ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие...............................................  3

Г лава 7. Нелинейные системы автоматического управления 4

§ 7.1.	Основные типы нелинейных систем и характеристик 4

§ 7.2.	Изображение движений в фазовой плоскости ... 9

§ 7.3.	Автоколебания. Метод точечных преобразований 20

§ 7.4.	Системы с переменной структурой.................23

§ 7.5.	Методы «прнпасовывания» граничных значений 31

§ 7.6.	Приближенное исследование автоколебаний. Метод
эквивалентной линеаризации . . . ;.....................34

§ 7.7.	Метод гармонического баланса..................  40

§ 7.8,	- Устойчивость в малом, большом и целом.........43

§ 7.9.	Второй (прямой) метод Ляпунова..................48

§ 7.10.	Абсолютная устойчивость......................  50

Глава 8. Имульсные системы автоматического управления . . 73

§ 8.1.	Понятие об импульсных системах автоматического
управления............................................ 73

§ 8.2.	Исследование устойчивости и качества систем управ-
ления с амплитудно-импульсной модуляцией. ... 83

§ 8.3.	Исследование динамики цифровых систем автомати-
ческого управления ...................................105

§ 8.4.	Исследование систем с широтно-импульсной модуля-
цией .................................................118

§ 8.5.	Исследование систем с частотно-импульсной моду-
ляцией ..............................................128

Глава 9. Случайные процессы в автоматических системах управ-
ления .................................................142

§ 9.1.	Введение......................................142

§ 9.2.	Случайные процессы и их основные статистические
характеристики........................................144

§ 9.3.	Корреляционные функции случайных процессов 153

§ 9.4.	Спектральные плотности случайных процессов . . 166

§ 9.5.	Связь между корреляционными функциями и спект-
ральными плотностями случайного процесса иа входе
и выходе линейной системы . ..........................173

§ 9.6.	Расчет линейных систем при случайных воздействиях 180.

§ 9.7.	Синтез линейных систем с минимальной средней
квадратической ошибкой................................192

§ 9.8.	Случайные процессы в линейных импульсных систе-
мах ..................................................218

§ 9.9.	Нелинейное преобразование случайных сигналов 225

§ 9.10.	Статистическая линеаризация нелинейных элемен-
тов .................................................228

§ 9.11.	Расчет нелинейных систем методом статистической
линеаризации.........................................238
за 10. Методы теории оптимальных систем управления . . .	245

§ 10.1.	Общие положения. Постановка задачи. Классифика-
ция .................................................245

Общая постановка задачи оптимального управления 246
Классификация задач оптимального управления 252

§ 10.2.	Метод классического вариационного исчисления
(метод множителей Лагранжа)..........................254

Задачи с закрепленными концами и фиксирован-
ным временем .............................    254

Задачи с подвижными концами и нефиксированным
временем.................................. 261

§10.3.	Принцип максимума Понтрягина. Условие нормаль-
ности. Теорема об п интервалах. Вырожденные и
особые задачи .......................................267

Задача с закрепленными концами и фиксированным
временем....................................  268

Задача с подвижными концами	. 271

Задача максимального быстродействия ... 273
Задача с ограничением на фазовые координаты . . . 279
Вырожденные задачи............................282

Особые задачи ............................... 284

§ 10.4.	Метод динамического программирования. Теорема
Болтянского. Метод Кротова...........................285

Принцип оптимальности.........................287

Функция и уравнение Беллмана ................ 289

> Проблема обоснования метода динамического прог-
раммироваийя и достаточные условия оптимальности 294
Метод Кротова [11]. .	 296

§ 10.5.	Управляемость и наблюдаемость. Наблюдатели . 304
Управляемость.........................................304

Наблюдаемость и восстанавливаемость...........314

Обнаруживаемое™ ..............................319

Наблюдатели ..................................320

§ 10.6.	Методы синтеза оптимальных систем с обратной свя-
зью. Синтез оптимальных линейных систем по ин-
тегральному квадратичному критерию ...	. 326

Метод фазовой плоскости синтеза оптимальной по
быстродействию системы........................326

Синтез оптимальных линейных систем по интеграль-
ному квадратичному критерию.................  329

§ 10.7.	Стохастические оптимальные системы. Методы син-
теза. Методы оптимальной оценки состояния.
Принцип разделимости.................................351

Метод динамического программирования..........352

Синтез стохастической оптимальной линейной систе-
мы при полной информации о состоянии..........356

Синтез стохастических оптимальных систем управ-
ления при неполной информации ................ 359

Стохастическая линейная оптимальная система уп-
равления при неполной информации. Принцип раз-
делимости .................................... 382
§ 10.8.	Оптимальные дискретные системы...................388

Синтез оптимальной линейной системы при квад-
ратном критерии...................................389

Глава 11. Адаптивные автоматические системы управления . 402

§ 11.1.	Введение..................................402

§ 11.2.	Классификация адаптивных систем .................404

§ 11.3.	Самонастраивающиеся системы...............406

Регулярные методы поиска экстремума........408

Примеры поисковых самонастраивающихся	систем	.	425

Примеры беспоисковых самонастраивающихся
систем............................................440

§ 11.4.	Системы с адаптацией в особых фазовых состояниях	445

§ 11.5.	Обучающиеся системы .............................456

§ 11.6.	Адаптивные робототехнические системы	.	472

Заключение...................................................481

Приложения...................................................482

Список литературы............................................491

Предметный указатель.........................................494
7

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ

§ 7.1. Основные типы .
нелинейных систем
и характеристик

К нелинейным системам относят все
системы, которые не могут быть описа-
ны линейными дифференциальными
уравнениями. Множество нелинейных
систем настолько широко и многообраз-
но, что практически нельзя говорить о
едином «классе» нелинейных систем,
противостоящем классу линейных систем.
В данной главе рассмотрен значительно
более узкий, хотя и широко распростра-
ненный в практике управления, класс
нелинейных систем, характеризуемый
следующими особенностями: систему
можно представить в виде соединения
двух частей (рис. 7.1) — линейной части
ЛЧ, описываемой линейными обыкновен-
ными дифференциальными уравнениями
с постоянными коэффициентами, и нели-
нейного элемента НЭ. Нелинейный эле-
мент является безынерционным, и его
входная х и выходная у величины свя-
заны между собой нелинейными алгеб-
раическими уравнениями. Таким обра-
зом, нелинейность рассматриваемых си-
стем обусловлена нелинейностью стати-
ческой характеристики одного из ее эле-
ментов.

Если система содержит несколько
нелинейных элементов, то ее в некото-
рых случаях можно свести к рассматри-
ваемому классу, заменив нелинейные
элементы одним с результирующей ста-
тической характеристикой. Например, при параллельном,
последовательном или встречно-параллельном соединении
нелинейных элементов такое сведение выполнимо.

На рис. 7.2 приведен пример нахождения результирующей
статической характеристики двух параллельно включенных
нелинейных звеньев. Построив на одном графике характеристи-
ки 1' и II обоих звеньев, суммируем их ординаты и получаем
характеристику III эквивалентного звена.

На рис. 7.3 показано нахождение результирующей характе-
ристики двух последовательно включенных нелинейных звень-

ев. В первом квадранте по-
строена статическая харак-
теристика / входного звена
цепочки, во втором квадран-
те — характеристика // сле-
дующего звена, но так, что
оси ее повернуты на 90°: ось
абсцисс х2вх совпадает с осью
ординат характеристики /, а
ось ординат х2ВЬ1Х направлена
по отрицательной полуоси
абсцисс. Задаемся некоторым
значением х1вХ (точка /вых на
оси Х1вх)- Восставляем пер-
пендикуляр в точке 1 до пе-
ресечения с характеристикой
/ (точка 2); проводим из точки
2'линию, параллельную гори-
зонтальной оси, до пересече-
ния с характеристикой II
(точка 3). Отрезок Оа от на-

Рис. 7.3
чала координат до основания перпендикуляра, опущенного
из точки 3 на ось абсцисс, равен искомому значению х2виХ1
соответствующему х1вх. Но удобнее построить характеристику
III в четвертом квадранте, поэтому перенесем точку 3 с по-
мощью биссектрисы ОА квадрантного угла, проведя из точки
3 вертикальную линию 3—4 до пересечения с ОА (точка 4) и
из точки 4 горизонтальную линию 4 — 5 до встречи с продол-
жением перпендикуляра 1—2 (точка 5). Точка 5 принадлежит
статической характеристике III эквивалентного звена. Нахо-
дя аналогичным способом ряд точек и соединяя их плавной
кривой, получаем результирующую характеристику III.

Наиболее просто строится характеристика последователь-
ного соединения трех звеньев. Характеристики / и // распола-
гаются, как и в предыдущем случае, в первом и втором квад-
рантах, характеристика III третьего звена — в третьем квад-
ранте вместо биссектрисы с соответствующим поворотом осей
(рис. 7.4).

На рис. 7.5 построена результирующая характеристика
III нелинейного звена 1, охваченного нелинейной отрицатель-
ной обратной связью с характеристикой II (рис. 7.5, а). В пер-
вом квадранте (рис. 7.5, б) построена характеристика звена I.
Задаемся некоторым значением хВЬ1Х (точка 1) и найдем, чему
будет равно хвх при наличии обратной связи. Без обратной

Рис. 7.5

Рис. 7.4
связи xDX находится непосредственно из характеристики I: хвх
= Оа. Но при наличии отрицательной обратной связи отрезок
Оа будет равен результирующему входному воздействию: Оа =
=хвХ—<р (хвь1Х), гдеср (хвых) — характеристика обратной свя-
зи. Поэтому для нахождения хвх к Оа надо прибавить величину
воздействия обратной связи: хвх = Оа + <р (хвых).

Если во втором квадранте построить характеристику II
обратной связи хо.с = <р (хвых), направив ось х0.с влево,
то величина хвх будет равна сумме отрезков Оа и ОЬ, т. е. рас-
стоянию от точки 2 до точки 1. Перенеся этот отрезок измери-
телем по горизонтали вправо так, чтобы левый конец отрезка
лег на ось ординат, получим точку 3 результирующей статичес-
кой характеристики.

При положительной обратной связи хвх=Оа— <р (xBIJS)
характеристику II удобнее строить в первом квадранте, сов-
местив ось хо.с с осью хвХ (рис. 7.5, в). Искомая абсцисса Ос
результирующей характеристики III равна разности: Ос —
| = Оа — ОЬ, т. е. расстоянию Ьа между кривыми I и II.

Если же между нелинейными звеньями имеются разделяю-
щие их инерционные линейные, то систему уже не удается свес-
ти к рассматриваемому классу. Она относится к классу систем
с несколькими нелинейностями, в данной книге не рассматри-
ваемому.

Если передаточная функция линейной части равна W (s) =
= М (s)/N (s), а уравнение нелинейного элемента имеет вид
'У = ф (х), то дифференциальные уравнения системы

W(p)x = M(p)tf-i/);|

У = Ф (х),	/

|где р = d/dt, или

N (Р)х + М (р) ср (х) = /И (р) f.

Часто систему приводят к виду

dxjdt— у a^Xj + btf, i = 1, 2, ..., и;

/= i

х„ = ф (о);

(7.16)

(7.1в)
Так, например, описывается система регулирования с сер-
вомотором, имеющим нелинейную характеристку <р (о). Серво-
мотор воздействует на одну из координат хп, его входная вели-
чина о в общем случае есть линейная функция остальных ко-
ординат. В частном случае, когда все сг, кроме одного, равны
нулю, уравнения (7.1 в) переходят в уравнения (7.16).

Некоторые наиболее распространенные типы нелинейных
характеристик показаны на рис. 7.6. Характеристика 1 свой-
ственна системам с насыщением, характеристика 2 — электро-
магнитным устройствам с гистерезисом, характеристика 3 —
выпрямителям.

В практике часто встречаются элементы, характеристики
которых кусочно-линейны или аппроксимируются кусочно-
линейными графиками. Кривая 4 изображает кусочно-линей-
ную аппроксимацию кривой намагничивания, кривая 5 — ха-
рактеристики с насыщением, кривая 6 — характеристики иде-
ального выпрямителя. Кусочно-линейными характеристиками
обладают: идеальное поляризованное реле (кривая 7), трехпо-
зиционное поляризованное реле с зоной нечувствительности
(8), трехпозиционное реле с зоной нечувствительности и гис-
терезисом (9), у которого величина срабатывания Оа больше
величины отпускания Ос, двухпозиционное реле с гистерези-

Рис. 7.6
сом (10), например поляризованное реле, которое не имеет ус-
тойчивого, отключенного состояния и контакт которого всегда
замкнут в ту или другую сторону. Механизмы с мертвым ходом
имеют характеристику, изображенную кривой 11. При сцеп-
лении передач перемещение ведомой шестерни происходит в
одну сторону по линии А, в противоположную — по линии
Б. При изменении направления движения, пока выбирается
мертвый ход, ведомая шестерня неподвижна (горизонтальные
участки). Сходную характеристику имеют и элементы с сухим
трением, если по оси х откладывается прилагаемое к подвиж-
ной части усилие, а по оси у — ее перемещение. Кривая 12 изо-
бражает характеристику нейтрального электромагнитного ре-
ле с гистерезисом.

Для последующего изложения полезно в рассматриваемом
классе нелинейных систем выделить подкласс (0, оо), у кото-
рого характеристика <р (х) проходит через начало координат
и укладывается в прямых углах, образованных осями х и у
и лежащих в первом и третьем квадрантах. Поскольку первая
ось. имеет угловой коэффициент 0, а вторая оо, введено обозна-
чение подкласса (0, оо). Внутри угла характеристики могут
располагаться произвольно, сколь угодно близко подходить к
сторонам угла и частично с ними совпадать. К этому подклас-
су относятся кривые 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Внутри подкласса
(О, оо) иногда выделяют более узкий подкласс (0, /<), у кото-
рого характеристики лежат в острых углах, образованных осью
х и проходящим через начало координат лучом с угловым коэф-
фициентом К, лежащим в первом и третьем квадрантах. К дан-
ному подклассу относятся характеристики 1, 3, 4, 5, 6, 8 и 9.
Характеристики 2, 10, 11 и 12 к отмеченным подклассам не
относятся.

§ 7.2. Изображение движений в фазовой плоскости

Когда движение можно описать координатами х и у посред-
ство^ уравнений dx/dt = Д (х, у) и dyldt — f2 (х, у), то для ис-
следования часто оказывается удобно изобразить двйжеиие
на плоскости в прямоугольной, системе координат х и у. Коор-
динаты х и у в этом случае называют фазовыми координатами,
время t в явном виде в изображение движения не входит.
Косвенно оно отражается так: каждому моменту tK соответст-
вует фиксированное значение координат х (/к) и у (/„), изоб-
жаемое в осях х и у точкой. При изменении t изображающая
точка перемещается по фазовой плоскости, прочерчивая на
ней линию, называемую фазовой траекторией. Для каждого
конкретного случая движения из начальной точки х (t0), y(t0)
на исходящей из точки траектории можно отметить положения
изображающей точки в моменты tlt t2,... (рис. 7.7) и таким об-
разом ввести переменную t в изображение движения. Но так
как одной и той же точке х, у вообще могут соответствовать раз-
ные значения t на совокупности фазовых траекторий — фазо-
вом портрете системы, дающем общее представление о ха-
рактере движения, то такие отметки времени не делаются, хотя
в отдельных частных примерах они могут быть полезными.

Изображение всей совокупности возможных движений на
фазовой плоскости часто оказывается весьма удобным благода-
ря наглядности. Наиболее распространен такой способ изоб-
ражения, при котором используют две фазовые переменные: ос-
новную координату х и скорость ее изменения у = dxtdt.

Величины х и у представляют фазы движения, что и послу-
жило основанием введения термина «фазовая плоскость».
В дальнейшем, если это не оговорено особо, мы будем пользо-
ваться именно этими фазовыми переменными. Уравнения при
этом будут

dxldt = у, dyldt = f (х, у).	(7.1г)

Поделив второе из уравнений (7.1г) на первое, получим диф-
ференциальное уравнение интегральной кривой на фазовой
плоскости:

dyldt = f(x, у)/у.	(7.2)

Его решение дает уравнение кривых в конечной форме. Ин-
тегральная кривая или совпадает с фазовой траекторией, или

состоит из нескольких фазовых траек-
торий в более сложном случае.

Из (7.1г) и (7.2) устанавливается
ряд важных особенностей фазового
портрета:

1.	Если f (х, у) определены в неко-
торой открытой области /?, непрерыв-
ны в этой области и имеют непрерыв-
ные частные производные по своим
аргументам, то через всякую точку
фазовой плоскости, за исключением
состояний равновесия (особых точек), в которых одновремен-
но у = 0 и f (х, у) = 0, проходит единственная интегральная
кривая (теорема Коши). Это, в частности, означает, что фа-
зовые траектории не пересекаются в неособых точках подобно
силовым линиям магнитного спектра, что обеспечивает на-
глядность картины.

Иногда приходится иметь дело с функциями f(x, у), не удов-
летворяющими условиям Коши (разрывными, имеющими из-
ломы, неоднозначными и т. п.). Тогда движение исследуют по
участкам, на каждом из которых f (х, у) удовлетворяет усло-
виям Коши. В тех случаях, когда / (х, у) неоднозначна и каса-
тельных к траекториям в одной точке может быть несколько,
прибегают к изображению движения на многолистной плоско-
сти так, что на каждом листе условия Коши удовлетво-
ряются.

2.	Так как при у = dxldt~>Q значение х только возраста-
ет, то в верхней фазовой полуплоскости при возрастании t изо-
бражающая точка движется по фазовой траектории слева на-
право. Соответственно в нижней полуплоскости движение про-
исходит справа налево. Направление движения на траекто-
риях отмечают стрелками.

3.	В точках у = 0, f (х, у) =/= 0, т. е. в неособых точках оси
абсцисс, фазовые траектории пересекают ось абсцисс под пря-
мым углом сверху вниз в правой и снизу вверх в левой полу-
плоскостях.

4.	Значениям у = 0, f (х, у) = 0, т. е. особым точкам на
оси абсцисс, соответствует остановка движения. Решения урав-
нений f (х, у) = 0, у = 0 дают значения абсцисс точек равно-
весия системы. Решение f (х, у) = 0, которому соответствуют
х = 0, у = 0, является тривиальным решением. В нелинейной
системе в зависимости от вида функции f существует одно или
множество решений, часть из которых могут быть устойчивы-
ми, а часть — неустойчивыми, поэтому в общем случае нельзя
говорить об устойчивости или неустойчивости нелинейной сис-
темы, можно говорить лишь об устойчивости или неустойчиво-
сти ее конкретных движений или состояний равновесия.

Некоторые наиболее характерные виды фазовых траекто-
рий, особых точек и других специфических линий рассматри-
ваются ниже на конкретных примерах.

•Линейная консервативная система второго порядка. Урав-
нение свободных колебаний линейной системы, в которой нет
сил сопротивления движе-
нию, приводящих к рас-
сеянию энергии, можно
привести к виду

х +cog х’=0.	(7.3)

В механической системе

наличие члена х, выражаю-
щего ускорение, обуслов-
лено массой движущегося
тела. Член соох выражает
позиционную силу, про-

порциональную перемеще-
нию. Она обычно обусловлена пружиной. Обозначив dx/dt —у,
cPx/di2 = dy/dt, получим

dx/dt = х;

dy/dt = —coq х.

(7.4)

Уравнение фазовой траектории dy/dx = — соол7у приво-
дится к уравнению с разделяющимися переменными ydy +
+ i£>oxdx и легко интегрируется в квадратурах

y2/2-|-wcU2/2=C2/2,

(7.5)

где произвольная постоянная С зависит от начальных условий;

С — ]/~Уо + <Оо Хд.

Уравнение (7.5) приводится к каноническому уравнению эл-
липса х2/а2 + уЧЬ2 = .1, полуоси а и b которого равны: а =
= С7о>0, b = С.

Фазовые траектории, представляющие собой семейство вло-
женных друг в друга эллипсов с центром в начале координат,
показаны на рис. 7.8. Движение по эллипсу соответствует неза-
тухающему колебательному движению с угловой частотой о,
которое является решением уравнений (7.4) при начальных ус-
ловиях х (0) = хс, у (0) = t/0, т. е.

х — sin со01 -р х0 cos<o01;
о>0

у == — <о0 хо s>n wo t + Уо cos wo

(7.6)
Для изучения характера траекторий часто удобно упростить
выражения, рассмотрев начало движения от одной из осей.
Так, если у0 = О, то

х —х0 cos t\ у= —w0 sin а>0 Л	(7.7)

Начало координат в рассмотренном примере представляет
собой особую точку, не принадлежащую ни одной из траекто-
рий и называемую точкой типа центра. Эта точка устойчива
по Ляпунову. Действительно, если задано положительное,
сколь угодно малое число е, то мы всегда можем выбрать эл-
липс, у которого большая полуось была бы меньше е, т. е. шах
(С/<1>0, С) < |е|, и далее выбрать х0 и у0 так, чтобы было уо +
-Тсоох2 < С2. Тогда х (t) и у (t) по модулю не превзойдут е
при любом /. Однако с практической точки зрения движение
консервативной системы трудно назвать устойчивым, посколь-
ку при наличии случайных помех возможно принципиально
неограниченное «блуждание» амплитуды колебаний. Консер-
вативную систему считают находящейся на границе устойчи-
вости. Это пример редкого исключения, когда определение ус-
тойчивости по Ляпунову вступает в противоречие с представле-
нием об устойчивости на основе «здравого смысла».

Система с сухим кулоновским трением. Пусть теперь в рас-
смотренной системе действует постоянная по значению сила
трения /тр, направленная навстречу движению. Для удобства
выразим эту силу в виде произведения cog на некоторое поло-
жительное число е, т. е.

—а>о е, х > 0.

Когда система движется, динамическая сила, создающая ус-
корение х, и сила пружины уравновешиваются силой тре-
нйя:

х + о>о х = /тр, х#=0.

Это имеет место, когда |<во*|>|/тр| или |х| > е. Тогда избыток
силы ыох — расходуется на создание ускорения. Если же
усилие, развиваемое пружиной, меньше силы трения, то систе-
ма не сможет сдвинуться с места:

; х-|-(дох = 0; | х| <.е,; х==0.
Таким образом, движение на разных стадиях описывается
различными дифференциальными уравнениями:

х + <Do х —

— too е, х>0, | х | > в;

О, х — 0, | х |

coo е, х < 0. | х| >е.

(7.9)

Уравнение с верхней правой частью определяет фазовую
траекторию в верхней полуплоскости, с нижней правой частью
— в нижней полуплоскости, средняя правая часть соответст-
вует отрезку покоя на действительной оси — е sg xsge. Этот
отрезок является геометрическим местом бесчисленного мно-
жества возможных точек равновесия.

В верхней полуплоскости движение определяется уравне-
нием

х + (Do (х + е) = (х + е)" + о)о (х 4- е) = 0, х > 0.

Сопоставляя с (7.3), видим, что это эллипс, центр которого
смещен в точку — е на оси х. Соответственно в нижней полу-
плоскости

х -f- (Do (х — е) = (х —е)" -'г (Do (х— е) = 0, х < 0,
имеем семейство эллипсов с центром в точке + е на оси х
(рис. 7.9, а).

Смещение эллипсов приводит к тому, что изображающая
точка, пересекая ось х, переходит на эллипс меньшего разме-
ра и в конце концов приходит на отрезок покоя. Так как к лю-
бой точке отрезка покоя фазовые траектории подходят сверху
и снизу, изображающая точка, попав на отрезок покоя, оста-
ется на нем; следовательно, отрезок покоя устойчив.

Ось абсцисс точками •— е, е делится на три части: внутрен-
нюю — отрезок покоя и две внешних |х| Z> е, на которых при
переходе из одной полуплоскости в другую происходит изме-
нение уравнения движения. Таким образом, ось абсцисс за
пределами отрезка покоя является линией перехода с одного
закона движения на другой. Такие линии называют линиями
переключения.

Уравнения движения, получаемые в результате решения
дифференциальных уравнений (7.9), при начальных условиях
х = х0„ у = у0 — 0 имеют вид:
1-й полуэллипс в нижней полуплоскости

х — е + х0 cos 0 < t <Z п/ч)0 = tx‘,

1-й полуэллипс в верхней полуплоскости

х = — е + (х0 — е) cos со0Л tr < t <Z 2^;

2-й полуэллипс в нижней полуплоскости

х = е + (х0 —- 2е) cos сооЛ.. и т. д.

Амплитуды последовательных колебаний убывают полиней-
ному закону (рис. 7.9, б), что качественно отличает характер за-
тухания колебаний в нелинейной системе с сухим трением от
экспоненциального затухания в линейной системе. Время за-
тухания в линейной системе бесконечно, в рассматриваемой не-
линейной — конечно.

В коротких и жестких пружинах возникает сила внутренне-
го трения от смещения сечений во время изгиба пружины.
Внутренние напряжения перпендикулярны смещающимся се-
чениям и пропорциональны деформациям. Сделав допущение,
что силы внутреннего трения, подобно силам сухого кулонов-

Рис. 7.9
(7.10)

ского трения, пропорциональны нормальным давлениям, а по
направлению — противоположны скоростям движения, полу-
чаем следующую систему уравнений:

х -4- (cog J- k2) к = 0, sign к — sign х;

х + (о>о —kz) х = 0, sign х — —sign х.

В первом и третьем квадрантах фазовой плоскости знаки
х и х совпадают и фазовыми траекториями будут отрезки кон-
центрических эллипсов с отношением вертикальной полуоси к
горизонтальной, равным Ыа = Vcoo + ^2- Во втором и чет-
вертом квадрантах это отношение равно Vtoo — k2- Фазовые
траектории скручиваются к началу координат (рис. 7.10).
Для малых kz движение будет близким к движению линейной
системы по уравнению

х + 2/гэ х ф to“ х = 0,

где h3 ~ fe2/(tooJi) •— эквивалентное демпфирование; соэ =
= со0 —• частота колебаний. 

Система с отрицательной восстанавливающей силой. Для
получения быстрых перебросов механических деталей из од-
ного положения в другое используют пружины, стремящиеся
увеличить возникающее отклонение (рис. 7.11). При малых .от-
клонениях от вертикальной линии (состояния равновесия)
уравнение системы будет

х — соо х = 0.	 ,	(7.11)

Уравнение фазовой траектории dyldx = <дох1у.
Интегрируя, получаем

tog xdx — ydy = 0;	|

1; fl2 = C2/w§; Ь2=С2. J ’ ’

Это уравнение гиперболы (рис.. 7.12). Начало координат
представляет собой особую точку типа седла, соответствующую

неустойчивому состоянию рав-
новесия.

Если упругая сила является
нелинейной функцией, т. е.
coo = ф (х), и при значении
х = х& обращается в нуль и ме-
няет знак, то на оси х фазовой
плоскости возникают две особые
точки: х = 0 (центр) и х = ха
(седло). Фазовый портрет систе-
мы показан на рис. 7.13. Траек-
тория, проходящая через седло-
вую точку и показанная на ри-
сунке жирной линией, делит фа-
зовую плоскость на три области
с различным характером движе-
ния: область I с замкнутыми
траекториями и равновесием
типа центра и области На и Пб
с Траекториями, уходящими в
бесконечность, и седловой осо-
бой точкой. Такие траектории,
разграничивающие области ка-
чественно различных движений,
называют сепаратриссами.

Линейная колебательная си-
стема с вязким трением. При
наличии силы сопротивления
движению, пропорциональной
скорости (так называемой силы
вязкого трения), уравнение си-
стемы будет-

х 4- 2hx -f- g>o х — 0;)	/7 13)

Л>0.	. I
При этом корни характеристического уравнения

«1,2 = —А ± 'K/i2—cog-

При комплексных корнях, когда h? <Z coo, имеем
sli2= —h ± ja, и = }Л(Оо—Л2.

Решая уравнения (7.13) при начальных условиях х (0) = х0.
у (0) = у0, получим

х = [(у0 +hx0)/a>] e~ht sin at + xoe~ M cos at. (7.14)

Для исследования характера траекторий поместим точку
х0, у0 на ось абсцисс. Тогда х (0) = х0, у (0) — 0 и

х = х0 е — ht (h sin at/а + cos at)',
у — —x0 e~ht (A2/o>2+ <d) sin at.

(7-15)

Кривые x (t) и у (t) представлены на рис. 7.14. Нетрудно
видеть, что каждое из последующих пересечений фазовых
траекторий с осью х будет ближе к началу координат, чем пре-
дыдущее. Траектории представляют собой скручивающиеся к

началу координат спи-
рали (рис. 7.15, а). На-
чало координат является
особой точкой типа фо-
куса'. любая траектория
с течением времени при-
ближается к ней сколь
угодно близко, но угол
вхождения траектории
в фокус установить не-
возможно, поскольку
dy/dx в точке х = у = 0
не существует.

При отрицательном
демпфировании h < 0
фокус неустойчив и
траектории будут от него
беспредельно удалять-
ся. Движение представ-
ляет собой колебания с
нарастающей амплиту-
дой (рис. 7.15, б).
Линейная апериодическая система с вязким трением.
Пусть h > 0, h2 > too, тогда корни характеристического урав-
нения системы (7.13) действительны и отрицательны. В фазо-
вой плоскости существуют прямолинейные фазовые траекто-
рии, проходящие через начало координат. В самом деле, пусть
существует траектория у = kx. Найдем k. Так как для этой
траектории dyldx = ylx = k, то dyldx = k = •— 2h —
— u>ox/y = — 2h — (Do/fe или k2 + 2hk + a>o = 0.

Таким образом, уравнение для k совпадает с характеристи-
ческим уравнением и, поскольку корни последнего веществен-
ны, существуют прямолинейные фазовые траектории, лежащие
между граничными траекториями Л и В, с угловыми коэффи-
циентами, равными значениям корней. Вид траекторий показан
на рис. 7.16. Вне найденных траекторий остальные траекто-
рии имеют вид параболического типа кривых, приближающих-
ся к началу координат и входящих в него под углами
arctg {min (slt s2)j. Прямая с наименьшим по модулю угловым
коэффициентом —это касательная к траекториям. Как видно
из рисунка, в таких системах число перерегулирований — не
более одного.

Точка равновесия — начало координат — в данном случае
является особой точкой типа узла. Все фазовые траектории
(за исключением двух изолированных траекторий, лежащих на
более круто расположенной прямой) имеют в узле общую каса-
тельную.

При h <Z 0 фазовые траектории имеют вид, показанный на
рис. 7.17. Эта картина соответствует неустойчивым решениям
§ 7.3. Автоколебания. Метод точечных
преобразований

Начнем с примера. В системах с положительными обрат-
ными связями при определенных условиях могут возникать си-
лы, приводящие к пополнению рассеиваемой на трении энер-
гии. В таких системах могут возникать незатухающие колеба-
ния.

На рис. 7.18 изображена схема лампового генератора. Учи-
тывая связь анодного тока ia с токами о, и tc, проходящими
соответственно через индуктивность и конденсатор колебатель-
ного контура RLC, составим для этого контура уравнение.

Ld2 iL/dt2 + Rdiddt + iL/C = — iJC.

Считаем характеристику лампы идеальной (рис. 7.19),
т. е.

. (/,

а |0, Ug<0.

Сеточное напряжение у g равно напряжению вторичной об-
мотки трансформатора ug = — MdiiJdt, поэтому, обозначая
Il — х, R/L = 2h, \!(d.C) = coo, получим

х 4- 2hx -ф ol>q х =

coo R х 2^0;

0, х<2 0

(7-16)

Фазовые траектории в верхней и нижней полуплоскостях в
соответствии с (7.14) представляют собой спирали, скручиваю-
щиеся к точке х = / на оси х в верхней и к началу координат
в нижней полуплоскости.

Рис. 7.19

Рис. 7.18
Рассмотрим движение, начинающееся в точке х0 = а на
оси х (рис. 7.20, а). Решение уравнения для фазовой траекто-
рии, выходящей из этой точки и проходящей в нижней полу-
плоскости, дается в (7.15). Для продолжения этой траектории
в верхней полуплоскости начальными значениями будут ко-
нечные значения х и у в момент времени = л/со. При t = tlt
у = 0 имеем

х— —xoe~h!i = —xoe~hn/a.

Уравнение движения по верхней траектории

х = I + Ae~h ('-'•> sin со (f—Q + Be~h U-t,) cos co (/ — /J.

Произвольные постоянные при поставленных начальных ус-
ловиях А = (h/a)(b + /), В — — (Ь + /), поэтому

х = / —(ft/со) (Ь 4- /) е~Л <'-'•> sin со (t ——

—(b + /) e-h cos со (t — t,J,
где b = xoe~hn/a — точка пересечения траектории с осью х
влево от начала координат. По истечении времени t = 2tr =
= 2л/со траектория снова пересечет ось абсцисс справа (точка
с)-

Значение с равно '

с— х (2л/со) = / + (Ь 4- /) е~Лл/“.

Обозначив е-Лл/ю = у, получим уравнения, связывающие
а, b й с:

с = 1>&4-(1 4-у) Г,

Ь = уа.

(7.17)
Эти уравнения определяют процесс преобразования точки
а на положительной полуоси х в точку с на этой же полуоси.
Если с < а, траектории будут скручиваться и генератор будет
совершать затухающие колебания. Если с > а, траектории
раскручиваются и колебания нарастают. Если с = О, колеба-
ния становятся незатухающими и траектория превращается
в замкнутый цикл (рис. 7.20, б). Уравнения (7.17), называемые
уравнениями точечного преобразования, позволяют найти па-
раметры цикла. Положив а = с, решим уравнения (7.17) от-
носительно а и Ь:

а = I /(1 — у); b = у//(1 -- у).	(7.18)

Если у #= 1, решение единственно и, следовательно, любая
другая точка в окрестности а уже не принадлежит замкнуто-
му циклу. Таким образом, найденный замкнутый цикл являет-
ся изолированным. Изолированную замкнутую траекторию на-
зывают предельным циклом. Предельный цикл окружен на-
вивающимися на него или скручивающимися с него
траекториями. Если в результате малого смещения с
цикла в любом направлении мы попадаем на траек-
торию, неограниченно приближающуюся к циклу, то цикл ус-
тойчив. Устойчивый предельный цикл соответствует устойчи-
вым колебаниям, называемым самовозбуждающимися или ав-
токолебаниями. Отклонение параметров автоколебаний (амп-
литуды, частоты и т. п.) малой помехой в процессе дальнейшего
движения уменьшается — этим автоколебания принципиаль-
но отличаются от незатухающих колебаний в линейных систе-
мах. Линейные генераторы не применяются, так как они не
обеспечивают устойчивого колебательного движения.

Пусть между с и а существует зависимость

с—Т(а),	(7.19)

где Т (а) — функция последования.

Если в результате возмущения точка сместится с цикла, то
по истечении периода получим приращения Да и Ас, связанные
зависимостью lim (Ас/Да) = dT/da.

Если dTlda < 1, то Ас < Да, начальное отклонение умень-
шается и предельный цикл устойчив, в противном случае —
неустойчив. В рассмотренном примере

с = у2а + (1 +т)/; ат/аа= у2 = е-2Л/“< 1,
поэтому предельный цикл устойчив.
фазовый портрет си-
стемы представлен на
рис. 7.20, б. В начале
координат имеем не-
устойчивый фокус. Где
бы внутри предельного
цикла ни находилась
изображающая точка, с
течением времени она
будет приближаться к
циклу. В такой системе
автоколебания возни-
кают «сами собой», от
сколь угодно малого воз-
мущен и я. Возбуждение
колебаний такого рода

Рис. 7.21

называют мягким. На рис. 7.21 представлен фазовый портрет с
двумя предельными циклами: внутренним неустойчивым и
внешним устойчивым. Начало координат — устойчивый фокус.
Движение, возникнув внутри внутреннего цикла, с течением
времени прекратится и автоколебания не возникнут. Чтобы
их возбудить, необходим достаточно сильный толчок, выводя-
щий начальную точку за предельный неустойчивый цикл. Это
система с жестким возбуждением автоколебаний. Примерами
таких систем являются стенные гиревые часы с маятником или
плохо налаженный микрофон в аудитории, когда резкое уси-
ление голоса оратора приводит к микрофонному эффекту. Не-
устойчивый предельный цикл соответствует наличию формаль-
ного периодического решения уравнений, но не физически су-
ществующим автоколебаниям. Он ограничивает в фазовой плос-
кости область допустимых начальных возмущений, при кото-
рых состояние равновесия еще остается устойчивым.

§ 7.4. Системы с переменной структурой

К системам с переменной структурой (СПС) относят систе-
мы, структурная схема которых изменяется при переходе изоб-
ражающей точки через границы некоторых заранее установ-
ленных областей фазового пространства. Примерами систем
с переменной структурой являются релейные системы, замы-
кающие или размыкающие часть схемы при переходе через ли-
нии переключения. В систе-
мах с переменной структурой
возможно при определенных
условиях получать виды дви-
жения — более высокого ка-
чества, чем в любой из отдель-
но взятых структур, обра-
зующих СПС. Один из спо-
собов построения СПС состоит
в «сшивании» желаемым обра-
зом отдельных областей фа-
зового пространства. Так, в
рассмотренной выше системе
с сухим постоянным трением
благодаря смещению фазо-
вых полуплоскостей замкнутые траектории превратились в
траектории, скручивающиеся к отрезку покоя. Еще более бы-
строе затухание при схождении траекторий уже не к отрезку
покоя, а к началу координат, т. е. при более высокой точности
управления, имело место в системе с переменным сухим тре-
нием. Упомянутые две системы можно рассматривать как сис-
темы с переменной структурой, в которых переход от одной
структуры к другой обусловлен внутренними физическими зако-
нами, действующими в данной системе. Любая из них может
быть воспроизведена искусственно путем введения в систему
переключающих логических элементов. На рис. 7.22 показана
СПС — аналог системы с переменным сухим трением. Схема
состоит из двух интегрирующих элементов, усилителей с коэф-
фициентами усиления woi и <оог и двухпозиционного поляри-
зованного реле Р, питаемого от блока произведения П. Реле ре-
агирует на знак произведения xdx/dt = хум осуществляет пере-
ключение цепи обратной связи по закону

2 (“оь ху>0\	; .

“о = {

I “02, ху< 0,
причем cool > <оо2- Уравнения системы

х + <оо] х — 0; sign х = sign х 5

х + “&2 х = 0; sign х = — sign х
и условия переключения ху = 0 подобны (7.10).

Другой способ состоит в получении вырожденных движений
по совокупности устойчивых фазовых траекторий. Если для йё-
которой линеинои подструктуры СП существует7 хотя бы один
действительный отрицательный корень характеристического
уравнения, то существует и соответствующая этому корню
совокупность устойчивых движений, занимающая в фазовом
пространстве некоторое подпространство.

'' Пусть характеристическое уравнение имеет т левых и п —
— щ правых корней. Тогда решение однородного уравнения
таково:

т	п

<=1	/=m4-i

где Bj — произвольные постоянные, соответствующие пра-
вым корням

Выбирая соответствующим образом начальные условия,
всегда можно обратить в нуль любую из произвольных по-
стоянных. Выберем их так, чтобы все Bj обратились в нуль.
Тогда оставшиеся члены образуют совокупность устойчивых
движений:

т

2	•	<7-2°)

1= 1

Если за фазовые координаты приняты х и ее производные
до п— 1 включительно, то первые т координат х, х, .... х"1-1,
удовлетворяющие (7.20), будут линейно зависимыми и образу-
ют подпространство, попав в которое изображающая точка бу-
дет двигаться в нем к состоянию равновесия.

Можно далее обратить в нуль и некоторые С,-, тогда порядок
подпространства понижается. Если обращены в нуль все Ct,
кроме одной С\, то подпространство вырождается в линию, про-
ходящую через начало координат.Такая прямая имеется на
рис. 7.12 и 7.16 и. соответствует частному решению с отрица-
тельным действительным корнем. Если оставить отличными от
нуля две постоянные Сг и С2, соответствующие либо паре дей-
ствительных, либо паре сопряженных комплексных левых кор-
ней, то подпространство вырождается в плоскость, вид траек-
торий в которой соответствует рис. 7.16 при действительных
и рис. 7.15 при комплексных корнях. Подбирая соответствую-
щим образом законы переключения, можно обеспечить обяза-
тельное попадание изображающей точки в подпространство
Рис. 7.23

устойчивых движений. Проиллюстрируем это на простом при-
мере (рис. 7.23). Уравнения системы

dx/dt — у, dyldt — + cooz.

Фазовые траектории для верхнего и нижнего знаков показа-
ны соответственно на рис. 7.12 и 7.8. Выбираем в качестве ли-
ний переключения линию у = — соох (устройчивую асимптоту)
и ось ординат х = 0. Поляризованное реле реагирует на ве-
личину

ф (*. у) = — coo sign [(у + соох)х].

Движение показано на рис. 7.24. Если оно началось в точ-
ке Ао, то идет сначала по неустойчивой гиперболической фазо-
вой траектории, затем по пересечении оси у переходит на эл-
липтическую, и попав на линию Л2О—подпространство вырож-
денных устойчивых движений, проходит по ней до точки рав-
новесия. Небольшие промахи при переключении, смещающие
изображающую точку с прямой (точка А 3), не нарушают устой-
чивости. Более сложные

Рис. 7.24

примеры рассматривают-
ся в специальной лите-
ратуре.

Весьма интересные
свойства имеют СПС, в
которых вырожденные
движения создаются по
искусственным линиям,
получаемым с помощью
подбора законов пере-

ключения

подпрост-
ранств, не являющихся сово-
купностью фазовых траекторий
системы. Частным случаем такой
СПС является релейная система
с линейной частью в виде двух
интеграторов. На рис. 7.25 пока-
зана простейшая релейная систе-
ма. Ее линейная часть, состоит

Рис. 7.25

из двух включенных последовательно идеальных интег-
раторов, нелинейным элементом (НЭ) является реле. Если реле
заменить линейным усилителем с характеристикой z = Ф (х)=
= Лх, замкнутая система будет линейной консервативной с
фазовым портретом в виде семейства концентрических эллип-
сов. Уравнения релейной системы

dx/dt = у; dy/dt = — Ф (х).	(7.21)

Уравнение фазовой траектории dy/dx = —Ф (х) у.

В случае идеального реле с характеристикой 7 (см. рис. 7.6)

z =Ф (х) =

k, х>0,
— k, х < 0.

Тогда из (7.21) получим

ду/дх = + k/y или у2/2 ± kx = С.	(7.22)

Верхний знак соответствует правой, нижний — левой полу
плоскости. Ось ординат является линией переключения. Фазо-
вые траектории — замкнутые кривые, образованные отрезка-
ми парабол (рис. 7.26). Введение зоны нечувствительности при-
водит к появлению отрезка покоя и полосы, образованной ли-

Рис. 7.26

Рис. 7.27
ниями переключения х — а и х = — а, внутри которой от-
резки траекторий горизонтальны (рис. 7.27). При наличии гис-
терезиса процесс расходится (рис. 7.28).

Стабилизировать подобную систему можно, охватив релей-
ный элемент отрицательной обратной связью по производной
выходной величины. В данной схеме этой производной равна
промежуточная координата у = dx/dt, по которой и вводится
обратная связь (рис. 7.29).

Для случая идеального реле получаем:

t/2/2 + kx = С; с = х + ау > 0;

у2/2 — h=C;c = x + ai/<0.

Линия переключения о = х + ау = 0 (рис. 7.30) представ-
ляет собой прямую, проходящую через начало координат и на-

Рис. 7.29

клоненную к оси абсцисс
под углом arctg (—1/а). На
линии переключения мож-
но выделить три характер-
ных участка, разграничен-
ных точками касания А и
В линии переключения с
показанными пунктиром
параболами. За пределами
отрезка АВ фазовая траек-
тория по одну, сторону линии переключения после перехода
через последнюю является продолжением траектории по
другую сторону линии. Внутри отрезка фазовые трактории
подходят к отрезку с двух сторон, встречаясь на нем. Попав на
отрезок АВ, изображающая точка уже не сможет сойти с не-
го, но не может и остаться на нем.

Скорость движения на АВ не определена, но специальные
исследования показывают, что она конечна и по значению ко-
леблется вблизи значения ординаты точки. Изображающая
точка будет скользить по отрезку к началу координат—точке
равновесия типа устойчивого узла. Отрезок АВ называют ли-
нией скольжения.

Уравнение движения вдоль линии скольжения

ау + х = adxldt + х = 0.

(7.23)

Как видно из уравнения, движение совершенно не зависит
от параметров линейной части и определяется только линией
переключения, т. е. обратной связью. Это исключительно важ-
ное обстоятельство используется при построении многих сисг
тем с переменной структурой.

На самом деле точное движение по линии скольжения не-
возможно, оно может иметь место лишь при мгновенном сраба-
тывании реле. Немгновенность его действия приводит к появле-
нию следующих друг за другом с большой частотой замыканий
и размыканий, т. е. к появлению высокочастотных вибраций-
вокруг линии скольжения. В электрических реле это приво-

Рис. 7.30
дит к обгоранию контактов. Поэтому вначале после обнаруже-
ния скользящих режимов они считались вредными и изыски-
вались пути их предотвращения. С появлением бесконтактных
реле скользящие режимы стали создаваться искусственно с
целью обеспечения заданного качества процесса управления
при сильно изменяющихся параметрах объекта.

Искусственно созданные скользящие движения интересны
тем, что закон движения в них определяется не исходными
уравнениями, т. е. не параметрами объекта, а параметрами
искусственно созданного подпространства скольжения.

Системы с переменной структурой позволяют получать ус-
корение протекания переходных процессов, повышать стати-
ческую и динамическую точность управления, противодейство-
вать влиянию внешних и параметрических возмущений.

В 1972 г. цикл работ по теории систем с переменной струк-
турой был удостоен Ленинской премии.

Многолистная фазовая плоскость. Если характеристика не-
линейного элемента неоднозначна, уравнение можно предста-
вить как совокупность уравнений с однозначными функциями
и каждому из уравнений этой совокупности поставить в соот-
ветствие некоторую определенную часть — «лист» фазовой
плоскости. Листы эти могут частично накладываться, тогда
имеем дело с многолистной фазовой поверхностью.

На рис. 7.31 показаны фазовые траектории для уравнений

dyldt — \/Тс при х < в; dy/dt = — 1/Тс при х >	— е;

dx/dt = у.

Подобными уравнениями описывается, например, движе-
ние объекта первого порядка без самовыравнивания при управ-
лении сервомотором постоянной скорости при наличии зазора
2е между чувствительным элементом и золотником. В этом слу-
чае фазовые траектории представляют собой параболы, распо-
ложенные на двух листах: лист а соответствует первому урав-
нению и лист б (заштрихован) — второму. Листы наклады-
ваются так, что их оси х и у совпадают. Разрежем листы по ли-
ниям переключения АА, В В и отрезку оси х и наложим их
друг на друга (рис. 7.31, в). Правее линий разветвления А А и
ВВ, через которые происходит переход с одного листа на дру-
гой, сверху лежит лист б, левее их — лист а. На рисунке
сплошной линией показана траектория, начинающаяся в точ-
ке М нижнего листа. В полосе — е «< х < е точка может
принадлежать обоим листам и, чтобы найти движение, начи-
нающееся в этой полосе, надо дополнительно указать, какому
листу принадлежит начальная точка, т. е. кроме значений х0
и у0 в момент t = 0 указать также знак производной (dy/df)0.
Так, если точка М лежит на листе a (dy/dt при t — 0 положи-
тельна), то движение пойдет по линии Mcit показанной пункти-
ром, поскольку она лежит на нижнем листе, и далее по траек-
тории с4; если же точка М принадлежит листу б, то движение
пойдет по траектории Л4с2с3.

§ 7.5. Метод «припасовывания» граничных значений

Метод «припасовывания», или «сшивания», граничных ус-
ловий представляет собой точный метод определения процес-
сов в кусочно-линейных системах. Для каждого из линейных
интервалов выписывают решение уравнения, в которое входят
неизвестные произвольные постоянные. Приравнивая те зна-
чения координат и их производных в конце предыдущего и на-
чале последующего интервалов, которые не совершают скач-
ков, находят произвольные постоянные.

Проиллюстрируем метод «припасовывания» на примере на-
хождения параметров автоколебаний в системе с идеальным
поляризованным реле с симметричной характеристикой (7 на
рис. 7.6).

Пусть линейная часть системы имеет передаточную функ-
цию W (s) = Р (s)/Q (з), полюсы которой — простые, левые.
Степень полинома Р ниже степени Q. Этим исключаются скач-
ки координаты х на стыках интер-
валов. Допустим, что автоколеба-
ния существуют и являются про-
стейшими, однопериодными: интер-
валы включения реле в каждом на-
правлении одинаковы (рис. 7.32).,
На интервале I искомый процесс

Xl=--C0- 2 cves<

V = i

О < t < Т/2,

где sv — полюсы функции W (s);
С01 Cv — произвольные постоян-
ные; Т — пока неизвестный период
автоколебаний; знак минус в фор-
муле указывает на действие отри-
цательной обратной связи в зам-

кнутой системе.

На следующем интервале II можно выделить две состав-

ляющие процесса. Для этого два последующих включения ре-
ле представим как наложение двух сдвинутых на Т/2 ступен-
чатых функций (рис. 7.32): М-1 (t) и —2/И-1 (t + Т/2), где
М — модуль выходной величины реле, известный из его ха-
рактеристики. Первая слагающая вызывает продолжение про-

цесса %! на интервале II:

х1(П-7'/2)= -Со- 2 CveSvU+r/2’-

•V — I

Переменная / теперь отсчитывается от начала интервала II.

Вторая ступенчатая функция вызывает реакцию, которую
можно вычислить по формуле Хевисайда:

x(/)=2MP(0)/Q(0) + 2M У P(Sv)e-V-.

V = I sv Q (sv)

Суммарный процесс на интервале II

хи(0 = -Со- 2, Cve	1 Q(o) +

v = [

П	- . s V 1

+ 2М У	.	(7.24)

v=. sv'Q'(sv)
7 но в силу симметрии характеристики реле, если однопериод-
ные автоколебания существуют, хп (t) будет равен х, (t)
с обратным знаком:

Хп (0 = — xt (t).	(7.25)

Из (7.25) и (7.24) получим

2С0

_ 2МЛ<°1 + V [cv(es-r/z
v =. L

2А1Р (sv) 1
svQ' (sv)J

ev‘ = 0.

(7.26)

Поскольку равенство (7.26) должно быть справедливым для
любых значений t, приравниваем порознь нулю свободный член
и множители при esv*, v = 1, п, тогда

Со = Л4Р (0)/Q (0),

Cv=

(sv)

MP (sv)
svQ' (sv)

[l-th(svT/4)l. (7.27)

Таким образом, все произвольные постоянные выражены
через известные коэффициенты и полюсы передаточной функ-
ции и через неизвестный период автоколебаний Т. Для на-
хождения Т составим уравнение периодов, для чего используем
условия переключения: на границах интервалов х проходит
через нуль.

Для конца интервала I

Со+ 2 CveSv г/2=0.

V = 1

Подставив Со и Cv из (7.27), получим уравнение периодов
в виде

МР (0) + у 2МР^)^Т/2	= 01	

Q (°) VI п',	s^r/21 л

v = l svQ (sv)(e +1)

или после несложных преобразований

Р(0)

Q (0)

" Р (S \

+ У [1 +th (sv 774)1 = 0.

*v<2 (М
Это трансцендентное уравнение с одним неизвестным Т.
Его решение удобно выполнять графически. После нахожде-
ния Т обязательна проверка выполнения условий переключе-
ния

sign хи (0) = —singnr/i (+0), sign хг (7/2) = — sign уи (0),
или в данном случае:

— у sv Cv < 0, или У —'-У- [1—th (sv 7/4)1 < 0;

v=l	v=l Q'

- V svCveSvT/2>0; У P S^- 11 + th (Sv7/4)1 >0-

В случае невыполнения условий переключения делаем вы-
вод, что автоколебания искомой формы не существуют.

В данном примере сделанное в его начале предположение о
том, что степень числителя Р передаточной функции линей-
ной части меньше степени знаменателя Q, существенно. В са-
мом деле, если линейная часть устойчива, то при одинаковых
степенях Р и Q в момент переключения реле переменная х
будет совершать скачок в том же направлении, в котором
сработало реле, что приведет вследствие действия обратной
связи к немедленному последующему включению реле после
скачка в противоположном направлении. Таким образом, при
равных степенях Р и Q условия переключения не будут
соблюдены и автоколебания искомой формы не возникнут,
зато при определенных условиях сможет возникнуть скользя-
щий режим.

§ 7.6. Приближенное исследование автоколебаний.
Метод эквивалентной линеаризации

Во многих динамических нелинейных системах периодиче-
ские движения на выходе инерционной линейной части, воз-
никли ли они в результате воздействия периодической, но не
синусоидальной, внешней силы или же возбудились как авто-
колебания, оказываются близкими к синусоидальным. Это да-
ет основание считать, что система обладает свойством низко-
частотного фильтра, пропускающего без ослабления основную
и существенно ослабляющего высшие гармонические. «Гипо-
теза фильтра», принимаемая по отношению к нелинейным си-
стемам с близкими к синусоидальным периодическими режима-
ми лежит в основе приближенных методов. По отношению к
близким к синусоидальным автоколебательным режимам при-
нимается другая гипотеза наряду с гипотезой фильтра —• ги-
потеза «авторезонанса», или «порождающей системы». В самом
деле, если нет вынуждающей периодической внешней силы, но
автоколебания возникают, причем по форме они близки к коле-
баниям в линейных системах, то естественно предположить,
что по отношению к периодическому режиму, наблюдаемому в
нелинейной системе, последняя близка к линейной, в которой
могут возбуждаться незатухающие колебания. Такую близкую
линейную систему называют порождающей. Если порожда-
щая система существует, то нелинейное дифференциальное
уравнение может быть разложено на сумму линейного с чисто
мнимыми корнями и нелинейного уравнения, которое обычно
представляют как нелинейную функцию координаты и ее про-
изводных, умноженную на «малый параметр». При обращении
малого параметра в нуль уравнение вырождается в порож-
дающее линейное.

Для приближенного анализа периодических режимов Пуан-
каре, Ван-дер-Полем и другими были разработаны методы,
малого параметра, строго обоснованные для нелинейностей,
выражаемых аналитическими функциями. Но в теории управ-
ления в большинстве случаев приходится иметь дело с неана-
литическими, разрывными и неоднозначными нелинейностя-
ми. Для таких систем получили распространение два типа
приближенных методов: эквивалентной линеаризации и гармо-
нического баланса. Для безынерционных нелинейных элемен-
тов обе этй группы методов по существу идентичны и дают сов-
падающие результаты.

Метод эквивалентной линеаризации в применении к одно-
значным безынерционным нелинейностям состоит в следующем.
Пусть передаточная функция линейной части замкнутой сис-
темы (рис. 7.1)

W (s) = К (s) /D (s).	(7.28)

Если трактовать р как символ дифференцирования р =
—dl'dt, то дифференциальное уравнение замкнутой нелинейной
системы

D (р) х + К (р) f (х) = 0.

(7.29)
Пусть f (х) — однозначная функция. Заменим ее суммой ли-
нейной функции и «малого» нелинейного слагаемого:

f (х) =? СХ +	(х).

(7.30)

Выберем с так, чтобы уравнение

ID (р) + сК (р)1х = 0,	(7.31)

получающееся при р -> 0, было порождающим, т. е. имело бы
чисто мнимые корни s1>a = ± /й. Такую линеаризацию и на-
зывают эквивалентной (она не обязательно совпадает с линеа-
ризацией посредством отбрасывания нелинейной части ряда
Тейлора: сх может отличаться от линейного члена ряда, а
р<р (х) может содержать и линейный член). Эквивалентную ли-
неаризацию удавалось иногда успешно применять и в таких
случаях, когда р не являлась малой или когда функция f (х)
не была аналитической и не разлагалась в ряд Тейлора.
В очень многих практических задачах при этом получалось
удовлетворительное приближение к истинному решению, но
строгого обоснования метода для таких задач в общем случае
найти еще не удалось.

Периодическое решение уравнения (7.31) приближенно
представляют так:

х0 (/) = A sin й I.

(7.32)

Выбор начала отсчета времени, при котором в решении
строят только синусную составляющую, не снижает общности,
если система стационарна. Амплитуда А пока не известна и
не может быть найдена из линейного уравнения. Получим ее из
нелинейного уравнения, воспользовавшись на этот раз гипоте-
зой фильтра.

В соответствии с этой гипотезой высшими гармониками на
выходе линейной части можно пренебречь и считать выход рав-
ным х0 ((). Тогда на вход нелинейного элемента поступает си-
нусоидальный сигнал х0 ((), а выходная его величина будет

у (t) у0 + A (g sin Ш + b cos Ш).

(7.33)
Коэффициенты g и b при основной гармонике и у0 находят
по формулам Фурье, так как (7.33) есть часть ряда Фурье:

2л

g =	f(/lsin4p) sin

о

2л

b-=-—f (Д sin ip) cos
b

(7.34)

2л

f (As in-ф) йф,

о

где; ф = й£.

' При симметричных нелинейных характеристиках, прохо-
дящих через начало координат, величина уа равна нулю. Ог-
раничимся в основном рассмотрением только таких характе-
ристик, Далее, так как f (х) однозначна,, то у (t) совпадает по
фазе.с х0 (0 й, в соответствии с (7.32) не содержит, косинусных
составляющих, т. е.

b == 0.	(7.35)

Так как высшие гармоники, пройдя через линейную часть,
в соответствии с гипотезой фильтра практически исчезнут и на
вход нелинейного элемента не пройдут, то при нахождении х
мы их можем не принимать во внимание и подставить в урав-
нение (7.29) только х = A sin Й/ и у — gA sin йй При этом

У (t) = g* = сх (0-

Таким образом, коэффициент с эквивалентной линеариза-
ции равен g. Так как g (А) — функция амплитуды А, характе-
ристика f (х) в результате линеаризации заместилась пучком
прямых, проходящих через начало координат и имеющих на-
клоны, различные для разных А. Из пучка надлежит выбрать
ту Прямую, при которой уравнение (7.31) становится порожда-
ющим с частотой решения, равной частоте автоколебаний;
Подставляя в (7.31) р = /й, получим

D (/Й) + g (А)К (/Й) = 0,
откуда

g (А) = -D (/Й)/Д (/Й) = - \1W (/Й) =

= — G (/й).	(7.36)
G (;Q) — это обратная амплитудно-
фазовая характеристика линейной
части. Так как g (Л) в рассматривае-
мом случае — действительное число,
то частота Q определяется точкой пе-
ресечения характеристики — G (/Q)
с действительной осью. Приравняв
—£(Л) длине отрезка от начала коор-
динат до пересечения — G (/Q) с дей-
ствительной осью, получим уравне-
ние, из которого можно найти А. Но
в общем случае эту задачу удобнее ре-
шать графоаналитически. Один из
методов графоаналитического решения

рассмотрен в следующем параграфе.

Если характеристика f (х) неоднозначна, то b отличен от

нуля, в выражении (7.33) присутствует косинусная составляю-
щая и выразить у = f (х) как линейную функцию х с действи-
тельным коэффициентом нельзя. Заменив в (7.33) х и у относи-
тельными переменными £ = sin Qt = х/А, т] = cos Qt = у/А,

после несложных преобразований получим

(g2 + b2) £2-W- Ь2 = 0.

Это уравнение эллипса, пересекающего ось £ в точках £0=
= ± b/(g2 + b2), а ось т] в точках т]0 — ± b. С помощью этого
эллипса можно определить значения g и b из опыта. Напри-
мер, сняв на осциллографе в осях £, т] гистерезисную петлю
при воздействии на вход синусоидального напряжения, заме-
ним ее приближенно эллипсом, проходящим через точки пере-
сечения петли с осями координат (рис. 7.33). Из приведенных
выше соотношений найдем

g=^ /1-Ь =
so

Поскольку линеаризация f (х) посредством функции сх в
данном случае невозможна, то порождающего решения в ука-
занном выше смысле не существует.

Но для установившегося периодического движения экви-
валентную линеаризацию дифференциального уравнения все
же можно формально выполнить, если аппроксимировать f (х)
линейной функцией не только х, но и его производной по вре-
мени. Так, в литературе получил широкое распространение
следующий способ линеаризации. Представим у в виде

у = gA sin й/ + (b/й) d (Л sin Q,t)ldt — (g + bp/Q) x.

Тогда (7 29) с учетом, что у — f (x), можно привести к виду
[О (р) + К (р) (§ + Ьр!£1)] х = 0.	(7.37)

Поскольку (7.32) удовлетворяет этому уравнению, то харак-
теристическое уравнение последнего имеет пару чисто мнимых
корней ±/Й и уравнение (7.37) можно в этом смысле назвать
порождающим. Но таких «порождающих» уравнений можно
написать бесчисленное множество, поскольку «линеаризую-
щих» уравнений нелинейного элемента

d (р) у = К (р) х,	(7.38)

которым удовлетворяли бы соотношения (7.32) и (7 33) также
существует бесконечно много. Для этого достаточно выбирать
коэффициенты полиномов d (р) и К (р) так, чтобы соблюда-
лись равенства

gd2 — bd2 = kr\ gd2 + bdx — k2,	(7.39)

где

d, = Red (/Й), d2 = Im d (/Й), kr == Re k (/Й),
k2 = 1шД(/й).

Так, например, пусть нелинейный элемент замещается
звеном второго порядка с передаточной функцией

W„.s (s) = К (ts + 1)/ (Ля2 + 7\s + 1).

Для данной функции dx = 1—Й2Л, d2 = Й7\, k, — Д,
k2 = Дйт. Подставляя последние выражения в (7.39), полу-
чим

g(l — й2 Л)~ ЬЙТ2= Д,
5йт2 + &(1-й2Л) = йдт.

Для нахождения четырех неизвестных Д, т, Л и Т2, имея
Два уравнения, двумя параметрами задаемся произвольно, а
яз уравнений находим два остальные

Подстановка (7.38) в (7.29) дает «порождающее» уравнение

[D (р) d (р) + Д (р) k (р)1х = 0.
Среди этих уравнений могут быть уравнения, имеющие ус-
тойчивые и неустойчивые решения с различными переходными
процессами. Любое из них пригодно для нахождения автоколе-
баний, но, если не дано специального обоснования для каждо-
го конкретного случая, в общем не позволяет исследовать ус-
тойчивость и неустановившиеся режимы. Поэтому эквивалент-
ная линеаризация по рассмотренному выше способу для нели-
нейных элементов с неоднозначными характеристиками может
быть использована только для нахождения параметров первых
гармоник автоколебаний, исследования же переходных про-
цессов, иногда рекомендуемые в литературе, с помощью описа-
ния нелинейного элемента уравнением (7.37) в общем случае
необоснованны.

§ 7.7. Метод гармонического баланса

Метод гармонического баланса не использует гипотезы по-
рождающей системы, а основан на следующих рассуждениях.
Разомкнем систему перед входом нелинейного элемента. В ав-
токолебательном режиме первые гармоники величин х и у на
входе и выходе нелинейного элемента соответственно равны:

х ~ A sin й/; у = A (g sin Qt 4- b cos Ш).	(7.40)

Эти уравнения более удобно записать в комплексной форме:
х= Ле*п*;

У = A (g 4- jb) = (g 4- Я x.

На выходе разомкнутой системы имеем

г = W (/й) (g 4- jb) х= W (/Й) <„,8 (Л) х.

Автоколебания в замкнутой системе будут существовать,
если выход и вход разомкнутой системы связаны соотношение

Рис. 7.34

ями z = — х, которые имеют место и в
замкнутой системе (рис. 7.34), или

[14-^ (Я) ^а.э(Л)1х=0.

Так как равенство справедливо для
любых t, приравняем нулю выражение
в квадратных скобках:

14-^(/Й)Гн.а(А)=0.	(7.41)
(7-42)

Из (7.41) легко получить равенства

W (j®)— 1 />и.э И) = -1 /(g + jb) = Gh.8 (А);

G (уй) = - Г„.э (Л) = -(g + jb).

Первое из этих равенств было впервые предложено Л. С.
Гольдфарбом (СССР), второе, независимо, но несколько позд-
нее, Р. Коченбургером (США).

Равенства используются для графоаналитического решения
задачи. '

По методу Гольдфарба строят (рис. 7.35, a): W (/£2) — амп-
литудно-фазовую характеристику линейной части системы;
— бн.э (А) = — 1/ (g + jb) = — 1/FH.S — кривую гармо-
нического коэффициента передачи, или, по американской тер-
минологии, описывающей функции. На первой точками отме-
чают ряд значений fij.Qg,..., на второй — значения Ах, А2,....
В точках пересечения кривых с помощью интерполяции между
соседними с ними значениями £2г, Qi+1 и Aj, Aj-+1 находят
значения частоты Qo и амплитуды Ао автоколебаний.

По Методу Коченбургера эти параметры сходным образом
находят по точкам пересечения кривых G (/й) и— П7Н,Э (А)=
= ~(g + jb) (рис. 7.35, 6).

Пример 7.1. Линейная часть системы состоит из двигателя по-
стоянного тока и безынерционного усилителя. Ее передаточная функ-
ция 

IT (s)=K/(s (Л Т2 s^T, s+ 1)J,

где .— электромеханическая постоянная времени; Т2 —- электро-
магнитная постоянная времени;. К — общий коэффициент усиления
линейной части.
Рис. 7.36

Нелинейный элемент — поляризо-
ванное реле с зоной нечувствительно-
сти. Реле срабатывает мгновенно. Его
статические характеристики

t

= f W =

0;

х > а;

— а < х < а;

х < — а,

где А4 = const.

Вычислить обратную амплитудно-
фазовую характеристику линейной

части. Подставляя в выражение обрат-
ной передаточной функции s = /R и разделяя вещественную и мни-

мую части, получим

G (jR) -= (I /К) [/R (I — R2 Г, 7'2) - R2 TJ.

8 (Л) = ^

Годограф О (/R) (рис. 7.36) пересекает действительную ось, когда
его мнимая часть обращается в нуль, т. е. при 1 — R§7'17’2 = 0. Ча-
стота Ro, обращающая в нуль это выражение, является одновременно
порождающей частотой, т. е. частотой автоколебаний

Ro =

Отрезок с действительной оси от начала координат до точки пере-
сечения равен с =? R37'1//< = 1/(/<7'2).

Из (7.34) определим ув — 0; b — 0;

л/2

g = [4М/(лЛ)] [ sin -[4Л4/(пЛ)] cos а ,
о

где а находят из соотношения х = A sin а = а, или cos а =
= У1 — а2Л43.

Окончательно

[4/И/(лЛ)] [/1— «2/Л2 , А > а;

0,	А < а.

Амплитуду колебаний найдем из уравнения

g (71) -- [4М/(лЛ)]	1 —dtl As -=с= 1/(/<7'2).

В данном случае решение можно получить аналитически:

Л = (2 ]/2 КТгМ/П) V1 ± л3 n2/(4/<3 Т^)-

Точка пересечения одна, но ей соответствуют два значения ампли-
туд. Первое (меньшее) получается при движении вдоль оси в направле-
нии возрастания А при движении вправо, при дальнейшем возраста-
нии амплитуды направление движения в некоторой точке изменится.
Второе пересечение получится при большей амплитуде при движении
влево. Если 4К27'2Л12 < л3а3 или а > 2КТ2М/'п, то пересечения харак-
теристик не произойдет и автоколебания не возникнут.
Об устойчивости автоколебаний. Рассмотренные методы по-
зволяют формально найти периодическое решение линеаризо-
ванного уравнения системы, но не все эти решения будут со-
ответствовать реально существующим автоколебаниям. Физи-
чески возможны лишь устойчивые периодические движения,
поэтому возникает проблема исследования устойчивости най-
денных периодических решений. К сожалению, пока не уда-
лось найти необходимых и достаточных условий устойчивости
решений, полученных методом гармонического баланса, в осо-
бенности для неоднозначных характеристик. Л. С. Гольдфарб,
используя критерий Найквиста, получил следующий крите-
рий. Пусть построены кривые W (/со) и — GH,3 (Л). Будем
двигаться по кривой — GH,3 (Л) в направлении возрастания
Л. Если разомкнутая линейная система устойчива, то той точ-
ке пересечения характеристик W (ja) и —• GH 0 (Л), в которой
мы входим в контур амплитудно-фазовой характеристики
W (/®), соответствует неустойчивое периодическое решение,
в точке же выхода из контура решение устойчиво и эта точка
определяет параметры автоколебаний. Так, на рис. 7.35, а
точке М соответствуют устойчивые, а точке W — неустойчивые
автоколебания. При использовании обратной амплитудно-фа-
зовой характеристики G (jto) и характеристики — WH,э (Л)
также двигаемся в направлении возрастания А. При этом ус-
тойчивые автоколебания соответствуют точке входа в контур М,
неустойчивые — точке выхода из него (рис. 7.36, б).

Показано, что для однозначных характеристик этот крите-
рий является необходимым, но не достаточным, хотя в практи-
ческих задачах он приводит к правильным результатам. Для
неоднозначных же характеристик пока не удалось обосновать
даже только необходимости или только достаточности крите-
рия.

§ 7.8. Устойчивость в малом, большом и целом

В нелинейных системах движение или равновесие, устойчи-
вое в малом, может оказаться неустойчивым при больших от-
клонениях и первый метод Ляпунова, рассмотренный в гл. 3 для
исследования устойчивости на основе уравнений линей-
ного приближения, уже недостаточен для полного исследова-
ния устойчивости в нелинейных системах.
Анализ устойчивости движения можно свести к анализу ус-
тойчивости равновесия (тривиального решения) в преобразо-
ванном фазовом пространстве отклонений. Исследуемое движе-
ние и его траекторию считают невозмущенными; предполага-
ется, что к моменту времени, принимаемому за начало отсчета,
возмущающие силы сместили изображающую точку с невозму-.
щенной траектории на другую — возмущенную, после чего их
действие прекратилось. Отклонения координат изображающей
точки х{хг, х2, .... хп} на возмущенной траектории в каж-
дый момент t от тех координат точки на невозмущенной траек-,
тории в тот же момент, которые имели бы место при отсутст--
вии возмущений, принимают за координаты нового фазового
пространства. На основе исходных уравнений движения со-
ставляют уравнения в этих отклонениях. Но если для линей-
ных систем уравнения в отклонениях были подобны исходным
или даже несколько проще их, то для нелинейных систем фор-
ма уравнения в отклонениях может оказаться значитель-
но более сложной, чем у исходных уравнений. Начало коорди-
нат нового пространства будет устойчивой точкой равновесия,
если устойчиво невозмущенное движение.

Если точка равновесия х = 0 устойчива, то вокруг начала
координат существует область притяжения траекторий—об-
ласть G (на рис. 7.37 однократно заштрихована). Если извест-
но лишь то, что область притяжения существует, то считают,
что состояние равновесия устойчиво в малом, т. е.устойчивость
гарантируют лишь при достаточно малых отклонениях.

 Пусть область-G существует.' Зададимся областью допусти-
мых начальных отклонений L, например, в виде гиперкуба

Рис. 7.37
с центром в начале координат, ребра которого параллельны
ОСЯМ координат и имеют длину 2Х (на рис. 7.37 — дважды
заштрихованный квадрат). В соответствии с определением
устойчивости Ляпунова равновесие устойчиво (в малом), если
можно выбрать такое X, что область L будет целиком принад-
лежать области G (рис. 7.37, а).

Для того чтобы определить устойчивость в большом, нуж-
но задаться, кроме того, областью Lo возможных (по техничес-
ким условиям) в данной системе отклонений. Зададим Lo так-
же в виде соосного с L гиперкуба с длиной ребра 2 Хо. Если
гиперкуб Lo целиком принадлежит области G, равновесие ус-
тойчиво в большом (рис. 7.37, а), если часть его находится
вне области G, равновесие устойчиво в малом, но неустойчиво
в большом (рис. 7.37, б). Математически сказанное формулиру-
ется так: если при наперед заданном положительном е (соот-
ветствует зачерненным квадратам е на рис. 7.37, а, б) можно вы-
брать другое положительное число X (е) такое, что при началь-
ных отклонениях xi0, удовлетворяющих условию

|х10|^Х, i = 1, 2, ..., п,

значения х, (/), i = 1, ..., п, при всех / будут удовлетворять со-
отношению

|хг (О I < е> i = 1, ..., п,

то равновесие устойчиво в малом.

Если, кроме того, возможные начальные отклонения удов-
летворяют условиям

max |х,0|—Хо, Хо<Х, i — 1,2, ..., п, (7.43)
то равновесие устойчиво в большом.

Если область G распространяется иа все пространство,
равновесие называют устойчивым в целом. Так как обычно
границы области G установить бывает трудно, об устойчивости
в целом судят по величине X: если она не ограничена, т. е.
условие |х£ (/)| < е соблюдается при любом сколь угодно боль-
шом X, имеет место устойчивость в целом.

Если приведенные условия соблюдаются при любом сколь
угодно малом е, говорят, что равновесие устойчиво асимпто-
тически.

Для исследования устойчивости в большом и целом исполь-
зуют специальные методы, из которых ниже коротко рассмат-
риваются два — второй (прямой) метод А. М. Ляпунова и ме-
(7.44)

тод В. М. Попова — для исследования абсолютной устойчиво-
сти (т. е. устойчивости в целом для определенного класса не-
линейностей).

Пример 7.2. Получим уравнения в отклонениях для исследования
устойчивости периодического движения

№ Ло sin (По / + ч>о);

У=Аи [g sin (П„ t -Ь<ро) + 6 cos (Qo Н“<Ро)1

выражающего основную гармонику автоколебаний и являющегося точ-
ным решением уравнения (7.31)

D (р) [Л sin (Н/ +<₽)]= + К (р) A [g sin (Qf + ср) + b cos (И/ ф-
+ <p)],	(7.45)

и приближенным решением уравнения (7.29). Считая (7.44), в котором
По = const и <ро = const, уравнениями невозмущенного движения, за-
дадим приращения двум основным параметрам Ао и Но (или <р0):

ДЛ = А — Ло; Дер — ср — <Ро = Д (П/).

Так как g и b зависят от А, они также получат приращения Ag
и Дй, но найти их непосредственно из (7.34) нельзя, так как в подын-
тегральные выражения теперь входит неизвестная функция времени
A (t). Чтобы обойти это затруднение, прибегают к приближенному на-
хождению Ag и Дб, для чего предполагают, что А изменяется настоль-
ко медленно, что в течение одного периода (Т = 2л/П0) оно мало от-
личается от постоянного и может быть заменено постоянным числом,
равным усредненному за период значению А. Тогда по (7 34) находят
g и b как функцию подобного изменяющегося ступенями от периода к
периоду аргумента А. Затем вводят еще одно допущение: в получен-
ных функциях g (А) и b (Л) аргумент Л является уже не ступенчатой,
а непрерывной функцией и приращения Ag и Д6 выражаются через ДЛ
следующим образом:

Ag = (dg/dA)0 ДЛ; АЬ = (дЬ/дА)в ДЛ.	(7.46)

Используя (7.45) и известные в математике выражения для пре-
образования действия линейного оператора М (р) (где М — полином,
а р = dldt) на произведения функций и (t) sin По (/), и (t) cos По/,
По = const, т. е.

М (р) [и (t) sin По/] = sin SiotMi (p) и (t) + cos Ho tM2 (p) и (t);

M (p) [u (/) cos H0Z] = cos (p) и (/) — sin HofM2 (p) и (t),
где Atj (p) = Re At (р + ]П0); A4s (p)= Im M (р-|-/П0), получим

sin П/ (Dj (p) (Л cos Ф) —D2(p) (Л sin ф)+К1 (P) [g (Л cos if>) —

—b (A sini]))]— /<2 (p) [р(Л sin ф)-Н> (Л cosip)])+cos Qt [D2 (p) (Л cosip)+
+ Dt (P) A (sin ф)+Кг (P) [g (A cos ф)—b (Л sin ф)] +7<i (P) [g (71 sin ф) +

+ b(A созф)))=0,
где

Dt (р) = Re D (p -b /Й);	(p) = Re К (p + /Й);

D2 (p) = Im D (p + /Й); X2 (p) = Im X (p 4~ /й);

Подставляя Ao + ДЛ вместо А и ф0 + Дф вместо ip, после преоб-

разований и отбрасывания малых высших порядков получим

sin (Йо t + '1’0) ([^1 (О)+£Го X. (0) —Ха (0)1 Л о 4- [ТА (р) + (g 4- Ag' )0 X

X Xj(p) —(!’+ Лй')0 Хг (Р)1 ДЛ—• [Оа (р) 4-йо Xj(p) + go Ха (р)] Ло Дф) ф-
ф-cos (й0 t 4~Фо) ([Оа (0) 4-й0 Хх (0) -|- g0 Хг (0)] Лоф- [D2 (Р) + (й +	' )0 X

XXi (р) + (Х+л§')оХ2 (р)[ Д^ + Pi (Pl+goK, (р)—й0Х2(р)] Ао Дф}=0,
где (g + ла§/ал)о = (g + Ag')0; (й + Лдй/дЛ)0 = (й + Лй')0.

Исключая уравнения установившихся автоколебаний

£>1 (0) + goX! (0) - й0Х2 (0) = 0;

©а (0) + g0X2 (0) - ЙОХ1 (0) = 0

и приравнивая порознь нулю коэффициенты при sin и cos получим

[£>х (Р) + (g + Ag' )о X, (р) - (Й + АЬ' )„ К2 (р)[ ДЛ -
— [О2 (р) 4-Йо X. (р) 4“ go Ха (р)] Л о Дф = 0;

(О2 (р) + (Й4- Лй' )0 К2 (р) + (g 4- Ag')0 ZC2 (Р)1 ДЛ 4-
4- [О, (р)4- go х, (р) —й0 Х2 (р)1 Ло Дф= 0.

(7.47)

Это линеаризованные уравнения в отклонениях параметров авто-
колебаний — амплитуды Л и фазы ф. Они значительно сложнее исход-
ного уравнения (7.45). Исследование устойчивости периодического дви-
жения в малом свелось теперь к исследованию устойчивости в малом
равновесия или тривиального решения ДЛ — 0, Дф = 0 путем при
ложения любого из критериев устойчивости к характеристическому
уравнению

Df (р) 4-	(р) 4- [X? (р) 4- Х| (Р)] [g2 4- 1>о + 71о (go g' 4- b0 й')] +

4~(2go4~ Ло g') [£>[ (р) X] (р) 4-7)2 (р) К2 (р)1 4~(2й04* Ло й') [О2 (р) ZCj (р)—

— Dt (р)Х2(Р)=0.	(7.48)

Эквивалентную гармоническую линеаризацию можно осущест-
вить по уравнениям (7.47).

«Медленность» изменения параметров Лиф позволяет сущест-
венно упростить приближенное исследование переходного процесса при
малых отклонениях.

п

Если D(p)=~a0+ У, avpv, то

v = 1

п	п

D (Р4“ /й) =»а04- У av (р+)’й)4 =»а04- У av (р/й4-j)v-
v=1	v=1

«Медленность» изменения означает, что скорость изменения функ-
ций в любой момент времени принимается малой в сравнении с й, но
учитываемой величиной, высшие же производные pvA и pvip считают-
ся в сравнении с £2 малыми высших порядков и отбрасываются. Прене-
брегая pv/Qv < 1, v > 1, оставляем в полиномах Dv Dz, и К2
свободные члены и члены, содержащие р в первой степени, и получаем
пару уравнений первого порядка для приближенного описания изме-
нения переменных

Ад = Л cos ф и Ад —A sin ф.

§ 7.9. Второй (прямой) метод Ляпунова

Второй (прямой) метод Ляпунова основывается на построе-
нии специальных функций Ляпунова, позволяющих получить
достаточные условия устойчивости равновесия в большом. В его
основе лежат две теоремы Ляпунова, приводимые ниже без до-
казательства.

Теорема 1. Если существует знакоопределенная функция
V (хп ..., хп), производная W — dVldt которой по времени в
силу дифференциальных уравнений движения или представля-
ет собой знакопостоянную функцию противоположного с V зна-
ка, или тождественно равна нулю, то невозмущенное движе-
ние устойчиво.

Теорема 2. Если, кроме того, функции W знакоопределена,
то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

Отметим, что знакопостоянной называют функцию, прини-
мающую при всех значениях своих аргументов только значения
одного знака или нулевое, а знакоопределенной — знакопо-
стоянную функцию, принимающую нулевое значение только
при нулевом значении всех ее аргументов (в начале координат).

Уяснить смысл функций Ляпунова и сформулированных в
приведенных выше теоремах условий устойчивости легко с по-
мощью понятий фазового пространства.

Если V (хъ .... хп) — знакоопределенная функция, то урав-
нение V (Х[, ..., хп) = С = const обычно определяет в фазо-
вом пространстве {хь ..., х„) замкнутую поверхность, охваты-
вающую точку Xi=0 (начало координат). Поверхность V =
находится внутри поверхности V — С2, если Ct < С2. При
приближении С к нулю поверхность стягивается в точку х=0.

Если в силу уравнений движения определенно-положитель-
ная функция Е с течением времени только убывает, т. е. dVldt
определенно-отрицательна, то это означает, что с течением вре-
мени изображающая точка переходит с внешних поверхностей
на внутренние, все время приближаясь к началу координат,
Рис. 7.38

которое в этом случае является точ-
кой асимптотически устойчивого рав-
новесия.

Задача о нахождении функции Ля-
пунова, которая для данной системы
дала бы необходимое и достаточное
условие устойчивости, весьма сложна
и практически пока неразрешима.
В зависимости от конфигурации фазо-
вых траекторий уравнение замкнутой
поверхности V = С, которая при
всех С пронизывалась бы траектория-
ми только снаружи внутрь или наоборот,

найти весьма труд-

но. Поэтому при отыскании функции Ляпунова им обычно за-
ранее приписывают некоторую форму, параметры которой

сравнительно несложно вычисляются по исходным уравне-
ниям движения. Если функцию заданной формы при этом
найти удалось, можно быть уверенным, что равновесие устой-
чиво. Если же это не удалось, это еще не означает, что равно-
весие неустойчиво, может просто оказаться, что функции
Ляпунова данной формы не существует, но существует функ-

ция другого вида.

Так, если фазовые траектории имеют вид, показанный на
рис. 7.38, и будем искать функцию Ляпунова в виде сферы V =
п

— Е xl, то это вряд ли удастся, так как траекторий всегда бу-
«— 1

дут в некоторых точках входить в сферу, а в некоторых — выхо-
дить из нее, хотя равновесие устойчиво.

Для линейных систем функции Ляпунова представляют со-
бой квадратичные формы координат, координаты которых на-
ходятся сравнительно несложно. Задаемся квадратичной фор-
мой с неопределенными коэффициентами

п

v = 2 akixk*i
k. Z=1

и находим коэффициенты ак ( из условия

dV7d/ = 2 dV/dxj-dxj/dt - — А 2

/=1	Г=1

(7.49)

(7.50)

где Д —любая постоянная. Подставляя в (7.50) выражения
dxi'dt из исходных уравнений движения и выражения dVldx,,
из продифференцированного уравнения (7.49), сравниваем ко-
эффициенты при одинаковых членах xhxl в левой и правой час-
тях и получаем алгебраические уравнения для нахождения ко-
эффициентов ак1.

Иногда функцию Ляпунова в виде квадратичной формы уда-
ется отыскать и для нелинейных систем, близких к линейным,
но вообще такое ограничение формы резко сужает возможно-
сти исследования. Довольно существенное расширение возмож-
ностей дает форма функции Ляпунова, предложенная А. И.
Лурье и В. И. Постниковым. Если нелинейность обусловлена
введением в линейную систему одного безынерционного нели-
нейного звена со статической характеристикой xh = <р (а),
принадлежащей классу (О, А), то функцию Ляпунова во мно-
гих случаях удается построить в виде «интеграл от нелинейно-
сти плюс квадратичная форма»:

О

V = /?(x) + bJ<p(£)dL	(7.51)

о

где квадратичная форма R (х) имеет вид

R (х) =х* Нх,
при этом х* — матрица-строка, полученная транспонирова-
нием вектора х, а Н — квадратная определенно положитель-
ная симметрическая матрица типа п. X п, элементы которой
постоянны и рассматриваются как искомые неопределенные
коэффициенты.

§ 7.10. Абсолютная устойчивость

Рассмотрим свободное движение в системе, состоящей из
линейной части с передаточной функцией W (s) и нелинейной
отрицательной обратной связи с характеристикой | — ф (о)
(рис. 7.39). Уравнения для этой схемы можно записать в виде
а = -1Г(5)Ё; | = ф(о); ф(0)=0.	(7.52)

Уравнения для линейной части записаны для изображений
Лапласа о и £ переменных о и Условие ф (0) = 0, наложен-
ное на функцию ф (), означает, что в точке а = 0,	= 0 си-

стема имеет состояние равновесия: пара <т = 0; £ =0 явля-
ется тривиальным решением дифференциальных уравнений
(7.52). Мы будем исследовать условия устойчивости этого со-
стояния равновесия, т. е. устойчивость тривиального решения.
Уравнения (7.52) можно записать
также в переменных состояния:

x=AxH-b£; | = <р(о); <у=с7'х,	(7.53)

где х — п-мерный вектор состояния;
д — постоянная (п X н)-матрица; с —
постоянный (и X 1)-вектор; b — по-
стоянный (n X 1)-вектор. Между пере-
даточной функцией W (s) и коэффициен-
тами уравнений (7.53) существует зави-
симость

U/(s)=c7 (A — sE)-1 Ь, (7.54)

Рис. 7.39

где Е — единичная матрица. Передаточная функция W (s)
для уравнения (7.53) в общем случае равна отношению полино-
мов:

W (s) = М (s)/D (s).

где степень полинома D (s) равна числу переменных состоя-
ния п. Равенство степени полинома D (s) числу переменных
состояния п существенно — это означает, что передаточная
функция W (s) невырождена, т. е. М (s) и D (s) не имеют оди-
наковых множителей вида s — X. При этом условии система
(7.53) полностью управляема и эквивалентна системе (7.52).
Степень полинома М. (s) вообще равна п— 1, но при некоторых
значениях коэффициентов ац матрицы А может быть и меньше,
вплоть до нуля. Если уравнения состояния имеют вид

x=Ax-f-bg; g = <p(cy); o = c7'x + ?L (7.55)

где q — отличное от нуля постоянное число, то степень М (s)
равна степени D (s).

Важной особенностью общей теории устойчивости нелиней-
ных систем указанного вида является то, что рассматриваются
не конкретные виды функций <р (•) (т. е. не параболы, экс-
поненты и т. п.), а классы функций, удовлетворяющих тем или
иным ограничениям. Если положение равновесия системы
(7.53) или (7.55) асимптотически устойчиво в целом при любой
нелинейной функции <р (•) из заданного класса, то она называ-
ется абсолютно устойчивой в этом классе. Мы будем рассматри-
вав класс функций <р (•), удовлетворяющих секторным ог-
раничениям. Их характеристики £ = <р (о), построенные в плос-
кости (о, Ij), укладываются в угловом секторе, образованном
двумя прямыми:

£ = ^о; £ = Као,

где К2 > Ki-

Про такие нелинейности говорят, что они относятся к клас-
су (Ki, К2) или что они принадлежат сектору (Кг, К2)- Нели-
нейности из класса (Кг, К2) определяются следующим услови-
ем:

Кт < ф (о)/о «5 К2для о О; q> (0) = 0.

Это условие равносильно неравенству

л (о, в) = (к2<7 - g) а - /CiO) > о. (7.5'6)

Левая часть Fx (о, £) является квадратичной формой вещест-
венных переменных £ и о. Очевидно, условие (7.56) является
частным случаем более общего условия

F (о, 5) > 0,

(7-57)

где F (о, Е) — произвольная квадратичная форма веществен-
ных переменных £ и о. Если характеристика £ — <р (о) или па-
ра (£, <р) удовлетворяет неравенству (7.57), то говорят, что она
удовлетворяет локальной связи с формой F (о, £). Наряду с
классом нелинейности, определяемым локальной связью, рас-
сматривают класс нелинейных характеристик, который зада-
ется интегральной связью.

Будем говорить, что характеристика Е = <р (о) удовлетво-
ряет интегральной связи с формой F (|, о), если существуют
последовательность оо и число Г > 0, такие, что выпол-
няется неравенство

b

(7-58)

. е. мы требуем, чтобы при возрастании t интеграл не стремил-
я к отрицательной бесконечности [III.

При выполнении локальной связи удовлетворяется и интег-
>альная связь с той же формой. Обратное утверждение не
гмеет силы. Существуют функции, удовлетворяющие интег-
ральной связи, но не удовлетворяющие локальной связи с той
ке формой.

Наконец, отметим, что при определении классов нелиней-
юстей ограничения могут накладываться не только на | и о,
но также и на производную о = dGldt. 11оэтому, когда такие
ограничения накладываются, будут рассматриваться связи с
квадратичной формой F (g, о, о).

Отметим некоторые подклассы (К\, К2).

Подкласс (О, К) удовлетворяет условиям

К2=К>0;

О	ч> (о)/о	К, если ст =£ 0; ф ((0) = 0,

(7.59)

или F (g, ст) = (Ко — g) g > 0.

Подкласс (0, оо) — любая ф (о), расположенная

только в первом и третьем квадрантах плоскости (о. Е):

0 ф (о)/о < оо; о=^0; ф(0)=0, |
или F (g, о) = og 0.	|

(7.60)

Для практических целей наиболее удобной формой опреде-
ления устойчивости нелинейных систем являются частотные
критерии, в которых используется запись уравнений в виде
(7.52) и частотная характеристика линейной части W
Для формулировки частотных критериев потребуется предва-
рительное преобразование квадратичных форм, входящих в
локальные и интегральные связи.. При этом используются по-
нятия эрмитовой формы и эрмитова расширения.

Напомним, что эрмитовой, формой от п действительных или
комплексных переменных z,,...,,zn называется многочлен

G (г)	аи zt zi = z*r Az,

:	'• 7=1

где А — эрмитова матрица, т. е. матрица, в которой элементы,
расположенные симметрично относительно главной диагона-
ли, являются комплексно-сопряженными числами (ai} = «,/*).
Здесь звездочка обозначает комплексное сопряжение, Т —
транспонирование [z* = (zi, z°2, .... zA)J. Эрмитова форма
принимает только действительные значения; Эрмитова форма
G (z):ot п комплексных переменных Zj,..., zn называется эрми-
товым расширением квадратичной формы G (х) от п действи-
тельных переменных хг, ... хл, если при z — х эти формы рав-
ны (G (z) | z==x = G (х)). В частном случае, когда квадратич-
ная форма G (х) представлена в виде произведения двух линей-
ных форм Gj (х) и G2 (х) [G(x) = Gi (х) G2 (х)], как легко про-
верить, ее эрмитовым расширением будет форма

. G (z) = Re [Gr (z) GHz)] =Re[GJ (z) G2(z)).	(7.61)
Пусть рассматривается локальная или интегральная связь
с формой F (В, о, о). При формулировке частотного критерия
используется следующее преобразование. Находится эрмито-
во расширение F (В, о, о) формы F (В, о, о). Знак ~ над пере-
менной означает, что она принимает комплексные значения.
Переменные В, сг, о можно рассматривать как изображения
Лапласа для переменных В, о, о. При использовании уравне-
ния а = — W (s) В (см. (7.52)), переменные о и о исключа-
ются, а затем в передаточной функции W (s) производится
подстановка s = /со. В результате получается частотная функ-
ция

F (В, /со) = F[B, — W (jo) В. —/со Г (/со) В ]•

В частном случае, когда F (В, о, о) представлена в виде про-
изведения двух линейных форм F\ (В, о, о) и F2 (В, ст, ст), в
силу (7.61) имеем

F (В, /со) = Re (F1(,> (со, В У F2ti> (со, В )],	(7.62)

где

Г1и(со, В) = F, [В, - W (/со) В, —/соUZ (/со) В ];

Г2ю(со,В)=Г2|В, -^(/со)Е~ -/соИ/(/со) В]-

Найдем частотные функции для нелинейностей подклассов
(/<\, F^2), (О, К) и (0, оо). Для подкласса (Кг, К2) из (7.56) и
(7.62) получаем F (/со, B)_Re{—П + K2W (/со)1* [1 +
+ /G М/(/со)]} В*1 или, так как В*? — III2.

F (ju, В )== - Re |( 1+К2 W (1 + Кг W (/со)] | В |2. (7.63)

Для подкласса (О,К), положив в (7.63) Кг = 0, К2 = 0,
имеем

В(/со,В)=-Ке[1+/<Г(/со)]|В|г.	(7.64}

Для подкласса (0, оо) из (7.60) получим

F (]<а, В) = Re о* В = —Re W (/®) 11|2	(7.65)

Введем понятие минимальной устойчивости.

Если равновесие х = 0 системы (7.53) будет устойчивым
хотя бы для какой-либо характеристики ср (о) из данного клас-
са, то равновесие называется минимально устойчивым в данном
классе. При использовании частотных критериев обычно начи-
нают с проверки минимальной устойчивости. Это проще всего
сделать для линейных систем, получающихся из системы (7.52)
путем замены нелинейной характеристики В = Ф (о) линей-
ной В*7 = На> Н = const, принадлежащей тому же классу.
Для нелинейностей из класса (К,, К2) выбирается р из условия
р < ^2* Система (7.53) минимально устойчива, если ха-
рактеристический полином замкнутой линейной системы

D (s) + р М ($)
удовлетворяет условию Гурвица или если матрица А =
= р Ьс7 имеет все собственные значения, расположенные сле-
ва от мнимой оси.

Квадратичный критерий абсолютной устойчивости. Пусть
функция Ляпунова для системы (7.53) ищется в виде квадра-
тичной формы

Е(х) = х7'Нх,	(7.66)

где Н — искомая положительно-определенная постоянная
симметричная матрица, которая ищется из условия, чтобы в
соответствии с условием устойчивости по Ляпунову полная
производная по времени V (х) была отрицательной в силу урав-
нений (7.53). Продифференцировав V (х) по времени и подста-
вив значения х и х7' из (7.53), получим

V (х) = х7' Нх + х7' Нх = (Ах + ЬВ)7' Нх 4-

+ х7' Н (Ах + ЬВ) = 2х7' Н (Ах + ЬВ) 0	(7.67)

для всех | и для всех х. (При получении (7.67) использовано),
что х7 Н (Ах + ЬВ) = (Ах + ЬВ)7" Нх, так как это скаляры.)
Однако найти Н только из одного неравенства (7.67) не-
возможно по той причине, что в нем не учтена связь между пере-
менными | их и эти переменные рассматриваются, таким об-
разом, как независимые. Если считать £ независимым от х,
то. при любом, заданном х всегда можно выбрать столь большое
положительное В, что 2 х7' Н (Ах + ЬВ) в (7.67) станет положи-
тельным и, следовательно, положительно-определенной матри-
цы н, при которой неравенство (7.67) удовлетворяется для всех
х и всех х, не существует. Для того чтобы решить поставлен-
ную задачу, надо учесть связь В = ф (с7х), добавив ее к не-
равенству (7.67). Наиболее удобно добавить эту связь в виде
условия

F (х, В) = F (В, о) > О,

(7.68)
где г — квадратичная форма (локальная квадратичная связь ,
Тогда Н выбирается из условия, чтобы выполнялись одновре-
менно неравенства (7.67) и (7.68). Эти два неравенства можно
заменить одним эквивалентным:

xF (g, х) + 2х7 Н (Ах + bg) < О,

(7.69)

где т > 0 — произвольная положительная постоянная.

Переход от двух неравенств (7.67) и (7.68) к одному нера-
венству (7.69) называют S-процедурой, так как первоначально
форма F обозначалась через S. Доказательство эквивалентно-
сти этих неравенств — «неущербности S-процедуры» —- слож-
но. Столь же сложно обоснование перехода от неравенства
(7.69) к неравенству (7.70), связывающему эрмитовы формы, —
оно основывается на теореме Крейна—Шмульяна. Эти доказа-
тельства, так же как и полное доказательство частотной теоре-
мы Якубовича — Калмана, о которой говорится дальше, не
приводятся. Более подробно об этом см. в [111.

Перейдем к комплексным переменным, при этом неравенст-
во (7.69) заменяется аналогичным неравенством для эрмитовых
форм, полученных из данных описанным выше способом, т. е,
неравенством

2 Re х* Н (Ах + bl) + F (f, с7' (/<оЕ - A)-1 bg) С О. (7.70)

В. А. Якубовичем и независимо Р. Калманом в 1962 г. бы-
ла доказана «частотная теорема» (называемая также леммой
Калмана — Якубовича), на которой, по существу, основывает-
ся современная теория абсолютной устойчивости. Примени-
тельно к рассматриваемому случаю содержание этой теоремы
можно изложить так: для того чтобы неравенство (7.70) выпол-
нялось для всех х и т. е. для того чтобы существовала функ-
ция Ляпунова вида (7.66), необходимо и достаточно, чтобы для
всех со выполнялось частотное условие

F [t, с7' (/соЕ — A)-1 bg ] sC 0,	(7.71)

или в другой записи

F (g, — W (/<о)1] <0.	(7.72)

Показать, что условие (7.71) необходимо, несложно. Так
как неравенство (7.70) должно выполняться для всех х, £, то
оно должно выполняться и для значений х, £, связанных соот-
ношением

Ах-|-Ь| = /их, т. е. при х— (/<оЕ—А)-1Ь
Но тогда х* Н (Ах + blj) = /сох* Нх. Так как х*Нх есть
вещественная эрмитова форма, то х*Н (хА 4-Ы-) — чисто
мнимое число Rex* (Ах + Ь£) = О и неравенство (7.70) вы-
полняется только если выполняется (7.71). Необходимость
условия (7.71) . оказана. Доказательства достаточности из-за
его громоздкости не приводим.

Перейдем к формулировке квадратичного частотного крите-
рия.

Пусть дана система (7.53), у которой матрица А не имеет
собственных значений на мнимой оси, пара А, b управляема,
а система (7.53) минимально устойчива в классе функций
<р (о)» удовлетворяющей локальной или интегральной квадра-
тичной связи с формой F (£, о) > 0.

Тогда для абсолютной устойчивости системы в классе дан-
ных функций достаточно, чтобы форма F (jw, £) была отрица-
тельной для всех <о, т. е. чтобы выполнялось неравенство (7.72)
для всех — оо<(0<+оо и любого £ =/= 0.

При этом в случае выполнения локальной квадратичной
связи абсолютная устойчивость будет также экспоненциальной,
т. е. можно’ найти такие две положительные постоянные
С> 0 и а > 0, зависящие лишь от коэффициентов уравнений
и формы f, что при любых t t0 решение уравнений (7.53) бу-
дет удовлетворять неравенству

Iх(/; t0, х0) |< |С х01 е -«	(7.73)

Из этого достаточно общего критерия для различных кон-
кретных видов формы F получаются различные более конкрет-
ные частные критерии. Рассмотрим некоторые из них.

Круговой Крит ер ий устойчивости.
Для 'нелинейностей из класса (Къ К2), удовлетворяющих не-
равенству (7.57), эрмитова форма F (/о>, §) имеет вид (7.63)
и неравенство (7.72) после подстановки (7.63) и деления на по-
стоянное число |£|2 принимает вид

Re (1 4- К2 W (/<o))* (1 4- KrW (ja) > 0.	(7.74)

Обозначим

W (Ju) = Р 4- /Q; Г* = Р — jQ,

гДс Р и Q — функции «. Подставив эти значения в (7.74), по-
лучим

1 4- (Кх + К,) Р + КЛг (Р2 + Q2} > 0.	(7.75)
Это неравенство определяет область, в которой должны рас-
полагаться частотные характеристики W (/со) линейной части
для того, чтобы нелинейная система из класса (Ki, К2) была
абсолютно устойчивой. Границу этой области получим, заменив
в (7.74) знак неравенства на знак равенства. Это будет уравне-
ние окружности с центром на вещественной оси в точке
----—|-	проходящей через точки — \!Ki и
— 1//<а на оси Р. Неравенство (7.75) требует, чтобы частот-
ная характеристика располагалась вне круга, ограниченного
этой окружностью. На рис. 7.40 слева построены запретные
области (заштрихованные) для характеристик <р (о) для разных

W(jw)

Рис. 7.40
значений Aj и Д2 и справа от них — соответствующие запрет-
ньге области для частотных характеристик W Ца).

Для нелинейностей из подкласса (О, К) окружность вырож-
дается в прямую, проходящую через точку — 1//< на оси Р,
параллельную оси jQ.

Для нелинейностей из подкласса (0, оо) окружность вырож-
дается в мнимую ось и внутренность круга перейдет в правую
полуплоскость.

Заметим, что круговой критерий справедлив и для неста-
ционарных характеристик £ — <p (t, о), если только они при
любом t не выходят за пределы данного сектора. В этом отно-
шении критерий является весьма сильным. Но он обычно дает

Рис. 7.40. Продолжение
слишком большую избыточность. Для стационарных характе-
ристик, принадлежащих классу (О, К), значительно меньшую
избыточность дает частотный критерий В. М. Попова.

Критерий В. М. Попова. Нелинейные характери-
стики из класса (О, К), как стационарные, так и нестационар-
ные, как было показано, удовлетворяют локальной связи (7.59)

Fi (Л, п) = (Ко — У £ >0.	(7.76)

Стационарные характеристики из того же класса удовлет-
воряют еще интегральной квадратичной связи по переменным
I и а.

Обозначим

Ф (о) = f ср (о) do. ,	(7.77)

о

Так как ср (о) > 0, то Ф (о) > 0. Поэтому, полагая

F2(g, о) = £о, .

для £ = ср (о); о = о (7) имеем

‘ о(.°

J F. [§(/), о (7)] dt = J <р[о(0Йо (7) ='

= Ф [о (7)]—Ф [о (0)] > — Ф [о (0)].	(7.78)

Таким образом, стационарная характеристика ср (о) из клас-
са (О, К) удовлетворяет локальной связи с формой Fl и интег-
ральной связи с формой F2.

Составим форму:

F& 0,0)=^^, o). + OF2(g, о),	(7.79)

где 0 — некоторое' вещественное положительное число.
Форма (7.79) удовлетворяет интегральной связи вида (7.58).

[ {F [I (7), о (7), о (7)]} dt > —ФФ [о (0)].
о

Найдем расширение формы F до эрмитовой. Расширение формы
Fj даио соотношением (7.69). Расширение формы F2

F2 = Reo I* = Re [-jaW (/<o)]| £ |2.

Тогда получаем

F №, f) = - Re [ 1 + KU7 (;Ш) -p W (»] | £ I2.
Частотное условие (7.72) принимает вид

Re [1 + KW (/со) + iu&W (/«)] > 0.	(7.80)

Подставив W (/со) = Р + jQ и разделив на К, получим

1/К + Р — cotQ>O.	(7.81)

где т=70-1 Минимальная устойчивость имеет место,
если линейная часть устойчива, т. е. если матрица А
имеет все собственные значения в левой полуплоскости. Дей-
ствительно, характеристика £ = 0 относится к классу (0, /0,
а при этой характеристике получаем линейную часть, которая,
по условию, устойчива.

Теперь сформулируем критерий В. М. Попова.

Пусть матрица А гурвицева (т. е. все полюсы передаточной
функции W (s) расположены в левой полуплоскости), пара А,
b управляема (т. е. функция W (s) невырождена) и система
(7.73) минимально устойчива. Тогда для абсолютной устойчи-
вости равновесия х = 0 для нелинейностей ср(-) класса (0, /()
достаточно, чтобы существовало такое число т, для которого
выполняется условие Попова (7.81) или (7.80).

Аналитическая проверка условия (7.81) для всех со весьма
сложна и выполнима практически в редких частных случаях,
поэтому для проверки используют либо графоаналитический
метод, либо вычислительный алгоритм, реализуемый на ЭВМ.
«Ручным» способом обычно является графоаналитический.
Для его использования дадим геометрическую интерпретацию
критерия (7.81).

Построим преобразованную частотную характеристику

Ц7П (/со) = Р + /coQ — Р + jQn,
у которой вещественная часть такая же, как у частотной ха-
рактеристики W (/со), а мнимая равна Qn = coQ. Очевидно,
что характеристика W" (/со) пересекает вещественную ось в
тех же точках, что и характеристика W Подставив coQ —
~ 0° в неравенство (7.81), получим

\!К + Р— tQ" >0.	(7.82)

Заменив (7.82) знак неравенства знаком равенства, получим
Уравнение прямой В. М. Попова. Она проходит через точку —
на вещественной оси под углом arctg т-1. Неравенство
(7-82) выполняется, если преобразованная характеристика
(/со) располагается справа от прямой Попова. Таким об-
разом, геометрическую трактовку критерия Попова можно из-


ложить так: система с устойчивой и вполне управляемой ли-
нейной частью абсолютно устойчива в классе стационарных
нелинейных характеристик — <р (о), лежащих в секторе
(О, К), если через точку — МК. на вещественной оси комплекс-
ной плоскости (Р, jQ) можно провести прямую так, чтобы пре-
образованная частотная характер истика W" (ja) лежала
справа от этой прямой.

На рис. 7.41 изображены случаи, когда условие Попова
выполняется при положительных т (рис. 7.1, а), при отрица-
тельных т (рис. 7.41, б), и случай, когда условие Попова не мо-
жет быть выполнено ни при каких т (рис. 7.41, в).

Примечание к критерию Попова.

1.	При выводе критерия Попова из частотного условия для облег-
чения доказательства принималось, что т > 0. На самом деле, если
условие (7.82) выполняется при отрицательном т, система также будет
абсолютно устойчивой. Доказательство этого здесь не приводится. Его
можно прочитать в [1, 5].

2.	При получении условия Попова считалось, что матрица А
устойчива, т. е. что все ее собственные значения лежат слева от мни-
мой оси. Но иногда приходится встречаться с системами, у которых это
условие не выполнено. Так, линейная часть часто бывает нейтральной
(астатической) и ее передаточная функция имеет один нулевой полюс,
т. е. полюс иа мнимой оси в начале координат, а остальные полюсы ле-
жат слева от мнимой оси. В этом случае можно воспользоваться слегка
модифицированным условием Попова. Вместо функции W (s) = 1170 (s)/s
(где UZ0 (s) не имеет полюсов на мнимой оси) рассмотрим функцию
1Е0 (s)/(s + р), где р положительно и сколь угодно мало. Если при
этом система замкнутая, образованная замыканием линейной части
линейной обратной связью £ = —ро (где 0 < р^ К предельно устой-
чива, т. е. устойчива и остается устойчивой при р -> 0), то все условия
критерия Попова относительно линейной части соблюдаются. Но так
как линейная часть при этом изменена, хотя и на бесконечно малую ве-
личину, зависящую от р, то, чтобы рассматриваемая система осталась
эквивалентной исходной, должна быть изменена и нелинейная часть.
Это изменение в данном случае состоит в том, что характеристика
/а\ теперь должна принадлежать не сектору (О,
(е' Л) т- е‘ Удовлетворять условиям

К), а сектору

е < <Р (аУ° К, или ° < ЧЧ (о)/о == Ф (о)/о — е < К — е,

6__малая положительная величина, зависящая от р и также

стремящаяся к нулю при р -> 0.

г Таким образом, практически можно пользоваться условием По
пова и в этом случае нужно только исключить из класса (0, К) те
характеристики <р (о), которые могут касаться вещественно^ оси.

Точно так же можно иногда и сследовать с помощью критерия По-
пова и системы, у которых матрица А имеет пару чисто мнимых кор-
ней при остальных корнях в левой полуплоскости и даже при наличии
неустойчивой матрицы А. Для этого делается замена переменной

£=li + gr*.

где g — такой n-вектор, что матрица А + bg3 становится гурвице-
вой. Для управляемой системы такой вектор g можно подобрать всег-
да. При этом получаем систему, эквивалентную исходной, но с другими
линейной и нелинейной частями и другими входом и выходом. Линей-
ная часть имеет передаточную функцию

W'i (s)= - [sE— (A + bg3)] b,

ее вход и выход равны = Е — grx, ох = х, а нелинейная часть удов-
летворяет теперь квадратичной связи

fi(Ei, x)=F [Ei + gs х, ст х, сг (Ац x + bJJ] > 0.

Если для этой новой нелинейности можно установить сектор
(0, К), в котором лежит характеристика Ei = фа (х), то можно восполь-
зоваться критерием Попова; если нет — нужно использовать частот-
ное условие (7.72) для новой нелинейности и новой частотной характе-
ристики (/со).

3.	Так как преобразованная частотная характеристика Wn (/со)
должна пересекать вещественную ось правее точки —1//С, то и исход-
ная частотная характеристика также должна пересекать вещественную
ось правее этой точки.

4.	Если уравнения системы заданы в виде (7.55), то должно быть
1 + Kq 0. В самом деле, при s -> оо имеем

(s)—сг (sE —А)-1 Ь-|<? —>£

и точка q должна лежать правее точки —\/К, т. е.

q > — 1/К; 1 + Kq > 0.

Таким образом, условие 1 + Kq > 0 справедливо, без него условия
Попова не могут быть выполнены, но оно следует из критерия Попова
и поэтому не должно включаться в него, как предварительно задавае-
мое условие.
5.	Приведем без доказательства алгоритм проверки условия
В. М. Попова [12]. Построим полином

| det (А — jcoE) р (К-Ч- Re [(1 + /сот) ст (А— /соЕ)~1 Ь]} =

= P(to)= P2ftC02fc,

*= о

где п — степень характеристического полинома линейной части.
Составим таблицу:

со2"	(п-1)	-РгРн
со2"-1	(-1)п2пР2п (-1)"-»2 (п-1) Р2	. . ,-2Р2  (-		Ра

<£>о=1 Ро

Первые две строки таблицы образованы из коэффициентов полино-
ма Р (/со) (первая строка) и из производных dP	(вторая строка).

Элементы остальных строк вычисляются по правилу составления таб-
лицы Рауса, приведенному в первой части*. Если элементы первого
столбца данной таблицы удовлетворяют условию

ЛЦ(-1)"Р2П. (-1)п2иР2п ... Ро] = п. Р2п>0,	(7.83)

где N — число перемен знаков в той последовательности, которая
заключена в (7.83) в квадратные скобки, то условие Попова (7.80) вы-
полняется при всех со.

Гипотезы М. Айзермана и Р. Калмана. Устойчивость в гур-
вицевом угле. Заменим в системе (7.52) нелинейный элемент
линейной отрицательной обратной связью:

£ = - ]Ш.	(7.84)

Тогда образуется линейная замкнутая система, характерис-
тический полином которой будет

D (s) + рЛ4 (s),	(7.85)

где М ($) — числитель, a D (s) — знаменатель передаточной
функции М (s).

* Для вычисления данной таблицы удобно пользоваться прави-
лом Рауса в следующей формулировке: каждая строка таблицы начи-
ная с третьей получается из двух предыдущих строк вычитанием из
первой строки второй, умноженной на отношение элементов первой из
этих двух строк и второй, стоящих в первом столбце. Затем полученная
строка сдвигается на один шаг влево.
. Эту систему называют системой сравнения. Пусть при вы-
полнении неравенства

Pm < Р < |1Л<	(7.86)

полином (7.85) гурвицев, т. е замкнутая линейная система ус-
тойчива. Наименьшее рт и наибольшее рга значения р, при ко-
торых система попадает на границу устойчивости, ограничи-
вают угол (рт, рм). называемый гурвицевым углом.

В процессе развития теории абсолютной устойчивости бы-
ли высказаны две гипотезы.

Гипотеза М. Айзермана. Пусть даны уравне-
ния (7.53), нелинейность принадлежит сектору (Кх, К2) и для
всех К € (Кд- К2) матрица А + ЬсгК гурвицева. Тогда нели-
нейная система абсолютно устойчива. Иными словами, по гипо-
тезе М. Айзермана, угол (К1Г Кг) равен гурвицеву углу (р,„,
рм), т. е. система абсолютно устойчива в гурвицевом угле.

Гипотеза оказалась в общем случае неверной (для нее был
указан противоречащий пример). Тогда была выдвинута гипо-
теза Р. Калмана.

Гипотеза Р. Калмана. Пусть в уравнениях (7.53)
нелинейность удовлетворяет условиям

(7.87)
do

и для всех К g (К,, К2) матрица А + ЬсгК гурвицева.
Тогда нелинейная система абсолютно устойчива.

Гипотеза оказалась неверной в общем случае.

Но для многих видов передаточных функций линейных час-
тей гипотезы либо М. Айзермана, либо Р. Калмана могут вы-
полняться. Отыскание условий, при которых выполняются эти
гипотезы, представляют существенный интерес для практики,
так как абсолютная устойчивость нелинейных систем, для кото-
рых гипотезы выполняются, может исследоваться по линейным
критериям. Можно сказать, что такие системы абсолютно ус-
тойчивы, если они минимально устойчивы.

Представим частотную характеристику W (/со) линейной
части в виде

IF (/со) = Ко 1^0 (/со); Го (0) = 1,

где Ко—передаточный коэффициент линейной части; И70 (/со)—
«нормированная» частотная характеристика с передаточным
коэффициентом, равным единице. Выберем Ко достаточно ма-
лым так, чтобы характеристика W (/со), а следовательно, и
Wn (/со) располагались правее прямой Р — — 1/К (рис. 7.42).
Пусть характеристика пересекает отрицательную веществен-
ную полуось и крайняя левая (т. е. наиболее удаленная от на-
чала координат) точка пересечения соответствует частоте coft.
Пусть частотная характеристика Wn (jco) такова, что каса-
тельная к ней в точке, соответствующей со = <//,, не имеет пере-
сечений с кривой, т. е. характеристика 1ГИ (/со) лежит правее
этой касательной, как показано на рис. 7.42. Назовем каса-
тельную MN, правее которой расположена кривая, предельной
касательной. Проведем через точку — \!К на вещественной
оси прямую, параллельную предельной касательной. Очевид-
но, что для нелинейностей из сектора (О, К) эта прямая будет
также прямой Попова. Начнем увеличивать Ко. Тогда размер
характеристики будет увеличиваться, но форма ее будет сох-
раняться и предельная касательная будет перемещаться вле-
во параллельно самой себе (пунктирные кривая и касательная
на рисунке). Когда Ко достигнет такой величины, что левая
точка пересечения характеристики попадет в точку — 1/К на
вещественной оси, будет иметь место равенство (®к)
— — МК, т. е.	(со„) = 1. Кривая Найквиста

разомкнутой системы К0К 1Го(/со), таким образом, пройдет через
критическую точку —1, 0 и устойчивость линейной зам-
кнутой системы нарушится. Но одновременно и предельная
касательная совпадет с прямой Попова и нарушится усло-
вие Попова для абсолютной устойчивости нелинейной системы
из класса (О, К). В данном случае верхняя граница гурвицева
угла совпадает с углом (О, К). Нижняя граница, правда, не сов-

падает, но нас она не интересует, поэтому мы назовем данную

Рнс. 7.42

систему абсолютно устойчи-
вой в гурвицевом угле. Гипо-
теза М. Айзермана для нее
справедлива в положитель-
ной части гурвицева угла.

Пусть теперь характери-
стика Wn (/со) такова, что
предельная касательная MN
к ней не проходит через край-
нюю левую точку пересечения
характеристики с отрицатель
ной вещественной полуосью
(рис. 7.43). В процессе возра-
стания Ко при некотором его
значении К01 предельная ка-
такой

сательная совместится с
прямой Попова и условие
Попова для абсолютной
устойчивости нарушится,
хотя линейная замкнутая
система с тем же значе-
нием KOi бУДет еЩе устой-
чивой. Нарушение ее
устойчивости произойдет
при значении К02 > К01,
когда точка, соответствую-
щая со == <ок частотной
характеристике, попадет
в точку— 1/К- Система с

не будет абсолютно устойчивой в гурвицевом угле, и для нее
несправедливы ни гипотеза М. Айзермана, ни гипотеза Р. Кал-
мана.

С помощью описанных построений можно в плоскости (о,<р)
построить секторы абсолютной устойчивости Sy, асболютной
неустойчивости SH и неопределенности. Вещественная ось и
прямая 5 = ^oi° ограничивают в первом квадранте сектор аб-
солютной устойчивости Sy (рис. 7.44). Прямая £ = К02ст
является нижней границей сектора абсолютной неустойчиво-
сти SH (заштрихован однократно), в котором линейная систе-
ма неустойчива и не соблюдены условия Попова. Между пря-
мыми £ = К01о и 5 = К02а заключен сектор неопределенно-
сти, в котором линейная система сравнения устойчива, но до-
статочное условие абсолютной устойчивости не соблюдается
и мы не можем утверждать, что система абсолютно устойчива,
но и не можем сказать, что она неустойчива.

Графоаналитический метод позволяет легко определить,
будет ли система абсолютно устойчивой в гурвицевом угле
(или его положительном секторе), но аналитическое опреде-
ление этого весьма сложно. В настоящее время установлено,
что нелинейная система из класса (О, К) устойчива в гурвице-
вом угле, если линейная часть состоит из любого числа последо-
вательно включенных устойчивых звеньев первого порядка.

В случае дифференцируемых монотонно возрастающих не-
линейных характеристик из класса (О, К), одновременно удов-
летворяющих неравенствам 0	< К, линейная часть

может кроме упомянутых звеньев первого порядка иметь в по-
следовательной цепи любое число колебательных звеньев,
передаточные функции которых имеют комплексные полюсы
Рис. 7.44

с отношением мнимой
части к вещественной,
не превышающим |/3 [5].

Определение автоко-
лебаний. Обычно при
приближенном определе-
нии автоколебаний ис-
ходят из предположе-
ния, что существует пе-
риодическое решение ис-
ходного дифференциаль-
ного нелинейного урав-
нения. В системах вто-
рого порядка, как сле-
дует из теоремы Бендик-
сона, действительно, ав-
токолебания, если они
существуют, будут пе-
риодическими. Но в си-

стемах более высокого порядка возможно существование не-
периодических незатухающих колебаний, которые могут и не
обнаружить метод гармонического баланса и другие методы,
основывающиеся на предположении существования периоди-
ческого решения.

В ряде случаев частотные методы исследования абсолютной
устойчивости и неустойчивости позволяют найти условия воз-
никновения не только периодических автоколебаний, но и не-
затухающих непериодических колебаний.

Расширим понятие автоколебаний на непериодические не-
затухающие колебания.

Пусть заданы два вещественных числа: а<0 и |3>0. Ре-
шение х (/) называется (а, |3)-колебательным по выходу ст (/),
если при оо выполняются условия:

а)	|х (01 < const;

б)	точка о (0 бесконечно много раз находится в каждом
из интервалов (—оо, а), (Р, оо) и, следовательно, в интервале
[а, р]. Если при этом время пребывания точки о (/) в каждом
из интервалов (—оо, а), (Р, оо) и (а. Р) (без выходов из него)
ограничено некоторой постоянной Т > 0, то колебание назы-
вается нерастягивающимся.

Если указанные свойства справедливы и. при /-> — оо,
то колебание называется двусторонним.,- . -	; нп
Двусторонние нерастягивающиеся колебания называются
автоколебаниями.

Упрощенный критерий колебательности. Рассмотрим систе-
му

о ——w (s) 5;

g =-<р (о).

Сделаем допущения:

1)	передаточная функция невырождена;

2)	система имеет единственное стационарное состояние
g = 0, о = 0, т. е. прямая ст + W (0)g = 0 пересекается с
графиком нелинейности <р (о) только в начале координат, ес-
ли det А =# 0, и с прямой 5 = 0, если det А = 0;

3)	существует производная <р' (0), функция <р' (о) кусочно-
непрерывна, линеаризованная в нуле система (т. е. система с
обратной связью g = — <р' (0) о) не имеет периодических ре-
шений;

4)	существует предел lim JEJIlL =
|а|-»оо о

Пусть для рассматриваемой системы построены секторы
абсолютной устойчивости и абсолютной неустойчивости. Тог-
да:

—	если график нелинейности <р (о) целиком расположен в
секторе устойчивости Sy, то система устойчива в целом;

—	если график <р (о) расположен целиком в секторе неус-
тойчивости S„, то система неустойчива в целом;

—	если график <р (о) при [ст| < о0 лежит в секторе неустой-
чивости SH, а при |о| > оу кривая <р (о) входит в сектор устой-
чивости и остается там, вокруг точки о = 0 возникают авто-
колебания [кривая <р (о) на рис. 7.441. При этом числа а, р
определяются как абсциссы точек пересечения характеристи-
ки <р (ст) с лучами, ограничивающими секторы неустойчивости
в верхней и нижней полуплоскостях.

Определение границ секторов абсолютной устойчивости
и неустойчивости выше иллюстрировалось на примере, где не-
линейность принадлежит сектору (0, Д), и использовался
критерий Попова. При нелинейностях из другого класса ис-
пользуются другие соответствующие частотные критерии.

Числа аир являются нижними оценками размаха колеба-
ний, истинная величина размаха может быть больше.
Пример 7.3. Покажем, как частотный критерий может быть ис-
пользован при неустойчивой линейной части.

Пусть передаточная функция К7 (s) равна

т. е. в состав линейной части входит неустойчивое звено.

Представим схему системы в виде, изображенном на рис. 7.45, а
н запишем уравнения в переменных состояния в виде

Xi = Pxi + x2; х2—— ах2 + ^; £ = <р(а); о= — xt. (7.89)

Иногда удается преобразовать линейную часть наиболее простым
способом, охватив ее отрицательной обратной связью:

5 =» 51 — gxt, g > О,

где g — скалярная постоянная. Тогда'

^(з) = W (з)/[1 + gW (з)].	(7.90)

Однако следует проверить, существует ли такое преобразование,
т. е. существует ли такое g, при котором характеристический полином
линейной части будет гурвицевым.

В нашем случае, подставив в (7.89) | = 51 — g*i, получим новые
уравнения:

Xi =	-I- х2 = — gxt — ах2 + ;

^^(aJ + go^cpHo); o = .vi.

Характеристический полином новой системы
Рис. 7.46

Отсюда видно, что такое стабилизирующее значение g сущест-
вует, если а > ₽.

Пусть это условие выполнено. Тогда, включив обратную связь, по-
лучаем устойчивую линейную часть с передаточной функцией (s)
и можем применить частотный критерий. Но чтобы схема с такой пре-
образованной линейной частью осталась эквивалентной исходной, нуж-
но соответствующим образом видоизменить и нелинейный элемент.
Новая нелинейная характеристика теперь будет <р (о) + go, поэтому
на схеме нужно охватить нелинейный элемент <р (о) отрицательной парал-
лельной связью с тем же коэффициентом g (рис. 7.45,6)

Если характеристика <р (о) принадлежала, например, сектору
(О, К) и для нее можно было (в случае устойчивой линейной части)
использовать критерий Попова, то теперь нелинейность <р2 (о) принадле-
жит другому сектору.

—g < <₽ (о)/о — g = [ср (о) — go]/o < К — g.

Вместо критерия Попова теперь уже нужно применить более слож-
ный критерий: или круговой, или, если система стационарна, его мож-
но усовершенствовать способом, аналогичным тому, который исполь-
зовался при получении критерия Попова. Такое расширение условия
Попова на системы с нелинейностью из нового сектора имеет вид

Re {[1 +	(/w)] [1 + (g + К) (/со)]* + /тсо^ (/со)} > 0. (7 91)

Пусть теперь Р< « и стабилизация рассмотренного простейшего
вида невыполнима. Найдем gB виде вектора g = (gi, g2}r. Введем пере-
менную £ =	+ gtxx + g2x2 и, подставив ее в исходные уравнения

(7.89), получим новые уравнения:

л'1= P-^i + ^2;

х2 = gj Xi —	— а) Л'2 + h;

51= Ф (о) +£2 о +(gi -~g2 ₽) °—Ф1 (а);
о = — хг.

(7.92)
Характеристический полином этой системы

s2 + (a — ₽—g2) s + ₽ (g2 + «)— gi-

Так как p > а, то можно выбрать

g2 < а — Р, gy < Р (g2 — а).

Преобразованные передаточная функция линейной части и нелиней-
ного элемента теперь будут

______________1________________

Г1 s2 Т(а ——Р) s+P (g2—a)—g,

ф, |о|^ф(о)+£2а+(£1—£г₽)о.

Нелинейность получилась достаточно сложной (рис. 7.46), за-
висящей не только от £ = ср (о) и о, но и от о, и можно применить об-
щий частотный критерий, который можно будет вывести из общего усло-
вия (7.72).
Глава 8

кН ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

J «АВТОМАТИЧЕСКОГО

: УПРАВЛЕНИЯ

§ 8.1. Понятие об импульсных
системах автоматического
управления

Бурное развитие счетно-решающих
устройств, автоматизированных систем
управления технологическими процес-
сами, радиолокации, телеуправления
привело в последние годы к интенсив-
ной разработке и использованию систем,
работа которых связана с воздействием,
передачей и преобразованием последова-
тельности импульсов.

В предыдущих главах учебного по-
собия рассматривались системы автома-
тического управления с непрерывной
передачей сигнала, при которой пере-
дается и преобразуется каждое его мгно-
венное значение. Передаваемый сигнал
в этом случае определяет закон модуля-
ции постоянной или гармонически из-
меняющейся физической величины.

В отличие от этого при дискретном
способе процесс преобразования непре-
рывного сигнала в импульсную после-
довательность осуществляется в два эта-
па. На первом этапе происходит кванто-
вание сигнала по времени или по уров-
ню. При квантовании по уровню осуще-
ствляется фиксация дискретных уров-
ней сигнала в произвольные моменты
времени (рис. 8.1, а), а при квантова-
нии по времени фиксируются дискретные
моменты времени, при которых уровни
сигнала могут принимать произвольные
значения (рис. 8.1, б). Возможно приме-
нение одновременно как квантования по
уровню, так и квантования по времени. В этом случае непре-
рывный сигнал заменяется дискретными уровнями, ближай-

шими к значениям непрерывного сигнала в дискретные момен-
ты времени (рис. 8.1,s).

На втором этапе преобразования квантованный сигнал в
соответствии с одним из законов, модуляции преобразуется в
импульсную последовательность, воздействующую на объект

Рнс. 8.1

управления. В системах
автоматического управ-
ления наиболее часто ис-
пользуются следующие
виды модуляции: 1) ам-
плитудно - импульсная
модуляция (АИМ); 2) им-
пульсная манипуля-
ция —• (ИМ); 3) импульс-
но-кодовая модуляция—
(ИКМ); 4) широтно-им-
пульсная модуляция
(ШИМ); 5) частотно-им-
пульсная модуляция —
(ЧИМ).

Широкое применение
систем управления с
различными видами мо-
дуляции сигнала объяс-
няется рядом их преиму-
ществ, таких, как воз-
можность многоканаль-
ного управления, воз-
можность стыковки с
цифровыми вычисли-
тельными устройствами,
возможность длительно-
го хранения и запомина-
ния информации, высо-
кая помехозащищен-
ность, повышенная точ-
ность.

Задачей настоящей
главы является изуче-
ние математических мо
делей систем автоматиче-
ского управления с ука-
занными видами моду-
ляции, а также методов
их исследования.

Структура и уравне-
ния импульсных моду-
ляторов. Система авто-
матического управления
с импульсной модуля-
цией сигнала отличается
от непрерывной системы
наличием импульсного
модулятора. Импульс-
ный модулятор преоб-
разует непрерывно из-
меняющийся входной
сигнал в последователь-
ность импульсов.' В за-
висимости от того, какой
из параметров импульс-
ной последовательности
модулируется (т, е. из-
меняется под действием
входного модулирующе-
го сигнала), мы будем
говорить:

1)	об амплитудно-им-
пульсном модуляторе,
если модулируется - ам-
плитуда (высота) выход-
ных импульсов (рис.
8.2, а); при этом дли-

тельность импульсов у—

= const, период следо-	Рнс- 82

вания Т — const;

2)	о широтно-импульсном модуляторе, если модулирует-
ся ширина (длительность) выходных импульсов (рис. 8.2,6);
амплитуда импульсов постоянна, период следования Т =
~ const;

3)	о частотно-импульсном модуляторе, если модулируется
частота повторения импульсов в выходной импульсной после-
довательности (рис. 8.2, в); амплитуда и длительность импуль-
сов постоянны.
Будем полагать в дальнейшем, что при любом типе модуля-
тора полярность выходных импульсов будет изменяться при
изменении полярности модулирующего воздействия (рис. 8.2).
Эти модуляторы, которые в литературе иногда называются
двухтактными (двухполярными), наиболее удобны с точки зре-
ния их применения в системах автоматического управления в
отличие от однотактных (однополярных).	''г“

Упомянутые выше виды модуляции принято подразделять
на модуляцию 1-го и 2-го рода. Считается, что при модуляции
1-го рода модулируемые параметры импульсов определяются
только значениями модулирующего сигнала в фиксированные

дискретные моменты времени и не зависят от изменения сиг-
нала между ними. При модуляции 2-го рода значения модули-
руемого параметра определяются модулирующим сигналом
(или некоторым функционалом от него), определенным на ко-
нечном интервале времени (например, в течение времени дей-
ствия импульса или в течение периода следования импульсов).

На этом классификация систем с импульсной модуляцией
в рамках настоящей главы ограничивается. Это связано с тем,
что рассмотренные выше виды модуляции, как показывает
практика, нашли наиболее широкое применение в различных
системах автоматического управления; именно для данных си-
стем в последующих параграфах будут описаны наиболее
удобные инженерные методы исследования. Более полная
классификация систем с импульсной модуляцией приведена в
работах [1, 2].

Структурная схема амплитудно-импульсного модулятора.
АИ-модулятор может быть представлен последовательным сое-
динением идеального импульсного элемента (иногда он назы-
вается также простейшим импульсным элементом) и формиро-
вателя импульсов (рис. 8.3). В импульсном элементе осуще-
ствляется квантование входного сигнала х (t) по времени. Вы-
ходной сигнал импульсного элемента у (t) может быть пред-
ставлен в виде последовательности дельта-функций, промоду-

Рис. 8.3

лированных дискретными значе-
ниями сигнала х, и определен
соотношением

оо

y{t)= ^x(lT)b(t-lT), (8.1)

t=o

где Т — период работы (такт)
импульсного элемента; I = 1,
2....
формирователь импульсов
преобразует промодулированные
A-импульсы в импульсы задан-
ной формы. Для весьма распро-
страненного случая, когда фор-
мируются импульсы прямоуголь-
ной формы (длительности у), пе-
редаточная функция формирова-
.теля имеет вид

(s) =(1 -e~sv)/s. (8.2)

Если у Т, то выражение (8.2)
упрощается:

(s)	« у. (8.3)

Если у = Т, то

.	U7*(s)=(l-e-sr)/s. (8.4)

Такой формирователь назы-
вается фиксатором нулевого по-
рядка, он преобразует импульс-
ный сигнал в ступенчатый

Рис. 8.4

(рис. 8.4).

Рассмотренный АИ-модулятор осуществляет АИМ 1-го
рода (АИМ-1).

Структурная схема частотно-импульсного модулятора.
Частотно-импульсная модуляция (ЧИМ) предполагает изме-

нение частоты следования импульсов в линейном соответствии
с модулирующим воздействием. При этом частота следования

импульсов понимается как мгновенная частота синусоидаль-
ных частотно-модулированных колебаний, у которых фазовые
значения

<рп ==• Фо + 2лп, <р0 = const, п = 1, 2,...,
совпадают по времени с моментами tn появления импульсов
(3]. ЧИМ достаточно удобно интерпретировать геометрически
в комплексной плоскости, как это сделано в работе [4].

Модулируемый вектор (рис. 8.5)

и (/) = е	(8.5)

при отсутствии модулирующего воздействия х (t) вращается
с постоянной скоростью ®0.
+J

о +

Рис. 8.5

Воздействие х (I) линейно управляет
скоростью изменения фазы вектора и:

d(p (f)/dt = а>„ + ах (£),	(8.6)

где «0 = const; а — const.

Так как рассматриваемая ЧИМ яв-
ляется однополярной, то скорость изме-
нения фазы вектора и не должна менять
знак, т. е. должно выполняться условие
|w0| > | ах (0|.

Зафиксируем в комплексной плоскости вектор V, совпада-
ющий с положением модулируемого вектора и в момент t0 на-
чала модуляции и определенный с точностью до 2л

(z (^j) = е/ЕФС*») + 2лл].	(8-7)

Тогда общая картина ЧИМ представляется следующим об-
разом. Скорость изменения фазы модулируемого вектора и из-
меняется в линейном соответствии с внешним воздействием
х (/) точно так же, как в случае непрерывной модуляции гар-
монического сигнала. Но в отличие от нее ЧИ-модулятор фик-
сирует положения модулируемого вектора и дискретно в мо-
менты его совмещения с неподвижным вектором V (п),
т. е. когда выполняется равенство

и (tn) = V (и).	(8.8)

Таким образом, ЧИ-модулятор фиксирует моменты tn из-
менения фазовой функции <р (/) вектора и на величину 2л.
Указанным моментам времени соответствуют моменты появле-
ния импульсов на выходе модулятора.

Подставляя в. уравнение (8.8) соотношения (8.5) — (8.7),
получаем соотношение для определения tn:

+ x(t)dt = 2пп + <р (Q.	(8.9)

о

Из геометрической интерпретации ЧИМ и уравнения (8.9) вы-
текает структурная схема ЧИ-модулятора (рис. 8.6). Она пред-
ставляет собой последовательное соединение интегрирующего
звена, нелинейного элемента квантования приращений (НЭ)
и формирователя прямоугольных импульсов с передаточной
функцией (s) = 1 — e~sv. На вход схемы подаются два
сигнала: входное воздействие х (t и некоторый постоянный
сигнал

х0 = <оо/а-

Величина кванта нелинейного элемента

А = Inta.

(8.10)

(8.Н)

Таким образом, на выходе модулятора (рис. 8.6) получается
последовательность прямоугольных импульсов длительно-
стью у; амплитуда импульсов определяется величиной верти-
кальной ступени характеристики Н Э, а моменты их появле-
ния определяются уравнением (8.9).

Выше рассмотрены уравнения и структурная схема одно-
полярной ЧИМ, которая достаточно широко распространена
в системах связи. Как указывалось выше, в системах автома-
тического управления удобнее двухполярная ЧИМ. Структур-
ную схему для такого ЧИ-модулятора достаточно легко полу-
чить,, используя схему однополярного ЧИ-модулятора.

Действительно, если положить х0 = 0 и предположить,
что полярность выходных импульсов определяется полярно-
стью входного сигнала х, то уравнение (8.9) с учетом обозна-
чения (8.11) можно привести к виду

I

± j х (/) dt -= + Ан <р' (/0).
о

(8.12)

Здесь (р' (t0) = q> (t0)/a.

Формирователь

Рис. 8.6
Рис. 8.7

На интервале одного периода импульсной последовательности
tn — уравнение (8.12) запишется в виде

± J x(t)dt = ± А.	(8.13)

'п-1

Структурная схема двухполярного ЧИ-модулятора, пост-
роенная согласно уравнению (8.13), приведена на рис. 8.7. В от-
личие от схемы рис. 8.6 в ней отсутствует сумматор, а нели-
нейный элемент квантования представлен гистерезисной ха-
рактеристикой, у которой нижняя ветвь определяет формиро-
вание импульсов положительной полярности, а верхняя — от-
рицательной.

Нелинейный элемент квантования приращений (рис. 8.8,а)
обладает характеристикой, имеющей ряд общих моментов с
характеристикой квантования по уровню. Принципиальное
отличие состоит в том, что у характеристики квантования при-
ращении значения по
оси абсцисс соответст-
вуют не текущей вели-
чине входного сигнала у,
а разности его со значе-
нием у (t0) входного сиг-
нала в момент t0 начала .
преобразования. На
рис. 8.8, б иллюстри-

Н.3-1. Формирователь

руется во времени про-	Рис. 8.9

цесс преобразования

сигнала у (t) нелинейным звеном. Выходная величина ip (t)
представляет собой ступенчатую функцию, моменты переклю-
чения которой совпадают с моментами определения перемен-
ного параметра импульсной последовательности. В настоящее
время термин двухтактная или двухполярная ЧИМ практи-
чески не употребляется. Модуляция, определяемая уравнени-
ем (8.13), называется интегральной ЧИМ (ИЧИМ).

Структурная схема широтно-импульсного модулятора. Для
построения структурной схемы ШИ-модулятора удобно исполь-

зовать геометрическую интерпретацию, примененную при по-
строении структурной схемы ЧИ-модулятора.

При ШИМ производится управление фазой вектора u (t)
(см. рис. 8.5) в линейной зависимости от входного воздейст-
вия х (t). Таким образом, уравнения (8.5), (8.7), (8.8) дополня-
ются при ШИМ уравнением вида

<р (t) — ю0 (/) + ах (t).	(8.14)

Решив совместно уравнения (8.5), (8.7), (8.8), (8.14) с уче-
том (8.11), получаем соотношение для определения момента
tn появления модулируемого фронта импульса:

ю6^+-к(0=^Дп+<Р'(*(>)	(8.15)

где too — частота следования импульсной последовательности.

В соответствии с геометрической интерпретацией ШИМ и
уравнением (8.15) структурная схема ШИ-модулятора построе-
на на рис. 8.9. Она представляет собой последовательное сое-
динение сумматора, на вход которого подаются сигналы х (t) и
соо (0> нелинейного элемента квантования приращений (Н.Э1)
и формирователя импульсов, который в данном случае выпол-
нен в виде сумматора, на один вход которого подается сигнал
с выхода НЭ1, а на другой—сигнал с аналогичного нелиней-
ного элемента НЭ2 (рис. 8.9).
ШИ-модулятор, соответствующий предложенной структур-
ной схеме, обеспечивает изменение длительности выходных
импульсов пропорционально входному сигналу х (/) за счет
модуляции переднего фронта импульсов положительной по-
лярности (при х (t) > 0) или заднего фронта импульсов отри-
цательной полярности (при х (t) < 0 ). При отсутствии вход-
ного сигнала выходная импульсная последовательность отсут-
ствует. Аналогичным образом на базе тех же элементов могут
быть построены схемы и Других ШИ-модуляторов (в частности,
двустороннего ШИМ. когда модулируются и передний и зад-
ний фронты).

Структурные схемы частотно-импульсных и широтно-им-
пульсных модуляторов 1-го рода. ИЧИ- и ШИ-модуляторы,

структурные схемы которых приведены выше, относятся в
соответствии с принятым в начале данного параграфа опреде-
лением к модуляторам 2-го рода.

Так как в модуляторах 1-го рода параметры импульсов оп-
ределяются только значениями модулирующего сигнала в фик-
сированные моменты времени и не зависят от изменения сиг-
нала между ними, то структурную схему для них можно соста-
вить, используя элементы, рассмотренные выше. Действитель-
но, схема модулятора 1-го рода может быть представлена
(рис. 8.10) последовательным соединением простейшего имп-
пульсного элемента, фиксатора нулевого порядка и модулято-
ра 2-го рода. Если в качестве модулятора 2-го рода в схеме
(рис. 8.10) использовать ИЧИМ (или ИЧИМ 2), то получим
структурную схему ИЧИ-модулятора l-ro рода (ИЧИМ-1),
а если соответственно в схеме рис. 8.10 использовать ШИМ-2,
то получим схему ШИМ-1.

Структурная схема системы управления с импульсной мо-
дуляцией. Классификация систем управления с импульсной
модуляцией. На рис. 8.11 приведена простейшая структурная
схема системы управления с импульсной модуляцией сигнала
управления. В эту схему кроме одного из рассмотренных ти-
пов модуляторов входит линейная часть (иногда ее называют
также непрерывной частью). Используя эту схему, а также
структурные схемы рас-

смотренных модулято-
ров, можно определить
место системы с любым
видом модуляции в клас-
сификационной таблице,
принятой в теории авто-

Рис. 8.10
магического управления, а
именно: систему с АИМ бу-
дем классифицировать как
линейную импульсную си-

стему, поскольку в конту-

ре преобразования сигнала	Рис. 8.11

х (/) расположен импульс-

ный элемент. В отличие от этого системы с ИЧИМ-2 и ШИМ-2

следует отнести к классу нелинейных систем с нелинейным
элементом квантования приращений, а системы с ИЧИМ-1,
ШИМ-1 — к классу нелинейных импульсных систем. Оче-
видно, что указанное классификационное деление систем с
различными видами модуляции отразится как на специфике
их математического описания, так и на специфике методов ис-

следования каждого из указанных видов систем.

§ 8.2. Исследование устойчивости и качества
систем управления с амплитудно-
импульсной модуляцией

Структурная схема и основные характеристики системы с

АИМ. Рассмотрим структурную схему системы автоматическо-
го управления с АИМ , представленную на рис. 8.12. В ее со-
став кроме импульсного элемента (И Э) и формирователя с

передаточной функцией Ц7ф ($) входит
даточной функцией

W ($).	*

Последователь-

ность импульсов с вы-

АЙ-модулятора

хода

воздействует на линей-
ную часть. Соединение
формирующего элемента

линейная часть с пере-
ПриВеденная

и линейной части назы-
вают приведенной ли-
нейной (непрерывной}
частью. Ее передаточ-
ная функция Wn н ($) =
= Гф(5).^ ($).

Передаточная функ-

9

Рис. 8.12

ция W (s) в большин-
Д-^-4-V	е».	(8.17)

Q (0) Si Q' (Si)

характеристики позволяет на основании
найти процесс, возникающий на выходе

стве случаев представляется дробно-рациональной функ-
цией:

W (s) = Р (s)/Q (s),	(8.16)

где Р (s), Q (s) — многочлены по s; степень числителя не пре-
вышает степень знаменателя I, поэтому переходная характе-
ристика h (t), представляющая собой реакцию на воздействие
вида единичного скачка, определяется для случая, когда
W (s) имеет конечное число полюсов sbs2 st и эти полюсы
отличны друг от друга, по известной формуле разложения

/1(0= """

Значение переходной
принципа наложения
линейной части при воздействии последовательности импуль-
сов.

Импульсная переходная характеристика линейной части оп-
ределяется как ее реакция на воздействие мгновенного импуль-
са, т. е. воздействия вида дельта-функции. Полагая, что у (/) =
= 6 (t), и учитывая, что изображение L {6 (/)} = 1, находим
изображение импульсной переходной характеристики, кото-
рую обозначим w (t), равное передаточной функции непрерыв-
ной части:

W (s) = L {w (t)} = J w (f) e~st dt.
о

(8.18).

Выражение для импульсной переходной характеристики в со-
ответствии с формулой разложения может быть записано с
учетом (8.16) и (8.17) в виде

w (о=2
i= 1

P(s;) sJ

--------e 1
Q' (Si)

(8-19)

Передаточная функция импульсной системы. Составим ос-
новные уравнения рассматриваемой импульсной системы. Для
этого: 1) введем понятие относительного времени t = t /Т,
где Т — такт работы импульсного элемента; 2) воспользуемся
дискретным преобразованием Лапласа.

Предварительно введем понятие решетчатой функции, диск-
кретного преобразования Лапласа и рассмотрим его основные
свойства.
Дискретное преобразование Лапласа и его основные свой-
ства. Решетчатой функцией называется функция, значения ко-
торой изменяются только при целых значениях аргумента п=0,
1, 2, ... (рис. 8.12, б). Будем обозначать решетчатую функцию
символом f In] и предполагать, что решетчатая функция тож-
дественно равна нулю при отрицательных значениях аргумен-
та Рассмотрим ряд

F*(q)=- 2 е-’п/[п],

п— О

Данное соотношение устанавливает соответствие между решет-
чатой функцией f In], называемой оригиналом, и функцией ком-
плексного переменного F* (q), называемой изображением ре-
шетчатой функции fin]. Это соответствие будем записывать в
виде

F* (q) = D {f In]}.

Преобразование решетчатых функций, определяемое данным
(соотношением, назовем дискретным преобразованием Лапласа.

Рассмотрим основные свойства дискретного преобразования
Лапласа.

1.	Теорема линейности

{Ц	) Ц	ц

2 Ovfvln] = 2 Av £> {/v [п]} =» 2 avFv(q),
v= 1	J V= 1	V=»I

где

FZ(q) — D{fv[n]}, ax —const.

2.	Теорема сдвига

D{f[n 4-ft]} =e«*

D{f(n — ft)}=e

3.	Теорема смещения

D {e±anf [n]} = F* (<7 ± a).

4.	Теорема о дифференцируемости по параметру
D {df In, Ш} = dF* (g, X)/dX.

5.	Теорема умножения решетчатой функции на п
D (п* f [п]} = (— l)fe dk F* (q)/dqk.
6.	Теорема свертывания

О | £ Л[гг— т]/г[т]| = D fi{m]f2[n—m] =

= Щ/1[п]}О{/2[н]} = /П(<7)/Ч(<7). .

7.	Переменные значения решетчатой функции

lim /[лг] = lim (е’ — 1) F* (<?);

Л-*-оо	//->0

lim/[/г] = lim F* (q).

n->0

Воздействие импульсного элемента на приведенную линей-
ную часть определяется значениями х (/) в моменты съема
t = п. Это значение может быть определено из уравнения сум-
матора (рис. 8.12, а)

х[п1 = х0[/г]— хВЬ1х[п],	(8.20)

где х (п) — решетчатая функция, совпадающая сх (/) в моменты
t = п.

Применив к соотношению (8.20) дискретное преобразова-
ние Лапласа, получим уравнение замыкания системы-.

X*(q)=X*0(q)-X^(q},	(8.21а)

где

Х*(<7)=О{х[/г]} = 2	(8.216)

п=0

D { } — символ дискретного преобразования Лапласа; q =
= sT.

Найдем связь изображений входного X* (q) и выходного
Хвых (?) сигналов разомкнутой импульсной системы.

Реакция hy линейной части системы на импульс, имеющий
относительную длительность у0 = у/Т, амплитуду, равную 1, и
действующий в момент t = т, определяется соотношением

hv (t—т) =

h(t—т) при т <С t <С т + у0;

h(t—m)—h(t—т—у0) при mi + у0 со,

(8.22)

где h (t) вычисляется по формуле, аналогичной (8.17), если
предварительно в передаточной функции W ($) заменить s на
q!T.
Так как на линейную часть системы действует последова-
тельность импульсов амплитуды х (т) в моменты t = т = 0,1,2,
то в соответствии с принципом наложения реакция линей-
ной части будет равна сумме реакций от каждого импульса:

_______ п	,
Хвых (0 = s x(m)hy(t— т).
т= 0

Здесь п С t + 1.

Для дискретных моментов времени

хвыу(п)= 2 x(m)hy(n—m).

т= 0

(8.23)

(8.24)

Заменяя формально величины, входящие в соотношение (8.24),
решетчатыми функциями, значения которых совпадают с ними
в дискретных точках, и применяя затем к обоим частям диск-
ретное преобразование Лапласа и теорему свертывания, полу-
чим

D {4ых [«]} = D | 2 x[m]hv[n—m]
lm= 0

= D {х [п]} • D {Fly [п ]}.

(8.25а)

Принимая во внимание обозначения (8.21 б) и обозначая

D{/iv[n]} = W'*0),	(8.256)

запишем соотношение (8.25а) в виде

№Ug)=F(«.	(8.26)

соотношение (8.26) определяет связь между изображениями ре-
шетчатых функций, соответствующих входной и выходной
переменным разомкнутой импульсной системы.

Величина W* (q) называется передаточной функцией ра-
зомкнутой импульсной системы. Согласно (8.256) и (8.216),
она равна

W*(<7) = J /iv[«]e-9«.	(8.27)

n 0

Если принять, что обычно hy (0) = h (0) = 0, то

F* (?) = 2 ht ("I е~чп-	(8.28)

п= 1
Для вычисления передаточной функции W* (q), определяемой
соотношением (8.28), найдем сначала

hv(7) =h(ij—h(t—y0).	(8.29)

Так как h (t) может быть определена по выражению (8.17), если
в нем заменить t на t • Т и s, на qJT, то
1 п >	1	~Ч{У<,

2	<8-30)

Q (<л) qt То

Подставляя (8.30) при t = п в (8.28), после несложных вы
числений получаем

Ж*(Ч)=УоУС( с'	(8.31)

о Ч:
i=l еч —е 1

где

С. - Р1<м [-еМ° .
Q' (<7i) 9iYo

Если один из корней, например qK, равен нулю, то слага-
емое, соответствующее i — k, должно быть заменено на

lira	(8.32)

Q'(<?/,)	То e4_e4h Q' (0) e4..-i

Отметим некоторые особенности передаточной функции ра-
зомкнутой импульсной системы W* (д).

1.	lF*(g) является функцией е?.

2.	Так как е‘?+/2ят = е"7, то W* (д) = W* (q + 2пт),
т. е. W* (д) является периодической функцией вдоль мнимой
оси плоскости д.

Для определения передаточной функции замкнутой импуль-
сной системы решим совместно уравнение замыкания (8.21а)
и уравнение разомкнутой системы (8.26). В результате получим

у» / \  Ч7* (<7) у*

(8.33)

Согласно (8.33), передаточная функция замкнутой системы

VT3(q) =

v !+№*(<?)

(8.34)
Соответственно передаточная функция по сигналу х на входе
импульсного элемента (передаточная функция ошибки) имеет
вид

1^(<7) =---!---•	(8.35)

Таким образом, можно предложить следующий порядок состав-
ления уравнений импульсной системы:

1)	в передаточную функцию линейной части подставить
s = q/T и привести ее к безразмерной переменной q', тогда
W (q) = Р (q)/Q (<7);

2)	по этой передаточной функции определить передаточную
функцию W* (q) разомкнутой импульсной системы, используя
соотношение (8.31);

3)	определить передаточную функцию замкнутой системы
Ws (?), пользуясь выражением (8.34).

Частотные характеристики импульсной системы. Если в по-
лученные выражения передаточных функций подставить q =
= /<а>, где со = (»Т — относительная частота, то получим соот-
ветствующие частотные характеристики. Частотные характе-
ристики W* (/со) периодичны по со с периодом 2л. Эти характе-
ристики определяются полностью изменением относительной
частоты со в интервале —л со < л. Если W* (/со) пред-
ставить в виде W* (/со) = Re W* (/со) + /Im.W* (/co), где
Re W* (/co) — четная, a Im W* (/co) — нечетная функция co,
то несложно показать, что можно ограничиться интервалом час-
тот О С со «S л.

Частотные характеристики играют такую же важную роль
при исследовании импульсных систем, как и np^i исследовании
непрерывных систем, поэтому остановимся кратко на вопросе
построения частотных характеристик. Предварительно за-
пишем выражение (8.27) в виде

оо

^*(<7)= То V W(q + j2nk)

— — оо

] _е —(? + /2nfc)v<
(</4-/2лй) уо

(8.36)

(детальный вывод приведен в работе 111). В данном выражении
передаточная функция разомкнутой импульсной системы W*(q)
определена непосредственно через передаточную функцию ли-
нейной части. Подставляя в выражение (8.36) q = ja и учи-
тывая, что

1—е~~,а _ е-'а/2(е/г,/2-е~'а/2)  sin (а/2)е~'а/2

/а	2/а/2	а/2

получим выражение для частотной характеристики разомкну-
той импульсной системы в виде

W’* (/со) = у0 2	+ 2л£)] х

k~ — ОО

со -|-2л£	- , „ .

sin-------То _/H-.2".LVo

X —------------е 2	(8.37)

со 2л/г
—Г“То

В соответствии с соотношением (8.37) можно предложить сле-
дующий порядок построения частотной характеристики
разомкнутой системы:

1)	строим частотную характеристику W (!($) Она отлича-
ется от характеристики линейной части W (/со) только масшта-
бом частот, поскольку со = со Т (рис. 8.13). Сплошная кри-
вая соответствует со > 0, а пунктирная кривая, симметричная
ей, со < 0;

2)	задаемся некоторым значением частоты сщ, из интерва-
ла 0 < (Oi < л и отмечаем на частотной характеристике
W (/со) следующие точки (рис. 8.13):

®i,	—2л, coj—4л,..., ы,—2л/г,

2л, со^ -j— 4л,...,	—j- 2л/f,

3)	строим векторы, выходящие из начала координат и при-
ходящие в указанные точки;

4)	уменьшаем модуль каждого соответствующего вектора в
sin .C0.l.+2jtA:. Vo

2

----—-----------раз.

—р 2зт^

2
Рис. 8.14

Данную величину удобно определять по таблицам -1” х-. По-

„	со. 4- 2п/г

вернем соответствующий вектор на угол ———— у0;

5)	суммируя построенные векторы и умножая сумму на ве-
личину уо, определяем согласно (8.37) значение W* (/©г)
частотной характеристики разомкнутой системы на частоте ©x.
На рис. 8.14 процесс построения поясняется на примере точек,
соответствующих частотам ©j, ©j — 2л, ©j + 2л. Цифрами 1,
2, 3 обозначаем векторы, преобразованные согласно п. 4
порядка построения. Сумма этих векторов с точностью до коэф-
фициента у0 определяет вектор W* Далее аналогично
строят точки частотной характеристики на других частотах
(©2, ©з,...) из диапазона 0 < © *$ л. Соединяя построенные
точки, получаем годограф W* (/©)•

Во многих случаях при достаточно больших значениях ©
значение | W* (/©)| существенно уменьшается, поэтому в вы-
ражении (8.37) можно ограничиться двумя слагаемыми для уп-
рощенного приближенного вычисления W* (j©)’.
WZ* (/co)=yo

_ sin-^-Vo _/JLv,
№ (/t0) —----e 2	+

(0
Tv«

co —2л	—	>

s'n--2---Vo ~i b^—^~ vo

+ W [j (co —2 л) J —-----e 2

co —2л

~T~y°

(8.38)

Порядок построения W* (/co) по выражениям (8.38) иллюст-
рируется на рис. 8.15. На рис. 8.15, а показаны векторы ^(/сох/,
№ _(/<о2), а также векторы W (/л), W [j (2л — coJI, W [/ (2л—
— <о 2)1 и им сопряженные. На рис. 8.15, б у этих векторов
уменьшены модули, изменены фазы и произведено суммирова-
ние согласно (8.38). Для того чтобы не перестраивать кривую
W (/со), изменяя ее в у0 раз, можно изменить масштаб по дей-
ствительной и мнимой осям в у0 раз. Из соотношения (8.38),
а также из общего выражения (8.37) достаточно очевидно, что
при со = л конец вектора W* (/л) всегда лежит на действи-

Рис. 8.15
тельной оси, поскольку Im W* (/л) = 0. Известны и другие
способы построения W* которые достаточно подробно
описаны в работах [1,5].

Исследование устойчивости систем с амплитудно-импульс-
ной модуляцией. Пусть решетчатая функция х [п] представле-
на в виде вынужденной и свободной составляющих, т. е. опре-
деляется выражением вида

x[nl=xB[nj-—хсВ[п].	(8.39)

Вынужденная составляющая процесса хв [п] определяется ви-
дом внешнего воздействия. Свободная составляющая характе-
ризует отклонение процесса х (п) от вынужденной составляю-
щей хв [«] и определяет переходный процесс. Она может быть
представлена в виде

*св["1=	(8-40)

f= 1

где di — некоторые коэффициенты; qt — основные полюсы
передаточной функции замкнутой импульсной системы, т. ё.
основные корни характеристического уравнения вида

G* (9) = 1 4- Wz* (q) = 0.	(8.41)

Основными будет считать корни, расположенные в полосе —
— л< 1пщ< л, поскольку все остальные корни отличаются от
них на величину ± jZnm. Если W* (q) представить в виде

W* (q) =- Р* (q)lQ* (q),

то характеристическое уравнение замкнутой системы можно
записать в виде

G*(<7)=Q*(?) + ^*(<7)=0.	(8.42)

Если с течением времени хсв [п] стремится к нулю, т. е.

lim хсв [п]=0,	(8.43)

/1->оо

то импульсная система называется устойчивой.

Если с течением времени хсв [п] неограниченно возрас-
тает, т. е.

lim хсв [п] = оо,	(8.44)

то импульсная система называется неустойчивой. В промежу-
точном случае, когда хсв с течением времени не стремится
к нулю и не возрастает неограниченно, импульсная система
называется нейтральной. В устойчивой системе процесс х (п)
с течением времени стремится к вынужденной составляющей.

Анализ выражения (8.40) с достаточной очевидностью пока-
зывает, что если все основные полюсы qt имеют отрицательные
вещественные части, то при п —>- оо все слагаемые (8.40) стре-
мятся к нулю и, следовательно, выполняется условие (8.43),
соответствующее устойчивой импульсной системе. Если хотя
бы один из полюсов qt имеет положительную вещественную
часть, то соответствующее слагаемое в (8 40) неограниченно
возрастает и, следовательно, выполняется условие (8.44), со-
ответствующее неустойчивой импульсной системе. Наконец,
если хотя бы один из полюсов q-t имеет вещественную часть,
равную 0, а все остальные полюсы — отрицательные вещест-
венные части, то выполняется условие, соответствующее нейт-
ральной системе. Таким образом, для того чтобы импульсная
система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
все полюсы, ее передаточной функции имели отрицательные
вещественные части или чтобы все эти полюсы лежали в ле-
вой части полосы — л < Im q < л комплексной плоскости q
(рис. 8.16). Так как основные полюсы W* (q) совпадают с по-
люсами W (q), то устойчивость линейной части системы обес-
печивает устойчивость разомкнутой импульсной системы. В об-
щем случае вычисление корней qt является трудной и громозд-
кой задачей, однако для суждения об устойчивости нет необхо-
димости определять сами корни, достаточно лишь установить,
лежат ли все они в левой части полосы — л <Z Im<? л.
Ответ на этот вопрос дают критерии устойчивости.

Рассмотрим алгебраические и частотные критерии, анало
гнчные тем, которые использовались для анализа устойчиво-
сти линейных непрерывных систем.

Алгебраический критерий устойчивости (аналог критерия
Гурвица). Пусть характеристическое уравнение исследуемой
замкнутой импульсной системы имеет вид

G* (<;) = аг ez<7 + аг-1 е(/~ ** 9- а0.	(8 45)

Произведем в характеристическом многочлене G* (q) замену
переменных:

z = &>.	(8.46)

Тогда получим

G(z) = а, z' +а,-г z'-1 + ... +с?0

(8.47)
Так как подстановка (8.46) преобразует полуполосу — л
< Im q < л, Re q < 0 (рис. 8.16) во внутренность круга еди-
ничного радиуса (рис. 8.17) |z| < 1, то применительно к плос-
кости z необходимое и достаточное условие устойчивости фор
мулируется следующим образом: замкнутая импульсная сис-
тема устойчива, если все корни G (z) лежат внутри круга еди-
ничного радиуса, т. е. все нули G (г) по модулю мень1ие единицы.
Для того чтобы привести условия устойчивости импульсной
системы к аналогичным условиям устойчивости Гурвица для
непрерывных систем, в многочлене (8.47) произведем подста-
новку:

v = (z — 1 )/(z 4- 1) или z = (1 + 0/(1 — 0,	(8.48)

тогда характеристический полином принимает вид

G (0 = bt v‘ -1	_j_.	(8.49)

Так как подстановка (8.48) преобразует круг единичного ра-
диуса в комплексной плоскости z (рис. 8.17) в левую полу-
плоскость v (рис. 8.18), то усло-

вие устойчивости импульсной
системы формулируется так:
замкнутая импульсная система
устойчива, если корни G (0 ле
жат в левой полуплоскости,
т. е. если выполняются условия
Гурвица

0>О, Д* > О, k = 1,2,..., I,
где Ад — определители Гурвица
/г-го порядка (порядок вычис-
ления их полностью совпадает
с рассмотренным в гл. 3).

Рис. 8.18
Частотный критерий устойчивости (аналог критерия Най-
квиста). Частотный критерий устойчивости импульсных сис-
тем, аналогичный известному из гл. 3 критерию устойчивости
Найквиста для непрерывных систем, позволяет судить об ус-
тойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам
разомкнутой системы. Критерий Найквиста для непрерывных
систем, как было показано в гл. 3, основан на принципе ар-
гумента. Очевидно, что аналог принципа аргумента весьма не-
сложно сформулировать и для импульсной системы, анализи-
руя расположение корней, например, в плоскости z или плос-
кости V. Однако мы предлагаем это сделать читателю самосто-
ятельно и ограничимся здесь лишь формулировкой критерия
Найквиста для трех случаев, когда разомкнутая импульсная
система устойчива, неустойчива и нейтральна.

Если разомкнутая импульсная система устойчива (т. е.
устойчива линейная часть системы), то замкнутая импульс-
ная система регулирования устойчива, если годограф частот-
ной характеристики разомкнутой системы при изменении
<о от 0 до п не охватывает точку (— 1, / 0).

На рис. 8.19 изображены годографы W* (jo), соответст-
вующие устойчивой (кривая 1) и неустойчивой (кривая 2)
системам.

Если разомкнутая импульсная система неустойчива, т. е.
если передаточная функция линейной части имеет г полюсов с
положительной вещественной частью, то замкнутая система
импульсного регулирования будет устойчива, если годограф
W* (/со) частотной характеристики разомкнутой системы ох-
ватывает точку (— 1, / 0) в положительном направлении /72
раз.

Если разомкнутая система нейтральна, т. е. если передаточ-
ная функция содержит г полюсов, равных нулю, то импульс-
ная система будет устойчива, если годограф W* (ja), дополнен-
ный дугой бесконечно большого радиуса, соответствующей углу—
— г п/2, не охватывает точку (— 1, / 0). На рис. 8.20 кривая
1 соответствует устойчивой, а кривая 2 — неустойчивой замк-
нутой системе. Частотную характеристику разомкнутой сис.
темы W * (/со) можно построить, пользуясь выражениями
(8.37), (8.38), или одним из способов, рекомендованных в [1,5].

Исследование качества систем с амплитудно-импульсной
модуляцией. При исследовании качества систем автоматичес-
кого управления возникают, как правило, три рода задач: 1)
оценка установившегося значения сигнала ошибки системы
Рис. 8.20

(установившееся значение отклонения входного сигнала им-
пульсного элемента х (см. рис. 8.12); 2) построение кривой
переходного процесса в моменты съема t = п\ 3) косвенная
оценка параметров переходного процесса, в первую очередь
оценка перерегулирования и времени регулирования.

Рассмотрим задачу оценки установившегося сигнала ошиб-
ки системы. Сигнал на входе импульсного элемента и входной
сигнал системы х0 (см. рис. 8.12) связаны соотношением (8.35):

X* (9) =---------!— х; (q).

(8.50)

Запишем передаточную функцию (8.35) в виде отношения
двух многочленов Н* (q)/G* (q), где Н* (q) — многочлен сте-
пени /2; G * (q) — характеристический многочлен степени I.
Предположим, что х0 [и] имеет вид единичного скачка, т. е.

х0 [п]

1 при « —0, 1,2,.

0 при 0.

Тогда сигнал х [п] в дискретные моменты времени будет опре-
деляться выражением

. #* (0) । у #*(9i) -Ч;П

(8.51)

где

~U^(9) 1 _ Г dG*(9> e_J
г [ de9 Jv-v, L dq .
Если система устойчива, то действительные части корней qt
характеристического уравнения отрицательны и все слагаемые
в (8.51) с ростом п будут стремиться к нулю. Таким образом,
x[oo] = limx[n]=//*(0)/G*(0) = 1/(1 + №*(0)]. (8.52)
П->оо

Значение (8.52) характеризует установившееся значение ошиб-
ки в системе с АИМ. Значение х [ оо] #= О, если W* (0) #=
#= [оо], и обращается в нуль в астатической системе, т. е. в том
случае, когда в контуре системы имеется интегрирующее зве-
но (например, исполнительный элемент). Это несложно пока-
зать, если проанализировать соотношение (8.52) с учетом
(8.32).

Задачу построения кривой переходного процесса можно ре-
шить с помощью соотношения (8.51), однако данный подход
весьма неудобен уже при степени характеристического уравне-
ния I > 3, поскольку требует вычисления корней уравнения
G*(q) =0.

Рассмотрим предложенные в [1] более удобные способы, не
требующие вычисления корней и позволяющие построить про-
цесс при любом внешнем воздействии.

Пусть передаточная функция замкнутой системы представ-
лена в виде

Н* (*?)  Ьр Ч~ fej е?4~  • • Ч~Ьц е^д1?	(g ggj

g*(9)	Яо+яхе’4-...+Я1е^

Разлагая ее в ряд по степеням efl и применяя обратное дискре-
тное преобразование Лапласа, можно получить

П — I -4~ /а

х[и] = S Гьх0[п-(/-/24-/?)],	(8.54)

*=о

где коэффициенты Г,г определяются из рекуррентного соотно-
шения:

1

ai



I

Ьщ-в.— Г/г — IX а1 — В ;
р — о

(8.55)

fcZ2_fe = 0 при Zi>Z2; а(_р, = 0 при р>/.

Выражение (8.54) позволяет определить процесс регулирования
(для t = п) при любой форме х0 [п]. Если х0 [п] имеет вид
единичного скачка, то х0 [п — (Z — Z2 + k)] равно единице
при k < п — I + Z2 и нулю при k > п — I + Z2, а зна-
чения процесса находятся суммированием коэффициента Гь.
Рис. 8.22

Второй способ построения кривой переходного процесса ос-
нован на использовании частотных характеристик. По извест-
ной IF* (/ю) строится вещественная частотная характе-
ристика Re IF* (/со). Если представить ее в виде суммы типо-
вых трапецеидальных характеристик (рис. 8.21), то искомую
величину Г;, можно выразить в виде

л

»= 1

sin(w{ /е)
шг- k

Г sin (т, Л)
L Ti k

(8.56)

Здесь А: — площадь трапеции. Параметры произвольной 1-й
трапеции обозначены на рис. 8.22. Пользуясь таблицами у~ ,
определяем Г;<) а затем по соотношению (8.54) строим кривую
переходного процесса х (и].

Косвенные методы оценки показателей качества процесса
регулирования в системах с АИМ играют такую же важную
роль, как и в системах непрерывного регулирования. Рассмот-
рим следующие основные косвенные оценки: степень устойчи-
вости, степень колебательности и интегральные оценки.

Степенью устойчивости £ будем называть минимальную ве-
щественную часть корня характеристического уравнения G*(cj)
~ 0 замкнутой системы:

Н.£ =min| Re<7; |.	(8.57)

Так как исследуемые процессы выражаются в функции относи-
тельного времени t = п, той степень устойчивости § является
относительной величиной. Примем обозначение для абсолют-
ной величины степени устойчивости т. е. = £/Т. Для опре-
деления степени устойчивости достаточно в передаточную
функцию разомкнутой системы W* (q) подставить q — | вме-
сто £ и полученную таким образом передаточную функцию рас-
сматривать как передаточную функцию некоторой «фиктивной»
системы, граница устойчивости которой соответствует линии,
равной степени устойчивости исследуемой системы.. Задача, та-
ким образом, сводится к тому, чтобы определить параметры,
при которых «фиктивная» система находится на границе устой-
чивости. В этом случае исследуемая система будет иметь задан-
ную степень устойчивости. Исследование системы с позиций
устойчивости может быть проведено по любому из приведен-
ных выше критериев.

Рассмотрим случай, характерный именно для систем с
АИМ. Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы

G* (q) =at е/<7 + аг-г е(1~1)9 + ... -}-ао=О.	(8.58)

Если параметры системы таковы, что выполняется

°о =S!ai = Ог = сц-i = 0.

условие

(8.59)

то

G* (q) = at е14 — 0.

(8.60)

Так как корни уравнения (8.60) равны — оо, то степень ус-
тойчивости рассматриваемой системы равна бесконечности. Ес-
ли известна передаточная функция разомкнутой системы

W* (п) =	(f?- = fco + fc»el7 + --- + fci‘.£M.	(8.61)

Q* (9) c0 + ci е?+. ..+аг е'9

тс условие бесконечной степени устойчивости, аналогичное
(8.59), можно записать с учетом (8.59), (8.61):

а0== — Ьо; <3!=—бь...;	(8.62)

Физически бесконечная степень устойчивости означает, что при
возмущениях типа единичного скачка процесс регулирования
заканчивается за конечное число тактов работы импульсного
элемента. Действительно, если справедливо соотношение
(8.59), то из рекуррентного соотношения (8.55) получаем

ГЛ = при k < /2; I\ 0 при k > 12.

сц
В этом случае в соответствии с формулой (8.54) х Inl принима-

ет значение

bh-h
at

1 [n—k—при

i

X [n] =

/г — 0

bl„-h

at

1

1 + Г* (0)

при П >/.

Очевидно, что x [nJ при n > l не зависит от n. В частности, ес-
ли №*(0) = оо, то х [и] = 0 при п I. Рассмотренное свой-
ство систем с АИМ можно использовать при построении опти-
мальных по быстродействию систем. Принципиально можно до-
биться того, чтобы переходный процесс заканчивался за один
такт работы импульсного элемента.

Степенью колебательности ц устойчивой импульсной сис-
темы будем называть абсолютную величину отношения мнимой
части ближайшего к оси корня характеристического уравне-
ния к действительной части (рис. 8.23), т. е.

При расчете степени колебательности можно пользовать-
ся тем же подходом, что и при расчете степени устойчиво-
сти. Разница состоит в том, что в передаточную функцию
системы подставляется

Ч = — 6 +	= м [/ — 1 /-nl-

Применяя для исследования устойчивости «фиктивной»
системы один из известных критериев, можно определить, об-
ладает ли данная система .заданной

величиной т], или подобрать парамет-
ры системы, при которых ц равно за-
данной величине. Отметим, что сте-
пень колебательности относится к
дискретным значениям процесса в мо-
менты съема.

 Связь £ и т) с показателями ка-
чества переходного процесса (в част-
ности, с перерегулированием и време-
нем регулирования) подробно рас-
смотрена в гл. 4 при исследовании
качества линейных непрерывных си-
стем.

Рис. 8.23
Интегральные оценки. Динамические свойства переходно-
го процесса в системе с АИМ, возникающего от воздействия
вида единичного скачка, по аналогии с непрерывными систе-
мами можно охарактеризовать интегральными оценками вида

Л= У, (х[п]—х[оо]); J2= У (х[п] — х[со])2. (8.63)
п=0	п—О

Оценка выражает собой площадь, заключенную между гра-
фиком ступенчатой функции, образующейся из решетчатой
функции х [л], и графиком ее установившегося значения, т. е.
площадь отклонения ступенчатой функции от ее предельного
значения. Эта площадь на рис. 8.24 показана штриховкой.
Очевидно, что оценку следует применять только к неколеба-
тельным процессам. Используя теорему о площади [1], выраже-
ние для вычисления оценки Д при х [ со] = 0 можно получить
в виде

оо

Л - У * [л] = X* (0) = р- —	1	•	(8.64)

~0	L de’	J?=o

Оценку J 2 можно использовать и для колебательных процес-
сов. Вычисляют J 2 непосредственно по коэффициентам переда-
точной функции замкнутой системы. Для воздействия вида
единичного скачка полиномы числителя Н] (q) и знаменателя
G* (q) передаточной функции запишутся в виде

H'i (q) =d(2_1e<^-,”-|-di2-2e(^-2>’+ ...4 dg;

G* (q) = at e/l? 4 a;-i e(I~ 4 ... 4 c0.

тогда при I — l2 = 1

_A_

a--al

при I = Z2 = 2

(d\ 4^a) (cg-l-flo) — 2do Qi
(c2 — a0) [taW-fi]]

Оценку J 2 можно также определить, пользуясь частотной ха-
рактеристикой замкнутой системы:

о

Цы)

G* (/й)

2 —
tfoj.

(8.65)
т. е. оценка J г равна пло х
щади	квадрата	модуля

Н\ (/со).

Непрерывное регулирова-
ние как граница импульсного
регулирования. Естественно 0
ожидать, что по мере увели-
чения частоты работы им-
пульсного элемента система
регулирования с АИМ по
своим свойствам будет все меньше и меньше отличаться от
соответствующей системы непрерывного регулирования. Это
означает, что при малых интервалах регулирования характе-
ристики импульсной системы должны мало отличаться от
соответствующих характеристик непрерывной системы и в
пределе при Т -+ 0 эти характеристики должны совпадать.

Покажем, как это условие выполняется, для чего рассмот-
рим частотную характеристику W* (/со), представленную
в виде

^*(/®)=у- 2 ^nH[/(<o + to0)],	/8.66)

k— — со

где соо = 2л/7; 1ЕПН (/со) — частотная характеристика приве-
денной части (соотношение (8.66) выводится в работах [1,51
и здесь приводится без доказательства).

Для того чтобы, пользуясь выражением (8. 66), построить
частотную характеристику импульсной системы, нужно пост-
роить ряд характеристик непрерывной системы, смещенных от-
носительно друг друга вдоль оси со на частоту повторения <в0
и просуммировать ординаты всех смещенных характеристик,
умноженные на 1/7. На рис. 8.25, а построена вещественная
частотная характеристика Re Wna (/со), а на рис. 8.25, б ве-
щественная частотная характеристика Re W* (/со). Полосу
частот — <оп < со < соп, за пределами которой ордината-
ми частотной характеристики приведенной непрерывной части
можно пренебречь, назовем полосой пропускания. 

Из рис. 8.25, б видно, что в полосе частот от — соо до
+ соо частотные характеристики импульсной и непрерывной си-
стемы отличаются за счет того, что происходит наложение сме-
щенных характеристик друг на друга. Физически такое ис-
кажение частотной характеристики непрерывной части озна-
чает определенную потерю информации из-за передачи импульс-
ным элементом только
дискретных значений
сигнала. Если увели-
чить частоту соо рабо-
ты импульсного эле-
мента до значения
со 0 > 2соп, то частот-
ные характеристики
непрерывной системы
и импульсной в поло-
се пропускания сов-
падут. Отсюда выте-
кает аналог извест-
ной теоремы Котель-
никова: если спектр

Рис. 8.25	частот внешнего воз-

действия ограничен в
интервале— соп<со«оп, то свойства системы с АИМ, у ко-
торой соо 2соп, тождественны свойствам эквивалентной не-
прерывной системы с комплексным коэффициентом усиления

-у ^пн (/“)•

Очевидно, что в этом случае процесс исследования импульсной
системы полностью совпадает с процессом исследования линей-
ной непрерывной системы. С практической точки зрения можно
считать, что условие эквивалентности системы с АИМ и линей-
ной непрерывной системы выполняется, если наибольшая по-
стоянная времени линейной части существенно больше периода
работы Т импульсного элемента.

Пример 8.1. Сигнал x(t) на входе импульсного элемента
(рис. 8.12, а) представляет собой единичную функцию. Найти изобра-
жение дискретной функции на выходе импульсного элемента.

Согласно (8.216),

ОО	П

Y*(q) = 2 *l«]e~9"=2 е~"П-
п~0	п=0

По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии с первым
членом, равным 1, и знаменателем е-9 получим изображение Y* (q) =
1	е9

1 — е9 ~ е9 — 1'

Пример 8.2. Определить дискретную передаточную функцию зве-
на в случае импульсов вида решетчатой функции, если известна его
передаточная функция W (s) = l/(s + а).
Согласно (8.216),

w*(q)= У, Winje-’",
п— О

где w [п] — дискретная весовая функция звена.

Так как w (t) — ent для рассматриваемого звена, то w (/) =
=- е —и w In] — е—ant.

Тогда соотношение для №" (q) запишется в виде
е'?

№*(<?) = > е-апге-?»—-----------—.

еЧ-е-аТ

п — О

Пример 8.3. Построить амплитудно-фазовую частотную характе-
ристику для импульсной системы, если передаточная функция непре-
рывной части W (s) = fej/(l + sTr) и формирователь импульсов дает
прямоугольные импульсы (0 < у0 < 1). Согласно (8.31),

туо/Л —1

Т / Т	V

В выражение для U7* (q) подставляем q « /со и, изменяя со от 0 до л,
получаем требуемую характеристику. Она представляет собой полуок-
ружность, расположенную в нижней полуплоскости, причем в крайних
точках

РГТ»/Л_]	Л>/Л_1

Г* (jO)s=*i е”7’/7’1----:----; W'* (/л) = — k,	------——-.

§ 8.3. Исследование динамики цифровых систем
автоматического управления

Цифровые вычислительные машины (ЦВМ) и различного
рода цифровые вычислительные устройства получили в послед-
нее время значительное распространение в различных системах
автоматического управления. Широкие возможности ЦВМ
позволяют использовать их в автоматических системах для до-
стижения высоких показателей качества процесса управления.
Включение в контур управления ЦВМ, хотя и требует допол-
нительных вспомогательных устройств, позволяющих осу-
ществить преобразование непрерывных процессов в дискрет-
ные и обратное преобразование, компенсируется возможно-
стью реализации практически любого закона управления, ко-
торый делает всю систему в целом весьма эффективной.
С динамической точ-
ки зрения цифровые си-
стемы характеризуются
наличием квантования
сигнала как по времени,
так и по уровню. Для
таких систем характер-
на импульсно-кодовая
модуляция сигнала. На-
личие квантования по
уровню придает цифро-
вой системе существенно нелинейный характер, однако во
многих случаях, например когда в системе используются мно-
горазрядные цифровые датчики, эффектом квантования по
уровню можно пренебречь и рассматривать цифровую систему
как импульсную, в которой осуществляется квантование сиг-

нала только по времени.

Обобщенная структурная схема цифровой системы (ЦС)
представлена в виде, показанном на рис. 8.26. Здесь символом
Н/Д обозначено устройство преобразования непрерывного
сигнала в дискретный. Преобразователь Н/Д можно предста-
вить в виде последовательного соединения многоступенчато-
го элемента квантования по уровню (рис. 8.27) и импульсного

элемента, осуществляющего амплитудно-импульсную модуля-
цию [6] (рис. 8.28).

Символом Д/Н обозначено (рис. 8.26) устройство преобра-
зования дискретных сигналов в непрерывные. Оно может быть

представлено в виде формирующего устройства, являющего-
ся фиксатором нулевого порядка с передаточной функцией
IC([) (s), определяемой выражением (8.4). В контур ПС входит

также объект управления (непре-
рывная часть) с передаточной функ-
цией W (s) (рис. 8.28).

Упростим схему, приведенную
на рис. 8.28, перенося импульсный
элемент из цепи воздействия и об-
ратной связи в цепь ошибки
(рис. 8.29). Из схемы рис. 8.29 оче-
видно, что если квантованием по
уровню пренебречь, то структур-
ная схема ЦС (рис. 8.29) пол-
ностью совпадает со структурной
схемой системы с АИМ (см.
Рис. 8.28

Рис. 8.29

рис. 8.12). Следовательно, для исследования ЦС без учета
квантования по уровню справедливы все результаты преды-
дущего параграфа, полученные для исследования системы
с АИМ.

В настоящем параграфе целесообразно рассмотреть аппарат
логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ), который
с успехом применялся для исследования линейных непрерыв-
ных систем в гл. 3—5 настоящего учебника. Данная задача
весьма актуальна при исследовании устойчивости ЦС и систем
с АИМ, поскольку применение широко распространенного
критерия Найквиста требует построения частотной характе-
ристики W* (/со) разомкнутой системы, что в практике инже-
нерных расчетов может оказаться достаточно громоздким и за-
труднительным.

Исследование цифровых систем методом логарифмических
частотных характеристик. Следует иметь в виду, что свойства
трансцендентности и периодичности W* (q) препятствуют при
исследовании ЦС и систем с АИМ использованию логарифми-
ческих частотных характеристик.
Метод ЛЧХ может быть разработан на основе v-преобразо-
вания, которое, как было показано в предыдущем параграфе,
отображает полуполосы — л < Jm q < л, ReQ < 0 плоско-
сти q в левую полуплоскость переменной V.

Рассмотрим ^-преобразование более подробно, для чего
запишем его в форме

V = (eV — 1 )/(е® +1).

Полагая q — jcii, получаем

е/<в+1	2

Так как правая часть данного равенства — мнимая величина,
то и левая часть будет величиной мнимой. Вводя обозначение
v = /со*, получим

/CO*=/tg у ,

откуда со = 2 arctg со*.

При изменении со от 0 до л значения со* изменяются от О
до со. Так как со = соТ, то имеет место также соотношение

2	—

со = — a rctg со*

Переменную со* называют безразмерной псеедочастотой. Од-
нако при исследовании ЦС в ряде случаев более удобна раз-
мерная псевдочастота со*, которую введем с помощью соответст-
2 —

вия со* — т со *. Принимая во внимание это равенство, полу-
чаем

откуда следует, что при изменении со от 0 до л/Т, псевдочасто-
та со* принимает значение 0 <; со* [с-1] < со. Ниже будем
пользоваться ^-преобразованием, связанным с размерной псев-
дочастотой и записанным в виде соотношения

Т

1 +— v

Я = 1п----у— •	(8.67)
Используя результаты § 8.2, уравнение динамики разомкну-
той ЦС (без учета звена квантования по уровню) запишем в ви-
де (рис. 8.29)

X^(q)~W*(q)X*(q).	(8.68)

Если теперь в уравнение (8.68) вместо переменной q ввести
переменную v в соответствии с соотношением (8.67), то полу-
чим записанное через ^-преобразование уравнение динамики
разомкнутой ЦС:

X^(v) = W(v)X(v).	(8.69)

Передаточная функция W (у) позволяет использовать для ана-
лиза и синтеза ЦС логарифмические частотные характеристики.
При этом ЛЧХ, соответствующие частотной характеристике
разомкнутой ЦС ^(/со*), определяются теми же соотношениями,
что и для обычных непрерывных систем:

L (со*) = 20 1g | W (j&*) |; ср (со*) = arg W (jco*).	(8.70)

Используя ЛЧХ, полученные в соответствии с соотноше-
нием (8.70), можно сформулировать, например, логарифмичес-
кий частотный критерий устойчивости для ЦС и систем с АИМ,
являющийся аналогом соответствующего критерия для непре-
рывных систем: система, устойчивая в разомкнутом состоянии,
устойчива и в замкнутом состоянии, если число переходов фазо-
вой частотной характеристикой разомкнутой системы
ср (со*) через ось — л сверху вниз равно числу переходов снизу
вверх в интервале частот, где логарифмическая амплитудно-
частотная характеристика разомкнутой системы L (со*) не-
отрицательная. Для удобства конкретных инженерных рас-
четов, когда требуется переход от оригиналов к изображениям
с помощью дискретного преобразования Лапласа, целесооб-
разно пользоваться соответствующими таблицами, приведен-
ными, например, в [11. Аналогичными таблицами целесообраз-
но пользоваться и для определения передаточных функций от-
дельных элементов ЦС в ^-преобразованном виде. В табл. 8.1
приведены решетчатые функции и их изображения, а в табл. 8.2
— передаточные функции W* (q) и W (v) разомкнутых импульс-
ных систем с прямоугольными импульсами.

Исследование цифровых систем с непрерывной передачей
Данных. Выше был проведен анализ ЦС, структурная схема ко-
торой показана на рис. 8.28, 8. 29, без учета нелинейности
Оригинал f In]	Изображение  F* (<7)=D{Mnl}
H«]	e9 e9—1  e9
ft	(e9-l)s
n2	e9(e9 + l) (e9—l)3
an	e9  e9—a
• ean	e4 e9-e“
1—eran	e9(l—ета) (e9 — era) (e9—1)
nea"	eg ea (e9-ea)2
n2e“"	c« + 8^  T  1 у О ф  Ф
Таблица 8.1

Оригинал 1 In)	Изображение F* (.?)=£) И in]}
	(е9—cos и) е9
COS со п	е2?—2е9 cos со + 1
sinco п		е9 sin со	 е29—2е9 cos со +1
еа,г cos со п	(е9 — ек cos со)	  е29—2е9 е“ cos со + е 2<х
еап sin <о п	e9e“sinco  е29—2е9 e“cos <р+е2а
Передаточная
функция непре-
рывной части

1

s

1

S2

1

1+«Л

1

1 4-2|7’1s+s27’2

Передаточные функции разомкнутых импульсных систем с прямоугольными импульсами	
(«)	U7(o)
	?o=l
То Т е9—1  Т2 То (2 —То) eg+?o  2	(е9 —1)2  1 V«T \ е-77ЦеГ' -1) е^-е-ПЛ  [—d cosfi—cd sin6+d1—Vo cos (1—To)$ ।	T '~T“  V  T 1 —	V  0  o2  T 1 ——V  2 l+TJu (l — y-njo+to)
e2q—2d cos Se’+d2  1 cd1~~Vtl sin (1 —To) 6] е? e29—2dcos6e9+d2  d (dr-d1^0) coSTo^+cd1—Vo sin To 6	
	/ \2 +2£'7^+1
e2?— 2d cos 6 e9 + d2	

Обозначения

r 21 H2i

1	2 I— di



1==; d=^T!T'-,

1*9.’	'

б = ₽ 1/1-12 ; Р-Т’/Т,.; а = §/₽;

sha——— cos 6

_ T______6

T ~ 2	ch a—cos 6

sha

l/ch2a—cos2 6

т: =

cha+cos 6
ch a—cos 6
квантования по уровню. В практике си-
стем автоматического управления полу-
чили достаточно широкое распростране-
ние так называемые системы с непре-
рывной передачей данных. Они приме-
няются, в частности, в системах про-
граммного управления станками, в систе-

Рис. 8.30 мах программного управления механиз-
мами прокатных станов и т. д.

Если- оперировать структурной схемой, приведенной на
рис. 8.29, то характерным признаком ЦС с непрерывной пере-
дачей данных можно считать отсутствие импульсного элемента
в цепи рассогласования х (t). Если импульсная передача и при-
меняется, то частота съема информации выбирается достаточ-
но высокой, чтобы избежать потери информации и накопле-
ния ошибки. К системам с непрерывной передачей данных мож-

но условно отнести и системы, у которых осуществляется им-
пульсная передача, но параметры импульсной системы соот-
ветствуют условиям ее эквивалентности непрерывной системе
(условие эквивалентности рассматривалось в § 8.2). Эквива-
лентная структурная схема ЦС с непрерывной передачей дан-
ных представлена на рис. 8.30.Очевидно, что рассматривае-
мая система является нелинейной системой с нелинейным эле-
ментом квантования по уровню (см. рис-. 8.27). Для исследова-
ния данной системы можно использовать известные методы ис-
следования нелинейных систем, рассмотренные в гл. 7. Для ис-
следования абсолютной устойчивости ЦС с непрерывной пере-
дачей данных воспользуемся критерием абсолютной устойчиво-
сти нелинейных систем, приведенным в гл. 7: если замкнутая
система состоит из устойчивой линейной части с передаточ-
ной функцией 1ЕПН (s) (рис. 8.30) и нелинейности и характерно-
тикой ф (х), лежащей в угле 0	< k, то достаточным

условием устойчивости является выполнение неравенства

Re [(1 + i pto) Гпи (/<»)] + l/k > 0,

(8.71)

где р — произвольное вещественное число.	:

В случае рассматриваемой ЦС k == б /(0,5 Л) = 26/Л.
Критерию абсолютной устойчивости можно дать удобную гео-
метрическую интерпретацию, введя понятие модифицирован-
ной частотной характеристики Ц7ПН (/<»), где

®пк О) = Re Wa„ (jto) + /со Jni Гцн (/co).
В этом случае критерий формулируется следующим образом:
ЦС с непрерывной передачей данных устойчива, если при устой-
чивой линейной части через точку(—Л/(2б); /0) можно провести
прямую так, чтобы годограф Й7пн (/со) лежал справа от нее.

Если достаточные условия абсолютной устойчивости для
ЦС не выполняются, то в ней могут возникнуть периодические
процессы. Исследование периодических процессов можно вы-
полнить с помощью метода гармонического баланса. Будем по-
лагать, что внешнее воздействий на систему отсутствует, и тог-
да условие существования периодического режима (в предпо-
ложении, что приведенная непрерывная часть удовлетворяет
гипотезе фильтра) можно записать в виде

toH) to'(/“)= ~1-	(8.72)

где 1УНЭИ) — комплексный коэсйфициент усиления нелинейно-
го элемента квантования по уровню.

Уравнение (8.72) удобно решать графически, переписав
его в виде	I,

^пн(/®)= -to И).	(8.73)

Если уравнение (8.72) или (8.73) иМеет решение, то в исследуе-
мой ЦС существуют периодические колебания вида х (t) —
—A sin eat. Построив в общей системе координат годограф 1УГ1П X
X (/со) и инверсную характеристик^ комплексного коэффициен-
та усиления нелинейного элемента квантования — W'h/ (А),
определим параметры колебаний А, со в точках пересечения дан-
ных характеристик. Аналитическое (выражение комплексного
коэффициента W„3 (А) можно записать в виде [91

to (Л) = S Г4Ар(2Г-[р,	(8.74)

3TZ1 • ••• •	\

/= 1	\

где k — число ступеней характеристики квантования, захва-
тываемых сигналов с амплитудой А. I

Вывод (8.74) не приводится, поскольку методика вычисле-
ния Ц7нэ (А) по существу не отличается, от методики, показан-
ной на примерах типовых нелинейностей в гл. 7.

Соотношение (8.74) записано для б Ц Д = 1. На рис. 8.31
показаны амплитудно-фазовые характеристики Ц7НС (А) и

to1 (А). Так как характеристика нелинейного элемента
квантования однозначна, то Ц7НЭ (А) является действительным
числом и потому его характеристика совпадает с действитель-
ной осью. Максимальное значение 1УИЭ (А) равно 4/л = 1,27
при А = ]^2/2 = 0,707. На рис. 8.32 приведена логарифми-
ческая амплитудная характеристика L (Л). Последнюю весь-
ма удобно применять для анализа; и синтеза ЦС с непрерывной
передачей данных методом ЛЧХ;

Исследование цифровых систем с учетом квантования по
уровню и по времени. Цифровые автоматические системы при
условии учета квантования как/по времени, так и по уровню
следует отнести к классу нелинейных импульсных систем (см.
рис. 8.29) и для исследования динамики таких ЦС привлекать

соответственно методы, разра!

'энные для нелинейных им-

пульсных систем. Так, для исследования абсолютной устойчи-
вости ЦС используем критерии, разработанный ,Я-3. Цыпки-
ным [81: положение равновесия нелинейной импульсной системы,
приведенная непрерывная часть которой устойчива и нелиней-
ная характеристика принадлежит сектору (0, /г), будет аб-
солютно устойчивым, если для всех частот в диапазоне (0, л)
выполняется неравенство j

1//г + ЕеЖн(/®)>0.

(8.75)

Геометрический смысл данного неравенства весьма прост:
амплитудно-фазовая характеристика W™ (/со) приведенной ли-



wMU) 1

2

-2

L(4,
ДБ

Рис. 8.32

Рис. 8.31

нейной части должна рас-
полагаться справа от вер-
тикальной прямой — l/k.

Согласно рис. 8.27, ха-
рактеристика квантования
по уровню принадлежит се-
ктору (0, 26/Д), поэтому
условие абсолютной устой-
чивости положения равно-
весия ЦС выполняется,
если годограф W'mi (/со)
располагается справа от
вертикальной прямой —
Д/(2 6) (рис. 8.33).

В том случае, когда
приведенная линейная
часть неустойчива, доста-
точный критерий абсолют-
ной устойчивости (8.75) не
выполняется. Это связано
с тем, что характеристика
квантования имеет зону не-
чувствительности (— Л/2,
+ Д/2) и, когда процесс по-
падает в эту зону, система
размыкается, а разомкнутая
система неустойчива.

Если условие абсолютной
устойчивости не выполняется,
то в ЦС могут возникнуть пе-.
риодические режимы. Термин
«авколебания» в данном слу-
чае неприменим, поскольку
частота периодических режи-
мов навязана тактом работы
импульсного элемента и, зна-
чит, ЦС неавтономна. Преоб-
разуем структурную схему
ЦС, приведенную на рис. 8.29,

Рис. 8.34

к схеме рис. 8.34. Будем полагать, что сигнал уставки равен
нулю и что постоянная составляющая в периодическом ре-
жиме отсутствует. Тогда, согласно методу гармонического
баланса, периодический процесс будет существовать, если
линейная часть является фильтром низких частот и выпол-
няется условие

<Р1. 'И
где (/?!, фл, N) — эквивалентный

(8.76)

фициент усиления элемента
пульсной системе.

Многоступенчатую не-
линейность квантования
можно представить парал-
лельным соединением, в
ветвях которого включены
обычные релейные элемен-
ты (рис. 8.35), т. е.

р

ф(х)=- 2

(8.77)

Характеристики
рис. 8.35 построены
звена квантования

комплексный коэф-

квантования в нелинейной им-

Рис. 8.35

на
для
(см.
рис. 8.27), у которого для упрощения принято 6 — Л — 1.
Характеристики (х) определяются соотношениями

1 при х>(2/— 1)/2;

^4 (*) = 0 при | х |	(2i—1)/2;

1 при У<(2/—1)/2

(8.78)

и представляют собой характеристики релейных элементов с
зоной нечувствительности (2i — 1).

Используя (8.77), эквивалентный коэффициент усиления
звена квантования 1У„Э (Дъ <ри N) можно представить в виде
суммы комплексных коэффициентов усиления одноступенча-
тых релейно-импульсных элементов (Д15 <рь N):

4>i, *)=- V	<Р1. Л/) =

л

2Л

NAr	л

' = 1	sin ——

х е

[-277 (*1£ —*24) + ^]

(8.79)

21— 1

где ku = Е - (arccos ат- + <рх) ; k2i = Е — (arccosx
£ЗТ	p/i	|	L л

2z — 1	1	/

X ——------ср,) ; Дъ <р, —I амплитуда и фаза периодического

Z/l	J	[

режима (дискретного гармонического сигнала); N — вели-
чина, характеризующая / частоту колебаний в периодическом
режиме (или число тактов работы импульсного элемента за

период колебания)
(рис. 8.36).; Е — це-

лая часть.

Рис.

Выражение для
Жэ (А, <Р1, N) в фор-
ме (8.79) приведено в
работе [81. Для гра-
фического решения
уравнения (8.76)
мож но воспользовать
ся соответствующими характеристиками, приведенными в 19J
Особенность комплексного коэффициента усиления (Д1(
<р1? N), характерная для всех нелинейных импульсных систем
и отличающая его от нелинейных систем, состоит в следую-
щем: 1) Hi. <Pi, N) зависит не только от амплитуды Дх,
но и от относительного периода колебаний N и фазового
сдвига <рт; 2) характеристики (Лъ срх, N) представляют
собой совокупность областей, соответствующих различным ЛГ;
каждая область заполнена семейством характеристик, пост-
роенных для различных фг.	_

Таким образом, если характеристика 1Г„Н (/со) пересечет
несколько областей характеристики [—№нэ)-1, то это будет
говорить о возможности существования периодических ре-
жимов различной формы. По мере увеличения числа р сту-
пеней квантования количество разновидностей периодических
процессов на выходе элемента квантования значительно уве-
личивается, опережая рост числа р.

Пример 8.4. Построить ЛАЧХ импульсной системы, рассмотрен-
ной в примере 8.3, при у0 = 1 (случай цифровой системы с большим чис-
лом разрядов).

Для рассматриваемой системы (см. пример 8.3)

«7 * (<7)	(1 — е - р)/(е’ - е ~ р),

где ₽ = ТП\.

При подстановке типа (8.67)

Т
1----v

2

е<7 _ ------

Т ,
i+—И

(1 —е-р)^1--v

получаем W (и) = kr

1+7” о ’

откуда после подстановки v — ja* находим

L (со*) == 20 1g Й! + 20 lg 1 + ~ со*2 -201g УГ+(7”)2 со*‘П

ЛАЧХ на интервале частот (1/7” 4- l/Т' имеет наклон — 20'
ДБ/дек, а за пределами данного интервала параллельна оси частот со*
§ 8.4. Исследование систем с широтно-
импульсной модуляцией

В § 8.1 было показано, что система с ШИМ является нели-
нейной системой, поэтому к ней можно применить известные
методы исследования нелинейных систем. Однако при опреде-
ленных условиях, как было показано в работе [1], систему с
ШИМ можно рассматривать как линейную импульсную систе-
му, применив к ней разработанные методы исследования сис-
тем с АИМ.

Исследование системы с йшротно-импульсной модуляцией
по линеаризованной модели. Рассмотрим условия, при кото-
рых система с ШИМ эквивалентна системе с АИМ. Для этого,
так же как это было сделано в § 8.2 составим основные уравне-
ния системы с ШИМ (рис. 8.37).

Определим реакцию линейной части системы на один им-
пульс длительности ут> 0. Здесь Ym, о — относительная пере-
менная длительность импульса на выходе широтно-импульсно-
го модулятора, зависящая от величины сигнала на входе мо-
дулятора, т. е. ym,o = Tlx	х — постоянная ве-

личина.

Реакция линейной части на такой нмлульс определяется
в момент t = т, по аналогии с (8.22), соотношением

—т) —

fi(t — т)	при т <С t < т 4- Ym,0;

й(7—m)-ft(F- т — Ym,0) при т+тт,0</<оо.

’	(8.80)

Тогда реакция линейной части системы на последователь-
ность импульсов постоянной амплитуды, равной 1, и перемен-
ной длительности в моМент t = п на основании принципа су-
перпозиции будет /

хВЫ1["1(= S sign х [ш] йу [п — т|,
/	т=0

где

sign

I 14 1 при X |П| > и.

Предположим, что /

/	1.	(8.82)

(8.81)

[mJ =
физически условие
(8.82) означает, что рас-
сматриваются малые из-
менения управляющего
сигнала или что факти-
чески длительностью
управляющих импуль-
сов (по сравнению с пе-
риодом их следования)
можно пренебречь.

Рис. 8.37

Тогда после разложения h (t — т — ymi0) в РЯД по Тт,о с

учетом только первой степени ут> 0 реакцию hv (t— т) мож-

но записать в виде

hy(t—=	— h(t—т—ут,0 )

ЖУт.оК (t—m).

(8.83)

Для момента t = п

hv(n—m)=x|x[/n]|ft'(/i—m), m^n. (8.84)

• Если n = tn, то очевидно, что hv (0) = h (0).

Подставляя соотношение (8.84) в (8.81) и учитывая, что
sign х [m]|x[m)| = х [tn], получаем соотношение, связываю-
щее входную и выходную переменные разомкнутой системы с
ШИМ в дискретные моменты времени t = п:

^вых[«]=к 2 x[m\h'[n—m}.	(8.85)

т— 0

Сопоставляя (8.85) с (8.24), приходим к выводу, что при ус-
ловии (8.82) система с ШИМ эквивалентна системе с АИМ
коэффициентом усиления х и реакцией линейной части

hv(t) = h' (7).

Отсюда следует, что все результаты, полученные в § 8.1
Для систем с АИМ, могут быть использованы для систем с ШИМ
(если в соотношениях для систем с АИМ принять у0 <£ 1 и
заменить у0 на х). Так, выражение для передаточной функции
W* (q), аналогичное (8.31), можно представить в виде

/	Q i

W*(q) = n у Ci ——,	(8.86)

г±1	е9 —е9'
где для систем с ШИМ

Р (<7i)

Q' (<7i)

Выражение для передаточной функции W* (<?), аналогич-
ное (8.36), для систем с ШИМ записывается в виде

J ^(<7 + /2л^).	(8.87)

/г= — оо

Таким образом, уравнение разомкнутой системы с ШИМ
имеет вид

X*Bbn(q)^W*(q)X*(q)

(8.88)

и полностью совпадает с уравнением разомкнутой системы в
АИМ. Передаточная функция замкнутой системы определяет-
ся соотношением (8.34).

Для практического исследования систем с ШИМ удобно ис-
пользовать частотные характеристики разомкнутой системы.
Построение частотных характеристик можно выполнить, ис-

пользуя соотношение
(8.87), положив в нем пред-
варительно q — j(o.

Так как выражение для
частотной характеристики
разомкнутой системы с
ШИМ W* (/со) получается
значительно более простым
по сравнению с выраже-
нием (8.37) для систем с
АИМ, то и процесс пост-
роения W* (/(о) упрощает-
ся. На рис. 8.38 иллюстри-
руется порядок построе-
ния W* (jm) для случая,
когда частотная характе-
ристика линейной части су-
щественно уменьшается по
мере роста частоты со.
Упрощенное выражение,
аналогичное соотношению
(8.38) для системы с АИМ,
в этом случае может быть
получено из (8.87), если в нем ограничиться двумя слагае-
мыми наименьшей частоты:

Г* (/©) « х {Г (/©) + Г [/ (й — 2л)] ].

Годограф на рис. 8.38 построен по точкам, соответствующим
частотам <о = <01, <л=<о2> со = л. Очевидно, что все
методы исследования устойчивости и качества, разработан-
ные в § 8.2 для систем с АИМ, могут быть применимы для ли-
неаризованной системы с ШИМ. Весьма удобным также для
решения задач анализа и синтеза систем с ШИМ будет и метод
логарифмических частотных характеристик, изложенный в
§ 8.3 применительно к цифровым системам и системам с АИМ.

Исследование периодических колебаний в системах с ши-
ротно-импульсной модуляцией. Выше были рассмотрены во-
просы исследования систем регулирования с ШИМ-1 по ли-
неаризованной модели, т. е. при небольшой глубине модуля-
ции.

В общем случае система с ШИМ-1 является нелинейной сис-
темой и, следовательно, в ней возможны периодические колеба-
ния. Здесь мы проведем исследование симметричных периоди-
ческих колебаний с помощью метода гармонического баланса.

Структурная схема рассматриваемой системы с ШИМ при-
ведена на рис. 8.37. Предположим, что модулируется задний
фронт импульса Тогда импульная последовательность на вы-
ходе модулятора может быть определена соотношением

2(0-

б sign х (пТ) при пТ < t < пТ-|-у [х (пТ)]-,

при пТ + у [х (пТ)\ < / <; (п -| 1) Т

(8.89)

0

Здесь, как и ранее, 6 — амплитуда; Т — такт следования им
пульсов; пи п + 1 — моменты появления n-го и (п + 1)-го
импульсов. Моменты появления импульсов будем называть
тактовыми. Если тактовое значение сигнала на входе модуля-
тора превосходит некоторое пороговое значение 1/х, то соот-
ветствующий импульс будет заполнять весь интервал повторе-
ния.. Такие импульсы будем называть насыщенными.

Зависимость у0 {х (пГ)] = у {х (пТ)]/Т изображена на
рис. 8.39. Аналитически она может быть выражена следующим
образом:

у0 [х (пТ)]

f х | х (пТ) | при | х (пТ) | < (1/х);
|1 при |х(п7)| >(1/х).

(8.90)
Таким образом, при |х (пТ) | < (1/х)
длительность импульса пропорцио-
нальна модулю входного воздействия,
а при больших значениях |х (пТ) дли-
тельность постоянна и равна интер-
валу повторения Т.

Если теперь принять во внимание
выводы §8.1 и соотношение (8.90), то
широтно-импульсную систему (см.

рис. 8.38) следует рассматривать как нелинейную, у которой
нелинейность обусловлена, во-первых, модуляцией по дли-
тельности (квантованием) и, во-вторых, тем, что длитель-
ность импульсов является нелинейной функцией входного
сигнала (рис. 8.39).

Положим х0 = 0 и предположим, что в рассматриваемой
системе установились симметричные, колебания, при кото-
рых число положительных импульсов в периоде равно числу
отрицательных и что период колебаний равен 2 NT, где N —
целое число. Тогда сигнал х (t) будет представлять собой пери-
одическую функцию с периодом, равным 2 NT (рис. 8.40, а).

С выхода модулятора на линейную часть будет в этом слу-
чае поступать последовательность импульсов, длительности
которых также меняются периодически с тем же периодом 2 NT
(рис. 8.40, б). Эти длительности равны у0, 0, у1, 0, ..., yw-i, 0
и определяются значениями х (0), х (Т),..., х [(N	— 1) Т ]

Рис. 8.40

с помощью соотношения
(8.90). Величины х (0),
х(Т),..„ х [(N — 1) Т]
являются параметрами пе-
риодических колебаний,
так как они полностью оп-
ределяют периодическую
последовательность им-
пульсов на выходе моду-
лятора, а следовательно,
и выходную величину не-
прерывной части, кото-
рая является реакцией
на эту последовательность.

Последовательность им-
пульсов, изображенную на
рис. 8.40, б, можно разло-
жить в ряд Фурье, т. е.
представить в виде суммы гармонических составляющих, при-
чем коэффициенты этого разложения можно выразить через
неизвестные параметры х (0), х (Т), х [(W — 1)7] [И]:

z(/) = 2 [GmSin (2m~ t+ bmcos(2m — 1) il,
m = 1

(8.91)

где

2

(2m — 1)л

N- 1

1 — У* cos (2m —

< = o

I)-y(H-To[x(t7)])

ctg(2m —1)

У sin(2m-l)^-(i + Yo[xdT)])

•л*	N

(8.92)

Обозначим частотную характеристику непрерывной части че-
рез W (jin), а величины б и х учтем в приведенной непрерыв-
ной части. Тогда частотная характеристика приведенной не-
прерывной части 1]7П11 (/со) запишется в виде

«7ПН (/©) = бх W (/со) = WШ1 (со) е'° <<-».	(8.93)

Находя по известным правилам и складывая реакции непре-
рывной части на каждую гармоническую составляющую выра-
жения (8.91), найдем выходную величину непрерывной части:

2 rim[-^^][arosin[(2m~l)^/ +

m= 1 L

: +е(^7±")] + 6“<:“[<2т'-1>^ , + e(J=JF-")'])

(8.94)

Если в системе установились периодические колебания, то N
значений переменной хпых (0 в тактовые моменты времени t =0
2Т, (N — 1) Т должны быть равны N значениям сигнала
x (t) с обратным знаком (см. рис. 8.38). Для этих моментов вре-
мени можно записать

х (kT) = - V гпн	я] fam sin l(2m - 1) -%- k +

+ 0	я)]+ b™cos I/2"2“x

X -S-fe + ef— nYH, 6 = 0, 1, 2, ..., TV—1. (8.95)
/V \ NT ]\)	'

Соотношение (8.95) представляет собой N уравнений относи-
тельной неизвестных х (0), х (Т),..., х l(N — 1)) 71. В общем
виде аналитически найти решение весьма затруднительно, по-
этому сделаем предположение о том, что непрерывная часть
обладает фильтрующими свойствами. Тогда если частота
<£> = n/(NT), соответствующая периоду колебаний 2 NТ, до-
статочно велика, то можно пренебречь всеми гармониками,
кроме основной, частота которой равна л/(NT), т. е. поло-
жить

~ ° при tn > 2

и в выражении (8.94) ограничиться только членом, соответст-
вующим пг — 1

Тогда условия существования периодических колебаний (8.95)
запишутся так:

где

9 f at-i

а — а, = — 1 — V cos (k + Yo I*
л	N

k~ о

Л	~tg	2 sin +	1  2N	N  k=o	)
В выражении (8.97) точки х (kT) лежат на синусоидальной кри-
вой, период которой равен 2 NT. Для полного определения дан-
ной синусоиды нужно знать две величины: либо амплитуду и
фазу, либо два каких-либо значения синусоиды. Зададимся
двумя значениями х (t), например обозначим х (0) = хг и
и х (NT/2) = х2. Тогда все N параметров периодического коле-
бания х (0), х (Т),..., х [(N — 1) Л выражаются через эти два
значения xt и х2, т. е. число параметров колебания сводится
к двум. Действительно записывая выражение (8.96) при
t = 0 й t = NT 12, получим

Подставляя эти выражения для а и b в (8.97), найдем

x(kT)= %! cos -^k -+ x2sin k — 0, 1, 2, ..., (N—1).(8.100)

Таким образом, задача состоит в определении двух величин хх
и х2> Удовлетворяющих соотношению (8.99). Для этого введем
в рассмотрение обратную частотную характеристику

—/е (<о)

^4 (/®) =	— = И (со) + /V (со).

Гпн (СО)

Так как

N (со) = cos 0 (со)/В7пн (со), V (со) = —sin 0 (со)/	(со),
то уравнение (8.99) перепишем в виде

a^X1V	х

\ NT )	\ NT /'

b^ — x2V	Х1 U	(8.101)

\ NT )	1	\ NT I

Отсюда получим

jj / л \__	Ь-\- а ' у / л \__ а х^Ь (8 102)

к NT	xf + xl ’	\ NT /~ х?+4 ‘	'

Коэффициенты а и Ь, входящие в эти выражения, являются
функциями xlt и х2, и, следовательно, мы имеем два уравнения
с двумя неизвестными: Х1 и х2.

Начало координат по времени выбрано так, что в моменты
t = 0, Т, 2Т, (N — 1) Т на выходе модулятора появляют-
ся только положительные импульсы, поэтому величинам Х1 и
х2 можно придавать только такие значения, при которых все
х (кТ), вычисляемые по (8.100), имеют положительные значе-
ния, т. е.

х, cos k -f- х2 sin k 0, k = 0, 1, 2, . , (N — 1). (8.103)

Эти неравенства определяют область возможных значений xt и
х2 в плоскости координат, у которой по оси абсцисс отложена
величина xlt а по оси ординат — х2. Выражения (8.102) ото-
бражают эту плоскость на плоскость обратной частотной ха-
рактеристики. Область возможных значений при этом отобра-
жается в такую область на плоскости 1Кпн (/®), что если в нее
попадет точка этой характеристики, соответствующая со =
= л/ (NT), то периодические колебания возможны.

Рассмотрим применение полученной методики на примере
простейших периодических колебаний N = 1. В этом случае
выражение (8.102) и выражение для а и b из (8.97) перепишут-
ся в виде

у ( л \______б-рхд а . у / л \ _ *i о хг b	।

\ Т J~	xf+xf ’ I Т Г *1+*1

а = —-----— cos лу0 (хх); Ь ==—sin лу0 (xj. (8.105)

п п	л

Согласно (8.103), при N = 1 возможные значения х, и х2 долж-
ны удовлетворять условию х (0) = хг > 0, т, е. область воз-
можных значений хх и х2 представляет собой правую полу-
плоскость плоскости (xv х2).
Разобьем всю область возможных значений (хь х2) на две
области, границей которых является прямая хг = 1. Рассмот-
рим область XjC 1. Здесь колебания характеризуются тем,
что импульсы в них являются ненасыщенными, при этом сог-
ласно формуле (8.90), в которой положено х = 1, соотноше-
ния (8.105) принимают вид

2	2

а --= — (1 —cos лх,); b -- — sin лхг (8.106)
л	п

Рассмотрим область хх > 1. Здесь импульсы являются насы-
щенными, т. е. у0 (Xj) = 1. При этом

а = 4/л; b = 0.	(8.107)

На комплексной плоскости W™ (рис. 8.41) пунктирной ли-
нией ограничена область, в которую обращается правая полу-
плоскость плоскости (хъ х2) согласно формулам (8.104), (8.106),
(8.107). Эта область заполнена семейством окружностей, соот-
ветствующих постоянным значениям хг.

Если точка частотной характеристики (/<о) при <о ~
== я/Т попадает в данную область, то в системе с ШИМ-1 ус-
танавливаются периодические колебания с N = 1. Меняя па-
раметры системы или видоизменяя частотную характеристику
за счет введения корректирующих устройств, можно вывести
точку Жт1 (jn/T) за пределы
«запретной» области и соот-
ветственно устранить в реаль-
ной системе периодические
колебания.

Аналогичным образом
можно построить области, со-
ответствующие колебаниям
N = 2,3,... (см. [11]).

В заключение подчеркнем,
что если точка IF™ (jri/T)
при данном N попадает внутрь
«запретной» области, то при
одном и том же М возможны
различные периодические ко-
лебания (с различными пара-
метрами), а также возможны
как ненасыщенные, так и на-
сыщенные колебания.

«Запретные» области для насыщенных периодических коле-
баний при различных N от 1 до 4 приведены на рис. 8.42.

§ 8.5. Исследование систем с частотно-
импульсной модуляцией-

Системы с частотно-импульсной модуляцией, как было по-
казано в § 8.1, являются существенно нелинейными, при этом
такие системы (в отличие от систем с ШИМ) даже при малой
глубине модуляции не могут быть линеаризованы. Вследствие
этого к частотно-импульсным системам необходимо применять
известные методы исследования нелинейных систем, учитывая,
конечно, специфику частотно-импульсного модулятора (см.
§8.1, рис. 8.6, 8.7).

Отметим, что структурная схема модулятора, приведенная
на рис. 8.7 и построенная по уравнению ИЧИМ (8.13), не явля-
ется единственным вариантом структурного представления.
Ниже будут рассмотрены и другие структурные схемы. Приме-
нение тех или иных структурных схем, с одной стороны, обус-
ловлено схемой реального модулятора, работающего в системе
автоматического управления, а с другой стороны, удобством
применения того или иного метода исследования.
В настоящем параграфе будут рассмотрены в основном во-
ппосы исследования систем управления с ЙЧИМ-2, а также от-
дельные вопросы исследования систем с сигма-ЧИМ (S-ЧИМ),
понятие которой будет введено ниже, и ИЧИМ-1.

Исследование систем с ИЧИМ 2-го рода методом фазовой
плоскости. Структурная схема системы управления с ИЧИМ
2-го рода приведена на рис. 8.43 (в дальнейшем будем исполь-
зовать сокращенный термин ИЧИМ). Она состоит из модуля-
тора и линейной части с передаточной функцией W ($). Моду-
лятор (рис. 8.7) представляет собой последовательное соеди-
нение интегратора, нелинейного элемента (НЭ) квантования
приращений и формирователя с передаточной функцией
(1 - e-*v).

Нелинейный элемент квантования приращений представля-
ет собой кусочно-линейную характеристику (см. рис. 8.8, с),
особенности которой рассмотрены в § 8.1.

Так как на фазовой плоскости, как было показано в гл. 7,
удобно исследовать нелинейные системы не выше второго по-
рядка, то линейная часть (учитывая наличие интегратора в
контуре системы) должна быть не выше первого порядка. Пусть

W (s) = k0 /(1 + з 7„),

(8.108)

где k0, То — коэффициент передачи и постоянная времени
соответственно.

Фазовую плоскость рассмотрим в координатах у, x — dy/dt,
где у — сигнал на входе НЭ, а х — входной сигнал
модулятора.

Рис. 8.43
Импульсная последовательность на выходе модулятора сог-
ласно (8.13) определяется соотношением

__J ® sin х (tnj при tn <С_ t tn -|- у,	(g jog)
I 0 при *n + y</<fn+1.

где tn, tn+1 — моменты появления п-го и (п + 1)-го им-
пульсов; «у, 6 — длительность и амплитуда импульсов соответ-
ственно.

Дифференциальное уравнение, связывающее вход НЭ и
вход линейной части и описывающее движение системы с ли-
нейной частью (8.108), запишем в виде

Toy+y=-koz,	(8.110)

где z определяется соотношением (8.109).

Так как на линейную часть, согласно (8.109), действует
импульсный сигнал, принимающий значения + 6, — 6, 0,
то фазовая плоскость заполняется тремя семействами кривых,
уравнения которых легко получаются из (8.110) с учетом
(8.109):

У = — Т(,х + Сг при z' = 0;

(8.111а)

у = То [kz In |х + feoz|— + С2 при z 0.

(8.1116)

Вид кривых показан на рис. 8.44. Кривые на рис. 8.44, а
соответствуют сигналу z отрицательной полярности (г = —
— 6), кривые на рис. 8.44, б — положительной (z = + 6),
а прямые на рис. 8.44, в соответствуют паузе между импульса-
ми (г = 0).

Для построения траектории движения по полученным фа-
зовым траекториям необходимо определять моменты переклю-

Рис. 8.44
чения с траекторий импульса (8.1116) на траектории паузы
(8.1На) и наоборот.

Отметим, что определение точек переключения в конце каж-
дого периода, т. е. в моменты tlt tn, трудностей не вызы-
вает, поскольку моментам t2,..., tn соответствует изменение
координаты у от момента t0 на величину Д, 2Д, нД (в соответ-
ствии с уравнением (8.13)).

Для определения координат точек переключения в моменты
окончания импульсов, т. е. в моменты tx + у, t2 + у,...,
Д I У„ найдем приращение координаты у за время n-го им-
пульса Ay,t. Обратимся к уравнению (8.110). Его решение име-
ет вид

У ^У0- k8 (t —1„) + Т (k0 б + х0) (1	(8.112)

где Хо', у0 — значения х, у в момент t — t{i. Отсюда, полагая,
что в качестве t0 взят произвольный момент времени tn, полу-
чаем

Ьуп = y(tn + у) —у (tn) =	ex (tn),	(8.113)

где

Ь~ —&об{у—То[1 —e-v/r»]}—const;

с — То(1 — e~v/T<>) —const.

Таким образом, из соотношения (8.113) следует, что прираще-
ние координаты у за время n-го импульса у линейно зависит от
значения х (tn) в момент появления n-го импульса. Как пока-
зано на рис. 8.45, зависимость (8.113) удобно отобразить на фа-
зовой плоскости. По ней для значения х (tn) определяется ве-
личина Аг/n - Проводя вертикальную прямую, отстоящую от
прямой пД на величину Д«/п, находим точку пересечения ее
с фазовой траекторией импульса, проходящей через точку
(х (tn), пД). Точка пересечения соответствует окончанию п-го
импульса, т. е. моменту tn + у.

Далее процесс построения проводится аналогичным обра-
зом. На рис. 8.46 построена траектория движения, соответст-
вующая затухающему процессу. Здесь на участке t0 — tx, т.е.
до момента появления первого импульса, движение происходит
по траектории паузы (8.111а). В момент tx появляется импульс
положительной полярности z = + б, так как х (ZJ > 0;
точка, соответствующая моменту tx I у, определяется по из-
ложенному выше правилу. Движения на участке паузы tx +
+ V — t2 происходит по траектории (8.111а). Изменение ко-
ординаты у за один период у (t2) — у (tx) = Д. За время паузы
во втором периоде, т. е. при t > t2 + у, фазовая траекто-
рия приходит к отрезку равновесия.

В случае, показанном на рис. 8.47, по окончании n-го пе-
риода в момент tn+1 возникает импульс отрицательной поляр-
ности, поскольку у (tn+i) — у (tn) — —А. Определяя пос-
ледовательно координаты точек в моменты tn + у, tn+1, fn+i+
+?> 4+2, несложно показать, что в этом случае образуется
замкнутый цикл к (tn+2) = х (tn), соответствующий в реаль-
ной системе режиму периодических колебаний, представляю-
щих собой чередование разнополярных импульсов (рис. 8.48);
число импульсов за период колебания N = 2.
Рис. 8.49

Соотношение параметров системы с ИЧИМ, при котором
возможны периодические колебания (оно приводится без до-
казательства), имеет вид

/гобу > Д.

(8.114)

Пользуясь соотношением (8.114), можно выбрать парамет-
ры модулятора (б, у, Д) или коэффициент передачи k0 объекта
управления, чтобы устранить периодические колебания в рас-
сматриваемой системе с ИЧИМ.

Исследование устойчивости в целом частотно-импульсных
систем 2-го рода. Для исследования устойчивости в целом сис-
темы с ЧИМ 2-го рода удобнее воспользоваться структурной
схемой, предложенной Я.З. Цыпкиным в работе [10]. Здесь
эквивалентная ЧМ-модулятору схема представлена в виде ре-
лейной следящей системы, работающей в скользящем режиме
(рис. 8.49). Линейный фильтр К (s) в случае ИЧИМ имеет пере-
даточную функцию К (s) = kjs, РЭ — релейный элемент,
характеристика которого показана на рис. 8.50;

Кос (s) = x/r,	(8.115)

где г — lim s^ (s) — kt.
s-xx>

Если в качестве фильтра К (s) использовать не интегратор, а
апериодическое звено с передаточной функцией К (s) = kJ
(1 + sTj и соответственно в качестве звена обратной связи —
элемент с передаточной функцией Кос (s) = х0/г, где, сог-
ласно (8.115), г == ki iTi, то получим так называемую сигма-
Z
hp
-X -Л Ио

Л Но Ио У

-кр

Рис. 8.50

В соответствеии с предложенной структурной схемой час-
тотно-импульсная система может рассматриваться как релей-
ная система с внутренней обратной связью, предназначенной
для создания скользящего режима (рис. 8.51). Здесь переда-
точная функция общей линейной части Wu (s) имеет вид:

W'o (s) == I W (s) + x„/d К (s),	(8.116)

где W (s) — передаточная функция линейной части в частот-
но-импульсной системе.

Таким образом, исследование частотно-импульсной систе-
мы (с ИЧИМ или 2-ЧИМ) сводится к исследованию релейной
системы. В этом случае, используя известный критерий устой-
чивости релейных систем, можно сформулировать следующий
критерий устойчивости частотно-импульсной системы [101:
для того чтобы система с ЧИМ была устойчива в целом, доста-
точно, чтобы общая линейная часть эквивалентной релейной
системы была устойчива или нейтральна, а частотная харак-
теристика общей линейной части удовлетворяла условию

Re(l +Р/<о) U/o (/co)+ Zx0/fep >0.	(8.117)

Используем понятие модифицированной частотной характе-
ристики WB (/со), где

W'o (/со) = П() (со) + /Vo (со);

&o(co) = t/o(®)=ReUZ0(/co);

Vo (со) ==coVo (co) = co Jm V/o (До).

(8.118)

Тогда критерий устойчивости в целом можно сформулировать
так: частотно-импульсная система управления будет устойчи-
ва в целом, если модифицированная частотная характеристи-
ка общей линейной части эквивалентной релейной системы ле-
ytcutn справа от прямой Попова,
проходящей через точки — Лк0/Ар
и имеющей неположительный
наклон (рис. 8.52).

Так как частотная характе-
ристика общей линейной части
получается из (8.116) при под-
становке s = /со, т. е.

Го (/со) = [Г(/со) + «о^1 К (/со),

то характеристику Го (/со) можно построить следующим обра-
зом (рис. 8.53):

1.	Построим частотную характеристику линейной части
W (/со) = U (со) + /V (со) (кривая 1 на рис. 8.53, а).

2.	Сместим ее вправо на величину и/r (кривая 2) и перем-
ножим с частотной характеристикой /< (/to) (для 2-ЧИМ кри-
вая .?).

3.	Таким образом найдена Го (/со). Изменяя каждую орди-
нату ее в со раз, получаем Wo (/to) (рис. 8.53, б). Проводя пря-
мую Попова с неположительным наклоном, определяем конк-
ретные параметры, при которых частотно-импульсная система
устойчива в целом.

Для ИЧИМ, где

Г0(/со) = [Г(/со) + х0/г1—,

(8.119)

получаем

Uo (to) = V (to) - A- Jm W (jay,
О)	О)

У0(ы) = —[£/(<о)-|-хо/П61 = — ^(7 (to) — х0.	(8.120)

Таким образом, для ИЧИМ Го (/со) можно построить непосред-
ственно по действительной и мнимой частям W (/со).

Рис. 8.53
Исследование периодических режи-
мов в системах с ИЧИМ. В системах с
ИЧИМ, как и в других нелинейных си-
стемах, при невыполнении условий ус-
тойчивости в целом возможно возник-
новение периодических колебаний. Коле-
бания ранга М=2 мы уже наблюдали
при исследовании системы с ИЧИМ и
простейшим объектом управления пер-
вого порядка, когда изучали метод фа-
зовой плоскости.

Рис. 8.54	Исследование периодических колеба-

ний в системах с ИЧИМ произвольного
порядка удобно провести, пользуясь методом гармонического
баланса. Обратимся к структурной схеме, приведенной на
рис. 8.43, и преобразуем ее к виду рис. 8.54. Преобразован-
ная схема состоит из известного нелинейного элемента кван-

тования приращений и приведенной непрерывной части с
передаточной функцией



Условие существования периодических колебаний в та-
кой системе, согласно методу гармонического баланса, запи-
шем в виде

^„эМ)и/1Ш(уш)= -1,

(8.121)

где IV7 ия (Л) — эквивалентный комплексный коэффициент уси-
ления НЭ квантования приращений.

Особенности НЭ квантования приращений (и, в частности,
его отличие от характеристики квантования по уровню) рас-
смотрены в § 8.1. Учтем эти особенности при выводе комплекс-
ного коэффициента усиления. Если приведенная непрерывная
часть является фильтром низких частот, то периодический про-
цесс на входе НЭ имеет вид гармонического сигнала: у (t) =
= A sin at, где А, а>— амплитуда, частота гармонического
сигнала.

В зависимости от амплитуды А в периодическом процессе
будет участвовать различное число ступеней квантования и со-
ответственно на выходе модулятора будут иметь место колеба-
ния различного ранга (V, т. е. колебания с различным числом
N импульсов в периоде.

Для различных типов колебаний многоступенчатая харак-
теристика квантования приращений (аналогично тому, как это
деталось для характеристики квантования но уровню, см.
S 8 3) может быть заменена либо типовой релейной характе-
ристикой, либо комбинацией типовых характеристик так, как
показано на рис. 8.55, а —г для W = 2, 4, 6, 8.

При таком представлении нелинейного элемента квантова-
ния приращений его эквивалентный комплексный коэффициент
усиления выражается суммой аналогичных коэффициентов
усиления типовых релейных элементов. Необходимо только
подчеркнуть, что типовые релейные элементы, из которых со-

Рис. 8.55
ставляется схема замещения НЭ. квантования приращений,
принципиально отличается от обычных релейных элементов,
которые рассматривались, например, в гл. 7. Это отличие со-
стоит в том, что, согласно уравнениям ИЧИ-модуляции (8.12),
(8.13), моменты переключения определяются не абсолютным
значением входного сигнала, а величиной разности сигнала
y(t) и его значения у (t0) в момент t0 начала преобразования.

Поскольку периодический режим представляет собой (рис.
8.55) чередование групп положительных и отрицательных им-
пульсов, можно условно за t0 принять момент появления пос-
следнего отрицательного импульса предыдущей группы.

Рассмотрим вывод эквивалентного комплексного коэффи-
циента усиления на примере N = 2 (рис. 8 55, а)-

^л(А)-&(А)4 -]Ьг(А),	(8.122)

где g2 (А) = (cos — cos <р2); b (А) = (sin <р2 —

— sin <Pjl); <Pi = c)/t, <p2 = (s)t2 — значения аргумента пе-
риодического сигнала у (/), при которых происходит скачко-
образное изменение сигнала ф (у); соответственно tlt t2 — мо-
менты появления импульсов на выходе модулятора.

Выражение для определения <pt и <р2 запишем в виде

У (У — У (и=д- У (4) = У (4).	(8.123)

а с учетом гармонического характера сигнала у (/) из соотно-
шений (8.123) получаем

<р! = arcsin^sinФ +	<р2—Ф,	(8.124)

где Ф — значение аргумента у (t) в момент начала преобразо-
вания, т. е.

у = A sin Ф.

Соотношения (8.122), (8.124) полностью определяют значе
ние И^нэ.гИ) эквивалентного комплексного коэффициента
усиления нелинейного элемента квантования приращений для
режима колебаний ранга N = 2.

Аналогичные соотношения несложно получить для N = 4,
6, 8 ит. д. На рис. 8.56 для удобства графического решения
уравнения периодического режима (8.121) построены
нормированные обратные амплитудные характеристики

n (А)]-1 для N = 2, 4, 6, 8 и различных Ф:

[ U7®,. N (А)]-1 = [ Wнэ, N (А)] 6/Д.	(8.125)
Как видим, эти характеристики занимают ограниченные об-
ласти комплексной плоскости, каждая из которых соответст-
вует одному определенному N. При этом каждая область объе-
диняет семейство характеристик, соответствующих различным
значениям Ф при одном и том же N. Особенностью получен-
ных характеристик, помимо зависимости их от фазы Ф, яв-
ляется то, что эти характеристики, соответствующие опреде-
ленным N и Ф, имеют место лишь в определенной области зна-
чений амплитуды А (или относительной амплитуды р = А /&),
как показано на рис. 8.56.

Построив в одних осях характеристику [М'иэ, w И)Н
и годограф — 1Е1Ш (/<*>)» по точкам пересечения определяем
наличие и параметры периодического режима. Если годограф
—	(/ш) пересечет несколько областей лг(Л)]-1,

соответствующих различным N, то это означает, что в системе
с ИЧИМ при данных параметрах возможны периодические ре-
жимы различных рангов (в зависимости от различных началь-
ных условий).

На рис. 8.57 для примера проведено графическое исследо-
вание колебаний в системе с ИЧИМ, имеющей следующие па-
Рис. 8.57

ичим t-го рода

Рис. 8.58

раметры: W (s)] = й0/(1 + sTq); й0 = 2; То = 0,5 с; у =0,1
с; 6/Д = 10.

2 (е—0,1 /<л  1)

Годограф — Гпн (/®) =	. 0,5) в этом слУчае ка-

сается области IVFhb, 2 И)]-1. Если коэффициенты k0 уве-
личить, например до k0 — 4, то годограф — 1Г1Ш (/©) =
=	будет пеРесекать область [ГНН12 (Л)]-1,

что говорит о наличии колебаний N = 2 с параметрами A ztf
ри 0,6 Д; w « 12 с-1.

Исследование периодических колебаний в системах с
ИЧИМ 1-го рода. Используя структурные схемы ИЧИМ 2-го
рода (см. рис. 8.7) и общую структурную схему модулятора
1-го рода (см. рис. 8.10), можно построить структурную схему
системы управления с ИЧИМ 1-го рода в виде, показанном
на рис. 8.58.
Такая система является нелинейной импульсной системой,
однако если учесть, что последовательное соединение фиксато-
ра нулевого порядка и интегратора представляет собой доста-
точно хороший фильтр, то, согласно выводам § 8.2, импульс-
ную часть можно рассматривать как непрерывную с передаточ-
ной функцией (] — e~sT)/s2, и, следовательно, система с
ИЧИМ 1 -ро рода может рассматриваться как нелинейная сис-
тема с нелинейным элементом квантования приращений и при-
веденной непрерывной частью

wi™ (/to) = W (s) (1 -e-sr) (1 - е- sv)/(7s2).

Очевидно, что в этом случае для исследования периодических
колебаний можно использовать результаты предудущего пара
графа, в первую очередь характеристики [^нэ, n (Л)]-1. Ре-
шение уравнения периодического режима в системе с ИЧИМ
1-го рода

1 Т W нэ, N (Л) • W'nH (/<°) •=• О

можно выполнить графически, определив точки пересечения
характеристик И17нэ, n (Л)]-1 с годографом =- 1J7,1,,, (/со).
9

-1 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
г | В АВТОМАТИЧЕСКИХ

Л СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

§ 9.1.	Введение

В предыдущих главах предполага-
лось, что все внешние воздействия (уп-
равляющие и возмущающие), приложен-
ные к системе, являются определенны-
ми известными функциями времени.
В этих случаях состояние системы,, опи-
сываемой обыкновенными дифферен-
циальными уравнениями, в любой мо-
мент времени t однозначно определяется
состоянием системы в предшествующий
момент времени f0<I t. Обычно выбирают
t0 — О и говорят, что состояние системы
однозначно -определяется начальными
условиями и может быть точно предска-
зано для любого момента времени t.
Такие системы называют детерминиро-
ванными.

Однако на практике часто встречают-
ся воздействия, закон изменения кото-
рых носит случайный характер и не мо-
жет быть заранее точно определен. Тэки-
ми случайными воздействиями являются,
например, суточные изменения нагрузок
энергосистемы; порывы ветра, действую-
щие на самолет; удары волн в гидроди-
намических системах; сигналы радиоло-
кационных установок, отраженные от
цели; флуктуационные шумы в радио-
технических устройствах и т. д. При слу-
чайных воздействиях данных о состоя-
нии системы в момент t0 недостаточно
для того, чтобы сколь-либо полно можно
было судить о ее состоянии в последую-
щий момент времени t > t0.
Случайные воздействия могут прикладываться к системе из-
вне (внешние воздействия) или возникать внутри некоторых
ее элементов (внутренние шумы). Случайные изменения
свойств системы обычно можно свести к эквивалентному влия-
нию некоторых случайных помех, воздействующих на нее, поэ-
тому в дальнейшем будем считать, что на систему действуют
только внешние случайные воздействия.

Исследование системы при наличии случайных воздействий
в принципе можно проводить обычными методами, рассмотрен-
ными выше, обеспечивая, например, заданную точность систе-
мы при самом неблагоприятном (максимальном) значении слу-
чайного возмущения. Однако, поскольку максимальное
значение случайной величины наблюдается редко, в этом слу-
чае к системе будут предъявляться заведомо более жесткие
требования, чем это вызвано сутью дела. Поэтому, хотя подоб-
ный метод иногда оказывается весьма целесообразным или да-
же единственно приемлемым, в подавляющем большинстве
случаев расчет системы при случайных воздействиях ведут не
по максимальному, а по наиболее вероятному значению слу-
чайной величины. В этих случаях получают более рациональ-
ные технические решения (меньший коэффициент усиления сис-
темы, меньшие габариты усилительных и исполнительных уст-
ройств, меньшие источники питания и т. д.), хотя мы предна-
меренно допускаем ухудшение качества работы системы для Не-
которого числа маловероятных ситуаций.

Расчет систем автоматического управления при случай-
ных воздействиях проводят с помощью специальных статисти-
ческих методов, вводя в рассмотрение определенные количе-
ственные оценки случайных воздействий -— статистические
характеристики случайных воздействий, которые, характери-
зуя случайные воздействия, сами по себе являются уже не-
случайными зависимостями. Система автоматического управ-
ления, спроектированная на основе статистических методов,
будет обеспечивать удовлетворение предъявляемых к ней тре-
бований не для одного определенного (детерминированного)
воздействия, а для целой совокупности воздействий, заданных
с помощью статистических характеристик.

Так как предсказать ход единичного явления теория веро-
ятностей не может, то статистические методы позволяют вы-
яснить лишь закономерности, присущие случайным явлени-
ям массового характера. Например, если ошибка системы но-
сит случайный характер, то точное ее значение в какой либо
момент времени с помощью статистического расчета предска-
зать невозможно. Однако если произвести множество измере-
ний ошибки в одинаковых условиях, то, например, среднее
значение ошибки, выявляющееся в результате таких массовых
измерений, может быть путем статистического расчета предска-
зано с достаточной для практики точностью.

Статистические методы расчета систем автоматического уп-
равления основаны на работах советских ученых: А. Я. Хинчи-
на (1938), А. Н. Колмогорова (1941), В. В. Гнеденко (1950),
В. В. Солодовникова (1950), В. С. Пугачева (1952), И. Е. Каза-
кова (1956) и др., а также зарубежных ученых: Н. Винера
(1949), Л. Заде и Дж. Рагоцини (1950), А. М. Пелегрена (1953),
Р. Калмана и Р. Бьюси (1961) и др.

§ 9.2.	Случайные процессы и их основные
статистические характеристики

Функцию, значение которой при каждом значении незави-
симой переменной является случайной величиной, называют
случайной функцией. Случайные функции, для которых неза-
висимой переменной является время t, называют случайными
процессами или стохастическими процессами.

Так как в автоматических системах управления процес-
сы протекают во времени, то в дальнейшем будут рассматри-
ваться только случайные процессы. Если, например, проведе-
но п отдельных опытов, то в результате случайный процесс
X (£) может принять п различных неслучайных (регулярных)
функций времени x; (t), где i — 1,2, .... п.

Всякая функция (0, которой может оказатся равным слу-
чайный процесс X (0 в результате опыта, называется реализа-
цией случайного процесса (или возможным значением слу-
чайного процесса). Сказать заранее, по какой из реализаций
пойдет процесс, невозможно.

Рассмотрим, например, случайный дрейф на выходе усили-
теля постоянного тока при входном напряжении, равном нулю.
Чтобы изучить характеристики дрейфа, можно взять п одина-
ковых усилителей, поместить их в одинаковые условия работы,
одновременно включить и получить п осциллограмм дрейфа на
выходах усилителей (рис. 9.1). Каждая из осциллограмм явля-
ется конкретной реализацией xt (f) случайного процесса X (/),
который можно рассматривать как совокупность (в общем слу-
чае бесконечную) отдельных реализаций случайного процесса.
Для любого фиксированного момента времени, например
t = реализация случайного процесса х, (fj представляет
собой конкретную величину, значение же случайной функции
X (h) является случайной величиной, называемой сечением
случайного процесса в момент времени tx. Поэтому нельзя ут-
верждать, что случайный процесс в данный момент времени
имеет такое-то детерминированное значение, можно говорить
лишь о вероятности того, что в данный момент времени значе-
ние случайного процесса как случайной величины будет нахо-
диться в определенных пределах.

Статистические методы изучают не каждую из реализаций
Xi (0. образующих множество X (t), а свойства всего множест-
ва в целом с помощью усреднения свойств входящих в него ре-



Рис. 9.1
ализаций. Поэтому при исследовании автоматической системы
управления судят о ее поведении не по отношению к какому-
либо определенному воздействию, представляющему заданную
функцию времени, а по отношению к.целой совокупности воз-
действий.

Как известно, статистические свойства случайной величины
х определяют по ее функции распределения (интегральному за-
кону распределения) F (х) или плотности вероятности (диф-
ференциальному закону распределения) w (х).

Случайные величины могут иметь различные законы рас-
пределения: равномерный, нормальный, экспоненциальный
и др. Во многих задачах автоматического управления очень
часто приходится иметь дело с нормальным законом распреде-
ления (или законом Гаусса), который получается, если случай-
ная величина определяется суммарным эффектом от действия
большого числа различных независимых факторов.

Напомним, что случайная величина х при нормальном законе рас-
пределения полностью определяется математическим ожиданием
(средним значением) тх и средним квадратическим отклонением ах.

Аналитическое выражение функции распределения в этом случае

Д(Л)=1—-1----- f e~{X~'nx}2/^dx.	(9.1)

1/2л (Ух J
— оо

Следует обратить внимание на то, что, хотя в (9.1) переменная ин-
тегрирования и верхний предел интегрирования обозначены одним
символом, это не отражается на конечных результатах и не должно
привести к недоразумениям.

Аналитическое выражение плотности вероятности для нормаль-
ного закона распределения

W(х) =-dF(x} - =----А-----е-(х-тх)2/(2°х)_	(9 2)

dx У2я ох

Типичные графики функций распределения F (х) и плотности
вероятности w (х) для различных значений ох приведены на рис. 9.2, а, б.
Изменение среднего значения тх вызывает только смещение кривых
F (х) и w (х) вдоль оси абсцисс без изменения их формы, а изменение ве-
личины ох вызывает изменение масштаба вдоль обеих координатных
осей, причем площадь, ограничиваемая кривой w (х) и осью абсцисс,
всегда остается конечной и равной единице, т. е.

J w (х) dx= F (х) | =1,	(9.3)

— оо	— оо

поскольку F (оо) = 1, a F (—оо) — 0.
При конечных пределах
интегрирования величина ин-
теграла, определяемого (9.3),
будет меньше единицы. Однако
уже при пределах интегриро-
вания от (Юх Зох) до (тж
। величина интеграла
равна*0,997. Так как вероят-
ность того, что х лежит между
(тх — Зох) и (тх + Зст-е), рав-
на 0,997, то величину Зох часто
используют в практических
расчетах в качестве верхней
границы отклонения от сред-
него значения.

Для случайного про-
цесса также вводят поня-
тие функции распределения
F(х, 0 и плотности вероят-
ности w (х, t), которые за-
висят от фиксированного
момента времени наблюде-
ния tи от некоторого выб-
ранного уровня х, т. е. яв-
ляются функциями двух
переменных: х и t.

Рассмотрим случайную
величину X (fx), т е. сече-
ние случайного процесса в

момент времени tr. Одномерной функцией распределения (функ-
цией распределения первого порядка) случайного процесса
X (() называют вероятность того, что текущее значение слу-
чайного процесса X в момент времени tt не превышает
некоторого заданного уровня (числа) хх, т е.

Г, (хь t.) = Р {X (fx) С хх).

(9-4)

Если функция Рг (хх, tL) имеет частную производную по
т. е.

(*х, 4) = дрг (хх, fx)/dxx,	(9.5)

то функцию Wj (хх, fx) называют одномерной плотностью ве-
роятности (плотностью вероятности первого порядка) слу-
чайного процесса. Величина

ьух (*i, 4) dXi ~ P{xt < X (ti) хх + dxj (9.6)
представляет собой вероятность того, что X (t) находится в мо-
мент времени t = tr в интервале от х2 до хг 4- dxA.

В каждые отдельные моменты времени 4, t2, tn наблю-
даемые случайные величины (сечения случайного процесса)
X (ty), X (4), X (tn) будут иметь свои, в общем случае раз-
ные, одномерные функции распределения Fj (хъ. tj), Fr (х2> 4).
.. ., Fr (хп, tn) и плотности вероятности w2 (х2, 4)>	(х2, 4V,

• • • 9 ^1 (Л'П» 4) •

Функции Fi (х, t) и иц (х, f) являются простейшими статис-
тическими характеристиками случайного процесса. Они харак-
теризуют случайный процесс изолированно в отдельных его
сечениях, не раскрывая- взаимной связи между сечениями слу-
чайного процесса, т. е. между возможными значениями слу-
чайного процесса в различные моменты времени.

Знания этих функций еще недостаточно для описания
случайного процесса в общем случае. Необходимо охарактери-
зовать также взаимную связь случайных величин в различные
произвольно взятые моменты времени.

Рассмотрим теперь случайные величины X (4) и X (t2),
относящиеся к двум разным моментам времени 4 и t2 наблю-
дения случайного процесса.

Вероятность того, что X (0 будет не больше при t = 4
и не больше х2 при t *= t2, т. е.

F2 (хь 4; х2, 4) = Р{Х (4) < Хь X (4) <х2},	(9.7)

называют двумерной функцией распределения (функцией рас-
пределения второго порядка). Если функция F2 (х15 4; х2, t2)
имеет частные производные по хг и х2, т. е.

?	# . „	d2F2(xi, ti', х2, t2)	/о

tw2(Xi, 4; х2, 4)=------—-----------•	(у-ь)

то функцию ьуа (хх, 4; х2, 4) называют двумерной плотностью
вероятности (плотностью вероятности второго порядка).
Величина

ю2 (хъ 4; х2, 4) dXi dx2 = Pfa <

< X (4) < Xi + dxi, х2 < X (t2)

s^x2 + dx2},	(9.9)

равна вероятности того, что X(t) при t = 4 будет находиться
в интервале от Xj до .Xj + dx^, а при t — t2 — в ин-
тервале от х2 до х2 + dx2.
Аналогично можно ввести понятие от п-мернои функции
распределения:

Fn (-Ч> хг> ^2, хп, ?п) Р{Х (tj) -Ч!

X (t2) С х2,...; X (tn) С хп}.	(9.10)

Если функция Fn имеет частные производные по всем аргу-
ментам А, х2, .... хп, т. е.

Г„(Х1, ti, х2, t2, ..., хп, tn) —

дп Fп (*i, Ц: х2, (2", ....; хп, tn)	zg 11)

dxt дх2 ... дхп

то функцию wn называют п-мерной плотностью вероятности.
 Чем выше порядок п, тем полнее описываются статистиче-
ские свойства случайного процесса. Зная n-мерную функцию
распределения, можно найти по ней одномерную, двумерную
и другие [вплоть до (п—1)-й1 функции распределения более
низкого порядка. Однако многомерные законы распределения
случайных процессов являются сравнительно громоздкими
характеристиками и с ними крайне трудно оперировать на
практике. Поэтому при изучении случайных процессов часто
ограничиваются случаями, когда для описания случайного про-
цесса достаточно знать только его одномерный или двумерный
закон распределения.

Примером случайного процесса, который полностью характеризу-
ется одномерной плотностью вероятности, является так называемый
чистый случайный процесс, или белый шум. Значения X (/) в этом про-
цессе, взятые в разные моменты времени t, совершенно независимы друг
от друга, как бы близко ни были выбраны эти моменты времени. Это
означает, что кривая белого шума содержит всплески, затухающие за
бесконечно малые промежутки времени. Так как значения X (t), напри-
мер, в момент времени Ц и t2 независимы, то вероятность совпадения со-
бытий, заключающихся в нахожеиии X (/) между х1 и Xj + dXj в мо-
мент времени и между х2 н х2 + dx2 в момент /2, равна произведению
вероятностей каждого из этих событий, поэтому

u>2(xi, tt; х2, t2) = w1(xi, 4) Шл (х2, t2)	(9.12)

и вообще для белого шума

x2t t2, ...; хп, tn)*s.

= U>1(X1, G)a>i(x2, /2) ... wH-Xn. <п).	(9.13)

т. е. все плотности вероятности белого шума определяются из одно-
мерной плотности вероятности.

Для случайных процессов общего вида, если известно, какие
Значения приняла величина X (th) в момент времени th, тем самым име-
ем некоторую информацию относительно X (tm), где т > k, так как
величины X (tm) и X (th), вообще говоря, зависимы. Если кроме
X (th) известна X (tf), где I < k, то информация о X (tTn) еще более
увеличивается. Таким образом, увеличение наших знаний о поведении
процесса до момента tk приводит к тому, что увеличивается информа-
ция о X (tm).

Однако существует особый класс случайных процессов, впервые
исследованных известным математиком А А. Марковым и называемых
марковскими случайными процессами, для которых знание значения
процесса в момент Ц уже содержит в себе всю информацию о будущем
ходе процесса, какую только можно извлечь из поведения процесса до
этого момента. В случае марковского случайного процесса для опре-
деления вероятностных характеристик процесса в момент времени tm
достаточно знать вероятностные характеристики для любого одного
предшествующего момента времени th- Знание вероятностных характе-
ристик процесса для других предшествующих значений времени, на-
пример /г, не прибавляет информации, необходимой для нахождения
X (tm).

Для марковского процесса справедливо следующее соотношение:

wn(xl, tt, х2, /2; ...; хп, tn) =

^2 (Xj , /], Х2, t2)W2 (х2, А» *д, А)	^2 (*>1.-1, Al —li Хп , tn)

W) (Xj, А) ®1 (x2, t2) ...W1 (X,,-!, Al-1)

(9. 14)

t. e. все плотности вероятности марковского процесса определяются из
двумерной плотности вероятности. Другими словами, марковские слу-
чайные процессы полностью характеризуются двумерной плотностью
вероятности.

Понятие о функции распределения и плотности вероятности
случайного процесса обычно используют при теоретических
построениях и определениях. В практике исследования автома
тических систем управления широкое распространение полу
чили сравнительно более простые, хотя и менее полные харак-
теристики случайных процессов, аналогичные числовым
характеристикам случайных величин. Примерами таких ха-
рактеристик служат рассматриваемые ниже математическое
ожидание, дисперсия, среднее значение квадрата случайного
процесса, корреляционная функция, спектральная плотность
и другие.

Математическим ожиданием (средним значением) тх (t)
случайного процесса X (t) называют величину

mx(t) — М [Х(01 e J xwx(x, t)dx, (915)

---------------------ОО

где (х, I) — одномерная плотность вероятности случайно-
го процесса X (I).
“ Математическое ожидание случайного процесса Л (t)
представляет собой некоторую неслучайную (регулярную)
функцию времени тх (t), около которой группируются и отно-
сительно которой колеблются все реализации данного случай-
ного процесса (рис. 9.3).

Математическое ожидание случайного процесса в каждый
фиксированный момент времени tK равно математическому ожи-
данию соответствующего сечения случайного процесса X (th)
и -представляет собой операцию вероятностного усреднения
случайной величины X (ZK), при котором каждое возможное
значение для случайной величины х принимается с весом, рав-
ным элементу вероятности (х , tK) dx [см. (9.6)]. Математи-
ческое ожидание называют средним значением случайного
процесса по множеству (средним по ансамблю, статистическим
средним), поскольку оно представляет собой вероятностно

Рис. 9.3
усредненное значение бесконечного множества реализации
случайного процесса.

Средним значением квадрата случайного процесса называ-
ют величину

?(0 — ЛД{Х (0}2j = J х2 и\ (х, 0 dx. (9.16)

Часто вводят в рассмотрение так называемый центриро-
ванный случайный процесс X (0, под которым понимают откло-
нение случайного процесса X (0 от его среднего значения
тх (0, или

Х(0 = Х(0-т,(0.	(9.17)

Тогда случайный процесс X (I) можно рассматривать как сум-
му двух составляющих: регулярной составляющей, равной ма-
тематическому ожиданию тх (0, и центрированной слу-
чайной составляющей X (/), т. е.

X (0 —тх (0 + X (0.	(9.18)

Очевидно, что математическое ожидание центрированного слу-
чайного процесса равно нулю:

М [X (0] = М [X (0 —тх	(0- тх (0 = 0.

Для того чтобы каким-то образом учесть степень разбро-
санности реализаций случайного процесса относительно его
среднего значения, вводят понятие дисперсии случайного про-
цесса, которая равна математическому ожиданию квадрата
центрированного случайного процесса:

оо

O3C(0=A1({X(0)2] = J	t)dx. (9.19)

— сю

Дисперсия случайного процесса является неслучайной (ре-
гулярной) функцией времени Dx (0, значение которой в каж-
дый момент времени tK равно дисперсии соответствующего се-
чения X (th) случайного процесса.

Легко показать, что математическое ожр|дание тх (0,
дисперсия Dx (0 и среднее значение квадрата х2 (0 случайно-
го процесса, имеющие размерность квадрата случайной вели-
чины, связаны соотношением

?(0=ДЯ (0 + ^(0.	0.20)
Из (9.20) видно, что среднее значение квадрата случайного
процесса хг (t) в определенной мере учитывает и среднее зна-
чение случайного процесса, и степень рассеяния его реализа-
ций относительно этого среднего значения, поэтому оно ши-
роко используется в качестве оценки точности систем автома-
тического управления.

На практике часто бывает удобно пользоваться статисти-
ческими характеристиками случайного процесса, имеющими
ту же размерность, что и сама случайная величина. К таким
характеристикам относят:

среднее квадратическое значение случайного процесса

V,< (О = )/> (0 = VDX (0 4- тЦЦ,	(9.21)

равное арифметическому значению квадратного корня из сред-
него значения квадрата случайного процесса;

среднее квадратическое отклонение случайного процесса

ох(0 = ГОйЙ.	(9.22)

равное арифметическому значению квадратного корня из
дисперсии случайного процесса.

Из (9.21) и (9.22) видно, что среднее квадратическое значе-
ние хс,„ (/) и среднее квадратическое отклонение ох (/) случай-
ного процесса в общем случае не совпадают. Последняя харак-
теристика используется только для центрированных случай-
ных процессов.

В заключение заметим, что хотя ни математическое ожида-
ние, ни дисперсия случайного процесса ни в какой мере не ха-
рактеризуют степень статистической зависимости между сече-
ниями случайного процесса в различные моменты времени,
знания этих характеристик часто достаточно для решения
многих задач теории автоматического управления.

§ 9.3. Корреляционные функции случайных процессов

Л\атсматическое ожидание и дисперсия являются важными
характеристиками случайного процесса, но они не дают доста-
точного представления о том, какой характер будут иметь от-
дельные реализации случайного процесса. Это хороню видно
113 рис. 9.3, где показаны реализации двух случайных процес-
сов, совершенно различных по своей структуре, хотя и имею-
щих одинаковые значения математического ожидания и дис-
персии. Штриховыми линиями на рис. 9.3 показаны значения
Зох (/) для случайных процессов.

Процесс, изображенный на рис. 9.3, а, от одного сечения к
другому протекает сравнительно плавно, а процесс на рис.
9.3, б обладает сильной изменчивостью от сечения к сечению.
Поэтому статистическая связь между сечениями в первом слу-
чае больше, чем во втором, однако ни по математическому ожи-
данию, ни по дисперсии этого установить нельзя.

Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю
структуру случайного процесса, т. е. учесть связь между зна-
чениями случайного процесса в различные моменты времени
или, иными словами, учесть степень изменчивости случайного
процесса, необходимо ввести понятие о корреляционной (авто-
корреляционной) функции случайного процесса.

Корреляционной функцией случайного процесса X (£) назы-
вают неслучайную функцию двух аргументов Rx (tt; tz), кото-
рая для каждой пары произвольно выбранных значений аргу-
ментов (моментов времени) tr и tz равна математическому ожи-
данию произведения двух случайных величин X (/,) и X (/2)
соответствующих сечений случайного процесса:

оо оо

Rx (4, <г) - М [X (fx) X (У ] = J J {хх - тх (tj) X
оо — оо

X {х2—тх (t2)} w2 (%j, tp, x2, t2)dxrdx2, (9.23)

где w2 (x1F tp, x2, Z2) — двумерная плотность вероятности;
X (t) = X (t) — mx (t) — центрированный случайный про-
цесс; mx (t) — математическое ожидание (среднее значение)
случайного процесса.

Различные случайные процессы в зависимости от того, как
изменяются их статистические характеристики с течением вре-
мени, делят на стационарные и нестационарные. Разделяют
стационарность в узком смысле и стационарность в широком
смысле.

Стационарным в узком смысле называют случайный про-
цесс X (t), если его n-мерные функции распределения и плот-
ности вероятности при любом п не зависят от сдвига всех то-
чек 4, in вдоль оси времени на одинаковую величину т,
т. е.

Fп (Х-1> 4»	1%, •• - г Хп> $п) ~ Fп ("Ч» 4 “Ь Ч

Х-2, 4 I ’ Ч •••» -К-п»

wn (Xi, ip, х2, t2; ...; хп, tn)=wn(x1, 4 + т;

Х-2, t2 -|- т, ... ,хп, tn -|- т).

Это означает, что два процесса X (t) и X (t + т) имеют оди-
наковые статистические свойства для любого т, т. е. статисти-
ческие характеристики стационарного случайного процесса
неизменны во времени.

Стационарный случайный процесс — это своего рода ана-
лог установившегося процесса в детерминированных системах.
Любой переходный процесс не является стационарным.

Стационарным в широком смысле называют случайный про-
цесс X (/), математическое ожидание которого постоянно:

М (X (/)! = тх = const,

(9.24)

а корреляционная функция зависит только от одной перемен-
ной — разности аргументов т = t2 — tp, при этом корреляци-
онную функцию обозначают

Rx (г) ~^.т(4» 4 + т) = М [X (4) X (4 -|- т)] =

оо оо

= J [ ki— mx(ti)}{x2 — mx(t1 + x)} X
----ОО — сю

X w2 (хх, х2, т) dxr dx2.

(9.25)

Процессы, стационарные в узком смысле, обязательно ста-
ционарны и в широком смысле; однако обратное утверждение,
вообще говоря, неверно.

Понятие случайного процесса, стационарного в широком
смысле, вводится тогда, когда в качестве статистических ха-
рактеристик случайного процесса используются только мате-
матическое ожидание и корреляционная функция. Часть.тео-
рии случайных процессов, которая описывает свойства слу-
чайного процесса через его математическое ожидание и кор-
реляционную функцию, называют корреляционной теорией.

Для случайного процесса с нормальным законом распре-
деления математическое ожидание и коор реляционная функ-
ция полностью определяют его n-мерную плотность вероят-
ности. Поэтому для нормальных случайных процессов понятия
стационарности в широком и узком смысле совпадают.

Теория стационарных процессов разработана наиболее
полно и позволяет сравнительно просто производить расчеты
для многих практических случаев. Поэтому допущение о ста-
ционарности иногда целесообразно делать также и для тех
случаев, когда случайный процесс хотя и нестационарен^ но
на рассматриваемом отрезке времени работы системы статисти-
ческие характеристики сигналов не успевают сколько-нибудь
существенно измениться. В дальнейшем, если не будет огово-
рено особо, будут рассматриваться случайные процессы, ста-
ционарные в широком смысле.

При изучении случайных процессов, стационарных в ши-
роком смысле, можно ограничиться рассмотрением только
процессов с математическим ожиданием (средним значением),
равным нулю, т. е. mx(t) — 0, так как случайный процесс
с ненулевым математическим ожиданием представляют как
сумму процесса с нулевым математическим ожиданием и по-
стоянной неслучайной (регулярной) величиной, равной мате-
матическому ожиданию этого процесса (см. далее § 9.6).

При /пж(0 = 0 выражение для корреляционной функции

ОО ОО

Rx(x) = M [X (t)X (tх)] === J [ XiX2ay2X
--------------------------ОО — ОО

X (хь х2, т) dx2.	(9.26)

В теории случайных процессов пользуются двумя понятия-
ми средних значений. Первое понятие о среднем значении —
это среднее значение по множеству (или математическое ожи-
дание), которое определяется на основе наблюдения над мно-
жеством реализаций случайного процесса в один и тот же мо-
мент времени. Среднее значение по множеству принято обо-
значать волнистой чертой над выражением, описывающим
случайную функцию:

х (0 — пгх (0 = М [X (/)] = J" хиц (х, t) dx. (9.27)
— со

В общем случае среднее значение по множеству является
функцией времени t.

Другое понятие о среднем значении — это среднее значе-
ние по времени, которое определяется на основе наблюдения
за отдельной реализацией случайного процесса x(t) на протя-
женин достаточно длительно- го времени Т. Среднее значе- ние по времени обозначают	Реализации	
	*2 (t)	
прямой чертой над соответст- вующим выражением- случай- .ной функции и определяют по формуле	(t)	
	Xi(t)	
т  1 С , ч .			 *n(t)	
xcvlini— X(t)dt, (9.28)  7->оо М J  — Т  п		
если этот предел существует.  Среднее значение по вре- мени в общем случае различ- но для отдельных реализаций	Рис. 9.4	t

множества, определяющих случайный процёсс. Вообще говоря,
для одного и того же случайного процесса среднее по множе-
ству и среднее по времени значения различны. Однако су-
ществует класс стационарных случайных процессов, называе-
мых эргодическими, для которых среднее по множеству равно
среднему по времени, т. е.

(9.29)

Корреляционная функция Rs(t) эргодического стационар-
ного случайного процесса Х(() неограниченно убывает по моду-
лю при |т| -> оо.

Однако надо иметь в виду, что не всякий стационарный случайный
процесс является эргодическим, например случайный процесс X (f),
каждая реализация которого Х[ (/) постоянна во времени (рис. 9.4),
является стационарным, но не эргодическим. В этом случае средние
значения, определенные по одной реализации и в результате обработки
множества реализаций, не совпадают. Один и тот же случайный про-
цесс в общем случае может быть эргодическим по отношению к одним
статистическим характеристикам и неэргодическим по отношению к
Другим. В дальнейшем будем считать, что по отношению ко всем стати-
стическим характеристикам условия эргодичности выполняются.

Свойство эргодичности имеет очень большое практическое
значение. Для определения статистических свойств некото-
рых объектов, если трудно осуществить одновременное на-
блюдение за ними в произвольно выбранный момент времени
(например, при наличии одного опытного образца), его можно
заменить длительным наблюдением за одним объектом. Иными
словами, отдельная реализация эргодического случайного
процесса на бесконечном промежутке времени полностью
определяет весь случайный процесс с его бесконечными реа-
лизациями. Собственно говоря, этот факт лежит в основе
описанного ниже метода экспериментального определения
корреляционной функции стационарного случайного процесса
по одной реализации.	,

Как видно из (9.25), корреляционная функция представляет
собой среднее значение по множеству. Для эргодических слу-
чайных процессов корреляционную функцию можно опреде-
лить как среднее по времени от произведения [х(/) — х] и
\x(t + т) — х], т. е.

Rx (т) = м [X (О X (I 4- т)] = {х (t)—x} {х (t 4- т) —х} =

т

=	f {х(0—х}{х(Г4-т)—xjdf,

Т ->оо I J

—т

(9.30)

где x(t) — любая реализация случайного процесса; х— сред-
нее значение по времени, определяемое по (9.28).

Если среднее значение случайного процесса равно нулю
(х = 0), то

т

= [x(t)x(t4-т)] =lim С х (t) x (t + т) dt. (9.31)

Г-i-oo 2T J

— T

Основываясь на свойстве эргодичности, можно дисперсию
Dx [см. (9.19)1 определить как среднее по времени от квадра-
та центрированного случайного процесса, т. е.

Dx — М [{X (0}21 = {х(0-х}2 =
т

= liiTi—J— f {х(/)—х} {x(t)—х} dt.

Т-ж, 2Т I

—т

(9.32)

Сравнивая выражения (9.30) и (9.32) при т = 0, можно
установить очень важную связь между дисперсией и корреля-
ционной функцией — дисперсия стационарного случайного про-
цесса равна начальному значению корреляционной функции:

Dx^Rx(0) = const.	(9.33)
Из (9.33) видно, что дисперсия стационарного случайного
процесса постоянна, а следовательно, постоянно и среднее
квадратическое отклонение:

ах = V"DX = const.	(9.34)

Статистические свойства связи двух случайных процессов
X(t) и G(t) можно характеризовать взаимной корреляционной
функцией Rxg t2), которая для каждой пары произвольно
выбранных значений аргументов и t2 равна

R«g (^i> ^2) = М [X (/х) G (f2)J =

= j J {x-mx(t1)}{g—mg(tt)}wi(x, tp g,t2)dxdg. (9.35)
— 00 — 00

Для эргодических случайных процессов вместо (9.35) можно
записать

т

J U(0— *}{#(* +"О-~g}dt,	(9.36)

°° _г

где и g(t) — любые реализации стационарных случайных
процессов Х(/) и G(f) соответственно.

Взаимная корреляционная функция Rxg(y) характеризует
взаимную статистическую связь двух случайных процессов X(t)
и G(t) в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на
промежуток времени т. Значение ДЛ (?(0) характеризует эту
связь в один и тот же момент времени.

Из (9.36) следует, что

«Ж4Лт)=--/?8Х(-т).	(9.37)

Если случайные процессы X(t) и G(t) статистически не свя-
заны друг с другом и имеют равные нулю средние значения,
то их взаимная корреляционная функция для всех т равна ну-
лю. Однако обратный вывод о том, что если взаимная корреля-
ционная функция равна нулю, то процессы независимы, мож-
но сделать лишь в отдельных случаях (в частности, для про-
цессов с нормальным законом распределения), общей же силы
обратный закон не имеет.

Заметим, что корреляционные функции могут вычислять-
ся и для неслучайных (регулярных) функций времени. Однако
когда говорят о корреляционной функции Дж(т) регулярной
функции x(t), то под этим понимают просто результат формаль-
ного применения к регулярной функции x(f) операции, выра-
жаемой интегралом:

Rx (Ч = х (0 х (t + т) = lim ) J х (t) х (t + т) dt.
— т

Приведем некоторые основные свойства корреляционных
функций Rx(i).

1.	Начальное значение корреляционной функции 1см.
(9.33)] равно дисперсии случайного процесса:

RX(O)=DX.	(9.38)

2.	Значение корреляционной функции при любом т не мо-
жет превышать ее начального значения, т. е.

/?ж(0) >|Яя(т)|.	(9.39)

Чтобы доказать это, рассмотрим очевидное неравенство [%(/) ±
± x(t + т)]2	0, из которого следует x\t) + x2(t + т)

> 2x(t}x(t + т).

Находим средние значения по времени от обеих частей по-
следнего неравенства:

х2(0 + х2а + т) = хЧО + х2(<+т) =	+ xAt) = 2д? =

= 2DX = 2RX (0) и 2x ^)x(Z-|-t) -= 2RX (т).

Таким образом, получим неравенство Rx(0)	|#х(т) |.

3.	Корреляционная функция есть четная функция т, т. е.

RAx}=RA-xY	(9.40)

Это вытекает из самого определения корреляционной функ-
ции. Действительно,

/?* (т) “Iх (0 — х][х К + т) — х] =

= ]х(/—т)—х] [х (Z) —х]	(—т),

поэтому на графике корреляционная функция всегда сим-
метрична относительно оси ординат.

4.	Корреляционная функция суммы случайных процессов
Z(Z) = X(t) + G(Z) определяется выражением

R, (Ч = Rx (т) + Rg (т) + Rxe (т) 4- Rsx (т),	(9.41)

где Ляв(т) и Rex(x) — взаимные корреляционные функции
Действительно,

(Т) .М[{Х(О +G (/)} {X (I 4-т) G (I + т)}| =

= М [X (о х (t + т)] + М [G (О G (t + t)J + М [X (t) G(t + т)] +

4-	М [G (0 X(t Д т)] = Rx (т) 4- Re (т) +• Rxe (т) 4- Rgx (т).

5.	Корреляционная функция постоянной величины x(t) —
— А о равна квадрату этой постоянной величины А (рис. 9.5,
д), что вытекает из самого определения корреляционной
функции:

Ях(т)=х(/)х(^4-т)=ЛоД, = /1о.	(9.42)

6.	Корреляционная функция периодической функции, на-
пример х(0 = ^sin(wj t 4- ср), представляет собой косинусои-
ду (рис. 9-5, 5), т. е.

Rx (т) = (Л2/2) cosco, т,	(9.43)

имеющую ту же частоту со,, что и x(t), и не зависящую от
сдвига фазы ср.

Чтобы доказать это, заметим, что при нахождении корре-
ляционных функций периодических функций x(t) можно ис-
пользовать следующее равенство:

Т	Т„

lim — f х (0 х (t А- т) dt = —— С х (J) х (t А-х) dt,

Т->оо 2 Т J	7^0 J

о	о

где То — 2л/соо — период функции x(t).

Последнее равенство получается после замены интеграла
с пределами от —Т до Т при Т со суммой отдельных инте-
гралов с пределами от (fe— l)?,, до kT0, где k = 0, ±1,
±2, .... ±л. и использования периодичности подынтеграль-
ных функций.

Тогда, учитывая сказанное выше, получим

г,

Rx (т) = — f Л2 sin (©J t 4- <р) sin [w, (t 4- т) 4- <р! dt —

T’o J
о

Л2 С	rt

-о- --I [cos coj т — cos (oj т + 2cd1 t + 2(p)] dt «

27'0 J

.<  °

= {Аг/‘2.'}созы1х.
7.	Корреляционная функция временной функции, разла-
гаемой в ряд Фурье:

х (i) = Ао + у Ak sin (<£>£ / 4-

Л= 1

а)
x(t)







£Л(и)[

Зц(а)=2ЯАгв^ш)

i
имеет на основании из-
ложенного выше сле-
дующий вид:

/?я(г) = Л§ 4-

4- 2 (Лк/2)СО5ЮЛТ.
*= t

(9.44)

8.	Типичная корре-
ляционная функция ста-
ционарного случайного
процесса имеет вид,
представленный на рис

Рис. 9 6

9.6. Ее можно аппроксимировать

следующим аналитическим выражением:

Rx (т) = Rx (0)е -“‘х| = Dx е

(9.45)

С ростом т связь между X(t) и X(t 4- т) ослабевает и кор-
реляционная функция становится меньше. На рис. 9.5, б, в
приведены, например, две корреляционные функции и две
соответствующие им реализации случайного процесса. Легко
заметить, что корреляционная функция, соответствующая слу-
чайному процессу с более тонкой структурой, убывает быст-
рее Другими словами, чем более высокие частоты присутствуют
в случайном процессе, тем быстрее убывает соответствую-
щая ему корреляционная функция.

Иногда встречаются корреляционные функции, которые
могут быть аппроксимированы аналитическим выражением

Rx (г) = Dx е ~“1*1 cos |3т,	(9.46)

где Dx — дисперсия; а = const — параметр затухания; (> =
= const — резонансная частота.

Корреляционные функции подобного вида имеют, напри-
мер, случайные процессы типа турбулентности атмосферы,
фединга радиолокационного сигнала, углового мерцания
цели и т. п. Выражения (9.45) и (9.46) часто используются для
аппроксимации корреляционных функций, полученных в ре-
зультате обработки экспериментальных данных.

9.	Корреляционная функция Стационарного случайного
процесса, на которой наложена периодическая составляющая
с частотой <ол, также будет содержать периодическую состав-
ляющую той же частоты.
Это обстоятельство
можно использовать как
один из способов обна-
ружения «скрытой пе-
риодичности» в случай-
ных процессах, которая
может не обнаруживать-
ся при первом взгляде
на отдельные записи реа-
лизации случайного про-
— цесса.

Примерный вид кор-
реляционной функции

Рис. 9.7	процесса Х(0. содержа-

щего в своем составе
кроме случайной также и периодическую составляющую, по-
казан на рис. 9.7, где 7? ° (т) обозначена корреляционная
функция, соответствующая случайной составляющей. Чтобы
выявить скрытую периодическую составляющую (такая задача
возникает, например, при выделении малого полезного сигна-
ла на фоне большой помехи), лучше всего определить корре-
ляционную функцию 7?ж(т) для больших значений т, когда
случайный сигнал уже сравнительно слабо коррелирован и
случайная составляющая слабо сказывается на виде корре-.
ляционной функции.

10.	Чем слабее взаимосвязь между предыдущими X(t) и по-
следующими Х(/т) значениями случайного процесса, тем
быстрее убывает корреляционная функция Rx(t).

Время тд, при котором имеет место неравенство |7?ж(тд}| <
< Д, где Д — достаточно малая величина, называют време-
нем корреляции случайного процесса.

Случайный процесс, в котором отсутствует связь между
предыдущими и последующими значениями, называют чистым
случайным процессом или белым шумом. В случае белого
шума время корреляции тд = 0 и корреляционная функция
представляет собой 6-функцию (рис. 9.5, г):

7?я(т) = 7V6(t),

(9.47)

где N — const.

Заметим, что случайный процесс типа белого шума явля-
ется физически нереальным, так как ему соответствуют бес-
конечно большое значение дисперсии и среднее значение
квадрата случайной величины Dx = х2 »s Rx{0) = оо, а
Следовательно, и бесконечно большая мощность.

При решении практических задач часто пользуются нор-
мированной корреляционной функцией

Рх СО = Rx	(9.48)

Нормированная корреляционная функция удобна тем, что
всегда рх(0) = 1. Иногда в рассмотрение вводят нормирован-
ную взаимную корреляционную функцию

Pxg W = Rxe (т)/Г«х(0) /?g(0),	(9.49)

причем можно показать, что Rx (0)7? g(0) > Rxgfr)-

Экспериментальное определение корреляционных функций. Пусть
имеется экспериментальная запись (осциллограмма) реализации
X (/) некоторого случайного процесса на достаточно длинном интерва-
ле времени. В общем случае это может быть запись реализации случай-
ного процесса с наложенной на него регулярной составляющей. На
основании (9.31) корреляционная функция Rx (т), соответствующая
записи х (/), может быть приближенно вычислена следующим образом.

Весь интервал Т записи осциллограммы делится на I равных ча-
стей, длительность которых А/ = TH выбирается такой, чтобы реали-
зация х (t) мало изменялась на протяжении интервала А/ (рис. 9.8).

Значение ординаты реализации х (t) на некотором отрезке п обо-
значим хп, а значение ординаты этой же кривой, но смещенной на ве-
личину т = mA/, т. е. х (t + т), обозначим хп+тп.

Задаваясь различными значениями ш, находим для различных
значений т « тЛ/ среднее значение произведения ординат хп и хп+т.
Приближенное значение корреляционной функции

(т) ~ [1/(7"—г)] У	(9.50)

п= I

В (9.50) уменьшение интервала Т на величину г обусловлено тем,
что ординаты хп+т известны только до /' — Т — х — (I — m) &t.
Чем меньше длительность отрезков Д/ и чем больше величина ин-
тервала Т, тем точнее выражение (9.50) соответствует корреляционной
функции Rx (т). Для получения ошибки не более 2 % должно выпол-
няться неравенство m 0, 1 T/ht.

Приведенный способ определения корреляционной функции по
экспериментально полученной реализации случайного процесса доволь-
но трудоемок, поэтому на практике обычно корреляционные функции
находят с помощью специальных приборов — корреляторов, которые
автоматически вычисляют средние произведения двух ординат осцилло-
грамм, находящихся друг от друга на расстоянии т.

Если запись реализации х (С) (осциллограмма) соответствует слу-
чайному процессу, среднее значение которого равно х, то эксперимен-
тально найденная по ней эквивалентная корреляционная функция
Rx (т) также будет содержать постоянную составляющую, которая (на
основании свойств 4 и 5 корреляционных функций) равна (х)2. Связь
между корреляционной функцией Rx (т) случайного процесса и эквива-
лентной корреляционной функцией R* (т) определяется выражением

^(т) = /?’(т)-(ЗО2-	(9-51)

§ 9.4. Спектральные плотности случайных процессов

При исследовании автоматических систем управления удоб-
но пользоваться еще одной характеристикой стационарного
случайного процесса, называемой спектральной плотностью.
Во многих случаях, особенно при изучении преобразования
стационарных случайных процессов линейными системами
управления, спектральная плотность оказывается более удоб-
ной характеристикой, чем корреляционная функция.

Спектральная плотность Sx(o>) случайного процесса X(t)
определяется как преобразование Фурье корреляционной функ-
цией Rx(r), т. е.

оо

sx(“)= I Rx(t)e^№Zdi.	(9.52)

оо

Если воспользоваться формулой Эйлера е ;<|)Т = cosmt —
— /sinсот, то (9.52) можно представить как

ОО	оо

(со) = J Rx (т) cos cordx — j j Rx (т) sin cindt.

— оо	— оо
Так как /?х(т)з1пит — нечетная функция т, то в последнем
выражении второй интеграл равен нулю. Учитывая, что
£>х(г)с°5сот — четная функция х, получаем



ОО

Rx (х) cos toxdx = 2 | Rx (x) cos undr.
0

(9.53)

Так как costox = cos(—сот), то из (9.53) следует, что

Sx(<o) = Sx(—to).	(9.54)

Таким образом, спектральная плотность Sx(o) является
действительной и четной функцией частоты to. Поэтому на
графике спектральная плотность всегда симметрична отно-
сительно оси ординат.

Если спектральная плотность известна, то по формуле об-
ратного преобразования Фурье можно найти соответствующую
ей корреляционную функцию:

ОО	ОО

Rx (т) = —— ( $х е'“т da = — f Sx (<о) cos coxdto. (9.55)

2л J	л J

— oo	0

Используя (9.55) и (9.38), можно установить важную за-
висимость между дисперсией Dx и спектральной плотностью
Sx(w). случайного процесса:

ОО	ОО

f Sx(to)dto=A f sx(to)dto. (9.56)

2л J	л J

— oo	О

Термин «спектральная плотность» обязан своим происхождением
теории электрических колебаний. Физический смысл спектральной
плотности можно пояснить следующим образом.

Пусть х (t) — напряжение, приложенное к омическому сопротив-
лению 1 Ом, тогда средняя мощность РСр, рассеиваемая на этом сопро-
тивлении за время 27, равна

- • . ..,	т

7ср = -~ J x2(t)dl.

— т

Если увеличивать интервал наблюдения 27 до бесконечных пре-
делов и воспользоваться (9.30), (9.38) й (9.55) при х = 0 и х = 0, то
можно формулу для средней мощности записать так:

оо	оо

₽ср= lira J—	f хЧ04/=^2==«х(0)=‘	[^(to)^.	(9.57)

г ~>оо 27 I	л J

-ОО	О
Равенство (9.57) показывает, что средняя мощность сигнала может
быть представлена в виде бесконечной суммы бесконечно малых слагае-
1

мых ~SX (<в) do, которая распространяется на все частоты от 0 до оо.
Каждое элементарное слагаемое этой суммы играет роль мощности, со-
ответствующей бесконечно малому участку спектра, заключенному в
I

пределах отодоо 4- dco. Каждая элементарная мощность —	(w) do

пропорциональна значению функции 5Х (со) для данной частоты со.
Следовательно, физический смысл спектральной плотности состоит в
том, что она характеризует распределение мощности сигнала по ча-
стотному спектру.

Спектральная плотность может быть найдена экспериментально че-
рез среднюю величину квадрата амплитуды гармоник реализации слу-
чайного процесса. Приборы, применяемые для этой цели и состоящие
из анализатора спектра н вычислителя среднего значения квадрата ам-
плитуды гармоник, называются спектрометрами. Экспериментально
находить спектральную плотность сложнее, чем корреляционную функ-
цию, поэтому на практике чаще всего спектральную плотность вычис-
ляют по известной корреляционной функции с помощью формулы
(9.52) или (9.53).

Взаимная спектральная плотность Ssg(Jip) двух стацио-
нарных случайных процессов X(t) и G(t) определяется как пре-
образование Фурье от взаимной корреляционной функции
Вхе(т:), т. е.
оо

Sxg (/<*>) = J Rxg (т) e~/urt dt.	(9.58)

—- оо

По взаимной спектральной плотности можно, применяя к
(9.58) обратное преобразование Фурье, найти выражение для
взаимной корреляционной функции:

со

^g(T) = -7- f Sxg(ja)ei^dcp.
in J

— со

(9.59)

Взаимная спектральная плотность SxB(J<jj) является ме-
рой статистической связи между двумя стационарными слу-
чайными процессами: X(t) и G((). Если процессы X(t) и G(t)
пскоррелированы и имеют равные нулю средние значения, то
взаимная спектральная плотность равна нулю, т. е.

Sx»=0.	(9.60)

В отличие от спектральной плотности Sx(co) взаимная
спектральная плотность SIg(/w) не является четной функцией
о» и представляет собой ие вещественную, а комплексную
функцию.
Рассмотрим некоторые свойства спектральных плотностей
Sx(«).

1.	Спектральная плотность чистого случайного процесса,
или белого шума, постоянна во всем диапазоне частот
(см. рис. 9.5, г):

Sx(a) = N = const.	(9.61)

Действительно, подставляя в (9.52) выражение (9.47) для
корреляционной функции белого шума, получим

[ W6(T)e-/wtcfT«=A/[e-/<OT)T=o'=A/.

— co

Постоянство спектральной плотности белого шума во всем
бесконечном диапазоне частот, полученное в последнем выра-
жении, означает, что энергия белого шума распределена по
всему спектру равномерно, а суммарная энергия процесса
равна бесконечности. Это указывает на физическую нереали-
зуемость случайного процесса типа белого шума. Белый шум
является математической идеализацией реального процесса.
В действительности частотный спектр 5я(ш) западает на очень
высоких частотах (как показано пунктиром на рис. 9.5, г).
Если, однако, эти частоты настолько велики, что при рас-
смотрении какого-либо конкретного устройства они не играют
роли (ибо лежат вне полосы частот, пропускаемых этим уст-
ройством), то идеализация сигнала в виде белого шума упро-
щает рассмотрение и поэтому вполне целесообразна.

Происхождение термина «белый шум» объъясняется анало-
гией такого процесса с белым светом, имеющим одинаковые
интенсивности всех компонент, и тем, что случайные процессы
типа белого шума впервые были выделены при исследовании
тепловых флуктуационных шумов в радиотехнических уст-
ройствах.

2.	Спектральная плотность постоянного сигнала x(t) = Ла
представляет собой б-функцию, расположенную в начале ко-
ординат (см. рис. 9.5, а), т. е.

5я(<о)~2лД^б(ы).	(9.62)

Чтобы доказать это, допустим, что спектральная плот-
ность имеет вид (9.62), и найдем по (9.55) соответствующую
ей корреляционную функцию. Так как

f 6 (<о) е'“т dco = е/“х,
то при а» = 0 получаем

ОО

Rx (т) = —— f 2л Л § 6 (<о) е/<от </<<> = Л б 1е/юг]ю = о =	

2л J

— ОО

Это (в соответствии со свойством 5 корреляционных функ-
ций) означает, что сигнал, соответствующий спектральной
плотности, определяемой (9.62), является постоянным сигна-
лом, равным Ао.

Тот факт, что спектральная плотность Sx(w) представляет
собой 6-функцию при <о = 0, означает, что вся мощность
постоянного сигнала сосредоточена на нулевой частоте, что и
следовало ожидать.

3.	Спектральная плотность периодического сигнала x(f) =
= Xsin(<o1^ + <р) представляет собой две 6-функции, распо-
ложенные симметрично относительно начала кординат при
о = й! и о = —со, (см. рис. 9.5, д), т. е.

Д2

Sх (<£») = 2л-[6 (<£» — <Dy) + 6 (<£» + Wj)].	(9.63)

4

Чтобы доказать это, допустим, что спектральная плот-
ность имеет вид (9.63), и найдем по (9.55) соответствующую
ей корреляционную функцию:

ОО

(т)= —— С 2л — [6 («—О»!) + 6 (<£» + <£»!)] е/<,>т</<£» —

2л J 4
	ОО
г-	ОО-ОО

Д2	р	(*	-

= —I е'“т6(<1)—wj da -|- I е/ют 6 (w + Wj) оа» =

---ОО	-—ос	-*

Д2	А2 '	А2

—-----fe'“*T + е _ 7“,т| =  -2 cos w. т —-cos и, т.

4	2	1	2

Это (в соответствии со свойством 6 корреляционных функ-
ций) означает, что сигнал, соответствующий спектральной
плотности определяемой (9.63), является периодическим сиг*
налом, равным x(t) — Zsin(<o1Z + <р).

Тот факт, что спектральная плотность 5ж(<й) представляет
собой две 6-фуикции, расположенные при е»! и —означает,
что вся мощность периодического сигнала сосредоточена на
двух частотах: «ц и —йр Если рассматривать спектральную
плотность только в области положительных частот, то по-
лучим, что вся мощность периодического сигнала будет со-
средоточена на одной частоте <ох.

4.	Спектральная плотность временной функции, разлагае-

п

мой в ряд Фурье x(t) = ло + 2 ^fesin(cofeZ + <pfe), имеет на
/г = 1

основании изложенного выше вид

5зс(<о) = 2я(лё6(со) + 2 ^-[6(<o-<oh) + 6(co + coft)]
I	fe= 1

(9.64)

Этой спектральной плотности соответствует линейчатый
спектр (рис. 9.9) с 6-функциями, расположенными на поло-
жительных и отрицательных частотах гармоник. На рис. 9.9
6-функции условно изображены так, что их высоты показаны
пропорциональными коэффициентам при единичной 6-функции,
т. е. величинам Ло и Л £/4.

Заметим, что спектральная плотность 5ж(со), как это сле-
дует из (9.64), не содержит, так же как и корреляционная
функция, определяемая (9.44), никаких сведений о фазовых
сдвигах отдельных гармонических составляющих.

5.	Спектральная плотность случайного процесса, не содер-
жащего периодической составляющей, представляет собой гра-
фик без ярко выраженных пиков (см. рис. 9.5, б, в).

В этом случае спектральная плотность часто аппрокси-
мируется следующим аналитическим выражением:

Sx (со) = 2ОЖ а/(а2 + со2) = 2DX Txf( 1 + со2 П), '9.65)
где Dx — дисперсия случайного процесса; а = const — па-
раметр затухания; Тх = 1/а — постоянный коэффициент.
Спектральной функции, определяемой по (9.65), соответ
ствует корреляционная функция

оо

R* (т) ~ ~r~ f

zjt J
— оо

е'^dco = Dx е-^',
а24-«>2	х

которая полностью совпадает с корреляционной функцией, оп-
ределяемой по (9.45).

Из рис. 9.5, б,в видно, что чем шире график спектральной плотности
Sx (со), тем уже график соответствующей корреляционной функции
Rx (т), и наоборот. Это соответствует физической сущности процесса:
чем шире график спектральной плотности, т. е. чем более высокие ча-
стоты представлены в спектральной плотности, тем выше степень из-
менчивости случайного процесса и тем уже графики корреляционной
функции. Другими словами, связь между видом спектральной плотности
и видом функции времени получается обратной по сравнению со связью
между корреляционной функцией и видом функции времени. Это осо-
бенно ярко проявляется при рассмотрении постоянного сигнала и бе-
лого шума. В первом случае корреляционная функция имеет вид го-
ризонтальной прямой, а спектральная плотность имеет вид S-функции
(см. рис. 9.5, а). Во втором случае (см. рис. 9.5, г) имеет место обратная
картина.

6.	Спектральная плотность случайного процесса, на кото-
рой наложены периодические составляющие, содержит не-
прерывную часть и отдельные 6-функции, соответствующие

частотам периодических составляющих.

Отдельные пики на графике спектральной плотности ука-
зывают на то, что случайный процесс смешан со скрытыми пе-

риодическими состав-
ляющими, которые мо-
гут и не обнаруживать-
ся при первом взгляде
на отдельные записи
процесса. Если, напри-
мер, на случайный про-
цесс наложен один пе-
риодический сигнал с
частотой <йй, то график:
спектральной плотно-
сти имеет вид, показан
ный на рис. 9.10.

Иногда в рассмот-
рение вводят нормиро-
ванную спектральную плотность |Зж(<о), являющуюся изо-
бпажением Фурье нормированной корреляционной функ-
ции (9.48):

ОО

₽х(<о)= f рж(т)е-'“т =Sx(ti>)/Dx.	(9.66)

— оо

Нормированная спектральная плотность имеет размерность
времени.

§ 9.5. Связь между корреляционными функциями
и спектральными плотностями случайного
процесса на входе и выходе
линейной системы

Рассмотрим линейную систему автоматического управле-
ния (рис. 9.11), имеющую передаточную функцию U7gx(s) и
импульсную переходную функцию (функцию веса) k(t).

Предположим, что на вход этой системы подан стационар-
ный случайный процесс G(t) с равным нулю средним значением,
имеющий корреляционную функцию 7?g(t) и спектральную
плотность Sg((o). Если рассматриваемая линейная система
устойчива и сама стационарна, то установившийся выходной
сигнал' X(t) также будет стационарным случайным процессом,
среднее значение которого будет равно нулю, однако его ста-
тистические характеристики будут отличаться от статистичес-
ких характеристик входного

сигнала.	-------- x(t)

' Допустим, что случайный	—.---э- Wgx(s),k(t) 	»

процесс X(t) имеет корреляцией- 8о(Т), Sa(o>)|—	х(а>)

ную функцию Rx(i) и спект-

ральную плотность Sx(со). Уста-	Рис дп

новим связь между корреля-
ционными функциями и спект-

ральными плотностями случайных процессов на входе и вы-
ходе системы. Связь между реализациями x(t) случайного про-
цесса X(t) на выходе системы и соответствующими реализа-
циями q(f) случайного процесса G(t) на входе системы на осно-
вании формулы свертки выражается через импульсную пе-
реходную функцию k(t) следующим образом:

х(0= J	A)g(A)dA = [ g(t-K)k(K)dK, (9.67)

— оо	—оо

где А — независимая переменная интегрирования.

Для момента времени / ф-т получаем

х(/ф-т)=	g(/ + x— rj) A (п) dr],	(9.68)

— оо

где г] — новое обозначение независимой переменной интегри-
рования.

Корреляционная функция /?ж(т) стационарного случай-
ного процесса X(t) на основании (9.31) равна

т

Rx (т) = lim [ х (/) х (t 4- т) dt. (9.69)
т->оо 2Т J

— Т

Подставляя в (9.69) значение x(t) и x(t + т) и изменяя по-
следовательность интегрирования, получим

Т	оо

Rx(i)~Um — f g (t — A) k (K) dK f g (/ + т — rj) k (ry dx\ddt ==
r-*oo 27 J	J

— T	— co

( k (rj) lim —-

J	г->оо 27

г

J g(t —tygV+i—
— т

1 т

Так как Нт — J g(t — A) g (t + т — rj) dt = Rg (т +
r->« 27 —т

+ A — т]), окончательно получаем

OO	oo

Яж(т)= J fe(A)dA J fe(r])tfg(T + A-r])di].
— oo	—oo

(9.70)

Выражение (9.70) является основным интегральным соот-
ношением, позволяющим по известной корреляционной функ-
ции /?Дт) случайного процесса на входе системы и известной
импульсной переходной функции k(t) системы найти корре-
ляционную функцию Rx(t:) случайного процесса на выходе
системы.

Определим теперь, связь между спектральными, плотностя-
ми входного и выходного случайных процессов. В соответствии
с (9.52) спектральная плотность случайного процесса (г) на
выходе системы

5ж(<о) = J /?ж(т) e_/'“TdT.	(9.71)

Подставляя в (9.71) значение Rx(t) из (9.70) получаем

ОО	ОО	ОО

$ж (<0)= J dr J dK J
— oo --------------OO —OO

k (K) k (tj) Re (т H-X—т]) e-^drj —

J “4

— oo — oo

k (K) k (tj) Rg (t К —rj)	я) e—/m’1 X

Хе/‘АЛ| = j ft (rj) e_/<0T1 dr] j fe (X) е/<вХ dA, j Rg(r-|-
— oo	—OO	-OO

— tj) e—/®<r+*--n) dx.	(9.72)

Учитывая, что изображение Фурье импульсной переходной
функции есть частотная передаточная функция, т. е.

с	)

Wgx (/со) — i k (г;) e~/fi>*>dr]; I

""“со	}	(9.73)

(-/«;= J k(K)e'^dK, |

— oo	J

выражение для спектральной плотности можно записать в
виде

$х(“) = ^ж(/®)Геж(-/<о) j ^(T + X-itfe-^+b-^dT.
— ОО

ОО

Принимая во внимание, что J Rg(r + ^—rj) X

--ОО

X е *-/ш(т+х-т)> dr = Sg(a>), окончательно получаем

(со) = Wgx (jco) W£x (-р) Sg («) = | IFg, (/«) V Sg (<o). (9.74)

Таким образом, спектральная плотность стационарного
случайного процесса на выходе линейной системы равна спект-
ральной плотности случайного процесса на входе системы,
умноженной на квадрат модуля частотной передаточной функ-
ции этой системы.

Используя (9.55) и (9.74) можно найти формулу, связываю-
щую корреляционную функцию Rx(r) выходного сигнала и
спектральную плотность Sg(co) входного сигнала, т. е.

со

Rx{X) = ~^ J П,ех(/‘о)|2Хв(ш)е/“^со.	(9.75)

— сю

Рассмотрим теперь более общий случай, когда линейная
система находится под воздействием двух взаимосвязанных
стационарных случайных процессов G(t) и F(f), приложенных
в различных точках системы.

Рассматриваемый случай имеет большое практическое зна-
чение, так как на систему чаще всего действуют одновременно
два входных (внешних) сигнала: управляющий полезный сиг-
нал G(t) и эквивалентная помеха F(f).

Пусть передаточные функции, связывающие входные сиг-
налы и выходной сигнал X(t), будут соответственно Uz1(s)
и UZ2(s), а импульсные переходные функции (функции веса)
будут fei (t) и k^t). Покажем, как в этом случае связаны кор-
реляционная функция Ря(т) и спектральная плотность Sx(co)
выходного сигнала с корреляционными функциями и спект-
ральными плотностями входных сигналов.

Заметим, что рассмотренная ниже методика может быть ис-
пользована и в том случае, когда к системе приложено боль-
шее число воздействий.

В нашем случае реализация x(t) случайного процесса X(f)
на выходе системы на основании принципа суперпозиции свя-
зана с реализациями g(t) и f(t) входных случайных процессов
С(/) и F(t) следующим образом:

ГХЗ	оо

x(t)~ J g(t-K)kl('k)dK + J /(/-K)fe2(X)dX, (9.76)
— ос	.— оо

где X — независимая переменная интегрирования.

Для момента времени t + т получаем

со

х(/) + т)*= J g(f + T — T])Mn)dn +

—— со

оо	. .

+ J f(l + т— Г])кг(ц)с1ц,	(9.77)
т] — новое
(рования.
Подставляя

обозначение независимой переменной инте-

(9.76) и (9.77) в (9.31), получаем

/?х И)

т

I-	1 с

- 1 im--- I

г-» 2Т J

g(/ + r—п) (П)Л) 4-

dt.

Раскрывая скобки и меняя пределы интегрирования, по-

лучаем

/г1 (Л) lim —

г

j g(t—k)g(t + r~^)dt

X f (t + т —dt

kt (9) tin +

lim ——

т-oo 2Г

f(t — Mg(t + t — n) dt

ki (П)	+

r\)dt feablMn-

-T

т

Нетрудно заметить, что выражения, заключенные в квад-
ратные скобки в первом и последнем слагаемых, равны кор-
реляционным функциям R g (т + X — т]) и Rf (т + X. — ^со-
ответственно, а аналогичные выражения во втором и третьем
слагаемых — взаимным корреляционным функциям Rx/ (т.+
4- Л — т)) и pfg (т 4- х — rj).
Учитывая сказанное, окончательно находим

оо	оо

Rx(t)= J dk J k^k) k^r}) Rg(x + k—r})dr} +
----------- OO --OO

OO	OO

+ J dk J fei (W fe2 (rj) Rgi (t + к—т]) dr} -f-
— OO -------OO

OO	OO

4- J dk J k2(k) кг(г}) Rfg(r Ц-Х—r])dr] +
— co	— co

+ J dk J k2(k) fe2 (t]) (т + К — r}) dr}. (9.78)
— OO -----OO

Выражение (9.78) является основным интегральным соот-
ношением, устанавливающим связь между корреляционной
функцией Rx(r) выходного сигнала и четырьмя корреляцион-
ными функциями Rg(r), R/(r), Rgf(t) и Rfg(t) двух статисти-
чески взаимосвязанных входных сигналов.

Найдем для этого случая спектральную плотность Хж(со)
выходного сигнала. Подставляя (9.78) в (9.52), получим

Хж(со) = J Rx (т) е_ iu,x dr = J dr J dk J e—/«чт+х-ч) x

X [Rg (т + к — r]) /г3 (X) kr (rj) + Rgf (т + к —г]) ki (к) k2 (rj) -4-
+ Rfg (т + к — n) k2 (X) (rj) + Rt (т + X —к]) fe2 (ty k2 г])] X

X g/<oX e —/<от).

Меняя порядок интегрирования, получаем

Хд, (©)= J fej (т]) е~dr} у fe1(X)eMKdXX

оо

х у Rg(T-)-X—г])е_/'“(т+^-ч) dr +
— оо

оо	оо

+ у Х1(Х)е'"МХ R2 (г1) e_/e>ndi) X

•—оо	~~оо

оо

X у Rg/(r + x—T))e-M(’+A-’i)dr +
.— оо
oo	oo

+ j fei (t]) e—/'®n dt] j k2 (X) е'шК dk X

—-oo	— oo

oo

X J R/6(t + X—rj)	dx +

— oo

+ J fe2(r)) e_/'“4 dr/ [ k2 (X) e/®k dk J Rt(x4
— oo	— oo	—oo

4-X— tj) e-/a(T+x-'n> dx.

Учитывая (9.73), формулу для спектральной плотности
можно окончательно записать следующим образом:

Sx (<>) =	(/«) wi (— /®) Sg (<о)-Ь W\ ( -/w) IF2 (/co) Sgf (/co) 4-

+ Wzi (/co) Г2 (— /co)S/g (/со)+Г2(/со) lFa( — /co) Sf(co) =

= I IF^/co) I ? Sg(co) + Гх(- /со) lFa(/co)Sg/(/co) + IF^/co)IF2 (-/co) X
xS/ff(/’co)4-1 IF2(/co) |2 Sy(co),

где Wt(—/co) — частотные передаточные функции, комплекс-
но-сопряженные с lF,(/co).

oo

В . (9.79) величины Srl(jco')= j Rgf (т + X — t/) x
— oo

OO	.	•	•

X e—/®<т + *- ч)	и sfg (/co) = j Rfg (т -|- к —tj) e - /®(t+x.-n) dx

— oo

являются взаимными спектральными плотностями.

Формула (9.79) является выражением для спектральной
плотности выходного сигнала для общего случая, когда систе-
ма находится под воздействием двух статистически взаимосвя-
занных стационарных случайных процессов G(t) и F(t). Если
случайные процессы G(t) и F(t) статистически независимы
(корреляция между ними отсутствует), то

Sef(j^ »Sfg(-ju) = 0	(9.80
и выражения для корреляционной функции и спектральной
плотности выходного случайного процесса принимают вид



OO	00

+ J dk j k2(k) k2(t}) Rt(x + K—r])dr];	(9.81)

— oo — oo

Sx (<«>) = I Wi |asg (co) +1	(/<») I2 Sf (<o).	(9.82)

§ 9.6. Расчет линейных систем при случайных
воздействиях

Рассмотрим замкнутую линейную следящую систему
(рис. 9.12), предназначенную для возможно более точного
воспроизведения полезного (управляющего) сигнала G(t), дей
ствующего на входе системы, при наличии помехи F(t), при-
ложенной в произвольной точке системы. В общем случае
действующие на систему внешние воздействия — полезный
сигнал G(t) и помеха F(t) — могут представлять собой про-
извольно изменяющиеся во времени регулярные сигналы, на
которые наложены случайные процессы. В этом случае сиг-
нал G(t) и помеху F(f) удобно представить следующим об-
разом:

G(t)=--mg(t) + G(t);	(9.83)

F(t)=mf(t) + F(t),	(9.84)

где mf(t) — эквивалентные регулярные составляющие
полезного сигнала и помехи, включающие в себя как мате-
матическое ожидание соответствующего случайного процесса,

Рис. 9.12
так и соответствующий регулярный сигнал; G(t), F(t) — цен-
тр ированные случайные составляющие полезного сигнала и
помехи соответственно.

Тогда любую искомую координату системы можно также
представить в виде двух составляющих: эквивалентной регу-
лярной составляющей и центрированной случайной состав-
ляющей. При расчетах систем автоматического управления
обычно интересуются динамической точностью системы, ха-
рактеризуемой ошибкой системы E(Z) = G(f) — X(Z). На ос-
новании изложенного выражение для ошибки системы при
случайных воздействиях может быть записано в виде

Е (Z) = tne (t) + Ё (Z).	(9.85)

Таким образом, нахождение случайной ошибки Е(/) мож-
но свести к нахождению ее регулярной составляющей me(Z) и
центрированной случайной составляющей Е (Z). При этом в
линейной системе на основании принципа суперпозиции
mE(Z) и E(Z) складываются из составляющих от действия по
лезного сигнала и помехи, которые можно находить порознь.

Регулярную составляющую ошибки mE(t) можно рассмат-
ривать как реакцию линейной системы на регулярные внеш-
ние воздействия mg(t) и mf(t) и определять через передаточные
функции системы:

(Z) = WeE (s) те (t) + Wfe (s) mf (Z) = ml (t) +m‘e (Z), (9.86)

где U^ge(s) = 1/Ц + lE(s)l— передаточная функция замк-
нутой системы, связывающая ошибку и полезный сигнал;
ИЗД - 1WU + U?(s)] — передаточная функция замк-
нутой системы, связывающая ошибку и помеху.

Установившееся значение (математическое ожидание)
ошибки mE(Z) при медленно меняющихся регулярных функ-
циях me(t) и обычно определяют методом коэффициентов
ошибок.

В частном случае если регулярные внешние воздействия
постоянны (либо отсутствуют), а случайные воздействия
представляют собой стационарные случайные процессы, то
mg — const и т} = const. В этом случае ошибка E(Z) будет
являться стационарным случайным процессом, математическое
ожидание которого тг определяется через уравнение статики
системы:

mE — WeE (0) те + W )е (0) mf — const.

(9.87)
Центрированную случайную составляющую ошибки Ё(/)
можно рассматривать как реакцию системы на центрирован-
ные случайные составляющие управляющего сигнала G(t) и
помехи F(t). Так как Е(/) представляет собой случайный про-
цесс, то находят не мгновенные значения Е(/), а некоторые ее
статистические вероятностные характеристики (дисперсию
ошибки и др.).

Центрированные случайные составляющие полезного сиг-
нала G(t) и помехи F(t) обычно задаются или корреляционны-
ми функциями Аг(т) и А/(т), или спектральными плотностя-
ми Sg(to) и S/(<o). Если полезный сигнал и помеха коррели-
рованы, то задается также взаимная корреляционная функция
Rgf(т) или взаимная спектральная плотность Sg/(/«). На
основе выражений (9.78), (9.79) или (9.81), (9.82) по заданным
корреляционным функциям или спектральным плотностям
внешних воздействий полезного сигнала и помехи определяют
корреляционную функцию R Е(т) или спектральную плотность
S е(<о) ошибки, а затем, используя их, находят статисти-
ческие (вероятностные) характеристики ошибки.

Так, например, зная корреляционную функцию ошибки
/?£(т), можно, используя выражение (9.33) определить дис-
персию ошибки:



(9.88)

Если известна спектральная плотность ошибки S£(w), то
на основании (9.56) дисперсию ошибки можно найти по форму-
ле

ОО	ОО

— —— I SB(to)dw =— С Se(to)dro.

2л J	nJ

— оо	О

(9.89)

В практических расчетах дисперсию ошибки чаще всего
определяют через спектральную плотность, используя фор-
мулу (9.89).

Спектральную плотность ошибки $е(и) для рассматривае-
мой системы (рис. 9.12) при коррелированных полезном сиг-
нале и помехе в соответствии с (9.79) вычисляют по формуле

SB (G>) = I	(ju) I2 Ss (to) + WgE (- /to) Wle (Ju) Sgf (Ju) +

+ UZgE (/to) Wle (-/to) Sfg (/to) +1 r/e (/to) I2 Sy (to),	(9.90
где Sg(co), S/( со) — спектраль-
ные плотности центрированных
случайных составляющих полез- eft)
ного сигнала С(/) и помехи
/(/); SgX/co). -S/g(/co) — взаим-
ные спектральные плотности
между G(t) и £(/); W g е(/со) =

1

=	. .vz -Л — частотная пере-

1+^uw)	1

F(t)
£(t)

W(S)

Рис. 9.13

x(t)

даточная функция, связывающая ошибку Е (t) и полезный
сигнал G(t);	= IF2(/co)/[ 1 + №(/со)] — частотная пере-

даточная функция, связывающая ошибку Е(/) и помеху F(t);
W(jw) =	(/<о) 1^2 (/со) — частотная передаточная функция

размокнутой системы; IF2(/<o) — частотная передаточная функ-
ция части разомкнутой системы между точкой приложения
помехи и выходом системы.

При отсутствии корреляции между полезным сигналом и
помехой их взаимные спектральные плотности равны нулю и
выражение для спектральной плотности ошибки упрощается:

SE (to) = | WgE (fa) |2 Sg (to) +1 WfE Vco) I2 Sf (co).	(9.91)

В частном случае, когда помеха действует на входе ра-
зомкнутой системы (как это показано на рис. 9.13) и корреля-
ция между полезным сигналом и помехой отсутствует, выра-
жение (9.91) можно записать в виде

Se (to) = I-----Г S„ (со) +1 —Г (to).	(9.92)

|1+^(/со)| е [1+№(/<о)| ;	’

Дисперсия ошибки, вычисляемая по (9.89), в общем случае
состоит из отдельных составляющих, определяемых слагаемы-
ми (9.90):

£>e = Z?f + Dff + D^ + DL

(9.93)

Обычно находят отдельно Df для Sfi(to), ГУЕ для Sg/(Ao) и
т. д., а затем суммируют все составляющие дисперсии в соот-
ветствии с (9.93).

В соответствии с (9.20) среднее значение квадрата ошибки
равно .

е2(/)=< (0 + Ое,

(9.94)

где mE(t) — регулярная составляющая (математическое ожи-
дание) ошибки, определяемая по (9.86); D Б —- дисперсия
ошибки, определяемая по (9,88) или (9.89),
Зная e'2(t), можно но (9.21) вычислить среднюю квадрати-
ческую ошибку:

Ec.I<(0=^<e4^)=V/n'(/) + D£.	(9.95)

Заметим, что если регулярная составляющая (математи-
ческое ожидание) ошибки, определяемая по (9.86), постоянна,
то

е2 + De •= const.	(9.96)

В частном случае, когда внешние воздействия не содержат
регулярных составляющих, а представляют собой центри-
рованные стационарные процессы, те = 0 и критерием дина-
мической точности системы можно считать дисперсию ошибки,
которая в данном случае равна среднему значению квадра-
та ошибки:

(9.97)
или среднее квадратическое отклонение ошибки

=	(9.98)

Чтобы по известной спектральной плотности найти дис-
персию ошибки при случайных воздействиях, необходимо вы-
числить интеграл (9.89). Вычисление этого интеграла довольно
сложно, поэтому на практике его выполняют двояко: либо
аналитическим методом, используя стандартные (табличные)
интегралы, либо методом графоаналитического интегрирова-
ния.

Аналитический метод определения дисперсии ошибки .Этот
метод основан па предположении, что как спектральные плот-
ности, так и частотные передаточные функции, входящие в
(9.90), являются дробно-рациональными функциями от со.
Тогда (9.90) для спектральной плотности ошибки можно пред-
ставить состоящим из слагаемых вида

ХД/со) == |В(/со)|2/|//(/со)|г,	(9.99)

где В(/со), //(/со) — некоторые полиномы от комплексной пе-
ременной /со.

Вычисление отдельных составляющих дисперсии ошиб-.
ки сводится к вычислению интегралов стандартного
типа:

/„= — f Sr(/co)d<o = -!- [	(9.100)

2л J U ' 2л J | И (in) I2
Для удобства интегрирования (9.100) обычно представляют
в виде

J

2л

_____^2----------dw,
11 (ja) 11 ( — /со)

(9.101)

где

И ^) ^аЛ!ыУ'+аЛ'1^п-х +	|	(9 102)

М(/ы) =Ь0(уо>)2+bj (;w)2<n-2’ -1 ... + ЬП_1. j

Полином Л4(/со) содержит только четные степени (/со), а
полином //(/«в) для устойчивой системы имеет все корни, рас-
положенные в верхней полуплоскости корней.

Интегралы вида (9,101) вычисляются обычно с помощью
теории вычетов и могут быть для устойчивой системы при лю-
бом п представлены в виде

/„ =Qn/(2acAn),	(9.103)

где

ах а3 а6 } 0

o«;«Jo	<9-104)

____х J I__
0 0 0 j а’"

совпадает со старшим определителем Гурвица, составленным
из коэффициентов а0, at, а2, .... ап полинома //(/со);

	ьвь.ь2	0	
Q„ =	О с? а а К* to а а	I о о	(9.105)
	0 0 0		

совпадает со старшим определителем Гурвица, в котором пер-
вая строка заменена на b0, blt ....

Имеются таблицы значений стандартных интегралов /„
в виде формул, зависящих от коэффициентов ав, alt .... ап и
bVl bn_t для значений п от 1 до 7. Табличные значе-
ния стандартных интегралов Jn для л от 1 до 5 приведены, на-
пример, в приложении 9.1.

Таким образом, при аналитическом методе определения
Дисперсии ошибки сначала определяют спектральную плот-
ность ошибки Se(w), представляя ее в общем случае состоящей
из слагаемых вида (9.99), и находят коэффициенты at и bt поли-
номов /7(/ю) и 7И(/со). После этого, пользуясь стандартными
интегралами Jn, определяют отдельные составляющие диспер-
сии ошибки, а затем в соответствии с (9.93) находят дисперсию
ошибки D £.

Графоаналитическое определение дисперсии ошибки. Для
систем автоматического управления при п > 4 аналитический
метод нахождения дисперсии ошибки становится довольно
громоздким, поэтому в инженерной практике в таких случаях
широко применяют графоаналитический метод. Этот метод
особенно удобен в том случае, когда спектральные плотности
полезного сигнала и помехи, а также амплитудно-частотные
характеристики системы заданы графически.

Поясним сущность этого метода применительно к вы-
числению составляющей дисперсии ошибки О£ от действия
помехи. Рассмотрим, например, рис. 9.14, на котором приве-
дены АЧХ замкнутой системы А/е(®) = |1^/£(/ю)|, связы-
вающая ошибку с помехой, и график спектральной плотно-
сти помехи S/o).

Возводя в квадрат ординаты кривой Af £ (и), вычисляем и
строим график Afe (со). Перемножая затем ординаты Afe (со) и
Sy(со) при одних и тех же частотах со, получим, график спект- 
ральной плотности ошибки S£(w). После этого определяем

значение интеграла f S £(co)dco, для чего подсчитываем вели-'
о
чиНу площади, заключенной между кривой Se(co) и осью абс-
цисс.

Составляющую дисперсии ошибки от действия помехи Di,
в соответствии с (9.89) определяем путем деления полученной
площади на л, т. е.

d£ = -— С SE(<o)dw.

Л J
о

Аналогично можно найти другие составляющие дисперсии
ошибки, например от действия полезного сигнала и т. д.
Суммируя эти составляющие, находим в соответствии с (9.93)
дисперсию ошибки D е.

Как видно из рис. 9.14, величина составляющей дисперсии
ошибки De зависит от взаимного расположения графиков
Afe («) и При совпадении максимумов этих характерис-
тик величина площади, заключенной между кривой SE(w) и
осью абсцисс, а следовательно, и величина составляющей дис-
персии ошибки Dfe, оказывается большей и, наоборот, разне-
сение этих максимумов выбором параметров системы приводит
к уменьшению дисперсии ошибки.

Таким образом, графоаналитический метод, отличаясь про-
стотой и наглядностью, позволяет указать, как следует
изменить частотные характеристики системы, чтобы при
заданных спектральных плотностях внешних воздействий
уменьшить дисперсию ошибки системы.

Если при расчете системы автоматического управления пользуются
логарифмическими частотными характеристиками, то составляющую
спектральной плотности ошибки, соответствующую, например, помехе,
в этом случае можно вычислить следующим образом. По известным
ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы находят ЛАХ замкнутой системы
£0 (w), а затем ее значение удваивают, т. е. определяют 2£0 (со). Зна-
чение 2£0 (и) суммируют с величиной £/ (со) =20 Ig Sf (со).

Спектральная плотность ошибки

2£0 (со) + 1-f (со)

Se (со)=-1(со) |2 Sy (со) = Antilg--7		(9 106)

По известной спектральной плотности S е (со) определяют затем
составляющую дисперсии £>£. Аналогично определяют остальные со-
ставляющие дисперсии ошибки.

Пример 9.1. На входе замкнутой следящей системы с единичной
обратной связью (см. рис. 9.13) действует случайный полезный сигнал
G (0, имеющий спектральную плотность Sg (со) = 2DgTg/(l + со2Т2),
а иа входе разомкнутой, системы действует случайная помеха F (/)
типа «белый шум», спектральная плотность которой S/ (со) = IV. Кор-
реляция между полезным сигналом и помехой отсутствует.

Передаточная функции разомкнутой следящей системы

Г (s) = K/s (1 + sT).

Определить среднюю квадратическую ошибку системы при

Pg=100B; 7'g = 20c; W =»0,01В2/Гц; Т = 0,1с;. К = 51/с.

Заметим, что в данном случае внешние воздействия не содержат регу-
лярных составляющих и в соответствии с (9.97) средняя квадратиче-
ская ошибка е2 совпадает с дисперсией ошибки D£.

1.	Находим передаточные функции замкнутой системы по ошибке
и регулируемой величине:

Wse (s) = 1 /[ 1 + W («)] = s (1 + Ts)/(7’s2 + s+К);

Wgx (s) = UZf£ (s) = W (s)/[ 1 + W (s)] = K/(7's2 + s+K).

2.	Спектральнаи плотность ошибки в соответствии с (9.92)

I /со (1 + jaT) I2	I	К I2

Ss(o) + |	/(ю)-

3.	Находим составляющую среднего квадрата ошибки (совпа-
дающую в данном случае с составляющей дисперсии ошибки Р®), обус-
ловленную полезным сигналом:

f I ia(l+jaT) I* 2Pe7g

2л J I T (jco)2+(/co)+K I l + “27’g
— oo

1 r	 <B2(l+<o2T2)<ta_____

=	2л J ITG^+jo+KPIl+jcoTgl2 “

— OO

_	1 f _________________[Т2(/<о)*-(/со)2]сйо__________

~	®' e 2л J |7'Tg(/W)3 + (7’-J-7'g)(/W)2 + (l+K7'g)(jW) + K|2

= %DgTgJ3.

Сравнивая полученное выражение с видом подынтегральной функ-
ции (9.101), можно выписать полиномы Н (/со) и М (ja), т. е.

Н (ja)>==a0 (j^+ax (/со)п-17|- •   +an^TTg

+ (Т + Tg) (/со)2 + (1 -С КТв) (ja) + К;

следовательно, коэффициенты at равны а0 — ТТ g; at — Т + Т g-,
= 1 + КТg, о3 — К.	•	: л :

Полином М (/со) должен быть записан в виде

М (до) = Ьо (jw)2 (п ~1»+Ьг (/со)2	21 + ... + Ьп-1 •
В данном случае п = з, поэтому

Al (/w)=b0 (/со)4 4-^ (/со)2 4-62 = 72 (/со)4 —(/со)2

и следовательно, коэффициенты Ь; равны Ьв — 72;	— 1, Ь2 — 0.

Из приложения 9.1 для п = 3 находим значение стандартного интегра-

ла J 3, т- e-

. .	, (cn ci + b2)

— o2 b0 4- c0 ----------------

Js —

________________C3

2co (co aa ax C2)

1 T±Tg+KTTg

= 27g	^+7g + K7j

Окончательно получаем

Ё2~2П 7 / = D

6g 4Dg 1 gig *= Ug у_|_^_|_^Г2

4.	Находим составляющую среднего квадрата ошибки е| (совпадаю-
щую в данном случае с составляющей дисперсии ошибки d£), обуслов-
ленную помехой:

1 С КгМ

Sf~ 2л J I 7 (/со)2 4-(/со) 4-К I2

Сравнивая последнее выражение с видом подынтегральной функции
(9.101),' выписываем полиномы Н (/со) и М (/со), т е.

Н	(/со)«-‘+ ... +cn = 7 (jco)2 + (jco) К;

следовательно, коэффициенты с, равны с0 = 7, аг = 1, а2 = К
Полином М (/со) должен быть записан в виде

Л1 (/co) = bo(/w)2 (”~ !) + Ь1 (/со)2 (”~2) 4-... 4-bn-i

В данном случае п = 2, поэтому М (j<a) = Ъв (/со)2 + Ьх = 1, следо-
вательно, коэффициенты 6, равны Ьо = 0; bx = 1. Из приложения 9.1
для и = 2 находим

/23=1 (— Ьв 4- Со Ьх/с2)/(2со Cj) — 1 /2К 

Окончательно получаем

ё| = К2 NJt^KN/2.

5.	Находим результирующее значение среднего квадрата ошибки
s2, равное в данном случае дисперсии ошибки Ре

i2=s24-l2= Dg{T^Tg^KFTg}I(T+Tg+ KT^+KN!2.
Подставляя числовые значения параметров, получаем

0,1 4-20 4-5-ОЛ-20	5-0,1

е2= 100	0j+204-5-202	+	2

вреднее квадратическое отклонение ошибки

= 1,5.
Пример 9.2. Решить предыдущую задачу графоаналитическим
методом.

1.	Находим выражение для спектральной плотности ошибки:

$	= I	12 2Dg7g I к I2

е I T(jay + (ia) + K I	T(/w)2+(j<B) + K I

2Dg Te Ты* + (2Dg Tg + № NT g) bt>2 + K2N

~	[Т*а* + (1—2КТ)ы2 + К*Ц1+ы2Т*) '

Подставляя числовые значения параметров, получаем

Se (со) — (40со4 + 400св2 + 0,25)/ [(0,01 со4 + 25) (400со2 + 1)].

Задавая различные значения со в пределах от 0 до 20, вычисляем
Se (со) и записываем результаты:

со.......... 0 0,1	1	2	3	5	8	10	15	20

Se(co) . . . 0,01 0,32 0.4 0,425 0,425 0,4 0,25 0,16 0,06 0,03

2.	Строим график S£ (св) (рис. 9.15), разбивая который на типовые
фигуры (прямоугольники, треугольники, трапеции) находим величину
площади Л£, ограниченной кривой S£ (со) и осью абсцисс:

WE=J Se (со) dco а 4,7.

о

3.	Определяем среднее значение квадрата ошибки, равное в данном
случае дисперсии ошибки:

°°	п

-	1 Г	пе	4,7

е2=----1 S„ (св) dco —----—-----=1,49,

л.J Е ~ л л . .

 о
и среднеквадратическое отклонение ошибки:

о =‘Иё2 = 1,22 В.
е

Следует отметить, что рассмотренная выше задача быстрее
и проще решается аналитическим методом, который к тому же
позволяет установить аналитическую связь между величиной
средней квадратической ошибки и параметрами системы. При-
ближенный графоаналитический метод интегрирования спект-
ральной плотности целесообразно применять лишь при зна-
чениях п > 4, когда аналитический метод оказывается слиш-
ком громоздким.

Пример 9.3. Решить предыдущую задачу при условии, что на
входе замкнутой системы действует регулярный полезный сигнал
g (/) = а + Vt, где а = 10 В; V = 1 В/с. Случайная помеха F (/)
типа «белый шум» имеет спектральную плотность Sf (<о) = N.

1.	Так как полезный сигнал g (/) — регулярная функция времени,
то среднее значение квадрата ошибки в соответствии с (9.94)

ё2 = т2 (0 + DB = m2 (/) + ё/,

где тЕ (/) = W ge (s) g (t) — динамическая составляющая ошибки, обу-
словленная регулярным полезным сигналом g (f)\	— D-£ — сред-

нее значение квадрата случайной составляющей ошибки, обуслов-
ленное случайной помехой F (t). Величина ef была определена в приме-
ре 9.1, она равна ef — KN/2.

2.	Определяй установившееся значение регулярной составляющей
ошибки те (/) методом коэффициентов ошибок:

dS(t) . с.2 rf2 g (/) ,
+ .. .

Для нахождения коэффициентов ошибок с0, с,, с2, ... разложим
передаточную функцию Weg (s) = 1/[ 1 + Ж (s)J, связывающую полез-
ный сигнал и помеху, в ряд по возрастающим степеням S, что удобно,
например, сделать, разделив числитель выражения для U7gE(s) на его
знаменатель:

s + Ts2	1	КТ— 1

ge*' s2r2 + s + K	К	Л2

,	С,

«=с0-|-С1 s + —s2+...;

следовательно, с0 = 0; с, = 1/К; с2/21 = (КТ — 1)/Д2.

В нашем случае dg (t)!dt = V, а все последующие производные от
полезного сигнала равны нулю. Поэтому окончательно получаем

dg (t) cz

(0 = 0-g (0 + с,	+ — 0 = q dg (t)/dt = VIK.
3	Находим результирующее значение среднего квадрата ошибки;
в3 = /п3 (.') +ё/ -=(P//O3 + /C7V/2.

Подставляя числовые значения коэффициентов, получаем
Г3 =(1/5)2 + (5-0,01)/2 = 0.065.

Средняя квадратическая ошибка

ес к е3 —0.255 В.

§ 9.7. Синтез линейных систем с минимальной
средней квадратической ошибкой

Рассмотрим систему автоматического управления с пере-
даточной функцией Ц7а (з), служащую для усиления и преобра-
зования управляющего полезного сигнала G(/) при наличии
случайной помехи F(t). Это преобразование в общем случае
производится в соответствии с некоторым заданным опера-
тором (алгоритмом преобразования) H(s) (рис. 9.16).

В общем случае система должна возможно более точно
воспроизводить на своем выходе не само управляющее воз-
действие G(t), а некоторую функцию от управляющего воз-
действия

Z(t) = H(s) G(t).	(9.107)

В системах, находящихся под воздействием случайного
(или регулярного) полезного сигнала и случайной помехи,
возникает задача отделения полезного сигнала от помехи и
подавления (фильтрации) последней. Эту задачу называют
задачей фильтрации илн

Рис. 9.16

сглаживания.

Введение преобра-
зующего оператора /7(з)
обобщает задачу не
только на обычные сле-
дящие системы, у кото-
рых Z(Z) = G(0 It. е.
H(s) = 11, но и на дру-
гие классы систем, вы-
полняющие различные
преобразования управ-
ляющего сигнала.
в зависимости от вида оператора H(s) задача фильтрации
сочетается с задачей воспроизведения [если H(s) = const],
упреждения (предсказания), или экстраполяции [если H(s) =
— est], интегрирования [если H(s) = 1/s], дифференцирова-
ния [если H(s) = si и др. В общем случае преобразующий
оператор H(s) может быть произвольным. Идеальное преобра-
зование полезного сигнала в соответствии с (9.107) невозможно
из-за динамических ошибок системы, а также из-за наличия
возмущающих воздействий (помех). Поэтому выходной сиг-
нал (регулируемая величина) X(t) будет отличаться от воспро-
изводимого сигнала Z(t). Разность

E(0 = Z(0-X(0

(9.108)

называют случайной ошибкой системы.

Синтез систем при случайных воздействиях заключается в
определении динамических характеристик системы, наилуч-
шим образом обеспечивающих выполнение некоторого статис-
тического критерия оптимальности. Существуют различные
статистические критерии оптимальности. Однако наиболее
часто за статистический критерий оптимальности принимают
критерий минимума средней квадратической ошибки [см.
(9.95)1:

ес.и—‘	ь —

е2(0Л,	(9.109)

где е(0 — любая реализация случайной ошибки.

В этом случае задача синтеза состоит в том, чтобы найти
такую физически реализуемую оптимальную передаточную
функцию замкнутой системы iFB.onT (s), ПРИ которой было бы
минимальным среднее значение квадрата ошибки:

Еа = {Z (0 —X (0)2 = min.

(9.110)

Согласно критерию средней квадратической ошибки оценка точ-
ности системы производится в зависимости от среднего, а не мгновен-
ного значения ошибки, что ие всегда является достаточным, например
тогда, когда требуется, чтобы ошибка не выходила за заданные пределы.
Применение этого критерия может оказаться нерациональным и в тех
случаях, когда требования к величине ошибки в разные моменты вре-
мени неодинаковы.

Однако несмотря на то, что этот критерий, впрочем, как и всякий
Другой косвенный критерий, не является универсальным, он благодаря
своей " простоте получил широкое практическое применение.
При воздействии и а систе-
му пе коррелированных между
собой стационарного сигнала и
помехи среднее значение квад-
рата ошибки СОСТОИТ ИЗ двух
составл яющл х:

®g + ef

Если бы к системе было
Приложено ТОЛЬКО одно внеш-
нее воздействие, либо полез-
ный сигнал G (Z), либо помеха
F (t), то теоретически соответ-
ствующим выбором парамет-
ров передаточной функции (по-
лосы пропускания) системы
можно было бы обеспечить лю-

бую точность систем. Однако
при одновременном действии полезного сигнала и помехи точность
системы не может быть любой.

Это наглядно видно из рис. 9.17, где изображены (полученные ни-
же в_примере 9.5) типичные графики зависимости составляющих ошиб-
ки и от значения коэффициента усиления разомкнутой системы Д.
Для лучшего воспроизведения управляющего сигнал a G (/), т. с. умень-
шения составляющей ошибки е|, система должна иметь возможно боль-
ший коэффициент усиления. Однако для того чтобы лучше подавлять
помеху F (/), т. е. уменьшить составляющую ошибки £/, система, на-
оборот, должна иметь возможно меньший коэффициент Д. Поэтому, ког-
да на систему действуют одновременно полезный сигнал к помеха, су-
ществуют некоторое компромиссное (оптимальное) решение и соответст-
вующие ему оптимальные параметры системы (в данном случае ДоИт),
при которых среднее значение квадрата ошибки будет минимальным,
меньше которого его, при заданных статистических характеристиках
управляющего сигнала и помехи, никаким изменением параметров сде-
лать нельзя.

В зависимости от вида графиков спектральной плотности
управляющего сигнала и помехи способы решения задачи син-
теза при случайных воздействиях могут быть различны.

В простейшем случае, когда спектры частот полезного сиг-
нала Sg (со) и помехи Sf (со) не налагаются друг на друга
(рис. 9.18, а), амплитудно-частотную характеристику замк-
нутой системы Л (со) выбирают достаточно широкой для обес-
печения требуемой точности воспроизведения управляющего
сигнала и в то же время достаточно узкой для того, чтобы сис-
тема меньше реагировала на помеху.

Если управляющий сиг,нал имеет спектр частот, очень
быстро убывающий с возрастанием частоты, а спектр помех
близок к белому шуму (рис. 9.18, б), то в этом случае форма
амплитудно-частотной характеристики |1Г(/со)| разомкнутой
системы должна выбираться при низких частотах, где |1Г(/со)|2>
j и сконцентрирована основная энергия управляющего
сигнала, возможно более близкой к форме спектральной плот-
ности управляющего сигнала Ss(a), а затем должна быстро
убывать, по возможности следуя за убывающей характери-
стикой Sg(co)- В общем случае, когда спектры частот полезного
сигнала и помехи накладываются друг на друга и имеют про-
извольную форму (рис. 9.18, е), определение оптимальных па-
раметров системы становится довольно сложным.

При синтезе систем со случайными воздействиями разли-
чают два вида задач:

1.	Синтез при заданной структуре системы управления,
когда добиваются минимума средней квадратической ошибки.

выбирая оптимальные па-
раметры корректирующих
звеньев системы на осно-
вании известных статисти-
ческих характеристик по-
лезного сигнала и помехи.

2.	Синтез при произ-
вольной структуре системы
управления, когда по за-
данным статистическим ха-
рактеристикам полезного
сигнала и помехи опреде-
ляют оптимальную струк-
туру и параметры систе-
мы, при которых обеспечи-
вается минимум средней
квадратической ошибки.

Синтез при заданной
структуре системы. В этом
случае задача ’ синтеза фор-
мулируется следующим об-
разом. Заданы статистиче-
ские характеристики по-
лезного сигнала и помехи,
например спектральные
плотности 5г(ш) и Sy(«);
структура системы н ее
передаточная функция
W(s) = IF(s, Pi, p2, pn), где p; — параметры си-
стемы.

Требуется найти оптимальные параметры системы Р1ОПТ,
Р2 опт» Рп опт> ПРИ которых обеспечивается минимум сред-
ней квадратической ошибки.

Эта задача решается следующим образом: зная спектраль-
ные плотности Sg(w) и Sf(a) и передаточную функцию систе-
мы, определяют спектральную плотность ошибки SE(w), а
затем, пользуясь табличными интегралами, находят аналити-
ческое выражение среднего значения квадрата ошибки е2,
которое получается зависящим от параметров системы:

ea«F(Pi,pa,...,pn).	(9.111)

Дифференцируя (9.111) по рь где i = 1, 2, ..., п, и прирав-
нивая нулю частные производные, находят п уравнений, из
которых определяют оптимальные параметры системы р1опг,
Pzoht, •••> Рп опг> обеспечивающие минимум средней квадра-
тической ошибки.

Как правило, большинство параметров системы изменять
трудно либо невозможно, так как они определяются заданными
техническими или конструктивными соображениями. Поэто-
му обычно выбирают два-три параметра, например постоян-
ные времени корректирующих звеньев, коэффициент усиле-
ния разомкнутой системы и др. Если число переменных п не-
велико, то отыскание экстремума функции не вызывает затруд-
нений. При большем числе п, когда явное выражение среднего
значения квадрата ошибки через параметры системы опреде-
лить затруднительно либо оно слишком громоздко, использу-
ют приближенные методы отыскания минимума выражения
(9.111) путем числового задания интересующих параметров и
построения соответствующих графиков.

Параметры системы, выбранные по критерию минимума
средней квадратической ошибки, оценивают затем, исходя из
возможности их технической реализации и допустимых дина-
мических показателей системы (времени регулирования, на-
личия и величины перерегулирования и т. д.).

Заметим, что указанная выше методика выбора оптималь-
ных параметров системы может применяться и при одновре-
менном воздействии на систему регулярных и случайных сиг-
налов.
Пример 9.4. Условия задачи такие же, как в примере 9.1. Тре-
буется определить оптимальное значение коэффициента усиления ра-
зомкнутой системы Копт, соответствующее минимуму средней квадра-
тической ошибки, и вычислить среднюю квадратическую ошибку при
К “ Копт-

Ранее (в примере 9.1) было получено выражение для среднего
значения квадрата ошибки

.. '+ ё/ = Ds <Г+ Te+KTTg) !{т + те + КТ*) + KN /2.

s(-Для исследования на минимум средней квадратической ошибки
необходимо приравнять нулю производную от этого выражения по ко-
эффициенту усиления разомкнутой системы. В результате получаем
di*ldK~-Dg [Tg (Г3-Т3)]/{Т + Те + КГ|р + Л//2.

Из последнего уравнения определяем оптимальное значение ко-
эффициента усиления разомкнутой системы:

Копт = V^g(T\-T*)i(NT*g)-{Te + Т)/Т3.

Подставляя числовые значения параметров, получаем

Копт = V2-100 (203 —0.13)/(0,01-203) — (20 4- 0,1)/203 —30 I /с.

Подставляя КОцт в выражение для среднего значения квадрата
ошибки, получаем

ётш = 100 (°J + 20 + 30-0.1-20)/(0,1 + 20 + 30-203) +

+ 30-0,01/2-0,816.

Средняя квадратическая ошибка, соответствующая КОПТ1

ес.к min = /Е37 = У0^Тб = 0,904 В.

Emin

Пример 9.5. Условия задачи такие же, как и в примере 9,3. Тре-
буется определить оптимальное значение коэффициента усиления ра-
зомкнутой системы Копт и вычислить среднюю квадратическую ошиб-
ку при К = Копт.

Ранее (в примере 9.3) было получено выражение для среднего зна-
чения квадрата ошибки

? = т* (0 +Г? = г* + е} = (V/K)3 + KN/2.

Приравниваем нулю производную от этого выражения по коэффи-
циенту усиления разомкнутой системы:

dtfldK = —2V3/K3 + W/2=0.
з _________________________________

Из последнего выражения определяем Копт = "l/4'/2/W. Подстав-
ляя числовые значения параметров, получаем

Копт = V+OT = У400=7 ,38 1 /с.

Среднее значение квадрата ошибки; соответствующее Коит.

Emin = (1/7.38)3 + 7,38-°,°1/2 = 0,055.
Средняя квадратическая ошибка

вс.к mln = Ке’Ип = Уо.055 = 0.234 В.

Графики изменения е|, 6f н ег в функции коэффициента
усиления системы К приведены иа рис. 9.17.

Синтез при произвольной структуре системы. Пусть на сис-
тему действуют полезный сигнал G(/) и помеха F(t), которые
приложены к одному и тому же входу (см. рис. 9.16) и явля-
ются стационарными случайными процессами с равными нулю
средними значениями. Если полезный сигнал и помеха при-
ложены к разным входам, то методом эквивалентных преобра-
зований нх всегда можно привести к одному входу. Таким
образом, суммарный сигнал на входе системы будет равен

(/(/) = G(/) + £(/).

Выходной сигнал системы Х(() связан с входным сигналом
(/(/) уравнением

Х(0 = r3(s) Utf) = r3(s) IG(0 + F(t)],

где W/a(s) — передаточная функция замкнутой системы.

Допустим, что система должна воспроизводить некоторую
функцию от управляющего сигнала

Z(0 = H(s) G(f).

Ошибка воспроизведения равна

£(/) = Z(/) - X(f).

Задача синтеза в случае произвольной структуры линейной
системы состоит в том, чтобы при известных статистичес-
ких характеристиках полезного сигнала и помехи найти та-
кую физически реализуемую оптимальную передаточную функ-
цию замкнутой системы 1Еа.опт (s), при которой среднее зна-
чение квадрата суммарной ошибки было бы минимально, т. е.

е2 = {Z (/) — X (Z)}2 = min.

(9.112)

Рассмотрим задачу синтеза оптимальной передаточной
функции W3 опт (5), считая, что нам заданы спектральные плот-
ности полезного сигнала Зе(ы) и помехи 5Д<о), а также пре-
образующий оператор (алгоритм преобразования) H(s). Ре-
шение проведем для упрощенного, но часто встречающегося
случая, когда полезный сигнал и помеха не коррелированы.
Выражение для любой реализации случайной суммарной
ошибки можно записать следующим образом:

е(0 = z(fi — x(t) = fi(s) g(t) — W3(s)u(t) = [H(s) —
- ^(s)l g(t) -

Выражение для спектральной плотности ошибки
;'.'' SE (со) = | Н (/со) - Wя (/a) |2 Sg (со) +1 W3 (/со) |2 Sf (со),
а среднее значение квадрата ошибки

ё2 = (1/2л) J {|^(/co)-lF3(/co)|2Sg(co) +

+ 1^3(/“)125Дсо)}с(со.	(9.113)

Для минимизации ошибки е2 необходимо выбрать соответ-
ствующую частотную передаточную функцию системы
^з.опт (/«)•

Основная трудность в минимизации выражения (9.113)
связана с учетом условий физической осуществимости пере-
даточной функции системы lF3.onT (s). Найдем сначала
^з.опт (s) без учета этого условия, а затем на основе получен-
ного решения построим лучшую из физически реализуемых
систем.

Записав частотные передаточные функции //(/со) и W3 (/со)
в виде

Н Цы) = Н (со) e/W®) = Н (со) cos ф (со) -|- jH (со) sin ф (со);

W3 (/со) = А (со) е/’’’<ю> = А (со) cos ср (со) J-]А (со) sin ср (со),
вычислим

1Ж/со) — В73 (/со) |2 = Я2(со) + Л2(со) — 2Д(со) Л (со) X
X cos [ф(со) — ср(со)].

Тогда (9.113) принимает вид

ё2 f {{Я2 (со) + А2 (со) — 2Н (со) А (со) X
2л J

— ОО

X cos [ф (со) —ср (со)]} Sg (со) 4- А2 (со) Sf (со)} da. (9.114)

Из (9.114) необходимо найти такие значения Л (со) и ср(со),
при которых выполнялось бы условие е2 = min. Это типич-
ная вариационная задача, решаемая, например, с помощью
Уравнений Эйлера.
Учитывая, что //(со), Д(со), Sg(co) и S;( со) положительны
при любом значении со, для минимизации в2 необходимо, что-
бы член 2//(<о)/1 (<о) соз[ф(<в) — ф(со)1 был наибольшим, т. е.
чтобы

ф(со) == <р(со).	(9.115)

Тогда (9.114) примет вид

оо

ё2=-^- J {[№ (со) -4- А2 (со) -2Н (со) А (со)] Sg (со) 4-
— оо

оо

+ Z2(co)Sz(co)}dco=— f Qdto.

2л J

— оо

Так как все члены в последнем подынтегральном выра-
жении положительны, то минимум среднего значения квадра-
та ошибки будет при минимальном значении функции Q.

Приравнивая dQ/dA(a>) = О, получаем

(2/4 (со) — 2Я(со)]5й(со) + 2 А (со)£Дсо) = О,
откуда находим выражение для оптимальной амплитудно-ча-
стотной характеристики замкнутой системы:

Доит (со) =-------------Н (со).	(9.116)

Sg(co) + S;(co)

Имея в виду, что Ч73.ОЦТ (/со) = Лопт(со)е'ч><с,>>, выражения
(9.115) и (9.116) можно объединить в одно уравнение:

^З.опт (/*>) =------------Н (/«)	(9.117)

3 “	Sg^ + S/fco)

Как следует из (9.117), единственными статистическими ха-
рактеристиками полезного сигнала и помехи, необходимыми
для определения оптимальной частотой передаточной функции
замкнутой системы, являются их спектральные плотности.

Оптимальная частотная передаточная функция системы, опреде-
ляемая по (9.117), была найдена без учета возможности ее физиче-
ской реализуемости.

Условием физической реализуемости системы является равенство
k (t) = 0 при t < О,

т. е. реакция системы на б-фуикцию, действующую в момент t — О,
равна нулю при t <_ 0.

Частотная передаточная функция И/3.опт O’w) физически реализуе-
мой системы должна иметь все полюсы в верхней полуплоскости кор-
ней, а соответствующая ей передаточная функция 1Гэ.Опт (s) должна
иметь только левые корни. Однако оптимальная частотная передаточ-
ная функция, определяемая (9.117), может оказаться в общем случае
физически нереализуемой. Это можно показать на частном простей-
шем примере. Пусть решается задача воспроизведения, т. е. И (со) = 1,
и пусть помеха представляет собой единичный белый шум, т. е. Sf (со) “
_ 1. Тогда

wa овт (/м) в	ЛИ— н (о)=..W t

SgW + Sfiw)	Sg(w)+1

и так как 1 + Sg (со) — положительная величина, то она расклады-
вается на комплексные множители, один из которых всегда будет иметь
полюсы в нижней полуплоскость корней. Импульсная переходная функ-
ция k (/), найденная для такой частотной передаточной функции, будет
существовать и для отрицательных значений времени t < 0, т. е. до
приложения возмущения. Это и свидетельствует о нереализуемости
W'a.onT

Оптимальная частотная передаточная функция, определяемая
(9.117), оказалась физически нереализуемой потому, что в реальных
системах всегда существует связь между амплитудно-частотной А (ы)
и фазовой ф (со) характеристиками, которая ие была учтена при выводе
формулы (9.117). При выводе (9.117) решались уравнения (9.115) н
(9.116), которые, как правило, являются несовместимыми, т. е. нельзя
найти1 одно решение, одновременно удовлетворяющее обоим этим урав-
нениям.

Для того чтобы реализовать функцию, наиболее близкую
к оптимальной, необходимо-из 173.ОПТ (/со) выделить физически
реализуемую часть с полюсами, находящимися в верхней полу-
плоскости корней, а остальные члены отбросить.

Для этого, пользуясь методикой, предложенной Г. Боде
и К- Шенноном, разлагают сначала знаменатель выражения
(9.117) на комплексные множители (операции «факторизации»):

Sg (со) + S, (со) = | У 0“)21 - (/“)	(9-118)

где V (/’со) — функция, все нули и полюсы которой лежат в
верхней полуплоскости комплексного переменного /со;
Y (—/со) — функция, комплексно-сопряженная с Чг(/со), все
нули и полюсы которой лежат в нижней полуплоскости комп-
лексного переменного /со.

Затем производят разделение 1^3.опт (/со) на реализуемые
и нереализуемые слагаемые (операция «расщепления»):

^з.оптО") Т(/(0) [ Т(_/<й)

1 Г Sg (со) Я (/со) 1
+ V(/co) I ЧЧ-со)
причем реализуемая часть отмечается знаком плюс, а нереа-
лизуемая — знаком минус.

Отбрасывая члены, соответствующие нереализуемой части,
условие оптимальности с учетом физической реализуемости
записывают следующим образом:

^з.опт (/<*>)	Н М •	(9‘1

LT( —JCU)	| +

Физически реализуемая частотная передаточная функция
оказывается уже неоптимальной в прежнем понимании, но
среди физически реализуемых функций в соответствии с при-
нятым критерием она является наилучшей.

Таким образом, когда полезный сигнал и помеха не кор-
родированы, нахождение оптимальной физически реализуе-
мой частотной передаточной функции Й^.опт (/со) произво-
дится в следующем порядке:

1.	Вычисляем суммарную спектральную плотность управ-
ляющего сигнала и помехи и представляем эту сумму в виде
двух комплексных сомножителей:

Su (со)“Sg(w) + (со) = V(/со) Т(—/со)

2.	Выделяем составляющую 1/Чг(/со).

3.	Раскладываем на простейшие слагаемые выражение
5/со) //(/со)/^—/со) = М//со)/Р(/со) + М2(/<о)/Р(—/со) и,
отбрасывая члены с полюсами, расположенными в нижней по-
луплоскости корней, т. е. М2(/со)/Р(—/со), выделяем из него
физически реализуемую часть Л1л(/<»)/Р(7со).

4.	Определяем оптимальную физически реализуемую ча-
стотную передаточную функцию системы:

(/«) = М. (/со)/'? (/со) Р (/со).	(9.121)

Можно показать, что при наличии взаимной корреляции
полезного сигнала и помехи оптимальная частотная переда-
точная функция

W3 опт (/со) =—L— Г	н (/-со)]. (9.122)

з.опти т(уи)	V(—/со)	J

где V(/co) V (—/со) = Su (со) = S/со) + S g/(/co) + Sy//со) +
+ S/co); Sg//co), S/g(/co) — взаимные спектральные плот-
ности управляющего сигнала и помехи.

Оптимальную передаточную функцию 1Г3.О11Т (s) полу-
чают по найденной оптимальной частотой передаточной функ-
ции 173,ОПТ (/со), подставляя в последнюю s вместо /со.
Затем в соответствии с полученной передаточной функцией
уу опт (s) выбирают элементы системы. Если часть элемен-
тов задана и изменить их параметры не представляется воз-
можным, то в таких случаях задача сводится к выбору пара-
метров корректирующих цепей при найденной отпимальной
передаточной функции системы управления в целом и извест-
ных передаточных функциях отдельных заданных элементов
системы.

В системе, имеющей оптимальную передаточную функцию,
получается теоретически достижимый минимум среднего квад-
рата ошибки:

ОО

= J {|HG«)|25,(W)-|U73.onT(/co)|2Su(<o)}d<o. (9.123)

Пример 9.6. На входе следящей системы действует случайный по-
лезный сигнал G (Z), имеющий спектральную плотность

Se (со) = 2Dg 7'g/(l 4-со2 7'|) = Sg (0)/(1	Г»),

где Sg (0) = 2Dg Tg — значение спектральной плотности полезного
сигнала на нулевой частоте.

На полезный сигнал наложена случайная помеха F (t) типа сбе-
лый шум», спектральная плотность которой равна Sy (со) = Sy (О) —
= N, где Sy (0) — значение спектральной плотности помехи на нуле-
вой частоте. Корреляция между полезным сигналом и помехой отсутст-
вует.

Требуется определить оптимальную передаточную функцию следя-
щей системы и соответствующую ей дисперсию суммарной ошибки.

I.	Вычисляем спектральную плотность суммарного входного сиг-
нала U (/) = G (/) + F (?) и представляем ее в виде произведения ком-
плексных сомножителей:

Su (ы) — Sg (со) + Sy (ы) =

Se (0)+Зу (0) (1 -j-со3 Г»)
1+соаГ|

-Ч'(усо) Ч'(-усо).

2.	Определяем Ч' (усе) и Ч' (—/со). для чего раскладываем полу-
ченное выражение иа комплексио-сопряжеииые множители:

SS (O) + Sy (0) (1 +си2 Г»)
~	1+<и2 Т*

= (Sg(O) + Sy (0)]

(1 + jcoa) (1 — /соа)

(1 +/<oTg) (1 — faTg)

где a=rfi/-|/1+p; p = Se (O)/Sy (0).
Следовательно,

_ ------------------ 1 4- jo а

¥ (/со) = VSS (0) + Sj (0)  J-

1 4-/co7f

5е(со)

3. Находим составляющую —-------—

V ( - /со) = Vse (0) + Sf (0)	-:/М“ .

1	— /со Tg

Н (]Ч>). В нашем случае для
следящей системы Н (/со) = 1, поэтому получаем

Sg (со) н ~	Sg (0) (1 — jayTg)_____

V (- /со)	(I + со» Г») VSe(0) + S/ (0) (1 - /соа)

==._______________Sg (0)_______________

УSg“(0) + $/ (0) (1 4- /со Tg) (1 - /со а)

4.	Раскладываем последнее выражение на простые слагаемые:

5g (со) и	Sg (0)	/ Tg 1	а______I \ =

¥( —/со) /<0 У5г (0)4-5/ (0) \«4-Гв 1 4-/соГг 14-Te 1—/соа/

_ A*i (/co) M, (ja>)
~ P(/co) + /’( — /co) '

отбрасывая члены с полюсами, расположенными в правой полуплоско-
сти, выделим физически реализуемую часть:

м, (ju) = Sg (0)______________Tg 1

(/СО)	уse (0) 4-5/ (0) о + гв 1+/соТг

5.	Находим оптимальную частотную передаточную функцию физи
чески реализуемой системы:

._____1	(/<>)	Sg (0)

1т д ОПТ 0^) ~~~	'	““ ’г

V(/co) /’(/со) Sg (0)4- 5/(0)

Tg 1	к

-----2----- ----	—		--
a4-T"g----------------------14-/соа	14-/соТ

где _ Ss (°)Те _ р____________________________________

^s(0)4-S/(0) а4~Т\	(1 4-Р) (1 4-1/У1 4-Р)

_]___i/1/fTjTp__ коэффициент усиления замкнутой оптимальной

системы; Т — а — Tg/^/l 4- Р — постоянная времени замкнутой оп-
тимальной системы.

6.	Подставляя в последнее выражение з вместо /со, находим опт-и
мальную передаточную функцию замкнутой системы:

^8.ОПТ(s) = K/(14-s7’)-
Подставляя числовые значения коэффициентов, получаем

K = l —1/V1 + 2-100-20/0,01 = I — 0,00156 = 1 1/с;

Т = 20 1/1+2-100-2/0,01 = 0,032 с.

Следовательно, в нашем случае оптимальная передаточная функция
замкнутой системы

ьопт (s) = 1/(1+ sT).

7.	Определяем оптимальную передаточную функцию разомкнутой

Ч^опт (5) = Ч^з.опт (s)/( 1	опт (s)J = l/(sT).

8.	Определяем передаточную функцию замкнутой системы по
ошибке:

^йеопт (s) = 1 /[ 1 + И70ПТ (3)] = sT/( 1 + sT}.

9.	Определяем спектральную плотность ошибки:

(“) = | «’’геопт (/“) |2 Sg (“) + । «’’з-опт (/о) |» Sf (со) =

= [Г2 ш2/( 1 +<о2 Щ [2Dg Tg/(1 + со2 7|)] + JV/( 1 + со2 П).

Ю. Определяем дисперсию ошибки:

ОО

f Se^)d^ = DsTf(T + Tg) + N/(2T)^

--• ОО

= 100-0,032/(0,032 + 20)+ 0,01/(2-0,032) =0,316.

Средняя квадратическая ошибка, совпадающая в данном случае со сред-
ним квадратическим отклонением, равна

ес к = 0е = -|/'^= 1/0^16 = 0,562 В.

Оптимальный фильтр Винера. В тех случаях, когда иа
входе системы автоматического управления (см. рис. 9.16) дей-
ствуют полезный сигнал G(Z) и помеха F(t), которые являются
коррелированными между собой стационарными случайны-
ми процессами с равными нулю средними значениями, опти-
мальная импульсная переходная функция системы &опт (/),
удовлетворяющая условию физической реализуемости lk(t) —
~ 0 при t< 0J и обеспечивающая минимум средней квадра-
тической ошибки, должна удовлетворять следующему инте-
гральному уравнению:

$	=	(9.124)

--ОО
где /?„(т) = /?г(т) + /?у(т) +	+ Rfg(T) — корреля-

ционная функция суммарного входного сигнала L/(t) = G(t) +

1 г

+ F(t)-, Rzu (т) = lim ~ j z(t) и (J + т) dt — взаимная кор
реляционная функция воспроизводимого выходного сигнала
Z (?) и суммарного входного сигнала U (/).

Уравнение (9.124) было получено Н. Винером в 1949 г. и
называется интегральным уравнением Винера — Хопфа.

На основе решения уравнения (9.124) Н. Винером была
предложена общая формула для нахождения реализуемой оп-
тимальной частотной передаточной функции (оптимального
фильтра Вннера)

«73.опт (/со) = —J,.- С е - dt f	ei-‘ da, (9.125)

2лТ(/ш) J	J	Ч( — /ш)

0	— oo

где Szu (/co) = Szg (/co) + Szf (/co) — взаимная спектральная
плотность воспроизводимого выходного сигнала Z(t) и сум-
марного . входного сигнала U(t), причем Т(/со) V (—/со) =
= 1'Е(/со)|2 = Su(co) = Sg(co) + Sy(co) + Sgf(]a) + SZg(/co).

Следует обратить внимание, на то, что в (9.125) нижний пре-
дел внешнего интеграла должен быть равен нулю.

Если корреляция между управляющим сигналом и поме-
хой отсутствует, то при применении (9.125) следует учесть,
что

Sgf (7ю)	№ = S4 (7ю) = °-

(9.126)

На основе общей формулы (9.125) как частные случаи могут
быть получены выражения для оптимальных частотных пере-
даточных функций систем (оптимальных фильтров), осущест-
вляющих при наличии помех воспроизведение полезного сиг-
нала, статистическое упреждение (предсказание), дифферен-
цирование и другие линейные преобразования управляющего
сигнала в соответствии с (9.107).

Например, если рассматривают задачу воспроизведения
полезного сигнала при наличии помех, то преобразующий опе-
ратор H(s) = 1, тогда

Z (/) = G (/) Su (со) = Sg (со) + Sf (со) + Sgf G'co) +

4- Sfg (ja)\

s>u (/“) = 5eu (/“) = Sg (°) + Sgf (/“)•
В этом случае (9.125) может быть представлено в более
простом виде:

Г3.0пт (/'“) = в	(9.128)

Чтобы найти числитель выражения (9.128), разложим
Seu(jco)/'E (—/<о) па простые дроби:

,. . я	я ,	ц

2*^ = У —+ у _!—+ у _££___ (9.129)

Ф(—/со)	<±>— Ч	«”* [Ш-Т];	ш -|- у;

где — полюсы 5ги(/ш), расположенные в верхней полу-
плоскости; г); — полюсы Sgu (/со), расположенные в нижней
полуплоскости; у,- — нули Т(—/со).

Затем, отбрасывая слагаемые, имеющие полюсы в нижней
полуплоскости, получим

я

В(/ц)=2~;	f9J3°)

где коэффициенты а, определяют по формуле

а( =Кш-Х!)5ги(/ш)/Т(-/ш)]и_Х(.	(9.131)

Формулы (9.129) и (9.131) относятся к тому случаю, когда
отношение Sgu (/<o)/4f(—/со) не имеет кратных полюсов.

Если это отношение имеет кратные полюсы, то методика
определения В(/со) остается прежней, но формулы разложения
Seu(/co)/4f(—/со) на простые дроби будут другими.

Частным, ио весьма важным и распространенным на прак-
тике является случай, когда помеха является белым шумом со
спектральной плотностью S/(co) = S/(0) = const, а спект-
ральная плотность управляющего сигнала S g(co) описывается
дробно-рациональной функцией

Sg (со) = Gt (со2),	(9.132)

где порядок G2(co2) превышает порядой Gj(co2).

Полезно запомнить, что в этом случае оптимальная час-
тотная передаточная функция может быть определена сле-
дующим образом:

^З.оп, О) = 1 - 1<М0) /Ч (ju).	(9.133)

Пример 9.7. Условия задали такие же, как в примере 9.6. Опреде-
лить оптимальную частотную передаточную функцию системы.

Так как спектральная плотность помехи

Sf (со) = S/ (0) = N ~ const,
а спектральная плотность полезного сигнала

Sg (ш) « Sg (0)/( 1 + <о2 Т*) = 2Dg 7g/( 1 + и2 Г|),

то оптимальная частотная передаточная функция может быть опреде-
лена по (9.133)-

^з.опт (/ы) = 1 - ys77O)/T (/ш).

Подставляя в выражение для 1^3.опт (/ш) значение

Т (/w) = l/Sg^ + SyCO) (I + /<оа)/(1 +/co7g),

найденное в примере 9.6, получаем

^З.опт (/w) — I

ySz(O) l+/co7g
ysg(0)+s/(0) l+/wa

У5е(0) + 5/(0) + У5у(0)	. aySgCO + SHOJ-TgySHO)

1г"---------------г/w-— -—----------

ySg (0) + Sf (0) (1 +/©«)	Vsg (0) + sz (0) (1 + /<oa)

Так как (см. пример 9.6)

«=ту У Г+р = Tg ys^/ySg(0)+sz(0),

то второе мнимое слагаемое равно нулю и поэтому оптимальная частот-
ная передаточная функция системы

«7	- ysgiO)+S/(Q)-ysT(6j

^а.опт	—---------- =s

ySg(0) + S/(0)(l+ja>a)

1

1 joo

где p = Sg(0)/Sy (0).

Найденное выражение для ^з.опт (/w), как и следовало ожидать,
полностью совпадает с результатом, полученным в примере 9.6.

Основополагающие результаты Н. Винера были получены
1для случая, когда ко входу линейной системы приложены ста-
ционарные случайные воздействия с равными нулю средними
значениями (центрированные случайные процессы).

В результате дальнейшего развития и обобщения методов
синтеза динамических систем при случайных воздействиях
были разработаны, например, методы синтеза при случайных
воздействиях, приложенных в разных точках системы; ме-
тоды синтеза при одновременном воздействии на систему ре-
гулярных и случайных сигналов; методы синтеза систем с ог-
раниченной длительностью переходного процесса (с «конечной
памятью»); методы синтеза систем, содержащих случайные
параметры; методы синтеза систем при нестационарных слу-
чайных воздействиях; методы синтеза нелинейных систем, в
том числе с применением цифровых вычислительных машин,
и т. Д.

В последнее время при расчете систем, находящихся под
воздействием случайных (в том числе и нестационарных)
процессов, широкое применение нашла теория оптимальных
фильтров, разработанная Р. Калманом и Р. Бьюси.

Оптимальный фильтр Калмана—Бьюси. Нахождение оп-
тимального фильтра Винера основывалось на использовании
интегрального уравнения Винера — Хопфа, при решении
которого стационарные случайные процессы рассматривались
в частотной области. В 1960 г. Р. Калман и Р. Бьюси рассмот-
рели проблему линейной фильтрации во временной области
и, используя концепцию «пространства состояний», пред-
ложили новый эффективный метод синтеза оптимальных сис-
тем по критерию минимума математического ожидания квад-
рата случайной ошибки, применимый как для стационарных,
так и для нестационарных марковских случайных процессов.
Так как в основе используемой Калманом и Бьюси концепции
«пространства состояний» лежит предположение о том, что
случайный процесс является марковским, то их подход к син-
тезу оптимальных линейных систем иногда называют марков-
ской теорией оптимальной линейной фильтрации.

Описывая все случайные процессы не с помощью корреля-
ционных функций или спектральных плотностей, a d помощью
дифференциальных уравнений или уравнений состояния,
Калман и Бьюси показали, что при случайных воздействиях
оптимальная линейная система (оптимальный фильтр Кал-
мана — Бьюси) должна удовлетворять некоторой системе неод-
нородных линейных дифференциальных уравнений. Нахожде-
ние оптимальной системы по этим дифференциальным уравне-
ниям намного легче, чем по интегральным уравнениям
Винера — Хопфа, особенно в случае нестационарных слу-
чайных процессов.

Вывод уравнений оптимального фильтра был выполнен
Калманом и Бьюси для многомерных случайных процессов.
Познакомимся с основной идеей метода Калмана — Бьюси на
примере более простых, но часто встречающихся на практике
одномерных фильтров.

Допустим, что синтезируемая система должна воспроизво
Дить некоторый сигнал Z(t), представляющий собой в общем
случае нестационарный случайный процесс. Пусть на входе
системы кроме этого сигнала действует также помеха F(f),
представляющая собой в общем случае нестационарный слу-
чайный процесс типа «белый шум» с нулевым средним значе-
нием. Таким образом, суммарный входной сигнал

(/(/) = Z(/) + £(/).

(9.134)

Для вывода уравнения одномерного оптимального фильт-
ра Калмана — Бьюси существенным является то, что слу-
чайный процесс Z(t) должен быть сначала представлен диффе-
ренциальным уравнением первого порядка следующего вида:

dZ{f)/dt = A(t) Z (t) + V(t),

(9.135)

где A (/) — некоторая функция времени, зависящая от ста-
тистических характеристик случайного процесса Z(/); V(f) —
нестационарный случайный процесс типа «белый шум» с ну-
левым средним значением.

Корреляционные функции нестационарных случайных
процессов V(j) и F(t) имеют вид

/?„ (/, т) =7И [V (О V (т)] = L (Л S (t — т);
R„ (t, r)~M[F (/) F (т)1 = TV (0 6 (t —т);
RBf(t, 0=°.

(9.136)

где L(f) и ?/(/) — непрерывные, непрерывно дифференцируе-
мые функции времени, причем

L(t) > 0; W (0 > 0.

(9.137)

В частном случае для стационарных случайных процессов
V(t) и F(i) их корреляционные функции

R„ (т) = L6 (0; Rf (т) = М (fl; Rvl (т) = 0.	(9.138)

где L = const; /7 = const.

Если случайный процесс на выходе системы равен X(t), то
случайная ошибка системы E(t), равная разности между вос-
производимым сигналом Z(t) и выходным сигналом X(f), имеет
вид

E(t) = Z(f) - X(t).

(9.139)

Калман и Бьюси показали, что оптимальная система (оп-
тимальный фильтр Калмана — Бьюси), обеспечивающая в
любой момент времени t > t0 воспроизведение сигнала Z(f) при
минимуме математического ожидания квадрата случайной
ошибки, должна описываться неоднородным дифференциаль-
ным уравнением вида

dX(f)/dt = Q(t) X(t) + С(/) U(t).	(9.140)
Таким образом, при синтезе оптимального фильтра Кал-
мана — Быоси задача сводится к нахождению таких функций
времени Q(f) и C(f) в дифференциальном уравнении (9.140),
при которых обеспечивался бы минимум математического ожи-
дания квадрата случайной ошибки, т. е.

М[{£(/)}*] = M[{Z(/) - Х(/)}2] = min. (9.141)

Предполагая, что случайный процесс Z(Z) представлен в виде
(9.135), приведем без доказательства формулы для нахождения
функций Q(t) и С(0, при которых обеспечивается минимум
(9.141).

Прежде чем определить функции Q(t) и C(t), находят неко-
торую функцию времени <(/), равную математическому ожида-
нию квадрата случайной ошибки (дисперсии ошибки):

r(t) =	(9.142)

она определяется как решение следующего дифференциаль-
ного уравнения Риккати:

dr{f}/dt = L(Z) + 2Л(0 г(0 —	(9.143)

Для решения (9.143) нужно знать начальное значение
r(t0) при ta — 0. Обычно X(Z„) = 0, поэтому

£(U=Z(U-X(f0)=Z(t0);

г (U = М [{£ (i0)}2] = М [{Z (f0)}2] = /?„ (ta, tB). (9.144)

После нахождения функции r(t) определяют функцию
C(t) по формуле

С(/) = r(tmt)	(9.145)

и функцию Q(t) по формуле

Q(t) = A(t) - C(f).	(9.146)

Наиболее сложным этапом синтеза оптимальных фильтров
методом Калмана — Бьюси является решение уравнения
Риккати (9.143). В общем случае оно требует применения
ЭВМ.

Важное самостоятельное значение имеют также вопросы
исследования существования решения уравнения (9.143), его
единственности и устойчивости.

Учитывая (9.146), уравнение оптимального фильтра Кал-
мана—Бьюси иногда записывают в следующем виде:

dX(f)!dt = A(t) X(t) + C(t) [U(f> — X(t)].	(9.147)
Дифференциальному уравнению (9.140) соответствует
структурная схема оптимального фильтра, показанная на
рис. 9.19, а; дифференциальному уравнению (9.147) соответ-
ствует структурная схема, показанная на рис. 9.19, б. Та-
ким образом, оптимальный фильтр Калмана—Бьюси можно рас-
сматривать как некоторую динамическую систему с обратной
связью, имеющую структурную схему, приведенную либо на
рис. 9.19, а, либо на рис. 9.19, б. Естественно, что обе эти
структурные схемы эквивалентны.

Для нестационарных случайных процессов функции А (/),
C(t), Q(i) зависят от времени и оптимальный фильтр Калмана—
Бьюси получается нестационарным.

Для стационарных случайных процессов функции A(t) =
= А, а также в установившемся режиме функции C(t) = С;
Q(0 — Q = А — С не зависят от времени, поэтому оптималь-
ный фильтр Калмана—Бьюси в этом случае является стацио-
нарным, определяемым дифференциальным уравнением с по-
стоянными коэффициентами

dX(t)ldt = (А — С) X(t) + CU(t). (9.148)

Система описываемая (9.148), будет в установившемся ре-
жиме воспроизводить на своем выходе стационарный случай-
ный сигнал Z(t) с минимальной средней квадратической ошиб-
кой.

Рис. 9.19
Естественно, что для ста-
ционарных процессов резуль-
таты, полученные методом
Калмана—Бьюси и методом
Винера, совпадают. Уравне-
ние (9.148), полученное во
(временной области, эквива-
лентно оптимальному фильт-
ру Винера, определяемому в
частотной области уравне-
нием (9.125).

Рис. 9.20

Остановимся кратко на очень существенном для фильтров
Калмана—Бьюси вопросе о возможности представления слу-
чайного процесса Z(f) в виде дифференциального уравнения
(9.135).

Нахождение (9.135) связано с задачей определения форми-
рующего фильтра (стационарного или нестационарного), ко-
торый при воздействии на его вход белого шума V(f) позволяет
получить на своем выходе заданный случайный процесс Z(Z).
Структурную схему такого формирующего фильтра в соот-
ветствии с (9.135) можно представить так, как показано на
рис. 9.20.

Для стационарных случайных процессов методы определе-
ния параметров формирующих фильтров разработаны хорошо.
В этих случаях формирующий фильтр можно описать обык-
новенным дифференциальным уравнением с постоянными ко-
эффициентами или соответствующей передаточной функцией
формирующего фильтра (s). Особенно просто находится
передаточная функция формирующего фильтра в том случае,
когда выражение для спектральной плотности S2 (со) стацио-
нарного случайного процесса Z(/) имеет вид дробно-рациональ-
ной функции частоты, т. е. когда выражение для спектральной
плотности может быть представлено в виде произведения двух
комп лек сно-сопр яжен ных множителей:

S; (и) = S1(/co)	/со).

(9.149)

Пусть на входе формирующего фильтра действует стацио-
нарный случайный сигнал V(t) типа «белый шум», имеющий
спектральную плотность Sp(co) = L, тогда спектральная плот-
ность сигнала на выходе формирующего фильтра

S, (<о) = |	(»|а S, (со) -	</со) If ф (- /со) S, (со).
Учитывая (9.149), можно записать

$1 О) $1 (-» = [И-sn^j (/<□)] №Ф ( - /ш)],
откуда частотная передаточная функция формирующего
фильтра

WФ (/и) = 5» (»/Ks7(7) = St (/ш)/]/Г	(9.150)

Подставляя в последнее выражение s = /<о, получаем вы-
ражение для передаточной функции формирующего фильтра

Гф(5)==51(з)/КГ	(9.151,

Зная передаточную функцию формирующего фильтра,
находим дифференциальное уравнение вида (9.135), связываю-
щее случайные процессы Z(t) и И(/)-

Если спектральная плотность S'z (со) не является дробно-
рациональной функцией частоты или получена эксперимен-
тально, то для нахождения формирующего фильтра ее нужно
сначала аппроксимировать дробно-рациональной функцией ча-
стоты.

В заключение следует отметить, что если входные воздей-
ствия являются стационарными случайными процессами, то
метод Калмана—Бьюси не имеет преимуществ перед методом
синтеза оптимальных фильтров Винера. Этот метод в основном
применяют для синтеза оптимальных нестационарных линей-
ных фильтров.

Ои позволяет также достаточно просто находить струк-
туру и параметры оптимального фильтра и в том случае, ког-
да воспроизводимый сигнал Z(t) описывается полиномом со
случайными коэффициентами:

Z (/) — а0 4- t + ... Ч-йп

где а0,	....ап — случайные величины с известными статис-

тическими характеристиками.

Синтез оптимальных линейных фильтров Калмана—Бью-
си, проведенный первоначально для помехи в виде белого
шума, был в дальнейшем развит на более общие случаи, на-
пример иа случай коррелированных’ помех, имеющих нерав-
номерную спектральную плотность, на случай нелинейной
фильтрации и др. Заметим, наконец, что оптимальные фильт-
ры Калмана—Бьюси, как и оптимальные фильтры Винера,
позволяют решать не только задачу оптимального воспроизве-
дения сигнала на фоне помех (фильтрации), но и задачи ста-
тистического упреждения, статистического дифференциро-
вания и т. д.

Пример 9-8- На входе линейной следящей системы действует ста-
ционарный случайный процесс G (/), спектральная плотность которого.

Sg (со) =Sg (0)/(1	Т|) =2Dg Tg/(1+ыг Г|)

ц случайная помеха F (£) типа «белый шум», имеющая спектральную
ПЛОТНОСТЬ

S/(<o) = S/(0) = W.

Числовые значения коэффициентов

Dg=100B2; Zg = 20c; W = 0,01 В/Гц.

Определить методом Калмана—Бьюси оптимальную передаточную
функцию системы, обеспечивающую минимум средней квадратической
ошибки.

1.	Так как система предназначена для воспроизведения полезно-
го сигнала G (t), то преобразующий оператор И (s) = 1, воспроизводи-
мый сигнал Z (t) — G (/) и, следовательно, Sz (со) = Sg (со).

В соответствии с (9.149) представляем выражение для спектральной
плотности Sg (со) в виде произведения комплексно-сопряженных сомно-
жителей

Sg (со) =Sj (/со) S1 ( —/со) = - -  .

1+/соТг
и находим

S, (/co) = Vs7(0)/( 1 + jcoTg).

2.	Рассматривая заданный стационарный случайный процесс G (/)
как реакцию некоторого формирующего фильтра на стационарный слу-
чайный процесс V (t) типа «белый шум», имеющий спектральную плот-
ность S„ (со) = L, находим частотную передаточную функцию этого
формирующего фильтра по (9.150):

^Ф (/«) =

S1 (/<0)

Vs„ (й)

1

1— jaTg

Vsg(O)

1 —i^Tg

3.	Находим передаточную функцию формирующего фильтра:

Гф(8)=£!0_=1/М£>_±_.

ф V(f) V L 1+sTg

4.	Полученной передаточной функции формирующего фильтра со-
ответствует следующее дифференциальное уравнение, связывающее
случайные процессы G (/) и V (t):

„ dG (/)	, Г Sg (0)	dGj(t)

аг	у L	at

-V-'G(0 +

1 g
Чтобы привести последнее дифференциальное уравнение к виду
(9.135), примем, что спектральная плотность белого шума равна
Sc (<о) = L = 2Dg/Tg, тогда (0)/£Г2 = 1 и окончательно слу-
чайный процесс G (/) можно представить как

dG {f)/dt = Лб (/) + V (О,

где А = — 1/Tg.

Соответствующая этому дифференциальному уравнению структур-
ная схема формирующего фильтра показана на рис. 9.21, а.

5.	Уравнение (9.143) в данном случае имеет вид

dr (t)/dt = L + 2Ar (/) — r2 (/)/7V.

При постоянных значениях коэффициентов A, L и N это диффе-
ренциальное уравнение является уравнением с разделяющимися пере-
менными и приводится к следующему виду:

J dr/(L + 2Ar—r2/N)—J dt = 0.

Интегрируя по общим правилам, получаем

1	. г -rlN + A~VA2 + LIN ] , . „

—	— In I ----------- — I —/= In Cj,

VAULIN [ — r/N-\-A-\-~\/A2-\-LIN J

где Cj — постоянная интегрирования.

Последнее выражение можно переписать следующим образом:

—г IN + А—УЛ24-£/1У	--------

in-----------Y	— = t VA2 + L/N.

( — r/N+A + yA2 + L/N)C

Новую постоянную интегрирования С находят из начальных усло-
вий при t = t0 = 0. В соответствии с (9.144), начальное значение дис-
персии ошибки г (4) = Rgg (Zo, /е) = Rg (0) = Dg, поэтому постоян-
ная интегрирования получается равной

с —Dg/N+A—-\/A2 + L/N
—Dg/N + A + ']/A2 + LiN

Таким образом, можно записать

( —г/Л/Ч-Л —ч/л2 + 1/У)(—ог/^ + л + т/л2 + £/л/)

( _г/N + Л + yA2 + L!N )(—Dg/N + Л—VA2+LlN)

= etVA*+LiN _

Учитывая, что L — 2Dg!Tg, А = —-1/Tg, и производя соответст-
вующие преобразования, окончательно получаем

г (0 = —	°’5Р<1 + УГ+р)-0.5р(1 + УТ+р)еР< ' (9 152)

тв (1 +0,5р-УТ^р) —(1 +0,5р+УТ+Ъ) е₽‘ ’	’.

где р = Sg (0}/Sf (0) — отношение спектральных плотностей воспро-
изводимого сигнала н помехи, на нулевой частоте.
Рис. 9.21

Подставляя в (9.152) /-><», находим выражение для дисперсии
ошибки в установившемся режиме:

_D _ 2L О.5р(1 + Т/Г+р)	_ 2Dg

8 те 14-0,5р + 1/14-р УТ+р+1

6.	В соответствии с (9.145) находим функцию С (/):

х	0.5р(1 -1/1 +р)-0,5 (1 +V1 +р)	. (д

(14-0,5р-УТ+£)-(1 +0,5р + 1/Т+р) е₽<

Из (9.153) находим начальное значение коэффициента С (0) (при
t = t0 — 0), т. е.

C(0) = p/27’g = Dg/N,

и значение коэффициента С (оо) в установившемся режиме (при <-> оо)
т. е.

С (oo) = p/[Tg (14- УТ+р)].
7.	Дифференциальное уравнение оптимального фильтра Калма-
на—Бьюси в соответствии с (9.147) имеет вид

dX (t)/dt = —X (t)!Tg + С (t)[U (f) — X (f)l<

Структурная схема, соответствующая этому дифференциальному
уравнению, приведена на рис. 9.21, б. Заменяя интегрирующее звено,
охваченное обратной связью, инерционным звеном, можно представить
структурную схему так, как показано на рис. 9.21, в. Используя эту
структурную схему и значения передаточных функций отдельных ее
динамических звеньев, определяем для установившегося режима пере-
даточную функцию замкнутой оптимальной системы:

^З.опт (®) = ГС (оо) Tg!(\ +s7g))/[l +С (оо) Tg!(\ +srg)J =К/(1 4-Ts),
где

к = C(oo)7"g = р= 	1	.

* + с (co)Tg	1 +р + 1/1 +р	УЧ-Р

т= Tg __________Tg________________ Tg 

i+c(oo)rg i+p/(i + уг+р) УГ+р

Полученное выражение для передаточной функции опти-
мального фильтра Калмана—Бьюси полностью совпадают с
выражением для передаточной функции фильтра Винера,
найденного в примерах 9.6 и 9.7.

Следует обратить внимание на то, что даже при стационар-
ных случайных воздействиях в переходном режиме оптималь-
ный фильтр Калмана—Бьюси является нестационарным, по-
скольку коэффициент С(() изменяется во времени.

§ 9.8. Случайные процессы в линейных
импульсных системах

Аналогом непрерывной реализации х,(/) случайного про-
цесса Х(7) для импульсных систем является дискретная (ре-
шетчатая) реализация Х[ [н] (рис. 9.22, а), представляющая
собой последовательность ординат, совпадающих с соответст-
вующим значением непрерывной реализации xt(t) в дискрет-
ные моменты относительного времени t = t/T = п, где Т —
период квантования.

Совокупность решетчатых реализаций X; [и] называют диск-
ретным (решетчатым) случайным процессом Х[и1. Дискретные
случайные процессы, по аналогии с непрерывными случай-
ними процессами, могут характеризоваться такими статис-
тическими характеристиками, как математическое ожидание
(момент первого порядка), корреляционная функция (момент
второго порядка) и т. д.

Математическое ожидание и корреляционная функция (а
также любые моменты т-го порядка) дискретного случайного
процесса равны математическому ожиданию и корреляцион-
ной функции (моменту т-го порядка) соответствующего не-
прерывного случайного процесса, взятым в дискретные мо-
менты времени t — п. 

В дальнейшем будем рассматривать стационарные эрго-
дические случайные процессы. В этом случае среднее значение
по множеству (математическое ожидание) равно среднему зна-
чению по времени, которое определяется следующей суммой:

___ j	"

тх=х [nJ = lim ——У х [п],
2N 1

п = —/V

(9.154)

где х [п] — любая реализация дискретного случайного процес-
са.

Среднее значение квадрата стационарного случайного про-
цесса (с равным нулю средним значением) называют диспер-
сией дискретного случайного процесса:

N

Dx = lim —--------- У ха[п].

“ w-»oo 2УУ4-1

(9.155)
Корреляционной функцией стационарного дискретного
случайного процесса (с равным нулю средним значением)
X In] является неслучайная дискретная (решетчатая) функция

1	N

Rx [zn] — lim----- V x ]n] x [n + m],	(9.156)

w-к» 2W4-1
n = — N

где m = 0, 1, 2, ... —дискретные значения относительного
времени.

Дискретная корреляционная функция обладает следующи-
ми основными свойствами:

1.	Начальное значение дискретной корреляционной функ-
ции (при т — 0) равно дисперсии дискретного случайного про-
цесса:

,	п

/?а[0]= lim  - У ха[п]=Оя.

2Л-Ц

2.	Дискретная корреляционная функция при т — 0 дости-
гает наибольшего значения:

Rx [0] > Rx [mj.

3.	Дискретная корреляционная функция является четной:

Rx [пг] = 7?я[—т].

При наличии двух дискретных случайных процессов.,
Xin] и Gin], вводят понятие взаимной корреляционной функции,

N

R [пг] = lim —- У х [п] g [п + пг], (9.157)

2N +1

п=» —П

свойства которой схожи со свойствами взаимной корреляцион-
ной функции для непрерывных случайных процессов. Так,
например,

[пг] = Ягя[ —пг],

а в случае, если Х[п] и Gin] статистически независимы (взаим-
но некоррелированы), имеем	,

Rxg [пг] = Rgx [ — пг] =0.
Спектральная плотность дискретного случайного процесса
по аналогии с обычной спектральной плотностью находится
как дискретное преобразование Фурье от ординат дискретной
корреляционной функции:

!-	S;Q= 2	(9.158)

/П= — оо

где <о — ыТ — относительная круговая частота.

Спектральная плотность S*(co) дискретного случайного
процесса связана со спектральной плотностью Sx(a>) соответ-
ствующего ему непрерывного случайного процесса:

5;(ф)= 2 5ж(й + 2лг).	(9.159)

—ОО

Из (9.159) видно, что спектральная плотность дискретного
случайного процесса является периодической функцией ча-
стоты со.

Графики типичной корреляционной функции Rx [/и]
дискретного стационарного случайного процесса и соответст-
вующей ему спектральной плотности 5* (со) приведены на
рис. 9.22, б, в.

Взаимную спектральную плотность двух дискретных слу-
чайных процессов можно определить через взаимную корре-
ляционную функцию:

= J Rxs [«] е-/™.	(9.160)

т = — со

Корреляционные функции и спектральные плотности диск-
ретного случайного процесса связаны следующими зависи-
мостями:

Л

/?ж[т] = —J Sx (со) cos amdtol	(9.161)

о

л

RXg Ьп] = —— I s;g(/«)e/“mcfco (9.162)
ZJl j

— Л

На основании (9.161) полагая tn = 0, получаем

л

Ds = Rx [0] = — f S* (й) d®.	(9.163)

n J

0
Из (9.163) видно, что дисперсия дискретной случайной
функции пропорциональна значению интеграла от 0 до л от ее
спектральной плотности.

Методы расчета импульсных систем автоматического управ-
ления при случайных воздействиях аналогичны методам рас-
чета непрерывных систем. Как и в непрерывных системах
(см. § 9.6), каждую координату линейной импульсной сис-
темы можно представить в виде двух составляющих: экви;
валентной регулярной составляющей и центрированной слу-
чайной составляющей. Каждую из составляющих находят
отдельно, а затем на основании принципа суперпозиции скла-
дывают. По аналогии с непрерывными системами чаще всего
при практических расчетах используют зависимости между
спектральными плотностями дискретных случайных сигналов
входной величины G[n] и ошибки Е[п].

Рассмотрим линейную импульсную систему, дискретная
передаточная функция которой, связывающая входной сигнал
в ошибку, равна Wge(z). Пусть на вход этой системы поступает
стационарный случайный процесс G(t), равный G(Z) = mg +
+ G(t), где mg = const — математическое ожидание (среднее
значение) стационарного случайного процесса; G(Z) — цент-
рированная составляющая случайного процесса. Для центри-
рованной составляющей случайного процесса должна быть
задана спектральная плотность Sg(a>), зная которую, ^можно
определить по (9.159) спектральную плотность Sg(co).

Тогда дискретная спектральная плотность SJ (со) ошибки
импульсной системы определяется по формуле

s; (й) = | wee (/й; Г s; (й),	(9.164)

где Wge — Wge(z)l?_ f- — частотная передаточная функ-
ция замкнутой импульсной системы по ошибке.

Зная спектральную плотность ошибки 5ё(со), можно по
(9.163) определить дисперсию ошибки D с.

Регулярная составляющая (математическое ожидание) дис-
кретной случайной ошибки в данном случае определяется
через частотную передаточную функцию замкнутой импульс-
ной системы по ошибке:

те = WgB (0) mg = const.

(9.165)
в общем случае, когда эквивалентная регулярная состав-
ляющая входного сигнала mg(t) (включающая в себя как
математическое ожидание входного случайного процесса, так
и регулярный внешний сигнал) изменяется во времени, регу-
лярная составляющая ошибки zzijn] также будет изменяться
во времени.

Регулярную составляющую дискретной ошибки zn£[n],
обусловленную, например, действием регулярного входного
сигнала mg(t), можно определить, используя различные спо-
собы. В общем случае по известной дискретной передаточной
функции Wz₽e(z) сначала находят Z-изображение регулярной
составляющей ошибки mt(z), а затем находят регулярную
составляющую (оригинал) ошибки, вычисляя интеграл обра-
щения с помощью теоремы вычетов.

При медленно изменяющемся входном сигнале me(t) уста-
новившееся значение регулярной составляющей ошибки zzijzil
можно определить, например, способом, аналогичным спо-
собу коэффициентов ошибок для непрерывных систем, разла-
гая изображение регулярной составляющей ошибки zzie(z)
в степенной ряд.

Расчет дисперсии по формуле (9.163) существенно упро-
щается в тех случаях, когда случайная функция G(t) представ-
ляет собой центрированный случайный процесс, эффективное
время корреляции которого меньше периода квантования.
В этом случае считают, что

Rg [ml = 0 при |т| > Т,
и представляют случайный процесс как белый шум с корреля-
ционной функцией

Rg [m] = Rg [0] 60[zn],

где R g(0) = D e — дисперсия входного воздействия; б0 [ш] —
единичная решетчатая импульсная функция, равная единице
при m — 0 и равная нулю при m 0. Этому белому шуму
соответствует спектральная плотность

S; (w)= R [0] = Dg.

При расчете замкнутых импульсных систем, на которые од-
новременно воздействуют полезный сигнал п помеха, часто
интересуются точностью системы, характеризующейся сред-
ним значением квадрата дискретной случайной ошибки и опре-
деляемой по формулам, аналогичным по своей структуре соот-
ветствующим формулам для непрерывных стационарных сис-
тем.

Например, если на вход импульсной системы поступают
случайные стационарные статистически не связанные (некор-
релированные) полезный сигнал G (I) и помеха F (/), то спект-
ральная плотность S2 (©) дискретной случайной ошибки

Si (®) = I WU (/й) Is S* (®) + I W]e Г S? (®),

где Se (о), Sf (со) — дискретные_спектральные плотности вход-
ного сигнала и помехи; Wge, (jco), Wfe (/со) — частотные пере-
даточные функции замкнутой импульсной системы, связываю-
щие соответственно полезный сигнал и помеху с ошибкой.

Дисперсию дискретной ошибки определяют через спект-
ральную плотность по формуле (9.163).

Среднее значение квадрата установившейся дискретной
ошибки

. е2 [nj = ml [п] +£е,

где т е [п] — эквивалентная регулярная составляющая ошиб-
ки; D е — дисперсия ошибки.

Аналитические вычисления по (9.165) в общем случае
являются достаточно трудоемкими, однако при определенных
условиях их можно свести к вычислению табличных стандарт-
ных интегралов, с помощью которых, аналогично тому, как
это делается для непрерывных систем, можно выразить зна-
чение дисперсии ошибки через параметры импульсной системы
и дискретных спектральных плотностей внешних воздействий.

Приведенные выше формулы записаны для дискретных
относительных моментов времени (моментов квантования),
соответствующих значениям п — 0, 1,2, ... . Однако они могут
быть записаны не только для моментов квантования, но и для
любого момента времени между ними (п + 0, где 0 < | < 1.
В последнем случае рассматривают смещенные дискретные
(решетчатые) функции х In, £], е In, £], соответствующие пере-
даточные функции импульсной системы Wex(ja>, |), W'/J/co,
I) и корреляционные функции Rxlm, £1, е 1/п, £].

Следует отметить, что имеются также аналитические мето-
да решения задач оптимизации импульсных систем при слу-.
чайных воздействиях, которые аналогичны методам оптими-
зации для непрерывных систем, однако они применимы только
для ограниченного класса систем и довольно громоздки. По-
этому на практике в большинстве случаев исследования им-
пульсных систем при случайных воздействиях проводят мето-
дами моделирования.

§ 9.9.	Нелинейное преобразование случайных сигналов

Нелинейные элементы в общем случае вызывают искаже-
ние входного случайного сигнала. В нелинейных системах
принцип суперпозиции неприменим, поэтому при одновре-
менном воздействии на систему, например, полезного регу-
лярного сигнала и случайной помехи из-за нелинейного пре-
образования этих сигналов помеха может значительно умень-
шить эффект действия полезного сигнала.

Допустим, что на вход нелинейного элемента поступает
случайный сигнал

+	(9.166)

где шв(() — математическое ожидание (среднее значение)
входного воздействия; У'(() — центрированная случайная со-
ставляющая входного воздействия.

Предполагая, что случайный процесс является стационар-
ным, т. е. my(t) — tny — const, рассмотрим, как будет иска-
жаться входной случайный сигнал при прохождении его,
например, через нелинейный безынерционный элемент с зоной
насыщения (рис. 9.23).

При малом уровне помех, когда входное воздействие не
выходит за пределы линейного рабочего участка, имеющего
угол наклона а, выходной сигнал равен

Х(«)=-/гУ(0 =k[mv + Y(t)]=mx+ X(t),	(9.167)

где k = tga—коэффициент усиления элемента; mx=kmy—
математическое ожидание сигнала на выходе элемента; Х(/) =
= kY(/) — центрированная случайная составляющая сигна-
ла на выходе элемента.

В этом случае среднее значение выходного сигнала тх про-
порционально среднему значению входного сигнала mv.

С ростом уровня помех, когда входное воздействие выхо-
дит за пределы линейного уч ютка, среднее значение выходного
сигнала уменьшается и при очень большом уровне помех ока-
зывается близким к нулю.

Таким образом, увеличение уровня помех, определяемого
дисперсией случайного входного сигнала, уменьшает полез-
ный сигнал на выходе нелинейного элемента, что эквивалент-
но уменьшению коэффициента преобразования нелинейного
элемента.

Одновременно с этим выходной сигнал обогащается как
высокочастотными, так и низкочастотными гармониками, т. е.
происходит изменение спектрального состава выходного слу-
чайного процесса по сравнению со спектральным составом
входного случайного процесса.

Допустим, например, что на нелинейный элемент типа насы-
щения поступает случайный сигнал, среднее значение которо-
го mv, а плотность вероятности w(y) соответствует нормальному
закону распределения (рис. 9.24).

Линейный участок характеристики в пределах ±Ь не ока-
зывает влияния на форму кривой плотности вероятности,
т. е. w(x) = w(y) при |у| < Ь.

Выходной сигнал нелинейного элемента не может превы-
шать уровня насыщения В, поэтому вероятность появления
сигнала, большего по абсолютной величине, чем В, равна пулю,
т. е. w(x) = О' при |у| > Ь.

Рис. 9.23
'Всем значениям входно-
го сигнала у > b или у < —b
будет соответствовать значе-
ние выходного сигнала х = В
или х = —В, поэтому вероят-
ность получения величины
В или —В на выходе нели-
нейного элемента сильно воз-
растает и становится равной
величине заштрихованной
площади под участком кри-
вой плотности вероятности
входного сигнала, лежащей
в пределах от у = b до у = со.
Это выразится в том, что
плотность вероятности выход-
ного сигнала щ(х) в точках
у = будет представлять
собой 6-функции, т. е. им-
пульсы бесконечно большой
величины и бесконечно малой
ширины, площадь S которых
равна заштрихованной пло-

щади под соответствующим	Рис. 9.24

(правым или левым) участ-

ком кривой плотности вероятности входного сигнала.
Таким образом, выражение для плотности вероятности вы-

ходного сигнала можно записать так:



при 1у1<&;

w{x) =

S(yTb) при | у | = Ь\

(9.168)

.0

при Ы > Ь.

Общая площадь под кривой плотности вероятности выходного

сигнала, естественно, остается равной единице, т. е. f w (x)da> =
= 1.

Исследование нелинейных систем, находящихся под воз-
действием случайных процессов, значительно сложнее, чем
линейных систем.

Общих точных методов исследования подобных систем нет,
и для изучения систем в этом случае обычно используют при-
ближенные методы.

с*
§ 9.10.	Статистическая линеаризация нелинейных
элементов

Наибольшее распространение в практике расчета нели-
нейных систем при случайных воздействиях получил при-
ближенный метод, называемый методом статистической ли-
неаризации, разработанный в 1954 г. одновременно И. Е. Ка-
заковым в СССР и Р. Бутоном в США.

Идея метода основана на приближенной замене нелиней-
ных преобразований процессов, происходящих в системе,
статистически эквивалентными им линейными преобразова-
ниями, при этом нелинейный элемент заменяется статистичес-
ки эквивалентным линейным элементом. В результате такой
замены система в целом линеаризуется и для ее исследования
можно применять аппарат линейной теории.

Возможны различные критерии статистической эквива-
лентности, которые могут быть положены в основу метода ста-
тистической линеаризации. В тех случаях, когда линеаризуют
безынерционный нелинейный элемент, у которого нелиней-
ная зависимость между входным y(t) и выходным x(f) сигналами
имеет вид

40 = Ф 1401.

(9.169)

где <р — статическая характеристика нелинейного элемен-
та, применяют следующие два критерия:

1.	Критерий равенства математического ожидания и дис-
персии случайного процесса на выходе нелинейного элемента
и эквивалентного ему линейного элемента.

2.	Критерий минимума математического ожидания квад-
рата разности случайных процессов на выходе нелинейного
элемента и эквивалентного ему линейного элемента.

Познакомимся с этими критериями, ограничиваясь рас-
смотрением только однозначных нелинейных характеристик,
которые могут быть либо нечетными, либо четными.

Напомним, что для нечетных и четных характеристик со-
ответственно справедливы соотношения

ф(—у) = — ф(у);

ф(—у) = ф(у)-

(9.170)

(9.171)
Случайные процессы на входе и выходе нелинейного эле-
мента могут быть представлены следующим образом:

У (t) = my(t) + У (ty,	(9.172)

X(0=mx(f)4-X(0,	(9.173)

где mv(t), tnx(t) — математические ожидания входного и вы-
ходного сигналов соответственно, включающие медленно ме-
няющиеся регулярные составляющие; У(£). Х(0 — центри-
рованные случайные составляющие процессов на входе и вы-
ходе нелинейного элемента соответственно.

Заметим, что для четных нелинейных характеристик, об-
ладающих выпрямляющими свойствами, математическое ожи-
дание mx(f) отлично от нуля даже при mv(t) == О

В общем случае для однозначной нелинейной функции
<р(г/) произвольного вида сигнал на выходе эквивалентного ли-
неаризованного элемента

U(t) = %+	(9.174)

где <р0 (лгв) — математическое ожидание нелинейной функции
<p(t/);	— эквивалентный статистический коэффициент уси-

ления по случайной центрированной составляющей.

Таким образом, в общем случае нелинейный безынерци-
онный элемент (рис 9.25, а) заменяют двумя безынерционными
элементами: нелинейным по математическому ожиданию
и линейным по случайной центрированной составляющей
(рис. 9.25, б).

В частном случае, когда нелинейный безынерционный эле-
мент имеет нечетную характеристику, функция <р0 может быть
представлена в виде

% == /г0Щв (О,	(9.175)

где k0 — эквивалентный статистический коэффициент усиле-
ния нелинейного элемента по математическому ожиданию (по
средней составляющей).

В этом случае нелинейный элемент можно эквивалентно
заменить двумя линейными элементами с коэффициентами уси-
ления k0 и &1 (рис. 9.26). Числовые значения этих коэффициен-
тов при заданной нелинейной зависимости <р определяются
значениями математического ожидания и дисперсии случайного
сигнала на входе нелинейного элемента.

Покажем сначала, как находят коэффициенты <р0, k0, в
случае статистической линеаризации, основанной на первом
a)

Рис. 9.25

Рис. 9.26

критерии статистической эквивалентности, состоящем в
выполнении равенства математического ожидания и диспер-
сии случайного процесса на выходе нелинейного элемента и
эквивалентного ему линейного элемента, т. е. когда

тх (0 = ти (0;	(9.176)

£>Х(0 = О„(0-	(9-177)

Принимая во внимание (9.174), получаем

Фо =	(0 = "Ч (0-	(9.178)

Для нечетных нелинейностей, учитывая (9.175), получим
k0 = тх (t)/my (t).	(9.179)

Чтобы найти статистически эквивалентный коэффициент
klt перепишем (9.177) следующим образом:

Dx (0 = Du (0 = М [{U (0Н = М [{At Y (0}2J + A? Dv (0,
откуда

А, = А)1’ = КДя(0/Ди(0 = ± ах (0/ок (0-	(9.180)

Обозначение А"’ показывает, что коэффициент kx найден
по первому критерию эквивалентности.

Статистические коэффициенты <р0, Ао и А|1’ можно также
выразить через нелинейную зависимость <р и плотность веро-
ятности w(y) случайного сигнала У(0 на входе нелинейного
элемента:

Фо—"4(0 = J ff(y)w(y)dy,	(9.181)
mx(f)

Av О -—•

my (0

—!— C <P (У) w (У) dy, (9.182)
mtJ (0 J

=-

VDy(t)

§ <Р2 (у) w (у) dy — ml (t)

2

. 9.183)

Знаки в (9.180) и (9.183) следует выбирать такими, чтобы
знаки Х(/) и 1/(0 совпадали.

Второй критерий статистической эквивалентности тре-
бует выполнения условия минимума математического ожида-
ния квадрата разности процессов на выходе нелинейного эле-
мента и эквивалентного линейного элемента, т. е.

ё2 =[М [{X (0— U (0)21 = min.	(9.184)

Подставляя в (9.184) значения X (/) и (/(/), определяемые
по (9.173) и (9.174), получим

е2 = М [{mx(t) + X(t)—<р0 —У(0)2] =min.

После выполнения операции возведения в квадрат и вы-
числения математического ожидания имеем

ё2 = ml (t) + Dx (f) + <ро + Dy (f) -

— 2<p0mx(t)—2ft1/?jc« (0) = min,	(9.185)

где mx(t) — математическое ожидание случайного процесса
на выходе нелинейного элемента; Dy(t) = M[{F(/)}2I, Dx(t) =
— Л41{Х»(0}21 — дисперсия центрированного случайного про-
цесса на входе и выходе нелинейного элемента соответственно;
Rx«y (0) = Dx°y (/) = MIX (/) Y (/)] — математическое ожида-
ние (среднее значение) произведения двух случайных функ-
ций X(rf) и Y(t), равное начальному значению взаимной кор-
реляционной функции Rx°y (0).

?!!<При заданных значениях тх (/), Dv (/), Dx(t), Rx°y(ty
величина е2 является функцией параметров <р0 и k±.

Значения <р0 и kx, при которых выполняется (9.184), най-
дем, если приравняем нулю частные производные функции
е2 по параметрам <р0 и kx. Имеем dea/dq>0 = 2<р0 — 2тх (t) =
= 0, откуда	'

<Ро = тх (0-

(9.186)
В случае нечетной нелинейной характеристики <р, учи-
тывая (9.175), получаем следующее выражение для коэффи-
циента k0:

k0 = тх (0-	(9.187)

Значение коэффициента kx находим из

д^/dk,	(0 — 2RX . (0) = 0,

откуда

^==М2’ (WDy(t) = Rx. k0)/^ (0).	(9.188)

Обозначение k\S) показывает, что коэффициент k± найден
по второму критерию эквивалентности.

Статистический коэффициент можно выразить также
через плотность вероятности ш(у) входного случайного сигна-
ла Y(t) и нелинейную зависимость <р, т. е.

сю

М2) = —-J—- f (у— my)<p(y)w(y)dy, (9.189)
иу \Ч J

где J {у —ту) <р (у) w (у) dy = х (0 у (t) = Dx . = Rx° (0).
— сю

Обычно значение коэффициента определенное из
первого критерия по (9.180), является несколько завышенным,
a fei8), определенное из второго критерия по (9.188), — не-
сколько заниженным, поэтому при расчетах рекомендуется
брать их среднее арифметическое значение, т. е.

^1 = (^’-|-^’)/2.	(9.190)

Сравнивая (9.178), и (9.179) с (9.186) и (9.187), видим, что
коэффициенты <р0 и k0 получаются одинаковыми при статисти-
ческой линеаризации как по первому, так и по второму
критерию.

Из (9.181), (9.182), (9.183) и (9.189) видно, что статистичес-
ки эквивалентные коэффициенты усиления зависят не только
от вида характеристики нелинейного элемента <р(с/), но и от
закона распределения (плотности вероятности) случайного
процесса на входе нелинейного элемента w (у).

При использовании метода статистической линеаризации
приближенно полагают, что закон распределения случайного
процесса является нормальным. Такое предположение можно
сделать потому, что при прохождении случайного сигнала с
любым законом распределения через линейные инерционные
звенья на выходе последних закон распределения случайного
сигнала оказывается близким'к нормальному. При этом чем
инерционнее система, тем закон распределения случайного
сигнала на ее выходе ближе к нормальному. Наличие нели-
нейного элемента в системе нарушает это, однако при доста-
точно узкой полосе пропускания линейной части системы име-
ется тенденция к восстановлению нормального закона распре-
деления.

При нормальном законе распределения плотность вероят-
ности однозначно определяется математическим ожиданием и
дисперсией случайного процесса, поэтому в этом случае ко-
эффициенты k0 и k± будут лишь функциями математического
ожидания ту и дисперсии Dy входного сигнала, т. е.

=	Dv)‘, kx = ki(my, Dy). (9.191)

То обстоятельство, что коэффициенты k„ и зависят
от параметров ту и Dy входного сигнала, отражено на
рис. 9.26 пунктирными линиями.

Формулы (9.181), (9.182), (9.183) и (9.189) при нормальном
законе распределения будут иметь следующий вид:

Фо — f Ф (У) —------e-<v ~my^2^2Du^ dy, (9.192)

J	1/2 л Du

— oo	u

/г0= — f <p(y)----------dy, (9.193)

my J	1/2л£>„

— 00	y

k\”	[ Ф2 W--------e~<tf	dy — md1/2;

~\/‘2nDy	J

(9.194)

fei2’ C (y —my) tp (y)	- e ~ ~myW<2Dv> dy. (9.195)

Dv J	V2nDy

Если умножить выражение (9.193) на ту, затем продиф-
ференцировать произведение komy по ту и сопоставить по-
лученное выражение с (9.195), то можно убедиться в выполне-
нии следующего равенства:

fe'i2) =*d (k0 my)/dmy =^dmx[dmy = dtp0Jdmy. (9.196)
Соотношение (9.196) может быть использовано как для на-
хождения коэффициента Л{2> вместо (9.195), так и для провер-
ки правильности определения коэффициентов q>0, k0 и k[2>.

Пример 9.9. Ва входе нелинейного элемента, имеющего статиче-
скую квадратичную зависимость х = <р (у) = ky2- между входным и вы-
ходным сигналами, действует случайный сигнал У(/) = tny -f-r (i),
имеющий нормальный закон распределения. Определить эквивалентные
статистические коэффициенты усиления <р0 и kty.

1.	Так как характеристика нелинейного элемента является чет-
ной, то в соответствии с (9.181) функция <р0 равна

ф0 = тх = М|Х(П)=М1Л{ГК))2|=*/И|Л [mv+r (/))2| =

- k (m*+Dv) <=kD,, (1 + m2/Du),

2.	На основании (9.196), дифференцируя полученное выражение
для фо, определяем коэффициент k'p:

fe<2>= ^,v/dmu — 1kmu.

Пример 9.10. На входе нелинейного элемента типа идеального
реле (рис. 9.27, о) с характеристикой

( В при «/>0;

х =<р («/) = В sign//= 1

( — В при у < 0

действует случайный сигнал Y (/) = ту (/) + f' (t), имеющий нормаль-
ный закон распределения. Определить эквивалентные статистические
коэффициенты усиления нелинейного элемента fe0, k4>.

1. Определяем эквивалентный статистический коэффициент усиле-
ния по математическому ожиданию k0 по (9.193), т. е.

ОО

feo=_L С

J У2лО„

— оо	J

0

т„1/2пО„ J

J	'— оо

оо

+—A— f
niyVijtDy J

Вводя обозначение
получаем

В
ко =
ту

X

где

2.
леи ня

У 2л



Vt



Ф (niy/'Y'D^)	:

у 2л

Определяем эквивалентный

fc<}>

У читывал.

получаем

е

dz —

---- X

У2п

---- [Ф (тв/Уг>в1,

ти

'у'У°у

по случайной составляющей по (9,183).

*<>= —1

что

w(y)dy=~ 1. и».

(9.198)

статистический коэффициент уси-

«»((/) dy — тгх

1/2

^kamu^2B<S>k!nylVDv}. 4>’=йг.

Л(,'>= -~=

VDy
3. Определяем эквивалентный статистический коэффициент усиле»
иия по случайной составляющей по (9.195):



. 41(0

V‘2.nDy

В

V 2лОу

О

J (,-ту)е-(е-т^(2в^+
— оо

В___

Dy V^Dy

Учитывая (9.197), получаем

о

2В ~ml,(2Dv}

-----— е

Dv ~\/ 2л

(9.200)

Из (9.198), (9.199) и (9.200) видно, что при нормальном за-
коне распределения коэффициенты k0. kfl) и k\a} выражают-
ся через функцию Крампа (нормированный интеграл плот-
ности вероятности)

Ф (х) = (1	2л ) J е ~г</ 2 dz.

о

(9.201)

Для вычисления коэффициентов статистической линеариза-
ции достаточно знать математическое ожидание mv и диспер-
сию Dv случайного процесса на входе нелинейного элемента и
значения функции Крампа для аргументов, определяемых
через niy и Dy.

Построенные по (9.198), (9.199), (9.200) графики коэффи-
циентов kB = ke (ту, Dy), Ml) = k\l) Dv) и k\i} = k\tl (mv,
Dy) статистической линеаризации идеального реле приведены
на рис 9.27, б, в. Из этих графиков видно, что релейный эле-
мент по отношению к среднему значению входного сигнала
ту ведет себя как линейное звено, коэффициент усиления ко-
торого k0 зависит от величины Шу/У'Оу.
Таким образом” случайная составляющая входного сиг-
нала создает эффект линеаризации нелинейного элемента для
регулярной составляющей (среднего значения) сигнала. Метод
статистической линеаризации формально похож на метод виб-
рационной линеаризации нелинейного элемента колебаниями
высокой частоты постоянной амплитуды.

В свою очередь, регулярная составляющая входного сиг-
нала оказывает влияние на прохождение случайной состав-
ляющей. Так, например, для рассмотренного нелинейного
элемента типа идеального реле передача случайной состав-
ляющей ослабляется за счет насыщения нелинейного элемента
регулярной составляющей сигнала, поскольку коэффициенты
и Л'12> уменьшаются с ростом ту.

Ограничения в использовании метода статистической ли-
неаризации обусловлены требованиями нормального закона
распределения случайного процесса на входе нелинейного эле-
мента, что выполняется достаточно хорошо, если линейная
часть системы будет обладать свойствами низкочастотного
фильтра.

Для нормального закона распределения значения коэффи-
циентов ф0, k0, k\1} и k\2> для различных типовых нелиней-
ных элементов заранее определены по (9.192), (9.193),
(9.194), (9.195) и приведены в виде графиков зависимости этих
коэффициентов от математического ожидания ти и дисперсии
Dv входного случайного сигнала. Использование этих гра-
фиков значительно упрощает расчет конкретных систем ав-
томатического управления методом статистической линеари-
зации. В приложении 9.2 приведены для примера формулы и
графики <р0 (ту, Dy), k0 (ту, Du), k\l} (my, Dv), fe(i2) (my, Dy)
для некоторых наиболее часто встречающихся типовых нели-
нейностей.

Метод статистической линеаризации особенно эффективен
при анализе стационарного режима работы системы автома-
тического управления. В этом случае ту = const, Dy = const
и коэффициенты статистической линеризации не зависят от
времени. Линеаризованная система является при этом
системой с постоянными параметрами и ее исследование может
быть проведено сравнительно просто.

В нестационарном режиме, который может быть вызван,
например, переходным процессом, нестациопарностыо воздей-
ствий или самой системы, коэффициенты статистической ли-
неаризации изменяются во времени. Линеаризованная систе-
ма оказывается при этом системой с переменшл-н.  чтмет-
рами и ее исследование усложняется. Исследования системы
в этом случае могут производиться с помощью аналоговых или
цифровых вычислительных машин.

§ 9.11. Расчет нелинейных систем методом
статистической линеаризации

При расчете нелинейных систем ставится задача определе-
ния в стационарном режиме статистических характеристик
любой координаты системы [регулируемой величины X(t),
ошибки Е(/) и др.1 по известным статистическим характери-
стикам входного случайного сигнала. Входной сигнал G(t) в
данном случае может представлять собой либо полезный сиг-
нал, либо линейную комбинацию полезного сигнала и поме-
хи. При этом должны быть заданы передаточная функция ли-
нейной части системы W(s) и характеристика нелинейного
элемента <р.

Рассмотрим применение метода статистической линеариза-
ции для расчета как разомкнутых, так и замкнутых систем,
содержащих один безынерционный нелинейный элемент.

Расчет разомкнутых нелинейных систем. Структурная
схема разомкнутой системы, имеющей нелинейный элемент с
характеристикой <р и линейную часть с передаточной функ-
цией W (s), показана на рис. 9.28, а.

Пусть на входе нелинейного элемента действует стационар-
ный случайный процесс G(t) с нормальным законом распреде-
ления:

G(<)-mg + 6(l),	(9.202)

где mg — математическое ожидание входного сигнала; G (/) —
центрированная составляющая случайного входного сигнала.

Искомая выходная величина системы X(f) будет представ-
лять. собой также стационарный случайный процесс:

Х(0 = /пя + Х(0.	(9.20^

.На основе метода статистической линеаризации исходную
структурную схему (рис. 9.28, а) можно эквивалентно заме-'
нить двумя структурными схемами: для расчета математичес-
кого ожидания выходной величины тх (рис. .9.28, б) и для
расчета центрированной составляющей случайного процесса
па выходе системы X(f)
(рис. 9.28, в).

Используя приведенные схе-
мы, можно найти математиче-
ское ожидание случайного про-
цесса на выходе системы

тх = mg k° (rne< Dg) W (0)

(9.20'4)
и центрированную составляю-
щую случайного процесса на
выходе системы

X (0 = G (/) kx (те, Dg) W (s),
(9.205)

о)

В)

Рис. 9.28

где k0 {т е, D е) — эквивалентный статистический коэффициент
усиления элемента по математическому ожиданию; (т е,
D g) — эквивалентный статистический коэффициент усиле-
ния нелинейного элемента по случайной составляющей;
1Г(0) = lT(s)|s = o — коэффициент передачи линейной части
системы.

Центрированная составляющая G(f) случайного процесса
на входе системы обычно задается своими статистическими ха-
рактеристиками: центрированной корреляционной функцией
(т) или центрированной спектральной плоскостью S» (со)',
зная которые можно найти центрированную корреляционную
функцию R • (т) н центрированную спектральную плотность
5«л(<о) случайного процесса X(t) на входе системы:

R; (т) = k] (nig, Dg) J d). J k (X) k (rj) R' (т-рХ—ц) Jiy, (9.206)

S; (<o) = | IF (/co) |2 [Л, (mg, Dg)|2	(<o),	(9.207)

где k(k) и Л(т|) — импульсная переходная функция (функ-
ция веса) линейной части системы; IF(/co) — частотная переда-
точная функция линейной части системы.

Дисперсия Dx центрированной составляющей X(t) слу-
чайного процесса на выходе системы

Ds = R° (0) = (1 /л) J S; (со) Ло.	(9.208)

о
Рис. 9.29

Расчет замкнутых нели-
нейных систем. Структур-
ная схема замкнутой си-
стемы автоматического уп-
равления с одним нелиней-
ным безынерционным эле-
ментом всегда может быть

приведена к виду, показанному на рис. 9.29.

Допустим, что входной сигнал G(i), который в общем слу-
чае может представлять собой линейную комбинацию полезного

сигнала и помехи, является стационарным случайным про-

цессом с нормальным законом распределения:

G (/) ™ tng + G (t).

(9.209)

В результате расчета требуется по заданным статистическим
характеристикам входного сигнала определить математичес-
кое ожидание, дисперсию или другие статистические характе-
ристики любой интересующей нас координаты системы, на-
пример ошибки Е(/), регулируемой величины X(t) и т. п.

Рассмотрим метод расчета замкнутых систем на примере
определения статистических характеристик ошибки Е(/) сис-
темы.

Заметим, что закон распределения случайного сигнала на
выходе нелинейного элемента в общем случае отличается от
нормального закона распределения, однако, проходя через
линейную часть системы, обладающую в большинстве слу-
чаев свойством низкочастотного фильтра, он нормализуется и,
таким образом, закон распределения выходного сигнала X(t)
будет близок к нормальному. На основе этого можно считать,
что случайная ошибки Е(/) на входе нелинейного элемента
также имеет нормальный закон распределения. Поэтому при
расчетах можно пользоваться формулами и графиками экви-
валентных статистических коэффициентов усиления k0 и klt
приведенных в приложении 9.2.

Ошибка системы будет представлять собой стационарный
случайный процесс

Е (/) = тЕ4- Ё (0,	(9.210)

где тъ — математическое ожидание (среднее значение) ошиб-
ки; Е(£) — центрированная составляющая случайной ошибки.

Для простоты будем считать, что нелинейный элемент
имеет однозначную нечетную характеристику и = tp(e). В этом
случае на основе метода
статистической линеари-
зации сигнал на выходе
нелинейного элемента
приближенно может
быть записан следующим
образом:

U (/) = ти +0 =

=kg (fHe> Ds) ms -f-

+ kT (mE, De) Ё (0,

(9.211)

Рис. 9.30

где mu — математическое ожидание сигнала на выходе не-
линейного элемента; U(i) — центрированная составляющая
случайного процесса на выходе нелинейного элемента,
k0 (тс, D Е)— эквивалентный статистический коэффициент
усиления нелинейного элемента по математическому ожида-
нию; (me, D Е)—эквивалентный статистический коэффи-
циент усиления нелинейного элемента по случайной состав-
ляющей.

В результате статистической линеаризации нелинейный
элемент эквивалентно заменяется двумя линейными безынер-
ционными элементами: один из них с коэффициентом усиления
k0 и второй — с коэффициентом усиления kt. При этом исход-
ная нелинейная замкнутая система (рис. 9.29) эквивалентно
заменяется двумя замкнутыми связанными линеаризованны-
ми системами (рис. 9.30): по математическому ожиданию;
по центрированной случайной составляющей.

Передаточные функции разомкнутых линеаризованных
систем равны: по математическому ожиданию

Wme (s) = k0 (тЕ, DE) W (s),	(9.212)

по центрированной случайной составляющей

(s) = (те, De) W (s).	(9.213)

Передаточные функции замкнутых линеаризованных сис-
тем относительно ошибки равны:

по математическому ожиданию

W (s) — --------------!------ =-------------------------;

U 1 + Гте (s)	1 + Ao (me. De) V (s)

(9.214)
по центрированной случайной составляющей

IF " • (s) =---------- = -------------------- (9 21 SI

ее i+ir.(s)	De)W(s) 1

Передаточные функции (9.212) и (9.213) взаимосвязаны
через коэффициенты k0 и kt, которые являются функциями
неизвестных величин /пЕ и D Е.

Заметим, что полученные таким образом две связанные ли-
неаризованные системы будут линейными только при опре-
деленных постоянных значениях «ЕиОе, т. е. при стационар-
ном режиме системы. При нестационарном режиме система
остается нелинейной, так как коэффициенты k0 и klt завися-
щие от тс и D Е, будут переменными.

Если случайный процесс С(/) на входе системы стационар-
ный, то те — const. В этом случае математическое ожидание
znE ошибки связано с математическим ожиданием те входно-
го сигнала следующим соотношением:

me = lF,ngni£ (0) mg =

--------т

ое) w (0) '

g-

(9.216)

е ’

Дисперсия ошибки

во	оо

De = -i- Г S. (со) dco = -L f | IF£ • (/со) Is S. (СО) ско, (9.217)

-- CO	— co

где S • (co) — спектральная плотность центрированной случай-
ной составляющей G(7) входного сигнала; S °е (<о) = X
X (/со)[2 S (со) — спектральная плотность центрированной
случайной составляющей ошибки.

Уравнения (9.216) и (9.217) образуют систему алгебраи-
ческих уравнений:

те

---------------------те = 0;

1 + fea (zne, De) 1Г (0)

De

1

2п

__________1__________

l+Mm8’ Pe)l!7G“)

2

5^ (со) cfco = 0.

(9.218)

Система уравнений (9.218) содержит два неизвестных и
£> е и коэффициенты k0 и /г1ж являющиеся функциями этих
неизвестных. Решая с и сем \ уравнений, можно найти мате-
магическое ожидание tn Е и дисперсию D Е ошибки в установив-
шемся режиме. Решение системы уравнений (9.218) можно
произвести либо методом последовательных приближений,
либо графоаналитическим методом.

При решении методом последовательных приближений за-
даются вначале некоторыми значениями коэффициентов k0
и ki и по (9.216) и (9.217) находят /пе и £>е в первом прибли-
жении. По найденным значениям тЕ и D е уточняют величины
fe0 и kly пользуясь (9.193), (9.194), (9.195), (9.190) или графи-
ками зависимостей k0 (ту, Dy), k± (ту, Dy), приведенными в
приложении 9.2. Затем весь цикл вычислений коэффициентов
kg и повторяется многократно до тех пор, пока в процессе
приближений последующие значения коэффициентов не будет
с достаточной точностью совпадать с предыдущими значения-
ми.

Решение графоаналитическим методом производится обыч-
но тогда, когда уравнения системы (9.218) имеют сложный вид.
В этом случае в координатах те—D Е строят кривые, соответ-
ствующие обоим уравнениям системы (9.218); точка пересече-
ния этих кривых дает решение указанной системы уравнений.

Графоаналитическое решение уравнений (9.218) целесооб-
разно проводить в такой последовательности:

1.	Строят семейство функций Fz = F^tn^ (рис. 9.31, а),
ирлрльзуя первое уравнение системы (9.218) для различных
фиксированных значений D ri = const

2.	Проводят прямую из начала координат под углом 45°
и по точкам пересечения ее с кривыми семейства строят
график D r = fi (те) (рис. 9.31, в).

3.	Строят семейство функций F2 = F2 (D Е) (рис. 9.31, б),
используя второе уравнение системы (9.218) для различных
фиксированных значений mei = const.
4.	Проводят прямую из начала координат под углом 45°
и по точкам пересечения ее с кривыми семейства F2 строят
график те = f2 (De) (рис. 9.31, в).

Точки пересеченных кривых D е = (те) и те — fn(De)
определяют математическое ожидание теу„ и дисперсию
DsycT ошибки в установившемся (равновесном) состоянии не-
линейной системы.

После того как будут определены математическое ожидание
и дисперсия ошибки, по известным методам линейной теории
можно при необходимости рассчитать математическое ожида-
ние и дисперсию случайного сигнала в любой интересующей
нас точке системы.

В заключение следует отметить, что метод статистической
линеаризации может быть применен и к системам с несколь-
кими нелинейными элементами. Если несколько нелинейных
элементов включены последовательно друг с другом, то они
могут быть заменены одним нелинейным элементом с резуль-
тирующей нелинейной характеристикой, построенной по ха-
рактеристикам отдельных нелинейных элементов. После этого
производят статистическую линеаризацию результирующего
нелинейного элемента и методом, изложенным выше, находят
математическое ожидание и дисперсию в любой интересующей
нас точке системы.

Если нелинейные элементы разделены друг от друга инер-
ционными линейными звеньями, то каждый из нелинейных
элементов заменяется статистически эквивалентным линейным
элементом. Так как для каждого линейного элемента нужно
определить два статистически эквивалентных коэффициента
Ао и klt то в результате, чтобы найти все коэффициенты ли-
нейных элементов, приходится решать систему уравнений, со-
держащую q уравнений, где q — число нелинейных элементов
в системе. В результате, естественно, расчеты значйтельно
усложняются.

Хотя метод статистической линеаризации и является при-
ближенным, он нашел широкое применение при инженерных
расчетах нелинейных систем автоматического управления
описываемых дифференциальными уравнениями высокого по-
рядка. Точность метода статистической линеаризации тем вы-
ше, чем уже полоса пропускания линейной части систем и чем
больше плотность вероятности на входе нелинейного элемента
приближается к нормальной.
МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ОПТИМАЛЬНЫХ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

§ 10.1. Общие положения.

Постановка задачи. Классификация

В гл. 5 и 9 уже разбиралась задача
синтеза оптимальных систем управле-
ния с заданной структурой — задача
синтеза оптимальных параметров. В этой
главе будут рассмотрены постановка н
методы решения более общей задачи син-
теза оптимальных систем управления —
задачи синтеза оптимальной системы
управления при нефиксированной струк-
туре.

В общем случае автоматическая си-
стема управления состоит из объекта уп-
равления ОУ, регулятора Р и програм-
матора (задатчика) П, вырабатывающего
задающее воздействие (программу, про-
граммное движение) (рис. 10.1). На схе-
ме И обозначает совокупность внешней
информации, которая поступает на про-
грамматор. Задача синтеза оптимальной
системы состоит в том, чтобы для запан-
ного объекта синтезировать регулятор и
программатор, которые в определенном
смысле наилучшим образом решают по-
ставленную задачу управления. В соот-
ветствии с этим рассматриваются две род-
ственные задачи: синтез оптимального
программатора и синтез оптимального
регулятора. Автоматически эти задачи
могут быть сформулированы единообраз-
но и решаться одними и теми же метода-
ми, но в то же время эти задачи имеют
специфические особенности, которые
делают целесообразным на определен-
ном этапе нх раздельное
рассмотрение. Особенности
обусловливаются тем, что
решение первой задачи
связано, как правило, с
определением программно-
го управления, а решение
второй задачи — с опре-

делением управления

Рис 10 ]	с обратной связью. Про-

граммным управлением на-
зывают управление в виде
функции от времени, управлением с обратной
связью — управление в виде функции от фазовых координат.

Системы с оптимальным программатором называют опти-
мальными по режиму управления, а системы с оптимальным
регулятором — оптимальными по переходному режиму. Сис-
тема автоматического управления называется оптимальной,
если оптимальными являются программатор и регулятор. Часто
программное движение бывает задано и требуется определить
только регулятор. В этом случае САУ называется оптимальной
(или оптимальной по переходному режиму), если оптимальным
является регулятор.

Общая постановка задачи оптимального управления

Задача синтеза оптимальных систем управления относит-
ся к классу задач оптимального управления и формулируется
как вариационная задача. При этом кроме уравнения объек-
та управления должны быть заданы ограничения на управле-
ние и фазовый вектор, краевые условия и выбран критерий
оптимальности.

Пусть уравнение объекта задается в нормальной форме

x = f(x, и, I)	(Ю.1)

или в скалярном виде

xt в I, (х. и, /), i ~ 1,2........п.

где х = (xt, .... хп)г — фазовый вектор; и = (ut, .... иг)Т —
управление или вектор управления. Как отмечалось в гл. 2,
любое уравнение, разрешимое относительно старшей про-
изводной, можно преобразовать к равносильной нормальной
системе.
pja управление и фазовый вектор еще могут быть наложены
ограничения в виде конечных соотношенйй — равенств, не-
равенств. Их в общем виде можно записать так:

u(0GUt, x(0GXt.	(10.2)

Здесь U( и Х( — некоторые заданные множества, зависящие,
вообще говоря, от времени, причем Ц s Rr и Х( s /?п,
т е. Ut — подмножество r-мерного пространства; Xt —
подмножество «-мерного пространства. В (10.2) первое соот-
ношение называется ограничением на управление, второе соот-
ношение — ограничением на фазовый вектор или фазовым ог-
раничением. Ограничения на управление и фазовый вектор
могут быть не разделены, и в общем случае они записываются
в виде

(u(fl,x(0)€V(, VtQR-+'.

Краевые (граничные) условия — ограничения на фазовый
вектор в начальный t0 и конечный tf моменты времени в общем
виде можно записать так:

х (/0) £ Хо, х (/z) £ ХЛ	(10.3)

Вектор x(Z0) называют левым, а вектор х(^) — правым кон-
цом траектории. Краевые условия имеют вид (10.3), если огра-
ничения на левый и правый конец трактории разделены.
В противном случае они записываются в виде

(х(/0),х(у)€У0,

Критерий оптимальности, который является числовым
показателем качества системы, задается в виде функционала

J=J(u(t), х (/)).	(10.4)

Задача оптимального управления формулируется следую-
щим образом: при заданных уравнении объекта управления
(1Q.1), ограничениях (10.2) и краевых условиях (10.3) требует-
ся найти такие программное управление u*(t) или управление
с обратной связью u*(x(/), f) и фазовую траекторию x*(Z), при
которых критерий (10.4) принимает минимальное (или мак-
симальное) значение. Дальше для определенности примем, что
функционал (10.4) минимизируется. Задачу максимизации
выбором нового критерия — —J всегда можно свести к за- :
Даче минимизации. Управления u*(Z) и и*(х (/), Z) и траектория
X*(Z) называются оптимальными. При решении. задач синте- >
за оптимальных систем управления- обычно бывает достаточно
найти оптимальное управление.
Примеры постановки задач оптимального управления.

1.Задачи оптимального управления
летательным аппаратом (ЛА). Уравнение ЛА
(объекта управления) в вертикальной плоскости

mv = p + q

или в проекциях на горизонтальную £ и вертикальную q оси
неподвижной системы координат

+ mi}=p2 + q2,

где т — mf + тр (/) — масса ЛА; тр (t) — «реактивная» мас-
са; v — (£, q) — скорость ЛА; р = (р1У р2) — реактивная
сила; q = (qlf q2) — равнодействующая всех остальных сил
(сила притяжения Земли, сила сопротивления воздуха и др.).

Реактивная сила

р = —mw, | w (— const,

где w = (uij, w2)r — относительная скорость отделяющихся
частиц; | w | =j/twi + te>2 — евклидова норма вектора w;
|m| = |mp|—секундный расход реактивной массы. Обозначая
Xi = £; х2 = q; х3 = %;	= q; иг = pjm\ и2 — р21т\

4i —	уравнение ЛА можно записать в виде

нормальной системы

%i=x3; х2 = *4;	= ui + <7ь xi=u2-Vq2

или в векторной форме

х — Ax + Bu+q.

(Ю.5)

В последнем уравнении

(Ю.6)

Отношение реактивной силы к массе ЛА принимается за уп-
равление. Траектория ЛА не должна пересекать земную по-
верхность, т. е. должно выполняться фазовое ограничение

х2 > 0.	(Ю.7)
Задача 1 вывода ЛА в заданную точку фазового про-
странства за минимальное время. Пусть реактивная сила
ограничена: |р| < рт. Требуется вывести ЛА из фиксиро-
ванной начальной точки х(/0) = х° в фиксированную конечную
точку x(/f) = xf за минимальное время. Эта задача является
задачей оптимального управления с уравнением объекта (10.5),
(10.6), фазовым ограничением (10.7), ограничением на управ-
ление



(10.8)

краевыми условиями х(/0) — х°, x(/z) = xf и критерием опти-
мальности J = tf — t0, где t0 — начальный момент (будем
считать его фиксированным); t} — конечный момент — момент
времени достижения ЛА точки xf (не фиксирован).

Задача 2 вывода ЛА в заданное положение за мини-
мальное время. При ограничении на управление (10.8) тре-
буется вывести ЛА из заданной точки х (/0) = х° фазового
пространства в заданное положение (Xi((/), x2(lf)) = (х{, х£) на
вертикальной плоскости за минимальное время. В данной за-
даче левый конец х((0) фиксирован (т. е. положение и скорость
I ЛА в момент t0 заданы), а правый конец х(/у) не фиксирован,
т. е. в момент tf положение ЛА задано, а на его скорость ни-
каких ограничений не наложено. Эта задача оптимального
управления отличается от задачи 1 только условием на пра-
вом конце траектории x^tA = xj, x2(tf) = х{. В задаче 1 каж-
дое из множеств Хо и Xf (см. (10.3)] состояло из одной точки,
в данном же случае множество Хо состоит из одной точки, а
множество Ху есть плоскость хг = х2 = xf2 в четырехмер-
ном фазовом пространстве.

Задача 3 перевода ЛА на максимальную дальность.
В данном случае важно учитывать, что реактивная масса,
или, что то же самое, начальная масса m(t0) — т0, конечна.
Так как

I u | = |р |/m = (т | | w \/т,

то конечность реактивной массы накладывает следующее огра-
ничение на управление:

9

f	Bi = |w|In(m0/m.f).	(10.9)
Ограничение такого вида называется изопериметрическим.
Конечный момент tf определяется из условия x2(tf) .== О (вы-
сота равна нулю). Задача оптимального управления формули-
руется следующим образом: при заданных уравнении объек-
та (10.5), фазовом ограничении (10.7), ограничении на управ-
ление (10.9), краевых условиях x(t0) = х°, x2(tf) = 0 найти
управление, минимизирующее функционал J = —x^tf).
В этом случае множество Хо состоит из одной точки, а мно-
жество Xf есть трехмерное пространство, определяемое соот-
ношением х2 = 0.

Задача 4 вывода ЛА на максимальную высоту. В дан-
ном случае также важно учитывать ограниченность реактив-
ной массы. Задача оптимального управления формулируется
точно так же, как и задача 3, но при краевом условии x(t0) —
— х° и критерии оптимальности J = —x2(tf). В этой задаче
правый конец свободен: на него никаких ограничений не на-
ложено. Множество X/ совпадает со всем фазовым простран-
ством R".

Сделаем общие замечания. Реактивная масса, естественно
всегда конечна, но тем не менее это ограничение не учитыва-
лось при формулировке задач 1 и 2. Принималось, что для
них. оно несущественно, т. е. не влияет на их решения. Точно
так же принималось несущественным и не учитывалось огра-
ничение на величину управления в задачах 3 и 4, хотя оно,
естественно, всегда имеет место. Но в то же время в задачах
1 и 2 нельзя не учитывать ограничение на величину управле-
ния, так как если его отбросить, то оптимальное управление
u*(Z) получается нереализуемым: при ит —> оо максималь-
ное значение |и*(/)| —> оо и J —> 0. Точно так же нельзя, не
учитывать ограничение на реактивную массу (изопериметри-
ческое ограничение) в задачах 3 и 4, так как в противном слу-
чае, как это ясно из физических соображений, существует
бесконечное множество управлений, при которых J = —оо.
' 2. Задачи оптимального управления
двигателем. Уравнение двигателя постоянного тока

/ф = in &фФ— Ме,
.	•	... jfj.

где I —• момент инерции вращающейся части двигателя-
<р — угол поворота вала двигателя; tn — ток в якорной цепи;
/гф —- конструктивная постоянная; Ф — магнитный поток;
7ЙС — момент сопротивления.
Используя обозначения

й=/гфФ//, Хц = <р, х2 ср, и = in, ис=Мс/1,
его можно записать в виде

х, = х3, х3 = Ьи—ис
или в векторной форме

х — Ах + Ви ф q,

(10.10)

где

х

• (10.11)
с /

Здесь для получения простой модели объекта, которая дальше
часто будет использоваться, за управление принимается ток
в якорной цепи. Но следует иметь в виду, что в действитель-
ности управляющим воздействием двигателя при управлении
со стороны якорной цепи является напряжение на якоре и к
приведенному уравнению моментов необходимо добавить урав-
нение для напряжения и тока якорной цепи. Поэтому приме-
ры, связанные с моделью объекта (1.10), (1.11), являются чис-
то иллюстративными.

Задача 5 поворота вала двигателя на заданный угол
без остановки за минимальное время. Сила тока в якорной
цепи должна быть ограничена, иначе сгорят обмотки якоря.
Задача оптимального управления формулируется следующим
образом: при заданных уравнении объекта (1.10), (1.11), ог-
раничении на управление

I11I<ит.

краевых условиях

х (Q xi ('/) = x'i

(10.12)

найти управление, минимизирующее функционал J = tt —
~ (о-

Задача 6 поворота вала двигателя на заданный угол с
остановкой за минимальное время. Задача оптимального управ-
ления формулируется так же, как и задача 5, но при краевых
условиях

х (*0) = х°; X, (//) = х\; х3 ((;) = 0.

(10.1.3)
Задача 7 поворота вала двигателя на заданный угол
за время Т при минимальном расходе энергии. Энергия про-
порциональна интегралу от квадрата управления (силы тока).
Так как постоянный множитель перед функционалом не влия-
ет на решение вариационной задачи, за критерий оптималь-
ности принимается интеграл

Ч
J = J и2 dt,

где t0 и tf фиксированы, tf — t„ = Т. Ограничение на управ-
ление не учитывается. Краевые условия совпадают: а) с ус-
ловием (10.12), если двигатель после поворота на заданный
угол не нужно останавливать; б) с условием (10.13), если дви-
гатель после поворота на заданный угол нужно остановить.

Классификация задач оптимального управления

1. По виду ограничения различают задачи оптимального
управления:

а)	классического типа, когда ограничения задаются в виде
равенства

(х, u, t) =0, k = 1, 2.m;

б)	неклассического типа, когда ограничения задаются в
виде неравенств

<рь (х, и, f) 0, k = 1,2,..., m.	(10.14)

К классическому типу относятся также изопериметричес-
кие задачи, т. е. задачи с изопериметрическими ограничения-
ми:

Ч

J /п+Лх- ч, 0Л = bJt j = 1,2.../.	(10.15)

* о

Введением дополнительных переменных от изопериметриче-
ских ограничений всегда можно избавиться. Достаточно вмес-,
то изопериметрических органичений (10.15) в условие задачи
ввести следующие уравнения и краевые условия:

*»,+>	(х. и. О'. (U == 0; xn+j (tf) —bj, j = 1, 2.,1.
Формально задачи неклассического типа введением допол-
нительных переменных можно преобразовать к задачам клас-
сического типа. Действительно, ограничения (10.14) можно
заменить ограничениями типа равенств

<рь(х, и,/)4-п®+й==0, k=l,...,m.

Задачи оптимального управления неклассического типа
могут иметь ограничения вида

Ч

J fn+s(x, u, t)dt^Cs, s = l,2,..., р.
^0

Введением дополнительных переменных эти ограничения могут
быть заменены соотношениями

^n+«=/n+»(^> “> ^n+e (^о) ^n+s (tf) S.“ 1 J 2,..., p.

Примерами задач классического типа являются задачи 3, 4 и
7, неклассического типа — задачи 1, 2, 5 и 6.

2.	По виду краевых условий различают задачи:

а)	с фиксированными (закрепленными) концами, когда
каждое из множеств Хо и X/ состоит из одной точки [х(/0) =
= х°, х(/у) — х1, х° и xf — заданные точки];

б)	с подвижным правым концом (X/ состоит более чем из
одной точки), с подвижным левым концом (Хо состоит более
чем из одной точки), с подвижными концами (оба конца по-
движны);

в)	со свободным правым концом (Ху совпадает со всем фазо-
вым пространством, т. е. на правый конец никаких ограниче-
ний не наложено).

В рассмотренных выше примерах задачами с фиксирован-
ными концами являются задачи 1 и 6, с подвижным правым
концом — задачи 2, 3 и 5, со свободным правым концом —
задача 4.

3.	По времени начала и окончания процесса различают за-
дачи:

а)	с фиксированным временем, когда начальный Zo и ко-
нечный if моменты фиксированы;

б)	с нефиксированным временем, когда один из моментов
времени /0 или tf не фиксирован.
4.	По критерию оптимальности различают:

а)	задачу Больца; при этом критерий имеет вид

J = go [X (U- х (h)- f0-	+ J fo (x. n. 0 df,

б)	задачу Лагранжа; при этом критерий имеет вид

J “ J /0(х.11. t)dt\

в)	задачу Майера; при этом критерий имеет вид .

J =go[x(Q. х(Г,), t0, Г,].

Задача Майера в частном случае, когда функционал имеет
вид J = g„(x(tf), tf), называется задачей терминального управ-
ления-, когда функционал имеет вид J = (tf — iD) — задачей
максимального (оптимального) быстродействия. Сформули-
рованная выше задача 7 является задачей Лагранжа, осталь-
ные задачи — задачами Майера, причем задачи 1, 2, 5 и 6
являются задачами максимального быстродействия.

Задачи Больца, Лагранжа и Майера эквивалентны в том
смысле, что путем преобразования переменных можно от од-
ной задачи перейти к другой.

§ 10.2. Метод классического вариационного исчисления
(метод множителей Лагранжа)

Задачи с закрепленными концами
и. -фиксированным временем

Если концы закреплены и время фиксировано, то в клас-
сическом случае задачу оптимального управления в общем виде
можно сформулировать как.следующую задачу Лагранжа:

х,-=Л-(х.и, 0. ‘ = И2....

rph (х, u, f) = 0, k — 1, 1,..., I',

Xi (t0) = X°; Xi (tf) = xfi, i = 1,2. n;

*/

J = j /0 (x, u, t) dt -»• min.
Предполагается, что функции /г (х, u, t), i = 0, 1..., п, и
<Р„(х, и, Z), k == 1,2, .... I, являются непрерывными и дифферен-
цируемыми по всем сёоим аргументам, управление u(Z) при-
надлежит классу кусочно-непрерывных функций, а траекто-
рии х(/) — классу кусочно-гладких функций.

Напомним, что функция u(Z) называется кусочно-непрерыв-
ной на 1/0, Z,]. если она непрерывна всюду на [to, /Д за исключе-
нием конечного числа точек, где она имеет разрывы первого
рода. Функция x(Z) называется кусочно-гладкой на [Zo, Z,],
если на |ZO, tfl она сама непрерывна, а ее производная кусоч-
но-непрерывна.

Управление u(Z) из класса кусочно-непрерывных функций
назовем допустимым управлением, а траекторию x(Z) из клас-
са кусочно-гладких функций — допустимой траекторией.
Пару (u(Z), x(Z)) назовем допустимой, если допустимыми явля-
ются u(Z) и x(Z).

Уравнения Эйлера. Рассмотрим сначала простейшую за-
дачу классического вариационного исчисления:

J (.У) = ( /о (</. <Л 0 dt -*• extr;

(10.16)

У Go) = < !/('/) = У1.

(10.17)

Пока для простоты будем считать, что y(t) является скалярной
функцией и принадлежит классу С‘(!/о, ZJ) непрерывно диф-
ференцируемых функций на интервале [Zo, Z,]. Экстремум ищет-
ся среди функций указанного класса, удовлетворяющих задан-
ным краевым условиям. Такие функции будем называть до-
пустимыми 'функциями или допустимыми точками (имеется в
виду точка в функциональном пространстве).

Пусть экстремум достигается в допустимой точке у* (Z).
Точка t/(Z) = y*(t) 4- Ef/(Z), где е — число, будет допустимой,
если y(t) t C'GZo, Z,]) и выполняются краевые условия

y(z0)=°- yG/) = O-

(10.18)

При каждом фиксированном y(t) получаем функцию от число-
вого аргумента

Ф Ze) = J (у* + чу) = j /0 (г/* + еу, у* + еу, t) dt.
которая, очевидно, достигает экстремума при е = 0. Поэтому
согласно теореме Ферма, производная

Ч	„

Фе (°) — [ y4f)y+fOg(y*,^,t)y]dt =0.

to

Интегрируя второе слагаемое по частям и учитывая краевые
условия (10.18), получим

Ч	_

ФИО)=У [fbB(y4^,t)~-f’oi/(y4y*,t)]ydt^O.	(10.19)

Согласно основной лемме вариационного исчисления, послед-
нее равенство возможно при произвольной y(t) Q	/у]),

y(t0) — У(Ч> = 0> если только

Ку (УЧ УЧ t)—~ f'oi(УЧ УЧ 0=0.	(10.20)

Итак, если функция y*(t) доставляет экстремум функционалу
(10.16), то она удовлетворяет уравнению (10.20), которое назы-
вается уравнением Эйлера. Допустимая функция, удовлетво-
ряющая уравнение Эйлера, называется экстремалью или ста-
ционарной точкой задачи (10.16), (10.17). Следовательно,
решения задачи (10.16), (10.17) являются экстремалями; об-
ратное в общем случае неверно.

Как легко проверить, все выкладки остаются справедли-
выми и в случае, когда y(t) — векторная функция ((р XI) —
матрица). При этом уравнение (10.20) является векторным.
Покажем, как из равенства (10.19) получается векторное урав-
нение Эйлера (10.20).

По определению, производная от скалярной функции
/o(z) по векторному'аргументу z ~ (zlt .... zp)7 есть вектор-
строка

/ Ог	fozp)-

Напомним, что индекс Т обозначает операцию транспонирова-
ния. Перемножив под интегралом (10.19) вектор-строку на
вектор-столбец по правилу перемножения матриц, получим
Это равенство должно выполняться при произвольной y(i) £
G С1([/о, #,]), в частности когда все ее компоненты, кроме од-
ной, равны нулю: У1=/= 0 и у, = 0 при всех i /. Полагая, что
/ пробегает значения от 1 до р, из последнего равенства полу-
чим систему уравнений

fog,—

У} dt =0, j = 1, 2,..., р.

откуда в соответствии с основной леммой вариационного ис-
числения найдем

/%="4'/ою!=0'	(Ю.21)

J at

Эта система представляет собой скалярную форму записи век-
торного уравнения (10.20).

Уравнения Эйлера—Лагранжа. Рассмотрим задачу Ла-
гранжа:

ФДг, z,/)=0, t = l,2 р;	(10.22)

<pft (z, /) =0, k = 1, 2,..., /;	(10.23)

z (t0) = z°, z (tf) — zl\	(10.24)

9

J — J Ф0(г, z,/)d/->extr,	(10.25)

где z — вектор столбец размера s; Фг (i = 0, 1, .... p), <pK (k =
= 1, 2, ..., /) — дифференцируемые по всем своим аргументам
функции. Эта задача отличается от простейшей вариационной
задачи тем, что на аргументы функционала помимо краевых
условий наложены дополнительные ограничения [связи (10.22)
и (10.23)] и они уже не являются независимыми. Для получе-
ния необходимого условия воспользуемся приемом Лагран-
жа П[.

Составим функцию:

р	1

L (z, z, ф, /) = 2 ф; + S +^офо-
/=1 1

где фг, i = 1, 2, ..., р — функции времени; Kh(k = 1,2, ..., /)
и ф0 — константы.
Эта функция называется функцией Лагранжа, а функции
ф;(i = 1,2, р) и числа Xft (k = 1,2, .... /) и ф0— множите-
лями Лагранжа. Прием Лагранжа (в настоящее время он стро-
го обоснован) состоит в том, что задача (10.22)—(10.25) пре-
образуется в простейшую задачу вариационного исчисления:

J = С L (z, z, ф, X, t) dt -* extr; г (t0) = z°; z (tj) = z>.

*0

Очевидно, последняя задача имеет смысл, если множите-
ли Лагранжа не равны одновременно нулю. Под равенством
нулю множителей фДг — 1, 2, ..., р), являющихся функциями,
понимается их тождественное обращение в нуль. Кроме того,
заметим, что если ф0 = 0, то функционал J не зависит от ис-
ходного функционала. Этот случай назовем особым. Важней-
шим является неособый случай, когда ф0 =# 0.

В преобразованной задаче роль независимого аргумента
играет вектор у = (z, ф, 1), а роль подынтегральной функ-
ции — функция Лагранжа. С учетом того, что функция Лаг-
ранжа не зависит от производных ф и X, уравнения Эйлера при-
нимают вид [см. (10.21)]

Ц —-А-/.- =0, /= 1,2,..., s; (10.26)

=0, / = 1,2,...,р; Uh=0, k =	(10.27)

Уравнения (10.27), как легко проверить, совпадают с уравне-
ниями (10.22) и (10.23), поэтому достаточно ограничиться урав-
нениями (10.26) и решать их совместно с уравнениями (10.22)
и (10.23) при краевых условиях (10.24). Уравнения (10.26)
называются также уравнениями Эйлера—Лагранжа.

Вернемся теперь к задаче оптимального управления. При-
ведем ее,несколько видоизменив запись уравнений объекта:

(х, и, t)—xt—0, i = l,2,...,n;	(10.28)

<рл(х, u, 0=0, ft = 1,2,...,/;	(10.29)

Xi (U =*?; Xi (tj) ^x\, i = 1,2,..., n; (10.30)

j =	f0(x, u, /)d/->min.	(10.31)

i9
Составим функцию Лагранжа:

L = ф0 f0 4- 2 %' (Л—*/) 4~2	4>ь •

/ =I	Л=1

В ней роль агрумента z играет вектор (х, и), и так как в нее
не входит производная и, то уравнения Эйлера—Лагранжа
имеют вид

Ц—1 = 1,2, ...,п; Ц=0, /=1,2 г. (10.32)

Уравнения Эйлера—Лагранжа записывают также, используя
функцию

н = 2 ^Ь4- 2
/ = 0	k — I

которая называется функцией Гамильтона или гамильтониа-
ном. Очевидно,

J фгх,-,
»= 1

поэтому из (10.32) получаем

Ф( =—i= 1,2,..., п;	(10.33)

-^-=0, $==1,2,..., r\	(10.34)

ous

Уравнения (10.34) называют условием стационарности. Это
условие показывает, что на экстремали гамильтониан, рас
сматриваемый при каждом фиксированном t Q [Zo, как
функция от управления, удовлетворяет необходимому усло-
вию экстремума. Как увидим дальше, оказывается, что дейст-
вительно, на оптимальной траектории гамильтониан как функ-
ция от и достигает максимума (или точной верхней грани) при
оптимальном управлении. Сформулируем основной результат.

Правило множителей Лагранжа. Если
допустимая пара (ч(£), х(0) является решением задачи опти-
мального управления (10.28)—(10.31), то найдутся такие не
равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта пара
удовлетворяет уравнениям Эйлера—Лагранжа (10.33) и (10.34).

В соответствии с этим правилом, чтобы найти оптимальное
управление и оптимальную траекторию, надо решить совмест-
но уравнения (10.28), (10.29), (10.33) и (10.34) при краевых
условиях (10.30). Уравнения Эйлера—Лагранжа получены при
предположении, что управление u(t) является непрерывной
функцией, а траектория х(/) — гладкой на интервале [Zo, tf].
Правило множителей Лагранжа остается справедливым и в
том случае, когда и(£) принадлежит классу кусочно-непрерыв-
ных функций, a x(t) — классу кусочно-гладких функций.
Только если оптимальное управление u(f) имеет разрыв 1-г.о
рода в каких-либо точках (эти точки называются угловыми),
то оно само и соответствующая ему траектория х(/) должны
удовлетворять указанным выше уравнениям лишь в точках
непрерывности управления. В угловых точках должны вы-
полняться так называемые условия Вейерштрасса—Эрдмана
11, 7]

=ф+; Н- = Н+,	(10.35)

где индексы «—» и «+» обозначают левый и правый пределы
соответствующих функций.

Множители Лагранжа определяются с точностью до по-
стоянного множителя. Действительно, они входят в уравне-
ния Эйлера —Лагранжа линейно и однородно, и уравнения не
изменяются, если все множители умножить на одно и то же
постоянное число. Поэтому один из постоянных множителей
Лагранжа, не равный нулю, можно приравнять любому от-
личному от нуля заданному числу. Условимся в неособом
случае (ф0	0) принимать ф0 = —1. Дальше, если особо не

оговаривается, будет подразумеваться неособый случай.

Для определения 2п ф- г ф- I неизвестных xit i = 1, 2, ...
.., п, фг, i — 1, 2, .... nuj, j = 1, 2,.... г, и Kh, k = 1, 2, ..., /,
имеется столько же уравнений. Но среди них имеется 2п диф-
ференциальных уравнений, при решении которых появится 2п
неизвестных (постоянные интегрирования). Эти неизвестные
можно найти из краевых условий (10.30), которые содержат
2п соотношений. Таким образом, решение исходной вариа-
ционной задачи свелось к решению краевой задачи Коши.

Отметим еще раз, что уравнения Эйлера—Лагранжа яв-
ляются только необходимым условием, т. е. любое решение
исходной задачи является экстремалью, но не любая экстре-
маль, удовлетворяющая граничным условиям, является ре-
шением. Но если решение задачи существует и экстремаль,
удовлетворяющая граничным условиям, единственна, то,
очевидно, эта экстремаль и будет решением.
Пример 10.1. Рассмотрим задачу поворота вала двигателя на за-
данный угол при минимальном расходе энергии:

х1 = х2; x2 = u; Xj (0) = х2 (0) = 0;

1

Х[(1)=1; х2(1) = 0; J — J и2 dl —>- min.

о

Здесь для простоты принимается ис = 0. Составим гамильтониан:
р = —u2 + 'ф1х2 + ф2п. Уравнения Эйлера—Лагранжа и их решения
имеют вид

дН . дН	ОН

фг — — ——=0; ф2 = — ——•=—ф,; —— = —2« + ф2 = 0;

о*!	дх2	ди

’|>1==С1; ф2 =—С1/-)-С2;

u = ip2/2 = (-CU + C2)/2.

Подставив полученное выражение для управления в уравнения объек
та и решив их, получим

х2- -С^М + С^/г-ЬСз; х, = -Ci /3/12 + C2/2/4 + C3Z4-C1.

Используя краевые условия, получим:

х2(0)=С3=0; х1(0) = С1 = 0; С2=12; Cl= 14.

Поэтому для оптимальных управления и фазовой траектории имеем:

7	7

u*(Z) = -6f + 7, х; (/) = -—-/3 + 3Z2, х*(/)=—— /г + 6/.
о	2

Задачи с подвижными концами
и фиксированным временем

Если концы подвижны, то в классическом случае задача
оптимального управления отличается от задачи (10.28)—(10.31)
тем, что изменяются краевые условия и критерий оптимально-
сти может иметь любой из указанных при классификации ви-
дов, т. е. в этом случае задача оптимального управления может
быть задачей Лагранжа, Больца и Майера. Когда концы за-
креплены и время фиксировано, задача оптимального управ-
ления может быть только задачей Лагранжа.

Получим необходимые условия. Начнем с простейшей ва-
риационной задачи с подвижными концами и фиксированным

временем J = g0 \y(t0), y(tf)] + .1 f0 (у, у, f) dt-+ extr. Функ-
io

ции g0 и f0 непрерывны и дифференцируемы по всем своим ар-
гументам. Порядок вывода необходимых условий такой же,
как и в случае задачи с фиксированными концами. Некоторые
особенности появляются из-за того, что в силу подвижности
граничных точек их также нужно варьировать. Опять все вы-
кладки будем выполнять, предполагая, что y(t) принадлежит
к классу гладких функций: y(t) £ С1([/о, /;]).

Пусть экстремум достигается в точке y*(t). При произволь-
ной фиксированной точке y(t) функционал

J = So 1у* (Q+ч (<>)- у* (tf)+ч/ <0)1 +

+ J./о (у* + ЧЛ У* + Ч, t)dt = Ф (е)

является функцией от числового аргумента е. Эта функция до-
стигает экстремума при е = 0.-Поэтому по теореме Ферма

ф' (0) =	(Zo)-I- —^§5- у (lt) +

ду (/„)	ду (tf)

t.

Интегрируя по частям второе слагаемое под интегралом
получим •

Фе (0)=У	У (tf) 4- ГСу у\ Ч+

ду W	оу (tf)	[/„

to

Функция y*(f) должна доставлять экстремум функционалу J
при фиксированных граничных точках y(t0) = y*(tB) и y(tf) =
= y*(tf), поэтому она должна удовлетворять уравнению Эйле-
ра

at

С учетом этого уравнения имеем
В силу произвольности и независимости y(tn) и y(tf) из по-
следнего равенства получаем соотношения

f' 1	— dg° • f ]	=.

'^1'='» ду{1о)'ой	dy{tf} •

которые называются условиями трансверсальности. Если
у(0 = 0/1(0- ур(0)г— вектор, то условия трансверсаль-
ности в скалярной форме принимают вид

Уравнения Эйлера в скалярной форме были уже приведены
[см. (10.21)]. Итак, решение вариационной задачи с подвижны-
мы концами кроме уравнений Эйлера должно удовлетворять
условиям трансверсальности.

Получим необходимые условия оптимальности для задачи
оптимального управления:

xi — ft (х, °. 0- i=l,2,..„ п\	(10.36)

<pft(x,u, 0=0, fe = l,2,..„/;	(10.37)

gj [х (Zo), х (0)] =0, /-1,2...q < 2n;	(10.38)

*f

J = g0 [x</o)-X(//)!+J /o(x,u,0d/->rnin. (10.39)

to

Граничные условия (10.38) предполагаются независимыми,
функции йгДх(/0), х(0)], I =0, 1, ..., q, — непрерывными и диф-
ференцируемыми по всем своим аргументам. На остальные
функции накладываются такие же требования, как и в случае
задачи с фиксированными концами. Используя прием Лагран-
жа, преобразуем эту задачу в простейшую задачу Больца:

0

J = G[х (0), х (tf), vJ+ j L (x (0, x (0, и(0, ф(0, X) dt->min,

где

G = J 'Vo = 1I’o;
t = 0

~ 2j	(^»—x*}+‘Фо+ 2 'P'1 :н 2 Xi'

i = 1	k — 1	i — 1
Уравнения Эйлера—Лагранжа для этой задачи совпадают
с уравнением (10.32) или (10.33) и (10.34).

С учетом равенств —фг = 1Л , i = 1,2, ..., п, условия транс-
версальности принимают вид

~ > »' = 1 - 2--> « (10-40>

0Xi (,t0)	dxt (tf)

Отдельные координаты граничных точек могут быть фикси-
рованы. Соотношения, определяющие эти координаты, в вы-
ражение для G не включаются, и так как при определении не-
обходимых условий они не варьируются, то в условия транс-
версальности не должны входить соотношения, содержащие
частные производные по этим координатам; их из (10.40) нуж-
но исключить. В частности, если начальная точка фиксиро-
вана, т. е. фиксированы все координаты точки х(/е), то условия
трансверсальности (10.40) принимают вид

фг (Zy) -=dG/dxi (tf), i = 1,2,..., n.

Если часть координат точки x(tf) также фиксирована, то в
последнем условии i пробегает только значения индексов не-
фиксированных координат.

Правило множителей Лагранжа для
задачи с подвижны ми концами и фикси-
рованным временем. Если допустимая пара
(u(Z), х(/)) является решением задачи (10.36)—(10.39), то су-
ществуют такие не равные одновременно нулю множители
Лагранжа, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера—
Лагранжа (10.33), (10.34) и условиям трансверсальности
(10.40).

Если управление терпит разрыв, то решение (и(/), х(ф
должно удовлетворять уравнениям Эйлера—Лагранжа в точ-
ка непрерывности управления. В угловых точках (в точках
разрыва управления) должно выполняться условие Вейер-
штрасса—Эрдмана (10.35).

Таким образом, чтобы получить решение задачи (10.36)—
(10.39), нужно решить уравнения (10.36) и (10.37) совместно
с уравнениями Эйлера—Лагранжа при краевых условиях
(10.38) и условиях трансверсальности (10.40). Этих соотно-
шений достаточно, чтобы определить все неизвестные величи-
ны.
Пример 10.2. Рассмотрим задачу

Х1®=.т2, х2 = и; х, (0) = х2 (0)=0,

1

/ = Ja2dl—>min.
о

Эта задача отличается от задачи, рассмотренной в примере 10.1, толь-
ко тем, что правый конец не закреплен: координата хг (1) не фиксирова-
на. Поэтому уравнения Эйлера—Лагранжа и их решения получаются
такими же, что и в примере 10.1:

Ф1 = С1: ф2=—Ci/4-C,; м = фг/2 = (-С1/+С2)/2.

Функция G = 0 и условия трансверсальности принимают вид

Фа (•) = dG/dx2 (1) = 0.

С учетом этого условия имеем ф2 = Q (1 — /), и = Q (1 — /)/2.
Подставив полученное выражение для управления в уравнения объекта
и решив их при заданных краевых условиях, получим:

и* (0=3(1-/); л;(о=—|-/з+-|-/2; х’(0=—1-/2+3/.

Задача с нефиксированным временем. Рассмотрим задачу
с подвижными концами. В условие задачи с нефиксированным
временем в отличие от задачи (10.36)—(10.39) с фиксирован-
ным временем могут явно входить начальные и конечные момен-
ты времени. Задача оптимального управления в этом случае
формулируется следующим образом:

=	i = l,2,,.., п;	(10.41)

<рй (х, и, /) =0, k = 1,2.(;	(10.42)

&[х(/0). *('/)	=0, /=1,2,...,ф;	(10.43)

ч

j =golx(Q. х(9> Z<” Z/J + J A>(x-U ’	(10.44)

Очевидно, если допустимая пара (u*(Z), х*(/)) при t g [/g,
//1 является решением задачи (10.41)—(10.44), то она будет
решением этой же задачи при фиксированном времени: t0 = to,
tf ~ tf. Поэтому решение задачи (10.41)—(10.44) должно удов-
летворять уравнениям Эйлера—Лагранжа и условиям транс-
версальности, причем условия трансверсальности дополня-
ются соотношениями, обусловленными вариацией начального
и конечного моментов времени, и принимают вид 113]

t-=l,2,...,n; (10.45)
Лсг (t0)	дх, (tf)

H\i=t,=dG/dte H\t=tf = -dG/dtf. (10.46)

Условия (10,45) совпадают с условиями (10.40). Дополнитель-
ными являются соотношения (10.46). Их приведенным выше
элементарным способом не удается получить.

Задачи с подвижными концами и нефиксированным вре-
менем являются наиболее общими. Из них как частные случаи
получаются задачи с фиксированным временем и закреплен-
ными или неподвижными концами.

Правило множителей Лагранжа формулируется точно так
же, как и в случае задачи с фиксированным временем. При-
ведем его в несколько иной, чем выше, формулировке.

Правило множителей Лагранжа для
задачи с подвижными концами и нефик-
сированным временем. Для того чтобы допусти-
мая пара (“(0. х(0) была решением задачи (10.41)—(10.44),
необходимо, чтобы существовали такие не равные одновремен-
но нулю множители Лагранжа, что эта пара удовлетворяет
уравнениям Эйлера—Лагранжа (10.33), (10.34) во всех точках
непрерывности управления и условиям трансверсальности
(10.45), (10.46) В точках разрыва управления (если таковые
существуют) выполняется условие Вейерштрасса—Эрдмана.

Пример 10.3. Дано:

уравнения объекта

XL=^X2', х2—и',

А

изопериметрическое ограничение f u2dt = b; краевые условия х1 (0) =
0

= хг (0) = 0; (tf) — d; х2 (tf) = 0.

Требуется определить оптимальное по быстродействию управление:
J = tf min.

Преобразуем изопериметрическое ограничение:

х3=.иг', x3(0) = 0; x3(ff) — b.

Функция G = —tf и условия трансверсальности записываются следую-
щим образом [см. (10.46)]:

dG!dtf — \-
Гамильтониан и уравнения Эйлера—Лагранжа имеют следующий вид:
Н = *2 + ^2 “ +'|’з “2;

= —577/5x2 = 0; 4'2 ——дН/дх2=—;

фз = — дН!дхя = 0; дН/ди = 4’г + 2я|>3 и—О.

Из последних уравнений имеем:

я|>1 == С]! 4^2 — ' Cj7-Г С2; 4)з=^^-з> w ~(С] / — С2)/(2С3) =
— С4 I — С5, С4 — С1/(2С3), Сз = С2/(2С3).

Подставив полученное выражение для управления в исходные урав-
нения и решив их с учетом краевых условий, получим

*! = ~С4(!—65 7; С4 = 2С5/7у;

1 с5

х1=—С4/3 —-у-/2; С5= —6d//f2; С4= — 12d/7f3;

I	з______

х3 =•—- С2 73— С4 С5 /24-е2 t; tf = V12d2/ft.

О

Следовательно, правилу множителей Лагранжа удовлетворяет управ-
ление

125 I tt \	3 -------

«*(0 = —- 4—^ = У1252/7>.

Здесь, как и в примерах 10.1 и 10.2, предполагается, что решение за-
дачи существует, поэтому единственное управление, удовлетворяющее
правилу множителей Лагранжа, будет оптимальным. В данном примере
условия трансверсальности при определении оптимального управле-
ния не использовались. Они потребовались бы, если нужно было бы
определить множители Лагранжа.

§ 10.3. Принцип максимума Понтрягина.
Условие нормальности. Теорема об п
интервалах. Вырожденные и особые задачи

Во многих прикладных задачах на управление накладыва-
ется ограничение типа неравенства. Часто оптимальное управ-
ление в таких задачах имеет разрыв. Метод множителей Ла -
гранжа не позволяет определить число и местоположение точек
разрыва, и поэтому в этих случаях он не позволяет находить
оптимальное управление. Такие задачи эффективно решаются
с помощью принципа максимума Понтрягина.
Принцип максимума, сформулированный Л. С. Понтря-
гиным в 1953 г. как необходимое условие экстремума для за-
дач оптимального управления, был доказан и развит впослед-
ствии им, его учениками и сотрудниками [1, 4, 17].

Задача с закрепленными концами
и фиксированным временем

При отсутствии фазового ограничения задачу оптимального
управления в этом случае в общем виде можно сформулиро-
вать как следующую задачу Лагранжа:

хг = ft (х, u, t), i = 1.2,..., п, u £ U;

xt (Q = Xi", Xt (if) =x;, / = 1,2,..., n;

Jsf f0 (x, u, t) dt-+ min (inf).

i a

(10.47)

Все функции ft непрерывны по совокупности переменных лу, ...
...,xn,u1,...,ur,Z и непрерывно дифференцируемы no .... хп, t.
Эта задача отличается от задачи (10.28)—(10.31) с закреплен-
ными концами и фиксированным временем, рассмотренной в
предыдущем параграфе, тем, что ограничение задается в виде
включения u £ U, где U — допустимое множество значений
управления. Кроме того, здесь не требуется гладкость (не-
прерывная дифференцируемость) функций ft (7 = 0, 1, ..., п)
по управлению и.

Допустимым принимается управление и(/), принадлежа-
щее к классу кусочно-непрерывных функций и принимающее
значение из допустимого множества U. Фазовая траектория
х(/) называется допустимой, если она является кусочно-глад-
кой. При допустимом управлении фазовая траектория задачи
(10.47) является кусочно-гладкой: координаты Xt(t) (i = 1,
2, ..., ri) непрерывны всюду на интервале [f0, fy], а их про-
изводные могут иметь разрыв 1-го рода в точках разрыва уп-
равления. Пара (и(/), х(/)) называется допустимой для задачи
(10.47), если и(/) и х(?) являются допустимыми управлением
и траекторией и x(t) при u(f) = u(f) удовлетворяет уравнени-
ям и краевым условиям этой задачи.
Применим к задаче (10.47) прием Лагранжа 11]. Составим
функцию Лагранжа:

£ = "Фо fo + 5 Ф/ (ft — хг) = Н — V ф, хь
1=1	1=1

где гамильтониан

н = 2’М*-
i=i

(10:48)

Функцию Н называют также функцией Понтрягина [ 1 ]. Функ-
ции Лагранжа и Понтрягина имеют такой же вид. что и со-
ответствующие функции в вариационных задачах классичес-
кого типа, рассмотренных в предыдущем параграфе, только в
эти функции не входит ограничение на управление, имеющее
в данном случае вид включения и £ U. В соответствии с прие-
мом Лагранжа задача (10.47) сводится к задаче

J = f L (х, х, и, ф, t) dt max;

ii

х{(/0) = х°, xi(Z/)=Xi, i = l,2,..„ n.

(10.49)

Функционал J максимизируется, хотя функционал J в ис-
ходной задаче требуется минимизировать, так как множитель
Фо при f0, или, что то же, при J, в неособом случае прини-
мается отрицательным (ф0 = —1). В особом случае (ф0 = 0)
функционал J не зависит от J.

Пусть u*(t}, ф*(0) — решение задачи (10.49). Оче-
видно, задача (10.49) равносильна следующим двум:

7

Jj= Г L (х, х, и*, ф,/) max;

Х’Ф

J2= С L(x*,x*, и,ф*, f) dt-+max.
или

Л->тах; (10.50)
Х,ф

t

t

n

u, ф*. Z) — S ‘Pi

d/—>niax. (10.51)
n£U

при тех же граничных условиях, что и в задаче (10.49). Естест-
венно, задачи (10.49)—(10.51), как и исходная задача, рассмат-
риваются в классе допустимых функций, причем функция
ф(/) называется допустимой, если она, как и x(Z), является
элементом множества кусочно-гладких функций.

Задача (10.50) — простейшая задача вариационного ис-
числения. Для нее необходимые условия (уравнения Эйлера)
имеют вид

/= 1,2...п;	(10.52)

Xj—dH/dipj, j — 1,2,..., п.	(10.53)

Решение задачи (10.51) очевидно: управление u*(Z) доставляет
максимум в этой задаче в том и только в том случае, если
всюду на [Zo, tf], кроме точек разрыва и*(/), выполнено равен-
ство

max Н (х*, и, ф*, /) — Н (х*, и*, ф*, Z),	(10.54)

uQU

Необходимые условия задачи (10.50) совместно с условием
(10.54) составляют необходимые условия задачи (10.47), на-
зываемые принципом максимума или принципом максимума
Понтрягина. Уравнения (10.53) совпадают с уравнениями
объекта, и поэтому их можно не рассматривать. Уравнения
(10.52) называют сопряженными уравнениями или сопряженной
системой.

Принцип максимума. Для того чтобы допусти-
мая для задачи (10.47) пара (u*(Z), x*(f)) была ее решением, не-
обходимо, чтобы существовали такие не обращающиеся одно-
временно в нуль константа фо < 0 и решение ф* = (фь ...

сопряженной системы (10.52) при x(Z) = x*(Z) и и(/) =
=u *(/), что при любом t С tf\, кроме точек разрыва u* (f),
функцияН (и = Н(х*, и, ф*, t) достигает при и = u*(t) мак-
симума, т. е. выполняется соотношение (10.54).
Задача с подвижными концами

Рассмотрим следующую задачу Больца:

xi ~fi (х> u. /)> i = 1, 2,..., n, u £ U;

£>(х (/„), х(/>), /0, /у)=г0, / = !,..., <у;

tf

J = g0(*(t0),*ltf), t0, tt)+ J f0(x,u,/)d/-»-min:

функции gj (j = 0, 1.....q) непрерывны и непрерывно диф-

ференцируемы. Функции fj(i =>О, 1,... п) обладают такими же
свойствами, что и в задаче (10.47).

Используя прием Лагранжа, эту задачу можно свести к
следующей простейшей вариационной задаче:

J + J — У ф,- X/ Id/-»- шах.
i<,	i = l

где

«7	п

G = у	gj’, vo =^<>;	2	fi-

/=о	i=o

Дальше, как и в случае задачи с закрепленными концами,
последняя задача расщепляется на две и получаются необхо-
димые условия в форме принципа максимума. Допустимая
пара (и(/), х(/)) для задачи (10.55) определяется так же, как и
для задачи (10 47).

Принцип максимума. Для того чтобы допу-
стимая для задачи (10.55) пара (и* (/), х*(/)), t £ l/o, /j], былаее
решением, необходимо-.

1)	существование таких не обращающихся одновременно в
нуль константы фо < 0, констант {j =1, .... q) и решения
Ф* = (фь .... Фп) Т сопряженной системы (10.52) при и(/) =
= и*(/) и х (/) = х*(/), что при любом t С Г^о, /fl, кроме то-
чек разрыва и*(/), функция. Щи) =Щх*, и, ф*. /) достигает
при и = и*(/) максимума, т. е. выполняется, соотношение
(10.54);

2)	выполнение условия трансверсальности (10.45), (10.46).

Рассмотрим, какова связь между принципом максимума
и методом множителей Лагранжа. Функция Понтрягина (га-
мильтониан) (10.48) отличается от гамильтониана, введенно-
го в предыдущем параграфе, тем, что в ней не учтено ограни-

(10.55)
чение на управление. Сопряженные уравнения (10.52) сов-
падают с уравнениями Эйлера—Лагранжа (10.33), если фазо-
вое ограничение отсутствует (функция <р;, от фазовых коорди-
нат не зависит). Они не содержат уравнений Эйлера—Лагран-
жа (10.34), которые определяют условия стационарности.
Вместо них имеется условие максимума (10.54). Если ограни-
чение на управление задается в виде соотношений типа ра-
венства, то, используя метод неопределенных множителей
Лагранжа нахождения экстремума функции, из (10.54) по-
лучим недостающие уравнения Эйлера—Лагранжа.

Пример 10.4. Пусть при наличии ограничения иа управление тре-
буется повернуть вал двигателя за заданное время Т на максимальный
угол. Эта задача формализуется следующим образом:

= х2 = н; | и | < а',

xt(0) = x2(0) = 0; х2(У) = 0;

J — —х, (У) —> min.

Сначала попытаемся решить эту задачу методом множителей Лагранжа,
Для этого преобразуем ее к задаче классического типа. Представим ог-
раничение на управление в виде двух неравенств:

—a sC и, и а.

Введем переменные и г2 и заменим эти неравенства равенствами и +
+ а = zj, и — а = —г|. Перемножив последние равенства и положив
г = ztz2, получим и2 — а + z2 = 0.

Таким образом, введением только одной дополнительной перемен-
ной ограничение типа неравенства преобразовано в эквивалентное огра-
ничение типа равенства. Гамильтониан для преобразованной задачи
имеет вид И = ф,х2 4- ф2п + к {и2 — а2 + г2).

Выпишем уравнения Эйлера—Лагранжа и условия трансверсальности:

Ф1~—дН/дх1 = 0; фа •==—дН/дх2 =—фу.

дН]ди = фа + 2Хн =0; дН/дг = 2Xz = 0;

G = -фо xt (Т) =х, (У); Ф, (У) = дв/дх, (У) = I.

Отсюда ф, = 1; ф2 = С(—/; и — (/ — CJ/121).

Так как управление ограничено, то к =/-- 0, поэтому из уравнений
Эйлера—Лагранжа (последнего) получаем z = 0 и из уравнения огра-
ничения и — ± а. Однако, проинтегрировав исходные уравнения с уче-
том краевых условий иа левом конце, убеждаемся, что ня одно из уп-
равлений и = а и и = —а не обеспечивает выполнения краевого ус-
ловия на правом конце х2 (У) = 0. Это означает, что решение задачи
надо искать в классе кусочно-постоянных управлений, удовлетворяю-
щих уравнениям Эйлера—Лагранжа во всех точках интервала [0, У],
за исключением точек разрыва управления. Однако число и местополо-
жение точек разрыва методами классического вариационного исчисле-
ния определить не удается.
Теперь попытаемся решить эту задачу, используя принцип мак-
cHMvwa. Функция Понтрягина

Н = Ф1 Л2 + 'Фг и •

Сопояженные уравнения совпадают с первыми двумя уравнениями
Эйл'еоа—Лагранжа, поэтому с учетом условий трансверсальности
ищеем ф2 — Ct — t. Из условия максимума

шах Н=ф1х2 + шах "ф2 и

|«1-<а	|и|Са

следует, что оптимальное управление принимает только крайние зна-
чения (а или —а) и его знак всюду в точках непрерывности совпадает
со знаком функции ф2 (/):

и — a sign ф2 = a sign (Ct — t).

Так как линейная функция может изменить знак иа интервале не более
одного раза, то оптимальное управление

{а при 0 < t <

—а при /j < t < Т,
или

—а при О < t <
а при /,</<?.

Но по условию задачи иужио повернуть вал двигателя иа максималь-
ный (положительный) угол. Поэтому оптимальным может быть только
первое из двух приведенных управлений. Остается определить точку
переключения (разрыва) управления. Проинтегрируем уравнения
объекта при выбранном управлении с учетом начальных условий (кра-
евых условий иа левом конце траектории):

{at при 0 t < t1;

C2-—at при Zj < / < Т.

Используя непрерывность х2(/),т. е. равенство att = С2 — atlt можно
представить

( at при О С t < /р
[ a(2tt — t) при < t Т.

Из краевых условий на правом конце траектории х2 (Т) = а (2^ —
— Т) = О получаем tv — TI2. Итак, окончательно для оптимального
управления имеем

[ а при 0 t < Т/2',
и* = {

— а при Т/2 < I Т.

Задача максимального быстродействия

Эта задача формулируется следующим образом: найти
допустимое управление, переводящее заданный объект из на-
чальной точки (множества) в конечную точку (конечное мно-
жество) за минимальное время. Разработка принципа макси-
мума началась с решения этой задачи. Она является частным
случаем задачи с подвижными концами и нефиксированным
временем. Если положить t0 = 0, то критерий оптимальности
имеет вид J — tf, поэтому в данном случае g0 — tf, f0 = О
п

и функция Понтрягина Н =	Если концы закреплены,

i=i

тоб = —g0= —tf и условия трансверсальности принимают вид
Н \t=tf = —dG/dtf = 1.

Пример 10.5. Решим задачу

%1 = х2; л2="и; |п[	а',

хДО) = х2(0) = 0; Xj(tf)=d > 0; x2(lf) = 0;
J = tf —> min.

Гамильтониан, сопряженные уравнения и их решения имеют такой вид:
/7 — Ф1Х2 Ч- ф2п; ф2 ~ О', ф2 = Ф1 ~ Gj: ф2 = Gjl Ч* С2-
Из принципа максимума

max Н — ^гхг Ч- max tpa и
Iи| С а	|и| с а

получаем и* = a sign ф2 (7). Так как tps (7) — линейная функция, то
на интервале 0	7 7у функция ф2 (7) может изменить знак не более

одного раза, причем из условия задачи (см. граничные условия) ясно,
что вначале и* = а или на всем интервале 0	7	7/

а при a sgi t < tf,

—а при 72 гС t tf-

Подставив это выражение в уравнения объекта и решив их, получим

| o7|-Ci при 0 < t 72; е 7 а1г/2 Ч- С, t Ч- С3 при 0^7 ^7,;

*2 . ( — а7Ч- С2 при tY < t < tf, ** I —а72/2Ч- C2 7Ч-С4 при tY t tf

Из краевых условий на левом конце следует Сх = 0 и С3 = 0, на пра-
вом конце С2 = atf, Ct — —at^/2 Ч~ d. В силу непрерывности фазовой
траектории в точке t — tt

att— —af-fatf, atl/2^ —at\/2-\-alf t^d — atf/2,
откуда /1 = /1/2 и tf = 2~\/d/a.

Таким образом, оптимальное управление

{п при 0 С t < ~Vdla\

__ _____________

—а при Vd/a < t < 2yd/a.
Рассмотрим задачу максимального быстродействия, когда
объект является линейным (описывается линейными дифферен-
циальными уравнениями):

= 2 aih4+ 2 Ь„и},	1,2,..., n;

fc=i	/=i

ccyCO, p>0, j == 1,2,..., r;

x, (/0) ==	x,(^)=0, i = l,2,..., n;

J =/7->-min.

(10.56)

Эта задача называется линейной задачей максимального быст-
родействия. В матричной форме уравнения объекта принимают
вид

х = Ах + Ви.

Предполагается, что эти уравнения являются уравнениями в
отклонениях и поэтому конечное состояние, в которое нужно
перевести объект, есть начало координат (x(tf) = 0).

Функция Понтрягина

Я = ф7 (Ах + Вн) =2 Ф,' ( 2 aihXk+ 2 bHui
1=1 \*=1 /=|

где ф7 = (ф,..фп) подчиняется сопряженному уравнению

фт = — дН /дх,

или сопряженной системе уравнений
ф = —-dH[dxi, i —

Согласно принципу максимума, оптимальное управление на-
ходят из условия

гпах//— Уфг У aihxn + max 2 Ф« 2 buui'
u£U	i = i	л=1	n(Ui=i /= 1

или

max V и} V &fjf фг = 2 max \ UJ 2 b‘jVi
n£U/=i i = i	/=4n£U\ i=i

где

U = {u : «j^Pj> /= 1,2,...,r}.
Если выполняется так называемое условие нормальности (см.
п

ниже), то сумма У, обращается в нуль только в изолиро-
«=1

ванных точках. В этом случае из последнего тождества сле-
дует, что координаты и/ (/ = 1.г) оптимального управления

и* кусочно-постоянны и принимают крайние значения а:, или
₽/=

а; при 2 bu < °;

»= 1

при 2 6о.чрг>0,	г.

« = 1

В частном случае, когда ограничение имеет вид |и/| < а;,

п

и*- = <2; sign 2	г.

i = 1

Условие нормальности. Введем в рассмотрение (n X ^-мат-
рицы

М[/] = [ВДАВ),.... (А"-' В)Д /= 1,2,..., г,
где By, (АВ),-...(Ап-1	В); есть у-е столбцы матриц В, АВ,...

...,АП~1 В соответственно.

Для объекта х = Ах -|- Ви выполнено условие нормаль-
ности или условие общности положения [4, 12], если матрицы
М 1/1 (при j — 1, .... г) невырождены, т. е. их столбцы линейно
независимы, или det М [у] =^= 0 (при j = 1, .... г). Объект, для
которого выполнено условие нормальности, будем называть
нормальным.

Пример 10.6. Для системы

Xi~ Х2-рЫ1, Хг — Uj-pUj

условие нормальности выполнено. Действительно,

A=(g А). В=(!?), АВ=(‘ )

и матрицы

м [!]=[} '] ,М[2]=[“ ']
невырождены.
Покажем, что для объекта

а0У("’ +Oif/<'1-1’ +-... + ап у = Ьи,

ад^0, 6#=0,	(10.57)

всегда условие нормальности выполнено. Не нарушая общно-
сти, примем а0 — 1. Преобразуем приведенное уравнение к
нормальной форме, приняв у = х±.

А — Х2>

х2=х3,

хп — —аг хп а2 хп-г — —ап xt-j-bu.

В векторной форме эта
х = Ах + Ви, где

система уравнений принимает вид

Как легко вычислить,
поэтому

(О 0 b \

О 0 ... —а^Ь \
........... ]	= abn =ё О,

О b	/

b —b I

о равен —1 или 1 в зависимости от п. В данном случае г = 1
и условие нормальности выполнено.

Необходимое и достаточное условие
оптимальности. В случае линейной задачи макси-
мального быстродействия при выполнении условий нормаль-
ности принцип максимума является не только необходимым,
но и достаточным условием оптимальности. Справедливо сле-
дующее утверждение [41: если выполняется условие нормально-
сти, то, для того чтобы допустимая для линейной задачи
максимального быстродействия пара (u*(t), x*(Z)) была ее
решением, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворя-
ла принципу максимума.

В оптимальном по быстродействию управлении линейным
объектом функции u*(t) (при / = 1, ..., г) принимают только
граничные значения при любых собственных значениях ма-
трицы А, если выполнено условие нормальности. В общем слу-
чае эти функции имеют произвольное число точек переключе-
ний — точек перехода с одного граничного значения на дру-
гое. В частном случае справедлива следующая теорема [41.

Теорема об п интервалах. Если в линейной задаче макси-
мального быстродействия объект является нормальным (вы-
полняется условие нормальности) и его характеристическое
уравнение

det (А —-$Е)= О

имеет только действительные корни, то оптимальные управ-
ления u*j (t) кусочно-постоянны, принимают только крайние
значения и имеют не более п интервалов постоянства, т. е.
не более п — 1 переключений.

Впервые теорему об п интервалах для нормального объек-
та, который описывается дифференциальным уравнением ви-
да (10.57), сформулировал и доказал А. А. Фельдбаум. Как
было показано, условие нормальности для такого объекта
всегда выполняется, поэтому для справедливости теоремы об
п интервалах необходимо и достаточно, чтобы все корни его
характеристического уравнения были действительны.

Если характеристическое уравнение имеет комплексные
корни, то число переключений зависит от начальных условий.
В каждом конкретном случае оно возрастает при удалении
начальной точки от начала координат и может быть сколь
угодно большим, но всегда конечным при любой начальной
точке.

Задача с ограничением на фазовые координаты

Если на некоторые из координат фазового вектора накла-
дывают ограничение, то, вообще говоря, теорема об п интер-
валах неверна. Более того, принцип максимума в том виде,
как он был сформулирован, несправедлив. Формулировка прин-
ципа максимума при наличии ограничений на фазовые коорди-
наты намного сложнее, и здесь она не будет приведена.

Чтобы познакомиться с некоторыми особенностями реше-
ния задачи с ограничением на фазовые координаты, рассмотрим
простой пример.

Пример 10.7. Пусть требуется перевести из начального состояния
в конечное за минимальное время объект, который описывается урав-
нениями Xj = х2, х2 = и при ограничениях |и| а, х2 х2т и крае-
вых условиях (0) = ха (0) = 0; лсг (tf) = х{, х2 (tf) = 0. Примем, что
> 0. Тогда, пока х2 (t) х2т, оптимальное управление и* — а
и фазовые координаты х2 — at, xj = а£Ч2. Очевидно, координата xj
достигает значения х2т в момент времени tj_ = х2т!а. Начиная с этого

момента времени начинается второй этап, на котором и*
иата xj остается постоянной и равной х2т,
а фазовая координата х* = а(Ч2 +
Н" xam U G)-

Чтобы удовлетворить условию иа пра-
вом конце траектории, должен существо-
вать третий этап — этап торможения, иа

котором и* — —а. Зависимости и* (t),
х* (t) и х2 (t) от времени показаны на
рис. 10.2. Оптимальные управление и
траектории имеют вид, приведенный на
этом рисунке, если оптимальное время
if > 2tlr в противном случае ограничение
на фазовую координату не будет влиять
на решение и оптимальное управление бу-
дет состоять из двух интервалов постоян-
ства.

= О И КООрДИ-

Рис. 10.2
Задачи с несколькими ограничениями. С увеличением числа
ограничений, при которых находятся оптимальные управления
и траектория, как правило, решение задачи усложняется. При
наличии нескольких ограничений может оказаться, что при
их одновременном учете задача аналитически .неразрешима,
тогда как при их частичном учете задача легко решается. В
подобных случаях полезно начинать решение с упрощенных
задач, которые получаются из исходной при отбрасывании
каких-либо ограничений. В результате их решения может вы-
явиться следующее:

1.	Найденные оптимальные управления и траектория ка-
кой-либо упрощенной задачи удовлетворяют неучтенным огра-
ничениям. Это означает, что временно не учтенные ограниче-
ния являются несущественными в том смысле, что они не вли-
яют на решение задачи и могут быть совсем отброшены. В этом
случае найденное решение упрощенной задачи и будет реше-
нием исходной задачи.

2.	Оптимальные управление и траектория ни одной упро-
щенной задачи не удовлетворяют неучтенным ограничениям;
эти ограничения являются существенными и задачу нужно ре-
шить заново с учетом последних. Но и в этом случае решения
упрощенных задач бывают полезными, так как они могут «под-
сказать» решение исходной задачи.

Пример 10.8. Рассмотрим уравнение двигателя х=х2, х2=и при огра-.

ничениях |«1 a, j uadt Ь. Последнее соответствует одновремен-
о

ному ограничению по току якоря и по нагреву. Пусть требуется опре-
делить управление а* (/), переводящее вал двигателя из начального со-
стояния в конечное за минимальное время при краевых условиях
-Ч (0) = х2 (0) = 0, Xj, (tf) = d > 0, Xjj (tf) = 0.

Нетрудно убедиться, что в этой задаче не могут быть несущест-
венными оба ограничения, поэтому простейшее упрощающее предпо-
ложение — это допущение, что существенным является только одно
из данных ограничений.

Предположим, что таким ограничением является первое. Второе
пока в расчет ие будем принимать. Тогда рассматриваемая задача сов-
падает с примером 10.5 н оптимальное управление

* I ° при °	< 0/2;

I—	а при tf/2	t tf, tf—2~\/ d/а.

Вычислим интеграл в левой части второго ограничения:

tf	_

ju*2 (t) dt—aa tf—2a f/ad.
o
Принятое допущение правомерно, если 2а“|/йй й. В противном слу-
чае необходимо при решении учитывать второе ограничение. Пусть,
действительно, последнее неравенство не выполняется. Тогда естест-
венно предположить, что при оптимальном управлении интеграл при-
мет максимально возможное значение, поэтому неравенство в ограниче-
нии можно заменить равенством. Решим эту задачу без учета первого
ограничения. Решение задачи в такой постановке было получено в
примере 10.2: оптимальное управление

u* = u(2)=6d(l—2Z/Zy)/Zf, tf^lbPjb.

Это выражение принимает по модулю максимальное значение в началь-
ный и конечный моменты

шах и* (t) = u*(0) = u* (tf) = Qd/tf = 3

и найденное управление будет удовлетворять ограничению |и| а,
если 3>/й2/18й а. Если это неравенство, как и ранее полученное не-
равенство, не выполняется, то необходимо учитывать оба ограничении.

Итак, пусть оба ограничения существенны. В этом случае инте-
гральное ограничение приобретает вид равенства

f u2 dtsa-b
о

и исходную задачу неклассического типа можно преобразовать к сле-
дующей задаче классического типа:

Xt = X2", X2 = U; X3 = U2; U2—O2_|_z2 = ().

д1(0) = х2(0) = х3(0) = 0; x](Z/) = d>0;

x3(tf) = 0', x3(tf)^=b; J — tf—> min.

Решим эту задачу методом множителей Лагранжа. Выпишем гамильто-
ниан и уравнения Эйлера—Лагранжа:

Н	х2 + ip2 ц -|- трз и2 -|- Х(и2 —а2 -|- гй);

Ч>1 = 0; ip2= —1|>1J ф3 = 0;

дН/ди = i|)2 -|- 2тр3и -|- 27м = 0; дН/дг = 2лг -- 0.

Из этих уравнений следует: ipj = С^, -ф2 = —Ctt + С2; -ф3 — С3.
Если X =/= 0, то из последнего уравнения Эйлера — Лагранжа z = 0
и в силу уравнения ограничения и = ui1) = ±а, т. е. в этом случае
оптимальное управление, как и оптимальное управление в упрощен-
ной задаче, когда не учитывается интегральное ограничение, прини-
мает только крайние значения. Из условия стационарности (дН/ди — 0)

и = —фа/[2 Сф3 + X)] = (Сг(-С2)/[2(С3 + Л)],
и если X = О, то

ы=47(2) = с;/—С^, где с; = C1/(2C.i), С2' = С2/(2С3).

У правление и<2) имеет такой же вид, что и оптимальное управление
и(2) в упрощенной задаче, когда первое из двух ограничений не учиты-
вается.
Таким образом, оптимальное управление и* состоит из управлений
вида и = а, и — —а и и = t'<2), причем с увеличением а длины интер-
валов, на которых и* = а или и* = —а, должны уменьшаться. Эти
интервалы должны выродиться в пустое множество, когда а настолько
велико, что ограничение |и| а становится несущественным, при
этом на всем интервале [0, /у] оптимальное управление и* = и(2) =
= И наоборот, с ростом Ь должен выродиться в пустое множество
интервал, на котором и* =. и(2), так как в этом случае начиная с опре-
деленного значения b становится несущественным интегральное огра-
ничение. Как отмечалось, управление н<2) принимает по абсолютной
величине максимальное значение, и оно прежде всего может не удов-
летворять ограничению |и| иа концах интервала [0, /у]. Из из-
ложенного следует, что оптимальное управление

а при 0 t < Ц;

&d(l —2t/tf)/tf при гС t < t2;

—а при t2 < t if-

где tlt t2 и tf определяются из краевых условий. Дальнейшие вкладки
предлагаем проделать самостоятельно в качестве упражнения.

Вырожденные задачи

Методы классического вариационного исчисления и прин-
цип максимума не всегда позволяют найти оптимальное управ-
ление. Существуют задачи, в которых необходимые условия
оптимальности, даваемые этими методами, выполняются три-
виальным образом и им помимо одного оптимального управле-
ния удовлетворяет множество других управлений, среди кото-
рых могут быть как оптимальные, так и неоптимальные управ-
ления. Задачи этого класса называют вырожденными. К числу
вырожденных относятся линейные задачи, для которых усло-
вия общности положения не удовлетворяются.

Если обнаруживается, что внутри интервала 14, tf\ имеет-
ся конечный отрезок времени [4, 41 такой, что на нем вдоль
соответствующих управлению u* (t) траектории х* (t) и со-
пряженной функции ф* (t) выполняются тождества

дН (ф*, х*, u*, t)/du ==а 0, д2 Н (ф*, х*, u*, t)/du2 ^0 (10.58)
или

Е (ф*, х*, u*, u,t)=H (ф*, х*, u*. t) — H (ф*, х*, п, /) = 0, (10.59)
то оптимальное управление называют вырожденным в класси-
ческом смысле в случае (10.58) или вырожденным в смысле прин-
ципа максимума в случае (10.59). Вообще говоря, условия
(10.58) и (10.59) не всегда выполняются одновременно.
В вырожденных задачах оптимальное управление нельзя
найти только из (10.58) или (10.59) и требуются дополни-
тельные условия. Одним из необходимых дополнительных ус-
ловий для вырожденных скалярных управлений являются
неравенства

(-1)

k д

ди

d2k
dt2k

дН
ди

<0, k = \,2„...

 При пользовании этим условием производится последо-
вательное дифференцирование дШди по времени, пока в од-
ной из производных не появится и, что и даст возможность
найти оптимальное управление. Доказано, что при таком по-
следовательном дифференцировании s раз управление может
появиться лишь при четном s = 2k.

Такого рода вырожденные задачи встречаются, в частно-
сти, когда гамильтониан Н линейно зависит от и.

Пример 10.9. Пусть

10

x — w, |u| sC 1; л(0) = 4; х(10) = 0; J = f x2dt —> min.
o'

Тогда

Н— фи— х2; дН/ди = ф; яр =—дН/дх = 2х.

В соответствии с принципом максимума u* = sign яр. Если на ка-
ком-либо отрезке времени интервала [0, 10] получится яр (/) = 0, уп-
равление будет вырожденным. Допустим, что такой отрезок существует.
Для такого отрезка справедливы

дН/ди—ф = 0; д(дН/du)/dt = -ф = 2х = 0; d-(dH/du)/dt2 = 2х —2и = 0,

откуда для вырожденного управления получаем ц* = 0.

Таким образом, оптимальное управление может принимать только
крайние значения: .— I или 1, когда яр #= 0, и 0, когда яр = 0. Одним
из управлений, удовлетворяющих этому условию, является управле-
ние

— I, 0 -С t < ti,
0,	< t С 10.

Проинтегрируем уравнение объекта при этом управлении с учетом
граничных условий. Тогда получим

4 — t, 0 Z < /j,
0, ix < t С Ю.

Из условия непрерывности траектории следует х (t^ = 4 — tz = 0,
откуда = 4.
Рассмотренная задача является вырожденной как в клас-
сическом смысле, так и в смысле принципа максимума на от-
резке.

Особые задачи

п

Как отмечалось, в гамильтониане Н = 2 Wz сопряжен-

4 = 0

ную координату ф0 обычно выбирают равной ф0 = —-1. Од-
нако встречаются задачи, в которых оптимальным управле-
нию и траектории соответствует ф0 = 0. Такие задачи назы-
вают особыми.

Примером особых задач могут быть неудачно сформулиро-
ванные задачи оптимального управления, например такие, ре-
шение которых не зависит от критерия оптимальности или име-
ет только одно возможное допустимое управление. Для по-
следних задач не существует возможности выбора наилучшего
решения и сама постановка задачи об оптимальном управле-
нии становится бессодержательной.

Пример 10.10. В качестве примера рассмотрим задачу х = и,
|u| < 1, х (0) = 0, х (1) = 1, J = — J Т/1 — u2dt -> min, где х и
и — скалярные величины.	°

Составим гамильтониан Н и сопряженное уравнение:

Н= — ф0"]/1 — н2-|-ф1 и\ фх == — 5/7/йх = 0.

Из последнего уравнения получаем фг = С.

В соответствии с принципом максимума если и* — оптимальное
управление их* — оптимальная траектория, то

Н(х*, и*, чр*) > Н(х*, и, ф*),

причем ф0 = const С 0.

Возможное допустимое управление — кусочно-непрерывная функ-
ция, удовлетворяющая поставленному ограничению и переводящая точ-
ку из х (0) за время tf = 1 в точку х (1)= 1, — единственно и равно
и (t) — 1. Так как других возможных управлений нет, оно и должно
быть решением задачи: и* (/) = 1. При этом Н (х*, и*, ф*) — фг = С
и по принципу максимума должно быть С —Фо К 1 — н2 Си. Лег-
ко проверить, что .если ф0 = 0, то последнее неравенство выполняется
при всех значениях константы С 0. Но при ф0 = —1 нельзя подо-
брать С так, чтобы последнее неравенство выполнялось при всех допу-
стимых управлениях. Следовательно, в данной задаче оптимальному
решению соответствует ф0 = 0.
§ 10.4. Метод динамического программирования.
Теорема Болтянского. Метод Кротова

Динамическим программированием называется разработан-
ный Р. Беллманом в начале 50-х годов метод оптимизации мно-
гошаговых процессов различной природы. Основу динамиче-
ского программирования как метода оптимизации составляют
[3, 71: 1) принцип оптимальности; 2) инвариантное погруже-
ние, т. е. включение исходной задачи в семейство аналогичных
ей задач; 3) функциональное уравнение, получаемое на ос-
нове принципа оптимальности и инвариантного погружения.

Основная идея метода заключается в следующем. Вместо
того чтобы решать исходную задачу, ее включают в некоторое
семейство задач оптимизации (инвариантное погружение). При
этом может оказаться, что между отдельными задачами сущест-
вуют простые соотношения и среди задач семейства найдется
такая, которая легко решается. Тогда, используя решение
последней и соотношения, связывающие отдельные задачи се-
мейства, получаем решение исходной задачи.

Проиллюстрируем сказанное на простейшем примере.
Пусть требуется найти минимум функции f (х) специального
вида:	-

\ /(*) = ^ft(xt)^ min ,

*‘=1	x£Gn

где Gn — прямое произведение областей (множеств) G, опре-
деления функций ft (хг):

Gn —G1xG2X ...xGn~, Xi^Gi, i = 1,2,..., n.

Рассмотрим семейство задач

/('«) (x<m)) = 2 ft (Xi)-»- min , m = l,2,....	(10.60)

В последнем соотношении x<m> = (хъ ..., хт)т. Исходная зада-
ча погружена (инвариантное погружение) в построенное се-
мейство задач в том смысле, что она входит в это семейство как
частный случай (при т = п). В задаче (10.60) параметр т
можно трактовать как дискретное время. Введем так называе-
мую функцию Беллмана

т

Вт = min X ft (Xi).
Очевидно,

Д»+1 ~ min

х"' +1 с с,т + 1

/т+1(лт 1) + 2 ft (xi)
i= I

~ ,nin fm+l (xm+l) + ПИП S/>(%•)
>т+1(Ст+]		Km^Gmi=l ‘

Но второе слагаемое в последнем выражении есть Вт, поэто-
му функция Беллмана удовлетворяет функциональному урав-
нению

5m+1= min [/m+1(xm+1) + Brril

*m~H Е $m+i

или, так как в данном случае Вт не зависит от хта+г,

B,n+1= min fm+1 (xm+1) 4- Вт, (10.61)

1 € $m+1
причем

6,== min f^xj.
хДб]

Решая (10.61) с учетом последнего условия, получим В1>
В2....Вп и х]......Хп Решением исходной задачи будут Вп

И X* = (xj, .... Хп)Т.

Как видно, метод динамического программирования сво-
дит задачу минимизации скалярной функции от п переменных
к п задачам минимизации скалярных функций от одной пере-
менной. В результате при числовом решении задачи сущест-
венно сокращается объем вычислений. Действительно, пусть
Gj (г = 1, .... и) — конечные множества и каждое из них со-
стоит из I точек. Тогда при решении исходной задачи методом
перебора без использования метода динамического програм-
мирования потребуется рассмотреть 1п вариантов, а с исполь-
зованием метода динамического программирования — всего Га
вариантов.

При использовании уравнения (10.61) вычисление Вт
производится в направлении возрастания аргумента, т. е. в
прямом «времени», поэтому уравнение (10.61) иногда называют
уравнением Беллмана в прямом времени или прямым урав-
нением Беллмана в отличие от уравнения Беллмана в обратном
времени или обратного уравнения Беллмана, при использова-
нии которого вычисление Вт производится в направлении
убывания времени. Для получения обратного уравнения про-
изведем инвариантное погружение исходной задачи в семейст-
во задач

7<"”(х(т>) =	min ,

i=m	х(т) ^g(m)

т = п, п— 1,..., 1,
где

X* ~ (Хт, л-т+1>  • > хп) >6 1 ~ GmXGm+1 X ... X Gn.

При т — 1 Имеем f (х) = 7(1>. Введем функцию Беллмана

= min Z fi(Xi).
,=‘m

Очевидно,

Sm-i = min kn_i (%,„_!)+~ min 2 fi (*,)|
x(m) £g("')	j

или

•$m—i ~	min {/m-i(Xm-i) + -Sm}.	(10.62)

xm—i6

Уравнение (10.62) есть обратное уравнение Беллмана.

В рассмотренном простейшем примере вывод уравнения
Беллмана основывался на очевидных соотношениях. В более
сложном случае при выводе уравнения Беллмана использует-
ся принцип оптимальности.

Принцип оптимальности

В общем виде этот принцип можно сформулировать следую-
щим образом; оптимальная стратегия (поведение) обладает
тем свойством, что, каковы бы ни были начальное состояние
и решения на начальном этапе, решения на последующем эта-
пе должны составлять оптимальную стратегию относительно
состояния, которое получается в результате принятия реше-
ний на начальном этапе.

В задачах оптимального управления оптимальность опре-
деляется функционалом (критерием оптимальности) J (u (t),
х (t)), состояние— фазовым вектором х (t), стратегия — это
управление u (t) на всем интервале [/0, /Д решение — это вы-
бор управления.
Для задачи оптимизации справедлив принцип оптималь-
ности, если она обладает марковским свойством или, как еще
говорят, оптимизационный процесс является марковским.
По определению, задача оптимального управления обладает
марковским свойством, если после выбора управления на ин-
тервале [/„, fl влияние процесса управления (н (/), х (/)) на
оставшемся интервале If, tfl на величину функционала
j (и (0. X (/)) зависит только от состояния х (f) в конце на-
чального интервала и выбора управления в последующие мо-
менты времени, т. е. на интервале If, tfl.

Чтобы сформулировать принцип оптимальности примени-
тельно к задачам оптимального управления, рассмотрим за-
дачу

х = f(x, u, t); u (0 g U(;

x(Z0)=x<’;x(Z/)6X/;

4

J =* go lx (tf), tf\ 4- J /0 (x.u , t) dt.

(10.63)

Условимся функцию u (t) на интервале la, bl обозначать
u [a, bl; u la, b] = (u (t), a < t < b). Если интервал слева
или справа является открытым, то соответственно слева или
справа будем писать круглую скобку: u la, b) = (и (/), а <
< t < b) ни (а, Ь] = (и (/), а С b <1 Ь).

Для задачи (10.63) справедлив принцип оптимальности,
и он может быть сформулирован следующим образом: для
оптимальности допустимой для задачи (10.63) пары (u* (t),
х* (/)) необходимо, чтобы при любом f С [Zo, tf] управление
u*[f, tf\ было оптимальным относительно состояния х* (f),
в котором окажется объект в момент f при использовании на
начальном отрезке времени /0 < t <; f управления и* U„, f].
Этот принцип оптимальности иногда также будем называть
прямым принципом оптимальности.

Это утверждение легко доказывается от противного. До-
пустим, что оно неверно и существует допустимое управле-
ние u° [f, tf], переводящее объект из точки х* (f) в точку
x°(ff) С Xf в момент 1°, при котором функционал

у

Л(п It', tfl) = gv (к (tf), if) + ( fB (x, u, t) df
принимает меньшее значение, чем при управлении u* W,
tfl, т. е.

J2(u° [/',/“]) < J2 (и* [f, tf ]).

Тогда критерий оптимальности в задаче (10.63) при управле-
нии

НИ1 =

И*(О. t0^t<t';
u°(t), Г

принимает меньшее значение, чем при управлении и* [/0,
/f], т. е.

J (и° [/0, О = А(и*Ко./']) + A(u° It', t?l) < J (u*[f0, /fl) =

= Л (и*[/0,Г])+А(и*[Г,/Л),

а это противоречит, оптимальности управления и* [/0, ^].

Принцип оптимальности для задачи оптимального управ-
ления является частным случаем следующего более общего ут-
верждения: если допустимая для задачи (10.63) пара (и* (/),
оптимальна, то, каков бы ни был подынтервал 14, /2] cz
с: ft0, /у], управление и* (/) на этом подынтервале является
оптимальным относительно граничных точек к* (4) и х* (/2).
Это утверждение доказывается точно так же, как и принцип
оптимальности. В частном случае, когда 4 = t0,. приведен-
ное утверждение называют обратным принципом оптималь-
ности [7]. Приведем несколько иную формулировку этого
принципа.

Обратный принцип оптимальности.
Для оптимальности допустимой для задачи (10.63) пары
(и* (/), х* (/)) необходимо, чтобы при любом f Q [/0, tt] управ-
ление и* [Zo, Н было оптимальным относительно конечного
для интервала [tB, t'\ состояния х (f) = х* (Г).

Функция и уравнение Беллмана

Произведем инвариантное погружение задачи (10.63) в
семейство задач, которое получается из задачи (10.63) при за-
мене начального условия х (t0) = х° параметрическим услови-
ем x(f)= х', f Q Uo, tf}\ в новом условии t' и х' рассматри-
ваются как параметры. В частном случае, когда t' = t0 и
х' = х°, из введенного семейства выделяется исходная зада-
ча.
Минимальное значение критерия оптимальности при пара-
метрическом начальном условии зависит от выбранных зна-
чений f и х (f):

5 [х (/'),/']

== min £0(х(^)Л)+ f/0(x,u, f)dt
и(У)Си4,	J

t' < t < tj

причем S (x (tt), tf) = g0 (x (tf), tf).

Функция S (x (f), t') называется функцией Беллмана.
Получим уравнение Беллмана. Очевидно,

S [х (/' —Д/), t’ —ДЛ =	min

Z' —А/ < t < tf

t-	‘f

+ J fodt + ^fBdt

Г—bt	r

ge(x(tf),tf) +

Для краткости записи аргументы функции f0(x, u, t) опущены.
В силу принципа оптимальности

S[x(/'—ДХ), £'—Д/] = min
u(/)eu,.

t’ —AZ < t < t’

J fo dt +
f -Ы

+ min [g0 (x (tf), tf) ± ffod/],
u(O€U(,	J

t' < z < tf

или

S[x (t' —Д/),/'—Д/] =

min
u(Z)eu«,
Z'—AZ<Z<Z

J fodt + s\x (/'),/']
t'—Kt

Фазовый вектор x (f — Д/) и соответственно функция Беллма-
на в левой части последнего соотношения не зависят от управ-
ления на интервале [/' — Д/, fI, поэтому в этом отношении
функцию Беллмана левой части можно перенести в правую
часть и внести под знак минимума:

О = min
и (0 £ О/,
t' —&t < t<_t’

j f0 dt -{- S [x (f),/']— S[x(f —
t’ —

—Ы), t' — Afl

В полученном уравнении интеграл представим в виде

J /о^=/о(х(0. и(О. У)Ы + О(Ы).
г -ы

Затем, разделив обе части на А/, устремим Д/ к нулю. Тогда,
приняв t’ = t, в пределе получим уравнение

0= min {/0(х, u, t) -j-dS(x(t), f)/dt },	(10.64)

u(0£Ut

или

0 = min

u(0€U(

f0 (x, u, t) + У 4^- fi (x- u- ty^-dS/dt
dx‘

которое называется уравнением Беллмана или обратным урав-
нением Беллмана. Так как функция S (х (/), t) не зависит от
управления u (t), последнее слагаемое в правой части можно
вынести за скобки и уравнение Беллмана записать в виде

V dS

min fo(x,u,O + 2j аГМх’ u’Z)

= —dS/dt,

или в векторной форме

min [fu (х, u,/)+-^-f (х, u,/) 1 — —dS/dt. (10.65)

Напомним, что, по определению, производная от скалярной
функции по векторному аргументу есть вектор-строка:
dS/dx ’= (dS/dxlt.... dS/dxn).

Сформулируем основной результат: если функция Беллма-
на дифференцируема, то, для того чтобы допустимая пара
(Ч (О. х (0) для задачи (10.63) была ее решением, необходимо.
чтобы она удовлетворяла уравнению Беллмана (10.65) при
граничном условии

S(x(G),//)=gl)(x(Z/jf//).	(10.66)

Если минимум в левой части (10.65) достигается во внутрен
них точках множества Ut, то уравнение Беллмана можно пред-
ставить в виде

f0 (х, u, t) + ™ f (х, и, /) = — dS/df,	(10.67)

<Эх

— k(x,u,0+ — f (х, и,/) 1 = 0, / = 1,2,..., г. (10.68)
duj (	дх	j

Уравнения (10.68) выражают необходимое условие минимума
левой части (10.65) и заменяют опущенную в уравнении (10.67)
операцию минимизации по управлению.

Если правые части уравнений объекта и подынтегральное
выражение в критерии оптимальности, т. е. функции i =
= 0, 1, 2, п, явно не зависят от времени и конечный момент
tf не фиксирован, то функция Беллмана не зависит явно от
времени и dSIdt = О.

Оптимальное управление методом динамического програм-
мирования находится следующим образом:

1)	из уравнений (10.68) определяется управление как
функция от S, т. е. и* = и* (S);

2)	подставив и* (5) в уравнение (10.67) и решив его при
краевом условии (10.66), находят функцию Беллмана;

3)	подставив найденную функцию Беллмана в выражение
и* = п* (S), получают оптимальное управление как функцию
фазовых координат.

Пример 10.11. Пусть требуется найти оптимальное управление с
обратной связью в задаче:

х,=х2; х2==ы; Xi(O)=xJ; х2(0)=х§;

‘j
х,(//) = 0; х2(//) = 0; J - ,| (х?4-п2)Л.

где х® и xg — произвольные заданные числа, момент tf не фиксирован.

Для решения этой задачи воспользуемся методом динамического
программирования. Выпишем уравнения (10.67) и (10.68). В данном слу-
чае dSIdt — 0 и эти уравнения имеют вид

х?+«Ч-	Х2+ U = O; 2и+	»0.

 >	c)Xj t>x2 ..	ОХг
Из второго уравнения и* — —ldS/dx2. Подставим это выражение в
первое уравнение:

Нужно решить это уравнение при граничном условии S (х (tf )) — О
Будем искать решение в виде квадратичной формы

S = аих? + ^а12х1х2 + аггх1,
которая, очевидно, в силу краевых условий задачи удовлетворяет
указанному граничному условию. Подставив это выражение в уравне-
ние Беллмана, получим

| (2а,2х, + 2а2гхг)г + (2а11х1 |-2о12х2)х2 =0

или

(1—а;2)х? + (2пи —2а12п22) xlx2 + (2п12 — а|2)х® = 0.

Последнее равенство будет выполняться тождественно, если

1—ai2=0. аи — о12о22 = 0, 2д12 —а22 = 0.

Эта система имеет следующие решения:

012 = 1, о22= J.1/2, Оц= ±1/2.

Так как, по определению, функция Беллмана

Ч

= f (x^-^jdt.

t

то S > О при всех / #= tf. Поэтому квадратичная форма, удовлетворяю-
щая уравнению Беллмана, будет функцией Беллмана, если она явля-
ется положительно-определенной. Этому условию удовлетворяет реше-
ние

<3t2 ж 1 » а22 = V2, он«=У2,
поэтому функция Беллмана

S = 1/2 ,xf + 2х,ха 4- 1/2 xj2

и оптимальное управление имеет вид

о*(х)= - 1	=- - (х,+ У2х2).

2 ох2

Как отмечалось, вариационные методы позволяют находить
оптимальное управление как функцию времени. Достоинством
метода динамического программирования является то, что он
позволяет находить оптимальное управление как функцию
фазовых координат, т. е. позволяет решать задачу синтеза оп-
тимального регулятора. Недостатком метода динамического
программирования является то, что он исходную задачу оп-
тимального управления сводит к решению трудноразрешимо-
го нелинейного уравнения в частных производных.

Проблема обоснования метода динамического
программирования и достаточные
условия оптимальности

Уравнение Беллмана как необходимое условие оптималь-
ности получено при предположении, что функция Беллмана
является гладкой (непрерывно дифференцируемой). Это допу-
щение не вытекает из условия задачи оптимального управления
и часто не выполняется, поэтому применительно к задачам оп-
тимального управления метод динамического программирова-
ния требует обоснования, и в тех случаях, когда обоснования
нет, метод динамического программирования может быть ис-
пользован как эвристический прием. При определенных усло-
виях метод динамического программирования дает достаточное
условие оптимальности.

1 Пусть S (х, t) — гладкое решение уравнения Беллмана
(10.65) при граничном условии (10.66) и функция u* (х, t),
вычисленная из условия

/0 (х, u*, t) + — f (х, u*, 0 4- — = min f0 + —- ,
dx,	dt u f U I ы )

порождает единственную траекторию x* (t), удовлетворяющую
уравнениям и граничным условиям задачи (10.63), вдоль кото-
рой функция u* (t) = и* (х* (0, t) кусочно-непрерывна. Тог-
да функция и* (х, 0 является оптимальным управлением зада-
чи (10.63).

Докажем это утверждение. В силу определения функции
u* (х, t) в каждой точке ее непрерывности справедливо равен-
ство [см. (10.64)]

/0 (х* (0, и* (0, /) + dS (х* (/), t)/dt = 0.

Проинтегрируем обе части по t от t0 до tp

J foIх* (0>u* (0> Л + s [X* (tf), tf]~S [x* (Q, Ц — 0,
откуда с учетом условия (10.66) и равенства х* (Q = х°
находим

S (х°, t0) = g0 [х* (tf), tf] + J f0 [x* (t), u* (t), t] dt. (10.69)

Рассмотрим допустимую пару [u (t), x (f)], где u (t) —
произвольное допустимое управление. В силу определения
функции ti* (t) = и* (х* (/), t) справедливо неравенство

/0 (х, и, 0 + dS (х, f)/dt f0 (х*, u*, f) + dS (х*, f)/dt = 0.

Интегрируя обе части по t вдоль траектории х (/), получим
~ ~ ~ —

J f0 (х (t), u (0, t)dt + s (х (tf), tf) ~S (X (t0), t0) o,

или с учетом условия (10.66) и равенства х (t0) = х°

Уf0 (х (t), u (0, f) dt + g0 (x (tf), tf) > S (x°, f0).

*0

Из этого неравенства следует [см. также (10.69)], что при
u (t) = u* (х, t) критерий оптимальности принимает мини-
мальное значение. Следовательно, управление u* (х, t) яв-
ляется оптимальным.

В том случае, когда функция Беллмана является неглад-
кой, достаточное условие оптимальности дает теорема В. Г.
Болтянского. В ее формулировке используется понятие ку-
сочно-гладкого множества. Определение этого понятия дает-
ся в [4, 7]. Здесь только отметим, что всякая замкнутая глад-
кая поверхность размерности, меньшей п, является кусочно-
гладким множеством в Rn [4]. Напомним, что гладкой поверх-
ностью или гладким многообразием размерности п — кв про-
странстве Rn называется множество точек, удовлетворяющих
системе уравнений

q>t(Xi, ...,хп)=0. 1 = 1,..., к,

где <р{ (хх, ..., хп) — гладкие функции и их градиенты dtpjdx —
= (dtpi/dXi, .... ctyiJdxn) (i = 1, .... n) линейно независимы.

Теорема Болтянского: пусть существует не-
прерывная функция S (х; t), обладающая непрерывными произ-
водными по всем своим аргументам и удовлетворяющая урав-
нению Беллмана (10.65), всюду на прямом произведении
X X [?0, tf], кроме точек кусочно-гладкого множества М раз-
мерности, меньшей п + 1; при t = tf эта функция подчиняет-
ся граничному условию (10.66). Допустимая для задачи (10.63)
пара (и* (?), х* (?)), удовлетворяющая почти всюду на [?0, ?/]
уравнению Беллмана, является ее решением.

На основании теоремы Болтянского можно рекомендовать
следующий порядок решения задач оптимального управления
[71. Выписывается уравнение Беллмана. Находятся функции,
удовлетворяющие этому уравнению в различных областях
пространства Rn*1 = X X R, где производные этих функций
непрерывны. Далее, если удается непрерывно «склеить» полу-
ченные функции, то «склеенная» функция, как правило, и
есть искомая функция Беллмана. Чтобы убедиться в этом,
нужно проверить, является ли множество, где производные
найденной функции разрывны, кусочно-гладким.

Метод Кротова [11]

В начале 60-х годов В. Ф. Кротов разработал новый метод
решения вариационых задач, который основан на достаточном
условии оптимальности, названном впоследствии принципом
оптимальности Кротова [7]. Но прежде чем познакомиться с
этим принципом, рассмотрим более общую постановку задачи
оптимального управления.

Решение задачи оптимального управления в классе кусоч-
но-непрерывных управлений и (?) и кусочно-гладких траекто-
рий х (?) не всегда существует. Целесообразно обобщить ее
так, чтобы расширить класс задач оптимального управления,
обладающих решением.

Пусть объект, ограничения и краевые условия задаются
следующим образом:

x = f(x,u,?); (u,x)€V(?); х(?0КХ0. x(fz)G Xz. (10.70)

Здесь V (?) при каждом фиксированном t С (А» fyl является
некоторым множеством пространства Rn + т. Обозначим через
D множество пар (и (?), х (?)) кусочно-непрерывных функций
и (?) и кусочно-гладких (непрерывных и кусочно-дифферен-
цируемых) функций х (?), определенных на [?0, tf] и удовлетво-
ряющих уравнению на этом интервале, за исключением конеч-
ного числа точек, ограничению на всем интервале и краевым
условиям (10.70). Множество D называют допустимым мно-
экеством, а его элементы — допустимыми парами, а множест-
ве D задан функционал

J (и (0, X (/)) = g0 (X (t0), х (tf)) -ь

f0(x, и, t)dt.

(10.71)

Требуется найти последовательность допустимых пар {u<s> (t),
x<s> (0), на которой функционал (10.71) стремится к своему
наименьшему значению на множестве D:

lim J (u<s> (t), x(s) (0) = • inf J (u (t), x (0).

s-»»	(u (t), x (/)) £ D

Такая последовательность называется минимизирующей. По-
следовательность допустимых пар будем также называть
допустимой последовательностью.

Основным обобщающим моментом в новой постановке яв-
ляется то, что в качестве решения задачи оптимального управ-
ления принимается минимизирующая последовательность, а
не определенная допустимая пара. В частном случае, когда
существует допустимая пара (и* (0, х* (0), доставляющая ми-
нимум функционалу (10.71), все члены минимизирующей по-
следовательности равны этой паре: u<s> (0 = и* (0, x<s> (0 =
= х* (0.

Пример 10.12. Рассмотрим несколько видоизмененный при-
мер Больца (1]:

х—и; |н|	1; х(0)=х(1)=0;

t
J(u, х)= J I (1—> inf.
-	о

Наименьшее значение (точная нижняя грань) функционала равно
нулю и достигается на последовательности

t

uP)(/) = sign sin 2ns/; xP>(t) = j sign sin 2л sr dr.

Действительно, fuP) (0J2 — 1 при любом s и xP) (/) равномерно
стремится к нулю при s -> оо. Кроме того, эта последовательность
принадлежит допустимому множеству: при каждом фиксированном s
функция цР) (/) является кусочно-непрерывной, хР) (/) — кусочно-
гладкой н пара (иР) (/), хР) (/)) удовлетворяет заданным условиям (урав-
нению, ограничению и краевым условиям). В обычном смысле задача
решения не имеет: иет допустимой пары, при которой функционал при-
нимает нулевое значение.
Принцип оптимальности Кротова. Сначала рассмотрим
задачу оптимального управления с фиксированным временем:
моменты tn и tf фиксированы. Пусть К (х, /) — произвольная
скалярная функция, которая определена, непрерывна и имеет
непрерывные частные производные по всем своим аргументам
на прямом произведении /?п X [Zo, tf}. Допускается, чтобы ча-
стная производная по времени имела разрывы 1-го рода в ко-
нечном числе точек на интервале Uo, tf\. Построим функции

+ -М	(Ю.72)

di

F (х (Q, х (tf)) =g0 (х (t0), x (tf)) + К (x (tf), tf) -

-K(x(t0),t0),	(10.73)

где f — правая часть уравнения (10.70); /0 и So — функции,
входящие в функционал (10.71). Введем обозначения

р (t) = sup R (х, u, t)’,
(u, x)gV(n

т — inf F (x(t0),x(tf)).

xGo)CXO1 x (tf) Xz

(10.74)

(10.75)

Относительно функции /С (x, t) также предполагается, что она
обладает такими свойствами, что соответствующая ей функция
R (х, u, t) определена и непрерывна всюду на Rn X Rm X
X [Zo, tf\, а р (t) — кусочно-непрерывна на Uo, //]. Функцию
К (х, t), обладающую указанными выше свойствами, будем
называть функцией Кротова.

Принцип оптимальности Кротова можно сформулировать
следующим образом: для того чтобы допустимая последова-
тельность (u(s> (t), x(s> (t)) была решением задачи (10.70),
(10.71), достаточно существования такой функции Кротова

K(*,t), что: 1°) /?(x<s> (t), u(s> (t), t) N >—оо при всех
t £ По, м и s; 2°) R(£<s> (/),u(s> (t),t)^.y(t) на
3°) F (x(s> (t), x(s> (tf)) -> m> — oo.
м

Символ

обозначает сходимость по мере.
Для доказательства этого принципа введем в рассмотрение
множество D пар (и (О, х (/)) из кусочно-непрерывных на [/0,
tt\ функций и (/) их (/), удовлетворяющих ограничению (и (/),
х (/)) € V (0. и определим на нем функционал:

Ч

L(u,x)=F(x(f0),x(tf)) — J R(x(t),u(t),t)dt.	(10.76)

*0

Очевидно, допустимое множество является подмножеством
D, т. е. De D. Поэтому функционал (10.76) определен и на
D, причем на D в силу уравнения из условия (10.70)

и функционалы (10.71) и (10.76) совпадают:

L (и, х) (х (/„), х (tf) -[К (x(tf), tf)-K(x (t0), t0)] +

4

f f0 (x, u, t) dt —J (u, x).

Обозначим

1= inf ~ L(x, u) = inf F (x(t0,x(tf))~
(u,x)fD	x (M t Xo, x (tf) £ Xy

4

— sup f R (x (t), u (t), t) dt.

(u.xKD J

В силу непрерывности R (x (t), u (/), t)
‘f

sup ( R(x(t), u(t),t)dt= f sup R (x (t), u (t),t) dt

(u,x)eD /o	J (u,x)€V(Z)

и., следовательно,

l = m— j (i(t)dt.

4

Из неравенства

inf J(u, x)= inf L(u, x)Z5= inf ~L(u,x) = /

(“,x)£D	(u,x)£D	(u.xJfD
следует, что I является нижней гранью функционала J (и, х).
Если выполняются соотношения 1°—3°, то, очевидно,

lim J (t), x<s> (0) = Hm L (u<s> (/), x<s> (0) = I.
8-*-oo	S->oo

Таким образом, l является точной нижней гранью функцио-
нала (10.71) и достигается на последовательности (u(s> (t),
x(s) (/)). Следовательно, эта последовательность является ре-
шением задачи (10.70), (10.71), что и доказывает принцип оп-
тимальности Кротова. Если u<s> (/) — u* (t) и x(s> (t) — х* (t),
т. е. решением является допустимая пара, принцип оптималь-
ности Кротова формулируется следующим образом: для того
чтобы допустимая пара (u*(i), х* (0) была решением задачи
(10.70), (10.71), достаточно существования такой функции
Кротова К (х, t), что

R (х* (/), и* (/), 0 == н (0. F (х* (^о). х* (if)) — т< (10-77)
где р (t) и т по-прежнему определяются соотношениями
(10.74) и <10.75).

Как решается задача оптимального управления на основе
принципа оптимальности Кротова? Допустим для простоты
рассуждения, что. решение существует в классе допустимых
пар. Подход, основанный на принципе оптимальности Крото-
ва, состоит в том, что вместо непосредственного отыскания до-
пустимой пары (u* (t), х* (/)), доставляющей минимум крите-
рию оптимальности, отыскиваются функция Кротова и допу-
стимая пара, удовлетворяющие условиям (10.77). В общем слу-
чае такой подход сводит вариационную задачу к задачам не-
линейного программирования в конечномерном пространстве.

Как следует из формулировки принципа оптимальности
Кротова, существует достаточно большой произвол в выборе
функции К (х, t). Этот произвол иногда позволяет преодолеть
те трудности, которые при других методах преодолеть не удает-
ся. Способ задания функции К (х, Г) определяет метод решения.
Путем определенного способа задания функции К (х, t) мож-
но получить уравнение Беллмана и принцип максимума Пон-
трягина.

Рассмотрим два различных способа задания функции Кро-
това. Пусть область ограничения V (t) можно представить
в виде прямого произведения: V (t) = Uf X Х«. Тогда пер-
вое соотношение в (10.77) можно представить в виде

R (х* (/), и* (/), t) = sup sup	(10.78)

и(/)€Ц x(0€X<
Один из возможных способов задания функции Кротова за-
ключается в таком ее выборе, что функция R (х (/), и (/), /)
не зависит от х (I). При таком способе соотношение (10.78)
принимает вид

R (х*(/),и* (0,0= sup ^(x(0,u(0,0-	(Ю.79)

u(0€Ut

При другом способе функцию Кротова выбирают таким обра-
зом, чтобы функция R (х (0, и (0, 0 не зависела от и (0- В этом
случае соотношение (10 78) записывается в виде

Z? (х* (0, и* (0,0 = sup /?(х(/), и (/),/).	(10.80)

x(/)€Xf

Способ задания функция К (х, 0 зависит от задачи, и успех
ее решения в значительной степени определяется тем, как за-
дается функция Кротова.

Пример 10.13. Рассмотрим задачи из 1(7].

Первая задача'. х—и, |u|	1, я(0)=я(1) = 0, J(x. и)==

1

<= f (х2 — u)dt inf.
b

Здесь и, х — скаляры. Составим функцию R (х, и, t):

т « Ж , дК 2 .

R(x, и, t)= — и+ — —х2 + «.
дх dt

Так как концы траектории закреплены, функция F (х (/0), х (//)) не
рассматривается. Выберем функцию К (х, t) так, чтобы функция
R (х, и, f) не зависела от управления. Это условие будет выполнено,
если

дК (х, t)/dx = —1 или К (х, Г) = —х + с (f),
где с (t) — произвольная гладкая функция. В этом случае
R (х, и, /) = —х2 + dK/dt — —х2 + dc/dt и соотношение (10.80),
принимает вид

—x*2-\-dcldt — sup (—x2 + dc/dt),
х

откуда х* = 0. В силу уравнения объекта х* = и* — 0. Пара и* = 0,
х* = 0 является допустимой и удовлетворяет достаточным условиям
оптимальности. Следовательно, это пара является искомым решением.

Заметим, что решить рассмотренную задачу методом динамическо-
го программирования или используя принцип максимума Понтрягина
не удается.

Вторая задача: пусть уравнения, ограничение и краевые условия
те же, а критерий оптимальности имеет вид

1

J (х, «) = f (xa+l-n2)dz.
о
В этом случае

R(x. и. f)=	№—l+u2+

дх	dt

Примем К (х, t) — 0. Тогда R (х, и, t) = —х2 — I + ия и максимум
этой функции достигается при и* = ±1, х* = 0 и равен нулю, т. е.
р (t) = 0. Пара (и* (t), х* (£)) не' удовлетворяет заданному уравнению
х* (/) у= и* (/) н, следовательно, не является решением.

Попытаемся найти допустимую последовательность пар (u<Ч s * * В) (/),
x(s) (0)» на которой достигается нижняя грань функционала, равная
нулю. Рассмотрим последовательность пар

t

u(s) (t) =sign sins nt, x (s)(0 = f sign sin sntdt.
о

Функции u(s)(0 и x(s)(0 при каждом фиксированном s являются соот-
ветственно кусочно-непрерывными и кусочно-гладкими, удовлетворяют
всем условиям задачи. Таким образом, последовательность пар
(u(s) (/), x(s) (t)) является допустимой. Последовательность {x<s) (/)}
равномерно стремится к нулю, а все члены последовательности
{n(s) (/)} принимают только значения ±1. Поэтому

7?(x<s)(0. u<s>(/). /) ->р(/) = 0.

Таким образом, приведенная выше последовательность удовлетворяет
достаточным условиям оптимальности и, следовательно, является ис-
комым решением.

Рассмотрим задачу с нефиксированным временем. Пусть
t0 фиксировано, a tf может изменяться в интервале [f0, /J, ус-
ловия совпадают с (10.70), а критерий оптимальности имеет
вид

Ч

J(u,x)=g0(x(t0),x(tf),tf) + f0(x,u,t)dt. (10.81)
К

Обозначим

F (х (Q, х (tf), tf) = g0 (х (t0), х (tf), tf) +K(n (tf), tf) —

—K(x (i0), t0);

m= inf F (x(t0),x(tf),tf).

x (to) €	, x (tf) £ Xy,

tf C Ko > GJ

В данном случае, если решение существует в классе допусти-
мых пар, принцип оптимальности Кротова формулируется сле-
дующим образом: для того чтобы допустимая пара (u* (t),
X* (0) была Решением задачи (10.70), (10.81) с нефиксирован-
ным временем, достаточно существования функции Кротова
(х, f) и времени tf С [0, 0] таких, что:

1°) ji (0 = 0, / € [0, 01;

2°)/?(х*(0, u*(0, 0 = 0 почти всюду на [0, tj ];

3°)F(x*(0), x*(0‘), tf)—m.

Это утверждение доказывается аналогично принципу опти-
мальности Кротова для задачи с фиксированным временем
ЦП.

Установим связь между достаточными условиями в методе
Кротова и уравнением Беллмана в методе динамического про-
граммирования.

Рассмотрим задачу (10.63). Обозначим

Р(х, 0 = sup R(x, u, 0 = sup	—/J.

ueu(	ueu( (ox dt J

Допустим, удалось найти такую функцию Кротова, что функ-
ция Р(х. 0 не зависит от х, а функция F (х (0), х (0), 0) не
зависит от х (0) и tf. Тогда

Р(х, 0 = sup Р(х, 0 = р.(0; F(x(t0), х(0) 0) =

s= inf F(x(t0), х(0), tf)=m.
х (<у)еХу.	t,J

В последнем соотношении опущена операция минимизации по
начальной точке x (0), так как она фиксирована. Для за-
дачи (10.63) функция

F(x(f0), x(0),0) = go(x(0), 0) + K(x(0), 0)-K(x(0), 0)
и не зависит от х (tf) и tf. если

К (X (0). 0) = -go (X (0), 0).	(10.82)

Очевидно, условие 3° в принципе оптимальности Кротова сов-
падает с (10.82), условия 1° и 2° принимают вид

И (0 = Р (х, 0 = sup f 4-^- -k ) = 0,
UEU, (ах dt }

или, так как К (х, 0 не зависит от управления,
При К (х, t) — —S (х, t) последнее соотношение совпадает с
уравнением Беллмана (10.65), а соотношение (10.82) — с ус-
ловием (10.66). Таким образом, при специальном выборе функ-
ции Кротова достаточные условия 1°—3° совпадают с уравне-
нием Беллмана с соответствующим краевым условием.

§ 10.5. Управляемость и наблюдаемость.
Наблюдатели

Управляемость

Для решения задач управления важно знать, обладает
ли объект свойством управляемости в смысле возможности
его перевода из заданной начальной точки (или области) в
заданную конечную точку (или область). Выше при рассмо-
трении задач оптимального управления предполагалось, что
объект таким свойством обладает, иначе не имело бы смысла
ставить эти задачи. Кроме того, обычно разработчик, выбирая
структуру системы управления, прежде всего заботится о том.
чтобы то, что мы называем объектом управления, обладало
свойством управляемости, и делает он это на основе инженер-
ных знаний и опыта. Но в сложных случаях не исключена
ошибка в выборе структуры системы управления, из-за чего
объект не будет обладать указанным свойством. Поэтому воз-
никает проблема управляемости — проблема установления
обладания объектом свойства управляемости. Эта проблема
впервые была поставлена лишь во второй половине нашего
века.

Перейдем к строгому определению свойства управляемо-
сти объекта и установлению критерия управляемости.

Пусть объект задается уравнением

х — f (х, и, 0, х £ Rn, u £ Rr.

Здесь пока принимается, что допустимое множество Ut зна-
чений управления совпадает со всем пространством Rr и-до-
пустимым управлением является любая кусочно-непрерыв-
ная вектор-функция, принимающая значения из Rr.

Объект называется вполне или полностью управляемым,
если для любой пары точек х° и х1 из R" существует допусти-
мое управление на конечном интервале Uo, fyl. переводящее
объект из точки х (/0) — х° в точку х (tf) = х'.
В случае стационарного объекта всегда можно принять
I = 0. Если объект является линейным, т е. задается урав-
нением вида .

х = Ах + Ви; х е Rn, и G Rr,	(10.83)

в приведенном определении можно одну из точек х° или xf
зафиксировать, например положить х° — 0 или xf = 0. Дей-
ствительно, так как решение (10.83) при произвольном на-
чальном условии х (/0) = х° имеет вид

t

х (/) = X (t, f0) xn + J X (t, т) В (T) u (t) dr
t a

и при x (t0) = 0

t

x (/) = ^ X (t, т) В (t) u (t) dr,
fo

то задача перевода объекта (10.83) из произвольной начальной
точки х (4) = х° в точку х (tf) = xf равносильна задаче его
перевода из начальной точки х (/„) = 0 в точку х (tf) = xf —-
—- X (tf, t0) x°. Аналогично, задача перевода объекта (10.83)
изначальной точки х (t0) = х° в произвольную конечную точ-
ку х (tf) — х1 равносильна задаче его перевода из начальной
точки х (t0) = х° — X-1 (tf, t0) х (tf) в точку х (tf) — 0. Та-
ким образом, в случае линейного объекта свойство управляе-
мости можно еще определить следующим образом: объект
(10.83) называется вполне управляемым, если для любой точки
xf из Rn существует допустимое управление на конечном интер-
вале [fn, tj], переводящее объект из точки х (t0) = 0 в точку
х (tf) = х», или объект (10.83) называется вполне управляе-
мым, если для любой точки х° из Rn существует допустимое
управление на конечном интервале Uo, tf], переводящее объект
из точки х (t0) = х° в точку х (tf) — 0.

Управляемость линейных стационарных объектов. Пусть
матрица А и В в (10.83) постоянны. Введем в рассмотрение так
Называемую матрицу управляемости

У = [В АВ А2В ... А”-*В],	(10.84)

которая состоит из столбцов матрицы В и произведений ма-
триц АВ, А2В, ..., АП-1В и имеет размерность (n X пг).
Справедлив следующий критерий управляемости: линейный
стационарный объект (10.83) вполне управляем тогда и толь-
ко тогда, когда ранг матрицы управляемости (10.84) равен п.
Ниже при доказательстве этого критерия используется те»
орема Гамильтона—Кэли, согласно которой любая (n X п)-
матрица А удовлетворяет своему характеристическому урав-
нению

det (sE —А) = sn —tj sn-1 —c2s"-2 —... — cn = 0.

На основании этой теоремы имеем

An = c1A"-1 4- с2 Ап~2 + ...+ сп Е. (10.85)

Необходимость. Решение уравнения (10.83) при
постоянных матрицах А и В можно представить в виде

t

x(t) = eA,x(0) + | еА Ви (т) dr, (10.86)

где матричная экспоненциальная функция еА( определяется
равенством

еА' = Е + А/+ -1- (А02 + ....	(10.87)

Для х (tf) из (10.86) и (10.87) при х (0) = 0 получаем

х (tf) — Вос о -) A Bocj -f-  А2 Вос 2 4" • • •.
где

9 k

а„ = f -fclL u (т) dr, k =»0, 1,2..

J k

Умножив обе части равенства (10.85) справа на В, получим

А«В=с1Ап-1 В +сг А"-2 В + ... +сп В.

Умножив обе части последнего равенства слева на А и подста-
вив выражение для АПВ, получим

Ап + 1 в = с'/’ А"-1 B-f-c’g1» Д'—2В+ ... +с<”В.

Далее, проделав аналогичные операции над получаемыми со-
отношениями, будем иметь

А"-НВ = с<0 А"-* В4-с<0 АП-2В+ ...

... + сО)В, /^1, 2..
Следовательно, х (tf) представляется в виде линейной комби-
нации векторов, представляющих собой столбцы матрицы
управляемости (10.84), и при любом допустимом управлении
точка х (tf) принадлежит подпространству, порожденному
столбцами матрицы управляемости У. Поэтому если ранг ма-
трицы У меньше п, то существуют точки, не принадлежащие
указанному подпространству, куда нельзя перевести объект
(10.83) из точки х (0) = 0.

Достаточность. Пусть ранг матрицы У равен п.
Из (10.86) при х (0) = 0 и t = tf имеем

9

X «,) = (’ еА('/-т)Ви(т)йт.

о

Объект (10.83) вполне управляем, если интегральное уравне-
ние

Ч

xf ==• j" еА Ч~х^ Ви (т) dx
о

при произвольном xf из Rn имеет решение в классе допустимых
управлений. Будем искать решение в виде 161

и(т) =(еА 1	В)7 z,

где z — вектор из Д'1. Подставив это выражение в интеграль-
ное уравнение, получим

xf = Dz,

где

D= [ еА(//-г,В(еА('/“т>В)г^т.
о

Таким образом, вопрос о существовании решении интеграль-
ного уравнения свелся к вопросу о существовании решения ал-
гебраического уравнения. Полученное алгебраическое урав-
нение имеет решение при произвольном xf, если det D =/= 0.
Допустим противное: det D = 0. Тогда соответствующее од-
нородное уравнение имеет ненулевое решение, т. е. сущест-
вует вектор Xj_ =/= 0 такой, что Dx_l = 0. Умножив слева на
х£ и подставив выражение для D, получим

х? Dx± = х^ еА {tf ~ ” В (еА {tf ~ т) В)7 х± dr
о

= У |х71еА<//-г)вГ^т=0.
о

В силу непрерывности подынтегрального выражения послед-
нее равенство возможно, если при всех 0 < т < tf

хг еА«/-т)В==0	(10.88)

Используя (10.87), нетрудно показать, что

deAt

= АеЛ‘.
dt

Дифференцируя тождество (10.88) по т, получим

хт а* еА<//~т>В = 0, 6 = 0, 1, 2, ..., п-1,

или при Т = tf

А*В = 0, ^0, 1, 2, ...» п — 1.

Заметим, что А0 = Е. Из последних равенств следует, что
ненулевой вектор х± из Rn ортогонален всем вектор-столбцам
матрицы управляемости У, а это невозможно, так как по ус-
ловию ранг матрицы У равен п. Следовательно, допущение о
том, что det D = 0, неверно. Критерий управляемости полно-
стью доказан.

Управляемость объекта (10.83) полностью определяется
матрицами А и В. поэтому используют еще следующую терми-
нологию: пара (А, В), в которой А и В — матрицы размер-
ности п X п и п X г соответственно, называется вполне
управляемой, если объект (10.83) вполне управляем.

Рассмотрим неособое (невырожденное) преобразование

х = Тх, detT =/=0.

В новых переменных уравнение (10.83) принимает вид

х=Ах + Ви,	(10.89)
е а = Т_1АТ, В = Т ‘В. Как легко проверить, Afc =
__ -рАТ, k = 1, 2......п — 1. Поэтому матрица управляе-

мости объекта (10.89)

у [В АВ Л2 В... А" В] — Т1 [В АВ Л2 В ... А'1 В] ?1 У.

Так как ранг матрицы Т-1 равен п, то ранг матрицы У сов-
падает с рангом матрицы У. Таким образом, свойство управ-
ляемости не зависит от выбора системы координат.

Назовем областью управляемости линейного стационар-
ного объекта область, состоящую из точек, в которые может
быть переведен объект из точки х° = 0 за конечное время или,
что то же самое, из которых объект может быть переведен в
точку xf — 0 за конечное время. Очевидно, если объект впол-
не управляем, то его область управляемости совпадает со всем
фазовым пространством. Если объект не вполне управляем, то,
как было показано при доказательстве критерия управляе-
мости, объект не может быть переведен из точки х° = 0 в
точку, которая не принадлежит подпространству Rv — под-
пространству, порожденному вектор-столбцами матрицы управ-
ляемости. Можно показать, что область управляемости совпа-
дает с подпространством /?у, поэтому подпространство Ry назы-
вают подпространством управляемости.

Пусть ранг матрицы управляемости объекта (10.83) ра-
вен I (I < л). Сформируем матрицу Т преобразования х — Тх
в виде Т = (Tjj, где вектор-столбцы матрицы Tj образуют
базис /-мерного подпространства управляемости (в частно-
сти, ими могут быть / независимых столбцов матрицы управ-
ляемости), а вектор-столбцы матрицы Т2 вместе с вектор-
столбцами матрицы Tj образуют базис n-мерного пространст-
ва. Тогда уравнение (10.83) в новых переменных приобретает
вид так называемой канонической формы управляемости 1101:

или

х0’ =АИ х(|’ 4-А12 х(2’ 4-В,и;

Т<2’-а ?2)

где х^1) — /-вектор; х(2) — (л — /)-вектор; Аи,
— матрицы соответствующей размерности.

(10.90)

А1г. А22,
Из структуры системы уравнений (10.90) видно, что век-
тор х(2’ неуправляем: закон его изменения во времени никак
не зависит от управления. Наоборот, вектор х(1) и соответст-
венно пара (Au, BJ вполне управляемы: состояния, вида
х = col (х<1>0) («со'1» обозначает столбец) принадлежит подпро-
странству управляемости. Используя представление уравне-
ния объекта в канонической форме управляемости, можно
сформулировать следующий критерий управляемости: объект
вполне управляем в том и только в том случае, если его урав-
нение нельзя неособым преобразованием привести к виду
(10.90), где множество координат вектора х<2> не пусто.

Стабилизируемость. Если линейный объект не вполне уп-
равляем, то его вектор состояния можно представить в виде

х = ху + х±,

где ху — вектор из подпространства управляемости /?у; Xj_ —
вектор, ортогональный всем элементам из /?у, т. е. элемент из
ортогонального дополнения Ry. Подпространство /?у назы-
вают подпространством неуправляемости. Из доказательства
критерия управляемости следует, что объект не может быть
переведен из точки х° в точку х<9, если х° (х° =# 0) или х(1)Х
X (х(Х) =# 0) принадлежат подпространству неуправляемости.
В связи с этим возникает вопрос, всегда ли необходимо, что-
бы объект был вполне управляем, если условия работы синте-
зируемой системы управления таковы, что она в процессе
функционирования попадает в подпространство неуправляе-
мости. Оказывается, что для синтеза устойчивой системы уп-
равления важным является не полная управляемость, а стаби-
лизируемость.

Стационарный линейный объект

х — Ах -t- Ви

называется стабилизируемым, если в представлении х — ху +
+ хх неуправляемая составляющая Хх->0 при t-> оо.

Непосредственно из определения следует, что вполне уп-
равляемый объект является стабилизируемым, так как в этом
случае х^ = 0. Точно так же асимптотически устойчивый
объект является стабилизируемым, так как в этом случае
х -> 0 при t -> оо, когда u (f) = 0.

Если выбрана такая система координат (такой базис), что
уравнение объекта принимает вид канонической формы управ-
ляемости (10.90), то неуправляемая составляющая имеет вид
~ — col (0, х<2)). Поэтому в этой системе координат х± = 0
в том и только в том случае, когда х<2) = 0. Из канонической
формы управляемости (10.90) видно, что объект является ста-
билизируемым в том и только в том случае, если матрица
Ъ является асимптотически устойчивым, т. е. ее собственные
значения имеют отрицательные вещественные части

Стабилизируемость объекта

х = Ах 4- Ви,

как и управляемость, полностью определяется матрицами А
и В, поэтому используют еще следующую терминологию:
пара (К, В), в которой А и В — матрицы размерности
п X п и п X г соответственно, называется стабилизируемой,
если стабилизируемым является соответствующий им объект.

Пример 10.14. Исследуем управляемость объекта, описываемого
уравнениями

или в матричной форме уравнением

х = Ах + Ви,

Так как

Если b =/= 0, то ранг матрицы У равен п = 2 и объект вполне управ-
ляем. Если b = 0, то ранг матрицы У равен единице и объект не впол-
не управляем: он управляем только по одной координате. То, что объект
при b = 0 не вполне управляем, видно также из его уравнений: они
имеют вид канонической формы управляемости. Матрица А22 = I
1см. (10.90)]. Ее собственное значение, равное корню уравнения
det (EX - Д22) = X - 1 = 0, является действительным положитель-
ным числом. Следовательно, при b = 0 также объект не является ста-
бвлнзируемым.
Отметим связь между условиями управляемости и нормаль-
ности. Очевидно, объект управляем, если выполняется условие
нормальности. Обратное в общем случае неверно. Однако если
управление скалярное, то оба условия совпадают: условие
нормальности выполняется в том и только в том случае, если
объект вполне управляем.

Управляемость при наличии ограничения на управление
Пусть имеется ограничение на управление и объект описыва-
ется уравнением

x = f (х, и, /), хе Rn, не Uc/г, (10.91)

Допустимым для объекта, описываемого уравнением (10.91),
управлением является кусочно-непрерывная вектор-функция,
принимающая значения из множества U. Введем понятие об
управляемости относительно заданной точки.

Объект называется вполне управляемым относительно точ-
ки xf, если, какова бы ни была точка х° е Rn, существует до-
пустимое управление на конечном интервале lf0, fy], переводя
щее объект из точки х (tB) — х° в точку х (tf) — xf.

Введенную выше полную управляемость можно опреде-
лить как полную управляемость относительно любой точки
х> е Rn- Заметим, что при наличии ограничения на управле
ние полная управляемость и полная управляемость относи-
тельно заданной точки не совпадают и в случае линейного
объекта. Как было показано выше, при отсутствии ограничения
на управление для линейного объекта оба эти понятия совпа-
дают.	х

Пример 10.15. Рассмотрим объект, который описывается скаляр-
ным уравнением х — —х + и; |«| «С ит.

В данном случае А — —1, В = 1 и пара (А, В) вполне управляе-
ма. Но в то же время объект вполне управляем не относительно любой
точки. Например, он вполне управляем относительно точки xf = 0,
ио в то же время он ие вполне управляем относительно любой точки
xf, для которой |х/| > ит. Покажем это.

Решение рассматриваемого уравнения при х (0) = имеет вид
t

x(f) = j:0 е"** + f e—u(T)dx,
o

илн при и = ifi = const

x(t)=(x°—u°) e-*4-u°.

Примем x° > 0. Тогда при и = —um и t = tj имеем

«:(</) = (x° + «m) e~‘f— um.
Что выражение обращается в нуль при t} = In Цлс'* + ит)/ит]. Получен-
ое время if является конечным при любом > 0. Очевидно, объект
пепеводится в точку х? = 0 из произвольной точки х° =# 0 за конечное
время tf = In l(l*°l + «т)/ит], если принять и (/) = ит sign х°,
0 < t < 0-

Теперь покажем, что нет допустимого управления, которое пере-
водит объект в точку хЛ для которой |х^| > ит, из точки х (0) = 0.

При х (0) = 0 имеем

x(t) = j е Т)и(т)йт.

При любом допустимом управлении справедливо неравенство
t

|х(<) | < max f е (/ т) u(x)dx = um(l — е * С ит,
1«1<"т о

поэтому равенство х (tf) = ‘xf невозможно при любом tf > 0, если
|д/| > «т-

Рассмотрим достаточное условие управляемости для линей-
ного стационарного объекта с ограничением на управление:

x = Ax + Bu, xg 7?n;	1 (10.92)

а7-<0, р,->0, / = 1, 2, ..., г. j

Для этого объекта справедливо следующее утверждение [13]:
объект (10.92) вполне управляем относительно точки xf = 0,
если пара (А, В) вполне управляема и собственные значения ма-
трицы А, т. е. корни уравнения det [ХЕ — А] = 0, имеют
отрицательные вещественные части при векторном управле-
нии (г >/) или неположительные вещественные части при
скалярном управлении (г — 1).

Пример 10.16. Проверим управляемость объекта, описываемого
уравнениями

х1=ха, ха=и, |и|	1.

В данном случае управление скалярное и

А =

; det (ХЕ—А) = Х2.

Как легко проверить, пара (А, В) вполне управляема и собственные
значения матрицы А равны нулю. Следовательно, объект вполне уп-
равляем относительно точки х° — 0.
Наблюдаемость и восстанавливаемость

При синтезе оптимальных систем с обратной связью управ-
ления получаются как функции от фазовых координат. В общем
случае фазовые координаты являются абстрактными величина-
ми и не могут быть измерены. Поддается измерению (наблюде-
нию) вектор у = (уг, ..., ур)т, который обычно называют
выходным вектором или выходной переменной, а его координа-
ты — выходными величинами. Выходная переменная функцио-
нально связана с фазовыми координатами, и для реализации
управления с обратной связью необходимо определить фазо-
вые координаты по измеренным значениям выходной перемен-
ной. В связи с этим возникают проблемы наблюдаемости и
восстанавливаемости, заключающиеся в установлении возмож-
ности определения состояния объекта (фазового вектора) по
измеренным значениям выходной переменной на некотором
интервале.

Пусть объект описывается уравнением

x=f(x, u, t), х£ Rn,	(10.93)

а выходная переменная связана с фазовыми координатами
соотношением

у = F (х, u, i), У 6 Rp,	(10.94)

которое называется уравнением наблюдения.

Система (10.93), (10.94) называется вполне или полностью
наблюдаемой, если существует такое tr, t<Zti<Z о°, что по дан-
ным измерения у (т) и и (т) на интервале t С т С можно
определить состояние х (/). Полная наблюдаемость означает,
что имеется возможность определить состояние х (/) по буду-
щим значениям выходной переменной. Однако в задачах уп-
равления текущее состояние объекта должно определяться по
прошлым значениям выходной переменной, поэтому более
важным обстоятельством является полная восстанавливае-
мость [10].

Система ((10.93), (10.94) называется вполне или полностью
восстанавливаемой, если существует такое t0, —оо< t0<Z t,
что по данным измерения у(т) и и (т) на интервале t0 < т < t
можно определить состояние к (/). Нетрудно заметить, что
для стационарных систем из полной наблюдаемости следует
полная восстанавливаемость и наоборот, поэтому в таких
случаях можно эти понятия не различать.
Наблюдаемость линейных стационарных систем. Рассмо-
трим линейную стационарную систему

х==Ах-^Ви, х£ Rn\	(10.95)

у = Сх 4- Du, у е Rp.	(10.96)

Введем так называемую матрицу наблюдаемости

Н = [С7А7С7 ... (А7)'—1 С7].	(10.97)

Эта матрица состоит из столбцов матрицы С7, произведений
матриц А7 С7, (А7)2 С7, ..., (А7)"-1 С7 и имеет размерность
(л X рп).

Для линейной стационарной системы справедлив следую-
щий критерий полной наблюдаемости: система (10.95), (10.97),
вполне наблюдаема (восстанавливаема) тогда и только тогда,
когда ранг матрицы наблюдаемости (10.97) равен п.

Транспонированная матрица

имеет такой же ранг, что и матрица (10.97), поэтому вместо
исходной матрицы наблюдаемости можно рассматривать транс-
понированную. Ниже приводится доказательство критерия
наблюдаемости 16, 10].

Необходимость. Пусть ранг матрицы Н7 меньше
п. Тогда размерность пространства /?н, порожденного строка-
ми матрицы Н7, меньше п, т. е. /?н является собственным
подпространством пространства Rn. Поэтому существует не-
нулевой вектор Xi G Rn, ортогональный всем строкам матри-
цы Н7 (таким вектором является любой вектор из Rn, не
принадлежащий подпространству Rh):

Схх=0, САх± =0,..., САп~‘х1 =0.	(10.99)

Из теоремы Гамильтона—Кэли ]см. (10.85)] по индукции сле-
дует, что матрицы А* при k > п линейно выражаются через
Е, А, ..., А"-1, поэтому из (10.99) получаем, что СА1 хх =0
при всех 1=0, 1, 2, .... Следовательно,

Сем хх = С (Е + At + — A2 t2 - {-...) х± = 0.	(10.100)
Пусть некоторому начальному условию х (0) = х(1) соот-
ветствует выходная переменная у(1>(/). В силу соотношения
(10.100) всем начальным условиям вида х (0) = х(1) + хх
соответствует та же выходная переменная у(1) (f):

t

у (Z) — Сх (/) + Du = СеА/ (х*1* 4- х±) 4- С £ел </-г) В (т) и (т) dr 4-
о

t

+ Du = СеА/ 4- С J ел	В (т) и (т) dr 4- Du = у'1» (/).

о

Это и доказывает невозможность определения состояния
х (0) по значениям выходной переменной, если ранг матрицы
наблюдаемости меньше п.

Достаточность. Пусть ранг матрицы управляе-
мости равен п. В силу стационарности системы достаточно
показать возможность определения состояния х (0) по извест-
ным значениям выходной переменной и управления на неко-
тором интервале (0, fj. Имеем

t

у (/) = СеА‘ х (0) + С J ел (( В (т) и (т) dx 4- Du,
о

или

i

Ду (0 = У (0 С в СО u СО dr—Du = СеА/ х (0).
о

Так как у (/) и u (/) измеряются, матрицы С и А заданы, то
функция Ду (Z) и ее производные любого порядка являются
известными функциями времени. Из последнего соотношения
при t = 0 получаем

Ду (0) = Сх(0); Ду (0) = САх(0),.... Ду(«-*> (0) = СА«-1 х (0),
или

(△1/(0)	\	/ С \

АУ(°)	|=| СА | х (0) = Нг х (0).

Ду"-‘(О)/	\ СА("-*> /

Полученное векторное уравнение с п неизвестными Xj (0)
(i = 1, ..., п) равносильно системе из пр уравнений. Так как
по условию ранг матрицы Нг равен п, то среди пр уравне-
ний имеется ровно п независимых уравнений. Выделив эти
уравнения и решив их, однозначно определим искомый век-
тоо х (0). На этом доказательство заканчивается.

Наблюдаемость (восстанавливаемость) системы (10.95),
/10.96) полностью определяется матрицами А и С, поэтому
используют следующую терминологию: пара (А, С), в которой
д и С — постоянные матрицы размерности п X п и р X п,
называется вполне наблюдаемой {восстанавливаемой), если
вполне наблюдаема (восстанавливаема) система (10.95), (10.96).

Подпространство /?н, порожденное строками транс-
понированной матрицы наблюдаемости Нг или, что то же,
столбцами матрицы наблюдаемости Н, называют подпростран-
ством наблюдаемости (восстанавливаемости). Смысл такого
названия будет ясен из дальнейшего изложения.

При неособом преобразовании

х = Тх, det Т =/= 0
уравнения (10.95), (10.96) принимают вид

x = Ax + Bu, y = Cx + Du,

где

А = Т-'АТ, В = Т~‘В, С = СТ.

Как легко проверить, транспонированная матрица управляе-
мости преобразованной системы

Так как ранг матрицы Т равен п, то ранг матрицы Нг сов-
падает с рангом матрицы Нт. Таким образом, свойство на-
блюдаемости (восстанавливаемости), как и свойство управ-
ляемости, не зависит от выбора системы координат.

Пусть ранг матрицы наблюдаемости системы (10.95), (10.96)
равен Z (Z < п). Сформируем матрицу Т преобразования
х = Тх в виде

т=(т>

\ Т2
где вектор-строки матрицы Тг образуют базис /-мерного
подпространства наблюдаемости /?н (в частности, ими могут
быть I независимых строк транспонированной матрицы на-
блюдаемости Нг), а вектор-строки матрицы Т2 вместе с век-
тор-строками матрицы Tj образуют базис n-мерного про-
странства. Тогда система (10.95), (10.96) в новых переменных
приобретает вид так называемой канонической формы наблю-
даемости [101:

х = I	| х+ f ~l ju(0; у(/) = (Сг 0)x(/)4-Du

\ А21 А22- /	\ В2 /

или

х(|> = Ацх(1) -j- Bxii(/);

х<2» = А21 х<*> + А22 xf2» + В2и (/);

y(/) = G1x<1> 4-Du,

(10.101)

где х<х> — /-вектор, х<2>— (п—/)-вектор; Ап, А21, Вь В2,
Cj — матрицы соответствующей размерности, причем пара
(Au, Сх) вполне наблюдаема. Из структуры системы урав-
нений (10.101) видно, что вектор х(2’ никакого влияния на
выходную переменную не оказывает, поэтому его координаты
не могут быть определены по наблюдениям вектор-функции
у (/). Эти координаты естественно называть ненаблюдаемыми
или невосстанавливаемыми. Проекция фазового вектора на
RH, определяемая равенством х<2> = 0 и имеющая вид х =
= col (х<Э, 0), вполне наблюдаема. Другими словами, если
система движется в подпространстве /?н, то она вполне на-
блюдаема. Отсюда и название /?н подпространства наблюдае-
мости. Полностью невосстанавливаемый вектор имеет вид
Со1 (0, х(2)). Если множество координат вектора х(1) пусто,
то система называется полностью ненаблюдаемой (невосстанав-
ливаемой). Используя каноническую форму наблюдаемости,
можно сформулировать следующий критерий наблюдаемости
(восстанавливаемости): линейная стационарная система
(10.95), (10.96) вполне наблюдаема (восстанавливаема) в том
и только в том случае, если в ее канонической форме наблю-
даемости множество координат вектора х<2) является пустым.
Обнаружиеаемость

Если система не вполне наблюдаема, то любой фазовый век-
тор можно представить в виде суммы: х (/) = хн (Q + х± (/),
где хн (О — вектор из подпространства наблюдаемости;
х (/) — полностью не восстанавливаемый ненулевой вектор.
Вектор х (/) восстанавливается по наблюдениям у (т) и и (т)
на интервале t0 < т < t с точностью до невосстанавливае-
мого вектора хх (/). Вектор х (/) в асимптотике становится
восстанавливаемым, если хх (/)->-О при t->- со. Поэтому
важным является следующее понятие.

Система (10.95), (10.96) называется обнаруживаемой, если
невосстанавливаемые координаты при нулевых остальных
координатах и нулевом входном воздействии стремятся к
нулю при со. Непосредственно из определения следует,
что вполне наблюдаемая система является обнаруживаемой.
Также является обнаруживаемой любая асимптотически устой-
чивая система. Из канонической формы наблюдаемости
(10.101) следует, что система является обнаруживаемой в том
и только в том случае, если матрица А22 является асимптоти-
чески устойчивой, т. е. все ее собственные значения имеют от-
рицательные вещественные части.

Пример 10.17. Рассмотрим систему xt s хг, хг = и, у = cxt +
+ х2. В данном случае

С = (е 1). СА= (0 г).

Если с ¥= 0, то ранг матрицы Нг равен двум и система вполне наблю-
даема. Если с = 0, то ранг матрицы Нг равен единице и система не
вполне наблюдаема. При с — 0 система имеет вид канонической фор-
мы наблюдаемости и вывод о ее неполной наблюдаемости можно также
сделать непосредственно по виду уравнений. Ненаблюдаемой является
координата Матрица, определяющая обнаруживаемость системы,
равна нулю, и ее собственное значение также равно нулю. Следователь-
но, прн с = 0 система является также и необнаруживаемой.

Принцип двойственности управляемости и наблюдае-
мости. Рассмотрим наряду с системой

х = Ах + Ви;у = Сх	(10.102)

так называемую двойственную ей систему

х == Аг х 4- Сг и; у = Вг х.

(10.103)
Здесь принято D = О, так как эта матрица не влияет на управ-
ляемость и наблюдаемость систем. Из установленных крите-
риев управляемости и наблюдаемости систем (10.102) и (10.103)
легко получить следующий принцип двойствен-
ности (дуальности): система (10.102) вполне наблюдаема
тогда и только тогда, когда двойственная ей система (10.103)
вполне управляема, и система (10.102) вполне управляема
тогда, и только тогда, когда двойственная ей система (10.103)
вполне наблюдаема.

Наблюдатели

Перейдем от вопроса возможности восстановления к во-
просу синтеза устройства, восстанавливающего текущее зна-
чение фазового вектора. Восстановленное значение фазового
вектора называется его оценкой, а устройство, обеспечивающее
получение оценки по измерениям управления и (т) и выходной
переменной у (т) на интервале t0 < т </, — наблюдателем
(10]. Точнее, устройство, описываемое уравнениями

q = Fq 4-Gy + Hu; 1
z Kq + Ly 4- Mu, J

называется наблюдателем для системы

л = Ах + Ви;

У = Сх,

(10.104)

(10.105)

если для каждого начального состояния х° системы (10.105)
существует такое начальное состояние q° для системы (10.104),
что при х ((„) = х° и q (i0) = q° справедливо равенство

z (0 = х ((), t > t0,

при всех и (/), t > t0-

Заметим, что для наблюдателя (10.104) управление и (Z)
и выходная переменная у (Z) системы (10.105) являются вход-
ными переменными, а переменная z — выходной переменной.

Устройство, описываемое уравнением

х — Fx -f-Gy + Hu,

(10.106)
называется наблюдателем полного порядка для системы
(10.105), если при х (/0) = х (/0) справедливо равенство

х (/) = х(/), />/0,

при всех и (/), t > t0.

Устройство, описываемое уравнением (10.106), называется
наблюдателем полного порядка, так как его порядок совпада-
ет с порядком исходной системы. Если наблюдатель описыва-
ется уравнением более низкого порядка, чем сама исходная
система, то он называется наблюдателем пониженного поряд-
ка-

Устройство, описываемое уравнением (10.106), является
наблюдателем для системы (10.105) в том и только в том слу-
чае, если

F(/) = А(/) — К(0С(/); G(0-K(0, Н(/) = В.(/), (10.107)

где К (0 — произвольная переменная во времени матрица,
которую называют матрицей, коэффициентов усиления.

Действительно, вычитая из первого уравнения системы
(10.105) уравнение (10.106) и подставив в него выражение
для у (t) из (10.105), получим

х—х = (А—GC)x — Fx -f- (В—H)u.

Из этого уравнения следует, что если х (Z) = х (() для всех
и и (/), t > t0, то справедливо (10.107). И наоборот,
если выполняется (10.107), то последнее уравнение приобре-
тает вид

х—X-(А—КС)(Х—х),	(10.108)

откуда следует, что х (/) — х (/) для всех / > /0 и и (/),
t > to, если х (4) = х (t0).

При подстановке (10.107) в уравнение (10.106) получаем
уравнение наблюдателя системы (10.105):

х “(А — КС) х + Ку 4- Ви,

(10.109)

или

х =Ах +Ви + К(у— Сх).

(10.110)
Рис. 10.3

Из последнего уравнения следует, что математическая модель
наблюдателя включает в себя как составные части модель
исходной системы и дополнительное слагаемое, пропорцио-
нальное разности у (/) — у (0 выходной переменной и ее
оценки у (/) = Сх (/) (рис. 10.3).

Из (10.109) следует, что устойчивость наблюдателя опре-
деляется матрицей А — КС. Выпишем уравнение для ошиб-
ки е (t) — х (t) — х (0- Из уравнения (10.108) имеем

ё(П=(А-КС)е(/).

Отсюда следует, что е (/) -> 0 при £-> оо независимо от на-
чальной ошибки е (4) тогда и только тогда, когда наблюда-
тель является асимптотически устойчивым. Поэтому при вы-
боре матрицы коэффициентов усиления К необходимо прежде
всего позаботиться о том, чтобы наблюдатель был асимпто-
тически устойчивым. Но от матрицы А — К С й соответствен-
но матрицы К зависит еще и качество наблюдателя, т. е. то,
насколько быстро ошибка оценки стремится к нулю. Следо-
вательно, выбор матрицы К, к которому сводится синтез на-
блюдателя вида (10.106), должен производиться из условия
устойчивости и заданных требований к его качеству. В том
случае, когда все матрицы системы и матрица коэффициентов
усиления постоянны, т. е. наблюдатель является стационар-
ным, устойчивость и качество наблюдателя зависят от распо-
ложения корней его характеристического уравнения, т. не-
собственных значений матрицы А — КС на комплексной
плоскости. Можно показать [10], что собственные значения
матрицы А — КС могут быть произвольно размещены на ком-
плексной плоскости путем соответствующего выбора постоян-
ной матрицы в том и только в том случае, если исходная си-
стема, т. е. пара (А, С), вполне наолюдаема. Цели система не
вполне наблюдаема, то можно найти такую постоянную ма-
тпину К, при которой наблюдатель асимптотически устойчив
ртом и только в том случае, если система обнаруживаема.

В случае стационарного наблюдателя ошибка е (/) тем
быстрее сходится к нулю, чем дальше от мнимой оси распо-
ложены корни характеристического уравнения наблюдателя
на комплексной плоскости. Этого можно достичь при большой
матрице коэффициентов усиления. Однако с увеличением ко-
эффициентов усиления наблюдатель становится чувствитель-
ным к произвольным шумам измерения. Поэтому оптимальная
матрица К может быть определена только с учетом реальных
помех.

Наблюдатели пониженного порядка. Рассмотрим ста-
ционарную систему

х=Ах + Ви, у=Сх,	(10,111)

где х — n-вектор; у — р-вектор, причем п > р; А, В, С —
постоянные матрицы соответствующей размерности. Пусть
ранг матрицы С максимальный, т. е. равен р. Тогда уравнение
наблюдения дает р независимых линейных уравнений для
неизвестного состояния х (/). Чтобы определить х (/), необ-
ходимо получить дополнительно п — р соотношений для ко-
ординат этого вектора.

Введем такой (п — /)-вектор р (f), определяемый соотно-
шением

р(0=С'х(0,	(10.112)

что матрица

С \

С' )

является неособой. Из уравнения

у (Л
р(0

с

с'

х(0

следует

х(0=(с')

\ V» /

у (0 \
р(0 /
Используя представление
/с
\ с'.

(Li Ц),

(10.113)

где Li и L2 — (и X р)- и In X (п — р)]-матрицы соответст-
венно, получаем

х=Цу + Цр.	(10.114)

Если получить оценку р (/) для введенного вектора, то для
оценки фазового вектора имеем

x=L1y+L, р.	(10.115)

Таким образом, задача восстановления фазового вектора све-
лась к задаче восстановления вектора р (t) меньшей размер-
ности. Для построения наблюдателя для переменной р (/)
найдем для этой переменной дифференциальное уравнение.
Дифференцируя (10.112) и используя (10.111), получим

р=С' Ах-)-С' Ви,

или с учетом (10.113)

р=С' ALp + С' ALi у + С' Ви.

(10.116)

Чтобы воспользоваться структурой наблюдателя (10.110) для
системы (10.111), необходимо уравнение (10.116) дополнить
соотношением, которое служило бы для него уравнением на-
блюдения. Таким уравнением не может быть исходное урав-
нение наблюдения

у=Сх=СЦ у + CL2 р,

так как CL2 = 0 и переменная у не зависит от р. Действитель-
но, из (10.113) имеем

Е3®

)(LiU)=(

/	у

СЦ СЦ

С' Lj С' Ц

откуда СЦ = 0. Примем в качестве уравнения наблюдения
уравнение, которое получается дифференцированием выра-
жения у == Сх:

у=Сх=САх 4- СВи=САЦ р + САЦ у + СВи.
Тогда наблюдатель для р описывается уравнением

р =CZ AL» р С ALj у -I- С Ви 4~ К (у •— CAl2 р —

—САЦу-СВи).	(10.117)

В это уравнение входит производная у. Чтобы избавиться от
нее, введем дополнительную переменную q = р — Ку.

Легко проверить, что

q=(C' AL2—KCAL2) q + (С' AL2 К + С' AL, —

—КСАЦ—KCAL2 К) у + (С' В —КСВ) u (t)	(10.118)

и искомая оценка

x=L2q + (L! + L2K)y.	(Ю.Ц9)

Уравнения (10.118) и (10.119) определяют искомый наблю-
датель. Он имеет такую же структуру, что и наблюдатель
(10.104).

Пример 10.18. Построим наблюдатели полного и пониженного по-
рядков для системы

Х1 — Х2, х2 — и, y~Xi.

В данном случае
/ 0 I X /0\
А= |	; В= (	; С = (1 0).

Как следует из (10.110), наблюдатель полного порядка имеет вид

или в скалярной форме

Xi=x2 + ki(y—х,); х2 ^u^k2(y — Xj).

Для построения наблюдателя пониженного порядка, как это видно из
(10.118) и (10.119), нужно определить матрицы С', Llt L2. Матрица С'
/С \

Должна быть такой, чтобы квадратная матрица I 1 была неособой.

В остальном она может быть произвольной. Такому условию удовлет-
воряет матрица С' = (0 1). Из соотношения. (10.113), которое в данном
случае принимает вид

/С \~1* / 1 0 V-1

{с J ^Voi)

f 1 0\

\ 0 1 /

— (l-i l-a) •
имеем

Подставив выражения для А, В, С, С', Ц и L» в (10.118) и (10.119), по
лучим

q =—kq—k2q + u; х

Напомним, что матрица или в случае наблюдателя пониженного поряд-
ка в данном примере скалярная величина k выбирается из условия ус-
тойчивости и заданных требований к качеству наблюдателя.

§ 10.6. Методы синтеза оптимальных систем
с обратной связью. Синтез оптимальных
линейных систем по интегральному
квадратичному критерию

Метод фазовой плоскости синтеза
оптимальной по быстродействию системы

Пусть задан вполне управляемый линейный стационар-
ный объект

х=Ах + Ви,

все корни характеристического уравнения которого действи-
тельны. Управление скалярное и подчиняется ограничению
|«| С 1. Более общее ограничение вида а < и < ₽, где
а < 0 и Р > 0, введением новой переменной v = 2и — (а +
+ р)/(р — а) всегда приводится к этому виду. Рассмотрим
задачу синтеза оптимального по быстродействию регулятора,
обеспечивающего перевод системы из произвольной началь-
ной точки в начало координат.

Так как управление скалярное, условие нормальности
совпадает с условием полной управляемости, поэтому выпол-
няются все условия теоремы об п интервалах. В соответствии
с этой теоремой оптимальное управление, имея не более п
интервалов постоянства, принимает только крайние значе-
ния: —1 или 1. Если представить его как функцию фазовых
координат и* — и (х), то ясно, что все фазовое пространство
можно разбить на два подпространства: подпространство, в ко-
тором и* — —1, й подпространство, в котором и* = 1. Ги-
перповерхность (при п = 2 — кривая, при п = 3 — поверх-
ность), которая делит фазовое пространство на указанные под-
пространства, называют гиперповерхностью (кривой, поверх-
ностью) переключения. Если записать уравнения гиперповерх-
ности о (х) = 0, то, как известно из аналитической геомет-
рии, о (х) > 0 по одну сторону от гиперповерхности пере-
ключения и о (х) < 0 по другую. Всегда (при необходимости
умножением на —1) можно добиться того, чтобы функция
& (х) была отрицательна в подпространстве, где и* — —1,
и положительна в подпространстве, где и* = 1. Тогда, оче-
видно, и* = sign о (х). Поэтому нахождение оптимального
алгоритма управления сводится к определению функции пе-
реключения о (х).

При п = 2 для нахождения функции переключения мож-
но воспользоваться методом фазовой плоскости. На фазовой
плоскости строятся семейства фазовых траекторий, соответст-
вующих управлениям и* — —1 и и* — 1. Оптимальная тра-
ектория представляет собой часть траектории или соединение
частей двух траекторий из построенных семейств. В силу гра-
ничного условия х (tf) — 0 она должна оканчиваться в на-
чале координат. Используя эти свойства оптимальных траек-
торий, нетрудно определить кривую переключения, а по
ней — функцию переключения. Проиллюстрируем изложенное
на примере.

Пример 10.19. Произведем синтез оптимального по быстродействию
регулятора двигателя, описываемого уравнениями = х2, х2 = и, |и|^
В данном случае оптимальное управление имеет два интервала по-
стоянства. Найдем уравнение фазовых траекторий при и — — 1 ии=1.
При и — — 1, разделив второе уравнение на первое, получаем
dx2ldxv = — 1/х2, откуда после интегрирования находим

xl = —2X! + Ci.

Аналогично при и — 1 находим х$ = 2хг + С2.

Семейства фазовых траекторий, соответствующие каждому из по-
лученных уравнений, приведены на рис. 10.4; а. Оптимальная фазовая
траектория должна состоять из участка траектории одного семейства,
проходящей через начальную точку, и участка траектории другого се-
мейства, проходящей через начало координат. Из сказанного следует,
что переключение должно произойти на полутраекториях АО или ОБ
(рис. 10.4, а). Очевидно, если вначале и* = — 1, то переключение долж-
но произойти на полутраектории ВО, которая описывается вторым урав-
нением при С2 = 0:

л'2 —2хг — 0.
Рис. 10.4

И если вначале и* — 1, то переключение должно произойти на полу-
траектории ОА, уравнение которой получается из первого соотноше-
ния при Q == 0:

' xf + 2х| = 0.

Фазовый портрет оптимальной системы показан иа рис. 10.4, б.
Уравнение линии переключения АОВ можно записать так (оно легко по-
лучается из уравнений для полутраекторий АО и ОВ)-.

х|— 2a:i sign х2=0, или о(х) = (х|/2) sign х2—xj = 0.

Нетрудно проверить, что функция о (х) отрицательна справа от
линии переключения, где и* = — 1, а положительна слева, где «*=!,
поэтому и* = sign (х| sign x<J2 — xj. Реализовать этот закон управле-
ния можно посредством устройства, схема которого приведена иа
рис. 10.5. В его состав входят нелинейный преобразователь Пр, выра-
батывающий совместно с усилителем К значение х1п = х? sign х2/2,
сравнивающее устройство, формулирующее разность е = х1п — xlt

и поляризованное реле, иа выходе которого получается оптимальное
управляющее воздействие к*. Объект
иа схеме представлен двумя инте-
граторами (1/р).

,Рис. 10.5

Теперь рассмотрим, как про-
исходит движение изображаю-
щей точки при алгоритме управ-
ления и = sign а (х), и поясним,
каким образом в h-мерном про-
странстве при наличии лишь
одной (п — 1)-мерной гиперпо-
верхности переключения ст (х)=0
получается процесс, состоящий
из п интервалов. В случае
идеального оптимального про-
цесса 1х* (0, и* (Q1 все пере-
ключения знака управления и* (/) происходят на гипер-
поверхности о (х) = 0, причем после первого переключения
изображающая точка идеального оптимального процесса
движется по гиперповерхности переключения. Естествен-
но, алгоритм управления и = sign а (х) не может обеспечить
такой процесс. Реальный процесс 1х (/), и (/)], определяемый
этим алгоритмом протекает следующим образом. В момент
/ когда изображающая точка идеального оптимального про-
цесса в первый раз попадает на гиперповерхность о (х) = О
и управление и* (t) меняет знак, изображающая точка х
реального процесса «протыкает» гиперповерхность переклю-
чения и в момент t =	+ А/ (А/> О, А/—бесконечно малая

величина) оказывается по другую сторону гиперповерхности.
Поэтому функция а (х) и управление и (/) меняют знак. Даль-
ше до следующего момента переключения знака управления
и (t) изображающая точка х движется по «другой» стороне
гиперповерхности вблизи траектории х* (/) идеального про-
цесса. И лишь каждый раз в момент, когда управление и (/)
меняет знак, точка х «протыкает» гиперповерхность переклю-
чения и функция о (х) и соответственно управление и (t) ме-
няют знак. Поэтому в реальном процессе 1х (/), и (/)] управле-
ние и (t) имеет столько переключений (интервалов постоянст-
ва знака), сколько и идеальное оптимальное управление
и* (О-

Синтез оптимальных линейных систем

по интегральному квадратичному критерию

Рассмотрим задачу синтеза оптимальной системы при ус-
ловии, что объект описывается уравнением

х (/)=А (П х (0 Е В (/) и (/) + h (/)	(10.120)

и критерий оптимальности имеет вид

Ч

J=*T (tf) Fx (tf) + J [xr (/) Q (/) x (t) +

4

+ if(/)R(/)u(/)ld/;	(10.121)

Здесь h (/) — известная вектор-функция; F и Q (t) — неот-
рицательно-определенные матрицы (xrFx >0 и xrQx > 0
при всех x Ф 0 и t € |/0. fyl)'. R (0 — положительно-опреде-
ленная матрица (urRu > 0 при всех х =4= 0 и t € [/0, /,]).
Функции А (/), В (t), h (/), Q(f) и R (f) являются непрерыв-
ными на интервале f/0, fj. Требуется найти управление с об-
ратной связью, при котором при произвольном начальном
условии х (/0) = х° функционал (10.121) принимает минималь-
ное значение.

К такой постановке сводится задача управления, есл.и
(10.120) является уравнением в отклонениях и соответственно
желаемым является нулевое состояние. Первое слагаемое в
(10.121), представляющее квадратичную терминальную ошиб-
ку, включается, если необходимо обеспечить максимальную
близость состояния системы в конечный момент времени к
желаемому состоянию. Слагаемое

j хг (/) Q (0 х (/) dt

*0

является интегральной квадратической ошибкой и характе-
ризует качество регулирования на всем интервале [/0, tf].
И наконец, интеграл

Ч

t0

есть взвешенная «энергия» управления; он включается в кри-
терии для того, чтобы ограничить управление. Требуемое
ограничение на управление, которое в явной форме не учте-
но в постановке задачи (10.120), (10.121), может быть обеспе-
чено соответствующим выбором весовой функции R (/).

Матрицы Q (() и R (/) в общем случае выбирают завися-
щими от времени. Такой выбор, в частности, связан с тем, что
начальные отклонения от свойства систем не зависят: они
определяются начальными условиями. Поэтому их следует
выбрать такими, чтобы начальные ошибки меньше влияли на
величину критерия, чем такие же ошибки, возникающие в по-
следующие моменты времени.

На основе приведенных соображений нельзя вырабо-
тать рекомендации, которые позволили бы однозначно опре-
делить матрицы, входящие в критерии оптимальности. Один
из возможных способов выбора этих матриц предложили А.
Брайсон и Хо Ю-ши [5]. Они рекомендуют брать их диа-
гональными со следующими элементами: обратные элементы
\lftt матрицы F равными максимально допустимым значени-
ям be; (/,)12, обратные элементы \/д„ матрицы Q — произве-
дениям (tf — t0) на максимально допустимые значения [хг (/)Р,
обратные элементы i/rit матрицы R—произведениям
(tf — io) на максимально допустимые значения (иг (£)]2.

Если tf является конечным, то независимо от того, явля-
ются ли матрицы А, В, Q, R постоянными или зависящими
от времени, сформулированную задачу назовем задачей син-
теза оптимального нестационарного линейного регулятора
состояния или коротко — нестационарной задачей.

Оптимальное управление имеет вид

u*=—(R-1 BrKx+-i-R-1 В^р),	(10.122)

где симметричная (п X /г)-матрица К и /г-вектор р определя-
ются из системы уравнений

К=—КА—A^K + KBR-1 BrK—Q;	(10.123)

p-KBR1 В7р-А7р-2К11	(10.124)

при граничных условиях

K(Z/)=F; р(//)=0.	(10.125)

При оптимальном управлении для любого t £ [/0, спра-
ведливо равенство

хТ(t) К (f) х (t) 4- р7 (f) x(t) + q (t)=xT (tf) Fx (tf) 4

4 [	(t) Q (?) x (?) 4 u*r (?) R (?) u* (?)] dx, (10.126)

1

где q (t) — скалярная функция, которая определяется из
уравнения

q=— prBR-' Вур— prh	(10.127)

4

при граничном условии q (tf) — 0. Функция q (t) не входит в
(10.122)—(10.124), и уравнение (10.127) при нахождении оп-
тимального управления не используется.

Решение задачи синтеза оптимального нестационарного
линейного регулятора состояния существует и единственно.
Заметим, что в этой задаче не требуется, чтобы объект был
вполне управляем. Решение существует и единственно даже
в том случае, когда объект является полностью неуправляе-
мым. Это обусловлено тем, что управляемый процесс рассма-
тривается на конечном интервале и вклад неуправляемых ко-
ординат в значении критерия оптимальности является ко-
нечным даже если они расходятся (т. е. стремятся к бесконеч-
ности при t—>- оо).

Векторное дифференцирование. Прн выводе соотношений (1'0.122)
— (10.127) используется векторное дифференцирование. Напомним
основные определения и правила векторного дифференцирования.
Здесь, как всюду в этой главе, под вектором понимается вектор-стол-
def

бец. Символ = означает «равно по определению»:

1)	производная вектора по скаляру

2)	производная скаляра по вектору

3)	производная вектора по вектору

Используя приведенные определения и обычные правила диффе-
ренцирования, нетрудно установить следующие правила векторного
дифференцирования:

,о d(xry) _ dxr т dy _ rdx , rdy

’ ~dt-----ИГ y+ Zi " y d7 T dz ’

„„ d , . dA . dx

2°. — Ax = — x-|-A — , A—(m X п)-матрица.
dt dt dt

3°	= djLz+vT~ = zTQ 4- NT~ .

dx dx dx dx dx

4°. — (xr Qx) = 2 xr Q,
dx

Q — симметричная (n X п)-матрица, не зависящая от х.
Для получения соотношений (10.122)—(10.127) восполь-
зуемся методом динамического программирования. Урав-
нение Беллмана (10.65) и граничное условие (10.66) для зада-
чи (10.120), (10.121) соответственно принимают вид

minjxrQx + urRu+ — (Ax + Bu + h)l= — dS/df, (10.128)
u L	J



(10.129)

В уравнении (10.128) выражение в квадратных скобках есть
квадратный трехчлен относительно векторного управления,
и так как нет ограничения на управления, то он достигает
минимума в стационарной точке. Поэтому уравнение (10.128)
равносильно системе уравнений

x7'Qx + u7'Ru+ —(Ax + Bu + h)=— dS/dt; (10.130)
дх

2u7'R+— В=0.	(10.131)

дх

В левой части (10.131) стоит производная по управлению от
левой части (10.130). Из уравнения (10.131) находим

u= —^-R-1 Вг(~у	(10.132)

Подставив это выражение в (10.130), получим

xQx —— — BR-’B7(—+
4 дх	\ дх /

+ (Ах+Ь)=(10.133)
дх	dt

Решение последнего уравнения будем искать в виде квадрат-
ного трехчлена:

S (х,/)=хгК(0х + рЧ0х+ч((),	(10.134)

где К (t) — симметричная (и Хи)-матрица, являющаяся функ-
цией времени; р (t) — векторная функция размерности п;
Я (0 — скалярная функция.
Используя то, что а = ат, если а — скалярное выражение
уравнение (10.133) после подстановки квадратного трехчле-
на (10.134) преобразуют к виду

xr(Q —KBR-1 ВГК + КА +ArK)x—x^KBR-1 Вур —

—А7р —2Kh) —— pr BR1 B7plP7h =
4

= —(x^Kx + x^p + q).

Приравняв в обеих частях полученного соотношения выраже-
ния при одинаковых степенях х, получим уравнения (10.123),
(10.124), (10.127). Подставив квадратный трехчлен (10.134)
в (10.132), получим оптимальный закон управления (10.122).

Подставив его в (10.129), получим граничные условия

K(G) = F; р(/,)=0; q(t})=0.	(10.135)

Квадратный трехчлен (10.134), если К, р и q определяются
из уравнений (10.123), (10.124) (10.127) при граничных
условиях (10.135), является функцией Беллмана, причем
эта функция является гладкой. Как легко проверить, выпол-
няются все условия, при которых уравнение Беллмана явля-
ется достаточным условием оптимальности, поэтому соотно-
шения (10.122)—(10.125) действительно определяют оптималь-
ный закон управления. Существование и единственность ре-
шения задачи синтеза оптимального нестационарного линей-
ного регулятора состояния следует из существования и един-
ственности решения уравнений (10.123), (10.124) при гранич-
ных условиях (10.125).

Осталось доказать равенство (10.126). Оно получается из
определения функции Беллмана:

S (х, t) = min ]хг (tf) Fx(tf) + Г (xr Qx +
j’

4-ur Ru) tf? .	(10.136)

Уравнение (10.123) называется матричным уравнением
Риккати. Оно является нелинейным, и в общем случае его
не удается решить аналитически, если да>Ке матрицы^ А, В,
R и Q постоянны. Уравнение (10.124) является линейным и
может быть решено только после того, как будет получено
решение уравнения (10.123).
Матричное уравнение Риккати можно решить численным
1методом или путем моделирования в обратном времени начи-
ная с момента tf. При моделировании (решении на аналоговой
ЭВМ) вводится новая независимая переменная т — tf — t и
уравнение (10.123) и граничное условие (10.125) преобразуются
к виду

=KA4-ArK--KBR-1 B'rK + Q, 0<тСб;
дт	1

К(0)—F (К(т;=К(^-т),...).	(10.137)

Заметим, что в силу симметричности матрицы К уравнение
(10.137) равносильно системе (п ф- 1) п/2 скалярных диффе-
ренциальных уравнений.

Получим решение задачи синтеза оптимального нестацио-
нарного линейного регулятора состояния, когда внешнее
воздействие h (t) = 0. В этом случае система из двух урав-
нений (10.124), (10.127) является однородной. Ее решением,
удовлетворяющим нулевым граничным условиям, являются
р (/) = 0 и q (t) — 0, поэтому при h (t) = 0 оптимальный за-
кон управления (10.122) принимает вид

u*= —R-1 ВгКх,

(10.138)

где К — по-прежнему удовлетворяет матричному уравнению
Риккати (10.123) при граничном условии (10.125). Соотноше-
ние (10.126). принимает вид

‘f

хт (/) К (/) х (0 = xr (tj) Fx (tf) + f [ху (т) Q (?) х (?) +

ф- н*г (?) R (?) и* (т)] dx;

(10.139)

Оптимальные стационарные линейные системы. Рассмотрим
теперь задачу синтеза оптимальной системы при интегральном
квадратичном критерии оптимальности, когда матрицы А,
В, Q и R постоянны, h (t) = 0 и tf = оо. В этом случае
х (со) = 0 и уравнение объекта и критерий оптимальности
принимают вид

ОО

х=Ахф-Ви; J= j" (хт Qx + ur Ru) dt.
Здесь принимается, что Q и R — положительно-определен-
ные (п X и)- и (г X г)-матрицы соответственно. Требуется
найти управление с обратной связью, при котором замкнутая
система асимптотически устойчива и критерий оптимальности
принимает минимальное значение. Эту задачу назовем зада-
чей синтеза оптимального стационарного линейного регу-
лятора состояния или коротко — стационарной задачей.

Решение стационарной задачи существует тогда и только
тогда, когда пара (А, В) стабилизируема. Оптимальное управ-
ление является линейной функцией от фазовых координат и
имеет вид

u*=—'r-i вуКх,	(10.140)

где К — постоянная положительно-определенная матрица, оп-
ределяемая из так называемого алгебраического уравнения
Риккати:

—KA—A^K + KBR-1 BrK — Q=0.	(10.141)

При оптимальном управлении для любого / > 0 справедливо
равенство

xr(0Kx(0= j [xr’(T)Qx(?) + u*r(?)Ru*(T)]dT.	(10.142)

t

Уравнение (10.141) имеет не одно решение. Но решение,
удовлетворяющее критерию Сильвестра положительной опре-
деленности матрицы К

*н>0,

^21

^12

^•22

&11 ••• ^1П

(10.143)

^П1 ••• ^пп

единственно.

Соотношения (10.140)—(10.142) получаются точно так же,
как и аналогичные соотношения при решении нестационарной
задачи. Только в этом случае функция Беллмана отыскивает-
ся в виде квадратичной формы S (х) = хгКх, где К — по-
стоянная матрица.*

Следует иметь в виду, что если tf является конечным, то,
хотя матрицы А, В, Q и R являются постоянными, матрица
К в оптимальном законе управления зависит от времени и на-
ходится из дифференциального уравнения Риккати.
Покажем, что стабилизируемость является необходимым
и достаточным условием существования решения задачи син-
теза оптимального стационарного линейного регулятора со-
стояния. Необходимость очевидна. Действительно,' стабили-
зируемость означает, что неуправляемая составляющая
XjL -+• 0 при оо. Если это условие не выполняется, то фа-
зовый вектор замкнутой системы при хх 0 не будет с тече-
нием времени стремиться к нулю, так как управление и соот-
ветственно присоединение регулятора к объекту никакого
влияния на неуправляемую составляющую х± не оказывают.

Чтобы доказать достаточность, нужно показать, что су-
ществует положительно-определенная симметричная матрица,
удовлетворяющая алгебраическому уравнению Риккати, и что
замкнутая система асимптотически устойчива. Представим кри-
терий оптимальности в виде

7

J= lim I (xr Qx -f-ur Ru) dt.

При конечном tf и F = 0 имеем [см. (10.136) и (10.139)1

S (х,	— хт (/) К (0 х (0 = J (хг Qx 4- u*T Ru*) dt =

min f (xTQx-4-urRu)dT.

(10.144)

Функция Беллмана 5 (x, /; tf) при фиксированных t и x яв-
ляется функцией от tf, причем функцией монотонно неубываю-
щей. Действительно, если tf > t}> t, то

R (х, t; tf) С (xr Qx 4- u*r Ru*) dt 4- J (xr Qx 4-
'	‘f

'i

-b u*r Ru*) dt	f (xr Qx 4- u*r Ru*) dt=S (x, t\ tf),

так как под интегралом стоит неотрицательное выражение.

Покажем, что функция ограничена сверху. Так как объект
стабилизируем, существует управление с обратной связью,
при котором замкнутая система асимптотически устойчива.
При таком управлении выражение под знаком минимума в
(10.144) сходится к конечному пределу при tf -* оо. Очевид-
но, этот предел является верхней границей функции S (х, t;
tf). Таким образом, S (х, t\ tf) как функция от tf является мо-
нотонно неубывающей и ограниченной функцией. Следова-
тельно, существует предел этой функции при tf -> со. Из
равенства

S (х, /; tf)=xT (/) К (0 х (0,

где справа от 0 зависит только К (0, следует, что существует
предел функции К (0 при tf -> оо, причем этот предел, кото-
рый обозначим Кц, не зависит от F, т. е. от граничного условия
К (0) = F:

0

хг(0Кпх(0= lim С (x7Qx-ф u*z Ru*)

5

= lim xr (tf) Fx (tf) -j- j (xr Qx + u*r Ru*) dt =
0-*°°	t

= j (xr Qx -J- u*r R«*) dx,	(10.145)

t

так как x (tf) —> 0 при tf-*- co. Из этого равенства также сле-
дует, что матрица Кп, являющаяся единственным установив-
шимся решением дифференциального уравнения Риккати, по-
ложительно определена, так как положительно определены ма-
трицы Q и R. Из (10.142) и (10.145) имеем

х7' (t) Кп х (0=xr (t) Кх (0>

откуда получаем К = К^. Таким образом, К является един-
ственной положительно-определенной матрицей, удовлетво-
ряющей алгебраическому уравнению Риккати.

Асимптотическая устойчивость замкнутой системы, по
существу, доказана. Докажем ее еще с помощью прямого ме-
тода Ляпунова. Подставив управление (10.140) в уравнение
объекта, получим уравнение замкнутой системы

х=(А—-BR-1 ВгК)х.

(10.146)
Покажем, что функция Беллмана является функцией Ляпуно-
ва для замкнутой системы. Функция S (х) — хтКх, как было
показано, является положительно-определенной. Ее полная
производная по времени, вычисленная в силу (10.146), равна

dS/dt = хг Кх + хг Кх=х7' (Ау К + КА—2KBR-1 Вг К) х,

или с учетом алгебраического уравнения Риккати
dS!dt = — xr(KBR-1 B^K + QJx.

Матрица KBR~lBrK является неотрицательно-определен-
ной. Действительно, так как R и соответственно R-1 положи-
тельно определены, то zrR_1z > 0 при произвольных z.
Поэтому, если положить z = ВгКх, то х7К BR~l ВгКх > 0.
Матрица Q положительно определена по условию. Следова-
тельно, производная dSldt является отрицательно-определен-
ной.

Пример 10.20. Xj = x2; J =f (xi+? х| + г u2)dl‘, q > 0;
0

г > 0.

В данном случае

В соответствии с (10.140) имеем

1	! kll fe,2 \ I X, \	1

и*= - -(0 1)	“ “	=- - (*21 Х! + ^2 Х2),

Г	\ k21 k22 J \ х2 /	г

где коэффициенты kjt должны удовлетворять уравнению (10.141):

/ fen fei2 \ / 0 1	/ 0 0 / feK fe]2 \	Д / *п *12 'j / 0 Vo JJX

\ *21 *22 / \ 0 0 /	\ 1 0 И *21 *22 /	>• \ *ai *22 / \ 1 /

/ *11 *12\ _ П 0 \	(о 0 \

Х 1*21*22/	\°9/ U О/

или равносильной ему системе

fej2/r’—1 = 0; —*п-f-*12*22 lr~0»	2 fe|2 + *22/r <7 = 0,

которая имеет решения

feI2= -ь Д/л; *22= ±Т//’(9 + 2*1г); *п = *12 *22/г-
Условию (10.143) удовлетворяет решение:

^12	^21 “ ~\/rt	Ь 2&12); ^11= j/*Q + 2*1/г.

оо

Пример. 10.21. x1=Zj+u;x2 = ox2; 7 = f (x^+xl + u2) dt.

0

В этом случае

«•—<Ю)(‘“ ‘‘ЧМ—+
\ К21 Л22 / \ Х2 /

-2*n-|-*h-1=0; -2o*J2-f-*u*12 = 0; -2п *22-f-А?2-1 = 0.

Последние уравнения имеют решения

Лц = 1 ± 1/2; *12 = 0; *22=—1/(2о).

Чтобы матрица К была положительно-определенной, необходимо
выполнить неравенства кп > 0, *22 > 0, но последнее из неравенств
соблюдается, если а < 0. При а > 0 задача не имеет решения. Это свя-
зано с тем, что объект неуправляем, и поэтому решение существует
только при условии, что неуправляемая координата — в данном случае
х2 — асимптотически устойчива, что и имеет место при а < 0.

Синтез оптимального линейного ре-
гулятора выхода. Рассмотрим систему

x=Ax + Bu + h;	(10.147)

у=Сх,	(10.148)

где (10.147) — уравнение объекта, (10.148) — уравнение на-
блюдения, и критерий оптимальности

J=xr (tj) Fx (tf) + J <yr Qy + uZ Ru)dt- (10.149)

Здесь h — известная векторная функция времени; F — не-
отрицательно-определенная матрица; Q и R — положитель-
но-определенные матрицы, зависящие в общем случае от вре-
мени. Матрицы А, В, С, Q. R как функции от времени пред-
полагаются непрерывными на интервале 110, Z/1. Требуется
определить управление с обратной связью, при котором крите-
рий оптимальности принимает минимальное значение. Эту за-
дачу назовем задачей синтеза оптимального линейного регуля-
тора выхода, причем если tf конечно, то назовем задачей син-
теза оптимального нестационарного линейного регулятора вы-,
хода или коротко — нестационарной задачей выхода', если
со и матрицы А, В, C, Q, R постоянны, то назовем
задачей синтеза оптимального стационарного линейного ре-
гулятора выхода или коротко — стационарной задачей выхода.
В стационарной задаче выхода дополнительно требуется, что-
бы замкнутая система была асимптотически устойчива.

Задача синтеза оптимального линейного регулятора выхо-
да отличается от рассмотренной задачи синтеза оптимального
линейного регулятора состояния тем, что в критерии опти-
мальности (10.149) входит интегральная квадратичная ошиб-
ка выходного (наблюдаемого) вектора, а не вектора состояния,
и условие задачи дополняется уравнением наблюдения.

Подставив выражение (10.148) для выходного вектора в
функционал (10.149), получим

5

f (хг Сг QCx + u7* Ru) d/. (10.150)
f0

Таким образом, формально приходим к задаче синтеза опти-
мального линейного регулятора состояния (10.147), (10.150).
Отличие этой задачи от ранее рассмотренной заключается в
том, что-здесь роль матрицы Q играет произведение CrQC,
поэтому решение задачи синтеза оптимального нестационар-
ного линейного регулятора выхода совпадает с решением
(10.122)—(10.125) задачи синтеза оптимального нестационар-
ного линейного регулятора состояния при условии, что в ма-
тричном уравнении Риккати Q = CrQ С. И решение сущест-
вует и единственно независимо от свойств стабилизируемое™
и обнаруживаемое™ системы. Существование и единственность
решения следует из существования и единственности решения
уравнений (10.123), (10.124) при граничных условиях (10.125).

Решение задачи синтеза оптимального стационарного ли-
нейного регулятора выхода совпадает с решением (10.140),
(10.141) задачи синтеза оптимального стационарного линей-
ного регулятора состояния при условии, что в алгебраическом
уравнении Риккати Q == CrQ С. Это решение существует
и единственно в том и только в том случае, если система
(10.147), (10.148) стабилизируема и обнаруживаема [10].

На строгом доказательстве последнего утверждения оста-
навливаться не будем. Ограничимся общими рассуждениями.
Так как на неуправляемые координаты воздействовать нельзя,
Для возможности решения задачи синтеза асимптотически ус-
тойчивой системы необходимо, чтобы они стремились со вре-
менем к нулю. Точно так же, нельзя воздействовать должным
образом на невосстанавливаемые координаты, так как неиз-
вестно, как они изменяются. Поэтому необходимо, чтобы они
также стремились со временем к нулю (обнаруживаемость).
То, что обнаруживаемость и восстанавливаемость являются
достаточным условием существования решения, следует из
того, что всегда можно выбрать такое управление с обратной
связью, при котором восстанавливаемые и управляемые коор-
динаты стремятся асимптотически к нулю.

Теперь рассмотрим алгебраическое уравнение Риккати

АГК + КА — KBR- »B7‘K + CrQC«0,	(10.151)

которое необходимо решить, чтобы определить оптимальный
закон управления в задаче синтеза регулятора выхода. Ма-
трица C7Q С в общем случае является неотрицательно-опре-
деленной, хотя матрица Q положительно определена. Очевид-
но, она является положительно-определенной в том и только
в том случае, если у = 0 только при х = 0.

В том случае, когда матрица CrQC не является поло-
жительно-определенной, искомым решением уравнения
(10.151), т. е. решением, определяющим оптимальный за-
кон управления, может быть неотрицательно-определенная
матрица. При этом уравнение (10.151) не имеет решения,
которое было бы положительно-определенной матрицей.
Как увидим на примере, из того, что матрица CTQC не яв-
ляется положительно-определенной, не следует, что и иско-
мое решение уравнения (16.151) также не является поло-
жительно-определенной матрицей. Можно показать [10],
что искомое решение (10.151) является положительно-оп-
ределенной матрицей в том и только в том случае, если си-
стема (10.147), (10.148) вполне восстанавливаема.

Таким образом, если уравнение (10.151) не имеет положи-
тельно-определенного решения, т. е. решения, которое явля-
ется положительно-определенной матрицей, следует искать
неотрицательно-определенное решение.

Критерий неотрицательной опреде-
ленности. Для того чтобы симметричная матрица
К была неотрицательно определена, необходимо и достаточно,
чтобы все главные миноры определителя det К (т. е. все 'миноры,
получающиеся из этого определителя вычеркиванием строк и
столбцов с одними и теми же номерами, или, иначе говоря, все
миноры, симметричные относительно главной диагонали это-
го определителя) были неотрицательны.

Пример 10.22. X1 = x2. х2 = к. y = xlt J= f	dt.

о

В данном случае

/ 0 1 \.	/ 0 \

А-(оо ;В- 1 ;C-<10>;Q-1;R-L

Алгебраическое уравнение Риккати имеет вид

^13 ^22 \	/ 1 0 \ _Q

й?2 ) + и о/

или в скалярной форме

— ^12 “Ь 1 —: 0; й1Х й12 й22 — 0; 2 й12 й|2 — 0.

Оно имеет положительно-определенное решение
йц = *]/2; Й12=й21=1; й22—"]/2,
Т —

хотя матрица С QC не ивляется положительно-определенной.

Метод решения алгебраического
уравнения Риккати. Алгебраическое уравнение
Риккати является нелинейным, и в общем случае аналитиче-
ски решить его не удается. Как было показано, решение этого
уравнения совпадает с установившимся решением (дифферен-
циального) матричного уравнения Риккати. Поэтому один из
возможных способов его решения основан на нахождении уста-
новившегося решения матричного уравнения Риккати (10.137),
записанного в обратном времени, при начальном условии
К (0) = F, где F — произвольная неотрицательно-определен-
ная симметричная матрица.

Рассмотрим еще численный метод Ньютона-Рафсона [10].
Запишем алгебраическое уравнение Риккати в виде

КА + АГК — KSK + Q = 0,

где S = BR-1 Вг; Q — в общем случае неотрицательно-опре-
деленная матрица (в частности, она может быть равна CrQC).

Введем матричную функцию

F (К)=КА + Аг К—KSK 4- Q.
Задача заключается в том, чтобы определить неотрицательно-
определенную матрицу К, удовлетворяющую условию F (К) =
= 0. Построим итерационную процедуру. Пусть К<0 — ре-
шение, которое получается на х-м шаге. Положим

К('+«> = К<о+дк.	(10.152)

Предполагая, что ЛК является малой величиной, и пренебре-
гая квадратичным относительно А К членом, получим

F (К<£ +1 >) = F (K(i>) + АК (А—SK(i>) + (Аг—K(i) S) А К.

Приравняв правую часть нулю, получим линейное уравнение

F (К(/>) -Ь АК (A—SK(‘>) + (Аг -K(i) S) АК=0,

откуда находится А К.

Таким образом, имеем следующую итерационную процеду-
ру:

а)	вначале полагается i — 0 и выбирается К(0);

б)	из последнего уравнения находится А К;

в)	если А К не превышает допустимой ошибки (допусти-
мая ошибка задается), то итерационная процедура заканчи-
вается; в противном случае увеличивается i на единицу и по
формуле (10.152) вычйсляется K(i), соответствующее новому
значению I, а затем происходит возврат к п. б).

Процедура сходится, если правильно выбрать начальное
приближение К<0). Справедливо следующее утверждение (101:
если алгебраическое уравнение Риккати имеет единственное
неотрицательно-определенное решение, то

K'/+1)<K(i>, i=0,1,2....и limK(Z) = K

Z->oo

при условии, что начальное приближение К(0) выбрано та-
ким образом, что матрица А — SK(0) асимптотически устойчи-
ва (т. е. ее собственные значения имеют отрицательные вещест-
венные части).

Если начальное приближение выбрано неудачно, то мо-
жет наблюдаться сходимость к произвольному решению ал-
гебраического уравнения Риккати или вообще не сходится.
Если матрица А асимптотически устойчива, то целесообразно
принять К(о> = 0.

Метод прогонки решения задачи син-
теза оптимальной линейной системы.
Выше задача синтеза оптимальной линейной системы (при
h = 0) методом динамического программирования была сведе-
на к решению матричного уравнения иккати. десь рассма-
тривается еще один метод решения этой задачи, основанной на
вариационном методе и прогонке (переносе) граничных усло-
вий с одного конца на другой. Этот метод, как увидим на при-
мере, иногда позволяет получить аналитическое выражение для
оптимального закона управления и тогда, когда матричное
уравнение Риккати аналитически решить не удается.

Итак, рассмотрим задачу синтеза оптимальной линейной
системы при условии, что уравнение объекта, граничные усло-
вия и критерий оптимальности имеют следующий вид:

х=Ах4-Ви; х(/0)=х°; J— ~ хт +

ч

4- [ (xrQx4-uzRu)dZ .

Здесь для удобства в качестве критерия оптимальности при-
нят функционал (10.121), поделенный на два. Это, очевидно,
не должно сказаться на решении задачи, т. е. на оптимальном
законе управления.

Составим гамильтониан (принимаем ф0 = —1):

Н—------i- (xz Qx 4- ur Ru) 4- фг (Ах 4- Ви).

Найдем уравнения Эйлера-Лагранжа:

I дН \т п лт .
ф=— /----- =Qx — Агф;

\ дх I

— =—u7'R4-$7’B==0.

<9u

Из последнего уравнения

u = R~1 Вгф.

(10.153)

Подставив это выражение, запишем уравнение объекта совме-
стно с первым уравнением Эйлера—Лагранжа:

х \ /А BR-1 ВП / х \
ф/ W —Аг / к Ф )

(10.154)

или z=Dz,

BR-* ВП

—А7 /
Условие трансверсальности (10.40) принимает вид

ф((/)=-Рх(//).	(10.155)

Запишем решение уравнения (10.154), используя его нормиро-
ванную фундаментальную матрицу Z (t, t'), удовлетворяющую
условию Z(f, t') = Е при любом t' £ Йо, tf]:'

z(l)=Z(t,t')z(t').	(10.156)

Представим фундаментальную матрицу в соответствии со
структурой уравнения (10.154) в виде

Z(/	Z12(/,/')\

I z21 (/,/') z22(z,r)/

где — матрицы размерности п х п.

Используя это представление и приняв t' — tf, из (10.156)
получим

х (0 = Zu ((, tf) X (tf) + Z12 (t, tf) ф (tf)-,

Ф (0=Z22 (t, tf) x (tf) + Z^ (t, tf) ф (tf),

или после подстановки (10.155)

x(0=[Zu (t,tf)-Zl2(t,tf)F]x(tf),
M’(O=[Z21(/,0)-Z2ia,0)FJx(0).

Исключим из полученной системы уравнений х (tf):

ф (t) = [Z21 (t, tf) -Z,_2 (t, tf) FJ [Zu (t, 0) -Z12 (t, tf) F] -1 x (/).

При этом, по существу, граничное условие из точки tf на вре-
менной оси переносится в точку t £ |70, 0]. Сравнивая опти-
мальный закон управления (10.153) после подстановки в не-
го последнего выражения для ф с оптимальным законом управ-
ления (10.138), получаем

К(0= [Z21 (t, tj)-(Z22 (t, tf)F] [Zn (t, tf)-Z12 (t,tf) Fl-1 (10.157)

и в частном случае, когда F = 0,

K(Z)=Z21(f, tf)ZT?(t,tf).	(10.158)

Соотношения (10.157) и (10.158) определяют решение ма:
тричного уравнения Риккати через фундаментальную матрицу
системы, состоящей из уравнения объекта и уравнения Эйле-
ра—Лагранжа для сопряженной координаты. Они могут быть
. использованы для определения матрицы К (0 при решении
задач синтеза оптимального линейного регулятора.
Пример 10.23. Прос-
тейшая задача пере-
хвата. Решим изложенным
методом прогонки задачу пере-
хвата, несколько отличную от
задачи, рассмотренной в [5].

Пусть цель движется рав-
номерно и прямолинейно со
скоростью 1>ц. Перехватчик
движется с постоянной ско-

ростью vn. Курсовые углы цели Ац и перехватчика да (рис. 10.6) доста-
точно малы:

Iflul < И Iflnl < 1- •	(10.159)

При этом условии в первом приближении можно записать х1 =
— — 4ifln, flu — ип, где <оп — угловая скорость перехватчика
Принимая угловую скорость соп за управление и введя обозначения
Ап = х2> ып — и> можно записать

х = Ах-|-Ви,
где

Примем за начальное время /0 = 0. Время перехвата tf = rjvc, r0 —
— начальное расстояние, vc —скорость сближения перехватчика и
цели. В силу (10.159) в первом приближении

«c = ^n + uc. г=|ОЦ|

и промахом будет хх (tf). Потребуем, чтобы промах был равен пулю.
Тогда граничные условия имеют вид

x(t„) — xr', x1(tf)—O.

Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления с обратной
связью при двух разных критериях оптимальности.

1.	Пусть критерий оптимальности имеет вид

с'

J = — j (е3 xf -f- и2) dt.

о

В этом случае

и матрица D принимает вид
Непосредственно соотношениями (10.157) или (10.158) воспользоваться
нельзя, так как они получены при условии, что правый конец траек-
торий свободен, а в рассматриваемой задаче координата хх (О) закрепле-
на. В данном случае условие трансверсальности имеет вид ф2 (tf) =0.
Из (10.153) оптимальное управление

и е= ip2>	(10.160)

поэтому задача сводится к определению ф2 как функции от х. Так как
матрица D постоянна, фундаментальная матрица Z (t, t') = Z (t — t’)=
= Нго' (t — Oll-C учетом граничных условий из соотношения z (t) =
= Z (О z(0),

(X \

I и r—t—tf, получаем:
ф /

(0 = «12 (Т) xs (tf) + Z1S (т) Ф, (tf);

XZ (0 =Z22 (О x2 (if) + z23 CO Ф1 (if)'

Ф>2 (0 = z42 (O x2 (h) + z43 (О "Ф1 (0) •

Из первых двух уравнений найдем х2 (tf) и 44 (tf) и подставим в послед-
нее уравнение. Тогда получим

4'2 (0 = -£ {*42 (т) [газ (О Х1 (0—213 (О х2 (01 + г43 (т) [г12 (ОХ

Хх2(0—йг(т)*1(0]}»	(10.161)

где

Д = Zja (О г2з (т) — г2а (О «и (т).	(10.162)

Найдем фундаментальную матрицу Z (т). При постоиииой матрице D
Z(T) = eDt=E+DT4-^-D2T2+...4-^-DnTn+... .	(10.163)

Как нетрудно вычислить

D2fe = e2(ft-1) D2 . D2ft+1 ==е2(Л-1) D31 fc = 2,3. (10.164)

Подставив (10.164) в (10.163), получим:

qr2	/у-4	1

222 (О = • + е2 + е4+... =(е"
г42(т)=е2т-|-е4-|-+е«-|- 4-... = — (eex—e~eT);
ol	o!	Z

(»f3	\	1)

t + e2 —+s« —+ ... )= -S- (eST—e~ST).
3!	51	/ 2e

Подставив эти выражения в (10.160)—(10.162), оптимальный закон уп-
равления можно записать следующим образом:

—	(е8Т~ е~ЕТ) (*1 +^п	f

оп еет—е-ет—«(eST+e ~ех) ’

x — t— tf.

При в2 С 1, разложив экспоненциальные функции в ряд и отбросив чле-
ны, содержащие множитель 8 выше пятой степени, получим

X»	Хо \

—2+— •

Оп т	T /

В исходных переменных это соотношение принимает вид

w = (3 + 0,2e2 т2) (~+ —1

\опт т )

и* (х) = (3 + 0,2е2т2)

С учетом (10.159) имеем (см. рис. 10.6)

?И==~= Ос(^-0 ’
или

(10.165)

Используя это соотношение, оптимальный закон управления можно
записать в виде

<д = 7Т (Зо2+0,2е2г2)9ц.

vn

Это соотношение определяет закон пропорционального сближения с
переменным коэффициентом навигации.

2.	Пусть теперь критерий оптимальнос-
ти имеет, вид

7 = у[ (еМ+“2Н<-

о
В этом случае

R= 1

и, как легко проверить, имеем:

/0	— °п 0	° \		0	0	0	—
1 0	0 0	1 1		0	0	t»n	0 1
о = |		1 	D2=^				1 •
1 В	2 0 0	0 г		0	-	-e2on	, 0	0 г
\о	о vn	0 /		e2on	0	0	0 /
	0	0	— vu	0 4			
	Е2 Иц	о	0	0			
D3 = |						D4 =	— e202 E;
	0	0	0	— E2t>n			
	0	— Е2 va	0	0 ?			
D5= —Е2	v2 D;	D6	— в2	v2 D2;	D7= —	e2o2	D3;	D8 = e4v4 E;

D’ = e4vJD; Dll' = e4 t»4 D2; D11 = е4 о4 D4; D‘2 = e4o4D4..

Точное выражение для фундаментальной матрицы получить не удается.
При е2 1, используя (10.163) и отбрасывая малые члены более высо-
кого порядка, чем е2, получим:

т5	т3	т7

гт2(т) = —	t-)-e2v3 — ; г13(т)= —v3 —+e2v4—; z22 (т) =

= 1 — е2 о2 — ; гот (т) = пп — —е2 п3 —;
п 4!	234 ' п 21 п 61

г42 (т) = —Е2 »п	: г« (Т) = Vn Т~е2 4? •

Oi

После подстановки этих выражений в (10.160)—(10.161) оптимальный
закон управления записывается в виде

(	3	\ I xi

\	' ип

*2

Т }

или в исходных переменных

со =

3

---V2 Т4 Е2

35 п

Используя (10.165), получаем

Зпс
со =------

с’п

!+ vn е* г4)<7ц-
оЬ	/

или, учитывай, что vc(tf — f} = г.

Зос I	1

со =----- I 1 -|- — п2 е2

v„ \	35 п

г4 \ .

о4 Г4’
Таким образом, опять оптимальное управление определяет закон
пропорционального сближения с переменным коэффициентом навига-
ции. При в2 = 0 оба оптимальных закона управления совпадают и при-
обретают вид

•

©==----------<?Ц-

§ 10.7. Стохастические оптимальные системы.
Методы синтеза. Методы оптимальной
оценки состояния. Принцип разделимости

Для детерминированных систем управления не имеет зна-
чения , какое управление — программное или с обратной свя-
зью — используется, так как знание управления и начального
состояния позволяет однозначно определить состояние систе-
мы в любой момент времени. Наблюдение за текущим состоя-
нием системы не дает новой информации. В стохастических си-
стемах управления, т. е. в системах управления, подверженных
случайным воздействиям, по известным управлению и началь-
ному состоянию предсказать ход протекания процесса невоз-
можно, так как он зависит еще от случайных воздействий. И
возможности управления такими системами существенно за-
висят от той информации, которая может быть получена путем
измерения и обработки выходной (наблюдаемой) переменной.
Поэтому стохастические оптимальные системы управления
должны быть замкнутыми, т. е. системами управления с обрат-
ной связью.

В теории детерминированного управления основное внима-
ние также уделяется замкнутым системам, так как практически
все системы управления подвержены случайным воздействиям.
Детерминированные системы рассматриваются как модели,
которые используются в процессе синтеза, ввиду их простоты
по сравнению со стохастическими системами. Предполагается,
что в действительности в процессе функционирования они бу-
дут подвержены случайным воздействиям.

Задача синтеза стохастической оптимальной системы управ-
ления в общем случае ставится следующим образом. Задают-
ся дифференциальные уравнения объекта, ограничения, крае-
вые условия, уравнения наблюдения, критерий оптимальности
и характеристики случайных воздействий и параметров. Тре-
буется найти управление как функцию от измеренных значений
выходной переменной у (т) на интервале t0 < х < t.

Для решения стохастических задач оптимального управ-
ления разработаны методы, в том числе стохастический прин-
цип максимума, метод динамического программирования и
другие [5, 9, 17, 18, 19]. Ниже будут рассмотрены метод дина-
мического программирования и методы, основанные на сведе-
нии стохастических задач оптимального управления к задачам
оптимальной оценки состояния и синтеза детерминированной
оптимальной системы управления.

Метод динамического программирования

Пусть объект описывается уравнением

х =f(x, u, t)4-V0(fl,	(10.166)

где Vo(О — белый шум с характеристиками

М Vo(0 = 0; M[V0(OVj(f)] =Qfl(06(/-f). (10.167)

При условии, что х (4) = х° и и (/)€ Ut, требуется найти до-
пустимое управление и* (х (/), /)» при котором критерий опти-
мальности

/,] + J /0(х, u,t)d/}	(10.168)

*0
принимает минимальное значение.

Таким образом, рассматривается стохастическая задача
оптимального управления, в которой случайное воздействие
является белым шумом и входит в уравнение объекта аддитив-
но; ограничение на правый конец траектории отсутствует, фа-
зовый вектор измеряется полностью и без помех, т. е. в каждый
момент времени точно известно состояние объекта. В этой за-
даче х (I) является марковским процессом (так как случайное
воздействие является белым шумом) и вся информация, ис-
пользуемая при определении характеристики будущего состоя-
ния объекта, содержится в х(/). Поэтому оптимальное управле-
ние должно быть функцией только от текущего состояния
х (/). Здесь, как всюду в этой главе, управление и 1х'(/), /]
называется допустимым, если функция и (/) = и lx (/), if] ку-
сочно-непрерывна и принимает значение из множества Ut.
Кроме того, предполагается, что уравнение

х = f]x, u(x, /), /]
при каждом фиксированном х (/0) = х° имеет единственное
решение на интервале [Zo, f,]. Функции f0 (х, u, t), f (х, и, f)
и Qo (Я предполагаются непрерывными.

Для решения сформулированной задачи воспользуемся
уравнением

min (с / .. « ।	« л • 1 V* daS 1 dS

«mev /о(х. U. *>+ f(X’ u’ Я+ о 2	-ZT .

«wev( I	2 i,j—\ dxfdxj J	at

(10.169)

где qu—элементы матрицы Qo, при граничном условии
S[x(f>), M=g0[xa/), /,].	(10.170)

Уравнение (10.169) является функциональным уравнением ди-
намического программирования для стохастической задачи
оптимального управления (10.166)—(10.168) и также называет-
ся уравнением Беллмана. Скалярная функция S (х, t) есть
функция Беллмана. Если множество U (/) открыто и минимум
левой части уравнения (10.169) достигается в стационарной
точке, то уравнение Беллмана можно представить в виде еле?
дующей системы уравнений:

/о(х,и, 0+aTf<x' u /)+2	““-S’’ I7I)

j~{/o(x. u, t) + f(x, u, 0}=0.

Достаточное условие	оптимально-

сти [18]. Пусть существуют скалярная функция S (х, /),
обладающая непрерывными частными производными Sf,
Хм, =и допустимое управление и* (х, /), удовлетворяющие
уравнению Беллмана (10.169) или (10.171) и граничному усло-
вию (10.170). Тогда управление и* (х, /) является оптимальным.

Обычно уравнение Беллмана записывают, используя след
матрицы. Следом (или шпуром) (п х п)-матрнцы А — ||п,^||
(обозначают tr А или Sp А) называется сумма элементов ее
главной диагонали:

tr А = 2 Qu-
z=i

Как легко проверить непосредственным вычислением,

V	d2S t (л 1

i । dxj dxi ~ Г dx dx / ’
поэтому уравнение (10.169), очевидно, можно представить в
виде

“• 0+ g «’• “• ')+ 4 (<».£g)} = -g-

Вывод уравнения Беллмана. Пусть в мо-
мент t фазовый вектор х (t) принимает определенное значение.
Обозначим J [х (fl, и (•), fl значение функционала (10.168)
при t0 = t, указанном значении х (fl и некотором фиксирован-
ном управлении и (•) = {и (т), t С т < fl}:

Ч

Л*(А, и (), fl = М {[g0 (x(fl), tf) + J /0(х, и, т) d т]/х (fl }.

t

Минимальное значение этого функционала

S[x(fl, fl = min J[x(fl, u(.), fl
U(T) s VT.

i t <

есть, по определению, функция Беллмана. Опуская для крат-
кости записи аргументы функций, представим функцию Беллма-
на в виде

S [х (fl, fl = min М
u w 6 ит,

z+д/	tf

J Мт + J /odT+go

- 1	t + м

At)

или

S [x (fl, fl = min M fg (X tfl, u (fl, fl А/ 4-
u (T) £ UT I

+ о (Afl + j fo dx + So
t+&t

min (/ (x (fl,
«	• I

u (fl, t) &t + o (Afl + M

J fodx + go
_«+at

x(fl

(10.172)

Используя свойства условного математического ожидания
М 1М (В/т))/Ц = М (^/т)),
можно записать

(/ ‘f	\ I	(	Г ( *i

М I J fo^+go x(m = M|M I J fodr +

I't+At	/ /	I l\/4-a/

+ goj I *(t +	| x(t) .

Подставив это выражение в (10.172) и используя принцип
оптимальности, получим

S [х (/), /]= min |/0 ( х (/), и (0,/) А/+ о (А/)+

+ min М
u (ng ит .
f+A/<r<7f

Но так как

= М

min М

U (т)£Вт ,

j‘ fo^ + go

x(0

min М
u (T)£U-f .

x (t -p AZ)

= M [S (x(/4-A0, / + Афх (0|,

TO

S(x(t), t) min {/o(x(0, u(0, Z)AZ + o(AO +

U(0E ur

+ M[S(x(Z + A/), / +AZ)/x(OI}-	(10.173)

Представим (10.166) в виде разностного уравнения

\xi=fi\t-VVoiM+o(M), i = l,2, ... ,п.	(10.174)

Если Vo (/) — белый шум с характеристиками (10.167), то
по определению белого шума АЕ; (Z) = Vo (t) kt является слу-
чайным процессом с характеристиками

М А 5(0 = 0, М А5(0 А57(О = Q0(/)At
Моменты более высокого порядка являются малыми величина-
ми более высокого порядка, чем Д/, поэтому из (10.174) имеем:
М(Дх£/х(А}=Л(х, u, 0^4-M{Voi Д^/х(0}=/£Д#;

М (Дхг, Дх;/х(0) = М {(ft М + УогД/) (/гД/ +

+ Уо;Д//х(0) +о (Л/) = Qij (t)M +о(М)-,
М {Дх,-Дх^ Дхг/х(/)) = о (Д/), ... .

Разлагая S [х (/ + Д/), t + ДА в ряд в точке [х (/), А и исполь-
зуя последние соотношения, получим

М {S[x(t+Af), /+Д/1/х(/)} =S[x(0, П +

dt	dxj	2 , dxidxj

Подставив это выражение для М {S [х (t + Д/), t + ДА/х(/)},
из (10.173) предельным переходом при Д<->0 получаем
(10.169).

, Граничное условие (10.170) получается непосредственно из
определения функции Беллмана.

Синтез стохастической оптимальной

линейной системы при полной

информации о состоянии

Рассмотрим стохастическую задачу оптимального управ-
ления при линейном объекте, квадратичном критерии и полной
информации о состоянии системы:

х = А(/)х + В (A u + Vo; х(/0) = х° ;	(10.175)

Ч

J = M{xr(Z/)Fx(Z/)+ j) (хг Q (т)х+ur R(t)u) dx}-> min.

(10.176)

Здесь Vо — белый шум с характеристиками

М Vo = 0; М {Vo (0 VJ (f)) = Qo (/) 6 (t-f);	(10.177)

х° — случайная величина с характеристиками

М х° — х°; М {х°—х°) (х°—х0)7} — Ро:	(10.178)

F, Q.— неотрицательно-определенные симметричные матрицы;
R — положительно-определенная симметричная матрица.
Задача заключается в определении 'оптимального закона
управления. Критерий оптимальности (10.176) имеет такой
же смысл, что и критерий оптимальности (10.121) в детермини-
рованной задаче оптимального управления. Здесь только про-
изводится усреднение по всем случайным факторам.

Решение этой задачи совпадает с решением (10.138), (10.123),
(10.125) детерминированной задачи (10.120), (10.121) при h(t) =
= 0.

Оптимальное управление

u*[x(0, d = -R-1BrKx(0,	(10.179)

где симметричная матрица К определяется из матричного
уравнения Риккати

К = — КА—Аг К+ KBR-1 Вг К—Q	(10.180)

при граничном условии

ед==Р.	(10.181)

Таким образом, случайное воздействие Vo и случайное на-
чальное условие на оптимальный закон управления не влияют.
Они сказываются только на значении критерия оптимально-
сти: оно, естественно, увеличивается. При оптимальном управ-
лении критерий оптимальности (10.176) принимает следующее
значение:

1	9

J— х.оТ К(/о) х° +tr[К (QP0+ v J Qo К Л].	(Ю.182)

2	to

Для получения решения (10.179)—(10.181) воспользуемся
методом динамического программирования. Уравнения
(10.171) в данном случае принимают вид

xrQx4-urRu4- (Ах + Bu) + -1 tr(Q0	---;

дх	2	\ дхдх /	dt

2urR+ — В=0.

дх

Из второго уравнения полученной системы

U = _ _L R-1 в7

2

/ dS у-

\ йх / ’ 

(10.183)
Подставив это выражение в первое уравнение, получим

, dS .	1 dS о_ ,	/ dS \т ,

х' Qx 4------ Ах------— BR1 Вг I--+

дх	4 дх	\ дх J

Будем искать решение этого уравнения в виде квадратичной
формы:

S = xT К(Ох-Ь&0 (/),

где К (0 — симметричная матрица, k0 (t) — скалярная функ-
ция. Подставив ее, получим

хг (Q—К BR-1 Вг К + КА + Аг К + у tr(Q0 К) - — хг Кх —Ао,

откуда

К = — Q + KBR1 Вг К—КА—Аг К,

Ло = — (1/2) tr (Qo К).	(10.184)

Граничное условие (10.170) принимает вид

xr (tf) К (tf) х (tf) + k0 = x7 (tf) F x (tf),
поэтому

K(4) = F; ko(tf) = 0.	(10.185)

Подставив выражение для S в (10.183), получим оптимальный
закон управления (10.179). Осталось получить (10.182). Из
определения функции Беллмана следует, что

J=M[S(x(4), 4)] = М {х«г К х°} + k0(t0).	(10.186)

Вычислим математическое ожидание от квадратичной формы':
М {х07' К (t0) х°} = М {(х°—х° + х°)г К (t0) (х°— х® + х°)} =
= М {(х° - х»)г К (t0) (х® —х®)} + х«г К (t0) х°.

Как легко проверить непосредственным вычислением, ес-
ли а и b являются произвольными векторами (столбцами)
одного и того же размера, то

a7’6 = tr(bar).	(10.187)

Используя это соотношение, окончательно получаем

М {хог К (t0) х®} - tr (К (4) Ро) + хог К (4) х°.	(10.188)
Для второго слагаемого правой части (10.186) из уравнения
(10.184) с учетом граничного условия (10.185) имеем

k0 (U= 4/tr<Qo К) dt’

поэтому действительно из (10.186) получаем (10.182).

Синтез стохастических оптимальных
систем управления при неполной информации

Измерение (наблюдение), как правило, всегда сопровож-
дается помехами, и состояние системы никогда точно не из-
вестно, поэтому более практичной является стохастическая
задача оптимального управления при неполной информации
о состоянии системы. Эта задача намного сложнее, и для ее
решения часто используют эвристический прием (метод разде-
ления), при котором стохастическая задача синтеза при непол-
ной информации разделяется на две задачи: задачу оптимальной
оценки состояния и детерминированную задачу синтеза или
стохастическую задачу синтеза при полной информации. В об-
щем случае система, синтезированная таким приемом, не обя-
зательно является оптимальной. Но возможно, что, как, на-
пример, при линейных уравнениях объекта и наблюдения и
среднеквадратичном критерии, метод разделения позволяет
синтезировать оптимальную систему управления. Таким обра-
зом, со стохастической задачей оптимального управления тес-
но связана задача оптимальной оценки. Перейдем к рассмотре-
нию этой задачи.

Наблюдатель (оцениватель, фильтр) Калмана—-Бьюси. Рас-
смотрим следующую задачу оптимального оценивания (вос-
становления). Пусть объект и наблюдение описываются урав-
нениями

x = A(f)x-|-B(0u+Vo; х((°)=х°;	(10.189)

y = C(0x+VH,	(10.190)

где Vo и Vri — гауссовские белые шумы с характеристиками

М Vo = 0; М {Vo (0 VJ (f)) = Qo (/) б (/- Г);

М VH = 0; М {VH (t) V? (Г)} = Ro (0 б (t-t'Y,

M{Vo(0 Vj(f)} = So(O6(/-f);
х° — гауссовская случайная величина с характеристиками

М х° = х°; М {х° —х°) (х°— х°)г} = Ро;

Qo. — неотрицательно-определенные симметричные ма-
трицы (Qo > О, Ро > 0); Ro — положительно-определенная
симметричная матрица (Ro > 0).

Случайные процессы и называются соответствен-
но шумом объекта и шумом наблюдения или измерения. Они
не коррелированы со случайной величиной х°. Требуется,
используя измеренные значения выходной переменной у (т)
на интервале [£0, Л, найти несмещенную оценку х (/), обеспе-
чивающую минимум среднего квадрата ошибки:

Jo = М [(х (t)—х (t))r (х (/)—х (/)] -> min.	(10.191)

Условие Ro > 0, т. е. условие положительной определен-
ности матрицы интенсивности шума наблюдения, означает,
что ни одна компонента выходной переменной у (/) не измеря-
ется точно. В этом случае задача оценивания называется не-
сингулярной [10]. Таким образом, задача (10.189)—(10.191)
является несингулярной задачей оценивания (фильтрации).
Ее решение, т. е. несмещенная оптимальная оценка х (I),
определяется из уравнения

7= А7 + Bu+K°(y— С х); Sc(/0)=x°,	(10.192)

где матрица коэффициентов усиления
К0 = (РСГ + So) R^1.

(10.193)

В (10.193) Р является дисперсионной матрицей ошибки
е = х — х (Р(0 = М {е (0 ег (/)}) и находится из так назы-
ваемого дисперсионного уравнения:

Р = (A -So R-1 С) Р + Р (A- So R-« Cf-

-PCR-1 CP + Q0-S0R?> S£ t > t0, P(Z0) = P0. (10.194)

Если шумы объекта и наблюдения не коррелированы
(So = 0), то из (10.193) и (10.194) получаем

K°^PCrRnI;

Р = АР + РАГ— PC' R"1 СР + Qo;

t >t0'f	=

(10.195)
Несингулярная за-
дача оценивания
(10.189)—(10.191) при
некоррелирова и ны х
шумах впервые была
решена Р. Калманом
и Р. Бьюси. Ее реше-
ние, представляющее
собой оптимальный
наблюдатель, назы-
вается наблюдателем
(оценивателем) или
чаще фильтром Кал-
мана—Бьюси. Заме-
тим, что Р. Калман и
Р. Бьюси рассмотре-
ли случай, когда
и = 0.

Сравнивая уравнения объекта (10.189) и оптимального
наблюдателя (10.192), замечаем, что их правые части отли-
чаются только последними слагаемыми: в уравнении наблюда-
теля вместо шума объекта появляется слагаемое, пропорцио-
нальное разности у — Сх. Эта разность между измеренным те-
кущим значением выходной переменной и его оценкой у — Сх
называется невязкой. Структурная схема наблюдателя Калма-
на—Бьюси (рис. 10.7, а) включает в себя как составную часть
модель исходной системы (рис. 10.7, 6). Ее отличие от задан-
ной системы состоит только в том, что она имеет дополнитель-
но обратную связь по невязке. Интересно отметить, что на-
блюдатель Калмана—Бьюси имеет такую же Структуру, что
и наблюдатель полного порядка в детерминированном случае
(см. рис. 10.3).

Соотношения (10.192)—(10.195) определяют также реше-
ние задачи линейного оптимального оценивания, которая от-
личается от задачи оптимального оценивания (10.189)—
(10.191) тем, что: а) о законах распределения шумов и началь-
ного состояния никаких предположений не делается (не тре-
буется, чтобы они были гауссовскими); б) нужно найти линей-
ный оптимальный наблюдатель, т. е. оптимальный наблюдатель
в классе линейных систем. Другими словами, если шумы
Vo и VH и начальное состояние х° не являются гауссовскими,
то наблюдатель Калмана — Бьюси является оптимальным,
вообще говоря, только среди линейных наблюдателей (сис-
тем).

Покажем, что наблюдатель Калмана—Бьюси является ли-
нейным оптимальным наблюдателем. Достаточно доказать, что
оценка, определяемая наблюдателем Калмана—Бьюси, мини-
мизирует функционал

J =.М {аг х (/)— аг х (Z)}2

(10.196)

при произвольном лг-векторе а. Действительно, если оценка
х (/) минимизирует функционал (10.196) при произвольном а,
то она,' очевидно, минимизирует функционалы

7(-=-М {%;(/) —1 = 1,2, ... , П,
которые получаются из (10.196) при соответствующем выборе
вектора а, и соответственно сумму

п	п

2[хдо-хг(т2}.

<=И	Z=1

представляющую средний квадрат ошибки оценивания (10.191).

Сначала примем и = 0. Воспользуемся схемой доказатель-
ства, основанной на преобразовании задачи линейного опти-
мального оценивания к задаче оптимального управления [161.
Так как отыскивается линейный оптимальный наблюдатель,
то линейная комбинация агх (ZJ, как и сама оценка х (4),
представляет собой линейный функционал от функции у (т),
t0 < т < tt, которая является входным воздействием искомо-
го н аблюдател я:

агх(/!) = J иг (т) у (t)di -f-br х°.

(10.197)

Найдем весовую функцию и (т) и постоянный вектор Ь, при
которых оценка х (Z), определяемая последним соотношением,
является несмещенной и оптимальной в смысле минимума
критерия (10.196).

Подставим в (10.197) выражение для у (т) из (10.190):

аг х (ti) = J [ur (т) С (т) х (т) + иг (т) X

^0

X V,, (т)} (к + ьг х°.	(10.198)
Введем векторную переменную х, определяемую уравнением
х = — Arx + CTu, t0 < t	(10.199)

при граничном условии

х(^)=-а.	(10.200)

Очевидно,

а7 х (4) = хг (/0) х (/0) + J d [хг (т) х (т)].
to

Так как в силу уравнений (10.188) и (10.199) (напомним, что
рассматривается случай u (t) = 0)

d| xrx]=x7xdr Т' ХГх dx = (ur Сх + xTVo)dr,
то

___	Л __	_

&т х (tj = xr (/0) X (i0) + J (ит Сх + ХТ Vo) dx.

*0

Вычитая из этого соотношения (10.198), получим

агх (/J —а7" х &)=хг(t0) х (t0) —Ьгх° +
+ J (хг Vo—ur Vn) dr,
tf)
откуда

М |аг X (У- аг X (G)l = 1 хг (f0) — brJ х .

Из последнего равенства следует, что при
х(«о) = Ь

(10.201)

оценка аг х (1,) линейной комбинации аг х (1J, определяемая
соотношением (10.197), будет несмещенной при всех а и и (/).
Из него также следует, что

J = М [аг х (/j) - аг х ft)]8 = М [ хт (/0) х (t0) -

b7-?r + JjM{[xr(T)V0(T)-

to to

ur(t)VH(T)]x

X [хг(т') Vo(x') — йг(т') VH(-r')]r) dx' dr.
Используя (10.201), получим

М [ хг (t0) х (/0) — Ьг х°]2 — М {хт (t0) X

X [х (U — х°])2 = хГ (t0) Ро х (t0) •

Кроме того,

М | хт (т) Vo (т) -йг (т) VH (т)] [хг (т') Vo (?) -

- иг (?) VH (ИГ! = I хг (0 Qo (т) х (?) -

— иг (Т) s[ (т) X (т') — Хг (т) So (т) й(т') -т-

+ иг (т) Ro (т) и (?')] 6 (х —?).

Поэтому

_ ь _	_	_ _

J = xr(fo)Pox(^) 4- J(xrQox—urS„ X— xrSou + urRou)dT.

Преобразуем подынтегральное выражение следующим обра-
зом:

xrQ0 х—urSo х — хт So u + ur Ro u = xrQ0 x +

+ (u—R"1	x)rR0(u-Ro 1 So x) — xrS0R0-1 S^x.

Введя обозначение

u'=u—Ro’Sox; Q;=Qo-SoR;1S^	(10.202)

выражение для 7 можно представить в виде

7 = хт (to) Ро X а0) 4- j (х Q' X 4- и'т Ro u')dr.

*0

Уравнение (10.199) преобразуется к виду

х= —А'г х4-С^и',

где

А'г- А' -(7R"1 = (А—SoRo1 С)Л (10.203)

Если положить t2 —10 4- x(t) — z (t2—1)\ u' (t)=v ((,—t)-,

A'(0==A(^—0; c(n=c(f2— 0; Q«(0

Ro(0 =Ro&-0
и ввести новую независимую переменную А. = /2 — Л урав-
нение и граничное условие для х и выражение для J преобра-
зуются к виду

----== A z С v; z(zn)—а;

_	ti ~

7 = zr (IJ Po z (tj 4- $ (zT Qo z + vr Ro v) dA.

(10.204)

Таким образом, задача линейного оптимального оценива-
ния свелась к задаче оптимального управления (10.204), где
нужно найти «управление» v, минимизирующее критерий J.
Задача (10.204) эквивалентна задаче оптимального управле-
ния (10.120), (10.121) при h (t) = 0, причем между матрицами,
входящими в условия этих задач, имеется следующее соот-
ветствие:

А*—->АГ, Вч-->С7, F«-->P0, Q-----> Qo, R-e-->R0.

Используя решение задачи (10.120), (10.121) при h = 0, полу-
чим [см. (10.138)1

v=R;1CPz,

где Р определяется из уравнения [см. (10.123), (10.125)1

dP/dA = —РА7 — АР 4- PC7 R-1 СР —Qo, Р (Q = Ро.

Возвращаясь к независимой переменной t, полученное
соотношение можно записать следующим образом (заметим, что
р (t) = Р (t2 — 0 и Р = — d P/dty

u' = R~1CPx; P = PA'r + A' P —PCrR;1CP +

+ Q;; p(U = p0-

Принимая во внимание обозначения (10.202) и (10.203), полу-
чаем:

(	и = Ког х; К0 = (РСГ + So) R-1; "	(10.205)

Р =• Р (A --So Ro1 С)г + (A -So Ro-1 С) Р- PC*1 Ro"1 СР +
+ Qo-SoR71 S[; Р(t0) = Ро.	(10.206)
Итак, установлено, что соотношение (10.197) определяет
несмещенную оптимальную оценку х (/), если весовая функция
и (/) удовлетворяет (10.205), (10.206), а постоянный вектор
b — условию (10.201). Выражение для К0 из (10.205) и урав-
нение (10.206) совпадают с (10.193) и (10.194) соответственно.
Следовательно, остается доказать, что оценка, определяемая
из соотношения (10.197), после подстановки в него весовой
функции и (/) из (10.205) удовлетворяет уравнению (10.192)-

Подставив выражение для и из (10.205) в (10.199), получим

х = —(Аг—СгК°г)х.	(10.207)

Пусть Z (t, т) — решение матричного уравнения

-Z-^’	= (А— С) Z (t, т)	(10.208)

при единичном начальном условии

Z(G, /0-Е.

Тогда (см. § 8.2) решение уравнения (10.207)

Я(0 = гч<п Л)

и в силу (10.200) и (10.201)

x(/)=Zr(/1, /)а;	(10.209)

b = x(/o) = Zr(O. Uа-	(10.210)

Из (10.205) и (10.209) имеем

й(/)=-Ког(02г(0, Па.

При подстановке этого выражения и выражения (10.210) со-
отношение (10.197) при t±= t преобразуется к виду

t	_

аг х (0 = J ат Z (/, т) К0 (т) у (т) dr + аг Z (i, t0) х0,

^0

откуда следует, что оценка

х (0 — J Z (/, т) К0 (т) у (т) dt Z (t, t0) х0 (10.211)
to
является несмещенно и доставляет минимум (10.196) при лю-
бом а. Продифференцируем (10.211) и, используя (10.208), по-
лучим

"х=г к° у + (А—- К0 С) I $ Z (t, т) к° (т) у (т) di + Z (/, 4) х° ,
и

или, принимая во внимание (10.211),

х —К°у —(А— К0С) х= Ахф- К0(у— Сх).

Из (10.211) при t — t0 получаем х (4) = х°.

Итак, для случая и (/) = 0 показали, что наблюдатель
Калмана—Бьюси действительно является линейным оптималь-
ным наблюдателем.

Перейдем к случаю u (t) =И= 0. Представим фазовый вектор
в виде суммы [91: х — х^> + х<2>. где слагаемые удовлетворяют
уравнениям

xU) = Ax(1’-[rV0; х(1’(4) = х°;

х(2) = Ах<2’-|-Ви; х1!’(4) = 0.

Вектор наблюдения также представим в виде двух состав-
ляющих: у — уС> + y(z), где

y“’ = Cxll) + VH; yl2’=Cx<2’.

Составляющие х<2> (t) и у<2> (/) однозначно определяются
из уравнений.

Составляющая у(1) (t) легко определяется по измерениям
У (0:

уи,(П==у(0-у(2’(0-

Таким образом, задача оптимальной оценки при и (/) #= 0
свелась к оценке x<1J (t) по у(1> (т), t0 < т < t, — задаче оп-
тимальной оценки при и (/) = 0.

Для линейной оптимальной оценки х(1> имеем [см. (10.192)1

'х<,,=-Ах‘1,-[-К0(у(1’— Сх‘1>);2‘1»(4) = х<>,

где К0 определяется из (10.193)—(10.195).

Очевидно, оптимальная оценка х (/) равна сумме:
|?=^<”4-х42’.
Продифференцировав это выражение, получим

х = х11’ фх<2) = А хф Ви ф К0 (у*1’— Сх(1’),
или, принимая во внимание равенство у<2> = Сх(2),

х = АхфВифК°(У ~Сх), х(£0)=х°.

На этом заканчивается доказательство, что наблюдатель
Калмана—Бьюси, определяемый соотношением (10.192)—
(10.195), является линейным оптимальным наблюдателем.

Пример 10.24. Рассмотрим задачу определения оптимальной оцен-
ки скалярной постоянной величины х по измерениям у (/) = хф Ун (/),
где VH (/) — белый шум с интенсивностью г0.

До начала измерения известны следующие характеристики х;

Mx = т; М (х — т)2 = р0.

Искомая величина и шум независимы. Учитывая уравнение х =0,
рассматриваемую задачу можно сформулировать как задачу линейной
оптимальной оценки. В данном случае

А=0, В=0, Qo = O

и наблюдатель Калмана — Бьюси описывается уравнением
x=fe»(p—х). х (10)кт,

где ku — р/г0; р определяется из уравнения

Р => — P2/r0. Р(М=Ро-

Как легко проверить,

Р = Ро''о/(гофРоО. ^—Ро/КоФРоО-

Заметим, что хотя х — константа, ее оценка х является функцией
времени: с течением времени оценка уточняется и при t оо стремится
к х. Это следует из того, что дисперсия ошибки при /->оо стремится к
нулю:

1!тр=Нт[р0г0/(г0фРоО|—0.
t -+ОО t -+-ОО

Дисперсионное уравнение. Покажем, что
матрица Р, .определяемая из уравнения (10.194), является дис-
персионной матрицей ошибок для оценки, получаемой наблю-
дателем Калмана—Бьюси. С этой целью сначала получим урав-
нение для дисперсионной матрицы стохастического процесса
z (/), описываемого уравнением

. z==G(0 ?фН(0 w + h(0; z(f0)=z°,	(10.212)
где G (i) — (n X п)-матрица; H (t) — (n X /п)-матрица;
h (t) — детерминированная функция; w (t) — белый шум с
интенсивностью S (/); z° — случайный вектор с математиче-
ским ожиданием z° и матрицей дисперсий Q (0; z° и w не кор-
релированы.

Пусть Z (/, /в) — нормированная фундаментальная матри-
ца. Тогда

z(i, /0) = G(()Z(t Ц; Z(#o, f0) = E;

t

z (0 = Z (t, t0) z° + [ Z (t, r) [H (t) w (t) + h (t)1 dr.

^0

Так как, очевидно,

(10.213)

_ t

z (t) <= Mz (t) — Z (t, t0) z° + j Z (t, t) h (r) dr,

то для центрированного процесса z (t) — z (/) — z (/) имеем
t

z (t) = Z (t, t0) z (t0) 4- j Z (t, т) H (r) w (r) dr.

to

Используя это выражение, для корреляционной матрицы
Цг (<ъ у получаем

Rz Gi» /г) “ Z (tlt t0) Qo Zr (t2, #o) -f-

min (<t. t«)

4- j Z(tlt т) И (t) S (т)	(t) Z'f (i2, T) dt. (10:214)

to

Дисперсионная -матрица

Q(t) = Rz(f, 0 == Z(t, Z(1)Q0Z7 (t, /0) 4-

4- j Z (t, т» H (т) S (t) Hz (r) Zr (t, t) dr. (10.215)
^0

Используя тождества Z (tit r) = Z (#2, Z (tu т) при
.’.4> 4, Z (tlt t) = Z (tlt t2) Z (t2, т) при 4 > t2 и выражение
(10.125) для Q (0. соотношение (10.214) для корреляционной
матрицы можно преобразовать к виду

Rz (^i.	ZT П₽И	(10.216)

1	8 lz«lf fa)Q(4) при ^>4,.
Это соотношение потребуется в дальнейшем при доказатель-
стве принципа разделения. Из (10.215) путем дифференциро-
вания получаем следующее уравнение для дисперсионной ма-
трицы (дисперсионное уравнение):

Q=GQ + QGr + HSHr.	(10.217)

Из (10.215) также имеем

Q(M = Qo-	(10.218)

Теперь получим уравнение для дисперсионной матрицы
ошибки. Вычитая (10.192) из (10.189), получаем уравнение для
ошибки е — х — х:

ё = (А — К0 С) e-j-Vo—K°VH.	(10.219)

Начальное значение е (t0) имеет следующие характеристики:

Me(/0)=0; М{е(/0)ег(/0)} = Р0.

Оно не коррелировано с шумами. Уравнение (10.219) по-
лучается из (10.212) при z = е, G = А — К0 С, Н = Е,

w = Vo-K°V„, h(0 = O, Q0 = P0.

Получим выражение для интенсивности шума S (0:

s (06 (/-/')= м {[v0 (t) - к° (О VH (01 [vor<П-

-Ути (Г) Ког (Г)] = IQo (0 4- К0 (0 Ro (t) ког (0 -

- к° (/) (0- So (0 ког (016 (t-П,
откуда

S (0 - Qo (0 -К0 (0 s; (i) - s0 (0 Ког (о + Qo (0 +
+ K° (t) Ro (0 Kor (0.

Дисперсионное уравнение (10.217) в этом случае принимает
вид

Q = (A- K°C)Q + Q(A-K°Cf + Qo-K°s£—

-So Kor + K° Ro Kor, Q (0) =-Po-

Если предположить, что дисперсионная матрица оценки Q =Р,
и подставить выражение для К0 из (10.193), то последнее урав-
нение преобразуется к виду (10.194). Следовательно, действи-
тельно матрица Р, определяемая из матричного уравнения
Риккати в наблюдателе Калмана—Бьюси, является диспер-
сионной матрицей ошибки.

Наблюдатель Калмана—Бьюси при цветном шуме объ-
екта. Рассмотрим задачу линейного оптимального оценива-
ния при условии, что шум объекта является небелым, т. е.,
как принято еще говорить, является цветным. Пусть объект
и наблюдение (измерение) описываются уравнениями

х(1) = Aj x,n + B1U + х(2); х(1) (f0) - х'1’;

y = Cxx‘l’ + VH(/),

где Vn — белый шум наблюдения с характеристиками

MVH = 0; M{VH(0Vl(r))=Ro(06(/-f); Ro>0;

Хо1’ — случайный вектор с характеристиками

Мх‘”= х‘‘»; MUxV’-x^Hx»’ -х‘‘>]г}=Р10;

х(2) — шум объекта.

Предполагается, что шум объекта является цветным и
удовлетворяет уравнению

х<2> = А2 х'2’+ Vo, х‘2,(/0) = х‘2’.

где Vo — белый шум с характеристиками

МКо = 0; М {Vo (0 VTO (t')} = Qo (0 6 (f —Г);

Хо2’ — случайный вектор с характеристиками
Мх<2’ =х<2), М{[х'2’- х'2’][х‘2'- х<2,Г}= Р02.

Последнее уравнение называется уравнением формирова-
теля (формирующего фильтра} или просто формирователем
(формирующим фильтром). Формирователь формирует из бе-
лого шума с известными характеристиками заданный цветной
шум. Введя обозначения

приведенные уравнения можно представить в виде
х—Ax + Bu+GV0, y = Cx + Vu.
Здесь, как всюду в этой главе, все нулевые и единичные ма-
трицы независимо от их размера обозначаются 0 и Е.

В преобразованных уравнениях шумы объекта и наблюде-
ния являются белыми. Шумом объекта является GVO с ин-
тенсивностью GQ0Gr, поэтому наблюдатель Калмана—Бью-
си при цветном шуме объекта описывается теми же уравнениями
(10.192)—(10.195), но при условии, что в дисперсионное урав-
нение вместо Qo подставляется GQnGr. При некоррелирован-
йых шумах Vo и VH имеем:

х=Ах +Bu + K°(y— Сх); x(f0) = x0; K°==PCrR“1;

Р = АР + РАГ — PC7 Ro"1 СР + GQ0 Gr;

P(fo)«Po-

Представив дисперсионную матрицу в виде блоков

Р=^/Р1 м

\Рг1 Pg /

и принимая во внимание введенные обозначения, матрицу
К0 и уравнение для оценки можно представить следующим об-
разом:

К0 = ( Р1 Р12) (С, 0)? R"1 =. (P1 С? R“1 ) = (.4 ;

'Pgi Pg /	\P21C[Ro-1/

?'1 > = Ai	’ + x( 2’ + Bi ii + Kj (у—Cj x'1 ’);

x‘l’(*0)=x‘”;.

?(2> = A2 x(2> + K2 (y-C1?‘1,); ?<2’ (M = x<2>.

Из уравнения для P нетрудно получить уравнения для
Pj, Р12 и Р2. Наблюдатель Калмана—Бьюси при цветном
шуме объекта помимо модели исходной системы включает еще
модель формирователя (рис. 10.8).

Пример 10.25. Пусть заданы уравнение и начальные условия

. ’	•	xi р0) = -*1,

где х2 — стационарный случайный процесс с характеристиками

M{x2(Z)x2.(Z + T)}=-i-,.e-|T|; .’
Рис. 10.8

х9 — случайная величина с характеристиками

Л4х?=0; M(x?)2=p0.

Требуется найти оптимальную оценку по наблюдению:

p=x14-FH>

где Ин — белый шум с интенсивностью г0.

Шумы х2, VH и случайная величина не коррелированы между
собой.

Путем преобразования Фурье от корреляционной функции находим
спектральную плотность шума объекта:

1 1

S (со) =------- = ------ •

'	14-со2	11Ч-/со|«

откуда для передаточной функции формирователя получаем

1Иф(р) = !/(₽+ •)

Следовательно, уравнение формирователя имеет вид

х2 — — х2 + Ио >

где Vo— белый шум с нулевым средним и единичной интенсивностью.

Наблюдатель Калмана — Бьюси описывается уравнениями

*1 = хг+^i (у—*i); М<о)=О;

х2 = — xz + k2 (у—Xj); х2(/о)=О,
где

kl — Рц/Го< ^2~Рз1/Го-

Дисперсионное уравнение имеет следующий вид:
или в скалярной форме

Рц — 2Pzi Pi i! Psi— Pss Psi Psi’
ro	r о

Pss= ~2p22 —Pii + 1.

При записи скалярных уравнений использована симметричность
дисперсионной матрицы (р12 = р21)- Начальные условия имеют вид
Pii (А>) — Pt>> Рги (to) — О, Pss Ко) = 1/2.

Наблюдатель Калмана—Бьюси при цветном шуме на-
блюдения. Пусть объект и наблюдение описываются урав-
нениями

х« Ax + Bu-hV0; х(/0) = х°,	(10.220)

y = Cx + z.	(10.221)

Здесь Vo — белый шум с интенсивностью O,0(t); случай-
ный вектор х° имеет характеристики

Мх (/(,) = х°; М | [х (t0) —х°] [х (t0) —х°]г} = Ро;
шум наблюдения z подчиняется уравнению

z = Dz + w,	(10.222)

где w — белый шум с интенсивностью Ro > 0.

Шумы Vo и w не коррелированы со случайным вектором
х°, но могут быть коррелированы между собой:

м {Vo (0 vS (Г)}=S (0 6 (f- t'Y, s (0 > о.

Задача линейного оптимального оценивания с цветным шу-
мом наблюдения решается также преобразованием ее в зада-
чу линейного оптимального оценивания с белыми шумами.

Из (10.221)—(10.222) получаем

y = Cx + z = (C + CA)x -J-CBu + Dz-j- CV0 + w.

Введем новый вектор наблюдения

у = у—CBu—Dy.	(10.223)

После подстановки выражений для у и у получим
y=Cx + VH,	(10.224)

где

С = С + СА —DC; VH =CV„ + w. (10.225)
В преобразованном уравнении наблюдения (10.224) шум
VH является белым. Его будем называть обобщенным шумом
наблюдения. Как легко показать, его интенсивность Ro (/)
и взаимная интенсивность So (t) (шумы V0 и V„ коррелиро-
ваны и в том случае, когда шумы Vo и w не коррелированы)
определяются следующим образом:

Ro- CQ0Cr-f- S7’Cr + CS + R0; S0=Q0C + S. (10.226)

Предположим, что матрица Ro не вырождена. Тогда на-
блюдатель Калмана—Бьюси описывается соотношениями
(10.192)—(10.194), где матрицы С, Ro и So определяются из
(10.225) и (10.226). Вектор наблюдения у вычисляется по
(10.223). В (10.223) входит производная у, которая может быть
получена дифференцированием измеряемой переменной у.
Однако такая операция нежелательна, так как дифференциро-
вание повышает уровень помех. Чтобы избежать дифференци-
рования, нужно произвести дальнейшее преобразование.

Введем вектор х, определяемый соотношением

?(f) = x(O + K°y(O-	(10.227)

Продифференцировав это соотношение по времени и под-
ставив выражения для х из (10.192) и для у из (10.223), полу-
чим

х = (А — К0 С) х4- (В — К° СВ) и —(К0 4- К0 D) у,
или, принимая во внимание (10.227),

х = (А—К® С) х4-(В— К0 СВ) и 4-((А —К0 С) х

X K°-Kp-K°D]y, х(<о) = х° —K°(Qy(f0). (10.228)

В последнее уравнение производная у не входит. Из не-
го сначала вычисляется х, а затем из (10.227) находится иско-
мая оценка.

Пример 10.26. Пусть объект и наблюдение описываются скаляр-
ными уравнениями х — 0; у — х + г; Мх (0) = 0, М [х (О)]2 = р0.
Шум наблюдения имеет следующие характеристики:

Мг = 0; М {г (!) г (t + т)) =е~,т,/2.
В примере 10.25 для такого шума было получено уравнение формирова-
теля

г = —г-hw; Мш = 0; М [и» (/) w (/')] = 6 (t —l'}-

В данном случае А = 0, и = 0, С = 1, Qo = 0; D = — 1, Ro = 1,

S = 0, поэтому из (10.225) и (10.226) получаем:

C=l, Ro=l, So = O.

Из (10.228) и (10.227) находим

х — —А°х+(*0—l-)-fc®)y; х(0) =—А0 (0) г/(0); x—x-]-koy.

Так как So = 0, то k° и р определяются из (10.195):

/г°=р; Р ^—Р2', Р(0) = ро-

Как легко проверить,

Р = Ро/(1+РоО- A°=Po/(l+PbO-

Сингулярная (вырожденная) задача линейного опти-
мального оценивания. Задача линейного оптимального оце-
нивания называется сингулярной или вырожденной, если
матрица интенсивности шума наблюдения вырождена. Син-
гулярные задачи возникают, когда часть компонент выход-
ной переменной измеряется точно или когда шум наблюде-
ния является цветным и матрица интенсивности обобщенно-
го шума наблюдения является вырожденной. Если задача
оценивания сингулярна, то приведенные выше оптимальные
наблюдатели использовать нельзя, так как в их описании
используется обратная матрица Ro1-Если шумы являются
цветными, то согласно выше описанным процедурам исход-
ная задача может быть преобразована. Поэтому рассмот-
рим сингулярную задачу линейного оптимального оценива-
ния с белым шумом.

Представим уравнения объекта и наблюдения следующим
образом:

х == Ах + Bu + Vo; x(f0) —х°;	(10.229)

y‘n=C1x(t) + VB,	(10.230)

у<а’=С2х.	(10.231)

Шумы имеют следующие характеристики:

MV0 = 0; M(V0 (0 VI )} = q0 (() 6 (t —t'y,

Qo(0>0;

mv„=0; M{V„(f)v^(f)}=Ro(06(/-^); Ro(0>o;
M{v0 (0 v: ((')} = s0 (0 6 (t-t'y, s0 (0 > o.
Они не коррелированы со случайным вектором хи, имею-
щим следующие характеристики:

Мх° == х°; М {(х° —х°) (х°—х°)г} = Ро

Компоненты вектора у<2> измеряются точно. Пусть размер
этого вектора равен рх и матрица С2 имеет ранг рх. Тогда соот-
ношение (10.231) дает рх линейных независимых уравнений для
неизвестного фазового вектора. Поэтому достаточно получить
еще п — Pi уравнений, которые совместно с (10.231) позволят
определить оценку х.

Введем переменный (п — рх)-вектор:

q(O = C'x(f),

(10.232)

/С2\

где CJ — выбирается так, чтобы (n X /г)-матрица была
невырожденной. Зная q (f), можно однозначно восстановить
х (0- Действительно, из (10.231) и (10.232) имеем

(г \-1	\

? L )•

С2/ \Ч /

Введем (n X р,)-матрицу Lx и [и X (и — рх)]-матрицу L2
следующим образом:

/ Г \-1

(LXL2)=( ,	.	(10.233)

\С2/

Тогда

/v(2)\

xJ) = (L1L2) Р | = L1y»» + Uq. (10.234)
\Ч /

Очевидно, если q — оптимальная оценка для q, то

x = Lxy<2,+L2 q.	(10.235)

Поэтому задача свелась к определению оптимальной оценки
Для q. Продифференцировав (10.232), получим

4=с;х+с; i=(c'+c'A>x+c;Bu +c;vo,

или, учитывая (10.234),

q = (С2 4- С' A) L2q + (С2 + С' A) Lx у<2’ + С2 Ви + С' Vo.
Последнее уравнение можно представить в виде
• q = Aq + и-р Vo,

(10.236)

где

a=(c; + c;a)l2; G'=(c;-pc;A)L1y(2’ +

+ C'Bu; Vo = C'Vo.	(10.237)

Преобразуем уравнения наблюдения: нужно получить
уравнения, связывающие измеряемую величину с переменной
q. Подставив выражения для х из (10.234) в (10.230), получим

y‘1> = C1q+VH,

где

у“> =у(»_с1 Ь1У(2);	(10.238)

Продифференцировав (10.231) и используя (10.229) и (10.234),
получим

y(2)=C2q+C2V0,
где

У<2> — У<2) —(С2 + С2 А) Ц у<2> —С2 Ви,

С2 = (С2 + Ct А) Ь2.	(10.239)

Используя обозначения

у = (£(1>\ С = VH = ( Vh Y (10.240)
\ г/(2>/	\С2/ \Qi Vo у

уравнение наблюдения можно представить в виде

y = Cq + V„.	(10.241)

Таким образом, чтобы найти оценку q, нужно найти фильтр
Калмана—Бьюси для системы 2Ю.236), (10.241). Найдем ха-
рактеристики для шумов Vo и VH. Из (10.237) и (10.240) сле-
дует, что интенсивность Qo шума Vo, интенсивность Ro шума
V„ и взаимная интенсивность So этих шумов определяется сле-
дующим образом:

Qo = CiQoc7. Ro = (\

\ ^2 ^0



S0=(C2S0 c2qocZ).

(10.242)
Для линейной оптимальной оценки q имеем:

q = Aq + u + К0 (у —С q);	(10.243)

К° = (РС^+ s0)Ro‘;

Р — (A -So Ro * С) Р + Р (А - SoRo * C)r-
— Р Сг Ro 1 С Р + Qo—So RF1 SJ.

В данном случае не просто определить начальные значе-
ния q (#0) и Р (/0). Простейший путь — это принять х (/0) =
= х0, т. е. игнорировать начальное измерение у(2> (t0). Тогда
из (10.132) имеем

q(^) = C2X«; Р(/О) = С;РОС7.

Для определения составляющей у(2> вектора наблюдения
у необходимо, как это следует из (10.239), вычислять производ-
ную у<2>. Путем дальнейших преобразований можно избежать
вычисления этой производной [101.

Пример 10.27. Рассмотрим сингулярную задачу линейного опти-
мального оценивания при следующих исходных данных;

Xj = х2; х2=«г-|-Ц>2;

Ух = Xj + Ун; !/г = х2; Мх(/0)=0; Мх ? 0о) = Poi. « = 1,2,

М {-Ч Оо)-чОо)}=0.

Шумы объекта VG2 и наблюдения VH являются белыми с интенсив-
ностями ^22 и ги соответственно. Шумы не коррелирован» между со-
бой и с вектором начального состояния. В данном случае в принятых
выше обозначениях имеем:

Qo=(° 0 ); Ro = ги; S0 = 0; х° —0; Ро= /'’°1 ° },
\0 Угг)	W Рог/

А — (°	В= ( ° Cj = (l 0); С2 = (0 1);	=	^г)=1/2.

\0 0/	\ 1 )

Примем С2 = (1 0). Тогда у=С’ах = хг.

Из равенства
Из (10.237)—(10.240), (10.242) имеем:

~~	_	—	~	t/l1)

А = 0; и = у2, у^ — уй ci=l; у<?> = у2 —их с2 = 0; у = 1

\у&

Соотношение (10.243) принимает вид

Я =Уг + к1 (У1— q) + k2(ya~u); k1 = p /ги; fe2 = 0; р = р2/гц.

Для искомой оценки из (10.235) получаем = qx х2 = у2.

Линеаризованный наблюдатель Калмана—Бьюси. Рас-
смотрим алгоритмы оценивания фазовых векторов нелиней-
ных систем, основанные на линеаризации. Пусть объект и
наблюдение описываются уравнениями вида

x = f(x, u, 0 + Vo; х(/0) —х°; y=g(x,0 + VH.

Шумы и случайный вектор х° не коррелированы между
собой и обладают следующими характеристиками:

Мх°=х°; М{(х°—х°)(х°—х°)7’} = Р0; Р0>0;

МVo = 0; М {Vo (0 Уто (Г)} « Qo (0 6 (<-*'); Оо > 0;

MVH = 0; M{VH(0V^((')} = RO(06((—Г); R0>0.

Произведя линеаризацию относительно некоторой траек-
тории х* (0, получим

x=f (х*, и, 0 + (4Ц (х—x*) + Vo;

\ дх /о

y = g(X*. 0 + f—) (х—x*) + V„,
\ дх /о

где индекс 0 при производной означает, что она вычисляется
в точке х = х*.

Учитывая, что наблюдатель Калмана—Бьюси состоит из
модели системы и обратной связи по невязке, можно записать:

"х = f (х, и, 0 4- К0 (у—g (х, /)]; х(/0) = х ((0);

Ko^p/AYro*;
\ дх Jo

Р-( «-) p + p(JLV_p(^.yRr/^)p;

\ дх /о \ дх Jo \ дх Jo \ дх /

P(Qt₽o.

(10.244)
Здесь в уравнении для оценки применяется точная модель
системы. Линеаризованная модель используется при вычисле-
нии матрицы коэффициентов усиления и дисперсионной матри-
цы.

Теперь остановимся на выборе траектории х* (t), относи-
тельно которой производится линеаризация. В качестве тра-
ектории можно принять номинальную траекторию, которая
выбирается до начала процесса получения оценки. Такой спо-
соб удобен тем, что производные и соответственно матрицу
коэффициентов усиления можно вычислить заранее. Это важ-
но, когда нужно получать оценку в реальном масштабе вре-
мени. Его недостаток состоит в том, что при неудачном выборе
номинальной траектории (траектории х* (Z) и х (/) сильно от-
личаются) возможны большие погрешности в оценке. А чтобы
выбрать траекторию х* (/), близкую х (t), нужна большая ап-
риорная информация. Указанного недостатка лишен расширен-
ный фильтр Калмана—Бьюси [191. Так называется наблюда-
тель (10.244), если линеаризация производится относительно
точки х (/), т. е. в качестве траектории х* (/) принимается
оценка. Недостатком этого наблюдателя является то, что ма-
трицу коэффициентов усиления заранее вычислить нельзя и
возникают трудности получения оценки в реальном масштабе
времени из-за увеличения объема вычисления в процессе полу-
чения оценки. Еще большей точности можно добиться, если
использовать итерационный фильтр Калмана—Бьюси [19],
Так называется наблюдатель (10.244), если после линеариза-
ции относительно номинальной траектории и получения оцен-
ки х (t) вновь производится линеаризация относительно х (t)
и получается новая уточненная оценка х(1) (/). Эта процедура
продолжается до тех пор, пока изменение оценки не станет ма-
лым. Недостаток итерационного фильтра Калмана—Бьюси
очевиден — большой объем вычислений.

' Пример 10.28. Самолет летит на постоянной высоте с постоянной
скоростью и. Измеряется угол 6 направления на радиомаяк М (рис. 10.9).
Требуется определить высоту х2 и дальность хх в текущий момент вре-
мени. Имеем:

^х«=р;;Х2 = 0; p = O = arctg —^--ЬУн; Мл:1(0) = /о; Мх2(О) = Ло,

М{1х(/в)-Г»][х(4)-х°1Г)=Ро. МУн = 0; МРн(0У„(/’) =

= rofi(Z—/'); Го>0.
Расширенный фильтр Калмана —
Бьюси описывается следующими уравне-
ниями:

-Ч =к+*1 [6— arctg ( x2/Xj)]; Л1(<о) = /о;

x2 = fe2[0 —arctg ( ^a/xj)]; хг (t0)==h0;

Р(/о) = Р<ь

Стохастическая линейная оптимальная
система управления при неполной
информации. Принцип разделимости

Рассмотрим задачу синтеза стохастической линейной оп-
тимальной системы управления при неполной информации о
состоянии. Пусть объект и наблюдение описываются урав-
нениями

x = Ax + Bu+Vo; х(/0) = х°; y = Cx + V„, (10.244)

критерий оптимальности имеет вид

J = M

хг (If) Fx (/,) -J- f (хг Qx + ur Ru) dt
io

(10.245)

Шумы Vo и VH являются белыми с интенсивностями Qo (/)
и Ro (/) соответственно; начальное состояние х° — случайный
вектор со средним значением х° и матрицей дисперсий Ро.
Шумы и начальное состояние не коррелированы между собой.
Матрицы R (/) и Ro (/) положительно определены. Задача со-
стоит в определении такой функции (функционала)

u = и {у (т), t0 С т с t}, t0 t < tf,

при которой критерий оптимальности принимает минимальное
значение.
Решение этой задачи, т. е. оптимальный закон управления,
имеет вид

u* = —R-i Вг К х (О,

(10.246)

где К — матрица, определяемая из уравнения

К ——КА—ArK + KBR-1BrK—Q, K(^)=>F; (10.247)
эГ— линейная оптимальная оценка, получаемая наблюдате-
лем (фильтром) Калмана—Бьюси:

х=аГ+ Ви + К® (у—Сх); 'х(^0)=х0; К® = РСГRo

Р = АР-f-РА7 — РСГ R~* СР +Qo; Р((0)«Р0.

(10.248)

Соотношения (10.246), (10.247) совпадают с соотношения-
ми (10.138), (10.123), (10.125) и (10.179)—(10.181), определяю-
щими оптимальный регулятор в детерминированной задаче
синтеза оптимальных систем и задаче синтеза стохастических
линейных оптимальных систем управления с полной информа-
цией, с той лишь разницей, что в (10.246) входит оценка х,
а в (10.138) и (10.179) — сам вектор х. Таким образом, стоха-
стический линейный оптимальный регулятор состоит из ли-
нейного оптимального наблюдателя и детерминированного оп-
тимального регулятора (рис. 10.10). Этот результат известен
как принцип разделения [101 или принцип стохастической эк-
вивалентности [51. В соответствии с этим принципом задача
синтеза стохастической линейной оптимальной системы управ-

Рис. 10.10
ления при неполной информации о состоянии разбивается на
две: задачу синтеза линейного оптимального наблюдате-
ля и детерминированную задачу синтеза оптимальной систе-
мы. Если шумы и начальное состояние подчиняется гауссов-
скому закону распределения, то соотношения (10.246)—(10.248)
определяют стохастический оптимальный регулятор, т. е.
регулятор, оптимальный в классе всех систем, а не только
линейных.

• Для доказательства принципа разделения сначала пока-
жем, что ошибка е — х — х и оценка х не коррелированы.
Уравнение для оценки из (10.248), используя (10.246) и
(10.244), можно преобразовать к виду

*х = (А— BK*)x'+K°Ce+K°VH; K*=R-lBrK.

Это уравнение совместно с уравнением (10.219) для ошибки
можно представить в виде

z — Gz -J- Hw,

где

/е \	/А—К°С 0	\

П 6=	I;

\х/ к К0 С	А —ВК*/

н-(Е -К’)

\0	К0/

Дисперсионное уравнение (10.217) в данном случае прини-
мает вид

А“к°с ° U+q(a-kc ° Y +
К°с А—ВК*/ k К°С А —ВК*/

где

S = /Qo°\	(10.250)

\orJ

Представим матрицу ‘Q в виде

xQai Оа/
где Qu дисперсионная матрица ошибки (Qu = Р); Q12 —
взаимная корреляционная матрица ошибки и оценки.

Из уравнения (10.249) нетрудно получить

Qi2 = (А - К0 С) Q12 + Q12 (А - ВК*)Г -h Q„ Cr К07' -K° Ro Ког.

В силу равенств Qu — Р и К0 =РCrRo 1 последние два сла-
гаемых в правой части сокращаются, поэтому уравнение для
Q12 является линейным и однородным. И так как Qj2 (Zo) = 0,
то оно имеет единственное решение Q12 (/) = 0. Это и доказы-
вает, что ошибка е (t) и оценка х (/) не коррелированы.

Преобразуем критерий оптимальности (10.245). Используя
(10.187), получаем

М {е7 Qe} = tr М {ее7 Q) = tr {PQ};

М {е7 Qx} = tr М {xer Q} = tr {Q12Q} = 0,

поэтому

М {xrQx} =М {(х — х + x)rQ (х —х + х)} =

= М {er Qe} + 2М {eQx} + М {xr Qx} = tr {PQ} + М {х7" Qx};

М {х7' (/,) Fx (/,)} = tr {Р (/,) F} + М {xr (tf) f5c (tf)}

и критерий оптимальности (10.245) можно преобразовать к

виду

J-М х7 (tf) F х (tt) + J [xr(/)Q(/)x(Q +

Г 7

+ u7‘(/)R(/)u(/)]d/ +tr P(Z,)F + J P(t)Q(t)dt

Последние два слагаемых в этом выражении не зависят от
управления. Таким образом, исходная задача свелась к сле-
дующей стохастической задаче линейного оптимального управ-
ления с полной информацией:

х = Ах+ Ви + К0 (у —С х); х (f0) — х0;

Л=М ^(^Fx^-t- J (xrQx + urRu) dt

min.
Решение этой задачи, как это следует из решения (10.179),
(10.180) задачи (10.175), (10.176), определяется соотношения-
ми (10.246) и (10.247), если слагаемое К® (у— Сх) или его
сомножитель у — Сх является белым шумом. Невязка будет
белым шумом, если интеграл от нее, т. е. стохастический про-
цесс к] (t), определяемый уравнением

W~Cx, T](U = °.

является процессом с независимыми приращениями. Чтобы
доказать это, рассмотрим совместно процессы г] (/) и e(Z).
Подставив выражение у, последнее уравнение можно преоб-
разовать к виду г] = Се -4- V,,. Это уравнение совместно с
уравнением (10.219) для ошибки можно записать в виде
z =- Gz 4- Hw, где в данном случае

z = M; G = f° С \
\е I \0 А —К°С/

Е \

— К0/'

Дисперсионное уравнение для рассматриваемого процесса
имеет вид 1см. (10.217), (10.218), (10.250)1

~ /ос \ ~ ~ /о о \

A—K°c)Q ДСГ Ar —CrK°J +

/0 Е \/Q00 \/0 Е	/0 0 у

\Е —К° / у 0 Ro / \Е —К07/	\0Р0/

Представим матрицу Q в виде

Q=(~115U\	(10.251)

wL Q22 У

где Qn — матрица дисперсии tj; Q22 — дисперсионная ма-
трица ошибки (Q22 = Р). Из дифференциального уравнения
для Q имеем:

Qu = CQ^ Q12 Qr Ro; Qu (/0) = 0,

Q12 = CQ22 -Q12 (Ar -(7 Kcr) -Ro Kor,

Q12(*o)=0.
в силу равенств Q22 = Р и К0 = Р CrR0 1 второе уравнение
является однородным, поэтому оно имеет единственное нуле-
вое решение: Q12 (/) = 0, t > /0. Уравнение для Qu прини-
мает вид

	Qu — Ro*
откуда	t  Qn= [R0(T)dT.	(10.252)  b

Для корреляционной матрицы имеем [см. (10.216)1

	RZ(M2) =( Q^zr^' ^ПРИ	(10.253)  Z (/2, h) Q (Z2) при /х>/2,
где Z (Л	tn) — фундаментальная матрица уравнения z = Gz
или	f*)=foc W-Л.	(l0254)  l ё J 10 А-К’СДе /

Представим фундаментальную матрицу в виде

	N 11  N N  to H  N N  to  LO	tO

Тогда решение (10.254) примет вид

	1] (0 = Zn (/, t0) 11 (Zo) + Z12 (/, t0) e (Zo); e (0 = Z21 (/, t0) 7] (Q + Z22 (/, f0) e (Zo).
С другой	стороны, из уравнений  ё = (А —K°C)e; 7] = Се	(10.255)
имеем	t

е (0 = ^22 (/, t0) е (t0), т] (0 = т, (f0) +- J V22 (т, /0) е (t0) dr,

^0
где T22— фундаментальная матрица первого уравнения си-
стемы (10.255). Следовательно, фундаментальную матрицу
системы (10.253) можно записать в виде

(10.256)

Представим корреляционную матрицу R, t2) в виде

Rn R12)

Rai Raa J

(10.257)

где Ru — корреляционная матрица для т] (/).

Используя (10.251)—(10.253) и (10.256) из (10.253) полу-
чаем
t'

Rn (A. ti) = f Ro (т) dT, t' =min (/„ Л),

откуда следует, что процесс т) (/) является процессом с неза-
висимым приращением [16].

§ 10.8. Оптимальные дискретные системы

В этом параграфе рассматриваются дискретные системы,
т. е. системы, которые описываются разностными уравнения-
ми. Большинство понятий, введенных при рассмотрении не-
прерывных систем, без изменений переносятся на дискретные
системы. В частности, как в случае непрерывных систем, опре-
деляются такие понятия, как управляемость, стабилнзируе-
мость, наблюдаемость, восстанавливаемость, обнаруживае-
мость.

Если дискретная система линейна и стационарна, т. е. опи-
сывается уравнениями

х (i + 1) = Ах (1) + Bu (i); у (i) =Сх (i) + Du (i),
то критерии управляемости, стабилизируемое™, наблюдае-
мости (восстанавливаемости) и обнаруживаемое™ формули-
руются так же, как и для непрерывной системы, описываемой
уравнениями

х (/) == Ах (/) + Ви (/); у (0 = Сх (/) + Du (/).
В силу специфических свойств дискретных систем отдельные
определения требуют уточнения. В случае непрерывного ли-
нейного объекта в определении полной управляемости одну
из точек (начальную или конечную) можно зафиксировать и
сформулировать его следующим образом: объект вполне управ-
ляем, если, какова бы ни была начальная точка х (t0) = х°,
существует допустимое (т. е. кусочно-непрерывное) управле-
ние, переводящее объект из точки х° в начало координат
х (tf) == 0 за конечное время. Полную управляемость дискрет-
ного линейного объекта так определять нельзя. Если принять
такое определение, то вполне управляемым был бы объект,
который описывается уравнением

х (i + 1)=-0, x(t0)=x°,
хотя ясно, что он в действительности не является управляе-
мым.

Синтез оптимальной линейной системы
при квадратном критерии

Пусть объект описывается линейным уравнением

х (i ф-1) = A (i) x(t) 4- В (t) u (i) 4-h (i)	(10.258)

и задан квадратичный критерий оптимальности

Ч~1

/=x4«/)Fx(i,)+ 2 [xr(/)Q(/)x(/)ur(/)R(/)u(/)], (10.259)
/=Л>

где h (() — известная векторная функция; F, Q (Z) — сим-
метричные неотрицательно-определенные матрицы (F > 0,
Q (0 > 0, z0 < i < ij — 1); R (i) — симметричная, положи-
тельно-определенная матрица (R (tj > 0, i0 < i C ij — 1).

Требуется найти оптимальное управление с обратной свя-
зью, т. е. управление, при котором критерий (10.259) прини-
мает минимальное значение при произвольном начальном ус-
ловии х (г0) = х°. Критерий (10.259) имеет такой же физиче-
ский смысл, что и критерий (10.121) в непрерывном случае.

Оптимальное управление с обратной связью имеет следую-
щий вид:

u* (i) = - L-’ (i) Вг О) | К (( 4-1) А (i) х (() +

4-K(i-H)h(0+y Р(‘ +>)]•	(10.260)
Здесь

L(i) = ВГ(0 K(i+ 1) B(0+R(0,	(10.261)

где К (0 — симметричная неотрицательно-определенная ма-
трица, определяемая из уравнения

K(i) = Q(0 + Ar(i)[K(i+ 1)-

- К (( 4- 1) В (0 L-1 (0 Вг (0 К (i + 1)1 А (0	(10.262)

при граничном условии

K(0) = F;	(10.263)

р (0 — вектор-столбец размера п., определяемый из уравнения

Р (0 ==2Ar(i) |К (i + 1) h(t)4- -^р(( + 1) —

—К (i + 1) В (0 L-1 (0 Br (0 |K (i'4-l )h (t)+ -Ьp(j + 1)][ (10.264)

при граничном условии

0.	(10.265)

Когда объект задается уравнением

х (1 + 1) = А (() х (0 + В (0 и (0,

т. е. h (0 = 0, то оптимальное управление с обратной связью
принимает вид

и* (0= —L-1 (0 Вг (0 К (< + 1) А (0 х (0,	(10.266)

где L (0 определяется из (10.261), а неотрицательно-определен-
ная матрица К (0 — из (10.262), (10.263). Действительно, при
h (0 = 0 уравнение (10.264) становится однородным и в силу
граничного условия (10.265) его решением является р (0 = 0.

Для доказательства полученного решения (10.260)—(10.265)
воспользуемся методом динамического программирования. Вве-
дем функцию Беллмана:

S [х(('+ 1), i + 1] = min xr (0) Fx(0)4-
u(l + 1)...................u(ly— I) I

0“ 1

+ 2	(/) Q (/; x(/) + ur (/) r (/) u (/)] ,

/-<4-1

S[x(0), 0| ~ xr(0)Fx(0).	(10.267)
Уравнение Беллмана имеет вид

5 [х li), i] = min {x7 (t) Q (t) x (t) + u7 (i) R (t) u (t) +
U(i)

4-S[x(t + l), t+1]}

Используя уравнение объекта (10.258) и опуская для кратко-
сти записи аргумент i, получим

S (х, 0 — min {x7Qx +u7Ru+ S (Ах+Bu+h, i 4 !)} (10.268)
и

Решение этого уравнения будем искать в виде

S (х (i), i) = х7 (i) К (i) х (г) 4~ Pr (t) х (i) + <7 (i),	(10.269)

где К (tj — симметричная матрица; р (tj — вектор-столбец
размера n; q {Г) — скалярная функция.

В силу граничного условия (10.267) имеем:

K(f/) = F; p(i;)==0; ?(ф=0.

(10.270)

Таким образом, получили граничные условия (10.263) и.
(10.265).

Подставим (10.269) в (10.268). Тогда получим

х7 Кх + р7х 4- q —min {х7 Qx 4- u7 Ru 4- (Ax + Bu -ph)7 X

X К (t 4- 1) (Ax 4-Bu 4-h)+ p7 (i~p 1) X

X (Ax 4- Bu 4- h) 4- q (i + !)}•

Правая часть полученного соотношения как функция от
управления является матричным квадратным трехчленом, при-
чем квадратный член имеет вид u7 [ В7К (t + 1) В + R] и и
является положительно-определенной квадратичной формой,
так как, по условию, R> 0 и, как будет показано дальше,
К (Г) > 0, i0 < i С if. Поэтому указанный трехчлен имеет
минимум, который достигается в стационарной точке, и по-
следнее уравнение можно представить в виде следующей эк-
вивалентной системы уравнений:

х7 Кх 4- р7 х + g = х7 Qx + u7 Ru +

+ (Ax + Bu + h)7 К (t + 1) (Ax + Bu + h) +

4- p7 (t + 1) (Ax + Bu -4- h) + q (i + 1),	(10.271)

Л-Л = 2u7 [В7 К (i + 1) в + R] +
du

+ 2x7A7K(i + l)B + 2h7K(i + l)B + p7(i+l)B=0.
Из последнего уравнения имеем

ur = — |(х7’ Аг 4~ h7) К (i 4- 1) 4~

+ -£- Рг (I + 1)] В [В7 К (i + 1) в +R]-1,
откуда, произведя транспонирование, получим соотношение
для оптимального управления (10.260). Подставив выражение
для управления и используя обозначение (10.261), уравнение
(10.271) можно преобразовать к виду

х7' Кх + р7’ х 4- q — хт [Q + Аг К (i + 1) А —

~АТ К (i + 1) BL-1 Вг К (i + 1) А] х —2 [h7 К (i + 1) 4~

+	0 + 1)] BL-1BrK(t + l)Ax —

— Jh7’K(i + l)+^-p’-(i+l)]BL-1B7’ X

X [К(< + 1) h -l ^~ p (< -l l) | -12 ^hz K (f -l l) l

Pr(f’ + l)jAx + hr K(t'4 l)h + pr(t’ + l)h -|- q (i+ 1).

Из последнего уравнения, приравняв отдельно матрицы
при квадратичных и лилейных относительно х членах, полу-
чим соотношения (10.262) и (10.264). Приравняв свободные
члены, получим уравнения

q (i) = -fh7, (tj К (i + 1) 4- у- pr (i + 1)] В (tj L-1 (i) B7 (i) X
x|K(t+l)h(() + ^-p(t+l)]+h7’(t)K(i+l)h(() +

4-p7* ft-4- l)h(t) + g(i 4-1).	(10.272)

Теперь докажем, что матрица К является неотрицательно-
определенной. Как отмечалось, функция р (tj = 0 при
b (0 = 0. Уравнение (10.272) при p(i) = 0 и h (tj = 0 ста-
новится линейным однородным и имеет единственное решение
q (i) = 0, удовлетворяющее граничному условию (10.270),
поэтому при h = 0 функция (10.269) принимает вид

S (х (i), i) = xr (tj К (t) x (i).
В этом случае из соотношения (10.267) следует неотрица-
тельная определенность квадратичной формы S (х (/), i) и со-
ответственно матрицы К (г) при любом i g [t0, j'J. Но так как
уравнение (10.262), из которого находится матрица К (t), не
зависит от h, то сказанное остается справедливым и при про-
извольной функции h.

Стохастическая оптимальная линейная система при пол-
ной информации о состоянии. Пусть объект описывается
уравнением

х (i + 1) + A (t) х (0 + В (i) u (*) + h (i) + Vo (i) (10.273)
и задан критерий оптимальности

J = M|x(«/)rFx(t/)+ 2 [xr(/)Q(/)x(/) +

+ ur(/)R(/)u(/)] 	(10.274)

Здесь h (<) — известная функция; Vo (t) — последователь-
ность некоррелированных случайных величин с нулевым сред-
ним и дисперсионной матрицей Qo (t); матрицы F, Q, R и Qo
симметричны, причем F > 0, Q 0, R > 0, Qo > 0. Шум
V0 (г) не коррелирован с начальным значением х (10). Требу-
ется найти оптимальное управление с обратной связью, т. е.
управление, доставляющее минимум функционалу (10.274)
при произвольном начальном состоянии объекта. Принимает-
ся, что фазовый вектор х (/) известен без ошибки. Эта задача
является стохастическим аналогом детерминированной зада-
чи (10.258)—(10.259) и отличается от нее тем, что объект под-
вержен случайному воздействию и критерий оптимальности
представляет математическое ожидание от функционала, сов-
падающего с критерием оптимальности в детерминированной
задаче. Как и в непрерывном случае, ее решение совпадает с
решением детерминированного аналога, т. е. стохастическое
оптимальное управление определяется соотношениями
(10.260)—(10.265) или в частном случае, когда h =0, соотноше-
ниями (10.266), (10.261)—(10.263). Вывод основывается на
методе динамического программирования.
Функция Беллмана в данном случае определяется следую-
щим образом:

S (х (i -|- 1), i + 1) = min X
U(l + 1	, U(4y+ I)

X M x7 (if) Fx (t/) +- V [xr(/)Q(/)x(/) +
l	/=н i

+ ur (/) R(/)u (/)]/% (t 4-1) •

Уравнение Беллмана принимает вид (для краткости опус-
кается аргумент i)

S (х, i) =.min М {(Ах 4- Bu -4-Ь 4- V)7’ Q (i + 1) X

X (Ax + Bu-|-h + V)4-S(Ax-f-Bu-bh + V, i+l)/x},
или

S (x, i) =min {(Ax 4- Bu +h)r Q (i 4-1) (Ax + Bu + h) 4-

4- M [Vr Q (t + 1) V] 4- M [S (Ax 4- Bu + h + V, 14-1 )/x{}.

Решение последнего уравнения ищется в виде «трехчлена»
(10.269). Далее, проделав те же выкладки, что и в детермини-
рованном случае, можно получить искомые соотношения для
оптимального управления

Наблюдатель (оцениватель, фильтр) Калмана. Как от-
мечалось, задача синтеза стохастической оптимальной си-
стемы при неполной информации обычно разделяется на
задачу оптимальной оценки и задачу синтеза оптимальной
системы при полной информации. Рассмотрим задачу опти-
мальной оценки в дискретном случае. Пусть объект и на-
блюдение описываются уравнениями

х (t 4* В = A (i) х (i) + В (j) u (i) 4- Vo, х (i0) = х0; (10.275)

y(t) = C(f)x(O4-VH(0.	(10.276)

где Vo (z) и VH (i) — последовательность гауссовских случай-
ных величин с характеристиками

MVO (t) = 0; М1 Vo (i) VTO (/)! - Qo (0 6i7-;

MV„ (i)=0; M[VH(z)V^(/)] = R0(z)6o;

M{Vo(0V^(/) = 0;

(10.277)
&i}—символ Кронекера (6i7- = 1 при i = j и 6;y = 0 при
i =^= /); х° — гауссовская случайная величина с характеристи-
ками

Мх° = х°; М [(х°—х°) (х° —х0)7] = Ро;	(10.278)

Qo (0. Ro (0. Ро — симметричные матрицы, причем Qo (0 >
> 0, Ro (0 >0, Ро > 0.

Случайные последовательности ¥о (0 и V,, (0) называют-
ся соответственно шумом объекта и шумом наблюдения или
измерения, и они не коррелированы со случайной величиной
х°.

Требуется, используя измеренные значения переменной
у (/) при /= «0, «о + 1, ..., I, найти несмещенную оценку
х (0 вектора х (0, обеспечивающего минимум квадрата ошиб-
ки е (0 = х (0 — х (0:

J = М [е7 (0 е (0]->• min.
х(<)

Напомним, что оценка х (0 называется несмещенной, ес-
ли Me (0 = 0. Условие R (t0) > 0 означает, что ни одна ко-
ордината выходной переменной не измеряется точно. В этом
случае задача оценивания называется несингулярной или не-
вырожденной (неособой).

Решение невырожденной задачи определяется следующим
образом [51:

х (i) = х (0 4- К0 (0 \у (i) —С (0 х (0J;	(10.279)

x(t + 1) = А (ifx (0 + В (0 н v0; х(0) =х°,	(10.280)

К0 (0 = Р (0 С7' (0 [С (0 Р (0 С7' (0 + Ro (0J-1; (10.281)
Р (0 = [Е - К0 (0 С (01 Р (0 [Е — К0 (0 С (017 4-

-Ь К0 (0 Ro (0 К07 (0 = Р (0 - Р (0 С7’ (0 [С (0 Р (0 С7 (0 4-

4-Ro(01"1C(0P(0,	(10.282)

Р (i 4- 1) = А (0 Р (0 ЬТ (04- Qo (0,	(10.283)

P(to)=Po-

Здесь х (0 является математическим ожиданием вектора
х (0 и служит его априорной оценкой, т. е. оценкой, которая
получается до измерения у (0; Р (0 — дисперсионная матри-
ца ошибки е (Z) = х (Z) — х (i), т. е. ошибки априорной оцен-
ки; Р (Z)—дисперсионная матрица ошибки е (Z) = x(Z)— х (i),
т. е. ошибки искомой (апостериорной) оценки.

Выражение для оценки содержит кроме априорной оценки
поправочный член, пропорциональный невязке — разности
между измеренным значением переменной у (t) и ее оценкой.
При вычислении оценки на каждом шаге нужно начинать с
определения априорной дисперсионной матрицы P(Z). Да-
лее нужно вычислить матрицу коэффициентов усиления
К0 (Z) и дисперсионную матрицу Р (Z), затем априорную оцен-
ку х (Z) и в последнюю очередь искомую оценку х (Z). Так как
матрицы Р (i), Р (i) и К (0 не зависят от измерений, их можно
вычислить заранее при всех необходимых значениях i.

Соотношения (10.279)—(10.283), определяющие оптималь-
ный фильтр (оцениватель, наблюдатель), впервые были полу-
чены Калманом, поэтому оптимальный дискретный линейный
фильтр называют фильтром Калмана.

Установим физический смысл или роль матрицы К0 (0.
Для этого рассмотрим случай, когда х (Z) и у (t) являются ска-
лярными переменными и С (Z) = 1. При этом соотношения
(10.279)—(10.283) принимают следующий вид:

х (Z) = х (Z) + № (Z) {у (Z) —х (t)|; х (i' + 1) = A (Z) х (t) + В (i) и (Z);

х (i0) = *°;

K^i) = P(i)/[P(i) + R0(i)];

P (i) = [ 1 -№ (t)]2 P (Z) + K02 (i) Ro (i) =

= P(Z)-P2 (Z)/[P(Z)4-Z?0(Z)];

~P (i + 1) = X2 (0 P (Z) + Qo (Z); P (i0) = Po.

Пусть № (Z) = 0. В этом случае x (t) = x (Z) (искомая
оценка равна априорной оценке) и измерение, которое произ-
водится в Z-й момент, при определении оценки х (Z) не исполь-
зуется. Из физических соображений ясно, что Z-е измерение не
должно учитываться, если оно никакой информации не несет,
т. е. дисперсия его ошибки очень велика (Ro (Z) -> оо). Этот вы-
вод также следует из приведенного соотношения для

К° (Z): К (Z) -* 0 при jR0(Z)->-с».
Если К° (0 = 1, то х (0 = у (0, т. е. в этом случае оцен-
ка полностью определяется последним измерением. Измерения,
произведенные до г-го момента, а также другая априорная
информация никак не используются. Очевидно, такая ситуа-
ция возникает, когда очень велики (по сравнению с дисперси-
ей ошибки t-го измерения) дисперсии ошибок до z-го момента
или дисперсии шума объекта или когда г-е измерение произво-
дится без ошибки. Такой вывод следует также из соотношений
для № (0 и Р (0.

Таким образом, выбором величины Д’0 (0 регулируется
влияние априорной и текущей информации на определение
оценки х (0. Задача оптимальной оценки состоит в выборе
такого №(0, при котором наилучшим образом (в оптимальной
пропорции) используются априорная и текущая информации.
 Перейдем к выводу равенств (10.280)—(10.283). В соот-
ветствии с принятыми обозначениями

х (0 = М {х (/)}; Р (0 — М [е (0er (0);

Р(0 = М[е(0 ег(0],

где е (0 = х (0 — х (0; е (0 = х (0—х (0.

Уравнение (10.280) непосредственно следует из (10.275).
Вычитая (10.280) из (10.275), находим

e(/+l) = A(0e(0+Vo (0,
откуда

М {ё (i + 1) (i -г 1)} = М {[А (0 е (0 +

+ Vo(0][A(0e(0 + Vo(0f}.

В силу независимости е (0 и Vo (0 из последнего соот-
ношения получаем (10.283).

Для доказательства первой части равенства соотношения
(10.282) подставим в (10.279) выражение для у (0 из (10.276).
Затем, вычтя каждую часть полученного равенства из х (0,
преобразуем его к виду

е(0 =ё(0- К0 (0 [С (0 ё(0 + Vri (0]
или

е (0 = [Е — К0 (0 С (0]ё(0-К0 (0 VH (0.
Так как е (0 и VH (0 независимы, то из последнего соот-
ношения следует первая часть равенства (10.282).

Остается доказать, что средний квадрат ошибки е (0,
равный следу матрицы Р (0, принимает минимальное значе-
ние, если в (10.279) матрица К0 (0 определяется соотношением
(10.281). Как легко проверить, первую часть равенства
(10.282) р (i) = [ Е — К0 (0 С (0] Р (0 [ Е - К® (0 С (0И +
4- К0 (0 Ro (0 Ког (0 (опустив для краткости аргумент 0
можно представить в виде

Р = [К° —PC7’(CPC7’ + RO)-1] (CPCr + R0) X

X [К0 — РСГ (СРС7 4- Ro)-1]7, + Р —

— РСГ (CPC7 + Ro)-1 СР.	(10.284)

Если К0 определяется из (10.281), первое слагаемое пра-
вой части последнего равенства обращается в нуль. Оставшую-
ся часть обозначим Р*:

р* == р—PC7, (СРСГ + Ro)-1 СР.

Эта матрица в силу свойств дисперсионных матриц явля-
ется неотрицательно-определенной, поэтому ее диагональные
элементы не отрицательны (последнее следует из неравенств
РцАт > 0, i = 1, 2, ..., которые получаются из хгР*х 0
при Xj=0, / =£ i; Ph — диагональные элементы матрицы
Р*). Так как матрица СРСГ -|- Ro является положительно-
определенной, то первое слагаемое в (10.284) также является
неотрицательно-определенной при произвольной матрице К®.
Поэтому след матрицы Р будет минимальным при такой ма-
трице К®, когда первое слагаемое в (10.284) обращается в нуль,
т. е. когда К® определяется соотношением (10.281). При этом
из (10.284) получаем вторую часть равенства соотношения
(10.282).

Заметим, что здесь вывод соотношений, определяющих
фильтр Калмана, был несколько упрощен тем, что структура
уравнения (10.279) была задана. Задача оптимальной оценки,
таким образом, была сведена к определению оптимальной ма-
трицы коэффициентов усиления.

Стохастическая линейная оптимальная система управ~
ления при неполной информации. Пусть объект и наблюда-
тель описываются уравнениями

х (i + 1) = А (0 х (0 + В (0 и (0 + Vo (0;

y(0 = C(0x(0+VH(O
и критерий оптимальности имеет вид

J =М 1хг (г,) Fx (i>) + V [хг (/) Q (/) х (/) 4- 1Д (/) R (/) u (/)]1.
[	/ = »о	'	j

Шум объекта Vo (1) и шум наблюдения VK (/) представляют по-
следовательности независимых гауссовских случайных вели-
чин с нулевыми средними, дисперсионными матрицами
Qo (Z) и Ro (Z) соответственно; матрицы F, Q (t), R (i), Qo (t)
и Ro (г) симметричны, причем F > О, Q (г) > О, R (t) >> О,
Qo (1) > О и Ro (i) > 0- при i0 i < if — 1. Начальное со-
стояние х (Zo) = х0 является гауссовской случайной величиной
со средним значением х0 и дисперсионной матрицей Ро и не
зависит от шумов Vo (/) и VH (/).

Требуется найти такое управление
u(t) = u{y(/),

при котором критерий принимает минимальное значение.

Для этой задачи справедлив принцип разделения, или
принцип стохастической эквивалентности [51. Поэтому ее ре-
шение имеет следующий вид:

u (t) = — L-1 (i) В7 (Q К (i 4-1) A (0 Г(0;

L(i) = Bjr(1)K(i4-l)B(i) + R(0;

К (0 - Q (0 4- Аг (0 [К (i 4- 1)—К (t 4- 1) В (0 L1 (i) х

X В7 (0 К (Z 4-1)1 A (j); К = F, (10.285)

 х (0 - х (0 4- К0 (0 [у (0 —С (0 х (i)l;

х (i 4-1) = А (0 х (i) + В (0 и (0; х (Q = х°;

К° (о =р (0 сГ (о [С (0Р (0 (0 4- Ro (01-1;

р (0 = [Е-К0 (0 с (0) р (0 [Е - К0 (о с (ОГ +

+ К°(0Ко(ПКо7’(0.

P(i4-l)=A(0P(0 Ar(04-Q(0;

P(i0) = P0.	(10.286)

Соотношения (10.285) определяют оптимальное управление
с обратной связью. Они совпадают с соотношениями (10.266),
(10.261)—(10.263), определяющими оптимальный регулятор в
случае полной информации, за исключением того, что в
(10.285) входит оценка х (i) вместо х (t). Оценка х (/) получа-
ется на выходе фильтра (10.286), совпадающего с филь-
тром Калмана (10.279)—(10.283). Таким образом, дискретная
оптимальная система управления в случае неполной информа-
ции, как и аналогичная непрерывная оптимальная система уп-
равления, состоит из оптимального фильтра (наблюдателя) и
оптимального «детерминированного» регулятора.

Если шумы или значение фазового вектора в начальный
момент не являются гауссовскими, то соотношения (10.285),
(10.286) определяют линейную оптимальную систему управле-
ния, т. е. систему управления, вообще говоря, оптимальную
только в классе линейных систем.

О расходимости фильтров и методах их регуляризации.
По мере обработки новых данных, получаемых в результате
наблюдений, фильтры Калмана—Бьюси и Калмана теоретиче-
ски дают все более точную оценку. Поэтому среднеквадратиче-
ские ошибки должны монотонно убывать со временем (или с
числом измерений в дискретном случае). Однако на практике
иногда ошибки оценок могут не убывать, а монотонно возра-
стать. В этом случае говорят, что фильтр Калмана—Бьюси
или фильтр Калмана расходится.

Чем вызвана расходимость фильтров? При их синтезе ис-
пользуются модели объекта и измерительного устройства, а
также характеристики шумов и начальных условий. Фильтры
строятся применительно к этим данным в предположении, что
они являются точными. Однако в действительности такое пред-
положение, как правило, не выполняется. В этом расхожде-
нии априорных данных от истинных и заключена причина рас-
ходимости. Кроме того, фильтры могут расходиться из-за оши-
бок округления при их реализации на вычислительной ма-
шине.

Для предотвращения расходимости фильтров используют-
ся разные методы, которые можно назвать методами регуляри-
зации фильтров. Один из таких методов основан на увеличении
элементов ковариационной матрицы объекта. Это соответст-
вует введению дополнительного шума объекта, чем и учиты-
ваются ошибки в априорных данных. Этот метод позволяет обес-
печить сходимость фильтров всегда, когда расходимость обус-
ловлена ошибкой округления, и в большинстве случаев, когда
расходимость вызывается ошибками в моделях объекта и изме-
рительного устройства.

Другой метод основан на введении старения прошлых дан-
ных. Например, в дискретном случае это можно сделать еле-
дующим образом. Если в текущий момент т корреляционная
матрица измерения равна Ro (m), то при использовании это-
го измерения в момент п (п > т) матрицу шума т-го измере-
ния нужно принять равной sn-mR0 (m), s> 1. При этом по-
лучается регуляризованный (модифицированный) фильтр,
который отличается от обычного фильтра Калмана (10.279)—
(10.283) только последним уравнением. В регуляризованном
фильтре Калмана уравнение (10.283) принимает вид

Р (i + 1) = sA (i) Р (0 Аг (0 + Qo (0-

Множитель s выбирается экспериментальным путем.

Возможен и третий метод регуляризации, который основан
на оценке и использовании дополнительных, неучтенных пара-
метров путем включения их в число компонент оцениваемого
вектора. При этом методе размерность оцениваемого вектора
и соответственно размерность регуляризованного фильтра
увеличиваются. Поэтому использование этого метода ограниче-
но, так как увеличение размерности фильтра усложняет его
|Практическую реализацию и, более того, увеличивает вероят-
ность расходимости фильтра из-за ошибок округления.
11

АДАПТИВНЫЕ

АВТОМАТИЧЕСКИЕ

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

§ 11.1. Введение

Термин «адаптация» заимствован
теорией управления из биологии, где
им обозначают свойство приспособления
организма к изменениям внешней среды.
Так как элементы приспособления или
адаптации существуют в любой автома-
тической системе, как в замкнутой, так
и разомкнутой, то для выделения клас-
са адаптивных систем необходимо дать
характеристику тем условиям или тре-
бованиям, которые предъявляются к
автоматическим системам управления и
не могут быть качественно разрешены
традиционными методами неадаптивного
управления.

Прежде всего необходимость в адап-
тивных системах управления возникает
в связи с значительным усложнением
решаемых задач управления, причем
специфическая особенность такого
усложнения заключается в отсутствии
практической возможности для подроб-
ного изучения и описания процессов,
протекающих в управляемом объекте.
Примерами таких объектов могут слу-
жить многокомпонентные технологиче-
ские процессы в химической промыш-
ленности, где не представляется возмож-
ным описание всей совокупности хими-
ческих реакций, термодинамических и
других физических процессов, или совре-
менные высокоскоростные летательные
аппараты, точные априорные данные о
характеристиках которых во всех уело-
виях функционирования не могут быть получены из-за зна-
чительных разбросов параметров атмосферы, больших диа-
пазонов изменения скоростей полета, дальностей и высот, а
также из-за наличия широкого спектра параметрических и
внешних возмущений.

Неадаптивные методы управления, как правило, преду-
сматривают наличие достаточного объема априорных сведений
о внутренних и внешних условиях работы объекта еще на пред-
варительной стадии разработки системы, которые затем исполь-
зуются при проектировании автоматической системы. Чем пол-
нее априорная информация о характеристиках системы и усло-
виях ее работы, тем обычно выше качество неадаптивного уп-
равления. Отсюда видно, что создание адаптивных систем управ-
ления осуществляется в принципиально иных условиях, т. е.
адаптивные методы должны способствовать достижению высо-
кого качества управления при отсутствии достаточной полно-
ты априорной информации о характеристиках управляемого
процесса или в условиях неопределенности.

Вполне очевидно, что по мере усложнения задач, возла-
гаемых на автоматические системы управления, указанная
неопределенность растет, т. е. становится все сложнее заранее
определять характер изменения динамических свойств систе-
мы и управляемого процесса. Поэтому трудности в обеспече-
нии надлежащего качества управления также возрастают по
мере уменьшения объема априорных знаний о системе.

Благодаря адаптивным методам управления найдены до-
статочно эффективные способы преодоления указанных труд-
ностей.

Эффект приспособления к изменяющимся условиям в адап-
тивных системах достигается за счет того, что часть функций
по получению, обработке и анализу недостающей информации
об управляемом процессе осуществляется уже не проектиров-
щиком на предварительной стадии, а самой системой в процес-
се ее нормальной эксплуатации.

Такой частичный перенос функций способствует не только
более полному использованию рабочей информации (совокуп-
ности данных о состоянии системы, получаемой непосредствен-
но в процессе управления) при формировании управляющих
воздействий, но и позволяет существенно снизить влияние не-
определенности на качество управления, компенсируя в опре-
деленной степени недостаток априорного знания проектиров-
щика об управляемом процессе.
Таким образом, к адаптивному управлению приходится
обращаться тогда, когда сложность управляемого процесса
достигает такого уровня, при котором влияние неопределен-
ности или «неполноты» априорной информации об условиях
работы системы становится существенным для обеспечения
заданного качества процессов управления.

§ 11.2.	Классификация адаптивных систем

Поскольку адаптивные системы широко используют рабо-
чую информацию для анализа динамического состояния систе-
мы управления и организации контролируемых изменений
свойств, параметров, управляющих воздействий и структуры
системы управления, то в зависимости от способов реализации
контролируемых изменений в процессе нормальной эксплуата-
ции системы можно провести следующую классификацию адап-
тивных систем: самонастраивающиеся системы, системы с адап-
тацией в особых фазовых состояниях и обучающиеся систе-
мы (рис. 11.1).

Самонастраивающиеся системы (СНС) характеризуются
наличием специальных контуров самонастройки, с помощью
которых оцениваются динамические и статические свойства

Рис. 11.1
системы и формируются такие контролируемые воздействия,
что система самопроизвольно приближается к определенному
эталону, часто задаваемому математически в виде критерия ка-
чества функционирования. При этом контур самонастройки
служит для изменения параметров или структуры основного
контура с целью обеспечения заданного критерия качества
управления. Обычно критерий качества управления выражает-
ся в виде функционала или функции от параметров и измеряе-
мых координат системы. В процессе работы системы значение
функционала качества изменяется и задача контура самона-
стройки сводится к обеспечению экстремального (минималь-
ного или максимального) значения критерия. Нахождение и
поддержание экстремального значения критерия качества уп-
равления может производиться или с помощью пробных откло-
нений системы, или путем аналитического определения усло-
вий экстремума. В зависимости от указанных способов на-
хождения экстремума самонастраивающиеся системы подраз-
деляют па поисковые и беспоисковые. В свою очередь, поиско-
вые самонастраивающиеся системы в зависимости от применяе-
мых методов поиска делят на системы со случайным поиском,
с поиском по методу Гаусса—Зайделя, с поиском по методу
градиента, с поиском по методу наискорейшего спуска. В
классе беспоисковых СНС можно выделить самонастраиваю-
щиеся системы, использующие информацию о частотных харак-
теристиках, СНС с контролем временных характеристик и
границы устойчивости, СНС с эталонными моделями, градиент-
ные СНС.

Системы с адаптацией в особых фазовых состояниях ис-
пользуют особые режимы или свойства нелинейных систем,
например режимы автоколебаний, скользящие режимы для
организации контролируемых изменений динамических
свойств системы управления. Специально организованные осо-
бые режимы в таких системах либо служат дополнительным
источником рабочей информации об изменяющихся условиях
функционирования системы, либо наделяют систему управле-
рия новыми свойствами, за счет которых динамические харак-
теристики управляемого процесса поддерживаются в желае-
мых пределах независимо от характера возникающих при
функционировании изменений. Эти системы можно подразде-
лить на релейные автоколебательные системы и адаптивные
системы с переменной структурой.

Обучающиеся системы управления характеризуются наличи-
ем специальных процессов обучения, которые заключаются в
постепенном накапливании, запоминании и анализе информации
о поведении системы и изменении законов функционирования
в зависимости от приобретаемого опыта. К процессу обучения
приходится прибегать тогда, когда не только мал объем апри-
орных сведений об объекте, но и отсутствует возможность уста-
новления детальных причинно-следственных связей в структу-
ре самой системы из-за ее сложности.

Накопление и обобщение информации в процессе обуче-
ния можно осуществлять за счет внесения «эталонного опыта»
в систему извне либо путем формирования такого опыта вну-
три системы. Например, в первом случае обучаемой системе
предъявляют последовательность ситуаций, образов или ре-
жимов’, которые имеют заранее известные характеристики или
различаются по принадлежности определенным классам. По-
ведение системы в ответ на такую обучающую последователь-
ность ситуаций формируют на основе принципа «поощрение—
наказание», т. е. правильная реакция системы на предъяв-
ленную ситуацию запоминается и используется для органи-
зации контролируемых изменений динамических свойств си-
стемы управления. В зависимости от способов накопления опы-
та указанные системы разделяют на обучающиеся с поощре-
нием и обучающиеся без поощрения (самообучающиеся) си-
стемы.

Значительный интерес к адаптивным системам управления
ведет к созданию разнообразных типов систем, предназначае-
мых для решения широкого круга задач автоматического уп-
равления. При построении адаптивных систем часто исполь-
зуют сочетания различных принципов, например самонастрой-
ки и обучения, в этом случае создаются комбинированные
адаптивные системы управления, наделяемые полезными свой-
ствами различных систем.

§ 11.3.	Самонастраивающиеся системы

Структурная схема самонастраивающейся системы управ-
ления представлена на рис. 11.2. К основному контуру управ-
ления, состоящему из регулятора Р и объекта О, добавлен
контур самонастройки КС, с помощью которого осуществляет-
ся коррекция параметров и алгоритма управления регулятора.

Основная задача самонастраивающейся системы заключает-
ся в поддержании заданной в виде функционала J [х (/),
e (t , у (t),и (t), Г (Z), 1 меры
качества системы вблизи экстре-
мального значения при измене-
ниях в процессе функционирова-
ния системы входных управляю-
щих воздействий х (t), возму-
щающих воздействий f (/), а
также динамических характери-
стик объекта.

Так как значение функцио-
нала качества J изменяется
при действии указанных возму-
щений, то для выполнения ос-

Рис. 11.2

новной задачи возникает необходимость в определении усло-
вий экстремума.

Если время, требующееся для определения условий экс-

тремума, не является критическим фактором, например в слу-
чае сравнительно медленного изменения значейий функциона-
ла качества J в процессе управления, тогда целесообразно
применять для определения условий экстремума поисковые

методы.

Беспоисковые методы определения условий экстремума
не требуют специальных затрат времени на поисковые движе-

ния и используют, как правило, аналитические методы опре-
деления указанных условий.

Сравнивая поисковые и беспоисковые самонастраивающие-
ся системы, можно сказать, что для определения условий
экстремума поисковые системы нуждаются в меньшей информа-
ции, но обладают небольшим быстродействием при наличии
процесса поиска, а беспоисковые системы при прочих равных
условиях обладают более высоким быстродействием, но тре-
буют более полной информации об управляемом процессе.

Принципы построения поисковых самонастраивающихся
систем. Задача поисковой самонастройки формулируется
следующим образом. Предполагается, что имеется множе-
ство состояний системы (хь х2,хп) =Х, которое является
областью определения целевой функции или функционала
качества системы

J (хъ Х2, ..., Хп).	(11.1)

Из множества состояний X необходимо выбрать определен-
ные состояния

//j	Х2,..„ Хп),

(11.2)
где j = 1. 2, .... т, при которых обеспечивается экстремаль-
ное значение функционала качества

J (%1, Х2, •••> ^п)	0*	(11-3)

Связь между экстремальным значением функционала ка-
чества и предпочтительными состояниями системы из множест-
ва X не задана в явном виде, и требуемый выбор обеспечива-
ется путем последовательного приближения к решению в ре-
зультате опробования различных состояний системы. Таким
образом, существенной чертой самонастраивающихся систем
данного класса является наличие процесса поиска как по-
следовательной, итеративной процедуры выбора одного из
множества возможных путей для достижения поставленной
цели.

Поиск экстремума может осуществляться различными спо-
собами, начиная от простого просмотра всех имеющихся в на-
личии состояний системы и кончая сложными вероятностными
процедурами сравнения вариантов выбираемых путей. На
сложность процедуры поиска влияют многие факторы: а) об-
щее число состояний или параметров системы в области поис-
ка (с увеличением множества состояний приходится прини-
мать специальные меры для ускорения процедуры поиска экс-
тремума); б) вид целевой функции, которая может быть уни-
модальной или обладать многими экстремумами (в случае
многоэкстремальных функций процедуры поиска не должны
заканчиваться в окрестности локальных экстремумов); в)
дрейф экстремума, приводящий к ошибкам и нарушениям в
поиске; г) ограничения области поиска, длительности поис-
ка и точности используемой информации; д) непрерывность
или дискретность поиска и т. д.

Все методы поиска подразделяются на регулярные и слу-
чайные. В регулярных методах поиска выбор направления по-
искового движения осуществляется по заранее заданному за-
кону, а в случайных методах направление к экстремуму «на-
щупывается» случайным образом.

Регулярные методы поиска экстремума

Сканирование. Сканирование или полный перебор ис-
пользуют для определения экстремума функционала качества
J (х*), где х* — значение управляемого параметра в. точке
экстремума, в том случае, если имеется информация только
о наличии свойства экстремальности у 7 (х) и о необходимости

соблюдения условия

J (х*) С J (х).

(И.4)

где х — допустимая область изменения управляемого пара-
метра.

Отсутствие любой другой информации о свойствах функ-
ционала J (х) приводит к необходимости последовательно
определять значения функционала качества внутри допусти-
мой области изменения управляемого параметра.

Если обозначить допустимый интервал изменения пара-
метра х через А, а заданную точность в достижении экстрему-
ма — через е >0, то в результате сканирования определяют
п значений функционала качества в точках хъ х2, хп:

А (Х1)> ^2 (*г)> Jn (Хп)<

(11.5)

где п А /е + 1.

После перебора всех значений Jt (xf) выбирают максималь-
ное или минимальное значение:

J (х*) = niin {Ji (*;)}> i — 1, 2.........n.

(11.6)

Длительность процедуры поиска при сканировании в ос-
новном определяется задаваемой точностью е. Например, при
допустимом интервале изменения /1=5 единиц и заданной
точности 10 % необходимо сделать замеры в

п — А/е + I = 5/1 т 1 = 6 точках.

(11.7)

При заданной точности » = 1 % количество замеров сущест-
венно увеличивается:

п = 5/0,1 + 1 = 51.	(11.8)

Регулярность метода сканирования определяется заранее
задаваемым порядком перебора значений. Чаще всего исполь-
зуют два способа при обходе точек: строчная развертка и спи-
ральная развертка (соответственно рис. 11.3 и 11.4). Оба пра-
вила обхода обеспечивают просмотр всех допустимых точек
без пропусков.

Метод Гаусса—Зайделя. В методе Гаусса—Зайделя ис-
пользуют дополнительную информацию о виде функционала ка-
чества J (х), в частности предполагают, что J (х) является уни-
модальной функцией, т. е функцией, имеющей один экстре-
мум. Условие унимодальности можно записать следующим об-
разом (для поиска минимума):

J (^-1) < J С^г) При Xmin <С -^1	Х%,

J (х,) >J (х2) при Xj < х2< xmin,

(11.9)

где xmln — положение минимума; xt и х2 — произвольные по-
ложения относительно точки минимума.

Условие унимодальности позволяет значительно сокра-
тить число просматриваемых точек по сравнению с полным
перебором.

В основу метода поиска положено исследование полной
производной экстремизируемого функционала

dj(x)/dt= у [3J (х)/<3х,1 х;,	(11.10)

<= 1

где %,- = 2 ап (x)/dxj i = 1, 2, .., и; / = 1, 2, ..., n;
z=i

ati— коэффициенты, характеризующие отклонение от экстре-
мума.

Отсюда

dJ (x)/dt~ ап [dJ (x)/dxj [dj (x)/dxd. (Н.П)
£=J. /= I

В точке экстремума х; — xL extr имеем [dJ(x)/dx]cxtr = 0,
поэтому во всех точках, кроме xextr, функция (11.11) должна
удовлетворять условию монотонного приближения к экстре-
муму:

dJ (x)/dl>0 для максимума; |
dJ (x)/dt <; 0 для минимума, f

(Н.12)
Пример 11.1. Пусть функция качества имеет вид, представленный
на рис. 11.5:

J Ui. х2) =xj + xf -f-axj хг,	(11.13)

где а = const, а = 1,5 и поиск начинается из точки xt ~ 3, х2 — 3.
Изменяем координату хп оставив х2 постоянной.

Тогда функция качества

J(xlt 3)=х’4-94-4.5х1.	(11.14)

Минимум J (хх, 3) находим, приравнивая нулю частную произ-
водную dJ (х,, 3)/dxlt т.е.

dJ (Xj, 3)/dx! = 2xj 4- 4,5 ==• 0.	(11.15)

• Отсюда первый экстремум no Xj равен

Xj = — 2,25	(11.16)

и ему соответствует на рис. 11.5 точка Аг с координатами xt — 2,25,
х2 =- 3.

Теперь оставим координату х, па уровне — 2,25 и будем изменять
х2:

J [( — 2,25), х2[ =-(54~х| —3,4х2).	(11.17)

Находим минимум функции по х2:

dJ [(—2,25), x2]/dx2 = 2х2 — 3,4 — 0, х2=1,7.	(11.18)

Данному экстремуму соответствует точка А 3 на рис. 11.5 с коорди-
натами Х( = — 2,25, х2 — 1,7. Повторяем цикл вычислений для коорди-
наты X], закрепляя найденное значение х2 = 1,7, т. е.

J (х,, 1 ,7) =х? 4-2 ,94-2,55х,;	)

1 (И 191
dJ (х,, 1.7)/dx, ==2x!4-2,55 = 0, х, =—1,27. J	' '

В результате поисковых
движений получаем ломаную
линию, состоящую из взаимно
перпендикулярных прямых,
точки излома которой находят-
ся в местах касания этих пря-
мых с кривыми:

J (х1э х2) ж const.

В методе Гаусса—Зай-
деля производится пооче-
редное изменение коорди-
нат Хр х2.....хп и опреде-

ляются частные экстрему-
мы dJ (x)/dxi = 0 по каж-
дой из координат, при этом
все координаты, кроме вы-
бранной, закрепляются.
Взяв координату х1л при
постоянных или нулевых значениях остальных координат
отыскивают минимум dJ (x)/dxj. После обращения в нуль
dJ (х)/дх = 0 найденное значение х2 закрепляется и изме-
няется координата х2 до обращения в нуль частной про-
изводной dJ (х)/дх2 = 0. Таким образом находят частные
экстремумы по всем п координатам. Затем осуществляют пов-
торный цикл изменений начиная с координаты xlt- и так до тех
пор, пока найденная точка экстремума не окажется экстре-
мальной для всех координат.

Таким образом, регулярность метода определяется очеред-
ностью изменения координат, однако к недостатку данного
метода следует отнести произвольность в выборе нумерации
координат, что может в отдельных случаях существенно
удлинять поиск.

Метод градиента. Градиентом выпуклой дифференцируемой
функции J (%!, х2, ...) называют вектор, проекции которого
на оси координат xlt х2, ... соответственно равны частным про-
изводным дЛдхг, дЛдх2........

Каждая из составляющих градиента может быть прибли-
женно определена по двум замерам значений функции J (х)
в близких точках х -1- Л. т. е.

grad J (х) = U (х -Ь Д) — J (х — Л)]/(2Д).

В том случае, если функция J (х) зависит от нескольких
переменных, т. е. J (хр х2...х„), градиент определяют по

всем переменным:

(I/AJIJUa + AJ, х2,...,хп|—.
(1/Д2) {J [%! (х2 + Д2).. хп1 —

(11.20)

(1/Д„){./|х1, х2,

После определения направления градиента осуществляют
переход в новое положение по каждой координате в зависи-
мости от максимальной величины и направления градиента.

В методе градиента используют свойство уменьшения ве-
личины градиента по мере приближения к экстремуму. Это
легко проследить на рис. 11.6, наблюдая за изменением на-
клона касательных к кривой J (х).
Координаты каждого последующего положения определяют
таким образом:

х<'),..„ х'1’] —

—J[x<‘>, х<‘),..., Л.0]};

х<2> =х< > +« (1/Д2) {J [х< >, (х<‘> + Д2),..., х<,'>] —

—J[x‘'\ х<'>,.... xV’]};

(11.21)

х!.2) =х’'>+а (1/Д„) {J|x<'>, х<'>,..., (х<'> 4-Д„)1-
—Jlx<'>, х<'>,..., х‘,,)]).

Следовательно, в методе градиента процесс поиска разде-
ляется на два этапа. Вначале делают пробный шаг для опре-
деления величины и направления градиента в соответствии с
алгоритмом

Xi = х0 + g&i, i = 1, 2....п,	(11.22)

где х0 — координата вектора начального состояния; х( —
координата вектора пробного состояния; g — величина проб-
ного шага; Д; — единичный вектор отклонения по заданной
координате.

Затем осуществляют одновременное рабочее смещение в на-
правлении градиента всех координат в соответствии с урав-
нением

х — xn ± a grad J (х),

(11.23)
Рис. 11.7

Рис. 11.8

где х — вектор нового рабочего состояния; а — величина ра-
бочего шага.

Иногда для ускорения поиска пробные и рабочие шаги
совмещают, т. е. каждый рабочий шаг становится пробным ша-
гом для последующего состояния.

На рис. 11.7 показаны траектории движения из начальных
точек А, В, С к экстремуму по направлению градиента. Кри-
вые движения нормальны к линиям постоянных значений
функции качества J (х). Нетрудно видеть, что при наличии у
функции качества так называемых «оврагов» или «гребней»
движение по градиенту может стать очень извилистым, кро-
ме того, направление градиента зависит от выбранных масшта-
бов изменения координат по каждой оси, т. е. при неблагоприят-
ных масштабах по осям поиск может значительно затянуться.

Метод наискорейшего спуска. Метод наискорейшего
спуска является модификацией метода градиентного поиска.
Здесь также определяют градиент в исходной точке, но затем
движение происходит по выбранному направлению (Л, В, ...)
до тех пор, пока функция качества продолжает уменьшаться
(рис. 11.8). Затем вновь определяется направление градиента
и организуется прямолинейное движение в этом направлении
до уменьшения функции качества и получения минимального
значения ее по данному направлению. Метод наискорейшего
спуска значительно сокращает процедуру поиска экстремума
по сравнению с методом градиента, поскольку в нем умень-
шается количество точек, в которых осуществляется определе-
ние величины и направления градиента.
Пример 11.2. Пусть функция качества имеет следующий вид:

J (-*!. х2) =xf 4-х| 4- 1,5х, х2.

(11.24)

Найдем минимум J методом наискорейшего спуска из точки (х{ = 2,
= 3). В исходной точке частные производные

dJ (х2

х2) / дх}

= 2х{ + 1,5х' =8 5;

dJ (х,, х2)/дх2

, =2х2 + 1 ,5х{ =9.

хг

(11.25)

Двигаясь в направлении, обратном полученному градиенту, най-
дем координаты следующей точки (х", х2), т. е.

< =х,' —a \dJ (х,, XjJ/dxj], .	.. =2 —а-8,5; 1

।	(11.26)

х2 =х2 —a [<W (х1, x2)/dx2], ,	,, =3 — 9а,	I

 Лг)

где а — пока неизвестный шаг перехода из точки (xj, х2) в точку (xJ5
х").

Шаг определяем, подставляя (11.26) в (11.24), т е

J (х,, х2)= j х; — а |а/ (xj, x2)/axjj. , ,дг4-
I

4- / х' —а [dJ (Xj, x2)/dx2|^ . ЛJ 2 +

4-1,5 (xf — a [dJ (x-j, х^/dxi]. .	,, 1 X

i	(Ai  *2/j

X |x' — a |dJ (x,, x2)/dx2]^. *,)}	(11.27)

или, учитывая (11.26),

J (а) = (2 — 8,5а)2+ (3 — 9а)2 4- 1,5(2 — 8,5 а) (3—9а). (11.28)
Преобразуя (11.28), получим

J (а) — 268а2 — 166,75а + 22.	(11 29)

Находим а1пах из условия

dJ (а)/да = 0,	(11.30)

или

dJ (а)/да = 536а — 166,75 = 0,	(11.31)

откуда атах ~ 0,31 Подставив атах в (11.26), находим координаты точ-
ки (х2, x'i):

x't=₽2 —0,31-8,5 — 0,635; х^ = 3 — 0,31-9 = 0,21.	(11.32)

Поступая аналогичным образом на второй итерации, получим сле-
дующие значения координат:

х'"=0,037; х"' = —0,16.	(11.33)
Итак, практически за две итерации поиска система оказалась
достаточно близкой к минимуму (Xj = 0, х2 = 0).

Методы экстраполяционного поиска. Экстраполяционные
методы поиска строятся на базе двух предположений: либо за-
ранее известно значение экстремума функции качества J (х),
либо функция J (х) может быть приближенно представлена
какой-нибудь известной функциональной зависимостью.

Простейшие методы экстраполяционного поиска предпо-
лагают замену реальной функции качества кусочно-линейной
функцией или квадратичной параболой.

В первом случае (линейная экстраполяция) по двум замерам
J (х0 4- А) и J (х0 — А) и истинному значению экстремума
JextI. определяют положение точки экстремума xlt т. е.

•’А —	+ А + 2А [Jextr — J U0 + A)]/[7 (х0А) — J (х0—А)].

(11.34)

Проверка истинности полученного положения экстремума
осуществляется с помощью равенства

(11-35)

При невыполнении равенства (11.35) процедура линейной
экстраполяции повторяется, но для замеров хг ± А±.

Во втором случае (квадратичная экстраполяция) по трем
замерам функции качества J = J (х0 — A), J2 — J (х0), J3 =
= J (х0 + А) записывают три линейных уравнения второго
порядка:

а (х0 — Л)2 + & (х0 — А) 4~ с ~ Jf, j

axl + fcx04-c = J-2,	[	(11.36)

a (x0 + A)2 + fc (x04-A)4-c = J3. J

Решая систему уравнений (11.36). находят значения ко-
эффициентов а, Ь и с:

п=(Л-272 + 73)/(2А2);

fc =	-• j [А (73—/i)	2х0 (Ji + 7з)],

(2Д2/

c = J2-(J3-Jty х0/(2А) 4- (A-2J2 + J3)xg/(2A3).

(11.37)

Учитывая, что минимум квадратичной параболы J —
= ах2 + Ьх 4- с расположен в точке xmin = —fe2/(4a) и равен
Jmljl = с — Ь21(4а), можно получить величину шага для сме-
щения в экстремум

х1 — х0 = (А/2) (73 -	+ 7з)	(И-38)
и величину предполагаемого экстремума

Лшп-Л— (Js~Л)2/[8 (Л-2Л + Л)].	(11.39)

Сравнивая действительное значение функции качества в
точке J (х) с предполагаемым минимумом из (11.39), можно
судить о близости к действительному экстремуму. Поиск за-
канчивается при совпадении с заданной точностью е предпо-
лагаемого значения минимума и получаемого значения функ-
ции качества в смещенной точке.

Все рассмотренные регулярные методы поиска, кроме
полного перебора, обладают существенным недостатком, про-
являющимся при наличии у функции качества нескольких
экстремумов, один из которых глобальный. Если исходная
точка поиска окажется на склоне локального экстремума, то
поиск прекратится в окрестности этого локального экстрему-
ма. Указанная трудность в поиске глобального экстремума
часто устраняется с помощью методов случайного поиска.

Методы случайного поиска

В основу случайного поиска положен известный ме-
тод проб и ошибок, в соответствии с которым удачно най-
денное решение принимается, а неудачное — отвергается.
«Разумность» метода проб и ошибок базируется на пред-
положении о том, что случайный выбор содержит все воз-
можные решения, в том числе и искомое.

Методы случайного поиска применяют при определении
положения как локального экстремума, так и глобального
экстремума. Часто локальный случайный поиск хорошо до-
полняет методы регулярного поиска, ускоряя их на начальных
этапах.

Локальный случайный поиск с возвратом. В данном ме-
тоде первоначально производится фиксированный шаг в слу-
чайно выбранном направлении. Если значение функции ка-
чества в новом состоянии J (Xj + А) превышает исходное зна-
чение J или остается неизменным, т. е. случайный выбор
оказался неудачным, то происходит возврат в исходное состоя-
ние х1г откуда осуществляется новый шаг в случайном направ-
лении. Если значение J (xt + А) уменьшилось, то следующий
шаг в случайном направлении делается уже из точки (xt 4- А).

Алгоритм поиска можно записать в следующем рекур-
рентном вице:

xt-+i =х,- EAXj + i,
f aE/+i при J (x,+ i) < J (xf);
где Axj+i={

I 0 при J (xz+i) > J (xt);

(11.40)

a — величина шага смещения; Ег+1 — случайный единичный
вектор; Е = (en е2.... еп).

На рис. 11.9 представлена блок-схема алгоритма (11.40).

В начальный момент система делает шаг Дх;+1 в случайном

направлении из исходного состояния х,, причем в памяти уже
находится значение функции качества J (х,) для этого состоя-
ния. Затем определяется новое значение функции качества
J Uz+i)> которое сравнивается с запомненным J (х,). В слу-
чае уменьшения функции качества (ДУ <С 0) вновь делается
случайный шаг Дх/+2 и запоминаются его компоненты. В слу-
чае увеличения функции качества (ДУ > 0) система делает
обратный шаг— Дх/+1, компоненты которого были запомне-
ны раньше. Функция качества в этом состоянии J (хг) опреде-
ляется вновь и запоминается, после чего делается новый шаг
в случайном направлении. Алгоритм эффективен даже в слу-
чае нестационарных функций качества, изменяющихся во вре-

мени по тем или иным причинам.

Локальный случайный поиск с пересчетом. Этот метод

поиска отличается от предыдущего тем, что система не воз-
вращается при неудачном шаге назад в исходное состоя-
ние, а делает «пересчитанный» случайный шаг в новое со-
стояние, при котором учитывается исходное состояние.

Алгоритм поиска запи-

Рис. 11.9

сывается в виде следующей
рекуррентной формулы:

ДХ/4-l =

а Ед при J (х;) </*_,;

=	— Дхг + а Е,- +1 при

J (Xi) 2s J1

(11.41)

где Ji = min J (х})— наи-
/= 1, 2....... I

меньшее значение функции
качества за t предыдущих
шагов поиска.
Рис. 11.10

Этот алгоритм используется в основном для случаев стацио-
нарной функции качества или при отсутствии помех. Поиск
с пересчетом сокращает количество измерений функции каче-
ства, что оправдано при отсутствии помех.

Блок-схема поиска представлена на рис. 11.10. Из схе-
мы видно, что в процедуре поиска отсутствует определение
J (хг) после неудачного шага, а устройство памяти J (х) ос-
вобождается от дополнительной информации.

Локальный случайный поиск по наилучшей пробе. Дан-
ный метод поиска содержит операцию накопления, состоя-
щую из нескольких пробных шагов. По совокупности неза-
висимых проб принимается решение о выборе наиболее
удачного состояния.

В соответствии с методом из исходного состояния хг де-
лается т случайных пробных шагов а Е; + 1, оЕ(?+ ь ....	.

В полученных смещенных точках xf+I = xf + gE{'+i, где
j == 1, 2, ..., m, производится вычисление значений функции
качества J (x;+i) и запоминается состояние, которое привело
к минимальному значению:

J*(x';+е.) = min J (хг- 4-яЕ/+1), /= 1,2,..., т. (11.42)

Далее производится рабочий шаг в этом выбранном направ-
лении:

Axl+i =аЕ*+1,	(11.43)

где Е/+1 — случайный единичный вектор наилучшей пробы.
С увеличением числа пробных шагов т случайно выбранное
направление поиска все больше приближается к направлению,
обратному градиенту.

Алгоритм поиска (11.42) имеет недостаток, связанный с воз-
можностью попадания в такую зону, когда рабочий шаг де-
лается в сторону увеличения функции качества, например если
все пробные шаги привели к увеличению функции качества.

Модификация в этом случае осуществляется таким образом:

Алт+1 =

О пр» 7«(*(+1)>7(х,);

«В;»., пр» J'(xi+,)<J(x,). ' ' ' ’

В соответствии с (11.44) система сделает рабочий шаг
вдоль наилучшей пробы только тогда, когда минимальное зна-
чение J* (%£+ |) из всех проб не превышает исходного значения
J (xi). Если это условие не выполняется, тогда повторяется
цикл из т пробных случайных шагов.

Локальный случайный поиск по статистическому гради-
енту. Данный метод поиска используется в тех случаях, когда
функцию качества J (х) нельзя представить в регулярном ви-
де и она определяется в зависимости от регулярных параметров
(Хх, х2, ..., хп), а также от случайных параметров (еъ е2, ...,
..., еП1). Такая ситуация возможна, например, при поиске
экстремума в условиях действия помех.

Так как случайный поиск по статистическому градиенту
близок по своей сущности к методам стохастической аппрок-
симации, то рассмотрим предварительно некоторые процедуры
стохастической аппроксимации.

При наличии случайных параметров (еъ е2, ..., ет) регуляр-
ную функцию качества J (х) представим в виде случайной
функции

Н (х, е)= Н (%!, х2,..., хп, Bl е2, ..., em), (11.45)

где х = (хх, х2, ..., хп) — вектор состояний поиска; 8 —
=(8!, е2, ..., ет) — вектор случайных помех.

Зная вероятностные характеристики параметров (Sj, е2, ...,
..., ет), например плотность распределения р (е), можно ос-
реднить функцию Н (х, е) по этим параметрам и перейти вновь
к осредненной регулярной функции качества

J (х) = И (х, е) р (е) d е,

(11.46)
или

J(x) = Me[H(x, e)J,	(11.47)

где ME — математическое ожидание.

Из (11.46) можно сделать вывод о том, что получение
функции качества в детерминированном виде связано с необ-
ходимостью вычисления интеграла либо при жестких огра-
ничениях на характер случайных воздействий е, либо при из-
вестных вероятностных характеристиках изменения таких воз-
действий. Однако обычно имеется только информация об от-
дельных реализациях случайной функции Н (х, в).

При поиске экстремума дифференцируемой функции каче-
ства J (х) все п частных производных dJ (Xi)/dxit i = 1,
2, ..., п, должны обращаться одновременно в нуль, т. е.

grad J (х) = 0.	(11.48)

В результате замены J (х) на Ме [Н (х, в)1 условия экс-
тремума принимают следующий вид:

grad Ме [Н (х, е)1 = 0,	(11.49)

или, учитывая линейность операций, можно записать

Л4е [grad Н (х, е)] = МЕ [grad (дН (х,

в/дхх, дН (х, в)/<Эх2,..., дН (х, в)/<Эхп[ = 0.	(11.50)

Осуществляя итеративную процедуру стохастической ап-
проксимации, определяем состояние х*, соответствующее
экстремальному значению Н* (х, в), постепенно приближаясь
к нему:

х,+ 1=х,—grad Н (х;, в,).	(11.51)

Таким образом, при отсутствии точного знания функции
качества J (х) следует заменить ее стохастической оценкой
Н (х, е) и далее оперировать с этой оценкой при поиске точки
экстремума х*.

В том случае, если /7 (х, е) представима в виде скалярной
функции скалярного аргумента х и случайного параметра е,
процедура стохастической аппроксимации сводится к проце-
дуре определения корня этой скалярной функции или к так
называемой процедуре Роббинса—Монро.

Пусть

Н (х, в) = L (х, е),	(11.52)

где L (х, е) — скалярная функция от параметра состояния х.
Функцию L (х, е) можно представить в виде суммы регуляр-
ной составляющей f (х) и случайной составляющей е, причем
математическое ожидание М (е) = 0, т. е. случайная состав-
ляющая центрирована.

В результате поиска определяют корень х* регулярной
составляющей f (х), т. е.

f(x*) = O,	(11.53)

в соответствии с процедурой

xi + i=xt—aaL (Eit xt),	(11.54)

где a — знак наклона регулярной составляющей / (х) в точ-
ке х* (для минимума «+», для максимума «—»); а — постоян-
ная, определяющая наклон аппроксимированной прямой к f (х).
Если функция L (х, е) является однопараметрической функ-
цией регрессии, задана своими реализациями Н (х,-, ег) и
можно дать точечную оценку ее градиента grad Н (х, е) ==
= dH (х, E}ldx, т. е.

dH (хъ &)ldx ~ (1/2Д;) [И (х; + △/, ех)—Н (xf—Дг, e^l. (11.55)

где Д( — интервал оценки производной, то поиск экстремума
функции L (х, е) сводится к поиску корня функции регрес-
сии регулярной части L (х, е) в соответствии с процедурой
Кифера—Вольфовица:

х,+ 1 =xf—a (at/2Et) [Н (xt + Eh Ej)— Н (Xi — Eit е2)1, (11.56)

{+ 1 для min,

— 1 для max.

В случайном поиске по статистическому градиенту из ис-
ходного состояния X; делается т случайных пробных шагов:
aEl+l, dE]+l, аЕ*+1, ..., аЕ?+г В новых точках х'+1 =
= xt + оЕ{+1, / = 1, 2, ..., т, вычисляют значения функции
качества Ji (x>j + 1), j = 1, 2, .... т, и соответствующие при-
ращения функции качества:

EJi = Л (xt + 1) — J (Xf).	(Н-57)

После этого вычисляется вектор статистической оценки
градиента в точке X;, т. е. '

т

VJ'(Xi)= 2 Ej [Ji (x.±i)-—J (хг)], i = 1,..., п. (И-58)
х = 1
В пределе при «г оо
статистическая оценка W'(xi)
совпадает с направлением
градиента функции качества,
поэтому рабочий шаг произ-
водится в направлении полу
ченной оценки

—	(х;)

II W' (хг) || ,

(11.59)

ЛХ/+1

где || W'(*i)ll —норма вектора статистического градиента;
а — величина рабочего шага.

Таким образом, в случайном поиске по статистическому
градиенту число точечных измерений статистической оценки
градиента может быть меньше по сравнению с методами сто-
хастической аппроксимации (т <Z п).

Глобальный случайный поиск с независимым выбором
плотности распределения пробных шагов. Процедура поиска
значительно усложняется в тех случаях, когда функция ка-
чества является не унимодальной, а многоэкстремальной
(рис. 11.11). Практически все рассмотренные способы поиска
локального экстремума не могут быть использованы без спе-
циальных модификаций для поиска глобального экстремума.
Исключение составляет метод полного перебора. Однако на
практике им пользоваться бывает неудобно из-за слишком
больших затрат времени на поиск. Как правило, методы поис
ка глобального экстремума базируются на статистических
принципах.

Это объясняется тем, что поиск статистическими методами
позволяет управлять плотностью распределения независимых
пробных шагов и сосредоточивать поисковые шаги в местах
наиболее вероятного нахождения глобального экстремума.

Глобальный случайный поиск с независимым выбором
плотности распределения пробных шагов может быть описан
следующей рекуррентной формулой:

/°(хг) =

Хл-1 при J (Xi) > J° (хл_1);

Xi при J (хл) < J° (х,_ 1);

J° (x,_i) При J (хе) > J (х,_1);

J° (хл) при J (хл) < J (х,_.1),

(11.60)
где х° — это i-e пробное состояние, выбранное случайно и
сохраненное в памяти в случае удачной пробы; J0 (х;) — вы-
численное в i-м пробном состоянии значение функции каче-
ства и сохраненное в памяти в случае удачной пробы; х^г —
пробный шаг; J (xt) — значение функции качества на г-м
пробном шаге.

При равномерной плотности распределения пробных ша-
гов поиск разделяется на k этапов из Nj пробных шагов, где
/= 1, 2, ..., k.

Каждый пробный этап осуществляется внутри гиперпарал-
лелепипеда в пространстве состояний X, т. е.

х.^а***, i = 1, 2,..., п,	(11.61)

причем стороны гиперпараллелепипеда с каждым /-м этапом
уменьшаются в с> 1 раз по сравнению с (/ — 1)-м этапом
в соответствии с формулой:

где — точка, соответствующая пробному шагу с наи-
меньшим значением функции качества из всех проб на (/ — 1)-м
этапе.

Несмотря на равномерную плотность распределения проб-
ных шагов внутри каждого этапа, происходит увеличение
плотности распределения от этапа к этапу за счет уменьшения
зоны поиска (11.62), т. е.

Р} (х) с/п I П (а'„ - a't),	(11.63)

где Рj (х) — плотность распределения пробных шагов на /-м
п

этапе; П (а^ — а',х) — объем гиперпараллелепипеда на j-м
этапе.

Таким образом, на каждом пробном этапе осуществляются
случайные пробные шаги, из которых выбирается шаг с наи-
меньшим значением функции качества, а затем зона поиска
сужается около этой выбранной точки и снова производятся
случайные пробные шаги до попадания в окрестность глобаль-
ного экстремума.
Иногда целесообразно пробные шаги на каждом последую-
щем этапе распределять не равномерно, а по нормальному за-
кону, например

Р (х) = [ 1 K’lnfi'1 ст"] ехр {— (1/20?) | х — х; |2}, (11.64)

где

о0	при J (х.) < J (х, _1);

— //Г-1 при J {Xt) J (Xi~ i),

<т§ — исходная дисперсия; 0 < q < 1.

Итак, случайные пробные шаги нормально распределены со
средним значением, совпадающим с наилучшей величиной функ-
ции качества из всех проб этапа, а дисперсия уменьшается при
неудачных шагах и увеличивается до исходного значения при
удачных шагах.

Обычно время, отводимое на поиск, ограничено, поэтому
целесообразно управлять не только плотностью распределе-
ния пробных шагов внутри этапов, но и количеством таких
проб. Например, в начале поиска количество пробных шагов
внутри этапа может быть относительно небольшим, что связа-
но с приблизительным выделением «подозреваемой» на гло-
бальный экстремум подобласти, а затем для более точного оп-
ределения положения глобального экстремума используется
оставшееся количество пробных шагов.

Примеры поисковых самонастраивающихся систем

Самонастраивающаяся система с поиском по методу гра-
диента. Блок-схема системы представлена на рис. 11.12. Си-
стема работает по принципу синхронного детектирования с мо-
дуляцией, основанному на методе градиента.

На рабочее движение системы накладывается гармоническое
поисковое движение с небольшой амплитудой, вырабатываемое
генератором Г и устройством формирования опорного сигнала
УОС, т. е.

х, = х,0 + aOi sin Wj t.	(11.65)

На выходе объекта колебательная составляющая функции
качества J (х) изменяет фазу в зависимости от текущего поло-
жения рабочей точки относительно экстремума (рис. 11.13).
С помощью син-
хронного детектора
фазы ДФ осуществля-
ется перемножение
сигнала J (х) и опор-
ного сигнала с генера-
тора:

«оп = «оп sin (<о/ + ф).

(11.66)

После отфильтро-
вания переменной со-
ставляющей с по-
мощью фильтра Ф по-

лучают сигнал, пропорциональный производной функции каче-
ства по х, т. е. dJ (x)/dx, поступающий на исполнительное
устройство И У. В точке экстремума этот добавочный сигнал
равен нулю.

Многоканальный статистический оптимизатор со случай-
ным поиском. Схема и принципы работы самонастраивающей-
ся системы со случайным поиском описаны в [2]. В системе реа-
лизован ряд шаговых алгоритмов поиска, например поиск с воз-
вратом, поиск с пересчетом и т. д. Система состоит из одинако-
вых, параллельно работающих каналов, выбранных по числу
оптимизируемых параметров объекта. Блок-схема одного из
каналов представлена на рис. 11.14, а.

Рис. 11.13
Объект

Рис. 11.14

Основным блоком оптимизатора является блок генераторов
случайных сигналов, с помощью которого вырабатываются по-
следовательности разнополярных импульсов с одинаковой ам-
плитудой и длительностью. Эти импульсы через ключевые схе-
мы поступают на исполнительные устройства для изменения ре-
гулируемого параметра объекта в положительную и отрицатель-
ную стороны поиска экстремума. В результате воздействия ис-
полнительных устройств изменяется функция качества. Знак
приращения функции качества фиксируется и запоминается в
блоке определения знака. Работа оптимизатора осуществляет-
ся циклически с помощью блока команд, на вход которого по-
дается сигнал р — /2 г«е

| 0 при AJ (х)<0 (удачны й шаг);

| 1 при AJ (х)	0 (неудачный шаг);
AJ (x) = J [xJ-J [xz_i];	(11.67)

О при H 0 (ограничения соблюдаются);

1 при /Y<0 (ограничения не соблюдаются, следует
сделать обратный шаг).

Сигнал р изменяется следующим образом:

у 0 0 11

х 0 10 1

*) 0 111

Значения р определяют так:

М =

0 при А/ (х) < 0 Д Н 0;

1 при [AJ (х) > 0 Д Я< 0] [АУ (х) < О Д Н < (11 -68)
< 0] V [АУ (х) > О Д Н > 0].

На рис. 11.14, б, в представлены направленные графы по-
следовательного изменения состояний блока команд для поис-
ка с возвратом и пересчетом Индексы у стрелок, соединяющих
вершины графа,, соответствуют возможному переходу блока ко-
манд из одного состояния в другое в зависимости от поданно-
го сигнала и, определяемого из (11.68).

Состояния блока команд пронумерованы следующим обра-
зом: 1 — определение знака приращения показателя качест-
ва AJ (х); 2 — запоминание показателя качества; 3 — обрат-
ный шаг; 5 — сброс памяти генератора случайных сигналов;
6 — запуск генератора случайных сигналов; 7 — рабочий
шаг; 8 — установление функции качества на выходе объекта.

Принципы построения беспоисковых самонастраивающих-
ся систем. Такие самонастраивающиеся системы обладают
существенным преимуществом по сравнению с поисковыми си-
стемами в отношении быстродействия, поскольку в них отсутст-
вуют процессы поиска, замедляющие работу системы. Кроме
того, поисковые движения, как правило, создают заметные воз-
мущения для работы основного контура. Часто такие возму-
щения становятся недопустимыми по конструктивным сообра-
жениям, например поисковые колебательные возмущения мо-
гут преждевременно выводить из строя исполнительные меха-
низмы системы управления.

Однако беспоисковые самонастраивающиеся системы, так
же как и поисковые, решают аналогичную задачу адаптации
динамических характеристик системы в условиях изменения
меры качества под воздействием управляющих, параметриче-
ских и внешних возмущений. Беспоисковое определение ус-
ловий экстремума функционала качества позволяет получить
темп процесса адаптации, соизмеримый с темпом переходных
процессов в системе.

В беспоисковых системах используют несколько различных
принципов аналитического определения условий экстремума,
которые базируются на компенсационных подходах, например
принцип инвариантности или сравнения с эталоном-моделью,
либо на идентификационных подходах, позволяющих опреде-
лять связанные с функционалом качества параметры или ха-
рактеристики управляемого процесса.

Принцип инвариантности. Если в системе автоматического
управления предусматривается компенсация влияния возму-
щающих воздействий на регулируемые координаты, то такая
система становится инвариантной, т. е. независимой, по отно-
шению к этим воздействиям. Так как в самонастраивающихся
системах функция качества управления может изменяться под
действием параметрических и внешних возмущений, то, ком-
пенсируя влияние этих возмущений, можно добиться стацио-
нарности функции качества и обеспечить работу системы в
экстремальном режиме.

Пусть система автоматического управления описывается
уравнениями вида

«п (Р. О ^i+«i2(P. О А + .-. + Ощ хп~ b± (р, I) (/);

«21 (р. 0 х1 + а22(р, t) х2 + ... + а.гп xn=b2(p, t)f2(t)-,

O-nl (Рг ty Х2 "Т &п2 (Р» О Х2 + - “Ь «пп хп = Ьп (р, /) /п (/),

(11.69)

где Xj,, ..., хп — регулируемые координаты; а;> (р, t), bt (р, t) —
дифференциальные операторы (полиномы от р с переменны-
ми коэффициентами); fn (/)—внешние возмущения; i = 1, 2, ...,
.... л; j = 1., 2, ..., п, или в более компактной форме

у, a}i (р, f) Xi = bj (р, t) fj (/), i, /= 1, 2,..., n. (11.70)
/= i

При действии параметрических возмущений происходит
отклонение операторов системы от номинальных значений,
равных

«Л (р.0 = «л (Р).

(11.71)
на величины

(Р, О = ап (р, t) —ал (р).	(11.72)

Тогда (11.70) можно записать в виде

У, (Р) ^i = bj (р, 0 X Аая <Р’ х*' 7= 1 > 2’ •••’ п-
/=1	i=i

(11.73)

Условие инвариантности любой из координат xt по отно-
шению к некоторым из воздействий (параметрических и внеш-
них), например Дау/ (р. t) и f]t определяется тождественным
равенством нулю минора Дуг определителя системы (11.73),
т. е.

«и (р, f)...aij_i (p, t), ах!+\ (р, t)...aln (р, t)

at-\, i (p,	/-1 (P.	G<-i. /+1 (P> 0 •••

... a,:_i.n (p, t)

al+\, i (p, 0—o/+i. /-i (P’ 0. o»+i. /+i (P- 0 —

... (z,4-i, n (рЛ)

anl (p, t)... an, /_! (p, t), an, /+1 (p, t)... ann (p, t).

(H.74)

В результате преобразования (11.73) это условие можно
записать так:

2 ajt (р) х> = fey (р, 0 (0- S Дау4 (Р, 0 *г +
i=I

+ Сп+! (р, 0 хп+1 SS о,	(11.75)

где с„+1 (р, t) xn+i •— операторы и координата компенсаци-
онного члена.

Следовательно, для выполнения условия инвариантности
(11.74) необходим второй канал для компенсации возмущений,
с помощью которого обеспечивается равенство

с„+1 (р, 0 хп+1 =—fey (р, 0 fj (0 + S Дау{ (р, 0 xt. (11.76)

Операторы сп+1 (р, 0 второго канала должны перестраивать-
ся в зависимости от изменения операторов bj (р, t) и Дауг (р, 0.

Принцип эталонной модели. Эффективным способом поддер-
жания экстремального режима при функционировании само-
настраивающейся системы является введение в контур само-
настрочки модели-этало-
на. В этом случае про-
цессы, протекающие в
модели-эталоне, соответ-
ствуют задаваемым экс-
тремальным условиям.
Сравнивая динамические
процессы, происходящие
в реальном объекте, с
процессами в модели,

Рис. 11.15

У(И

можно подстраивать ха-
рактеристики системы управления таким образом, чтобы эти
процессы достаточно близко совпадали, тем самым обеспечи-
вается функционирование реальной системы в экстремальном
режиме.

На рис. 11.15 показана блок-схема самонастраивающейся
системы с моделью-эталоном М-Э. Управляющее воздействие
g (0 подается одновременно на вход основного замкнутого
контура управления и на вход модели-эталона. В устройстве
сравнения УС вырабатывается отклонение сигнала у (t) от
г/м (О и в зависимости от этого сигнала отклонения изменяют-
ся параметры регулятора Р в основном контуре.

Пусть уравнение основного контура системы

А (р, t) у = В (р, t)6 + C (р, t) f, (11.77)

где у — выходная координата объекта О; 6 — координата
исполнительного механизма; f — возмущение, поступающее на
объект; А (р, t), В (р, t), С (р, f) — операторы.

С учетом стационарного режима работы системы опера-
торы А, В и С можно записать

А (Р, t) = л0 (р) - дл (р, t); В (р, I) = в0 (р) + дв (р, t)-

с (р, 0 = дс (р, t),

(11.78)

где ДЛ (р, t), &B (р, t), &С (р, t) — отклонения от расчетного
стационарного режима, причем порядок приращений не пре-
вышает порядка операторов стационарного режима.

Уравнение движения объекта в расчетном режиме

Л о (р) У = Во (р)	(П.79)

если объект соответствует минимально-фазовому звену.

Уравнение для модели-эталона

Лом (Р) Ум = Bqm (р) g.	(11.80)
Уравнение системы вместе с моделью можно записать сле-
дующим образом:

Л (р, 0 у == В (р, t)d+C (р, t) f; D (р, /) 6 = Во2 (р) (g-rfr, |
Boi (Р) П = ДЛ* (р, t) у + ДУ (р, t) f-, Дом (р) У1л = В0м (р) g, |

(11.81)

где Во2 (р), D (р, t) — операторы рассогласования в основном
контуре; т| — суммарный сигнал обратной связи в основном
контуре; ДМ (р, t), BN (р, t) — отклонения от расчетного ре-
жима для операторов координаты у и возмущения f в обратной
связи; D (р, i) = Do (р) + ДО (р, t).

При выполнении условий

Во (р) = В01 (р) = Во2 (р) = О0 (р) = Вом (р) (11.82)
получим

До (р) (У — Ум) = 1ДЛ (р. о — ДМ (р, 01 У +	(р. С —

— ДО (р, 01 6 + 1ДС (р, t) — ДУ (р, 01 Л (11.83)

Переходя от операторной формы к дифференциальной, по-
лучим

е<'> + s' e<v) = '2 [До,, (0-Дт? (01	+

v=0

о

+ 2 (t)-Bda (01 е(“> + 2 1Дср О -А/1₽ W1 /(р).
а=0	₽=0

(11.84)

где е = у — ум-

Для асимптотического приближения к нулю рассогласова-
ния по регулируемой координате между основным контуром и
моделью необходимо, чтобы параметрические рассогласования
операторов в (11.84) были равны тождественно нулю, т. е.

xv+ 1 =e<v) га 0; <pv+ 1 = [Да? (t) —Bmv (/)] s 0;

za+!=[Д6а (/)-Д4а(01^0;
T₽+i = [Дер (/)—Дпр (01 по-

(11.85)

следовательно, для выполнения (11.85) необходимо синте-
зировать законы самонастройки:

dNmy (t)/dt=— %v; dBda (i)/dt = —dBnp (t)/dt = —iprp-

(11.86)
Выбор фф1>, грга> гргр можно осуществить, применяя пря-
мой метод Ляпунова.

Если Aav(f), Aba(t), hc^t) дифференцируемы соответст-
вующее число раз, то основной контур с моделью можно пред-
ставить в виде системы уравнений:

где

х — Ах + f; ф	;

г=-ф2 + <о2; Т = фг + ыг,

0	10	0

0	0 1	0

—Qo — аЧ ... — а'[.. 1

(11.87)

соот - dAav i£>2a = dA6a

огр =dAc₽ {f)!dt.

Если процесс самонастройки происходит несравненно бы-
стрее, чем параметрические изменения, то

(Оф = (о. = wj-e 0.

(11.88)

Тогда искомые векторы фф, ф2, фу можно определить,
задавая функцию Ляпунова в виде квадратичной формы:

v =х'.Р х + <р' Ei <р + z' Е2 z Т Т' Е3 Т, (11.89)

где z=const>Q, Elt Е2, Е3—единичные матрицы, Р==|(Р17||е.
Из (11.84) имеем

и ~ х х' (А'Р 4- РА) х 4- 2х х' Pf 4- 2<p' Ej % 4-

4-2z'Е, фг 4-27'Е3 фг.	(11.90)

Так как матрица А — неособая с отрицательными действи-
тельными частями корней характеристического уравнения,
то отрицательно-определенной квадратичной форме х' (А'Р 4~
4- РА) х в (11.90) соответствует положительно-определенная
квадратичная форма х'Рх в (11.89).

Обеспечивая отрицательность величины

хх Р f 4-ф' Ej ф,,4- г Е2 4- Т Е3 фГ «С 0,	(11.91)

можно получить устойчивость нулевого решения системы

х = 0; ф==0; z = 0; Т = 0,	(11.92)

а следовательно, и сходимость (11.90) в виде

ц = хх'(А'Р+ РА) х-	(11.93)

Из условия (11.91) получаем искомые функции в контуре
самонастройки:

Ффу = —ХО у( v>; фга = —хоб<“>; фур = —хо/<₽>, (1 1 .94)

Z-— 1

где о = 2 Р?+1. I xv+ ь Pv+1—элементы матрицы Р.

7 = 0

Условие (11.91) можно представить в виде

(I— 1	Л	s

2 Ф?+1 yw +2	4- 2 Тж /<₽) +

7= о	<х= о	р=о

+ у, Ф7+ 1 %7 + У za -| 1 фга 4~ У 7p.pi Фтр )	0.	(11.95)

7=0	а—О	р =0	/

Таким образом, рассогласования операторов модели и ос-
новного контура сводятся за конечный промежуток времени к
нулю.

Принципы определения градиента функции качества. В
отличие от поисковых методов определения градиента функции
качества в беспоисковых системах градиент определяют без
введения специальных пробных воздействий. Однако отсутст-
вие поисковых движений приводит к необходимости иметь
большее количество априорных сведений об управляемом объек-
те при создании беспоисковых систем. Чаще всего такими допол-
нительными сведениями может быть информация о зависимости
функционала качества не только от рассогласования между ма-
тематической моделью системы и реальной системой, но и от
настраиваемых параметров контура самонастройки:

J = f (е, х),	(11.96)

где е — рассогласование между моделью и системой, е =
= М — Y\ х — настраиваемые параметры.

Для обеспечения экстремального значения J контур само-
настройки должен перестраивать параметры х в направлении
градиента

дЛдх = (<Э/7<Эе) (де/дх),	(11.97)

где dt/dx = —dY/dx, поскольку математическая модель не
зависит от настраиваемых параметров. Зная компоненты,
можно перестраивать параметры х по закону

dx/dt = — MJ/dx.	(11.98)

Компоненты градиента могут быть определены методом
вспомогательного оператора, суть которого заключается в сле-
дующем. Пусть система состоит из объекта с передаточной
функцией IFo (р, а), где а — переменные параметры объекта, и
регулятора с передаточной функцией Ц7рег (р, х), где х —
настраиваемые параметры. Следовательно, выходная коорди-
ната

Y=W0(p,a) Wpw(p,x)E.	(11.99)

Частная производная dY/dx из (11.97)

dY/dx —W0(p, a) (dWper (р, x)/dx) е+ Wo (р, a) Wper(p, x)de./dx

(11.100)

В то же время из (11.97) dz/dx	—dY/dx, поэтому, исклю-

чая dY/dx, получим

<Эе/дх= — [W0(p, a)dWper(p,x)/dx]e/[\ + W0(p, а) И7рег (р,х)]

(11.101)

Таким образом, можно определить компоненты градиента
функции качества, определяя dz/dx с помощью ошибки е и
вспомогательного оператора 1ГВСП (Р> х> а)> т- е-

de/dx = - И7ВСП (р, х, а) е,	(11.102)

где

Гвсп (Р. х> а) = {^о(Р> а)/[1 + «70 (р, а) Ц7рег (р, х)]} X

X [diaper (Р>
При определении компонент градиента можно использо-
вать методы теории чувствительности. Используя соотношение
дг/дх = —dYldx, обозначим величину dYldx = и, т. е. при
определении компонент градиента необходимо определять и —
функцию чувствительности. Учитывая связь выходной Y (р)
и входной g (р) координат

Y (р) = W (р. а. х) g (р),	(11.103)

где W (р, а, х) — передаточная функция замкнутой системы,
функцию чувствительности можно представить следующим об-
разом:

и = dY(p)/dx = [дЦ7 (/?, а, х)/дх] g (р),	(11.104)

т. е. функцию чувствительности можно получить, пропуская
входную координату g (р) через звенья dW (р, а, х)/дх.

Однако звенья dW (р, а, х)/дх или модели чувствительно-
сти не могут в точности воспроизводить реальные характери-
стики системы (например, из-за переменных параметров а),
поэтому точное получение градиента dY (р)1дх затруднено.
Но в сочетании с другими методами, например эталонной моде-
ли, удается по приближенным функциям чувствительности к
подстраиваемой модели определять достаточно точно градиент
dY (р)/дх.

Принципы идентификации динамических свойств системы
управления. При решении экстремальных задач управления ча-
сто не удается непосредственно выразить желаемый функци-
онал качества через регулируемые и настраиваемые параметры
системы. Однако при этом возможна косвенная оценка функци-
онала качества по отдельным динамическим характеристикам
системы, например по импульсным переходным характеристи-
кам, по частотным характеристикам и т. п. Следовательно,
задача синтеза самонастраивающейся системы в этих случаях
фактически сводится к идентификации требуемых динамиче-
ских характеристик системы.

Рассмотрим принцип построения аналитической самона-
страивающейся системы на основе идентификации ее импульс-
ных переходных функций. Как известно, импульсная пере-
ходная функция достаточно хорошо отражает динамику систе-
мы управления и может быть получена непосредственно по пе-
редаточным функциям системы управления. Предположим, что
известна импульсная переходная характеристика о (t, т)
разомкнутой системы, соответствующая экстремальному зна-
чению функционала качества, которая связана с импульсными
переходными функциями объекта соо (t, т) и регулятора copei. (t,
т) с помощью интегрального уравнения

i

Ы (t, т)га J сорег (к, т) соо (t, к) dk. (11.105)
т

Определяя импульсную переходную функцию объекта кор-
реляционным методом с помощью уравнения

оо

Ryx СО = J Ryv (*. *) «о (Л М dk,	(11.106)

о

где Ryy (к, т) — автокорреляционная функция входа; Rvx (т)
— взаимокорреляционная функция между входом и выходом,
можно из (11.105), (11.106) получить импульсную переходную
функцию регулятора.

Согласно гипотезе квазистационарности, корреляционные
и импульсные переходные функции можно определять неза-
висимо от начала отсчета f в соответствии с условиями

R (f, /ф-т) « R (I’, f 4-т); со (t, / —т) (f, f — т); ] J

R (t, t -|-т) « 0, со (/, t — т) «0 при т тт, j

где Т — период определения функций тт Т.

Тогда интегральные уравнения (11.105), (11.106) упро-
щаются:
оо	Л

со' (т) = С со'ег (т —к) со'о (к) dk,
о

оо

R‘iX ~.[ (т - “о dK	(11.108)

о

где со' (/, т), сорег (/, т), со'о (С т)’ Rtyx т)’ Rtuy т) опреде-
ляют в интервале (t, t — То) независимо от начала отсчета
f, где t — T0<Z t’ < t.

Таким образом, сначала необходимо определить корреля-
ционные функции. Это можно сделать с помощью дискретного
коррелографа:

Rvv (p)=(1/n>Xyvyv+»1’	Xyvxv+ll,

i	i

(11.109)

где yv, p — ординаты функций: xv — сдвиг во времени.
Выбор п, |.i и интервала между значениями yv, xv опреде-
ляется с заданной точностью. Затем вычисляют спектральные
плотности:

ОО	СО

Svy (ет) = I Ryv (т) cos сотйт; S’JX (®) = J Ryx СО COS сотсД,
---------- ОО	— ОО

(11.110)

где S!/x (со) — действительная часть взаимно корреляционной
функции.

Или в соответствии с приближенными формулами

Svv (w) — У Ry.j (ц) cos сор, Syx (со) = у Ryx (u) cos сор.
— п	—п

(11.111)

Зная спектральные плотности Suv (со) и S,JX. (со), можно
определить вещественную частотную характеристику:

Р(со) = 5узс(«)/5р1/(со),	(11.112)

а затем и импульсную переходную функцию:

<о0 (() — (2/л) у Р (со) cos /со.	(11.113)

о

Некоторые методы позволяют, не определяя импульсной
переходной функции, поддерживать ее на заданном уровне за
счет других параметров, влияющих на вид импульсной пере-
ходной функции. Пусть основной контур системы описывает-
ся дифференциальным уравнением

d2 y,‘dt2 + 2£соо (dy/dt) + cog у = соо х (t),	(11.114)

где у — выходная координата; х — входная координата;
соо — частота собственных колебаний; £ — коэффициент отно-
сительного демпфирования колебаний.

Для постоянных значений £ и соо можно получить выраже-
ние для импульсной переходной функции

k (t) = (<% VЬ=Т2) е-sin (Кr=F) с>0 t.	(11.115)

При постоянной частоте ю0 и при медленных изменениях
коэффициента демпфирования £ можно считать, что за время
проводимых измерений эти параметры не изменяются, поэто-
му, измеряя коэффициент демпфирования £ и поддерживая его
на определенном уровне, можно обеспечить постоянство им-
пульсной переходной функции k (t). Имеется ряд способов из-
мерения При непосредственном измерении по уравнению
(11.114) без правой части

£ = —(d2y/d/2 + co§ у)/2ы0 dy Idt	(11.116)

возникает необходимость в получении информации о второй
производной d’-yldt'. Если возможность получения информации
о второй производной отсутствует, то можно воспользоваться
способом амплитудного сравнения, т. е.

Л1=ае-‘"е/(2'1/ГГ?);	.	(11.117)

А+2== ае-(Н-п^/(2	(11.118)

Тогда разность значений амплитуд зависит от исходного
коэффициента ?,0 и текущего коэффициента |j, т. е.

Ад, ^ae-‘^/<2l/7Ti7>(l-g(,e-"6/l/i_^?). (Ц.Ц9)

В линейных системах частотные передаточные функции так-
же достаточно полно характеризуют динамические свойства
системы управления, поэтому идентификация и последующая
стабилизация амплитудной и фазочастотной характеристик мо-
гут служить эффективным способом адаптации свойств само-
настраивающейся системы в процессе ее функционирования.

Общий принцип определения одного или нескольких зна-
чений частотных характеристик заключается в подаче на вход
системы гармонического сигнала заданной частоты и амплитуды:

х, — At sin coif, i = 1, 2, ..., n.	(11.120)

Выходной сигнал пропускают через фильтры, настроенные
на заданную частоту. В результате можно получить значения
амплитудной В (со,) и фазовой <р («,) частотных характеристик,
а также вещественной Р (<о;) и мнимой Q (<о,) характеристик:

W (w) =Р (<of)-H2 =в (<of) е/Ф(Ч (11.121)

Амплитудно-частотная характеристика В (ьц) получает-
ся простым сравнением амплитуд входных гармоник и гармоник
на выходе фильтра. Труднее определять фазочастотную харак-
теристику.
Один из способов определения заключается в подаче гар-
монических сигналов Xi = XfSin at (на систему) и ха,- =
= Ai cos ait (на эталонный фильтр). Выходные сигналы си-
стемы yt и эталонного фильтра уа1 после перемножения дают

У, Уы — At В (со,-) sin (и, t + <р) Ai Ва (со,) cos (wf t + фв1) ==

= 0,5Д? В (сог) В& (Wj) [sin (<рг — фэ/) + sin (2ю,-/ + ф, + фэ,-)].

(11.122)

Разность фаз системы и эталонного фильтра на частоте <ог
определяют по постоянной составляющей (11.122).

Если на систему и эталонный фильтр подается один и тот
же сигнал х; = At sin со,-/, то выходные сигналы системы и
фильтра вычитаются:

Уы —У. = Ai Вэ (сог) sin (<of t + фэ,-) — Ai В (со,-) sin (со; t + <pf) =
= A.B (wi) s>n (wi / + ДФ;),	(11.123)

где Дф; —arctg	sin <pai-В (И,) sin .

В (co,-) cos <pgj— В (co,-) cos <pf

При В (co,) = Вэ (co,-) разность фаз

Аф, = 2 arcsin [АВ (со;)/2Вэ (со;)].	(11.124)

Вещественную и мнимую частотные характеристики можно
определять, перемножая выходной сигнал системы Д,В (со;) X
X sin (сог/ + фг) соответственно на sin со,7 и cos со,-/ и инте-
грируя эти выражения на интервале Т — 2пп/<щ, где п •—
целое число, т. е.

т

Р (at) — [2В (СО|)/Т[ cos ф,- $ sin2 со,- t dt — В (со,-) cos ф,-;
о

т

Q (и,-) =[2В (со,-)/'/’] sin ср,- j cos2 cof t dt = В (co,) sin cpf.
b

(11.125)

Примеры беспоисковых самонастраивающихся систем

Самонастраивающаяся система измерения скорости дви-
жения с коррелятором. Систему используют для измерения
скорости движения листового металла при прокатке. Блок-
схема системы приведена на рис. 11.16. От двух источников
Рис. 11.16

света Л1 и Л2 (рис. 11.16, а) на движущийся металл проеци-
руются световые пятна, которые, отражаясь от неровностей
поверхности металла, попадают на фотоэлементы Фг и Ф2.
После усиления сигналы Д (t) и f2 (t) поступают в коррелятор,
причем сигнал Д (/) пропускают предварительно через уст-
ройство переменной задержки времени т. Задержка т регули-
руется до значения тт, равного времени перемещения полосы
металла на расстояние L между двумя источниками с постоян-
ной скоростью V, т. . е.

хт = L/V.	(11.126)

Именно для такого момента задержки почти полностью сов-
падают искусственно задержанная функция Д (t — т) и функ-
ция Д (/), как естественно отстающая функция Д (/)
(рис. 11.16, б), т. е.

Д (/-хг) « Д (О-

(11.127)
Настройка т на экс-

Основной контур

— L/it,

Рис. 11.17

при изменении скорости

тремальное значение т?
осуществляется по вы-
ходному сигналу корре-
лятора, вырабатываю-
щего взаимно корреля-
ционную функцию R (т),
т. е.

К (х) = (1/Т) f а х

о

х (t —t) fv (0

(11.128)

которая имеет макси-
мум при т = тт (рис.
11.16, в).

Зная величину -сТ,

легко определить ско-
рость прокатки V —
прокатки система автомати-

чески перестраивается на новое значение хт.

Самонастраивающаяся система с моделью. Структурная
схема системы с моделью представлена на рис. 11.17. Синтез
системы проведен прямым методом Ляпунова. Объект в основ-
ном контуре имеет переменный параметр

a (t) = Со + Да (/),

(11.129)

где ао = const.

Задача контура самонастройки заключается в том, чтобы
за счет перестройки коэффициента k0 в обратной связи основ-
ного контура обеспечить минимум рассогласования е между
выходом объекта у (/) и выходом модели при изменениях пара-
метра а (/), т. е.

е = У(0 —Ум-	(11.130)

Модель имеет передаточную функцию

Гм (Р) = 1/(р + Ь),	(11.131)

где b — а°о + feo! величина kg получена из k0 (е) = ko +
+ Дй (0-
Исходные уравнения с учетом введенных обозначений:
уравнение основного контура

!/+[6 + Д<20	(t)]y=g(J);	(11.132)

уравнение модели

Ум + Ьум. — g (/)•	(11.133)

Учитывая (11.130), получим

e + fee=—zy,	(11.34)

где z = Да0 (t) + Д/г (t).

При z = 0 и b > 0 рассогласование е асимптотически схо-
дится к нулю.

Выбирая устройство перестройки коэффициента k0 (е) в ви-
де интегрирующего звена, можно записать

dbkttydt =	(11.135)

где ф (t) — искомый закон управления в контуре самонастрой-
ки.

Далее из (11.134) и (11.135) имеем систему уравнений

е = —Ье—zy, z = ф (t) ф dfrflo (t)/dt.	(11.136)

Выбрав функцию Ляпунова в виде

v (е, z) = хе2 + z2	(11.137)

и считая dAa0 (f)/dt = 0 (т. е. параметры объекта за время
перестройки /гое не изменяются), находим производную и, т. е.

v == — 2xfee2 — 2xezt/ + 2гф.	(11.138)

Если ф = хег/, то v = •—2 xfee2 является неположитель-
ной функцией при положительно-определенной функции v,
поэтому нулевое решение е = 0, г = 0 устойчиво.

Следовательно, закон изменения коэффициента обратной
связи с основном контуре выбран в следующем виде:

Ме) = £о + дИ0,	(11.139)

где ДД/г (f)/dt — — xez/ (t).

Градиентная самонастраивающаяся система. Контур само-
настройки в градиентной системе (рис. 11.18) обеспечивает
настройку параметров х2, ..., хп параллельного устройства
коррекции из условия минимума квадрата рассогласования
Рис. 11.18

между выходным сигналом модели и выходным сигналом
основного контура у (t), т. е.

J = min е2 = min 1(/м — У (012-	(11.140)

Минимизация осуществляется по методу градиента:

де2/<Эхг — 2вде/дл'г = —'2.£ду1дх1 = — 2е117всп г (р, х) Ум, (11.141)

где WBCn i (р, х) — вспомогательные операторы. Вспомога-
тельные операторы представлены параметрическими переда-
точными функциями

да'всш- (А X) =

_____________~~^'з (Р- х) ^03 (Р>________________ 117 (п\

1 + ^03 (Р) 2 xi Wl (Pl + ^oi (Р) W« (₽> 147«3 (Р)	(Р)

(11.142)
где

№3 (р. х) =

= _____________WOt (Р) W02 (Р) WB3 (Р) 11%4 (р)_________

1 + ^03 (Р) 2 х‘ Wi (Р)+ ^->1 (₽) ^02 (Р) ^03 (Р) ^04 (Р)
i= 1

1=1, 2, ...» п.

Настройка параметров хъ х2,..., хп производится в соот-
ветствии с уравнениями

dxtldt—- — Ki:де2/дхг =Хг eWzBcn/ (р, х) Ум; (11.143)

dxt/dt ж KtEUi.	(11.144)

§ 11.4. Системы с адаптацией в особых
фазовых состояниях

Рассмотренные в предыдущем параграфе адаптивные систе-
мы с контурами самонастройки обладают весьма существенным
недостатком, вызванным наличием в них сложно реализуе-
мых вычислительных блоков для поискового или аналитиче-
ского определения условий экстремума заданного функционала
качества. Часто реализация контура самонастройки приводит
к усложнению конструкции системы управления и к снижению
надежности ее функционирования.

В отдельных случаях удается решить задачу адаптации бо-
лее простыми средствами, используя, например, особенности
нелинейных систем.

В нелинейных системах могут возникать при определенных
условиях особые режимы — автоколебательные или скользя-
щие. Иногда такие режимы бывают вредными или недопусти-
мыми с точки зрения функционирования объекта управления,
тогда приходится принимать специальные меры для ослабления
действия этих режимов. Однако в адаптивных системах факт
возникновения особого режима может быть использован для
получения дополнительной информации об управляемом про-
цессе либо особый режим преднамеренно организуется в систе-
ме, придавая ей новые свойства, в частности свойство адапта-
ции к параметрическим или внешним возмущениям.

Рассмотрим два класса систем с адаптацией за счет особых
режимов: релейные автоколебательные системы и адаптивные
системы с переменной структурой.
Релейные автоколебательные системы управления. В не-
линейной системе, состоящей из релейного элемента и линей-
|ной части с передаточной функцией 1Г0(р) (рис. 11.19), исполь-

|3уя метод гармонической линеаризации, можно определить
зависимость параметров автоколебаний от параметров линей-
ной части. Предположим, что передаточная функция линей-
ной части

го (Р) = k0 (t)/[p (1 + Т1Р) (1 + ТаР)], (11.145)
где Т1г Та — const; k0 (t) — переменный коэффициент усиле-
ния.

Уравнение релейного элемента

F (х) = и0 sign х.	(11.146)

При g (t) — 0 можно записать общее уравнение для опе-
ратора нелинейной системы:

TiT2p3 + (T1 + Ta) p2 + p + k0(t) uosingx=O. (11.147)
Гармоническая линеаризация релейного элемента дает
(Следующую зависимость:

F (х) — 4и0/(ла).	(11.148)

Поэтому (11.147) можно записать так:

Л Т2 р3 + (Л + Та) p3 + p + k0 (t) 4и0/(па) =0. (11.149)

Находя периодическое решение уравнения (11.149) при
условии р = ]'ы, находим амплитуду и частоту автоколебаний:

а = № (0 и0/л] [Л П/(Л + тг)1; со = 1 /Глт;. (11.150)

Отсюда видно, что при параметрическом возмущении в
виде изменения коэффициента усиления объекта/г0 (/) амплиту-
да автоколебаний также будет изменяться. Поддерживая ам-
плитуду автоколебаний на заданном первоначальном уровне,
можно создать систему, адаптирующуюся к указанному пара-
метрическому возмущению. Таким образом, параметры особо-
го режима в нелинейной системе могут быть использованы в

Рис. 11.19
качестве дополнитель-
ной рабочей информации
для обеспечения ста-
бильной работы системы
вблизи экстремального
режима.

На рис. 11.20 при-
ведена структурная схе-
ма адаптивной автоколе-
бательной системы с ре-
гулируемым уровнем
ограничения релейного
элемента. На основании

(11.150) амплитуда авто-	Рис- Ц-20

колебаний может под-

держиваться на постоянном уровне при изменениях k0 (t) за
счет изменения уровня ограничения реле [и0 + Дп0 (/)].
Уравнения системы записываются следующим образом;
уравнение релейного элемента

F [х, Дп0 (/)] = [и0 + Дп0 (<)] sign х (t);	(11.151)

уравнение фильтра, настроенного на частоту автоколебаний а0,

У* = k^py (0;

(11.152)

уравнение двухполупериодного выпрямителя сигнала авто-
колебаний

za = 1УФ|;	(11.153)

уравнение исполнительного устройства для перестройки уров-
ня ограничения релейного элемента

Дп0 (0 = (kJр) Дх,	(11.154)

где Ах == х (а0) — ха;
уравнение основного контура

?! Т2р2 + (Ту + Т2)2p2+p + k0 (0 [u0 + Дп0 (OJsign х (t) = 0.

(11.155)

После гармонической линеаризации (11.155) получим
ТгТ2р5 +(Ty + T2)2p2 + p + k0 (0 4 [По + Дпо (01Ма = 0,
(11.156)
параметры автоколебаний

а = (4Л0/л) 1и0 + Ап0 (01 [Л Тг/(ТХ + Т2)];	(11.157)

со= 1/1<7\7V

Пусть экстремальный режим определяется следующими
значениями:

а — ад; k0 (/) = k0; &и0 (t) = 0; Az = 0,	(11.158)

тогда можно определить значение опорного напряжения
z (а0):

г(ао) = гс = |(/ф| = /гф|у(0|.	(14.159)

Линеаризация (11.159) по постоянной составляющей дает
z (<2о) = 2Афао<оо/л.	(11.160)

Учитывая (11.157) и (11.158), получим

2(«о) =м0(8/гф/г0/я2) [КЛЛ /(7\ 4-Т,)].	(11.161)

Таким образом, при изменении коэффициента k0 (/) будут
изменяться амплитуда автоколебаний и среднее выпрямленное
значение напряжения za. Появляющееся рассогласование
Az = z (а0) — za будет воздействовать на изменение уровня
ограничения релейного элемента Au0 (t) таким образом, что-
бы уменьшалась до нуля величина Az.

В случае необходимости регулирования нескольких пара-
метров автоколебательная система может содержать большее
число нелинейных взаимосвязанных контуров что позволяет
организовать многочастотные автоколебательные режимы.

Адаптивные системы с переменной структурой. В системах
о переменной структурой за счет нелинейного сочетания раз-
личных линейных структур удается организовать специфиче-
ское вырожденное движение —• скользящий режим, или режим
перехода от движения, соответствующего одной линейной
структуре, к движению, соответствующему другой линейной
структуре, с помощью логического переключения связей в
системе в зависимости от ее фазового состояния. Такой переход
осуществляется с высокой частотой, в пределе стремящейся
к бесконечности. После возникновения скользящего режима
движение системы происходит вдоль границы переключения
и становится независимым от параметров управляемого объек-
та. Если параметры объекта изменяются в процессе функцио-
нирования системы, то такие изменения не оказывают влияния
на динамические свойства системы с переменной структурой,
находящейся в скользящем режиме. Следовательно, органи-
зуя в системе с переменной структурой скользящий режим,
удается добиться независимости ее движения от параметриче-
ских возмущений.

Пусть система с переменной структурой описывается диф-
ференциальными уравнениями

'dxt/dt = хг+1, i = l, 2, ..., п—1;

(11.162)

dxjdt = — 2	(0 Xi ~U’

где х, — фазовые координаты; at (t) — переменные параметры
системы; и — управление.

Обычно диапазоны изменения параметров о, (/) бывают из-
вестны:

di mln if) ^5= dt max, t — 1, 2, ..., fl.

(11.163)

Управление выбирают в следующем виде:



(11.164)

где коэффициенты ф; являются разрывными функциями фазо-
вого состояния системы

фг =

af при gxt > 0;

Pi при gxt < 0,

(11.165)

ai> Р/, g= У, сь х(, сп^=1, ct—постоянные величины.

Гиперплоскость g = 0 является поверхностью разрыва ко-
эффициентов фг, т. е. вдоль этой поверхности происходит
движение в скользящем режиме. Так как уравнение движения
по поверхности g = 0 зависит только от постоянных коэффи-
циентов Ci, выбираемых из условия обеспечения требуемого
качества переходных процессов, то движение в скользящем
режиме не зависит от переменных параметров at (f).

Для „обеспечения существования скользящего режима не-
обходимо выбирать значения постоянных коэффициентов at
и р, в соответствии с условием gdg/dt<Z® или
ствами

неравен-

(11.166)

ai > max [с^ —af (0 — cn-i ct + an (0 q];
ai-an

Pi < min [Ci-t —at (0 —cn_t ct + an (0 сг].
al’an

Очевидно, при постоянных значениях at и
(11.166) накладывают ограничения на выбор коэффициентов
поверхности скольжения ct из допустимой области cirnlll <
< Ci < cimax при изменениях параметров at (0 в заданном диа-
пазоне < af (0 ^г'тах-

На рис. 11.21 для двумерного случая штриховкой показана
допустимая область изменения коэффициентов поверхности
скольжения cit полученная из условий обеспечения скользяще-
го режима. Фазовой траектории, охватывающей наибольшую-
площадь, соответствует наиболее быстрый переходный про-
цесс, поэтому стах выбрано из условия (11.166), а ст1п —
из условия максимальной заданной длительности переходно-
го процесса /тах. Если в экстремальном режиме функциони-
рования системы необходимо поддерживать максимальное бы-
стродействие в переходных процессах, то в процессе изменения
параметров объекта at (0 необходимо определять значение
Стах и перестраивать коэффициенты поверхности скольжения
при их несоответствии этому значению. Такая задача может
быть решена адаптивной системой с переменной структурой,
использующей информацию о наличии скользящего режима в
системе.

Принцип действия адаптивной системы с переменной струк-
турой заключается в следующем. В начале переходного про-
цесса в регуляторе
формируется функ-
ция переключения

go = Cmln Xj -)- %2,

(11.167)

где cmJll — определя-
ется либо по макси-
мальной	заданной

длительности пере-
ходного процесса,
либо из условия
(11.166) при мини-
мальных значениях
at (t) из диапазона
dt mln^= di dj max.

На поверхности^
(в данном случае пря-
мая) возникает сколь-
зящий режим при лю-
бых значениях at (t)
из заданного диапазо-
на. Факт возникнове-
ния скользящего ре-
жима регистрируется
индикатором сколь-
зящего режима, выходной сигнал которого скачкообразно
изменяется при уменьшении относительной длительности пре-
бывания системы в состоянии одной из имеющихся структур,
т. е. при повторных изменениях знака функции g0. По сигна-
лу индикатора скользящего режима функция переключения
перестраивается с g0 на g.

gl = (Cmin + Ac) Xi + X2.

(11.168)

В системе вновь возникает скользящий режим, но уже на
линии переключения g± = 0. С помощью индикатора скользя-
щего режима происходит дальнейшее перестроение функции
переключения

gi = (Cmin -4- I Ac) Xi 4- XZ

(11.169)

до тех пор, пока значение коэффициента (ст1п-t-iAc) не превы-
сит значение стах, после чего скользящий режим по условию
(11.166) возникнуть не сможет и перестроение функции пере-
ключения закончится. Движение фазовой точки после того мо-
мента будет происходить ПО близкой К границе £п)ах=стах *1+
4- х2 = 0 фазовой траектории одной из структур без скользя-
щего режима (рис. 11.22). На этом же рисунке видно, что шаг
приращения Ас должен выбираться в зависимости от допусти-
мого значения перерегулирования т) в переходном процессе.

Таким образом, за счет поиска предельного по условию
(11.166) режима работы поддерживается максимальное бы-
стродействие системы управления при изменениях параметров
объекта.

Адаптивная система с переменной структурой, использую-
щая информацию о внутренних координатах, На основании
Рис. 11.23

(11.165) поверхность скольжения £ = 0 формируется из п фа-
зовых координат системы xt, i = 1, 2, ..., п. Поэтому при со-
здании системы с переменной структурой требуется информа-
ция о производных сигнала ошибки х. Количество производ-
ных определяется порядком исходного дифференциального
уравнения. Хорошо известно, что получение точных значений
производных высокого порядка путем многократного диффе-
ренцирования сигнала х является сложной технической зада-
чей. На практике при высокой размерности исходных урав-
нений приходится заменять часть недоступных точному изме-
рению фазовых координат различными внутренними коорди-
натами системы, связанными с фазовыми координатами через
параметры объекта управления или регулятора. При этом уда-
ется получить преимущество в точности воспроизведения зна-
чений координат и снизить влияние помех на систему.

Однако в системах с переменной структурой указанная
замена часто оказывается неэквивалентной. На рис. 11.23
представлена система с переменной структурой. В управляю-
щем устройстве УУ формируется закон управления

п— 1

и= X -*4 = Ч»! -I-Фг х2>

г— 1

где

ф2 =

cq при %!£>(),
Pi при хх£<0,
а2 при x2g>0,
Рг при х2 g < О,

|Ф11

(11.170)

I Фг | sC Аг'>
g — S ctxt =	+ c2x2 + x3 = 0 — поверхность сколь-

»= i

жения, Alt A2, alt 0lt a2, 02 — постоянные величины; сц =
= — 0!, и2 = —02; q, c2 —постоянные коэффициенты.

Для формирования закона управления (11.170) необходимо
продифференцировать сигнал ошибки х± два раза и получить
фазовые координаты х2 и х3, где х2 — dxjdt, х3 — d2xjdt2.
После двукратного дифференцирования сигнала ошибки хг
с помощью реальных дифференциаторов уровень помех на
выходе второго дифференциатора может возрасти до недопу-
стимых значений. В этом случае может оказаться более выгод-
ным использовать вместо координаты х3 внутреннюю коорди-
нату z3, доступную для точного измерения непосредственно с
объекта управления.

Тогда поверхность скольжения будет иметь следующий вид:

g = CjXj Ч- с2х2 Д z3 = 0.	(11.171)

Внутренняя координата z3 связана с координатой ошибки х,
соотношением

г3 = [ 1//г2 (/)/г3 (/)] р [ 1 + T3(0plxv (11.172)

Подставив (11.172) в (11.171), получим

g (/) = CjXi + с2х2 + 11Д2 (/) k3 (/)] р [1 + 7'3 (/) р] Xi =

= Ч (0 -Ч + с2 (0 х2 + х3 = 0,	(11.173)

где Cl (0 = Clk2 (0 k3 (f)/T3 (/); с2 (0 = [(c2k2 (t)k3(t)/T3(t) 4 1].

Таким образом, после замены х2 на г, положение поверх-
ности скольжения в фазовом пространстве определяется в за-
висимости от переменных параметров объекта управления
Аа (О' ^3 (О' ^3 (0- Следовательно, движение в скользящем
режиме, происходящее по указанной поверхности, теперь уже
не будет независимым от параметрических возмущений, по-
скольку сама поверхность скольжения при изменениях ука-
занных параметров будет подвижна. Это приведет к тому, что
качество переходных процессов в системе будет существенно
изменяться при параметрических воздействиях. Например, при
значительных диапазонах изменения параметров k2 (t), k3 (t),
T3 (t) длительность переходных процессов может изменяться
в несколько раз. Если показатели качества должны поддержи-
ваться в жестких пределах независимо от изменяющихся пара--
метров, тогда произвольные смещения поверхности скольже-
ния должны устраняться, т. е. поверхность скольжения долж-
на в процессе изменении возвращаться в исходное состояние.
Однако такой способ адаптации требует дополнительной
информации об изменяющихся параметрах объекта управле-
ния. Обычно возможности для получения такой информации
ограничены. Поэтому возможен другой способ адаптации ха-
рактеристик системы в условиях действия параметрических
возмущений, который базируется на использовании не только
разрывных коэффициентов в функции управления и, но
и разрывных поверхностей скольжения g. В фазовом про-
странстве системы (рис. 11.24) формируются две поверхности
скольжения, так же как и в случае (11.173), т. е. с помощью
внутренней координаты z3:

gi (0 = с,01 (0 хг + с®1 (0 х2 + х3 = 0, 1
g2(0=cJ2(0x1 + C»2(O^ + x3 = O. j

Причем коэффициенты с®2 (0 и с22 (0 подбирают, исходя
из заданных требований к качеству переходных процессов,
но так, чтобы во всем диапазоне изменения параметров объек-
та траектории движения в скользящем режиме по поверхности
были только апериодические, что соответствует сильно демп-
фированному движению. Коэффициенты с®1 (0 и с21 (0 по-
верхности gi — 0, наоборот, подбирают из условия слабо
демпфированных движений по траекториям скольжения на
& = 0.

Адаптивный закон управления позволяет объединить обе
поверхности скольжения в одну, но разрывную поверхность
скольжения, что эквивалентно скачкообразному изменению
положения поверхности скольжения в фазовом пространстве:

и = ФЛ + ф2х2

(11.175)

где

Ct2

02

(а, при х, g(t) >0, . , .	.

01 при х1ёЦ)<0,
пр«*2«(0>0,
при х2 g (f) < 0,
gi (t) при Xi (Dxi -I- x2) > 0,
g2 (0 при Xi (Dxi + x2) < 0;

gi (0 = Cl1 (0 Xi + c®1 (t) x2 + x3 = c°i1 Xi + c®1 x2 + z3 = 0;
g2(0 = c?2 (0 X1 + c22 (0 Xz + x2 = c^2 X1 + c22 x2 4-z3 = 0.
Все коэффициенты ait а2,
Pl, Pi, <Т, СГ, сГ, D
являются постоянными вели-
чинами. Только коэффициен-
ты с?(/),	cV(t),

с§а (/) — переменные в силу
связи внутренней координаты
г3 и х3. D выбирают из усло-
вий перехода изображающей
точки с gt(t) на g2(t). Разрыв
поверхности скольжения g (t)
производится в месте пересе-
чения gi (t) с плоскостью
В — Dxx + х2 = 0. Все по-
стоянные коэффициенты (в
частности, коэффициент D)

выбирают как из условия по-	рис ц 24

падания изображающей точки

из любых начальных положений на обе поверхности сколь-
жения, так и из условий обеспечения скользящих режимов
на каждой поверхности скольжения и g2(t) при всех
изменениях параметров объекта внутри заданного диапазона.
На рис. 11.24 показана фазовая траектория, начинающаяся
в точке М. Изображающая точка, попав на поверхность
скольжения glt далее перемещается по этой поверхности

в скользящем режиме вплоть до плоскости В. В этот мо-

мент происходит разрыв и перемещение поверхности сколь-
|жения [изменение gx (/) на g2 (/)[. В результате этого сколь-
зящий режим прекращается изображающая точка в силу
уравнений одной из структур движется в направлении изме-
ненной поверхности скольжения, попадает на эту поверхность

и заканчивает движение в скользящем режиме уже по поверх-
ности g2. Эффект адаптации здесь проявляется за счет того,
что, хотя обе поверхности скольжения g^ (t) и g2 (t) в резуль-
тате параметрических возмущений смещаются в фазовом про-
.странстве, это практически не сказывается на показателях
|качества переходных процессов, поскольку заключительный
этап движения всегда происходит по сильно демпфированной
траектории скольжения на поверхности g2 (t).

При очень больших диапазонах изменения параметров
объекта разрыв поверхности скольжения g (t) на пересечении
с неподвижной плоскостью В = Dxt + х2 = 0 оказывается
эффективным только для части диапазона изменения парамет-
ров. Этот недостаток устраняется за счет формирования под-
вижной плоскости В (/), обеспечивающей разрыв и переключе-
ние g (i). Такой эффект получается при введении в уравнение
плоскости разрыва В внутренней координаты z2 вместо фазо-
вой координаты х2. Плоскость В, перемещаясь вверх или вниз
однозначно с изменениями параметров объекта, вносит соот-
ветствующее Опережение или запаздывание по моменту разры-
ва плоскости скольжения g (t), тем самым улучшаются усло-
вия для попадания изображающей точки после разрыва с по-
верхности скольжения на поверхность g2. Закон управле-
ния в этом случае приобретает следующий вид:

u = i]\ Xi + ф2 х2;

ф! == I ПРИ g > 0’ । ।

I 0Г при хг g (f) < 0, | ф2 ] < Л2;

ф2 = п₽и х* е (0 > °.

I 02 при х2 g (П < 0;

(Г) = f М при X1 (°1 Х1 +	> °’

I gz (0 при -Ч (Di xi 4 F1 2з) < 0-

(11.176)

Все коэффициенты являются постоянными величинами,
а Si (0 и gz (0 такие же, как и в (11.175).

К преимуществу адаптивных систем с переменной струк-
турой указанных типов следует отнести высокую эффектив-
ность адаптации при простом конструктивном исполнении си-
стемы. Выбор постоянных настроек регулятора и логическая
коррекция структуры в зависимости только от фазового сос-
тояния системы управления существенно упрощают ее синтез.

§ 11.5. Обучающиеся системы

Обучающиеся системы являются наиболее сложным и пока
мало изученным классом адаптивных систем. Такие системы
создаются на основе принципа обучения, заключающегося в
постепенном накоплении опыта формирования поведения си-
стемы при высокой степени неопределенности ее исходных со-
стояний, по результатам которого происходит улучшение
функционирования системы. Характер накопления опыта при
обучении весьма многообразен, например опыт может быть
накоплен положительный или отрицательный, систематизи-
рованный или случайный, собственный или привнесенный из-
вне, имитационный (искусственный) или естественный и т. д.
Однако у всех способов накопления опыта есть достаточно об-
щая черта — постепенное выделение «области знаний» из всей
совокупности «незнания». Поэтому в теории обучающихся си-
стем эта особенность нашла отражение в достаточно быстро
развивающемся направлении, связанном с созданием автома-
тических систем классификации или распознаванием образов.
Под классификацией или распознаванием образов здесь по-
нимается установление по результатам накопленного опыта
границ между определенными классами сложных ситуаций.
Задачи распознавания и классификации встречаются часто
не только в технических приложениях, но и в таких областях,
как медицинская диагностика, геологическая разведка место-
рождений, прогнозирование погоды и т. д.

Задача автоматического обучения классификации форму-
лируется следующим образом. Каждой возможной ситуации
из множества рассматриваемых ставится в соответствие точ-
ка некоторого пространства х. Заранее известно, что в прост-
ранстве х необходимо выделить две или большее число обла-
стей или классов ситуаций. Расположение границ между об-
ластями неизвестно и нет определенных правил, по которым
можно определить принадлежность той или иной точки любой
из заданных областей. Цель обучения заключается в построе-
нии поверхности, разделяющей предъявляемые точки из ука-
занного множества на заданное число классов. Принципиаль-
но существует два подхода к обучению такому разделению.
В первом случае, при обучении с поощрением, классифицирую-
щему автомату предъявляют ряд случайных точек из множест-
ва в пространстве х и сообщают информацию о принадлежно-
сти этих точек определенным классам. После определенного
цикла обучения на таких примерах автомат строит разделяю-
щую поверхность и может в дальнейшем отличать принадлеж-
ность разным классам не только предъявленных ему то-
чек-примеров, но и любых других точек в пространстве х.

В случае обучения без поощрения информация о принадлеж-
ности точек разделяемым классам отсутствует. Здесь авто-
мат по наблюдению предъявляемых точек определяет факт
компактного расположения нескольких из них и затем стро-
ит разделяющие поверхности на основе выбранной меры бли
зости компактных групп точек к разделяющей поверхности
Объективная сложность обучения как с поощрением, так
и без поощрения заключается в том, что не всегда классы из
близко расположенных друг к другу точек строго отделимы,
т. е. возможны пересечения классов, когда одни и те же точки
принадлежат разным классам.

На рис. 11.25 показаны различные классы множества то-
чек (отмеченные в одном случае X и в другом 0). В первом
случае (рис. 11.25, а) классы просто могут быть разделены
прямой линией (показана пунктиром); в другом случае
(рис. 11.25, б) классы можно разделить достаточно сложной
кривой; в третьем случае (рис. 11.25, в) невозможно разделение
классов какой-либо одной прямой или кривой линией.

Для хорошо разделимых классов используют достаточно
простые алгоритмы автоматической классификации, основан-
ные на аппроксимации разделяющих поверхностей отдельными
участками гиперплоскостей. Для менее разделимых классов
приходится использовать вероятностные методы, основанные
на определении, вероятностных характеристик принадлежности
точек пересекающимся классам.

Метод секущих плоскостей. Пусть требуется разделить
три фигуры, состоящие из набора точек. В автомат вначале
вводят значения двух точек 1 и 2 (рис. 11.26, а). Автомат запо-
минает их и строит произвольную плоскость, разделяющую
эти точки, причем точка. 2, лежащая выше плоскости I, отно-
сится к классу В. После предъявления точки 3 эта точка ока-
зывается выше плоскости I и, следовательно, должна быть
отнесена к классу В, однако известно, что эта точка из клас-
са А. Это противоречие между точками 2 и 3 разрешается по-
строением новой плоскости II. При появлении следующих то-
чек 4 и 5 противоречий не возникает и автомат не проводит
новых плоскостей. При появлении точки 6 (рис. 11.26, б) воз-
никает противоречие между этой точкой, принадлежащей

Рис. П.25
Рис. 11.26

классу В, и точками 4 и 5. Тогда сначала строят плоскость
III, разделяющую точки 1 и 6, а затем плоскость IV, разделяю-
щую точки 5 и 6. Постепенно области, где точки противоре-
чат разделению, сужаются и вероятность возникновения про-
тиворечий уменьшается. После определенного цикла обуче-
ния построению разделяющих поверхностей можно и запом-
ненных поверхностей отбросить лишние участки и получить
разделяющую поверхность, состоящую и нескольких гипер-
плоскостей. В дальнейшем обучение заканчивается и все по-
следующие точки будут отнесены к соответствующим фигурам
или близким к ним областям.

Метод потенциальных функций. Обычно без нарушения
общности задача обучения классификации рассматривается
как задача разделения на два класса: Q и R. В детерминиро-
ванной постановке оба класса не пересекаются друг с другом
и могут быть четко отделены один от другого.

Метод потенциальных функций позволяет за конечное
число показов входных сигналов из обучающей последова-
тельности построить разделяющую функцию Ф(х), принимаю-
щую положительные значения в точках, соответствующих
классу Q, и отрицательные значения в точках, соответствую-
щих ,'классу R. При построении в режиме обучения с поощре-
нием используется информация о знаке разделяющей функции,
т. е. восстанавливается функция Ф(х) по нерегулярно появляю-
щимся отдельным ее точкам. После построения разделяющей
функции, т. е. по окончании процесса обучения, любая вход-
ная ситуация, принадлежащая классам Q или R и появляю-
щаяся на входе автомата, правильно опознается автоматом.
Функция Ф(х) в -(У-мерном пространстве признаков долж-
на быть ограничена и представима линейной комбинацией ог-
раниченных на X функций

со

Ф(х)= £ с/Ф/(х),	(11.177)

/= 1

где ct — неизвестные коэффициенты, обеспечивающие «доста-
точную гладкость» Ф(х); Ф; (х) — система функций разложе-
ния.

Причем должно соблюдаться условие

S (С,/М2<«’.	(11.178)

<= 1

где X, — последовательность положительных чисел, для кото-
рой

оо

2 Х?<оо.

z= 1

Каждой входной ситуации {(х)1, (х)2, .... (х)м) в пространст-
ве х ставится в соответствие потенциальная функция двух пе-
ременных:

оо

К|(х), (х)*|== £ X? Ф;(х)Ф(х)*.	(11.179)

<= 1

Ввиду ограниченности линейно независимой системы функ-
ций <р, (х) функция К Кх), (х)*1 ограничена по модулю при
(х) G QUR-

При появлении точек из обучающей последовательности
xlt х2, .... х,. строится потенциальная функция д.
точки.

Для первой точки ху

к (г)=-1 К (X, Xi) при Xi С Q;

[ —К (х, xt) при хг£ R.

Для второй точки х2

„ , v v J если х2 С Q и Кг (х2) > 0;
Л2 (х) — Ki (х)

| или х2 С R и Ki (х2) < 0.

При невыполнении (11.180) К2 (х) получается

добавлением со знаком множества Q или R (по принадлежно
сти х2) потенциала К (х,, х2).

каждой

(11.180)

(11.181)

из Ki (х)
На п-м шаге обучения строится потенциальная функция
. Кп(х) = 2 К(х, *s) - 2 К^х’	(И.182)

х'еС	х?ея

где Xs и xq — значения, подстановка которых в предшествую-
щий потенциал приводила к ошибке.

На (п + 1)-м шаге обучения возможны следующие соче-
тания:

1)	xn+i € Q, Кп (*n+i) >	3) xn+i С Q, Кп (хп+1) <; 0; |

2)	-*n+i € R, Кп (xn+i) < 0; 4) хп+1 € R, Кп (хп+1) > 0. J

(11.183)

При совпадении знаков множества Q или R (по принадлеж-
ности Хп+1) И фуНКЦИИ Кп (*п+1)

Кп+1(х' = Кп(х).	(11.184)

При несовпадении знаков необходимо исправление Кп (х):

Kn+i(x) = Кп(х) ± К (х, хп+1),	(11.185)

где К (х, xn+i) имеет знак «+» в (11.183) для п = 3 и знак
«—» в (11.183) для п — 4.

Таким образом, алгоритм построения разделяющей функ-
ции можно записать в следующем виде:

Фп+1 (х) = Ф„ (х) + [sign Ф (х„+1)— sign Ф„ (хп+1)] К (X, хп+1).

(11.186)

Алгоритм (11.186) обеспечивает конечное число исправле-
ний ошибок, если функция Ф(х) строго разделяет множества
Q и R и представима разложением (11.177). Число исправле-
ний в этом случае, не превышает k, т. е.

«g; sup К (х, х*)/ inf |Ф(х)|2.	(11.187)

xeQC/ft	xeQUR

На основании (11.187) следует вывод об уменьшении числа
исправлений k при прочих равных условиях с увеличением
inf |Ф (х) |2, т. е. чем более компактны разделяемые множест-
ва, тем меньше требуется исправлений ошибок для полного
разделения множеств.

Сходимость алгоритма за конечное число итераций с ве-
роятностью, равной единице, доказывается при соблюдении
условий, кроме вышеназванных на статистику предъявления
обучающей последовательности: точки обучающей последо-
вательности появляются независимо; для любого п — к п-
итерации имеется строго положительная вероятность исправ-
ления ошибки, если до п не произошло полного разделения
множеств Q и R функцией Фп (х).

Качество обучения характеризуется той вероятностью
ошибки, которая может быть получена в процессе экзамена
после обучения на обучающей последовательности определен-
ной длины. Поскольку максимальное число исправлений
ошибки, определяемое (11.187), фактически участвует в опре-
делении длины обучающей последовательности, то требуемое
качество может быть получено при использовании последова-
тельности

L0 = kT,	(11.188)

где Т — произвольное число показов, следующих после ис-
правления ошибки и не приводящих к исправлению.

Для заданного качества с вероятностью ошибки р < е,
большей, чем 1 — 6, величина Т оценивается как

Т > (1п 6/Л)/1п (1 — е), где е > 0, 6 > 0.	(11.189)

Если учитывать число всех предшествующих исправлений
ошибок, то доверительная длина обучающей последователь-
ности будет

*

2 Lt^kz + k(k+\)/2,	(11.190)

<= 1

где z — То — S, То — общее число показов; S — число пред-
шествующих исправлений ошибок.

Вероятность ошибки р < е превысит 1—6, если выбрать

z>lne6/ln(l —е), где е > 0, 6 > 0.	(11.191)

Вероятностные алгоритмы обучения. Трудноразделимые
классы ситуаций требуют применения при автоматической
классификации и распознавании образов вероятностных мето-
дов. При этом существенное значение приобретают априорные
сведения о вероятностных характеристиках принадлежности
объектов к тем или иным классам. Если априорные сведения
достаточно полны, тогда можно использовать классический
байесовский подход теории статистических решений, основан-
ный на минимизации функции среднего риска R'.

м м

2 \FkmPhP^)dx, (11.192)

й = 1 щ=\ х
тп
где х — предъявляемые для классификации ситуации; X —
пространство ситуаций с классами Xh, Хт, ph (х) — услов-
ная плотность распределения ситуаций класса Хк; Рк —
априорная вероятность ситуаций в X,t; Fhm — функция по-
терь, характеризующая ошибочность отнесения ситуации клас-
са Xh к классу k, т = 1, 2......М — число не известных

заранее классов, причем функция потерь F hm в классиче-
ском подходе выбирается либо постоянной, либо ее можно
представить в виде

Fftm(x,7),	(11.193)

где с — фиксированный вектор параметров.

Границы между классами Xh и Хт определяются с помо-
щью характеристических функций типа

= Р г,ри	(11.194)

I 0 при х^Хт,

также зависящих от вектора параметров с.

Подставляя (11.193) и (11,194) в (11.192), имеем пара-
метрическую форму записи функции среднего риска R (с):

Я(с)=5 У f c)Fhm (х, c)Phph(x)dx. (11.195)
k=1m=1%

Учитывая, что в (11.195) средний риск R (с) зависит толь-
ко от вектора параметров с, можно получить необходимые ус-
ловия минимума среднего риска за счет приравнивания гради-
ента R (с) по с нулю:

.Л Л/ Л/	.—у	_

V->K('c)« 2 S f Qm(x, C)b~F„m(x, c)PllPh(x)dx +-
k=Im=Ix

MM	*

+ S S fA7 0m(x, C)f„m(x. cjPltPk(x)dx. (11.196)
1 m= 1

Второе слагаемое в (11 196) определяет чувствительность
характеристических функций 6т (х, с) и, по существу, гра-
ничную или разделяющую любые классы Xt и Х'„, функцию
м	__>

с)= 2	c)~Fkm(x, c)]Phph (х)=0, (11.197)

I
по знаку которой можно определить принадлежность ситуа-
ций х к классу Xt или Хт (соответственно при flm (х, с) < О
или ftm (х, с) > 0)

Результатом решения уравнения (11.196) является экстре-
мальное значение вектора параметров с. Как правило, решение
такого нелинейного уравнения в общем виде затруднено,
поэтому экстремальное значение вектора с определяется с
помощью итеративных процедур в виде разностных уравнений,
связывающих предшествующие и последующие дискретные
значения с:

с [л] = с In — 1] — Г(л) \/R (с [Л—11),	(11.198)

или в виде дифференциальных уравнений в случае непрерыв-
ных с(1)

dc(t)/dt = —Г(/) \R	(11.199)

где Г[л] и Г(/) — квадратные матрицы, определяющие шаг
итерации и сходимость значений вектора с к с*.

В случае разделения пространства ситуаций X только на
два класса Хг и Х2 средний риск R (с) равен

/?(с) —J с) P1p1(x)dx + ^ F21(x, с) P2p2(x)dx +
х,	х,

+ j ^12 (х, с) Pr Pi (х) dx + J F22(x, с) Р2р2(х) dx.	(11.200)

х.	х2

Необходимые условия минимума среднего риска

\'uR(c)^0.	(11.201)

Отсюда разделяющая функция /, 2 (х, с) получает следующий
вид:

/1.2 (х, с) = [/7и (х, с)— К12(х, с)] Pi Pi (х) -|-

+ 1 F2l (х, с) — F22 (х, с)] Р2 р2 (х) =0;	(11.202)

правило решения об отнесении ситуаций к классам выглядит
так:

если /1,2 (х, с)<0, то х относится к классу Х1(

если /12 (х, с) > 0, то х относится к классу Х2.
В классическом подходе используются постоянные функ-
ции потерь Лц, /•’ij, F21, F 22 в виде

Fi2 (х, с) = Л12 > 0; F п (х, с) =	< 0;	(] 1

F2i (*, с) = Л21 > 0; F22 (х, с) 0,
поэтому разделяющую функцию fi2 (*• с) можно записать ина-
че:

Лг (х, с) = (Лн — Л12) РI /ij (х) + (Л21 Л22) Р2 р2 (х) = 0 (11.205)
или

Л (х) . =	,	(11.206)

Р‘2 (*)	М12-‘^11)^1

где Pl (х)/р2 (х)—отношение правдоподобия I (х),	—^—^п2

— фиксированный порог Н. Следовательно, правило класси-
фикации (11.203) можно теперь представить таким образом:

если / (х) > Л, то х g X,; I	(||.207)

если I (х) < ft, то х С Хг. J

Отсюда классическое байесовское правило классификации
заключается в вычислении отношения правдоподобия I (х)
и сравнении его с фиксированным порогом h, который зависит
от выбранного правила оценки априорных вероятностей Рг
и Р2. Нетрудно видеть, что отсутствие априорной информации
о значениях Рг и Р2 или информации об отношении правдо-
подобия лишает возможности использовать классический под-
ход в задачах классификации и распознавания образов. В слу-
чае такой неопределенности эффективным средством решения
задач оказывается применение методов обучения. При этом с
помощью методов обучения удается либо аппроксимировать
неизвестную заранее разделяющую функцию и затем адаптив-
но отслеживать ее отклонения от действительной разделяющей
функции, либо восстановить из опыта не известную заранее
совместную плотность распределения ситуаций по классам.

Несмотря на то что включение обучения в классическую
байесовскую процедуру классификации замедляет работу си-
стемы, применение обучения оправдывается снижением тре-
бований к объему априорной информации в задаче.

Наиболее общие алгоритмы обучения классификации в
вероятностной постановке разработаны Я. 3. Цыпкиным [7]
как для обучения с поощрением, так и для самообучения.
Обучение с поощрением. Пусть разделяющая функция
имеет вид

7= На с).	(11.208)

На этапах обучения сообщается информация о принадлежно-
сти ситуаций х к классам X® и Х§:

Г — 1; если х принадлежит классу X®;

(4-1, если х принадлежит классу X®.
Поощрение правильного распознавания или его ошибочность
определяются в соответствии с неравенствами

у у > 0 — правильное распознавание;

уу< 0—неправильное распознавание

и функцией штрафа в виде выпуклой функции разности у и у

Е(у-Ъ-	(11.209)

Учитывая то, что точная разделяющая функция у неизвестна,
ее аппроксимируют комбинацией линейно независимых функ-
ций <pv (х), v — 1, 2... N,

у ~ f (х, с) = с7'ф(х) = 2 cv4>v(x),	(11.210)

V — 1

тогда функция штрафа F (у — у) принимает вид

^(f/-?) = /7(i/-cr<p(x)).	(11-211)

Подставив ее в выражение среднего риска R из (11.200), по-
лучим

R = J F (у —- ст <р (х)) Р (x)dx,	(11.212)

где Р (х) = PiPi (х) + РгРг (х) — совместная плотносты рас-
пределения

В соответствии с условиями среднего риска

McR = j Vc F (у— ст ф (х)) р (х) dx =

X

= f (— F' (y—cTq> (x)) <p(x))p(x)dx (11.213)
x
определяются итеративные алгоритмы обучения в дискретном
виде

с [nl ==• с [и — 1] + Г[п] F' (у [п] — ст [п — 11 ф (х [п])) х
Х<р(х[и])	(11.214)

и в непрерывном виде

de (t)!dt — Г(/) F’ {у (0 — ст (0 ф [х (/)]} ф (х (0]. (11.215)

Если вместо функции штрафа (11.211) взять выпуклую
функцию J (с) в виде среднеквадратической ошибки аппрок-
симации разделяющей функции с .помощью у — ст ф (х), т. е.

J (с) — J lfiz(x)--cr <p(x)]2dx,	(11.216)

х

то минимизацию J (с) можно осуществить в соответствии
с условием

VJ(c)= —2 J [/12(х) — сгф(х)]ф(х)г/х=0 (11.217)
X

или

с J ф (х) фг (х) dx — J /12 (х) ф (х) dx — 0.	(11.218)

х	х

Обозначив Н = J ф (х) фг (х) dx,
получим

Нс — j /12 (х) ф (х) dx = 0.	(11.219)

X

Учитывая, что /12 (х, с) = /12 (х) = (<0ц — <о12) Ptpr (х) +
4- (w21 — <о22) Ргр2 (х), получим

Нс — J l(0)u — <о12) Рг Pi (х) -I- (<О21 — (О22) X

X

X Р2 Pz (х)] ф (х) dx = 0,	(11.220)

откуда можно получить дискретные алгоритмы:

с [п] == с [п — 11 — Г[п] \Нс [п — 1] — (<ои — ю12) <р (х X

X [п])1,

если х — из класса

с[п]=с[и —1]—Г[и] [Н с [п — Ц — (<021—0)22)ф(х[П1)],

(11.221)

если х — из класса Х2.
Таким образом, неизвестная разделяющая функция у =
= f (х, с) адаптивно восстанавливается в результате обучения
с помощью аппроксимирующей ее функции у = ст (х).

Самообучение. В отличие от обучения с поощрением само-
обучение происходит только по предъявляемым ситуациям,
без дополнительной информации о принадлежности ситуации
к определенному классу. Теперь система должна автоматиче-
ски определить не только принадлежность ситуации к клас-
сам, но и количество классов, которое, очевидно, не должно
быть равно числу предъявляемых ситуаций, а меньше его.

Информация о количестве классов может быть получена
из выражения совместной плотности распределения

м

р(х)- % Phph(x),	(11.222)

Л= 1

входящей в формулу среднего риска

R = f Fk (* с} Р W dx'	(11.223)

Л = 1 у
Kk

где Fh (х, с) — функция потерь; с — не известный заранее
составной вектор параметров. По числу максимумов М сов-
местной плотности распределения р (х) определяется число
классов, поэтому при самообучении задача заключается в вос-
становлении совместной плотности распределения р (х) пу-
тем ее аппроксимации в виде

р (х) =» ат <р (х),	(11.224)

где <р (х) — выбранная вектор-функция с ортонормированны-
ми компонентами; ат = (alt .... aw) — неизвестные коэффи-
циенты.

В результате минимизации функционала

J (с) = J [р (х) — ат <р (х)]Мх

(11.225)

получаем в дискретном виде алгоритм определения ат:

а]п] =а]п —11------— (a [n— 1] — <р (х [n])}.	(11.226)

п
Далее, минимизируя средний риск (11.223), можно получить
разделяющие функции fkjn. Например, для случая двух мак-
симумов М = 2 (или классов) средний риск

R = j У7! (х, с) р (х) dx 4- J F2 (х, с) р (х) dx.	(11.227)

X,	х2

Условия минимума R:

min {©j(х,c)McF1 (х,с) + ©2(х>с)VcF2(х,с)} = 0, (11.228)

где в, (х, 7) -11 пр" Х 6 х'; в, (х, 5 1° ПРВ х € А,;

|0прих€Х2;	|1прих€Х2.

Разделяющая функция f12 имеет вид

/и (х, с) = Fi (х, с)—F2 (х, с) = 0.

Отсюда дискретные алгоритмы самообучения

c[n] = c[n— 1]— ГДп] уГл(х[п]. с[п — 1]),	(11.229)

—>	—>

если /12(х[п),с[п —1])= Fi(x[n], с[и — 1]) —

—К2(х [nJ, с[п~1])<0,.

и

c[nj = c[n — 1]—Г2[и]VcF2(x[и], с[п—1]), (11.230)
если /12 (х [п], с [п— 1 ]) > 0,

где Г\ и Г 2 — матрицы коэффициентов, определяющие схо-
димость вектора с к оптимуму.

Персептронная модель автоматической классификации.
Впервые принципы автоматической классификации были реа-
лизованы американским ученым Ф. Розенблатом в автомате,
названном им «персептроном» (от слова «perception» — вос-
приятие).

Рассмотрим принцип действия автомата на примере пер-
септрона МАРК-1 (рис. 11.27). В качестве воспринимающего
устройства в персептроне использовано поле рецепторов в ви-
де фотоэлектрического устройства, состоящего из нескольких
сотен фотоэлементов. Каждый фотоэлемент может находить-
ся в одном из двух состояний: О и 1. Выходные сигналы фото-
элементов поступают на входы «ассоциативных элементов» А,
число которых сравнимо с числом фотоэлементов. Каждый А-
элемент имеет несколько входов и один выход. Входы Л-эле-
ментов соединяются с выходами фотоэлементов случайным обра-
зом и со случайными знаками. В процессе обучения случайные
связи сохраняются неизменными. A-элементы осуществляют
алгебраическое суммирование поданных на их входы сигналов
с фотоэлементов и сравнивают получаемую сумму с постоян-
ным числом Q в соответствии с алгоритмом

7 я	\

1	при ( у rtJxt— Q ^0;

\ £ — I	/

/ п	\

0 при I v г и Xt—Q <0,
\г= i	/

(11.231)

где

4-1 при подключении /A-элемента со
знаком « + »;

— 1 при подключении /A-элемента со
знаком «—»;

0 при неподключенном /А-элементе.

Рис. 11.27
Рис. 11.28

Выходные сигналы Л-элементов после перемножения на
независимые переменные коэффициенты X, складываются
(рис. 11.28)

(11.232)
!= 1

и поступают на вход реагирующего элемента R, который мо-
жет находиться в одном из двух состояний: или 0, или 1 в
зависимости от положительности суммы (11.232), т. е.

/?==

m

1 при 2
/= 1

m

О при 2 М/<°-
/=1

(11.233)

В процессе обучения персептрон должен выдавать выход-
ной сигнал 0 при предъявлении объектов класса А и выдавать
сигнал 1 при предъявлении объектов класса В. Обучение за-
ключается в том, что коэффициенты Х7- при каждом показе
объектов класса А и получении на выходе Л-элементов сигна-
лов 1 увеличиваются на некоторую величину, а при отказе
объектов класса В уменьшаются на эту величину. Постепенно
правильность ответов на предъявляемые объекты увеличива-
ется, так как повышается сумма (11.232) при правильной
классификации. По окончании обучения на последовательно-
сти объектов конечной длины автомат распознает с определен-
ной точностью объекты классов Л и В, если они и не предъяв-
лялись ему на этапе обучения. Схема обучения представлена
на рис. 11.28. Решающее правило выглядит следующим обра-
зом:

R—f (х, X*) = 2 siSn I Ё r4xi — $ I 	1 -234)

/ = 1	\i=l	/
Значения коэффициентов X,- изменяются в соответствии с
правилом обучения:

[п] = Х; Гп — 1] + vj [п] |R° [n] —sign	Ч In — 1] sign х

I /= 1

X ( 2 га Х1- *2 В sien I s raxi м — б). (11-235)

\ i= 1	/J u — 1	J

§ 11.6. Адаптивные робототехнические системы

При решении задач комплексной автоматизации производ-
ства большое значение придается робототехнике как эффектив-
ному и достаточно универсальному средству замены наиболее
трудоемких, вредных или опасных для здоровья людей форм
ручного труда, одновременно резко повышающему производи-
тельность труда, ритмичность производства и значительно
улучшающему качество продукции. Наукой и промышленно-
стью созданы самые разнообразные робототехнические систе-
мы — от простейших манипуляторов-автоматов До сложней-
ших кибернетических машин, подобных, например, луноходам,
в которых технически реализован целый ряд функций, свойст-
венных интеллектуальной деятельности человека, — анализ
внешнего мира, планирование действий, принятие решений
и т. п.

Роботы в зависимости от сложности их систем управления
делятся на три поколения.

Первое поколение — роботы с программным уп-
равлением. При этом под программным управлением понима-
ется жестко запрограммированная последовательность выпол-
няемых операций. Такие роботы могут действовать лишь в хо-
рошо организованной внешней среде.

Второе поколение — роботы, снабженные тех-
ническими органами чувств, или очувствленные роботы. Роль
органов чувств выполняют разнообразные датчики — тактиль-
ные, силовые, визуальные, локационные и пр. Такие роботы
могут работать как по заранее заданной программе, так и в
зависимости от корректирующих команд, поступающих с ин-
формационных датчиков очувствления и сигнализирующих об
изменениях состояний внешней среды или внутренних состоя-
ний самого робота. Главная особенность очувствленных робо-
тов — способность к адаптации и обучению в процессе функ-
ционирования, а следовательно, возможность работы в недо-
статочно упорядоченной, частично изменяющейся среде.

Третье поколе.ние — роботы с техническим или
искусственным интеллектом. Такие роботы являются даль-
нейшим развитием очувствленных адаптивных роботов. Они
обладают развитыми средствами анализа окружающего мира
и планирования своего поведения, что позволяет использовать
их для работы в условиях значительной неопределенности и
случайной организованности внешней среды.

Следует отметить, что к настоящему времени промышлен-
ностью хорошо освоено производство роботов первого поколе-
ния. Однако роботы второго и третьего поколений все еще на-
ходятся в стадии экспериментальных разработок, хотя очувст-
вленные роботы уже пробивают себе дорогу в производствен-
ную практику. Прежде всего это относится к роботам, снаб-
женным техническим зрением — телевизионным или фотооп-
тическим. Как показывает опыт, зрительное очувствление зна-
чительно расширяет возможности робота по точности, гибко-
сти и качеству управления. Устройства силомоментного и так-
тильного ощущения также начинают широко применяться в
робототехнике. Такие системы очувствления, совмещенные с
автоматами обучения и классификации, образуют эффектив-
ные системы адаптивного управления роботами.

Задача построения адаптивного управления роботом вклю-
чает в себя три важных раздела: создание чувствительных ин-
формационных устройств, обработка информации с чувст-
вительных устройств, синтез адаптивных законов управления.

Средства очувствления роботов. Необходимость создания
средств очувствления для роботов можно понять, если пред-
ставить себе, насколько беспомощен человек, лишенный зре-
ния, слуха и способности чувствовать соприкосновения с ок-
ружающими предметами. Точно так же беспомощен и робот,
не снабженный аналогами подобных ощущений в виде техни-
ческого зрения, слуха и т. п. в условиях, когда предметы тру-
да или окружающая обстановка не остаются неизменными или
заранее известными для оператора, программирующего дейст-
вия робота.'-Робот без систем очувствления не может искать
требуемые предметы или детали среди других предметов, та-
кой робот трудно заставить работать с высокой точностью, он
не замечает препятствия и ломает их либо повреждается сам.
Поэтому наделение роботов техническими органами чувств
является естественным и в то же время эффективным средст-
вом для успешного решение двух главных задач—повышения
точности работы манипуляционного робота и. обеспечения ав-
тономности функционирования робота в самых различных из-
меняющихся условиях. Для того чтобы решить эти главные
задачи, необходимо придать роботу ощущения двух, типов:

во-первых, робот должен чувствовать «себя», т. е.. с помо-
щью датчиков фиксировать результаты всех своих движений
и оценивать правильность этих движений; во-вторых, робот
должен чувствовать окружающую обстановку, т. е. соотно-
сить свое расположение и свои перемещения с расположением
внешних для него предметов и их движениями.

Чувствительные датчики информации, используемые для
создания ощущений указанных типов, называются сенсорны-
ми устройствами или просто сенсорами (от англ, sence-—
чувство, ощущение).

Ощущение роботом «себя» создают с помощью сенсоров
в виде датчиков обратной связи, измеряющих положения от-
дельных узлов робота, скорости перемещения по каждой сте-
пени подвижности, величины ускорений либо торможений зве-
ньев манипулятора.

Информация об окружающем пространстве создается с по-
мощью сенсорных устройств, регистрирующих геометриче-
ские, физические или химические свойства окружающей сре-
ды и предметов труда. В настоящее время промышленность вы-
пускает много самых разнообразных типов указанных сенсо-
ров и их совершенствование продолжается. Кроме того, по-
являются новые и более интересные приборы, основанные на
новых принципах и открытиях в области полупроводников, ла-
зерной и ультразвуковой техники.

С позиций адаптивного управления роботами наибольший
интерес представляют сенсоры второго типа, снабжающие рсь
бот информацией от внешнего по отношению к нему мира.

Сенсоры геометрических свойств вы-
полняют целый ряд функций:	-

1.	Ограничивают движения звеньев робота в результате
соприкосновений или контактов робота с предметами во
внешней среде. Сюда относятся так называемые тактильные
датчики в виде концевых выключателей или пьезоэлементов.

2.	Определяют расстояния до окружающих предметов
или размеры и ориентацию предметов путем локационных из-
мерений. К таким сенсорам относятся оптические, ультразву-
ковые и радиотехнические дальномеры, а также системы ка-
бельного телевидения.
Сенсоры физических свойств выполняют
функции: измерения усилий и моментов; измерения плотности
и давления жидких, твердых и газообразных веществ; измере-
ния температуры; определения цвета и запаха.

Сенсоры химических свойств определя-
ют химический состав веществ с помощью анализаторов типо-
вых химических реакций.

Несмотря на столь большое разнообразие сенсорных уст-
ройств, их использование для создания адаптивного управ-
ления роботами оказалось непростым главным образом по двум
причинам: во-первых, из-за сложности технической реализации
адаптивных законов управления средствами традиционной ав-
томатики и, во-вторых, из-за экономически невыгодного пути,
связанного с применением до недавнего времени больших
ЭВМ для обработки информации в системах очувствления,
адаптации и управления роботами

Современные сверхэкономичные и малогабаритные микро-
процессорные средства управляющей и вычислительной техники
открыли путь для более широкого внедрения в практику робо-
тостроения более совершенных методов управления роботами
со сложными, но легко реализуемыми на микропроцессорах
алгоритмами обработки информации и адаптивного управле-
ния.

Методы обработки сенсорной информации для адаптивного
управления роботами. Сами по себе сенсоры еще не решают
задачу создания адаптивного управления, так как на выходе
сенсоров образуются только исходные данные в виде токов,
напряжений, интенсивностей освещения, чисел и т. п. В ре-
зультате обработки этих данных формируется информационный
образ или информационная картина об объектах внешней
среды, по которым уже можно адаптировать движение робота,
поэтому среди многочисленных методов обработки информации
широкое распространение получили методы распознавания
образов.

Распознавание образов — это общее название для процес-
сов обработки сенсорной информации, связанных с определе-
нием чаще всего геометрических форм, места расположения и
ориентаций в пространстве предметов.

Распознавание образов — обязательный элемент для визу-
альных систем очувствления, построенных с применением те-
левизионных или фоточувствительных сенсоров. Адаптивные
роботы с техническим зрением на основе видиконов, линеек
и матриц ПЗС (приборов с зарядовой связью), фотодиодных
элементов начинают широко внедряться в практику, поэтому
подробно рассмотрим методы обработки визуальной сенсорной
информации.

Большинство таких методов имеет универсальный харак-
тер и с незначительной модификацией применимо также для
обработки сенсорной информации иной природы, например
тактильной, звуковой и т. п.

На рис. 11.29 представлена общая схема адаптивного робо-
та с телевизионным визуальным очувствлением. Назначение
робота згжлючается в снятии с движущейся конвейерной
ленты произвольно ориентированной детали путем определе-
ния с помощью телевизионной камеры ее положения, ориен-
тации и скорости движения и формирования с помощью ЭВМ

в зависимости от полученных данных адаптивных сигналов

управления на приводы робота. Заметим, что для решения

задачи необходимо воспринять изображение телекамерой, раз-

ложить полученную сцену на информативные области, дать

описание образа детали, распознать деталь, интерпретировать

Сенсоры

конвейера

Сенсоры _________г_.

и приводы положения и скорости ТВ камера
работе конвейера

Интерфейс внешних, устройств

____У -

Микро -ЭВМ



полученный образ и
передать необходи-
мые команды управ-
ления на робот для
захвата детали.

Таким образом,
процесс адаптивного
визуального управле-
ния включает в себя
несколько этапов
(рис. 11.30): восприя-
ятие изображения
объекта или- сцены;
представление обра-
за; распознавание
образа; интерпрета-
ция сцены; синтез
адаптивного закона
управления.

Восприятие изо-
бражения объекта —
это процесс преобра-
зования оптических
сигналов в аналого-

Рис. 11.29

вые электрические
Аналоговый

Рис. 11.30

сигналы в зависимости от яркости или интенсивности отражаю-
щих поверхностей объекта. Качество восприятия изображения
определяется не только характеристиками визуальных дат-
чиков, но и возможностями для предварительной обработки
оптической информации. Основным способом предварительной
обработки является использование так называемого структу-
рированного освещения сцены. Дело в том, что произвольное
освещение рабочей сцены, как правило, непригодно для полу-
чения изображений с необходимой контрастностью, без блико-
вых отражений, затенений и загораживаний посторонними
объектами. Структурированное освещение дает возможность
минимизировать сложность изображения, но при этом мак-
симизировать объем получаемой от изображения информации,
которая затем передается на дальнейшую обработку.

Подбор методов структурированного освещения осущест-
вляется в зависимости от специфики освещаемых объектов. Для
достаточно регулярных сглаженных объектов применяют
диффузионное освещение (рис. 11.31), т. е. освещение рассеян-
ным светом, но с различных сторон — справа, слева, спереди,
сверху. Совместная обработка теневых линий позволяет полу-
чить необходимую информацию об объекте по изображениям.
Для контурных или силуэтных объектов эффективна задняя
подсветка (рис. 11.32). Для негладких поверхностей полезным
методом оказывается направленное освещение (рис. 11.33), ко-
торое усиливает и подчеркивает характер неровностей. В слу-
чае объектов сложной формы целесообразно применение мо-
дулированного освещения (рис. 11.34) с проекцией на объект све-
товых пятен, полос, сеток и пр.

Таким образом, предварительная обработка оптической
информации с помощью структурированного освещения ос-
нована на управляемом изменений отражающих свойств объек-
та с целью усиления его восприятия системой очувствления.

Представление образа — это следующий этап обработки
визуальной информации, который позволяет преобразовать
изображение в форму, удобную для цифровой обработки, а за-
тем кодировать изображение для дальнейшего распознавания.

Представление образа в свою очередь можно разделить на
два этапа: на первом обработке подвергается аналоговый сиг-
нал, полученный по результатам восприятия изображения;
на втором этапе проводится анализ сигналов, преобразован-
ных в дискретный вид.
Обработку из ражения в аналоговой форме часто также
называют «препроцессингом», поскольку она предваряет даль-
нейшую цифровую обработку. Основой препроцессинга слу-
жит сегментация — процесс декомпозиции изображения на ин-
формативные составляющие. Сегментация, с одной стороны,
как бы «обостряет» зрение визуальной системы и, с другой сто-
роны, позволяет преобразовать в цифровую форму не все по-
де изображения, а только часть его точек. Обычно наиболее
распространенные способы сегментации сводятся к использо-
ванию двух принципов: фиксации разрывов непрерывности и
обнаружению схожести соседствующих точек изображения.

Первый принцип реализуется в методах оконтуривания
или выделения границ. При этом изображение дискретно ска-
нируется специально формируемой маской. По разрывам изо-
бражения под маской вычисляются значения градиента, в ре-
зультате чего от изображения сохраняются только контурные
кривые в местах резких изменений интенсивностей и значений
градиента. Дальнейшая обработка контурных изображений
упрощается ввиду значительного сокращания объема вводи-
мой в ЭВМ информации.

Второй принцип — обнаружение схожести — реализуется
в методах пороговой логики.

Пусть (хг, yt) — координаты точек изображения с интен-
сивностями С (х, у), где i = 1, 2, ..., N; N — общее число
точек.

Пороговое изображение формируется с помощью сегменти-
рованной функции S (х, у) и пороговых значений интенсивно-
сти /l,t:

St(x, y)^k, если Ah^Ct(x, у)< Ак+Ъ

где k — 0, 1, 2, ..., М — 1; М — число порогов яркости.

В случае единственного порога яркости а имеем бинарную
сегментацию

5 (х, у) =

О, если С; (х, у) < а\
1, если С; (х, у) а.

Если пороговое значение Ак является только функцией ин-
тенсивности С (х, у), то такой порог называется глобальным
и используется для сегментации хорошо отделимых от фона
изображений. Глобальным порогом может быть монохромати-
ческая интенсивность (например, изображения силуэтных
объектов, получаемые задней подсветкой). Отличающийся
цвет объекта также является глобальной пороговой характе-
ристикой.

Дальнейшие этапы обработки — распознавание образов,
интерпретация сцены и синтез адаптивного управления —
осуществляются в цифровой форме с помощью вычислитель-
ных устройств или ЭВМ. На этих этапах система, обучается
отнесению объектов к разным классам, строится модель внеш-
ней сцены, координаты полученного образа преобразуются
в команды коррекции исходной программной траектории ро-
бота. Теоретические аспекты распознавания образов и синте-
за адаптивных законов управления подробно рассмотрены в
предыдущих параграфах.

В заключение отметим, что адаптивное управление выпол-
няет значительную роль в создании перспективных поколе-
ний робототехники, базирующихся на современных достиже-
ниях в области искусственного интеллекта.
Теория автоматического управления непрерывно развива-
ется. Разрабатываются новые подходы к решению традицион-
ных задач, создаются новые направления в данной области на-
уки. Если на начальной стадии создания теории автоматиче-
ского управления, в 40—50-х годах нашего века, большее вни-
мание уделялось частотным методам, то в дальнейшем в основ-
ном развивались методы, основанные на пространстве состоя-
ний.

Интенсивное развитие теории автоматического управле-
ния тесно связано с быстрым развитием областей науки- и тех-
ники, в которых находят применение ее методы и принципы,
со все большим распространением и расширением возможно-
стей ЭВМ, с проникновением последних во все области управ-
ленческой деятельности.

В настоящее время уже невозможно в одном учебнике в
полной мере изложить все вопросы теории автоматического
управления. Выбор материала при этом зависит как от на-
значения (программы учебного курса), так и от субъективной
оценки авторами значимости тех или иных вопросов. В пер-
вой части настоящего учебника достаточно полно изложена тео-
рия линейных стационарных систем, большое место отведено
исследованиям линейных стационарных систем с применением
ЭВМ. Вопросы математического описания и исследования ли-
нейных нестационарных систем, затронутые в этой части, рас-
смотрены не столь полно. По этим вопросам имеются моногра-
фии, которыми при необходимости можно воспользоваться.

Из-за ограниченности объема учебника сравнительно сжато
изложены темы отдельных глав второй части. Так, например,
несмотря на значительный объем гл. 10, посвященной теории
оптимальных систем управления, в ней не нашли отражения
численные методы решения задач оптимального управления,
теория идентификации (методы математического описания
систем по измерениям их входных и выходных переменных^,
хотя она важна и сравнительно хорошо развита.

Читателям, которые желают углубить свои знания по тем
или иным вопросам, можно рекомендовать обратиться к спе-
циальной литературе, в частности к той, список которой дан
в настоящем издании.
Таблица стандартных интегралов

J п —

1

2л

(/<>)

F (/и)Г(—/й)

do,

где F(/<a) = «0 (/«)"++(7«)п 1+

(/и)2<п l) +&i (/й)2(п“ 2) + ... + Ьп-1

и все корни F (ja>) расположены в верхней полуплоскости.

При п = 1	.

Л=Е^о/2ао«1-

При п = 2

Л = (—60+ aBbJ а^/Ъа^ау.

При п = 3

Jз “ (—в26о _Ь йв61— «о«1^2^«з)/[2ва. ((o0g3~

—+«2)1-

При п — 4

J _	— «1 «д ~f~ «2 «з) —«о «з	4~ «о «1 ^2 + («о	°д) («о «з «1 «г)

2«о (во al + в| в4 —в! в2 в3)

При п я» 5 J6 = Л46/2в0А6,

Мъ= Ьв (— в0 в4 а5 + в1 п$ + «2 «5 —«2 «з °а) + «о Ь1 (— + вв+вз «д)-+-
+ во 62 (во во-в] в4) + во 63 ( —во в3 + в4 в2 + (во bjво) ( во «1 «5 +

+ во «В +в| а4 —01 а2 в3),

Д6 = вВ в|—2по«1 «4 «5 — Со «2 «3 аъ + во в| o4 + of oi + oj в| вв —

— в1в2в3а4.
Формулы и графики для определения статистических коэффициентов
усиления некоторых типовых нелинейных элементов

№
л/п

Типовой нелинейный элемент

Формулы для статистических
коэффициентов

2

Мйеалъная релейная
характеристика

j в при у>о:
при у<0

Однозначная релейная характе-
ристика с зоной нечувствительности

при у > о;
при у< Ь ;
при у<-Ь

Линейная характеристика

С насыщением

Г В при у>Ъ:

Х = < Ах при iyl«b;

|-б при у<'Ь
№ п/п	Типовой нелинейный элемент	Формулы для статистических коэффициентов
		В Г	. 2	2  Л(1> __£_/] _ko ти +  ' VDv 1	В2  +	— 1)рп(^-^ +  /! — /п.\1	о,  + Ф 	! — -77== х  \ о, / ] у 2л  г	1 ( 1 +т‘ у  X [ (1—»'1)е 2	°’ ' —  -O+^e-vCr-r]}.
»		“'--НО  /1 — т, \ I + Ф \ О1 /.1

Линейна fl характеристика с
зоной нечувствительности

IK (у-b) при У^-Ь;

О при f у 155 Ь;

к(у + Ь)при у<~Ь
№ n/n	Типовой нелинейный элемент	Формулы для статистических коэффициентов
		Г		!_ / 1 +т, \ 2  X L(1 +«,) е 2 ' » ' 4-  	1 p+m. VI]1/»  -f-(l—"ii)e 2 ' 01 ' [j ;  \ °1 /J

5

Линейная характеристика с зоной
нечувствительности и.насыщением

Г В при У>В;

I н (у ~а) при а^у<Ь;

Х-lo при |у| «а.

I К(у+а) при -b<y<-Qi
1-5 при у<~Ь

kn —---—	(1|ОТд)ФХ

«!/(l-V) I

/1 + тЛ

(1 — т, \

----1 ~("h + v) X

°1 /

1 be, I В2

(1 + m,) (1—т,—2v)	<r?

(I—v)2
№
п/п

Типовой нелинейный элемент

Формулы для статистических
коэффициентов

(1 —-mJ (1 + fflj.—2v)—at

“	(l-^v)S	X

x ф _ (^i+vf+o.

Cj	(1—v)2,

\ G1 /	(J—vr

(mr—v\	tn

—Hi-W^x

Г	__1 / 1 +m<A2

2v) e 2'- °* ' +
_____1

+ (1—	— 2v)e 2 ' a‘ ' +

6

Кубическая
характеристика

*»ку*

ko^kDyli+ml/Dy];

k\) = kDy [ 15 + 36/nl/Dj, 4-
+ 9т^/О^]'/г;

k{*>==.MDv[l+rn^Du]
№
п/п

Типовой нелинейный элемент

Формулы для статистических
коэффициентов

тУ

Dy

2kD„

*0 —	~

тУ

2	/2 2

ту	ко ту

।	d —--------

k*D*y

8

Четная квадратичная
характеристика

ipv^kDy (1 ~i~ni.ylDy),
k^^kVo^ X

X (2 + 4/Пр/Ой)'/2 sign ту;
k^^kmy
№
п/п

Типовой нелинейный элемент

Формулы для статистических
коэффициентов

9

Диодная квадратичная
характеристика

ПРи У* О’
1 0 при g ^0

3 IVA

Му (

^) = /(Ур9 X

1 + 2Ф

2 е
vDy У2п

ю

Нелинейная характеристика
типа „ идеального диода "

,— f т,, Г 1

<p0=H/DB (у^[Т +
12

Формулы для статистических
коэффициентов

-]/Dy -^=2Фх

\1/ё7/ Уйг J

<РЙ I'/2

Dv k^\
fe<2»=2fe® (mv/VDv)

X

фо = В [ 1 /2 + Ф (ту /т/о„)];

X

I В При у>0
_ \ 0 при у^О



в

Vd;
№
п/п

Типовой нелинейный элемент

Формулы для статистических
коэффициентов

14

у_ ) 8 пРи У>ь
* | 0 при у^Ь

где m.i=mvlb, Pt=~l/ Dy /Ь

к = tga

j В при у>Ь
Х~ < ку при 0<у*Ь

I 0 при у*0
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

К главе 7

1.	Айзерман М. А., Гонтмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость
регулируемых систем. М., 1963.

2.	А. А. Андронов и др. Теория колебаний. М., 1959.

3.	Вавилов А. А. Частотные методы расчета нелинейных систем.
М„ 1970.

4.	Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Осо-
бые линейные и нелинейные системы. М., 1981.

5.	Воронов А. А. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость.
М., 1979.

7.	Емельянов С. В. Системы автоматического управления с
переменной структурой. М., 1967.

8.	Наумов Б. Н. Теория нелинейных автоматических систем.
М., 1972.

9.	Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нели-.
неййых системах. М., 1973.

10.	Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы исследова-
ния нелинейных автоматических систем. М., 1960.

11.	Якубович В. А. Методы теории абсолютной устойчивости.—
— В кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического
управления/ Под ред. Р. А. Нелепяиа. М., 1975.

12.	Siljak D. D. Large-scale dynamic Systems. Stability and
Structures. North Holland, 1978.

К главе 8

1.	Цыпкин Я- 3. Теория линейных импульсных систем. М.,
1963.

2.	Кунцевич В. И., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управле-
ния с частотно- и широтно-импульсной модуляцией.

3.	Теоретические основы связи и управления/ А. А. Фельдбаум,
А. Д. Дудыкин, А. П. Мановцев, Н. И. Миролюбов. М., 1963»

4.	Державин О. М. Структурные схемы временных импульсных
модуляторов 1-го рода.— Автоматика и телемеханика, 1967, № 4.

5.	Воронов А. А. Основы теории автоматического управления:
Особые линейные и нелинейные системы. М., 1981.

6.	Цыпкин Я- 3. Элементы теории цифровых автоматических сис-
тем. Труды I Международного конгресса Международной федерации
по автоматическому управлению, М., 1961, т. 2.

7.	Николаев Ю. А., Петухов В. П., Секлисов Г. И., Чемоданов Б.К.!
Под ред. Б. К. Чемоданова. Динамика цифровых следящих систем.
М., 1970.

8.	Цыпкин Я- 3., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных
систем. М., 1973.

9.	Метод Гольдфарба в теории регулирования. Сборник статей.
М., 1962.
10.	Цыпкин Ц. 3. Релейные автоматические системы. М., 1974.

И. Пышкин И. В. Автоколебания в широтно-импульсных систе-
мах регулирования.— В кн.: Теория и применение дискретных автома-
тических систем. М., 1960.

К главе 9

1.	Астапов Ю. М., Медведев В. С. Статистическая теория систем
автоматического регулирования и управления. М., 1982.

2.	Бессекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического
регулирования. М., 1975.

3.	Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М., 1964.

4.	Воронов А. А. Основы теории автоматического управления.
Ч.П. М., 1966.

*	5. Казаков И. Е. Статистические методы проектирования систем

управления, 1969.

6.	Основы автоматического управления/Под ред. В. С. Пугачева.
М , 1974.

7.	Первачев С. В ,Валуев А. А., Чиликин В. М. Статистическая ди-
намика радиотехнических следящих систем. М., 1973.

8.	Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к за-
дачам автоматического управления. М. 1962.

9.	Пугачев В. С., Казаков И. Е., Евланов Л. Г. Основы статистиче-
ской теории атоматических систем, 1974.

10.	Солодовников В.В., Матвеев П. С. Расчет оптимальных систем
автоматического управления при наличии помех. М., 1973.

11.	Техническая кибернетика. Теория автоматического регулиро-
вания/Под ред. В.В. Солодовникова. М., 1967. Кн. 2.

12.	Теория автоматического управления:: Нелинейные системы,
управления при случайных воздействиях/ А. В. Нетушил, А. В.
Балтрушевич, В. В. Бурляев и др.; Под ред. А. В. Нетушила. М., 1983.

К главе 10

1.	Акексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное
управление. М., 1979.

2.	Атане М. и Фалб П. Оптимальное управление. М., 1964.

3.	Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. М., 1964.

4.	Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управ-
ления. М., 1969.

5.	Брайсон А., Хо Ю-IUu. Прикладная теория оптимального управ-
ления. М., 1972.

6.	Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.
М , 1979.

7.	Габасов Р., Кириллова Ф. М. Основы динамического програм-
мирования. Минск, 1975.

8.	Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем авто-
матического управления. М., 1981.

9.	Казаков И. Е. Статистическая теория систем управления в про-
странстве состояний. М., 1975.

10.	Квакернак X., Сиван Р. Лииейиые оптимальные системы управ-
ления. М., 1977.
11.	Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального
управления. М., 1973.

12.	Летов А. М. Динамика полета и управление. М., 1969.

13.	Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управле-
ния. М., 1972.

14.	Моисеев Н. И. Элементы теории оптимальных систем. М.,
1975.

15.	Олейников В. А., Зотов Н. С., Пришвин А. М. Основы опти-
мального и экстремального управления. М., 1969.

16.	Острем К. Введение в стохастическую теорию управления.
М., 1973.

17.	Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Ми-
щенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.,
1969.

18.	Ройтенберг fl. И. Автоматическое управление. М., 1978.

19.	Фильтрация и стохастическое управление в динамических си-
стемах/ Под ред. Е. Т. Леондеса. М., 1980.

К главе 11

1.	Красовский А. А. Динамика непрерывных самонастраивающих-
ся систем. М., 1963.

2.	Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и техни-
ческой кибернетики. М., 1962.

3.	Козлов Ю. М., Юсупов Р. М. Беспоисковые самонастраивающие-
ся системы. М., 1969.

4.	Принципы построения и проектирования самонастраивающих-
ся систем/ Б. И. Петров, В. Ю. Рутковский, И. И. Крутова, С. Д.
Зеляков. М., 1972.

5.	Самонастраивающиеся системы: Справочник/Под общ. ред.
проф. П. И. Чинаева. Киев, 1969.

6.	Солодовников В. В., Шрамко Л.С. Расчет и проектирование
аналитических самонастраивающихся систем с эталонными моделями.
М., 1972.

7.	Цыпкин fl. 3. Основы теории обучающихся систем. М., 1970.
Автоколебания 2 20, 23, 34,. 43,
69

Автоматизация 1 14

Адаптация 2 40®

Алгоритм движения вдоль грани-
цы 1 35'3

	— обучения вероятностный 2 462

—	обхода по вершинам 1 3'55

—	управления Г 1'6

—	функционирования системы 1

16

Быстродействие I Г79, 236

Вектор возмущения 1 89

—	состояния 1 89

—	фазовый 1 89; 2 246

Векторное дифференцирование 2
332

Вершина графа 1 7й

Весовая функция I 95

•----нормальная 1 97

—	- — сопряженная 1 97

Воздействие возмущающее 1 182
— задающее 1 183; 2 245
— управляющее 1 123

Возмущение 1 89'

Восстанавливаемость 2 3)14, 388
Временные характеристики 1 49
Время запаздывания 1 167, 172,
173, 174

— регулирования 1 185

Выбор корректирующих устройств
1 274

Вычисление машинное 1 287

Гамильтониан 2 '259

Гиперповерхность переключения

2 327

Гипотеза Айзермана 2 65

—	Калмана 2 65

—	фильтра 2 34, 35, 36

Годограф затухания 1 200, 201

—	корневой 1 194

—	Михайлова 1 140

Граф 1 71

—	конечный 1 72

Примечание: Полужирны-
ми цифрами 1 и 2 в указателе
обозначены соответственно части
первая и вторая учебника.

— ориентированный 1 72

—системы управления.1.73

Гурвицев угол 2. 65

Дельта-функция 1 50

Динамическое программирование
2 285

Дисперсия ошибки 2 183, ' 1’84,
Г86, 187 '

—	случайного процесса 2 152,
1'58

----дискретного процесса 2 '219
Дифференцирование ' векторное 2
3132

—	оригинала 1 3'8

Дуга 1 72

Задача Больца 2 254, 261 ••

—	вырожденная 2 282, 376

— выхода нестационарная 2 340

---- стационарная 2 341 

— Лагранжа 2 254, 261

— Майера 2 254, 261

— максимального. быстродейст-

вия 2 254, 273

-------- линейная 2 -275, 278

— оптимального управления 2

246, 247, 252

------изопериметрическая 2 252

-------- классического типа 2 252

------ неклассического , типа 2
252

-------с несколькими ограниче-
ниями 2 280

------с нефиксированным вре-
менем 2 253, 265

-------с ограинчеиием на фазо-
вые координаты 2 27'9

-------с подвижными концами 2
253,2611,266,27-1

------с подвижным левым кон-
цом 2 253

----- — с подвижным правым кон-
цом 2 258

-------с фиксированным време-

нем 2 253, 254, 261

------с фиксированными - (за-
крепленными) концами 2 253, 254
268

------ — со свободным концом 2
253

— особая 2 284

— оценивания вырожденная 2
376
--------невырожденная 2 395
----несингулярная 2 360, 395
----- сингулярная 2 376
— терминального управления 2

254 .

Задатчик 2 245

Закон регулирования I 31

— — пропорциональио-интеграль-
но-диффереициальный 1 32

----пропорционально-интеграль-
ный 1 321

----пропорциональный 1 32

Запас устойчивости по амплитуде
1 162, 180, 188,
----по фазе 1 1-5.2, 180, 187, 188,
231

Звено 1 52

— апериодическое 1 55

----второго порядка 1 59, 62

— астатическое 1 24

— дифференцирующее 1 55

— изодромиое 1 253

— инерционное 1 65

---- первого порядка 1 55

— интегрирующее 1 54

— иррациональное I 174

— колебательное I 59

— консервативное 1 <59, 61

— линейное 1 36

— неминимально-фазовое 1 62

— охваченное обратной связью 1
66

— пропорциональное 1 53

—. форсирующее 1 67

—• — второго порядка I '62
---- первого порядка 1 57
— чистого запаздывания 1 63

Изамплита 1 339

Изображение по Лапласу 1 38
— решегчатой функции 2 85
Изофаза 1 339

Импульсный элемент идеальный
(простейший) 2 76

Иивариаитное погружение 2 285

Инвариантность 1 254, 255, 256,
257	•

Интегральные оценки 2 102

Интегрирование оригинала 1 39

Каноническая форма наблюдаемо-
сти 2 318
— — управляемости 2 309

Колебательность 1 179, 191

Контур 1 72

— адаптации 1 30

Координата невосстаиавливаемая
2 348

— ненаблюдаемая 2 31'8

— фазовая I 89; 2 9

Корень левый 1 1'25

— правый 1 Г25

Корреляционная функция 2 154,
173, 174, 21'9
----взаимная 2 159, 220
---- нормированная 2 Г65
Коэффициент демпфирования I
59

— критический 1 1ЙЭ

— ошибки 1 181,, 182

— передаточный 1 44

— передачи регулятора 1 32

Кривая переключения 2 .327

— Михайлова I 140,, 141, 142, 143

Критерий абсолютной устойчиво-
сти 2 55, 57

— Гурвица 1 129, 131., 133, 170,
286, 296

— Зубова 1 298

— Льеиара — Шипара 1 135, 136,
286, 296 .

— Михайлова 1 139, 141, 144, 170,
284, 286, 296

— Найквиста I 145, 148, 151, 152,
1'54, 170, 175, 284, 296

— неотрицательной определенно-
сти 2 342

— оптимальности 2 247, 347, 352,
393

— — интегральный квадратич-
ный 2 32S
----квадратичный 2 356, 389
— полной наблюдаемости 2 315
— Попова 2 ©0, 64, 62
— Рауса 1 129, 170, 197, 296
— Сильвестра 2 336
— статистической эквивалентно-
сти 2 230. 231

— управляемости 2 305, 310

— устойчивости алгебраический I
1:27, 128

------ круговой 2 57, 59

— — матричный 1 307, 312
----- частотный 1 127, 137; 2 96
<2/?-алгоритм 1 286
Линеаризация 1 36
— статистическая 2 22,8
Линейная часть 2 4
Линия переключения 2 14
— скольжения 2 29

Мажоранта 1 193

Марковское свойство 2 288

Маршрут ориентированный 1 7,2
Математическое ожидание 2 1'50
Матрица весовая (импульсная
переходная) 1 86
— наблюдаемости 2 315
— передаточная 1 84

-— передаточных функций 1 84
— управляемости 2 305
— фундаментальная 1 89
------ нормированная 1 89
— функционально-преобразова-
тельная 1 299, 300, 3.10, ЭМ, 315
— Хассенберга 1 286, 287
Матричный экспоненциал 1 90

Метод гармонического баланса 2
35, 40

— Гаусса — Зайделя 2 409, 411
— Гольдфарба 2 41

— Данилевского 1 294

— динамического программиро-
вания 2 285, 352

— D-разбиения 1 155, 161, 163,
285, 2(90, 201, 292i„ 34il

— — по двум параметрам 1 159
---по одному параметру 1 167
— замороженных коэффициентов
1 103, 176

— Ивенса 1 196, 203

—	корневого годографа 1 194

—	корневой 1 180

—	Коченбургера 2 41

—	Кротова 2 296

—	Крылова 1 '295

—	Леверье — Фадеева 1 205

—	локализации 1 ©86

—	Ляпунова второй (прямой) 2
48

—	малого параметра 2 35

— множителей Лагранжа 2 254
— нанскорейшего спуска 2 41'4
— переменного состояния 1 284,
285

— поиска экстремума 2 408
---регулярный 2 408
----- — случайный 2 408

—	потенциальных функций 2 459

—	припасовывания 2 31

— прогонки 2 344

— регуляризации фильтра 2 400,
401

— с прогнозом и коррекцией 1
331

— секущих плоскостей 2 458

— случайного поиска 2 417

—	статистической ланеаризации 2
228, 238

—	топологический 1 285

—	трапеций 1 218

—	треугольников 1 220

—	Удермана 1 200

—	фазовой плоскости 2 Г29

—	частотный 1 214

—	 эквивалентной линеаризации 2
3.4, 35

— экстраполяционного поиска 2
416

Механизация 1 13

Миноранта 1 193

Множество допустимое 2 296

Множитель Лагранжа 2 258, 260

Модель математическая 1 3.3

Модулятор амплитудно-импульс-
ный 2 75

— двухтактный (двухполярный)
2 76

— однотактиый (однополярный)
2 76

— частотио-импульсный 2 75

— широтно-импульсный 2 75

Наблюдаемость 2 314, 388

— линейных	стационарных си-

стем 2 315

Наблюдатель 2 320

— Калмана 2 304

—• Калмана — Бьюси 2 359, 361

— — линеаризованный 2 380
---при цветном шуме наблюде-
ния 2 374
--- объекта 2 371

— полного порядка 2 321

— пониженного порядка 2 3(21,
3,23

Надграф 1 72

Невязка 2 361

Нелинейный элемент 2 4

---квантования приращений 2
78
Неособый случай 2 268, 260
Несоприкасающиеся контуры 1
75

Обнаруживаемость 2 3.19
Обратная связь 1 23'9, 242
----гибкая 1 240, 241, 242
---- главная I 21
----жесткая 1 240, 241, 24'2
----корректирующая 1 240
---- отрицательная 1 66
----положительная 1 66

Обучение с поощрением 2 406

Объект безынерционный 1 1'6
— вполне (полностью) управляе-
мый 2 304

— многомерный 1 81

----стационарный 1 82

------линейный 1 82

— многосвязного управления 1
81

—	стабилизируемый 2 310

—	статический 1 16

—	управления 1 14

Ограничение изопериметрическое

2 250„ 2Б2

— на управление 2 247

— на фазовый вектор 2 247

Оператор системы 1 .34

Операция рабочая 1 13

— управления 1 1&

Оптимизатор 2 426

Оригинал 1 37; 2 85

Ориентированный маршрут 1 72
—---замкнутый 1 72'

----незамкнутый 1 72.

Освещение диффузионное 2 477

Особый случай 2 258

Отклонение 1 20

Отрезок устойчивости 1 159

Оцениватель Калмана 2 394

Оценка 2 320

Оценки интегральные 2 101

Ошибка средняя квадратическая 2
184

— статическая 1 ЙЭ

— установившаяся 1 180, '250

Пара вполне (полностью) восста-
навливаемая 2 317

— — наблюдаемая 2 317

----управляемая 2 308

— допустимая 2 '265, 268, 297
— стабилизируемая 2 3'11

Передаточная функция 1 41, 42
----в изображениях Лапласа 1
42

----в операторной форме 1 41

----генератора 1 107, 108

----двигателя 1 109

----делителя напряжения 1 111

----замкнутой цепи 1 67

----импульсной системы 2 84,
87, 88

----многокоитуриой системы 1
70

----одноконтурной системы 1 69

----ошибки 2 8©

----параметрическая 1 99

------ частотная 1 99

----усилителя 1 111 1

---- частотная 1 45

Перенос сумматора 1 68

— узла 1 68

Перерегулирование 1	179, 186,

193, 217, 200

Перестановка узлов и суммато-
ров 1 69

Плотность вероятности 2 146

----двумерная 2 148

---- п-мерная 2 149

----одномерная 2 147

Поверхность переключения 2 327

Подграф 1 72.

Подпространство восстанавлива-
емости 2 3.17

— наблюдаемости 2 317

— неуправляемости 2 31'0

— управляемости 2 309

Показатель качества 1 1-79

— колебательности 1 187, 229,
230

Полоса пропускания 1 1'88; 2 103
Последовательность допустимая 2
297

— минимизирующая 2 297
Постоянная времени 1 32, 44

Правило множителей Лагранжа 2
259, 1264,, 266

— модулей и аргументов 1 53

— построения асимптотической
ЛАЧХ 1 81

----ЛЧХ 1 79

Предельный цикл 2 2Й
Представление образа 2 478
Преобразование дифференцналь-
иых уравнений к нормальной си-
стеме 1 192

— Лапласа 1 3'7

---- дискретное 2 85

Приведенная линейная (непрерыв-
ная) часть 2 83'

Принцип аргумента 1 107

— двойственности (дуальности) 2
320

.------ управляемости и наблюдае-

мости 2 3*1-9., ,320'

— инвариантности 1 19; 2 4'29

— компенсации 1 18

— максимума (Понтрягина) 2

2170, 271

— обратной связи 1 20

— оптимальности 2 285, 287, 288

----Кротова 2 296,	298.

•---обратный 2 289

----прямой 2 288

— разделимости (разделения) 2
333), 384, 3190

— разомкнутого управления 1 17
— симплексный слежения вдоль
границы I 369

—	стохастической эквивалентно-
сти 2 383, 384, 399

—	суперпозиции 1 4*4

—	управления 1 1'6

Программа 2 245

Программирование динамическое
2 285

Программное движение 2 245

Программатор 2 245

Пространство коэффициентов 1
155

Процесс переходный 1 1(26, 185,
216

—	случайный 2 114

—	стохастический 2 144

Прямая особая 1 161, 162

Псевдочастота 2 108

Путь 1 72.

—	простой 1 73

Распознавание образов 2 475

Расходимость фильтров 2 400
Реализация случайного процесса 2
144

Ребро 1 72

Регулирование 1 '21

—	астатическое 1 '24

—	по отклонению 1 20

— прямое 1 21

—	статическое 1 23

Регулятор 2 24'6

—	автоматический 1 24

—	И 1 03

—	оптимальный 2 24'6

------ стохастический 2' 384

—	П 1 3'2

—	ПИ 1 32

—	ПИД 1'3'2

—	статический 1 23

Робот 2 472

Самообучение 2 468

Свойство линейности Г 38

Связь обратная 1- '23*9, 242

Сенсор 2 474, 475

Сепаратрисса 2 17

Сечение случайного процесса 2
145

Симплексный принцип слежения

вдоль границы 1 359

Синтез машинный 1 286 '

— по корневому годографу 1 264

— по ЛЧХ 1 -2'68

— при заданной структуре систе-
мы 2 19©

— при произвольной структуре
системы 2 14918

Система автоматизированная ' 1
14

— автоматическая 1 14, 114

— .—• одномерная 1 7*7

— автоматического регулирова-

ния (САР) 1 211

— адаптивная 1 30, 2 404

—	•—-с переменной структурой 2
448

—	двойственная 2 319

—	замкнутая 1 148

— импульсная 2 73

--- нейтральная 2 94

--- неустойчивая 2 93

--- устойчивая 2 93

— квазистацноиарная 1 103

— комбинированного регулиро-
вания 1 254

—	комбииироваиная следящая 1
258

—	линейная 1 36'

---нестационарная 1 94, 175

---с переменными параметрами
1 94
— — стационарная 1 37

—	многокоитуриая 1 70

—	многомерная 1 81

---- стационарная 1 82 

—	линейная 1 82

—	многосвязного управления 1 81

—	нелинейная 2 4

— непрямого регулирования 1 21

•— нестационарная 1 37, 94

— обнаруживаемая 2 319

— обучающаяся 2 40)5, 406

— оптимальная 2 246

----по переходному режиму 2
246

----по режиму управления 2 246
— полностью наблюдаемая 2 3)14
----ненаблюдаемая (невосста-
иавливаемая) 2 313

— порождающая 2 35

— разомкнутая 1 148

— с адаптацией в- особых фазо-
вых состояниях 2 405, 446

— с амплитудио-нмпульсиой мо-
дуляцией 2 83, 96

— с непрерывной передачей дан-
ных 2 112.

— с переменной структурой 2 23

— с переменными параметрами 1
.37

— с поиском экстремума показа-
теля качества 1 26

— с частотно-импульсной моду-
ляцией 2 128, 1138, 184

— с широтно-импульсиой модуля-
цией 2 1.18, 121

— самонастраивающаяся 1 30; 2
404, 405, 40)6

------ беспоисковая 2 407, 440

---- градиентная 2 443

----измерения скорости движе-
ния 2 440.

----поисковая 2 407, 425

— — с моделью 2 44(2

----с поиском по методу гради-
ента 2 426

— самоорганизующаяся 1 30

тг- следящая 1 26

— сопряженная '2 '27'0

’— сравнения 2 66

—	стабилизации 1 22

—	стационарная 1 37

—	технически устойчивая 1 177
управления 1 14

— уравнений в нормальной фор-
ме Кошн 1 88

— цифровая 2 165. 1'07, 109, 114

Сканирование 2 408

След матрицы 1 2(93; 2 353

Случайная функция 2 144

Случайный поиск глобальный 2
423
—---локальный по нанлучшей

пробе 2 419
------по статистическому гра-

диенту 2 420
-------- —-С возвратом 2 417
----- с пересчетом 2 418
Случайный процесс 2 144
-----дискретный (решетчатый) 2
218
-----марковский 2 160
----------нормальный 2 156
----------стационарный в узком смыс-
ле 2 154
----------в широком смысле 2 155
— — центрированный 2 152
----- эргодический 2 157

Соединение’звеньев параллельное
I 66
---- последовательное 1 65
Спектр матрицы 1 293

Спектральная плотность 2 166,
173, 175
----взаимная 2 168
----ошибки 2 183

Среднее значение по времени 2
1'56, 1'57
---по множеству 2 156

— квадратическое значение 2 153

---- отклонение 2 153

Средняя квадратическая ошибка
2 184

Стабилизация 1 2Й, 236

Стабилизируемость 2 310, 388

Стандартная форма записи ли-
нейных дифференциальных урав-
нений 1 43
Статизм 1 23
Степень колебательности 2 101
— устойчивости 2 99

Стохастический процесс 2 144

Структурная схема 1 64

----амплитудно-импульсного мо-
дулятора 2 76

----системы управления с им-
пульсной модуляцией 2 82
---цифровой системы 2 106

---частотно-импульсного моду-
лятора 2 77, 70

---широтно-импульсного моду-
лятора 2 81, 82

Теорема Болтянского 2 295

•	— запаздывания 1 30

—	о свертке 1 39

—	об п интервалах 2 278

—	разложения 1 30

Теоремы о предельных значениях
1 39

Точка допустимая 2 255

—	особая типа седла 2 17

------- узла 2 19

-------фокуса 2 18

—	стационарная 2 266

—	типа центр 2 18

—	угловая 2 260

Траектория допустимая 2 255, 268

—	оптимальная 2 247

Угол гурвицев 2 65

Управление 1 89; 2 246

— допустимое 2 255-, 268

— оптимальное 1 28; 2 247

— по возмущению 1 18, 107

— программное 1 24; 2 246

— с обратной связью 2 246

Управляемость 2 304., 388

— линейных стационарных объек-
тов 2 305

— относительно точки 2 312, 313

— при наличии ограничения иа
управление 2 3112

Уравнение Беллмана 2 286, 291,
338, 3'53', 394

---обратное 2 286, 287, 291

--- прямое 2 286

•	— Винера — Хопфа 2 206

— генератора 1 105, 106, Г07

—	двигателя 1 108, 109

—	делителя напряжения 1 110

—	динамики 1 34

— дисперсионное 2 360, 368, 370

	— наблюдения 2 314

—	периодов 2 30

	— Риккати 2 334, 335

---алгебраическое 2 336, 343

—	— матричное 2 334, 33'5

—	сопряженное 2 270

•	— статики 1 35

— усилителя 1 110

— формирователя 2 371

— характеристическое 1 124, 293;

2 93

— Эйлера 2 25.5, 256

— Эйлера — Лагранжа 2	257,

258, 259

Условие Вейерштрасса — Эрдма-
на 2 260

—	краевое 2 246

—	 нормальности 2 276

—	общности положения 2 276

—	оптимальности достаточное 2
353

— стационарности 2 259

— трансверсальности 2 263, 264,
265, 266

— устойчивости 1 123, 128

---необходимое и достаточное

1 128, 129, 134, 135

— физической осуществимости 1
96

---реализуемости 1 96

Устойчивость абсолютная 2 46,
50, 51

— асимптотическая 1	124, 126;

2 45

—	в большом 1 115; 2 45

—	в малом 2 43, 44, 45

—	в целом 1 115; 2 45

—	минимальная 2 64

— нестационарных систем 1 175,
312

— по Ляпунову 1 117, 121

— систем с запаздыванием 1 167,
168

---с иррациональными звень-
ями 1 167, 175

Устройство корректирующее 1 237
---параллельно-встречное 1 239,
242

---последовательное 1 237, 238,
276

Фазовая плоскость 2 10

---миоголистная 2 30

— траектория 2 10

Фазовый портрет 2 10

Фиксатор нулевого порядка 2 77

Фильтр Винера 2 '205, 206

— Калмаиа 2 3194
— Калмана — Бьюси 2 209, 359,
361, 394

---.итерационный 2 381

---расширенный 2 381

— регуляризованный 2 401

—	формирующий 2 371

Формирователь 2 371

•	— импульсов 2 76

Формула Коши 1 90, 105

—	Мейсоиа 1 74

—	Парсеваля 1 209

—	Рэлея 1 209

ФП-матрица 1 318

Функция Белламана 2 285, 290,

353, .394

—	весовая 1 49, 95

—	Гамильтона 2 259

—	допустимая 2 255

—	знакоопределеиная 2 48

—	знакопостоянная 2 48

— импульсная переходная 1 49

— Кротова 2 298, 300, 301

— Лагранжа 2 258, 269

—	переключения 2 327

	— переходная 1 49

-	— Понтрягина 2 269

—	последования 2 212

— распределения 2 146

--- двумерная 2 148

------ п-мерная 2 149

---одномерная 2 147

— решетчатая 2 8'5

— случайная 2 144

—• чувствительности 1 233, 234

Характеристика двухпозициоино-
го реле с гистерезисом 2 8

•	— идеального выпрямителя 2 8

--- поляризованного реле 2 8

	— импульсная переходная 1 49

—	- нейтрального электромагнитно

го реле с гистерезисом 2 9

—	переходная 1 49

—	разгонная 1 49

— с насыщением 2 8

— статическая 1 16, 35

— трехпозициониого поляризо-
ванного реле с 'зоной нечувстви-
тельности 2 8

----реле с зоной нечувствитель-
ности и гистерезисом 2 8

Цепь обратной связи 1 20

—	прямая 1 69

Цикл предельный 2 22

Частота 1 45

—	пропускания 1 187

— резонансная 1 187

— сопрягающая 1 57, 58

— среза 1 187, 188

Частотная функция амплитудно-
фазовая 1 45
---- амплитудная 1 45
----вещественная 1 45

—• — логарифмическая амплитуд-
ная 1 46

-------фазовая 1 46

---- мнимая 1 45

----фазовая 1 45

Частотная характеристика ампли-
тудная I 45

—- —• амплнтудно-фазовая
(АФЧХ) 1 45, 146, 149, 151
----вещественная 1 45, 215, 224,
225, 227

—- — логарифмическая амплитуд-
ная (ЛАЧХ) 1 46

---------- желаемая 1 271, 275,
277, 281

----— фазовая (ЛФЧХ) 1 46

---мнимая 1 45, 228

----модифицированная 2 1Г2

----фазовая 1 45

Четырехполюсники переменного
тока 1 249, 250

—- постоянного тока активные 1
.247

------ — пассивные 1 245, 276

Шум белый 2 149, 164

— наблюдений 2 360, 395

— объекта 2 360, 395

— цветной 2 371

Экстремаль 2 256

Элементы преобразовательные 1
244
ТЕОРИЯ
автоматического
УПРАВЛЕНИЯ

В двух частях

Под редакцией академика А. А. Воронова

Издание второе
переработанное и дополненное

Часть вторая

ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
И СПЕЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов вузов,
обучающихся по специальности
Автоматика и телемеханика*

МОСКВА
„ВЫСШАЯ ШКОЛА"
i. 1986
ББК 32.965

Т 33
УДК 62-52

А. А. Воронов, Д. П. Ким, В. М. Лохин,
И. М. Макаров, П. Н. Попович, В. 3. Рахманкулов

Рецензенты:
кафедра Московского высшего технического училища
им. Н. Э. Баумана

(зав. кафедрой — чл.-кор. АН СССР Е. П. Попов),
чл.-кор. АН СССР С. В. Емельянов

(Всесоюзный научно-исследовательский институт
системных исследований)

Теория автоматического управления: Учеб, для ву-
ТЗЗ зов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч.
Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем авто-
матического управления. / А. А. Воронов, Д. П. Ким,
В. М. Лохин и др.; Под ред. А. А. Воронова.—
2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш, шк., 1986.—
504 с., ил.

В книге изложены методы исследования нелинейных систем, теория
линейных и нелинейных импульсных систем управления. Изложены мето-
ды исследования качества линейных и нелинейных систем при случай-
ных воздействиях, методы решения задач оптимального управления н
теория адаптивных систем управления. Второе издание (первое вышло
в 1977 г.) дополнено данными ло абсолютной устойчивости и другими ма-
териалами.

2404000000—328	ББК 32.965

“ 001(01)—86 ьь	6Ф6.5

© Издательство «Высшая школа», 1977

© Издательство «Высшая школа», 1986, с изменениями
ПРЕДИСЛОВИЕ_______________________

/

Настоящая книга является второй частью учебника по те-
ории автоматического управления для студентов специальности
«Автоматика и телемеханика». При ее написании авторы руко-
водствовались программой дисциплины «Теория автоматичес-
кого управления», утвержденной Министерством высшего и
среднего специального образования СССР для высших учебных
заведений по специальности «Автоматика и телемеханика».

Во вторую часть входят главы 7—11. В главе 7 приведены
такие методы исследования нелинейных систем, как методы фа-
зовой плоскости, припасовывания, точечных преобразований и
гармонической линеаризации, а также прямой метод Ляпуно-
ва и частотные методы исследования абсолютной устойчивости.
Глава 8 посвящена теории линейных и нелинейных импульсных
систем управления. Глава 9 знакомит с методами исследования
качества линейных и нелинейных систем, а также синтеза ли-
нейных систем при случайных воздействиях. В главе 10 рас-
смотрены методы решения задач оптимального управления,
проблема управляемости и наблюдаемости, методы оптималь-
ного оценивания состояния и синтеза оптимальных детермини-
рованных и стохастических систем управления. Глава 11 зна-
комит с определением, классификацией, различными принци-
пами построения адаптивных систем управления.

Второе издание существенно переработано и дополнено.
Заново написаны и дополнены новыми материалами § 7.10 и
главы 8 и 10. Значительно переработана глава 9 и дополнена
глава И.

В написании второй части учебного пособия принимали
участие: А. А. Воронов (главы 7,10), Д. П. Ким (глава 10),
В. М. Лохин (глава 8), И. М. Макаров (главы 8, 11), П. Н. По-
пович (глава 9), В. 3. Рахманкулов (главы 8, 11).

Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам—
— акад. АН СССР С. В. Емельянову, чл.-кор. АН СССР Е. П.
Попову, д-ру техн, наук, проф. П. Д. Крутько за’ценные заме-
чания, способствовавшие улучшению, книги, а также сотруд-
никам кафедры «Проблемы управления» Московского инсти-
тута радиотехники, электроники и автоматики за помощь при
подготовке рукописи к печати.

Все замечания и пожелания, касающиеся книги, просим
направлять по адресу: 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул.,
29/14, издательство «.Высшая школа».

Авторы