6 февраля 2001 года в возрасте 59 лет перестало биться сердце автора этой
книги, профессора, доктора технических наук, директора Института интел­
лектуальных систем и технологий, академика Российской Академии Есте­
ственных наук, академика и вице-президента Академии инженерных наук РФ
(АИН РФ), президента Северо-Западного Отделения АИН РФ (СЗО АИН
РФ), заслуженного изобретателя РФ Анатолия Александровича ЕРОФЕЕВА.
Научный вклад характеризуется разработкой фундаментальной теории ин­
теллектуальных систем на базе континуальных управляемых функциональ­
ных сред; теории процессов управления, возбуждения и стабилизации вы­
сокочастотных акустических волн и микровибраций в твердотельных пье­
зоэлектронных системах с использованием нелинейных явлений (на уровне
открытия). Ерофеев А. А. развил теорию управления сложными многомер­
ными, многосвязными резонансными объектами со смешанными видами мо­
дуляции полезного сигнала; разработал новые методы и способы управле­
ния пьезоэлектронных систем как нелинейных многосвязных систем с моду­
ляцией и нелинейной оптимизацией процессов. Им разработан принципи­
ально новый класс акусто-, опто- и пьезоэлектронных устройств и систем,
а именно пьезотрансформаторы и источники электропитания на их основе;
пьезодвигатели, пьезомикроманипуляторы, пьезоприводы с системами
управления; сегнетопьезоэлектрические запоминающие устройства (ЗУ) вы­
числительной техники; измерительные пьезопреобразователи параметров
движения и другие устройства и системы автоматики, вычислительной
техники и радиоэлектроники.
Оригинальность основных идей, их научная новизна и значимость подтвер­
ждены полученными 110 патентами и авторскими свидетельствами на изоб­
ретения. Всего опубликовано 400 научных работ, из которых 24 — научные
монографии.

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕДЛЯ ВУЗОВ

А. А. Ерофеев

ТЕОРИЯ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
3-е издание, стереотипное
Рекомендовано Государственным комитетом
Российской Федерации по высшему образованию
в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по направлениям «Автоматизация и управление
«Системный анализ и управление»

ПОЛИТЕХНИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
*__ ) Санкт-Петербург 2008

УДК 519.71(075.9); 681.5
ББК 32.965.4; 32.81я73
Е60

Рецензенты: доктор технических наук профессор В. Б. Яковлев,
доктор технических наук профессор Р. А. Нелепин

Е60

Ерофеев А. А.
Теория автоматического управления: Учебник для вузов. —
3-е изд., стереотип. — СПб.: Политехника, 2008. — 302 с.:
ил.
ISBN 978-5-7325-0903-8
Учебник соответствует программе курса лекций по теории автомати­
ческого управления для бакалавров. Содержит основные идеи и пред­
ставления о классической и современной теории управления. Отражен
образовательный стандарт курса в рамках концепции «модели—ана­
лиз—синтез». Изложение доведено до алгоритмических процедур и ох­
ватывает в едином плане теорию управления с ориентацией на много­
мерность — теорию всех типов систем (непрерывных, дискретных, в
том числе и особых).
Учебник предназначен для студентов вузов, а также может быть
полезен для инженеров и аспирантов.

УДК 519.71(075.9); 681.5
ББК 32.965.4; 32.81я73

ISBN 978-5-7325-0903-8

© Издательство «Политехника», 2008

ОТ АВТОРА
В данном учебнике представлена программа дисциплины «Теория автома­
тического управления» (ТАУ), разработанная для подготовки бакалавров по
направлениям «Системный анализ и управление» и «Автоматизация и управ­
ление». Учебник построен на материале курсов лекций, читаемых автором на
кафедре «Интеллектуальные системы управления» Санкт-Петербургского го­
сударственного технического университета (СПбГТУ).
В книге кратко изложены основные положения обобщенной теории уп­
равления, использующие в основном операторно-частотные методы, понятия
передаточной функции одномерных и многомерных систем и соответствую­
щие временные и частотные характеристики. Цель изложения — получить ба­
зовые представления о теории управления. Особенностью изложения является
ориентация на многомерность. Книга имеет самостоятельное значение при обу­
чении ТАУ по непрофильным направлениям и специальностям и является ба­
зовой вводной по отношению в целом к курсу ТАУ.
В данной книге не отражены в полном объеме разделы ТАУ по нелиней­
ной теории, теории оптимальных, адаптивных, самонастраивающихся, иг­
ровых и интеллектуальных систем управления, так как эти разделы предпо­
лагается рассмотреть в отдельной книге.
В целом курс ТАУ содержит методы решения информационных проблем
систем управления от простейших (одномерных, одноконтурных) до слож­
ных иерархических систем с информационными технологиями управления
(интеллектуальных систем управления).
Дисциплина «Теория автоматического управления» (или «Теория управ­
ления») является общепрофессиональной дисциплиной, входящей в состав
федерального компонента стандарта по указанным выше направлениям. При
реализации образовательного стандарта по данной дисциплине концепция
ТАУ в основном отображена в виде «модели — анализ — синтез».
Книга базируется на научно-педагогическом опыте автора, а также яв­
ляется, как, впрочем, и большинство учебников, в известной мере компиля­
тивной. В ее основе многочисленные учебники по ТАУ [1-12]. В изложении
материала соблюдены традиции, разработанные такими представительны­
ми учеными СПбГТУ, авторами учебников по ТАУ, как акад. А. А. Воро­
нов, проф. А. А. Первозванский, проф. Е. И. Юревич. Безусловно, данный
учебник, как и любой другой, не может охватить всю информацию по ТАУ.
Поэтому желающим более глубоко изучить современную теорию управле­
ния предлагается обращаться к специальной литературе, которая здесь час­
тично представлена.
Основное предназначение учебника вытекает из первородного определе­
ния понятия высшая «школа» (SCHOLA): «Sapienter Cogitare Honeste, Operare
Logui Argute» — «Мудро мыслить, благородно действовать, лаконично го­
ворить» [Ян Амос Коменский (Komensky), 1592—1670 гг.]. Сегодня студент
ВУЗа, завтра — специалист, профессионал должен помнить и претворять
в жизнь Это, «...сеять разумное, доброе, вечное ...».
Автор глубоко благодарен всем сотрудникам (особенно Л. Н. Сергеевой)
и студентам СПбГТУ, непосредственно помогавшим в работе над рукопи­
сью. В частности, большую практическую помощь при редактировании ока­
зали С. А. Ерофеев и Е. П. Клинова.
Автор будет признателен всем читателям, приславшим свои замечания
по книге в адрес СПбГТУ: 195251, г. Санкт-Петербург, ул. Политехничес­
кая, 29, СПбГТУ.
5

отзыв
на первое издание учебника А. А. Ерофеева «Теория автоматическо­
го управления» (Изд-во «Политехника», 1998 г.; 295 с.)
Современная цивилизация стремится к созданию информационного
общества, а приоритетной и конечной целью использования информации
является управление. В общем плане управление можно трактовать как
организацию целенаправленного взаимодействия информации, энергии
и вещества. Универсальность принципов управления позволяет приме­
нять их к объектам любой природы: техническим, технологическим, про­
изводственным, экономическим, экологическим и социальным. Автома­
тическое управление — это такая «чудотворная» технология, которая
использует обратную связь для улучшения функционирования огромного
числа объектов от паровых машин и космических станций до систем ста­
билизации кровяного давления и частоты работы сердца.
Дисциплина «Теория управления», читаемая в большинстве техничес­
ких вузов, является одной из главных составляющих кибернетики. Она
имеет явно выраженный интегративный характер и формирует у буду­
щих специалистов системное мышление и целостное видение явлений мира
техники, природы и общества, рассматривая их в постоянном взаимо­
действии, как различные стороны единого непрерывно изменяющего­
ся во времени процесса. Предмет синтезирует знания студентов по ес­
тественным и общепрофессиональным наукам и дает примеры их кон­
структивного применения при изучении специальных дисциплин.
В свое время в нашей стране по теории автоматического управле­
ния был издан целый ряд замечательных монографий, учебных посо­
бий и учебников. Однако написаны они были относительно давно,
сохранившихся экземпляров в библиотеках стало недостаточно для
обеспечения нормального учебного процесса. Необходимость в новых
учебниках и учебных пособиях по теории автоматического управле­
ния назрела давно. Это, прежде всего, связано с тем, что дисциплина
«Теория управления» входит в состав федеральной компоненты Госу­
дарственных образовательных стандартов (ГОС) многих специ­
альностей и направлений высшего профессионального образования.
Традиционое изложение теории управления требует большого объе­
ма книги. В большинстве учебников по «классической» теории управ­
ления значительное место уделяется материалам по математическим
основам, а также способам, приемам и графоаналитическим методам
упрощения вычислений, которые потеряли свою актуальность в связи
с революционными достижениями и в области вычислительной техники
и информатики. По этой же причине практика проектирования и реали­
зация алгоритмов управления претерпела значительные изменения. Ряд
книг по так называемой современной теории управления, как правило
базируется на абстрактном, преимущественно формально-алгебраичес­
ком подходе, трудном для студентов технических вузов и затрудняющем
изучение фундаментальных свойств и «механизмов» управления.
6

В настоящее время в связи с переходом к многоуровневой системе
подготовки специалистов особую актуальность приобретает подго­
товка учебника по теории управления, имеющего сравнительно не­
большой объем. Этот учебник необходим, прежде всего, для подго­
товки бакалавров и по существу содержит некоторые основы теории
автоматического управления. Вполне очевидно, что основная труд­
ность связана с отбором материала из того необходимого, относяще­
гося как к «классической», так и «современной» теории управления.
Здесь нет пока единой точки зрения и должны быть представлены са­
мые различные отечественные и зарубежные школы.
Особенностью и достоинством рецензируемого учебника является
его небольшой объем. Подобный учебник был написан академиком
Е. П. Поповым в 1989 году и превратился в реликтовое издание. Необ­
ходимость издания таких кратких учебников назрела давно. В этом
заинтересованы не только студенты, но и преподаватели этой дисцип­
лины, а также широкий круг специалистов, осваивающих впервые те­
орию автоматического управления.
Автор излагает основные положения теории управления на базе
линейных конечномерных стационарных моделей, использующих опе­
раторно-частотные методы, понятие передаточной функции и времен­
ные характеристики. Достоинством такого изложения является дос­
тупное студентам освоение информационно-алгоритмического подхо­
да принятого в теории управления, отражающего причинно-следствен­
ный характер взаимодействия элементов и подсистем в сложных систе­
мах управления. В дальнейшем это существенно облегчает структур­
ный анализ и синтез при проектировании автоматических и автома­
тизированных систем с элементами искусственного интеллекта, а также
позволяет выбирать варианты действий при отказах и авариях в процес­
се эксплуатации.
К положительным особенностям рецензируемого учебника следует
также отнести четкое разделение материалов, посвященных матема­
тическим моделям (главы 1, 2, 3) , анализу (главы 4, 6, 7) и синтезу
(главы 8, 9, 10) систем управления. Автор стремился к сбалансирован­
ному изложению «классической» и «современной» теории управления,
рассмотрев такие фундаментальные свойства систем, как устойчивость,
чувствительность, инвариантность, управляемость, наблюдаемость.
Главы 5 и 11 посвящены соответственно динамике систем автомати­
ческого управления при стационарных случайных воздействиях и осо­
бым системам управления.
Президент Международной ассоциации по управлению, автоматизации и инфор­
матике, председатель научно-методического совета Министерства образования РФ
по направлению «Автоматизация и управление», заслуженный деятель науки и техни­
ки РФ, д. т. н., профессор В. Б. Яковлев.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория автоматического управления (ТАУ) является базовой ос­
новой кибернетики или науки об управлении — одной из относитель­
но молодых областей науки. Теория управления, хотя и прошла яркий
путь своего развития, но в настоящее время продолжает интенсивно
развиваться в сторону создания теории интеллектуальных систем уп­
равления — предельной формации парадигмы теории управления.
Примерно до шестидесятых годов XX века ТАУ имела сильную
инженерную направленность и базировалась в своей основе преимуще­
ственно на рассмотрении процессов в системе «регулятор—объект управ­
ления» (ОУ). Как системная наука, ТАУ впитала в себя многие методы
инженерных направлений (из области электро-, радиотехники, энергети­
ки, связи и др.) и придала им существенное развитие. Создав собственные
методы анализа и синтеза, прикладная ТАУ сыграла вьщающуюся роль
на этапе становления многих современных инженерных дисциплин. При­
кладную или инженерную ТАУ сегодня именуют «классической», подчер­
кивая этим определенную завершенность форм ее развития как науки об
управлении. Классическая ТАУ, преследуя цель «оптимизации в малом»,
решает задачи оптимизации и адаптации при малых отклонениях относи­
тельно заданного режима работы системы управления.
Основы «современной» ТАУ идеологически заложены в «класси­
ческой» ТАУ и составляют с ней неразрывную связь. Современная
ТАУ, преследуя цель «оптимизации в целом», применительно, в ос­
новном, к системно-сложным ОУ, превращается в совокупность методов
и средств, осуществляющих интеллектуальное управление и составля­
ющих основу теории интеллектуальных систем управления. Характер­
ной обобщающей чертой последних является максимально эффективное
использование всех ресурсов системы при многокритериальной оптими­
зации процессов в целом в условиях, как правило, частичной неопреде­
ленности информации о свойствах ОУ и среде его функционирования.
В ТАУ наиболее важным является понятие модели — определенной
математической абстракции, характеризующей процессы любой при­
роды — физической, биологической, экономической и др. Модель —
это процесс, выраженный через связи между переменными входа, выхо­
да и переменными состояния; переменные состояния аналогичны обоб­
щенным координатам, а их пространство является фазовым. Обычно
применяют векторно-матричное описание ОУ в пространстве состоя­
ний, что позволяет использовать единый математический аппарат для
исследования различных непрерывных и дискретных систем. Именно
такой обобщенный подход положен в основу данной книги, основное
назначение которой — служить учебником по курсу ТАУ для техничес­
ких университетов.
Президент СПбГТУ, академик РАН Ю. С. Васильев

8

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
ПОСТРОЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Теория автоматического управления (ТАУ) относится к классу важ­
нейших общеспециальных дисциплин, входящих во все типовые про­
граммы инженерного образования. ТАУ изучает процессы управле­
ния, методы исследования и основы проектирования систем автома­
тического управления (САУ). ТАУ изучает принципы построения САУ,
закономерности протекающих в них процессов в целях построения
работоспособных и точных САУ; методами ТАУ осуществляются ана­
лиз и синтез САУ.
История развития ТАУ непосредственно связана с историей созда­
ния различных высокоточных механизмов, из которых наиболее извест­
ными являются следующие: хронометры, часы, секундомеры; поплав­
ковые регуляторы водяных часов; маятниковый регулятор хода часов
(X. Гюйгенс, 1675 г.); поплавковый регулятор питания котла паровой
машины (И. И. Ползунов, 1765 г.); центральный регулятор скорости
паровой машины (Дж. Уатт, 1784 г.); первое программное устройство
управления ткацким станком от перфокарты (узор на ковре) (Ж. Жак­
кар, 1808 г.); регуляторы (братьев С. и Ж. Понселе, 1830 г.) и др.
В настоящее время ТАУ представляет собой единую научную базу
для решения задач управления объектами различной природы (фи­
зической, химической, биологической и т. п.), имеющую развитые ме­
тоды исследования САУ— их анализа и синтеза (расчета и проекти­
рования).

§ 1.1. ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Автоматика — отрасль науки и техники, охватывающая совокуп­
ность методов и технических средств, освобождающих человека от
непосредственного выполнения операций по контролю и управлению
производственными процессами и техническими устройствами. Авто­
матика — это древнегреческое слово, обозначающее самоусиление, самодействие, от слов «ауто» — сам и «матос» — усиление.
Кибернетика — наука об общих закономерностях процессов управ­
ления в различных системах (в технике, химии, биологии и т. д.).
Техническая кибернетика — наука об общих закономерностях про­
цессов управления в различных технических системах.
Автоматизация — замена умственной деятельности человека ра­
ботой автоматических устройств.
Механизация — замена мускульной физической силы человека ра­
ботой технических устройств.
Технические устройства — совокупность производственных машин
и механизмов, выполняющих определенные функции по преобразо­
ванию энергии и совершению полезной работы, а также позволяю9

щих в нужном направлении изменять технологический процесс, влияя
на его параметры и регулируя их в нужном направлении.
Управление — процесс, обеспечивающий необходимое по целево­
му назначению протекание процессов преобразования энергии, веще­
ства и информации, поддержание работоспособности и безаварийно­
сти функционирования объекта путем сбора и обработки информа­
ции о состоянии объекта и внешней среды, выработки решений о воз­
действии на объект и их исполнение. Здесь цель является причиной уп­
равления и задающие воздействия определяются на основе знания цели.
Регулирование — частный случай управления, цель которого за­
ключается в обеспечении близости текущих значений одной или не­
скольких координат объекта управления к их заданным значениям.
Объект управления (регулирования) — определенное техническое
устройство (самолет, станок, паровая турбина и т. д.), для достижения
результатов функционирования которого необходимы и допустимы
специально организованные воздействия. Объект управления, на ко­
торый подаются управляющие воздействия, можно назвать управляе­
мым объектом. Объектами управления (ОУ) могут быть как отдель­
ные объекты, выделенные по определенным признакам (например, кон­
структивным, функциональным), так и совокупности объектов — ком­
плексы. В зависимости от свойств или назначения объектов могут
быть выделены технические, технологические, экономические, орга­
низационные, социальные и другие объекты управления и комплексы.
Цель управления в технических системах — определенные значе­
ния или соотношения значений координат процессов в объекте управ­
ления или их изменение во времени, при которых обеспечивается дос­
тижение желаемых результатов функционирования объекта.
Управляющее воздействие — воздействие на объект управления,
предназначенное для достижения цели управления.
Система автоматического управления — система, состоящая из
объекта управления и устройства управления, в которой автомати­
чески выполняется заданный процесс.
Устройство управления (УУ) или регулятор — совокупность уст­
ройств, с помощью которых осуществляется управление главным тех­
нологическим параметром (физической величиной).
Регулятор или УУ в САУ воздействует на объект управления
и обозначается в функциональных схемах в виде, представленном
на рис. 1.1.
Регулятор вырабатывах
етуправляющие (регулируК ОУ ЮЩИЄ) воздействия, кото_
рые, воздействуя на ОУ,
поддерживают на задан­
ном уровне или изменяют
по определенному закону
регулируемую величину.
Рис. 1.1
10

Внешние воздействия — задающие воздействия g, определяющие
требуемый закон (алгоритм) регулирования выходной величины ОУ,
и возмущающие воздействия/, нарушающие требуемую функциональ­
ную связь между выходной величиной ОУ и задающим воздействием.
Выходной величиной (координатой) ОУ ХО или регулируемой
(управляемой) величиной является обычно главный технологичес­
кий параметр (скорость, мощность, напряжение и т. д.).
Возмущение — внешнее воздействие на любое звено (элемент, под­
систему) САУ, затрудняющее, как правило, достижение цели управ­
ления. Обычно выделяют основные возмущения, существенно влияю­
щие на регулируемую величину, и помехи.
Задающее воздействие g(t) — воздействие на устройство управле­
ния, предназначенное для достижения цели управления.
Помехи — возмущения, вызывающие искажение сигналов в САУ,
обычно незначительно влияющие на регулируемую величину и труд­
нодоступные для измерения п(і).
СА У разомкнутые и замкнутые. Разомкнутые САУ — это систе­
мы, в которых заданное значение выходной величины ОУ достигает­
ся при помощи регулирующего (исполнительного) органа, устанавли­
ваемого в определенное положение; при этом значение выходной ве­
личины ОУ может существенно отклоняться от его заданного значе­
ния в силу влияния внешних параметров окружающей среды, а также
изменения внутренних свойств ОУ, параметров САУ. Вследствие это­
го возникает необходимость автоматического поддержания выходной
величины на заданном уровне; эта задача решается с помощью замк­
нутой САУ. В случаях, когда не требуется высокая точность поддер­
жания заданного значения выходной величины САУ у(і), замкнутая
система может применяться с использованием человека-оператора.
В замкнутой САУ так же, как и в разомкнутой системе, произво­
дится измерение текущего значения у(і). Однако здесь заданное зна­
чение сравнивается с текущим значением у(1), поступающим через эле­
мент обратной связи (ЭОС) на специальный элемент сравнения (ЭС),
который вырабатывает сигнал ошибки САУ; последний обычно уси­
ливается в САУ до значения, достаточного для управления исполни­
тельным механизмом (ИМ), приводящим в движение регулирующий
орган ОУ. Следовательно, замкнутая САУ — это система с обратной
связью.
Обратная связь в САУ — зависимость у(і) от текущих воздействий
на ОУ и от его состояния, обусловленного предшествующими воздей­
ствиями на объект. Обратная связь может быть естественной (прису­
щей объекту) или искусственно организуемой. При этом различают
отрицательную обратную связь (ООС) и положительную обратную
связь (ПОС) как обратные связи, действующие в первом случае в сто­
рону уменьшения, а во втором — в сторону увеличения отклонений
текущих значений координат объекта от их предшествующих значе­
ний. Следовательно, ООС позволяет строить наиболее точные САУ,
так как несет в себе информацию обо всех изменениях регулируемой
11

величины; ПОС служит для изменения внутренних свойств отдельных
звеньев САУ.
Сигнал ошибки (рассогласования) в замкнутой САУ определяется
как разность между заданным g(t) и текущим ХО значениями регули­
руемой величины е(/) = ± [^(0 - Х0]; может принимать три значения:
е(Г) = 0 (состояние покоя САУ) и е(/) $ 0 (переходной режим САУ).

§1.2 . ТИПОВАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА САУ

Функциональная схема САУ представляет собой совокупность со­
единенных определенным образом элементов (звеньев, блоков) системы
по выполняемым ими функциям, независимо от их физической природы.
Типовые функциональные схемы САУ представлены на рис. 1.2,
где приняты следующие обозначения (см. рис. 1.2, а):
ЗЭ — задающий элемент; служит для задания определенного за­
кона (алгоритма) управления выходной величины; обычно это по­
тенциометры, кулачки, магнитные ленты, проволока, нивелир, луч
света и т. п.;
ЭГОС — элемент главной обратной связи (чувствительный эле­
мент, первичный преобразователь — датчик); служит для измерения
текущего значения регулируемой величины Х0 и преобразования ее
в другого рода уос(0, удобную для технической реализации схемы;
ЭС — элемент сравнения (выявляющий элемент); служит для вы­
явления разницы между заданным и текущим значениями регули­
руемой величины и формирует полезный сигнал (сигнал ошибки, сиг­
нал рассогласования);
ППЭ — последовательный преобразующий элемент; служит для
преобразования сигнала, поступающего с элемента сравнения, в та­
кой сигнал, который позволяет УУ (регулятору) придать системе же­
лаемые динамические свойства;
УЭ — усилительный элемент; служит для усиления поступающего
сигнала до значения, достаточного для приведения в действие испол­
нительного элемента — ИЭ (механизма);
ИЭ — исполнительный элемент; служит для перемещения регули­
рующего органа ОУ в направлении компенсации сигнала рассогла­
сования, преобразованного УУ (регулятором);
РО — рабочий (регулирующий) орган;
ОУ — объект управления — техническое устройство, преобразую­
щее один вид энергии в другой и совершающее полезную работу;
ПЭВ — преобразовательный элемент возмущения; служит для пре­
образования основного возмущения в сигнал, воздействующий на УУ;
ЭМОС — элемент местной обратной связи; служит для придания
системе требуемых динамических свойств;
ЧЭ — чувствительный элемент; служит для измерения основного
возмущения.
12

г;

Рис. 1.2

САУ условно состоит из двух каналов: канал I — канал прямой
связи, содержит все элементы, преобразующие сигнал в одном (пря­
мом) направлении (от ЗЭ к ОУ); канал II — канал обратной связи,
несет информацию о регулируемых параметрах для сравнения их на
входе системы (от ОУ к ЭС).
Типичными элементами САУ, относящимися к информационной
и энергетической части, являются: измерители различных физических
величин, называемые чувствительными элементами или датчиками,
вводящие в систему управления информацию о задачах управления
13

и результатах управления; функциональные преобразователи или вы­
числительные устройства (блоки хранения и преобразования инфор­
мации), осуществляющие определение параметров управления и за­
данное их преобразование и вырабатывающие сигналы управления;
исполнительные элементы (устройства), непосредственно осуществля­
ющие управление.
Совокупность элементов функциональной схемы образует замкнутый
контур, охватывающий объект управления. Поэтому САУ является замк­
нутой или системой управления с обратной связью. На рис. 1.2, б — г при­
ведены упрощенные варианты обозначения функциональных схем САУ.

§ 1.3. ПРИНЦИПЫ УПРАВЛЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ САУ

В рассматриваемой САУ (см. рис. 1.2) в качестве основного при­
меняется принцип управления по отклонению, т. е. с помощью чув­
ствительного элемента измеряется текущее значение регулируемого
параметра ОУ и определяется в элементе сравнения (ЭС) значение
отклонения регулируемого параметра от заданного е(/) = g(t)- уос(і)В САУ, кроме того, применяется также принцип управления по воз­
мущению и комбинированный принцип (объединяющий оба принци­
па) (см. рис. 1.2, а).
Если в САУ отдельно (автономно) применяется только принцип
управления по возмущению, то САУ при этом считается разомкнутой
(по цепи ЭГОС). Эти САУ называются инвариантными по возму­
щению или просто инвариантными САУ (рис. 1.3, а, б). Здесь на

Рис. 1.3

14

рис. 1.3, а представлен развернутый, а на рис. 1.3, б — упрощенный
вариант обозначения схемы САУ.
САУ, работающие по принципу управления по отклонению, име­
ют преимущества перед САУ, работающими по принципу управления
по возмущению, так как в них ведется учет всех возмущений, прикла­
дываемых к САУ в любой ее точке, т. е. на любом из элементов САУ,
и, кроме того, достигается высокая точность поддержания заданного
значения регулируемой величины, а при управлении по принципу воз­
мущения такая точность принципиально не может быть получена.
Комбинированный принцип управления объединяет оба принци­
па: управление по отклонению и по возмущению; этот принцип назы­
вают также компаундированным по возмущению.
Исторически сначала были разработаны первые САУ, работаю­
щие по отклонению, а затем вторые. Впервые САУ, работающая по
отклонению, была внедрена И. Ползуновым в 1765 г. для регулиро­
вания объема воды в котлах (поплавковый регулятор). Принцип уп­
равления по возмущению был впервые применен Понселе в 1830 г.
для регулирования скорости паровой машины (в центральном регу­
ляторе скорости Уатта) и был впоследствии назван принципом Пон­
селе—Чиколева (1874 г.). Русский ученый Чиколев впервые применил
этот принцип для регулирования тока в осветительной нагрузке от
генератора постоянного тока с независимым возбуждением.
Классификационные признаки САУ, характеризующие понятия,
относящиеся к принципам управления, можно выделить на основе
анализа факторов, определяющих алгоритм или закон управления
в САУ, т. е. выработку и реализацию управляющих воздействий. Так,
по степени использования информации о состояниях ОУ при управ­
лении САУ подразделяют на САУ с обратной связью и без обратной
связи; по степени использования при управлении информации о воз­
мущениях — САУ с управлением по возмущению или объединенно­
комбинированные САУ. По степени использования при управлении
информации о параметрах и структуре ОУ САУ подразделяют на
адаптивные САУ: беспоисковые, поисковые, с идентификацией; САУ
с переменной структурой; неадаптивные САУ. По степени опреде­
ленности (заданности) преобразования координат в системе управ­
ления — САУ детерминированные или стохастические САУ. Вид ма­
тематической модели преобразований координат в САУ определяет
САУ как линейные и нелинейные (релейные, логические и др.); вид
управляющих воздействий — САУ аналоговые (непрерывные) и диск­
ретные (прерывистые, импульсные, цифровые); по степени участия че­
ловека-оператора в управлении — САУ ручные, автоматические и ав­
томатизированные (человек-оператор в контуре управления).
Необходимо отметить, что многие системы управления создаются
на основе комплексирования нескольких принципов управления, по­
этому допустимы составные определения, например, как цифровое
управление с идентификацией и др.
15

Рассмотрим более детально принципы управления, связанные с
тем или иным признаком классификации САУ.
Классификация систем автоматического управления осуществля­
ется по следующим признакам.
1. По виду задающего сигнала различают:
системы автоматической стабилизации, задающий сигнал в кото­
рых g(t) = const (t), а выходной параметр САУ поддерживается на
уровне заданного значения (y(t) = const (/));
системы программного управления, задающий сигнал в которых
зависит от задающей программы; например, g(r) = F(Г) и соответствует
программе задания угла наклона оси ракеты при запуске с перехо­
дом от перпендикулярного к горизонтальному движению ракеты;
следящие системы, изменение задающего сигнала в которых про­
исходит по случайному закону, заданному тем или иным способом
[например, угол поворота выходного вала следящей системы дол­
жен соответствовать задающему углу поворота ос (/), здесь ошибка
е(/) = а(/) - Р(/)]. Это различные системы наведения с РЛС, системы
телеуправления и самонаведения, автопилоты, целеуказатели курса
летательных аппаратов (ЛА) с РЛС и другие САУ движением лета­
тельных аппаратов. Например, автопилот, когда и3;1Д = итек, где
о — угол тангажа, характеризующий отклонение горизонтальной
оси ЛА в вертикальной плоскости; реально в автопилоте учитывают­
ся обычно три взаимодействия ЛА: по тангажу и, по курсу у (управ­
ление движением в горизонтальной плоскости) и по крену Ѳ (управ­
ление поворотом ЛА вокруг собственной оси), здесь главный ЧЭ —
гироскоп, сохраняющий неизменное направление в пространстве.
2. По виду (топологии) функциональной схемы (по степени связ­
ности процессов в объекте и степени сложности структуры объекта
управления) различают:
одноконтурные САУ — с одной регулируемой величиной (систе­
мы включают в себя один канал обратной связи); многоконтурные
САУ — с одной регулируемой величиной (включают в себя один ка­
нал главной обратной связи и несколько каналов местной обратной
связи) и многоконтурные САУ с несколькими регулируемыми ве­
личинами (содержат несколько каналов главных обратных связей
и также могут быть местные обратные связи) — многомерные САУ;
последний класс САУ подразделяют на (рис. 1.4, а):
многоконтурные несвязанные системы — это такие системы, в кото­
рых УУ (регуляторы) не связаны между собой вне объекта управления;
многоконтурные зависимые системы — это системы, в которых
изменение одной величины приводит к изменению других регулируе­
мых величин;
многоконтурные независимые системы — это такие системы, в ко­
торых изменение одной регулируемой величины не приводит к изме­
нению других регулируемых величин;
многоконтурные связанные системы — это такие системы, в кото­
рых УУ (регуляторы) связаны между собой вне объекта управления
(рис. 1.4, б);
16

многоконтурные автоном­
ные связанные системы — это
системы, в которых измене­
ние одной регулируемой вели­
чины не приводит к измене­
нию других регулируемых ве­
личин (обычно за счет ис­
кусственных компенсирую­
щих связей);
многоконтурные неавто­
номные связанные системы —
это системы, в которых изме­
нение одной регулируемой ве­
личины ведет к изменению дру­
гих регулируемых величин (рис.
1.4, й).
3. По воздействию чув­
ствительного (измерительно­
го) элемента на регулирую­
щий орган (РО) различают:
система прямого управле­
ния (например, с регулятором
И. Ползунова), когда непо­
средственно (прямо) происхо­
дит передача воздействия чув­
ствительного элемента (по­
плавка) на РО (задвижку).
Недостатки таких систем: не­
обходимо наличие достаточ­
но большого количества энер­
гии для передачи воздействия
ЧЭ па РО; такой энергии ча­
сто не имеется. Кроме того,
реакция РО на ЧЭ снижает
его чувствительность и значи­
тельно уменьшает точность
работы системы. Поэтому в
системах, где необходима по­
вышенная точность к управ­
лению и нет достаточной
энергии для прямого регули­
рования, применяют косвен­
ное управление.
4. По виду зависимости
регулируемой величины от
внешнего воздействия раз­
личают:
2 А. А. Ерофеев

Рис. 1.4

17

статические СА У — это системы, в которых при возмущающем
воздействии регулируемая величина у (/) по окончании переходного
процесса принимает значения, пропорциональные возмущающему
воздействию. Следовательно, статические САУ характеризуются за­
висимостью выходной величины от внешнего возмущающего воздей­
ствия; статическую характеристику САУ оценивают коэффициентом
неравномерности, или статизмом, который вычисляется по формуле
$ _ -Утах

.Угліи _ -Утах _ ।

-Угпіп

-Угліи

Достаточными признаками для отнесения систем к классу статических
являются следующие: определенному значению внешнего воздействия
соответствует одно определенное значение регулируемой величины;
регулирующий орган занимает строго соответствующее положение
по отношению к регулируемой величине; между чувствительным эле­
ментом и ОУ в САУ включаются статические звенья. Статическое зве­
но САУ — это звено, между выходной и входной величинами которо­
го существует строго определенная функциональная связь; графичес­
ки эта связь является статической характеристикой звена у = Р(х);
астатические САУ — это системы, в которых при внешнем воз­
действии / и окончании переходного процесса значение регулиру­
емой величины устанавливается равным заданному, т. е. в устано­
вившемся режиме разность между заданным и текущим значениями
регулируемой величины равна нулю (е = 0). Достаточными признаками
астатических систем являются следующие положения: значение регули­
руемой величины равно заданному независимо от внешнего воздействия;
определенному значению регулируемой величины соответствует не­
сколько положений регулирующего органа; между чувствительным эле­
ментом и ОУ находится одно или несколько астатических звеньев.
Под астатическим звеном понимают звено, в котором выходная вели­
чина в установившемся режиме находится в неустойчивом (безразлич­
ном) положении равновесия; при внешнем воздействии выходная вели­
чина астатического звена выходит из неустойчивого (неопределенно­
го) рановесия и изменяется по строго определенному функционально­
му закону; характеристика астатического звена имеет статизм 5 = 0.
5. По виду воздействия регулирующего органа (или ИЭ, УУ) на
объект управления различают:
системы непрерывного управления (аналоговые), в которых между
выходной и входной величинами существует определенная непрерывная
функциональная связь у = Р(х), где функция является аналитической не­
прерывной функцией, и системы прерывистого управления (дискретные),
в которых функция Р^} является дискретной. Последние подразделяют­
ся на системы релейного действия, импульсные и цифровые системы.
В системах релейного действия в структуре САУ имеются один
или несколько релейных элементов — РЭ (элементов порогового дей­
ствия, типа 0,1). У этих элементов при входном сигнале, меньшем
18

Ѵср (^ср — напряжение срабатывания), РЭ отключен и его контакты
в цепи, например ИЭ, разомкнуты. При входном сигнале, большем
иср, РЭ срабатывает и замыкает свой контакт; при этом ИЭ раз­
вивает некоторый полезный момент М для перемещения РО ОУ. При
уменьшении входного сигнала ниже напряжения отпускания Сотп
контакт РЭ в цепи ИЭ размыкается и его момент М = 0.
Импульсные САУ характеризуются наличием импульсного элемен­
та в схеме, выходная величина которого представляет собой последо­
вательность импульсов. Амплитуда, длительность и частота следова­
ния импульсов являются функцией входной величины. Существует
много модификаций импульсных САУ, различающихся по принципу
осуществления модуляции входного сигнала: времяимпульсные, ши­
ротно-импульсные, амплитудно-импульсные и САУ с комбинацией
этих модуляций.
Цифровые САУ — это САУ, в контуре управления которых для
реализации алгоритмов управления встроены ЭВМ или цифровые
вычислительные устройства.
Системы комбинированного типа: аналого-дискретные, дискрет­
но-аналоговые или цифроаналоговые, аналого-цифровые — представ­
ляют собой смешанную реализацию рассмотренных выше структур.
6. По характеру звеньев, включаемых в САУ, системы делятся
на линейные и нелинейные.
Линейные системы включают в себя линейные звенья, характе­
ристики которых имеют следующий вид: у = а + кх ( Ѵд е 7?), где
к =(у-а)/х = і£(р —статический коэффициент передачи звена.
В линейных системах между выходной у(і) и входной х(і), g(t) ве­
личинами существует линейная функциональная зависимость (в ста­
тическом и динамическом режимах работы). Процессы, происходящие
в этих системах, описываются линейными дифференциальными урав­
нениями.
В зависимости от вида дифференциального уравнения линейные
системы подразделяются на следующие типы:
1) обыкновенные САУ, описываемые обыкновенными линейными
дифференциальными уравнениями (уравнениями типа «вход-выход»):
2

6/0

СІ2у
СІу
,
,
>’+а1
;, + У~ ^х + к2 сіг
си
Л

ч

+ к2/(і);

(с^р2 + ЩР + У)у = (к{ + к2р)х + к2/(і)
или в переменных состояния:

і = Ах + Ви',

у = Сх + Ии,
где А, В, С, О — матрицы; и — вектор управления;
2) САУ с распределенными параметрами, описываемые дифферен­
циальными уравнениями в частных производных, например:
2*

19

du _ j^di
di _ ^du
dx
dt
dx
dt
где x — пространственная координата;
3) системы с запаздыванием, описываемые линейными дифферен­
циальными уравнениями с запаздыванием:
dy
«о 7 + у = ^x(t-T),
at
где т — время чистого запаздывания;
4) системы с переменными параметрами; коэффициенты и матри­
цы коэффициентов в уравнениях являются зависимыми от времени —
это нестационарные системы; такие системы описываются, например,
следующими уравнениями:
А' = A(t)x + B(t)u;
у = C(t)x + D(t)u

или
dn v
dm f
«о(О , „ + ...+fl„(0r4(0
+ ...+bm(t)f;
dt
dt
все системы с постоянными параметрами [я, = const (/) ] называются ста­
ционарными; при аі =(1,(1) — САУ называются нестационарными;
5) импульсные (и цифровые) системы, описываемые линейными
разностными уравнениями (уравнениями в конечных разностях).
Здесь используют прямые разности: Лу[иТ] = у[(и + 1)Т]- у[пТ]; обрат­
ные: Ѵу[пТ]= у[пТ]~ у[(п-1)Т] —первого и более высоких порядков:
Д2Я«Л ••• ^у[пТ]; ^у[пТ] ... Уку[нТ]у[пТ] = ^у[(п- к)].
Уравнения САУ имеют вид:

а„^у[пТ] + аІ^-'у[пТ]+ ... +aty[nT] = ^/[пТ]; ЙА)Я«Г| = ВДЛ"?1;
а^ку[пТ\^аук-'у[пТ\+ ... +«(.»[»71 = ѴІ"П ЙЧЯ»7] = Й(Ѵ)ЛЯГ]

или (уравнения в переменных состояния):
х[(п + 1)Т] = Ах[пТ] + Ви[пТ];
у[пТ] = Сх[пТ] + Du[h Т].
Нелинейные СА У включают в себя одно или несколько звеньев с нелинейными характеристиками: у = F^x); у = F2(x,х); y = F„(x, х, ..., у)
и т. д., где F— нелинейная функция (рис. 1.5).
Нелинейные системы — это также любые системы, в которых на­
рушается линейность уравнений динамики.
Все реальные САУ обычно являются нелинейными, но САУ с несу­
щественной нелинейностью характеристик — линеаризуют. Несуще­
ственно нелинейные характеристики показаны на рис. 1.5, а (7, 2); они
20

не содержат разрывов непрерывности. Существенно нелинейные ха­
рактеристики содержат изломы, разрывы непрерывности первого рода
и т. д. [показаны на рис. 1.5, а (3), б, в, г].
Теория линейных систем в настоящее время полностью разработа­
на, поэтому целесообразно сводить там, где это возможно, нелиней­
ные САУ к линейным, используя методы линеаризации.
Однако нелинейные САУ богаче по своим возможностям, в том
числе и в смысле улучшения качества процессов.
7. По степени самонастройки, адаптации, оптимизации и интел­
лектуализации различают:
Экстремальные системы (системы с самонастройкой програм­
мы) — это САУ, в которых значение регулируемой величины авто­
матически поддерживается на экстремальном значении (максимуме,
минимуме) при различных значениях возмущающих воздействий /(/),
заранее неизвестных (рис. 1.6). Здесь программа изменения ^(/) опре­
деляется автоматически в процессе работы САУ. В САУ добавлено
специальное устройство автоматического поиска экстремума (УАПЭ),
которое на основе анализа определенных характеристик ОУ выдает
на вход САУ воздействие g0) - gJ. В результате УУ (регулятор)
21

Рис. 1.6

вырабатывает управляющее воздействие ц(1) или u(t) определяющее
оптимальное поведение САУ при изменении y(t), например работу
САУ на экстремальном значении у = утах (рис. 1.7). Здесь на рис. 1.7
представлены различные типы экстремальных характеристик ОУ вида
^ = ф(/) (рис. 1-7, а) или У = Ф W (рис. 1.7, б, в), где/, х — соответственно
возмущающее и управляющее воздействия; gradF = 01—> _уэкстр.
Обычно при проектировании САУ всегда преследуют экстре­
мальную цель управления. Экстремальные системы по существу яв­
ляются системами автоматической стабилизации выходной вели­
чины _уЭКСТр = const (/) или экстремума некоторого функционала
J = F(y, х, у, х, ..., f). В последнем случае САУ решают не только
задачу экстремального управления, но и задачу оптимизации, т. е.
являются оптимальными САУ.
Системы с самонастройкой параметров (собственно самона­
страивающиеся системы) — это системы, в которых автоматически
в зависимости от переменных заранее неизвестных внешних условий
(по / g) устанавливаются оптимальные значения параметров систе­
мы. Следовательно, УУ работает таким образом, чтобы регулируе­
мая величина на выходе САУ изменялась по наивыгоднейшему (оп­
тимальному) закону в соответствии с априори заданным критерием
качества — функционалом J. Под функционалом J могут рассматри­
ваться сложные функции полезности, максимума прибыли, минимума
потерь или минимума расхода энергии при работе САУ и т. п.

Рис. 1.7

22

Рис. 1.8

В роли J могут быть использованы и простые оценки качества
процессов, например: минимум длительности переходного процесса
/пп =min или минимум среднеквадратичной ошибки управления е2 =min
и т. п. Здесь в схему САУ входит устройство самонастройки (УСН) —
анализатор качества или оптимизатор, который определяет отклоне­
ние характеристик замкнутой САУ от желаемых (эталонных) и в за­
висимости от состояния системы — некоторой функции F(e, g, z, у) —
воздействует на УУ. Следовательно, такие системы — это системы
с самооптимизацией или иначе, адаптивные САУ со стабилизацией
и с оптимизацией качества (оптимальные по быстродействию, по точно­
сти, по технико-экономическим показателям и т. п.). Упрощенная функ­
циональная схема такой САУ приведена на рис. 1.8.
Системы с самонастройкой структуры — это собственно само­
организующиеся или самоалгоритмизирующиеся системы, в которых
в зависимости от переменных, заранее не определенных, внешних ус­
ловий производится оптимальная настройка структуры системы таким
образом, чтобы регулируемая величина на выходе изменялась по наи­
выгоднейшему (оптимальному) закону в соответствии с заданным
критерием качества/(в простейшем случае, например, минимумом ошиб­
ки управления Е2 = min). Автоматический поиск наивыгоднейшей (опти­
мальной) структуры САУ дает возможность решать более сложные зада­
чи при управлении сложными ОУ — комплексами (рис. 1.9).
На рис. 1.9 идентификатор производит сбор и обработку инфор­
мации о работе ОУ; САУ строится как система принятия решений об
управлении сложным ОУ.

Рис. 1.9
23

Системы комбинированного типа с самонастройкой структуры
и параметров, объединяющие в своем составе определенные идейные
фрагменты рассмотренных структур. Все эти САУ являются также
и оптимальными САУ.
Интеллектуальные системы управления (ИСУ). Необходимо отме­
тить, что в классическом понимании САУ, включающие разнообраз­
ные ОУ, воспринимались как системы, процессы в которых принци­
пиально прогнозируемы и управляемы. Ошибки в управлении и под­
час неработоспособность систем рассматривали часто как недоста­
ток знаний (обычно об ОУ). Наращивание объема знаний в процессе
эксплуатации САУ (принцип обучения и самообучения) было отраже­
но как раз в создании обучающихся адаптивных САУ с гибкими ал­
горитмами управления и идентификации ОУ и процедурами приня­
тия решений. Обучающиеся адаптивные САУ — это системы с на­
коплением, запоминанием и анализом информации о поведении слож­
ного ОУ, среды функционирования и САУ в целом и изменении алго­
ритмов управления в зависимости от опыта и условий работы. Об­
ласть применения ИСУ — управление сложными объектами с плохо
изученной динамикой, свойства, условия работы которых априорно
недостаточно известны, существенно непостоянны (с дрейфом пара­
метров, характеристик ОУ и среды функционирования). Это, в частно­
сти, и открытые неравновесные системы, в которых постоянно идут
процессы организации и самоорганизации, когда после некоторых
периодов количественного изменения своих параметров они могут
качественно (скачкообразно, «катастрофично») изменять свои харак­
теристики.
ИСУ первого поколения — это адаптивные или самоприспосабливающиеся системы, обладающие способностью приспосабливаться
к изменению внешних условий, а также улучшать свою работу по мере
накопления опыта (свойство самообучения). В этих условиях обыкно­
венные, неадаптивные САУ неработоспособны либо работают неудов­
летворительно, требуя постоянного квалифицированного наблюдения.
ИСУ нового поколения строятся как самообучающиеся, самона­
страивающиеся системы с гибкими процедурами принятия решений
об управлении (нечеткое управление), как системы, основанные на зна­
ниях и формирующие новые знания в процессе управления и функци­
онирования. Разновидности ИСУ строятся и как экспертные системы
(ЭС), встроенные в контур управления, работающие, в частности,
в интерактивном режиме с лицом, принимающим решение (ЭС, как
интеллектуальная ОС). Экспертные ИСУ представляют собой разви­
тые структуры: от интеллектуальных датчиков до программных сис­
тем с выработкой лингвистических управляющих воздействий. В за­
дачи ИСУ входят: экспертная оценка ситуации управления (на уров­
не машинного планирования эксперимента); синтез УУ; оценка ин­
формационной чувствительности и ранжирование каналов управле­
ния; синтез управляющих воздействий, в том числе и в виде функ24

ций принадлежности с лингвистическими переменными L (типа>, <,
«норма» и т. д.)1; анализ среды функционирования; планирование
траекторий; использование логико-лингвистических систем и т. п.
В ИСУ фрагментарно и комплексно используются современные дос­
тижения систем искусственного интеллекта, продукционные способ­
ности во многих направлениях, автоматическое и адаптационное про­
граммирование, алгоритмизация и т. д. В целом интеллектуальные
системы управления можно оценивать на современном этапе как «ра­
зумные» системы, оптимизирующие процессы управления, эффектив­
но работающие при решении задач управления сложными объектами
в условиях неопределенной информации о свойствах ОУ, среды функ­
ционирования и т. п. Возникновение ИСУ предопределило развитие
нового направления в теории управления, а именно разработки при­
кладных методов искусственного интеллекта (ИИ) и создания на их
основе методологии построения САУ, ориентированных на разра­
ботку и использование знаний и развитие теории нечетких моделей
динамических управляемых систем, теории нечетких алгоритмов и ре­
гуляторов.
Особенно эффективными для целей управления оказались откры­
тые системы, способные с течением времени совершенствовать свое
поведение. Прогресс в области разработки экспертных систем (ЭС)
привел к созданию включенных в систему управления активных ЭС.
С развитием ИСУ развивались и аппаратные средства поддержки про­
цессов, протекающих в них: специальные процессоры поддержки язы­
ков высокого уровня (ЛИСП, ПРОЛОГ); специальные процессоры для
интеллектуальных баз данных и баз знаний (в том числе и для логи­
ческого вывода, основанного на знаниях); специальные процессоры
для интеллектуального интерфейса (обработка изображений, текста,
речи); аппаратно реализованные средства обработки нечеткой и линг­
вистической информации (нечеткие процессоры, «Fuzzy Processors»),
нечеткие компьютеры («Fuzzy Computers») [15-18].
Общесистемный подход к решению таких задач привел к необхо­
димости формирования теории ИСУ на стыке искусственного интел­
лекта, исследования операций и ТАУ. Основной предмет исследова­
ния теории ИСУ — разработка конкретных структур САУ в рамках
общей концепции архитектуры ИСУ, претендующей на интеллектуаль­
ное поведение при решении различных задач. Структура ИСУ, в част­
ности, может соответствовать уровням, упорядоченным в соответствии
с базовым принципом 1PDI (Increase of Precision with Decrease of
Intelligence): точность управления тем выше, чем меньше интеллекту­
альность системы, и наоборот, точность управления тем ниже, чем выше
'Например, L = {NB, NM, NO, РО, PS, PM, РВ}, где N н «-»; Р н «+»; В н «>»;
М н «норма»; S н> «<»; Он» «~ О »; функции принадлежности: 5-; Z- типа, треу­
гольные, трапецеидальные, колоколообразпые и т. д. Перевод «четких» знаний (#)
bL(-» ) соответствует операции «фазификации», a L - - в «четкие» знания — «дсфазификации»; (н> —знак соответствия).

25

интеллектуальность данного уровня иерархии системы. Класс ИСУ
соответствует следующим пяти принципам:
— наличие взаимодействия управляющей системы с реальным внеш­
ним миром с использованием информационных каналов связи (дан­
ный принцип подчеркивает непосредственную связь интеллектуаль­
ных систем с внешним миром); ИСУ получают из него знания и влия­
ют на него. Выполнение этого принципа позволяет организовывать
канал связи для извлечения знаний и организации целесообразного
поведения;
— принципиальная открытость системы с целью повышения ин­
теллектуальности и совершенствования собственного поведения (от­
крытость системы обеспечивается наличием самонастройки, самоор­
ганизации и самообучения). Система знаний ИСУ состоит из двух
частей: поступающие знания и проверенные знания. Этот принцип поз­
воляет организовывать пополнение и приобретение знаний;
— наличие механизмов прогноза изменений среды функциониро­
вания и собственного поведения системы в динамически меняющемся
внешнем мире. В соответствии с этим принципом ИСУ не полностью
интеллектуальна, если она не обладает возможностью прогноза изме­
нений внешнего мира и собственного поведения (система без прогно­
за может попасть в критическую ситуацию);
— наличие у системы структуры построения, соответствующей
принципу ІРЭІ, что намечает пути построения сложных ИСУ в слу­
чае, когда неточность знаний о модели ОУ или о его поведении мо­
жет быть скомпенсирована за счет повышения интеллектуальности со­
здаваемой системы или соответствующих алгоритмов управления;
— сохранение функционирования (возможно, с некоторой потерей
качества) при разрыве связей или потере управляющих воздействий
от вышестоящих уровней иерархии ИСУ. Этот принцип определяет
лишь потерю интеллектуальности, но не прекращая функционирова­
ния при отказах в работе высших уровней иерархии системы. Сохра­
нение автономного функционирования в рамках более простого по­
ведения системы очень важно для автономно функционирующих сис­
тем в реальном внешнем мире.
Исходя из изложенного, для ИСУ вводят понятия интеллектуаль­
ности «в малом» и интеллектуальности «в большом». ИСУ, организо­
ванная в соответствии со всеми пятью принципами, называется ин­
теллектуальной «в большом». Такие системы должны иметь иерархи­
ческую структуру с несколькими рангами: обучения, самоорганиза­
ции (настройка), прогноза событий, работы с базой знаний и базой
событий, формирования решений, планирования операций по реали­
зации решения, адаптации, исполнительного уровня. Самый нижний
уровень таких систем занимают традиционные С АУ; ИСУ, структур­
но не организованные в соответствии с перечисленными пятью прин­
ципами, но использующие при функционировании знания для преодо­
ления неопределенности входной информации, модели управляемого
26

объекта или его поведения, есть системы, интеллектуальные «в ма­
лом». Примером таких систем могут служить САУ с нечеткими
регуляторами (контроллерами). САУ с нечетким регулятором назы­
вают иерархически двухуровневую систему управления, «интеллек­
туальную в малом», на нижнем уровне которой находится, напри­
мер, традиционный ПИД-регулятор, а на верхнем — база знаний
(БЗ) и устройства перевода в лингвистические и четкие знания (с по­
мощью лингвистических правил-знаний).
В зависимости от типа используемого регулятора и способов фор­
мирования базы знаний (и особенностей механизма вывода) нечеткий
регулятор может быть адаптивным, самообучающимся и нечетким
регулятором с активной экспертной системой. Если в структуре не­
четкого регулятора на нижнем уровне иерархии используются адап­
тивные, самоорганизующие ПИД-регуляторы, то улучшаются функ­
ционирование и динамические характеристики исполнительного уров­
ня, но не затрагиваются вопросы интеллектуализации его поведения.
Изменение способов формирования базы знаний дает возможность
повысить интеллектуальный уровень системы вплоть до «интеллек­
туальности в большом».
Интеллектуальные или нечеткие алгоритмы управления (НАУ)
представляются набором нечетких правил, результат которых на вы­
ходе нечеткого регулятора (НР) не определенное значение (число),
а нечеткое множество, описываемые посредством некоторых функций
принадлежности логической переменной. НАУ являются принципи­
ально нелинейными, базирующимися на эмпирических знаниях в виде
некоторой совокупности правил (таблиц решений). Для вывода пра­
вил используются различные методы, в частности метод «максимумаминимума». Машина вывода (МВ) формирует НАУ по цепи БЗ-МВ.
В соответствии с нечеткими алгоритмами на выходе НР формируются
нечеткие указания (термы), содержащие рекомендации, основанные
на логическом подходе к моделированию процессов, происходящих
в сложном ОУ с учетом воздействий на него среды функционирова­
ния. Логические модели работы ОУ содержат основные понятия —
ее атрибуты: часть из них составляют входные воздействия (л),
часть — функции, определяющие состояния ОУ (у), между которыми
непосредственно (или через промежуточные переменные) устанав­
ливается функциональная взаимосвязь в виде логических функций Ь
с учетом действия внешних возмущений (/). Логические функции, от­
носящиеся к определенному блоку свойств ОУ, обычно формируют
в виде таблиц, отображающих функциональные зависимости — таб­
личные функции, например у = тах(%і, х2). Сборка модели функ­
ционирования сложного ОУ (композиция) производится из блоков
посредством создания цельной иерархической функциональной сети
(схемы) ОУ [15-18].
ИСУ обеспечивают эффективное управление в широком диапазо­
не начальных условий, с качеством не хуже или на уровне линейных
САУ, и НР не надо подстраивать в процессе работы (робастное уп27

равление). Таким образом, в ИСУ реализуются принципиально но­
вые и более эффективные алгоритмы с применением нечеткой логики
управления и искусственных нейронных сетей (ИНС). ИНС обладают
таким полезным свойством, как способность к обучению, что делает
универсальным их применение в различных сложных условиях функ­
ционирования ОУ. Обычно используют ИНС прямого распростране­
ния (персептроны) и сети Хопфилда; они входят в HP, служат факти­
чески БЗ, содержащей информацию о желаемом поведении системы.
Например, ИНС прямого распространения с сигмоидальной функци­
ей нелинейности нейрона. В совокупности работа ИСУ с НАУ позво­
ляет достаточно точно имитировать действия эксперта (человека-опе­
ратора) в процессе принятия решений при управлении сложными ОУ.
Функционирование ИСУ, например в автоматическом режиме для
целей автономной навигации космических ЛА1, характеризуется вы­
работкой и коррекцией как целей и алгоритмов управления («внут­
ри» ИСУ), так и «оптимальным» построением структуры самой ИСУ
с наивыгоднейшим процессом управления и поведения в целом с уче­
том текущего определения свойств (моделей) сложного ОУ и парамет­
ров среды функционирования («внешнего мира»). Применение в ИСУ
интеллектуальных технологий управления с комплексным использо­
ванием достижений ТАУ, ИИ, нейрофизиологии определяет разработ­
ку новых методов и средств управления, например параллельных не­
четных алгоритмов управления, динамических ЭС-адаптивных регу­
ляторов; нейросетевых, транспьютерных, сигнальных нечетких регу­
ляторов и т. д.
Теория ИСУ в ТАУ является, по-видимому, предельной формаци­
ей парадигмы теории управления. С точки зрения ТАУ, ИСУ — это
многомерные, многосвязные системы СО МНОГИМИ х, f, и, у, сильны­
ми возмущениями, нелинейностями, с неточностью математического
описания, возможностью использования нечетких знаний типа «know­
how», лингвистического описания процессов, с обработкой боль­
шого объема информации в реальном времени. Теория уделяет зна­
чительное внимание интеллектуальным технологиям в ИСУ: анализу
и синтезу описательно заданных объектов (ситуаций), выделению
базового ядра, описанию информационных потоков и т. п. Теория
ориентирована на широкий круг проблем, имеющих описательное
и лингвистическое представление. Понятие интеллекта здесь вос­
принимается как атрибут системы определенного уровня сложности.
Важнейшей особенностью ИСУ является ориентация на системно
открытые объекты с автоматической выработкой решения внутри
управляющей системы на основе сформированного и накопленного
в ней знания [13-18].
1 Примером ИСУ ЛА является известная система управления полетом и силовой
установкой гиперзвукового самолета нового поколения Х-29 (USA, 1992 г.)
28

§1.4. ЗАДАЧИ ТАУ И ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

Процессы, происходящие в САУ, как у всякой динамической
системы, делятся на установившиеся и переходные. Установившийся
процесс в САУ характеризуется постоянством внешних воздействий
и других условий работы ОУ и системы в целом. Изменение этих
условий вызывает переходные процессы в САУ и требует управления
системой. Основной причиной возникновения переходных процес­
сов в САУ обычно является изменение условий работы ОУ и непо­
стоянство внешних возмущений. Инерционность, присущая всем без
исключения техническим устройствам, вызывает замедление процес­
сов во времени.
Основные проблемы ТАУ связаны с кибернетическими проблема­
ми и сводятся к определению и теории общих закономерностей управ­
ления в информационном аспекте (сбору и обработке информации), к
проблеме устойчивости, качества, оптимизации.
При рассмотрении процессов в САУ наиболее важное значение
имеют проблемы устойчивости системы, качества и оптимизации про­
цессов управления.
Устойчивость — это свойство процессов в САУ и самой САУ при­
ходить в установившееся состояние, так как замкнутые САУ весьма
склонны к потере устойчивости при действии возмущений. Неустой­
чивость системы выражается, например, в возникновении колеба­
ний со все возрастающей амплитудой — расходящихся колебаний.
Переходные процессы, соответствующие устойчивой системе, долж­
ны сопровождаться умепыпением отклонения выходной координа­
ты САУ )■(/) со временем, г. е. отклонения должны не возрастать,
а уменьшаться — затухать.
Устойчивость — необходимое условие работоспособности САУ.
Качество процессов управления характеризуется комплексом по­
казателей и интегрально оценивается тем, насколько процесс управ­
ления в реальной САУ близок к заданному (желаемому). Количествепно комплекс показателей определяется критериями качества У (ска­
лярные, векторные, интегральные критерии), которые выбираются
в соответствии с целью управления и структурой САУ. Качество про­
цессов управления может оцениваться и такими простыми парамет­
рами, как величиной максимального отклонения у(1), вызванной
скачком возмущения; колебательностью переходного процесса, его
длительностью (критерии точности и быстродействия) и весьма слож­
ными, соответствующими комплексным технико-экономическим по­
казателям работы сложного ОУ и САУ в целом.
Критерии точности управления характеризуют погрешность САУ
в установившихся режимах. Для обыкновенных САУ обычно точ­
ность определяется величиной установившегося отклонения )’(/) от
заданного значения (после окончания переходного процесса).
Оптимизация, адаптация и интеллектуализация САУ — это про­
цесс создания САУ в соответствии с принципами, изложенными выше.
29

Проблемы устойчивости, качества, оптимизации и интеллектуализа­
ции составляют основной информационный аспект ТАУ. Энергетичес­
кий аспект, связанный с расчетом и выбором элементов и САУ в целом,
в ТАУ не рассматривается; эти вопросы рассматриваются в специ­
альных курсах.

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 2.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
И МЕТОДЫ ИХ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Одной из первоочередных задач, которую необходимо решить при
проектировании САУ, является получение математической модели
объекта управления. Главным в ТАУ является именно составление
математического описания функционирования ОУ, его свойств и со­
отношений между ними, позволяющее оценивать (прогнозировать)
информацию об изменении состояния объекта при приложении к не­
му внешних воздействий. В общем случае в ТАУ объект управления
представляет собой абстрактный (математический) объект, связан­
ный с множеством свойств ^-, которые обычно характеризуются
числами или наборами чисел; при этом сам объект описывается отно­
шениями между этими свойствами. Следовательно, абстрактный
объект или просто ОУ характеризуется множеством переменных
вместе с отношениями между ними.
Объекты управления в зависимости от степени сложности делятся
по числу выходных координат на одномерные (с одной выходной ко­
ординатой) и многомерные (с несколькими выходными координата­
ми). Если выходные координаты связаны между собой, то ОУ — мно­
госвязный (рис. 2.1, а). Соответственно УУ (регуляторы) являются
одноканальными или многоканальными (многосвязными); выбор ти­
па УУ (регулятора) и закона управления в САУ в значительной сте­
пени определяется статическими и динамическими свойствами ОУ.
Реальные ОУ, как правило, относятся к сложным объектам с дрей­
фом характеристик, значительной инерционностью 7^ и временным
запаздыванием т, большим уровнем помех и т. д.
Еслии = (ц, ..., ит)т—ш-мерный вектор входных переменных (уп­
равляющих и возмущающих); х^А], ..., х^— «-мерный вектор
переменных состояния, полностью характеризующих поведение ОУ;
у = (уь ..., у/)т — /-мерный вектор наблюдаемых или выходных ко­
ординат, то в нормальной форме уравнения состояния сложного
ОУ будут иметь вид (рис. 2.1, б):
30

і(0 = А(і)х(і) + В(і)и(іу,
где А, В, С, О — матрицы (обычно
О = 0). Матричная передаточная функ­
ция ОУ: WQ(p) = С(рЕ - АГ[ В + Е
(Е — единичная матрица).
Модели объектов управления, от­
ражающие в значительной мере ре­
альные процессы, можно представить
на основе их физического и матема­
тического описания. Описать ОУ
можно с помощью математического
описания физических явлений или экс­
периментально. Определение харак­
теристик ОУ по данным эксперимен­
тальных исследований называется
идентификацией.
В общем виде такая идентифика­
ция состоит в отыскании по входным
и выходным сигналам ОУ (звена,
системы) эквивалентной ему системы
из некоторого заданного класса.
Идентификация базируется на ис­
пользовании как априорной инфор­
мации об ОУ при определении струк­
туры модели (структурная иденти­
фикация), так и на обработке дан­
ных измерения для получения необ­
ходимой апостериорной информа­
ции (параметрическая идентифика­
ция). Обычно структуру модели ОУ
на первоначальном этапе идентифи­
кации стремятся выбирать на основе
широко используемого в инженерной
практике линейного метода анализа
и синтеза реальных систем (класс ли­
нейных или линеаризованных урав­
нений).
Различают математические моде­
ли трех типов: детерминированные,
статистические (стохастические),
адаптивные. Детерминированные
модели ОУ рассматривают обычно
в виде передаточных функций ^(р) =
= А(р)/В(р). Статистические моде-

Рис. 2.1

у(^ = С(1)х(1) + Е^и^

31

ли ОУ характеризуются набором статистических параметров и функ­
ций распределения. При этом используют методы математической ста­
тистики, корреляционный, дисперсионный и регрессионный анали­
зы. Адаптивные модели ОУ используют для ОУ с недостаточной ап­
риорной информацией о его свойствах. Применяют и комбиниро­
ванные модели ОУ — детерминированно-стохастические, детермини­
рованно-адаптивные и др.
Очевидно, что чем точнее модель ОУ, тем выше точность резуль­
татов проектирования САУ. Однако при сложных моделях ОУ резко
возрастает и трудоемкость синтеза УУ и проектирования САУ в це­
лом. Поэтому обычно используют два типа моделей ОУ: точные —
на этапе анализа и отладки УУ и САУ; приближенные — на этапе
синтеза УУ. Это оправдано основным свойством САУ с обратной
связью — их малой чувствительностью («грубостью») к внешним
воздействиям.
Детерминированные модели в виде передаточных функций типо­
вых ОУ имеют вид:

И№)=/° е^;
^+1

(7>+І)(Т/> + 1)
где приближенно е /,т=1-/)Т при разложении в ряд Тейлора и
е~рх = (1-тр) (1 + т^) при разложении в ряд Пада. Если ОУ имеет
^(^^о'/^ + ІХ^МІ)', где N определяет число апериодичес­
ких звеньев с постоянной времени 7^, то ОУ с такой передаточной
функцией можно считать без запаздывания. Однако, в общем случае
сомножитель вида ІДТ^+І^ лучше учитывать через еГрх при
^ = 8-10•
Статистические (и адаптивные) модели получают с применением
активных и пассивных методов идентификации и соответственно пла­
нирования эксперимента; активный эксперимент с генерацией на вхо­
де ОУ детерминированных и (или) случайных воздействий с последу­
ющей обработкой результатов, пассивный — в режиме нормального
функционирования ОУ (итерационные и неитерационные методы).
Идентификация ОУ (линейная, нелинейная) проводится на определен­
ном уровне качества идентификации, определяемом критериями иден­
тификации или адекватности модели и ОУ (например, минимизацией
интегральной оценки)
32

^ВЫХЭКСП. №

^ВЫХМОД.(0]

гіі.

о

Теории идентификации и планирования эксперимента достаточно
хорошо разработаны и включают в себя комплекс методов корреляцион­
ного и регрессионного анализа, методы малого параметра и стохастичес­
кой аппроксимации, эвристические методы, методы эстимации ОУ и др.
Безусловно, реальный ОУ отличается от построенной математи­
ческой модели, поэтому важно сравнивать некоторые главные осо­
бенности физического ОУ и соответствующей математической моде­
ли (гарантировать их точное совпадение невозможно). В связи с этим
приемлемость модели следует понимать в плане ее «полезности».
Объекты, имеющие характеристику, показанную на рис. 2.2, а,
называют объектами с самовыравниванием, здесь ^о = [^йч
^ “7 Хвх(0~> °°] — конечно. Распространены также характеристики
ОУ, аналогичные приведенным на рис. 2.2, б. Объекты с такой харак­
теристикой называют объектами без самовыравнивания, или астатичес­
кими объектами . Передаточная функция таких ОУ имеет вид

Идентификация ОУ осуществляется в двух направлениях: опреде­
ление структуры (вида) ^0(р) (структурная идентификация) и опре­
деление параметров ^(р) (параметрическая идентификация).
Различают два способа получения детерминированной модели ОУ.
1. Передаточную функцию №0(р) определяют по временным ха­
рактеристикам ОУ: w(^) — весовой и (или) переходной функциям
(рис. 2.3, 2.4). Если известна (экспериментально получена) переход­
ная функция Л(/), то различными методами по ней можно определить
ш(/) (см. рис. 2.3), а также передаточную функцию ОУ [2, 10]. При «гру­
бой» идентификации передаточная функция ^0(р) (например,
№0(р) =—°- -е’/,т ) определяется непосредственно по/г(/) (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2

3 А. А. Ерофеев

33

Методы точной идентификации базируются на интегральных оцен­
ках й(/) путем последовательного интегрирования Ь(і)[хвк(р) = 1/р]
(рис. 2.5).
В общем случае

°

а/ + а„У'+... +й]+1

где а^З + Ь^ 3 —площадь.
В зависимости от площади 3 определяют и другие коэффициенты
ап, Ьт уравнения, числителя и знаменателя ^(р). Этот метод разра­
ботан М. П. Симою еще в 1956 г. и называется методом площадей.
Применяют и другие методы (например, методы Корбина, Стрейца).
Методы, базирующиеся на вычислении площади 3, наиболее эф­
фективны и удобны при использовании ЭВМ для идентификации ОУ
в условиях проведения активного эксперимента.
2. Определение ^(^ по экспериментальным частотным характе­
ристикам ОУ ^0(;'(о). Для определения частотных характеристик ис­
пользуют схему (рис. 2.6), в которой на вход ОУ могут подаваться раз­
личные х(0 (рис. 2.7): ступенчатые /(Г) (рис. 2.7, а, б), импульсные 5(7)
(рис. 2.7, в), треугольные (рис. 2.7, г), трапецеидальные (рис. 2.7, ф,
синусоидальные (рис. 2.7, в), прямоугольные (рис. 2.7, ж) — воздей­
ствия (колебания) и др. Идентификация ОУ при хвх(/) произвольной
формы составляет основу поисковых методов. На регистратор (ана­
лизатор) поступают сигналы со входа и выхода ОУ и затем по измене­
нию ^/^1
= ^(ю) определяют амплитудно-частотную характе­
ристику, а по соотношению фаз ф^со) -фх(со) = ф(ш) строят фазочас­
тотную характеристику; далее по ^(усо) = И((о)еЛ(ш) находят №0(р).
34

Рис. 2.6

В общем случае при рассмотрении динамической системы тре­
буется соотнести между собой переменные, характеризующие систе­
му (оценить совокупность предполагаемых связей между наблюдае­
мыми сигналами).
В практической деятельности модели ОУ могут принимать самую
разнообразную форму и записываться с разной степенью математи­
ческой детализации [2]. Выбор того уровня сложности, который дела­
ет модель полезной, определяется планируемым использованием. Ча­
сто при работе даже со сложными ОУ используют субъективные

3*

35

(вербальные) модели, описание которых производится без математи­
ческих выражений. Примером может служить управление автомоби­
лем или видеомагнитофоном, телевизором. Для описания свойств ряда
промышленных ОУ используют числовые таблицы и (или) графики.
Такие графические модели, например, для линейных ОУ (систем) мо­
гут быть представлены своими импульсными характеристиками (реа­
лизациями), переходными или частотными характеристиками. Графи­
ческое представление моделей ОУ широко используется в различных
задачах проектирования С АУ; язык графических моделей хорошо при­
способлен к решению многих задач анализа и синтеза САУ.
Однако в ТАУ наиболее широко применяют модели, в которых
соотношения, описывающие связи между системными переменными, за­
даются в виде разностных, дифференциальных уравнений. Такие моде­
ли называются математическими или аналитическими моделями. Ма­
тематические модели могут быть снабжены набором поясняющих при­
лагательных (непрерывные и дискретные по времени, линейные или
нелинейные, сосредоточенные и распределенные, детерминирован­
ные или стохастические) в зависимости от типа используемых уравне­
ний. Математическое моделирование реальных процессов, по суще­
ству, является составной частью всех технических научных дисциплин.
В процессе машинного моделирования (проектирования) моделью
системы являются специальные программы для ЭВМ или программ­
ные системы, так как программа, с помощью которой описывается
поведение сложных систем, может представлять собой совокупность
взаимодействующих между собой подпрограмм. Такие компьютери­
зованные представления сложных ОУ (и систем) называются программ­
ными или машинными моделями.
Эти модели играют большую роль в процессе принятия решений,
в системах искусственного интеллекта и, в общем случае, системах,
основанных на знаниях, т. е. интеллектуальных системах управления.
Основой построения моделей являются данные наблюдений, ис­
пользование результатов некоторых измерений. Обычно при фор­
мировании модели выполняют декомпозицию системы на такие под­
системы, свойства которых можно определить из ранее накопленного
опыта и информации (из использования физических законов, резуль­
татов ранее проводимых экспериментальных исследований).
Формальное математическое объединение этих подсистем создает
модель системы в целом.
Решение задач идентификации требует, как правило, эксперимен­
тальных данных ведения регистрации входных и выходных сигналов
системы и формирования модели в результате обработки соответству­
ющих данных. Эта задача не имеет эффективного решения, и чаще
всего ее целесообразно рассматривать в более простой форме: на ос­
нове априорных сведений о природе ОУ задана его математическая
модель; в модель входит набор параметров, значения которых зара­
нее неизвестны и подлежат оценке.
36

§ 2.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ САУ

Целью исследования САУ является решение задачи анализа
или задачи синтеза системы. Если система задана, включая струк­
туру и значение параметров, то требуется определить только ее свой­
ства, т. е. провести анализ. Во втором случае (синтеза), наоборот, за­
даются требования к САУ, т. е. свойства, которыми должна обладать
система; в результате синтеза необходимо создать систему, удовлет­
воряющую этим требованиям. Ясно, что задача синтеза неодно­
значна в своем решении и намного сложнее задачи анализа САУ.
В общем виде задача исследования САУ базируется на математи­
ческом описании системы, исследовании ее устойчивости и качества
установившихся и переходных режимов.
Создание математического описания — построение модели САУ —
обычно сопровождается разбиением ее на звенья, т. е. осуществляется
декомпозиция САУ, и описанием этих звеньев (аналитически в виде
уравнений, связывающих входные и выходные координаты звена, либо
графически, в виде характеристик, описывающих ту же связь). Сово­
купность уравнений (или характеристик) отдельных звеньев опреде­
ляют уравнения или характеристики системы в целом.
Любая САУ осуществляет преобразование информации, т. е. каж­
дой функции на выходе ставится в соответствие определенная функция
на входе, поэтому каждой детерминированной САУ соответствует впол­
не определенный оператор системы А. Это соответствие между входной
функцией х(/) и выходной функцией ХО можно записать в виде
у(і) = Ах(і).

Следовательно, через оператор системы А обозначена вся сово­
купность математических действий, которые нужно произвести,
чтобы данной входной функции х(/) сопоставить соответствующую
выходную функцию системы у(і) или, наоборот, у(і) сопоставить
х^і). Здесь оператор системы А является полной, исчерпывающей ее
характеристикой, объединяющей любые математические действия:
алгебраические, дифференцирование, интегрирование, сдвиг по вре­
мени, любые функциональные зависимости, а также любые логичес­
кие действия. Оператор САУ полностью определяется системой урав­
нений, описывающих работу всех элементов, из которых состоит дан­
ная система. Следовательно, при решении задачи анализа САУ опе­
ратор А задан структурой САУ и составом ее звеньев, т. е. всей сово­
купностью описывающих САУ уравнений, что предопределяет закон,
по которому для любого входного воздействия можно найти выход­
ную величину системы и, таким образом, определить оператор систе­
мы управления. При решении задачи синтеза необходимо задать опе­
ратор системы, что означает задать совокупность действий (опреде­
ленный алгоритм), которые необходимо осуществить над входной
функцией, чтобы получить выходную.
37

В случае описания поведения САУ конечным числом дифферен­
циальных уравнений, связывающих входную и выходную функ­
ции, для полного и однозначного определения ВЫХОДНОЙ функции
необходимо задать начальные условия, которые могут быть учте­
ны, например, путем добавления к входной функции х(/) некоторых
слагаемых.
Наиболее рациональным является использование метода прост­
ранства состояний. При этом состояние системы определяется так,
чтобы задание входной функции и начального состояния однозначно
определяло выходную функцию и текущее состояние системы в любой
момент времени. Для линейных САУ оператор А является линей­
ным, а множество состояний £ является конечномерным линейным
векторным пространством. При этом, если множество состояний X
есть континиум, САУ представляет собой объект с непрерывным про­
странством состояний. Если £ счетное множество, то САУ —
объект с дискретным пространством состояний.
При изучении принципа действия САУ обычно рассматривается
ее функциональная схема, в которой система разбита на звенья, исхо­
дя из их назначения, т. е. выполняемых ими функций. При математи­
ческом описании САУ разбивают на звенья по принципу удобства по­
лучения этого описания, т. е. систему разбивают на возможно более
простые мелкие звенья направленного действия, передающие воз­
действия только в одном направлении — со входа на выход. При этом
целесообразно, чтобы каждое звено в динамике описывалось диффе­
ренциальным уравнением не выше второго порядка и изменение со­
стояния такого звена не влияло на состояние предшествующего звена
(работающего на его вход).
Уравнения звеньев обычно записываются через переменные со­
стояния х(/) в нормальной форме, в виде системы дифференциальных
уравнений 1-порядка, разрешенных относительно первых производ­
ных (форма Коши):
х(/) = Ах(і) + Ви([)
или

, -йіі^і+ ••• + аіпхп + ЬцЩ + ••• +Ьітит,
сП
где (х^ ..., хп)Т —вектор состояниях; хь ...,хп —фазовые координа­
ты; (ц, ..., ит)т —вектор управления и .
Переменные состояния аналогичны координатам, а пространство
их изменения является фазовым. Декомпозиция САУ на звенья на­
правленного действия позволяет составить математическое описание
каждого такого звена без учета его связей с другими звеньями. Сле­
довательно, математическое описание в целом САУ представляет
38

Рис. 2.8

совокупность независимо составленных уравнений (или характеристик)
отдельных звеньев, образующих систему и дополненных уравнениями
связи между звеньями.
Математическое независимое описание звеньев позволяет легко
составить структурную схему системы из прямоугольников, изобра­
жающих звенья схемы, и стрелок, соединяющих входы и выходы зве­
ньев (рис. 2.8, а). Стрелками показывают не только связи между
звеньями, но также и внешние воздействия, приложенные к отдель­
ным звеньям системы. Уравнение (или характеристика) звена струк­
турной схемы обычно записывается прямо внутри прямоугольника
в виде передаточной функции (рис. 2.8, б) или в виде некоторой
обобщенной функции Дх) (рис. 2.8, в).
Структурная схема определяет основу математического описания
САУ.
§ 2.3. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ

На практике все разнообразные по физическим свойствам систе­
мы в большинстве случаев являются нелинейными, т. е. практически
в системе присутствует одна или несколько нелинейностей. К ним
относят люфт, упор, насыщение, ограничение и т. д. Анализ нели­
нейных систем более сложен и, по существу, всегда является прибли­
женным. Однако существует большой класс нелинейных систем, ко­
торые при определенных допущениях можно линеаризовать, т. е. сис­
тему сделать линейной в математическом смысле. При математи­
ческом описании САУ обычно разбивают на ряд элементарных звень­
ев, имеющих линейные статические характеристики, и на ряд звеньев
с нелинейными статическими характеристиками. Линеаризация та­
кой системы сводится к линеаризации уравнений, описывающих не­
линейные звенья.
Методика составления линеаризованных дифференциальных урав­
нений (по первому аналитическому способу линеаризации) сводится
к следующему.
1. На основании изучения физических свойств реальной системы
определяется число степеней свободы (число независимых переменных),
производится ее декомпозиция и составляются исходные дифферен­
циальные уравнения по звеньям.
39

2. Определяется рабочая точка установившегося режима работы
звена (системы), в которой необходимо определить поведение звена
(системы) при малых отклонениях от установившегося значения
координат состояния (х°, у0).
3. Если в структуре САУ есть нелинейное звено, описываемое нели­
нейной функцией

/, /,/, ...)=0,

F(x, х, у, у, у,

(2.1)

которая представляет собой несущественную нелинейность (анали­
тическая нелинейная функция в области малых приращений), то ее
можно разложить в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки (0)
при, например, внешнем возмущении /= 0.
4. В процессе управления в САУ в переходном и установившемся
режимах х, у мало отклоняются от их программных значений х°, у0,
исходя из принципа работы замкнутой САУ. Следовательно, для уравне­
ния (2.1) можно записать, что х = х° + Дх(/), х = Дх; у = у0 + Ду(/);
у = Ду; у = Ду, где знак Д характеризует малые отклонения (вариа­
ции).
5. Уравнение нелинейного звена в установившемся состоянии:
/Ѵ°,0, у°,0,0)°=0.

(2.2)

6. Разлагая нелинейную функцию — уравнение (2.1) в ряд Тейлора,
получим

F(x, у) + _ - Дх +
Дх+
{ох )
{ох )

Ду+
)

{^У )

Ду +

(dF
\^У

о

Ду + 7^0
(2.3)

или
F(x,y)° + (-b t)Ax + (~і>0)Лх + а2Лу + а іЛу + а 0Лу + Rn =0,

где Rn определяет члены порядка малости; п>2 (произведения и степе­
ни малых отклонений с коэффициентами) — остаточный член, кото­
рый стремится к нулю при
Дх —»0;
Д у —> 0.
7. Из уравнения (2.3) вычитают уравнение (2.2) и, опуская знак Д,
рассматривают х, у уже в отклонениях, заменяя на нуль все после­
дующие члены разложения как малые величины высшего порядка
40

(Я^О). в результате получают линеаризованное дифференциаль­
ное уравнение динамики звена в малых отклонениях:

Л1 У
°0

ср

к ^х п
+а2У = Ьй , + ^*
аі
аі

сіу

о
(2-4)

или в операторной форме

(“оР2 +а]р + а2)у = (Ьор + Ьі)х.

(2.5)

Следует заметить, что положение о малых отклонениях для возму­
щения /(/) обычно неприменимо, так как они могут иметь значитель­
ную величину.
Отличие линеаризованного уравнения (2.4) от уравнения звена
с нелинейной функцией (2.1) заключается в следующем: линеаризован­
ное уравнение является приближенным, так как в нем отсутствуют
члены высшего порядка малости; уравнение (2.4) записано только
в отклонениях, т. е. неизвестными функциями времени являются
не прежние полные величины (х, у), а их отклонения (Дх, Ду), кото­
рые характеризуют состояние звена в неустановившемся режиме (при
отклонении от установившегося состояния с л0, /); уравнение (2.4)
является линейным относительно отклонений.
Частные производные здесь являются постоянными коэффициен­
тами при отклонениях (или переменными коэффициентами, если Г
содержит I в чистом виде). Этот способ линеаризации справедлив
для нелинейных функций, для которых возможно разложение в ряд
Тейлора, т. е. когда функция Р является аналитической в рабочей
области (малые приращения).
Таким образом, уравнение (2.4) дает результат решения задачи
линеаризации исходного уравнения (2.1), и его называют дифферен­
циальным уравнением звена (или САУ) в отклонениях или «в вариа­
циях».
Обычно практически линеаризацию производят сразу по анало­
гии с уравнением (2.4), но не проводя предварительных выкладок (вто­
рой способ). При этом используют графический смысл проведенной
линеаризации.
Если статическая характеристика звена нелинейна, то ее часто
называют характеристикой с переменным по входной величине коэф­
фициентом передачи.
Известно, что решение дифференциального уравнения с определен­
ными начальными условиями дает интегральную кривую. Предполо­
жим, что уравнению (2.1) с начальными условиями уравнения (2.2) со­
ответствует интегральная кривая, где точка 0 соответствует началь­
ным условиям уравнения (2.2) (рис. 2.9, а). Если к этой интегральной
41

кривой F(x) в точке 0 провести касательную, то угол, составленный

этой касательной и осью абсцисс, будет равен а = arctg

\dx )

= arctg /с;

^ = tg а (рис. 2.9, а).
Суть линеаризации состоит в замене кривой искомого решения
нелинейного уравнения (2.1) прямой, касательной к искомой кривой
в точке, соответствующей начальным условиям. Такая замена бу­
дет, очевидно, справедливой только для тех отклонений Л х, при
которых кривая незначительно отличается от касательной. Следова­
тельно, допустимая область отклонений и определяет возможности
линеаризации исходной системы. При этом вместо частных произ­
водных находят частные разности Ду, Ах.
Для уравнения (2.4), когда выражения записаны в отклонени­
ях, графически это будет означать перенос начала координат в точку
О (рис. 2.9, 6). Для реальных систем возможности такой линеаризации
часто справедливы для достаточно больших значений отклонений; чем
больше эти значения отклонений, тем больше к данным системам при­
меним термин «линейные системы».
Основываясь на графической интерпретации способа линеариза­
ции, примененяют способ графической линеаризации. Согласно ему,
нелинейные статические характеристики линеаризуются графичес­
ки, т. е. проводят касательную к кривой, соответствующей реальным
условиям (рис. 2.9, кривая 7) и заменяют ее линеаризованной характе­
ристикой (прямая 2). Тогда для малых отклонений система являет­
ся линейной. При этом для упрощения знак «Д» перед переменны­
ми опускают, предполагая, что эти переменные — малые отклоне­
ния от установившегося состояния и линеаризация уже проделана.
Следует заметить, что рассмотренная линеаризация уравнений совер­
шенно недопустима при скачкообразных нелинейных функциях F
(типа «релейных» характеристик). Такие функции и характеристики
являются существенно нелинейными и изучаются в теории нелиней­
ных САУ (см. п. 3.3).
42

Третий способ линеаризации объединяет вышерассмотренные ус­
ловия и порядок линеаризации, т. е. сразу записывают уравнения звена
(системы) в отклонениях, например, в векторно-матричной форме [2].
Четвертый способ линеаризации основан на определении коэффи­
циентов дифференциального уравнения по методу наименьших квадратов(МНК) [2].

§ 2.4. ФОРМЫ ЗАПИСИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ САУ

Обычно дифференциальные уравнения системы записывают в та­
ком виде, где значения регулируемой величины и ее производных
располагаются в левой части уравнения. Значения входных воздей­
ствий (управляющих и возмущающих) и их производных располага­
ются в правой части. При этом уравнение САУ примет вид
& У
сП”

и у
Л"-1

к

1
сіе”

к

+ - +ът/

или
(аор”+ахр” '+ ... +ап)у -(Ь^р”' +Ь}рт '+ ... +Ьт)/,

где а0, ах, ..., ап — постоянные коэффициенты левой части уравне­
ния; Ьо, Ьх, ..., Ьт —коэффициенты правой части уравнения.
Значение выходной величины САУ, кроме того, обычно приводит­
ся к форме с единичным коэффициентом, т. е. коэффициенты
уравнения делят на ап, Ьт.
Обозначим через «р» символ дифференцирования р = сІісР, иначе
называемый алгебраизированным оператором дифференцирования
(сі'! сіе тождественно равно р'). Эта алгебраическая величина услов­
но представляет собой функцию времени; р не обладает свойством
коммутативности и является сомножителем только как ру (р/), но не
УР (/р)- Если пользоваться преобразованием Лапласа (или Карсона—
Хевисайда), с помощью которого рассмотрение процессов из вре­
менной области переносится в комплексную, то уравнение (2.5)
будет также справедливо. При этом р будет являться комплексным
числом р = с + у(х) (иногда вместо р пишут s-c±jш\
Функцию, например, у(1) заменяют функцией у(р) = | у(і) е~р'сІІ =
о

= і{у(0}; функцию /(У)

заменяют функцией (р(р) - ^/(і)е~ргсІі =
о
= Л{/(0} ИЛИ у(У) = у(р), а /(/) = Ф(^), где Ь{у(і)}, Ь{ДГ)} — пре­
образование Лапласа (ПЛ); у (р), <р (р) — изображения; у (Ру / (г) —
оригиналы функций.
43

Если F(p) = р^ f(t)e pldt, то это преобразование Карсона K^f(t)j.

о
Следовательно, через оператор р имеет место связь преобразований.
При этом, если пределы у интеграла «- “, °°», то это двустороннее
преобразование Лапласа. Обратное двустороннее преобразование
Лапласа создает возможности перехода от изображений к оригина­
лам:
У^) = — j^e^;

У^ = ^{у(р)}-

К разностным переменным х [пТ], у[пТ] и уравнениям применяют
прямое дискретное преобразование Лапласа, например для у [пТ]:

/і=0

где у(р) —изображение; у[пТ] — оригинал. Здесь преобразование
Лапласа одностороннее; двустороннее, если пределы у суммы « - »,
оо». Переход от изображений к оригиналам осуществляется с по­
мощью обратного (двустороннего) преобразования Лапласа:
,

у[пТ] = -—

c+Ju0/2

\y(p)epnTdp.
c-j^^/2

Преобразование Лапласа применимо, если /(/) = 0 при / < 0 и су­
ществует абсцисса абсолютной сходимости — «с»; тогда существу­
ет интеграл Лапласа.
Основное достоинство преобразования Лапласа (и других род­
ственных преобразований) — замена операций дифференцирования
и интегрирования оригиналов алгебраическими действиями над изображениями.
В курсе высшей математики доказываются специальные теоремы
и представлена теория преобразования Лапласа; составлены табли­
цы оригиналов и изображений наиболее распространенных функций,
которые широко используются и в ТАУ. Напомним также, что при
p=jw получаем для функции, например f(t), прямое преобразова­
ние Фурье (ПФ):

F(j^ =

и обратное преобразование
44

F(ja) = F{f(i)}

f(t) = 1 JpO^e^dw;

При

f^ = P '{Я^)}.

\f(t)~dt<°° (ограничение энергии у функции) и

і ЛО'^ <

< оо — условия Дирихле, с = 0 и путь интегрирования совпадает
с мнимой осью ] на комплексной плоскости р. Аналогично при
р = ju можно записать дискретное преобразование Фурье:
/>) = ^-^Tf[nT]

и дискретное обратное ПФ:
“о/2*

fW =

1
Wo

J F(ju)QJ^Tdu.
-“о/2

Таким образом, от ПФ легко перейдем к ПЛ (и наоборот),
если/(/) = 0 при I < 0; ПФ и ПЛ — линейные аналитические преобра­
зования.
Первая стандартная символическая форма записи линейного диф­
ференциального уравнения (2.5) имеет вид:

(Г22р2 + Т,р + 1)у = к(Тр + 1)х,

(2.6)

где
размерность Ьх
1 = —;

а2

Л

^2 =

а2

J

р

к= -

а2 размерность а2

Здесь Т — постоянные времени звена, измеряющиеся в секундах, ха­
рактеризуют инерционность звена; к — передаточный коэффициент
звена.
Эта форма отражает операторно-структурное описание — на язы­
ке операторов звеньев и структуры связей.
Вторая стандартная форма записи дифференциального уравне­
ния — через передаточную функцию звена:

х(р)

^Р + Ь> ^к
Тр + \
а$р2 +а}р + а2
Т2р2 + Ttp + 1

(2.7)

где № (р) характеризует отношение изображений (по Лапласу) вы­
ходной величины звена к входной при нулевых начальных условиях
и равенстве нулю всех внешних возмущений. Нулевые начальные
условия дают возможность однозначного определения №(р), ибо
45

начальные условия могут быть разнообразны [если рассматривать
W{p) просто как отношение изображений у к х]; нулевые началь­
ные условия рассматривают относительно у, т. е. при / < О, у = О

=0 — система находится в покое.

и все производные

В общем случае система автоматического управления описывается
либо в форме дифференциального уравнения
у

ап~ху
а^

—” + Лі------- -+

ае

ат-'х

, атх
... +апу = 1ъ
+
аг

аг~{

+... + Ьтх

или
Л"у
(Г'у
ап---------------------------Г +
аг
ае^

. <ітх
---------- 1-

••• +

аг

<іт-'х
Ь і------ аг~х

либо в его свернутом виде (уравнения типа вход-выход):
ипР +ТП-\Р

+---+ЧУ=к{Ттр + Тт_{р

+...+1)х

ИЛИ

Q{p)y = Я(р)х.
В случае работы САУ при нескольких входных воздействиях х.
Q(p)y(p) = ^^(Р^Р),
/=1

или иначе:
у Ср)

п
= ^^(р)х;(р),
і=\

где Q(p) — собственный оператор; Я^р)— операторы воздействия (вход­
ные операторы). Здесь Х( — входные воздействия на САУ (/=1,2,
п);
Q(p') и Р^р) — полиномы (символические) относительно р: ^(р) =
= ^(РІ — передаточная функция САУ для /-го входного воздействия.
Q(p)
Эту форму записи оператора № (р) называют еще полиномиальной.
Уравнение статики звена получают из (2.6), (2.7) при р = 0; у = кх.
Третья стандартная форма записи дифференциального уравнения
применяется относительно переменных состояния, когда САУ описы­
вается векторно-матричным дифференциальным уравнением:
46

л: (0 = А(і)х(і) + В(ї)и(іу

у^ = С^х^ + В(іЫА

Ап

А\

где А — квадратная матрица коэффициентов :
Ал

5ц
рица управления

'■ > В — матАп

Ат

^11

: ; С — матрица выхода

^/1

Впт

В — матрица обхода

системы

:

-Ці
:

Ат

А\

Ат

•

;

: :;
^Іп

и = (щ,..., ит)Т —

т-мерный вектор входных переменных (управляющих и возмущаю­
щих); х = (х},хп)т— и-мерный вектор переменных состояния коорди­
нат, полностью характеризующих состояние системы; у = (у{, ..., у/)т —
/-мерный вектор наблюдаемых или выходных переменных.
Если САУ описана в виде уравнений типа вход-выход:
(^о/ +«і/ ' + ...+ап)у = (Ьорт +1^^ + ... + Ьт)и,

то возможен переход к уравнениям состояния и наоборот; разработа­
ны различные способы перехода от одних уравнений к другим.
Часто для САУ I) = 0, тогда:
х(і) = Ах(/) + Ви(іу

у(і) = Сх(іУ
При нулевых начальных условиях х(0) = 0 получим матричные пе­
редаточные функции САУ (ОУ):

щ<о)=УР1=[р£-4'г=фж

№у(р) = ^ =с[рЕ- а\Х В + И = СФ(р)В + П;
у(р)

47

где Ф(р) = [рЕ - А] 1 —характеристический многочлен матрицы А —
резольвента матрицы А. Характеристическое уравнение Ф(р) =
= [рЕ-А] 1 = 0 • Корни характеристического многочлена Ф(р) — соб-

ственные числа матрицы Л. Здесь Ь

Ф(р) = Ф(0 = е

=

—Г’ —

матричный экспоненциал или матрица перехода.
В передаточной функции
Ч

Ь\Р + ^
№(р) = ----- ------------%Р + а{р + а2р + а3

или
W(p) = ^,
Q(P)

корни числителя В(р) называются нулями, а корни знаменателя
Q(p) — полюсами. Аналогично уравнения состояния можно записать
и для линейных дискретных САУ
х(к + Г) = Ах(к) + Ви(к) + ЕДк);
у (к) = Сх(к) + Еи(к) + ГДк),

если для непрерывных САУ уравнения состояния имеют вид
х(і) = Ах (Р) + Ви(і) + ГДР);
у(і) = Сх(і) + Еи(() + ГДі).
Управляемость, возмущаемость, достижимость, наблюдаемость,
устойчивость, стабилизируемость САУ целиком и полностью опреде­
ляются матрицами А, В, С, Е, Г. Здесь матрица параметров
АВЕ
\п. Пи\
; матрица «размерности» N = , '
. При и. = О члеС Е Г'
■п пГ
7
ны матрицы с /(7) пропадают.
Пример. Описание процессов в последовательном колебательном контуре КЬС
(рис. 2.10). Здесь, если напряжение и (вход
х), а ток / (выход у), то

1 ,

и = ЫПЖ + - I кН + R/
С
или в операторной форме, после преобра­
зований, получим:

Рис. 2.10

48

и(р) = (Т^ + Т2р + \)^
рС ’

где

Т1=ЫК; Т2 = ВС.
Тогда

1\Т2р2 + Т2р + \

^(р)

’

к=УК-

От операторно-структурного описания процессов к эквивалентному описанию про­
цессов в нормальной форме можно перейти, используя стандартную процедуру [если
№(р) звена является правильной дробью]. Следует заметить, что нормальная форма яв­
ляется обычно естественной при первичном описании реальных ОУ.
Описание процессов в нормальной форме (в пространстве состояний). Если выбрать
переменные состояния х{~ис, а х2 = Ы, тогда:
dx}
1
- 1 = - - - х2,
Л
Т}Т2

или в форме

.ѵ = Ах + Ви;
У = Сх,
получим

О

1/(7[Т2)

-1

-1/7[

Если процессы в контуре описать уравнением:

Т2 с1 У + 2с,Т^ +у = ки,
тогда

Щр)
Если принять у = х};

Л

Т2р2+2^Тр + \

^ = = х2,

то

' 2’

Т2^

Л

Т 2

т2

'

Таким образом, здесь
О

Л= _ 1

,0

1

_2^;

*= Л1';

у-2

В= к ;

и = и.

^2:

В общем случае, если процессы в звене (САУ) описываются урав­
нением

(аорп +аір" 1 + ... +ап)у = ки,
то, если принять
(м-1)

*1 =т = *;
4 А. А. Ерофеев

*2 = *;

*3 = ^; •••;

хп= х ,
49

тогда получим

йхх
Ж

ах2
2 Л

^хп_

3

’

или х = Ах + Ви; у = Сх +Ии,

1 0
і 0
А^ 0
і «о

где

1

0

0

0

1

0

0

0
_ 5-2.
«о

_ ап-\
«0

аі г +ки
«о
«о

а
«о

1
.

Хі .
\х2\

X
(ІХ
: Л

V

До

■ п'

0
і

Л

;

, '
Л"’1

0

в=

к

—
«0

и = У;С = (\, 0, ..., 0); £ = 0.
Наличие в правой части многочлена (^р"1 + ... + Ьт ) не изменяет матрицы А, В и/); изменяется лишь С №т’ ^-1 , .... /ъ- 0.
0).
Если Од = 1, к = 1, то

0
0

1

0

0

1

■ 0

0

0

- я«-і

0
0

1
#] і

0
і°:

1

Эта форма уравнений называется канонической формой фазовой пе­
ременной.
Управляемость САУ — САУ управляема (полностью управляема),
если она может быть переведена из любого начального состояния
х(/0) в любое другое х^) в произвольный момент времени ? =/0
путем приложения кусочно-непрерывного воздействия и(і), I е (го, /]) за
конечный интервал времени і{ -10.
Наблюдаемость САУ (дуальное понятие управляемости) — САУ
наблюдаема (полностью наблюдаема), если все ее переменные состоя­
ния можно непосредственно или косвенно определить по выходному
(измеряемому) вектору системы. При наличии какой-либо переменной
состояния, изменение которой не влияет на выходной вектор САУ,
система ненаблюдаема.
Для оценки управляемости и наблюдаемости линейных стацио­
нарных САУ применяют критерий Гилберта (основан на использова­
нии канонического уравнения состояния) и критерий Калмана {осно50

ван на рассмотрении матрицы управляемости

М = ^В,АВ,А2В,

...,Ап~}В]
размерности п х (пт) или матрицы наблюдаемости
Ь = ^СТ, АТСТ, (АТ)2СТ,
(Аг)п~1Сг^ размерности и х (л 7)}; напри­
мер, если матрицы М и Ь имеют ранг п то САУ полностью управля­
ема и наблюдаема.
Принцип дуальности (двойственности) дает возможность оцени­
вать по условиям наблюдаемости одной САУ управляемость другой
(сопряженной) или по условиям управляемости — наблюдаемость дру­
гой сопряженной системы.
Метод пространства состояний широко используется при решении
задач наблюдаемости, управляемости, оптимизации, адаптируемости
САУ. При этом уравнения САУ могут иметь вид % = /(х, и, /) или
х = А(і)х + В (і)и, х еХ, и еі/ и цр.
При исследовании условий полной наблюдаемости часто исполь­
зуют линейный оператор Ляпунова (оператор дифференцирования):

1 ]

Эх 7

Эм

Э/

где Р— функции-столбцы.
Понятие управляемости в ТАУ рассматривается при различных ус­
ловиях, накладываемых на управление. Число видов управляемости —
множество управлений и еѴ (порядка 30), например, управляемость
в «малом», полная и неполная управляемость с учетом различных огра­
ничений и условий. Необходимый и достаточный аналитический и струк­
турный критерии управляемости в настоящее время обоснованно суще­
ствуют лишь для линейных САУ.
В ТАУ широко применяется операторно-структурный анализ САУ
(с использованием скалярных или векторных структурных схем), т. е.
анализ на языке операторов звеньев и структуры связей. При этом
классы операторов (собственные, воздействий, входные и т. п.) чрез­
вычайно разнообразны; не меньшим разнообразием характеризуют­
ся и структуры связей.
Для САУ, когда в прямом канале управления ОУ включен адапти­
руемый регулятор (АР)1, свойство полной адаптируемости определя­
ет существование и единственность вектора «идеальных» настроек АР
по отношению к произвольно допустимому вектору параметров ОУ
(свойство гарантирует абсолютную параметрическую инвариантность
САУ). По аналогии существуют: критерии адаптируемости САУ (пол­
ной, слабой, частичной адаптируемости), а также связь между управ­
ляемостью ОУ и адаптируемостью САУ к данному ОУ.
Так, если ОУ описывается системой уравнений вида
1 Возможно включение АР в прямом канале и в канале обратной связи.
51

4*

x = A(t)x(t) + B(t)u(ty,
y(t) = C(f)x(f) + D(f)u(f),

то при D = 0 и когда АР является пропорциональным интегро-дифференцирующим (ПИД) регулятором, в случае квадратных матриц В
и С, достаточным условием полной адаптируемости САУ (при выпол­
нении определенных условий) может быть вырождение матриц В и С,
а необходимым условием det С • В * 0.
Следует напомнить, что в адаптивных САУ недостаток априор­
ной информации компенсируется за счет более полного использова­
ния оперативной (текущей) информации об ОУ и среде его функцио­
нирования. Априорную и апостериорную информацию, используемую
для управления в САУ, называют информационным обеспечением уп­
равления (информационным множеством). Обычно предполагают оп­
тимальное адаптивное управление, хотя возможно неоптимальное уп­
равление с высокоразвитой адаптацией. В адаптивных оптимальных
САУ используют «полные модели управляемых процессов»; САУ со­
держит системы оптимального (субоптимального) оценивания и иден­
тификации. Понятие идентифицируемости (параметрической) мож­
но считать и как частный случай наблюдаемости. Идентификацию
следует рассматривать как результат определения параметров управ­
ляемого процесса модели САУ по измерениям определенных наблю­
даемых величин.
Формирование оптимального управления на основе «полной мо­
дели» осуществляется в соответствии с заданным критерием оптими­
зации (целевой функцией). В адаптивных САУ могут также исполь­
зоваться модели управляемого процесса различного вида: упрощен­
ные, феноменологические, прогнозирующие. Структуры САУ строят­
ся с использованием, например, поисковых и беспоисковых режимов,
с информацией о частотных, временных, модельных (эталонных)1 ха­
рактеристиках ОУ и САУ в целом. Методы синтеза адаптивных САУ
развиты для определенных систем, например, для беспоисковых на ос­
нове принципа инвариантности, на основе функций Ляпунова. Адап­
тивное управление в САУ допускает возможность использования неиндентифицированных алгоритмов, например, основанных на методе
рекуррентных целевых неравенств.

§ 2.5. ВРЕМЕННЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Динамические свойства линейных звеньев и САУ в целом могут
быть описаны дифференциальными уравнениями и представлены гра­
фическими характеристиками. Применяют два типа таких характе1 Эталонная модель может быть явной или неявной.

52

ристик — временные (переходные) и частотные. Характеристики мо­
гут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена
(можно и по экспериментальным характеристикам составить уравне­
ние звена). С помощью этих характеристик можно определить реак­
цию звена (САУ) на возмущение произвольного вида.
Переходные и частотные характеристики однозначно связаны
с уравнением звена (САУ) и наряду с ним являются исчерпывающим
описанием динамических свойств звена (САУ).

ВРЕМЕННЫЕ (ПЕРЕХОДНЫЕ) ХАРАКТЕРИСТИКИ

Переходная характеристика звена /г (/) представляет собой пере­
ходный процесс изменения во времени выходной величины звена,
вызванного подачей на его вход единичного ступенчатого воздей­
ствия 1(0. Единичное ступенчатое воздействие — это воздействие,
которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается
неизменным (рис. 2.11, а).
Аналитическое выражение единичного ступенчатого воздей­
ствия — единичная ступенчатая функция — обозначается 1 (/) и может быть описана следующим равенством: 1(0=

[0 при
[1

/<0;

или

при />0,

[1 при / < 0;
01(/) — единичная функция типа «после»; если 1(0 = і
то
(0 при />0,

1О(0— единичная функция типа «до» (рис. 2.11, г).
Если ступенчатая функция равна 1 между двумя моментами
времени /[ и /2, то это единичная функция типа «между»: ^Ц^)
(рис. 2.11, Э). Функция с запаздыванием приведена на рис. 2.11, е.
Таким образом, переходная функция /г (0 — это выражение для^О
при х (0 = 1(0. Предполагается, что 1(0 имеет ту же размерность, что
и физическая величина на входе звена. При М“ А(0 = /г(°°) =
= ^„(у) = ВД» = ІУ® /цй = ад - Л(~) = и' " 1

.

Если х (0 не единичная ступенчатая функция x = ^'l(0, то
у = N И (/).
Ступенчатое воздействие — это мгновенный скачок нагрузки на вал
двигателя, мгновенный поворот вала входной оси следящей системы, ска­
чок температуры и т. д. — наиболее неблагоприятное воздействие
для САУ. Связь между А (/) и ^ (р) устанавливается через обратное
преобразование Лапласа
вд^-'^рад]^-'

W(p)

р
53

Рис. 2.11

так как х(р) = Л[1(7)] = Ъ р, а £р^)]=

■ На рис. 2.11, б, в, пред­

ставлены также спектры амплитуды и фазы единичного ступенчатого
сигнала X(со) = 0,55((о) - у/со.
Наряду с Л (1) применяется импульсная переходная характеристи­
ка, представляющая собой реакцию звена на единичный импульс.
Единичный импульс — это математическая идеализация предель­
но короткого импульсного сигнала (рис. 2.12). Реально — это крат­
ковременный удар нагрузки на вал двигателя, ток короткого замы­
кания, отключение с АПВ и т. п. При этом, так как длительность им­
пульса весьма мала по сравнению с длительностью переходного про­
цесса ^пп, ТО с большой степенью точности реальный импульс можно
представить в виде единичного импульса с некоторым масштабным
коэффициентом. Единичный импульс 5 (0 — импульс, площадь кото­
рого равна единице при длительности равной нулю и высоте рав54

Рис. 2.12

ной бесконечности: j5(^)Л = l

(на рис. 2.12, « он условно показан

в виде утолщения на оси ординат). На рис. 2.12, б, в показаны также
соответственно спектры амплитуды и фазы единичного импульсного
сигнала.
Ступенчатая функция и дельта-функция относятся к классу обоб­
щенных функций, первые производные которых представляют собой
дельта-функции.
Аналитическое выражение для импульсной переходной характери­
стики — импульсная переходная функция звена или весовая функ­
ция звена (функция веса), обозначается ѵѵ (/). Как уже упоминалось,
выражение для единичного импульса соответственно называется
единичной импульсной функцией или дельта-функцией 8 (/).
/ = 0;
Таким образом, w(t) — это у(і) при %(!) = §(/) =
[0, 1^0.
Если х (/) — неединичная импульсная функция, т. е. х (і) = к 8 (/),
то y(t) = kw(t).
Далее воспользуемся известным соотношением: дельта-функция
связана с единичной ступенчатой функцией
8(/) = r(/)ЛW.

Откуда следует аналогичная связь между переходной и весовой
функциями линейных звеньев

и наоборот
Н(() = | ы(і)сіі.
о
Учитывая эти соотношения между переходной и весовой функция­
ми, будем применять главным образом И (Г), имея в виду, что w (к)
при необходимости можно всегда получить. Связь между IV (г) и IV(р)
получается аналогично: Е[8(/)] = 1, т. е. 8(р)=1 и
55

w(l) = L-'[W(p)l,(p)] = L-'[W(.p)]-,

І'>(ЙІ=<: f^p^dp.

Зная переходную h(t) или весовую w(/) функцию, можно опреде­
лить реакцию звена у на произвольное входное воздействие х при
нулевых начальных условиях с помощью интеграла Дюамеля—Кар­
сона (интеграл свертки). Интеграл Дюамеля позволяет представить
произвольный сигнал совокупностью единичных регулярных сигна­
лов (скачков)
t

x(t) = х -01(/) + J (dx(z); dï) -01(/ - z)dt
о

или совокупностью единичных импульсов
t

x(t) = |х(т)-0§(/ - z)dz.
о

Тогда
ХО = h(t)x(G) + ^ h(t- z)x(z)dz,
о
где х (Г) — значение хвх(0 при г = 0.
t

Или y(t) = h (O)x(z) + J и'(/ - т)х(т)Л.

о
Здесь т — вспомогательное время интегрирования, изменяющееся
в пределах от нуля до рассматриваемого текущего значения времени t.
На рис. 2.13 дана геометрическая интерпретация этих выраже­
ний [4]. Реакция звена на произвольное воздействие x(t) может
быть определена как предел суммы реакций на ступенчатые воз~ к
dx к
.
действия высотой Дх =—Дт, на которые можно разложить x(z) при
dz
Дт—>0 (см. рис. 2.13, а), или на x(z) = Нт х(0, где x(Z) — послеДт^О

довательность прямоугольных импульсов (см. рис. 2.13, б). Выраже­
ние для^^) через весовую функцию w (г) геометрически интерпрети­
руется на рис. 2.13, б как предел суммы реакций на импульсы
шириной Дт при Ат ^ 0. Его можно представить и в таком виде
y(t) = A(0)x(z) + J w(z)x(t -z)dz.
о
56

Выражения для у(/) через h(t) и w(t) легко получить друг из
друга, так как они являются вариантами интеграла Дюамеля или
интеграла свертки (свертка функций).
Заметим, что первое слагаемое h (0)х (t) в выражениях для у (г)
у реальных инерционных звеньев (обычно второго и более высокого
порядка) равно нулю, так как реакция на их выходе всегда отстает от
входного воздействия, т. е. Л(0) = 0. Поэтому в дальнейшем выражения
для y(t) приводятся без первого слагаемого:
ИО = j ифт)х(/ - т)Л

о

или
y(t) =рг(т)іѵ(/-т)(/т.
о
В выражениях для Х0 в качестве верхнего предела интеграла вме­
сто t может стоять о®, так как при / < т, т. е. при отрицательных
значениях аргумента функции h(t - т) и и(/ - т) равны нулю.
Между h(t), w(t) и W(p) существуют взаимосвязи, определяемые
преобразованием Лапласа для пф) и Карсона для h(t)
^(р) = ^ w(f)e Р'dt',
о
W(p) = р^ h(t)e~p,dt.
о
57

Эти взаимосвязи являются чрезвычайно важными, так как позво­
ляют по W(p) найти Л(/), w(^), и наоборот.

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Широкий класс функций времени может быть представлен беско­
нечной суммой гармонических колебаний различных частот (спек­
тральное разложение — ряд Фурье).
Частотные характеристики описывают отношения установившихся
вынужденных колебаний на входе и выходе звена, вызванных гармо­
ническим воздействием на входе.
Пусі'ь на вход звена (рис. 2.14, а) подано моногармоническое воз­
действие

Л' = хм cos ш0/,

где хм — амплитуда; соо— угловая частота воздействия. Спектр этого
сигнала приведен на рис. 2.14, би представляет собой дискретную функ­
цию œ0 = const (г) ; ср (со) имеет скачкообразный характерам, рис. 2.14, в).
На выходе звена будут (по окончании переходного процесса)
гармонические колебания с такой же частотой œ0, как и входные,
но отличающиеся по амплитуде и фазе. В установившемся режиме вы­
ходной сигнал звена
у = у^ cos (œoz + (р),

где ^м — амплитуда установившихся колебаний выхода;
зовый сдвиг между входными и выходными колебаниями.

Рис. 2.14

58

ср — фа­

При хм = const (/) амплитуда ум и фаза (р установившихся коле­
баний на выходе звена зависят от частоты колебаний. Увеличивая от
нуля до со->~ частоту колебаний и определяя установившиеся зна­
чения амплитуды и фазы выходных колебаний (для разных частот),
можно получить зависимость от частоты отношения амплитуд Л (со) =
= ^(соу/х^щ) и сдвига фаз выходных и входных установившихся ко­
лебаний ф(со). Эти зависимости называются соответственно А (со) —
амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и ф(со) — фазовой
частотной характеристикой (ФЧХ). Аналитические выражения Л(со)
и ф(со) называются соответственно амплитудной и фазовой частот­
ными функциями.
Используем символическую форму записи гармонических функ­
ций, т. е. представим установившиеся колебания на выходе и входе
звена в виде

^м|еуш'+е-у“'] = х' + х";

у = А*. |е>нф) + е-Л^+Ф) ] = у + У'
или (в символической форме)

х = хме^';

Символичность заключается в отбрасывании членов уравнений
с сомножителями e~jwt, так как по формуле Эйлера

cosw/ =------------- ;
2

sinw/-_ Ie
V

-е

1,
/

cos cot+ 7sin СП/ = е^', cos cot - jsin со/ = e ^.

Поскольку в линейных САУ на основании принципа суперпози­
ции можно рассматривать только х' и соответственно у', то при
подстановке в уравнение звена в общем случае Q(p)y = R(p)x, учтем
следующие очевидные выражения для к-іл производной от х и у:

В результате подстановки (и преобразования) получим
59

QU^y^^^R^x^.

Откуда ^-1^. = X^^l eJ^w>> ■ Так как
a

= ^{j^\

=

M^ = ^(ю) to
*мИ

ад = »еу<р(м).
Следовательно, аналитические выражения для частотных харак­
теристик могут быть получены по передаточной функции W(p) под­
становкой р = jay комплексная величина W(jm) представляет собой
функцию (о и называется амплитудно-фазовой частотнрй функцией.
Подстановка р = усв справедлива и основывается на формальной

аналогии двустороннего ( J) преобразования Лапласа и частотного
двустороннего преобразования Фурье.
Пример 1. Если и = L-- н Lpi, а І = IMeJ(al = i(t), то и-](йЫ^ШІ

или

и = jwLL

dt

Пример 2. Если

и= -fiJ/H '
CJ
РС

то й=

^ .
juC

Следовательно,

^ ^
dt

іи).

г
1
1
dr
Л н> — н> - при нулевых начальных условиях, т. е. у (временная область) соотJ
р
jw
dt
ветствует до (частотная область). Здесь и — напряжение на индуктивности /.(пример 1)
и емкости С (пример 2); «н » — знак соответствия.

Модуль mod ^(усв) представляет собой выражение для АЧХ Л(ю),
а аргумент arg W(jo)) — выражение для ФЧХ (р (со).
В полярных координатах АФХ имеет вид (на комплексной плос­
кости)

W^ = Л(м)еУф(ш).
При построении АФХ значения св,- от 0 до °° наносятся вдоль
характеристики через определенные интервалы (рис. 2.15). АФХ
для -со = -ооч-0 зеркальна относительно вещественной оси (показа­
на пунктирной линией). Смысл знаков «-» и «+» при со заключает­
ся в том, что они соответствуют отрицательным и положительным
скоростям вращения векторов на комплексной плоскости. Кроме
того, при использовании диапазона -оо 4 +оо многие формулы полу­
чают более удобный и симметричный вид. Очевидно, если имеется ам­
плитудно-фазовая частотная характеристика W( уїв), то можно по
этим точкам построить характеристики Л(«) и ф(ю). АФХ можно
60

построить и в прямо­
угольной системе коор­
динат (на комплексной
плоскости). При этом
координатами будут
проекции Цсо) и И(ш)
вектора Л (со) на со­
ответствующей оси;за­
висимости Цю) и И(й)
называются соответ­
ственно действительной
(вещественной) и мни­
мой частотными харак­
теристиками (ВЧХ и
МЧХ).
Тогда в алгебраи­
ческой форме:

ад = Кеад +
+ y4m^(yco) = t/(co) + yV(co).

Напомним, что у = \П; +у — означает поворот в комплексной плос­
кости на уголл/2 против часовой стрелки; -у — поворот на л/2 по часовой
стрелке; у2 — поворот на угол л.
Связь между частотными функциями следующая:
И/(у'ш) = Л(о))е^(ш) = Л (co)[cos ср (со) + ysin ср(со)] = С(со)-і- yV(co).

Здесь Л (со) = Ъ2(со) + И2(со) — четная функция; ср (со) = arctg ^^^ —

нечетная функция, где t/(-co) = t/(co) = J(co)cos ср(со) — четная функ­
ция; V(-со) = -Ѵ(со) = А (со)sin ср(со) — нечетная функция.
Иногда для различия у замкнутой САУ применяют другие симво­
лы, например, Ф(усо) = #(со)еуѵ(ш) = Р(й) + у’С(со), которые аналогич­
но связаны между собой. Здесь также Ф(усо) — отношение изобра­
жения Фурье выходных и входных величин при нулевых начальных
условиях.
Если, в общем случае,

Q(Ja)

UQ(a) + jVe(fi>)’

где индексами Л и 2 отмечены части соответствующих комплексных
величин в числителе и знаменателе дроби, то после освобождения от
мнимой части в знаменателе получим
61

Жй(Ю) + 7ѵно>№е(<о)-7^
»'М =----------------- - ------- ВД+уП®),
^(со) + Ие(со)

.,2. , ,Х .

где
ш
“

^(И) + ^(И)

Ия(т)Уе(ш)-С/„(И)Ге(и)
Г (со) =--------- ------------------------(/^И + ^в)
Построение АФХ по и (о) и V (со) обычно трудоемкая работа,
так как умножение частотной передаточной функции на комплексно­
сопряженную величину в знаменателе повышает в два раза степень.
Проще строить АФХ в полярных координатах, вычисляя непосред­
ственно

шосі ад:
Я (со) = --------------тосі :С(усо)
(р (со) = arg Л(» - aгg Q(Jш) = arctg А(усо) - aгctg 0(усо);

при необходимости легко получить И и (со), V (ш).

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Логарифмируя выражение для ИХусо) = Л (оо)е7ф(ш), получим
1п ^()ш) = 1п Л (со) + уф (со).

На практике удобнее пользоваться десятичными логарифмами
(1о8, N = k = al‘^N):

\gWUui) = 18Л (ш) + уф(в)/У

и строить отдельно ЛАХ и ЛФХ. ЛАХ строится в виде зависимости

А(со) = 20^Л (со),
т. е. 20^ ^(усо)’= /(^со); ЛФХ строится в виде зависимости ф(со) от
^ со. Главным достоинством ЛАХ является возможность построения
их во многих случаях практически без вычислительной работы, на­
пример, суммированием или в виде асимптотических ЛАХ (совокуп­
ности отрезков прямых линий с наклонами, кратными 20 дБ/дек). Кро­
ме того, уменьшается кривизна характеристик в логарифмических
62

координатах. При со —> оо ^(усо) —> 0; А(ш) —> -«;
соответствует бесконечно удаленная точка:

частоте со = 0

^ со —» -оо при со —> 0 (^ 0 = -оо).

В качестве единицы измерения величины 20 ^ А (со) используют деци­
бел: 1 дБ = 0,1 Б. 1Б соответствует усилению мощности сигнала в 10 раз,
2 Б — в 100 раз, ЗБ — в 1000 раз и т. д. Так как мощность сигнала Р
пропорциональна квадрату амплитуды, а ^Л2=2^Л, то усиления
в белах, выраженное через отношение амплитуд А, равно 2^ А (со­
ответственно в децибелах оно равно 20^ А). При этом значения
Л (со) и Л(со) связаны между собой следующими соотношениями
[знак «+» уЦсо) соответствует усилению и А (со) > 1, Л(со) >0, знак
«-» у І(со) соответствует ослаблению и Л(со)< 1,£(со) <0]:
Л (со)

Л, дБ

.... 0,001

0,01

0,1

-60 -40

-20

0,316 0,89

1,0

1,12 = Ш

-1

0

1

-10

3,16
10

10

20

100
40

1000
60

С применением Л АХ диапазон изменения коэффициента усиления зна­
чительно сужается.
ЛФХ строится в полулогарифмических координатах, т. е. в виде
зависимости ср от ^ со; использование логарифмического масштаба
на оси ординат не имеет смысла, так как фазовый сдвиг цепочки зве­
ньев (перемножаемых) получается в виде суммы фазовых сдвигов от­
дельных звеньев.
На оси абсцисс часто указываются значения частоты со (рад/с).
Единицей приращения ^ со является декада, соответствующая изме­
нению частоты в 10 раз или октава, соответствующая изменению час­
тоты в два раза (1 октава равна 0,303 декады, так как ^ 2 = 0,303).
Наклон ЛАХ соответствует 20 дБ/дек 2 6 дБ/окт (точнее 6,06 дБ/окт).
Кроме ЛАХ и ЛФХ можно построить также ЛАФХ.
При использовании логарифмического масштаба точка, соответ­
ствующая со = 0, находится слева в минус бесконечности (^ 0 = -°° )
и ЛАХ строятся не от нулевой частоты, а от достаточно малого,
но конечного значения со, которое и откладывается в точке пере­
сечения кооординатных осей. Очевидно, что логарифмирование
возможно только, если величина W{ усо) безразмерная (размер­
ность л и у одинакова). Условно можно логарифмировать величи­
ны и с размерностями, например, со [1/с], как ^ш^Шг; аналогично
Л1 [размерность Ах ]
•ё”7------------------ т-р если размерности у Л, и Л? одинаковые.
Л2 [размерность Л2]
Обычно для наклона ЛАХ применяют символические обозначения,
соответствующие 1 = 20 дБ/дек [со знаком «-», если Л (со) = 1/Гео, или
«+», если А (со) = Тео]; 2 =40 дБ/дек [со знаком «-», если Л (со) = 1/Т2со2,
или «+», если Л (со) = Т^со2 ]; 3 = 60 дБ/дек [со знаком «-» , если
Л (со) = 1/Т3со3, или «+», если Л (со) = Г3 со3].
63

В общем случае исчерпывающее описание звена с помощью час­
тотных функций требует знания амплитудно-фазовой частотной функ­
ции W(jti)), либо любой пары функций: ^(ш)иф(со) или Цщ) и Й((о).
Для минимально-фазовых звеньев существует однозначная связь
между образующими эти пары функциями и для полного описания
таких звеньев достаточно иметь только одну из них.
Для минимально-фазовых звеньев:

. .
1 7 41пЛ(ѵ)1.
4пѵ/(о
х
,
ф(щ) = - - I ~ - . “ 1п ctg
(Лп (ѵ/ш);
і/(1пѵ/ш)
2

^(щ) = - -—; И(щ) = л Д ѵ - со
л

——сіѵ,
ѵ - со

где ѵ — переменная интегрирования.
Анализ (и синтез) минимально-фазовых САУ можно произво­
дить, используя, например, только ВЧХ и (со) или АЧХ V (со).
Обычно для минимально-фазовых звеньев строят АЧХ. Принципиаль­
ная связь между АЧХ и ФЧХ такова, что ср растет с увеличением
наклона АЧХ; при этом для ЛАХ можно приближенно считать,
что участку ЛАХ с наклоном ± 20 дБ/дек соответствует ср = ± л/2,
а участку ЛАХ с наклоном ± 40 дБ/дек н(р(ш) = ±л.
Пример. Устойчивое минимально-фазовое звено с ^(р) = к!(Тхр +1), где д =-1/7};
неустойчивое неминимально-фазовое звено с ІѴ2(р) = кІ(Т2р-1),гпе р2-+і/Т2. Здесь
ф2(со) =-arctg шТ2 - л > ф^ш) = -arctg со7] при ^(ш) = Л2(ш)-

Частотные характеристики звеньев (и САУ) могут быть сняты
экспериментально с помощью инфранизкочастотной аппаратуры.
Экспериментальное исследование имеет смысл, если САУ линейна или
близка к линейной. Сигналы сложной формы используются для полу­
чения спектра частот, например, прямоугольный синус:
х=

4а

л

5ІП СО Ґ + - 8ІП 3(0 Г + - 8ІП 5(0 Г + ...
3 5

Глава 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗВЕНЬЕВ
САУ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
§ 3.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ САУ

Передаточные функции САУ (и сложных ОУ) представляют собой
обычно полиномиальные сомножители вида:
64

ПЩ^+оПі^Аг^іір+і)
/=1
;=1
k=\

<M

<ы>" + ...+а„

pr X[(TlP ± 1)П (Tip1 ± 2^mTmp± 1)
/=1

m=l

Типовые динамические звенья (ТДЗ) САУ подразделяются на обыкно­
венные и особые (табл. 3.1).
1. Обыкновенные ТДЗ описываются дифференциальными уравне­
ниями первого или второго порядка или передаточной функцией
^((0)=^ , являющейся математической моделью элемента САУ.
Q(P)
Эти ТДЗ все минимально-фазовые (нули и полюсы ^(ф) имеют
отрицательные или равные нулю вещественные части).
2. Особые ТДЗ — неминимально-фазовые, неустойчивые звенья, зве­
нья с распределенными параметрами [иррациональные — ^(р) с под­
коренными выражениями, трансцендентные с е-/п —трансцендентТаблица 3.1. Классификация типовых динамических звеньев
1. Обыкновенные ТДЗ

1.3. Дифференцирующие
1.2. Интегрирующие (аста­
1.1. Статические (позици­
(форсирующие)
тические)
онные)
1.1.1. Идеальное
1.1.2. Первого порядка

1.3.1. Идеальное
1.2.1. Идеальное
1.3.2. Идеальное п -го по­
1.2.2. Идеальное «-го по­
рядка
рядка
1.1.3. Второго порядка
1.3.3. Инерционное пер­
1.2.3. Инерционное пер­
вого порядка
вого порядка
1.1.4. Второго порядка
1.3.4. ПД-звено(форсиру­
1.2.4. ПИ- звено (изодром­
колебательное
ющее) первого порядка
ное) первого порядка
1.1.5. Второго порядка
1.3.5. ПД-звено инерцион­
1.2.5. ПИИ-звено (изодром­
консервативное
ное
ное) второго порядка
1.3.6. ПДД-звено (форси­
рующее ) второго порядка
1.3.7. Форсирующее звено
второго порядка

2. Особые ТДЗ
2.1. Устойчивые немини­
мально-фазовые
2.2. Неустойчивые неми­
нимально-фазовые
2.3. Трансцендентные, с
запаздыванием

5 А. А. Ерофеев

2.4. Иррациональные
2.5. Дискретные
2.6. Звенья с модулирован­
ным сигналом

2.7. Нелинейные
2.8. Смешанные

65

ные W(p)], дискретные звенья, звенья с модулированным сигналом и др.
(см. табл. 3.1). Они составляют основу особых САУ: С АУ с переменны­
ми параметрами, САУ с запаздыванием и распределенными парамет­
рами, импульсные САУ или дискретные САУ, нелинейные САУ и др.
(Неминимально-фазовые ТДЗ, если полюс передаточной функции или
хотя бы один нуль имеет положительную вещественную часть). На­
помним, что корни уравнения R (р) = 0 — нули передаточной функ­
ции, а корни уравнения ^ (р) = 0 — полюса передаточной функции.
У неминимально-фазовых ТДЗ ЛфНтф > ^Фиф при одинаковых АЧХ.
Сложные звенья (ОУ) описываются посредством передаточных мат­
риц:
Ѵ{р) = {»;/₽)} = в'^р^р) = С[рЕ-А]~'в + О.
Как было указано выше, для расчета различные САУ обычно раз­
бивают на динамические звенья. Сложные САУ разбивают на прос­
тые методом декомпозиции. Динамическое звено — устройство лю­
бого физического вида и конструктивного оформления, описываемое
определенным дифференциальным уравнением. Классификация дина­
мических звеньев поэтому и производится по виду дифференциально ­
го уравнения или, что то же, по W{p'), так как одним и тем же диффе­
ренциальным уравнением могут быть описаны разнообразные ус­
тройства (механические, гидравлические, пневматические, электричес­
кие). В ТАУ это будет одно звено, независимо от физической приро­
ды. Если хвх = х, хВЬІХ = у, а возмущение/(0, то статическая характе­
ристика любого звена может быть изображена прямой линией (рас­
сматривается линейная, точнее, линеаризованная САУ).
Обыкновенные ТДЗ подразделяют в основном на три группы (рис. 3.1):
1) звенья статического или позиционного типа, где у = к{х, в уста­
новившемся режиме (к{ — коэффициент передачи звена) (рис. 3.1, а);
2) звенья интегрирующего типа, где у = к2х, в установившемся
режиме или при у = к2^х^(; у(р) = (к2 / р)х(р) — откуда и его назва­

ние (рис. 3.1,6); здесь размерность ^=с’' при х иу одной размер­
ности;
СІХ
3) звенья дифференцирующего типа, где у = к3
; у(р) = к2рх(р)
в установившемся режиме, откуда и название звена (см. рис. 3.1, в).
Здесь к3 измеряется в секундах; дифференцирующие звенья еще ина­
че называют форсирующими, фазоопережающими звеньями.
Упрощенная классификация обыкновенных динамических звеньев
по виду W{p) включает обычно 17 разновидностей, так называемых
типовых динамических звеньев (ТДЗ), описываемых дифференциаль­
ным уравнением не выше второго порядка (см. табл. 3.1). Из них: пять
позиционных, в том числе с инерционными свойствами; пять интегри­
рующих; семь дифференцирующих, в том числе с инерционными свой­
ствами. Существуют расширенные таблицы ТДЗ из 19 звеньев: где
66

7 — позиционных, в том числе с инерционными свойствами; 5 —
интегрирующих; 7 — дифференцирующих; таблицы из 24 и более
звеньев [1-9].

§3.2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ САУ

Рассмотрим уравнения, переходные и частотные характеристики наи­
более часто встречающихся типовых звеньев (табл. 3.2.-3.8).
Здесь и ниже информация, относящаяся к тому или иному звену, коди­
руется номером, согласно табл. 3.1
Статические звенья. Все статические звенья (код 1.1) в установив­
шемся статическом режиме описываются одинаковым уравнением
Зет — к%СТ'
Статическое идеальное звено (пропорцианальное, масштабное, уси­
лительное, безъемкостное, безынерционное) (код 1.1.1). Его уравне­
ние в статике и в динамике у = кх, т. е. процесс передачи ин­
формации проходит без искажений, усиливаясь в к раз. Его АФХ —
точка, ф(щ) = 0.
К такому звену сводятся все статические звенья первого порядка,
если можно пренебречь инерционностью, т. е. принять Т=0. Это
звено — идеализация реальных звеньев, так как в действительности
ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от
0 до оо, а имеет определенную полосу пропускания Дсоп = сов-(он.
Таблица 3.2. Обыкновенные типовые динамические звенья
Тип звена

х ^---- 1

У*

Передаточная
функция \Ѵ (р)

Операторное уравнение

1.1. Статические (позиционные)
1.1.1. Идеальное (уси­
лительное, безынерци­
онное)
1.1.2. Первого порядка
(апериодическое, инер­
ционное)

к

к
Тр+\

у - кх

(Тр + \)у = кх\

й=-~

67
5*

Продолжение табл. 3.2
Тип звена

* г|---- 1 Уг

Передаточная
функция W(р)

Операторное уравнение

1.1.3. Второго порядка
колебательное

к

(Т2р2+2^Тр + \)у = кх;

Т2р2+2^Тр + ]

0<^<1

к
=
к
72Р2 + ТіР + \ (Т^р + ^р + І)’

(^р2 + ТіР + 1)у^кх;

1.1.4. Второго порядка
(апериодическое,
инерционное)

1\>2Т2,^>\

^-(Т'І^-АТ^
1.1.5. Второго порядка
консервативное

к

(Т2р2 +\)у = кх^ = Ъ

Т2р2 +1
1.2. Интегрирующие (астатические)

1.2.1. Идеальное

к.

р
1.2.2. Идеальное и-го
порядка

ру = кх
к

л = 1,2,...

,

р" у = кх

Рп
к

1.2.3. Инерционное пер­
вого порядка

1.2.4. ПИ-звено (изод­
ромное) первого поряд­
ка

1 •

Кр

р(Тр + \)у = кх

р(Тр + 1)
к^Р+^ = к[ + к;

Р

к'=кТ

ру = к(Тр + \)х

Р

1.2.5. ПИИ-звено (изод­ кА^^Т^ =к1 + кУ +ѣ
ромное) второго поряд­
Р2
2 Р Р2’
ка
к2=кТ2; к{=к2^Т

р2у^к(Т2р2 +2^Тр + \)х;
0<£<1

1.3. Дифференцирующие (форсирующие)
1.3.1. Идеальное

1.3.2. Идеальное л-го
порядка

крп,

кР

у = крх

п = 1,2,...

у - крпх

1.3.3. Инерционное пер­
вого порядка

кР
Тр+\

(Тр + Г)у = крх

1.3.4. ПД-звено (форси­
рующее) первого поряд­
ка

к(ТР + [)

у = к(Тр + \)х

1.3.5. ПД-звено инер­
ционное
1.3.6. ПДД-звено (фор­
сирующее) второго по­
рядка
1.3.7. Форсирующее вто­
рого порядка

68

к(Тр + \)

{П^\}у = к(Тр^х

Ър + 1

к(Т2р2 +2^Тр+\)

у = к(Т2р2 +2£,Тр + \)х;
^<1

кр{Тр+\у

к(Т2р2 + 1)

у = кр(Тр + \)х;
у = к(Т2р2+1)х;

^=0

Таблица 3.3. Временные характеристики статических звеньев
№ - W (/)

ѵѵ

--------------- і

іѵ = к 5(і)

ѵѵ

И’(/) = ^И° Є ^’, 5ІП ш1/5(/)
“1

Ѳ = arctg

- = arctg

;

о,=ке р ;1п —=—
а2
Р
69

Продолжение табл. 3.3

Например, реальные электронные усилители обычно обладают
некоторой инерционностью и их характеристики Н(^,А((о), ф(со) в дей­
ствительности имеют вид, представленный на рис. 3.2.
Примеры: механический редуктор (без учета скручивания и люф­
та); безынерционный (широкополосный) усилитель; делитель на­
пряжения; рычажное соединение; первичные пребразователи (дат­
чики) — потенциометрические, индуктивные, вращающиеся тран­
сформаторы, тахогенераторы (х = со; у = ия тг) и т. д.
Статическое звено первого порядка (апериодическое, инерционное,
одноемкостное, релаксационное) (код 1.1.2).
Уравнение, передаточная функция, временные и частотные харак­
теристики звена представлены в табл. 3.2-3.4, под кодом 1.1.2.
Если временные (или частотные) характеристики звена получены
экспериментально, по ним можно определить значения Т и к как пока­
зано, например, для /г(0 и получить таким образом уравнение звена.
70

Таблица 3.4. Частотные характеристики статических звеньев
АФЧХ И7(ум) амплитудная А (со),
фазовая ср (со), вещественная и (со)
и мнимая V (со) частотные харак­
теристики

Амплитудно-фазовая частотная
характеристика

1.1.1. Статическое идеальное:

А
к

И'О) = к;
А = к;

ср = О°;

и = к;

АЧХ, логарифмические характеристики: асимптотическая амплитудночастотная Л (со) и фазочастотная <р (со)

V =0
[/(0) = С(-) = к

а/
ЦО) = Ц~) = 201ё к

1.1.2. Статическое первого по­
рядка:

1+Х
А=

и=

; ср = -aгctg(07;
к
•
1 + со2Г2’

у=
кшТ
1 + со2Г2

Цю) = 20^Ь20^(2

Продолжение табл. 3.4
АФЧХ W (усо) амплитудная А (со),
фазовая ср (со), вещественная (У (со)
и мнимая V (со) частотные харак­
теристики

Амплитудно-фазовая частотная
характеристика

АЧХ, логарифмические характеристики: асимптотическая амплитудночастотная Ь (со) и фазочастотная ф (со)

1.1.3. Статическое втрого по­
рядка:

(І-шѴн усп2^Т

А

к
ы2^Т
ср, = -arctg------ ——
1-ш2Г2

Ф - -л-ф^шг»!;

ПРИ “о = у
£(1-со2Т2)
і

+ о^Т^-О + й4/4 ’
і((й) = 20ІЕ Ь20^ [(1 -Й2)2 +

_______ - киЯ^Т
І + а)2??’2^2-!^4?4

при

2^2 «1

и0 = ^

+ Ц2Й2]1/2

Продолжение табл. 3.4
АФЧХ ^(ую) амплитудная А (со),
фазовая ср (со), вещественная V (со)
и мнимая V (со) частотные харак­
теристики

Амплитудно-фазовая частотная
характеристика

АЧХ, логарифмические характеристики: асимптотическая амплитудночастотная Ь (со) и фазочастотная ср (со)

1,1.4. Статическое второго по­
рядка колебательное:

И’(»-з I
;
(І-сіГТ^ + усоТі

со 71
ср = -arctg ------ ^—-;

к(\-ш2Т^

\ + а\т? -2Т?) +и4Т? ’

- кшТ}
1 + ы2(Т12-2Т22) + ы47^

...

\

кТ2

Фг) = >;
Ч

1

“2=т
'2

А = ф+ш^^ХІ + ш^2)]2;

Ф = —aгctg со 7^ -ап^соД;

Продолжение табл. 3.4
АФЧХ ^(уо) амплитудная А (ш),
фазовая <р (со), вещественная 13 (со)
и мнимая V (со) частотные харак­
теристики

Амплитудно-фазовая частотная
характеристика

1.1.5. Второго порядка консер­
вативное:

И'О) =

к
\-^Т2 '

иі^О

А = и =---- к-~- <р = 0°; Г = 0
1-ш2Г2

+

со-^шо

и(^ = к-

щ0 = А

АЧХ, логарифмические характеристики: асимптотическая амплитудночастотная £ (со) и фазочастотная ср (со)

Рис. 3.2

Чем больше величина постоянной времени Т, тем длиннее переходной
процесс /п в звене. Теоретически гп — время нарастания экспонен­
ты И(і) — равно бесконечности; практически за длительность пере­
ходного процесса /п принимают время от начала процесса до момен­
та, когда выходная величина достигла 95 % установившегося значения.
В случае экспоненты это время равно ЗТ; иногда принимают
іп =(4 -5) 7(4 Гн98,2%Я“), 5Тн99,3%у(“)).
Амплитудно-фазовая частотная функция представляет собой по­
луокружность с радиусом к/2 и центром в точке (к/2, 0) на действи­
тельной оси. Здесь (и далее) в уравнения частотных функций входит
_ 2л _ _ Т
_
член шТ =—Г = 2л— = £2 = 0) — это относительная безразмерная
частота.
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ)
звена приближенно представляется ломаной линией, которая называ­
ется асимптотической ЛАЧХ. Эта характеристика составлена из двух
асимптот — прямых, к которым стремится ЛАЧХ: при со—>0, соТ«1
и 71 + Т2со2 = 1, т. е. А (св) = 20^ £; при со —> и 71 + Т2со2 = соТ, т. е.
£ (со) = 201в к - 20^ со Т.
Во втором случае характеристика представляет собой прямую,
имеющую наклон (1Ь (со)/с7со = - 20дБ/дек (при увеличении со на де­
каду (в 10 раз) £ (со) = 20^ к - 20^ 10 со Г = 20^ к - 20^ шТ- 20^ 10).
Следовательно, £ (со) уменьшается на 20^ 10, т. е. на 20 дБ. Таким
образом, прямая, параллельная оси абсцисс на уровне 20^ к, — пер­
вая асимптота; вторая асимптота, к которой стремится ЛАЧХ при
75

со -) оо, прямая с наклоном в - 20 дБ/дек. Обе асимптоты пересекают­
ся в точке, соответствующей частоте (Ос=1/Г (сопрягающая часто­
та). При(Ос=1/7’ Ь(со) = 20^^-20^72 = 20^к-3,03 дБ. Следователь­
но, максимальное расхождение между истинной и асимптоматической
ЛАЧХ ровно 3,03 дБ и в обе стороны от шс уменьшается. Поэтому
практически в качестве ЛАЧХ статических звеньев первого порядка
используют асимптотическую ЛАЧХ.
Фазовая частотная характеристика при изменении со от 0 до °°
изменяется как кососимметричная кривая от Одо - л/2 (при 0=1/7’,
ср = - л /4).
Значение полосы пропускания звеном частот, соответствующее
ширине частотной характеристики, определяет быстродействие звена:
чем больше (оп, со звена, тем меньше /п и инерционность — по­
стоянная времени і звена.
Выражения для частотных функций, записанных через £2 имеют
более простой вид. Например, А (£2) = Ц1 + £2)^2 и т. д.
Для дискретного звена W(z) = кг/Т(г-е~ТкІТ), где ТК—период
(такт) квантования; г = ерТ*.
Примером статических звеньев первого порядка являются :
1) генератор постоянного тока (х = 1/ВО]б, У = СЛ г);
2) двигатель любого типа (электрический, гидравлический, пнев­
матический и т. д.), механические характеристики которого — пря­
мые линии, для различных х (і/я в электродвигателе, расход О жидко­
сти в гидродвигателе и т. д.);
3) резервуар с газом, жидкостью (х = ^ перед впускным отверсти­
ем, ^ = Р2 в резервуаре);
4) нагревательная печь (х = Q — количество поступающей в еди­
ницу времени теплоты, у = Е);
5) термопара (х = Е, у = і°);
6) тиристорные, электромагнитные усилители, гидро-, пневмоуси­
лители и т. д.
Статическое колебательное звено второго порядка (код 1.1.3).
Уравнение звена имеет вид:

2 СІ2у
СІу
~7Т + Г1^+у~^х’

^2

т
связаны условием ^ = —- <1, т. е. 27^ > 7].
27^
Обычно уравнение этого звена записывают в виде (Т2 = Т, Тх = 2^):

в котором 7]

и ^2

(Т2р2 +2^Тр+\)у = кх,

или
<7
76

}

или

dy
dy
2
, +2^0
У^у = кхх,
at
at
где кх = кш^; q = l/ T = a)() —угловая частота свободных колебаний
(при отсутствии затухания) или собственная частота незатухающих
(резонансных) колебаний; £ — параметр затухания (коэффициент от­
носительного затухания), показатель демпфирования (0 < £ <1).
Условие 0 < ^ < 1 означает, что корни характеристического
уравнения 7^2^2 + ^ + 1 = 0 являются комплексными, равными
-------------= -^0±м
272

= -^С£)о ±7С0! =-«±/(0,.

Здесь вещественная часть корня равна а = ^/Г = ^ = ^со0 и оп­
ределяет коэффициент затухания или декремент затухания переход­
ного процесса; мнимая часть 0 = д^\-^ = ш0^1-^2 = сі^ характери­
зует собственную (фактическую) частоту затухающих колебаний. Зна­
чение ос2 + 02 = д2 = Шд или ^ц2 + р2 = ц)0 и определяет частоту сво­
бодных колебаний; отношение Р/а = [(1/^2)-1]^2 = й]/^, При £ —» 0
а —> О, а Р -» а)0; при ^ -> 1 а —> ооо, а 0 —> 0.
Уравнение установившегося (статического) режима звена имеет
аналогичный вид , что и у статического звена первого порядка
Кт к Кт ■
Характеристики звена представлены в табл. 3.3 и 3.4 под кодом
1.1.3.
Колебательность переходного процесса звена с ростом £ умень­
шается, исчезая совсем при £ > 1.
По экспериментальной характеристикеh(f) можно определить пара.
2
9
То2
1
метры колебательного звена: к = уст при хст =1; Т =7^ =
у= 2;
2£

4л

2л

7] =--=27^, где То ~ wo

Р

0)0

—период колебаний, определяемый по

переходной характеристике Р = 2л/7^. Величину «характеризую­
щую степень затухания колебаний, можно определить из выражения
ах/с2 = еаТоІ\ или q3 Іщ = ea7o, где «!, «2 и °з — превышения амплитуды колебания относительно установившегося значения, отстоя­
щие на время, равное л / 0 — полупериоду колебаний 7^. Отсюда, на­
1

1

°з

пример, a = -In
?o

3
'р = н a

=
ai

го

2,31g-3;
сті

ст = е-^ =e-m/“> =е-^/(1-^)1/2;

ЗТ

т
77

Выражения для амплитудно-фазовой и других частотных функций
при введении Q = щ£ сильно упрощаются. При ^ = 1/^2 = 0,707 = £оп

выражение для Л (со) примет вид A (Q) = А:/(1 + Q2)1/2; при этом Zp —> Zp min
(а = 5%). Для 0,38 < £ < 0,707 Ам= к/(2^1-^2) при Q = ]\-2^.
Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена при к > 1 пред­
ставляет собой ломаную линию, состоящую из двух асимптот: при
со —> 0 асимптота идет параллельно оси абсцисс на расстоянии 201g к;
при со —> «> асимптота имеет наклон - 40 дБ/дек. Точка пересечения
асимптот соответствует (0с=1/Г Уравнение первой асимптоты полу­
чается при шГ«1: L(w) = 201g к; уравнение второй асимптоты по­
лучается при Й»1 и Q2»2£Q: £(Q) = 201g A-201g Q2 =201g k-401g Q. Ошибка ДЦсоЛ) = -201g [(1 -co2/со2) + (2^С0с)]1/2|0<т<Шс

и

AL(co^) = -201g [(1 - co2/co2) + (2^CDc/(О2)]

|0<ш<„;

Acp(Q, £) =

= arctg (l-Q2)^^10"
При увеличении частоты на декаду £ (со) имеет наклон второй асимптоты в - 40 дБ/дек.
Расхождение между асимптотической и истинной ЛАЧХ при
0,38 < ^ < 0,707 не превышает 3 дБ (как и для статического звена перво­
го порядка). Поэтому для звеньев при таких значениях
можно
пользоваться асимптотическими ЛАЧХ. При значениях 0,707 < £ < 0,38
асимптотическую ЛАЧХ необходимо вычислять; иногда ЛАЧХ
корректируют с помощью формул ошибки А А, Д ф или графиков
поправок, дающих разность между истинной и асимптотической ЛАЧХ.
Например, при ^ = 1 ошибка уже равна 6 дБ.
Связь между параметрами колебательного звена и частотными ха­
рактеристиками позволяет по экспериментальным частотным харак­
теристикам определить параметры и получить уравнение звена.
Колебательные звенья — это системы, способные накапливать два
вида энергии — кинетическую №К и потенциальную Wn (двухемкостные системы). Процесс колебания сопровождается переходом одной
энергии в другую и наоборот, причем время 7] характеризует способ­
ность системы демпфировать (тормозить) колебания, а время Т2 —
способность раскачивать САУ.
Примеры колебательного звена: электрический резонансный ЯЬС
контур; электрический двигатель при достаточно большой постоян­
ной времени цепи якоря (4ГЯ > Тм); механический демпфер (катаракт); уп­
ругие механические передачи; гироскопические элементы и т. д.
Статическое звено второго порядка (апериодическое, инерционное
звено второго порядка) (код 1.1.4) описывается аналогичным уравне­
нием, как и колебательное звено второго порядка, только здесь £ > 1.
При 5=1 (7і=2Т2)
78

\

к
(1 + рГ)

к
1 + 2рТ + р2Т2

к
1
\ + рТ\ + рТ

При £ = Т{/2Т2 >1 корни уравнения становятся вещественными:

2ТІ

~

Т

так как значение (-1 ) положительно. Для дискретного звена

W(z) = к2Т^'т/Т2 ^ - ч~т^.
Характеристическое уравнение, соответствующее данному звену,
имеет уже не комплексные, а отрицательные действительные корни
(д = -аь р2 = -а2). Поэтому такое звено не является колебательным,
а представляет собой последовательное соединение двух ста­
тистических звеньев первого порядка с постоянными времени
Ѵ.(л = -і/’’>; л = -1/7’4)По экспериментальной кривой Н(і) можно легко определить пара­
метры звена, а именно значения Г3 и Т4 [см. И(і) в табл. 3.3]. Выра­
жения для И (/) можно иначе записать:
Л(г) = ^{1-[а2/(а2 -аі)]е'^

или

Л(0Ц1-(1-«)е-“р«і

Следовательно, неколебательное статическое звено второго поряд­
ка может быть заменено в структурной схеме САУ двумя звеньями
первого порядка, т. е., строго говоря, его нельзя считать элементар­
ным звеном.
Для дискретного звена

ИД?) =----------- 7-----------(7] - Д) (г - е-7^ )(?- е^/7і)
У статических звеньев в силу их инерционности Л (со) по мере уве­
личения частоты падает до нуля; при этом, чем менее инерционно
звено, тем больше его полоса пропускания. Теоретически, АЧХ про­
должается до бесконечности, но практически полоса пропускания
оценивается значением частоты, при котором Л (со) становится мень79

ше определенного (достаточно малого) значения. Это значение обыч­
но берут равным 0,05 (на этой частоте амплитуда ^м падает до 5 %
амплитуды хм).
Частным случаем статического звена второго порядка является
так называемое консервативное звено (код 1.1.5) при ^=0 (у этого
звена 7] =0). Консервативное звено отражает идеальный случай, ког­
да можно пренебречь рассеиванием энергии в звене (например, счи­
тать 7? = 0 в контуре RLC). Консервативное звено получается также
при охвате двух последовательно соединенных интегрирующих зве­
ньев жесткой отрицательной обратной связью (ООС).
Переходные характеристики такого звена представляют собой
незатухающие колебания с частотой (00 = 1/ Т. На этой частоте скач­
ком претерпевают изменения (р от 0 до 180°. Характеристики звена
приведены в табл. 3.3, 3.4 под кодом 1.1.5.
Идеальное интегрирующее звено (И) (астатическое, нейтральное)
(код 1.2.1, табл. 3.5, 3.6) описывается уравнением в интегральной форме
t
y = kfx(T)dT + y0.
о
Выходная величина звена пропорциональна интегралу от входной
величины, коэффициент передачи И-звена имеет размерность 1/с.
Характеристики звена приведены в табл. 3.5 и 3.6, код 1.2.1.
ЛАЧХ звена имеет вид L (со) = 201g (k/ю) = 201g к - 201g со и представля­
ет собой прямую, имеющую наклон к оси абсцисс: - 20 дБ/дек. При со = 1
ее ордината равна 201g к. Для дискретного звена W (z) = kz/(z - 1).
Идеальные интегрирующие звенья п-го порядка (код 1.2.2) с
W(p) = l/(pTn)n, п= 1,2,..., имеют подобные характеристики с той лишь
разницей, что наклон ЛАЧХ пропорционален п — порядку звена, а имен­
но: при д = 1 — наклон - 20 дБ/дек; при п = 2 — наклон - 40 дБ/дек
и т. д. Каждое И-звено вносит фазовый сдвиг в - 90°. Следова­
тельно, И-звено п-го порядка создает фазовый сдвиг: - пл /2.
Реальные интегрирующие звенья (инерционное И-звено, интегриру­
ющее звено с замедлением) (код 1.2.3) обычно обладают определен­
ной инерционностью. Поэтому их выходная величина не равна точно
интегралу от входной величины. Реальное инерционное интегриру-

ющее звено с передаточной функцией W(p) =----------- можно предР(Тр + Ѵ)
ставить как последовательное соединение двух звеньев; интегри­
рующего звена и статического звена первого порядка. Следователь­
но, реальное интегрирующее звено уже не является элементарным ти­
повым звеном, а представляет собой последовательное соединение двух
известных типовых звеньев. Характеристики реального И-звена при­
ведены в табл. 3.5 и 3.6 под кодом 1.2.3. Для дискретного звена
W(z) = kz^. - е~ТкІТ^ ((z -1) (z - e~T*IT^.
80

Таблица 3.5. Временные характеристики интегрирующих звеньев

к

ит = к$(і)

а = arctg к

Ь^+кк^У,
а = arctg к

ы = ^5 (/) + &>о 10)

1.2.5

и’ = [^8(/) + к\ +2Ь]6(/);

а = aґctg 2к

Примеры интегрирующих звеньев: операционный усилитель в ре­
жиме интегрирования (х = и{, у = и2У гидравлический демпфер (х =
= Г; у = е); интегрирующий привод (а-к^икііу гироскоп; гидрав­
лический двигатель, выходом которого является перемещение
81
6 А. А. Ерофеев

ОФ
ю

Таблица 3.6. Частотные характеристики интегрирующих звеньев
АФЧХ 1Г(» амплитудная Л (со), фа­
зовая ф (со), вещественная (7 (ш) и мни­
мая V (о) частотные характеристики

Амплитудно-фазовая
частотная характеристика

АЧХ, логарифмические характеристики: асимптотическая
амплитудно-частотная ѣ (со) и фазочастотная ф (со)

1.2.1. Идеальные:

ИХ» = — = -7 - = А е-^/2;
/СО
0) со

А = —;
(0

<р = -90°;

(/ = 0;

Ѵ = -—
(0

1.2.3. Инерционное:

1
“о = т
А = —.
;
со<1 + со2Т’2

1 + со2Т2’

ср = -90° -аг^соТ;

со(1

+ со27’2)
“ср

Продолжение табл. 3.6
АФЧХ W О^л) амплитудная А (со), фа­
зовая ф (со), вещественная и (со) и мни­
мая V (со) частотные характеристики

Амплитудно-фазовая
частотная характеристика

1.2.4, ПИ-звено (изодромное):

А=- Ѵ1 + Ш2Г2;
со
ср = -90° + arctgco7';
и(0) = и(~>) = кТ;

и = кТ;
при шТ =\ А = ■/їкТ, <р = 45°;
Ѵ = -—
со

и = кТ;

Ѵ = -кТ

1.2.5. ПИИ-звено (изодромное) вто­
рого порядка:
-со2
А = ксо2

+

йггг
ср = агсіе------ — -180°;
1-со2Г2

и = ~(\-а2Т2);
(О

при (ОТ = 1

А = 2кТ\,

ср = -90°;

(/=0;

Ѵ = -2&Т2

со

АЧХ, логарифмические характеристики: асимптотическая
амплитудно-частотная Ь (со) и фазочастотная ф (со)

поршня I, а входом — давление жидкости, подаваемой в цилиндр;
электродвигатель (% = щ, у = ф= р)Л + (р0); емкость (х = і, у = и =

= 1 /с Г ІСІТ + Щ); ИНДУКТИВНОСТЬ (х = Щ у = Ф= \ иск + Фо).
О
о
При этом реальные инерционные интегрирующие звенья соответ­
ствуют перечисленным устройствам, если более точно рассмотрены их
уравнения.
Изодромное звено первого порядка (код 1.2.4) с передаточной функ­
цией
№(р) = кх + к = к^ + Т^
Р
Р

где Т = — , а ^ = к Т, представляет собой параллельное соединение
к
двух известных типовых звеньев: идеального интегрирующего звена
к/р и безынерционного звена к^ Передаточную функцию ПИ-звена
часто представляют в виде:
Ѵ(р) = к^^,

где ТИ — постоянная интегрирования.
ППИ-звено (изодромное звено второго порядка) (код 1.2.5). Это
звено с передаточной функцией И/(р)-к2+к1/р+к/р2 представляет
собой параллельное соединение трех известных типовых звеньев:
П-звена (^2), И-звена (кѵ! р) и звена (к/р2). Характеристики ПИи ППИ-звеньев представлены в табл. 3.5, 3.6 соответственно под
кодами 1.2.4 и 1.2.5. Здесь

W (р) = к (1 + Тр) /р нэ W(z) = к (1 + Т) [z + Т/(\ - Т)] /(z -1).

Эти звенья выделены здесь по той причине, что реальные устройства
САУ часто описываются такими передаточными функциями (как еди­
ное целое).
Дифференцирующие звенья (код 1.3).
В идеальном дифференцирующем звене (Д) (код 1.3.1, табл. 3.7, 3.8)
выходная величина пропорциональна производной от входной вели­
чины; коэффициент передачи звена к измеряется в секундах.
Передаточная функция и характеристики дифференцирующего зве­
на обратны передаточной функции и характеристикам интегрирую­
щего звена.
Идеальные дифференцирующие звенья n-го порядка (код 1.3.2,
табл. 3.7, 3.8) имеют передаточную функцию W(p) = крп = Тарп,
и = 1,2, ... . При этом наклон их ЛАЧХ пропорционален п и равен
п • 20 дБ/дек, а фазовый сдвиг равен п ■ я/2.
84

Реальные дифференцирующие звенья (код 1.3.3, табл. 3.7, 3.8) пред­
ставляют собой дифференцирующие звенья, обладающие конечной
инерционностью; осуществляемое ими дифференцирование не являет­
ся точным. Передаточная функция реального дифференцирующего
звена (без статизма) имеет вид:

при Т^О реальное звено стремится к идеальному (к=кД1
а).
Реальное инерционное дифференцирующее звено уже не является
типовым; его можно заменить последовательным соединением иде­
ального дифференцирующего звена и статического звена первого

порядка с М^р) = к- р и №2(р) =

Тр + \
Реальное инерционное дифференцирующее звено со статизмом или
ПД-звено (код 1.3.5, табл. 3.7, 3.8) с передаточной функцией вида

„/( ) = ^7і/'+1) = ^(>+Др)
Т2р + \
Т2р + \
при ^ > Т2, Та>Т2 представляет собой последовательное соединение
двух звеньев с И^(р) = 1/(Г2^ + 1) И W2(p') = к^р + І) = ка(1 + Тар).
Форсирующее идеальное ПД-звено первого порядка (код \.ЗА, лабл. 3.7,
3.8) с ^ (р) = к(Тр +1) здесь входит как составная часть этого звена
(7] = Т). Характеристики идеального ПД-звена первого порядка зерТаблица 3.7. Временные характеристики дифференцирующих звеньев

85

оо

Таблица 3.8. Частотные характеристики дифференцирующих звеньев

Продолжение табл. 3.8
АФЧХ ИДусо) амплитудная А (со), фа­
зовая <р (со), вещественная и (со) и мни­
мая И (со) частотные характеристики

Амплитудно-фазовая
частотная характеристика

АЧХ, логарифмические характеристики: асимптотическая
амплитудно-частотная L (со) и фазочастотная ср (со)

1.3.4. ПД-звено:
И'Су^^^І + усоГ);
|оУ*оо

+^

/

L

w^—

^

А - к^\ + ы2Т2 ■

w^O

_j '

ср = агсtg со Г;

1/ = к;

Ѵ = кшТ

U(0) = U(~) = k

£(0) = 201g/c

ЫС=ІІТ-

1.3.6. ПДД-звено:

ИДум) = £[(1 - ы2Т2) + усо2Ш

,

L tWd6/deK

А = к^ + (^ІТ2^2 -1) + о/г4;

-j.

^°

°

wc

t^

U(0) = k;

Ф

аГС‘ё ,
2^2 ;
1-ыТ

1

...

.

wi2^

і/ =/с(1-со2/’2);

90-------------f^°>6

(p(ioc)=9O°;
V = к^Т

р,град
180—c.

J(wc) = 2^

wc

to

ОО
ОО

Продолжение табл. 3.8

кально обратны апериодическому звену первого порядка. Для этого
А(т) = к--------- . ,
ф((о) = arctg шГ-arctg йТ2;
ПРИ
||1 + (юГ2)
оз = (7^)-1/2 ф(ш) = ф„,(ш) = агсзіп [(7] — 7^)/(7] + 7^)]. Временные ха­
рактеристики звена имеют вид:
звена

И(0 = к [1 - (1 - т)еІІТг ]-01 (0; ^ (0 = у 0 - т) е ~‘/ъ-о 1 (0 + И5(0;
где т = ТДТ2>1
Кроме рассмотренных различают еще дифференцирующие (форси­
рующие) звенья второго порядка или ПДД-звенья (кодД.3.6, табл. 3.7,
3.8) с передаточной функцией W(р) = к(Т2р2 +2^,Тр + \), при £ < 1
имеющие характеристики соответственно зеркально обратные колеба­
тельному звену или при £ > 1 статическому неколебательному звену
второго порядка. Во втором случае это звено представляет собой
последовательное соединение двух форсирующих звеньев первого по­
рядка с ^(р) = к(1 + р^) и №2(р) = 1 + рТ2, где

Обратные АФХ дифференцирующих звеньев 1 и 2 порядка сов­
падают по форме с АФХ соответствующих статических звеньев, т. е.
1

= ^о(».

^(М

Дифференцирующие (форсирующие) звенья второго порядка могут
иметь и несколько другой тип передаточных функций (код 1.3.7, табл.
3.7, 3.8).
Кроме того, эти звенья, уже как реальные, имеют инерционность,
когда в знаменателе стоит член (^+1). Характеристики дифферен­
цирующих звеньев приведены в табл. 3.2, 3.7 и 3.8 под соответству­
ющими кодами 1.3.1-1.3.7.
Примеры дифференцирующих звеньев: тахогенератор постоянно­
го тока (х = а, у = иТГ при Лн -> «>); операционный усилитель в ре­
жиме дифференцирования (х-щ,у = и2, W(p) = Tap, Та=КС),ем/ - і,. у = и2 = Ьт Лі .) и т. д.
кость /(х-и, у = і-Ли
с = с ); индуктивность (х
сіі
сіі
§ 3.3. ОСОБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ САУ

Особые динамические звенья САУ — это устойчивые неминималь ­
но-фазовые звенья (содержат нули в правой полуплоскости), неустой­
чивые звенья (содержат полюсы в правой полуплоскости), звенья
89

с распределенными параметрами: иррациональные и трансцендент­
ные (количество нулей и полюсов стремится к бесконечности) и др.
(см. табл. 3.1).
Звенья с распределенными параметрами описываются уравнения­
ми в частных производных, отражающими связь процессов во
времени и пространстве, т. е. зависящих от / и /, уже не являющихся
обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Устойчивые неминимально-фазовые звенья (код 2.1, табл. 3.1). Пере­
даточные функции этих звеньев имеют, например, вид:

«'И = тг ѵ ’
W(p) = k(У^-~-PУ)

(^ = +1/7ь л"
(Й=1Ч, р^ІІТг, р,=-ѴТ}),

1 + ртз
т. е. содержат в числителе передаточной функции члены, определяю­
щие наличие положительных корней — нулей №(р). Следовательно,
устойчивые неминимально-фазовые звенья (НМФЗ) имеют нули пе­
редаточной функции в правой полуплоскости, в то время как их по­
люсы — отрицательные вещественные числа.
Для примера рассмотрим звено первого порядка с передаточной
функцией №(р) = — (—£^1) Такого вида передаточными функциями
(І + Т^)
обычно описываются дифференциальные или мостовые измеритель ­
ные КС схемы, широко применяемые на практике (рис. 3.3, а—в). Для
мостовой схемы, приведенной, например, на рис. 3.3, в, при 7^=1:
^(р)=и2^

Тр-}
2(7р + 1)

где
Т = К^ = К2С2.

Временные характеристики звена с W (р) имеют вид :
ад=ф-(і+т)е-'/гфі«;

w(t) = -kт5(t) + ^-ke //72-о1(0,

где т = 7]/7^1 [при т=1 №(р)Р> №і(р)].
Амплитудно-частотная функция звена определяется выражением
Л(ы) = £

90

Р + (оѴ22

которое совпадает с выражением для Л (со) минимально-фазового
звена, когда W(p)- к -

; соответственно аналогичны иЦй) (код

1.3.5, табл. 3.7 и 3.8). Для минимально-фазового звена фт(ш) =
= aгctg 0)7} - arctg шТ2 < фнт(о)) = -aгctg 0)7} - aгctg 0)7^; фнт(о)) при изме­
нении 0) изменяется от 0 до-л. Для сравнения напомним выражение
для Л(т) минимально-фазового звена: кт(і) =^1-(1-т)е’^7'2|01(/).
На рис. 3.4 приведены временные (рис. 3.4, а, в) и частотные
(рис. 3.4, д, е) характеристики звена, а также для сравнения пред­
ставлены характеристики Ит(і) (рис. 3.4, б) и wm(t) (рис. 3.4, г)
минимально-фазового дифференцирующего (форсирующего) звена
при т > 1.
Аналогом минимально-фазового звена cW (р^^к (Тр + 1) является
звено с № (р) = к (Тр - V) и при одинаковых А (о)) их (р (о)) сущест­
венно различаются. Указанные примеры легко можно продолжить.
Неустойчивые звенья являются неминимально-фазовыми (код 2.2,
табл. 3.1). Все вышерассмотренные звенья были устойчивые; полюсы
их передаточных функций имели отрицательные действительные час­
ти. Неустойчивые неминимально-фазовые звенья имеют полюсы и нули
с положительной действительной частью.
91

Неустойчивыми, по определению, являются звенья, передаточные
функции которых отличаются от передаточных функций рассмот­
ренных выше звеньев изменением знака перед любым из членов зна­
менателя на отрицательный. Например, к неустойчивым звеньям от­
носятся звенья со следующими передаточными функциями:
----- п------------- (3.1);
-Г2У + ^+1

к
1-2^Тр+Т2р2
92

—------------ (3.2);
г27-т;р+1

(3.4);

9

Т2р2-\

(3.5);

—------------Г22р2 + 7]р-1

7

р(Тр-1)

(3.6);

, ^ (3.7);
1-7/7

/,

(3.8).

7/7-1

Здесь, например, выражению (3.4) соответствует квазиколебательное
звено с отрицательным затуханием; (3.5) — квазиконсервативное звено.
Переходные характеристики всех неустойчивых звеньев неограни­
ченно растут со временем.
Рассмотрим, для примера, звено с передаточной функцией

• Это неустойчивое звено первого порядка (звено с от7/7-1
рицательным етатизмом), так как его полюс /7 = +1/Г, а нулей
вообще нет. Передаточная функция здесь отличается от передаточной
\Ѵ(р) =

функции статического звена первого порядка отрицательным знаком
перед единицей. Его переходная и весовая функции описываются сле­
дующими уравнениями:
Лй = ((е-"г-і).01(/);

»'(<)=‘е"г8(і).

Амплитудно-фазовая частотная функция имеет вид
W(j^ =

^(1 + ^Т)
1 + Т2ш2

к

кшТ

1 + тѴ + У 1 + Т2ы2

Его АЧХ совпадает с Л,„(со) — АЧХ статического звена первого
порядка, т. е.

а ФЧХ не совпадает:
ср(со) = аг^соТ-л = -[-ф„,(со) + л] = (р,„(со)-л.

При (і)-)0, ф (со) —> - л, при со —> оо ср(со) —> -

71

; это звено создает

больший (неминимальный) фазовый сдвиг -л-н — . Временные
I 2
и частотные характеристики звена приведены на рис. 3.5.
Звено с постоянным запаздыванием (трансцендентное звено)
(код 2.3, табл. 3.1) воспроизводит без искажения на выходе вход­
ную величину. При этом выходная величина запаздывает относи­
тельно входной на постоянное время т. Уравнение звена имеет вид
93

у = кх(і-т) или в операторной форме у = ке рхх , так как в соответ­
ствии с теоремой запаздывания

Ж/-т)} = е Хрх(р),
где е~хрх(р) — изображение Лапласа.
Разложение правой части уравнения в ряд Тейлора в операторном
виде также дает:
кх (/ - т) = кх

1!

2!

3!

+ Ш1
= ке Хрх(р).
п\

Так как у = 0 при t < т, то время запаздывания т называют
также временем «чистого» запаздывания.
Соответственно передаточная функция звена имеет вид :

Ж^р^ке'^.
Амплитудно-фазовая частотная функция звена

W (jto) = ке jm = к (cos сот - jsin шт).
Здесь

A((i)) = k;

[/(w) = hos(DT;

(p((o) = -wx;
И(со) = -bin сот.

Временные характеристики звена описываются уравнениями:
94

/г(ґ) = £-01(/-т); ю(і) = к$(і-т).

Если входной сигнал — гармоническая функция х(/) = хмзіп со і или
х()й) = Хы^ы1, то ХО = ^М8ІП со (/ - т) ,или ХЛ>) = кхме^'~^.
На рис. 3.6 представлены временные (рис. 3.6, а, б) и частотные
(рис. 3.6, в — д) характеристики звена. Как следует из рис. 3.6, г,
АФХ звена представляет собой окружность с радиусом R-к и
с центром в начале координат.
Звенья с запаздыванием являются неминимально-фазовыми устой­
чивыми звеньями. Они имеют бесчисленное множество полюсов
(в левой полуплоскости) и нулей (в правой полуплоскости) с моду­
лем, стремящимся к оо. Это соответствует решению уравнения е'рт = 0.
Реальные звенья с запаздыванием обычно обладают инерцион­
ностью и их передаточные функции имеют вид: W(p) = ke~pï (І + Тр)
или W(p) = ке~р\/(Т^ + ї)(Т2р + 1).

а)
Ж)

С)

)

95

Следовательно, в общем виде, уравнение любого звена с запаздывани­
ем можно записать в виде О(р)у = Р(р)е~рхх, которому соответствует
передаточная функция ^(р) = ^^
= ^(^е”^, где WАр) —
Q(p)
линейная часть звена без запаздывания.
Передаточные функции реальных трансцендентных звеньев раз­
личного типа (звеньев с распределенными параметрами) часто со­
держат составляющие типа гиперболических функций. Например, пе­
редаточная функция гидротурбины с трубопроводом длиной / имеет
следующий вид:

1 + роіЬ^т 7/7 + 1

где т = 2//с — время постоянного запаздывания; с — скорость рас­
пространения гидравлического удара; р0, Т — параметры.
Передаточная функция гидравлического трубопровода длиной /
№(р) = -^th рт,

или

где т = і4к ; к — параметр.
Длинная электрическая линия без потерь (длиной /п) имеет

№(р) =

1

или W{p) = е-у/п,

где у = ру[ьС; Ь, С — параметры линии на единицу длины (см. п. 11.2).
Существуют и другие различные выражения для W(p} трансцен­
дентных звеньев подобного вида:

-Л (7»;

Ш(7»

1 + іЬ(7»’

2к\А(Тр)
1 + £іЬ(7»

Примеры трансцендентных звеньев с запаздыванием: транспор­
теры, ленты магнитной записи, акустические линии связи, трубопро­
воды (т = //ѵ), крупные нагревательные объекты (ОУ), линии элек­
тропередачи и т. п.
Иррациональные звенья (код 2.4, табл. 3.1) — их передаточные функ­
ции имеют, например, следующий вид:

96

^(Р) = к//р;

(3.9)

к/^^ту

(З.Ю)

к/^ + рТу,

(З.И)
(3.12)

к
р/р’

(3.13)

к/р(1 + /рТУ,

(3.14)

ке~^ /р.

(3.15)

Эти звенья еще иначе можно назвать: полуинтегрирующее (3.9);
полуинерционное первого рода (3.10); полуинерционное второго ро­
да (3.11); звено затухания (полузапаздывания) (3.12 ) и т.п. Здесь
везде в формулы для № (р) входит ^/р — иррациональное выражение.
К числу таких звеньев обычно относятся звенья с распределенными
параметрами, которые описываются уравнениями в частных произ­
водных, зависящих от пространственных координат / и времени I.
АФХ звеньев W (усо) выражается также иррациональной функ­
цией.
Например, для полуинтегрирующего звена с № = к//р :

ѵѵ (г) = к/ уітй;
А(и) = к/4й; (р(ш) = --; Цш) = 20^Ь10^ш
4

(имеет наклон в -10 дБ/дек).
Для полуинерционного звена первого рода:
И/ (усо) = к/{\ + /]^Т^, Л (со) = £ [1 + (2со т/1 + со Г
ср (со) = -arctg {(соТ)1/2ДТ2 + (со 7у/2]|
л
И изменяется ОТ 0 ДО -45° , т. е. стремится К---- при (О —» ОО . Здесь
4
Ь (о) = 20^ к (при со Г < 1) и Л (и) = 20^ £ - 10^ со Г (при йТ > 1); при
йГ>1 имеет наклон в - 10 дБ/дек. На частоте йс =1 Г АЛ (со) = -5,3 дБ.
Для звена затухания (полузапаздывания) — трансцендентного ир­
рационального звена:
97
7 А. А. Ерофеев

№иш) = е~^; А^^е'^; (р((о) = -Тсо772;

Ц^-^^Т/І.

Это звено также не является минимально-фазовым, так как име­
ет нули в правой полуплоскости.
Временные характеристики звеньев (3.10) и (3.12) имеют соответ­
ственно следующий вид:
для звена (3.10)

ОІоЖ

для звена (3.12)

И(х,і) = Р'(х, О-о1(/);

^(х, /) = О^е^^^гДлг3),

где

^(х, і) =
Г(і,/) = егГс /Ѵ^/2
— выражение в квадратных скобках, соответствующее егГс (х),
представляет собой табулированный интеграл вероятности ^е ^н

^еггф/)1^.
На рис. 3.7 — 3.9 приведены временные (я, 6) и частотные (в—ф
характеристики иррациональных звеньев: соответственно для звена
(3.9) — на рис. 3.7, для звена (3.10) — на рис. 3.8, для звена(3.12) —
на рис. 3.9. Для сравнения здесь же пунктиром представлены переход­
ные характеристики И(і) в И-звене (на рис. 3.7) и Лс(/) в статичес­
ком звене первого порядка (при том же значении рис. 3.8).
Дискретные (импульсные) звенья (код 2.5, табл. 3.1) — звенья
с дискретизацией процесса по времени и по уровню в зависимости от
типа квантования сигнала. Эти звенья составляют основу или глав­
ную особенность цифровых и импульсных систем. Дискретное звено
может быть цифровым (квантование по времени и по уровню), им­
пульсным (квантование по времени) и релейным (квантование по
уровню). Дискретное звено с квантованием по времени содержит им­
пульсный элемент (ИЭ), преобразующий входной дискретный сигнал
х [пТ ] в выходной у [пТ ], параметры которого (амплитуда, частота,
фаза и др.) функционально зависят от х [ иГ], где Т = Тк — период кван98

тования сигнала; п = 0, 1, 2, ... . Дискретному звену с произвольной
формой сигнала импульса эквивалентно последовательное соединение
простейшего (идеального) ИЭ (модулятор 5-функций) с некоторым
формирующим звеном (элементом, цепью). Например, для импульсов
прямоугольной формы (у = 1; Ч = ТН/Т) формирующее звено имеет:
W{p) = k

1-е“Р

^кТ;

W(z) = k

2
2 Р

р

І8ІП (со7

для импульсов треугольной формы:

W(p) = k^-----Р

W(z) = к

W (уш) =---- - 8ІП2 ------- Є
ТЫ
к 2 )

.
Тх2

р‘

4

99
7*

Рис. 3.9

100

Формирующие звенья обычно относят к непрерывной части (НЧ)
системы, состоящей т. о. из ИЭ (одного или нескольких) и НЧ. В ИЭ
применяют три основных вида квантования АИМ, ШИМ и ФИМ (амплитудно-, широтно- и фазо-импульсную модуляцию входного сигна­
ла) при Т = Тк = const (Z), частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ)
при Тк = ѵаг (z) и смешанные виды (ЧШИМ, АФИМ и др.) При АИМ:
Ти = уТ = cons (0 (0 <у< 1), а единичный импульс ^(z) = 1(Z) -1(Z-уТ),

тогда у = ^x[nT]yx(t- пТ) при у[пТ] = кхх[пТ], где кх—коэффил=0

циент АИМ. При ШИМ Тк =уТ = var(Z) (0 < у <1) при фиксированной
амплитуде импульсов Ли = const (Z), у п = к2х [пТ] при упТ<Т, тогда

= -4И^ ^(Z- «7) sign х[дГ], где к2 —коэффициент ШИМ, Уі =1(0м=0

-\(t-ynT). При ФИМ 7^ = const (0, Ли = const(z), но внутри каждого
периода Т имеет место сдвиг импульса по времени на величину
ея

= к2х[пТ] при упТ< Т. Тогда у = АК^ух(і-пТ-єпТ)sign х[пТ].
п=0

При ЧИМ обычно 7^ = const (Z), 4=const(/), но 7K=var(Z), т. е.
fK=^ = ѵаг (Z); /к = к4х[пТ], где к4 — коэффициент ЧИМ.
В дискретном цифровом звене обычно величина одной дискреты
сигнала по уровню а = const (Z), тогда у [пТ\ = ка sign х [пТ\, где к —
целое число дискрет: а(к-Q,5)< х[пТ]\ <а(к +0,5). Здесь у = 1 (Ги = 7)
и имеет место кодо-импульсная модуляция, т. е. х (Z) переводится
в цифровую величину^ [и7]; значение а соответствует единице числа,
к—число. При этом чем больше количество разрядов (меньшеа)
и частота /к (меньше Тк), тем точнее^ [н7] воспроизводит* (Z). Кван­
тование по уровню является нелинейной операцией и, следовательно,
цифровые звенья являются НЗ. Однако при числе разрядов л > 8-И6
у[п7] = х[и7] и кодо-импульсную модуляцию можно заменить линей­
ной АИМ.
Дискретные звенья с ШИМ, ФИМ, ЧИМ, а также звенья со смешан­
ными видами модуляции являются нелинейными. Кроме того, в них
могут содержаться типовые нелинейности. Нелинейное звено всегда
стремятся представить в виде совокупности линейного ТДЗ и типово­
го НЗ. Импульсы на выходе дискретных звеньев обычно заменяют
эквивалентными прямоугольными (экстраполяция нулевого поряд­
ка), трапецеидальными (экстраполяция 1-го порядка) и параболами
(экстраполяция 2-го порядка) и передаточные функции звеньев по форме
записи зависят от принятого вида эквивалентирования.
Для импульсных элементов (и систем), как уже отмечалось, харак­
терна замена:
о
т
2 z— 1
1) р= ', z = eq = е, p=lnz,T; z = (w + 1)/ (w -1) или w =-------Т
Т z+1
(модифицированное ^-преобразование);
101

2) q = j^T = jœ(-n < œ < л); z = ey“, или ыТ = £1 , q = jQ, z = e^a,
^^2ytg(œ/2)/7 = ;yX = jX; p = 2th^/7 или p = 2(z-l)/0 + 1)7;
À— абсолютная псевдочастота (X = œ при (i)7"< 2).
Связь между переменными р и р не является взаимооднозначной
из-за периодичности функции (2л/7). Здесь Tz/(z-ï)2 ^ nThS t =

= ~; z(z-l) ь 1[«Г]і-> 01(/) = - ; 1 ь 8[л7]н 8(0 = 1; обычно обозна' р
'
' р ,
чают 7 = 7К (такт квантования)1.
Типовые дискретные звенья обычно являются аналогами соответ­
ствующих ТДЗ, хотя существуют и специфические дискретные звенья.
Звенья смодулированным сигналом (код 2.6, табл. 3.1). Это звенья, сиг­
налы в которых (передающие воздействия) являются огибающими несу­
щих колебаний переменного напряжения (тока) с относительно высокой
несущей частотой œ0 (радиосигналы, сигналы управления в системах
переменного тока). Изменение знака сигнала в таких звеньях соответ­
ствует изменению фазы несущей частоты на 180°.
Здесь входной сигнал х(/) = хм(/)е^0' или х = xM(/)cos œo(O =
= (хм sin Qz) cos œoz = (xM 2)[sin (w0 + Q)z - sin (œ0 - Q)z],
где
Q=

«-------- (œ - œ0) » œ - (û0—угловая частота изменения огибающей
2cù
сигнала — аналоговой функции хм(0 (при œ = œ0); Q « œ0.
Для описания этих звеньев применяют эквивалентные частотные
передаточные функции по огибающей 1F3(jQ).
Например, для статического звена первого порядка с W(p) =
= 1/(7р + 1) эквивалентная передаточная функция
к

э

1 + 7>

где к, = , / . : Т, = r/d + œjr2).
1 + (ОоГ
Примерные характеристики «симметричного» звена: переходная
h(t) иАЧХ (для фиксированной фазы (р =0) приведены на рис. 3.10, а, б.
Постоянную времени звена Т здесь можно определить как
7 = 2/ Дшп , где Дйп = 2/7 — значение полосы пропускания на уровне
А = к/Л •
Переход к обычной форме частотной передаточной функции
производится заменой р = yQ, т. е. №э(р) = W(jœ0 + р).
1 Другие соответствия:

T2z(z + 1)/(2(Z-1)3 4-[nT]2/2i->r2/2=’l/p3;

z^z-e-”7)^

<е"аГ" н»е-“г ='1/(р + а); z/(z + 1) <4 sin у и Гн» sin |у; (l-e^Jz/Cz-Dz-e^Vl-e^7^
Hl-e’^^l/ptp+a); zsinwTI(z2-2zcosйГ+І)<-sinioînÿsinœr='- y-——

p2 +(û2
102

и т.д.

ш=и)0±л

Рис. 3.10

Эквивалентную частотную передаточную функцию по огибающей
Wэ(jQ') можно представить в виде
^(.М^-соо = ^(»,^Ио+й = ^№-Ыо)] =

рг[ж

Эти формулы, строго говоря, справедливы только для симметрич­
ной относительно со0 частотной передаточной функции, когда
ВД = ^+М) = ^-я).

Для несимметричной функции

и;(Я = о^иіла+М+ИЛа-М}Обычно частотные передаточные функции реальных звеньев не яв­
ляются симметричными. Поэтому к использованию этих формул сле­
дует относиться с осторожностью.
Звено с модулированным сигналом при со0 = 0 можно рассматри­
вать как частный случай звена с немодулированным сигналом.
Пример. Если в колебательном контуре (см. рис. 2.10) у = (/2 — напряжение на со­
противлении R (выход), то передаточная функция W{p) = ^'^^- =------ -^-------- , где

т-кс- т-ип

и{^

^+^+|

Если(і)о=О,а А (со); ш=0 = 1 {к = 1), то для данного контура Л(ю)н ^(ш) — АЧХ
апериодического звена. Для симметричной относительно резонансной частоты ю0
4(и)
значения боковых частот (см. рис. 3.10), где
со12 =+« + ₽, а = 1/27^;

^ = [(^^^2) + ^^^2^ ’ а шо = Р = (^і + ш2)/2- Эти условия выполняются, если 7^ <47}

или R < І^ЫС . При этом контур представляет собой апериодическое звено первого
порядка
по огибающей модулированного сигнала
с ^(р) = 1/(1 +7р),
где
Т = 21&шп =2Ы R = 27\; ^шп=ш7-ш{=\ІТ^= R/к\ ш = ш0.
103

Типовые нелинейные звенья (код 2.7, табл. 3.1) имеют нелинейные
статические характеристики у = Р(х) (см. рис. 1.5), предельными слу­
чаями которых являются характеристики типа пороговых (релейных).
В последнем случае, когда входная величина х(і) звена переходит
некоторое пороговое значение хпор(0 [ хср(0 или хот(0 ], то выходная ве­
личина ХО звена изменяется скачком от ^0 до у^і) [или наоборот
от й(0 Д° ЖО] (см. рис. 1.5, б). Наличие одного или нескольких не­
линейных звеньев (НЗ) делают С АУ нелинейной. Каждому типу нели­
нейной характеристики соответствует вполне определенное НЗ. Так
как нелинейных характеристик существует довольно много, то
велико и количество НЗ (см. Приложение). Однако обычно выделяют две
группы НЗ с однозначными и неоднозначными характеристиками (что
очень важно при исследовании динамики нелинейных САУ). Одно­
значные характеристики для примера представлены на рис. 1.5: с зо­
ной нечувствительности и ограничением [рис. 1.5, в (7)], с ограничени­
ем (насыщением) [рис. 1.5, в (2)], пороговые [рис. 1.5, б (7)]. Неодно­
значные характеристики представлены на рис. 1.5,«(Д 1.5, б (2), 1.5 г
и представляют собой координатное запаздывание (или опережение).
Неоднозначные нелинейности — двухзначные (или многозначные) под­
разделяются на пассивные и активные: пассивные — когда за период Т
входного сигнала нелинейность обходится против часовой стрелки
[см. рис. 1.5, б (2), 1.5 г] и в выходном сигнале наблюдается фазовое
запаздывание; активные — когда обход происходит по часовой стрелке
и вХО наблюдается фазовое опережение1.
Уравнение «вход-выход» НЗ: Х0 = ^[хй1 гДе ^[40] —нелиней­
ная функция или характеристика НЗ. Для однозначных характе­
ристик НЗ^ТХх), то есть нет временной зависимости Р^х^і)), кото­
рая имеет место для неоднозначных характеристик, когда у(0 зависит
как от значений х(0, так и от значений времени Л В последнем случае
уравнение НЗ представляет собой строго говоря не функцию, а функ­
ционал. Обычно НЗ рассматриваются как безынерционные со стати­
ческими нелинейностями и их уравнения являются нелинейными
алгебраическими уравнениями. Если САУ содержит ряд НЗ, то есть имеет
место их параллельное, последовательное или встречно-параллельное
соединение, то НЗ стремятся заменить одним эквивалентным НЗ с ре­
зультирующей нелинейной статической характеристикой.
Анализ САУ с НЗ обычно ведут с применением методов линеа­
ризации, когда характеристику НЗ заменяют на линеаризованную
(у = к (•) х). Здесь аргумент к (•) зависит от вида линеаризации (их
различают четыре: статическая, дифференциальная, гармоническая,
стохастическая). Например, эквивалентная передаточная функция НЗ
гармонически линеаризованного (с инерционностью первого порядка)
имеет вид: №р = ^/(1 + 7[ р), где к}, 7]— эквивалентные переменные па1 Пассивные иначе называют с положительным гистерезисом, активные — с отрица­
тельным.
104

раметры НЗ как функции коэффициентов гармонической линеариза­
ции qx(A) и q2(А) (в общем случае функции амплитуды А и частоты
колебаний ш). Здесь, с учетом свойств фильтра линейной части нели­
нейной САУ переменная x(t) на входе НЗ всегда близка к синусоиде
x(t) = Л • sin mt, т. е. САУ хорошо пропускает только первую гармонику
нелинейных колебаний y(t) и ослабляет высшые гармоники; тогда y(t) =
= F(A sin(0/). Линеаризованное уравнение НЗ для первой гармоники ХО
имеет вид: у = F(x) = Я\+ q2 Р х = Wm(A, р)х = кгх, то есть кг пред-

ставляет собой комплексную функцию . Для неоднозначных характе­
ристик НЗ коэффициент q2 * 0, причем для петлевых (с гистерезисом)
характеристик qï > 0, ^2 < О- Для однозначных характеристик НЗ
^2=0 и коэффициент кѵ вещественный. Здесь ^НЗ(А, р) = у^р)/х(р)
передаточная функция звена [^(р)— соответствует первой гармони­
ки Х0]- Коэффициент кѵ определяют, в общем случае, как комплекс­
ный коэффициент усиления или как эквивалентную амплитудно-фазо­
вую характеристику НЗ:

^Ди) = ^(А, (0) + j<h(A, (0) = 4И(0)eл”<'''•|,
где
АЮ(А, т) =
(А, ш)] + [q2 (А, со)] } , (рю(4 со) = arctg ^(А, т)/^(А, со)] —
соответственно эквивалентные амплитудная и фазовая характеристики
НЗ. Удобством для анализа нелинейных САУ является тот факт, что
коэффициенты qx и q2 заранее вычислены для всех видов типовых
нелинейных характеристик (НЗ) и представлены в виде таблиц, гра­
фиков [1,2,5]. Как уже отмечалось, в общем случае, эти коэффициен­
ты зависят от значений А и т, хотя для многих НЗ они являются
только функциями амплитуды^ или иногда только функциями частоты со
(у так называемых псевдолинейных корректирующих звеньев).
Если линейная часть САУ является недостаточно хорошим фильт­
ром, то эквивалентная Wm(A, р) будет зависеть от высших гармоник
п
x(t) = Ах sin mt + £4 s>n (Adz + (p,), где А,, ср, — соответственно амплитуі=п
да и фаза і-й гармоники. Это учитывают, когда требуется оценить влияние
высших гармоник на появление автоколебаний в нелинейной САУ. На
практике обычно ограничиваются влиянием лишь 3-й гармоники.
Коэффициент статической линеаризации НЗ kz(x) = у/х = [ад/4
Коэффициент дифференциальной линеаризации кд(х) = dy/dx =
= [dF(x) /dx]. Если на входе НЗ х (t) стационарный случайный про­
цесс, плотность распределения которого р (х), то коэффициент стохастической линеаризации к^ = к^^') = k^D^ =

JF(x)xp(x)dx, где

ax,Dx —соответственно среднеквадратическое отклонение и дис105

Персия. Коэффициенты стохастической линеаризации определяются для
НЗ с однозначной нечетной характеристикой также как к^ 0 = Му/ Мх,
^ст.і =-ау/<1х = ±(Dy/D^2-, здесь к^ ! = k^DJ. Для некоторых част­
ных случаев кст = кг, например, когда х (t) = A sin (ом + ф), где ф —
случайная фаза [9].
Линеаризация создает приближенную адекватность выходных ха­
рактеристик НЗ и линеаризованного и широко используется при ана­
лизе нелинейных САУ. Возможны варианты совместных видов линеа­
ризации НЗ, например стохастическая и гармоническая и др. Следует
заметить, что ранее рассмотренные методы линеаризации (см. п. 2.3)
применяют для так называемых «несущественных» нелинейностей;
здесь же рассматриваются только существенные нелинейности: сту­
пенчатые, кусочно-линейные, многозначные функции с разрывами не­
прерывности 1-го рода, степенные и трансцендентные функции.
Обычно на практике на входе НЗ действуют либо гармонический
либо случайный сигнал (или их комбинация), поэтому наибольшее рас­
пространение получили методы гармонической и стохастической ли­
неаризации (или их комбинация). В результате линеаризации, напри­
мер гармонической, нелинейность заменяют прямой с наклоном рав­
ным q(A) и фазовым углом ф (Л). При стохастической линеаризации
также заменяют НЗ эквивалентным линейным, которое адекватно
с НЗ преобразует математическое ожидание Мх и дисперсию Dx (или
среднеквадратическое отклонение <зх ), т. е. Му ~Му^ Dy ~Dy3 или
A/[(jv — jr3)2] —> min. При стохастической линеаризации обычно счи­
тают, что на вход НЗ поступает случайный сигнал близкий к нор­
мальному закону распределения, который получается за счет эффекта
«нормализации», создаваемого инерционной линейной частью САУ
(см. гл. 5). Эффект «нормализации» тем сильнее, чем уже полоса про­
пускания САУ по сравнению со спектром x(t).
Необходимо отметить, что в общем случае, при прохождении через
НЗ случайного сигнала x(t) с неизвестным заранее законом распределе­
ния р(х), происходит искажение р(х). Однако, допущение о том, что
x(t) на входе НЗ имеет нормальное распределение и неучет реальных
искажений р(х), обосновывается двумя факторами: инерционность при­
ближает процесс прохождения случайных сигналов в САУ к нормаль­
ному закону, что справедливо даже тогда, когда реальный закон р(х)
далек от нормального; при изменении законар(х) даже в широких преде­
лах на входе НЗ на его выходе значения коэффициентов стохастичес­
кой линеаризации изменяются незначительно.
Для типовых НЗ в случае нормального закона распределения име­
ются готовые выражения коэффициентов стохастической линеариза­
ции, которые однозначно определяются через Мх и Dx (ах) [2, 4].
Кроме типовых НЗ со статическими нелинейностями различают НЗ
с динамическими нелинейностями, когда нелинейные свойства проявля­
ются в динамике НЗ (например, в связи с наличием нелинейного трения).
106

Примерами также могут служить любые нелинейные дифференциальные,
разностные и интегральные уравнения НЗ. Другие примеры: так если урав­
нение НЗ имеет вид7 = [^(х)/(1 + ^(ф)]х, то параметры ^, 7} зависят
от координаты^ (или ее производных), или если ^(х, /) и/или 7}(х, 0 зави­
сят от координаты хи времени/для НЗ с динамическими нелинейностями
видаДх,рх), то характеристика Wm зависитотЛ и со. Линеаризованные
модели НЗ учитывают влияние нелинейности на свойства САУ, т. к. коэф­
фициенты модели изменяются в зависимости от уровня внешних воздей­
ствий и начальных условий.
Следует отметить, что нелинейные характеристики обычно есте­
ственно присущи реальным САУ (типа люфт, гистерезис, трение, на­
сыщение, зона чувствительности и др.) и их влияние (зачастую вред­
ное) стремятся уменьшить, т. к. они существенно ухудшают характе­
ристики САУ. Однако для придания некоторым нелинейным, опти­
мальным и самонастраивающимся САУ желаемых динамических
свойств разработаны специально искусственно вводимые НЗ, напри­
мер, в виде корректирующих нелинейных звеньев [2]. Это также на­
пример пороговые (релейные) НЗ, псевдолинейные корректирующие
звенья, логические НЗ, НЗ с переменной структурой и НЗ, формирую­
щие разнообразные законы управления (см. гл. 9, п. 9.6). Для НЗ раз­
работаны классификации по различным признакам, например, одно­
значные — неоднозначные, четные — нечетные, симметричные — не­
симметричные, непрерывные (гладкие) — разрывные и т. д. [1, 2, 5].
Составлены таблицы типовых и особых НЗ с нормированными харак­
теристиками; число НЗ в них составляет примерно от 8 до 30. В табли­
цах приводятся также необходимые данные по коэффициентам гар­
монической, стохастической (и совместной) линеаризации, амплитуд­
ных, фазовых и др. характеристик НЗ [1, 2].
При синтезе нелинейных САУ применяют корректирующие НЗ,
псевдолинейные, а также обычные линейные корректирующие звенья
(см. гл. 8, п. 10.4). Корректирующие НЗ позволяют создать большее
разнообразие форм частотных характеристик, в том числе зависимых
от амплитуды А, т. е. придают САУ некоторые свойства самона­
стройки по величине ошибки е. Кроме того, они позволяют ослабить
вредное влияние естественных НЗ в САУ. Псевдолинейные звенья по­
зволяют осуществлять коррекцию в САУ фазовых характеристик не­
зависимо от амплитудных (и наоборот).
Дискретные НЗ — это, во-первых, (по своей природе) НЗ с широт­
но-импульсной и фазо-импульсной модуляцией, а также НЗ с цифро­
вым кодированием. Во-вторых, это дискретные НЗ с определенным ви­
дом нелинейности характеристик, например, с нелинейной амплитуд­
но-импульсной модуляцией и т. п.
Все разнообразие нелинейных звеньев (и САУ) подразделяют на два
больших класса. Первый, когда в нелинейную функцию звена входит
только одна переменная х [Р(х) или Р(х,р) — с производными и т. п.],
107

так называемые одномерные нелинейности. Второй, когда функция
НЗ содержит две и более переменных (х,), т. е. эквивалентное НЗ име­
ет две и более нелинейности, так называемые многомерные нелиней­
ности ^(хг). Примером последних служат, в частности, показатели
оптимальности или экстремума функции У; /0 = Р(х, /) (см. рис. 1.7).
Заметим, что многомерные нелинейности обычно стремятся свести
к соединению одномерных, используя последовательные, параллель­
ные (согласное, встречное) соединения одномерных НЗ. Также как и для
линейных в нелинейных САУ применяют эквивалентные преобразо­
вания (см. п. 4.3).
Кроме рассмотренных типовых НЗ, существует класс так называе­
мых особых НЗ, например множительное звено, когда у = Х]Х2 при
зависимых сигналах ^ и х2 > в частности это НЗ с параболической
четной у = х2 или нечетной у = х2бі§п х = х іх) характеристикой. Осо­
бые НЗ широко применяют при построении оптимальных, экстремаль­
ных, адаптивных и самонастраивающихся САУ, при формировании
нелинейных алгоритмов (см. п. 9.6).
Смешанные особые звенья (код 2.8, табл. 3.1) отражают наличие ряда
смешанных особых признаков, например, трансцендентное иррацио­
нальное звено (код 2.3, 2.4, табл. 3.1) и т. п. В основном это реальные
звенья с распределенными параметрами (ОУ), состояние которых опи­
сывается с помощью функций распределения, дифференциальных
уравнений в частных производных (гиперболические, параболические,
эллиптические), интегральных уравнений и более сложных функци­
ональных уравнений. Вид передаточных функций этих звеньев содер­
жит дробно-рациональные функции от аргумента р, иррациональ­
ные и другие выражения.
К смешанным особым звеньям обычно относят реальные ОУ, про­
цессы в которых носят зависимый пространственно-временной харак­
тер; часто носителем информации в них выступает многомерный сиг­
нал. Это различные пространственно-протяженные ОУ, например ле­
тательные аппараты (ЛА), нагревательные, диффузионные и тепло­
вые ОУ, устройства функциональной электроники (пьезоэлектрони­
ки) и др. Как правило, это тела с пространственно-сложной формой
(часто с изменяющимися параметрами), например, летательный аппа­
рат — сложное тело с изменяющейся массой1. Такие ОУ описываются
различными типами передаточных функций (по различным каналам пере­
дачи воздействий).
I. Примеры описания сложных ОУ.
Летательные аппараты по различным каналам управления име­
ют следующий вид передаточных функций W(p'): \/рТ\ 1 + рТ‘,
кр; к/(7р+1); к/Тр(\ + Т}р) и т. д., например:
1 Например, ракета «Энергия» (с ЛА «Буран») имела стартовую массу 20 000 т,
к концу взлета 200 т (изменение массы в 100 раз).

108

самолет

М(р)

Т2р2+2^Тр + \

или

Ь.(Р)

с

рІТ^+^Тр + У

где ѵ — угол тангажа; 8В — угол отклонения рулей высоты; М —
управляющий момент рулей;
баллистическая ракета

»« =
кІГ;р>21:Т:р-Ь ____
^(р) (1^ + % Г,р + 1)(Т3р-1)(Т4р-1)’

представляет собой неустойчивое неминимально-фазовое звено, тре­
бующее сложного управления; здесь 8В — угол поворота камер дви­
гателя;
космический летательный аппарат (КЛА) с одним подвижным
двигателем

wг(P) = Ж = 4 ^,

рад = ^ =
“у(р)

РЛ

“у(Р)

Р

^у

где ѵ — угол тангажа; ср — угол поворота сопла; к^ — коэффициент
передачи УУ поворотом сопла; иу — управление углом поворота со­
пла двигателя; }у, Jz — главные моменты инерции КЛА соот­
ветственно относительно оси Оу и оси Ог.
II. Примеры ОУ-звеньев с распределенными параметрами.
1. Исходное уравнение (/ — расстояние)

... Э2*
... 32х
,1хд2х , ... Зх
.
^ ^2“ + ^
+ йз(0 А 2 + Ш 37 + ^ А7 ^(^х = ^ ')•
3/
оіді
дг
о!
ы

Если Л = а^ ~(а2/2)2 <0, то это гиперболическое уравнение(вол-

. 32х 32х . .
„
„
новое уравнение ): ---------- - =0 (простейший случаи).
Э/2 З/2
Если А = 0, то это параболическое уравнение (уравнение теплопроводности или диффузии): ----------- = 0 (простейший случай).
З/2 3/
Если А > 0, то это эллиптическое уравнение (уравнение потенциа32х 32х
„
„
лов): —--------- = 0 (простейший случаи).
3/
3/
109

2. Исходное уравнение
ду а дудх
а~—~~— + ки = 0,
дх Ъ2 ді ді

где у, и — переменные; а, Ь, к — параметры ОУ. Здесь
№(р) = - Ь ^р(к + р) іЬ (ТуІр(к + р) /Ь),
ар
где

т = 1/Ь (у = 0, х = I).
3. Исходное уравнение
^.ЗЧ^ІО^^
Эх

(>0)

Э/

^п]4р/а(1-^
Здесь W(p) =

&іп )/р/аІ

III. Примеры звеньев смешанного типа с ИЗ: дискретное нелиней­
ное, нелинейное звено с запаздыванием, НЗ с переменной структурой,
НЗ логического типа и т. д.
Здесь звенья смешанного типа включают в себя различные комби­
нации особых и обыкновенных типовых звеньев, в том числе и разные
комбинации НЗ, а также обыкновенных и НЗ. Например, соединение двух
НЗ с линейным звеном последовательно, параллельно или встречно-па­
раллельно (как, например, у нелинейных корректирующих звеньев) и т. п.
Это также НЗ, реализующие различные нелинейные алгоритмы уп­
равления, содержащие функциональные, логические, оптимизирующие
и параметрические составляющие (см. п. 9.6).

Глава 4. АНАЛИЗ ОДНОМЕРНЫХ САУ.
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ СХЕМЫ САУ
В результате декомпозиции САУ на звенья направленного действия
и получения описания звеньев в виде передаточных функций, переход­
ных или частотных характеристик составляется алгоритмическая струк­
турная схема, по которой затем можно получить передаточную функ­
цию или характеристики системы в целом.
Алгоритмическая структурная схема САУ, как и функциональная
(информационная) схема, отражает процесс передачи информации
со входа системы на выход, причем функциональная схема разбивает
но

ет САУ по блокам в соответствии с выполняемыми ими функция­
ми, а алгоритмическая (структурная) — по динамическим свойствам.
Алгоритмическая схема САУ представляет собой динамическую мо­
дель САУ в виде графического изображения системы уравнений дина­
мики (алгоритмов), записанных обычно в виде W{p).

§4.1 . ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СОЕДИНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ
[АЛГЕБРА IV (р)]

Если известны уравнения всех звеньев САУ, то ее описанием явля­
ется система этих уравнений. Исключая промежуточные переменные,
можно получить дифференциальное уравнение высокого порядка, свя­
зывающее выходную величину САУ с входной величиной [возмуще­
нием и (или) задающим воздействием]. Однако проще можно полу­
чить описание САУ, если оперировать передаточными функциями зве­
ньев, типовыми структурами их соединений и построением эквивалент­
ных (свернутых) структур.
Последовательное соединение звеньев направленного действия
представлено на рис. 4.1, я. В этом случае имеем систему уравнений:
Л =^і(р)х;
й

= ^(^л;

Л = ^(^Л-і-

Исключая промежуточные переменные, получим уп = ^(^)ВД...
■■.ВДк = едх, где ВД = [[ед; ^(0 = Ь~'[№э(р)/р] wэ(t) =

= Г|[И/Э(р)]. При этом минимально-фазовые звенья дают минимально­
фазовые W3{p).
Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна про­
изведению передаточных функций звеньев. Это значит, что их можно
заменить одним эквивалентным звеном с передаточной функцией Wэ(p).
Пример. Рассмотренное ранее реальное интегрирующее звено, например с переда­
точной функцией IV (р) = к/р (Тр + 1), эквивалентно последовательному соединению
1
звеньев с передаточными функциями кір и
р

Параллельное соединение звеньев направленного действия представ­
лено на рис. 4.1, б. Здесь
У^ У]+У2 + ■■■ + Уп = [Wl(p) + W2(p) + ... + Wn(p)]x = Wэ(p)x,
п

п

п

п

где у = ^,.;ВД = УВД; />(<■) = ^Л,-(г); w(t) = ^,(1).
1=1

1=1

1=1

/=1

111

IV/ И> ...

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сум­
ме передаточных функций отдельных звеньев. В структурной схеме их
можно заменить одним эквивалентным звеном с передаточной функ­
цией Wэ(p).
Пример. Если W^(p) = кар, а Щ2(р) = к,то Ѵ^(р) = к(Т3р + I), где Тэ=ка/к. Если
Щ(р) = кИ/р, а ]Ѵ2(р) = к/(Тр + 1),

то

тле Тэ = Т + (к/кК).

=

Р(Гр + і)

Встречно-параллельное соединение. Звено, охваченное обратной свя­
зью, представлено на рис. 4.1, в; здесь обратная связь может быть
положительной или отрицательной. Схема такого звена описывается
уравнениями:
У = ^п(р)(х±у0С) = Жп(р)Е;
Уос = ^осС^)^.

Исключив отсюда уос, получим
^п(р)

У=

1 + ѴП(р)Ѵ0С(р)

X

= ^з(р)^,

где ^,(р) = -^^-; №р(р) = ^„(р)ІѴ^р). Здесь Щі) = Г'іед/р];
1 + ВД
112

w3(t) = Ь ’[^(р)]; знак «-» соответствует положительной обратной
связи, а знак «+» — отрицательной. Обратная связь, осуществляемая
через статическое звено, называется жесткой (пропорциональной) об­
ратной связью; И^О^О. Если И/ос(0) = 0, в статике сигнал обрат­
ной связи равен нулю; обратная связь действует только в динамике.
При №ос(р) = коср = рТа — обратная связь называется гибкой диффе­
ренцирующей обратной связью, или гибкой обратной связью по скорос­
ти. Если №ос(р) = коср2, такая обратная связь называется гибкой обрат­
ной связью по ускорению. При №ос(р) = рпТ" (или другое дифферен­
цирующее звено) — обратная связь называется гибкой дифференцик
1
рующей обратной связью. При Woc = — = — (или другое интегр
РК
рирующее звено) обратная связь называется гибкой интегрирующей.
Если №ос(р) = -- ^Р
— ПИ-звено, то обратная связь называ­
ется изодромной.
Функция W3{p) называется передаточной функцией замкнутой
системы, а ^(р) — передаточной функцией разомкнутой систе­
мы, т. е. цепочки из всех звеньев системы, получающейся после разры­
ва обратной связи (знак «~» на рис. 4.1, в).
Пример 1. Если ѴѴп(р) = Л

, а

ѴѴ0С(р) =/?ос(р)/0ос(р), то
_

1

1

_ Зос(р)

^(Р) =

7 + %с(Р)

При №ос(р) = рТл или ІѴ0С(р) = —- здесь соответственно \Ѵ3(р) = --~ или №3(р)~
РТ*
г
РТл
= рТ„, т. е. получаем эквивалентное звено, обратное первичной передаточной функции.
Пример!. Рассмотрим интегрирующее звено с передаточной функцией Wп(p) =
- к}/р, охваченное ООС через идеальное статическое звено с передаточной функцией
^ос(р) ” ^ОС’

к.
1

.

1

т

*ос

р

1

к3=7—, Тэ=—--.
^ос
^І^ос
Таким образом, интегрирующее звено, охваченное жесткой обратной связью, стало
эквивалентно статическому звену первого порядка, т. е. не является интегрирующим.
ПримерЗ. Если іѵп(р)= *
%с(р) = *ос, то
где к^
'
Т
Тр + І.
1+ 13Р
і
Л кос
Т3 =----------- . При кпс=1/к Т3 = Т/2 или Т3=°°, а к3 = к/2 или к3=°°.

где

э

1±иос

0С

3

3

3

э

Охват апериодического звена жесткой обратной связью не изменяет структуру №п (р),
но изменяет величины Т3 и к3; положительная обратная связь (ПОС) увеличивает
величины £э и Т3, отрицательная обратная связь (ООС) уменьшает их.
8 А. А. Ерофеев

ИЗ

Свойство ООС уменьшать инерционность звена, а именно постоянную времени Т—
замечательное свойство, так как увеличения к можно легко достигнуть большим вклю­
чением безынерционных усилителей.
ПОС действует обратным образом и часто дает неустойчивое звено.
кос
При %с(р) =---------- (инерционная жесткая обратная связь) ІѴэ(р) описывается
7ІСР + 1
уравнением:
МГос/;+ !)

ѴВД =

Т
2ОС <Т
4 1 •

Т3р+1

Следовательно, инерционность ООС приводит к дополнительному форсирующему
воздействию (по производной, как у ПД-звена), т. е. повышает быстродействие за счет
замедления роста сигнала Уос-

Гибкие дифференцирующие или интегрирующие ОС позволяют так­
же радикально изменять свойства соединений звеньев и в целом САУ.
Пример. Так, если №ос(р) = коср,
^(р) = ’'

Если

№п(р) =

а \Ѵп(р) = к/р, то
где
р

к- , то Жз2(р) = к
Тр + \
Т3р + 1

^ " I + кк
к — К лос
где

•

Т3 = Т±кк0С.

Инерционная гибкая обратная связь по скорости вида
КЛр) =

косР
Т0СР + 1

повышает быстродействие (ООС), а при ПОС — снижает его.
При 1Г0С = УТир соответственно
^Э1(Р) =

ТнР

И'2(р)=—^~
п-„р2 т„р
к
к
При »;,,(,,) =-МгиА+і) соответственно
р
^(р) =

114

к3р(Тр+\)
ТэіР2 + Тэ2Р + 1

где

^э=1; ТЭ1=ТИТ+

; Тэ2 = Т+Т„, а W^p)=^P

где

к =
к
т = кк^
3 (1 + ^н)’
3 (1 + Нн)'
Таким образом, различные соединения звеньев преобразуют ис­
ходные структуры звеньев и их параметры в другие; при этом возмож­
но преобразование неустойчивых звеньев в устойчивые (и наоборот).

§ 4.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ САУ

Простейшие одноконтурные САУ. Простейшие одноконтурные од­
номерные САУ, приведенные на рис. 4.2, содержат всегда ООС, созда­
ющую замкнутый контур системы. Это определяется основным прин­
ципом действия САУ, управляющее устройство в которых осуществ­
ляет управление объектом по функции отклонения величины у отего
значения, определяемого заданием величины х. При этом все измене­
ния выходной величины объекта, вызванные какими-либо возмуще­
ниями, будут компенсироваться в результате действия управляюще­
го устройства. Следует заметить, что одномерные САУ любой слож­
ности, состоящие из последовательных, согласно- и встречно-парал­
лельных соединений звеньев (звеньев с ОС) (рис. 4.3), всегда путем пре­
образований можно привести к виду, показанному на рис. 4.2.
Обычно для целей анализа определяют следующие три основные
передаточные функции замкнутой САУ: ^.^(р), Wэx(p), ЖЗЕ(р).
В общем случае одноконтурной САУ (см. рис. 4.2) при х = 0:

8*

115

Индексы / и у показывают, какие точки системы связывает пе­
редаточная функция (возмущающее воздействие/ — выход у).
Рассмотрим порядок определения величины W3J■(p): прих = 0 струк­
турную схему (см. рис. 4.2, а) условно располагают таким образом,
чтобы / было на месте х. Далее производится обычное преобразование
структурной схемы, где ІѴ/}(р) = ВД,а W^p) = JУ1(p)W2(p)W0C(p).
^гАр)
Передаточная функция \У3Лр) =-------= ——------ называется пе/(р) 1 + %(р)
редаточной функцией замкнутой СА У по возмущению.
Передаточная функция, связывающая величину у с задающим воз­
действием х (при/=0):

х(р)

1 + %(р)

называется передаточной функцией замкнутой СА У по управляющему
воздействию, где Wxy(p') = Wl(p)W2(p').
В следящих системах, задачей которых является обеспечение сле­
жения^ за величиной?; обычно передаточная функция Wxy{p') = Wp(p),
а ^ос(р) = 1 (см. рис. 4.2,6).
Тогда W (р)=

^р(г)
^х(г) = -Р------! + %(;)

р
или
1 + %(р)

При использовании в качестве выходной величины в САУ кроме у
еще и ошибки (рис. 4.4) е = х-уос, учитывая, что

1+%(р)х’

будем иметь
=------ 1

^ЗЕх(Р) =

Хр)
116

- = 1-И^(р).

1 + %(р)

Уос 'У'

Щр)
Рис. 4.4

Эта передаточная функция называется передаточной функцией
замкнутой САУ для ошибки по задающему воздействию. Передаточ­
ная функция, определяемая по этой формуле, широко используется
при исследовании точности работы следящих систем и других САУ
в режиме изменения задающего воздействия.
Передаточная функция замкнутой СА У для ошибки по возмущаю­
щему воздействию

Др)
так как при х = 0 £ = - у (единичная обратная связь).
Когда на систему в общем случае, действует одновременно несколь­
ко возмущений, то на основе принципа суперпозиции (реакция ли­
нейной САУ равна сумме реакций на /,) получим

у —

’

---- у.,

1 + %(Р)

При одновременном действии на САУ, например,/и х (см. рис. 4.2):
У~

Wfy(p)f+Wxy(P)x
1 + %(р)

или в общем случае:
^^/,у(р)/і + ^^XJy(p)XJ + ^^Хку(р)хк +
_ (=1

У~

;=і

’

ы

! + %(₽)
117

Знаменатель W3(p) представляет собой характеристическое уравне­
ние системы О(р) = 1 + ІѴр(р) = 0, которое характеризует внутренние
свойства системы, ее свободное движение и поэтому одинаково для всех
видов передаточных функций замкнутых С АУ, т. е. не зависит от внеш­
них воздействий (определяется только параметрами системы).
Внешние воздействия могут подаваться на суммирующие эле­
менты не только непосредственно (см. рис. 4.2, Ау), а и через звенья
с передаточными функциями W(p), например, через W3(p) — воз­
действие /, а через М^р)— воздействие х (см. рис. 4.2, в). В этом
случае, так как эти новые звенья не входят в замкнутый контур САУ,
а включены с ним последовательно, их наличие не изменяет переда­
точной функции разомкнутой системы Жр(р) и, следовательно, зна­
менателя передаточных функций замкнутой системы. Передаточные
функции новых звеньев входят в числители этих функций.
Многомерные САУ. В общем случае матричные передаточные функ­
ции многомерных САУ определяются аналогично таковым для одно­
мерных САУ:
[н;/(р)] = [£- + И'р(/>)]-|[И>ѵ(р)];
[И'и(р)] = [Е+И'(р)]'І[И',»
те£(р)]=[Е+%(р)г‘.

где Е — единичная матрица; [Е + Wp(<p)] 1 — обратная матрица.
Для простейших многомерных, многосвязных САУ (рис. 4.5)
[у] = [И/ЗЛ(р)][х] + [ѴѴз/(/?)][/]. Здесь [ѴѴху(р)] и ^у^р)] — матрич­
ные передаточные функции размерностью п х п и т х п соответ­
ственно. Например, для двумерной САУ :
у, = ^(/^ + ^12(р)х2 ^/1Ѵ[ «1+^, (Ж2;

Л =

^р)Хї ^22{р)х2^іуі (p)fl+W/2У2 (р)/2

или
[у] = т[х] + [\Ѵ/у][/].

§ 4.3. ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

Для многоконтурных одномерных (и многосвязных, многомерных)
САУ, содержащих произвольное число связанных друг с другом конту­
ров, как уже отмечалось, осуществляется преобразование схем в эквива­
лентную одноконтурную. При проведении преобразований руководству­
ются рядом правил. В их число входят уже рассмотренные правила пре118

образования последовательно и параллельносоединенных звеньев. Кроме
того, применяются и другие правила, которые достаточно очевидны
и вытекают из условий сохранения неизменными сигналов на выходе
схемы при выполнении соответствующих преобразований. Например, при
переносе сумматора вперед (В), т. е. по стрелке основного контура,
в ветвь добавляется звено с передаточной функцией W2 — обойденно­
го звена основного контура. При переносе сумматора назад (Н) добавля­
ется звено с обратной передаточной функцией }/Wl. В обоих случаях
сигнал на выходе части основного контура сохраняется неизменным.
Перенос точки разветвления диктует обратное правило преобразова­
ния: при переносе ТОЧКИ вперед В ветвь добавляется звено С l/W2 = И^-1,
а при переносе назад — звено с передаточной функцией Wl.
Правила преобразования структурных схем сведены в табл. 4.1
Таблица 4.1. Правила структурных преобразований
Исходная схема

Эквивалентная схема

1. Перенос сумматора
Вперед

-* ^ *0- и/2

г

Назад
Л

2. Перенос точ ки разветвления
Вперед

-*^
ѴѴ2 —
и1хЫ

Назад

119

Продолжение табл. 4.1

120

Рис. 4.6

Задача преобразования многоконтурной структурной схемы
САУ обычно сводится к приведению ее к схеме с неперекрещивающи­
мися контурами, после чего каждый из этих контуров может быть
заменен эквивалентным звеном с Wэ(p).
Пример 1. Схема с прямыми перекрещивающимися связями (рис. 4.6, а).
Пример 2. Схема с обратными перекрещивающимися связями (рис. 4.6, б).
Пример 3. Схема с перекрещивающимися прямыми и обратными связями (рис. 4.6, в).

§4.4 . МАТРИЧНО-ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

Передаточные функции сложных САУ можно определить по струк­
турной схеме и без приведения ее к одноконтурной путем применения
диаграмм прохождения сигналов (из теории графов). Графы прохож­
дения сигналов подобны структурным схемам и также используются
для наглядного изображения математических зависимостей в САУ
(см. рис. 4.1). Направленный сигнальный (ориентированный) граф
(указано направление сигнала) — более компактная форма записи
структурных схем. Правила преобразования графов подобны прави­
лам преобразования структурных схем (табл. 4.2).
121

Таблица 4.2. Алгебра И7 (р). Соответствие структурных схем графам
Структурная схема

Граф

Исходная

Приведенная

Исходный

Приведенный

Звено САУ
—

—

Последовательное соединение звеньев

*2

X

^2

w1 ы2

У г

■*> ИЛ
% И4 і/
о- 4 >о—^о

хО------—-

>Оу

Параллельное соединение звеньев

И/2

Встречно-параллельное соединение

Ып
^+&пМос ^

хО-------------- ^*О1/

И/

л О————Юу

Продолжение табл. 4.2
Структурная схема
Исходная

Встречно-параллельное соединение

Смешанные соединения

Граф

Приведенная

Исходный

Приведенный

Основные понятия топологических методов анализа: граф, совпадаю­
щий со структурной схемой; сигнальные графы и обобщенные сигнальные
графы. Сигнальный граф — условное графическое изображение системы
уравнений; сигнальный граф Мэзона требует приведения системы уравне­
ний к причинно-следственной форме (типа вход-выход).
Граф представляет собой совокупность вершин (узлов), начала, конца
и ребер. Ребро (ветвь, дуга) тождественно равно оператору W (р).
Вершины графа — переменные (сигналы): у, и, х и т. д. В общем
случае ребра — коэффициенты а, Ь, с, ТІУ к, и т. д. в уравнениях С АУ;
дуга направленна и характеризуется символом А: (И7) (весом дуги).
Структурную схему САУ рассматривают как один из видов графа
прохождения сигналов. Направленный (сигнальный) граф САУ стро­
ится по уравнениям, записанным, как и структурная схема САУ,
в принятой условно-разрешенной форме.
Для упрощения графа и вычисления (получения) выражения для пе­
редаточной функции сложной многоконтурной САУ применяют сле­
дующую топологическую формулу Мэзона (приводится без доказа­
тельства):
(г

А

^тп(Р) —

V

/ ,=1

ЦѴ ^=1

р

По+^іИ)
_ '=1

где Wnpk (р) — различные прямые передаточные функции от узла т к
узлу п; W^x^k (р) — передаточные функции разомкнутого контура (со

знаком «+» для ООС); П — произведение включает все /-замкнутые
/=і
контуры САУ; знак «*» — означает исключение из скобки всех чле­
нов, содержащих произведения № (р) одних и тех же звеньев [включая
звенья с передаточной функцией W (р} = 1].
Форма — сигнальный граф Мэзона имеет также следующий вид:
і

А т

т

где ^прі(р) = WІ — передаточные функции отдельных /-х простых пу­
тей от входа к выходу схемы; т — число простых путей; А (р) = А —
определитель сигнального графа:
«1

Ц

«2

Ц

”2

”3

ад=і-Хед+XX^р^^-ХЕЕWi(p)Wj{p')Wk{p^....
/=1

124

(-=1 7=1

/=1 7=1 ^=1

Рис. 4.7

Здесь второй член равен сумме передаточных функций всех контуров; тре­
тий и четвертый члены и т. д. — суммы произведений двух, трех и т. д.
передаточных функций контуров, не пересекающихся друг с другом
(не имеющих общих вершин); п{, п2, п3— общее число таких сочетаний.
Определитель ДДр) = А,- — это Л (р) после изъятия из схемы /-го пря­
мого пути, дополнение /-го пути; если ьй путь проходит через все вер­
шины, то Д,(р) = 1. Знаки «+» и «-» у передаточных функций зависят
от знака сигналов на выходе соответствующих звеньев.
Пример. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 4.7, где имеются три контура, обозна­
ченных І, II, III [4]. Для этой схемы передаточные функции контуров (внимание на знаки):
Wl - -ВД0; ѴѴП = -ВД; ѴѴПІ = -^ВД%.
Передаточные функции прямых путей:
^р, =«; %Р2 =-^^0; %Рз

%Р4 =«; ѵѵиР5 хвд; %Рб =-тевд.

Определитель графа:

Д(р) = 1 - №, - Мц -1ѴШ + ВД = 1 + ІѴ3№10 + W6W9 + W2W2W4W9 + ѴѴ3ѴѴ6ѴѴ9ѴѴ10.
Соответственно дополнения: Д1 (р) = 1 - IV] = 1 + ІѴ3ѴѴІ0 — с изъятым первым прямым
путем не соприкасается только контур I, поэтому его передаточная функция оста­
ется; Д2(р) = І-Мц = 1 + ^% — со вторым прямым путем не соприкасается только
контур II; Д3(р) = Д4(р) = Д5(р) = Лб(Р) = 1 — с соответствующими прямыми путями
соприкасаются все три контура схемы.
Передаточную функцию САУ получим подстановкой приведенных выше выраже­
ний в формулу для W■i(p) .

§ 4.5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТОЙ САУ
(ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ)

Частотные функции САУ и составляющих ее звеньев определяют­
ся выражениями для соответствующих передаточных функций при под­
становке в них р = усо. Следовательно, амплитудно-фазовая частотная
функция последовательно соединенных звеньев
125

^U^

= П^(УШ)=^e7^ = П4(ш)еЛ(и) =
1=1

1=1

= 4 (w)e*w4(ш)е*(“'... л,.(щх*м = 44... 4«/(’,Ч!- ■
п

где

,

п

Л(со) = |^4(w); Ф(ш) = Хф'(м) — амплитудная и фазовая функ/=і /=і

ции соединения звеньев; 4(w) и Ф/» — функции /-го звена.
Выражение для ЛАХ цепочки звеньев:
Ц«)4ш42(|1«:ВД!
/=1 1=1

где L((co) — ЛАХ отдельного звена.
Таким образом, частотные характеристики последовательного со­
единения звеньев в виде ЛАХ и ЛФХ получаются путем суммирова­
ния ординат характеристик отдельных звеньев.
Асимптотические ЛАХ соединения звеньев строятся сразу без по­
строения ЛАХ отдельных звеньев. Вначале определяют сопрягающие
частоты gjz = 1/7} и значение 201g к. Ордината ЛАХ при со = 1 равна
201g к, где к — общий коэффициент передачи, равный произведению
коэффициентов передачи звеньев. Через точку со = 1, 201g к прово­
дится асимптота с наклоном (т - г) 20 дБ/дек = 20ѵдБ/дек, где т —
число дифференцирующих (Д), г — число интегрирующих (И) звень­
ев. На оси абсцисс (обычно указывают наряду с 1g со непосредственно
и значения со) откладываются значения сопрягающих частот со( = 1/7},
где 7} — постоянные времени звеньев. Первая асимптота проводится
от оси ординат до наименьшей сопрягающей частоты, далее произво­
дится ее излом с изменением наклона в соответствии с типом звена,
которому принадлежит данная сопрягающая частота; аналогично ха­
рактеристика продолжается в сторону увеличения частоты, претерпе­
вая изломы последовательно на каждой сопрягающей частоте. При
необходимости ЛАХ уточняется путем учета поправок для колебатель­
ных звеньев.
Для получения ЛФХ ординаты звеньев суммируются:
Ф» = arg [ИД»] = £arg [И}(»].
/=і

Предельное значение ср (со) звеньев (при со —> <») будет равно (п - т)пІ1, где п — порядок дифференциального уравнения, а т —число
идеальных дифференцирующих звеньев.
126

127

В качестве примера на рис. 4.8 приведены Л АХ и Л ФХ последова­
тельно соединенных одного интегрирующего к{/р и двух статических
к
к
звеньев первого порядка — -— и -------- (к = к{к2к3\ Т2> Т3; к > к').
Т2р + 1
^р + Х
Построение эквивалентной АФХ звеньев осуществляется непосред­
ственно по АФХ отдельных звеньев путем перемножения модулей
Дивекторов И£(у’со) при одинаковых значениях частоты (фазы ф(
складываются). На рис. 4.9, а приведен пример построения двух АФХ

последовательно соединенных статических звеньев:-------- и---------- .
ТіР + 1
Т2р + 1
АФХ группы параллельно соединенных звеньев
п
п п
п
^(^ = 2>О) = £ А м^(и) = Іч (“)+«■
1=1 1=1

/=1

(=1

АФХ строится путем геометрического суммирования векторов
^(](0) = Ц(а)) + ^(оі) при одинаковых частотах (рис. 4.9, б).
АФХ звена с обратной связью строится согласно выражению
№ (/ш)
^(/'(11) =
— путем построения векторов ІѴП()(О) И ЖрОси)
при одинаковых значениях со.
Разработаны специальные номограммы, позволяющие находить
любые виды частотных характеристик замкнутой системы (звена
с ООС) для случая И(/уЩ) = Ѵ^(уЩ)Д1 +И^(у'щ)], по любым частот­
ным характеристикам разомкнутой системы ^(уи) (контура) [2].
Если

И/П(/Щ)
Ш/Ф)
"и 7ѵ 7 ,
1+ІѴП(Ж(» І+ЩО)
т. е. ІѴ0С (р) ^ 1 (000), то это выражение надо предварительно привести
к виду:

ИШщ) =

%(»

^0) =

1 + %(»

"и ’’ а

ІѴп(/ш), где И^(ущ) =----------------WП(JШ)W^x(J^i>)

р7

По номограммам могут быть найдены и логарифмические характери­
стики для выражения, стоящего в квадратных скобках; при этом искомые
характеристики звена с ООС определяются для случая последовательно
соединенных звеньев. Алгоритмические схемы САУ, таким образом, со­
держат информацию о составе элементов, топологии причинно-следствен­
ных связей между ними, структуре и параметрах операторов ХѴ^р). Фор­
мы отображения схем САУ могут быть различными — символьными (урав­
нения), алгебраическими (матрицы) или теоретико-множественными в
форме диаграмм графов.
128

Глава 5. СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ
САУ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

§ 5.1. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Задание воздействий в виде детерминированных функций време­
ни далеко не всегда возможно в связи с самой природой воздействий.
В этих случаях воздействия на систему рассматривают как случайные
функции времени. Например, принципиально случайными по своей
природе являются: возмущающее воздействие в виде шума в электрон­
ном усилителе регулятора; для автопилота воздействие ветра на са­
молет; колебания тяги ракетных двигателей; для следящей системы
радиолокационной станции — сопровождение цели и т. д.
Выходная величина САУ при наличии случайных воздействий
будет также изменяться случайным образом. Поведение САУ, нахо­
дящихся в условиях случайных воздействий, исследуется методами
теории вероятности.
Отметим, что случайный (стохастический или вероятностный) про­
цесс — это изменение случайной величины как параметра в функции
времени, или — это функция времени, значение которой в каждый мо­
мент времени является случайной величиной. Случайные процессы
подразделяются на стационарные и нестационарные.
Стационарный случайный процесс — это установившийся случай­
ный процесс в статистическом смысле, когда все вероятностные ха­
рактеристики его неизменны во времени [const (/)]; стационарный слу­
чайный процесс — аналог стационарного детерминированного
процесса. Нестационарный случайный процесс имеет вероятностные
характеристики (хотя бы одну), зависящие от времени [ѵаг (/)]. Неста­
ционарные процессы различают по характеру и скорости проявления
нестационарности и чем меньше скорость, тем они легче поддаются стационаризации. Очевидно, что стационарные процессы можно считать
частным видом нестационарных. Нестационарные (Н) процессы всегда
стремятся свести к стационарным (С), например, если существует экви­
валентный оператор J[xh(/)] = xc(/),t. е. процессы в САУ обычно
рассматривают приближенно как стационарные.
Количественная оценка случайных величин и функций определя­
ется посредством:
П:
вероятности p(Xj)- lim
=0-^1 дискретной случайной величины
п
N^>°° N
ПіС^Р(хд = ^-,

закона (функции) распределения вероятностей случайной ве­
личины (в табличной, аналитической или графической форме):
F(x) = p(x<xt) = ^Рі\
129
9 А. А. Ерофеев

плотности вероятности р (Х{) для описания распределения непрерыв­
ной случайной величины;
закона (функции) распределения плотности вероятности р(х,):
, ,
„ .
^р(х: <х<Х:+ Ас)
в дифференциальной форме р (х/) =----- ---------- -------- или в интегХі
ах
ральной форме Р (хі ) = р(х < х^ = У р(х) ах.
Типовыми законами распределения реальных случайных величин яв­
ляются: распределение Гаусса или нормальное распределение; рав­
номерное и экспоненциальное распределение; распределение Пуассона
Дх) = Ѵе-х/х!; распределение Релея, Коши, Лапласа и др. (здесь X
представляет собой среднее значение данной дискретной величины,
полученной по результатам большого количества опытов). Реаль­
ные законы распределения сводятся к типовым с некоторой аналоги­
ей в том, как реальные детерминированные воздействия сводят к ти­
повым воздействиям (ступенчатым, гармоническим, линейно возрас­
тающим и т. п.). Для стационарного случайного процесса закон рас­
пределения не меняется во времени: р(х, і)=р(х).
Практически доказано, что всякая непрерывная случайная величи­
на, представляющая собой результат действия достаточно большо­
го числа независимых случайных причин, имеет нормальное распре­
деление (см. п. 3.3 — НЗ). Поэтому основное использование в САУ
имеет одномерное нормальное распределение, определяемое функци­
ей Гаусса (рис. 5.1, л):

р(х)— і—

®

2^

аг^

ах

^(х) =

„ ^(х-т^
/ е 2о^ ах

(- оо < х < о°), где р (х), Р (х) — соответственно плотность вероятности
и функция распределения вероятностей. Для нормального закона ве­
роятность нахождения случайной величины составляет: в интервале
±ох-0,682, ±2ол.-0,954, ± Зох-0,997; обычно ограничиваются рас­
смотрением интервала ± 20* («правило 2о»),
В общем случае можно определить «-мерные законы распределения для
случайных переменных функций разных размерностей (п). Так, нормаль­
ный двумерный закон определяет следующая функция плотности вероятности р(х, у) = р(х)р(у) = -—!---- ехр
2ло„ои
если имеет место нормальные и взаимно-независимые одномерные
(1-й,)-р
распределения пох иу. Для зависимых процессов р(х, у) =------- ------ х
2лоуоѵ
130

х ехр

/
\2
1
х-тх\
2(1-р^) [ а

\2
У~ту\
[ о
Л

п

ху

(х-тх)(у-т)
охо}

где

рху = М[(х-тх)(<у-ту)] = Рху(і:)/охоу (см. ниже). Двумерная плот­
ность распределения вероятности отражает свойства двух случайных
переменных (х,у): р(х, у) = д2Р(х, у) / дхду, в отличие от одномерной
р(х) = дР(х) / дх. Плотность вероятности р(х,у) здесь представляет по­
верхность, а объем, ограниченный этой поверхностью, [ [Х^ У) dxdy = 1,

также как и площадь под одномерной кривой и осью абсцисс ^ р(х) dx =
-ОО

«

= Р(х) । =1 ^(оо) = 1, £(-оо) = 0). Обычно в САУ ограничиваются рассмотрением одномерного (и иног­
да двумерного) закона распреде­
ления, преимущественно нор­
мального (см. п. 3.3).
Кроме закона распределения
р(х) необходимо знать еще его
временные (частотные) свойства.
Законы распределения (одно­
мерные, двумерные и, в общем
случае, и-мерные) исчерпывающе
определяют случайную величину,
но на практике широко применя­
ют количественные характерис­
тики случайных величин:

V
ОО

ОО

^р^Р(х)І=1
-Оо

-ОО

131
9*

среднее

значение

(математическое

ожидание)

тх = М [х] =

= ^xp(x)dx\ тх = ^Х(р(;

дисперсия Dx = м[(х-тх)2]= ^(x-mx)2p(x)dx и среднеквадра­
тическое отклонение о ѵ = JB7- Для двумерных случайных величин

(х,у)
ОО

кроме
ОО

дисперсии

^х=\ ^(х - тх)2р(х, у) dxdy

и

Dy =

-00-00

= і \(У~ ту^2Р(х’У)^ХС^У возникает новая характеристика — взаимная
дисперсия (или ковариация) Dxy = а2у = j ^(х-тх\у- ту)р(х, у)dxdy.
Для реального стационарного случайного процесса в САУ [тх =
= mx(t) = const (/), стѵ = oY(/) = const (/)] практически всегда справед­
лива гипотеза об его эргодичности, заключающаяся в том, что среднее
по множеству x(t) равно среднему по времени x(t):
х = Ііт 1 Г х(?)Л, т. е. х (і) = х (() = тх = М [х(і)].
2Т J
-т
Среднее по множеству х(б) для случайной функции х (/) определя­
ется для каждого момента времени г, посредством усреднения по всем
реализациям процесса.
Свойство эргодичности значительно упрощает определение вероят­
ностных характеристик стационарных случайных процессов посред­
ством статистической обработки одной реализации случайного про­
цесса. При тх = 0 случайная функция (или величина) х°(/) называется
центрированной. Таким образом, случайное воздействие можно в об­
щем случае представить: х^^т^О + .х0^) и у (?) = ту(() +у°(г). Для
линейных САУ, исходя из принципа аддитивности (суперпозиции),
каждая из составляющих может быть определена отдельно: ту(б)
как реакция на тх(і) и. у°(?) как реакция на х°(ф Если х°(/)рассматриватся как помеха, а тх(ф) — полезный сигал, то х°(?) называют
иногда аддитивной помехой.
Корреляционные функции служат для количественной оценки случай­
ного процесса, оценивая быстроту изменения случайного процесса во
времени. Из них корреляционная (или автокорреляционная) функция
Л(т) представляет собой среднее значение произведения двух значений
функции, сдвинутых на определенный промежуток времени т:

Л/т) = М[х(?)х(? + т)]
или

т
Rx(t)= lim(V2T) [х(?)х(г + т)Л
Г—>ОО
J
-т
132

и
Ку^ = м[у(/)у(г + т)]

или

т
КМ = 1іт(1/2Т)[у(/)у(г + т)Л.

Взаимокорреляционная функция Кху (т) = М[х (і)у (/ + т)]; Кух (т) =
(т) = Ііт 1 ГГл(г)у(/ + т)<7т [аналогичнодля
2Т
МТ)Ь
~т
На рис. 5.1,6, в приведены типичная корреляционная функция и ей
соответствующий процесс х(1); Кх(т) с ростом т убывает, что отра­
жает ослабление влияния (корреляции) на текущее значение случай­
ной функции ее предыдущего значения при увеличении.
Рис. 5.1,г, 6 отражает один из предельных случаев, когда Кх(т) —
косинусоида с частотой СО], не зависящая от сдвига фаз (р. Время
(или интервал) корреляции случайного процесса обозначают через
тл, при котором Я/Тд) <Д(=5%).
Основные свойства корреляционной функции /?((т).
1. Максимальное значение корреляционная функция имеет при
т = 0: Их(0') = тх+Ох или Лх(0) = М^2(/)^ = х2(/) = х2, т. е. равно

= М[у(і)х(і +т)] или 7?

среднему значению квадрата х(ф
2. 7?х(т)—четная функция: ^(т) = 7?х(-т).
3. Для случайного процесса с ростом т корреляционная функция
Кх (т) < Кх (0) всегда убывает тем быстрее, чем быстрее изменяется
во времени случайный процесс х(1) [связь между значениями х(/)
и х (/ + т) ослабляется].
4. Предельное значение корреляционной функции при т—> оо равно
квадрату среднего значения |м[л(/)]}2 или /?/“)= т2х = ^(^ , так

как при г -> оо значения случайной функции независимы и соответству­
ют постоянной составляющей в виде среднего значения тх.
5. Для центрированного случайного процесса тх =0 и 7? о(О) = £>х,
а /?о(°°) = О. Здесь нормированная корреляционная функция рѵ(т) =
= Яо(т)/)о=1 при т = 0, рѵ(0) = 1. В общем случае рх(т) =
= ^(т)/7)/< 1.
6. Для суммы случайных процессов х(/) = Х!(/) + Х2(Ф ^(т) =
= Я„ (т) + Яд. (г) + ЯѴг (т) +
(г); с‘ = ^ + 2а^ + о^.
7. Для независимых х^і) и х2(Ф если *0) = ^(/)х2(0, то Ях(т) =
= Я (т)Я (т), а если х(0 = Х](/) + х2(/), то /?ѵ(т) = А^ (т) + Т^2 (т);
П=И
Х+ПхХ2 = о,X] +а2х2 >; оХ|Х
2 2 = 0,’ см. 6.
X
133

п
СО8 (О;Т.
8. Для хСО^ + ІЛ ^нСйМ + Ф/) ЯхСО = ао
/=1
Таким образом, при известной Лх(т) легко определяются х = х =
= тх = Х(~); Лф2]= х^ЯДО); Вх = Я/0)-Ях(~); а, = = ^.
Взаимная корреляционная функция Лѵ(т) обладает примерно
теми же свойствами, что и автокорреляционная функция: Лху(0) =
= м[х(0Я')]; Ях/°°)= ™Х; ^/^^К) [но ^/т)^х/‘т)];

^(г)<[Лх(0) + ^(0)];

к/т)'<[^(0)Я/0)^

+ Куф)],рху(т) = Рх^

Ях/т)| <0,5[Ях(0) +
^(т)< Дх(0)Я/0).

Если процессы х(0 иу(0 статистически независимы и хотя бы один
из них центрирован, то Я (т) = 0. Нецентрированную корреляцион­
ную функцию называют еще ковариационной. Для оценки меры ли­
нейной статистической связи двух случайных величин х, у применяют
коэффициент корреляции гХ},(т) = оху(т) / ох(0)а^(0), гху < 1; для неза­
висимых (или некоррелированных) величин гѵ =0. Коэффициент кор­
реляции, как видно, тесно связан с корреляционной функцией ЯХД,СОДля оценки меры изменчивости процесса используют иногда коэффи­
циент вариации О = о [х (/)] / М [х (/)].
Спектральная плотность 8х(ы) случайного процесса х(г) — это
частотная функция, характеризующая спектральный (частотный)
состав процесса, представляющая собой частотную функцию для сред­
них значений квадратов амплитуд гармоник, на которые может быть
разложен случайный процесс. Поскольку мощность гармонического
сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, спектральная
плотность определяет распределение среднего значения мощности
процесса по спектру (по гармоникам). Поэтому ее называют спект­
ральной плотностью мощности, так как 5 (со) определяет среднюю
мощность процесса:

Р^, = ^ 15Х (со) скй; сіР^ /скй = 5Х (со) /л.

Для стационарного случайного процесса х(/) спектральная плот­
ность представляет собой изображение Фурье корреляционной функции:
5х(щ) = |Кх(т)е~}ап(к или 5х(ш) = 2|Ях(т)соз ситЛ.
— ОО

0

Корреляционную функцию можно выразить с помощью обратно­
го преобразования Фурье через спектральную плотность:

^(^е^с/й
или в тригонометрической форме, учитывая, что
четная функция:
134

5х(ш) = 5х(-ш) —

RM =

Откуда Rx(0) =

1 г
^(w)cos ШТ б/to.

Sx(w)^cd и Dx = - 5 0(со)<йо. Ширина энергети-

ческого спектра случайного поцесса Дсо = 7^(0) / S/О) = Dx / S/О), где

5х(0) = 2]Х(т)б?т; ДЛЯ УЗКОПОЛОСНЫХ процессов Део = Я/0) / S/dJo) =
о
= Dx /Sx(coo), ю0 — центральная или несущая частота (см. рис. 3.10, б).
Интервал корреляции тЛ = 1/2Дсо = тк; максимум тКм = 0,5 ||рх(т)|с/т.
На рис. 5.2, а, б приведены зависимости S (со) и соответствующие
им корреляционные функции Л(т) для центрированных стационар­
ных случайных процессов.
Здесь наблюдается аналогичная связь, как между обычной частот­
ной и переходной характеристиками: чем шире график корреляцион­
ной функции, тем уже график спектральной плотности (и наоборот).
В предельном случае, когда x(f) = a = const (/), корреляционная функ­
ция постоянна (прямая 5) и равна Я/т) = я2; спектральная плотность
Sx(co) = 2лд25(со) ^ 0 только при со = 0 (дельта-функция). В другом иде­
альном предельном случае Rx = аЪ{у) (прямая 7), a SJco) = а = const (t),
когда х (/) — чистый случайный стационарный процесс (белый шум);
здесь тЛ = 0 иЛх(т) — дельта-функция. Для синусоидыл(г) (см. рис. 5.1,Э)
(две дельта-функции при +0)] и -cOj).

RfW f(t)

tfyM, S/y (tv), Ryf(t), Syf(w)
Rxy(^)t ^Xy(tV)
Ryx (t) , Sy* (tv)
Рис. 5.2

135

Случайный процесе в виде белого шума, когда Ях(т) = 0 при т^О,
физически не реализуем, так как ему соответствует бесконечный
спектр и соответственно бесконечная мощность. Реальные случайные
процессы имеют конечные мощности и спектры (см. кривые 2, 3, 4
на рис. 5.2, а, б). Однако часто их можно приближенно представить
в виде белого шума, если ширина спектра процесса значительно
больше полосы пропускания системы. Здесь аналогично рх(т)
вводят нормированную спектральную плотность, имеющую размер­
ность времени 5х(о))= |рх(т)е’-/мтЛ = 5х((й)/Рх. Максимумы 5х(ю)
показывают на каких частотах сосредоточена основная мощность про­

цесса; ах = [ 5Х (ш)^(0 — площади под кривой 8Х (со) и осью абсцисс.

Подобно ЛХ},(т) применяется взаимная спектральная плотность,
представляющая изображение Фурье взаимной корреляционной функ­
ции:
^/и) = I ^/тК^А,

где
ЯІ>,(т) = п‘

7

2л

[х,/ш)е^ш;
7

аналогично
^х(со) = |^.(^е’^Л = И;х(»5х(со) и Лух(т) = ^х(со).

Так как И^^усо) = 5 (со)/5х((о) и если 5х(со) = 1 (белый шум), то
Syx((ii) = Wзx(j(JЗ), а ^(т) н ѵѵ(т), где w (т) — импульсная переход­
ная характеристика САУ. Размерность 5х(ю)-х2с, х — размерность
случайного процесса.
Следует отметить, что ^^^^^(т); Кху(т) = Кух(-т),
а
£ѵ/со) * ^х(со); ^/“) = ^л^) = ^х(-“)- Здесь 5х/>) = ^.(-усо) =
= 5х/со)-^(ю). Если х(/) = Х](0 + х2(0, то ад = 5^(ю)+5Х2((і)) +
+5Х2 (со) + 5Х)Х2 (щ) + 5Х2Х^
При Лх/т) = Л^х(т) = 0 и 5ху(со) = ^х((о) = 0 сигналы не корре­
лированье. Функции Л (т) и 8 (со) не содержат сведений о фазе,
а дают информацию только об амплитудах процессов. Передаточную
функцию, например замкнутой САУ, можно представить в виде
ад = РМъ'е(и) = [^(и>)/\(И)]-45;(и)/хЛ(<»)].
136

Комплексная спектральная плотность (комплексная функция рас-пределения амплитуд спектра) Sxy(ja) = 8ху(ы)е^ш\ где Sxy(cd) опреде­
ляет амплитудный спектр; ц/ (со) определяет фазовый спектр (функция
распределения начальных фазовых углов спектра).

§ 5.2. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В САУ

Стационарным случайным внешним воздействием x(t) соответству­
ют стационарные случайные изменения выходной величины y(t) САУ
(если САУ стационарна). Связь между характеристиками процессов x(z)
иХО на входе и выходе САУ через средние значения M^t) и Мy(t)
(неслучайные величины) имеет вид (см. рис. 5.2, в):
Му = W3(p)Mx

или
МХ=АМХ + ВМи;

Му = СМХ + DMU.

Для стационарного случайного процесса, когда Мх = const (Z)
и Му = const (z), связь между ними определяется по уравнению статики
^ = ВДМГ
Связи между корреляционными функциями и спектральными плот­
ностями процессов на выходе и входе САУ в дифференциальной фор­
ме через передаточную функцию САУ имеют вид:
Л/т) = ^3М^(-М(т)

и
S,W =1 w^M !s,w = 4(ш) S, (в),

где Івді2= иу» иц-ю=(Р(в)+;й(в))(Р(в) - йW) = (Р’п +

Если к системе одновременно приложены в разных точках два стаци­
онарных случайных сигнала x(t) и fit), то на основе принципа суперпо­
зиции имеем:
S,W = ^(ffljS/Bjt^WS/B)
И
:

1

Іі + ид/п),

2

\wfAj^
+

Приведенные соотношения позволяют находить корреляционные
функции или спектральные плотности выходной величины САУ по
известным корреляционным функциям или спектральным плотностям
137

входных воздействий. Эти соотношения являются важными для реше­
ния задачи анализа (оценка точности САУ) и задач синтеза САУ на за­
данную точность при статистически заданных внешних воздействиях.
Все вышеизложенное аналогично и для линейных импульсных
САУ, а

именно, например,
00

2

Лх[0] = л2Ь1= - ^(ш)^;
“о
_

5*(со) =

Точность САУ при стационарных случайных воздействиях можно
оценить через дисперсию процесса, характеризующую стационарную
погрешность системы:
йг = 7- [Ъ(“)Л> = т- Г ;И</усо): 5 0(ш)</ш = - Г^
2л
'
2л
л * 'О
— ОО
—ОО

Закон распределения случайного сигнала при прохождении через ли­
нейную САУ в общем случае может изменяться, кроме случая его нор­
мального распределения, когда он сохраняется неизменным, но с дру­
гими значениями Му и Ву.
Здесь обычно представляют
ІЦО’Г
где

|Щ:2=___
Л(7Ш)і

91^__

Л (»?((-»’

С(» = ^(»2(и-1) Ц(»2("’2) + ... +/>„_і,

>І(» = йо(>)" +

+ ^ишУ 1 +... + ял.
Вычисление Иу производят через стандартный (табулированный)
интеграл /л, значения которого для конкретных и <10 заранее вы­
числены и сведены в таблицы [2, 7]:

1 1 ад

Л) = (-1)"+І М"

л/

2"і!дл)і2
где
^)
Яд
= 0

Л„=алА„_] — матрица
^ ^2
^і-1!
Й2 йд
0
Я] я3
0 .

Гурвича

(см. п. 6.2),

а

Мп =

Iо
0 0
«п
Здесь для устойчивой САУ все нули А (усо) левые и расположены
в верхней полуплоскости; С (/со) содержит только четные степени.
138

Для

~—;
2^0^

п=\

п=2

для

/2 =----------- — ’
2^0]

для

«=3

-аЛ + ^1

2йо(ад-^)

3

и т-д-

Иногда [2] табличный интеграл /„ записывают в форме:

1 7 ^РІ^РІ^р
2іу -> <1(рМ-р)

или
1 7 ^І^-^І^
2л £ dU(^d(-ju)

где

с(р) = сп_1рп 1+ ... + с1Р + с0,
г

тогда У) =

с0

т

d(p) = dnpn+dn_xpnX+...+dxp + d^

_ ^^ + с0^2

~

и т. д.

На границе колебательной устойчивости САУ Дп_! =0, дисперсия
А, —> °°.
Обычно кроме И определяют дисперсию ошибки РЕ =Г 5 (ш)і/(1),
271 -ОО

где в общем случае УЕ (ш) =[ Wзz (уев)! 5Х (ш) + И^е (“7е0) ^з/ (7ю) ^/ (7ю)+
+ Wx (Ja>) W,f(-ja)Sfx (»+; W,^ Sy(ш); ^ (» = [1 + И'/»]'1;

W^jw^W^Ja^ + W^ja)]"'.

Если сигналы на входе САУ x(t) и помехи (возмущения) f(f) не
коррелированы, то выражение для ^(ш) упрощается. Таким обра­
зом, соответственно Dz = D* + Dx^ + D[x + D{ или Dz = Dx + D/.
Среднее значение квадрата ошибки САУ
e2(t) = m2
c(l'l + Dc=Rc(fi)

1 г
5е((й)7(о,
ЛІ

где ^е М =
(0 + "?/ (0Среднеквадратичное значение ошибкиСАУ £ск(0 = ѵЕ (0, а при
иЕ(/) = 0 еск(/) = д^57. Если х (г) = 0, а /(Г) — случайный стационар­
ный процессе 5^(0)), то спектральная плотность ошибки будет 5Е(ш) =
139

= ^з/(в))\ ^(со). Аналогично, если/(/) = 0, то ^(со) =! ^(ш)1 УДсо),
где ИС(/со) =— -.

Дисперсия выходной величины САУ при взаимной независимости
40 и Д/)
Ву = !\ + ^/-

Синтез САУ по условию обеспечения требуемой точности в ста­
ционарном случайном режиме сводится к определению передаточной
функции САУ, для которой выполняется неравенство
И <Л

=

5 (соЖ
ло

где -Оудоп — предельно допустимое заданное значение дисперсии вы­
ходной величины.
Таким образом, для оценки динамической точности САУ опре­
деляют два первых вероятностных момента случайных процессов М у
и Dy, что эквивалентно определению 5 (со) или ^(т).
По заданной Оуаоп определяется ^(щ), далее находится ампли­
тудно-частотная характеристика САУ, при которой выполняется не­
равенство, а по ней, при необходимости, определяется №3(р).
Случайные величины, аргументами которых являются,векторы, об­
разуют пространственные или пространственно-временные случайные
поля (в состав аргументов поля входят координаты пространства х, у,
2 и, во-втором случае, еще и время /). Случайные поля бывают скаляр­
ными, например плотность воздуха и его температура [Дх, у, г, і)], и
векторными, например турбулентность атмосферы и\х, у, г, 0, т. к.
скорость ветра — это вектор с тремя составляющими и^, иу ѵѵ2.
Если на ОУ (или САУ) воздействует одновременно ряд внешних
воздействий Х^і), Д (0, ТО вектор g(t) = [х^і), А(0]Г образует вектор­
ный случайный процесс. Его математическое ожидание М ^ (/)] также
является вектором , а К^, Иё, 8ё — есть соответственно корреляцион­
ная матрица, матрица дисперсий и матрица спектральных плотнос­
тей, например ^((і))= р^^е’^т. Случайные поля и векторы

имеют важное значение при рассмотрении статистической динамики
и оптимизации систем управления ЛА.
Нахождение оптимальной передаточной функции является полным
решением задачи синтеза САУ. Теоретически оптимальная передаточ­
ная функция обычно не может быть реализована в силу своей сложно­
сти. Поэтому результаты синтеза следует рассматривать как теорети140

ческий предел, к которому нужно стремится, позволяющий оценить
степень совершенства практической САУ.
Пример 1. Типичные /? (т) и 5 (и):

^(т) = Рѵе-а^;

а = сопзі;

й2(т) = Т^е ^сова)!! ; 52(ш) = 2)Ла [а2+((и-й])21

+[а2+(ш1 + й)2

Л3(т) = Охе а'Усо5 й|Т + у 5Іп ш^);

53(й) = гв^Иа + уй^й2 +а2)2 ^(а-уй^й2 / 2(а2 -и2)и2 +(а2 +й^)4 +ш4

Пример 2. Связь эквивалентных прямоугольников Лэ(т) и5э(ю):

яи=|*Н<ч

5(0),.й <йі

ЭД .
2Л(0) ’

О, ій, > (о.

лЛ(0)
>оГ

71
Т|йі = - = С0П5Т

2

Так, для ^(т) и ^(и) (см. пример 1):

Л)(0) = £)Л., ^(0) = 2ОХ/а и Т]=1/а, й|=тга/2.

Пример 3. Сигналы:
х(Г) = ЛвЩсо^ + ф)н 5ѵ(и) =

х(Г)

лЛ2

[3(ш-С0|) +3(со+ «!)];

п
= АО + ^АІ 81П (й,/+<р,) Н
1=1

Пример 4. Пусть № (р)=

Бх =

к2

к

7/? +1

5х(ы)=

2Т

5ѵ(ш) = 1,

тогда

?
і і
к2
; ЭД^\(и)/(1 + Т2й2) = -А
2Т
у
І + тЛо2
к2

Пример 5. Пусть ЩЗЕ(р) = 1 (y = g), Ж,опт(» = 5/(0)/[^(со)э^Ц
Пример 6. Пусть № {р) =
ѵ

а Дѵ(т) = а25(т); Я/т) = ^-е^,

а

Яѵ/т) =

Тр + \

2

а -т/Т
і
= уе
і при 5ѵ(ю) = а2: ^(ш) =

2

? а \ .,(» =
.
+й¥
'
і+М
Пример?. Статистическое дифференцирование и интегрирование:
а

IV (р) = р, 5ѵ(й) = й25ѵ(й);

141

^(р) = р2, 5/ш) = ш45л(ш)
Ж(р) = 1/р2, 5/ш) = 5х(ш)/ш4

ит.д.:

^^АСи);

ит.д.: ^^Х/ш)^2”.

Глава 6. УСТОЙЧИВОСТЬ САУ

§ 6.1. ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ САУ.
ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА

Рассмотрим понятие об устойчивости на основе представлений ме­
ханики. Если подразумевать под системой некоторый шар, то можно
сформулировать по отношению к нему понятие об устойчивости.
1. Если шар находится на вогнутой поверхности, то при наличии
силы Р эквивалентной внешнему воздействию, шар можно вывести из
состояния покоя (рис. 6.1, а). Предположим, что сила такова, что
шар дошел до точки х. Если теперь исчезает воздействие Р, то, оче­
видно, шар под воздействием силы тяжести после совершения несколь­
ких колебаний около точки равновесия Л придет в установившееся
состояние (или состояние покоя), соответствующее точке А. Это при­
мер устойчивого равновесия (система является устойчивой).
2. Если шар находится на выпуклой поверхности и к нему при­
ложена некоторая сила Г, то под воздействием этой силы шар, будучи
отклоненным в точку х, после прекращения воздействия силы не придет
в установившееся положение (в точку Л). Такое состояние системы яв­
ляется неустойчивым (рис. 6.1,6).
3. Если шар находится на шероховатой ровной поверхности
и к нему приложена сила Р, то шар выйдет из состояния равновесия
и после снятия воздействия придет в новое состояние равновесия.
В зависимости от величины и знака силы Р шар может иметь бесчис­
ленное множество точек равновесия. Такое состояние носит назва­
ние нейтрально-устойчивого, т. е. система является нейтрально-устой­
чивой (рис. 6.1, в) .
Устойчивость — это свойство САУ возвращаться в заданный или
близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него
в результате какого-либо воздействия.

А

Рис. 6.1
142

Рис. 6.2

Типичные кривые переходных процессов показаны на рис. 6.2
в неустойчивой (рис. 6.2, а) и устойчивой (рис. 6.2, б) САУ. Исследо­
вание устойчивости САУ имеет огромное значение, так как САУ в за­
мкнутом виде обычно склонны к неустойчивой работе.
Основной задачей САУ является выработка таких управляющих
воздействий, которые приводили бы после возмущения САУ к устой­
чивому состоянию. Для линейных САУ: устойчивая (неустойчивая)
САУ устойчива (неустойчива) при любом по величине внешнем воз­
действии, т. е. всегда либо устойчива, либо неустойчива. Для нели­
нейных САУ этот вопрос значительно сложнее (см. п. 9.6); устойчи­
вость может быть в «малом», в «большом» и в «целом» — устойчи­
вость при любых начальных условиях (САУ абсолютно устойчива).
Если САУ неустойчива, то достаточно любого воздействия, чтобы в ней
начался расходящийся процесс — апериодический (кривая 1 на рис. 6.2,
а) или колебательный (кривая 2 на рис. 6.2, а). В случае устойчивой
системы переходной процесс, вызванный воздействием, затухает и
система возвращается в установившееся состояние.
Таким образом, устойчивую САУ можно определить как систему,
переходные процессы в которой являются затухающими и ее выход­
ная величина остается ограниченной при действии на систему огра­
ниченных по величине воздействий.
Впервые свойства устойчивости были исследованы русским ученым
А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости
движения». Он ввел понятия возмущенного и невозмущенного дви­
жений, асимптотически устойчивого движения. Теоремы А. М. Ляпу­
нова позволяют судить об устойчивости нелинейных реальных САУ по
их линеаризованным уравнениям (уравнениям первого приближения).
Линейные САУ описываются неоднородными линейными уравне­
ниями с постоянными коэффициентами:
d"y
dtn

d'-'y
1 dtn~}

”

,dmf
dtm

(^Рп + ^іРпЧ +...+ап)у = (&рт + ...+bm)f
143

или в общем виде
y=W3W = [M(.P)/D(P)]f,

где

= ^^Ѵр(р)
1 + ^)

W (р) = ^ ;
Р
Q(p)

^fy(p) =

Rfy(p)

Qfy(p)

ѵ — знак «или».
’Здесь, если степень Q (р) равна п, а. R (р) — т, то из физических
соображений т<п; в противном случае из W(p) можно выделить
слагаемое с р порядка т-п, соответствующее дифференцирующим
звеньям, которые естественным образом практически не реализуются.
Решение этого неоднородного уравнения в общем виде состоит из
двух слагаемых:
ХО

.Ууст(0 + .Уп(0

Даст(0^}'общ(0

}/вынW"^ЛвW•

Здесь ^уст(0 = ДаСтМ = Лын(0 ~ частное решение неоднородно­
го уравнения с правой частью, описывающее вынужденный режим сис­
темы, устанавливающийся по окончании переходного процесса [при
участ = const (0 — это будет установившееся движение]; уп = уобщ = усв —
переходная (свободная) составляющая, находится как общее решение
однородного уравнения

D(p)yCB(p) = 0; yCB(t) =

^(0-Лын(0,

описывающее переходной процесс в системе, вызванный данным возму­
щением.
С АУ будет устойчива, если переходные процессы ^п(0, вызван­
ные любыми возмущениями, будут затухающими, т. е. если с течением
времени уп(1) будет стремится к нулю(усвчО ).
Решение уп (г) однородного дифференциального уравнения имеет вид:
п
yn(t) = X C‘£Pit = С1еЛ/ + с2еР1' + - - - + СпеР"‘ • Здесь Cj —постоянные интег<=1
рирования, определяющиеся начальными условиями и возмущением; Pj —кор­
ни характеристического уравнения Б(р) = а^рп + ахрп~х + ...+ап = 0.
Многочлен D(p) является знаменателем передаточной функции
W^p} системы. Следовательно, D(p) = l + Wp(p) = [R(p)+Q(p)]/Q(p) =
= D'(p)/Q(p); D'(p) = R(p) + Q(p), где R(p) и Q(p) — числитель и зна­
менатель передаточной функции Wp(p).
Характеристика переходного процесса уп(/) в САУ представляет
собой сумму составляющих, количество которых определяется числом
корней характеристического уравнения D(p).
144

В общем случае корни р{ яв­
ляются комплексными: Pi,pi+l =
= ±а( ± j’P(, где а( может быть
положительной или отрица­
тельной величиной (рис. 6.3).
Каждая пара комплексно­
сопряженных корней дает сосставляющую переходного про­
цесса, равную

Область
устойчивости

_______ /I

с/"-**'" +Cwe("rA)' =
= e“''(Cie*+cMe-*) =

-*<-#1

= с'^1 sin (Ру/ + фу) =
= Аеа‘' sin (Ру/ + фу).

Рис. 6.3

/ 2 , 2
где с,Г и ф, определяются через Сі и с(+1: с,-/ = усі
+ см; tg ф, = -С: + ~ .

Эта составляющая представляет собой синусоиду с амплитудой,
изменяющейся во времени по экспоненте: если а, < 0, то составляю­
щая будет затухать; при а, >0 получатся расходящиеся колебания
(рис. 6.4, б, в). Если а, = 0, что соответствует паре мнимых корней,
то будут незатухающие синусоидальные колебания (рис. 6.4, г). Усло­
вием затухания данной составляющей является отрицательность дей­
ствительной части соответствующей пары сопряженных корней.
Будем говорить об асимптотической УСТОЙЧИВОСТИ, если при / —> ОО
свободная составляющая стремится к нулю, т. е. усв(0^0 (затухает).

10 А. А. Ерофеев

145

В случае, когда 0, =0, имеем действительный корень рі = а(, ко­
торому соответствует составляющая переходного процесса с^1
экспонента (рис. 6.4, а) . Здесь 1 н» р1■= -а,; 2н рі = а,-; Знд =0
и т. д. (см. рис. 6.3).
Следовательно, переходной процесс в САУ состоит из колебатель­
ных и апериодических составляющих: колебательная составляющая
соответствует паре комплексно-сопряженных корней, а апериодичес­
кая — действительному корню. Общим условием затухания всех со­
ставляющих и всего переходного процесса в САУ является отрица­
тельность действительных частей всех корней характеристического
уравнения системы (полюсов-нулей знаменателя передаточной функ­
ции системы). Корень с положительной действительной частью все­
гда дает расходящуюся составляющую переходного процесса; пара со­
пряженных чисто мнимых корней ±у0( дает незатухающую гармони­
ческую составляющую переходного процесса (с частотой ±/0Д САУ
при этом находится на границе устойчивости.
Физические реальные САУ строятся всегда таким образом, чтобы они
были устойчивыми, т. е. после окончания внешнего воздействия они пе­
реходят в состояние нового установившегося равновесия. Если система
по каким-либо причинам окажется неустойчивой, то принимаются меры
по приданию системе нужных свойств устойчивости. Все реальные си­
стемы являются нелинейными и линеаризация их производится путем
отбрасывания членов, содержащих различные нелинейности. Поэтому
закономерно ставится вопрос, будет ли реальная система устойчива,
если устойчива линеаризованная система. Русским ученым А. М. Ляпу­
новым (1892 г.) были доказаны следующие теоремы (сформулированы
в работе «Общая задача устойчивости движения»).
Теорема 1. Если корни дифференциального уравнения линеари­
зованной системы содержат только отрицательные вещественные час­
ти, то линеаризованная система является устойчивой (невозмущенное
движение асимптотически устойчиво) и никакие добавки в виде чле­
нов с различными нелинейностями не могут сделать систему неустой­
чивой. Вывод: определяя устойчивость линеаризованной системы, мож­
но говорить и о свойствах устойчивости реальной системы.
Теорема 2. Если корни или хотя бы один корень дифференци­
ального уравнения линейной системы содержат положительную ве­
щественную часть, то линейная система является неустойчивой и ни­
какие добавки в виде членов с различными нелинейностями (члены
высшего порядка малости) не могут сделать систему устойчивой. Вы­
вод: если линеаризованная система неустойчива, то неустойчива бу­
дет и реальная система.
Теорема 3. Если корни дифференциального уравнения линей­
ной системы или хотя бы один из них будут равны нулю или чисто
мнимы, то свойство устойчивости линейной системы будет неопреде­
ленным (критическим). Система находится на границе устойчивости.
146

При этом добавки в виде нелинейностей могут различным образом вли­
ять на поведение системы и по линеаризованным уравнениям, строго го­
воря, нельзя судить о том, что происходит на границе устойчивости систе­
мы. Вывод', поведение реальной САУ не всегда даже качественно опреде­
ляется ее линеаризованным уравнением, так как малые члены могут сде­
лать САУ устойчивой или неустойчивой.
Решение уравнения системы представляет некоторую траекторию
X (/) В пространстве переменных СОСТОЯНИЯ (%], ..., хп) = [х]г. Устой­
чивость зависит от свойств функции переменных Ѵ[х]т = Ѵп и
п
аѵ/ж = ^(дѴ/дх^Хі. Обычно используют квадратичные формы V =
і'=і

=22РуХ^^р^р,

=[х]т[Р][х]—функции Ляпунова. Для устойчи/=і
вости линейной системы функции V должны быть определенно по­
ложительными всюду за исключением положения равновесия (на­
пример, начала координат).
Для исследования устойчивости нелинейных САУ имеются другие
теоремы А. М. Ляпунова, которые используются, например, для пря­
мого второго метода Ляпунова и др.
Следовательно, общее условие устойчивости линейной системы
можно сформулировать так: условием устойчивости системы являет­
ся расположение всех корней характеристического уравнения (полю­
сов передаточной функции системы) в левой комплексной полу­
плоскости. Наличие корня на мнимой оси означает, что система на­
ходится на границе устойчивости.
Общее решение однородного разностного уравнения [см. п. 1.3 (6)],
аналогично рассмотренному выше, при некратных корнях характери­
стического уравнения имеет вид (в сокращенной записи):

у[п\ = с^" +с22з+...+скгк,

где :((і = 1,2,...Д) — корни характеристического уравнения (а$гк +
+ а{гк~[ + ... + ак =0); Сі — произвольные постоянные. Здесь условие ус­
тойчивости ^ < 1.
Вопрос о корнях О(р) может быть решен путем непосредственно ­
го решения дифференциальных уравнений и нахождения корней. Од­
нако прямое исследование корней возможно лишь для системы 1, 2, 3,
4-го порядка (есть их аналитические выражения), причем с повыше­
нием порядка (3, 4) трудности их нахождения существенно возраста­
ют (их выражения малоудобны). Для суждения об устойчивости САУ
практически не требуется находить корни ее характеристического урав­
нения, так как существуют косвенные признаки, по которым можно
судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об
устойчивости системы, не решая самого характеристического уравне10*

147

ния. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости
(КУ). Различают аналитические (алгебраические) КУ и графо-анали­
тические (частотные) КУ.

§ 6.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Существует ряд критериев устойчивости (КУ) в аналитической фор­
ме— Рауса (1877 г.), Гурвица (1895 г.), Льенара—Шипара (1914 г.),
Шур—Кона, Джури—Бланшара. По существу их различает лишь фор­
ма, поэтому, например, первые два часто называют критерием
Рауса—Гурвица.
Алгебраические критерии не требуют выполнения вычислительной
процедуры определения корней; условия устойчивости сводятся к вы­
полнению ряда алгебраических неравенств, связывающих коэффици­
енты уравнения системы. Посредством алгебраических критериев оп­
ределяются условия асимптотической устойчивости автономных за­
мкнутых САУ обычно при и<15.
Критерий Рауса—Гурвица. Этот критерий в алгоритмической форме
(как оказалось, удобной для ЭВМ) был предложен английским мате­
матиком Раусом (1877 г.), а затем, в определительной форме, мате­
матиком Гурвицем (1895 г.). Критерии Рауса и Гурвица связаны меж­
ду собой простыми соотношениями. Приведем без доказательства эти
критерии в форме Рауса и Гурвица; заметим лишь, что критерий Гур­
вица можно достаточно просто получить из критерия Рауса.
Отметим также, что критерий Рауса формулируется в табличной
форме.
Таблица Рауса состоит из Сц -коэффициентов, связанных с коэффициентами «о... а„ полинома D(p), где/—номер столбца, j—номер
строки (их число равно я + 1):

Здесь строка 1 содержит а, с четными индексами, строка 2 — с не­
четными коэффициентами. Коэффициенты строк 3 ...(и + 1) подлежат
определению (с/у):

£ц=До;

сі\=а2\

с31=а4;...;

с12=аЬ

с22=а^

С32 = а5> ■ • ■ ’

_

^0^3 .
,

_ а\а2

сіз -

#|
148

. _ °1а4
С23 -

^0^5 .
,

fl]

. _ ^б ~aQa1
с33 -

6Zj

_ Й3С13 - О1С23 .
“
‘
’
Аз

_ А4С23 ~ Азс23 .
45 “
’
’
А4

_ _ °5С13
с24 “

_ а7с13
с34 ~

ЙІС33 .

с13

Аз

с13с34 .
’

. _ А4С33
С25 -

«^43

с13с44

_ _с14с43
‘35 -

А4

с14

И Т. Д.

Критерий устойчивости Рауса. САУ устойчива, если коэффициен ­
ты первого столбца таблицы при «о >0 положительны: си = ^ > 0,
А2=аі>^ Аз >^ ■••> А,«+і >^Критерий Рауса был предан забвению его современниками (как раз
из-за его «неудобной» алгоритмической формы).
В 1895 г. Гурвиц предложил свой КУ, выраженный в замкнутой
форме. Возьмем многочлен:
П(р) = вѵрп +а{рп~' + ...+ап_{р + ап,

где полагаем ^ >0. Это всегда можно обеспечить умножением мно­
гочлена на -1. Составим из коэффициентов этого многочлена опре­
делитель (матрица Гурвица)

ап^п-\

№ ]^3 ! «5 | й7 Л

О’

"°. ^^ ' Я6 । «8

°:

'0
0

аі

^Зд^5 1 аі

Оо

а2

А_^а6

0
о

10

0

«!

а3

о5

0

0

0

0

0

Этот определитель называется определителем Гурвица, он имеет п
строк и п столбцов. Первая строка содержит все нечетные коэффици­
енты, начиная с а1? до последнего; после чего строка заполняется до
числа п элементов нулями. Вниз от 1 строки столбцы определителя
заполняются коэффициентами с индексами, убывающими каждый раз
на единицу; ниже а$ пишутся нули.
В результате в главной диагонали определителя записываются по­
следовательно все коэффициенты а,, кроме «о, начиная с а{.
Критерий устойчивости Гурвица. Для устойчивости замкнутой САУ
необходимо и достаточно, чтобы (условие устойчивости) определитель
Гурвица и все его диагональные миноры были положительны при ^ >0.
Эти миноры показаны в определителе Д„ пунктирными линиями.
149

Пример. Для и = 4 D(p) = а^р' + а}р3 + а2р2 + а2р + а^.

О О;
Оі
і.
аі аз О

q

ау

.
.
До
А_ = Ди =

а2

«4

«о

а2 а^\

О
I о

Условия устойчивости: <% > 0; Aj = q > 0; Д2 = а}а2 - а$а2 > 0; △з - аз^2 _

«1

О

аі

«о «4
= а3Д2 - afo > 0; Д4=а4Д3>0

(Дл =а„Дл_] >0).

Таким образом, условия устойчивости САУ сводятся к требованию положительнос­
ти всех коэффициентов Оі и предпоследнего минора Д3; условие Д2>0 при этом
вытекает из неравенства Д3 > 0 (а4 > 0).

Следует отметить, что критерий Гурвица можно также доказать
непосредственно на основе теоремы Ляпунова, используя функцию
и=МгИИ R81
Итак, для устойчивости САУ «и» порядка определитель Гурвица
Д„ = а„Д„_і > 0. Очевидно, САУ будет находиться на границе устой­
чивости, если Ал =0. Это обычно возможно, если Ди_! =0 —граница
колебательной устойчивости. Можно показать в общем случае систе­
мы л-го порядка, что в условия устойчивости в качестве одного из них
входит требование положительности всех коэффициентов уравнения.
Недостатки КУ Рауса—Гурвица.
1. Условия устойчивости, получаемые из критерия Рауса—Гурви­
ца, усложняются с ростом порядка системы.
2. Для системы достаточно высокого порядка оказывается зат­
руднительным выяснить влияние на устойчивость системы значений
отдельных параметров звеньев, входящих в состав коэффициентов
уравнения. Это связано с тем, что, как правило, одни и те же парамет­
ры одновременно входят в несколько коэффициентов уравнения сис­
темы. Поэтому критерий Рауса—Гурвица применяют только для сис­
тем относительно невысокого порядка и прежде всего для анализа
устойчивости, когда надо определить, устойчива ли система при
известных значениях всех ее параметров. При решении задачи синте­
за системы, когда требуется выбрать значения отдельных параметров
системы, критерий Рауса—Гурвица становится неудобным уже для си­
стем выше четвертого порядка.
Критерий Льенара—Шипара. При я > 5 удобнее применять одну
из модификаций критерия Гурвица, называемую критерием устойчи­
вости Льенара—Шипара (1914 г.), который более прост и требует рас­
крытия меньшего числа определителей, чем критерий Гурвица. Число
условий устойчивости при его применении снижается примерно вдвое.
Здесь САУ устойчива, если при а, >0 только АрО или Аі+1 >0, где
к = 1, 3, 5, 7, ... . Например, при и = 4, ^ >0 САУ устойчива, если
А3 > 0 (обычно Oq = 1).
150

Для линейных импульсных систем используют критерий Шур—
Кона, Джури—Бланшара на основе характеристического уравнения
в форме^-преобразования: D(z) = zn + a{zn~[ + a2zn~2 + ... +й„ =0. Здесь
определитель Шур—Кона Ад. для устойчивости замкнутой САУ дол­
жен быть Дд <0 (нечетные к} или Дд+1 >0 — четные индексы (к + 1),
где ^= 1, 3, 5, 7,....
В настоящее время вычислительные процедуры для всех критериев
существуют в алгоритмической форме и оформлены в виде пакетов
прикладных программ (ППП) на языках ПЛ-1, Паскаль, Фортран,
АПЛ и др. [2]. Алгоритм Гурвица состоит из составления и вычисле­
ния определителей, анализа их условий положительности. В качестве
примеров можно назвать ППП LCAP2, CLADP и др.
Программы предназначены для вычисления коэффициентов Рау­
са, определителей Гурвица или Шур—Кона по характеристическому
уравнению аналоговой, дискретной или аналого-дискретной САУ и вы­
дачи результатов в форме: САУ устойчива (1) или неустойчива (0).
Для многомерных, многосвязных САУ исследование устойчивости про­
изводится по фундаментальным матрицам с использованием специ­
альных алгоритмических процедур (например, матричный критерий
устойчивости Зубова и др.) [2].

§ 6.3. ЧАСТОТНЫЕ (ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ)
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Устойчивость САУ по виду частотных характеристик определяет­
ся с помощью частотных критериев, основанных на использовании
принципа аргумента (из теории функций комплексного переменного).
Это критерии Михайлова, Найквиста и .D-разбиения. Важным пре­
имуществом частотных критериев является возможность их примене­
ния для нелинейных САУ.
Критерий устойчивости Михайлова (предложен в 1938 г. русским
ученым А. В. Михайловым) основан на рассмотрении многочлена
D (р)— характеристического полинома W^p) : D(p) = a$pn +
+ 0)/"'+ ... + ап. В соответствии с теоремой Безу Ь(р) = а$(р -р\)(р-р2) ■•• (Р~Рп)-^’ гДе Рп —корни D(p). Подставим в этот много­
член вместо р мнимую переменную усо. В результате получим комп­
лексную функцию
ад = 1/(в) + №) = 1І0(»' + а|(»"-1+ ... + а„ =

^(Ju-pOUm-pz) ... (№-рп).
Приведем принцип приращения аргумента аксиоматически (без до­
казательства): изменение аргумента (фазы) D(jco) при изменении со
от - оо до + оо равно произведению (/ - т)л = (п- 2тУп, где т — число
151

корней с «+» вещественной
частью; 1 = п-т — число кор­
ней с «-» вещественной час­
тью; п — порядок характери­
стического уравнения, т. е.
AaгgZ)(J(o)= (п-2т)п. Если
т = 0, то при - оо < со < - оо
ЛargZ)(y(D) = пл —устойчивая
САУ; при 0<0)<оо Ла^7)(усо) =

= п— . На плоскости р каждый
корень изображается вектором,
т. е. р- Рі — вектор. Вращение
вектора против часовой стрелки
принимается за положительное
направление (рис. 6.5).
В D(jai) U(w) — действительная часть, полученная из членов D(p),
содержащих четные степени р\ [/(со) = ап -ап_2ш2 + ап_4&4 ..., а К(ш)—
мнимая часть, полученная из членов D(p) с нечетными степенями р:
а^ш-а^^ +ап_5а5 ... (так как у=Д ; у2 =-1; / == _у).
Задаваясь со = 0 4- оо, изобразим £>(усо) в виде годографа на комплекс ной плоскости (рис. 6.6, а); годограф называется частотным годогра­
фом Михайлова. Здесь (см., например, кривую 7) каждому значению
соответствуют определенные значения {/(ш), И(со) и определенная
точка на плоскости.
При со = 0 и((й) = ап, К((о) = 0, функция О{^)=-ап, а ^=^+1 —
в большинстве случаев, т. е. годограф начинается на действительной
оси. При со -» ©о функция 7) (усо) неограниченно возрастает.
Критерий Михайлова: замкнутая система устойчива, если годо­
граф 7)(у(о) начинаясь при со = 0 на действительной положительной
полуоси, огибает с ростом от 0 до °° против часовой стрелки начало
координат, проходя последовательно в положительном направлении

152

п квадрантов, где и — порядок системы. При этом изменение аргумента
л
В общем случае A arg /)(усо) = (и-2щ)
AargZ)(jw) равно
2
но в устойчивой САУ m = 0.
На рис. 6.6, а годограф 1 относится к устойчивой САУ, годогра­
фы 3, 4, 5, 6, 7 — к неустойчивым системам.
Условием нахождения системы на границе устойчивости является
прохождение годографа Михайлова через начало координат (кривая
2 на рис. 6.6, а). В этом случае существует значение со, при кото­
ром D(J(a) характеристическое уравнение системы имеет пару со­
пряженных мнимых корней р = ±уР.
Следствие КУ Михайлова. Система устойчива, если годограф Ми­
хайлова последовательно пересекает вещественные и мнимые оси, начи­
наясь на вещественной оси. Следовательно, необходимо и достаточно,
чтобы точки пересечения годографа Михайлова положительной оси
и мнимой перемежались между собой (критерий перемежаемости корней).
Изменение параметров САУ перемещает годограф Dijai) (см. рис. 6.6, а)
либо влево от начала координат (САУ устойчива), либо вправо (САУ
неустойчива). Вычислительный алгоритм, реализующий КУ Михай­
лова, прост и состоит в вычислении значений U (со) и V (со) для со = 0,
Асо, 2Асо, ... (Асо — шаг квантования) и в последующей проверке
выполнения условия A arg D (усо) = mt 12.
На рис. 6.6, б приведены годографы устойчивых систем разных
порядков до п = 6. Построение годографа Михайлова осуществ­
ляется обычно непосредственно по D(j(o) с помощью численных рас­
четов на ЭВМ.
Недостатки критерия Михайлова: с увеличением порядка САУ
(п > 4^-5 ) объем вычислений резко возрастает. Поэтому целесообраз­
но использовать эффективные, высокопроизводительные алгоритмы
и программы расчета (ППП).
Критерий устойчивости Найквиста. Этот критерий называется точеч­
ным критерием (предложен в 1932 г. американским ученым Г. Найквис­
том). Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амп­
литудно-фазовой характеристике разомкнутой системы ^(/о). ВТАУ
этот критерий был по-новому обоснован, обобщен и применен Михайло­
вым в 1938 г., поэтому его также называют КУ Найквиста—Михайлова.
АФХ разомкнутой САУ можно получить как аналитически, так и экспе­
риментально, что выгодно отличает критерий от алгебраических КУ. КУ
Найквиста имеет ясный физический смысл: связь стационарных частотных
свойств разомкнутой САУ с нестационарными свойствами замкнутой САУ.
Доказательство этого критерия осуществляется также на основе
принципа приращения аргумента. При этом за основу берется харак­
теристический полином разомкнутой САУ Q(j(л') соответствующий
^(усо) = Л(усо)/2(7со). Так как 2(усо) и ^О) для анализа проще,
чем /)(усо) и ^(уы), то и критерий проще.
153

Рассмотрим два случая состояния разомкнутой САУ.
Первый случай КУ. Если разомкнутая САУ устойчива, то для ус­
тойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы функ­
ция ^(усо) не охватывала критическую точку (-1,0) при измене­
нии (О ОТ 0 ДО оо.
На рис. 6.7, а характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым си­
стемам, характеристика 3 — неустойчивой, а характеристика 2 —
нахождению системы на границе устойчивости. Например, для САУ
с АФХ 2 необходимо уменьшить коэффициент передачи, АФХ сожмет­
ся к началу координат, в результате чего САУ станет устойчивой. При
увеличении коэффициента передачи кр АФХ устойчивой системы при
^р = ^ркр охватит точку (-1, 0), и система потеряет устойчивость.

154

Критическая точка (-1,0) соответствует случаю iyp(j(o) = -l
илиЛ((о)е^и) = -1, что имеет место при ф(ш) = -180° и J(a)) = l(e_yl80° =
= cos 180° — у sin 180° =—1). Физически это означает, что амплитуда

т. е. Л (со) = —= 1 (амплитуды совпадают), а фаза, ко4(“)
торая при со = 0 равна 0, дает ср (со) = - л. При - л происходит
запаздывание фазы выходного сигнала на -180° по отношению к
входному сигналу.
В электронных системах САУ при нечетном числе каскадов
ф(щ) = -180° (000) или ф (со) = 0 при четном числе каскадов (ПОС).
АФХ, или частотные годографы ^(усо), показанные на рис. 6.7, а,
принадлежат статическим системам.
На рис. 6.7, б приведены АФХ астатических систем с разным по­
рядком астатизма; кривые 1, 2 и 3 относятся к системам соот­
ветственно с астатизмом 1, 2 и 3-го порядков. АФХ астатических сис­
тем при со = 0 уходят в бесконечность, так как у амплитудно-фазовой
функции ^(/ш) имеется множитель 1/(/со)г, где г — порядок аста­
тизма. При г = 1 характеристика ^р()м) при со = 0 уходит в бес­
конечность вдоль отрицательной мнимой полуоси; при г = 2 — вдоль
отрицательной действительной полуоси; при г = 3 — вдоль положи­
тельной мнимой полуоси. Если мысленно соединить находящееся
в бесконечности начало АФХ астатической САУ с положительной дей­
ствительной полуосью дугой бесконечного радиуса (рис. 6.7, б, штрихпунктирные линии), то в случае устойчивой системы точка (-1, 0)
не должна охватываться АФХ (кривые 7, 2, 3). Кривые Іа, 2а и За (36)
соответствуют неустойчивым системам с астатизмом 1, 2 и 3-го по­
рядков. Если САУ содержит статические и астатические звенья, то
САУ с г > 1 носит название структурно-неустойчивой, так как
АФХ имеет тенденцию к охвату критической точки (-1, 0) (рис. 6.7, г).
Второй случай КУ. Для систем неустойчивых в разомкнутом состоя­
нии, когда при 0 <ш< оо Aarg^Qw) = (п-2т') у Aarg [7Х7’ш)/С(Л>)] =

Ах = А ,

= Aarg[l + 1Ир(»] = -(2т'-2т) = (т'-т)ті^ у 2л = т'л (т = 0),
критерий Найквиста имеет такую формулировку: если разомкнутая
САУ неустойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоя­
нии необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы
Wp(j(S) охватывала критическую точку (-1,0) при изменении со от 0
т'
до оо - раз в положительном направлении против часовой стрел­
ки (при т = 0).
Оба случая могут быть объединены следующей формулировкой КУ:
замкнутая САУ устойчива, если число пересечений функции ^(усо)
отрицательной полуоси левее точки (-1, 0) сверху вниз «+» больше
на т'/2 раз числа пересечений в обратном направлении «-». Здесь
т' — число полюсов передаточной функции разомкнутой системы
155

с положительной действительной частью (т' — число правых кор­
ней уравнения Q (р) = 0 разомкнутой САУ; т — число корней с поло­
жительной вещественной частью уравнения D(p) = 0 замкнутой САУ).
Таким образом, приращение аргумента AargQ(jd)) = (п-2т')я/2
при 0 < (D < оо, а для устойчивой замкнутой САУ (т = 0) AargZ)(yco) =
= п ~ ; тогда A arg [1 + Wp (yw)] = A arg D(jw) - A arg Q(Jw) = ^- 2л , т. e.
замкнутая САУ устойчива, если годограф ^(усо) охватывает т'/2
раз точку (-1,0) в положительном направлении (против часовой
стрелки).
На рис. 6.7, в в качестве примера показаны две АФХ неустой­
чивой в разомкнутом состоянии САУ вследствие наличия правых кор­
ней, но устойчивой в замкнутом состоянии. Характеристика 7
соответствует т'= \ (т' 2 = 0,5; «0,5 пересечения»), а характеристика 2 — значению m' = 2 (m'/2 = l). При m' = 0 (разомкнутая
САУ устойчива или нейтрально-устойчива) для устойчивости замк­
нутой САУ разность пересечений сверху вниз «+» и снизу вверх
«-» должна быть равна 0 (Aarg [1 + lFp(jci))] = т'п = 0).

Следовательно, при применении критерия Найквиста необходимо
предварительно определять число правых полюсов WАр).
Для одноконтурной САУ, когда знаменатель Wp(p) представляет
собой произведение знаменателей передаточных функций отдельных
звеньев, число т' находится легко, поскольку полюсами Wp{p) яв­
ляются полюсы передаточных функций отдельных звеньев. Например,

т' = 1; р[ =1/7;

у

Wp(p) =

^Лг^з

(т;г])(т2/)+і)(^+і)
Для сложных многоконтурных систем, особенно с перекрестны­
ми связями, задача определения числа т' значительно усложняется
(в этих случаях иногда целесообразно отказаться от применения кри­
терия Найквиста).
В вычислительном аспекте алгоритм оценки устойчивости по КУ
Найквиста аналогичен алгоритму по КУ Михайлова, хотя здесь и су­
ществует некоторая трудность в формализации события не охвата
критической точки (-1, 0).
Логарифмический критерий устойчивости Найквиста. Об устойчи­
вости САУ, в соответствии с критерием Найквиста, можно судить со­
вместно по АФХ и ФЧХ разомкнутой системы. При этом обычно ис­
пользуют логарифмические характеристики, что представляет боль­
шое удобство в силу простоты их построения.
Неохват АФХ устойчивой разомкнутой САУ ^(/ш) критичес­
кой точки (-1,0) имеет место, если на частоте, где і Л (со); = 1,1 (со) = 0,
фаза (р (со) > - л, т. е. абсолютное значение фазы меньше л, так как
в точке (-1,0) Л((іі)| = 1, а <р(со) = -л.
156

Первый случай КУ. Критерий устойчивости Найквиста для САУ,
устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что ЛАХ долж­
на пересечь ось абсцисс раньше, чем ФЧХ пересечет значение-л,
т. е. на частоте 0)с значение фазы должно быть меньше - л . Точкам
пересечения ^(уй) с полуотрезком (-% -1] соответствуют точки,
для которых А (ш) > 0 и ф (со) = - л, -Зл, -5л, ...; полуотрезку (-1, 0]
соответствует £ (со) < 0.
На рис. 6.8 приведены ЛАХ Ь (со) и пять вариантов ЛФХ ф (со).
Для ЛФХ 1 и 4 замкнутая САУ устойчива (характеристика 4 соот­
ветствует АФХ 4 на рис. 6.7, а); случай ЛФХ 2 соответствует нахожде­
нию замкнутой САУ на границе устойчивости, а ЛФХ 3,5 — неустой­
чивой замкнутой системе.
Второй случай КУ. Для замкнутых САУ, неустойчивых в разомкну­
том состоянии, условия устойчивости следующие: при положитель­
ной ЛАХ число пересечений ЛФХ уровня -л снизу вверх «+» должно
быть на т' 12 раз больше числа пересечений в обратном направлении
«-» (при т' = 0 разность пересечений должна быть равна 0).
Запасы устойчивости в САУ. Факта наличия устойчивости САУ
при оценке устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить ве­
личину запаса устойчивости, т. е. степени удаленности САУ от гра­
ниц устойчивости. Система, которая находится близко к границе
устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неус­
тойчивой (причины — неточность математического описания, по­
грешности линеаризации, неточность определения параметров САУ
и их изменение во времени и др.).
При применении критерия Рауса—Гурвица запасы устойчивости
определяются «сильностью» выполнения входящих в этот критерий
неравенств. При использовании критериев Михайлова и Найквиста
запасы устойчивости определяются степенью удаленности по рас-

157

стояниям соответствующих характеристик от границы устойчивости. Для
критерия Михайлова это будет удаление годографа 77(/со) от начала
координат, а для критерия Найквиста — удаление характеристики
РКрСусо) от точки (-1; 0). При этом алгебраические КУ и КУ Михайлова
дают лишь качественное представление о запасах устойчивости (по «сильности» неравенств и степени удаленности).
Основное распространение в качестве количественной меры запа­
сов устойчивости получили две величины — запас устойчивости по
фазе у = Д(р = л-Дф(щс) и запас устойчивости по амплитуде (по
усилению, по модулю) Д£ = А, вытекающие из критерия Найквиста
(см. рис. 6.7, а).
Запас устойчивости по фазе определяется величиной у (или
у% = —400%), на которую должно возрасти запаздывание по фазе

в системе на частоте среза (0с, чтобы система оказалась на границе
устойчивости (при со с ІЖрО'шу^І; на границе устойчивости со с = (і)я).

Запас устойчивости по амплитуде (по усилению) определяется ве­
личиной ДА допустимого подъема ЛАХ, когда САУ выходит на гра­
ницу устойчивости. Запас устойчивости по амплитуде представляет
собой запас по коэффициенту передачи ^р разомкнутой системы по
отношению к его значению, критическому по устойчивости А:р кр.
При проектировании в зависимости от класса САУ рекомендует­
ся выбирать у >30° + 60°, Д£>6-ь20дБ (примерно двойной запас
коэффициента передачи по устойчивости) или через к > 0,2-і-0,4. Иногда вместо// берут величину а = ^^(/Шд)! = кр кр/к и Л7, = 20^ а =
= -2018|»'рО,)| = -£(со,); Д£ = 2018^„р -20^*.
Для устойчивых САУ запас устойчивости в форме а больше 1
(ДА>0), для неустойчивых — меньше 1 (АЛ<0). Для гарантирован­
ности выполнения требований по запасам устойчивости САУ около
точки (-1; 0) иногда вычерчивают запретную область, куда АФХ не дол­
жна входить.
Инверсный критерий устойчивости Найквиста. В расчетной прак­
тике иногда пользуются инверсным критерием устойчивости, основан­
ным на построении инверсного частотного годографа:

ІГР(»

ад

В этом случае все вычисления, особенно для сложных систем, значи­
тельно упрощены, так как степень Q (ущ) обычно больше степени R (/со)
Следовательно, геометрическая интерпретация инверсного критерия
обратна предыдущей, т. е. точкам, лежащим внутри (вне) окружнос­
ти единичного радиуса на плоскости ^(/со), соответствуют точки,
лежащие вне (внутри) окружности единичного радиуса на плоскости
158

Рис. 6.9

^(усо). Поэтому критерий устойчивости Найквиста, основанный на ис­
пользовании инверсной характеристики С (усо), формулируется сле­
дующим образом.
Первый случай КУ. С АУ устойчива, если охватывает точку (-1; 0)
для случая устойчивой разомкнутой САУ (рис. 6.9, а).
Второй случай КУ. САУ устойчива, если число пересечений С (усо)
интервала (-1; 0) действительной оси снизу вверх больше на т'/2
числа пересечений в обратном направлении, где т' — число правых
корней разомкнутой САУ (рис. 6.9, б). Здесь цифры 1-6 на рис. 6.9
наглядно отражают прохождение годографов Wp(ja)) и С(усо) отно­
сительно критической точки (-1; 0).

§ 6.4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ
И ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ ЗВЕНЬЯМИ

Для систем, содержащих один или несколько трансцендентных зве­
ньев, например звеньев с запаздыванием,

Q(p)

где W^p) = W^p) — передаточная функция предельной САУ при
т = 0. При р=]ш №^ш) =
=—^^
Так как при
СО)
больших со модуль W (усо) мал, то годограф САУ с запаздыванием
закручивается вокруг нуля. Алгебраические критерии устойчивости
в обычной форме здесь непригодны, но есть их аналоги. Поэтому
удобнее всего КУ Найквиста: САУ с запаздыванием устойчива, если
годограф W(j(o) не охватывает критическую точку (-1; 0) (первый
случай). Наличие запаздывания в САУ при больших т может приве­
сти САУ к потере устойчивости. Критическое время запаздывания
159

ткР =У/а)л,Фт(ы) = ф(ш)- шт. При сложной форме
АФХ ^кр может быть не­
сколько (рис. 6.10).
Системы с иррацио­
нальными звеньями имеют
Щ/р) = ад
%(р)=

где ц= /р . При р = уш

%(» =

Алгеб-

раические критерии здесь
также непригодны. Час­
тотные КУ применимы
аналогично вышерассмот­
ренным случаям, так как
принцип аргумента здесь
справедлив (р = ^2). Практически также более удобен КУ Найквиста.

Сравнение критериев устойчивости
1. Независимо от выбранного критерия результат по анализу ус­
тойчивости САУ должен быть один и тот же.
2. Прямое использование алгебраических критериев (в частности,
Рауса—Гурвица) целесообразно, если характеристическое уравнение
САУ имеет порядок n<^.
3. Критерий Рауса—Гурвица и особенно критерий Льенара—
Шипара в алгоритмической форме целесообразны до л < 15 при ис­
пользовании ППП и ЭВМ.
4. Критерий Михайлова целесообразен при исследовании сложных
многоконтурных САУ, когда необходимо выяснить влияние изменения
структуры САУ и средств стабилизации на ее устойчивость.
5. Критерий Найквиста (обычная или инверсная форма) целесо­
образно применять при исследовании сложных САУ. Этот крите­
рий единственно применим, когда часть (или все) характеристик от­
дельных элементов САУ заданы экспериментально. Он применим
при анализе САУ, описываемой аналитически передаточными функ­
циями, отличными от дробно-рациональных функций: иррациональ­
ных, показательных, трансцендентных — с запаздыванием и др.
6. КУ Михайлова и Найквиста графически наглядны и позволяют
оценивать запасы устойчивости; особенно здесь целесообразен КУ
Найквиста, так как круг вопросов, исследуемых этим КУ по устой­
чивости, шире.
160

§ 6.5. ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ САУ

Критерии устойчивости дают возможность при заданных пара­
метрах САУ судить только о том, устойчива САУ или нет. Они поз­
воляют также проследить влияние некоторых параметров при их из­
менении на устойчивость САУ и, в частности, определить предель­
ные параметры £кр, ткр.
Для исследования влияния различных параметров САУ на ее
устойчивость разработаны специальные методы, основанные на ана­
лизе перемещения корней характеристического уравнения в комплекс­
ной плоскости и построения корневых годографов или областей устой­
чивости САУ в пространстве параметров САУ (коэффициентов харак­
теристического уравнения).
Метод корневого годографа. Корневым годографом называется
геометрическое место корней характеристического уравнения при
изменении одного из параметров САУ (обычно &р) от нуля до °°.
Характеристическое уравнение замкнутых САУ представляется
в виде О (р) = Н(р) + vQ (р) = 0, где ѵ — переменный параметр САУ
(к или Т). Далее, изменяя 0 < ѵ < °°, необходимо найти переме­
щение всех «-корней характеристического уравнения. Другие парамет­
ры звеньев САУ заданы и определяются из физических и конструк­
тивных соображений конкретной реализации САУ.
Если при изменении ѵ от 0 до “ при определенном ѵ корень
характеристического уравнения попадает на мнимую ось, САУ будет
на границе устойчивости; при тех ѵ, когда часть корней переходит
слева направо мнимую ось, САУ будет неустойчива. Предложен ряд
правил, которыми пользуются при исследовании влияния параметров
САУ на ее устойчивость методом корневого годографа.
Метод корневого годографа в силу некоторой сложности и мень­
шей наглядности получил меньшее распространение (практически
им пользуются редко). Более широкое распространение получил ме­
тод /)-разбиения.
Определение и построение областей устойчивости САУ. В общем
случае рассматривается задача о разбиении пространства парамет­
ров (коэффициентов) на области устойчивости САУ. Знание облас­
тей устойчивости в пространстве параметров дает возможность раци­
онального их выбора в процессе проектирования САУ.
Наиболее ценным практическим результатом является построение
областей устойчивости в плоскости каких-либо двух параметров, вли­
яние которых на устойчивость САУ исследуется.
Впервые область устойчивости системы прямого действия в плос­
кости двух коэффициентов уравнения была построена русским уче­
ным И. А. Вышнеградским (1876 г.). Иногда ее называют критерием
Вышнеградского для характеристического уравнения 3-го порядка:

аор + а^~+а2Р + а3-О
11 А. А. Ерофеев

161

или в его нормированном виде (форме Вышнеградского):
2^ л- Аг2 + йг + 1 = О,

где г = р^/а^ = — — новая

, а}
геометрический корень; А=

переменная;
Йл

“з

01

й0 = ^а^а^ — средне-

а2
- .—_
Ѵ«0“з

о _ а2 ^0 _

= .
; л^

“>

—па_

раметры Вышнеградского.
Согласно критерию Гурвица, при Л > 0 и 5 > 0 условие устойчиво­
сти АВ>\ определяется из определителя
А
Д3 =

1
1

О

0!

В

О = Д2.

Л

Г

Вышнеградский вывел его за 20 лет до Гурвица и раньше появле­
ния КУ Рауса. На плоскости параметров А и В (рис. 6.11) наносится
граница устойчивости АВ = і — это есть равнобокая гипербола Выш­
неградского с осями координат в качестве асимптот; гипербола — изоб­
ражение мнимой оси в плоскости А и В. Область устойчиости САУ
лежит выше этой кривой. Вышнеградский построил и другие кривые
для определения вида (характера) переходного процесса: I — область,
соответствующая апериодическому затухающему процессу; II — мо­
нотонный затухающий процесс колебательного характера; III — пе­
риодический затухающий процесс; IV — неустойчивый переходной
процесс.
Впоследствии диаграмма Вышнеградского была дополнена дру­
гими линиями: степени затухания, интенсивности процессов и т. д.
Недостаток критерия Вышнеградского — параметры САУ {к или Т)
в неявном виде входят в выражения коэффициентов А п В, следователь­
но, чтобы определить поведение САУ при изменении одного или двух
параметров, требуется довольно трудоем­
кая работа. Кроме того, ограниченность
в рассмотрении САУ — уравнения САУ
должны быть не выше 3-го порядка. На­
помним, что для уравнения 2-го порядка
/

2

р2+ахр + а2 =0 (д2 =-0,5^1 ±^"«2 ) в

Рис. 6.11
162

плоскости а{, а2 область устойчивости —
первый квадрант (а{ >0, а2 > 0).
Метод £>-разбиений. Обычно пользу­
ются методом Р-разбиений, который дает
непосредственно общее решение вопросов

о влияни и изменения данных параметров на устойчивость САУ и обес­
печивает возможность определения ряда качественных показателей.
При этом используется характеристическое уравнение замкнутой САУ
в форме: И(р) = рп+а1рп~[ + ...+ап =0; Яо=1. При р = № И^еХ) =
= (7со)" +а1(»"“1 + ...+ап = ^(со, ѵь ѵ2) + ;Г(ю, ѵь ѵ2), где ѵь ѵ2 —
исследуемые параметры.
Построение области устойчивости в плоскости одного комплексно­
го параметра. Требуется выяснить влияние параметра ѵ (к или Т),
например параметра регулятора, на устойчивость САУ. Характерис­
тическое уравнение САУ записывается в виде:

^(р) = R(p) + ^Q(p) = ^
куда ѵ входит линейно. При р = р£к

£>(7(0) = А(усо) + vQU^) = 0, откуда ѵ = - ^ ^ = АҐ(со) + JY(со).
Изменяя со от 0 до оо и находя X, У, построим границу £>-разбиения (рис. 6.12). Практически интересуются £)-разбиением не на всей
плоскости, а лишь на ее действительной оси, отвечающей действитель­
ным значениям ѵ (к или Г). Граница £)-разбиения — геометрическое
расположение мнимой оси в плоскости одного параметра. Переход
через границу 7)-разбиения означает переход через мнимую ось. Так
как ѵ вещественное число, то нас интересует отрезок устойчивости
на вещественной оси; хотя ѵ - X(со) + ]У (со) и может рассматривать­
ся во всей области комплексного параметра. Это используется в нели­
нейных САУ.
Кривая £>-разбиения делит плоскость на ряд областей, например
на пять: 1-У (см. рис. 6.12, 6).
Штриховка кривой £)-разбиения производится слева при изменении
со от -оо до +<», что соответствует положению мнимой оси в коорди­
натной системе и расположению левых устойчивых корней. Отсюда
очевидно, что претендент на область устойчивости — область /, ок­
руженная штриховкой. Отрезок устойчивости [а, Ь] — область изме­
нения ѵ для устойчивой САУ (рис. 6.12, а, б). Для проверки области
устойчивости / берется любое значение ѵ в этой области и, пользуясь
одним из критериев, осуществляется проверка устойчивости САУ. Если
при данном ѵ САУ устойчива, то область I— область устойчивости.
Здесь (см. рис. 6.12) О(р) = (1 + р7])(1 + рГ2)(1 + рТ3) + к =0; ^Кр =
= (7^ + Т2 + Г3) 1
1
1 -1 = Х(й)в). Область/И (рис. 6.12, £) так
^2

7

же является областью устойчивости (отрезок устойчивости [с, 7|).
Обычно задачу 7)-разбиения решают с помощью вычислительных
алгоритмов на ЭВМ, применяя ППП.
11*

163

Построение области устойчивости в плоскости двух параметров.
При проектировании САУ часто требуется выявить влияние на устой­
чивость не одного, а двух параметров, например т и ѵ (к и Т). Пред­
положим, что эти параметры входят также линейно в характеристи­
ческое уравнение замкнутой САУ.
Порядок построения кривой Д-разбиения следующий.
Выделяют составляющие характеристического уравнения САУ
Р(р) = R(p) + Q(p) = 0, зависящие от двух параметров:
тК(р) + ^(р) + Р(р)^0.

При р = уо)
тЯ(усо) + vQ(jo)) + Р()ы) = С/(ш) + уК(щ) = 0,
где

А(усо) = /?!((£)) +ул2(со);

2(усо) = ЙС^ + у^Ссо);

Р(]ы) = Р^ +

Здесь
6г(со) = тЛ1((о) + ѵ21(о)) + Р1((о) = 0; Г(ю) = тй2(со) + ѵ22(ю) +
+Р2(м) = 0 — соответственно вещественная и мнимая части. В резуль­
тате получают два параметрических уравнения с двумя неизвест­
ными т и ѵ. Решая эти уравнения относительно т и ѵ, получим
т = Л! / А; ѵ = Д2 / А, где А — главный определитель;

4 = ^ Й(й)
|я2(и) й(и|
Л'=! р
Г/2
л
'*1
Д2=і
1*2

164

ІИ

м’

пі = -®+^0'
02!
-^і'
'
~Р2\

-Р1Р2+ Я2Р}.

По этим уравнениям для каждого со определяют т и ѵ; исключая
промежуточный параметр со, строят границу £>-разбиения в плоско­
сти двух параметров т и ѵ как функцию т =/(ѵ) (рис. 6.13). Здесь Л,
Дь Д2 — нечетные непрерывные функции со, так как вещественные
части R, Q, Р — четные функции, а мнимые R, Q, Р — нечетные.
Отсюда следует, что т и ѵ — четные функции со, т. е. можно ограни­
читься рассмотрением положительных значений частот 0 < со < °°.
Особые случаи. Особые прямые (О П). Если при некоторых
со Д = 0, а Д] ^ 0 и Д2 /0, то точка границы/)-разбиения в плоско­
сти т и ѵ уходит в оо. Знак у Д может измениться только при со = О
и со = оо Если при некоторых сон Р = 0 (например, при со = О всегда
Р = 0) и Д]=Д2=0 (если Д)=0, то и Д2=0), тот иѵ будут
неопределенными. Параметрические уравнения становятся эквива­
лентными и определяют собой прямую в плоскости Т, V, т. е. для
этого значения ши (исключительная частота) в плоскости т иѵ по­
лучим не точку, а прямую, называемую особой прямой. При этом урав­
нения линейно зависят друг от друга и одно уравнение вытекает из
другого: т = -[ѵ2і(со) + /і(о))] Я|(со) =-[ѵ22(со) + ^2(со)] ^
Особые
прямые (так называемые концевые) обычно отвечают значениям со = 0
и со = ±°°. В этом случае а^ и ап зависят от т иѵ, т. е. ^^^(т, ѵ)
и ап=ап(т,ѵ) и для получения уравнений особых прямых необходимо
Оо и ап приравнять нулю (ап =0 — дает особую прямую при со = 0,
а Од =0 —для (і) = “).
Правила штриховки границы И-разбиения. Граница £)-разбиения
в плоскости т и ѵ штрихуется слева при со -> % если Д > 0, и справа,
если Д < 0. Так как граница Р-разбиения для + оо и - оо совпадает (т и ѵ
четные функции со, а Д — нечетная функция), то она штрихуется
дважды с одной и той же стороны (рис. 6.13, а).
Штриховка концевых особых прямых одинарная и производится
так, чтобы вблизи точки сопряжения прямой и кривой заштрихо­
ванные и незаштрихованные стороны были направлены друг к другу
(рис. 6.13, а, б, в). Особые прямые служат дополнительной границей
определения области устойчивости.
Концевые ОП соответствуют апериодической границе устойчиво­
сти. Кроме концевых существуют промежуточные ОП (при со ^ О
и со / оо), когда пара комплексных корней попадает на границу устой­
чивости (обычно для САУ с и > 4). Эти ОП, таким образом, соответ­
ствуют колебательной границе устойчивости и имеют двойную
штриховку. Так, если при со / 0 Д] = 0, а Д переходит через 0 и меняет
знак (весьма редкий случай), то появляется особая прямая, штрихуемая
по вышеизложенному правилу, но двойной штриховкой (рис. 6.13, г).
Если при со ^ 0 Д] = 0, аД пройдя через 0, не меняет знак, то особая
прямая не штрихуется и выбрасывается из рассмотрения, т. е. особая
прямая не является дополнительной границей устойчивости и вычерчива­
нию не подлежит (рис. 6.13, ф. Здесь на рис. 6.13, Э ориентация штрихов­
ки ОП показана условно исходя из общих положений о штриховке ОП.
165

166

При рассмотрении границы Д-разбиения по двум параметрам следует
правильно ориентировать оси. Для приведенной выше формы записи урав­
нений, когда т стоит на первом месте, а ѵ на втором (1 — вещественное
уравнение, 2 — мнимое уравнение)! откладывается на оси абсцисс, а ѵ
— по оси ординат. В случае перемены местами осейт иѵ соответственно
меняется ориентация штриховки относительно правой и левой сторон на
противоположную.
Аналогично, как и при Р-разбиении в плоскости одного комплекс­
ного параметра, найденные претенденты на область устойчивости
должны проверяться (область I: ѵь ть рис. 6.13, а). Для этого в каж­
дой из претендентов на область устойчивости берется значение пара­
метра и одним из известных КУ проверяется САУ на устойчивость.
Если при выбранном параметре САУ устойчива, то, следовательно,
эта область будет областью устойчивости.
Метод Р-разбиения требует строгого соблюдения формальных
процедур метода, иначе его применение может привести к грубым
ошибкам.

§ 6.6. ОБОБЩЕННЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Метод Р-разбиения считается обобщенным критерием устойчи­
вости САУ, так как все рассмотренные ранее критерии устойчивости
могут быть доказаны исходя из представления о границе Р-разби­
ения. Годограф Михайлова и АФХ разомкнутой САУ (в рамках
КУ Найквиста) можно рассматривать как границы Р-разбиения по
специально подобранным параметрам: Р()ш) = Х и Л(7со)/2(усо) = X'.
Таким образом, метод Р-разбиения оценивается как общий метод
исследования устойчивости САУ, позволяющий установить связь
между различными критериями: Рауса—Гурвица, Михайлова, Найк­
виста и др.
Так, по критерию Гурвица при Д„ = ап\п_{ =0 в САУ определяют­
ся границы устойчивости:
А„ч = 0н р, = ±)Р,; ап = 0 н> р/ = 0; ^ = 0 н рк = оо.

Эти уравнения охватывают три случая попадания САУ на границу
устойчивости, возможные пути перехода корня из левой полуплос­
кости (с-а,) в правую (с+а(). Первый случай соответствует
Д„_і(т, ѵ) = 0 и превращению пары комплексных корней в чисто мни­
мые ±)Р| (колебательная граница устойчивости — в САУ незату­
хающие колебания); второй — соответствует превращению одного из
действительных корней в нулевой (переход его в начало координат);
третий — превращению этого корня в бесконечный корень (переход
его из левой полуплоскости в бесконечность). Два последних случая
соответствуют переходу корня из левой полуплоскости в правую без
167

превращения в мнимый корень (через начало координат или беско­
нечность). При переходе через колебательную границу устойчивости
знак у определителя АйЧ меняется на противоположный. Здесь варь­
ируемые параметры тиѵ входят в выражения для Аи_[(т,ѵ), а„(т,ѵ)
и ^(т, ѵ). При этом границам апериодической устойчивости соот­
ветствуют уравнения ^(т, ѵ) = О и ал(т, ѵ) = 0; корни на этих границах
равны ± оо и 0. Здесь неустойчивость САУ обусловливается экспоненци­
альными членами, изменяющимися апериодически. Критерий Рауса—Гур­
вица, как уже отмечалось, хорошо программируется, так как он сводится
к простым арифметическим операциям (хотя и многочисленным).
По критерию Михайлова система находится на границе устойчи­
вости, если годограф D(jw) = і/(ш) + j^o) проходит через начало ко­
ординат. Уравнения границы устойчивости в пространстве варьиру­
емых параметров тиѵ имеют вид:
С(т, ѵ, щ) = 0; Г(т, ѵ, со) = О.

Эти уравнения также включают три названных выше случая по­
падания САУ на границу устойчивости (нулевой корень соответ­
ствует со = О; бесконечный — со = »), Исключая из этих уравнений
параметр со, получают уравнение границы устойчивости, связываю­
щее входящие в выражения С(т, ѵ, со) и И(т, ѵ, со) варьируемые пара­
метры тиѵ.
По критерию Найквиста уравнения, определяющие границу устой­
чивости, имеют вид:
і/(т, ѵ, со) = -1; И(т, ѵ, со) = 0,

где С и И — действительная и мнимая части ^(jw)- Эти уравнения
соответствуют прохождению АФХ ^рОш) через критическую точку
(-1; 0) и приводят к таким же параметрическим уравнениям, что и урав­
нения, получаемые из критерия Михайлова.
Следует отметить, что в принципе при Р-разбиении может не ока­
заться области устойчивости. Это означает, что ни при каких т САУ
не может быть устойчива, т. е. по отношению к ним (т, ѵ) САУ струк­
турно неустойчива. Структурно неустойчивая система не может быть
сделана устойчивой путем изменения значений ее параметров. Для по­
лучения устойчивости в этом случае необходимо изменить структур­
ную схему САУ.
Решение уравнений относительно т и ѵ в общем виде возможно,
если тиѵ входят в уравнения линейно. В остальных случаях метод
решения зависит от типа нелинейности уравнений.
При трех варьируемых параметрах область устойчивости получается
трехмерной и представляет собой объем устойчивости САУ, как показано
на рис. 6.14, где т, ѵ и у — варьируемые параметры. Граница устойчиво­
сти при этом представляет собой трехмерную поверхность; при т, ѵ или
у = const (z) — плоскость двух параметров. В общем случае п варьируемых
168

параметров (коэффициентов) области
устойчивости представляют собой мно­
гомерный объем (или гиперповерх­
ность) в многомерном «-мерном пространстве. Совокупность коэффициен­
тов а, = (а^,ап) геометрически отража­
ет точку «-мерного пространства с ося­
ми координат а^ах, ...,ап; каждой та­
кой точке соответствуют определенные
значения корней р, ..., рп. Необходи­
мым условием устойчивости для всех
критериев является положительность
всех коэффициентов а, характеристи­
ческого уравнения.
Для САУ высокого порядка расчет
целесообразно проводить с использованием ЭВМ; разработаны спе­
циальные новые методы в теории управления, алгоритмы и ППП,
рассчитанные на ЭВМ. Вычислительные процедуры численного ана­
лиза устойчивости САУ в области возможных значений параметров
организуются с помощью специальных алгоритмов и построения ап­
проксимирующей сетки. Области устойчивости САУ получают объеди­
нением в одно множество точек, в которых САУ устойчива, при задан­
ных диапазонах изменения параметров кт< к< км и Тт<Т<Тм .
При этом алгоритмы могут базироваться на различных КУ, в том числе
и на обобщенном КУ Р-разбиения.

Глава 7. КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

§ 7.1. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ САУ

Устойчивость САУ является необходимым, но не достаточным ус­
ловием эффективной реализации САУ. Не менее важное значение имеет
качество переходных процессов, т. е. характер их протекания, в част­
ности, длительность, колебательность, перерегулирование и др.
К процессам управления в САУ обычно предъявляют три основ­
ных требования: по устойчивости, по точности в установившихся ста­
тических и динамических режимах и по качеству переходных процес­
сов. Точность как оценка качества в установившихся режимах опре­
деляется при рассмотрении стационарных режимов САУ.
САУ как динамическая система может находиться в одном из
двух режимов — стационарном (установившемся) и переходном. Су­
ществуют два вида стационарных режимов САУ — статический и ди­
намический.
169

Стационарный статический режим (статика) — это режим, при кото­
ром система находится в состоянии покоя; все внешние воздействия и
параметры самой системы не меняются во времени.
Стационарный динамический режим — когда внешние воздействия
изменяются по какому-либо установившемуся закону; система при­
ходит в режим установившегося вынужденного движения. При этом
стационарный динамический детерминированный режим — это ре­
жим, при котором на систему действует детерминированное (регуляр­
ное) стационарное воздействие (например, установившийся моногар­
монический режим). Стационарный динамический случайный режим
является установившимся в статистическом смысле; приложенные к
системе воздействия представляют собой стационарные случайные
функции (см. гл. 5).
Стационарный статический режим (статика) САУ. Уравнение стати­
ки замкнутой САУ определяется из уравнения динамики САУ при р = (У.
г 1’
і+и'^о)^

Лт.з -и/

где _}ст — приращение выходной величины САУ, вызванное прира­
щением внешнего воздействия /ст (рис. 7.1).
В случае статической системы
^(0) = ^ = -^

и

*

или

*р = \ ^(О)^/,

ап
.Уст. 3 —

И

>

Ут’

где к/уТст = Уст. р = Ар — отклонение в разомкнутой САУ (рис. 7.1, а, б,
в, где / — статическая САУ, 2 — астатическая). Тогда требуемое значе­
ние кр, по условиям заданного отклонения А3 — точности замкнутой
САУ, равно:
Уст.р

,

і

Ар

~Д

р“

’ ^Р = Ар/Л3(^р »1).

Лет. з

В замкнутой САУ статическое отклонение у от воздействия /
уменьшается в (1 + ^р) раз. Например, при кр =99 — в 100 раз (если
Ар = 30%, то Д3=0,3% при изменении возмущения / на 100%).
Отношение
Лтз = Аз =

Г

Уст

у

Уст

= к£у = §
кр
1

5

является мерой статической точности САУ и называется етатизмом.
170

Для следящих систем статическая ошибка слежения за х:

"

1
1 + ^(0) "

1
l + tp "

-^ст :

Для случая нескольких внешних воздействий суммарное статическое
отклонение
т

fi У Лет

3=
к

где 3Ст, = /

1+^

m

= Рст' ^ст ’

у

— статизм системы по возмущению fj.

§ 7.2. СПОСОБЫ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ САУ

Статическая зависимость выходной величины от внешних воздей­
ствий обычно является нежелательной, поскольку создает погреш­
ность управления. Поэтому статизм САУ необходимо уменьшать.
171

Статическое отклонение, как было отмечено, уменьшается при увели­
чении коэффициента передачи САУ. Однако для полного устранения
статического отклонения требуется увеличивать коэффициент пере­
дачи ДО бесконечности (£р —» оо).
Другие пути полного устранения статического отклонения в САУ при
конечном значении коэффициента передачи сводятся к следующему.
Статическое отклонение устз будет в САУ отсутствовать при на­
личии /ст, еслиприр = О выражение ^(р) также обратится в нуль.
Принципиально это возможно, если Жр(0) = <» или Иу7(0)=0.
Равенство ^(0) = оо реализуется введением в САУ вне Wfy{p)
интегрирующего звена, т. е. переходом к астатической САУ;
Иу- (О) = 0 реализуется введением компенсирующего воздействия по
возмущению (инвариантного управления).
При введении в статическую САУ интегрирующего звена вне
участка системы от места приложения / до у, статическое откло­
нение ^стз =0 из-за наличия в знаменателе ^р(р) множителя р от

функции к/р интегрирующего звена, а ^р(р)^ _0 = °°САУ может приобрести астатические свойства благодаря наличию
астатического управляющего устройства, содержащего интегрирую­
щее звено, или астатического объекта управления.
Второй путь устранения статического отклонения САУ сводится к по­
лучению ^^(0) = 0 применением управления по возмущению — ком­
пенсация возмущений (методы теории инвариантности). При этом на ос­
нове измерения внешнего возмущения / управляющее устройство осу­
ществляет такое воздействие на объект управления, чтобы компенси­
ровать влияние данного возмущения на выходную величину.
Схема САУ с системой компенсации возмущения приведена на
рис. 7.2, а.
Условие компенсации влияния /ст на Лт
Лт = (к/у + к/МЛі = 0

при

Выражение для куи определяет коэффициент передачи управляю­
щего устройства в зависимости от параметров объекта управления.
В целом для замкнутой САУ с системой компенсации возмущения
(рис. 7.2, б)
иу/0)
1 + ^Р(О)

где И^/у(0) = к/у + к/ик0. При к/к=-к/у/к^ ^(0) = 0 и замкну­
тая САУ инвариантна по отношению к влиянию возмущения /. Сле­
дует отметить, что компенсация ведется относительно определенного
(измеренного) У и не делает систему астатической, так как существу172

Рис. 7.2

ют другие нескомпенсированные возмущения, создающие некоторое
статическое отклонение Лт.з- Хотя суммарное статическое отклоне-

резко уменьшается (примерно на порядок), так

ние уст = 1=1
1 + ^р

как осуществляют компенсацию наиболее сильно влияющего (основ­
ного) возмущения. В целом установившееся статическое отклонение
САУ (статическая ошибка) определяется по формуле:

У‘"

“

1 + И',(/>):ИІ"+1 + И',(р)!

кху

ст.з+ст.3 - 1 + ^ *СТ + 1 + ^ Лет-

Первое слагаемое здесь дает составляющую ошибки, определяемую
управляющим воздействием.
Составляющую у'тз всегда можно свести к нулю либо путем ис­
пользования неединичной обратной связи, либо путем масштабирова­
ния управляющего воздействия (или регулирующей величины). В ас­

татических САУ при

л—>0

^(р) —> оо
Р

и Устз->0. Неединичная
173

обратная связь обычно применяется для уменьшения ошибки, выз­
ванной х в замкнутых САУ.

Если

у=|У (0)х =---- ------------ х,

то

у=х

при

ІГзх(0) =

1+^п^ос(0)

= —~-— = 1; тогда необходимо, чтобы кос = (кп ~^)/кп1 + кп кос
Действие неединичной обратной связи наиболее эффективно в стати­
ческой системе, так как простым изменением кос можно получить
Кт.з = 0, т- е- «астатизм» системы относительно управляющего воз­
действия. При этом значению задающего воздействия х точно соот­
ветствует регулируемая величина на выходе системы у. Таким образом,
элементарным приемом — уменьшением кос на незначительную вели­
чину по сравнению с единицей (при кп =100 кос = 0,99) можно в САУ
получить астатизм первого порядка относительно х, что означает от­
сутствие статической ошибки и равенство нулю первого коэффициен­
та ошибки с0 = 0.
Условие №зх(р) = і теоретически дает возможность построения
САУ полностью инвариантной по отношению к управляющему воз­
действию с дополнительным введением обратной связи по производ­
ным от регулируемой величины, т. е.
= а0 - (л Р + 7ІР1 + т\рЪ + • • •)

ІКос (/>) =

и^пСр)

— разложение в ряд по степеням. Однако реализация полной инвари­
антности по этому условию практически невозможна, так как невозмож­
но ТОЧНО ввести высшие производные, входящие В І^ос^), и даже при вы­
полнении этого условия САУ будет находиться на границе устойчивости.
Таким образом, неединичная обратная связь в статиче-ской системе дает
Хт. з г ^ и поэтому их используют лишь как средство повышения точно­
сти замкнутой САУ.
Случай ІѴзх(р) = 1, когда у = х является предельным по жесткости
требований. Такую САУ нельзя физически реализовать, так как в ней
должны действовать системы неограниченно большой мощности;
САУ также не осуществляет фильтрацию помех. Поэтому реально
№зх(р) должна стремиться к некоторой оптимальной 1Гзопт(р), оп­
ределяемой в соответствии с тем или иным критерием.

Рис. 7.3

174

Рис. 7.4

Аналогичные результаты дает в статической системе масштабирование
по х или у (рис. 7.3). При включении масштабирующего устрой^р+1
*р 1 + ^р
х, т. е. аналогично х = у .
ства т= —
, тогда уку
1 + *р к?
Такое масштабирование делается практически во всех статитических САУ, что позволяет рассматривать их по отношению к управля­
ющему воздействию как «астатические». Следует отметить, что при
этом Zcp должно быть const (t); если кр нестабилен, то в САУ
имеет место статическая ошибка уст=

2 хст, гДе &к/к —относик
тельное изменение кр по сравнению с расчетным (коэффициент ошибки
с0 = &к/к2 * 0).
Формально при исследованиях САУ всегда можно перейти от не­
единичной обратной связи к единичной и наоборот.
Схемы (рис.7.4) должны быть эквивалентны, поэтому: И^зі(/0 =

_

Ж^
1+0

О=

Следует отметить, что проблема получения в САУ высокой точно-сти
является единой в смысле получения в САУ требуемых качественных
показателей — запасов устойчивости, быстродействия. Следовательно, эту
проблему нельзя решать отдельно в отрыве от других. Поэтому другие
способы повышения точности САУ будут рассмотрены позднее, после
изучения вопросов качества процессов в САУ.
Отметим также, что реально ^"т никогда не обращается в нуль,
даже при использовании САУ с высоким порядком астатизма.
Использование принципа управления по возмущению также обра­
щает в нуль часть слагаемых, находящихся под знаком суммы в выра­
жении для уст 3.
175

§ 7.3. СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ РЕЖИМЫ САУ

Стационарные (установившиеся) динамические режимы, как уже
отмечалось, возникают при приложении к САУ внешних воздействий,
изменяющихся во времени по определенному установившемуся зако­
ну, например моногармонического воздействия и воздействий, изме­
няющихся с постоянной производной — скоростью или ускорением.
Мерой динамической точности САУ служит вынужденная составля­
ющая ошибки 8в(0 —ее максимальное 8ВМ или среднеквадратичное
значения:

1. Стационарный режим САУ при входном гармоническом воздей­
ствии: f(t) = /м COS (J)kt или g(t) = gM sin mkt приводит к тому, что
выходная величина системы у совершает вынужденные колебания:

у = ^Mcos((0^ + (p), где ?м(ю) = !^3/(7'w)|/M(w); (р = arg W^Qco).
Амплитуда и фаза колебаний у при этом определяются частотными
характеристиками замкнутой системы, т. е. в общем случае W3X (jco),
^^(усо), W3e(j(D). Соответственно динамическая ошибка САУ, напри­
мер, от задающего воздействия:
ЕД(/) = ЕМ(О))8ІП [СО/+ фЕ(іо)],
где

<PE(w) = argpr3E(»;

1^0)1 =
= 1 J , • ч
1
1 gM(co) Il + ^p(jw)|

- ^з(»|;

Ж3(» = Жр(>)/[1 + ИуС/со)].

Среднеквадратическая ошибка еск = 0,707ем(со). Малые значения
Ед(0 имеют место при И/ЗЕ(усо) —> 1, когда ^рО'о)!»!,
т. е.
ем(со) = §м(со)/'іГрОіо)!

Динамическая ошибка от У(0 определяется

аналогично с заменой И^ДЛ0)
176

на Wзf(ja)).

2. Стационарный динамический режим САУ при воздействии / или
g, изменяющихся с постоянной к-й производной: /уст

сіі
например, с постоянной скоростью у =р/ (когда/= V /), с постоянным
ускорением а - р2/ (когда / = а12/2) и т. д. Тогда

уст

/[1+^)]’

при р^О уусг->°°, когда WJy{^) = kfr ^(0) =/:р * О, т. е. т не­
прерывно возрастает.
Устранение установившегося отклонения Ууст при непрерывно
изменяющемся воздействии совпадает с условиями устранения уста­
новившегося отклонения в стационарном статическом режиме САУ.
Первый путь также связан с выбором Wp{p)y т. е. введением в САУ
интегрирующих звеньев, а второй — С выбором Wfv(p'), т. е. с
компенсацией ВЛИЯНИЯ возмущений. При ЭТОМ отклонение .Руст = О’
когда порядок астатизма САУ г > к, где к — порядок воздействия,
если ІѴ^у(р) не содержит интегрирующих звеньев (ууст = ^^’/уст при

г = к). Порядок астатизма САУ должен быть г+ /, т. е. увеличен на/, если
WАр) содержит/ интегрирующих звеньев.
Компенсация влияния возмущений, изменяющихся с постоянной
производной, достигается также путем применения управляющего
воздействия по возмущению и его производным. При этом в статичес­
кой САУ при возмущении /, изменяющемся с постоянной скоростью,
ууст = 0 обеспечивается использованием компенсирующих воздей­
ствий по этому возмущению и его первой производной: при возмуще­
нии, изменяющемся с постоянным ускорением, необходимо добавить
воздействие по второй производной и т. д.
В астатической САУ порядок производных от возмущения, кото­
рые должны компенсироваться управляющим устройством, увеличи­
вается в зависимости от порядка астатизма и количества интегриру­
ющих звеньев в передаточной функции №/у(р).
§ 7.4. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК В САУ

Для оценки точности САУ используется величина ошибки е в раз­
личных типовых режимах установившегося движения от действия раз­
личных управляющих или вомущающих воздействий, например:

х(1)

= [-^о +*[/ + ...

+ х//Р.]-^)

или
12 А. А. Ерофеев

177

*(р) =^о Р+ *1 /р2 + •••+•*/ / Рм •
Здесь x(t) = g(t)

или х(/) = /(/).

Изображение ошибки е(р) = W(p)^xk ~к+^ где W(р) — переда*=0
Р
точная функция ошибки от соответствующего воздействия; W (р) =
= ^„(/>1 либо W,f(p\
В общем случае связь между ошибкой и воздействием, например# (О
может быть определена через интеграл Дюамеля
Ед (0 = S (0 - / g (t ~ О ^д (т)Л,
о

где ѵрд (т) — импульсная переходная функция.
Вынужденная составляющая ошибки. Существует метод — метод
коэффициентов ошибок, по которому можно определить коэффи­
циенты ошибок с0,...,сп при типовых движениях САУ, в предположе­
нии с0,...,сп= const (/), что справедливо при сравнительно медленно ме­
няющихся# (г) или f(t).
Разлагая в степенной ряд, например, выражение
Ед(^) = ^ЗЕО)#= л Луч s(p)

по комплексному параметру р получим:
ед(/’) = CQ+ClP+ ^Р + ~Р +- +

g(pY

Разложение ошибки в ряд по производным от воздействия дает
возможность определить вынужденную составляющую ошибки (ори­
гинал изображения):

M0 = Q)#(0 + qg(0+у £(0 +.q#*^ '}(t) + kr =
2!
(г-1)!
= «В + У, 7, g“'('> + к„

где с0, q,...,^ —коэффициенты:

с0 = 1-J
ОО

0

уѵд(т)Л;

q=jwfl(T)^;
0

с2 = (-1)|т2и’д(т)б/т ; ... ; сгЛ = (-1)г-2|тг-1ѵѵд(т)<й;; kr —остаточный
о
о
член порядка п>г.
178

Если внешние воздействия изменяются медленно, то в этом выра­
жении число членов можно ограничить значением к^З + 5. Так как
^[И0] = ^(р)— связана с передаточной функцией САУ, то можно
записать разложение в ряд для № (р) при ^^0:
^(р)^с0+сір+ с2р + ...+ скр ,
2
к\

где

c0^W(p).p=0■,

_ dkW(p) \
Ск=

c}=dW(p)/dpp=Q;

c2^d2W(p)/dp2 р=0

* = 0Д2,....

Тогда, например, если
w(p) = wзt(p) = \-w^p'} = \-

1,,=

= 1-|ѵѵд(т)е ртй = |іѵЕД(т)е ^т,
о
о

то с0 = Ііт 1Узе(р) = [И^ДО)] или в общем случае ск =
р->0

dpk

і

А; = 0,1,2, ..., где ск — коэффициенты ошибок, полностью определя­
ющие зависимость вынужденной составляющей ошибки от структу­
ры САУ и ее параметров.
Аналогично можно записать и для возмущающего воздействия У(0
(если /(г) £ б/00) — плавная функция времени):
Є/« = ^/(/) + ч/(/) +... + с'-' /'-'>(/) + к’,
(г-1)!

И определить 4)

dW.f^

И т. д.

Таким образом, оригинал для установившейся ошибки дает основную формулу метода коэффициентов ошибок:
^) .с2 d2g(t}
Ск <Ік ^
£пв(0 = со^(О
+
с
і
+
п
+...+
0
1 dt
2! dt2
к'- -dtk
12*

179

1

где Со, Сь с2, ...,ск — коэффициенты ошибок. Здесь с0 =

1

коэффициент ошибки по положению в установившемся режиме: с0 О
только в статических САУ и в том случае, если не приняты меры по
ее устранению (например, посредством масштабирования или использованием неединичной обратной связи). В САУ с г = 1 с0 = О,
^кѵ = QV —добротность САУ по скорости); в САУ с г = 2
2
с0 = С[ = 0, а С2 “
( ка = Qa — добротность САУ по ускорению)

£

А

а

и т. д. Здесь сх — характеризует ошибку движения с постоянной скоростыо, с2 — с постоянным ускорением. При исследовании ошибки
САУ от / принципиально можно получить все коэффициенты ошибок равными нулю при г любого порядка. Астатизму по g (?) может
соответствовать ев по/(см. формулу для Е/(0 и наоборот).
Проблема повышения точности САУ связана с проблемой изыс­
кания способов, позволяющих установить значение коэффициентов
ошибок и сделать часть из них равными нулю (или все, в зависимости
от цели функционирования САУ).
Значения коэффициентов ошибок определяются разложением в ряд
Тейлора соответствующих выражений от передаточной функции
замкнутой САУ по ошибке: ск =

^зе(р) =

а^(р)

Так, если

‘Ірк

I р=0

1
_ьтРт +
Ь — Со+^р+^р
1
2
+
і+^р(р) апр +... + О0
1
і
1
к
+ -+.^Р +... = Х.]скР ,
'•
к=0К'

то

С - 'У
«о
к
кі
Ьк-^гСк-г ;
с0 -

1

(А -«ісо);

2 „

^-о

(^-«2со-«ісі);

С2 =

«о

при

аг =0 при г>п.

«о

Для статической САУ
к_/у_

Ск =

«о

«о =1 + £р

и

1

1

С0я

с0/ -

^р

р
---- (С»1). Косвенной оценкой точности САУ является
кг

1 + ^р
добротность САУ: по скорости Qv - кѵ =

ѵ

Туст

- Р^ - ^р
Тек

к

1

где

/у

Тск — дополнительная скоростная (кинетическая) ошибка в режиме
САУ с ѵ = соп5І(/)
180

по ускорению

Qa = ка
^уст

где

кfУ -С -

Ту С К

Лк — допол­

нительная ошибка в режиме САУ с я = const (7). Используя кѵ, ка,
п\
можно определить коэффициенты ошибок, например, с ка: сп= — ,

с2 =

тогда

2

; с3 =

6

; с4 =

кц

^а

24

Г

кц

\

.

а=
t

п А

Добротность САУ

J

пропорциональна кр (см. формулы для Qv и Qa ). Обычно коэффи­
циенты ошибок не определяют более с4 , так как ск > с4 практичес­
ки не оказывает влияния на точность САУ и их не учитывают.
Пример. Пусть
Если

R(p) = kp. а

Следовательно,
-2"' +

WА р) = R^^
Р
PQ(P)

1
=
pQ{p)
=pQ(p)
l + H^)
R(p) + pQ(p)
D(p)'
D(p) = kp + pQ(p) = a2p3 +a}p2 +p+kp.

тогда W (р) =

Q(p) = a2p2+aip + l,

to

го = о (Л=°); сг,' kri-ao=^P); c2-г (аг. );
кР кР
кР

1

Здесь

£„(/) =

1
'’о+я

если

' + ^1-

к

сз-, ^а2~
кР

g(t) = So + ѵоО +

Кр

п
+ аГІ2 (g(t) = vQ+ak g = a). Так как обычно ап н JJ 1] или ^ Th т0 Cf. тем мень1=1

—>0 ). Так, если 2(р) = (1 +
кр
+1]р)(\ + Т2р), то а2=ТіТ2, а а{=Т{ + Т2 . Здесь размерность у ц—И, у с2 —к2]-

ше, чем меньше Tj и больше С (при С—><»,

ск =

§ 7.5. КАЧЕСТВО ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В САУ

Качественные показатели (качество) переходных процессов в САУ
обычно рассматриваются на основе анализа переходных процессов,
вызванных внешним воздействием.
В случае произвольного внешнего воздействия переходной процесс
у (/) в САУ представляет собой решение уравнения

О{р)у(1) = М(р)Рі)
и имеет вид
У(0 = Лст(0 + ЛЙ = Лст(0 + Хс,еЛ'

1=1

Качество переходного процесса в целом зависит как от собствен­
ных свойств системы, так и от внешнего воздействия (величины, мес­
та его приложения, характера изменения в о времени). Последнее оп181

ределяет правую часть уравнения. Качество переходного процесса за­
висит также от начальных условий, определяющих состояние системы
в момент приложения воздействия (изменение постоянных интегриро­
вания с,). Следовательно, переходной процесс при одном и том же
воздействии может в широких пределах изменять свои показатели при
вариации начальных условий (например, при нулевых начальных ус­
ловиях — быть монотонным; при других — существенно колеба­
тельным).
Поэтому при оценке качественных показателей переходных про­
цессов в САУ необходимо всегда оговаривать воздействие и началь­
ные условия.
Обычно качество переходных процессов оценивают для ступенча­
того воздействия (при нулевых начальных условиях) в виде единич­
ного скачка 01(/) или импульса 5 (?) (рис. 7.5, а, б). Здесь харак­
теристики у (t) соответствуют внешнему воздействию в виде измене­
ния задающего воздействия (а) и в виде изменения возмущения (б);
на рис. 7.5, в — соответствуют изменению динамической ошибки
^д(0 = ^(^“^уст = ^(0_ ^(°°)- Кривые 1,2,3 отражают варианты
протекания переходного процесса: 7 — колебательный; 2 — аперио­
дический; 3 — монотонный. Выходная величина у (t) САУ по окон­
чании переходного процесса управления (рис. 7.5, а) получает не­
которое приращение Уст
Переходные процессы (ПП) численно характеризуются следую­
щими прямыми показателями качества, определяемыми непосред­
ственно по кривым h(f) или w(t), полученным экспериментально или
расчетным путем, где w(t) — импульсная переходная характеристика
(функция веса); h (t) — переходная характекристика.
1. Время переходного процесса /п п или время регулирования /р.
Оно характеризует быстродействие системы и определяется как вре­
мя от начала переходного процесса до момента, когда отклонение
выходной величины становится близким к установившемуся значе­
нию с заданной точностью S, т. е. ХГНХ00)!-$ при />/р. Обыч­
но в качестве 8 берут 5%-ное отклонение от у(°о) = ууст =
= lim h(t) = lim р W3(p)/p = Ж3(0).
Г—>°o

p—>0

2. Перерегулирование о % или максимальное отклонение у (/) в пере­
ходной период. У переходных процессов, вызванных изменением за­
дающего воздействия g(/)=ol(f) (рис.7.5, а), максимальное отклонение
определяется относительно нового установившегося значения у^:
ст =

юо% = ~м 3
^уст

! 00% =

100%.
^уст

Перерегулирование характеризует склонность САУ к колебаниям,
а следовательно, и запас устойчивости САУ. Обычно считают, что
запас устойчивости САУ является достаточным, если ст <10-^30%;
182

183

иногда требуется, чтобы переходной процесс был монотонным (ст = 0). В
реальных устойчивых САУ может достигать 50 -г- 70%.
У переходных процессов, вызванных возмущением (рис. 7.5, б),
максимальное отклонение определяется величиной утах = ум, прихо­
дящейся на единицу /(г) = 1(/); иногда
здесь
определяют
а% = 2^1100%.
Ап
3. Колебательность переходного процесса К, определяемая обыч­
но числом колебаний (с частотой а), = 2Л/Т, ), равным числу миниму­
мов кривой переходного процесса в интервале времени от 0 до /п п = /р
(рис. 7.5, я) или числом перерегулирований за этот же интервал. Иног­
да колебательность оценивают отношением амплитуд соседних мак­

симумов

К=

= е-а,т'

и

выражают в процентах; например,

незатухающим колебаниям соответствует колебательность в 100%
(ос. =0). Колебательность при уменьшении до нуля второго макси­
мума переходной характеристики (ум2 —> 0) стремится к нулю (неко­
лебательный процесс). Обычно допускается не более одной-двух волн
колебаний в САУ; иногда и они недопустимы. В ряде случаев допус­
кается три-четыре волны колебаний. Колебательность, как оценка,
задается обычно дополнительно к ст.
ПП ф = ^ ^м-=1-—2 =1-е-а,т', рде
Ап
Ан
т, = 2л/РУ= 2л/со( —период колебаний; Р( =іо( —частота колеба­
ний; а,, Р; —действительная и мнимая части/-го корня (# = -а, ± УРД
Так как т,=2л/Р(, то щ = 1-е-2я“'^'; здесь |а|/Р(| .Значения у из­
меняются от 1 до 0; обычно оптимальное значение ѴОпт ==0,75 + 0,982.

4. Степень

затухания

Отношение 1 Р/а I = ц = - 2л/1п (1 - у) называется степенью колеба­

тельности (ропт =4,52 + 1,57); иногда вводят щ = 1/ц = |а/Р| (щОпт =
= 0,221 + 0,636). Тогда у = 1 - е’271^ = 1 - е‘2го" - Отношение ^р/а
—
также дает оценку величины колебательности.
5. Декремент затухания:

= —м-'- = -

б=
Ум2"^

шению двух смежных перерегулирований;

Ау м2

— равен отно-

^2

б' = —-1 = еа,т'. ЛогарифА2

1

мический декремент затухания б" = 1п ^— = а,т, или б" = —1п |ум1/у„,|І.
А2

Л

Для САУ 2-го порядка Ѵбб^^ б', б" характеризуют быстроту
затухания ПП.,
6. Временные дополнительные оценки качества:
1) переходное время запаздывания Сп: от / = 0 до гі-^0,5^;
2) *ч.з = т — время чистого запаздывания;
184

3) время нарастания /н
от Гч 3 до /с и» ^;
4) гм — время первого
максимума у (X);
5) /с — время первого
согласования, когда у (/) =
= у (°°);
На рис. 7.6 показана
область допустимых от­
клонений регулируемой
величины у^/у^ в пе­
Рис. 7.6
реходном процессе.
Комплекс временных качественных показателей ПП характеризует быстродействие САУ.
7.Максимальная скорость отработки (^у/Л)тах = dh(t)ldt = [и'(0]м
и равна максимальному значению импульсной переходной характе­
ристики (рис. 7.5, 6).
8 . Динамическая точность САУ §ДО ь^^- у(/) (рис. 7.5, 6) оце­
нивается максимальной ошибкой 5М = 8в(0 м и среднеквадратичной
т
1
ТО
ПП в САУ при скачкообразных воздействиях подразделяют на
монотонные, у которых dy(t)/dt не меняет знак; апериодические —
dy(t)/dt меняет знак не более одного раза и колебательные— dy(t)/dt
изменяется периодически (рис. 7.5). В качестве оптимального (желаемо­
го) ПП обычно выбирают апериодические h(t) или h(t) слабоколебательного типа (\у = 0,982; ц = л/2 = 1,57; т = 0,636).
Следовательно, переходные процессы в САУ характеризуют в ос­
новном цва комплекса показателей качества: первый, оценивающий
временные показатели (1,6), определяющий быстродействие САУ; вто­
рой, оценивающий колебательность процессов (2, 3, 4, 5, 7, 8), опреде­
ляющий интенсивность процессов.
ПП в САУ должен заканчиваться как можно быстрее; чем мень­
ше ^р, тем качественнее САУ. Существуют определения оптималь­
ной по быстродействию и предельной по быстродействию САУ. Тео­
ретически /пп —> °°. Однако реально считают, что в разомкнутой САУ
1П п = (^4)7М, где Тм —наибольшая (максимальная) постоянная вре­
мени звена или ОУ. Это связано с наличием в реальной САУ зазоров,
люфтов и т. д., которые ограничивают ПП до (3 + 4)ТМ .
Выполнение требований при выборе структурной схемы и значе­
ний параметров САУ в отношении перечисленных показателей каче­
ства переходного процесса требует компромисса в связи с противо­
речивостью этих требований (рис. 7.7).
ошибкой 8СК

lim

185

Так, если в статической САУ установить малый коэффициент
передачи кр, то переходная характеристика будет неколебательной,
плавномонотонной (е С
При увеличении к р будет увеличивать­
ся быстродействие САУ (уменьшаться ^пп), но одновременно с этим
будет нарастать колебательность К (см. рис. 7.7, а, б). Если кр = £опт,
то ^р=Спт> ПРИ этом К <2. Оптимальному времени регулировки
186

соответствует колебательность К <2, это означает, что за время пере­
ходного процесса выходной сигнал должен совершать не более 2-х
колебаний. При дальнейшем увеличении кр вплоть до его критичес­
кого значения £рКр, соответствующего границе устойчивости, коле­
бательность возрастает до 100%. Длительность переходного процес­
са %. П’ которая с ростом к вначале уменьшалась, начиная с /опт,
будет нарастать (рис. 7.7, а). Перерегулирование о растет незначитель­
но с ростом ?опт,: а < 30% при ^p < копт (см. рис. 7.7, в). Однако по
мере роста амплитуды колебаний перерегулирование а увеличивает­
ся до 100% (при £рКр). Граничному значению кр = кр гр соответ­
ствуют предельные параметры ПП: ?рГр, огр (=70%) и Л’(см.рис.7.7,
а—в).

§ 7.6. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.
ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ

Оценка качественных показателей по И (!) составляет, как уже
отмечалось, группу прямых методов исследования качества САУ.
Однако существует возможность судить об основных показателях
качества переходных процессов в САУ без построения ПП по какимлибо косвенным оценкам, которые определяются более просто, чем
И (/). Такие косвенные оценки называются критериями качества пере­
ходных процессов. Они позволяют связать также показатели качест­
ва непосредственно со значениями параметров САУ. При исследова­
нии качества переходных процессов эти критерии играют роль, ана­
логичную критериям устойчивости.
Существуют три группы критериев (оценок) качества — частот­
ные, корневые и интегральные.

ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА

Оценка качества ПП может производиться по различным частот­
ным характеристикам замкнутой системы

^О) =
= Л«О) + 72,(0) =
= Л3((о)со8(р3 (ю) + у/ІДофіпфДа)).

Для минимально фазовых систем качество переходных процессов
обычно оценивается по амплитудно частотной характеристике (АЧХ)
и вещественной частотной характеристике (ВЧХ) замкнутой систе­
мы Л3((о) и Р3(ш) (рис. 7.8, а, б). Напомним, что у таких систем
АЧХ и ФЧХ однозначно связаны и, следовательно, например, по
АЧХ можно определить свойства САУ, в том числе и качество пере187

ходных процессов. В ТАУ в основном оценивают колебательность и
длительность переходной характеристики/? (г) по АЧХ и ВЧХ замкнутой
САУ.

ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПП ПО АЧХ ЗАМКНУТОЙ САУ

Колебательность определяется по величине относитель­
ного максимума АЧХ, называемого показателем колебательности М,
который является косвенным показателем колебательности САУ:
у^у _ Уу) _ Ур(Х)_
Л(0)

188

‘

Л(0)

" 1 + пуусо)

Например, для колебательной САУ 2-го порядка (кривая 7):
п_е2г1/2

,

М =

^<0,707;

Wp^a-V)1'2.

В общем случае при М < 1 переходная характеристика системы
не колебательна; при возрастании М: чем больше М, тем больше
колебательность. При Л3(шр)ч<» М
и колебательность воз­
растает до получения незатухающих с частотой мр колебаний,
соответствующих границе устойчивости САУ (пара сопряженных мнимых полюсов ±ytop).
’^рОй)

Если И^р(yen) — С7(со) + у И(со), то Мм

или Мм

U2^V2

І + ^р(уш)

при Л3(0) = 1

1/2

А(0) = і для астатических САУ с г = 1.

(1 + U)2 + V2

Из соотношения W (jw) =

следует, что в диапазоне час1 + ^р(»
тот, где Лр(ш) = JEp(yto) > 1 А3(ш) н> 1, а ф3(о))н0; при 4р(ш)<1
Л3(ш)н>Лр(ш), а
ф3(м)нэфр(ш). При
м = шпрн>шс Лр(м) =
= [2cos Аф(conp)j = [2cos Дф((Ос)]ч= [2cos Аф]-1,
wnp ~ 2toc cos Аф,

Дф = у = 7і-фр((Ос); максимум ^p(w)] ~l/cosy, а М = 1 sin у.

Обычно считается оптимальным Л/= 1,1 + 1,5. При этом переходная
характеристика имеет слабую колебательность с частотой, близкой
к частоте top резонансного пика АЧХ, с о = 0,1 + 0,3, ус =30 + 50° —
запас САУ по фазе на частоте среза юс. Допустимо в САУ и значениеМ: 1,5 < М < 1,7 и вплоть до 2,0 — 2,5; для следящих САУ обычно
М < 1,1—1,3.
Длительность /р = /п п переходной характеристики определя­
ется шириной Л3(м): чем шире АЧХ САУ, тем короче А (/), т. е. мень­
ше

^П.П'

Длительность А (/) может быть оценена в первом приближении по
значению шр, так как частота колебаний переходной характеристи­
ки примерно равна шр. Учитывая, что время /м близко к половине
периода колебаний этой частоты, можно определить:
'м

л
шр

=

0,5
Л

, а

/с =

л

=

0,5

Если А (/) САУ в течение *р имеет 1—2 волны колебания, то
г = (1 + 2)
(2 + 4) Л ; так как Мс=щ
то / =
^Л. Для
«Р
“р
Р
р
йс
189

оценки быстродействия САУ могут быть использованы также: час­
тота среза (0с, полоса пропускания САУ шПр> эквивалентная полоса

пропускания САУ юзпр = J|^(j'(i))|2^(d = j Л32(со)^со.
о

о

ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПП ПО ЛАХ РАЗОМКНУТОЙ САУ

Колебательность и длительность переходной харак­
теристики замкнутой САУ в первом приближении могут быть оцене­
ны непосредственно по параметрам ЛАХ разомкнутой САУ: частоте
среза и величинам запасов устойчивости по фазе и амплитуде. В слу­
чае колебательной h (г) резонансная частота wp АЧХ замкнутой
САУ близка к частоте среза wc ЛАХ разомкнутой системы. Поэтому
значения гм и ^ могут быть определены аналогично при подстанов­
ке wp = (і)с, например, в случае неколебательной h (t), /р =л/(0с.
Колебательность считается допустимой, если ЛАХ на частоте сре­
за сос имеет наклон -20 дБ/дек; чем шире участок с таким наклоном,
тем меньше колебательность. При ширине этого участка около одной
декады и нахождении сос ближе к его концу перерегулирование в САУ
не будет превышать 20—30%. Если запас по фазе у > 30°, запас по
амплитуде 6 дБ (что соответствует 2 в линейном масштабе), то h(t)
имеет слабую колебательность.

ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПП ПО ВЧХ ЗАМКНУТОЙ САУ

Колебательность и длительность переходной
характеристики могут быть определены по вещественной (действи­
тельной) частотной характеристике P3(w) замкнутой САУ. Колебатель­
ность и длительность ПП здесь зависят также от относительного
максимума N = Рзм /Рз (0) = Рм /Р(0) и ширины (соп) частотной характе­
ристики. Связь h(t) и Р(со) определяется, например, следующим выра,/х 27
ч sin
,
жением:/ЦО =
г(й)
аш, справедливым для устойчивой замкну-

той САУ, когда W^p) не содержит правых и мнимых корней.
На рис. 7.8, б приведены различные формы характеристики
P3((o) = P(w). Для вогнутой характеристики 7, когда P(w) > 0,
dP/dw <0, d2p/da)2 >0, h(t) ■— монотонная функция и перерегулиро­
вание о = 0. Для кривой 2 в области низких частот относительный
максимум ТУ = 1, Р(со) > 0, dP (со) /dw < 0, величина перерегулирования
о < 18%. Кривым 3, 4 [с пиком, 7’(ш)> Р (0)] соответствуют колеба­
тельные h(t), причем величина о [%] растет с увеличением TV:
о = [1,18РМ - Р(0)]/ ДО). При Ѵ-)«> амплитуды колебаний возрастают:
190

САУ выходит на границу колебательной устойчивости. При N= 1,2 вели­
чина о <50%; пpи^=l)5 величина о <80%. Наличие минимума у ВЧХ
(кривая 4) также увеличивает колебательность /г (/).
Длительность И (/) в первом приближении оценивают шириной
Р((о), определяемой значением частоты положительности соп, при
котором положительная часть Р(со) < ЛвР(0): 7 >

71

. Для кривой

ВЧХ 1 / >4л/соп; для кривой «трапецеидальной» ВЧХ 2 7 =(к4)— =
= к—.
“п
Мп

Для кривых ВЧХ 3 и 4 1р связано с оо п аналогичной обратно
пропорциональной зависимостью. Значение коэффициента пропор­
циональности к зависит от величины N, увеличиваясь вместе с N,
т. е.

=к

,

где 4 <к< 10.

Значению Р(0) соответствует /іуСТ = Л(оо), а значению Р(°4) нэ ОД.
Конечную часть Р (ш) (диапазон высоких частот) определяет полоса
частот соп <(Ц<0)сщ (шсщ — интервал существенных частот), кото­
рая практически не оказывает влияния на показатели качества ПП.
Она определяет характер ПП при 1^0, т. е. его начальную часть и, сле­
довательно, может оцениваться более грубо; Ав = ±(0,1-ь0,2)Р(0). Диа­
пазону низких частот (0< со < оон) соответствует ±АнР(0), что опре­
деляет конец ПП. Средняя часть Р (со) в основном определяет все ка­
чественные показатели ПП.
Детальные и более точные зависимости, связывающие показатели
качества системы с характеристиками ^3(со), Р3(со), а также и с дру­
гими, например с Сз(со), содержатся в работе [2].
На основе вышесказанного можно сделать следующие выводы.
1. Близкие по форме АЧХ и ВЧХ САУ имеют близкие по качеству ПП.
2. Частота сос определяет быстродействие САУ; чем больше сос,
тем меньше 7Р- Но при значительных йс вместе с полезным сиг­
налом проходят и помехи, поэтому не следует стремиться делать С0с
чрезмерно большой.
3. Наличие пика в АЧХ {М > 1) и ВЧХ (У < 1) говорит о колеба­
тельности САУ.
4. Если в АЧХ или ВЧХ САУ имеется разрыв на определенной ча­
стоте со = сор, то в САУ на этой частоте возникают незатухающие
колебания (САУ находится на колебательной границе устойчивости).
5. Если АЧХ или ВЧХ имеет разрыв при со = 0, то в САУ имеет
место апериодическая граница устойчивости.
6. Острый пик АЧХ или ВЧХ при шр говорит о сильной коле­
бательности с частотой, близкой к сор и значительном о [%].
7. С увеличением М и N возрастают /р, К, сос, сом=сор, о
и уменьшается ус; следовательно, увеличение М и N ведет к ухуд­
шению качества САУ.
191

8. Из соотношения Р (со) = A (to) COS ф (со) следует, что PM(w)>

9. Характеристики Р (св) позволяют более точно оценивать каче­
ство переходного процесса, но требуют большей трудоемкости, чем,
например, при применении ЛАХ.
10. Оценки качества ПП в общем случае могут быть определены по
соответствующим характеристикам разомкнутой САУ, благодаря связи АЧХ и ФЧХ замкнутой и разомкнутой САУ.
Приведенные оценки качества ПП относятся к минимально-фазо­
вым системам; однако в первом приближении они могут быть при­
менены и к неминимально-фазовым системам. При этом погрешность
тем больше, чем больше различаются ФЧХ САУ.
Оценки качества переходных процессов, вызванных произвольным
воздействием х (/) (неединичным ступенчатым), можно получить анало­
гично при предварительном преобразовании произвольного воздей­
ствия в эквивалентное воздействие в виде единичной ступеньки. Для
характеристик это отражается в виде перехода к обобщенным час-

тотным характеристикам, когда у(і) =

Ке^Осо^О^Ісозш/^ш

ло

[при х(і) =0 1(0, х= 1/р, у(Х) = Н(Р) =

Р(ш)------- <7св ].
Л'
св
Оценка качества ПП может быть произведена и по кривой Р-разбиения, так как последняя по определению связана с частотными свой­
ствами замкнутой САУ.

§ 7.7. КОРНЕВЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА

Оценка качества переходных процессов по корневым критериям
производится по значениям полюсов (корней знаменателя) и нулей
(корней числителя) передаточной функции замкнутой САУ
т

boY[(P~Pj)

Ѵ.(р) =

Щр)
п
°оП^"й)

/=1

определяющей и соответственно И(і) = Р~1^3(р)/р]. Здесь Рі, Pj —
полюсы и нули, которые с точностью до постоянного коэффициента
Ь^/а^ определяют передаточную функцию системы. Эту форму записи
^.^р) иногда называют факторизованной.
При исследовании точности САУ важным было расположение
в комплексной плоскости полюсов передаточной функции. При оцен­
ке качества ПП необходимо учитывать и расположение нулей. В част192

ном случае, когда Р] отсутствуют, качество ПП определяется
только полюсами передаточной функции. При этом напомним, что
п
Л (О = ^) = ^сіеР'Г , где Рі = ос( ± уР( — корни характеристического
/=і
уравнения, в которых ос, определяет затухание ПП (декремент зату­
хания); Р, — частоту затухающих колебаний. Переходной процесс
в устойчивой САУ представляет собой совокупность затухающих
апериодических и колебательных составляющих (определяются па­
рами комплексно-сопряженных корней).
Следовательно, длительность ПП определяется по оценкам сверху
самой длительной составляющей, а колебательность — самой коле­
бательной составляющей.
Степень быстродействия САУ оценивают с помощью
критерия длительности (степени устойчивости Г|), определяемого бли­
жайшим расстоянием от мнимой оси до корня р^. Время затухания со­
ставляющей переходного процесса, определяемой величиной Спе’П/ или
с^е’^зтРг,

считают

Если 5 = 0,05^, то /р =

приближенно длительностью ПП:/р^

так как т| = 1 Ты, где 7]м = 1/ос,;

1п$.
—

наибольшая постоянная времени звена или САУ; ос, ^ = Г| — степень
устойчивости.
Степень устойчивости Г] служит мерой удаления САУ от грани­
цы устойчивости — мнимой оси (рис. 7.9, я).
Колебательность САУ оценивается с помощью критерия
колебательности — степени колебательности ц = Р, ос, =І8ум (см.
рис. 7.9, 6}. Чем больше ц, тем больше колебательность всего переходно­
го процесса К = е-2л^ ; следовательно, ц является оценкой сверху коле­
бательности. Степень колебательности ц = -2л/1п(1 -у) = 1, т, где т =
= ос, Р/і = tgф; если у = 0,9, то ц = 2,72, т = 0,367; у = 0,75 соответ­
ствует т = 0,221.
7/3

о

13 А. А. Ерофеев

193

Значения Г| и у можно определить через параметры САУ с по­
мощью критериев устойчивости, использующих многочлен

^(р) = ^рп +щрп~1 + ...+ап_ір + ап=а<)У\(р-р1) = 0.
і=і

Обобщенной количественной оценкой коэффициентов уравнения и его
корней рп, а также относительной мерой быстродействия служит сред­
негеометрический корень Йо = ^а^/а^ = ^РіР2 ■■■ Рп\ , который чем боль­

ше, тем меньше /р; Фо = £р, так как, например, в статических САУ
д„ = /ср +1, а в астатических ап = кр (для САУ 2-го порядка йо=(оо,
поэтому й0 иногда называют собственной частотой колебаний по ана­
логии как для систем второго порядка). Среднегеометрический ко­
рень й0 в комплексной плоскости определяет геометрический центр
всех корней В (р) — точку на вещественной оси (расстояние всей
группы корней от мнимой оси).
Диаграмма Вышнеградского (см. рис. 6.11), в частности, является
примером применения корневых критериев качества (здесь й0 = ^ а3 /а^,
см. п. 6.5), на которой можно построить поле линий равных значений і]
(О < Т| < 1) и у (0 < у< «>). По заданным т| и у. по диаграмме можно найти
значения коэффициентов А и В и определить, тем самым, требуемые па­
раметры САУ. В общем случае, если произвести подстановку г = р/Щ,
то можно записать уравнение В(р)в нормированной форме Вышнеград­
ского (см. п. 6.5)
гп +4:"'1 + ... + Акгп~к + ... -М^г + І = 0, где
Ак = ак ^~к /а^; гк= рк /й0. Тогда исходное уравнение В (р) = О мож­
но также записать в виде: рп + А^орп~1 + ... + АкО!^к рп~к + ... + ЗД = 0.
При решении этого уравнения используют относительное время
т = й01. Время і ~іх!^, где ^ —время ПП САУ с нормированным
уравнением В (р) = 0. Так как ц и у (степень затухания, см. п. 7.5)
взаимосвязаны у = - 2л / 1п (1 - у), то поле линий равных значений у
отражает и поле линий равных значений у.
Если произвести подстановку в В (р) р = д - Т], т. е. ввести новую
переменную д = р + ѵ\, то этот переход соответствует в комплексной
плоскости параллельному смещению мнимой оси влево на т|. Тогда мож­
но определить критическое значение Т] = Д||т как варьируемого пара­
метра, при котором многочлен Вц окажется на границе устойчивости.

РАСЧЕТ САУ НА ЗАДАННЫЕ л ИЛИ ц(ю)

Если величина г|3 задана, то подстановкой р = - т| +усо в W (р)
разомкнутой САУ можно получить так называемые расширенные
АФХ разомкнутой системы. В этом случае расчет САУ ведут на за­
данную степень устойчивости т|3. Тогда, если в САУ т]с>1]3, то
соответствующие расширенные АФХ разомкнутой системы не долж­
ны охватывать критическую точку (-1; 0).
194

Аналогично изложенному для Т] можно произвести следующую за­
мену переменной р = +]де~^, где у = aгctg ц. Эта подстановка
соответствует повороту мнимой оси против часовой стрелки на угол
(л/2- у) (рис. 7.9, б).
Критическое значение ц определяется значением параметра у, при
котором многочлен И (ц) окажется на границе устойчивости (один из
корней попадает на мнимую ось в результате ее поворота).
Если ц3 или т3 заданы, то подстановкой р = - ты ± ]ы (т| = ты)
в W (р) разомкнутой системы можно произвести расчет САУ на за­
данную степень колебательности. В этом случае также расширенные АФХ
не должны охватывать точку с координатами (-1;0), если тс>т3.
Расширенные АФХ широко используются при определении пара­
метров оптимальных настроек регуляторов промышленных САУ [10].
Оценка длительности и колебательности переходных процессов
в САУ по значениям ц и ц является оценкой сверху, т. е. действитель­
ный ПП может иметь лучшее качество.
Корневые оценки качества ПП пригодны только для систем, пере­
даточные функции которых не имеют нулей (при нулевых начальных
условиях).
Для САУ выше второго порядка этими подстановками пользовать­
ся можно, если есть уверенность, что ПП в САУ близок по форме к ПП
САУ второго порядка, иначе может быть получена существенная по­
грешность результатов. Для других видов передаточных функций оценка
качества только по полюсам может дать большую ошибку, причем дей­
ствительный переходной процесс может быть как лучше, так и хуже,
чем в САУ второго порядка. Однако и здесь качество переходного про­
цесса будет тем лучше, чем большеГ| и меньше ц; причем чем больше Г],
тем выше быстродействие, и чем меньше ц, тем меньшее и К.
По значениям Г| и ц можно построить предельные кривые пере­
ходных процессов (верхняя называется мажорантой ѵм, нижняя —
минорантой \т). Реальный переходной процесс должен располагать­
ся между НИМИ, Т. е. Ѵи(0<Ѵр(/)<Ѵм(0 при ТѴт<Тр<ТѴм, т = тр
(рис. 7.10, а, б — различные варианты).

Рис. 7.10

13*

195

Из характеристического уравнения И (р) = 0 для случая вещест­
венных корней и нулевых начальных условий можно получить урав­
нения мажоранты:
$м(0 = е’т 1 + Т+ - +
м
[
2!

(л-1)!

и миноранты О,„(0 = е’т (здесь о [%] = 0). Для С АУ, имеющих среди
корней одну пару комплексно-сопряженных, при прочих равных ус­
ловиях миноранта дм(/) = -йм(0, а ам[%]<е'^-100%.

§ 7.8. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА

Интегральные критерии качества позволяют характеризовать кри­
вую переходного процесса определенным числом, которое комплекс­
но оценивает параметры переходного процесса (о, /р) в целом на за­
данном интервале 0 < г < Т(обычно Г—> оо).
Нахождение показателя, который качественно характеризует пере­
ходной процесс в целом, задача весьма актуальная. Такие оценки обыч­
но являются функционалами и выражаются в виде интегралов
т
т
^ = /Р[Л^ =|Я^і,Х2,
о

Х^СІІ,

о

где / (г) — функция, характеризующая процесс в системе, например
/(0 = ^(0 = ^(°°)_ к(і) = Ду(0; Р— заданная функция. Минимальное
значение данного функционала обеспечивает оптимальное протека­
ние переходного процеса в САУ.
Задача минимизации функционалов решается вариационными ме­
тодами или методами динамического программирования. Изучение
этих методов относится в большей степени к классу оптимальных и
самонастраивающихся систем, в которых САУ сама осуществляет по­
иск в пределах варьируемой структуры (или параметров) оптимума
протекания переходного процесса.
Оценки качества переходного процесса могут быть произведены с
помощью следующих функционалов:
линейных (моменты т-го порядка):
“

00 т

Лин = | Р^)Ы^1 = ^Ск (№у(1)Ж,
О

где ск(і) = скІт
196

0 А=0

или ск(і) = скІте~а>, т = 0, 1,2, ...;

квадратичных:

~

00 /1

о

о 4;=і

п

'.;=і

где Ѵп—квадратичная форма переменных САУ; су —заданные ко­
эффициенты квадратичной формы; Jij = | х^Ж — также интеграль-

о
ные квадратичные оценки. Следует заметить, что интегральная оцен­
ка определенно положительной квадратичной формы координат ус­
тойчивой САУ равна функции Ляпунова от начальных значений ко­
ординат.
Линейные интегральные оценки являются интегралами вида

о
или

}їт = I&у(1)е~а'ітЖ, ш = 0, 1, 2, ... .
о
Обобщенные квадратичные оценки имеют вид:
СІП\у

сЬ =

(Ьп

о

где
В частности применяют следующие квадратичные интегральные
оценки:

Ду2 + ТЇ2[^1
о

+Т? Л2^

^2

йі и т. д.

197

Здесь ^у(і)=у(°°)-у (?) =
= Д А (?) — отклонение выход­
ной величины САУ от ново­
го установившегося значения
У (оо) (рис. 7.1 1).
Целесообразность и удоб­
ство в применении интеграль­
ных оценок заключается в том,
что существуют готовые фор­
мулы и таблицы расчета [2], выражающие различные оценки через коэффициенты ^, ..., Ьп и а^ ...,ап
передаточной функции №3(р)

^^ = ^Рт+^Рт~1+-+Ьт-1Р+Ьт 1
^(Р)
а^р” + ^р”'1 + ...+ап_хр+ап р

Простейшая линейная интегральная оценка /10 = j Ьу(Р)сІі гео­

метрически представляет собой площадь под кривой Ду (/) (рис. 7.12, а);
чем меньше эта площадь, тем выше быстродействие САУ и предпочти­
тельнее переходной процесс. Интегральные критерии качества обыч­
но эффективно используются для определения оптимальных значе­
ний варьируемых параметров. Для этого, используя выражение для
710 через коэффициенты передаточной функции системы, можно
найти оптимальные значения варьируемых параметров (т, ѵ) из уравне­
ний /ю = /(ѵ) и Э/1о/дѵ = О, соответствующие минимуму /10. Вы­
числение оценки /10 производится при входном ступенчатом еди-

198

то при р = 0 ^(0) = к-, тогда
3

к——
= Ііт ----- Тр + \ _
—кТр— _
10 ^о
^
^о Д7> + 1)

Следовательно, качество переходного процесса в апериодическом зве­
не определяется произведением Л: Г; чем больше/10 тем больше и хуже
качество переходного процесса. Для улучшения качества переходного
процесса необходимо уменьшить Т (и изменить соответственно к) до
оптимального значения (см. рис. 7.7).
Интегральная оценка /10 применима только к системам, у которых
переходные процессы монотонны, что резко ограничивает примени­
мость данного критерия. Если переходной процесс колебательный
(рис. 7.12, б, кривая Г), то значение /10 не может служить мерой его
качества, так как площади разного знака под кривой переходного про­
цесса будут вычитаться друг из друга. Например, ухудшение качества
переходного процесса при переходе к незатухающим колебаниям
сопровождается уменьшением /10 до нуля (рис. 7.12,6 — кривая 2).

Следующая линейная оценка 7ц = | ^у(і)іск равна моменту площа0
ди относительно начала координат. Оценки более высоких порядков
определяют моменты ш-го порядка функции Ду (/): }[т = | Ау(і)ІтсІ[.
о
Линейные интегральные оценки приемлемы только для САУ с моно­
тонными переходными процессами. Интересно отметить, что/10 =

= с0> Л1 =(-1)<Ф ---^Хт =(-1У'ст, где Со,^-,^ —коэффициенты
ошибок, т. е. 71м =(-1)т[^Илзе(/’)/ф'"]|/,=0 или ст =(-1)т^т/т!
Для САУ с колебательным переходным процессом (рис. 7.12, в) приме­
няют квадратичные интегральные оценки /2п • Простейшая квадратичная

оценка 4^|ахА что соответствует площади под кривой Ду (ф
о
]
т
б б
720 = , 2Д %В^Ь - '” Г' ■
2«ид ^=о
а„

В* = ^ +
/=)

к = 0,ггг, т<п;

к

т = п-\.

Здесь Д — старший определитель Гурвица; Д^. — определители,
получаемые из Д заменой (т -к+ 1)-го столбца столбцом [а^, ап,0,...
-^]Т^ Вт=Ь^; ВтА= 6^-26^^; Во = 1^. На границе устой­
чивости Д = 0 и /2о =“ Оценка /20 является относительной мерой
быстродействия САУ: меньшей /20 соответствует более быстродей­
ствующий переходной процесс (см. рис. 7.12, в — кривые 1, 2).
199

ДХр) = ^3(0) — №3(р) и при р=№ /2о =
Р
= -ЦдХ»!2<йо = -рд/фй), где Зд/О)) = Ду(Ж — спектральло
яО
ная плотность.
Следует заметить, что в общем случае вычисление J2n сводят к
определению в частотной области интеграла }2п = }2(„^) +

В общем случае

00

J=

2

ІіД/^ОсоУ ^со, которому ставится в соответствие интеграл

+ 2
1

7 ми^)М(-^)

-

2л Д £)(7СО)£)(-»

ных

соотношений;

табулированное

Ау(р) =

-

, то ПрИ /( = і

«о/+ ...+«„
г

^20 =

интеграла

значение

/„ =

Р\ ^ где с(Р) = со + -+ сп-іР'^d(p) = d0 + ... + сІпрп [2].

= э1 • I

Если

«со, определяемый с помощью рекуррент-

^2й0+^)л2

2д0«1«2

ПрИ и = 2

;
2^

'
г

ИТ. Д. Формулы ДЛЯ вычисления J2Q составлены до

п = 10 [2].
При минимизации ^о и выборе варьируемых параметров обычно
получают колебательный переходной процесс с высоким о [%] идовольно большой колебательностью. Например, на рис. 7.13 приведены
две кривые, удовлетворяющие одному значению J2Q; кривая 1 дает нека­
чественный переходной процесс, кривая 2 — переходной процесс, близ­
кий к оптимальному.
Предельным переходным процессом, очевидно, будет процесс, при кото­
ром интегральная оценка /20 стремится к нулю, т. е выходная величина САУ
должна соответствовать заданной величине (Ду=0). Однако такой переход­
ной процесс в линейных САУ не может быть физически реализован из-за
инерционности звеньев САУ, а также
возникающих в системе весьма значитель­
АУ
ных перегрузок. Когда такой процесс непри­
емлем, переходят к улучшенной интеграль­
ной квадратичной оценке.

ЛІ=/[л/ + ^^ К
о[

Рис. 7.13
200

1

J

Интегральная оценка J2i состоит из суммы двух частей: первой,
соответствующей 720, и второй, позволяющей учесть скорость изме­
нения ^y(t) с весом 7] [ограничение на скорость изменения Ау(/)] (см.
рис. 7.12, в — кривая 2).
Минимум оценки J2[ по сравнению с J20 будет при менее колеба­
тельном переходном процессе. При этом плавность протекания пе­
реходного процесса определяется выбором величины весового коэф­
фициента Т\ . Оптимальным переходным процессом при минимизации
J2] является экстремаль — кривая первого порядка — экспонента
Чптй = А^^е-'771 (рис. 7.14,«) или ^) = (1-е’^)^ (рис. 7.14, 5),
где Ду(0) I—>
(см. рис. 7.11).
Более сложные интегральные критерии качества J2n, содержащие
вторую производную с весовым коэффициентом Т^ (рис. 7.14, £) и сле­
дующие производные от ЛХО, применяют, когда целесообразно при­
близить переходной процесс соответственно к экстремали — кривой
второго [а2у + ^у+у = ут, а2 = Т2; ах = (7[2-2ТІ^ ] и следующих
порядков. При этом увеличение 7], 7^, ...,Тп приводит к перерегу­
лированию ст [%] = 0, но увеличивает /р; при малых же Тп
уменьшение колебательности будет незначительным. Выбор Тп осу­
ществляется в соответствии с постоянной времени экстремали, к ко­
торой стремится переходной процесс.
Интегральные критерии применяются при исследовании качества
переходных процессов, вызванных основными внешними воздей­
ствиями, для определения оптимальных значений ѵоп варьируемых
,
aj,m(v)
Э/2„(ѵ)
параметров (из —= 0 или
= 0); численную оценку саЭѵ
Эѵ
мих показателей качества переходного процесса они не дают.
Интегральные оценки в качестве критерия оптимальности широко
используются при синтезе оптимальных САУ. При этом ѵоп соответ­
ствует JXm min или J2n min, если соответствующая Э2У(ѵ0П)/Эѵ2г1 > 0;
Vh^kj,Tj. Например, для двух параметров:
dJ(k, Т^/дк = 0,
dJ(k,T)/dT = 0' если J = J (к, Т).

Рис. 7.14

201

Пример 1. Определить для И^Ср) = £/[р(1 + 7р)] оптимальное значение коп, соответп \ + рТ

т

\ + кТ

г

\ + кТ

ствующее/21 т1п. Здесь ^y(p)= -1- г--- ; ^20=

Т^к

Опреде-

-Л! =

р~Т + р + к

2к

2

ление коп из выражения Э/2| 1дк = 0 дает

а *^21 тіп

2 + ТІТі
2!Т{

/ X
ЬпР+Ьі
1
Пример 2. Пусть ^у(р) =------ =----- ;■—----------- .
В(р)

х(В1ДІ+50Д0)--^-,
Ві=ЬІ; В0=Ьц.

где

аор*+а{рл+а2р + аз Р

_
1
Тогда /20 = —Гх
2а3Д

Д = о3(а|а2-а0а3); До = а2(а1а2-Аойз) + аівз; Ді = а^;

Если М(р) = Ьо, то /20 = (^/2«|Д)ДО.

Пример 3. Пусть №3(р)= ——'. Тогда *^20 = ~‘ и из -—— = 0 получим
/ + 2^+1
4^
д£
+2
дл
£ = 0,5
при /20 = ^20тіп! ^21 =
и из —^=0 получим £ = 0,707 при
^21 — ^21 тіп •

§ 7.9. МЕТОДЫ РАСЧЕТА (ПОСТРОЕНИЯ) ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Определение переходных процессов в САУ и построение А (/) осуществ­
ляется аналитическими и графоаналитическими методами на основе пе­
редаточных функций и частотных характеристик замкнутой САУ. Если
отдельные звенья в САУ описаны экспериментально полученными ха­
рактеристиками, то от них следует переходить к передаточным функциям.
Переходные характеристики САУ являются наиболее наглядным
описанием динамических свойств системы.
Аналитические методы основаны на непосредственном решении
дифференциального уравнения системы Б (р) у - М (р)/. Классичес­
кий метод решения дифференциального уравнения дает искомое ре­
шение, состоящее из установившейся (вынужденной) и переходной со­
ставляющих переходного процесса:

ЯО^устСО + л/О»
где З'пй^^^.
/=1

Основные трудности нахождения этого решения сводятся к опре­
делению постоянных интегрирования с{ и корней характеристиче­
ского уравнения у,. Известно, что корни уравнения могут быть в ра­
дикалах найдены достаточно просто только для уравнений с и < 3.
При порядке л > 3 используются приближенные итерационные ме­
тоды нахождения корней (методы последовательного приближения).
202

Классический метод решения дифференциального уравнения наи­
более тесно связан с физикой процессов в реальных САУ, а поэтому
понятен и общедоступен. К его недостаткам относятся:
необходимость выполнения достаточно сложных математических
операций дифференцирования и интегрирования; с возрастанием по­
рядка дифференциального уравнения сложность метода возрастает;
достаточно трудоемкий процесс учета начальных условий и опре­
деление связанных с ними постоянных интегрирования;
затруднен процесс определения частного решения дифференци­
ального неоднородного уравнения, определяемого его правой частью.
Операционный метод расчета переходных процессов использует для
решения дифференциального уравнения САУ преобразование Лапла­
са. Метод более прост, так как в этом случае постоянные интегриро­
вания находятся по известным формулам.
Математические операции здесь существенно упрощаются, так как
дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим. Легко учи­
тываются начальные условия, что позволяет избежать сложных вы­
кладок по определению постоянных интегрирования. Достаточно про­
сто решаются в целом неоднородные дифференциальные уравнения
САУ. К недостатку метода относится трудность в переходе от изобра­
жений к оригиналу и наоборот.
Графоаналитические методы (частотные) построения переходных
процессов в САУ основаны на аналитической связи временных и час­
тотных характеристик САУ, что вытекает из родственности преоб­
разований Лапласа и Фурье. Частотный метод является частотным
аналогом операционного метода.
Достоинства здесь те же, что и у операционного метода, но этот
метод нагляднее и проще. Шире комплекс решаемых задач: опреде­
ление устойчивости, качественных показателей, запасов устойчивос­
ти в САУ. Этот метод дает возможность проводить анализ и синтез
САУ. Здесь возможно непосредственное использование эксперимен­
тальных характеристик САУ. Поэтому частотные методы получили
среди инженерных методов большое распространение.
Частотный метод построения ПП в САУ впервые разработан
В. В. Солодовниковым в 1948 г.
Связь между временными w(t) и h(t) и частотными характеристи­
ками САУ вытекает из обратного преобразования Фурье:

w(t) = — j W3(jm)eJMdm =
— CO

jp(o))cos mtdm;
0

w(t) = — I 2(cd)sin mtdm;

203

2 г P(co) .
,
2 r
x sinmr .
I
sin co/c/co =
P(co) dw,
co л^
CD

h(t) =

Ш^Ь^^^ + ДО),

где

sin CD/
со

— подынтегральное выражение интегрального синуса

Si cd/= р-П °^ <7(0. Напомним, что h(t) = L"1
р)] к а -=01(/) =
w
I
Р]
Р
1 1 7 sin CD / ,
Sin CD/ ,
Л
= +
------- dw,
rfCD =
2 Л J CD
CD
2’
С помощью этих выражений можно построить и’(/) или Л(/) путем графического нахождения входящих в них интегралов по заданной Дш). Обыч­
но широко применяется построение А(/)—
кривой переходного процесса по /’(со).
Разработаны методы построения пере­
ходных характеристик по Р(ш). В частно­
сти, метод Добровольского основан на раз­
биении кривой Р (со) на прямолинейные уча­
стки. Для каждого участка 0—1, 1—2, 2—3
и т. д. путем вычислений интеграла оп­
ределяют ПП, так как в этом случае к(і)
легко берется (интеграл линейный, Дев)
выражается уравнением прямой линии).
Общая кривая ПП строится путем сум­
мирования частичных кривых ПП. Одна­
ко этот метод трудоемок и ведет к достаточно громоздким вычислениям.
В случаях, когда P(cd) задана экспериментально (графиком или таб­
лицей), а аналитическое вычисление интеграла вызывает опреде­
ленные трудности, площадь под кривой До) разбивают на типовые
трапеции (В. В. Солодовников) или треугольники (А. А. Воронов).
Наибольшее распространение получил метод типовых (нормиро­
ванных) трапеций.
Типовая единичная трапеция, приведенная на рис. 7.15, харак­
теризуется параметрами: Р (0) = 1; со^— полоса равномерного про­
пускания частот; соо = 1 — полоса полного пропускания частот (или
иногда шс); Х = со(//со0 —■ коэффициент наклона (0 < Л < 1);
\
. l-w/wo
1 . / / ч 2 1 f
cost-cosXt)
Л®)_о^щ^^
« л
'o)rf W0’ ^х(^)—
. л Sit_ZSiXt+ ;
1

.

т

.

f sin СОТ ,
f sin X ,
Ct т = I
do3 — I
- d\.
204

При X = 0 типовая трапеция вырождается в треугольник; переходной
процесс при этом носит монотонный апериодический характер
=4л/соо, А(т) = — si(t)-k^ w(t) = 2(1 - cos т)/лт2.
т
При X = 1 (со0 = (Dj) типовая трапеция вырождается в прямоуголь-

(рис. 7.16,«):

ник; ПП носит колебательный характер (рис. 7.16, б): Л(т) =

8і(т),
Л
/ = 4л/ш0. Время регулирования при трапецеидальной частотной хал
4л
рактеристике изменяется в пределах — <?р < — (при 5 = 0,05);
wo
шо
при X = 0,2 ѵ 0,25 ( ст = 5%, ^ = 0,7). Величина перерегулирования о [%]
при изменении X от 0 до 1 не превышает 18% (рис. 7.16, в):
f .
2.2
( sin х х)<£ѵ = 1,85; при X=1
Sit= 1,85 = 1,1777. В табулированJ
л
л
о
ных таблицах [1,2] приводятся значения h (т) (заранее вычислены все
значения) при изменении коэффициента X с шагом 0,05 от 0 до 1,
где т = со0г = 0-^50 — относительное время; таблица составлена по фор27
ч sin юг ,
муле h(f)=
Р(«)
du.
Порядок расчета кривой переходной функции h (?) при этом следу­
ющий:
1) разбивают характеристику Р (со), полученную тем или иным
способом, на типовые трапеции, т. е. представляют ВЧХ суммой
/’(со) = ^//(со) (рис. 7. 17, а, б);
/=і

2) для каждой типовой трапеции определяется значение Р (0) при
со = 0 и определяется коэффициент наклона X = со ^/(оо;

205

3) по полученному коэффициенту наклона Л и по А-функциям для
соответствующего коэффициента Л определяются значения Л-функций
Мт)> где т = (ОоС
4) переход к реальному времени производится при помощи выра­
жения / = т/(оо; значения А (г) получают умножением А(Т) = Р(0) Ах(0;
5) в масштабе реального времени строят кривые А((/) в соответ­
ствии со знаком «+» или «-» ВЧХ и далее в соответствии со свойством
п

линейности, суммируя их, определяют Л3(7) = ^ Л, (0,

личество трапецеидальных
вещественных
7.17, в). При этом Р(0) н-> й(~), а Р(°°) і-> Л(0).

где п— ко-

характеристик (рис.

Пример. Пусть характеристика />(ш) (рис. 7.18,а) имеет следующие параметры:
Р(0) = 5, юо=1ОО1/с,

ш^ = 50 1/с,

коэффициент

наклона Х = —= 0,5. По X = 0,5

и таблицам Л-функций выписываем значения /^(т); г = т/ш0 = т/100[с]. Тогда
/і(Ц = Р(0)- Ь^) = 5/^(0 и переходная функция И (і) имеет вид, приведенный на
рис. 7.18, 6.

ВЧХ Р (ш) можно получить аналитически, а также графически,
накладывая АФХ разомкнутой системы на вещественные круговые
диаграммы (номограммы) [2].
Если АФХ разомкнутой САУ задана в виде логарифмических ха­
рактеристик, то пользуются логарифмическими номограммами для
построения вещественных частотных характеристик [2].
206

Вместо графоаналитического построения ПП по Р (со) можно рас­
чет ПП в САУ выполнить аналитически, т. е. воспользоваться мето­
дами численного интегрирования с помощью ППП на ЭВМ. В этом
случае для решения дифференциальных уравнений САУ применяют
различные ППП [2].

§ 7.10. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ САУ

Параметры САУ практически всегда отличаются от идеализированных расчетных, что может привести к заметным отклонениям ста­
тических и динамических свойств САУ от реальных. Чувствительность
САУ определяет степень влияния изменения отдельных параметров
на характеристики САУ. В качестве оценки используются частные
производные по варьируемому параметру ѵу (к или Т) — функции
^Уі

чувствительности

Эѵ,

или

7 ^^

уі — выход-

ная координата САУ; /„ — заданный критерий качества. При
этом индекс «0» отмечает номинальный расчетный режим САУ при
ѵу - ѵ0. Применяют также функцию чувствительности (ФЧ) пере­
даточной функции

^(р) =

Эѵу

логарифмическую (отно­

сительную) функцию чувствительности
^(р) =
1

діп WЛp,Vj}

ѵ/

діп V :

Ж/рр)

Если в САУ варьируется ряд параметров Ду,, то определяют измене-

ние оценки качества Д/ = /Уаг -Jn~ ^СуДУу.
7=1

207

Функции чувствительности определяют также иногда как
!/(/>) = [дИ^С^/ЭИ^,]0
или как полулогарифмическую: [—Эіп ^(^/ЗИ^]0, где ^ѵ = №ѵ(р) —
передаточная функция варьируемого элемента САУ.
В общем случае логарифмическая функция чувствительности (пер­
вого порядка):

аіпѵ

’

где I — исследуемая характеристика; 5у —- вариация (отклонение)
параметра V (к или 7).
Если
^(р)==м^,
х(р) В(р)

то

дМ(р)
дЯ(р)
- —-В(р)г М(р) х(р)
Эѵ
Эѵ

ц. (р) =

вЧр)

^р)
Эѵу

х(р);

Мѵ(р)О(р)-М(р)О.(р)

sJ(p) =

где

Мѵ

вЧр)

дМ(р) и = ^^
Эѵ/^
^і

Если подставитьр = усо, то можно получить функции чувствительности
частотных характеристик САУ, например фѵ(со) = }т[№ѵ(}(р)/№'(}(й)].
Применяют также временные функции чувствительности переход­
ных характеристик; чувствительности корней; дисперсии выходной
переменной по значению и др.
САУ, которые при всех возможных вариациях параметров Ѵу от­
носительно их расчетных значений сохраняют необходимый запас
устойчивости, называют робастными (или параметрически грубыми,
нечувствительными). Они сохраняют устойчивость САУ при доста­
точно сильных возмущениях.
Таким образом, в общем случае при исследовании чувствительности
САУ используют ФЧ: абсолютные ^ =ЭР■ дѵ^°, относительные (ло­
гарифмические) SJ = (Эіп ^/Эіп ѵу)°, полуотносительные (полулогариф208

мические) 5, = (Эіп Г/Эѵ;)0 или 5; = (Э^ ЭІп ѵ^0. Здесь ѵу = ѵ0 —
вектор расчетных (номинальных) значений параметров САУ;
У = 1, 2, ... ,т. При этом также широко применяют операторные, час­
тотные, временные, корневые, критериальные (по критерию качества,
например, 7іт, /2«) и Другие выражения ФЧ (в виде скаляров, мат­
риц, таблиц, уравнений).
В конкретных исследованиях обычно стремятся использовать ту
формулу представления ФЧ, которая оказывается наиболее удобной
при решении поставленных задач (например, регулировки и настрой­
ки САУ); стремятся также по возможности от ФЧ высокого и-го по­
рядка переходить к ФЧ первого порядка, осредненных по величинам
вариаций параметров.
Оценка чувствительности САУ посредством ФЧ имеет определен­
ные недостатки, например, временные ФЧ отражают зависимость от
входных величин, что не позволяет рассматривать их как характери­
стики только данной САУ. Применение ФЧ обычно допустимо при
вариации параметров не более 25-30% от их номинальных значений.
Чем меньше чувствительность или ФЧ, тем меньше влияние, на­
пример, изменения параметра ѵу или в целом Wv (р) на свойства
САУ (по модулю), т. е. тем более высококачественной будет САУ. Те­
оретически идеальным пределом являются САУ с нулевой чувствитель­
ностью, когда осуществляется полная компенсация изменений ѵу
[схемная, увеличением кос, /ср —> °° и т. п.], т. е. реализуется переход
к инвариантным САУ. Следует отметить, что обычно звеном САУ
с варьируемыми параметрами является либо ОУ (учитывается нестационарность его параметров), либо УУ (регулятор) с варьируемыми
параметрами настройки (£р, Ти, 7^).
Для обычных САУ чувствительность по отношению к ОУ равна
^з е(р) ~ 1 ~ ^з(р) =1/(1 + ^р(Р))’ т- е- этим САУ с нулевой чувстви­
тельностью соответствуют САУ с нулевой ошибкой. В САУ с ком­
пенсацией с Wv{p} требуется, чтобы ^(р) = ГИЛоу(р) или И/К(р) =
= УМ\у(р) (условия нулевой чувствительности). Однако реализовать
эти условия практически невозможно по физическим соображениям.
Поэтому САУ с нулевой чувствительностью представляют собой тот
идеал, к которому желательно стремиться с учетом реальных условий.

Глава 8. КОРРЕКЦИЯ СВОЙСТВ САУ

§ 8Л.ВИДЫ КОРРЕКЦИИ

Для выполнения требований по устойчивости, точности и качест­
ву переходных процессов применяют коррекцию динамических свойств
САУ. Коррекция используется для обеспечения устойчивости неус14 А. А. Ерофеев

209

тойчивой САУ, расширения запасов и области устойчивости, повы­
шения качественных показателей переходных процессов. Коррекция
осуществляется с помощью введения в систему корректирующих зве­
ньев (КЗ) с определенной, заранее подобранной, передаточной
функцией типа W (р) динамических звеньев.
Корректирующие звенья могут включаться последовательно
(рис. 8.1, а) или параллельно (рис. 8.1, б, в) с основными звеньями
САУ. Соответственно они делятся на последовательные и параллель­
ные КЗ и представляют собой звенья, вводимые в САУ для изме­
нения ее динамических и статических свойств. Проблема получения
в САУ требуемых точности в типовых режимах, запасов устойчивос­
ти и быстродействия — является единой.
Для линейных САУ все виды соединений корректирующих звеньев
эквивалентны, т. е. каждое из них дает полностью подобные в дина­
мическом отношении САУ. Эквивалентность корректирующих
звеньев может быть получена из условий равенства W (р):
^,1 = ^2 = ^,

,ИЛИ

И^І И'о = ^0 + ^2 = И'о/Оі^о^кз).

Тогда можно получить шесть формул перехода от корректирую­
щих звеньев одного типа к корректирующим звеньям другого типа
1
Ио+^2
кі(^) =-------------- =
—К2;
1±^к3

^к2(Р) = ^[^ -1] = +—
2
°
к
1±^к3

Линейные корректирующие звенья, устройства (пассивные, актив­
ные) подразделяются на пять групп: с запаздыванием по фазе и из­
менением ЛАХ на - 20 дБ/дек; с запаздыванием по фазе и изме-

Рис. 8.1

210

нением ЛАХ на - 40 дБ/дек; с опережением по фазе и изменением ЛАХ
на + 20 дБ/дек; с опережением по фазе и изменением ЛАХ на + 40 дБ/дек;
с опережением или запаздыванием по фазе и изменением ЛАХ на
±20 дБ/дек или ± 40 дБ/дек (корректирующие звенья комбинирован­
ного типа).

§ 8.2. КОРРЕКТИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ТИПА

Корректирующие звенья последовательного типа применяются в
САУ с электрическим сигналом в виде напряжения постоянного
тока и, который функционально связан с ошибкой е, т. е. и =/(е),
например, и = кг. Корректирующее звено реализуется на пассивных
или активных ААС-элементах (чаще на элементах КС).
Если сигнал — модулированное напряжение переменного тока, то
применение пассивных ЛС-элементов, хотя принципиально и возмож­
но, но практически затруднительно из-за их сложности.
Для модулирующего сигнала в настоящее время применяют обыч­
но только последовательные корректирующие звенья, например, диф­
ференцирующие звенья с симметричными характеристиками относи­
тельно несущей частоты. Звено должно подавлять несущую частоту,
т. е. выделять полезную огибающую сигнала.
Корректирующие звенья в большинстве случаев представляют со­
бой типовые динамические звенья, основное назначение которых
изменять свойства САУ в нужном направлении, например, изменить
качество ПП.
Корректирующие звенья могут быть выполнены из различных по
физической природе элементов: электрических, механических, гидрав­
лических и т. д. Наиболее простой реализацией являются корректиру­
ющие звенья из КС и КЬ активных и пассивных элементов.
Широкое применение получили следующие последовательные кор­
ректирующие звенья: пропорционально-дифференцирующие (ПД),
пропорционально-интегрирующие (ПИ), пропорционально-интегродифференцирующие (ПИД). Пассивные корректирующие звенья мо­
гут быть представлены в виде обобщенной схемы (рис. 8.2, а); переда­
точная функция такого корректирующего звена:

Рис. 8.2
14*

211

им

^М + ^рУ

где г^р), г2(р) — сопротивления в операторной форме.
Передаточная функция активного корректирующего звена W.d(p) =
~ -г2(р) /2}(р) и может быть представлена в виде обобщенной схе­
мы на рис. 8.2, б. Отсюда могут быть получены любые КЗ с W (р)
из А£С-элементов: г^р); г2(р) =1'рС-, R; рЦ V рС\^\ \lpCz\R\
РлІ/рСлрЬ и другие комбинации (л—знак «И», ' —знак «па­
раллельно»).
Пропорционально-дифференцирующее звено. Идеальное ПД-звено
имеет следующую передаточную функцию (рис. 8.2):
^пд(р) = ^П ±

клр = Ц 1 ±

р | = ^„(1 ± Тар),

где тл = ка/кп.
Например, если
^р^/О + Р^р),

г2(р) = Р2,

то Wa(p) ^ -кп(1 + Тир); при этом кп=К2/Я{, Та=ЯіСі.
Выходная величина звена содержит две составляющие — пропор­
циональную входной величине с коэффициентом кп и пропорцио­
нальную с коэффициентом ±ка ее первой производной.
Пропорционально-дифференцирующие (ПД) звенья, создающие
на выходе, кроме того, составляющую, пропорциональную второй
производной, являются ПДД или ПД2-звеньями. Это соответствует
последовательному включению двух ПД-звеньев:
Ѵ(р) = к^к^ + Т^рЩ + Т^р) = к„[ТаТД!р2+(Таі + 7,^+1],

кп — кП\кП}.
Введение воздействия по производной с помощью ПД-звена из­
меняет значение коэффициента при р в первой степени в многочле­
не Г) (р) замкнутой САУ. Применение ПД2 -звена (со второй произ­
водной) или двух ПД-звеньев приводит к изменению коэффициента
при р2 и т. д. Это изменяет условия устойчивости и качество пере­
ходных процессов в САУ. Например, применение ПД-звеньев позво­
ляет сделать структурно неустойчивые САУ структурно устойчивы­
ми, т. е. обеспечивает устойчивость САУ с астатизмом выше первого
порядка. Следовательно, САУ с астатизмом порядка г > 1 может быть
сделана структурно устойчивой при введении положительных воздей­
ствий по производным от первого до ( г - 1)-го порядка.
где

212

Можно аналогично показать, что с помощью ПД-воздействий мож­
но сделать устойчивой САУ, структурно неустойчивую из-за нали­
чия в ней неустойчивых звеньев [в О (р) есть члены с отрицательными
коэффициентами]. Применение дополнительных воздействий по про­
изводным соответствующего порядка позволяет изменить в И (р) знак
этих коэффициентов.
Если ПД-звено соединить со статическим звеном первого порядка,
то получим
(^пЦ#0

^О^п
^+1

1 + Тор’

к^ = кп^)±к^(і),
где /2о(г) — переходная функция статического звена.
Переходные характеристики приведены на рис. 8.3. Здесь характе­
ристике 7 соответствует отрицательное воздействие по производной
(кл <0), 2 — такое же, но положительное воздействие (ка > 0 ). Поло­
жительное ПД-воздействие повышает быстродействие в САУ. При
Та = То (характеристика 4 на рис. 8.3) получается идеальное безынер­
ционное звено, когда ^^р) = кик0 ; при Та> То — характеристика 5.
Влияние ПД-воздействий на переходную характеристику инерци­
онного звена любого порядка аналогично выше рассмотренному
случаю, но чем выше порядок іѴ0(р), тем выше порядок производ­
ной, требуемый для полной компенсации инерционности [требуются
дополнительные воздействия до соответствующей порядку ^0(р)
производной]. Практическое применение нашли дополнительные
воздействия по производным первого и второго порядков; более высокие производные используются редко.
Положительное ПД-воздействие форсирует течение переходного про
цесса (убыстряет его); отрицатель­
ное ПД-воздействие замедляет тече­
ние переходного процесса.
На рис. 8.4 приведены ЛАХ и
ФЧХ ПД-звена, обратные частот­
ным характеристикам статического
звена первого порядка. ПД-звено
является фильтром верхних частот,
так как ЛАХ растет с увеличением
частоты, расширяет полосу пропус­
кания САУ, т. е. повышает ее быст­
родействие. ФЧХ ПД-звена по­
ложительна, звено уменьшает сум­
марное запаздывание по фазе в САУ
(до 90° при (О —» оо).
213

Реальное ПД-звено обычно облада­
ет инерционностью, его передаточная
функция
и^дО) =

гДе ^д

К±кдР = к і±ТдР
ТпдР + 1 "1 + ТпдР’

к ’ ^пд << ^д’ ^п

^ді^д

коэффициент передачи звена.
Инерционное ПД-звено представля­
ет собой последовательное соединение
идеального ПД-звена и статического
звена первого порядка. Это звено вли­
яет слабее на быстродействие и соответственно на область устойчивости С АУ; при Та = Тпд влияние умень­
шается до нуля (рис. 8.5, а).
Форсирующее действие звена происходит за счет начального всплес­
ка характеристики Л(/) = /сп + (1 - кп^ ^Тпа ^(О над уровнем ступень­
ки (рис. 8.5, б); здесь (рис. 8.5, в)

к ^д^пд

,

При Тпл = 0 звено становится идеальным ПД-звеном.
Частотные характеристики ПД-инерционного звена представ­
ляют собой сумму характеристик идеального звена и инерционно­
го звена первого порядка; ПД-звено подавляет нижние частоты
(рис. 8.6).

214

Пропорционально-интегрирующее звено (ПИ-звено). Идеальное ПИзвено имеет передаточную функцию
= ^±і, = 1„
= ^(І±
Р
Кр
р

реальное ПИ-звено —

w

=к

=
тшр+\

рТтР+\

[±ТиР
пТ„р(\ + Ттр)

[±Т"Р
р\ + ттр'

где Ти=к"/кп.
Таким образом, ПИ-звено эквивалентно последовательному соеди­
нению интегрирующего звена и ПД-звена. Например, если

^Р) = ^, ^(Р) = К2+
ТО

ІѴ^р) =

- ^^±і =

^Р

-к ^Р^
р Т„р ■

^ = ^2^-2’ ^1 = ^1^2’ ^р = ^2/^1 ■
ПИ-звено обычно применяют для повышения порядка астатизма при сохранении устойчивости и необходимого качества переход­
ных процессов. При этом знак для воздействия по интегралу дол­
жен быть положительным; знак воздействия по производной может
быть любым.
Частотные свойства ПИ-звена, как фильтра нижних частот, «об­
ратны» таковым у ПД-звена (рис. 8.7). Здесь пунктиром показано из­
менение ЛАХ при наличии инерционности звена.
Пропорциональное интегродифференцирующее звено. Идеальное
ПИД-звено имеет передаточную функцию
где

^,М=-±<:п±М = -(і±Г',4/’!1
р

р\

К

К

ка(\±Т„р±Т„Тарг)

)

реальное ПИД-звено —

^ид^+1

где

Т„=кп/ки,

= и ±7^р^р+\\ = к„ (\±ТКр±Т^)
Р [
^пидР + 1
] КР
(ТпидР + 1)

Та=ка/кп.
215

ПИД-звено эквивалентно последовательному соединению либо
интегрирующего звена и ПД-звена с воздействиями по двум произ­
водным, либо ПИ-звена и ПД-звена с одной производной. ПИД-зве­
но повышает порядок астатизма (как и ПИ-звено); дает более силь­
ную коррекцию динамических свойств САУ.
Выбирая параметры 7^, 7"д, ^„д, можно получить временные ха­
рактеристики звена, позволяющие отнести его к звеньям форси­
рующего типа. При этом ПИД-звено в области средних частот
подавляет сигнал.
На частотах со —»0, со —> °° звено не вносит фазовых искажений,
вносит отрицательный фазовый сдвиг в нижней части области сред­
них частот, положительный фазовый сдвиг — в верхней части
области средних частот (рис. 8.8).
В общем случае у реального ПИД-звена (рис. 8.8)

ри и) =

«о^+^р+і

= І5£і]ХД£і!1
(АміХАмі)’

где Т{, 7^, 7^, Т4 определяются по формулам: Ад--

2гь
—чІ/2 ’

«і ±(«і2-ч)
ЛАХ звена имеют на средних частотах «корытообразную» форму;
обычно справедливы соотношения 73 >?І >Т2>74. Здесь 7], 72— по­
стоянные времени числителя, Т3,Т4 — знаменателя. Звено пропус­
кает нижние и высокие частоты и подавляет средние частоты.
Для коррекции динамических свойств САУ используют также
ПИДД- или ПИД2-звенья с воздействием по первой и второй произ­
водной.

216

При алгоритмическом синтезе дискретных САУ в качестве переда­
точных функций последовательного корректирующего звена обычно

используют функции вида: W^z) = Oq+û,:-1; ^(z) =

~ ; W^z) =

1 + 6|Z

az

2—1

z \
^ + a^z '
,«<1 или W2{z)~-------- - ----- =Tr-, Здесь Иэ (z) соответz_ 1
z
1 + Z^z + b^z
ствует дифференцирующему звену [аналог ^(/^І + Г^], ^(z) —
1 + 71/
аналогу пассивного ПД- или ПИ- звена W2(p) = Go-------- [^о = ^і Т ',
=

+

при Та > Т" — ПД-звено, при Т^сТ^— ПИ-звено], W^z)— аналогу
ПИД-звена (w2(p) = (Т^р2 + Т]іР + \)/ТиР).
§ 8.3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ КОРРЕКТИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ

Согласно-параллельные корректирующие звенья. Обычно эти зве­
нья применяют при формировании алгоритмов управления, например
ПИ-, ПИД- и др. [10], в тех случаях, когда необходимо осуществить
сложный закон управления с введением de/dt, j zdt и других функций

от е, например в виде ПИ-устройств (изодромных).
Введение интегралов от ошибки управления j edt соответствует

поднятию нижних частот и преследует цель уменьшить значение ус­
тановившейся ошибки управления (или сделать ее равной 0).
Введение производных ( ё, ё ит. д.) соответствует поднятию верх­
них частот и преследует цель увеличить запас устойчивости системы
(рис. 8.9). При этом для разных вариантов включения дифференциру­
ющих звеньев в схему (см. рис. 8.9, а, б) получим соответственно раз­
ные формулы:
^М = (1 + ВДО + Ър) = TJ2p2 + ( 7[ + Т^р^1;

W.32{p) = (1 + Т2р)ТіР + 1 = Т{Г2^ + 7^ + 1.
Здесь дифференцирующие звенья
^(Р) = тіР.

изображены идеальными

с

Рис. 8.9

217

Встречно-параллельные корректирующие звенья — обратные свя­
зи. Корректирующие обратные связи могут быть отрицательными,
положительными, а также жесткими и гибкими.
Корректирующие устройства-звенья в виде обратной связи (ОС)
находят наиболее широкое распространение вследствии удобства тех­
нической реализации и обладают следующими достоинствами:
простота — вследствии того, что на вход элемента ОС поступает
обычно сигнал высокого уровня с выхода САУ, что не только не тре­
бует усилителей, но, напротив, требует ослабления сигнала для его
согласования с входным сигналом;
в реальной САУ, как правило, всегда имеют место нелинейности
(силы трения, люфт, зазор, зона нечувствительности и т. д.), которые
при охвате САУ ООС существенно ослабляют свое влияние на про­
цессы управления. Поэтому использование ООС с И^з^) = №ос(р)
по сравнению с И/к1 и ^2 дает возможность улучшить переходный
процесс в САУ;
ООС дает лучший эффект, когда в САУ вследствии действия
внешних факторов (/°, / и т. д.) изменяются параметры — коэффи­
циенты усиления, постоянные времени и др., т. е. ООС стабилизирует
параметры САУ или участка САУ, охваченного ООС.
Благодаря перечисленным достоинствам ООС нашла широкое рас­
пространение в технике САУ.
В целом влияние различных корректирующих звеньев сводится
к созданию в САУ управляющих воздействий по производным и ин­
тегралам, дополнительных воздействий в контуре САУ в виде коррек­
тирующих обратных связей вокруг отдельных частей системы и кор­
ректирующих воздействий в функции внешних возмущений / и их
производных рк /.
Корректирующие обратные связи применяются (в основном как
отрицательные) для уменьшения влияния инерционности и нелиней­
ности звена, нестабильности его параметров во времени; влияние ПОС
противоположно влиянию ООС на вышеуказанные свойства.
Обратные связи в динамическом отношении могут оказывать са­
мое различное действие; аналогично последовательным корректиру­
ющим звеньям их можно разделить на три основных вида: подавляю­
щие высокие частоты (аналоги — интегрирующие звенья); подавляю­
щие нижние частоты (аналоги — дифференцирующие звенья); подав­
ляющие средние частоты (аналоги — ПИД-звенья).
Аналогию обратным связям с видом последовательного коррек­
тирующего звена можно установить при помощи формул перехода.
Расчетным путем при синтезе САУ наиболее просто определяются
параметры последовательных корректирующих звеньев. Поэтому
обычно важно иметь возможность перехода от последовательного кор­
ректирующего звена с передаточной функцией WкX{p) к эквивалент­
ной обратной связи, когда
218

oc

l-^Kl(^)
w^w^pY

В качестве примеров можно привести случаи перехода от по­
следовательного корректирующего звена, включенного на выходе уси­
лителя с коэффициентом ку, к обратной связи (обратная связь элек­
трическая или неэлектрическая):
1—к
при WKl(p) = кп^> woc(p) = ;

при ^(гіѵ^ІѴЩ ПИ-звено ^W^p)^

(ПД-

звено);

при

W„(p) = ^^)-(TI>T2) ПД-звено ^Wx(p) = kl(l + TlP) _
7^ + ^Р)
апериодическое звено и т. д.
Жесткая ООС (кос) [если WQ{p)— колебательное звено второго
порядка], снижая инерционность, одновременно увеличивает его ко­
лебательность, что нежелательно, так как может способствовать рос­
ту колебательности в целом САУ.
Если №0(р) = kQ^р, то применение ООС (с кос) снижает порядок
астатизма системы и соответственно ведет к улучшению ее устой­
чивости и качества переходных процессов. Например, обычно жест­
кой ООС охватывают электрические и гидравлические двигатели, ис­
пользуемые в качестве исполнительных для перемещения органов
управления объектами (двигатели — интегрирующие звенья, если их
выходная величина — перемещение или угол поворота вала).
Инерционность ООС приводит к увеличению быстродействия САУ
за счет замедления роста сигнала обратной связи на ее входе, что эк­
вивалентно введению форсирующего воздействия по производной (как
при применении ПД-звена). Инерционность ПОС, наоборот, затяги­
вает переходной процесс.
Гибкая обратная связь, например Woc(p) = kocp, не влияя на ко­
эффициент передачи охватывающего звена, изменяет коэффициент
при р в знаменателе передаточной функции W0(p). Если

к
Wo(p) = ko/(Top + l), то ВД = т:- J
Uo±k()koc)p + \

Здесь ООС увеличивает постоянную времени, а положительная —
уменьшает. Следовательно, применение положительной гибкой обрат­
ной связи повышает быстродействие (форсирует входной сигнал) без
уменьшения коэффициента передачи; отрицательная гибкая обратная
связь, наоборот, затягивает переходной процесс. В случае звена вто219

рого порядка гибкая ООС увеличивает Т2 и, соответственно,
^, = Т2/2Т}, т. е. является эффективным средством уменьшения коле­
бательности.
Гибкая обратная связь по второй производной (по ускорению), ког­
да №ос(р) = коср\ дает

(^(р)±к0коср2’

т. е. изменяет коэффициент при р2 (применяется в САУ второго и более
высокого порядка).
Инерционность гибкой ООС повышает быстродействие, инер­
ционность ПОС — снижает его. Например, широкое распростра­
нение получила инерционная гибкая обратная связь с ^оДр) =
= кос Р/(ТосР + Ь вокруг интегрирующего звена (изодромная обрат­
ная связь).

§ 8.4. СПОСОБЫ УВЕЛИЧЕНИЯ ЗАПАСОВ УСТОЙЧИВОСТИ САУ

Увеличение запасов устойчивости, стабилизация и демпфирование
САУ связаны с рациональным изменением коэффициентов ап, Ьп
дифференциального уравнения САУ (или полюсов и нулей) таким
образом, чтобы САУ имела наибольшие запасы устойчивости. Заме­
тим, что так как W.^p) САУ тесно связана с W^{p), то это приводит
к изменению коэффициентов дифференциального уравнения и ра­
зомкнутой САУ.
Если САУ в разомкнутом состоянии устойчива (не имеет полюсов
в правой полуплоскости), то по виду ее АФХ, в соответствии с кри­
терием Найквиста, можно судить об устойчивости САУ. Демпфиро­
вание САУ связано с деформацией АФХ таким образом, чтобы кри­
вая не охватывала критическую точку и была удалена от нее на
требуемые запасы устойчивости (Л, у). Удаление АФХ от критической
точки определяют на основании какого-нибудь критерия качества,
наиболее просто с помощью показателя колебательности М (на­
пример, ум = arcsin 1/Л/3 для САУ с г = 1). АФХ не должна заходить
внутрь окружности, соответствующей заданному значению М3 = const
(Я= "з , оо, = ^з
00'=^
00"= "зрис. 8.10).
мз2-і
м3+і
м3-\
Деформация АФХ (демпфирование САУ) осуществляется тремя ос­
новными способами с помощью корректирующих звеньев различного
вида, например последовательных корректирующих звеньев.
1. Деформация АФХ с подавлением высоких частот. Идея способа
заключается в том, чтобы так деформировать АФХ разомкнутой
САУ ^(jw) в области высоких частот со > wB, чтобы она имела же220

Рис. 8.10

лаемый вид по М^ (рис. 8.10, а). Подавление усиления на высоких
частотах всегда сопровождается появлением отрицательных фазо­
вых сдвигов (- Аф(со)). Этот способ наиболее просто реализуется у ста­
тических САУ посредством введения в прямой канал управления САУ

апериодического звена первого порядка с %(/’) =

*

с боль-

шой постоянной времени То и ^0 =1. Если к0 ^ 1, то должно вы­
держиваться соотношение 4'0 r0=wc=const так, чтобы ^р(р) =
= к(Тор + Ѵ). Наглядно это можно продемонстрировать с помощью
логарифмических характеристик (рис. 8.11), где исходная САУ (7—7)
неустойчива; скорректированная САУ (2—2) имеет необходимые запа­
сы (у, &L). Следовательно, включение апериодического звена с боль­
шой постоянной времени То делает остальные постоянные времени
Т/ САУ малыми параметрами.
Кроме этого, демпфирование САУ может быть осуществлено и бо­
лее сложными КЗ, например, путем введения ПИ-звена (или его анало­
гов) с W(p) =
+
\ІТ"Р,
(ТИ>Т) и др. Этот способ
Т^р
ГиМ1
221

увеличения запасов устойчивости получил еще название демп­
фирование с введением отрица­
тельных фазовых сдвигов (за­
паздывание по фазе), которое
вызывает «закручивание» — по­
ворот АФХ по часовой стрелке
(см. рис. 8.10, б).
Достоинством способа демп­
фирования САУ с подавлением
высоких частот является высо­
кая помехозащищенность систе­
мы, так как вводимые КЗ пред­
ставляют
собой фильтры низ­
Рис. 8.11
ких частот. Недостатком способа является уменьшение быстродействия в системе. Поэтому способ
применяется тогда, когда к системам по быстродействию не предъяв­
ляется высоких требований.
В астатической САУ первого порядка, состоящей из минимально­
фазовых звеньев, желаемый запас устойчивости может быть всегда
получен при введении последовательного ПИ-звена. В САУ с г = 2
запас устойчивости может быть получен подавлением высоких (о
только в некоторых случаях.
2. Деформация АФХ с поднятием высоких частот. Идея способа за­
ключается в том, чтобы развернуть высокочастотную часть АФХ в по­
ложительном направлении, т. е. против часовой стрелки. Тогда система
за счет деформации АФХ приобрела бы требуемые запасы устойчи­
вости (см. рис. 8.10, в). Положительный сдвиг АФХ САУ произво­
дится с помощью дифференцирующих звеньев, которые дают фа­
зовые упреждения (опережения) или положительный сдвиг по фазе
+ Дф (со). Таким образом, включая в прямой канал САУ звенья йили ПД-типа, например, Wк(p) = \ + Тлр, будем получать дополни­
тельный положительный фазовый сдвиг: + фк(ш) = arctg о) Гд. При
>0)в->“ фк((о)ч9О°, что и вызывает «закручивание» конца АФХ
относительно начала координат в высокочастотной области.
Однако наряду с внесением положительного фазового сдвига
одновременно с возрастанием со возрастает и модуль КЗ 4(м) =

= + со2Т^; возрастает коэффициент передачи и, следовательно, че­
рез систему будут проходить высокочастотные помехи.
Если сдвиг по фазе от одного звена оказался недостаточным, не­
обходимо включение двух дифференциальных звеньев:

^к^)=(1 + ГД|^)(1 + ТД2р).

222

Тогда <рк((о) = аг^(оТД[ +аг^соТД2.

Однако при этом будет уве­

личиваться модуль, так как АД(Х) =
Тот же эффект можно получить, включая в прямой канал САУ
пассивные дифференцирующие звенья с замедлением ^Др) =
= ----, где «д<1, ^Д»^' Эти звенья подавляют нижние
^+1
частоты, а для высоких частот имеют модуль Лк(ш) = 1, т. е. поло­
жительный фазовый сдвиг вносится не за счет поднятия шв, а за
счет подавления низких частот. Так как здесь А:д <1, а уменьшение
коэффициента усиления £р допускать нельзя по условиям задан­
ной точности, то требуется соответствующее увеличение коэффи­
циента £р в Нд раз.
Недостатком этого способа демпфирования является свободное про­
хождение повышенного уровня высокочастотных помех САУ. Послед­
нее может нарушить ее работу. Достоинство способа — увеличение
быстродействия САУ.
Способ повышения запасов устойчивости посредством введения
дифференцирующих звеньев (или их аналогов в виде ОС) позволяет
для всех систем (в том числе неминимально-фазовых) получить требу­
емые запасы устойчивости и повысить быстродействие САУ. Иногда
для ограничения уровня помех применяют специальные узко- и широ­
кополосные фильтры, что, правда, усложняет САУ.
3. Деформация АФХ 1 (см. рис. 8.10, г) с подавлением средних час­
тот. Идея способа заключается в том, что основные показатели каче­
ства системы, в том числе и запасы устойчивости, определяют средние
частоты. Таким образом, если подобрать КЗ, которое подавляет
диапазон средних частот о^-сг^ (см. рис. 8.10, г), то можно полу­
чить желаемый вид АФХ (2) с требуемыми запасами устойчивости
при практическом сохранении быстродействия САУ (ее полосы про­
пускания). Технически этот способ осуществляется включением в пря­
мую цепь управления интегродифференцирующих (ИД), ПИД-звеньев (или их аналогов в виде ОС). Этот способ является более
универсальным и наиболее распространенным.
К этому способу примыкает по своим свойствам вариант демп­
фирования САУ с введением отрицательных фазовых сдвигов за счет
использования неминимально-фазовых звеньев, например, с WДp) =
|
=
— и с фк(ю) = -2arctg оо Т. Обычно его применяют в случае,
1 + Тр
когда разомкнутая САУ неустойчива (содержит консервативные
звенья, колебательные звенья с малым затуханием и т. п.). В результа­
те обеспечивается устойчивость и сохраняется быстродействие
САУ, т. е. ее полоса пропускания, так как Лк(щ) = 1. Использование
других способов здесь затруднительно.
В практике проектирования САУ могут использоваться комбина­
ции этих способов, например, третьего и второго.
223

Глава 9. АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММЫ УПРАВЛЕНИЯ
ВСАУ
§ 9.1. АНАЛОГОВЫЕ (НЕПРЕРЫВНЫЕ) АЛГОРИТМЫ

Устойчивость и качество процессов управления в САУ в значительной
мере определяются законом (алгоритмом) управления, реализуемым в САУ.
Формирование алгоритма в САУ зависит от цели управления, структуры
и состава ее звеньев. В промышленных САУ управляющие устройства
(УУ) (регуляторы) обычно проектируют как некие самостоятельные уст­
ройства, реализующие тот или иной алгоритм, так как структура таких
САУ состоит, как правило, из УУ и ОУ. Хотя и здесь в формирование
алгоритма входит учет W (р) таких звеньев, как исполнительный
механизм (ИМ), УЭ, ЗЭ, ЭОС, корректирующих звеньев и др.
В соответствии с известным законом необходимого разнообразия
(У. Р. Эшби) сложным ОУ должны соответствовать УУ с разнообра­
зием управляющих воздействий. Следовательно, диапазон изменения
структуры алгоритмов управления чрезвычайно широк и простирает­
ся от простых (типовых) алгоритмов для простых (типовых) ОУ до
интеллектуальных алгоритмов управления для сложных или систем­
но-сложных ОУ. В состав простых алгоритмов обычно включают ти­
повые линейные и нелинейные (аналоговые и дискретные) алгоритмы
управления, которые здесь рассматриваются ниже. Структуры слож­
ных алгоритмов также чрезвычайно разнообразны и включают как
сложные комбинации простых алгоритмов, например, многомерные
(многосвязные) алгоритмы (см. п. 9.5), так и специфические (специаль­
ные) алгоритмы типа нечетких (или лингвистических) алгоритмов,
алгоритмов с четкими и нечеткими данными с использованием баз
данных, баз правил (БП), баз знаний (БЗ), способных к обучению и само­
обучению (на основе, например, искусственных нейронных сетей),
генетических алгоритмов, и в общем случае, интеллектуальных алго­
ритмов (см. п. 1.3 (7)) [15]. В сложных ИСУ используют, в частности,
базы алгоритмов [14, 15].
Алгоритмы управления могут быть реализованы аппаратно, программ­
но-аппаратно или программно. В общем случае передаточная функция
УУ (рис. 9.1) :
W

= ^ = ^ііРІіѣі^Р^^

Дифференциальное уравнение линейного УУ имеет вид:

(Т„р" + ... + 7^ + Тір + \)ц(р) = Е(р) кд(п-\)Р(” ° +'"+^д|/,+ ^дО+
+ Лр)[к/о+кпР+ ..^к^^р"1 '],
224

к

где далее обозначим крХ = ка; к^ =
Є (О
X*)
УУ
= к};
ка_х = к0; п = 0, 1, 2,
;
т = \, 2, ... .
УосЮ
Здесь левая часть отражает инер­
ционные свойства УУ, а правая —
Рис. 9.1
алгоритм (закон) управления (вторая
квадратная скобка относится только к комбинированным УУ).
У идеального комбинированного УУ (регулятора) при /= О
(7,■= 0, і = 1, п): Wp^pï=^=kлM^^
Здесь

где 5 характеризует етатизм. Вынесем кх из Wpк{p\

кх=кр=\/Ъ,
получим

^р.иСр) =

' +1 + Т^ + ТмрЧ..лТ^р^

где
и

V

Д’Ѵ

'

к,'

Иначе выражение для передаточной функции УУ можно записать
так:

^(Р)=^ (І + Кр+Т^р2+

Т»Р

где правая часть описывает, в частности, ПИД-регулятор, или регу­
лятор с пропорционально-интегрально-дифференциальным законом
управления (без учета + ... ).
У реального аппаратного УУ Wp{p) = Wp^V^p), где ^&(р) =
------2 —
п — передаточная функция инерционного
^ + Т\Р+Т1Р +--- + Тпрп
балластного звена.
Рассмотрим типовые (унифицированные) идеальные линейные
алгоритмы (законы) управления.
1. Пропорциональный алгоритм управления. Временные характерис­
тики УУ приведены на рис. 9.2, а. Здесь є (0 — входной сигнал (сигнал
ошибки системы), є(0 = х3(/) - ^ас(0; ц(0 —регулирующее воздействие
на выходе УУ. Алгоритм управления характеризует функциональную
связь между ц (0 и є (/). Для идеального П-регулятора (рис. 9.2, б):

=

ц(О = £ре(0.
Реальная характеристика УУ имеет нелинейный характер и содер­
жит «зону насыщения» с уровнями щ и ц2 (рис. 9.2, б).
15 А. А. Ерофеев

225

Передаточная функция для такого регулятора имеет вид Wp{p) =
= ц(р)/є(р) = кр. Фактически передаточная функция аппаратного ре­
гулятора имеет вид W(p) = Wp K(p)WQ(p), где обычно №6(р) =
= 1/(Т&р + Т). Здесь 5 = \Ікр =1іт ^(р) определяет етатизм регуля­

тора (при ^о=О) или остаточную неравномерность регулирования.
Параметр настройки — кр.
Частотные характеристики определяются коэффициентом ^р, так
как Wp(jШl) = kp; Ь(ы) = 20кр.
Для увеличения запасов устойчивости, уменьшения статической
ошибки в САУ применяют модификацию П-алгоритма следующего
вида:
М = кр^ + к3х^,

где к3 —коэффициент усиления по цепи формирования задания х3(ф
Введение члена к3х3(і) в алгоритмы управления широко практи­
куется, особенно для промышленных систем со скачкообразным из­
менением задания хэ(/) (систем программного управления и т. п.).
2. Интегральный алгоритм правления. Характеристики И-регулятора приведены на рис. 9.3. Алгоритм управления здесь имеет вид
^^

Т |є(т)і/т (рис. 9.3, а);
И 0

ИЛИ

^ц(і)/ек = кИє(і) (рис. 9.3, б).

В операторной форме

Щ» = ^~^Р\
Кр
226

где Ти — постоянная интегрирования; ки = 1/ТИ — коэффициент пе-редачи. Передаточная функция идеального И-регулятора Wp{p) =
= ц(р)/е(р) = 1/Гир.

Реально УУ содержит также

№5(р) = -_-—?

На рис. 9.3, а приведены характеристики ц (?) для различных значе­
ний Тб; здесь аналогично имеет место и «зона насыщения». Как видно
из рис. 9.3, а, чем больше значение Гб, тем сильнее алгоритм управле­
ния отличается от идеального (7^ =0).
При ступенчатом воздействии входного сигнала выходная коор­
дината регулятора возрастает до бесконечности (реально до насыще­
ния; например, усилителя регулятора). И-управление применяется для
ОУ, обладающего существенным самовыравниванием. Если самовыравнивание невелико, то системы с И-регулятором могут быть склон­
ны к неустойчивости. И-управление делает установившуюся ошибку
стремящейся к нулю (астатическое управление).
Для всех типов УУ существуют настроечные параметры, которые
перестраиваются в зависимости от характеристик ОУ: ^(р), /г (0, /(г).
Они различны для различных ОУ. Для И-регулятора настроечный па­
раметр 7^. Частотные характеристики И-регулятора:
1

И'.(»=

р

-

1

е

>т; от;

где 1/у= е Х7172).

Фазовый сдвиг И-регулятора — фиксированная величина: Ф =
= -л/2 = const (/). Передаточная функция И-регулятора может быть
записана так: W(p)=kp/р, где кр=\/Ти. Тогда L(to) = 201g ^р|-201g со. При 7^ —» оо И-регулятор становится П-регулятором; при
7^ —>0 ^р ->°°, но крТи = const и тогда имеем И-регулятор.
Для тех же целей (как было отмечено в п. 1) формируется модифи­
цированный И-алгоритм управления вида

Н(0= ' |е(т)А + ^3(0.
0

3. Пропорционально-интегральный алгоритм управления. Характери­
стики ПИ-регулятора (изодромного регулятора) приведены на рис. 9.4.
ПИ-регуляторы обеспечивают хорошую устойчивость с одновременным
устранением установившейся (статической) ошибки. При 7^ —> °°
получаем П-регулятор. При
Ги—>0 ^р->°°, но £рГи= const и
тогда — И-регулятор.
Алгоритм управления имеет вид:
HW = ^р

15*

227

или
(І^/СІІ = кр[ск(і)/Ж + Ѵ(0].

Передаточная функция ПИ-регулятора:
к^ + Т^
ВД = ^ 1 + Рѵг/

Р

Тп

Кр

где 7^ — время интегрирования, называемое также временем изо­
дрома, временем «удвоения» [ когда ц(7и) н» 2^8(0), т. е. удваивает­
ся по сравнению с Еє(0) = ц(0)]. Здесь также у реального УУ обычно
1
р
^б(Р) = — , причем аналогично, чем больше значение Тб, тем

существеннее отличается процесс в УУ от идеального (см. рис. 9.4).
Параметры настройки ПИ-регулятора: Тн и кр. Частотные ха­
рактеристики:

и;(»

М+7^и)

^.(І + уиТ^е^2^*,

Цш) = 20Ів|к 1 + 20^

1 +Ц-

е-;аг^1/соТи.

; ф((о) = ^4; .

Модификация И-алгоритма также, как и для П- и И-алгоритмов,
содержит дополнительный член к3х3(ї).
Для ОУ-инерционных звеньев первого порядка с т (или без т)
ПИ-регулятор является квазиоптимальным, минимизирующим интег­
ральный критерий качества процессов, например, интегральную квад­
ратичную оценку качества ^о = |[Ає(ґ)]2 Л.
4. Пропорционально-дифференциальный алгоритм управления. Ха­
рактеристики ПД-регулятора приведены на рис. 9.5. Алгоритм управ­
ления имеет вид:
М) = кр[е(і) + ТД^

Передаточная функция идеального ПД-регулятора ^(р) = ц (р)/Е (р)=
= М+ЗДПараметры настройки: кр и Та (Та — постоянная дифференциро­
вания — упреждения). Для ПД-регулятора:
И^р (ую) = ір(1+ >7-,) = *р ^ЖТ^е*”’;

»;(» = ірО + ушТ.) = ^І + ВД^*”1; <р(ш) = агс18шТ;.
228

то

Если в ПД-алгоритме присутствует только Д-составляющая,
Wp(p) = kpTap, а W(ju) = j(dkpTa; wp(j(a) = kpTauej*12; ср = ^ =

= const.
Модификации ПД-алгоритма имеют следующий вид:
h(/)^p[e(/) +
И(0 = ^р [е(0 +

W)/^];

Tade(l)/dt ] + k^t\

Ц(0 = kp[E(t) ¥Tady(t}/dt] + k3x^t),
где X?) = yQC(z) — текущее значение регулируемой координаты (пара­
метра) ОУ.
5. Пропорционалъно-интегралъно-дифференциалъньій алгоритм управ­
ления. Характеристики ПИД-регулятора приведены на рис. 9.6. П-,
И-, ПИ-, ПД-регуляторы могут быть получены из ПИД-регулятора
соотвествующей настройкой параметров.
Алгоритм идеального ПИД-управления
Н(0 = ^р

£(/)+

|є(# + Гд

Т« і

,

dl

(рис. 9.6, характеристика 7),

а передаточная функция идеального ПИД-регулятора

к^т^ ^Т„Р^
^р(^) =

М/^Р')

1 + 7 “+

таР

^Р

Параметров настройки у ПИД-регулятора три: кр, т^ 7^.
ПИД-алгоритм часто формируют, заменяя ТД = Т^ или ТИ = Тд/к, где
О < X < Хтах. В этом случае передаточная функция ПИД-регулятора
229

IV (р) = к ^^^^
Т„Р
У аппаратных ПИД-регуляторов обычно передаточная функция бал­
ластного звена имеет вид Wб(p) = ï/(TQ2p2 + Т61р+Ї) = і/(Т^р2 +
+ 2^бТбр + 1), где ^б = Т&1/2Тб2. Если £б<1, то балластное звено
является колебательным, при ^б >1 — апериодическим второго по­
рядка. Параметр £б для случая £б < 1 стремятся иметь в пределах
0,4 < ^б < 0,7. Причем здесь *см меньше значение £б (меньше 7^, Т^2),
тем ближе процесс на выходе УУ к идеальному (рис. 9.6, характеристи­
ка 7). При №б(р) н> 1 УУ становится идеальным. Значению И = 2^(0)
аналогично соответствует значение Ти (рис. 9.6).
Частотные характеристики ПИД-регулятора (рис. 9.7):
Г
^П(» = Е,1+--------- соТ

е

£(ш) = 20^|кр| + 20^

ср (со) = -агсіз

1
--------- соТд
йГи

Регуляторы с ПИД-алгоритмом управления получили наибольшее рас­
пространение и относятся к числу регуляторов, формирующих квазиопти­
мальный алгоритм управления. Так, для ОУ с передаточными функциями

230

Щр^к^/^р+МТгр+Г) и

Ѵг(р) = к0^/(1 +ТіР+Т22Р2)

квазиоптимальные значения параметров настройки равны:

*р| = Ш + 7Ж*; ТМ=Т^Т2, Т^ТЪ/Ы + Ъ) и кр2 =

^кЛк^т^/т,-, т„ = т„
где ^п=У^им (или ^і “0,5-г-1,0). Наличие частотно-зависимых
И- и Д-составляющих в ПИД-алгоритме обеспечивает устойчивость и
минимизирует статическую и динамическую погрешности САУ. При
этом каждая из составляющих ПИД-регулятора будет вносить основное
воздействие в закон управления в соответствующей области спектра
входного сигнала: И — в низкочастотной, Д — в высокочастотной.
Системы с ПИД-регуляторами обладают свойством «грубости» при
дрейфе параметров ОУ и регулятора и эффективны даже при от-сутствии
полной априорной информации о свойствах ОУ.
Модифицированный ПИД-алгоритм имеет вид
н(0 = ^р

+ тд ^1

Здесь так же, как и в модификациях ПД-алгоритма, введение в ц(/)
сигнала производной от регулируемого параметра ОУ Тд =dy(t)|dt
вместо Tд=de(f)/dt улучшает в ряде случаев качественные показа­
тели работы САУ при скачкообразных изменениях задания х3(Д
что обычно характерно для пусковых режимов САУ и для систем про­
граммного управления.

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ

Если объект управления с самовыравниванием, то для него при скач­
кообразном возмущении переходный процесс имеет форму кривой 1,
при этом статизм объекта определяется значением 50 (рис. 9.8). При

Рис. 9.9

231

включении УУ(Р) (рис. 9.9) процесс в ав­
томатической системе для И-регулятора
имеет форму кривой И и не имеет ста­
тической ошибки при Г —» ОО . Если
включен П-регулятор, то переходный
процесс в автоматической системе име­
ет форму кривой П и статическая
ошибка равна 8П = 50/(1 + кокр). Если
объект управления без самовыравнивания, то 8П =$0/кокр. Следователь­
но, чем больше значение кр, тем мень­
ше 8П(8П « 80). При заданной 8П кр =
= (к&/к0) -(1/к0), где к6 =80/8п. Для
объектов управления без самовыравнивания кр = к&/к0. При включении
ПИ-регулятора существенно улуч­
шаются динамические свойства автоматической системы и ее переход­
ной процесс. САУ с ПИД-регулятором имеет лучшие качественные
показатели: меньшие величину перерегулирования о (примерно на
15—20%) и время регулирования (на 25—30% от/™). Наличие ин­
тегральной составляющей в ПИД- и ПИ-алгоритмах делает статичес­
кую ошибку системы стремящейся к нулю. Д-составляющая на участке
/0 - іх форсирует переходный процесс, увеличивая регулирующее
воздействие ц (?) на ОУ, и имеет максимальное значение при /0
(рис. 9.10). На участке /1 -/2 Д-составляющая препятствует большо­
му отклонению выходной величины ОУ в другую сторону.
§ 9.2. РЕАЛИЗАЦИЯ АНАЛОГОВЫХ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ

Особенности реализации аналоговых алгоритмов управления в про­
мышленных УУ (Р) аппаратного типа на уровне обобщенных
функциональных И структурных схем подробно В форме ^р(р) =
= Мр^рУИ^р) рассмотрены в работе [10].
Звенья, формирующие алгоритмы управления, обычно являются, как
и КЗ, пассивными или активными четырехполюсниками. В частности,
пассивные КЗ описываются, например, следующими выражениями:
ц = Ай2 +

А = С^2 +

или

ІІ2 — А^Щ — А^І^, І2 — —^21^1

+ ^22^1’

где ^^с/14 аі2 = в/\а\-, 4=с/14 Л22МИ; \а\ = ао-всА, В, С, И — обобщенные параметры четырехполюсника.
232

Рис. 9.11

Для схемы, приведенной на рис. 9.11,
йі
/,

г А+В
інС + £

.

й2
/н

ггБ + В
ггС + Л

Передаточная функция четырехполюсника, выраженная через обобщен­
ные параметры, имеет вид:

Ѵ(р) = ^ = (І2В- І,)/(і2\А\-АІ,) = Л„-АІ2 ^іА .
щ(р)
А22іі+і2
Схему на рис. 9.11 можно представить иначе, как показано на
рис. 9.12, в виде простейшей схемы пассивного четырехполюсника.
Тогда

W(p) =

7

^^ ^2 + ги

^вых

^1 +^г +[^н/(^2 +^н)]

ГДЄ 7Г + 7]

7ВХ,

Я

727н/(72 + 2Н)

20ЫХ

21 +гг +гэ

7
4-7
^вх
’ ^вых

7Э,

Если гг —> 0, а гн —> оо, то ^(р) = —-—.
21 +22

Электронные регуляторы (как и активные КЗ) формируют алго­
ритмы управления в САУ наиболее близкие к идеальным.
Основным элементом электронного регулятора в аппаратном испол­
нении обычно является усилитель [например, операционный (рис. 9.13)].
Здесь приведены: принципиальная схема (рис. 9.13, а), модель
(рис. 9.13, 5) и характеристики выход-вход (рис. 9.13, в) усилителя;
к", к" — коэффициенты передачи по напряжению усилителя соответ­
ственно по инвертирующему и неинвертирующему входам.
Передаточная функция электронного регулятора (рис. 9.14) имеет вид:
233

Ж = ^вых(р) =

*з(р)

"М

^вхС^) И^ (/?)
і+^уЖсС/’)

^(р)

=

^с^+ж;1^)'

При
Ѵу(р) = к->°°, И^р) ~Ѵ„(р)/№ас(р)^/Ъ,
где
2о+2]

^ВЫХ 0 5
^вых "^^

К^Р^-^^--^ ^-«вых(р)

го+г1

«вх=°

к^Н^ІСхемы, передаточные функ­
ции, характеристики и пара­
метры УУ на основе операци­
онного усилителя приведены
в табл. 9.1.
Следует заметить, что в реаль­
ных регуляторах с Д-составляющей значение ивых возрастает
в момент скачка мвх (/) (рис. 9.15,
а) не до бесконечности, как по­
казано на рис. 9.15, б, в, а до
некоторого конечного значения
(рис. 9.15, г), так что площадь,
ограниченная кривой ^(0.
примерно равна 5Д = мвх^д^п ,
где ^п = 1 для Д-регулятора и
ки ^^ /(1^ + зг)2 для ПД-ре-

Рис. 9.13

234

гулятора. Следовательно, эти
регуляторы правильно форми­
руют законы управления толь­
ко для малых скачков мвх или
при медленных изменениях
мвх, пока иВЬІХ не достигает
насыщения. Паразитная посто­
янная времени тд ~Тдкс, где
кс ~гг/Я} для Д-регулятора и
кс = гг /(Л,, + :г) для ПД-регуля-

Рис. 9.14

тора (обычно кс «1). Наличие тд ухудшает качество управления.
Кроме того, так как здесь коэффициент усиления самого усилителя
высок (£и —> оо), то даже малые скачки нвх приводят к насыщению
регулятора (регулятор стоит на электрическом «упоре»). Все это обус­
ловливает тот факт, что регуляторы типов Д и ПД применяются са­
мостоятельно сравнительно редко.
Недостатком приведенных схем ПИД-регуляторов является взаи­
мозависимость параметров настройки ^р, 7^, Гд. Это приводит к тому,
что при изменении одного параметра изменяются другие.
У большинства регуляторов Гд/Ти<0,25. Здесь, как и у ПД-регуляторов, тд=%(тд«7;), а 5а^ивхТЛ (рис. 9.15, г).
Для развязки параметров настройки в ПИД-регуляторах применя­
ют активную обратную связь. Однако достичь полной развязки пара­
метров настройки в схемах ПИД-регуляторов на одном усилителе

Рис. 9.15

235

Таблица 9.1. Электронные регуляторы
Алгоритм

Передаточная функция

Схема

Характеристики

Пропорциональный

Л = £ р;
и, = Лр5(0;
Р

Р

2і= ^;

Яо

2о= Яо

Цш) = 2016 £р;

ф(ш) =0

Интегральный

л=V;

11

1

р

Ър

где ^И = ЯоСі

гі =

Д;

^о = Яо

и' = £р;

Цш) = 20

/ср - 20

ср(со) = -л/2

Дифференциальный

л = М«;
^р = Ър,

И, = Лрб2(/);
где ^ = ^0

гІ=^Ь

20 =

„

рСо

Цсо) = 20^соТд;
ф(со) = л/2

со;

Продолжение табл. 9.1
Алгоритм

Передаточная функция

Схема

Пропорционально­
интегральный

Rt

fi

Характеристики

И7 = ?*Р + ^=к І + ТцР

Т\Р
где

Г

Т»Р

Тн = ІЦЦ,

R,c’

І

к - R'
-0 = ^0-

-1 = Л1 +

pQ

р,граді

Г
qi/2
A((n) = 201g Агр +201g 1+ - 1
;
[
(м7и) J

<p(w) = -arctg

Пропорционально­
дифференциальный

с

-I- Ri

W^k^ + T^p),

HF

1Д £
—0

-2-

Ln

■J
ї

где

к = Rl ;
*0

--

h=L !+

ЬірП + Ш;

Цы) = 201g kp + 201g (1 + T^w2 )1/2;

Та = ЛоСо
"°

1 + ад/

1=*!

(p((o) = arctg соТц

Продолжение табл. 9.1
Алгоритм

Передаточная функция

Схема

Пропорциональноинтегро-дифференциальный

Характеристики

_ г. ТлТИр + (Тл + ТД)р + ї
Р“Р'

ГИ=(Я1+Я2)С;

- ^1^2^2 .

7?1 + У?2

:'

_ й, + л2
к.

(І + р^С^д + рН2С2) + рЯ2С1 .

и c1J

R» R

2

Ц(о) = 201ё£р +

^р^р

ТиР
^Р

-1 + Л2С2 .

ъс2 ’

+ 201е

с2е2’

Гд - Р{Р2С{С2ІТН\
^2 — -^0>

С2 - Со

ф(ю) = -агйг —(йТп

с активной обратной связью не удается. Поэтому при построении ПИДрегуляторов с относительно полной развязкой параметров настройки
строят схемы с использованием двух, трех и более операционных
усилителей, используя модульный принцип построения [10]. Для управ­
ления объектами с различными к0, т, То настройки параметров дела­
ют взаимно независимыми, а диапазоны изменения Тд, Ти, кд —
достаточно большими.
Всем типам реальных УУ(Р) присущи элементы нелинейности (на­
пример, типа «насыщения»); они имеют ограниченные область линей­
ных режимов (ОЛР) и область нормальной работы (ОНР), которые
близки друг другу. Обычно ^р(4)и) = Ждт(]ш)Жб(А, ]а>) и зависит,
особенно вне ОЛР, от амплитуды и частоты входного сигнала.

§ 9.3. ДИСКРЕТНЫЕ АЛГОРИТМЫ

Дискретные алгоритмы управления подобны аналоговым, но принцип
формирования составляющих дискретных алгоритмов несколько иной.
К дискретным относятся регуляторы, вычислительные операции в кото­
рых осуществляются в дискретные моменты времени Т. Передаточную
функцию линейного дискретного регулятора в общем виде можно пред­
ставить как отношение двух полиномов и записать следующим образом:

или с учетом г = ед
Ц2*

получим
= ^^^
~^Л^~Іг______+ ... + й|2 + ^0
Ьп2~П+Ьп_х2-{П^ + ...+Ь[2-Х+Ь^
т

/ п

Ж^^а^1 /^Ь^'.
/=о

/ (=о

Эти выражения соответствуют также передаточной функции ре­
курсивного цифрового фильтра (фильтра с бесконечной памятью).
Здесь Ж* ^, Ж (г) определены в смысле дискретного преобразова­
ния Лапласа Ц = рТ', г = ед; Т — период квантования.
Дискретные регуляторы обладают большим быстродействием, вы­
сокой точностью при управлении процессами и значительными
пределами изменения параметров настройки Ги, Тд, к, Т.
Здесь также широко используют типовые идеальные дискретные
алгоритмы управления (унифицированные алгоритмы): П, С (сум­
марный), ПС (пропорционально-суммарный), ПР (пропорционально­
разностный) и ПСР (пропорционально-суммарно-разностный) — ана­
логи П, И, ПИ, ПД и ПИД.
239

Например, уравнение идеального пропорционально-суммарно-разно­
стного (ПСР) регулятора имеет вид (рис. 9.16):
п

^ = к1е[пТ] + к2^е[іТ] + к3Ѵе[пТ] при пТ>1>(п-1)Т
/=і

или

Т

Т п

ФЛ + -^тк уНиИ-еКл-ОИ]
где к{=кр; Ти = к{Т/к2; Та = к3Т/кх.
На рис. 9.16 Цд (0 соответствует диск­
ретному процессу, ца(/)— аналого­
вому.
При численном интегрировании по
методу прямоугольников, когда

ц'», = ед=(і-е’,'')/р,
^(г) =(1-г-1)^ = (г-1)/г/).

(для ИИЭ Ж, = 1), передаточная функ­
ция и частотные характеристики ПСР-регулятора записываются следующим об­
разом:

(Ш = [*,(1 - е-’) + *2 + *3(1 - е-’)!]/?;
*

е9
е?-1
+к,------;
е’-1
е9

И/ (д) = к,+к2 —

1

W(<z) = к{+к2 2 + ^з 2 1;
2-1

1

аг/2

аг

2

3

ат

где а — частота входного сигнала.
При интегрировании по методу трапеций

1

2(2-1)

Т2

Из этих формул можно легко получить выражение для № (2) и ха­
рактеристики для П, ПС, ПР-регуляторов.
240

Например, уравнение дискретного
суммарного — С(И)-регулятора имеет
вид
п

Ц = ^2^е[/Т] при пТ<К(п + \уГ,
т. е. здесь операция интегрирования є (/)
заменена операцией суммирования значе­
ний є, определяемых в дискретные мо­
менты времени іТ (рис. 9.17). Передаточ­
ная функция и частотные характеристики С(И)-регулятора имеют вид:
аппроксимация по методу прямоугольников

♦
е9
W{q) = k2lq■ V ^ = к2
■
-1
7

№^) = к2—;
2-1

Щ^) = (к2/^Т)е

-ул/2

аппроксимация по методу трапеций

2+1
К& = к2Т.
2 2(2-1)

При Г—>0 н 7^ = Т/к2 дискретный регулятор идентичен аналого­
вому И-регулятору. Квантованием по уровню в цифровом С (И)-регуляторе можно также пренебречь, если выбрать значения Де и Др
достаточно малыми, а значение к2 в 1,5 - 2 раза меньшим крити­
ческого, соответствующего границе устойчивости.
Составляющая П или дискретный П-регулятор в отличии от ана­
логового вносит запаздывание (£2772) и имеет отличный (незначи­
тельно) от кр, кх коэффициент усиления по первой гармонике ^іщ .
П-регулятор тождественен без учета коэффициента кх фиксатору
или экстраполятору нулевого порядка: ТУ* (г, р) = (г-^/^р).
Шум квантования по уровню как однородно распределенный «бе­
лый шум» имеет среднеквадратическое значение (дисперсию) ^2/12,
где д — уровень квантования (цена младшего разряда). В дискретных
(цифровых) регуляторах на основе микропроцессоров ^> 8 -^ 16, что
позволяет в расчетах пренебречь квантованием по уровню.
Уравнение ПС-регулятора имеет вид (рис. 9.18):
ц = кх£[пТ] + к2^е[іТ],
241
16 А. А. Ерофеев

є

пТ <1 < (п + Ѵ)Т

Г7
^‘/і1(і)’кіа[пТ]+к2І£[іТ]

или (аппроксимация методом прямо­
угольников)

/ МаЮ’крЬ+^еМ]
/
'и

МпТ)~к^(пТ)+ -^е[іТ},

Є(«

,=1

пТ <1 < (п + 1)Т,

где к2 = Ткп/Т^ к{=кп.
Передаточная функция и частотные
характеристики ПС-регулятора имеют
вид:

Рис. 9.18

№(д) = [к^-е-д) + к2]/д; ж (д) = к} + к2-?—^ W(z) = k^k2 ^^

т^ = кх

5ІПЙТ/2^ | к2 !
к2
^Т/2 [ \, + 4£2ып2 &Т/\

-у (QT/2)-arctg

хе

I-

^а772)(£2+2£,)

При Г = 0, ^р = ^ и Тн=к}Т/к2 дискретный ПС-регулятор подо­
бен аналоговому ПИ-регулятору. При этом характеристики дискрет­
ного ПС-регулятора близки к характеристикам аналогового ПИ-регулятора, если АГ<0,2, а 7<0,17и (АТИ <3). Параметры настройки
ПС-регулятора: кх, к2 и Т.
Программирование ПС-алгоритма в приведенном виде приводит
в процессе настройки к тому, что любое изменение значений кп и 7И
вызывает резкие изменения значений ц, что недопустимо. Поэтому
обычно используют другое выражение ПС-алгоритма:
Іі[пТ] = ^киЕ[пТ] + Ь[(п-\)Т + ^Ткп/ТМпТ],

где Р = ±1 — коэффициент. Здесь Ткп/Ти < 1, иначе САУ будет неустой­
чива. Второе слагаемое в приведенном выражении соответствует Ь[пТ\.
Параметры ПСР- и ПИД-регулятора связаны при Г —> 0 следую­
щими соотношениями: *Р = К; 7; = кхТ!кг, Т„ = Тк,/^. При этом ха­
рактеристики ПСР- и ПИД-регуляторов близки друг к другу, если
О.Т< 0,1. Параметры настройки ПСР-регулятора: к1} к2, к3 и Т.
Алгоритм ц в представленном виде для ПСР-регулятора, назы­
ваемый позиционным, также неудобен для реализации в ЭВМ, так как
для получения ц необходимо кроме текущего значения є [и 7] пом­
нить все предыдущие значения от є (0) до є [(и - 1)7]. Это значит, что
242

через некоторое время работы САУ для вычисления этого выражения
не хватит памяти (из-за необходимости хранения всех промежуточных
значений). Так как при переходе от (/ - 1)-го к /-му такту в алгоритме
добавляется лишь один новый член, то позиционный алгоритм можно
модернизировать, сделав его рекуррентным. Для этого записывают
алгоритм для ц[(п-1)7] (для предыдущего такта), вычитают его из
ц [я7] и получают:

Ы " л = ц[(и -1) Л + Ір{(1 + Гд I ту^п Т) + (-1 + У/ Г„ - (2 7Ѵ Г)) х
ХЕ[(«-1)Л + (ѴПе[(«-2)Л},
или

ц[пТ] = ц[(и-1)Т] + к{Е[пТ]~к2Е[(п-\)Т] + к3Е[(п-2)Т],

или
Ни — Нл-1 + ^І^л — ^2^и-1 + ^З^л—2 ’

где к^к^ + тт + Т^Т]-, к2=кр(1-Т/2Ти+2ТаІТ); к3 =кр(Та/Т).
Для вычисления ц^Г] необходимо запомнить лишь \і(п-Ѵ)Т
и значения є на интервалах квантования п, п-\, п-2.
Обычно, чаще используют ПСР-алгоритм в виде (с учетом того,
что Е = х3-уос; г^с)

И[«Л = ц[(иЧ)Т]+*р{[е[ЛП-е[(и-1)ПНГ'ад
+(ГД/П[-Я«П+2Я(»-1)П-Я(«-2)Л]}-

Используются и другие оригинальные алгоритмы (быстрого умноже­
ния, параллельных вычислений), позволяющие увеличить скорость
обработки информации.
Кроме аналоговых и дискретных регуляторов существуют комби­
нированные аналого-цифровые регуляторы; например, при форми­
ровании ПСР-закона в ц (/) П-составляющая соответствует анало­
говому регулятору, т. е. равна ^рє(0В зависимости от периода Т и шага квантования ^ дискретные ре­
гуляторы можно приближенно рассматривать как импульсные ( ^ -^ О,
характеристика квантователя близка к линейной с WK(p) ~ кк) или
как аналоговые (при выполнении соответствующих условий эквива­
лентности при ^—>0, Г—>0).
Передаточную функцию дискретного регулятора с экстраполятором (фиксатором) нулевого порядка приближенно можно получить
сразу по № (р) заменой р на
г А (аппроксимация по способу

16*

243

трапеций Боксера—Тамера) с последующим умножением результата
на 2/(2+1). Другие значения ^(2) получаются при использовании
известных способов приближенного численного интегрирования, на­
пример, способа прямоугольников: І/рнТг/Сг + І), способа Симп-

- (22 + 42 + 1)/(22-1) и др.
Так, для ПСР-алгоритма при аппроксимации по способу прямо­
угольников

^(г) =

(’-1)

— кА 1-І— —
рК Т
'и г-1
4 1

т

т

т 2-0
(
1
1
— н к \ 1 +---- ^Т Р\.
т

В случае, когда значения д и Т таковы, что условия эквивалент­
ности не выполняются, характеристики дискретных УУ будут зави­
сеть от д и Т и могут существенно отличаться от характеристик ана­
логовых регуляторов (обычно в худшую сторону), как за счет Илб(р, 2),
так и из-за ошибок, обусловленных квантованием сигналов. Заметим,
что САУ с дискретным регулятором принципиально свойственно за­
паздывание, в среднем равное т = 772, так как сигнал ошибки е[«7]
формируется только в дискретные моменты времени, между которы­
ми САУ разомкнута.

§ 9.4. РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ АЛГОРИТМОВ

Особенности аппаратной реализации дискретных алгоритмов
управления на уровне обобщенных функциональных и структурных
схем УУ подробно представлены в работе [10]. Основные функции
формирования требуемого алгоритма управления ц [и7] в них вы­
полняет цифровое вычислительное устройство (процессор). К числу
дискретных УУ аппаратного типа относят также дискретные импульс­
ные регуляторы (ИР), иногда их называют импульсными аналого­
выми регуляторами, которые позволяют уплотнить каналы передачи
информации и обеспечить многоканальное обегающее управление
ряда координат ОУ. Импульсные регуляторы содержат импульс­
ный элемент (модулятор), осуществляющий амплитудно-импульсную,
широтно-импульсную или время-импульсную модуляции (АИМ,
ШИМ, ВИМ) входного сигнала е (/). В ИР частота квантования (ок
задается принудительно, обычно (0к = 6(і)с; ИР также реализуют рас­
смотренные выше дискретные алгоритмы управления.
244

При определенных условиях [выбором значения (йк; соответствую­
щий И^с(/?)] импульсный регулятор в динамическом отношении
можно привести к эквивалентному непрерывному регулятору. Так,
выбором частоты квантования шк >2(0с, соЕ <(сок-шс) у ИРсАИМ
и а)к > Зсос, (і)Е < (шк-2ш)с у ИР с ШИМ и ВИМ их можно приве­
сти к аналоговому обыкновенному регулятору. ИР с АИМ являются
линейными и обычно включают в себя импульсный модулятор (дель­
та-импульсный модулятор) И формирующий элемент С Ифэ(р), охва­
ченный обратной связью с Wac(p).
ИР с ШИМ и ВИМ (ФИМ) являются нелинейными регуляторами,
однако при у < 0,3 (у = /и / 7) и Е[ <0,3 (Е] = т3 Т, т3 — длительность
задержки импульса относительно начала периода квантования Т)
они могут рассматриваться как линейные ИР с АИМ. В ИР соот­
ветствующим выбором обратной связи с ^ас^) можно сформировать
любой алгоритм управления стандартного типа.
Из трех принципов реализации дискретных УУ (аппаратного, про­
граммного и аппаратно-программного) аппаратно-программный (ком­
бинированный) базируется, как правило, на основе микропроцессо­
ров или программно-управляемых вычислительных устройств. В на­
стоящее время микропроцессоры получили широкое распространение
в регуляторах различного назначения. Такие регуляторы называют
программируемыми контроллерами или программно-управляемыми
устройствами (ПУУ). ПУУ эмулируют, т. е. выполняют функции ло­
гических систем управления, следящих систем, регуляторов соотноше­
ния переменных, регуляторов адаптивного, каскадного, многосвязно­
го управления, регуляторов комбинированного управления (по воз­
мущению) с упреждением и запаздыванием, с подстройкой обратной
связи, с компенсацией чистого запаздывания, цифровой фильтрации
и т. п. В локальных САУ ПУУ выводят объект управления на задан­
ный режим, производят автоматическую идентификацию ОУ в режи­
ме его работы и решают задачи аналитического синтеза оптимально­
го алгоритма управления (захват процессов управления). ПУУ функ­
ционируют в соответствии с заложенными в них алгоритмами, програм­
мами (фильтрации, идентификации, управления), которые могут быть
достаточно разнообразными и определяются целями управления.
Изменение функциональных возможностей ПУУ обеспечивается про­
граммными средствами, что создает свойство гибкости по алгоритмам.
Сравнение дискретных (цифровых) и аналоговых регуляторов позво­
ляет отметить следующие особенности. Аппаратные аналоговые ре­
гуляторы обладают «жесткой» структурой и формируют строго опре­
деленные (наперед заданные) алгоритмы управления. Смена алгорит­
мов или расширение диапазонов настройки параметров за обусловлен­
ные пределы практически недопустимы. Регуляторы сложны в настройке
и перенастройке; параметры настройки, как правило, не соответству­
ют оптимальному ведению процессов управления; скорость и точность
обработки информации в аналоговой форме мала; низкой является
245

помехоустойчивость. Недостатками аналоговых регуляторов являет­
ся также дрейф параметров из-за старения элементов, температурный
дрейф параметров. При решении сложных задач управления увеличи­
вается аппаратное обеспечение и усложняется структура регуляторов.
Поэтому аналоговые регуляторы целесообразно применять при реше­
нии простейших задач одноканального управления простыми ста­
ционарными ОУ.
Дискретные (цифровые) регуляторы (особенно при реализации на
основе микропроцессоров) обладают гибкостью и сопрягаемостью, лег­
костью изменения параметров и характеристик благодаря их програм­
мируемости; возможностью реализации нетривиальных и эффектив­
ных сложных алгоритмов с идентификацией ОУ и адаптацией пара­
метров, многофункциональностью в применении и многоканальностью в управлении несколькими ОУ или сложными ОУ. Их отличают
высокая помехоустойчивость, практическое отсутствие влияния раз­
броса параметров, старения и температурного дрейфа элементов, от­
сутствие элементов настройки, низкие массогабаритные показатели,
более высокое быстродействие, низкая стоимость и повышенная на­
дежность. В процессе управления можно изменять параметры настрой­
ки по программе, возможны параметрическая адаптация, легкая мо­
дификация, усложнение или смена алгоритмов управления за счет из­
менения (смены) программ. При этом усложнение алгоритмов не ус­
ложняет аппаратного обеспечения и практически не влияет на надеж­
ность контура управления. Эффективность и скорость программиро­
вания могут быть достаточно высокими за счет использования про­
граммных модулей, а также высокого уровня проблемно-ориентиро­
ванных языков программирования. Точность реализации алгоритмов
управления определяется числом разрядов (длиной информационно­
го слова). Так, при ^ = 8 максимальная погрешность составляет 0,8%,
при У = 12 — 0,05%, при У = 16 — 0,003% . Быстродействие цифровых
регуляторов качественно определяется временем цикла и тактовой час­
тотой /Т.
Следовательно, цифровые регуляторы и ПУУ на базе микропро­
цессоров целесообразно применять при решении сложных задач много­
канального управления сложными нестационарными одним или несколь­
кими ОУ. При этом для нестационарных объектов (близких к линей­
ным) наиболее эффективно использовать ПИД-алгоритмы, так как
более сложные алгоритмы не создают больших преимуществ, к тому
же не имеют отработанных методик расчета оптимальных настроек
регуляторов. Такие системы управления, базирующиеся на распреде­
ленной сети микропроцессоров, могут объединяться для реализации
алгоритмов более высокого уровня и быть непосредственно связан­
ными с ЭВМ АСУ. При этом измерительные, вычислительные и управ­
ляющие устройства максимально приближены к ОУ и составляют
локальные микропроцессорные САУ, объединенные в единую сеть
с мощной ЭВМ АСУ.
246

§ 9.5. МНОГОСВЯЗНЫЕ (МНОГОМЕРНЫЕ) РЕГУЛЯТОРЫ

Многосвязные регуляторы (МР) используются для управления мно­
госвязными (многомерными) ОУ. На входы МР поступает вектор Еу (О
или Е^пТ]; на выходе МР формируется вектор управляющих воздей­
ствий Ц((0 ИЛИ Ц([лГ]; где/,/—число воздействий на входе и выходе
МР соответственно (обычно і = у). Передаточная матрица (оператор) W
МР определяется из следующего векторно-матричного уравнения:
Иі-^Ср)6;

и,

или

ф = №

Е

^,

где 'ці и е — векторы-столбцы, обозначаемые двойными стрелка­
ми (рис. 9.19). Формирование е осуществляется в многомерных сум­
маторах. Как следует из записанного уравнения, МР содержит і сепарат­
ных регуляторов и у перекрестных регуляторов (/ ^ у). МР подразделя­
ются на автономные, применяемые для управления в автономных САУ,
и неавтономные — для неавтономных САУ. САУ с МР автономна, если
выполняются условия инвариантности каждой регулируемой величины у, по отношению к заданиям на остальные у,^ переменные.
В качестве сепаратных регуляторов обычно используют линейные
или нелинейные «стандартные» аналоговые или дискретные регу­
ляторы. Перекрестные регуля­
торы в автономных САУ пред­
назначены для компенсации
взаимного влияния между пере­
менными и поэтому их иначе
называют компенсаторами. В
Рис. 9.19
неавтономных САУ перекрест­
ные регуляторы обеспечивают координацию работы сепаратных
каналов и их называют координаторами. Если в Wij{p') все переда­
точные функции, кроме диагональных, равны нулю, такой МР называют диагональным регулятором; его передаточная матрица имеет вид:

Ѵ(р) = \

о
247

Рис. 9.20

В САУ с МР (рис. 9.20) показатели качества подразделяют на сепа­
ратные, групповые и общие. МР характеризуются степенью связи меж­
ду каналами управления, например, для двух каналов:

Структура и параметры МР определяются на основе заданных тре­
бований к САУ конкретного ОУ. В связи с этим МР являются специ­
альными; их синтез и проектирование производятся индивидуально.

§ 9.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
(БАЗОВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ)

Выбор алгоритма управления должен соответствовать требова­
ниям, предъявляемым к точности и качеству процессов управления
в САУ. Чем выше эти требования, тем сложнее алгоритм управления
и УУ (регулятор). При управлении нестационарными ОУ с широким
диапазоном отношений т/7^ =0,1-5-10, при значительном дрейфе их ха­
рактеристик и параметров линейные регуляторы с жесткой (постоян­
ной) структурой не обеспечивают оптимальности процессов управле­
ния. Для таких объектов целесообразно применять нелинейные алго­
ритмы управления, реализуемые с помощью нелинейных УУ (регуля­
торов). У таких регуляторов алгоритмы управления, параметры или
структура изменяются скачкообразно (или по другой программе) в со­
ответствии с логическими алгоритмами в зависимости от перемен­
ных СОСТОЯНИЯ ОУ И Е (0, Ц (0 и т. д.
Применение нелинейных УУ позволяет стабилизировать ОУ при
больших (сильных) возмущениях (недопустимых для линейных регу­
ляторов), повышает устойчивость САУ, создает возможность стаби­
лизировать структурно-неустойчивые ОУ.
Часто при реализации нелинейных алгоритмов управления применя­
ют типовые линейные алгоритмы в сочетании с логическими алгоритма­
ми, формируемыми с помощью функций переключения. Для нелинейных
248

регуляторов часто нет необходимости выполнять условия высокой стабиль­
ности и точности настроек параметров регуляторов для данного ОУ.
В сравнении с линейными применение нелинейных регуляторов
увеличивает точность регулирования, снижает перерегулирование ст
на 30 - 50% , уменьшает время регулирования в два-три раза, значи­
тельно расширяет области устойчивости, уменьшает фазовый сдвиг
(инерционность) систем и значение интегрального квадратичного криt
терия качества J2q = |е2(т)<Ут. Следовательно, с помощью нелинейо
ных регуляторов как регуляторов с гибкой (переменной) структурой
достигается квазиоптимальное управление ОУ в условиях, когда при­
менение линейных регуляторов не обеспечивает даже их достаточной
устойчивости и требуемого качества. Это связано с тем, что нелиней­
ные регуляторы изменяют в нужном направлении сразу несколько свойств
САУ, делают их инвариантными к изменению параметров и внешних
возмущений, оптимизируют системы по определенным критериям. Не­
линейные регуляторы используют также как формирователи допол­
нительных корректирующих воздействий (в дополнение к основным,
которые формируются линейными регуляторами). В последнем слу­
чае ц(/) = Цр(г) + Цк(0 , где HPW —основное регулирующее воздей­
ствие (например, ПИД-регулятора); Цк(0— сигнал коррекции нели­
нейного регулятора.
В общем случае нелинейные алгоритмы представляют собой нели­
нейные функции, например, типа /^(ц, d^/dt, ...); F2(e, dE/dt,
^dt, ..., ц, f, g) и др.

В нелинейных алгоритмах можно выделить составляющие логиче­
ского, функционального, оптимизирующего и параметрического ти­
пов. Логические составляющие представляют совокупность логичес­
ких операций управления, определяемых функциями переключения
F(t). Функциональные составляющие определяются нелинейными функ­
циями
F2, причем подразумевается содержание в них как ста­
тических, так и динамических нелинейностей. Оптимизирующие состав­
ляющие предопределяют оптимизацию процессов управления в смысле
экстремума (минимума, максимума) какой-нибудь величины или функ­
ционала с учетом реальных ограничений. Параметрические составля­
ющие формируются обычно в виде нелинейной функции текущих ко­
ординат.
Формирование логических составляющих алгоритмов управле­
ния производится на основе анализа знаков е, dE/dt и их комбина­
ций в виде сумм, произведений и т.п.: (е +dE/dt); е (е + dE/dt), т. е
F' (t) = sign е; F” (t) = sign dE/df, F'" (t) = sign (e + dE/dt) и т. п.; модуля
функции |е|, dE\/dt и их аналогичных комбинаций ^dE/dt и др. [10].
При формировании функций переключения следует учитывать, что
Е = |E|sign е; dE I dt = (d\E\/dt)sign е; sign EdE/dt = sign (і/|е[ / dt)1^;
249

sign е[^Е + ^2(^/Л)] = sign (k^'.+k^Eildt).
При этом модульные функции переключения имеют преимущества по
сравнению с функциями переключения других типов [например, типа
линейных комбинаций е и del dt: /^(/) = EdE/dt; F2(t) = E(kxE +k2dE/df)].
Эти преимущества упрощают реализацию УУ (исключается операция
умножения), создают предпосылки создания более устойчивых структур
САУ (устраняются автоколебания вблизи положения равновесия — при
малых Е и dE/dt, которые могли возникнуть из-за необходимости
переключения структуры САУ).
Функции переключения формируются иногда без применения опе­
раций дифференцирования е (/) в так называемом косвенном виде [10].
Эти функции переключения эффективны для применения в условиях
действия помех (нет дифференциаторов) и используются для создания
регуляторов с переменной структурой.
Функции переключения иногда формируют с использованием толь­
ко пропорциональных составляющих (их называют пропорциональны-

ми) или в виде интегралов, например, F(t) = J е(т)Л с переключае0
мым пределом интегрирования (их называют интегральными).
В ряде случаев функции переключения образуются только путем пе­
ремножения E(t)F(t), где F(t)\{ t или F(;p—дискретная функция,
отражающая тот факт, что на интервале процесса (Т|, /2) е(0 умножает­
ся на F(t). Обычно при этом F (t) равна 0 или-1 (инвертирование)
или к (уменьшение или увеличение сигнала е (/) в к раз). Временной
интервал At = t2- tx может определяться в виде фазового интервала
с учетом, что период Г = 2л /оо, т. е. в виде фазовых углов Ф2, фр
Логические составляющие многообразны и иногда имеют сложные
функции переключения, например
Fx(t) = sign (е + £е|е|); F2(t) = sign е(^Ie' + ^|еі) + sign Ё(к3;еі + к4[ё).

В общем случае функцию переключения F{t) можно записать в виде:
Ч

I

F(t) = \y\E, Е —, Е,
dt 1

d'E\
dt

dE
dt

, Е + —,

dt

du.
dt

и т. д. Функции переключения удобно записывать через обобщенные
функции, используя единичные функции типа «ДО» 1/о(О, «после»
(ДО и «между» Д,.
В практике САУ нашли применение следующие алгоритмы с ис­
пользованием различных функций переключения [10].
1. Нелинейный П-регулятор с переменным коэффициентом переда­
чи регулятора кр; его алгоритм управления ц(/) = ф(А:р)Е(0, где
ф(&р) = &Р| -1^ (0 + крі-ДО — нелинейный коэффициент, характери250

зующий изменение кр во времени. Момент переключения ^] опреде­
ляется, например, в функции знака изменения линейной комбинации
произведения Р(і)-г ((/е/йі) ^ 0; в момент ^ выходная координата
достигает Л (°°). Однако в силу инерционности происходит перерегу­
лирование, которое желательно уменьшить. В момент /[ можно вы­
брать кр^ таким, чтобы перерегулирование значительно уменьши­
лось; при этом уменьшается время регулирования /р. Применение
данного алгоритма управления эффективно для ОУ с запаздыванием.
2. Нелинейный И-регулятор с переменной постоянной интегрирова­
ния Ги. Алгоритм управления имеет вид

Ц(0 = Ж

]е(т)Л,

V 'и У 0

V г — нелинейный коэффициент, управляемый посредством
и7
функции переключения Г (ф например, ^(Г) = к}г + к2<& /Ж; к} и к2 —
весовые коэффициенты.
Регуляторы с переменной постоянной интегрирования (Ти ѵаг)
обычно применяют для объектов без самовыравнивания, т. е. для струк­
турно-неустойчивых объектов, придавая САУ достаточные запасы ус­
тойчивости при хорошем качестве протекаемых процессов.
3. Нелинейные ПИ-регуляторы. Существуют три варианта нели­
нейных ПИ-алгоритмов управления с переменным коэффициентом
передачи

где

Ц(0 = ШРМ) + ~ |е(т)Л;
о

с переменной постоянной интегрирования

Ц(О = £ре(0 + V

с переменными коэффициентом передачи £р и постоянной интегри­
рования 7^
^) = Ѵ1(^р)Е(0 + Ѵ2

где ѴЧ, Жд — нелинейные коэффициенты, изменяющиеся каждый в со­
ответствии со своей функцией переключения ^(/) И /^(О , например

Жі ^Р1 -і^ + ^ц/);
251

V?
—
і 2

Иі

(О + ^И^2

*2 ѵ 7

СІЕ

‘2

1(0; ед = е к^ + к2 ~- + ^зИ(О ;

7^(0 = есіе/сР^ 0.

Моменты переключения в общем случае ^ * О и определяются
функцией переключения.
4. Полупропорциональное управление — ПП-регулятор. Его алго­
ритм управления имеет вид:

крЕ(і)
Ц(0 =

где Г(і) = ЕсІЕІск,

или

при Р(() > 0;

£рєтах _ при Р(і) < 0,

иначе

ц(0 = ^6(0-1,, (0 + £ретах(О •<, 1,2 (0-

Полупропорциональное управление в эквивалентном отношении ана­
логично ПИ-управлению, но при этом свободно от недостатков, кото­
рые свойственны реализации И-составляющей. Следовательно, в систе­
мах с ПП-регулятором достигается свойство астатичности, т. е. прин­
ципиально можно сделать статическую ошибку равной нулю. Осо­
бенно эффективно ПП-управление по сравнению с обычным П-управлением для объектов, где отношение т,% >2^-10. Однако в САУ с
ПП-регулятором необходимо более точно определять параметры ОУ,
и эти САУ более чувствительны к нестабильности параметров ОУ,
чем САУ с ПИ-регуляторами.
5. Пропорционально-полуинтегральное управление — ППИ-регулятор. Алгоритм управления имеет вид

Н(0 = ^р

є(0 +

1 Г

ѵе(т)А

и о

где V =

1 — при сі\е\і ск > 0;
0— при і/ІЄі/Л <0.

Здесь до момента переключения ^ управление ведется по ПИ-алгоритму, когда е(с1е/сЬ)>0, а при е (сіе / ск) с 0 осуществляется пропор­
циональное управление. При этом действие И-составляющей стаби­
лизируется на уровне, достигнутом при € (сіе /ск) = 0. В динамическом
отношении ППИ-управление эквивалентно ПИ-управлению (при зна­
чительно большей области устойчивости) при определенной настрой­
ке параметров ^р и 7^.
252

6. Нелинейные ПИД-регуляторы. Алгоритмы управления имеют не­
сколько модификаций. В зависимости от значения е (/) производят
включение или выключение И-составляющей: при е! <5 — ПИД-управление; при !е > 8 — ПД-управление, где 8 — уровень переключе­
ния или зона введения И-составляющей. Существуют и некоторые
другие модификации нелинейных ПИД-алгоритмов, в частности ПИДалгоритмы как комбинация Д-составляющей и вышерассмотренных
нелинейных ПИ-алгоритмов управления.
7. Полупропорциональное управление со сбросом регулирующего
воздействия — ППС-регулятор. Алгоритм управления ППС-регулятора имеет вид:

ц(/) = ^6(0^ (Г)Н£Р
или

н(0 = ^ ѵ(е(0) +
где

1 —при сіе*/сіі >0;
ѵ=

0—при(і'^/(іі <0;

і £ [0,

л/со].

Следовательно, здесь при Р(і) = е (сіе. /сіі) > 0 ППС-регулятор рабо­
тает как П-регулятор; при г = ^ происходит сброс регулирующего
воздействия на величину Дц(0 = (кр - ^с)Етах(?) и его фиксация на
этом уровне в интервале от ^ до (2. При / > (2 ППС-регулятор опять
работает как П-регулятор.
В динамическом отношении ППС-регулятор в первом приближе­
нии эквивалентен ПИД-регулятору при определенной настройке его
параметров. Следовательно, ППС-регулятор придает системам свой­
ства астатического управления, расширяет область устойчивой рабо­
ты и в целом улучшает качество процессов в САУ.
8. Пропорциональное управление со сбросом и запоминанием регу­
лируемого воздействия — ПЗС-регулятор. Алгоритм управления ана­
логичен ППС-регулятору, где Р(1) = к} е' + к2сІЕ ск — модульная функ­
ция переключения. До Г], покаТД^О управление ведется по П-закону; в момент /І5 когда функция переключения Р (/) = 0, происходит
сброс регулирующего воздействия на величину, определяемую кс,
и его запоминание до момента і2, пока Р (і) < 0. В моменты / > 12
осуществляется опять пропорциональное управление, пока Р (і) = 0
и т. д. Здесь, как и у ППС-регулятора, кс = 0,4ѵ0,6. Настройка на /І5 /2
ведется подбором значений кх, к2. ПЗС-регулятор, создавая опере­
жение по фазе, придает САУ свойство астатичности (8СТ —> 0) и эти
САУ характеризуются большей точностью и меньшей длительностью
253

переходных процессов. Необходимо отметить, что ПЗС-регулятор при
Я = О, ^ =1 превращается в ППС-регулятор.
9. Пропорциональное управление со сбросом и запоминанием ре­
гулирующего воздействия и введением интегральной составляю­
щей — ПЗСИ-регулятор. В алгоритм управления (как у ПЗС-регуля-

тора) добавляется И-составляющая і|/(1/^и)рі[Е(Фт> где
о

1—при
=

[1 — при

Я(/)<0;

[О—при

^(/)>0,

я

V

1

[О—при

^(ґ)>0;
/'ХО < 0.

Модульные функции переключения:

ЯО = та| є(/ л - Ш я (/) = та !^е / л| - 5,
где 8 — зона введения И-составляющей. Время регулирования здесь
сокращается в два-три раза, уменьшается также перерегулирование.
При этом значительно расширяется область устойчивости, умень-

шается значение /2о = /е2(т)Л. Таким образом, ПЗСИ-управление
о

в определенном смысле эквивалентно ПИД-управлению. Системы
с ПЗСИ-регуляторами обладают свойствами астатичности и имеют в це­
лом улучшенные качественные показатели. ПЗСИ-управление це­
лесообразно использовать для объектов управления с отношением
т/Т0 =0,1 + 10.
10. Полупропорционально-дифференциальное управление — ППДрегулятор. Алгоритм управления имеет вид:
ад = кр ^de(t)/dt + Tad2t(t) / di2 ] = kpfz (t) - при F(t) > 0;

dt

0 — при F(t) <0,

где F(t) = e(t)de(t) / dt.
Следовательно, при F (/) > 0 ц(/) = А:р[є(О + T^(dt(t)/ dt)] ППД-регулятор работает как ПД-регулятор; при F (I) < 0 регулирующее воздействие ц (0 сохраняется на уровне, достигнутом при етах(/). Иначе
алгоритм управления можно записать так:
/\

1---- при de\/ dt > 0;

где
254

Ж=

0---- прилад <0.

С

de

d^t

di,

ППД-регуляторы по динамическим свойствам эквивалентны ПИДрегуляторам при определенных настройках параметров. ППД-регу­
ляторы расширяют области устойчивости, придают САУ астатиче­
ские свойства. Однако эти САУ являются чувствительными к
точности определения и стабильности параметров ОУ.
11. Функциональные, логические, оптимизирующие и параметри­
ческие составляющие алгоритмов управления. Нелинейные алгорит­
мы могут содержать комбинации составляющих функционального,
логического, оптимизирующего и параметрического типов.
Рассмотренные выше алгоритмы не исчерпывают класса нелинейных
алгоритмов. Их число достаточно велико. Так, можно отметить распрост­
раненные нелинейные функциональные алгоритмы (составляющие) вида:
Ці (?) = к\€ + к-)Ё + куё + ^Ё Ё,;
Ц2(0 = Е±^ЕІЕ + ^Е3;
ц3(/) = ^Ё + ^П ЕДі^” -^ Е'^

щ(0 = Е±^£І;
Ц5(О = е + (£, +£2jEl)sign Ё;

ц6(0 = ЁиІЁ;Е;
p7(/) = E2sign

е;

Ц8(0 ^Е + Е^Е + ^С
Алгоритм цД/), например, используют для расширения парамет­
рической устойчивости в контурах стабилизации летательных аппа­
ратов; ц2(0 — для повышения быстродействия САУ; ц3(/), Ц4(0 —
для повышения качества и точности управления в установившихся
режимах (е (z) <1); p5(z) — для улучшения амплитудно-фазовых ха­
рактеристик и повышения запасов устойчивости САУ. Здесь, в общем
случае, везде ц (Z) — нелинейная функция от е(/): е, Е2, ..., е*; Ё,
(w)
ё, ..., е; sign Е, ..., обеспечивающая воздействия по статическим
и динамическим нелинейностям, создающим форсировку переходно­
го процесса, повышенную точность и т. д., т. е. улучшенные показа­
тели качества САУ. Для регуляторов, реализующих эти алгоритмы,
можно определить эквивалентные амплитудно- и фазочастотные ха­
рактеристики по передаточной функции и коэффициентам гармони­
ческой линеаризации:

Ж(4,p) = ?](4)+^l,^
255

или W(Ax,j(i)) = qx(Ax, со) + jq^Ax, ш) = A{AX, (о)е^(Л1’и\

Здесь запись РИ (Ах, р) по форме соответствует линейному звену с
введением производной (см. п. 3.3).
Нелинейные логические алгоритмы (составляющие) также чрезвы­
чайно разнообразны и определяются различными логическими функ­
циями переключения (sign), например, типа

ЦЛ](О = ^П (е + ^Е); pn2(0 = sign E(^i|e| + ^|e|)+ sign E(fc3l£j + ^|E|);

Цл3(0 = 1 при F(e,e)>0; 0 — при F(e, Ё) = 0; -1 при— F(e,e)<0
и т. д. Для Цлі(0> например, ЛЦ,со) = 1/2Ь24.

Разработаны алгоритмы с выполнением операций мажорирования
и сложных логических функций от п переменных. Использование
логических составляющих в нелинейных алгоритмах приближает
процессы в САУ к оптимальным. Заметим попутно, что если е и de/dt
имеют одинаковый знак, то е растет, и наоборот.
Нелинейные оптимизирующие алгоритмы (составляющие) базиру­
ются, как правило, на использовании функций переключения с одно­
го значения +хтах на -хтах. Моменты переключения определяются
комбинациями п значений координат, где п — суммарный порядок
уравнения САУ с регулятором. Эти алгоритмы обычно содержат ком­
бинации составляющих функционального и (или) логического ти­
пов, например:

цо1(О = sign [£е + Е|ё);

ц02(0

= кх |Е sign (^2е|е| + е);

ц03 (0 = Е + &ё2sign у; ц04 (0 = Е + Ё + sign ^ In (1 - Ё / sign у);

Цо5(О = ^+(^2”^з'Е^ + Ё И др.

Оптимальные алгоритмы обеспечивают минимум ошибки, макси­
мум быстродействия, поддерживают на экстремальном уровне опре­
деленные параметры САУ или комбинацию (функционал) парамет­
ров САУ в условиях действия ограничений на управляющие функции
и фазовые координаты ОУ.
Нелинейные параметрические алгоритмы (составляющие) базиру­
ются на управлении по отклонениям от заданной программы (зако­
на), определяемой через текущие значения скорости и координат ОУ.
Эти алгоритмы представляют собой достаточно сложные функции:
ц(/) = Ф(е, |Еі, ё, |ёі, ..., ц, у, х, ...), т. е. зависят от е, ц,у, х, их
модулей и комбинаций сумм, произведений и т. п.
12. Регуляторы с переменной структурой. Структура регулятора из­
меняется, и регулятор может быть в определенные моменты времени
ПИ-, ПИД-, ПД-, ПЗС-регулятором и т. п. Изменение структуры произ­
водится в соответствии с выбранной функцией переключения F (і)
256

посредством различных приемов [10]. В регуляторах с переменной
структурой могут вводиться различные составляющие ц (/); линей­
ные — Д, ПД, ПИД с варьируемыми параметрами £р, Та, Ги; нели­
нейные (х2, х1/2, хк и др.) для оптимального управления ОУ с т, ОУ
с экстремальными характеристиками; осуществляться мажорирование
сигналов, адаптивная фильтрация и т. д. В регуляторы может вводиться
блок самонастройки, который обеспечивает автоматическую под­
стройку структуры и параметров регулятора (Лгр, Тд, Ти) в функции
от изменения динамических параметров объекта управления и дей­
ствующих на объект возмущений. Следовательно, такие регуляторы
примыкают к классу адаптивных регуляторов с переменной структу­
рой (переменными алгоритмами) управляемыми (подстраиваемыми)
параметрами.
Нелинейные дискретные алгоритмы. В большинстве случаев нели­
нейные дискретные алгоритмы управления представляют собой диск­
ретные аналоги непрерывных алгоритмов. Их реализация определяет
класс нелинейных дискретных регуляторов. В качестве примера рас­
смотрим нелинейный дискретный алгоритм полупропорционального
управления:

'

[О

приЛ/)<0,

где £(0 = є[нГ]Ує[«Т]; Ѵр[лТ] = Н[«Л"Н[(«-1)Л; ^[пТ] = е[пТ]~
-є[(и-1)П
Характеристики ПП-регулятора, качество процессов управления
САУ с дискретным ПП-регулятором аналогичны САУ с аналоговым
ПП-регулятором, если Т < (0,1-г-0,2)т [т — время запаздывания ОУ;
^о(р) = кое~рх/(ТоР + ї) ]. Автоколебания в САУ с цифровым ПП-ре­
гулятором, вызываемые квантованием по уровню, обычно не пре­
восходят значения, соответствующего одному кванту и при Дє/Дєтахх
х(Дц/цтах) < ІО-2 -г-10-3 практически не влияют на качество процессов.
Алгоритм функционирования дискретного ППД-регулятора имеет вид

^Ѵе[«7] + ^3£[«71} при F(z)>0;
Д^иГ] =

0{ц[«Л = Ц[(и-1)Л}

при £(/)<0,

где Р(і) = е[пТ]\^е[пТ]—функция переключения; \/2е[пТ]= ^г[пТ]~
-Ѵе[(и-1)Г] — обратная разность второго порядка. Дискретный ППДрегулятор имеет три параметра настройки: к{, к^, Т. При Г —> 0 связь
параметров аналогового и дискретного нелинейных ППД-регуляторов
следующая: кр = кь к3Т = Тд. САУ с дискретными и аналоговыми
ППД-регуляторами примерно равноценны при Г< 0,1 т (т — время
17 А. А. Ерофеев

257

запаздывания ОУ); их применение эффективно для ОУ при
то/То>2ѵ1О. Однако свойство «грубости» (робастности) САУ с ППДрегуляторами выражено значительно слабее, чем в САУ с ПИ- и ПИДрегуляторами, т. е. они более чувствительны к точности определения
и стабильности параметров ОУ.
Аналогично рассмотренным дискретным ПП- и ППД- алгоритмам
управления можно записать и другие дискретные аналоги непрерыв­
ных нелинейных алгоритмов.
Реализация нелинейных алгоритмов. Особенности аппаратной ре­
ализации нелинейных алгоритмов управления на уровне обобщен­
ных функциональных и структурных схем УУ (Р) приведены в работе
[10]. При реализации нелинейных алгоритмов в УУ обычно использу­
ются блоки логических и нелинейных операций (БЛО и БНО). Законы
переключения, определяемые /ДО формируются БЛО; количество БНО
может быть различным. БНО непосредственно формируют нелиней­
ную характеристику управления под действием сигналов с БЛО [10].
БЛО может включать в себя элементы дифференцирования, интегри­
рования, суммирования и т. д., выполняющие различные элементарные
операции по формированию соответствующих функций переключения
из анализа и сравнения знаков е Д), сіе /Ж, ;Е|, сі\е\і ск и их комбинаций
в виде сумм, произведений и т. п. В качестве формирующих сигналов,
как уже отмечалось, могут использоваться /(і), уас(і), у (0, Ц (0 и т. д.
БНО непосредственно формируют регулирующее воздействие и в своем
составе содержат ключевые логические элементы формирования не­
линейных статических параметрических характеристик управляюще­
го (компенсирующего) типа и др. Звено (звенья) с компенсирующими
нелинейностями Гк(хк) может включаться по отношению к звену
(звеньям) с основной нелинейностью САУ /’о(хо) последовательно, па­
раллельно или последовательно и параллельно. При этом получаемое
эквивалентное звено, например Рэ(хэ) = Рк(хк)Р0(х0) = кэ или Рэ(хэ) =
= /^(хо) = к3, имеет при точной компенсации линейную результирую­
щую характеристику. Однако точная компенсация из-за влияния инер­
ционности, запаздывания т, дестабилизирующих факторов, изменя­
ющих параметры ^0(х0), практически невозможна. Поэтому возможны
режимы недокомпенсации или перекомпенсации, причем режим перекомпенсации часто более предпочтителен. При желании обеспечить более
точную компенсацию нелинейности F0(x0) в условиях переменности ее
параметров иногда вводят схемы компенсации адаптивного типа, когда
параметры ^к(хк) адаптивны к изменению параметров /о(хо). Эти
структуры являются достаточно сложными и не всегда приемлемы.
Вводимые нелинейности управляющего типа ^к(хк) могут также
изменять форму эквивалентной нелинейности ^(хэ) таким образом,
чтобы в САУ исключались нежелательные режимы (например, авто­
колебательные). В качестве ^к(хк) используют нелинейные харак­
теристики различного типа: с насыщением, с зоной нечувствительно­
сти, релейные с дифференцированием и др. [10] (см. п. 3.3).
258

Кроме них могут использоваться различные кусочно-нелинейные
и нелинейные характеристики. При реализации нелинейных харак­
теристик применяют операции возведения в квадрат, извлечение кор­
ня, умножение и деление, логарифмирование, антилогарифмирование,
определение модуля вектора, вычисление степенных и тригонометри­
ческих функций и др. Общий принцип формирования нелинейностей
в схемах связан с включением специального НЗ — нелинейного эле­

мента (НЭ), обозначаемого как Г

+ и2

= Р{и)^Р(х).
~и\
Необходимо отметить, что разнообразные активные нелинейные
корректирующие устройства (НКУ), используемые для коррекции не­
линейных систем, часто можно условно рассматривать также как оп­
ределенный класс нелинейных регуляторов.
Так, с помощью НКУ могут формироваться сложные нелинейные
функции (алгоритмы) управления, например, вида
^хэ)н^к(*ікжр)][і+^

^(хэ) = ^х1к)И№) + [^
и др. Обычно НКУ вводят сильно форсирующие воздействия, устра­
няя (уменьшая) в конечном итоге влияние основных нелинейностей
на свойства САУ. В САУ с НКУ используют линейные корректирую­
щие устройства (ЛКУ) Wi(p) в сочетании с Рк(хк), причем ЛКУ
выбирают по требуемым показателям работы САУ, а нелинейные ком­
пенсирующие звенья Г^х^ — по соображениям компенсации или
деформации основных нелинейностей ^(Хо).
Нелинейные алгоритмы управления, формируемые нелинейными
УУ можно определять в ряде случаев как оптимизирующие (оптималь­
ные) законы.
Схемы нелинейных регуляторов с переменной структурой и пара­
метрами, реализующие нелинейные законы управления логико-ана­
литического типа, приближаются по своим свойствам к регуляторам
адаптивного типа, если изменение параметров и структуры регуля­
тора является функцией задающих, возмущающих воздействий и пе­
ременных параметров (характеристик) ОУ.
Для реализации нелинейных (дискретных) алгоритмов используют таб­
личное задание нелинейных функций, различные методы их аппроксима­
ции (кусочно-ступенчатые, кусочно-линейные и др.), разложение в сте­
пенной или иной ряд (по функциям Хаара , Уолша и т. п.). В качестве
элементарных операций также применяют возведение в квадрат, из­
влечение квадратного корня и др.
Основу нелинейных УУ составляют функциональные преобразова­
тели различного принципа действия. При этом алгоритмы преобразо­
ваний реализуются как аппаратными (структурными), так и про17*

259

граммными или программно-структурными методами. Эффективным яв­
ляется реализация неоднозначных (многомерных) нелинейных функ- ций
с помощью многомерных нейронных сетей [см. п. 1.3 (7)], а также элемен­
тов нечеткой логики [15-18].
Свойства дискретных и аналоговых САУ с нелинейными алгорит­
мами при соответствующем выборе параметров настроек и периоде
квантования Т эквивалентны друг другу (в определенных ограничен­
ных пределах). Следует отметить, что нелинейным СА У, в отличие от
линейных, присущи целыйрж) особенностей, а именно (главные из них):
1. САУ может иметь несколько устойчивых положений равновесия
[устойчивость «в малом», «в большом», «в целом»], в то время как
линейная САУ может быть устойчивой в целом (или неустойчивой).
Равновесные состояния нелинейных САУ «в малом» обычно соответ­
ствуют особым точкам типа «устойчивый фокус» (р/ =-а,-± 70,-, см.
п. 6.1), «устойчивый узел» (Рі = -а,); неустойчивые состояния— осо­
бым точкам типа «неустойчивый фокус» (р, = + ос,- ± 70,), «неустой­
чивый узел» (Рі = + а,), «седло» {р, = ±а,). Особая точка типа «центр»
соответствует рі =± 70,. Отметим, что фазовые траектории (портре­
ты) нелинейных САУ (іу/сіх = R (х, у)/Q (х, у) = Р(х, у) в окрестностях
особых точек близки к фазовым портретам линейных САУ (особые
точки соответствуют поведению линейных САУ второго порядка), но
вдали от них они могут иметь качественные отличия, в частности
содержать: замкнутые особые траектории типа предельных циклов, ряд
особых точек (или не иметь их, как в САУ с гистерезисом), отрезки
равновесия (бесконечное число точек равновесия), сепаратисы, бифур­
кации и т. п. [2, 5, 7]. В линейной САУ может быть только одна особая
точка (для конкретных р^); вблизи особой точки обычно нелинейная
САУ исследуется методами линейной теории. В нелинейных САУ при­
нято определять устойчивость конкретного движения (возмущенного,
невозмущенного и т. д.), а не ее устойчивость в целом.
2. Автоколебания (АК) или периодические процессы соответству­
ют устойчивым предельным циклам; обусловлены в основном внутрен­
ними свойствами САУ. У линейных это соответствует нахождению
САУ на колебательной границе устойчивости (наличие пары чисто
мнимых корней ±70,, см. п. 6.1). Параметры и характер АК (симмет­
ричных, несимметричных) зависят от типа НЗ, начальных условий
и др. факторов. Например, для САУ с нечетным НЗ параметры
симметричных АК (м,Л) можно определить на основе гармоничес­
кого баланса амплитуд и фаз ^(/^^(уо))! = 1 или Лн(Л)Лл(ш) = 1,
Фн(Л) + (рл(щ) = -л.
3. Конечная длительность переходных процессов (из-за наличия НЗ),
в то время как у линейных САУ процессы затухают в бесконечности.
4. Финитный (конечный) уровень выходных координат; у неустой­
чивых линейных САУ значения выходных переменных растут не­
ограниченно, хотя реально они ограничены конечными ресурсами
САУ.
260

5. Невыполнение принципа суперпозиции — при сложении воздействий
реакция САУ не равна сумме реакций на отдельные воздействия, т. е. ха­
рактер процессов в нелинейных САУ зависит от начальных условий, уров­
ней воздействий, их частотных спектров и др. факторов.
В заключение необходимо заметить, что наряду с рядом отмечен­
ных преимуществ нелинейных алгоритмов их реализация значитель­
но сложнее, чем линейных алгоритмов; они менее универсальны (ча­
сто индивидуальны) и их трудно унифицировать. Обычно САУ с не­
линейными регуляторами более чувствительны к определению и ста­
бильности параметров ОУ, т. е. обладают менее выраженными свой­
ствами «грубости» систем. Следует также отметить, что одним из
основных алгоритмов управления в САУ является ПИД-алгоритм и его
различные нелинейные модификации. Синтез нелинейных алгоритмов
ведется применительно к ТЗ на САУ с учетом свойств и особенностей
конкретного ОУ и среды его функционирования.
Более развитые модификации нелинейных алгоритмов применяют
в ИСУ (см. п. 7 гл. 1) в виде так называемых интеллектуальных алго­
ритмов или алгоритмов с нечеткой логикой управления. Это также слож­
ные алгоритмы с иерархической многоуровневой структурой с коорди­
нацией по уровням управления для достижения глобальной цели функ­
ционирования ИСУ [13-18].
Выбор периода Т =ТК или частоты квантования сок имеет важ­
ное значение в системах с дискретными (цифровыми) регуляторами,
алгоритмы функционирования которых были рассмотрены выше.
Выбор значения Гк зависит от свойств сигнала, метода его восстанов­
ления и назначения системы управления. Внутри периода Тк управля­
ющее воздействие, как правило, постоянно, и характер процессов
в САУ определяется лишь свойствами ОУ и действующих возмущений
/к(Х). При больших значениях Тк могут проявляться недемпфируе­
мые колебательные составляющие собственного движения ОУ и вы­
сокочастотные возмущающие воздействия. Поэтому с этой точки
зрения целесообразно уменьшать значение Тк. Но чем оно меньше,
тем большее быстродействие необходимо от микроЭВМ (и тем
выше, как правило, их стоимость). Поэтому выбор значений Тк дол­
жен быть оптимальным [10].
Если считать, что значения х3 и со3, /к ^ ^/к известны, то УУ
должно обеспечивать отслеживание ш3 и подавление со ^. Тогда
Тк <тіп(л/со3, л/со^ , л/со0,Гр/и), где соо —собственная частота;
I — длительность регулирования (і > пТК, п — порядок САУ).
Р В САУ с полосой пропускания соп сок >(6 + 1О)соп или ТК< (0,3 +
+0,5)гр (7^ » Тк). Для колебательных САУ Мр=ір /Тк — число пе­
риодов квантования за время переходного процесса; нижний предел
дает теорема Котельникова—Шеннона. При выборе значений Т =ТК
на нижнем пределе сок > 2сотах(сотах = Зсос), т. е. сок>6сос, где
шс н!1Кн (усо) < 0,1. Это приводит к завышению быстродействия мик­
роЭВМ (условие минимальных искажений частотного спектра непре261

рывного сигнала при прохождении его через импульсную цепь, что не
вполне естественно для замкнутых САУ).
Если сок >сос + а)е, а шс=о)Е, т. е. сок>2шс, соотношение
Т<л/(ОС определяет условие отсутствия пульсации квантования
в сигнале ошибки е (о)с — частота среза системы; 0)е— максималь­
ная частота в спектре сигнала ошибки). Эти условия соответствуют усло­
виям эквивалентирования систем с дискретными регуляторами сис­
темам с аналоговыми регуляторами, определяют идентичность обеих
систем по значению среднеквадратической ошибки управления, запа­
сам устойчивости. Выбор Т по условиям обеспечения заданного вре­
мени переходного процесса /р САУ определяется соотношением
Т<іѵ п, где п — минимально возможное число интервалов дис­
кретности, равное порядку системы п. Для следящих систем рекомендуется
Т<(88/Ё)1/2, где 5 — заданная ошибка слежения, ё —максимальное ус­
корение входного воздействия е (/). При настройке параметров регулято­
ра посредством изменения времени цикла Т необходимо учитывать это,
так как значение Т можно изменять или принимать его постоянным.
Для ОУ с запаздыванием т Т< (0,1-0,3)т; если использовать оценку
/с — время первого согласования (см. п. 7.5), то Г<(0,07-0,15)/с.
Значение Т следует оценивать также с учетом допустимого ухуд­
шения запаса устойчивости
Г< (0,1-0,5) /(0р<фс.

При расчете САУ приближенное условие эквивалентности обычно
принимают на уровне нижней границы, т. е. Т<2/о)с; используют
также и условие вида Т <(2/шс)М/(М + \), где М — показатель
колебательности. Выбор периода Т по условиям требуемой точности
САУ является наиболее жестким [10].

Глава 10. СИНТЕЗ
И ПРОЕКТИРОВАНИЕ САУ
§ 10.1. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ СИНТЕЗА

Задача синтеза — разработка САУ с наилучшими показателями ка­
чества, т. е. задача оптимального синтеза структуры и параметров САУ.
Требуемые показатели качества или критерии оптимальности (це­
левые функции) можно достичь путем интерактивного анализа САУ.
При этом, на основе исходной структуры САУ, рассчитываются ос­
новные характеристики, определяются показатели качества спро­
ектированной САУ и сравниваются с требуемыми показателями. Ана­
лиз позволяет определить эвристическим путем вид и место включения
262

КЗ; далее для скорректированной САУ производится снова анализ по­
казателей качества. Если они удовлетворяют требуемым, то на этом
анализ заканчивается; если удовлетворяют не в полной мере, то произ­
водится уточнение структуры КЗ и места их включения.
Задача синтеза сводится к определению структуры, параметров
и места включения КЗ сразу, исходя из требуемых показателей качества.
При этом основные функциональные узлы САУ (ОУ, УЭ, ИЭ и др.) счи­
таются заданными в соответствии с техническим заданием и представля­
ют неизменную часть Wti ч (р) САУ.
Задача синтеза промышленных САУ, в связи с их четким опреде­
лением Wнч (р), включающей ОУ и УУ (регулятор), ведется в направ­
лении выбора структуры и параметров УУ, обеспечивающих опти­
мальный ПП и экстремальное значение заданных показателей качест­
ва. При известном ОУ и выбранном УУ (Р) осуществляется расчет оп­
тимальных параметров настройки УУ (Р). При этом используются
типовые УУ (регуляторы), в состав которых уже входят корректирую­
щие устройства. Поэтому синтез для этих САУ сводится к выбору ти­
пового УУ (регулятора), обеспечивающего требуемый алгоритм управ­
ления, и оптимальной настройке его параметров в соответствии с ди­
намическими характеристиками ОУ.
Показатели качества САУ при синтезе обычно оцениваются инте­
грально:

например, при минимуме /р: У = |1-Л = ^-/0 =/ртіп —САУ опти/к

мальна по быстродействию;

00

У = |[е(/)]2Лн / = |[е(0]2Л

—САУ

оптимальна по точности в динамике.
Критерий J в общем случае представляет собой следующие функ­
ции: полезности, минимума потерь, максимума прибыли, обобщенной
работы и т. д.
Разработан ряд методов синтеза САУ. Очевидно, лучшим методом был
бы метод, который обеспечивал бы требуемые показатели качества, опти­
мальный переходной процесс и необходимые запасы устойчивости САУ.
Первая группа. Графоаналитические методы инженерного дина­
мического синтеза САУ: корневые, корневого годографа, стандарт­
ных переходных характеристик, частотные.
Вторая группа. Аналитические методы, обеспечивающие синтез оп­
тимальных САУ (с жесткой настройкой, адаптивных). Это синтез САУ
по интегральным критериям качества ПП, по критерию среднеквад­
ратичной ошибки. Здесь используются вариационные методы, дина263

мического линейного и нелинейного математического программиро­
вания, принцип максимума, метод Винера—Хопфа, метод модально­
го управления, метод аналитического конструирования оптимальных
регуляторов (АКОР) и др.
Третья группа. Методы прямого синтеза посредством ППП, ана­
логовое и цифровое моделирование САУ, синтез с использованием
ЭВМ. При этом реализуется наиболее полное исследование и синтез
САУ с учетом нелинейностей, зависимости параметров САУ от вре­
мени и т. д. Однако синтез САУ (моделирование) на ЭВМ базируется
на использовании расчетных методов. Аналитические и графоанали­
тические методы синтеза позволяют часто исследовать САУ в более
общем виде и найти оптимальное среди многих решений.
Методы инженерного динамического синтеза (в основном, графо­
аналитические) предполагают выбор структуры и параметров кор­
ректирующих устройств и рационального места их включения для
получения САУ с требуемыми (желаемыми) показателями качества.
Кратко приведем оценки методов инженерного динамического син­
теза САУ.
1. Корневой метод заключается в том, что по заданной структур­
ной схеме САУ с уже включенными КЗ определяют характеристичес­
кое уравнение. Затем варьируются параметры КЗ таким образом, что­
бы получить требуемые значения коэффициентов характеристическо­
го уравнения. Этим обеспечивают желаемый вид ПП с заданными кос­
венными показателями качества — т| и ц; обычно процессы в САУ
стремятся сделать квази-или оптимальными с а [%] = 5%. Напомним
(см. п.7.7), что между коэффициентами а0 ...ап и корнями характеристи­
ческого уравнения Б(р) = 0: Р] ... рп существует жесткая связь, т. е. если
задать д (т|, ц), то можно получить желаемые аі уравнения Пір^О.
Связь между коэффициентами характеристического уравнения и пока­
зателями качества т|, ц определена лишь для систем до 3-го порядка.
Для систем с более высоким порядком эти связи становятся сложными
и делают невозможным синтез САУ, что является недостатком корне­
вого метода. Другим недостатком является затруднительная необходи­
мость определения структуры, параметров и места включения КЗ.
Поэтому эффект решения зависит от опыта проектанта; метод не
получил широкого распространения.
2. Метод корневого годографа является более универсальным. Син­
тез сводится к определению наиболее рационального расположения
корней характеристического уравнения Ѵ(р) = 0 замкнутой САУ при
вариации одного или двух параметров (ѵ, т). Значение параметра,
определяющее наиболее рациональное расположение корней, являет­
ся решением задачи синтеза. Метод требует знания ряда правил; ши­
рокого распространения не получил.
3. Метод стандартных переходных характеристик сводится к тому,
что для статических САУ любого порядка, а также систем с астатизмом г первого, второго порядка и отрицательными вещественными
264

корнями можно определить вид типовых
передаточных функций и соответствующий
им вид стандартных характеристик А (?)
(рис. 10.1, кривые 7-5). По выбранной (жела­
емой) переходной характеристике /^(г) опреде­
ляется вид типовой передаточной функции,
сравнение которой с исходной передаточной
функцией дает ответ на то, каким образом
следует изменить структуру исходной систе­
мы с помощью корректирующих звеньев.
Недостаток метода — построение типовых характеристик возможно только при отрицательных вещественных корнях, поэтому
можно синтезировать лишь узкий класс линейных систем.

§ 10.2. ЧАСТОТНЫЕ (ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ) МЕТОДЫ СИНТЕЗА

Метод логарифмических амплитудных характеристик (ЛАХ). Наи­
более распространенным является частотный метод синтеза САУ, так
как построение асимптотических ЛАХ практически возможно без вы­
числительной работы. Синтез САУ производится в следующем порядке.
1. По виду передаточной функции ^(р) строится ЛАХ Ер(щ)
исходной САУ (САУ должна быть минимально-фазовой).
2. На основе требований, предъявляемых к САУ, строится желае­
мая ЛАХ: іж(ш).
3. Производится синтез УУ (Р) или КЗ последовательного типа:
ѵм = ѵоу(р)ѵуу(р),

или
^(р) = ии/Жз^) = ^(/Ж^).
Тогда
и;у(р)

= иш/^ или вд = вд^.

4. Путем вычисления из ординат ЛАХ исходной системы ординат
ЛАХ желаемой САУ получим ЛАХ КЗ: £кз(ш) = Е^((о)-Ер((о). Так
как ЛАХ однозначно определяет вид (р (со) у минимально-фазовой
САУ и весь характер ПП, то для рассмотрения достаточно одних ЛАХ.
5. По виду ЛАХ КЗ определяется структура, схема и параметры
корректирующего звена. При необходимости осуществляют переход
на эквивалентные параллельные КЗ или ООС.
6. Производится поверочный расчет ПП с учетом реальной струк­
туры и места включения корректирующего звена, оценка запасов ус­
тойчивости и показателей качества скорректированной САУ. Если
скорректированная САУ удовлетворяет заданным показателям каче­
ства, то синтез на этом заканчивается. В противном случае уточняет265

ся структура, параметры КЗ и место его включения; далее произво­
дится поверочный расчет.
Важное значение по методу ЛАХ имеет правильное построение
желаемой ЛАХ.
Построение желаемой ЛАХ производится в следующем порядке.
1 . Разбивают желаемую ЛАХ на три части (рис. 10.2) и осущест­
вляют построение низкочастотной (0<ш<шн), среднечастотной
(шн <ш<шв) частей ЛАХ, их сопряжение и построение высокочас­
тотной части ЛАХ (со>щв).
Низкочастотная часть ЛАХ определяется требуемыми точностны­
ми показателями (характеризует ошибку САУ) и ее наклон зависит
от порядка астатизма г (числа интегрирующих звеньев): Аж((о) =
266

= 20^ кр - г 20^ ш. При г = 1 наклон ЛАХ составляет -20 дБ/дек;
при г = 2л -40дБ/дек, т. е. наклон ЛАХ равен -г-20дБ/дек,
г = 0, 1, 2... . Пересечение этой асимптотой оси абсцисс (показано на
рис. 10.2 пунктирной линией) определяет значение добротности САУ
по скорости кѵ = ()ѵ = Исх. На частоте ш = 1 Цю) = 20lg кр, где ^р —
коэффициент усиления разомкнутой САУ [£р = 5р/53-1 = (1/с0)-1].
На частоте шн = со2/а)в = (0,2 - 0,6)шс Цйн)> 20^ Лр(шн) = 20^ 1/5 >
>26 дБ при 5 = 0,05. Первая сопрягающая частота со1с=(і)1 при
2с, ка Qa
однократном изломе определяется как отношение: со 1с =
=
= -;
^2
%
QV
при двукратном изломе со1с = 4с, /с2 = 2^/QV= 2ка [кѵ, где ка =Qa =
= 2/с2 —добротность САУ по ускорению; с,, с2 — коэффициенты
ошибок САУ.
Среднечастотная часть ЛАХ характеризуется частотой среза:
шс = (0,6-+0,9)соп, где соп —частота положительности Р((о) (см.
рис. 7.8); соп н 0,2Р(0); сос ^«соп (см. § 10.4).
По найденной шс проводится среднечастотный участок желае­
мой ЛАХ— асимптота с наклоном -20 дБ/дек влево и вправо от час­
тоты среза до получения определенных запасов устойчивости ^,((0)
и ^(ш). Эти запасы могут быть заданными или определены по допу­
стимой величине перерегулирования о,% и требуемому запасу устой­
чивости по фазе у (рис. 10.3). Если Цсо) <-20дБ/дек, то уменьшает­
ся устойчивость САУ; если больше, то возникают трудности выбора
КЗ. Если перерегулирование о задано, то можно определить Рм —
максимум Р (со), далее по величине Рм и заданному значению времени
регулирования /р определить соотношение Ь/(0п (рис. 10.4). Тогда
^п=кл/ір, ^=1+5; при о= 15 + 30% к ~ 1,3 + 2,5.
Сопряжение среднечастотной части с низкочастотной и построе­
ние высокочастотной части ЛАХ производят таким образом, чтобы
при вычитании Ь^р) - Ьр(р) = ЬКЗ(р) получалось в реализации наи­
более простое КЗ. Обычно с этой же целью на практике низкочастот­
ные и высокочастотные части стараются оставить без изменений. Здесь

267

щв Ч(2*4)сос]Я(6-ИО)іос].
После формирования желаемой ЛАХ и определения ^кз(ш) =
= ЦкІР)~^(р) проверяют соблюдение требуемых запасов устойчивос­
ти по фазе у=л- (р (ш) (пос для £(ш)^ 1^{, 1^, рис. 10.3). Если значение
запаса устойчивости по фазе у не выдерживается, то необходимо расши­
рить среднечастотный участок ЛАХ и вновь произвести проверку.
По виду ЛАХ КЗ Акз(ш) на основании таблиц [2] определяется
структура (вид передаточной функции) и параметры корректирующе­
го звена последовательного типа (или его эквивалента). Пример КЗ
ПД-звена и его ЛАХ (см. рис. 10.2) показаны на рис. 10.5, а, 5, где
^р} = ^-^-, Т^^С,; Т^к^; *,=-- ^--<1. Для ЛАХ
(рис. 10.5, в): КЗ будет ПИД-звено с передаточной функцией:
ш

(Т'Р + ЫЪР + Ъ

Ь^ + ^р + І

Т,Т2р2+[(Т^Т2) + Ті2}р + \

а^ + щр+Х

где 7]=^^; Т2 = К2С2; Т[2=Р2С{; Оо=Ь^ = Т{Т2; а^=1\ + Тх2, ^ =
= Т{+Т2. Здесь в КЗ (рис. 10.5, а) необходимо последовательно с Л2
включить емкость С2, тогда его W{p) = W^{p) (рис. 10.5, г).
После определения параметров КЗ производится поверочный рас­
чет переходного процесса в САУ и определение показателей качества
по кривой переходного процесса. Если определенные показатели ка­
чества удовлетворяют заданным, то расчет САУ на этом заканчивают.
Если нет, то проводится уточнение структуры и параметров КЗ в соот­
ветствии с расчетом. Изложенная процедура синтеза справедлива для
типовых ВЧХ замкнутых САУ вида (рис. 10.6). ЭтиЛАХ характери­
зуют следующими параметрами:

268

«и

«О

гдеХ—основной коэффициент на­
клона; Ха, ^—дополнительные
коэффициенты наклона; Хі — ос­
новной коэффициент формы; х2 —
дополнительный коэффициент
формы.
Для САУ с г = 1, если X < 0,8,
Ха > 0,4, %] > 0,5, то перерегулирование о в основном определяется
Рм: о = [1,18Рм-Р(0)]/?(0). Однако на о влияет и Рт, увеличивая
его величину на &в<0,ЗРт; Рт ~ \ -Р^ . Общее перерегулирование
°[0/0] = [^'Ж)+ ОЗ^і ]-Ю0%. В табл. 10.1 приведены значения Рм
и соответствующие им показатели качества о, I и К. Здесь же пред­
ставлена зависимость ст от М (а<[1,18А/-Л0)]/ДО)).
Этот метод синтеза справедлив для широкого класса систем, так
как реальные Р (со) обычно соответствуют типовым.
Низкочастотная часть ЛАХ определяет конец переходного процес­
са, т. е. определяет точность САУ или ошибку регулирования. Вы­
сокочастотная часть ЛАХ определяет начало переходного процесса,
который не сказывается на основных показателях качества.
Основной характер переходного процесса формирует среднечастот­
ная часть ЛАХ, которая определяет перерегулирование о [%], время ре­
гулирования /р, колебательность системы К и др. Необходимым
признаком хорошо спроектированных САУ является прохождение
среднечастотного участка с наклоном ЛАХ в -20 дБ/дек через сос про­
должительностью / более или равной 0,75 декады:
Таблица 10.1
Колебательность

О

К М

о, %

1,0

< 17

< Зл /сі)п

1

1,1

13.8

1,2

<26

<4л/соп

<2

1,3

26,5

1,3

<32

<5л/шп

<2

1,5

37,2

1,4

<38

<6л/соп

<3

1,7

44,6

269

"

(О3_Л7+1
л/-1
1 ’ ^і = 2018
Ш2 м-1
М

,
; ^32 =

2018

М ,
(Г = 1).
М+1

Для облегчения процедуры синтеза корректирующих звеньев (уст­
ройств) введены типовые желаемые ЛАХ и им соответствующие Wж (р).
Обозначения типовых желаемых ЛАХ: 1 = -20дБ/дек; 2 = -40дБ/дек;
3 =-60дБ/дек. Обычно рассматривается пять классов (типов) жела­
емых ЛАХ (рис. 10.7):

0^1-2-2-21 №х(р) = кѴІ р(1 + ВД(1 + 7»;
1^1-2-1-21 №ж(р) = к„(1 + Т2р)/ р(1 + ВД(1 + Т3р\

11

- 3 -1 - 2:

= <Д| + Т,+ /

Т,р);

ПІ^І-2-1-3: ВД = 1,(1 + Т2р) / ^(1 + ВД(1 + ВД2;

IV = 1 -3-1 -3: Ѵ„(р) = к,(1 + Т1Р)2 / XI + ВД2П + Т3р)2.

Здесь ТІ>Т2>Т3.
Все типовые ЛАХ и желаемые передаточные функции полностью
определяются четырьмя величинами: кѵ, ш1 = 1/7^, со2 = 1/ 7^ (Оз = 1/ 7"3;
соответственно для ЛАХ: (^=20^^ при со =1) на частоте (Ос,
ц/0),, (О3/(ОС.
Метод типовых ЛАХ облегчает синтез и широко используется
в инженерной практике (иногда применяют девять типов желаемых
ЛАХ).
Задача синтеза всегда решается неоднозначно, т. е. структура
(вид) передаточной функции и параметры корректирующего звена
могут варьироваться в определенных пределах.

270

Синтез областей устойчивости связан с методом Р-разбиений
в плоскости одного, двух или нескольких параметров, влияние кото­
рых исследуется на устойчивость и качество САУ.
При синтезе области устойчивости заранее задаются и определя­
ются параметры (в конечном итоге параметры УУ или КЗ) так, чтобы
удовлетворить требования по запасу устойчивости и качеству пере­
ходных процессов в САУ с учетом вариации одного, двух или более
параметров. Если варьируемых параметров три, то область устойчи­
вости получается трехмерной, и тогда граница устойчивости представ­
ляет собой трехмерную поверхность.
Синтез САУ на основе ППП с помощью вычислительных машин
(3-я группа методов синтеза) позволяет, варьируя передаточные
функции УУ или корректирующих звеньев и значения их парамет­
ров в широких пределах, получить большое количество соответству­
ющих кривых переходных процессов А (/) и значений среднеквадра­
тичных отклонений выходной величины при случайных воздействи­
ях. Поэтому выбор КЗ или УУ (Р) и значений варьируемых параметров
их настройки может быть выполнен простым перебором возможных ва­
риантов. По каждому варианту можно построить области устойчивос­
ти в пространстве варьируемых параметров и определить линии рав­
ных значений заданных показателей качества (1р, о, К и т. д.);
произвести выбор оптимальной коррекции иногда непосредственно
по /г (/); аналогично можно определить значение среднеквадратиче­
ского отклонения в разных точках области устойчивости при нали­
чии случайных воздействий.

§ 10.3. ОСОБЕННОСТИ СИНТЕЗА МНОГОМЕРНЫХ САУ

В многомерных САУ выходная величина у является вектором
и представляет собой совокупность нескольких выходных переменных
у,, поэтому многомерная САУ всегда многоконтурна.
Анализ статики и динамики многомерной САУ аналогичен, но
более трудоемок по сравнению с анализом одномерной системы. Он
эквивалентен случаю для одномерной САУ с несколькими внешними
воздействиями. При этом знаменатель передаточных функций для всех
переменных одинаков.
Определение точности, показателей качества и построение пере­
ходных процессов осуществляются независимо для каждой выходной
переменной (на основе уравнений, передаточных функций, частотных
характеристик).
Устойчивость исследуется по полной структурной схеме многомер­
ной САУ.
Синтез многомерной САУ имеет существенные особенности, оп­
ределяемые необходимостью одновременного удовлетворения требо­
ваний по точности и качеству ПП для нескольких выходных перемен271

ных, которые обычно взаимосвязаны через ОУ. Поэтому из-за проти­
воречивости требований необходимо компромиссное решение, опти­
мумом которого является удовлетворение требований, предъявляемых
ко всем выходным переменным. Если многомерная С АУ состоит из
автономных одномерных САУ, когда изменение любой из перемен­
ных не вызывает изменения остальных, то, хотя контуры управления
связаны друг с другом, они с точки зрения динамики являются незави­
симыми. Таким образом, многомерная САУ расчленена на ряд одно­
мерных систем управления, синтез которых по отдельным выходным
переменным ведется самостоятельно.
Для упрощения синтеза квазиавтономных САУ их взаимосвязан­
ные контуры можно в первом приближении также принимать авто­
номными (связи между уі слабые). Квазиавтономные САУ обычно
имеют значительную разницу в быстродействии между различными
Уі , когда длительность ПП для одной переменной на порядок или более
превышает длительность ПП другой. Тогда синтез САУ можно вести
независимо по каждой Уі , предполагая постоянство других перемен­
ных. В порядке поверочного расчета проверяется влияние взаимных
связей и при необходимости осуществляется уточнение коррекции. Мо­
жет, например, оказаться, что с точки зрения статического режима
переменные существенно взаимосвязаны, а при исследовании динамики
они квазиавтономные.
Многомерная неавтономная (связанная) САУ может быть преоб­
разована в автономную или квазиавтономную (с возможностью не­
зависимого синтеза отдельных контуров) путем введения специаль­
ных перекрестных компенсирующих связей (КЗ) между этими конту­
рами. Достигается это за счет использования идей инвариантного
управления каждой из выходных переменных САУ относительно ос­
тальных переменных. На рис. 10.8 приведена двухмерная система с
одним ОУ. Для получения автономности здесь введены дополнитель­
ные КЗ и компенсирующие корректирующие воздействия по уІ и по
^2 (варианты показаны пунктиром и штрихпунктиром на рис. 10.8).
Уравнения САУ имеют вид (Е —■ единичная матрица):

у = (Е + WRY\WRx + Wf) + вхх + в^,
где (Е + IVR) — неособенная характеристическая матрица; Сх, Ѳ/ —
соответственно передаточные матрицы по задающим и возмуща­
ющим воздействиям. Уравнения САУ при х{ = х2 =0 имеют вид:

^і(р) = ^(Ж^Ч^СрН^кіООШр);

Ш = ^22 (р) Л (р)+[^.(Р) + ^к2(р)] V, (р),
где передаточные функции 1У12(р), ^Ѵ2\(р) учитывают взаимные влия­
ния контуров; ^(р), М^р) — корректирующие связи между кон­
турами. Здесь член №\2(р)у2 учитывает влияние на у{ изменения ^2,
272

Рис. 10.8

воспринимаемых уІ как возмущение; аналогично №21(р) отражает
влияние у1 на у2 (воздействия /, /2 приведены ко входу ОУ).
Условие автономности в САУ сводится к следующим равенствам:

Откуда можно определить передаточные функции корректирующих зве­
ньев КЗ 1, КЗ 2, осуществляющих перекрестные связи между контурами.
Для получения автономности в САУ обычно необходимо введение
корректирующих воздействий по идеальным производным различ­
ного порядка. Кроме того, в этих выражениях могут присутствовать
множители ерт, точная реализация которых невозможна. Поэтому
практически можно достигнуть лишь приближенного выполнения ус­
ловий автономности. Обычно стремятся принять структуру коррек­
ции с одинаковыми или близкими условиями автономности по воз­
действиям хи/.
Автономное управление — стандартное требование к САУ, предъяв­
ляемое в целях получения независимой настройки управляющих устройств
по отдельным переменным, что упрощает наладку и эксплуатацию САУ.
Однако у многих САУ переход к автономному управлению со­
провождается значительным ухудшением показателей качества по
сравнению с оптимальной многомерной САУ связанного управления.
Это происходит в случае, если связи между выходными переменными
сильны и ими нельзя пренебречь. Тогда, если можно выделить одну из
всех переменных, требования к динамике управления которой значи­
тельно жестче, чем у остальных, синтез осуществляется вначале толь­
ко для этой переменной. Определение точности и качества переход18 а. а. Ерофеев

273

ных процессов для остальных переменных осуществляются после этого
и при необходимости последовательным приближением уточняется
коррекция. Если требования к выходным переменным САУ одного
уровня, целесообразно использовать ППП и вести синтез на ЭВМ.
§ 10.4. О СИНТЕЗЕ САУ С ОПТИМАЛЬНЫМ ПЕРЕХОДНЫМ ПРОЦЕССОМ

Под САУ с оптимальным ПП будем понимать систему, у которой
є (оо) = 0, а ПП от x(t) = х(О)-о1(0 имеет о = 0 и происходит с мини­
мально возможным /р = топ (с учетом физических ограничений). Та­
кой ПП реализуется в САУ, если d^y/dt2 =а для любого t, где а —
максимально возможное ускорение выходной переменной (рис. 10.9);

топ =2(х(0)/а)1/2.
Тогда

Jon (О ~

При

~

'оИО — й

І

у

'1

І

у

+ т0 —Топ)

’К^^оп)'

ат2
кп(0 = Кп(оо) = --оп—х(0), а /р°=0,84топ, если 5 = 0,05.

В операторной форме
ут(р) =

+ е-”"” Ур’ =

р
Передаточная функция замкнутой САУ с оптимальным ПП
„ • , „,
^опѵР)

і

_
/

\

Ар)

2

ту

< е
р

2

А(р).

_
^оп

р

2

5

для разомкнутой САУ

= 5"(^2_
І-^он^

Р2-КпАр)

Р2-копА(рУ

где £оп =4/т2п. Передаточная функция по ошибке W^p) = \-Won{p}.
Значение еоп(р) = х(р) - уоп(р) = а/коп -аА(р)/р\
Вещественная частотная характеристика САУ
l-2cos — топ +cos сотоп
лл^) = -лп------------ —2-------------- ;
со
2
(a Y/2
при or = — =----- , Р,п((ос) = 0,5. ЛАХ САУ с оптимальным ПП
Р
с°" топ [х(0))
274

на частоте (і)с (і(ш) = 0) имеет наклон
примерно -20 дБ/дек (при со < 4сос).
Передаточные функции САУ с опти­
мальным ПП являются трансцендент­
ными функциями от р, т. е. обыкновен­
ные линейные САУ не являются опти­
мальными (Гр >/°, топ). Однако выбо­
ром КЗ или УУ(Р) можно приблизить
свойства реальной САУ к оптимальным.
При этом кроме линейных КЗ использу­
ют псевдолинейные КЗ, а также нелиней­
ные корректирующие устройства.
Псевдолинейные корректирующие зве­
нья являются устройствами неминималь­
но-фазового типа, т. е. их АЧХ и ФЧХ
либо не зависят друг от друга, либо зави­
сят неоднозначно. Псевдолинейные КЗ
подразделяются на три группы, изменя­
ющие: ФЧХ (АЧХ остаются неизменны­
ми); АЧХ (ФЧХ остаются неизменными);
АЧХ и ФЧХ неоднозначным образом.
Псевдолинейные КЗ могут быть
с+Дф(со), -Дф(со) и относятся к звеньям
более сложного типа, чем линейные КЗ,
а именно содержат в своем составе различные логические блоки, нели­
нейные блоки, блоки сигнатуры, бистабильные блоки, блоки модуль-функции и др. Псевдолинейные КЗ необходимо отличать от линейных КЗ не­
минимально-фазового типа, в которых имеет место только -Дф(со).
Псевдолинейные КЗ также, как и линейные, могут включаться
последовательно, параллельно в прямой канал управления САУ или
в цепь обратной связи.
Нелинейные КЗ, или нелинейные корректирующие устройства,
принципиально применяются для коррекции нелинейных САУ, а так­
же оптимальных САУ, синтезированных по принципу максимума или
метода динамического программирования.
Синтез оптимальных САУ (2-я группа — аналитические методы
синтеза) более полно рассматривается с учетом различных критериев
оптимальности, например минимаксных критериев или критериев,
связанных с маргинальными функционалами [1, 2, 5, 7].
§ 10.5. ПРОЕКТИРОВАНИЕ САУ

Проектирование САУ и полный расчет — сложная инженерная за­
дача, связанная с выбором ее элементов, статическим расчетом характе­
ристик отдельных звеньев и статической точности САУ и с динамиче18*

275

ским расчетом для получения требуемых запасов устойчивости и по­
казателей качества. Решение этих задач не является однозначным. На­
пример, САУ может быть реализована из различных по физической
природе элементов; требуемые показатели качества могут быть обес­
печены разнообразными корректирующими средствами и УУ.
Проектирование САУ сводится к проведению анализа и синте­
за САУ. Так как обычно САУ не удовлетворяет требованиям устой­
чивости и предписанного качества работы, целесообразен синтез САУ.
Энергетические данные САУ — мощность, точность, режимы ра­
боты, максимальная скорость, напряжение, род тока и т. д. — явля­
ются исходными данными при выборе элементов САУ и проведения
статического расчета.
Исходными данными инженерного динамического синтеза (рас­
чета) являются:
1) тип сигнала или вид возмущающего воздействия (регулярное —
детерминированное — обычно единичное ступенчатое воздействие;
случайное воздействие или комбинация воздействий);
2) перерегулирование о [%] (обычно <10-5- 40%);
3) время переходного процесса /р, иногда колебательность
К< 1 -5- 3;
4) запасы (соответствующие хорошо демпфированной САУ) по фазе
у >(30-5-50°), по модулю Л >0,2-5-0,4 или ДА >8-5-12 дБ;
5) статические и динамические параметры отдельных звеньев САУ
в виде передаточных функций Wi(p).
Данные по четырем первым пунктам обычно являются заданны­
ми; последний определяется в результате предварительных расчетов.
Для следящих и астатических САУ, а также для САУ с программным
управлением задают еще коэффициенты ошибок с0, с15 с2, ... в соот­
ветствии с видом САУ. Задача синтеза САУ в общем случае заключается
в составлении математического описания управляющего устройства для
данного объекта управления при определенных требованиях к точности,
качеству управления и условиям работы (характеристики внешних воз­
действий, требования к надежности, массе, габаритам, потребляемой
мощности и т. д.). Большое число разнообразных требований не позво­
ляют обычно все их объединить в одном критерии оптимальности и ре­
шить задачу синтеза САУ как строго математическую (вариационную
задачу на экстремум этого критерия), хотя задача синтеза САУ есть все­
гда задача на оптимум, так как требуется создать оптимальное УУ (Р),
наилучшим образом удовлетворяющее всем требованиям.
Практически синтез САУ разбивается на ряд этапов, каждый из
которых решает часть задачи синтеза.
При отсутствии общего критерия оптимальности обычно производят
расчет вариантов УУ (Р) и методом сравнения выбирают оптимальный.
Основные звенья обычно определены сразу по заданию на разра­
ботку САУ (это объект управления, исполнительные механизмы, чув­
ствительные элементы, преобразователи, усилители и т. д.). Следова276

тельно, структурная схема САУ в результате синтеза должна быть
дополнена УУ (или КЗ) с учетом выполнения требований по устойчи­
вости, качеству переходных процессов и точности в стационарных
случайных режимах.
Порядок астатизма и коэффициент передачи кр САУ определяют­
ся исходя из требований к точности в установившихся режимах при
детерминированных воздействиях. Если ^р|^ = [(8р/53)-1]} оказыва­
ется большим, то целесообразно поднять порядок астатизма (вклю­
чением И- или ПИ-звеньев) и свести к нулю установившуюся ошиб­
ку. Поэтому величину кр выбирают, исходя из соображений устой­
чивости и качества ПП в САУ. При этом повышения запасов устой­
чивости достигают, применяя управление по производным, т. е. реа­
лизуют, например, ПИД-управление. В САУ используется также по­
вышение точности с применением неединичных обратных связей, мас­
штабирования сигналов. Так как управляющие воздействия по
основным внешним возмущениям /к улучшают качественные показа­
тели переходных процессов, а введение этих компенсаций по /к по­
зволяет значительно уменьшить кр, то, если имеется возможность
достаточно просто измерить основное возмущение (или несколько из
них) и если в результате введения компенсации возмущений существен­
но упростится замкнутый контур САУ, целесообразен переход к ком­
бинированной САУ.

Г л а в а 11. ОСОБЫЕ САУ
К особым линейным САУ относят: САУ с запаздыванием, САУ
с распределенными параметрами, САУ с переменными параметрами
(нестационарные САУ), дискретные САУ.
§ 11.1. САУ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Если в линейной САУ имеется одно или несколько звеньев с за­
паздыванием, то такая САУ называется САУ с запаздыванием. САУ
с запаздыванием описываются уравнением с запаздывающим аргумен­
том, называемым также дифференциально-разностным уравнением:
(^у
dy
/
ч ,
«о 3 Г + а| +а^У^ азУ(‘ “ т) = кхш
сП

Член в левой части уравнения д3у(/-т) н> «зуе-^, так как / -тне-/п. Если Хвх=хме>/ или Хвх = ХМ8Ш ОН, то у = уме7“('-т)
ИЛИ у = УМ8Ш щ(/ - т).
277

В первом приближении в качестве звеньев с определенной величи-ной
т могут быть представлены: ленточные транспортеры (т = 1/ѵ); печи; на­
греватели; длинные электрические и акустические линии; тру-бопроводы;
сумма малых постоянных времени, например, у N последовательно соеди­
ненных апериодических звеньев 1-гопорядка:т = NT, если 7] = Т2 = Тит.
д. В последнем случае
е рт = lim
N —»ОО

ИЛИ

^W = (1 + Тр)

= (1+7^r";

lim и/(р) = е-'",

где У = 8.
Временные (разгонные) характеристики звена с запаздыванием,
имеющие вид, представленный на рис. 11.1, а, б, в одинаковой степени
приближения могут описываться дифференциальным уравнением 1-го
порядка с запаздывающим аргументом или обыкновенным дифферен­
циальным уравнением 2-го порядка. Тогда для них

х(р)

Гр + 1

ИЛИ

W(p) =

, .к------- =--------- к•
т^^тіР+\ (ТІР+ІХ^+І)

Введение т в САУ первого порядка, которая без т устойчива при любых
положительных значениях к и Т, причем ПП при f (t) = const всегда
простая экспонента (колебания невозможны), коренным образом меняет
свойства САУ. В САУ возникают колебания, ПП становится колебатель­
ным, и появляется возможность неустойчивой работы, причем чем т боль­
ше, тем сильнее проявляются эти особенности.
В общем случае передаточная функция САУ с запаздыванием
представляется в виде произведения

WC(P) = W0(p)W(p) = W^p)^,
п

где в W(p) т = ^т;,

-Л

a

W0(p) =------ — линейная часть САУ.

АФХ системы с запаздыванием:
И^О) = Wo(jm)e-Jm = ЛоМе*1”1'"1 = ЛоМе*”1;
278

при ее построении каждая точка ^(усо) сдвигается вдоль окружно­
сти по часовой стрелке на угол (р = - (от, где со — значение частоты
в данной точке ^(уй). АФХ при ш-> ~ асимптотически стремит­
ся к началу координат, как к особой точке типа «фокус», если степень
числителя АФХ меньше степени знаменателя (рис. 11.2, а). Окруж­
ность с радиусом R = 1 (рис. 11.2, б) есть АФХ звена с запаздывани­
ем, так как И/(» = Ье'у(ЙТ; А (со) = 1; ср (со) =- сот. Обратная АФХ
звена С(усо) = е;мт и здесь обход окружности с Я = 1 при со —» °° про­
исходит против часовой стрелки.
Характеристическое уравнение замкнутых систем с запаздыванием
(и с распределенными параметрами) является не алгебраическим, а транс­
цендентным: Q(p) + R(p)e-px = 0, где степень R (р) меньше или в край­
нем случае равна Q (р) (возможны уравнения и более сложного вида).
Запаздывание входит в свободный член характеристического уравне­
ния: а$рп +ахрп~{ + ... + апе~рх =0; здесь е-рт — оператор сдвига (на
величину т).
Трансцендентное уравнение такого типа, как известно, имеет бес­
численное множество корней. Решение дифференциального уравнения
можно записать в виде некоторых рядов и для затухания этого реше­
ния, т. е. для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все

Рис. 11.2

279

корни трансцендентного характеристического уравнения имели отри­
цательные вещественные части, число которых бесконечно вследствии
наличия е-/п.
Для систем с запаздыванием обычно из-за сложности не примени­
мы алгебраические критерии: Вышнеградского, Рауса и Гурвица.
Для устойчивых линейных С АУ 1-го и 2-го порядка с запаздыва­
нием уже недостаточно только положительности коэффициентов ха­
рактеристического уравнения.
Для САУ с запаздыванием критерии Михайлова, Найквиста и
/)-разбиения применимы в обычных формулировках, но вид годографов
существенно меняется. Например, уравнение годографа Михайлова

Г)(У(о) = 2(ущ) + Л(»(со8 (от - уып сот).

Более удобным для исследования устойчивости оказывается крите­
рий Найквиста, как наиболее простой для систем с запаздыванием.
Наличие звена с запаздыванием не меняет модуль И^Ою), а вно­
сит лишь дополнительный фазовый сдвиг, что приводит к закручива­
нию АФХ по часовой стрелке только в высокочастотной части. Таким образом, наличие т в общем
случае ухудшает условия устойчи­
вости, так как АФХ приближается
к точке (-1;0). Критическое время
т = ткр, при котором САУ оказы­
вается на границе колебательной
устойчивости, определяется следу­
ющим образом (рис. 11.3). Прово­
дится окружность с Л = 1 и нахо­
дится точка А у ^(усо) с т = О,
где о) = щл, (р = -Ѵі =-л + шлткр.
Условие совпадения (•) А с (•) (-1; 0)
Л"Ѵ1- = У . гг
-----При нескольких т
при т = ткр: ѵі +сояткр = л и ткр
“п

“л

за ^кр берется наименьшее значение. Кроме графического способа определения ткр возможен аналитический.

По ^(«^(^е*1!
т=0

определяется
^кр

= 1"І1

ш = »г Ф0=-Ѵі

при Ло (со) = 1. Далее определяется

Например, пусть

Вд=т-Ѵ * =
7р + 1

к

1’ Шл

_ >^2-1
у.

_
_ л-ф] _ л-aгctg ѴР^Т
-V! = -arctg (ш.7); ткР “
"7
^2_}
;
280

при

к^^

т г
л
аг^Ѵ^ -1^-ит

=

пт
г

Запаздывание т существенно влияет на запасы устойчивости САУ,
обычно уменьшая их (рис. 11.4, а). Однако для некоторых САУ с АФХ
второго рода возможно придание САУ свойств устойчивости при пер­
воначально неустойчивой САУ без запаздывания (рис. 11.4, 6). Поэто­
му в общем случае необходимо проводить исследования устойчивости.
Исследование устойчивости по ЛАХ аналогично; разница
здесь в ФЧХ из-за введения дополнительного фазового сдвига:
у(со) = фо(м) - сот, ѵ(ш)4 -о° ПРИ

со —> оо.

Оценку качества ПП наиболее удобно производить при помощи
частотных критериев качества по А (со), Р (со) и т. д., причем для пост­
роения ПП могут также применяться аналитические и графоанали­
тические методы и ППП при использовании вычислительных машин.
Примеры и задачи
1. Показать, что для САУ с запаздыванием второго порядка усло­
вие положительности коэффициентов ее характеристического урав­
нения не является достаточным для ее устойчивости.
2. Показать, что для САУ с запаздыванием передаточная функция
которой имеет вид:
И'(р) = ке-ѵ,(Тр+1), а,ѵ=(к2-\]
/ ?

\1/2

т1 кр = Т arctg^2-lj

-л

/Т,

/57,3(Ѵ-1).

281

3. Показать, что для САУ:

/ИКГ^+Ш+І)

юкр = 8 1/с, ткр =0,173с.

§ 11.2. САУ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Линейные системы с распределенными параметрами описываются
кроме обыкновенных дифференциальных уравнений еще и уравнени­
ями в частных производных. Это системы с длинными линиями элек­
тро-, радиосвязи (телеуправление), электропередачи, линии с трубопро­
водами и т. п. В системах с распределенными параметрами учитывает­
ся факт пространственно-временного распространения сигналов, в от­
личие от САУ с сосредоточенными параметрами, где рассматриваются
функции, зависящие только от одной переменной t (времени): У (0, и (t),
х (t) и т. д. Состояние ОУ с распределенными параметрами описывает­
ся с помощью функций распределения [ вида Q(y,t)n т. п.], т. е. для них
связи типа «вход—выход» у ОУ описываются дифференциальными
уравнениями в частных производных, интегральными и более сложны­
ми функциональными уравнениями.
В общем случае САУ с распределенными параметрами описыва­
ются в операторной форме уравнениями вида:
[M^Py) + M2{p)]Q(yp) = ^

где М\, М2 — полиномы с постоянными коэффициентами; Q (у, р) —
изображение переменной^ (у, t); p=d/dt; ру = д/ду (например, Р/ =д/ ді,
см. ниже). Определение передаточных функций ОУ (звеньев) с распреде­
ленными параметрами здесь аналогично осуществляется при нулевых на­
чальных условиях (слева по переменной /): q (х, 0) = 0; pq (х, 0) = 0,....
Как отмечалось (см. п. 3.3), передаточные функции ОУ с распре­
деленными параметрами уже не являются дробно-рациональной функ­
цией от аргумента «р» (как у ОУ-звеньев с сосредоточенными пара­
метрами).
Например, для произвольной точки линии распространения сигнала Г.
Q(J,p) fyQUPlPyQV’P)’-]
W (l, p) =--------- = -------------------- -------- ,
Q&p) р^(о,р),рд(о,р),...]
где рассматриваются краевые условия первого рода (простейшего вида)
[1, 12]. При этом на САУ с распределенными параметрами распрост­
раняются все положения линейной теории САУ. Например, уравнения
длинной электрической линии на удалении 7 и в момент времени t:
282

^^^У^^ Ш^АУ^^ (11.1)
ді
ді
ді
ді
или относительно только одной переменной (и или і):

^ ° - ѢС ^У -(КС+ СѢ) ~ У °- -вКи(1,1) = ъ

^УО^С^У-(КС + вЦ^У -вЯі(І,1) = 0,
ді
ді
ді

(11.2)

(11.3)

где I, и, і — текущие значения расстояния, напряжения и тока; к, С,
R, С — индуктивность, емкость, сопротивление и проводимость на еди­
ницу длины. Это уравнения гиперболического типа — представляют
собой волновые уравнения напряжений и токов в линии. Если рассмат­
ривать идеальный случай в линии без потерь на сопротивление и утеч­
ки, когда R = С ~ О, тогда получим уравнения (простейший случай
волнового уравнения, см. п. 3.3):

^и^У ^ьс^.
ді2

ді2

ді2

ді2

Для случая, когда Ь = С ~ О (линия без индуктивности и без утечек)
уравнения имеют вид:

Это уже не гиперболические волновые уравнения, а простейшие
уравнения параболического типа (см. п. 3.3). Здесь функция распреде­
ления Q (у, і) отражает распределение напряжений вдоль линии, т. е.
Q = и в точке у (0 < у < I) в момент времени I (і > 0).
Тогда, используя функцию распределения, можно, например, записать:
и

ді2

ді2

^КС^
ді2

(11.4)

dt

или в операторной форме (р = д/ dt, Рі=д/дІ):
plQ = LCp2Q(\)

и p^RCpQÇ).

(11.5)

Решения уравнений (11.2), (11.3) имеют соответственно вид

и(1, р) = Qe"7' +C2eY/;

i(l, р) = G0(C2eyl
283

где СЬС2 —постоянные интегрирования; у = ^(Ьр+ К)(Ср +О) —ко­
эффициент распространения или волновая постоянная; Со =
^^Ср + СУЦЬр+Н) — волновая проводимость; 70 =1/б0— волновое
сопротивление линии. Здесь характеристическое уравнение ^2 - у2 =0
имеет два корня ^ 2 = ± у. При R = С ~ 0 у = р^ЬС, Со = ^СІЬ,
70 = ^Ь/С. Тогда в произвольной точке линии (Гу.
и(1, р) = и(0, р) сЬ у /- 70і(0) бЬ у /;
і (І, р) = і (0, р) сЬ у / - Сом (0) 8Й у /.
Если на конце линии / = /п (/п — полная длина линии) подключена
нагрузка — полное сопротивление Zн(p), то и(Іп, р) = 7ні(Іп, р), а
W(р} = и(Ц р)/и(0, р) = 1/(сЬу/п +а5Ьу/п), где а = 7н /70; и(Ь,р)— зна­
чение напряжения в начале линии (/ = 0). При согласованной нагрузке
2Н =70(а = 1) и(Іп, р) = и(0, р)е~у 1,1, а W(p) = е-у/п. Для линий без по­
терь: R = С = 0, при согласованной нагрузке W(p) = е-тр; при
Zн = о® (а = 0,х.х.) и(/п, ^) =м(0, р)/сЬ у/п = и(0, р)/сЬ тр или м(/, ^) =
= и(0,р)/(е ^-не^),
а
^(р) = 1/(е хр^^р).
Здесь т = /п/с =
= /п ^ЬС — время, а с = 1/4ьС — скорость распространения волно­
вого процесса (волн напряжения) вдоль линии (для воздушных линий
с равна скорости света).
Решая, например, первое уравнение (1) из системы (11.5) для
случая, когда конец линии замкнут накоротко, а х (і) = и (Г) (вход),
у (Г) = и (Г) (выход) на расстоянии /] от начала линии при краевых
Q (0, і) = и (Г), Q (I, і) = 0 и начальных условиях Q(y, 0) = 20(у),
8ІП )-(1~у)
РОІУ, і) = (2М\і=0, получим 2 = -------£-------- , а передаточная функ•
Р
51П у —
-ра-^/с
ция

№ (р) =

“

ра-ѵ/с

=---------- -----БІП у—/

21 (^) — известные функции; с = 1 / ѵЬС.
Таким образом, передаточные функции ОУ-звеньев с распределен­
ными параметрами являются трансцендентными фунциями комплекс­
ного переменного р. Заметим, что звено с запаздыванием (см. п. 3.3)
является одним из простейших типов звеньев с распределенными пара­
метрами. После решения уравнений в частных производных (с учетом
граничных условий) получается, что системы с распределенными па­
раметрами в целом описываются дифференциальными уравнениями
аналогичного типа, как и для систем с запаздыванием. При этом без
учета волновых явлений в длинных линиях аналогичные системы
описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, по284

рядок которых на единицу выше, чем порядок дифференциального
уравнения с запаздывающим аргументом. Поэтому исследование ус­
тойчивости и качества САУ аналогично системам с запаздыванием,
так как и здесь Wc(p) = ^^ е-/п , И(р) = = Q(p) + К^еГ^.
Q(p)
Физически появление частных производных соответствует учету вол­
новых явлений или гидравлического удара в трубопроводах, учету волно­
вых процессов в длинных электрических линиях, т. е. рассматривается из­
менение различных процессов во времени и в пространстве. Если в урав­
нениях (11.2), (11.3) вместо и (I, I) и і (I, I) принять соответственно давление
(напор) и расход жидкости в трубопроводе, а вместо Ц С, R, С — их гид­
равлические аналоги, то при, например, 7? = С = О, получим аналоги урав­
нений, описывающих процессы в гидравлических линиях. Подобную ана­
логию можно продолжить и для других звеньев (ОУ), например, теплооб­
менников, паропроводов и т. п. Необходимо отметить, что аппроксима­
ция САУ с распределенными параметрами посредством передаточных функ­
ций с сосредоточенными параметрами широко распространена при ана­
лизе различных сложных ОУ химической, металлургической, строитель­
ной промышленности, а также в электро- и теплоэнергетике.

Примеры и задачи
1. Показать, что выражение для АЧХ звена соответствует
е’^“, если его И^р^е"^, а выражение для ФЧХ звена
і-> -arctg

если его

2. Показать, что для звена с передаточной функцией IV(р) =
= іН(рі;) = (е^-е ^Де^ + е ^^ в области малых значений шт АФЧХ

соответствует выражение ушт.
3. Показать, что передаточная функция длинной линии электропе­
редачи, как ОУ с распределенными параметрами, при условии, что Л ^ О
(0^0) и и(х, ї)\ 0=и(і); і(х, О^^О [в момент ґ = 0 подается
напряжение и (/)], имеет вид:
№(р, Х) = ^Д) = [е*'^ +

]/(е*' + е

) = сЬЧ (/ - х)/сйЧ 7.

§ 11.3. САУ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (НЕСТАЦИОНАРНЫЕ САУ)

Все рассмотренные выше САУ описывались дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами и являлись стационарны­
ми. Однако широко распространены САУ, математическое описание
285

которых приводит к линейным дифференциальным уравнениям с пере­
менными во времени коэффициентами:

,xdny
<Г1 у
«о(О — + О1И—г+
at
at

L zчЛ
+ ап^У^^-т + ••• +bm(t)x,
at

где Oq, ..., an, b^, ..., bm
— коэффициенты-функции времени, задан­
ные аналитически или графически. Переменные коэффициенты могут
быть только в одном [например, «п-і(0 = ^2-^і-і(0] или несколь­
ких звеньях САУ. Обычно это объект управления, например, печь для
сушки изделий (с течением времени изменяется /°, давление); ЛА,
самолет (по мере выгорания топлива изменяется масса, момент инер­
ции). Параметры звеньев САУ могут изменяться также из-за изменения
во времени внешних условий работы — температуры, напряжения пи­
тания и т. п.
Переменность коэффициентов дифференциального уравнения САУ
приводит к тому, что функциями времени оказываются передаточная
функция системы
W3(p,t) = R(p,t)/Q(p,t), частотная функция
РК/усо, t) и переходные функции: h(t -v,v) = h (т, v), w (г - ѵ, ѵ) = и> (т, ѵ).
Здесь через ѵ обозначен момент подачи на САУ ступенчатого воздей­
ствия. Эти функции содержат в качестве параметра время t, поэтому
они называются параметрическими (параметрическая передаточная
функция и т. д.).
Рассмотрим переходную функцию: h(t -ѵ,ѵ) и функцию веса
w (t -ѵ, ѵ), которые являются основными динамическими характерис­
тиками САУ с переменными параметрами. Так как коэффициенты
уравнения меняются с течением времени, то эти функции будут зави­
сеть от момента ѵ приложения 1 (і) или 8 (t) на входе. Например,
на рис. 11.5, а приведен график изменения коэффициента а, и функ­
ций h (т, ѵ), w (т, ѵ), где т = г - ѵ — текущее время. Обычно характе­
ристики САУ рассматривают в трехмерной плоскости (рис. 11.5, 6).
Весовая функция при ѵ = const как параметре дает нормальную весо­
вую функцию САУ w (/ - ѵ, ѵ) = w (т, ѵ) — параметрическую функцию
и>(т, ѵ) =-ЭЛ(т, ѵ)/Эѵ. При f = const как параметре получаем сопря­
женную весовую функцию w (t - ѵ, ѵ), которая также является пара­
метрической; на рис. 11.5, б это плоскость, параллельная оси ѵ (здесь
Ѳ = / - ѵ — реверс-смещение), т. е. w (Ѳ, / - Ѳ.) Напомним, что функция
веса в САУ с постоянными параметрами одна и не зависит от времени
поступления внешнего воздействия.
Весовая функция для САУ с переменными параметрами является ее
исчерпывающей характеристикой. По ее виду можно судить о качест­
ве САУ, определить быстродействие, склонность САУ к колебани­
ям. Определение весовой функции здесь затруднено, так как перемен­
ность коэффициентов уравнения САУ во времени усложняет задачу
исследования динамики. Только уравнения с переменными парамет286

рами первого [а^сіу/Ж + а^у = ^(0/(0] и второго [а^сі2у/Ж2 +
+ а^Луі Ж+ 01(1)у = ^)Д^] порядков могут быть решены в общем
виде. Уравнения более высоких порядков решаются методами числен­
ного интегрирования на вычислительных машинах.
Переходной процесс в нестационарных САУ может быть построен
С ПОМОЩЬЮ вещественной 7^(00, I) [или МНИМОЙ 2з(ш, 0] частотных
характеристик (как и в случае САУ с постоянными параметрами).
Например, построение переходного процесса по ВЧХ замкнутой
системы осуществляется согласно формуле
7 X 27п
. 8ІП (0/ ,
/г(ґ) =
РДсо, /)------- <7со.
71 о
“

Формула отличается от аналогичной для САУ с постоянными
параметрами тем, то сюда входит параметрическая ВЧХ РДсо, /),
которая изменяется во времени. Построение переходной характеристики ведется для ряда фиксированных
значений времени /;; строятся характе­
ристики РДш, Г,), по которым затем на­
ходятся переходные характеристики Л,(г).
Искомая характеристика /г (/) САУ стро­
ится, как показано на рис. 11.6, по точ­
кам кривых ЛД/), соответствующим зна­
чениям времени, для которых получены
характеристики РДсо, ^).
Разработаны приближенные методы
анализа САУ, например, метод последо­
вательных приближений, численно-графи­
ческие методы и некоторые другие. Одна­
ко при исследовании таких САУ важно по
287

требуемым показателям качественно произвести синтез параметров.
Эти задачи наиболее полно можно решить только с применением
ППП и средств вычислительной техники. Изменяя различные переменные
параметры САУ по известным или приближенным законам, можно опре­
делить опасные точки, построить области устойчивости и линии равных
значений показателей качества переходного процесса или среднеквадра­
тичного отклонения выходной переменной при случайном воздействии
и произвести исследования САУ в окрестностях этих опасных точек.
Синтез (как и анализ) нестационарной САУ упрощается и можно
использовать все методы, разработанные для стационарных систем,
если САУ рассматривать как квазистационарную.
Квазистационарная САУ— это система, параметры которой измейяются медленно по сравнению с быстродействием системы, так
что приближенно можно считать параметры системы постоянными
по времени [const (t)].
Квазистационарные системы обычно исследуют с помощью двух
приближенных аналитических методов — метода замороженных ко­
эффициентов и метода замороженных реакций. Решение сводится к
многократному исследованию с постоянными коэффициентами из­
вестными способами.
Метод замороженных коэффициентов более прост, но менее точен.
Выбирается ряд последовательных моментов времени, в которые пе­
ременные параметры принимают предельные и наиболее критические
по влиянию на динамику системы значения (опасные точки). Для каж­
дой из этих точек производится исследование САУ, причем парамет­
ры ее принимаются постоянными, т. е. «замороженными». Если каче­
ство переходных процессов в выбранных точках удовлетворяет
предъявляемым требованиям, считается, что исходная система с пере­
менными параметрами тоже будет удовлетворять этим требованиям.
Метод замороженных реакций более точен, но сложнее. Применя­
ется он, когда в рассматриваемой САУ можно выделить одно звено с
переменными параметрами; остальная часть системы является стаци­
онарной. Выбирается также последовательный ряд наиболее харак­
терных по значениям переменных параметров моментов времени
t = Vj и определяется переходная функция h(t-Vj,Vj) звена с пере­
менными параметрами. По каждой найденной переходной функ­
ции в окрестностях опасных точек определяется эквивалентная пере­
даточная функция W3i(p), т. е. передаточная функция звена с посто­
янными параметрами, имеющего такую же переходную функцию.
Следовательно, здесь САУ заменяется эквивалентной стационарной
системой, описываемой передаточной функцией с постоянными коэф­
фициентами.
Исследование необходимо провести для всех выбранных опасных
точек, как и в случае метода замороженных коэффициентов. Метод
более точен, так как эквивалентное звено в определенной мере учи­
тывает в целом переменность параметров САУ.
288

Примеры и задачи
1. Показать, что если нормальная функция веса описывается
выражением w(t) = е(аѵо~а/)дѴо = const), то функция веса САУ с не­

переменными параметрами w(t-v, ѵ) = е-а(/_ѵ)//,

а сопряженная ей

функция веса равна е~ш°еаѵ 70(Г0 = const).
2. Показать, что если САУ с переменными параметрами описыва­
ется уравнением
,3 + (0,4 + 0,7/) ^
dr
dt

(I + 0,6/)/(/),

то ее передаточная функция с «замороженными» коэффициентами
определяется выражением

A
W(p,t) =

1+0,6/
д2+(0,4 + 0,7/)д + 1

3. Показать, что коэффициент ошибки с0(Г) = ЬГ(а + Ы), если САУ
с переменными параметрами замкнута, имеет единичную отрицатель­
ную обратную связь и ее }Ѵ(р,і) = а/(Ь + а + Ьі).

§ 11.4. ДИСКРЕТНЫЕ САУ

В книге дискретные САУ рассматривались, по мере возможности,
параллельно с непрерывными САУ, так как методы их исследования
подобны с учетом подстановок (типа р = дІТ\ г = е^ и др.). Напомним,
что к дискретным относят импульсные (с квантованием сигнала по вре­
мени), цифровые (квантование — по времени и по уровню) и релей­
ные (квантование по уровню) САУ.
Аналогично непрерывным системам по передаточным функциям
можно определить частотные характеристики дискретных САУ, а имен­
но, осуществляя подстановку д= рТ = і^Т = уш, где со = со Г — относительная частота (о) = 2 л/= 2л/ Т, со = щТ = 2л; г = ед=ерТ= еушГ=еуш).
Здесь |г| = ^е7“ I = 1 соответствует мнимая ось у на плоскости д.
Следовательно, все частотные характеристики дискретных САУ
как дискретных импульсных систем являются периодическими функ­
циями со и укладываются в область до ± л при изменении со от
до + оо (рис. 11.7, а).
Области устойчивости имеют вид единичного круга на плоскости
г (рис. 11.7, б) или в виде полосы ±л левее оси у на ^-плоскости
(рис. 11.7, а); соответственно граница устойчивости — единичный круг
(или осьу). Переход к частотным характеристикам по передаточным функ19 А. А. Ерофеев

289

z- плоскость

ш=л/2

ш^О +
7
3

-2л

и)-*~2л^

У
'w-jn

/W*(eJta)

. '^Устойчивая САУ
Неустойчивая САУ

+2/Т

Z = <x>

Рис. 11.7

циям осуществляется: в непрерывных САУ р = joy а в дискретных
z = е7“г = еу“, т. е. рассматриваются только точки в окружности |z| = 1.
С использованием w-преобразования (билинейное преобразо­
вание Мёбиуса) w = (z-l)/(z+1) или более удобного модифициро2
ванного w = —(z-l)/(z + l) единичная окружность Haz-плоскости ото­

бражается в мнимую ось на ѵѵ-плоскости (рис. 11.7, в, г); здесь z =
= (1+7и72)/(1 - Г»ѵ/2). При z = = ^Т = cos соТ + jsin со Т\
2
2 w = [2j sin со 77(1 + cos со Г)] 'Т= т Лё (wr /2) = у А = А = А = j^-

Здесь X = 2л / Т = со* — абсолютная псевдочастота; X — относитель­
ная псевдочастота. Область внутри |zj = 1 соответствует левой полуплос­
кости на w-плоскости (области устойчивости); при 0 < со < л имеем
О < со* < оо. При малых частотах или медленно изменяющихся входных
сигналах, когда со Т< 2, получим, что X == со = со*, так как tg (со772) =
«= со772. Именно в этом, а также в простоте построения ЛАЧХ и
ФЧХ дискретных САУ заключается ценность w-преобразования. Та­
ким образом, W(z)h->W(w). Подстановка w = усо*= fk позволяет ис290

пользовать для дискретных САУ обычные частотные методы [по
W*(jX)]. Здесь 1/ phz/(z-1)h(w + 1)/(2w). При изменении со = 0-л/Т
X изменяется от 0 до оо, а комплексная переменная w движется по оси
мнимых от 0 до

(если - - < со < ^, то - оо < л < оо, а

j°°).

Устойчивость дискретных СА У определяется аналогично при рас­
смотрении характеристического уравнения D(z) = 1 + W(z) = a$zn +
+ a}zn~] + ... +an~\Z + an =0 замкнутой дискретной САУ с W3(z) =
= W(z)/[1 + W(z)\. Дискретная САУ устойчива, если корни z^ D (z)
лежат внутри единичного радиуса [zj <1 в комплексной плоскости z.
Для обычной интерпретации делают подстановку: z = Н + у ^ / 1 Т }
'
---- w\ или z = (1+fXT/2)/(l-jXT/2). При исследовании устойчивос-

ти дискретных систем используют прямой метод Ляпунова (по функ­
ции Ляпунова), алгебраические (критерий Шур—Кона, Рауса—Гур­
вица) и частотные (Михайлова, Найквиста) критерии устойчивости.
Все они формально являются обобщением аналогов критериев устой­
чивости для непрерывных систем, причем частотные критерии здесь
также предпочтительнее [построение характеристик дискретных САУ
по W (уХ) = А(к) ехруф(Х) наиболее просто]. Например, (критерий
Найквиста), если разомкнутая система устойчива, то условием устой­
чивости замкнутой системы является не охват амплитудно-фазовой час­
тотной характеристики ^(усо) или IV (уХ) разомкнутой системы точки
с координатами (- 1; 0) (см. рис. 11.7). Здесь при [m Т] —> ~, у[т Г] —> 0
(асимптотическая устойчивость).
Характеристики линейных дискретных систем в отличие от непре­
рывных стягиваются не в начало координат, а в некоторую точку
со = л. Чтобы дискретная САУ была асимптотически устойчивой, корни ее характеристического уравнения должны лежать на г-плоскости,
внутри единичной окружности фі (см. рис. 11.7). Устойчивость
дискретных САУ зависит от значения Т; при больших Т дискретная
САУ может быть неустойчивой (0<Т<Ткрит). При Г—>0 дискрет­
ная САУ стремится к аналоговой. При адекватных структурах и па­
раметрах дискретная САУ обычно менее устойчива. От значений Т
зависит и качество дискретной САУ. При Т-^ °° дискретная САУ
неустойчива. Границу устойчивости определяет некоторый корень
1^ =1, при всех других г^ <1; корни же ѵѵ, аналогично должны иметь
отрицательные вещественные части для устойчивой дискретной САУ.
Определение запасов устойчивости дискретных СА У аналогично
определению запасов устойчивости для непрерывных систем. Запас
устойчивости дискретной САУ также характеризуется запасом ус­
тойчивости по фазе и модулю. Требования к запасам устойчивости
дискретных САУ аналогичны требованиям непрерывных систем (у ^
>30-50°; й >0,2-0,4; АТ >6-12 дБ).
19*

291

Качество переходных процессов в дискретных СА У исследуют с по­
мощью аналогичных методов и показателей качества, как и в случае
непрерывных систем.
Коррекция дискретных СА У сводится аналогично к увеличению
запасов устойчивости и улучшению показателей качества. Для этого
обычно используют два приема:
1) выбор периода Т или частоты квантования сок, влияющих
на форму амплитудно-фазовой характеристики и соответственно
на динамические свойства дискретных САУ. Чем выше значение со к,
тем ближе по свойствам дискретная САУ к непрерывной системе. Зна­
чение Т обычно выбирают по соображениям устойчивости, точности
и качества переходных процессов (а не по адекватности аналогового
и дискретного представления сигналов);
2) на свойства дискретных САУ оказывает влияние форма выход­
ного импульса с ЦАП, так как именно она через передаточную функ­
цию формирующего элемента (ФЭ) И^/р) определяет передаточную
функцию приведенной непрерывной части (ПНЧ):
^нч(Р) =

^фЭ(Р)^Р)-

Изменяя форму импульсов с ЦАП, можно корректировать динамиче­
ские свойства дискретных САУ. При простейшей форме передаточ­
ной функции фиксатора (экстраполятора) ИфЭ(р) = к(\- е-^7)/р —
для прямоугольных импульсов; следовательно,
^)^к(р),

где Wv^p) —передаточная функция корректирующего устройства (КЗ).
Другие методы коррекции дискретных САУ аналогичны методам
коррекции непрерывных систем: применяют линейные последовательные,
параллельные корректирующие устройства, корректирующие устройства
типа обратной связи. Дискретные КЗ также преобразуют входную ве­
личину х[пТ] в выходную у[пТ] в соответствии с предписанным алго­
ритмом. Их расчет производят аналогично, например, как (см. п. 10.2)
алгоритм №к(г) = №ж(г)/1Ур(г) или
= №зж(г)/(1-№зж(г)^
где Wж(z), №зж(г) — соответственно желаемые передаточные функ­
ции САУ; Wp(z) — передаточная функция исходной разомкнутой САУ.
Линейные цифровые КУ (ЦКУ) подразделяют на три группы: фильт­
рующие, оптимизирующие и особые. В зависимости от вида ЦКУ мо­
гут быть рекурсивными и нерекурсивными. В рекурсивных ЦКУ
*вых =/(*вх> *вых)>
а в нерекурсивных Хвых=/(хвх).
Цифровые корректирующие устройства [например, интегрирующего
типа с W*(q) = ке?(еч -1) и др.] иначе называют импульсными фильтра­
ми. Их включают для коррекции дискретных САУ, что позволяет
получить те же результаты, что и при использовании аналоговых
292

корректирующих устройств. Однако в реализации они значительно
сложнее и поэтому применяются реже. Для коррекции нелинейных
дискретных САУ так же, как и для непрерывных систем, используют
псевдолинейные [с изменением Л (со) И ф((0) = const; с изменением ф(щ)
и Л (со) = const; с неоднозначным изменением Л (со) и ф(со)], а также
нелинейные (компенсирующего и управляющего типов) корректиру­
ющие устройства.
Синтез алгоритмов управления и дискретных систем начинается
с построения моделей ОУ и внешних воздействий (идентификации ОУ).
Методы синтеза дискретных систем являются обобщением аналогов ме­
тодов синтеза непрерывных систем: используются также временные и час­

тотные методы. Временные (например, по критериям J2o = E£2[w^’ Аі
m=Q
и др.) предписывают введение обратной связи, т. е. коррекцию соб­
ственных движений ОУ независимо от их свойств; частотные игно­
рируют собственные движения ОУ (по разомкнутой ЛАЧХ) и обеспечи­
вают более простые алгоритмы. Здесь также используются понятия о ти­
повых желаемых ЛАЧХ:
L,(l) = 201g LM; CW =

(ЛАЧХ типа 1—2—1—2 и др.) и типовых желаемых передаточных функ­
циях W^(z) = WK(z)Wp(z), откуда WK(z) = W^z)/ Wp(z).
Дискретные УУ обеспечивают желаемые переходные процессы только
в дискретные моменты времени Т. Поведение ОУ внутри интервала Т
определяется динамическими свойствами ОУ и Т должен быть таков,
чтобы внутри него не было значительных колебаний ПП. Выбор ин­
тервала Т необходимо соотносить с особенностями собственных движе­
ний ОУ. Если внутри Т возникают колебания ПП, то для их устранения
надо уменьшать значения Т. Это требует пересчета алгоритмов управ­
ления, начиная с новой дискретной модели ОУ. Запаздывание дискрет­
ного УУ зависит от трудоемкости (сложности) алгоритма управления,
быстродействия и организации вычислительного процесса и управления.
Существуют три варианта исследования дискретных (цифровых) САУ.
1. Точное исследование, при котором учитываются процессы кван­
тования по уровню и по времени. Учет процессов квантования по уров­
ню приводит к решению нелинейной задачи и проявлению таких осо­
бенностей, как появление периодических режимов в цифровых САУ
[ЦСАУ]. При построении процессов в ЦСАУ определение оригинала
по изображению у (z) может быть обеспечено обратным Z-преобразованием: y*(t) = Z-1[y(z)].
ЦСАУ являются периодическими системами; эффекты периодичнос­
ти можно свести к минимуму выбором малого значения Т(чем Т мень­
ше, тем меньше эффекты; сок = 1/ Т). Для ЦСАУ, устойчивых в разомк­
нутом состоянии, при приближенном исследовании используют ме293

тод гармонической линеаризации, когда ЦСАУ представляют в виде
импульсного нелинейного звена (ИНЗ) и ПНЧ (ИНЗ осуществляет,
например, АИМ). Это позволяет определить периодические режимы
ЦСАУ. Трудоемкость этого метода значительно выше, чем в непре­
рывных системах. Нелинейность цифровых систем может определять­
ся не только квантованием по уровню (ИНЗ), но и нелинейностью при­
веденной непрерывной части (ПНЧ).
Квантование по уровню влияет на устойчивость и качественные по­
казатели переходного процесса ЦСАУ (особенно на низких частотах,
т. е. когда имеет место наложение амплитудно-частотных характерис­
тик).
Характеристика квантователя представляется в виде суммы релей­
ных характеристик с зонами нечувствительности (см. Приложение,
«аналог—цифра»); тогда коэффициент гармонической линеаризации
для квантователя будет

где ^ = (2/— 1)<у/2 или х,=1д определяет моменты переключения;
определяет вес единицы младшего разряда. В остальном метод гар­
монической линеаризации с использованием Я^Л} остается прежним,
как и для непрерывных систем (см. п. 3.3).
2. При разрядности п > 8 характеристику квантования обычно
заменяют линейной; тогда цифровая система превращается в линей­
ную импульсную систему. Если непрерывная часть линейна, то систе­
ма называется предельной импульсной системой. Анализ и синтез та­
кой дискретной САУ ведется методами теории импульсных систем.
3. Приближенный метод исследования дискретных систем, при ко­
тором цифровая система эквивалентируется непрерывной системой;
это возможно, когда удовлетворяется 2-й вариант и соблюдается ус­
ловие теоремы Котельникова—Шеннона (дискретное управление ап­
проксимируется непрерывным процессом). Из рассмотрения частотных
характеристик можно вывести условия такой эквивалентности. Для
систем с ЦАП и амплитудно-импульсной модуляцией [фиксатор нуле-

вого порядка с у = Ги/Г = 1; ^фЭ(р) = (^ ~ ^рТ)/р =(1-е рТ)/р]:
щ^ <(0к -0)с.

В граничном случае шк =2(0с, а щ у = юс, где (В^ — частота внеш­
него воздействия, приведенного к входу импульсного элемента. При
выполнении условий эквивалентности ЦСАУ будет реагировать на
низкочастотные воздействия подобно непрерывной системе. Таким об­
разом, при выполнении условий эквивалентирования в ЦСАУ, по су­
ществу, пренебрегают квантованием по уровню и по времени.
294

Эквивалентирование дискретных САУ аналоговым создает широ­
кие возможности приближенного исследования дискретных САУ, по­
зволяет использовать традиционные методы расчета. На практике это
приводит к рассмотрению дискретных САУ как квазианалоговых:
шк >8(0р, где мр— рабочая частота контура регулирования.
Формально передаточные функции дискретных динамических зве­
ньев и САУ можно получить из непрерывных Wi{p) заменой р на
р=

2 и-1

---- =w
Т2+1

2

и умножением полученного результата на------ , т. е.
2+1
2

С2

В численных методах этот прием соответствует методу трапеций. Возмож­
ны и другие упрощенные варианты, соответствующие в численных мето­
дах методам прямоугольников: способ прямой разности —

р = (2-1)/Т и способ обратной разности— р=~

с умножением

результата на 1/2. Здесь везде исходное р = \пг/Т
г = ерТ ~1 + рТ; г = \ІерТ ~\/(\- рТ)\

2/2

Следует отметить, что наиболее простой способ получения разно­
стных уравнений, описывающих дискретные САУ, использует апроксимацию производных конечными разностями:
^|(„+1)Д/ = ^ ^((/7 +1)А/)-Хл?Аг) =

^2 т I

= д г ,

= ИО = Ііт *+І)4^ Я”^)

= д2Ял]= -1 2 (Я«+2]-2Я«+і]+ЯО);
(АО2
,

|(«+1)Д/

!«△/

= Д3и«] = .у .3 (Яи + 3]- Зу[« + 2] + 2у[л +1] - у[п];
(△О
295

аналогу

!'‘/(р)=

— — —_—, то конечно-разностному
+ а2р^ + а}р + а$
соответствует выражение а^у[п] + а2^у[п] + а^у[п] +

Так, если

+ аоУ\п] = Ъ^ х[п} +Ь^ х[п} +Ь^ х[п] +Ь^х[п] или ^^[я + З]! А2у[п +
+ 2] + А}у[п + \\ + Аоу[п]= В3х[п + 3] + В2х[п + 2] + В{х[п + \]+ Вох[п],
А_ +
+ оо;
А2= ------ 3-.
где
^з = я3+ ^2
(ДО3
(ДО3
(А/)2
А*’
А/
(ДО3
2а->
3 ; аналогично и для В} + Во с за4 =
з + -——2; Л =
(ДО3
(△О3 (ДО2
меной йі на Ь,.
Подобные процедуры применимы (с определенными особенностя­
ми) и для получения векторно-матричных разностных уравнений, на­
пример вида у[п + \]+С[п]у[п] = П[п]х[п], пе[0, ^-l].
Проектирование дискретных САУ, также как и непрерывных, ба­
зируется на математическом описании САУ на основе методов: опе­
раторно-структурного (передаточных функций, частотных и времен­
ных характеристик); переменных состояния и структурно-топологи ­
ческих (графовых).
Операторно-структурный метод, основываясь на качественном иссле­
довании решений системы дифференциальных уравнений САУ, по суще­
ству, оперирует с алгебраическими свойствами определенных функций,
порождаемых этой системой уравнений. По глубине и степени завершенности развития этот метод занимает лидирующие позиции.
Метод переменных состояния базируется на матричном исчислении
и вычислительных методах линейной алгебры. Этот метод широко при­
меняют для исследования сложных многомерных, многосвязных САУ,
а также в теории оптимальных, адаптивных, интеллектуальных САУ.
Метод переменных состояния и операторно-структурный метод сильно
взаимосвязаны, дополняют и качественно развивают друг друга. В прак­
тике проектирования дискретных САУ применяют переходы от урав­
нений состояния непрерывных систем к уравнениям состояния дискрет­
ных систем (и наоборот).
Структурно-топологические методы широко используют теорию
графов в ее современных представлениях. Применение этих методов
в сочетании со структурными числами дает возможность получать эк­
вивалентную передаточную функцию сложной многомерной САУ
(САУ с перекрестными связями), проводить параметрический синтез
и вести анализ различных сложных структур САУ.
В частности, к таким относятся дискретные системы с распреде­
ленными параметрами, которые имеют определенную специфику опи­
сания, приводящую к цепочечным схемам с перекрестными связями.
Эта специфика связана с природой ОУ с распределенными парамет­
рами — с несоблюдением для них принципа направленности звеньев.
296

При этом такой ОУ разбивается обычно на однородные звенья (типа
двух-, четырехполюсников) с сосредоточенными параметрами, связан­
ные посредством прямых и обратных перекрестных связей. Например,
для длинной линии электропередачи (см. § 11.2) обычно однородное
звено — Т-образная схема четырехполюсника с погонными комплекс­
ными сопротивлениями: последовательными 2! и параллельным г2.
САУ для системно-сложных ОУ (типа ИСУ) обычно представляют со­
бой иерархические многокритериальные, многоцелевые системы, состоя­
щие из разноуровневых подсистем, часть из которых может решать раз­
личные задачи. Отметим, что иерархические системы состоят из и- уров­
ней управления, следующих в порядке определенного приоритета друг
за другом (от нулевого до л-ого); связи между уровнями как верти­
кальные, так и горизонтальные, обычно соответствуют выбору согла­
сованных решений. Для таких систем применяют путь многоуровне­
вой иерархии описаний, когда описание высшего уровня зависит от
обобщенных и факторизованных переменных низшего уровня, а опи­
сание в целом отражает параметры, процессы и иерархию. При этом
всегда существует значительная неопределенность в решении задач,
т. е. существует «неопределенность цели». Выбор оптимальных или
наилучших решений (с учетом различных ограничений) и формирова­
ние эффективных алгоритмов функционирования являются основны­
ми задачами построения ИСУ. В ТАУ преодоление проблемы неопре­
деленности осуществляют путем введения условий — компромиссов, на­
пример, путем сведения многокритериальной задачи к однокритериальп
ной (типа свертки критериев /г = ^к^,, где к, — весовые коэффициені=і
ты; /, — локальный критерий; Уг — глобальный критерий), использо­
вания методов: уступок (ранжирование критериев ^ /2 > ...5к, здесь
>- — знак ранжирования), равных и наименьших отклонений Д/,//^ =
= (Л Ло) ^ |ц^.о| ~ С05Д и др для таких иерархических систем
Ло

обычно необходимо решать две главные проблемы — структурную
(проблема стратификации) и координации (управления). Первая из
них связана с оптимальной декомпозицией задач управления на раз­
личных уровнях, вторая — с оптимальной согласованностью действий
подсистем разного уровня для достижения глобальной цели (коорди­
нация по принципам: прогнозирования оценки и согласования взаи­
модействий и т. п.).
Следует отметить, что обычно процесс проектирования дискрет­
ных САУ и САУ для системно-сложных ОУ производят с использова­
нием ЭВМ и различных современных ППП.

Примеры и задачи

1. Определить тип формирующего устройства, если его передаточ(г-1), г = ер .
Тр
2. Показать, что для дискретной САУ с единичной отрицательной об­
ратной связью передаточная функция замкнутой САУ относительно ошиб­
ки равна (г - 1)(г - 0,5)/[(г - 1)(г - 0,5) + 0,3], если для САУ в разомкнутом

ная функция W{p)=-

состоянии

W(z) = 0,3/(г - 1)(г - 0,5), и равна (г2 - г + 0,3^г2 - г + 0,б),

если № (г) = 0,3/Д2 - г + 0,б|.
3. Показать, что И-преобразование решетчатой функции/[п] = а • 1[и]
соответствует аг/(г-1), а /[п] = ап ь^ аг / (г-I)2; и наоборот: Е (г) =
= .
Н1[и], Е(г) = г/(г-Г)2 }^п.
0-1)
4. Показать, что передаточной функции:
фиксатора нулевого порядка соответствует выражение

------- ;

дискретной САУ 9/ (г2 -0,9г) соответствует разностное уравнение
у[л]-0,9у[л-1] = 9х[/і-2].

ПРИЛОЖЕНИЕ

299

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Теория автоматического управления /Под ред. А. А. Воронова. — М.: Высш,
шк., 1986. — Ч.1. — 368 с.; 4.2. — 504 с.
2. Топчеев Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирова­
ния. — М.: Машиностроение, 1989. — 752 с.
3. Справочник по теории автоматического управления/Под ред. А. А. Красовског о . — М.: Наука, 1987. — 712 с.
4. Юревич Е. И. Теория автоматического управления. — Л.: Энергия, 1975. — 415 с.
5. Теория автоматического управления/Под ред. А. В. Н е т у ш и л а. — М.: Высш,
шк., 1976. — Ч.І. — 424 с.; Ч. II. — 430 с.
6. Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управле­
ния . — М.: Наука, 1989. — 304 с.
7. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. —
М.: Наука, 1975.— 768 с.
8. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. — М.: Наука, 1986.
— 616с.
9. Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем. — М.: Наука, 1977. — 548 с.
10. Ерофеев А, А. Алгоритмы управления промышленных автоматических систем.
— СПб.: Политехника, 1992. — 106 с.
11. Математические основы теории автоматического регулирования/Под ред.
Б. К. Чемоданова. — М.: Высш, шк., 1971. — 807 с.
12. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. — М.: Наука,
1985. — 697 с.
13. Ерофеев А. А., Александров В. В., Поляков А. О., Смирнов Ю. М. Интеллекту­
альные системы управления. // Научно-технические ведомости СПбГТУ. — № 1 (3). —
СПб.: СПб.ГТУ, 1996. — С. 53 — 62.
14. Ерофеев А. А., Городецкий А. Е. Принципы построения интеллектуальных сис­
тем управления подвижными объектами. // Автоматика и телемеханика. — № 9. —1997.
— С. 101 — ПО.
15. Ерофеев А. А., Поляков А. О. Интеллектуальные системы управления: Учебное
пособие для вузов. — СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. — С. 265.
16. Ерофеев А. А., Поляков А. О. Интеллектуальные нечеткие технологии управле­
ния для контекстно-зависимых информационных потоков // СПбГТУ. № 3 (17). — 1999,
С. 113—124.
17. Ерофеев А. А. Интеллектуальные технологии в системах управления. // Научнотехнические ведомости СПбГТУ. — № 3 (21). — 2000. — С. 25—34.
18. Ерофеев А. А., Коваль С. Н. Интеллектуальное управление в системах: нечеткие
технологии управления. Вестник СЗО Академии медико-технических наук. Выпуск № 3.
— СПб.: Агентство «РДК — принт»; 2000. С. 172-188.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора..........................................................................................................................................

5

Предисловие......................................................................................................................................

7

Глава 1.

Основные понятия н общие принципы построения автоматических
систем...............................................................................................................
§
§
§
§

1.1. Основные термины и определения.......................................................
1.2. Типовая функциональная схема САУ................................................
1.3. Принципы управления и классификация САУ ...............................
1.4. Задачи ТАУ и характеристика процессов управления...................

Глава 2. Математические основы теории автоматического управления ...............
§ 2.1. Математические модели объектов управления и методы их
идентификации...............................................................................
§ 2.2. Математическое описание САУ...........................................................
§ 2.3. Линеаризация звеньев и систем.............................................................
§ 2.4. Формы записи дифференциальных уравнений САУ......................
§ 2.5. Временные и частотные характеристики ............................................
Глава 3.

Динамические свойства звеньев САУ и их характеристики.................
§ 3.1. Классификация динамических звеньев САУ....................................
§ 3.2. Обыкновенные типовые динамические звенья САУ.......................
§ 3.3. Особые динамические звенья САУ.......................................................

Глава 4.

Анализ одномерных САУ. Алгоритмические схемы САУ....................
§
§
§
§
§

Глава 5.

Глава 6.

Глава 7.

4.1. Передаточные функции соединений звеньев [алгебра W(р)}
4.2. Передаточные функции замкнутой САУ...........................................
4.3. Правила преобразования структурных схем....................................
4.4. Матрично-топологические преобразования структурных схем
4.5. Частотные характеристики замкнутой САУ (определение и
построение .......................................................................................

9
—
12
14
29
30
—
37
39
43
52

64
—
67
89

110
—
115
118
121
125

Стационарные динамические режимы САУ при случайных воз­
действиях ................................................................................ 129
§ 5.1. Случайные процессы ................................................................................
§ 5.2. Стационарные случайные процессы в САУ

—
137

Устойчивость САУ........................................................................................

142

§ 6.1. Понятие об устойчивости линеаризованных САУ. Теоремы
Ляпунова...........................................................................................
§ 6.2. Алгебраические критерии устойчивости............................................
§ 6.3. Частотные (графоаналитические) критерии устойчивости.........
§ 6.4. Устойчивость систем с трансцендентными и иррациональ­
ными звеньями..............................................................................
§ 6.5. Области устойчивости САУ...................................................................
§ 6.6. Обобщенный критерий устойчивости................................................

159
161
167

Качество процессов управления.................................................................

169

§7.1. Стационарные режимы САУ.................................................................
§ 7.2. Способы повышения точности САУ...................................................
§ 7.3. Стационарные динамические детерминированные режимы
САУ....................................................................................................
§ 7.4. Коэффициенты ошибок в САУ..............................................................
§ 7.5. Качество переходных процессов в САУ.............................................
§ 7.6. Критерии качества переходных процессов. Частотные критерии
§ 7.7 Корневые критерии качества................................................................

—
148
151

171

176
177
181
187
192

301

§ 7.8. Интегральные критерии качества.....................................................
§ 7.9. Методы расчета (построения) переходных процессов.................
§ 7.10. Чувствительность САУ.....................................................................

196
202
207

Глава 8.

Коррекция свойств САУ................................................................................ 209
§ 8.1. Виды коррекции...................................................................................... —
§ 8.2. Корректирующие звенья последовательного типа...................... 211
§ 8.3. Параллельные корректирующие звенья.......................................... 217
§ 8.4. Способы увеличения запасов устойчивости САУ......................... 220

Глава 9.

Алгоритмы и программы управления в САУ............................................
§9.1. Аналоговые (непрерывные) алгоритмы.............................................
§ 9.2. Реализация аналоговых алгоритмов управления........................
§ 9.3. Дискретные алгоритмы ......................................................................
§ 9.4. Реализация дискретных алгоритмов...............................................
§ 9.5. Многосвязные (многомерные) регуляторы....................................
§ 9.6. Нелинейные алгоритмы управления (базовые представления).......

224

232
239
244
247
248

Глава 10. Синтез и проектирование САУ..................................................................... 262
§ 10.1. Задачи и методы синтеза.....................................................................
§ 10.2. Графоаналитические (частотные) методы синтеза..................... 265
§ 10.3. Особенности синтеза многомерных САУ ..................................... 271
§ 10.4. О синтезе САУ с оптимальным переходным процессом............ 274
§ 10.5. Проектирование САУ...................................................................... 275
Глава 11. Особые САУ...................................................................................................
§ 11.1. САУ с запаздыванием..........................................................................
§ 11.2. САУ с распределенными параметрами........................................
§ 11.3.САУ с переменными параметрами (нестационарные САУ).........
§ 11.4. Дискретные САУ...............................................................................
Приложение.............................................................................................................................
Список литературы................................................................................................................

277
282
285
290
299
300

9 7 8 5 7 3 2 5 09 03 8

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Анатолий Александрович Ерофеев
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Редакторы Е. М. Миронченкова, Е. В. Шарова
Переплет М. Л. Черненко
Технический редактор Т. М. Жилич
Корректоры 3. С. Романова, Н. В. Соловьева
Верстка Л. Н. Сергеевой

Подписано в печать 07.07.2008.
Формат издания 60x90 Ѵ^- Бумага офсетная. Гарнитура Times.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 19,0.
Уч.-изд. л. 19,5. Тираж 1000 экз. Заказ 1386

ОАО «Издательство “Политехника”».
191023, Санкт-Петербург, ул. Инженерная, д. 6.
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Республиканская типография им. П. Ф. Анохина».
185005, г. Петрозаводск, ул. «Правды», д. 4.

Книги издательства «ПОЛИТЕХНИКА»
можно приобрести по адресу:
191023, Санкт-Петербург, Инженерная ул., д. 6, 3-й этаж
Тел./факс: (812) 312-44-95,
(812) 571-61-44.
Часы работы: с 10.00 до 18.00.
Выходные: суббота, воскресенье.

Схема проезда:

Книги издательства «ПОЛИТЕХНИКА»
можно заказать:
— по e-mail: gfm@polytechnics.spb.ru
— через сайт: www.polytechnics.ru
— возможна отправка книг «Книга—почтой».
Книги рассылаются покупателям по России и СНГ.
Почтовые расходы составляют 40 % и выше от стоимости
заказанных Вами книг