On a P${x) — x2 —51 = a*2 — 1
(mod2); ft(jt) = (jc- 1)(a + 1) dans J2[x] et (2) = (2, V5T-1)(2, \/5Ï+l) est la décomposition
de (2) en produit d'idéaux premiers. Ainsi A est premier.
3) En posant C = (2, 1 — \/5Ï) et en prenant les normes, il vient
N((2))=\N{2)\=4 = N(A)N(C).
Donc N(A) = 1 , 2 ou 4. Or N(A) ^ 1 car N(A) = 1 ^> A = (1) =» C = (2) ; or ceci est
impossible car N(2) = 4 ne divise pas N(\ — \/5Ï) = —50. De même //(A) / 4 car C / (1)
donc N(A) = 2 . Ce résultat donne une deuxième démonstration du fait que A est premier (remarque
11.3).
11.18 Soit {ai, ai cln(A)} un système de représentants des classes modulo A. Alors
{fli + 1,^2, • • • >ciN(A) + 1} est aussi un système de représentants des classes modulo A, car
ai + 1 = ûj — 1 (mod A ) =4> a,- = ctj (mod A ) et, pour tout x G A& il existe un indice i
tel que jc — 1 = a,- (mod A ), d'où x = û, + 1 (mod A ). Par suite :
«H + flwiA) = (ai + 1) H h (cin(a) + 1) (modA).
D'où N(A)=\) (mod A ), iV(A) G A .
11.19 /V*)= 1 + jc + *2+.ï3 + jc4.
a) Modulo 3, Pw(x) n'a pas de racine. S'il est réductible, il s'écrit donc
P<o(x) = (x2 + a y - M(-v2 + cjc -h d).
Par identification, a -r c = l. Z? + ac + J = \. bc -\- ad = \,bd = 1 . Donc Z? = <7 = 1 car
b = d = —\ =^flTc=-l, impossible. D'où a — c = 1. ac = — l , impossible. Ainsi Pœ est
irréductible modulo 3. D'après le théorème 11.7, (3) est premier dans Z(co).
b) Modulo 5, P(o(\) = 0 . En fait on voit que, modulo 5,
Pa,(x) = x4 - 4x3 + 6x2 - 4jc + 1 = (x - l)4.
Par suite (5) = «5, <w - l))4 .
11.20 En vertu du lemme 11.7, tout idéal entier A est équivalent à un idéal entier B tel que
N(B) < M . Soit N(B) = pip2 .. • pk la décomposition de N(B) en produit de facteurs premiers
dans M ; on a /?,- ^ M pour tout / , donc par hypothèse tout idéal premier divisant un des (/?/) est
principal. Or on sait que N(B) G B (exercice 11.18) donc B\{N(B)) . Tout diviseur premier Oj de
B divise un des (/?,), donc est principal ; ainsi B = Q\ Q2... Qm est principal. Tout idéal A est
équivalent à un idéal principal, donc est principal, et A:< est principal.
11.21 On prend ici coi = 1, m = \fï . Donc M = (1 + yfif « 13.2915 . En utilisant le résultat
de l'exercice 11.20, on se ramène donc à étudier les idéaux premiers (2), (3), (5), (7), (11), (13) .
a) x2 - 1 = (x - 1)(a- + 1) (mod 2). Donc (2) = (2, Vï + l)(2,\/7 - 1) = (2, Vï + l)2 .
Mais (2, \fï 11) est en fait principal; pour le voir, remarquons que sa norme est égale à 2, et
cherchons un élément de norme ±2 ; on voit ainsi que (yfï + 1) — 4 = yfï — 3 G (2, \JÏ + 1) .
Donc (2. \/7 — 1)|(a/7 — 3) ; posons {Vï — 3) = A (2, \JÏ +1) ; en prenant les normes, on obtient
2 = 7V(A)2, donc N(A) = 1, (A) = 1 . Ainsi (2: y/ï + 1) = {Vï - 3) est principal.

250 Théorie des nombres
b) x2 — 1 = (x — l)(x + 1) (mod 3). Donc (3) = (3, y/ï + 1)(3. y/ï — 1) . En raisonnant comme
en a), on voit que (3,\/7 + 1) = (VÏ-2) et (3. y/ï - 1) = (y/l + 2) .
c) x2 —1 n'a pas de racine modulo 5, donc est irréductible modulo 5. Ainsi (5) est premier.
d) (7) = {Vï)2 , et {y/ï) est premier car de norme 7.
e) x2 — 7 n' a pas de racine modulo 11 ; (11) est premier.
f) x2 — 7 n'a pas de racine modulo 13 et (13) est premier.
Pour (p) = (2), (3), (5). (7). (11), (13) , tout idéal premier divisant (/?) est principal. Donc l*(y/ï)
est principal, c'est-à-dire h(Q(y/ï)) = 1 .
SOLUTIONS DES EXERCICES DU CHAPITRE 12
12.1 Soit x = J2"jZoaj^J > aj'■ € IL- un élément de X ; alors a s'écrit
n-l d-\
7=0 i=0
On pose çpjtOc) = XTy=c» S?=o xUak^J = Yl'jZo ^k(cij)6J , où M^ est un des morphismes de
conjugaison de L . On a donc immédiatement <pk(x+y) = ^-(aO+^OO , <fk(xy) = <pk(x)<Pk(y), <£*(>*) = ?"
si r G Q ; ainsi <£* est un moiphisme de conjugaison de K . En particulier, <pk(a) = a a , et par suite
Max \ak\ = \ot\ ^ Max |cr,(a)|.
k i
Par ailleurs, en notant Pa le polynôme minimal de a , on a Pa(a)=0, donc Pff(<7jt(a))= 0
pour tout morphisme de conjugaison cr* de K. Donc il existe i tel que <jjt(a) = a; et
|a| = Max \at\ = Max |tr*(ûr)| , c.q.f.d.
i k
12.2 Soient a\... .ad les morphismes de conjugaison de K = Q(a, /3).
On a \a-\-/3\= Max |av(a + 0)| < Max \cn{a)\ + Max |er,(/3)| donc |a + 0| ^ |or| + \0\ en vertu
du théorème 12.1. La démonstration de (12.12) est analogue.
12.3 1) Puisque a est un entier algébrique, son polynôme minimal Pa est à coefficients entiers ; il
existe donc des entiers rationnels flo,«i, • • • ,ad-i tels que ao + ciia + • • • -t- Od-\ad~l + ad = 0 ,
avec ao / 0 car Pa est irréductible dans Q[x]. Donc \a1a2 •.. ad\ = |flo| ^ 1 ■ Ainsi l'un au moins
des ai vérifie |a/| ^ 1 . D'où \a\ = maxz- |a,| ^ 1 .
2) Soient fîi = a1, /?2, ■ ■ ■ , /^ les conjugués de a' . Puisque /3i = a' G Q(a) pour tout k il
existe un conjugué y de a tel que /?* = 7'. Ainsi on a |/3a-| ^ \a\ =1 pour tout k = I, 2 • • • ,
Jj. On a donc :
kl<k2<---<kd.^j
*1 <*2 <"•<*</,.-j
Or a' € Q(a), donc deg [a') = di ^ 11 ; d'où le résultat. •
3) Soit a un entier algébrique non nul tel que \a\ = 1. La question précédente montre que les
polynômes Pi sont en nombre fini. Comme ils n'ont qu'un nombre fini de racines car deg P, ^ /7, la
suite a1 ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs. Donc il existe i ^ m tel que a1 =am. Ainsi
a est une racine de l'unité, c.q.f.d.

Correction des exercices 251
12.4 Posons a = /3/a , a = den (a), /3 G Ak . Puisque fi est wn entier non nul de UC, on a
|7V(yS)| ^ 1 (voir (10.11) et le début du §10.3). Donc :
\N(a)\ = \aia2 ...ad\ = |<7i(j3/û). .. trd(P/a)\
= |criC/3) - • • *diP)\ la = \N(fi)\ jad > a"'.
Or \ai\ ^ |a| pour i = 2,... ,d ; donc ]a| • |a| ^ a_£? , c.q.f.d.
12.5 On a d'après la première majoration de \Bn\ '•
m i m \
ÏÂU^fë^") <ca(m + l):
2 m2»+1
en majorant chaque terme de la somme par le plus grand d'entre eux ( <?3 ^ 1 ).
12.6 Soit {co\ ,0)2,. ■■, cod} une base entière de K. Puisque les A;/ sont entiers, on a
à
Aij = ^2aijk (ok, ciijk £ Z. (*)
Jt=i
Le système (12.26) s'écrit alors
n
^^aijkXj =0, i = 1,2,... ,m; k = 1,... ,<2.
7=1
Il s'agit d'un système de dm équations à n inconnues ; si n > dm , on peut lui appliquer le premier
lemme de Siegel. Il admet une solution (jcj ...., x„) G Zn , vérifiant
I \ n—dm
0 < max |jc/| $J ( « max \a\j}\ I (**)
Or, en appliquant les morphismes de conjugaison <7i,..., ov de K à (*), on obtient un système de d
équations :
[ aijio~i(oji) H h aijdai(oJd) = cr\{Aij)
aij\o-2(oj]) H h aijdO~2(a)d) = criiAij)
{ aij\ad{co\) H h aijdO~d(a)d) = <xj(A;y).
Le déterminant D de ce système vérifie D2 — A[û>i, u>i,..., c^] / 0 (voir §10.5). En notant H la
valeur maximale des modules des mineurs de D , et en appliquant les formules de Cramer, il vient
\auk\ < — max|o-*(A/;)| < —A.
D'où le résultat en reportant dans (**).

252 Théorie des nombres
12.7 On a
F(nk\x) = è E au E c* ^ -1) ...(/-€+d/-v-v
1=0 y=o £=o
F«\a) = E E fl« E C* ''<'' " 1) ■ • ■ a " f + D/-V-£(eV.
1=0 7=0 £=0
Dans les équations (12.29), il convient de multiplier F},k\a) par les dénominateurs al+i~£ de façon à
ce que les coefficients des aij soient des entiers algébriques : dans le cas de (12.28) comme de (12.29),
les maisons des coefficients sont majorées par
k
J2 ci /•(/ -i)...a-i+D/-f in'-'ï^r"
£=0
k
^ E c* ^! ^"cf+^ avec ci= max oh > i^d
£=0
^ 2 e (Logzz) Cj - (cai p\ < /r ^ e )
< ^3"LogLog/' pour « assez grand.
Ainsi le système (12.28)-( 12.29) compte-t-il N inconnues, avec N = (p + \){q + 1) . N > /zLog zz.
et 2/z équations. En appliquant le lemme de Siegel 12.4, on voit qu'il admet une solution fl/7- G 7L
vérifiant pour n assez grand
0 < max |<7l7| < (2AfnLogii ^^«f^fi****-^^
d'où 0 < maxij \a\j\ ^ e" pour n assez grand.
12.8 Deux cas peuvent se présenter : p = F%m)(0) ou /3 = F„m)(a). Dans le premier cas, on écrit :
x'"(x - aTGn(x) = F„Çx) = ^xm - £+^+1 ahxh .
Dans le deuxième cas, on écrit :
jr"(x - a)mG„(x) = Fm(x) = -^(x - a)m + XiZ+,a'k{x - a)".
Il en résulte, dans le premier cas, p = (—a)mm\Gn{0), et dans le deuxième, p = amm\Gn(a). Donc
dans tous les cas, en utilisant le principe du maximum :
\P\^\a\mm\ max \Gn(z)\.
Pour majorer |Gn(z)|, on majore d'abord |F„(z)| ; en vertu de (12.27) et (12.30), on a
max |F„(j)K Vy>"'"2'/V"'V,>
puisque \ez\ = e**~ . On majore m2'/3 par m2p^3 , ejm par e9,,r ; de plus, n ^ m. donc
i ?
h 1, a ^ (Log //z) + 1 . Ainsi ^
\ m
FAz)\ ^ (:JH_ + i) f(Logm)2 + 0 e"lmi(^+])e^rn)2+1)m2/3
Yïl T
t? ^em , p^ + 1, q ^ (Log //z)2 + 1 • Ainsi
Los *w
max
|Z|=W2/3
< e'"1 pour /z assez grand.

Correction des exercices 253
e e
D'où LSI ^ \a\mml . .. ... -y— ^ (2\a\)mm\——; .
£n majorant m ! par mm , il vient pour m assez grand
\P\ ^{2\a\)me2mm-^ ^m-*.
12.9 On utiHse les formules pour F^}(0) et Ff}(a) établies dans l'exercice 12.7. Si 0 = Ff\m)(0),
on voit que fi est un entier de K , donc (12.35) est vraie et, pour m assez grand.
M< éêlfl'vlî! C'»f" ^ (/> + 1X9 + iy*p! 2"'(Logm)2'"
1=0 j=Q
([L^]+1)!([(LOgm)2] + ')(2ere
m 2wLog Log m
^ 3/nLogLogm
Si f3 = F<m)(a), den (f3) < ap+* et (12.35) est vraie, et pour m assez grand :
p q ïnfO'.m)
^î < Ê É i*y i E c* w -1) •••('- ^+Dy""fR''W
i=0 7=0 £=0
^éée>!^H,'Fr2m.
f=0 7=0
On retrouve presque la majoration de \/3\ dans le cas où \/3\ = F,[m)(0), ce qui permet d'écrire :
TÔT < ^3/HLog Log m
12.10 On a vu (remarque 3.2) que
[l,2,...,n,...] = ,-^-^ ;or:
\«=o v y / «=i v
\(n - 1)!4B
Le changement d'indice m = » — 1 amène
+f^ s jyi/ 2m+l
^-^ m (wz + 1) 22,,I+1
Donc [1,2 ,/z ] = -/ /0,(-2z) /70(-2/) est transcendant (théorème 12.8).
12.11 On procède comme dans le lemme 12.2. La fonction de Tschakaloff Tq vérifie l'équation
fonctionnelle (1.5) :
Tq(qx)=\+xTq(x).
Supposons-la algébrique, et écrivons :
{Tq{x))d + ad-X(x)(Tq(x))d-1 + • ■ • + ao(x) = 0,

254 Théorie des nombres
où ciq , cid-\ £ C(x) , d minimum. En remplaçant x par qx , il vient
(1 + xTq{x))d + flrf-ite*)(l i-xTq(x))d~l + ■ ■ ■ = 0.
On divise par xd et on identifie les termes de degré d — 1 en Tq{x) :
xad-\{x) = d + ad-i{qx).
Posons cid-\{x) = A(x)/B(x), avec A. B £ C[x] , A et B premiers entre eux : on obtient :
xA(x)B(qx) = dB(x)B(qx) + A(qx)B(x).
Ainsi B(qx)\A(qx)B(x). Donc ^x^Cx), £(x) = b G C* . D'où contradiction car
degxA(x) > deg A(qx).
12.12 On a pour |x| < 1
EX" ^r-^ / X" X~
1 - x2"+l = ^ [ 1 - x2n ~ 1 - x2"+l
« = 1 71=1 \
car 1 - x2"+' = (1 - x2")(l + a2") . Donc
+ oc 9" + oc '>" +oc 2" 2
Ex" ^—^ x~ ^-^ x x
Or on sait que Fn = —f(<Î>" -^),où O = (1 + V5)/2 est le nombre d'or et W = -I/O.
V5
Remplaçant x par I/O dans ce qui précède, on a
2^ ! _ $-2»+' 2^ $2» _ $-2» - + /g 2^ f,„
a=I - - vs^rft- *2-i-
D'où le résultat.
Remarque : On a ici un exemple de série dont la somme est algébrique de degré 2. On ne peut pas
appliquer la méthode de Mahler à la fonction /(x)
donc / n'est évidemment pas transcendante.
Par contre la méthode de Mahl<
dant : voir [19], exemple 1.3.3.
quer la méthode de Mahler à la fonction /(x) = X^=o ^+T car / est une fraction rationnelle,
Par contre la méthode de Mahler permet de démontrer, par exemple, que X^/tT? est transcen-
12.13 On remarque que 6 = f{\), avec
H=0
1) On vérifie que /fl(x2) = fa{x)
1 -h ax

Correction des exercices 255
2) On montre que fa est transcendante; l'égalité (/fl(t))d 4- cid-i(x)(fa(x))d l -f ■ * ■ + floM = 0
entraîne, en remplaçant x par jt2, en supposant d minimum et en utilisant la relation fonctionnelle :
ad-\{x) = ad-\{x ) ■
1 + ax
Posons ad-i(x) = A(x)/B(x), avec A et B premiers entre eux, on obtient
(1 + ax)A(x)B(x2) = (1 + ax)A(x2)B(x) - dxB(x)B(x2).
On a d'abord B(0) / 0 ; en effet, B(0) = 0 => A(0) / 0 car A et 5 sont premiers entre
eux, et l'égalité ci-dessus amène une contradiction si B(x) = xkC(x), k ^ 1 , C(0) / 0. De
plus, B(x2)\(] -\-ax)A(x2)B(x) ; comme B{x2) est premier avec A{x2), B(x2)|(l+ax)Z?(x) ; donc
B(x) = ax + fi et £(x2) = y(l + ax)£(x) , y G C* . Par identification, on a fi = y/3 , d'où y = 1
car f3 ^ 0 ,'et aussi a/3 + a = 0 ; aa = a ; ainsi a = —af3 ^ 0 , donc a = 1. Donc, si a ^ 1, /
est transcendante.
Si a — 1 , on peut observer, utilisant l'exercice 12.12, que
+ oo 2" +°o 2" +°° v2" 9„
EX v "v X y -r X ZX
1 + x2" + ^ 1 - x2" = ^ l _ .Y2«+i = ! _ x ■
n=0 «=0 «=0
Ainsi, si /i était algébrique, f-\ le serait aussi, ce qui n'est pas le cas. Donc / est transcendante
pour tout a / 0 .
3) Le fait que 6 soit transcendant vient de la méthode de Mahler ; les détails sont laissés au lecteur, la
démonstration étant la même, ou presque, que celle du théorème 12.5.
12.14 1) Posons /(x) = £?=o*"Y' , m e Z. Alors f"\x) = Y?i=n aà{i - 1)... (i - n + \)xl~n
si n ^ d, /(,,)(x) = 0 si n > d, donc les coefficients de f{n) sont divisibles par 72! en vertu du
lemme 8.5.
2) On a (e-'F(t))' = -e~T f(t) car f(N+l\t) = 0 , et on intègre entre 0 et x .
3) Supposons que e est algébrique de degré d :
cided + ad-\ed~x -, h ûo = 0, ax £ Z, a0 7^ 0.
On pose x = /: dans la formule d'Hermite, on multiplie les deux membres par Ok , et on additionne
pour k = 0. 1 , d . On obtient
</ d
An = -J2akF(k) = J2akek f f{t)e~ldt.
k=0 k=0 **°
avec /('> = J^rji'"'1® " 1} " ' "{t " J))" '
Le polynôme /(f) vérifie /'"(0) = 0 si 1 = 0,1,... ,n - 2 , /(H_1)(0) = (-l)^(J!)" , /'"(*) = 0
si f = 0,1 n — L k = 1,2 .rf.Ona donc, puisque / est de degré N = dn -f /z — 1
dn-rn — 1
F(0) = ^ /(0(0) - (-lfV!)" + «A, A G Z,
i=n-l
car pour / ^ /z les coefficients de (n — l)!/(0(0 sont divisibles par i ! (question 1), donc par ni. De
même, pour k ^ 1
dn+n-\
F(k)= Y, /(°« = "£5 B£\
Ainsi, si n est un nombre premier strictement plus grand que d et ao , n \ F(0) et n\F(k) pour
k ^ 1 . Donc A„ e>sr un entier différent de 0.

256 Théorie des nombres
Maintenant, on majore \An\ pour montrer qu'il tend vers zéro. Sur l'intervalle [0,/c], avec k ^ d ,
on a
jdn+n~l
1/(01 < —• donc
(n " 1)!
jdn+n~\ d
jdn+n—l u pk jdn+n —1 u
c
(«-!)!
où K et C ne dépendent pas de n . Ainsi la suite d'entiers rationnels non nuls A„ tend vers 0, et cette
contradiction démontre la transcendance de e . On remarquera que cette démonstration, relativement
élémentaire, n'utilise pas la théorie algébrique des nombres.
12.15 1) a) Soit à construire x = p/q , p G N, q G N* . En reportant p fois l'unité à partir de
0, on construit A d'abscisse p et d'ordonnée 0. Puis on trace une sécante passant par 0, on reporte
q fois l'unité à partir de 0 sur cette sécante pour arriver au point B . La construction d'une parallèle à
( AB ) permet d'obtenir l'abscisse p/q .
b) Partant des coordonnées rationnelles, on peut seulement construire des coordonnées algébriques de
degré 2 (intersection de droites et de cercles), puis des coordonnées algébriques de degré 4, etc..
2) Soit a le côté du carré ; si la quadrature du cercle était possible, le nombre a vérifiant a2 = ir
serait constructible. Donc ir serait algébrique, contradiction.
12.16 Le système d'équations F (k + /3m) = 0 s'écrit :
ELVZS V- (* + P"')' «V" =0 (0£k,m<N5).
Après multiplication par (dena)^ (den/3)N (deny)/V = ÀA' . on obtient un système de N10
équations, à TV11 inconnues û,;, dont les coefficients sont des entiers de K, majorés par :
lA^C^/Jmy^V'"! ^ A"8 (l + Lëï)"8 N5N* (RM)*' < ^f N5N* < N6N%
grâce au choix de N. Le lemme de Siegel 12.4 permet alors de conclure à l'existence des ay,
satisfaisant :
0<max|ay|< (n11M.N6n*) w"
"O*
12.17 1) Montrons que théorème 9.9 équivaut à l'énoncé 1 :
Supposons d'abord qu'il existe C > 0 tel que
a-P
> Cq 2 ' pour tout — G Q, q > 0.
Soit e > 0. Si l'inéquation (/) a une infinité de solutions —, pour chacune d'elles on a :
Cq 2 l ^ \a-p/q\ <q 2"
=> C <i
Contradiction lorsque q —► +oo. Réciproquement, supposons que pour tout s > 0 l'inéquation (/)
n'a qu'un nombre fini de solutions . Fixons s et notons —, —, • • • , —
q\ qi qn
ces solutions.
Pour tout q > Q = max (qi), on a
_4
^ C0q 2 } où Co = q
En notant Ci = min
_d
q 2 > 0 et C = min(Co, Ci), on a
a-P-
î+i

Correction des exercices 257
„: P
Il est clair ensuite que l'énoncé 1 implique l'énoncé 2. Montrons la réciproque : si — est solution de
4
/?0 I T)n I 4.
l'inéquation (/), alors sa forme irréductible — vérifie
4o
a ■
Po
40
<
< %
nn'y
o; P
a donc qu'un nombre fini de rationnels irréductibles associés possibles. Par ailleurs, si — vérifie (/),
4
< q 2 e, ce qui signifie que q est borné et que à chaque forme irréductible
on a 0 <
Po
4o
ne peut correspondre qu'un nombre fini de rationnels —.
q
Donc l'énoncé 2 équivaut à l'énoncé 1.
2) On a à résoudre le système d'équations :
n n
^2ati(i - l)---(i-h-^l)ai~h-^2bii(i - 1) •-•(/- h + l)a,'~*+I =0, h = 0,1,--- ,w-l.
Après division de chaque équation par h\ et multiplication par ah (dena,)"+I , ce système équivaut au
suivant, à coefficients entiers dans K = Q (a) :
n ?i
Y^ e1- (dena)"+1 oîai - ^ C\l (denûO'2+1 awbi = 0, /z = 0,1, • • ■ ,m - 1.
i=A i=h
Puisque Cf ^ C* ^ (1 -f- 1)" = 2", la maison de ces coefficients est majorée par c"+1, où c> 1 ne
dépend que de a. Le lemme de Siegel 12.4 montre que ce système admet une solution vérifiant (noter
que 2" ^ n pour tout n G N) :
0 < max (|fll-|. \bj\) ^ |2(/z + 1) Afcn_rl] 2(n+l)~dm ^ (4Afc)*»+i>
Or par définition de n on a :
{n+])dm
—dm
^ 1+A^ ^1+A^
n ^ —-—dm — 1 ; n ^ —-—om < ara.
(*)
Ainsi 2 (n + 1) ^ (1 + A) rfm et n + 1 ^ dm, d'où le résultat avec fi = (4Mc) > 1.
P(x) Q(x)
/>'(.*) G'(.ï)
Une récurrence facile montre qu'il existe des entiers naturels pij tels que :
3) a) On remarque que W (x) ■
est un wronskien.
W(h)(x)
o</<y<A+i
p(° (a) e(0 (*)
P0) (v) g(7) (jc)
(**)
Or par définition de P et Q , pour 0 ^ i < j ^ m — 1 on a :
f P(/) (a) - 6(,) (a) a = 0
1 PU) (a) - QU) (a) a = 0
Donc
F(n (a) Q0) (a)
Par conséquent W (a) = W (a) = ■ ■ • = Wim~2) (a) = 0
0 si 0 < i < j;^ /z + 1 ^ m - 1 .

258 Théorie des nombres
b) Si W — 0, P et Q sont liés sur M et il existe une constante k G R* telle que, par
exemple P = kQ. Puisque P et Q sont à coefficients entiers, on a k G Q*. Il en résulte que
Pih) (a) = kQih) (a). On en déduit, par définition de P et g, que (a - k) Q{h) (a) = 0, pour tout
h = 0, I,- ■ ■ ,wi-l, etpuisque a £ Q, ona g(/2) (a) = 0 = Pih) (a) pour tout h = 0,1,- ■ • ,m-\.
Mais P , Q G Z [x] ■ Par conséquent pour tous les conjugués o?i = a, #2, •■■ ,aj, ona aussi
Q(ft) (#,) = 0 = P{h) (ai). Ainsi P et Q sont divisibles par (x - a\)m • • • (jc — û^)"2 ; contradiction
car l'un au moins de ces polynômes est non nul et de degré au plus n < dm (voir (*)). Donc W ^ 0.
c)Ona W(x)=(j:';=0aixi) (E"=o'^'"') " (ELo'^'"1) (EU*»*')-
2m ^dm. 2drn 4t/w
Donc \a\ ^ 2(« + l)max|fl,-|max|fc| ^ 2dw/3 a < ^-r-jG a ^ yS a .
À
D'où le résultat avec 7 = 4J Log /3.
4) Si — est racine d'ordre h de W, on sait par l'exercice 1.6 que q$ divise le terme de plus haut
qo
degré de W (qui est non nul). Ainsi h Log go ^ J~r- Donc l'ordre de multiplicité de — est au plus
À q0
yin
égal k w = - ^ Àm grâce au choix de qo.
À Log qo
5) Supposons que, pour tout entier 0 ^ j < w + 1, on ait PU) ( — ) - — <20) ( — ) =0.
\<loJ qk \qoJ
Alors
Pm
pin
iP~)
Uo7
-
\9>)
p"> 1
py
{-)
\qo l
-
Uo/ 1
0 si 0 < z < j < w-j- 1.
Il vient alors W ( — ) = W ( — ) = ■ • ■ = W{w) ( — ) = 0 grâce à (**), contradiction.
V?oy V^oy \qoJ
6) On a :
k*|<
Kh(s)-«a<"(£)
7! \\dxJ Uo';
+
q<.»(eï)\L_el\)
e^f^l L-el\)
\qoJ\ I ^ \)
1 ^1
7! l^i!
J \i=o
3y+M
a:cJ+'
(«,«)
Po
tt
qo
1
+
e(
(s)
P*
En effectuant le changement d'indice h = j + i et en tenant compte de la définition de A (x, y) et du
fait que j < w ^ Àm < m, il vient :
H<£C*'ï!
0*A
po
4o
*-y
1
-,(7)
(2)
EL
qk
dm
Or, comme dans la question 2, on a les majorations suivantes (noter que /? + 1 < —— par (*) ) :
A
7î
^(^I^Çc/lhl
^ (« + 1)2"/3 A (|tt| + 1)" < 0A , où 6 = 4^ (H + l/ jS.
h\
dhA
dxh
(a, a)
n n m
< J])Cf |a;a,-| +X)C? |«'+Ifc<| < (2n + 2)2"^T (|a| + j)" < (2^) A .

Exercices 259
Il en résulte, en posant 8 = (Sd + l) 6 :
KK(n + l)2"(2V)
<7o
po
+ 0*
EL
€
€
(^d6y q^-l)m + 6^a~pm ^
ÏÏL
Ude\À + e*
(sV)A q^m) + e^qjrp
7) Puisque les coefficients de —- Pij) ( — ] et —- Q(7) ( — ] sont des entiers relatifs, on voit que
y! \qoJ j}- \qoJ
q'o 3qkVt est un entier relatif. Puisque vy, / 0 et m ^
Log^
Log^o
1. il vient donc :
I | \ j—n — 1 ^ j—n —m—1 j—n—m — \
i±A,
^
<?0
De la majoration et de la minoration de \vk\ on déduit immédiatement :
i±^+1)
m + 1
Log qo ^ -r Log 5 + (A - 1) pm Log #0.
A
Ainsi p ^
Los 8
(1+A)- + 1
+ :—4 +
1
(l-A)m
A(l-A)Log#0 1-A
L'ordre des opérations est alors le suivant :
d+A)y + l d
a) On choisit A suffisamment petit pour que — ^ — -f 1 + -.
1 — A 2 6
b) On choisit qo de telle sorte que
Log 8
^
c) On choisit k tel que
1
A(l-A)Log<?o 6'
(1 -A)m ^ 6'
d e
Il vient p ^ — + 1 + -, et cette contradiction démontre le théorème de Thue

Références bibliographiques
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Index
Les chiffres renvoient aux paragraphes ou aux exercices.
Adjonction : 10.1, 11.4
Algorithme d'Euclide : 5.6
Anneau des entiers d'un corps de nombres : 10.3
Anneau des*entiers d'un corps de nombres quadratiques :
5.2
Anneau euclidien : 5.5, ex 6.20, 10.6
Anneau factoriel : 5.5, 10.6
Anneau principal : ex 6.20
Anneau-quotient : 6.2
Approximant de Pade : 8.1
Approximants de Padé diagonaux : 8.1
Approximation diophantienne : 1.5, 4.4, 8.4
Base entière : 10.5
Classes d'équivalence : 6.2
Conjugué d'un irrationnel quadratique : 4.5. 5.1
Conjugués d'un nombre algébrique : 10.2
Congruence : 10.6
Constructibilité : ex 12.15
Corps cubique : 10.2
Corps cubique pur : 10.2
Corps cyclotomique : 10.1
Corps finis : 6.4
Corps de nombres quadratiques : 5.1
Corps de nombres algébriques : 10.1
Critère d'Eisenstein : 9.1
Critère d'Euïer : 6.3.1
Critère de Pringsheim : ex 3.12
Critère de Seidel : ex 3.12
Degré d'un nombre algébrique : 9.1
Degré d'un corps de nombres : 10.1
Dénominateur : 8.4, 9.2
Déterminant de Vandermonde : 10.5
Développement p -adique : 2.1
Développement de e en fraction continue : 4.2
Développement de e2 en fraction continue : ex 4.12
Discriminant de d éléments de K : 10.5
Discriminant d'une forme quadratique : 6.5
Discriminant d'un idéal : 10.5
Discriminant d'un corps de nombres : 10.5
Diviseur d'un idéal : 11.2
Diviseurs communs à deux idéaux : 11.2
Division euclidienne : 5.6
E-fonction : 12.7
Elément algébrique sur un corps : 12.1
Elément transcendant sur un coips : 12.1
Entier algébrique : 9.2
Entier d'un corps de nombres : 10.3
Entiers de Gauss : 5.2, 6.1
Entier quadratique : 5.2
Equation ax + by = c : 4.3
Equation de Fermât a2 + y2 = z : 5.4
Equation de Fermât a3 + y3 = z3 : 5.7.2
Equation de Fermât a4 + y4 = z4 : 5.4
Equation de Fermât x^ + y^ = z : 10.6
Equation de Fermât x" + yn = zn : ex 6.19, 11.6
Equations fonctionnelles : 1.4, 12.1
Equation hypergéométrique : 8.1
Equation de Mordell : 5.7.1, 11.6
Equation de Pell : ex 1.11,4.6, 5.3.3
Equation xn - dyn =k : 9.5
Exposant de Liouville : 9.5
Extension : 10.1
Fonction algébrique : 12.1
Fonction arithmétique : 7.1
Fonction Bêta : ex 8.4
Fonctions de Bessel : 3.5, 12.7
Fonction diviseur : 7.1
Fonction Gamma : 3.5
Fonction génératrice exponentielle : ex 7.14
Fonction génératrice ordinaire : 7.1
Fonction hypergéométrique de Gauss : 8.2
Fonction hypergéométrique confluente : 8.3, 12.7
Fonction hypergéométrique généralisée : 8.3
Fonction de Môbius : ex 7.15
Fonction de Tschakaloff : 1.4, ex 12.11
Fonction transcendante : 12.1
Fonction £ de Riemann : ex 7.17
Forme quadratique binaire : 6.5
Formes quadratiques équivalentes : 6.5.2
Forme quadratique réduite : 6.5.3
Formule de Brouncker : 3.1
Formule du crible : 7.6
Formule d'Hermite : 1.3, ex 12.14
Formule de Legendre : 7.7
Formule de Stratemeyer : ex 2.8
Formule du triple produit de Jacobi : 7.3
Fractions continues : 3.1
Fractions continues équivalentes : 3.2
Fraction continue de Lambert : 3.5
Fractions continues régulières : 4.1
Fraction rationnelle : 7.1, 12.1

262 Théorie des nombres
Générateurs d'un idéal : 11.1
Groupe des classes d'idéaux : 11.5
Groupe-quotient : 6.2
Idéal d'un anneau : 6.2, ex 9.12
Idéal d'un corps de nombres : 10.5, 11.1
Idéal entier : 11.1
Idéal fractionnaire : 11.1
Idéal premier : 11.2
Idéal principal : ex 6.20,11.1
Idéaux équivalents : 11.5
Identité de Bézout : 5.6, 11.2
Identité de Lagrange : 6.1
Indicateur d'Euler : 7.6
Indice : 6.4
Inégalité de la taille : 12.2
Irrationalité de \/d : 1.1
Irrationalité de e : 1.2, ex 3.13
Irrationalité de ea : ex 3.14, 8.4
Irrationalité de tt : 1.3,3.6
Irrationalité de iry/k : 8.4
Irrationalité de tt2 : ex 3.15
Irréductible : 5.5
Isomorphisme d'anneaux : 11.4
Lemme de Gauss : 6.3.2
Lemme de Kummer : 10.4
Lemme de Siegel : 12.4
Lemme de zéros : 12.4
Loi de réciprocité quadratique : 6.3.3
Maison d'un nombre algébrique : 12.2
Matrice unimodulaire : ex 6.10
Mesure d'irrationalité : 9.4, ex 9.17
Mesure d'irrationalité de e : 9.4
Mesure d'irrationalité de }\fk : table 9.1, ex 9.13
Mesure d'irrationalité de Log 2 : ex 9.12
Mesure d'irrationalité de ir : ex 9.18
Mesure d'irrationalité de tt- : ex 9.18
Mesure optimale d'irrationalité : 9.4
Mesure optimale d'irrationalité de e : 9.4
Méthode de descente : 1.6, 5.4, 5.7.3, 10.6
Méthode de Gelfond : 12.5
Méthode de Mahler : 12.3
Méthode de Siegel-Shidlovski : 12.7
Module sur un anneau : 10.5
Morphisme de conjugaison : 10.2
Nombre algébrique : 9.1
Nombres de Bernoulli : ex 7.14
Nombres de Carmichael : ex 6.6
Nombre de classes de formes quadratiques : 6.5.3
Nombre de classes d'idéaux : 11.5
Nombres de Fermât : ex 1.9, ex 6.18, ex 12.13
Nombre irrationnel quadratique : ex 1.8, 4.5
Nombre de Liouville : 9.3, 9.4
Nombre d'or : ex 1.8, 5.3.3
Nombre transcendant : 9.3
Norme : 5.1, 10.2
Norme d'un idéal : 11.3
Ordre d'un élément d'un groupe : 6.2
Partitions d'entiers : 7.13
Périodicité d'une fraction continue : 4.5
Petit théorème de Fermât : 6.2
Polynômes de Bernoulli : ex 7.14
Polynôme cyclotomique : 9.1
Polynômes de Legendre : ex 9.18
Polynôme minimal : 9.1
Polynôme symétrique : 9.2
Premier: 5.5, 11.2
Principe du maximum : 12.5
Principe des tiroirs : 1.6. ex 6.12, 11.5, 12.4
Problème de Hilbert : 12.6
Produit infini de Cantor : 2.3
Quadrature du cercle : ex 12.15
Racine primitive modulo p : 6.4
Réduites : 3.1
Relations d'Abel-Barlow : ex 6.19
Relation de contiguïté : 3.5
Relation d'équivalence : 6.2
Séries de Dirichlet : ex 7.18
Séries de Engel : 2.2
Séries de Lambert : 7.2
Séries de Sylvester : ex 2.9, 7.7
Solution fondamentale : 4.6
Sommes de deux carrés : ex 4.11, 6.1, 7.4, 7.8
Sommes de quatre carrés : 6.6, 7.5
Sphère de Riemann : 3.3
Suite de Fibonacci : ex 3.11, ex 5.22, 7.1, ex 12.12
Suite d'ordre exponentiel : 7.1
Suite d'ordre polynomial : ex 7.18
Symbole de Legendre : 6.3
Théorème de l'élément primitif : 10.1
Théorème de Galois : ex 4.9
Théorème de Gauss : 11.2
Théorème de Gelfond-Schneider : 12.6
Théorème de Sophie Germain : ex 6.19
Théorème de Hermite-Lindemann : 12.5
Théorème de Liouville : 9.3
Théorème de Roth : 9.6
Théorème de Thue : 9.6, ex 12.17
Théorème des unités de Dirichlet : 10.4
Théorème de Wilson : ex 6.8
Trace : ex 5.4, 10.2
Transcendance de e : 12.5, ex 12.14
Transcendance de tt : 12.5
Transformation unimodulaire : 6.5.2
Triplets pythagoriciens : 5.4
Unités d'un anneau : 5.3.1
Unités d'un corps de nombres : 10.4
Unité fondamentale : 5.3.3
Unités quadratiques : 5.3
051234 - (I) - (1,2) - OSB 80° - PUB - MPN • Dépôt légal : juin 2007 • Dépôt légal de la lre édition : 4e trimestre 1998
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