/
Tags: математика естественные науки
Text
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР
И. И. БЛЕХМАН, А. Д. МЫШКИС,
Я Г. ПАНОВКО
ПРИКЛАДНАЯ
МАТЕМАТИКА:
ПРЕДМЕТ,
ЛОГИКА,
ОСОБЕННОСТИ
подходов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ—1976
518
Б68
УДК 501
Первая в мировой литературе книга, посвященная
систематическому рассмотрению основных особенностей процесса
применения математики к решению прикладных задач, а также типичных
способов рассуждений и методов исследования в этом процессе.
Обсуждаются возможное содержание самого термина
«прикладная математика»; различие некоторых подходов в чистой и
прикладной математике; специфическая логика прикладной
математики. Особое внимание уделяется проблемам, возникающим при
математической формулировке задачи и при выборе метода ее
исследования. Рассматриваются характерные ошибки в
прикладном математическом исследовании, обсуждаются проблемы
преподавания математики будущим специалистам.
Книга нацелена на методологические и методические вопросы,
реально возникающие при применении математики в механике,
физике, инженерных дисциплинах, экономике и т. п. Она будет
полезна студентам старших курсов технических и
естественнонаучных факультетов с усиленной математической подготовкой
и молодым специалистам, применяющим математику. Опытным
специалистам, а также преподавателям вузов книга
предоставляет материал для полезных обсуждений. '
Рецензенты:
акад. А. Ю. Ишлинский,
акад. АН УССР Ю. А. Митропольский,
канд. физ.-мат. наук В. Г. Бабский, Ф. М. Харченко
Редакция математики и кибернетики
,.20284-001 , _„
БМ221(04)-7в150~76
(С) Издательство «Hayкова. думка», 1976 г.
ОТ АВТОРОВ
В настоящей книге речь пойдет об основных чертах прикладной математики * и
о типичных для нее способах рассуждений и методах исследования. Такие вопросы
особенно важны в наше время, когда роль приложений математики резко
усилилась и соответственно заметно оживился интерес к общей методике и методологии
этих приложений.
В различных статьях и книгах, а также в материалах дискуссий можно найти
немало содержательных соображений, относящихся к названной теме; пожалуй,
еще больше острых и ценных высказываний сделано устно по тем или иным
частным поводам и, оставшись незафиксированными на бумаге, оии образуют некий
«фольклорный» фонд. К сожалению, эти мысли и соображения до сих пор не были
должным образом суммированы и упорядочены.
Предлагаемая вниманию читателей книга представляет' попытку
систематического обсуждения проблем общей методики и методологии'приложений
математики. Конечно, опытный специалист — физик, инженер, экономист,— регулярно
применяющий математику в своей области, неизбежно вырабатывает
соответствующие концепции, но и ему эта книга может показаться интересной и побудит
его обдумать эти концепции еще раз и сопоставить собственный опыт с
представлениями других лиц. Однако молодые специалисты, сталкиваясь с приложениями '
математики, вынуждены самостоятельно улавливать традиции и как бы на свой
страх и риск заново вырабатывать для себя общие принципы, опираясь на
отрывочные частные советы, а также на свой, как правило, небогатый опыт. Заметив
разительное несоответствие уровней разработки самой математики и вопросов
общей методики ее приложений, начинающий специалист может даже заключить,
что эта методика вообще находится в донаучной стадии.
Книга в первую очередь адресована именно таким начинающим специалистам—
студентам старших курсов технических и естественно-научных факультетов с
усиленной математической подготовкой, особенно специализирующимся по приклад-
ной математике, а также молодым инженерам-исследователям и представителям
других дисциплин, применяющим математику в своей работе. Впрочем, думается,
что она может оказаться цолезной и молодым математикам, сталкивающимся
с приложениями математики. Чтобы сделать книгу доступной всем, имеющим
математическое образование в объеме хотя бы обычного втузовского курса, мы
поместили в конце книги примечания, содержащие объяснения отдельных математи-
* В п. 1.1.7 мы уточним, в каком смысле будем применять в этой книге термин
«прикладная математика», а пока читатель может считать, что мы пользуемся этим
термином в том же смысле, что и ои. Обозначение «п.1.1.7» соответствует п.7,
§ 1, гл. I, при подобных ссылках внутри главы ее номер не указывается, а при
ссылках внутри параграфа не указывается его номер.
3
ческих терминов, выходящих за рамки этого курса (ссылки на примечания
обозначены цифрами).
Возможно, что некоторые читатели не будут согласны с отдельными
утверждениями или точками зрения, но мы надеемся, они сочтут приемлемым основное
содержание книги. Разумеется мы ие считаем, что по каждому из затронутых
вопросов нами сказано последнее слово, и поэтому не только предвидим продолжение
дискуссий, но и искренне рассчитываем иа~них; дать новый стимул для
дискуссий — это еще одна задача, которую ставили перед собой авторы *.
Мы надеемся, что читатели не посетуют на то, что в книге будут напоминаться
некоторые достаточно известные факты, если они существенны для изложения:
лучше недооценить осведомленность читателя, чем переоценить ее — это в его
собственных интересах.
. Несколько лет назад была опубликована небольшая статья [2], посвященная
тому же кругу вопросов; она явилась основой интересной дискуссии о
математической строгости в исследованиях по механике, проведенной на III Всесоюзном
съезде по теоретической и прикладной механике [3]**. В настоищей книге
основные положения статьи [2] значительно развиты, уточнены и проиллюстрированы
примерами. Эти примеры относятся в основном к механике — наиболее близкой
авторам области приложений математики. Возможно, что это наложило некоторый
отпечаток на книгу в целом, так как такое приложение в каждой крупной области
имеет свои особенности. (В частности, этим объясняется то, что задачи
описания используются в книге для иллюстрации ее основных положений гораздо
шире, чем задачи выбора решения, а обсуждение роли случайных
факторов вряд ли может считаться отвечающим их месту в современной прикладной
математике.) Однако думается, что общих черт здесь значительно больше, чем
различий, и потому специалисты в других областях легко смогут пополнить
изложение примерами из этих областей.
Характерные черты прикладной математики легко выявить, сравнивая ее
с чистой. Поэтому глава I начинается с очень краткого обзора истории и
современного состояния математики и с обсуждения точек зрения иа математику
вообще и на прикладную в особенности. Далее подробно разбирается различие
подходов к ряду основных математических понятий, таких, например, как
существование или бесконечность в чистой и прикладной математике. Это различие, а также
прямое воздействие практических потребностей утвердили своеобразную логику
прикладной математики — логику рациональных рассуждений ***, рассмотрением""
которой заканчивается глава I.
В главе II рассмотрены элементы прикладного математического
исследования, связанные в основном с математической формулировкой задачи и с выбором
метода "ее решения. Наконец, в главе III обсуждены некоторые вопросы, связан-
* Приведем в этой связи слова из заключительного абзаца яркой книги
Р. Хемминга [1]: «...большинство предыдущих рекомендаций и замечаний
представляют личное мнение, выработанное автором в отдельной лаборатории, и... они
вовсе не обязательно всегда применимы. В их защиту можно сказать, что они
опираются столько же на здравый смысл, сколько на опыт. Если читателю они ие
понравятся, то пусть он ие спорит иа эту тему, а изложит свои собственные
соображения».
** Дискуссия, связанная со статьей [2], проводилась также в [4—6J.
*** В статье [2] эти рассуждения под влиянием замечательной книги [7]
названы правдоподобными.
4 ■
иые с Источниками ошибок в исследованиях и с обучением прикладной
математике.
Расположение всех затронутых в книге вопросов в линейном порядке,
распределение их по главам и параграфам имеет весьма условный характер;
например, многое из того, что относится к источникам ошибок или к методам решения
задачи, содержится также в главе I в связи с анализом рациональных
утверждений и т. п. Этим объясняются и некоторые повторения. Отдельные важные
вопросы изложены весьма неполно, в особенности это касается материала главы II, так
как задача сколько-нибудь полного описания прикладных математических
методов и даже их классификации представляется пока непосильной, да такое описание
и не может быть осуществлено в рамках одной книги. По-видимому, в наибольшей
степени направление и содержание этой книги перекликаются, помимо
упомянутой выше статьи [2], с интересной работой В. В. Налимова [8]. В приложении
к книге представлена статья В. В. Новожилова, написанная специально для
настоящего издания и непосредственно относящаяся к теме книги; впрочем, в
некоторых деталях точка зрения Новожилова отличается от нашей.
Итак, основная цель книги состоит в обсуждении места и специфики
прикладной математики. Это обсуждение должно призвать одних читателей к
сознательному выбору математической модели, математического аппарата и уровня
математической строгости, адекватных предпринятому исследованию, к критическому
анализу результатов применения математики в этом исследовании, а других —
к усилиям, направленным иа коллективное создание на современном уровне
важнейшей дисциплины — общей прикладной математики.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что книга не претендует иа
указание каких-то «царских путей» в приложениях математики, позволяющих избежать
кропотливого освоения, развития и применения современных математических
методов, необходимых для того или иного исследования. Таких путей нет и ие может
быть. Более того, можно указать много прикладных задач, существенный прогресс
в которых был достигнут только в результате трудного развития идей и методов,
которые в равной степени можно отнести как к прикладной, так и к чистой
математике; еще большее количество задач ожидает такого развития. Призывы к
гибкости, адекватности и гармонии не имеют ничего общего с призывами к
вульгаризации и халтуре!
В заключение скажем несколько слов об отношении авторов к этой книге.
Мы исходим из того, что всякаи попытка обобщения полезна для осмысливания
ситуации и правильной оценки направлений ее развития. Нам приходилось
заниматься разнообразными задачами чистой математики, приложениями математики,
а также проблемами преподавания математики прикладникам *. Только поэтому
мы сочли себя вправе взяться за обсуждение столь широкого круга вопросов,
многие из которых являются в буквальном смысле слова выстраданными;
пожалуй, эта книга — своего рода credo ее авторов, которые рассуждали, как и
А. А. Харкевич в предисловии к монографии [9]: «В книге подобного рода
потребность ощущалась уже давно. Однако время шло, а книга ие появлялась, и в конце
концов я решился написать ее сам, хотя вовсе не считал, что смогу это сделать
лучше других».
* Прикладниками будем в этой книге условно называть всех, применяющих
математику за ее пределами.
5
Мы отчетливо понимали, что написание такой книги сопряжено с рядом
опасностей. Во-первых, при обсуждении столь общих вопросов особенно велик риск
оказаться банальными или впасть в малосодержательные спекуляции; возможно,
что в некоторых местах (надеемся — немногих) этой опасности мы действительно-
не избежали. С другой стороны, сама тема книги такова, что по необходимости
приходилось время от времени затрагивать вопросы, относящиеся не только к
далеким от нас областям математики, но даже к истории и философии (в особенности,
логики) и т. д.; ие исключено, что специалисты в этих областях сочтут некоторые
наши высказывания наивными. Наконец, в книге, которая касается во многом
дискуссионных вопросов и рассчитана на то, чтобы будить мысль, а не на
назидательное вещание «сверху вниз», особенно неприятны
догматически-императивные йоты; если они где-нибудь проскользнули, то не по злому умыслу авторов.
В книге довольно много цитат. Мы считали полезным познакомить читателей
с подлинными высказываниями крупных специалистов, хотя признаемся, что
отбор цитат не был вполне беспристрастным. Кроме того, как известно, в
дискуссионных случаях всегда приятно привести подтверждающие Соображения, особенно
если они высказаны в яркой форме и (или) принадлежат авторитетному автору.
Мы надеемся, что такие высказывания покажутся читателю интересными
независимо от качества остального текста и сами по себе оправдают материальные и
интеллектуальные затраты, связанные с приобретением и чтением этой книги.
Впрочем, мы стремились следовать словам замечательного режиссера и художника
Н. П. Акимова [10, с. 268]: «Подбирая умиые цитаты для выступления, следи за
тем, чтобы твои собственные мысли ие звучали слишком большим контрастом
к ним», ио, возможно, это не всюду иам удалось.
В некоторых местах мы указывали книги и статьи, в которых обсуждаются
затронутые здесь вопросы; мы считали, что такие ссылки, даже далеко не полные,
могут представить интерес для читателя. И последнее: если мы почему-либо
снабдили одни книги эпитетами, то это никак не может говорить о нашем сдержанном
отношении к другим!
Авторы выражают свою признательность В. Г. Бабскому, Е. С. Вентцель,
М. А. Красносельскому и Ф. М. Харчеико, которые прочитали рукопись и,
согласившись не со всеми ее положениями, все же сделали большое число полезных
замечаний. Мы благодарны также А. Ю. Ишлиискому, Ю. А. Митропольскому
и В. В. Новожилову за обсуждение основных положений рукописи и
доброжелательное отношение к ней.
ВВЕДЕНИЕ
Как только ни характеризуют переживаемый сейчас период
развития цивилизации! Это и космический век, и атомный, и век
электроники, и кибернетики... Каждое из этих определений имеет свои
глубокие основания: на наших глазах возникают и бурно
развиваются новые области науки и техники, а многие старые области
стремительно перестраиваются. Но среди различных характеристик
нынешнего периода можно выделить одну, также не вызывающую
сомнений: это век всеобщей математизации. Математические расчеты
прочно проникли в самые разнообразные научные дисциплины,
технику, экономику, управление и другие сферы человеческой
деятельности, причем не только в традиционные области приложения
математики, но и туда, где математика используется совсем недавно.
Применяемый математический аппарат стал несравненно
разнообразней, чем это было еще совсем недавно. Если А. Н. Крылов
писал [111, что математика для инженера «есть инструмент такой же,
как штангель, зубило, ручник, напильник для слесаря», то
современная «работающая» математика подстать и нынешней технике и
нынешним средствам наблюдения и эксперимента. Еще каких-
нибудь 30—50 лет назад мало кому из прикладников требовались
сведения, лежащие за пределами школьной математики,
дифференциального и интегрального исчислений, элементов вариационного
исчисления и простых уравнений математической физики. Как
изменилось положение с тех пор! Широкие слои инженеров успешно
применяют аппарат, который раньше был неизвестен даже многим
знатокам; более того, целые математические дисциплины — такие,
например, как линейное программированиех — были созданы в
этот период в первую очередь с целью их приложения.
В результате резко повысились требования к математическому
образованию инженера, значительно увеличился выпуск инженеров с
усиленной математической подготовкой, а многие
инженеры-специалисты систематически повышают свой математический уровень.
Быстро растет число факультетов и отделений прикладной
математики при многочисленных университетах и технических институтах.
Как указано в интересном сборнике [12, с. 13], в США с 1939 по
1964 гг. число специалистов-математиков, работающих в
промышленности и государственных учреждениях, увеличилось в 12 раз; в
колледжах в 1962 г. число студентов-математиков было втрое
больше, чем в 1956 г.
ч
Вера в мощь математики приобретает порой столь наивный
характер, что математику пытаются внедрить туда, где без нее вполне
можно обойтись. М. Кац и С. Улам в своей блестящей книге [13,
с. 222—223] пишут по этому поводу: «Можно даже отважиться на
утверждение, что мы являемся свидетелями «математизации» всех
видов интеллектуальной деятельности. Такая тенденция, конечно,
далеко не всегда оправдана. Можно назвать Множество примеров,
когда «математизация» тривиальна или претенциозна, и даже таких,
когда она страдает обоими этими недостатками» *.
Оставляя в стороне такие, к сожалению, нередкие случаи,
необходимо заключить.что «мода»на математику, особенно на прикладную
математику, имеет глубокие причины. Многие дисциплины достигли
такого состояния, что отсутствие в них сильно развитого
математического аппарата послужило бы серьезным препятствием для их
развития, так как решение ряда сложных основных задач стало
возможным только с помощью применения этого аппарата; особую роль
здесь сыграло создание ЭЦВМ. Более того, в ряде случаев сама
формулировка основных понятий, постановка основных задач сейчас
подсказываются математикой. Все более справедливым становится
старое, впрочем несколько утрирующее высказывание: «Во всяком
знании столько науки, сколько в нем математики».
Нет никакого сомнения в том, что процесс математизации,
развитие и применение математических моделей и математического
аппарата будут в ближайшие годы еще более усиливаться **.
Этим объясняется возросший за последние годы интерес к
вопросу о том, как именно осуществляется процесс применения
математики: как создаются математические модели, как они изучаются,
как интерпретируются и т. д. Однако данный вопрос пока еще изу-
.чен поразительно слабо; при этом, конечно, речь идет не о
многочисленных конкретных случаях применения математики, а об
изучении общих законов этого применения.
Конечно, кое-что уже сделано. Так, некоторые общие и особенно
конкретные вопросы математического моделирования рассмотрены
в полезной книге Д. Хорафаса [17]. Соображения, высказанные в
небольшой по объему, но содержательной и яркой книге В. И. Фео-
досьева [18] по поводу моделирования при расчете конструкций,
значительно выходят за рамки сопротивления материалов.Некоторые
вопросы математического моделирования рассмотрены в интересных
книгах Р. Акофа и М. Сасиени [19] (отметим, что приведенные здесь
* На вреде искусственного внедрения математики подробно останавливается
также Л. Дойл в своей полемической статье^ 14].
** А. Ю. Ишлинский[15, с. 216} пишет: «Основной тенденцией развития иаук
следует считать усиление н них удельного веса количественной стороны
(вероятно, более полно сказать «структурной стороны».— Авт.) н, как следствие, все
большее привлечение к конкретным исследованиям математических методов.
Последние сами непрерывно изменяются, совершенствуготси и пополняются как
в результате потребностей естественных наук, так и в силу внутренних заковов
самой математики». См. в связи с этим статью Б. В. Гнеденко [16].
8
соображения относятся далеко не только к теории исследования
операций, которой посвящена книга), Дж. Диксона [20], В. В. Нали-
мова [21], С. В. Фомина и М. Б. Беркенблита [22], Я. И. Хургина
123] и некоторых других. Философским вопросам моделирования
посвящена книга В. А. Штоффа [24]. И все'же эта проблема
требует всесторонней, детальной и систематической разработки.
Особенно плохо обстоит дело с вопросом о принципах изучения
математической модели в прикладном исследовании (при этом под
прикладным здесь и далее понимается любое исследование,
применяющее математику, предмет которого лежит за ее пределами).
Обычно молчаливо подразумевается, что если задача
сформулирована на математическом языке, то она полностью переходит в сферу
математики, далеко разработанной и строго обоснованной науки,
так что за дальнейшую судьбу задачи волноваться не нужно, если
только она не окажется непомерно трудной.
В определенном смысле так оно и есть, и мы еще будем иметь в
дальнейшем повод остановиться на этом подробней. Но дело
обстоит совсем не просто, причем отнюдь не только из-за чисто
математических трудностей. Уже беглый анализ подавляющего
большинства прикладных исследований показывает, что применяемые в них
математические рассуждения часто существенно, а порой и
принципиально отличаются от рассуждений, применяемых в
«ортодоксальной» (классической) математике.
Так, в самой постановке математической задачи в прикладном
исследовании ортодоксальные компоненты часто сочетаются с
неортодоксальными. Например, довольно часто возникает такой вопрос:
для решения некоторого класса К задач предлагается некоторый
метод М; требуется выяснить, является ли этот метод приемлемым,
удовлетворительным.Скажем,может идти речь о каком-либо
конкретном варианте метода сеток для построения плоского стационарного
потока вязкой жидкости, обтекающего заданное препятствие. В
сущности само понятие «приемлемость» здесь неортодоксально и
неформально; оно включает в себя и соображения о мощности ЭЦВМ, на
которых будут производиться вычисления, и о разумной точности,
которой мы хотим достичь, и т. п. Кроме того, если метод М может
иметь совершенно точное описание, то класс К обычно бывает не
вполне определен, так как в процессе исследования можно уточнять,
какие типы препятствий и какие диапазоны скоростей (точнее, чисел
Рейнольдса) будут рассматриваться.
Но даже если задача поставлена вполне ортодоксально, то в
процессе ее решения часто встречаются переходы типа логических
скачков, совершенно неприемлемых с точки зрения классической чистой
математики.Приведем некоторые типичные примеры таких переходов.
1. Доказательство сходимости бесконечного процесса,
входящего в конструкцию решения, или проверка выполнения условий
соответствующей теоремы о сходимости, если такая теорема имеется,
заменяются выяснением практической сходимости этого процесса.
Другими словами, совершается лишь конечное, часто весьма неболь-
9
шое число шагов процесса; если при этом обнаруживается
отчетливая тенденция к сходимости и не возникает оснований опасаться того,
что дальнейшие шаги нарушат эту тенденцию, то их и не совершают,
заменяя, таким образом, бесконечный процесс набором проведенных
шагов. Например, если вычисляется сумма числового ряда, то
заключение о практической сходимости, и тем самым о возможности
приостановить вычисления, делается с помощью сравнения частных
сумм этого ряда; если применяется численное интегрирование или
какой-либо вариант метода сеток, то для этой же цели сравнивают
результаты вычислений при разном выборе шага сетки; если
применяют методы Ритца или Бубнова — Галеркина, то сравнивают
результаты вычислений при различном числе базисных функций и т. п.
Этот же прием используется при определении собственных частот
упругой системы с распределенными параметрами путем замены ее
дискретной системой, содержащей конечное число материальных
точек или абсолютно твердых тел. При этом, если производится
серия однотипных вычислений (например, если формулировка задачи
содержит параметры), а описанный контроль практической
сходимости трудоемок, то заключение о числе необходимых шагов
делается на основе такого контроля в одном или нескольких типичных
случаях.
Такой прием чрезвычайно распространен, хотя отчетливо видна
нестрогость его с точки зрения чистой математики.
2. Менее очевидной бывает нестрогость следующего перехода,
который также широко распространен и до некоторой степени об-
ратен предыдущему, причем иногда воспринимается как строгий.
Речь идет о том, что строгое доказательство сходимости
бесконечного процесса используется как довод в пользу достаточности
ограниченного (и часто весьма небольшого) числа его шагов, например
числа итераций в итерационном методе, числа базисных функций в
методе Бубнова — Галеркина и т. п. Если же такое доказательство
сочетается с проверкой практической сходимости, то даже
искушенные исследователи часто воспринимают указанный переход как
совершенно строгий.
Можно было бы привести немало примеров того, как авторы
приближенных решений, уделяя большое внимание доказательству
сходимости использованного бесконечного процесса, совершенно не
упоминают о том, что это доказательство, строго говоря, не имеет
отношения к вопросу о возможности приближенной замены такого
процесса его вполне определенной конечной аппроксимацией.
В самом деле, сам по себе факт сходимости еще ничего не говорит о
том, сколько надо взять шагов, чтобы достичь той или иной точности.
Недоразумения по этому поводу доходят до курьезов. Так, в
одной из технических диссертаций был предложен приближенный
прием расчета, основанный на применении метода Бубнова —
Галеркина с единственной базисной функцией. Однако во
время защиты диссертации было сделано критическое замечание по
поводу того, что сходимость соответствующего бесконечного про-
10
цесса в работе не была доказана. (Самое интересное, что диссертант
признал справедливость этого замечания.)
Кстати, отметим, что бывают случаи, когда первые шаги
расходящегося процесса дают даже лучшую аппроксимацию,
чем сходящегося. Так бывает, например, с асимптотическими
разложениями 2, скорость аппроксимации в которых, оцененная с
помощью дедуктивных или рациональных рассуждений (§ 1.3), часто
оказывается весьма высокой.
3. Знак некоторого характерного параметра, определяющего
ответ в решаемой задаче, выясняется с помощью вычисления этой
постоянной на ЭЦВМ. Например, анализ устойчивости движения или
равновесия системы (самолета, ракеты, автоматически
регулируемого процесса и т. п.) можно проводить путем выяснения знаков
соответствующих определителей Гурвица.
Такой образ действий, казалось бы совершенно строгий, на
самом деле таковым не является и не только из-за погрешностей
попутно используемых численных методов, но и из-за погрешностей
округления, свойственных почти каждому вычислению и обычно не
принимаемых во внимание (во всяком случае, если они не приводят
к неустойчивости счета, см.п. И.2.13). При вычислениях на ЭЦВМ
особую роль играет то, какое наименьшее положительное число
может быть записано в ячейках запоминающего устройства, так как
любое меньшее положительное число представляет собой
машинный нуль, т. е. оно округляется до нуля и потому полностью
равносильно нулю. Если разность между последовательными
приближениями становится достаточно малой, то процесс итераций
прекращается; если члены ряда достигают машинного нуля, то прекращается
суммирование его членов и т. д. Однако, строго говоря, такая
ситуация еще не свидетельствует о близости к точному решению, так как
можно представить себе, что в пределах машинного нуля может
начаться расхождение последовательных приближений, которое потом
разрастается; и действительно, нетрудно построить формальные
примеры подобного рода.
4. Строго доказанная сходимость ряда при достаточно малом
значении параметра принимается как основание для использования
этого ряда при конкретных конечных значениях параметра. Этот
переход, лежащий в основе использования различных вариантов метода
малого параметра, метода осреднения и т. п., иногда сочетается с
проверкой «практической сходимости» ряда, чем делается
убедительным для прикладника, но остается совсем не убедительным для
чистого математика.
5. Факт устойчивости решения по Ляпунову (т. е. устойчивости
относительно достаточно малых начальных возмущений)
принимается как соображение в пользу практической устойчивости
соответствующей физической системы относительно реальных возмущений,
которые всегда конечны.
Этот перечень было бы нетрудно продолжить. Конечно, такие
переходы не выдерживают критики с позиций формальной логики.
11
Одновременно нужно признать, что некоторые из них могли бы
стать логически неуязвимыми после дополнительного исследования.
Так, во втором случае доказательство сходимости процесса на самом
деле является излишним, а взамен этого нужна явная оценка
ошибки, получающейся из-за прерывания бесконечного процесса,
которая позволила бы убедиться в достаточной точности взятого
приближения; например, если речь идет о сумме бесконечного ряда, то
нужна явная оценка остаточного члена и т. п. (Здесь мы говорим о
явных оценках в том смысле, что такая оценка не должна содержать
неопределенных множителей, т. е. не должна говорить только о
порядке ошибки, как это бывает в подавляющем большинстве случаев,
когда указывают, скажем, что остаточный член имеет вид О l-j-j,
т. е. порядок не ниже -j-. Например, явный вид имеет оценка
легко вытекающая из формулы Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа.) В третьем случае следовало бы получить явные
оценки возможных ошибок, возникающих из-за применения
выбранного численного метода и из-за округлений при работе ЭЦВМ, а
затем показать, что эти ошибки не могут повлиять на полученный знак.
В четвертом случае нужно убедиться в том, что конкретные
конечные значения параметра или независимой переменной (если речь идет
о функциональном ряде) лежат внутри области сходимости. В пятом
случае следует установить область притяжения устойчивого решения
и удостовериться, что начальные возмущения не выходят за ее
пределы.
Известно, однако, что дополнительные исследования, указанные
в предыдущем абзаце, трудны и поэтому, как правило,
опускаются. В тех редких случаях, когда соответствующие оценки все же
найдены, они обычно оказываются весьма пессимистичными, ибо
строятся исходя из худшего случая и притом с использованием серии
усиливающихся неравенств. Исключение составляют специально
подобранные примеры учебного характера, подобные приведенному
выше разложению синуса и имеющие мало общего с реальными
ситуациями.
Возникает серьезный вопрос о том, как надо относиться к
утверждениям, полученным с помощью указанных переходов. В самом
деле, хорошо известно, что в чистой математике нет понятий «не
вполне доказанное утверждение», «не совсем строгое доказательство»
и т. п., в ней все не вполне доказанное — не доказано, все не вполне
строгое — не строго. Поэтому с точки зрения чистой математики
появление в цепи рассуждений хотя бы одного такого перехода
делает всю цепь лишенной доказательной силы, даже если все прочие
звенья цепи находятся на высшем уровне строгости.
<
|*|2*+'
(2ft + 1) I
12
К сожалению, существует дурная традиция, как бы не замечать
эти очевидные формально-логические несовершенства и тем самым
выдавать локальную строгость при доказательствах сходимости,
устойчивости и т. п. за совершенство и строгость прикладного
исследования в целом *.
Итак, перед нами противоречие: с одной стороны, исследование
математической модели казалось бы осуществляется в рамках
математики, но, с другой стороны, это исследование проводится
средствами, которые строгой математикой не допускаются. Это
противоречие вносит немало путаницы и трудностей в прикладные
исследования; впрочем, заметить его, конечно, гораздо проще, чем разобраться
в его истинных причинах и последствиях, в частности оценить
роль и положительное значение указанных выше переходов (это
значение вовсе не мало и будет подробно обсуждено ниже).
Любопытно, что до последнего времени вся эта противоречивая
ситуация упорно замалчивалась; более того, ее публичное
обсуждение считалось как бы неприличным. Однако замалчивание
любого назревшего вопроса не заменяет его решения и не может
продолжаться слишком долго.
Противоречивость требований к строгости и доказательности в
прикладных исследованиях, недостаточное открытое обсуждение этих
требований порой приводят к прямому ущербу для этих
исследований. Одни прикладники возводят математику в фетиш, выписывая
сложные уравнения, и, поддавшись «террору дедукции» (или
искренне веря в его необходимость), доказывают теоремы о сходимости там,
где без них вполне можно обойтись. Другие же избегают математики
там, где она необходима, или, что наиболее опасно,
вульгаризируют ее.
Конечно, вопрос о преодолении указанного противоречия
далеко не простой и требуется длительное изучение его многими
специалистами, чтобы можно было высказать по этому поводу
достаточно разработанную систему утверждений и тем более рекомендаций.
Положение осложняется тем, что подобные утверждения и
рекомендации, выработанные (в основном стихийно) для многих
конкретных областей приложения математики, непрерывно меняются и
порой расходятся друг с другом. Чистых математиков этот вопрос
непосредственно не затрагивает, а прикладники, применяющие
математику, заботятся, как правило, о результатах в своей специальной
области, а не о том, что с чистой математикой у них не все в порядке.
Вероятно, свое слово могли бы здесь сказать представители
«прикладной математики вообще», но специалистов в этой области пока
весьма мало...
В последние годы стали появляться, наконец, явные упоминания
о наличии физического (говорят также: технического, прикладного)
* Впрочем, не менее печально выглядело бы огульное заключение «оно не
имеет ценности, потому что не доказано» по поводу каждого из подобных
утверждений: отказ от таких «не доказанных» утверждений привел бы к почти полной
невозможности применения математики к решению прикладных задач.
13
уровня строгости. Так, в предисловиях к книгам В. Ф. Дьяченко
[25] и Н. Н. Моисеева [26], в статье С. К. Годунова и У. М. Султан-
газина [27J указывается, что они полностью или частично написаны
на этом уровне. (Это отрадно хотя бы потому, что признать
существование какого-либо факта и даже просто назвать его — значит
сделать первый шаг в его изучении.)
Это и есть уровень строгости прикладной математики. Он
будет подробно обсуждаться в главе I этой книги в связи с
рассмотрением характерных черт логики прикладной математики. Особенности
прикладной математики, связанные с выбором математической
модели и метода ее изучения, будут рассмотрены в гл. II.
ГЛАВА I
ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 1. ПРИКЛАДНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЯ
В РАЗВИТИИ МАТЕМАТИКИ
1. Два основных источника математики; прикладное и
теоретическое направления. Современное место прикладной математики
становится более ясным, если хотя бы бегло проследить пути развития
самой математики. Представляется несомненным, что движущие силы
развития математики имеют два основных объективно
существующих источника. Один из них, внешний, связан с необходимостью
решения математическими средствами задач, лежащих за пределами
математики, задач других наук, техники, экономики и т. д.; именно
этот источник был исторически первым. Второй источник,
внутренний, вытекает из необходимости систематизировать найденные
математические факты, выяснить их взаимосвязи, объединить их с
помощью обобщающих концепций в теорию, развивать эту теорию по
ее внутренним законам; именно этот источник и привел в свое время
к выделению математики как науки *.
Конечно, эти источники иногда бывает трудно разграничить.
Так, импульсы, возникающие при применении методов одной
области математики в другой**, иногда были очень похожи на те,
которые получались при применении математических средств за
пределами математики. С другой стороны, систематизация может быть
вызвана непосредственными практическими потребностями.
Таким образом, было бы рискованно слишком детально
фиксировать границы указанных двух источников. Тем не менее особенности
этих источников и их влияний в большинстве случаев легко
просматриваются. Два направления в развитии математики,
отвечающие этим двум источникам, естественно называть прикладным и
теоретическим (чистым).
Подчеркнем, что здесь речь идет о преимущественных влияниях
в создании и развитии математических методов, понятий, утверж»
дений. Но по отношению к любой уже созданной математи-
* Во введении к выдающейся популярной книге Р. Куранта и Г. Роббинса
[28] говорится: «Без сомнения, движение вперед в области математики
обусловлено возннкиовеннем потребностей, в большей или меньшей мере носящих
практический характер. Но раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутренний
размах и выходит за границы иепосредствеиной полезности. Совершающееся таким
образом превращение прикладной науки в теоретическую наблюдается в
исторической древности, но не в меньшей степени также и в наши днн: достаточно принять
во внимание тот вклад, который сделан в современную математику инженерами и
физиками».
** Например, при применении математического анализа к геометрии.
15
ческой сущности обычно бывает бессмысленным вопрос о том,
какому именно — теоретическому или прикладному — направлению она
принадлежит. К какому направлению следует отнести метод
Бубнова — Галеркина? Или понятие дельта-функции Дирака? Формулу
Тейлора? На эти вопросы можно отвечать лишь, если речь идет об
истории возникновения этих понятий или о конкретных ситуациях,
в которых они встретились. Правда, некоторые разделы, такие,
например, как гомологическая алгебра, сейчас полностью
принадлежат теоретическому направлению, а немногие вопросы, как,
например, методика выбора вероятности, определяющей практическую
невозможность события, понятия практической сходимости или
практической бесконечности, пока полностью принадлежат
прикладному направлению. (Тут не случайны слова «сейчас», «пока».)
2. Начальный этап развития математики. На ранних стадиях
развития математики оба направления прослеживаются особенно
отчетливо. Так как эти направления вначале взаимодействовали
относительно слабо, то можно даже говорить о двух почти автономных
ветвях математики — о прикладной и о теоретической (чистой)
математике.
Так, математика в Древнем Египте была откровенно прикладной;
она была непосредственно связана с задачами землемерия,
вычисления объемов сосудов, практического счета, исчисления времени (в
частности, в связи с предсказанием затмений) и т. д. Аналогичный
характер имела математика в Древней Мексике и у некоторых других
народов. Чистая математика, по-видимому, возникла впервые в
Древней Греции в связи с софистикой и отчетливо отделялась от
прикладной *. Именно древнегреческая наука выработала дедуктивный
способ построения теории, согласно которому все утверждения в той
или иной области выводятся с помощью методов формальной логики
из некоторых не доказываемых утверждений — аксиом (см.,
например, [30]). С тех пор этот способ изложения считается
одной из важнейших характерных черт математики (если не
важнейшей чертой). Стройность дедуктивного способа произвела
столь большое впечатление на последующие поколения, что
были сделаны попытки (впрочем, безуспешные) придать и дру-
* Об этом ярко написал Ф. Клейн [29, с. 146—147]: «Если начнем с древних
греков, то мы найдем резкое разграничение чистой и прикладной математики,
которое восходит к Платону и Аристотелю. К чистой математике относится прежде
всего известное Евклидово построение геометрии, к прикладной принадлежат
в особенности числовые операции, так называемая логистика (koyoo — всеобщее
число). При этом к последней относились довольно презрительно,—
предрассудок, который во многих случаях сохранился до сих пор, но, во всяком случае,
большей частью только у людей, которые сами не умеют вычислять. Этому
положению логистики могло содействовать отчасти то обстоятельство, что она
развивалась в тесной связи с тригонометрией и с потребностями практического
землемерия, которое с древних времен казалось людям недостаточно благородным
занятием. Конечно, она снова была несколько реабилитирована тем, что без иее не
могла обойтись другая наука, которая хотя и родственна геодезии, но в
противоположность ей всегда считалась одной из. самых благородных — астрономия».
16
гим областям знания строго дедуктивную форму. Известна
такая попытка даже в философии («Этика» Б. Спинозы).
Отметим замечательную тщательность, с которой
древнегреческая наука подходила к понятию бесконечности; эта тщательность
позже была утеряна и вновь возродилась, причем на более высоком
уровне, только в XX веке в работах по математической логике.
Древнегреческая наука не признавала актуальной бесконечности 3,
и ни в одной математической формулировке того времени нельзя
найти того, что сейчас бы было названо бесконечным множеством
или бесконечным процессом. Характерный пример: предложение,
которое сейчас формулируется: «Множество простых чисел
бесконечно», Евклидом формулировалось примерно так: «Если дано какое-
либо (подразумевается — конечное) множество простых чисел, то
существует еще по крайней мере одно простое числр^Здесь можно
усмотреть прямую аналогию с понятием неограниченной продол-
юимости, которое в одном из современных направлений
математической логаки призвано заменить понятие актуальной бесконечности»
Как известно, отказ от "актуальной бесконечности повлек за
собой определенные логические трудности (вспомним в этой связи о
софизмах Зенона 4), в которых греки, в общем, разобрались,
отметив, в частности, что пространство и время безгранично делимы в
возможности, но не безгранично разделены в действительности.
Ниже будет говориться о том, что принятие актуальной
бесконечности влечет за собой не только еще большие логические, но и
практические трудности.
Высшими проявлениями строгости в древнегреческой математике
были теория пропорций и метод исчерпывания 5 Евдокса,
аналогичные современным теории вещественного числа и методу перехода к
пределу, но отличающиеся тем, что в греческих вариантах не
фигурировали бесконечные множества и бесконечные процессы *.
Впрочем, наряду с этими шедеврами строгости в логике
древнегреческой математики имеются и существенные пробелы, которые с
современной точки зрения представляются довольно заметными.
Так, первоначальные определения понятий точки, линии и т. д.
по существу определениями не являются («Точка есть то, что не
имеет частей» и т. п.) и в дальнейшем не упоминаются. Аксиомы
охватывают только соотношения между величинами, да и то далеко не все
те, которые используются. Совершенно отсутствуют определения и
аксиомы, связанные с понятием следования (порядка) точек на прямой
или окружности, т. е. это понятие как бы относилось к числу тех
*«Не исключено, что именно слишком раннее открытие трудностей, связанных
с «несоизмеримыми» величинами, помешало грекам развить исследование
числовых операций, сделавшее в предшествующие эпохи значительные успехи на
Востоке. Вместо этого они стали искать пути в дебрях чистой аксиоматической
геометрии. Так началось одно из странных блужданий в истории иауки, и, может быть,
упущены были при этом блестящие возможности. Почти на два тысячелетия вес
греческой геометрической традиции задержал неизбежную эволюцию идеи числа
и буквенного исчисления, ставшего позднее фундаментом точных иаук» [28,
Введение].
2 6-20
17
слов (наподобие «пусть дано» и т. п.), понимание которых подразу
мевается при построении теории. Кроме того, интересно отметить,
что греки вычисляли длины, площади, объемы различных, иногда
довольно сложных линий, фигур, тел, но вопрос о самом
существовании такой меры даже не возникал и т. д.
Между прочим, уже тогда греки (в частности, Архимед)
пользовались и доказательствами, основанными на механических
аналогиях; однако такие доказательства считались нестрогими,
пропедевтическими, полученные утверждения надо было обязательно
обосновать последующим строгим доказательством. (В дальнейшем мы еще
остановимся на понятии строгости в математике.)
По-видимому, отчётливое отделение чистой математики от
прикладной характерно также для стран средневекового Ислама и для
алгебраистов средневековой Европы. При этом теория и .практика
■ решения алгебраических уравнений, а также комбинаторика все в
большей степени врастают в чистую математику; в частности,
крупнейшие математические открытия той эпохи — биноминальные
коэффициенты, формулы для решения уравнений 3-й и 4-й
степеней полностью принадлежат чистой математике.
3. Научное Возрождение. Положение принципиально меняется с
началом научного Возрождения — с работ Г. Галилея, И. Кеплера
и других ученых, для которых математика и математический способ
мышления становятся одним из основных орудий естествознания.
Мощное давление естествознания весьма благотворно сказалось на
развитии математики. В XVI—XVIII вв. оба направления —
прикладное и теоретическое — непрерывно взаимодействовали и
оплодотворяли друг друга. Типичной была такая картина, когда
возникновение и первоначальное развитие математического понятия
диктовались задачами естествознания или геометрии (приложения к
которой в тот период порой мало отличались от приложений к
механике или оптике); вскоре после создания это понятие получило
самостоятельную жизнь и его развитие продолжалось по внутренним
математическим законам; некоторые из результатов этого «чистого»
развития вновь применялись к естествознанию, что приводило к
появлению новых математических понятий и задач и т. д. Ярким и широко
известным примером такого развития служит создание
дифференциального и интегрального исчислений.
В этот «золотой» период гармонического развития математики
различение, а тем более противопоставление чистой математики и
• прикладной потеряло всякий смысл. Этому способствовало и то
обстоятельство, что крупнейшие ученые рассматриваемого периода —
И. Ньютон, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и другие — были не только
математиками, но и физиками, механиками; в трудах каждого из нщс
развивались как теоретическое, так и прикладное направления ма-
• тематики.
4. Период доминирования теоретйко-миожественного
направления. Переход к следующему периоду растянулся на десятилетия,
и потому его начало лишь условно можно датировать серединой
18
XIX в. Он связан с рядом блестящих работ по теории множеств
(Г. Кантор) и теории функций (К. Вейерштрасс), по построению
первых абстрактных алгебраических структур и анализу аксиом
геометрии. Эти широко известные и глубоко прогрессивные для своего
времени работы превратили значительную' часть математики в
единую науку, с едиными требованиями к определениям,
утверждениям и доказательствам, с едиными нормами строгости.
Основная причина этого перехода состояла в том, что к концу
предыдущего периода в математике накопились многочисленные
факты, возник ряд теорий, не согласованных между собой и не имевших
достаточно прочного обоснования, которое дало бы возможность
уверенно развивать эти теории. Дальнейшее развитие
аналитических дисциплин, в которых стихийно возник подход, основанный на
применении актуальной бесконечности — бесконечных рядов,
бесконечно малых величин и т. д.,'— требовало уточнения понятий
функции и предельного перехода; это по необходимости повлекло за
собой появление теории вещественного числа и числовых множеств и
т. д. Теоретико-множественный подход дал возможность отчетливо
сформулировать важнейшее понятие группы в алгебре, привел к
удовлетворяющему современников логическому построению
геометрии *.
Таким образом, переход в математике к
теоретико-множественному подходу, основанному, как теперь принято снисходительно
говорить, на наивной теории множеств **, был необходим и
потому прогрессивен. В то же время приведение в порядок основ науки,
открывшиеся в связи с этим новые широкие возможности, в
частности значительно усилившиеся возможности взаимодействия между
различными математическими дисциплинами***, привели к
существенному повышению роли теоретического направления в математике,
которое в описываемый период (продолжавшийся примерно до
второй мировой войны) стало преобладающим и определяющим стиль
всей математики в целом.
Что касается прикладного направления, то оно продолжало
развиваться прежде всего в связи с развитием физики и небесной
механики, однако, пожалуй, какого-либо переворота здесь не было.
* Как пишет П. С. Александров в предисловии к книге [31]: «Теория множеств
и ее ближайшие приложения не только образовали новый предмет
математического исследования; значение теории множеств оказалось неизмеримо большим: она
дала универсальный новый метод, быстро захвативший всю математику». Конечно,
здесь идет речь о чистой математике. _
** Ему противопоставляется более современный подход, основанный целиком
на методах математической логики. _
*** Так, только на теоретико-множественной основе удалось дать
аксиоматическое обоснование теории вероятностей,' находящееся на уровне других областей
чистой математики. Эти успехи породили некоторые крайние точки зрения:
например, Д. Дуб [32, с. 7] пишет: «Теория вероятностей — это просто одна из
ветвей теории меры, отличающаяся особым вниманием к некоторым специальным
понятиям этой теории и своей особой областью приложений». Пожалуй, с тем же
основанием можно было бы сказать, что литературоведение — это одна из ветвей
лингвистики, «отличающаяся особым вниманием и т. д».
2»
19
Открывались новые каналы, через которые шли приложения,
например векторные алгебра и анализ, тензорные алгебра и анализ,
позже — операционное исчисление, теория обобщенных функций
и т. п., но сам характер приложений некоторое время оставался в
принципе тем же. Классический математический аппарат в сочетании
с глубокими физическими идеями привел к ряду выдающихся
открытий, сделанных, как пишут в популярных книгах, «на кончике пера».
Широко известны примеры такого рода — предсказание
электромагнитных волн К. Максвеллом, открытие планет Нептуна и Плутона,
предсказание П. Дираком позитрона и т. д. На указанной основе
возникла одна из важнейших областей современной науки —
теоретическая физика.
Успехи теоретического направления, создание единого уровня
строгости всей математики привели к тенденции решать и
математические задачи, возникшие в приложениях, также на уровне
строгости теоретического направления. Наиболее отчетливо эту тенденцию
выразили Д. Гильберт и А. М. Ляпунов, о чем мы подробно
поговорим в дальнейшем. В некоторых случаях эту тенденцию оказалось
возможным реализовать, что, впрочем, привело к двойственности при
решении прикладной задачи в целом: постановка задачи и
интерпретация решения проводились на физическом уровне строгости
(попытки аксиоматизации отдельных разделов физики на теоретико-
множественной основе оказались безуспешными, так что физический
уровень строгости здесь неизбежен), математическое же решение
осуществлялось на математическом уровне строгости. (Такое
раздвоение характерно именно для рассматриваемого периода, так
как в «золотой» период уровни строгости были существенно ближе,
если не совпадали.) В более сложных случаях, а также если
прикладную математическую задачу решали физики, к решению часто
привлекались и физические соображения; однако математики
рассматривали такое решение как неполноценное и стремились
заменить его решением, находящимся полностью на достигнутом «вейер-
штрассовском» уровне строгости. Так сложилось еще одно
«профессиональное» раздвоение между требованиями в уровне строгости
решения прикладной математической задачи у математиков и
прикладников.
Свой вклад в подобную раздвоенность могли бы внести и
вычисления, которые, как известно, почти никогда не проводятся
полностью на «вейерштрассовском» уровне строгости. Однако, отойдя
от традиций Эйлера и других корифеев «золотого» периода,
математики теоретико-множественного
направления перестали вычислять. Эта деятельность была
предоставлена астрономам, артиллеристам и т. п., а также небольшой
группе специалистов-вычислителей, которые считались
находящимися где-то между математиками и инженерами. Достижения в этой
области подавляющим большинством математиков не принимались
всерьез; во всяком случае они считались совершенно несравнимыми с
поражающими воображение достижениями в новых направлениях.
20
Еще совсем недавно один из выдающихся алгебраистов в своих
лекциях систематически подчеркивал принципиальное различие
между наукой и «калькуляциями» *.
Отметим, что позже, когда вычислительная математика вошла в
моду, произошло дальнейшее расслоение: по остроумному выражению
Р. С. Гутера II, с. 13], «работающие в области вычислительной
математики делятся на тех, кто доказывает сходимость вычислительных
процессов и существование решений, и тех, кто применяет
вычислительные процессы и получает решения». Именно эти последние
приносят непосредственную пользу прикладным наукам.
Что касается достигнутого уровня строгости, основанного на
наивной теории множеств, а в математическом анализе соответственно
на теории пределов,, записанной на так называемом е-языке**, то
казалось, что он вполне устраивает практически всех математиков.
Правда, были отдельные «недовольные» (например, Л. Брауер,
Г. Вейль и др.), но и они в своей конкретной деятельности
пользовались тем же уровнем. Где-то на горизонте уже намечались
противоречия в теории множеств, но эти противоречия подавляющему
большинству математиков представлялись безобидными
курьезами, так как касались только таких никому не нужных монстров,
как множество всех множеств или множество всех множеств, не
содержащих самого себя в качестве элемента в, и т. п. Дискуссия по
поводу аксиомы выбора (аксиомы Цермело7) закончилась
соглашением о том, чтобы стараться ее избегать, если это окажется
возможным, в противном же случае явно указывать на ее применение;
конечно, это соглашение, если вдуматься, представляется довольно
наивным — как будто такие ссылки что-нибудь меняют. В
последние годы во многих работах в чистой математике аксиома выбора
употребляется столь широко, да к тому же систематически
применяются предложения, доказанные с ее помощью 8, что явные
упоминания о ней стали считаться необязательными.
Успехи теоретико-множественного направления, его язык и
подходы, ставшие привычными для нескольких поколений матема-
* Полезная книга К. Ланцоша [33] начинается словами: «В течение многих
лет автор занимался исследованиями в тех областях математического анализа,
которые интересуют в первую очередь инженеров и физиков. То обстоятельство,
что эта область «рабочей математики» не вызывала в течение XIX столетия такого
же интереса, как классические работы анализа, является, пожалуй, плодом
исторического недоразумения. Вплоть до эпохи Гаусса и Лежандра «рабочие» методы
анализа привлекали к себе пристальное внимание лучших математиков.
Блестящее открытие теории пределов изменило положение. С тех пор считалось
достаточным указать бесконечный процесс приближения, с помощью которого можно
установить правильность определенных аналитических результатов, независимо
от того, выполним ли примененный процесс в данной задаче или нет. В результате
произошло постепенное разделение «чистой» и «прикладной» математики, так что
мы имеем «чистых аналитиков», которые развивают свои идеи в мире чисто
теоретических построений, и «численных аналитиков», которые переводят аналитические
процессы в машинные операции».
** Выражения «для любого е > 0 найдется номер п», «для любого е > 0
найдется б > 0» и т. п. стали настолько привычными, что буква е превратилась
как бы в символ «вейерштрассовского» уровня строгости.
21
тиков, породили представление о якобы абсолютном уровне
достигнутой строгости. Многие математики (и особенно нематематики)
и сейчас привычно верят в эту абсолютность и включают в
математику лишь предложения, доказанные «абсолютно строго», задачи,
поставленные «абсолютно строго», и т. п.
5. Взгляд на современность. Во введении уже говорилось о
«математической специфике» переживаемого нами сейчас периода,
связанного, с одной стороны, со стремительным, лавинообразным
расширением круга и объема приложений математики, а с другой —
с появлением и развитием электронной вычислительной техники,
которая многократно усилила эффективность этих приложений.
Нет сомнения, что и внутри математики за последние годы
получены выдающиеся достижения; о некоторых из них мы скажем в
дальнейшем. Однако если посмотреть на развитие науки, скажем,
за последние 30 лет с позиций цивилизации в целом, то «внешние»
достижения математики будут выглядеть гораздо внушительнее.
Другими словами, сейчас развитие именно прикладного направления
в математике (взятого во всех его проявлениях) стало
преобладающим. Представляется несомненным, что в ближайшие
десятилетия это преобладание сохранится и даже будет усиливаться.
Это дает возможность утверждать, что после периодов развития
математики, которые можно условно назвать догреческим,
греческим, возрождения и теоретико-множественным, мы вступили в к а -
чественно новый период «всеобщейматема-
т и з а ц и и». Вероятно, можно условно датировать начало
нового периода сороковыми годами XX в. (временем создания первых
ЭЦВМ). Качественный сдвиг в математике уже повлек за собой и,
несомненно, еще повлечет качественные изменения во многих
областях естествознания, техники, социальных наук, общественной
жизни.
Если пользоваться терминами из истории развития общества,
то можно было бы назвать переживаемый сейчас этап
«двоевластием» (при переходе к эпохе демократии).
С одной стороны, продолжает активно развиваться математика
теоретико-множественного направления. Сочетание, развитие и
создание новых идей алгебры, общей и алгебраической топологии,
классического и функционального анализов, теории функций и геометрии
позволили создать новые плодотворные разделы математики,
провести широкие обобщения, найти новые подходы к старым задачам,
давшие возможность решить многие из них, указать новые
интересные классы задач. Знаменательным событием явилось, в частности,
создание многотомного курса «Элементы математики» Н. Бурбаки;
этот курс имеет целью послужить общей основой, источником
единого языка, на которых могло бы осуществляться дальнейшее развитие v
математики в теоретико-множественном направлении *. Н.
Бурбаки еще не дошел до многих разделов математики (очень уж она вели-
* Подробности см. в [34].
22
ка!), но вполне возможно, что и эти разделы не минует «бурбакиза-
ция» *. Это направление внутри чистой математики сейчас
является преобладающим, задающим тон.
Однако в последние десятилетия обнаружились и слабые стороны
рассматриваемого направления **. Это проявилось по двум
линиям — математической логики и приложений, впрочем, как
выяснилось, связанным между собой. Прежде всего, «абсолютная»
строгость наивной теории множеств и основанных на ней теорий
оказалось, как и можно было ожидать из общих соображений, совсем не
абсолютной —она отнюдь не устраивает логиков. Не все
задумываются над тем, что в основе наивной теории множеств нет достаточно
последовательной системы аксиом, она опирается на «очевидность»
и произвольные запреты; например, разрешается рассматривать
совокупность всех натуральных чисел, но запрещается
рассматривать совокупность всех порядковых (трансфинитных) или всех
кардинальных чисел — мощностей 9. Анализ предложенной логиками
системы аксиом теории множеств, которая (система) навела в этом
некоторый порядок, показал, что некоторые «само собой
разумеющиеся» важнейшие положения (как, например, аксиома выбора) на самом
деле могут быть либо приняты, либо нет, что может привести к
равноправному сосуществованию различных «теоретико-множественных
математик», не эквивалентных между собой, наподобие различных
геометрий. Еще более эффектна обнаруженная в результате работ
К. Геделя и П. Коэна (1960 г.) независимость гипотезы континуума
от остальных аксиом теории множеств: это означает, что при
построении такой теории можно либо принять эту гипотезу как
добавочную аксиому, либо принять как аксиому противоположное
утверждение; но отсюда следует, что вопрос о том, верна ли «на самом деле»
гипотеза континуума, бессмыслен! (См. по этому поводу [393.) Это
выдающееся открытие убедительно показывает, в частности, что
понятие существования, на которое безраздельно опирается наивная
теория множеств, на самом деле не является само собой
разумеющимся.
Но еще важней с развиваемой точки зрения слабая сторона
теоретико-множественной математики по отношению к приложениям.
Не будем сетовать на то, что все ее утверждения относятся к случаю,
когда прикладная задача уже полностью переведена на
математический язык. Хуже то, что во многих случаях утверждение о решении
имеет чисто экзистенциальный характер, т. е. доказывается
теорема о существовании решения, но в этой теореме ничего не говорится
о том, как это решение может быть точно или приближенно найдено.
* По-русски можно писать также «обурбачивание», но этим словом, вероятно,
были бы вызваны обидные ассоциации.
** На опасности для современной математики перекоса в сторону наиболее
абстрактных разделов останавливается У. Спон в статье [35], заключая ее так:
«Давайте вернем математику в основное русло так, чтобы она стала всеобщим
достоянием и заняла соответствующее ей место в качестве доминирующей силы в
нашем обществе». Из откликов на эту етатью отметим [36]. Об опасности изоляций
Математики от жизни см. также [37], [38].
23.
Хотя иногда конструкцию решения можно извлечь из
доказательства теоремы, но часто это сделать не удается (о причинах этого
подробнее сказано в § 2), так что прикладник, говоря несколько
вольно, оказывается в положении мужчины, получившего формальное
свидетельство о браке с женщиной, которую он никогда не видел и
местонахождение которой ему неизвестно. По меткому выражению
Г. Вейля, «математика представляется колоссальным богатством
в бумажной валюте» [40, с. 106]. Во многих случаях конструкцией
считается результат осуществления того или иного бесконечного
процесса без анализа его конечной аппроксимации. Если
приближенная формула для решения и сопровождается оценкой погрешности,
то, за исключением самых простых или специально подобранных
примеров учебного характера, такую оценку, как правило, не удается
эффективно применить в реальном конкретном примере (тем более,
что подавляющее большинство оценок имеет асимптотический
характер и включает неизвестные постоянные множители). Свой вклад
вносят и числовые расчеты, в частности, на ЭЦВМ, так как
осуществить «абсолютно строгую» оценку влияния округлений при сколько-
нибудь объемных расчетах бывает весьма затруднительно, и потому
такая оценка практически никогда не производится.
Жесткие нормы строгости современной теоретической математики
привели к нежелательной задержке исследования математических
понятий, первоначально не удовлетворявших этим нормам, таких, как
дельта-функция, энтропия и т. п. *
Все отмеченные выше обстоятельства привели к тому, что в
подавляющем большинстве прикладных исследований
математические рассуждения отнюдь не находятся на чисто дедуктивном уровне,
который требует чистая математика; они не могут находиться и,
как мы будем об этом подробно говорить ниже, не должны
находиться на этом уровне. Можно сказать, что дедуктивные построения ие
успевают за ритмом современной жизни **, в процессе приближения
к истине они, как правило, имеют столь низкий коэффициент
полезного действия, что прикладники стихийно выработали значительно
более эффективный способ математических рассуждений***, о котором
мы подробно поговорим позже. Приемы рассуждений на
«физическом», «прикладном» уровне строгости для прикладников различных
направлений довольно схожи. Эти приемы и характеризуют стиль
рассуждений прикладной математики; он столь же распространен
* На ущербе, который понесла математика из-за недостаточного
взаимодействия ее с физикой, подробно останавливается Ф. Дайсон [41].
** «Если бы науку с самого начала развивали такие строгие и тонкие умы,
какими обладают некоторые современные математики, которых я очень уважаю,
то точность не позволила бы двигаться вперед»,—сказал Л.
И.Мандельштам [42, с. 51]. С этим перекликается высказывание П. Л. Капицы [43, с. 30}: v
«Острое логическое мышление, свойственное математикам, при постулировании
новых основ скорее мешает, поскольку оно сковывает воображение».
*** И даже свой специфический язык, к которому относятся термины
«практическая сходимость», «качество вычислительного метода», «качество
математической модели» и т. п.
24
среди прикладников, как дедуктивный стиль среди чистых
математиков. Именно это и имелось в виду выше, когда говорилось о
«двоевластии» *. '
Существенно отметить, что прикладные тенденции значительно
повлияли на всю современную математику в целом, включая ее
теоретическое направление. В частности, именно этим объясняется
пристальное внимание к проблемам алгоритмизации, а также
оптимизации, характерным для современной математики и накладывающим
заметный отпечаток на ее разнообразные области.
Приведем в заключение яркую характеристику развития
математики начиная с Возрождения, содержащуюся во введении к
книге Р. Куранта и Г. Роббинса [28].
«После периода медленного накопления сил — с возникновением b'XIVII
веке аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений —
открылась бурная революционная фаза в развитии математики и физики.
В XVII и XVIII вв. греческий идеал аксиоматической кристаллизации и
систематической дедукции потускнел и утерял свое влияние, хотя античная геометрия
продолжала высоко расцениваться. Логически безупречное мышление,
отправляющееся от отчетливых определений и «очевидных», взаимно не противоречащих
аксиом, перестало импонировать новым пионерам математического знания.
Предавшись подлинной оргии интуитивных догадок, перемешивая неоспоримые
заключения с бессмысленными полумистическими утверждениями, слепо доверяясь
сверхчеловеческой силе формальных процедур, они открыли новый
математический мир, полный несметных богатств. Но мало-помалу экстатическое состояние
мысли, упоенной головокружительными успехами, уступило место духу
сдержанности и критицизма. В XIX столетии сознание необходимости консолидировать
иауку, особенно в связи с нуждами высшего образования, после французской
революции получившего широкое распространение, привело к ревизии основ новой
математики; в частности, внимание было направлено к дифференциальному и
интегральному исчислениям и к уяснению подразумеваемого анализом понятия
предела. Таким образом, XIX век не только стал эпохой новых успехов, но и был
ознакомлен плодотворным возвращением к классическому идеалу точности и
строгости доказательств. В этом отношении греческий образец был даже превзойден.
Еще один раз маятник качнулся в сторону логической безупречности и
отвлеченности. В настоящее время мы еще, по-видимому, не вышли из этого периода, хотя
* В. В. Новожилов [44] пишет: «В наши дни все очевиднее становится
тенденция к разделению труда: одни ученые совершенствуют математику как
таковую, руководствуясь внутренней логикой ее развития, другие разрабатывают
математические методы, находящие немедленное применение. Представители этих
двух направлений заметно отличаются друг от друга не только кругом «своих»
проблем, но и складом мышления.
Математик-теоретик стремится к строжайшему обоснованию каждого
действия, оставаясь всегда в рамках своей науки, тогда как математик-прикладник
пользуется и такими методами, строгость и погрешность которых еще не оценены.
От ошибок его страхует возможность прибегнуть к опыту, сравнить результаты
расчета с экспериментом. Ему приходится так поступать потому, что подавляющее
большинство актуальных задач в физике и технике не поддается строгому
решению».
О разнообразных математических проблемах, возникающих в практике
современного инженера, а также о специфике соответствующих математических
методов, говорится в сборнике [45]; отметим, в частности, статьи общего характера
Н. Ф. Герасюты, Ю. А. Митропольского и А. В. Скорохода. О взаимосвязи
математики и техники см. также [46].
По поводу соотношения между математикой и физикой в настоящее время
см. также [47—49]. О перспективах развития математики см. [50].
25
позволительно надеяться, что установившийся прискорбный разрыв между чистой
математикой н ее жизненными приложениями сменяется эрой более тесного
единения. Приобретенный запас внутренних сил и, помимо всего прочего,
чрезвычайное упрощение, достигаемое на основе ясного понимания, позволяют сегодня
манипулировать математической теорией таким образом, чтобы приложения
не упуекалнсь из виду. Установить еще раз органическую связь между чистым н
прикладным знанием, здоровое равновесие между абстрактной общностью и
полнокровной конкретностью — вот так нам представляется задача математики в
непосредственно обозримом будущем» *.
6. Что включать в математику? Что такое прикладная
математика? Вообще, существует ли она? Эти вопросы сейчас вызывают
порой ожесточенную дискуссию. Любопытно, что термин «прикладная
математика» стал сейчас чрезвычайно модным (особенно среди
неспециалистов).
Кажется, что наиболее распространенная точка зрения на понятие
«прикладная математика» среди математиков состоит в том, что
прикладной математики вообще не т. Впрочем, разные математики
вкладывают в эти слова совершенно различное содержание в
зависимости от того, что они, математики, включают в самое математику**.
Одни считают, что математикой нужно называть лишь чисто
дедуктивные построения. Все, что лежит вне таких построений, к
математике и к математикам отношения не имеет и не должно
называться математикой, даже прикладной***. Ныне эта точка зрения
редко высказывается вслух, но «неофициально» она еще довольно
распространена; между прочим, она представляется «удобной» многим
преподавателям математики у нематематиков.
В действительности названная точка зрения, неправомерно и
значительно суживающая границы Великой Науки Математики,
приносит вред в первую очередь самой математике (и,конечно, делу
подготовки молодых математиков). Вот что пишут по этому поводу
* А. Н. Колмогоров как-то сказал, что преследующей его уже давно мечтой
является «уничтожение расхождения между «строгими» методами чистых
математиков и «не строгими» приемами математических рассуждений, применяемых
прикладными математиками, физиками и техниками» (цитируется по [51]).
** При перечислении точек зрения в пп. 6 и 7 использованы, в частности,
устные высказывания М. А. Красносельского.
*** Вот одно из наиболее крайних выражений этой позиции: «Математика
есть создание чистого разума и поэтому не нуждается в связях с другими
сферами деятельности человека» (Л. Морделл [52, с. 28]).
Приведем еще высказывание Ж- Дьедонне по этому поводу (цитируется по
|53, е. 18]): «...в принципе современная математика в основе евоей не имеет
какой-либо утилитарной цели, а представляет собой
интеллектуальную дисциплину, практическая польза которой сводится к нулю
...математик в своих исследованиях никогда не руководствуется мыслью о степени
полезности полученных результатов в будущем (что, впрочем, и невозможно
предсказать), скорее он руководствуется желанием проникнуть в понимание
математического явления, как явления, заканчивающегося на себе
самом ... математика — не более чем «роскошь», которую может позволить
себе цивилизация». Грустно, что это говорит человек, являющийся одним из
руководителей группы «Бурбаки», оказывающей значительнее влияние на лицо всей
современной чистой математики...
26
М. Кац и С. Улам: «Попытки — к сожалению, довольно частые —
изолировать «чистую» математику от всей остальной научной
деятельности и заставить ее вариться в собственном соку могут лишь
обеднить и математику и прочие науки» [13, с. 234].
Та же мысль высказывалась Ф. Клейном: «Чисто логические
концепции должны составить, так сказать, твер'дый скелет
организма математики, сообщающий ей устойчивость и
достоверность. Но самое жизнь математики, важнейшие наведения и
ее продуктивность ш носятся преимущественно кее
приложениям, т. е. к взаимным отношениям ее абстрактных объектов со
всеми другими областями. Изгнать приложения из математики —
это то же, что искать живое существо с одной только костной основой,
без мускулов, нервов и сосудов» [29, с. 44].
Процитируем, наконец, и А. Пуанкаре: «Физика не только дает
нам (математикам.—Авт.) повод к решению проблем; она еще
помогает найти к этому средства. Это происходит двояким путем. Во-
первых, она дает нам предчувствия решения; во-вторых,
подсказывает нам ход рассуждений» [54, с. 108] *.
Здесь в сущности выражена вторая точка зрения, на наш взгляд
гораздо более приемлемая; она заключается в том, что в сферу
действия математики вводятся также и практические методы решения
задач, приходящих извне математики (приближенные методы,
применение математических машин и т. п.).
Однако еще более нам импонирует самая широкая — третья —
точка зрения, согласно которой математика не только охватывает
дедуктивные области, но и включает все математические
сущности — математические объекты, методы и идеи, встречающиеся как
в теоретической математике, так и в приложениях: имеются в виду
построение математических моделей, математический эксперимент,
индуктивные или другие рациональные (§ 3) рассуждения
математического характера и т. п.
В весьма интересной книге Д. Пойа [56, с. 309] говорится:
«Пределы математики — это вся область доказательных рассуждений,
относящихся к любой науке, достигнувшей того уровня развития,
при котором относящиеся к этой науке понятия могут быть
выражены в абстрактной, логико-математической форме». Хочется добавить,
что при этом в понятие доказательности не следует вкладывать
узко догматическое содержание.
Конечно, приверженцам этой точки зрения, которая
представляется нам наиболее прогрессивной и плодотворной для математики
(и, что довольно существенно, также для математиков), приходится
поступиться «теоретико-множественным единством» математики,
оставив его лишь за неким «ядром» математики.
7. Точки зрения на прикладную математику. Прежде всего с
огорчением отметим, что, по мнению некоторых математиков,
заниматься приложениями вообще зазорно.
* См. также [55].
27
По этому поводу Ф. Клейн писал: «К сожалению... все еще встречаются
университетские преподаватели, которые не находят достаточно презрительных
слов по адресу всякого занятия приложениями. С высокомерием, которое
сказывается в таких взглядах, должно бороться самым решительным образом. Всякое
дельное достижение, относится ли оно к теоретической или к прикладной области,
следовало бы ценить одинаково высоко, представляя каждому возможность
заниматься теми вещами, к которым он чувствует наибольшую склонность. Тогда каждый
проявит себя тем более разносторонним образом, чем большим числом талантов
он обладает: величайшие гении, каковы Архимед, Ньютон, Гаусс, всегда
охватывали равномерно и теорию н практику [57, с. 314].
Приведем еще слова Р. Кураита: «На самом деле между «чистой» и
«прикладной» математикой невозможно провести четкую грань. Поэтому-то в математике
ие должно быть разделения на касту верховных жрецов, поклоняющихся
непогрешимой математической красоте и внимающих только своим склонностям, и
на работников, обслуживающих их. Подобная «кастовость» — в лучшем случае
симптом человеческой ограниченности:» [12, с. 27]*.
В. В. Новожилов пишет: «К сожалению, теоретик до сих пор нередко
рассматривает «прикладника» как математика второго сорта, как ученого, который не
способен работать предельно строго, разменивается на частности в ущерб
общности. Легко обнаруживая у «прикладников» промахи в строгости рассуждений,
теоретик часто остается равнодушным к их основному достоинству — умению с
достаточной для практических целей точностью решать такие актуальные задачи,
которые он сам строгими методами решить не может» [44]. л
В этих цитатах достаточно ярко освещена психологическая
сторона вопроса. Но независимо от этого нужно подчеркнуть, что ныне
все чаще признается объективное существование прикладной
математики. Однако и за подобным признанием скрываются различные
точки зрения.
Так, некоторые считают, что прикладная математика — это «шир-
потребная», в дурном смысле, часть математики, существующая в
виде логически недоработанного и несовершенного (возможно, из-
за низкой математической культуры специалистов в этой области)
набора некоторых приемов, рецептов и правил. Указанные
недостатки прикладной математики должны быть преодолены, в
результате чего эта «недоматематика» возвысится до нормального
математического уровня **.
Думается, что эта наивная, но распространенная точка зрения,
если она не является проявлением снобизма, основана на тяжелом
непонимании истинной ситуации. В самом деле, как с этой точки
зрения можно объяснить то, что физики, инженеры-теоретики и другие
специалисты, среди которых, бесспорно, имеется немало неглупых
людей, применяя математику, упорно уклоняются от строго
дедуктивного языка? И хотя в институтах их систематически учат этому
* На вреде такого снобизма останавливается также Н. Бейли в своей
полезной книге [58, с. 138] в связи с приложениями математики к биологии и медицине.
** Иногда подобная точка зрения является реакцией на те, отнюдь не редкие,
работы, в которых математическое легкомыслие приводит к прямым ошибкам
(мы ниже будем подробно говорить о таких ошибках), или, что гораздо хуже, на
те работы, в которых математическая малограмотность «компенсируется»
ссылками на прикладную значимость результатов. К сожалению, эта точка зрения порой
проникает и в сознание прикладников, вызывая у них некий комплекс
неполноценности. Это, в свою очередь, приводит к самым нелепым (часто комическим)
наукообразным упражнениям.
28
языку, они (себе во вред?) предпочитают переучиваться, переходя
на язык прикладной математики и перестраивая весь образ
математического мышления. В действительности такая перестройка
порой напоминает ломку, так как при этом отбрасываются многие
«чистые» определения, теоремы и приемы, на которых
категорически настаивает чисто дедуктивный образ мышления. По нашему
мнению, такая перестройка вполне естественна и единственное
объяснение ее состоит в том, что она необходима. Ниже Мы постараемся
доказать, что отсутствие категорического требования о
формальнологическом совершенстве в приложениях математики неизбежно и
представляет собой не признак слабости, а источник особой силы
прикладной математики.
Другая точка зрения отождествляет прикладную математику с
вычислительной и машинной математикой. Эта точка зрения
представляется узкой и создающей одностороннюю ориентацию.
Остановимся теперь на точке зрения, высказанной в нашей статье
[2]. Мы исходили из того, что математическое решение прикладных
задач обладает серьезной спецификой. Прежде всего, здесь
принципиально недостижима доказательность того же уровня, что в чисто
математических исследованиях, хотя бы потому, что математическая
модель реального объекта может описывать лишь существенные в
том или ином смысле черты этого объекта, но никогда не претендует
и не должна претендовать на его полное описание. С другой
стороны, к решению прикладных задач предъявляются требования,
которые в чисто математических исследованиях считаются
второстепенными: прикладная задача должна быть решена не только
правильно, но и своевременно, экономно по
затраченным усилиям, решение должно быть доступным для
существующих вычислительных средств и пригодным для
фактического использования, точность решения должна
соответствовать задаче и т. п. *
Наилучшее выполнение всех этих порой противоречащих друг
другу требований мы условно назвали оптимальностью решения (по
отношению к приложениям), хотя и предупредили, что на данном
этапе развития науки единую функцию цели было бы указать
затруднительно. Исходя из этого было предложено определение прикладной
математики как науки об оптимальных, грубо говоря, практически
приемлемых методах решения математических задач, возникающих
вне математики. Таким образом, прикладная математика — это
математика, опосредствованная практикой, это как бы составная
дисциплина наподобие биохимии или теплотехники. Развитие этой
* В этом же духе пишут И. Бабушка, Э. Витасек и М. Прагер в своей очень
иитересиой книге [59, с. 9]: «...сегодня задача считается решенной только в том
случае, если имеется эффективный метод, дающий требуемый результат с
достаточной точностью за приемлемый отрезок времени». В книге Н. С. Бахвалова [60,
с. 14], написанной с глубоким пониманием реальных прикладных ситуапий,
говорится, в частности: «Лучше найти удовлетворительное решение задачи, но в
срок, чем получить полное решение задачи к тому времени, когда оно станет
бесполезным».
29
дисциплины определяется как расширением круга приложений, так
и изменением конкретного содержания понятия оптимальности
решения задачи; в частности, это содержание существенно изменилось
под влиянием современных вычислительных средств. Само собой
разумеется, что если мы ищем оптимальное решение, то это не
значит, что мы должны отвергать решения, лишь приблизительно
отвечающие требованию оптимальности. Значительная часть
реальных решений, которыми мы пользуемся, как раз ц есть решения, в
данное время в какой-то мере удовлетворяющие этому требованию.
По данному поводу можно напомнить известный афоризм:
«Чистая математика делает то, что можно, так, как нужно, а
прикладная — то, что нужно, так, как можно» *. Он в целом правильно
передает тенденции, хотя слово «нужно» здесь употреблено в различных
смыслах. Имея в виду только второй смысл, скажем, что ниже
делается попытка показать, что прикладная математика призвана
делать то, что нужно, так, как нужно.
Представляется привлекательной и точка зрения, устно
высказанная Л. В. Овсянниковым: прикладная математика — это наука
о математических моделях; более подробно можно сказать — о
построении, исследовании, интерпретации и оптимизации
математических моделей. Это определение, выделяющее объект науки, на
наш взгляд, отнюдь не противоречит предыдущему, которое имеет
более функциональный характер. Таким образом, если проводить
аналогию — в целом, довольно далекую — между математикой и
языком, то чистая и прикладная математика будут напоминать
грамматику и семантику соответственно.
Дискуссии о том, образует ли прикладная математика
самостоятельную науку, представляются несколько схоластическими из-за
многозначности выражения «самостоятельная наука». Возможно,
что более правильно говорить не о науке, а об определенном
аспекте математики, возникающем при ее приложениях, так
сказать, о результате своеобразного «проецирования» математики на
цивилизацию; важно, что при таком проецировании математика
приобретает качественно новые черты. Это проецирование, эти черты и
определяют прикладную математику.
Поэтому мы будем пользоваться словами прикладная
математика как рабочим термином, определенным последними из
приведенных выше точек зрения, оставив вопрос о самостоятельности
существования прикладной математики как науки философам **. В отли-
* В связи с этим приведем слова Дж. Диксона: «Если мощные^математические
методы не позволяют получить результат (иногда это бьшает), то все равно нужно
продолжать поиск. Имейте в виду, что при инженерном анализе необходи-
м о получить числовой результат любым способом» [20, с. 78].
** Дополнительное осложнение возникает в связи с тем, что понятия
«прикладное исследование», «прикладной раздел» и т. п. являются относительными; это
порой приводит к различным недоразумениям, например, к тому, что
прикладниками (соответственно теоретиками) называют себя люди, которые друг друга
отнюдь таковыми не считают. Целый ряд исследований, книг и т. д. можно назвать
как прикладными (если они рассматриваются с еще более абстрактных позиций),
30
чие от этого, говоря о чистой математике, мы будем, в первую
очередь, иметь в виду «ортодоксальную» математику от Вейерштрасса
до Бурбаки, основанную на наивной теории множеств *.
Основное внимание мы уделим более конкретным вопросам:
каковы характерные черты, возникающие при приложении
математики; в чем специфика метода рассуждений прикладной математики,
в частности, какие рассуждения признаются в ней доказательными,
и т. д. Обсуждение этих вопросов может сказаться полезным, даже
жизненно актуальным и в исследованиях совершенно конкретного
характера.
Приведем в заключение яркие слова Р. Куранта [12, с. 27],
говорящие о различии подхода к проблемам чистой и прикладной
математики и служащие своеобразным введением к нашему
последующему изложению.
«Одна и та же математическая проблема может быть решена по-разному;
приверженец строгого математического подхода (а стремление к таковому
временами возникает у всякого человека, склонного к научному мышлению) требует
бескомпромиссного совершенства.Он не допускает никаких пробелов в логике
мышления и в решении поставленных задач, а достигнутый результат, по его мнению,
должен быть венцом неразрывной цепи безупречных рассуждений. И если
сторонник такого подхода сталкивается с трудностями, которые ему кажутся
непреодолимыми, то он скорее попытается переформулировать задачу или даже поставить
другую, родственную ей, трудности которой он может преодолеть («то что
можно — так как нужно».— Авт.). Существует и другой обходной путь: заново
определить то, что считалось «решением проблемы»; в действительности подобная
процедура иногда представляет собой довольно общепринятый предварительный шаг
к подлинному решению исходной задачи.
В исследованиях прикладного характера все выглядит по-нному. Прежде
всего, поставленную задачу нельзя с такой легкостью видоизменить или обойти.
Здесь требуется другое: дать правильный и надежный с общечеловеческой точки
зрения ответ. В случае необходимости математик может пойти на компромисс:
он должен быть готов внести догадки в цепь рассуждений, а также допустить
известную погрешность в числовых значениях. Однако даже задачи в основном
практического направления, например о течениях с ударными волнами, могут
потребовать фундаментального математического исследования, чтобы установить,
корректно ли поставлена такая задача. В прикладных исследованиях могут
понадобиться и доказательства чисто математических теорем существования,
поскольку уверенность в том, что имеется решение, может гарантировать
достоверность используемой математической модели. (На самом деле это несколько
сложнее и мы будем об этом далее говорить.— Авт.) И наконец, в прикладной
математике доминируют аппроксимации (приближения) — без них невозможно
обойтись при переносе реальных физических процессов на математические модели.
так и чисто математическими (скажем, с позиций инженера). Конечно, такая
относительность понятия «прикладного» имеет место также в физике, механике и
других дисциплинах.
По поводу понятия и перспектив развития прикладной математики см. также
.[61—72].
* Подчеркнем, что выделение чистой и прикладной математики никак не
имеет абсолютного характера, так как это по существу различные аспекты науки,
сохраняющей важнейшие черты единства (прежде всего, в основном предмете
изучения — структурах, но и не только в этом). В каждом из этих аспектов
возникают свои глубокие активно взаимодействующие идеи. (Поэтому
представляется неудачным говорить не о «чистой», а о «теоретической» математике.) Однако
это взаимодействие далеко от оптимального!
31
Обращение с реальностью, преобразованной в абстрактные математические
модели, и оценка точности достигаемых при этом соответствий требуют
интуитивных навыков, совершенствуемых опытом. Часто необходимо как-то преобразовать
исходную математическую проблему, которая оказывается слишком сложной для
решения современными методами. Это отчасти объясняет характер
интеллектуального риска и удовлетворение, которое испытывают математики, работающие
с инженерами и естествоиспытателями над решением реальных задач,
возникающих всюду, куда проникает человек в своем стремлении к познанию природы и
управлению ею».
§ 2. О РАЗЛИЧИИ НЕКОТОРЫХ ПОДХОДОВ
В ЧИСТОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ
1. Предварительные замечания. Имеется много математических
понятий и утверждений, которые в чистой и прикладной математике
трактуются одинаково или почти одинаково и потому могут быть
более или менее непосредственно перенесены из чистой математики
в прикладную — конечно, если они представляют интерес для
последней. К их числу относятся разнообразные тождественные
преобразования, понимаемые в широком смысле, например к таким
преобразованиям можно отнести и формулу Грина; многие другие
однозначно понимаемые формулы, например формулы
дифференцирования или формула для решения квадратного уравнения;
утверждения типа «все решения данного уравнения положительны»,
«данная задача не может иметь более одного решения» и т. д.
Однако имеются понятия и утверждения, трактовки которых в
чистой и в прикладной математике принципиально различаются.
Здесь мы остановимся именно на случаях, когда понятия и
утверждения чистой математики не приемлемы для прикладной математики
и вынуждают последнюю искать свои пути, в свою очередь,
неприемлемые с точки зрения чистой математики; сюда же примыкает
важный вопрос о понятии строгости.
2. «Существование» в чистой и прикладной математике. В чистой
математике (как было сказано в конце п. 1.7, здесь имеется в виду
ее общепринятый «наивный» уровень) понятию «существование»
долгое время вообще не давалось ни определений, ни пояснений;
как бы подразумевалось, что его содержание и так каждому ясно.
Самими собой понятными считались выражения типа (а) «решение
этой задачи существует», или (б) «в множестве М существует по
крайней мере один элемент х0, обладающий свойством а». Д.
Гильберт разъяснил содержание термина «существование» (в рамках
чистой математики). По Гильберту, «существование» тождественно
логической непротиворечивости.Тем самым термину было приписано
вполне ясное содержание, причем одновременно обнаружилась и
определенная бедность этого содержания с прикладной точки зрения *.
* Отметим, что еще Г. Кантор в «Теории множеств» говорил, что под
существованием математических объектов можно понимать лишь отсутствие
противоречий в понятиях об этих объектах. Потом эту мысль развил А. Пуанкаре [73, с. 6]:
«...слово «существовать» может иметь только один смысл, оио означает именно
отсутствие противоречии». Д. Гильберт положил эту трактовку в основу своей
системы логики.
32
Для прикладника математический объект всегда представляет
собой схематизацию реального, например физического, объекта.
Поэтому голое утверждение о существовании математического
объекта, например утверждение «решение данной задачи существует»,
обычно для прикладной математики совершенно недостаточно. В
лучшем случае оно может иметь какое-либо вспомогательное,
промежуточное значение, либо может иметь наводящий характер для
«подлинного» утверждения о существовании, в котором
математический объект фактически конструируется с приемлемой точностью
(например, в случае (а) находится решение, а в случае (б)
указывается элемент х0) *.
Разумеется, доказательство теоремы о существовании всегда
служит вдохновляющим фактором для исследователя в его поисках
конструктивного решения **; отсутствие такого доказательства
может вообще удержать наиболее осторожных исследователей
пессимистического склада от фактического конструирования решения.
Однако в целом можно сказать, что неконструктивное
доказательство существования не обладает большой ценностью'для
прикладника, а отсутствие такого доказательства неспособно его обезоружить в
поисках фактического решения. Многое зависит от способа
доказательства теоремы о существовании. Пусть, например, бесконечное
множество М достаточно простой структуры служит
математической моделью реального (конечного!) объекта R с неопределенно или
просто достаточно большим числом элементов***. Если
утверждение «в М существует по крайней мере один элемент х0, обладающий
свойством а», доказано с помощью прямого конструирования этого
элемента, то обычно бывает сравнительно просто разобраться, что
отвечает этому утверждению в R. Но если оно получено путем
приведения к логическому противоречию противоположного
утверждения («каждый элемент М не обладает свойством а»), то ситуация
оказывается более сложной. Так, элемент из R, который должен
был бы отвечать х0, может оказаться в той «неопределенной дали»,
где примененная математическая схематизация теряет свою
отчетливость.
* Н. С. Бахвалов [60, с. 11]: «...есть разница в подходе «чистого» и
«прикладного» математика к реиению какой-либо проблемы. На языке первого понятие
решить задачу означает доказать существование решения и предложить процесс,
сходящийся к решению. (Даже последнее иногда считается необязательным. —
Авт.) Сами по себе эти результаты полезны для прикладника, но, кроме этого,
ему нужно, чтобы процесс получения приближения не требовал больших затрат,
например, времени или памяти ЭВМ. Ему важно не только то, что процесс сходит,
ся, но и то, как быстро он сходится».
** Впрочем, Дон Кихот не очень заботился о предварительном
доказательстве соответствующей теоремы о существовании врагов, а сразу бросался в бой.
*** Например, множество натуральных чисел может служить моделью
упорядоченной дискретной реальной совокупности, состоящей из конечного,
ио неопределенно большого числа элементов. Аналогичная ситуация возникает,
когда мы какой-либо реальный объект неопределенно большой или просто
достаточно большой протяженности во времени или в пространстве заменяем при
исследовании на объект бесконечной протяженности.
3 6-20
33
Отметим, что известные возражения интуиционистов против
применения закона исключенного третьего10 к бесконечным мно^
жествам (см., например, [40, 74]) имеют основания, по-видимому,
до некоторой степени сходные с приведенными. Упрощенно говоря,
интуиционисты считают, что математический объект признается
существующим, только если он фактически указан.
Неконструктивные утверждения о существовании могут полу,
чаться также при применении закона исключенного третьего к
конечным множествам. Правда, если элементов у множества немного-
а свойство а, которым должен обладать искомый элемент х0, легко
проверяемо, то эффективное построение этого элемента можно
осуществить хотя бы с помощью простого перебора или какого-либо
иного метода, на указание которого может вдохновить чистая теорема
существования. Но если названные условия нарушены, то
утверждение становится менее конструктивным, причем такая
неконструктивность может дойти до полной.
Приведем пример. Одним из первых начал применять
неэффективные доказательства существования для конечных множеств П.
Дирихле на основании выдвинутого им утверждения, которое теперь
называется принципом Дирихле. Этот принцип, легко вытекающий
из закона исключенного третьего, гласит, что если п предметов
разложено по т ящикам, причем п > т, то по крайней мере в одном из
ящиков будет более одного предмета. Так, с помощью принципа
Дирихле легко доказывается, что в городе с полумиллионным
населением в любой момент всегда существуют по крайней мере два человека
с одинаковым числом волос (для этого надо к одному классу —
«ящику» — отнести людей с одинаковым числом волос). Но ведь
установление этого факта никак не помогает персонифицировать эту пару
«равноволосых» людей; более того, по отношению к любому
прошедшему моменту такая персонификация вряд ли возможна когда-
либо в будущем, хотя теорема о существовании равноволосых пар
установлена!
Между прочим, утверждение типа «среди первых 100
натуральных чисел существует число п, обладающее свойством а», уже,
имеет прикладное содержание, если число 100 в рассматриваемой
реальной задаче является на самом деле конечным, т. е. до
него можно фактически добраться. Если задача состоит в
отыскании числа, обладающего свойством а, то приведенное
утверждение содержит не менее «0,01 полного решения», которое можно
получить хотя бы с помощью перебора (в реальной возможности
такого перебора и состоит «истинная конечность» числа 100 в
рассматриваемой ситуации), если не представится ничего лучшего.
Впрочем, возможны и реальные задачи, для которых утверждение,
приведенное в начале абзаца, служит полным решением.
Итак, мы видим два принципиально различных взгляда на
понятие существования матетатического объекта: в прикладной
математике он существует как математическая модель реального -
объекта, принципиально идентифицируем и конструируем, тогда
34
как в чистой математике он существует как идея, не
противоречащая принятой системе аксиом. Интересно отметить, какой
метаморфозе подвергается понятие существования, переходя из
естественных наук в чистую математику и превращаясь при этом из
служебного понятия в объект изучения!*
В заключение приведем две цитаты из книги Р. Куранта и Г. Роб-
бинса [28, с. 136—137 и 139], относящиеся к описанной выше
проблеме существования.
«Когда речь идет о доказательстве существования объекта определеииого
типа, то есть существенное различие между тем, чтобы построить осязаемый
пример объекта, и тем, что из несуществования объекта можно вывести
противоречивые заключения. В первом случае получается осязаемый объект, во втором
ничего, кроме противоречия».
«Вопросы, рассматриваемые в математической логике, в конечном счете
упираются в один основной вопрос: что понимать под существованием в математике?
К счастью, существование самой математики ие зависит от того, найден ли
удовлетворительный ответ иа этот вопрос. Школа «формалистов», во главе которой стоял
великий математик Гильберт, утверждала, что в математике «существование»
означает «свободу от противоречия». Если принять эту точку зрения, то очевидной
и необходимой задачей является как раз построение системы постулатов, из
которых всю математику можно было бы вывести путем логической дедукции, и
доказательство того, чтоэти постулаты ие могут привести ии к какому противоречию.
Недавние результаты Геделя и других как будто бы показывают, что такая
программа по крайней мере в той форме, в какой она была намечена самим
Гильбертом, ие может быть осуществлена и. Весьма многозначительно то обстоятельство,
что гильбертова теория формализованного построения математики существенно
опирается на интуитивные процедуры. Тем или иным путем, в открытой или
скрытой форме, даже прикрытая самым безупречным формалистическим, логическим,
аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция всегда остается самым
жизненным элементом в математике».
3. Проблема бесконечности. Мы уже затронули выше эту
важнейшую проблему, которая также по-различному трактуется в
прикладной и чистой математике. Реальные объекты всегда конечны,
поэтому бесконечный математический объект (бесконечная
последовательность, бесконечный интервал и т. п.) может появиться в
результате упрощающей математической схематизации, когда
«далекие» элементы, участки теряют свою индивидуальность, их
влияние сходит на нет **. Таковы понятия упругого пространства
(полупространства и т. д.) или бесконечно длинной балки на упругом
основании в теории упругости, или понятие об установившемся
режиме вынужденных колебаний (или автоколебаний), на который не
влияют начальные условия. Реальное количество элементов или ре-
* Здесь проявляется общий тезис о том, что одни и те же слова могут иметь
для различных людей далеко ие одинаковый смысл. Различные группы людей
как бы говорят иа хотя и значительно взаимосвязанных, ио ие идентичных и порой
сильно отличающихся друг от друга языках. Игнорирование этого служит
постоянным источником недоразумений.
** Отметим, что само по себе рассмотрение непрерывных переменных еще ие
вводит в прикладную математику бесконечности, так как область изменения таких
переменных выступает в приложениях не как набор точек, а как первичный объект
(например, интервал времени).
3*
35
альный размер интервала, дающие возможность перехода к
математической бесконечности, в различных задачах даже при изучении
одного и того же объекта весьма различны; они зависят от «скорости
затухания» влияния далеких элементов и принятой оценки
существенности этого влияния. Поэтому такая бесконечность является, по
существу, незавершенной и притом счетной: в дискретном случае
количество «конечных» элементов, которые имеют «персональное»
значение, может в аналогичных рассмотрениях и даже в процессе
одного и того же рассмотрения меняться, бесконечное множество
может при этом заменяться на конечное и обратно. Аналогичные
метаморфозы в непрерывном случае происходят со временем
установления, пограничным слоем и т. д.
Другой тип бесконечности в прикладной математике появляется
в результате схематизации конечной системы, в которой каждый
элемент потерял индивидуальное значение. При такой схематизации
дискретность заменяется на непрерывность, суммы — на интегралы и
т. п. *
Таким образом, результаты, полученные в терминах актуально
(завершенно) бесконечных множеств, при переводе на язык
приложений нуждаются в тщательном анализе.
Имеется еще одно существенное отличие в подходе чистой и
прикладной математики к бесконечному: речь идет о понятии
бесконечно малого. Как известно, чистая математика уже давно отвергает
концепцию актуальной бесконечно малой, а современные
математические курсы для математиков вообще обходятся без упоминания
этого понятия. В то же время все дифференциальные законы
прикладных дисциплин выводятся и трактуются на уровне актуальных
бесконечно малых, причем стихийно, без явных формулировок
выработались навыки действий с такими величинами, например
представления о том, когда можно, а когда нельзя отбрасывать величины
высшего порядка малости и т. п.** Впрочем, отсутствие
развернутого исчисления бесконечно малых и сейчас может привести в более
сложных ситуациях к недоразумениям и даже к прямым ошибкам.
* Интересно, что в некоторых конкретных примерах число элементов в
системе, обеспечивающее возможность такой упрощающей замены, может оказаться
весьма небольшим. В качестве примера сошлемся на задачу о вычислении
наибольшего прогиба круглой пластинки, нагруженной в середине и свободно опертой
в п точках на контуре, которые расположены в вершинах правильного я-угольника.
Расчеты показывают, что уже при п = 5 эту систему опор можно с достаточной
точностью заменить на кольцевую шарнирную опору вдоль всего контура. Таким
образом, в рассматриваемой задаче уже 5 ss oo.
** Например, при рассмотрении криволинейного движения материальной
точки для построения вектора скорости можно малый (точнее, актуальный
бесконечно малый) участок траектории заменить на малый прямолинейный отрезок,
отбросив малые высшего порядка, определяющие искривление этого участка.
Однако в динамике при рассмотрении действующих на точку сил уже приходится
удерживать малые 2-го порядка, а малый участок траектории можно заменить >■
на дугу окружности. Если же изучается кручение траектории в пространстве, то
начинают играть роль даже величины 3-го порядка малости по сравнению с
длиной участка траектории.
36
Иногда думают, что вывод и трактовку дифференциальных
законов можно сделать «вполне строгими» с помощью «строгого» (на
е-уровне) перехода к пределу. На самом деле положение
существенно сложнее: такой переход невозможен уже из-за квантовых и
молекулярных свойств, в силу которых рассматривать физические
величины, уменьшенные сверх некоторых разумных границ, вообще
лишено смысла. В связи с этим физики вводят «физически» или
«практически» бесконечно малые величины, допустимые при
рассмотрении физических дифференциальных законов, впрочем, не давая
этому понятию определения на уровне чистой математики. Строгий
(в смысле чистой математики) предельный переход производится на
самом деле в некоторой математической модели физической
картины, однако правила построения этой модели не являются в этом же
смысле строгими. Иногда просто говорят, что такая модель
получается в результате осреднения реальной картины по областям
физически бесконечно малых размеров, но такую оговорку чистая
математика, конечно, не может признать строгой.
В качестве типичного примера рассмотрим определение
плотности в точке неоднородного тела
р(Л)= lim -Ц-, (1)
где (AV0 означает малую область, содержащую точку A, a W —
объем этой области, а прочие обозначения очевидны. Ясно, что
реально (АУ) не должна безгранично уменьшаться, ее размеры
должны быть существенно больше межмолекулярных расстояний, хотя
и существенно меньше характерных конечных размеров, на
которых плотность может заметно измениться. Применяя для области
таких размеров букву d вместо А, приходим к формулам
в которых dm и dV представляют собой физически бесконечно
малые величины, т. е. величины, удовлетворяющие описанным
оценкам; эти величины можно рассматривать как переменные или как
постоянные. Формулу (1) можно понимать в смысле чистой
математики, если реальное вещество, состоящее из частиц, предварительно
заменить с помощью осреднения и «сглаживания» результата на
математическую сплошную среду.
Физические бесконечно малые, имеющие совершенно иные
масштабы протяженности, возникают при рассмотрении плотности
населения на Земле или плотности распределения звезд во
Вселенной. Конечно, и здесь можно применить осреднение, хотя в первом
примере оно выглядело бы несколько странно...
Примененные выше выражения «существенно больше»,
«существенно меньше», «заметное изменение» не имеют точного чисто
математического смысла, это типичные рациональные понятия (§ 3).
В большинстве теоретических рассуждений эти понятия и не
нуждаются в полном уточнении, достаточно иметь уверенность в том, что
а/.
величина выбирается с необходимым «запасом прочности», который
может понадобиться в этих рассуждениях. Во многих случаях
переход к величинам высшего или низшего порядка означает по
традиции попросту увеличение или уменьшение не менее чем в 10 раз,
хотя в ряде случаев такой коэффициент, как бы меняющий
качество величины, имеет существенно иное значение. Какие-либо
обоснованные общие соображения о выборе этого коэффициента пока
отсутствуют и трудно себе представить, на что они могли бы опираться.
Итак, рассуждения, связанные с выводом или интерпретацией
дифференциальных законов, имеют всегда не чисто дедуктивный,
а рациональный характер.
4. Прикладная математика и число. Даже к такому первичному
математическому понятию, как число, чистая и прикладная
математика относятся по-разному: первая — как к преимущественно
логическому объекту, а вторая — как к порядковому индексу или к
количественной мере реальной дискретной совокупности
(натуральное число) или непрерывной протяженности (вещественное число).
Это различие подхода особенно ярко проявляется при рассмотрении
весьма, даже в определенном смысле чрезмерно, больших или малых
чисел. Проблемы, возникающие при этом, непосредственно связаны
с проблемой бесконечности (п. 3) и частично затрагивались выше.
Будем рассматривать сначала натуральные числа,
истолковывая такое число как мощность — количество элементов реального
множества. Если первые числа имеют отчетливо выраженную
индивидуальность, то по мере увеличения индивидуальность чисел
постепенно теряется, конечно, для разных классов задач с разной
скоростью. При этом имеется в виду не формальная, а реальная
индивидуальность: например, число 1010 имеет отчетливую формальную
индивидуальность, однако трудно представить себе реальную
задачу, в которой множество с 1010 элементами отличалось бы от
множества с 1010 + 1 элементами. По-видимому, в быту такая
потеря индивидуальности постепенно начинается с нескольких
десятков, в более точных научных и технических расчетах — с
нескольких сотен или тысяч, редко дальше; исключение по понятным
причинам составляют некоторые финансовые расчеты. Таким образом,
реальное большое число становится как бы представителем
семейства близких ему чисел *.
Еще большие формально выписанные числа вообще полностью
теряют всякий реальный смысл. Рассмотрим, например, число N —
= lO10'0- Нетрудно убедиться в том, что никакая реальная
совокупность не может иметь число элементов, сравнимое с N, т. е. в любой
реальной задаче N будет равнозначно бесконечности. По-видимому,
можно даже сказать, что в прикладной математике Ю1"10 как
окончательный результат является не числом, а символической
картинкой, наподобие +++. Осознание реальной недостижимости формаль-
* На этом вопросе останавливается П. К. Рашевский в своей очень интересной
дискуссионной статье [75].
38
но построенных чрезмерно больших чисел привело в последние годы
к возникновению нового течения в математической логике — уль-
траинтунционизма (см., например, [76, § 1.2]). Характерно название
первой работы [77] в этом направлении Д. ван Данцига: «Является
ли 1010'0 конечным числом?» Впрочем, позже мы укажем, что числа
вида N могут играть промежуточную роль, подобно мнимым числам,
которые порой появляются в промежуточных выкладках, хотя
окончательные значения физических величин должны быть вещественными.
Конечно, сколько-нибудь точно указать рубеж, отделяющий
«истинные» числа от чисел, являющихся следствием принятой системы
обозначений и имеющих лишь ограниченное промежуточное значение,
невозможно. Обычно указывается по этому поводу интервал от
10100 до 10200 (см., например, весьма интересную книгу Э. Бореля
[78, гл. VI]). По современным представлениям, наибольшая
протяженность во Вселенной имеет порядок 1010 световых лет, т. е. 1028 см.
С другой стороны, наименьшие реальные значения длин, вероятнее
всего, не менее Ю-15— Ю-20 см (см., например, [79]). Поэтому
значение (1028: Ю-20)8 = 10144 наверняка значительно превосходит
число элементарных частиц во Вселенной. Для любых реальных
условий отношение наибольшего реального интервала времени к
наименьшему вряд ли превосходит 1040 *. Однако здесь указаны
самые далекие рубежи, возникающее только в астрофизике; в
технике вряд ли могут встретиться отношения реальных величин
больше 1020.
Число N, формально определенное выше, на самом деле не
сравнимо с реальными числами. В самом деле, по правилам арифметики
N : 10100 = Ю10'0-100. Однако в силу упомянутой выше реальной
неопределенности больших чисел можно положить 1010—100 =
= 1010, откуда N : 10100 = ./V. Отсюда мы видим, в частности, что
применение самых мощгых ЭЦВМ нисколько не приближает нас к
овладению числом N **.
Таким образом, при применении к прикладной математике
теорем существования (см., в частности, п. 1), предельных переходов,
оценок, полученных в чистой математике, надо все время иметь в
виду осмысленные диапазоны значений рассматриваемых величин.
Иногда при этом приходится пересматривать привычные
представления; например, теоретически lim lg \gx = оо, однако lg lglO100 = 2.
x-t-za
Выше уже упоминалось, что формальные чрезмерно большие
числа могут иметь вспомогательное, промежуточное значение в реаль-
* В «Арифметике» Л. Магницкого указаны наименования чисел до 10s0, ибо
«довлеет числа сего к вещам всем мира всего» (довлеет'—значит достаточно).
С другой стороны, существенно более современный автор Р. Эшби пишет [80]:
«Все материальное не может выражаться числом, превышающим Ю100».
** А. Н. Колмогоров предлагал [81] подразделять натуральные числа на
принципиально различные классы малых, средних и больших чисел (к последним
относится и N); при этом проблема, которую нельзя решить с помощью «среднего»
перебора, находится «за пределами машины иа любой сколь угодно высокой
ступени развития техники и культуры».
39
ных задачах. Так, известно, что в статистической термодинамике
температура порции газа вводится с помощью ее энтропии, которая по
определению равна логарифму числа квантовых состояний этой
порции. Простые оценки (см., например, [82, § ХШ.4]) показывают, что
для 1 л кислорода в нормальных условиях это число приближенно
равно Л^ = Ю1"24, т. е. несравнимо больше введенного выше числа N;
другими словами, Nx\ N = Л^. Конечно, это не противоречит
оценке «самого большого реального числа», так как множество всех
квантовых состояний никак нельзя считать физически реализованным;
это множество в принципе ненамного отличается от множества всех
натуральных чисел, хотя и создает иллюзию завершенности. Сама
энтропия S = \nN1 тоже очень велика, но имеет порядок числа
молекул в системе; поэтому энтропия в расчете на одну частицу, а
также и температура газа имеют уже конечные значения.
Хотя описанный подход к понятию энтропии сейчас является не
только возможным, но даже необходимым, трудно отделаться от
чувства досады из-за того, что отправной точкой в данном
рассуждении послужило нереализуемое число Nv Быть может, имеются другие
подходы, при которых все отправные точки имеют непосредственный
физический смысл.
Отметим, что в чистой математике, например в теории чисел,
рассмотрение как угодно больших натуральных чисел является
довольно привычным делом. Порой ощущается как бы своеобразная
гордость за возможность конструктивного проникновения в область
чисел, недоступных непосредственному воображению, причем к
этому проникновению привлекаются ЭЦВМ. Так, с помощью ЭЦВМ
доказана простота числа 219?37 — 1 — это самое большое из
известных простых чисел к 1971 году (см. [83]). Еще один пример мы
заимствуем из яркой книги [84, с. 123—124]. Дж. Литлвуд в 1914 г.
доказал, что существует натуральное М, для которого число прос-
м
стых чисел, не превосходящих М, будет больше \ ~, однако дока-
о
зательство Литлвуда не давало возможности оценить значение М\
известно было только, что М > 107. И вот в 1937 г. Скьюис получил
«оценку» М < 1010'0 , которая затем была «улучшена» * до М <
,_,„ lnlOOO
< 1010 . Можно привести и ряд других аналогичных примеров.
Однако думается, что эта конструктивность имеет примерно тот же
характер, как, например, в теории трансфинитных чисел; грубо
говоря, на основании формальных аналогий как бы условливаются
называть некоторые логические следствия из принятой системы
аксиом конструктивными, в отличие от прикладной математики,
конструктивность в которой должна быть в той или иной степени связана
с конструированием или распознаванием и т. п. реального объекта.
* Мы не удержались поставить это слово в кавычки, хотя самого Скьюиса
они, вероятно, обидели бы.
40
Естественно, что те же вопросы возникают при рассмотрении
формально определенных чрезмерно малых положительных чисел. Так,
выражение 10~10 , полученное в прикладной задаче в качестве
окончательного ответа, равно нулю, причем не приближенно, а точно *,
так как это «число» несравнимо меньше любого реального
положительного числа. Малые, получающиеся при сравнении реальных
величин, обратны большим, но реальным числам, о которых говорилось
выше. В практических расчетах такие малые часто появляются из-
за неадекватного выбора единицы сравнения, например, если
выражать массу электрона в тоннах и т. п. «Истинная» малость, которая
еще что-то значит по сравнению с единицей,—грубо говоря, которую
еще можно'добавлять к единице,—определяетея'осмысленной
относительной точностью величин, т. е. в конечном счете уровнем
измерительной техники. Сейчас выше всего — до Ю-1 —доходит
относительная точность измерения времени и длины; точность измерения
многих других величин существенно ниже. Этим определяются
те малые, указание которых осмысленно в окончательном ответе.
Конечно, в дальнейшем эта точность будет повышена, но отнюдь
не беспредельно, так как этому противоречат молекулярные и
квантовые свойства, в частности принцип неопределенности; вряд ли эта
точность в обозримом будущем превысит Ю-20.
Точность промежуточных Еычислений, естественно, должна
превышать точность окончательного ответа, но не так уж значительно;
необходимый запас точности в простых случаях можно подсчитать,
исходя из правил приближенных Еычислений. При вычислениях
на ЭЦВМ нет смысла специально загрублять степень точности
промежуточных вычислений, если она оказывается избыточной.
Поэтому такие вычисления производят с естественной точностью,
свойственной ныне применяемым ЭЦВМ; обычно она близка к 10-10 и
для подавляющего большинства вычислений оказывается
достаточной. В редких случаях применяется удвоенная точность, близкая
к Ю-20.
Таким образом, не только бесконечные десятичные дроби,
формально допускаемые чистой математикой, но даже дроби со слишком
большим числом значащих цифр лежат за пределами прикладной
математики **. Иррациональные числа, такие, как 1^2, я и т. п., в
* Будучи вырванными из контекста, эти слова могут вызвать
негодование; мы надеемся, что наши читатели не соблазнятся легкой возможностью
высказать тяжелый упрек. Позже мы будем говорить о том, что выражения
«точно» и даже «абсолютно точно» сами в определенном смысле имеют
относительный характер; см., например, рассмотрение равенства 2 х 2 = 4 в п. 4,
—ш10
Несколько утрируя, можно сказать, что если 2 х2 = 4, то 10 ,и = 0.
** Заметим в качестве курьеза, что, как отмечено в превосходной книге
[85 с. 429], в 1961 г. на машине ИБМ-7090 примерно за 9 ч было вычислено
число я с 100625 верными знаками. Мы предлагаем читателю самому решить
вопрос о том, какая наивысшая точность я может понадобиться при решении
реальных геометрических задач.
41
прикладной математике определяются отнюдь не своими «полными»
десятичными разложениями.
Итак, математический континуум (числовая прямая) при
чрезмерном продвижении в область малого становится неадекватным
физическому *. Конечно, это замечание нельзя рассматривать как
упрек по адресу теории вещественного числа! Всякая
логическая схема не вполне адекватна описываемому ею объекту и это в
том или ином должно проявиться. Теория вещественного числа
логически достаточно проста, основанный на ней математический
анализ внутренне согласован и имеет огромное число приложений,
следствий, правильно описывающих реальность. Ценность этой тео-
рии не вызывает сомнений.
Однако здесь, как и при проведенном выше рассмотрении
чрезмерно больших чисел, проявляется важная черта, свойственная
всякой чисто дедуктивной теории. Содержательная дедуктивная
теория отталкивается от той или иной реальной структуры и заменяет ее
некоторой формальной структурой, которую затем развивает по
формально-логическим законам. Так как эти две структуры не вполне
эквивалентны, то в дедуктивной теории наряду с выводами,
адекватными реальности, могут появиться своего рода «монстры» —
паразитные результаты, имеющие характер чисто логических следствий
и не допускающие реальной интерпретации; при этом на
получение выводов второго рода могут затрачиваться усилия. И если не
привлекать соображений, лежащих за пределами возводимой
теории, то нет возможности различать эти два типа следствий.
В этом состоит, возможно, основная трудность в развитии чистой
математики. В связи со все большей разветвленностью изучаемых
логических структур, все больше увеличивается объем, а
возможно, также и доля результатов паразитного характера, которые из-за
отсутствия внутреннего критерия паразитности нет возможности
отсечь **. (Впрочем, паразитные следствия могут возникнуть не
только в математике. Таковы, например, бесконечно большие
скорости при решении некоторых задач гидромеханики или бесконечно
большие напряжения в некоторых задачах теории упругости.) С этой
особенностью связана трудность оценки актуальности
математических исследований, так как трудно указать иной критерий ценности
работы, помимо непротиворечивости. В отличие от чистой
математики прикладная математика не имеет строго дедуктивного
характера, и одним из важнейших ее направлений является
постоянное уточнение области приложения логических конструкций.
5. Замечание о невозможных событиях. Из п. 4 вытекает
существенный вывод, относящийся к предсказанию, основанному на под-
* На этом, в частности, останавливается М. Борн [86, с. 312].
** К тому же такое отсечение всегда сопряжено с некоторым риском: не раз
оказывалось, что вопросы, казавшиеся ранее сугубо отвлеченными, в дальнейшем
приобретали реальное значение; здесь приходится полагаться на интуицию.
В качестве примеров можно сослаться на такие, первоначально чисто абстрактные
построения, как комплексные числа, матрицы, неэвклидовы геометрии,
гильбертово пространство.
42
счетах или оценках вероятностей. Известно, что если формально
подсчитанная вероятность некоторого события оказывается
положительной, хотя бы чрезмерно малой в смысле п. 4, то такое событие
часто объявляют хотя и крайне мало вероятным, но все же
возможным. Думается, что такая терминология противоречит разумному
применению слова «возможность»; следуя ей, пришлось бы
признавать возможным всякий вздор, вроде того, что дважды два — пять.
Действительно, в качестве прописного примера заведомой
истины обычно приводится равенство 2 X 2= 4. Однако можно
формально оценить вероятность того, что на самом деле 2 X 2 = 5, а
стандартное утверждение 2x2 = 4 есть результат постоянно
повторяющейся арифметической ошибки. Примем для этого, что каждый
человек при выполнении умножения в пределах первого десятка
может с вероятностью Ю-6 ошибочно уменьшить ответ на 1, что
соответствует нескольким ошибкам подобного рода за всю его жизнь.
Поэтому, если принять, что за всю историю человечества 1010
людей выполняли умножение 2 X 2 по 10е раз за свою жизнь каждый,
то вероятность того, что они всякий раз ошибочно, независимо друг
от друга, уменьшали ответ на 1, равна (Ю-6) да 10~ . Этот
подсчет можно уточнить, но ясно, что при любом разумном уточнении
результат получится формально положительным и, по-видимому,
не далеким от приведенного.
В качестве «более вероятного» события укажем на пример в книге
Дж. Литлвуда [84, с. 117]. Пусть с чемпионом мира играет в
шахматы человек, который совершенно не знает правил игры, но знает
только, что, делая очередной ход, он должен либо переставить
одну из своих фигур на какое-либо — безразлично какое — свободное
поле, либо перед этим снять какую-нибудь фигуру противника.
Какова вероятность того, что этот «игрок» не только ни разу не нарушит
шахматных правил, но и случайно будет попадать на столь хорошие
ходы, что в конце концов победит? По проведенной в книге оценке,
она не меньше Ю-122.
Думается, что возможными, но крайне мало вероятными следует
считать события с вероятностью, скажем, 10~6—10~9; это
вероятность выпадения только гербов при 20—30 бросаниях идеальной
монеты *. По мере уменьшения вероятности эпитеты, характеризую-
* Отметим одно любопытное психологическое обстоятельство. Почему мы
при бросании монеты крайне удивляемся, видя, как герб выпал 20 раз подряд,
и не удивляемся, видя, что герб и решетка выпали, например, в
последовательности грггррргрррггргррргр? Ведь вероятности обоих этих событий одинаковы, они
равны 2~20. Конечно, если мы заранее предсказываем вторую последовательность
и она реализуется, то это в высшей степенв удивительно; но, казалось бы, что
выпадение 20 гербов мы ие предсказывали заранее? Думается, что здесь дело в
подсознательных экстраполяциониых навыках: наиболее простые закономерности
чередования событий являются в нашем сознании как бы заранее зафиксированными,
эталонными. Для случая бросания монеты такими эталонными чередованиями
служат гггггг..., рррррр..., гргргр... в другие сходные последовательности, которых
совсем не так много. Поскольку мы всегда готовы к обнаружению эталона, мы
43
щие степень неожиданности, надо усиливать. Что же касается
событий с вероятностью Ю-200 и тем более Ю-10 , лишь формально
положительной, то их естественно относить к полностью невозможным.
Словом, дважды два — всегда четыре, а не умеющий играть в
шахматы никогда не выиграет у чемпиона мира *.
Отметим, что подобной точки зрения на возможность и
невозможность в конце своей жизни стал придерживаться и Э. Борель [78],
изменив свою первоначальную терминологию по этому поводу.
6. О понятии функции. Как известно, в XVIII в., когда возникло
это понятие, функция мыслилась заданной обязательно с помощью
формулы; говоря на современном языке, допускалось рассмотрение
только аналитических выражений. В дальнейшем такой подход
оказался недостаточным, прежде всего, в связи с рассмотрением
кусочно-аналитических (в частности, кусочно-линейных) функций. Эти
рассмотрения и общий переход к теоретико-множественным взглядам
привели в XIX в. к принятому сейчас в чистой математике
определению функции как произвольного закона соответствия
между независимыми и зависимой переменными. Такой подход
оказался полезным для логического обоснования математики, хотя с
точки зрения приложений подобное определение является слишком
аморфным, расплывчатым.
Право на существование получили такие функции, как,
например, функция Дирихле D (х), равная 0 для иррациональных и 1
для рациональных значений х, а также другие подобные функции,
которым трудно придать другой смысл, кроме формально
логического. Функция D (х) не только не имеет графика в обычном
понимании, но, что самое трудное, ее значение не может быть определено
даже с грубым приближением, если значение х известно с какой
угодно высокой точностью. Однако в приложениях функция не есть
дезорганизованная толпа значений, а представляет собой рабочий
организм. Сейчас, когда период увлечения патологическими
примерами в основном прошел, стала особенно ясной роль аналитических
функций.
Все же логический анализ понятия функции, проведенный в
XIX в., не прошел бесследно и для приложений. Так, функции, за-
естественно удивляемся, если он появляется, когда интуитивно ощущаемая
вероятность появления весьма мала.
Аналогичная ситуация может возникнуть при обнаружении закономерности
на основе единичного испытания, в результате которого произошло (заранее не
предсказанное) весьма мало вероятное событие.
* Тем, кто возражает: «Но встречаются же крайне маловероятные события:
например, на днях я и мой старинный знакомый, которого я не видел 20 лет,
независимо взяли в театр билеты на соседние места», надо ощутить полную
несравнимость вероятностей этого и указанных выше событий. Не следует уподобляться
свахе из «Последней жертвы» А. Н. Островского, которая о каждом женихе
говорила: «У него миллион», и простодушно пояснила: «Для меня все, что больше
тысячи, то миллион».
По поводу формально положительных вероятностей см. также [87[.
44
данные несколькими формулами (кусочно-аналитические функции),
часто встречаются в приложениях и более не вызывают
замешательства; простейшим примером может служить единичная функция
Хевисайда
, , J0 (*<0),
которая появляется при описании внезапного включения какого-
либо воздействия или перехода из одной среды в другую и т. п.
С помощью единичной функции легко записать любую
кусочно-аналитическую функцию: например, функцию, равную fx (х) при х < а
и f2 (x) при х > а, можно записать единой формулой:
/ (*) = h (x) e(a — x)+f2 (x) е(х — а).
Место подобных функций стало еще более ясным после введения в
XX в. обобщенных функций — импульсной дельта-функции
Дирака б (х) = е' (х) и связанных с ней функций (см., например,
[82, гл. VI ]), которые сразу же нашли црочное место в приложениях
(более того, они и возникли именно в связи с формулировкой
прикладных задач).
Отметим, что в теории случайных процессов типа броуновского
движения важную роль играют непрерывные, но нигде не
дифференцируемые и потому не аналитические функции, описывающие
траектории частиц. Однако эти траектории непредсказуемы и
неповторяемы, и потому такие функции имеют только статистическое, а не
индивидуальное значение.
Таким образом, можно сказать, что сейчас в прикладной
математике такое индивидуальное значение имеют вообще только
аналитические, кусочно-аналитические и простые обобщенные функции.
Для XX в. характерен еще один подход к понятию функции,
общий как для чистой, так и для прикладной математики, именно как
к элементу функционального пространства, например пространства
Гильберта, т. е. как к члену функционального коллектива. Такой
подход имеет во многих задачах разнообразные теоретические и
прикладные преимущества, на которых мы здесь не будем
останавливаться.
7. Устойчивость относительно изменения параметров.
Имеется еще одно важное обстоятельство, которое может послужить
препятствием для переноса понятий и методов чистой математики в
прикладную. Оно происходит из возможности лишь приближенного
задания всех непрерывных параметров, входящих в
формулировку любой прикладной задачи.
Пусть речь идет, например, о методе решения какой-либо при
кладной задачи. Для того чтобы считать этот метод эффективным,
необходимо, чтобы он обладал известной универсальностью, точнее,
сохранял свою силу при изменении (хотя бы достаточно малом)
параметров задачи: это свойство метода можно назвать устойчиво-
45
стью *. Здесь понятие устойчивости трактуется в широком смысле,
как свойство сохранения всех существенных черт при малых
отклонениях в постановке задачи. В п. II. 2.7 мы еще вернемся к этому
общему понятию.
Однако, как отлично известно читателю, многие методы в
алгебре, в чистом анализе, в теории аналитических функций нередко
опираются на конкретные арифметические и функциональные
соотношения типа равенств между участвующими параметрами, т. е. в
указанном смысле неустойчивы. Приведем три примера.
В 1971 г. на одном из вступительных экзаменов в Московский
авиационный институт было предложено решить уравнение
дга + 4дг— 1бУ2х + 20 = 0,
которое приводится к полному уравнению 4-й степени.
Составители задачи предполагали, что экзаменующиеся путем анализа
делителей свободного члена полученного уравнения сначала найдут два
целочисленных корня д;1>2 = 2, после чего дело сведется к решению
квадратного уравнения. Этот ход выкладок, конечно, не
универсален — достаточно заменить коэффициент 20 на 21 или 20,1 и т. д.
и описанный прием становится неприменимым. К сожалению,
последнее обстоятельство школьникам обычно не разъясняется и
многие из них остаются в ошибочной уверенности, что владеют общим
методом решения уравнений четвертой степени. Трудно сказать,
чего здесь больше — пользы от знания описанного весьма
специального приема или вреда от убеждения в его универсальности.
Вот еще пример того же рода, относящийся к технике
интегрирования дифференциальных уравнений. В известном справочнике
Э. Камке указан способ решения дифференциального уравнения
Зу,2 + 4ху'-у + х* = 0,
основанный на замене Зу = х2 (и2 — 1), в результате которой
получается весьма простое уравнение 4 (хи' + uf = 1. Но эта
подстановка приводит к успеху лишь в случае, когда коэффициенты имеют
только выписанные выше значения, и совершенно непригодна при
произвольных изменениях этих коэффициентов.
Рассмотрим, наконец, так называемый третий случай
интегрируемости системы уравнения вращения твердого^тела вокруг
неподвижной точки в однородном поле тяготения. Если принять
указанную точку за начало координат, оси которых направлены вдоль
главных осей инерции тела, и обозначить через х0, у0, z0
координаты центра тяжести, а через А, В, С — соответствующие моменты
* Параметр — это ие обязательно скаляр, это может быть вектор или даже
элемент функционального пространства. Например, для дифференциального
уравнения -гг = f (x, t) всю правую часть можно рассматривать как
функциональный параметр. Поэтому метод, применяемый к реальной задаче,
описываемой указанным дифференциальным уравнением, должен быть устойчивым
относительно произвольной достаточно малой вариации правой части.
46
инерции тела, то названному случаю отвечают сугубо специальные
соотношения: А — В =2С, z0 == 0, не выделяющие сколь-нибудь
интересную или типичную ситуацию. Установленная для этого
случая интегрируемость уравнения движения с помощью
ультраэллиптических функций исчезает при любом нарушении выписанных
соотношений. Можно сказать, что используемый здесь метод
неустойчив в указанном выше смысле.
В приведенных примерах рассмотрены случаи вырождения, не
имеющие ясной мотивировки и, таким образом, приводящие к
нецелесообразным специализациям.
Выше речь шла об устойчивости математических методов.
Однако столь же содержательным и осмысленным является понятие
устойчивости математической модели; коротко говоря,
устойчивой является такая модель, малые изменения параметров которой не
вызывают существенных качественных изменений ее свойств *.
Эта устойчивость представляет собой одно из важнейших
необходимых условий адекватности математической модели реальной
картине.
Означает ли сказанное выше, что сугубо специализированный
анализ частных и вырожденных случаев вообще не представляет
никакой ценности? Нет, не означает, если не ограничиваться толь-
к о этим анализом. Дело в том, что анализ специального случая
часто несет определенную информацию о всех случаях, достаточно
близких к рассмотренному. В частности, такое решение может быть
принято за нулевое приближение при решении смежных (в
отношении параметров) задач методом возмущений.
Так, пусть в алгебраическом уравнении первого примера
свободный член равен 20,1, а не 20. Тогда мы можем принять, что его корни
мало отличаются от корней исходного уравнения; например,
корень, близкий к значению х = 2, можно найти из соотношения
(2 + А)2 + 4 (2 + А) — 161/2(2 + А) + 20,1 = 0,
где А — искомая поправка к значению х = 2. Полагая, что А мало
по сравнению с единицей и удерживая только члены второго
порядка малости (линейные члены в этом примере взаимно
уничтожаются), найдем Ali2 = ± ]/0Д)5 i = 0,224 i, т. е. искомая пара корней
равна xli2 = 2 ± 0,224t. При необходимости можно продолжить
итерации и найти дальнейшие приближения. (Впрочем, и с учетом
этого замечания весь класс смежных уравнений, которые могут быть
решены таким путем, представляется практически мало
интересным.)
Примерно таким же образом обстоит дело и в других
вырожденных случаях. Короче говоря, результаты применения
неустойчивого метода приобретают некоторую ценность, если устойчива
математическая модель.
* В качественной теории дифференциальных уравнений близкое понятие
называется грубостью (структурной устойчивостью).
47
В некоторых случаях из разбора вырожденных объектов
оказывается возможно сделать «устойчивые» выводы о невырожденных
ситуациях: так, хорошо известно, что из анализа точек покоя на
фазовой плоскости можно сделать вывод о характере всех фазовых
траекторий. Кроме того, само собой разумеется, что строгое решение
всякой изолированной задачи (даже полученное неустойчивым
методом) является полезным эталоном для проверки точности каких-
либо приближенных, но устойчивых методов решения задач того же
класса.
Таким образом, специализации, приводящие к изучению
вырожденных случаев, могут быть и целесообразными, приносящими
существенную пользу. В особенности это относится к достаточно
широким классам практически важных случаев, которые формально
следует считать вырожденными по самой постановке физической
задачи.
Вообще, в рамках какой-либо общей ситуации, включающей
произвольные параметры, различают разные степени вырождения;
степень вырождения равна количеству независимых числовых
равенств, связывающих эти параметры. Степень вырождения
называется также коразмерностью вырожденной ситуации, т. е.
размерностью, недостающей до полной. Всякое функциональное
равенство, если есть функциональные параметры, приводит к бесконечной
степени вырождения.
В сущности любой, даже весьма широкий класс случаев можно
считать вырожденным по отношению к еще более широкому классу.
Так, например, потенциальность системы есть по сравнению с
общим случаем признак ее вырожденности (даже коразмерности
оо), так как для потенциальности правые части соответствующей
системы дифференциальных уравнений должны удовлетворять
определенным соотношениям типа равенств. Но дело в том, что
рассматриваемый тип вырожденности физически осмыслен и охватывает
широкий класс важных задач. При этом изучаемые методы должны
быть устойчивыми относительно малых возмущений в классе п о -
тенциальных систем.
Другим примером содержательного анализа может служить
случай действия периодического возбуждения на механическую
систему. Конечно, это тоже вырожденный случай, так как реальное
воздействие на механическую систему не может быть точно
периодическим как из-за наличия разного рода возмущений, так и из-за
ограниченности времени этого воздействия. Тем не менее в
подавляющем большинстве практических случаев оказывается возможным
пользоваться результатами исследования, проведенного в
предположении точной периодичности воздействия. Эта возможность, кото- ч
рая часто принимается без специального анализа, зависит от
времени установления, а также от структуры и величины возможных
возмущений.
Одной из важных задач прикладной математики является
широкий анализ подобных возможностей для разных классов задач.
48
В этой связи следует признать бесспорную ценность анализа
первых двух интегрируемых случаев вращения твердого тела вокруг
неподвижной точки:
1) х0 = у0 = z0 = 0, 2) А = В, х0 = у0 = 0. (2)
Это также вырожденные случаи (коразмерности 3), но они очень
близки многим реальным ситуациям. В первом случае центр тяжести
тела совпадает с неподвижной точкой, а во втором случае тело
обладает осевой симметрией и его центр тяжести располагается на одной
вертикали с неподвижной точкой. Анализ этих двух случаев
вследствие адекватности математической модели позволил осуществить
ряд полезнейших технических устройств гироскопического типа, в
которых, разумеется, не достигается абсолютно точное выполнение
условий (2). Можно сказать, что эти вырожденные случаи
выделяются не столько формальным свойством интегрируемости, сколько
их подлинной практической важностью.
Эйлерова теория упругой устойчивости также в сущности
относится к вырожденным системам (отсутствие «неидеальностей»),
но ее ценность неоспорима. Эти вырожденные случаи позволяют
предсказать свойства реальных систем, если «неидеальности»
достаточно малы, как это в самом деле часто бывает.
Таким образом, исследование вырожденных случаев становится
полноценным в прикладном отношении только при отчетливом
понимании характера вырождения и при наличии соображений,
говорящих о возможности осмысленных «устойчивых» выводов из этого
исследования. К сожалению, это требование в ряде работ
(особенно, чисто математических) опускается, и есть немало работ,
посвященных особым случаям высокой степени вырожденности,
общетеоретическое и прикладное значения которых сомнительны.
Заканчивая на этом обсуждение вопроса об устойчивости
относительно изменения параметров, приведем пример неустойчивости
математических понятий.
Пусть, например, речь идет о вынужденных колебаниях системы
со слабой нелинейностью. Как известно, в таких задачах большое
значение имеет соизмеримость или несоизмеримость частоты
возбуждения и частоты свободных малых колебаний. Но свойства
соизмеримости и несоизмеримости неустойчивы, ибо они могут
нарушаться при столь угодно малом изменении параметров системы.
Как же быть в реальных условиях? Обычно выводы, полученные для
соизмеримых частот, считают верными с определенной точностью и
в тех случаях, когда отношение частот (возможно, формально
иррациональных) близко к отношению небольших натуральных
чисел (1 : 1,2: 1, 2 : 3 и т. п.); если же отношение частот равно
отношению больших натуральных чисел, то применяются результаты
исследования несоизмеримого случая. Таким образом, логически
точное, но неустойчивое понятие соизмеримости, переходя в
прикладную математику, трансформируется в несколько расплывчатое, но
устойчивое понятие «практической соизмеримости».
4 «-20
49
В целом, из сказанного выше следует, что неустойчивость
методов, моделей и даже самих математических понятий (относительно
изменения параметров) требует изменения подходов при решении
прикладных задач.
8. О формальных и неформальных понятиях, об интуитивной
убедительности. Различие между чистой и прикладной математикой
существенно проявляется в требованиях к однозначной
определенности применяемых понятий и утверждений. Одним из основных
принципов чистой математики является то, что все свойства любого
изучаемого понятия должны вытекать только из его формального
определения, они как бы потенциально заключены в этом
определении*. Соответственно все утверждения должны включать только
формально определенные понятия, логические соотношения между
которыми полностью предопределяют справедливость или ложность
каждого такого утверждения. В частности, в чистой математике
все свойства решений задачи потенциально полностью
предопределяются ее формулировкой. Любое изменение формулировки
означает переход к новой задаче (конечно, в некоторых случаях
эта новая задача может оказаться равносильной предыдущей),
поэтому исследование задачи не должно привлекать добавочных
предположений и других уточнений, которых не было в ее
формулировке.
В отличие от этого, в прикладной математике понятия и
утверждения часто имеют такой же характер, как в нематематических
дисциплинах и даже в обыденной жизни. Прежде всего, могут
применяться понятия, вообще не имеющие формального определения или
имеющие определение, не обладающее полной логической четкостью;
об этом мы подробнее скажем в § 3. Но даже если применяется
казалось бы чисто математическое понятие, то за ним все время
скрывается тот неформальный объект, который оно идеализирует: оно
как бы служит меткой этого объекта и потому включает в себя больше,
чем содержится в формальном определении понятия. Например,
когда в прикладном исследовании говорится «произвольная
функция», то подразумевается «произвольная функция, встречающаяся
в данной области приложений» (этим и объясняются различные
подходы к понятию функции, о которых говорилось в п. 6) и т. п. **
Это дает возможность в процессе исследования по мере необходи-
* На этом, в частности, подробно останавливается Г. Штейнгауз в яркой
книге [88]. Впрочем, говоря об особенностях математического метода, автор, как
это широко распространено, имеет в виду только чистую математику.
** В книге [89, с. 52—53] приведен остроумный пример того, как
утверждение, истинное в смысле формальной логики, в житейском звучании становится
ложным, так как в обыденной жизни мы за логическими терминами видим больше,
чем содержится в их формальном определении: «Представим себе, что один из
наших знакомых на вопрос, когда он уедет из города, ответит, что он собирается
сделать это сегодня, завтра или послезавтра. Если мы впоследствии убедимся в
том, что еще до нашего вопроса им было уже решено уехать в тот же день, у нас,
вероятно, создается впечатление, что мы были намеренно введены в заблуждение
и что он солгал нам».
50
мости привлекать дополнительные сведения о рассматриваемых
понятиях (см. п. 3.2в) *.
Со сказанным непосредственно связан вопрос об интуитивной
убедительности рассуждения или утверждения. Это, конечно,
неформальное понятие и как таковое оно безусловно отвергается чистой
математикой при окончательном изложении результата. В то же
время в прикладной математике именно интуитивная убедительность
является важным критерием правильности; мы вернемся к этому
вопросу в § 3 **.
9. О различии тенденций в процессе решения. Следующее
различие в подходе к решению математической задачи, возникшей из
приложений, у чистого математика и у прикладника имеет в
значительной мере психологический характер. Чистого математика
интересует обычно математический аппарат, применяемый для решения
этой задачи, сам по себе, независимо от ее реальной интерпретации.
Он склонен максимально возможно обобщить условие задачи, не
обращая внимания на то, имеет ли это обобщение физический смысл.
Наиболее привлекательными для чистого математика оказываются
трудные в математическом отношении задачи и неожиданные,
изящные решения, причем соответствующий метод решения может иметь
в глазах математика большую ценность, чем сама исходная задача.
Поэтому иногда, чтобы получить элегантное решение или просто
решение, находящееся на вполне дедуктивном уровне, постановка
задачи видоизменяется так, что ее реальный интерес значительно
уменьшается или даже полностью пропадает. Довольно типичной
является также такая картина: некоторый вопрос, сугубо
промежуточный для исходной прикладной задачи, начинает самостоятельно
изучаться на дедуктивном уровне, причем направление этого изучения
теряет всякую связь с исходной задачей. Часто бывает, например,
так. Обнаружено, что для некоторого практически важного события
А достаточным (но заведомо не необходимым) является признак В.
Этот признак изучается самостоятельно, причем по чисто
математическим причинам основное внимание привлекают условия С,
необходимые (но недостаточные) для В. Далее могут изучаться
условия достаточные для С и т. д. Но в каком отношении эти условия
находятся к событию А?
Естественно, что тенденции прикладника в решении
математической задачи должны быть существенно иные. (Мы пишем
«должны быть», поскольку прикладники порой становятся на позиции
чистых математиков.) Главным для него является реальное следст-
* О соотношении между формальными и неформальными понятиями см.
также [90].
** В. В. Налимов [8]: «Высказывания, сделанные на математическом языке
в прикладных задачах, всегда и прежде всего должны обладать интуитивной
убедительностью — это является их обоснованием. Здесь особенно четко проходит
линия разграничения между чистой и прикладной математикой». В отличие от
этого в строго построенной дисциплине чистой математики «интуиция была и оста-
етси источником, ио ие конечным критерием истины» [28, с. 316].
4*
51
вие из этого решения, формальные обобщения не представляют
особой ценности. Столкнувшись с трудной математической задачей,
прикладник предпочитает не искать элегантное решение * и не
решать произвольную формально близкую задачу, а попытаться так
видоизменить математическую формулировку исходной задачи,
чтобы ее решение оказалось возможным и еще лучше — простым
(см. п. 12) **.
10. О математической строгости. Думается, из предыдущего ясно
вытекает — это хочется подчеркнуть еще раз,— что нет и не может
быть ни абсолютной строгости, ни абсолютной точности. Уровень
строгости различен в различных областях знания и вообще
человеческой деятельности; он меняется с развитием этих областей,
стихийно складываясь (в редких случаях более сознательно, например
в математической логике) в связи с их задачами и методами. Это
полностью относится и к математике. Общий тезис об
относительности знания проявляется не только в изменении областей познанного
и непознанного, но также и в изменении характера самого
познания — в том, что признается познанным, какие средства
рассуждения при этом допускаются и т. п. Это общее положение
приобретает особенную актуальность при сравнении методов
рассуждения в чистой и прикладной математике.
Формулировка и доказательства Евклида — эти высшие
достижения античной строгости и точности — оказались
недостаточными в современной чистой математике, хотя уровень их строгости в
школьном курсе и сейчас, по-видимому, чрезмерен. Евклид не
уточнял понятие «между», он считал его само собой разумеющимся и
всякий раз, когда современный геометр сослался бы на аксиомы
порядка, аксиому Паша12, аксиомы непрерывности, Евклид
рассуждал на основании здравого смысла. Это не приводило его к
противоречиям, и соответствующие логические пробелы, обнаруженные
более чем через две тысячи лет, оказались несущественными при
* «Элегантность — для портных», — сказал по этому поводу А. Эйнштейн
(по свидетельству Э. Белла [91]).
** Проблема различия тенденций отчетливо видна в математической
статистике, где происходит как бы непрерывная конкуренция прикладного и
теоретического направлений. В. В. Налимов пишет по этому поводу [21,с. 4—5]:
«Математическая статистика, или, точнее, ее теоретические основы, развиваются, как
правило, математиками, совсем плохо знающими эксперимент. Их логические
концепции часто оказываются мало понятными экспериментатору. Сложный, вполне
современный математический аппарат, делающий задачи статистики столь
привлекательными дли математиков, часто только отпугивает экспериментаторов. С
позиций экспериментатора нередко наиболее важными и интересными оказываются
те аспекты математической статистики, которые с позиций математика кажутся
совсем второстепенными. Математики, занимающиеся разработкой
математической статистики, подчас бывают совсем мало озабочены возможностью
практического применения их идей и методов».
Аналогично высказывается Т. Мак Рей- по поводу применения математики к
проблемам управления предприятиями [92, с. 28]: «Если научное управление
удалится в математическую раковину, оно превратится в отрасль математики, а не
управления. В настоящий момент имеется тревожная тенденция в этом
направлении».
52
построении античной геометрии, равно как несущественны они в
школьном курсе математики.
Математику XVIII в. не приходило в голову, что такое, например,
утверждение, как теорема Жордана о том, что простая замкнутая
линия разбивает плоскость на две части, может требовать
доказательства. Он свободно обходился без современных уточнений
понятий «линия», «поверхность» и т. п., поскольку наглядное
представление об этих понятиях было вполне достаточно для решения
ставившихся в то время задач. Вполне достаточно такое наглядное
представление и сейчас для прикладной математики, а также для
школы *.
Подобно этому современная чистая математика, основанная на
наивной теории множеств, не уточняет важнейшее, центральное для
всей этой науки понятие «существует», считает его «само собой
разумеющимся»; манипулирует с понятием завершенной бесконечности
на основании «здравого смысла» и т. п. Эти логические пробелы
оказались несущественными при построении грандиозного здания
чистой математики, они, как это выяснилось эмпирически, не
приводят к противоречиям. Привычка к этим пробелам привела к
тому, что многие их вообще перестали замечать, что и привело к
ложному представлению об абсолютной строгости чистой математики.
По этому поводу И. С. Сокольников [94, с. 13] писал: «Понятие
строгости зависит всецело от условностей, диктуемых
господствующим вкусом, которому и дано на определенный хронологический
период утверждать меру требовательности в определении степени
математической строгости. Плодотворные интуитивные концепции
преобразуются обычно в строгие формы либо путем четко выраженного
соглашения о том, какие понятия следует относить в категорию
концепций, допускающих определение, и какие остаются неопределимыми,
либо путем введения в математические теории новых формально
логических процессов, по возможности свободных от противоречий».
Добавим, что в одном хронологическом периоде в разных
разделах математики могут быть разные понятия строгости в
соответствии с традициями и целями этих разделов. Так было в период
научного Возрождения с геометрией и математическим анализом, позже
ослабленные требования строгости были в теории вероятностей;
сейчас различные уровни строгости имеются в математической
логике, в основной части чистой математики и, как мы увидим в § 3,
в прикладной математике.
* Яркое описание исторического уточнения понятия многогранника
содержится в книге И. Лакатоса [93]. Сравнивая это уточнение с затачиванием
карандаша, автор пишет (с. 73): «Во-первых, ни один карандаш не является абсолютно
острым (и если мы перёострим его, то он сломается), и, во-вторых, затачивание
карандаша не является творческой математикой». Отметим одну из высказываемых
им точек зрения (с. 76): «Не все предложения будут или истинными, или ложными.
Есть и.третий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее
строгими». Говоря подробно об эволюции понятия строгости, автор отмечает (с. 80):
«Различные уровни строгости отличаются.только местом, где они проводят линию
между строгостью анализа доказательства и строгостью доказательства, т. е.
местом, где должен остановитьси критицизм».
53
Утверждение об абсолютной строгости и точности допускает
также следующее курьезное, конечно, не решающее возражение.
В п. 4 была оценена вероятность того, что равенство 2x2 = 4 есть
результат арифметической ошибки. Тем же способом можно
оценить вероятность и того, что все утверждения чистой математики
содержат подобные ошибки; эта вероятность с точки зрения чистой же
математики положительна.
Математическая логика находится, конечно, на существенно
более высоком уровне строгости, чем основная часть чистой
математики. Однако и этот уровень не является абсолютным. Более
того, чтение вводных глав иных книг по математической логике
может произвести впечатление, что интуиция в ней играет большую
роль, чем в «наивной» чистой математике; но дело просто в том, что
многие вопросы, которые в чистой математике считаются само собой
разумеющимися, а на самом деле основаны на интуиции, в
математической логике специально обсуждаются. Но и в логике многое
остается «само собой разумеющимся», хотя грань необъясненного
отодвигается вглубь. Так, это относится уже к первым словам курса
«рассмотрим», «пусть» и т. п., которые должны быть одинаково
поняты всеми читателями, но насколько универсально понятие
«понятности»? Однако эти пробелы не мешают математической логике
развиваться и успешно решать естественно возникающие в ней
проблемы, многие из которых оказываются существенными для
математики в целом.
Еще более важно обратить внимание на следующее. Уровень
строгости и весь образ мышления математической логики,
несомненно, не пригоден для чистой математики в целом, задачи которой
выходят за рамки логики, хотя на некоторые из них достижения
логики должны существенно повлиять; достаточно вспомнить,
например, выдающиеся результаты о неразрешимости13, полученные в
последнее время. И в то же время припоминается волнение и
крайнее недоумение слушателей на заседании Московского
математического общества во время доклада по математической логике, когда
докладчик заявил: «Все функции непрерывны». Позже, когда
выяснилось, что он имел в виду конструктивно определенные функции,
которые только и признаются конструктивной логикой, волнение
утихло. Подумать только, что стало бы с современной чистой
математикой, если бы из нее были исключены разрывные функции!
Подобным образом уровень строгости и весь образ мышления
чистой математики, как уже не раз говорилось (и не раз будет
повторено в дальнейшем), хотя и применяются в прикладной математике,
но не могут ее полностью удовлетворить. Даже когда задача
полностью сформулирована на чисто математическом языке,
проведение ее исследования на чисто дедуктивном уровне в подавляющем
большинстве случаев противоречит принципу оптимальности,
указанному в п. 1.7, а во многих случаях просто невозможно.
Поэтому математик-прикладник не только имеет право, но
обязан выбирать уровень строгости и образ мышления, адекватный ре-
54
шаемым им задачам и принципу оптимальности. Эти уровень
строгости и образ мышления определяются сочетанием дедуктивных и
рациональных рассуждений. К обсуждению последних мы
обратимся в следующем параграфе *.
11. Примеры. Первые три примера иллюстрируют различие
подходов к вопросу о существовании в чистой и прикладной математике.
Прежде чем перейти к их изложению, отметим следующее. До сих
пор говорилось о причинах, которые порой препятствуют
непосредственному применению «чистых» результатов в прикладной
математике. Вероятно, имеются и другие причины, хотя представляется,
что перечисленные пока главнейшие. Вместе с тем во многих
случаях «чистое» рассуждение удается перестроить так, что оно
становится приемлемым и для прикладной математики: скажем,
бесконечную конструкцию заменить на конечную, неэффективное
доказательство существования — на эффективное, конструктивное **. Хотя
получающиеся при этом решения могут оказаться далекими от
оптимальных — об этом нередко чистая математика не заботится —
но все же это уже решения, которые можно постараться улучшить,
а если это не получится, то все-таки это лучше, чем ничего.
Если же доказательство превратить в эффективное никак не удается,
то все-таки оно может послужить дополнительным стимулом к
эффективному построению решения (как-то приятней строить решение,
если доказано его существование), либа усилить уверенность в
правильности другой конструкции решения, полученной без
«чистого» обоснования***. Первые три из приводимых примеров как раз
и поясняют сказанное.
В качестве первого примера рассмотрим теорему о
промежуточном значении непрерывной функции: пусть на интервале а •< х •< Ь
задана непрерывная функция / (х), причем значения / (а) и / (Ь)
разного знака; тогда на этом интервале функция / (х) по крайней мере
один раз обращается в нуль, т. е. уравнение f (х) = 0 имеет по
крайней мере одно решение.
Стандартное доказательство этой теоремы существования таково.
Обозначим а0 = a, bn = b и допустим для определенности» что
/ (а) < 0, / (Ь) > 0. Положим затем
а, = а0, &1 = ^+^,если/(-^±^)>0,
ъ=-Н^ • *i=ь- если f (-Н^)< °
(если f (-Ц:—-) = 0, то значение х = —°~Г " искомое). Тогда
* По поводу роли математической строгости см. также [95].
** Доказательство существования некоторого объекта естественно называть
конструктивным в прикладном отношении, если из него вытекает точная или
приближенная конструкция этого объекта, применимая для некоторого разумного
класса реальных примеров.
*** На языке § 3 это означает, что «чистое» доказательство может служить
одним из рациональных доводов в защиту правильности решения.
55
на интервале [а^, Ьг], который составляет половину интервала [а0,
Ь0], вновь выполнены условия теоремы, и поэтому можно
построить интервал [а2, Ь2], увеличив все индексы в формулах (3) на 1.
Продолжая таким образом, мы получим бесконечную
последовательность вложенных друг в друга стягивающихся отрезков [а0, Ь0] г>
гэ [alt bx\ гэ [a2, b2] r>... Легко проверить, что для точки х = с,
общей для этих отрезков, будет / (с) = 0, что и требуется.
Это доказательство с «чистой» точки зрения является
неконструктивным, так как использует бесконечный процесс, элементы
которого заранее не заданы, они выясняются в ходе самого
процесса. Однако с прикладной точки зрения эта неконструктивность
мнимая, так как бессмысленно говорить о построении решения с
неограниченной точностью. Если же строить решение с заданной точностью
е > О, то результат, причем с двусторонней оценкой, получается
через ]og2 l(b — а)/г] шагов; например, при Ъ — а = \ решение с
точностью до Ю-10 получается через 33 шага.
Таким образом, приведенное доказательство с прикладным
видоизменением (решение строится с заданной точностью) можно
непосредственно применить для построения решения; этот метод
иногда называется методом проб. В доказательстве не рассматривался
вопрос о скорости сходимости процесса, этот вопрос в
формулировке теоремы отсутствует. Поэтому и полученная конструкция,
практически реализуемая и универсальная, по объему вычислительных
усилий далека от оптимальных — метода Ньютона и т. д.
Вторым примером, гораздо более пессимистичным в прикладном
отношении, будет служить теорема о достижении непрерывной
функцией наибольшего значения: пусть на интервале а <С х ■< b задана
непрерывная функция f (х); тогда на этом интервале найдется по
крайней мере одно значение х = с, для которого / (с) = max/ (x),
т. е. / (х) < f (с) (для любого л: £ [а, Ы). ачх^ь
Доказательство этой теоремы опирается на лемму о
существовании у всякого числового множества М, ограниченного сверху,
точной верхней грани supM *. Без ограничения общности можно
считать функцию f (х) ограниченной **. Обозначим а0 = a, b0 = b и
* Лемму, в свою очередь, можно доказать так: пусть на отрезке [р0, q0]
имеются точки М, причем все точки М расположены на (— оо, q0]; обозначим [plt q{\ =
»= \~^~п » 0о i если на последнем отрезке имеются точки М, и [plt <?i] — I Ро>
9 — в противном случае. При продолжении этого процесса получится
бесконечная последовательность вложенных друг в друга стягивающихся отрезков,
которая и определяет sup M. Обратите внимание на то, что это доказательство
сугубо неконструктивно, оно по существу сводится к бесконечной
последовательности применений принципа исключенного третьего.
** Если ограниченность непрерывной функции еще ие доказана, то можно
просто рассмотреть fx (х) — arctg / (х).'Функция )х (х) обязательно ограниченная
11 h (•*) I < ir) и имеет те же точки максимума, что / (х). Значит, если доказать
теорему для /i,.to она автоматически распростраияетси на /.
66
положим аг = ай, b1 = ~—9, если sup/(я) = sup / (х),
la0, (а„+Ь,)/2] [а0> b0| (4)
aj = ° ^ ", bx = Ь0, если sup f (х) < sup / (х).
z [a0, (a0-f b0)/2] [ao, b0]
Продолжая таким же образом, получим бесконечную
последовательность вложенных друг в друга стягивающихся отрезков, на
которых верхняя грань функции / (х) одинакова. Общая точка с
этих отрезков, как легко проверить, и будет искомой: попутно
доказана и ограниченность сверху функции f. (x).
Это, конечно, неэффективное доказательство существования.
Каждый его шаг определяется сравнением верхних граней функции/
на очередных интервалах, но ведь построение верхней грани было
неконструктивным, это было, собственно, не построение, а
доказательство существования. Кроме того, даже в случаях, когда верхняя грань
значений функции может определяться с удовлетворительной
точностью, условие вида (4) — равенство значений, определяемых
приближенно, не должно руководить ходом вычислений.
Ясно, что в рамках чистой математики не существует
универсального алгоритма, который бы за конечное, пусть даже не
ограниченное заранее, число шагов определял бы точку с или значение / (с) с
заданной точностью. В самом деле, теоретически, при любом
конечном числе заданных значений непрерывной функции, в промежутках
между ними возможны как угодно большие отклонения от этих
значений. Однако для прикладных задач так не должно быть,
наличие таких резких выпадений свидетельствовало бы о том, что
задача поставлена или исследуется неправильно. При правильной
постановке прикладной задачи функция должна достаточно хорошо
аппроксимироваться сетью ее значений на разумно густом конечном
множестве значений аргумента; при этом аппроксимируется и
верхняя грань функции. ;
Но если идти по пути вычисления значений функции на
достаточно густой сетке значений аргумента, то нет смысла заниматься
последовательным делением отрезка [а, Ь] пополам; достаточно,
например, при постоянном шаге сетки сравнивать f0 = / (а) с / (а +
-f h); fx = max {/„, / (а + h)} с / (а + 2ft) и т. д. до / (а + nh) =
= /(6) \h=-^). Некоторым аналогом процесса деления,
направленным на уменьшение объема вычислений, может служить
такой прием: сначала значения сравниваются на более грубой сетке
(но все же достаточно мелкой, чтобы не проглядеть «гору»), после
чего сетка измельчается только вблизи нескольких узлов, для которых
значения функции оказались относительно большими. Впрочем и
такой метод в большинстве реальных задач далек от оптимального.
Приведенное доказательство теоремы о максимуме в принципе не
меняется при переходе к функциям любого конечного числа т
аргументов, заданным на произвольном замкнутом ограниченном мно-
67
жестве; при этом на каждом шаге множество делится на 2т частей с
помощью (т — 1)-мерных гиперплоскостей параллельных
координатным. Однако указанная попытка конструктивной реализации
этой теории существенно зависит от т, так как при измельчении
интервала изменения каждого аргумента в п раз теперь приходится
вычислять и сравнивать значения функции, количество которых
может достигать (п + 1)т- Это даже при небольших т > 1
существенно ограничивает возможные значения п и тем самым повышает
вероятность того, что «гора» будет пропущена; а при больших т,
скажем при т = 8 ~- 10, метод совершенно отказывает *.
Поэтому в реальных задачах на максимум функции нескольких
аргументов применяются принципиально иные методы, которых мы здесь
ле будем касаться (см. по этому поводу, например, интересную книгу
А. А. Первозванского [96], где в
элементарной, но четкой форме
обсуждается специфика
прикладных методов поиска наибольших
значений функций). Отметим
только, что и они иногда отказывают
при больших т.
Возможно, что здесь отчасти
виновато неправомерное перенесение
постановки задачи «Дана функция,
найти ее максимум» из чистой математики в прикладную. При
доказательстве теоремы существования задачу можно ставить в
максимальной общности, тогда как для прикладного конструирования
нужно выяснять, для каких именно классов функций ставится
такая задача, и для каждого из этих классов строить свой
метод **. В какой-то мере этот прикладной подход реализуют теории
линейного программирования, выпуклого программирования и т. д.
В качестве третьего (вопиюще пессимистического) примера,
заимствованного из книги [85], рассмотрим игру в «гекс». В нее
играют два человека с помощью белой ромбической доски, составленной
из правильных шестиугольников (рис. 1), и большого числа фишек,
имеющих вид таких же шестиугольников, причем некоторые из
фишек черные, а другие — полосатые. Играющие по очереди
накрывают фишками произвольные свободные поля доски, по одному
полю за ход, причем один из игроков пользуется только черными
фишками, а другой — только полосатыми. Выигравшим
считается тот, что первым проложит связную цепочку из фишек между
сторонами доски, одноименными его фишкам (на рис. 1 выиграли
черные). Нетрудно видеть, что вся игра продолжается не более k2
полуходов, где k — число шестиугольников в одной стороне доски
* Да и при небольших т неоптимальность метода сильно сказывается.
** Роль ограниченно применимых алгоритмов, использующих конкретные
особенности классов, возникающих в приложениях задач для сложных систем,
особенно сильно подчеркнута в книге Лэсдона [97].
58
(обычно принимается, как на рис. 1, k = 11), причем обязательно
заканчивается выигрышем одного из игроков.
Дж. Нэш, один из изобретателей этой игры, доказал, что игрок,
начинающий первым, должен выиграть: точнее, существует по
крайней мере одна стратегия, придерживаясь которой, первый
игрок обязательно выигрывает; такая стратегия включает
однозначное указание первого хода и однозначное правило ответа на любой
последующий ход противника при любом уже возникшем
положении. Здесь будет приведена схема этого доказательства,
замечательного как по своему остроумию, так и по полной невозможности
извлечь из него какие-либо указания о том, как все-таки надо играть
на выигрыш. Теорема Нэша — это чиста я теорема
существования!
Доказательство осуществляется от противного. Отсутствие
выигрышной стратегии у первого игрока означает, что как бы он ни
ставил фишки, второй игрок может уйти от поражения. Но так как игра
обязательно заканчивается' чьим-то выигрышем, то это означает,
что второй игрок обладает по крайней мере одной выигрышной
стратегией. Выберем одну из таких стратегий и допустим, что первый
игрок поступает следующим образом: первую фишку он ставит
произвольно, а затем отвечает по выбранной стратегии, считая с е -
б я вторым игроком и не обращая внимания на первую фишку;
так продолжается либо до тех пор, пока он не выиграет, либо пока
по стратегии ему не потребуется поставить фишку на место, занятое
первым ходом; тогда он делает второй произвольный ход и далее
отвечает по стратегии, не обращая внимания на этот ход, пока он не
выиграет, либо пока ему не придется пойти на место, занятое этим
ходом; тогда он делает третий произвольный ход и т. д. Если первый
игрок будет пользоваться этими правилами, то (как бы ни играл
второй!) после каждого его хода на доске будет такая картина, как
будто о н играет вторым по выбранной стратегии да еще имеет где-
то на доске лишнюю фишку. Поэтому, по предположению о
стратегии, второй (в стратегии он называется первым) не может на своем
ходе закончить игру. Итак, описанная стратегия для первого
игрока является выигрышной, что противоречит предположению об
отсутствии таковых. Теорема доказана. -; |
В конструктивном отношении это доказательство вряд ли дает
что-либо сверх утверждения, что если мы переберем все стратегии
первого игрока,— а их, очевидно, имеется формально лишь конечное
число,— то мы обязательно наткнемся на выигрышную. Однако
попробуем оценить снизу число всех этих стратегий, приняв, как
на рис. 1, k = 11. Стратегия должна содержать прежде всего
указание первого хода, которых может быть столько, сколько полей на
доске, т. е. 121. Далее в стратегию должно войти указание об
ответе на любой из 120 первых ходов партнера; так как таких ответов
может быть 119, то получается всего 119120 комбинаций. Продолжая
таким образом, мы видим, что имеется ровно
Q== 121 - 119120- 117118 ... 101102
59
возможных указаний первому игроку о его поведении на
протяжении первых 11 ходов. Далее подсчет числа стратегий усложняется,
так как за 11 ходов партия может быть закончена; во всяком случае
ясно, что общее число стратегий существенно больше Q. Однако уже
О > 1001+120+118+'' '+102 = 102222
т. е. получается практическая бесконечность (см. п. 4). Поэтому нет
ничего удивительного в том, что косвенное доказательство
существования выигрышной стратегии, основанное на приведении
противоположного утверждения к противоречию, не дало никакого
конструктивного результата. Конечно, можно было надеяться, что
доказательство даст какой-то намек на рациональную стратегию, но и
эта надежда не оправдывается *.
Следующие два примера — четвертый и пятый — относятся к
вопросу о трактовке некоторых «чистых» общих результатов в
применении к прикладной математике.
В качестве четвертого примера рассмотрим соотношение между
теоремой Пуанкаре о возвращении и вторым законом термодинамики
(см., например, [98, гл. 1]). Пусть в замкнутом сосуде находится
некоторая порция газа, состоящая из весьма большого числа N
одинаковых молекул. Если внешние воздействия отсутствуют, то
независимо от начального состояния газа через некоторое время в нем
установится статистическое равновесие, при котором все молекулы
будут с точностью до флуктуации иметь одинаковую скорость,
определяющую температуру газа. В процессе дальнейшей
эволюции не может получиться так, что в одной части сосуда соберутся
молекулы с высокой скоростью, а в другой — с низкой скоростью:
это противоречило бы второму закону термодинамики о
невозможности убывания энтропии, а также и здравому смыслу, так как в
противном случае можно было бы вскипятить чайник на холодной плите.
Но к описанной ситуации возможен иной подход. Состояние
рассматриваемой системы можно изобразить точкой в бЛ^-мерном
фазовом пространстве координат и импульсов; эта точка движется во
времени t в соответствии с изменением состояния системы, т. е. ее
координат и импульсов. Однако для гамильтоновых систем, какой
является и наша система, известна теорема Пуанкаре, согласно
которой изображающая точка при t -*■ со будет вновь и вновь
пересекать как угодно малую окрестность своего начального положения.
Таким образом, если в начальный момент молекулы с высокой и с
* Интересно представить себе, что произошло бы, например, с шахматами,
если бы было получено аналогичное неэффективное доказательство существования
выигрышной стратегии у играющего белыми (или черными) фигурами. Скорее
всего — ничего бы не произошло.
Впрочем, есть игры, для которых выигрышная стратегия строится
эффективно. Пусть, например, два игрока по очереди выкладывают иа свободные поля
доски рис. 1 от 1 до 4 фишек, причем проигравшим считается тот, который накроет
последнее поле. Тогда игрок, начинающий вторым, имеет выигрышную стратегию,
состоящую в следующем: если первый игрок в каком-то ходе выкладывает k
фишек, то второй в ответном ходе выкладывает 5 — k фишек. Вряд ли такие игры
интересны.
60
низкой скоростями были разделены (так могло быть, если в
начальный момент из сосуда убрали перегородку, разделявшую две порции
газа, обладающие разной температурой), то и в дальнейшем, уже
после выравнивания температуры, будут моменты, когда порции
газа с разной температурой вновь разделятся. Но это явно
противоречит законам термодинамики!
Разгадка этого кажущегося противоречия состоит в уточнении
того, какими получаются эти моменты повторного разделения
порций газа. В [82, § XIII.4] рассмотрена по аналогичному поводу
следующая модельная задача. Пусть имеется колода из 1012 карт,
половина которых красные, а другая половина — черные. Какова
вероятность того, что после добросовестного их тасования средняя
плотность красных карт в первых 1010 картах больше чем на 1%
превысит среднюю плотность их во всей колоде, равную 0,5?
Простой подсчет показывает, что искомая вероятность приближенно
равна ю-200000. Таким образом, можно быть уверенным, что если
колода тасуется и проверяется миллиарды раз в секунду в течение всего
времени существования Вселенной, то описанное повышение средней
плотности красных карт в первой части колоды ни разу не
представится. Что касается исходной задачи с газом, то при любых
макроскопически заметных порциях газа вероятность описанного выше
разделения молекул оказывается еще меньше. Поэтому время, нуж--
ное для ожидания этого разделения, будет практически
бесконечностью (п. 4), т. е. на самом деле разделения не будет никогда.
Таким образом, теорема Пуанкаре в статистической механике
неприменима, она приводит к практически неверным качественным
выводам. По этой и аналогичным причинам адекватность описания
таких статистических объектов, как, например, газ, с помощью
изображающей точки в фазовом пространстве представляется
сомнительной.
Последний, пятый, пример будет совсем иного рода, он будет
иллюстрировать положение п. 7 о том, что каждое значение
непрерывной переменной служит представителем некоторого исчезающе
малого интервала ее значений. Именно, рассмотрим вопрос о
применимости теоремы о непрерывной зависимости решения дифференциального
уравнения от начальных данных к неустойчивому состоянию
равновесия, для определенности — к положению математического
маятника над точкой подвеса.
Как известно, уравнение колебаний такого маятника имеет вид
/q> + gsinq> = 0, (5)
где / — длина маятника; ф — угол его отклонения от вертикали;
g — ускорение силы тяжести; силой трения пренебрегаем. При
начальном условии ф|*=о ■= я, ф|<=о = 0 уравнение (5) имеет
решение ф (t) = я; это и есть верхнее положение равновесия маятника.
Так как никакое начальное условие не может реализоваться
совершенно точно, то фактическим начальным условием служит
Ф \ьто = п + ах, ф |<»0 = а2,
61
где J сбА J и 1 сь21 малы. Из теоремы о непрерывной зависимости
решения дифференциального уравнения от начальных данных вытекает,
что для любого фиксированного интервала времени 0 •< t •< Т при
достаточно малых |а1| и |а21 и отклонение | ф (t) — я | будет' как
угодно малым, т. е. можно считать, что падения еще не произошло.
Но насколько малыми для этого должны быть | ах | и | а21 ?
Приведем примерный расчет. Положим для простоты а2 = 0,
выберем в качестве характерного времени t0 время свободного падения
тела без начальной скорости из верхнего положения в нижнее, т. е.
и подсчитаем границу для \а,1\, при
соблюдении которой маятник за
время 10 t0 отклонится от вертикального
положения не больше чем на я/10*.
Для небольших значений ф — я
уравнение (5) можно линеаризовать, что
при а2 = 0 приводит к решению
t/(t)
У//////У////7///////////////////////////////.
Рис. 2.
я
То'
t
Ф = я + at ch ]/ -j-
10 t0, получим
t.
Y-10
-^-e~M = 3 • 10~'u pad = 0,00007".
Подставляя ф = я -j- ■
я 1
ai = -ГО" ' ~2
Ясно, что ни в каком разумном устройстве такая точность не
может осуществиться. В этом смысле упомянутая теорема о
непрерывной зависимости на достаточно длительном интервале времени
неприменима, а потому неустойчивое состояние равновесия на
таком формально конечном интервале нереализуемо.
Этот результат становится еще более эффектным, если
увеличить Т, например, если принять Т = 100 t0 (этот срок можно
условно назвать словами «очень долго»). Тогда оценка для аг вообще
теряет всякий реальный смысл. Итак, утверждение о том, что с
помощью уменьшения | аг \ можно растянуть время падения как
угодно далеко, не только не имеет практической ценности, но более того,
оно практически неверно.
Как это ни странно, многие авторы в своих рассуждениях
забывают о подобных формальных и реальных оценках значений
параметров. В качестве яркого примера рассмотрим известное
доказательство того, что если на платформе поезда поставлен математический
маятник, расположенный выше точки закрепления (рис. 2), то при
любом заданном законе движения v (t) между стартом и финишем
существует целый интервал начальных положений маятника, для
которых он не упадет за все время движения (см. [28, с. 421—423]).
* Как упоминалось уже в конце п. 3, число 10 служит привычным условным
множителем для перехода к величинам «следующего порядка»; таким образом,
неравенство Т > t0 можно условно принять в данной задаче за эквивалент
понятия «долго».
62
Здесь рассуждают так: примем, что, когда маятник принимает
горизонтальное положение, т. е. при о|з = 0 или ар = л, он как бьг
прилипает к платформе и больше от нее не отделяется. Тогда
нетрудно проверить, что положение ар (Т) маятника (рис. 2) в момент
финиша непрерывно зависит от его начального положения ар (0). Но для-
ар (0) = 0 (=л) будет ар (Г) = 0 (= я). Поэтому, применяя к
зависимости ар (Г) от ар (0) теорему о промежуточном значении
непрерывной функции, мы получаем, что для некоторого гр (0) будет гр (7") =
= -J-, потому и для всех близких ар (0) будет 0 < гр (Г) < я,
откуда сразу следует, что 0 < гр (t) •< л (0 •< t •< Т).
Однако формальная оценка ширины упомянутого интервала
значений гр (0), аналогичная приведенной выше оценке для а1(
показывает, что реальное попадание в него полностью невозможно, так
что ни о каком реальном существовании описанного
балансирования не может быть и речи. Вопреки классической теории
дифференциальных уравнений реальная зависимость op (T) от
ар (0) р а з р ы в н а, так как в описанных условиях Т надо
моделировать как математическую бесконечность. Думается, что
правильное описание возможных движений маятника таково: между
интервалами значений гр (0), при которых маятник упадет направо
(налево) имеется интервал неопределенности, положение которого-
может быть предсказано с большей или меньшей точностью по
ускорениям платформы впервые секунды ее движения.
Рассмотренный пример с неустойчивым положением
математического маятника интересен еще в следующем отношении. Одно время
велись споры по поводу применимости результатов теории
устойчивости Ляпунова к задачам практики из-за того, что в этой теории
основное определение использует бесконечно большой интервал
времени и бесконечно малые начальные возмущения, тогда как «на
практике все величины конечны». Однако на разобранном примере,
а он является типичным, мы видим, что эти опасения не очень
существенны. В самом деле, при как угодно малых, но реальных
начальных возмущениях отклонение решения от положения равновесия
приняло конечные, не малые значения не только на бесконечном
интервале времени, но и просто на интервале, длительном по сравнению
с характерным временем. Другими словами, в реальной задаче
бесконечный интервал теории устойчивости — это и есть интервал,
длительный по сравнению с характерным временем, а бесконечно
малые начальные возмущения — это возмущения, малые по
сравнению с характерными изменениями координат системы. Можно
сказать также, что при правильной схематизации * реальное
понятие устойчивости относительно начальных возмущений, как правило,
совпадает с понятием устойчивости по Ляпунову. Конечно, это
утверждение носит рациональный характер (§ 3), но в грубых
случаях оно имеет высокую степень достоверности.
* К роли правильной схематизации в подобных вопросах мы вернемся в
§11.1.
63-
В связи со сказанным упомянем еще о так называемой проблеме
захвата в небесной механике. Эта проблема состоит в выяснении
возможности такого движения системы п >- 3 материальных точек,
испытывающих только силы взаимного притяжения, что при t ->
-> со координаты всех или некоторых из этих точек были бы
неограниченными, тогда как при t0 < t < со все эти точки
содержались бы внутри фиксированной сферы S. Примеры возможности
такого захвата построены, и из них делаются важные качественные
космогонические выводы. Однако известно (см., например, [84,
с. 1451), что захват может быть только для начальных условий,
образующих в фазовом пространстве множество нулевой меры. А ,так
как любые начальные условия могут реализоваться лишь
приближенно, то и «захват» реально будет иметь вид лишь длительного
пребывания системы внутри S. Думается, что из-за этого любые
космогонические выводы не могут делаться без оценки хотя бы на
рациональном уровне этого интервала времени и возможного влияния
возмущений.
Приведенные примеры лишь частично иллюстрируют изложенное
в настоящем параграфе. Мы убеждены, что квалифицированный
читатель может привести большое число, быть можег, гораздо более
ярких иллюстраций из области своей конкретной деятельности.
12. Еще цитаты. В заключение параграфа приведем высказывания
различных авторов, непосредственно примыкающие к изложенному материалу, в
основном к материалу пп. 8—10 (и частично к § 3).
X. Розенброк и С. Стори, говоря о математическом решении прикладных
аадач, в своей полезной книге [99, с. 29—30] пишут: «Инженер или математик
прежде всего должен помнить, что он использует математику для описания
реального мира. Чистый математик никогда не делает этого, а этому искусству
учат редко. Любая последовательность математических символов, которую
записывает математик-прикладник, является в действительности
последовательностью физических утверждении. Если бы утверждение было на английском
языке, то автор серьезно рассматривал бы, верно оно нли нет. Он должен быть
таким же скрупулезным в проверке справедливости утверждения, которое он
сделал в математических символах.
Главное в данном случае (и оно же является источником больших трудностей)
то, что математик-теоретик начинает с формулировки задачи, которую он потом
не подвергает сомнению. Его единственной целью на протяжении последующих
манипуляций явлиется обоснование своих аргументов. Ни одну важную задачу
в технике нельзя поставить таким образом. Любое формулирование технической
задачи является условным, н если некоторое следствие формулировки задачи
неверно или неприемлемо, то задача должна быть переформулирована. Если любой
промежуточный шаг в математической аргументации отображает физически
неверное положение, то результат, полученный с помощью строгих рассуждений из,
по-видимому, обоснованной точки зрения, будет тем не менее ошибочным.
Математик-прикладиик, следовательно, должен учитывать как
математическую, так и физическую сторону задачи, свизывая одну с другой. Каждая
возникающая математическая трудность должна вызывать подозрение—свойственна
ли она физике, или вызвана ошибкой в формулировании, или просто является
математической трудностью, которую можно избежать другой формулировкой?»
Д. Хорафас [17, с. 13]: «В самом широком плане математику можно
разделить на две области. Ученые, работающие в одной из них, имеют дело с
символами, их комбинациями и свойствами в формализованном виде. Математики,
ведущие исследования в другой области, интересуются значением символов, т. е.
смысловым содержанием теории, связанной с реальным миром». Это и есть схема-
64
тическое определение чистой и прикладной математики. Мы бы добавили, что при
этом здесь дело не в области приложений: прикладная математика изучает
методы привлечения неформальных соображений к решению формализованных задач,
а конкретной областью приложений определяются классы этих задач и этих
соображений. Было бы- интересно провести сравнительный в этом отношении
анализ различных областей приложения математики (механики, физики, химии,
техники, биологии, экономики и т. д.). При этом выявятся как специфика этих
областей, так и то общее, что характерно для приложения к иим математики.
М. Кац и С. Улам [13, с. 167—168]: «Некоторые из современников Хевисай-
да критиковали его за использование формальных приемов без ясного понимания
их содержания и смысла. Говорят, что в ответ своим критикам Хевисайд как-то
сказал: «Должен ли я отказаться от хорошего обеда лишь потому, что ие понимаю
процессов пищеварения?» Подобным образом можно было бы критиковать
шестиклассника, который учится пользоваться дробями, ие понимая лежащей в основе
теории.
Мы остановились на этом потому, что здесь хорошо видна одна из сильных
(надо было бы сказать «ведущих» и т. п.— Авт.) тенденций современной
математики: игнорировать и отвергать все, что не формализовано логически. Именно эта
тенденция (начинающая проникать в начальное и среднее обучение) в большой
степени ответственна за растущее отделение математики от физики. Физик,
применяющий математические методы, вполне"может положиться иа внутреннюю
согласованность своих построений и, что самое важное, на совпадение полученных
результатов с экспериментом. Подобно шестикласснику, он будет рад воспользо-'
ваться рациональными числами, ие зиая во всех подробностях, как их можно
объединить в формальную систему ,и .подобно Хевисайду, будет счастлив жонглировать
операторами, ие дожидаясь, когда логика даст ему разрешение на это». Кстати,
именно Хевнсайду удалось иайти решения практически важных задач в
случаях, когда применить логически полностью обоснованную в то время методику
оказалось затруднительно. Позже аналогичная истории произошла с
обобщенными функциями (п. 6), которые физики ввели и начали использовать раньше, чем
математики дали им формально совершенное обоснование.
Г. Ваи Трис пишет в предисловии к своей книге [100, с. 11—12]: «Уровень
математической строгостн книги невысок, хотя в большинстве разделов полученные
результаты могут быть доказаны и строго, если мы будем просто более скрупу-
лезньГв иаших выкладках. Мы намеренно лриняли такой подход с тем, чтобы
обилием деталей не обременять существенные идеи и сделать материал
удобочитаемым для той инженерной аудитории, которая найдет его полезным. К счастью,
почти во всех случаях мы можем удостовериться, что наши выводы являются
интуитивно логичными. Следует заметить, что эта способность проверять выводы
интуитивно была бы необходима, даже если бы выкладки были весьма строгими,
поскольку наша конечная цель — получить ответ, который соответствует
некоторой рассматриваемой физической системе. Не представляет труда найти
физические задачи, в которых правдоподобная (но неадекватная, см. § II.1.— Авт.)
математическая модель и корректные математические методы приводят к
нереалистическому решению исходной задачи».
Л. де Бройль [101, с. 326]: «Математический язык является чисто дедуктивным,
он позволяет строго выводить следствия из посылок. Эта строгость, являющаяся
его силой, является также его слабостью, поскольку она замыкает его в круг,
за пределы которого он не может выйти. Математическое рассуждение должно
установить следствия, которые уже содержатся в посылках, не будучи еще
очевидными; следовательно, оно не может дать в своих выводах ничего более того, что
содержится неявно в исходных гипотезах... Итак, не чистые дедукции, а
смелые индукции и оригинальные представления являются источниками высокого
прогресса науки».
X. Розенброк и С. Стори [99, с. 17, 31 и 41 ]: «Мы не против математической
строгости и, признавая, что математика имеет свои собственные внутренние
законы развития, возражаем против позиции, которая концентрирует внимание на
математических тонкостях, возникающих при постановке задачи и несущественных
в определенном смысле, и в то же время игнорирует действительные трудности».
«Инженер должен не гнаться за строгостью как вещью в себе и избегать большой
5 6-20
65
борьбы за общность и краткость. Слишком общая формулировка обычно сводит
решение к задаче, менее легкой и менее полезной. Краткость (или «элегантность»
это хорошо, однако часто она получается только за счет искусственности».
«Инженер... не позволяет ставить в один ряд все те проблемы, которые представляют
какой-либо интерес. Математические выкладки оправдываются в его глазах
нх практическим успехом таким же образом, как и физические теории, к
которым эта математика применяется. Вследствие этого различия в подходе
аксиоматический метод мало привлекателен для инженера. Он соглашается признать,
что 2+2 = 4, потому что это приводит к полезным результатам, и не чувствует
необходимости доказывать это утверждение с помощью ряда менее очевидных
аксиом. В то же время не возражает против введения новых фактов в задачу по мере
решения. Если новый факт верен, то он не может быть источником ошибок в
результате».
Аналогичные мысли высказал Н. Бейли [58, с. 144] в связи с приложениями
математики к биологии: «Вполне возможно, что для решения уравнений нужны
некоторые дополнительные условия или допущения, либо их трудно решить
имеиио в той форме, в какой они представлены. В этом случае математик может
ввести дополнительные ограничения или произвести некоторые изменения,
позволяющие решить эти уравнения. Но может оказаться, что произведенные им
изменения не соответствуют духу первоначальной биологической задачи, и в
результате будет затрачено много сил иа сложные, но бесполезные математические
расчеты в поисках точного решения ошибочной задачи. Для того чтобы математик
узнал, что именно в конечном счете допустимо с точки зрения биологии, ои
должен проявить интерес к самой биологической задаче и познакомиться с ней во всех
деталях».
В своей эмоциональной речи на конференции Американской ассоциации
экономистов президент этой ассоциации В. Леонтьев, говоря о резко возросшем
увлечении формальными схемами экономики, в частности, сказал [102]:
«Некритическое увлечение математическими формулами часто ведет к тому, что за
внушительным фронтом алгебраических символов скрываются положения
легковесные с точки зрения сущности предмета». Он приводит слова одного из недавних
президентов Общества эконометриков: «...есть что-то скандальное в зрелище,
которое представляет такое большое количество людей, занятых оттачиванием
анализа экономических ситуаций, относительно которых у них нет никаких
оснований полагать, что они когда-либо будут иметь место в действительности... Это
неудовлетворительное состояние дел, в котором есть даже что-то бесчестное». И
добавляет: «Увлеченность воображаемой, а не данной в наблюдениях реальностью
привела к искажению неофициальной шкалы ценностей, по которой в наших
академических кругах оценивают научные достижения. Эмпирический анализ
оценивается теперь ниже, чем формальное математическое доказательство... И все это
происходит, несмотря иа то, что в очень многих случаях сложный статистический
анализ осуществляется иа базе массива данных, точное значение и надежность
которых неизвестны автору или, напротив, так хорошо известны, что в самом
конце он предупреждает читателя не принимать всерьез фактическую сторону
выводов данного «упражнения» ... не удивительно, что экономисты младшего поколения,
особенно те, которые заняты преподавательской деятельностью и теоретическими
исследованиями, по-видимому, вполне удовлетворены нынешним состоянием
дел: они могут демонстрировать свою доблесть (и, между прочим, делать карьеру),
создавая все более сложные математические модели и изобретая все более
изощренные методы статистических преобразований, совершенно не принимая участия
в эмпирических исследованиях. Время от времени раздаются жалобы на отсутствие
необходимых первичных данных, но в них не заметно особой тревоги».
В. В. Налимов [21, с. 195]: «За рубежом нередко кафедры математической
статистики занимают ученые, хорошо подготовленные в области математики, но
не имеющие вкуса к эксперименту. Им нужно как-то проявить свою деятельность.
Нужно давать темы для дипломных и диссертационных работ. Появляются
проблемы, сформулированные в терминах прикладных задач, ио в действительности
ие имеющие прикладного значения. Разработка этих проблем требует высокого
математического мастерства и может служить хорошим основанием для
поддержания престижа на высоком уровне. Однако найденные решения не имеют боль-
66
шой ценности с позиций математики, так как оии иосят очень частный характер.
Их пытаются представить как глубокую теоретическую разработку практически
важной проблемы. Но на самом деле они ие имеют прикладного значения из-за
нереалистичное™ в постановке задачи. Так возникает ненужная теоретизацня».
М- Кац н С. Улам[13, с. 210—211]: «Никакая из рассматривающихся до енх
пор формальных систем не дает адекватного воплощения того представления о
бесконечном, которого бессознательно придерживаются математики: можно даже
отважиться на гипотезу, что такая формальная система вообще невозможна».
«Работа над основаниями всей математики в целом привела к
отрицательному результату, нбо она выявила слабые стороны аксиоматического
метода. (Мы бы не сказали, что это отрицательный результат.— Авт.) В теории
множеста она породила серьезные сомнения в существовании формальных систем,
способных дать такое описание, которое отвечало бы представлению математика
о множествах». Противопоставляя этому конструктивные результаты работы над
основаниями геометрии, Кац и Улам заключают: «Чрудио избежать искушения
и не сделать из этого вывод, что существует какое-то неопределяемое глубокое
различие между проблемой аксиоматизации отдельной ветви математики,
обязанной своим происхождением внешним стимулам, и проблемой
аксиоматизации внутренних процессов мышления». ,
С. А. Яновская [89, с. 249]: «...математическая, или логическая, «строгость»
с'ама по себе отнюдь не является еще гарантией истинности н надежности
науки. Нетрудно привести примеры, где строгая последовательность выводов
могла принести — н действительно принесла — только вред прогрессивному
развитию науки».
В. В. Налимов [8]: «Если математика в прикладных задачах выступает в роли
языка, то математические структуры этого языка естественно рассматривать как
грамматику этого языка. Можно задать вопрос — нужно ли хорошо знать
грамматику тому, что хочет воспользоваться языком в чнсто прагматических целях?
По-видимому, не нужно, вс всяком случае, на обыденном языке можно
разговаривать, ие зная его грамматики».
Дж. Коул [103, с. 9]: «Настоящая книга написана в основном с точки зрения
математнка-прнкладника: внимание в ней в значительно большей степени уделено
выявлению основополагающих идей теории возмущений, чем вопросам
математической строгости; при этом использовались самые разнообразные средства. В
частности, для выяснения существа различных вопросов часто приходилось обращаться
к физическим рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить задачу
и найти нужные приближения».
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
1. Понятие рационального рассуждения. Примеры рациональных
рассуждений и их особенности. Основной водораздел между
теоретической и прикладной математикой лежит в характере применяемой
логики. Хотя логика прикладной математики не является такой же
канонизированной, как логика чистой математики, она имеет
некоторые стихийно установившиеся черты — способы доказательств,
критерии достоверности и т. д.; при этом аналогичные способы и
критерии, известные в теоретической математике, в приложениях
зачастую оказываются лишними или попросту отказывают. Мы уже
говорили о том, что прикладная математика, как, впрочем, и все
дисциплины за исключением чистой математики, не может
ограничиваться только дедуктивными рассуждениями. Стихийно
выработался стиль рассуждений, который составляет логическую основу
прикладной математики и состоит в сочетании дедуктивных рассуждений
и рассуждений, неприемлемых с точки зрения чистой математики, но
5*
67
€пособных при разумном их применении приводить к правильным
результатам. Рассуждения этого последнего типа, примеры
которых уже приводились во Введении, ниже будут называться
рациональными. (Впрочем, подобно тому как, например, покой можно
считать особым видом движения, так и мы во многих случаях без особой
оговорки будем считать дедуктивные рассуждения особым,
предельным, случаем рациональных.)
Таким образом, содержание этого понятия близко к тому,
которое в статье [2] вкладывалось в термин «правдоподобные
рассуждения», заимствованный из книги Д. Пойа [7], с которой у нас будет
целый ряд точек соприкосновения (впрочем, книга Пойа в отличие
от нашей нацелена, в первую очередь, на анализ процесса открытия
в области чистой математики). Как показало обсуждение [3]
упомянутой статьи, многие участники дискуссии сочли неудачным сам
термин «правдоподобное», который на русском языке в сочетании со
словом «рассуждение» приобретает оттенок лживости. Поэтому мы сочли
целесообразным изменить терминологию *. Новый термин взят из
книги [56, с. 276], где он, правда, понимается в более узком смысле:
рациональность по [56] должна иметь высокую степень
достоверности (см. ниже). Соответственно мы будем говорить о рациональных
определениях, утверждениях, доказательствах и т. п. По отношению
к утверждениям на равных правах со словом «рациональное» будет
употребляться термин «правдоподобное», что вполне отвечает и его
житейскому смыслу; об этом мы еще скажем позднее.
Отметим сразу же, что одна из важнейших особенностей
рациональных рассуждении, отличающих их от чисто дедуктивных,
состоит в том, что первые могут включать понятия, которые с точки
зрения чистой математики не являются точно, однозначно
определенными. Содержание и границы рационального понятия могут
уточняться в ходе рассуждений, они могут быть для разных людей и
в разное время несколько различными, причем допускаемая степень
различия зависит от области, к которой относится это понятие **.
Утверждение «сейчас хорошая погода», произнесенное неким
человеком в какой-то момент, является лишь рациональным. В самом
деле, допустим, что он говорит искренне. Кое-что в утверждении
подразумевается, например не указано место, но не будем обращать
на это внимание. Однако отметим, что понятие «сейчас» является
расплывчатым (уже произнесение утверждения требует некоторого
времени), а понятие «погода» не вполне точным. И, конечно, самое
уязвимое понятие в данном предложении — это «хорошая» погода,
так как во многих случаях оценки погоды разными людьми
существенно различаются. Однако эти замечания и другие возможные при-
* Близкий смысл имеет термин «эвристическое рассуждение», широко
распространившийся в последние годы, хотя разные авторы вкладывают в него
несколько различнее содержание.
** В интересной, хотя и во многом спорной статье Ю. А. Шрейдера [104J
подобные понятия называются размытыми; автср специально останавливается
на правомерности применения таких понятий в науке.
68
дирки не мешают тому, чтобы считать утверждение правильным и
извлекать из него те или иные полезные выводы, так как подобные
утверждения всегда воспринимаются с учетом возможных поправок
на расплывчатость и субъективность оценок.
Вспоминается, как после одного из докладов в МГУ Р. Беллман
в ответ на вопрос: «Может ли машина мыслить?» — написал это
предложение на доске, а затем сказал, что в нем вполне
определенным и понятным является только знак «?». Это типично
рациональная постановка проблемы, решение которой существенно зависит
от разумного уточнения участвующих в ней понятий.
Можно привести много примеров эффективности предложений,
включающих неточно определенные понятия, даже в сочинениях
математического характера. Вот типичный пример, взятый из уже
упоминавшейся книги Р. Хемминга [1, с. 353]. Сравнивая
различные методы численного нахождения нулей функции, автор
указывает, что это сравнение иллюстрирует «несколько неопределенный
общий принцип: чем тоньше метод и чем лучше он кажется, тем
хуже он может повести себя в случае осложнений с функцией». Ясно,
что это рациональный принцип. Конечно, можно было бы попытаться
перейти к дедуктивной формулировке этого принципа, выбрав
какую-либо точно определенную область его применения. Однако при
этом сфера действия принципа оказалась бы весьма суженной, а
сама формулировка — громоздкой и ненаглядной. К счастью, такое
уточнение и не требуется, так как целью формулировки принципа
является формирование правильной вычислительной интуиции, а
для этого наглядная рациональная формулировка несравненно
предпочтительнее ненаглядной дедуктивной.
По необходимости рациональными являются определения,
относящиеся к неформальным объектам. Вот типичный пример [105,
с. 152]: «Совокупность свойств, характеризующих полезные функции
системы, будем называть ее качеством... Система будет эффективной
только в том случае, если качество, заложенное в ее
проектирование, будет сохраняться в течение всего времени, установленного для
эксплуатации системы. В понятие эксплуатации мы включаем не
только полезное функционирование системы, но и всю совокупность
операций над нею, начиная от изготовления и кончая демонтажом и
сносом. Качество может быть утрачено не только во время
функционирования, но и, например, при возведении или транспортировании».
С формальной точки зрения подобные определения и формулировки,
включающие не определенные ранее понятия, недопустимы. Но ясно,
что попытки формального определения понятий «полезной функции»,
«сноса» и т. п. могли бы привести только к псевдонаучной игре в
слова, не влекущей за собой никаких полезных выводов *.
* В книге Н. Н. Моисеева [106], специально посвященной оптимальным
системам, говорится (стр. 10—11): «В технике возник термин «оптимальные системы».
Это очень расплывчатое понятие, которое не имеет еще четкого математического
содержания. Однако когда инженеры говорят о конструировании оптимальных
систем, то всем более или менее ясно, что это означает. Это означает, что на разных
69
Упомянутые определения и утверждения говорят о
рациональной структуре, связывающей рациональные понятия, поэтому
любые полезные разъяснения и уточнения также, естественно, имеют
рациональный характер. При таком уточнении весьма
существенным оказывается то, что каждое рациональное понятие включает не
только то, что о нем уже было сказано, но и то, что за ним р е а л ь-
н о скрывается.
Несомненно рациональным является и приведенное в начале
параграфа само определение рационального рассуждения из-за
отсутствия (и нецелесообразности) формального определения
понятия «способность», «разумное» применение и, конечно, «правильный»
результат. Рациональным является подавляющее большинство
рассуждений в естественных и социальных науках, в технике,
житейской практике — за исключением отдельных дедуктивных
вкраплений; конечно, если эти рассуждения проводятся в соответствии со
здравым смыслом и со стилем, выработанным адекватно
соответствующей области *.
В каждой области имеются свои понятия разумности, свои
критерии правильности. Можно сказать, что различные науки, различные
сферы человеческой деятельности как бы говорят на разных языках,
включающих не только наборы понятий и соотношений между
ними, но и определенные черты применяемой логики. В этом смысле и
прикладная математика имеет собственный язык или даже
несколько родственных языков, существенно отличающихся по характеру
применяемой логики от языка чистой математики.
В задачу этой книги ни в коем случае не входит анализ способов
рассуждения во всевозможных сферах человеческой деятельности —
способов, столь различных в различных областях: достаточно
сравнить, например, теоретическую физику и новейшую историю.
Поэт апах конструирования системы выбор ее элементов определяется темнили
иными оптимизационными соображениями».
* Само собой разумеется, что надо отличать рациональные рассуждения,
имеющие научный характер, от встречающихси иногда наукообразных
упражнений, в которых логическая нечеткость прикрывает отсутствие мысли или
грубые ошибки. Крайним примером может служить описание теории вероятностей,
данное П. А. Некрасовым в его книге [107, с. 3], полной вопиющих нелепостей:
«Теория вероятностей есть врожденная категорическая функция, мысленно
предвосхищающая сменные явления природы и многообразно согласуется с
функциями души и тела. Роль вероятностей, т. е. условных и безусловных достоверностей,
по вопросам жизни познавательная и многосторонне посредническая,
междусубъективная в регулировании течений блага, строящая систему посредствующих,
ограждающих и искупающих запасов, залогов, божков для умного выпуска
явлений против многообразных типических «огневых» народных бедствий и
устанавливающая исчислением, измерением, формулами и словом или иными знаками и
графиками критерии средства и соотношение или связь, интеграцию, интерполяцию
между составными частями, секциями н самостоятельными органами живого
Всего (Целого) и их функциями».
Пародия на рациональное доказательство содержится в бессмертных сочине-
нениях Козьмы Пруткова [108, с. 135—136]: «Дед мой родился в 1720 году, а
кончил записки в 1780 году; значит: оии начаты в 1764 г. В записках его видиа сила
чувств, свежесть впечатлений; значит: при деревенском воздухе он мог прожить
до 70 лет. Стало быть, он умер в 1790 году!».
70
этому в дальнейшем мы ограничимся только анализом рациональных
рассуждений, свойственных прикладной математике.
Следуя книге Д. Пойа [7], мы будем пользоваться понятием
степени достоверности * (правдоподобия, уверенности, надежности)
правдоподобного утверждения, выражающим степень уверенности в
его справедливости. На наш взгляд (он не совсем совпадает со
взглядом Пойа), это — в значительной мере субъективная
характеристика психологического состояния, вызванного комплексом
объективных причин; таким образом, эта характеристика определяется
не только самим утверждением (как у Пойа), но и оценивающим
субъектом, а также формально моментом времени, т. е. фактически
характером информации у субъекта, связанной с данным утверждением,
и психологическим состоянием субъекта**. Но так как эта
характеристика основана на объективных факторах, то в определенных
обстоятельствах она может стать общезначимой; именно тогда она
и представляет наибольший интерес. Объективизированную степень
достоверности в соответствии с терминологией Р. Карнапа [113]
можно называть «вероятностью-один* в отличие от обычной «вероят-
ности-два», основанной на понятии частоты ***.
Несомненные трудности, которые возникают при придании
численного значения степени достоверности так, чтобы значению 1
* Конечно, это понятие относится не только к достоверным утверждениям,
а к любым рациональным утверждениям. Достоверные утверждения имеют
максимально возможную степень достоверности равную 1.
** Отметим, что степень достоверности в некоторых отношениях аналогична
известному понятию субъективной (инверсной, персональной) вероятности.
Концепция вероятности как степени правдоподобия выдвинута Кейнсом в 1921 г.
и разрабатывалась Джеффрисом [109]. См. также [ПО—112].
*** По этому поводу В. В. Болотин пишет [86, с. 16]: «Вероятность есть
объективная мера возможности наступления события независимо от того,
является ли оно массовым или нет. В повседневной жизни мы постоянно (хотя и
полуинтуитивно) применяем вероятностные оценки к событиям, которые заведомо не
являются массовыми, принимаем на основе этих оценок решения и добиваемся
успеха. При этом вероятность приобретает смысл некоторой меры доверия к тем или
иным утверждениям. Анализ этого вопроса является не технической, а скорее
философской, логической и психологической проблемой. Чтобы избежать
связанных с нею затруднений, можно воспользоваться понятием мыслимого ансамбля,
т. е. наряду с данной системой рассматривать множество воображаемых
сопоставимых систем.
Однако при этом сохраняются существенные трудности, имеющие
практический характер. Для получения вероятностных характеристик системы
необходимо иметь соответствующую статистическую информацию, а ее, вообще говоря,
можно получить только из рассмотрения представительного ансамбля. Этот
ансамбль.разумеется, должен быть реальным, а не мыслимым. Аналогичное
затруднение возникает даже в том случае, когда система является массовой. В
распоряжении экспериментатора очень редко находится количество экземпляров,
достаточное для того, чтобы делать надежные статистические выводы. К счастью,
многие вероятностные свойства систем обладают эргодичностью. Эти свойства
проявляются не только в ансамбле реализаций,но и во времени и (или) в пространстве.
Такие вероятностные свойства можно изучать, наблюдая за поведением одного
экземпляра во времени или изучая, как эти свойства меняются при переходе от
одной точки к другой. Примером реализации этого подхода служит предсказание
прочности крупного сооружения из бетона или железобетона на основании
большого числа испытаний малых лабораторных образцов».
71
отвечала полная достоверность, а значению 0 — полная
невозможность *. Правда, подчеркивание субъективности этой
характеристики несколько упрощает дело. В самом деле, каждый человек
может в любой момент более или менее отчетливо представить свое
психологическое состояние при ожидании того, что из урны с п шарами
будет извлечен один из содержащихся среди них т белых шаров —
априорную степень достоверности такого извлечения естественно
считать равной и сравнить соответствующую степень
уверенности со своей степенью уверенности в справедливости какого-либо
другого утверждения. (Впрочем, при этом бывает трудно
освободиться от давления осознанных последствий неправильного
предсказания, которые в разных случаях могут быть существенно
различными; существенно влияют также трудности, преодоленные при
получении утверждения.) По существу, так поступает человек, оценивая
про себя справедливую ставку при заключении пари.
Думается, что из-за значительной расплывчатости оценки
психологического состояния определение степени достоверности р с
помощью непосредственного восприятия возможно вряд ли точней,
чем с одной значащей цифрой (при р ж 1 имеется в виду точность
значения 1 — р). А при р близком к 0 или 1 речь может идти
только об оценке порядка р или соответственно 1 — р. Поэтому часто
для характеристики степени достоверности предпочитают
пользоваться словами, качественно передающими соответствующее
психологическое состояние. Например, можно было бы охарактеризовать
значение р = 0,8 словами «довольно правдоподобно», значение р =
0,98 — словами «весьма правдоподобно», р = 0,999 — «почти
наверняка», р — 1 — Ю-6 — «наверняка», р — 1 — 10-12 —
«практически достоверно» (см. п. 2.5) и т. п., хотя, конечно, тут нет четких
граней и к тому же для разных людей и разных ситуаций эти
характеристики могут несколько различаться**.
(Отметим попутно, что переход от субъективных оценок степени
достоверности к общезначимым можно осуществить с помощью
метода экспертных оценок, т. е. по существу с помощью осреднения —
грубо говоря, опроса, при котором оценки специалистов должны,
* Д. Пойа пишет по этому поводу [7, с. 92]: «Решить эту задачу — означало
бы сделать гораздо больше, чем я могу. Я не знаю никого, кто смог бы это сделать,
и никого, кто отважился бы это сделать. Я знаю некоторых философов, которые
обещают сделать что-то в этом роде в чрезвычайной общности. Однако, встретив
конкретную задачу, они уклоняются и увиливают и находят тысячу отговорок,
объясняющих почему нельзя решить именно эту задачу.
Возможно, это задача является одной из тех типичных философских задач,
о которых вы можете много говорить вообще и даже проявлять подлинную
заинтересованность, но которые превращаются в ничто, когда вы снижаете их до
конкретных условий».
** В связи с этими оценками отметим некоторую двусмысленность термина
«правдоподобное утверждение». Иногда при этом подразумевается «скорее да, чем
нет», т. е. р > 0,5. В дальнейшем мы увидим, что правильные следствия можно
делать и нз утверждений с р < 0,5, поэтому мы предпочитаем не вводить
ограничений на степень правдоподобия в определение понятия рационального утверждения.
72
конечно, входить с большим весом, чем профанов *. Было бы
интересно в виде эксперимента произвести тарификацию специалистов
в какой-либо области, например в спортивных прогнозах, причем
так, чтобы оправдывающиеся прогнозы соответственно повышали
вес, а неоправдывающиеся — понижали, наподобие того, как это
делается при тарификации шахматистов по так называемой
системе Эло.)
Говоря образно, можно сказать, что с позиций чистой
математики все утверждения являются «черно-белыми», релейными: они мо*
гут быть точными или неточными; точные — доказанными или
недоказанными, верными или неверными. Чистая математика в этом
как бы следует известному евангелическому положению: «Но да
будет слово ваше: «да, да», «нет, нет»; а что сверх этого, то от
лукавого»**. В отличие от этого в прикладной математике утверждения
допускают «серые» оттенки любой густоты тона, которой и служит
степень достоверности***. Пожалуй, даже правильней говорить не
* Конечно, при этом специалистов должно быть достаточное количество и
они должны в определенном смысле образовывать однородный массив, скажем,
не должны представлять враждующие по изучаемому вопросу школы; например,
мы не стали бы предлагать произвести оценку степени достоверности утверждения
«бога нет» большой группе людей, состоящей наполовину гз верующих,
наполовину из атеистов, а потом делать вывод, что эта степень равьа 0,5. Правила подбора
массива специалистов по существу те же, что известны в математической
статистике по аналогичным поводам.
Таким образом, степень достоверности в значительной мере относится к
таким «размытым величинам», как степень удовольствия, талантливости, боли и
т. п., хотя и имеет естественную шкалу, основанную на аналогии с вероятностью.
Математический анализ подобных размытых величин представляет огромные
очевидные трудности и возможно, что идея навязывания им точных численных
значений (или хотя бы точных законов распределения или точных правил
предпочтительности) автоматически приводит к неадекватности. Поэтому и дальнейшие
рассуждения, относящиеся к численным значениям степени достоверности, надо
воспринимать лишь как весьма грубое отражение истинной ситуации.
По поводу теории и методов психологического шкалирования, т. е. измерения
субъективных характеристик качества см., например, [114]; по поводу теории
полезности — [115], проблемы оценки ситуации — [116]. Впрочем, изучать все эти
теории в общем виде гораздо легче, чем применять их в конкретных случаях.
** «Анри Пуанкаре в своих глубоких изысканиях в области философии науки
подчеркивал то обстоятельство, что с точки зрения математика ошибки ие имеют
градаций и что любое неверное равенство надо рассматривать как тягчайшим
образом неверное, сколь бы мала ни была ошибка, ибо из него можно вывести любое
другое неверное равенстве» [78, с. 58].
*** Д. Пойа пишет [56, с. 275]: «Математический закон напоминает «длину
без ширины», разделяющую черное и белое. Однако существуют и вполне разумные
правила, которые оставляют некоторую свободу, известное пространство для
последующих маневров; здесь нет резкой разграничительной линии, а иногда нет ни
черного, ни белого, а имеются лишь разные оттенки серого». Любопытно, что это
же сравиеиие было независимо применено в выступлении О. Шмитта [117] и в статье
[2]. Дедуктивной моделью «серой» логики служит теория вероятностей на
логических исчислениях, которую начали развивать Лось и Гэнфмен в 50—60-е годы
нашего столетия.
Отметим еще высказывание В. А. Успенского [118, с. 24]. Говоря о
принципиальных трудностях анализа понятия истинности, ои пишет: «Множество Т
(истинных утверждений.— Авт.), таким образом, можно представлять себе
расслаивающимся иа подмножества истинных утверждений, обладающих разной степенью
73
только о серых, но о любых цветах, сравнивать густоту которых на
глаз довольно затруднительно, равно как и степень достоверности
утверждений, относящихся к различным областям.
Наряду со степенью достоверности утверждения определенное
значение может иметь степень достоверности оценки самой этой
степени; эту характеристику, в какой-то степени аналогичной
дисперсии, можно назвать «степенью обоснованности достоверности»,
«степенью компетентности». Например, если на каждый из вопросов:
«Из урны, содержащей красные и черные шары, будет вынут шар,
какого он окажется цвета?» и «Из урны, содержащей равное
число красных и черных шаров, будет вынут шар, какого он
окажется цвета?» дается ответ: «Шар окажется красным», то степень
достоверности этого утверждения в обоих случаях равна 0,5 из-за
отсутствия информации, позволяющей предпочесть один цвет
другому, однако уверенность в правильности этой оценки во втором
случае существенно выше, чем в первом. Такая степень обоснованности
может принимать значения от 0,5 (полная некомпетентность) до
1 (полная компетентность), но приписывать ей численные значения
еще трудней, чем степени достоверности, так что ее, по-видимому,
можно характеризовать только эмоциональными характеристиками.
В отличие от дисперсии она далеко не всегда безгранично
улучшается, т. е. приближается к единице при осреднении: десять тысяч
специалистов вряд ли могут более компетентно чем десять сказать,
посещали ли Землю посланцы внеземных цивилизаций.
2. Типы рациональных рассуждений. Здесь без претензий на
полноту и систематичность будут перечислены несколько типов
рациональных рассуждений, наиболее распространенных в
прикладной математике *.
а) Применение формулировок, включающих неточно определенные
понятия. Об этом мы уже говорили в п. 1.
б) Применение утверждений, справедливых в реальных случаях,
хотя и допускающих построение искусственных противоречащих
примеров, единственная цель которых состоит в показе дедуктивной
неполноценности соответствующего утверждения. Такое применение
составляет важную характерную особенность стиля, языка
прикладной математики, которая в отличие от чистой математики видит за
каждым понятием не просто логическое следствие из принятой си-
достоверности». Напомним в связи с этим, что еще Поитий Пилат
интересовался вопросом о том, что есть истина, однако ответа (от Иисуса Христа) он, как
известно, так и не получил.
* Отметим сразу же, что если в некотором сложном рассуждении часть этапов
имеет чисто дедуктивный характер, но хотя бы один существенный этап рациона-
леи, то и все рассуждение в целом имеет рациональный характер, так как в
сложном дедуктивном рассуждении все существенные этапы должны быть
дедуктивными. Это простое обстоятельство резко расширяет сферу действия рациональных
рассуждений в прикладной математике, так как в подавляющем большинстве
случаев полное исследование реальной задачи, даже после ее математической
формулировки, получаетси в результате комбинации дедуктивных и рациональных
элементов.
74
стемы аксиом, а, сказано это явно или нет, модель некоторого
реального объекта *.
Приведем простой пример такого утверждения, справедливого
на прикладном уровне строгости. Пусть рассматривается функция
/ (х) на конечном интервале а < х < Ь, причем известно, что она на
этом интервале не обращается в бесконечность**. Тогда всегда мож-
но пользоваться интегралом / = \ f (x) dx; этот интеграл принима-
а
ет конечное значение, которое в отдельных случаях можно
вычислить точно и всегда — приближенно с удовлетворительной степенью
точности.Это заключеннее точки зрения чистой математики
несостоятельно и допускает разнообразные противоречащие примеры.
Так, функция
М*) =
(0<*<1),
О (х = 0)
определена в каждой точке отрезка [0, 1], т. е. принимает в каждой
такой точке конечное значение, которое только и допускается (бес- ,
конечность, согласно определению, не есть число!), но тем не
менее интеграл от нее от 0 до 1 расходится к бесконечности. У функции
(e^sinl/x (0<х<1),
f*{Х) = \0 (х = 0)
при х -> 0 нет ни конечного, ни бесконечного пределов, однако
интеграл от нее расходится колебательным образом. Функция
Дирихле f3 (х) (0 <; х <; 1) (см. п. 2.6) ограничена, однако обычно
применяемое определение интеграла по Риману не приводит к цели и
потому приходится воспользоваться более широким определением
интеграла по Лебегу, мало известным большинству прикладников.
Наконец, применяя аксиому Цермело, легко доказать
существование ограниченной функции /4 (х) (0 < х ^ 1), для которой никакой
процесс интегрирования, удовлетворяющий определенным
естественным требованиям, не может привести к цели.
Однако — хотя это и может шокировать приверженцев чисто
дедуктивного подхода — все эти примеры с прикладной точки зрения
не противоречат приведенному выше общему заключению. В самом
деле, с этой точки зрения значение f1 (0) = 0 является искусственно
«привешенным», тогда как инстинное, предельное значение/i(0) = оо,
т. е. функция f[Ha самом деле обращается на интервале
интегрирования в бесконечность. Функция / 2 является типичным
* Как справедливо говорит В. В. Налимов [8], в прикладной математике,
«решая вопрос о границах применимости формулы, мы привлекаем ту
информацию, которая в ней не записана».
** Как известно, если интервал интегрирования становится бесконечным или
па ием подынтегральная функция обращается в бесконечность, то интеграл
становится несобственным и может либо сходиться, либо расходиться.
75
искусственным противоречащим примером; к тому же, если
воспользоваться применяемым в рациональных рассуждениях
уточнением формулировок в ходе рассуждения (тип е, обсуждаемый нюхе),
то можно заменить условие конечности в каждой точке на более
сильное условие ограниченности в каждой точке, что вообще
снимет вопрос о функции /2*. Формально определенная функция f3 с
прикладной точки зрения вообще не является функцией, так как она
не удовлетворяет требованию устойчивости: как уже отмечалось в
п.2.6, приближенное значение х, причем с любой точностью, не
может дать никакого знания о значении fa (x). Возможно (это не
совсем ясно), что при рассмотрении каких-либо важных в
прикладном отношении вопросов, например при обсуждении
полноты функциональных пространств, интеграл Лебега окажется
действительно необходимым; однако тогда вступает в действие принцип
продолжения (см. ниже), согласно которому интеграл Лебега
можно считать подразумевающимся во всех случаях, когда функция не
интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу. Наконец, с
прикладных позиций определение функции /4 некорректно даже в
формальном отношении из-за примененной в этом определении
аксиомы Цермело (п.2.2).
Искусственные противоречащие примеры можно построить и к
утверждениям «При разбиении тела и перемещении его частей их
суммарный объем не меняется», «Поверхность тела имеет нулевой
объем» и ко многим другим практически достоверным утверждениям.
Конечно, сказанное не означает, что формулировки в прикладной
математике не нуждаются в оговорках, в отчетливых
предположениях. Но это должны быть оговорки об обстоятельствах,
несоблюдение которых на самом деле в реальных примерах
рассматриваемой области приложения математики может привести к
ошибкам. Так, в приведенном примере с интегрированием были оговорены
конечность интервала интегрирования и конечность
подынтегральной функции, поскольку невнимание к этим требованиям на
самом деле может привести к несобственным интегралам,
требующим особого рассмотрения. Подобным образом, при разложении в
ряд Фурье периодической функции, описывающей реальный
процесс, оговорка о выполнении условий Дирихле является лишней;
однако указание на наличие или отсутствие разрывов совсем не
лишнее, поскольку такие разрывы влияют на скорость сходимости ряда.
Таким образом, с позиций прикладной математики нужно различать
оговорки по существу (подлинные) и оговорки в каком-то смысле
паразитные, нужные для отсечения контрпримеров, не имеющих
никакого прикладного значения **. Впрочем, совершенно четкого
* Впрочем, в подавляющем большинстве прикладных вопросов это тонкое
различение является излишним, так что понятия «функция неограничена в точке»
и «функция обращается в точке в бесконечносты можно отождествлить.
** Сравните рассуждения, приведенные в конце п.2.4. X. Розенброк и
С. Стори пишут [99, с. 30—31]: «Инженер... часто будет сталкиваться с
проблемами... для которых в чистой математике не существует строго обоснованных мето-
76
разделения тут не может быть, и по мере развития науки и даже при
переходе из одной области приложений в другую оценка роли одних
и тех же оговорок может меняться *.
Вообще, многие дедуктивные теоремы и рассуждения
значительно проигрывают в своей эффективности из-за того, что они
ориентированы на справедливость во всех случаях, в том числе самых
неблагоприятных. Это приводит к нежелательному смещению
акцентов: патологические случаи приобретают большее значение, чем
основные. Однако А. Эйнштейн сказал: «Господь бог изощрен, но
не злонамерен». В отличие от некоторых людей, природа не
занимается построением противоречащих примеров с единственной целью
опровергнуть рациональное утверждение.
Аналогичная ситуация возникает при проведении оценок.
Стремление к универсальности приводит к ориентировке на самые
неблагоприятные случаи, которые могут, даже не имея
патологического характера, просто быть сравнительно редкими! В таких
случаях была бы желательна разработка оценок, справедливых «в
среднем» с достаточно высокой степенью достоверности и
игнорирующих наиболее неблагоприятные случаи, если они
действительно редки. Такие оценки могут оказаться значительно эффективнее,
чем универсальные.
Некоторые такие оценки применяются в вычислительной
математике. Например, известно, что при численном интегрировании
дифференциального уравнения по методу Милна за предельную
абсолютную погрешность значения t/k+i = у (хк+\) решения в k +
+ 1-м узле можно принять величину | yk+i — yk+i | /29, где yk+i —
предварительное значение решения в этом узле, вычисляемое в
процессе применения метода. Не все знают, однако, что эта важная
оценка выведена на рациональном уровне и в весьма редких
"искусственно построенных примерах может как угодно сильно
нарушаться. Тем не менее побольше бы таких оценок!
Отметим, кстати, что формулировки чистой математики из-за
ее стремления к логической законченности часто оказываются
трудно применимыми в реальных примерах. Часто для простоты
дов решения. В таком случае «нащупывание» физической ситуации является
ведущим принципом для того, чтобы избежать ошибок. Эти замечания не означают,
что инженер может позволить себе пренебрегать математической строгостью.
Инженер, который получает неверные результаты благодаря математическим
ошибкам, плохой инженер. Он должен рассматривать строгость не как вещь в себе, а
как средство избежать подобных ошибок. В то же время не следует забывать, что
существует значительно большая вероятность получить неверные результаты
вследствие некорректной формулировки задачи, чем из-за математических
ошибок».
Паразитные контр-примеры напоминают «Бяку-Закаляку Кусачую», которую,
по свидетельству Кориея Чуковского, выдумала одна маленькая девочка и
сама же ее испугалась.
* Отметим, что ненужные оговорки могут иметь и не чисто математический
характер. Например, нам встретилось описание работы прицела, где автор
оговаривал, что он пренебрегает временем прохождения св?та от цели (в
действительности он без оговорок пренебрегал гораздо более существенными факторами!).
77
формулировок предположения оказываются слишком жесткими
Например, стандартная формулировка теоремы о разрешимости зада-
чи Коши для дифференциального уравнения —п- = f (t, х)
исключает важный на практике случай линейного уравнения с кусочно-
непрерывными коэффициентами. Конечно, известна и теорема Ка-
ратеодори, относящаяся к гораздо более общему случаю, однако
она формулируется в терминах, которыми большинство
прикладников плохо владеет.
Было бы целесообразно время от времени производить
«переучет» математических теорем, связанных с приложениями,
придавая им достаточно общий для этих приложений вид и наряду с этим
следя за доступностью формулировок.
в) Уточнение в ходе исследования. В п. 82. уже говорилось,, что
в прикладном исследовании математический объект далеко не
всегда имеет независимый смысл, полностью вытекающий из
формального определения; этот смысл может происходить из того, что данный
математический объект служит математической моделью реального
объекта. Однако математическая модель определяется реальным
объектом неоднозначно! Даже при сохранении принципиальной схемы
модели реальный объект можно описывать с различной степенью
точности и детализации, что дает возможность варьировать и
соответствующую математическую задачу по мере ее исследования.
В соответствии с ролью реальных факторов, в частности с учетом
реальных диапазонов значений параметров, в математической
задаче могут делаться различные упрощения и видоизменения в
случаях, представляющих наибольший практический интерес.
Дополнительные предположения, например об участвующих в задаче
зависимостях, упрощающие математическое исследование или
позволяющие провести это исследование более далеко, также могут
быть введены по ходу исследования задачи на основе ее реального
смысла и т. п. *
Таким образом, в ходе прикладного математического
исследования, апеллируя к реальному смыслу математической задачи,
оказывается возможным ее видоизменять и уточнять, порой меняя
самое цель исследования.
К рассматриваемому типу рациональных рассуждений
примыкает еще один, которым, впрочем, надо пользоваться с большой
осторожностью. Речь идет о рабочих гипотезах, выдвигаемых по
отношению к решению задачи в процессе ее исследования. Такие
гипотезы могут относиться, например, к структуре искомой
зависимости — периодичность, автомодельность 14, стационарность и т. п.
Подобные гипотезы, если они опираются на реальную
интерпретацию математической задачи и делаются с соблюдением требований
* О возможности уточневия содержания математических понятий, например
замены необращения в бесконечность на ограниченность или интеграла Рнмана на
интеграл Лебега, мы уже говорили в связи с обсуждением предыдущего типа
рациональных рассуждений.
78
здравого смысла, часто могут оказаться решающими. С другой
стороны, эти гипотезы могут порой открыть возможность для
необоснованных выводов. Поэтому применение рабочих гипотез должно
отчетливо осознаваться, а на их априорную мотивировку и на
апостериорное обоснование должно быть обращено особое внимание *.
Рассмотрим пример. Пусть исследуется статическое состояние
жидкости, «подвешенной» в капиллярной трубке с круговым
сечением, поддерживаемое силами поверхностного натяжения в
однородном поле тяготения напряженности g, направленном вдоль оси
цилиндра (рис. 3). При этом представляется
естественным ввести рабочую гипотезу о том, что
осесимметричность условия задачи влечет за
собой осесимметричность ее решения; эта гипотеза,
которая мотивируется элементарными
наблюдениями, здравым смыслом ** и аналогиями,
позволяет свести отыскание формы равновесной
поверхности к краевой задаче для нелинейного
обыкновенного дифференциального
уравнения и тем самым найти эту форму с помощью
численного интегрирования с высокой точностью.
Возможность и однозначность решения краевой
задачи при сравнительно малых значениях без-
размерного числа Бонда 7VB = —— (р —
плотность жидкости, а — коэффициент
поверхностного натяжения, R — радиус цилиндра), сходство
формы решения с экспериментально наблюдаемой служат
обоснованием закономерности принятой рабочей гипотезы для малых
значений NB.
Однако при заданном угле смачивания а (см. рис. 3)
математическое решение — и притом устойчивое относительно осесимметрич-
ных возмущений — удается построить при больших значениях
числа Бонда, чем это наблюдается в действительности. Это объясняется
тем, что начиная с некоторого критического значения числа N&
* Любопытно, что даже такая дисциплина, как математическая логика, не
чуждается рабочих гипотез, причем относящихся не только к общепонятности
первичных терминов, таких, как «мы», «рассматриваем» и т. п. Приведем, например,
отрывок из курса [119, с. 120]: «Мы начнем с того, что в качестве рабочей гипотезы
примем предположение, что рассмотренные нами ранее ордивально-рекурсивные
функции включают все виды функций, которые можно считать вычислимыми, т. е.
всякую функцию, значение которой для произвольного заданного аргумента
может быть определено в конечное число шагов. Основания для принятия такого
предположения носят чисто эвристический, а не математический характер, так
как, конечно, нам приходится считаться с тем обстоятельством, что никто еще
не обнаружил такой вычислимой функции, которая не была бы
ординально-рекурсивной». Ясно, что на нашем языке это не что иное, как рациональное
допущение высокой степени достоверности.
** Напомним общий рациональный принцип Д. Пойа отсутствия достаточных
оснований [56, с. 355]: «Из всех a priori допустимых возможностей ни одной не
должно оказываться предпочтение, если для того нет достаточного основания».
Я
Жидкость
79
найденное осесимметричное решение становится неустойчивым
относительно неосесимметричных возмущений [120].
Таким образом, бесконтрольное применение рабочей гипотезы
приводит в задаче об отыскании критического значения числа Бонда к
прямой ошибке. Этой ошибки можно избежать, вспомнив о реальном
характере потери устойчивости жидкости при увеличении числа iVB,
например при увеличении напряженности поля (как показано
штриховой линией на рис. 3), либо на основании аналогий. В самом деле,
во многих разделах теории устойчивости механических форм
равновесия сейчас уже хорошо установлено, что если
условия задачи и соответствующая форма
равновесия обладают определенной симметрией, т. е.
инвариантны относительно определенной группы
преобразований, то наиболее опасные формы потери
устойчивости все же могут этой симметрией не
обладать: плоско-параллельная форма равновесия
может потерять устойчивость
неплоско-параллельным способом, осесимметричная — неосесимметрич-
ным способом и т. д.
Имеется большое число работ, ошибочных из-за
неучета этого обстоятельства. Рассмотрим здесь
один пример такого рода, заимствованный из
книги [121, с.ПО—114]. Пусть рассматривается вне-
центренное сжатие стержня по антисимметричной
схеме, изображенной на рис. 4. Несложный расчет
Рис. 4. линеаризованной задачи показывает, что при этом
стержень примет положение, антисимметричное,
относительно середины пролета и изображенное на рис. 4
пунктирной линией. Прогиб растет с ростом сжимающей силы Р и при Рх =
= 4пгЕ1Г~2 он обращается в бесконечность, где EI — жесткость
стержня при изгибе. Отсюда можно было бы сделать вывод, что при
указанном способе нагружения стержень теряет устойчивость при
Р = Pv Однако даже небольшой опыт решения подобных задач
указывает на ошибочность этого результата, поскольку при е =
=■ 0 получается известная задача Эйлера с критической нагрузкой
Р0 = п*ЕП~г. И действительно, более тщательный анализ
показывает, что рабочая гипотеза о •том, что в рассматриваемом примере
при потере устойчивости стержень принимает только
антисимметричные формы, на самом деле неверна. Начиная со значения Р = Р0
антисимметричная форма становится неустойчивой относительно
симметричных возмущений, т. е. потеря устойчивости происходит
так, как это показано на рис. 4 штриховой линией (это
обстоятельство не сразу было понято). Итак, истинной критической нагрузкой
служит значение Р = Р0.
В качестве другого примера укажем на кольцеобразные
(торовидные) фигуры равновесия вращающейся невесомой жидкости,
обладающей поверхностным натяжением. В курсе П. Аппеля [122, с.
301—312] изложены результаты Шаррюо, который пришел к заклю-
е
-1
1:
//
1!
,\|
"v-
I
¥
1
1:
//
t/
»
е
ь
D
80
чению, что в определенном диапазоне параметров задачи эти формы
будут устойчивыми. Однако Шаррюо рассматривал только осесим-
метричные возмущения осесимметричной формы и лишь более
позднее исследование, проведенное Л. А. Слобожаниным [123],
показало, что эти формы всегда неустойчивы относительно неосесимметрич-
ных возмущений и потому не могут быть физически реализованы.
Широко применяются рабочие гипотезы в теории колебаний
(гипотезы о форме движения, о разложимости ее в ряды того или иного
вида, о частоте искомых колебаний и т. д.) и во многих других
областях приложения математики.
Предыдущие соображения, изложенные в подпунктах б) и в),
относились скорее к стилю, а не к существу рациональных
рассуждений. Другими словами, описанные рассуждения во многих случаях
можно так перестроить, чтобы они удовлетворяли дедуктивным
требованиям, хотя это, как правило, приводит только к словесным
спекуляциям, отвлекающим внимание от изучаемой проблемы, и
потому не делается. Сейчас мы перейдем к рациональным
рассуждениям, более глубоко затрагивающим структуру исследования. Эти
рассуждения могут иметь различную степень достоверности
(п.1), и достижение практически полной достоверности может быть
получено с помощью их разумной комбинации (об этом см.
ниже).
г) Доводы, основанные на аналогии или эксперименте. В книге
[7] подробно обсуждается общее утверждение (с. 255):
«Предположение становится более правдоподобным, когда оказывается истинным
аналогичное предположение». Приводимые там по этому поводу
примеры имеют чисто математический характер, и потому аналогии
могут только способствовать открытию, но не могут заменить
доказательство. В отличие от этого в прикладной математике, где
утверждения часто имеют не столь однозначный характер, а
достаточно высокая степень достоверности равносильна полной, разумная
аналогия — тем более подкрепленная другими рациональными
соображениями — может иметь доказательное значение.
Таким путем часто удается распространять утверждения об
одномерных задачах на двумерные и трехмерные; с небольшого (одна-
две) числа степеней свободы на любое конечное и даже
бесконечное число, с одних классов задач теории сплошной среды на другие
и т. д. Впрочем, при проведении таких аналогий важно также
отчетливо представлять себе особенности, отличающие
рассматриваемый случай от известных, аналогичных; однако эта специфика
может быть понята на рациональном уровне, на основе анализа «мо-
делей моделей» (см. нижеу*.
* В книге [23, с. 103] приведен курьезный пример немотивированной
аналогии: на вопрос «Как раньше называлась улица Горького?» девочка ответила:
«улица Пешкова».
Укажем на книгу [124], специально посвященную анализу различных типов
аналогии в иауке. Содержательное рассмотрение роли аналогий в
правдоподобных (рациональных) рассуждевиях приводится в квиге [7].
6 6-20
81
Аналогичную роль играют доводы, основанные на физическом
или численном эксперименте и потому обязательно лежащие за
пределами чистой дедукции. Мы уже упоминали в связи с
обсуждением роли рабочих гипотез, что согласие решения с наблюдением
или физическим экспериментом в типичных ситуациях служит
важным, иногда решающим доводом, обосновывающим гипотезу.
Аналогичным образом можно получить выводы о качестве
вычислительного метода и т. п.
Поскольку решение прикладной задачи обычно включает целую
цепь рациональных переходов (физические гипотезы, построение
математической модели, рабочие гипотезы при ее исследовании,
различные упрощения, выбор вычислительного метода, реализация
вычислений и т. п.), то расхождение решения с физическим
экспериментом может говорить либо о том, что по крайней мере один из этих
переходов является необоснованным, либо же о том, что хотя
каждый переход и обоснован в отдельности, но их погрешности,
накопившись, вывели общий результат за допустимые рамки*. С другой
стороны, иногда согласие решения и эксперимента может оказаться
случайным или бессознательно подогнанным, так что такое согласие,
повышая степень достоверности решения, может еще не довести ее
до полной **. Вопрос о превращении правдоподобия в
доказательность мы обсудим в п.5.
Физический эксперимент может быть рационально включен
в качестве одного из этапов решения прикладной задачи. Так,
бывает, что те или иные зависимости, в принципе поддающиеся
математическому расчету, все же проще построить эмпирически,
например, измерив ряд соответствующих значений и проводя
последующую интерполяцию с учетом предельных ситуаций. Это относится,
например, к построению функции влияния или собственных частот
в случае сложных пространственных форм и т. п.
Эмпирически находятся все коэффициенты, характеризующие
элементы изучаемой феноменологической модели, в частности
коэффициенты упругости, вязкости и т. п.; эмпирически также
определяются различные другие константы, входящие в зависимости, фор-
* Последняя ситуация характерна для прикладной математики, так как в
чистой математике ошибка результата цепи рассуждений всегда свидетельствует
об ошибочности по крайней мере одного из звеньев цепи. Отметим в связи со
сказанным понятие физической непрерывности по Пуанкаре, которое сводится к
допущению, что для физических величин возможна система соотношений вида Лх =
= А2, Aj = Аа,.... Ап_1 — Ап, А1 > Ап- (См. поэтому поводу [78, п. 49].)
** В связи со сказанным заметим, что вообще никакой изолированный
эксперимент не может дать полной уверенности в правильности теории. Такая
уверенность возникает лишь в результате достаточно обширной — «практически
бесконечной» (п.2.2) — цепи экспериментов, которая и есть практика. К тому же
надо иметь в виду, что никакая теория не имеет абсолютного характера, а
обладает определенными рамками применимости; одна из основных целей экспериментов
и состоит в уточнении этих рамок. А. Эйнштейн сказал: «Эксперимент не говорит
«да», а только «может быть» — и каждой теории предстоит услышать свое «нет»»;
конечно, он имел в виду не полное отбрасывание теории, а установление ее
неуниверсального характера.
82
ма которых подсказывается теорией или выбирается на основе той
или иной рабочей гипотезы. По существу на этом основано все
физическое моделирование и применение методов подобия, широко
распространенные во многих областях техники и физики.
Приведем лишь один пример из этой области, Как известно,
в плоской дозвуковой аэродинамике подъемная сила Р подчиняется
формуле Жуковского Р — риГ(Г — циркуляция, р и v —
соответственно плотность и скорость набегающего потока). Однако на
практике пользуются не этой формулой, а следующей из теории подобия
формулой Р = су -Щ- Ь, в которой b есть характерный размер
(например, хорда крыла), а коэффициент су, зависящий от формы
профиля и направления набегающего потока, определяется
экспериментально в аэродинамической трубе.
В связи со сказанным отметим важную и характерную для
прикладной математики проблему «продуктивного вида» формул.
Очевидно, что формула, предназначенная для непосредственного
применения, должна определять интересующую нас величину В
через значения таких других величин, измерение или вычисление
которых должно быть, во всяком случае, не сложнее, чем измерение
или вычисление В; если же имеется несколько таких формул, то из.
них нужно выбрать наиболее подходящую в указанном смысле.
Применение первой из приведенных выше формул для подъемной
силы затруднено измерением или вычислением Г, тогда как вторая
формула нацелена на непосредственное практическое применение.
Повышение продуктивности (эффективности, применимости) формул
может иметь очень большое значение и требует отчетливых
представлений о возможностях и способах измерения и вычисления их
компонент.
Такое физическое моделирование, по-видимому, заслуживает
значительно более глубокой разработки и большего распространения,
чем это практикуется, причем не только в небольшом наборе
стандартных ситуаций, как это обычно бывает. Оно должно было бы
применяться во всех случаях, когда оно оказывается
предпочтительнее чисто цифровых расчетов,— как при выдаче окончательных
результатов, так и на промежуточных этапах сложного рационального
исследования *.
Численный эксперимент, осуществляемый обычно на ЭЦВМ,
может включать детальный расчет изучаемой задачи в
отдельных типичных случаях, расчет какой-либо сходной, доступной
* Н. В. Азбелев указал следующий любопытный случай из своей практики.
Как-то ему потребовалось определить площадь поверхности сложного изделия,
имеющего вид тела вращения. Для этого он изогнул по изделию алюминиевую
проволоку так, чтобы та приняла форму образующей. Подвешивая проволоку, он
определил положение ее центра тяжести, а распрямив,— ее длину; после этого осталось
только применить теорему Гюльдена.
Взвешивание фигур, вырезанных из фотобумаги после проявления снимка,
может применяться вместо интегрирования и т. д.
6*
83'
контролю задачи * или «модели модели» и т. п. Положительный
результат такого эксперимента мож^т служить обоснованием
правильности выбранного вычислительного метода или даже некоторой
совокупности этапов рационального рассуждения.
Отметим, например, общую схему контроля вычислительного
метода, которая часто оказывается полезной в тех случаях, когда
он должен реализовать обращение сравнительно просто
вычислимой операции; такая ситуация часто возникает, в частности, при
решении интегральных уравнений, краевых задач для
дифференциальных уравнений и т. д. Пусть решаемая задача имеет общий вид
Ах = а, (6)
где А-—операция; х — искомый; а— заданный объекты.
Характерной чертой прикладной задачи является то, что ее решение
часто бывает в какой-то мере известно на основании физических
соображений, аналогий или здравого смысла — известно грубо
приближенно или своими особенностями или какими-либо иными
своими характеристиками. Обозначим через х0 известный объект,
по возможности хорошо имитирующий искомое решение; тогда
по предположению объект
а0 = Ахо (7)
сравнительно просто найти. Однако равенство (7) можно
рассматривать как уравнение вида (6), но с измененным значением а,
причем естественно ожидать, что это уравнение по конструируемое™
решения хорошо имитирует уравнение (6). Поэтому вычислительный
метод можно проконтролировать на уравнении (7), решение которого
по предположению известно: если окажется, что он по а0 хорошо
восстанавливает х0, те можно ожидать, что и для уравнения (6)
он даст хороший результат; если же метод для уравнения (7)
окажется плох, то это уравнение может подсказать, как надо метод
улучшить. Этот способ контроля становится еще более убедительным,
■если вв.спользоваться несколькими объектами х„, по возможности
разнообразно имитирующими искомое решение.
д) Доказательство, основанное на рассмотрении частных случаев.
Как известно, этот способ рассуждений носит в общей логике
название индукции и весьма широко применяется за пределами
математики**. Здесь мы будем говорить о случаях, когда он применяется
совершенно отчетливо, так сказать, в чистом виде. Однако все типы
рациональных рассуждений в той или иной степени индуктивны;
грубо говоря, все, что не дедукция, есть индукция.
* «Надежность расчета с инженерной точки зрения может быть проверена,
например, тем, что мы найдем точное решение другой математической задачи,
близкой к исходной» [59, с. 66].
** Не следует путать индукцию с так называемым методом полной
математической индукции (согласно которому, как известно, какое-либо свойство присуще
вс£м натуральным числам, если оно присуще числу 1 и если из того, что этим
свойством обладают все натуральные числа < я, вытекает, что им обладает и число
я + 1). Этот метод, конечно, является полностью дедуктивным.
Дедуктивное изучение индуктивных процедур см., в частности, в [125, 126].
84
Причины применения подобных доказательств могут быть
различными. Так, дедуктивное доказательство может быть недоступным
из-за своей трудности. Часто бывает, что доказываемое утверждение
формулируется в рациональных терминах и потому в принципе
не допускает чисто дедуктивного доказательства; такая ситуация
особенно типична за пределами математики. Но даже если
утверждение формулируется в чисто дедуктивных терминах, то в прикладной
математике часто с самого начала идут не по пути отыскания
дедуктивного доказательства, а пользуются индукцией, которая может
оказаться существенно менее трудоемкой и в то же время не менее
убедительной для прикладника.
Весьма важен выбор примеров, на которых исследуется
доказываемое утверждение: если математические объекты служат
моделями реальных, то эти примеры являются как бы моделями моделей.
При этом существенно, чтобы примеры были типичными в
изучаемом отношении, т. е. чтобы исследуемое свойство не оказалось
полностью определяемым специфическими чертами примера, а
характеризовало весь класс объектов, из которого выбраны примеры.
Решения о том, является ли тот или иной пример типичным, а также
о том, сколько требуется примеров, выносятся на рациональном
уровне, на основе опыта, аналогий и интуиции. Конечно, чем больше
разобрано примеров, охватывающих по возможности различные
ситуации, тем заключение убедительнее; однако бывают задачи,
в которых разбор каждого примера вызывает настолько большие
трудности, что даже второй пример может уже оказаться
недоступным. С другой стороны, если разбор примеров не слишком сложен,
то после определенного их количества, разного в различных
задачах, доказываемое утверждение становится практически
достоверным, так что дальнейший разбор примеров только для
подтверждения этого утверждения становится нецелесообразным *. О некоторых
признаках такой достоверности мы поговорим позже. Отметим здесь
только один из наиболее убедительных признаков: на основании
первых примеров делается гипотеза, приводящая к некоторому
предсказанию, которое затем проверяется на примерах, независимых
от первых.
Особое преимущество имеют примеры, обладающие параметрами:
разбор таких примеров часто дает возможность активно
прозондировать пространство изучаемых объектов, а анализ зависимости
решения от параметров предоставляет дополнительную полезную
* Козьма Прутков [108, с. 142] описывает историю о том, ка< некто Кучер-
стон, желая испытать новую двуколку, «легкомысленно в оную вскочил, отчего
она, ничем в оглоблях придержана не будучи, в тот же миг и от тяжести совсем
назад опрокинулась, изрядно лорда Кучерстона затылком о землю ударив.
Однако сим кратким опытом отнюдь не довольный, предпринял он такой сызнова
проделать; и для сего трикратно снова затылком о землю ударился. А как и после того,
при каждом гостей посещении, пытаясь объяснить им оное свое злоключение, он
поАрежнему в ту двуколку вскакивал и с нею о землю хлопался, то напоследок,
острый пред тем разум имев, мозгу своего, от повторенных ударов, конечно
лишился».
85
информацию. Здесь проявляется общий рациональный метод
интерполяции и экстраполяции, который в широком смысле применяется
не только к зависимости одних величин от других, но и к любым
понятиям и методам, включающим параметры, по которым
производится продолжение.
Приведем примеры. В качестве первого рассмотрим задачу
о малых колебаниях вязкой жидкости, частично заполняющей
ограниченный сосуд и расположенной в поле тяготения, с учетом сил
поверхностного натяжения. Соответствующая задача без учета этих
сил рассмотрена на дедуктивном уровне в общих предположениях
о форме сосуда [127]; в частности, оказалось, что спектр собственных
значений к, входящих во временную зависимость ё~ ', имеет две
предельные точки 1 = 0и1 = оои весь, кроме конечного
подмножества (пустого, если вязкость достаточно велика), лежит на
вещественной оси.
Но как влияют на этот спектр силы поверхностного натяжения?
Соответствующая задача в общем виде сложна и пока еще на
дедуктивном уровне не решена. Удалось разобрать только частный
случай — задачу о колебаниях вязкого самогравитирующего шара
с учетом сил поверхностного натяжения [128]. Оказалось, что для
этой задачи последовательность собственных значений, ранее
сходившаяся к точке к = 0, «заворачивает» и сходится к К = <х>;
таким образом, и весь спектр имеет единственную предельную
точку Л, = оо. Свойство вещественности почти всех собственных
значений остается в силе.
Хотя разобран только частный пример, но довольно ясно, что
общий вывод о характере спектра не должен зависеть ни от формы
сосуда, ни даже от вида налагаемого потенциального поля сил.
Поэтому и в общем случае спектр задачи, учитывающей
поверхностное натяжение, должен иметь описанный общий характер, что
подтверждается и физическими соображениями. Другими словами,
по отношению к общему характеру спектра разобранный пример
является типичным*. Конечно, имеются и свойства спектра,
относительно которых данный пример нетипичен. Так, в указанном
примере собственные значения обладают высокой кратностью;
однако ясно, что это свойство определяется специфической
симметрией шара и в общем случае не имеет места. В данном случае
заключение о типичности или нетипичности оказалось довольно легким.
В качестве другого примера рассмотрим вопрос о том, как
сказывается рассогласование начального и граничного условий на
решении уравнения теплопроводности. Как известно, для волнового
уравнения такое рассогласование приводит к возникновению у
решения разрыва. Чтобы выяснить, что будет для уравнения
теплопроводности, достаточно рассмотреть модельный случай рассогласова-
* Подчеркнем, что это лишь правдоподобное утверждение, но обладающее
высокой степенью правдоподобия. Мы бы оценили эту степень в 0,999, оставив
0,001 на какие-нибудь совершенно непредвиденные обстоятельства.
86
ния самого простого вида для уравнения одномерного процесса
"5Г=а~Л?" (0<<<оо, 0 <*<«>).
ft|fa0 = fl0 (0<*<cx>), ^U=o = 0 (0<<<оо).
Решение этой задачи нетрудно выписать в явном виде:
s
* = ^ф(тк) • ™ ф w - /-F j е-|2/2^-
так называемый интеграл вероятностей. Мы получили автомодельное
решение, обладающее при / >■ 0 непрерывными производными всех
порядков. Таким образом, начальное рассогласование сразу же
ликвидируется, не порождая никаких разрывов. Ясно, что
разобранный случай является типичным*.
Доказательство на примерах особенно часто встречается в
сочетании с численным экспериментом. Дело в том, что возможность
и качество применения того или иного вычислительного метода к
конкретным задачам почти никогда не удается выяснить на чисто
дедуктивном уровне, да этим обычно и не занимаются. Чаще всего
сочетают дедуктивное рассмотрение какой-либо модельной задачи
с численным экспериментом в типичных условиях. Если как
дедуктивное рассмотрение, так и серия экспериментов показывают
удовлетворительное качество метода, то можно сделать индуктивное
заключение о возможности применения данного метода в общем
случае, по крайней мере в классе задач, прозондированных
экспериментами.
е) Использование результатов приближенного решения при
отсутствии строго доказанной конкретной оценки ошибки — оценки,
в которой предельная погрешность в конкретных примерах
принимала бы конкретные (явные, см. Введение) числовые значения.
В узком смысле этот способ рассуждения относится к применению
результатов приближенного вычисления. Только в самых простых
вычислениях да в примерах учебного характера оценку ошибки
можно получить строго на дедуктивном уровне. Чаще всего
дедуктивно выведенная оценка ошибки имеет асимптотический характер.
Например, она может иметь вид: абсолютная погрешность имеет
порядок О (п2), где h — шаг сетки; другими словами, эта
погрешность не превосходит Сп2, где постоянная С не указываемым явно
сложным образом зависит от параметров задачи, в частности, она
может зависеть и от искомого решения. Ясно, что такая оценка,
* Любопытный пример, основанный на материале чистой математики,
приведен в книге Д. Пойа [56, с. 339—342]. Допустим, что кто-то припомнил формулу
Герона S = Ур (р — а) (р — д) (р — с)[р— „ ■ I для площади
треугольника со сторонами а, Ь, с, но не вполне уверен в своей памяти. Тогда
последовательная проверка этой формулы для простых независимых случаев равнобедренного,
прямоугольного и вырожденного треугольников доводит эту степень уверенности
до полной.
87
строго говоря, ни при каком конкретном h не дает ничего
конкретного. Надо добавить также, что для многих вычислительных
методов до сих пор не проводится оценка влияния ошибок округления,
т. е. как бы принимается, что арифметические действия
производятся абсолютно точно; там же, где такая оценка проведена, она также
имеет асимптотический характер.
Отсутствие дедуктивно полученной оценки ошибки вычислений
обычно не вызывает никакого беспокойства и вряд ли бывает
источником неприятностей. Дело в том, что контроль точности можно
провести на рациональном уровне с помощью видоизменения
вычислительного метода или изменения его параметров (об этом мы будем
говорить в п.5), а также с помощью расчета контрольного примера
с известным решением (см. подпункт г). От асимптотической оценки
ошибки также можно перейти к конкретной оценке на рациональном
уровне следующим образом. Пусть, как мы говорили, ошибка имеет
порядок О (Л2). Примем тогда, что отклонение приближенного
решения от точного в некоторой выбранной норме равно СЛ2, где С —■
некоторая, заранее неизвестная постоянная. Уменьшим А в
несколько раз, например вдвое, и построим новое приближенное решение;
пусть оба приближенных решения отличаются друг от друга в
указанной норме на а. Тогда а должно быть заключено между СЛ2 —
— С (А) иСИс(у)2, откуда Си2 = g^rg" ***а" Это знач€ние
и можно принять за оценку ошибки первого приближенного решения,
тем более, что такая оценка обычно дается лишь с одной значащей
цифрой, а часто представляет интерес даже только порядок ошибки.
Как видим (это имеет место и для других примеров с не слишком
медленной сходимостью приближенных решений к точному), за
отличие приближенного решения от точного можно принять отличие
этого приближенного решения от другого, более точного.
Приведенная в предыдущем абзаце оценка отклонения
приближенного решения от точного имеет апостериорный характер, т. е.
опирается на результат уже проведенного приближенного
вычисления. Вообще, по-видимому, только апостериорные выкладки
способны приводить к оценкам погрешности, которыми можно было бы
пользоваться в конкретных примерах, тогда как наиболее
распространенные в чистой математике априорные оценки либо имеют
асимптотический характер, либо же чересчур пессимистичны.
Поэтому представляется важной разносторонняя разработка
методики апостериорных оценок как на дедуктивном, так и на
рациональном уровнях*.
Если говорить о рассматриваемом способе рассуждений в
широком смысле, то к нему можно отнести все математическое
моделирование, т. е. замену реальной задачи на ее математическую модель,
а также всевозможные упрощения задачи после формулировки ее
на математическом языке.
* См. по этому поводу [129].
88
ж) Применение вычислительных методов, сходимость которых
строго не доказана. Такая ситуация является довольно
распространенной, в частности, при решении дифференциальных и
интегральных уравнений математической физики. Сходимость метода, а также
его устойчивость относительно ошибок округления чаще всего
проверяются лишь для модельных уравнений простейшего вида, тем
не менее обладающих типичными особенностями основного
решаемого уравнения, например для линейных уравнений с постоянными
коэффициентами, для самых простых нелинейных уравнений и т. п.
Поскольку дедуктивно доказанной сходимости (расходимости,
устойчивости, неустойчивости) процесса на хорошо подобранной
модели обычно отвечает его практическая сходимость для моделируемой
математической задачи, то такое дедуктивное рассмотрение и
считается обоснованием, хотя это обоснование имеет, конечно, лишь
рациональный характер.
Но бывают и случаи, когда модельную задачу подобрать
затруднительно, а иногда поисками ее даже не занимаются, полагаясь
на аналогии или просто удачу, везение. В этих случаях заключение
о правильности решения можно вынести либо на основании сходства
с ожидаемым результатом, либо с помощью контрольных
вычислений (п.6).
С рассмотренным видом рациональных рассуждений
непосредственно связан следующий.
з) Изучение и применение решения задачи в случаях, когда
соответствующие теоремы о разрешимости (т. е. о существовании и
единственности) решения) не доказаны. Так, дедуктивное исследование
задачи может оказаться слишком сложным и потому пока недоступным
чистой математике, как это порой бывает для задач математической
физики. Может оказаться, что, хотя теоремы о разрешимости
имеются, они в рассматриваемых условиях не применимы, так как не
выполнены или невозможно проверить все предположения этих теорем,
например требования гладкости.
Однако гораздо чаще при решении прикладной задачи вообще
не занимаются размышлениями о том, доказана ли соответствующая
теорема о разрешимости и как в противном случае ее доказать.
Вместо этого пытаются выяснить на рациональном уровне на основе
опыта, аналогий или .исследования модельных задач вопрос о
правильности постановки математической задачи.
Действительно, в прикладном исследовании математическая задача представляет
собой схематизацию реальной картины; в свою очередь, при
численном решении эта задача будет заменена на некоторую ее
аппроксимацию. Поэтому чрезмерно детальное исследование точной
математической задачи дает сравнительно малую информацию о реальной
картине и потому, если оно требует затраты значительных усилий,
становится в прикладном исследовании мало оправданным*.
* X. Розенброк, С. Стори [99, с. 41] пишут: «Инженер... будет считать само
собой разумеющимся существование решения для разностного уравнения там,
где математик дал бы доказательство существования. Если он делает ошибку при
89
и) Применение практической бесконечности, т. е. трактовка
бесконечно малых и бесконечно больших величин как постоянных,
но имеющих иной порядок по сравнению с другими величинами.
Об этом способе рассуждений мы подробно говорили в п.2.3 — 2.5
и потому не будем здесь на нем останавливаться. Отметим только
его характерный внешний признак — знаки ^> и <^, не
применяющиеся в чистой математике.
С данным способом рассуждений тесно связан следующий.
к) Нелокальное применение результатов локального исследования.
Пусть, например, рассматривается некоторый бесконечный процесс,
включаюл,ий параметр а>0и сходящийся при достаточно малых
значениях а, причем соответствующая область сходимости, т. е.
необходимая малость значений а, как это обычно бывает, не
уточнена. Пусть, далее, требуется воспользоваться этим процессом для
некоторого вполне определенного, быть может относительно не
малого, значения а. Тогда применение процесса считается правомерным,
если а интуитивно все же признается относительно малым, а если
а не мало, то эта правомерность определяется по самым первым
шагам процесса.
Аналогичный ход рассуждений обычно применяется также,
когда понятием, имеющим инфинитезимальный характер
относительно некоторых параметров, т. е. включающим неуточняемо малые
их значения, нужно воспользоваться при конкретных значениях
этих параметров. Примером может служить большинство понятий,
связанных с устойчивостью.
Подробнее вопросы, связанные с нелокальным
использованием результатов локального исследования, будут рассмотрены в
главе II.
л) Применение понятий вне рамок их первоначального
определения. Об этой черте уже упоминалось в подпункте б). Так, интеграл,
первоначально определенный для непрерывных функций, может
применяться и для разрывных функций. Какой-либо параметр,
по первоначальному смыслу принимавший вещественные значения,
может в некотором рассмотрении оказаться принимающим
комплексные или матричные значения и т. д. Интуиция может подсказать
возможность и пользу такого применения до его точной расшифровки,
даже если оно первоначально окажется противоречащим
установившимся представлениям. Именно таким путем были в свое время
введены в математику мнимые числа, гораздо позже — дельта-
функция Дирака и т. д.
В качестве характерного примера важно рассмотреть решение
и(х, t)= Ф<*-*0 + Ф(* + *) (8)
этом, что, конечно, возможно, то не вследствие того, что ввел неверное допущение
(как сказал бы математик, принимая уравнение как данное), а скорее из-за того,
что уравнение, заданное исходной формулировкой, было некорректно и он был не,
в состоянии проверить это».
90
задачи Коши для волнового уравнения
д2и , д2и , ^ ^ _ - , _ .
с ~^Г (—оо<л;<оо, 0<<<оо),
л2 д*а
i , \ ди
и |/=о = ф (х),
= 0.
f=0
По своему первоначальному смыслу функция ф (х) должна быть
дважды непрерывно дифференцируемой, так как правую часть (8)
надо подставлять в дифференциальное уравнение. Однако уже давно
формулу (8) в приложениях стали применять для непрерывной
кусочно-гладкой и даже для разрывной функции ф (х), что может
получиться в реальных задачах. Содержательность результата
такого применения не вызывала сомнений, хотя его точный
математический смысл был не вполне ясен. Лишь сравнительно недавно,
после создания теории обобщенных решений дифференциальных
уравнений, стало понятно, что при этом оказалось построенным
обобщенное решение исходной задачи.
В менее наглядных случаях законность и смысл расширения
области применения понятия могут оказаться гораздо менее ясными.
Такое расширение, связанное, например, с применением
расходящихся рядов и интегралов, может на первый взгляд казаться
бессмысленным, хотя и приводящим к полезным следствиям*. Представляется,
что в таких случаях .детальный анализ хотя бы модельных схем
на дедуктивном уровне может оказаться полезным.
Имеется и много других видов рациональных рассуждений;
некоторые из них будут указаны в гл. II. Сколько-нибудь детально
классифицировать такие рассуждения пока не представляется
возможным (некоторая наметка кл ассификации по логическому
характеру рассуждений содержится в книге Д. Пойа [7]); однако и из
сказанного ясны их разнообразие и распространенность в
прикладной математике. Ясен также смысл алогизмов, приведенных во
Введении к этой книге: все они представляют собой примеры
рациональных рассуждений и являются алогизмами только с позиций чистой
математики; напротив, с позиций прикладной математики эти
рассуждения достаточно логичны, полезны и даже необходимы.
* Подобными приемами широко пользовался Л. Эйлер, обладавший в этом
отношении гениальной интуицией. Яркий пример приведен в книге [7, с. 38—40].
Применив правило разложения многочлена на линейные множители к функции
х3 , ** /, х2 \ I, х* \
sin х, Эйлер пришел к тождеству* — + -=: ... = х II ^ 111 — —2\ х
X (l —q-jl... , откуда, сравнивая коэффициенты при х3, получил равенство
1 + ~р+ "о2"+ — = ""ё~- Понимая некоторую шаткость этого вывода, Эйлер
подтвердил результат численным подсчетом. Затем, приведя аналогичный вывод
известного ранее равенства 1 ;г+-ё =т- + •■•==—г> Эйлер заключил
3 5 7 4
«Для нашего метода, который может некоторым казаться недостаточно надежным:
здесь обнаруживается великое подтверждение. Поэтому мы вообще не должны,
сомневаться в других результатах, выведенных тем же методом».
91
Вообще, не следует думать, что в рациональных рассуждениях
имеется нечто принципиально нелогичное, так как логика вовсе
не сводится к чистой дедукции. И действительно, с помощью таких
рассуждений мы можем приходить к практически достоверным
выводам. Однако логическая структура рациональных рассуждений,
несомненно, сложнее, чем дедуктивных, и они могут приводить
к .ошибкам. Поэтому надо отчетливо представлять себе возможные
причины таких ошибок (слабые места в рассуждении), сознательно
повышая степень достоверности полученных рациональных
утверждений, о чем мы будем говорить позже.
Именно ослабление требований к строгой определенности
формулировок, рассуждений и доказательств позволяет прикладной
математике получать результаты, недостижимые средствами чистой
математики; прикладная математика, опираясь на рациональные
рассуждения, дает возможность добывать полезную информацию
в тех случаях, когда чистая математика не дает ничего или требует
неоправданной затраты усилий*. Поэтому не следует думать,
что сочетание дедукции с рациональными рассуждениями,
свойственное прикладной математике, является временным и в
дальнейшем должно быть заменено чисто дедуктивными рассуждениями.
Напротив,'— и в этом состоит один из центральных тезисов этой
книги'— можно считать несомненным, что рациональные
рассуждения всегда сохранятся как характерная черта прикладной
математики. С другой стороны, следует признать закономерным, что
рациональные понятия и рассуждения и полученные с их помощью
правдоподобные утверждения в необходимых случаях подвергаются
углубленному логическому анализу, в том числе и на дедуктивном
уровне**.
* Н. Н. Моисеев [106, с. 7] пишет: «Математик с его традиционной манерой
мышления часто оказывается бессилен там, где инженер получает результаты,
вполне удовлетворяющие практику».
** Н. С. Бахвалов [60, с. 13J: «...типична обстановка, когда используются
методы, применение которых теоретически не обосновано, или теоретические
оценки погрешности неприемлемы для практического использования; при выборе
метода решения задачи и анализа результатов приходится полагаться на опыт
предшествующего решения задач, на интуицию и сравнение с экспериментом; и
при этом приходится отвечать за достоверность результата. Поэтому для успеха
в работе необходимы развитое неформальное мышление, умение рассуждать
по аналогии, дающие основания ручаться за достоверность результата там, где
с позиций логики и математики (конечно, имеется в виду чистая математика.—
Авт.), вообще говоря, ручаться нельзя.
В рассматриваемом вопросе есть и другая сторона. При численном решении
конкретных трудных задач, возникающих в других областях знания, математик
действует зачастую как естествоиспытатель, полагаясь во многом лишь на опыт и
«правдоподобные» рассуждения. Крайне желательно, чтобы такая эмпнрическаи
работа подкреплялась теоретическими разработками методов, аккуратной
проверкой качества методов на конкретных задачах с известным решением, объективным
сравнением с экспериментом. При длительном продвижении в каком-то
направлении без такого подкрепления может теряться перспектива работы, полная
уверенность в правильности получаемых результатов. Известное высказывание, что
«хороший теоретик может истолковывать в желаемом ему направлении любые
результаты как расчетов, так и эксперимента», содержит большую долю истины».
92
3. Дедуктивные элементы рациональных рассуждений. Сложное
рациональное рассуждение или система таких рассуждений могут
иметь весьма неоднородную структуру. Такое рассуждение может
включать физические соображения, ссылки на интуицию,
различные более или менее правдоподобные упрощения, решение
математических задач и ссылки на теоремы на чисто дедуктивном уровне,
вычисления, рациональные элементы, указанные в п.2, и т. д.
Каждая из этих составных частей имеет свои более или менее
установившиеся требования к логической определенности и представления
0 доказательности *.
Как подробно обосновано в книге [7], естественно принять, что
коэффициенты достоверности (правдоподобия) обладают
свойствами вероятностей. Поэтому, если сложное рациональное
утверждение А получается в результате конъюнкции независимых
рациональных утверждений Аг, А2,..., Ak**, то соответствующие степени
достоверности связаны соотношением
рА = рА,рАг ... PAk- (9)
Если какое-либо из утверждений Ас имеет чисто дедуктивный
характер и справедливость его известна, то рд{ = 1, и поэтому
формула упрощается. Для чисто математического рассуждения все
Ра. — 1. тогда как для рассуждения в прикладной математике
обычно лишь некоторые рл, могут равняться 1, да и то не всегда.
Напомним, что степень достоверности утверждения оказывается меньшей
1 ие только из-за неполноты знания, но также и из-за того, что
утверждение может включать рациональные понятия (такие, как
«погода» в примере п.1), для которых полная определенность, а
потому и полная достоверность принципиально не могут быть
достигнуты-.
Пусть для простоты А = Аг Д А2 (где Д — Знак конъюнкции),
причем утверждения А1 и А2 — независимые. Тогда
р(А)=р(А1)р(А2).
В частности, если утверждение Л2 чисто дедуктивное, то
р(А) = р(А1). (10)
Существенно, что практически та же формула (10) получится, если
утверждение Л2 значительно достоверней утверждения Ах, т. е.
если
1-р(Л)«1-р(Л)- (И)
* В работе [8] В. В. Налимов удачно охарактеризовал эту ситуацию термином
«мозаичность логических структур прикладной математики».
** Другими словами, А в логическом отношении имеет вид «Лх верно, и А2
верно, ..., n,Ak верно»; в записи А — Д М- По аналогии с теорией вероятностей
I
рациональные утверждения можно считать взаимно независимыми, если степень
достоверности каждого из них не меняется при любых дополнительных сведениях
о достоверности остальных утверждений.
93
При этом полезно вспомнить замечания п.1 по поводу точности
степени достоверности. Таким образом, в сложном рациональном
рассуждении чисто дедуктивные элементы не имеют преимуществ
перед рациональными элементами с достаточно высокой степенью
достоверности: включение в конъюнкцию как дедуктивных, так
и указанных рациональных элементов не сказывается на степени
достоверности.
Этот вывод относится, конечно, и к более общей формуле (9):
и здесь чисто дедуктивные элементы можно без ущерба для общей
достоверности заменять на рациональные элементы, существенно
более достоверные, чем наименее достоверное из утверждений At.
(Подобно тому как прочность цели определяется прочностью
самого слабого из ее звеньев и бессмысленно чрезмерно упрочнять
отдельные звенья по сравнению с остальными.) Конечно, если таких замен
одновременно производится много, то неравенства типа (11) должны
быть соответственно усилены.
Отметим, что если рациональное утверждение А выводится из
элементов At, то оно редко имеет вид f\Af, обычно эти элементы об-
ладают определенной избыточностью, т. е. связь между ними и
А имеет вид «если все Ас справедливы, то и Л справедливо», в
записи Д At =Ф> А. Однако при этом не все А{ необходимы для А: напри-
мер, при решении какой-либо задачи мы можем сослаться на
единственность решения соответствующего математического уравнения;
в дальнейшем может оказаться, что на самом деле такой
единственности нет, но в рассматриваемом случае это несущественно. Но если
Л Аt=ф> А, то рА > Рла. = Ща..
t * i '
И в этом случае замена дедуктивного утверждения на
рациональное, обладающее достаточно высокой степенью достоверности,
возможна. Вообще, такая замена возможна всегда, за исключением
случаев, когда целью исследования является вывод нового
дедуктивного утверждения.
Важно заметить также, что сама отсылка к дедуктивному
элементу в сложном рациональном рассуждении часто носит
рациональный характер. Вот довольно типичный пример. Пусть надо
решить уравнение общего операторного вида х — F (х), причем
вычисление оператора F является достаточно громоздким. Пусть
удалось доказать, что процесс итераций, построенный на схеме хп+\ =
= F (хп), сходится к искомому решению х при любом нулевом
приближении; обозначим это утверждение буквой В, для него рв =
= 1. Тогда распространенный образ действий таков: выбирают
нулевое приближение х0 по возможности ближе к искомому решению,
после чего полагают хх = F (х0) и это первое приближение
принимают за приближенное выражение искомого решения х, полагая,
что xlt во всяком случае, лучше аппроксимирует х, чем это делает
х0; это последнее утверждение обозначим буквой С.
При такой абстрактной формулировке схемы действий ясно
94
(это не всегда так видно в конкретных примерах), что утверждение
С отнюдь не является достоверным. В самом деле, сходящиеся
приближения вовсе не обязаны сходиться монотонно и нетрудно
построить пример, в котором первое приближение отстоит от искомого
решения дальше, чем нулевое. Таким образом, строго говоря,
утверждение В не является ни необходимым, ни достаточным для С.
Тем не менее, для сходящегося процесса первое приближение
гораздо чаще аппроксимирует искомое решение лучше нулевого, чем
наоборот. Поэтому проведенное дедуктивное доказательство
сходимости оказалось небесполезным, оно существенно повысило
степень достоверности утверждения С:
рс/в > Рс
где под рс/в понимается степень достоверности утверждения С
в предположении справедливости утверждения В*.
Но в сложном прикладном рассуждении непосредственно
используется утверждение С, а не В\ Таким образом, дедуктивный элемент
В играет роль рационального довода, повышающего достоверность
элемента С. Однако повысить эту достоверность можно было бы и
с помощью чисто рационального приема, например с помощью
численного 'эксперимента на модели. Мы видим, что дедуктивные
элементы здесь выступают на равных правах с рациональными, они
не делают утверждение в целом полностью достоверным, но в то же
время они не являются и бесполезными.
4. Степень достоверности и вероятность. В гл. XV книги [7]
подробно говорится о глубоких аналогиях между степенью
достоверности ** и вероятностью, указаны правила простых действий
над этими степенями и качественные выводы из этих правил ***.
В то же время Пойа настойчиво подчеркивает трудность
объективного приписывания такой степени конкретного числового значения.
Мы не будем здесь повторять рассуждений Пойа, а отошлем
читателя к его книге.
Однако если принять во внимание, что с нашей точки зрения
от степени достоверности р нельзя требовать сколько-нибудь
высокой точности и в окончательном ответе речь скорее должна идти
о пррядке величины 1 — р, то аналогию между вероятностью и
степенью достоверности можно использовать для грубого подсчета
этой степени на рациональном уровне. Приведем пример такого
подсчета, воспользовавшись для этого ситуацией, упомянутой
в п.З, но существенно упростив ее.
* Если о типе оператора F ничего не известно, то на основании личного опыта
мы бы оценили рс = 0,2; рс/в = 0,8.
** В [7] говорится о правдоподобности (creditibility) предположения, которая
в значительной мере аналогична рассматриваемой нами степени достоверности
утверждения; о некотором различии подходов см. п.1.
*** Например, чем с большей уверенностью мы относимся к возможному
основанию нашего предположения, тем больше будет подорвана вера в наше
предположение, когда это основание будет опровергнуто, и т. п.
95-
Пусть рассматриваются итерации двумерного вещественного
числового вектора, определенные формулами
xn+i = ахп + Ъуп,
Уп+i = схп + йуп,
причем известно, что, начавшись с любых значений х0, у0, они в
пределе при п -»- оо приводят к нулевым значениям (это утверждение
В). Какова степень правдоподобия того, что при этом первое
приближение окажется ближе к нулю, чем нулевое (это утверждение С)?
Чтобы перевести задачу на точный вероятностный язык, надо
сделать определенные предположения о законе распределения ее
параметров и уточнить все термины. Для этого допустим, что все
коэффициенты а, Ъ, с, d равномерно распределены на отрезке
[—1,11, так как при больших коэффициентах метод итераций вряд
ли будет применяться; кроме того, примем, что закон распределения
нулевого приближения (х0, Уо) не зависит от полярного угла ф в
плоскости х, у. За меру близости к нулю примем евклидову норму, т. е.
Ух2 + у2; тогда утверждение С означает, что х\ + у\ < х\ + у\.
Так как для х0 = г0 cos q>, y0 — г0 sin q> будет хг = r0 (a cos q> +
-f- Ь sin ф), ух = г0 (с cos ф + d sin ф), то утверждение С примет
вид
(a cosф + Ъsin ф)2 -J- (ссо5ф + dsfr^)2<l. (12)
Для справедливости утверждения В необходимо и достаточно,
чтобы собственные значения рассматриваемого преобразования,
т. е. корни характеристического уравнения
а — Я, Ь
d_% ssA,8 — (a + d)% + ad — fcc = 0
были по модулю меньше 1. Для вывода соответствующего признака
• 1 + W хж
совершим подстановку л = -y^z— • Мы получим квадратное
уравнение относительно w, корни которого должны иметь
отрицательную вещественную часть. Для выполнения последнего условия
необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты указанного
квадратного уравнения имели одинаковый знак, т. е.
1 + a + d + ad — bc>0, 1— о — d + ad — bc>0, (13)
1— ad + bc>0.
Таким образом, при сделанных предположениях вероятность
события* С при условии В равна среднему значению f функции
/ (а, Ъ, с, d) по части куба — 1 •< а, Ь, с, d < 1, в которой
удовлетворяются неравенства (13), где / при заданных а, Ь, с, d есть средняя
мера множества тех ф £ [0, я1, для которых выполняется
неравенство (12). Подсчет 7^на ЭЦВМ по методу Монте-Карло1б дал
результат / = 0,83*.
* Подсчет произведен М. А. Беляевой.
96 :
В качестве другого примера рассмотрим также упоминавшуюся
выше степень достоверности вывода о сходимости степенного ряда
при конкретном значении аргумента, если этот вывод сделан на
основании сравнения первых членов ряда. Пусть ряд имеет вид
а0 + а1х + а2х2 + ••- (14)
Типичным рядом с конечным радиусом сходимости г служит
сумма геометрической прогрессии, при г = 1 имеющая вид а0 (1 ±
гЬ х + х2 ± х3 + ... ).
Примем, что все коэффициенты ряда (14) независимы и
равномерно распределены на интервале [—1,1], т. е. для сходимости должно
быть |jc|<1. Однако окончательный результат будет выражен
в терминах членов ряда (14), а не его
коэффициентов; поэтому так как от любого
радиуса сходимости г можно с помощью
подстановки л; = гх', не меняющей членов ряда,
перейти к случаю г = 1, то этот результат
будет применим для любого радиуса
сходимости, в том числе и заранее не известного.
Допустим, что ряд (14) признается
сходящимся, если
\а1х\<а\а0\, (15)
где а — некоторое выбранное число; так, иногда принимают а = -^-,
т. е. требуют, чтобы второй член ряда был по абсолютной величине
по крайней мере в 3 раза меньше первого. Допустим, что х равно-
распределен на интервале, определяемом неравенством (15), и
подсчитаем при всех этих предположениях вероятность того, что | х | <
< 1, т. е. ряд (14) действительно сходится. Эта вероятность р равна
среднему значению доли тех х, для которых | х \ < 1 на интервале
(15). Так как значения х, для которых |x|> 1, имеются только
в заштрихованной на рис. 5 области, то в силу симметрии картины
искомое среднее значение равно
1 аа0
о о
Отсюда по правилам теории вероятностей получаем, что если,
кроме (15), требуется, чтобы третий член ряда (14) был связан со
вторым аналогичным неравенством с тем же а, то степень
достоверности утверждения о сходимости ряда (14) равна 1 —1-^-1 и т. д.
В частности, при а = -—■ получаем значения 0,9; 0,99 и т. д., которые
представляются довольно правдоподобными. Интуитивно
представляется также, что примерно такой же результат должен
получиться и для числовых рядов. При этом, конечно, речь идет о рядах,
для которых о законах образования коэффициентов (а для числовых
7 - 6-20
97
рядов ■—членов) заранее ничего не известно. Если по каким-то
известным причинам первые коэффициенты особенно малы или велики,
то соответствующие члены не должны фигурировать в условиях
ожидания сходимости.
Конечно, можно указать немало возражений против
примененных здесь схем подсчета степени достоверности, особенно во втором
примере. Все же думается, что при любой рациональной
схеме этого подсчета получаются примерно такие же значения, во
всяком случае по порядку, который только и существенен. Неко-'
торые другие примеры подсчета степени достоверности на
основании аналогии этой степени' с вероятностью содержатся в § IV.4
книги [130]. По-видимому, возможна систематическая теория такого
подсчета, быть может, аналогичная теории оценивания гипотез.
Однако эта тема заслуживает специального детального рассмотрения, и
потому мы не будем больше в этой книге на ней останавливаться.
5. Контроль и повышение правдоподобности. Во II томе книги
[7] рассмотрен ряд схем рассуждений, в результате которых
исходное утверждение становится более правдоподобным, т. е. принимает
более.высокую степень достоверности. Это, в основном,
подтверждение следствия из рассматриваемого утверждения, причем повышение
правдоподобия тем выше, чем менее правдоподобным представляется
априори это следствие, а также подтверждение или хотя бы
повышение степени правдоподобия утверждения, которое представляется
аналогичным рассматриваемому. Мы не будем здесь повторять эти
соображения в общем виде, а остановимся на некоторых способах
повышения правдоподобности, свойственных прикладной
математике. Отметим сразу же, что мы считаем важной задачей будущего
выявление, систематизацию, анализ и дальнейшую разработку этих
способов.
Важнейшим средством повышения правдоподобия какого-либо
утверждения является его повторный независимый вывод. Если
случайное совпадение результатов маловероятно, то для этого
совпадения должна быть определенная причина*; а если выводы
независимы, то причина должна быть в том, что рассматриваемый
результат верен. При этом отклонение повторного вывода от исходного
может осуществляться уже тем, что одно и то же реальное явление
допускает ряд не вполне равносильных математических моделей,
каждая из которых может иметь свои преимущества; кроме того,
* одна и та же модель может допускать различные аспекты
исследования **. Конечно, если справедливость какого-либо утверждения
* «...вероятность того, что это совпадение является только делом случая,
поэтому значительно меньше, чем (1/2) в0 ... Следовательно, это совпадение
должно быть произведено какой-то причиной, и может быть определена причина,
дающая совершенное объяснение полученных из наблюдений фактов» (Г. Кирхгоф,
цит. по [7, с. 306]).
** Это явление В. В. Налимов назвал [8] полиморфизмом языка прикладной
Математики, указав, что оно «... увеличивает его гибкость. Стирается, в каком-то
смыоле, грань с обыденным языком и одновременно проявляется новое
разграничение с традиционной математикой».
98
рационально показана на различных математических моделях, то
степень достоверности этого утверждения повышается, причем в тем
большей степени, чем меньше эти модели зависимы по отношению
к данному утверждению. *
Не менее часто возникает вопрос о повышении степени
достоверности решения, построенного рационально в рамках уже выбранной
математической модели. Например, это может быть численное
решение уравнения, полученное с помощью отбрасывания или
упрощения части его членов или путем применения какого-либо
вычислительного метода без дедуктивно обоснованной удовлетворительной
оценки погрешности. В этом случае основным способом повышения
степени достоверности результата является сравнение его с решением,
полученным с помощью другого, независимого вычисления**. Вывод
о хорошем качестве решения тем убедительнее, чем по большему
числу .независимых пунктов совпадают или близки оба результата.
В частности, решение приобретает высокую степень достоверности,
если искомой является некоторая функция, и ее значения,
построенные различными, априори не скоррелированными методами, окажутся
достаточно близкими на сетке, представляющей всю область
определения этой функции.
Так, решение дифференциального уравнения, построенное
методом сеток, можно проверить, воспользовавшись методом Бубнова —
Галеркина. Более того, результат, полученный методом сеток,
можно убедительно проверить, сохранив метод, но уменьшив шаг
сетки: в самом деле, неправильно выбранный сеточный метод может
реально привести лишь к практической расходимости (скажем, если
не проверена устойчивость метода); нужны уж совсем грубые
ошибки в реализации метода, чтобы он практически сошелся, но не к
искомому решению. Результат применения метода Бубнова —
Галеркина можно проверить, изменив базис. Можно также просто
расширить базис, но надо лметь в виду, что при этом результаты будут,
вообще говоря, скоррелированными, так что сравнение, например,
результата вычислений при трех базисных функциях и аналогичного
результата при одной добавленной базисной функции вряд ли будет
доказательным; однако добавление еще нескольких функций может
раскрыть тенденцию***.
* Степень такой зависимости есть степень достоверности того, что нз
справедливости данного утверждения в одной модели рытекает его справедливость в
другой.
** Этот вопрос рассмотрен также в [7, с. 431—432].
*** Интересная и, по-вндимому, совсем не изученная проблема возникает в
свизи с вопросом о полноте системы базисных функций в методах типа Галеркина.
Вспомним о том, что даже если мы исходим из полной системы функций, мы
реально выбираем из этой системы лишь небольшое число функций. С другой стороны,
легко проверить, что любую конечную систему функций можно дополнить до
некоторой полной системы, т. е. считать частью такой полной системы. Однако
это отнюдь ие означает, что с точки зрения полноты конечные системы функций,
которые мы выбираем в качестве базисных в методе Галеркина, ничем не
различаются. Выбираемая система должна обладать свойством практической полноты
относительно решаемой задачи, т. е. должна быть уверенность (или хотя бы надежда),
7*
99
Хорошее совпадение решений, построенных независимыми (не-
скоррелированными) методами, по многим пунктам-признакам
может довести достоверность этих решений до практически полной,
так как невероятно, чтобы такое совпадение оказалось случайным.
Грубо степень этой достоверности можно оценить по методам
теории вероятностей (п. 5), подсчитав хотя бы ориентировочно
вероятность случайного совпадения решений по рассматриваемым пунктам.
Другая возможность применения теории вероятностей состоит в том,
чтобы рассматривать приближенное решение как результат
наложения на точное решение случайных ошибок; тогда из сравнения при-
•ближенных решений можно, приняв ту или иную гипотезу о
характере этих ошибок, ориентировочно установить доверительный
интеграл для точного решения. Если приближенные решения,
полученные различными методами, расходятся сравнительно сильно,
то повышение достоверности можно получить с помощью осреднения.
До сих пор мы говорили о численном решении единичных задач,
т. е. задач, в которых значения всех параметров заданы. Если речь
идет о решении серии однотипных задач, скажем, различающихся
значениями параметров, то описанный контроль надо проводить
для одного или нескольких наборов значений параметров, достаточно
убедительно представляющих полный диапазон значений этих
параметров. При этом мы как бы пользуемся методом аналогий, о
котором говорилось в начале этого пункта, полагая, что если метод
оказался хорошим для некоторой задачи, то он будет хорошим
и для задач, аналогичных разобранной. Такой выборочный контроль
часто дает возможность нащупать опасные для выбранного
вычислительного метода зоны изменения параметров, если такие зоны
имеются. При этом контроле большое значение имеют задачи с
известными решениями (см. п. 2г), так как такие решения делают
излишним повторный независимый счет. Впрочем, если речь идет об
известных точных решениях, задаваемых формулами, то надо еще
продумать вопрос, не будут ли эти решения слишком специальными,
так что анализ общего метода на них может оказаться недостаточно
поучительным. Например, далеко не всякий метод, предлагаемый
для линейных дифференциальных уравнений, достаточно проверить
на частном случае уравнений с постоянными коэффициентами.
что искомое решение можно с приемлемой точностью аппроксимировать
линейной комбинацией базисных функций. Обычно этим свойством обладает набор
первых членов какого-либо нз распространенных бесконечных базисов для рядов
Тейлора, Фурье и т. п., хотя прн этом иногда приходится этих членов брать
довольно много, что определиется с помощью подробного исследования контрольных
примеров. Знание свойств искомого решения может при том же числе базисных
функций существенно повысить точность построении; например, если решение
должно иметь в некотором месте «горбик», то в качестве одной нз базисных
функций надо взять такой «горбнк» и т. п. Однако здесь возможен источник ошибки:
например, если исходить нз того, что решение будет четной функцией н в свизи
с этим взить базисные функции только четные, а на самом деле эта гипотеза
окажется несправедливой, то приближенные решения даже в случае их сходимости
будут аппроксимировать некоторую функцию, не являющуюся решением.
100
Наряду с повторным вычислением и сравнением с точными
решениями возможно выборочное сравнение построенного решения с
результатами физического эксперимента.
Если речь идет о построении приближенного решения в виде
формулы для задачи, включающей параметры, то важную роль
приобретает контроль решения в экстремальных ситуациях, когда
параметры приобретают крайние допустимые для них или другие
чем-либо характерные значения. Решения в таких ситуациях, а
также соответствующие асимптотические выражения часто удается
получить из дополнительных соображений, так что сравнение с
такими решениями и выражениями дает возможность
проконтролировать рассматриваемую приближенную формулу и уточнить ее в
случае необходимости. Более того, в сравнительно простых задачах
уже один только анализ экстремальных ситуаций дает возможность
получить удовлетворительную приближенную формулу,
включающую небольшое число произвольных постоянных, которые затем
определяются из эксперимента или вычислений (см., например,
[82, § 11.41).
Вариантом метода аналогий является также повышение
правдоподобности лишь одного характерного результата или нескольких
таких результатов в рассматриваемой задаче; при этом мы
допускаем, что одновременно повысится правдоподобность и других
результатов, скоррелированных с этими характерными. Пусть, например,
некоторый метод дает возможность численно определить частоту
и форму собственных колебаний. Если контроль показал, что
частота при этом определена с хорошей точностью, то естественно
ожидать, что и форма колебания получилась с удовлетворительной
точностью*.
В заключение остановимся немного на вопросе о выборе рабочей
гипотезы (п. 2в). Часто бывает, что в начале исследования
представляются приемлемыми несколько рабочих гипотез, каждая из
которых имеет некоторую априорную степень правдоподобия, причем
эти гипотезы могут не полностью противоречить друг другу, а как
бы перекрываться. При дальнейшем исследовании правдоподобности
гипотез могут меняться; в частности, если какая-либо из этих
гипотез признается невозможной, то она отбрасывается, что обычно
увеличивает правдоподобности оставшихся гипотез и может даже
превратить некоторые из них в практически достоверные^
утверждения.
Таким образом, важным средством повышения степени
достоверности какого-либо утверждения служит приведение к
противоречию утверждений, соперничающих с рассматриваемым (одного или
нескольких), в особенности утверждений, полностью несовместных
* Следует все же заметить, что форма колебаний получается обычно с
худшей точностью, чем частота; грубо говоря, каждым двум верным знакам частоты
отвечает только одни верный знак формы. Соотношение между формой и частотсй
колебаний примерно такое же, как между точкой экстремума функции и
соответствующим экстремальным значением.
101
с рассматриваемым. При этом существенно отметить, что если
утверждение, невозможность которого мы хотим показать, содержит
не вполне точно определенные понятия или по своему смыслу
выполняется лишь приближенно, то и доказательство его
невозможности должно быть убедительным на выбранном уровне точности
и приближения. Не любое дедуктивное рассуждение удовлетворяет
этому требованию: грубо говоря, нельзя из утверждения п = 3,14,
перенеся правую часть налево и разделив после этого обе части
на л — 3,14 =0,00159..., получить невозможное равенство 1 =
= 0 и на основании этого сказать, что мы привели исходное
утверждение к противоречию. Здесь уровень приведения к противоречию
явно не соответствовал уровню исходного утверждения и правилам
приближенных вычислений, но в других примерах это может быть
не так очевидно *.
Указанные рациональные рассуждения в сочетании с
неформальным истолкованием смысла изучаемых объектов могут сделать
утверждение практически достоверным, а рассуждение в целом —■
интуитивно убедительным (п. 2.8).
6. О практической достоверности. Как было сказано в п. 5,
с помощью независимого контроля, показывающего совпадение
по многим пунктам, можно сделать решение практически
достоверным. В связи с этим следует еще раз остановиться на относительности
понятия достоверности (см. пп. 1 и 2.4). В п. 2.5 мы говорили о том,
что всякое утверждение, даже такое, как 2x2 = 4, формально
допускает некоторую возможность его ошибочности. Поэтому
такие выражения, как «достоверно», «практически достоверно»,
«абсолютно достоверно» и т. п., только и могут означать, что
вероятность противоположного события в том или ином смысле
пренебрежимо мала. Насколько именно — это зависит от области, к которой
относится утверждение, от соответствующих традиций, от
возможных последствий того, что утверждение окажется неверным, и т. п. **
* Остроумный пример мнимого противоречия приведен в [30, § 7.4]. Из
утверждений «Если я называю тебя буйным человеком, то я называю тебя
человеком» и «Если я называю тебя человеком, то я говорю правду» не вытекает
утверждение «Если я называю тебя буйным человеком, то я говорю правду».!
Здесь дело в нечеткости понятия «я говорю правду», которое меняет свой смысл
в процессе рассуждения.
** Это обстоятельство в утрированной форме выражает следующий анекдот
[23, с. 102—103]: «Физик верит,— сказал математик,— что 60 делится на все числа.
Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других
чисел, например 10, 15, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Так как 60 делится
и на них, то он считает экспериментальные данные достаточными.
Да, но взгляни на инженера,— возразил физик.— Инженер подозревает,
что все нечетные числа — простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как
простое число,— доказывает он. Затем идут 3, 5, 7 — все, несомненно, простые.
Затем идет 9 — досадный случай — оно, по-видвмому, не является простым
числом. Но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9,— говорит он.— Я заключаю,
что 9 должно быть ошибкой эксперимента.
Но,—говорит инженер,— посмотрите на врача. Он разрешил безнадежному
больному уремией съесть борщ — и тот выздоровел. Врач пишет научную работу
о том, что борщ помогает при уремии. Но затем снова дает подобному больному
102
В п. 1 мы предложили считать практически достоверным
утверждение со степенью достоверности р ~ 1—Ю-12. Это примерно
степень достоверности того, что здоровый человек, решив выйти
из своей комнаты в коридор, сможет это сделать, т. е. что он по дороге
не умрет от внезапного приступа или от падения метеорита, что
дверь не заклинится от землетрясения и т. п. Думается, что в
жизни и в науке мы начинаем называть утверждения достоверными
уже при меньшей степени достоверности*. А в силу сказанного в
пп. 2.4 ■— 2.5 утверждения со степенью достоверности р > 1 — Ю-200
следует называть абсолютно достоверными: таким образом,
абсолютно достоверно, что 2x2 = 4, что жил Наполеон, что обезьяны не
могут напечатать сочинение Шекспира и т. д.
Э. Борель в [78, гл. IX] подробно останавливается на понятии
достоверности, говоря, в частности, что «наша практическая
достоверность равноценна теоретической достоверности математиков. Мы
столь же уверены в существовании Лондона, как и в свойствах
конических сечений». Но ведь доводы в пользу существования
Лондона имеют не дедуктивный, а рациональный характер; таким
образом, на основе рациональных рассуждений можно достичь
абсолютной достоверности.
Поэтому нет ничего невозможного в том, что с помощью
рациональных рассуждений мы и в прикладной математике можем в ряде
случаев достичь достоверности —- по нашей терминологии
практической или даже абсолютной, не отличающейся от достоверности
утверждений чистой математики.
7. Рациональные рассуждения с позиций оптимальности.
Различные рациональные рассуждения совершенно неравноценны как
по трудности их проведения, так и по тому вкладу, который они
способны внести в успех решения задачи. Так, если предлагается
вычислительный процесс, то мы должны считаться с имеющимися
в нашем распоряжении вычислительными средствами и их
эффективностью, а в некоторых случаях — и с их экономичностью,
в частности определить целесообразный уровень повышения
точности вычислений. Если речь идет о повышении степени
достоверности некоторого рационального утверждения, то весьма существенно
следить за тем, насколько то или иное рассуждение способствует
этому повышению, в частности можно ли достичь практической
достоверности и как это Сделать, затратив наименьшие усилия.
борщ — и тот умирает. Тогда в гранках врач исправляет: «Борщ помогает в 50
процентах случаев».
Да, но хорош математик,— говорит врач.— На вопрос: «Как поймать льва
в пустыне?» — он отвечает: «Что значит поймать льва? Это означает — отгородить
льва от себя решеткой. Я сажусь за решетку — и лев, по определению, пойман!»
Как сказано — сказка ложь, но в ней намек!
* Так, в ряде областей приложения теории вероятностей рекомендуется
игнорировать события, вероятность которых меньше 10 . Эта константа введена
Бюффоном; она представляла собой вероятность того, что взятый наугад
англичанин в возрасте 56 лет умрет в течение предстоящих суток.
103
Часто сравнительно трудоемкими оказываются чисто
дедуктивные включения; в то же время в п. 3 мы говорили о том, что такие
включения обычно не делают утверждение, в обоснование которого
они входят, полностью достоверным, а лишь в большей или
меньшей степени повышают степень его достоверности. Поэтому если
такого же или даже большего повышения степени достоверности
можно достичь с помощью менее трудоемкого рационального
рассуждения, то применение дедуктивного включения окажется в
противоречии с требованием оптимальности (п. 1.7).
К сожалению, до сих пор широко применяются схемы
рассуждений, требующие большого труда при их реализации, но мало
повышающие степень достоверности результата. Ярким примером может
служить доказательство сходимости бесконечного процесса в
условиях решаемой задачи, используемое как довод в пользу
правдоподобности результата, основанного на применении весьма небольшого
(часто одного-двух) числа шагов этого процесса; о таких
рассуждениях упоминалось во Введении. Построение доказательства
сходимости часто оказывается делом весьма тонким и трудоемким. В то
же время хорошо известно, что первые члены разумно выбранного
расходящегося процесса могут дать приближение ничуть не
худшее, чем в случае процесса сходящегося. Грубо говоря, авторитет
первых членов в сущности немного выигрывает от того факта, что
доказана сходимость процесса.
Гораздо больше повышает степень достоверности решения,
основанного на применении небольшого числа шагов бесконечного
процесса, возможность включения этого решения в схему с малым
параметром (п. Н.2.8) в сочетании с анализом практической
сходимости; к тому же такой образ действий гораздо менее
трудоемок. Важной задачей прикладной математики будущего является
сравнительный анализ трудоемкости и прикладной ценности
различных типов рациональных рассуждений для разных классов задач
с тем, чтобы облегчить выбор направления таких рассуждений.
Можно только пожалеть, что если в подобных случаях
доказательства сходимости нет, то иные критики требуют их проведения,
считая их как бы индульгенцией, избавляющей от ответственности
за греховность последующих операций. Такие критики иногда
добросовестно заблуждаются, подсознательно исходя из чувства
справедливости и полагая, что существенные усилия, потраченные
при проведении дедуктивных доказательств и требующие порой
привлечения глубоких познаний, должны иметь столь же существенные
последствия. Однако монументальное здание с колоннами,
предназначенное для размещения в нем табачного киоска, мало
выигрывает от того, что при сооружении были преодолены огромные
трудности архитектурного решения и производства работ; они
возникли из-за неразумного выбора конструкции!
Надо иметь также в виду, что манера применения дорогостоящих
средств, мало способствующих продвижению в решении
поставленной задачи, став традицией, не только способствует расточительству
104
интеллектуальных сил, но и наносит психологический вред:
придавая решению видимость строгости и логической завершенности,
она затрудняет правильное понимание подлинной ценности
полученных результатов*.
Аналогичную роль играют теоремы о существовании и
единственности решения, которые, будучи относительно трудоемкими, а
иногда и весьма трудоемкими, обычно не дают серьезного усиления
степени достоверности конструируемого решения или утверждения
о том или ином важном в прикладном отношении свойстве этого
решения**. По-видимому, возможная прикладная ценность общих
теорем о разрешимости состоит в выяснении правильности
математической постановки задачи, а также иногда в возможности извлечь
из доказательств конструктивные следствия. Однако первое
обычно более легко устанавливается на основании аналогий и анализа
примеров, тогда как второе далеко не всегда получается хорошо,
да и вообще непрямой путь подобного образа действий бросается
в глаза.
Итак, мы вновь приходим к выводу, что в прикладной математике
надо пользоваться таким сочетанием дедуктивных и рациональных
рассуждений различных типов, которое наилучшим образом
приводило бы к цели предпринятого исследования; а этой целью является
не создание и развитие логических структур, а реальная помощь
в получении убедительного вывода, относящегося к вопросу,
который лежит за пределами математики.
* Дж. Шварц по аналогичному поводу пишет [214]: «К сожалению,
нелепость в мундире гораздо более убедительна, чем нелепость обнаженная. Уже тот
факт, что теория появляется в математической форме, что, например, эта теория
дала повод применить теорему о неподвижной точке или результат, касающийся
разностных уравнений, как-то заставляет нас отнестись к ней серьезно».
«Интеллектуальная привлекательность математического доказательства так же, как и
значительная умственная работа, затраченная на его проведение, делает
математику мощным орудием интеллектуальной мистификации, блестящей ложью, где
одни обманываются, а другие, увы, обманывают». Впрочем, думается, что вместо-
«обманывают» более правильно сказать «невольно вводят в заблуждение». В более
мягкой форме выразили эту мысль М. Кац и С. Улам [13, с. 218]: «Хотя (и это
весьма примечательно) так часто какое-либо детище математики, задуманное и
выращенное в ее недрах, оказывается неожиданно полезным для описания явлений
внешнего мира (хорошими примерами служат комплексные числа и матрицы),
тем не менее ни элегантность, ни особая сложность того или иного
математического понятия, построения или метода сами по себе не дают никакой гарантии их
практической полезности и пригодности». Поэтому несколько курьезно выглядят
слова Ф. Дайсона, когда он в своей интересной статье [12, с. 119], сравнивая
методы теории поля, S-матриц и теории групп в теоретической физике, пишет: «Из.
трех перечисленных выше методов теория поли хуже других согласуется
^экспериментом, зато математически оказывается самой строгой и изысканной; что же
касается ее уместности в физике, то она далеко не ясна». Это несколько
напоминает известный анекдот: «Операция прошла блестяще; правда, больной скончался».
О «математическом гипнозе» в прикладных исследованиях пишет также
Л. Дойл [14], впрочем, приводя слова информатика Р. Файртхорна: «Если люди
глупо используют методику, то, может быть, не методика виновата?».
** См. по этому поводу отзыв Л. Д. Ландау (п. III. 2.1).
ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
1. Предварительные замечания. Тема настоящей главы весьма
широка и потому, как уже говорилось, наше изложение — мы
отчетливо это понимаем •— будет далеко от полноты. Мы выскажем
несколько соображений, местами фрагментарных, по поводу этой
темы, стараясь избегать дублирования распространенных
источников. Сказанное относится, в частности, к настоящему
параграфу, который ни в коем случае не претендует на полное изложение
основ математического моделирования.
Обычно в прикладном математическом исследовании можно
условно выделить следующие основные этапы:
1) математическая формулировка задачи (другими словами,
построение математической модели, математическое моделирование);
2) выбор метода исследования полученной математической
задачи;
3) проведение математического исследования (чаще всего в это
исследование входят также приближенные вычисления);
4) анализ и реальная интерпретация полученного
математического результата.
Мы уже говорили в главе I, что эти этапы тесно связаны между
собой, и поэтому их расчленение является до некоторой степени
искусственным. Так, построение математической модели обычно
осуществляется с предварительной ориентировкой на предполагаемый
метод решения математической задачи. С другой стороны, в
процессе проведения математического исследования или интерпретации
решения может понадобиться уточнить или даже существенно
изменить математическую модель.
2. О понятии модели. Общее понятие модели имеет, конечно,
сугубо рациональный характер. Мы говорим, что объект М
является моделью объекта* А относительно некоторой системы S
характеристик (свойств), если М строится (или выбирается) для
имитации А по этим характеристикам. Модель может быть
построена как для изучения указанных характеристик
(исследовательские модели, которыми мы будем впредь заниматься), так и для
их непосредственного использования (рабочие модели: автопилот,
протез, кукла, деньги и т. д.). Моделирование, т. е. построение
моделей, лежит в основе любой науки; впрочем, мы будем рассматри-
* Здесь термин «объект» понимается в наиболее широком смысле; в частности
«объектом» может служить любаи ситуация.
106
вать лишь модели, нацеленные на решение поставленной задачи
средствами математики.
Из общих свойств моделей отметим, что поскольку модель
строится лишь для имитации и притом лишь части свойств исходного
объекта, как правило, она оказывается в целом проще его. Это
относится как к исследовательским, так и к рабочим моделям
(автопилот проще пилота, протез — проще заменяемого органа, кукла
проще ребенка, деньги проще товара и т. д.).
В зависимости от характера объекта М можно говорить о
математической модели, физической модели, экономической модели и т. д.
Математической моделью может служить число, геометрический
образ, функция, система уравнений и т. п.; естественно, что именно
такие модели служат центральным предметом рассмотрения в этой
книге. Для некоторых классов задач понятию математической
модели можно придать чисто дедуктивный характер (см., например,
[131, гл. 12]); мы не будем здесь пользоваться подобными
определениями, хотя в ряде случаев они могут оказаться полезными.
Что касается физических моделей, то прежде всего бросается
в глаза их подразделение на два класса. К первому классу
относятся физически реализованные модели, с которыми мы имеем дело в
процессе физического эксперимента; хотя с этим способом
моделирования также связаны некоторые важные математические вопросы
(от теории подобия до теории планирования эксперимента), но здесь
мы не будем их касаться. Второй класс образуют умозрительные ■
физические модели, служащие переходным звеном к математическим
моделям. Предполагается, что такие умозрительные модели
подчиняются тем или иным реально действующим физическим законам
(хотя, можетбыть, это специально не оговаривается), но не
обладают малыми «неидеальностями», свойственными реальному объекту,—
конечно, если объектом изучения не является роль таких неидеаль-
ностей. Таковы сплошная упругая среда в теории упругости,
вязкая жидкость в гидромеханике, ферма с идеальными шарнирами
в строительной механике и т. п. Очень часто такие модели содержат
значительный элемент аппроксимации и сохраняют значительное
внешнее сходство с изучаемым объектом (впрочем, всякая разумная
аппроксимация сама по себе должна считаться специальным
способом моделирования). Иногда после перехода к математической
модели выясняется, что та же математическая модель соответствует
также совершенно иной умозрительной физической модели,
основывающейся на других физических законах; так возникают аналогии —
вроде мембранной аналогии или гидродинамической аналогии в
теории кручения стержней. Такое «замыкание» двух физических
умозрительных моделей на одну общую математическую модель может
быть использовано для наглядного обсуждения отображаемых
качественных свойств изучаемого явления или для постановки
аналогового эксперимента на физически реализованной
модели, не обладающей никаким внешним сходством с изучаемым
объектом.
107.
Один и тот же объект А может иметь много неэквивалентных
моделей. Это прежде всего связано с существованием различных
аспектов изучения объекта Л, т. е., другими словами, с необходимостью
исследования различных систем 51( 52, ... его характеристик;
яркие примеры этого приведены в главе II книги В. И. Феодосьева
[18]. Но даже принципиально разные модели могут появиться и при
изучении одной и той же характеристики; это относится, в частности,
и к математическим моделям. Так, один и тот же реальный объект
можно описывать с помощью непрерывной или дискретной,
детерминированной или стохастической и т. д. моделей *. Выбор типа
модели, весьма существенный для направления всего исследования,
может естественно подсказываться самой реальной картиной
(моделируемым объектом) или разумными традициями, однако и тогда
полезно иметь в виду возможность изменить тип модели. (Впрочем,
нередко тип модели выбирается из слепого подражания или
определяется пробелами в образовании исследователя.) Наличие разных
моделей может объясняться различной детализацией описания
изучаемых характеристик**; в более сложных ситуациях сравнение
результатов исследования с помощью моделей разного типа может
существенно обогатить познания об изучаемом реальном объекте,
значительно повысить их достоверность (ср. пп. 1.3.5, 1.3.6).
На целесообразности такого «спора моделей» специально
останавливается Е. С. Вентцель в своей полезной книге [133, с.15].
Отметим, что и после выбора типа математической модели
оказываются возможными ее разнообразные модификации. Так, очень
существенным может оказаться выбор обобщенных координат, в
которых описывается модель; в привлекаемых к исследованию
уравнениях можно оставлять одни члены и отбрасывать другие;
иногда можно нелинейные зависимости заменять линейными, сложные
геометрические формы — более простыми и т. д.
Вопрос об общих принципах, общих методах построения
математической модели очень сложен, мало разработан и здесь
рассматриваться не будет. Укажем только, что уже после выбора схемы
модели часто возникает задача, иногда называемая задачей об
идентификации модели, об определении ее параметров (в том числе, функ-
' * Ю. И. Неймарк в своей интересной книге [132] пишет по аналогичному
поводу (стр. 13): «...принятие той или иной математической модели зависит от
целей, поставленных исследователем, от фактического уровня науки и в
значительной мере от имеющихся средств изучения. Последнее обстоятельство, несмотря на
кажущуюся его непринципиальность, подчас играет решающую роль». Например,
для применения ЭЦВМ удобнее одри модели, а для аналитического исследования—
другие.
** Приведя пример сведения задачи об управлении реактором к уравнениям
различных типов, X. Розенброк и С. Сгори пишут [99, с. 296]: «Такая ситуация
с позиций математиков и инженеров имеет разный смысл. Для математиков
уравнения (2) и (3) ведут к двум разным задачам. Для инженеров они ведут к двум
различным способам решения одной и той же задачи — отысканию наилучшего
распределения температур для рассматриваемой физической системы. Эти способы
отличаются разной степенью упрощения задачи».
108
циональных — см. п. 1.2.7), уточнении структуры и т. п.*. Эта
задача может быть решена либо путем непосредственных замеров
и вычислений, либо косвенно, путем сравнения отдельных свойств
модели с известными данными. «Достроив» таким образом модель
и изучая ее свойства, можно делать выводы о свойствах
моделируемого объекта.
В некоторых случаях моделирование обеспечивается тем, что
модель М объекта А имеет в том или ином смысле сходную с А
структуру, которая и порождает имитацию выбранных характеристик.
Однако, вопреки иногда высказываемому мнению, подобное
структурное сходство модели с моделируемым объектом отнюдь не
обязательно, так как имитация свойств может быть обеспечена и каким-
либо иным способом. Рассмотрим, в частности, случай, когда
изучается воздействие на объект А возмущений некоторого класса V,
причем каждому возмущению v £ V отвечает некоторый отклик
г = г (v). (При этом в понятие возмущения можно формально
включить все, что задается, в том числе и начальные условия, если они
существенны.) В соответствующей математической модели
возмущение v' и отклик г' уже представляют собой наборы чисел, векторов,
функций и т. п., причем по v' (соответственно г') возможно
восстановить v (соответственно г) и обратно, а сама модель определяет
зависимость г' (v'). Тогда условием моделирования является
требование, чтобы эта зависимость имитировала зависимость г (v)
независимо от того, каков механизм этой имитации. Можно даже
проявить высшую степень безразличия к структуре объекта А
и трактовать модель как черный ящик, для которого входами
служат возмущения из выбранного класса V, а выходами —
выбранные отклики на эти входы. Может оказаться, что из-за неполноты
информации (например, задаются не все параметры, существенно
влияющие на выходы) или в силу самой природы изучаемо системы
вход v' определяет выход г' неоднозначно; в этом случае модель
может описывать объект Л в том или ином вероятностном смысле.
Впрочем, даже если вход v' определяет ьыход г' однозначно, то
обратное совсем не обязательно; обратимости здесь, вообще говоря,
нет; в частности, размерность многообразия выходов часто
оказывается существенно ниже размерности многообразия входов **.
Обычно в прикладном исследовании, в котором применяется
математика, последовательно строится несколько моделей. Эти
модели могут относиться к различным компонентам или различным
аспектам изучаемого явления, могут иметь разную степень абстрак-
| * Проблеме' идентификации посвящена книга"[134]; см. также [135].
** В связи со сказанным отметим, что Ю. И. Неймарк[ 132, §1.1]
подразделяет математические модели динамических систем на два класса: структурные, т. е.
основанные на изучении внутреннего состояния системы, и функциональные, т. е.
основанные на изучении преобразования системой входных сигналов в выходные.
Мы здесь придерживаемся более общего (хотя и менее четкого) определения
модели, так как характеристики, относительно которых проводится моделирование,
могут, в частности, относиться как к структуре, так и к функционированию
системы, а также к тому и другому одновремэнно.
109
тности; а их анализ может чередоваться с действиями, не имеющими
математического характера. Кроме того, могут возникать цепочки,
в которых каждое последующее звено служит моделью для
предыдущего. Например, мы можем реальную конструкцию мысленно
заменить на систему стержней (умозрительное физическое
моделирование); затем записать систему уравнений, определяющих
напряжения и деформации в этих стержнях (математическое
моделирование); далее упростить полученную систему уравнений,
отбрасывая члены, которые нам представляются менее существенными
(такое упрощение есть, конечно, моделирование одного математического
объекта другим), и т. д. В процессе исследования происходят
переходы от одних моделей к другим, а иногда и параллельное изучение
нескольких моделей.
В заключение заметим, что само понятие «изучить модель»
существенно сложней, чем это может показаться с первого взгляда;
лишь в редких случаях это изучение приводит к короткому ответу
(число с небольшим количеством верных знаков, ответ типа «да»
или «нет» и т. п.), который обычно является окончательной целью
исследования. Гораздо чаще изучение модели еще подливает воды
в море информации, связанной с исследуемой проблемой, и может
потребоваться новый взгляд на ситуацию, который даст
возможность «выудить» из этого моря необходимый результат. Поэтому
важна целеустремленность построения моделей: надо не изучать
все то, что связано с поставленной проблемой, а стараться по
возможности экономным путем идти к цели. Грубо говоря,
исследование модели тем успешнее, чем больше принято во внимание при ее
построении основательных соображений о предполагаемых свойствах
изучаемого объекта; чтобы найти, надо знать, что искать! Впрочем,
это благое пожелание, реализация которого должна начинаться
уже с продуманного выбора координат, гораздо проще высказать,
чем осуществить ... *
3. Требование адекватности. Важнейшим требованием к
математической модели является требование ее адекватности
изучаемому реальному объекту (процессу и т. д.) относительно выбранной
системы его характеристик. Под этим обычно понимается:
1) правильное качественное описание объекта по выбранным
характеристикам. Например, в результате изучения модели мы
делаем правильный вывод о затухании колебаний реального объекта,
об устойчивости его движения и т. п. **;
* По поводу понятия модели см. также [136—141].
** В областях, которые еще не подготовлены для применения развитых
количественных методов (например, в некоторых социальных науках), адекватность
модели по необходимости является лишь качественной. В частности, модель может
выивлять существенные качественные характеристики изучаемого явления (такие,
как равновесие, устойчивость и т. д.) и влияние одних характеристик на другие.
На этих вопросах останавливается Саатн в своей книге [142]. Сходным образом
говорит Мак Рей по поводу моделирования управления предприитиями [92, с. 4]:
«Управленческая модель может иметь низкую прогнозную ценность, но если она
ПО
2) правильное количественное описание объекта по выбранным
характеристикам с некоторой разумной степенью точности.
В частности, если изучается отклик объекта на возмущения того
или иного класса (п. 2), то модель, адекватная относительно одного
класса возмущений, может оказаться неадекватной относительно
возмущений другого класса (примеры см. ниже). Таким образом,
адекватность моделирования определяется не только моделируемым
объектом и моделью, но также видом рассматриваемых возмущений,
выбранным классом откликов на них и принятым уровнем точности
описания. Это отвечает принятому общему определению
адекватности, так как под характеристикой реального объекта можно,
в частности, понимать его реакции на возмущения того или иного
класса. Поэтому модель типа черного ящика (п. 2) адекватна, если
в рамках выбранной степени точности (определяющей степень
адекватности, см. ниже) она функционирует так же, как и реальная
система, т. е. определяет тот же оператор преобразования входов
в выходы.
Возвращаясь к общему случаю, отметим, что можно говорить
не просто об адекватности модели, но также о большей или меньшей
адекватности. Поэтому мы будем условно говорить о степени
адекватности модели, понимая под этой степенью как бы долю
истинности модели относительно выбранной характеристики изучаемого
объекта, нечто вроде коэффициента корреляции модели и исходного
объекта по этой характеристике. Это типично рациональное понятие,
и хотя по идее степень адекватности должна принимать числовые
значения от 0 (полная неадекватность )* до 1 (полная адекватность),
но предложить регулярный способ приписывания таких значений
в общем случае вряд ли возможно. (Сравните аналогичные
затруднения в п. 1.3.1 при рассмотрении степени достоверности.) Впрочем,
в некоторых простых ситуациях численная оценка степени
адекватности модели не представляет особых затруднений и прочно вошла
в практику. В качестве примера можно указать на задачу об
оптимальном выборе степени полинома, аппроксимирующего данную
совокупность экспериментальных точек (см. п. 2.9).
помогает нам понять структуру проблемы, то этого достаточно для того, чтобы
оправдать расходы на ее построение».
Даже в технике, где применение математики апробировано, модель может
оказаться количественно неадекватной из-за сложности изучаемого объекта. Однако
и здесь понимание роли существенных свойств (таких, например, как действие
обратной связи, возможность резонансных состояний и т. д.), выявленной на
моделях качественного характера, помогает правильно ориентироваться в сложных
задачах.
* Полной неадекватностью следует считать, грубо говоря, случай нулевой
корреляции, т. е. независимости модели н моделируемого объекта; если же
коэффициент корреляции равен —1, т. е. модель как бы всегда говорит «да» вместо
«нет» и наоборот, то по свойствам модели можно совершенно точно судить о
свойствах моделируемого объекта и мы имеем полную адекватность. Способ оценки
устойчивости, который всегда предсказывает устойчивость вместо
неустойчивости (и наоборот) ничем не хуже (хотя и оригинальнее) способа, дающего
всегда правильные предсказания.
Ill
Еще раз подчеркнем, что адекватность модели следует
рассматривать только по определенным признакам, характеристикам,
принятым в данном исследовании за основные. Если эти
характеристики явно не указаны, то они должны подразумеваться; впрочем,
как всегда в прикладном исследовании, они могут уточняться по
ходу исследования. Не существует «адекватности вообще», ибо
полная адекватность означала бы тождество.
В качестве характерного примера рассмотрим задачу о
распространении тепла в однородном изотропном твердом теле.
Стандартные рассуждения, основанные на феноменологическом законе Фурье
(тепловой поток пропорционален градиенту температуры), приводят
к известному уравнению теплопроводности
-^ = gV2#, (16)
в котором О — температура; t — время; а — коэффициент
температуропроводности. Это уравнение хорошо описывает реальную
эволюцию температуры, т. е. является в этом смысле адекватным
в количественном отношении. Кроме того, из него вытекает ряд
следствий качественного характера, также правильно описывающих
реальный процесс: сохранение количества тепла и выравнивание
температуры при t -*- оо в случае тепловой изоляции тела,
асимптотическое достижение температуры окружающей среды в случае
лучеиспускания, невозможность концентрации температуры
(«теорема о максимуме») и осцилляции и т. д. Таким образом,
относительно этих утверждений (которые можно принять за «характеристики»
изучаемого процесса) уравнение теплопроводности является
адекватным в качественном отношении.
С другой стороны, хорошо известно, что из уравнения (16)
вытекает физически абсурдный вывод о бесконечной скорости
распространения тепла. Таким образом, если в качестве существенной
характеристики процесса рассматривать скорость v распространения
тепла (потребность в этом возникает не слишком часто), то
уравнение (16) как модель реального процесса оказывается
неадекватным не только в количественном, но и в качественном
отношении. Чтобы получить модель, адекватную и по данной
характеристике, надо уточнить закон Фурье, учтя инерционность
молекул, которая при выводе уравнения (16) не учитывается, но в
данном вопросе оказывается решающей. Это приводит к более
полному уравнению
где Т и L — характерные время и длина в рассматриваемом
процессе. Отсюда получаем скорость распространения тепла
которая, как и должно бкть, оказывается конечной. Для вопросов,
указанных в предыдущем абзаце, описываемая здесь поправка несу-
112
щественна, и поэтому привлечение взамен (16) более сложного
уравнения (17) не оправдано.
Забвение того, что всякая адекватность лишь относительна и
имеет свои рамки применения, может привести (и не раз приводило) к
попыткам навязывания реальному объекту свойств его модели —
например к утверждению, что скорость распространения тепла «на
самом деле» бесконечна. '
Другим примером могут служить малые свободные колебания
реальной автономной системы с малым трением. Если при
математическом анализе колебаний заменить эту систему на линейную
консервативную (без трения) модель, то такая упрощенная модель
может иметь высокую степень адекватности по частотам и формам
колебаний, но будет, очевидно, совершенно неадекватной по
затуханию колебаний.
К сожалению, в более сложных случаях неадекватность модели
бывает не столь ясной, а применение неадекватной модели может
привести к тому, что мы не уловим или чрезмерно исказим то, что
на самом деле есть и нам нужно, но зато будем изучать то, что нам
не нужно (и даже то, чего на самом деле нет!). Как правило, в таких
случаях (а также, если рассматривается адекватность модели
реальному объекту) проверка адекватности не может осуществляться
на чисто дедуктивном уровне. Более того, понятие адекватности
может показаться логически порочным, так как для полной
уверенности в правильном описании свойств объекта мы должны знать
эти свойства из какого-то дополнительного источника информации;
но если эти свойства известны, то надобность в модели может
отпасть. Положение усугубляется тем, что характеристики,
относительно которых рассматривается адекватность, далеко не всегда
могут быть отчетливо перечислены, а критерии, по которым
устанавливается согласование модели с моделируемым объектом, часто
бывают определены неоднозначно и нечетко. Но дело, разумеется,
в том, что адекватность модели является типично рациональным
понятием (§ 1.3), и поэтому повышение ее степени, которое может
приводить к практически полной адекватности, также
осуществляется на рациональном уровне — с помощью уточнения в процессе
исследования, контроля на частных примерах, аналогий, проверки
следствий и т. п. В частности, при этом выясняется, приводят ли
принятые упрощения лишь к допустимой потере точности или же из
них вытекает качественное отличие модели от моделируемого
объекта. Проверка адекватности модели может служить также
рациональным обоснованием законности применения гипотез, принятых
при выводе, к рассматриваемому кругу вопросов. Мы не будем
здесь заниматься обсуждением важного и недостаточно
разработанного вопроса об общих методах проверки адекватности модели; отметим
только, что связанная с ним проблема проверки гипотез является
предметом специального обсуждения в математической статистике.
Адекватная модель обычно обладает той или иной побочной
адекватностью, другими словами, она дает правильное качественное
8 «-29
113
и количественное описание не только характеристик, для
которых она была построена, но также и ряда других побочных
характеристик, потребность изучения которых может возникнуть в
дальнейшем*. Чем выше эта побочная адекватность, тем шире область
приложимости модели и поэтому тем модель «надежнее»,
«долговечнее». Побочная адекватность модели повышается с усилением
в ней роли хорошо проверенных физических законов (таких, как
закон сохранения энергии), утверждений геометрии,
апробированных в изучаемой области способов приложения математического
анализа и т. п. Грубо говоря, она тем выше, чем эта модель
«правильней», глубже отражает реальную картину, хотя уточнить даже
на рациональном уровне, что означает эта «правильность», не так-
то просто**. Возможно, что по этой причине структурные модели,
о которых мы говорили в п. 2, обладают, как правило, более высокой
побочной адекватностью, чем функциональные (хотя последние
обычно бывают проще первых) ***.
* Конечно, не следует такой модели приписывать степень адекватности (п. 2)
большую единицы, так как степень адекватности относилась только к
характеристикам, для которых модель была задумана. Побочная адекватность — это своего
рода нереализованная, потенциальная адекватность; ею в принципе может
обладать и модель с невысокой степенью адекватности.
** Поэтому особой привлекательностью обладают математические модели,
элементы которых имеют отчетливый физический смысл, адекватный физическим
закономерностям в изучаемом реальном объекте. Однако X. Розеиброк и С. Стори
пишут по этому поводу [99, с. 37—381: «Ясно подчеркнув необходимость
тщательно учитывать физику проблемы при формулировании метода решения, мы можем
теперь сказать, что это не всегда приведет к наиболее эффективным математическим
методам решения. Например, существуют более хорошие методы интегрирования,
чем метод Эйлера. Некоторые из них, такие, как методы Рунге — Кутта, не
являются следствием физической цепи аргументов.
Вычислительная эффективность иногда приносится в жертву простой
физической интерпретации. Чаще, однако, объем задачи бывает настолько большим,
что эффективность решения становится существенным фактором. Всякий раз,
когда используется более сложное математическое решение, инженер должен...
воспитывать в себе критическое и недоверчивое отношение к решениям. (Речь идет о
возможной потере адекватности.— Авт.) В таком случае большое значение имеет
вычисление одного нли двух результатов более простым, лучше отражающим
физику методом, чтобы проверить основную часть результатов. Кроме того, проверки
часто можно произвести, вычисляя специальный вариант, ответ для которого
получается простым способом».
Более оптимистично высказывается Н. Бейли [58, с. 30—31]: «... при
правильном применении математический подход не отличается существенно от подхода,
основанного просто на здравом смысле. Математические методы просто более
точны и в них используются более четкие формулировки и более широкий набор пот
нятий, но в конечном счете они должны быть совместимы с обычными словесными
рассуждениями, хотя, вероятно, и идут дальше их».
*** Ситуация, аналогичная побочной адекватности, возникает также, когда
какое-либо утверждение, положенное в основу при построении модели,
оказывается справедливым в более широких условиях, чем оно было первоначально
обосновано. Примером может служить центральная предельная теорема теории
вероятностей, доказанная Лапласом для суммы независимых одинаково
распределенных величин, принимающих значения 0 и 1, но справедливая, как было
установлено позже, и для зависимых различно распределенных величин, принимающих
любые значения, если, грубо говоря, эта зависимость не слишком сильная, а среди
слагаемых нет небольшого числа превалирующих по порядку влияния на
дисперсию суммы.
114
С другой стороны, искусственные допущения, играющие
существенную роль при построении той или иной модели и привлекаемые
для согласования следствий из нее с заранее известными свойствами
реального объекта, могут сделать эту модель адекватной по этим
свойствам, но совершенно ненадежной относительно других важных
свойств этого же объекта. (Подобным образом побочной
адекватностью обычно не обладают чисто функциональные модели, по
отношению к которым вопрос о «других свойствах» чаще всего
оказывается вообще лишенным смысла.) Несмотря на это, прагматическая
роль подобных моделей может быть очень велика, тем более, что
модель, адекватная по некоторым характеристикам, одновременно
является адекватной и по другим характеристикам, которые можно
вывести в качестве следствий из первых. Хорошо известным
примером служит модель атома Бора, которая, будучи неадекватной
современным представлениям о внутриатомной структуре, с успехом
применяется во многих разделах физики и химии. В качестве
другого примера упомянем о гипотезе Кирхгофа — Лява (так
называемой гипотезе прямых нормалей) в технической теории пластин и
оболочек. Как показала экспериментальная проверка, сама эта
гипотеза выполняется с невысокой точностью. Однако точность важных
для инженерной практики следствий нз нее (значения деформаций,
усилий, критических нагрузок и т. п.) является приемлемой. Таким
образом, модель, основанная на этой гипотезе, оказывается
адекватной относительно указанных свойств.
Отметим, что высказанные соображения по поводу адекватности
относятся не только к математическим моделям, но вообще к любому
моделированию, например физическому. Физические модели во
многих случаях обладают побочной адекватностью уже потому,
что фундаментальные физические законы в них выполняются по
необходимости.
Мы уже упоминали в п. 2, что обычно в процессе исследования
создаются цепочки, в которых каждое последующее звено
моделирует предыдущее. Каждое такое моделирование адекватно по одним
характеристикам и неадекватно по другим, так.что в конце цепочки
мы можем получить модель, весьма далекую от исходного
объекта.
Важной предпосылкой успеха прикладного исследования
является соблюдение при последовательном моделировании
адекватности по тем характеристикам, изучение которых является нашей
целью.
4. Требования простоты и оптимальности. С точки зрения
требования адекватности сложные модели предпочтительнее простых.
В самом деле, применяя сложную модель, возможно учесть большее
число факторов, которые могут так или иначе повлиять на
изучаемые характеристики. Наппимер, при составлении системы
уравнений, описывающих исследуемый объект, с точки зрения
адекватности выгоднее привлечь как можно больше параметров,
характеризующих этот объект; это мэжет привести к громоздким, порой
8*
115
1
Шсем
просто
Доапупм
недоступно
П
i ^*----_
А
Неудоб- Приемлет Отяич-1 Степень
твовителыю но адекватное
г та
Рис. 6.
необозримым системам уравнений, не поддающимся
изучению*.
Таким образом, мы приходим к требованию достаточной
простоты модели по отношению к выбранной системе ее характеристик,
до некоторой степени противоположному требованию адекватности.
Модель является достаточно простой, если современные средства
исследования (физические, математические, в частности
вычислительные) дают возможность провести с разумной точностью
качественный или количественный (в зависимости от постановки задачи)
Степень простоты аНЭЛИЗ ВЫбраННЫХ ХЭраКТерИСТИК-
СВОЙСТВ.
Ясно, что «в среднем», чем
модель более адекватна, — другими
словами, чем выше ее степень
адекватности,— тем она менее проста,
т. е. тем труднее ее анализ, и
обратно, чем она более проста, тем
она менее адекватна. (Конечно,
это только общая тенденция, так
как при желании нетрудно
ухудшить одновременно и адекватность
и простоту.) Свойства адекватности и простоты моделей можно
отразить с помощью диаграммы (рис. 6), если допустить, что степени
адекватности А и простоты П можно оценить с помощью чисел,
принимающих значения от 0 до 1. Различные рациональные модели,
отвечающие одному и тому же объекту исследования,
изображаются точками на плоскости А, П в области, расположенной снизу
слева от некоторой линии, идущей сверху слева вниз направо, например
одной из линий, показанных на рис. 6. Здесь различным линиям
1, 4 соответствуют различные, все более простые объекты
исследования. На осях координат условно отмечены зоны, которым
отвечают качественно различные степени адекватности и простоты.
(Важно заметить, что подразделение оси простоты существенно
зависит от привлекаемых средств исследования; в частности для
моделей, связанных с вычислениями, оно весьма значительно
изменялось после внедрения ЭЦВМ.)
Объект, область моделей которого ограничена сверху справа
линией 1, недоступен исследованию (по выбранной характеристике)
силами современной науки**. Крутому участку этой линии отвечает
исследование неадекватной модели***, а пологому — чрезмерно
* Как пишут Р. Акоф и М. Сасиени [19, с. 82], «... как правило, степень
понимания явления обратно пропорциональна числу переменных, фигурирующих
в его описании».
** Примером такой характеристики, остающейся пока «вещью в себе», может
служить, увы, сама численная оценка степени адекватности.
*** Н. Бейли в связи с применением математики к биологии и медицине
пишет [58, с. 83]: «...что еще хуже, математики могут с энтузиазмом приняться за
глубокую-теоретическую разработку моделей, неадекватность которых известна зара-
116
сложной модели, например выписывание систем уравнений, решения
которых непосильно для современных ЭЦВМ. С другой стороны,
исследование объекта, которому отвечает линия 4, тривиально:
для этого достаточно воспользоваться любой моделью, изображение
которой расположено в треугольнике MGF.
Выбор модели для объектов, которым отвечают линии 2 или 3,
требуют привлечения дополнительных соображений. Рассмотрим,
например, линию 2. Ясно, что следует воспользоваться ее участком
ВС, так как модели, расположенные правее точки В, недоступны
исследованию, а продвижение выше точки С, практически не влияя
на простоту исследования, ухудшает адекватность и даже может
сделать ее неудовлетворительной. (Для линии 3 аналогичную роль
играет участок DE.) Однако выбрать модель на участке ВС только
из соображений адекватности и простоты невозможно, так как эти
требования противоречат друг другу. Для вполне определенного
выбора модели на участке ВС нужно было бы сформировать функцию
цели, учитывающую нецелесообразность как чрезмерного
повышения усилий, не оправданных повышением адекватности (на рис. 6
это относится к точкам линии 2, близким к В), так и чрезмерного
ослабления адекватности, не оправданного облегчением
исследования. Достижение наилучшего возможного значения такой
гипотетической функции цели естественно считать оптимизацией модели;
грубо говоря, оптимизация состоит в том, что модель не должна
быть ни слишком сложной, ни слишком упрощенной. Отметим,
впрочем, что реально об этой оптимизации можно, кажется, пока
говорить только на уровне интуиции *.
Хотя правилом является понижение адекватности модели при
ее упрощении, замечательно, что имеются примеры, когда при
упрощении модели ее адекватность повышается. Естественно, что такие
примеры представляют специальный интерес.
Приведем один из таких примеров. Пусть рассматривается
гармоническое возбуждение линейной автономной системы с одной
степенью свободы и с малым трением. Переходя к
комплексным.величинам и отбрасывая трение, запишем уравнение колебаний в виде
nix + cx = Р0еш. (19)
Общее решение этого уравнения при со Ф <в0 = 1/ — имеет вид
xi = Ц-.— еш + С^' + C9e_i4
нее, только потому, что это не составляет большого труда (во всяком случае для
ннх)... Биологи и врачи совершенно справедливо с подозрением относятся к
любой работе (в их области.— Авт.), которая представляет собой лишь клубок
математических абстракций». Добавим, что разработка заведомо неадекватных моделей
отнюдь не является уделом одних лишь математиков; читатель легко приведет
примеры такой деятельности среди представителей других специальностей.
* По поводу необходимости компромисса между простотой и адекватностью
см. также [126, 143].
117
где Съ С2 — постоянные, определяемые начальными данными.
Тем не менее под вынужденными колебаниями обычно понимается
только часть этого решения, именно
хп = ^h—еШ (20)
— тжо2 -\-с s '
Почему? Оказывается, что здесь дело не в искусственном упрощении
картины, т. е. в упрощении модели колебаний, которая имела вид
формулы (20). Суть в том, что в реальном осцилляторе всегда
имеется трение и поэтому более точным по сравнению с (19) уравнением
колебаний было бы следующее:
nix + 2hx + ex = F0elat, (21)
где параметр h заранее не задан, известно только, что он
относительно мал. Общее решение уравнения (21) имеет вид
х = xL%-t. j. еШ + (С1е'Чв,< + C2e~"B,')<rW",)t
— mar + 2tha> + с ' \ i > г /
k-Vl-i)
Второе слагаемое здесь с ростом t экспоненциально затухает,
т. е. по прошествии переходного периода это более точное решение
оказывается близким не к х\ (t), а к хц (t)l Но так как нас обычно
интересует картина, устанавливающаяся после переходного
периода, то получается, что более простое решение хц (/) правильнее
описывает картину, чем более сложное решение х\ (t). Отбрасывая
последние слагаемые в (20), мы в сущности уточняем решение,
косвенно (хотя и неполно) учитывая роль трения.
Если строится цепочка моделей, в которой каждое последующее
звено является моделью предыдущего, то простота и адекватность
цепочки в целом (их можно трактовать как простоту и адекватность
последнего звена цепочки по отношению к исходному объекту)
связаны с аналогичными характеристиками составляющих ее
моделей, причем эта связь имеет примерно следующий характер.
Допустим, что цепочка состоит из двух звеньев, причем первое звено —
модель изучаемого объекта — имеет степень адекватности Ах
и степень простоты Пх, а второе звено — модель этой модели —
степень адекватности А2 и степень простоты Я2. Тогда если
рассматривать степень адекватности как «долю истины» (п. 2), а степень
простоты как «вероятность реализации исследования», то
естественно принять, что степень адекватности А и степень простоты П всей
цепочки определяются соотношениями А = АгАг, П = ПгПг.
Они дают, в частности, возможность построить границу П (А)
области моделей цепочки, если известны граничные линии Пг (Ах)
и Я2 (Л2).
Продумывание адекватности и простоты цепочки моделей очень
существенно, в частности, если имеется несколько конкурирующих
таких цепочек и нам необходимо сделать выбор пути исследования.
118
2-я цепочка
1-я цепочка
Рис. 7.
Довольно распространенным недостатком является то, что при этом
обращают внимание на адекватность или на простоту лишь одного
звена, а не всей цепочки в целом. Например, порой отдают
предпочтение усложненной физической модели Фх реального объекта Р на
том основании, что она обладает более высокой адекватностью.
Однако при этом не всегда учитывают, что соответствующая
математическая модель All — грубо говоря, соответствующая система
уравнений — может оказаться столь сложной, что для проведения
дальнейшего исследования ее при- л(
дется значительно упростить, т. е.
перейти от Л11 к ее : модели Ml.
При таком переходе может быть
существенно потеряна
адекватность, как это показано
схематически на рис. 7.
Поэтому более эффективным
может оказаться следующий путь:
с самого начала совершить более
смелый шаг, выбрав простую
физическую модель Mit быть может, менее адекватную, чем Мх
(см. рис. 7), но все же достаточно удовлетворительную и притом
такую, чтобы ее математическая запись М2 не требовала
дополнительного упрощения. Тогда вторая цепочка моделей может в
целом оказаться более адекватной исходному объекту Р, чем первая.
Отметим, что существенное упрощение на физическом уровне,
проведенное во второй цепочке моделей, может особенно в руках
опытного исследователя привести к меньшей потере адекватности, чем
упрощение на математическом уровне, проведенное в первой
цепочке, так как при разумном физическом упрощении' остаются
выполненными наиболее существенные для конкретных целей
исследования физические' соотношения.
Конечно, мы перечислили далеко не все требования, которые
могут предъявляться к-моделям. Например, весьма желательным
с психологической точки зрения, но еще менее поддающимся
обсуждению является требование наглядности модели. Хотя в ряде
случаев мы с легкостью пользуемся выражениями «модель
наглядна» или «модель не наглядна», но не так просто объяснить, что под
этим подразумевается. В какой-то мере здесь имеются в виду не
только адекватность и простота, но также и достаточная выявлен-
ность интересующих нас характеристик модели и их в каком-то
смысле непосредственная, легко ощущаемая и осознаваемая
близость свойствам исходного объекта. Так, вряд ли случайно, что
дифференциальные (интегральные, интегро-дифференциальные)
соотношения, описывающие реологические связи между
напряжениями и деформациями (а также их производными по времени),
принято иллюстрировать комбинациями различным образом соединенных
пружинок, вязких элементов, элементов сухого трения и т. д.
Впрочем, степень наглядности модели, конечно, не есть нечто абсолютное.
119
Модель, которая одному специалисту представляется вполне
наглядной, может решительно ничего не говорить другому.
Л. И. Мандельштам писал [42, с. 61]: «... что для вас нагляднее:
механические или электрические схемы? Кельвин говорил: «Я могу
сказать, что я понял явление, если я могу составить для него
механическую модель». Многие современные физики сказали бы
обратное: «Я понимаю механическое явление, если я создал для него
электрическую модель». Словом, наглядность определяется не
только самой моделью, но и опытом, навыками и даже психологией того,
кто с этой моделью имеет дело.
5. Феноменологические и полуэмпирические законы. При
построении математической модели — для определенности будем
говорить о выводе системы уравнений, описывающих изучаемый
объект,— приходится использовать разнообразные соотношения,
связывающие интересующие нас величины. Некоторые из этих
соотношений выводятся в самом процессе построения модели, но
часть из них по необходимости принимается в данном
исследовании без вывода. Эти последние соотношения служат
постулатами модели, и от их «качества», адекватности существенно зависит
адекватность всей модели. Такие постулаты могут иметь
различное происхождение.
^ Некоторые. постулаты непосредственно вытекают из
универсальных физических законов, таких, как закон сохранения
энергии, второй закон Ньютона и т. п. Полная адекватность таких
постулатов не должна вызывать сомнений *. Аналогичную роль
играют физические законы с ограниченой областью действия, для
которых заведомая возможность применения в изучаемой задаче
вытекает из универсальных законов, например если идет речь о
применении закона сохранения масс в задачах инженерной механики.
Однако в подавляющем большинстве исследований
универсальных физических законов заведомо недостаточно и приходится
пользоваться законами, имеющими иной характер. Широко
применяются, в частности, феноменологические законы — такие, как закон
Гука или упомянутый в п. 2 закон Фурье, — т. е. достаточно
хорошо эмпирически обоснованные законы с ограниченной областью
действия, также установленной эмпирически. Такие законы могут
лежать в основании далеко разработанных феноменологических
теорий, как, например, обобщенный закон Гука лежит в основаниитео-
рии упругости. При привлечении феноменологического закона для
построения математической модели одними из центральных являются
вопросы о самой возможности этого применения (т. е. о попадании
изучаемого объекта в сферу действия закона) и о последствиях воз-
* Не должна, но, к сожалению, иногда вызывает! Достаточно вспомнить,
например, недавнюю эпидемию статей, связанную с так называемой машиной Дина
и вызванную скорее всего подсознательной верой в возможность чудес. В связи
с этим хочется напомнить один из важнейших научных принципов — так
называемую «бритву Оккама» — entia поп sunt multiplicanda praeter necessitatem (не
следует приумножать сущностей без необходимости (лат.)).
120
можных отклонений от этого закона. Однако иногда вместо этого
указание о применимости феноменологического закона включается
в само наименование модели («упругая модель», «пластическая
модель»). Этим автор исследования как бы снимает с себя
ответственность за возможную потерю адекватности и перекладывает
ее на тех, кто примет решение о выборе модели.
Конечно, понятие феноменологичности не имеет абсолютного
характера. В сущности, всякая теория феноменологична, так как
в противном случае мы достигли бы абсолютного проникновения
в природу вещей, что в принципе невозможно. По сути дела, когда
мы говорим, что модель или теория феноменологичны, то всегда
имеем в виду наличие (или реальную возможность построения)
модели или теории на более глубоком уровне физического описания.
Без этого явно или неявно подразумеваемого противопоставления
прилагательное «феноменологический» лишено смысла.
Еще менее универсальный характер имеют полуэмпирические
соотношения, вроде данного Ньютоном в теории удара
дополнительного соотношения, содержащего коэффициент восстановления
скорости. Такие соотношения обычно получаются в результате
сочетания соображений размерности и обработки результатов
эксперимента (см., например, вторую формулу для подъемной силы в п. 1.3.2 г)
либо выводятся из других соотношений такого же характера *.
Область применимости такого соотношения, йак правило,
ограничена узкими рамками условий, при которых оно было получено
(например, она может существенно зависеть от геометрических форм),
и возможность такого применения за этими рамками сопряжена
с известным риском. Конечно, в некоторых случаях, и не так уж
редко, приходится за неимением лучшего совершать такую
экстраполяцию, однако надо помнить, что она, как и каждая
экстраполяция, может быть реальным источником ошибок, и поэтому весьма
желателен анализ на том или- ином этапе исследования
возможности ее проведения.
Возможностью применения тех или иных феноменологических
или полуэмпирических соотношений не ограничиваются допущения,
Принимаемые при построении модели. Эти допущения могут
относиться также к геометрическим формам, к свойствам однородности,
изотропии, упругости и т. п. Мы не будем здесь пытаться
классифицировать такие допущения. К допущениям непосредственно
примыкают также рабочие гипотезы, относящиеся к характеристикам,
которые мы собираемся изучать; о таких гипотезах мы говорили
в п. 1.3.2.
6. Число степеней свободы. Пополнение, уточнение, достроение
модели, которое может способствовать повышению ее адекватности,
часто бывает связано с расширением набора участвующих в
* В заметке [144] А. М. Обухов пишет, что полуэмпирические гипотезы —
это «связи между физическими характеристиками явления, которые
устанавливаются из качественных соображений, ио не могут быть строго доказаны, а должны
проверяться на опыте».
121
рассмотрении величин, имеющим преимущественно количественный
или преимущественно качественный (см. ниже, п. 7) характер. Раз-
ширение, имеющее количественный характер, может быть связано
с увеличением числа степеней свободы в модели. В подавляющем
большинстве реальных задач предположение о практически
конечном (т. е. не слишком большом, см. п. 1.2.4) числе степеней свободы
представляет собой идеализацию, и потому в принципе, чем больше
степеней свободы в модели, тем с большей точностью можно описать
исходный объект. Однако в действительности при слишком большом
числе степеней свободы модель может оказаться столь сложной
и не наглядной, что проанализировать с ее помощью интересующие
нас характеристики может оказаться затруднительно («за
деревьями можно не увидеть леса»). Оптимальным может оказаться весьма
небольшое число степеней свободы (во многих задачах даже одна
степень!), зависящее от изучаемых характеристик объекта и от
схемы модели. Уменьшение числа степеней свободы в модели, не
приводящее к заметной потере адекватности, может потребовать
большого опыта и искусства и оказаться весьма существенным для
возможности доведения исследования до конца.
Примером может служить проблема колебаний корабля на
поверхности воды. Если возмущения являются достаточно
низкочастотными (например, рассматривается действие морского волнения),
то корабль с удовлетворительной точностью считают твердым телом,
т. е. трактуют как систему с шестью степенями свободы. С другой
стороны, если рассматривается действие на корабль достаточно
высокочастотных возмущений (возникающих при работе силовой
установки), то корабль принимают за упругую балку и считают,
что система имеет бесконечное число степеней свободы. (В первом
случае говорят о качке, а во втором — о вибрациях корабля.)
Подобным образом Земля в небесной механике принимается за
материальную точку, т. е. объект с тремя степенями свободы, а в
геофизике — за упругое или упруго-пластическое тело, т. е. объект с
бесконечным числом степеней свободы.
Еще один пример. Пусть рассматриваются продольные
вынужденные колебания вертикального стержня, верхний конец которого
закреплен неподвижно, а к нижнему приложена пгриодическая
возмущающая сила. Пусть сначала частоты гармонических
составляющих внешнего воздействия (во всяком случае, существенных для
данного процесса) значительно ниже основной частоты свободных
колебаний этого стержня. Тогда адекватной моделью может служить
невесомая пружина, незакрепленный конец которой может
совершать только вертикальные колебания, т. е. эта модель с
формальной точки зрения имеет нуль степеней свободы. Если верхняя
граница частот внешнего воздействия простирается до величины порядка
указанной основной частоты, то модель, адекватную относительно
всех воздействий этого класса, можно представить в виде точечного
груза, высящего на невесомой пружине и совершающего
вертикальные колебания, т. е. эта модель имеет одну степень свободы. Если
122
верхняя граница внешних частот отодвигается далее, то
адекватной моделью будет система из двух, трех и т. д. грузов, связанных
пружинами, т. е. система с двумя, тремя и т. д. степенями свободы.
Наконец, моделью, адекватной относительно произвольных внешних
возмущений, по поводу частот составляющих которых не делается
никаких априорных предположений, служит одномерный упругий
континуум — стержень с непрерывно распределенной массой,
т. е. система с бесконечным числом степеней свободы. Если, далее,
кроме продольных возмущений допускаются также и поперечные,
то моделью будет служить система из некоторого числа масс,
связанных безынерционными балочками, испытывающими как
растяжение — сжатие, так и изгиб (при этом число степеней свободы по
сравнению с предыдущей схемой утроится), или же балка с
непрерывно распределенной массой.
Таким образом, в отличие от традиционного математического
подхода число степеней свободы для реальной системы не имеет
абсолютного характера. Оно зависит от выбора модели, который должен
определяться, конечно, не вкусом исследователя, а самой задачей
исследования, т. е. типом возмущений, набором изучаемых
параметров, необходимой точностью результата и т. п. Если же эти условия
исследования выбраны, то в задаче имеется как бы «истинное»,
«существенное» число степеней свободы — число, при котором
модель еще не утрачивает адекватности. (Впрочем, во многих случаях
не имеет смысла педантично устанавливать, равно ли это число,
скажем, трем или четырем, как в приведенном выше примере со
стержнем; переход от одного числа к другому является размытым,
постепенным.) Иногда это число оказывается весьма небольшим,
например равно нулю или единице*, тогда как в некоторых случаях
это число приходится существенно увеличить: например, для
удовлетворительного описания вынужденных колебаний коленчатого
вала двигателя внутреннего сгорания приходится пользоваться
моделью с 8 степенями свободы, а во внешнем воздействии учитывать
до 15 гармоник. Вопрос о разумном ограничении числа степеней
свободы является одним из центральных при построении модели;
он решается на рациональном уровне на основе навыков, интуиции,
эксперимента, проверки следствий и т. п.
Необходимо отметить, что если мы в качестве модели пользуемся
той или иной сплошной средой, то это далеко не всегда означает
переход к системе с «истинно» бесконечным числом степеней
свободы. Как правило, для описания того или иного исследуемого
процесса в этой среде требуется лишь небольшое число базисных
функций (типа галеркинских и т. п.), которые и определяют «истинное»
число степеней свободы. Это связано с тем, что каждую функцию
* Отметим, что понятие «число степеней свободы» не имеет в прикладной
математике единого смысла; в зависимости от класса задач можно вместо него
пользоваться сходными понятиями «число независимых координат», «число независимых
неизвестных функций времени» н т. д.
123
можно определять как ее значениями, так и значениями ее
коэффициентов разложения по тому или иному базису (ее спектральным
составом).
Усложнение модели, получающееся при увеличении числа п
ее степеней свободы, может происходить по существенно различным
законам, о которых надо иметь в конкретных задачах хотя бы
ориентировочное представление, так как такое усложнение может сделать
решение задачи невозможным.
Пусть идет речь о математической модели, изучаемой с помощью
ЭЦВМ. Тогда довольно отчетливым критерием сложности модели
по отношению к той или иной задаче является число К
арифметических действий, необходимых для решения этой задачи *. Таким
образом, речь идет о зависимости К («). и в последние годы
появился ряд работ, посвященных анализу этой зависимости и
усовершенствованиям алгоритмов решения различных задач на основе
проведенного анализа. Наиболее благоприятен случай степенной
зависимости К. (п) оо Спр с не слишком большими значениями
показателя р и коэффициента С. Для ориентировки отметим, что если
задача сводится к решению системы из п линейных алгебраических
уравнений с п неизвестными, то при применении известного метода
Гаусса (метода последовательного исключения неизвестных)
получится р — 3, а С — порядка десятков. Отсюда видно, что даже для
п порядка сотен реализация метода на ЭЦВМ средней мощности
(десятки тысяч операций в секунду) возможна.
Значительные осложнения могут получиться в случае
экспоненциальной зависимости К(п) оо Cekn. Именно такая ситуация
возникает, например, при «слепом» поиске наибольшего значения функции
п аргументов в заданной области (п.1.2.11), когда нет уверенности
в его единственности. Ясно, что если при таком поиске мы решили
диапазон изменения каждой из координат подразделять на
некоторое число N частей, то общее число действий будет иметь порядок
CNn = Се(|пЛ^" . Так как N не может быть слишком малым
(наиболее часто N берется порядка десятков), то К(п) при увеличении
п растет с весьма большой скоростью и решение по выбранному
методу становится недоступным большим ЭЦВМ и даже может стать
принципиально невозможным (К (п) может стать практической
бесконечностью, см. п. 1.2.4).
В последние годы значительные усилия были направлены на
отыскание методов целенаправленного поиска наибольшего значения,
которые проводили бы к цели для не слишком малого п. Это удалось
* Так как среднее время, необходимое для выполнения различных
арифметических действий, различно, то более точно было бы сводить все действия с
помощью определенных коэффициентов перехода к одному, например к сложению. Но
поскольку эти коэффициенты для различных типов ЭЦВМ разные, и, кроме того,
они влияют только на коэффициент пропорциональности в зависимости К = К (п),
который обычно все равно не подсчитывастся, то чаще всего говорят просто о
числе арифметических действий, хотя выполнить 10s сложений или 106 делений — это,
конечно, совсем не одно и то же.
124
сделать для отдельных важных классов задач: упомянем, например, о
методах линейного программирования *. Что касается
универсальных методов, то любая их модификация, полезная при небольших я,
приводит к быстро нарастающей экспоненциальной зависимости
К (я), в связи с чем Р. Беллман употребил яркое выражение
«проклятие размерности», от которого никакими приемами не удается
избавиться. (Некоторым преимуществом в этом отношении обладает
метод Монте-Карло.)
В связи со сказанным заметим, что, как уже говорилось в п. 1.2.11,
сама идея о создании универсального метода отыскания максимума,
возникшая по аналогии с универсальной теоремой чистой
математики о существовании наибольшего значения непрерывной функции,
вряд ли перспективна. Возможно, что основным путем является
построение приемлемых методов для отдельных, быть может и узких,
но важных классов задач. Вообще, классификация задач в
прикладной математике ие должна слепо следовать классификации,
выработанной в чистой математике. Например, с точки зрения чистой
математики утверждения о существовании наибольшего значения
непрерывной функции в замкнутой ограниченной (конечномерной)
области для всех функций, областей и размерностей естественно
объединяются. В отличие от этого, задачи о практическом отыскании
наибольшего значения функции одного или большого числа
переменных совершенно различны и, вероятно, должны принадлежать
различным разделам прикладной математики**.
Возвращаясь к вопросу об увеличении числа степеней свободы,
укажем еще на принципиальное различие между задачами
эволюционного и неэволюционного характера. Задачи первого вида в
математическом отношении сводятся к решению начальной задачи Ко-
ши для системы из я обыкновенных дифференциальных уравнений
или интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра и т. п.,
где я — число степеней свободы модели. Такая модель
описывается совокупностью я функций одной переменной — времени, и
число К, (я) действий, необходимых для построения этой совокупности,
зависит от я степенным образом. Например, для линейной системы
общего вида без последействия К (я) со C-j- я2, где С — некоторый
коэффициент пропорциональности, определяемый методом
интегрирования, L — длина временного интервала, на котором строится
решение, a h — шаг интегрирования, зависящий от выбранной
степени точности. В отличие от этого задачи неэволюционного
характера часто сводятся к построению и исследованию одной или
нескольких функций я переменных. Число К (я) действий,
необходимых для этого, зависит от я по экспоненциальному закону; именно
здесь и сказывается «проклятие размерности», о котором мы говорили
* По поводу таких классов задач см., например, книгу А. А. Первозванского
[96].
** По поводу разбиения задач на классы с точки зрения оптимальных
вычислительных алгоритмов см. § III.7 книги Н. С. Бахвалова [60].
125
выше. Поэтому такие задачи гораздо более чувствительны к
увеличению числа степеней свободы, чем эволюционные задачи.
Специального внимания требует переход от системы с конечным
числом степеней свободы к сплошной среде и обратно (каждый из
этих двух объектов может служить моделью другого), так как такой
переход имеет особо ответственный характер и может качественно
изменить картину. При переходе как в ту, так и в другую сторону
картина может упроститься: системы с конечным числом степеней
свободы обычно в целом проще по структуре, более приспособлены
к применению методов
дискретной математики, а в
эволюционном случае приводят
не к уравнениям с частными
производными, а к
обыкновенным дифференциальным ура-
4-П-М-М
1
г
Рис. 9.
внениям; с другой стороны, переход к непрерывной модели часто
приводит к «сглаживанию», а сами такие модели более
приспособлены к применению аналитических методов (например,
асимптотических разложений и специальных функций) и численных методов
типа Бубнова — Галеркина, в которых решение ищется в виде
функции непрерывного аргумента. Поэтому на практике в зависимости
от типа задачи, от предполагаемых методов исследования и
вычислительных процедур применяются переходы в обе стороны.
Однако надо помнить4, что указанные в предыдущем абзаце
переходы, хотя обычно и не вызывают затруднений и недоразумений,
иногда могут быть связаны с потерей адекватности по тем или иным
характеристикам. Приведем примеры этого. Пусть прямолинейный
стержень, испытывающий продольные упругие колебания,
моделируется дискретной последовательностью материальных точек,
соединенных между собой безмассовыми пружинами. Если число
этих точек принято достаточно большим, то повле внезапного
приложения постоянной силы F0 к крайней левой точке, график усилий
в пружинах модели через некоторое время t будет примерно таким,
как показано на рис. 8. Этот график аппроксимирует «ступеньку»,
соответствующую модели стержня с распределенными
параметрами (значение а равно скорости распространения возмущений в
стержне). Как видно, формально при как угодно малом ? > 0 все
усилия в дискретной модели оказываются отличными от нуля, т. е.
скорость распространения возмущений в этой модели формально
бесконечно велика. Можно сказать, что дискретная модель
неадекватна по отношению к скорости распространения возмущений.
Адекватность может быть восстановлена, если предпринять
необходимые корректирующие меры, например пренебречь слишком
126
малыми значениями усилий, считая возмущение дошедшим до
какой-то точки, если приложенное к ней усилие составляет не
слишком малую долю от исходного.
В качестве другого примера неадекватного перехода рассмотрим
задачу о распространении мгновенного импульса S, приложенного
к одному концу цепочки из материальных точек, последовательно
соединенных одна с другой безынерционными пружинами (рис. 9).
Ясно, что эта задача имеет смысл и может быть решена с помощью
системы дифференциальных уравнений движения при учете
соответствующих начальных условий. Однако допустим, что с целью
упрощения картины мы решили заменить цепочку на
прямолинейный упругий стержень. В других случаях подобный переход
обычно делается без колебаний и приносит несомненную пользу, однако
в данной задаче он приводит к противоречиям с естественными
представлениями: формальное решение обнаруживает бесконечно
большие скорости частиц и разрывы в смещениях частиц по длине
стержня; непрерывная Модель в данной задаче явно непригодна. Дело
здесь в том, что непрерывная модель стержня не допускает задания
внешней нагрузки в виде силы, сосредоточенной как по координате
х, так и по времени /, т. е. нагрузки, определяемой произведением
двух дельта-функций б (х) б (/). Если решено все же
воспользоваться моделью с распределенными параметрами, то необходимо
отказаться от предположения о мгновенности приложения внешней
нагрузки или (и) от предположения о сосредоточенном характере
ее приложения к стержню. В первом случае мы прийдем к задаче
о действии сосредоточенной в пространстве, до достаточно
«растянутой» во времени силы, а во втором случае — к задаче о действии
внешнего мгновенного импульса, распределенного на некотором
участке длины стержня (вблизи его торца); обе эти задачи вполне
корректны и при их решении не возникнет никаких парадоксальных
и неприемлемых результатов.
Нетрудно привести примеры неправильных качественных
выводов, получающихся при аппроксимации трансцендентного уравнения
алгебраическими, которая может отвечать неосторожному
конечномерному моделированию бесконечномерной системы. Рассмотрим
уравнение
е-ар=-$р (<х>0, Р>0), (22)
которое будем трактовать как характеристическое уравнение для
некоторой линейной автономной системы. Нетрудно проверить, что
уравнение (22) имеет бесконечное число корней, причем при 2а <
< яР все они имеют отрицательную вещественную часть, т. е.
соответствующая система имеет бесконечное число степеней свободы
и является устойчивой. Однако если мы перейдем к аппроксимации
уравнения (22), воспользовавшись отрезком ряда Маклорена для
экспоненты, т. е. к уравнению
l-ap+«f- .- +(_1)»4£==_р>, (23)
127
то среди корней полученного уравнения при любом N ;> 3 найдутся
корни с положительной вещественной частью. Это может привести
к выводу о неустойчивости исходной системы, что, как заведомо
известно, неверно. Причина кажущегося противоречия состоит
в том, что лишь часть корней уравнения (23) аппроксимирует корни
уравнения (22), тогда как остальные, «паразитные», корни
уравнения (23) никакого отношения к корням уравнения (22) не имеют.
С ростом N число аппроксимируемых корней становится все больше
и больше, но паразитные корни остаются (они уходят при N -*- оо
в бесконечность, т. е. в пределе пропадают); паразитные корни и
порождают неустойчивость аппроксимирующей конечномерной
системы.
Подобные паразитные корни могут появляться и в других
конечномерных аппроксимациях, например при вычислении
собственных значений линейного оператора по методу Бубнова — Галерки-
на. Эмпирически установлено правило (на что оно опирается, нам
не известно), согласно которому для достаточно хорошей
аппроксимации первых k собственных значений следует воспользоваться
приближением2k-го порядка, т. е. системой с 2k степенями свободы *.
Более точно вопрос о необходимом числе степеней свободы решается
на рациональном уровне путем сравнения результатов вычислений
для приближений различных порядков.
Аналогичная ситуация может возникнуть и при физических
аппроксимациях. Так, в работе М. Д. Дольберга 11451 подробно
разобрана задача о критических угловых скоростях вращающегося
гибкого вала с распределенной массой при учете гироскопического
эффекта. Оказывается, что, хотя система обладает бесконечно
большим числом степеней свободы, здесь имеется лишь конечное
число критических скоростей. Для соответствующей JV-дисковой
аппроксимации имеется N таких скоростей, но при N -> оо
конечное число из них стремится к предельным значениям для
сплошного вала, а остальные стремятся к бесконечности. С математической
точки зрения эта ситуация подобна той, которая возникает при
iV-мерной аппроксимации интегрального уравнения Вольтерра:
аппроксимационное уравнение имеет N собственных чисел
(обратных собственным значениям соответствующего оператора), причем
все они стремятся к бесконечности при N -> оо, так что предельное
интегральное уравнение собственных чисел не имеет.
7. Иерархия переменных. Достраивание (уточнение) модели
может происходить также за счет уточнения качественного
поведения переменных в исходной модели либо за счет привлечения новых
переменных, качественно отличных от тех, основных переменных,
которые уже были приняты во внимание в более грубом рассмотре-
* Укажем лишь на прямую аналогию этого положения с теоремой, известной
в теории интерполяции как теорема Уиттекера, а в теории информации -!- как
теорема Котельникова: для получения полной информации о непрерывном сигнале
частота его дискретных измерений должна быть, по крайней мере, вдвое выше
наибольшей частоты, содержащейся в спектре сигнала.
128
нии. Чаще всего эти новые переменные принадлежат одному из
следующих трех классов:
а) переменные, характерная протяженность изменения которых
во времени * или в пространстве (в зависимости от типа задачи)
столь мала, что при более грубом рассмотрении они принимались
во внимание только своими интегральными или осредненными
характеристиками; ^
б) переменные, характерная протяженность изменения которых
столь велика, что при более грубом рассмотрении они считались
постоянными;
в) переменные, влияние которых на изучаемую характеристику
системы столь мало, что при более грубом рассмотрении они
игнорировались.
Рассмотрим сначала переменные первых двух классов, причем
для определенности будем говорить о временных масштабах
изменения переменных. Тогда переменные класса а) естественно назвать
быстрыми, а класса б) — медленными переменными по сравнению
с переменными, принятыми за основные и фигурирующими в грубой
модели. Подчеркнем, что такое подразделение переменных на
основные, быстрые и медленные в исследуемом процессе не имеет
абсолютного характера, а зависит от постановки вопроса, другими
словами, от того,какие характеристики и в каком аспекте изучаются.
В качестве типичного примера такой относительности подхода
можно рассмотреть процесс упруго-пластической деформации
стержня. При изучении распространения упругих волн в таком стержне
пластическая деформация является медленной, т. е. при таком
подходе можно в грубом приближении считать стержень абсолютно упругим
с параметрами, медленно меняющимися во времени. Однако можно
объектом изучения выбрать самоё пластическую деформацию;
тогда упругие деформации будут быстрыми и в грубом приближении
их влияние можно учесть с помощью осреднения.
В качестве другого примера рассмотрим распространенную
модель стержня, который принимается несжимаемым в продольном
направлении, но допускающим изгибные деформации. Эти
предположения сначала могут показаться противоречащими одно другому,
так как изгиб всегда сопровождается продольными деформациями.
Однако дело в том, что скорость распространения продольных
возмущений по стержню существенно выше, чем поперечных, и поэтому
в грубом приближении можно эту первую скорость считать
бесконечной, что и отвечает указанным выше свойствам стержня;
при таком приближении можно изучать распространение
поперечных волн по стержню, совершенно игнорируя продольные. Можно,
конечно, изучать и продольные волны, тогда медленные поперечные
волны можно в грубом приближении учитывать только их влиянием
на форму оси стержня в данный момент времени.
* В качестве этой протяженности можно принять период в случае
периодического воздействия, длительность импульса в случае однократного импульсного
воздействия и т. д.
9 6-20
129
Итак, в зависимости от того, какие характеристики мы
собираемся изучать, мы как бы принимаем решение о выборе масштаба
времени, после чего можно сказать (конечно, на рациональном уровне),
какие переменные являются быстрыми, а какие — медленными.
Такое разделение движений по скорости их протекания дает
возможность изучать их в грубом приближении независимо одно от
другого, что существенно упрощает задачу.
Остановимся особо на уточняющих переменных класса а),
говоря, как и выше, об изменении переменных во времени. Эти
переменные можно, в свою очередь, подразделять на долговременно и
кратковременно действующие. Первые появляются при уточнении
поведения быстроменяющихся величин, которые входят в грубую модель
своими осредненными зависимостями от времени: так, периодическое
«подталкивание» платформы с достаточно большой частотой можно
грубо заменить на равномерное давление на эту платформу.
Аналитически такая переменная имеет- структуру и — и (t) -{-£(/),
где и (t) — осредненная зависимость, которая только и входит
в грубую модель, а величина | (/) есть добавочная уточняющая
переменная, которая не обязательно мала по амплитуде, но ее
временное среднее близко к нулю. При этом, если точная зависимость
| (f) неизвестна, то ее можно принять за случайную добавку со
средним значением, равным в каждый момент времени нулю или, во
всяком случае, столь малым, что в грубой модели влияние этой добавки
могло быть отброшено. Если зависимость | (t) известна, то при
аналитическом исследовании ей часто оказывается возможным
придать вид
i(0 = <p(-f)« (24>
г
где е > О — малый параметр, а интеграл [ср (x)d% ограничен или,
о
во всяком случае, имеет вид о (\Т\) при Т -> ± оо, так что при
любых фиксированных а, Ь
ь ь ь/в
j 1(f) dt = |ф(4)Л = е ] Ф(*>Лч-0;
а а а/8 8 ""*" О
например, может быть \ = A sin — . Тогда т = — можно трактовать
8 6
как быстрое время, т. е. естественную для переменной класса а)
шкалу временнбй протяженности.
Отметим, что при изучении конкретных объектов параметр е
принимает определенные значения и потому вопрос о том, можно ли
считать его малым или нет, должен решаться на рациональном
уровне (§ 1.3). Аналогичное замечание надо иметь в виду и при
рассмотрении уточняющих переменных иных классов.
Важную роль могут играть кратковременно действующие
уточняющие переменные класса а). Они обычно вводятся при анализе
130
относительно кратковременных переходных процессов, связываю-
щих одни установившиеся режимы с другими. При более грубом
анализе можно считать такой переход мгновенным, что приводит
к разрывам во времени тех или иных зависимостей, описывающих
изучаемый процесс, или, во всяком случае, можно отвлечься от
рассмотрения этих зависимостей на протяжении переходного
процесса. При этом такие зависимости учитываются только своими
интегральными характеристиками. Например, если на материальное тело
действовала сила F на небольшом промежутке времени tx < t •< t2
по закону F = Fx (t), то в грубом приближении можно положить
/.
F = Q8 if - t0), где Q = J>i (0 dt, h<t0< t2,
и
а б (i) — дельта-функция Дирака (п. 1.2.6). Однако может быть
поставлена также задача о более детальном изучении переходного
периода (tlt t2); она может представлять самостоятельный интерес
и, кроме того, оказаться существенной для исследования
последующего развития процессов. Здесь, как и для долговременно
действующих часто осциллирующих переменных, может оказаться
полезным рассмотрение переходного процесса в быстром времени т =
к-к
Следует обратить внимание на относительность понятия
переходного процесса (переходного режима и т. п.), зависящего от выбора
тех характеристик процесса, изменение которых изучается. Так,
в последнем примере промежуток времени (tlt /2) служил переходным
интервалом для действующей силы; но если эта сила возбуждала
в системе затухающие колебания, то для координат системы
переходным интервалом будет-больший промежуток (tlt ta), где ta —
условный момент полного затухания колебаний (например, за ta можно
принять момент, начиная с которого амплитуда колебаний не будет
превосходить 0,1 от характерного изменения координат).
Если изучаемая задача не имеет эволюционного характера и
независимые переменные играют роль геометрических координат,
то взамен переходного процесса надо рассматривать пограничный
слой, т. е. сравнительно «узкую» зону, разделяющую участки среды
с существенно различными свойствами. Грубое приближение, при
котором ширина этой зоны приравнивается к нулю, приводит к
разрывным полям, характеризующим среду и процессы,
происходящие в ней. Однако анализ структуры пограничного слоя и процессов,
происходящих в нем («краевых эффектов»), может оказаться весьма
существенным, что и приводит к необходимости введения
уточняющих переменных.
Аналогичная ситуация возникает при изучении эффектов,
вызываемых в сплошной среде источниками возмущений,
распределенными по конечной области Q, с удалением от Й; это могут быть
силы в задачах теории упругости, источники жидкости в задачах
131
гидродинамики, источники электромагнитного поля и т. д. В до-
•статочной близости Q на эти эффекты влияет вся картина возмущений,
т. е. детали их распределения в Q, однако при удалении otQ
возмущения влияют только своими интегральными характеристиками;
при этом можно просто принять, что возмущение сосредоточено
в одной точке области Q. Наконец, если рассматриваются точки,
расположенные достаточно далеко от Q, то в большинстве задач
-влиянием возмущения вообще можно пренебречь. Это дает
возможность ввести «иерархию дальностей», применяя термин «близко»,
«далеко» и «очень далеко» в зависимости от того, какой из
описанных случаев имеет место.
Пусть, например, рассматривается некоторое безвихревое
векторное поле А во всем пространстве, обладающее источником
векторных линий, распределенных в Q с плоскостью р (х, у, z).
Тогда потенциал ф (х, у, г) поля имеет вид известного интеграла
Ньютона:
ф(г) = \-i7=7Jd'Q
(Ь)
(г = х\ + у] + гк, г' = х"\ + у'\ + z'k, d'Q = dx'dy'dz').
Нетрудно получить асимптотическое разложение этого
интеграла при больших |г|:
Ф(г) =
f Р(г'КЯ
(Я)
+
и
+
IV, г') р (г') d'Q
I
|_(Я)
+
1
Отсюда ясно, что если ) р (r)dQ Ф 0, т. е. источники поля в £2
(Q)
не уравновешиваются, то при | г | ->-оо
Ф (г) оо \ р (г') d'Q
1(0) J '" '
т. е. потенциал при больших |г| получается такой, как будто все
источники поля сосредоточены в одной точке в виде суммарного
источника обильности 'р (r)dQ. В этом случае потенциал поля при
увеличении | г | убывает как| г |-1, а потому само поле А = — grad ф —
как | г |-2. Если \ р (r)dQ = 0, т. е. источники в Q уравновеши-
(П)
{
ваются, но \ (г°, г') р (r')dQ
(Я)
О, то при |г| -
Ф(г)^Г|(г», r')p(r')dQ
L(£l)
I г I1
т. е. совокупность источников в Q можно заменить на диполь,
сосредоточенный в одной точке. Здесь потенциал при | г | -*■ оо
убывает, как | г |-2, а поле — как | г |~3. Можно рассматривать и еще более
132
высокие степени уравновешенности возмущений (см., например,
[146]).
Подобным образом можно рассмотреть иерархию продолжитель-
ностей после окончания воздействия возмущений на какую-либо
систему. Соответственно можно говорить, что возмущение
окончилось недавно, давно или очень давно, если:
— это возмущение ощущается во всех его деталях изменения во
времени;
— оно ощущается только своей интегральной характеристикой
(например, импульсом);
— оно было так давно, что из-за диссипации энергии его эффект
в рассматриваемый момент уже не ощущается.
Естественно, что границы между понятиями «близко», «далеко»,
«очень далеко» или «недавно», «давно», «очень давно» зависят от
избранных уровней точности. (Они зависят также от степени
уравновешенности возмущения, упомянутой выше.)
Отметим, что все здесь написанное давно используется в более
или менее осознанном виде при решении практических задач
теории сплошной среды и механики; мы лишь указали на возможность
систематизации известных представлений.
Приведем еще простой пример уточнения геометрического
характера, влекущего за собой интересные качественные следствия.
Пусть рассматривается состояние равновесия усеченного конуса,
осевое сечение которого показано на рис. 10. В грубом
приближении можно считать конус неусеченным, т. е. это положение
является «неустойчивым в грубом». Но с точки зрения формального
определения срезание с вершины как угодно малой площадки
приводит к тому, что положение становится устойчивым. Таким
образом, получается, что как угодно малая поправка может качественно
изменить ситуацию, что противоречит здравому смыслу. В чем же
дело?
,Этот парадокс решается на рациональном уровне. Дело в том,
что при фиксированных размерах конуса и масштабах возмущений
усеченный конус с достаточно малой нижней площадкой надо
схематизировать как конус без площадки, т. е. указанное положение
на самом деле будет неустойчивым. И лишь если срез будет
достаточно велик, схематизация в виде усеченного конуса окажется
адекватной, а положение конуса — устойчивым (хотя, быть может,
с малым запасом устойчивости). Соответствующая картина в
фазовой плоскости угла отклонения оси конуса от вертикали показана
на рис. 11: ясно, что если внутренняя «петля» становится исчезаю-
ще малой, то начало координат естественно трактовать как
неустойчивую седловую точку. Конечно, бессмысленно требовать указания
точной грани, начиная с которой срез надо учитывать*: наряду
с интервалами, для которых срез надо безусловно учитывать' и
* Это все та же известная «проблема кучи», в которой требуется указать число
камней начиная с которого они составляют кучу. Аналогичный характер имеет
«проблема лысины» н т. д.
133
безусловно не учитывать, имеется некоторый промежуточный
«интервал неопределенности»; указание его неоднозначно.
Аналогичный случай формальной неустойчивости показан
на рис. 12, а соответствующая картина в фазовой плоскости—на
рис. 13, которые мы представляем читателю разобрать
самостоятельно. Дедуктивным аналогом проведенных рациональных
рассуждений является теория опасных и безопасных участков границы зоны
Рис. 12.
Рис. 13.
устойчивости в пространстве параметров. К вопросам, связанным
с понятием устойчивости, мы еще вернемся в п. 2.7.
Разобранная ситуация в какой-то мере типична. Если некоторое
реально наблюдаемое свойство С (в разобранном примере —
неустойчивость) можно формально ликвидировать с помощью как угодно
малого изменения изучаемого объекта, то эта ликвидация на самом
деле фиктивная; кроме того, появляется некоторая «зона
неопределенности», в которой нельзя однозначно сказать, выполняется
свойство С или нет. Мы еще вспомним об этом общем положении
несколько позже.
' Вернемся к общей классификации переменных, вводимых при
достраивании модели. Уточняющие беременные класса б) возникают,
когда параметры, характеризующие систему или воздействие. на
нее, изменяются медленно по сравнению с характерным временем
134
изменения основных изучаемых величин. (Иногда такое медленное
изменение называется адиабатическим, а сама система —
квазистационарной.) Подобным переменным при аналитическом
исследовании часто оказывается возможным придать вид Ф (et), где е > 0 —
малый параметр, а Ф (Э) — функция, скорость изменения которой
имеет порядок характерных скоростей в системе. Тогда при грубом
исследовании значение Ф (0) можно считать «замороженным»,
а при уточнении иногда оказывается полезным введение
медленного времени 0 = et, по отношению к которому обычное время
является быстрым.
Привлечение уточняющих переменных класса в) может при
аналитическом исследовании привести, например, к переходу от
дифференциального уравнения . = f (х, t) к уравнению —тт— —
dx
= / (*> 0 + sfi (x, f) или к системе уравнений .. = / (х, t) -f
+ e/i (х> У> 0» л, - = h (х> У> О и т- Д- Этот переход может привести
к поправкам в исходном, «грубом», решении, т. е. к уточнению
его, но в случаях, которые в том или ином смысле являются
критическими, может привести к качественному изменению характера
решения: малые влияния, аккумулируясь, могут иметь далеко
идущие последствия. Так, в п. Змы уже упоминали о том, что
введение в консервативную систему как угодно малого трения
приводит к тому, что все решения становятся затухающими. Поэтому
при изучении колебаний реальных систем без подкачки энергии
на больших интервалах времени нельзя пренебрегать даже малым
трением. Впрочем, на малых интервалах времени, пока влияние
силы трения еще не успевает существенно накопиться, этой силой
можно пренебречь. При этом понятия «большой» и «малый» интервал
времени нетрудно уточнить, сравнивая силы трения с инерционными
силами; например, для линейного осциллятора с массой m и
коэффициентом трения h затухание амплитуды колебаний в е раз
происходит за промежуток времени т = 2-v-. Различие колебательных систем
по затуханию (медленное, быстрое затухание колебаний)
определяется сравнением т с характерным временем Т для изучаемых
свойств; в частности, при т ^> Т затуханием можно пренебречь
(например, для многих задач небесной механики).
Подобным образом нельзя пренебрегать даже малым
«отрицательным трением» (случай h <Z 0), так как тогда переход к упрощенному
уравнению означает замену неустойчивого случая устойчивым;
нельзя пренебрегать слабыми связями в задачах синхронизации
и т. д.
Иная ситуация возникает при рассмотрении вынужденных
колебаний линейной автономной системы с малым трением под
действием гармонически изменяющейся силы. Как известно, резонанс
в такой системе (в смысле, принятом в теории дифференциальных
уравнений) может наступить только при полном отсутствии трения.
135
Но так как в технических системах трение всегда имеется, то под
резонансом в практике понимают возрастание амплитуды колебаний
не до математической бесконечности, а до достаточно больших
по сравнению с характерными размерами значений. (Например,
можно принять за начало резонанса ситуацию, в которой амплитуда
вынужденных колебаний, в 5 раз превышает амплитуду колебаний,
получающихся при учете только упругих сил.) Оказывается, что
при выяснении условий наступления резонанса в этом смысле малым
трением можно пренебречь, т. е. можно принять реальную
систему консервативной. Это находится в соответствии с
высказанным выше общим принципом о том, что достаточно малые изменения
не могут ликвидировать реально наблюдаемое свойство.
Как известно, в теории дифференциальных уравнений
разработаны методы, позволяющие изучать возмущения всех описанных
выше типов. Тем не менее, как мы видели, реализация этих методов
в прикладных задачах требует привлечения также и рациональных
соображений.
Конечно, для введения уточняющих переменных исходная
грубая модель должна допускать возможность такого уточнения, т. е.
обладать побочной адекватностью (п. 3). Именно составление
грубой адекватной модели, допускающей возможность уточнения,
является чаще всего решающим моментом математического
моделирования, определяющим успех или неуспех исследования в целом.
Это составление опирается на предварительное неформальное
обсуждение физической картины изучаемого явления и различных
возможных гипотез по этому поводу, грубую прикидку влияния
различных факторов на изучаемые характеристики, что может
потребовать соответствующих знаний и навыков. Наиболее благоприятной
является ситуация, когда удается выделить по возможности
небольшое число основных факторов, влияние которых одного порядка
и не слишком сложно описывается математически, тогда как влияние
других факторов оказывается возможным учесть с помощью осред-
ненных интегральных или замороженных характеристик.
Для многих сложных задач грубое решение вообще
достаточно. Однако грубую модель целесообразно строить и исследовать
даже в том случае, когда заведомо известно, что она недостаточна
и потому придется изучать (например, из-за требований к точности
результата) более сложную модель. Закономерности, подмеченные
на грубой модели, часто оказываются прозрачными и позволяют
рационально организовать исследование более полной модели,
а грубые численные результаты могут послужить отправной точкой
в применении итерационных методов.
Отметим в заключение, что при дальнейшем уточнении модели
могут привлекаться переменные, играющие по отношению к
вводимым на первом этапе уточнения ту же роль, что и эти последние
по отношению к переменным самого грубого приближения, и т. д.
Например, эти переменные могут быть типа в) и описывать все более
слабые влияния на изучаемую систему. Таким образом, переменные
136
выстраиваются в своеобразную иерархическую последовательность;
конечно, эта иерархия зависит от того, какие характеристики
системы мы исследуем, так как значимость одних и тех же факторов
для различных характеристик может быть существенно различной.
Иерархия переменных может также определяться их характерной
протяженностью: например, такую иерархию образуют
переменные типа б), переменные грубого приближения, переменные типа а),
уточняющие переменные, так сказать, типа а2) и т. д. Отметим,
впрочем, что в подавляющем большинстве реальных задач переменных
типа а), б) и в) (часто даже не всех этих типов), уточняющих
исходную грубую модель, оказывается достаточно, так что дальнейшего
уточнения, с упоминания о котором мы начали этот абзац, не
требуется.
Классический пример последовательного уточнения модели
предоставляет небесная механика. Так, при изучении движения
планеты вокруг Солнца наиболее грубой моделью, но приводящей
ко многим полезным выводам (например, к законам Кеплера),
является схема движения материальной частицы вокруг неподвижной
точки при ньютоновском законе притяжения. При уточнении этой
модели учитываются подвижность центрального тела, затем влияние
других планет, в первую очередь наиболее тяжелых. Еще более
тонкими являются релятивистские эффекты и т. п.
8. Пример разделения движений (действие вибраций на
механические системы). Примером задач, в которых идея разделения
действующих сил и движений на быстрые и медленные имеет важное
значение и предопределяет эффективность исследования, являются
задачи о воздействии вибраций на механические системы.
Актуальность таких задач связана с интенсивным развитием вибрационной
техники в последнее время.
В общем виде вопрос ставится следующим образом. Имеется
механическая система, на которую действуют сравнительно медленно
меняющиеся внешние силы; под их влиянием она совершает
медленное движение или находится в одном из состояний устойчивого
равновесия. Требуется няйти изменения движения системы,
вызываемые приложением к ней дополнительных быстрых вибрационных
воздействий — сил высокой частоты и малой амплитуды. Как
оказывается, в результате таких воздействий не только возникает
дополнительное быстрое движение, но и характер медленного движения
системы зачастую качественно изменяется: могут исчезнуть прежние
и появиться новые положения равновесия и виды движения (также
медленного!); движения и положения равновесия, которые при
отсутствии вибраций были устойчивыми, могут стать неустойчивыми
и наоборот. Эти поразительные эффекты, порождаемые подчас едва
заметными колебаниями, производят сильное впечатление на
впервые сталкивающихся с ними наблюдателей. Подобные эффекты и
лежат в основе работы многих вибрационных машин и устройств.
В частности, во многих из указанных устройств используется так
называемый эффект вибрационного перемещения — возникновение
137
«направленного в среднем» движения под действием
«ненаправленных в «среднем» воздействий, т. е. вибраций*.
Вот несколько характерных примеров изменения поведения
механических систем под действием колебаний.
1. Маятник с неподвижной точкой подвеса имеет два положения
равновесия — нижнее устойчивое и верхнее неустойчивое (рис. 14, а;
на рис. 14 сплошными линиями "показаны устойчивые состояния
равновесия, а штриховыми — неустойчивые). Если точке подвеса
маятника сообщить вертикальные колебания, то при определенных
?
4
<<&
A cos mi
б
Г
I
i
i
Ы
Acosvi
Рис.
б
14.
Acoswf
условиях нижнее положение равновесия маятника может сделаться
неустойчивым, а верхнее — устойчивым (рис. 14, б); существуют
также и такие области значений параметров, при которых оба
положения равновесия оказываются устойчивыми и появляются новые,
отличные от двух указанных положения равновесия (рис. 14, в).
Наконец, вследствие колебаний может поддерживаться режим
стационарного вращения маятника вокруг его оси (несмотря на
наличие трения в системе), причем средняя угловая скорость вращения
равна или в целое число раз меньше круговой частоты вибраций
(рис. 14, г) [130, 147, 148].
2. Два или несколько неуравновешенных роторов (т. е. в
некотором смысле тоже маятников) приводятся во вращение от
независимых, номинально одинаковых асинхронных электродвигателей
(рис. 15, а). Если платформа, на которой установлены роторы,
неподвижна, то установившееся вращение роторов происходит,
вообще говоря, с несколько различными угловыми скоростями
(вследствие неизбежных малых различий между двигателями). Однако
стоит сообщить платформе подвижность, например, установив ее
на упругие опоры (рис. 15, б), как средние угловые скорости
вращения роторов уравниваются — наступает самосинхронизация, а
* Нечто подобное можно наблюдать в салоне летящего самолета, когда
положенная на столик газета (карандаш, шляпа) вследствие вибраций всей конструкции
медленно ползет в какую-то сторону.
138
между фазами вращения устанавливаются вполне определенные
соотношения [130].
3. Груз неподвижно лежит на шероховатой плоскости. Если
этой плоскости сообщить достаточно интенсивные несимметричные
вибрации, то груз начнет двигаться по ней со средней скоростью
У, зависящей от частоты и амплитуды вибраций (рис. 16).
4. Груз, лежащий на неподвижной плоскости, связан с
неподвижным упором посредством пружины, которая в положении равно-
Рис. 15. Рис 17.
весия груза недеформирована (рис. 17, а). На груз параллельно
плоскости действует постоянная сила Р, меньшая предельной силы
сухого трения. Если сообщить плоскости вертикальные колебания
достаточной интенсивности, то сухое трение будет действовать
подобно вязкому и груз будет колебаться около нового положения
относительного равновесия, для которого сила упругости пружины
равна приложенной силе Р (рис. 17, б) [149].
Для всех приведенных примеров характерно, что при наличии
вибраций движение системы может быть представлено в виде
наложения высокочастотных («быстрых») колебаний с относительно
малой амплитудой на медленное движение, причем вибрации
существенно влияют и на последнее.
Возможность разделения движений рассматриваемых систем
на малые, быстрые и медленные, основные предопределила «строгие»
способы решения соответствующих задач теории колебаний —
способы, основанные на использовании методов малого параметра и
осреднения.
Примечательно, что окончательный результат решения задач
о действии вибраций на механические системы указанными
способами оказывался в подавляющем большинстве случаев таким, будто
бы для наиболее интересного медленного движения при наличии
вибраций были справедливы те же уравнения движения, что и при
отсутствии вибраций, но с добавлением некоторых дополнительных
139
сил, которые будем называть осредненными вибрационными силами
(или моментами); смысл такого названия станет ясным из
дальнейшего. Перечисленные выше своеобразные эффекты весьма удобно
трактовать именно как результат действия указанных сил.
Проследим процесс перехода от исходных уравнений движения
к уравнениям для медленных переменных на приведенных выше
примерах.
В первом примере дифференциальное уравнение движения
маятника с точкой подвеса, совершающей вертикальные гармонические
колебания амплитуды А и частоты со, имеет вид
/ф -f. ftcp -f. mgl sin ф = ml Аса1 sin ф cos at, (25)
где т и / — соответственно масса и момент инерции маятника;
/ — расстояние от оси до центра тяжести маятника; k —
коэффициент вязкого сопротивления; угол ф отсчитывается от нижнего
положения равновесия. Будем предполагать, что частота со колеба-
ний оси маятника значительно превышает частоту л = У mgl/I его
малых свободных колебаний вблизи устойчивого положения
равновесия. Предположим далее, что движение маятника может быть
представлено в виде ф = а + т|), |где а — медленно, а т|) — быстро-
изменяющиеся переменные, причем -ф мало и имеет за период 2я/со
среднее значение равное нулю. Тогда, следуя одной из процедур
метода осреднения или метода малого параметра (см., например, [147,
148]), нетрудно получить для медленной переменной а уравнение
2л/а
la -f- ka + mgl sin a = ml Am2 cos а -— J tj) (f) cos atdt. (26)
о
Выражение в правой части (26) и представляет собой осредненный
вибрационный момент; для его приближенного определения
необходимо найти быстроизменяющийся угол т|). Для определения этого
угла получается в первом приближении следующее простое уравнение;
/ф = ml Аса2 sin a cos со/. (27)
Последнее уравнение представляет собой условие баланса быстрых
сил в уравнении (25) при учете неравенства со ^> X. Иными словами,
угол т|) представляет малые колебания маятника под действием силы
инерции, обусловленной колебаниями точки подвеса.
Решив уравнение (27) и подставив результат в правую часть (26),
запишем последнее уравнение в форме
,- ,- , 1 (mlAmf
la+ka + mgl sin a + —J—j sin 2a — 0.
Отсюда видно, что если учитывать только медленные движения,
то маятник имеет следующие четыре положения равновесия:
«I = О? «г = я; «з = л + arccos J^ ;
2/g
a4 = я — arccos -
А*т1вР
140
причем два последних положения равновесия существуют при
выполнении условия
2/g
А2т1в>*
<1. (28)
Эти положения равновесия при отсутствии вибраций также
отсутствуют; оба они неустойчивы. Нижнее положение равновесия
аг = 0 является, как и для неподвижного маятника, устойчивым,
однако колебания вблизи него теперь происходят с более высокой
частотой. Что же касается верхнего положения равновесия ос2 = я,
которое при отсутствии вибраций неустойчиво, то при наличии
вибраций оно будет устойчивым, если выполняется условие
{28); именно этой ситуации соответствует рис. 14, в.
Интересна и другая задача, относящаяся к тому же маятнику.
Допустим, что он совершает движение, представляющее наложение
малых угловых колебаний г|э (/) на равномерное вращение с угловой
скоростью со, т. е. q> =a>t + a -f- ty (t), причем среднее значение
функции г|5 (t) равно нулю. Тогда для медленной составляющей а
получается уравнение
/ос -f- ka -f- ka> = ~y mtAio2 cos а,
где в правой части снова фигурирует соответствующий
вибрационный момент. Благодаря действию этого момента при достаточно
малом трении, а именно: при выполнении условия
2k <1.
т1Аа>
существует и устойчиво стационарное вращение маятника,
поддерживаемое вибрациями его оси. На этом эффекте основана работа
ряда вибрационных машин [130].
В условиях второго примера результат исследования,
проведенного методом малого параметра, соответствует следующим
дифференциальным уравнениям медленных движений неуравновешенных
роторов:
/iax + k&i + V = Wj, (at — а2, со) + L, (со),
/2а2 + &2аг + k2<a = W2 (ах — а2, со) + L2 (со).
Здесь Lx и L2 — вращающие моменты, передаваемые роторам
электродвигателями, a Wx и W2 — вибрационные моменты,
конкретные выражения которых через параметры системы можно найти в
[130]. Из уравнений (29) видим, что при отсутствии вибраций
основания, когда Wi = W2 = 0, вращения роторов независимы и
происходят со стационарными угловыми скоростями щ и со2,
определяемыми из условия уравновешивания электрических моментов и
моментов сил сопротивления:
k^ = Lx (coj; &2wa = L2 (co2).
141
При подвижности основания стационарные значения общей
угловой скорости со и разности фаз ах—а2 определяются из системы
уравнений
kjOi = Wx (ax — а2, <о) + ^-1 (ш);
&2ю = W2 (04 — а2, <о) + £2 («)•
Для третьего и четвертого примеров удается получить точное
решение задачи о движении груза по шероховатой вибрирующей
плоскости в виде
x=V(t)t + ty((i>t)s=X (t) + г|з (at),
где V (0 — медленно меняющаяся функция времени (или
постоянная), зависящая от параметров колебаний; г|э (<о/) — быстроизме-
няющаяся периодическая составляющая периода 2я/<о; величина
V играет роль средней скорости движения. Простые выкладки
позволяют и в этих случаях заключить, что уравнения медленных
движений для рассматриваемых здесь примеров могут быть записаны
в форме
а) тХ + kX = W&
б) т'Х + kX + сХ = Р,
где W — —kX -f W0 и —kX — осредненные вибрационные силы,
зависящие от частоты, амплитуды и характера вибраций плоскости,
ас — коэффициент жесткости пружины, которая предполагается
такой, чтобы было Я = j/c/m <^ <о. Из уравнений видно, что в
условиях а) установившимся состоянием груза будет его движение
с постоянной средней скоростью X = Wjk, а в условиях б) —
равновесие по медленно меняющейся координате в точке X = Р/с.
Итак, приведенные примеры наводят на мысль о том, что для
медленных движений при воздействии вибраций на механические
системы справедлива (по крайней мере в некотором приближении)
теорема, аналогичная известной теореме динамики относительного
движения: для того чтобы получить уравнения медленного движения
достаточно прибавить ко всем действующим на систему силам
некоторые дополнительные, вычисляемые по определенным правилам
силы (осредненные вибрационные силы или моменты).
Таким образом, намечается некоторый общий подход к решению
задач рассматриваемого класса и удобный способ интерпретации
(и объяснения) результата действия вибраций на различные
механические системы. Последнее представляется весьма важным для
работы изобретателя, конструктора и исследователя вибрационных
устройств*.
Разумеется, сформулированная выше теорема, лежащая в основе
этого подхода, доказывается здесь лишь на рациональном уровне —
* Заметим, что медленное движение при действии вибраций на механические
системы — это то движение, которое наблюдатель как бы видит через грубые
очки, т. е. очки, в которых для глаза не заметны мелкие быстрые дрожания
движущихся объектов.
142
доводами в пользу ее справедливости являются приведенные выше
примеры, для которых она получилась «строго» в результате
применения методов малого параметра или осреднения*, а также то
обстоятельство, что противоречащего примера до сих пор не
обнаружено. В качестве дополнительного довода приведем также
нижеследующие рассуждения и выкладки, которые можно рассматривать
как доказательство теоремы на рациональном уровне. Заметим, что
это доказательство представляет интерес в том отношении, что из
него следует простой способ получения выражений для осредненных
вибрационных сил или моментов. Такой способ полезен в тех
случаях, когда в отличие от приведенных выше примеров, прийти
к уравнениям медленного движения путем применения строгих
методов представляется затруднительным. Подобные затруднения
возникают, в частности, если в условиях первого и второго примеров
рассматривается движение не твердых тел, а упругих стержней
и к тому же поле вибраций плоскостей неоднородно.
Итак, будем предполагать, что движение системы при отсутствии
вибраций описызается уравнением**
тх — F (х, х, f), (30)
где х — обобщенная координата системы; m— масса; F —
медленно меняющаяся сила; / — медленное время. То же уравнение при
наличии вибраций записывается в виде
mx = F(x, х, t) + <$(x, x, t, at), (31)
где Ф — быстрая сила, имеющая период 2я по быстрому времени
со/, которая, вообще говоря, может зависеть и от медленного
времени /.
В соответствии с изложенным ранее, основным исходным
допущением является предположение о том, что изучаемое
«установившееся по быстрому времени» движение системы имеет вид
x = X(t) + ty(t, at), (32)
где X (t) — медленная, a ty (t, со/) — малая быстрая
составляющие. Функция г|э является 2я-периодической относительно
аргумента со/, причем для определенности разбиения (32) можно считать,
что
2л
' — j4tf, 6)d9 = 0; (33)
о
как видно, допускается, что функция t|? может зависеть также и от
медленного времени /.
* Слово «строго» заключается здесь в кавычки в связи с тем, что применение
указанных методов, как уже отмечалось выше, в сущности также осуществляется
на рациональном уровне.
** Мы проводим здесь рассуждения и выкладки для системы с одной степенью
свободы, нбо обобщение на многомерный случай не представляет каких-либо
затруднений.
143
Подставив выражение (32) в дифференциальное уравнение (31)
и ограничиваясь линейными членами в разложении функции F (х,
х, f) по степеням г|э, получим *
mX + my = F(X, X, *) + (-g-)*+ "(-|f)l> + Ф(* +
+ i X + y, t, ©/), (34)
где производные в скобках взяты при ijj = 0, г|э = 0 и зависят
только от X, X и t.
Учитывая условие (33), потребуем, чтобы функция г|э (t, at)
удовлетворяла следующему интегро-дифференциональному
уравнению:
2П
-~[ Ф(* +% Х + -ф, г, 8)d3. (35)
"о
Тогда в силу уравнения (34) должно выполняться также и
уравнение
2л
m'X = F(X, X, 0 + 4Л ф(* + ^' Х + Ц- *> e>d9- (36)
о
Система интегро-дифференциальных уравнений (35), (36)
эквивалентна (с точностью до нелинейных относительно гр членов в
разложении функции F) исходному уравнению (31); ее точное решение
в общем случае не проще, чем решение исходного уравнения. Иначе,
однако, обстоит дело, если учесть основное предположение о
характере функций X (0 и тр (t, cot) и удовлетвориться приближенным
решением системы.
Действительно, в этом случае естественно при решении уравнения
(35) рассматривать величины X, X и / как параметры, ибо их
изменение за перцод 2я/св быстрого движения по предположению
относительно мало. Определив 2я-периодическую по cat функцию
•ф = / (X, X, t, cat) из уравнения (35), можно затем найти выражение
2п
W(X, X, fl = -JLJ Ф{Х + у, Х + % t, Q)dQ. (37)
*о
При использовании обозначения (37) уравнение (36)
записывается в форме
mX = F(X, X, f) — W(X, X, i). (38)
Последнее дифференциальное уравнение служит для
определения медленной составляющей движения X; оно отличается от урав-
* Можно сохранять в разложении функции F также и члены более высокого
порядка, что в определенных случаях необходимо; при этом в выражении для
осредненной вибрационной силы появится дополнительное слагаемое.
144
нения движения системы при отсутствии вибраций (30) наличием
дополнительного слагаемого W,. которое и представляет собой
осредненную вибрационную силу. Как явствует из (37),
вибрационная сила представляет собой медленную силу, получающуюся
путем осреднения быстрой силы Ф в исходном уравнении (31) по
быстрому времени на траектории быстрого движения i|) (t, at); это
обстоятельство и оправдывает название, принятое выше для
силы W.
Весьма существенно, что функция гр входит в выражение для
W под знаком интегрирования. Это позволяет ограничиться
приближенным определением функции г|э из уравнения (35), например,
в виде суммы небольшого числа гармоник или небольшого числа
членов ряда по степеням малого параметра. Важно также, что
правые части уравнения (35) и (38) не содержат операции
дифференцирования функции Ф по ее аргументам. Последнее позволяет
использовать изложенный прием при изучении важного класса систем
с кусочно-гладкими быстрыми силами, например систем с сухим
трением.
Об устойчивости установившихся движений и положений
равновесия, определяемых уравнением (38), естественно судить на основе
анализа устойчивости соответствующих решений отдельно
уравнения (35), описывающего быстрые движения при фиксированных
значениях X, X и / и уравнения медленных движений (38).
В выводе уравнения (38) и состоит, таким образом,
доказательство сформулированной теоремы на рациональном уровне.
Впрочем, заметим, что можно построить процесс
последовательных приближений или ввести в систему (35), (36) малый параметр
таким образом, чтобы описанный способ ее приближенного решения
давал исходное приближение. Тем самым степень правдоподобности
доказательства будет увеличена.
Отметим также, что разделение сил, действующих на систему,
на быстрые и медленные несколько условно в том смысле, что ошибки
не произойдет, если некоторые или все медленные силы отнести
к быстрым. Указанное разделение определяется лишь
соображениями удобства трактовки, а также тем обстоятельством, что к гладкости
выражений для быстрых сил, как нетрудно видеть, предъявляются
более слабые требования, чем к выражениям для медленных
сил.
Заметим далее, что движения, описываемые уравнением (38), в
определенных случаях вследствие добавления слагаемого — W
могут оказаться быстрыми, несмотря на то что движения,
описываемые уравнением (30), были медленными. Естественно* что
необходимым условием возможности разделения движений и тем самым
применимости изложенного приема, является медленность решений
уравнения (38). Это условие может оказаться особенно существенным
при изучении устойчивости движения [150]. В случае, когда
уравнение (38) или соответствующее ему уравнение в вариациях
оказывается линейным с постоянными коэффициентами, сформулированное
10 6-20
145
требование сводится к условию, чтобы частоты свободных
колебаний системы с учетом вибрационных сил были значительно меньше
частоты <о.
Изложенный подход к изучению действия вибраций на
механические системы был предложен в работе [151 ]. Впрочем, идея
разделения движений на быстрые и медленные широко использовалась
при решении различных задач механики и ранее. Укажем, в
частности, на книги и статьи [26, 148, 152—155], и в особенности на
книгу К. М. Рагульскиса [147]. Разнообразные примеры использования
идеи разделения движений в связи с задачами теории
гироскопических систем можйо найти в книге А. Ю. Ишлинского [156]. От
известного метода гармонической линеаризации [157, 158]
рассмотренный прием отличается в основном тем, что быстрая составляющая
г|) не предполагается непременно простым гармоническим
колебанием частоты <о; не накладываются также особые предположения
на характер нелинейностей в системе и уравнение медленного
движения не приводится непременно к линейному.
9. О контроле модели. Вопрос о методах проверки адекватности
модели в целом достаточно сложен, и мы не будем им здесь
заниматься. Мы выскажем только несколько простых соображений,
которыми пользуются в начальной стадии построения модели и
которые могут помочь не допустить грубых ошибок при этом; впрочем,
некоторые соображения по этому поводу уже были изложены в
предыдущих пунктах.
Ранее мы говорили о том, что полезно начинать с самых грубых
моделей и прикидок. Понимание того, что происходит в изучаемой
системе, какие факторы оказывают существенное влияние на
интересующие нас характеристики, может помочь создать достаточно
полную модель и избежать чрезмерного ее усложнения; это
понимание может существенно сказаться на самом выборе типа модели
и набора переменных, которые должны привести к
удовлетворительному ответу на интересующий нас вопрос по возможности более
прямым путем *.
Одним из важнейших является вопрос о выборе законов и
гипотез, лежащих в основе модели. Мы здесь не будем входить в
подробности по этому поводу (см. выше п. 5), укажем только еще раз
на опасности, связанные с привлечением искусственных и трудно
проверяемых гипотез**.
Однако допустим, что эти этапы как-то преодолены и мы
приступаем к выписыванию соотношений, связывающих участвующие
величины. При этом обычно ерблюдаются определенные правила
самоконтроля; некоторые из них мы здесь перечислим.
* «Как бы тривиально и очевидно это не звучало, повторим еще раз: важно
понимать, что вы хотите узнать» (Р. Хемминг [1, с. 392]).
** «Наилучшие гипотезы — это простые гипотезы, которые легко подтвердить
экспериментально, если они верны, и легко опровергнуть с помощью надлежащим
образом подобранных решающих экспериментов или наблюдений, если они
неверны» (Н. Бейли [58, с. 59р.
146
Контроль размерностей. Он состоит в применении примитивного
правила, согласно которому приравниваться и складываться могут
только величины одинаковой размерности. Им следует
пользоваться по возможности чаще, не только на окончательной, но и на
промежуточных стадиях вывода соотношений. При переходе к
вычислениям он сочетается с контролем системы единиц.
Контроль порядков. Он состоит в грубой оценке (прикидке)
сравнительных порядков складываемых друг с другом величин с тем,
чтобы выделить основные слагаемые и уточняющие в смысле п. 7
члены, а явно малозначительные слагаемые совсем отбросить. Пусть
например, мы пришли к соотношению вида
а — Ь + с = 0, (39)
причем путем прикидки установлено, что \с\ <^ а, а тем самым и \с\ <£
<^ Ь. Тогда от (39) можно перейти к приближенному соотношению
а — Ь = 0. (40)
Допустим, что последнее соотношение имеет следующие свойства:
1) оно нетривиально относительно интересующей нас
характеристики, т. е. из него можно сделать качественные и (или)
количественные выводы по поводу этой характеристики;
2) оно устойчиво относительно этой характеристики, т. е. малое
изменение уравнения приводит к сохранению качественных и
малому изменению количественных выводов.
Тогда из (40) можно сделать правильные количественные и
приближенно правильные количественные выводы по поводу
интересующей нас характеристики, если поправка с является «малой»
в смысле устойчивости; последний вопрос решается на
рациональном уровне. При этом уравнение (39) может быть использовано для
уточнения количественных выводов.
Возможны также особые случаи, для которых выполняется
только свойство 1), но не 2); тогда уравнение (40) недостаточно для
необходимых выводов. Однако если разработан способ, посредством
которого возможно, отправляясь от уравнения (40) и учитывая
теперь уже принципиально существенное слагаемое с, сделать
качественные и количественные выводы относительно интересующей нас
характеристики, то исследование может быть доведено до конца.
Примеры таких особых случаев имеются в п. 7.
Отметим, что к данной области контроля относится также
контроль порядка поправочных членов, появляющихся при замене
одних функциональных зависимостей другими (в частности, при
линеаризации функций), одних геометрических форм другими и т. д.
Далеко не всегда удается сделать достаточно обоснованное
заключение о том, как может сказаться такая замена на изучаемой
характеристике; поэтому возможность этой замены часто остается
более или менее правдоподобной рабочей гипотезой.
Контроль характера зависимостей. Здесь речь идет о проверке
направления и скорости изменения одних величин при изменении
10*
147
других: эти направление и скорость, вытекающие из
выписываемых соотношений, должны быть такими, как это следует
непосредственно из смысла задачи. Пусть, например, мы вывели соотношение
вида d = a2b — с (а, Ь, с > 0). Тогда с ростом а и b значение
d должно возрастать, а с ростом с —убывать; кроме того, с
увеличением а и b скорость роста d (а) увеличивается и т. д. Сравнение
этих качественных выводов с тем, что вытекает из «физического»
смысла изучаемой задачи, служит добавочным источником контроля
правильности выведенного соотношения.
Контроль экстремальных ситуаций. Чрезвычайно полезно
проследить за тем, какой вид принимают как исходные, так и
промежуточные соотношения, а также выводы из исследования модели,
если параметры модели или их примечательные комбинации
приближаются к крайним допустимым для них значениям — чаще всего
к нулю или к бесконечности. Дело в том, что в таких экстремальных
ситуациях задача часто упрощается или вырождается, так что
соотношения приобретают более наглядный смысл и могут быть
проще проверены, а окончательные выводы могут быть
продублированы каким-либо другим методом. Исследование экстремальных
случаев служит не только для асимптотических представлений ре-.
шения в условиях, близких к экстремальным, что часто имеет
самостоятельный интерес *.
К контролю в экстремальных ситуациях примыкают редкие
случаи, в которых при определенных, не экстремальных соотношениях
между параметрами возможен дополнительный контроль модели,
например из-за того, что при этих соотношениях соответствующие
дифференциальные уравнения возможно проинтегрировать в
квадратурах и т. п.
Контроль граничных условий. Если в процессе исследования
математической модели должна быть построена некоторая функция, то
обычно требуется, чтобы она на границе области своего определения
удовлетворяла определенным граничным условиям, также
вытекающим из смысла задачи. Это, в частности, относится к случаям
(но не только к ним), когда указанная функция получается в
результате решения дифференциального уравнения. При этом требуется
контроль того, что граничные условия действительно поставлены,
что они использованы в процессе построения искомой функции и что
эта функция на самом деле удовлетворяет таким условиям.
Контроль математической замкнутости. Он состоит в проверке
того, что выписанные математические соотношения дают
возможность, и притом однозначно, решить поставленную математическую
* Дж. Коул [103, с. 10]: «Чтобы выявить все существенные черты изучаемой
задачи и дать хорошее численное приближение к точному решению, математику-
прикладнику нужно лишь несколько членов асимптотического разложения. Как
это ни удивительно, но часто дело обстоит именно так. Всем используемым при
получении решения разложениям желательно давать обоснование с помощью подхо-
д ящих предельных процессов, так как данный метод обеспечивает ясное понимание
всех этапов аппроксимации».
148
задачу, (Конечно, когда мы говорим об однозначности, мы не ймеен!
в виду, что если, например, задача приведена к решению уравнения,
то это уравнение должно иметь единственное решение. Сама задача
может быть поставлена так: «найти какое-нибудь решение», «найти
все решения», «найти решение, удовлетворяющее такому-то
добавочному условию» и т. д.) Пусть, например, задача свелась к
отысканию п неизвестных из некоторой системы конечных (алгебраических
или трансцендентных) уравнений. Тогда контроль замкнутости
состоит в проверке того, что и независимых выписанных уравнений
должно быть п. Если-их-менвше п, то надо поискать недостающие
уравнения, а если их больше п, то либо уравнения зависимы, либо
при их составлении допущена ошибка. (Впрочем, если уравнения
получаются из эксперимента или наблюдений, то возможна
постановка задачи, при которой число этих уравнений в системе может
превышать п, но сами уравнения удовлетворяются лишь приближенно,
а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов.
Неравенств среди условий также может быть любое число, как это
бывает, например, в задачах математического программирования.)
Конечно, желательно следить не только за тем, чтобы система
уравнений была формально замкнутой, но и за тем, чтобы она была
по возможности хорошо приспособлена к фактическому отысканию
решения (например, для системы линейных алгебраических
уравнений — чтобы она не была плохо обусловленной и т. п.).
Контроль физического смысла состоит в проверке физического
или иного, в зависимости от характера задачи, смысла
промежуточных соотношений, появляющихся по мере конструирования модели.
Имеются и методы контроля моделей, принятые в отдельных
конкретных областях приложения математики, на которых мы не
будем здесь останавливаться. Укажем на простой подробно и
интересно разработанный пример построения математической модели
задачи прикладной механики с разбором ошибок и контролем в
книге Дж. Диксона [20, с. 84 и далее].
10. О математических моделях в механике. Соображения,
высказанные выше, относились к различным областям приложения
математики. Сейчас мы выскажем несколько простых
дополнительных замечаний, специфических для математических моделей
механики.
При создании такой модели основными моментами являются:
1) схематизация тел и 2) учет взаимодействия. В свою очередь
схематизация тел включает в себя схематизацию геометрических форм
и квалификацию тел в качестве материальных точек, абсолютно
твердых тел и сплошной сргды с теми или иными свойствами
(нерастяжимая линия, оболочка, пластинка, среда с упругими или
упруго-пластическими свойствами и т. д.).
В некотором смысле каждую реальную совокупность,
состоящую из достаточно большого числа частиц, можно рассматривать -
как сплошную среду. В книге Л. И. Седова [159, с. 16] приведены
любопытные данные по этому поводу. Именно: в 1 сма воздуха при
149
0° С на уровне моря содержится ЛГ = 2,678 • 1019 молекул; на
высоте 60 км значение N = 8 • 101Б и даже в межзвездной среде N я* 1.
Таким образом, как отмечает Л. И. Седов, «даже межзвездный газ
можно рассматривать как среду с очень большим числом частиц
в малых (в астрономическом смысле.— Авт.) объемах». Далее,
плотность железа равна 7,8 г/см3, тогда как плотность атомных
ядер железа равна 1,16-101* г/см3; это означает, что «все тела, по
существу, «состоят из пустоты» и в то же время в практически
малых объемах пространства, занятого телом, всегда заключено
большое число частиц». Укажем, наконец, такие цифры: скорость
молекул кислорода в нормальных условиях равна 425 м/сек, а
длина свободного пробега — 6, 5- Ю-6 см; таким образом, каждая
молекула испытывает в секунду 6,5-109 столкновений.
Тем не менее хорошо известно, что в механике широко и успешно
применяются модели, в которых тело считается не имеющим
протяжения в одном, двух или даже трех измерениях, т. е. в последнем
случае тело заменяется на материальную точку. Такая схематизация
часто (особенно в последнем варианте) существенно упрощает
модель, хотя иногда приводит к нарушению адекватности.
Возможность этого упрощения определяется путем сравнения
протяженности тела в соответствующих измерениях с характерными протя-
женностями в рассматриваемой задаче; в частности, отсюда вытекает
распространенность применения понятия материальной точки в
небесной механике.
В некоторых случаях оказывается возможным осуществить
«разделение измерений» подобно тому, как в п. 7 мы говорили о
разделении движений. Именно, пусть характерные размеры тела (или
некоторой его мысленно выделенной части) в каком-либо измерении
существенно меньше, чем в остальных. Тогда можно, выбрав сначала
мелкую единицу масштаба, изучить структуру тела в указанном
измерении, приняв характеристики тела в остальных измерениях
за параметры; после этого можно учесть эту структуру
интегральными характеристиками и, выбрав крупную единицу масштаба,
рассмотреть картину в остальных измерениях. Такое
разделение измерений проводится, в частности, в теории пограничного
слоя.
Предположение об абсолютной жесткости того или иного
протяженного тела также вносит значительные упрощения в модель
изучаемой системы. Естественно, что это предположение не
имеет абсолютного характера, а зависит от типа воздействий на систему.
Так, во многих задачах тело можно считать абсолютно жестким,
если характерное время, связанное с внешним воздействием,
существенно больше, чем период собственных колебаний этого тела.
Однако здесь имеются и важные исключения: например, при
рассмотрении статически неопределимых систем предположение об
абсолютной жесткости всегда неадекватно задаче.
Если тело нельзя принять абсолютно жестким, то приходится
учитывать взаимодействие между частицами, что выражается в вы-
150
боре тех или иных феноменологических законов, таких, как закон
Гука. Это приводит к понятию упругого или упруго-пластического
твердого тела, идеальной или вязкой жидкости или к более
сложным реологическим моделям.
Взаимодействие тел друг с другом учитывается с помощью
понятия силы. Силы часто оказывается возможным подразделять на
позиционные, т. е. зависящие от координат системы, скоростные, т. е.
зависящие от скоростей, и вынуждающие (возмущающие), т. е.
заданные непосредственно в виде функций времени и вносящие в
систему неавтономн'ость. (Впрочем, эти признаки могут сочетаться,
так что слишком последовательное проведение классификации
не всегда целесообразно.) Отметим, что выделение заданных
вынуждающих сил обычно получается в результате искусственного
расчленения системы, выделения в ней частей, на которые
остальные части системы воздействуют сравнительно слабо, как это
описано в п. 7; тогда, пренебрегая этим воздействием, можно сказать,
что выделенные части системы являются внешними по отношению
к остальным. Например, при изучении колебаний фундамента, на
котором расположена машина с движущимися неуравновешенными
массами, можно в грубом приближении принять, что относительное
движение подвижных частей машины не зависит от колебаний
фундамента, а потому по отношению к ним это движение определяет
внешнюю силу, полностью заданную во времени., Однако на самом
деле неуравновешенная машина и фундамент составляют единую
систему, и хотя в ряде случаев указанное приближение является
вполне приемлемым, все же при определенных соотношениях
частот колебаний и вращения о взаимодействии (а не только о действии
в одном направлении) приходится вспоминать.
После составления механической модели совершается переход
к соответствующей математической модели. С точки зрения
математического анализа это обычно означает переход к той или иной
«эволюционной» (т. е. описывающей развитие во времени) системы
дифференциальных уравнений. Упрощение механической модели
за счет отбрасывания ее элементов означает отбрасывание
некоторых из дифференциальных уравнений в системе; отметим, что
подобные упрощения так же характерны для механики, как и для
других дисциплин, применяющих математику. Если упрощенная
модель адекватна по некоторым свойствам, то эти свойства у
решения укороченной системы уравнений должны быть теми же, что у
более точной полной системы. Механическая интуиция, разумные
традиции позволяют производить такие отбрасывания, не
приводящие к существенным ошибкам, без тщательного математического
анализа в каждом конкретном случае.
На характере математических моделей механики
останавливается А. Ю. Ишлинский [15].
11. Об анализе решения. Выше уже говорилось о том, что
анализ и интерпретация результата исследования математической
модели составляют один из основных этапов решения прикладной
151
математической задачи*. Однако здесь мы ограничимся лишь
несколькими замечаниями по этому поводу, связанными, в частности,
с тем, что такой анализ в некоторых случаях приводит к
необходимости перестройки самой модели.
Мы уже говорили в п. 2, что вопрос о том, что означает
«исследовать модель», является далеко не таким простым, как это может
показаться с первого взгляда. Хотя отчетливое знание того, что
именно мы ищем, существенно облегчает исследование, помогая
организовать целеустремленный поиск, но лишь в редких случаях
мы можем в начале рассмотрения точно перечислить, какие из его
результатов окажутся для нас полезными. Гораздо чаще некоторые
из этих результатов, порой самые интересные, обнаруживаются
лишь в процессе исследования, план которого в связи с этим
приходится по ходу дела перестраивать. Поэтому разностороннее
обсуждение промежуточных и окончательных результатов (причем
не только в заранее предусмотренных аспектах), анализ побочных
ветвей исследования могут оказаться весьма целесообразными,
хотя и придают этому исследованию некоторую аморфность,
разумная степень которой определяется на основании интуиции,
аналогий и опыта.
Приведем простой пример. Пусть рассматриваются вынужденные
колебания осциллятора, описываемые уравнением тх'+ сх =
р
= F sin at. Эти колебания имеют амплитуду Q =—г——щ-.
Поставим вопрос о том, как влияет на эти колебания упругое
присоединение к колеблющейся массе т другой массы щ. Если обозначить
координату этой массы буквой хъ а соответствующий коэффициент
восстановления — буквой с1( то получим систему уравнений
тх + сх + Ci(x — xj = Fsinwt; тххх -\- сх(д^ — х) = 0.
Отсюда с помощью простых вычислений, которые мы
предоставляем читателю, находим, что массы т и т1 будут колебаться с
частотой со и амплитудами соответственно
I (с + ci — "ио2) (Ci — mjW2)— с, |
Казалось бы, задача решена. Однако результат окажется более
полезным, если мы проведем анализ полученных формул. Так,
из формулы для А легко получить условие того, что А <С Q, т. е.
в результате присоединения массы т1 амплитуда колебаний массы
т уменьшится. Это условие имеет вид
(jL-^pi соМ<0 либо -, JL r->-^V-
* На этом этапе применительно к задачам физики останавливается, в
частности, Р. Фейнман [160, с. 190—191].
152
с — та2 ■
тгш'сх
ci-
• m.or
(Первое неравенство означает, что если собственная частота
исходного осциллятора была больше вынуждающей частоты со, то
собственная частота присоединяемого осциллятора должна быть
меньше со и обратно.) Более того, мы замечаем, что амплитуда А
может быть с помощью подбора сг и т1 как угодно понижена, а при
соотношении Ci — т^2 = 0, т. е. с' = со2, она становится
равной нулю!
Таким образом, мы приходим к выводу, который заранее совсем
не очевиден и даже может быть воспринят как парадоксальный:
при определенных соотношениях параметров присоединяемого
осциллятора (его собственная частота должна равняться
вынуждающей частоте со) масса, к которой приложена вынуждающая сила,
остается в покое, а раскачивается другая масса, к которой сила
непосредственно не приложена. Этот результат подсказывает идею
конструкции гашения вынужденных колебаний, основанной на
упругом присоединении к колеблющейся системе дополнительных
масс, принимающих раскачивание на себя. Такие динамические
гасители колебаний действительно применяются во многих
технических устройствах — от кораблей (для их защиты от качки) до
машинок для стрижки волос. Между прочим отметим, что
присоединяемая масса не должна быть слишком малой, так как из формулы для
F F
ее амплитуды Аг видно, что при Ci = mjftr будет Аг =— = $-.
Дальнейший несложный анализ показывает, что масса тг не
должна быть слишком малой также в силу условия стабильности
(нечувствительности) режима работы устройства по отношению к
малым изменениям параметров системы.
Остановимся еще на вопросах, связанных с проверкой
адекватности модели. Мы уже говорили в п. 8 о методах контроля модели
в процессе ее построения. Однако не менее важным методом
контроля модели в целом и ее элементов (в частности, гипотез, положенных
в основу модели) является анализ результатов ее исследования.
Дело в том, что часть этих результатов может быть известна из
других источников или доступна непосредственному измерению.
Подтверждение таких результатов, вытекающих из принятой модели,
повышает доверие к ней (причем тем больше, чем менее
очевидными являются эти результаты), а неподтверждение заставляет измег
нить модель. Аналогичным образом — с помощью контроля
следствий — могут проверяться и гипотезы, на которых основана
модель. В частности, если имеется несколько конкурирующих
гипотез, то во многих случаях оказывается возможным отобрать одну
из них с помощью выбора таких следствий, которые бы
поддавались непосредственной проверке и для каждой из гипотез давали
отчетливо различные результаты.
Например, в строительной механике применяются две основные
гипотезы по поводу характера внутреннего трения в материале.
Непосредственно проверить, какая из этих гипотез выполняется
153
в той илииной конкретной ситуации, оказывается затруднительным.
Однако можно воспользоваться тем, что из одной гипотезы
(гипотеза вязкого трения) следует, что внутреннее трение
пропорционально частоте колебаний, а из другой — что оно не зависит от этой
частоты. Эти следствия допускают непосредственную проверку,
для чего достаточно прикрепить к колеблющейся балке добавочный
груз, чтобы изменить частоту ее собственных колебаний, и после
этого проверить, как изменится скорость затухания таких
колебаний (на эту скорость влияет также изменившаяся приведенная
масса системы); такая проверка позволяет сделать выбор между
обеими гипотезами.
Особо надо сказать о математических моделях социальных и
иных подобных явлений, для которых количественное описание
не является достаточно надежным и общепринятым. Здесь контроль
гипотез и модели в целом по получающимся следствиям части имеет
только качественный характер и в ряде случаев можно предложить
много гипотез и много моделей, которые приводят к качественно
одинаковым результатам. По поводу таких моделей В. В. Налимов
пишет [21, с. 18]: «Можно поставить вопрос — в чем же смысл
таких моделей? Ответ на него прост. Такие модели позволяют лицам
определенной интеллектуальной настроенности понимать
поведение системы лучше, чем если бы оно было изложено вербально.
Это происходит, видимо, потому, что математический язык и,
в частности, язык дифференциальных уравнений обладают высокой
степенью общности. У ученого, владеющего этим языком, сразу
же возникает множество ассоциаций с аналогичными, хорошо
известными ему ситуациями, описываемыми такими же уравнениями.
Математическая модель сразу же становится на свое место в системе
тех представлений, которыми располагает ученый, мыслящий на
языке математики» (прикладной математики — добавим мы.—Авт.) *.
Подобно тому как рассматривающий ноты музыкант как бы
внутренним слухом слышит мелодию, так исследователь с
математическим опытом, увидев дифференциальное уравнение, зачастую
мгновенно улавливает общие свойства его решения и их физическую
интерпретацию. Мы не удивимся презрительной усмешке на лице
гипотетического музыканта, которому попались ноты плохой
музыки; то же выражение лица может возникнуть и у нашего
исследователя, который видит казалось бы только одну строку
математического текста...
§ 2. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
1. Внешнее и внутреннее правдоподобие. Мы уже говорили о том,
что в прикладном исследовании, применяющем математику, вслед
за этапом построения математической модели идут этапы выбора
* Говоря о пользе математических моделей в биологии, Н. Бейли [58, с. 29]
пишет: «...достигнув достаточной степени сложности, математика развивается
далее по своим собственным законам и дает биологу понятия и образ мышления,
которых у него раньше не было». (См. об этом также [161]).
154
метода исследования и самой реализации исследования этой модели.
Обычно первый этап завершается записью исходных соотношений,
уравнений задачи, тогда как дальнейшие этапы состоят в решении
полученной математической задачи, которое может включать как
количественные результаты, так и качественные выводы. (Мы
будем для определенности говорить об «уравнениях задачи», хотя все
сказанное будет полностью относиться и к случаю, когда
математическая модель имеет какую-либо иную структуру.) Таким образом,
для построения решения мы получаем схему
реальный объект -*~ модель -> решение, (41)
после реализации которой наступает этап интерпретации решения,
на чем мы здесь не будем останавливаться. Отметим, что в
соответствии с п. 1.3. решению может предшествовать построение
нескольких промежуточных моделей; тогда для составления схемы
(41) надо остановиться на какой-то одной из них, считая, что
остальные промежуточные модели включены в переходы, обозначенные
на этой схеме стрелками.
Построение модели, как всякая неформальная процедура, по
необходимости не может производиться чисто дедуктивно, а всегда
существенно опирается на рациональные рассуждения. Как мы
уже говорили в п. 1.3, это приводит к тому, что модель имеет по
изучаемой характеристике реального объекта лишь некоторую степень
адекватности, которая только для самых простых задач
оказывается практически полной.
Впрочем, обычно эта степень адекватности бывает заранее не
известна, а выясняется только после многократных проверок в
изучаемой и сходных задачах. Чаще всего после выбора модели
исследователь имеет только некоторую ожидаемую степень адекватности.
Эту ожидаемую степень адекватности мы будем называть внешним
правдоподобием схемы (41); оно характеризует соответствие
математической модели изучаемому реальному объекту в глазах
исследователя по интересующим его свойствам. Внешнее правдоподобие,
как правило, тем ближе к истинной степени адекватности, чем выше
опытность и интуиция исследователя (или коллектива
исследователей) в изучаемой области, чем более «апробированным» является
тип применяемой модели. (Отметим, что, как и в конце п. 1.3.1,
можно было бы ввести еще один психологический параметр,
характеризующий степень уверенности исследователя в правильности
оценки им внешнего правдоподобия схемы; как этот параметр,
так и само внешнее правдоподобие, могут изменяться в процессе
исследования.) Впрочем одной из драматических сторон научной
деятельности является часто встречающаяся и легко понятная
склонность даже опытного исследователя переоценивать степень
адекватности избранной модели; как правило, эта переоценка
выясняется с большим опозданием, причем часто другими людьми.
Аналогичным образом можно ввести понятие внутреннего
правдоподобия схемы (41), характеризующего ожидаемую степень
155
адекватности по изучаемым характеристикам второго перехода (41),
т. е. ожидаемое соответствие решения уравнениям задачи. Мы
уже говорила в § 1.3, что и при построении математического решения
уравнений прикладной задачи широко применяются рациональные
переходы, которые приводят к тому, что за исключением самых
простых задач решение обычно оказывается не вполне адекватным
модели.
. Выбор метода исследования математической модели
непосредственно связан с внутренним правдоподобием исследования. Так,
проводя это исследование на чисто дедуктивном уровне, мы
поднимаем внутреннее правдоподобие до максимально возможного;
можно сказать, что степень внутреннего правдоподобия чисто
дедуктивного исследования равна 1. Если же, как обычно в прикладном
исследовании, мы применяем упрощения уравнений системы без
полного дедуктивного обоснования, понятие практической сходимости,
вычисления на ЭЦВМ или совершаем другие рациональные
переходы, то внутреннее правдоподобие соответственно понижается.
Среди многих вопросов, касающихся соотношения между
внешним и внутренним правдоподобием, одним из центральных является
вопрос о разумных требованиях к внутреннему правдоподобию
при некотором принятом уровне внешнего правдоподобия, т. е. при
фиксированном выборе математической модели. Как мы видели,
от решения (кстати сказать, по необходимости рационального)
этого вопроса может существенно зависеть выбор метода
исследования модели. По этому поводу широко известны две точки зрения.
Первой из них придерживается, хотя и не всегда отчетливо,
большинство авторов прикладных исследований. Попросту говоря
эта точка зрения состоит в том, что бессмысленно строить слишком
точные решения уравнения, при составлении которых была
значительно огрублена реальная картина. Другими словами, в
соответствии с общим принципом оптимальности при решении прикладных
задач (п. 1.1.7) необходимо учитывать, насколько повышение затрат
труда на увеличение внутреннего правдоподобия окупится
повышением ожидаемой итоговой адекзатности решения исходному
реальному объекту.
Другая точка зрения, высказанная в явной форме Д. Гильбертом
(см., например, [162, с. 1Ъ—191) и А. М. Ляпуновым [1631 и
повторяемая порой в настоящее время, состоит в том, что после
формулировки прикладной задачи на математическом языке ее нужно
решать на уровне чистой математики. В принятых здесь терминах
это означает, чтовнутреннее правдоподобие должно быть
максимальным независимо от уровня внешнего правдоподобия *. :
* В последние десятилетия развилась своеобразная область математики,
различные направления которой иногда называются «физической математикой»,
«биологической математикой» и т. п. Для этой области, промежуточной между
чистой и прикладной математикой, хара. терно то, что та или иная математическая
модель реального объекта как бы абсолютизируется и изучается на полностью
дедуктивном уровне с доказательством теорем существовании и других утвержде-
156
адекватности по изучаемым характеристикам второго перехода (41),
т. е. ожидаемое соответствие решения уравнениям задачи. Мы
уже говорила в § 1.3, что и при построении математического решения
уравнений прикладной задачи широко применяются рациональные
переходы, которые приводят к тому, что за исключением самых
простых задач решение обычно оказывается не вполне адекватным
модели.
. Выбор метода исследования математической модели
непосредственно связан с внутренним правдоподобием исследования. Так,
проводя это исследование на чисто дедуктивном уровне, мы
поднимаем внутреннее правдоподобие до максимально возможного;
можно сказать, что степень внутреннего правдоподобия чисто
дедуктивного исследования равна 1. Если же, как обычно в прикладном
исследовании, мы применяем упрощения уравнений системы без
полного дедуктивного обоснования, понятие практической сходимости,
вычисления на ЭЦВМ или совершаем другие рациональные
переходы, то внутреннее правдоподобие соответственно понижается.
Среди многих вопросов, касающихся соотношения между
внешним и внутренним правдоподобием, одним из центральных является
вопрос о разумных требованиях к внутреннему правдоподобию
при некотором принятом уровне внешнего правдоподобия, т. е. при
фиксированном выборе математической модели. Как мы видели,
от решения (кстати сказать, по необходимости рационального)
этого вопроса может существенно зависеть выбор метода
исследования модели. По этому поводу широко известны две точки зрения.
Первой из них придерживается, хотя и не всегда отчетливо,
большинство авторов прикладных исследований. Попросту говоря
эта точка зрения состоит в том, что бессмысленно строить слишком
точные решения уравнения, при составлении которых была
значительно огрублена реальная картина. Другими словами, в
соответствии с общим принципом оптимальности при решении прикладных
задач (п. 1.1.7) необходимо учитывать, насколько повышение затрат
труда на увеличение внутреннего правдоподобия окупится
повышением ожидаемой итоговой адекзатности решения исходному
реальному объекту.
Другая точка зрения, высказанная в явной форме Д. Гильбертом
(см., например, [162, с. 1Ъ—191) и А. М. Ляпуновым [1631 и
повторяемая порой в настоящее время, состоит в том, что после
формулировки прикладной задачи на математическом языке ее нужно
решать на уровне чистой математики. В принятых здесь терминах
это означает, чтовнутреннее правдоподобие должно быть
максимальным независимо от уровня внешнего правдоподобия *. :
* В последние десятилетия развилась своеобразная область математики,
различные направления которой иногда называются «физической математикой»,
«биологической математикой» и т. п. Для этой области, промежуточной между
чистой и прикладной математикой, хара. терно то, что та или иная математическая
модель реального объекта как бы абсолютизируется и изучается на полностью
дедуктивном уровне с доказательством теорем существовании и других утвержде-
156
Мы увидим ниже, что бывают случаи, когда вторая точка зрения
оказывается целесообразной, а в некоторых особых ситуациях
она даже необходима. Но все же можно считать, что в подавляющем
большинстве случаев естественно принять первую точку зрения,
т. е. соразмерять строгость решения с внешним правдоподобием.
Можно сказать, что в этой позиции содержится некий принцип
соответствия внешнего и внутреннего правдоподобия, в известном
смысле аналогичный общепринятому правилу приближенных
вычислений: степень точности вычислений должна отвечать
степени точности исходных данных.
Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. Для этого
обозначим наподобие степени адекватности (п. 1.3) степень внешнего
(внутреннего) правдоподобия схемы (41) через рВНеш (Рвнут); тогда
ожидаемая итоговая адекватность решения исходному реальному
объекту робщ по изучаемой характеристике равна их произведению:
Робщ = РвнешРвнут- (42)
Пусть ожидаемая выгода от достижения такой адекватности
(измеряемая в конечном счете в денежных единицах) равна F (р0бщ)* •
Обозначим, далее, через / (рВнут) наименьшие возможные затраты,
необходимые для обеспечения заданного уровня рВнут степени
внутреннего правдоподобия. Тогда задача состоит в максимизации
разности
R = f (РвнешР) — f{p) (Р == Рвнут, 0 < р < 1) (43)
двух возрастающих функций.
Из равенства (43) и рациональных соображений в виде
зависимостей F (р) и / (р) вытекают следствия об оптимальном выборе
р = Рвнут, впрочем, находящиеся в полном соответствии с
элементарным здравым смыслом. При этом надо иметь в виду, что значение
ний, свойственных чистой математике. При этом терминология заимствуется из
дисциплины, к которой относится исходный объект, так что теорема может иметь
вид «существует течение» и т. п. Хорошо известными примерами здесь служат
математические исследования уравнений Навье — Стокса, теории упругости,
пограничного слоя и других уравнений, непосредственно пришедших из механики
и физики.
Эта область представляет несомненный интерес для прикладной математики.
Некоторые полученные в ней результаты (в частности, имеющие качественный
характер) могут быть непосредственно использованы, другие могут способствовать
формированию правильной интуиции или подсказать практически приемлемые
методы изучения задачи и повысить степень их достоверности. Вместе с тем в
отдельных случаях прикладное использование таких результатов может быть
существенно затруднено по причинам, описанным в § 1.2. Кроме того, некритическое
применение этих результатов в реальной ситуации может привести к ложным
выводам (да еще с иллюзией строгой обоснованности), если сама модель окажется
неадекватной. (Отметим, например, гидродинамические парадоксы, описанные
в книге [164] и проистекающие только из несовершенства моделей.)
Сходный характер часто имеют исследования, в которых на чисто дедуктивном
уровне изучаются вопросы, возникающие в вычислениях, если такое
исследование ие нацелено на применение при реальных вычислениях.
* Авторы понимают, что получить такую функцию в реальной ситуации, как
правило, практически невозможно; поэтому последующие выводы имеют в
основном качественный характер.
157
р естественно считать близкими к 1; кроме того, вряд ли имеет смысл
говорить о сколько-нибудь точных значениях 1—р, скорее всего
речь должна в лучшем случае идти только об одной значащей цифре
или даже об оценке порядка этого значения.
Мы видим, что положить р — 1, т. е. изучать модель чисто
дедуктивно, можно, если / (р) при р -*• 1 — 0 возрастает достаточно
медленно, т. е. если модель в дедуктивном отношении достаточно проста
и получение точного решения не представляет труда; в этом
случае бессмысленно искусственно понижать строгость решения
только для того, чтобы выдержать соответствие с грубостью модели.
Тот же вывод, конечно, получится, если /' (1) имеет «средний»
порядок, но F' (р) вблизи р = рвнеш весьма велико, т. е. если любое
совершенствование решения влечет за собой важные
положительные последствия.
Однако за исключением ситуации, указанной в конце
предыдущего абзаца, из формулы (43) ясно, что подстановка значения р =
= 1 дает примерно тот же результат, что и значения р, достаточно
близкого к 1, например удовлетворяющего соотношению
1 — р <£ 1 — рв„еш. (44)
Таким образом, мы видим, что чисто дедуктивные рассуждения,
даже если их проведение не вызывает особых затруднений, не имеют
преимуществ в смысле достоверности окончательного результата
перед дедуктивными рассуждениями, в которые включены
рациональные элементы высокой степени достоверности.
Впрочем, имеется существенный класс случаев, в которых
оправдано полагать р = 1. Допустим, что речь идет об отработке
единого метода, который имеется в виду применять к широкому
заранее не известному классу моделей с большим диапазоном
значений рвнеш. Тогда из соотношения (44) мы естественно приходим
к значению р = 1. Именно отсюда проистекает, например,
прикладная роль общих теорем Ляпунова об устойчивости, хотя при их
приложении рВнут» а потому р0бЩ далеко не всегда оказываются
близкими к единице!
Для многих классов задач функция / (р) при росте р быстро
возрастает только в непосредственной близости значения р = 1.
Такая ситуация возникает, в частности, если дедуктивные
рассуждения, с помощью которых может быть изучена модель, включают
в себя приближенные вычисления, основанные ка хорошо
испытанных в рассматриваемой области, но, как обычно бывает, не
находящихся на вполне дедуктивном уровне приемах. В этих случаях
естественно доводить р = рвнут До области быстрого возрастания
/ (р). Переход к значению р = 1 (т. е., например, в только что
описанной ситуации проведение вычислений на полностью дедуктивном
уровне) практически не повышает адекватности решения в целом,
но чрезмерно увеличивает объем работы.
Все же думается, что для основной массы прикладных задач
функция / (р) начинает существенно расти уже на заметном уда-
158
лении от р = 1; это означает нецелесообразность чрезмерного
повышения степени внутреннего правдоподобия в таких случаях.
Представляется, что во многих случаях оптимальным является
положение, когда 1 — рвнут и 1 — рвнеш имеют одинаковый порядок
(аналог принципа равной прочности), однако нетрудно указать
реальные ситуации, в которых требование максимизации выражения
(43) приводит к нарушению этого соотношения.
Отметим еще один класс случаев, в которых целесообразно
повышение внутреннего правдоподобия до максимального реально
возможного значения, вплоть до значения р = 1. Речь идет о
случаях, в которых целью исследования является выяснение качества
самой математической модели. Примером может служить следующая
ситуация. Пусть установлено существенное расхождение между
опытными данными и результатами некоторого приближенного
решения; требуется выяснить, является ли это следствием
неудовлетворительной схематизации явления. Понятно, что в таких случаях
необходимо исключить возможное влияние нестрогости
математического решения задачи.
Выше говорилось о случаях, когда математическая модель
считалась построенной и тем самым уровень внешнего правдоподобия
был фиксирован. Однако высказанные соображения могут быть
распространены и на случай, когда исследователь строит также
и математическую модель, т. е. прикладная задача решается в
полном объеме. Здесь обязательно надо иметь в виду соотношение (42)
или, если все ожидаемые степени адекватности близки к 1,
равносильное соотношение между ожидаемыми степенями
неадекватности
1 — Робщ = (1 — Рвнеш) + (1 — Рвнут). (45)
Нерационально тратить значительные усилия на уменьшение
одного слагаемого в правой части, ничего не думая о другом, тем
более — уменьшать одно слагаемое за счет существенного
увеличения другого. По этому поводу можно сказать примерно то же, что
говорилось в п. 1.4 в связи с соотношением между адекватностью
и простотой в цепочке моделей. Хорошо известны оба «уклона»
в этом направлении. Исследователь, наивно верящий во всесилие
математики (в частности, ЭЦВМ), безудержно стремится к
повышению внешнего правдоподобия, учитывая всевозможные связи и
параметры. Это приводит к весьма сложным системам уравнений, при
решении 'которых приходится проводить огрубления, существенно
понижающие уровень внутреннего правдоподобия; при этом терпит
ущерб и общий уровень адекватности результата.
С другой стороны, исследователь, заинтересованный лишь в
математическом совершенстве исследования, может в модели
значительно отклониться от реальной картины, если это даст ему
возможность получить элегантное и строгое решение *. Оба эти
* М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат пишут по поводу исследований в области
гидродинамики [165, с. 7]: «...и сейчас пишется немало работ, содержащих
сложные и пространные результаты точной теории решений дифференциальных
159
«уклона» могут каждый по-своему создавать иллюзию точности и
строгости решения в целом.
Оптимальным в рассматриваемом отношении (и, между прочим,
не создающим излишних иллюзий) является путь построения
удовлетворительной по внешнему правдоподобию и в то же время
достаточно простой, т. е. обладающей достаточно высоким уровнем
внутреннего правдоподобия, модели. Из формулы (45) видно, что если
идет речь только о возможном увеличении характеристики /?0бщ.
то в оптимальной ситуации значения 1 — /7Внеш и 1 — /?Внут должны
быть, как правило, одного порядка. Однако такого соотношения
не всегда можно достичь и порой приходится делать выбор между
громоздкой моделью, обладающей высоким внешним правдоподобием,
но по необходимости грубым решением, и более простой моделью,
у которой внешнее правдоподобие понижено, но решение можно
сравнительно легко получить с высокой точностью, причем
ожидаемый итоговый уровень адекватности решения в обоих случаях
примерно одинаков. По-видимому, в подобных случаях второй тип
моделей предпочтительней, так как в них бывают более ясны
сделанные предположения, процесс построения решения более
прозрачен и менее трудоемок, а кроме того, в ряде случаев оказывается
также более ясным влияние учтенных параметров задачи на ее
решение *.
О взаимном влиянии внешней и внутренней правдоподобности
на итоговую адекватность решения важно помнить, в частности,
в случаях, когда к исследованию математической модели
привлекаются математики, не участвовавшие в ее построении. Математик
(особенно, имеющий малый опыт работы в приложениях), воспитанный
на дедуктивных построениях, часто бывает склонен
абсолютизировать модель и вообще «заказ» прикладника, что может привести
к затрате неоправданно больших усилий, не отвечающих повышению
достоверности результата, или даже к отказу от сотрудничества.
На самом деле оптимальным, а порой и единственно возможным
уравнений гидродинамики, весьма далекие от действительности. На наш взгляд,
практическая ценность этих работ существенно снижается простым замечанием,
что сами-то уравнения гидродинамики лишь весьма приближенно отражают
многие важные физические явления. Поэтому некоторые результаты так
называемой точной теории по бессмысленности напоминают выкладки с огромным числом
знаков над величинами, только очень грубо приближающими точные».
* Р. Акоф и М. Сасиени в связи с задачами исследования операций пишут
[19, с. 454—455]: «Как правило, лишь несколько переменных играют важную роль.
Именно эти переменные представляют наибольший интерес для исследова~еля, ибо
он должен стремиться построить адекватную модель, включающую минимальное
число переменных. Напротив, руководители обычно стремятся к тому, чтобы в
модели содержалось как можно больше переменных, полагая, что она станет
максимально «реалистичной». (Это модели первого типа, о которых мы только что
говорили.— Авт.) Можно сказать, что в определенном смысле цель ученого состоит
в том, чтобы построить простейшую модель, отображающую реальную
действительность с приемлемой точностью и полнотой... Модель, содержащая всего несколько
переменных, может отображать действительность более точно, чем модель,
описываемая целым сонмом переменных, если в первой соотношения между
переменными ближе к реальным зависимостям, чем во второй».
160
является образ действий, при котором в процессе построения
решения сама модель может пересматриваться и видоизменяться,
в том числе и с целью упрощения этого построения и установления
осмысленной точности решения*. Поэтому совместная работа
математика и прикладника должна носить характер непрерывного
сотрудничества, причем математик должен иметь отчетливое
представление о физической сущности, а прикладник — о схеме построения
математического решения**.
Приведем в заключение отрывок из книги [59, с. 65—66], относящийся к
необходимости учета соотношения между внутренним и внешним правдоподобием.
«До сих пор мы предполагали, что нас интересуют точные решения
математических задач. Однако во многих инженерных проблемах интересуются в основном
решениями физических задач, а не точными решениями математических.
Современные представления о законах природы позволяют формулировать задачи,
которые более общи и сложны по сравнению с теми, которые мы можем на самом деле
решить. Упрощения, основанные на физических или инженерных соображениях,
нужно рассматривать как приближения, формирующие по крайней мере одну
стадию процесса решения. Например, линеаризация задачи аналогична замене
функций двумя первыми членами их рядов Тейлора, техническая теория изгиба балки
сёодит трехмерную задачу к двумерной и т. д. Строго говоря, точные оценки в
таких случаях будут учитывать не только погрешности, обусловленные численным
методом решения данной задачи (или в случае балки обусловленные решением
двумерной задачи), но также и погрешности, связанные с линеаризацией или
уменьшением числа измерений;.
Из этого следует сделать общий вывод о том, что мы должны изучать как
априорные, так и апостериорные оценки в едином комплексе всей задачи с учетом
сложности и удобства расчета. Необходимо учесть все эти аспекты и выбрать
* X. Розенброк и С. Стори [99, с. 30]: «Каждая возникающая математическая
трудность должна вызывать подозрение — свойственна лн она физике, или вызвана
ошибкой в формулировании (т. е. в построении математической модели.— Авт.),
или просто является математической трудностью, которую можно избежать другой
формулировкой!»
** В книге Я. И. Хургина [23, с. 7—23] в яркой форме описаны другие
распространенные недостатки прикладников, не имеющих достаточного опыта
в применении математики. В одном случае построение математической модели
не было подчинено цели реального исследования, а в другом исследователь не
понимал важности упрощения модели. Разобрав эти случаи, автор, сам математик,
приходит к выводу: «Консультируя специалистов других областей науки,
математик должен разбираться в их задачах по существу, а не просто отвечать на
задаваемые ему вопросы».
При этом важную роль играет умение математика идти навстречу
прикладнику-заказчику. В частности, «нельзя ожидать от заказчика, чтобы он точно
знал, что он хочет. На многих стадиях исследовательской работы не знать в
точности, что ты ищешь, вполне естественно» [1, с. 392].
Н. С. Бахвалов [60, с. 12—13]: «Начинающий работу математик часто
жалуется на трудность контактов с представителями других наук, которые «даже» не
могут формулировать стоящих перед ними задач. Правильное формулирование
задачи — это проблема не менее сложная, чем само решение задачи, и не нужно
надеяться, что кто-то другой целиком сделает это за вас. При постановке проблемы
первостепенное внимание должно быть уделено выяснению цели исследования:
принимаемая математическая модель явления не есть что-то однозначное, раз
навсегда связанное с этим явлением, а зависит от цели исследования. Прежде чем
выписывать дифференциальные уравнения, выбирать метод решения и
обращаться к ЭВМ, стоит подумать, а не будут ли бесполезны все результаты
вычислений?» Автор неоднократно говорит, что математику необходимо активно
участвовать в обсуждении постановки задач.
11 6-ю
*
161
надежный метод вычислений. Здесь имеются'три возможности: во-первых, может
оказаться совершенно необходимым получить точную оценку погрешности;
во-вторых, может оказаться достаточным построение (математическими методами)
верхней н нижней границ погрешности; в-третьих, достоверность результата,
возможно, удастся проверить на основе инженерных соображений. Примером
математической оценки служит асимптотическая оценка-с последующей корректировкой.
Надежность расчета с инженерной точки зрения может быть проверена, например,
тем, что мы найдем точное решение другой математической задачи, близкой к
исходной».
2. О роли прикидок. Мы уже говорили о том, что построение
решения прикладной задачи пли ее качественное изучение тем
эффективнее, чем больше мы имеем сведений об этом решении. Эти
сведения дают возможность оценить сравнительное значение
отдельных компонент в уравнениях задачи и иногда на основании этого
упростить уравнения; выбрать метод решения и конкретизовать
его (например, выбрать базисные функции в методе типа Галеркина
или нулевое приближение в итерационном методе); осуществить
первичный контроль правильности построения решения и т. п.
Довольно часто — ив этом специфика математических задач,
разумно возникающих из приложений — эти сведения доставляет
интуиция исследователя в его специальной области (например,
физическая или инженерная и т. п. интуиция). Их весьма
желательно использовать в максимальной степени, однако здесь мы не
будем больше останавливаться на этом важном источнике.
Во многих случаях существенные сведения можно извлечь
из предварительного прикидочного исследования модели или ее
элементов, проводимого до непосредственного перехода к
построению решения. Такие прикидки представляют собой важную
составную часть прикладного математического исследования. Они могут
быть направлены, в частности, на
— упрощение уравнений задачи, уточнение их структуры в
связи с предполагаемым методом их решения;
— получение предварительных сведений о самом решении.
Стандартный метод упрощения уравнения основан на прикидке
сравнительной величины отдельных его членов в изучаемом
диапазоне изменения переменных и параметров задачи. После этого
сравнительно малые слагаемые в уравнении обычно можно либо совсем
отбросить, либо упростить по форме, если имеются рациональные
основания ожидать, что такое упрощение не внесет в интересующую
нас характеристику решения ни качественных, ни существенных
количественных изменений. После построения решения упрощенного
уравнения можно путем подстановки проверить, в самом ли деле
относительно малы отброшенные члены; положительный ответ
на этот вопрос служит рациональным подтверждением законности
процедуры.
Аналогичным образом могут производиться замена заданной в
уравнении нелинейной зависимости на линейную, а также и иные
упрощения этого уравнения. В некоторых случаях подобное
упрощение удается после разбиения диапазона изменения переменных
162
на части, причем в разных частях упрощенное уравнение имеет
различный вид. Тогда может получиться, что при построении искомого
решения приходится пользоваться несколькими приближенными
уравнениями и возникает задача о «склейке», «сшивании» решений
этих уравнений, которая может представлять определенные
трудности*.
Отметим, что если речь идет об упрощении дифференциального
уравнения, то приходится производить прикидку величин
производных от искомого решения, диапазоны изменения которых часто
заранее не задаются. В этом случае обычно пользуются следующим
рациональным правилом подсчета порядков: если рассматривается
функция.у (х), причем характерным интервалом изменения
аргумента служит h, а функции — L, то характерным значением
производной dyldx служит Llh, характерным значением второй
производной d2yldx2 служит Llh2 (если dyldx не является' приближенно
постоянной, т. е. функция у (х) не близка к линейной) и т. д. **
Прикидка решения может быть в ряде случаев получена с
помощью рассмотрения наиболее грубых аппроксимаций уравнений
задачи или даже непосредственно из постановки задачи. Знание,
хотя бы самое грубое, качественных и количественных характеристик
* Задача о «склейке» решений возникает и в том случае, когда уравнение
ие упрощают, но его решение представляет собой функцию, которая иа различных
интервалах изменения независимой переменной строится разными методами.
Например, можно склеивать асимптотические разложения около различных
точек или асимптотическое разложение на бесконечности с численным решением
на конечном интервале и т. п.
М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат [165, с. 7—8]: «...большинство интересных
физических процессов столь сложно, что при совремеииом состоянии науки
очень редко удается создавать их универсальную теорию, действующую во все
время н иа всех участках рассматриваемого процесса. Вместо этого нужно
посредством экспериментов и наблюдений постараться понять ведущие факторы,
которые в тот или иной отрезок времени управляют процессом на том или ином
участке. Выделив эти факторы, следует абстрагироваться от других, менее
существенных, и для данного участка и данного отрезка времени построить
возможно более простую матемчтическую схему (модель процесса), которая
учитывает лишь выделенные факторы.
В ряде случаев в решения таких локальных задач нужно внести поправки,
учитывающие второстепенные, но также существенные факторы. Этот учет
производится при помощи дополнительных алгоритмов, действующих на решения
модельных задач. Для получения общей картины процесса теперь остается только
склеить решевия отдельных локальных задач. Эта склейка производится при
помощи достаточно общих соображений, таких, как непрерывность поля скоростей
и др. Следует отметить, что описанная общая схема решения задач гидродинамики
достаточно хорошо приспособлена для организации машинного счета»..
** Для проверки можно рассмотреть периодическую функцию у = Asm kx.
Для нее h = я/k, а в качестве L можно взять хотя бы удвоенное среднее
квадратичное значение функции, т. е. L = 2А (sin2kx) '• =■ А. Но у' =■ Ak cos kx, т. е.
характерным значением для у' служит -~-Ak, для у" служит -^-Ak2 и т. д. С другой
стороны, Llh =■ Akin, Llh2 = Ak2ln2, т. е. по порядку получается то же. Впрочем
отсюда видно, что для более точных прикидок при оценке второй и последующих
производных требуется брать поправочные множители, учитывающие характер
изменения функции. ' ■>--
11*
163
искомого решения может помочь при выборе метода более точного
его построения, а также дать дополнительный источник контроля.
Поэтому такие прикидки (для решения и его элементов) может
оказаться полезным производить не только в начале, но и на
дальнейших стадиях исследования.
Сходные функции с прикидкой решения может нести построение
решения в экстремальных либо других примечательных ситуациях,
о которых мы говорили в п. 1.3.5. Естественно, что при этом надо
иметь в виду ту специфичность (например, ту или иную
вырожденность), которую может внести эта экстремальность. В ряде случаев
это рассмотрение может также позволить выделить главную часть
решения в условиях, близких к экстремальным, что в свою очередь
сделает возможным уточнение решения на основе какого-либо
варианта метода малого параметра или итераций.
3. Выбор степени точности метода. Вопрос о выборе степени
точности вычислительного метода решения уравнений задачи
непосредственно примыкает к проблеме согласования уровней
внешнего и внутреннего правдоподобия. Мы уже упоминали в п.1 о
правиле, согласно которому степень точности вычислений должна
отвечать степени точности исходных данных. Добавим, что под
«степенью точности исходных данных» здесь следует понимать не
только точность задания (например, в результате измерения)
параметров задачи, но и степень адекватности математической модели
изучаемому реальному явлению.
Это казалось бы очевидное замечание учитывается далеко не
всегда. Особенно существенно оно в случаях, когда из-за сложности
картины или из-за недостатка знаний имеются веские основания
считать, что адекватность модели невелика. В этих случаях
центральную роль играет анализ и совершенствование модели; что же
касается вычислительного метода, то желательно, чтобы он был по
возможности прост, хотя и учитывал все существенные факторы.
Здесь проявляется характерное для прикладной математики
искусство грубого решения сложных задач, основанное
на опыте, правильной интуиции и правильном понимании реальной
картины. Важной задачей прикладной математики является
превращение этого искусства в науку.
В качестве примера такого грубого решения сложных задач
можно привести так называемый полуобратный метод Сен-Венана,
применяемый в механике твердых деформируемых тел и описанный
в книге [166, с. 29—36]. Задачи в этой области с математической
точки зрения сводятся к нахождению некоторого числа функций,
удовлетворяющих системе уравнений с частными производными и
граничным условиям. Метод заключается в том, что часть этих
функций, описывающих напряженно-деформированное состояние,— те,
которые представляется возможным, — стараются угадать,
опираясь на интуицию, умозрительные соображения или
элементарную теорию сопротивления материалов. При этом проверяются
уравнения теории упругости и граничные условия и, если невязка
,164
оказывается большой, проводится корректирование. Когда угадыва-'
емые таким образом функции признаются найденными
удовлетворительно, находят остальные функции исходя из соответствующей
части уравнений теории упругости (или следствий из этих уравне-:
ний) и граничных условий. Метод допускает итерирование: по
найденным функциям уточняется корректировка первой группы
искомых функций и т. д.
В качестве другого примера укажем на задачу о поиске
экстремального значения функции. Если точка экстремума является
стационарной, то даже грубая ошибка в ее отыскании мало скажется на
подсчете этого значения. Поэтому методы, нацеленные на уточнение
положения точки экстремума, могут оказаться бесполезными,
особенно если результат не требуется или не может быть известен
(например, из-за недостаточного знания функции) со слишком большой
точностью.
К сожалению, довольно распространены работы, в которых к
заведомо грубой математической модели применяются громоздкие
вычислительные методы, дающие высокий уровень точности решения
математической задачи и тем самым приспособленные к точным
моделям. Такие работы обладают низкой эффективностью, а с другой
стороны, могут создавать вредную иллюзию точности.
Иллюзия точности Может также создаваться лишними
значащими цифрами в ответах. Существенный вклад в эту невольную
мистификацию вносят ЭЦВМ, которые обычно выдают ответы с
предусмотренным для них числом значащих цифр, независимо от грубости
примененного вычислительного метода (и, тем более,
математической модели). Поэтому здесь особенно важен контроль точности
ответов, о котором говорилось в § 1.3.
4. Дискретное и непрерывное. Реальные объекты имеют черты
как дискретного, так и непрерывного, которые могут проявляться •
в большей или меньшей степени в зависимости от направления
изучения объекта. После перехода к математической модели
картина обычно становится в изучаемом отношении отчетливо дискретной •
или непрерывной. Однако следует иметь в виду, что такое
подразделение не имеет абсолютного характера и при уточнении или
видоизменении модели дискретная картина может стать непрерывной и
обратно; то же может произойти при модификации модели в
процессе решения математической задачи. Таким образом, во многих
задачах в процессе составления математической модели, а также при
выборе метода решения получающейся математической задачи
следует учитывать возможности применения как «дискретной», так и
«непрерывной» методики независимо от характера исходной
картины. (Конечно, в ряде случаев та или иная методика может
оказаться явно предпочтительнее.)
Типичная ситуация возникает в задачах механики сплошной
среды. По-видимому, вопрос о том, какой является среда «на самом
деле»— дискретной или непрерывной, лишен точного смысла и не
допускает однозначного ответа. Традиционная исходная математическая
165
модель среды непрерывная, т. е. мы принимаем, что свойства
среды описываются математическими полями; впрочем, бывают
случаи, когда при выводе основных математических уравнений,
управляющих этими полями, или при введении параметров этих
полей мы вспоминаем о дискретном строении среды. Однако при
приближенном построении полей с помощью решения соответствующих
уравнений можно пойти разными путями, которые также можно
условно подразделить на дискретные и непрерывные; по
существу, здесь идет речь о типе той модели, на которую мы заменяем
исходную модель в процессе непосредственного построения
решения.
Типичная дискретная модель возникает при применении метода
сеток. При этом мы как бы заменяем математический континуум
на дискретную систему точек— узлов сетки, руководствуясь чисто
вычислительными соображениями. С другой стороны, построение
решения в виде суммы функционального ряда, метод Галеркина
и т. п. принадлежат к числу непрерывных, в них решение
непосредственно получается как функция непрерывных аргументов.
Впрочем, и между этими двумя типами нет четкой грани. Например,
метод сеток может сопровождаться интерполяцией, тогда он будет
иметь лишь преимущественно дискретный характер; а построение
решения в виде суммы ряда реализуется подсчетом дискретных
коэффициентов этого ряда, т. е. также имеет дискретные черты.
(Последняя взаимосвязь дискретного с непрерывным хорошо видна на
примере разложения функции в ряд Фурье: задание функции
непрерывного аргумента полностью равносильно заданию дискретного
набора ее коэффициентов Фурье; физическим аналогом здесь может
служить взаимосвязь волновой и корпускулярной теорий света.)
Поскольку при изучении сплошной среды переход к
дискретной модели на вычислительном этапе широко применяется и показал
свою адекватность, можно пойти дальше и поставить вопрос о
построении для такой среды дискретной исходной
математической модели, приспособленной к непосредственному применению
вычислительного метода без предварительного видоизменения этой
модели. Такие модели действительно создавались и показали свою
эффективность. Так, С. Улам описывает [167] предложенный им
и Дж. Паста метод численного решения задач газовой динамики,
основанный на замене среды системой глобул и прослеживании их
эволюции, а также метод Ф. Харлоу, основанный на замене газа
конечной системой точечных частиц и подсчете числа этих частиц
в фиксированных ячейках пространственной решетки.
С другой стороны, известны многочисленные примеры, в которых
континуализация первоначально дискретной модели приносила
существенную пользу. Мы уже говорили о сплошной среде;
аналогичные соображения можно высказать по поводу любых систем, в
которых изучаемые характеристики имеют не индивидуальный, а
статистический характер независимо от структуры элементов,
составляющих систему: это могут быть люди в демографии, звезды в кос-
166
мологии, электростанции, распределенные по мощности ■*, и т. д.
(См. по этому поводу также § 1.5.)
Взаимосвязь между дискретными и непрерывными величинами
широко используется для переноса понятий и утверждений,
выработанных для одного из этих классов величин, на другой "класс;
примером может служить хотя бы широко известный вывод формул
для координат центра тяжести материального тела на основе
аналогичной формулы для конечной системы материальных точек.
Уже классики естествознания считали в ряде случаев
целесообразным рассматривать непрерывно действующую силу как
последовательность часто действующих малых ударов; в частности, именно
на этом пути Ньютон получил формулу для центростремительного
ускорения.
Проявлением той же взаимосвязи является широко
распространенное в физике применение математических понятий и методов,
разработанных для зависимостей между непрерывными величинами
и казалось бы необходимо связанных с этой непрерывностью
(например, понятия производной), на зависимости между
дискретными величинами. При этом взамен соотношений между дискретными
величинами получаются дифференциальные и другие аналогичные
уравнения, методика решения и исследования которых гораздо
лучше разработана; в то же время решение дифференциального
уравнения мржет в том или ином смысле (например, асимптотически)
правильно описывать поведение исходных дискретных величин.
Этот переход в определенном смысле обратен тому, который
применяется в методе сеток **.
С соотношением между дискретными и непрерывными
величинами непосредственно связано соотношение между сосредоточенными
и распределенными величинами. Как при составлении
математической модели, так и при решении получающейся математической
задачи распределенные величины можно заменять на
сосредоточенные и обратно с целью упрощения картины (в частности, для
реализации вычислительного метода) или повышения ее адекватности.
Пусть, например, производится замена распределенной нагрузки
на сосредоточенную. Поскольку при этом мы отвлекаемся от
конкретной структуры нагрузки, а учитываем только ее интегральные
характеристики, картина в целом обычно упрощается иногда
довольно существенно. Поэтому такая замена часто оказывается
целесообразной, если только она не нарушает адекватности модели,
например, как мы говорили в п. 1.7, если изучается влияние
нагрузки на расстоянии, значительно большем, чем диаметр области ее
приложения (в этом состоит принцип Сен-Венана). Но, конечно,
если рассматривается воздействие нагрузки в самой зоне ее
приложения или в непосредственной близости от этой зоны, то
указанная замена может оказаться существенно неадекватной и тогда при
* См. работу Н. А. Картвелишвили [168].
** Примеры такого перехода от существенно дискретных величин к
непрерывным имеются, например, в [82, гл. XII].
167
Упрощении картины потребуется какая-либо иная математическая
модель. Более того, имеются вопросы (например, связанные с
рассмотрением контактных деформаций), при изучении которых
допущение о сосредоточенном характере нагрузок приводит к
противоречию и потому невозможно.
Отметим, что переход от распределенных величин к
сосредоточенным и обратно, а также совместное рассмотрение таких величин
облегчаются, если пользоваться обобщенными функциями типа
дельта-функции.
5. Линейность и нелинейность. В отличие от предыдущего
пункта здесь можно с уверенностью сказать, что «на самом деле» почти
все, а может быть, и все зависимости являются нелинейными.
Конечно, имеются зависимости, линейность которых в
рассматриваемой области приложений является практически достоверной с
любой разумной степенью точности. Однако гораздо чаще
предположение о линейности имеет отчетливый характер допущения, хотя
и далеко не всегда формулируется как таковое.
Причины широкого распространения предположений о
линейности имеют глубокий характер. Прежде всего во многих случаях
такое предположение является простейшим и потому бывает
естественно начинать именно с него'—особенно, если информация об
истинном характере зависимости недостаточна. К тому же хорошо
известно, что во многих примерах это предположение имеет вполне
удовлетворительную, а иногда и весьма высокую степень
адекватности (в частности, если мы находимся в условиях возможности
применения линеаризации). С другой стороны, многие математические
методы исследования и решения (точного или приближенного)
уравнений наиболее, а иногда и исключительно приспособлены к
линейным задачам. Это обстоятельство наталкивает на применение
линейных схем даже в тех случаях, когда имеются серьезные
основания ожидать или заведомо известно, что реальная зависимость
значительно отличается от линейной. (Так будет, в частности, для
многих задач, ставящихся как задачи линейного
программирования.) При этом надеются либо на то, что эта нелинейность не
скажется существенно в изучаемом отношении на результате, либо на
возможность удовлетворительной компенсации погрешности путем
подбора коэффициентов в линейной зависимости, либо, наконец,
на возможность дальнейшего уточнения решения.
Немаловажную роль играет и психологическая черта: линейные
зависимости обычно воспринимаются с минимальным внутренним
сопротивлением, порой они как бы само собой разумеются * и во
всяком случае воспринимаются как естественные и «справедливые».
Возможно, что это связано со склонностью многих людей
пользоваться формулой / (х) = f (х) для средних значений (в ее конкрет-
* Так, в школьных задачах линейность зависимости объема произведенной
работы от числа работников и т. п. обычно даже не оговаривается, что иногда
приводит к явному формализму, а порой и кпрямым ошибкам (например, для задач, свя-,
занных с истечением из бассейна, где на самом деле линейности заведомо нет).
168
\
ных проявлениях), хотя эта формула справедлива только для
линейных функций /.
Ошибки, проистекающие из-за замены нелинейной зависимости
на линейную, как и при любом упрощении, могут быть
количественными либо качественными. В первом случае решение
математической задачи в целом правильно описывает характер реального
процесса в изучаемом отношении, хотя его числовые
характеристики, например частота колебаний, скорость затухания, критические
значения параметров задачи и т. п., могут получиться более или
менее существенно отличными от истинных. (Отметим, впрочем, что
понятие «в целом правильно описывает» является сугубо
рациональным, так что, за исключением самых простых случаев, установить
четкую грань, отделяющую количественные ошибки от
качественных, невозможно.) Такой результат может сам по себе оказаться
достаточным, так как целью исследования может быть качественное
описание явления (яркий пример ■— вывод об устойчивости
состояния равновесия на основе анализа уравнений линейного
приближения). В тех случаях, когда только качественный вывод
недостаточен, он может дать основание для организации более точного
определения интересующих нас характеристик: как уже было
сказано, чтобы найти, надо знать, что искать! *
Если качественно неправильный результат получился при
принятых в модели значениях параметров задачи, например, при
выбранных коэффициентах аппроксимирующей линейной зависимости^
то остается еще надежда на правильное описание при изменении
этих значений. Однако целый ряд эффектов нельзя получить ни при
каком выборе значений параметров в линейной модели. Такие
эффекты являются существенно нелинейными, для них линейные
модели принципиально неадекватны. Типичными примерами
существенно нелинейных эффектов могут служить автоколебания в
автономных системах или субгармоники для вынужденных колебаний.
Вопрос о том, какие именно ■— качественные или только
количественные -— ошибки получатся в результате той или иной замены
нелинейной зависимости на линейную, решается на рациональном
уровне. Ответ на этот вопрос дается на основе навыков и аналогий,
физических и численных экспериментов, более детальной
проработки (в том числе, на Дедуктивном уровне) «моделей моделей». Обычно
для каждого нового класса задач нужно сделать немало «проб и
ошибок», провести значительное количество исследований с тем,
чтобы воспитать правильную интуицию в этом отношении **.
* Кроме того, решение нелинейной задачи может быть получено с помощью
цепочки линейных задач: типичный пример — метод Ньютона прн решении
уравнений.
** В. Шляпентох [169] пишет: «Мнр, в котором мы жнвем, удивительно
нелинеен. Конечно, это делает нашу жнзнь сложнее, но зато интереснее,
перспективнее, освобождает нас от чувства монотонности, вселяет в нас оптимизм».
Д. Хорафас [17, с. 34—35]: «...ловушкой прн математическом
экспериментировании (имеется в виду создание и изучение математической модели.— Авт.)
является пристрастие человека к линейности. Это особенно проявляется в тех слу-
169
6. Детерминированность и случайность. Здесь можно повторить
многое из того, что говорилось в п. 4 по поводу соотношения между
дискретным и непрерывным. По-видимому, все реальные объекты
и явления имеют черты как детерминированного, так и случайного
(индетерминированного), которые могут проявляться в большей
или меньшей степени *, так что в этом плане вопрос: «Каким является
мир на самом деле?» не допускает в принципе однозначного ответа.
Однако математические модели могут быть детерминированными
либо стохастическими (включающими случайные компоненты);
такая стохастичность может быть либо слабой (например, если в
сумме случайного и неслучайного слагаемых первое относительно
мало), либо существенной, даже определяющей **.
За последние годы стохастические модели получили широкое
распространение. При этом многие прикладные задачи являются
вероятностными по самой своей постановке. В других случаях
бывает, что задача допускает и детерминированную модель, однако
привлечение случайных компонент приводит к более адекватному
или к более детальному описанию реального явления, что может
повлечь за собой повышение адекватности решения. Например,
случайную нагрузку можно полностью игнорировать (если она не
слишком велика), можно учесть максимально возможным
значением, можно принять для нее какую-либо детерминированную
схему, но наиболее естественно так и считать эту нагрузку случайной,
чаях, когда соответствующие гипотезы и допущения не были четко
сформулированы заранее. (Следует обратить особое внимание на те случаи, когда невозможно
проконтролировать использование подстановок и аппроксимаций. Иногда
экспериментатор может выбрать метод по своему усмотрению при условии,
что он четко представляет себе его недостатки и возможности.) Каким-то
образом люди пришли к убеждению, что в окружающем нас мире преобладают
линейные зависимости. Нет ничего более ошибочного. Однако это ложное мнение
до такой степени предопределило методику исследований, что большинство
аналитических методов, которым отдавалось предпочтение в прошлом, основано иа
использовании систем линейных уравиеиий. Ошибки и искажения возникают часто
исключительно по этой причине».
Замечательный пример необоснованного применения понятия линейности
мы находим все у того же Козьмы Пруткова [ 108, с. 140]. Ои описывает, как
господин де Графиньи, прогуливаясь в один летний день в двух черных камизолах,
объяснил сей удивления достойный наряд так: «Вчера скончался дед мой, а
сегодня испустила дух моя бабка! Для чего и надел я сугубый траур».
* Отметим, кстати, что при организации элементов, обладающих
определенной иидетгрминироваииостью, в систему иидетерминированность системы в целом
может в зависимости от типа организации оказаться существенно различной.
Если на первый план выступают статистические закономерности, либо если
структура организации подавляет влияние иидетермииированности, то последняя у
системы в целом может практически отсутствовать. С другой стороны,
организация может стимулировать усиление (своеобразную синфазность, когерентность)
иидетерминироваиности элементов, в результате чего последняя для системы в
целом может оказаться выше, чем для отдельных элементов. Первый тип организации
характерен для газа, кристалла, толпы, второй — для живого организма,
коллектива. Возможно, что именно иа этом пути можно было бы объяснить такие
понятия, как «жизнь», «свобода воли» и т. п.
** По поводу принципиальной роли стохастических моделей, отражающих
направленность процессов во времени, см. [170].
170
т. е. принять для ее описания стохастическую модель. Наконец,
случайные компоненты могут быть искусственно введены в чисто
детерминированную модель из-за их преимуществ при решении
математической задачи, например при вычислении интегралов по
методу Монте-Карло.
Существенным в прикладном отношении недостатком многих
работ, связанных с исследованием стохастических моделей,—
недостатком, порой делающим полностью невозможным их
фактическое применение,'— является выбор статистических гипотез, в
особенности предположения о вероятностных характеристиках
входных (задаваемых) случайных величин. Такие характеристики
часто считаются полностью известными, например принимается,
что исходная величина распределена по нормальному закону с
известными параметрами и т. п. Однако в реальных ситуациях
чаще всего оказывается, что такая информация отсутствует.
Примечательно, что с точки зрения чистой математики подобные
работы, число которых весьма велико, представляются вполне
естественными. (Здесь сказывается различие тенденций в чистой
и прикладной математике, причем не только в процессе решения,
о чем мы говорили в п. 1.2.9, но и в самой постановке задачи.) В
самом деле, в теории вероятностей именно вероятностные
характеристики величин являются первичными, такими же, как, например,
длины и углы в геометрии, так что кажется логичным при введении
величин считать эти их характеристики заданными. Однако целью
прикладной математики является не просто нахождение по одним
величинам других, и в частности не нахрждение по логически
первичным величинам логически вторичных, а нахождение по
величинам, которые можно реально считать заданными или более или
менее непосредственно определяемыми (измеряемыми, вычисляемыми),
величин, которые такому непосредственному определению не
поддаются. В ряде математических дисциплин, таких, например,
как теория дифференциальных уравнений, имеется значительная
положительная корреляция между логической иерархией понятий
и иерархией их фактического нахождения. Однако в теории
вероятностей, особенно в ее более далеких разделах, дело, по-видимому,
обстоит не так, что и затрудняет конкретные приложения этих
разделов *.
* Это обстоятельство затрудняет, в частности, некоторые применения
математики в экономике. В. Леонтьев в уже упомянутом докладе [102] писал: «...сила
статистических приемов, как и экономических моделей, в свою очередь зависит от
принятия определенных удобных допущений. Эти допущения относятся к
вероятностным свойствам тех явлений, для объяснения которых предназначены данные
модели, и редко поддаются проверке.
Ни в одной другой области эмпирических исследований использование столь
изощренного статистического аппарата не давало столь неопределенных
результатов. Тем не менее теоретики продолжают создавать модель за моделью, а
математические статистики — изобретать одну сложную процедуру за другой.
Большинство их идет на свалку без какого-либо практического применения
или сразу же после поверхностной апробации. Даже те модели, которые находят
применение в течение некоторого времени, вскоре попадают в немилость, ибо
171
Таким образом, при построении и исследовании стохастических
моделей необходимо специальное внимание уделять вопросу о
способе нахождения тех вероятностных характеристик входных
величин, которые участвуют в построении решения. Этот способ должен
входить в состав модели и, в частности, участвовать в оценке ее
адекватности и простоты. В тех довольно распространенных случаях,
когда указанные характеристики не поддаются детальному
нахождению, следует искать грубые модели, которые, быть может, не
дают детального описания решения, но являются достаточно
устойчивыми относительно пробелов в знании исходных данных.
Конечно, высказанные здесь соображения не являются новыми *.
Многие разделы математической статистики специально
посвящены методам нахождения вероятностных характеристик случайных
объектов в реальных условиях. Мы хотели только обратить
внимание неспециалистов на фундаментальную важность этой проблемы
в приложениях и призвать к дальнейшему анализу классов
реальных задач, нуждающихся в таких методах, и к дальнейшему)
развитию этих методов.
Имеется еще одно важное обстоятельство, которое увеличивает
рациональный характер выводов, сделанных на основе
стохастической модели. Речь идет о выборе критерия, на основе которого
возможность наступления события, обладающего достаточно малой
вероятностью, игнорируется, или, что то же, событие, вероятность
которого достаточно близка к 1, считается обязательно
происходящим (см. п. 1.2.5). В самом деле в реальной ситуации утверждение
«данное событие произойдет с такой-то вероятностью» в качестве
окончательного ответа вряд ли приемлемо. Желательны
утверждения более категоричные, например, «при 10000 бросаниях данной
монеты число выпаданий герба будет заключено между 4850 и 5150»
(это вывод из «правила За»). Отвлечемся пока от того, как мы
узнали, что данная монета достаточно симметричная, так что за
вероятность выпадения герба можно принять значение 0,5. Даже приняв
это, мы должны вспомнить о том, что утверждение, полученное, по
«правилу За», гарантируется с вероятностью 0,997, т. е. при этом
мы как бы игнорируем возможность наступления события, вероят-
их заменяют новые, построенные другими методами, которые далеко не лучше
прежних».
Аналогичные замечания по поводу применения ряда статистических теорий к
биологии высказывает П. Оттестед [171 ].
* В. И. Феодосьев [18, с. 146]: «...существует совершенно реальная угроза
того, что труд, затраченный на поспешное создание математических средств
предсказания потери устойчивости как вероятного события, останется напрасным,
поскольку необходимые для расчета функции распределения начальных
несовершенств остаются неизвестными даже в тех немногих случаях, когда их можно
отнести к категории случайных параметров. Инженер-практик затратам на
изучение скоротечных функций распределения безусловно предпочтет в сомнительных
случаях более жесткий контроль за качеством изготовления, а то и попросту
изменение конструкции».
Вопрос о выборе и анализе статистических гипотез рассмотрен, в частности,
в книге В. В. Налимова [21 ].
172
ность которого равна 0,003. Но почему выбран именно такой
критерий? Обычно никакого сколько-нибудь серьезного обоснования
этому казалось бы весьма важному шагу не делают; по существу
это рациональный скачок того же типа, который был описан во
Введении к этой книге, хоть и снабженный точной оценкой степени
достоверности. Но эта точная оценка в данном случае вряд ли что-
нибудь дает, кроме смутного ощущения правильности прогноза.
Серьезный выбор критерия практической невозможности должен
учитывать последствия неправильного прогноза, и желательно
иметь методику хотя бы грубого выбора такого критерия для
.различных классов задач; впрочем, эта методика, несомненно, будет
содержать существенные рациональные элементы.
Отметим в( заключение, что оценка вероятности выпадания герба
могла быть сделана на основании статистических испытаний;
обработка результатов испытаний также включает в себя
игнорирование возможности маловероятных событий с произвольно, как и выше,
установленным критерием маловероятиости.
В силу всего сказанного, представляется совершенно неверной
точка зрения некоторых приверженцев вероятностных методов,
заключающаяся в том, что стохастические модели всегда являются
более совершенными и предпочтительными, чем
детерминированные *.
Не менее ошибочна точка зрения специалистов,
испытывающих разочарование от возможностей использования таких методов
и считающих, что реальную пользу может дать только
детерминистическое изучение задачи. Речь может идти лишь о том, что при
изучении одних вопросов детерминированная модель является
более подходящей, чем стохастическая, а при изучении других —
наоборот.
7. Устойчивость. Мы уже упоминали в ц. 1.2.7 о широко
понимаемом свойстве устойчивости, которое должно быть присуще
понятиям и методам прикладной математики, как о свойстве
сохранения качественного содержания этих понятий и методов и о малости
их количественного изменения при произвольных (но
принадлежащих определенному разумному классу) достаточно малых
возмущениях параметров рассматриваемой ситуации. Конечно, не следует
это свойство понятия смешивать с более специальными
свойствами, такими, как устойчивость по Ляпунову, устойчивость
конструкции и т. п.: например, неустойчивость по Ляпунову как
понятие является устойчивым.
* Иногда в качестве довода в пользу вероятностной модели выдвигают ее
большую общность — детерминированная модель определенного рода получается
из вероятностной как частный случай. Этот довод также не выдерживает серьезной
критики, нбо «хорошо работающие» вероятностные модели, как правило, в
предельном случае вырождаются в достаточно примитивную детерминированную модель.
К тому же никто не применяет, например, релятивистскую механику к изучению
движений со скоростями, значительно меньшими скорости света, хоти эта механика
является более общей, чем классическая.
173
Здесь мы несколько остановимся на этом более специальном
аспекте понятия устойчивости. Известно, что в последние годы под
влиянием потребностей техники, технологии, вычислительных
методов и т. д. было введено много понятий (различные типы
устойчивости, надежности, стабильности и т. п.), определяющих по
существу общее свойство изучаемых характеристик объектов <—
свойство не слишком сильно изменяться при изменении некоторых
параметров, влияющих на эти характеристики.
Так, для технических проблем типична следующая ситуация.
Пусть некоторая совокупность номинальных значений параметров
обеспечивает правильное функционирование исследуемого объекта.
Пусть, далее, значения параметров по каким-либо причинам
отклоняются от номинальных; будет ли при этом объект также
функционировать правильно? Эту общую постановку задачи можно
формализовать в терминах, близких к использованным в п. 1.2.
Именно, обозначим через v набор входных параметров объекта А, а
через г'— набор его выходных исследуемых характеристик: тогда г
определяется по о соотношением вида г = Ф (о), причем о может
принимать значения из некоторого класса V, а г <— из класса R.
Обозначим далее наборы номинальных значений параметров и
характеристик через v0 и г0 соответственно, так что г0 = Ф (о0). Пусть
задана область Gv значений v, которые могут получиться из-за
отклонений параметров от их номинальных значений, и область Gn
в которой объект А работает заведомо правильно. Тогда объект
функционирует правильно, если при v £ Gv будет обязательно
Ф (v) £ G,; в более компактных обозначениях <— если Ф (G0) с
ей,
Отметим, что описанная ситуация охватывает и нестационарные
задачи, так как можно считать, что г или (и) v представляют собой
функции времени /. Эта формулировка близка определению так
называемой технической устойчивости, которое было дано Н. Д.
Моисеевым и впоследствии развивалось многими авторами.
Эффективное изучение соответствующей математической модели
в период, предшествовавший появлению ЭЦВМ, было
затруднительным даже в не слишком сложных случаях. Это привело к
распространению инфинитезимальных вариантов определения
устойчивости, среди которых наиболее известно определение устойчивости
по Ляпунову. Впрочем, эти определения для математических
моделей имеют и самостоятельную ценность, о чем уже говорилось в
§1.6.
С математической точки зрения все упомянутые определения
устойчивости укладываются в единую схему: отображение г (о)
должно быть в точке v0 непрерывным в соответственно выбранном
смысле; другими словами, требуется, чтобы для входных
параметров, допустимых в данном рассмотрении и близких к номинальным,
изучаемые характеристики также должны быть близки к их
номиналу. При этом выбор многообразия характеристик г и входных
параметров v, подмногообразия V допустимых («возмущенных»)
174
значений параметров, области G, допустимых отклонений, а также
выбор понятия близости (другими словами, выбор топологии) в
этих многообразиях находятся в распоряжении исследователя,
они осуществляются в соответствии с намеченным аспектом
исследования. Разнообразием этих возможностей и объясняется наличие
многих вариантов понятия устойчивости даже при изучении одного
и того же объекта.
Конечно, фактическое исследование производится на модели,
т. е. рассматривается зависимость г' = F (»') (см. п. 1.2). При этом
адекватность модели должна обеспечить, в частности, соответствие
факта устойчивости или неустойчивости номинального состояния
модели в выбранном смысле устойчивости или неустойчивости реального
объекта А в некотором интересующем нас рациональном смысле.
Взглянем с общих позиций на рассмотренное выше понятие
устойчивости относительно заданных отклонений в применении к
зависимости г' = F (v'). Для значений величин г' существенно
только, попадают ли они в G/ (тогда все в порядке), или нет
(тогда плохо). Поэтому естественно в R' ввести близость так: считать
if Л=(° (6СЛИ r'eGr')'
11 (в противном случае).
Если аналогично ввести близость в V, то легко проверить, что
непрерывность отображения г'(и1) и означает, что F (G0-) cz Gr-.
Подчеркнем, что выбор смысла близости был сделан специально
так, чтобы получилось понятие устойчивости, из которого мы
исходили. Этот выбор находится в нашей власти, так что понятие
близости не является чем-то незыблемым. При разных выборах
близости получаются различные, неравносильные понятия устойчивости
и система, устойчивая в одном смысле, может оказаться
неустойчивой в другом.
Приведем еще пример. Допустим, что математическая модель
некоторой реальной системы имеет вид системы дифференциальных
уравнений
-^- = f(x, 0 (to< t<oo; х= (*\ ..., х% f = tf1 f), (46)
номинальной эволюции А отвечает решение х (t; a0) системы (46),
удовлетворяющее начальному условию x\t=t0 = а0 = (а},, ..., ag),
а устойчивости А, по нашему представлению, отвечает
устойчивость этого решения по Ляпунову. Тогда входной величиной в
модели служит вектор а = (а1, ..., а"), а откликом — решение х (t; a)
(t0 < t < °°) системы (46) при начальном условии х|<=<0 = а.
В качестве области V допустимых значений входных величин надо
взять какую-либо окрестность вектора а,,, понятия близости в V*
основывать на обычном эвклидовом расстоянии, а близости среди
откликов'—на чебышевском уклонении р (хх (•), х2 (•)) =
175
= sup |Xj (t) — x2 (01 • Ясно, что при таком выборе общее опре-
деление устойчивости как непрерывности отображения
многообразия входных величин на многообразие откликов в номинальной
точке превращается в определение устойчивости по Ляпунову.
Если мы хотим рассмотреть вопрос об устойчивости при
постоянно действующих возмущениях, то входной величиной служит сама
правая часть системы (46), т. е. с математической точки зрения
изучаемая зависимость f(-, •)-*-*(•) представляет собой оператор;
при этом близость в пространстве входных функций порождается
чебышевским уклонением sup | f1 (x, t)—f2(x, t) \.
х, t
Рассмотрим еще с общих позиций понятие асимптотической
устойчивости номинального решения х (t; а0) системы (46). Здесь
помимо обычной устойчивости требуется дополнительно, чтобы
для достаточно малых |а — а0| было | х (t; a) — x (t; a0) | -*• 0. Это
t •* 00
требование можно включить в приведенный выше вариант общего
определения устойчивости, если в качестве области G допустимых
отклонений от номинала принять совокупность функций х (t),
для которых | х (t) — х (t; а0) | -*■ 0. Отметим, что формально можно
остаться в рамках основного общего определения устойчивости,
если положить, что
Pi (МО. М0) = <-»
(1 (в противном случае);
тогда асимптотическая устойчивость получается, если считать, что
близость среди откликов порождается метрикой р (х^-), х2(-)) +
4-Pi (МО- *»(0)-
Подобным образом можно получить и иные подобные понятия.
Общее определение можно приложить и к стохастическим моделям,
для которых устойчивость означает малую вероятность
отклонения выбранных выходных характеристик от их номинальных
значений при достаточной близости (в том или ином смысле, быть
может, также вероятностном) входных величин от их номинала.
Такой подход характерен, в частности, для теории надежности.
Само собой разумеется, что сказанное составляет лишь самую
общую схему рассуждений. В конкретных задачах, помимо выбора
подходящего варианта понятия устойчивости, осуществляемого на
основе опыта и рациональных соображений, основную трудность
представляет исследование переходного оператора г' — F (о'),
который обычно не задается в явном виде, а получается в результате
решения уравнений, порой весьма сложных. И хотя нам нужен
ответ в самой простой форме: «да» или «нет», получить его, минуя
полное решение этих уразнекий, может быть совсем не просто.
Чтобы избежать такого решения, создан и продолжает создаваться
целый арсенал качественных, асимптотических и т. п. методов,
дающих достаточные условия устойчивости или неустойчивости
176
для различных классов нужных (и ненужных) задач; эти методы
широко известны в применении к теории устойчивости Ляпунова.
ЭЦВМ открыли новый, прямой путь решения задач об
устойчивости, применимый к более простым в вычислительном
отношении случаям. Например, при выяснении устойчивости номинального
решения системы (46) по Ляпунову можно с помощью
численного интегрирования проследить за несколькими, наугад
выбранными решениями этой системы, для которых начальное значение х (t0)
близко к номинальному (а0). Такое наблюдение дает возможность
сделать рациональный вывод об устойчивости или неустойчивости,
обладающий высокой степенью достоверности. Аналогичным путем
можно проверять устойчивость относительно заданных конечных
отклонений, с обсуждения которой мы начали изложение этого
пункта. Впрочем, при проведении подобных экспериментов для
новых вычислительных процедур всегда надо помнить о
возможности неустойчивости вычислительной схемы «— неустойчивости,
которая является чисто вычислительным эффектом, но может
создать впечатление неустойчивости изучаемого реального явления,
которой на самом деле нет (см. п. II 1.1.2).
Отметим в заключение, что при изучении устойчивости реальных
объектов особую роль играет адекватность схематизации, так как
тип модели должен определяться не только качественными, но и
количественными характеристиками объекта и реальных
воздействий на него. Например, мы уже упоминали в § 1.6, что усеченный
конус, стоящий на малом основании и формально устойчивый, при
достаточной малости этого основания следует схематизировать как
конус с вершиной, что приведет к математическому выводу о
неустойчивости рассматриваемого положения равновесия. При этом
критерий такой малости рационально связан с амплитудой
ожидаемых воздействий: чем больше эта амплитуда, тем раньше надо
сделать вывод о неустойчивости. В. И. Феодосьев [18, с. 118 и далее,]
специально останавливается на вопросе о правильной
схематизации исходя из следующего рационального определения
устойчивости применительно к задачам сопротивления материалов: «Под
устойчивостью понимается свойство конструкции сохранять свое
состояние при реально существующих внешних
воздействиях» (выделено нами.<— Авт.). Вот его эффектный пример
по этому поводу: сооружение из трех поставленных друг на друга
табуреток можно считать устойчивым, если сверху ставится модель
в классе для рисования, но должно рассматриваться как
неустойчивое, если при его помощи необходимо сменить в люстре
перегоревшую лампочку. Таким образом, при необходимости построения
математической модели указанной конструкции в обоих случаях
модели должны быть качественно различными.
8. Введение малого параметра. Метод малого параметра — метод
возмущений в его многочисленных вариантах — является в
прикладной математике одним из наиболеераспространенных.
Правильный выбор формы для невозмущенного и возмущенного решений
12 6-20
177
позволяет во многих случаях даже с помощью первого приближения
получить решение с удовлетворительной точностью при
сравнительно небольшой затрате труда. Различным вариантам этого метода
посвящена обширная литература, перечислить которую здесь не
представляется возможным.
Задачи, в которых применяется метод малого параметра, бывают
двух типов. В задачах первого типа малый параметр входит в самоё
их постановку; этот тип характерен для чистой математики, а также
в ряде случаев для физики: например, в некотором процессе может
участвовать тело произвольной массы т и может потребоваться
выяснить асимптотический пот характер этого процесса при малом
т. и т. п.*. Этим типом задач мы здесь не будем заниматься.
В постановке задач второго типа малого параметра нет и, чтобы
к ним применить метод возмущений, надо такой параметр в задачу
ввести; уже само это действие носит рациональный характер.
Остановимся на таких задачах подробней.
Первой проблемой, возникающей для таких задач и характерной
именно для прикладной математики, является проблема нулевого
приближения. Она состоит в выборе некоторого объекта или
семейства таких объектов, вблизи одного из которых должно оказаться
искомое решение. Этот выбор может опираться на ожидаемый
характер решения и часто делается уже при построении
математической модели: как уже не раз подчеркивалось, чтобы успешно
разыскать нечто, всегда следует хотя бы приблизительно знать,
* Вообще для многих разделов физики характерно повышенное внимание
к различного рода асимптотическим выражениям и в связи с этим к оценке порядка
участвующих величин. Этим в значительной мере определяются особенности
математического аппарата, применяемого в физике; зачастую бывает, что этот аппарат
существенно сложней, чем, например, в инженерных дисциплинах, но на «выходе»
от него требуется лишь получение асимптотического выражения или даже
выяснение порядка величины. Математический аппарат инженерных дисциплин,
как правило, проще, но он более нацелен на конечные значения участвующих
параметров и окончательные зависимости чаще всего требуются с точностью
порядка процентов. Разные цели накладывают отпечаток не только на
применяемый аппарат, но и на характер логики при этом применении. Отклонения от чисто
дедуктивного способа изложения иа основе ссылок на физический смысл и
аналогий в физике, пожалуй, совершаются более решительно; в то же время в
физических рассуждениях встречаются значительные и порой далекие от наглядности
включения дедуктивного характера, связанные с теорией аналитических функций,
теорией групп, операторов и т. д.
Интересное сравнение стиля работы инженера и физика проводит Д. Пойа
[56, с. 285]: «Пытаясь решить одну и ту же задачу, они работают по-разному,
поскольку главными для них являются разные стороны дела. Инженер ищет ясное,
короткое, эффективное решение («наименее расточительное», «самое рациональное»
решение). Физик же стремится найти общий принцип, на котором зиждется
решение... Именно поэтому, преследуя одну и ту же цель, они отдают предпочтение
различным средствам... Допустим, что к задаче, которую пытаются решить
инженер и физик, существуют два подхода. С одной стороны, рассматриваемая задача
обнаруживает некоторое сходство с ранее решенной задачей А. С другой стороны,
эта задача, по-видимому, поддается процедуре, продиктованной общим методом В.
Между этими двумя подходами надо сделать выбор. Я склонен думать, что при
указанных обстоятельствах (считая прочие условия равными) инженер
предпочтет исходить из конкретной задачи А, а физик — из общих соображений В»
178
что именно разыскивается. Построение указанной системы объектов
можно осуществить различными неэквивалентными способами,
существенно влияющими на простоту и точность дальнейшей
процедуры; при этом велика роль аналогий и интуиции.
Если исходная задача приведена к решению некоторого
уравнения, то для построения объектов нулевого приближения широко
применяется следующий прием. Пусть уравнение переписано в
общем операторном виде _
F(x) = F(x) + F1(x), , (47)
причем известно, что в области Ux, где, как ожидается,
расположено искомое решение, значения \Ft (х)\, взятые в некоторой системе
единиц, малы всюду, а значения \F (x)\ малы только в
непосредственной близости от искомого решения *. Тогда нулевое
приближение можно получить из уравнения
F (х) = 0, (48)
если, конечно, оно решается существенно проще, чем (47).
Полезно обратить внимание на то, что само выражение F1 (х)
могло представлять собой сумму нескольких слагаемых, каждое из
которых не обязано быть малым в Ux; таким образом, из исходного
уравнения можно выбрасывать не только малые члены, но и малые
агрегаты. При рассмотрении разных классов решений одного и
того же уравнения малыми могут оказаться совершенно различные его
члены или совокупности членов, что приведет к различным
уравнениям нулевого приближения (48).
Заметим, что во многих задачах можно с большой степенью
уверенности априори указать примерный вид искомого решения, чего
обычно оказывается достаточно для проведения описанной
процедуры (см., например, [130, гл. IV]).
Допустим теперь, что уравнение нулевого приближения (48)
имеет общее решение
*=ФК ocft) (fe>0), (49)
где ах,..., ak <— параметры; при k = 0 параметров нет и мы
получаем вполне определенное решение <— какое-нибудь из решений
уравнения (48), если их несколько**. Следующий шаг состоит в
искусственном введении малого параметра так, чтобы (48) оказалось
* Последнее условие выполняется, в частности, в невырожденном случае,
т. е. когда | F (х) | ие может быть мало одновременно с | F' (х) | (в векторном случае,
когда х = (а,.... хп). F = Fi, ..., F„), F'(jc) есть матрица {dFjdxj).
** Обращаем внимание читателя на то, что в уравнении (47) под х можно
понимать не только скаляр, но и вектор или функцию и т. д.; если, например, х есть
функция от t, то и в правой части (49) выражение <р есть функция от t,
дополнительно зависящая от k параметров. В частности, (47) может быть
дифференциальным уравнением, причем может также включать начальные или краевые условия.
Можно потребовать, чтобы оператор F рассматривался только на периодических
функциях, и тогда речь будет идти только о разыскании периодических решений
и т. д.
12*
179
невозмущенным, а (47) — возмущенным уравнениями, В
конкретных примерах это можно сделать различными способами, что также
влияет на построение решения: Формально простейшим способом
введения малого параметра ^вляется рассмотрение уравнения
. F*(х)sFW + \iFt(x) = 0, (50)
из которого (48) получается при \i = 0, а (47) — при ц. = 1*.
"Основной идеей метода малого параметра является то, что
решение уравнения (50) или аналогичного ему уравнения,
«соединяющего» (48) с (47) , строится не только при ц = 1, но при всех
достаточно малых щ Поэтому следующим шагом является указание формы
х = <р(ц; аи ..., ak) (51)
(включающей, кроме выписанных параметров, еще и
неопределенные коэффициенты), в которой будет строится это решение.
Естественно, при этом требуется, чтобы
ф(0; at ak)га ф(ах, ..., а^); (52)
кроме того, обычно требуется, чтобы правая часть (51) была
аналитической функцией \i в окрестности точки ц = 0.** При этом
могут быть два варианта. В более простых задачах требуется, чтобы
(51) служило точным решением уравнения (50) при достаточно
малых ц. Но бывает и так, что от выражения (51) требуется только,
чтобы оно удовлетворяло уравнению (50) с определенной точностью,
оцениваемой по порядку \i, т. е. допускается, чтобы при
подстановке (51) в (50) оставалась невязка некоторого заданного порядка
ц". Из условия (52) вытекает, что п >• 1, и поэтому наименьшим
значением служит п = 2, как это и бывает чаще всего в прикладных
задачах; в этом случае (51) называется первым приближением
точного решения. Такая ограниченная постановка задачи с неполным
удовлетворением уравнения - (50) может объясняться либо
сложностью этого уравнения, не дающей возможности построить полное
решение, либо же тем, что точного аналитического решения и на
самом Деле нет, а имеется только асимптотическое разложение2 по
степеням \i, формально удовлетворяющее уравнению (50); бывает
также, что отыскание слишком точного решения по тем или иным
причинам и не преследуется. Оба варианта метода малого параметра
непосредственно связаны: из точного решения путем отбрасывания
достаточно высоких степеней ц можно получить приближенное
решение, а из приближенных решений можно, повышая п, в случае
сходимости процесса получить в пределе точное решение.
Выбор формы решения (51) определяется предполагаемыми его
свойствами и сказывается на правильном количественном и качест-
i —
* Конечно, малость параметра относительна, и то обстоятельство, что
значение ц = 1 считается малым, -не должно вызывать недоумения. Если Ft мало, то
можно обозначить /^ = аф, гдеФ конечно^ а а «на самом деле» -мало, после чего
переписать уравнение (50) в виде F -f- уф = 0, где v = ца изменяется от 0 до а.
** В ряде важных случаев правая часть (51) строится как аналитическая
функция' от \illq, где *<? ='2, 3, ... Этот случай приводится к предыдущему., ,
1,80,
венном представлении решения, особенно существенно в случае,
когда строится приближенное решение, например первое приблй'
жение. Хорошо известно, что далеко не всегда решение
целесообразно строить в виде простой суммы ряда по степеням \i. Так, если в
невозмущенном решении был член A sin со/,, перешедший после
возмущения задачи в A sin (со + ф) t, то при построении решения
в виде ряда по степеням ц. соответствующий член 1-го приближения
будет иметь вид
A sin at -f- Ac\at cos (at '
и будет давать неправильное качественное представление о
поведении возмущенного решения при t-*- <х>. Для правильного выбора
формы решения требуется не только учесть его предполагаемое
поведение, но в нестандартных случаях проявить и аналитическое
искусство. Так, в упомянутом только что случае построения
возмущенного периодического решения применяются методы Пуанкаре
и Ляпунова. Этим методам как средствам получения
правдоподобных результатов в прикладной теории нелинейных колебаний
специально посвящена гл. IV книги [130].
После выбора формы решения (51) неопределенные
коэффициенты, которые в нем имеются, вычисляются с помощью подстановки
(51) в (50) и приравнивания коэффициентов при одинаковых
степенях ц. или других аналогичных манипуляций. Если речь идет о
вполне определенном решении уравнения (47), а в решении (51)
имеются параметры, т. е. k > 0, то попутно из тех или иных
соображений должны быть найдены значения этих параметров; обычно эти
значения вытекают из .условий разрешимости уравнений для
неопределенных коэффициентов. При этом мы узнаём, к какому именно
из решений (49) будет близко искомое решение уравнения (47).
После построения точного или приближенного решения (51) в
нем надо положить \i — 1; это и должно по замыслу привести к
точному или приближенному решению уравнения (47).
Как видно, все этапы применения описываемого метода, за,
исключением этапа вычисления неопределенных коэффициентов и
параметров, осуществляются на рациональном уровне. Поэтому и
окончательный результат является лишь правдоподобным. Так, при
построении точного решения значение \i — 1 может оказаться за
пределами круга сходимости. Если же строится приближенное
решение, например первое приближение, то нет уверенности в том, что
оно будет хорошим, даже только в том, что оно окажется лучшим,
чем нулевое. И действительно, если первые этапы метода
осуществлены неудачно, то эти неприятности могут реализоваться, т. е.
метод никакого результата не даст либо даже при беспечности ис*
следователя может привести его к ошибочным выводам.
Как же избежать таких ошибок? Для отдельных вариантов
метода малого параметра проводилась на дедуктивном уровне оценка
соответствующего радиуса круга сходимости |ц |< г (см., в
частности, [172]; отметим, что при г > 1 точное решение ср (1; ах, ...
181.
,..., ak) будет обязательно удовлетворять уравнению * (47). Однако
такие оценки, получение которых даже в простых схемах
представляет достаточно трудную задачу, отвечают самому неблагоприятному
стечению обстоятельств и потому в общем случае оказываются
весьма пессимистичными. Поэтому обычно контроль результата более
целесообразно осуществлять также на рациональном уровне.
Достаточно высокая степень достоверности вывода о качестве
приближенного решения получается при исследовании практической
сходимости метода, т. е. с помощью непосредственного сравнения
последовательных приближений друг с другом. Уже сравнение 0-го,
1-го и 2-го приближений позволяет сделать такой вывод с
определенной достоверностью, так как тенденция к сходимости или
расходимости процесса чаще всего проявляется уже на его первых шагах,
а привлечение нескольких последующих приближений может
сделать этот вывод практически достоверным. Если решается задача
с параметрами, то может оказаться целесообразным провести такую
проверку для нескольких типичных реальных комбинаций их
значений, так как процесс, сходящийся для одних значений
параметров, может оказаться расходящимся для других значений.
Аналогичную роль играет сравнение результата вычислений с
физическим экспериментом; при этом рациональным доводом в
защиту правильности результата вычислений является то, что первое
приближение лучше описывает эксперимент, чем нулевое. Такое
сравнение может осуществляться не по всем вычисленным
характеристикам: например, при построении периодического процесса с
заранее не заданной частотой можно сравнивать только частоты
колебаний или только их амплитуды и т. д. Интересно, что при
обнаруженной на самых первых приближениях тенденции к
сходимости ссылка на дедуктивно доказанную сходимость процесса' при
достаточно малых |ц.| играет в точности ту же роль, что и ссылка
на согласие с экспериментом: и та и Другая существенно повышают
степень достоверности утверждения о хорошем качестве
приближений, иногда доводя ее до практически полной (см. п. 1.3.3.)
В качестве примера на метод введения малого параметра в книге
[130, § IV.2] рассмотрена задача о движении физического маятника,
точка подвеса которого совершает принудительные гармонические
колебания по двум взаимно перпендикулярным направлениям с
одинаковой частотой со в плоскости качаний этого маятника. Как
показывают теоретические исследования и эксперименты (см. п. 1.8),
при одних и тех же параметрах системы в зависимости от начальных
условий могут оказаться возможными по крайней мере два рода
устойчивых установившихся движений маятника — колебания
вблизи некоторого положения с частотой со (либрации) и вращение с
постоянной средней угловой скоростью, по модулю также равной со
* Впрочем, если уравнение (47) имеет более одного решения или если
количество этих решений неизвестно, то возникает еще вопрос, то ли мы решение
построили, которое нас интересовало; этот вопрос обычно решается на рациональном
уровне.
182
(ротации). При исследовании различных типов движений делаются
предположения о малости различных комбинаций физических
параметров, а в общем уравнении колебаний оказываются малыми
различные группы членов. В результате, уравнения для нулевого
приближения и весь ход дальнейшего исследования для разных
типов движений оказываются различными. С помощью подобных
приемов рассмотрены почти все конкретные примеры в этой книге; при
этом результаты оказываются в хорошем соответствии с
экспериментом.
Интересная добавочная трудность возникает при применении к
реальным примерам результатов теоретического исследования задач
с несколькими малыми параметрами. Пусть, например, в задаче
имеется два независимых малых параметра \i и v. Тогда часто бывает,
что поведение решения существенно, порой даже качественно
зависит от соотношения между ними в процессе, когда они оба стремятся
к нулю; например, при ц. оо v получается один результат, а при
р, со v2 — принципиально другой. (Так бывает, если исходная
задача качественно меняет свойства как при ц = 0, так и при v = О,
причем по-разному.) Однако допустим теперь, что мы хотим
применить результат такого исследования в конкретной ситуации, когда
|1И v принимают конкретные относительно малые значения.
Тогда для этих значений можно при любом показателе р установить
соотношение \i — с v? за счет подбора коэффициента с (надо просто
положить с — \iv~p). Конечно, слишком большие и слишком малые
значения с непригодны, но даже «средние» значения с дают широкие
возможности для произвола в выборе показателя.
Трудно привести общие рациональные соображения по поводу
того, как преодолеть указанное затруднение. Если рассматривается
серия однотипных примеров, то контрольное рассмотрение
нескольких из них каким-либо другим методом может позволить уточнить
диапазон возможных значений коэффициента с, что в свою очередь
ограничит произвол в выборе р. (Если с-^^с^с^, v < 1, то
(In ц. — In С! )/ln v < р < (In ц. — In c2)/ln v.) Если же
полученное ограничение окажется недостаточным для того, чтобы
сделать однозначный вывод, или если число рассматриваемых примеров
невелико, то не исключено, что весь метод исследования должен быть
принципиально изменен как ненадежный.
9. Интерполяция и экстраполяция. Эти процедуры широко
применяются в прикладной математике *, и им посвящено большое
число руководств; мы сделаем только некоторые замечания
методологического характера.
Интерполяция имеет обычно сравнительно более формальный
характер. Однако и здесь центральные вопросы о выборе типа
интерполирующей функции и критерия качества интерполяции
* И не только в ней. В сущности всякое научное представление есть
экстраполяция (с наблюденных ситуаций иа иеиаблюдеиные, с измеренных величин
на неизмеренные и т. п.); систематическое использование метода экстраполяции
может служить признаком зрелости той или ииой области зиаиий как иауки.
183
решаются на рациональном уровне. При этом учитываются объем
исходных данных, их точность и достоверность, цель интерполяции
(нельзя забывать об этом!), существующие разумные традиции в
данной области приложений и т. д.
Самые грубые задачи интерполирования возникают при
подборе эмпирических формул и в других сходных ситуациях. При этом
чаще всего пользуются формулами простой структуры, скажем
у = ах -f b, у = ах + Ьх2, у = axfi, у = аеЬх, у = а-\
и т. п. (параметров может быть и больше двух), выбирая эту
структуру из тех или иных теоретических соображений, например из
анализа поведения функции при х-»-0ил;->оои т. п. *. После
этого параметры, входящие в зависимость, можно найти по методу
наименьших квадратов или графически по методу выровненных
точек (см., например, [82, § II. 3—4]).
Увеличивая число параметров в формуле, можно добиться того,
что интерполирующая функция все точнее и точнее удовлетворяет
заданным условиям, которыми обычно служат значения у (хс) при
заданных х = хи ..., х — xk. Более того, хорошо известно, что по
интерполяционной формуле Лагранжа указанным сейчас условиям
можно с помощью многочлена k— 1-й степени удовлетворить
совершенно точно. Однако из этого отнюдь не следует, что при
повышении степени п интерполяционного многочлена Рп {х) «качество»
его как интерполирующей функции будет все время повышаться
вплоть до насыщения при п = k — 1. Дело в том, что при
достаточно большом п многочлен Рп {х) будет слишком жестко определяться
исходными данными и потому следовать за всеми случайными не-,
воспроизводимыми отклонениями, обусловленными ошибками
эксперимента, «шумовым фоном» процесса и т. п.
Поясним сказанное на простом примере. Пусть требуется
произвести интерполяцию по заданным значениям
t/(0) = 0, t/(ft) = cc, у(\) = \ (0<A<1). (53)
Многочлен второй степени, точно принимающий эти значения,
имеет вид
^i (*) = *+ ft fi ~ д) (* — ■**)•
Допустим, что в определении ос имеется малая ошибка бос. Тогда
соответствующая ошибка для интерполяционного многочлена равна
8F>2 W = Щ=Ьо (*~ **)• в частности б/?а ("г) = щх-h)- Мы
видим, что при h близком к 0 или 1 эта ошибка может быть отнюдь
не малой.
* Имея в виду такой анализ, Я. Б. Зельдович пишет об
эмпирических формулах [82, с. 45]: «На самом деле, конечно, формула тем лучше, чем
больше теоретических представлений вложено в нее, чем в меньшей степени оиа
является эмпирической».
184
Опасность указанных значений А хорошо в.идна также на рис. 18,
где заданные значения отмечены кружками. Мы видим, что в
изображенной ситуации получившийся качественный характер
поведения интерполяционного многочлена Р2 •(*), особенно с учетом
возможной ошибки в определении ос, совершенно не вытекает из
заданных условий.
При опасных значениях А существенно большее доверие в качес-
стве интерполирующей функции вызывает многочлен 1-й степени
Qx (л:), найденный по методу наименьших квадратов. Простые
вычисления на основе данных (53) дают
Qi (х) = х
Отсюда
6Q, (а-) -
2(1
2(1-
\-
-Л + Л2)
6а
-Л + Л2)
6а
[(1— Щх — (1— Л)].
[(1-2А)х-(1-Л)],
в частности 6Qt \-j-j = 4(1_Л1Л8) • Поскольку 1 — h + Л2 > ^->
то полученный результат устойчив относительно малых ошибок в
определении ос. . y=Pz(x)
График многочлена^! (х) в
ситуации рис. 18 показан
штрих-пунктирной линией; этот график «несколько
прямолинеен», но более надежно
показывает качественную картину,чем
предыдущий.
Разобранный пример тривиален, и
результаты его рассмотрения были
очевидны с самого начала. Однако ив
более сложных ситуациях могут
возникнуть аналогичные осложнения,
которые делают нецелесообразным
применение интерполяционных многочленов слишком высокой
степени. Оптимальную степень для различных классов задач можно
получить, сравнивая в типичных ситуациях погрешности,
возникающие при отыскании аппроксимирующего многочлена той
или иной степени по методу наименьших квадратов с
погрешностями в исходных данных [173].
Понятно, что интерполирующая функция дает лишь некоторое
рациональное описание истинной зависимости, которое может
иметь как высокую, так и не очень высокую степень достоверности.
В частности, при интерполировании «вслепую», без глубокого
анализа реального смысла зависимости, всегда имеется опасность не
заметить разрывы, острые экстремумы, краткодействующие
«всплески» и другие особенности, которые могут оказаться для этой
зависимости определяющими. (Тем более, что выпады из общего главного
хода зависимости, порождаемые этими особенностями, могут быть
185
приписаны ошибкам эксперимента и потому совсем не приняты во
внимание.) Это также делает существенным предварительный или
попутный теоретический неформальный анализ реальной
зависимости, который часто дает возможность предвидеть появление
подобных особенностей и так направить подбор эмпирических данных и
интерполяционной формулы, чтобы получить адекватное описание
этой зависимости *.
Отметим, что во многих задачах оказывается удобным
использовать в качестве интерполирующих функции, заданные не одной
формулой, а двумя или несколькими формулами, действующими
на различных интервалах изменения независимой переменной.
Это относится не только к зависимостям, обладающим разрывами,
но и к «Гладким» зависимостям, определенным на достаточно
длинных интервалах и не описываемым с приемлемой точностью единой
формулой достаточно простой структуры. В последнем случае
широко применяются кусочно-полиномиальные функции, в том числе
так называемые сплайны1в, значительно лучше приспособленные для
интерполирования, чем функции, заданные единой формулой.
Кусочно-полиномиальные функции применяются, в частности, если
интерполяция выполняется как промежуточный этап при
осуществлении численного дифференцирования, численного интегрирования,
численного решения дифференциальных уравнений и т. п.
Если при интерполяции обсуждение реального смысла
исследуемой зависимости во многих случаях весьма существенно, то при
экстраполяции это обсуждение во всех случаях является
центральным, решающим элементом процедуры. Мы уже говорили о том,
что интерполяция одной и той же зависимости может быть
осуществлена различными формулами. Однако если даже эти формулы на
интервале интерполирования давали близкие значения, то при
удалении от этого интервала они могут приводить к принципиально
различным результатам. Необоснованное распространение формул
с исходного на существенно более широкие интервалы может
приводить к вопиющим ошибкам.
Представим себе, например, что изучаемая нами зависимость на
исходном интервале близка к линейной и мы интерполировали ее с
помощью линейной функции у = ах + Ь, однако с целью уточнения
формулы решили добавить в качестве поправочного члена слагаемое
ах2 с малым коэффициентом ос. Таким образом, интерполяционной
функцией служит у =* Ь + ах + осл:2. Допустим теперь, что мы
решили этой же формулой воспользоваться для экстраполяции и
увеличиваем х. Тогда при больших х член ах2 из поправочного
превращается в главный, т. е. именно он будет определять поведение
всей суммы, что может совершенно не соответствовать существу
* Приведем простой пример: пусть известно количество почтовых
отправлений в городе Н. 15 ноября, J5 декабря 1973 г., 15 января и 15 февраля 1974 г.
Можно ли с помощью интерполяции определить количество этих отправлений
28 декабря 1973 г.? Конечно, нет: для определения объема предновогодней
почты требуется дополнительная информация.
186
явления *. Конечно, бывают случаи, когда какой-либо фактор,
первоначально малозначительный, впоследствии становится решающим,
но каждый такой случай нуждается в тщательном теоретическом
анализе. Положение усугубляется тем, что в качестве поправочных
членов можно брать и другие функции, например а/(х + с),
a sin (со* + ос) и т. д., которые при возрастании х ведут себя
совершенно различным образом.
Таким образом, схема экстраполяции (частным случаем которой
является прогнозирование, т. е. экстраполяция вперед во времени)
должна быть такой. На основании известных данных на исходном
интервале изменения независимой переменной строятся
интерполяционные формулы с учетом возможных погрешностей и попутно
строится теория, по возможности объясняющая характер полученных
формул, влияние различных факторов, характер их взаимодействия
я т. п. Только имея теорию, удовлетворительно объясняющую
настоящее , можно в некоторых случаях (далеко не всегда!) отобрать
из интерполяционных формул такую, которая адекватно опишет
обозримое будущее со сколько-нибудь удовлетворительной степенью
достоверности. Прекрасно будет также, если, не получив
непосредственно экстраполяционной формулы, мы сможем построить
обоснованную экстраполяцлонную схему, например систему
дифференциальных уравнений, решение которой будет удовлетворительно
описывать изучаемую зависимость за пределами исходного интервала.
Коротко говоря, мы тем лучше предскажем будущее, чем лучше
осмыслим прошлое и настоящее. При этом одинаково опасно и
одинаково плохо действовать как вслепую, т. е. без теории, без
осмысливания принципов изменения, так и догматически, т. е. связывая
себя заранее определенной узкой теорией без глубокого анализа
возможности ее применения в рассматриваемом случае.
К сожалению, имеется много примеров того, как экстраполяция
в реальных задачах проводилась либо формально, либо на основе
неадекватной теории, что порой приводило к безответственным
выводам или прогнозам. Особенно распространена формальная
экстраполяция с помощью линейной функции, экспоненты и других
простейших функций, в основе которой лежит представление (не всегда
явно высказываемое!) о постоянстве тех или иных решающих
факторов **.
* Я. Б. Зельдович пишет по этому поводу [82, с. 55]: «Положение вещей
напоминает сказку Андерсена, в которой тень, отделившись от человека, начинает
жить самостоятельно, делает карьеру и, наконец, заставляет самого человека
служить ей».
** Остроумную пародию иа формальную линейную экстраполяцию привел
Марк Твен в повести «Жизнь на Миссисипи»: «За сто семьдесят шесть лет Нижняя
Миссисипи стала короче на двести сорок две мили. В среднем это составляет чуть
больше, чем миля с третью за год. Отсюда следует — в этом может убедиться
любой человек, если ои не слепой и ие идиот,—что в иижнесилурийском периоде
(он закончился как раз миллион лет тому назад: в ноябре юбилей) длина Нижней
Миссисипи превышала один миллион триста тысяч миль. Точно так же отсюда
следует, что через семьсот сорок два года длина) Нижней Миссисипи будет равна
187
Скажем в заключение несколько слов о прогнозировании. Есте1
ственно, что достоверность прогноза, даже научно обоснованного,
если только речь идет не о явлениях типа солнечных затмений,
довольно быстро падает с увеличением интервала времени, на который
этот прогноз делается. Поэтому любой прогноз целесообразно
подвергать непрерывной корректировке на основе сравнения с
действительным развитием явления. Такое сравнение позволяет
подтвердить теорию, на основе которой делается прогноз, уточнить
значения исходных данных и виды функциональных зависимостей,
обнаружить новые факторы, которые начинают играть
существенную роль, в том числе и такие, появление которых не было
возможности точно предвидеть. Но может получиться и так, что объяснение
новых данных с помощью поправок к первоначальной теории станс
вится все более натянутым, неестественным; в такой ситуации
единственным выходом может оказаться принципиальное изменение
структуры модели.
10. Еще о дедукции. Читатель, конечно, заметил, что в
предыдущем изложении центральное внимание уделялось различным типам
рациональных рассуждений. Это естественно, поскольку в центре
нашего внимания находятся методы рассуждений и аппарат,
характерные именно для прикладной математики. Однако дискуссии
показали, что отстаивание роли рациональных рассуждений
понимается иногда как отрицание или во всяком случае умаление роли
дедуктивного метода.
В связи с этим мы хотим со всей силой подчеркнуть, что какое бы
то ни было порицание может относиться только к неправомерному,
неадекватному применению чистой дедукции, к слепому
переносу результатов, понятий, методов, всего образа мышления
чистой математики в приложения. Несомненно, что во многих
задачах прикладной математики адекватное применение результатов
чистой математики и чисто дедуктивных конструкций оказывалось
решающим. Причем это относится далеко не только к тем случаям,
о которых мы уже упоминали в § 1.
Прежде всего во многих прикладных задачах результаты,
полученные в чистой математике, применяются непосредственно. Это
относится в первую очередь к разнообразным точным и прибли-
одкой мили с четвертью. Каир и Новый Орлеан сольются и будут процветать,
управляемые одним мэром и одной компанией муниципальных советников. В
науке действительно есть что-то захватывающее, такие далеко идущие и всеобъем-
ляющие гипотезы способна она строить иа основании скудных фактических
данных» Впрочем, фантазии автора не хватило иа описание ситуации, получающейся
после указанного срока.
На формальной экспоненциальной экстраполяции основано, например,
рассуждение о моменте, когда численность научных работников сравняется
с численностью населения Земли (кстати, и здесь было бы интересно провести
экстраполяцию несколько далее) и т. п. Разбор примеров необоснованной
экстраполяции в примене-дии к демографии содержится н книге Б. И. Урланиса [174,
гл. II].
188
женным (в частности, асимптотическим) формулам, для получения
многих из которых требуется проводить сложные дедуктивные
рассуждения на уровне чистой математики: достаточно вспомнить
различные применения теории аналитических функций *. Для
последнего времени характерно также широкое применение качественных
методов.и результатов, говорящих об устойчивости, осцилляторно-
сти, свойствах спектра, монотонном характере тех или иных
зависимостей и т. п. Получение этих результатов, часто далеко не
очевидных, опирается на разнообразные разделы математического
анализа, алгебры, функционального анализа и т. д. Конечно,
имеются и другие каналы, по которым чисто математические результаты
непосредственно применяются в прикладной математике.
Однако дело не только в таком непосредственном применении.
Многие из тех структур, которые дедуктивно строятся в чистой
математике, способствуют формированию и прикладного
математического мышления, правильному пониманию ситуации, ее
эффективному анализу .**. Аналогия с дедуктивной теорией часто приводит к
появлению новых идей эффективного решения задачи или к
заимствованию идей такого решения из других областей приложения.
Дедуктивное исследование того, какие варианты возможны в тех
или иных предположениях, позволяет сделать вывод, чего можно
ожидать, в .реальной задаче. (Пример: дедуктивное исследование
строения особых точек для автономных систем дифференциальных
уравнений на плоскости показывает, какой характер поведения
может быть у реальных автономных систем с одной степенью свободы.)
Методы высокой строгости часто бывают эффективными для
выявления различных особых и вырожденных случаев (п. I. 2.7) и анализа
их роли, для указания последствий возможных ошибок при решении
реальных задач («сигналы опасности») и т. д. Все это может
способствовать воспитанию правильной прикладной математической
интуиции.
Важную роль в указанном воспитании интуиции играет
дедуктивное исследбвание отдельных примеров и эталонных задач (п.11).
* М. Кац и С. Улам пишут [13, с. 244]: «В прошлом веке использование в
физике функций комплексной переменной прямо-таки чудодейственным образом
помогло создать эффективные алгоритмы решения задач, которые до этого не
удавалось решить никакими другими методами. Мало того, оказалось, что благодаря
этому физические законы получили новый смысл и новые формулировки, что
уж совсем похоже на мистику: ведь, как мы знаем, комплексные переменные
(и функции с комплексными значениями) первоначально возникли в алгебре вне
всякой связи с проблемами естественных наук»..
** Сравните с высказыванием Н. Бейли [58, с. 80J по поводу теории
информации: «Вряд ли можно утверждать, что те приложения теории информации, о
которых говорилось выше, позволили получить много таких результатов в биологии
и медицине, которые не были бы уже получены другими способами. И все же
понятие информации, без сомнения, ценно тем, что оно служит полезным
количественным инструментом для теоретических построений и описаний, а также
унифицирует идеи и задачи, возникающие в самых различных областях гнаиня. Как
минимум это должночстимулировать научные исследования, а в идеале может при-
Ёести к новым результатам, получение которых маловероятно при других формах
анализа». . .
189-
Эффективность дедуктивного метода во многих задачах с
достаточно ясной и не слишком сложной в математическом отношении и
притом достаточно адекватной математической моделью
обусловила создание и развитие ряда больших дедуктивных разделов
прикладных наук. В основе такого раздела лежит система аксиом,
схематизирующая реальные физические, экономические и т. п. связи,
однако его дальнейшее построение принципиально не отличается
от построения раздела чистой математики. Прямые аналогии с
реальными сущностями и даже сам выбор терминов способствуют
разумной постановке задач в таком разделе, формулировке гипотез,
а в ряде случаев — и построению доказательств. С другой стороны,
интерпретация дедуктивных выводов может принести существенную
реальную пользу.
Характерными примерами здесь могут служить теория линейных
цепей в теоретической электротехнике, ряд разделов теории
автоматического управления, математическая гидромеханика и т. д. Эти
области являются, в основном, разделами физических и технических
дисциплин (по специфике изучаемой структуры), но в какой-то
степени их можно считать и разделами математики (по характеру
применяемых методов). Так, теорию линейных цепей можно считать
своеобразным разделом линейной алгебры, однако выделяющимся
из нее специфической терминологией, кругом задач и т. п.
Естественно, что в подобных теориях роль далеко развитых дедуктивных
понятий и методов математики особенно велика. Эти методы могут
не только дать эффективные конкретные результаты, но и
способствовать развитию правильной интуиции, более глубокому
пониманию взаимосвязей, а при интерпретации — более глубокому
пониманию реальных закономерностей. Например, привлечение
понятия метрики приводит к более глубокому пониманию того, что
такое средние и эффективные значения в электротехнике, и тем самым
позволяет избежать возможных ошибок в этой области.
Привлечение свойств нелинейных операторов может дать правильное
понимание манипуляций с нелинейными элементами цепей и т. д. Таким
образом, абстрактный математический подход может оказаться
более плодотворным, чем примитивный, поверхностный.
Признавая несомненную пользу многих таких разделов, надо
отметить реальную возможность ошибок при их применении,
происходящую от того, что предположение о справедливости аксиом может
оказаться неприемлемым и даже соответствующая терминология —
существенно неадекватной. Например, применение теории
линейных цепей может привести к ошибкам в случаях существенной
нелинейности элементов или связей; то же относится к применению
теории движения идеальной жидкости в случаях существенного
влияния ее вязкости и т. п. Эта неадекватность может усугубляться
психологическими причинами, о которых говорилось в п. 1.3.7.
11. Примеры и эталонные задачи. Трудно преувеличить роль
примеров при выборе метода исследования некоторого класса
прикладных математических задач, при анализе и отработке этого мето-
190
да и его элементов. Они призваны играть роль моделей для
исследуемой модели реального явления, и потому к ним полностью
относится высказанные в § 1 соображения по поводу адекватности и
простоты. Впрочем, при этом следует иметь в виду, что каждый
пример имитирует исследуемую модель, вообще говоря, лишь по
некоторым ее свойствам, причем иногда лишь в процессе рассмотрения
примера выясняется — по каким именно. Серия примеров,
имитирующих различные свойства модели, способствует пониманию этих
свойств в более общем интересующем нас случае; об этом мы уже
говорили в п. 1.3.2д. Кроме того, примеры часто удается
исследовать значительно детальнее и со значительно более высокой степенью
достоверности (во многих случаях на полностью дедуктивном
уровне), чем основную модель; этим создается правильная интуиция для
рассматриваемого класса задач и методов *. Именно поэтому
гипотезы часто оказывается полезным проверять на примерах; более
того, разбор примеров может сам подсказать гипотезы, относящиеся
к более общей или к аналогичной ситуации. Конечно,
справедливость гипотезы для отдельного примера не может сама по себе
служить доказательством этой гипотезы в общем случае, но эта
справедливость повышает правдоподобие гипотезы (если пример
представляется характерным), а ее проверка для серии примеров может
довести правдоподобие до практически полного; кроме того,
рассмотрение примера может выявить причины справедливости гипотезы
в общем случае.
С другой стороны, разбор даже отдельного примера может
опровергнуть гипотезу и тем самым удержать от
неправильных путей и бесплодных попыток. Поучительная история описана
в книге [121, §26]. Лагранж в первом издании «Аналитической
механики» (1788 г.) и во втором издании (1811 г.), а также Лаплас в
«Небесной механике» ошибочно утверждали, что в случае равных
собственных значений обязательно появляются члены вида t cos pt
или teu и что поэтому для устойчивости состояния равновесия
системы без диссипации необходимо, чтобы собственные значения были
различными. На эту ошибку указали Вейерштрасс и О. И. Сомов
в 1858—1859 гг. По этому поводу Томсон и Тэт (Treatise on Natu-
* С. К- Годунов и В. С. Рябенький в своей очень полезной книге [175, с. 9—10}
пишут: «Современная вычислительная техника и накопленный опыт позволяют
с помощью разностных схем приближенно вычислять решения очень сложных
н плохо поддающихся исследованию другими методами задач. Уверенность в том,
что решение вычислено правильно, достигается применением той же
вычислительной схемы для расчета немногих задач, точные решения которых заранее известны
сопоставлением результатов расчета с физическим экспериментом в том диапазоне
параметров, где этот эксперимент возможен, и с помощью других методов, которые
нельзя считать математически строгими. (Точнее — строгими с точки зрения
чистой математики.— Авт.) Но понимание сущности дела, необходимое для
построения пригодных разностных схем, достигается путем рассмотрения серии
правильно подобранных модельных задач, достаточно простых для детального
изучения иа принятом в математике уровне строгости, но все же улавливающих
те или иные интересующие нас черты исходной задачи, недоступной для строгого
изучения либо ввиду сложности, либо ввиду недостатка времени».
191
ral Philosophy, p. I, 1912, Art. 343 m, цитируется по [176, с 150])
пишут: «Странно, что Лагранж не заметил этой своей ошибки в
течение двадцати трех лет. Вероятно, он обнаружил бы ее уже при
написании статьи для последнего издания, если бы имел
обыкновение иллюстрировать свои замечательные аналитические
результаты примерами. В этом случае он, конечно, заметил бы, что вывод
о неустойчивости равновесия частицы, находящейся на дне
гладкого сосуда, имеющего форму тела вращения относительно
вертикальной оси, не может быть справедливым».
По отношению к примерам, в которых имитируются все
основные изучаемые свойства рассматриваемых моделей или класса
моделей, применяется термин «эталонные задачи». Глубокое
исследование эталонной задачи позволяет уточнить качественные свойства
решений, а на основании сравнения с другими моделями или с экс*
периментом — установить адекватность данной модели.
Апробирование различных методов исследования эталонной задачи дает
возможность установить, какие из этих методов могут оказаться
полезными в более общем случае, отработать эти методы, выяснить их
точность. Все это делает привлечение эталонных задач в ряде
случаев весьма эффективным.
12. Уточнения. Мы уже не раз упоминали о том, что прикладное
математическое исследование имеет структуру последовательного
уточнения: сначала строится самое грубое решение, затем с его
помощью уточняется модель или метод решения математической
задачи, что приводит, вообще говоря, к более точному решению; оно
может быть использовано аналогичным образом и т. д.
Цели таких уточнений могут быть различными. Во-первых,
может оказаться, что точность грубого решения недостаточна в
качественном или количественном отношении для целей исследования.
В этом случае грубое решение имеет лишь вспомогательное
значение для получения более точного решения. Однако возможен и
другой случай, когда точность грубого решения нас устраивает, но нам
не ясны рамки его применимости. В этом случае уточненное решение
служит не для того, чтобы им непосредственно пользоваться, а для
выяснения границ более грубой теории. А поскольку грубые
модели и формулы обычно обладают существенными преимуществами
в простоте, то такая схема применения уточненных решений
оказывается во многих задачах весьма целесообразной. Именно таким
часто оказывается соотношение между методами теории упругости
и сопротивления материалов при рассмотрении одних и тех же
задач.
Приведем простой пример подобного применения уточненного
решения. Пусть мы рассматриваем колебания механического
осциллятора массы т. с периодом собственных колебаний Т и без трения,
возникающие в результате приложения постоянной силы F0.
Непосредственное интегрировсние уравнения
" , 2 Pol 2я \
192
при нулевых начальных условиях дает решение
*=•-£&(! — cosoO (0 <*<«>). (54)
При выводе этой формулы мы считали, что внешняя сила
принимает значение F0 мгновенно. Однако фактически это не так и
естественно заинтересоваться вопросом о том, насколько это допущение
скажется на результате, другими словами, можно ли пользоваться
формулой (54), если внешняя сила нарастает не мгновенно. Для
решения этого вопроса примем, что внешняя сила нарастает по
линейному закону от значения F = 0 при t = 0 до F = F0 при некотором
t = т, после чего остается все время равной F0. Простое
интегрирование соответствующего дифференциального уравнения показывает,
что по прошествии времени нарастания силы закон колебаний взамен
(54) примет вид
a:=-^[1-J1FLcos^-")] (t<*<°°), (55)
Таким образом, мы получаем поправку как в амплитуде, так и в
фазе колебаний.
Примем для определенности, что применение формулы (54)
допустимо, т. е. учет времени нарастания внешней силы несуществен,
если амплитуда колебаний, подсчитанная по уточненной
формуле (55), отличается от грубого результата, который дает формула
(54), не более чем на 5%. Тогда мы получаем неравенство(8Шы)/ы <
< 0,95, откуда по таблицам и < 0,53, т. е. т < 0,17. Это и есть
условие применимости грубой формулы (54).
Из формулы (55) можно получить и другой поучительный
результат аналогичного характера. Ясно, что если внешняя сила F (f)
нарастает достаточно медленно, то процесс является квазнстатическим,
т. е. можно принять, что отклонение осциллятора пропорционально
этой силе: х =-r-F (*)> где k — moo2 — коэффициент восстановления.
Однако насколько медленным должно быть для этого нарастание
силы? Положим, как и выше, что сила сначала нарастает по
линейному закону, а потом остается постоянной, и примем, что процесс
можно считать квазистатическим, если по прошествии нарастания
силы осциллятор в процессе колебаний отклоняется не более чем
на 5% от своего равновесного положения х0 = -g-Fo- Тогда в силу
формулы (55) получаем, что должно быть |sin ufu < 0,05, откуда
и > 20, т. е. т > 6Г; это и есть в данной задаче условие
квазистатичности.
13. ЭЦВМ. Прикладная математика имеет с вычислительной
математикой не только большое число.точек соприкосновения, но и
обширные пересечения. Собственно говоря, почти все реальные
вычисления, проводимые в настоящее время, а также соображения,
связанные с организацией этих' вычислений, выбором эффектив-
13 , 6-20
193
ных вычислительных методов и их усовершенствованием и т. п.,
непосредственно относятся к прикладной математике, составляют ее
неотъемлемую часть *. Правда, вычислительная математика
включает также многие вопросы, не нацеленные прямо на реальные
вычисления и изучаемые на чисто дедуктивном уровне, которые более
естественно отнести к чистой математике; однако и из таких вопросов
обычно бывает возможно извлечь ту или иную прикладную пользу.
У нас нет возможности останавливаться на вопросах
вычислительной математики, органически связанных с приложениями. Мы
ограничимся указанием на книгу Н. С. Бахвалова [60], значительно
выходящую за рамки обычного курса вычислительной математики
и нацеленную на применение вычислений в реальных условиях,
причем автор подробно останавливается на многих возникающих
при этом проблемах, включая отношения с «заказчиком» **. Роль
рациональных рассуждений в этой книге очень велика.
Естественно, что реальным вычислениям к тому, что с ними
непосредственно связано, свойственны те подходы и способы
рассуждений, о которых мы говорили в гл. I в связи с прикладной
математикой вообще: при рассмотрении теоретически бесконечного
процесса для решения задачи важны не только факт сходимости, но
и скорость сходимости и т. п. *** В частности, важнейший
вопрос о необходимой точности вычислений, который может сыграть
основную роль при выборе вычислительного метода, решается на
неформальном уровне с учетом реального смысла задачи,
потребностей, возможностей измерения, вычислительных средств и т. д.****
* Вообще, можно сказать, что прикладная математика занимает в
«математике вообще» такое же место, как в вычислительной математике — методы
организации и проведения реальных вычислений.
** Приведем отрывок из предисловия к этой книге [60, с. 7]. «Работа,
связанная с созданием и применением численных методов, складывается из чисто
теоретического исследования методов решения типичных задач, анализа работы
алгоритмов при решении модельных задач, вычислительного эксперимента и ряда
других моментов. Большое значение имеют вопросы выбора направления
исследования, построения математических моделей рассматриваемого явления,
организации контактов с представителями других наук».
*** М. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер [59, с. 12] пишут: «На практике
составными частями искусства вычислений являются квалификация,
опыт и интуиция вычислителя. Математическая строгость не является здесь
самоцелью. Строгий математический анализ задач вычислительной практики
всегда оставляет некоторые вопросы нерешенными. Практические расчеты требуют
таланта, знания и опыта, способности схватывать сущность задачи н выбирать
комбинации известных методов, а также умения использовать строгий математи-
ческяй язык для адекватного описания трудностей проблемы». Э. Хеммииг,
завершая свою книгу [1], в которой рациональные рассуждения играют
выдающуюся роль, пишет [1, с. 398]: «Для прогресса машинной математики очень
важно, чтобы интуитивные методы, которыми мы теперь пользуемся, были более
ясно поняты и приведены, насколько возможно, к явным и удобным для
вычислителей рекомендациям».
**** Все это дало основание для вывода, сделанного Р. Хеммингом [1, с. 99]:
«Здравая вычислительная практика требует постоянного исследования
изучаемой задачи не только перед организацией вычисления, но также в процессе его
развития и особенно на той стадии, когда полученные числа переводятся обратно
и истолковываются на языке первоначальной задачи».
194
Сказанное в полной мере относится к ЭЦВМ, предназначенным
для реальных вычислений. Процессы выбора численного метода
для решения уже поставленной математической задачи, реализации
этого метода на ЭЦВМ и истолкования результатов в значительной
мере напоминают обсуждавшиеся выше процессы построения
математической модели реального объекта, ее изучения и интерпретации *.
Огромное значение ЭЦВМ для прикладной математики сейчас
совершенно очевидно **; поэтому мы не случайно связали начало
современного периода развития математики с созданием первых
ЭЦВМ. Они не только повысили на несколько порядков скорость
и точность вычислений для известных ранее классов задач***, но и
* Приведем слова Р. Хемминга по поводу общей схемы решения задач на
ЭЦВМ [1, с. 280—281 ]: «Процесс решения любой практической задачи иа машине
включает три этапа: планирование, выполнение плана и интерпретацию
результатов... На первом этапе все расчеты носят, как правило, характер набросков,
в которых определяется объем вычислений, машинное время и т. д. ...Начальный
этап включает в себя оценки времени программировавия, кодировки, машинного
времени, оценки того, когда будут получены результаты и как они будут
использованы.
Обычно в процессе решения задачи возникает обратная связь между
постановкой задачи и вычислением, и поэтому точная постановка всей задачи возможна
лишь после начала вычислений. Тем не менее выходить на машину нужно, лишь
тщательно выполнив этап планирования.
На этапе «выполнения» план часто меияетси... В фазе «интерпретации»
необходимо не только обсудить и объяснить результаты, но также и проверить,
соответствуют ли результаты физической модели и не является ли часть из них
следствием формально проведенных вычислений, а не физических
закономерностей. Кроме того, нужно объяснить все изменения в плане вычислений...
Обычно в математических кругах пренебрегают первой и третьей фазами, как не1
относящимися к математике. (Конечно, они относятся к прикладной
математике.—Авт.). Но эти две фазы, в особенности третья, которой пренебрегают чаще
всего, имеют решающее значение для успеха всей работы».
** С некоторой задержкой осознается их роль в чистой математике. М. Кац
и С. Улам пишут [13, с. 194]: «Вычислительные машины и их роль в математике
все еще составляют предмет ожесточенных споров. Математики демонстрируют
полную гамму разных отношений к этому вопросу — от равнодушия до
враждебности; лишь немногие чувствуют, что вычислительным машинам предназначено
сыграть важную роль в будущем развитии математики, не говоря уже об их
бесспорной полезности как мощного орудия научных и технических исследований».
В книге [13] приведены примеры того, как эксперимент на ЭЦВМ позволяет
угадать формулировки чисто математических теорем, а также говорится о
возможностях машинного доказательства теорем. Думается, что существенно
большее влияние ЭЦВМ на чистую математику обнаружится через несколько десятков
лет. Дело в том, что вычислительные методы средства и традиции в значительной
степени стихийно формируют всю «математическую идеологию»: какиё'задачи надо
сводить к каким (например, как отметил Л. А. Люстерник, именно из-за этого
мы сводим линейные автономные дифференциальные уравнения к алгебраическим,
а не наоборот), на каком этапе задача признается решенной и т. д. Более того,
вопрос о том, чем именно надо заниматься в чистой математике, в конечном счете
зависит от математических методов решения нематематических задач, а сейчас
иа создание и развитие этих методов существенно влияют ЭЦВМ. Особенно
существенно может сказаться это влияние на постановке и методах решения задач
так называемой конечной математики.
*** Н. С. Бахвалов [60, с. 9] отмечает, что за последние 30 лет скорость
выполнения арифметических операций возросла в 310' раз, тогда как за 200 лет
механическая скорость, доступная человеку, возросла в 5 ■ 103 раз
(по-нашему, в 103 раз).
13*
195
впервые сделали возможным решение с удовлетворительной
точностью многих других задач. Однако при этом пришлось
видоизменить и даже принципиально заменить многие вычислительные
методы, вообще произвести коренные изменения в «вычислительной
идеологии».
Так, значительную роль приобрел вычислительный эксперимент,
проводимый для подтверждения (вплоть до доказательства на
рациональном уровне) или опровержения той или иной гипотезы. Мы
уже упоминали в п. 7 о возможности выяснения устойчивости по
Ляпунову определенного решения системы дифференциальных
уравнений путем сравнения с помощью численного интегрирования на
ЭЦВМ этого решения с несколькими решениями, для которых
начальные данные мало отличаются от исходных. Аналогичным
образом можно приближенно"подсчитывать важные числовые
характеристики систем дифференциальных уравнений (такие, как, например,
характеристические показатели), осуществлять разбиение
пространства начальных данных или пространства параметров на области
одинакового асимптотического поведения «т. п. Правда, при
дискретном «прощупывании» (своеобразной пальпации) этих областей
всегда имеется определенная опасность того, что их границы будут
выяснены не вполне отчетливо, а некоторые интересные, но малые
или неудачно расположенные области будут и вовсе пропущены.
Эта опасность тем выше, чем выше размерность пространств и чем
более «закрученными» являются интересующие нас области; она
может усилиться также при неудачном выборе интервала времени, на
котором осуществляется интегрирование, или шага интегрирования.
Однако привлечение качественных соображений и здравого смысла
позволяет для многих задач выяснить картину с достаточной
отчетливостью и достоверностью *.
Существенные черты вычислительного эксперимента имеет
также широко применяемый в последние годы метод Монте-Карло в его
разнообразных вариантах. Оказалось, что для ряда классических
вычислительных задач, таких, например, как вычисление интеграла
по области сложной формы и не слишком низкой размерности, этот
метод является наиболее эффективным, а для более сложных задач,
например, ряда задач теории массового обслуживания, он пока
■единственно возможен.
Значительные перспективы открываются перед ЭЦВМ в связи с
задачами синтеза, выбора оптимальной математической модели и т. д.
В качестве примера перестройки психологии, вызванной ЭЦВМ,
укажем на решение нелинейных дифференциальных уравнений.
* Рассмотрение возникающих здесь интересных вопросов содержится,
например, в работе 3. С. Баталовой [177]. В этой работе устанавливается связь
между степенью точности и достоверности результатов, полученных при
исследовании стационарных режимов движения динамических систем иа ЭЦВМ, и нре-
менем интегрирования, расстоянием между «пробными» точками в фазовом
пространстве, степенью сложности изучаемых режимов и т. п.
Вопросам моделирования динамических систем иа ЭЦВМ специально
посвящена книга [178].
196
В «домашинную» эру считалось само собой разумеющимся, что если
в таком уравнении возможно с помощью некоторой подстановки
понизить порядок, то это следует сделать. Например, для решения
уравнения
!f=f(y,y') [У = У(х)] ,(56)
рекомендовалось рассматривать зависимость у'. = р от у, что
приводит к уравнению 1-го порядка р-£- — f (у, р). Если нам удастся
его проинтегрировать, т. е. найти общее решение р — <р (у; Сх), то
получаем соотношение J / у„ . =х + С2 между х и у. Такая
процедура иногда приводит к цели, особенно при аналитическом
исследовании решения, однако это удается редко, так что приходится
прибегать к численному решению. Но для численного решения эта
процедура плохо приспособлена, менее трудоемким оказывается
непосредственное интегрирование уравнения (56) без понижения его
порядка. Так и надо поступать при работе на ЭЦВМ.
Таким образом, надо уметь хотя бы совсем грубо оценивать объем
вычислительной работы, необходимой для доведения решения
задачи до конца. В частности, именно по этой причине вопросы
формального интегрирования в значительной мере потеряли сейчас свое
былое значение.
В качестве другого примера перестройки вычислительной
психологии укажем на вычисление сумм числовых рядов. Ранее для
этого широко применялись разнообразные искусственные
преобразования; однако при применении ЭЦВМ в большинстве случаев более
эффективным оказывается непосредственное суммирование членов.
Но здесь нельзя действовать вслепую! Распространенным
заблуждением среди тех, кто не имеет достаточного опыта общения с ЭЦВМ,
является наивная вера в то, что машина справится с любым
алгоритмом, какой бы ей ни подсунуть. На самом деле ЭЦВМ мощны, но
далеко ие всесильны, даже если не учитывать стоимости их
использования. Поэтому при решении на ЭЦВМ задачи, уже
сформулированной математически, обычно наиболее ответственным пунктом
является подготовка задачи к программированию, т. е. выбор и
конкретизация вычислительного метода.
Поясним сказанное на простом примере. Допустим, что мы хотим
вычислить сумму бесконечного ряда
S = -TT + ir+---+i+--- (57)
причем, уверовав во всесилие ЭЦВМ, решили не применять никаких
ухищрений, а просто подсчитывать и складывать члены ряда, пока
они не обратятся в машинный нуль (т. е. не станут равными нулю
после округления, необходимого для записи числа в ячейке
арифметического устройства), после чего частные суммы ряда перестанут
возрастать. Чтобы оценить необходимое время для вычисления по
197
указанной схеме, примем за машинный нуль число 0,5 • 10 19
(примерно таково его значение для распространенных машин средней
мощности). Тогда вычисления прекратятся при -^ < 0,5 • Ю-19,
т. е. при п > 1^2 ■ 1019 да 4,5 • 109. Если принять, что на
вычисление и добавление каждого члена ряда тратится 10~* сек (довольно
реальная оценка для средних машин), то получим, что общее время
вычисления примерно равно 4,5 • 109 • Ю-4 = 4,5 • 105дас=125 ч.
(Стоимость такого машинного времени по распространенным
тарифам составляет 7500 руб.) При этом ошибка, как нетрудно оценить,
получится на десять порядков выше последних слагаемых.
Описанная схема является вопиюще нерациональной. Результат
получится гораздо быстрее и точнее, например, если
просуммировать 10* первых членов ряда (это займет время порядка 1 сек),
а остаток заменить по приближенной формуле
л2 + (п +1)2 ~*~ ' " ~ J s2
точность которой имеет порядок 0,1 • п~~3. (А еще лучше
воспользоваться справочниками, согласно которым S = л2/6; впрочем, это
счастливый случай <— в других случаях числовые ряды редко
«сворачиваются» в конечные выражения через известные константы.)
При применении ЭЦВМ возникает ряд важных специфических
проблем, которые необходимо иметь в виду. Машина обычно выдает
решение в виде дискретных чисел, поэтому, если только решение не
состоит из одного или небольшого количества таких чисел,
возникает проблема придания решению такой формы, чтобы можно было
его обозреть и им пользоваться. Особого внимания требуют задачи,
содержащие параметры. Пусть, например, мы хотим составить
таблицу, по которой можно было бы решать полное кубическое
уравнение
ах3 + Ьхг + сх + d = 0. (58)
Если допустить, что каждый из параметров а, Ъ, с, d может
принимать 50 значений ■— а это не так уж много,'— то всего получится
50* « 6 • 10е комбинаций этих значений. Средней ЭЦВМ для
выдачи результатов потребуется около месяца непрерывной работы
(основное время будет уходить на печать), в результате чего получится
набор рулонов лент общей длиной в 200 км и весом в 2 т.
Вообще, характерной чертой многих людей, только что
освоивших технику работы на ЭЦВМ и пораженных ее мощностью,
является стремление получить как можно большее количество численных
результатов на основе наивного принципа «чем больше информации,
тем больше пользы». Но часто эти люди оказываются потом
подавленными морем цифр, причем проблема извлечения полезного
вывода из этого моря может оказаться более сложной, чем исходная
198
задача *. Поэтому весьма актуальным является один из основных
тезисов, неоднократно подчеркиваемый Р. Хеммингом Ш: прежде
чем решать задачу, подумай, что делать с ее решением.
На самом деле положение с таблицей для решения уравнения (58)
совсем не такое уж печальное. С помощью подстановки
Ь 3/- d be , 26s
можно перейти к уравнению
*• + "+'-« ['-(-Г-тёг)'-'-]-
содержащему всего один параметр г. Таблицу значений решения
последнего уравнения в зависимоети от этого параметра уже нетрудно
составить с помощью ЭЦВМ, даже если ему придать не 50, а 5000
значений. В результате решение уравнения (58) будет находиться
с помощью двух одновходовых таблиц (кубических корней и г (г))
и простых арифметических действий; это, конечно, несравненно
проще, чем применение таблицы с четырьмя входами.
Вопросом принципиальной важности при работе на ЭЦВМ
оказывается влияние ошибок округления **. Когда в длинных цепочках
вычислений последующие выкладки все время опираются на
результаты предыдущих, ошибки округления могут разрастаться до
такой степени, что, начиная с некоторого момента, мы будем иметь
дело с одними лишь ошибками.
Приведем яркий пример такого эффекта, заимствованный из
книги 159]. При вычислении интеграла
1
/„ = — t xnexdx in = 0, 1, 2, ...) (59)
е о
легко с помощью интегрирования по частям установить, что
/п=1-п/„_, (л=1, 2, 3, ...). (60)
Кроме того, /0 = 1 — 1/е = 0,632. Отсюда по формуле (60) можно
получить последовательно 1г = Г— 1 • /0, /2 = 1 ■— 2/ц ...
Приведем соответствующие результаты /„ вычисления этих значений с
тремя знаками после запятой:
«0123456 7 8
1\ 0,632 0,368 0,264 0,208 0,168 0,160 0,040 0,720 — 4,760
Результаты становятся явно нелепыми, так как из (59)
непосредственно видно, что /0 > /х > /2 > ... > 0.
* Ситуация напоминает легенду об ученике волшебника, который в
отсутствии учителя вызвал джииа и велел ему носить воду, но не смог его остановить
вовремя и в результате чуть не утонул.
** Вообще нричины, порождающие ошибку результата вычисления, можно
условно подразделить на 1) ошибки, порожденные выбором математической
модели; 2) ошибки в исходных числовых данных; 3) ошибки вычислительного метода;
4) ошибки округления [60, с. 15].
199
Причины ошибки здесь ясны: при вычислении /„
первоначальная погрешность округления /0 множится на 1 • 2 • ...• п, а так
как точное значение 1п ограничено ( и даже стремится к нулю при
п ->■ оо), то относительная погрешность стремительно возрастает.
Вычисления с большим числом знаков, свойственные ЭЦВМ,
несколько помогают, но ненадолго: при вычислениях с девятью
значащими цифрами результаты также становятся нелепыми, но начиная
с п = 14. Пользой повторного счета с другим числом десятичных
знаков является то, что мы узнаём, насколько надежными были
вычисления.
В то же время вычисления нетрудно перестроить так, чтобы
погрешности не разрастались, а уменьшались. Для этого достаточно
соотношение (60), заменив п на п + 1, переписать в виде
после чего вычислять 1п от больших п к меньшим, положив
некоторое «отправное» /„ просто равным нулю. Так, положив /10 = 0,
мы получим значения:
я 9 8 7 6 5 43210
/" 0,100 0,100 0,112 0,127 0,146 0,171 0,207 0,264 0,368 0,632
Более точные вычисления показывают, что /9 = 0,092, /8 =
= 0,101, тогда как все остальные цифры верные.
Влияние ошибок округления может создать при вычислении
интегралов и решении дифференциальных уравнений следующую
парадоксальную ситуацию: с целью увеличения точности результата
мы измельчаем шаги, но если применяемый метод неудачно выбран
(как говорят, неустойчив в вычислительном отношении), то из-за
увеличения числа действий ошибки округления начинают
сказываться сильнее и итоговая погрешность возрастает. Поэтому
проверка вычислительной устойчивости применяемого метода и вообще
влияния округления является существенной частью многих
вычислений на ЭЦВМ. Для различных сравнительно простых классов
задач удается провести строгое теоретическое исследование
дедуктивного аналога вычислительной устойчивости, которое позволяет
понять, какие факторы и как влияют на эту устойчивость.
Часто бывает удобно, в том числе и для сложных задач, выяснить
влияние ошибок округления эмпирически; выработан ряд методов
для этого, описанных, например, в [1, гл. 2]. Эти методы сводятся
в основном к проведению повторного вычисления, ошибки
округления в котором не должны быть скоррелированы с ошибками в
первом вычислении. Например, можно произвести повторное вычисление
с удвоенной точностью или с одной недостающей значащей цифрой
во всех вычислениях и сравнить результат с исходным. При решении
дифференциальных уравнений для контроля можно применить
повторное вычисление с измененным шагом. При этом полезно иметь
в виду, что если зависимость или независимость результата вычис-
200
лений от ошибок округления установлена при каких-то одних
исходных данных для вычисления, то тот же вывод — во всяком случае
для линейных задач — имеет место для любых других исходных
данных. Отметим еще, что существенное влияние ошибок
округления часто обнаруживается на основании сравнения результатов
вычисления с ожидаемым на основе реального смысла задачи, так
как чаще всего такое влияние порождает быстро разрастающиеся
осцилляции и даже переполнение * ячеек, совершенно не
согласующихся с этим смыслом **.
В связи с вопросом о влиянии ошибок округления упомянем еще
об одной особенности решения задач на ЭЦВМ, которая довольно
часто обсуждается: речь идет о расходящихся рядах и других
подобных объектах. Пусть, например, рассматривается гармонический
ряд 1 Ч—g—h -g—h ... . Хорошо известно, что он расходящийся,
т. е. сумма его равна бесконечности. Однако если поручить ЭЦВМ
вычислять эту сумму, то из-за округлений и наличия машинного
нуля частные суммы начиная с некоторого номера перестанут
возрастать, т. е. мы получим конечный результат. Не получается ли
качественной ошибки?
На самом деле реальная опасность подобных ошибок совсем не
велика, если, конечно, не вычислять вслепую. Прежде всего члены
расходящегося ряда убывают чрезвычайно медленно, что должно
насторожить наблюдательного исследователя. Так, если принять,
как и выше, что машинный нуль равен 0,5 • 10—1в, а на добавление
одного члена ряда уходит Ю-4 сек, то до получения итоговой
суммы машина должна была бы работать 2 • 1019 • Ю-4 сек = 2 X
X 10^~15ce/e = 60 млн. j^er (впрочем, сама сумма получилась бы
всего лишь близкой к 45). Даже применение больших машин
уменьшило бы этот срок всего в 100 раз. Если же мы будем искусственно
останавливать вычисления, скажем, через 1, 2 и 3 мин работы машины,
мц получим значения, не имеющие отчетливой тенденции к
сходимости (при времени Ю-4 сек на добавление одного члена получаются
соответственно значения 13,88; 14,58; 14,98***, что также не даст
нам возможности принять частную сумму ряда за его полную сумму).
Интересно, что даже если проводить вычисления вручную с
гораздо меньшим числом знаков, то и тут элементарный контроль не
* В примере с вычислением l\ переполнение наступило бы при п ^ 24.
** Н. Бейли [58, с. 116] пишет: «...появление чрезвычайно неточных
результатов вследствие, например, возникновения различных видов неустойчивости
часто легко обнаруживается по их явному несоответствию физическим или
биологическим особенностям исходной задачи. Часто практическая интуиция,
основанная на хорошем знании исследуемого реального явления, позволяет
предвидеть характер возможных математических затруднений. Не следует недооценивать
значения общей научной интуиции. Именно ей мы обязаны, по-видимому, тем,
что ученые допускают грубые числовые ошибки не так уже часто, как этого можно
было бы ожидать.
*** Отметим, кстати, что даже для медленно сходящегося ряда (57) в
результате таких остановок получились бы значения 1,644934; 1,644935; 1,644935,
рационально указывающие на близость к пределу.
201
даст возможности принять расходящийся ряд за сходящийся.
Например, если округлять члены гармонического ряда до 0,1, то его
сумма окажется равной 3,6; но если для контроля провести
округление до 0,01, то сумма окажется равной 6,16, что сразу
показывает ненадежность вычислений. (Для ряда (57) получились бы
значения соответственно 1,4 и 1,59.)
С проблемой влияния ошибок округления непосредственно
связана проблема так называемой обусловленности системы уравнений, из
которой определяются интересующие нас величины. Дело в том, что
если эта система уравнений выбрана неудачно («плохо обусловлена»),
то может так получиться, что малое изменение исходных данных
приводит к немалому изменению решения, даже если вычисления
проводились бы с абсолютной точностью. А так как исходные данные
обычно получаются с помощью измерения, которому присуща
определенная погрешность, то решение, полученное из подобной системы,
является тем менее надежным, чем хуже ее обусловленность.
Естественно, что плохо обусловленные системы особенно чувствительны
к ошибкам округления при вычислениях.
Приведем простой, сознательно утрированный пример плохо .
обусловленной системы двух уравнений первой степени с двумя
неизвестными, заимствованный из книги К. Ланцоша [33, с. 163—■
1641:
х + у = 2,00001, х + 1,0001г/ = 2,00002. (61)
Если считать здесь все величины совершенно точными, то эта
система имеет решение* =**=, 1,00001, у = 1. Однако стоит, например,
правую часть второго уравнения заменить на 2,00003, как решение
станет равным х = 0,00001, у = 2. В этом примере причина плохой
обусловленности очевидна, она происходит от малости
определителя системы (61) или геометрически от чрезвычайной малости угла,
под которым пересекаются прямые с уравнениями (61) в плоскости х,
у. В более сложных случаях плохая обусловленность может быть
совсем не очевидной, тем более, что она не является препятствием
для решения задачи на ЭЦВМ. Как и вычислительная неустойчивость,
она может быть обнаружена либо из теоретических соображений,
либо эмпирически путем повторного вычисления с измененными
в рамках реально осмысленной точности исходными данными.
Сейчас широкому внедрению ЭЦВМ препятствует в основном
психологический барьер. Составление программ для ЭЦВМ на
алгоритмических языках в простых случаях не вызывает затруднений,
этому успешно обучают рядовых школьников. Однако пока еще многие
исследователи по существу боятся ЭЦВМ, так же, как наши предки
боялись «неберущихся» интегралов, трансцендентных уравнений,
дифференциальных уравнений, не разрешимых в квадратурах, и т. п.
Вместо того чтобы принципиально изменить подход к таким
интегралам и уравнениям, ученые упорно продолжали искать новые
случаи интегрируемости, что существенно ограничивало
возможности приложений математики. Аналогичная ситуация возникает
202
часто сейчас в связи с ЭЦВМ. Встречается и другой «уклон», о
котором мы упоминали выше, основанный на непонимании
возможностей ЭЦВМ,— представление о том, что машина справится с любым
алгоритмом, какой бы ей ни подсунули, так что вопрос о выборе
и совершенствовании этого алгоритма не столь уж существен.
Конечно, для органического включения ЭЦВМ в прикладные
математические исследования требуется определенная
психологическая перестройка, глубокое изменение многих навыков, подходов
и точек зрения; на этом, в частности, подробно останавливается
В. И. Феодосьев [18, гл. X]. В домашинный период в прикладной
математике доминировало «аналитическое видение», операции с
числами появлялись лишь на заключительном этапе исследования и не
требовали особой квалификации. Теперь же аналитическое и
алгоритмическое (машинное) мышления должны взаимодействовать на
всех стадиях исследования, иногда даже начиная с построения
математической модели и, во всяком случае, уже при выборе метода
ее исследования. При этом приходится существенно изменить
многие привычные домашинные представления. Например, нелинейность
задачи, которая раньше всегда считалась признаком ее сложности,
теперь для широких классов задач особых затруднений не вызывает.
Гораздо более серьезной трудностью для машин является
увеличение числа существенных независимых переменных или параметров.
Если раньше одной из основных целей математических
преобразований было выражение решения через затабулированные функции,
то теперь отсутствие таблиц обычно препятствием не является, так
как ЭЦВМ может тем или иным способом вычислять необходимые
значения функций без приведения их к затабулированным. (При
многократно повторяющихся вычислениях роль, аналогичную
таблицам, играют стандартные программы, но их составление, как
правило, несравненно проще, чем составление таблиц с той же
детализацией.) Если раньше при исследовании дифференциальных
уравнений важнейшую роль играло отыскание подстановок, с помощью
которых уравнение приводилось к интегрируемым типам, то при
применении ЭЦВМ формальная интегрируемость несущественна,
а подстеГновки направлены в основном на понижение размерности
задачи. Значительно повысилась роль универсальных методов *
и т. д.
Однако грубо ошибочной была бы мысль, что применение ЭЦВМ
делает излишним получение аналитических (точных,
приближенных, асимптотических) формул и методов, «ручной» счет с помощью
электрического' арифмометра, логарифмической линейки и простого
карандаша! Аналитические решения, когда они возможны, часто
обладают неоценимым преимуществом из-за своей компактности,
* В. И. Феодосьев пишет [18, с. 155]: «Если машина включается в процесс
исследования как составная часть логического аппарата, то естественно, что
методы анализа должны меняться. Те тропы, по которым прежде ходили с вьюками,
для машины, конечно, оказываются неудобными. Быстрее к цели приводят
объездные серпантины, может быть, более длинные с виду, но более короткие по существу».
203
особенно если задача включает параметры или решение получается
как функция нескольких независимых переменных.
Асимптотические формулы действуют в случаях, когда применение численных
методов вообще становится затруднительным. «Ручной» счет из-за
своей мобильности наиболее приспособлен к выполнению прикидоч-
ных расчетов, которые следует производить как можно чаще, в том
числе и при подготовке более объемных вычислений. Таким образом,
применение ЭЦВМ призвано не заменить другие плодотворные
математические методы, а сочетаться с ними, существенно
расширяя возможности приложения математики *.
Совершенно справедливо пишет В. И. Феодосьев [18, с. 165],
что «...машина, освобождая нас от многих... обязанностей, не
освобождает во всяком случае от двух: от необходимости владеть
математическим аппаратом и творчески мыслить». Это тем более
существенно, что само по себе обращение к ЭЦВМ вовсе не всегда
свидетельствует о прогрессивной методике. Более того, если указанные
обязанности не выполняются, то ЭЦВМ может принести прямой
вред, создавая иллюзию обоснованности там, где ее на самом деле
нет. Всегда необходимо помнить еще один важный тезис Р. Хем-
минга: «Цель расчетов ■■— понимание, а не числа».
Поэтому чрезвычайно целесообразно, чтобы самые широкие
слои специалистов во всех областях осваивали методику работы на
ЭЦВМ и самостоятельно проводили вычисления по своим задачам,
хотя бы в не слишком сложных ситуациях. Иногда специалист
ограничивается составлением уравнений задачи, после чего
передает ее для решения вычислителю, который и ставит ее на машину.
Такой путь далек от оптимального, так как вычислитель,
недостаточно знакомый со спецификой задачи (если только он не является
равноправным соавтором), будет проводить много лишней работы,
не сможет вовремя перестроиться, сойти с неправильного пути,
применить физическую интуицию и грубые прикидки, что
неизбежно скажется на результате. Преодолеть эти недостатки могут либо
инженеры, физики и другие специалисты, владеющие техникой
работы на ЭЦВМ, либо небольшие группы, поддерживающие
непрерывный контакт (это особенно касается более сложных в
математическом отношении задач) и состоящие из таких специалистов и
из вычислителей или математиков-прикладников. Однако в
последнем случае необходимо, чтобы специалист-нематематик совершенно
отчетливо представлял себе возможности ЭЦВМ и специфику
методов, применяемых в расчете на работу с ними, а вычислитель или
математик столь же отчетливо представлял себе физические
особенности задачи, так чтобы все этапы работы могли квалифицированно
обсуждаться всеми ее участниками.
* Р. Хемминг [1, с. 127—128]: «...распределяя работу между человеком
и вычислительной машиной, мы хотим переложить сколько можно на Нее в той
части работы, которую машина может сделать наилучшим образом».
ГЛАВА III
НЕКОТОРЫЕ СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 1. ОШИБКИ*
1. Психологические барьеры и инерционность мышления. Эти
психологические причины часто служат существенным препятствием
к оптимальному выбору математической модели и метода ее
исследования. По существу, речь идет о психологии творческого процесса* *,
и, не будучи специалистами в этой области, мы ограничимся
несколькими замечаниями по этому поводу.
Инерционность мышления проявляется в бесконтрольном
применении к изучаемой задаче математической модели (всей или ее
элементов) или методов ее исследования, апробированных или
традиционных в данной области, или просто почему-либо внушающих
априорное доверие исследователю. Драматизм ситуации состоит в том,
что некоторая инерционность мышления необходима по
совершенно очевидным причинам и оценить разумную степень этой
инерционности бывает в начале исследования весьма трудно, а в ряде
случаев — вообще вряд ли возможно. И порой лишь существенно
позже проведения исследования «разумное использование»
традиций переименуют в «слепое следование» им ...
Инерционность мышления является одной из основных причин
возникновения в исследовании психологического барьера, когда
некоторый логический шаг не совершается, хотя для него имеется
весь необходимый аппарат, и позже, после совершения этого шага,
он представляется совершенно естественным ***.
* Вероятно, нет возможности даже в самых общих чертах обозреть причины
и типы возможных ошибок в прикладном математическом исследовании. О
многих из таких типов мы говорили на протяжении всего предыдущего изложения.
Все же мы сочли целесообразным, в силу важности вопроса, еще раз остановиться
на нем и поговорить о некоторых характерных причинах и типах ошибок, ни в
коей мере не претендуя на полноту.
** Популярное рассмотрение различных видов логико-психологических
барьеров в процессе научного открытия содержится в статье Б. М. Кедрова [179].
Ряд полезных соображений о путях преодоления инерционности мышления
применительно к процессу инженерного открытия содержится в книге Дж. Диксона
[20, с. 35 и далее].
*** «Эренфест любил подчеркивать, что ученые и физики, в частности люди,
идеями н трудами которых осуществляется прогресс науки, в подходе к описанию
и объяснению новых явлений часто оказываются консерваторами. Эти новые
явления они стремятся понять в рамках старых представлений. Во имя их
сохранения вводятся дополнительные, придуманные специально ради данного объяснения,
гипотезы (так называемые предположения типа «ad hoc»). Вместо того, чтобы
приветствовать новые физические теории, консерваторы пытаются обойтись без них.
.Конечно, надо проявлять крайнюю осторожность в оценке такого «консерватизма»,
так как введение новых построений, объясняющих тот же круг вопросов, что и
старые, вряд ли является оправданным. Нужен «разумный консерватизм»,
существенно отличающийся от твердолобого упрямства» [180, с. 117].
205
Часто инерционность мышления порождается предвзятыми
представлениями; иногда такие представления имеют математический
характер, например, основаны на вере в совершенство и
универсальную применимость тех или иных математических сущностей.
Классическим примером здесь послужила геоцентрическая система
Птоломея, в устойчивости которой немалую роль сыграло
представление о «совершенстве» кругов и сфер. При этом если учесть место
евклидовой геометрии в системе античного знания, то становится
естественной та роль, которая приписывалась указанному
совершенству и априорно ощущалась в древности.
Отчетливо видя ошибки древних и удивляясь их очевидности, мы
сейчас порой совершаем ошибки в сущности того же характера,
хотя и находящиеся на ином уровне, уровне современной математики.
Такие ошибки происходят, в частности, от бесконтрольного
применения к прикладной математике понятий, результатов и методов,
выработанных в чистой математике, о чем мы говорили в § 1.2, а
также от навязывания действительности неадекватных
математических структур *.
Конечно, неправильные математические тенденции могут
проявиться и гораздо более ясно (Для постороннего наблюдателя!).
Например, одного исследователя может подвести преувеличенное
стремление к интегрированию дифференциальных уравнений в
квадратурах, другого — к применению метода Фурье (разделения
переменных) при решении краевых задач и т. д. Причиной таких
тенденций часто является недостаточное знание современных средств
прикладной математики.
Яркий пример инерционности мышления, проявившегося в
начальной стадии создания теории расчета статически неопределимых
систем, рассмотрен в интересной эмоционально написанной статье
И. М. Рабиновича [181]. Барьером для создания адекватной модели
служило устоявшееся представление о таких строительных
материалах, как железо, камень, и т. д., как об абсолютно жестких, неде-
формируемых. Реальные малые деформации, конечно, наблюдались,
но считалось, что именно в силу своей малости они не могут
существенно повлиять на распределение реакций.
В упомянутом случае инерционность мышления выразилась в
том, что хорошо известная ранее модель (абсолютно жесткое тело),
адекватность которой в ранее решавшихся задачах была достаточно
апробирована, была необоснованно перенесена на задачу
принципиально нового типа. Привычка к указанной модели была столь
велика, что эта модель воспринималась как единственно возможное
описание, как бы автоматически вытекавшее из ситуации. При этом
упускалось из виду, что модель, адекватная по одним
характеристикам, может оказаться неадекватной по другим. Именно так
получилось в данном случае: абсолютно жесткая модель реального твердо-
* Именно имея в виду последнее, Ф. Дайсон пессимистически высказывается:
«Математическая интуиция чаще оказывается консервативной, чем революционной
силой, чаще сковывает, чем освобождает» [12, с. 114].
206
го тела адекватна в вопросах движения тела как целого, а также
в условиях статической определенности, но в то же время
совершенно неадекватна в условиях статической неопределенности. Как
справедливо замечает И. М. Рабинович, неадекватность данной
модели обнаруживается с помощью следующего простого рассуждения:
если большие усилия вызывают малые перемещения, то и малые
реальные перемещения должны существенно влиять на реакции
опор. Это рассуждение и явилось психологическим барьером,
после преодоления которого адекватная модель была построена.
Другим широко известным примером проявления инерционности
мышления, относящимся к настоящему времени, является
применение ламинарной модели течения жидкости в условиях, когда на
самом деле это течение заведомо турбулентно. В целом можно сказать,
что чем с большим упорством исследователь стремится к
сохранению модели, тем, как правило, оказывается ниже внешнее
правдоподобие. (Впрочем, из этого общего правила известны исключения,
в которых модель, перенесенная, казалось бы, в совершенно
неадекватную ситуацию, приносила успех. Примером может служить
исследование быстрых пластических течений металла, в котором
среда принимается за идеальную жидкость.)
2, Ошибки в выборе модели. Эти ошибки могут происходить от
разнообразных причин. Самой вульгарной причиной служит
непонимание ситуации, которое приводит к выбору неадекватных
гипотез. Ярким примером может служить история Эддингтона о
человеке, который пошел ловить рыбу сетью с ячейками определенного
размера. Разглядывая наименьшие среди пойманных рыб, он
решил, что это самые маленькие рыбы в море; он допустил ошибку, не
учитывая особенностей ловли рыбы *.
Знаменитый в истории науки пример неправильной
математической модели, основанной на полном непонимании ситуации,
содержится в первой работе Кеплера, посвященной выяснению вопроса:
почему имеется ровно шесть планет? Он отверг объяснение Ретику-
са: причина состоит в том, что 6 является первым «совершенным
числом»17, и выдвинул другое «объяснение» этого свойства,
основанное на рассмотрении пяти правильных многогранников, из
которого, по мнению Кеплера, получались не только число планет,
но и их расстояния от Солнца. Так, если вокруг сферы с центром в
Солнце, проходящей через Землю, описать додекаедр, то его
вершины будут лежать на сфере, проходящей через Марс; если вокруг
последней сферы описать тетраедр, то его вершины будут лежать на
* Эта история поучительна во многих отношениях, в частности в вычисли-
1 тельном. Приведя ее, Р. Хемминг [1, с. 397] замечает: «Так же и при вычислениях;
то, что получается, зависит от того, что даио, и от того, что с этим делают. Если
ие понимать промежуточные процессы, то весьма легко перепутать эффекты
использованной при вычислениях модели с эффектами ] модели, принятой
заказчиком при формулировании задачи». Например, при построении течения
жидкости с помощью метода сеток легко спутать неустойчивость вычислительного
метода (п. II. 2. 13) с неустойчивостью течения, хотя это, конечно, совершенно
разные явления.
207
сфере, проходящей через Юпитер, и т. д. Правда, при этом не
получается хорошего числового согласия, но это, видимо, Кеплера
не смутило.
С точки зрения современной науки подобная модель
представляется совершенно нелепой, как, впрочем, и сама постановка
вопроса. Однако для средневековой науки, в которой место геометрии
Евклида было весьма большим, связь между такими совершенными
объектами, как Солнце и планеты, с одной стороны, и сферой и
правильными многогранниками — с другой, могла казаться вполне
возможной, не менее естественной, чем известная уже пифагорий-
цам связь между музыкальными интервалами и арифметическими
отношениями. Д. Пойа говорит по этому поводу [7, с. 230]: «Может
возникнуть искушение отнестись к предположению Кеплера, как
к странному заблуждению. Однако нам следовало бы учитывать
возможность, что некоторые теории, которые мы с почтением
обсуждаем сегодня, могут рассматриваться как странное
заблуждение, если и не будут совершенно забыты в недалеком будущем.
Я думаю, что предположение Кеплера чрезвычайно поучительно. Оно
с особой ясностью показывает обстоятельство, которое стоит иметь
в виду: доверие, с которым мы относимся к предположению,
неизбежно зависит от всего нашего ф о н а (имеется в виду весь наш
«умственныйбагаж».— Авт.), от всей научной атмосферы
нашего времени».
В качестве еще одного примера приведем случай,
встретившийся в практике одного из авторов этой книги. Часто, приходя на
работу, он замечал, что пол в его комнате влажный, так как уборщица
его протирала мокрой тряпкой перед началом работы. Как-то,
включив сразу же вентилятор, автор обратил внимание на то, что
через 15—20 минут та половина пола комнаты, где стоял вентилятор,
совершенно просохла, тогда как другая половина пола еще мокрая.
Автор решил, что это явление связано с воздушным потоком,
создаваемым вентилятором, и попробовал произвести прикидки, но
необходимая мощность вентилятора по прикидкам оказывалась
непомерно большой. Вопрос разъяснился, когда то же явление было
обнаружено при неработающем вентиляторе: как оказалось,
смочив тряпку один раз, уборщица протирала ею весь пол в
определенном порядке, и потому одна половина пола оказывалась сильнее
смоченной, чем другая *.
Во всех описанных случаях ошибка состоит в искажении
истинных причинно-временных связей в изучаемом явлении. Это
искажение имеет различную «степень грубости». Так, в модели Кеплера
рассматриваемая им и принятая за определяющую связь полностью
* Еще пример неадекватной модели. Рассказывают, что после одного из
сильных землетрясений среди развалин был откопан находившийся в туалете
совершенно невредимый человек, который выглядел не только испуганным, но и очень
виноватым. Он просил прощения у спасителей, признаваясь, что слишком сильно
дернул за ручку промывного устройства, ие предвидя столь катастрофических
последствий.
208
отсутствует, что является основным признаком лженауки
(другими широко известными примерами подобного рода могут служить
астрология, хиромантия, спиритизм, модель наследственности по
Т. Д. Лысенко и т. д.). В примерах с вентилятором и
землетрясением модель была основана на первой попавшейся на глаза
причинно-временной связи, бесконтрольно принятой за основную, что и
привело к грубой неадекватности модели явлению.
Если даже столь грубые ошибки не совершаются, модель может
оказаться неадекватной из-за того, что при ее построении
применена схема (круг представлений, понятия и их связи), разработанная
и адекватная для иной области явлений, к которой изучаемое
явление не относится. Это может произойти из-за различных причин.
Так, исследователь может отчетливо понимать, что он применяет
модель или схему построения модели за пределами области О, где
эта модель или схема обоснованы, однако все же делать это, не видя
лучшего выхода и надеясь, что ошибка будет не велика или что
ее удастся в процессе исследования как-то скомпенсировать. В этом
случае исследователь сознательно идет на риск, и известно много
примеров, в которых этот риск оправдывался (впрочем, есть и
противоположные примеры). Более опасны случаи, когда
исследователь сам не осознает, что он вышел за пределы области О; чем более
надежно апробирована модель в О, тем убежденнее он верит в
обоснованность выводов, которые получаются с помощью этой модели и
в исследуемом случае. Лишь дополнительная информация,
например, явная ошибочность какого-либо из этих выводов, <— может
привести исследователя к необходимости изменить модель.
Ситуация становится наиболее опасной, если исследователь
приписывает модели абсолютный, универсальный характер; расхождение
следствий из модели с реальной картиной он готов объяснить
любыми причинами, но только не неприменимостью модели *. Описанные
три варианта выхода за пределы указанной области обоснованности
модели можно сравнить с различным поведением человека, которому
надо перейти через канаву по ненадежной, уже треснувшей доске.
* Д. Хорафас[17, с. 34]: «...математическое экспериментирование (речь идет
о построении и исследовании математической модели. — Авт.) сопряжено с
риском попасть в ловушку. Одной из основных причин этого является стремление к
искажению реальных условий, т. е. условий, наблюдаемых в естественной или
технической системе. Эти искажения часто делаются для того, чтобы
воспользоваться определенной, уже созданной для другой цели моделью. Такой порядок
неразумен, даже если он кажется целесообразным». Дж. Хаксли (цитируется
по [17, с. 28—29]): «...гипотезы являются ценными и необходимыми орудиями
человеческой мысли, выполняющими двоякую задачу — пополнения и
систематизации зяаний. Однако они становятся опасными, когда перерастают в абсолютные
утверждения или догмы, и вредными, когда они прививают исследователю
иммунитет, освобождающий его от непрерывной проверки полученных результатов
фактами».
В уже упомянутой статье [181] И. М. Рабинович в связи с историей расчета
статически неопределимых систем делает общее замечание (стр. 206):
«...предвзятые идеи вредны; к ним нужно относиться с чрезвычайной осторожностью; в
некоторых случаях они — враги и притаившиеся предатели».
14 6-20
209
В первом случае человек видит трещину, но надеется, что она не
помешает переходу, а если положение станет опасным, то он успеет
что-либо предпринять. Во втором случае он не видит трещины, нов
принципе готов правильно оценить ситуацию при появлении
дополнительных сигналов (треск доски или предупреждение со
стороны). Наконец, догматик упрямо отрицает наличие трещины, даже
если ему на нее указывают, а треск разрушающейся доски
объявляет пением птиц.
Приведем несколько примеров. Первый из них относится к так
называемой проблеме М. А. Айзермана. Математическая модель
системы автоматического регулирования (САР) может иметь вид
автономной системы дифференциальных уравнений относительно
неизвестных функций хх (t), хг (t), ..., хп (t), включающей
единственную нелинейность, например, вида <р (хп), а в остальном линейную.
Допустим, что эта нелинейная характеристика удовлетворяет оценке
« < Ф! <Р (Для всех х„).
Тогда для проверки устойчивости по Ляпунову нулевого
решения системы может представиться правдоподобным следующий
прием. Заменим в уравнениях ф (хп) на ухп, где у <— произвольная
постоянная, заключенная между аир. Если для любой такой у
система окажется устойчивой (а это легко проверить по
расположению корней характеристического уравнения), то и исходная
нелинейная система устойчива. Правильно ли это заключение? ■— в
, этом и состоит проблема Айзермана.
По существу здесь возникает вопрос скорее не об адекватности
модели, а о правильности рабочей гипотезы (состоящей в
законности применения указанного метода проверки устойчивости). Но
так как модель вместе с рабочей гипотезой можно рассматривать как
некую новую модель исходной САР, то здесь нет никакой
принципиальной разницы.
Как показала серия исследований, выполненных различными
авторами, в общем случае указанная гипотеза неверна; однако был
выделен и ряд важных классов систем, для которых она верна, а
также было показано, как выглядит правильная (и притом
эффективная!) процедура проверки устойчивости системы. Так, анализ
гипотезы, оказавшейся в общем случае несправедливой,
способствовал воспитанию правильной интуиции в данной области.
Сходный характер имеет «проблема замораживания», которая
в простейшем случае состоит в следующем. Пусть дана линейная
неавтономная система, т. е. на математическом языке —
линейная система дифференциальных уравнений с коэффициентами
at] (t), зависящими от времени t. Пусть для любого фиксированного
значения t = t0 соответствующая система с постоянными
замороженными значениями коэффициентов a{J (t0) оказывается
устойчивой. Тогда представляется правдоподобным, что и исходная система
будет устойчивой.
210
То, что в общем случае это не так, показывает явление
параметрического резонанса ,8 . Впрочем, специальное исследование
обнаружило, что имеются важные случаи (например, случай достаточно
медленного изменения коэффициентов au(t)), когда распознавание
устойчивости по методу замораживания возможно.
Приведем еще один совсем простой пример. Пусть
рассматриваются вынужденные колебания осциллятора с диссипацией энергии,
описываемые уравнением тх + hx + kx = A sin <at.
Установившийся процесс вынужденных колебаний описывается
функцией
x = — r^j- A cos at H £jj— "■sin ®*
(D = Y(k — co2m)2 + co2ft2). (62)
Пусть теперь рассматривается система с отрицательным
трением, т. е. при h<.0. Если пользоваться только последней
формулой, то может показаться, что никакого принципиального
изменения не будет, т. е., как и в первом случае, получатся вынужденные
гармонические колебания. Однако на самом деле это не так. Дело
в том, что последняя формула описывает при h > 0 вынужденные
колебания, поскольку свободные колебания, определяемые
начальными условиями, при h > 0 затухают. Но при h < 0 они
разрастаются, система становится неустойчивой! И после сложения с
ограниченным решением (62) мы все равно получаем решение,
уходящее в бесконечность.
Поучительная история связана с внедрением в практику формул
для устойчивости стержневых систем. Как известно, первые формулы
для критической нагрузки при сжатии упругого стержня получил
еще Эйлер в 1757 г., однако эти формулы долгое время
представляли лишь академический интерес. Практический интерес к вопросам
устойчивости стержневых систем пробудился примерно в 40-х
годах XIX столетия в связи с массовым строительством
железнодорожных мостов. При этом была проведена серия экспериментов (опыты
Ходкинсона) по устойчивости сжатого стержня, которые дали
значение критической нагрузки примерно в 10 раз меньшее, чем
получающееся из формул Эйлера; в результате этого метод Эйлера
расчета устойчивости был отброшен вплоть до конца XIX в. И только
в конце XIX века выяснилось, что эксперименты Ходкинсона
производились на слишком коротких стержнях, при разрушении
которых существенную роль играют пластические свойства материала,
а не только упругие, как в модели Эйлера. (Это обнаружил Ла-
марль уже в 1845 г., но его соображения долгое время не
принимались во внимание.) Другими словами, эти эксперименты относятся
к ситуации, не описываемой моделью Эйлера. Таким образом,
модель Эйлера была «реабилитирована» и в дальнейшем показала свою
практическую пользу. Однако и эти злоключения принесли
определенную пользу, они уточнили область применимости модели.
Н*
211
О том же источнике ошибок говорит и И. М. Рабинович [181,
с. 206], когда он указывает «на опасность доверия к интуиции,
основанной на опыте, когда ее хотят распространить на явления,
по своему характеру недостаточно близкие к объектам этого опыта.
Примером может служить незаконная попытка провести аналогию
между расчетом балки на равномерно распределенную статическую
нагрузку и на равномерно распределенную импульсивную нагрузку.
В первом случае прогибы балки постоянного сечения
пропорциональны величине P/EI, а во втором <— величине l2/]fEI\i, где |.i—
погонная масса; изгибающий момент в первом случае
пропорционален Р и не зависит от жесткости EI, а во втором не зависит от
пролета/и пропорционален величине Y^EI/^, и т. д.»
Подобное неадекватное продолжение математических моделей и
их элементов •— понятий и соотношений между ними, а также
методов изучения этих моделей встречается во всех областях
приложения математики *.
Аналогичный характер имеют случаи, когда исследователь в
процессе вывода тех или иных соотношений, необходимых для
создания или уточнения модели, бессознательно ** подгоняет
экспериментальные данные или доказательства, чтобы подтвердить
соотношения, сформулированные им априори или в процессе
исследования без достаточного обоснования. Зта опасность особенно велика,
если соотношение выводится на основании данных, на которых
могут существенно сказываться ошибки наблюдения и влияние
неучитываемых факторов, так как в этих условиях легко подобрать
достаточное количество фактов, подтверждающих принятую гипотезу,
объясняя особенно заметные отклонения от нее шумовыми
эффектами ***.
* И. Н. Коваленко, в предисловии к книге [17, с. 5—6], говоря об
исследовании операций, пишет: «Как нам кажется, весьма частые ошибки и просчеты
возникают из-за неправильно выбранного критерия эффективности системы. Это в
свою очередь объясняется необоснованным перенесением на новые системы
методов, выработанных для других систем. Остановимся, например, на моделировании
систем массового обслуживания, отражающих процессы функционирования
многих современных сложных систем. Известно, что теория массового обслуживания
получила свое первоначальное развитие главным образом благодаря вопросам
телефонии, для которой наибольший интерес представлиет изучение
стационарного процесса загрузки телефонной станции. Буквально в последнее десятилетие
на первый план выдвинулись нестационарные задачи массового обслуживания.
Это произошло благодаря запросам такой дисциплины, как исследование
операций, имеющей дело главным образом с нестационарными, кратковременными
процессами. В то же время, составляя математическую модель той или иной операции,
зачастую заботятся по-прежнему о вычислении стационарных показателей, не
имеющих подчас даже физического смысла».
** Предположение о бессознательности носит рациональный характер, и
авторы знают, что бывают исключения; однако обсуждение таких; исключений более
уместно в книгах, посвященных проблемам иравственности (или лучше сказать
проблемам безнравственности).
*** П. Л. Капица вспоминал [43, с. 34]: «...Резерфорд хорошо знал, какая
опасность таится в необъективности интерпретации экспериментальных данных,
имеющих статистический характер, когда ученому хочется получить желаемый
результат. Обработку статистических данных он проводил очень осторожно; интере-
212
Еще одна распространенная причина появления неадекватных
моделей состоит в том, что может не учитываться влияние факторов,
которые по тем или иным причинам (например, из-за относительной
малости характеризующих их параметров) считаются
второстепенными, но на самом деле являются существенными, иногда
определяющими изучаемую характеристику. Один из примеров таких ошибок,
связанный с расчетом статически неопределимых систем, был
указан в п. 1. Другим простым примером может служить так
называемая система с 1/2 степенью свободы (см., например, [121, § 22]).
Именно, рассмотрим частицу пренебрежимо малой массы т = О,
движущейся под действием силы упругости — сх ъ вязкого
сопротивления — kx. Если задано состояние частицы при / = 0, то для
нахождения закона движения надо решить дифференциальное
уравнение
kx + сх = 0 (63)
(член тх отброшен, так как т = 0) при начальных условиях
х(0)= х0, i(0) = i0. (64)
Однако эти соотношения представляются противоречащими,
так как произвольно задаваемые значения (64) могут не
удовлетворить уравнению (63). Объяснение этого кажущегося противоречия
состоит в том, что на первом (релаксационном) этапе движения,
продолжительность которого имеет порядок Vtnlc, член тх вовсе
не мал и «дельта-слагаемое» в х обеспечивает быстрый переход х от
х0 до значения <— cxjk, удовлетворяющего соотношению (63); после
этого закон движения получается из дифференциального уравнения
(63) при единственном начальном условии х (0) = х0. Таким образом,
на первом этапе членом тх пренебрегать нельзя.
Приведем еще два подобных, несколько более сложных примера,
взятых из книги Ю. И. Неймарка [132, с. 56—67].
В качестве первого примера рассмотрим движение тормозной
колодки, удерживаемой жесткими пружинами и трущейся со
значительной силой о вращающееся колесо (рис. 19). Если пренебречь
массой колодки, то можно написать уравнение
kx — F (и — х); (65)
сен метод, который он применял. Счет сцннцилляций проводили обычно
студенты, которые не знали, в чем заключается опыт. Кривые по полученным точкам
проводили люди, которые не зналн, что должно было получиться. Насколько мне
помнится, Резерфорд и его ученики не сделали нн одного ошибочного открытия,
в то время как их было немало в других лабораториях».
Вообще, заметим, что получение и обработка статистических данных требуют
значительно большего внимания и навыков, чем это иногда себе представляют
недостаточно опытные исследователи. Не зря Р. Мизес приводит [182] шуточные
слова одного англичанина: «Существует три вида лжи: во-первых, ложь
вынужденная, которая извинительна, ложь низкая, для которой нет никакого извинения,
и статистика».
213
при этом примерный график зависимости силы трения F (и) от
относительной скорости и = v — х в случае наличия падающего
участка показан на рис. 20. Здесь единственной фазовой
координатой служит х. Однако если принять v Ф 0, v Ф ± их (см. рис. 20) и
начальное значение х0 ф 0, то, прослеживая за направлением
изменения хъ силу уравнения (65), мы приходим к противоречию.
Более подробное исследование показывает, что это противоречие
является результатом некорректности математической модели.
X Flu)
ЛЛ/2
Рис. 19.
Рис. 20.
Массой тормозной колодки пренебрегать нельзя; как бы ни была она
мала, силы инерции, возникающие при ее движении, становятся не
•малыми, а сравнимыми с силами трения и упругости и оказывают
существенное влияние на развитие процесса. Таким образом, надо
взамен (65) воспользоваться уравнением тх + kx = F (v — х) и
рассмотреть его решения при т -> 0. Это нетрудно сделать с
помощью фазовой плоскости х, х. Например, при 0 < v < ut в пределе
получается фактически наблюдаемое циклическое движение,
схематически показанное на рис. 20; при этом каждый цикл включает
в себя два скачкообразных изменения относительной скорости и от
0 до щ, и от их до 0 без изменения х в процессе этих скачков.
Другим примером служит центробежный фрикционный
регулятор скорости вращения, схематически изображенный на рис. 21,
идея которого состоит в стабилизации этой скорости за счет
увеличения при ее возрастании тормозящего момента трения шарика об
ограничительное кольцо К. Этот регулятор широко используется
в устройствах, не требующих большой точности в поддержании
постоянной скорости вращения. Однако стремление к увеличению этой
точности привело к неожиданному эффекту >— «качаниям» скорости
вращения, вызванным нарушением устойчивости режима вращения
с постоянной скоростью. При этом интересно, что наиболее
естественное казалось бы уравнение вращения регулятора
1а — М — А (со) — k (со) тгга?
(здесь h (ев) — момент сопротивления вращению всей системы без
учета регулятора; k (a>) — коэффициент трения шарика об ограни-
214
чительное кольцо, смысл остальных обозначений ясен из рис. 21)
ни при каком виде зависимостей h (со) и k (со) не имеет решений,
которым отвечают такие качания. По этому поводу Ю. И. Неймарк
пишет: «Таким образом, налицо недостаточная полнота математической
модели. Принятая излишне простая идеализированная модель не
может объяснить наблюдаемые явления, и поэтому необходимо
учесть еще что-то. Что же именно нужно учесть? Здесь очень
трудно дать общие рекомендации. В каждом по-настоящему новом случае
это требует интуитивной догадки, представляя собою некоторое
открытие. В рассматриваемом случае нужно учесть контактную
упругость между ограничительным
кольцом и шариком и ничтожные,
возможные благодаря этой упругости,
изменения угла Ф шарика
фрикционного центробежного
регулятора... Причиной столь
существенного влияния незначительных по
величине изменений угла #
является то, что вызываемые этими
незначительными движениями
изменения момента трения по углу <р Рис 21
вовсе не малые». В книге [132]
проводится исследование более полной модели, учитывающей
указанную упругость, на котором мы здесь не будем останавливаться;
это исследование позволяет проследить за возникновением
качаний со и установить условия устойчивости режима со = const.
3. Ошибки в выборе метода исследования. На таких ошибках
мы уже подробно останавливались в § II.2 в связи с вопросом о
выборе этого метода. Здесь мы сделаем только несколько общих
замечаний.
Одна из распространенных ошибок состоит в недостаточной
целеустремленности исследования. Это касается не только тех случаев,
когда исследователь не представляет себе четко, что он собирается
искать, но также случаев, когда такое представление имеется, но
движение к цели происходит слишком непрямым путем и при этом
добывается слишком много по существу не нужной информации. Еще
Лаплас отметил, что прр исследовании дождя можно поставить цель
найти траектории всех капель; но для вывода о том, что после
дождя трава будет мокрой, эта информация, говоря современным
языком, будет явно избыточной.
Трудность здесь состоит в том, что, образно говоря,
исследователь может искренне считать, что вычисление траекторий всех
капель необходимо для упомянутого вывода. В каком-то смысле
так это и есть: мы уже упоминали о том, что в подавляющем
большинстве исследований, в которых применяется математика, грубость
окончательного вывода («мост не разрушится», «тариф для такси
следует установить 10 копеек за километр» и т. д.) находится в
видимом противоречии с объемом и сложностью промежуточных
215
вычислений. Конечно, здесь дело в объективном отсутствии прямых
путей для получения таких выводов, так что в большинстве задач
избыточная информация неизбежна. Однако разные методы обладают
различной избыточной информацией, что необходимо учитывать при
оценке их сложности. Таким образом, мы приходим к довольно
очевидному, но важному выводу о том, что интуиция и опыт
исследователя должны подсказать ему, не является ли объем работы,
направленный на получение избыточной информации при принятом им
методе решения задачи, чрезмерным или просто неоправданным;
если же это так, то следует понытаться метод заменить.
В качестве другой распространенной ошибки укажем на
недостаточное внимание к доброкачественности исходных данных.
Самый точный, построенный с затратой большого труда численный
метод можно в значительной мере обесценить, если воспользоваться
неверными или известными с чрезмерно низкой точностью
исходными данными. Более того, если не обратить внимания на
недоброкачественность этих данных, то можно создать неправильное
представление об обоснованности вывода из этих вычислений, а когда
неправильность вывода будет обнаружена, метод может оказаться
незаслуженно опороченным *. Поэтому важно, чтобы предлагаемый
метод решения задачи был рассчитан на введение в него таких
данных, которые можно реально получить с нужной достоверностью
прочностью. Если получение точных исходных данных не
представляется возможным, то во многих случаях целесообразно
видоизменить метод получения количественных результатов, обычно
упростив его, чтобы труд, связанный с применением метода высокой
точности, не оказался неоправданным.
В связи со сказанным заметим, что, вообще, любой результат
прикладного математического исследования должен
восприниматься критически. В основе такого исследования всегда лежат те или
иные гипотезы, допущения, которые могут оказаться неверными;
даже если каждое допущение в отдельности представляется
приемлемым, то их сочетание из-за неблагоприятного стечения
обстоятельств может привести к ошибке. Поэтому модель может оказаться
неадекватной, а если и адекватной, то выбранный метод ее
изучения может оказаться неправильным и т. д.**
* Д. Хорафас [17,с.47], говоря о применении методов теории операций к
производству, упоминает о случае, когда «администрация фирмы настаивала на том,
чтобы математик приступал к исследованию, имея лишь устаревшие и
недостоверные данные. Все это основывалось на том мнении, что достаточно лишь
применить математические методы и весь производственный процесс станет прибыльным.
Бедная фирма!»
** По этому поводу X. Розеиброк и С. Стори пишут [99, с. 41 ], что математик
или склонный к математике инженер имеют тенденцию «...формулировать задачу
как систему постулатов. После этого они склонны придерживаться математических
следствий, уделяя большое внимание логике, но в то же время принимая
результаты некритично. Инженер, с другой стороны, должен отвергать подозрительный
ответ так же легко, как ои отверг бы подозрительное допущение. Если допущения
неверны, то ответ будет ошибочным, и аналогично, если ответ ошибочен, то
допущения (точнее, хотя бы одно из них.— Авт.) должны быть неверными».
216
4. Математические ошибки. Ошибки чисто математического
характера могут быть самыми разнообразными, и мы в предыдущих
параграфах приводили примеры таких ошибок, так что теперь мы
только выскажем несколько простых общих соображений.
Виды грубых математических ошибок необозримы. Нам
приходилось сталкиваться и с разложением разрывной функции в степенной
ряд, и с пропуском дельта-слагаемых при дифференцировании
разрывных функций, и с почленным дифференцированием неравенств,
и т. д. Какие-либо полезные рекомендации, за исключением
тривиальной'— овладевать теми областями математики, которые
приходится применять, а в сложных и сомнительных случаях обращаться
к специалистам,*— здесь дать затруднительно. Прикладное
математическое исследование в подавляющем большинстве случаев не
может и не должно по своей строгости находиться полностью на
уровне чистой математики, но из этого не следует, что исследователь
может допускать математические ошибки, приводящие к заведомо
неверным результатам *.
Математические ошибки могут возникать также из-за
недостаточной разработанности той или иной области математики в аспекте
ее приложений, так что условия возможности применяемых
переходов — упрощений, отбрасываний и т. п.— являются недостаточно
ясными. В результате может получиться, что исследователь
получает неправильное решение, искренне думая, что он упрощает или
даже уточняет его. Примером может служить теория
дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом на начальной стадии
ее применений. Так, для уравнения
л:' (t) = ax(t — т)
с запаздыванием т во времени одним из первых методов
приближенного исследования был предложен метод замены первой части по
формуле Тейлора:
x(t-T)^x(t) ?-x'(t) + ... +(-lf^rx(N)(t)
с тем, чтобы перейти к обычному дифференциальному уравнению.
При этом высказывалось мнение, что этот метод является тем более
точным, чем больше выбрать N. Однако позже было обнаружено,
что при N >■ I (а > 0) и при N >2 (а <; 0) этот метод приводит
к качественно неправильным результатам, если не принять
тщательных мер предосторожности. (Здесь ситуация аналогична той, кото-
* Приведем любопытный исторический пример. В эпоху Кавальери при
выводе метрических соотношений геометрии плоскую фигуру считали состоящей из
отрезков, а линию — из точек. Исходя из этого и рассматривая эллипс с
полуосями а, Ь как результат сжатия круга, получили формулы для площади эллипса
S = nab и для его длины L = я (а + Ь). Здесь первая формула верна, а вторая
ошибочна, что сразу ясно, если положить а = const, b ->- С; однако такой контроль
экстремальной ситуации (п. II. 1.9) типичен для более позднего периода.
Современная развитая методика действий с бесконечно малыми легко показывает, почему
в одном случае получился правильный, а в другом — неправильный результаты.
217
рая получается при рассмотренной в п. II. 1.6 замене уравнения
(22) на (23)). Таким образом, здесь кажущееся уточнение приводит
к качественным ошибкам. В подобной обстановке наиболее
целесообразным . представляется накопление интуиции с помощью
подробного разбора достаточного количества модельных примеров
(п. Н.2.11).
Особую роль играют ошибки в вычислительных схемах. Мы уже
говорили о том, что вычислительная схема для математической
модели имеет примерно такое же значение, как сама эта модель для
описываемого ею реального объекта. Поэтому, несмотря на
кажущуюся близость, схема может оказаться неадекватной модели —
оказаться неалгоритмичной, или не дающей возможности
вычислить искомое решение с приемлемой точностью, или неустойчивой
в вычислительном отношении и т. п. Для построения адекватной
вычислительной схемы требуются необходимые навыки, знания,
интуиция, а во многих случаях.— и хорошее понимание реальной
картины, описываемой изучаемой математической моделью. Кроме того,
различные адекватные вычислительные схемы для одной и той же
модели могут обладать существенно разной степенью
оптимальности, в частности, могут требовать существенно различных затрат
труда для достижения одинаковой точности *.
Большое количество неадекватных и адекватных
вычислительных схем самых разнообразных степеней оптимальности доставляет
практика решения краевых задач для уравнений с частными
производными. Это можно продемонстрировать уже на самых простых
задачах, например, на задаче о решении уравнения
4г + -§- = 0 (—оо<х<оо, 0<*<oo) (66)
при заданном начальном условии и|<=0 = <р (х) (— оо <; х < оо).
Исследование упрощается тем, что в данном случае легко написать
точное решение задачи: и = ф (х— t). Из этой формулы видно,
в частности, что если функция <р (х) отлична от нуля на оси столько
на интервале а < х < р\ показанном на рис. 22 штрих-пунктир-,
ной линией, то решение отлично от нуля только в области, которая
на рис. 22 заштрихована.
Будем строить приближенное решение задачи по методу сеток,
находя значения этого решения в узлах сетки, показанной на рис. 22,
для чего зададимся шагами h по оси х и т по оси t и перейдем от
точного уравнения (66) к приближенному
"/,*+!-«/* , «/ft-"/-l,ft п
т "г" h
т. е.
И/.fc+i = [} й~) "/* + Т" U'-Uk' (67)
* По поводу распространенных ошибок в вычислениях см. также [183].
218
где под Ujk понимается значение приближенного решения в узле
х = jh, t = kx. Уравнение (67) связывает значения этого решения
в любых трех соседних узлах, расположенных Друг относительно
друга так, как это показано на рис. 22. Кроме того, в силу
начального условия известны все значения uj0 = <p (jh). Это дает
возможность, полагая в (67) k — 0, подсчитать все значения %, затем,
пользуясь этими значениями и полагая в (67) k = 1, вычислить все
И/2 и т. д. Может Показаться, что какие бы мы h и k ни взяли, лишь
бы они были достаточно малыми, мы получим искомое решение с
Рис. 22.
хорошей точностью, поскольку сеточное уравнение (67) будет с
хорошей точностью аппроксимировать исходное уравнение (66).
Однако сравнение с приведенной выше формулой для точного
решения задачи сразу показывает, что это, вообще говоря, не так.
В самом деле, из формулы (67) видно, что значения щк будут
отличны от нуля только в узлах, заключенных внутри области,
ограниченной на рис. 22 штрих-пунктирной линией. Отсюда следует, что
если 4- = const > 1, то постоянное решение щк никак не может
аппроксимировать точное. Более подробное исследование
показывает, что при -г- <; 1 такая аппроксимация обеспечена. (Некоторое
сомнение вызывают углы, заключенные между заштрихованной
областью и областью, ограниченной штрих-пунктирной линией на
рис. 22; однако оказывается, что внутри этих углов значения щк
при достаточно малых h, k близки к нулю.) Исследование
устойчивости описанной вычислительной схемы (см., например, [184,
с. 134—135]) обнаруживает, что условием такой устойчивости также
служит неравенство -г- < 1, которое, таким образом, и определяет
адекватность схемы.
219
Взамен (67) можно было бы воспользоваться следующей
сеточной аппроксимацией уравнения (66):
ц/.Н-1 —"/* . "/-и-*~ "/ft = п
т "т" А '
т. е.
"/.*+! = (l + "FJ"/* 7Tui+l'k-
Алгоритм получился бы почти такой же, как описано выше. Однако
сравнение с точным решением показывает, что такая
вычислительная схема не дает аппроксимации этого решения ни при каком
соотношении шагов; кроме того, она оказывается всегда неустойчивой.
Конечно, в разобранном примере исследование весьма
упростилось из-за наличия точного решения, так что в приближенном
расчете, если бы речь шла только об этом примере, не было бы
необходимости; он был нужен нам только как образец. Ясно, что для
более сложных задач, когда формулы для точного решения
отсутствуют, легко можно попасть на неадекватную или неустойчивую
вычислительную схему. Поэтому вопросу выбора вычислительной
схемы должно быть уделено необходимое внимание.
Другим существенным вопросом является экономичность такой
схемы; этот вопрос особенно важен, если объем вычислений
достаточно велик, например, исчисляется часами работы ЭЦВМ.
Опытный вычислитель часто может с помощью казалось бы
непринципиальных изменений метода вычислений уменьшить машинное
время в несколько раз, а также предложить какой-либо иной, более
экономичный метод. Поспешная реализация вычислительного
метода, приводящего к большому объему вычислений, может оказаться
неоправданной.
§ 2. ПРОБЛЕМЫ ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ
1. Математическое образование инженера. Мы будем здесь
говорить, в основном, о проблемах обучения математике специалистов
в тех областях, где математика применяется; для определенности
остановимся наиболее подробно на курсе математики во втузах *,
хотя сказанное в полной мере относится к обучению физиков,
биологов и других специалистов.
* При этом мы используем материалы совместных выступлений Б. О. Соло-
ноуца и одного из авторов этой книги; см., в частности, [185—186]. Вопрос о
программе и стиле преподавания математики в средней школе очень велик, и мы
не имеем возможности даже бегло иа ием останавливаться. Однако мы ие можем
не сказать о том, что из двух аспектов математики — математика как логическая
структура и математика как орудие познания действительности — первому,
особенное старших классах, уделяется значительно больше внимания, чем второму.
Это, конечно, неправильно. Что касается преподавания математики в средних
специальных учебных заведениях, то ему свойственны те же недостатки, что и в
технических институтах, даже, пожалуй, в еще большей степени. Таким образом,
и здесь необходима серьезная перестройка.
220
Существующие программа и стиль преподавания курса
математики во втузах сложились около 50 лет назад под влиянием
классической математики XVIII в. (с ее вниманием к формальным
преобразованиям и точным решениям) и известных работ XIX в.,
посвященных обоснованию математического анализа. Круг идей и методов,
лежащих в основе приложений математики и проникших в этот,
передовой для своего времени, курс, довольно узок, он во многих
местах является упрощенной копией университетского курса,
рассчитанного на «чистых» математиков.
Во многих втузах и в курсах математики основное внимание
уделяется вопросам обоснования (на «кусочно-дедуктивном» уровне,
поскольку полностью дедуктивное изложение, к счастью,
осуществить не удается) относительно бедного аппарата и формальным
приемам решения узких классов задач.
В результате курс является неоправданно усложненным,
перегруженным «неработающим» материалом и в то же время бедным по
содержанию. Он почти не учитывает современных тенденций в
прикладной математике, в частности, связанных с развитием методов,
имеющих широкую и актуальную в прикладном плане область
приложения, со значительным расширением набора таких методов,
с вниманием к алгоритмам и ЭЦВМ.
Преподаватели математики во втузе, воспитанные в традициях
чистой математики, совершенствуя курс, *асто совсем не заботятся
о том, как он будет «работать» в дальнейшем. Многие идейно и
методически важные для приложений вопросы не рассматриваются из-за
трудности их «строгого» изложения; многие основные понятия
(даже такие, как предельный переход, интеграл и т. п.) преподаются
не так, как они в дальнейшем применяются; взамен убедительного
для учащегося объяснения причин математических фактов стремятся
к формальной строгости, которая все равно не достигается *.
Поэтому студент, переходя от курса математики к другим
общенаучным, общеинженерным и специальным дисциплинам, к
изучению специальной литературы, а позже— к практической
деятельности, вынужден радикально переучиваться, полностью перестраивая
свою «математическую психологию». Эта перестройка происходит
* Л. де Бройль: «Всего лишь тридцать лет тому назад и физик и инженер
могли превосходно обходиться знанием классических результатов
дифференциального и интегрального исчисления. Но в наши дни, когда изучение новых
теорий все чаще требует владения весьма разнообразным математическим аппаратом,
физик и инженер должны знать многочисленные и часто недавно разработанные
разделы математики, например, тензорный анализ, матричный анализ,
символическое исчисление Хевисайда, теорию собственных значений, подчас даже теорию
интегральных уравнений и теорию групп. Однако преподавание математики в
институтах и высших школах до сих пор недостаточно приспособлено к новым
потребностям в аналитических знаниях тех, кто интересуется приложениями.
Более того, сама манера изложения лекции и книг по математическому
анализу, авторами которых в большинстве случаев бывают профессиональные
математики, не совсем подходит физику и инженеру, для которых различные
тонкости в доказательствах значат довольно мало, а решающее значение имеет знание
различных математических методов, применяемых на практике».
221
чаще всего стихийно, без необходимого руководства и приводит
к тому, как мы уже говорили во Введении, что одни инженеры
(«переперестроившиеся») избегают математику там, где она была бы
эффективна, или вульгаризуют ее, заменяя «террор дедукции» на
«разгул правдоподобия», тогда как другие («недоперестроившиеся»)
возводят ее в фетиш, выписывая сложные уравнения и пытаясь
проводить дедуктивные рассуждения там, где без этого можно обойтись.
Этот разрыв между преподаваемой «ортодоксальной» и
«работающей» математикой сейчас широко обсуждается. Порой он
приводит к тому, что важные разделы математики поручают преподавать
специалистам, не имеющим необходимой математической
подготовки, и преподавание приобретает рецептурный характер.
По нашему мнению, этот разрыв является объективным
отражением рассмотренного в § 1.2 существенного различия в подходах
чистой и прикладной математики, которое не учитывается должным
образом. Времена «абстрактных» курсов математики,
предназначенных в равной мере для чистых математиков, прикладников и
преподавателей средней школы, безвозвратно прошли *. Курс
математики для инженеров сейчас не может не учитывать современного
интенсивного развития разветвленной системы идей, понятий и
методов, лежащих в основе приложений математики. Таким образом,
он должен быть курсом прикладной математики. Конечно, не
утилитарным и рецептурным, а включающим в себя и необходимые
основные теоретические концепции, трактуемые с позиций прикладной
математики.
Таким образом, мы считаем, что основные цели преподавания
математики во втузе:
— сообщить студентам теоретические сведения, необходимые
для изучения общенаучных, общеинженерных и специальных
дисциплин и последующего приложения математики, и обучить их
соответствующему математическому аппарату;
■— воспитать у студентов прикладную математическую
культуру, необходимые интуицию и эрудицию в вопросах приложения
математики;
>— развить логическое и алгоритмическое мышление;
■— ознакомить студентов с ролью математики в современной
жизни и особенно в современной технике, с характерными чертами
математического метода изучения реальных задач;
■— выработать первичные навыки математического исследования
прикладных вопросов: навыки перевода реальной задачи на
адекватный математический язык, выбора оптимального метода ее
исследования, интерпретации результата исследования и оценки его точности;
* В качестве курьеза вспоминается случай, когда рецензент нового учебного
пособия по математике для втузов, желая похвалить автора, написал, что это
пособие можно в равной мере использовать в пединститутах. Однако такая
«похвала», по нашему мнению, указывает не существенную слабую сторону пособия,
так как направленность курса математики в пединститутах и во втузах должна
быть различной!
222
<— выработать навыки доведения решения задачи до
практически приемлемого результата — числа, графика, точного
качественного вывода и т. п. с применением для этого адекватных
вычислительных средств, а также таблиц и справочников;
•— выработать умение самостоятельно разбираться в
математическом аппарате, содержащемся в литературе, связанной со
специальностью студента.
Содержание курса математики должно быть достаточно широким
Ti глубоким для эффективного решения задач по специальности.
Поэтому необходимо систематически приводить в соответствие
программу и характер этого курса с непрерывно развивающимися
тенденциями в приложениях математики. (При этом, говоря о
приложениях математики, мы имеем в виду не набор узких рецептов, а всю
систему математического мышления, совокупность математических
идей, понятий и методов, на которых базируется специальность
студента и инженера.) Конечно, такая перестройка должна проходить
постепенно, с учетом имеющихся возможностей и без нарушения
преемственности; она должна исходить из глубокого знания того,
как математика применяется (и прогнозирования перспектив
этого) в специальности института, факультета, даже того потока, на
котором ведется преподавание *.
Особо нужно сказать о специальностях типа «ннженер-мате-
матик» с усиленной математической подготовкой. Естественно,
что те преподаватели, которые не видят существенной специфики
втузовского курса математики, считая его лишь по необходимости
сокращенным академическим курсом, часто используют
добавочные возможности на дальнейшее развитие курса в направлении
отрыва от приложений (дальнейшее усиление чистоматематического
подхода, о котором говорилось в § 1.2, добавление потерявших
актуальность для приложений разделов и частных приемов и т. п.).
Порой представители этих специальностей с гордостью говорят:
«У нас такие-то разделы курса математики излагаются, как на
математическом факультете университета». Однако эта гордость
основана на глубоком заблуждении! Как мы уже много раз говорили,
прикладная математика не есть упрощенный вариант чистой
математики, вторая не есть высшая ступень по сравнению с первой. Это
различные аспекты математики, в каждом из них имеются свои
глубокие идеи, во многом взаимодействующие и порой даже
идентичные, но во многом и существенно различные. Более того, во
многих отношениях прикладная математика сложнее чистой, так как
(наряду с глубокой теоретической подготовкой) требует большей
эрудиции, прикладного чутья, владения не только дедуктивным,
но и рациональным мышлением и т. д.**
* О специфике преподавания математики для нематематических
специальностей см. также [187—191].
** В частности, поэтому в чистой математике проще начать заниматься
самостоятельной научной работой, чем в прикладной, что служит существенным
стимулом для молодых людей. Успех в этой области побуждает к дальнейшему углуб-
223
Опасность подобной перестройки курса математики для физиков
хорошо понимал Л. Д. Ландау. В журнале «Наука и жизнь»
опубликован его отзыв [192] о программах по математике в одном из
физических вузов. Этот отзыв (впрочем, кое в чем. полемически
заостренный) поучительно привести полностью: «К сожалению,
Ваши программы страдают теми же недостатками, какими обычно
страдают программы по математике, превращающие изучение
математики физиками наполовину в утомительную трату времени. При
всей важности математики для физиков, физики, как известно,
нуждаются в считающей аналитической математике; математики же,
по не понятной мне причине, подсовывают нам в качестве
принудительного ассортимента логические упражнения. В данной программе
это прямо подчеркнуто в виде особого примечания в начале
программы. Мне кажется, что давно пора обучать физиков тому, что они сами
считают нужным для себя, а не спасать их души вопреки их
собственному желанию. Мне не хочется дискутировать с достойной
средневековой схоластики мыслью, что путем изучения ненужных им
вещей люди будто бы научаются логически мыслить. Я
категорически считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть
полностью изгнаны всякие теоремы существования, слишком
строгие доказательства и т. п. Поэтому я не буду отдельно
останавливаться на многочисленных пунктах Вашей программы, резко
противоречащих этой точке зрения. Сделаю только некоторые
дополнительные замечания.
Векторный анализ расположен в программе между кратными
интегралами. Я не имею чего-либо против такого сочетания, однако
надеюсь, что оно не идет в ущерб крайне необходимому формальному
знанию формул векторного анализа.
Программа по рядам особенно перегружена ненужными вещами,
в которых тонут те немногие полезные сведения, которые
совершенно необходимо знать о ряде и интеграле Фурье.
Курс так называемой математической физики я бы считал
правильным сделать факультативным. Нельзя требовать от физиков-
экспериментаторов умения владеть этими вещами.
Необходимость в курсе теории вероятностей довольно
сомнительна. Физики и без того излагают то, что им нужно, в курсах
квантовой механики и статистической физики *.
Таким образом, я считаю, что преподавание математики
нуждается в серьезнейшей реформе. Те, кто возьмется за это важное и
трудное дело, заслужат искреннюю благодарность как уже готовых
физиков, так и в особенности многочисленных будущих поколений».
лению и специализации — и вот уже перед нами убежденный чистый
математик.
* Несколько слов относительно замечаний, содержащихся в двух последних
абзацах. По-видимому, традиционная постановка преподавания математической
физики и теории вероятностей была настолько скомпроментирована в глазах
Ландау, что он вообще потерял веру в то, что сами математики могут исправить
положение.
224
По свидетельству Е. М. Лифшица [193, с. 4321, Л. Д. Ландау
строил «планы составления таких учебников по математике для
физиков, которые должны были быть «руководством к действию»,
обучать практическому применению математики к физике и должны
были быть освобождены от излишних для такого курса строгостей
и сложностей. Приступить к осуществлению этой программы он
не успел» *.
2. Воспитание математической интуиции. Основные черты
математически образованного инженера включают в себя правильную
математическую интуицию, навыки в доведении реальных
математических задач до приемлемых результатов и умение разобраться
в математическом аппарате, содержащемся в литературе по его
специальности**. Правильная математическая интуиция инженера
должна помочь ему перевести техническую задачу на адекватный
математический язык, понять, какие математический аппарат и путь
(по возможности оптимальный) можно выбрать для исследования
и решения полученной математической задачи, чего от нее можно
ожидать, какие могут быть осложнения н т. п. Все эти действия
производятся, как правило, на уровне рациональных рассуждений
(§ 1.3); в частности, надо принимать во внимание только реально
возникающие осложнения, а не те, которые только можно
формально придумать, если специально задаться такой целью. Таким
образом, правильная интуиция требует умения видеть «грубое»
содержание математических идей, понятий, методов и утЕерждений,
понимать связи понятий, роль типичных и особенных случаев и т. п.
Приведем пример. Пусть п вещественных величин надо
определить из системы связывающих их конечных уравнений, которые
* Приведем еще один интересный отрывок из этой статьи [193, с. 436]:
«Научному стилю Л. Д. была противна тенденция — к сожалению, довольно
распространенная —превращать простые вещи в сложные (часто аргументируемая общностью
и строгостью, которые, однако, обычно оказываются иллюзорными)».
Примечательное высказывание, относящееся к обсуждаемому вопросу,
содержится в предисловии к известной книге Дж. Займана [194, с. 9]:
«Чрезмерная математическая абстракция свела бы на нет мои намерения. Нет ничего более
отталкивающего для нормального человека, чем клиническая последовательность
определений, аксиом и теорем, порождаемая трудами чистых математиков.
Логическая строгость, достигаемая подобными исследованиями, чрезвычайно ценна,
но она едва ли может появиться прежде, чем мы ухватили саму идею. Геометрия
существовала до Евклида, анализ — до Коши, а смысл неприводимых
представлений группы можно понять и без доказательства леммы Шура в самой общей ее
формулировке. Я попытался дать связный математический вывод важных
результатов, избегая делать утверждения, которые могли бы оказаться неверными.
(Конечно, здесь не имеются в виду искусственные противоречащие примеры,
допускаемые чистой математикой.— Авт.) Однако в том, что касается сопутствующих
вопросов строгости, существования и исключений, я рекомендую читателю
обратиться к оригинальным трудам. Если вы не понимаете или не верите тому, что я пишу
по тому или иному вопросу, яе принимайте всю вииу иа себя, а попытайтесь
отыскать истину где-либо в другом месте».
** Весьма небольшая доля инженеров занимается также изучением и
доказательством теорем на уровне чистой математики; такие инженеры близки к
математикам — специалистам в области приложений математики, о которых мы ие-
мвого скажем в п. 6.
15 6-20
225
должны удовлетворяться практически точно. Тогда правильно
воспитанная интуиция инженера должна требовать, чтобы система
уравнений была замкнутой (п. II. 1.9), т. е. содержала ровно п и притом
независимых уравнений. При этом, если уравнения линейные, то
система будет иметь ровно одно решение, хотя при его построении
может возникнуть осложнение в случае плохой обусловленности
системы. Если уравнения нелинейные, то система может иметь более
одного решения, так что мы можем получить не то решение, которое
нам нужно (а если существование решения не вытекает из самой
постановки ,задачи, то надо считаться еще с возможностью, что ве-
щестЕенное решение отсутствует); при этом для не малого п найти
решение практически довольно сложно. Если система содержит
параметр, то при непрерывном его изменении все решения меняются
непрерывно, однако при определенных критических значениях
этого параметра решение может уйти на бесконечность, или прийти из
бесконечности, или слиться с другим решением и стать мнимым и т. д.
Все эти грубые, качественные утверждения, которые легко
подробно разобрать на простых примерах, с точки зрения чистой
математика нуждаются в многочисленных оговорках и допускают
разнообразные исключения. Однако именно эти утЕвождения должен
иметь в виду прикладник, приступая к задачам рассматриваемого
типа; при этом, конечно, если ему придется столкнуться с особо
тонким случаем, он может обратиться к специальной литературе
или проконсультироваться у математика.
Для выяснения грубого содержания утверждений, которое в
основном и служит источником правильной математической интуиции
прикладника, особо велика роль наглядности обучения, а также
подробного разбора поучительных примеров и частных случаев.
Большое значение имеет также ясная мотивировка введения
новых понятий и методол, которую надо, как и обсуждение результатов,
проводить по возможности часто. Сами эти понятия, учитывая
психологический закон импринтинга («впечатывания»), следует
вводить так, чтобы с самого начала (или, если это не удается, то по
возможности раньше) выявлять их грубое содержание и прикладное
значение. Общность формулировок, широта предположений в курсе
математики для прикладников не являются самоцелью, они также
должны быть подчинены задаче воспитания правильной интуиции
и потому отвечать действительной необходимости.
Конечно, воспитание правильной интуиции не должно
противоречить усвоению основ математики и развитию логического
мышления. Однако последнее вовсе не означает акцентирования
внимания на теории пределов и других сходных вопросах, как иногда
полагают. Логическое мышление можно развивать и на материале,
имеющем гораздо большее прикладное значение.
3. Методы рассуждения. Воспитание привычки думать * и уме-
* Ч. Бэббедж [195, с. 52]: «Заставить человека думать — это значит сделать
для него значительно больше, чем снабдить его определенным количеством
инструкций».
226
ния правильно рассуждать (причем, не только при решении задач
математического характера) — одна из важнейших целей курса
математики.
Специфика прикладной математики, как мы не раз говорили,
состоит в том, что в ней не меньшее значение, чем дедуктивные,
имеют рациональные рассуждения. Последние включают первые
как предельный случай и потому составляют в некотором смысле
более высокую ступень, но в то же время более трудны для
усвоения. Поэтому вводить методы рациональных рассуждений нужно
постепенно, тактично, исходя из достаточно прочных (но не
чрезмерных!) дедуктивных, порой формальных основ, подробно
разъясняя на примерах смысл практической сходимости, практической
достоверности, проверки в типичных условиях и других действий в
случаях, когда применение «точных» теорем невозможно или
нецелесообразно.
Необходимо подчеркивать, что конечной целью прикладного
математического исследования является не создание абстрактной
логической схемы, а эффективное решение вопроса, лежащего за
пределами математики. Поэтому ни в коем случае не следует
стыдиться рациональных рассуждений, считать их неполноценными:
все"методы существенного приближения к истине — это методы
первого сорта*.
В то же время надо показывать, к каким реальным ошибкам
может привести слишком вольное обращение с математическими
понятиями, подчеркивать роль прикладной математической культуры и
опасность вульгаризации.
Естественно, что в результате на начальной стадии обучения
(а также в некоторых специфических областях, таких, например,
как линейная алгебра) удельный вес дедуктивных рассуждений
будет сравнительно высоким. Однако и здесь наглядность изложения,
сосредоточение внимания на главном, объяснение неформального
смысла понятий подготавливают последующее введение
рациональных рассуждений.
С другой стороны, отметим, что, по нашему мнению, довольно
распространенная концентрация внимания на теории пределов и
других аналогичных вопросах играет на этом этапе отрицательную
роль, она может только, по выражению Д. Пойа [56, с. 321]:
«создать у учащихся впечатление, что математика занимается тем, что
весьма неочевидным путем доказывает совершенно очевидные
вещи» **.
* «Правда — настолько великая вещь, что мы не должны пренебрегать ничем,
что ведет к ией» (Монтень).
** Д. Пойа говорит об этом в связи с обучением в средней школе, ио это
полиостью относится и к обучению инженеров, для которых математика ие является
основной специальностью и самоцелью. Вот еще интересные его высказывания:
«Прежде всего учащийся должен быть убежден, что доказательства заслуживают
того, чтобы их изучали, что они необходимы и интересны. В судебном
разбирательстве, например, доказательства необходимы. Подозревают, что обвиняемый
виновен, ио это — только подозрение, твердой уверенности в этом нет. Виновен
15*
227
Уже в классических разделах трактовка понятий должна
приближаться к той, которая дается в прикладной математике
(конечно, для этого преподаватели математики должны иметь достаточное
представление о прикладном взгляде на математические сущности).
Например, надо чаще выдвигать и иллюстрировать тезисы, что
интеграл — это сумма большого числа малых слагаемых;
дифференциал — это элемент, бесконечно малое приращение переменной
величины; дельта-функция — это функция с локализованным
значением и т. п. Следует по возможности чаще употреблять эти термины,
приучать студентов правильно с ними манипулировать, так как их
вульгаризация может привести к ошибкам. Неправильно изучать
в курсе математики «чистые» понятия интеграла и дифференциала,
а в специальных дисциплинах обнаруживать, что интеграл — это
сумма, дифференциал — приращение и т. д.
Важными и порой вызывающими жаркие дискуссии среди
преподавателей являются вопросы о выборе уровня строгости изложения,
и в частности о формальной полноте формулировок и доказательств.
Мы уже не раз подчеркивали, что нет и не может быть абсолютных
понятий строгости, доказательности; эти понятия зависят от цели
исследования и от «фона», в частности в чистой и в прикладной
математике (даже в различных ее областях) они не одинаковы и
преподавание не может этого не учитывать. Доказательство есть
убедительное объяснение причины факта, но убедительность для
прикладника и специалиста-математика не одно и то же!* Подобным
образом строгость — это набор средств для того, чтобы избежать
ошибки в реальных ситуациях, но понятия ошибки и реальной
ситуации в чистой и прикладной математике также различны.
Иногда считают, что если доказательство на уровне чистой
математики недоступно студентам, то соответствующие факты надо
приводить без доказательства и даже без объяснений; мы не
согласны с этим. Нам кажется, что почти нет таких полезных
математических фактов, которые нельзя было бы объяснить убедительно для
прикладника. Отметим при этом, что формально полное доказатель-
обвиняемый на самом деле или иет — это еще надо доказать. Цель
юридического доказательства состоит в том, чтобы устранить сомнени я,—
но именно такова и самая очевидная и самая естественная цель математического
. доказательства... Только математику-профессионалу, ио никак не ребенку
школьного возраста (и не прикладнику.— Авт.), может доставить удовольствие
формальное обоснование каждого шага длинной цепочки рассуждений» [56,с.321].
* Рассказывают, что какого профессор математики (кажетсн, это был Далам-
бер) безуспешно пытался довести до понимания одного нз своих знатных учеников
Доказательство некой теоремы. Придя в отчаяние от тщетности попыток,
профессор, наконец, воскликнул: «Честное слово, эта теорема верна!». Реакция
благородного ученика была мгновенной: «О, сударь, этого совершенно достаточно!
Вы дворянин и я дворянин и Ваше честное слово — лучшее из доказательств...».
Вот насколько широко может трактоваться понятие доказательности!
Конечно, авторы понимают (честное слово!), что довод профессора далеко
выходит за разумные рамки рациональных рассуждений. Однако'«принцип доверия»
не так уж плох н мы постоянно опираемся на него в науке и в обыденной жизни,
когда имеем дело со справочниками, театральными афишами, обозначениями мест
общественного пользования и т. п.
228
ство, убедительное для чистого математика, далеко не всегда
убедительно для прикладника *.
Таким образом, и доказательства (которые, конечно,
необходимы!) следует выбирать такими, чтобы они правильно воспитывали
прикладную математическую интуицию, наиболее убедительно на
выбранном урозне изложения демонстрируя причину и
взаимосвязи фактов. Приведем простой пример. В преподавании хорошо
известны два вывода формулы замены переменных в кратных
интегралах: один, основанный на применении формулы Грина,—
логически более совершенный, но совсем не наглядный, и другой,—
основанный на преобразовании бесконечно малого параллелепипеда,—
логически менее совершенный, но наглядно демонстрирующий
причину появления коэффициента искажения объемов. Для нас нет
сомнения, что в курсе для прикладников предпочтительнее второй
вывод. >
Вот еще один, совсем простой пример. Вычислим производную
dr
-jr- модуля радиуса-вектора г по некоторому заданному
направлению /. Формальный строгий вывод: выберем оси координат так,
чтобы / совпало с направлением оси X; тогда
4т = s— V*2 + у2 + г2 — =- — cos (г, X) = cos (г, /).
dl ОХ | » I ух2 _j_ yi _|_ г2 \ > / v /
Нестрогий, но наглядный вывод, показывающий, откуда здесь н а
самом деле получается косинус, показан на рис. 23. Неплохо,
* Хорошо известным примером может служить следующий вывод формулы
Тейлора для п + 1 раз дифференцируемой функции / («) (а < х < о + Л).
Рассмотрим вспомогательную функцию
п ,k
.f (х) =/(*) — Y Г (а) [{х _ a)k - hk~n~l (x - й)п+1] -
•"-J k!
fc=0
—/ (a + A) A-"-1 (x — a)"+1.
Так как F (a) = F (a + A) = 0, то по теореме Ролля F' (хг) = 0 для некоторого
xlt a < xL < а + А; но и F' (а) = 0, т. е. F" (xj = 0, а < хг < xlt и т. д. В конце
получаем, что fw (a) = F(n) (xn) = 0, а потому Fn+l (с) = 0, где a < с < xn <:
< a + А. Однако
n (k
/■<"+» (x) = f"+V (x) + (n + 1) I V г <a) A*-"""1 — (n + 1)! / (a + A) A"""1
■^-J ft!
£=0
и потому из равенства Fn+1 (с) = 0 мы легко приходим к формуле
f(a + h)~y f[k)(a) hk + fn+l40 hn+i (a<c<a + h).
Этот вывод, конечно, совершенно ие показывает причину действия формулы
Тейлора, оставляет впечатление случайности подбора коэффициентов в ней и потому
у всех прикладнииов вызывает естественное чувство неудовлетворенности.
229
если инженер владеет первым выводом, но вторым он должен
владеть обязательно.
Пример вульгаризации, приводящей к ошибке: рассмотрим
ньютонов потенциал
Fix и j-fff /«-л, D^itf
Ч-С-О*
-Ш-
/g. л. D^tyg
Рис. 23.
где функция / достаточно быстро убывает на бесконечности.
Вычислим лапласиан
Формальное вычисление показывает, что
V2[—)= 0 (это стандартный пример
гармонической функции в пространстве). Отсюда,
казалось бы, и v2 F чт°. конечно, неверно.
Здесь ошибка (грубая на прикладном
уровне!) совершена при дифференцировании
разрывной функции. Простые соображения
векторного анализа показывают, что надо писать
V2(-f) = -4tt6(*-|)6(i/-Ti)8(2-g,
откуда правильное вычисление дает
VV=-4«JJJ/(g,Ti,0e(Jf-|)e(»-Ti)e(z-0dsdfidC=i
= — 4nf(x, у, г).
Осложнения, возникающие при дифференцировании разрывной
функции, можно увидеть, продифференцировав функцию
оо
^(4= J f®e(x-t)d&
—оо
где функция / достаточно быстро затухает на бесконечности, а е —
единичная функция (п. 1.2.6).
Приведем некоторые высказывания, относящиеся к стилю и уровню строгости
преподавания математики для прикладников. Г. Арфкен [196, с.5]: «Язык
математики и методы этой науки... имеют свою красоту и изящество. К сожалению,
эту красоту способен увидеть не каждый: ее в полной мере может оценить знаток,
тогда как для начинающего она остается незамеченной. Поэтому, стараясь,
насколько это возможно, обратить внимание именно на внутреннюю стройность и
изящество математических выкладок, автору приходилось намеренно жертвовать
ими с тем, чтобы изложение приобрело большую гибкость и ясность именно для
студентов.
То же самое можно сказать и о математической строгости. Автор не ставил
перед собой цели довести логику и строгость изложения до такого уровня,
который затруднял бы практическое использование математического аппарата. В кни-
230
ге везде приводятся объяснения вводимым ограничением и делаются
предупреждения против слепого и неосмысленного применения математических формул».
В [196, с. 6], говоря о важности показа взаимосвязи математики с
теоретическими и прикладными науками, автор пишет: «Например, в главе о
дифференциальных уравнениях основной упор делается не на ряд абстрактных и
сравнительно малопонятных доказательств, которые для непосвященного имеют характер
математических головоломок, а на решения и общие свойства этих уравнений, с
которыми студенты чаще всего сталкиваются на практике».
К. Ланцош [33, с. 12]: «... математические формулы за своей как бы
бесплотной внешностью имеют еще «внутреннюю интимную жизнь». Выявить эту
«внутреннюю жизнь» математических отношений порой путем повествовательного
отступления не кажется ему (автору.— Авт.) профанацией священного ритуала
формального анализа, а просто попыткой достичь более полного понимания. Читатель,
которому приходится пробираться в лабиринте «лемм», «следствий» и «теорем»,
легко может заблудиться в формальных деталях в ущерб существенным элементам
полученных результатов. Сосредоточив свое внимание на основных моментах,
ои выигрывает в глубине, хотя и может потерять в подробностях. Эта потеря,
однако, ие серьезна...».
X. Розенброк и С. Стори [99, с. 15]: «... многие тривиальные положения теории
могут быть исключительно важными на практике. Мы попытались указать на
возможные «ловушки», оставив инженеру право побродить по всей «стране».
Альтернатива — создание изгороди строгости вокруг того, что точно известно,—
не прельщает нас, так как большая часть интересной «страны» находится по
другую сторону».
«Мы ие против математической строгости и, признавая, что математика имеет
свои собственные внутренние законы развития, возражаем против такой позиции,
которая концентрирует внимание на математических тонкостях, возникающих при
постановке задачи и несущественных в определенном смысле, и в то же время
игнорирует действительные трудности.
В итоге мы стремились к идеалу, который так хорошо описал Био: «... ясность,
простота, интуитивное понимание, непретенциозная глубина, избегание всего того,
что не относится к делу»» [99, с. 17].
О строгости и роли интуиции в преподавании см. также [197].
4. Отыскание приемлемых решений. Мы уже упоминали о том,
что математически образованный инженер должен обладать
навыками доведения задач до практически приемлемого результата — до
числа, графика, точного качественного вывода (такими выводами
могут оказаться описание влияния на решение задачи входящих в
нее параметров, заключение об устойчивости и т. п.). Идея
получения приемлемого результата на основе приближенных, численных
и качественных методов должна пронизывать весь курс математики
во втузе. Студент должен учиться мыслить алгоритмически, т. е.
представлять себе, какие имеются способы доведения решения до
конца, какие трудности при этом могут встретиться, прикинуть,
каким будет объем вычислительной работы и какой способ является
более рациональным и т. п. По этой причине нам, в частности,
представляется небезопасным довольно распространенное выделение
всех вычислительных вопросов в отдельный раздел курса
математики: такое выделение может существенно понизить идею алгорит-
мичности во всех остальных разделах курса, которые оказываются
как бы противопоставленными вычислениям и тем самым
обескровленными в прикладном отношении.
При этом не следует преувеличивать значение конкретных
рецептов и специальных приемов решения задач (тем более, задач, не
231
имеющих сейчас уже большого значения). Этих рецептов весьма
много, и они непрерывно обновляются. Гораздо важнее на
продуманной системе примеров демонстрировать глубокие общие идеи,
лежащие в основе доведения решения задач различных важных
классов до конца, показывать общие методы, имеющие широкую область
применения (например, метод итераций, метод малого параметра,
применение различных разложений, конечных разностей и т. д.)*.
В связи со сказанным хочется отметить, вообще, важность
тщательного отбора информации в курсе математики. Каждое понятие,
каждое утверждение следует приводить, только если есть
уверенность в их необходимости. (По остроумному высказыванию Д. К. Фад-
деева, в отличие от известного юридического принципа, здесь
должна приниматься «презумпция виновности».) Не будет беды, если
отдельные математические понятия и утверждения, не входящие
органически в курс математики, будут сообщаться (конечно
квалифицированно!) в специальных дисциплинах по мере необходимости.
Инженер должен уметь из различных вычислительных и
вспомогательных средств выбрать те, которые наиболее подходят к
решаемой им задаче. Чтобы достичь этого, надо при обучении
существенно чаще, чем это сейчас делается, пользоваться (в том числе, и на
экзаменах!) таблицами и справочниками, «ручным» счетом,
логарифмической линейкой, электрическим арифмометром; не следует
думать, что в связи с появлением ЭЦВМ значение более простых
вычислительных средств для инженера уменьшилось.
Необходимо как можно раньше знакомить, хотя бы не очень
детально, студентов с программированием на ЭЦВМ на базе одного
из универсальных алгоритмических языков (АЛГОЛ, ФОРТРАН
и т. п.). Внедрению ЭЦВМ до сих пор препятствуют как
психологический барьер (боязнь обратиться к машине), так и непонимание их
возможностей. Поэтому желательно на протяжении всего курса
математики тренировать студентов в написании простых программ и
хотя бы несколько раз осуществить реальный выход каждого студента
на машину через посредство оператора. Идея возможности
обращения к ЭЦВМ должна наложить отпечаток на весь курс математики
для инженеров. Инженер не обязан быть программистом, но он
должен уметь пользоваться ЭЦВМ как орудием своего повседневного
труда **.
К сожалению, распространенный сейчас стиль изучения многих
разделов курса математики во втузах далек от идеи получения
* Р. Хемминг [1, с. 94]: «Принимая во внимание огромное количество
имеющихся теперь знаний, лучше применять один общий метод, до некоторой степени
непроизводительный, чем изучать множество специальных трюков».
** Р. Хемминг [1, с. 397]: «Если ставится цель понять физическое явление,
то автор задачи должен понимать и следить за вычислениями. Это не значит, что он
должен выполнять всю мелкую работу, ко если он не будет в достаточной степени
понимать все, что делает машина, то он вряд ли сумеет извлечь из машины
максимум пользы, а также понять смысл даже правильно построенных
вычислений».
232
приемлемого решения. Типичным примером может служить теория
рядов, где основное внимание, в том числе и на практических
занятиях, уделяется выяснению сходимости рядов с общим членом
сложной аналитической структуры, весьма редко встречающихся в
реальных задачах; вопросы же, имеющие несравненно большее
практическое значение, такие, как оценка скорости сходимости, методы
ускорения сходимости, методы приближенного подсчета суммы ряда
и т. п., при этом остаются в стороне.
В качестве характерного примера того, насколько во втузовском
курсе математики укоренилась традиция не доводить решение до
числа, укажем, что при вычислении определенных интегралов
типичной формой ответа является, скажем,
тгагс1§4 + 1г1пт-<
тогда как для инженера окончательным ответом должно, как
правило, служить 0,338.
Необходимо также отметить, что наряду с вычислительными
навыками следует развивать навыки получения приближенных
формул, а также качественного анализа задачи, качественного
выяснения характера решения.
5. О формальных выкладках и упражнениях. Конечно,
определенные навыки формальных выкладок для студента втуза
необходимы. Например, он должен уверенно вычислять производные,
простые интегралы, уметь интегрировать дифференциальные
уравнения известных простых типов. Однако в целом тренировка в
формальных выкладках не должна занимать такого большого места, как
это сейчас часто бывает. Особенно это относится к практическим заня-
иям (зачастую определяющим направление самостоятельной работы
студентов): если на лекциях общим идеям и методам уделяется
некоторое внимание, то на практических занятиях, в домашних
заданиях основное внимание уделяется нескольким традиционным
формальным классам задач, в значительной мере потерявшим сейчас
свсе значение.
Во* время зачетов и даже экзаменов роль формальных навыков
также преувеличена. Так, на экзамене за первый семестр порой
решающим оказывается умение автоматически дифференцировать
искусственно усложненные функции, которые не только заведомо
не могут встретиться в приложениях, но и всем своим видом
противоречат воспитанию правильного прикладного математического
вкуса. Во втором семестре аналогичную роль играют «рационализация»
интегралов и интегрирование рациональных функций с помощью
разложения их на простейшие, причем стандартные приемы
предлагается применять и в тех случаях, когда явно целесообразней
численное интегрирование. В третьем семестре обычно
преувеличивается роль формального интегрирования дифференциальных
уравнений, в том числе линейных уравнений с постоянными
коэффициентами и так называемой «специальной» правой частью (сам этот
233
термин является типичным плодом превращения мелкого вопроса в
«науку»; увы, оно не так уж редко встречается в преподавании).
Все это приводит к бездумному заучиванию не всегда важных
рецептов и мало способствует развитию математического мышления.
С другой стороны, широко применяемые сейчас более универсальные
и важные методы, требующие большего размышления, хотя в
принципе часто не намного более сложные (например, в теории
дифференциальных уравнений — метод изоклин и другие качественные
методы или метод малого параметра) при этом остаются
незакрепленными.
Следует вообще отметить, что в большинстве втузов
практические занятия имеют еще более рутинное содержание, еще меньше
учитывают современные прикладные математические тенденции и
требования специальности, чем лекции. Задачи, решаемые на этих
занятиях, в своем большинстве даже по духу, направленности имеют
мало общего с реальными задачами. Эти задачи либо, как мы уже
упоминали, концентрируются вокруг немногих, в значительной
мере потерявших свое значение, формальных типов, либо связаны с
непосредственной подстановкой в формулы; многие задачи не
отвечают воспитанию навыка доведения решения до приемлемого
результата. При этом критерием хороших практических навыков у
студента, определяющим направление его работы, часто служит его
способность решать формально усложненные («болезненно
искусственные», по выражению Д. Пойа [56, с. 2961) задачи.
Конечно, определенное количество формальных задач, примеров
на непосредственное применение формул и на доказательство
сходимости необходимо. Однако надо существенно больше, чем это сейчас
делается, заботиться о реальной осмысленности формулировок
задач, их мотивированности («может ли подобная задача возникнуть в
реальной ситуации?»), существенно шире уделять внимание
упражнениям, имитирующим в упрощенной форме те действия, которые
совершаются в реальном прикладном математическом
исследовании. Речь идет вовсе не о том, чтобы обязательно брать
непосредственные примеры из специальных дисциплин, хотя если такой
пример можно сделать легко доступным, это только украсит
занятия. Сама постановка задачи, ее направленность должны
напоминать то, что может возникнуть в прикладном исследовании, даже
если эта задача опирается только на простые понятия физики или
имеет полностью математический характер: ведь и простое
дифференцирование может составлять этап реального исследования. С
другой стороны, следует избегать конкретных рецептов и специальных
приемов, пригодных для решения узких классов задач.
Приведем пример. В упражнениях на двойные и тройные
интегралы обычно как уравнение границы области интегрирования, так
и уравнение подынтегральной функции считаются заданными в
явном аналитическом виде, порой довольно громоздком. Однако
в реальных задачах так бывает сравнительно редко, гораздо чаще
оказывается, что все участвующие зависимости довольно просты,
234
но в аналитическом виде заранее не заданы, так что требуется
предварительно составить их уравнения; необходимо, чтобы подобные
задачи были представлены должным образом.
В качестве другого примера можно указать на функции,
заданные несколькими формулами (п. 1.2.6): такие функции, довольно
распространены в приложениях *, однако почти не встречаются в
упражнениях к курсу, математики.
Мы полагаем, что для развития прикладных математических
навыков при подборе упражнений необходимое внимание надо, в
частности, уделить:
— навыкам целеустремленного составления и анализа
математических моделей реальных задач и развитию соответствующей
интуиции на доступном студентам материале;
— навыкам отбора данных, нужных для решения задачи **,
прикидке их необходимой точности;
— выбору заранее не заданного метода исследования;
— задачам, требующим для своего решения предварительного
вывода аналитических зависимостей;
— задачам, требующим для своего решения знаний из
различных разделов курса;
— доведению решения задач до практически приемлемого
результата, навыкам оценки объема вычислительной работы;
— изучению зависимости решения от параметров, входящих в
задачу, или от вариантов ее постановки;
— прикидкам, оценкам порядков величин, асимптотическим
оценкам;
— применению справочников и таблиц;
— действиям с размерными величинами;
— методам контроля правильности решения.
Актуальной проблемой является создание серии задачников
(как общих, так и по отдельным областям математики и по группам
родственных инженерных специальностей), которые дали бы
достаточный материал для подобных упражнений.
6. О программах курса математики для прикладников. Конечно,
для прикладников различных специальностей эти программы могут
быть существенно различными, тем не менее, мы хотели бы
высказать соображения по этому поводу, общие для многих
специальностей, в том числе инженерных.
Прежде всего, необходимо подчеркнуть чрезвычайно возросшую
роль дисциплин вероятностного цикла для современного инженера
* В частности, в сопротивлении материалов (эпюры изгибающих моментов,
поперечных сил и т. п.); при вычислении координат центра тяжести может встре-
ь
титься интеграл вида \xf (x) dx, где / (х) — кусочно-линейная функция, заданная
а
графиком, и т. п.
** Сюда примыкают и задачи с неоднозначной постановкой (с требованием
«исследовать», «сравнить» и т. п.), в которых приходится еще предварительно
уточнить эту постановку.
235
и вообще для любого прикладника. Практика показывает, что даже
те инженеры, которые применяют математику в минимальной
степени, нуждаются в сведениях об обработке наблюдений, о
характеристиках статистических массивов, о доверительных интервалах и т. п.
Поэтому соответствующие разделы непременно должны быть
должным образом представлены в курсе математики. В этот цикл могут
быть включены основы теории вероятностей (включая понятие о
случайных процессах), элементы математической статистики
(включая проверку гипотез и статистический контроль), понятия о
теории эксперимента, об обработке наблюдений, о теории надежности,
теории информации (если эти разделы не выделены в
самостоятельные дисциплины ) и т. д., в зависимости от специальности.
Понятия и утверждения теории вероятностей особенно
нуждаются в неформальном разъяснении, которому, к сожалению, часто
не уделяют должного внимания.
На этом вопросе специально останавливается Я. И. Хургин [198, с. 34—35]:
«Назову некоторые (далеко не все!) пункты теории вероятностей, которые
требуют, по моему мнению, неформального разъяснения будущему инженеру
(имеется в виду маленький курс объемом примерно в 30 часов, но аналогичные
соображения относятся и к более полным курсам.— Авт.).
1. Рассмотрение явлений природы или процессов в технике на традиционном
детерминистском пути далеко не всегда дает возможность построить адекватную
модель. Вероятностный подход, хотя он и более сложен, предоставляет такую
возможность.
2. Массовые явления, массовые совокупности однородных объектов.
Противоречивость понятия однородности объектов или явлений. Наличие в массовых
совокупностях четких, хотя и специфических, закономерностей.
3. Способы описания массовых совокупностей. Различные средние и их
устойчивость.
4. Невозможность в рамках теории вероятностей высказывать достоверные
утверждения о событиях — все утверждения верны с некоторой вероятностью
(см. по этому поводу п. 1.2.5. — Авт.). Доверительные вероятности.
5. Малые и большие вероятности. Принцип практической уверенности (прн
малых вероятностях событие не произойдет в однократном опыте, но произойдет,
при большом числе опытов).
6. Зависимость случайных величин, ее существенное отличие от зависимости
функциональной.
7. Различие независимости и несовместимости.
8. Центральная предельная теорема, ее физический смысл.
9. Статистическая гипотеза, ее смысл и проверка с помощью опытных
данных. Разные критерии того, что такое хорошо и плохо (т. е. разные функционалы
и метрики, их физический и статистический смысл).
10. Вероятностный смысл метода наименьших квадратов.
11. Планирование экспериментов: необходимость использовать статистику
(или, как принято в литературе,— необходимость участия статистика) на всех
этапах эксперимента, т. е. от выбора плана эксперимента, количества опытов,
значений факторов и т. д. до окончательной обработки и интерпретации
результатов. Идеи теории планирования экстремальных экспериментов.
12. Рандомизация эксперимента: надо не преодолевать, а нарочно создавать
стохастическую ситуацию, дабы избавиться от необходимости стабилизировать
мешающие факторы.
Все перечисленные вопросы при изложении теории вероятностей
усваиваются с трудом. Прн этом вопросы, требующие неформального разъяснения н
теории вероятностей, усваиваются с большим трудом, чем в математическом
анализе, ибо здесь многое противоречит привычным со школьной скамьи строго
детерминистическим взглядам, многое не наглядно и поэтому создает психологи-
236
ческий барьер для усвоения именно основ, а не математического аппарата. Эти
трудности приводят к многочисленным ошибкам при использовании теории
вероятностей и математической статистики, порой весьма грубым и в то же время
имеющим существенные последствия».
Другой цикл вопросов, получивший сейчас широкое распростра-
. нение в прикладной математике, связан с идеей оптимизации. Эти
вопросы в какой-то степени представлены в традиционном курсе
в связи с теорией экстремумов; однако там идет речь не о поиске
экстремума (по этому поводу удовлетворяются ссылкой на общую
теорему существования), а скорее о выяснении того, будет ли
заданная точка точкой экстремума. Сейчас во многих прикладных
задачах вопросы поиска экстремума вышли на первый план. Сюда
относятся линейное и нелинейное программирование, динамическое
программирование, оптимальное управление, СПУ (сетевое
планирование и управление), теория игр, прямые методы вариационного
исчисления и т, д.
Для ряда специальностей важную роль начинают играть
вопросы конечной математики (например, комбинаторика, теория графов),
булева алгебра и т. д.*
При этом далеко не все указанные разделы нуждаются в
подробном освещении. Быстрый рост числа прикладных математических
' методов делает невозможным, да и нецелесообразным освещать их
подробно «впрок», однако важно, чтобы инженер имел общее
представление об этих методах и их возможностях, скажем, понимал,
что такая-то задача относится к линейному программированию,
а другая — к теории графов. Иными словами, существенно выросла
роль математической эрудиции прикладника. Поэтому нужны об-.
зорные лекции или циклы из небольшого числа лекций, обзорные
параграфы в учебниках, где освещались бы понятия, не вошедшие
в подробно излагаемые разделы, а также приводились примеры и
типы задач, решаемых в других разделах, и соответствующая
литература.
Сделаем еще несколько замечаний по традиционным разделам
курса. Мы поддерживаем отказ от изложения дисциплины «Анали-
. тическая геометрия», полностью потерявшей сейчас
самостоятельное значение. Основные идеи метода координат можно включить во
введение в математический анализ, а векторную алгебру — во
введение в линейную алгебру, которое надо излагать по возможности
раньше.
В курсе математического анализа следует уделить должное
внимание интерполяции и численному решению конечных уравнений
с обсуждением таких общих приемов, как метод итераций и метод
малого параметра. Желательно по возможности раньше начать
пользоваться на наглядном уровне (без подробного анализа
сходимости) понятиями числового и степенного рядов, широко
применяемыми сейчас в различных численных и приближенных методах.
* По поводу современных требований к математическому образованию
инженера см. также [1991.
237
Искусственные упражнения на пределы следует заменить
упражнениями на выделение главной части величины. Следует добиться
свободного владения знаком оо.
При рассмотрении приложений частных производных следует
обратить внимание на численное решение системы конечных
уравнений. На простом материале можно продемонстрировать важные
вопросы теории экстремумов (условный экстремум, экстремум с
ограничениями, методы поиска экстремума). К этим вопросам следует
вернуться также после изложения теории дифференциальных
уравнений (градиентный спуск, продолжение решения по параметру).
Мы уже говорили о том, что неопределенное интегрирование в
элементарных функциях, интегрирование дифференциальных
уравнений в квадратурах не должны привлекать такого напряженного
внимания, как это сейчас бывает. Добиваясь свободного
вычисления простых интегралов, не следует тратить много времени на
громоздкие интегралы, для вычисления которых более подходят
справочники и численное интегрирование. С другой стороны,
представляется необходимым рассмотрение интегралов, зависящих от
параметра, а также рассмотрение на наглядном уровне дельта-функции
и связанных с ней понятий.
Следует осветить методы численного подсчета не только простых,
но и кратных интегралов; в каком-либо месте курса желательно
изложить метод Монте-Карло. В теории кратных интегралов и в
теории поля надо особенно избегать довольно распространенных
неоправданных усложнений.
В теории дифференциальных уравнений должное внимание
надо уделить вопросам, связанным с составлением уравнения
(построением математической модели), методам приближенного и
численного решения; желательно также дать некоторое понятие и о методах
качественного исследования решения. Наряду с начальной задачей
Коши надо дать простые сведения о краевой задаче. Следует
уделить внимание понятиям подобия явлений и моделирования и в
связи с этим дать представление об аналоговых вычислительных
машинах. .
При включении в курс уравнений математической физики надо
обратить внимание на наиболее «работающие» сейчас методы сеток
(рассмотрев вопрцсы об устойчивости вычислений и о скорости
аппроксимации), Галеркина и т. п. Методу разделения переменных
следует уделить необходимое внимание, но он не должен занимать
исключительного положения, как это иногда бывает. Очень важен
вопрос о правильной постановке краевых задач.
7. О преподавании дисциплин, использующих математику.
Именно в курсах таких дисциплин должны формироваться и
закрепляться навыки применения математики. В этом отношении особенно
велика роль дисциплин, определяющих специальность будущего
инженера, поскольку характер приложений математики и
соответствующий аппарат порой существенно неодинаковы в различных областях
применения.
238
К сожалению, этому Еажному аспекту не всегда уделяется
необходимое внимание. Так, часто не формулируются отчетливо
гипотезы, положенные в основу при построении математической модели,
различные мыслимые модели не сравниваются, не обсуждаются с
точки зрения их адекватности и простоты. Вообще, вопросы,
связанные с методикой построения модели (чем пренебрегаем и почему,
какими зависимостями пользуемся и т. д.) и с ее качествами,
требуют гораздо более глубокого и детального обсуждения, чем это
обычно делается. Математический аппарат для изучения построенной
модели также не всегда выбирается наилучшим образом — так,
чтобы он был характерен для данной области и в то же время
отвечал современным взглядам прикладной математики.
Выбор оптимального математического аппарата в
нематематических дисциплинах может быть достигнут, как правило, в
результате совместной работы специалистов в этих дисциплинах и
математиков.
Остановимся еще на одном своеобразном влиянии стиля чистой •
математики на преподавание. Многие считают, что к формально-
дедуктивному стилю необходимо стремиться как к некоему
идеальному стилю в преподавании наиболее близких к математике учебных
дисциплин. В особенности это относится к курсам теорегической
механики, где изложение чаще всего начинается с довольно
претенциозной, но в сущности наивной, системы аксиом, полнота которой
более чем сомнительна. Стремление к этому стилю обнаруживается и
при изложении отдельных разделов механики — вместо того,
чтобы сначала показать сгудентам ряд соответственно отобранных
ситуаций, разъяснить их внутреннее сходство в определенном смысле,
а затем сформулировать достаточно охватывающую абстрактную
постановку проблемы, автор книги (или лектор) сразу же начинает
с абстракции; именно поэтому у студентов возникают хорошо
известные психологические трудности при попытках применить
полученные таким образом теоретические соотношения к конкретным
задачам *. По-видимому, значительно больший успех может быть
достигнут, если абстракция родится и вырастет из практических
примеров, можно сказать, на глазах у учащихся. Тогда ее анализ будет
оплодотворен предчувствием перспектив применения получаемых
результатов и уже по этой причине окажется более интересным (по
крайней мере, для студентов с неизвращенным отношением к науке
и жизни), а многие трудности приложения теории к практике будут
сняты.
8. О подготовке специалистов по прикладной математике .**
Имеется два основных канала подготовки специалистов по
прикладной математике — на базе университетов и на базе технических
(экономических и т. д.) институтов. В первом случае, о котором мы
будем говорить подробнее, получаются специалисты более широкого
* Сравните высказывание Дж. Займана по аналогичному поводу (п. 1).
** Здесь использованы, в частности, некоторые неопубликованные
высказывания М. А. Красносельского.
239
профиля, во втором — более приспособленные к
непосредственной работе в данной области приложений. Оба эти канала
правомерны, они дополняют друг друга и имеют самые широкие перспективы.
Содержание образования на математических факультетах и
отделениях университетов сложилось на протяжении многих
десятилетий на основе интересов общего развития математической науки.
Резко изменившееся положение, связанное с быстрым увеличением
потребностей в математиках для приложений, пока на этих
факультетах почти не учитывается. Более того, развитие прикладных
математических работ привело к своеобразному изменению в составе
педагогических коллективов математических факультетов. Ученые,
проявляющие интерес к прикладной математике, часто уходят из
университетов в соответствующие прикладные организации.
Поэтому на математических кафедрах обычно концентрируются
специалисты, имеющие склонность к более абстрактным исследованиям.
Интересы этих ученых естественным образом отражаются на учебных
планах, на программах отдельных курсов, на их направленности *.
Чисто математическое направление подготовки закрепляется
относительной легкостью, с которой более сильные студенты могут
начать самостоятельную работу в области чистой математики.
Однако это приводит к тому, что когда выпускник математического
факультета приходит в организацию, занимающуюся прикладными
вопросами, ему, как правило, приходится преодолевать высокий
психологический барьер: отказаться от мысли, что единственно
достойной областью человеческой деятельности является
«придумывание теорем», пройти через достаточно мучительную
переориентировку, научиться находить общий язык со специалистами в других
областях, понять, что другие языки ничуть не хуже, и т. д. Кроме
того, ему приходится приобрести ряд необычных для него знаний
и навыков, порой довольно элементарных, но требующих серьезной
психологической перестройки (см. § 1.2). Все это иногда порождает у
молодых людей неудовлетворенность своей работой и своей судьбой,
отношение к своей деятельности как к печальной необходимости,
желание перейти на такую работу, где можно было бы спокойно
доказывать теоремы.
Поэтому мы считаем, что одна из основных целей математических
факультетов университетов состоит в воспитании математиков,
которые хотят заниматься приложениями математики и подготовлены
к этому **.
Отметим, кстати, что выпускники математических факультетов,
ориентированные на приложения, позволили бы решить также про-
* О вреде, который могут причинить преподаватели-исследователи, уделяя
особое внимание собственным теоретическим проблемам, говорит А. Гротеидик
- {200].
** Другими словами, с известным афоризмом, приписываемым Г. Штейнга-
узу, «математик сделает лучше» можно было бы согласиться лишь в уточненной
формулировке: «математик с д е л а е т- лучше, если он захочет это к если
ои подготовлен к этому!». ,...■,.
240
блему преподавания математики во втузах, в частности, путем
налаживания деловых контактов кафедры математики с техническими
кафедрами.
Как известно, острая нехватка соответствующих специалистов
привела к открытию в последние годы в ряде университетов
факультетов прикладной математики, на которых проводится подготовка
по математическому обеспечению ЭЦВМ, автоматизированным
системам управления и некоторым другим родственным
специальностям. Однако мы не думаем, что эта вынужденная мера является
полным решением проблемы, как из-за того, что прикладная
математика нуждается в еще более широкой трактовке, так и из-за того,
что основная часть наиболее квалифицированных математиков
осталась на общематематических факультетах. Широкая подготовка
студентов-математиков на этих факультетах для работы,
связанной с приложениями математики (в технике, в экономике,' в
естествознании и т. д.), была бы благотворной во многих отношениях
и для факультетов, и для математики, как прикладной, так и
чистой. Эта подготовка должна сочетать высокий уровень
теоретического образования со знанием методов решения разнообразных
классов прикладных задач; овладение общематематическими и
прикладными идеями с освоением основного «работающего»
математического аппарата, в частности с непременным освоением работы на ЭЦВМ.
Одной из основных особенностей обучения должна быть правильная
психологическая направленность: студент должен быть
подготовлен к своей будущей практической работе, должен понимать ее
первостепенную важность, гордиться ею как одним из наиболее
необходимых и ответственных видов деятельности в современном
обществе.
Сделаем несколько замечаний по учебным планам и программам
математических дисциплин для математиков-прикладников.
Необходимо уже на первом курсе ознакомить студента с такими
фундаментальными общими идеями, как теоретико-множественные и
топологические подходы, простые принципы функционального анализа, и,
наряду с этим — с идеей алгоритмизации и возможностью
применения ЭЦВМ (с основным упором на универсальные алгоритмические
языки — во всяком случае для студентов, основной специальностью
которых не является программирование на ЭЦВМ). Эти общие идеи
должны играть существенную роль во многих дальнейших курсах.
Содержание и направленность традиционных курсов должны
учитывать характер требований (современных и разумно
прогнозируемых) к будущим специалистам, который отражается как на
отборе материала, так и на роли практических навыков студента.
Студент должен владеть методом, развиваемым в соответствующей
математической дисциплине, уметь свободно анализировать не
слишком сложные ситуации, уметь решать задачи (при подборе которых
не следует ни преуменьшать, ни болезненно преувеличивать роль
формальных выкладок). Уже в первой части, хотя, быть может,
и не на первом курсе, следует в тактичной ферме знакомить студентов
16 6-20
241
с видами рациональных рассуждений, наиболее часто
встречающимися в приложениях.
Необходимо резко усилить курс теории вероятностей и
математической статистики, включив в него такие разделы, как теория
случайных процессов, методы проверки гипотез и др. Вероятностные
методы должны проникать и в другие дисциплины.
Должен быть существенно расширен курс линейной алгебры,
идейное и прикладное значение которой надо отчетливо выявить.
Встречающееся сейчас построение курса, когда его вершиной
оказывается теорема о жордановой форме матрицы, создает
неправильную ориентацию. Прн этом обычно не учитываются те реальные
ситуации, в которых применяются матрицы, и те реальные вопросы,
на которые приходится отвечать.
В курсе дифференциальных уравнений методы формального
интегрирования, а также теоремы о разрешимости не должны занимать
исключительного положения. Надо знакомить студентов с
качественными методами, с задачами, включающими малый параметр, с
простыми задачами теории нелинейных колебаний и т. п.
В большинстве курсов как необходимый раздел должно входить
обучение доведению решения задач до окончательного, приемлемо-'
го ответа в виде численного результата, алгоритма, точного
качественного вывода н т. д.; по этому поводу можно высказать
соображения аналогичные п. 4. Некоторые общие вычислительные идеи
можно ввести в курс функционального анализа.
Курсы теоретической механики и физики не должны
вырождаться в упрощенное и конспективное изложение соответствующих
курсов для специалистов-механиков и специалистов-физиков.
По-видимому, эти курсы должны быть построены так, чтобы общее
систематическое изложение предмета было в значительной мере направлено
на правильную математическую формулировку проблем, на
принципы составления соответствующих уравнений, на методы их анализа
и на правильную интерпретацию математических результатов.
Представляется необходимым увеличить число курсовых работ и
усилить их роль. Например, желательно иметь курсовые работы
комплексного характера по математическому анализу и по
дифференциальным уравнениям. На старших курсах курсовые работы
должны по возможности имитировать несложное прикладное
исследование — начиная от математической формулировки задачи и кончая
интерпретацией результата, полученного с помощью ЭЦВМ.
Дипломные работы должны быть посвящены более сложным
задачам.
Специализации по прикладной математике на
общематематических факультетах могут определяться по превалирующему
математическому прикладному направлению подготовки студента.
Естественны, в частности, такие специализации:
— теория вероятностей и математическая статистика (с
выходом в задачи массового обслуживания, теорию эксперимента,
теорию надежности и т. д.);
242
— дифференциальные уравнения (с выходом в задачи
регулирования, колебаний, устойчивости, управления и т. д.);
— уравнения математической физики (с выходом в задачи
механики сплошных сред, теоретической и прикладной физики и т. д.);
— методы оптимизации (включающие линейное и нелинейное
программирование, СПУ, проблемы экономики, игровые задачи,
теорию операций и'др.)..
— конечная математика (с выходом в теорию графов, теорию
автоматов, кодирования и т. д.).
Аналогичные замечания можно сделать по поводу подготовки
специалистов в области прикладной математики на базе технических
институтов, или, что по существу то же, инженеров-математиков.
Мы уже говорили в п. 1 о том, что специфика обучения здесь не
должна выражаться просто в том, что математический анализ читается
«по Фихтенгольцу»; требуется гораздо более глубокая перестройка
на основе четкого понимания профиля подготовки студентов.
Конечно, опасна и другая крайность — замена идей рецептами *.
9. О публикациях. Остановимся в заключение немного на
вопросе о.стиле научных публикаций, имеющем прямую связь с
проблемой образования, во всяком случае, образования на высоком
уровне. При этом наша задача облегчена наличием превосходной статьи
II. Халмоша [209], которую мы всячески рекомендуем читателю и
ие будем здесь пересказывать. Правда, эта статья направлена, в
основном, на совершенствование дедуктивного изложения вопросор
чистой математики; однако, внеся соотЕетствующие коррективы, из
нее можно сделать многие полезные выводы и для изложения
исследований прикладного характера.
Мы сделаем здесь только два общих замечания. Прежде всего,
мы хотим подчеркнуть роль искренности и откровенности. Так,
авторы, не понимающие роли рациональных рассуждений, считающие
их чем-то неполноценным, иногда бывают склонны сознательно или
бессознательно замалчивать рациональные элементы своего
исследования, выдавая локальную строгость за строгость в целом. Часто
это делается из-за непонимания существа дела, но порой из-за
отсутствия должной откровенности. Иногда авторы не освещают
(часто известной им!) области применимости тех или иных
рациональных рассуждений, в результате чего у читателя создается иллюзия
универсальности полученных выводов или, во всяком случае,
преувеличенное представление об их значимости. Следует открыто
признать объективное существование, закономерность и
необходимость логики рациональных рассуждений в прикладной математике,
открыто обсуждать доказательность применяемых рассуждений, не
выдавая действительное за желаемое и не умалчивая о том, что
степень доказательности того или иного рассуждения автору не ясна **.
* По поводу подготовки специалистов в области прикладной математики
см. также [201—208].
** П. Халмош пишет по аналогичному поводу в рамках чистой математики
[209, с. 255—256]: «...окажите читателю полное доверие... Само собой разумеется,
16*
243
Во-вторых, мы хотим отметить важность обсуждения путей
получения результатов. Часто считается как бы хорошим тоном
излагать содержание исследований таким образом, как будто оно
явилось результатом последовательного и дедуктивного процесса
мышления. При этом обычно остаются скрытыми те факты, которые
натолкнули автора на общий вывод *, те рациональные соображения,
которые в действительности далеко не прямым образом вели
исследователя к цели, те ложные пути, которые пришлось при этом
отбросить; лаборатория исследователя остается его секретом.
Необходимо щедрее делиться такими секретами, обсуждать их,
так как пути получения результатов во многих случаях
оказываются не менее интересными, чем сами результаты **. Знание
наводящих соображений и ложных путей будет весьма полезным для
исследователей в данной области, а систематизация этих сведений может
оказаться весьма полезной как для прикладной математики, так и
для эвристики — науки об открытии.
Закончим этот пункт высказыванием И. Грековой [210, с. 190—
1911: «Вторгаясь в новые для себя области, самые математические
методы трансформируются: они становятся более гибкими, менее
ригористичными, более словесными, менее формальными... Если
прежде «хорошим тоном» считалось сказать как можно меньше
словами, как можно больше формулами и тщательно скрыть от
читателя свои мысли, то теперь положение меняется. Сегодня
математика не брезгует приближенными, ориентировочными,
полукачественными рассуждениями».
что вы пишете не для того, чтобы скрыть факты от читателя: вы пишете, чтобы
раскрыть их. Я хочу этим сказать, что вы не должны утаивать от читателя
истинного положения ваших утверждений в системе, как и вашего отношения к ним...
Абсолютная честность в изложении помогает максимальной ясности».
* Такие факты часто бывают не менее поучительными, чем общие выводы.
Халмош пишет [209, с 248]: «Сердце математики состоит из конкретных примеров
и конкретных проблем. Большие сбщие теории появляются обычно после
обдумывания маленьких, но глубоких суждений; сами же суждения начинаются с
проникновения в конкретные частные случаи».
** В качестве примера укажем на приведенное в [7, с. 116—124]
увлекательное описание Эйлера открытия им одной замечательной формулы из теории
чисел.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Основной задачей линейного программирования является
отыскание экстремума линейной функции (критерия качества) в области,
заданной системой линейных равенств и линейных неравенств.
Эта задача возникает в различных проблемах оптимизации, в
особенности в вопросах планово-экономического характера. Впервые
подобные задачи систематически изучали советский математик Л. В.
Канторович и его сотрудники начиная с 1939 г. С 1948 г. задачи
такого рода независимо начали интенсивно исследовать математики
США, которые и ввели сам термин «линейное программирование» —
не совсем удачный, так как его легко спутать с программированием
для ЭЦВМ. Сейчас по теории и приложениям линейного
программирования имеется обширная литература, в том числе ряд учебников.
2 Говорят, что некоторая функция / (х) разложена при х -»- оо
в асимптотически сходящийся ряд по функциям gx (х), g^(x), ...,
в записи
f (x) ~ axgx (х) + Ozgt (х)+ • • • (х -+ оо), (68)
если при каждом «=1,2... будет
л
gn+x (х) = о [gn (х)], f(x) — % akgk (x) = о [gn (x)] (x-+ оо).
При этом сходимость ряда в правой части (68) при фиксированных
х не обязательна. Так, легко показать, что
причем разность между левой частью и частной суммой ряда,
стоящего в правой части, по модулю не превосходит первого из
отброшенных членов. Это дает возможность уже при х = 2 получить
левую часть (69) с точностью до 5%, а при х = 5 — до 2 • 1СГ9%.
В то же время ряд в правой части (69) расходится при любом х > 0.
8 Актуальная бесконечность есть завершенная,
зафиксированная бесконечность, рассматриваемая не в процессе развития,
становления, а как данная, законченная. Для основной части современной
чистой математики характерно систематическое рассмотрение
актуально бесконечных множеств — таких, например, как множество
всех натуральных или всех вещественных чисел — и непринятие
концепции актуально бесконечно малых. В прикладной математике,
245
как об этом будет говориться в п. 1.2.3, дело обстоит как раз
наоборот: «бесконечное» множество содержит конечное, но неопределенное
большое или просто достаточно большое число элементов и в то же
время во многих разделах (например, при выводе
дифференциальных уравнений механики сплошных сред) систематически
применяются актуально бесконечно малые объемы, массы и т. д. Многие
основные направления современной математической логики вообще
отрицают актуальную бесконечность.
* Например, такой: утверждается, будто бы движение
невозможно, так как для того чтобы пройти некоторый путь, надо сначала
пройти его половину, затем половину остатка и т. д., причем этот
процесс деления никогда не сможет закончиться. Широко известен
также софизм с Ахиллом и черепахой. Софизмы (парадоксы) Зенона
подробно обсуждаются в книге [211], см. также [212].
' Метод исчерпывания имеет в современных обозначениях
следующий вид. Пусть надо доказать, что некоторая величина 5 равна
заданной величине S. Пусть удается построить некоторые величины
Sa и Sa, оценивающие как S, так и S сверху и снизу, т. е. Sa < Si
S < Sa (для любого а, пробегающего множество индексов,
которое строится в процессе рассуждений, т. е. не является актуально
бесконечным). Пусть при этом для любого а можно построить такой
индекс «!, что Sa, — Sa, < -у (Sa — Sa). Тогда S = S.
e Противоречивость второго множества К — точнее,
противоречивость его определения — становится ясной, если поставить
вопрос, содержит ли оно само себя в качестве элемента. По
существу, этот парадокс Б. Рассела того же типа, что в известной
шуточной задаче о солдате-парикмахере, которому было приказано брить
тех и только тех солдат, которые не бреются сами; нарушит ли он
этот приказ, если будет брить себя?
Среди многочисленных известных парадоксов подобного рода
один из наиболее эффектных, принадлежащий Ришару,
возникает при анализе предложения «Наименьшее натуральное число из
тех, которые нельзя однозначно определить фразой на русском
языке , состоящей менее чем из двухсот букв», которая как бы
определяет неопределимое. (Ведь фразами, состоящими менее чем из
двухсот букв, включая пробелы, на русском языке можно
определить не более ЗЗ200 натуральных чисел; однако число, наимень-.
шее из оставшихся, однозначно определено фразой, заключенной
выше в кавычки и состоящей меньше чем из двухсот букв!) Во всех
этих случаях причина парадокса состоит в том, что объем
рассматриваемого множества оказывается зависящим от интерпретации его
определения, что может привести к противоречию. Множество М
всех множеств, с виду более безобидное, находится в противоречии
с общей теоремой Кантора о том, что множество всех подмножеств
любого множества А имеет мощность более высокую, нем А.
(Понятие мощности для произвольных множеств играет ту же роль, что
понятие числа элементов для конечных множеств. Например, ока-
246
зывается, что мощность континуум — мощность множества всех
вещественных чисел — выше, чем счетная' мощность — мощность
множества всех натуральных чисел.) Впрочем, анализ общего
доказательства теоремы Кантора в применении к М показывает, что
при этом приходится рассматривать множество К-
7 Эта аксиома гласит, что если имеется некоторая совокупность
попарно непересекающихся непустых множеств Ма (а — индекс,
пробегающий некоторое множество), то существует по крайней
мере одно множество М, которое с каждым Ма имеет ровно один
общий элемент; другими словами, можно образовать множество М,
выбрав «одновременно» (кавычки означают, что процесс выбора не
считается происходящим во времени) и независимо из каждого
множества Ма по одному элементу. Об осложнениях, возникающих
при применении этой аксиомы, мы будем говорить в п. 1.2.2.
8 Приведем пример. В математическом анализе широко известны
определения непрерывности вещественной функции f (х)
вещественного переменного х в точке х = х0 по Коши (для любого е > 0
существует такое б > 0, что, как только | х — х0\ < б, будет I/ (д:) —
— f (хо) | < е) и «о Гейне (для любой последовательности хп -*■ х0
будет / (хп) -*• f (x0)). Эти определения равносильны.
Доказательство того, что из непрерывности по Гейне вытекает непрерывность по
Коши, проводится от противного следующим образом. Пусть
условие непрерывности по Коши не выполнено. Тогда для некоторого
е > 0 при любом б > 0, существуют такие х, для которых \х — *0j, <
< б и | f (х) — f (х0) | > е. Положим б„ = —- и для каждого п
выберем какое-либо х„, для которого \хп — х01 </ б„, | f (xn) —
— / (*о) I > е. Тогда хп -+■ х0, f (дг„) ф f (х0), т. е. и условие
непрерывности по Гейне не выполнено. При построении
последовательности {хп} была применена аксиома выбора!
9 Трансфинитные числа описывают порядковый тип вполне
упорядоченных множеств. Напомним, что некоторое множество М
называется упорядоченным, если для его элементов введено
соотношение порядка, так что из любых двух его элементов а, Ь £
€ М (а Ф Ь) один и только один предшествует другому; например,
а может предшествовать Ь, в записи а -< Ь. При этом требуется
выполнение аксиомы транзитивности: если а ■< b, b ■< с, то а ■< с.
Говорят, что два упорядоченных множества имеют одинаковый
порядковый тип, если между ними можно установить такое взаимно
однозначное соответствие, при котором соотношение порядка
сохраняется. Например, множество Nx всех натуральных чисел и множе-
АГ /12 3 1
ство N2 всех чисел вида {-j, ■$> ~г> •■•/» &CJlvl считать меньшее число
предшествующим большему, имеют одинаковый порядковый тип,
который принято обозначать буквой ю. Упорядоченное множество
называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое
подмножество имеет первый элемент, т. е. элемент, предшествующий
всем остальным. Например, множество Nt вполне упорядочено,
247
тогда как множество всех целых чисел упорядочено, но не вполне
упорядочено. Порядковые, типы вполне упорядоченных множеств
называются трансфинитными числами, причем оказывается,
что для таких чисел можно ввести естественное соотношение порядка,
удовлетворяющее аксиоме транзитивности. Первыми трансфини-
тивными числами служат 0 (порядковый тип пустого множества),
1;2 и т. д.; и является наименьшим трансфинитным числом,
характеризующим тип бесконечного вполне упорядоченного множества;,
далее следует трансфинитное число (о + 1, характеризующее
порядковый тип множества, которое получится, если к Af2 присоединить
число 1, и т. д.
Согласно теореме Кантора, для любого заданного
множества трансфинитных чисел существует трансфинитное число,
следующее за всеми ними. Отсюда, очевидно, вытекает невозможность
рассмотрения совокупности всех трансфинитных чисел. Однако для тех,
кто не знает теоремы Контора, эта совокупность выглядит отнюдь не
хуже, чем множество всех натуральных чисел.
Понятие мощности упоминалось в примечании6; это то общее,
что имеется у всех множеств, между которыми можно установить
взаимно однозначное соответствие. Между мощностями (иначе, кар-,
динальными числами) также устанавливается естественное
соотношение порядка. Первыми мощностями служат 0 (мощность пустого
множества), 1;2 и т. д. Счетная мощность #0 (алеф-нуль) является
первой бесконечной мощностью, за ней следует #х и т. д. До
последних лет многие математики безуспешно пытались доказать гипотезу
континуума, выдвинутую еще Кантором, и составляющую 1-ю
проблему Гильберта, согласно которой #х и есть мощность
континуума — или, что равносильно, всякое несчетное множество
точек на прямой имеет мощность континуума, т. е. между
мощностью континуума и счетной мощностью нет промежуточных
мощностей.
Кантор доказал, что для любой совокупности мощностей
существует мощность, большая их всех; отсюда, как и для
трансфинитных чисел, вытекает невозможность рассмотрения совокупности
всех мощностей.
10 Этот закон гласит, что для каждого утверждения,
осмысленного в рассматриваемой ситуации, верно либо оно само, либо его
отрицание. Обозначив буквой р это утверждение, можем написать:
верно (р или (не р)). Закон исключенного третьего близок, хоть
и не равносилен, закону двойного отрицания: из (не (не р)) вытекает
р, а также закону противоречия: неверно (р и (не р)). В дальнейшем,
упоминая закон исключенного третьего, мы будем иметь в виду все
три закона. Чистая математика (за исключением некоторых ветвей
математической логики) пользуется ими без ограничении.
11 К. Гедель доказал, что любая достаточно обширная теория,
вытекающая по определенным правилам математической логики
из некоторой системы аксиом, всегда неполна; это означает, что
в терминах такой теории можно сформулировать предложение, спра-
ць
ведливость или ложность которого нельзя доказать в рамках этой
теории, т. е. пользуясь только исходными аксиомами. Эту
справедливость или ложность можно принять в качестве добавочной
аксиомы, присоединив которую к исходным, можно построить более
детализованную теорию, которая, однако, будет опять неполной, и т. д.
Формальная непротиворечивость достаточно обширной теории также
не может быть доказана в рамках этой теории.
12 Аксиома Паша состоит в том, что если на плоскости прямая
не проходит через вершины некоторого треугольника и пересекает
какую-либо из его сторон, то она пересечет и какую-либо из других
сторон этого треугольника.
13 Так, П. С. Новиков доказал невозможность построения
алгоритма для решения одной из центральных проблем теории групп —
так называемой проблемы тождества слов. С. И. Адян установил
неразрешимость классической проблемы о построении алгоритма,
позволяющего для любых двух групп, заданных своими образующими
и определяющими соотношениями между ними, выяснить,
изоморфны эти группы или нет. А. А. Марков доказал неразрешимость
знаменитой проблемы топологии о построении алгоритма, с помощью
которого можно было установить, эквивалентны ли топологически
(т. е. гомеоморфны ли) два заданных тела (точнее, полиэдра).
Ю. В. Матиясевич сделал то же для десятой проблемы Гильберта
о построении алгоритма, позволяющего для любого
алгебраического уравнения с любым числом неизвестных и целочисленными
коэффициентами выяснить, имеет ли это уравнение по крайней мере
одно целоисчисленное решение. Конечно, все эти результаты не
исключают возможности алгоритмов при более узких постановках
задач — быть может, включающих все случаи, которые могут
реально встретиться.
14 Решение ■& (х, f) называется автомодельным, если при
изменении t оно подвергается только преобразованию подобия по осям
д: и Ф. Для этого достаточно, чтобы оно имело вид Ф = a (t) х
X F [р (/) х], где а, р\ F — какие-то функции одного переменного.
15 Метод Монте-Карло в простейшем виде состоит в том, что
искомая величина представляется в виде среднего значения
некоторой случайной величины, а это среднее значение заменяется
средним арифметическим реализаций этой случайной величины при
большом числе испытаний, проводимых на ЭЦВМ. Например, при
вычислении интеграла /=j / (M) dQ с помощью датчиков случайных
(Q)
чисел в области (Q) наугад выбираются точки Мх, М2, •••, MN, после
чего полагается
/»-L if (Mj + f(M2)+ ■■■+[ (MN)].
При большом N — а ЭЦВМ может это обеспечить — точность этой
формулы оказывается практически приемлемой.
16 Сплайном га-й степени называется функция, определенная
на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интер-
249
валов как полином не выше л-й степени, свой для каждого
интервала, причем в точках стыка двух интервалов должны быть
непрерывными сама функция и ее производные порядка < л — 1, тогда
как производные л-го порядка могут иметь скачок. При л = 0
получается кусочно-постоянная функция, при л=1— непрерывная
кусочно-линейная функция и т. д. Хотя такие функции
применяются со времен Эйлера, систематические их исследования и само
их наименование появились совсем недавно; см. книгу [213].
1? Натуральное число называется совершенным, если оно равно
сумме всех своих натуральных делителей, исключая его самого;
например, 6=1+2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 и т. д.
Древняя наука приписывала совершенным числам мистические
свойства; интерес к этим числам в чистой математике сохранился до
сих пор. < .
18 Параметрический резонанс — это явление потери
устойчивости в линейной колебательной системе с периодически
изменяющимися параметрами (например, коэффициентом восстановления),
возникающее при определенных законах этого изменения. Широко
известное применение этого явления — увеличение амплитуды при
раскачивании на качелях без помощи извне.
ПРИЛОЖЕНИЕ
В. В. НОВОЖИЛОВ
ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКИ — КТО ОНИ?
Еще Г. Галилеем было сказано, что книга природы написана на языке математики.
Развивая эту мысль, Н. Бор писал, что «чистая математика является не отдельной
областью знания, а скорее усовершенствованием общего языка, оснащением его
удобными средствами для отображения таких зависимостей, для которых обычные
словесные выражения оказались бы неточными». С тем, что языки как таковые не
являются областью знания, необходимо согласиться. Но сами они могут быть
предметом познания. И математику следует назвать ие языком науки, а скорее
грамматикой (и поэтикой) этого языка — дисциплиной, изучающей правила
обращения со своеобразным языком, словами которого являются символы, фразами —
формулы, а литературными произведениями — научные теории.
На одной из своих лекций Л. В. Щерба вывел иа доске обошедшую затем
учебники по языковедению фразу: «Глокая куздра штеко будланула бокра и кудря-
чит бокрёнка»,—и спросил у недоумевающей аудитории, на каком языке она
написана. Последовал немедленный ответ — «на русском» и стало ясно, что при всей
своей бессмысленности это предложение составлено в соответствии со всеми
требованиями грамматики русского языка. Тем самым было наглядно показано, что
грамматика всякого языка имеет свою внутреннюю логику, независимую от
семантики — смысла слов.
Последнее справедливо и для языковедения науки — математики, которая
также имеет свою внутреннюю логику и может изучаться и развиваться
независимо от каких-либо приложений.
В настоящее время это полностью осознано, и, как заявил Ж- Дьедонне, «в
принципе современная математика в основе своей не имеет какой-либо утилитарной
цели, а представлиет собою интеллектуальную дисциплину, практическая
польза которой сводится к нулю». Здесь грамматика и поэтика полностью отрываются
от семантики — язык науки от его приложений. Изучение и развитие
грамматики объявляется самоцелью. Возможность всерьез занимать столь формальную
позицию объясняется тем, что,хотя между математикой и грамматикой существует
несомненная аналогия, между ними имеются глубокие различия. В языке науки (в
отличие от всех прочих языков) слова-символы лишены определенного смысла и
приобретают его, только будучи связаными в фразы-формулы и в литературные
произведения — теории.
Последнее приводит к неисчерпаемому богатству логически допустимых
возможностей при минимуме исходных грамматических правил — аксиом.
И если грамматики других языков претерпевают со временем лишь
незначительные и медленные изменения, то грамматика языка науки стремительно
развивается, оттачивая свои понятия и создавая из них все более сложные конструкции
251
(математические теории), что связано в ряде случаев с поистине ювелирными
логическими рассуждениями.
В человечестве наряду со способностью к конкретному (образному) мышлению
заложена способность (и потребность) к абстрактному мышлению, и математика
является наивысшей формой удовлетворения данной потребности, что и придает
ей самостоятельную, независимую от каких-либо практических приложений
ценность, аналогичную, например, ценности музыки.
Это понимали уже древние грекн, и, вероятно, именно это имел в виду все
тот же Дьедонне, сказав, что «математика — не более чем роскошь, которую может
себе позволить цивилизация».
Но с такой крайней точкой зрения, разумеется, невозможно согласиться,
поскольку математика не только роскошь, не только предмет эстетического
любования элиты знатоков, но н тот язык, иа котором написаны все книги, излагающие
законы природы и их применение в технике.
Существенно отметить и подчеркнуть, что при практическом использовании
языка природы (например, при разработке физической теории или инженерного
метода расчета) скрупулезное соблюдение всех его детально разработанных
правил не является ни главным, ни необходимым. Более того, в настоящее время,
когда формализация «чистой» математики достигла высокого совершенства и
чкогда ее наиболее откровенные идеологи открыто заявляют об отсутствии у них
интереса к приложениям, требование «всей» математической строгости в инженерных
теориях и расчетах было бы равносильно не только полной остановке технического
прогресса, но и объявлению незаконными почти всех уже завоеванных достижений,
поскольку подавляющее их большинство основывается на недостаточно строгих
математических рассуждениях. Если придерживаться этого требования, то
человечество не имело права даже иа каменный век, поскольку до сих пор ие
существует математически сформулированной теории обработки камня.
Лиц, занимающихся сочинением содержательных (не в смысле их
математической новизны и глубины, а в смысле их практического значения) произведений на
математическом языке, называют прикладными математиками. Их идеология была
четко сформулирована еще в прошлом веке в предисловии к курсу физики Томсо-
на и Тэта, где было сказано: «В этой книге мы не избегаем математических
трудностей, но и не ищем их — не они являются нашей целью».
С одной стороны, взгляд иа математику как на «царицу наук» (так ее называл
Ф. Гаусс), а с другой стороны,— как на их служанку или даже, хуже того, как
на бесчувственную машину — «мельницу, которая мелет, не разбирая, что в нее
ни засыпь» (так любил говорить, повторяя Гексли, А. Н. Крылов),— вот
насколько различаются точки зрения «чистого» и прикладного математика. Если «чистый»
математик категорически исключает возможность привлечения к рассуждениям и
доказательствам аргументации нематематического характера, то прикладной
математик считает допустимым пользоваться (для достижения поставленной перед ним
практической цели) любыми средствами, принимая во внимание как весь
накопленный в обслуживаемой им области науки или техники практический опыт, так
и специально поставленные эксперименты.
хИз сказанного следует, что особой науки «прикладная математика» нет, а
прикладные математики, тем не менее, существуют. Это специалисты,
использующие достижения математики в нематематических целях, допуская для
обоснования своих действий привлечение нематематических средств. Будучи не строгими
252
(с точки зрения «чистых» математиков), прикладные математики по-своему весьма
строги, поскольку имеют гораздо меньше прав на ошибки, чем их критики. Ведь
от их рекомендаций зависят не только судьбы больших денежных затрат, но часто
и жизни многих людей. К этому следует добавить, что используемый прикладными
математиками аппарат отнюдь не обязательно примитивен. Они применяют все
математические достижения, не исключая наиболее абстрактных, если это
полезно для достижения их целей.
В этом факте можно видеть одновременно не только удивительную
способность прикладной математики усваивать все достижения чистой математики, ио и,
быть может, еще более удивительную способность чистой математики
предвосхищать приложения.
Возможность совмещения «чистого» и прикладного математика в одном лице
не только не исключена, но и была примерно до начала XX в. типичной. Ньютон,
семейство Бернуллн, Эйлер, Лаплас, Фурье, Коши, Гаусс, Чебышев, Пуанкаре
являются яркими примерами подобного «совместительства».
В своей «Истории математики в XIX веке» Ф. Клейн, рассказывая о Ф.
Гауссе, отмечает, что этот великий математик был своего рода двуликим Янусом.
Выступая как теоретик, он соблюдал всю необходимую для его времени
математическую строгость, а работая как практик (в области небесной механики), был, иа-
оборот.весьма небрежен и не заботился (в частности) о доказательствах сходимости
рядов, доверяясь наивному критерию быстрого убывания нескольких первых
членов ряда. Причина этого очевидна — во втором случае Ф. Гаусс мог сверять
результаты расчета с астрономическими наблюдениями, что и избавляло его от лишней
работы без какого-либо риска ошибиться. Таким образом, действуя то как «чистый»,
то как прикладной математик, Ф. Гаусс всегда поступал наиболее рационально.
Расцвет аксиоматической математики в XX в. привел ко все большему
углублению различий между мышлениями «чистых» и прикладных математиков, ввиду
чего все труднее становится совмещать работу в обоих направлениях. В связи с
этим возникли серьезные до сих пор не решенные проблемы в области обучения
математике. Испокон веков профессиональных математиков готовят в университетах
на соответствующих факультетах. Прием студентов на эти факультеты неуклонно
возрастает (в связи с потребностями науки и техники в квалифицированных
математиках), и в настоящее время многочисленные университеты страны ежегодно
выпускают большую армию математиков, воспитанную, разумеется, в духе
наиболее современных идей, т. е. идей стерильной строгости. Сказанное относится не
только к питомцам кафедр алгебры, геометрии, топологии и теории чисел, но и к
воспитанникам кафедр вычислительной математики, математической физики,
дифференциальных уравнений н теории вероятностей, каковые казалось бы
органически связаны с всевозможными прикладными вопросами. Но дело в том, что,
не уклоняясь от направления общего развития современной математики,
большинство преподавателей этих кафедр занимаются в основном различного рода
обобщениями, качественными оценками, теоремами существования н тому подобными
имеющими ограниченную практическую ценность вопросами.
В соответствии с обрисованным положением выпускники-математики в
своем большинстве имеют смутные представления о круге интересов деятельности
прикладных математиков, в лучшем случае считая, что в современных условиях она
сводится к программированию для ЭЦВМ (руководствуясь при этом, разумеется,
только строго обоснованными алгоритмами).
253
Лишь немногим из общей массы выпускников удается осесть в университетах
и математических институтах, занимаясь тем, чему их учили, и так, как их учили;
большая же их часть распределяется по отраслевым научным институтам и
конструкторским бюро, где им приходится переучиваться. Обычно это оказываетси
мучительным, не всегда успешно завершающимся процессом, ибо заболеть, как
известно, легче, чем вылечиться.
И, наконец, значительная часть выпускников-математиков устраивается на
преподавательскую работу во втузы и техникумы (что поощряется
Министерством высшего и среднего специального образования СССР, которое, следуя
логике, считает, что лица со специальным математическим образованием наиболее
подходят для преподавания математики где бы то ни было).
Чтобы представить себе, насколько зто опасно, рассмотрим следующий
практический пример. На одном (произвольно выбранном) автомобильном заводе в
Детройте ежедневно записывается число машин, выпущенных иачиьаи с первого
числа текущего года, а в реке Москве в те же самые дни измеряется и
записывается уровень воды. Получаются два ряда величин, между которыми по вполне
определенному закону установлено однозначное соответствие, откуда следует, что
уровень воды в реке Москве есть функция выпуска автомобилей в Детройте. Не
торопитесь смеяться! С точки зрения современной математики преподаватель,
который привел бы этот пример для пояснения понятии функции, был бы
совершенно прав. С точки зрения прикладного математика (естествоиспытателя,
инженера), всегда имеющего дело с причинными связями и подразумевающего
подфункцией зависимость одной переменной физической величины от другой, этот пример
воспринимается как вопиющая нелепость.
Аналогично — понятие вектора в физике и в современной математике
существенно различны, что в умах начинающих может привести к немалой путанице.
В математике имеются такие теоремы, которые будущим инженерам и физикам
не только ие надо доказывать, ио о которых вредно даже упоминзть. В частности,
это относится к одному из, тонких математических достижений — теореме Жор-
дана, котораи для инженера и физика не более чем тривиальность (и должна
оставаться таковой).
В ответ на просьбу дать оценку программе по математике, составленной для
одного из физических факультетов, Л. Д. Ландау гневно писал [192]: «При всей
важности математики для физиков физика, как известно, нуждается в считающей
аналитической математике; математики же, по не понятной мне причине,
подсовывают нам з качестве принудительного ассортимента логические упражнения... Мне
кажется, что давно пора обучать физиков тому; что они сами считают нужным
для себя, а не спасать их души вопреки их собственному желанию. Мне не хочется
дискутировать с достойной средневековой схоластики мыслью, что путем изучения
ненужных им вещей люди будто бы научаются логически мыслить. Я категорически
считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью изгнаны
всякие теоремы существования, слишком строгие доказательства и т. п.
Поэтому я ие буду отдельно останавливаться на многочисленных пунктах Вашей
программы, резко противоречащих этой точке зрения» *.
Изложенные принципы должны свято соблюдаться кзк при составлении
программ по математике дли будущих естествоиспытателей, инженеров и экономистов,
* Полный текст этой цитаты приводится в п. III.2.1.
234
так и при чтении для иих лекций, во избежание того чтобы под видом
прогрессивных идей им подносили ту самую идеологию, на знамени которой гордо
написано: «никаких приложений».
В последние несколько лет во многих университетах страны были открыты
новые факультеты — факультеты прикладной математики, призванные выправить
существующее неблагополучное положение в области подготовки специалистов по
математике.
Всякий такой факультет обизан иметь конкретный практический уклон,
поскольку дисциплины «прикладная математика» нет, а прикладные математики —
это, по существу, ие математики, а специалисты в других областях науки,
свободно владеющие математическим аппаратом в необходимом для них объеме и с
достаточной для их целей строгостью.
Научно-преподавательский состав каждого такого факультета должен
состоять не только из математиков, воспитанников университетов, но и из специалистов-
практиков в той области, какая культивируется на данном факультете для
обеспечения равновесия между теорией и приложениями. Перечисленные условия обычно
не выполняются, в свизи с чем возникает опасение, что факультеты прикладной
математики постепенно превратятся попросту во вторые математические
факультеты, мало отличающиеся по программам и методологии от первых, что приведет к
дублированию тематики и к нездоровой конкуренции факультетов.
В связи с этим следует иметь в виду альтернативную возможность —
создание факультетов прикладной математики при технических вузах, что может
оказаться более рациональным.
Помимо опасности формализации преподавания математики будущим
естествоиспытателям и инженерам, наметилась не менее серьезная опасность
формализации преподавания математики в средней школе.
Для подавляющего большинства ребят, которые в дальнейшем станут
рабочими, колхозниками, -инженерами, писателями, продавцами, летчиками, врачами
и т. д., характерным в их деятельности будет ие абстрактное, а конкретное
мышление, каковое у них и надо в первую очередь развивать, не подавляя его с малых лет
чрезмерно абстрактными понятиями и рассуждениями. Но более того, весьма
проблематично, что раинее развитие абстрактного мышлении полезно даже для
ничтожного меньшинства тех особо математически одаренных ребят, которые
обучаются в школах со специальным математическим уклоном и готовят себя к
математической деятельности.
«Дело в том, что исякой аксиоматической обработке математического
материала должно предшествовать конкретное, я бы сказал, наивное овладение нм»
(П. Александров). «Огромное большинство чисто логических сущностей и
понятий, встречающихся на путях логического порядка, обычно бесполезны и ие могут
оказать никакого влиянии на прогресс науки» (Н. Лузин).
Хорошо известно, что интуитивные соображения лежат в основе всех наиболее
значительных математических открытий и лишь впоследствии эти открытия
подвергались тщательной логической обработке, достигая той степени совершенства,
какую требует современная математика. Именно поэтому школа (в том числе,
школа с математическим уклоном) должна не столько воспитывать
формальнологические способности, сколько поощрять и углублять математическую
интуицию, показывая своим воспитанникам математику не в ее настоящем виде,
а в ее развитии.
255
Замкнутая в себе стерильная математика—это не только «роскошь», которую
может себе позволить цивилизация, ио и неизбежное следствие цивилизации.
С этой точки зрения борьба с чрезмерным распространением математического
формализма среди населения земного шара является проблемой экологической.
В заключение уместно вспомнить пророческие слова А. Пуанкаре: «... чистый
математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен
живописцу, умеющему гармонически сочетать цвета и формы, но лишенному
натуры, модели,— его творческая сила быстро бы иссякла».
Это было сказано в 1897 г., когда еще ие были изданы «Основы геометрии»
Д. Гильберта, не были иаписаиы тома сочинений Д. Пеано и Н. Бурбаки и за 13
лет до того, как была создана первая абстрактная картина.
*
Авторы этой полезной книги взяли на себя труд изложить в сжатой форме как
взгляды многих математиков и естествоиспытателей, так и свои личные взгляды иа
методологию использования математики в естественных и технических науках.
Этот вопрос в наши дни превратился в важную и трудную проблему, поскольку
со времени Эйлера, Фурье и Пуассона мышление математиков претерпело глубокие
изменения.
Авторы просили меня присоединиться к их труду, оставив за мною право
самому избрать, в какой форме это сделать. Поскольку все оии достаточно хорошо
известны и в рекомендациях не нуждаются, я предпочел написать небольшую
самостоятельную статью в виде приложения на ту же тему.
ЛИТЕРАТУРА
ХеммингР. В. Численные методы для научных работников и инженеров.
«Наука», М., 1968.
Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я- Г.
Правдоподобность и доказательность в прикладной математике. «Ииж. журн.
Механика твердого тела». 1967, 2, 196—202.
В о р о в и ч И. И., Михайлов Г. К., Мышкис А. Д., Ю д о -
в и ч В. И. III Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике.
«Усп. матем. наук», 1969, 24, 1, 201—217 (Отчет о дискуссии — 207—209).
Р е s с h е 1 М., Gumpert W. Eine «heilige Kuh» schlachten? Streitbare
Gedanken urn angewandte Mathematik. «Technische Gemeinschaft», 1972, 11,
52—53.
Weber H., Jobst E. Einheit von Grundlagen-und Anwendungs-
forschung wahren! «Technische Gemeinschaft», 1973, 3, 30—31.
P e s с h e 1 M., Gumpert W. Eine «heilige Kuh» schlachten? Praxis-
wirksamkeit der Mathematik erhohen. «Technische Gemeinschaft», 1973, 4,
27—29.
П о й а Д. Математика и правдоподобные рассуждения. ИЛ, М., 1957.
Налимов В. В. Логические основания прикладной математики. Изд-во
Московского ун-та, М., 1971 (препринт № 24).
Харкевич А. А. Спектры и анализ. Гостехиздат, М.— Л., 1952.
Акимов Н. П. Не только о театре. «Искусство», М.— Л., 1966.
Крылов А. Н. Значение математики для кораблестроения. В кн.:
А. Н. Крылов. Моя жизнь. Изд-во АН СССР, М., 1945.
Математика в современном мире. «Мир», М., 1967.
К а ц М., Улам С. Математика и логика. Ретроспектива и перспективы.
«Мир», М., 1971.
Д о й л Л. Семь способов подавить творчество ученого. «Знание — сила»,
1972, 10, 42—43.
Ишлинский А. Ю. Математика н методы механики. В кн.; История
отечественной математики, т. 4, кн. 2. «Наукова думка», К., 1970.
Гнеденко Б. В. Математика и современное естествознание. В кн.:
Синтез современного научного знания. «Наука», М., 1973, 143—158.
Хорафас Д. Н. Системы и моделирование. «Мир», М., 1967.
Феодосьев В. И. Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов.
«Наука», М., 1969.
Акоф Р., Сасиеии М. Основы исследования операций. «Мир», М.,
1971.
Диксон Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ и
принятие решений. «Мир», М., 1969.
Налимов В. В. Теория эксперимента. «Наука», М., 1971.
Ф о м и и С. В., Берке'нблит М. Б. Математические проблемы в
биологии. «Наука», М., 1973.
Хургин Я. Ну и что? «Молодая гвардия», М., 1970.
Ш т о ф ф В. А. Моделирование и философия. «Наука», М-, 1966.
Дьячеико В. Ф. Основные понятия вычислительной математики.
«Наука», М., 1972.
Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики.
«Наука», М., 1969.
6-20
257
27. Годунов С. К., Султангазии У. М. О дискретных моделях кине •
тического уравнения Больцмана. «Усп. матем. наук», 1971, 26, 3, 3—51,-
28. Курант Р., Роббиис Г. Что такое математика. Гостехиздат, М.—
Л., 1947.
29. К л е й и Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1.
Гостехиздат, М., 1935.
30. Гжегорчик А. Популярней логика. «Наука», М., 1965.
31. Рам Ж-, Д е. Дифференцируемые многообразия. ИЛ, М., 1956.
32. Дуб Д. Вероятностные процессы. ИЛ, М., 1956.
33. Л а и ц о ш К. Практические методы прикладного анализа. «Наука», М.,
1961.
34. Дьедонне Ж. О деятельности Бурбаки. «Усп. матем. наук», 1973, 28,'
3. 205—216.
35. С п о и У. Д ж., младший. Можно ли спасти математику? «Природа», 1973,
2, 50—54.
36. Н а п а л к о в А. В., Ц е л к о в а Н. В. Путь спасения математики —
абстракция нового типа. «Природа», 1973, 12, 10—14.
37. N е w s о п С. The image of the mathematician. «Amer. Math. Mon.», 1972,
79, 8, 878—882.
38. W i 1 1 с о х- А. В. England was lost on the playing fields of Eton: a parable
for mathematics. «Amer. Math. Mon.», 1973. 80, 1, 25—40.
39. Ко э и П., Херш Р. Некаиторовская теория множеств. «Природа»,
1969, 4, 43—55.
40. В е й л ь Г. О философии математики. Гостехиздат, М.— Л., 1934.
41. Dyson F. Missed opportunities. «Bull. Amer. Math. Soc», 1972, 78, 5, 635—
652.
42. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. «Наука», М., 1972.
43. Резерфорд—учитель и ученый. «Наука», М., 1973.
44. Н о в о ж и л о в В. В. Этажи математики. «Известия», 17 января 1971.
45. Математика и научно-технический прогресс. Труды Республиканской научной
конференции. «Наукова думка», К-, 1973.
46. К г z у w i с k i A. et al. Rola matematyki we spolczesnej technice. «Pr. nau-
kozn. i prognost.», 1973, 8, 5—13.
47. R о m p e R., Treder H. Thesen zum gegenwartigen Verhaltnis zwischen
Mathematik und Physik. «Monatsber. Dtsch. Akad. Wiss.», 1966, 8, 2, 93—97.
48. Teodorescu N. Physique theoretique et physique mathematique. «Bull,
math. Soc. sci. mat. RSR», 1966—1967, 10, 1—2, 39—51.
49. В и г и е р Е. Непостижимая эффективность математики в естественных
науках. «Усп. физич. наук», 1968, 94, 3, 535—546.
50. Kuntzmann J. Ой vont les.mathematiques? Reflexions sur l'enseignement
et la recherche. Hermann, Paris, 1967.
51. Л е в и и Р. Б. Теоретические основы статистической радиотехники, 1.
«Сов. радио», М., 1974.
52. М о р д е л л Л. Размышления математика. «Знание», М., 1971.
53. С о й е р У. Путь в современную математику. «Мир», М., 1972.
54. Пуанкаре А. Ценность науки. М., 1906.
55. Van der Waerden В. L. Uber die Wechselwirkung zwischen
Mathematik und Physik. «Elem. Mat.», 1973, 28, 2, 33—41.
56. П о й а Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия,
изучение и преподавание. «Наука», М., 1970.
57. К л е й и Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 2.
Гостехиздат, М.—Л., 1934.
58. Б е й л и Н. Математика в биологии и медицине. «Мир», М., 1970.
59. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы
решения дифференциальных уравнений. «Мир», М., 1969.
60. Б а х в а л о в Н. С. Численные методы, 1. «Наука», М., 1973.
61. G г е е п s р а п Н. Applied Mathematics as a Science. «Amer. Math. Mon.»,
1961, 68, 872—880.
62. К a t t s о f f L. Some thoughts on applied mathematics. «Scientia» (Hal.),
1966, 101, 3—4, 91—99; Suppl., 45—53.
258
63. Coll at z L. tiber numerische Mathematik. «Leopoldina», 1965—1966, If,
133—148.
64. Г и е д е и к о Б. В. Вопросы математизации современного естествознания.
В ки.: Материалистическая диалектика и методы естественных наук. «Наука»,
М., 1968. 171—206.
65. В о i г е 1 R., S а 11 е s F. Un hiatus episternologique: mathematiques
pures et mathematiques appliquees. «Bull. Assoc, professeurs math, enseign.
public», 1969, 48, 268, 199—208.
66. Cartwright M. Mathematics and thinking mathematically. «Amer.
Math. Mon.», 1970, 77, 1, 20—28.
67. M а г с z e w s k i E. et al. Rola matematyki w poznawaniu i ksztaltowaniu
swiata zewnetrznego. «Nauka pol.», 1971, 19, 3, 1—36, 170—180.
68. H a h n W. Uber den Gegenstand der sogenannten angewandten Mathematik.
:«Nieuw arch. Wisk.», 1971, 19, 3, 175—187.
69 T u k e у J. W. Data analysis, computation and mathematics. «Quart. Appl.
'Math.», 1972,30, 1,51—65.
70.'Or m ell C. P. Mathematics, applicable versus pure — and applied. «Int.
J. Math. Educ. Sci. and Technol.»; 1972, 3, 2, 125—131.
71. Федоров И. Г. К проблеме методологии единой совремеииой
математики. В ки.: Вопросы методологии и истории математики. М., 1972, 64—84.
72. К и с е л е в а Н. А. О некоторых закономерностях развития
математического позиаиия. В ки.: История и методология естественных иаук, 14. Изд-во
Московского ун-та, М., 1973, 9—21.
73. Пуанкаре А. Математика и логика. В кн.: Новые идеи в математике,
10. Пг., 1915.
74. Г е йт и и г А. ■ Обзор* исследований по основаниям математики.
Интуиционизм— теория доказательства. Гостехиздат, М.— Л., 1936.
75. Рашевский П. К- О догмате натурального ряда. «Усп. матем. наук»,
1973, 28, 4, 243—246.
76. П е т р о в Ю. А. Логические проблемы абстракций бесконечности и
осуществимости. «Наука», М., 1967.
77. V a n D a n t z i g D. Is 10loW a finite number? «Dialectica», 1956, 9. f
78. Борель Э. Вероятность и достоверность. Физматгиз, М., 1961.
79. Гинзбург В. Л. Какие проблемы физики и астрофизики
представляются сейчас особенно важными и интересными? «Усп. физич. иаук», 1971, 103,
1, 87—119.
80. Э ш б и У. Р. Несколько замечаний. В кн.: Общая теория систем. «Мир», М.,
1966, 171—178.
81. Колмогоров А. Н. Автоматы и жизнь. «Техника молодежи», 1961,
10, 19.
82. 3 е л ь д о в и ч Я- Б., М ы ш к и с А. Д. Элементы прикладной
математики. «Наука», М.. 1972.
83. Т и с к е г m a n В. The 24th Mersenne prime. «Proc. Nat. Acad. Sci. USA»,
1971, 68, 10, 2319—2320.
84. Литлвуд Дж. Математическая смесь. Физматгиз,, М., 1962.
85. Г а р д и е р М. Математические головоломки и развлечения. «Мир», М.,
1971.
86. Б о р и М. Статистическая интерпретация квантовой механики. В кн.:
М. Бори. Физика в жизии моего поколения. ИЛ, М., 1963.
87. Davis P. J. Fidelity in mathematical discourses is one and one really two?
«Amer. Math. Mon.», 1972, 79, 3, 252—263.
88. Штейигауз Г. Задачи и размышления. «Мир», М., 1974.
89. Т а р с к и й А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. ИЛ,
М., 1948.
90. Foulknes P. What is deduction? «Intern, logic Rev.», 1972, 3, 1, 64—
72.
91. Bell E. The development of mathematics. McGraw-Hill, 1945.
92. M с R a e T. Analytical management. N. Y., 1970.
93. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются
теоремы. «Наука», М., 1967.
17*
259
"94. Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применение в
геометрии и в механике сплошных сред. «Наука», М., 1971.
'95. Яновская С. А. О роли математической строгости в истории
творческого развития математики и специально о «Геометрии» Декарта. В кн.:
Исследование логических систем. «Наука», М., 1970, 13—50.
96. Первозванский А. А. Поиск. «Наука», М., 1970.
97. L a s d о п L. Optimization theory for large systems. London, 1970.
98. У л е н бе к Дж., Форд Д ж. Лекции по статистической механике.
«Мир», М., 1965.
'99. Розеиброк X., Стори С. Вычислительные методы для инженеров-
химиков. «Мир», М., 1968.
100. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции, 1. «Сов. радио»,
М., 1972.
101. Б р о й л ь Л., д е. По тропам науки. ИЛ, М., 1962.
402. Леонтьев В. Теоретические допущения и ненаблюдаемые факты. «США—
—экономика, политика, идеология», 1972, 9, 101—104.
103. К о у л Д ж. Методы возмущения в прикладной математике. «Мир», М.,
1972.
104. Шрейдер Ю. Наука — источник знаний и суеверий. «Новый мир»,
1969, 10, 207—226.
105. Болотнн В. В. Примеиение методов теории вероятностей и теории
надежности в расчетах сооружений. «Строительство», М., 1971. (
106. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем.
«Наука», М., 1971.
107. Некрасов П. А. Теория вероитиостей. СПб., 1912.
108. Сочинения Козьмы Пруткова. Гослитиздат, М., 1959.
109. Jeffreys H. Theory of probability. Oxford, 1961.
110. L e с I e г с q R. La Iogique du plausible. «Rev.», 1972, 10, 1, 23—29.
111. Finetti B. Subjective or objective probability: is the dispute undecidable?
In: Symp. math, conv., 1971, 9. London — N. Y., 1972, 21—36.
112. Mathematical thinking in behavioral sciences. San Francisco, 1968.
113. С a r n a p R. Logical Foundations of Probability. Chicago, 1950.
114. Coembs C., DawesR., Tversky A. Mathematical psychology.
An elementary introduction. Englewood Cliffs, 1970.
115. F i s с h b u г n P. Utility theory for decision-making. N. Y., 1970.
116. Miles L. Techniques of value analysis and engineering. N. Y., 1972.
117. Ш м и т т О.—В кн.: Кибернетический сборник, 1. Физматгиз, М., 1960, 75.
118. У с п е и с к и й В. А. Теорема Геделя о неполноте в элементарном
изложении. «Усп. матем. наук», 1974, 29, 1, 3—47.
119. Г у д с т е й и Р. Л- Математическая логика. ИЛ, М., 1961. <
120. Т ю п ц о в А. Д. Гидростатика в слабых силовых полях. Устойчивость
равновесных форм поверхности жидкости. «Изв. АН СССР. Механика жидкости
и газа», 1966, 2, 78—85.
121. Пановко Я- Г., Губанова И. И. Устойчивость н колебания
упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. «Наука», М.,
1967.
122. А п п е л ь П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости.
Гостехиздат, М.—Л., 1936.
123. Слобожанин Л. А. Гидростатика в слабых силовых полях. О
кольцеобразных фигурах равновесия вращающейся жидкости и об их
устойчивости. «Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа», 1968, 4, 63—69.
124. У е м о в А. И. Аналогия в практике научного исследования. Из истории
физико-математических наук. «Наука», М., 1970.
125. Watanabe S. Knowing and guessing. Quantitative analysis of
inference and information. London, 1969.'
126. Kyburg H. Probability and inductive logic. London, 1970.
127. Аскеров Н. К-, К р е й и С. Г., Лаптев Г. И. Задача о
колебаниях вязкой жидкости и связанные с ней операторные уравнения.
«Функциональный анализ», 1968, 2, 2, 21—31.
128. Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д. О свободных колебаниях
£60
жидкого самогравитирующего тара с учетом вязких и капиллярных сил.
«Журн. вычисл. матем. и матем. физики», 1968, 8, 6, 1291—1305.
129. Красносельский М. А. Об апостериорных оценках погрешности.
«Докл. АН СССР», 1968, 181, 5, 1058—1061.
130. Блехман И. И. Сянхронизация динамических систем. «Наука», М., 1971.
131. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных
работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. «Наука», М., 1973.
132. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных
колебаний. «Наука», М., 1972.
133. Веитцель Е. С. Исследование операций. «Сов. радио», М-, 1972.
134. S a d е А., М е 1 s a J. System identification. N. Y., 1971.
135. Райбман Н. С. Что такое идентификация? «Наука», М., 1968.
136. F i s с h е г W. Mathematisierung und Modellbergriff in den Naturwissenschaf-
ten. «Mathematikunterricht», 1971, 17, 3, 67—74.
137. С о о 1 e n Т. De wiskunde gezien vanuit haar toepassing. «Rept. Math, cent.»,
1969, 15, 26.
138. Веников В. А. Некоторые философские проблемы моделирования.
В кн.: Диалектика и современное естествознание. «Наука», М., 1970, 288—
299.
139. М о р о з о в К- Е- Математическое моделирование в научном познанин.
«Мысль», М., 1969.
140. Кемени Д ж., Снелл Д ж./ Кибернетическое моделирование. «Сов.
радио», М., 1972. (
141. V о ge 1 Т h. Pour une theorie mecaniste renouvelee. Paris, 1973.
142. S a a t у Т h. Mathematical models of arms control and disarmament.
Applications of mathematical structures in politics. N. Y., 1968.
143. Speedy C, Brown R., Goodwin G. Control theory:
identification and optimal control. Edinburgh, 1970.
144. Обухов А. Проблема физической гидродинамики. «Наука и жизнь»,
1973, 3, 7—10.
145. Дольберг М. Д. К вопросу о критических угловых скоростях
вращающегося вала. «Докл. АН СССР», 1952, 85, 1, 45—48.
146. Джанелидзе Г. Ю., Пановко Я- Г. Принцкп Сен-Венана и его
использование в теории плит и оболочек. В ки.: Расчет пространственных
конструкций, 1. Госстройиздат, М., 1950, 329—342.
147. Рагульскис К-М. Механизмы на вибрирующем основании
(вопросы динамики и устойчивости). Каунас, 1963.
148. Кобринский А. Е. Механизмы с упругими связями. Динамика и
устойчивость. «Наука», М., 1964.
149. Блехман И. И., Джанелидзе Г. Ю. Вибрационное
перемещение. «Наука», М., 1964.
150. Блехмаи И. И., Джанелидзе Г. Ю. Об устойчивости вибра-
ционно-линеаризированных нелинейных систем. «Прикладная мат. и мех.»,
1961, 25, 1, 173—176.
151. Блехман И. И, Действие вибраций на механические системы. Доклад
на Международном симпозиуме. В кн.: Вибротехника, 3 (20). «Минтис»,
Вильнюс. 1973.
152. К а п и ц а П. Л. Динамическая устойчивость маятника при
колеблющейся точке подвеса. «Журн. эксп. и теор. физики», 1951, 21, 5.
153. Боголюбов Н. Н. Теорвя возмущений в нелинейной механике. В кн.:
Сборник трудов Ин-та строительной механики АН СССР, 14. Изд-во АН СССР,
М., 1950.
154. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний. Физматгиз, М., 1963.
155. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике.
«Наукова думка», К., 1971.
156. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. Изд-во
АН СССР, М., 1963.
157. Попов Е. П., Пальтон И. П. Приближенные методы исследования
нелинейных автоматических систем. Физматгиз, М., 1960.
26'
Коловский М. 3. Нелинейная теория виброзащитиых систем.
«Наука», М., 1966.
Седов Л. И. Механика сплошной среды, 1. «Наука», М.. 1970.
Фейнмаи Р. Характер физических законов. «Наука», М., 1968.
Wilder R. L. Mathematics and its relations to other disciplines. «Math.
Teacher», 1973, 66, 8, 679—685.
Гильберт Д. Математические проблемы. В ки.: Проблемы Гильберта.
«Наука», М., 1969, 11—64.
Liapounoff A. M. Sur un problerne de Tchebycheff. «Зап.
Императорской Акад. Наук», 1905, 17,,, 1—32.
Б и р к г о ф Г. Гидродинамика. ИЛ, М., 1963.
Лаврентьев М. А-, Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их
математические модели. «Наука», М., 1973.
Филин А. П. Приближенные методы математического анализа,
используемые в механике твердых деформируемых тел. «Строительство», М., 1971.
У л а м С. Устойчивость при расчетах по методу многих тел. В кн.:
Гидродинамическая неустойчивость. «Мир», М., 1964, 289—303.
Картвелишвили Н. А. Континуальные модели и устойчивость в
малом динамических систем, состоящих из множества однотипных элементов.
«Изв. АН СССР. Механика и машиностроение», 1964, 3, 51—60.
Шляпеитох В. Прогноз для себя. «Литературная газета», 1971, 1,
12.
N i s s е п-М е у е г S. Some theorems on the problem of reversibility of
mathematical models. «Rept. Dep. Appl. Math. Univ. Bergen», 1972, 34. _
Ottestad P. Statistical models and their experimental application.
London, 1970.
Рябов Ю. А. Об оценке области применимости метода малого параметра
в задачах теории нелинейных колебаний. В кн.: Труды Международного
симпозиума по нелинейным колебаниям, 1. Изд-во АН УССР, К-, 1963,425—445.
X у д с о н Д. Статистика для физиков. «Мир», М., 1967.
Урланис Б. Ц. Проблемы динамики населения СССР. «Наука», М.,
1974.
Годунов С. К-, Рябенький В. С. Разностные схемы. «Наука»,
М., 1973.
Парс Л. А. Аналитическая динамика. «Наука», М., 1971.
Баталова 3. С. К численному исследованию динамических систем с
помощью ЭВМ. «Изв. ВУЗов. Радиофизика», 1967, 10, 3, 414—422.
Orlowski H., Hawriiuk I. Modelowanie cyfrowe. Warszawa, 1971.
Кедров Б. М. Логико-психологический анализ открытия. «Наука и
жизиь», 1965, 12.
«Наука и жизнь», 1974, 4, 117.
Рабинович И. М. Интуиция в строительной механике. В кн.:
Исследования по теории сооружений, 18. «Наука», М., 1970, 201—210.
М и з е с Р. Вероятиость и статистика. Гостехиздат, М.— Л., 1930.
Forsythe G. Pitfalls in computation, or whv a math book isn't enough.
«Amer. Math. Mon.», 1970, 77, 9, 931—956.
Зельдович Я- В., Мышкис А. Д. Элементы математической
физики. Среда из невзаимодействующих частиц. «Наука», М., 1973.
М ы ш к н с А. Д. Что такое прикладная математика? «Вестн. высш.
школы», 1967, 2. 74—80.
Мышкис А. Д., Солоноуц Б. О. О программе и стиле курса
математики во втузе. «Вестн. высш. школы», 1972, 6, 32—41.
Н е n r i с i P. Reflection of a teacher of applied mathematics. «Quart. Appl.
Math.», 1972, 30, 1, 31—39.
Гнеденко Б. В. Технический прогресс и математическое образование.
«Проблемы преподавания математики в вузах», 1972, 2, 22—27.
Налимов В. В. О преподавании математики экспериментаторам.
«Проблемы преподавания математики в вузах», 1972, 2, 33—47.
Richards E. J. Some thoughts on mathematical education. «Int. J.
Math. Educ. Sci. and Technol.», 1973, 4, 4, 377—395.
Кошелев А. И. Втузовский курс математики и профиль института.
«Вести, высш. школы», 1974, 3, 19—23. ч
Лифшиц Е. Живая речь Ландау. «Наука и жизнь», 1971, 9, 14—22.
Лифшиц Е. М. Лев Давидович Ландау (1908—1968). В кн.: Л. Д.
Ландау. Собр. трудов, 2. «Наука», М-, 1969,427—447.
Займаи Дж. Современная квантовая теория. «Мир», М., 1971.
Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Чарльз Бэббедж. «Знание», сер.
математики и кибернетики, 1973, 2.
А р ф к е н Г. Математические методы в физике. Атомиздат, М., 1970.
К л а й н М. Логика против педагогики. «Проблемы преподавания
математики в вузах», 1973, 3, 46—61.
X у р г и н Я. И. Математическая статистика — орудие инженера. «Вести,
высш. школы», 1971, 4, 31—36.
Гиеденко Б. В. Современная математика и будущий инженер. «Весгн.
высш. школы», 1968, 1, 45—53.
Grothendieck A. Le maftre-enseignant et le mattre-chercheur
dans l'universite d'aujourd'hui et de demain. «An. Univ. Bucuresti, Mat.—
mec», 1971,20, 2,99—110.
Lax P. et al. Мятериалы конференции по вопросам обучения прикладной
математике и механике. «SIAM Rev.», 1967, 9, 2, 314—415.
W е у I F. The NRC — AMS conference of training in applied mathematics.
«Bull. Amer. Math. Soc.», 1954, 60, 1, 38—44.
Cohen H. Mathematical applications, computation and complexity.
«Quart. Appl. Math.», 1972, 30, 1, 109—121.
L a s о t a A. Uwagi о prolemie zainteresowania i ksztatcenia studentow ma-
tematyki wzakresiezastosuwan. «Rocz. Pol. tow. mat.», 2, 1972, 15,35—40.
В a r e i s s E. The college preparation for a mathematician in industry.
«Amer. Math. Mon.», 1972, 79, 9, 972—984.
Bender E. A. Teaching applicable mathematics. «Amer. Math. Mon.»,
1973, 80, 3, 302—307.
Ray A. K- An outlook in teaching and research in mathematics in
educational institutions. «Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol.», 1973, 4, 3, 289—
302.
Неймарк Ю. И. Основные моменты в подготовке специалистов по
прикладной математике. «Уч. зап. Горьковского ун-та», 1973, 186, 3—5.
X а л м о ш П. Как писать математические тексты. «Усп. матем. наук»,
1971, 26, 5, 243—269.
Пекелис В. Кибернетическая смесь. «Молодая Гвардия», М., 1973.
Grunbaum A. Moderne science and Zeno's paradoxes. London, 1968.
Яновская С. А. Преодолены ли в современной науке трудности,
известные под названием «апорий Зеноиа»? В кн.: Проблемы логики. Изд-во
АН СССР, М., 1963.
Алберг Дж., Нидьсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее
приложения. «Мир», М., 1972.
Schwartz J. The pernicious influence of mathematics on science. In: Logic,
Methodology and Philosophy of Science. Proceedings of 1960 Intern. Congr.,
Stanford Univ. Press., Stanford, California, 1962, 356—360.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
г
Адян С. И. 249
Азбелев Н. В. 83
Акимов Н. П. 6, 257
Акоф P. (Ackoff R. L.) 8, 116, 160,
257
Алберг Дж. (Ahlberg J. H.) 263
Александров П. С. 19, 255
Андерсен Г. К. (Andersen G. С.) 187
Аппель П. (Appell P.) 80, 260
Аристотель 1о
Архимед 18, 28
Арфкен Г. (Arf'Ken G.) 230, 263
Аскеров Н. К. 260
Бабский В. Г. 6
Бабушка И. (BabuSka I.) 29, 194, 258
Барейс Е. (Bareis E.) 263
Баталова 3. С. 196, 262
Бахвалов Н. С. 29, 33, 92, 125, 161,
194, 195, 258
Бейли Н. (Bailey N. Т. J.) 28, 66, 114,
116, 146, 154, 189, 201, 258
Белл Э. (Belle E.) 52, 259
Беллман P. (Bellman R.), 69, 125
Беляева М. А. 96
Бендер Е. A. (Bender E. А.) 263
Беркенблит М. Б. 257
Бериулли (Bernoulli) 253
Био М. (Bio M.) 231
Биркгофф Г. (Birkhoff G. D.) 262
Блехман И. И. 257, 261
Боголюбов Н. Н. 261
Болотин В. В. 71, 260
Бор Н. (Bohr N.) 251
Борель Э. (Borel Em.) 39, 44, 103,
259
Борн М. (Born M.) 42, 259
Брауер Л. (Brouwer L.) 21
Брауи P. (Brown R.) 261
Бройль Л. (Луи де Бройль) (De
Broglie L.) 65, 221, 260
Буарель P. (Boirel R.) 259
Бурбаки Н. (Bourbaki N.) 22, 26, 31,
256, 258
Бэббедж Ч. (Babbage С.) 226
Бюффон Ж. (Buffon J. L.) 103
Варден В. (Ван дер Варден) (Van
der Waerden) 258
Ватанабе С. (Watanabe S.) 260
Вебер X. (Weber H.) 257
Вейерштрасс К. -(Weiersffass К. F.t
19, 31, 191
Вейль Г. (Weyl H.) 21, 24, 258
Вейль Ф. (Weyl F.) 263
Веников В. А. 261
Вентцель Е. С. 6, 108, 261
Внгнер Е, (Wigner E.) 258
Вилдер Р. Л. (Wilder R. L.) 262
Вилькокс А. Б. (Willcox А. В.) 258
Витасек Э. (Vitasek E.) 29, 194, 258
Вожель Т. (Vogel Th.) 261
Ворович И. И. 257
Гаврилюк И. (Hawriluk I.) 262
Галилей Г. (Galilei G.) 18, 251
Гарднер М. (Gardner М.) 259
Гаусс К. Ф. (Gauss К. F.) 21, 28, 252,
253
Гевсль К. (Godel К.) 23, 35, 248
Гейтинг A. (Heyting A.) 259
Гексли 252
Герасюта Н. Ф. 25
Гжегорчик A. (Grzegorczyk A.) 258
Гильберт Д. (Hilbert D.) 20, 32, 35,
156, 256, 262
Гинзбург В. Л. 259
Гнеденко Б. В. 8, 257, 259, 262, 263
Годунов С. К. 14, 191, 258, 262
Грекова И. 244
Гринспеи X. (Greenspan H.) 258
Гротендик A. (Grothendieck A.) 24Q
263
Грюнбаум A. (Grunbaum A.) 263
Губанова И. И. 260
Гудвин Г. (Goodwin G.) 261
Гудстейи Р. Л. (Goodstein R. L.) 260
Гумперт В. (Gumpert W.) 257
Гутер Р. С. 21, 263
Гэйфмэн Г. (Gaifman H.) 73
Дайсон Ф. (Dyson F.) 24, 105, 206,
258
Даламбер (D'Alembert) 228
Данциг Д. (Д. ван Данциг) (Van
Dantzig D.) 39, 259
Джанелидзе Г. Ю. 261
Джеффрис X, (Jeffreys Ы.) 71. 260
264
Диксон Дж. (Dixon J. R.) 9, 30, 149,
205, 257
Дирак П. ffDirac P. A. M.) 20
Дирихле П. (Dirichlet P. G. I.) 34
Дойл Л. (Doyll L.) 8, 105, 257
Дольберг М. Д. 128, 261
Дуб. Д. (Doob J. L.) 19, 258
Дьедоине Ж. (Dieudonne J.) 26, 251,
258
Дьяченко В. Ф. 14, 257
Дэвис П. И. (Davis P. J.) 259
Дэйиес P. (Dawes R.) 260
Евдокс 17
Евклид 16, 17, 52, 225
Займаи Дж. (Ziman J. M.) 225, 239,
263
Зельдович Я. Б. 184, 187, 259, 262
Зенои 17, 246
Ишлииский А. Ю. 7, 8, 146, 151, 257,
261
Иобст Е. (Jobst E.) 257
Кайбарг X. (Kyburg H.) 260
Камке Э. (Kamke E.) 46
Кантор Г. (Cantor G.) 19, 32, 248
Канторович Л. В. 245
Капица П. Л. 24, 212, 261
Кариап Р. (Сагпар R.) 71, 260
Картвелишвили Н. А. 167, 262
Картрайт М. (Cartwright M.) 259
Каттсофф Л. (Kattsoff L.) 258
Кац М. 8, 27, 65, 67, 105, 189, 195, 257
Кедров Б. М. 205, 262
Кейнс Дж. (Keynes J. M.) 71
Камени Дж. (Kemeny J. G.) 261
Кеплер И. (Kepler J.) 18, 207, 208
Кирхгофф Г. (Kirchhoff G.) 98
Киселева Н. А. 259
Клайн М. (КНпе М.) 263
Клейн' Ф. (Klein F.) 16, 27, 28, 253,
258
Кобринский А. Е. 261
Коваленко И. Н. 212
Коллатц Л (Collatz L.) 259
Колмогоров А.Н. 26, 39, 259
Коловский М. 3. 262
Копачевский Н. Д. 260
Корн Г. (Korn G.) 261
Корн Т. (Когп Т.) 261
Коул Дж. (Cole J.) 67, 148, 260
Кошелев А. И. 263
Коши О. (Cauchy A. L.) 225, 253
Коэмбс Ч. (Coembs С.) 260
Коэн П. (Cohen P.) 23, 258
Коэн X. (Cohen H.) 263
Красносельский М. А. 6, 26, 239, 261
Крейн С. Г. 260
Крживскнй A. (Krzywski A.) 258
Крылов А. Н. 7, 252, 257
Кулен Т. (Coolen Т.) 261
Кунцмани И. (Kuntzmann J.) 258
Курант P. (Courant R.) 15, 25, 31, 35,
258
Лаврентьев М. А. 159, 163, 262
Лагранж Ж. (Lagrange J. L.) 18, 191,
192
Лакатос И. (Lakatos J.) 53, 259
Ламарль A. (Lamarle A.) 211
Ландау Л. Д. 105, 224, 225, 254, 263
Ланцош К. (Lanczos С.) 21, 202, 231,
258
Лаплас П. (Laplace P. S.) 114, 191,
215, 253
Лаптев Г. И. 260
Ласота A. (Lasota A.) 263
Левин Р. Б. 258
Лежаидр A. (Legendre A. М.) 21
Леклерк P. (Leclercq R.) 260
Леонтьев В. (Leontjew W.) 66, 171,
260
Литтлвуд Дж. (Littlewood J. F.) 40,
43 259
Лифшиц Е. М. 225, 263
Лось 73
Лузин Н. Н. 255
Лэкс П. (Lax P.) 263
Лэсдон Л. (Lasdon L.) 58, 260
Люстерник Л. А. 195
Липунов А. М. 20, 63, 156, 262
Магницкий Л. 39
Майлс Л. (Miles L.) 260
Мак Рей Т. (McRae Т.) 52, ПО, 259
Максвелл К. (Maxwell J. С.) 20
Мандельштам Л. И. 24, 120, 258
Марков А. А. 249
Марчевский Е. (Marczewski E.) 259
Матнясевич Ю. В. 249
Мелса И. (Melsa J.) 261
Мизес P. (Mises R.) 213, 262
Митропольский Ю. А. 6, 25, 261
Михайлов Г. К. 257
Моисеев Н. Д. 174
Моисеев Н. Н. 14, 69, 92, 257, 260
Моитень М. (Montaigne M.) 227
Морделл Л. (Mordell L.) 26, 258
Морозов К. Е. 261
Мышкис А. Д. 257, 259, 260, 262,
Налимов В. В. 5, 9, 51, 52, 66, 67,
75, 93, 98, 154, П2, 257, 262
Напалков А. В. 258
Неймарк Ю. И. 108, 109, 213, 215, 261.
263
Некрасов П. А. 70, 260
265
Нильсои Э. (Nilson E. N.) 263
Ниссен-Мейер С. (Nissen-Меуег S.)
262
Новиков П. С. 249
Новожилов В. В. 5, 6, 25, 28, 251,
258
Ньюсои Ч. (Newsen С.) 258
Ньютон И. (Newton I.) 18, 28, 167,
253
Нэш Дж. (Nash J.) 59
Обухов А. Н. 121, 261
Овсянников Л. В. 30
Орловский X. (Orlowski H.) 262
Ормелл Ч. П. (Ormell С. Р.) 259
Островский А. Н. 44
Оттестед П. (Ottestad P.) 172, 262
Пальтов И. П. 261
Паиовко Я. Г. 257, 260, 261
Парс Л. A. (Pars L. А.) 262'
Паста Дж. (Pasta J.) 166
Пеано Г. (Peano G.) 256
Пекелис В. 263
Первозваиский А. А. 58, 125, 260
Петров Ю. А 259
Пешель М. (Peschel M.) 257
Платон 16
Пойа Д. (Polya G.) 27, 68, 71, 72, 73,
79, 87, 91, 95, 178, 208, 227, 234,
257 258
Полуно'в Ю. Л. 263
Попов Е. П. 261
Прагер М. (Prager M.) 29, 194, 258
Прутков К. 70, 85, 170, 260
Пуанкаре A. (Poincare H.) 27, 32, 73,
82, 253, 256, 258, 259
Пуассон С. Д. (Poisson S. D.) 256
Рабинович И. М. 206, 207, 209, 212,
262
Рагульскнс К. М. 146, 261
Райбмаи Н. С. 261
Рам Ж. (Ж. де Рам) (Rham G.) 258
Рассел Б. (Russell В.) 246
Рашевский И. К. 38, 259
Резерфорд Е. (Rutherford E.) 212,
213, 258
Рей А. К. (Ray А. К.) 263
Ретикус 207
Ришар 246
Ричарде Э. Дж. (Richards E. J.) 262
Роббинс Г. (Robbins G.) 15, 25, 35,
258
Розенброк X. (Rosenbrock H. Н.) 64,
65, 76, 89, 108, 114, 216, 231, 260
Ромпе P. (Rompe R.) 258
Рибенький В. С. 191, 262
Рябов Ю. А. 262
266
Саати Т. (Saaty Th.) ПО, 261
Салль Ф. (Salles F.) 259
Сасиени М. (Sasieni M. W.) 8, 116,
160, 257
Седов Л. И. 149, 150, 262
Сейд A. (Sade A.) 261
Скороход А. В. 25
Скьюис A. (Skewis A.) 40
Слобожанин Л. А. 81, 260
СнеллДж. (Snell I. L.) 261
Сойер У. У. (Sawyer W. W.) 258
Сокольников И. С. 53, 260
Солоноуц Б. Л. 220, 262
Сомов О. И. 191
Спиди К. (Speedy С.) 261
Спиноза Б. (Spinoza В.) 17
Спои У., младший (Spohn W. Yr.) 23,
258
Стори С. (Storey С.) 64, 65, 76, 89,
108, 114, 161, 216, 231, 260
Султангазин У. М. 14, 258
Тарский A. (Tarsky A.) 259
Твеи М. (Twain M.) 187
Тверски A. (Tversky A.) 260
Теодореску Н. (Teodorescu N.) 258
Томсон (лорд Кельвин) (Thomson W.
Kelvin) 120. 191, 252
Тредер X. (Treder H.) 258
Трнс Г. (Г. ван Трис) (Trees H. L. V.)
65, 260
Тукерман Б. (Tucherinan В.) 259
Тьюкк И. В. (Tukey J. W.) 259
Тэт П. (Tait P. G.) 191, 252
Тюпцов А. Д. 260
Уемов А. И. 260
Улам С. (Ulam S. М.) 8, 27, 65, 67,
105, 166, 189, 195, 257, 262
Уленбек Дж. (Uhlenbeck G. Е.) 260
Уолш Дж. (Walsh J. L.) 263
Урланис Б. Ц. 188, 262
Успенский В. А. 73, 260
Фаддеев Д. К. 232
Файртхорн Д. К. 105 .
Фаулкнес П. (Foulknes P.) 259
Федоров И. Г. 259
Фейнмаи P. (Feynman R. Р.) 152, 262
Феодосьев В. И. 8,. 108, 172, 177, 203,
204, 257
Филии А. П. 262
Финеттн Б. (Finetti В.) 260
Фишборн П. (Fishburn P.) 260
Фишер В. (Fischer W.) 261
Фомни С. В. 9, 257
Форд Дж. (Ford G. W.) 26'
Форсайт Г. (Forsythe G.) 2<>/
Фурье (Fourrier J.) 253, 256
Хан В. (Hahn W.) 259
Хакслк Дж. (Huxley J.) 209
Халмош П. (Haimos P. R.) 243, 244,
263
Харкевич А. А. 5, 257
Харлоу Ф. 166
Харчеико Ф. М. 6
Хевисайд A. (Heavyside A.) 65
Хемминг P. (Hamming R. W.) 4, 69,
146, 194, 195, 199, 204, 232, 257
Хенрици П. (Henrici P.) 262
Херш P. (Hersh R.) 258
Ходкиисон A. (Hodkinson A.) 211
Хорафас Д. (Chorafas D. N.) 8, 64,
169, 209, 216, 257
Худсон Д. (Hudson D. J.) 262
Хургин Я. М. 9, 161, 236, 257, 263
Целкова Н. В. 258
Чебышев П. Л. 253
Шабат Б. В. 159, 163, 262
Шаррюо A. (Charrneau A.) 80, 81
Шварц Дж. (Schwartz J.) 105, 263
Шлепентох В. 169, 262
Шмитт О. 73, 260
Ш рейдер 10. А. 68, 260
Штейнгауз Г. (Steinhaus H.) 50, 240,
259
Штофф В. А. 9, 257
Щерба Л. В. 251
Эллингтон 207
Эйлер Л. (Euler L.) 18, 20, 91, 211,
244, 250, 253. 256
Эйнштейн A. (Einstein A.) 52, 77, 82
Эренфест П. (Ehienfest P.) 205
Эшбн У. P. (Ashby U. R.) 39, 259
Юдович В. И. 257
Яновская С. А. 67, 260, 263
СОДЕРЖАНИЕ
Or авторов 3
Введение 7
ГЛАВА I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 1. Прикладное и теоретическое направления в развитии математики
1. Два основных источника математики; прикладное и теоретическое
направления . 15
2. Начальный этап развития математики 16
3. Научное Возрождение 18
4. Период доминирования теоретико-множественного направлении 18
5. Взгляд на современность 22
6. Что включать в математику? 26
7. Точки зрения иа прикладную математику 27
§ 2. О различии некоторых подходов в чистой н прикладной математике
1. Предварительные замечания 32
2. «Существование» в чистой и прикладной математике 32
3. Проблема бесконечности 35
4. Прикладная математика и число 38
5. Замечание о невозможных событиях 42
6. О понятии функции 44
7. Устойчивость относительно изменения параметров 45
8. О формальных и неформальных понятиях, об интуитивной
убедительности 50
9. О различии тенденций в процессе решения 51
10. О математической строгости 52
11. Примеры 55
12. Еще цитаты 64
§ 3. Рациональные рассуждения
1. Понятие рационального рассуждения. Примеры рациональных
рассуждений и их особенности 67
2. Типы рациональных рассуждений 74
3. Дедуктивные элементы рациональных рассуждений 93
4. Степень достоверности и вероятность 95
5. Контроль и повышение правдоподобности 98
6. О практической достоверности '. . . . 102
7. Рациональные рассуждения с позиций оптимальности 103
ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
§ 1. Математическая формулировка задачи
1. Предварительные замечания 106
2. О понятии модели 106
3. Требование адекватности ПО
4. Требования простоты и оптимальности 115
5. Феноменологические и полуэмпирические законы . 120
6. Число степеней свободы 121
7. Иерархии переменных 128
8. Пример разделения движений (действие вибраций на механические
системы) 137
268
9. О контроле модели 146
10. О математических моделях в механике 149
11. Об анализе решения 151
§ 2. Выбор метода исследования
1. Внешнее и внутреннее правдоподобие 154
2. О роли прикидок 162
3. Выбор степени точности метода 164
4. Дискретное и непрерывное 165
5. Линейность и нелинейность 168
6. Детерминированность н случайность 170
7. Устойчивость 173
8. Введение малого параметра 177
9. Интерполяция и экстраполяция 183
10. Еще о дедукции 188
11. Примеры и эталонные задачи 190
12. Уточнения . 192
,13. ЭЦВМ 193
ГЛАВА III. НЕКОТОРЫЕ СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 1. Ошибки
1. Психологические барьеры и инерционность мышления 205
2. Ошибки в выборе модели 207
3. Ошибки в выборе метода исследования 215
4. Математические ошибки' 217
§ 2. Проблемы подготовки специалистов
1. Математическое образование инженера 220
2. Воспитание математической интуиции 225
3. Методы рассуждения 226
4. Отыскание приемлемых решений 231
5. О формальных выкладках и упражнениях 233
6. О программах курса математики для прикладников 235
7. О преподавании дисциплин, использующих математику 238
8. О подготовке специалистов по прикладной математике 239
9. О публикациях 243
Примечании 245
Приложение. В. В. Новожилов. Прикладные математики — кто онн? ... 251
Литература 257
Именной указатель 264
ИЛЬЯ ИЗРАИЛЕВИЧ БЛЕХМАН,
АНАТОЛИЙ ДМИТРИЕВИЧ МЫШКИС,
ЯКОВ ГИЛЕЛЕВИЧ ПАНОВКО
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА:
предмет, логика, особенности подходов
Печатается по постановлению ученого совета
Физико-технического института низких температур
АН УССР,
Редактор Л. Н. Паныиина.
Художественный редактор И. П. Антонюк.
Оформление художника Д. Д. Грибова.
Технический редактор Г. А. Сергеев.
Корректор Р, С. Борисова.
Сдано в набор 3. I. 1974 г. Подписано к печати
12. I. 1976 г. БФ 078Q6. Зак. № 6-20. Изд. № 272.
Тираж 10000. Бумага № 1. Формат 60x90»/™. Условн.
печ. листов 17,0. Учетно-издат. листов 19,75.
Цена 1 руб. 48 коп.
Издательство «Наукова думка», Киев, ул.
Репина, 3.
Отпечатано с матриц Головного предприятия
республиканского производственного объединения
. «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР, г. Киев,
ул. Довженко, 3 на Харьковской книжной
фабрике «Коммунист» республиканского
производственного объединении «Полиграфкнига» Госкомиздата
УССР, Харьков, ул. Энгельса, 11.