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Author: Liebaug B.
Tags: deutsch linguistik mathematik sprachenlernen
ISBN: 978-3-922989-91-2
Year: 2016
Text
Deutsch als Fremdsprache
Fachsprache
Bruno Liebaug
Wie spricht man
in der Mathematik?
Einführung in die Sprache der Mathematik
und ihrei Anwendungsgebiete
Band 1
Sprachliche Voraussetzung: Al
Stadtbibliothek
Friednchs+iain-Kreuzberg
Fiankfurter Allee
Verlag Liebaug-Dartmann
Das Werk ist in allen seinen Teilen urheberrechtlich geschützt Jede Verwertung
ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig. Das gilt insbesondere für Verviel-
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arbeitung durch elektronische Systeme. Alle Rechte liegen beim Verlag Liebaug-
Dartmann e. K.
Copyright © by Verlag Liebaug-Dartmann e.K.
Meckenheim 2016
ISBN 978-3-922989-91-2
Voraussetzungen
Die sprachliche Voraussetzung ist Al. Grammatische Voraussetzungen:
• Konjugation der Verben im Präsens
• Personalpronomen „man“ im Nominativ
• Modalverben in der objektiven Bedeutung
• Nomen im Singular und Plural (Genitiv nur rezeptiv)
• Komparativ des Adjektivs
• Deklination des Adjektivs nur rezeptiv
• Präpositionen
• Komposita
Schwerpunktthemen
Man erkennt an der farblichen Gestaltung den Schwerpunkt einer Lektion.
| Bereich Mathematik
B Anwendungsgebiete der Mathematik
Sprachliche Erklärungen (auch unabhängig von der Mathematik)
| | Zusätzliche Erklärungen „Für Fortgeschrittene“ am Ende einer Lektion. Man
kann diese Teile zuerst auslassen.
Zusatzmaterial (Download auf www.liebaug-dartmann.de)
Links für den Download des Zusatzmaterials befinden sich unter der Beschreibung
des Buchs „Wie spricht man in der Mathematik?“ auf der Homepage.
• Arbeitsblätter zu einzelnen Lektionen mit Lösungen
• Hinweise für Lehrerinnen und Lehrer
Abkürzungen im Buch
Nom. Nominativ
Gen. Genitiv
Dat. Dativ
Akk. Akkusativ
PI. Plural
/ siehe oben, siehe
z.B. zum Beispiel
Angabe des Plurals:
der Kehrwert, -e
bedeutet: PI. die Kehrwerte
der Bruch, -e
bedeutet: PI. die Brüche
der Index, Indizes
(bei unregelmäßiger Bildung)
3
Bearbeitung der Lektionen im Selbststudium
1. Möglichkeit: Sie arbeiten die Lektionen von 1 bis 30 nacheinander durch.
2. Möglichkeit: Sie arbeiten die Lektionen in der folgenden Reihenfolge durch:
Rechnen mit ganzen Zahlen Bruch rechnung Dezimal - zahlen, Einheiten Formel, Gleichung, Prozent Geometrie, Statistik
Y V Y
1 1>2— I 4^7 | 1 3 1 Eis-iO 24, 25
v
1 n~14 1 18-21 | | 22,23 | 26-30
Über den Autor
Bruno Liebaug studierte Mathematik und Physik und war am Studienkolleg für
ausländische Studierende an der Universität Bonn und am Abendgymnasium
Euskirchen tätig. Neben Mathematik und Physik unterrichtete er am Studienkolleg
auch viele Jahre lang Deutsch als Fremdsprache. Er veröffentlichte gemeinsam
mit Dr. Adalbert Friederich das Lehrbuch „Mechanik“ und mit Dr. Gabriele Neuf-
Münkel die Begleitbände „Fachsprache Physik“. Er hielt Vorträge und schrieb
Artikel zum Thema Fachsprache. Seit 2015 erteilt er ehrenamtlich Deutsch- und
Fachsprachenunterricht in der Flüchtlingshilfe Kall.
4
Inhalt
Kardinalzahlen bis 20 6
Kardinalzahlen ab 20 8
Dezimalzahlen 10
Ordnungszahlen 12
Bruchzahlen 14
Gemischte Zahlen 16
Teil und Vielfaches 18
Grundrechenarten: Lesen von Rechnungen 20
Grundrechenarten: Nomen 22
Grundrechenarten: Verben 24
Der Modalsatz mit „indem“ 26
Produkt und Quotient von Brüchen 28
Kürzen und Erweitern 30
Summe und Differenz von Brüchen 32
Term, Formel, Gleichung 34
Änderungen von Zuständen 36
Prozent und Promille 38
Zahlenarten 40
Potenzen mit ganzen Exponenten 42
Zehnerpotenzen und Potenzen von Einheiten 44
Wörter für „Länge“ 46
Wurzeln 48
Lineare und quadratische Gleichung 50
Grundbegriffe der Geometrie 1 52
Grundbegriffe der Geometrie 2 54
Beschreibende Statistik 56
Relative und absolute Häufigkeit, Kreisdiagramm 58
Stabdiagramm, Modus und Median 60
Mittelwerte 62
Streuungsmaße 64
Lösungen 66
Literatur zur Wiederholung der Schulmathematik 78
Stichwortverzeichnis 79
Innenumschlag nach Seite 80: Wichtige Verben im Buch
5
Kardinalzahlen bis 20
Die Zahlen von 0 bis 20
Nomen (feminin)
0 null die Null, -en
1 eins 11 elf die Eins, -en
2 zwei 12 zwölf die Zwei, -en
3 drei 13 dreizehn 13 = 3 + 10 die Drei, -en
4 vier 14 vierzehn dreizehn die Vier, -en
5 fünf 15 fünfzehn die Fünf, -en
6 sechs 16 sechzehn sechzehn die Sechs, -en
7 sieben 17 siebzehn siebanzehn die Sieben, -en
8 acht 18 achtzehn die Acht, -en
9 neun 19 neunzehn die Neun, -en
10 zehn 20 zwanzig die Zehn, -en
Zahl und Ziffer
Die Zahl 5 hat nur eine Ziffer: die Ziffer 5.
Die Zahl 12 hat 2 Ziffern: die Ziffer 1 und die Ziffer 2.
Die Zahl 18 hat 2 Ziffern: die Ziffer Eins und die Ziffer Acht.
die Ziffer, -n
die Zahl, -en
zählen
Wie viele Ziffern hat die Zahl 25520? Wir zählen:
2 5 5 2 0
t T T T t
1 2 3 4 5
Die Zahl 25520 hat 5 Ziffern. Sie hat zwei Zweien, zwei Fünfen und eine Null.
Für Fortgeschrittene
Genitiv
zwei - zweier (= von zwei) Die Summe zweier Zahlen ist 9.
drei - dreier (= von drei) Die Anwesenheit dreier Richter ist erforderlich.
Nomen
• Ich habe eine Eins in Mathematik und eine Vier in Deutsch. (/ Seite 60)
(Eins: beste Note, sehr gut; Sechs: schlechteste Note, ungenügend)
Es gab 2 Einsen, 3 Zweien, 4 Dreien, 2 Vieren, 3 Fünfen und 2 Sechsen.
• Die Zahl 58 hat fünf Zehner und acht Einer (=5x10+8x1).
• ♦ Können Sie mir den Zwanziger (20-Euro-Schein)
in zwei Zehner (10-Euro-Scheine) wechseln?
• Tut mir leid, ich habe nur einen Zehner und einen Fünfer.
ll
der Zehner, -
Zahl der Personen
allein zu siebt Beispiele:
zu zweit zu acht Ich komme allein.
zu dritt zu neunt Wir sind zu zweit (= zwei Personen).
zu viert zu zehnt Wir kommen zu dritt.
zu fünft zu elft Haben Sie einen großen Tisch frei? Wir sind zu zehnt.
zu sechst zu zwölft In der Mannschaft sind wir zu elft.
6
Übungen fl
1. Schreiben Sie die Zahlen in Ziffern,
a) Ich habe fünf ( 5 ) Geschwister, drei (_) Schwestern und zwei ( _) Brüder.
b) Wir sind zusammen sechs (_) Geschwister.
c) Meine Schwestern sind drei (_), vier (_) und neun (_) Jahre alt.
d) Meine Brüder sind zwei (_) und vierzehn () Jahre alt.
e) Ich bin siebzehn ( ) Jahre alt.
f) Meine Handynummer ist: null eins sechs drei elf neunzehn zwölf vierzehn
neun, i )
2. Schreiben Sie die Zahlen in Buchstaben.
a) 7 sieben b) 11
c) 13 d) 9
e) 5 f) 12
g) 19 h) 17
i) 8 j) 15
k) 16 ‘ 1) 20
m) 2 n) 14
o) 0 p) 18
q) 3 r) 1
3. Antworten Sie: Wie viele Ziffern hat die Zahl und welche?
a) 211 Sic hat drei Ziffernj :t i .• Zwei z vei Ei.i >en.
b) 314 _____________________________________________________
c) 1911 _____________________________________________________.
d) 43134 _____________________________________________________
e) 109007 _____________________________________________________
f) 52245 _____________________________________________________
4. Formulieren Sie anders.
a) Wir sind zwei Personen. ->________________________________.______
b) Wir sind neun Personen. —>_______________________________________
c) Wir sind drei Personen. ->________________________________________
d) Wir sind sieben Personen. ->_____________________________________
e) die Summe von 3 Zahlen —►_________________________________________
f) drei 20-Euro-Scheine ->___________________________________________
g) vier 5-Euro-Scbeine ->___________________________________________
h) Wir sind acht Personen. ->_______________________________________
7
Kardinalzahlen ab 20
Die Zahlen ab 20
21 einundzwanzig 1 + 20
20 zwanzig Unterscheiden Sie! 22 zweiundzwanzig 2 + 20
30 dreißig <-> dreizehn = 13 23 dreiundzwanzig 3 + 20
40 vierzig <-> vierzehn = 14 24 vierundzwanzig 4 + 20
50 fünfzig ++ fünfzehn = 15 25 fünfundzwanzig 5 + 20
60 sechzig <-> sechzehn = 16 26 sechsundzwanzig 6 + 20
70 siebzig <-> siebzehn = 17 27 siebenundzwanzig 7 + 20
80 achtzig <-> achtzehn = 18 28 achtundzwanzig 8 + 20
90 neunzig <-> neunzehn = 19 29 neunundzwanzig 9 + 20
31 ei'nunddrefßig 36 32 37 33 38 34 39 35 40 100 (ein)hundert 113 200 zweihundert 245 300 dreihundert 311 400 vierhundert 401 500 fünfhundert 512 600 sechshundert 608 700 siebenhundert 718 800 achthundert 880 900 neunhundert 968 1000 (ein)tausend 3215 5000 fünftausend 6109 10000 zehntausend 21 512 41 42 43 44 _____ 45 (ein)hundertdreizehn zweihundertfünfundvierzig dreihundertelf vierhunderteins fünfhundertzwölf sechshundertacht siebenhundertachtzehn achthundertachtzig neunhundertachtundsechzig dreitausendzweihundertfünfzehn sechstausendein hundertneun einundzwanzigtausendfünfhundertzwölf
100 000 (ein)hunderttausend 115 003 einhundertfünfzehntausenddrei
1 000 000 eine Million
2 000 000 zwei Millionen
3 000 000 drei Millionen
1 500 000
2 000 500
1 000 025
eine Million fünfhunderttausend
zwei Millionen fünfhundert
eine Million fünfundzwanzig
Jahreszahlen (zwischen 11OO und 1999)
1100 elfhundert
1995 neunzehnhundertfünfundneunzig
1217 zwölfhundertsiebzehn
aber: 2001 zweitausendeins
Für Fortgeschrittene
1 000 000 000
1 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000 000
eine Milliarde, -n
eine Billion, -en
eine Billiarde, -n
eine Trillion, -en
eine Trilliarde, -n
8
Übungen
1. Was ist richtig? Kreuzen Sie an. 0
a) achtundsiebzig 87 □ 78 □
b) fünfzehn 15 □ 50 □
c) vierhundertdreißig 413 □ 430 □
d) siebenhunderteinundneunzig 719 □ 791 □
e) hundertachtzehn 118 □ 180 □
f) sechsundneunzigtausend 96000 □ 69000 □
g) neunundvierzigtausenddreizehn 49030 □ 49013 □
2. Schreiben Sie die Telefonnummern in Ziffern.
a) null eins sechs fünf vier eins zwei acht null eins eins
b) null einhundertfünfundsechzig einundvierzig achthundertelf
c) dreiundzwanzig zweiunddreißig siebzehn siebzig
3. Trennen Sie die Zahlen mit einem Strich I. Schreiben Sie sie in Ziffern.
e i n sie inundzwanzigdreiundvier
zigfünfzigelfneunundsiebzigzw
ölfsechszehnsechzehn
i t i i f/i i i—i
4. Schreiben Sie die Zahlen in Buchstaben.
a) 563 _________________________________________
b) 601 _________________________________________
c) 7953 ________________________________________
d) 313330 ______________________________________
e) 21012________________________________________
0 34043 _________________________________________
g) 8080018 _______________________________________
5. Schreiben Sie die Jahreszahlen in Buchstaben.
a) 1627 ______________________________________________________________
b) 2016_______________________________________________________________
c) 1916 ______________________________________________________________
d) 2000 ______________________________________________________________
e) 901 _______________________________________________________________
6. Lesen Sie die Zahlen.
a) 1 356 958 312
c) 5 200 000 000 000 000
e) 1 002 000 000 000 000 000 000
b) 5 200 000 000 000
d) 1 002 000 000 000 000 000
f) 2 001 011 120 100 000 000 000
9
Dezimalzahlen
Dezimalzahlen; Stellen hinter dem Komma
Die Zahl 21,2375 ist eine Dezimalzahl oder ein Dezimalbruch.
2 Ziffern stehen vor dem Komma. Vier Ziffern stehen rechts vom Komma.
Man sagt: 21,2375 hat
vier Stellen hinter dem Komma,
vier Stellen nach dem Komma,
vier Nachkommastellen.
die Dezimalzahl, -en
der Dezimalbruch, -e
die Stelle, -n
das Komma, -s (PI. auch: Kommata)
die Nachkommastelle, -n
21,2175
j Man liest: einundzwanzig Komma zwei eins sieben fünf
Dezimalzahlen mit Einheiten
1 Euro = 100 Cent
1 Meter = 100 Zentimeter
Die Einheit Euro (€) ist eine Geldeinheit.
Die Einheit Meter (m) ist eine Längeneinheit.
Die Einheit Liter (1) ist eine Volumeneinheit.
Die Einheit Kilogramm (kg) ist eine Masseneinheit (Gewichtseinheit).
Längeneinheiten: Millimeter, Zentimeter, Meter, Kilometer ... fjEinheit -en
Flächeneinheiten: Quadratmeter, Quadratzentimeter ... ------———— ------
Volumeneinheiten: Kubikmeter, Liter, Zentiliter, Milliliter, Kubikzentimeter ...
Volumeneinheit Liter: 1,54 1 (Man liest: eins Komma fünf vier Liter)
Masseneinheit Kilogramm: 1,3 kg (Man liest: eins Komma drei Kilogramm)
aber:
Geldeinheit Euro: 1,37 € (Man liest: ein Euro siebenunddreißig)
(ganze Euro - Wort „Euro“ - ganze Cent)
1,05 € (Man. liest: ein Euro fünf)
1,20 € (Man liest: ein Euro zwanzig)
0,98 € (Man liest: achtundneunzig Cent)
Manchmal hört man auch: 1,35 € (eins fünfunddreißig)
aber: 100,05 € (einhundert Euro fünf, nicht: gixihuBdert-fcrnf)
Längeneinheit Meter: 1,72 m (Man liest: ein Meter zweiundsiebzig)
(ganze Meter - Wort „Meter“ - ganze Zentimeter)
1,05 m (Man liest: ein Meter fünf)
0,90 m (Man liest: neunzig Zentimeter)
Manchmal hört man auch: Ich bin 1,69 m (eins neunundsechzig) groß.
Unterscheiden Sie:
Nominativ
1,35 € ein Euro fünfunddreißig
eins fünfunddreißig
2,35 € zwei Euro fünfunddreißig
zwei fünfunddreißig
Akkusativ
gib mir einen Euro fünfunddreißig
gib mir eins fünfunddreißig
gib mir zwei Euro fünfunddreißig
gib mir zwei fünfunddreißig
10
Übungen
1, Wie viele Nachkommastellen haben die Dezimalzahlen?
Lesen Sie die Zahlen laut.
a) 12,98 b) 211,387 c) 112,9 d) 1,37928 e) 0,1574
f) 0,001 g) 1,0101 h) 12,1003 i) 121,003 j) 0,00587
Lesen Sie laut mit Einheiten.
a) 3,48 € b) 14,33 € c) 19,91 € d) 15,51 € e) 6,05 €
f) 30,13 € g) 14,40 € h) 50,15 € i) 16,60 € j) 3,51 m
k) 1,37 m 1) 14,40 m m) 7,8 km n) 12,34 cm o) 123,4 mm
p) 45,4 kg q) 40,5 1 r) 7,35 kg s) 0,92 € t) 23,32 €
3. Was ist richtig? Kreuzen Sie an. |x]
a) fünfundneunzig 5,90 € □ 95 □
b) zwei dreizehn 2,13 € □ 2,30 € □
c) 1,20 € einundzwanzig Q eins zwanzig
d) dreihundertfünf 300,05 € □ 305 □
e) dreiundsechzig neunundsechzig 63,69 € □ 36,69 € □
f) 40,15 € vierzig fünfzehn Q vierzehn fünfzig Q
g) einhundertsieben 100,07 € □ 107 □
4. Lesen Sie laut.
a) Ich bin 1,73 m groß. Mein Sohn ist 0,93 m groß.
b) Die 0,7-Liter-Flasche Cola kostet 0,89 €, die 1,5-Liter-Flasche Cola 1,49 €.
c) Wir fahren mit dem Fahrrad 8,5 km.
d) Der Schrank ist 1,75 m hoch.
e) Der Bahnhof ist 1,75 km entfernt.
f) Die Wohnung hat 44,5 Quadratmeter.
g) Wir verbrauchen im Jahr 42,7 Kubikmeter Wasser.
h) Der Kugelschreiber kostet 2,70 € und der Block 1,95 €.
i) Die Straße ist 5,20 m breit.
5. Schreiben Sie die Zahlen in Ziffern mit Einheiten.
a) Was kostet das Buch? - Vierzehn fünfundneunzig.
b) Und das Heft? - Drei fünfzig.
c) Wie groß bist du? - Eins vierundsiebzig.
d) Und du? - Eins fünfundsechzig.
e) Ich hätte gern ein Eis für zwei siebzig.
6. Lesen Sie die Geldbeträge laut mit Euro und ohne Euro.
a) Das Buch kostet 6,95 €, das Heft 1,25 €.
b) Kannst du mir 1,50 € leihen?
c) Von den 2,40 € müssen wir 0,80 € abziehen. Das macht 1,60 €.
d) In den 297,50 € sind 47,50 € Mehrwertsteuer enthalten.
11
Ordnungszahlen
0. der/die/das nullte 10. der/die/das zehnte
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. der/die/das erste der/die/das zweite der/die/das dritte der/die/das vierte der/die/das fünfte der/die/das sechste der/die/das siebte (oder siebente) 11. 19. 20. 21. 30. 100. 200. der/die/das elfte der/die/das neunzehnte der/die/das zwanzigste der/die/das einundzwanzigste der/die/das dreißigste der/die/das (ein)hundertste der/die/das zweihundertste
8. der/die/das achte achXte 1000. der/die/das (ein)tausendste
9. der/die/das neunte 1000000. der/die/das millionste
Ordnungszahlen
bis 19: Man hängt an die Kardinalzahl -te an.
Unregelmäßig sind: erste, dritte, siebte {auch möglich: siebente), achte
ab 20: Man hängt an die Kardinalzahl -ste an.
Zusammengesetzte Ordnungszahlen:
Nur das letzte Glied wird zur Ordnungszahl.
110 (ein)hundertzehn - zehnte - (ein)hundertzehnte
103 (ein)hundertdrei - dritte - (ein)hundertdritte
120 (ein )hundertz w anzig - zwanzigste - (ein)hundertzwanzigste
Für Fortgeschrittene
Ordnungszahlen zu Milliarde, Billiarde, Trilliarde: milliardste (milliardste), billiardste, trilliardste römische
Ordnungszahlen haben Adjektivendungen Zahlen
Heute ist der 1. März. der erste März (Nominativ) I 1
Ich komme am 1. März, am ersten März (Dativ) II 2
Ich komme am 7. März, am siebten März (nicht:_fiieberrtgn) III 3
Sie ist als Erste durchs Ziel gegangen, (feminin) IV 4
Er ist als Zweiter durchs Ziel gegangen, (maskulin) V 5
Als Erstes mache ich die Hausaufgaben, (neutral) VI 6
,jede(r, s)“ mit Ordnungszahl VII 7
jedes fünfte Jahr alle fünf Jahre (ein Jahr, 4 Jahre nicht, ...) VIII 8
jede zehnte Person eine Person von zehn IX 9
jeder fünfte Baum ein Baum von fünf X XX 10 20
Herrschernamen XL 40
Elisabeth II. Elisabeth die Zweite Dat.: Elisabeth der Zweiten L 50
Heinrich IV. Heinrich der Vierte Dat.: Heinrich dem Vierten LX 60
Aufzählungen C 100
erstens, zweitens, drittens, viertens, zwanzigstens, hundertstens D 500
Man hängt an die Ordnungszahlen -ns an. M 1000
1. Lesen Sie laut.
a) die 5. Etage b) der 7. Stock c) das 5. Gebot
d) das 3. Kind e) der 1. Sohn f) der 1000000. Besucher
g) der 17. Januar h) der 13. Februar i) der 27. März
j) der 31. Mai k) der 1. April 1) der 29. Juni
m) Heute ist der 7. Juni. n) die 2. Tochter o) der 1. April 2017
2. Schreiben Sie die Ordnungszahlen in Ziffern.
a) der siebenundzwanzigste
b) das zweihundertachtundfünfzigste
c) die dreizehntausenddreihundertdreißigste
d) der dreißigtausenddreihundertdreizehnte
e) das fünfhundertelftausendsiebenhundertste
f) die tausenderste _______________________
3. Schreiben Sie die Ordnungszahlen in Buchstaben.
a) 1547. _____________________________________________
b) 2593.__________________________________________________________
c) 1003. _____________________________________________________
d) 2301. ___________________________________________________
e) 1000000. _____________________________________________________
f) 100000000. ___________________________________________________-
4. Lesen Sie laut und setzen Sie ein.
a) Berlin, den 8. Mai 2017
c) Ich bin in der 3. Etage.
e) Heute ist der 1. Juni.
g) Beim Marathon ist sie 2. geworden.
i) Jedes 4. Jahr ist ein Schaltjahr.
k) Vor Elisabeth II. war Georg VI. König von England.
b) Sie ist im 4. Monat schwanger.
d) Ich fahre in den 7. Stock.
f) Wir treffen uns am 19. August.
h) Er ist nur 9. geworden.
j) Benedikt XVI. war bis 2013 Papst.
1) Vor Georg VI. war Eduard VIII. König von England,
m) Wir haben zu erledigen: 1. einkaufen gehen
2. Brief beantworten
3. Brief zur Post bringen
Als müssen wir also einkaufen gehen, als den Brief
beantworten, als ihn zur Post bringen.
n) Beim Wettkampf ist sie(1.) geworden, er ist (2.) ge-
worden. Sie ist also als durchs Ziel gegangen, er als
o) Als(1.) schreiben wir auf, was wir tun müssen.
Als(2.) müssen wir es auch tun.
13
5
Y Zähler der Bruch, -e / die Bruchzahl, -en
Bruchstrich der Bruchstrich, -e
C? Nenner der Zähler, -
Man liest: sieben neuntel der Nenner, -
Der Zähler steht über dem Bruchstrich. Der Nenner steht unter dem Bruchstrich.
Man schreibt manchmal 7/9 für .
| ein eintel A zwei drittel Nomen:
1 ein halb 1 A drei halbe (PI.) die Hälfte, -n
1 ein drittel X A fünf sechstel ein halb
4- ein viertel / . 1 4. vier siebtel das Drittel, -
4 1 J ein drittel
1 ein fünftel 5 3 1 sieben achtel —
1 ein sechstel x- 6 X _S_ acht siebenundneunzigstel
1 ein siebtel W - A- ein hundertstel
L ein achtel ö A_ vier (ein)hunderteintel
1 ein neuntel AL fünf (ein)hundertzweitel
A ein zehntel AL. zwei (ein)hundertdrittel
A ein neunzehntel AL drei (ein)tausendstel
A ein zwanzigstel ein dreitausendstel
Man liest den Zähler eines Bruchs als Kardinalzahl. Man sagt „ein“ für 1.
Ab 3 ist der Nenner eine Ordnungszahl mit einem „1“ am Ende.________
Einheiten (Liter, Kilogramm, Pfund ...) stehen hinter allen Zahlen im Singular.
Andere Nomen (Flasche, Dose ...): Singular/Plural richtet sich nach dem Zähler.
„halb“ erhält Adjektivendungen:
maskulin feminin neutral Plural
Nom. ein halber der halbe eine halbe die halbe ein halbes das halbe halbe die halben
Akk. einen halben den halben eine halbe die halbe ein halbes das halbe halbe die halben
Ich hätte gern ein halbes Kilo(gramm) Mehl.
Ich hätte gern ein halbes Pfund Butter.
Ich hätte gern einen halben Liter Milch.
Ich hätte gern eine halbe Flasche Wein.
Ich hätte gern drei halbe Schachteln Pralinen.
das Kilo(gramm)
das Pfund (= 500 Gramm)
der Liter
die Flasche, -n
die Schachtel, -n
Alle anderen Nenner haben keine Adjektivendungen.
14
Übungen
1. Lesen Sie die Brüche laut.
a) i b)l C) 9 d) 4 11 e) |
h> £ i) 8 49 j) ’ 32
100 500 m)TÖÖÖ n) 7 57 0) -9- 25
p) —— 119 q) 47 70 r) -io. 113 s) 5 2011 t) -LL 770
u) 7/15 v) 8/21 w) 9/51 x) 18/19 y) 13/31
2. Schreiben Sie in Ziffern.
a) siebenhundertachtundzwanzig neunhundertsiebenunddreißigstel
b) vierhundertelf sechshundertachtundzwanzigstel
c) dreihundertsechs dreihundertsiebtel
d) hundertneunundzwanzig tausendvierhundertachtundneunzigstel
e) Der Zähler ist neunundvierzig, der Nenner ist einhundertfünf.
f) Der Nenner ist achtzehn, der Zähler ist neunzehn.
g) Der Zähler ist fünfundachtzig, der Nenner ist siebenundneunzig.
h) Der Nenner ist fünfundvierzig, der Zähler ist achtundsiebzig.
i) Unter dem Bruchstrich steht 17, über dem Bruchstrich steht 9.
3. Setzen Sie Endungen ein. Manchmal darf man nichts / einsetzen.
a) drei viertel Flasche_Mineralwasser und drei halb___Packung___Chips
b) ein/ halbes Pfund Butter und ein___halb___Packung_____Margarine
c) zwei drittel Flasche_ Wein und ein_viertel Flasche_Bier
d) drei viertel Schachtel_Pralinen und ein halb Schachtel_______Kekse
e) ein halb___Dose. Erbsen und zwei drittel Dose___Bohnen
f) Gib mir d__halb Dose Erbsen und ein______halb___Teller Suppe.
g) Geben Sie ein__halb____Tasse Reis, ein_viertel Teelöffel Salz und ein_
Tasse___Wasser in den Topf.
4. Lesen Sie laut.
a) Ich hätte gern 1 Kilogramm Butter und 1 Liter Milch.
b) Für den Kuchen brauchen wir 1 Kilogramm Mehl und 1 Kilogramm Zucker.
2 b
c) Ich bringe morgen 1 Kilogramm Butter und | Liter Orangensaft mit.
d) 1 Packung Mehl, 1 Liter Öl und 1 Pfund Butter sind noch im Schrank.
e) Ich möchte nur 1 Tasse Kaffee und 1 Teller Suppe.
15
6
Gemischte Zahlen
ij = 1 + | = 1 1/2 eineinhalb, anderthalb
2i zweieinhalb • lj eineinviertel •<> 1-| eineindrittel
dreieinhalb •••© 2-1 zweieinviertel • •(5 2-1 zweieindrittel
41 viereinhalb 14 eindreiviertel 14 einzweidrittel
eineinfünftel 12^ zwölf fünf einundzwanzigstel
Die gemischten Zahlen sind unveränderlich.
Einheiten (Kilogramm, Liter ...) stehen hinter gemischten Zahlen im Singular.
Andere Nomen (Flasche, Dose, Scheibe ...) und Zeiteinheiten (Jahr, Monat,
Tag, Stunde, Minute, Sekunde) stehen hinter gemischten Zahlen im Plural.
Beispiele: anderthalb Flaschen Mineralwasser; anderthalb Kilogramm Mehl
Wir müssen noch anderthalb Stunden warten.
Für Fortgeschrittene: Lesen Sie den Text.
Gerechtes Teilen
Drei Geschwister, ein Mädchen und zwei Jungen, spielen im Kinderzimmer.
Die Mutter kommt herein. Sie hat einen Teller mit acht Plätzchen. Sie sagt zu
den Kindern: „Teilt die Plätzchen bitte gerecht.“
Klaus, der Kleinste, sagt: „Jeder bekommt zwei Plätzchen. Zwei Plätzchen
5 bleiben übrig. Es gibt einen Rest.“
Petra, das Mädchen, hat eine andere Lösung: „In Deutschland ist Gleich-
berechtigung. Die Mädchen und die Jungen bekommen gleich viel. Vier Plätz-
chen bekommen die Mädchen, vier Plätzchen bekommen die Jungen.“
Jan, der Älteste, sagt: „Das ist ungerecht. Petra, du bekommst dann vier Plätz-
10 chen. Klaus und ich bekommen jeweils nur zwei Plätzchen. Wir machen es
anders: Jeder bekommt zuerst zwei Plätzchen. Zwei Plätzchen bleiben übrig.
Ich hole aus der Küche ein Messer. Wir schneiden dann die beiden Plätzchen
in der Mitte durch. Wir erhalten vier halbe Plätzchen. Dann bekommt jeder
noch ein halbes Plätzchen. Ein halbes Plätzchen bleibt übrig. Wir schneiden
15 das halbe Plätzchen durch. Wir erhalten zwei viertel Plätzchen. Wir schneiden
dann die beiden viertel Plätzchen durch. Wir erhalten vier achtel Plätzchen.
Jeder bekommt dann wieder ein achtel Plätzchen. Ein achtel Plätzchen bleibt
übrig. Dieses achtel Plätzchen schneiden wir wieder durch. Wir erhalten
zwei sechzehntel Plätzchen. Die beiden sechzehntel Plätzchen schneiden wir
20 durch. Wir haben nun vier zweiunddreißigstel Plätzchen. Jeder bekommt ein
zweiunddreißigstel Plätzchen. Ein zweiunddreißigstel Plätzchen bleibt übrig.
Wir ...“
Petra unterbricht ihn: „Nur Jungen können so unpraktisch sein. Wir werden
so nie fertig. Wir machen es besser anders: Jeder bekommt zuerst zwei Plätz-
25 chen. Zwei Plätzchen bleiben übrig. Die beiden Plätzchen schneiden wir in
drei gleiche Stücke. Wir haben dann sechs drittel Plätzchen. Jeder bekommt
dann noch zwei drittel Plätzchen, und wir haben gerecht geteilt. Jeder erhält
also genau zwei zwei drittel Plätzchen.“
16
Übungen
1. Schreiben Sie in Ziffern.
a) einzweifünftel d) vier drei siebtel g) einsiebenneuntel b) zweieinfünftel c) e) elf zwölf dreizehntel f) h) drei zwei drittel i) neun drei achte] zwei drei fünftel zwei acht neuntel
2. Lesen Sie die Zahlen laut. a) 1| b) 8| c) 11| d) Q A. dll e) 7|
B 2j g) 5| h) 6f i) ö3 j) 8^
3. Lesen Sie die Sätze laut.
a) Ich hätte gern 11 Liter Milch und 2-| Pfund Butter.
b) Die Hälfte von 3| ist 1-|.
c) Ein Drittel von 41 ist 11.
2 &
d) 4 mal 11 gleich 6.
e) Wir teilen 5 Flaschen Cola durch 3 Personen. Jede Person erhält 1-| Flaschen
Cola.
f) Wir müssen noch 2i Kilometer gehen und dann 11 Stunden warten.
4. Lesen Sie und beachten Sie den Unterschied.
a) 1 1/2 b) 11/2 c) 2 1/5 d) 21/5 e) 12/5
f) 112/17 g) 112/17 h) 1 12/17 i) 12/3 j) 12/3
5. Setzen Sie Endungen ein. Manchmal darf man nichts / einsetzen.
a) einzweidrittel Liter X Milch und anderthalb Flaschej3_ Wasser
b) zweieinhalb Torte_und ein____halb_____Torte__
c) dreieinhalb Dose__Erbsen und ein______halb__Dose_____Erbsen
d) anderthalb Kilo___Brot__und noch dreieinhalb ganz____Brot.___
e) zweieinhalb Scheibe Brot oder fünf halb____Scheibe__Brot.
6. Lesen Sie den Text auf Seite 16. Bearbeiten Sie die Aufgaben.
a) Viele Wörter im Text bezeichnen Zahlen. Unterstreichen Sie sie.
Schreiben Sie die Zahlen in Ziffern.
b) Was bedeutet „die beiden“?
c) Jan macht im Text „Gerechtes Teilen“ einen Vorschlag. Was erhält jeder?
Schreiben Sie mit + (plus) auf:
d) Wie lange braucht Jan für das Teilen? Welche Schwierigkeit gibt es?
e) Bekommt jeder nach Jans und Petras Vorschlag das gleiche? Weshalb glau-
ben Sie es, weshalb glauben Sie es nicht?
17
Teil und Vielfaches
2 ist die Hälfte von 4. (Hälfte ist Nomen zu halb.) 4 ist das Doppelte von 2.
2 ist ein Drittel von 6. 6 ist das Dreifache von 2.
2 ist ein Viertel von 8. 8 ist das Vierfache von 2.
das Einfache
das Doppelte
das Dreifache
das Vierfache
das Fünffache
das Siebenfache
das Achtfache
das Zehnfache
einfach
(das Zweifache)
das Einundzwanzigfache
das Hundertfache
das Hunderteinsfache
das Tausendfache
das Millionenfache
das Milliardenfache
das Billionenfache
Adjektivdeklination:
Man dekliniert „das Einfache“,
„das Doppelte“, „das Dreifache“ ...
wie Adjektive.
Adjektive:
einfach
doppelt, zweifach
dreifach
millionenfach
best. Artikel unbest. Artikel
Nom. das Achtfache ein Achtfaches
Gen. des Achtfachen eines Achtfachen
Dat. dem Achtfachen einem Achtfachen
Akk. das Achtfache ein Achtfaches
Ich habe großen Hunger. Ich brauche eine doppelte Portion.
Bitte geben Sie das Formular in dreifacher Ausführung ab.
Das hat sich millionenfach bewährt.
einmal 1 x
zweimal 2 x
dreimal 3 x
hundertmal 100 x
Ich sage es dir nur noch einmal!
Ich habe den Text zweimal gelesen.
150 Gramm ist dreimal so viel wie 50 Gramm.
Ich habe es dir schon hundertmal gesagt!
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
5 ist ein Vielfaches von 2, nämlich das 2,5-fache
(Man liest: das Zwei-Komma-fünf-fache).
6 ist ein ganzzahliges Vielfaches von 2, das 3-fache.
(2,5 ist keine ganze Zahl, 3 ist eine ganze Zahl)
1 ist auch ein Vielfaches von 2, nämlich das 0,5-fache.
das Vielfache, -n
das kgV
die ganze Zahl
ganzzahlig
In der Bruchrechnung:
Man sagt häufig nur „Vielfaches“ für „ganzzahliges Vielfaches“.
Ganzzahlige Vielfache von 2 sind: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...
Ganzzahlige Vielfache von 3 sind: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,...
Gemeinsame Vielfache von 2 und 3 sind: 6, 12, 18,...
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 2 und 3 ist 6.
Man verwendet das kgV in der Bruchrechnung (/ Lektion 14, Seite 32):
1 132 3+2 5
2^3 6 6~ 6 ~ 6
18
Übungen
1. Setzen Sie ein.
a) 8 ist d_________________von 16.
b) 20 ist d________________von 5.
c) 8 Kilogramm ist so viel wie 2 Kilogramm.
d) Wir brauchen das Formular in(4) Ausführung.
e) Ich habe den Text gelesen. Dann habe ich ihn noch einmal gelesen. Dann habe
ich ihn noch einmal gelesen. Ich habe ihn gelesen.
f) 3 ist e von 15 und 15 ist d von 3.
g) D von 2 ist 14.
h) D von 90 ist 45.
i) 10 ist ein Vielfaches von 2, nämlich d.
j) Die Abkürzung von „kleinstes gemeinsames Vielfaches“ ist.
k) 21 ist von 3, 3 ist________________________von 21.
1) 10 ist von 2|.
m) 9 ist von 1|.
n) 3| ist von 1|.
o) 15 ist von 1|.
p) 300 ist von 1,5.
q) 301,5 ist von 1,5.
r) 1,5 ist von 300.
s) 1,5 ist von 301,5.
2. Das ganzzahlige Vielfache:
a) Schreiben Sie die ganzzahligen Vielfachen von 4 und 6 bis zur Zahl 48 auf.
4
6 _____ ________ _______ ________ ______ _______ ________
b) Nennen Sie die gemeinsamen Vielfachen.
c) Nennen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache.
3. Nennen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von:
a) 2 und 5 b) 3 und 5
c) 4 und 5 d) 2 und 10
e) 2 und 7 f) 3 und 7
g) 4 und 7 h) 5 und 7
i) 7 und 14 j) 21 und 14
k) 10 und 15 1) 9 und 6
19
Grundrechenarten: Lesen von Rechnungen
Plus, minus, mal, durch
2 + 5 = 7 zwei plus fünf gleich sieben
8-2 = 6 acht minus zwei gleich sechs
3 • 4 = 12 drei mal vier gleich zwölf
16 : 8 = 2 sechzehn durch acht gleich zwei
1 + 1 = 2 eins plus eins gleich zwei
1-1 = 0 eins minus eins gleich null
1-1 = 1 einmal eins gleich eins
1:1 = 1 eins durch eins gleich eins
rechnen
ich rechne
du rechnest
er/sie/es rechnet
wir rechnen
ihr rechnet
sie/Sie rechnen
die Rechnung, -en
Zeichen Man liest: Name
4- plus, und das Pluszeichen, -
- minus, weniger das Minuszeichen, -
1 X mal das Malzeichen, -
• ' 11 durch, geteilt durch, dividiert durch das Divisionszeichen, -
gleich, ist gleich, sind gleich, ist, sind das Gleichheitszeichen, -
( Klammer auf die Klammer, -n
) Klammer zu die Klammer, -n
(...) runde Klammern
[...] eckige Klammern
{...) geschweifte Klammern
Rechnungen vorlesen
| bedeutet Sprechpause
12 - 2 + 4 = 14
12-(2+ 4) = 6
12 - [2 + (2 - 1)] = 9
3 • (2 + 4)= 18
12 minus 2 plus 4 gleich 14
12 minus | Klammer auf | 2 plus 4 | Klammer zu | gleich 6
oder: 12 minus | 2 plus 4 in Klammern | gleich 6
12 minus | eckige Klammer auf | 2 plus | runde Klammer
auf | 2 minus eins | runde Klammer zu | eckige Klammer zu
| gleich 9
3 mal | Klammer auf | 2 plus 4 | Klammer zu | gleich 18
oder: 3 mal | 2 plus 4 in Klammern | gleich 18
Beachten Sie die Regel: „Punktrechnung vor Strichrechnung“
Punktrechnung: mal (•) und geteilt durch (:)
Strichrechnung: plus (+) und minus (-)
3 • 2 + 4 = 10 3 mal 2 plus 4 gleich 10
4 + 3 2 = 10 4 plus 3 mal 2 gleich 10 aber: (4 + 3) • 2 = 14
4 + 3-2 bedeutet 4 + 13-2)
20
Übungen
1. Schreiben Sie und lesen Sie vor.
a) 19 + 22 = 41 neunzehn plus z.weiundzwanziq gleich einandvierzig
b) 19-11 = 8_________________________________________________
c) 52-25 = 27 __________________________________________________
d) 15 • 3 = 45 . __________________________________________
e) 12 + 23 = 35 __________________________________________________
fj 94 _ 49 = 45 ___ _
g) 121-22 = 99 ___ _ ________
h) 99 + 22 = 121 __________________________________________________
i) 11 • 6 = 66___________________________ . __________
j) 121 : 11 = 11 __________________________________________________
k) 12-10 = 120 ______________
1) 84:4 = 21 ______________ _ __ ____________________
2. Rechnen Sie und lesen Sje Ihre Rechnung vor.
a> 3 + 4 = .7 b) 9-8 = c) 111-111 =
d) 12 : 3 = e) 15 + 19 = f) 90-10 =
g) 5 4 = h) 19- 11 = i) 11 + 12 =
j) 16:2 = k) 3 9 = 1) 21“ 7 =
m)57 = n) 15:3 = o) 77:11 =
3. Schreiben Sie und lesen Sie vor.
a) 12 - (5 - 1) = 8 1-2- Minus Klaiwner auf 5 minus 1 Klammer zu gleich S
b) (2 + 3) 4 = 20 __________________________________________________
c) 5 - (2 + ]) = 2 ______________________________________________
d) 2 • [5 - (3 + 1)] = 2 _ _____ _________________________________
e) 2 • 5 - (3 + 1) = 6 ________________________________________________
f) 2 -(5-3)+ 1 = 5
g) 2 : (6.3) = 1 _____________________________________________________
h) (5 + 4) • 5 = 45 __________________________________________________
4. Rechnen Sie und lesen Sie Ihre Rechn ung vor.
a) 12 - (1 + 3) = 8 b) 12 - 1 + 3 = c) 3 + 2 • 2 =
d) (3 + 2) 2 = e) (5 + 2) - (3 - 2) = 0 8-2-3 =
g) (8 — 2) - 3 = h) (13 — 3) 4 — i) 13-3-4 =
j) (8 - 3) (9 + 1) =
21
Grundrechenarten: Nomen
Summe, Differenz, Produkt, Quotient
2 + 3 ist die Summe aus 2 und 3.
5-4 ist die Differenz aus 5 und 4.
5-3 ist das Produkt aus 5 und 3.
12 : 3 ist der Quotient aus 12 und 3.
die Summe, -n
die Differenz, -en
das Produkt, -e
der Quotient, -en
Frage:
Antwort:
Frage:
Antwort:
Frage:
Antwort:
Frage:
Antwort:
Was ist die Summe aus 5 und 4?
Die Summe aus 5 und 4 ist 9.
Was ist die Differenz aus 12 und 4?
Die Differenz aus 12 und 4 ist 8.
Was ist das Produkt aus 3 und 7?
Das Produkt aus 3 und 7 ist 21.
Was ist der Quotient aus 20 und 2?
Der Quotient aus 20 und 2 ist 10.
+ plus
- minus
mal
: durch
die Summe
die Differenz
das Produkt
der Quotient
Weitere Wörter
Summand Summand
8 + 4 = 12
Summe Summenwert
Minuend Subtrahend
15-4 = 11
Differenz Differenzwert
Faktor Faktor
5J = 15
Produkt Produktwert
der Summand, -en
der Minuend, -en
der Subtrahend, -en
der Faktor, -en
der Dividend, -en
der Divisor, -en
der Wert, -e
Dividend Divisor
24 : 2 = 12
Quotient Quotientenwert
____________________________Pur Fortgeschrittene
Andere Formulierungsmöglichkeiten
die Summe aus + Dat. / von + Dat. / Gen.
die Summe aus 5 und 4; die Summe von 5 und 4; die Summe dreier Zahlen
die Differenz aus + Dat. / von + Dat. / Gen. / zwischen + Dat
Die Differenz zwischen 8 und 3; die Differenz zweier Zahlen
das Produkt aus + Dat. / von + Dat. / Gen.
Das Produkt von 5 und 4; das Produkt der beiden Zahlen
der Quotient aus + Dat. / von + Dat. / Gen.
„-Deklination: Quotient, Summand, Minuend, Subtrahend, Dividend
der Quotient, des Quotienten, dem Quotienten, den Quotienten
Berechnen Sie den Quotienten der beiden Zahlen.
Man nennt 12 den Dividenden des Quotienten aus 12 und 3
22
Übungen |
_____________________________________________________r
1. Setzen Sie ein.
a) 12 ist das Produkt _ aus 2 und 6.
b) 5 ist d aus 2 und 3.
6 ist d aus 2 und 3.
d) 3 ist d aus 12 und 4.
e) 9 ist d aus 12 und 3.
0 D aus 3 und 4 ist 12.
g> D aus 15 und 5 ist 10.
h) D aus 15 und 5 ist 3.
i) D aus 15 und 5 ist 20.
2. Antworten Sie.
a) Was ist die Summe aus 5 und 7? Pie Summe aus S und. 7 ist 12.
b) Was ist das Produkt aus 2 und 4? _______________________________
c) Was ist der Quotient aus 8 und 2? ______________________________
d) Was ist die Differenz aus 9 und 6? _____________________________
e) Was ist das Produkt aus 4 und 5? _______________________________
f) Was ist die Summe aus 8 und 4?__________________________________
g) Was ist die Differenz aus 9 und 2? _____________________________
h) Was ist das Produkt aus 5 und 2? _______________________________
i) Was ist der Quotient aus 9 und 3? ______________________________
j) Berechnen Sie die Summe aus 1 und 2.
k) Berechne die Differenz aus 7 und 2. ____________________________
3. Fragen Sie wie in Aufgabe 2 und antworten Sie.
a) 2 + 4 Was ist die Summe aus 2 und 4? Pie Summe aus 2 und 4 ist 6.
b) 9-3_____________________________________________________________
c) 12 : 3 _________________________________________________________
d) 8 3___________________________________________________________
e) 8 + 7 ___________________________________________________________
4. Setzen Sie ein.
a) 13 und 5 sind der Summe aus 13 und 5.
b) 3 und 9 sind des Produkts aus 3 und 9.
c) In der Differenz 9 - 4 ist 9 und 4.
d) Im Quotienten 12 : 3 ist 12 und 3.
23
Grundrechenarten: Verben
Addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren
2 + 3 Ich addiere 3 zu 2.
9-2 Ich subtrahiere 2 von 9.
9 3 Ich multipliziere 9 mit 3.
8 : 2 Ich dividiere 8 durch 2.
addieren Akk. zu Dat. die Addition, -en
subtrahieren Akk. von Dat. die Subtraktion, -en
multiplizieren Akk. mit Dat. die Multiplikation, -en
dividieren Akk. durch Dat. die Division, -en
addieren
ich addiere
du addierst
er/sie/es addiert
wir addieren
ihr addiert
sie/Sie addieren
Beachten. Sie die Reihenfolge!
2 + 3 Ich addiere 3 zu 2. 9-2 Ich subtrahiere 2 von 9. 9 • 3 Ich multipliziere 9 mit 3. 8 : 2 Ich dividiere 8 durch 2. Die Reihenfolge ist besonders wichtig beim Subtrahieren und Dividieren: 9-2*2-9 8:2*2:8
Kommutativgesetze
Kommutativgesetz der Addition a + b = b + a
Man darf die Summanden in einer Summe vertauschen: 2 + 3 = 3 + 2
Kommutativgesetz der Multiplikation a • b = b • a
Man darf die Faktoren in einem Produkt vertauschen: 9 • 3 = 3 • 9
Zusammenfassung
a + b 1 a - b
a plus b a + b die Summe aus a und b a, b der Summand, -en addieren zu Dat. Ich addiere b zu a. die Addition a minus b a-b die Differenz aus a der Minuend, -en b der Subtrahend, subtrahieren von Dat. Ich subtrahiere b von a. die Subtraktion a und b en
ab a : b
a mal b a b das Produkt aus a und b a, b der Faktor, -en multiplizieren mit Dat. Ich multipliziere a mit b. die Multiplikation a durch b a : b der Quotient aus a und b a der Dividend, -en b der Divisor, -en dividieren durch Akk. Ich dividiere a durch b. die Division
24
Übungen
1. Was passt zusammen? Verbinden Sie.
1. die Summe aus 6 und 3 a)
2. das Produkt aus 6 und 3 b)
3. die Differenz aus 6 und 3 c)
4. der Quotient aus 6 und 3 d)
Ich subtrahiere 3 von 6.
Ich addiere 3 zu 6.
Ich dividiere 6 durch 3.
Ich multipliziere 6 mit 3.
2. Was ist richtig? Kreuzen Sie an. [x]
1. Ich dividiere 15 durch 5. a) 15 : 5 □ b) 5 : 15 □
2. Sie subtrahieren 3 von 15. a) 15-3 □ b) 3-15 □
3. Dividierst du 4 durch 8? a) 8:4 □ b) 4 : 8 □
4. Subtrahiere 3 von 15! a) 15-3 □ b) 3-15 □
5. Dividiere a durch b\ a) a : b □ b) b : a □
6. Subtrahiere a von b\ a) a - b □ b) b -a □
3. Das Ergebnis ist 3. Was ist richtig? Kreuzen Sie an. 0
1. a) Ich dividiere 4 durch 12. □ b) Ich dividiere 12 durch 4. □
2. a) Ich subtrahiere 4 von 7. □ b) Ich subtrahiere 7 von 4. □
3. a) Du dividierst 3 durch 9. □ b) Du dividierst 9 durch 3. □
4. a) Subtrahierst du 7 von 4? □ b) Subtrahierst du 4 von 7? □
5. a) Dividiere 9 durch 3! □ b) Dividiere 3 durch 9! □
6. a) Sie subtrahieren 5 von 8. □ b) Sie subtrahieren 8 von 5. □
4. Setzen Sie die Präpositionen (durch, mit, von, zu} ein und rechnen Sie.
Multiplizieren Sie Ihr Alter (in Jahren)4.
Subtrahieren Sie 8_____dem Ergebnis.
Dividieren Sie das Ergebnis der Rechnung 2.
Addieren Sie 5 dem Ergebnis.
Subtrahieren Sie das Doppelte Ihres Alters dem Ergebnis, i :8unsoq
5. Verwenden Sie die Wörter Summe, Produkt, Differenz, Quotient.
a) Ich dividiere 10 durch 2.
b) Ich multipliziere 10 mit 2.
c) Ich addiere 10 zu 2.
d) Ich subtrahiere 2 von 10.
Ich berechne den Quotienten aus IO und 2..
Ich berechne_______________________________
Ich berechne_______________________________
Ich berechne_______________________________
6. Verwenden Sie addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren.
a) Ich berechne 5 + 7.
b) Wir berechnen 12 : 3.
c) Du berechnest 9-4.
d) Sie berechnet 9-3.
e) Sie berechnen 20:4.
f) Ihr berechnet 20 + 3.
Ich addiere 7 zu 5.
25
Der Modalsatz mit „indem
Der Modalsatz mit „indem“ kommt in der Mathematik häufig vor.
Beispiel: Man multipliziert zwei Brüche, .
indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Der Modalsatz mit „indem“
Auf die Frage „Wie macht man etwas?“ antwortet man mit „indem .
„indem“ leitet einen Modalsatz ein.
Ein Modalsatz ist ein Nebensatz.
Das Verb steht in einem Nebensatz immer am Ende.
Beispiele:
Wie schaltet man das Licht ein?
Man schaltet das Licht ein, indem man auf den Lichtschalter drückt..
Wie schaltest du das Licht aus?
Ich schalte das Licht aus, indem ich auf den Lichtschalter drücke.
Wie lädt man ein Handy auf?
Man lädt ein Handy auf, indem man es an das Ladegerät anschließt.
Wie lädst du deinen MP3-Player auf?
Ich lade meinen MP3-Player auf,________ich ihn an das Ladegerät anschließe.
________lernst du die Regeln? .
Ich lerne die Regeln, indem ich sie auf ein Blatt Papier schreibe und an die Wand
hänge.
Wie bereitest du dich auf eine Prüfung vor?
Ich bereite mich auf eine Prüfung vor, ich jeden Tag v iele Stunden lerne.
________schließt man die Tür zu?
Man schließt die Tür zu, indem man den Schlüssel ins Schloss steckt und ihn dreht.
Wie schlägt man den Nagel fest?
Man schlägt den Nagel fest,man mit einem Hammer auf den Kopf des
Nagels schlägt.
Wie bezahlt man in einem Supermarkt?
Man bezahlt in einem Supermarkt,_______. man zur Kasse geht , die Waren auf
das Band legt und danach der Kassiererin oder dem Kassierer aas Geld gibt.
Wie wird man schneller?
Man wird schneller,man regelmäßig läuft.
26
1
Übungen
1. Wie macht man etwas? Ergänzen Sie den Modalsatz.
a) Man treibt ein Fahrrad an, indem man auf die Pedale tritt.________________
(auf die Pedale treten)
b) Ich schließe die Tür auf,____________________________________.____________
(den Schlussel ins Schloss stecken und ihn dann drehen)
c) Man stoppt eine Rolltreppe, ________________________________________________
(auf den roten Knopf drücken)
d) Man wirft Papierabfall weg,_______________________________________________
(ihn in die blaue Tonne werfen)
e) Man wirft Verpackung weg,______________________________________________—
(sie in die gelbe Tonne werfen)
f) Man dreht eine Schraube fest,_____________________________________________
(sie im Uhrzeigersinn drehen)
g) Man löst eine Schraube, __________________________________________________
( sie gegen den Uhrzeigersinn drehen)
2. Antworten Sie mit Hauptsatz und Modalsatz.
a) Wie beschleunigt man ein Auto? (auf das Gaspedal treten)
Man beschleunigt ein Auto, indem___________________________________________
b) Wie hält man das Auto an? (auf das Bremspedal treten)
c) Wie bleibt man gesund? (viel Sport machen und Obst essen)
d) Wie kann ich das Buch bekommen? (in ein Buchgeschäft gehen und es bestel-
len)
e) Wie kommt man in den fünften Stock des Hochhauses?
(im Aufzug auf „5“ drücken)
f) Wie kann man die Zeitung regelmäßig erhalten? (sie abonnieren)
g) Wie erweitert man den Wortschatz? (viel lesen und Wörter lernen)
h) Wie verliert man keine Daten? (sie regelmäßig sichern)
i) Wie kannst du mit deinen Verwandten sprechen? (sie anrufen)
j) Wie feierst du Geburtstag? (meine Freunde einladen)
27
Der Quotient
Das Produkt
Die Hälfte von sechs ist drei:
Produkt und Quotient von Brüchen
Die Hälfte von ein drittel ist ein sechstel:
Zwei Drittel von vier fünfte] sind acht fünfzehntel:
{•6 = 3
11 — 1
2 3 6
2 4 8
3 5 15
T, , 2 4 2-4 8
Rechnung:------=-----= —
3 5 3-5 15
Man liest: zwei drittel mal vier fünftel gleich zwei mal vier durch drei mal fünf
gleich acht fünfzehntel
Wie multipliziert man zwei Brüche?
Man multipliziert zwei Brüche,
indem inan Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Zwei Personen teilen sich einen halben Kuchen. Jeder erhält einen viertel Kuchen.
1 -2-J-
2 ' Z ‘ 4
Drei Personen teilen sich einen halben Kuchen. Jeder erhält einen sechstel Kuchen.
1-2-1
2 ' d 6
Ein 10-Cent-Stüek ist ein zehntel Euro. 2,50 € sind 5/2 Euro. Wir wollen 2,50 € in
10-Cent-Stücke wechseln. Wir erhalten 25 10-Cent-Stücke.
5 . 1 _ 5 JO _ £J0 _ 50 _ 9r.
2 ’ 10 2 1 2-1 ’ 2 “
= 10 ist der Kehrbruch (der Kehrwert) von . { ist der Kehrbruch von y .
der Kehrbruch, -e der Kehrwert, -e
Der Kehrbruch von 1 = | ist 1 = 1 der Doppelbruch, -e
Wie bildet man den Kehrbruch?
Man bildet den Kehrbruch, indem man Zähler und Nenner vertauscht.
w | m I Sl II •o | c-q i II W | Ein Bruch ist ein Quotient aus zwei Zahlen.
3 5 3 3 9 5 3 2.3 = |
Wir vertauschen Zähler und Nenner des Divisors: 3 5 j
Wir bilden den Kehrbruch des Divisors. 5
Auf der rechten Seite stent
Wie dividiert man eine Zahl durch einen Bruch? ein Doppelbruch.
Man dividiert eine Zahl durch einen Bruch,
indem man sie mit dem Kehrbruch multipliziert.
28
12
Übungen
1. Multiplizieren Sie und lesen Sie die Rechnung vor.
a) 2 4 - a 3'5 5 _4 = _g_ 5 IS b) 3. 1 4 2
c) 1 5 3 ’ 4 d) 1 1 4 5
e) 1 3 2 4 0 3 4 11 7
g) 1 6 5 7 h) 7 A 3 5
i) 4 K _ 4. 9 0 9 5 _ 1 j) 3.2 ö 5
k) 11 4 3 5 1) 1 15 7 2
2. Wie lautet der Kehrbruch? Antworten Sie in einem vollständigen Satz.
Per Kehrbruch von cieben achtel ist acht itbbtel.
3. Dividieren Sie und lesen Sie die Rechnung vor.
a) 2 . 1 - 2.2 _ .2 i _ 4 Fi
3 2 3 1 3 1 3
c) 3. • 2 4 ’ 3 d> ii
e) 1.4 2 * 3 f) 5'7
g) 7 • A 3 * 5 h) 1-2 6’7
i) >4 j) |:5
k) h1 1) 1 i 17 7'8
m; 2 • 8 5 ’ 7 n) 7:1
4. Antworten Sie mit einem Modalsatz.
a) Wie multiplizieren Sie zwei Brüche?
Ich Multipliziere
b) Wie bilden Sie den Kehrbruch?
c) Wie dividieren Sie eine Zahl durch einen Bruch?
29
Kürzen und Erweitern
Das Kürzen
Rechnung:
16 4 4 4- ,4' 4
20 ~ 5 4 5-X “ 5
Wir kürzen durch 4 und erhalten 4 •
Man kürzt einen Bruch,
indem man Zähler und Nenner durch dieselbe
Zahl dividiert.
Durch Kürzen wird der Bruch einfacher.
Beispiel:
Wir kürzen 4= durch 5: -!4 = ~ = I
15 15 3-X 3
kürzen erweitern
ich kürze erweitere
du kürzt erweiterst
er/sie/es kürzt erweitert
wir kürzen erweitern
ihr kürzt erweitert
sie/Sie kürzen erweitern
das Kürzen / das Erweitern
kürzen durch Akk.
erweitern mit Dat.
Kinschub
Teilbarkeit
8:2 = 4 Das Ergebnis ist eine ganze Zahl. 8 ist durch 2 teilbar.
2 ist ein Teiler von 8. Man sagt auch: 2 teilt 8.
Die Teiler von 8 sind 1, 2, 4, 8.
3:2=| Das Ergebnis ist keine ganze Zahl. 3 ist nicht durch 2 teilbar.
Primzahl
Eine Primzahl ist nur durch sich selbst oder durch 1 teilbar.
Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 ...
Wir wollen den Bruch kürzen. Wir zerlegen Zähler und Nenner in Primfaktoren (Produkt aus Primzahlen) und kürzen dann: 420 = 2 210 = 2 2 • 105 = 2 2 • 5 • 21 = 2 • 2 • 5 • 3 7 462 = 2-231 = 2-11-21= 2-11- 3-7 420 / 2 5-X-7- 10 , 420 10-42 10 die Primzahl, -en der Primfaktor, -en der Teiler, - teilen teilbar
3 - 7 = 42)
462 X-ll-X -7- 11 462 il-4^ 11 (
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 sind gemeinsame Teiler von 420 und 462.
2 3 • 7 = 42 ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 420 und 462.
Das Erweitern
Rechnung: — = - = — Wir erweitern 4 mit 4 und erhalten .
5 5-4 20 5 20
Man erweitert einen Bruch,
indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.
30
Übungen
1. Bilden Sie Sätze in der 1. Person.
a)
3
14 7 2 1
Ich kürze sechs vierzehntel durch 2.. Ich erhalte drei siebtel.
b)
5 5-5 25
7 7-5 35
) 15 _ 3 $ _ 3
' 40 - 8-X 8
J) 2 _ 2 3 _ J3_
u/ 5 - 5 3 15
2. Kürzen Sie die Brüche. Wodurch kürzen Sie den Bruch?
a) 4 = -; Ich kürze durch 2. b) Jk
6 5 15
O d) i
e) M 0 ü
§) f w t
3. Erweitern Sie die Brüche und lesen Sie die Rechnung vor.
a) | mit 3 f = f-| - f b) | mit 4
c) | mit 2 d) ® mit 3
4. Antworten Sie mit einem Modalsatz.
a) Wie kürzen wir einen Bruch?
b) Wie erweitern wir einen Bruch?
5. Ergänzen Sie.
a) 1, 2, 3 und 6 sind von 6. 6 ist 3 teilbar.
b) 1, 2, 4 und 8 sind von 8. 2 8.
c) 2, 3, 5, 7, 11 sind. 1, 4, 6 sind keine.
d) Eine ist nur durch sich selbst und durch 1.
e) 30 = 2 • 3 5: Wir zerlegen 30 in.
f) Von 70 = 2 • 5 • 7 und 42 = 2 • 3 • 7 ist 14 = 2 • 7
__________________________________, Man nennt ihn.
g) Wir rechnen | = |-|- = |. Wir | 2.
h) Wir rechnen | = M i • Wir______1 ______3.
o o y o
i) | ist von |.
31
Summe und Differenz von Brüchen
Gleichnamig und ungleichnamig
2 3
7 und 7 haben den gleichen Nenner (der Nenner ist 7).
Sie sind gleichnamig.
| und | haben verschiedene Nenner (Nenner 2 und Nenner 3).
Sie sind ungleichnamig.
Summe oder Differenz von gleichnamigen Brüchen
' 2 3 - 2 + 3 = 5 5 1 5-1 4
77 7 7 7 7 ~ 7 ~ 7
Man und d addiert 1 , , . gleichnamige Brüche, indem man ihre Zähler subtrahiert] en Nenner nicht ändert. addiert subtrahiert
Summe oder Differenz von ungleichnamigen Brüchen
1 1323+2 5
2 .3 6 6 6 6
1 13 23-2 1
2 3 6 6 6 ~ 6
Zwei Brüche haben verschiedene Nenner.
Man erweitert die Brüche. Ziel: gleiche Nenner.
Man addiert oder subtrahiert die beiden gleichnamigen Brüche.
Man
addiert
subtrahiert
ungleichnamige Brüche, indem man sie zuerst gleichnamig
macht und dann ihre Zähler
addiert
subtrahiert
und den Nenner nicht ändert.
Der gemeinsame Nenner heißt Hauptnenner.
Man sagt: Man bringt die beiden Brüche auf
denselben Nenner / auf den Hauptnenner.
Der Hauptnenner ist das kgV der Nenner. (/ Seite 18)
gleichnamig
ungleichnamig
der Hauptnenner, -
Gemischte Zahlen umrechnen
Eine gemischte Zahl ist die Summe aus einer ganzen Zahl (= eintel) und einem
Bruch (kleiner als 1). Man kann eine gemischte Zahl in einen Bruch umrechnen:
g4 = 3 + 1 = = 37 4 = 21 4 _ 21 + 4 25
7 7 1 + 7 1-7 7 ~ 7 + 7 ~ 7 “ 7
(drei vier siebtel gleich drei plus vier siebtel gleich drei eintel plus vier siebtel...)
Der Zähler eines Bruchs ist größer als der Nenner: Man kann ihn in eine gemischte
Zahl umrechnen.
47 = 44 + 3 _ 4 11 3^ 4 M 3 4 J _ 4 3
11 11 ~ 11 n~iM + n I + n~4ii
Übungen
1. Setzen Sie ein.
a) -A und haben verschiedene und gleiche.
Sie sind.
b) | und haben verschiedene___und verschiedene_
6 7
Sie sind.
c) - und | haben verschiedene_und gleiche_.
5 5
Sie sind.
d) i und i haben verschiedene . Man will 1 und 1 addieren.
3 5 3 5
Man__________ -1 mit 5 und | mit 3. Man erhält und -A .
o 5 J-ö lö
15 ist der .
Man________die beiden und erhält 8.
Die aus 1 und | ist A.
o 5 15
2. Rechnen Sie und lesen Sie die Rechnung vor.
a) t+t ’ 11 11
d) ä_4
14
i+i Hl
» 14 14
3. Antworten Sie mit einem Modalsatz.
a) Wie addieren Sie zwei gleichnamige Brüche?
b) Wie subtrahieren wir zwei gleichnamige Brüche?
c) Wie addiert man zwei ungleichnamige Brüche?
d) Wie subtrahieren Sie zwei ungleichnamige Brüche?
4. Rechnen Sie die gemischte Zahl in einen Bruch um.
Lesen Sie die Rechnung vor.
a) 1|= b) 2- =
3 4
33
Term, Formel, Gleichung
Term
Sie sehen rechts em Rechteck (oben) und ein
Dreieck (unten).
Das Rechteck hat die Seitenlängen a und b.
Das Dreieck hat die Seitenlängen g. h,c.
Ij sind Variablen. Man kann für Variablen
Zahlen (mit Einheiten) einsetzen.
Umfang des Rechtecks.
a + b + a + b = 2-a + 2-b = 2a + 2b
, lacheninhalt des Rechtecks: a -b
Umfang des Dreiecks: g +h+c
Flächeninhalt des Dreiecks: ±gh
2a + '2b, a -b, g + h + c, ^gh sind Terme. Ein Term enthält Zahlen, Variablen,
Rechenzeichen und Kammern. Ein Term enthält kein Gleichheitszeichen.
der Term, -e
die Formel, n
das Formelzeichen, -
die Gleichung, -en
die Variable, -n
die Lösung, -en
lösen
die Seitenlänge, n
der Umfang, -e
die Fläche, -n
der Flächeninhalt, -e
das Rechteck, -e
das Dreieck, -e
Formel
1/ = 2a + 2b ist die Formel für den Umfang eines Rechtecks, a und b sind die Sei-
tenlängen des Rechtecks. Links vom Gleichheitszeichen steht das Formelzeichen
für den Umfang, rechts vom Gleichheitszeichen steht ein Term. Man muss alle For-
.nelzeichen in einer Formel kennen.
= ist die Formel für den Flächeninhalt des
... iJnks s ist eine Seite des Dreiecks, h steht senk-
recht auf der Seite g. (/ Seite 54)
(, b'j1 = a2 + 2ab + b2 ist eine Formel (die erste bino-
mische Formel), a und b sind beliebige (reelle) Zahlen.
Gleichung
Ein Gleichheitszeichen steht zwischen zwei Termen:
Wir haben dann eine Gleichung
Man drückt Formeln oft durch Gleichungen aus.
2X h 3 = x - 4 ist eine Gleichung. Sie ist keine Formel
Links vom Gleichheitszeichen steht der Term 2x + 3,
rechts vom Gleichheitszeichen steht der Term x - 4.
Man kann die Gleichung lösen. Die Gleichung hat die Lösung x = -7
Eine Formel beschreibt einen Zusammenhang in einer Wissenschaft (Mathema-
tik Physik, Chemie, ...) durch Terme. Man muss die Bedeutung aller Formelzei-
chen kennen.
In einer Gleichung steht ein Gleichheitszeichen zwischen zwei Termen. Eine Glei-
chung braucht keinen Zusammenhang in einer Wissenschaft zu beschreiben.
34
Übungen
Term, Formel oder Gleichung? Kreuzen Sie an.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Term Formel Gleichung
3x - 4 = x + 7
u = | (s Weg, t Zeit, v Geschwindigkeit)
3x2 - 3y + 7
Gewinn = Umsatz - Kosten
a2 - b2 = (a - b) • (a + b)
a2 -b2 -(a -b)-(a-- b) -
U =2nr,(U Kreisumfang, r Kreisradius)
(x-l)(x + 2) = x2+9
a2 - b2 - (a - b) • (a 4- b) = 0
3. Setzen Sie ein.
a) 3x - 4 = 2x + 2 ist ein_.. 3x - 4 ist ein. Er
steht auf der Seite der x heißt.
b) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 heißt 2. binomische .
c) a = | ist ein für die Beschleunigung.
d) Man setzt zwischen zwei ein Gleichheitszeichen.
Man erhält ein.
e) U = 2 a + 2 b ist d für den Umfang eines Rechtecks.
a und b sind die.
35
Änderungen von Zuständen
Die Präpositionen „von“, „um“, „auf“
von Dat.: Anfangszustand
um Akk.: Änderung, Differenz
a uf Akk.: Endzustand
Beispiele:
Ein Mantel kostet zuerst 250 €.
Im Frühling kostet er nur noch 150 €.
Das Geschäft setzt den Preis von 250 € auf 150 € herab.
Das Geschäft setzt den Preis um 100 € herab (250 - 150 = 100).
An einem Morgen im Sommer ist die Temperatur 14 °C.
(Man liest: 14 Grad Celsius)
Am Mittag ist die Temperatur 25 °C.
Die Temperatur steigt an diesem Tag von 14 °C auf 25 °C.
Die Temperatur steigt um 11 °C.
rso €
Diese Verben drücken eine Änderung aus:
größer werden t kleiner werden 4- Subjekt des Satzes, z.B.:
steigen fallen, sinken Preis, Temperatur, Druck, ...
zunehmen abnehmen Geschwindigkeit, Anzahl,...
(anjwachsen schrumpfen Gewinn, Anzahl, Große,...
sich vergrößern sich verkleinern Geschwindigkeit, Preis, ...
sich erhöhen sich verringern/ sich vermindern Geschwindigkeit, Druck, ...
größer machen f kleiner machen Akkusativobjekt, z.B.:
heraufsetzen herabsetzen Preis, (Preis der) Ware ...
vergrößern verkleinern / vermindern Druck, Geschwindigkeit,...
erhöhen verringern / senken Temperatur, Druck, Preis,...
Trennbar sind: heraufsetzen (es setzt herauf), herabsetzen (es setzt herab)
zunehmen (es nimmt zu), abnehmen (es nimmt ab).
Beispiele:
Der Preis steigt um 20 €. T (Subjekt des Satzes: der Preis)
Der Preis sinkt um 20 €. 1
Das Geschäft setzt den Preis um 20 € herauf. T (Subjekt: das Geschäft)
Das Geschäft setzt den Preis um 20 € herab. 1
Mein Gewicht nimmt jedes Jahr Weihnachten um 2 kg zu. T
Die Arbeitslosenzahl wächst dieses Jahr voraussichtlich noch auf 4 Millionen. T
Der Luftdruck steigt heute Nachmittag von 1000 hPa (Hektopascal) auf 1010 hPa.
Der Temperatur fällt bei dem Unwetter plötzlich um 12 °C. J-
Wir erhöhen den Druck im Kessel auf 6 bar. 1“
36
Übungen
1. Welches Verb passt? Unterstreichen Sie.
a) Die Klimaanlage kann in einer halben Stunde die Temperatur von 28 °C auf
19 °C vergrößern / verringern.
b) Das Geschäft setzt den Preis von 80 € auf 90 € herauf / herab.
c) Die Geschwindigkeit des Autos nimmt von 30 km/h auf 60 km/h zu / ab.
d) Wir müssen den Druck im Kessel von 4 bar auf 3 bar erhöhen / verringern.
e) Der Preis des Hemds steigt / sinkt von 40 € auf 35 €.
2. Nennen Sie den Preis am Anfang und am Ende. Anfang Ende
a) Das Geschäft setzt die Bluse von 40 € um 5 € herab. 40 € 55 €
b) Der Preis des Mantels nimmt um 50 € auf 200 € zu.
c) Der Preis der Jacke verringert sich von 90 € um 10 €.
d) Der Preis sinkt von 30 € auf 25 €.
3. Bilden Sie Sätze im Präsens.
a) Der Preis ist zuerst 50 € Danach ist er 35 €. (fallen)
(von, um) Per Preis fällt von 50 € um iS €.____________________________
(von, auf) ____________________________________________________________
b) Der Preis ist zuerst 40 €. Danach ist er 50 €. (steigen)
(von, auO _____________________________________________________________
(um, auf)______________________________________________________________
c) Die Temperatur ist zuerst 25 °C. Danach ist sie 20 °C. (sinken)
(um, auf) _____________________________________________________________
(von, auf)_____________________________________________________________
d) Die Geschwindigkeit ist zuerst 80 km/h, danach 100 km/h. (zunehmen)
(von, auf)_____________________________________________________________
(von, um)______________________________________________________________
(um, auf) _____________________________________________________________
4. Wie ändert das Geschäft den Preis? Bilden Sie Sätze.
Verwenden Sie herauf- oder herabsetzen und die passenden Präpositionen.
a) Der Mantel kostet zuerst 90 €, dann 110 €. (20 €, 110 €)
Pas Geschäft setzt den Mantel um 2.0 € auf IIP € herauf._______________
b) Das T-Shirt kostet zuerst 15 €, dann 5 €. (15 €, 10 €)
c) Das Oberhemd kostet zuerst 35 €, dann 30 €. (35 €, 30 €)
d) Die Bluse kostet zuerst 35 €, dann 40 €. (5 €, 40 €)
Prozent und Promille
Prozent
„Wir setzen heute alle Hemden um 20% herab.“
(Man liest: um zwanzig Prozent)
Ein Hemd kostet 40 €.
20 % von 40 € sind 8 €. Rechnung: 40 € = 8 €
herabsetzen: Das Hemd kostet 8 € weniger.
Das Hemd kostet heute: 40 € - 8 € = 32 €
m1
-2.0%
auf alles!
Der Preis 40 € ist der Grundwert G.
Ein hundertstel vom Grundwert heißt ein Prozent (1 %) vom Grundwert.
20% heißt Prozentsatz p%.
40 € = 8 € heißt Prozentwert W.
Formel 1: W = G = G - p%
100
G: der Grundwert, -e
P % = ioö •' der Prozentsatz, -e
W: der Prozentwert, -e
Weitere Beispiele:
Die Tankstelle setzt vor den Feiertagen den Benzinpreis um 10% herauf.
Preis am Anfang (Grundwert): 1,50 € pro Liter.
Der Prozentsatz ist 10%. 10% von 1,50 € sind 0,15 €.
heraufsetzen: Das Benzin kostet pro Liter 0,15 € mehr.
Preis pro Liter am Ende: 1,50 € + 0,15 € = 1,65 €
Auf einer Flasche Apfelsaft steht: Fruchtgehalt 60 %.
In der Flasche sind 0,7 Liter (Grundwert). 60% ist der Prozentsatz.
60% von 0,7 Liter sind 0,42 Liter (Prozentwert).
0,7 Liter - 0,42 Liter = 0,28 Liter.
In der Flasche sind 0,42 Liter Apfelsaft und 0,28 Liter Wasser.
Es gibt in einer Stadt 20000 Einwohner (Grundwert). w
1500 Einwohner sind Kinder (Prozentwert). bormel 2: p = — • 100
Wie viel Prozent der Einwohner sind Kinder? —1 —
Lösung: 150Q • 100 % = 7,5 % 7,5 % der Einwohner sind Kinder.
In einer Schule sind 440 Mädchen.
Das sind 55 % aller Schülerinnen und Schüler.
Wie viele Schülerinnen und Schüler sind in der Schule?
440 ist hier der Prozentwert, 55% ist der Prozentsatz:
p = 55. Man sucht den Grundwert.
Lösung: 100 = 800 800 Schülerinnen und Schüler sind in der Schule.
W
Formel 3: G = —-100
P
Promille
Ein hundertstel vom Grundwert heißt ein Prozent (1 %) vom Grundwert.
Ein tausendstel vom Grundwert heißt eine Promille (!%<?) vom Grundwert.
38
Übungen
1. Lesen Sie laut und setzen Sie ein.
a) 10 sind 5 % von 200. 200 ist der, 5 % der
und 10 der.
b) 3 %o von 100 sind 0,3. 100 ist der.
c) Ein Geschäft setzt den Preis für einen Mantel 250 € auf 200 €
herab. Der Mantel wird also 50 € billiger. Um wie viel Prozent
wird der Mantel billiger? 250 € ist der, 50 € ist der
. Wir berechnen den Prozentsatz, indem wir den
durch den dividieren und dann
das Ergebnis mit 100%. Wir erhalten 20% {Formel 2).
d) Wir erhalten den Prozentwert (Formel 1), indem wir den
mit dem multiplizieren.
2. Was ist der Grundwert, der Prozentsatz und der Prozentwert?
Lösen Sie die Aufgaben,
a) Ein Mantel kostet 200 €. Das Geschäft setzt den Mantel um 30% herab.
Um wie viel Euro ist der Mantel billiger geworden?
Grundwert:Prozentsatz:Prozentwert:
b) 1 Liter Benzin kostet 2,00 €. Die Tankstelle setzt den Preis um 20% herauf.
Um wie viel steigt der Preis?
Grundwert:Prozentsatz: Prozentwert:
c) Eine Jacke kostet zuerst 90 €. Der Preis sinkt um 18 €.
Um wie viel Prozent sinkt der Preis?
Grundwert:Prozentsatz:Prozentwert:
d) In einer Schule sind 300 Mädchen. Das sind 60% aller Schülerinnen und
Schüler. Wie viele Schülerinnen und Schüler sind in der Schule?
Grundwert:Prozentsatz:Prozentwert:
e) Ein Geschäft setzt alle Preise um 20% herab. Ein Kleid wird 10 € billiger.
Was hat das Kleid am Anfang gekostet?
Grundwert:Prozentsatz:Prozentwert:
f) Eine Flasche Bananensaft hat den Fruchtgehalt 40%. 1,5 Liter sind in der
Flasche. Wie viel Liter Fruchtgehalt sind in der Flasche?
Grundwert: Prozentsatz: Prozentwert:
g) A Bei der Bahn ist die 1. Klasse 50% teurer als die 2. Klasse.
B Die 2. Klasse ist dagegen etwa 33 % billiger als die 1. Klasse.
Bei einer Fahrkarte ist der Unterschied zwischen 1. und 2. Klasse 10 €.
Was ist der Fahrpreis für die 2. Klasse und für die 1. Klasse?
A Grundwert:Prozentsatz:Prozentwert:
B Grundwert:Prozentsatz:Prozentwert:
39
Zahlenarten
natürliche Zahlen ]
gerade Zahlen
ungerade Zahlen
ganze Zahlen 1
negative ganze Zahlen
Primzahlen
rationale Zahlen Q
reelle Zahlen R
5 < 9 (5 ist kleiner als 9)
7 > 6 (7 ist größer als 6)
N
2
0, 1,2, 3, 4, 5, ...
0 2,4,6, 8, 10,...
1 3, 5, 7, 9> • "
J3,-2,-l,0, 1,2,3,...
-3,-2,-1
2'3, 5, 7,11, 13,17, 19,23,...
alle’ganzen Zahlen und alle Brüche
al]e Zahlen, zum Beispiel auch n (Pi)
3 (ist) kleiner (als)
(ist) größer (als)
(ist) kleiner (oder) gleich
(ist) größer (oder) gleich
(ist) gleich
(ist) ungleich
ist ein(e), gehört zu, ist Element von Beispiel: 3eN (3 ist ei nennt- r u r, ,
ist kein(e), gehört nicht zu, ist nicht Element von turhehe Zahl)
j*jegative Zahlen
H“: 5 , W - 3 5 und (-2) »d die beiden sZZSÄ'™"
-5 -4 -3 “2 -1 0 1 2 3 4 5 g
-i < 0 < 1 -1 hegt links von 0 und 0 liegt links von 1 '
2>-3 2 hegt rechts von-3
_________________Für Fortgeschrittene
*
<£
Beispiele: -3<-2
Intervalle
x liegt zwischen 5 und 7. x kann nicht 5 oder 7 sein.
x liegt zwischen 5 und 7. x kann auch 5 oder 7 sein.
x liegt zwischen 5 und 7. x kann auch 5 sein, aber nicht 7.
x liegt zwischen 5 und 7. x kann auch 7 sein, aber nicht 5.
Schreibweisen für Intervalle
/g. — {x g R15 < x < 7) ist ein offenes Intervall.
Man liest: die Menge aller reellen Zahlen x, für die gilt: 5 < x < 7
rg. 7] = {xeR15 i x < 7) ist ein abgeschlossenes Intervall.
r5; 7) = {x e R15 s x < 7) ist ein halboffenes (rechtsoffenes) Intervall
(5’; 7] = Ix e R15 < x < 7} ist ein halboffenes (linksoffenes) Intervall.
7 e (5; 7] Man liest: 7 liegt im linksoffenen Intervall 5 bis 7
5 £ (5; 7] Man liest:5 liegt.nichtimlinksoffenen Intervall 5 bis 7.
40
8
Übungen
1. Setzen Sie das Zeichen < , > oder = ein. Lesen Sie laut.
a) 5 100 b) 3 1 c) 12 _ 12
d) 1 3 e) 0 5 f) 7 -8
g) 5 9 h) -5 _—9 i) 0 3
j) o -3 k) 4 -4 1) 1,7 _ _ 3,8
m)n 3 * n) n 3,5 o) 71 3,14
* n = 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749...
(es folgen noch unendlich viele Ziffern.)
2. Setzen Sie das Zeichen e oder g ein. Lesen Sie laut.
a) 3 IN b) -2. IN c) 3 z
d) 0,4 _ _ Q e) 0,4 IN f) 0,4 __R
g) n R h) n _ _Q i) 0_ z
j) 3 7 _z k) 3 7 - Q 1) f _ _R
3. Formulieren Sie ohne die Wörter
„Differenz“, „subtrahieren“, „Minuend“, „Subtrahend“.
a) Differenz aus 5 und 3 Sunwie aus 5 und (—3)
b) Der Minuend ist 7, der Subtrahend ist 2.
c) Ich subtrahiere 2 von 9. __________________________________________
d) Ich berechne die Differenz aus 9 und 3.
4. Markieren Sie die Zahlen auf dem Zahlenstrahl.
---1---1----1----1---1----1----1—I——I-------1----1---1----►
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2,3 4,2 0,6 -5,5 5 -4 n 3,5 6 -1,5
5. Setzen Sie das Zeichen e oder g ein. Lesen Sie laut.
a) 3 _ _ (2; 4) b) 3 [2; 3] c) 3 [2; 3)
d) -4. (-5;-4] e) -5 _(-5;-4] 0 7 (-5; -4]
g) 1,5 _ (-1,5; 1,7) h) 0 [-0,1; 0,1] i) 7t [3; 3,14]
j) 1,1 (1,1; 1,2) k) 1,1_ _ (-4; 1,1) 1) 7t (3,141; 3,142)
6. Lesen Sie laut und markieren Sie die Intervalle auf dem Zahlenstrahl.
a) (x e R 11 < x < 4) b) [x e R |4,5 <, x < 5) c) {x e R | -5 < x < -3}
d) (xeR |-1 <x < 0) e) (xeJN 11 <x < 4) f) (xeZ|-5 <x <-2)
---1-----1----1—-I-------1----]——]-------------1-1-1---1----1—►
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
41
Potenzen mit ganzen Exponenten
Basis /Exponent
^<2 -2-2-2 = 8
Potenz Potenzwert
Manüest- zwei hoch drei gleich acht
j-e ßasis. 3 ist der Exponent oder die Hochzahl. Das
93 ist eine Potenz- 2 1S . (oder der Wert der Potenz). Wir potenzieren 2 mit 3.
Ergebnis ist der Potent
fünf hoch eins _ fünf (zum) Quadrat
fünf hoch zwo* ode
Wir quadieren
fünf hoch drei
51
52
53 fünf hoch are*
513 fünf hoch dreien
52 ist die zweite Po4®^
53 ist die dritte Po
54 ist die vierte Po
* von 5.
von 5.
von 5.
die Potenz, -en
potenzieren mit Dat.
die Basis, PI. Basen
die Grundzahl, -en (Basis)
der Exponent, -en
die Hochzahl, -en (Exponent)
der Potenzwert, -e
quadrieren (hoch 2 rechnen)
die Zehnerpotenz, -en
Potenzregeln
23 22 =
23 . 22 = 23+2 = 25
„5 oder:
2-2-2 • 2-2 ------ .
____ ___ _ die gleiche Basis.
Zwei Potenzen haben an ihre Exponenten addiert
. , ___sie,11
oder: \ = 27’3 = 24
23
Man multipliziert^
£
23 r- -
jie gleiche Basis. Man dividiert sie, indem man den Expo-
Zwei Potenzen haben die °Ynnnenten des Zählers subtrahiert.
nenten des Nenner^®
2.2)-(2-22) = 26 oder:
____ p tenz Tndem man die beiden Exponenten multipliziert.
1 Man potenziert gj “ gleich ~ außer der Zahl 0.)
Es gilt: 2° = 1, 3 g igt; 2"3 = -L (Man liest: 2 hoch minus 3)
- ^ocrativ bexAA-
= — Daraus folgt: 2*3 = -i-
27 23 23
= 23'2 = 26
Der Exponent kann nega
24 _24'7 =2"3
27
Begründung:
_ 4 (positiv; der Exponent ist eine gerade Zahl)
Es ist: (-2)2 = 2) • (-2) = -8 (negativ; der Exponent ist ungerade)
<~2'3 " ' ein Bruch oder eine Dezimalzahl sein. (/ Seite 48)
Der Exponent kann Zehnerpotenz.
Eine Potenz hat *lie,^grpotenzen. (/ Lektion 20, Seite 44)
103. 10-2 sind Zen
42
Übungen
1. Lesen Sie laut.
a) 33 = 27
e) 10J = 10
i) 1,52 = 2,25
m)10-i = 0,1
q) (-1)3 = -1
o5
u) V32
33
b)
f)
j)
n)
r)
v)
32 = 9
22 23 = 25
0,53 = 0,125
IO-2 = o,Ol
(-2)-2 = 0,25
o2
^ = 32-2
32
= 3°
c) IO2 = 100
g) 31 • 34 = 35
k) 2-2 = 0,25
0) 2,5-! = 0,4
s) (-l)H = -l
w)t< = (-2)2
(- 2)3
d)
h)
1)
P)
t)
X)
103 = 1000
53 54 = 57
10° = 1
(-l)2 = 1
(-2)-3 = -0,125
o2
3 =32-4=3-2
34
2. Formulieren Sie Sätze mit „Basis“, „Exponent“ und „Potenzwert“.
a) 2-3 = 0,125 2 ßasis. -3 ist der Exponent. 0,125 ist der Potenzwert.
b) 4°’5 = 2 _______________________________________________________________
c) 1OO0’5 =10 _______________________________________________________________
d) 92 = 81 _______________________________________________________________
e) 5-2 = 0,04 ______________________________________________________________
f) ab = c ___________________________________________________________________
3. Formulieren Sie Regeln mit Modalsätzen.
a) 35-25 =(3-2)s
Zwei Potenzen haben die gleichen Exponenten und verschiedene
ßasen.
Man multipliziert sie, indem man die ßasen multipliziert und
das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.
4. Ergänzen Sie.
Man potenziert eine negative Zahl mit einer ganzen Zahl.
Der Exponent ist gerade. Das Ergebnis ist
Das Exponent ist ungerade.____________________________________________
5. Rechnen Sie und lesen Sie laut.
a) 22 = 4 b) 5° = c) 32-33= 35 = 243
d) (-2)3-(-2)2 = e) 10-3 = f) 106 =
g) 3-2 = h) (-1)5 = i) (-D4 =
43
20
"F
Zehnerpotenzen und Potenzen von Einheiten
Zehnerpotenzen
109 = 1000 000 000 10-9 = 0,000000001
106 = 1000 000 10-6 = 0,000 001
103 = 1000 10-3 = 0,001
106 = 1000000 10~6 = 0,000001
6 Nullen 6 Stellen
die Länge, -n
die Fläche, -n
der Flächeninhalt, -e
das Volumen, -
PI. auch: Volumina
das Formelzeichen, -
Exponenten bei Einheiten
Die Einheit der Länge (Längeneinheit) ist ein Meter. Schreibweise: [Z] = 1 m
1 m = 1 Meter (ein Meter)
Die Einheit des Flächeninhalts (Flächeneinheit) ist ein Quadratmeter. [A] = 1 m2
1 m2 = ein Quadratmeter
Die Einheit des Volumens (Volumeneinheit) ist ein Kubikmeter. [V] = 1 m3
1 m3 = ein Kubikmeter
l, A, V sind die Formelzeichen für die Länge, den Flächeninhalt und das Volumen.
Vielfache der Längeneinheit 1 Meter
1 km (ein Kilometer) = 103 m
1 dm (ein Dezimeter) = 10-1 m
1 cm (ein Zentimeter) = IO-2 m
1 mm (ein Millimeter) = 10~3 m
1 pm (ein Mikrometer) = IO-6 m
1 nm (ein Nanometer) = 10~9 m
1 cm2 (ein Quadratzentimeter)
1 mm3 (ein Kubikmillimeter)
(tausend Meter)
(ein zehntel Meter)
(ein hundertstel Meter)
(ein tausendstel Meter)
(ein millionstel Meter)
(ein milliardstel Meter)
P My
griechischer
Kleinbuchstabe,
Zeichen für „Mikro-“
1 km2 (ein Quadratkilometer)
1 dm3 (ein Kubikdezimeter)
Volumeneinheiten
11 (ein Liter) = 10~3 m3 (ein tausendstel Kubikmeter)
1 cl (ein Zentiliter) = 102 1 (ein hundertstel Liter)
1 ml (ein Milliliter) = 10~3 1 (ein tausendstel Liter)
Man liest die Potenzen aller anderen Einheiten wie bei den Zahlen:
1 s2: eine Sekunde hoch zwei oder eine Sekunde Quadrat (falsch: Quudi'alsckuntte)
1 s2 hat allein keine sinnvolle Bedeutung.
Potenzen von Sekunde, Kilogramm, Ampere ... kommen in Formeln der Physik vor.
1 m/s (ein Meter pro Sekunde): Geschwindigkeitseinheit
1 m/s2 (ein Meter pro Sekunde Quadrat oder hoch zwei): Beschleunigungseinheit
1 kg m/s2 (ein Kilogramm mal Meter durch Sekunde Quadrat): Krafteinheit
44
Übungen
1. Lesen Sie laut und antworten Sie: Länge, Fläche oder Volumen?
a) 14 m3 VoluMer. b) 9 m2 c) 4 cm3
d) 9 cm2 e) 5 dm f) 0,3 1
g) 102 mm2 h) 5 ml i) 22 dm3
j) 3 cl m) 101 nm _ k) 17 pm n) 5 nm2 1) 5 mm3
0) 20 pm3
2 . Lesen Sie laut.
a) Die Beschleunigungseinheit ist 1 m/s2.
b) Die Beschleunigung 9,8 m/s2 heißt Fallbeschleunigung.
c) Jeder Körper fällt auf dem Mond mit der Beschleunigung 1,6 m/s2.
d) Ein Blatt Papier (A4) hat den Flächeninhalt 626 cm2.
e) Die Geschwindigkeit 20 m/s ist gleich 72 km/h.
0 1 Lichtjahr ist ungefähr 9,5 1012 km.
Für 9,5 • 1012 km braucht Licht genau ein Jahr.
g) Das Universum ist etwa 13,8 Milliarden Jahre alt. Das sind 13,8 • 109 Jahre.
h) Die Sonne hat die Masse, 1,988 • 1030 kg, die Erde 5,972 • IO24 kg.
Die Sonne hat also etwa die 333000-fache Masse der Erde.
i) Ein Proton hat die Masse 1,673 • IO“27 kg, ein Elektron 9,109 10-31 kg.
Ein Proton ist etwa 1840-mal so schwer wie ein Elektron.
j) Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist 299 792 458 m/s.
Das sind etwa 300 000 km/s.
k) Eine 1,5-Liter-Flasche fasst 1500 cm3 Flüssigkeit.
1) 1 cm3 = 1 ml
m)Ein Hektar sind 104 m2.
n) [m] = 1 kg; m ist das Formelzeichen für die Masse.
3. Verwenden Sie die Vorsatzzeichen
k (Kilo-), d (Dezi-), c (Zenti-), m (Milli-), p (Mikro-), n (Nano-).
al 3000 m - 3 kw b) 2.5 • 103 m =
c) 3 10-2 1 = d) 1.7 IO-6 m =
e) 1,5 10-3 1 = f) 25 • IO-3 m =
g) 1,9 10“1 m = h) 0,001 m =
i) 0,03 m = j) 0,000007 m = —
4. Ersetzen Sie die Vorsatzzeichen durch Zehnerpotenzen.
a) 1,8 mm = 1,8 • JZ>~5 m b) 1,7 km =
c) 11,7 ml = d) 5,1 pm =
e) 15 nm = 0 15,3 cl =
g) 15 cm = h) 2,3 dm =
i) 3 dl = j) 13,7 mm =
45
Wörter für „Länge
Verschiedene Wörter für „Länge“: Man misst alles in Meter.
Nomen Adjektiv Antonym Beispiel
die Länge, -n lang kurz Das Seil hat die Länge 10 m.
die Größe, -n groß klein Mein Freund ist 1,95 m groß.
die Breite, -n breit schmal Die Straße hat die Breite 6 m.
die Dicke, -n dick dünn Das Buch ist 2 cm dick.
die Höhe, -n hoch niedrig Der Berg hat die Höhe 256 m.
die Tiefe, -n tief Das Wasser ist hier 1,20 m tief.
die Stärke, -n stark Das Holzbrett hat die Stärke 2 cm.
die Entfernung, -en entfernt Bonn ist 50 km von hier entfernt.
der Abstand, -e Die Punkte haben den Abstand 3 cm.
Welches Wort benutzt man?
messen
ich messe
du misst
er/sie/es misst
wir messen
ihr messt
sie messen
die Messung
die Breite
I
die Höhe
die Länge —
der Tisch, -e
das Brett, -er
die Stärke
oder: die Dicke
der Schrank, -e
die Höhe
die Breite
21
Übungen
1. Verwenden Sie eine andere Formulierung (Nomen «-> Adjektiv).
a) Der Schrank ist 2 m hoch. ---------------------------------
b) Der Lastwagen hat die Höhe 2,5 m.--------------------------------
c) Das Brett ist 15 mm stark._____________________________________
d) Der Tisch hat die Länge 1,5 m. _____________________________—
e) Der Kühlschrank ist 50 cm tief. Er hat die Breite 60 cm und die Höhe 1,2 m.
f) Mein Freund hat die Größe 1,78 m.
2. Setzen Sie das passende Wort ein.
a) Der See ist an dieser Stelle 4 m.
b) Die Straße ist 5 m und 400 m--------------------------.
c) Der Berg ist 267 m___________,
d) Mein Freund ist 1,95 m und 48 cm---------------------------.
e) Die Schraube ist 8 mm ____________
f) Das Brett ist 3 m. Seine ist 30 cm und seine
______________ist 20 mm.
g) Ich will das Buch nicht lesen. Es ist zu.
h) Ich kann die Glühbirne nicht auswechseln. Die Lampe hängt zu.
i) Der Rhein ist hier etwa 400 m____und in der Mitte etwa 5 m----—..
j) Der Kleiderschrank hat 5 Türen. Er ist 2,50 m.
Er ist 60 cm• Seine ist 2,10 m.
k) Die Tür ist 80 cm und 2 m
1) Das Loch in der Wand ist 5 cm•
m) Meine Schwester ist nur 1,35 m. Sie ist sehr-------------------.
n) Ich brauche einen großen Tisch. Dieser hier ist 2,50 m und
Im.
o) Dies ist ein Stuhl für Kinder. Er ist nur 30 cm.
p) Der zwischen den beiden Punkten ist 2 cm.
q) Die zwischen den beiden Orten ist 26 km.
r) Der Weg ist nicht breit. Er ist•
s) Das Buch ist nicht dick. Es ist•
t) Der Stuhl ist nicht hoch. Er ist•
u) Der Bleistift ist nicht mehr lang. Er ist•
v) Mein Sohn ist noch nicht groß. Er ist noch--------.
47
i
22
Wurzeln
Wurzelexponent ^Wurzelzeichen
Wurzelwert
Radikand
(Man feTdritte Wurzel aus acht gleich zwei)
y/8 ist die dritte Wurzel aus 8.
8 ist der Radikand.
3 ist der Wurzelexponent.
2 ist der Wurzelwert. _
Man sagt: Wir ziehen die dritte Würze aus
radizieren (= Wurzel ziehen)
Vö = 5 erste Wurzel aus 5 .,
die Wurzel, -n
die Wurzel ziehen aus Dat.
. die Wurzel berechnen von Dat.
radizieren
der Radikand, -en (n-Deklination)
der Wurzelexponent, -en
der Wurzelwert, -e
(die erste Wurzel ist nicht üblich)
zweite Wurzel aus 9, Quadratwurzel aus 9, Wurzel aus 9
dritte Wurzel aus 27, Kubikwurzel aus 27
vierte Wurzel aus 16
fünfte Wurzel aus 32 usw. __________
3/8 = 2 <4 23 = 8
Man will eine Wurzel ziehen. Man fragt:
Welche positive Basis hoch dem Mhirze
exponenten ist gleich dem Radikan en.
SSd „„d
Der Wurzelexponent ist eine na___
radizieren potenzieren
Radikand Potenzwert
Wurzelexponent Exponent
Wurzelwert Basis
Das Zeichen bedeutet: „ist äquivalent mit“ (= „sagt das Gleiche aus wie“)
Beispielaufgabe: Ziehen Sie die sechste Wurzel aus 64~
Lösung: Wir suchen die positive Zahl x: x = 64
Wir wissen: 2^ = 64, also: ^64 =2
Für Fortgeschrittene
art ,
2-2-2 = 8 = 81 = 8^+* =83 83 -83
2 = 8J und 2 = W: 8’ =
1 Afan liest: 8 hoch minus ein drittel gleich
J/8 eins durch dritte Wurzel aus 8.
Entsprechend ist: 8 3
48
Übungen
1. Ergänzen Sie.
In %/81 = 3 ist 81 d, 4 ist d, 3 ist
d. v81 = 3 ist d aus 81.
2. Lesen Sie laut.
a) v4 = 2
e) ^3,375 = 1,5
b) ^8=2
f) V49=7
d) ^125 = 5
h) ^216 = 6
3. Schreiben Sie um und lesen Sie laut.
a)
c)
e)
^81 = 3
W = 4
V128 = 2
34 = 81
b) 54 = 625
d) 36 = 729
f) 210 = 1024
4. Lösen Sie die Aufgaben.
a) Ziehen Sie die dritte Wurzel aus 125.
b) Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.
c) Ziehen Sie die Kubikwurzel aus 27.
d) Ziehen Sie die Wurzel aus 25.
e) Ziehen Sie die fünfte Wurzel aus 32.
5. Die folgenden Ausdrücke sind falsch. Warum?
a) ^/-16 = -2 Radikand und Wurzelwert müssen positiv sein.
b) °’^ = 4 _____________________________________________________
c) = 2 __________________________________________________________
6. Ergänzen Sie die Tabelle.
Radikand Wurzelexponent Wurzelwert
V9 =3 <? 2 3
^729 = 3
36 2 6
9 2
8 2
7. Wandeln Sie die Potenzschreibweise in die Wurzelschreibweise um
und umgekehrt. Lesen Sie laut.
a) 81* = t'81 b) V4 = 4* c) 27*
d) 4= e) 4= ß 2434
V9 ^81
49
Lineare und quadratische Gleichung
3x - 3 = x + 5
ist eine lineare Gleichung.
Die Variable x kommt nur in der ersten Potenz vor.
x2 + 2x + l = 3x + 3 ist eine quadratische Gleichung, x kommt nur in der zwei-
ten und in der ersten Potenz vor.
Wir wollen die Gleichungen lösen. Das bedeutet: Wir suchen Zahlen für x. Beide
Seiten müssen bei diesen Zahlen das gleiche Ergebnis haben. Diese Zahlen sind
dann Lösungen der Gleichung.
Äquivalenzumformungen
Eine Äquivalenzumformung ändert nicht die
Lösungen einer Gleichung.
Wichtige Äquivalenzumformungen sind:
• Man addiert zu beiden Seiten der Gleichung
denselben Term oder subtrahiert von beiden
Seiten denselben Term.
• Man dividiert beide Seiten der Gleichung
durch dieselbe Zahl (* 0)
oder man multipliziert beide Seiten der
Gleichung mit derselben Zahl (* 0).
Lösung der linearen Gleichung
Wir führen Äquivalenzumformungen durch:
die Gleichung, -en
die lineare Gleichung
die quadratische Gleichung
die Seite, -n (einer Gleichung)
die linke Seite (links)
die rechte Seite (rechts)
lösen
die Lösung, -en
die Äquivalenzumformung
durchführen, fuhrt ... durch
äquivalent
die Probe, -n
die Normalform
die p-q-Formel
die Diskriminante, -n
3x - 3 = x + 5 |-x
2x-3=5 | + 3
2x = 8 |:2
x =4
Wir subtrahieren x von beiden Seiten.
Wir addieren 3 zu beiden Seiten.
Wir dividieren beide Seiten durch 2.
x = 4 ist die Lösung der linearen Gleichung 3x - 3 = x + 5.
Probe: linke Seite: 3 • 4 - 3 = 9 rechte Seite: 4 + 5 = 9 linke Seite = rechte Seite
Lösung der quadratischen Gleichung
x2 + 2x + 1 = 3x + 3 |- 3x Wir subtrahieren 3x von beiden Seiten.
x2-x+l=3 | - 3 Wir subtrahieren 3 von beiden Seiten.
x2 - x - 2 =0 Dies ist die Normalform der quadratischen Gleichung.
p-q-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung: ( )2 Diskriminante D =- — - q (2)
1/ x2 x2+px + q = 0 x12=—— q D < 0: keine Lösung D = 0: eine Lösung D > 0: zwei Lösungen
Wir verwenden nun die q-p-Formel. Es ist: p = -1, q = -2
1 , /fl? Z 1 , n 1 , , 3 „ ,
X, o = — i J — + 2= — ±J—F2 = — ±= — ± — Xj = 2 x2 = —1
1,2 2 \l.2j 2 V4 2 V4 2 2
Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, xT = 2, x2 = -1. (/ Seite 58, Index)
50
23
Übungen
1. Entscheiden Sie: Ist es eine lineare oder quadratische Gleichung?
a) 5x = x + 8
b) x2 — 3x + 1 = 0 _____________________
c) x2 + 3x + 1 = 2x2 - 4 ____________________
2. Ergänzen Sie.
a) Wir wollen eine Gleichung__________. Wir suchen die(PI.)
der Gleichung.
b) Wir lösen die Gleichung, indem wir(PI.) durchführen.
c) Wir dürfen zu beiden Seiten der Gleichung addieren
oder von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
d) Wir dürfen beide Seiten der Gleichung durch
dividieren oder beide Seiten mit multiplizie-
ren. Die Zahl darf nicht 0 sein.
e) Eine quadratische Gleichung bringen wir zuerst auf die.
Dann wenden wir die 1_______________________an.
3. Ergänzen Sie. = 3x + 3 | + 7 Wir addieren 7 zu beiden Seiten.
a) 5x-7
5x = 3x + 10 |-3x
2x = 10 |:2
X = 5
b) 9x + 4 = 4x - 6 | -4
9x = 4x - 10 |
5x = -10 |
X = —2
c) 7x-4 = x + 8 1+4
— |-x
— |:6
X = 2
d) x2 + 4x +1 = 2x + 4 |
x2 + 2x + 1 = 4 1
x2 + 2x - 3 = 0 Dies ist die
P = 9 =
Die beiden Lösungen sind: Xj = 1; x2 = —3
51
Grundbegriffe der Geometrie 1
orthogonal
senkrecht
parallel
die Parallele, -n
der Winkel, - (0° ... 360°)
der rechte Winkel (= 90°)
ein rechter Winkel
der spitze Winkel (< 90°)
ein spitzer Winkel
der stumpfe Winkel (> 90°)
ein stumpfer Winkel
P
a Alpha
ß Beta
y Gamma
griechische
Kleinbuchstaben
die Ecke, -n
liegen auf Dat.
gehen durch Akk.
Der Punkt P liegt auf der Geraden g.
Die Gerade g geht durch den Punkt P.
Die Gerade g schneidet die Gerade h im Punkt P. g und h
schneiden sich. P ist der Schnittpunkt der Geraden g und h.
Die Geraden g und h ste-
hen senkrecht aufeinan-
der. g steht senkrecht auf
h. Sie sind orthogonal.
in einem Punkt schneiden
der Schnittpunkt, -e
senkrecht stehen auf Dat.
orthogonal sein zu Dat.
a = 30° ß = 60° y = 90°
(Alpha gleich 30 Grad) (Beta gleich 60 Grad) (Gamma gleich 90 Grad)
Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten.
Jeweils zwei Seiten sind parallel.
In den Eckpunkten stehen die Seiten senk-
recht aufeinander.
, j x Der Flächeninhalt des Quadrats ist A = l2.
I bezeichnet die Seitenlange.
Adjektiv: quadratisch
die Seite, -n
die
Fläche
der Kreis, -e
der Radius, Radien
der Durchmesser, -
der Mittelpunkt, -e
Der Kreis:
Das Formelzeichen für den Radius ist r.
Das Formelzeichen für den Durchmesser ist d.
Es ist: d = 2r
Der Flächeninhalt eines Kreises ist A = irr2 .
Der Umfang eines Kreises ist U = 2?rr
Adjektiv: kreisförmig
das Dreieck, -e
dreieckig
das Viereck
viereckig
das Fünfeck
fünfeckig
das Rechteck
rechteckig
fX die Ellipse, -n
\ \ elliptisch / ellipsenförmig
\ das Parallelogramm, -e
52
Übungen
1. Setzen Sie ein.
a) Zwei Geraden g und h schneiden sich. Der Winkel ist 90°. g
auf h. Die Geraden stehen aufeinander.
Sie sind.
b) Zwei Geraden schneiden sich im.
c) Zwei Geraden haben überall den gleichen Abstand. Sie sind.
d) Der Winkel ist 50°. Er ist ein Winkel.
e) Der Winkel ist 120°. Er ist ein _ Winkel.
f) Der Winkel ist genau 90°. Er ist ein Winkel.
2. Ergänzen Sie.
a) Die Punkte P und Q der Geraden g.
Die Gerade g_____
Die Geraden g und h
__die Punkte P und Q.
sich_____Punkt S.
Die Gerade g J den Punkt S.
Die Gerade h auch den Punkt S.
Der Punkt S h. Er-----------------------auch —
Die Geraden e und f_____—---------------
e ist eine zu f.
d) Ein Quadrat hat 4 Winkel und 4 gleich lange.
Eine Seite ist 4 cm. Der Flächeninhalt ist.
e) Ein Kreis hat den Radius 2 cm. Sein ist dann 4 cm.
Sein______________ist 12,6 cm. Sein ist 12,6 cm2.
f) Ein hat 3 Seiten und 3 Ecken.
g) Ein Sechseck hat 6 und 6
h) Ein hat 8 Seiten und 8 Ecken.
3. Setzen Sie das Adjektiv ein.
a) Der Teller hat die Form eines Kreises, er ist.
b) Ein Blatt Papier hat die Form eines Rechtecks, es ist .
c) Eine Tafel Schokolade von „Ritter Sport“ ist.
d) Der Tisch hat vier Ecken, er ist.
e) Die Erde bewegt sich um die Sonne. Ihre Bahn sind.
f) Mein Tisch hat 5 Ecken, er ist.
g) Die Zelle einer Bienenwabe ist.
53
Grundbegriffe der Geometrie 2
Dreiecke
Die Höhe h steht senkrecht
auf a. Fläche des Dreiecks:
A = ^ah
das rechtwinklige Dreieck
a, b: die Kathete, -n
c: die Hypotenuse, -n
Adas gleichseitige
Dreieck
Ödas gleichschenklige
Dreieck
: der Schenkel, -
die Basis, Basen
die Basis
Adjektivendung
im Nominativ
das gleichseitige Dreieck
der hohe Zylinder
em gleichseitiges Dreieck
einhoher Zylinder
Satz von Pythagoras
Wir haben drei Quadrate. Eine Seite des Quadrats A '
die Kathete a eines rechtwinkligen Dreiecks Ein % 'St
des Quadrats B ist die Kathete b des rechtwinkl'6'^
Dreiecks. Eine Seite des Quadrats C ist die Hvw 'gen
c des rechtwinkligen Dreiecks. enuse
Die Summe aus den Flächeninhalten von A und n •
gleich dem Flächeninhalt von C. lst
I Satz von Pythagoras. Für alle rechtwinkligen D™ . ~
Die Summe der Flächeninhalte der Kathetenm d ,ec^e
dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats-1 2 *St g,eich
Körper im Kaum
der Würfel, -
die Kante, -n
die Ecke, -n
die Fläche, -n
Ein Würfel hat 6 Flächen, 12 Kanten und
8 Ecken. Alle Kantenlängen sind gleich.
In den Ecken stehen die Kanten senkrecht aufein-
ander. Jede Fläche hat den Flächeninhalt A = a2.
Der Würfel hat das Volumen V = a3.
der Quader, -
die Kugel, -n
Ein Quader hat das Volumen V - a-b-c.
Sein Oberflächeninhalt ist Ao = 2(ab + ac + bc).
Eine Kugel hat das Volumen V =
r ist der Radius der Kugel.
Der Oberflächeninhalt ist A = 4?rr 2.
der Zylinder, -
Ein Zylinder hat einen Mantel und zwei Kreis-
flächen. r ist der Radius der Kreisflächen, h ist die
Höhe des Mantels.
Ein Zylinder hat das Volumen V = nr2h
54
25
1. Ersetzen Sie die Symbole durch Wörter.
a) Ein I I_______________hat vier Il_
b) Ein Q_________________hat vier gleich lange |~1 .
c) Ein hat drei und drei .
d) Ein hat zwei
und eine . Die beiden
schließen einen ein.
e) Ein O hat einen 0.
0 Sie kennen die folgenden Körper im Raum:
g) Ein 3 ________ hat 8 13, 12 3
und 6 0.
h) Ein A hat 3 gleich lange A
und 3 gleiche /\.
i) Ein A hat zwei gleich lange
/\und eine A
2. Ergänzen Sie.
a) Ein Dreieck hat drei gleich lange Seiten.
b) Ein________________Dreieck hat zwei gleich lange Seiten.
c) Der Satz von Pythagoras gilt nur für ein Dreieck.
d) Ein hat das Volumen V = -nr2h .
e) Eine hat das Volumen V = | ?rr3 .
D Ein hat das Volumen V = a • b • c.
g) Ein hat das Volumen V = a3.
3. Rechnen Sie.
a) Ein Würfel hat die Kantenlänge 2 cm.
Berechnen Sie das Volumen des Würfels und seinen Oberflächeinhalt.
b) Ein Quader hat die Kantenlängen 1 cm, 2 cm und 3 cm.
Berechnen Sie das Volumen des Quaders und seinen Oberflächeninhalt.
c) Eine Kugel hat den Radius 2 cm.
Berechnen Sie das Volumen der Kugel und ihren Oberflächeninhalt.
d) Ein Zylinder hat den Radius 2 cm und die Höhe 5 cm.
Berechnen Sie das Volumen des Zylinders, den Flächeninhalt der Kreise und
den Flächeninhalt des Mantels.
e) Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks haben die Längen 3 cm
und 4 cm. Berechnen Sie die Länge der Hypotenuse.
55
Beschreibende Statistik
5 Schülerinnen und Schüler sind in einem Sprachkurs.
Simona, Slowakei, 1,63 m groß, langes Haar, 19 Jahre alt, spricht gut Deutsch
Mohamad, 24 Jahre alt, 1,72 m groß, schwarze Haare, spricht wenig, Irak
Zahira, Irak, 1,59 m groß, sehr freundlich, 21 Jahre alt
Dimitrij, blondes Haar, 23 Jahre alt, 1,85 m groß, Russland, sehr aufmerksam
Sarah, kann schon gut Deutsch, 1,55 m groß, 35 Jahre alt, Ghana
Wir interessieren uns für:
• Geschlecht
• Heimatland
• Alter
• Größe
Das sind die Merkmale für unsere
statistische Untersuchung.
die Tabelle, -n -die Zelle, -n
—<
die Zeile, -n
^die Spalte, -n
Wir fertigen eine Tabelle an (5 Spalten, 6 Zeilen):
Geschlecht Heimatland Alter (Jahre) Größe (Meter)
Simona weiblich Slowakei 19 1,63
Mohamad männlich Irak 24 1,72
Zahira weiblich Irak 21 1,59
Dimitrij männlich Russland 23 1,85
Sarah weiblich Ghana 35 1,55
die Grundgesamtheit, -en
das Merkmal, -e
die Merkmalsausprägung, -en
das qualitative Merkmal
das Rangmerkmal
das quantitative Merkmal
die absolute Häufigkeit
Der Kurs hat nur 5 Schülerinnen und Schüler. Die 5 Schülerinnen und Schüler
bilden die Grundgesamtheit unserer statistischen Untersuchung.
Das Merkmal „Geschlecht“ hat zwei mögliche Werte, „weiblich“ oder „männlich“,
„weiblich“ und „männlich“ sind die Merkmalsausprägungen des Merkmals
„Geschlecht“. Die Merkmale „Heimatland“, ,Alter“ und „Größe“ können sehr viele
Merkmalsausprägungen haben.
Mit den Merkmalsausprägungen von „Ge-
schlecht“ und „Heimatland“ kann man nicht
rechnen. „Geschlecht“ und „Heimatland“
sind qualitative Merkmale.
Man kann mit Alter und Größe rechnen.
Man kann z.B. ein Durchschnittsalter be-
rechnen. Alter und Größe sind quantitative
Merkmale.
Es gibt auch Rangmerkmale: Schulnoten (1, 2, 3, 4, 5, 6; Z Seite 60), Handels-
klassen bei Obst (Klasse Extra, Klasse I, Klasse II). Man weiß: Die Schulnote 2 ist
besser als 3. Das Obst aus Klasse Extra ist besser als aus Klasse I.
Drei Personen aus dem Kurs sind weiblich und zwei sind männlich. Die absolute
Häufigkeit für weiblich ist 3, die absolute Häufigkeit für männlich ist 2.
Wir beschreiben den Kurs durch die Merkmalsausprägungen der Personen. Wir
beschäftigen uns mit der beschreibenden (der deskriptiven) Statistik.
56
26
Übungen
1. Kreuzen Sie an. X
qualitatives Merkmal Rangmerkmal quantitatives Merkmal
Familienstand
Körpertemperatur
Platz bei einem 100-m-Lauf
Einkommen in €
Heimatland
Zeit beim 100-m-Lauf
Zahl der Kinder in einer Familie
2. Antworten Sie.
a) Wie viele Zeilen und wie viele Spalten hat die Tabelle (Aufgabe 1)?
b) Nennen Sie für das Merkmal „Familienstand“ alle möglichen Merkmalsaus-
prägungen.
c) Schreiben Sie für „Heimatland“ fünf Merkmalsausprägungen auf.
d) Nennen Sie Beispiele für quantitative Merkmale.
3. Tragen Sie die Merkmale und Merkmalsausprägungen in die Tabelle
ein.
Geschlecht, Heimatland, 1,70 m, männlich, Familienstand, weiblich, Größe,
ledig, Syrien, Iran, verheiratet, 1,69 m, Alter, 19 Jahre, verwitwet, Afghanistan,
21 Jahre, geschieden, Irak, 26 Jahre, 1,63 m
Merkmal Merkmalsausprägungen zu dem Merkmal
4. Fertigen Sie eine Tabelle über Ihren Kurs an.
Wir interessieren uns für
Geschlecht, Familienstand, Zahl der Kinder, Heimatland, Alter, Größe.
a) Wie viele Spalten hat die Tabelle?
b) Wie viele Zeilen hat die Tabelle?
c) Bestimmen Sie für jedes qualitative Merkmal die absolute Häufigkeit.
57
Relative und absolute Häufigkeit, Kreisdiagramm
Wir reichen ein Blatt Papier von Person zu Person weiter. Jede Person schreibt auf
das Blatt Papier sein Heimatland.
Syrien Afghanistan Afghanistan Syrien Afghanistan Iran Iran Syrien Syrien Syrien Syrien Irak Iran Afghanistan Afghanistan Syrien Syrien Afghanistan Iran Irak
Diese Liste heißt Urliste. Vier Ländernamen kom- men vor. Wir fertigen eine Strichliste an. Wir zählen die Striche. 8 Personen kommen aus Syrien, 6 aus Afghanistan, 4 aus dem Iran, 2 aus dem Irak. Die absoluten Häu- figkeiten für die vier Länder sind: ^Syrien = ^Afgh. = ^Iran = 4, ff Irak = % Syrien Utf'lll Iran II» Afghanistan UtTl Irak II 8 4 6 2
die Urliste, -n die Strichliste, -n der Index, Indizes
Wir verwenden hier den Buchstaben H für die absolute Häufigkeit. Wir schreiben
die Ländernamen als Index rechts unten an die Buchstaben.
Einschub
der Index, Indizes
Zeichen, Zahl, Buchstabe, Wort oder Abkürzung rechts unten neben einem
Formelzeichen. Es ist nur zur Unterscheidung da.
^Syrien Man liest: H Syrien oder groß H Syrien
hy h eins oder klein h eins
Der Index darf nicht rechts oben stehen: H2 (H zwei) * H2 (H Quadrat)
Die Gesamtzahl der Personen ist: N = HSyrien + #Afgh + HIran + W[rak = 20
Wir dividieren die absoluten Häufigkeiten H durch die Gesamtzahl N.
Wir erhalten die relativen Häufigkeiten:
feynen = ~ = 0,4 Man liest: klein h Syrien gleich groß H Syrien durch (groß) N ...
W. “ - 20 _ 0,3 Alran ~ aT “ 20 = 0,2 die relative Häufigkeit die prozentuale Häufigkeit das Kreisdiagramm, -e
Wir fertigen ein Kreisdiagramm an. Ein Kreis hat 360°. Winkel = h 360°.
Man gibt die relative Häufigkeit manchmal in Prozent an: 0,4 entspricht 40 %.
Man nennt sie dann auch prozentuale Häufigkeit.
Land H h Winkel
Syrien 8 0,4 144°
Afghanistan 6 0,3 108°
Iran 4 0,2 72°
Irak 2 0,1 36°
Summe 20 1,0 360°
58
Übungen
1. Lesen Sie laut.
a) hv b) h3 c) /l2 d) h32
e) H4 f) a3 g) h2o h) m1
i) /jj = 1 N i) x1>2 j) ÄIran k)f3
2. Setzen Sie ein.
Wir reichen ein Blatt Papier von Person zu Person weiter. Jeder schreibt auf
das Blatt sein Geschlecht. Wir erhalten die .
Wir schreiben untereinander weiblich und männlich. Wir machen hinter weib-
lich und männlich Striche. Wir erhalten die .
3. Bearbeiten Sie die folgende Aufgabe.
In einer Gruppe sind 24 Personen. Jede Person schreibt seinen Familienstand
auf. Man erhält:
ledig ledig ledig ledig verheiratet
verheiratet ledig verheiratet geschieden ledig
verheiratet ledig verheiratet verwitwet geschieden
ledig geschieden verwitwet ledig ledig
verwitwet ledig ledig verheiratet
a) Fertigen Sie die Strichliste und die Tabelle an.
ledig verheiratet
geschieden verwitwet
H h Winkel
ledig
verheiratet
geschieden
verwitwet
c) Zeichnen Sie das Kreisdiagramm (alle Winkel in der Vorlage sind 15°).
59
28
Stabdiagramm, Modus und Median
Stabdiagramm
25 Personen machen eine Al-Sprachprüfung.
Nach der Sprachprüfung schreiben wir die
Prüfungsnoten von allen Personen auf.
Wir erhalten die Urliste:
2, 5, 3, 1, 2, 3, 3, 4, 6, 4, 5, 3, 4, 1, 2, 4, 3,1, 6,
5, 2, 3, 3, 4, 2
Schulnoten sind ein Rangmerkmal. (/ Seite 56)
Man zeichnet bei Rangmerkmalen Stabdiagramme und keine Kreisdiagramme.
,--------,---_----H r
Schulnoten in Deutschland
1
2
3
4
5
6
sehr gut
gut
befriedigend
ausreichend y
mangelhaft
ungenügend
V bestanden
nicht
bestanden
Note H h h 100 %
1 3 0,12 12%
2 5 0,20 20%
3 7 0,28 28%
4 5 0,20 20%
5 3 0,12 12%
6 2 0,08 8%
Summe 25 1,00 100%
Modus
Die Note 3 kommt am häufigsten vor. Es gibt 7 Dreien.
Der häufigste Wert heißt Modus oder Modalwert.
Man kann den Modus auch von qualitativen Merkmalen angeben.
Beispiel: In einem Kurs sind 11 Schülerinnen und 8 Schüler.
Das Merkmal „Geschlecht“ hat den Modus „weiblich“.
Median
Wir ordnen die Werte der Urliste der Größe nach.
111222223333 3 334444455566
12 Werte Median 12 Werte
Der Wert in der Mitte heißt Median oder Zentralwert.
der Modus, Modi
der Modalwert, -e
der Median, -e
der Zentralwert, -e
das Stabdiagramm, -e
Die Zahl der Werte ist ungerade: In der Mitte ist ein Wert. Dies ist der Median.
Die Zahl der Werte ist gerade: In der Mitte sind zwei Werte. Der Median ist das
arithmetische Mittel aus den beiden Werten in der Mitte. (/ Lektion 30, Seite 64)
Man darf den Median nur von Rangmerkmalen und von quantitativen Merkmalen
bilden.
Das mittlere Einkommen (quantitatives Merkmal) ist der Median des Einkom-
mens. Das arithmetische Mittel des Einkommens heißt Durchschnittseinkom-
men.
60
28
Übungen
1. Setzen Sie ein.
a) Bei Rangmerkmalen oder quantitativen Merkmalen zeichnet man
{PI.) und keine{PI.).
b) Wir haben 21 Werte in der Urliste. Wir ordnen die Werte der Größe nach.
Der Wert in der Mitte heißt.
c) In einem Raum sind 18 Personen. 12 sind weiblich, 6 sind männlich. Die Merk-
malsausprägung „weiblich“ ist der oder.
d) Das mittlere Einkommen ist der des Einkommens.
2. Bearbeiten Sie die folgende Aufgabe.
Im englischen Schulsystem gibt es die Noten A, B, C, D, E, F.
F ist nicht bestanden, die anderen Noten sind bestanden.
Die Schülerinnen und Schüler in einem Kurs haben die folgenden Noten:
B, C, D, B, A, C, B, C, C, E, F, A, B, C, D, B, B, C, D, C
a) Fertigen Sie eine Strichliste an.
b) Fertigen Sie eine Tabelle an. Die Tabelle soll enthalten: Note,
absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit und prozentuale Häufigkeit.
c) Zeichnen Sie ein Stabdiagramm.
d) Geben Sie den Median an.
3. Bearbeiten Sie die folgende Aufgabe.
Man kann im Internet ein Hotel bewerten. 0 Punkte (sehr schlecht) bis 5 Punk-
te (sehr gut) sind möglich. 20 Personen haben das Hotel bewertet.
© © ©OO © © ooo o® ®®o © © ooo ®®ooo
©oooo © ®® oo © © ooo © © © oo © © ooo
© © ©oo ©oooo © © © oo ooooo ©©© oo
© ® ® ® o © © © oo ®® © oo © © © © © ®® ooo
a) Fertigen Sie eine Strichliste an.
b) Fertigen Sie eine Tabelle an. Die Tabelle soll enthalten: Bewertung,
absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit und prozentuale Häufigkeit.
c) Zeichnen Sie ein Stabdiagramm.
d) Geben Sie den Median an.
4. Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben.
a) Das mittlere Einkommen der Familien ist in einer Stadt monatlich 2000 €.
500 Familien haben weniger als 2000 €.
Wie viele Familien haben mehr als 2000 €?
b) Eine Gruppe von Personen gibt das Einkommen an.
weniger als 800 €: 40 Personen
801 € bis 1200 €: 120 Personen
1201 € bis 1800 €: 90 Personen
1801 € bis 2200 €: 60 Personen
über 2200 €: 10 Personen.
Was ist das mittlere Einkommen (ungefähr)?
61
29
Mittelwerte
Das arithmetische Mittel
Wir messen die Körpergrößen von 14 Personen:
1,69 m; 1,59 m; 1,78 m; 1,81 m; 1,73 m;
1,62 m; 1,74 m; 1,70 m; 1,65 m; 1,56 m;
1,68 m; 1,71 m; 1,61 m; 1,75 m
Wir fragen:
Was ist die durchschnittliche (mittlere) Körpergröße
der 14 Personen?
messen
der Messwert, -e
der Mittelwert, -e
das Mittel, -
das arithmetische Mittel
im Mittel
im Durchschnitt
durchschnittlich(e)
mittlere
Wir addieren alle 14 Messwerte und dividieren das Ergebnis durch 14:
- 1,69+1,59+1,78+1,81+1,73+1,62+1,74+1,70+1,65+1,56+1,68+1,71+1,61+1,75 23,62 , GQ71 .
X = -----*----------------------14---------------------------= TT" = 1.68714
Man liest: x quer gleich ...
Dieser Mittelwert heißt arithmetisches Mittel.
Die Messwerte haben 2 Stellen hinter dem Komma. Wir geben das arithmetische
Mittel auch mit zwei Stellen hinter dem Komma an; wir runden das Ergebnis. Die
durchschnittliche Körpergröße ist 1,69 m.
Man berechnet das arithmetische Mittel nur für quantitative Merkmale, nicht für
Rangmerkmale.
Einscbub
runden auf... Stellen hinter dem Komma; die Rundung
aufrunden / man rundet auf (die Rundung macht die Zahl größer)
abrunden / man rundet ab (die Rundung macht die Zahl kleiner)
Kundungsregel: Wir wollen 2 Stellen hinter dem Komma haben.
Die dritte Stelle hinter dem Komma ist 0, 1, 2, 3 oder 4: Wir runden ab.
Die dritte Stelle hinter dem Komma ist 5, 6, 7, 8 oder 9: Wir runden auf.
Median
Der Median ist auch ein Mittelwert. Wir bestimmen den Median (/ Urliste oben):
1,56 1,59 1,61 1,62 1,65 1,68 1,69 1,70 1,71 1,73 1,74 1,75 1,78 1,81
6 Werte Median: 1,695 6 Werte
Wir haben zwei Werte in der Mitte.
Der Median ist das arithmetische Mittel dieser beiden Werte.
Wir runden den Median auf 2 Stellen hinter dem Komma. Er ist 1,70 m.
Mittelwerte
Mittelwert für qualitative Merkmale: Modus
Mittelwerte für Rangmerkmale: Modus, Median
Mittelwerte für quantitative Merkmale: Modus, Median, arithmetisches Mittel
62
29
Übungen
1. Verwenden Sie andere Formulierungen.
a) Die mittlere Größe ist 1,69 m.
Die Größe ist 1,69 m.
Die Größe ist durchschnittlich 1,69 m.
Die Größe ist 1,69 m.
Die Größe ist 1,69 m.
b) Das durchschnittliche Alter im Pflegeheim ist 79 Jahre.
Das_________________Alter im Pflegeheim ist 79 Jahre.
Das Alter im Pflegeheim ist 79 Jahre.
Das Alter im Pflegeheim ist 79 Jahre.
Das Alter im Pflegeheim ist 79 Jahre.
2. Kreuzen Sie an und setzen Sie ein.
a) Ich runde 1,2396 auf 2 Stellen hinter dem Komma. Ich runde auf® ab
Ich erhalte .
b) Ich runde 1,44449 auf 3 Stellen hinter dem Komma. Ich runde auf® ab
Ich erhalte .
c) Ich runde 1,291 auf 1 Stelle hinter dem Komma. Ich runde.
Ich erhalte.
d) Ich runde 1,295 auf 2 Stellen hinter dem Komma. Ich runde_.
Ich erhalte.
e) Ich runde 1,3994 auf 2 Stellen hinter dem Komma. Ich runde.
Ich erhalte.
0 Ich runde 1,7149 auf 2 Stellen hinter dem Komma. Ich runde__.
Ich erhalte.
d) Ich runde 5,1191 auf 2 Stellen hinter dem Komma. Ich runde.
Ich erhalte.
h) Ich runde 4,3951 auf 3 Stellen hinter dem Komma. Ich runde_.
Ich erhalte.
3. Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Median.
a) 32 Jahre, 39 Jahre, 25 Jahre, 23 Jahre, 21 Jahre, 19 Jahre, 17 Jahre, 41 Jahre
b) 1,80 m; 1,73 m; 1,69 m; 1,66 m; 1,71 m; 1,69 m; 1,70 m; 1,77 m; 1,72 m
4. Entscheiden Sie.
a) Man muss in ein Formular 1 für weiblich und 0 für männlich eintragen.
Eine Person berechnet das arithmetische Mittel aus den Einsen und Nullen.
Ist das sinnvoll? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Im deutschen Schulsystem werden die Schulnoten mit den Zahlen 1 bis 6 ab-
gekürzt. Einige Lehrer berechnen am Ende des Schuljahrs das arithmetische
Mittel aus allen Noten. Ist das sinnvoll? Begründen Sie Ihre Antwort.
63
30
Streuungsmaße
Streuung
Wir haben drei Urlisten eines quantitativen Merkmals:
Liste 1: 14 15 14 13 14 14 15 13 14 14
Liste 2: 11 9 22 12 17 13 15 19 6 16
Liste 3: 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14
Für alle Urlisten gilt: Das arithmetische Mittel ist 14.
Unterschied zwischen den Listen:
In der ersten Liste liegen die Werte dicht beieinander.
In der zweiten Liste unterscheiden sich die Werte stark voneinander.
In der dritten Liste sind alle Werte gleich.
Man sagt:
Die Streuung der Werte ist in der ersten Liste gering.
Die Streuung ist in der zweiten Liste groß. Sie streuen stark.
In der dritten Liste gibt es gar keine Streuung. Die Streuung ist 0.
Wir wollen die Streuung messen. Hierzu definieren wir Streuungsmaße.
die Streuung, -en
streuen
Spannweite
Die Spannweite ist die Differenz aus dem
größten und dem kleinsten Wert in einer
Urliste.
Liste 1: kleinster Wert: 13; größter Wert: 15;
Liste 2: kleinster Wert: 6; größter Wert: 22;
Liste 3: kleinster Wert: 14 größter Wert; 14;
das Streuungsmaß, -e
die Spannweite, -n
die Standardabweichung
Spannweite: 15 — 13 = 2
Spannweite: 22 - 6 = 16
Spannweite: 14 - 14 = 0
Stan dardabweichun g Das wichtigste Streuungsmaß ist die Standardabweichung. Das Formelzeichen für die Standardabweichung ist der griechi- sche Buchstabe o (Sigma). a Sigma griechischer Kleinbuchstabe
• Man berechnet die Differenz aus jedem Wert der Urliste und dem arithmetischen Mittel (Tabelle). • Man quadriert die Ergebnisse (Tabelle). • Man berechnet das arithmetische Mittel der Quadrate: Listei: 0+1+0+1+0+0+1+1+0+0 _ 0,4 Liste 2: 9~t 25+64 +4+941 +1+25+64+4 = 20 6 • Man zieht die Wurzel aus dem Ergebnis, aj =7ff4 =0,63 <7g = 720,6 = 4,54 <t3 = 0 1. Liste 2. Liste
X x — X (x - x)2 X X — X (x-x)2
14 0 0 11 -3 9
15 1 1 9 -5 25
14 0 0 22 8 64
13 -1 1 12 -2 4
14 0 0 17 3 9
14 0 0 13 -1 1
15 1 1 15 1 1
13 -1 1 19 5 25
14 0 0 6 -8 64
14 0 0 16 2 4
Spannweite, Standardabweichung, Median und arithmetisches Mittel haben die
gleiche Einheit wie die Messwerte.
64
30
Übungen
1. Ergänzen Sie.
a) Manchmal liegen die Werte in einer Urliste dicht beieinander. Dann ist die
der Werte sehr gering.
b) Man will die Streuung durch eine Zahl beschreiben. Hierzu definiert man
ein.
c) und sind Streuungsmaße.
d) Die Differenz aus dem größten und kleinsten Wert heißt.
e) Wir wollen die Standardabweichung berechnen, x-x: Wir
zuerst das Mittel von jedem Wert.
(x - x)2 : Dann wir die Differenzen.
Wir berechnen von allen Quadraten das.
Am Ende wir die Wurzel.
2. Lösen Sie die folgende Aufgabe:
Man misst die Größe aller Kursteilnehmer(innen).
1,60 m; 1,65 m; 1,59 m; 1,72 m; 1,79 m; 1,63 m; 1,65 m; 1,81 m; 1,68 m; 1,58 m
Die Größen der Teilnehmerinnen (weiblich) sind rot, die Größen der Teilnehmer
(männlich) sind blau dargestellt.
Berechnen Sie arithmetisches Mittel und Standardabweichung der Größe
a) aller Kursteilnehmerinnen und Kursteilnehmer,
b) der Frauen,
c) der Männer.
alle Frauen Männer
X x — X (x - x)2 X x-x (x - x)2 X x-x (x - x)2
1,60 -0,07 l,bO -0,01 1,6>5 -0,08
1,65 1,51
1,59
1,72
1,79
1,63
1,65 •^alle = ^alle =
1,81 •^Frauen ^Frauen
1,68 •^Männer — ^Männer =
1,58 1
Bestimmen Sie Median und Spannweite der Größe
d) aller Kursteilnehmerinnen und Kursteilnehmer,
e) der Frauen,
f) der Männer.
65
Lösungen 1 bis 3
Lösungen
n
1. a) 3, 2 b)6 c)3,4, 9 d) 2,14 e) 17 0 0163111912149
2. b) elf c) dreizehn d) neun e) fünf f) zwölf g) neunzehn h) siebzehn i) acht
j) fünfzehn k) sechzehn 1) zwanzig m) zwei n) vierzehn o) null p) achtzehn
q) drei r) eins
3. b) Sie hat drei Ziffern, eine Drei, eine Eins und eine Vier.
c) Sie hat vier Ziffern, drei Einsen und eine Neun.
d) Sie hat fünf Ziffern, eine Eins, zwei Dreien und zwei Vieren.
e) Sie hat sechs Ziffern, eine Eins, drei Nullen, eine Neun und eine Sieben.
f) Sie hat fünf Ziffern, zwei Fünfen, zwei Zweien und eine Vier.
4. a) Wir sind zu zweit, b) Wir sind zu neunt. c) Wir sind zu dritt. d) Wir sind zu siebt,
e) die Summe dreier Zahlen f) drei Zwanziger g) vier Fünfer h) Wir sind zu acht.
0
Seite 8: einunddreißig zweiunddreißig sechsunddreißig siebenunddreißig einundvierzig zweiundvierzig
dreiunddreißig achtunddreißig dreiundvierzig
vierunddreißig neununddreißig vierundvierzig
fünfunddreißig vierzig fünfundvierzig
1. a) 78 b) 15 c) 430 d) 791 e) 118 0 96000 g) 49013
2. a) 01654128011 b) 016541811 c) 23321770
3. eins / einundzwanzig / dreiundvierzig / fünfzig / elf / neunundsiebzig / zwölf / sechs / zehn
/ sechzehn (In Ziffern; 1/21/43/50/ 11/79/ 12/6/ 10/ 16)
4. a) fünfhundertdreiundsechzig
b) sechshunderteins
c) siebentausendneunhundertdreiundfünfzig
d) dreihundertdreizehntausenddreihundertdreißig
e) einundzwanzigtausendzwölf
f) vierunddreißigtausenddreiundvierzig
g) acht Millionen achtzigtausendachtzehn
5. a) sechzehnhundertsiebenundzwanzig b) zweitausendsechzehn
c) neunzehnhundertsechzehn d) zweitausend e) neunhunderteins
6. a) eine Milliarde dreihundertsechsundfünfzig Millionen neunhundertachtundfünfzigtau-
senddreihundertzwölf
b) fünf Billionen zweihundert Milliarden
c) fünf Billiarden zweihundert Billionen
d) eine Trillion zwei Billiarden
e) eine Trilliarde zwei Trillionen
0 zwei Trilliarden eine Trillion elf Billiarden einhundertzwanzig Billionen einhundert
Milliarden
1. a) 2 Nachkommastellen; zwölf Komma neun acht
b) 3 Nachkommastellen; zweihundertelf Komma drei acht sieben
c) 1 (eine) Nachkommastelle; einhundertzwölf Komma neun
d) 5 Nachkommastellen; eins Komma drei sieben neun zwei acht
e) 4 Nachkommastellen; null Komma eins fünf sieben vier
f) 3 Nachkommastellen; null Komma null null eins
66
Lösungen 3 bis 4
g) 4 Nachkommastellen; eins Komma null eins null eins
h) 4 Nachkommastellen; zwölf Komma eins null null drei
i) 3 Nachkommastellen; einhunderteinundzwanzig Komma null null drei
j) 5 Nachkommastellen; null Komma null null fünf acht sieben
2. a) drei Euro achtundvierzig
c) neunzehn Euro einundneunzig
e) sechs Euro fünf
g) vierzehn Euro vierzig
i) sechzehn Euro sechzig
k) ein Meter siebenunddreißig
mlsieben Komma acht Kilometer
b) vierzehn Euro dreiunddreißig
d) fünfzehn Euro einundfünfzig
f) dreißig Euro dreizehn
h) fünfzig Euro fünfzehn
j) drei Euro einundfünfzig
1) vierzehn Meter vierzig
n) zwölf Komma drei vier Zentimeter
o) (ein)hundertdreiundzwanzig Komma vier Millimeter
p) fünfundvierzig Komma vier Kilogramm
q) vierzig Komma fünf Liter r) sieben Komma drei fünf Kilogramm
s) zweiundneunzig Cent t) dreiundzwanzig Euro zweiunddreißig
3. a) 95 b) 2,13 € c) eins zwanzig d) 305 e) 63,69 € f) vierzig fünfzehn g) 107
4. a) ein Meter dreiundsiebzig (eins dreiundsiebzig); dreiundneunzig Zentimeter
b) null Komma sieben; neunundachtzig Cent; eins Komma fünf; ein Euro neunundvierzig
(eins neunundvierzig)
c) acht Komma fünf Kilometer
d) ein Meter fünfundsiebzig
e) eins Komma sieben fünf Kilometer
f) vierundvierzig Komma fünf Quadratmeter
g) zweiundvierzig Komma sieben Kubikmeter
h)zwei Euro siebzig (zwei siebzig); ein Euro fünfundneunzig (eins fünfundneunzig)
i) fünf Meter zwanzig
5. a) 14,95 € b) 3,50 € c) 1,74 m d) 1,65 m e) 2,70 €
6. a) sechs Euro fünfundneunzig (sechs fünfundneunzig);
ein Euro fünfundzwanzig (eins fünfundzwanzig)
b) einen Euro fünfzig (eins fünfzig)
c) zwei Euro vierzig (zwei vierzig); achtzig Cent; einen Euro sechzig (eins sechzig)
d) zweihundertsiebenundneunzig Euro fünfzig (zweihundertsiebenundneunzig fünfzig)
siebenundvierzig Euro fünfzig (siebenundvierzig fünfzig)
1. a) die fünfte Etage b) der siebte (siebente) Stock c) das fünfte Gebot
d) das dritte Kind e) der erste Sohn f) der millionste Besucher
g) der siebzehnte Januar h) der dreizehnte Februar i) der siebenundzwanzigste März
j) der einunddreißigste Mai k) der erste April 1) der neunundzwanzigste Juni
mJHeute ist der siebte Juni, n) die zweite Tochter
o) der erste April zweitausendsiebzehn
2. a) 27. b) 258. c) 13330. d) 30313. e) 511700. f) 1001.
3. a) der/die/das (ein)tausendfünfhundertsiebenundvierzigste
b) der/die/das zweitausendfünfhundertdreiundneunzigste
c) der/die/das (ein)tausenddritte
d) der/die/das zweitausenddreihunderterste
e) der/die/das millionste
f) der/die/das hundertmillionste
4. a) achten Mai zweitausendsiebzehn b) im vierten Monat c) in der dritten Etage
d) in den siebten Stock e) der erste Juni f) am neunzehnten August
g) ist sie Zweite geworden h) Er ist nur Neunter geworden, i) Jedes vierte Jahr
67
Lösungen 4 bis 6
j) Benedikt der Sechzehnte war bis zweitausenddreizehn Papst.
k) Vor Elisabeth der Zweiten war Georg der Sechste König von England.
1) Vor Georg dem Sechsten war Eduard der Achte König von England.
mierstens / zweitens / drittens / Erstes / Zweites / Drittes
n) Erste / Zweiter / Erste / Zweiter o) Erstes / Zweites
B
1. a) ein halb b) ein siebtel c) drei neuntel d) vier elftel e) acht neuntel
f) elf zwölftel g) elf einundzwanzigstel h) fünf siebenunddreißigstel
i) acht neunundvierzigstel j) dreiundzwanzig zweiunddreißigstel k) fünfhundertstel
1) ein fünfhundertstel m) acht tausendstel n) sieben siebenundfünfzigstel
o) neun fünfundzwanzigstel p) acht (ein)hundertneunzehntel q) siebzehn siebzigstel
r) dreißig (ein)hundertdreizehntel s) fünf zweitausendelftel
t) siebzehn siebenhundertsiebzigstel u) sieben fünfzehntel v) acht einundzwanzigstel
w)neun einundfünfzigstel x) achtzehn neunzehntel y) dreizehn einunddreißigstel
2. a) 728/937 b) 411/628 c) 306/307 d) 129/1498 e) 49/105 f) 19/18
g) 85/97 h) 78/45 i) 9/17
3. a) -n -e -en b) -e -e / c) -n -e / d) -n -e -e / e) -e -e / -n f) -ie -e -en -en
g) -e -e -en -e /
4. a) ein viertel, einen halben b) ein halbes, ein fünftel c) ein halbes, drei viertel
d) Eine halbe, ein halber, ein halbes e) eine halbe, einen halben
B
1. a)l| b) c) 9| d)4| e) 11|| f) 2> g) 1£ h) 3| i) 2|
o o o i io o y ö y
2. a) eindreifünftel b) acht vier fünftel c) elf drei siebtel dl drei vier elftel
e) siebeneinhalb f) zwei zwei drittel g) fünf fünf sechstel h) sechs fünf achtel
i) fünf zwei drittel j) acht fünf siebzehntel
3. a) anderthalb (eineinhalb), zwei drei viertel b) dreieinhalb, eindreiviertel
c) viereinhalb, anderthalb (eineinhalb) d) vier, anderthalb (eineinhalb), sechs
e) fünf, drei, einzweidrittel f) zweieinhalb, anderthalb (eineinhalb)
4. a) anderthalb b) elf halbe c) zweieinfünftel d) einundzwanzig fünftel
e) zwölf fünftel f) hundertzwölf siebzehntel g) elf zwei siebzehntel
h) einzwölfsiebzehntel i) einzweidrittel j) zwölf drittel
5. b) -n -e -e / c) -n -e -e / d) / / -e -e e) -n -e -n
6. a) Zeilen 1 bis 9: drei (3) ein (1) zwei (2) einen (1) acht (8) zwei (2) Zwei (2) einen (1) eine
(1) Vier (4) vier (4)
Zeilen 11 bis 22: vier (4) zwei (2) zwei (2) Zwei (2) ein (1) die beiden (2) vier halbe (4/2)
ein halbes (1/2) Ein halbes (1/2) das halbe (1/2) zwei viertel (2/4) die beiden viertel (2/4)
vier achtel (4/8) ein achtel (1/8) Ein achtel (1/8) Dieses achtel (1/8) zwei sechzehntel
(2/16) Die beiden sechzehntel (2/16) vier zweiunddreißigstel (4/32) ein zweiunddreißigs-
tel (1/32) Ein zweiunddreißigstel (1/32)
Zeilen 23 bis 29: zwei (2), Zwei (2), Die beiden (2), drei (3) sechs drittel (6/3), zwei drit-
tel (2/3), zwei zwei drittel (2 2/3)
b) „die beiden“ bedeutet „die zwei“
O | 1 i 1 । 1 । 1 । 1 । 1 | 1 _i_1__i_
c; 2 8 32 128 512 2048 "r 8192 32768
d) Das Teilen dauert unendlich lang. Irgendwann sind die Stücke sehr klein. Man kann sie
nicht mehr durchschneiden.
e) Zwei Antworten möglich, ja (unendlich langes Teilen); nein (ein Rest bleibt immer)
68
Lösungen 7 bis 8
H
1. a) die Hälfte b) das Vierfache c) viermal d) vierfacher e) dreimal
0 ein Fünftel, das Fünffache g) Das Siebenfache h) Die Hälfte
i) ganzzahliges, das Fünffache j) kgV k) das Siebenfache, ein Siebtel
1) das Vierfache m) das Sechsfache n) das Doppelte o) das Neunfache
p) das Zweihundertfache q) das Zweihunderteinsfache r) ein Zweihundertstel
s) ein Zweihunderteintel
2. a) 4, 8,12, 16, 20,24, 28, 32, 36, 40, 44,48
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48
b) 12, 24, 36, 48
c) 12
3. a) 10 b) 15 c) 20 d) 10 e) 14 0 21 g) 28 h) 35 i) 14 j) 42 k) 30 1)18
Q
1. b) neunzehn minus elf gleich acht
c) zweiundfünfzig minus fünfundzwanzig gleich siebenundzwanzig
d) fünfzehn mal drei gleich fünfundvierzig
e) zwölf plus dreiundzwanzig gleich fünfunddreißig
0 vierundneunzig minus neunundvierzig gleich fünfundvierzig
g) einhunderteinundzwanzig minus zweiundzwanzig gleich neunundneunzig
h) neunundneunzig plus zweiundzwanzig gleich einhunderteinundzwanzig
i) elf mal sechs gleich sechsundsechzig
j) einhunderteinundzwanzig durch elf gleich elf
k) zwölf mal zehn gleich einhundertzwanzig
1) vierundachtzig durch vier gleich einundzwanzig
2. a) drei plus vier gleich sieben
b) 1 neun minus acht gleich eins
c) 0 einhundertelf minus einhundertelf gleich null
d) 4 zwölf durch drei gleich vier
e) 34 fünfzehn plus neunzehn gleich vierunddreißig
0 80 neunzig minus zehn gleich achtzig
g) 20 fünf mal vier gleich zwanzig
h) 8 neunzehn minus elf gleich acht
i) 23 elf plus zwölf gleich dreiundzwanzig
j) 8 sechzehn durch zwei gleich acht
k) 27 drei mal neun gleich siebenundzwanzig
I) 3 einundzwanzig durch sieben gleich drei
m)35 fünf mal sieben gleich fünfunddreißig
n) 5 fünfzehn durch drei gleich fünf
o) 7 siebenundsiebzig durch elf gleich sieben
3. b) Klammer auf 2 plus 3 Klammer zu mal 4 gleich 20
c) 5 minus Klammer auf 2 plus 1 Klammer zu gleich 2
d) 2 mal eckige Klammer auf 5 minus runde Klammer auf 3 plus 1 runde Klammer zu
eckige Klammer zu gleich 2
e) 2 mal 5 minus Klammer auf 3 plus 1 Klammer zu gleich 6
0 2 mal Klammer auf 5 minus 3 Klammer zu plus 1 gleich 5
g) 2 durch Klammer auf 6 durch 3 Klammer zu gleich 1
h) Klammer auf 5 plus 4 Klammer zu mal 5 gleich 45
4. a) zwölf minus Klammer auf eins plus drei Klammer zu gleich acht
b) 14 zwölf minus eins plus drei gleich vierzehn
69
Lösungen 8 bis 11
c) 7 drei plus zwei mal zwei gleich sieben
d) 10 Klammer auf drei plus zwei Klammer zu mal zwei gleich zehn
e) 7 Klammer auf fünf plus zwei Klammer zu mal Klammer auf drei minus zwei
Klammer zu gleich sieben
f) 2 acht minus zwei mal drei gleich zwei
g) 18 Klammer auf acht minus zwei Klammer zu mal drei gleich achtzehn
h) 40 Klammer auf dreizehn minus drei Klammer zu mal vier gleich vierzig
i) 1 dreizehn minus drei mal vier gleich eins
j) 50 Klammer auf acht minus drei Klammer zu mal Klammer auf neun plus eins
Klammer zu gleich fünfzig
1. b) die Summe c) das Produkt d) der
g) Die Differenz h) Der Quotient i) I
2. b) Das Produkt aus 2 und 4 ist 8.
d) Die Differenz aus 9 und 6 ist 3.
f) Die Summe aus 8 und 4 ist 12.
h) Das Produkt aus 5 und 2 ist 10.
j) Die Summe aus 1 und 2 ist 3.
3. b) Was ist die Differenz aus 9 und 3?
c) Was ist der Quotient aus 12 und 3?
d) Was ist das Produkt aus 8 und 3?
e) Was ist die Summe aus 8 und 7?
4. a) die Summanden b) die Faktoren <
d) der Dividend, der Divisor
uotient e) die Differenz f) Das Produkt
s Summe
c) Der Quotient aus 8 und 2 ist 4.
e) Das Produkt aus 4 und 5 ist 20.
g) Die Differenz aus 9 und 2 ist 7.
i) Der Quotient aus 9 und 3 ist 3.
k) Die Differenz aus 7 und 2 ist 5.
Die Differenz aus 9 und 3 ist 6.
Der Quotient aus 12 und 3 ist 4.
Das Produkt aus 8 und 3 ist 24.
Die Summe aus 8 und 7 ist 15.
der Minuend, der Subtrahend
1. 1-b 2-d 3-a 4-c
2. 1-a 2-a 3-b 4-a 5-a 6-b
3. 1-b 2-a 3-b 4-b 5-a 6-a
4. mit von durch zu von
5. b) Ich berechne das Produkt aus 10 und 2.
c) Ich berechne die Summe aus 2 und 10.
d) Ich berechne die Differenz aus 10 und 2.
6. b) Wir dividieren 12 durch 3. c) Du subtrahierst 4 von 9.
d) Sie multipliziert 9 mit 3. e) Sie dividieren 20 durch 4.
f) Ihr addiert 3 zu 20.
1. b) indem ich den Schlüssel ins Schloss stecke und ihn dann drehe.
c) indem man auf den roten Knopf drückt.
d) indem man ihn in die blaue Tonne wirft.
e) indem man sie in die gelbe Tonne wirft.
f) indem man sie im Uhrzeigersinn dreht.
g) indem man sie gegen den Uhrzeigersinn dreht.
2. a) Man beschleunigt ein Auto, indem man auf das Gaspedal tritt.
b) Man hält das Auto an, indem man auf das Bremspedal tritt.
c) Man bleibt gesund, indem man viel Sport macht und Obst isst.
d) Du kannst das Buch bekommen, indem du in ein Buchgeschäft gehst und es bestellst.
Sie können das Buch bekommen, indem Sie in ein Buchgeschäft gehen und es bestellen.
70
Lösungen 11 bis 12
e) Man kommt in den fünften Stock des Hochhauses, indem man im Aufzug auf „5“ drückt.
0 Man kann die Zeitung regelmäßig erhalten, indem man sie abonniert.
g) Man erweitert den Wortschatz, indem man viel liest und Wörter lernt.
h) Man verliert keine Daten, indem man sie regelmäßig sichert.
i) Ich kann mit meinen Verwandten sprechen, indem ich sie anrufe.
j) Ich feiere Geburtstag, indem ich meine Freunde einlade.
1. a) zwei drittel mal vier fünftel gleich zwei mal vier durch drei mal fünf gleich acht fünf-
zehntel
b) 9/8; drei viertel mal drei halbe gleich drei mal drei durch vier mal zwei gleich neun
achtel
c) 5/12; ein drittel mal fünf viertel gleich einmal fünf durch drei mal vier gleich fünf zwölf-
tel
d) 3/20; ein viertel mal drei fünftel gleich einmal drei durch vier mal fünf gleich drei zwan-
zigstel
e) 3/8; ein halb mal drei viertel gleich einmal drei durch zwei mal vier gleich drei achtel
f) 12/77; drei elftel mal vier siebtel gleich drei mal vier durch elf mal sieben gleich zwölf
siebenundsiebzigstel
g) 6/35; ein fünftel mal sechs siebtel gleich einmal sechs durch fünfmal sieben gleich sechs
fünfunddreißigstel
h) 28/15; sieben drittel mal vier fünftel gleich sieben mal vier durch drei mal fünf gleich
achtundzwanzig fünfzehntel
i) 20/9; vier neuntel mal fünf gleich vier neuntel mal fünf eintel gleich vier mal fünf durch
neun mal eins gleich zwanzig neuntel
j) 6/5; drei mal zwei fünftel gleich drei eintel mal zwei fünftel gleich drei mal zwei durch
einmal fünf gleich sechs fünftel
k) 44/15; elf drittel mal vier fünftel gleich elf mal vier durch drei mal fünf gleich vierund-
vierzig fünfzehntel
1) 15/14; ein siebtel mal fünfzehn halbe gleich einmal fünfzehn durch sieben mal zwei
gleich fünfzehn vierzehntel
2. b) Der Kehrbruch von dreizehn elftel ist elf dreizehntel.
c) Der Kehrbruch von fünf drittel ist drei fünftel.
d) Der Kehrbruch von sieben ist ein siebtel.
e) Der Kehrbruch von eins ist eins.
f) Der Kehrbruch von ein zehntel ist zehn.
3. a) zwei drittel durch ein halb gleich zwei drittel mal zwei eintel gleich zwei mal zwei durch
drei mal eins gleich vier drittel
b) 3/2; ein halb durch ein drittel gleich ein halb mal drei eintel gleich einmal drei durch
zwei mal eins gleich drei halbe
c) 9/8; drei viertel durch zwei drittel gleich drei viertel mal drei halbe gleich drei mal drei
durch vier mal zwei gleich neun achtel
d) 5/12; ein viertel durch drei fünftel gleich ein viertel mal fünf drittel gleich einmal fünf
durch vier mal drei gleich fünf zwölftel
e) 3/8; ein halb durch vier drittel gleich ein halb mal drei viertel gleich einmal drei durch
zwei mal vier gleich drei achtel
f) 7/30; ein fünftel durch sechs siebtel gleich ein fünftel mal sieben sechstel gleich einmal
sieben durch fünf mal sechs gleich sieben dreißigstel
g) 35/12; sieben drittel durch vier fünftel gleich sieben drittel mal fünf viertel gleich sie-
ben mal fünf durch drei mal vier gleich fünfunddreißig zwölftel
71
Lösungen 12 bis 14
h) 7/12; ein sechstel durch zwei siebtel gleich ein sechstel mal sieben halbe gleich einmal
sieben durch sechs mal zwei gleich sieben zwölftel
i) 4; eins durch ein viertel gleich einmal vier eintel gleich einmal vier gleich vier
j) 1/20; ein viertel durch fünf gleich ein viertel durch fünf eintel gleich ein viertel mal ein
fünftel gleich einmal eins durch vier mal fünf gleich ein zwanzigstel
k) 2/7; zwei siebtel durch eins gleich zwei siebtel
1) 40/49; fünf siebtel durch sieben achtel gleich fünf siebtel mal acht siebtel gleich fünf
mal acht durch sieben mal sieben gleich vierzig neunundvierzigstel
m)49/40; sieben fünftel durch acht siebtel gleich sieben fünftel mal sieben achtel gleich
sieben mal sieben durch fünf mal acht gleich neunundvierzig vierzigstel
n.) 49; sieben durch ein siebtel gleich sieben mal sieben eintel gleich sieben mal sieben
gleich neunundvierzig
4. a) Ich multipliziere zwei Brüche, indem ich Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner
multipliziere.
b) Ich bilde den Kehrbruch, indem ich Zähler und Nenner vertausche.
c) Ich dividiere eine Zahl durch einen Bruch, indem ich sie mit dem Kehrbruch multipli-
ziere.
d) 1/3; Ich kürze durch 7.
f) 1; Ich kürze durch 21.
h)3/2; Ich kürze durch 3.
1. b) Ich erweitere fünf siebtel mit 5. Ich erhalte fünfundzwanzig fünfunddreißigstel.
c) Ich kürze fünfzehn vierzigstel durch 5. Ich erhalte drei achtel.
d) Ich erweitere zwei fünftel mit 3. Ich erhalte sechs fünfzehntel.
2. b) 1/3: Ich kürze durch 5.
c) 2/3; Ich kürze durch 5.
e) 2/3; Ich kürze durch 7.
g) 2; Ich kürze durch 21.
3. a) zwei drittel gleich zwei mal drei durch drei mal drei gleich sechs neuntel
b) 4/8; ein halb gleich einmal vier durch zwei mal vier gleich vier achte]
c) 6/8; drei viertel gleich drei mal zwei durch vier mal zwei gleich sechs achtel
d) 18/21; sechs siebtel gleich sechs mal drei durch sieben mal drei gleich achtzehn einund-
zwanzigstel
4. a) a) Wir kürzen einen Bruch, indem wir Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividie-
ren. b) Wir erweitern einen Bruch, indem wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl
multiplizieren.
5. a) Teiler; durch b) Teiler; teilt c) Primzahlen; Primzahlen d) Primzahl; teilbar
e) Primfaktoren f) der größte gemeinsame Teiler; ggT g) kürzen; durch
h) erweitern; mit i) der Kehrbruch
EE
1. a) Nenner, Zähler; ungleichnamig
b) Nenner, Zähler; ungleichnamig
c) Zähler, Nenner; gleichnamig
d) Nenner, erweitert, Hauptnenner, addiert, Zähler, Summe
2. a) 5/9; zwei neuntel plus drei neuntel gleich zwei plus drei durch neun gleich fünf neuntel
b) 2/11; fünf elftel minus drei elftel gleich fünf minus drei durch elf gleich zwei elftel
c) 7/25; vierzehn funfundzwanzigstel minus sieben fünfundzwanzigstel gleich vierzehn
minus sieben durch fünfundzwanzig gleich sieben fünfundzwanzigstel
d) 1/3; fünf drittel minus vier drittel gleich fünf minus vier durch drei gleich ein drittel
e) 7/13; zwei dreizehntel plus fünf dreizehntel gleich zwei plus fünf durch dreizehn gleich
sieben drei zehntel
72
Lösungen 14 bis 17
f) 7/15; vier fünftel minus ein drittel gleich zwölf fünfzehntel minus fünf fünfzehntel
gleich zwölf minus fünf durch fünfzehn gleich sieben fünfzehntel
g) 13/15; zwei drittel plus ein fünftel gleich zehn fünfzehntel plus drei fünfzehntel gleich
zehn plus drei durch fünfzehn gleich dreizehn fünfzehntel
h) 9/14; ein siebtel plus ein halb gleich zwei vierzehntel plus sieben vierzehntel gleich zwei
plus sieben durch vierzehn gleich neun vierzehntel
i) 1/21; ein drittel minus zwei siebtel gleich sieben einundzwanzigstel minus sechs ein-
undzwanzigstel gleich sieben minus sechs durch einundzwanzig gleich ein einundzwan-
zigstel
j) 3/14; ein halb minus zwei siebtel gleich sieben vierzehntel minus vier vierzehntel gleich
sieben minus vier durch vierzehn gleich drei vierzehntel
3, a) Ich addiere zwei gleichnamige Brüche, indem ich ihre Zähler addiere und den Nenner
nicht ändere. / Wir addieren zwei gleichnamige Brüche, indem wir ...
b) Wir subtrahieren zwei gleichnamige Brüche, indem wir ihre Zähler subtrahieren und
den Nenner nicht ändern.
c) Man addiert zwei ungleichnamige Brüche, indem man sie zuerst gleichnamig macht
und dann ihre Zähler addiert und den Nenner nicht ändert.
d) Ich subtrahiere zwei ungleichnamige Brüche, indem ich sie zuerst gleichnamig mache
und dann ihre Zähler subtrahiere und den Nenner nicht ändere. / Wir subtrahieren ...
4. a) 5/3 ein zwei drittel gleich ein eintel plus zwei drittel gleich drei drittel plus zwei drittel
gleich fünf drittel
b) 11/4 zwei drei viertel gleich zwei eintel plus drei viertel gleich acht viertel plus drei
viertel gleich elf viertel
1. a) Gleichung b) Formel (und Gleichung) c) Term d) Formel (und Gleichung)
e) Formel (und Gleichung) f) Term g) Formel (und Gleichung) h) Gleichung
i) Formel (und Gleichung)
2. a) 2a + b + 2c b) ab + ^bh c) 12 cm (Satz von Pythagoras, S. 54) d) 9 cm2
3. a) eine Gleichung; - Term; linken; Gleichung; Variable
b) Formel c) eine Formel d) Terme; eine Gleichung e) die Formel; Seitenlängen
hd
1. b) setzt herauf c) nimmt zu d) verringern e) sinkt
2. b) 150 € / 200 € c)90€/80€ d)30€/25€
3. a) Der Preis fällt von 50 € auf 35 €.
b) Der Preis steigt von 40 € auf 50 €. Der Preis steigt um 10 € auf 50 €.
c) Die Temperatur sinkt um 5 °C auf 20 °C. Die Temperatur sinkt von 25 °C auf 20 °C.
d) Die Geschwindigkeit nimmt von 80 km/h auf 100 km/h zu.
Die Geschwindigkeit nimmt von 80 km/h um 20 km/h zu.
Die Geschwindigkeit nimmt um 20 km/h auf 100 km/h zu.
4. b) Das Geschäft setzt das T-Shirt von 15 € um 10 € herab.
c) Das Geschäft setzt das Oberhemd von 35 € auf 30 € herab.
d) Das Geschäft setzt die Bluse um 5 € auf 40 € herauf.
EE
1. a) Grundwert; Prozentsatz; Prozentwert
b) Grundwert
c) von; um; Grundwert, Prozentwert; Prozentwert; Grundwert; multiplizieren.
d) Prozentsatz; Grundwert
73
Lösungen 17 bis 18
2. a) Grundwert 200 €; Prozentsatz 30 %; Prozentwert gesucht; Lösung: 60 €
b) Grundwert 2,00 €; Prozentsatz 20%; Prozentwert gesucht; Lösung: 0,40 €
c) Grundwert 90 €; Prozentsatz gesucht; Prozentwert 18 €; Lösung: 20%
d) Grundwert gesucht; Prozentsatz 60%; Prozentwert 300; Lösung: 500
e) Grundwert gesucht; Prozentsatz 20%; Prozentwert 10 €; Lösung: 50 €
f) Grundwert 1,5 Liter; Prozentsatz 40%; Prozentwert gesucht; Lösung: 0,6 Liter
g) A: Grundwert gesucht; Prozentsatz 50%; Prozentwert 10 €. Ergebnis: 20 €
B: Grundwert gesucht; Prozentsatz 33 %; Prozentwert 10 €. Ergebnis: 30 € (gerundet)
iE
1. a) 5 < 100 | 5 (ist) kleiner (als) 100.
c) 12 = 12 | 12 (ist) gleich 12.
e) 0 < 5 | 0 (ist) kleiner (als) 5.
g) 5 < 9 j 5 (ist) kleiner (als) 9.
i) 0 < 3 | 0 (ist) kleiner (als) 3.
k) 4 > -4 | 4 (ist) größer (als) minus 4.
m)n > 3 | Pi (ist) größer (als) 3.
o) n > 3,14 | Pi (ist) größer (als) drei K
b) 3 > 1 | 3 (ist) größer (als) eins.
d) -4 < 3 | minus 4 (ist) kleiner (als) 3.
f) 7 > -8 | 7 (ist) größer (als) minus 8.
h) -5 > -9 | minus 5 (ist) größer (als) minus 9.
j) 0>-3 | 0 (ist) größer (als) minus 3.
1) 1,7 < 3,8 | 1,7 (ist) kleiner (als) 3,8.
n) n < 3,5 | Pi (ist) kleiner (als) 3,5.
na eins vier.
2. a) 3 e N | 3 ist eine natürliche Zahl. b) -2 £ N | minus 2 ist keine natürliche Zahl.
c) 3 e Z | 3 ist eine ganze Zahl. d) 0,4 e Q | 0,4 ist eine rationale Zahl.
e) 0,4 £ N | 0,4 ist keine natürliche Zahl, f) 0,4 e R | 0,4 ist eine reelle Zahl.
g) n e R | Pi ist eine reelle Zahl. h) n t Q | Pi ist keine rationale Zahl.
i) 0 e Z | 0 ist eine ganze Zahl. j) 3/7 st Z | 3/7 ist keine ganze Zahl.
k) 3/7 e Q | 3/7 ist eine rationale Zahl. 1) 3/7 e R | 3/7 ist eine reelle Zahl.
3. b) Ein Summand ist 7, der andere Summand ist -2.
c) Ich addiere -2 zu 9.
d) Ich berechne die Summe aus 9 und -3.
_5 5 -4 -2,3 -1,5 0,6 n 3,5 4,2 5 6
4. —-------0---1—• i • I--------I—•—1------1--->*-+•-------♦----♦-
_5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
5. a) 3 e (2; 4) | 3 liegt im offenen Intervall 2 bis 4.
b) 3 e [2; 3] | 3 liegt im abgeschlossenen Intervall 2 bis 3.
c) 3 S (2; 3) | 3 liegt nicht im rechtsoffenen Intervall 2 bis 3.
d) -4 e (-5; -4] | -4 liegt im linksoffenen Intervall -5 bis -4.
e) -5 £ (-5; -4] | -5 liegt nicht im linksoffenen Intervall -5 bis -4.
f) 7 « (-5; -4] | 7 liegt nicht im linksoffenen Intervall -5 bis -4.
g) 1,5 e (-1,5; 1,7) | 1,5 liegt im offenen Intervall -1,5 bis 1,7.
h) 0 e [-0,1; 0,1] | 0 liegt im abgeschlossenen Intervall -0,1 bis 0,1.
i) n £ [3; 3,14] | Pi liegt nicht im abgeschlossenen Intervall 3 bis 3,14.
j) 1,1 £ (1,1; 1.2) I 1.1 liegt nicht im offenen Intervall 1,1 bis 1,2.
k) 1,1 £ [-4; 1,1) | 1,1 liegt nicht im rechtsoffenen Intervall -4 bis 1,1.
1) n e (3,141; 3,142) | Pi liegt im offenen Intervall 3,141 bis 3,142.
c)„ , d) _ __________a)____ b)
O----—---O O-----• O———------ ——• • 9
6. 1--------1---1-----1-----b-----I------1----1----1-----1-----1----1-
-5-4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0 e)
a) die Menge aller reellen Zahlen x, für die gilt: 1 kleiner x kleiner gleich 4
b) die Menge aller reellen Zahlen x, für die gilt: 4,5 kleiner gleich x kleiner gleich 5
c) die Menge aller reellen Zahlen x, für die gilt: -5 kleiner x kleiner -3
74
Lösungen 18 bis 20
d) die Menge aller reellen Zahlen x, für die gilt: -1 kleiner x kleiner gleich 0
e) die Menge aller natürlichen Zahlen x, für die gilt: 1 kleiner gleich x kleiner gleich 4
f) die Menge aller ganzen Zahlen x, für die gilt: -5 kleiner x kleiner -2
1. a) 3 hoch 3 gleich 27
c) 10 hoch 2 gleich 100
e) 10 hoch eins gleich 10
g) 3 hoch 1 mal 3 hoch 4 gleich drei hoch 5
i) eins Komma fünf hoch 2 gleich 2,25
k) 2 hoch minus 2 gleich 0,25
m)10 hoch minus 1 gleich 0,1
o) 2,5 hoch minus 1 gleich 0,4
q) minus 1 in Klammern hoch 3 gleich -1
s) minus 1 in Klammern hoch 11 gleich
b) 3 hoch 2 gleich 9
d) 10 hoch 3 gleich 1000
f) 2 hoch 2 mal 2 hoch 3 gleich 2 hoch 5
h) 5 hoch 3 mal 5 hoch 4 gleich 5 hoch 7
j) 0,5 hoch 3 gleich 0,125
1) 10 hoch null gleich 1
n) 10 hoch minus 2 gleich 0,01
p) minus 1 zum Quadrat gleich 1
r) minus 2 in Klammern hoch -2 gleich 0,25
LUS 1
t) minus 2 in Klammem hoch minus 3 gleich minus 0,125
u) 3 hoch 5 durch 3 hoch 3 gleich 3 hoch 2
v) 3 hoch 2 durch 3 hoch 2 gleich 3 hoch 2 minus 2 gleich 3 hoch 0
w) minus 2 in Klammern hoch 5 durch minus 2 in Klammern hoch 3 gleich minus 2 in
Klammern hoch 2
x) 3 hoch 2 durch 3 hoch 4 gleich 3 hoch 2 minus 4 gleich 3 hoch minus 2
2. b) 4 ist die Basis. 0,5 ist der Exponent. 2 ist der Potenzwert.
c) 100 ist die Basis. 0,5 ist der Exponent. 10 ist der Potenzwert.
d) 9 ist die Basis. 2 ist der Exponent. 81 ist der Potenzwert.
e) 5 ist die Basis. -2 ist der Exponent. 0,04 ist der Potenzwert.
f) a ist die Basis, b ist der Exponent, c ist der Potenzwert.
3. b) Zwei Potenzen haben die gleichen Exponenten und verschiedene Basen.
Man dividiert sie, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem ge-
meinsamen Exponenten potenziert.
4. ... positiv. ... Das Ergebnis ist negativ.
5. a) zwei hoch zwei gleich vier (zwei Quadrat gleich vier)
b) 1; fünf hoch null gleich eins
c) 3 hoch 2 mal 3 hoch 3 gleich 3 hoch 5 gleich 243
d) (~2)5 = -32; minus 2 in Klammern hoch drei mal minus 2 in Klammern hoch 2 gleich
minus 2 in Klammern hoch 5 gleich minus 32
e) 1/1000 = 0,001; zehn hoch minus drei gleich ein tausendstel gleich 0,001
f) 1000000; 10 hoch sechs gleich eine Million
g) 1/9; 3 hoch minus 2 gleich eins durch 3 hoch 2 gleich ein neuntel
h) -1; minus eins in Klammern hoch 5 gleich minus eins
i) 1; minus eins in Klammern hoch 4 gleich (plus) eins
1. a) 14 Kubikmeter | Volumen
c) 4 Kubikzentimeter | Volumen
e) 5 Dezimeter | Länge
g) 10 hoch 2 Quadratmillimeter | Fläche
i) 2 hoch 2 Kubikdezimeter | Volumen
k) 17 Mikrometer | Länge
m)10 hoch minus 1 Nanometer | Länge
b) 9 Quadratmeter | Fläche
d) 9 Quadratzentimeter | Fläche
f) 0,3 Liter | Volumen
h) 5 Milliliter | Volumen
j) 3 Zentiliter | Volumen
1) 5 Kubikmillimeter | Volumen
n) 5 Quadratnanometer oder Nanometer (zum) Quadrat, oder ... hoch zwei | Fläche
o) 20 Kubikmikrometer oder Mikrometer hoch drei | Volumen
75
Lösungen 19 bis 23
2. a) ein Meter pro Sekunde Quadrat (Sekunde hoch 2) b) 9,8 Meter pro Sekunde Quadrat
c) eins Komma sechs Meter pro Sekunde Quadrat d) 626 Quadratzentimeter
e) 20 Meter pro Sekunde; 72 Kilometer pro Stunde (Stundenkilometer)
f) ein Lichtjahr ... 9,5 mal 10 hoch 12 Kilometer ... 9,5 mal 10 hoch 12 Kilometer
g) 13,8 mal zehn hoch neun Jahre
h) 1,988 mal 10 hoch 30 Kilogramm, 5,972 mal 10 hoch 24 Kilogramm, dreihundertdrei-
unddreißigtausendfache
i) 1,673 mal 10 hoch minus 27 Kilogramm, 9,109 mal 10 hoch minus 31 Kilogramm,
eintausendachthundertvierzigmal
j) 299 792 458 Meter pro Sekunde; 300 000 Kilometer pro Sekunde
k) 1,5 (eins Komma fünf), cms (Kubikzentimeter)
1) ein Kubikzentimeter gleich ein Milliliter m) 10 hoch 4 Quadratmeter
n) Die Einheit der Masse ist ein Kilogramm.
3. b) 2,5 km c) 3 cl d) 1,7 pm e) 1,5 ml f) 25 mm g) 1,9 dm h) 1mm i) 3 cm j) 7 pm
4. b) 1,7-IO3 m c) 11,7-10-3 1 d) 5,1 • 10-6 m e) 15 • 10-9 m f) 15,3 • IQ-1 21
g) 15-IO-2 m h) 2,3-10-1 m j) 3 i0-11 j) 13,7 10”3 m
1. a) Der Schrank hat die Höhe 2 m.
b) Der Lastwagen ist 2,5 m (2 Meter 50) hoch
c) Das Brett hat die Stärke 15 mm.
d) Der Tisch ist 1,5 m (ein Meter 50) lang.
e) Der Kühlschrank hat die Tiefe 50 cm. Er ist 60 cm breit und 1,2 m (ein Meter 20) hoch.
f) Mein Freund ist 1,78 m (ein Meter 78) groß
2. a) tief b) breit, lang c) hoch d) groß, breit e) lang f) lang, Breite, Stärke g) dick
h) hoch i) breit, tief j) breit, tief, Höhe k) breit, hoch 1) tief m) groß, klein
n) lang, breit 0) hoch p) Abstand q) Entfernung r) schmal s) dünn t) niedrig
u) kurz v) klein
1. der Radikand, der Wurzelexponent, der Wurzelwert, die vierte Wurzel
b) dritte Wurzel aus 8 gleich 2
d) dritte Wurzel aus 125 gleich 5
f) Wurzel aus 49 gleich 7
h) dritte Wurzel aus 216 gleich 6
b) vierte Wurzel aus 625 gleich 5
d) ^729 = 3 | sechste Wurzel aus 729 gleich 3
f) ^1024 = 2 | zehnte Wurzel aus 1024 gleich 2
e) \/32 = 2
2. a) Wurzel aus 4 gleich 2
c) Wurzel aus 9 gleich 3
e) dritte Wurzel aus 3,375 gleich 1,5
g) fünfte Wurzel aus 1024 gleich 4
3. a) 3 hoch 4 gleich 81
c) 43 = 64 | 4 hoch 3 gleich 64
e) 27 = 128 I 2 hoch 7 gleich 128
4. b) ,.'16 = 4 c) ^27 = 3
d) V25 = 5
5. b) Der Wurzelexponent muss eine natürliche Zahl sein.
c) Der Wurzelexponent muss größer oder gleich 1 sein.
Der Radikand muss positiv sein.
6. b) 729 | 6 | 3 c) V36 - 6 d) Vö = 3 | 3 e) $8 = 2 | 3
7. c) '</27 d) 9 ä e) 81 ’’ f) —L
<(243
1. a) lineare Gleichung b) quadratische Gleichung c) quadratische Gleichung
2. a) lösen; Lösungen b) Äquivalenzumfonnungen c) denselben Term; denselben Term
d) dieselbe Zahl; derselben Zahl e) Normalform; p-q Formel
76
Lösungen 23 bis 27
3. a) Wir subtrahieren 3x von beiden Seiten. Wir dividieren beide Seiten durch 2.
b) Wir subtrahieren 4 von beiden Seiten. | -4x | Wir subtrahieren 4x von beiden Seiten.
| : 5 | Wir dividieren beide Seiten durch 5.
c) Wir addieren 4 zu beiden Seiten. | 7x = x + 12 | Wir subtrahieren x von beiden Seiten.
| 6x = 12 | Wir dividieren beide Seiten durch 6
d) -2x | Wir subtrahieren 2x von beiden Seiten. | -4 I Wir subtrahieren 4 von beiden
Seiten. ' Dies ist die Normalform der quadratischen Gleichung. | p = 2, q = -3
1. a) steht senkrecht; senkrecht; orthogonal b) Schnittpunkt c) parallel d) spitzer
e) stumpfer f) rechter
2. a) liegen auf; geht durch b) schneiden ... im; schneidet; schneidet; geht durch;
geht durch; liegt auf; liegt auf c) sind parallel; Parallele d) rechte; Seiten 16 cm1 2
e) Durchmesser; Umfang; Flächeninhalt f) Dreieck g) Seiten; Ecken hl Achteck
3. a) kreisförmig b) rechteckig c) quadratisch d) viereckig e) ellipsenförmig/elliptisch
f) fünfeckig g) sechseckig
1. a) Rechteck; rechte Winkel b) Quadrat; Seiten c) Dreieck; Ecken; Seiten
d) rechtwinkliges Dreieck; Katheten; Hypotenuse, Katheten; reenten Winkel
e) Kreis; Mittelpunkt f) Quader; Würfel, Kugel; Zylinder
g) Würfel; Ecken; Kanten; Flächen h) gleichseitiges Dreieck, Seiten, Winkel
i) gleichschenkliges Dreieck; Schenkel; Basis
2. a) gleichseitiges b) gleichschenkliges c) rechtwinkliges d) Zylinder e) Kugel
0 Quader g) Würfel
3. a) 8 cm3, 24 cm2 b) 6 cm3, 22 cm2 c) 33,5 cm3, 50,3 cm2
d) 62,8 cm3; Kreisfläche’ 12,6 cm2; Mantelfläche: 62,8 cm2 e) 5 cm
1. qualitatives Merkmal: a), e) Rangmerkmal: c) quantitatives Merkmal: b), d), ß, g)
2. a) Sie hat 8 Zeilen und 4 Spalten.
b) ledig, verheiratet, geschieden, verwitwet
c) zum Beispiel Syrien, Iran, Afghanistan, Deutschland, Frankreich
d) zurr, Beispiel Körpergröße, Alter, Zahl der Kinder
3. Geschlecht: männheh, weiblich
Heimatland: Syrien, Iran, Afghanistan, Irak
Familienstand, ledig, verheiratet, verwitwet, geschieden
Größe: 1,70 m, 1,69 m, 1,63 m
Alter: 19 Jahre. 21 Jahre, 26 Jahre
4. a) 7 Spalten b) eine Zeile mehr als Kursteilnehmer(innen)
c) Losung abhängig vom Kurs: Merkmale: Geschlecht, Heimatland, Familienstand
1. a) h eins b) h drei c) h Quadrat d) h drei Quadrat e) H vier ß a hoch drei
g) H zwei O h) m eins i) klein h eins gleich groß H eins durch N i) x eins zwei
j) h Iran k) f drei
2. Urliste; Strichliste
77
Lösungen 27 bis 30
3. a) ledig: H = 12; h = 0,5; Winkel 180°
verheiratet: H = 6; h = 0,25; Winkel 90°
geschieden: H = 3; h = 0,125; Winkel 45°
verwitwet: H = 3; h = 0,125; Winkel 45°
1. a) Stabdiagramme; Kreisdiagramme b) Median (Zentralwert) c) Modus; Modalwert
d) Median (Zentralwert)
2. b) A:H = 2;A = 0,1; 10%
B: H = 6; h = 0,3; 30 %
C: H = 7; h = 0,35; 35 %
d) Median: C
D. H = 3; h = 0,15; 15%
E: H = 1; h = 0,05; 5 %
F: H = 1;/i = 0,05; 5 %
3. b) 0 Punkte: H = 1; h = 0,05; 5 %
1 Punkt: 77 = 2;/t = 0,1; 10%
2 Punkte: H = 6;h = 0,3; 30 %
d) Median: 3 Punkte
4. a) 500 Familien b) etwa 1200 €
3 Punkte: H = 8; h = 0,4; 40 %
4 Punkte: H = 2; h = 0,1; 10 %
5 Punkte: H = 1; h = 0,05; 5 %
1. a) durchschnittliche; im Durchschnitt; im Mittel
b) mittlere; durchschnittlich; im Durchschnitt; im Mittel
2. b) ab; 1,444 c) auf; 1,3 d) auf; 1,30 e) auf; 1,40 0 ab; 1,71 g) auf; 5,12 h) ab; 4,395
3. a) arithmetisches Mittel: 27 Jahre; Median: (23 Jahre + 25 Jahre)/2 = 24 Jahre
b) arithmetisches Mittel: 1,72 m; Median: 1,71 m
4. a) Das arithmetische Mittel ist nicht sinnvoll: qualitatives Merkmal (Allerdings ergibt
das arithmetische Mittel mal 100 % den Prozentanteil der Frauen.)
b) Das arithmetische Mittel ist nicht sinnvoll. Die Noten sind ein Rangmerkmal.
ES
1. a) Streuung b) Streuungsmaß c) Spannweite; Standardabweichung d) Spannweite
e) subtrahieren, arithmetische; quadrieren; arithmetische Mittel; ziehen
2. a) 1,67 m, o = 0,076 m b) 1,61 m, a = 0,026 m c) 1,73 m, a = 0,062 m
d) 1,65 m, 0,23 m e) 1,60 m, 0,07 m f) 1,72 m, 0,16 m
Literatur zur Wiederholung der Schulmathematik
1. Helmut Postel: Aufgabensammlung Mathematik, Sekundarstufe I, Schroedel,
ISBN 978-3-507-73221-6
Beispielrechnungen, viele Rechenaufgaben mit Lösungen
2. Formelsammlung, Mathematik für die Sekundarstufe I, Klett,
ISBN 978-3-12-740322-0
3. Hans Kreul, Harald Ziebarth: Mathematik leicht gemacht, Verlag Harri
Deutsch, 7. Auflage 2009, ISBN 978-3-8171-1836-6
über 700 Seiten, setzt B2-Sprachkenntnisse voraus
78
Stichwortverzeichnis
A
abgeschlossenes Intervall 40
abnehmen 36
abrunden 62
absolute Häufigkeit 56
Abstand 46
addieren 24
Addition 24
äquivalent 48, 50
Äquivalenzumformung 50
arithmetisches Mittel 60, 62
auf 36
aufrunden 62
B
Basis 42, 54
beschreibende Statistik 56
binomische Formel 34
breit 46
Breite 46
Bruch 14
Bruchstrich 14
D
deskriptive Statistik 56
Dezimalbruch 10
Dezimalzahl 10
Dezimeter 44
dick 46
Dicke 46
Differenz 22, 24
Differenz von Brüchen 32
Diskriminante 50
Dividend 22, 24
dividieren 24, (Bruch) 28
Division 24
Divisionszeichen 20
Divisor 22, 24
Doppelbruch 28
Dreieck 34, 52, 54
dünn 46
durch 20, 24
Durchmesser 52
Durchschnittseinkommen 60
E
Ecke 52,54
eckige Klammern 20
Einheit 10, 44
Element 40
Ellipse 52
ellipsenförmig, elliptisch 52
entfernt 46
Entfernung 46
erhöhen 36
erweitern 30
Euro 10
Exponent 42
F
Faktor 22, 24
fallen 36
Fläche 34, 54
Flächeneinheit 44
Flacheninhalt 34, 44
Formel 34
Formelzeichen 34, 44
Fünfeck 52
G
ganze Zahl 40
ganzzahliges Vielfaches 18
Geldeinheit 10
gemeinsamer Teiler 30
gemischte Zahl 16, 32
Geometrie 52, 54
Gerade 52
gerade Zahl 40
geschweifte Klammem 20
geteilt durch 20
Gewichtseinheit 10
ggT 30
gleich 40
Gleichheitszeichen 20
gleichnamig 32
gleichschenklig 54
gleichschenkliges Dreieck 54
gleichseitig 54
gleichseitiges Dreieck 54
Gleichung 34, 50
groß 46
Größe 46
größer als 40
größer werden 36
größter gemeinsamer Teiler 30
Grundgesamtheit 56
Grundrechenart 20, 24
Grundwert 38
H
halb 14
halboffenes Intervall 40
Hauptnenner 32
herabsetzen 36
heraufsetzen 36
hoch 42, 46
Hochzahl 42
Höhe 46
Hypotenuse 54
I
indem 26
Index 58
Intervall 40
K
Kante 54
Kantenlange 54
Kardinalzahl 6, 8
Kathete 54
Kehrbruch 28
Kehrwert 28
kgV 18
Kilometer 44
Klammer 20
klein 46
kleiner als 40
kleiner werden 36
kleinstes gemeinsames Vielfa-
ches 18
Komma 10
Kommutativgesetz 24
Kreis 52
Kreisdiagramm 58
Kreisfläche 54
kreisförmig 52
Kreiszahl 40
Kubikmeter 44
Kubikwurzel 48
Kugel 54
kurz 46
kürzen 30
L
lang 46
Länge 46
Längeneinheit 10
lineare Gleichung 50
linksoffenes Intervall 40
Liter 44
lösen 50
Lösung 50
M
mal 20, 24
Malzeichen 20
Mantel 54
Masseneinheit 10
Median 60
Merkmal 56
Merkmalsausprägung 56
messen 46, 62
Messwert 62
Meter 10, 44
Mikrometer 44
Milliliter 44
Millimeter 44
Minuend 22, 24
minus 20, 24
Minuszeichen 20, 40
Mittel 62
79
Stichwortverzeichnis
Mittelwert 62
mittleres Einkommen 60
Modalsatz 26
Modalwert 60
Modus 60
Multiplikation 24
multiplizieren 24, (Bruch) 28
N
Nachkommastelle 10
Nanometer 44
natürliche Zahl 40
Nebensatz 26
negative Zahl 40
Nenner 14
niedrig 46
Normalform 50
o
Oberfläche 54
Oberflacheninhalt 54
offenes Intervall 40
Ordnungszahl 12
orthogonal 52
P
n (pi) 40
parallel 52
Parallelogramm 52
plus 20, 24
Pluszeichen 20
Potenz 42
positive Zahl 40
potenzieren 42
Potenzwert 42
p-^-Formel 50
Primfaktor 30
Primzahl 30,40
Probe 50
Produkt 22, 24
Produkt von Brüchen 28
Promille 38
Prozent 38
Prozentsatz 38
prozentuale Häufigkeit 58
Prozentwert 38
Punkt 52
Punktrechnung 20
Pythagoras 54
Q
Quader 54
Quadrat 52
quadratisch 52
quadratische Gleichung 50
Quadratmeter 44
Quadratwurzel 48
quadrieren 42
qualitatives Merkmal 56
quantitatives Merkmal 56
Quotient 22, 24 (Bruch) 28
R
Radikand 48
Radius 52
radizieren 48
Rangmerkmal 56
rationale Zahl 40
rechnen 20
Rechnung 20
Rechteck 34, 52
rechteckig 52
rechter Winkel 52
rechtsoffenes Intervall 40
rechtwinklig 54
rechtwinkliges Dreieck 54
reelle Zahl 40
relative Häufigkeit 58
runde Klammern 20
runden 62
Rundungsregel 62
S
Satz von Pythagoras 54
Schenkel 54
schmal 46
schneiden 52
Schnittpunkt 52
schrumpfen 36
Seite 52, (Gleichung) 50
Seitenlange 34
senken 36
senkrecht 52
sinken 36
Spalte 56
Spannweite 64
spitzer Winkel 52
Stabdiagramm 60
Standardabweichung 64
stark 46
Stärke 46
Strecke 52
steigen 36
Stelle 10
Strahl 52
Streuung 64
Streuungsmaß 64
Strichliste 58
Strichrechnung 20
stumpfer Winkel 52
Subtrahend 22, 24
subtrahieren 24
Subtraktion 24
Summand 22, 24
Summe 22, 24
Summe von Brüchen 32
T
Tabelle 56
Teil 18
teilbar 30
teilen 16, 30
Term 34
tief 46
Tiefe 46
u
um 36
Umfang 34, 52
ungerade Zahl 40
ungleich 40
ungleichnamig 32
Urliste 58
V
Variable 34
vergrößern 36
verkleinern 36
vermindern 36
verringern 36
Vielfaches 18
Viereck 52
Volumeneinheit 10, 44
von 36
Vorzeichen 40
w
wachsen 36
Winkel 52
Würfel 54
Wurzel 48
Wurzelexponent 48
Wurzelwert 48
z
Zahl 6,40
Zahlenart 40
Zahlenstrahl 40
zählen 6
Zähler 14
Zehnerpotenz 42
Zeile 56
Zelle 56
Zentiliter 44
Zentimeter 44
Zentralwert 60
ziehen (Wurzel) 48
Ziffer 6
zunehmen 36
Zylinder 54
80
StadtbibliotheK Friedrichshain-Kreuzberg
Wichtige Verben im Buch
N11<04113267458
iiuniH
| bedeutet: das Verb ist trennbar, vor | lesen: vorlesen, du liest vor
Uesen leise lesen laut lesen vor|lesen lesen und nicht sprechen lesen und sprechen laut lesen, andere hören zu
schreiben auf | schreiben beschreiben um | schreiben auf ein Blatt Papier oder an die Tafel schreiben sagen: Wie sieht etwas aus? Wie funktioniert etwas? Text verändern und noch einmal schreiben
Alphabetisch:
an| kreuzen
an | fertigen
an|geben
auf | schreiben
beachten
bearbeiten
beschreiben
bestimmen
bezeichnen
bilden
durch | führen
ein | setzen
ein | tragen
entscheiden
ergänzen
erhalten
ersetzen
formulieren
nennen
um | rechnen
um | schreiben
um | wandeln
unterstreichen
unterscheiden
verbinden
verwenden
vor I lesen
ein Kreuz x hinter die richtige Lösung machen
Liste, Tabelle, Diagramm machen (zeichnen und schreiben)
nennen
/ schreiben
aufpassen, auf etwas achten, Informationen aufnehmen
alle Teile der Aufgabe selbstständig beantworten und lösen
z’ schreiben
herausfinden, z.B. durch Rechnung; feststellen
stehen für, ein (anderes) Wort sein für, den Namen geben
machen; Wörter und Wortteile kombinieren
machen, tun; Rechnung) en) durchführen = rechnen
Etwas fehlt. Das in die Lücke schreiben.
Zahlen in eine Liste oder eine Tabelle schreiben
sagen: was ist richtig, was ist falsch?
Etwas fehlt. Das aufschreiben.
bekommen
etwas anderes für den Ausdruck schreiben
etwas ohne Fehler schreiben oder sagen, in eine sprachliche
Form bringen
Wort sagen, Zahl sagen, Namen sagen
mit einer anderen Einheit schreiben: 0,4 km -> 400 m;
49 Cent -> 0,49 €; 5" -> 12,7 cm
/ schreiben
in eine andere Form bringen, z.B.
Adjektive zu Nomen, Nomen zu Adjektiven machen
einen Strich unter das richtige Wort machen
auf den Unterschied achten, nicht verwechseln
zwischen zwei Wörter einen Strich machen
benutzen, gebrauchen
/" lesen