МЛбловиц, Х.Сигур
СОЛИТОНЫ И МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Книга известных американских ученых, отражающая состояние в
быстроразвивающемся направлении математической физики. В ней
систематически изложены основы метода, его приложения к различным задачам,
обсуждаются перспективы развития. Авторы приводят большое число задач и
упражнений и обширную библиографию (более 500 названий).
Для математиков и физиков различных специальностей, аспирантов и
студентов университетов.
Содержание
Предисловие редактора перевода 5
Пролог 9
Глава 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале 11
1.1. Введение 11
1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка и связанные с ней 19
интегрируемые уравнения в частных производных
1.3. Вывод линейного интегрального уравнения и обратная задача 26
рассеяния на бесконечном интервале
1.4. Зависимость от времени и частные решения 42
1.5. Оператор эволюции 5 6
1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 68
1.7. Поведение решений на больших временах 84
Упражнения 103
Глава 2. МОЗР в других постановках 112
2.1. Задачи на собственные значения для операторов более высокого 112
порядка и многомерные задачи рассеяния
2.2. Дискретные задачи 135
2.3. Периодические граничные условия для уравнения Кортевега-де Фриза 156
Упражнения 172
Глава 3. Различные перспективы 176
Краткий обзор 176
3.1. Преобразование Бэклунда 179
3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения 188
3.3. Прямые методы построения солитонных решений. Метод Хироты 199
3.4. Рациональные решения нелинейных эволюционных уравнений 220
3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 233
3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 248
3.7. Трансценденты Пенлеве 267
3.8. Возмущения и устойчивость солитонов и уединенных волн 286
относительно поперечных возмущений
Упражнения 298
Глава 4. Приложения 314

4.1. КдФ и родственные уравнения
4.2. Трехволновые взаимодействия
4.3. Нелинейное уравнение Шредингера и его обобщения
4.4. Уравнения типа "sin-Гордон"
4.5. Квантовая теория поля
Упражнения
Приложение. Линейные задачи
П.1. Преобразование Фурье
П.2. Неадекватность метода преобразования Фурье
Упражнения
Литература
Указатель
315
341
355
370
384
388
398
398
423
435
444
474
Абеля преобразование 168
Адо теорема 196
Алгебра 194
Анализ особых точек 274, 278
Антикинк 50, 396
Аттенюатор 374
Бенджамина-Оно (Benjamin-Ono) (Б-
О) уравнение 234, 316, 331, 334,
440
Бенни (Веппеу) уравнения для
длинных волн 109
Бете (Bethe) анзатец 383
Блоха (Bloch) функции 158
Боголюбова формула 429
Брента-Вяйсяля (Brunt-Vaisala)
частота 339
Бризер 50, 105, 287, 396
Бромвича (Bromwich) контур 428,
434
Буссинеска (Boussinesq) уравнение
117, 223, 227, 230, 249, 265, 271,
299, 303, 322
- уравнения 305
Бэклунда (Backlund) преобразование
(ПБI76, 179, 188,226,227,
246, 302, 384
- - в билинейной форме 213, 218
- - дискретное 188
- - между КдФ и мКдФ 190
- - определение 180
Указатель
- - уравнения КдФ в себя 184, 185
Бэра закон 374
Бюргерса (Burgers) уравнение 180,
191, 192, 194, 304
Вайскопфа-Вагнера (Weisskopf-
Wigner) модель 439
Вейерштрасса функция
эллиптическая 241
Взаимодействие двух наклонных
солитонов 329, 330, 395
-двухволновое115
Взаимодействие
- лэнгмюровских и ионозвуковых
волн в плазме 116
- коротких капиллярных волн с
длинными гравитационными
волнами 116
- трехволновое 114, 125, 131, 132,
341,355
Власова уравнение 426, 441
Волна длинная 389
- интенсивная ПО
- кноидальная 168
- малой амплитуды 389
- ударная бесстолкновительная 100
фронт 101
- - обратимая 16
Волновод автолокализованный 358
Волновой фронт 422
Волновые пакеты 128, 130

Волнопродуктор 323
Волны внутренние 331, 337, 350, 354
- второго типа 12
-наводе 316, 331,361,370
- длинные 324
- модель КдФ 321
- океанские 329, 330, 394
- уединенные 12, 16, 52
- - устойчивость 286, 298
Вольтерры интегральные уравнения
28, 29, 120, 162
Вояджер 337
Время возвращения 175
Вронскиан 147
Вырождение по моменту 374
Галилея преобразования 322
Гамильтона уравнение 136, 385
Гамильтонова динамическая система
75, 108, 385, 403
- задача N тел с парным
взаимодействием 237, 241
- механика 74
Гаусса-Бонне теорема 396
Гельфанда-Левитана-Марченко
уравнение 34, 39, 118, 248, 267,
286
Гельфанда-Левитана-Марченко
дискретный аналог 149
- - уравнение 220, 303
Генерация второй гармоники 347
Гильберта преобразование 234, 316
- теорема 396
Гильбертово пространство 386
Грина теорема 288
- тождество 287
Гросса-Неве (Gross-Neveu) модель
387
Гурса (Goursat) задача 34
Диссипация 286, 289, 322, 402
Дифференциальная геометрия 371,
374
Дифференциальные формы внешние
188
Длинноволновой предел 134, 333, 334
Дрейфовая скорость 394
Дырка 340
Дэви-Стюартсона (Davey-Stewartson)
решение 134
Забужского-Краскала (Zabusky-
Kruskal) решение КдФ 14, 15
Задача асимптотически устойчивая
402
- диссипативная см. Задача
асимптотически устойчивая
- линеаризованная 60, 109
- некорректная (в смысле Адамара)
402
- неустойчивая 401
- об устойчивости двумерного
невязкого плоского течения
442, 443
- о рассеянии на потенциале 40
- - самоиндуцированной
прозрачности (СИП) 108
- - связи асимптотик 280
- рассеяния для оператора второго
порядка 19, 26
- - обратная 161,166
для оператора Шрёдингера 40, 68
зависимость от времени 42, 56,
166, 172
на бесконечном интервале 26, 42
- - прямая 157, 161
- самосопряженная 37
Задачи дискретные 135, 156, 419
- многомерные 218, 220
-рассеяния 131, 135, 151, 190
- - дифференциально-разностный
случай 151, 152
- - конечно-разностный лучай 152,
155
Задачи дискретные
- - поиск 177, 178
- с полиномиальным дисперсионным
соотношением 190, 194

Закон дисперсии линеаризованной
задачи см. Характеристика
переходная
Законы сохранения 16, 68, 73, 106,
109,115,173,176,188,196,301,
399, 405, 410, 441
- - локальные 70, 109, 126
Законы сохранения полиномиальные
109
Захарова-Манакова метод 89
- Шабата задача рассеяния 19, 26,46,
56, 130, 136
модификация 21
обобщенная 190
- -метод 68, 134
- - оператор 46, 52, 67, 139, 146, 262
Зоны запрещенные 159
-разрешенные 159
Изинга (Ising) двумерная модель 284
Инволюция 81, 109
Интеграл энергии 399, 403, 405, 406,
410,416,418,424,440
Интегралы движения 154
Йоста (Jost) функции 146, 249
- - дискретный аналог 155
Кадомцева-Петвиашвили уравнение
(К-ПI32, 134, 157,218,221,
227,249,262,303,316,330
- устойчивость солитона
относительно поперечных
возмущений 295
Каноническая жорданова форма 300
Карпмана-Маслова метод 286, 290
Кауна-Ньюэла (Kaup-Newell) метод
286, 290
Квантование 174
Квантовая теория поля 384, 388
Кеулегана (Keulegan) теория 335
Кинк 50, 396
Клейна-Гордона (Klein-Gordon)
уравнения 177, 415, 433
Клерена (Clairin) метод 191
Ковалевской метод
Колебательный тип волн см. Волны
второго типа
Конечнозонные потенциалы 160
- - с периодическими граничными
условиями 157
Координаты лабораторные 174, 415
- конусные 174
Кортевега-де Фриза (Korteweg-de
Vries) (КдФ) уравнение 13, 25,
52, 54, 62, 68, 71, 74, 84, 98, 103
105,111,138,161,173,181,188
189, 200, 207, 234, 249, 251, 315
341, 390
диссипативное возмущение 292
линеаризованное 412
модифицированное (мКдФ) 17,
19,32,93,98,181,184,185,207
211, 221, 227, 249, 251, 260, 302
316,390,412
дискретное 143
с затуханием 289, 292
сильно нелинейное 292, 297
Коула-Хопфа (Cole-Hopf)
преобразование 180, 193, 194,
197, 300, 304
Кориолиса (Coriolis) параметр 339
Коши-Римана соотношение 180
Коэффициент отражения 40, 155
Крамера правило 53
Кранка-Никольсона (Crank-Nicolson)
схема 145, 419
Краскала (Kruskal) принцип
максимального упрощения 318
Крума (Cram) теорема 186, 187
Лазер рубиновый 348
- синий 349
Лакса (Lax) представление 265
Ламп 221, 228, 229, 266, 331
Ландау затухание 380, 428
Лапласа преобразование 433,440,
442
- уравнение 332
Лежандра преобразование 182

Ли алгебра 194, 197
- - абелева 195, 301
- - неабелева 195
- - представление 196
- - специальная унитарная 195
Лиувилля теорема 403
Ли-Бэклунда (Lie-Backlund)
преобразования 182
Локальные расслоения джетов 183
Майлза (Miles) решение резонансное
303
Мак-Кола-Хана (McCall-Hahn)
теорема площадей 380
Максвелла-Блоха уравнения 374, 375
Матрица антиэрмитова 195, 239
- монодромии 158, 285
- с нулевым следом 195
Метод ВКБ 89, 121
- возмущений упрощенный 316
Метод
- наибыстрейшего спуска 404, 408
- обратной задачи рассеяния (МОЗР)
11,18,51,61,74,78,112,175,
176, 183, 184, 190, 199, 217, 229,
233, 271, 274, 278, 305, 307, 382,
385
- стационарной фазы 404
- энергетический 399
Методы построения солитонных
решений прямые 199
Методы, использующие линейное
интегральное уравнение,
прямые 248, 267
Миуры (Miura) преобразование 17,
98,106,179,187,246,304
Модель двухслойная 332
- одномерной кинетической теории
424
Моды нормальные 398, 401
Мэнли-Роу (Manley-Rowe)
соотношения 115, 348
Нелинейная оптика 342, 350
Непрерывное излучение 325
Неустойчивость взрывная 114, 128,
130, 133
-распадная 114, 130, 133
Обдирание импульса 381
Общая теория относительности 382,
384
Обыкновенное дифференциальное
уравнение (ОДУ) 267
критическая особая точка 268
неподвижная точка 268
подвижная точка 268
регулярная точка 268
Оператор возмущенный 263
- временной эволюции 112, 125
- невозмущенный 263
- сопряженный 58
Осцилляции параметрические 349
Отображение 179
Пакет осцилляторных волн 326, 327
Парсеваля тождество 38, 402
Пенлеве (Painleve) свойство 177, 268,
270, 272, 273, 304, 382, 393
- - гипотеза 270
- - определение 269
-трансценденты 267, 286
- - глобальные свойства 278, 286
- уравнение 95, 227, 233, 261
- а-метод 274
Переменные быстрые 287
- медленные 287
- сопряженные 75
Переменные
- типа действие-угол 68, 74, 77, 79,
83, 84, 108, 174, 176, 381
Переходный слой см. Волна ударная
бесстолкновительная
Поверхности псевдосферические 373,
396
Поверхность постоянной
отрицательной кривизны 373
- псевдосферическая 373
Поле линейно поляризованное 377
Полка 291, 292, 325

Полная интегрируемость 74
- (гауссова) кривизна 372
Полнота квадратов собственных
функций 66
Поляризация 342
- индуцированная 433
Поперечные колебания натянутой
струны 368
Поршень 328, 329
Преобразование годографа 182
- каноническое 77, 108
- обратной задачи рассеяния (Invers
Transform Method) см. Метод
обратной задачи рассеяния
Преобразований группа 405
Преобразования контактные 182
- точечные 182
Проблема N тел 233, 248
Псевдопотенциал 188, 199, 299
- линейный 196, 300
- неабелев 176, 177, 190, 302
- определение 190
Пуанкаре возвращаемость 403
Пуассона скобки 77, 84, 106, 107, 385
Рассела (Russel) результаты 12
Рассеяния данные 28, 41, 44, 64, 82,
104, 105, 125, 129, 173, 174
- задача обратная 32,161,166
- для оператора Шрёдингера 40
- - прямая 32
-матрица 27, 119, 129
Резонанс тройной 219
Резонансная триада 345, 392, 393
Резонансные квартеты 354, 355
Резонансный диполь 376
Решение волновое 60
- двухламповое 229
- двухполюсное 51
- двухсолитонное 202, 208, 218, 227,
230, 330
- квазипериодическое 157
- квазистационарное 287
Решение многосолитонное 48, 52, 56,
134, 177, 187, 202, 203, 209, 210,
211,213,215,224,255
- односолитонное 208, 210, 211, 212,
214, 227, 232
- периодическое 287, 302
- N-ламповое 229
Решения автомодельные 54, 96, 111,
226, 382, 409
Решетка нелинейная автомодельная
136, 143, 153
Римана-Гильберта задача 38, 39, 248,
303, 384
- задача 118
- Лебега теорема 406
- тэта-функция 171
Риманова поверхность 171
- - деформированная N-зонная 172
Риккати уравнение 68, 71
- - обобщенное 266, 304
Риччи тензор 383
Россби (Rossby) волны 337, 341
- рябь 378
- солитон 340
Самоиндуцированная прозрачность
(СИП) 374, 382
- - линейное приближение 430
- - механическая аналогия 396
- - уравнения 377
Секулярные члены 90, ПО, 314, 320,
342, 390
Система динамическая
изоспектральная 237
- распадающаяся 60
Скалярное произведение 58
Скорость групповая 421
- фазовая 404
Среды восприимчивость 342
Схема конечно-разностная 400
- - неустойчивая 402
Схемы локальные 146
- нелокальные 145
Собственная функция 125

- - нормированная 155
Солитон 11, 15, 48, 56, 105, 109, ПО,
126, 130, 173, 174, 176, 187, 324,
325, 391
- алгебраически несингулярный 233
- взрывающийся 48
- внутренний 335
- возмущения 286, 297
- двумерный см. Ламп
- квантовый 388
- невозмущенный 290
- огибающей 42
- связанное состояние 49
- устойчивость 286, 297
Состояния связанные 49, 173
Спектр вспомогательный 156
- непрерывный 220
- основной 156
Спектральные свойства 160
Спектральный параметр 191
Среда неоднородно уширенная 376
Стокса множители 285
Структуры продолжения 188, 199
- исследование 178, 179
- - определение 189
Теорема о суперпозиции 185
Теория возмущений 116, 212, 286
Теория многофазных волн 172
- однофазных волн 172
-рассеяния 118, 125, 146, 156
- характеристик 34
Тоды (Toda) цепочка 135, 138, 143,
146,155,156,174,211,234
Точка поворота линейная 280
- - нелинейная 280
Уолквиста-Эстабрука (Wahlquist-
Estabrook) метод 191
Уравнение тепловодности 410
- sin-Гордон (sine-Gordon) 19, 32, 49,
52,106,110,157,181,186,198,
209, 219, 249, 271, 272, 299, 302,
370, 384, 385, 387, 396, 415, 418
- - двойное 304
- sh-Гордон 24
Уравнения билинейные 200
- дифференциально-разностные 400
- - нелинейные 139, 146
- квазилинейные третьего порядка
177
- Р-типа 269
- - связь с МОЗР 270, 274
Усилитель 374
Условия интегрируемости 176, 177
- ортогональности 58, 63, 67
Ферми-Паста-Улама (Fermi-Pasta-
Ulam) проблема 13
Фишера уравнение 193, 304
Формула суперпозиции солитонов
217
Формулы следов 71, 73, 126, 174
Фредгольма альтернатива 36
- детерминанты 220
Фреше производная 161
Функции гиперэллиптические 179
- почти-периодические 157
- эллиптические 272
Фурье анализ нелинейный 62, 63
- интеграл 442
- Лапласа преобразование 398,431,
442
Фурье анализ
- метод 44
- преобразование 38,109,111, 398,
423, 439, 440
- - неприменимость 423, 435
Характеристика переходная 144
Хевисайда (Heaviside) функция 79
Хенона (Непоп) интегралы 174
Хироты (Hirota) метод 48, 199, 220
Цепочка экспоненциальная см. Тоды
цепочка
Частоты повышение 350
Шрёдингера (Schrodinger) оператор
25,26,31,45,52,67,136,146,
155,157,324,325,407

- уравнение 18, 19, 23, 32, 45, 47, 48,
54,61,76,109,116,153,154,
157, 162, 209, 210, 249, 254, 276,
279, 302, 355, 370, 384, 405, 435
Шрёдингера уравнение,
диссипативное возмущение 292
- - дифференциально-разностное 140,
142
Эволюционные уравнения 23, 26, 56,
62,67,105,112,118,136,146,
248,398,183196
- - дискретные 211,213
- - нелинейные 233, 248, 314
- рациональные решения 220, 233
Эволюционный оператор общий 56,
67
Эволюция длинной отрицательной
волны 326
- оптических импульсов 381
Эйлера-Лагранжа гипотеза 389
Эйнштейна уравнения 382, 383
Эйри (Airy) теория 13
- функция 95, 261, 292, 413, 414
Эрнста (Ernst) уравнения 384
Юнга модуль 389
Юпитера фотография 338
- большое красное пятно 338, 341
Якоби функция эллиптическая 168,
391
cond (ц, v) 204
Е-струна 392
Отт-импульс, 380, 381
2тт-импульс, 379, 381, 397

Предисловие редактора
перевода
Выход в свет в русском переводе настоящей монографии — со-
бытие как для физиков-теоретиков, изучающих волны в нелиней-
ных средах, так и для математиков, интересующихся аналити-
ческими методами в теории уравнений с частными производными.
Оба эти научные направления — параллельно и при взаимном
влиянии — пережили за последние два десятилетия значитель-
ный подъем.
Этот подъем был стимулирован нуждами физической науки,
в разных областях которой — физике плазмы, нелинейной оп-
тике, физике ферромагнетиков — в начале шестидесятых годов
стали систематически возникать проблемы взаимодействия волн
большой амплитуды. Вскоре выяснилось, что, несмотря на раз-
личие физических ситуаций, эти задачи имеют с формальной
точки зрения много общего как между собой, так и с классиче-
ской задачей о нелинейных волнах на поверхности тяжелой жид-
кости. Опыт показал, что многие физические задачи о нелиней-
ных волнах описываются сравнительно небольшим числом уни-
версальных математических моделей. Две из них — уравнение
Кортевега — де Фриза (КдФ) и так называемое уравнение «sin-
Гордон» — были известны еще в прошлом веке. Уже тогда было
установлено, что эти уравнения имеют замечательные локализо-
ванные точные решения — солитоны, упоминающиеся в заглавии
настоящей книги. Для уравнения sin-Гордон, изучавшегося ра-
нее в связи с его применениями в теории поверхностей постоян-
ной отрицательной кривизны, был открыт способ «размножения»
точных решений — преобразование Бэклунда. Один лишь шаг
отделял математиков девятнадцатого века от важного матема-
тического открытия, которое было сделано только в 1967 г., ког-
да Гарднер, Грин, Краскал и Миура обнаружили связь уравне-
ний КдФ с линейным уравнением Шрёдингера на прямой и от-
крыли метод точного решения некоторых нелинейных уравнений
с частными производными, получивший в советской литературе
название «метод обратной задачи рассеяния».
Воистину золотым веком для метода обратной задачи были
семидесятые годы. В это время сложился своеобразный между-

6 Предисловие редактора перевода
народный клуб исследователей, занимавшихся усовершенствова-
нием метода обратной задачи и применением его ко все новым и
новым нелинейным уравнениям, имеющим применение в физике
и прежде всего — в физике нелинейных волн. Приятно отметить,
что одну из ведущих ролей в этом клубе сыграли отечествен-
ные исследователи. Сейчас известно несколько десятков таких
уравнений (их несколько условно называют интегрируемыми),
а литература по методам обратной задачи выросла настолько,
что стала труднообозримой даже для узких специалистов. По-
явились и первые монографии. В 1980 г. в издательстве «Наука»
вышла книга В. Е. Захарова, С. В. Манакова, С. П. Новикова и
Л. П. Питаевского «Теория солитонов», ставшая уже библиогра-
фической редкостью. В 1983 г. в издательстве «Мир» вышел пе-
ревод книги Дж. Лэма (мл.) «Элементы теории солитонов», а
в 1985 г. в том же издательстве — перевод книги Ф. Калоджеро
и А. Дегаспериса «Спектральные преобразования и солитоны».
Было опубликовано также несколько сборников переводных ста-
тей.
Это, однако, никак не уменьшает важности выхода в свет
русского перевода книги М. Абловица и X. Сигура, впервые
опубликованной в серии «Исследования по прикладной матема-
тике» в 1981 г. в США. Дело в том, что ее авторы были и яв-
ляются весьма продуктивными участниками развития метода
обратной задачи и его приложений. В истории метода важной-
вехой было появление в 1974 г. статьи четырех молодых пре-
подавателей высшего технического учебного заведения в штате
Нью-Йорк, известного под названием «Кларксон-колледж». Кро-
ме Абловица и Сигура среди этих четверых были еще Д. Кауп
и А. Ньюэлл. В их статье был сформулирован один из вариантов
метода обратной задачи, получивший название по первым бук-
вам фамилий авторов «метода АКНС». С тех пор все четверо яв-
ляются, пожалуй, самыми активными, хотя и неизменно дру-
жественными, конкурентами советских исследователей в этой об-
ласти. Начиная с 1973 г. Кларксон-колледж много раз был ис-
точником весьма волнующих и важных новостей. И поэтому кни-
га, написааная двумя ведущими представителями сложившейся
там научной школы, не может не привлечь внимания всех инте-
ресующихся теорией солитонов.
Эта книга, предлагаемая сейчас русскому читателю, не совсем
обычна. Лишь первая глава ее, содержащая изложение базис-
ных результатов метода обратной задачи, и весьма ценное при-
ложение, посвященное применению метода Фурье к линейным
уравнениям в сплошной среде-, написаны по академическим стан-
дартам, принятым в научной литературе. Большая же часть мо-
нографии написана в гораздо более непринужденной манере и
во многом представляет собой размышления авторов о возмож-

Предисловие редактора перевода 7
ностях и перспективах точных аналитических методов в теории
нелинейных волн. Многое вынесено в упражнения, выполнить ко-
торые далеко не просто. (Авторы сами говорят, что эти упраж-
нения представляют собой скорее список нерешенных задач.)
Благодаря выбранному стилю изложения авторам удается
коснуться широкого круга вопросов, почти не затронутых в упо-
мянутых выше кншах. К их числу относятся описание предло-
женного Хиротой прямого метода вычисления солитонных реше-
ний нелинейных уравнений и развитого в работах Уолквиста и
Эстабрука «метода псевдопотенциалов», еще ждущего своего
настоящего понимания. Авторы излагают теорию уравнения
Бенджамина — Оно, имеющего приложение к теории внутренних
волн в океане, и касаются многомерных обобщений метода об-
ратной задачи. В книге подробно описаны конечно-разностные
аналоги интегрируемых дифференциальных уравнений, не на-
шедшие пока подробного изложения в советских обзорных
статьях. Авторы останавливаются на весьма интересном воп-
росе о том, по какому критерию можно отличить интегрируемое
при помощи метода обратной задачи уравнение от неинтегрируе-
мого. Они предлагают для этого эмпирически нащупанный кри-
терий, состоящий в том, что в тех частных случаях, когда урав-
нение с частными производными сводится к обыкновенному, по-
следнее должно обладать «свойством Пенлеве», т. е. иметь
неподвижные критические точки. Нужно отметить, однако, что
этот критерий еще нуждается в обосновании.
Кроме чисто математического книга содержит довольно об-
ширный физический материал, относящийся к гидродинамике и
нелинейной оптике, вплоть до описания экспериментов по распро-
странению и взаимодействию солитонов на поверхности жидко-
сти. Авторы обсуждают свойства солитонов планетарного мас-
штаба (солитонов Россби) и даже приводят фотографию крас-
ного пятна Юпитера, которое они рассматривают в качестве
кандидата в такие солитоны. В последнее время появились весь-
ма веские соображения в пользу этого утверждения. В книге по-
дробно рассматривается фундаментальное для нелинейной оп-
тики явление самоиндуцированной прозрачности, в теоретиче-
ское изучение которого авторы внесли немалый вклад. Разрабо-
танные здесь авторами методы, усовершенствованные в СССР, в
недавнее время позволили построить теорию другого важного
явления нелинейной оптики — суперфлуоресценции.
В целом книга представляет собой как бы мгновенную фото-
графию бурноразвивающейся области науки, находящейся на
стыке математики и физики, причем фотографию, сделанную ак-
тивными участниками этого развития. Это делает книгу очень
живой и определяет ее ценность, которая сохранится еще дол-
гое время, несмотря на то, что на некоторые положения, сфор-

8 Предисловие редактора перевода
мулированные в книге, мы уже сейчас смотрим по-другому.
И здесь большая заслуга принадлежит также М. Абловицу и его
коллегам. Оба автора бывали в Советском Союзе, участвовали
в организованных у нас советско-американских и международ-
ных конференциях, с ними поддерживаются тесные научные и
дружеские контакты, которые несомненно способствовали работе
над переводом. Мы благодарны им за то содействие, которое они
оказали при организации перевода книги.
С известными оговорками книгу можно рекомендовать для
первоначального знакомства с предметом, хотя основной инте-
рес она представляет для специалистов. Этому в немалой сте-
пени способствует содержащаяся в книге обширная библиогра-
фия, в которой с неплохой степенью полноты представлены и
отечественные работы. В русском издании библиография суще-
ственно дополнена,
В. Е. Захаров

Посвящается Кэрол и Инид
Пролог
Основная тема этой книги может быть сформулирована доволь-
но просто: некоторые нелинейные задачи имеют удивительно
простую скрытую структуру, и их решения можно получить при
помощи методов линейной теории. Как правило, такие задачи
формулируются в виде эволюционных уравнений, описывающих
эволюцию некоторой величины (или набора величин) во времени
при заданных начальных данных. Уравнения могут принимать
различный вид: дифференциальные уравнения в частных про-
изводных, дифференциально-разностные уравнения (дискретное
пространство, непрерывное время), уравнения в конечных разно-
стях (время и пространство дискретны), интегро-дифференци-
альные уравнения и системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (конечного порядка). На самом деле удивительно,
что можно найти общее решение этих уравнений, являющееся
результатом эволюции произвольных начальных данных (при-
надлежащих подходящему классу), не делая никаких приближе-
ний, хотя задачи являются нелинейными. И вероятно, столь же
удивительно то, что некоторые из этих точно решаемых задач
естественно возникают в качестве моделей определенных физи-
ческих явлений. Эти приложения способствовали возрастанию
интереса к предмету.
В настоящее время есть несколько общепринятых точек зре-
ния на эти точно решаемые задачи. Согласно одной из них, глав-
ной целью анализа является решение соответствующей задачи с
начальными условиями. Это решение строится при помощи ме-
тода обратной задачи рассеяния (МОЗР), который подробно
описан в гл. 1 и 2. Его можно рассматривать как обобщение ме-
тода преобразования Фурье, который обычно применяется для
решения линейных задач.
Рассматриваемые задачи обладают чрезвычайно богатой
внутренней структурой, и это позволяет рассматривать их с раз-
личных точек зрения, не обязательно связанных с МОЗР. Неко-
торые из них обсуждаются в гл. 3. Многие такие подходы более
удобны, если нас интересуют частные решения, например соли-
тоны, а не общее решение задачи с начальными условиями. Ряд
физических приложений подробно обсуждается в гл. 4.

Ю Пролог
Ценность метода обратной задачи рассеяния состоит в том,
что он позволяет исследовать нелинейную задачу по существу
методами линейной теории. Но это преимущество, конечно, мо-
гут вполне оценить только те, кто уже знаком-с линейной тео-
рией и ее результатами. Поскольку линейная теория играет фун-
даментальную роль, мы добавили приложение, посвященное ли-
нейным задачам и их решениям. Они очень полезны для срав-
нения с решениями соответствующих нелинейных задач, кото-
рые являются предметом этой книги.
Прежде чем приступать к изложению, хотелось бы высказать
здесь наши пожелания о порядке чтения материала. Приложе-
ние содержит предварительные сведения, иногда вовсе нетри-
виальные. Именно с него следует начать чтение тем, кто не зна-
ком с методом преобразования Фурье. Мы добавили некоторое
количество'весьма простых упражнений в конце приложения.
Глава 1 является фундаментальной. Остальные главы осно-
ваны на материале этой главы, и мы на нее постоянно ссылаем-
ся. Главу 1 мы рекомендуем прочесть целиком.
После освоения гл. 1 имеется много вариантов. Главы 2, 3 и
4 зависят от главы 1, но практически независимы друг от друга.
Их можно читать в любом порядке. Разделы внутри каждой
главы также можно считать независимыми. Это позволяет чита-
телю сравнительно быстро разобраться с заинтересовавшей его-
частной проблемой.
Наконец, несколько слов об упражнениях. Они имеют широ-
кий диапазон по трудности: от восстановления пропущенных ша-
гов в доказательстве до исследовательских задач, которые, на-
сколько нам известно, до сих пор не решены. Формулировки за-
дач обычно подсказывают читателю, какие из этих проблем пока
остаются открытыми.

Глава I. Обратная задача
рассеяния
на бесконечном
интервале
1.1. Введение. В 1965 г. Забужский и Краскал [523] обнару-
жили, что решение уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ), пред-
ставляющее собой уединенную волну, обладает свойством, кото-
рое не было известно прежде: а именно, такое решение «упруго»
взаимодействует с другим таким же решением. Они назвали эти
решения солитонами. Вскоре после этого открытия Гарднер и др.
A967) [172, 173] стали первооткрывателями нового метода ма-
тематической физики. Точнее говоря, они изобрели метод реше-
ния уравнения КдФ, использующий идеи прямой и обратной за-
дачи рассеяния. Лаке A968) [318] существенно обобщил их
идеи, а Захаров и Шабат A971) [544] показали, что этот ме-
тод приложим и к другому уравнению, важному для физических
приложений, — нелинейному уравнению Шрёдингера. Используя
эти идеи, Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур A973—1974) [11, 12]
разработали метод, позволяющий найти существенно более ши-
рокий класс нелинейных эволюционных уравнений, которые
можно решать, воспользовавшись прямой и обратной задачей
рассеяния. Они назвали эту процедуру «преобразованием обрат-
ной задачи рассеяния»1). (Ниже будет употребляться- выраже-
ние «метод обратной задачи рассеяния» (МОЗР).)
Настоящая монография посвящена солитонам и МОЗР.
Многочисленные достижения в этой области привлекли к себе
внимание многих математиков, физиков и инженеров. Мы на-
деемся, что, собрав наиболее важные идеи этой теории и изло-
жив их в одной книге, мы принесем пользу и начинающим, и
«профессионалам». Основные трудности при этом связаны с
чрезвычайно интенсивным развитием теории, продолжающимся
и по сей день.
Имеется несколько обзоров (см., например, [452, 381, 382, 3,
344] и сборников статей (см., например, [396, 380, 332]), отно-
11 В оригинале «The Inverse Transform Method». Авторы используют
этот термин на протяжении всей монографии. Выражение «метод обрат-
ной задачи рассеяния» было предложено в работе Захарова и Шабата
[546] A974) и является общепризнанным в советской и значительной части
зарубежной литературы. — Прим. ред.

12 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
сящихся к предмету. Во время написания настоящей книги не
было ни одной монографии по теории солитонов 'и МОЗР, хотя
мы не сомневаемся, что ситуация скоро изменится1).
Изучение уединенных волн началось с-наблюдений Дж. Скот-
та Рассела [437, 438], сделанных более века назад. Рассел, впер-
вые наблюдал уединенную волну во время верховой прогулки
вдоль узкого судоходного канала. Когда баржа, за которой он
следил, остановилась, Рассел отметил, что
«вперед побежало большое одиночное возвышение — округлый, гладкий и
ясно выраженный водяной холм, который продолжал свой путь вдоль ¦ ка-
нала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости... Его высота
постепенно уменьшалась, и через одну или две мили погони я потерял его
из виду в изгибах канала. Так в августе 1834 г. мне впервые посчастливи-
лось наблюдать это необычное и красивое явление»... [437]
Это наблюдение вдохновило Рассела начать систематическое
экспериментальное исследование поверхностных волн на воде.
Он разделил все поверхностные волны на два типа: «большие
простые волны трансляции» (которые в дальнейшем стали назы-
вать уединенными волнами) и все остальные волны, которые
«принадлежат ко второму, или колебательному, типу волн». По-
следние не являются волнами «первого типа» [437] Очевидно,
что он рассматривал уединенные волны как имеющие первосте-
пенную важность и сконцентрировал на них свое внимание. Сре-
ди множества его результатов мы хотели бы отметить следую-
щие:
1. На мелкой воде могут распространяться длинные уединен-
ные волны неизменной формы. Это, несомненно, наиболее важ-
ный его результат.
2. Скорость распространения уединенной волны по каналу
постоянной глубины дается формулой
v = л/g (h + г]),
где ц «является высотой гребня волны над поверхностью спокой-
ной жидкости, h — глубина спокойной жидкости и g — ускоре-
ние свободного падения» [438]. Если учесть, с какой точностью
мог Рассел проводить свои измерения, этот результат является
замечательным.
Рассел обнаружил, что до сих пор не существует математи-
ческой теории, объясняющей уединенную волну, но отметил, что
«Не следует думать, что после открытия ее существования не будут
предприняты попытки привести этот факт в соответствие с существующей
теорией, иначе говоря, показать, что ее следовало ожидать исходя из из-
вестных уравнений движения жидкости. Другими словами, теперь следует
') Во время корректуры этой монографии вышли из печати книги За-
харова, Манакова, Новикова, Питаевского [539] и Лэма [313].

1.1. Введение 13
математически предсказать уже совершившееся открытие, т. е. дать априор-
ную демонстрацию апостериори». (Рассел A844) [438]).
По-видимому, Рассел с особой подозрительностью относился
к Эйри, который в своей книге «Приливы и волны» [37] опубли-
ковал теорию длинных волн малой, но конечной амплитуды. Эта
теория, кратко изложенная в монографии Лэмба [314, §§ 175,
187], утверждает: «Когда возвышение ц не мало по сравнению
со средней глубиной h, волны даже в канале постоянной глу-
бины и прямоугольного сечения не могут распространяться вдоль
без изменения своего вида». Таким образом, заключал Эйри,
уединенные волны неизменной формы не существуют! Он также
нашел приближенную формулу для скорости волн
которая согласуется с формулой Рассела в первом порядке по
ц/h. Отсюда Эйри делал следующий вывод: «Из этих [т. е. про-
деланных Расселом] экспериментов мы вправе заключить, что
теория [предложенная Эйри] полностью подтверждена». Рассел
охарактеризовал заключение Эйри как «полностью противопо-
ложное тому, которое следовало бы сделать на данном основа-
нии».
Эта полемика продолжалась на протяжении следующих пя-
тидесяти лет, пока она не была окончательно разрешена Корте-
вегом и де Фризом [28]. Они вывели уравнение (ныне извест-
ное как уравнение Кортевега — де Фриза, или уравнение КдФ),
которое описывает поведение волн умеренной амплитуды на по-
верхности неглубокой жидкости. Это уравнение имеет решение
в виде стационарно распространяющихся волн, в том числе со-
литонов.
Буссинеск [75, 76] также получил нелинейное эволюционное
уравнение, описывающее подобные волны, и нашел для него со-
литонное решение. Такое решение получил также Рэлей A876)
[426]. После этих ранних работ уравнение Кортевега —де Фриза
не находило, как отмечал Миура [381], новых приложений
вплоть до 1960 г., когда Гарднер и Морикава [174], изучая маг-
нитогидродинамические волны в бесстолкновительной плазме,
снова не вывели это уравнение ').
Новые исследования по уравнению КдФ были стимулиро-
ваны физической проблемой, известной как проблема Ферми,
Паста, Улама A955) [153]. В 1914 г. Дебай [134] предположил,
что конечность теплопроводности решетки из ангармонических
осцилляторов объясняется нелинейностью системы. Это побу-
'> Солитоны в бесстолкновительной плазме были ранее открыты и си-
стематически изучены Р 3. Сагдеевым в 1956, 1958 гг. — Прим. ред.

14 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
дило Ферми, Паста и Улама предпринять численное изучение од-
номерной ангармонической цепочки' осцилляторов. Они предпо-
лагали, что из-за нелинейности релаксация любого гладкого
начального возмущения быстро приведет к раЁнораспределению
энергии по степеням свободы системы.
Эти авторы рассматривали цепочки частиц одинаковой мас-
сы, каждая из которых соединена с ближайшими соседями не-
линейными пружинами, сила натяжения которых зависит от рас-
тяжения по закону ^(А) = —/С(А-)-аА2). Уравнения движения
имеют вид
\ Уи и = («/< +1 + Уi-\ — 2у{) + а [(у1+1 — ytf — (z/(—#;_iJ],
i=l, 2, ..., N—I, yo = yN = O,.
a типичное начальное условие yi @) = sin in/N, yf\ = 0 (обычно
выбиралось yV = 64). Здесь y-t означает отклонение t-й частицы
от равновесия.
Процитируем Ферми, Паста и Улама [153].
«В результате наших вычислений обнаружились явления, которые с самого
начала удивили нас. Вместо последовательного непрерывного потока энер-
гии от первой моды к высшим .. происходил энергообмен лишь между не-
сколькими низшими модами... Почти не наблюдалось тенденции к равнорас-
пределению энергии по степеням свободы за даннре время. Иначе говоря,
в системе определенно не было перемешивания».
Для того чтобы понять это явление, Краскал и Забужский
A963) [300] рассмотрели непрерывную модель. Полагая рас-
стояние между пружинами h, f = Ш (со = л/К/т, x' — x/h, при-
чем х = ih, и разлагая yi±x в ряд Тейлора, приводим уравнение
A.1.1) к виду (штрихи у t и х опускаем)
A.1.2) уи = ухх + еухухх + ¦? ухххх + О (е/г2, h%
где е = 2ah. Дальнейшая редукция возможна, если мы ищем
асимптотические решения (простые волны) вида
, Т), X = x — U Т = Ц-,
тогда A.1.2) дает
A.1.3) Фхг + ФАх + &цхххх + О (/г2, -f)=0,
где б2 = /г2/12е. Положив и = q>x, получим, что уравнение A.1.3)
сводится к уравнению, открытому в 1895 г. Кортевегом и де
Фризом [291]:
A.1.4) ит + иих + Ь2иххх = 0.
Краскал и Забужский решали на ЭВМ уравнение A.1.4) с си-
нусоидальными начальными условиями. При малом б2 крутизна

1.1. Введение 15
«горба» начального условия возрастала, пока не становился
важным член с третьей производной. На этой стадии решение
развивается в специфическую осцилляторную структуру. Возни-
кают осцилляции, взаимодействующие между собой вполне оп-
ределенным и довольно неожиданным способом, который мы об-
судим ниже. Именно попытки понять природу этих осцилляции
привели к современному пониманию свойств решений уравнения
КдФ. (Интересно отметить, что к исследованию уравнения
A.1.4) при малых б2 вновь обратились в 1979 г. Лаке и Левер-
мор [321].)
Далее мы будем работать с уравнением КдФ, записанным в
следующей форме:
A.1.5) K(u) = ut + 6uux + uxxx=0.
Уравнение A.1.5) эквивалентно A.1.4) (отметим, что перед каж-
дым из трех членов уравнения можно подходящим изменением
масштаба независимых и зависимых переменных поставить про-
извольные постоянные коэффициенты).
Краскалу и Забужскому был известен давно обнаруженный
факт, что КдФ обладает частным решением в виде уединенной
волны неизменной формы
A.1.6) u
где k и Хо являются константами. Отметим, что скорость соли-
тона 4k2 пропорциональна его амплитуде 2k2. Что было неиз-
Еестно предыдущим исследователям, так это удивительный факт
упругости взаимодействия солитонов. Пытаясь понять природу
обсуждавшихся колебаний, Забужский и Краскал обнаружили
следующее. Пусть при t = 0 заданы две волны вида A.1.6), на-
ходящиеся на достаточно большом расстоянии друг от друга, при-
чем меньшая из них находится справа. Через некоторое время
волны встречаются и начинают взаимодействовать (большая по-
глощает меньшую). Затем большая волна вновь отделяется от
меньшей и постепенно (асимптотически) восстанавливает свою
первоначальную форму, а следовательно, и скорость. Весь эф-
фект взаимодействия сведется только к сдвигу фаз, в резуль-
тате которого центры волн будут несколько сдвинуты по сравне-
нию с тем, какими они были бы при свободном движении (см.
рис. 1.1).
Поскольку имеется аналогия с частицами, Забужский и Кра-
скал назвали такие волны солитонами. Следуя им, мы будем на-
зывать солитонами любые локализованные нелинейные волны,
которые взаимодействуют с произвольными локальными возму-
щениями и всегда восстанавливают асимптотически свою точную
первоначальную форму (с возможным сдвигом фазы). Для ло-
кализованных волн, взаимодействующих неупругим образом, мы

16
'1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Рис, 1.1. Типичная картина взаимодействия двух солитонов в последователь-
ные моменты времени.
сохраним термин «уединенная волна». Следует отметить, что в
литературе существует много разных определений того, что яв-
ляется и что не является солитоном. Нашим целям адекватно
данное выше определение.
Попытки понять причину возникновения осцилляции при чис-
ленном решении уравнения A.1.4) привели к обсуждению воп-
роса об «обратимых» ударных волнах. На фронте ударной вол-
ны происходит скачок характеристик среды; вопрос о скачках
тесно связан с вопросом о законах сохранения. (Закон сохране-
ния— это уравнение вида дТ/dt -\- OF/дх = 0, где Т называют
плотностью, a F — потоком по аналогии с потоком жидкости.)
Первоначально у уравнения A.1.4) было обнаружено четыреза-
кона сохранения. Миура [381] открыл еще несколько законов
сохранения, и были высказаны предположения, что их имеется
бесконечно много.
Изучая эти законы сохранения и законы сохранения, связан-
ные с еще одним совершенно новым эволюционным уравнением
(его обычно называют модифицированным уравнением Корте-

1.1. Введение 1?
вега — де Фриза, или мКдФ),
A.1.7) М (v) = vt — 6v2vx + vxxx = О,
Миура A968) [379] обнаружил следующее преобразование.
Если v — решение A.1.7), то
.A.1.8) u = -{v2 + vx)
является решением A.1.5). Точнее,
A.1.9) /С(и) =
Преобразование однозначно лишь в одну сторону, поскольку в
правой части A.1.9) имеется оператор дифференцирования.
Именно преобразование A.1.9) привело к другим важным ре-
зультатам для уравнения КдФ. Первоначально это преобразова-
ние было основой для доказательства наличия бесконечной се-
рии законов сохранения для КдФ (Миура, Гарднер и Краскал
A968) [383]). Основная идея была следующая. Поскольку ура-
внение КдФ является инвариантным относительно преобразова-
ний Галилея, в частности вида
!
A.1.10а)
и(х, /) = «'(*', О -тг,
то, полагая
A.1.10b) о(х,/) = -еш(х',/') + |,
преобразуем уравнение мКдФ к виду
A.1.1 Ос) wt> + з§г (Здо2 + 3eW + wx'x') = 0.
оо
Ясно, что \ w dx' является сохраняющейся величиной для
— оо
A.1.10с). Преобразование Миуры A.1.8), A.1.10а, Ь) дает
A.1.10d) и' = 2W + ewx> - bV.
Считая е -С 1, мы можем рекуррентным образом разрешить
A.1.10d) относительно до, т. е.
A.1.Юе) до = дао + едо1+е2до2+ • • • =\ — \ и
х,
Таким образом, A.1.Юе) позволяет найти бесконечный набор
законов сохранения. Ниже в разд. 1.6 мы дадим другое

18 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
доказательство того факта, что КдФ, мКдФ и др. обладают бес-
конечным набором сохраняющихся' величин- (или плотностей).
Более того, будет показано, что законы сохранения счетными
номерами являются нетривиальными (т. е. Т не является полной
производной по х).
Однако самым важным результатом усилий по изучению
уравнения КдФ было открытие нового метода математической
физики — метода обратной задачи рассеяния (МОЗР). Он также
появился благодаря преобразованию A.1.8). Заметим, что
A.1.8) можно рассматривать как уравнение Рикатти относи-
тельно v; хорошо известное преобразование v = Wx/W линеа-
ризует A.1.8), давая
Wxx + uW = 0.
xx
Так как уравнение КдФ является галилеевски инвариантным, то
для большей общности Миура, Гарднер и Краскал A968) [383]
рассмотрели уравнение
A.1.11) 4xx+(X
Оказалось, что это уравнение дает неявную линеаризацию
уравнения КдФ. Уравнение A.1.11) само весьма немаловажно,
поскольку является по существу стационарным уравнением
Шрёдингера.
Гарднер, Грин, Краскал и Миура A967) [172], A974) [173]
первыми открыли метод решения КдФ, использующий A.1.11).
Хотя мы отклонимся от их первоначальной процедуры, в идей-
ном плане изложение будет, конечно, сходным. Мы постулируем,
что с уравнением A.1.11) ассоциировано некоторое эволюцион-
ное уравнение
A.1.12) % = AW + B*PX,
где А, В— скалярные функции, не зависящие от *F (отметим,
что это наиболее общий вид линейного уравнения первого по-
рядка по времени). Если и подчиняется уравнению КдФ A.1.5)
и если мы выбираем
A.1.13) А = их, В = 4А, — 2«,
то легко показать, что собственные значения в A.1.11) не зави-
сят от времени, т. е. h = 0. Читатель может проверить, налагая
условие совместности ^Vtxx = Wxxt, что
A.1.14)
Теперь если К(и) = 0, то h = 0. В разд. 1.2 мы дадим дедук-
тивную процедуру нахождения А, В. Мы покажем, что суще-
ствует бесконечно много уравнений, связанных таким же обра-
зом с A.1.11), но с другими А, В.

1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка 19
В последующих разделах мы обсудим, как результаты
A.1.11) — A.1.14) можно использовать при восстановлении по-
тенциала и(х, t) по заданному и(х, t = 0). Применяемый для
этого метод довольно сложен и подходит для многих физически
интересных эволюционных уравнений. Полученные результаты
приложимы к разным физическим задачам, как будет показано
в гл. 4. Применяемые математические методы также весьма раз-
нообразны; они относятся и к классическому анализу, и к диф-
ференциальной геометрии, и к алгебре, и алгебраической геомет-
рии (см. также гл. 3).
1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка и свя-
занные с ней интегрируемые уравнения в частных производных.
Метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), как отмечалось в
разд. 1.1, был развит Гарднером, Грином, Краскалом и Миурой
[172, 173] применительно к уравнению Кортевега— де Фриза
(КдФ) и его аналогам более высокого порядка. В то время и
даже несколько позднее не было ясно, применим ли этот метод
к другим важным в физических приложениях нелинейным эво-
люционным уравнениям. Захаров и Шабат A971) [544] пока-
зали, что применимость МОЗР к уравнению КдФ не была
случайной удачей. Используя прием, впервые предложенный
Лаксом A968) [318], они показали, что нелинейное уравнение
Шрёдингера
A.2.1) iqt = qxx-\-v.q2q*, v. > 0,
связано с задачей рассеяния для некоторого линейного опера-
тора. Используя идею прямой и обратной задачи рассеяния, они
смогли решить уравнение A.2.1) для заданных начальных дан-
ных q(x, 0), достаточно быстро убывающих при \х\ ->-оо. Вско-
ре Вадати A972) [492], используя эти идеи, предложил метод
решения модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза
(мКдФ)
A.2.2) qt + Gq2qx + <lxxx = 0,
а Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур A973) [10] проделали то же
самое для уравнения sin-Гордон
A.2.3) uxt = sinu.
Уже эти результаты показали мощность и многосторонность
МОЗР для решения некоторых нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных, интересных с точки зрения
физических приложений.
Затем Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур [11, 12] предложили
схему, которая по подходящей заданной задаче рассеяния позво-
ляла найти нелинейные эволюционные уравнения, решаемые
МОЗР. Например, можно показать, что уравнения КдФ, мКдФ,

20 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
sin-Гордон и нелинейное уравнение Шрёдингера связаны с одной
общей задачей рассеяния.
Мы начнем с краткого рассмотрения идей, лежащих в основе
работы Лакса [318]. Рассмотрим два оператора L, М, причем
для оператора L поставлена спектральная задача, а оператор М
определяет эволюцию собственной функции по времени:
A.2.4а) Lv = Xv,
A.2.4b) vt=Mv.-
С уравнением КдФ связана задача рассеяния для уравнения
Шрёдингера A.1.11). Таким образом, в этом случае L = dx-\-
+ и (х, I).
Вычисляя производную по времени от A.2.4а) и предпола-
гая Kt = 0, мы получим LtV -\- Lvt — %Vt- Подстановка A.2.4b)
дает условие, которое необходимо для совместности A.2.4а,Ь):
A.2.4с) Lt + [L, M] = 0,
где [L, М] = LM — ML (коммутатор L и М). Уравнение A.2.4с)
содержит нелинейное эволюционное уравнение, если L и М пра-
вильно выбраны. Лаке [318] указал, как по заданному L по-
строить такой оператор М, чтобы уравнение A.2,4с) было не-
тривиальным.
С этим методом связаны следующие трудности: во-первых,
нужно «угадать» подходящий оператор L и затем найти такой
оператор М, чтобы удовлетворить A.2.4). Во-вторых, частоочень
неудобно работать с дифференциальными операторами (напри-
мер, в случае уравнения sin-Гордон A.2.3)). Другую схему, ко-
торую предложили Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур [12], мож-
но сформулировать следующим образом. Рассмотрим два линей-
ных уравнения:
A.2.5а) vx = Xv,
A.2.5b) vt = Tv,
где v есть «-мерный вектор, а X, Т являются «X «-матрицами.
Применим к A.2.5) перекрестное дифференцирование (т. е. d/dt
к A.2.5а) и д/дх к A.2.5Ь)) и приравняем правые части. Это
дает
A.2.6) Xt-Tx + [X,T] = 0,
что эквивалентно A.2.4с). Оказывается, что для заданного X
имеется простая дедуктивная процедура для нахождения Т, при-
чем такая, что A.2.6) превращается в нелинейное эволюционное
уравнение. Для того чтобы уравнение A.2.6) было нетривиаль-
ным, оператор X должен зависеть от некого параметра ?, играю-
щего роль собственного значения, причем t,t = 0. Более того,

1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка 21
полное решение ассоциированного нелинейного эволюционного
уравнения на бесконечном интервале можно найти лишь в том
случае, когда соответствующая задача рассеяния может быть
эффективно решена аналитически. (Хотя в настоящее время из-
вестно немало нелинейных эволюционных уравнений, удовлетво-
ряющих A.2.6), но теория прямой и обратной задачи рассеяния
для многих операторов A.2.5а) пока что недостаточно развита.)
В качестве примера рассмотрим задачу на собственные зна-
чения, представляющую собой модификацию задачи рассеяния
Захарова — Шабата [544]:
A.2.7а) ».* = ^
а наиболее общая временная зависимость, содержащая первые
производные по t, имеет вид
vH — Avi + Bv2,
A.2.7b) 'Tn
где А, В, С, D — скалярные функции, не зависящие от v. Соот-
ношения A.2.7а, Ь) играют ту же роль, что и A.2.5а, Ь), при
этом X и Т даются правыми частями A.2.7а, Ь) соответственно.
Отметим, что если бы в правой части A.2.7) были производные
по х, то их можно было бы исключить, воспользовавшись
A.2.7а). Кроме того, когда г — —1, A.2.7а) можно привести к
шрёдингеровой задаче рассеяния
+ (?2 + q) v2 = О
(в этом случае ?2 играет роль параметра к в A.2.4а)).
Интересно отметить, что в случае г = —1 или г = ±'q* (или
г = ±<7, если q вещественно) из указанного формализма выте-
кают нелинейные эволюционные уравнения, важные для физиче-
ских приложений. Кроме того, для г — —1, т. е. когда мы имеем
уравнение Шрёдингера, вопрос об обратной задаче рассеяния
был рассмотрен многими авторами. Обзор работ, касающихся
задачи рассеяния на бесконечной прямой, можно найти в рабо-
тах Фаддеева [152] или недавней работе Дейфта и Трубовица
[136]. Систему A.2.7а) иногда называют системой дифферен-
циальных уравнений Дирака (отметим, что обратная задача рас-
сеяния для некоторого специального случая системы A.2.7а)
была рассмотрена Гасымовым и Левитаном A966) [179]).
Далее в этом разделе мы опишем простой алгоритм, позво-
ляющий находить нелинейные эволюционные уравнения вида
A.2.6) для описанных систем. В последующих разделах мы рас-
смотрим вывод уравнений прямой и обратной задачи рассеяния,
а также системы более высокого порядка.

22 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Совместность A.2.7а) и A.2.7Ь) означает, что должны вы-
полняться некоторые условия на А, . . ., D. Требуя (viX)t_ =
= (Vit)x (т. е. равенства смешанных производных A.2.7а) и
A.2.7Ь)) и предполагая независимость собственных значений от
времени (d'Q/dt = 0), мы без труда обнаружим, что функции
А, ... , D удовлетворяют следующим уравнениям:
Ах = qC — г В,
(— D)x = qC — rB.
Без потери общности в дальнейшем мы будем считать А = —D.
Таким образом,
A.2.8а) Ax = qC — rB,
A.2.8b) Bx + 2it,B = qt — 2Aq,
A.2.8с) Сх - 2i'QC = rt + 2Ar.
Теперь нам надо решить систему уравнений A.2.8) относительно
А, В, С. Это гарантирует совместность A.2.7а, Ь). Систему
A.2.8) можно решать, если выполнено некоторое условие, кото-
рое на самом деле является эволюционным уравнением. Извест-
но несколько методов получения этого уравнения. Опишем про-
цедуру, связанную с разложением в ряд. В разд. 1.5 выведено
(с использованием операторного метода) общее эволюционное
уравнение. Отправной точкой другого подхода, предложенного
Захаровым и Шабатом, является линейное интегральное урав-
нение. Этот подход мы обсудим позже в разд. 3.6.
Поскольку собственное значение t, является свободным па-
раметром (он может быть малым), мы попытаемся отыскать
точное решение уравнения A.2.8), являющееся конечным степен-
ным рядом по i. Простейшее разложение, приводящее к инте-
ресным нелинейным уравнениям, имеет вид
A.2.9) А = А? + А? + А0,
В = В? + Я,? + Во,
С = С2?2 + С,? +Co-
Подставим A.2.9) в A.2.8) и приравняем нулю коэффициенты
при одинаковых степенях ?. Коэффициенты при ?3 [см. A.2.8Ь)
и A.2.8с)] немедленно дают равенства В2==С2 = 0. Для ?2 из
A.2.8а) следует А2 = a2=const, а из A.2.8Ь, с) получаем Bx — ia:jq,
C\ = ia2r соответственно. Коэффициенты при ? приводят к сле-
дующим соотношениям. Из A.2.8а) имеем А\ = а,\ = const. Для

1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка 23
простоты положим а.\ = 0 (если а, Ф 0, то получится более
общее эволюционное уравнение). Тогда A.2.8Ь) дает Во =
= —a2qx/2; A.2.8с) дает CQ — a2rJ2. И наконец, коэффициенты
при ^ дают Aj = a2qrj2 + а0, снова ао = const и мы положим
а0 = 0. Тогда A.2.8Ь) и A.2.8с) в порядке ?° дают уравнения
A.2.10а) — ^a2qxx = qt — a2q2r,
A.2.10b) \
Это пара связанных нелинейных эволюционных уравнений, кото-
рые напоминают нелинейное уравнение Шрёдингера. Действи-
тельно, нелинейное уравнение Шрёдингера получится, если мы
положим г = +<7*. При этом уравнения A.2.10а) и A.2.10Ь) бу-
дут совместными тогда и только тогда, когда а2 = га, а вещест-
венно. Если мы положим а = 2, то получим уравнение
A.2.11) iqt = qxx+2q2q\
При положительном знаке в этом уравнении могут быть най-
дены солитонные решения, если же знак отрицателен, то не су-
ществует солитонных решений, быстро убывающих на оо (по-
скольку оператор A.2.7а) в последнем случае является эрмито-
вым).
Итак, если мы выбрали задачу на собственные значения для
оператора A.2.7а) и связанную с ней временную зависимость
A.2.7Ь), тогда условием их совместности являются A.2.8).
В этом примере мы берем разложение A.2.9) и, подставляя его
в A.2.8), дедуктивно и систематически выводим, что при г =
*
А = + 2/?2 ± iqq\
A.2.12) B = 2q? + iqx,
С = =F 2q% ± iq*x.
Эти функции удовлетворяют A.2.8) тогда, когда q(x, t) удовле-
творяет нелинейному уравнению Шрёдингера A.2.11).
Такую процедуру можно выполнить для любого полинома по
?. Мы приведем результаты в наиболее важных случаях. Заинте-
ресовавшийся читатель может сам их проверить, используя опи-
санные выше идеи. В случае полиномов третьей степени по ? мы
имеем
А = а?3 + a2l2 + j (atfr + a,) ? + 1 a2qr -
— rqx) + a0,

24 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
A.2.13) В = ia3ql2 + (ia2q - \ azqx
(ja2r + •]¦ azrx^ ? + m^ + ^- a3r2q
и эволюционные уравнения имеют вид
Qt + i
A.2.14а) < +
1
A.2.14b)
— ia{rx + 2a0r = 0.
Эволюционные уравнения, интересные с физической точки зре-
ния, возникают как частные случаи. Возьмем по = п\ = 0, а3 =
= —М и г = —1, в результате получим
A.2.15) qt + Gqqx + qxxx (КдФ).
Если r = 41q, то
A.2.16) ^±6^ + ^« = 0 (мКдФ).
Отметим, что если взять а0 = а\ = аз = 0, аг = ¦—2t, и г =
= +7*> мы получим A.2.11).
Тем же способом, которым мы получили эволюционные урав-
нения, соответствующие разложению А, В, С по положительным
степеням С. можно также найти уравнения, соответствующие
разложению по обратным степеням i (или по положительным и
отрицательным). Например, полагая
А = а(х, Ш, В = Ь{х, /)/?, С = с(х, *)/?,
получаем
A.2.17) ax=j(qr)t, qxt = — 4iaq, rxt = — 4iar.
В частных случаях
(уравнение sin-Гордон),
A2 18) a = Т cos "' 6 = с = j sin ы, q = — г = —
и
A 2 19)
uxt = shu, (уравнение sh-Гордон).

1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка 25
Перечисленные выше уравнения представляют собой всего лишь
несколько примеров, полученных при помощи процедуры разло-
жения.
Для г = —1 имеется другой подход, использующий задачу
рассеяния для оператора Шрёдингера и подходящую ассоцииро-
ванную с ним временную зависимость, а именно:
A.2.20а) vxx + (b + q)v = 0,
A.2.20b) vt = Av + Bvx.
Вышеописанная процедура сводится в данном случае к вычис-
лению производной по времени от A.2.20а), второй производной
по координате от A.2.20Ь) и исключению vtxx из полученных ра-
венств. Приравнивая нулю коэффициенты при v, vx, получим ус-
ловия совместности
A.2.21а) Ахх - 2ВХ (Я + q) - Bqx = - qt,
A.2.21b) BXX + 2AX = Q,
аналогичные A.2.8). Разлагая Л и В по степеням % (при г —
= —1 в A.2.7а) Я = ?2), получаем нелинейные эволюционные
уравнения. Например, представляя А и В в виде
А = А{к-\-Ай, В = В{К + В0
и приравнивая нулю коэффициенты при степенях X, имеем
Bi = bi = const, /41 = а1= const,
Bo — — -±q, A0 = -±qx + a0 (a0 = const);
дополнительное ограничение представляет собой нелинейное эво-
люционное уравнение. Положив Ь\ = 4, а\ = 0 = а0, получим
уравнение КдФ
A.2.22) qt
причем временная зависимость собственной функции имеет вид
A.2.23) vt = qxv + Dl-2q)vx.
Найдя %v из A.2.20а), мы можем переписать A.2.23) в другой
форме:
A.2.24а) ^ + 4^+6^ + 3^ = 0,
или
A.2.24b) vt + vxxx + 3(q-X)vx = 0.
Такая форма зависимости собственных функций от времени яв-
ляется типичной в подходе Лакса [318].

26 1, Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Другие нелинейные эволюционные уравнения получаются из
разложений, отличных от вышеописанных Эта процедура при-
водит к тем же результатам, что и подход Лакса A.2.4), и яв-
ляется чисто алгебраической по своей природе.
Интересное видоизменение этого подхода недавно предло-
жили Кауп и Ныоэлл [266] и Вадати, Коно, Итикава [493].
Если мы заменим A.2.7) на
v]x = — itv, 4- tqv2,
A.2.25а) Ч
0
и
vu = Avl + Bv2,
A.2.25b) " _ -
v2t = Cvl — Av2,
тогда вместо условия совместности A.2.8) нужно потребовать,
чтобы выполнялись равенства
Ax=l{qC-rB),
ОС) f)C\ гу I O/5* D rr (л
Как и раньше, конечные разложения А, В, С по степеням ? при-
водят к множеству нелинейных эволюционных уравнений, связан-
ных с A.2.25). В качестве примера, взяв г = —1, q = а — 1,
А = - Ни-1? _ и-Ыи?2,
В = 4и- (и - 1) %ъ + 2ш-з%^2 _ (u-mUx)xZ,
С=-4ы-1^3,
мы получим уравнение Дима (Краскал [298])
A.2.27) Щ = 2(и-и*)ххх.
1.3. Вывод линейного интегрального уравнения и обратная
задача рассеяния на бесконечном интервале. В этом разделе мы
изучим прямую и обратную задачу рассеяния для системы
A.2.7а). Мы попытаемся проиллюстрировать основные идеи, по
возможности избегая засилья точных математических формули-
ровок и теорем. В самом деле, даже в классическом случае за-
дачи рассеяния для оператора Шрёдингера строгая теория весь-
ма громоздка (см., например, [33, 152, 398, 136]), а для задачи
рассеяния A.2.7) возникают новые трудности.
Прежде всего мы предположим, что q и г достаточно быстро
стремятся к нулю при |дг|—>- оо. Отметим, что это предложение
очень важно, поскольку теория рассеяния с другими граничными
условиями приводит к совершенно другим результатам. Быстрое

1.3. Вывод линейного интегрального уравнения 27
убывание позволяет определить собственные функции ф, ср, if, if
со следующими граничными условиями при t, = ? (? = ? -Мл ~~
собственное значение):
При
A.3.1) *~U)e<t"J
при х-+ + оо.
( 1\ I
*•
(Отметим, что ф не является комплексным сопряжением ф; мы
будем пользоваться обозначением ф* для комплексного сопря-
жения.) Это решение определено в фиксированный момент вре-
мени (скажем, при /=0), и вся развиваемая в этом разделе
теория рассеяния (прямая и обратная) относится к этому фик-
сированному моменту времени. В следующем разделе мы пока-
жем, как получить зависящие от времени волновые функции,
удовлетворяющие одновременно уравнениям A.2.7а, Ь), из этих
не зависящих от времени функций. Далее в этом разделе мы бу-
дем опускать временную зависимость в обозначениях. Теперь,
если и(х, ?) {и(х, ?) —это 2Х 1 вектор-столбец с компонентами
Ui(x, |), i= I, 2) и v(x, ?) являются решениями A.2.7а), мы
имеем
A.3.2а) -j^W(u, v) = 0,
где W (и, и) —вронскиан и и у:
A.3.2b) W(u, v)=ulv2 — vlu2.
Из A.3.1) мы видим, что Щф, ф) =—1 и Щ'ф,'ф)= 1. Реше-
ния *, -ф являются линейно независимыми; таким образом, мы
можем написать
A.3.3а) ф = а (?)* + & F)*,
A.3.3b) ф = — а (?)* + & F)*.
(Знак минус здесь выбран для удобства.) Мы также отметим,
что матрица рассеяния определяется обычно следующим обра-
зом:
A.3.3с)

28 I. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Используя A.3.3) и W (ф, ф) = —1, мы получим
A.3.4) a(l)a(l) + b(l)b (|)=1.
Далее мы установим аналитические свойства данных рассеяния
(как функций комплексной переменной ?). Если q, r ,s= L, (т. е.
являются абсолютно интегрируемыми), то функции е'^ф, е~^Ж|ф
являются аналитическими в верхней полуплоскости (ц > 0),
а е~'Е*ф, е'^— аналитическими в нижней полуплоскости (г) < 0).
Это немедленно приводит к тому, что функция а = W(q>,-ty) =
= ф1"ф2 — 92^1 является аналитической в верхней полуплоскости,
а a=W(ф, ¦ф) — в нижней полуплоскости. Функции &=—^(ф,^),
5 = W (ф, it1), вообще говоря, не обладают аналитическими
свойствами. Для установления свойств аналитичности задачу
рассеяния обычно сводят к интегральному уравнению. Например,
в случае A.2.7а) функция ф удовлетворяет уравнению
A.3.5а) ф,(дс, Qe«* = l + \ dy
— оо
или
X
A.3.5Ь) Ф, (х, ?) е«* = 1 + \м(х,у,?) Ф, (г/, ?) е«» dy,
— оо
X
A.3.5с) ф2 (х, S) е«* = J ег« (x-y)r (г/) ф1 (у,
— с»
где
A.3.5d) M(x, у, t,) = r(y)
у
Если 7. г убывают достаточно быстро при \х\ -у оо, так что q,
г е Li, то существуют интегралы
R0(x)^ \\r{y)\dy, Q0(x)^ \\q(y)\dy,
— оо —оо
и можно показать, что ряд Неймана для рассматриваемого ин-
тегрального уравнения типа Вольтерры абсолютно сходится в
верхней полуплоскости (г) >0). Точнее, из A.3.5а) следует, что
X У
A.3.6) |ф1(дс, ?)е'С*|<1+ \dy \dz\q[y)\\r{z)\ +
— оо —оо
у,
\
у
\dzl\q(y)\\r(z)q(y])\\r(zl)\,
W.QO — ОО —СО —OQ

1.3. Вывод линейного интегрального уравнения 29
поэтому простая оценка дает
A.3.7) | Ф, (х, 0 е«* | < 1 + Qo (х) Rc (x) + -±г Q* (x) R\ (x) +
+ -J^r Ql (х) R* (х) + ... = /0 B
и видна абсолютная сходимость ряда Неймана для интеграль-
ного уравнения A.3.5) при ц > 0. Отсюда немедленно следует,
что ф/е'Ъ* является ограниченной функцией при ц > 0. Анали-
тичность функции е''&*ср/(л:, ?) устанавливается повторением опи-
санной процедуры, но для интегрального уравнения, полученного
дифференцированием A.3.5) по ?.
Простое требование ^, reLi не обеспечивает аналитичности
данных рассеяния на вещественной оси (г] = 0); для этого на
г, q следует наложить более жесткие условия. Воспользовавшись
теми же соображениями, можно показать, что если
I г (х) |<Се-™ Iх I, | ? (*) |<Се-2*' * ',
где С, К (К > 0) — константы, то е'Е*ф (х, ?), е-'^-ф (х, g) v a (?)
являются аналитическими при всех ii > — /С, а е~г?хф(л:, ?),
е^х^> (х, 0 я a (Q — аналитическими при всех г\< К- Кроме
того, Ь (Q и Ъ @ являются аналитическими в полосе К > Л >
>-К.
Если же г, q убывают быстрее любой экспоненты при |х| ->-
-> оо, то обсуждавшиеся выше функции являются целыми функ-
циями %. Это легко понять в очень частном случае, когда функ-
ции г, q имеют финитный носитель, так как тогда A.3.5) пред-
ставляют собой интегральные уравнения Вольтерры на конечном
интервале. Такие уравнения всегда имеют решения в виде абсо-
лютного сходящегося ряда Неймана (см., например, [424]).
Возвращаясь к A.3.5) и A.2.7а), мы можем вычислить асим-
птотические разложения при больших ?. Для этого проинтегри-
руем по частям A.3.5) и найдем (? лежит в верхней полупло-
скости)
х
A.3.8а) ф1е«* =1 — гТс" \ '(У)я(У)аУ + О (Г2).
A.3.8Ь) ф2е^ = - ^
(выражения A.3.8) мы могли бы найти иначе, используя метод
ВК.Б для A.2.7а)). Аналогично получаются разложения для
других собственных функций. Для г|э(?) (? лежит в верхней

30 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
полуплоскости)
A.3.9) . !
а для ф, -ф (? лежит в нижней полуплоскости)
х
A.3.10)
<7 (У) г (У) dy + O (Г2),
A.3.11)
Таким образом, в соответствующих полуплоскостях мы имеем
при |?| -> оо
оо
A.3.12а) fl(S)=l_^_ \q(y)r(y)dy+O(r-2),
Если г, q не слишком «малы» (условия малости мы уточним ни-
же в этом разделе), то оператор A.2.7а) может обладать дис-
кретными собственными значениями (связанными состояниями).
Они возникают, когда функция a(t) имеет нули в верхней полу-
плоскости (т) > 0) или когда a(t) имеет нули в нижней полу-
плоскости (tj < 0). Нули функции а(?) мы будем обозначать ^,
k = 1, 2, .. ., N, где Л^ — число связанных состояний. При ? =
= t,k функция ф пропорциональна ар (напомним, что а —
A.3.13а) ф
Аналогично, когда а имеет нули в нижней полуплоскости в точ-
ках ? = \к, k = 1, . .., N, мы также имеем связанное состоя-
ние, и
A.3.13b) <p j

1.3. Вывод линейного интегрального уравнения 31
Выше отмечалось, что если г, q убывают достаточно быстро
при |jc| ->-оо, то а, Ь, а, Ь являются целыми функциями. В_этом
случае мы можем продолжить Ь, Б и получить Ск = b{t,k), Ck =
= B(t,k). Итак, для удобства здесь мы будем предполагать, что
г, q убывают достаточно быстро, точнее
для всех п. В этом случае а E), a(?) являются аналитическими
функциями в верхней и нижней полуплоскостях соответственно
и на вещественной оси. Это гарантирует нам, что a(t,) имеет
только конечное число нулей при Im Z, ^ О (так как a(t) являет-
ся аналитической функцией при Im t, ^ 0, а(?)-»-1 при |?|->-
-> оо, нули a(t,) изолированы и лежат в ограниченной области).
Задача на собственные значения A.2.7а) и A.3.1) отличает-
ся от соответствующей задачи для оператора Шрёдингера в сле-
дующих отношениях: (i) нули а(?) (т. е. собственные значения)
не обязательно лежат на мнимой оси; (И) а(?) может иметь
кратные нули; (ш) а(?) может принимать нулевые значения на
вещественной оси Im t, — 0, однако эти точки не являются соб-
ственными значениями, так как соответствующая собственная
функция не является квадратично интегрируемой (см., напри-
мер, [12]).
Важные с физической точки зрения случаи возникают, когда
г пропорционально q* или q. В случае когда г = ±7*> из A-2.7а)
следуют соотношения симметрии
"-3-14" 'ТЛ<*.
из которых следует, что
A.3.14b) ag) = a(C), b(Q = Tb'(O
и соответственно
A.3.14с) N = N, ik-&, Ck = ^Cl
Совершенно аналогично, в случае r = ±g мы имеем
A.3.15а) ф(х, а

32 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
что приводит к равенствам
A.3.15b) a = a(-Q, Ь (?) = =F 6 (-?)
и, следовательно,
A.3.15с) N = N, lk=-lk, Ck=^Ck.
Если же г = ±q и q вещественно, то имеют место обе описанные
выше симметрии. Поэтому, если ?* является собственным значе-
нием, то и —%*k также обязано быть собственным значением. Та-
ким образом, собственные значения либо лежат на мнимой оси,
либо расположены симметрично относительно ее. Описанные со-
отношения приводят к важным следствиям для мКдФ, нелиней-
ного уравнения Шрёдингера и уравнения sin-Гордон.
Отметим два обстоятельства, (i) При г = -\-q* задача на соб-
ственные значения A.2.7а) является эрмитовой. В рассматри-
ваемом случае (<?->¦ О достаточно быстро при |*|->оо) собст-
венные значения отсутствуют при Im ? > 0. (И) Нетрудно дать
оценку, гарантирующую отсутствие собственных значений при
г = —q*. Поскольку а = W(q>, if), мы имеем
A.3.16а) a(?)=Hm<P,(*, ?)e'S*,
и из A.3.5а)
оо у
A.3.16b) |a(S)-l|<l+ \dy
— оо —оо
Используя A.3.7), получим
A.3.16с) |а(?)-1|</0B VQo(°°)tfoM)-l
(/0(х)^1, если х^О). Таким образом, если
A.3.16A) /0 B VQo(~)#o(°°))<2
или
A.3.16е) Q0(oo)R0(oo)< 0,817,
то в задаче A.2.7а) отсутствуют связанные состояния (если г =
«= -q*,ToQ0 = R0).
Проведенный анализ обычно называют прямой задачей рас-
сеяния. Далее мы будем изучать обратную задачу рассеяния.
Мы будем выводить формулы обратной _ задачи рассеяния,
предполагая, что данные рассеяния (а, а, Ь, б) являются целыми
функциями. Достаточно предположить, что q, r убывают быстрее
любой экспоненты при |х|->-оо. Это весьма ограничительное
предположение можно отбросить, но при этом предложенный
здесь простой вывод придется несколько модифицировать.

t.3. Вывод линейного интегрального уравнения 33
Вначале мы примем следующие интегральные представления
для функций яр, яр:
/ 0 °°
A.3.17а) -ф = Г L
X
A.3.17b)
где ? = g + (г), г) ^ 0 и /С, Я являются двухкомпонентными век-
//С, (a:, s)\
торами, т. е. К (х, s) = I „ , ч I- Интегральный член, содер-
\ Д2 \Х, S) /
жащий К, К, определяет отличие асимптотик при х = оо от ис-
тинной собственной функции. Чтобы удовлетворить граничным
условиям, естественно считать ядро К треугольным, т. е. К{х,
s) = 0 при х > s. Наиболее важным звеном этой конструкции
является независимость ядер К, К от %,. Этот факт отмечался
Гельфандом и Левитаном A955) [182] в их оригинальной ра-
боте.
Для того чтобы обосновать существование таких представле-
ний, достаточно подставить A.3.17) в A.2.7а). Например, из
A.3.17а) получаем
A.3.18а) J et^[(dx~ds)Kl(x, s)-q(x)K2(x, s)]ds-
X
- [q {x) + 2/C, (x, x)] e*x + lim [tfi (a:, s) e^) = 0,
S->oo
oo
A.3.18b) J e«s [(dx + ds) K2 (x, s) - r {x) Ki (x, s)] ds -
X
— lim [K2(x, s)e'^s] = 0.
S->oo
Таким образом, необходимо и достаточно удовлетворить урав-
нениям
(дх - ds) Ky (х, s)-q (x) К2 (х, s) = 0,
A.3.19) (дх + да)К2(х, s)-r(x)Ki(x, s) = 0
с учетом следующих граничных условий:
Кх {х, x) = — \q (x),
A.3.20)
ПтК(х, s) = 0.
2 Зак. 114

34 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Существует решение уравнений A.3.19), удовлетворяющее гра-
ничным условиям A.3.20). Для того чтобы это увидеть, введем
новые координаты
\i = ^(x + s), v=-^-(jc — s).
Переходя к этим координатам, из A.3.19, 20) получаем
<Mw (И, v) - ? (ц + v) К2 (|*. v) = 0,
д„К2 (П. v) - г (ц + v) Кх (|*. v) = 0,
Hm/C((i, v) = 0
I нетрудно проверить, что К2 (ц, 0) = -^ \ г (ц') q (\i') d\x' V Опи-
раясь на теорию характеристик, можно показать, что решение
рассматриваемой задачи (задачи Гурса) существует и единст-
венно. Аналогично можно показать существование и единствен-
ность К.
Теперь мы выведем линейные интегральные уравнения (урав-
нение Гельфанда — Левитана — Марченко) обратной задачи рас-
сеяния. Рассмотрим точки ?, принадлежащие контуру С, кото-
рый начинается в —оо -f- t'0+, проходит над всеми нулями а(?) и
оканчивается в +оо -{¦ Ю+. Мы предположим функции q и г до-
статочно быстро убывающими; это позволяет продолжить
A.3.3а) в верхнюю полуплоскость и затем переписать его в виде
A.3.21) lisJl =ф(*, О + Ш^{х> q.
Подставляя A.3.17) в A.3.21), находим
A.3.22) ?.в
Умножим это уравнение на (l/2n)e't»rfg и проинтегрируем
по контуру С при у > х. Воспользовавшись представлением
6-функиии Дирака 6(jc) = -2— \ е^х dt, и изменив порядок интег-

1.3. Вывод линейного интегрального уравнения 35
рирования, получим
оо
A.3.23а) I = K{x,y) + (°^F(x + y)+\ К(х, s)F(s + у)ds,
где
A.3.23b) F{x)^±
Интеграл / = 0, так как функция фе'Е* является аналитической
в верхней полуплоскости, у > х и контур С проходит выше всех
нулей а(?). В результате имеем
A.3.24) K(x,y) + @\F(x + y)+\ K(x,
Произведя такие же преобразования над аналитическим продол-
жением соотношения A.3.3Ь) в нижнюю полуплоскость, получим
оо
A.3.25а) K(x,y)-(°^F(x + y)-\ К(х, s)F(s + y)ds = 0,
где
A.3.25b)
и С — такой же контур, как С, но обходящий все нули а(?) сни-
зу. Частный случай этих формул получается в предположении,
что а E) имеет изолированные простые нули (случай кратных ну-
лей получается как предел при слиянии простых нулей) и не об-
ращается в нуль на вещественной оси (t, = ?, г\ = 0). Интегри-
рование по контуру в A.3.23Ь) и A.3.25Ь) дает
оо JV
A.3.26а) Р{х) = ± JI (|) в«* d\ - i J] С,е*1х,
-оо /-1
оо JV
A.3.26Ь) Р(х) = Ъ \ Т «) e~'|JC
-оо
где
г-1Ш г
2*

36 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
В случае более медленного убывания, когда функции а, а, Ь, В
не могут быть аналитически продолжены, формулы A.3.26а, Ь) все
равно имеют место, а нормировочные константы Cf, С, на-
ходятся как коэффициенты пропорциональности собственных
функций ф/ = ф(х, ?,-), -ф/. Например^ = С/ф/ и C^CJa^ и т. д.
(Отметим небольшое изменение обозначений по сравнению с
1.3.13.) Интегральные уравнения A.3.24, 25) удобно записать в
виде одного матричного уравнения, полагая
/Ki КЛ /0-7=4
A-327а) *-(*,«.)• y-U о)-
при этом имеем
оо
A.3.27Ь) Ж(х, у) + Р{х,у)+\х(х, s)ff-(s + у)ds = 0.
Как уже отмечалось выше, в частном (но важном с точки
зрения физических приложений) случае г = ±7* имеются раз-
личные соотношения симметрии. Воспользовавшись A.3.14, 15),
получим
A.3.28а)
( К(х,у)
A.3.28b) {^{
Интегральные уравнения A.3.27Ь) с учетом этих условий симме-
трии приводятся к виду
A.3.29а)
(Когда г — +q, q вещественно, то F(x), K(x, z) также вещест-
венны.) Наконец, используя A.3.20), мы получим потенциал
1.3.29b) q (х) = - 2/Ci {х, х).
Потенциал г(х) определяется по формуле
г(х) = -2К2(х, х),
которая получается тем же способом, что и A.3.29Ь) (см.
A.3.18) и т. д.).
Вопрос о существовании и единственности решений линейных
интегральных уравнений A.3.24) обычно решается при помощи
альтернативы Фредгольма [424]. Например, ограничение г =

1.3. Вывод линейного интегрального уравнения 37
= —q* является достаточным для того, чтобы гарантировать су-
ществование и единственность решения уравнения A.3.24).
Для доказательства рассмотрим однородные уравнения, соот-
ветствующие A.3.24) (у>х):
оо
A.3.30а) Ai (у) + \ Aj (s) F(s + y)ds = 0,
X
со
A.3.30b) А2 (у) - J A, (s)? (s + y)ds = 0.
Предположим, что h (у) = I , I является решением уравнения
A.3.30), тождественно равным нулю при у < х. Для того чтобы
воспользоваться альтернативой Фредгольма, достаточно пока-
зать, что h(у) =0. Умножим A.3.30) на (А,, /г"), проинтегри-
руем по у и воспользуемся равенством
\h,{y)?dy= \ \h,{y)fdy.
X —оо
В результате получим
оо , оо
A.3.30с) U | А, Р + I h I2 + S [Ла (s) К (У) F(s + y)-
— оо V. —оо
- hx (s) h'2 (у) F (s + у)] ds } dy = 0.
Если г = —q*, то условия симметрии A.3.28) позволяют перепи-
сать последнее уравнение в виде
оо . оо ..
\ 4 1 Лг F + | А2 р -f- 2/ Im J /г! (у) h2 (s) F (s + у) ds i dy = 0.
— oo I, —oo )
Из равенства нулю вещественной и мнимой частей следует, что
h (у) =0, поэтому решение уравнения A.3.24) существует и
единственно.
Если же r(x) = q*(x), то задача является самосопряженной,
спектр лежит на вещественной оси и F(s-)-y) = —F*(s-{-y).
В этом случае A.3.30) сводится к
оо . оо ..
A.3.30d) U | К |2 + | К f + 2 Re \h\ (у) h2 (s) F (s + y) ds i dy=O.
— oo („ —oo )

33 1, Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Поскольку г = +<?*, то |а|2— \Ь\2 = 1 на вещественной оси, и,
следовательно, \a(t,)
пряженной, поэтому
0. Более того, задача является самосв-
ал) | > 0, т) ^ 0. Это означает отсутствие
дискретных собственных значений, и, следовательно,
~
Преобразование Фурье
оо
— оо
удовлетворяет тождеству Парсеваля
оо оо
hsfdy = -^ \\hl?d%.
Воспользовавшись этим тождеством и поменяв порядок интегри-
рования в A.3.30d), получим
\ {I Л, (- I) f +1 ^ (|) |2 + 2Re [-?- (|) Л, (- |) Й2 (I)]} rf| = 0.
— оо
Поскольку | (&/а) (!) | < 1, имеем
Поэтому обязано выполняться равенство h = 0, и решение ин-
тегрального уравнения A.3.24) существует и единственно.
Следует отметить, что до сих пор не предпринято полное и
строгое изучение обратной задачи, связанной с оператором
A.2.7а). Поэтому не найдена явная характеризация класса дан-
ных рассеяния, приводящих к «хорошим» потенциалам. (Фор-
мулы и анализ, проведенный в этом разделе, показывают, что
Г оо
если г = ±#* и q удовлетворяет неравенствам \ х | q \dx < оо
при всех п, то обратную задачу можно решить, и такие потен-
циалы связаны с аналитическим поведением данных рассеяния
в подходящих полуплоскостях.)
Отметим теперь, что уравнения обратной задачи (A.3.24) и
далее) можно вывести, используя классическую задачу Рима-
на — Гильберта. Мы уже показали, что функции <ре'Е*, tye~'tx,
a{t) аналитичны в верхней полуплоскости, a ije'E*, q>e-'?x, a(t,)—~
в нижней. При этом разложения A.3.3) можно преобразовать к

1.3. Вывод линейного интегрального уравнения 39
виду, который по существу представляет собой задачу Римана —
Гильберта. Например, A.3.3а) означает, что
A.3.31) Л?!51в^+±
Поэтому если а(?) не имеет нулей в верхней полуплоскости, то
A.3.31) можно трактовать как утверждение о разности
(b/a)tye'Zx на вещественной оси между двумя аналитическими
(в своих полуплоскостях) функциями yet*/а и ¦фе-'С*. Таким об-
разом осуществляется связь с задачей Римана — Гильберта о
восстановлении кусочно-аналитической функции по ее скачкам.
Независимо от того, имеет или нет функция a(t,) нули в верхней
полуплоскости, обычный подход к решению этой задачи приво-
дит к линейным интегральным уравнениям на собственные функ-
ции. Подействуем на A.3.31) проекционным оператором Р+ =
= '/2A + iff), где Н является преобразованием Гильберта
оо
—оо
Заметим, что
С)
Вклад I I возникает из-за части контура в окрестности оо, дру-
гой вклад порождается нулями функции а(%). Итак, мы имеем
линейное сингулярное интегральное уравнение
A.3.32) * (|) в«* = - Р+ (±. (I) г() (х, I) в'«*) + Q +
% - 5* '
связывающее функции i|), ф. Второе уравнение можно вывести
из A.3.3Ь); при этом получится замкнутая система для i|), ¦ф, из
которой в принципе по данным рассеяния можно найти потен-
циалы. Так как глобальные результаты довольно трудно извле-
кать из этой системы, мы обычно будем обращаться к представ-
лению Гельфанда — Левитана — Марченко. Умножив A.3.32)
на е*у (у > х) и произведя преобразование Фурье, прямым вы-
числением убеждаемся, что уравнение A.3.32) сводится к

40 \. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
A.3.24а). Наиболее важно то, что, зная аналитические свойства
собственных функций, легко вывести уравнения обратной за-
дачи.
Приведем в завершение этого раздела результаты по обрат-
ной задаче рассеяния для оператора Шрёдингера:
A.3.33) vxx + (l + q)v — 0.
Мы опускаем вывод уравнений обратной задачи, так как он ана-
логичен вышеописанному. Строгую теорию можно найти в рабо-
тах Фаддеева [152] и Дейфта, Трубовица [136]. Для % = k2 мы
определим собственные функции ф, я|), ty, имеющие следующее
асимптотическое поведение:
A.3.34а) <р~е-'**, х-> — оо,
A.3.34b) \|>~e'fe;c, ф~е~'**, x->-\-oo.
Функции г|з и ф при k ф 0 линейно независимы, поэтому можно
написать разложение
A.3.35а) ф —a (k)ty + Ь (k) ф.
Обычно определяют коэффициент отражения p(k) = b(k)/a(k)
и коэффициент прохождения x(k) = \/a(k). Название «коэффи-
циент отражения» здесь используется по аналогии с квантово-
механической задачей о рассеянии на потенциале. Разделив
A.3.35а) на a(k), получим
A.3.35Ь) тф = i|) -\- рф,
где г|) обозначает волну, падающую справа ~ e~ikx при д:->оо
и т. д. Собственными значениями служат такие числа %п =
= — ^2, для которых функции фя = ф(л:, и„) и г|5я убывают
при | л: 1—> со; они связаны соотношением
A.3.36а)
вочные коэффициенты С
г.
Нормировочные коэффициенты Сп мы будем определять форму-
лой
A.3.36b)
а' (Ып)
(a{k) можно аналитически продолжить в верхнюю полупло-
скость.) Собственные значения можно найти как решения урав-
нения a(i%) = 0.
Этой информации достаточно для решения обратной задачи
рассеяния, т. е. для восстановления потенциала q. Вычислим

1.3. Вывод линейного интегрального уравнения 41
вначале функцию
N
A.3.37а)
(В разд. 1.4 мы покажем, что —iCn можно заменить положи-
тельными величинами с^.) Затем решим интегральное уравне-
ние
A.3.37b) K(x, y) + F(x + y)+
X
и определим К{х, у). Потенциал q восстанавливается по фор-
муле
A.3.37с) д(х) = 2-^-К(х, х).
Уравнение A.3.37) в случае оператора Шрёдингера аналогично
уравнению A.3.27) для задачи A.2.7а).
В следующем разделе мы покажем, что данные рассеяния
S{k) (p(k) — коэффициент отражения, {Я.;}^=1 — дискретные соб-
ственные значения, {Ci}f=1 — нормировочные коэффициенты)
имеют простую зависимость от времени, если потенциал подчи-
няется одному из нелинейных эволюционных уравнений, обсуж-
давшихся в разд. 1.1. Кроме того, связанные состояния приводят
к солитонным решениям. При p(k) = О интегральное уравнение
имеет вырожденное ядро, и можно найти К(х, у) в замкнутой
форме (см., например, [270], а также разд. 1.4).
В заключение из педагогических соображений стоит отме-
тить, что для некоторых потенциалов данные рассеяния (коэф-
фициент отражения и т. д.) можно вычислить в замкнутой фор-
ме. Например, для
A.3.38) q{x) = Q6(x),
решая A.3.33), получим
Q Ш
Если Q > 0, то a(ki) = 0 в некоторой точке k\ верхней полупло-
скости. Поэтому имеется собственное значение Х1 = — w\t и нор-
мировочная константа С\ определяется формулами
A.3.39Ь) «! = -§-• C1=-^-
Если Q < 0, то дискретный спектр отсутствует.

42 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Прямоугольная яма также является примером потенциала,
для которого легко вычислить данные рассеяния.
В дополнение к рассмотренным здесь уравнениям и резуль-
татам по обратным задачам имеется большое число других во-
просов, интересовавших исследователей. Например, Захаров и
Шабат A972) [545] изучали нелинейное уравнение Шрёдингера
с ненулевыми условиями на бесконечности (граничные условия
приводят к появлению так называемого солитона огибающей,
темнового импульса; см. также [200]). Проблема поиска реше-
ний с периодическими граничными условиями также изучалась
многими авторами (см. разд. 2.3); задача на полуоси использо-
валась в работах [25] и [388]. В литературе можно встретить
много других задач, связанных с оператором второго порядка
(см., например, [242,266]).
1.4. Зависимость от времени и частные решения. В предыду-
щем разделе мы вывели уравнения обратной задачи для обоб-
щенной задачи рассеяния Захарова — Шабата и задачи рассея-
ния для оператора Шрёдингера. Точнее говоря, имея данные
рассеяния
S(?) =
(т. е. дискретные собственные значения, нормировочные кон-
станты и коэффициент отражения), мы можем составить и з
принципе решить линейные интегральные уравнения обратной
задачи рассеяния, что позволяет восстановить рассеивающий по-
тенциал (см. A.3.29Ь), A.3.37с)). Это можно сделать для лю-
бого момента времени t, так что t входит как параметр. По-
скольку нас интересует решение нелинейного эволюционного
уравнения, то мы будем действовать следующим образом. Пусть
при t = 0 заданы начальные условия одной из систем, обсу-
ждавшихся в разд. 1.2. Затем мы решим прямую задачу рассея-
ния (например, A.2.7а)) и отобразим эти начальные потен-
циалы в данные рассеяния S{%\ t = 0) (т. е. при / = 0 мы
вычислим собственные функции и по ним найдем данные рассея-
ния). В этом разделе мы покажем, как можно получить данные
рассеяния S(t,, t) в любой момент времени t > 0. Восстановив
по этим данным потенциал, мы получим решения нелинейного
эволюционного уравнения в любой момент времени t.
Мы начнем с построения совместного решения уравнений
A.2.7а) и A.2.7b). В разд. 1.2 было показано, что требование q,
г -> 0 при \х\ -»¦ оо дает широкий класс уравнений, обладающих
тем свойством, что А ->Л_(?), D-* Л_(?), В, С->0 при \х\ ->
г»-оо. Зависящие от времени собственные функции'определяют-

1.4. Зависимость от времени и частные решения 43
ся следующим способом:
О-4-1) Ф„ _фе_/* -ЦТ-.* A_t'
где ф, ф, i|), rj) удовлетворяют A.2.7а) с зафиксированными гра-
ничными условиями A.3.1). Следует отметить, что уравнение
временной эволюции A.2.7Ь) не удовлетворяется при зафикси-
рованных граничных условиях. Поэтому Ф ~ I ) е~'^х и т. д.
не могут удовлетворять A.2.7Ь). Например, временная эволю-
ция
A-4.2) *1Г = (г nV'
\ь и /
показывает, что ф удовлетворяет
dy_(A — A-(Q В \
Если мы воспользуемся соотношением
A.4.4) ф = а1Ь + огЬ ~ а\ |e~'s +61 !е'',
то при х -> оо получим
at
U
у
fa
U
Таким образом,
A.4.6а) Ь{1, () = &(?, 0) e~2A-{l)t,
A.4.6b) a(?, 0 = a(?, 0).
Из A.4.6b) следует, что собственные значения t,k не зависят
от времени. Аналогичным образом, воспользовавшись опреде-
лением нормировочных констант C/(t) (ф (^) =
= Cj/a/), мы найдем
A.4.7) С/@ = С/.0е-!М-<с/>'. / =1,2 J
где С/, о = С/(^ = 0). В том случае, когда данные рассеяния
могут быть продолжены в верхнюю полуплоскость, из соотно-
шения Cj — bj/o/j немедленно получаем

44 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Совершенно аналогично получается зависимость данных рассея-
ния S (?/; t) от времени (при выводе следует воспользоваться со-
отношением ф = — ая|) +
5(С, /) = *(?. 0)е
A.4.8) а(?, /) = а(?, 0),
Это позволяет установить зависимость от времени ядер инте-
гральных уравнений обратной задачи F(x, t) и F(x, t):
A.4.9а) F{x, 0 = i J4«« 0)eilx-2A-<l)td$-
— oo
A.4.9b) F{x, 0=JL
Формулы A.4.9) играют роль решений соответствующей линей-
ной задачи методом Фурье. Решение нелинейного эволюцион-
ного уравнения находится по формуле A.3.24). Следует отметить,
что интегральные уравнения упрощаются при л;->оо. Например,
из A.3.24), предположив для удобства, что г = +q*, получим
Ki(x,y)~ ±f*ix,+y).
Поэтому из A.3.29Ь) следует, что
Отметим, что 5/ лежат в верхней полуплоскости и поэтому вклад
связанных состояний экспоненциально мал при *->оо. Таким
образом, при х->оо задача свелась к линейной, и ее решение
можно представить в виде
— 00
Здесь

1.4. Зависимость от времени и частные решения 45
Когда г = +q*, функция Л_(|) является чисто мнимой, и
со(l) = 2iA_ (--I")-
Так, например, в случае нелинейного уравнения Шрёдингера
A.2.11) из A.2.12) имеем Л_(?) = lim Л(?) = 2/?2, и поэтому
| *|->ОО
ю(?) =—?2 (что соответствует дисперсионному соотношению
для линеаризованного уравнения — уравнения Шрёдингера).
Перед тем как перейти к описанию частных решений, мы для
примера приведем зависимость от времени данных рассеяния
для уравнения КдФ A.2.23). Аналогичные рассуждения для опе-
ратора Шрёдингера приводят к следующей зависимости данных
рассеяния (определенных в A.3.35)) от времени:
a(k, t) = a(k, 0),
A.4.10) b(k,t) = b(k,0)e*lk3t,
С„@=С„,0е8и«\ n=l N.
Дискретные собственные значения являются нулями функции
a{k, t) в верхней полуплоскости и поэтому не зависят от вре-
мени. Коэффициент отражения p(k, t) =b(k, t)/a(k, t) зависит
от времени очевидным образом. Отметим, в частности, что зави-
симость от времени коэффициента отражения в случае уравне-
ния КдФ такова, что dp/dt =—8i<i>(k)p (при этом равенство
a(k) = —k3 совпадает с дисперсионным уравнением линеаризо-
ванного уравнения КдФ (qt + qXXx = 0)).
В случае оператора Шрёдингера можно показать (см., на-
пример, [136]), что дискретные собственные значения, т. е. нули
функции a(k), являются простыми и лежат только на мнимой
оси. Более того, нетрудно показать, что нормировочные констан-
ты, входящие в A.2.37), положительны. Поэтому мы будем за-
писывать
A.4.11) -iCa = c*n.
Положительность нормировочных коэффициентов можно уста-
новить следующим образом. Будем предполагать, что все функ-
ции аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость. За-
тем для собственного значения kn = iv.n при х->+оо имеем
ф(
-^ ф (и„) ~ а' (и„) qn ~ а' (кп) ek"x,
где коэффициент Сп с необходимостью является вещественным.

46 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Но при всех х справедливо равенство
d
(L4-13) dZ
Подставив асимптотику A.4.12) в левую часть A.4.13), получим
A.4.14)
таким образом,
г 2
— оо
оо
(обычно \ q>2ndx нормируется на единицу). Итак, конечную сум-
— оо
му в ядре уравнения Гельфанда — Левитана A.3.37) можно
представить в виде
A.4.16) FD (х) = Z с2 @ «Г***,
где сп (() = сп @)
Получив зависимость данных рассеяния от времени, мы мо-
жем теперь обсудить решение нелинейных эволюционных урав-
нений и их свойства. В этом разделе мы обсудим многосолитон-
ные решения, а в разд. 1.7 будет рассмотрена асимптотика за-
дачи Коши, отвечающая непрерывному спектру.
Вначале мы вернемся к задаче на собственные значения для
оператора Захарова — Шабата A.2.7а). Когда г = q*, собствен-
ные значения отсутствуют. В этом случае задача на собствен-
ные значения является самосопряженной, т. е. задача рассея-
ния такова, что LV — t,V, LH = (LA)* = L, где LH — эрмитово
сопряженный к L оператор, LA сопряжен с L. Если q, r убывают
достаточно быстро, то собственные значения должны быть не-
пременно вещественными и по этой причине отсутствуют. Оста-
новимся поэтому на случае г = —q*. Здесь нам следует вос-
пользоваться уравнением A.3.29). Выберем F(x) таким, чтобы
(b/a) (t = 0) =0 (отсутствует рассеяние) и Af = 1. Имеется
одно дискретное собственное значение. Тогда (опуская для удоб-
ства зависимость от времени)
A.4.17) F(x) = -ice4*, ? = 6+ft|, п>0.

1.4. Зависимость от времени и частные решения 47
Подставив A.4.17) в A.3.29), получим
A.4.18) КЛх> y) = ic*e-V{x™ -
оо оо
JJ i (x, 2)| с fe^^<t-f)r^'s dsdy.
Определим /?i(x)= ^КЛх, z)е*г dz. Умножим A.4.18) на e't»
X
и проинтегрируем от х до оо. Это приводит к уравнению для
К\ {х), решение которого имеет вид
A.4.19)
c*ei (t-2V) *
Из A.4.18) теперь следует, что
A.4.20а) КЛх, y)=7cVft*+»>[l -
Таким образом, потенциал q(x) имеет вид
A.4.20b)
Ы,) с
Полагая | с |2/4тJ = е^, получим
A.4.20с) q (х) = - /-?|- 2r)e-2i^/ch {2х]Х - 2Ф).
Эта формула дает солитонное решение любого эволюционного
уравнения с г = —<?*> разумеется при учете обсуждавшихся вы-
ше условий А ->-Л_E) и т. д., которые приводят к определенной
зависимости с — с{1) от времени:
A.4.21) с = с0е-2А~{Ш.
Таким образом, q(x, t) имеет вид
A.4.22) q (х, t) = 2це~11х еп Im A~(t)' X
X е-1 (*+««)/ch [2r]X + 2 Re Л_ @ / - х0],
где с0 ^| Cole'*1, х0 = lni с0 |/2т). В случае нелинейного уравне-
ния Шрёдингера A.2.11) Л_(|) = 2^2 и
A.4.23) q(x, () = 2г)е-2*хе«№-^1-'^+т)/сЬBцх — 8%г){ — х0)
(см. рис. 4.16). Отметим, что скорость солитона равна 4|, а ам
плитуда 2т).

48 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Следует отметить, что в общем случае (когда между q, r нет
никакой связи) в решении за конечное время может возникнуть
особенность. Пусть у нас имеется одно собственное значение %
в верхней полуплоскости и одно (?)—в нижней. Аналогом
A.4.17) будет
F(z, 1) = — 1се^г, F(z, () = 1се-&,
причем зависимость с от времени дается формулой A.4.21),
а с = с0е2Л-(^ . Мы еще раз решим интегральное уравнение с
вырожденным ядром и получим
2A_(l)t-2itx
2""
0.4.24) r(,, 0_
D (x, t)
x, t) — 1 — -
Можно легко проверить, что функция О(дг, ^), не имевшая нулей
при ? = 0, может обратиться в нуль в некоторый конечный мо-
мент времени t = Т < оо. Мы будем называть такие решения
взрывающимися солитонами. Теперь понятно, почему столько
внимания мы уделили случаю г = +q*.
Приведенная здесь схема применима и в более общем слу-
чае, когда имеется N различных собственных значений (дву-
кратные собственные значения можно получить как предел слия-
ния двух простых). Интегральное уравнение в этом случае так-
же имеет вырожденное ядро и может быть решено в замкнутой
форме (т. е. решение можно выразить через определители неко-
торых матриц, см., например, Захаров, Шабат [544] или Вадати
[495]). Следует также отметить, что Хирота предложил другой
метод, позволяющий строить iV-солитонные решения. Метод Хи-
роты применяется непосредственно к нелинейному уравнению
и не использует обозначений обратной задачи рассеяния. Этот
метод мы обсудим в разд. 3.3, там же будут получены yV-соли-
тонные решения для уравнения КдФ-
Бывает так, что для двух или более различных собствен-
ных значений величины Re A-(t,)/ц совпадают (иначе говоря, со-
литоны A.4.22) имеют одинаковые скорости). В этом случае
многосолитонное решение будет представлять собой связанное
состояние с периодической зависимостью от времени. Для нели-
нейного уравнения Шрёдингера Re A-(t,)/ц ~ |, поэтому дис-
кретные собственные значения, имеющие одинаковые веществен-

f.4. Зависимость от времени и частные решения 49
ные части, отвечают связанным многосолитонным решениям')
(обсуждение этого вопроса имеется в работе Захарова и Ша-
бата [544]). Другой пример периодических во времени связан-
ных состояний дает уравнение sin-Гордон. Для этого уравнения в
разд. 1.2 было получено, что /4_(?) = ?/4?. Поэтому Re^_(g) =
= г)/D(|2 + тJ)), и собственные значения, отвечающие связан-
ным солитонным решениям, должны лежать на окружности
|2 -{- т]2 = const. Когда имеется лишь одно собственное значение,
то оно должно лежать на мнимой оси 1 = 0 (из вещественности
q и условия q = —г следует, что собственные решения лежат
либо на мнимой оси, либо образуют пары, симметричные относи-
тельно мнимой оси: ?, —?*, см. разд. 1.3). Следовательно,
Из A.4.22) следует, что
^L = - q (х, t) = 2r,/ch Bцх + -L-t + x0) ,
и решение уравнения sin-Гордон, отвечающее простому кинку,
имеет вид
и = 4 arctg ехр Bцх + -^р / + х0) .
В лабораторной системе координат х — (X -f T)/2, t = (X^
— Т)/2 уравнение sin-Гордон переписывается в виде
A.4.25) иХх — итт = sin u
и однокинковое решение представляется формулой
A.4.26) и (X, Т) = 4 arctg ехр ( (П + JL) (X - Хо) +
Аналогичным образом можно вычислить решение, отвечающее
двум собственным значениям. Не вдаваясь в детали вычисления,
мы приведем результаты, относящиеся к этому случаю. Пусть
заданы два собственных значения ? = ? + щ и —%*, тогда реше-
') Отметим, что энергия связи этих состояний равна нулю. Нетрудно
проверить, что почти любое малое возмущение нарушает равенство скоро-
стей солитонов и, следовательно, связанность состояний. Поэтому нет серьез-
ных оснований называть такие состояния связанными. Пример настоящего
связанного состояния солитонов дает бризерное решение уравнения sin-Гор-
дон (см. ниже). Здесь уже имеется дефект массы из-за наличия взаимодей-
ствия, и малые возмущения не разрушают связи.— Прим. перев.

50 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
ние имеет вид
A.4.27) и(Х, Т) = 4arctg [|-cos (-| (v (T-TQ) - D -
- v) Z))/ch ( f-(v (X - Xo) - D - v) T)],
raev = 2+ 1/B|?|2). Если |2 + rJ = UI2 = 1/4, то v = 4, и мы
получим решение, которое обычно называют «бризером»,
A.4.28) и (X, Т) = 4 arctg( Vl^m2 sin (со (Т -
где со =
тJ=1/4 (рис. 1.3). Типичное кинк-антикинковое
1 1 <—
-5
a
Zir
7
У
-ж
-гж
и
1
•
-
1 Г !
5 з
J.TT
5 х
Рис. 1.2. (а) Кинк (г| = +1/2); (б) антикинк (г| = 1/2).
и
1st
л
, . I , , . ,
-5
5 х
1 !
-Г
27Г
1 1 1
\
\
-2л-
и
-
у
-JT
-Zn
Рис. 1.3. Характерный вид бризера A.4.28): (а) со(Г — То) = я/2;
(б) (о(Т— То) = я; (в) @G-—Го) = Зя/2
решение при T]i—"о'СО—у)/A + *0) . Л2 = "о"(A + °)/A—°)/'2
(g. = Щ, /=li 2) имеет вид
A.4.29) ы(Х, Г) = 4 arctg
v ch
^#0'

1.4. Зависимость от времени и частные решения
S1
(A.4.29) можно получить из A.4.28), положив v = i V°>2/( 1 — ю2)
и Го = я). Решение, отвечающее двойному собственному значе-
нию, можно получить, переходя к пределу и->0:
A.4.30) и (X, Т) = 4 arctg (- Г/ch (X - XQ))
(рис. 1.4). На спектральном языке A.4.29) представляет собой
решение, отвечающее двум собственным значениям г\\, тJ, рас-
положенным по разные стороны от точки т) = 1/2. Они сливают-
ся в двойной нуль t]i = т|2 = 1/2 (этому соответствует решение
lit -
•л
i , 1 Г'
-5
а
2л-
, , ,
-7Г
-Ijr
-
-
_! 1.1
5.2
-5
1 1
2л-
1 1 1 1
\
V
V
а
-
-
i i > i
/
- /
у1
5 х
-ZJT
Рис. 1.4. Типичное двухполюсное решение A.4.30): (а)Т = 0.1; (б) Г = 1.0;
(в) Т = 10.0.
A.4.30)) и затем расщепляются в пару собственных значений %,
—?,* (этому случаю отвечает решение A.4.28)). Функционал
энергии
оо
A.4.31а) Е= J (i-(и« + и2) + 1 - cosu)
в случае кинка — антикинка, двигающихся в лабораторной си-
стеме координат со скоростью v A.4.29), принимает значение
с _ 2?'о
¦С / х »
а в случае бризера A.4.28), осциллирующего в лабораторной си-
стеме координат с частотой со, имеем
?=2?0У1-<о2,
A.4.31с)
где Ео — энергия кинка A.4.26) с v = 0.
В этом месте, вероятно, следует еще раз подчеркнуть, что
круг задач, обладающих такими солитонными решениями, весь-
ма ограничен. Часто хорошей проверкой на интегрируемость за-
данного уравнения при помощи МОЗР является изучение вза-
имодействия двух уединенных волн. Если они взаимодействуют

S2 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
неупруго, то обычно полагают, что уравнение не может быть ре-
шено методом обратной задачи рассеяния. Например, Абловиц,
Краскал и Ладик [15J изучали уравнение
ч-tt — Uxx + F (") = О
для различных функций F(u), а именно;
Fx {и) = sin и + Я, sin 2ы,
{я/4, 2пп < и < Bп + I) п,
О, и = пп,
-я/4, Bп+1)п<и<2(п+ 1)я,
Каждое из этих уравнений имеет частное решение в виде уеди-
ненной волны. Но только в случае F\(u) с А, = 0 (т. е. уравне-
ния sin-Гордон) уединенные волны взаимодействуют упруго.
Хотя при больших относительных скоростях казалось, что вза-
имодействие {% ф 0) является упругим, тем не менее при малых
относительных скоростях взаимодействие становилось очень су-
щественным. При достаточно малых относительных скоростях
уединенные волны в результате взаимодействия образовывали
связанные состояния — квазибризеры.
Многие авторы численно изучали такие задачи (ранние ра-
боты сделали Забужский и Краскал [523], Хардин и Тапперт
[198]. Обзор по этим работам можно найти у Элбека [146].
К этому направлению относятся также работы Кудрявцева
[303] и Маханькова [344]).
По сравнению с обобщенной задачей для оператора Заха-
рова — Шабата многосолитонные решения для оператора Шрё-
дингера существенно менее разнообразны. В этом случае отсут-
ствуют связанные многосолитонные решения, так как оператор
является самосопряженным.
Далее мы получим М-солитонные решения для уравнения
КдФ. Мы будем следовать работе [172]. Для этого рассмотрим
A.3.37Ь), положив коэффициент отражения p{k) равным нулю.
Воспользовавшись A.4.16), мы получим, что К(х,у) удовлетво-
ряет уравнению
A.4.32) К (х, y)+Y, c™e~*m iX+U) + ? с2>"е~ХтУ X
т=»1

1.4. Зависимость от времени и частные решения 53
Представим К(х, у) в виде
A.4.33) К (х, у) = -Т, ст^т (х) е-™.
Подставляя A.4.33) в A.4.32), производя интегрирование и
приравнивая нулю коэффициенты прпе~*пУ, получим
A.4.34а) гЫ*)+ 2, стсп*п(*) (Хга + Хт) =с™е
Пусть Е, я|) — вектор-столбцы с элементами сте~КтХ и г|5т соот-
ветственно, а С является Л^ХЛ^-матрицей с элементами
Перепишем уравнение A.4.34а) в матричной форме
A.4.34b) (/ + C)i|> = ?
(/ — единичная N X W-матрица). Мы можем быть уверены в
том, что уравнение A.4.34Ь) имеет решение т|>, поскольку мат-
рица С является положительно определенной, т. е.
г р е m - [ ( V Р с е~^г I
С^п (Xm + Xn) — H Zj ГтСтб I
x чт=1 7
N N
-У У
«=1 m=l
Решая уравнение A.4.34b) по правилу Крамера, получим
N
A.4.35а) 1ф„(х) = Д~1 Yj cm^~KmXQin,n>
где А = det(/ + С), a Qnm обозначают алгебраические дополне-
ния элементов матрицы (/+ С). Для А существует представле-
ние
Из A.4.33) следует, что на характеристике х = у функция К(х,
у) имеет вид
N N
(I 4 Ш К (у х\ = Л V V г г р~(*т+*п)хп
m—l n-l

51 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Из того факта, что производная определителя является суммой
определителей матриц, у которых продифференцирован один из
столбцов, имеем
N N
— = - V VcC e-(xm+*ii) * Q
dx Z-f I—J n *tmn
Таким образом, окончательный результат имеет вид
A.4.37) К(х, л) = Д~1-^-Д,
и, следовательно, потенциал
A.4.38)
Такая форма представления потенциала была обнаружена мно-
гими исследователями (см., например, [270, 525, 211, 495]). От-
метим, что такое представление справедливо и для более широ-
кого круга задач, даже включающих вклады от непрерывного
спектра [433]. Автомодельные решения также могут быть пред-
ставлены в этой форме [22]. Кроме того, при некоторых допол-
нительных предположениях аналогичную форму можно придать
решениям нелинейного уравнения Шрёдингера (см., например,
Захаров, Шабат [544]).
Структура yV-солитонного решения весьма проста; этот факт
лежит в основании других, более прямых подходов, позволяю-
щих строить частные решения, которые будут описаны в гл. 3
(см. метод Хироты в разд. 3.3). Но следует отметить, что эти
методы в отличие от МОЗР не позволяют решать задачу с про-
извольными начальными данными.
Обсудим теперь сдвиги фаз солитонов уравнения КдФ в двух-
солитонном решении. Мы видели, что нормировочные константы
в этом случае имеют следующую зависимость от времени:
A.4.39) ст М = Ст. /*Ш
(напомним, что ^т = — х^ < 0 являются собственными значе-
ниями). Из этого решения непосредственным вычислением полу-
чаем
A.4.40) Д = det (/ + С) = 1 + е^ + е* + ё*+ъ+А»,
где
Tlm,0 = InCm,0.

1.4. Зависимость от времени и частные решения 55
(отметим, что здесь определение т) отличается от данного в пре-
дыдущем разделе). Теперь сдвинемся вдоль траектории r]i =
= const, предполагая для определенности, что %\ > к2. Тогда
при / -> —оо т}2 -> —оо, и мы имеем
A.4.41) A—l + e'N
а при t—y-\-oo тJ-*+°° и
A.4.42) А ~A +е^+А")е\
Из A.4.38) следует теперь, что вблизи характеристики r|i = const
решение q(x, t) при ^->±оо представляется в виде
A.4.43а) Я (х> t) ~ 2x2/ch2 (tj, + ф±),
Ф+ = А\2, я|)_ = О, фиксировано, f-»-±oo. Таким образом, вза-
имодействие не изменяет скорости и амплитуды солитона. Сдвиг
фазы — это все, что происходит в результате взаимодействия. Из
полученной формулы следует, что траектория солитона сдвигает-
ся на А12, или, точнее,
A.4.43Ь) Дф = ф+_ф_==12
Вообще для уравнения КдФ с каждым собственным значением
% = — к2: х, > %2 > ¦. • > кы > 0 связан солитон, стремящийся
при /—>• ± оо асимптотически к
q ~ 2xp/ch2 (цр + ф±).
Сдвиг фазы Аф солитона дается формулой
A.4.44) Дф = ф+_ф_=
иг=.р+1
у inf *m~XpY
Теперь совершенно очевидно, что общий сдвиг фазы есть сумма
всех сдвигов, как если бы солитон р парно провзаимодействовал
с каждым солитоном по отдельности (см. [525, 495, 474]). В об-
щем случае вопрос о взаимодействии солитонов с решениями, от-
вечающими непрерывному спектру, изучался в работе [13].
В последней работе для общего сдвига фазы р-го солитона,
возникающего в результате взаимодействия с другими солито-
нами и непрерывным спектром, получена формула
A.4.45)
n=l

56 ). Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
В A.4.45) с+ обозначают „правые", а с~ — „левые" нормиро-
вочные коэффициенты; имеется в виду, что собственная функция
определена следующим образом:
A.4.46) I CpgV, х-*-оо,
Когда отсутствует непрерывный спектр, сдвиг A.4.45) сводится
к Л^-солитонной формуле, так как в случае чистого jV-солитон-
ного решения мы имеем
<>•"•«> ЮГ №-D)" П (¦?
Если имеется только одно собственное значение и непрерывный
спектр, то
A.4.48) ф+_ф_ = 1
Эта формула была найдена Абловицем и Сигуром [26].
1.5. Общий эволюционный оператор. В этом разделе мы най-
дем общий класс нелинейных эволюционных уравнений, связан-
ных с обобщенной задачей рассеяния Захарова — Шабата. Ока-
зывается, что при некоторых условиях удается установить об-
щие соотношения, позволяющие непосредственно описать класс
интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений. Эти соот-
ношения зависят от закона дисперсии линеаризованной задачи
и от некоторого интегро-дифференциального оператора. При вы-
воде мы будем основываться на работе Абловица, Каупа, Нью-
элла и Сигура [12].
1.5.а. Вывод общих эволюционных уравнений. Мы будем ра-
ботать с уравнениями A.2.7), A.2.8) и с собственными функ-
циями ф, ф, имеющими граничные условия A.3.1). Умножив пер-
вое и второе уравнения A.2.7а) (с заменой v на ф) соответ-
ственно на ф1 и фг, мы обнаружим, что квадраты собственных
функций удовлетворяют соотношениям
A.5.1)
(ЧУР) = 9Ф

1.5. Оператор эволюции 57
Сравнивая, обнаруживаем, что квадраты собственных функций
удовлетворяют однородной части A.2.8), т. е.
A.5.2) Ax = qC — rB, Вх + 2/?В = — 2Aq, Cx
Таким образом, одно из решений однородной системы A.2.8)
имеет вид
A.5.3a)
Оставшиеся два решения находятся аналогично и имеют вид
A.5.3Ь)
Когда известны все решения однородного уравнения, то можно
найти (методом вариации постоянной) общее решение неоднород-
ных уравнений A.2.8) (где qt, rt являются неоднородными чле-
нами). По причинам, которые были описаны в разд. 1.2, мы
возьмем граничное условие для А, В, С в виде
A.5.4) А->А_{$, В, С->0 при |х|->оо.
Можно было бы наложить более общие граничные условия,
но здесь мы выберем именно эти, поскольку все эволюционные
уравнения, выведенные в разд. 1.2 (при условии г, q-*-0 при
|х|-»-оо), удовлетворяют A.5.4). Здесь мы изложим централь-
ные идеи построения, лежащие в основании многих обобщений.
Так как мы потребовали выполнения A.5.4) при х = ±°°,
то система A.2.8) не будет иметь решения, если не выполнены
некоторые условия «ортогональности». Здесь мы только сфор-
мулируем результаты, а позже в этом же разделе приведем их
вывод. С учетом того, что r,q-*~O при \х\ ->оо, должны выпол-
няться следующие условия ортогональности:
A.5.5) $ [(_Г) +2i4_(?)Q].<D,rf* = 0 /=1,2,
где
(,.5.е, Ф,=(Ч Фг_(;
и и • Ф, = гф^ + <7Ф2 ПРИ u == ( ) и т. д. Условия ортогональ-
ности A.5.5) определяют эволюционное уравнение. Чтобы это

58 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
показать, выведем вначале эволюционное уравнение для <Di (для
d>2 анализ проводится аналогично). Из A.5.1) мы имеем
оо
A.5.7) ф!ф2- \ (qyl + r^dx.
— ОО
Отсюда
(ф')лЩ+2qI-
1 • '
где введено обозначение
X
A.5.9) /_=. J dy.
Систему A.5.8) можно переписать как операторное соотноше-
ние
или просто
A.5.11) ^Ф; = 2>Ф(, г = 1, 2
(A.5.11) верно также и для Ф2), где
а 512) з-х (~ дх + 2ql~r 2qI~q
A.5.12) ^-г7^ _2rJ_r dx_2rl
Здесь SB — интегро-дифференциальный оператор, действующий
на Ф. Если <4-(?) — аналитическая функция, то
A.5.13) А_($Ф1 = А
внутри радиуса сходимости. В этом случае условия ортогональ-
ности A.5.5) немедленно дают
A.5.14) Ц(Г) ¦ Ф, +2 (Г)л_ B*) •<&«]<** = <), /=1,2.
Теперь задача состоит в том, чтобы заменить оператор А-{Я?),
действующий на Ф;, сопряженным оператором, который дейст-
вует на вектор (г, q)T (T обозначает транспонирование).
Для этого определим скалярное произведение обычным
оо
образом: (u, v)= \ u-vdx. Оператор 3?л, сопряженный к 2

1.5. Оператор эволюции 59
(это не эрмитово сопряжение),определяется соотношением C>Аи,
v> = <u, i?v>. Типичными примерами служат: (i) сопряженным к
дх является —дх (при убывающих граничных условиях для u, v);
(ii) для квадратной матрицы М = [тц] сопряженной является
транспонированная матрица М — [тц]- Найдем оператор, яв-
ляющийся сопряженным к скалярному оператору Z =
= а(х)/-р(х). Действуя по определению и изменяя порядок ин-
тегрирования, получим
оо X
(и, а/_ ру> = jj dxu (х) а (х) jj dy р (у) v {у) =
v (У) J dxa W « W-
— оо у
Отсюда видно, что
Используя этот результат и A.5.14), получим
оо
A.5.15а) J [(_^ + 2Л_(<?л)(Г)].(М*==0( /=1,2,
где
ПБ1БЫ 2А-1
A.5.15b) ^ -2
и Л_ {3?^) действует только на I I. Таким образом, доста-
точными условиями разрешимости A.2.8) с граничными усло-
виями А-+А-(%), В, С->0 при |х|->оо являются уравнения
A.5.16а) ( Г) +2А_(&А
\—qJt
или в матричной форме
A.5.16Ь) о3щ + 2Л_ {SA) u = О,
где
-О-
О
Итак, мы пока что лишь показали, что условия A.5.16) яв-
ляются достаточными для выполнения условий ортогональности

60 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
A.5.5). Они являются также и необходимыми, так что A.5.16)
представляет собой наиболее общую систему эволюционных ура-
внений, интегрируемую посредством представления A.2.7) при
следующих условиях: (i) q-*-Q, Л->-Л_(?), В-*-0, С->0 при
|д:| -уоо; (И) г = ±<7*; (ш) Л_(?) —целая функция. Это утвер-
ждение вытекает из того факта, что любое эволюционное урав-
нение имеет-решения с произвольно малой нормой \ \q\dx. Если
интеграл \ \q\dx достаточно мал, то из A.3.16) следует отсут-
ствие связанных состояний. Кауп [258] показал, что при отсут-
ствии связанных состояний функции Фь Фг образуют полный
набор. Поэтому из A.5.15) следует уравнение A.5.16), которое
является наиболее общим эволюционным уравнением, что и ут-
верждалось. Аналогичное рассуждение применимо в случае, ког-
да функция А_(?) является отношением целых функций, но при
этом эволюционные уравнения содержат дополнительные связи
(см. [12]).
Важно, что А_(?) можно связать с дисперсионным соотно-
шением соответствующей линеаризованной задачи. В пределе
*->оо, /+—>0 [напомним, что /+ =
Следовательно, в этом пределе мы получаем распадающуюся
систему
rt + 2A
A.5.17)
Система A.5.17) является линейной, и ее можно решить
при помощи преобразования Фурье. Волновое решение q =
— exp(i{kx — (oq(k)t)), r — exp(i(kx — (s)r(k)i)) приводит к ус-
ловиям
A.5.18) Л_ @ = -^-«>,(—20 -^- <огB?).
а) Это означает, что установлена связь между Л_(?) и дис-
персионным соотношением соответствующей линеаризованной
задачи A.5.17). Таким образом, общее эволюционное уравнение
A.5.16) выражается через дисперсионное соотношение линеари-
зованного уравнения и оператор 3?А (си. A.5.15)),

1.5. Оператор эволюции 61
b) Существует требование, которое необходимо наложить на
вид линеаризованной системы уравнений (на г, q), чтобы ее
можно было решить посредством МОЗР.
С учетом этих результатов общее эволюционное уравнение
A.5.16) принимает вид
A.5.19) олщ — ш (- 2SA) u = О,
где w(fe) определяется из линеаризованной задачи. Примером яв-
ляется нелинейное уравнение Шрёдингера iqt = qxx ± 2q2q*,
линеаризация которого имеет вид iqt = qxx. Полагая q =
= exp(ikx — Ш), мы найдем a(k) =—k2. Из A.5.19) следует
Когда г = ±<7*, эта система совпадает с нелинейным уравне-
нием Шрёдингера A.2.11).
Вывод соотношения A.5.19) требует условия г, q-+0 при
\х\ -*¦ оо. Мы не можем просто положить г = —1, чтобы полу-
чить аналогичный результат для оператора Шрёдингера A.2.20).
В этом случае общее эволюционное уравнение, которое нашли
Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур [12, приложение 3], имеет вид
A.5.21а) qt = y(Z.)qx = 0,
где
A.5.21b) Zs=-±dl-q + \qJ+,
A.5.21с) Y(fet)e
Здесь со (k) является дисперсионным соотношением линеариза-
ванной задачи (<7 = ехр(г^л: — i<u(k)t)). Например, в случае
уравнения КдФ qt + bqqx + qxxx = 0 линеаризованная задача
имеет вид qt + qxxx = 0, что приводит к дисперсионному соотно-
шению ю= —k3. Поэтому y(k2) = —4?2 и, таким образом,
y{3?s) = —4,2V Из A.5.21) немедленно следует, что
= 0.
Из приведенного анализа видно, что квадраты собственных
функций играют важную роль. В частности, они эволюциони-
руют во времени довольно простым образом. Например, в случае

62 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
уравнения КдФ из A.2.24) и A.2.20а) мы находим, что квадрат
любой собственной функции подчиняется эволюционному урав-
нению (см. [172])
A.5.22) И/ + И«„ + 6и(о2)ж = 0,
которое представляет собой линеаризацию уравнения КдФ.
1.5.Ь. Нелинейный фурье-анализ — метод обратной задачи
рассеяния. Весьма поразительна замечательная аналогия с фурье-
анализом (ср. с разд. П.1). В линейной теории уравнения также
определяются дисперсионным соотношением:
A.5.23а) qt = — /со (— idx) q.
Например, iqt = qxx =#> со(&) =—k2. Процедура решения на-
чальной задачи на бесконечном интервале (—оо, оо) в предпо-
ложении достаточно быстрого убывания q(x, 0)->-0 при |*|->-
-> оо сводится к преобразованиям Фурье:
A.5.23b) q(x,t)==~ jj b(k, t)eihxdk,
— оо
причем
00
A.2.23с) b(k, 0) = J q(x, 0)е~1кхйх,
A.2.23d) 6(fe, /) = &(*, 0)e-to<*>'.
Таким образом, по заданному в момент t = О начальному усло-
вию q(x, 0) мы при помощи преобразования Фурье находим
b(k, 0). Функция b(k, t) просто зависит от времени, и q{x, t) по-
лучается обратным преобразованием Фурье. Схематически это
можно изобразить следующим образом:
Преобразование
Фцоье
'Цри t=O:q(x,O) .— »>. 5(*0)
ш {к} -.дисперсионное
соотношение
а(х t) -« • Ь (к, t) = Ь(к, 0) е""''1
' ' Обратное
преобрахванчв
Фурье
Близкая аналогия между методом обратной задачи рассеяния и
методом преобразования Фурье побудила Абловица, Каупа,
Ньюэлла и Сигура [12] назвать их процедуру решения Inverse
Scattering Transfoim. Так и в линейной теории вид каждого эво-
люционного уравнения можно охарактеризовать некоторым дис-
персионным соотношением, а именно дисперсионным соотноше-

1.5. Оператор эволюции 63
нием соответствующего линеаризованного уравнения, например
A.5.19). Глубокая аналогия видна и в схеме решения эволю-
ционных уравнений методом обратной задачи рассеяния. Для
удобства примем г = ±q*. Пусть при t = 0 задана функция
q{x, 0). Следует решить прямую задачу рассеяния и найти дан-
ные рассеяния (разд. 1.3). Эволюция данных рассеяния во 'вре-
мени задается сравнительно простыми уравнениями (разд. 1.4),
зависящими от дисперсионного соотношения линеаризованной
задачи. Для восстановления потенциала следует решить уравне-
ние обратной задачи (разд. 1.3). Схематически это можно изо-
бразить так:
со(к)
* ' Обратная
задана
Обратная задача сводится к уравнению
A.5.24а) К (х, у; t) =F Г (х + у; t) ±
ГЙ/в)ГДЯ = Й/о)^0)е*"-Ч1
,4=jfc,W-cAoeu'w*'tr L
\\?l= const J/=i J
K(x,z; t)F*(z + s; t)F(s + у; ()dsdz = O,
X X
где
A.5.24b) F(x;t) = -± \ |-(g, t)e~llx
2я
/-1
определяется по начальным данным, а решение q{x, t) можно
найти из
A.5.24с) q (x, i) = — 2K (x, х\ /).
1.5. с. Условия ортогональности. Здесь мы вернемся к выводу
интегральных условий A.5.5), следуя работе [12, приложение 1].
Рассмотрим задачу на собственные значения и временную зави-
симость в матричной форме:
A.5.25а) vx = it, Dv + My,
A.5.25b) v, = Qv,
где
/y,\ / — 1 0\ (A B\
„,«, V-L> D=( о i)' e-U -a)-
A.5.25c)
\r 0

64 I. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
При помощи перекрестного дифференцирования с учетом %t = О
получим
A.5.26) Nt = Qx + % [Q, D] + [Q, N],
где [A, B] — AB — BA. Сформируем матрицу фундаментального
решения
[<Pi Ф1 1
Ф2 Ф2J
Обратную матрицу Р-1 можно представить в виде
A.5.27Ь) Р [
L Ф2 — Ф1
Удобно определить матрицу S формулой Q = PSP-1 (с S рабо-
тать легче, чем с Q). Таким образом,
qx = PXSP~* + PSxP~l - PSP~lPxP~[.
Подставляя это соотношение в A.5.26) с учетом A.5.25), мы по-
лучим простую формулу Nt = PSxP~l, или
A.5.28)
Граничное условие при х = —оо имеет вид
1 0
Из A.5.28) мы можем при желании построить решения для А,
В, С. Однако здесь мы выведем только интегральные условия,
необходимые для существования_решения.
Данные рассеяния (а, Ь, а, Б) определяются соотношениями
A.5.29а) ф = аф + &г|), ф = — аф + бф,
где при х -> оо
Отсюда и из S = P~*QP мы с легкостью находим
aa — bb lab
2ab — {аа — bb)'
A.5.30) S (+«>)('

1.5. Оператор эволюции 65
Переходя в A.5.28) к л = +°° и подставляя A.5.20) в A.5.28),
получим
(? ( ^ Ф/ фЫ dx>
— оо
A.5.31) А_( \
Из определений данных рассеяния и из задачи рассеяния можно
установить равенства
00 00
A.5.32) \ (ф^ dx = \ (qipl + гф?) ^ = - аЪ,
(Ф1Ф2 + Фгф1)х rf-v = 2
воспользовавшись которыми с учетом A.5.31) получим
оо оо
\ D>\rt - ф^,) dx = - 2А_ (Q J {qq>l + гФ?) dx,
— оо —оо
оо оо
A.5.33) \ («pjr, - ф^,) ofx = - 2Л_ ft) \ {q^\ + rift) dx,
— оо —оо
оо со
\ (ф^ — Ф2ф2<7<) ^* = — 2Л_
Таким образом, определяя квадраты собственных функций
/ф?У /Ф?\
A.5.34) Ф,= . , Ф2= -о . Фз=
\ф!/ \Ф2/
мы получим, что A.5.33) сводится к
оо
A.5.35) \ [(Г) +2Л_Й)(Г)]Ф'^ = 0' i=l> 2> 3'
3 Зак. 114

66 \. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
т. е. к A.5.5). Это соотношение было по существу отправным
пунктом нашего построения общего эволюционного оператора.
Следует отметить, что вместо квадратичных комбинаций фг,
¦ф« в A.5.35) мы могли бы найти аналогичные выражения через
переменные tyi, tyi, проинтегрировав A.5.28) от +оо до х и вос-
пользовавшись соответствующими равенствами при х=+оо.
Мы бы получили
A.5.36а)
где
A.5.36Ь) аз==(о -l)' """О1
A.5.36с) 4f1=(')( ^2 = ( ' ], % = ( ' I-
Перейдем теперь к краткому обсуждению вопроса о полноте
квадратов собственных функций. Кауп [258] показал, что набор
Ч?и Фг, определенный в A.5.36с), не является полным. Для того
чтобы получить полноту, к нему следует добавить два вектора
4*3, взятых в точках дискретного спектра tn}k~v ?Л&=г ')
Эти результаты позволяют построить разложения некоторых
комбинаций исходных потенциалов и получить ряд простых вы-
ражений. В частности, используя W;, получим
оо
A.5.37) (q\ = --L J {±.A)\р2(х,1) + ±<&)ЧГ2(х, t)}dt+
N JV -
+ 2/ V -f W{ (x, tk) -2iY^h ^2 (x, S*).
Y ч i ч
Точно так же, воспользовавшись присоединенными собствен-
ными функциями, можно показать, что
A.5.38)
') Полноту квадратов собственных фукций впервые обнаружил и исполь-
зовал Кауп A976а) [258]. В [2*] дано строгое доказательство теоремы
о полноте квадратов собственных функций и построена спектральная теория
оператора L. Другие приложения и дальнейшее развитие этого подхода за-
интересованный читатель может найти в работах [3*—5*]. — Прим.. перев.

1.5. Оператор эволюции 67
Отметим также, что аналогичную теорию можно построить и
для оператора Шрёдингера (см. [267, 285]). В этом случае раз-
ложение потенциала по квадратам собственных функций имеет
вид
A.5.39) q(x,t)=^
где Yj = Ь,-/Я/ и х. является t-м дискретным собственным значе-
нием. Уравнения A.5.37—39) явились отправной точкой работы
Дейфта, Лунда и Трубовица [135], которые рассматривали урав-
нения обратной задачи как задачу о бесконечном наборе осцил-
ляторов, лежащих на поверхности бесконечномерной сферы.
Отметим, что другой вывод общего эволюционного уравнения
A.5.16, 21) был дан Калоджеро и Дегасперисом в серии работ
(см,, например, работу Калоджеро [89] и приведенные в ней
ссылки). Задачу рассеяния для оператора Шрёдингера (так же
как и в случае оператора Захарова — Шабата из разд. 1.3)
можно переписать в виде интегрального уравнения и выразить
коэффициент отражения через интеграл от потенциала и собст-
венной функции:
A.5.40) 2ikp(k)= $ </(*Ж*. k)e~ikxdx.
Более общая формула для двух потенциалов q\{x) и <7гМ имеет
вид
A.5.41) 2/fc[p,(fc)-p2(*)] = $4>i(*. *)[<7i(*)-fc(*)H8(*. b)dx,
она сводится к A.5.40) при q2 = 0. Калоджеро и Дегасперис по-
лучили различные обобщения формулы A.5.41). Важно отме-
тить, что q\(x) и Ц2(х) являются независимыми.
Если q(x, t) удовлетворяет некоторому эволюционному урав-
нению, мы можем положить q\ (х) = q(x, to), q2{x) = q(x, to +
-{-At) и устремить At—»0. Тогда A.5.41) свяжет dtp и dtq, а со-
отношения типа A.5.41) позволят вывести A.5.21), т. е. общее
эволюционное уравнение для A.2.20). Этот подход не имеет за-
метных преимуществ по сравнению с уже описанным. Калод-
жеро и Дегасперис получили следующие обобщения: (i) A.2.20)
изучалась для матричных N УС N уравнений; (и) предполагая
q — q(x, t, у), можно получить многомерные эволюционные урав-
нения. Кроме того, используя этот подход, Чью и Ладик [109]
получили общее эволюционное уравнение для дискретной задачи
рассеяния, которая будет обсуждаться в разд. 2,2.

68 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость. Одной из
наиболее важных удач на ранней стадии развития МОЗР было
открытие бесконечного набора локальных законов сохранения у
уравнения КдФ (Миура, Гарднер, Краскал A968) [383]). Это
открытие вместе с аналогичными результатами для мКдФ при-
вело к преобразованию Миуры, связывающему решения этих
двух уравнений и в конце концов к задаче рассеяния для опера-
тора Шрёдингера A.2.20). В этом разделе мы покажем, что су-
ществование бесконечного набора сохраняющихся величин яв-
ляется прямым следствием того факта, что a(k) (коэффициент
прохождения в минус первой степени) не зависит от времени.
Сохраняющиеся величины возникают как коэффициенты асимп-
тотического разложения по k~l выражения \na(k) при fe-*-oo.
Кроме того, их просто выразить через данные рассеяния (фор-
мулы следов); это будет использоваться в разд. 1.7 и 4.5. И на-
конец, мы покажем, что нелинейные эволюционные уравнения,
для которых In а не зависит от времени, являются вполне инте-
грируемыми гамильтоновыми системами и что МОЗР является
каноническим преобразованием к переменным типа действие —
угол, причем In \a\ является переменной типа действия. Для
удобства изложения мы в основном будем изучать системы вида
A.5.16), связанные с задачей A.2.7). Вычисления аналогичны
проделанным для систем, связанных с A.2.20), поэтому мы
ограничимся формулировкой результатов.
1.6. а. Законы сохранения. Вначале построим бесконечный на-
бор сохраняющихся величин для нелинейного уравнения Шрё-
дингера и всех остальных уравнений, связанных с задачей
A.2.7); при этом мы воспользуемся методом, предложенным За-
харовым и Шабатом [544]. Напомним, что если (фь фг) являет-
ся решением уравнения A.2.7а), удовлетворяющим граничному
условию A.3.1), то при Im ? ^ 0 функция ще'^х аналитична и
стремится к 1 при |?|->°о. Кроме того, существует предел
A.6.1) а(?) = lim ф1е^дс,
Х->оо
обладающий этими двумя свойствами и не зависящий от вре-
мени. Исключим фг из A.2.7а) и подставим
A.6.2) Ф1
в уравнение. В результате мы получим уравнение Риккати для
ц = Ф*:
A.6.3) У& =

1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 69
Поскольку Ф стремится к нулю при |?|->оо (Im ?>¦()),' мы мо-
жем представить
A-6.4) ^
п-0
Подставляя A.6.4) в A.6.3), получим
Из A.6.1) и того факта, что ф стремится к нулю при х-*—оо,
следует, что
A.6.6a) lna(Q — YVv , i — /_j ^чп+i
где
A.6.6b) Cn =
Но lna(?) не зависит от времени (при всех %, \т% > 0), так что
Сп также должны быть независимыми от времени. Таким обра-
зом, несколько первых (глобальных) интегралов движения
имеют вид
Со = \ {- qr} dx, С, = J {- qrx} dx,
1.6.7) С2 = J {- 9гХЛ + (qrJ} dx,
Если г пропорционально <7, то по индукции легко получить, что
dn+i = 0. Отметим, что при выводе мы не использовали
A.2.7Ь), поэтому эти интегралы являются сохраняющимися для
любого уравнения, разрешимого посредством A.2.7), т. е. для
любого уравнения вида A.5.16).
В локальной форме законы сохранения (и плотности, и по-
токи) можно получить родственным методом, предложенным в
работе [287], используя оба уравнения A.2.7а) и A.2.7Ь) (см.
также [494, 193]). В этом методе после исключения фг подстав-

70 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
ляем A.6.2) в оба уравнения A.2.7а, Ь). В результате получим
A.6.8а) 2mx = ?x~qr +
A.6.8b) % = A + j-<tx.
Определив |д = фх, мы увидим, что A.6.8а) совпадает с A.6.3)
и можно вновь воспользоваться A.6.4), A.6.5). Подставляя
A.6.4) в продифференцированное по х равенство A.6.8Ь), полу-
чим
Конкретное эволюционное уравнение задается подходящим вы-
бором А и В. После этого законы сохранения следуют из A.6.9);
для их получения следует приравнять коэффициенты при Bi?)~n
и воспользоваться A.6.5).
Например, если
r = aq*, а = ±1,
A.6.10) A = -2i?-ie\qf, B = 2Z,q + iqx,
эволюционное уравнение имеет вид
A.6.11) iqt
и A.6.9) превращается в
A.6.12)
При я^ —1 коэффициенты при Bit,)~n равны нулю; при п
находим
и т. д. Сохраняющиеся плотности совпадают для всех уравнений
рнда A.5.16), но соответствующие им потоки зависят от рассма-
триваемого уравнения.
Отметим, что этот вывод законов сохранения применим как
в случае бесконечного (по х) интервала, так и в периодическом
(см. разд. 2.3) случае. Это означает, что локальные законы со-

1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 71
хранения справедливы при любых граничных условиях. При
этом подходе совсем не использовалась задача рассеяния.
Законы сохранения, связанные с задачей рассеяния для опе-
ратора Шрёдингера A.2.20), можно получить аналогичным об-
разом [383, 532]. Подстановка v = ехр(ср + ikx) превращает
A.2.20а) в уравнение Рйккати для ф*
A.6. На) (фЛ + (Ф*J + Я + 2/*Ф, = 0,
а A.2.20Ь) переходите
A.6.14Ь) <р, = Л + (<рх +/Л) В.
После разложения ц = ф* по обратным степеням Bik),
A.6.15) P = E(gr,
я-1
мы обнаружим (из A.6.14а)), что цг« являются полными произ-
водными и что
Mi == - q> Мз = — (<72 +
A.6.16) «-1
Последние величины являются плотностями законов сохранения.
В локальной форме законы сохранения для уравнения КдФ мо-
жно получить, подставив
A = qx, B = Ak2~1q
в выражение A.6.14Ь), продифференцированное по х. Восполь-
зовавшись A.6.15, 16), получим
Нетривиальные законы сохранения представляют собой коэффи-
циенты при нечетных степенях k:
k~[<dt{q} = -dx{Zq2+qxx},
A"': dt (92 + qxx] = ~dx {Aq3 + 8qqx - 5qf - qxxxx}.
Из A.6.6) видно, что при известных интегралах движения функ-
ция 1па(?) также является известной при Im t, > 0. Теперь мы
выведем формулы следов, появившиеся впервые в работе За-
харова и Фаддеева A971) [532] для уравнения КдФ. Они поз-
воляют выразить интегралы движения через a(Q и будут ис-
пользоваться в этом разделе и в разд. 1.7. При выводе мы бу-

72 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
дем следовать работе Захарова и Манакова [534]; см. также
[162, 281].
Напомним, что a(Q является аналитической функцией при
Im ? > 0, имеющей конечное число нулей (при ?=?т, т=\, ..., N),
и а(?)-*1 при |?|->оо, 1т?>0. Мы также предполагаем,
что (i) нули являются простыми, (И) они не лежат на вещест-
венной оси, (Hi) при вещественных \ функция |па(|)-»-0 при
|||->оо для любого re ^ 0. Пусть
A.6.18а) a(s):=a(c
a(?) обладает теми же свойствами, что и а(?), но не имеет ну-
лей в верхней полуплоскости. Функция а(?) аналитична в ниж-
ней полуплоскости, а
A.6.18b) йE) = а(С)тГ
аналитична и не имеет нулей при Im ? ^ 0, и в этой области
а-»-1 при |^| -*- оо. Согласно теореме об интеграле Коши, имеем
(для Im I > 0)
оо
In a (?) <<.
1 f In a F)
Складывая эти равенства, получим при Im ? > 0
A.6.19) lna@= f
Если далее предположить, что r=±q*, то выражение упро-
стится:
Теперь перейдем к пределу J?|->-oo (оставаясь в верхней полу-
плоскости) и разложим правую часть A.6.19) по обратным сте-

1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 73
пеням %. В результате получим
j
- BшГ' ЦГ fin аи F)
-i L
Это разложение должно совпадать с A.6.6). Приравнивая ко-
эффициенты при степенях ?, получим (п = 0, 1,2...)
г
A.6.21а) С„ = —? J BЦ)п In aa(g) + J] In
L 1
Если г = ±<7*, то выражение для Сп упростится:
A.6.21b) C« = -i
m=l
Кроме того, N = 0, если г = +<7* и q ^ Lx. Мы получили так
называемые «формулы следов» для A.2.7) при г = ±9*- Они
связывают бесконечную серию интегралов движения Сп с мо-
ментами In |a(?)| и степенями дискретных собственных значе-
ний оператора. Еще раз подчеркнем, что эти формулы справед-
ливы для любого уравнения A.5.16) при г = +q*.
Для оператора Шрёдингера данные рассеяния состоят из
{p(k), k вещественно, ил, С„, п = 1, ..., Щ. Соответствующие
формулы следов могут быть представлены следующим образом
оо
[532]. Определим Ст= \ \imdx, где цт определено в A.6.15).
Тогда
A-6-22) c2m+l=^f
— со
= 0.

74 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
1.6. Ь. Полная интегрируемость. Рассмотрим теперь одно из
наиболее фундаментальных описаний МОЗР: уравнения, кото-
рые можно решить при помощи МОЗР (например, A.5.16)), яв-
ляются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами, и
МОЗР позволяет построить каноническое преобразование от
физических переменных к бесконечному набору переменных типа
действие — угол. Основной вопрос этого раздела состоит не в
том, какие новые задачи можно решить с помощью МОЗР, а
скорее его можно сформулировать так: «Почему же МОЗР рабо-
тает?»
Описание МОЗР как канонического преобразования к пере-
менным действие — угол было впервые дано для уравнения КдФ
в работе Захарова и Фаддеева A971) [532], последовавшей
вскоре после работы Гарднера A971) [171]. Для нелинейного
уравнения Шрёдингера аналогичные результаты получили Тах-
таджян [471] и Захаров и Манаков [534]. Результаты последней
работы послужили основой для обобщений, полученных многими
авторами (см., например, [162, 281, 370, 160]). Приведенный
здесь вывод опирается на все эти работы, несмотря на неболь-
шие расхождения полученных в них результатов.
Мы начнем с рассмотрения основных понятий и обозначений
гамильтоновой механики, которые потребуются для формаль-
ного обобщения на бесконечномерный случай. (Читатель, не зна-
комый с гамильтоновой механикой, может для справок обра-
титься к книгам Голдстейна [188] или Арнольда [44].) Пусть
р(х, t,a), q(x, t,$) будут аналитическими по х функциям
(—оо < х < оо), быстро убывающим при \х\ -> оо при любых
значениях {t, a, C) из области определения. Пусть
оо
Н(р, q, t) = J h{p(x, U a), q{x, t, Щйх
будет комплекснозначным функционалом от р, q и их производ-
ных по х. Его функциональная (Фреше или вариационная) про-
изводная ЬН/Ьр определяется формулой
?- $"-??«¦•
6Я/б<7 имеет аналогичное определение.
Пример. Из тождества
оо
Р(У)= \ б {х - У) р {х) dx

1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 75
следует, что
444 = 6 (х -у),
444
6р (х)
где б(х) —дельта-функция Дирака.
В рассматриваемых нами случаях h (в A.6.23) будет беско-
нечно дифференцируемой функцией от (р, q) и их х-производ-
ных. Прямым вычислением получим
п=0
Для некоторых приложений удобно определить р = ф*; тогда
тождество
\ ' ' ' бф дх Ьр
следует из того факта, что h зависит только от производных <р
и не содержит самой ср.
Определение. Динамическая система является гамильтоно-
в.ой, если возможно ввести координаты [q], импульсы [р] и га-
мильтониан [Н(р, q, t)] таким образом, что уравнения движе-
ния системы могут быть записаны в виде
/1 п сп i \ да ЬН др ЬН
A.6.26а, Ь) -57" = -1—. -я7" = Г~-
4 ' ' dt Ьр dt bq
Уравнения A.6.26) являются уравнениями Гамильтона, а пере-
менные (р, q) называются сопряженными. Имеются обобщения
A.6.26), но для наших целей этого определения вполне доста-
точно; см. также A.6.31).
Пример. Система
A.6.27) "lt + <lxx-2qr = 0,
является гамильтоновой. Это можно увидеть, отождествляя:
координаты (q) с q(x, t),
импульсы (р) с г (х, /),
оо
гамильтониан (Я) с — i \ {qxrx + (qrJ} dx.
— 00
Если при ^ = 0 r(x,O)= ±q*(x,O), то из уравнений A.6.27)
следует, что это соотношение справедливо при любых t, и мы

76 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
приходим к нелинейному уравнению Шрёдингера
A.6.28) /?« + ?«Т|?Р? = 0.
Иначе говоря A.6.28) является гамильтоновой системой с ко-
ординатами [q{x, t)], импульсами [q*(x, t)] и гамильтонианом
[оо
-м
-00
{± | qx I2 +1 q |4} dx I. Это справедливо, если определить
независимые вариации переменных q и р. В этом разделе мы
будем рассматривать A.6.28) как частный случай A.6.27), в ко-
тором на начальные данные наложено дополнительное ограниче-
ние (г = ±<7*)-
Многие уравнения, интегрируемые МОЗР, имеют первый по-
рядок по времени. В этом случае удобно пользоваться другой
формой гамильтоновых уравнений.
Лемма. Пусть Н(р, q, t) —гамильтониан динамической си-
стемы. Предположим, что он не содержит координаты q явно,
хотя может содержать производные от q no х. Тогда соотноше-
ние
совместно с A.6.26), и оба уравнения сводятся к.
(i.b.29) -at — дх ~W Чх-р-
Доказательство. Выражение A.6.29) является производной
по х от A.6.26а). Сведение A.6.26Ь) к этому виду следует из
A.6.25) и того факта, что dh/dq обращается в нуль. .П
Пример.
Динамические уравнения имеют вид
A.6.30) Я< — <Ь-2РЯ.-Я^
pt = — Bpq)x — (р2)х — рххх.
Если при t = 0 р(х, 0) = qx{x, 0), то это справедливо при всех
t, так как эволюционные уравнения для р и qx совпадают. Кроме
того, оба уравнения превращаются в уравнение КдФ A.2.2) для
P(x,t).
Таким образом, динамическая система является гамильтоно-
вой либо когда ее можно представить в виде A.6.26) для гамиль-
тониана Н(р, q, t), либо если она представима в виде
A.6.31) *Е.
^1.
дх Ьр

1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 77
для гамильтониана Н(р, /)'). Читатель должен помнить, что
Н (р, t) Ф Н (р, q) \q _p, хотя между ними имеется очевидная
связь.
Пример. Уравнение КдФ имеет вид A.6.31) с гамильтониа-
ном
A.6.32) H =
Здесь Н отличается от Я | _ из предыдущего примера на
множитель 2.
Далее для того, чтобы определить замены переменных от
(р, q) к другому набору сопряженных величин (Р, Q), мы опре-
делим скобки Пуассона:
Л A QQ\ /Л О\ Г/ ЬА 6В 6А ЬВ
A .Ь.оо) (А, В)= \ { -т—i i—s—
v ; \ > / } [ 6q 6p dp 6q
— оо
Если гамильтониан Н содержит только производные от q по х
и не содержит q, то возможно отождествление qx = р. В этом
случае A.6.33) следует заменить на
A.6.34, И. Я>-
Преобразование от (р, <7) к (Р, Q) по определению является
каноническим, если
(Q (*), Q (у^) = о, (Р (х), р 0/)> = о,
Из A.6.35) следует, что объем фазового пространства при этих
преобразованиях не изменяется. Вопрос о том, является ли пре-
образование к новым переменным каноническим, аналогичен во-
просу о полноте нового базиса в линейном векторном простран-
стве.
Пример. Тождественное преобразование
Р (х, t) = p (x, t), Q (х, /) = <7 (х, t)
является каноническим.
Имея теперь необходимый набор сведений, мы перейдем к
главному: покажем, что МОЗР представляет собой каноническое
преобразование к переменным типа действие — угол. Для того
') На самом деле существует гораздо более общее определение гамиль-
тоновой системы, так что A.6.24) и A.6.31) являются весьма частными при-
мерами (см., например, [44]). — Прим. ред.

78 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
чтобы изложение было по возможности простым, мы здесь обсу-
дим только уравнения вида A.5.16) и лишь сформулируем ре-
зультаты для A.5.21). Перечислим наиболее важные моменты
при этом исследовании:
1. Эволюционные уравнения вида A.5.16) представляют со-
бой (бесконечномерные) гамильтоновы динамические системы,
в которых (q, r) играют роль сопряженных переменных.
2. Имеется подмножество S данных рассеяния, по которому
все остальные данные рассеяния могут быть восстановлены.
3. Отображение (q, r) -> S является каноническим.
4. Сопряженные переменные в S(= P, Q) являются перемен-
ными типа действие — угол, т. е. Я = Н(Р), так что из A.6.26)
получим
A.6.36) Ж = 0' ~дГ = W = const •
Существование бесконечного набора законов сохранения непо-
средственно следует из выражения A.6.36а) и эквивалентно ему,
если на начальные данные (q, r) наложено достаточное количе-
ство ограничений.
В разд. 1.5 для любого дисперсионного соотношения, веще-
ственного при вещественных k и являющегося целой функцией,
было построено нелинейное эволюционное уравнение вида
A-5.16)
к которому применим МОЗР. Оператор 9?А был определен в
A.5.15), А- связано с дисперсионным соотношением посредством
A.5.18), и задача рассеяния рассматривается для оператора
A.2.7а).
Теорема. Пусть А~ является целой функцией от % и имеет вид
A.6.37)
еде все ап вещественны. Тогда система уравнений A.5.16) яв-
ляется гамильтоновой, q(x, t) и r(x, t) служат сопряженными
переменными, и гамильтониан имеет вид
оо
A.6.38) Я (q, r) = i ? ап (if Cn (q, r),
где Сп определены в A.6.6).
Отметим, что утверждение теоремы легко проверяется в слу-
чае любой конкретной системы (например, такой, как A.6.28));
для этого достаточно выписать гамильтониан и обобщенные пере-

1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 79
манные. Доказательство того факта, что любое уравнение вида
A.5.16) является гамильтоновым, требует более длинных рассу-
ждений.
Доказательство.
(i) Из A.2.7а) при вещественных t, имеем
Ф! (х, 0 е*х = 1 + \q (у) ф2 (у, Q e*« dy;
— 00
таким образом,
где 8(х) — функция Хевисайда.
(и) Для любой функции А(х), дифференцируемой всюду, за
исключением, быть может, конечного числа точек, можно опре-
делить
6А(х) _.. ЬА(х)
*?(*) ~ ™ ?>q(y) '
так что
6q(x)
Аналогично
^Ф_1___бф2 6-фь 2 _ 6^1, 2
U ~ бг ~ ~Eq~ ~~ 6q ~~ 6г
Поэтому
Щ§ Ц = Ф2 (Л!. ?)
A.6.39)
Все эти величины определены в верхней полуплоскости t, (см.
разд. 1.3), и полученные соотношения могут быть туда продол-
жены.
(ш) При вещественных ? из A.2.7а) имеем
+ 2/^1 = q (ф,1|>2 +
2 = /¦ (Ф^г +

80 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Используя граничное условие при х->+оо, получим
4>Ai = а — 2
таким образом,
Это соотношение также можно продолжить в верхнюю полупло-
скость.
(iv) Устремим |t|->o°, Im?>0; в результате получим
(v) Вариационные производные от In а вычисляются при по-
мощи A.6.39), A.6.40):
б In а
(vi) Теперь из A.6.6) следует, что A.5.19) можно переписать
в виде
_ бя _ ьн
Ч* — ~ЬГ' ri~~ ~6q~'
где
и=0
Это и есть желаемый результат. П
Таким образом, мы можем рассматривать эволюционные урав-
нения вида A.5.19) как гамильтоновы системы; при этом дис-
персионное соотношение линеаризованной системы имеет вид
A.6.37). (Отметим, что A.6.27) служит примером для этой тео-
ремы при со = k2.) Естественно ожидать, что аналогичные ре-
зультаты получатся и для эволюционных уравнений вида
A.5.21), связанных с A.2.20) (подробности приведены, напри-

t.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 81
мер, в работе [162]). Их можно сформулировать следующим об-
разом.
Пусть
будет целой функцией. Нелинейное эволюционное уравнение
A.5.21) является гамильтоновым вида A.6.31); при этом га-
мильтониан задается формулой
A.6.41) # = --
где Сп определены как в A.6.22). Примером является гамильто-
ниан уравнения КдФ.
Далее мы ограничимся гамильтоновыми системами вида
A.5.19) и определим для них скобки Пуассона
Определение. Для заданной гамильтоновой системы говорят,
что два функционала А, В, зависящие от сопряженных перемен-
ных, находятся в инволюции, если
(А, Я> = 0.
Для конечномерных гамильтоновых систем (с N координатами
и N импульсами) теорема Лиувилля утверждает, что если суще-
ствует N функционалов с линейно независимыми градиентами,
находящимися в инволюции, то уравнения движения интегрируе-
мы в квадратурах (см. [45]).
Лемма. Интегралы движения Сп. бесконечная последователь-
ность которых была определена соотношениями A.6.6), находят-
ся в инволюции для любой системы уравнений A.5.19), соответ-
ствующей некоторой a(k).
Доказательство. Прямым вычислением получим
С" dq м ЬСп дг \иу~
В частности, это справедливо для Я = Сп. ?
Таким образом, существование бесконечного набора интегра-
лов движения, находящихся в инволюции, для любой бесконечно-

82 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
мерной системы вида A.5.19) наводит на мысль, что эти системы
могут также оказаться вполне интегрируемыми. Эта догадка яв-
ляется верной, но для ее обоснования недостаточно наличия бес-
конечного набора инволютивных интегралов движения. Для бес-
конечномерных гамильтоновых систем совсем не очевидно,
«сколько же» функционалов, находящихся в инволюции, тре-
буется для того, чтобы гарантировать полную интегрируемость.
Определим теперь подмножество S данных рассеяния, по ко-
торому остальные данные рассеяния могут быть восстановлены.
Здесь мы будем предполагать, что функции а(?), а(?) имеют
только простые нули в соответствующих полуплоскостях, причем
они не лежат на вещественной оси. Тогда для вещественных |
определим
Может случиться, что имеются дискретные собственные значе-
ния при Im ? > О,
e(?m) = 0, cm=4- r , т=1, .... N,
и при 1т? < О
Положим
A.6.43b) />« = U. Qm = ~2i In cm,
A.6.43c) Pt=li> Q] = —2/lnc/.
Через S обозначим величины, определенные в A.6.36).
Легко видеть, что остальные данные рассеяния легко восста-
навливаются по 5. При Im % > 0 функция 1па(?) может быть
восстановлена по 5 при помощи A.6.20). Совершенно аналогич-
но находятся In а при Im % = 0 и 1па(?) при Im t, ^ 0. Функ-
цию 6(|) можно найти по Q(|), а для нахождения &(?) можно
воспользоваться соотношением аа + ЬЪ = 1. Если г = ±q*, то
при вещественных | а(|) = а*Ш, поэтому функция РA) прини-
мает вещественные значения, \Ь(Ъ)\ определяется по Р(|), Q(|)
можно заменить на ее мнимую часть, а A.6.43с) является из-
лишним.
Итак, все данные рассеяния определяются по 5. Согласно
результатам разд. 1.3, потенциалы (q, r) также восстанавли-
ваются по S. В этом смысле набор 5 является «полным». Для
того чтобы показать, что отображение (q, r) -*¦ S является кано-
ническим, нужно проверить условие A.6.35). Это весьма утоми-

1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 83
тельное вычисление, схематически описанное в упр. 1 к этому
разделу. Его результаты, однако, принципиально важны.
Отображение (q,r)-*-S является каноническим преобразо-
ванием. Поэтому динамику любой системы вида A.5.19) можно
описать как через (q, r), так и через 5.
Остается записать гамильтониан в терминах S. Это легко сде-
лать, подставляя A.6.21а) в A.6.38) и группируя подходящим
образом члены. В результате (для заданного дисперсионного
соотношения A.6.27) линеаризованной задачи) получим
Г
A.6.44а) // = ¦? J А.т 1пай(|)+
L m=l
_ г. -.
' J
m=l »*
Если г = ± 9*. то
A.6.44Ь) Я = | J Л_ (|) In | a (I) f dl + 4/^5 A.
Теперь очевидно, что Н зависит только от обобщенных импуль-
сов (P(Q, Pm, Pi в A.6.43)) и не зависит от координат (Q(?),
Qm,Qi). Это является определяющим свойством переменных ти-
па действие — угол. Также совершенно очевидно, что гамильто-
новы уравнения теперь принимают вид
A-6.45) ~ЬТ~®' ~W = !>F'
Таким образом, переменные Р не зависят от времени, a Q изме-
няются во времени линейно, т. е. движение в этих переменных
равномерно.
Запишем A.6.45) в явной форме, воспользовавшись A.6.43).
Для вещественных ?
|-{1паЗД = 0, ¦§т{\пЬ(Щ = -2А.A);
для пг—1, ..., N
A.6.46) i-U = 0, -§f{\ncn) = -2A_(U)',
для 1~\, .... JV

84 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
(Вычисление bH/bt,m и 6#/6?< по A.6.44а) не столь очевидно, его
набросок содержится в упр. 2 к этому разделу.) Это в точности
совпадает с результатами разд. 1.4.
Теперь сформулируем соответствующие результаты для эво-
люционных уравнений вида A.5.21), и в частности для уравне-
ния КдФ [532, 162]. При вещественных k определим
A.6.47а)
Q(k)=avgp(k)
и для дискретных собственных значений
A.6.47Ь) Рп = -Ч' Q« = !nc«
(см. обозначения в разд. 1.3). Тогда можно показать, что ото-
бражение
q-*{P(k),Q(k),Pn,Qn}
является каноническим, т. е. скобки Пуассона A.6.24) для новых
переменных удовлетворяют условиям A.6.35). Кроме того, легко
понять (см. A.6.22), A.6.41)), что переменные A.6.47) являются
переменными типа действие — угол. Гамильтоновы уравнения
для КдФ в этих переменных эквивалентны A.4.10).
Итак, мы можем рассматривать МОЗР как вполне конкрет-
ный метод построения канонического преобразования к перемен-
ным типа действие — угол. Динамика системы в этих перемен-
ных очень проста. Сравнительно простая картина поведения ре-
шений, возникающая в физических переменных (солитоны, их
парное взаимодействие и т. д.), является прямым следствием
существования переменных типа действие — угол. В частности,
в задачах, интегрируемых МОЗР, невозможно стохастическое
поведение.
Но это отнюдь не означает, что вся проблема стала три-
виальной. Обратная задача рассеяния нетривиальна, и для нее
нет уверенности даже в том, что решения обладают хорошими
свойствами. Например, при г ф q* точное 1-солитонное решение
уравнений A.6.27) может взорваться за конечное время (см.
с A.4.24)). Таким образом, сингулярности могут возникать даже
в полностью интегрируемых системах, если при этом, конечно,
не нарушаются законы сохранения. С этой точки зрения причина
нашего интереса к случаю г = +q* состоит в том, что стано-
вится возможным определить интеграл Со = \ rq dx, который те-
перь служит в качестве нормы (не зависящей от времени).
1.7. Поведение решений на больших временах. Этот раздел
посвящен описанию метода нахождения основного вклада в
асимптотику решений вполне интегрируемых задач (при /->

1.7. Поведение решений на больших временах 85
->оо). Помимо всего прочего, полученная информация может
оказаться полезной, если соответствующие уравнения исполь-
зуются в качестве модели физического явления.
Нетрудно показать, что если решение задачи с начальными
условиями, заданными на —оо ¦< х < оо, содержит солитоны, то
при t -*¦ оо солитоны вносят вклад порядка 0A), тогда как не-
солитонная часть (т. е. «излучение», соответствующее непрерыв-
ному спектру) медленно расплывается и исчезает. В этом смы-
сле основной вклад в асимптотику вносят солитоны (см., на-
пример, [477]). Однако это описание справедливо не везде, т.е.
существуют большие области пространства, в которых солитон-
ный вклад пренебрежимо мал и доминирует излучение. Кроме
того, может случиться, что солитонный вклад пренебрежимо мал
для таких физически важных сохраняющихся величин, как им-
пульс и энергия волнового пакета.
В разд. 1.4 обсуждалось Af-солитонное решение. Здесь мы
остановимся на таких задачах, когда из начального условия со-
литоны не возникают. Эти задачи представляют самостоятель-
ный интерес.
(i) Солитоны отсутствуют, если г = -\-q* в A.5.16) и |^| ->0
достаточно быстро при |л:| -> оо.
(И) При г = —q* в A.5.16) солитоны могут появиться, но
они не возникают для достаточно малых начальных данных (см.
A3))
A.7.1) J \q{x, O)|dx< 0,904.
— оо
(ш) В A.5.21) солитоны отсутствуют, если q(x, 0) < 0.
Этим задачам посвящено довольно много работ (Абловиц,
Ньюэлл A973) [21],Шабат A973) [459], Манаков A974) [345],
Сигур, Абловиц A976) [456], Захаров, Манаков A976) [536],
Абловиц, Сигур A977) [26], Майлз A979) [377], Абловиц,
Краскал, Сигур A979) [16], Сигур, Абловиц A981) [457]). По-
сле того как мы узнаем поведение соли гонов и излучения по от-
дельности, мы рассмотрим их взаимодействие.
Перед тем как перейти к описанию, мы сделаем два предо-
стережения. Первое связано с тем, что в этом разделе почти нет
результатов, имеющих строгое обоснование. Результаты носят
формальный характер и имеют весьма важное значение для при-
ложений, но еще требуется доказывать их асимптотичность. Вто-
рое (родственное) предостережение связано с тем, что в литера-
туре по этому вопросу встречаются ошибки ').
') Строгие результаты и обоснования асимптотических разложений при
<-»-оо можно найти в работах [6*—11*]. Причем в работах [7*, 8*] дано
строгое математическое обоснование подхода Захаропа — Манакова. — Прим
перев.

86 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
В соответствии с качественным асимптотическим поведением
решений эволюционные уравнения можно разделить на три
группы:
(a) уравнения вида A.5.16) с четным дисперсионным соот-
ношением линеаризованной задачи (например, нелинейное
уравнение Шрёдингера);
(b) уравнения вида A.5.16) с нечетным дисперсионным со-
отношением линеаризованной задачи (например, модифици-
рованное уравнение Кортевега — де Фриза);
(c) уравнения вида A.5.21) (например, уравнение Корте-
вега — де Фриза).
1.7. а. Нелинейное уравнение Шрёдингера. Мы начнем с урав-
нения
A.7.2) iqt + 4xx-2<J\q?q = 0,
где <т= ±1 и q-+0 при \х\ -> оо. Его (формальное) асимпто-
тическое решение устроено сравнительно просто, поэтому здесь
можно без особого труда пояснить некоторые детали метода.
Чтобы исключить солитоны, мы потребуем для начальных дан-
ных выполнения условия A.7.1) при а = —1. Мы также будем
предполагать, что начальные данные являются гладкими и убы-
вающими достаточно быстро при \х\ ->• оо.
Имеется точное автомодельное решение уравнения A.7.2):
A.7.3) д(х, t) = Cm
Отправляясь от него, мы будем искать решение с медленно ме-
няющимися параметрами А, ср (см. разд. П.1). При /t->oo раз-
ложение имеет вид
A.7.4а) q(x, t) оо Гт Rem,
0.7.4b) R = /+E
A.7.4c)

1.7. Поведение решений на больших временах 87
где
/ = /(-i-J—это произвольная вещественная неотрицательная
функция,
в,., = - 2а/2,
Quo = g = g (-~j—это произвольная вещественная функция,
/1>1 = -4а/C(ГJ + /П.
к о = ft + W - 4а/ B (/О2 + //") и т. д.
Это разложение можно продолжить до любой степени п. Все
коэффициенты разложения можно выразить через две произ-
вольные функции f(x/t) и g(x/t); для этого следует подставить
A.7.4) в A.7.2) и привести подобные члены. Уравнение A.7.2)
не налагает ограничений на функции / и g; мы покажем, что они
определяются по начальным данным.
Теперь мы предположим, что при t-^-oo решение уравнения
A.7.2), развивающееся из некоторых начальных данных, стре-
мится к виду A.7.4). Тогда асимптотическое решение A.7.2) бу-
дет определено, если функции /, g выражены через начальные
данные. Это можно сделать несколькими способами; здесь мы
обсудим два из них.
Вначале мы покажем, что законы сохранения однозначно оп-
ределяют /, но не налагают ограничений на g. Это находится
в соответствии с формулировкой разд. 1.6 в том смысле, что со-
храняющиеся величины связаны в переменных действие — угол
с действием и поэтому несут лишь «половину» информации, не-
обходимой для описания динамической системы.
Напомним, что в разд. 1.6 интегралы движения уравнения
A.7.2) были получены в виде
оо
л = \ М-п \х> Ч"Х,
— оо
где
2 *
Цо = — а|<7|, M-i == — aqqx,
и для п > 1
П— 1
A.7.5)

88 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Подставив A.7.4) в A.7.5), получим
f*{X)dX, (x = -j-
По индукции можно доказать, что
так что при /-> оо
A.7.6) С„ = -ст J ({)>№«, п = 0, 1,2....
Формулы следов A.6.17) выражают интегралы движения через
данные рассеяния:
оо
A.7.7) С„ = -^ \ B/|)"In|fl
— оо
Если все эти интегралы сходятся, то бесконечная последователь-
ность уравнений движения, возникающая при приравнивании
A.7.6) и A.7.7), имеет в точности одно решение:
Главный вклад в асимптотику решения уравнения A.7.2) дается
формулой A.7.4) с учетом A.7.8), хотя при этом функция g(x/t)
осталась неопределенной. Во многих прикладных задачах изме-
рить фазу бывает существенно труднее, чем «интенсивность»
(=|/|2) волны. Для практических целей в таких задачах нет
необходимости знать функцию g.
Приведенным методом формула A.7.8) была получена в ра-
боте Сигура и Абловица A976) [456]. Манаков A974) [345,
346] и Захаров, Манаков A976) [535, 536] получили ее, исполь-
зуя два других метода. В дополнение к методу, основанному на
законах сохранения, мы кратко приведем (несколько видоизме-

1.7. Поведение решений на больших временах 89
ненный) метод Захарова и Манакова, поскольку он позволяет
определить обе функции / и g в терминах данных рассеяния. Для
вещественных ? определим
Wi(x, t; l) = (fil(x, t\ l)exp(ilx), w2 = (f>2(x, i; |)cxp(—Цх),
при этом задача рассеяния A.2.7а) превращается в
A.7.9) {Wy)x = qw2e2ilx, {w2)x = - aqwxe~mx
с граничными условиями
(w{\ (\\ (хюЛ ( а{1) \
)"*•( л ПРИ А--> — оо, I 1->1 при Х-> + оо.
\w2/ \0/ K \w2J \b(l, t))
Если ^ удовлетворяет A.7.2), то
A.7.10) b(l, /) = &(!
Опять мы предположим, что при /-»-оо решение уравнения
A.7.2) стремится к виду A.7.4). Подставим A.7.4) в A.7.9), при
этом в главном порядке
(о/,), ~ Г1/2/ (-f ) Wiexp{-m - 2Цх},
с этими же граничными условиями. Далее мы будем предпола-
гать, что x/t ^ 0A) при t-*-oo, и пренебрегать членами поряд-
ка O(\nt/t) в A.7.11). Для фиксированного и достаточно боль-
шого / A.7.11) представляет собой систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений с быстрым (td + 2^дг) и медленным
(x/t) масштабами. Мы воспользуемся методом ВКБ. Итак, мы
ищем решение A.7.11) в виде
A.7.12) Wi(x, t; l) = wtt0№, ^) + r'Vi(*. Х) + О(Ц!-, Г1),
где
Х=^-, ф = /8 + 2|х, /=1, 2, 0 дается формулой A.7.4).
Таким образом,
дх -* №) + Ххдх - D-Х +
Если (Х/2 -Ь 2g) ^= 0, то, переходя в A.7.11) к главному поряд-
ку, получим
дф (Щ, о) ~ 0, <Эф (ш2, о) ~ О,

90 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
так что для i = 1,2
A-7.13) ии = юцD
В порядке /~1/2 имеем
) Ф (а>,,,) ~ / (X) щ.о(Х) Л
Опуская однородные члены, мы получим
// (X) ш2, о (X)
(-5-1+25)
Секулярные члены возникают в порядке О(Н), где A.7.9) при-
водит к
(Х/2 + 2|)д+ (wit a) ~ /ш2> !вг1|) - дх (wUQ),
(Х/2 + 2|) дф (ш2,2) - afа;,. ^ - ^ (а^. 0).
Подстановка A.7.14) в эти соотношения показывает, что исклю-
чение секулярных членов в этом порядке требует (при Х/2 -\-
+ 21 Ф 0)
Эти соотношения можно проинтегрировать и определить кон-
станты интегрирования из граничных условий для W\, w2. Таким
образом, при {Х/2 + 2|) < 0
A.7.15а) wuo(X) = exp\io \ -JIM— dy\, ш2|0-0,
| Л -Y У + 26 J
а при Х/2 + 2| > 0
A.7.15с)

1.7. Поведение решений на больших временах 91
Эти формулы несправедливы в окрестности Х/2 + 2g = 0, в ко-
торой требуется разложение, отличающееся от A.7.12). Из
A.7.15) npnXf (-4|)
/ . _ <д! — lt\J \~ - У I -~ I ^ I Г | —-- j \l S У I У
а при Xj(—4|)
A.7.17) *
^2,0
-41
где fo — f(—4|).
При (Х/2 + 2|) = 0 положим
х0 = 4|/,
(отметим, что g появилось впервые в этом месте). Вблизи Х/2 -f
-\- 2g = 0, воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, полу-
чим
В этой области мы определим
^ шг = ^B; О,
так что A.7.9) превращается в
A.7.19)
Общее решение уравнений A.7.19) можно выразить через функ-
ции параболического цилиндра. Оно должно переходить в
A.7.16) при Z-*—оо и в A.7.17) при Z-^-f-°°- Опуская детали

92 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
вычисления, мы приведем результат:
A.7.20) -«
+ 2<r$ln2-2a ^ In|у
+ 2(т
Эти формулы вместе с A.7.4) дают асимптотическое разложе-
ние решения уравнения A.7.2) в пределе /->оо. Их можно пере-
писать, выразив через (Ь/а) (?): при x/t — —4?
«(f) —«Г.Н-f(B} + -?-
AJ-21) - arg {Г (I - 2icP (-f-))} + 2cf (f) In 2 +
oo
Мы видели (в разд. 1.4), что солитоны несомненно являются не-
линейными образованиями, их невозможно линеаризовать. С дру-
гой стороны, часто можно слышать утверждения, что несолитон-
ная часть решения, которую мы только что рассматривали, каче-
ственно ведет себя так же, как решения линеаризованной за-
дачи. Теперь мы можем проверить это утверждение, основываясь
на асимптотических решениях линеаризованной задачи (П. 1.39)
и A.7.4) с учетом A.7.20). Во-первых, отметим тот факт, что в
обоих случаях наиболее важные свойства решений следующие:
(i) огибающая убывает по закону /~1/2;
(п) информация распространяется с групповой скоростью,
вычисленной по закону дисперсии линейного уравнения со =?2=
= (-2|J.
Во-вторых, в пределе малых амплитуд (в A.7.20) /->-0 рав-
номерно по х) можно показать, что Ь*(|) -*¦ aQ(—2?) и что асим-
птотическое решение нелинейной задачи в точности сводится к
решению линейной (см. упр. 1). Таким образом, для решений

1.7. Поведение решений на больших временах 93
уравнения A.7.2) два предела и -> оо и \|<7(х, 0) | dx -> 0J ком-
мутируют между собой. Нелинейность приводит лишь к тому, что
фаза содержит члены порядка \п t, a g глобально зависит от
данных рассеяния.
Общее решение уравнения A.7.2) при а = — 1 содержит и со-
литоны, и несолитонную часть. В случае нелинейного уравнения
Шрёдингера солитоны движутся на фоне излучения, и их вза-
имодействие с фоном может оказаться важным. Используя за-
коны сохранения, Сигур [454] нашел асимптотическое (при t->
-*¦ оо) решение уравнения A.7.2) с <х = —1 в простейшем слу-
чае, когда данные рассеяния содержат лишь одно дискретное
собственное значение и непрерывный спектр. Главный вклад
имеет вид
q (х, t) ~ 2r) exp (wp)/ch ф +
, ,-1/2, ( х \ Г ,//m (t + x/4t + й) th ФJ ,
A.7.22) +/ I {—) Lexp {М) (| +
+ ехрB/ф -
где (| +tT]) —дискретное собственное значение,
Ф = -2[^ + 2(|«-т12)/1 + ф,
ф = 2т| (х +
Первый член в A.7.22) —это просто обычный солитон. Второй
член представляет собой излучение (с поправками в окрестности
солитона), а третий член можно рассматривать как результат
взаимодействия между этими двумя компонентами. Этот резуль-
тат был получен только при помощи законов сохранения, поэто-
му фазы (а точнее, функции ф, ф) остались неопределенными.
В частности, полный сдвиг фазы солитона (от t = —оо до / =
= +оо) вследствие взаимодействия с излучением нельзя опре-
делить этим методом.
1.7. Ь. Модифицированное уравнение Кортевега —де Фриза.
Для мКдФ
A.7.23) vt — &ov2vx + vxxx = 0, а = ± 1
дисперсионное соотношение линеаризованной задачи (со =.
= —кг) является нечетной функцией, так что групповая ско-
рость dm/dk = —3k2 имеет одинаковый знак для всех вещее г-

94 1, Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
венных k. Поэтому расплывающиеся осцилляции, покрывавшие
всю ось х в случае асимптотического решения уравнения A.7.2),
теперь сосредоточены в области х <С 0. Это вовсе не удивитель-
но— аналогичный результат имеет место и для линеаризован-
ного уравнения мКдФ (см. разд. П.1), но приводит к необходи-
мости проведения отдельного анализа асимптотики при х > 0.
Для того чтобы исключить солитоны при а = —1, мы снова
потребуем выполнения условия A.7.1) для начальных данных
уравнения A.7.23). Чтобы иметь возможность продолжить функ-
цию 6(|, 0) с вещественной оси, мы потребуем в этой задаче до-
статочно быстрого убывания начальных данных при больших х.
Линейное интегральное уравнение для A.7.23) можно запи-
сать в виде
A.7.24) К(х, у; () + oF(x + y; 0 =
оо оо
= о \ \ К(х, г; ()F(z-\-s; i) F (s + У, t)dzds, у > x,
X X
где
00
г \Х, ij — ^ \ [?,) ехр \ь?л —р* oic, if wt^
— со
и
v(x, t) = —1K{x, x\ t).
Функция FBx, t) удовлетворяет линеаризованному уравнению
мКдФ, ее асимптотическое поведение (при ?->оо) известно (см.
разд. П.1).
В частности, при х ~> C/I/3
.7.25) F {%; t) ~ ,/о ехр (—2/rj),
где г (|) = F/а) (I) и k2 = %/&(. В этой области
К(х, у; l)~-oF(x + y; f),
а интегральный член в A.7.24) экспоненциально мал. Таким об-
разом, при х > C/I/3
A.7.26) v(x, 0~-
Это представление становится несправедливым при x/t-^-O. Для
того чтобы найти представление в этой области, мы запишем
Tb [ r(T
4я C01/3 J V 2 (зо1

1.7. Поведение решений на больших временах ?э
где Z = x/C/)''3- Разложив гA) в ряд Тейлора вблизи | = 0 и
переходя к пределу /-»оо, %//->• 0, причем Z = x/C/I/3-»oo,
получим
A.7.27) ov (х, 0 ~ C0~1/3 г @) Ai (Z) - Ct)~2'3i -Qp- Ai' (Z) +
где Ai(Z) —функция Эйри. Это наводит на мысль, что в обла-
сти |лс| =SC О(C^I/3) нам следует искать приближенное решение
уравнения A.7.23) в виде
A.7.28) v (х, /) ~ (З/)'/3 w (Z) + C02^3 ш, (Z) + ...,
где w(t) удовлетворяет второму уравнению Пенлеве (см.
разд. 3.7)
A.7.29)
с граничным условием
A.7.30) w(Z)-*ar@)Ai(Z) при Z-> + oo.
Нелинейность уравнения A.7.29) означает, что решение в проме-
жуточной области |л| ^О(C/I/3) остается нелинейным при
^->оо, хотя его амплитуда стремится в этом пределе к нулю.
Такая нелинейная область существует для любого решения урав-
нения мКдФ, если г@) ф 0.
В точке % = 0 можно найти явное решение задачи рассеяния
A.2.7а): при а = +1
Ф, (х, O) = ch( \ vdx\, <р2 = sh I \ vdx\,
так что
г@) = -
Аналогично получим для а = — 1
= -1&П vdxj.
Однако функция v должна быть абсолютно интегрируемой (см.
разд. 1.3), поэтому
A.7.31) |г@)|< 1 для <т = + 1, | г @) |< оо для а=-1.
В обоих случаях ограничения A.7.31) гарантируют ограничен-
ность решений уравнения A.7.29) с граничным условием A.7.30)

96 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
при всех вещественных Z (см. разд. 3.7). Таким образом, в об-
ласти \х\ ^О(C01/3) решение уравнения A.7.23) приближен-
но является автомодельным и удовлетворяет уравнению A.7.29)
с граничным условием A.7.30). Типичное решение приведено на
рис. 3.2, с. 281.
Так же как и решение линеаризованной задачи, решение
уравнения A.7.23) быстро осциллирует при — х >¦ C/I/3. В этой
области после некоторой модификации можно применять любой
из методов, которые мы использовали для вычисления асимпто-
тики уравнения A.7.2). При этом удобно воспользоваться авто-
модельным решением уравнения мКдФ с медленно меняющимися
параметрами. Общее решение уравнения A.7.29) не может быть
выписано в явном виде, но при Z -> —оо (т. е. в области осцил-
ляции) формальное асимптотическое решение имеет вид
w (Z) ~ (-Z)- d sin 6 + О (| Z Г7'4),
0 ~ -|-(-ZK/2- _|_ffrf2ln(_z) + е + О (|Z П.
где rf и 9 являются константами интегрирования; для удобства
положим d ^ 0. Затем, считая d и 0 зависящими от X = —x/3t,
мы получим при —х >¦ C^I/3 интересующий нас вид решения:
о (х, 0 ~ Cf)-ll2X-v*d sin 6 + О ((З/)),
A.7.32) 9 _ 2/J3/2 _ о d2 ,п з/ _
Эта формула, взя1ая в главном порядке, аналогична A.7.4).
Законы сохранения определяют d(X). Следует сделать един-
ственное изменение в методе из предыдущего раздела: чтобы по-
казать, что только область —x^>{3t)l/3 вносит вклад в инте-
гралы движения, нужно использовать A.7.26) и A.7.28). Окон-
чательный результат состоит в том, что на линии
A.7.33а) x = -jf = l2
Отметим, что A.7.33а) снова определяет групповую скорость, со-
ответствующую дисперсионному соотношению линеаризованной
задачи, как скорость, с которой информация передается при
t-+oo. Отметим также, что A.7.33Ь) практически совпадает
с A.7.8Ь).
Для того чтобы одновременно найти и d{X), и 0(^), подста-
вим A.7.32) в задачу рассеяния A.2.7а). Аналогом A.7.11) яв-
ляется
/1 7 Ч\ W* ~ VtrU9X-V4d (X) sin 0 • e2ilxw2,
W» - (WWX-mdX sin 0 • e-2ilxWl

1.7. Поведение решений на больших временах 97
при следующих граничных условиях:
при *->¦ — оо,
С-> + оо.
Здесь мы воспользовались A.7.26) и A.7.28), чтобы показать,
что Ш|, w2 являются константами (в главном порядке) при
х > 0.
Важное различие между A.7.34) и A.7.11) состоит в том,
что при /->оо и X — 0A) A.7.34) зависит от двух быстрых
переменных @ + 2|лг) и @ — 2|*) и одной медленной (X). Вы-
числения, аналогичные тем, которые привели к формулам A.7.20),
следует производить, учитывая это различие. Здесь мы опустим
детали вычислений; их можно найти в работе [457]. Оконча-
тельный результат имеет вид A.7.33), и (при 1^0)
A.7.35) - 4- adl Щ 2 - -f- \ In (i^JL) (d2), dy +
В пределе Х = —x/3t->Q, a Z = x/Ct)l/3-+ — оо, прибли-
женное решение A.7.32, 33, 35) уравнения мКдФ гладко перехо-
дит в решение A.7.28, 30). Эта сшивка отчасти подтверждает
правильность проделанных здесь вычислений и будет играть
важную самостоятельную роль в разд. 3.7.
Обсудим результаты, полученные для A.7.23). В отсутствие
солитонов асимптотическое решение уравнения мКдФ, развив-
шееся из подходящих начальных условий, дается формулами
A.7.26) при х> C/I/3, A.7.28, 29, 30) при |*| s^O(C*I/8) и
A.7.23, 33, 35) при (—*) > C01/3. Если г@) ф 0, то решение
носит нелинейный характер в промежуточной области, какой бы
малой ни была его амплитуда. Тем не менее в этом случае мож-
но показать, что асимптотическое решение переходит в решение
линейной задачи, если амплитуду начального условия (в смысле
нормы L\) взять равной нулю. Таким образом, два предела (t->
-*¦ оо начальная амплитуда ->-0) коммутируют для уравнения
мКдФ, так же как в случае A.7.2). Отметим, что, утверждая
коммутативность пределов, мы не ограничили общности, исклю-
4 Зак. 114

98 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
чив солитоны; они автоматически отсутствуют в пределе малых
амплитуд в соответствии с A.7.1).
1.7. с. Уравнение Кортевега — де Фриза. Каждое решение
уравнения мКдФ при а = +1 порождает решение уравнения
КдФ
A.7.36) щ + Ьиих + иххх = О
с помощью преобразования Миуры [379]
A.7.37) u = -v2-vx.
Таким образом, наши результаты об асимптотическом поведе-
нии решений уравнения мКдФ также определяют асимптотиче-
ское поведение бесконечного набора решений уравнения КдФ.
Однако эти решения уравнения КдФ оказываются практически
бесполезными. Дело в том, что почти для любого заданного на-
чального условия, для которого уравнение КдФ может быть ре-
шено при помощи МОЗР, возникающее в результате эволюции
решение не может быть получено по формуле A.7.37) из быстро
убывающего (по х) решения уравнения мКдФ.
Мы можем изучить это преобразование более детально. Пусть
v(x, 0) является гладким, быстро убывающим (по х) началь-
ным условием уравнения A.7.23) при а=+1- Пусть r(k) обо-
значает коэффициент отражения, соответствующий v(x, 0). Из
A.7.31) следует, что |г@)| < 1. Пусть теперь p(k) = r(k), где
p(k) является коэффициентом отражения, соответствующим не-
которому решению уравнения КдФ. Тогда r(k) порождает не-
которое решение уравнения мКдФ по формуле A.7.24); при этом
p(k) порождает решение уравнения КдФ согласно A.3.37). Срав-
нив эти два интегральных уравнения, нетрудно показать, что эти
два решения связаны соотношением A.7.37).
С другой стороны, Абловиц, Краскал и Сигур [16] показали,
что почти для любого гладкого начального условия уравнения
оо
КдФ, удовлетворяющего неравенству \ A + [ х |2) | и | dx < оо,
— оо
A.7.38) р@) = —1.
Таким образом, почти для всех начальных данных уравнения
КдФ мы не можем приравнивать p{k) к r(k) и эффективно поль-
зоваться преобразованием A.7.37). Поэтому требуется отдель-
ный анализ асимптотического поведения решений уравнения
КдФ. Этот анализ вполне аналогичен проделанному нами для
уравнения мКдФ, но из-за A.7.38) возникает некоторое разли-
чие. Как обычно, мы предполагаем начальные условия быстро
убывающими при |*|->-оо и гладкими, а также предполагаем

1.7. Поведение решений на больших временах 99
отсутствие солитонов. Здесь мы только сформулируем основные
результаты; детальное рассмотрение можно найти в работе [26].
При х > C^I/3 интегральный член в A.3.37) является экс-
поненциально малым по сравнению с двумя оставшимися, и по-
этому
A.7.39) и (х, 0 ~ Р2(УДГ exp {-2tk%
где k2 = x/3t. Другим представлением решения в этой области,
которое остается справедливым при x/3t -> 0, служит
A.7.40) и (х, t) ~ - C/Г2/3 Р @) Ai' (Z) +
2пп1
dZ )
где Z == (jc + Xo)/Ct)]'3> a константа xo = —ip @)/2p@) выбира-
ется из соображений удобства.
В области | х | ^ О ((З/I/3) мы ищем решение уравнения КдФ
в виде
A.7.41) и (х, t) ~ C0-^ [/ (Z) + C0-1/3/, (Z) + C/)-2'3/2 (Z) +...].
(Один из немногих строгих результатов этого раздела был по-
лучен Шабатом A973) [459], доказавшим справедливость асим-
птотического представления A.7.41) в главном порядке.) Функ-
ции /, /ь .. . подчиняются обыкновенным дифференциальным ура-
внениям
A.7.42)
с граничными условиями, полученными из A.7.40) при Z->+ °°-
Например,
A.7.43) f(Z) p@)Ai'(Z) при Z-*+«>•
Теперь очевидна важность условия A.7.38). Поведение решения
A.7.42а, 43) зависит от р@).
(i) Если |р@)| < 1, то решение ограничено при всех ко-
нечных Z и осциллирует при Z->—оо. Такие решения уравне-
ний A.7.42) связаны с ограниченными решениями уравнения
A.7.29) формулой A.7.37).

100 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
(п) Решения, отвечающие |р@)| > 1 или р@) — +1, не
представляют интереса.
(Hi) Если р@) = —1, то при Z-* оо f(Z) асимптотически
приближается к
A.7.44) f (Z) =4 Г (-22)-1'2 + -f (-2Z)-2 + О ((-2Z)-™).
Таким образом, если р@) = —1, то первый член в A.7.42) ли-
нейно растет. При этом h(Z) растет экспоненциально, а /4(Z)
даже быстрее, т. е. разложение A.7.41) становится беспорядоч-
ным. Можно показать, чго (Z->—оо, р@) =—1)
A.7.45) и{х, 0
ц
где
С-0)П8{р"@)+[р/@)]2}.
Коэффициент 0,118 был определен численным интегрированием
[26, 377]. Ясно, что A.7.45) нарушается при Z-» оо. Это на-
рушение означает существование новой области, которая может
быть названа «бесстолкновительной ударной волной», или пере-
ходным слоем. Существование этой новой переходной области
является прямым следствием A.7.38); в типичных асимптотиче-
ских решениях уравнения мКдФ такая область отсутствует.
Для приложений бывает важно знать расположение и скоро-
сти распада минимума основной волны (см. рис. 4.4). Местопо-
ложение минимума можно найти, продифференцировав выраже-
ние A.7.45). При очень больших временах
A.7.46а) (-2Z) ~ B In З/J'3,
и в окрестности этой (движущейся) точки
A.7.46b) "~-^
Эта асимптотическая скорость распада совершенно не зависит
от начальных условий. Однако время, необходимое для выхода
на асимптотику A.7.46), является настолько большим, что во
многих прикладных задачах эта заключительная стадия разви-
тия начального условия может не реализоваться.
Для определения структуры бесстолкновительной ударной
волны необходим отдельный анализ. Подробности можно найти

1.7. Поведение решений на больших временах 101
в работах [26] и [377]. Характерный масштаб волны неявно свя-
зан с нарушением A.7.45). Удобно определить новую простран-
ственную переменную |
.7.47а) C/) (—2Z) ехр I -—jp—1 = е5
и зависимую переменную g(|, ^)
"A.7.47b) «(л:, 0= ~2Д g(i, 0-
C0
Можно показать, что в главном порядке фронт бесстолкнови-
тельной ударной волны имеет вид
A.7.48) g(l, /)~- 4
2ch«{-L(E-E.)}"
Это выражение сшивается с A.7.45), если |0 — —3/2 In (С/2).
Такое представление становится несправедливым при больших
I (In31 > I > In t) или Р'3AпЦ*'3 %>(—xJ>tl'3(lntJ'3, и его
следует заменить на другое медленно изменяющееся решение
A.7.49) . д~
где Ф является (подходящим образом определенной) быстрой пе-
ременной, a Y — медленной переменной. Оно сшивается с
A.7.48) при F-vO. При F->oo решение уравнения КдФ (на са-
мом хвосте ударной волны) задается формулой
и(х, o
A.7.50) о
v e|(
Это решение должно сшиваться с решением в осцилляторной об-
ласти.
Наконец, мы рассмотрим чисто осцилляторную область. В ней
нет большого различия между поведением решений уравнений
КдФ и мКдФ, и мы лишь приведем окончательный результат.
Асимптотика решения уравнения A.7.36) в этой области имеет
вид
A.7.51) и(х, () ~ C/)-I/2^1/4Bd)cose - C/)~IZ-1/2BdJ(l - cos26),
где
9 - 2tXm - 2d2 In 3/ - 3d2 In X + §,
X=-^-, d = d(X), e = 9(Z).
Отметим, что любое решение этого вида имеет неосциллирую-
щий член, который отрицателен и имеет порядок Ct)-lX~i/2. Т<ь

102 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
ким образом, для уравнения КдФ солитонам присуща «поло-
жительность», а излучение несет «отрицательную часть». Функ-
ции d(X), В(Х) выражаются через коэффициент отражения p(k)
следующим образом:
1 J-52) 6 (X) = -f - arg {p (A)} - arg {Г A - 2W2)} -
Если |p@)| < 1, это решение сшивается при Х->0 с решением
A.7.41), в целом решение качественно похоже на решение урав-
нения мКдФ и может быть получено по формуле A.7.37). Если
р@) =—1, это решение сшивается при Х-*-0 с решением
A.7.50). Типичное решение уравнения КдФ приведено на рис. 4.3,
с. 326.
Это завершает анализ решений уравнения КдФ в случае от-
сутствия солитонов. Общее решение может содержать N солито-
нов, но при ^->-оо каждый из них будет находиться в области,
где оставшаяся часть решения экспоненциально мала. Таким
образом, при t -> оо взаимодействие солитонов и несолитонной
части (в главном порядке) отсутствует, и можно просто доба-
вить N солитонов (все с центрами при х > 0) к решению, чтобы
получить асимптотику общего решения. Затем следует уточнить
сдвиги фаз, обсуждавшиеся в разд. 1.4. Абловиц и Кодама A980)
[14] построили асимптотическое решение, содержащее и соли-
тоны, и непрерывный спектр. Они воспользовались М-солитон-
ным решением, в котором уже прекратились столкновения.
Наконец, сравним асимптотическое решение уравнения КдФ
A.7.36) и соответствующей линейной задачи (П. 1.49). В отли-
чие от уравнения A.7.2) и A.7.23), точнее в отличие от результа-
тов, относящихся к решению уравнений вида A.5.16), для кото-
рых a(k) не имеет нулей при вещественных k, в случае уравне-
ния КдФ два предела (?->оо и начальная амплитуда -> 0)
не коммутируют между собой. В случае уравнения КдФ соли-
тоны можно сделать произвольно малыми (в любой Lo-норме
l^p^oo), но пределы не коммутируют даже в отсутствие'
солитонов. В линейной задаче основная волна в асимптотическом
решении спадает со временем по закону /~, если \udx=?Q;
в противном случае (\udx = Oj скорость спадания амплиту-

Упражнения 103
ды этой волны равна t~213, если \хис!хФ0 и т. д. Но почти
для всех решений уравнения КдФ независимо от их малости
р@) = —1, и скорость асимптотического спадания главного
импульса имеет порядок (In t/t)m, согласно A.7.46). Таким об-
разом, асимптотическое поведение двух решений в этой об-
ласти различно. Кроме того, за исключением особого случая
\udx = 0, наименьшая скорость спадания равна t~m для ре
шения линейной задачи и С для соответствующих решений
уравнения КдФ.
Упражнения
Раздел 1.1
1. (а) Показать, что A.1.2) получается из A.1.1) при (А->
-*0).
(b) Какие члены пропорциональны /г4; е/г2?
(c) Что произойдет при e/h2 -С 1; е/к2 >¦ 1?
2. Задано К (и) в A.1.5) и M(v) в A.1.7). Показать, что если
и = — (v2 + vx), то
3. Задано A.1.11 —13). Проверить, что условие tytxx = ty
приводит к A.1.14) и поэтому К(и) = 0 в том и только в том
случае, когда Xt = 0.
Раздел 1.2
1. Вывести A.2.13) из A.2.8).
2. (а) Найти точное решение A.2.8) для разложения А, В,
5
С пятого порядка, т. е. А = X аг?>п> и т. д. Какое нелинейное
о
уравнение возникнет при г = q, когда произвольные константы
выбраны так, чтобы линеаризованное уравнение имело вид
[dt + {dxN]v = 0?
(b) Найти решение A.2.21), выраженное через разложения
2
(А, В) второго порядка, т. е. А— X о.пКп. Какое получится не-
о
линейное эволюционное уравнение, линеаризация которого имеет
вид [dt + (dx)*]u = Q?
(c) Показать, что эти уравнения связаны преобразованием
Миуры
и = —V2 — vx.
Раздел 1.3
1. Используя A.3.3, 4), показать, что ¦ф = аф-т-6ф, т|з =

104 I. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
2. Пусть функции г, q в A.2.7а) удовлетворяют неравен-
ствам \г{х)\, | q (х) |< Се~2К'х' для некоторых С, К> 0. Дока-
зать, что в этом случае функция а(?) аналитична для Im?>
> — К, b(Q, b(Q аналитичны при |Im?|</C> и a(Q аналитич-
на при Im ? < К-
3. (а) Почему условие r = -\-q*€^Ll гарантирует отсутствие
дискретных собственных значений задачи A.2.7а) при Im?>0?
(b) Используя A.3.4, 14), показать, что при r = -\-q*
|а|2^1 при Im(?) = 0. Доказать, чтоа(?)=^0 при Itn(g)^O,
если г = -\-q*.
4. При г =—q*€=:L\ в A.2.7а) было показано, что условие
A.3.16е) является достаточным, чтобы гарантировать неравен-
ство а (?) =т"^ 0 при Im(?)^0. Допустим, что r = —q — вещест-
венная функция. Решите уравнение A.2.7а) при ^ = 0 в явном
= cos I \ q dx I.
виде. Покажите, что а @) = cos I \ q dx I. Поэтому условие
Qo (oo) < я/2 является необходимым для отсутствия дискретных
собственных значений. (Сатсума и Ядзима [451] показали, что
для семейства вещественных потенциалов при г = —q одно
дискретное собственное значение появляется при Q0(oo) =
= я/2, второе при(?о(°°) = Зп/2 и т. д.)
5. Пусть г = —q* в A.2.7а), причем q(x) = Q (где Q =
= const) при 0 < х < L и q(x)=Q на остальной части оси.
Вычислить данные рассеяния {а(|), Ь(%)}. Обсудить число и рас-
положение дискретных собственных значений как функций Q и
L, Как собственное значение отражается на argQ? Показать,
что Im(?) > Q для любого дискретного собственного значения.
6. Доказать, что a(k), определенное в A.3.35), имеет анали-
тическое продолжение в верхнюю полуплоскость.
7. Пусть q{x)^0 в A.2.20а). Доказать отсутствие дискрет-
ных собственных значений (с ^<0). {Указание: использовать
осцилляционную теорему.)
8. (а) Пусть в A.2.20а) q(x)=Q (вещественное) при 0<
< х < L и <7(х)=0 в остальных точках. Вычислить данные
рассеяния. Обсудить число и расположение дискретных собствен-
ных значений как функций от Q, L. Показать, что для любого
собственного значения \%\ < \Q\.
(b) Сделать то же самое для q{x) = Q/ch2(mx) в A.2.20а)
(Q, т вещественные). {Указание: положить t — ihmx и вос-
пользоваться присоединенными функциями Лежандра.)
(c) В случаях (а) и (Ь) вычислить рF = 0) в явном виде
и показать, что р@) = —1 почти для всех потенциалов из этих
семейств. Чем выделены потенциалы с р@) Ф —1?

Упражнения 105
(Другие ограничения на число и расположение дискретных
собственных значений можно найти в работах [453] для
A.2.20а) и [12], [451], [253] для A.2.7а).)
Раздел 1.4 ¦
1. (а) Найти односолитонное, двухсолитонное и бризерное
решение для уравнения мКдФ A.2.2) с помощью линейного ин-
тегрального уравнения A.3.29) при подходящих данных рассея-
ния.
(Ь) В действительности имеется две формы для уравнения
мКдФ, имеющих солитоны:
<7* + 6<72<?х + <7*** = 0 (<7 вещественно),
Как такие частные решения соотносятся друг с другом для
этих двух задач?
2. (а) Возьмите одну из систем уравнений (для г, q), инте-
грируемых с помощью A.2.7), и пусть г и q в начальный момент
не связаны между собой. Показать, что односолитонное решение
имеет сингулярности в бесконечном количестве вещественных
точек {х, t), за исключением случая q = ar*, a — const. Пока-
зать, что сингулярность может развиться из бесконечно глад-
кого начального условия.
(Ь) Показать, что \ rqdx является сохраняющейся величиной
для эволюционного уравнения. Пусть г = q*a, а вещественно.
Показать, что решение остается в /,2, если начальное условие
принадлежало этому пространству. Показать, что принадлежа-
щие L2 функции не могут иметь сингулярностей описанного в
(а) вида.
3. Пусть для A.2.20а) q{x) = N(N + I)m2/ch2{mx) (как в
упр. 8 разд. 1.3).
(a) Для N = 2 найти явный вид собственных функций г|5ь
г|5г дискретного спектра. Найти далее ct, di (i = 1, 2) и вычис-
лить сдвиг фаз двух солитонов уравнения КдФ. Проверить
A.4.44) в этом частном случае.
(b) Сделать то же самое при N = 3.
(c) Как изменятся сдвиги фаз, если эволюционным уравне-
нием является не уравнение КдФ, а уравнение КдФ пятого по-
рядка? Что будет происходить в случае КдФ первого порядка
(т. е. qt-\- cqx = 0)?
Раздел 1.5
1. В случае А-Ц) = A/2/) B?K показать, что A.5.16) сво-
дится к системе двух уравнений мКдФ.

106 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
2. В случае А-(?) = (— l/2t) B?M показать, что A.5.16) при-
водит к системе из двух уравнений пятого порядка. Если 7(&2)==
= —Bk4), показать, что A.5.21) сводится к другому уравнению
пятого порядка. Если г = q и вещественно, показать, что реше-
ния этих двух уравнений связаны преобразованием Миуры
3. Является ли A.5.16) следствием A.5.5) или просто согла-
суется с ним?
4. Какое общее эволюционное уравнение, аналогичное
A.5.16), получится для задачи рассеяния A.2.25)?
Раздел 1.6
1. Показать, что отображение (q, r)->-S, определенное в
A.6.42), является каноническим преобразованием для любой га-
мильтоновой системы вида A.5.16). (В основном этот анализ
следует работе Захарова и Манакова [534].)
(a) Так же как это было сделано для а(?) в A.6.39), вычис-
лить градиенты (по г, q) функций а, Ь, В.
(b) Пусть и{1) = (и\[), «У) и w{l) суть два решения A.2.7а)
для | = |i и пусть «B>, шB) — два других решения при | = |г,
Доказать тождество
а & - h) [uWMV - «4WV»] =
(с) Это тождество позволяет вычислить в явном виде инте-
гралы из скобок Пуассона, содержащие а, а, Ь, В. Показать, что
{а &)> Ь (У) = - 2/ (|1}_ ы [а (|,) Ь (Ы - Ь (?,) а (У^п^ехр {2/ (|, -
Найти скобки Пуассона всех остальных комбинаций а, а, Ъ, В.
(d) Тождество
eikx
lim —т— =
й
в котором левую часть следует интерпретировать в смысле
главного значения, можно доказать, переходя к пределу
оо X
lim \ dk \ dy<$ (у) cos ky, где <р {у)— пробная функция. Ис-

Упражнения Ю7
пользуя это тождество, доказать, что
<1п а(Ю, In Ь (У) = - 2. ' \
2. (|)_ ы +
ln a (?,), In 6 (У) = 2ЩГ=ь5 + "Г
Используя A.6.43а), показать, что
(e) Показать, что <1п6, \пБ} Ф 0. (Это просто сделать, вос-
пользовавшись соотношением для вронскиана.)
(f) Продолжая Ь, В с вещественной оси, показать равенство
нулю некоторых из оставшихся скобок Пуассона.
(g) &tm/&q(x) непосредственно получается из того факта, что
а = а(%, q, r); таким образом,
. да ,,,. , да ^ | да х
По определению b%n/bq можно вычислить, потребовав 5а = 5г=
= 0 и продолжив A.6.39) с вещественной оси;
да
Вычислить Ь%т/Ьг, St.i/bq, б^г/бг. Воспользоваться A.6.43) и по-
казать, что
</>«, Q«) = 6m,re, <Pfe, Q/)==6fei/
и что все остальные скобки Пуассона в A.6.43) равны нулю.
2. Вывод A.6.46) требует знания 8H/8t,m, 8H/8t,i.
(а) Из A.6.19) показать, что при Im % > 0
д (In a)
1 d\ I 1
J I-H-U С - Cm '
a (In а) _ 1
а?г C-Cj '
(b) Разложить эти выражения при |?|-*-°°» Im ^ > 0, и,
воспользовавшись A.6.6), показать, что
(с) Воспользовавшись A.6.38), показать, что

108 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
3. (а) Каким условиям должны удовлетворять функции q, r
для того, чтобы функции а, Ь, а, В продолжались с веществен-
ной оси?
(Ь) Каким условиям они должны удовлетворять, чтобы ин-
теграл
оо
ln\naa(l)dl
существовал для всех л^О и, таким образом, существовали
интегралы A.6.21)?
(c) Пусть Л_(?) является полиномом. Каким условиям дол-
жны удовлетворять q, r, чтобы существовал интеграл A.6.44)?
(d) При каких условиях мы можем использовать полиномиаль-
ные плотности законов сохранения (только) как переменные дей-
ствия? Какие углы им соответствуют?
4. Уравнение sin-Гордон A.2.3) обладает дисперсионным со-
отношением линеаризованной задачи <u(k)=k-\ не удовлетво-
ряющим A.6.37). Несмотря на это, результаты этого раздела
применимы, если аа@) = 1.
(а) Показать, что A.2.3)—гамильтонова система вида
A.6.31) с
Я=
°° ( / х \ )
= J jcosf J v{y)dy\-\\dx.
(b) Показать, что преобразование A.6.43) является канони-
ческим.
(c) Записать гамильтониан в терминах этих переменных
[370].
5. Когда дисперсионное соотношение A.5.16) является нечет-
ной функцией ?, уравнения допускают вещественные решения с
f = ±q. Наложите эти ограничения на A.5.16), чтобы q и г не
изменялись независимо, и развейте аналогичную теорию для та-
ких редуцированных уравнений.
(a) Покажите, что A.5.16) теперь принимает вид A.6.31).
(b) Покажите, что преобразование к подмножеству данных
рассеяния является каноническим.
(c) Покажите, что имеются переменные типа действие —
угол.
6. Имеются две интересные задачи, не совсем отвечающие
определению вполне интегрируемых гамильтоновых систем, при-
нятому в этой книге.
(а) Задача о самоиндуцированной прозрачности (СИП), об-
суждающаяся в разд. П.2 и 4.4. Как там отмечается, функция
а(?) не является не зависящей от времени, хотя расположение

Упражнения 109
ее нулей от времени не зависит. Имеется только один полино-
миальный закон сохранения. Тем не менее задача решается с
помощью МОЗР. Это наводит на мысль, что либо МОЗР не ог-
раничен вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами,
либо следует расширить определение интегрируемости.
(Ь) Уравнения Бенни [56] для длинных волн, имеющие вид
/ г
К + \\udy) = 0.
Здесь и = и(х, у, t), h = h(x, t), причем —oo < x < oo, 0 <
< у <C h, t ^ 0. Эти уравнения имеют бесконечное число зако-
h
нов сохранения, содержащих полиномы от \ и11 йу. Более того,
о
в некотором смысле это уравнение является гамильтоновым, при-
чем законы сохранения находятся в инволюции. Тем не менее
Купершмидт и Манин показали, что:
(i) кроме найденных Бенни, нет локальных (по х, t) зако-
нов сохранения, содержащих только моменты функции и;
(и) этих полиномиальных сохраняющихся величин недоста-
точно для полной интегрируемости;
(iii) по-видимому, нет солитонов.
За подробностями читатель может обратиться к работам [56],
[380], [305], [351], [530].
Раздел 1.7
1. Линеаризация
(а) Показать, что в пределе малых q{x), r(x)
где г(|) —преобразование Фурье функции r(x), a b, В опреде-
лены в A.3.3). Воспользоваться Li-нормой, которая является
естественной мерой малости в этой задаче.
(b) Показать, что асимптотическое решение нелинейного
уравнения Шрёдингера переходит в этом пределе в решение ли-
нейного уравнения Шрёдингера, т. е. что [A.7.4) с A.7.20)]-»-
-> (П. 1.39). Что должно быть малым, чтобы этот предельный пе-
реход был справедлив? Какой следующий член в разложении?
Переходит ли общее решение A.7.2) в общее решение (П. 1.23)
в пределе малых амплитуд?
(c) Рассмотрите нелинейный член в A.7.2) как малое воз-
мущение и решите A.7.2), рассмотрев малое возмущение линей-

110 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
ного решения. Покажите, что при этом возникнут секулярные
члены. Как вы согласуете этот результат с результатом п. (Ь)?
2. Каким будет асимптотическое решение A.7.2), если допу-
стить, что один из нулей а(?) лежит на вещественной оси?
(В работе [26] мы предположили, что скорость убывания реше-
ния в этом случае должна быть (In t/t)l/2.) Проделать то же са-
мое для A.7.23).
3. Вывести A.7.33), A.7.35).
4. (а) Пусть функция
( Q, 0<x<L;
\ 0 в других точках
является начальным условием для A.7.2). Найти а(?) и 6(?) в
явном виде при а = +1 и при а = —1. Какому неравенству
должны удовлетворять Q и L, чтобы не было солитонов?
(b) Найти асимптотические решения уравнения A.7.2) при
а=-|-1 и при а = —1, развивающиеся из этого начального
условия в случае отсутствия солитонов. Обрисуйте поведение
огибающей волновых пакетов этих решений на основании только
главных членов асимптотических разложении. (Здесь следует
найти хорошо определенные волновые пакеты.)
(c) Сравнивая первую поправку асимптотического разложе-
ния с главным членом, определить время, необходимое для уста-
новления асимптотической картины, обрисованной в п. (Ь).
(d) Манаков [345] отметил следующее приложение уравне-
ния A.7.2). Пусть интенсивная (интенсивности |Q|2) плоская
монохроматическая световая волна нормально падает на не-
прозрачный экран с длинной щелью ширины L. Если х
является координатой вдоль экрана, a t обозначает координату,
нормальную к экрану, то решение уравнения A.7.2) представ-
ляет собой комплексную амплитуду волны дифракции на щели.
Нелинейный член в A.7.2) представляет собой изменение коэф-
фициента преломления среды в поле интенсивной волны. Реше-
ние, которое вы обрисовали в п. (Ь), соответствует дифракцион-
ной картине, которую можно наблюдать, поместив дополнитель-
ный экран вдали от щели. Время, оценка которого была полу-
чена в п. (с), здесь интерпретируется как расстояние, на которое
следует отодвинуть экран от щели. При этом солитонам отве-
чают дифракционные волноводы, в которых интенсивность не
уменьшается при удалении экрана от щели.
5. Рассмотреть задачи п. 4 для уравнения A.7.23) вместо
A.7.2).
6. Найти асимптотическое решение уравнения sin-Гордон
(fxt = sin ф, предположив отсутствие солитонов.

Упражнения 111
(a) Найти автомодельное решение. Показать, что внутри
светового конуса уравнение имеет медленно меняющееся авто-
модельное решение вида
<p~2r1/2jr2/4dsine,
е - 2txm - ± a2 in / - ~ х + в,
где X = -x/l, d = d(X), 8 = 8(AQ.
(b) Показать, что при —x/t = t,~2
-s
(b) Выразить окончательный результат через лабораторные
переменные % = (х-\-1) я х = {х — t).
(c) Что происходит вблизи светового конуса, вне его?
7. Вывести A.7.52).
8. (а) Показать, что при больших k (т. е. % > q (в A.3.33))
¦D)
iq (k)
k
где q — преобразование Фурье функции q(x) и p(k) является
коэффициентом отражения, определенным в A.3.33—35).
(Ь) Сравнивая асимптотические решения уравнения КдФ и
его линеаризации (П.1.49), показать, что пределы (t-*-0, началь-
ные условия ->-0) коммутируют (при отсутствии солитонов) всю-
ду, кроме окрестности бесстолкновительной ударной волны. Дру-
гими словами, область ударной волны является существенно не-
линейной; вне ее решения уравнения КдФ при отсутствии соли-
тонов являются лишь слабонелинейными.

Глава 2. МОЗР
в других постановках
2.1. Задачи рассеяния для операторов более высокого поряд-
ка и многомерные задачи рассеяния. До сих пор мы рассматри-
вали только такие нелинейные эволюционные уравнения, кото-
рые связаны с операторами второго порядка. Захаров и Мана-
ков A973) [533] показали, что существуют интересные с точки
зрения физических приложений уравнения, связанные с зада-
чами рассеяния для операторов более высокого порядка. В част-
ности, они показали, что хорошо известное уравнение трехвол-
нового взаимодействия связано с задачей рассеяния для' опера-
тора третьего порядка. Несколько позднее Кауп [259] и Заха-
ров, Манаков [535] изучили соответствующую обратную задачу
рассеяния и решения уравнений движения.
В этом разделе мы вначале покажем, как идеи разд. 1.2 мож-
но без труда обобщить на случай задач более высокого порядка.
Затем мы обсудим некоторые подробности, связанные с проце-
дурой вывода уравнений обратной задачи рассеяния.
2.1. а. Вывод одномерных эволюционных уравнений. Мы нач-
нем с матричной формулировки [8]:
B.1.1а) vx = %Dv + Nv,
B.1.1b) vt = Qv,
где v является п X 1-матрицей (вектором)
и D, N, Q являются /г X «-матрицами, причем D диагональна,
D = dibij (diag(di, d2, ..., dn)), di — const и N — такая матрица,
что Nu = 0 (в действительности последнее предположение несу-
щественно, но оно упрощает анализ). Из равенства производ-
ных xxt = Vtx, полученных перекрестным дифференцированием,
и требования it — 0 получим
B.1.2) Qx = Nt + i?[D, Q] + [N, Q]

2.1. Задачи на собственные значения 113
([А, В] s= АВ — ВА). Как в разд. 1.2, мы хотим при заданных
D, N найти такое Q, которое удовлетворяет B.1.2), чтобы задачи
B.1.1а, Ь) были совместны. Это приведет к дальнейшим ограни-
чениям, которые представляют собой систему нелинейных эво-
люционных уравнений. Разложение Q по степеням ? является от-
правным пунктом нашего исследования. В качестве примера мы
выведем уравнения нелинейного трехволнового взаимодействия.
Эта система уравнений получается наиболее просто. Мы разло-
жим Q в виде
B.1.3) Q
(ибо уравнения трехволнового взаимодействия имеют первый
порядок по пространственным производным). Результаты
разд. 1.2 и Л .5 мотивируют выбор вида B.1.3). Подставив
B.1.3) в B.1.2), получим в порядке ?2
B.1.4) ,• [D, Q«>] + i ? (DlkQ» - Q\»Dk!) = 0.
Воспользовавшись тем, что Dik = &ikdk, получим {di — d;) Q\lJ = 0.
Мы будем предполагать, что
d{>d2> d3
и поэтому
B.1.5) Q}} = qfiir
Мы выберем все qi постоянными (можно показать, что если ка-
кое-нибудь qi является функцией времени, то заменами перемен-
ных эволюционное уравнение, которое получится в результате
вычисления, приводится к виду с постоянным qi). В порядке %
имеем
B.1.6а) Q«> = i[D, Q<°>] + [N, Q»>]
или
B.1.6b) QV/ x =
Подстановка B.1.5) в B.1.6) дает (отметим, что здесь мы не
пользуемся соглашением о суммировании по повторяющимся ин-
дексам)
При / = / мы возьмем Qf} = 0. Определив
B-1.8) ait = j^-^atl.

114 2. МОЗР в других постановках
представим B.1.7) в виде
B.1.9) Qf} = auNllt 1Ф\.
При ?° мы имеем Q(^ = Nt + [N, Q@>], откуда получаем систему
N (N — 1) уравнений
B.1.10) Nlh t - a,yJVZ/,, = ? (a//k - аЛ/) NlkN
(отметим, что условие Nu = 0 совместно с B.1,10)). Число урав-
нений можно уменьшить в два раза, потребовав Nlj = oljM*l.
(Это аналог выбора q = ±r* в разд. 1.2 в случае матриц вто-
рого порядка.) Тогда система B.1.10) и комплексно сопряжен-
ная ей система совместны, если
B.1.11) alkaki = -atj, l>k>j,
и коэффициенты ац вещественны.
Уравнения B.1.10) подходящим выбором масштабов перемен-
ных можно привести к виду стандартной системы нелинейных
уравнений трехволнового взаимодействия. Например, мы полу-
чим систему
где у^Уз^— 1 и ^ = ±1» если положить
где
C3>C2> C,.
В системе B.1.12) имеются распадная неустойчивость (для волн
с положительно определенной энергией), если мы выберем знак
одной из v отличным от оставшихся, и взрывная неустойчи-
вость, когда yi = Y2 = 7з = —1. Прямо из уравнений мы мо-

2.1. Задачи на собственные значения 115
жем вывести законы сохранения1)
YiM| — у2М2 = const,
B.1.13) у2М2 — Y3M3 = const,
1 — Y3M3 = const,
00
где М„ = \ QnQ* d*, и видно, что не существует положительно
— оо
определенной энергии в случае у/ = ¦—1, / = 1, 2, 3.
Отметим, что так называемый случай двухволнового взаимо-
действия получается из B.1.12), если положить С3 = С2, (?з =
= (?2. С точки-зрения нашего вывода, это является сингулярным
пределом, и задача на собственные значения B.1.1), по-види-
мому, неприменима. Кауп [263] подробно изучил двухволновой
случай.
Несколько позднее в этом разделе мы вернемся к более под-
робному изучению трехволнового взаимодействия; сначала, од-
нако, обсудим случай другого разложения Q. Если мы возьмем
Q = Q<2>?2 -f- QA)? + Q@) и проделаем те же вычисления, как и
раньше, мы найдем
B.1.14) MW + еЛ.*- S
к Ф 1,1
= M[1<t+ Z (Ч/ - e*fe) NlkNkl
k ф i, 1
к Ф I
Z
k ф I, j
где
"Ч — i (dz _ d.) "/" *Ч — i (dt - d.) ^/"
УЦк= i(d{-d.) ==Yy/* = Y«/. e'/ = / (dj _ d.) - 8//
') Соотношения B.1.13) принято называть соотношениями Мэнли — Pov.
Прим. ред.

116 2. МОЗР в других постановках
и <7(,2), cfP—произвольные константы. Схематически эти члены
могут быть интерпретированы следующим образом:
групповая дисперсия тройной резонанс
скорость
+ А2 А' + ABB' + BDE
самодействие нелинейный четверной
сдвиг резонанс
частоты
Следует отметить, что все эти члены возникают в теории воз-
мущений; при этом будем иметь в виду, что производные полей
имеют дополнительный порядок малости (отметим, что члены
ВС возникли бы в другом порядке по сравнению с дх(ВС)). При
использовании этого уравнения в конкретных физических прило-
жениях следует следить за тем, чтобы все его коэффициенты в
точности совпадали с коэффициентами интересующей задачи.
Например, если ар, р// подобрать подходящим образом, то урав-
нение B.1.14) может быть приведено к виду, интересному для
физических приложений:
(i) Манаков [346]. Векторное нелинейное уравнение Шрё-
дингера:
О Л, А2
и; о о
о31а; о о
2.1.15) iAu = Alxx-\- 2^(<721|A|2 + ct3.I4,I2)>
iAn = А2хх + 2Л2 (<г21 И, Р + <т811 А212).
(п) Ядзима, Оикава [513]. Взаимодействие лэнгмюровских
и ионозвуковых волн в плазме:
0 Ee~ix in
0 0 Ее1*
— i О О
B.1.16) iE + ±E +
(см. также [512]). Похожее уравнение, описывающее взаимо-
действие коротких капиллярных волн с длинными гравитацион-
ными волнами, изучали Джорджевич и Редекопп [138].

2.1. Задачи на собственные значения 11'
(ш) Захаров A974) [527], Абловиц и Хаберман A975) [8].
Уравнение Буссинеска:
/00 1
ЛГ = ( N2X 0 A4-м3)#
V#3i 1 0
где если
СОз = <?-*»'3, #31 == Цфх 4- V, #21 = И(9-Ф^ + -Хф,х).
__ _ , _ Юз— 1 _
ТО
B.1.17) хюп — Р2 (wxx + 6 (w2)xx 4- о»****) = 0.
Мы отметим, что уравнение B.1.17) является некорректным,
когда р2 = 1, хотя оно часто возникает в различных физических
ситуациях. Однако в этих приложениях уравнение B.1.17) воз-
никает как длинноволновой предел, и поэтому короткие волны,
являющиеся причиной некорректности, при асимптотическом вы-
воде не должны рассматриваться.
Кроме того, в этом случае задача на собственные значения
для оператора B.1.1а) может быть сведена к скалярной задаче
для оператора третьего порядка
где
Mi = #3i, х + #2i> М2 = B 4" ®з) #3i
(здесь имеется аналогия с выбором г = —1 в случае п = 2).
Захаров начинал в своей работе [527] с уравнения вида B.1.18).
Естественной временной зависимостью, связанной с B.1.2), яв-
ляется
А, В, С — полиномы по К.
Следует отметить, что интересное обобщение описанной идеи
возникнет, если в B.1.1) формально устремить л->-оо. В этом
случае задача на собственные значения и временная зависи-
мость приводятся к виду
B.1.19а) ¦§¦ (х, у; /) = it,d (y)v (х, у; () +
оо
# (х, у, z; t) v (x, z; i) dz,
i
оо
B.1.19b) -f^x, y; 0= \ Q(x, y, z; l)v(x, z; t)dz.

118 2. МОЗР в других постановках
При этом описанная здесь процедура приводит к интегро-диффе-
ренциальному уравнению
B.1.19с) Nt(x, у, z; () = a(y, z)Nx(*> У> г; 0 +
J (а (у, z')-a(z', z))N(x, у, г'\ i) N (х, г', г; t)dz',
— со
где
а {у, z) = а (г, у).
Условие симметрии N(x,y,z;t)= o{y,z)N*(x,z,y;t) при у > г
совместно с этим уравнением, если о удовлетворяет усло-
виям о (г/, z')a(z', г) = —а (у, г) для у > г' > г.
2.1. Ь. Теория рассеяния. Теперь мы обсудим обратную за-
дачу рассеяния, связанную с матричными ЗХЗ-операторами, т.е.
B.1.1). Кроме того, рассмотрим задачу о нелинейном трехвол-
новом взаимодействии, имеющую важное физическое значение,
к которой применимы некоторые из этих идей. В основном мы
будем следовать работе Каупа [259] (некоторые из этих резуль-
татов можно найти в работе Захарова и Манакова [535]')).
Полное решение обратной задачи рассеяния для операторов по-
рядка выше третьего в настоящее время отсутствует2). Тем не
менее было показано (см., например, [546, 119]), что в случае
пХ" имеется уравнение Гельфанда — Левитана — Марченко,
связанное с и X "-оператором, но при этом неясно, какие огра-
ничения следует наложить на начальные условия для примени-
мости этого подхода. Также мы отметим работу Шабата [460],
в которой изучались некоторые вопросы, связанные с задачей
рассеяния для оператора «Х«, и недавние работы Захарова
и Шабата [547] и Захарова и Михайлова [540, 541], посвящен-
ные формулировке метода задачи Римана.
Рассмотрим уравнения B.1.1а) на интервале |лг| < оо, при-
чем ? является собственным значением, v является ЗХ 1-матри-
ией-столбцом (вектором), N является ЗХЗ-матрицей потенциа-
лов с нулевыми диагональными элементами (М, = 0) и D =
= diag(rfi, di, d3). Предположим, что jV,/->0 достаточно быстро
при |д:|->оо; для вещественных ? это позволяет определить на
') Полное решение обратной задачи рассеяния, связанной нелинейным
уравнением трехволнового взаимодействия, содержится в препринте Заха-
рова и Манакова [1*1, на опубликованный позднее сокращенный вариант
которого ссылаются авторы книги. Другой подход к этой же задаче можно
найти в работах Шабата [460], [2*] и монографии [539].
2) Следует отметить, что во время написания этой книги отсутствовало
полное решение задачи и для операторов третьего порядка. В работах Каупа
[3*] и [374] такая задача была в основном решена. Полное и математически
строгое решение общей задачи можно найти в более поздних работах Бил-
са [4*] и Билса и Кауфмана [5*].—Прим. перев.

2.1. Задачи на собственные значения 119
каждом из концов оси х по три линейно независимые собствен-
ные функции, т. е. мы определим решение ф(^ (где индекс у = 1,
2 или 3 обозначает /-ю собственную функцию, п = 1, 2 или 3
обозначает и-ю компоненту вектора ф(/> с граничными условиями
B.1.20а) ф<л ~ 6В> jeiidix при х^-оо
и собственные функции ^ с граничными условиями
B.1.20b) y{n~6n,ieitd'X ПРИ л:^-+оо.
Вронскиан, стандартным образом определенный для таких мат-
ричных уравнений,
(щ vx
и2 v2 w2
«з «з Щ -
отличен от нуля, если м, v, w линейно независимы. Кроме того,
имеем
B.1.21b) Wx = i?,(TrD)W
^след D = dx-\- d2-\- d3). Таким образом, тройки векторов
2), ф'3>] и [фA), ф<2), фC)] являются наборами линейно не-
зависимых собственных функций. Поэтому
з
B.1.22а) ф<Л =
Так называемая матрица рассеяния имеет вид
[а„ а12 а13-
«21 «22 «23
«31 «32 «33 ¦
Она связывает решения при дг->4"°° и х-*—оо. В случае за-
дачи 2X2 (разд. 3) мы имеем
/ а Ь\
B.1.22с) S = ( ).
V — Ъ а)
Вычислив определитель от B.1.22а), мы получим аналог соот-
ношения аа -f bb = 1:
B.1.22d) det [a/ft] == 1.
Аналогичным образом можно разложить собственные функции
iJ:(/) по функциям ф(/>:
з
B.1.23а) ф(й= Е bjk^k\

120 2. МОЗР в других постановках
Подставляя B.1.23а) в B.1.22а), получим
B.1.23b) I,a,kbki = 6,t-
Вопрос об аналитичности решается при помощи интегрального
уравнения, связанного с B.1.1а). Например, выбрав граничные
условия вида B.1.20а), мы придем к следующему интегральному
уравнению для ф(/):
B.1.24а) $ (х) e~itdix = 6„,, - i ( dyew"i (x~y) X
/п=1
где
B.1.24b) pn/= <*„-<*,.
Отметим, что: A) уравнение B.1.24а) является уравнением типа
Вольтерры; B) plm > 0 и р3т < 0. Это немедленно приводит
к тому, что собственная функция ^е~^Л{Х является аналити-
ческой в нижней полуплоскости ?, а ср^е~^а'х — в верхней по-
луплоскости ? при всех вещественных х. Действительно, пред-
положив потенциал принадлежащим Lu можно показать, что
уравнение B.1.24а) имеет сходящийся ряд Неймана. Кроме
того, поскольку ап — lim qpA>e-'?dl*, получаем, что а.. (?) тоже
Х->оо
является аналитической функцией в нижней полуплоскости. Тем
же способом можно проанализировать функции ^(/).
В результате получим, что в нижней полуплоскости (? =.
= | -f- щ, ц < 0) аналитичны функции
(i) q>(i>e-<W.*f ^<3)e-*W^, пц, Ьгг;
в верхней полуплоскости (t, = | + щ, ц > 0) аналитичны функ-
ции
(п) ?C)e-«w^, ^d)e-*C<».*, азя, Ьп.
(Когда потенциал Nik имеет ограниченный носитель или убывает
быстрее любой экспоненты, то определенные выше функции яв-
ляются целыми. Функции (i) и (и) ограничены при |?|->оо.)
Эти результаты позволяют надеяться на построение естест-
венных интегральных представлений для фA>, фC>, г|)A), "фC) с тре-
буемыми свойствами аналитичности. Однако у нас нет инфор-
мации относительно функций фB), г|зB). Это первый трудный во-

2.1. Задачи на собственные значения 121
прос, который пока встретился. Все остальные идеи (речь все
время идет об операторе B.1.1а)) совершенно аналогичны слу-
чаю 2X2.
Кауп [259], рассматривая собственные функции сопряжен-
ного оператора, показал, что
B.1.25а) х = e-'W
B.1.25Ь) % = e-'W
являются аналитическими соответственно в верхней и нижней
полуплоскостях ?. Перед тем как перейти к обратной задаче рас-
сеяния, мы отметим, что, рассматривая B.1.1а) при |?|->оо
(методом ВКБ), с учетом граничных условий получим
B.1.25с)
B.1.25d)
633=1
Основываясь на аналитичности, мы предположим существова-
ние следующих интегральных представлений для функций ^A)
и ij)C> (имеющих подходящее аналитическое поведение в верхней

Mi 1. МОЗР в других постановках
и нижней полуплоскостях):
B.1.26а) $«>e-<W'*=| 0
U
/0
B.1.26b) ipe-'W* ,= 0
41
Потребовав, чтобы B.1.26) удовлетворяли уравнению B.1.1а),
получим уравнения в частных производных для К°\ К{3) (ана-
логичные A.3.19)); например, для КA)
B.1.27а) {(дх + д„)+± (/-d.D-1) ду } К{1) (х, y)=N (x) К{[) (х, у),
причем
Mm Kil)(x, s) = 0,
B.1.27b) s-*°° R
W(,x) = —^;Nnl(x), n = 2, 3.
Отсюда следует независимость №{х, у) от параметра t,. Из та-
кого же анализа для г|зC> мы получим, что /СC) связано с потен-
циалом соотношением
B.1.27с) K?(x,x) = —faNn3{x), п=1,2,
и что /СC) также не зависит от ?•
Для того чтобы вывести уравнения обратной задачи рассея-
ния, мы вначале выведем некоторые интегральные представле-
ния для i|)W), / = 1, 2, 3. Мы предположим, что потенциалы убы-
вают быстрее любой экспоненты, так что все функции являются
целыми и поэтому можно определить контурные интегралы. (Это
ограничение можно убрать, при этом контурные интегралы за-
менятся на интегралы вдоль вещественной оси и сумму вкладов
от полюсов.)
Мы определим контур с (с) на плоскости ? проходящим от
—оо -j- is (от —оо — te), е > 0, к -f°° + ?е (к -f-oo — ie) сверху
(снизу) всех нулей функций Ьп, азз(ац, &зз).
Теперь вычислим интегралы
аи (С) (Е-С)
BЛ-28)
- С)

2.1. Задачи на собственные значения 123
где для /1(/з) ? лежит выше (ниже) контура с (с), а для h X, ле-
жит между с и с. Используя B.1.22а), асимптотики B.1.25),
B.1.24) и требование аналитичности, при помощи контурного ин-
тегрирования найдем
B.1.29а)
B.1.29Ь)
B.1.29с)
= 0 + ^7 J ^т^ р4 Г) X
где
В B.1.29а, с) мы подставим if>B) из B.1.29Ь). Это даст лишь
интегральные соотношения между фA) и it'3'. Далее мы подста-
вим интегральные представления для ij>A), a|)<3) в эти соотноше-
оо
ния. Подействовав на B.1.29а) оператором 1/2л \ ei!°ix~y)^ dt,
— оо
оо
и на B.1.29с) оператором 1/2я \ e-'t<*-y)P*d? (преобразование
— оо
Фурье), после утомительных алгебраических вычислений полу-

124
чим при у > х
B.1.30а)
B.1.30b)
l
, y) + l 1
2. МОЗР в других постановках
0 W*.y) + | 0
0 Wx, y) + | 0
(/С'1» (x, s) F, (s, y) + /CC) (x, s) Ft (s, y)) ds = 0,
где
B.1.30c)
B.1.30d)
^j Pi
B.1.30e) /= (x, у) = - |р.
с с
B.1.30f) F5 (Jf. У) = -|f- J ^СРз @ e-
(SO e-'^'*,
B.1.30g)
(^. У) = -fe" J ^?P4 @ e« <P.»
В B.1.30f, g) можно перейти к пределу е->0 (мы найдем его,
если изменим порядок интегрирования, сохранив соотношение
между t, и t,'). Рассматривая предел |?| ->- оо для -ф0', -ф<2>, -фC>
в B.1.1а) и в интегральных представлениях B.1.20), мы полу-

2.1. Задачи на собственные значения 125
ЧИМ
B.1.31а) N2l (х) = /СУ> (х, х), Л'з. (*) = - J^^Hx, х),
B.1.31b) Na{x) = -|il
B.1.31c) tti2(x) = -$
B.1.3Id) ^з2(х)
где
B.1.32a)
B.1.32b) ?2 (x) =^ \ p6 @ e-'CP.* dg.
При выводе B.1.31) мы использовали B.1.29b)' в пределе
|?|->- оо вдоль вещественной оси и подставили интегральное
представление B.1.26) в B.1.29Ь).
2.1. с. Трехволновое взаимодействие. Свяжем теперь только
что описанную обратную задачу рассеяния с конкретной задачей
нелинейного взаимодействия трех волн B.1.12).
Используя выбранные в B.1.12) масштабы, мы получим, что
оператор временной эволюции B.1.1b) приводится к виду
B.1.33) Ou
Определим зависимость данных рассеяния от времени. Для это-
го определим зависящие от времени собственные функции
B.1.34а) ф(т), (f) = ф(т)ехр
B.1.34b) ?m)-{t) = Ф(т)ехр (- i С'
В каждый момент времени t функции ф(т>-(/>, ф(т»- ^ подчи-
няются соотношению
B.1.35) ф(«мо=2; atnAt=

126 2. МОЗР в других постановках
так как у(т)- {t\ tym)- (<> удовлетворяют одновременно соотноше-
ниям B.1.1а) и B.1.1b). Затем, воспользовавшись B.1.22), по-
лучим
B.1.36) атп (/) = атп @) exp (iCxC2C3 (^ - -^-) /) .
Таким образом, диагональные элементы матрицы рассеяния, так
же как и в задаче 2X2, не зависят от времени. Используя фор-
мулы следов, так же как в случае 2 X 2, с этими элементами
можно связать бесконечное число сохраняющихся величин.
С другой стороны, так же как в разд. 1.6, прямым вычислением
можно получить бесконечный набор локальных законов сохра-
нения [193].
Соотношения, выписанные после B.1.12), приводят к следую-
щим необходимым условиям симметрии:
B.1.37а)
B.1.37b)
B.1.37с) Y.P4 (?) + Ya (Рз Г))* - Y2 (р! О* Рг (?) = 0,
где pt(t,) определены в B.1.29d). Это в свою очередь дает
К(х> У) = РЛХ> У)'
F\(x, y)=*Ft{y, x),
B.1.38) Р\(*>У) = -ЪЪ^рь1У,х).
Частное солитонное решение получается в том случае, когда яд-
ро интегрального уравнения является вырожденным. Несмотря
на то что уравнения трехволнового взаимодействия являются
бездисперсионными и поэтому солитоны в нем не более важны,
чем вклад от непрерывного спектра, тем не менее они проливают
свет на структуру решения, так как имеют замкнутый и явный
вид. Мы рассмотрим случай, в котором аи и азз имеют нули в
соответствующих полуплоскостях. Пусть & (?3) является про-
стым нулем функции аи (азз) в нижней (верхней) полуплоско-
сти, и С{С) является вычетом рг(рО в точке % = ?з(? = \\) (вы-
четы Р4 в ?3, Рз в ?ь р5 в ?*, р6 в ?* определяются по формулам

2.1. Задачи на собственные значения 127
B.1.37с)). В этом случае ядра приводятся к виду
_ , . о сс*
B.1.39) r*r
n i \ о сс*
(д:, у) = — г\,\2р23 =т e
остальные определяются jio формулам B.1.38). Из B.1.3b) сле-
дует, что зависимость С, С от времени имеет вид
С = сое-1^'с'\
B.1.40а) _ _ _
С = Сов'Р»ЬС.«.
Мы будем параметризовать Со, Со и gi, ^з следующим образом:
B.1.40b) S, р^—, ?3 = —р^— -
B.1.40с) С0 = -^е11л-'6Л1
Р23
B.1.40d) co = 4r
Pl
При этом интегральное уравнение B.1.30) имеет вырожденное
ядро, и его решение приводит к ')
Qi =
,<-*зI
Q3 = VPlsfe Y1Y2 ¦
') Это решение было впервые получено в работе Захарова и Манакова
A973) [1*]. — Прим. ред.

128 2. МОЗР в других постановках
где
B.1.41) 0 = [e4i<*-Caf-*3>
+ Y.Y3 ^111Ь13\ е-*1'-Ы-**е-Ы*-™-*\
При t -> 00 волновые пакеты Q3 и Qi движутся по своим харак-
теристикам х — С%t их— C\t (Q3 слева от Q\). При увеличении
t пакеты встречаются и порождают волну Q2. При t -> сю волна
Q2 распадается и затухает, a Qi и Qs опять движутся по своим
характеристикам {Qs справа от Q\). Амплитуды волны Qi, Q3
в этом процессе не меняются. Решение является несингулярным,
если одна из у г имеет знак, отличный от остальных двух, а в слу-
чае у\ = 7г = ?з = —1 решение является сингулярным в неко-
торой области пространства-времени (взрывная неустойчи-
вость).
Одно из существенных упрощений, характерных для задачи
трехволнового взаимодействия, возникает благодаря отсутствию
дисперсии. Если в начальный момент (который мы отнесем к
f->oo) огибающие волновых пакетов пространственно разде-
лены и не имеют существенных пересечений, то можно обосно-
вать [259], что волновые пакеты будут разделены и при t-+
->--|-оо. Когда пакеты пространственно разделены, они движутся
каждый со своей характеристической скоростью Q/ ~ Qt(x —
— СU), i=\, 2, 3. Кроме того, решение трехволновой задачи
сводится к последовательному решению обратных задач рассея-
ния 2X2, обсуждавшихся в гл. 1. Все важные результаты мож-
но обосновать, воспользовавшись анализом, проделанным в
разд. 1.3. Поскольку С3 > С2> С\, то при t-*—00 огибающие
волновых пакетов расположены в пространстве в следующем по-
рядке: Q3, Q2, Qi- Для того чтобы показать, почему задача рас-
сеяния 3X3 эффективно сводится к задачам 2X2, мы рассмо-
трим огибающую С?з. При t-*¦—00 в области носителя Q3 волны
Qi, Q2 обращаются в нуль. Поэтому задача 3X3 принимает вид
(напомним, что Ni2 ~ Q3)
B.1.42)
Мы видим, что v3 не изменяется и равно е'Е*>х, поэтому за-
дача эффективно сводится к системе на v\V2, которая совпадает
с задачей A.2.7а) при q = Ni2, r = N2\. Именно благодаря тому
факту, что Vi==el^diX, частичная матрица рассеяния SC) на по-

2.1. Задачи на собственные значения
129
тенциале Q3, связывающая волновые функции по разные сто-
роны от носителя, имеет вид
B.1.43)
r< a<3> 0
2? °22
LO О
Мы напомним, что в задаче рассеяния 2X2 матрица рассеяния
имеет вид
B.1.44)
S2X2
-Г - 1-
V-b a\
(Здесь с целью проследить аналогию с разд. 1.3 мы будем сопо-
ставлять фО-хр, if>(''->-ф, ф<2>->—ф, -фС2> —*- *ф и т. д.) Продол-
жая это рассуждение, мы получим при t-*¦—oo, что
B.1.45a)
где индекс 0 соответствует t
с cC)cB)c(l)
О = ОО ОО Оо )
аC) #3)
S<3> = -
оо, и (опуская индексы)
а<21 О
= О
1
— ьи) о
Аналогично при
B.1.45b)
где индекс / обозначает t-*+oo. Приравнивая B.1.45а) и
B.1.45Ь) и умножая справа вначале на (sf) , а затем на
(Sf})~\ мы выразим значения bf/a; в терминах данных рассея-
ния, вычисленных при /-> — оо;
B 1
B.1 -46с)
5 Зак. 114
пп)
"О "О
аC)
=B)=C)
ао "о
"о "о

130 2. МОЗР в других постановках
Всю информацию относительно связи решения при /->-—оо с
решением при t->~ -foo можно получить из этих формул. (Отме-
тим, что Ъ связано с Ь, а с а как следствие симметрии; см. так-
же разд. 1.3, например A.3.14).)
Например, забавным применением этих идей является дока-
зательство перераспределения солитонов между волновыми па-
кетами. Здесь мы должны предупредить читателя, что в даль-
нейшем мы будем вести речь о солитонах, связанных с задачей
Захарова — Шабата для операторов 2X2, а не о решениях,
порождаемых дискретным спектром задачи 3X3, которые были
уже рассмотрены в этом разделе. Будем говорить, что нули
функции a(t,) (или а(?)) в комплексной плоскости соответ-
ствуют аналогам солитонов в задаче 2X2 (читатель должен
также иметь в виду, что данные рассеяния а, а, Ь, б считаются
в дальнейшем целыми функциями). Из B.1.46а) следует, что
a(f3> имеет нули в точках нулей функций а® и а*3', за исключе-
нием тех случаев, когда числитель также обращается в нуль в
этих точках. Для начальных условий общего вида таких совпа-
дений не бывает, и мы ими пренебрежем. Таким образом, окон-
чательное число солитонов волны фз равно числу солитонов этой
волны до столкновения плюс число солитонов начальной волны
Q2. В конечном состоянии волна Q2 не содержит солитонов, так
как а(р не имеет нулей (нули функций a(f3) и а®а$> совпадают
и сокращаются). Аналогично число солитонов волны Q\ в ко-
нечном состоянии равно числу солитонов начального состояния
этой волны плюс число солитонов волны Q2. (Следует подчерк-
нуть, что эти результаты приведены в качестве иллюстрации.
В принципе можно ответить на любой вопрос, поскольку B.1.46)
содержит всю информацию, необходимую для реконструкции
решения при *-> +°°-)
Теперь мы сделаем несколько замечаний относительно слу-
чаев взрывной и распадной неустойчивостей. Когда 71 — Y2 =*
= уз = —1 (взрывная неустойчивость), мы имеем
Q ~ N — N* О ~ N — — N* Q ~ N — N*
(9 1 47 "> — — ~ 23 = JV32»
г<» = +<7A)% г<2> = - <?<2>% г3 = + <7C>*.
Из результатов разд. 1.3 следует, что только Q2 может иметь со-
литоны в начальный момент (поскольку лB) = — <7B)*). Но если
поле Q2 содержало солитоны, то из B.1.46) следует, что функ-
ции а^ и a(fn будут иметь нули в комплексной плоскости. Но
если |Q(f3)| и |Q(fn| являются интегрируемыми, то, как следует из
результатов разд. 1.3, мы приходим к противоречию, так как в
этом случае г((> = -f- ф1* (г = 1, 3). Единственный способ разре-
шить этот парадокс — отказаться от интегрируемости. На самом

Задачи на собственные значения 131
деле хорошо известно, что в случае взрывной неустойчивости за
конечное время возникают сингулярности (см. также предыду-
щее рассмотрение солитонных решений, связанных с полной
3X3 задачей).
В случае распадной неустойчивости возможны два варианта:
(a) yi = Уз = —1, Y2 = +1. Тогда
О ~ /•/ = — N" О ~ N = М* О ~ N — Л/"
С2 1 47b) ~ 23 iV32> V2 — ^31 /V13' V3—7V12~ 7V21>
/-@ = — qW*t r&)— — (f.2)*t rC) = _ ^(З)*
Поскольку r<'> = —qii}*, i — 1, 2, 3, то результаты разд. 1.3 пока-
зывают, что всегда существует единственное решение этой за-
дачи (см. также [12]).
(b) Yt = Y2 = +1» Y3 = — 1 • Тогда
B 1470 Q'^3=-^V Q2^31 = ^3, <?3^12 = -Л^,
r(l)__^(l)'( rB) _ _ дB)*; ГC)__^C)'#
Таким образом, волновые пакеты Q2 не содержат солитонов
и функция a'j не имеет нулей, поэтому нет солитонов поля Q3
(так же как в случае взрывной неустойчивости). Кроме того, за-
коны сохранения B.1.13) означают, что мы с необходимостью
будем иметь ^-интегрируемость огибающей, если в начальный
момент она была /^-интегрируемой. (Читателям мы посоветуем
обратиться к работам Каупа [259], Захарова и Манакова [535]
для более детального знакомства с задачей трехволнового вза-
имодействия.) Это завершает обсуждение задачи нелинейного
взаимодействия трех волн.
2.1.d. Многомерные задачи рассеяния. Теперь мы опишем схе-
му построения многомерных нелинейных эволюционных уравне-
ний, связанных с линейной задачей рассеяния. Эта конструкция
естественным образом обобщает одномерный случай, уже опи-
санный в начале этой главы, и тесно связана с работой Абло-
вица и Хабермана [8]. Другой подход, использующий линейное
интегральное уравнение в качестве отправной точки, был пред-
ложен Захаровым и Шабатом [546]; он обсуждается ниже в
этой главе и в разд. 3 6.
Мы начнем с рассмотрения следующей спектральной задачи
и ассоциированной с ней временной зависимости:
B.1.48) Vx = i?V + NV + BVy,
B.1.49) V4 = QV + C,Vy + C2VW + ... + CmVyy ...„.
m раз
Здесь V —это пХ 1-вектор и N, В, Q, С,- —«X «-матрицы. Мы
утверждаем, что только одно нелинейное эволюционное уравнение
5*

132 2. МОЗР в других постановках
отвечает каждому виду временной зависимости V/. Это про-
тивоположно одномерному случаю, в котором целый класс урав-
нений был связан с одной и той же структурой временной зави-
симости (т. е. \t = QV). Частные случаи задачи рассеяния
B.1.48) были рассмотрены Захаровым и Манаковым A979)
[537], Нижником A973) [400] и Каупом A979) [265], при этом
были получены требуемые формулы обратной задачи рассеяния.
Нелинейные уравнения, которые мы будем обсуждать, являются
(с учетом этих результатов по обратной задаче рассеяния) инте-
грируемыми (а именно, уравнение трехволнового взаимодей-
ствия, уравнение Кадомцева — Петвиашвили и т. д.).
Здесь мы представим эту схему с помощью следующего при-
мера: трехволновое взаимодействие в случае двух простран-
ственных измерений (соответствующие результаты можно полу-
чить и для трех пространственных измерений [7]). Как частный
случай B.1.48—49) рассмотрим
B.1.50) Vx = %DV + NV + BVy,
B.1.51) \i = Q\ + C\y.
Предположив, что t,t = 0 и что В, D, С являются постоянными,
получим
V*, = 1ф (QV + СУ у) + NtV + N (QV + CVy) +
DV + NV + BVy) +
+ С (i? DVy + NyV + NVy + BVyy).
Приравнивая нулю коэффициенты при V, \у и Vyy, получим
B.1.52а) \уу :[С, В] = 0,
B.1.52b) V^ : % [С, D] + [Q, В] + [С, N] = 0,
(•2.1.52с) V : $ [QD] + [QN] + Qx + CNy - BQy = Nt.
В простейшем случае
С = С16Ч, B = bibij, D^-dfiij, Nu = 0,
причем at, bi, dt — постоянные. При этом B.1.52а) дает
2 (С1кВк1 - BikCk!) = 0 = cfii - ft,c,.
Уравнение B.1.52b) дает
i? [С D]+Z (QikBkj - BikQkj) + E (CikNkl - NikCkj) = 0,
k к
что упрощается до
Q N
B.1.53) Qit TT=T?N4'
Qa = Че 4i = const,

2.1. Задачи на собственные значения 133
Определим
тогда Qij^aijNij, 1ф\, и B.1.52с) дает
*? Z (QikDki - DikQhj) + E (QikNk, - NtkQkl) +
k к
+ Qu, x + E (CtkNkl, y - BikQkj, y) = Nti, t.
Для /=j^/ мы имеем
B.1.54) it (atlNtJ (dj - d,)) + (qt - q,) Nt, +
E (a* — akj) NikNkj + aijN4. x + с^г/, y = Ntl, t.
При i = / уравнения удовлетворяются автоматически. Отметим,
что B.1.54) содержит ?. Чтобы исключить зависимость от ?, мы
возьмем ^; = 9<(?); точнее, пусть ^ — q,- = it,aij(di — dj) (это
уравнение удовлетворится, если мы возьмем dt = bi, qt=it)ci).
При таком выборе B.1.54) сводится к
B.1.55) Nl}, х = at]Nth х + р,7, yNи. у + Е (а* - a) ^«^*/
где
pf/ = С; — Ьгпц = — _ , (групповая скорость в направле-
' ' нии у),
au — ~L г~ (групповая скорость в направлении х).
"I — Of
Редукция N{j = <ЗцЫ*1{ совместна с уравнениями, если
^ ц = — aikakj> i>k> j,
и пц, bij вещественны. Трехволновое взаимодействие полу-
чится, если я = 3, N\2 = UU Nl3 — U2, N2i — U3:
ии = al2Ulx + $l2Uly + a32 (a13 - a23) U2U\t
B.1.56) U2t = al3U2x + p,3?/2y + (a12 - a23) ?/,?/3,
Если 032 > 0 и о21 > 0, то мы имеем взрывную неустойчивость;
иначе неустойчивость будет распадной и будет существовать по-
ложительно определенный интеграл энергии.
Таким образом можно вывести много других уравнений. На-
пример, если мы выберем временную зависимость B.1.4&) в
виде
B.1.57) V, = QV + СУ у + С2\уу

134 2. МОЗР в других постановках
с диагональными матрицами В, d, C2, мы получим
. .,-±1.
1 58}
'' ' A DA + WA D0W = a1Dl(\ A |2),
где
0i = (&| 1 6aJ [(ei - e8) <Й + 2 Fie2 - eift2) d* dt
+ {.exb\-b\e2)d2y\,
Do = - d\ + F, +
Взяв
получим "
( ) -^-1 л
или, произведя замену Q = BeJbT) | А |2 + Ф*.
B.1.60)
*.
Для вещественных Ь\ эта система уравнений является длинно-
волновым пределом (fe/i->0) уравнения D.3.27) (см. разд. 4.3),
которое описывает эволюцию почти монохроматических слабо-
неодномерных волновых пакетов малой амплитуды на поверхно-
сти воды. (Случай произвольной глубины неинтегрируем при по-
мощи МОЗР [28].) Анкер и Фримен [42] рассмотрели с по-
мощью схемы Захарова — Шабата случай чисто мнимого Ь\ и
построили N-солитонное решение, представляющее собой пло-
ские волны, распространяющиеся под углом друг к другу. Сат-
сума и Абловиц [447] показали, как можно вычислить решение
типа многомерного локализованного солитона, быстро стремя-
щегося к одной и той же константе во всех направлениях, для
этого уравнения (см. разд. 3.4).
Для уравнения Кадомцева — Петвиашвили (это уравнение
возникает в теории длинных слабонелинейных волн на поверхно-
') Система B.1.59) в отечественной литературе обычно называется си-
стемой Дэви — Стгоартсо^а — Прим. ред,ъ

2.2. Дискретные задачи 135
сти жидкости, распространяющихся вдоль оси х, причем изме-
нение по у является достаточно медленным)
B.1.61) dx(Ut + &{UUx) + Uxxx) = -WUn.
L, Л-пару впервые получили Захаров и Шабат A974) [546] и
Дрюма A974) [141]. Они обнаружили, что уравнение B.1.61)
связано с задачей рассеяния
B.1.62) vxx + (k + u)v + bve = 0.
Этот результат можно получить при помощи вышеописанной
схемы, взяв
0 01 Г 0 П Л [1 01
oj- "-[-. oj- °-lo -i]
и произведя соответствующие вычисления. Обратная задача рас-
сеяния для B.1.62) рассматривалась Захаровым и Манаковым
A979) [537]. Следует подчеркнуть, что приведенная здесь спек-
тральная задача отличается от обычного многомерного уравне-
ния Шрёдингера V2o -f- (К -f u)v = 0, для которого обратная за-
дача рассеяния очень трудна (см., например, Ньютон A979)
[399]).
2.2. Дискретные задачи. Много интересных физических явле-
ний можно моделировать дискретными нелинейными уравнения-
ми. Примерами являются колебание частиц в одномерных цепоч-
ках (Тода [486]), электрические линии на дискретных элемен-
тах (Хирота и Судзуки [229, 230], Хирота и Сатсума [226, 227]),
коллапс лэнгмюровских волн в физике плазмы (Захаров [526]),
разностная аппроксимация дифференциальных уравнений и т.д.
Поэтому не вызывает сомнения важность того факта, что МОЗР
применим к некоторым типам дискретных эволюционных уравне-
ний.
В этой главе мы начнем изложение с так называемой це-
почки Тоды, представляющей собой систему единичных масс,
связанных нелинейными пружинками, возвращающая сила кото-
рых экспоненциально зависит от растяжения (эту цепочку ино-
гда называют экспоненциальной цепочкой). Уравнения движе-
ния
B.2.1) Qn, „ = е~ (Qn-Qn-i) ~ е~ ^n+i-Qn)
могут быть выведены из гамильтониана
B.2.2) Я=

136 2. МОЗР в других постановках
где Pj = Qit (напомним, что уравнения Гамильтона имеют вид
Plt = -dH/dQj, Qh = dH/dPi).
Эта цепочка систематически изучалась в работах Тоды (см.,
например, Тода [484, 486]); им был построен ряд точных реше-
ний как для периодической, так и для бесконечной цепочки.
Флашка [155, 156], воспользовавшись теорией обратной задачи
рассеяния для разностного оператора Шредингера, развитой Кей-
сом и Кацем [97] и Кэйсом [93], проинтегрировал уравнения
B.2.1) методом обратной задачи. Аналогичные результаты были
получены также Манаковым [347]. Вскоре после этого Абловиц
и Ладик [17, 18] предложили новую дискретную задачу рассея-
ния. Эта задача рассеяния является дискретным вариантом
2X2 задачи Захарова — Шабата и служит основой для построе-
ния интегрируемых дискретных уравнений (в частности, цепочки
Тоды, нелинейной автодуальной решетки (Хирота [214]) и т.д.).
Кроме того, эти идеи можно распространить на случай конечно-
разностных уравнений (Абловиц, Ладик [17, 18]). В этом раз-
деле мы обсудим задачу рассеяния для разностного оператора
Шредингера и ее связь с цепочкой Тоды. При этом мы будем
следовать работе Флашки [156]. Затем мы продолжим обсужде-
ние эволюционных уравнений, связанных с разностной задачей
2X2 Захарова — Шабата. В конце раздела мы покажем, как
решить обратную задачу.
2.2. а. Вывод эволюционных уравнений. Рассмотрим задачу
рассеяния для оператора Шредингера
B.2.3) $ХХ + (К + <7И = 0
(Хс обозначает собственное значение непрерывного спектра — см.
[97, 93]). Дискретизацией уравнения B.2.3) является
B.2.4)
где т§п = ty{nh) и т. д. Воспользовавшись подстановкой vn =
= gntyn, где gn = exp(h2qn/2), мы получим
B.2.5) ехр( 2~(<7«+i+<
(+ 7
при этом мы воспользовались тем, что exp (h2qn) ~ I -f h2qn и
% = e~h'Kc. Определив ап = ехр((— h2/2)(qn+[ + <7«)), получим
B.2.6)

2.2. Дискретные задачи 137
Флашка [155] использовал обобщение
B.2.7) anvn+i + an-ivn-i -f bnvn = lvn.
Чтобы вывести уравнения цепочки Тоды из B.2.7), мы будем
следовать работе Абловица и Ладика [17]. Рассмотрим уравне-
ние эволюции по времени
B.2.8) va,t =
Вычислив производную по времени от B.2.7) и воспользовав-
шись B.2.7) для исключения vn+2 и vn-\ (т. е. on+2an+i = "kvn+\ —
— bn+iVn+i—anvn), мы получим два уравнения, приравняв нулю
коэффициенты при vn+\ и vn (предполагается, что dX/dt = 0):
B.2.9а) Л„(&„-Я,)
ап+1
„ /D D \_ an-l,tan
йп (Оп+1 — оп-\) — ~ «re, U
B.2.9b) 'LJ1±L-+Bn(bn-k) + (k-btl)Bn-i
an+l
+ an-\An-\ = bn, t.
tl — 1
Представив Ап и Вп в виде (для примера)
и потребовав зануления коэффициентов при Я,2, Я, Я0, получим
выражения для Ап, Вп и два связанных эволюционных урав-
нения (например, коэффициент при К2 в B.2.9а) дает — А(п]-\-
-\- йпА\1\\1ап+\ = 0, Л» = const), так что Л^' = апЛм. Аналогично
B.2.9Ь) дает — 5Й'+ 5«-i = 0 =>ВЙ'= fiS = const и т. д. После
элементарных алгебраических вычислений мы найдем (Л^,
В(м,/ = 0, 1, являются константами)
«в == ЛоойгеА -(- Лоойге "Т"
B.2.11)
и эволюционные уравнения
an. * = -у Л^о ап {bn+i — bn)+~2 A^cin X
X (a«+i — flre-i + bl+i — bl),

138 2. МОЗР в других постановках
Цепочка Тоды возникает, если положить Л(о1) = 0, Аоо=2,
Эти уравнения связаны с B.2.1) следующим образом:
_1_ - {Чп~Чп- 0/2
B.2.14) «2
Другую интересную цепочку уравнений можно получить, поло-
жив в B.2.12) Л<« = 0, Ьп = 0, Л»)=1:
/901^ п _L n trfi rfl V
\г..г..\о) ant — ^ran,\an+\ — ап-\)>
выбирая ап = е~"п12, мы найдем
(Манаков [347], Кац, Ван Мёрбеке [249]). Теперь мы покажем,
что оба уравнения, т. е. B.2.16) и цепочку Тоды B.2.1), можно
связать с уравнением КдФ, переходя определенным образом к
непрерывному пределу. В наиболее простом случае уравнения
B.2.16) положим й-»-0 и Un=h2un. Тогда непрерывный пре-
дел дает
B.2.17) щ ~ 2ЫХ + -у- пххх - Шшх.
Если определить
~г > з '
то ы ~ п(Х, Т) подчиняется уравнению КдФ
пт ~ пХхх — 6ййЛ.
В случае цепочки Тоды, положив Qn — hQn, т — ht, получим
B.2.18) QTT = QXX + h2 {Qxxxx - QXQXX) + ... ,
и B.2.18) для w = Qx сводится к уравнению Буссинеска:
Щх = ®хх + h2 (wxxxx — дх

2.2. Дискретные задачи 139
(см. разд. 2.1). Уравнение КдФ получится, если искать волны,
распространяющиеся в одном направлении, т. е. определить
Q ~ w (X, Т),
Х-х г Т- КЧ
Л—X — Т, 1 ——g—,
u = Qx.
Тогда получим
B.2.19) -ит = иххх — иих.
Перед тем как перейти к обратной задаче рассеяния для раз-
ностных операторов, мы рассмотрим дискретизацию задачи рас-
сеяния для оператора Захарова — Шабата. Для начала попро-
сту дискретизируем A.2.7а), положив
Таким образом, A.2.7а) дает
B 2 20) °i. я+1 = »1.« 0 —
где иг, „ = vt (fin), qn = q{hn), rn = r(hn). Если qn и г„ были
равны нулю, то естественно было бы определить г==е~^н; при
этом непрерывное решение естественно переходит в дискретное:
ьк — е-1^% = е-^пН — гп и аналогично v2 = z~n. Поэтому здесь
мы возьмем z — е~^н ~ 1 — itfi, l/z = e^h ~ 1 + КК и если оп-
ределим Qn = qnh, Rn = rnh, то получим
B.2.21)
Щ, п+\ = — «2. п +
Имеется важное обобщение B.2.21):
01, п+1 = ZVU п + Qnt>2, п + SnV2, п+и
V2, п+1 = — ^2, п + RnP\, n + TnVi, „+i.
(Отметим, что непрерывный предел B.2.22) также сводится к
A.2.7а).)
Вначале мы обсудим нелинейные дифференциально-разност-
ные уравнения. Связанную с B.2.21) или B.2.22) эволюцию по
времени мы представим в виде
~sr Oi, „ == AnV{. п -f BnV2, n,
B.2.23) °д

140 2. МОЗР в других постановках
Аналог уравнений B.2,9) получится, если предположить dz/dt=*
= 0и
B.2.24) ~ (Evi,n) = E~ (Vi,„), i=l,2,
где Е — оператор сдвига Evi, n = t>/, п+\- Далее для упрощения
изложения мы рассмотрим случай Тп = Sn = 0. При этом полу-
чим
-щ- (EVU п) = Z -QJ- Vi, п + Qn, tV2, n + Qn-gfV2, л—
= z (Anvu n + Bnv% „) + Qn, ,v2, , + Qa (Cnvu „ + Dnv2, n)
и
E \~Qf VU n) = An+lVi, n+l + Вге+1У2, л+1 ==
= An+l (ZVi, n + QnV2, n) + Bn+l (— t»2. л +
Проводя те же операции с v2, n и приравнивая коэффициенты
при у«, п, мы получим аналог уравнений A.2.8) (которые полу-
чатся в непрерывном пределе):
B.2.25а) zAnAa = QnCn — RnBn+u
B.2.25b) 4" fi«+' ~ 2В« = Q».«- ^«+iQ« + DnQn,
B.2.25c) zCrt+1 - 1- Crt = /?„,«- ^„ (Л„ - DB+0,
B.2.25d) ^r\Dn = - (Q«Cre+1 -
¦с
где Ал^я = An+i — An, и т. д. Теперь мы хотим решить систему
B.2.25) так же, как это было сделано для A.2.8). Некоторое
априорное представление о структуре решения можно получить,
изучая закон дисперсии линеаризованного уравнения. В непре-
рывном случае ключевую роль играла функция со B?), т. е. дис-
персионная кривая, отвечающая волновому вектору 2? линеари-
зованной задачи. В дифференциально-разностном случае анало-
гом этой функции является со (г2), поскольку мы ищем частное
решение линеаризованной задачи в виде Qn = z2ne~ia>i-z2)t. В ка-
честве примера выведем дифференциально-разностное нелиней-
ное уравнение Шрёдингера. Его линеаризация имеет вид iQn, t =
= Qn+i + Qn-i — 2Qn (очевидная дискретизация уравнения iqt=
= qxx), при этом co(z2) = z2 + l/z2— 2. Как и в непрерывном
случае, оказывается, что величина (А — D)x = lim (An — Dn)
определяет зависимость данных рассеяния от времени. Эта вели-
чина пропорциональна со (г2). Это (или же тщательное рассмо-

2.2. Дискретные задачи 141
трение B.2.25)) подсказывает вид представления
B.2.26)
Отметим, что А и D зависят только от четных степеней г. Сим-
метрия уравнений B.2.25) позволяет заключить, что В и С сле-
дует разлагать по нечетным степеням.
Подстановка B 2.26) в B.2.25) и приравнивание коэффициен-
тов при различных степенях z приводит к системе уравнений
для Л(ге2), А^ D®\ D(~2). Ниже приведен результат элемен-
тарных алгебраических вычислений:
(a)
(b)
(b)
(c)
(b)
(c)
(a)
Z3:
z-3
Z2:
Z2:
z-2
z-2
Z:
д„О(„-2) = 0 => D{~2) = D(r2) = const.
\nA^ = Ai22(QnRn-i-Qn+iRn)--
(d) Z-1: bnD<
=> Qre (D(r2)^rt) — Rn (DZ2Qn) = 0 (выполнено).
(d) Z: QAi-ЯяВЯ^О^
=> Qn {A{2JRn) - Rn (A[2lQn) = 0 (выполнено).
(b) Z°: Qn,t = A{2l(Qn+l-<
(d) Z : Rn,t— D- \Rn+l — Rn+lRnQn) "Г D-Rn
- A12} {Rn-i - Rn-iRnQn) - A{ojRn.

142 2. МОЗР в других постановках
Здесь буквы (а) — (d) обозначают соответствующее уравнение
B.2.25). Последние два соотношения дают эволюционные урав-
нения
B.2.27а) Qn, t = (l - QaRn) (Qn+Xd - Qn-iDZ2) +
+ (Ai02-D^)Qn,
B.2.27b) Rn,t = A - QnRn) (R.+ iD^ - Rn-iA{22) +
Эти уравнения совместны с Rn — ±Q"n, если D^~2) = A^' и
(A™ —&*>) = —(А™ — 1Х%)\ Если взять Ai0J, = -i/h2,
то получим
B.2.28а) Qn, t = (- -?-) (Qn+1 + Qrt_, - 2Qn)
или если Qn = /г^, то
B.2.28b) iqn, t = ^' + ^~'-2^ ± 4ifl\ (qn+l + W_,).
Это уравнение мы будем называть дифференциально-разностным
уравнением Шрёдингера.
Следует отметить, что подстановка B.2.2Ь) в B.2.25) дает
12 уравнений для 8 неизвестных. Два уравнения удовлетво-
ряются тождественно, два других являются эволюционными
уравнениями. Это непохоже на непрерывную теорию, в которой
было 10 уравнений для 8 неизвестных. Собирая все вместе, по-
лучим
К = (ir) 0 - * + QnV
сп=(Щ(я:^г - q:/z
Отметим, что при \п\ -*¦ со
Линейная часть B.2.28Ь) имеет вид iqn, t = {qn+\ + Qn-i — 2qn) /h2.
Закон дисперсии можно найти, представив qn ~ z2nexp(—Ш),
тогда со = (z2 -\- z-2 — 2)/Л2. Таким образом, Ап и Dn удовлетво-
ряют соотношению
B.2.29) lim (Л„-/)„) = -/со (г2).
Приведем некоторые интересные нелинейные дифференциально-
разностные уравнения, связанные с B.2.25).

2.2. Дискретные задачи '**
A) Дискретное уравнение мКдФ. В B.2.27) возьмем А{^ —
= ?)(о> = О, Л® = /)<Г2)=1, Qn = hqn, qn вещественно (?„ =
= ± Qn)-
B.2.30) «.^('i
Уравнение B.2.30) переходит в мКдФ точно так же, как уравне-
ние B.2.16) переходит в КдФ. Используя B.2.22) и подходящую
зависимость от времени, можно получить другие интересные не-
линейные дифференциально-разностные уравнения (вычисления
в этом случае весьма громоздки, см. [17]).
B) Автодуальная решетка:
B.2.31) /„., = (!
Vn,t = (l
C) Цепочка Тоды B.1.1):
Rn = 0, Гп=1, Qn =
ип.« = е- ("«-
Эти уравнения получаются из разложений
и т. д., подставленных в аналог B.2.25), содержащий Sra, Г,,.
Отметим, что задача рассеяния B.2.7) может быть получена из
B.2.22), если положить Rn = 0, Г„ = 1, Qn = —р„, 5Я = 1 — ап
ИХ = 2+ 1/2.
D) Разностное уравнение КдФ B.2.16). Положив Rn = 0,
Тя—1, Qrt = 0, Sn=\-e~Un, найдем
Эти уравнения были получены при помощи конечных разло-
жений так же, как в разд. 1.2. Для некоторых из них в работе
[109] были найдены эволюционный оператор и формулы, анало-
гичные полученным в разд. 1.5.
Отметим, что таким же образом можно рассматривать конеч-
но-разностные уравнения, в которых время также является дис-
кретной переменной. Рассмотрим, например, соотношения
B.2.21), в которых будем считать, что время дискретно:
t = m\t (так что vln(t) заменим на vfn = vi{n\x, mM), Qn(t)-*
и т- а-)-

144 2. МОЗР в других постановках
Кроме этого, эволюцию в дискретном времени зададим соотно-
шениями
1»,.т лт„т I пт„т
B.2.32) Л Vun-A^n + BnVm,
Здесь bmvtn = v?+n - v?,n, i=\, 2. Полагая Дт2 = 0 и при-
равнивая
Дт (р т \ г (Ltn m \
\ЬпУ1,п) — Еп\к ¦Oi.a)
(так же, как в B.2.24), B.2.25)), получим конечно-разностный
вариант уравнений A.2.8):
zAnAn = Qn Сп — RnBn+ij
4- Bn+i - zBn = AmQ% - {An+lQ™ - DnQ%+x),
B>2'33) zCn+l -\ca = SmRH + (А^+1 - Dn+lRZ),
— ^nDn —Rn Bn, — QnCn+i,
где Ап = Ап и т. д.
Дальнейшее разложение определяется дисперсионным . соот-
ношением. Метод обратной задачи [19] приводит к следующему
результату:
B.2.34) ш(г2)= lim -ЦА-,
где со (г2) является «переходной характеристикой» или законом
дисперсии линеаризованной задачи (см. также разд. П.1). На-
пример, наиболее общее линейное шеститочечное конечно-раз-
ностное уравнение (с постоянными коэффициентами) имеет вид
B.2.35) AmQ: = (a2Q;+1 + аД? + a_2Q^
Закон дисперсии, соответствующий этой задаче, получится, если
искать решение в виде Qn =z со \z ); тогда
B.2.36) мB2) _
мB) __________
Эта разностная схема является чисто «дисперсионной», или без-
различно устойчивой, если |со| = 1. Это требование следует из
метода обратной задачи. Достаточными условиями являются сле-
дующие равенства: f^ = al2, P0 = a*, p_2 = a*. Таким образом,

2.2. Дискретные задачи 145
B.2.36) означает, что А„ в B.2.33) имеет представления Ап =
^v<4v2
Например, одно из интересных конечно-разностных уравне-
ний имеет вид
B.2.37) 1-^=ТШ
сл1 - 2c+l + с; 11 к)] ± т
/г
+1 (С-.С* + C-+iC+1') + 2С+.'С*СП л™
— оо
где
Отметим, что B.2.37) представляет собой один из вариан-
тов схемы Кранака — Никольсона. Ошибка аппроксимации имеет
порядок О (At2, Ax2), и в линейном пределе эта схема переходит
в стандартную схему Кранака — Никольсона. Следует также от-
метить, что:
(i) На конечном интервале [—р, р] вместо —<х> в суммах
и произведениях следует писать —р.
(И) Линеаризованная схема является чисто дисперсионной
и безразлично устойчивой: | со | = 1.
(ш) Для любой линейной конечно-разностной схемы B.2.35)
мы можем найти нелинейную конечно-разностную схему, выбрав
в B.2.33) разложение для Л,7, ..., D™ соответствующим обра-
зом.
(iv) Полная конечно-разностная схема для нелинейного
уравнения Шрёдингера сохраняет «х—t симметрии», т. е.
в непрерывном случае х-*-—х, t-*-—t, i-*-—i,
в конечно-разностном случае п -*¦ —п, m -э—пг, i -9—I.
(у) Точности аппроксимации дифференциального уравнения
конечно-разностной схемой в линейном и нелинейном случаях
совпадают.
(vi) Схемы являются нелокальными, т. е. зависят от всей
детки точек. С той же точностью аппроксимации и сохранением

146 2. МОЗР в других постановках
симметрии эта схема может быть сделана локальной (для этого
достаточно взять Дл^ =1, ?дт51Г = О). Хотя уравнение
B.2.37) является нелокальным, его можно переписать в виде
локальной системы конечно-разностных уравнений.
(vii) Решение можно найти методом обратной задачи (см.
ниже), и можно показать сходимость схемы к дифференциаль-
ному уравнению при Ах, Д/-+-0. Солитонные решения вычис-
ляются явно.
Недавние численные эксперименты (Таха и Абловиц [470])
показали, что такие схемы являются весьма хорошими с прак-
тической точки зрения. Анализ, приведенный здесь, может быть
распространен на другие интегрируемые эволюционные уравне-
ния.
2.2. Ь. Теория рассеяния. Теперь опишем обратную задачу
рассеяния, связанную с разностным 2 X 2-оператором Захаро-
ва— Шабата. Здесь имеется довольно близкая аналогия с не-
прерывным случаем, рассмотренным в разд. 1.3. В конце этого
раздела мы перечислим результаты, относящиеся к задаче рас-
сеяния для разностного оператора Шрёдингера, и их приложе-
ния к цепочке Тоды.
Мы будем изучать обратную задачу рассеяния, связанную с
B.2.22). Затем соответствующие результаты для B.2.21) будут
получены как частный случай при Sn = Т„ = 0. Более подроб-
ное изложение можно найти в [17] и [18]. Функции Йоста опре-
деляются следующим образом:
B.2.38) п->— оо: п->оо:
Так же как в разд. 1.3, можно показать, что для достаточно
быстро убывающих при |п| —>- оо потенциалов Qn, Rn, Sn, Tn
функции
ynz~n, ty„г" аналитичны при |г|>1,
<р„2л, tyz~n аналитичны при | г \ < 1
(т. е. вне и внутри единичного круга). Это легче всего показать,
когда потенциалы имеют компактный носитель. В этом случае
можно по индукции установить, что функции, аналитичные при
|г| > 1, являются полиномами по 1/г, а функции, аналитичные
при \г\ ¦< оог — полиномами по z. Вронскиан задается соотно-

2.2. Дискретные задачи 147
шением
Если Гг = — 5*, R[ = — Q"{, то функция Wn положительно опре-
делена. В остальных случаях мы будем предполагать, что 5;, Г,-,
Ri и Qi меньше единицы. Линейная зависимость г|>я, i|>n приво-
дит к
B.2.39а) Ф„ = афп + &1|>„,
B.2.39Ь) у„ = - аЦ>„ + И„,
а соотношение Вронского дает
B.2.39с) «а + **
где а, а, Ь, В зависят от времени как от параметра. Мы покажем,
что аа + ЬЪ не зависит от времени. Поэтому если Д_то(A—RiQt)/
A—StTfi) является ненулевой конечной величиной в началь-
ный момент времени, то и вронскиан Wn является конечным и
ненулевым. Разложениями B.2.39а) мы будем пользоваться при
2=1. Разделим B.2.39а) на а (предполагая a(z) Ф 0 при
z =1):
B.2.39d) — =i, + — Ф„,
и предположим существование следующих представлений (имею-
щих необходимые свойства аналитичности):
00
B.2.40а) *»= Z K(n, n')z-n>,
оо
B.2.40Ь) 4 = Z К (п, п') zn'\
по аналогии с A.3.17)
оо
J
X
Подставив ф„, ф„ в B.2.39с) и подействовав на B.2.39с) one-
ратором 1/2га'Ф dzz~m~l (контуром служит единичная окруж-

148 2. МОЗР в других постановках
ность), получим
оо
„ (ft, ft J 2я. Су 2 Я2 -f
n'-п
Заметив, что
" Z"'-m-1rfz = 6(ft', m)
(б (п, т) = 1 при п = т и 0 в остальных случаях; б (ft, т) —это
дельта-символ Кронекера) и определяя
B.2.42) F{(m + /i')=i^(^
получим
B.2.43) I = K(n,tn)+ f, К (ft, ft') Fc (m. + nf):
Теперь вычислим левую часть этого уравнения:
B.2.44) 1 = 4-: &^-г-т~1 dz = ^-
Функции ($nZ~n и a B) являются аналитическими в области
\z\ > 1, поэтому единственные сингулярности — это точки, в ко-
торых a(z,)=0. Таким образом, при 2-неоо (fnz~n/a-*¦ Jx,n.
(Мы могли бы вычислять /оо, п переходом к пределу z ->¦ 00 в
B.2.22), но для дальнейшего эта формула не потребуется.) Пред-
положив, что а имеет N простых нулей г*, в которых ф^ =
получим
B.2.45) / = - ?^f/Lr--' + Jqb n6(n, m) =
N оо
Определив FD(ra + ft')^ ?Jvc/z^("'+'n)~1, c/ = c//ay, и восполь-
зовавшись B.2.44), B.2.45), получим
оо
B.2.46а) К (ft, т) + S К (ft, ft') Z7 (m + ft') = 7^, „б (ft, m),
ra'-n

2.2. Дискретные задачи 149
гда
B.2.46b) F (т + п') = Fc(m+ n') + FD (m + п') =
лг
= 1 <? A 2-(»'+m)-1 flfz + Y g«Z7«l»'+«)-1.
Если мы проделаем то же самое с B.2.39Ь), то получим
со
B.2.47а) К (л, т) - Z К (п, я') F (m + «') = - /о, „б (n, m),
п'-п
N
B.2.47b) F(m + п') = J^f§ Jzn'+m~] dz~Y, ei2f+m~l>
/-1
где
z->0 "
(как и раньше, /о, п можно вычислить, но в этом нет необходи-
мости). Соотношения B.2.46) и B.2.47) нам нужны только при
т > п. Определим
К(п, т) = Ц1^шп(п, т),
К(п, т) =
П
оо
При этом B.2.46), B.2.47) дают для га > п
оо
B.2.48а) х(п,т) + ( )F(tn + п)+ У %(п, n')F(n' + m) = 0,
~ in + п) —
B.2.48Ь) к (п, га) - ( ) F{tn + п) - ? й (п, п') ?{п' + га) = 0.
Эти уравнения являются дискретным аналогом (см. A.3.24, 25))
интегрального уравнения Гельфанда—Левитана — Марченко.
Мы свяжем К (п, т), К(п, га) с потенциалами, подставив ф„ =
= 2Г К (п> т') z~n' и т- Д- в задачу рассеяния B.2.22). Для

ISO 2. МОЗР в других постановках
К{п, пг), К(п, т) получим конечно-разностные уравнения, и
Qn = xi(n, n+ 1),
Rn = — «2 («• « + 1).
B.2.49) S==___^_
7\, = - , _ XQnRn [йг (я, га + 2) + Я„х, (п, я + 1)].
В случае Rn — Ч1 Q* и Гп = Т 5* можно установить следующие
свойства симметрии:
2. = 4-
2/
х*(«, т)
При этом уравнение B.2.48) дает
B.2.50а) «! (га, т) — F(n + m)±
п'-п+1 п"-п+1
B.2.50b) f (я) = ^- §4 BJ-'
B.2.50с) и2 (га, га) ± Z к. (га, га') F (га' + га) = 0,
л'-л+1
B.2.50d) . Q« = «i(«, «+1),
B.2.50е) SB = - ' . [и, (ft, я + 2) + Q«*2 («, « +
Рассмотрим теперь Sn = Тп = 0 как частный случай. Если
S'n — Tn = 0, то можно показать, что a(z), a(z) являются чет-
ными функциями от z, a b(z), 5(z) — нечетными. При этом соб-
ственные значения встречаются парами, и с/(г+) = с;-(г_). Эти

2.2. Дискретные задачи 151
свойства показывают, что
B.2.51а)
р>1>
0, т — п-\-2р,
JV/2
B.2.51b) FR{n)=-±-. \ ±г«-Ыг- jc^-',
Or I
где контур Сд проходит по правой половине единичной окруж-
ности. Мы возьмем
f я,й(я, т), т = п-\-2р—1,
B.2.51с) «,(«,*,) = { \ w = re+2p>
и для m = я -f 2р— 1 получим из B.2.50), B.2.51)
B.2.52) x[R(n, m)-2F~R(n + m)±
где
р"=\, 2, .... //=1, 2, ....
Ядро у.ч{п,т) в этом случае также обладает свойствами сим-
метрии:
{х2о («, т), т = п -\- 2р,
0. « = »+2р-1.
При т == п + 2р, р = 1, 2, ... из B.2.50), B.2.51) получим
оо
B.2.54) и2Л (п, т) ± 2 ? и^ (я, п') ^ (п7 + от) = 0,
где
п' = п + 2р' — 1, р'=\, 2
Имеется следующая связь с потенциалами:
B.2.55а) QB = -x,jj(n, я+1),
B.2.55b) Sa = 0.
Одна и та же обратная (пространственная) задача рассеяния
связана с дифференциально-разностными и конечно-разностны-
ми уравнениями. Единственное различие состоит в анализе за-
висимости данных рассеяния от времени.
A) Дифференциально-разностный случай. Уравнение B.2.23)
задает эволюцию по времени. Предположим, что при га->±оо

152 2. МОЗР в других постановках
Ап-+А±, Dn-+D+, Вп, Сп—»0. Собственные функции, удовлетво-
ряющие одновременно B.2.22) и B.2.23), имеют вид
Действуя так же, как в разд. 1.4 (непрерывный случай), полу-
чим
B.2.57а) й = ^(°+-
поэтому
B.2.57Ь) а.
и аналогично
B.2.57с) ^^J
Cj = Cj, фк ¦*
Дисперсионное соотношение линеаризованной задачи имеет вид
B.2.57d) — /соB2) = (Л+ — D+)(z).
B) Конечно-разностный случай. Теперь эволюция задается
уравнением B.2.32). Мы опять предположим, что А™-->А±,
D™->D±, В™->0, С™—>•() при «->±оо. Собственные функции,
одновременно удовлетворяющие уравнениям B.2.22) и B.2.32),
задаются соотношениями
B-2>58)
Как и прежде, можно получить
B>29а)
B.2.59с) с=,

2.2. Дискретные задачи 153
Здесь ао, ••-, с/,о отвечают данным рассеяния при т = 0. Дис-
персионное соотношение линеаризованного уравнения [Qn' —
= zniom) имеет вид
B.2.59d) »(z2) = TT^7-
Схема построения решений дифференциально-разностных и
конечно-разностных уравнений описана полностью. Теперь мож-
но вычислить частные солитонные решения. Например, в случае
единственного дискретного собственного значения и отсутствия
вклада от непрерывного спектра (F (п) = — сЩ~х, SnTn Ф 0) для
нахождения решения определим
M«) = ?»«i(«. m)zmt
n
и сведем процедуру решения бесконечной системы алгебраиче-
ских уравнений к нахождению %i(rc). Для этого подействуем опе-
ратором Z!m2m* на уравнения B.2.50). В дифференциально-раз-
ностной задаче односолитонное решение имеет вид
B.2.60а) <?„ = ^V^exp^- (|) (со + ©*)/+ 2/яв) X
X sh W/ch BnW -1 (со* - о) / + Ф0) .
B.2.60Ь) Тп = - (|^I/2ехр (- (^) (со + ©*)/- Bя + 1) /е) X
X sh W/ch [2nW - ? (со* ~ «) / + Фо +
где
B.2.60с) со = со(г2), г-в
(Например, в случае автодуальной решетки со = +i(z — гг1).)
Если Sn = Г„ = 0, то
B.2.61а) Qn = (j-J sh BU7) exP B lnQ--((a + со*) A X
X 1/ch BnW - y (со* - со) / + Фо) ,
где
B.2.61b)
Например, для разностного нелинейного уравнения Шрёдингера
со (z2) = z2 + z-2 — 2.

154 2. МОЗР в других постановка*
В конечно-разностном случае с Тп — Sn = 0 мы запишем
(гд)
B.2.62) q"^ e'2»e+««(A,«)+ie,sh 2W/ch {2nw _ nm{ o | _ фо).
В случае конечно-разностного нелинейного уравнения Шрёдин-
гера B.2.37) следует воспользоваться дисперсионным соотноше-
нием линеаризованного уравнения
1 + io (г2 — 2 + г)
№~ 1 - Ю (г2 - 2 + г) '
где о = Ы/(АхJ.
Так же как в разд. 1.6, можно вычислить интегралы движе-
ния. Например, при Sn = Тп = 0 можно показать, что
оо
B.2.63а) \na(z)= X 1п?„(;г2),
П — — оо
Где gre удовлетворяет
B.2.63b) ?rt+1 (gn+2 - 1) - г2 ^±L (gn+1 - 1) = z*Ra+lQn.
Из B.2.63b) при г->0 следует разложение для gn(z2)
причем
B.2.64а) gn~l+ 22/?re_,Q«_2 + ^Rn.iQa.t A - ^„-2Qre_2 +•¦.).
Таким образом, а (г) является аналитической функцией при
z->0 и имеет разложение
do
B.2.64b) lna(z)~ZC,z2',
о
причем С/ являются интегралами движения, поскольку a(z) не
зависит от времени. Из B.2.64а, Ь) получим B.2.65)
B.2.65) «,
°2" Е М*-2 A - **-&-,) ~ i RIQI
Величины С/, / — 1, 2, ..., представляют собой интегралы дви-
жения. Для того чтобы вывести B.2.63а,Ь), следует воспользо-

2.2. Дискретные задачи 155
ваться задачей рассеяния и связью a(z) с собственной функцией
а(г)= lim (— ф2„2п),
ге-»оо
а уравнение для gk следует из
Еще раз отметим, что программа решения аналогична линей-
ному фурье-анализу, хотя на первый взгляд кажется, что в про-
цессе решения мы пользуемся запрещенными приемами. В нели-
нейной задаче имеются дополнительные трудности: приходится
решать либо интегральные уравнения (в непрерывном случае),
либо бесконечную систему линейных алгебраических уравнений
(в конечно-разностном случае).
Теперь мы приведем (для полноты картины) результаты, от-
носящиеся к задаче рассеяния для разностного оператора Шрё-
дингера B.2.7), имея в виду приложения к цепочке Тоды (Флаш-
ка [155, 156]; см. также [97, 93, 347, 387]).
Мы предположим, что (ап — 7г) и Ьп быстро убывают при
|п|-»-оо. Положим "к = (z-\-z~1)/2 и определим решения ф„,
tfn асимптотическими условиями
zn,
B.2.66) ,
v ' ^n~z п, п-> — оо
для |г| = 1 (это дискретный аналог функций Йоста). Из ли-
нейной независимости функций <$n(z) и фпB~') следует
B.2.67) Ц)„ (г) = р (z) Ф„ (г) + a (z) Ф„ (z~l),
где |а|2 = 1 + |Р|2. Функцию R(z) = Р(г)/а(г) называют ко-
эффициентом отражения. Собственным значениям отвечает ко-
нечное множество вещественных точек z, принадлежащих ин-
тервалу (—1, 1). Если Я;. = (Zj + 2y~')/2 является вещественным
собственным значением, то нормированной собственной функ-
цией Zn(zi) мы будем называть собственную функцию, удовле-
творяющую условию
B.2.68) Z №) = !.
Л= —оо
и при tt->oo она стремится к t,n {zt) ~ cuznr Обратную задачу
можно решить, вычислив
ЛГ
B.2.69а) F (п) = -^ § R (z) z»-

156 2. МОЗР в других постановках
и решив при т > п уравнение
B.2.69Ь) у(п, m) + F{n + m)+ ? х (п, п') F (п' + т) = О
n'=n+i
относительно х (п, т). Определим
оо
B.2.70а) (х (п, п))~2 = 1 + F Bп) + ? х (n, n') F («' + п)
и найдем
a» = T ^ПГ)
1 у, (п. п) к (п — 1, я) — к (п, п + 1) х (п — 1, я — 1)
Для цепочки Тоды B.2.1), связанной с B.2.7) посредством
B.2.13), B.2.14), зависимость данных рассеяния от времени
имеет вид
R {Zt ')== R \Zt и) б 'у
B-2-71) _ <(гГгГ')'
В случае чисто дискретного спектра R(z, 0) = 0, и решение мо-
жно вычислить в замкнутой форме. Односолитонное решение, от-
вечающее единственному собственному значению г\, имеет вид
^ —2
B.2.72а) е-(«»-«»-|) _ 1 = Jl—г' ~ _
где А = с,ехр(B, — z~l) ^/2). Положив z = ae~w, <x = ±l, при-
ведем его к виду
B.2.72b) e~(Q«~Q«-l) = 1 + sh2 W/ch2 {W (n - nn) -f a sh Wt),
где «о является константой, зависящей только от с\, Z\. Отме-
тим, что это солитонное решение может двигаться как в положи-
тельном, так и в отрицательном направлении.
2.3. Периодические граничные условия для уравнения Кор-
тевега — де Фриза. Чрезвычайно интересной является задача с
периодическими граничными условиями для нелинейных эволю-
ционных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи
рассеяния. К первым публикациям на эту тему относятся работы
Лакса A975) [320], Новикова A974) [401], Каца и Ван Мёр-
беке A975) [250, 251], Дубровина и Новикова A975) [144],
Итса и Матвеева A975) [240], Мак-Кина и Ван Мёрбеке A975)

2.3. Периодические граничные условия для уравнения 157
[369], Мак-Кина и Трубовица A976) [368], Дейта и Танаки
A976) [129, 130]. Кроме здесь перечисленных, по этому вопросу
было еще опубликовано много других работ, содержащих важ-
ные результаты. Обсуждение можно найти в обзорных статьях
Матвеева [355] и Дубровина, Матвеева, Новикова [143]. В этой
главе мы ограничимся рассмотрением задачи интегрирования
уравнения КдФ в классе так называемых конечнозонных потен-
циалов с периодическими граничными условиями. Решение бу-
дет условно периодическим, или квазипериодическим, т. е. вол-
ной, зависящей от N фазовых переменных Э,- = xix— ant, перио-
дической по каждому Э/, но, вообще говоря, с несоизмеримыми
частотами со,-. Волны, обсуждаемые в этом разделе, являются
периодическими по х и почти-периодическими по t. (Грубо го-
воря, функция f(t) является почти-периодической, если сущест-
вует такой период Т(г), что для любого 8 имеет место неравен-
ство \f(t -f T) —f(t) | < е при всех t. Строгое определение мо-
жно найти в книге Немыцкого и Степанова [394] или в каком-
нибудь другом учебнике.) Мы сведем уравнение КдФ к конечно-
мерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений,
которую можно проинтегрировать. Интегрирование потребует
привлечения некоторых понятий из алгебраической геометрии и
теории гиперэллиптических функций, однако здесь мы не будем
вдаваться в подробности. В этом разделе мы будем следовать
работе Дубровина и Новикова [144]. Изучались и другие нели-
нейные уравнения с периодическими граничными условиями: не-
линейное уравнение Шрёдингера (Абловиц и Ма [20]')). уравне-
ние sin-Гордон (Мак-Кин [367] 2)), уравнение Кадомцева — Пет-
виашвили (Новиков, Кричевер [402]).
Говоря математически, мы рассматриваем вопрос о построе-
нии решения уравнения КдФ
B.3.1а) щ - 6иих + иххх = 0
с периодическими (периода Т) граничными условиями
B.3.1Ь) и{х, () = и(х + Т, I)
и заданными начальными условиями g(x)
B.3.1с) u(x,0) = g{x).
Впоследствии определение функции g(x) будет уточнено (т. с.
g(x) будет jV-зонным потенциалом).
2.3. а. Прямая задача рассеяния. С уравнением B.3.1) свя-
зана задача рассеяния для оператора Шрёдингера (см. также.
!) См. также [6*, 7*]. — Прим. перев.
г) См. также [8*, 9*]. — Прим. перев.

158 2. МОЗР в других постановках
гл. 1; обратите внимание на изменение знака)
B.3.2) vxx + {E — u)v = 0, E = k2.
Определим два решения уравнения B.3.2), ц>(х; хо, k) и ty*{x; x0,
к) (ф* комплексно сопряжено с ф), таких что при х = хо (хй—
произвольная точка внутри интервала 0 ^ хо ^ Т)
B 3 3) Ф (Х°' Х<" k^==l' ф* ^°: Х°' k^1'
<Рх{хо> хо> k) = ik, <р'х(х0; х0, k) = -lk.
Если ц>(х,-, Хо, к) является решением B.3.2), то решением яв-
ляется и ф(*+ Tj, Xo, k). Поскольку ф, ф* образуют полный ли-
нейно независимый набор решений, то составленная из них мат-
рица фундаментального решения удовлетворяет соотношению
B.3.4а) Ф (* + Т; ха, k) = f (х0, к) Ф (х; х0, к),
где
B.3.4Ь)
/ф ф,\ л /а Ъ \
Ф (*; х0, к) = ^ . , J (х; х0, к), Т (*0, к) = ^, fl. J (х0, к).
При этом Т часто называют матрицей монодромии (см.
разд. 3.7). В периодической задаче она играет роль матрицы
рассеяния. Вронскиан двух решений B.3.2) не зависит от х, т. е.
W(u, v) = uvx — vux — const. Так как №(ф, Ф*) = —2ik, то, вы-
числив определители B.3.4), получим
B.3.4с) [а|2-|6|2=1.
Так называемые функции Блоха if>+(x; x0, k) определяются как
решения B.3.2) при дополнительном условии
B.3.5) ф± (х0; х0, к)=\, ф± {х + Г; х0, к) = ХЦ± (х; х0, к).
Так как if>± удовлетворяют уравнению B.3.2), то они являются
линейными комбинациями функций ф, ф*:
B.3.6) y±(x)
(остальные аргументы подразумеваются; С, D константы). Из
определений B.3.4а), B.3.5) получим, что С, D удовлетворяют
соотношениям
(a—l)C + Db* = О,
B-3l7) ЬС +{a*-K)D= 0.
Для существования нетривиального решения (С, D) для Я, дол-
жно выполняться соотношение
B.3.8а) h2 - Я (а + а*) + | а f -1 b |2 = 0,

2.3. Периодические граничные условия для уравнения 159
ИЛИ
B.3.8Ь) Я2 - 2aR% + 1 = О,
где or — вещественная часть а. Для вещественных Е (Е = k2)
возможны следующие случаи.
A) Если |а«|> 1, то одно из собственных значений |А,| боль-
ше единицы, а другое меньше единицы. Поэтому функция Блоха
неограничена.
B) Если \aR\ < 1, то |К\ = 1 и функция Блоха ограничена.
В данном случае мы обозначим aR (k) = cos p(k) и, следова-
тельно, к = ехр(±ф(й)).
C) Если \aR\ = 1, то к — ±1 и функция Блоха является
либо периодической, либо антипериодической.
Теперь мы определим два спектра, которые позволят восста-
новить потенциал и.
Основной спектр. Основной спектр состоит из собственных
значений Ei — k2, для которых по крайней мере одна из собст-
венных функций является периодической или антипериодиче-
ской. Точки Ei являются корнями уравнения \aR\ = 1. Разре-
шенными зонами являются (открытые) сегменты, расположен-
ные между соседними ?,-, в которых \or\ < 1. Запрещенными
зонами называются открытые сегменты между соседними ?,-, в
которых \aR\ > 1. Точки ?,- называют границами зон. Типичная
функция aR = aR(E) показана на рис. 2.1.
Запрещенная зона
Рис. 2.1. Типичный вид функции aR = ur(E).
На рисунке видно, что запрещенным зонам отвечают интер-
валы между E2j и Ey+i. Зависимость aR(E) иногда называют
диаграммой (определителем) Флоке. Многие свойства спектра,
которые мы будем обсуждать в этой главе, были тщательно рас-
смотрены с другой точки зрения в книге Магнуса и Уинклера
[341].
Вспомогательный спектр у,-. Определим у,- — такие значения
Е, в которых
B.3.9) а,+ 6,-0.
Поскольку выполняется условие | a f — | Ь |2 = 1, соотноше-
ние B.3.9) означает, что а\=\-\тЪ\. Таким образом, собствен-

160 2 МОЗР в других постановках
ные значения 7< лежат в запрещенных зонах или на границах
зон.
Вспомогательный спектр можно определить также другим
способом, потребовав, чтобы собственная функция, удовлетворяю-
щая уравнению B.3.2) (мы будем обозначать ее у(х; х0, k))
удовлетворяла фиксированным граничным условиям. Например,
в этом случае
B.3.10) 0(*о) = О, у(хо+Т) = О.
Тогда из разложения у = Лср + Вер* с некоторыми ненулевыми
А, В и с помощью B.3.10) и B.3.4) можно вывести B.3.9).
Теперь мы перечислим спектральные свойства Ei и v». Они
доказываются стандартным применением в теории обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. (Методы доказательства чи-
татель при желании может найти в [341] или в [368].)
Спектральные свойства.
A) Основной спектр состоит из счетного множества веще-
ственных собственных значений. Разделим его на два множест-
ва: невырожденные границы зон ?; и вырожденные границы зон
?г. В невырожденном случае дая'дЕ\ Е=Е =^0 (т.е. Et является
простым корнем уравнения а|—1 =0); равенство daJdE |?_g.=0
выполняется для вырожденных границ зон. Каждое ?,- пред-
ставляет собой двойной корень уравнения а|—1=0, корни
кратности больше двух отсутствуют. a'R(E)=?0 при |аЛ(?)|< 1.
B) Вспомогательный спектр также состоит из счетного мно-
жества вещественных собственных значений. Они могут лежать
либо внутри запрещенных зон, либо на границах зон. Все эти
собственные значения являются простыми корнями уравнения
at -\- Ь\ = 0. Далее мы разделим вспомогательный спектр на два
подмножества yt и уи Спектр yt совпадает с ?,, и существует
одна и только одна точка yi в каждой запрещенной зоне. (Эти
спектральные свойства являются следствиями осцилляционных
теорем в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.)
Конечнозонные потенциалы. Произвольный периодический по-
тенциал может иметь бесконечное число невырожденных соб-
ственных значений основного спектра (простых корней уравне-
ния а|=1). Здесь мы рассмотрим конечнозонные потенциалы,
т. е. потенциалы, имеющие только конечное число невырожден-
ных собственных значений ?;, i — 1, 2, ..., 2п + 1, а остальные
собственные значения вырождены.
В общем случае имеется бесконечное число невырожденных
собственных значений. Эта теория была распространена и на об-
щий случай Мак-Кином и Трубовицем A976) [368], но обобще-
ние весьма нетривиально.

2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ 161
Здесь нам удобно ввести в рассмотрение функцию х=
= —ity±x/ty±. Так как $± удовлетворяет уравнению B.3.2), то
X удовлетворяет уравнению Риккати
B.3.11а) -;%' + х2 + и = Е.
Таким образом, если % = Хк + 'X/. то имеем
и представление
B.3.11с) г|,± (х; х0, Е) = (ll^^E)I'2^ \%r (У\ Ч> k)dy).
Ниже мы будем пользоваться следующими асимптотическими
формулами (при \Е\ -*¦ оо, Е = к2):
B.3.12а) г|)±~ехр(/А(д:-дс0)),
B.3.12b) X±~kxl + Xo + jx_, + ^-3C_2+ •••
= =f (j) их, х_3 = ±
то есть,
B.3.13) x^ + O-^-lgr +^тB«„-«2)+ ...)•
Отметим, что, вообще говоря, уравнение КдФ и его высшие ана-
логи могут быть представлены в виде (см. Захаров, Фаддеев
[532] или разд. 1.6)
N
B.3.14)
г <9д: 6w (x)
оо
где ^2m+i~ J %-vm+i)(x)dx и S//6H —производная Фреше от /.
— оо
2.3. Ь. Обратная задача рассеяния. Функцию х можно выра-
зить через данные рассеяния а, Ь. Для этого мы воспользуемся
B.3.6). Исходя из равенств ^(х = х0) = 1, и ty'{x = xo) =
= i%'(x = xo) (последнее следует из определения х)> получим
B.3.15а) ^==-
6 Зак. IH

162 2. МОЗР в других постановках
гДе Хо = X (х = х0) = х (х0; xQ, k) '). Теперь, воспользовавшись
соотношениями B.3.5) при х = х0 и B.3.8Ь), получим
Поэтому
Теперь введем другой базис функций, удобный для анализа
свойств аналитичности данных рассеяния. Мы определим собст-
венные функции с{х; хо, Е), s(x; х0, Е), такие что при х = хо
B.3.16а) с(х0; х0, Е)= 1, сх(х0; х0, ?) = 0,
B.3.16b) s(x0; x0, ?) = 0, sx (x0; х3, ?)=1.
Оператор трансляции можно записать в виде
/9 Ч 1 7п\ п Iv XT' v F\ ¦ п г (у y Р\ -I- п с С v r АЛ
B.3.17b) s (х + Г; ль, ?) = а21с (х; х0, Е) + a22s (х; х0, Е).
Имеется следующая связь между базисами B.3.3,4) и B.3.16,
17):
B.3.18) ' а. + Ь.
Oi2 = — k {а, — Ь,), ал = k .
Преобразовав уравнение Шрёдингера B.3.2) в интегральное
уравнение Вольтерры (интегрирование проводится от х0 до х),
можно показать, что собственные функции с, s суть целые
функции переменной Е. Это означает, что коэффициенты <хц
также являются целыми функциями переменной Е. В теории
функций комплексного переменного доказывается, что целую
функцию можно представить в виде произведения ее нулей и
целой функции, не имеющей нулей. В частности,
2JV+1 °о
B.3.19а) 1 - а\ (Е) = g{ (Е) Е (Е - Et) П (Е - E,f,
B.3.19b) Щ^- = ft (E) f[(E- у tf Д (Е - Ё,Г.
Отметим, что gi(E), i— I, 2, суть целые функции, не имеющие
нулей, Et — простые корни уравнения 1 — a2R — О, Ё{ — дву-
') В предыдущем пункте буква Хо обозначала совсем другую величину.—
Прим. перев.

2.3. Периодические граничные условия для уравнения Кдф 163
кратные корни уравнения 1—а| = 0 и простые корни уравне-
ния а, + bi = О, y< — это простые корни уравнения а/ + bt = О,
расположенные внутри запрещенных зон. Таким образом, Xj»
представляется в виде
2N+1
Е(,_а2) Д (E~Ei)
где функция g(E) = g\(E)/gi{E) является целой и не имеет
нулей. Асимптотика g(E) при ?->оо определяется по известной
из B.3.13) асимптотике %R:
B.3.21) ^ = ?_u +
Сравнив B.3.20) и B.3.21), мы видим, что limg(?)=l. По-
этому из теоремы Лиувилля следует, что
B.3.22) g(?) = !lig-=l.
Используя B.3.22), разлагая B.3.20) и сравнивая с B.3.21),
получим формулу восстановления потенциала и (в точке х — х0):
2JV+1 N
B.3.23) и = ? ?г - 2 D Y(.
Теперь мы установим, что Я/ не зависят от точки хо, тогда как
Y« зависят от хй. Кроме того, мы выведем уравнения для y;(*o)-
При этом потенциал и в произвольной точке х0 можно будет
восстановить по формуле B.3.23).
Рассмотрим малый сдвиг точки хо в х0 + dxo. Матрицу фун-
даментального решения Ф(х; х0 + dxa, k) можно разложить в
ряд Тейлора:
B.3.24) Ф (л:; х0 + dxQ, k) - Ф (*; xQ, k) + ФХо (х; xQ, k) dx0 =
d>(x; x0, k).
Так как Ф(х; x0 + dx0, k) и Ф(х;х0, k) являются матрицами
фундаментального решения, то, как легко понять, / + Qdx0 не
зависит от х. Теперь из B.3.4) и B.3.24) получим
B.3.25) Ф (х + Т; х0 + dx0, k) = f (х0 + dx0, k) Ф (дс; ха + dx0, k) =
f(xo, к)Ф(х; х0, k).

164 2. МОЗР в других постановках
Таким образом,
B.3.26а) f(xo + dxo, k)(! + Qdxo) = (I + Qdxo)T(xo, k),
и в пределе dx0 ->• О
B.3.26b) -g- = [Q, f],
где [Q, f] = Qf — TQ. (Читатель может отметить аналогию
с A.2.4с).)
Теперь мы вычислим Q(x0), воспользовавшись
B.3.27) Я(хо) = Фх.{х; х0, к)Ф~1{х; х0, k).
Нам удобно выбрать х равным х0, поскольку правая часть
B.3.27) не зависит от х. Из граничных условий получим
1 ik
B.3.28а) Ф(х0; х0, k) = \
Аналогично, матрица
B.3.28b)
равна
[—ik E — u(xo)~\
ik Е-и(хоI
При выводе B.3.28с) мы воспользовались граничными усло-
виями:
(a) ф(х0; х0, Е)=\, поэтому {d/dx0)ф (х0; х0, Е) = 0 и
ф.ю (х0; х0, Е) = — ц>х (х0; х0, Е) = —//г;
(b) фх(л:0; х0, E) = ik, поэтому (d/dx0) <рх (х0; х0, Я) = 0и
фх^(^0; х0, Е) = —<рхх(Хо, х0, Е) = (Е — и (х0)) у (х0; х0, Е) =
= Е-и
Из B.3.27), B.3.28) следует
B.2.29)
И наконец, подставляя B.3.4Ь) в B.3.26Ь) и используя B.3.29),
получим
B.3.30а) -§?- = -ika - §¦ (а - b*) + ika - ^ {а + 6),
B.3.30Ь) Д- = -ikb + ^{b-a)- ikb + ^(a + b)

2 3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ 165
и комплексно сопряженные к ним выражения (мы предполагаем
потенциал и вещественным). Из B.3.20) следует, что aR =
= (а + а*)/2 удовлетворяет уравнению
B.3.31а) daR/dx0 = G,
которое означает, что корни (?;) уравнения а% = 1 не зави-
сят от х0. Кроме того, теперь мы можем найти уравнения для
(). Из B.3.30) имеем
B.3.31b) -^-{a, + bi)^
Из равенства \a\2 — \bf=\, взятого в точках E = yjt где
(а1 -\- Ь,) (Е = Y/) = 0 (по определению у/ B.3.9)), следует, что
B.3.31с) bR = ij
Воспользовавшись B.3.19), B.3.22) и вычислив B.3.31) в точ-
ках Е = у/, получим
ЛГ 2JV + 1
B.3.32) ~ П -lk=-%°l П (Y/-*i)W. /=1. •••' ^
или, определив
2 + l
B.3.33) R(E)= П (? - ?,),
из B.3.32) выведем
B.3.34) -^^^-V ili^—
П (V/ - Y*)
Система уравнений B.3.34) задает зависимости точек у,- от х0,
которыев свою очередь определяют и(х0) при всех х0. Величины
Y/ и знаки ст/ считаются заданными в некоторой начальной точ-
ке хо- При прохождении у/ через границу запрещенной зоны
величина а/ будет менять знак. Точки Eit i = 1, 2, ..., 27V + 1,
являются точками ветвления. Для корня R1/2(E) мы сделаем
разрезы вдоль запрещенных зон между ?2/ и f^y+i, /=i,..., jv от
? = •—оо до Е\. Так возникает риманова поверхность корня
Rl/2(E).
Замечательно, что существует преобразование, позволяющее
проинтегрировать систему Af нелинейных дифференциальных
уравнений B.3.34). Перед тем как перейти к этому вопросу, мы
вначале покажем, как вспомогательный спектр зависит от вре-
мени, если потенциал удовлетворяет уравнению КдФ. Эта

166 2. МОЗР в других постановках
зависимость, как будет показано, также может быть представ-
лена в виде системы N обыкновенных нелинейных дифферен-
циальных уравнений.
2.3. с. Зависимость от времени. Зависимость собственных фун-
кций от времени для B,3.1), B.3.2), как было показано в разд.
1.4, имеет вид
B.3.35) vt = Mv, Л1 = D? + 2и)-^--ы,.
В любой заданный момент t имеются две линейно независимые
функции v\, V2, удовлетворяющие B.3.2), B,3.35). Мы можем
разложить их по ф, ф* следующим образом:
B.3.36) О1 =
Подставив B.3.36) в B.3.35), получим, что ф удовлетворяет
уравнению
B.3.37) Ф, — Мф = Яф + ИФ*.
где К, ц зависят только от t. (Аналогично ф* удовлетворяет
комплексно сопряженным уравнениям.) Теперь мы определим
X, ц. При х = хо
B.3.38) ф=1, ф( = 0, yx = ik, фх< = 0
(для ф* аналогично). Таким образом, из B.3.37) получим
(х = хо)
B.3.39а) 0 = ik D? + 2ы (*0)) - «* (х0) + I + Ц.
Вычислив дх от B.3.37) в точке х = х0, получим
B.3.39Ь)
О = ikux (х0) - ихх (дс0) + D? + 2ы (х0)) (и (х0) - Е) + /Л (Я - ц).
Разрешив B.3.39а, Ь) относительно А,, ц, найдем
B.3.40а) i = Z-LUxx{Xo)-4ik3 + i^-,
B.3.40b) |х = «х (*о) - 2/Л« (дс0) + i «x* W - i «2-
Эти результаты можно записать в матричной форме
B.3.41а) Ф, = <ЭФ + ЛФ + У,
где Ф определено в B.3.4b), Q — в B.3.27), а Л и V имеют вид
X (л \ /0 <2ф
B.3.41b) Д (

2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ 167
Вычислив B.3.41) в точке х = х0-\-Т и воспользовавшись
B.3.4), получим уравнение
B.3.42а) f (Ф (х0) + ТФ, (х0) = QT Ф (х0) + AT (х0) + V (х0 + Т),
которое приводится к виду
B.3.42b) ?t = [A,f],
где [Л, Г] = ЛГ — ГЛ. (Опять отметим соответствие с A.2.4с).)
В терминах о, b уравнение B.3.42Ь) имеет вид
да .» »,
~-=г = pb — Ц, о,
B.3.43) дЬ
01
Отсюда нетрудно вывести, что ur и cti -\- bi (напомним, что
aR = (а -\- а*)/2 и т. д.) удовлетворяют уравнениям
B.3.44а) ^-=0,
B.3.44Ь) -~г {as + Ь,) = — 2[гя (а, + Ь,) + 2 (^; -f- ^y) &«•
Из B.3.44) немедленно получаем, что собственные значения ?,-
(корни уравнения а\ = 1) не зависят от времени. А из B.3.44Ь)
можно найти движение вспомогательного спектра у/. Восполь-
зуемся B.3.19) и равенством b2R = a2R—l+aj — b), В точках
Е = fj получим
B.3.45) - Д (ук - Ek) yfgf (Y|) Д (Y/ - у*) ¦#¦ -
где Сту = ±1 и #(?) дается формулой B.3.33). Воспользовав-
шись B.3.40) и равенством gi(E)/g2(E)= 1, получим
B.3.46) -]f- = N 4'а< BY/ + и (х0)) W'2 (Y/), j=l,...,N.
П(УУ-У4)
ft-i

168 2. МОЗР в других постановках
И наконец, воспользовавшись формулой обращения B.3.23),
преобразуем B.3.46) к виду
2ЛЧ-1
B.3.47) -^- = -л- '"' "
к = \
Уравнения B.3.34) и B.3.47) определяют функции y(xn,t), по
которым мы можем восстановить потенциал и(х0, t) B.3.23),
являющийся решением уравнения КдФ. Эти системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений могут быть проинтегриро-
ваны при помощи подходящего преобразования (преобразова-
ния Абеля). По заданным в некоторой точке л;0 значениям -у/
и знакам ст;- мы определим у/ во всех точках интервала, решив
систему B.3.34). После этого мы имеем начальные данные для
системы B.3.47), которую тоже можно решить.
При N = 1 полином R(E) B.3.33) имеет третий порядок, по-
этому решение у-, ураьнений B.3.34) и B.3.37) является эллип-
тической функцией от х и t. Интегрируя, получим хорошо из-
вестную кноидальную волну:
и = _ 2 (Е3 - Еа) сп2 (д/?з _?,(*- 2 (?, + Ег + Е3)
(сп(ы|т) — эллиптическая функция Якоби с модулем т). Эта
теория позволяет расширить класс периодических по х реше-
ний уравнения КдФ и включить в него решения, выражающие-
ся через гиперэллиптические функции.
Геометрически мы можем представить себе у/ движущимися
вдоль невырожденных запрещенных зон /,-= {EiE2j ^ Е ^
^ ?2/+ь /:= 1. •••, Щ в комплексной плоскости Е. Отождест-
вив соответствующим образом границы разрезов, проведенных
вдоль запрещенных зон двух экземпляров комплексной пло-
скости, получим риманову поверхность R корня R(E) B.3.33).
Точка у/ пробегает путь, состоящий из двух участков [/,-, +1]
и \U< —!]• Первый отвечает верхней границе разреза с а/ = 1,
второй нижней границе с о; = —1. Точка переходит с одной
границы разреза на другую в момент прохода через концы зоны
(рис. 2.2).
Теперь мы опишем процедуру интегрирования уравнений
B.3.34) и B.3.47). Определим координаты
B.3.48а) P/ = (Y/. */).

2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ 169
т. е. у,- с учетом знака а,-, и преобразование (Абеля)
Л/-1
B.3.48b) Qm(?)=?c,
EkdE
¦'km'
112 (Е) '
B.3.48c) ц,п (Р1г . .., PN) =
Обычно коэффициенты Скт нормируют условие (а,- — цикл, об-
ходящий соответствующую запрещенную зону //)
B.3.48d) ф пт (Е) = 2шб/т,
которое приводит к -V уравнениям для N неизвестных. Из
B.3.48d) следует, что коэффициенты Ckm вещественные (так
Рис. 2.2. Разрез на комплексной плоскости; движение точек у/-
как Rll2(E) является чисто мнимым для Е, лежащих в запре-
щенной зоне). Отметим, что преобразование B.3.48с) определено
неоднозначно (к ч\т можно добавлять кратные &пт). В любом
случае вычисление dv\m/dxQ с помощью B.3.48с), B.3.34) после
некоторых преобразований дает
Однако имеет место тождество
B-3.50) ?^
?7Г
/=1 П (Y/ - Yj
n = l
ПФ1

ГО 2. МОЗР в других постановках
где 8k, m — символ Кронекера. (Это можно доказать, вычислив
интеграл
/ dv
П (Y - Y»)
по контуру, охватывающему все точки уп.) Учитывая B.3.50),
мы из B.3.49) немедленно получим
B.3.51) *gL
Итак, мы показали, что B.3.34) сводится к интегрируемой си-
стеме B.3.51) с помощью преобразования B.3.48).
Аналогичным образом мы можем определить зависимость
переменных х\т от времени (воспользовавшись B.3.50)):
B.3.52) ^?^
/-1
2N+\
(V;-Ys)
Имеет место следующее тождество:
. 0„ k = 0, 1, .... N — 3,
k+i i » >
B.3.53) Y, -дГ^
'=' П (yt-yt)
Первые два равенства в B.3.53) (k ^L N — 2) следуют из
B.3.50), а последнее можно доказать по индукции. С учетом
B.3.53) уравнение B.3.52) приводится к виду
2JV+1
J-i

2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ 17'
Таким образом, получаем из B.3.51), B.3.54):
B.3.55а) r\m = i (%тх — шт( + ц°т),
B.3.55Ь) «« = 2Сдг_1. „,
2N+1
Волновые числа у.т и частоты сот в B.3.55) вещественные (мы
уже отмечали, что Cjk, определенные из B.3.48d), суть веще-
ственные коэффициенты).
Преобразование B.3.48) обратимо (см. [144, 143]), поэтому
мы можем записать
Теперь из B.3.23) и B.3.48а) следует, что и имеет вид
B.3.57) u(x) = f (л, %) + const
(т. е. и является функцией г)ь ..., x\n)- Этот результат озна-
чает, что частное решение уравнения КдФ, отвечающее N-зоп-
ному потенциалу, имеет в точности N фаз, и это решение яв-
ляется в общем случае условно периодическим по времени.
Каждое у/ «движется» внутри своей запрещенной зоны с не-
ким определенным периодом. Поскольку мы с самого начала
наложили условие периодичности по х, то все у; являются пе-
риодическими (с периодом Т) функциями х.
Можно показать (см., например, [143]), что решение B.3.57)
уравнения КдФ можно выразить через подходящую алгебраи-
ческую функцию на 2jV-MepHOM торе, а именно
B.3.58а) « = — 2 -^г" In вг (т)„ ..., %) + const,
где в — тэта-функция Римана,
B.3.58Ь) в(т||, ..., %) =
N
I 1 \~ч _ ....
ехр
. Ы N
A ? в»м,мк + ? мкЦЛ,
а матрица S/ft определяется следующим образом:
B.3.58с) Bik=§Qt{E).
Н
Циклы р* на римановой поверхности R не пересекают циклов
а,- при / =й= fe, a а/, |3/ пересекаются в одной точке ?2/ (рис. 2.3).

172 2. МОЗР в других постановках
Циклы а/, Р/ представляют собой циклы на деформированной
jV-зонной римановой поверхности. Константу в B.3.58а) и фазы
i\W в B.3.55а) также можно представить в явном виде на этой
римановой поверхности. Заинтересованный читатель может об-
ратиться к работам Итса и Матвеева [240], Матвеева [355],
Дубровина, Матвеева, Новикова [143]. В действительности Итс
и Матвеев [240] построили довольно общее решение B.3.58)
непосредственно (т. е. не обращаясь к описанной конструкции).
Их решение является почти-периодической функцией как по х,
так и по t.
Здесь мы не будем детальнее обсуждать результаты, относя-
щиеся к периодической задаче. Однако мы должны отметить,
Рис. 2.3.
что в этом направлении было получено много важных резуль-
татов. В дополнение к уже перечисленным работам мы реко-
мендуем заинтересовавшимся читателям следующие статьи:
Кричевер [292], Марченко [352], Флашка и Мак-Лафлин [159],
Мейман [373], Чередник [106].
Пока эта теория не имеет широких приложений. Недавно
Флашка, Форест и Мак-Лафлин [158] рассмотрели медленные
модуляции этих jV-зонных потенциалов. Задолго до этого Уизем
[505] разработал теорию однофазных волн, а Абловиц и Бенни
[4] и Абловиц [1, 2]—многофазных волн. В последней работе
численное интегрирование использовалось с целью показать су-
ществование многопериодических мод (несмотря на присутствие
малых знаменателей). Преимущество настоящей теории состоит
в возможности построения явного аналитического представле-
ния решения.
Упражнения
Раздел 2.1
1. (а) Доказать, что функции ф^-ад* и г|э<3>е-'?<Ь* являются
аналитическими в нижней полуплоскости, a tyMe-ildix и
C)?rfjx — в верхней полуплоскости.
(Ь) Перейти к пределу х ->¦ оо и получить аналогичные ре-
зультаты для а\\, &зз, «зз, Ь\\.

Упражнения 173
2. В B.1.1) положить
iQ = const, | х | < Lu
0, | x | > L1(
//? = const, I x I < L2,
0, | * | > U,
остальные Ni,- = 0. Вычислить данные рассеяния.
3. Показать, что каждый из не зависящих от времени коэф-
фициентов а\\ и о3з дает бесконечную серию законов сохране-
ния. Отличаются ли эти серии? Вычислите три первые плот-
ности в каждой из серий. Имеется ли рекуррентное соотношение
для вычисления n-й плотности? Разложение а2г также дает се-
рию законов сохранения.
4. (а) Какие условия следует наложить, чтобы нули функ-
ций а|,3) в B.1.46) соответствовали нулям функций а@3)?
(Ь) Показать, что в этом случае имеются солитоны Q2f. Что
происходит с Qif, Qy}
5. Обсудить различие между связанными состояниями (от-
вечающими дискретным собственным значениям) в задачах
рассеяния 2X2 и 3X3.
Раздел 2.2
1. Аикава и Тода [34] показали, что
= а~2 {и (х + Vo") + u(x— л/а~) - 2и (х)}
представляет собой интегрируемое уравнение, которое содержит
в себе в качестве частных случаев и цепочку Тоды, и уравнение
КдФ.
(a) Показать, что преобразование
а„ —an_i = —1пA +а«„)
переводит цепочку Тоды B.2.1) в
(**) д] In A + аыя) = а (ып+1 + ип_х - 2ып).
(b) Показать, что (*) сводится к КдФ при а->0
(c) Показать, что преобразование
переводит (*) в (*»). Так как уравнение (**) интегрируемо,
а преобразование является простой обратимой заменой коор-
динат, то и уравнение (-») тоже интегрируемо. Какая задача
рассеяния связана с ним?

174 2. МОЗР в других постановках
2. Найти дискретизацию уравнения sin-Гордон в конусных
координатах. Более сложная задача — найти дискретизацию в
лабораторных координатах. Интегрируемая дискретизация этого
уравнения в лабораторных координатах до сих пор не найдена.
(См. [11*, 12*]. — Перев.)
3. Докажите разрешимость B.2.48). См. разд. 1.3, A.3.30)
и далее.
4. (а) По аналогии с B.2.63) —B.2.65) найти рекуррентные
формулы для бесконечной последовательности законов сохране-
ния, если Sn, Тпф0 (см. B.2.22)). Вычислить три первых за-
кона сохранения. При каком выборе Q, R, S, Т имеются поло-
жительно определенные плотности законов сохранения (т. е.
«энергия»)? Как это связано с разрешимостью уравнения
B.2.48) в упр. 3?
(b) Найти «формулы следов» для цепочки Тоды. Как они
связаны с интегралами Хенона [207]?
(c) Найти переменные действие — угол для цепочки Тоды.
Дифференциально-разностные уравнения возникают как модели
одномерных кристаллических решеток. Эти модели являются
естественными кандидатами для квантования. Квантовомехани-
ческие эффекты часто оказываются существенными в решеточ-
ной динамике. Формулировка этой проблемы в терминах пере-
менных действие — угол может оказаться необходимым шагом
в процессе квантования (см. также разд. 4.5).
5. Имеются ли случаи, когда данные рассеяния можно вы-
числить явно? Если да, то попытайтесь их вычислить.
Раздел 2.3
Возможно, упражнения к этому разделу следовало бы на-
звать «нерешенные задачи».
1. Слово «солитон» означает ныне точное решение вполне
интегрируемого эволюционного уравнения на оси —оо < х < оо,
отвечающее единственному дискретному собственному значению
в спектре соответствующей задачи рассеяния. Однако первона-
чально этот термин употреблялся Забужским и Краска лом
[523] для обозначения локальной волны в их численных экспе-
риментах с уравнением КдФ при периодических граничных ус-
ловиях. Описать на языке (чисто дискретного) спектра перио-
дической задачи, чем отличаются «солитоны», которые наблю-
дали Краскал и Забужский. Если известны оба спектра для
некоторого начального условия периодической задачи для урав-
нения КдФ, то можно ли предсказать, сколько «солитонов» бу-
дет наблюдаться в численном эксперименте?
2. (а) Определить время возвращения /V-зонного решения
уравнения КдФ.

Упражнения 175
(b) Основываясь на численных экспериментах для уравне-
ния
щ + иих + 62иххх = О
при 0 < х < L с периодическими граничными условиями и на-
чальными условиями вида
и(х, 0) = sin—^-.
Забужский [521] нашел эмпирическую формулу для времени
возвращения
т sLLt
'г — § i ь>
где Ть — время опрокидывания решения в уравнении с 6 = 0.
Можно ли эту формулу вывести аналитически? При каких усло-
виях она применима? Имеется ли какое-нибудь обобщение этой
формулы для более широкого класса начальных условий?

Глава 3. Различные перспективы
Краткий обзор. В предыдущих двух главах мы видели, что не-
которые нелинейные дифференциальные уравнения в частных
производных при определенных граничных и начальных усло-
виях можно точно проинтегрировать методом обратной задачи
рассеяния (МОЗР). Стоит отметить, что этим способом мы по-
лучаем общее решение задачи, которое пока невозможно полу-
чить никаким другим методом. Тем не менее МОЗР не являет-
ся единственно возможным подходом к этим задачам. В настоя-
щей главе мы обсудим некоторые другие точки зрения на этот
круг задач.
Довольно богатое многообразие имеющихся методов мы ра-
зобьем на группы в соответствии с тем, на какие из вопросов
они позволяют дать ответ. Ниже представлена попытка такого
разбиения, охватывающая различные подходы, в том числе и
не рассматриваемые в этой главе.
Описание задач, интегрируемых при помощи МОЗР. Задачи,
которые можно решить при помощи МОЗР, обладают целым
рядом уникальных свойств, к которым относятся солитоны, бес-
конечная серия законов сохранения, полный набор переменных
типа действие — угол. В общем случае уравнения не обладают
такими свойствами и, по-видимому, не могут быть решены при
помощи МОЗР. Поэтому возникает естественная задача описать
множество нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных, интегрируемых методом обратной задачи рассея-
ния. С практической точки зрения важно, существует ли отно-
сительно простой тест, который применим непосредственно к за-
данному уравнению и позволяет ответить на вопрос, можно ли
это уравнение решить при помощи какой-нибудь модификации
МОЗР. Это относится к уравнениям в частных производных,
дифференциально-разностным уравнениям, конечно-разностным
и т. д. В этой главе, однако, мы остановимся исключительно
на уравнениях в частных производных.
В настоящее время принято считать, что к 1 + 1 -мерному
уравнению применим МОЗР, если оно обладает либо преобра-
зованием Бэклунда (разд. 3.1), либо неабелевым псевдопотен-

Краткий обзор 177
циалом (разд. 3.2), либо точным iV-солитонным решением (ве-
роятно, N ^ 3 является достаточным, а N == 2 еще нет [223],
разд. 3.3.6), т. е. эти условия считаются достаточными для при-
менимости МОЗР. С другой стороны, требование, чтобы диффе-
ренциальное уравнение в частных производных обладало «свой-
ством Пенлеве» (разд. 3.7), предложено в качестве необхо-
димого условия интегрируемости методом обратной задачи
рассеяния. Условия, являющиеся необходимыми и достаточными,
не известны '>.
В многомерном случае (с размерностью большей 1 + 1) За-
харов и Шульман A980) [548] предложили метод, основанный
на анализе дисперсионного соотношения линеаризованного урав-
нения. Гипотезу о свойстве Пенлеве (разд. 3.7) можно распро-
странить на случай большего числа измерений. В настоящее
время неизвестно, связаны ли эти два подхода.
Поиск задачи рассеяния. Пусть дана система, структура ко-
торой в принципе позволяет применить метод обратной задачи.
Существует ли регулярная процедура нахождения соответствую-
щей спектральной проблемы? Иначе говоря, существует ли ме-
тод поиска спектральной проблемы, настолько эффективный,
что его неуспех гарантирует отсутствие существования такой
проблемы?
Исторически наиболее успешным методом поиска задач рас-
сеяния было угадывание операторов, иногда с использованием
') В настоящее время проблему, сформулированную авторами в этом
разделе для 1 + 1-мерных дифференциальных уравнений, можно считать в
основном решенной. В работах А. Б. Шабата, его соавторов и учеников по-
лучены условия интегрируемости — необходимые условия существования сим-
метрии высокого порядка или по крайней мере двух локальных законов со-
хранения высокого порядка (см. оригинальные работы [1*] A979), Г2*1
A980), [3*] A983), [4*] A985) и обзор [5*] A984)). Условия интегрируемо-
сти являются настолько эффективными, что их можно использовать не толь-
ко для проверки заданного уравнения, но и для описания всех интегрируе-
мых систем уравнений определенного вида. Эта программа впервые была
полностью реализована в работе [1*], посвященной описанию нелинейных
уравнений типа Клейна—Гордона, обладающих симметриями высокого по-
рядка. Для квазилинейных уравнений третьего порядка аналогичная задача
решена в [6*], [7*]. В работе [8*] дано исчерпывающее описание уравнений
вида lit = F(x, u, Ux, Uxx), обладающих симметрией порядка три или боль-
ше. Описание всех дифференциально-разностных эволюционных уравнений
вида и„ = I(ип-\, ип, ип+\), обладающих локальными законами сохранения вы-
сокого порядка, можно найти в [3*]. Описание систем уравнений является
более сложной задачей. Сейчас она полностью решена только для систем
двух уравнений вида U/ = A(u)u« -\- F(u, ux) (условия интегрируемости
получены в работе [4*], описания систем в [9*], [10*], скоро будут опубли-
кованы исчерпывающий список и классификация этих систем). Во всех этих
случаях удалось доказать, что несколько первых условий интегрируемости
являются не только необходимыми, но и достаточными для описания систем
с богатым набором симметрии или локальных законов сохранения высокого,
порядка. — Прим. перев.

'78 3. Различные перспективы
наводящих соображений, почерпнутых из заранее известного
преобразования Бэклунда (разд. 3.1). Псевдопотенциалы
(разд. 3.2) представляют другой подход, опирающийся на мень-
шее число гипотез и в ряде случаев являющийся исчерпываю-
щим. Чень, Ли и Ли A979) [104] предложили метод, основан-
ный на линеаризации, который позволяет проверить эволюцион-
ное уравнение на интегрируемость и одновременно приводит к
задаче рассеяния, если таковая существует. Сатсума A979)
[446] предложил использовать солитонные решения и билиней-
ные формы для построения преобразований Бэклунда и задач
рассеяния. Геометрические и теоретико-групповые методы так-
же использовались в ряде частных случаев.
Частные решения. Одна из привлекательных точек зрения
состоит в том, чтобы отказаться от исследования общего реше-
ния и ограничиться изучением точных частных решений задачи
(т. е. iV-солитонных на бесконечном интервале и iV-зонных по-
тенциалов для периодической задачи). «Прямые» методы
поиска этих частных решений развиты в разд. 3.3 и 3.6. Они
обычно более просты, чем МОЗР, и позволяют избежать неко-
торых деликатных аналитических вопросов, возникающих при
изучении задачи рассеяния. Прямые методы позволяют к тому
же получить решения вне класса функций, в котором тради-
ционно применяют МОЗР. Этот более широкий класс содер-
жит рациональные решения (разд. 3.4), многомерные солитоны
и лампы (разд. 3.6) и автомодельные решения, содержащие, в
частности, трансценденты Пенлеве (разд. 3.7).
Что происходит? Ряд работ в этой области ставит целью не
расширение класса уравнений, интегрируемых при помощи
МОЗР, а выяснение вопроса, почему это «чудо» происходит.
В некоторых работах предполагается, что теория групп лежит
в основе этого удивительного метода (см., например, [122],
[271], [60], [208]). Сходные точки зрения исходят из диффе-
ренциальной геометрии (Эстабрук A981) [150]) и из алгебраи-
ческой структуры гамильтоновых операторов (Гельфанд, Дикий
A977) [181], Адлер A979) [31], Лебедев, Манин A978) [322],
Дикий, Дорфман, Гельфанд A979) [140]). Дейфт и Трубовиц
A980) [137] рассматривают задачи, решаемые при помощи
МОЗР, в терминах бесконечного числа связанных осциллято-
ров, лежащих на поверхности гиперсферы. Это описание приме-
нимо как в случае периодической задачи, так и для задачи на
бесконечном интервале.
Исследование структуры Другая точка зрения — просто при-
нять, что рассматриваемые задачи обладают богатой структу-
рой, последовательное изучение которой расширит нам арсенал

3,1. Преобразования Бэклунда 179
математических приемов и объектов. Примерами могут слу-
жить развитая Мак-Кином и Трубовицем A976) [368] теория
гиперэллиптических функций с бесконечным числом точек ветв-
ления и работа Новикова и Кричевера A980) [402] об обоб-
щенных гиперэллиптических функциях.
Итак, имеется довольно много различных подходов к зада-
чам, решаемым с помощью МОЗР. Некоторые из них мы обсу-
дим в этой главе.
3.1. Преобразования Бэклунда. Этот раздел посвящен пре-
образованиям локально определенных решений уравнений в ча-
стных производных. Может случиться, что эти локальные реше-
ния допускают продолжение до глобальных решений, обсуж-
дающихся в предыдущих главах, но эта возможность здесь не
существенна. В настоящем разделе и в разд. 3.2 под решениями
дифференциального уравнения в частных производных следует
понимать локальные решения, определенные в некоторой откры-
той односвязной области, которые не обязаны удовлетворять
каким-то конкретным граничным и начальным условиям. Кроме
этого, считается, что решение классическое (т. е. в сильной то-
пологии). Например, если u(x,t) является решением уравнения
КдФ, тогда {и, ш, их, ихх, иххх) должны быть все определены
поточечно в некоторой области и
щ -f %иих + иххх = 0.
Для простоты мы ограничимся рассмотрением систем дифферен-
циальных уравнений в частных производных в двумерном про-
странстве-времени (х, t). Различия между временной и про-
странственной переменными отсутствуют, так как анализ яв-
ляется локальным. Для обозначения дифференциальных урав-
нений в частных производных мы будем использовать выраже-
ния
D(u) = 0 и
В зависимости от контекста это могут быть одно и то же или
разные уравнения.
Мы начнем с некоторых определений.
Определение. Говорят, что соотношение
L{u, v, ux, vx, ut, vt, ...; х, /) = 0
(или набор таких соотношений) отображает E(v) = 0 в D{u) =
= 0, если любое (локальное) решение уравнения E(v) — 0 од-
нозначно определяет некоторое (локальное) решение уравнения
D(u) = 0.
Пример. Из преобразования Миуры
C 1.1) м==_ух_у2

180 3. Различные перспективы
следует, что
щ
^- + 2о) (vt - 6vl + vxxx).
Поэтому каждое решение уравнения мКдФ отображается с по-
мощью C.1.1) в некоторое решение уравнения КдФ.
Пример. Преобразование Коула [114] и Хопфа [234]
C.1.2) и = -2чЦ-
отображает решения уравнения теплопроводности в решения
уравнения Бюргерса [81], так как C.1.2) означает, что
C.1.3) щ + иих - vuxx = - -f (A - f) (Bt - vQxx).
Отметим два момента. Во-первых, это обычное определение
отображения, и нет никакой необходимости вводить новую тер-
минологию для описания замен C.1.1), C.1.2). Во-вторых, эти
отображения не определяют однозначно ни D{u) = 0, ни
E(v) — 0. Так, уравнение
C.1.4) щ + сих = 0
отображается в себя и преобразованием C.1.1), и C.1.2). Фак-
тически преобразование C.1.1) отображает последовательность
«высших» уравнений мКдФ в последовательность «высших
уравнений» КдФ; аналогичное утверждение можно сделать и
относительно преобразования C.1.2) (упр. 1, 2).
Определение. Набор соотношений, включающих {х, t, u(x, t)},
{X, Т, V (^,7")} и производные и а V, является преобразова-
нием Бэклунда (ПБ) между D(u; x, t) и E(V; X, Т), если:
(i) ПБ является интегрируемым для V, если и только если
D(u) = 0;
(ii) ПБ является интегрируемым для и, если и только если
E(V) = 0;
(iii) по заданному и, такому, что D{u) = 0, ПБ позволяет
определить V с точностью до конечного числа констант, причем
?(V) 0
)
(iv) по заданному V, такому, что E(V) = 0, ПБ позволяет
определить и с точностью до конечного числа констант, причем
?>(и) = 0.
(Напомним, что vx = f(x, t) и vt = g(x,t) называются ин-
тегрируемыми относительно v, если и только если vxt = vtx,
т.е. они должны быть совместными.)
Пример. В теории комплексного переменного соотношения
Коши — Римана
C.1.5) «х = оу> vx = -uy

3.1. Преобразования Бэклунда 18'
являются ПБ для уравнения Лапласа в себя. Чтобы убедиться
в этом, исключим и из C.1.5) и получим
C.1.6) vxx + vyg = 0.
По заданному v, удовлетворяющему C.1.6), C.1.5), можно оп-
ределить и с точностью до одной константы ио = и(хо,уо)- Так,
если соотношения C.1.5) симметричны, то функция и также
должна удовлетворять уравнению C.1.6).
Пример. Преобразование, обсуждавшееся Бэклундом A880)
[46], имеет вид
/о 1 -г\
C.1.7)
Оно отображает решения уравнения sin-Гордон
C.1.8) (pxt = sin ф
в себя. Этот факт легко проверить перекрестным дифференци-
рованием C.1.7).
Пример. Задачей рассеяния для уравнения КдФ является
C.1.9а) Ф** + (?2 + «)Ф = 0,
C.1.9b) fy = (a (?) + их) ф + №2 - 2ы) фя.
Эти соотношения также являются преобразованиями Бэклунда
между КдФ и уравнением
C.1.10) *( + 1„-а*-ба-^ = 0.
В этом случае C.1.10) получается исключением и при помощи
C.1.9а). Уравнение КдФ получается как условие совместности
(tyxxt = i|>*xx) • Отметим, что и однозначно определяется по \|з
(за исключением точек, в которых \|> равно нулю), при этом -ф
определяется по и с точностью до двух постоянных (\|з и tyx при
Разница между преобразованием Бэклунда и отображением
состоит в следующем. При заданном v отображение однозначно
определяет и, но не конкретизирует ни уравнения ?>(«) = 0, ни
E(v) = 0. Преобразование Бэклунда не обязательно опреде-
ляет и однозначно даже при заданном v, но конкретизирует и
?>(«) = 0, и E(v) = 0. Часто ПБ можно построить из отображе-
ния, задав подходящее эволюционное уравнение.
Пример.
C.1.11а) vx = -u-v\
C.1.11b) ut = 6v2vx-vxxx
являются ПБ между уравнениями КдФ и мКдФ. Отметим, что
C.1.11а) есть в точности C.1.1). При желании C.1.11b) можно

182 3. Различные перспективы
переписать в виде, не содержащем производных по х от и, вос-
пользовавшись несколько раз соотношением C.1.11а).
Аналогично C.1.9а) представляет собой отображение из г|)
:в и (в области, где т|з Ф 0).
Для сравнения приведем несколько других возможных типов
преобразований.
(i) Простейшими являются точечные преобразования
C.1.12) u = u(v; х, t).
Если задана двумерная поверхность, определяемая с помощью
v(x,t), то соотношение C.1.12) определяет новую поверхность.
При этом никаких свойств дифференцируемости не предпола-
гается. Примером служит C.1.1)').
(и) Контактные преобразования (или касательные преоб-
разования, или преобразования Ли) характеризуются следую-
щим геометрическим свойством: поверхности, в одном простран-
стве имеющие общую касательную в некоторой точке, отобра-
жаются в поверхности другого пространства с общей касатель-
ной в соответствующей точке. Если v(x, t) отображается в
и(Х, Т), то преобразование является контактным, если
C.1.13) du — uxdX — uTdT = (dv — vx dx — vt di) p,
где p — функция от (v,vK,vt\ x,t), не имеющая нулей. Теория
таких преобразований была развита в работах Ли; можно
также сослаться на книгу [166]. Примером может служить пре-
образование годографа, используемое в газовой динамике, кото-
рое меняет роли зависимых и независимых переменных2). Од-
нако эти преобразования отличаются от ПБ, поскольку в
C.1.13) не требуется, чтобы и, v удовлетворяли какому-нибудь
конкретному уравнению в частных производных.
(Hi) Контактные преобразования можно обобщить, потре-
бовав сохранение контактной структуры более высокого поряд-
ка. Такие преобразования были названы преобразованиями
,Ли — Бэклунда (Андерсен, Ибрагимов [41]). Наименование мо-
жет сбить с толку читателя, ибо приведенное здесь преобразо-
вание не имеет очевидной связи с определенным в этом разделе
преобразованием Бэклунда (см., однако, [164], [237]).
•> Здесь авторы привели неудачный пример, так как отображение C.1.1)
'содержит производную vx. Точечное преобразование обычно определяют
как отображение вида и — u(v, х, t), X = X(v, x, t), T = T(v, x, t), причем
функции и, X, Т не зависят от производных vx, ..., и якобиан преобразова-
ния отличен от нуля. В этом случае преобразование является локально обра-
тимым по теореме о неявной функции. — Прим. перев.
2) Указанное здесь преобразование годографа относится к точечным пре-
образованиям (см. предыдущее примечание). Примером контактного преоб-
разования является хорошо известное преобразование Лежандра. — Прим,
перев.

3.1. Преобразования Бэклунда 183
(iv) Пирани A979) [423] дал другое определение ПБ на
языке локальных расслоений джетов.
Сейчас мы перейдем к главному вопросу. Какое отношение
имеют преобразования Бэклунда к солитонам и МОЗР? Суще-
ствует много ответов на этот вопрос, но наиболее фундамен-
тальным нам кажется следующий: задача рассеяния и связан-
ная с ней эволюция по времени, образующие в совокупности,
метод обратной задачи рассеяния, являются также преобразо-
ванием Бэклунда. В действительности это соответствие можно
доказать довольно легко для широкого класса задач.
Теорема. Пусть
C.1.14) vlx + it,vl==qv2, v2x — i'Qv, = rv[,
C.1.15) vH = Av{-\- Bv2, v2t = Cvi — Av2,
и пусть u = (g, г) удовлетворяет системе эволюционных уравне-
ний D(u) = 0 совместно с C.1.14) и C.1.15) с полиномиальным
законом дисперсии. Тогда для всех ? соотношения C.1.14) и
C.1.15) представляют собой преобразование Бэклунда между
D(u) — Q и E(v, ?) = 0, где ?(v, ?) = 0— это некоторая система
двух дифференциальных уравнений на v = (i>i, аг). зависящая
от t, и не зависящая от а.
Доказательство. По предположению условие интегрируе-
мости системы C.1.14), C.1.15) для v — это D(u) = 0; это есть
условие (i) в определении ПБ. Затем при заданном и, удовлет-
воряющем уравнению D(u) = Q, решение задачи рассеяния оп-
ределяет v с точностью до двух констант (в гл. 1 они были за-
фиксированы, скажем, выбором граничных условий при
х^-+°°)- Таким образом, выполнено условие (Ш) в опреде-
лении. При любом заданном v, причем ни v\, ни и2 не обра-
щаются в нуль в некоторой области, вектор и однозначно опре-
деляется с помощью C.1.14); это условие (и). И наконец, так
как дисперсионное соотношение линеаризованного уравнения
D(u) = 0 является полиномиальным, то коэффициенты (А, В, С)
можно выразить через и и производные по х конечного порядка
(см. разд. 1.2). Затем, воспользовавшись соотношениями
C.1.14), можно выразить (А, В, С) в терминах ?, уь и2 и про-
изводных по х конечного порядка. Подставив результат в
C.1.15), получим систему E(v, ?) = 0, которой должен удовлет-
ворять вектор v. Итак, мы продемонстрировали выполнение ус-
ловия (iv) и завершили доказательство теоремы. ?
Возможность представления задачи рассеяния как ПБ не
ограничивается случаем эволюционных уравнений с полиноми-
альным дисперсионным соотношением или данным частным слу-
чаем задачи рассеяния. Мы не будем здесь пытаться доказы-
вать более общую теорему, а некоторые примеры, выходящие
за рамки этих ограничений, даны в упражнениях,

184 3. Различные перспективы
Теперь у нас имеются три различные интерпретации МОЗР:
A) МОЗР — это обобщение преобразования Фурье, приме-
нимое для некоторых нелинейных уравнений.
B) МОЗР —это каноническое преобразование к перемен-
ным типа действие — угол вполне интегрируемой гамильтоно-
вой системы.
C) МОЗР — это преобразование Бэклунда.
Справедлива каждая из этих интерпретаций, но подчерки-
вают они разные аспекты МОЗР. Дает ли какая-нибудь из них
удовлетворительный ответ на вопрос «почему же работает
МОЗР?» — это до некоторой степени зависит от вкуса читателя.
Если известно, что данное дифференциальное уравнение
имеет однопараметрическое семейство ПБ (т. е. определена за-
дача рассеяния), связывающих его с семейством других урав-
нений, то нет ничего удивительного в том, что можно построить
ПБ этого уравнения в себя. Простейший способ сделать это
предложил Чень [101, 102]. Чтобы проиллюстрировать его ме-
тод, выведем ПБ уравнения КдФ в себя, исходя из задачи рас-
сеяния для КдФ. Если определить v = tyx/ty, тогда C.1.9а) дает
C.1.16а) vx = -l2-u-v\
а C.1.10) эквивалентно
C.1.16b) vt = u{v* + l*)vx-xxxx.
Это преобразование является простым обобщением C.1.11) и
сводится к нему при ?2 = 0. Существенным в методе Ченя яв-
ляется следующий момент: если v — решение уравнения
C.1.16Ь), то получим два различных решения и и и' уравнения
КдФ из «одного и того же» v:
vx = — t,2 — u — v2,
(ЗЛЛ7) (-v)x=-?-w-(-vy.
Складывая и вычитая, получим
C.1.18) -JL±*L =?+„*, ^=-Vx.
Определим потенциальную функцию w, такую, что и = wx; при
этом из C.1.18) следует, что
w — w'
— V,
^ ( W + W' \ .2
W + W' \ .2, ( W — W'
Эта «х-часть» преобразования Бэклунда уравнения КдФ в себя
была найдена первоначально Уолквистом и Эстабруком [496].

3.1. Преобразования Бэклунда 185
Вторая компонента находится подстановкой C,1.19) в C.1.16Ь):
C,.2О) (^1), + 6 (i±5l)x (^ + (i^l)^ - 0.
Равенства C.1.19), C.1.20) определяют ПБ уравнения
C.1.21) wt + За? + wxxx = 0
в себя. Решение уравнения КдФ находится по формуле и = wx.
Важный момент здесь состоит в том, что и' можно построить
из и, поскольку замена v-*~(—v) сохраняет C.1.16b), но изме-
няет C.1.16а). Непосредственно воспользоваться этим трюком
в задаче рассеяния нельзя, поскольку замена г|)->-(—г|)) не ме-
няет ни C.1.10), ни C.1.9а). В этом случае можно воспользо-
ваться симметрией г|) -*¦ 1/г|), не меняющей соотношение C.1.10),
но изменяющей C.1.9а). Уравнения, соответствующие C.1.17),
в этом случае имеют вид
C.1.22) и=-?2
Преобразовывая эти выражения, мы опять придем к C.1.19).
Следует подчеркнуть, что C.1.19) сохраняется для всех выс-
ших уравнений КдФ, которые порождены той же самой (про-
странственной) задачей рассеяния C.1.9а). Компонента t пре-
образования, т. е. C.1.10), определяет, какое конкретное урав-
нение преобразуется.
Вывод ПБ уравнения в себя, основанный на подходящей
задаче рассеяния, обсуждался также в работах Абловица, Кау-
па, Ньюэлла и Сигура A974) [12] и Коно, Вадати A975) [288].
Исторически преобразования Бэклунда использовались не толь-
ко для отыскания соответствующих задач рассеяния, но и для
построения частных решений задач (например, солитонов). Мы
видели, каким образом ПБ часто приводили к задачам рассея-
ния. Теперь давайте обсудим, как строить частные решения при
помощи ПБ. В частности, рассмотрим однопараметрические се-
мейства ПБ уравнений в себя, скажем C.1.7) для уравнения
sin-Гордон и C.1.19), C.1.20) для уравнения КдФ. Если из-
вестно одно решение уравнения, то интегрирование преобразо-
вания Бэклунда позволяет построить другое решение. В каж-
дом изученном случае, однако, даже без этого единственного
интегрирования можно обойтись, доказав «теорему о суперпо-
зиции» (см. [311, 312]). Эту теорему впервые доказал Бьянки
A902) [64] для уравнения sin-Гордон C.1.8). Из C.1.7) он

18Ь 3. Различные перспективы
вывел, что четыре решения уравнения C.1.8) связаны формулой
C.1.23) t
где (а\, а2) — произвольные постоянные. Этот результат, как по-
казал Лэм [309], можно использовать для получения точного
Л/-солитонного решения. При известном ПБ уравнения в себя
нетрудно найти формулу, аналогичную C.1.23), но доказатель-
ство ее справедливости весьма утомительно. Подробности можно
найти в [311, 312] (см. также разд. 3.3, где ПБ обсуждаются
с точки зрения билинейных уравнений Хироты).
Грубо говоря, действие ПБ на заданное решение уравнения
(скажем, КдФ) сводится к тому, что добавляется или уничто-
жается один солитон. Если до преобразования решение (м0)
удовлетворяло неравенству
C.1.24)
то можно сформулировать более точное утверждение. Мы пока-
жем, что в результате действия на «0 преобразованием Бэк-
лунда порождается решение и\, также удовлетворяющее C.1.24),
причем его спектр (как потенциала в C.1.9а)) отличается от
спектра «о в точности на одно дискретное собственное значение.
Приведенное здесь изложение основывается на работах Дейфта
и Трубовица [136] (см. также [382], в особенности статью
Уолквиста), Вадати, Сануки и Коно [494], Калоджеро [89].
Отметим, что зависимость от времени никак не отражается на
наших рассуждениях, и поэтому мы ее опускаем. По этой же
причине полученные результаты справедливы для любого урав-
нения КдФ высшего порядка, связанного с задачей рассеяния
C.1.9а).
Пусть ио(х) является вещественной функцией, удовлетво-
ряющей условию C.1.24), и
в точках дискретных вещественных собственных значений к =
= — у?п < ... < — к\. Возможность п = О не исключается, и,
кроме того, эта задача может иметь непрерывный спектр. Пусть
?2 > у?п и пусть g(x) удовлетворяет уравнению
C.1.25) gxx+uog = ?g,
причем ?(л-)> е > 0 при всех х. Дейфт и Трубовиц [136],обоб-.
щив теорему Крума [127], показали, что если определить и\
выражением
C.1.26) «1=«o + 2^rlng.

3.1. Преобразования Бэклунда 187
то «1 удовлетворяет C.1.34), а спектр задачи
C.1.27) Ф« + «1* = -Лф
имеет п + 1 дискретных собственных значений X = —?2 <C
< —н?п < ... < —kj. При этом собственная функция, отвечаю-
щая (—?2), имеет вид \/g(x), в чем можно убедиться непосред-
ственной подстановкой в C.1.27).
Чтобы связать C.1.26) с C.1.19), положим v = gx/g- Так
как g > е > 0, то v определено всюду. Из C.1.25) следует, что
,, _ gxx ( gx У
х g V g J '
т.е.
C.1.28) 0л = _Ыо_(_?2)_о2>
что является преобразованием Миуры. Если положить wx = и,
то C.1.26) превращается в
так что
И), —
V—
а из C.1.28) получим
/ Wt + Wq \ __^2 (Wj — Wqy
У 2 )Х — Ь У 2 ) •
Последнее совпадает с C.1.19) после замены ?? -?—Е;2. Если
функции «о и «1 удовлетворяют C.1.19), а каждая из них урав-
нению КдФ, то соотношение C.1.20) удовлетворяется автома-
тически.
В рассмотренном случае мы показали, что ПБ добавляет
одно собственное значение к спектру, т. е. добавляет один со-
литон. Напротив, если бы мы взяли и\ в качестве заданной
функции, то функция ио определилась бы из соотношений
C.1.19, 20) и требования «о->о при х^-оо. Функция и0 также
удовлетворила бы уравнению КдФ, а спектры задач рассеяния
с потенциалами и\ и uq отличались бы ровно на одно собствен-
ное значение. Таким образом, ПБ может добавлять или уничто-
жать солитоны. Дейфт и Трубовиц [136] вывели jV-солитонную
формулу для уравнения КдФ, воспользовавшись теоремой
Крума.
С целью упростить изложение в этом разделе мы ограничи-
лись рассмотрением ПБ только для дифференциальных уравне-
ний в частных производных. Однако близкая аналогия между
непрерывными и дискретными задачами, обсуждавшаяся в
разд. 2.2, наводит на мысль, что дискретные ПБ должны бы

188 3. Различные перспективы
иметь то же значение для конечно-разностных уравнений, какое
непрерывные ПБ имеют для уравнений в частных производных.
Работа по дискретным ПБ началась совсем недавно, но уже
имеется несколько примеров дискретных ПБ уравнений в себя,
построенных Ченем [101] и Хиротой [221,224].
Мы не задавались вопросом, как определить, имеет ли на-
перед заданное уравнение преобразование Бэклунда в себя или
в какое-нибудь другое уравнение? Этот вопрос предложил Кле-
рен A903) [111], но мы отложим обсуждение его метода до
следующего раздела.
3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения. Как и в
предыдущем разделе, здесь мы интересуемся локальными ре-
шениями дифференциальных уравнений в частных производных
в двумерном пространстве. Псевдопотенциалы, впервые обсуж-
давшиеся Уолквистом и Эстабруком [496, 497], тесно связаны
с преобразованиями Бэклунда и МОЗР. Обычно теория псев-
допотенциалов излагается на отличающемся от принятого в этой
книге языке внешних дифференциальных форм (см., например,
[384] и приведенные там ссылки), но, как отмечали Коронес
[121] и Кауп [264], в этом нет большой необходимости. Изло-
жение, принятое в этом разделе, не требует знания теории диф-
ференциальных форм.
3.2. а. Основные концепции. В основе первой работы Уолкви-
ста и Эстабрука лежит тот факт, что уравнение КдФ имеет бес-
конечный набор локальных законов сохранения
дТ{ dFt _ п . 9
где {Г,, Fi}—известные функции u(x~t) производных по х ко-
нечного порядка х и t. Каждый такой закон сохранения опреде-
ляет потенциальную функцию it\:
dw. dw¦
dt ' " дх ' "
т. е.
C.2.1) dwi = Fidi — Tidx
является полным дифференциалом. При заданной функции и и
ее производных функцию да; можно определить интегрированием
C.2.1). Например, записав уравнение КдФ в виде
щ + C«2 + ихх)х = О,
мы получим простейший потенциал
C.2.2) wt — Зы2 + vXXi> wx~ — и,

3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения 189
Т. е.
х
C.2.3) w(x, 0 = - \u(x, t)dx.
При подходящих ограничениях (—w) удовлетворяет C.1.21).
Таким образом, для заданного решения уравнения КдФ w яв-
ляется функцией от {х, t}, определенной по формуле C.2.3).
С другой стороны, рассматривая всевозможные локальные реше-
ния уравнения КдФ, функцию w можно представлять себе за-
висящей от пяти независимых переменных {х, t, и, их, ихх}; при
этом w определяется соотношениями C.2.2) с точностью до ад-
дитивной константы.
Когда w зафиксировано (выбором константы), можно рас-
ширить пространство независимых переменных до {х, t, и, их,
ихх, w} и попытаться искать новые потенциалы, определенные в
этом расширенном пространстве. Это называется «продолже-
нием» первоначального набора переменных, а последователь-
ность потенциалов, полученных повторением продолжений, опре-
деляет структуру продолжения рассматриваемой задачи.
Следующий потенциал w\ (если он существует) подчиняется
уравнению вида
(щ)х = Л (х, (, и, их, ихх, w),
(w) = B{x, (, и, их, ихх; w),
где А, В должны определяться из условия (w{)xt = (w\)tx (ус-
ловия интегрируемости) и того факта, что и является решением
уравнения КдФ. Продвигаясь по этому пути, найдем последо-
вательность уравнений вида C.2.4), причем на каждом шаге
функции А, В в правой части зависят от первоначального набора
переменных и всех новых уже найденных потенциалов. Когда А
и В известны, уравнения можно решить, взяв интегралы по из-
вестным функциям.
С другой стороны, если допустить, что неизвестные потен-
циалы входят также в правую часть, то последовательность
уравнений типа C.2.4) заменится на систему уравнений вида
/оогч dx{wi) = At(x, (, и, их, ихх; w)\
C.2.5) _, . . п . , . \ i = 1, 2, ..., N,
dt(wi) = Bi(x, (, и, их, uxx;vf) )
где w = (шь w2, ..., wn). При заданном N и известных А и В
найти решение системы C.2.5) означает решить систему диффе-
ренциальных уравнений в противоположность предыдущему слу-
чаю, когда решение получалось последовательным вычислением
интегралов. Таким образом, решения системы C.2.5) не обяза-
тельно ограничиваются обсуждавшейся выше последователь-
ростью потенциалов. Уолквист и Эстабрук [496] назвали реше-

190 3. Различные перспекгивы
ния системы C-2.5) псевдопотенциалами. По причинам, которые
будут объяснены ниже, псевдопотенциалы, не являющиеся эк-
вивалентными последовательности потенциалов, называются не-
абелевыми.
Примеры. A) Преобразование Бэклунда C.1.11) между
уравнениями КдФ и мКдФ является псевдопотенциалом, так как
его можно привести к виду C.2.4), т. е. C.2.5) с N = 1:
vx = — и — v2,
vt — ихх + 2и2 + 2uv2 — 2uxv.
B) Задачу рассеяния для уравнения КдФ C.1.9) можно пе-
реписать в виде
$х = Ф. Ь = (а + их) г|) + D?2 — и) ф,
Фх = - & + и) Ч>, (ft = [ихх - Dg2 - 2«) (g2 + и)] г|) + (а - их )Ф
Таким образом, собственная функция для C.1.9) также являет--
ся псевдопотенциалом с N — 2.
C) Обобщенная задача рассеяния Захарова — Шабата
A.2.7) с А, В, С, представленными конечными рядами, также
имеет вид C.2.5) с N = 2. Все эти п-римеры неабелевы, послед-
ние два линейны по псевдопотенциалам. Следует иметь в виду,
что псевдопотенциалы, преобразования Бэклунда и MQ3P яв-
ляются весьма тесно внутренне связанными лежащей в их ос-
нове концепцией совместности дх и dt. В частности, линейная за-
дача рассеяния (без граничных условий) для заданного диф-
ференциального уравнения частных производных является по
определению тоже псевдопотенциалом. Поэтому если доказано,
что некоторое уравнение не обладает псевдопотенциалами (неза-
висимо от того, линейны они или нет), тогда отсутствует задача
рассеяния, и это уравнение не может быть решено при помощи
МОЗР.
Таким образом мы пришли к одной из нерешенных фунда-
ментальных проблем:
Имеется ли систематический метод, позволяющий для задан-
ного дифференциального уравнения в частных производных най-
ти псевдопотенциал, если он существует, либо сделать заключе-
ние о его несуществовании?
Этот вопрос относится к системам с любым числом незави-
симых переменных, но мы ограничимся только двумя.
3.2. Ь. Задачи с полиномиальным дисперсионным соотноше-
нием. Наиболее простые результаты относятся к уравнениям пер-
вого порядка по t и конечного порядка по х. В этом случае дис-
персионное соотношение линеаризованного уравнения a(k) яв-
ляется полиномом. Ниже мы покажем, что с учетом некоторых

3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения 191
ограничений на вид уравнения вопрос о нахождении псевдопо-
тенциала всегда можно свести к некоторому вопросу из теории
алгебр Ли. Важным следствием этого сведения, как мы пока-
жем, является следующий факт: если заданное уравнение не
имеет линейного псевдопотенциала, то оно не имеет никакого
псевдопотенциала.
Метод Уолквиста и Эсгабрука [496, 497] для нахождения
псевдопотенциалов также использовался в работах [121], [123]
и [264]. Он имеет много общего с существенно более старым ме-
тодом Клерена A903) [111], который использовался в работах
[311], [312] и других. Для иллюстрации метода мы рассмотрим
уравнение Бюргерса
C.2.6) щ + иих = ихх.
Мы интересуемся всевозможными (локальными) решениями
уравнения C.2.6), так что все и, их, ихх, ... могут быть заданы
независимо в некоторой точке, а их производные по t находятся
с помощью C.2.6). Если допускаются комплексные решения, то
производные по х от и* также будут независимы. Мы попытаем-
ся найти псевдопотенциал, который зависит от и и его производ-
ных, имеющих меньший порядок, чем уравнение. Для C.2.6) это
означает
дг(а,) = А, (и, ы,. q
где q = (q\, ..., q\) для некоторого конечного N.
(i) Если N = 1, то q — скалярная функция, и C.2.7) имеет
вид ПБ.
(п) Если At и Bi линейны по q, то
где Atj(i, tix) и Bij{u, ux) являются N X А'-матрицами (в C.2.8)
подразумевается суммирование по повторяющимся индексам).
Если Ац, B'j к тому же содержат свободный параметр (т. е.
«спектральный параметр»), то C.2.8) является кандидатом в за-
дачи рассеяния. Ниже мы увидим, что если существует какой-
нибудь псевдопотенциал, то существует линейный псевдопотен-
циал (с некоторой конечной размерностью).
При фиксированных А, В система C.2.7) является совмест-
ной, если
C-2.9) (q)xt = (q)tx.
Это основное требование на псевдопотенциал. Важно отметить,
что в гл. 1 основные уравнения A.2.8) были получены из того же
требования (интегрируемости A.2.7)).

192 3. Различные перспективы
Для уравнения Бюргерса C.2.6)
дА дА
<\xt = («** — "«*) -^ + (иххх — (uux)x) -^- + (В • 7) A,
qtx = „я |!L + Ujeje |5- + (А • V) в,
где (А • 7)= Yji Atd/dqi. Так как иххх (локально) не зависит от
и, их, ихх, то необходимым условием выполнения C.2.9) яв-
ляется
C.2.11)
их
Поэтому же должны быть равны коэффициенты при ихх:
<ЭВ , , дА , .
¦а^(«. «*, q) = -ar(«. Я).
так что
C.2.12) В (ы, ыЯ1 q) = их ^ (ut q) + С (и, q).
C.2.13) ы2__+Ня_ + ИЫх_ + иД_ Aj+[C, A] = 0,
Таким образом, C.2.9) сводится к
~дп
где
C.2.14) [А, В] за (В -7) А -(А -7) В.
Для N = 1
I ' J dq dq dq В '
при этом для линейных псевдопотенциалов [А, В] пропорциона-
лен обычному коммутатору матриц:
C.2.15) [А, В] = (A,,Blh - BtjAlk) qk
(доказывается вычислением).
В C.2.13) зависимость от их теперь является явной. Коэф-
фициент при и\ (т. е. д2А/ди2) должен быть равным нулю, по-
этому
C.2.16) A = uo(q)+P(q).
Приравнивая в C.2.13) нулю коэффициент при их, получим
g
и после интегрирования по и
C.2.17) С = -^-а-и[а, Р] + fl (q).

3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения 193
Определим
C.2.18) Y(q)^[a, Р]
и подставим C.2.16) — C.2.18) в C.3.13). Коэффициенты при и2,
и и 1 вместе с C.2.18) дадут
К Y]+7rY = 0(
C 2 19) [а, 8] - №, V] = О,
[8, Р] = 0,
[а, P]-Y = O.
Таким образом, уравнение C.2.6) имеет псевдопотенциалы вида
C.2,7) тогда и только гогда, когда система C.2.19) имеет не-
тривиальное решение. Для эволюционных уравнений первого по-
рядка по времени и конечного порядка по х вопрос о существо-
вании псевдопотенциалов всегда сводится к решению конечного
набора соотношений типа C.2.19). Например, читатель может
проверить, что если бы мы начали с уравнения Фишера A937)
[154] (популярная модель динамики популяций; см., например,
[235])
C.2.20) щ = ихх + и — и?
вместо уравнения C.2.6), то аналогичные вычисления привели
бы к
[a, v] + « = 0,
[а, S] + [Р, Y] - <* = 0,
C.2.21а, Ь, с d) \9,п±0,
[о, P]-v = O
вместо C.2.19). Вычисления для уравнения КдФ проводятся по
такой же схеме [497].
Нетрудно найти решение C.2.19) при N— 1. Одно довольно
простое решение имеет вид
C.2.22) N==l, a = — q/2, p = v = 6 = 0,
так что C.2.7) принимает вид
C.2.23а, Ь) qx=- — \q, qt — —
Читатель без труда узнает в C.2.23а) преобразование Коула —
Хопфа C.1.2), а C.1.23Ь) переходит в уравнение теплопровод-
ности после исключения и. Отметим также, что (In q) является
потенциалом, соответствующим закону сохранения C.2.6).
7 Зак. 114

194 3. Различные перспективы
Более сложное решение системы C.2.19) для N= 1 имеет
вид
а = - д/2,
C.2.24)
12 о 2
б = —2— Г гд,
так что C.2.7) приводится к виду
C-2-25) 1 / и2 С2 Л С
0/ = — TV"* ~ ~Г + "ТУ 9 — -у- (" — Св) ?2-
В частном случае (Ci = 1/2, Сг = 0) соотношения C.2.25) яв-
ляются ПБ уравнения C.2.6) в себя. Таким образом, уравнение
Бюргерса имеет ПБ (в себя) и может быть точно решено (при
помощи преобразования Коула — Хопфа) (см. упр. 2). Оно
имеет решения типа бегущих волн, но не имеет солитонов и об-
ладает (очевидно) только одним полиномиальным законом со-
хранения, не зависящим от х, t.
В случае C.2.21) эта процедура не проходит, так как нет не-
тривиальных решений системы C.2.21) при N = 1 (см. упр. 4).
В общем случае (N Ф 1) полезно воспользоваться некоторыми
понятиями из теории алгебр Ли. (Более подробные сведения об
алгебрах Ли можно найти, например, в книгах [241] или [441].)
3.2. с. Алгебры Ли. Пусть (vu ..., vn) —элементы линейного
векторного пространства V размерности т ^ п. Векторное про-
странство можно превратить в алгебру, определив в нем опера-
цию «умножение», которая сопоставляет каждой паре векторов
{vi, v2} их произведение (v\V2)^V. Операция умножения дол-
жна удовлетворять условиям билинейности
(i) {v\ + v2) v3 = у,у3 + v2v3, «, (v2 -f o3) = v{v2 -f vxv3,
(ii) c{vlv2) = (cvl)v2 = vl(cv2)
для любого скаляра с.
Так как пространство имеет конечную размерность т, то эта
операция полностью определяется набором т базисных векто-
ров и (т X tn) -таблицей умножения этих векторов. Алгебра яв-
ляется алгеброй Ли, если операция умножения подчиняется так-

3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения 195
же соотношениям
(i)
C 2 27)
(ii)
Уравнение (ii) называется тождеством Якоби. Алгебра Ли на-
зывается абелевой, если
C.2.28) о,02 = О
для любых V\, v2 e К, и неабелевой, если какие-нибудь два эле-
мента из V имеют ненулевое произведение.
Примеры. A) Решение C.2.22) системы C.2.19) является
абелевой алгеброй Ли в одномерном векторном пространстве с
базисным вектором а.
B) «Специальная унитарная алгебра Ли» suB) состоит из
всех комплекснозначных BX2)-матриц с нулевым следом1),
где «умножение» двух матриц задается их коммутатором
C.2.29) [А, В] = АВ-ВА.
Базисными элементами этого векторного пространства служат
0
и легко проверить, что
[Sx, Sy\ = Sz, [Syt Sz\ Sx, [Sz, Sx\ = Sy,
так что suB) является неабелевой. Отметим, что задача рассея-
ния, рассмотренная в гл. 1 A.2.7а), имеет вид
ух = Ху, vt = Tv,
где X и Т являются элементами suB).
Какое отношение все это имеет к псевдопотенциалам? По пред-
положению векторы {а, р, y. 6} из C.2.19) или C.2.21) являются
элементами некоторого iV-мерного пространства. Нетрудно по-
казать, что билинейная операция [А, В], определенная в C.2.14),
удовлетворяет соотношениям C.2.26, 27). Таким образом, набор
соотношений, подобных C.2.19, 21), имеет решение, если и толь-
ко если эти соотношения совместны с некоторой (конечномер-
ной) алгеброй Ли. Еще важнее то, что поставленная задача
имеет псевдопотенциал (определенного вида) тогда и только
тогда, когда существует соответствующая алгебра Ли.
В настоящее время не решена следующая общая задача:
можно ли частично заполненную таблицу умножения продол-
жить до какой-нибудь конечномерной алгебры Ли? Если это
сделать удается, то можно воспользоваться теоремой Адо.
') Кроме этого матрицы должны быть антиэрмитовыми. — Прим. пврев.
7*

196 3. Различные перспективы
Определения. Представлением абстрактной алгебры Ли на-
зывается отождествление каждого элемента алгебры с (Ny.N)-
матрицей, при котором выполнена таблица умножения. Пред-
ставление называется точным, если единственный элемент, ото-
ждествленный с нулевой матрицей, является нулевым элемен-
том исходного векторного пространства.
Теорема Адо. Каждая конечномерная алгебра Ли имеет точ-
ное конечномерное представление.
Доказательство можно найти в книге Джекобсона [241,
с. 202]. Эта теорема означает, что всегда достаточно ограни-
читься поиском линейных псевдопотенциалов типа C.2.8) и мат-
ричных решений систем соотношений типа C.2.21). (Это отно-
сится к системам уравнений первого порядка по t и конечного
порядка по х.)
Системы типа C.2.21) всегда имеют тривиальные решения
(a = P = Y = 6==0) и почти тривиальное абелево решение
a = Y = 0, [Р, 8] = 0.
Теперь мы покажем, что любая абелева алгебра Ли соответ-
ствует последовательности потенциальных функций, которая в
свою очередь соответствует (в лучшем случае) последователь-
ности законов сохранения исходного уравнения. Если дано эво-
люционное уравнение для и (первого порядка по / и р-го по-
рядка по х), то мы ищем (линейный) псевдопотенциал вида
C.2.8). Произведя вычисления, аналогичные проделанным вы-
ше, мы еще больше ограничим псевдопотенциал до вида
m тп
C.2.30) qx = ? a/Ctyq, q* = Ц ^aq,
i — i ~
где a,-, bj — известные скалярные функции от (и,их, ..., «(p_i)x)',
а Oj — постоянные (N X N)-матрицы (элементы алгебры Ли).
Система является абелевой, если C.2.31)
[а/; си] = 0 для всех /, k.
Пусть %i является простым собственным значением матрицы а.\
и у — соответствующий собственный вектор, т. е.
Если [щ, а2] = 0, то
«1 («2°) — «2^1° —  0ЧУ) — ^1 («2и)">
поэтому вектор a^v должен быть кратным о, т. е.
и v является собственным вектором матрицы а2. Таким обра-
зом, две коммутирующие матрицы имеют общий собственный

3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения 197
вектор. Если (скажем) ai является диагонализуемой матрицей
и имеет полный набор собственных векторов, то, как следует из
C.2.31), каждая из а, имеет те же самые собственные векторы.
Поэтому существует система координат для q, в которой правая
часть C.2.30) является диагональной и каждая компонента q
удовлетворяет двум скалярным уравнениям следующего вида:
т т
Цх = Е «Л?. qt = Е b,i,q.
Поэтому In q является потенциальной функцией, соответствую-
щей закону сохранения
Разные компоненты q, отвечающие разным собственным значе-
ниям, приводят к разным законам сохранения. Можно показать,
что абелева алгебра Ли приводит к законам сохранения даже
в том случае, когда матрицы а,- являются недиагонализуемыми
(см. упр. 5).
Часто утверждается, чю интерес представляют лишь неабе-
левы псевдопотенциалы, поскольку абелевы приводят только к
законам сохранения. И это правильно, если смотреть на проб-
лему с точки зрения МОЗР, но абелевы псевдопотенциалы не
следует полностью игнорировать; из них, например, следует пре-
образование Коула — Хопфа.
Вернемся теперь к уравнению Фишера C.2.20). Оно имеет
нетривиальный псевдопотенциал вида C.2.7), если C.2.21)
имеет матричное неабелево решение. Но система C.2.21) не
имеет такого решения (доказательство этого факта довольно
громоздко и дано в упр. 7). Поэтому C.2.20) не имеет ни псевдо-
потенциалов, ни ПБ, ни линейной задачи рассеяния, зависящей
только от и, их, т. е. вида C.2.7). Однако совершенно неясно, в
чем кроется причина неудачи: является ли она следствием вну-
тренней структуры уравнения или же связана с выбором псевдо-
потенциала в форме B.2.9). Неизвестен способ обобщить этот
метод до такой степени, чтобы полученный из него отрицатель-
ный результат гарантировал, что и любой другой метод, обсуж-
давшийся в этой главе, также должен привести к отрицатель-
ному результату.
3.2. d. Более общие задачи. До сих пор мы ограничивались
уравнениями с полиномиальными линеаризованными диспер-
сионными соотношениями. Для уравнений более высокого по-
рядка псевдопотенциальный метод имеет точно такое же на-
чало, но задача не обязательно сводится к чисто алгебраической,
и может оказаться недостаточным ограничивать поиск только ли-

198 3. Различные перспективы
нейными псевдопотенциалами. Для иллюстрации рассмотрим
уравнение второго порядка
C.2.32) uxt = f(u),
содержащее в качестве частного случая уравнение sin-Гордон.
При различных упрощающих предположениях Краскал [297],
Мак-Лафлин и Скотт [371] и Рунд [436] показали, что уравне-
ние C.2.32) обладает особой структурой (дополнительными за-
конами сохранения, или ПБ) тогда и только тогда, когда
C.2.33) /" = kf
для некоторого k. Однако Михайлов [374] показал '), что су-
ществуют другие функции, для которых уравнение C.2.32) при-
надлежат к классу интегрируемых при помощи МОЗР (см.
упр. 8 разд. 3.7). Новое уравнение связано с задачей рассеяния
для оператора третьего порядка, в то время как уравнения, под-
чиняющиеся соотношению C.2.33), связаны с оператором вто-
рого порядка.
Попытаемся найти псевдопотенциал для C.2.32), чтобы выяс-
нить, можно ли обобщить условие C.2.33). Следуя обычным
правилам, рассмотрим
C.2.34) qx = A(u,ux,ut,q), qt — B(u,ux,ut,q).
Условие интегрируемости (qxt = 4tx) приводит к
C.2.35) ^7=°=«;
.2.36) [А. .,+ ».,„_.» «,+(?_.
В этом месте появляется существенное различие между уравне-
ниями первого (по t) порядка и уравнениями более высокого по-
рядка: независимые переменные и, их, щ, q не входят в соотно-
шение C.2.36) явно. Поэтому если случай C.2.13) удавалось
свести к изучению чисто алгебраической задачи C.2.19), то в
случае C.2.36) такое сведение неизвестно. Решение можно по-
лучить, наложив дополнительные ограничения на структуру
функций А, В (см., например, [166], [312] или [41]). С учетам
этих дополнительных ограничений C.2.32) имеет псевдопотен-
циал, если выполнено C.2.33). Но ответ на общий вопрос пока
отсутствует.
3.2. е. Заключение. Перечислим вкратце, что же известно о
псевдопотенциалах.
См. примечание на стр. 305. — Прим. перев.

3.3. Прямые методы построения солитонных решений 199
(i) Приведенный здесь метод позволяет найти псевдопотен-
циалы для некоторых уравнений. Если найден неабелев псевдо-
потенциал, то обычно из него можно получить ПБ. Если он к
тому же линейный и зависит от параметра, то очень вероятно,
что его можно использовать для МОЗР.
(И) Отрицательный результат, полученный для конкретного
уравнения, наводит на мысль (и только), что никакой другой
метод, обсуждавшийся в этой главе, также не будет работать.
То же самое и для «прямых» методов построения /V-солитонных
формул, описанных в разд. 3.5, 3.6.
(ш) Если рассматриваемое уравнение имеет первый порядок
по t и конечный порядок по х, то достаточно ограничиться по-
иском линейных псевдопотенциалов. Затем задачу можно свести
к алгебраической, т. е. к поиску алгебры Ли определенной струк-
туры. Представляется, что в каждом конкретном случае задача
может быть решена, но пока что, по-видимому, нет никаких об-
щих результатов.
Ситуация становится еще более запутанной, если допустить,
что псевдопотенциал зависит от производных более высокого по-
рядка или уравнение имеет более высокий порядок. В этих слу-
чаях вопрос о существовании псевдопотенциала приводит к си-
стеме дифференциально-алгебралческих соотношений, причем не-
известно, можно ли без потери общности ограничиться поиском
линейных псевдопотенциалов.
3.3. Прямые методы построения солитонных решений — ме-
тод Хироты. Одной из интересных областей в теории распростра-
нения нелинейных волн является развитие методов построения
точных частных решений определяющих их уравнений. Хирота
получил много значительных результатов в теории уравнений,
допускающих солитонные решения (обзоры некоторых его ра-
бот см. в [218], [224] и [226], [227]). Следует отметить, что
прямые методы практически всегда срабатывают для уравнений,
интегрируемых при помощи МОЗР, а иногда даже в тех слу-
чаях, когда соответствующие задачи рассеяния неизвестны. На
практике прямые методы часто побуждали к поиску соответ-
ствующих задач рассеяния и иногда приводили к таким задачам
(см. [450], [393], [449] и т. д.). Прямой метод основан на сле-
дующих идеях:
(i) Произвести замену зависимой переменной (это может по-
требовать некоторой изобретательности, хотя имеются стандарт-
ные формы). Преобразование должно привести эволюционное
уравнение к так называемой билинейной форме, квадратичной
по зависимым переменным. Хирота разработал новый подход,
очень удобный на этом этапе.
(п) Рассмотреть формальные ряды теории возмущений для

200 3. Различные перспективы
этого билинейного уравнения. В случае солитонных решений эти
ряды обрываются.
(ш) Использовать метод полной математической индукции
для доказательства того факта, что предполагаемая солитон-
ная формула действительно является решением.
В этом разделе мы тщательно проанализируем случай урав-
нения КдФ. Затем кратко приведем результаты, касающиеся
других хорошо известных нелинейных волновых уравнений, и об-
судим другие задачи, в которых этот метод результативен.
3.3. а. Уравнение КдФ в качестве примера. Рассмотрим урав-
нение КдФ
C.3.1) ut
В разд. 1.4 мы видели, что iV-солитонное решение имеет вид
C.3.2) « = 2^1пЛ
где F — определитель некоторой матрицы. Этот вид подсказы-
вает преобразование уравнения C.3.1). Подставляя C.3.2) в
C.3.1), один раз интегрируя и полагая константу интегрирова-
ния равной нулю, получим
C.3.3) FxtF - FxFt + FXXXXF - 4FxxxFx + ZF\X = 0.
Уравнение (З.З.З) является квадратичной формой (Хирота обыч-
но называет уравнения такого вида билинейными); такие формы
обычно возникают при правильном выборе замены зависимой
переменной. Для дальнейшего анализа удобно ввести оператор
C.3.4) D™Dnta .Ь = (дх- дх>)т (дх - дх>)п а (х, t) Ъ (x't t') \x,=x.
r-t
Воспользовавшись этим определением, уравнение C.3.3) можно
переписать в виде
C.3.5) (DxDt + D\) F ¦ F = 0.
При работе с этим оператором полезны следующие легко про-
веряемые свойства:
C.3.6а) Di!a-\=&Sa,
C.3.6b) D^a ¦ b = (-1ГDxb ¦ a,
C.3.6c) Dfa ¦ a = 0, m — нечетное число,
(о.о.Оп) Ux,L)tS 'В —
= (ki — k2)m (— CO] + co2)" e{kl+kl) ж-(ш1+ш2> *#
Имеется много других соотношений, содержащих оператор D,

3.3. Прямые методы построения солитонных решений 201
Читатель при желании может обратиться к одной из упоминав-
шихся обзорных статей.
Предположим, далее, что функция F может быть представ-
лена в виде формального ряда по степеням е:
C.3.7а) F = 1 + е/<" + е2/<2> + ...,
где
C.3.7b) fl)=?e\ Ti. = fe.*-co,/ + r,'0)
и kP <х>г т)Ф> — константы. В случае уравнения КдФ (и на са-
мом деле для всех задач, допускающих точное jV-солитонное ре-
шение) этот формальный ряд обрывается. Действительно, под-
ставив C.3.7а) в C.3.5), найдем
{DxDt + D*) A + е/О + е2Р + ...) • A + е/<'> + е2/<2> +...) = 0
и, приравняв нулю коэффициенты при каждой степени е, полу-
чим
C.3.8а) 0A): 0 = 0,
C.3.8Ь) О (е): 2 (д^ + д*) /A) = 0,
C.3.8с) О (е2): 2 (дД + дх) /<2> = - (DxDt + D*) /<•> • П
C.3.8d) О (е3): 2 (dxdt + с5«) /<3> = - 2 (DxDt + D*) /A> • /'2>.
Первое нетривиальное уравнение C.3.8Ь) является однородным.
В качестве решения мы взяли C.3.7Ь). Если мы попытаемся
продолжить вычисление членов ряда, начав с решения C.3.7Ь)
при произвольном N, то, к сожалению, столкнемся с аналитиче-
скими трудностями. Чаще всего можно получить решение для
7V = 1, 2 (и иногда для 3), а затем выдвинуть гипотезу о струк-
туре решения при произвольном N и доказать ее по индук-
ции. При /V = 1 возьмем fW = e^. Тогда из C.3.8Ь) следует, что
= — k3.. Уравнение для /B) следует из соотношения C.3.8с),
co( = k\
которое при помощи C.3.6d) сводится к
C.3.9а) (дА + д$№ = °-
Таким образом,
C.3.9b) /<2> = 0,
и ряд обрывается. Поэтому при N = 1 имеем
и
C.3.10) и=\ seen2 i (M - k\L + rf).

202 3. Различные перспективы
При N = 2 в качестве решения уравнения C.3.8Ь) мы возьмем
C.3.11) /<1' = ет|- + е\ % = ktx-k)t+^.
Тогда C.3.8с) сводится к уравнению
C.3.12а) 2{dxdt + di)f2) =
= -2 {(k, - k2) (- о, + со2) + (А, - k2f) еч«+\
имеющему решение
C.3.12b) /<2)==ет11+Т12+Л.2)
C-3.120 '"
(отметим, что k\ ф k2). Подставив /A>, /B) в C.3.8d), убеждаем-
ся, что правая часть C.3.8d) равна нулю, поэтому возьмем
р) = о. Таким образом, при N — 2
C.3.13) F2=l + e^ + e"» + еч'+ч»+Л».
Функция и == 2d2(\n F2)/dx2 соответствует двухсолитонному ре-
шению уравнения КдФ. Произведя аналогичные вычисления при
N = 3, получим
C.3.14) F9 = 1 + е4' + е + е^ +
где коэффициенты Ац определены формулой C.3.12с).
Основываясь на этих решениях, мы выдвигаем гипотезу о
том, что структура общего jV-солитонного решения имеет вид
, N N ч
C.3.15) FN = ? ехр ? й;1Ъ + Е 1**М</)•
где сумма по ц пробегает по всем наборам щ, i = 1, ..., N. От-
метим, что Ац связаны со сдвигами фаз солитонов при рассея-
нии. Рассмотрим двухсолитонный случай. Положим 0 < к\ <. k%
и определим
li^x-kjt, г = 1, 2.
Тогда
В системе координат, связанной с первым солитоном, gi фикси-
ровано, и мы вычислим пределы f->±oo. Рассмотрим вначале
t-+ +oo, поэтому 12-*—°°> е^2-*-0, F2~l + e4l\ при этом
C.3.16) H~-^

3.3. Прямые методы построения солитонных решений 203
Аналогично при /->—оо, |2->-f оо hV2 —>¦ + оо
Из C.3.2) следует, что два решения могут отличаться на мно-
житель
C.3.17) u^
Таким образом, сдвиг фаз в двухсолитонном решении в резуль-
тате взаимодействия определяется коэффициентом An (отме-
тим, что точно такой же результат был получен в разд. 1.4; см.
A.4.43)). Так же можно проанализировать /V-солитонный слу-
чай.
Теперь вернемся к проверке справедливости /V-солитонного
решения C.3.15) [211]. Читатель должен иметь в виду, что это
доказательство довольно утомительно и можно, не теряя связ-
ности изложения, переходить прямо к примеру уравнения мКдФ
C.3.32).
Теорема. Функция Fn вида C.3.15) удовлетворяет уравне-
нию C.3.5).
Доказательство. Подставив C.3.15) в C.3.5) и воспользо-
вавшись соответствующими свойствами оператора D, получим
C.3.18) Z S {( I 0*< - v,) kt) ( Z (ц, - v,) (- ktf) +
м—0,1 v=0,l IV t / V i )
+ ( Ё (l*i - v<) ktj I • exp ( ? (ц, + v.) ti, +
S } = 0.
Так как [n, Vj = 0, 1, то очевидно, что имеются экспоненциаль-
ные члены только вида
/ п m \
Епг+ Z 2ti, ,
(с точностью до переобозначения индексов). Затем мы покажем,
что коэффициент при этом общем экспоненциальном члене ра-
вен нулю. Этот коэффициент имеет вид
C.3.19а) А= I{(Z
+ ( S (Hi — v,) fe,J I • exp [Yu (jijji; + v^) Л?/^ cond (|i, v).

204
3. Различные перспективы
Здесь cond((x, v) означает
j для i=\ га мы берем только
такие и*. v;, что ф: (Х( + л?;=1>
О <1 га <; N; для i = га + 1, ..., т мы
C.3.19b) cond (fx, v) = I берем только такие \it, vt, что ф:
[ii = vi=l, 0^m^.N; для i = m-\-
+ 1, ..., /V мы берем только такие
Hi, vt, что ф: [ii = V; = 0.
Обозначим
C.3.20)
<тг = цг — v,, t=l, 2, ...,«.
При t > /г ст,- = 0 (так как либо ц,- = vi = 1, либо ц,- = v; = 0).
Поскольку при i= 1, ..., га мы имеем fx* + v« == 1 (из C.3.19b),
то
C.3.21) щ=-^. v, = i^.
С учетом C.2.21) все члены в C.3.19а), за исключением экспо-
ненциального члена, без труда преобразуются.
Используя цифровые обозначения, принятые в C.3.19Ь), мы
оценим член
N
Т = ехр
v,v;) Лl7 J =
Z + E + S +.Z + Z + Z
<ф ©<@ ф<© ©<©
Единственный вклад в этот показатель, зависящий от ffjff/, опре-
деляется членом „ф < ф". Поэтому Т имеет вид
(8.3.22а)
Т = const
(T.fe, — сг.
A + *!*/) =
последнее равенство имеет место, так как Ot = ±1. Все это оз-
начает, что коэффициент А имеет вид А = const X А, где
(з.з.23) &=S1{-
X П
К1
?a'A') }х

3.3. Прямые методы построения солитонных решений 205
(отметим, что член ? A/(&г + &,J) мы перенесли в выделен-
Ki
ную константу).
Докажем теперь по индукции, что А = 0. Функция А является
полиномом по kt, точнее А = Л(&1 kn). Мы будем обозна-
чать это так: А = А„. Отметим также, что порядок полиноми-
п
ального множителя V (стг&;— ^jks) равен -к.п.{п—1), поэтому
к!
порядок А такой, что выполнено неравенство
C.3.24) ord (А„) < п2 — п + 4.
Отметим, что
C.3.25а) A (k{) = А, = Е {- (о А) №) + <*№} = 0,
C.3.25b) А(Л„ k2) = \2= Z (- (а,*! + a2k2) (а,*? + o2kl) +
Ои СТ2=±1
+ {<*А + o2k2L} {a{kx — o2k2f =
=o.
Функция A(fei, ..., kn) обладает следующими свойствами:
(i) А„ — четная функция ki, т. е.
C.3.26а) А„(^1 kf, ..., kn) = K(ku .... -kh ..., kn).
(ii) Ага симметрична относительно перестановки kj и kh т. е.
C.3.26b) А„(ku ..., kt, ..., k, kn) =
Соотношение C.3.26а) легко получить, заменив ki~*-—ki и
аг->—о* (немой индекс) в C.3.23). Симметрию C.3.26b) нужно
проверить только для произведения. Но поскольку
C.3.27) П (a,*i-a/fe/J = (-l)«»I-»№ Д (^fe, - o,kt),
11
то ясно, что произведение симметрично относительно перемены
мест kp и kq.

206 3. Различные перспективы
Вычислим А„ при k\ = 0:
C.3.28) Д„ |Ai_0 =i А (А, = 0, k2, ..., kn) =
= Z Z {-(Ea,
l I \t2
±l осталь-
ные
a=±l
П
t=2 2 <(</ \<=2
(отметим, что здесь Are_!==A(fe2, /г3 йп)). Аналогично
вычисление А„ при &! = fe2 дает
C.3.29а) AJAl.fcl= Z Z {-
иО±1 ь I
а=±1 осталь-
ные
О=±1
X (((Г, + ст2) Л? + 1>л) + ((а, + ст2) *, + Z3 стг/гг) } X
X (<ri - (т2J Л? П (а,А, - аЛJ (а^ - а,Л,J П (otk, - afyf.
f-3 3<i</
Мы видим, что вклад возникает только при <Xi = —02, поэтому
C.3.29b) AJfti.Ai=8fe? Z |-(Zct^) + (Z
п
?^)}х1ш-??J п
<=3 / )
з
где А„_2 = А(/г3, fe4, ..., ^„). По индукции заключаем, что и
Д« is =о==^> и ^« 1й -k ПРИ всех tt> Поэтому Д„ содержит мно-
житель А[ (kx — k2), но из свойств симметрии следует, что kx
и k2 можно заменить на любое kt, откуда ясно, что при любых /, /
и поэтому полином А„ должен иметь множитель
п п п п
П kt И (kt — kj) ИЛИ Д. ki Ц (k-i — kjJ.

3.3. Прямые методы построения солитонных решений 207
Но поскольку Д„ является четной функцией каждого ki, то А„
должен содержать множитель
(з.з.зо) Ш? П (kl-k)J.
Это означает, что порядок полинома Ап должен быть по край-
ней мере равен 2га2, т. е.
order (А„)>2«2.
Но поскольку 2п2 > п2 — п + 4 при всех п ^ 2, то мы приходим
к противоречию, т. е. Ап не может одновременно удовлетворять
неравенствам order (Д„) ^ п2 — п + 4 и order (Д„) ^ 2п2. Един-
ственный выход состоит в гом, что при га ^ 2
C.3.31) А„ = 0.
При п — 1 формула C.3.31) также верна (см. C.3.25а)). Таким
образом мы доказали., что функция А в B.3.23) и поэтому А в
C.3.19а) равны нулю. Тем самым мы проверили, что jV-солитон-
ное решение и ¦= 2d2{\n Fы)/dx2 действительно удовлетворяет
уравнению КдФ. ?
3.3. Ь. Некоторые другие нелинейные дифференциальные ура-
внения в частных производных. Обратимся теперь к другому ас-
пекту прямого метода. Хирота [218] отмечал, что очень часто
нужная замена зависимой переменной может быть выведена ре-
гулярным образом. Мы проиллюстрируем его подход на при-
мере уравнения мКдФ
C.3.32) vt + 6v2vx + vxxx = 0.
Подставив v = F/G в C.3.32) и воспользовавшись определением
операторов Dx, Dt, мы получим
C.3.33) (Dt + Dl) G ¦ F + yr (DXG ¦ F) (j D2XF ¦ F - G2) = 0.
Так как обе функции F и G произвольны, мы можем расщепить
уравнения следующим образом:
C.3.34а) (Dt + Dx)G-F = 0,
C.3.34b) D2XF-F = 2G2.
Такой выбор расщепления обусловлен дисперсионным соотно-
шением линеаризованного уравнения. Следующее разложение

208 3. Различные перспективы
приводит к солитонным решениям (таким, что v-*-0 при jjc| —*-
C.3.35) 7" 37 ¦
G = eG, + e3G3 +
Здесь каждое из разложений обрывается. Например, односоли-
тонному решению отвечает
(dt + dl) G, = 0,
d2 ri /->2 2t]i
^2=171=6 ,
Лс^2
C.3.36)
— _J_e»l|
^ = 0, /
Gj = Q, />3.
При e = 1 с учетом C.3.36) получим односолитонное решение
уравнения мКдФ
¦п,
C.3.37) v== |^j =feisechTj1.
Функции G и F (v = G/F) для двухсолитонного решения мож-
но представить в виде
, 1 / fet — k2
C.3.38а) 4Й' ^i + fe2
,
(fe, - fe2L
Отметим, что F можно привести к виду
C.3.38b) F={^ + ^
При этом G можно переписать следующим образом:
(«8.3.38с) G = 2Dxg-f.

3.3. Прямые методы построения солитонных решений 209
Таким образом, v имеет вид
C.3.39а) v^2-^~=2-M^h-
или
C.3.39b) o = 2farctg4N) = i fin [~iu\ .
V f Jx V f + ieJx
Если мы определим f = f + ig, то получим формулу замены за-
висимой переменной:
C.3.40) о =
Перейдя к этой новой зависимой переменной, мы получим би-
линейные уравнения
C.3.41а) (Dt + Dl)r-f = 0,
C.3.41b) Dln = 0.
Чтобы получить iV-солитонные решения, разложим / в ряд
подставим его в C.3.41) и приравняем нулю коэффициенты при
каждой степени е. Одно- и двухсолитонные решения даются фор-
мулами (е = 1)
C.3.42) /2 =
jV-солитонное решение имеет следующую структуру:
( N
jVсолитонное решение имеет сле
Для полноты мы приведем также результаты по уравнению
sin-Гордон ([212]; см. также [99, 100]) и по нелинейному урав-
нению Шрёдингера [213]. Рассмотрим вначале замену зависи-
мой переменной
C.3.44) и = 2/ 1п (¦?•)
для уравнения sin-Гордон
C.3.45) их( — sin и.

210 3. Различные перспективы
(Читатель, вероятно, вспомнит результаты гл. 1, устанавливаю-
щие глубокую связь между уравнениями sin-Гордон и мКдФ.)
Из C.3.44) следует, что
,3.3.46) „,,,, _.¦_((?)•_(?
откуда подстановкой C.3.44) в C.3.45) находим
C.3.47) ВД/-/ = --i (f2-/2)
и комплексно сопряженное уравнение. Односолитонное решение
уравнения C.3.47) получится, если взять
C.3.48а) h = 1 + ел
а Af-солитонное решение имеет вид
( N
C.3.48b) fN= ? ехр1?ц;
где
C.3.48с) <й'=^7'
Л.* (fe| — &г) (®i — ®2; ("Ч — ^2/
(^i ~Ь &г) (®i ~г" ®г) (^1 ~Ь ^2/
Отметим, что если
/ = F + /G (f, G вещественны),
то C.3.47) можно переписать в виде
C.3.49а) DxDt(F-F-G-G) = 0, DxDtF G = FG
и
C.3.49b) и = 2Лп4Т'"Я
В случае нелинейного уравнения Шрёдингера [99]
C.3.50) iut + uxx + \u\2u = 0
возникает более сложная структура ./V-солитонного решения.
Подставив и— G/F (F вещественно) в C.3.50), получим
C.3.51) -jr(iDt + D2x)G-F--^r (DlF ¦ F-GG') = 0;
при этом мы расщепим уравнения следующим образом:
C.3.52) {iDt + Dl)G-F = 0, D\F ¦ F = GG*.

3.3. Прямые методы построения солитонных решений 211
Поэтому
GG' D2YF-F
C.3.53) \uf = -^-=-^—
Односолитонному решению отвечают
C-3.54) Ti = p
jV-солитонное решение имеет вид
BЛГ 2JV
. ... 1 = 1
2ЛГ
BЛ
iP + P)'2 Д /=1, 2 iV и j = N+l,...,2tf,
e*U = ¦
11 ' ' для i = N + l,...,2N и / = .
где
N N
1, если Yi Pi = 2 И-» + f
^ 0 в остальных случаях,
C-3.55) ; ¦ s s
о в остальных случаях.
3.3. с. Дискретные эволюционные уравнения. Многие из вы-
числений, приведенных в предыдущих пунктах, можно распро-
странить и на случай обсуждавшихся дискретных задач (см.,
например, [226, 227]). Здесь мы проанализируем случай цепочки
Тоды
C.3.56) -^- = e-(»»-»»-i) - e-(»»+i-»»).

212 3. Различные перспективы
Определим rn — yn — «/„_i, тогда из D.3.56) следует
C.3.57) 4Sf = 2e~rn-e-'n+t — e~rn-K
at
Если определить
C.3.58) Гге = _1пA + 1/п))
то V подчиняется уравнению
C.3.59) d4n{ldttVn) =Vn+1-2Vn + Vn_l.
С физической точки зрения уравнение C.3.59) описывает нели-
нейную лестничную линию передачи, и Vn является потенциалом
п-го узла [229].
Воспользуемся заменой переменных
C.3.60) Va = ^^
(отметим, что индекс обозначает координату узла, а не число со-
литонов). Подставив C.3.60) в C.3.59), получим билинейное
(квадратичное) уравнение
C.3.61) 1 D]Fn ¦ Fn « FnttFn - F2nt = Fn+lFn_{ - F*.
Аналогом оператора Dx служит оператор Dn, удовлетворяю-
щий соотношению
C.3.62) eD*an • Ьп = еа«-а«'апЬп,\п^ = ап+фп_и
где е «а„^а„+1. Поэтому
C.3.63) chDnan -bn = ± (an+ibn^ + ап_фп+х).
Воспользовавшись C.3.62), перепишем C.3.61) в виде
C.3.64) yD\Fn • Fn — (ch Dn — 1) FnFn,
или
C.3.65) I D\Fn .Fn = 2 stf (i Dn) Fn • Fn.
Опять применима теория возмущений, т. е.
Односолитонному решению отвечает Fn) = 0, /^2, /гп) = еТ)».
Таким образом,
р __
C.3.66)
n,

3.3. Прямые методы построения солитонных решений
213
поэтому потенциал Уп имеет вид
„2
(Односолитонное решение может распространяться как вправо,
так и влево.) Можно показать, что /V-солитонному решению от-
вечает
C.3.67а)
где
ехр
I E ИЛ/
\г-1
Z
= р,л - Q,/
2е,- sh у p,-, e,- = ± 1,
ИЛИ
C.3.67Ь) еАч =
, если
0,
, если %i%, < 0.
3.3. d. Преобразование Бэклунда в билинейной форме. Инте-
ресно при помощи прямого метода вывести преобразования Бэк-
лунда и перестановочные соотношения для уравнения КдФ. Мы
начнем с N(!n)- и (N + 1) (/лг+i) -солитонных решений (здесь ин-
декс обозначает число солитонов) уравнения КдФ в билинейной
форме:
C.3.68а) Dx(D
C.3.68b) Dx(Dt
Мы покажем, что при заданном /лг мы можем найти fn+\, решив
линейное уравнение [217].
Умножив C.3.68а) на f2N+l и вычтя из него C.3.68b), умно-
женное на f2N, получим
C.3.69) Р = [Dx (D, + D») fN • fN] fN+1fN+1 -

214 3. Различные перспективы
Воспользовавшись тождествами (которые можно легко прове-
рить)
C.3.70а) (DxDtfN • fN) fN+lfN+i - fNfNDxDtfN+l .fN+l =
= 2Ds[(Dtffl-fN+i)fi,ftl+l],
C.3.70b) fN+lfN+1 (p\fN ¦ fN) - fNfND%+l ¦ fN+1 =
= 2DX [(DlfN • fN+l) fNfN+l - 3 (DlfN ¦ fN+l) (DJN ¦ fN+l)],
мы получим, что P сводится к
C.3.71) P = 2D
Преобразование Бэклунда в билинейной форме получится, если
положить
C.3.72а)
C.3.72b) {Dt + 3XDX + Dl) fN ¦ fN+l = 0;
при этом мы удовлетворим равенству C.3.71) (новое солитонное
решение содержит параметр К). Уравнения C.3.72) представ-
ляют собой билинейный вариант преобразования Бэклунда, по-
лученного в разд. 3.1.
В качестве примера мы покажем, как вычислить односоли-
тонное решение из вакуумного состояния. «Нулевому» солитон-
ному решению отвечает /о = 1; при этом и = 0. Функция f\, как
это следует из C.3.72), удовлетворяет уравнениям
C.3.73а) ^/1 = ^/1.
C.3.73b) (dt + Шх + дх) /, = 0.
Решение системы C.3.73) имеет вид
C.3.74) k2
^ = klX-k\t + ^, K^-L.
Так как u = 2d^ln/, то ясно, что
C.3.75) /, = 6-^A+^)^1 +Л
(здесь f — g тогда и только тогда, когда f = eax+$g, где аир-
константы, не зависящие от х). Два —-эквивалентных решения
/, g приводят к одному и тому же решению и; например, функ-
ция fi = e~A/2Irli эквивалентна /0= 1.

3.3. Прямые методы построения солитонных решений 215
Легко проверить, что если мы возьмем /i вида C.3.74), то
преобразование Бэклунда приведет к решению
C.3.76) /2 = {ky - k2) (<
где r\i = ktx — k\t + T)(.0). Отметим, что
/2 = {kl-k2)e-^
(обычное двухсолитонное решение), где еА" = {kx — k2)/(k{ + ^гJ.
если фазовые постоянные выбраны подходящим образом, т. е.
В общем случае Л^-солитонное решение, удовлетворяющее преоб-
разованию Бэклунда, имеет вид
N
П (eifef - еД) / * ,
C.3.77а) fN = ^ -^Ц ехР I Е ?
.-±1 II г^ 4i
что эквивалентно jV-солитонной формуле C.3.15). Это можно
показать следующим образом. В C.3.15) возьмем е,-= 2j.i,-— 1,
г = 1, 2, ..., Af, и выберем удобным образом фазовые множи-
тели л?» = Л(,1) + ^2), где exp tj<" = - П".,. 1Ф1 {К + к^Цк, - kt).
Обозначив |(. = ktx — Щ + r\f\ преобразуем C.3.15) к виду
N N _
C.3.77b) FN= Y AГ("+1^Пе II (ef
-fe
При этом мы воспользовались равенствами
N
Z (E;+1)/2 n
C,3.77с) (-1) ' =(-!)" Дег,

216 3. Различные перспективы
C.3.77е) (_1)(
(e.fe, - г fa)
(ki-k,) '
Применяя соотношение эквивалентности f — g, получим
C.3.78) F.~ ? П (-^5^") Т^— «Р (Z Т -Л.)-
Очевидно, что выражение C.3.78) эквивалентно C.3.77а), так
как множитель JJ^ ^-/(Щ — Щ) является константой.
Теперь мы воспользуемся преобразованием Бэклунда C.3.72)
для того, чтобы вывести формулу, описывающую суперпозицию
солитонных решений [228]. Рассмотрим вначале четыре реше-
ния !n-u fit, In и /аг+ь зависящие от параметров следующим об-
разом:
/о о yq\ IN-l == /JV-l W> ^2> • • • > kN_i), fN = fN {k\, . . ., «jv —1> ^JV + l)>
Пусть к тому же эти решения удовлетворяют преобразованиям
Бэклунда:
C.3.80а)
C.3.80b) (D5 - j fe2w+1) /w_, • fN = 0,
C.3.80с)
C.3.80d)
Умножая C.3.80а) на fjv/w+i и вычитая C.3.80b), умноженное на
/аг-i/jv, получим
C.3.81) /wfw+1 (D^.j • /w) - /^.^ (p\fN • fN+l) = 0.

3.3. Прямые методы построения солитонных решений 217
Для любых четырех гладких функций (а, Ь, с, d) от х выпол-
няется тождество
C.3.82) (Dla-b) cd - abDl (c-d) = Dx ((Dxa-d)-bc - (ad) • {Dxc ¦ b)).
Это тождество позволяет привести C.3.81) к виду
C.3.83) Dx [(DJm ¦ fN+l) ¦ JNfN + (/„_, • fN+x) ¦ (DJN ¦ fN)] = 0.
Аналогично из C.3.80b) и C.3.80с) следует
C.3.84) Dx [(DJN ¦ fN) ¦ (fN_JN+l) + (fJN) ¦ {DxfN_x ¦ fN+l)] = С
Вычитая C.3.84) из C.3.83) и замечая, что Dxa-b = —Dxb-a,
получим соотношение
C.3.85) Dx [DxfN_x • fN+l) ¦ (fJN) = 0,
означающее, что величина DxfN~i-fN+i пропорциональна fw/лг,
т. е.
C.3.86) Dx!N_x ~
Постоянная С определяется любыми тремя солитонными реше-
ниями (при любом взаимном расположении солитонов). Выраже-
ние C.3.86) называют формулой суперпозиции солитонов. По за-
данному /о = 1 мы, воспользовавшись преобразованием Бэклун-
да, вычислим f\, а затем с помощью C.3.86) найдем fw(Ar Ss 2).
Весьма поучительно вывести задачу рассеяния и временную
зависимость для уравнения КдФ из преобразования Бэклунда в
билинейной форме. Определим
C.3.87а) и =
C.3.87b) ^ = -yLl
и заметим, что
C.3.88а) дЛ+1'<лг =^;
C.3.88b) -^
in
C.3.88с)
IN
Воспользовавшись C.3.72), мы получим пару уравнений для
одной функции г|з, необходимую для МОЗР:
C.3.89а) tyxx + Ы1|з = Ai|j,
C.3.89b) %

218 3. Различные перспективы
(отметим, что C.3.89Ь), воспользовавшись C.3.89а), можно
привести к виду г|з/ = Л\|з + Bty)- Таким образом, мы видим, что
из уравнения и его Л^-солитонного решения можно вывести и
преобразование Бэклунда, и пару операторов, необходимых для
МОЗР.
3.3. е. Замечания о некоторых многомерных задачах. Нако-
нец, мы хотим отметить, что описанный прямой метод нахож-
дения солитонных решений применялся и к некоторым много-
мерным нелинейным уравнениям. Мы обсудим вкратце два при-
мера.
Первым рассмотрим двумерный вариант уравнения КдФ, т.е.
так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили (КП):
C.3.90а) {щ + 6иих + иххх)х + аиуу = 0, а = ±1.
Подставив и = 2(logf)« в C.3.90а), получим
C.3.90b) (DxDt + D*X + aD$) / • / = 0.
Сатсума A976) [445], воспользовавшись описанным выше ме-
тодом, показал, что Л^-солитонное решение имеет вид
C.3.91а) ?[?
где
Л, = k{ (x + pty - Ctt), C. = k*
C.3.91b) ^sfr-ktf-afa-p,)*
Это Л^-солитонное решение представляет собой набор Л^ плоских
взаимодействующих друг с другом волн.
Майлз [375, 376] исследовал некоторые условия, при кото-
рых две такие плоские волны резонансно порождают третью.
Точнее говоря, он отметил, что сдвиг фаз, возникающий при
взаимодействии двух солитонов, может быть произвольно боль-
шим. Идею Майлза можно легко понять на примере двухсоли-
тонного решения C.3.90) при а = +1. Отметим, что еАЧ = 0,
если выбрать волновые векторы, удовлетворяющие соотношению
C.3.92а) V3(?,-?2)±(pi-p2) = 0;
при этом двухсолитонное решение принимает вид
C.3.92Ь) f = 1 + е"'+ е"«.
Если предположить, что kt > 0, i= 1, 2, то при х->—оо реше-
ние может быть нетривиальным лишь в окрестности характери-

3.3. Прямые методы построения солитонных решений 219
стик гI — const или гJ = const; при этом u ~ (jfe?/2)sech2-2 tii,
т. е. имеем два плоских солитона. Однако при х-*--\-оо реше-
ние будет отличным от нуля лишь при тц — i]2 = const. (Отме-
тим, что f~en*(l + e~tl2)<^(l -\-e]>~^).) Таким образом, в
результате их взаимодействия возникает только одна плоская
волна — солитон и = (kl/2) seen2 у %, где
= ^1— k2, k3p3 = kxp{ — k2p2, С3 = 4
Если
со,- = kiCt
(дисперсионное соотношение), то можно проверить, что из
C.3.92а) получаем
со3 = со, — со2.
Таким образом, k3 = ki—k2 и соз = «>i — со2, т. е. мы имеем
случай тройного резонанса, и два солитона при х-*—оо по-
рождают третий при х-*--]-00! Отметим, что аналогичное резо-
нансное взаимодействие возникает в бесстолкновительной плаз-
ме [514].
Интересно отметить, что метод Хироты bvнекотором ограни-
ченном смысле срабатывает для уравнения sin-Гордон в B+1)-
пространстве-времени '):
C.3.93) ихх + иуу — utt = sin и
[213]; (см. также [328], [82] и [506]). Произведя замену за-
висимой переменной
C.3.94а) u = /
в уравнении C.3.93), получим
C.3.94Ь) (Dl + Dl
Обнаружено, что формула
C.3.95а) /=
ц-0,1
1) На самом деле, двумерность пространственной переменной в найден-
ных решениях является фиктивной и устраняется переходом в подходящую
систему координат. — Прим. ред.

220 3. Различные перспективы
при
C.3.95b) % = kiX + р^у — <V + Л?1; Щ + P\ — ш? = ! >
C.3.95c) И" -J*' - *')Я + <Р1 ~ Р/)*" <Ш| " e/)"
2 _
+ kjJ + (p_ + pj)
удовлетворяет уравнению C.3.94b) для произвольных k-t, pi при
N == 1, 2. Однако при yv = 3 на это решение следует наложить
дополнительное ограничение
C.3.95d) det
kx р, со,
^2 Pi ®2
Щ
= 0.
Случаи N >Ъ были рассмотрены в работе [280].
В заключение отметим, что: а) Хирота и Вадати A979)
[231] показали, как можно вывести линейное интегральное
уравнение Гельфанда — Левитана из прямого метода; б) Хи-
рота A979) [223] предъявил примеры уравнений, для которых
можно построить двух- (но не более) «солитонные» решения
в) Накамура [392, 393] воспользовался прямым методом для
построения решений с одним и многими (двумя) периодами;
г) Оиши A979) [403] показал, как с точки зрения прямого
подхода можно рассматривать детерминанты Фредгольма и «не-
прерывный спектр».
3.4. Рациональные решения нелинейных эволюционных урав-
нений. Оказывается, что дифференциальные уравнения, кото-
рым посвящена настоящая книга, допускают в качестве реше-
ний некоторый класс функций, рациональных по пространствен-
ной переменной х. Эти рациональные решения впервые были
получены в работе Эро, Мак-Кина и Мозера [36] (последую-
щие результаты можно найти, например, в работах Адлера и
Мозера [32], Абловица и Сатсумы [24]). В этом разделе мы
будем следовать методу Абловица и Сатсумы [24]. (i) Для
уравнения КдФ рациональные решения можно получить, вычис-
ляя длинноволновый предел одномерных солитонных решений,
найденных прямыми методами (скажем, методом Хироты).
В частности, мы проведем вычисления для небольшого числа
первых солитонных решений, а затем покажем, как осуществить
этот предельный переход на языке преобразования Бэклунда
(в билинейной форме) для уравнения КдФ. В результате полу-
чим рекуррентную формулу, позволяющую получить весь класс
рациональных решений уравнения КдФ- Эти рациональные ре-
шения имеют полюсы на вещественной оси х. (п) Эту же кон-
струкцию можно применить для построения (рациональных)

3.4. Рациональные решения 221
солитонов уравнений мКдФ, Буссинеска и Кадомцева — Петвиа-
швили (К—П). Для уравнения мКдФ существуют веществен-
ные несингулярные рациональные решения, что согласуется с
результатами работы Оно [409].
В последнем случае (уравнение К—П) имеется частное ре-
шение, являющееся вещественной несингулярной функцией,
убывающей степенным образом во всех направлениях. Это ре-
шение обладает солитонными свойствами. Мы будем называть
такой многомерный солитон лампом. Точное солитонное реше-
ние впервые получено в работе Манакова и др. [350]. Следует
отметить, что приводимые здесь методы применимы и для мно-
гомерных задач [447], имеющих физические приложения.
Мы начнем с уравнения КдФ
C.4.1) щ
Как было показано в разд. 3.3, уравнение C.4.1) имеет Л'-соли-
тонное решение вида
C.4.2) u = 2(\nFN)xx,
где функция Fn удовлетворяет уравнению
C.4.3) Dx{Dt -\-D\)FN- Fn — 0.
Напомним определение оператора D,
C.4.4) DxD?a-b = (dx-dx>f{dt — dt>)ma(x, t)b{x, t')\X'=x
(см. также разд. 3.3) и то, что функцию Fn можно найти раз-
ложением в (формальный) ряд
C.4.5) FN=l+
Подстановка C.4.5) в C.4.3) и приравнивание нулю коэффи-
циентов при степенях е дает систему уравнений на функции
/•У. Это разложение обрывается, если Р$ выбрать в виде
C.4.6) Fn' = 2 ехр (%), Л* = М - k\t +
i
где kit г\?] — произвольные константы (в конце мы положим
е = 1). В разд. 3.3 получены солитонные решения для N==1,
2,3:
C.4.7а) /?, = 1 + Л
C.4.7b) F2 = 1 + ец' + еЦз + е11' + ц' + А",
C.4.7с) F3 = 1 + е% + ец + е^ + ец'+ * + А" + еч + Г)з + А" +
+ _4iT4)t Л23 I 1|1 Т 42 Т Щ "Г "I! Т Я!> Т Л|8
е Т б >

222 3. Различные перспективы
При произвольном N имеет место формула
/ N N
C.4.8а) FN= Yj expl ? Афф,+ ?
где Ац в C.4.7) и C.4.8а) удовлетворяют соотношению
C.4.8Ь)
Формулы C.4.7а—с) являются частными случаями C.4.8).
Кроме того, отметим, что из C.4.7а) и C.4.2) получается обыч-
ное односолитонное решение, имеющее вид
C.4.9) и = D1) sech24" (M - k\t + niO>>-
К рациональным решениям можно перейти благодаря имею-
щемуся произволу выбора постоянных r\f'. Например, если в
@)
C.4.9) мы выберем е ' = — 1, то получится сингулярное ре-
шение
C.4.10)
Переходя к пределу k\ -*- 0 (т. е. к «длинноволновому» пре-
делу), мы получим
C.4.11) и = -2/х2.
Решение C.4.11) является первым представителем класса ра-
циональных решений. Оказывается, что при подходящем выборе
фазовых постоянных можно получить нетривиальный предел
для любой функции Fn-
Обсудим теперь приемы вычислений функций FN. С этой
целью вернемся к рассмотрению C.4.7а). Обозначив at =
= ехр(гI0>)> перепишем C.4.7а) в виде
C.4.12) ^ = 1 + а,еь, |, = kx (x - kit).
При &i->0 имеем
F, = 1 + а, A + g.) + О (А?).
Выбрав ai = —1, получим
F, = -h (х + О (Л,)).
Так как и определяется по формуле C.4.2), то

3.4. Рациональные решения 223
(здесь, как и прежде, две функции f и g считаются эквивалент-
ными, f — g, тогда и только тогда, когда f = eax+bg, а, Ь не за-
висят от х).
В пределе &!-*¦(), F| —9^ где
C.4.13) е, = х.
Отсюда по формуле C.4.2) получается рациональное решение
C.4.11). Таким же образом можно преобразовать F2 (и все
высшие FN).
При N > 1 будем считать, что все ki -> 0 одинаково быстро
(т. е. ki = eki, ki = 0A)). Для F2 получим
C.4.14) F2= 1 +а1е|' + а2е|;' + а1а2е|' + |! + л'2.
При &i, fe2-*-0 мы потребуем равенства нулю коэффициентов
при членах порядка 0A) и O(k) в F2:
0A): 1 + ct! + a2 + а^з/'2 = 0.
Решением этих уравнений служит
а = -а2= ftJ_fc| .
Оказывается, что при этом члены разложения порядка O(k2)
также отсутствуют, и в результате получается
C.4.15а) F2 = — -^¦klk2{ki + kj[x? + 12/+О (А:)].
Так как k-*0, то F2 эквивалентно ®2-
C.4.15b) e2 = x3+12/, и = 2Aпв2)хх.
Функция ®2 имеет три нуля, поэтому и имеет три полюса.
В трехсолитонном случае, если мы выберем
щ ~ kt - k2 ' k3 - kt
k2 + k3 kt + kj
ki — ks k\ — k2
k\
 k3 - kx ' k2 - k
то найдем функцию
C.4.16a) F3 = - -^ kxk2k* (kx +
+ бОлг3/ - 720/2) + О (*)],
которая в пределе /г-*-0 эквивалентна функции
C.4.16Ь) 63 = хб + 60лг3/ - 720/2,

224 3. Различные перспективы
имеющей шесть нулей. В принципе этот прием срабатывает при
любом количестве солитонов, но вычисления становятся весьма
громоздкими. Поэтому мы воспользуемся преобразованием Бэк-
лунда (в билинейной форме) для вывода рекуррентной фор-
мулы, порождающей рациональные решения.
Вначале мы слегка преобразуем формулу yV-солитонного ре-
шения C.4.8а). Напомним формулу C.3.78) из разд. 3.3:
ехр
C4 171 Р ^-Р - V (е'*<-"/*/>
C.4.17) FN — FN- 2,
е = ±1
Так, например,
что эквивалентно C.4.17). Преимущество формулы C.4.17) со-
стоит в том, что в пределе k\ ->¦ 0 она непосредственно перехо-
дит в полином от х. Эту формулу можно переписать (здесь и
далее мы опускаем крышку " над PN) следующим образом:
C.4.18)
где
N , Л
C.4.19)
~~ Zj II ^ ' l It' 11 ; PI Zj 2 '^'' I
e=±li=i i=\ \г=1 /
Отметим следующие важные свойства функции g:
(i) ё"лт(^i» &2> •••> ^>. •••> k, kN) —
— —gN^u k2> •••> kt, ..., ft/, ...^)
при i <. j (функция gN антисимметрична по аргументам)
(ii) gN(k\ = °> К •••> kN) = 0;
(iii) g-jv(^i = ^2. &з. •••> kN) = gN{kx = —k2, k3, .... ^) = 0.
Свойства (i) — (iii) означают, что функция gN имеет в качестве
множителя
П (*!-*?) П*,.

3.4. Рациональные решения 225
Таким образом, первый член разложения функции FN при
ki -*¦ 0 по крайней мере порядка 0A), и
C.4.20) FN
Ниже мы покажем, что aN Ф 0. Кроме того, так как каждый ki
входит в фазовый множитель выражения C.4.17) с множите-
лем х, то для того, чтобы функция FN имела по крайней мере
первый порядок, нужно, чтобы полином 9/v (х) = хр -j- ... имел
старшую степень
Теперь мы выведем рекуррентную формулу для ®N. Мы вос-
пользуемся формулой
C-4.21) DXFN_X-FN^=CFNFN,
выведенной в разд. 3.3 из преобразования Бэклунда. Функции
Fn-\, Fn+i, Fn и Fn, являющиеся многосолитоннымл решениями,
зависят от параметров следующим образом:
Fn-i — Fn-\ (&t> •••> &at-i)>
Fm== FN(ku ..., kN_i, kN),
F^ = FN (kl kN_\, kN+i),
FN + \ = FN+] (kit ..., Кдг_1, kN, kN+i).
Константа С определяется любыми тремя солитонными реше-
ниями, заданными формулой C.4.17). Например, если взять
F — ' \(b _
8~M(*?-A|)l( '
~
T0 С =-1/2.
Далее будем пользоваться формулой суперпозиции
C.4.22) DxFN+x-FN_l = ^-FNPN.
Из C.4.20) и C.4.22) можно получить рекуррентную формулу
для aN и <dN. Подставив C.4.20) в C.4.22), получим
C.4.23) aw+i%-A©^+.©iv-i = ^
8 Зак, 1!4

226 3. Различные перспективы
Так как ®tv(x) является полиномом по х, то соотношение
C.4.23) можно выполнять для каждой степени по отдельности,
и в частности для старшей степени xN(-N+]~>/2. Поэтому aN удов-
летворяет рекуррентному соотношению
C.4.24) aN+laN_lDN + 2) = al,
a O/v удовлетворяет
C.4.25) ад^вдг., = BN + 1) Ql
(см. также [32]). В наших предыдущих вычислениях для не-
скольких первых солитонов мы уже вывели
, . 1 1
а0 = 1, а{ — 1, а2 = -г-, а3 = ¦
б '  360 '
60=1, 6, = *, 62 = л;3+12/, в3 = х6 + бОг5/- 720/2.
Из рекуррентной формулы следует, что коэффициент амф0
при всех N ^ 0. Можно воспользоваться соотношением C.4.25)
и Оо, 6i для вычисления вг, вз и всех высших Qn, если допол-
нить его уравнением эволюции по времени. Для этого можно
использовать либо исходное нелинейное уравнение в частных
производных (в нашем случае уравнение КдФ), либо уравне-
ние временной зависимости C.3.72Ь), найденное из преобразо-
вания Бэклунда (положив при этом K = (lj4) kli + i и устремив
k->0):
C.4.26) (Dt + Dl)&N.&N+1 = 0.
К частному решению 0jv+i можно добавить 9лг-ь умноженное
на произвольный множитель, но мы берем этот множитель рав-
ным нулю. В описанном предельном переходе для каждой фик-
сированной степени k полином является однородной функцией
по (xs) и t. Например, мы знаем, что старшим порядком вз яв-
ляется хь. Таким образом, полином в3 должен иметь следую-
щий общий вид: х6 + аЛ -f P^2- Мы определяем коэффициенты
а = 60, Р = — 720 при помощи C.4.25), C.4.26). Хотя, разу-
меется, можно добавить к в3 член Сх и соотношения C.4.25),
C.4.26) останутся при этом выполненными, но мы берем С = 0,
так как этот член не может возникнуть в результате предель-
ного перехода.
Поскольку каждой степени х3 соответствует степень /, то
все решения удовлетворяют автомодельному уравнению для
w [z), где
z —
w'" -f Qww' — Bw + zw') = 0.

3.4. Рациональные решения 227
Поэтому автомодельное решение также обладает классом ра-
циональных решений. Итак, мы показали, что рациональные
решения возникают в результате предельных переходов в соли-
тонных решениях и что их можно вычислить при помощи пре-
образования Бэклунда, и получили непосредственную связь
между солитонами и автомодельными решениями. Частные эле-
ментарные решения можно получить и для других уравнений,
включая классические трансценденты Пенлеве [149] (обзор),
[35], [72]. Эти авторы также вывели преобразования Бэклунда
между решениями таких нелинейных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений (см. также [165]).
Как мы уже отмечали, методы, которым мы пользовались,
можно без труда распространить и на другие нелинейные эво-
люционные уравнения, обладающие солитонными решениями.
Здесь мы лишь обсудим результаты, полученные при вычисле-
нии предельных переходов в солитонных решениях (i) уравне-
ния К—П (двумерного уравнения КдФ); (ii) уравнения Бусси-
неска; (ш) уравнения мКдФ с ненулевыми граничными усло-
виями.
Уравнение К—П имеет вид
C.4.27а) дх (щ + 6иих + иххх) + аиуу = О,
где а — постоянная, зависящая от дисперсионных свойств си-
стемы. Мы ищем убывающие решения уравнения C.4.27а)
и -> 0 при |х|~>-оо следующего вида [445]:
C.4.27b) u = 2(\nFN)xx.
Подстановка C.4.27Ь) в C.4.27а) дает
C.4.28) (DxDt + D4x + aDl)FN-FN = O.
Af-солитонное решение можно вычислить прямым методом (см.
разд. 3.3). Здесь мы обсудим только случаи N = I, 2. Одно- и
двухсолитонные решения имеют вид
C.4.29а) F, = 1 + е\
C.4.29b) F2 = 1+ еч + е" + е^ + Чг + А",
где
C.4.29с) т\, = kt (х + Pty - {$ + aPl) i) + t^0',
3 (kt - kif -a(Pi~ Pjf
C.4.29d) exp Ац = -щ^+ kjJ - a (Pt - P;J '
8*

228 3. Различные перспективы
„@) .
Взяв еч =— 1, ki-*0 (причем Рг = 0A), k[/k2 = O(l)), полу-
чим
C.4.30а) Ft = —kfii + О (k$,
C.4.30b) F2 = kxk2 (9,02) + д (р<4 p>), + О (fe3),
где
C.4.30c) 0, = x + /># - aP%
и мы воспользовались
C.4.30d) exp A12 ~ 1 + a(^l%2J .
Итак, мы получили следующие рациональные решения (и опре-
деляется по формуле C.4.27Ь)):
C.4.31а) Pi = Qi,'
C.4.31b) Л = 6,82 + 5,2, fl,2= a^/lp,)» •
Хотя решения Р\ и Я'г имеют в общем случае сингулярности, но
существует и несингулярное решение F2, если a = —1 и
Pi = P\- В этом случае
C.4.31с) F2 = 9let— 12 .
Положив Р, = Р^ + г'Р/, получим
C.4.32а) и = 2C|In Ux + РЛ/J + Р2, {yj + ^1,
где
Выражение C.4.32а) можно переписать в виде
C432b) и ^(-(
C.4.32b) и_ ((/
Итак, мы имеем решение, представляющее собой двумерный
солитон (ламп), убывающее как ОA/х2, 1/у2) при \х\, \у\->-оо
и двигающееся со скоростью у* = Р« + Р/, vu — —2PR (см.
рис. 3.1). При N — A можно построить двухламповое решение.

3.4. Рациональные решения 229
Здесь мы приведем результаты вычислений для N = 3, 4:
(з.4.зза) f3 = е,е2е3 + б12е3 + в23е, + б31е2,
C.4.33b) FA = 6,826364 + 6,36364 + 6136264 + 6i4e2e3 + 6236164 +
+ 6246,64 + 6346162 + Bl2B3i + 613624 + 6и62з,
где 6? определены формулой C.4.30с), Btj — 12/(<х(Рг — Р]J).
Взяв а = —I, Рз = Р\, Pi —Pi в C.4.33b), получим двухлампо-
Еое решение. Отметим, что при этих предложениях FA является по-
ложительной функцией и приводит к решению и C.4.27Ь), убы-
вающему как ОA/х2,1/у2) при \х\, \у\->-оо. В результате взаи-
модействия двух лампов не происходит сдвига фаз. Эти резуль-
таты согласуются с ответами, полученными в работе Манакова
Рис. 3.1. Ламп — локализованный солитон C.4.32). Пространственная кар-
тина в фиксированный момент времени, PR = О, Pi = 1/8, а = —1.
и др. [350]. В общем случае, когда N = 2M, этот метод дает
формулу для М-лампового решения (см. [447]). Конечно, ис-
пользуемый здесь метод не дает, к сожалению, ясного пред-
ставления о роли этих решений в общей задаче с начальными
условиями, т. е. о их типичности, устойчивости и т. д. Недавняя
работа Захарова и Манакова [537] показала, однако, что для
быстро убывающих начальных условий (быстрее чем О(\/х2,
\/у2)) уравнение К—П C.4.27а) является интегрируемым при
помощи МОЗР (см. также результаты Манакова, Сантини и
Тахтаджяна [349] по вычислению асимптотик на большие вре-
мена). Постоянных солитонных решений обнаружено не было.
Это, по-видимому, указывает на тот факт, что такие решения,
вероятно, не играют сколько-нибудь важной роли для уравне-
ния C.4.27а) (в противоположность тому, как это было в од-
номерном случае, т. е. для уравнения КдФ).

230 3. Различные перспективы
Нашим вторым примером является уравнение Буссинеска
C.4.34) ии -ихх-Ъ (и%х - ихххх = 0.
Отметим, что уравнение C.4.34) является частным случаем об-
суждавшегося уравнения К—П. Тем не менее рациональные ре-
шения, которые будут вычислены, принадлежат другому классу.
Отметим, что используемый нами метод работает одинаково
хорошо при обоих возможных знаках дисперсии. При положи-
тельном знаке последнего члена в уравнении C.4.34) задача
поставлена корректно на бесконечном интервале (несмотря на
это, при изменении знака это уравнение остается изоспектраль-
ным потоком). Следует также отметить, что уравнение C.4.34)
возникает в различных физических задачах (например, волны
на поверхности воды) как длинноволновое приближение. Таким
образом, с учетом физического происхождения этого уравнения,
задача поставлена вполне корректно.
Следуя Хироте [213], положим
C.4.35) и = 2 (In FN)XX
и найдем билинейное уравнение
C.4.36) [D] — D\ — D$) FN • FN = 0.
Первые два солитонных решения даются (как обычно) форму-
лами
C.4.37а) Fi=l= ец\
C.4.37b) F2 =
где
C.4.37с) r\t
и
9 ( I 9 /"
» 3(k, — й0) + ( е, д/1 + к. — е9д/1
C.4.37d) eAn— ll 2' У1У ' 2У
3 (ft, + k2f + (g, д/l + k\ - e2 л/l +k\f '
JO
При /v = l, взяв e ' =—1 и устремив k{->\), получим
C.4.38) F, ki {x ± t).
Для двухсолитонного решения
C.4.39a) Aii \ (jTpl^l + yMj) при е1е2=1,
C.4.39b) 1 I — З.^^о при 6^2 = —1,

3.4. Рациональные решения 231
В случае г^ = 1 мы возьмем
C.4,40а) eW=]jJ±bL + ^.klkat
C.4.40b) e^ = 4т=4г + 4" ^2
и найдем
C.4.41) F2 i- Л,Л2 (й, + &2) {(ж ± /K + (* ± t) + 6/}.
Интересно отметить, что Fo дает другое рациональное ре-
@) @)
шение в случае е{е2 = —1. В этом случае возьмем е ' =е 2 =
= — 1 и, воспользовавшись C.4.39), получим
C.4.42) F2 ~ k{k2 {x2 -t2- 3).
Таким образом, несколько первых рациональных решений урав-
нения Буссинеска получаются по формуле C.4.35), где FN —
одна из следующих функций:
x±t, x2-t2 — 3, (x± tf + (х ± t) =F 6/.
Полиномы более высокого порядка можно получить, действуя
таким же образом. Несомненно, что преобразование Бэклунда
приведет к рекуррентной формуле между рациональными реше-
ниями, но никто таких вычислений до сих пор не проделал.
Рассмотрим, наконец, уравнение
C.4.43) ot + 6v*vx + vxxx = 0
с ненулевыми асимптотическими граничными условиями v-*-Vo
при |д;|->оо. Следуя [217] и [226], имеем
C.4.44) )
\ rN Ух
Подставив C.4.44) в C.4.43) и расщепляя возникшее уравне-
ние, получим
C.4.45а) {Dt + 6v20Dx + Dl)FN-FN = 0,
C.4.45b) (Dl-2iv0Dx)GirFN*=0.
Чтобы найти солитонные решения, выпишем разложение
C.4.46а) FN=l+eFN,i+s2FN,2+...,
C.4.46b) Од, = 1 + еОл,., + e2GN, 2 + ... .
Подставим C.4.46) в C.4.45) и приравняем нулю коэффициен-
ты при разных степенях е. Начав в FN- { — ет1' + ф1, GNt t = еч + *',

232 3. Различные перспективы
мы получим односолитонное решение
C.4.47а) Fi=l+e4 + v>,
C.4.47b) G1 = l+eril + *,
где
C.4.47с) г),- = k,x - {6vlki + й?) / + t]f,
C.4.47d) еф/ = 1 - ik,/2v0,
C.4.47е) e*l = 1 - ikj/2va.
Подставив C.4.47) в C.4.44), получим явную формулу односо-
литонного решения
C.4.48) v = v, + ¦ '
которая была получена также в работе Оно [410]. Чтобы полу-
чить двухсолитонное решение, мы начнем с
и найдем
C.4.49а)
C.4.49Ь)
где
Как и раньше, рациональные решения могут быть получены
переходом к пределу ki -*- 0 при подходящем выборе фазовых
постоянных. Для N = 1 выберем еп> = —1 и получим
C.4.50a) F, /
C.4.50b) G{ kl(x — 6v%l — -±-'),
что приводит к рациональному решению
C.4.51) v = 0о_— 12» .
4ас" (х — 6i#f + 1
Это решение также было получено в работе Оно [410] и
представляет собой несингулярный одномерный алгебраический

3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 233
солитон. Для N — 2, взяв
k,-k2
и устремив ki-+0, мы получим, что
C.4.52а) ' F2, G2 Ь й,&2 (^ + ?2) • |> + 12/ -
2 l
где
C.4.52b) l = x — &vlt,
и верхний (нижний) знак относится к функции F2(G2). Подста-
вив C.4.52а) в C.4.44), видим, что это решение также представ-
ляет собой несингулярный алгебраический солитон
C.4.53) v = v0 *2з + H,t '
3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравне-
ния. Взгляд, который мы часто излагаем в этой книге, состоит
в том, что различные редукции «интегрируемых» нелинейных
эволюционных уравнений также являются (в некотором смыс-
ле) «интегрируемыми». Например, автомодельная редукция при-
водит к уравнениям типа Пенлеве (см. разд. 3.7), решения ко-
торых выражаются либо через классические трансценденты Пен-
леве, либо через специальные гиперэллиптические функции (см.
разд. 2.3). Здесь мы обсудим другой пример проявления этого
принципа. Занимаясь поиском (разложений по полюсам) ал-
гебраических решений различных нелинейных эволюционных
уравнений, мы получим конечномерные динамические системы —
системы обыкновенных уравнений, т. е. задачи Af тел. Эти дина-
мические системы представляют самостоятельный интерес.
Идея исследовать движение полюсов решений нелинейных
эволюционных уравнений весьма стара. Например, ее использо-
вали при изучении движения точечных вихрей в гидродинамике
(см., например, Онзагер A949) [411]). Для уравнений, свя-
занных с МОЗР, такой анализ впервые проделал Краскал
A974) [297] для уравнения КдФ. Он отметил, что любой со-
литон представим в виде конечного набора полюсов и поэтому
взаимодействие солитонов можно было бы описывать как взаи-
модействие полюсов. Сикстан A976) [482] дальше развил эти
идеи, а Эро, Мак-Кин и Мозер A977) [36] показали, как
рациональные и эллиптические решения можно было бы

234 3. Различные перспективы
рассматривать с точки зрения разложений по конечным наборам
полюсов (см. также [ПО]).
В этом разделе мы остановимся на разложении по полюсам
(т. е. на рациональных решениях) трех нелинейных эволюцион-
ных уравнений: так называемом уравнении Бенджамина— Оно
(Б—О), уравнении КдФ и промежуточном уравнении (проме-
жуточном в том смысле, что уравнения КдФ и Б—О могут быть
получены из него предельными переходами). Все эти уравнения
возникают в теории длинных внутренних волн в стратифициро-
ванной жидкости. Следует отметить, что Мозер [386, 387] рас-
сматривал интересную конечномерную систему, принадлежа-
щую другому классу. Она получается из конечной цепочки Тоды
(разд. 2.2) со свободными концами. Здесь мы не будем углуб-
ляться в эту задачу.
В каждом из перечисленных случаев мы выведем уравнение
соответствующей динамической системы. Но только первый
пример будет проинтегрирован нами в явном виде. Мы получим
решение динамической системы, изучавшейся в работах Калод-
жеро [86, 87], Сазерленда [469] и Мозера [386, 387].
Хотя решения соответствующих нелинейных эволюционных
уравнений являются рациональными функциями пространствен-
ной переменной х, мы выделили эту тему в отдельный раздел,
так как в отличие от предыдущего здесь основная задача —
получить и изучить некоторые интересующие нас динамические
системы.
Мы начнем с уравнения Б—О, впервые предложенного Бенд-
жамином [53] и позднее выведенного при помощи формаль-
ного асимптотического разложения в работе Оно [409]; это—¦
нелинейное сингулярное интегродифференциальное уравнение
C.5.1) ut
где Я (и) является преобразованием Гильберта
оо
C.5.2) tf(n) = JL f -p^-dx'.
— оо
Символ +f(x)dx означает интеграл в смысле главного значе-
ния. Следуя [95] и [105], будем искать движение полюсов (раз-
ложение по полюсам) решения этого уравнения:
Такой подход отчасти мотивируется тем, что уравнение C.5.1)
имеет известное рациональное решение в виде уединенной

3.5. Проблема jV тел и нелинейные эволюцийнные уравнения 235
ВОЛНЫ
ос
C.5.4) и = l + [C{x _ct _ Хо)]Я =
1
С(х — Ct
-xo)-i Г
найденное Бенджамином [53]. Отметим, что преобразование
Гильберта переводит полюс в полюс, т. е.
^' 1тх<>0'
Подставив C.5.3) в C.5.1), получим
= о,
где х = dx/dt.
Имеется несколько способов получить уравнение движения
полюсов. Рациональную функцию можно разложить на простые
дроби, что дает
,,„> 1 А . В С
(б.о.оа) {х _ аJ (Х_Ь)— (х _ аJ -т- {х _ а) -I- {х _ Ь) .
где
C.5.6Ь) А= а^_ь , В— ~^ь , С = (а1ьJ ¦
Затем, воспользовавшись C.5.6), тождеством
C.5.7а) L L {Xk-X}){x-Xk)(x-xj) ==0
и тождеством
C.5.7b) VV.
-*;) с*-*;) (*-*;)

236 3. Различные перспективы
получим
В результате мы имеем динамическую систему (задачу N тел)
(ЛГ N \
У -—Ц-— У—U-|=o
и комплексно-сопряженную систему уравнений. Отметим, что
систему C.5.9) можно вывести из C.5.5), положив х = х/-\-е
и вычислив разложение по е ->¦ 0.
Замечательно, что система C.5.9) может быть преобразо-
вана к гамильтоновой форме. Вычислив вторую производную
по времени от C.5.9) и перегруппировав члены, получим
1
— */) (-«ft —
_уу i
"?
Можно проверить, что второй и третий члены в правой части
равны нулю, а члены с четвертого по седьмой в сумме также
дают нуль. Остается гамильтонова задача N тел с парным взаи-
модействием

3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 237
и гамильтонианом
2 Z^ ' Z^ Z^ (xk-xjJ
i I кф!
Систему C.5.11) изучали многие авторы: Калоджеро [86,
87], Сазерленд [469], Мозер [386, 387], Ольшанецкий и Пере-
ломов [405, 406, 407], Каждан, Костант и Стернберг [271].
В связи с уравнением Б—О см. работы Кэйса [95, 96] и Чена,
Ли и Перейры [105].
Далее нам удобно будет изменить масштаб времени по фор-
муле t-*-2t\ при этом
C.5.12) 1 = 2 У -. 1-
Интегрирование задачи N тел более общего вида было дано
Мозером [386, 387]. Рассмотрим L — А пару
C.5.13а) /л|> = Ал|>,
C.5.13Ь) Ъ = АЪ,
где L, А — матрицы
C.5.14а) Lk, = h,Z,+ i(x
C.5.14b) Akl = -i6kl У -. Х-^г
1к
_ (Xk~ X;J '
1фк
Предположив Xt = 0, мы получим эволюционное решение Lt =
= [L, А], или, после некоторых вычислений,
/О С 1 С\ A °v k ( У
(l-ftft/)(l-ft//)
Zj (Xk — Х{) (Xl — Xj) \(Xk — X{) ~T" (Xl — X;) ) "
При k = j эта система уравнений совпадает с C.5.11); при
k Ф j и правая, и левая части C.5.15) равны нулю.
Таким образом, динамическая система C.5.12) является
изоспектральнои. Отсюда немедленно следует наличие /V инте-
гралов движения (переменных действия). Чтобы в этом убе-
диться, обозначим
C.5.16а) /„ = tr(L"), n=l, ..., N;
тогда
C.5.16b) 4f = 0,

238 3. Различные перспективы
так как следы (tr) от Vх выражаются через собственные значе-
ния матрицы L. Дополнительный набор N величин (угловые
переменные) также может быть найден [405, 406, 407]. Непо-
средственным вычислением убеждаемся, что уравнения движе-
ния можно записать в виде
C.5.17) Xt = [AX\ + L,
где Xkj — bkjXj, а матрицы L, А определены в C.5.14). Отме-
тим, что [АХ] — i(\ —bki)/{xj — Xk)-
Далее по индукции можно проверить, что
C.5.18) -j
Обозначив
C.5.19)
мы получим
C.5.20) Чг^1--
При этом мы воспользовались равенством tr [Л, В]~0 для лю-
бых А, В. Таким образом,
C.5.21) /Л0 = /п + /п@).
Итак, мы имеем два набора из N переменных, каждый задан-
ный в явном виде в любой момент времени. Это полностью
определяет движение полюсов.
Например, рассмотрим случай N = 2:
C.5.22а) tr L = Ii = x{ + х2,
C.5.22b) trL2 = I2 = x2l+xl+ (XllXt),.
C.5.22с) tr X = /, = xi + х2 = Ixt + /, @),
C.5.22d) tr LX = /2 = XiXi + x2x2 = I2t + J2 @).
Из C.5.22d) получим
C.5.23a) ~ (jc? + jcj) = 2 {xxX\ + x2x2) = 2/2/ + 2/2 @).
Таким образом,
C.5.23b) x\ + xi = I/ + 2/2 @) / + x\ @) -f x\ @).
С помощью C.5.22с) мы приходим к алгебраическому уравне-
нию для X\(t) или для Х2Ц) (Z равно либо х\, либо хт):
C.5.23с) 2Z2 - 2/! (О Z + /? (/) = I/ + 2/2 @) / + х\ @) + х^ @).

3.5. Проблема Л' тел и нелинейные эволюционные уравнения 239
Мы не будем здесь заниматься более тщательным анализом его
решения. Вместо этого покажем, что собственные значения опе-
ратора
C.5.24) М (t, Q = X (t0) + (t- t0) L (t0)
совпадают с полюсами Xi(t), i=l, ..., N. Приводя матрицу
C.5.24) к диагональному виду, получим расположения полюсов
в каждый момент времени t. Рассмотрим
C.5.25) K(l) = U~] (t)X(t)U(t),
где U(to) — I. Так как А является антиэрмитовой матрицей,
т. е. Л+ = (л) = — А, то матрица U ((), удовлетворяющая
уравнению
C.5.26а) ^L = AU,
является унитарной:
Таким образом,
C.5.26Ь) -А-([/-') = -fL-t/+ = — и~1А,
v at ч ' at
и прямое вычисление приводит к
C.5.27) -^j- = U'1 (X + [X, A]) U.
Из C.5.17) следует
C.5.28) ~- = и-хШ.
Продифференцируем это равенство еще раз по времени и вос-
пользуемся соотношениями C.5.26) и Lt = [AL]. В результате
получим
C.5.29а)
Поэтому
C.5.29b) K(t) = Cl + (t — t0)C2,
где С\, С2 — постоянные интегрирования. Из C.5.25) и C.5.28),
учитывая равенство U(to) = I, мы получим
C.5.29с) К (to) = U~l (to) X (to) U (t0) = X (t0) = С„
C.5.29d) -|p (to) = U~l (tQ) L (Q U (t0) = L (tQ) = C2.
Таким образом,
C.5.29e) K{t) = X (t0) f (/ - /0) L (tQ) =з М {t, /Q).

240 3. Различные перспективы
Соотношение C.5.25) позволяет выразить X(t) через K(t):
C.5.29f) X(t) = UM(t, t0) U'1.
Собственные значения матриц X(t) и M(t,t0) совпадают, так
как
C.5.30а) 0 = det (XI - X (t)) = det (U (XI - M (t, t0)) U'1).
Матрица Xkj(t) имеет вид Xkj(t) = bkjxk(t), поэтому
C.5.30b) det (XI - X (t)) = П (X - xk (/)).
Это доказывает, чго собственные значения матрицы M(f,to)
совпадают с положениями полюсов, т. е. с Xu(t). При этом, за-
метив, что
N
~lndet(XI-X(t))\^x =
можно представить многополюсное решение уравнения Бенджа-
мина — Оно в виде
C.5.31) « = /-^-lndet(A-AfB/, 2Q)b=x-
О А
(Отметим, что в последней формуле мы изменили масштаб вре-
мени, чтобы полученное решение удовлетворяло уравнению
Б—О, записанному в виде C.5.1).) Итак, мы описали динамику
полюсов в решении уравнения Б—О. Эти решения представ-
ляют взаимодействия солитонов, что наводит на мысль о воз-
можности решения уравнения Б—О методом обратной задачи
рассеяния. Ниже в этом разделе мы кратко обсудим некоторые
результаты и опишем линейный аналог задачи рассеяния, свя-
занный с уравнением Б—О.
Для уравнения КдФ (см. [36])
C.5.32) ut + 6иих + иххх = 0
конечнополюсное решение имеет вид
N
C.5.33) и=-2У-, Цтстг.
1=1
Подстановка C.5.33) в C.5.32) дает
N
2
{х - xff
= 0.

3.5. Проблема Л' тел и нелинейные эволюционные уравнения 241
Используя разложение рациональных функций на простые
дроби или просто положив х = Х[ + е, е-> О и приравняв нулю
члены порядка ОA/е3), ОA/е2), мы получим
C.5.35а) */ 12
и дополнительную связь на расположение полюсов
(з.5.з5Ь)
Следует отметить, что это решение уравнения КдФ соответ-
ствует рациональному решению, найденному в разд. 3.4.
Продифференцировав C.3.35а), мы можем привести эту си-
стему к гамильтоновой форме задачи N тел:
C.5.36)
у — 1
\Ф1
(см., например, [ПО]). Заменив рациональные функции эллип-
тическими, разложение C.5.33) можно обобщить; при этом
N
C.5.37а) ^ = —12 X &{xi — xj),
N
C.5.37b) Y. &'(x,-xl) = 0,
\Ф1
где ^ — эллиптическая функция Вейерштрасса. Вычислив про-
изводную по времени, мы получим гамильтонову систему
N
C.5.38а) °х, = - A2J ? & (Х] - xt) ? (Xl - xt)
с гамильтонианом
C.5.38b) Я = ^ Z х* + "^ I I ^ (xi ~ xt).
Все предыдущие формулы для рациональных функций мо-
гут быть получены из соответствующих формул для эллипти-
ческих функций, если заменить &(х) на х~2 (т. е. устремить
оба периода эллиптических функций к бесконечности. — Перев.).

242 3. Различные перспективы
Теперь мы кратко обсудим результаты о разложении по по-
люсам (см. [448]) для промежуточного уравнения, описываю-
щего длинные гравитационные волны в стратифицированной
жидкости конечной глубины [246], [301, 302]. Буквой б обо-
значим параметр, характеризующий отношение глубины жид-
кости к длине волны. Уравнение движения будем записывать
в виде
C.5.39а) ut + 2иих + A + -т-J Т (ихх) = 0,
где
ОО
C.5.39Ь) Т (их) - } [ ~ cth n{x~l) + -^- sgn (jc -
Это уравнение можно также переписать в виде
ОО
C.5.40а) ut + 2uux+ (l -f x)w \ K{x— l)u{l)dl = 0,
— со
где
C.5.40b) ш Л
., l
Для волн на мелкой воде 6—*0, и уравнение C.5.39) или
C.5.40) переходит в уравнение КдФ
C.5.41) щ + 2иих + -i- uxxx = 0.
Для волн на глубокой воде б->°°, и в пределе получится урав-
нение Б—О:
C.5.42) щ + 2иих + Н {ихх) = 0
(Н(и) обозначает, как и раньше, преобразование Гильберта от
и). Задачу построения УУ-солитонных решений уравнения C.5.39)
рассматривали Джозеф и Эгри [247] и Чень, Ли [103]. Прежде
чем заняться разложением решений уравнений C.5.39), C.5.40)
по полюсам, мы перепишем их в билинейной форме (см.
разд. 3.3). В C.5.40), формально заменив k на —id/dx, полу-
чим следующее дифференциально-разностное уравнение:
C.5.43) щ + 2иих + -L (l
ux -

3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 243
Замена зависимой переменной
C.5.44) и 2/(l + -i-)sh (И -JL) -JL ш / (*) =
дх } (х — /6)
d*f () /( ±/6)J
d*f (*) = /(я ±/6)J позволяет привести уравнение C.5.43)
к билинейной форме
C.5.45) (j±- iDt + -|. ш, + #) /+ • Г = О,
где
C.5.46) /* = f (х ± 16),
а операторы D<, Dx определены в разд. 3.3 (см. C.3.4)).
При этих преобразованиях следует соблюдать определен-
ные предосторожности. Например, подстановка C.5.44) в
C.5.39) или C.5.40) приводит к C.5.45) только в том случае,
когда выполнено следующее условие.
Условие А. Функция f(x-\- 16) не имеет нулей в полосе
—26 < 1тд:<0.
Если выполнено условие А, го
Г I
J 26
-\) д
= --§r\nf(x +16) f (x -16) + const
(предполагается, что / ведет себя достаточно хорошо на беско-
нечности).
Для простейшего нетривиального солитонного решения
функцию f (x) можно представить в виде
C.5.47)
ku t|(i0) — произвольные параметры. Требование 0 < fe]6 < л
необходимо для выполнения условия А. Подставив C.5.47) в
C.5.44), получим
C.5.48а) и = A +1)
Решение C.5.48а) в пределе 6->-0 переходит, в решение урав-
нения КдФ
C.5.48Ь) и = ^ sech2! {kxx - ~ k\ji + т/,0'}'

244 3. Различные перспективы
При б -*¦ оо можно перейти к пределу, если одновременно устре-
мить k\ ->¦ 0. Положив 8k\ = л — k[/C\, C\ — вещественная по-
ложительная постоянная, получим рациональное решение урав-
нения Б—О:
Используя C.5.45), можно получить УУ-солитонное решение
уравнения C.5.39), но мы не будем здесь этим заниматься (см.
[447]).
Обсудим теперь динамические системы, описывающие дви-
жение полюсов промежуточного уравнения C.5.39). На прак-
тике более удобно пользоваться этим уравнением, представлен-
ным в билинейной форме C.5.45). Предполагаем, что
v
f(x) = R(x-xl(t)), |Im*,|>6,
т. е.
U= —
(х-х (t)
- i6) J
(потребуем |1тл'/1>б, чтобы удовлетворить условию А). Под-
ставив f(x) в C.5.45), получим
Воспользовавшись разложением на простые дроби, это соотно-
шение можно переписать в виде
из которого немедленно получим
C.5.49а) ?. + 4A+в) У
C.5.49b) \ + 4 A + 6)

3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 245
для /= 1, ..., N. Складывая C.5.49а, Ь), получим
C.5.50а) ;. + 4A + 6
+462=О;
вычитание дает
N
C.5.50Ь) У . гтт-^ ,,,¦„, =0-
V ? (xk ~ xi) ((xk - xi) + 45)
*; =*& /
Система C.5.50) представляет собой динамическую систему со
связями. При б -> 0 мы получим динамическую систему, соот-
ветствующую уравнению КдФ C.5.35):
C.5.51а) °х, + 4 ? (xk-Xj)-z = 0,
к ф I
C.5.51b) Z (xk-Xi)-3=0.
к ^= I
Отличие в коэффициентах связано с разным выбором масшта-
бов времени в уравнениях C.5.52) и C.5.41) (/ в C.5.41) сле-
дует заменить на 3^).
При 6->оо обозначим xj = xj — ib для /=1, 2, ..., М
(здесь Im xt > 6, поэтому xt лежат в верхней полуплоскости)
и X/ = х} + /6 для / = М + 1, М -\- 2, . . ., N (здесь Im x-t < — б,
поэтому X/ лежат в нижней полуплоскости).
При 6->оо получим
м n
C.5.52а) ^1= X >-- ? -» при /=1,2 М,
к=,\ к I к=М+1 к '
к ф I
М N
sH/ = Zvb;- Z iT^r при / = Af+l, ..., УУ
C.5.52b)
— динамическую систему без связей. Если N = 2M и xj = .^j
для /=1, ••¦, М, то получим систему
м м
C.5.53) +lt У '
2'

246 3. Различные перспективы
которая после комплексного сопряжения и переобозначения со-
впадает с C.5.9) (отметим, что в C.5.53) точки х,-, /= 1, ..., М,
лежат в верхней полуплоскости, а в C.5.9) точки х-, лежат в
нижней полуплоскости).
Вычислив производную по времени от C.5.52) (после про-
стых алгебраических вычислений, использующих тождества,
аналогичные C.5.7)), получим
м
C.5.54а) J?y = 8 Z (*/-**)"* при /= 1, 2, ..., М,
C.5.54b) ?, = 8 Z (Л, — Л*)~3 при / = М+1, ..., N.
к = М+1
к ф !
Следует отметить, что в этом пределе (8->оо) функции /+,
f- имеют следующие разложения по полюсам: /+ == Ltf», (х — х,),
f- = П^=Л1+1 (х — Xj). В результате вычислений мы получили
систему C.5.54), показывающую, что полюсы в верхней полу-
плоскости не влияют на движение полюсов в нижней полупло-
скости, и наоборот.
Для уравнения C.5.39) можно построить преобразование
Бэклунда и аналог преобразования Миуры [448, 449]. Обозна-
чив Wx = и, перепишем C.5.39) в виде
C.5.55)
Преобразование Бэклунда имеет вид
(W + W')x = \ + iT (W— W)x — /б (W - W)
C.5.56a)
+ / (l + i) (W - W)xx - i(W - W)x T (W - W)x +
C.5.56b) + /б (W - W) (W - W)x,
где X, \x — произвольные параметры. Если W удовлетворяет
C.5.55), то и W, определенное по C.5.56), также удовлетво-
ряет C.5.55). Обозначив V = W — W (и использовав Wx — u),
можно переписать C.5.56) и получить обобщение преобразо-
вания Миуры:
C.5.57а) Vx + 2u = h + IT (Vx) - i&~lV + це'»'Wi+в),
C.5.57b)

3.5, Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 247
Подставив Vx + 2и из C.5.57а) в правую часть C.5.57Ь), полу-
чим модифицированное уравнение внутренних волн
Vt + Wx + (l+\)T (Vxx) + {\iel W>+6>" + IT (Vx) - { V}VX=O,
C.5.58)
имеющее то же дисперсионное соотношение, что и промежуточ-
ное уравнение C.5.39). Другой способ —разрешить C.5.57а)
относительно и и воспользоваться тождеством
Т (Vx) Т (Vxx) - VXVXX - Т (VXT (Vx))x = б (VT (Vxx) - Т (VVX)).
C.5.59)
Тогда (прямо из C.5.39)) получим
щ + 2иих + Т (ихх) = [-i i А Т • - и"' + ц/-^ et F/1+6, к _
C.5.60) + {цв1 <6/1+б» " + IT (Vx) -jV] Vx].
Таким образом, уравнение C.5.58) играет ту же роль для про-
межуточного уравнения C.5.39), какую модифицированное урав-
нение КдФ играет по отношению к уравнению КдФ-
Наложив условие V(±°°) = 0 и воспользовавшись равен-
fT(f)dx = O, получим, что -т-т- \ Vdx = 0. Это оз-
начает, что уравнение C.5.39) имеет бесконечную серию зако-
нов сохранения. Подставляя V = —гA + 1/6) (% + 1п(—Х/ц)
в C.5.57а), получим
C.5.61)
Подставив % в виДе разложения х=ХГ^~"^п ПРИ ^°° и
приравняв в C.5.61) коэффициенты при одинаковых степенях
X, получим рекуррентную формулу для определения %„.
Функции %„, как нетрудно понять, являются плотностями ин-
тегралов движения уравнения C.5.39). Первые четыре %п имеют
вид
( +|)f иТих,

248 3. Различные перспективы
Плотности %п в пределе 6-^0 переходят в плотности интегра-
лов движения для уравнения КдФ, а при б -*- оо — соответ-
ственно для Б—О.
Формальную линейную задачу можно получить, определив
C.5.62а) in-?! = ,¦_*_ у,
C.5.62b) (In ф+ф-), = ^ [- Т (Vx) + б-'У].
В пределе б ->- оо при подходящем V это эквивалентно рас-
щеплению функции V на функции, аналитически продолжаемые
в верхнюю (—) и нижнюю (+) полуплоскости, так как In ф* =
= ±(i + H)V. Подстановка C.5.62) в C.5.57а) дает
C.5.63)
Оператор, определяющий эволюцию по времени, также можно
найти, см. [449].
¦ При б-»0, полагая V = 2 A + б)(inф)х, к = (\ + 1/6) А: cos/гб,
ц = A-|-l/6)fe/sin (&6) и переходя к пределу, получим, что
C.5.63) переходит в задачу рассеяния для оператора Шрёдин-
гера
C.5.64) Ф
а при б-> оо получим
C.5.65) ^-
Уравнения C.5.63, 65) представляют собой задачи Рима-
на — Гильберта. Для конечного б функции ф* являются
граничными значениями функций, аналитических в полосах
(+; — 26<1тл:<0), (—; 0<Imx<26) и периодически
продолженных. Недавно эти линейные задачи позволили при-
менить МОЗР для построения точных решений рассматривае-
мых уравнений (см. [284]). В этом же направлении были сде-
ланы работы Накамуры [393] и Бока, Краскала [68].
3.6. Прямые методы, использующие линейное интегральное
уравнение. В предыдущих разделах была установлена связь
между нелинейными эволюционными уравнениями и линейным
интегральным уравнением (уравнение типа Гельфанда, Леви-
тана, Марченко). В этом разделе мы обсудим схему вывода
эволюционных уравнений непосредственно из линейного инте-
грального уравнения. Эгот вывод применим как в случае урав-
нений в частных производных, так и для обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений (см. также разд. 3.7). Нам нужно потре-
бовать лишь достаточно быстрого убывания решений на одной из

3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 249
бесконечностей (например) при x-voo, с тем чтобы интеграль-
ные операторы были определены. Следует, однако, отметить,
что в общем случае решения, достаточно быстро убывающие
на x-v+oo, могут иметь особенности в конечных точках, либо
неограниченно расти при х-> оо, либо медленно убывать при
х-*-—оо. Во всех этих случаях классический анализ, основан-
ный на аналитических свойствах функций Йоста, неприменим,
так как при этом требуется «хорошее» поведение потенциала
на всей прямой (см., например, [152], [136]). Благодаря этой
свободе класс решений, который может быть получен прямым
методом, гораздо шире возможностей МОЗР. Например, таким
образом можно описывать автомодельные решения, подчиняю-
щиеся обыкновенным дифференциальным уравнениям, связан-
ным с рассматриваемыми эволюционными уравнениями.
Этот метод впервые использовался для нелинейных эволю-
ционных уравнений Захаровым и Шабатом A974) [546] (см.
также [459]). Блазек [66] и Корний [117] использовали ана-
логичные идеи применительно к обратной задаче рассеяния;
Корний [119, 120] получил ряд дальнейших результатов, при-
меняя их для решения нелинейных эволюционных уравнений.
В этом разделе мы будем следовать изложению Абловица, Ра-
мани и Сигура [23]; затем обсудим работу Захарова и Шабата
[546], основанную на несколько другой точке зрения.
Рассмотрим линейное интегральное уравнение
оо
C.6.1) К(х, у) = F(х, у) + J К (х, г) N (х; z, у) dz, y^x.
X
Кроме явно указанных аргументов (л;, у, z), функции F, N, К
в C.6.1) могут зависеть от других параметров (/, X, ...). Про-
изводные по этим параметрам могу г появиться в дифференци-
альных уравнениях, которым удовлетворяют F, К, но уравне-
ние C.6.1) следует рассматривать при фиксированных значе-
ниях этих дополнительных параметров.
В каждом конкретном случае функция N явно выражается
через F. Например:
(A) N (х; z, y) = F (z, у) (уравнение КдФ, высшие КдФ, Бус-
синеска, Кадомцева — Петвиашвили ...)
оо
(Б) N (х; z, у) = ± \ F (z, s) F (.<;, у) ds (уравнения мКдФ, высшие
х мКдФ, sin-Гордон...)
оо
(B) N (х; z, у) = ± \ F' (z, s) F (s, y) ds (нелинейное уравнение
х Шрёдингера, связанные
с ним высшие уравнения...)

250 3. Различные перспективы
При обычном подходе функция F строится по известным
данным рассеяния, полученным из решения «прямой задачи рас-
сеяния»; при этом рассеивающий потенциал и(х) восстанавли-
вается по функции К (например, и(х) = К (х, х), или и(х) =
— (d/dx)K(x, x)). Здесь мы отвлечемся от подобной интерпре-
тации, а вместо этого потребуем, чтобы функция F удовлетво-
ряла некоторому (обыкновенному или в частных производных)
линейному дифференциальному уравнению.
Определим оператор Лх:
C.6.2)
\>f(z)N(x;z,y)dz; y>x,
X
0 ; у < х.
Предположим, что при каждом конкретном выборе N можно
доказать обратимость оператора (/—Ах). Точнее говоря, при
достаточно больших х имеется пространство функций, на кото-
ром оператор (/— Ах) обратим, а оператор (/ — Ах)~х непре-
рывен. Кроме того, мы предположим, что оператор, полученный
из C.6.2) дифференцированием по х или у, также определен на
этом функциональном пространстве. Можно показать, что эти
ограничения выполняются во многих задачах (см., например,
[23]).
Учитывая эти предположения и тот факт, что функция F
подчиняется некоторому линейному дифференциальному урав-
нению, мы покажем в этом разделе, что (определенная выше)
функция и(х) подчиняется нелинейному дифференциальному
уравнению. Мы будем говорить, что это нелинейное уравнение
решается методом обратной задачи рассеяния,хотя связи с пря-
мой задачей рассеяния устанавливаться не будет.
Схематически этот подход можно сформулировать следую-
щим образом.
(i) Функция F удовлетворяет двум линейным дифференци-
альным обыкновенным (или в частных производных) уравне-
ниям
C.6.3) L,F = 0, /—1, 2.
(ii) Функция К связана с F уравнением C.6.1), которое мы
можем переписать в виде
C.6.1') (I-AX)K = F.
(in) Действуя операторами Li, i = l, 2, на это уравнение,
получим
C.6.4) М/-Л.Ж = 0, /=1,2.

3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 251
Это можно переписать в виде
C.6.5) (I-Ax)(LtK) = Rt, /=1, 2,
где Ri, i=l,2 содержит все остальные члены C.6.5). При этом
C.6.1) и C.6.3) выбраны таким образом, что Ri можно пред-
ставить в виде
C.6.6) Rt = (I-Ax)M,(K), /=1,2,
где Mi (К)— нелинейный функционал от К-
(iv) Таким образом,
(/ - Л,) [ЦК - Mt (К)] = О, /=1,2.
Но оператор / — Ах обратим, поэтому функция К должна удов^
летворять нелинейным дифференциальным уравнениям
C.6.7) LiK-Mi(K) = 0, i=l, 2.
Следовательно, каждое решение линейного интегрального урав-
нения C.6.1) служит также решением нелинейного дифферен-
циального уравнения C.6.7).
Основными составными частями этого подхода являются ли-
нейное интегральное уравнение C.6.1) и два линейных диффе-
ренциальных оператора Li, i=l, 2. Два линейных оператора
отвечают линейной задаче рассеяния (скажем, при i = 1) и
эволюции волновых функций по времени (скажем, при г = 2).
Для того чтобы этот метод действительно работал, следует
определить класс допустимых операторов Li, i= I, 2. Принци-
пиальное значение имеет оператор L\, связанный с задачей рас-
сеяния. Мы сочли удобным составить «словарик» для членов,
которые могут появляться в правой части уравнения C.6.5)
(т. е. из чего состоит Ri). В каждом конкретном случае это
позволяет редуцировать уравнение C.6.7) при i = 2 до нели-
нейного дифференциального уравнения вдоль линии у = х. На-
конец, отметим, что: (i) функция К, являющаяся решением урав-
нения C.6.1), достаточное число раз дифференцируема, поэтому
существует LiK; (ii) уравнение L^F = 0 может быть либо урав-
нением в частных производных, содержащим зависимость от
времени, либо соответствовать автомодельной подстановке (см.
[23]).
Обсудим два типичных примера, а именно уравнения КдФ
и мКдФ. Мы начнем с интегрального уравнения
со
C.6.8) К (х, y) = F{x,y)+\K (x, z) F (z, y) dz

252 3. Различные перспективы
(т. е. C.6.1), случай А). Начнем с составления «словарика»
тождеств, которые в дальнейшем нам понадобятся.
C.6.9а) дпх j К (х, z) F (z, y)dz=\dzF (z, у) (дпхК (х, z)) + Ап,
X X
оо Г сю 
дЛ~] \ * (*> г)F(z> y)dz = dx\\F (z, у)djj-'/C (x, z) dz + An_x .
C.6.9b)
Интегрирование по частям с последующим приравниванием
C.6.9а) и C.6.9Ь) дает
C.6.9с) An = Ап-хх - F {х, у) [дТ'К (х, г)]г-х>
причем
C.6.9d) Al = -K(x,x)F(x,y),
C.6.9е) А3 = --^(К {х, х) F (х, у)) - F {х, у) [дхК (х, z)]z=x,
C.6.9f) A3 = -(-^)\k(x,x)F{x, y))-
--^(F (х, у) [дхК (х, г)]г-х) - F (х, у) [д\К (х, г)\г_х,
где (djdx) К (х, х) = (дхК (х, z) + dzK (х, г))г-х.
Аналогично, интегрируя по частям, получим
К (х, z)&tF (z, y)dz = {-l)»\F (z, у) dlK (x, z) dz + Bn,
C.6.10a)
при этом
C.6.10b) Bl = -K(x,x)F(x,y),
C.6.10c) B2 = -K{x, x)(dxF(x, у)) + {дгК(х, z))z=xF(x, y),
B3=-K(x, x) d\F(x, у) + дК(? г) \^zdKF(x, y) -
C.6.lOd) - {d;K {x, z))z=xF (x, y).

3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 253
Поэтому
C.6.11а) Л,-В1 = 0,
C.6.lib) Л2 — В2 = — 2F(х, у)дхК(х, х),
C.6.11с) А3 - В3 = - 3dxF (x, У)-^К (х, х) -
Теперь мы введем оператор L\ и потребуем, чтобы функция
F удовлетворяла уравнению
C.6.12) L,F^{d\-d2y)F{x,y) = Q.
Подействуем оператором L\ на C.6.8); в результате получим
СО 00
= \ F (г, у) д\К (х, z) dz + Л2 - \к (х, z) Fyy (z, у) dz.
X X
Соотношения C.6.12) и C.6.11) дают
оо
(д\ - ду) K{x,y)=\F (x, z) (д\ - д\) К (х, z) dz -
C.6.13) -2F(x,y)-^K(x,x).
Воспользовавшись уравнением F =(/ — ЛХ)К, перепишем
C.6.13) в виде
C.6.14) (/- Ах) {(д2х-д2у) К(х, у) + 2[±-К (х, х)]К(х, у)} = 0.
Из обратимости оператора (/ — Ах) следует
C.6.15а) {д\ - ду) К (х, у) + и (х) К (х, у) = 0;
функция и{х) определена равенством
C.6.15Ь) и(х) = 2-?-К(х,х).
Таким образом, если функция F удовлетворяет уравнению
C.6.12), а К является решением уравнения C.6.8), то функция
К, удовлетворяет нелинейному уравнению C.6.15). Если в

254 3. Различные перспективы
C.6.15) подставить К{х, у)= $(х, k)elky, то получим
C.6.15с) Ухх + (к2 + и)Ц = 0,
т. е. уравнение Шрёдингера.
Рассмотрим теперь второй интегральный оператор, дей-
ствующий на F, и потребуем, чтобы функция F удовлетворяла
уравнению
C.6.16) L2F = (dt + (дх + ду?) F = 0.
Подействовав оператором L% на C.6.8), получим
со
(dt + (дх + dyf) К (х, у) = {dt + (дх + ду?) \ К (х, z) F (z, у) dz.
C.6.17)
В правой части уравнения C.6.17) имеется член
/ = J К (х, z) Ft (z, у) dz + (дх + dyf J К (х, z) F {г, у) dz =
C.6.18а)
оо оо
= - J К (х, z) (дг + ду? F (z, у) dz + (дх + dyf \ К (х, z) F {г, у) dz,
X X
C.6.18b)
который мы представим в виде
C.6.18с) I = h + I2 + h-
Первый вклад 1Х имеет вид (аргументы подразумеваются)
оо оо
C.6.18d) /, = dl J KF dz - J KdlF dz;
X X
используя C.6.10), получим
C.6.18e) /i
Для /2 имеем
/2 = 3dldy J KF dz - 3 J KdldyF dz
C.6.18f) = 3 J (dlK - dlK) Fy dz + 3dy (A* - B2) =»
X
C.6.18g) = - Зм^ (K(x,y)-F(x, y)) + 3d^ (Л2 - B2);

3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 255
SCO
KF dz -—
X
= К — F. И наконец, для /3 имеем
C.6.18h) /3 = Здхд2ц J KF dz — 3
3
X X
8
= [3 (Кхг + /Сгг) F - 3 (Кх + Кг) Fx]z=x +
оо
C.6.180 + 3 J ((<&Э, + dl) К) F dz.
X
В итоге, воспользовавшись соотношением Кгг = Кхх + м/( в по-
следнем члене C.6.18i), получим
= Л + /2 + /з = 5 ((dx + dzfK)Fdz + A3 -B3- 3udy(K-F) +
X
+ Ъду (А2 - В2) + [3(К„ + Кгг)F-
оо
+ Зц ^ /СгР dz.
Теперь уравнение C.6.17) принимает вид
% + (дх + ду? + Зиду) К = J (/С, + (д, + 5гK ^С + ЪиКг) Fdz + T,
C.6.19а)
где
Г = (А3 - В3) + Зду (Л2 - В2) + 3uFy +
C.6.19b)
+ 3 [{Кхг + Kzz) F-(KX+ Кг) Fx]g-x.

256 3. Различные перспективы
Подставив значение Л3 — В3у А2 — В2 и воспользовавшись
C.6.15), C.6.8), получим
Т = Зи (х) К (х, х) F (х, у) - 3u (x) Fx (x, у) =
= - Зи (х) Кх (х, у) + Зи (х) J Кх (х, 2) F (z, у) dz.
х
Это позволяет привести уравнение C.6.19а) к виду
C.6.20а) (/ - Ах) {(dt + (дх + ду? + Зи (дх + ду)) К (х, у)} = 0.
Таким образом,
C.6.20b) Kt + (дх + dyf К + Зи (дх + ду)К = 0.
На характеристике у — х уравнение C.6.20Ь) (предварительно
продифференцировав) можно переписать в терминах и =
— 2(d/dx)K(x,x); в результате получим уравнение КдФ:
Таким образом, любая функция F, удовлетворяющая уравне-
ниям C.6.12), C.6.16) и быстро убывающая при x-v+oo, по-
рождает решение уравнения КдФ. Задача сводится к решению
линейного интегрального уравнения C.6.8); при этом нет необ-
ходимости связывать функцию F с какой-либо задачей рассея-
ния.
В качестве второго примера мы рассмотрим линейное интег-
ральное уравнение
ОО 00
C.6.21) K{x,y) = F{x,y) + ^\ \K(x,z)F(z,u)F(u,y)dzdu
X X
(а = ±1; множитель 1/4 выбран для удобства). Рассмотрим
оператор L\.
C.6.22а) LXF = (дх - ду) F = 0;
поэтому
C.6.22b) F(x,y) = ±
(множитель 1/2 снова выбран из соображений удобства). Вос-
пользовавшись C.6.22Ь) и сдвинув нижний предел интегриро-
вания в нуль, перепишем C.6.21) в виде
о с
C.6.23а) X(

3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 257
ИЛИ
C.6.23b) [{I-o
где оператор Ах определяется следующим образом:
C.6.24) AJ (у) = 1 ] ] f ft) F (^±i) F
о о
Удобно определить
ОО
D.6.25) *2 (*, z)=\k(x,x
о
При этом легко показать, что
C.6.26) (/ - аАх) К2 (х, z) =
о
и интегральное уравнение C.6.23а) можно переписать в виде
C.6.27)
Подействовав на него оператором L\ =(дх~ ду), получим
(дх-ду)К(х, У) = -т\ [№ +д2) К2(х, x + n))
о
C.6.28)
где д\ и <?2 являются производными по первому и второму аргу-
ментам функции К. Подействовав оператором (дх + дг) на
C.6.25), получим
д
г)К2(х, z) = J {(а, + д2)K(x,x
C.6.29)
= \ № - д2)К(х, x + 0]F (X + \+Z) dt - 2К (х, х) F
о
Подставив C.6.28) в C.6.29), мы видим, что
(/ - оАх) (дх + дг) К2 (х, z) = -2K (х, х) F
*=-2К(х,х)A-оАх)К{х,г).
9 Зак. 114

258 3. Различные перспективы
Аналогично подстановка C.6.29) в C.6.28) ведег к
со
(/ - оАх)(дх - д„)К(х,у) = -\К(х, х) \ F (^з^) X
о
Отметим, что оператор Ах коммутирует с оператором умно-
жения на функции, зависящие только от х. Поэтому если опе-
ратор (/ — оАх) обратим, то мы доказали, что
{дх + ду) К2 {х, у) = — Щ {х, х) К (х, у),
C.6.30)
(дх — ду) К(х, у) — —к-К (х, х) К2 (х, у)-
Этих результатов следовало ожидать из метода обратной за-
дачи (ср. с A.3.19)). Однако при их выводе мы воспользова-
лись только обратимостью оператора (/ — оАх), а это требова-
ние значительно слабее, чем условия, накладываемые при обыч-
ном аналитическом подходе. Положив К(х, у)= v\{x)e%y,
Къ{х,*/) = V2(x)e~'^y, мы получим для v\, v% систему уравнений
A.2.7а).
Теперь подействуем на C.6.23а) оператором
(dx + dy)K(x,y) = F' +
+ -J \\к(х,х + $(дх + ду)[р
о о
C.6.31)
о о
Но
C.6.32)

3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 259
Интегрирование по ti в C.6.32) ведет к
(
^ о
о
к <*• * + s)F Bх + 0 di)F (* + у) =
(Дс, *) (/ - оАх) К (х, у),
т. е.
F, A+JL} = (/ _ оАх) \{дх + д„) К (х, у) + ^-К2 (х, х) К (х, у)}.
C.6.33)
Это «словарик», нужный для нашей задачи.
На последнем этапе мы воспользуемся тем фактом, что
функция F удовлетворяет еще одному линейному уравнению:
C.6.34) L2F = (
Подействовав оператором Li на уравнение C.6.23а), получим
{dt + (dx + dy?}K(x,y) =
оо
= 0 + -J- {dt + (дх + дуK} \K(x,x + QF Bх+? + Г]) X
о
C.6.35) X (
Когда мы будем производить дифференцирование под знаком
интеграла в правой части уравнения C.6.35), количество чле-
нов будет увеличиваться, но некоторые члены взаимно уничто-
жаются. Например, воспользовавшись C.6.34), получим
{dt + (дх + дуП
Уравнение C.6.35) можно переписать в виде
(I - оа,) {а, + (а, + d,f) к {х, у) =
C.6.36)
9*

260 3. Различные перспективы
Но из C.6.30) следует, что
дхК2(х,х) = -2К(х,х)
и
о
== дх \{дх — ду) К2 (х, у)]у=х =
= [(дх + ду) (дх - ду) Кг (х, у)]у~х =
= {дх - дв) {- 2/С (х, х) К (х, у)}у=х =
= - 2 [дхК (х, х)] К (х, х) + аК2 (х, х) К2 (х, х).
При этом мы воспользовались соотношением
оо
(дх ~ ду) К2 (х, у) == \ (д, + д2) К (х, x + QF
Теперь из вспомогательных соотношений C.6.23), C.6.33), об-
ратимости оператора (/ — оАх) и равенства C.6.36) следует,
что (при у ^ х)
{dt + (дх + дуK} К (х, у) = ЗаК (х, х) К (х, у) дхК(х,х) +
C.6.37)
Если определить
C.6.38) q(x,t) = K(x,x;()
и взять C.6.37) при у = х, то получим
C.6.39) dtq + d\q = 6а<72<7,,
т. е. q удовлетворяет модифицированному уравнению Корте-
вега — де Фриза.
Таким образом, каждое решение уравнений LiF = 0, i = 1,2,
убывающее достаточно быстро при jc-»-oo, определяет решение
уравнения C.6.39) (при этом на промежуточном этапе следует
решить линейное интегральное уравнение C.6.21)). Никаких
глобальных свойств (на всей оси —со < х < оо) не требуется.
Интересным частным случаем является построение автомодель-
ных F и К:
К(х,у,1) = №-113КA,Ч), F
C.6.40)
ГДе

3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 261
Подставив это представление в C.6.23), убедимся, что R удов-
летворяет уравнению такого же вида:
C.6.41) кA,ч) =
Подстановка C.6.40) в C.6.34) дает уравнение
которое можно один раз проинтегрировать:
C.6.42) F"(t)-tF(l) = Cl.
Если С\ = 0, то решение, убывающее при |->-оо, пропорцио-
нально функции Эйри:
C.6.43)
При этом функция Q(h)= R(h,, g) должна быть автомодель-
ным решением уравнения C.6.38), т. е.
Это уравнение также можно один раз проинтегрировать:
C.6.44) Q" = tQ
Обыкновенное дифференциальное уравнение C.6.44) представ-
ляет собой уравнение Пенлеве (Рп).
Мы показали, что каждому решению линейного интеграль-
ного уравнения C.6.41) с ядром Р, удовлетворяющим уравне-
нию C.6.42), отвечает решение уравнения C.6.44). В частности,
при С\ = О из C.6.41) следует, что функция Q(?) экспонен-
циально убывает при ?->оо; таким образом, С2 в C.6.44)
также равно нулю, и
C.6.45) Q" == IQ + 2<jQ3.
Однопараметрическое семейство решений этого уравнения мож-
но построить, решив линейное интегральное уравнение
C.6.46) ' [/ - аг%] К (I, ц; г) = г Ai
где
C.6.47) ЛУ A) = М(/ @ Ai (Ц±) Ai

262 3. Различные перспективы
при этом Q(l,r) = R(ll,r). Эти результаты впервые были по-
лучены Абловицем и Сигуром A977) [27]. В разд. 3.7 мы более
подробно обсудим свойства уравнения Рц.
Перейдем теперь к обсуждению предшествующей конструк-
ции Захарова — Шабата [546], ограничившись частным при-
мером уравнения Кадомцева — Петвиашвили. Уравнение C.6.8)
удобно переписать в виде
К (х, г\ у, 0 + F (х, г; у, t) + ^К {х, s; у, 1) F (s, z; у, i) ds = 0.
C.6.48)
Вначале мы перечислим результаты для уравнения Кадомце-
ва— Петвиашвили (К—П), а затем обсудим конструкцию За-
харова— Шабата (несколько отличающуюся от вышеописан-
ной).
Если мы потребуем, чтобы функция F удовлетворяла двум
линейным уравнениям
C.6
C.6
.49a)
.49b)
7 V Q V
L,\r = pr *,
L2F = aFt
, + Fxx-
"Г г xxx ~
-Fzz--
hFzzz
= 0,
= 0,
и будем следовать уже описанному рецепту или рецепту, кото-
рый будет обсуждаться чуть ниже, мы обнаружим, что и =
= 2(d/dx)K(x, х) удовлетворяет уравнению К—П (см. также
разд. 2.1, 3.3, 3.4)
C.6.50а) дх (ащ + -1 (иххх + 6иих)) = -1 р2«№
или при а = 1/4
C.6.50Ь) дх (щ + Ьиих + иххх) = - 3PV-
Теперь мы выведем уравнение C.6.50), используя оператор-
ный формализм Захарова — Шабата. Все операторы обозна-
чаются буквами, снабженными крышкой (т. е. К — оператор,
К — функция, возможно матричная). В операторных обозначе-
ниях линейное интегральное уравнение записывается в факто-
ризованном виде
C.6.51) A + ?+)A+/?) = A + ?-).
где К±, Р — матричные (N X N) операторы, действующие на
(векторнозначные) функции i|) = {г|зь .. ., г|з,\}г и
C.6.52) ft=

3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 263
(F — N X N-матричная функция). Здесь R± являются вольтер-
ровскими операторами, К+(х, г) = 0 при z < х, К-(х, г) = О
при z > х. Предполагается, что операторы A + К±) обратимы.
Действуя соотношением C.6.51) на г|з, получим
оо
C.6.53а) К+ (х, z) + F (х, г) + J К+ (х, s) F (s, z) ds,
C.6.53b) K-(x,z) = F(x,s)+ J K-(x,s)F(s,z)ds.
Отметим, что уравнение C.6.53а) совпадает с C.6.48) (зависи-
мость от вспомогательных переменных у, t подразумевается).
Пусть далее определены некоторые «невозмущенные» опера-
торы УЙо, i, i = 1,2, удовлетворяющие соотношению
C.6.54) [Мо, „ F] = Мо, tF - Fj%, i = 0.
Так, например, если Mt) = d2x, то C.6.54) означает, что
что дает уравнение (д2х — E|)F = 0. Эти «невозмущенные» опе-
раторы порождают «возмущенные» операторы ЛЯ/, i = 1, 2, по
следующему правилу:
C.6.55) Ml(l+R+)-(l+K+)Mo.i = O, г = 1, 2.
Оператор Л^о имеет вид
Мо = adt + $ду + U, Lo = 2 /„<Э2
(/л — постоянные матрицы). Уравнение C.6.55) приводит к опе-
ратору
[ — adt + рд„ + L, L = 2I I Ldnx + Z ^& (x) C"
коэффициенты Vk{x) которого определяются рекуррентно, и
уравнению на К+ следующего вида:
C.6.56а) adtK+ + №„К+ + LK+ + E (-l)n~ldiK+ln^O
(это аналог уравнения C.6.7)). Например, если а=р = О,
Lo = <5| (скалярный оператор), то V, = 0, V2 = 2(d/dx)K{x, x) =
— и(х), т. е. L = d\-\-u, и К+ удовлетворяет уравнению
(>1 )

264 3. Различные перспективы
Теперь из условия C.6.54) и интегрального уравнения C.6.51)
следует
C.6.57) М A + К.) - A + К.) Щ = М A + К+) A+П-
При z ~> х левая часть этого равенства обращается в нуль, по-
этому должно выполняться соотношение C.6.55). Предположим,
что
причем [Л?о,;. ?] = 0, i=l, 2. Из C.6.57) следует, что
М,A + К+) = A+К+)Мо,„ /=1,2.
Умножим первое уравнение (i = 1) слева на /й2 и вычтем из
него второе уравнение (t = 2), умноженное слева на УЙь В ре-
зультате получим
C.6.58а) [Ми М2] = 0,
или
C.6.58b) adtU - ра„1, + [?„ Г2] = О,
или
C.6.58с) Lsipdj, + L2, -^-^Л, 1г = [1, Л].
Соотношение C.6.58) представляет собой нелинейное эволю-
ционное уравнение, интегрируемое с помощью линейного инте-
грального уравнения. В C.6.58Ь) видна зависимость от дополни-
тельной переменной у, а C.6.58с) является представлением Лак-
са для этого эволюционного уравнения.
В случае уравнения К—П пара линейных операторов имеет
вид
C.6.59а) Mo, i = adt + dl,
C.6.59b) Л?о,2=Р^ + Й.
Из C.6.54) следует, что ядро интегрального оператора подчи<
няется уравнениям
C.6.60а)
C.6.60b)

3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 265
«Возмущенные» операторы при этом имеют вид
C.6.61а) Ml==adt + Ll,
C.6.61b) ЛГ2=рд, + ?2,
где
C.6.61с) U=d\ + ^{udx + dxu) + w,
C.6.6 Id) ?2 = д1 + и
(отметим, что дхи = идх + их) и u = 2(d/dx)K(x, х),
w^±-?-((dx- дг) К(х,г) \z=x + (K(x, х)J).
Можно проверить, что
C.6.62) [L2, U = дххю + хюдх -1 (иххх + 6ии«).
Поэтому операторное равенство C.6.58Ь) приводит к (операто-
ром следует подействовать на функцию ^ и приравнять нулю ко-
эффициенты При 1|) И 1|>л;)
C.6.63) aut + j(«ллл + Ъиих) = ра»„, wx = -\ $uy.
Это уравнение сводится к уравнению К—П C.6.50). Если поло-
жить а = 1/4, то L-, Л-операторы в C.6.58с) принимают вид
C.6.64а) L = dl + u+№y,
C.6.64b) A = Adi + 3 (шЭ* + <Э^ы) - Зр
Мы предлагаем читателю сравнить этот метод с другими под-
ходами, обсуждавшимися в разд. 2.1 (см. также [141], [8]).
Описанный метод является чрезвычайно мощным, он одно-
временно дает и решения, и L-, Л-пары. Пара операторов C.6.64)
лежит в основании работы Захарова, Манакова [537], посвя-
щенной развитию метода обратной задачи рассеяния для урав-
нения К—П (см. также [528]).
Следует отметить, что не зависящие от времени решения ура-
внения C.6.63) подчиняются уравнению Буссинеска
C.6.65) ихххх + 6 (иих)х + Ърииу = 0.
С другой стороны, если отсутствует зависимость от у, то мы по-
лучаем обычное уравнение КдФ, продифференцированное по х.
Частные решения можно строить с помощью линейного инте-

266 3. Различные перспективы
трального уравнения. Предположим, что
C.6.66) F=Y,Mn (/, у) е-**х-**г;
п
тогда из C.6.60) следует, что
C.6.67) Мп (/, у) = Мп @) ехр {(ч1 - и«) г/ + (*3„ + Л*) /}.
Подставив К (х, z) = ]?„ /*С„ (х) е-т1"г в интегральное уравнение
C.6.48), получим систему линейных алгебраических уравнений
C.6.68) Кп (х) + Мпе-"пх + М
из которой следует, что потенциал и{х) = -\-2(d/dx)K(x, x)
можно представить в виде
u = 2-j-^\n Д,
C'6"°9) А = det (Мп6пт + Мп ^(-(*« + Х]т)Х)) ¦
Эта формула совпадает с результатом разд. 3.3, полученным
Сатсумой [445]. Она описывает взаимодействующие плоские со-
литоны, расположенные под углом к оси х (в ней содержится
также резонансный случай, рассмотренный Майлзом [375, 376]
(см. также [397]). При а— 1/4, р2 = —1 в работе Манакова
и др. [350] было показано, что в пределе формула C.6.69) дает
лампы — двумерные солитоны, убывающие во всех направлениях
как l/R2 (R2 = х2 + У2) при R->-oo (см. также разд. 3.4):
C.6.70а) u = 2d2x\ndetB,
где 2N X 2ЛЛматрица В имеет вид
C.6.70Ь) В = 6пт(х - lvпУ -ln- Wni) + A - Ьпт) (-^-) .
Асимптотически это решение представляет собой набор невза-
имодействующих лампов, двигающихся со скоростями V'х =
= 3|vn|2, Vy = — 6Imvn. В результате взаимодействия ника-
кого сдвига фаз не происходит.
Захаров и Шабат в работе [546] обсуждают также и другие
решения. Кроме того, они показали, каким образом эти методы
можно применить для решения следующей задачи о трехволно-
вом взаимодействии в трехмерном пространстве:

3.7, Трансценденты Пенлеве 267
Эти идеи были обобщены в работе Захарова [528] и затем Кор-
ния [120]. Решение этой системы уравнений в классе функ-
ций, убывающих достаточно быстро при \х\, \у\ -> оо, были по-
строены Каупом [265] с помощью метода обратной задачи рас-
сеяния.
Наконец, отметим, что этот метод позволяет описывать ко-
нечные возмущения частных решений интегрируемых уравне-
ний. Пусть uo(x,t)— некоторое частное решение интегрируемого
уравнения (например, КдФ); тогда его возмущение v(x,t)
(и(х, t) = uo(x, 0+ v(x, t) можно описывать с помощью инте-
грального уравнения Гельфанда — Левитана — Марченко. На-
пример, этим способом можно строить рационально-экспонен-
циальные решения; такой подход использовался в работах Ша-
бата [460], Кузнецова и Михайлова [306], Абловица и Корния
[6], Абловица и Эро [5].
3.7. Трансценденты Пенлеве. Среди решений уравнений в
частных производных встречаются решения, зависящие только от
какой-нибудь одной комбинации независимых переменных и, сле-
довательно, удовлетворяющие некоторому обыкновенному диф-
ференциальному уравнению (ОДУ) (в этом разделе ОДУ будет
обозначать как одно обыкновенное дифференциальное уравне-
ние, так и систему таких уравнений). Например, уравнение КдФ
C.7.1а) щ + Ъиих + иххх — 0
допускает как стационарные решения
и (х, t) = U(x — ct)
(при этом U(z) удовлетворяет ОДУ
C.7.1Ь) V" + 3U2 - cU = К),
так и автомодельное решение
где f(z) удовлетворяет уравнению
C.7.1с) r + 6ff = zf + 2/.
Каждое из этих ОДУ является точной редукцией уравнения в
частных производных.
Методы, обсуждающиеся в этой главе и других разделах кни-
ги, успешны из-за чрезвычайно богатой внутренней структуры
изучаемых уравнений. Обыкновенные дифференциальные урав-
нения, полученные точными редукциями из уравнений в част-
ных производных, также наследуют эту богатую структуру, и не-
которые из методов, развитых для уравнений в частных произ-

268 3. Различные перспективы
водных, можно с успехом применить для исследования соответ-
ствующих нелинейных ОДУ. Осознание этого факта позволило
решить ряд проблем, остававшихся неразрешенными в теории
ОДУ более века.
Все ОДУ, полученные в результате точной редукции, обла-
дают одним важным и простым свойством — свойством Пен-
леве (которое будет определено ниже). Это позволяет непосред-
ственно проверить, является ли наперед заданное нелинейное
уравнение в частных производных интегрируемым при помощи
МОЗР. Мы увидим, что эта связь между ОДУ со свойством
Пенлеве и уравнениями в частных производных, интегрируемыми
с помощью МОЗР, является весьма полезной и позволяет полу-
чить ценную информацию как об ОДУ, так и об уравнениях в
частных производных.
3.7. а. Свойство Пенлеве. Начнем с обзора некоторых фактов,
касающихся ОДУ (см. [238, гл. 15]). Рассмотрим ОДУ л-го по-
рядка
dnw ¦ г, / ч dn~xw , 1 г, / ч dw . г, , ч п
-^Г + Мг)—„—+ ••• +Рп-Лг)— + Рп B)а» = 0.
Если все га коэффициентов являются аналитическими функциями
в некоторой окрестности точки го комплексной плоскости z, то
го называется регулярной точкой ОДУ, и в ее окрестности
имеется га линейно независимых аналитических решений этого
уравнения. Особенности решений ОДУ могут находиться только
в точках особенностей коэффициентов уравнения. Эти особенно-
сти называются неподвижными, так как их расположение не за-
висит от (га) постоянных интегрирования. Неподвижность осо-
бенностей решения в комплексной плоскости является общим
свойством линейных ОДУ.
Нелинейные ОДУ не обладают этим свойством. Простым
примером нелинейного ОДУ является
C.7.2а) ^+t^ = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
C.7.2b) w(z;zo) = T±^.
Здесь 2о — произвольная постоянная интегрирования, она же оп-
ределяет расположение особенности. Особенности, расположение
которых зависит от постоянных интегрирования, называются по-
движными. Нелинейные ОДУ могут иметь как подвижные, так и
неподвижные особые точки.
Сингулярность решения ОДУ, не являющуюся полюсом (про-
извольного порядка), называют критической особой точкой.

3.7. Трансценденты Пенлеве 269
К ним относятся точки ветвления (алгебраические и логарифми-
ческие) и точки существенных особенностей. В конце XIX в. ма-
тематиков интересовала проблема классификации ОДУ по типу
сингулярностей, которыми могут обладать их решения. (Обзор
большого количества работ, посвященных этому вопросу, см. в
[238, гл. 12—14] или в [210].).В 1884 г. Фукс доказал, что сре-
ди всех уравнений первого порядка
dw п, ч
-te=F(w,z)
с функцией F, рациональной пош и локально аналитической по
г, только обобщенное уравнение Рикатти
C.7.3) ^ = P0(z) + Pl(z)w + P2(z)w>
не имеет подвижных критических точек.
С. В. Ковалевская, несомненно знакомая с этими результа-
тами, сделала следующий важный шаг, и в 1888 г. ей была при-
суждена премия Бордэна за значительный вклад в теорию дви-
жения твердого тела с неподвижной точкой в поле тяжести. Ос-
новная ее идея состояла в том, чтобы выполнить не имеющие
очевидного физического смысла вычисления, позволившие опре-
делить параметры задачи, при которых уравнение движения не
имеет подвижных критических точек. Во всех этих случаях ей
удалось явно проинтегрировать уравнения движения. В остав-
шихся случаях решение этих уравнений до сих пор не известно.
(Обсуждение этих работ читатель может найти в книге [189].)
Вскоре после этого Пенлеве и его ученики обратились к изу-
чению уравнений второго порядка вида
C.7.4) w" = F {w', w, z),
где функция F является рациональной по до, w' и локально ана-
литической по г. Они показали, что среди всех возможных урав-
нений этого вида имеется только 50 канонических уравнений,
обладающих свойством отсутствия подвижных критических то-
чек. Это свойство мы будем называть свойством Пенлеве, а ура-
внения, обладающие этим свойством, — уравнениями Р-типа. Все
эти 50 уравнений можно привести либо к интегрируемым урав-
нениям, либо к одному из шести нелинейных неавтономных ОДУ.
Вот эти шесть уравнений:
_. d2w с о ,
Pj -j-f = 6ДО2 -f Z,
P
j, -j^- = zw-\- 2xi? + a,
d2w 1 / dw V 1 dw , 1
in 1ПГ = [) +

270 3. Различные перспективы
dw
1 , 1 \ fdwy __ 1 rfai ,
2» +m-l jUzJ г & '
(w-lI ( p 1 , ym &w(w + \)
-^5 {ad»+w) + -7-+ w-\ '
_ J_ / J_ _j l , 1
~~2\w~tw-\~tw-
^f^ J_ / J_ _j , \(E
dz2~~2\w~tw-\~tw-z}\dz
z~ z— [ ~ w — z ) dz
W(w-l)(w-z) j_ . Рг , у(г-1) 6г(г-1)
22(г-1J \a "т" ш2 "¦ (гс-1J
г-1) 1
-2J I*
Пенлеве и Гамбье показали, что эти уравнения нельзя свести к
более простым ОДУ. Поэтому они определили новые спецфунк-
ции— трансценденты Пенлеве.
Вопрос, какие из ОДУ обладают свойством Пенлеве, можно
поставить для уравнений любого порядка, но исчерпывающие
результаты получены только для уравнений первого и второго
порядка. (Бюрэ [80] дал частичную классификацию уравнений
третьего порядка.)
3.7. Ь. Связь с МОЗР. Как обыкновенные дифференциальные
уравнения Р-типа связаны с интегрируемыми уравнениями в
частных производных? Напомним (разд. 3.6), что нелинейное
уравнение в частных производных считается решаемым методом
обратной задачи, если К(х,х) (или (d/dx)K(x,x)) является его
решением, причем К(х, х) определяется из линейного интеграль-
ного уравнения типа Гельфанда — Левитана — Марченко
оо
C.7.5) К (х, y) = F (x, y)+\K (х, г) N (х; г, у) dz, у > х,
X
где N известным образом связано с F. Здесь мы опустили за-
висимость К от остальных переменных (т. е. t, иногда у и т. д.)'
для того, чтобы подчеркнуть выделенную роль переменной х в
C.7.5). Абловиц, Рамани и Сигур [22] выдвинули следующую
гипотезу:
Гипотеза о свойстве Пенлеве. Нелинейное уравнение в част-
ных производных можно решить методом обратной задачи рас-
сеяния только в том случае, когда любое нелинейное ОДУ, полу-
ченное из него в результате точной редукции, имеет Р-тип, воз-
можно, после замены переменных. (См. также [272] и упр. 13.)
Допустим на некоторое время справедливость этой гипотезы
и опишем, как ею пользоваться.

3.7. Трансценденты Пенлеве 271
(i) Пусть задано нелинейное уравнение в частных произ-
водных, тогда следует найти точную редукцию в ОДУ. Простей-
шие редукции возможны, если уравнение в частных производных
допускает решения типа бегущей волны или автомодельные ре-
шения, но это не единственные возможности. Часто число таких
простых редукций очевидно из формы уравнения.
(и) Воспользовавшись приведенным ниже анализом крити-
ческих точек, следует определить, имеет ли ОДУ Р-тип. Если это
ОДУ не является уравнением Р-типа, то в этом виде оно не мо-
жет быть проинтегрировано с помощью МОЗР.
(ш) Иногда с помощью замены переменных удается преобра-
зовать ОДУ, и оно становится Р-типа; довольно часто на эту
замену переменных наталкивают вычисления, связанные с ана-
лизом критических точек. Если существует такая замена, то ис-
ходное уравнение является кандидатом для применения к нему
МОЗР. Примером может служить уравнение sin-Гордон, для ко-
торого необходимо такое преобразование. Напомним (разд. 1.2),
что МОЗР действительно позволяет решить систему уравнений
A.2.17), которая затем преобразуется к уравнению sin-Гордон
(см. также упр. 6).
(iv) Если ОДУ имеет Р-тип, то можно поискать и проверить
другие редукции. Но поскольку нет никакого систематического
способа поиска всех точных редукций, то эти проверки лишь на-
водят на мысль, что к данному уравнению в частных производ-
ных применим МОЗР. Если одна или две нетривиальные редук-
ции рассматриваемого уравнения в частных производных при-
водят к ОДУ Р-типа, то, вооружившись надеждой, можно
пытаться поискать преобразование Бэклунда или соответствую-
щую задачу рассеяния.
(v) Обратно, если известно, что к уравнению в частных про-
изводных применим МОЗР, то любая его точная редукция в ес-
тественных переменных соответствующего линейного интеграль-
ного уравнения приводит к ОДУ-типа.
Вот несколько примеров. Захаров [527] показал, что урав-
нение Буссинеска
C.7.6) Utt = Uxx
интегрируется с помощью МОЗР. Точную редукцию этого урав-
нения можно получить, ограничившись рассмотрением решений
типа бегущей волны
и (х, l) — w(x — ct) — w (z);
при этом w(z) удовлетворяет уравнению
C.7.7) A - О W" + (?)" + 1 т"" = О,

272 3. Различные перспективы
которое легко дважды проинтегрировать. В зависимости от вы-
бора постоянных интегрирования после изменения масштабов
получим две возможности:
C.7.8) г0" + 2да2 + а = О или w" + 2^ + 2 = 0.
Первый случай приводит к эллиптическим функциям, все сингу-
лярности которых являются только полюсами. Вторая возмож-
ность совпадает с уравнением Рь В обоих случаях ОДУ обла-
дает свойством Пенлеве.
В качестве другого примера возьмем уравнение мКдФ
C.7.9) ut-6u*ux + uxxx = 0,
к которому применим МОЗР. Точную редукцию можно полу-
чить, ограничившись автомодельными решениями вида
гл w (г) х
и{х> ;~1зо27Г> Z==~m^'
w'" - 6w2w' - (zw)' = 0.
После однократного интегрирования получим уравнение Р-типа
Ри w" = 2w3 + zw + а.
Уравнение sin-Гордон
C.7.10) uXy t — s'mu
можно интегрировать (после преобразования) с помощью
МОЗР. Оно имеет автомодельное решение
C.7.11) и(х, t) = f(z), z = xt.
Если положить w(z) — exp(if), то
Рш w" - \ {w'f - 7 {w') + ~ (w2 - 1),
и снова получается уравнение Р-типа.
Уравнение Шрёдингера с производной
C.7.12) iqt = qxx - Щ2 (q\ + 8\q\*q
может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассея-
ния (Кауп, Ньюэлл 1266]). ОДУ, которому удовлетворяет авто-
модельное решение уравнения C.7.12), приводится к PiV (см.
[23]). Другие примеры были построены в [243, 244], [440],
[372]; см. такжз упражнения к этой главе. Во всех известных
нам примерах уравнения в частных производных, интегрируе-
мые с помощью МОЗР, редуцируются к ОДУ Р-типа. Уравне-
ния, которые принято считать неинтегрируемыми с помощью
МОЗР (например, на основании численных экспериментов, в

3.7. Трансценденты Пенлеве 273
которых две уединенные волны взаимодействуют иначе, чем соли-
тоны), редуцируются к ОДУ, не принадлежащим к Р-типу. Что-
бы избежать недоразумений, мы еще раз подчеркнем, что воп-
рос состоит не в том, принадлежит или нет ОДУ к списку из
шести уравнений Пенлеве; важно знать, имеет ли оно Р-тип
(т. е. отсутствие подвижных критических точек).
Эти примеры показывают, что, по всей видимости, гипотеза
срабатывает. Следуя работе [23], мы набросаем частичное до-
казательство этой гипотезы, показывающее, почему она должна
работать. Рассмотрим линейное интегральное уравнение (в част-
ном случае F(x, у) = F (х + у))
C.7.5а) K(x,y) = F(x + y)+\K (x, z) N (х; г, у) dz,
Потребуем, чтобы F удовлетворяла линейному ОДУ, обраща-
лась в нуль при больших положительных значениях аргумента
и jV зависела от F по известному закону. (Примеры зависимо-
сти N от F были приведены в разд. 3.6.) Мы хотим показать, что
любое решение линейного интегрального уравнения C.7.5а) дол-
жно обладать свойством Пенлеве. Если при этом К также удо-
влетворяет некому ОДУ, то семейство решений этого ОДУ, полу-
ченных с помощью C.7.5а), также обладает свойством Пенлеве.
Таким образом, связь между ОДУ Р-типа и уравнениями, ре-
шаемыми с помощью МОЗР, непосредственно следует из линей-
ного интегрального уравнения C.7.5а).
Схема доказательства такова (подробности можно найти в
[23]):
(i) F удовлетворяет линейному ОДУ и поэтому не имеет
подвижных особенностей.
(И) Если функция F убывает достаточно быстро при увели-
чении аргумента, то применима теория Фредгольма. Из C.7.5а)
следует, что
C.7.13) К(х, у) = Р(х + у)
где D\ и D-i — целые функции своих аргументов. Поэтому все
особенности К возникают из неподвижных особенностей F или
из подвижных нулей D2. Но функция D2 является аналитиче-
ской, поэтому эти подвижные сингулярности должны быть по-
люсами.
(iii) Таким образом, функция К — решение линейного инте-
грального уравнения — обладает свойством Пенлеве.
Это доказательство связывает свойство Пенлеве с линейным
интегральным уравнением. Мак-Леод и Ольер [372] дали ана-

274 3. Различные перспективы
логичное доказательство. Но связь с МОЗР можно получить, от-
правляясь и от другой точки зрения. Флашка [157] и Флашка,
Ньюэлл [163] воспользовались задачей рассеяния и уравнением
эволюции волновой функции по времени. Результаты Флашки
формулируются довольно просто.
(i) В разд. 1.2 обсуждалось, что условие совместности за-
дачи рассеяния и уравнения эволюции
приводят к системе нелинейных уравнений в частных производ-
ных, интегрируемой с помощью МОЗР, которую можно предста-
вить в лаксовом виде
C.7.14) [L, M] + Lt = 0.
(ii) Стационарные решения системы C.7.14), в том числе
Л'-солитонные решения и iV-фазные квазипериодические удовле-
творяют коммутационному соотношению вида
C.7.15) [L, В]=0.
(ш) Автомодельные решения системы C.7.14) удовлетво-
ряют другому коммутационному соотношению
C.7.16) [L,B] = L.
Практическая ценность соотношения C.7.15) состоит в том,
что оно позволяет свести задачу к изучению некоторого алгеб-
раического уравнения и найти его явное решение, воспользовав-
шись теорией функций на алгебраических кривых. Пока не из-
вестно, как с такой же эффективностью воспользоваться алгеб-
раической природой представления C.7.16). Ниже в этом раз-
деле мы кратко обсудим, как Флашке и Ньюэллу удалось про-
вести анализ уравнения Рц и воспользоваться концепцией де-
формаций, сохраняющих матрицу монодромии.
3.7. с. Анализ особых точек. Пусть дано нелинейное ОДУ.
Как определить, имеют ли его решения подвижные критические
точки? Если рассматриваемое уравнение имеет второй порядок
и приведено к виду C.7.4), то можно сравнить его со списком
50 уравнений, найденных Пенлеве и др., приведенным в гл. 14
работы [238]. Если это уравнение содержится в списке, то оно
Р-типа; если нет, то вполне возможно, что существует простая
замена, преобразующая уравнение к виду, приведенному в спи-
ске. Поэтому мы рекомендуем определять природу особых то-
чек, допускаемых уравнением (см. упр. 8).
Если уравнение имеет третий порядок или выше, то нам ос-
тается только локальный анализ особых точек. Здесь имеется
два подхода. Первый — это а-метод Пенлеве, подробно описан,-

3.7. Трансценденты Пенлеве 275
ный в [238]. Второй, близкий к методу Ковалевской, описан
Абловицем, Рамани к Сигуром [23]; мы проиллюстрируем его
ниже. Следует отметить, что при использовании обоих методов
можно потерять существенно особые точки; для них требуется
отдельный анализ.
Пример 1. Рассмотрим семейство ОДУ
C.7.17) w" = zmw + 2xi?.
(Если т = О, то уравнение C.7.17) интегрируется в эллиптиче-
ских функциях. Если т = 1, то это Рц. При т ф 0, 1 мы обна-
ружим подвижные критические точки.) В методе анализа имеет-
ся три основных эгапа. На первом следует определить поведение
главной части решения в окрестности подвижной особенности в
точке Zq. Поэтому мы предположим, что при z-*-zo
В этом случае главными членами в C.7.17) являются пер-
вый и последний, и р= 1, а2 = 1. Если выбрать а = 1, то при
г->-2о получим
C.7.18) ж_B_2о)-' + 0(|2_гоГ!).
Если бы р не было целым, то мы получили бы (подвижную) ал-
гебраическую точку ветвления, и уравнение не относилось бы к
Р-типу. (Но даже в этом случае мы рекомендуем продолжить
вычисления, так как они могут подсказать преобразование, при-
водящее уравнение к Р-типу.) Если имеется два или более кор-
ней р, то для каждого из них необходим отдельный анализ.
Так как уравнение C.7.17) имеет второй порядок, то его об-
щее решение зависит от двух постоянных интегрирования. Одна
из них есть го. Следует продолжить разложение решения w
C.7.18) в ряд, пока не появится другая постоянная интегриро-
вания. Второй этап — это определение степени (z — z0), начиная
с которой может появиться вторая постоянная интегрирования.
Чтобы это сделать, положим | = z — Zo и подставим
C.7.19) Иг)~Г' + РГ1+г
в главные части уравнения C.7.17). В ведущем порядке по р
получим соотношение
р [(г -1) (г -2) -6] Ъ"а ~0,
представляющее собой алгебраическое уравнение для г. Один
корень этого уравнения всегда равен —1, что соответствует про-
изволу в выборе Zo. В данном случае второй корень — это г — 4
(если бы второй корень не оказался целым вещественным чис-

276 3. Различные перспективы
лом, то это указывало бы на наличие подвижных точек ветвле-
ния). Отсюда ясно, до каких степеней следует строить разложе-
ние решения:
C.7.20) w (z) ~ Г1 + 2 3
Мы ожидаем, что постоянные (а0, аь а2) полностью определят-
ся, и вторая постоянная появится, когда мы дойдем до опреде-
ления а3.
Последний этап — это определение коэффициентов разложе-
ния C.7.20). Подставив его.в уравнение C.7.17) и собрав коэф-
фициенты при одинаковых степенях |, получим
C.7.21)
При 0 (|
C.7.22)
;3)
Оо-О. а,
получим
0 = 0-а
— гт
6 '
: =-т(т
т^-1
а^ 4
-lJoW-2.
Имеется две возможности.
(i) Если т = 0 или 1, то C.7.22) выполнено при любом зна-
чении постоянной аз, которая при этом становится второй по-
стоянной интегрирования. Воспользовавшись методом Пенлеве
[238, раз. 14.41], можно показать, что C.7.20, 21) действи-
тельно представляют собой начало разложения общего реше-
ния уравнения C.7.17) в ряд Лорана в окрестности подвижного
полюса. В этом случае нет никаких подвижных критических то-
чек алгебраического характера.
(ii) Если тфО или 1, то соотношению C.7.22) невозможно
удовлетворить никаким выбором постоянной аз. В этом случае
разложение C.7.20) следует дополнить логарифмическими чле-
нами:
C.7.23) w (г) ~ Г' + аа + а,| + a2f + (а3|3 + &Д3 Ы) + ....
Теперь соотношения C.7.21) по-прежнему сохраняют свой вид,
а в порядке О(?3) постоянная Ь3 определяется по произвольной
постоянной аз. Разложение C.7.23) указывает на существование
подвижной логарифмической точки ветвления z0. Таким обра-
зом, если т ф 0 или 1, то уравнение не относится к Р-типу (от-
метим, что следующие члены разложения имеют более высокие
степени | и In |).
Пример 2. Нелинейное уравнение Шрёдингера в размерности
п + 1 (см. разд. 4.3) — это
C.7.24) 1Ф/ + у2Ф - 21 ф |2 Ф = 0.

3.7. Трансценденты Пенлеве 277
Точная редукция к ОДУ получится, если положить
п
C.7.25) г2 = ? х), ф = R (г) ехр {Ш);
при этом
C.7.26) R» +JL=±R' = 2\R\2R + XR.
(Если к тому же мы потребуем вещественность R при вещест-
венных г, то нелинейный член в C.7.26) перепишется в виде
2R3; в результате мы получим одно уравнение второго порядка,
и можно проверить, не входит ли оно в список из книги [238].
Но для того, чтобы показать, как следует анализировать систе-
мы комплексных уравнений, мы рассмотрим более общий слу-
чай.) Нелинейный член в C.7.26) не позволяет рассматривать
R(r) как аналитическую функцию. Вместо уравнения C.7.26) мы
рассмотрим систему
R" + ii^i R' = 2R2S + XR,
C.7.27) /_
S" + JL7-L S' = 2S2R + kS.
Если X вещественно, S = R* при вещественных г, то C.7.27) со-
держит C.7.26). В любом случае C.7.27) является системой
ОДУ четвертого порядка, и мы проведем анализ особых точек
ее решения.
Шаг 1. В главном порядке все алгебраические особенности
решений системы C.7.27) имеют вид
C.7.28) R 1
г — г0 ' а (г — г0) '
где (го, а) — две (из четырех) произвольные постоянные инте-
грирования.
Шаг 2. Для того чтобы найти степени, при которых появ-
ляются две оставшиеся постоянные интегрирования, положим
х = г — г0,
и подставим это в главные члены уравнений C.7.27), сохранив
лишь члены, линейные по С\, С2. В результате для определения
р получим полином четвертой степени, имеющий корни (—1, О,
3, 4). Первые два корня отвечают свободе в выборе постоянных

278 3. Различные перспективы
Го, а. Последние два корня определяют степени, начиная с кото-
рых могут появиться две оставшиеся постоянные интегрирования.
Шаг 3. Если C.7.28) представляет первые члены разложения
решения в ряд Лорана вблизи подвижного полюса Хо, то
C729) ^х + ао + а^ + а^ + аз*.
aS ~ лГ1 + К + М + Ь2х2 + Ъъ?.
Подставим это разложение в C.7.27) и будем рекуррентно вы-
числять коэффициенты:
и
«о = 0о = —
6г0
, Я (я - 1) (я - 7)
а, — 6, :
6 ЗбЛо
4-6 _ Я(/1 — 1) (я — 1)Dя2 —35^ + 85)
6гс 108гд
причем на (а2 — Ь2) нет соотношений, это третья постоянная ин-
тегрирования. (Пока все хорошо!) Но в следующем порядке мы
получим
C.7.30) 0-(оз + Й8) = (л —1H.
где (*) ф 0. Если п = 1 (а этот случай, как мы знаем, интегри-
руется с помощью МОЗР), то соотношение C.7.30) выполнено
тождественно при любом значении четвертой постоянной инте-
грирования (аз + ^з), и решение не имеет подвижных точек вет-
вления. Если п ф 1, то C.7.30) приводит к противоречию, избе-
жать которого можно, дополнив разложение C.7.29) логарифми-
ческими членами в порядке О(х3). Эти логарифмические члены
породят бесконечную последовательность усложняющихся чле-
нов в высших порядках разложения. Система C.7.27) не являет-
ся уравнением Р-типа при п ф 1.
Если гипотеза о свойстве Пенлеве верна, то нелинейное ура-
внение Шрёдингера C.7.24) может быть проинтегрировано с по-
мощью МОЗР только в размерности 1 + 1.
Эти два примера вовсе не исчерпывают все возможные ню-
ансы анализа особых точек. Читатель, интересующийся подроб-
ностями, может обратиться к работе [23].
3.7. d. Глобальные свойства трансцендентов Пенлеве. Кроме
своего эвристического значения в качестве теста для уравнений
в частных производных связь между МОЗР и ОДУ Р-типа мо-
жет быть использована для получения информации о глобаль-
ных свойствах трансцендентов Пенлеве. Например, в разд. 3.6

3.7. Трансценденты Пенлеве 279
мы видели, что если К{х, у) удовлетворяет уравнению
C.7.31) К{х, y) = rAi(^±JL) +
оо оо
f \\ {^)(^) y>x,
где Ai(z)—функция Эйри, а=±1, г — параметр, то w(z;r)
= K(z,z;r) удовлетворяет частному случаю уравнения Рц;
C.7.32)
с граничным условием при z -> +оо
C.7.33) w(z; r)~rk\{z).
Уравнение C.7.31) представляет собой точную линеаризацию од-
нопараметрического семейства решений ОДУ C.7.32). В этом се-
мействе содержатся все ограниченные решения уравнения
C.7.32).
Глобальное существование этого семейства решений можно
доказать непосредственно из C.7.31). Перепишем C.7.31) в со-
кращенном виде:
C.7.34) [/- ar2A (z)] К = г Ai;
при этом факт существования ограниченного решения уравнения
C.7.32) следует непосредственно из ограниченности оператора
[/ — or2A(z)]-\ Здесь мы приведем лишь результаты исследо-
вания (подробности можно найти в работах [27], [206], [23]).
(i) A(z) —положительный оператор. Поэтому при a = — 1
уравнения C.7.32, 33) имеют единственное ограниченное реше-
ние при всех вещественных z и вещественных г.
(и) Z-2-норма оператора A(z) не превышает 1 для любого
вещественного z. Поэтому если а =-\-1, то уравнения C.7.32,
33) имеют единственное ограниченное решение при всех вещест-
венных z, если —1 < г < 1.
(iii) При <x = -f"l> \r\ = 1 возникает критическая ветвь ре-
шения уравнения C.7.32), стремящаяся к нулю при 2->+оо и
алгебраически растущая Bw2-\-z ~ 0) при Z-*—оо.
(iv) Если a ==-fl, r > 1. то найдется такое вещественное
zo(r), то оператор [/ — or2A(z)]~l существует только при
z > 20. Мы подозреваем (но это не доказано), что w(z; r) имеет
полюс в точке z0.
(v) Согласно аргументации, приведенной после формулы
C.7.5а), единственными особенностями этого семейства реше-
ний на комплексной плоскости z являются полюсы. (Разумеется,
этот результат впервые был получен Пенлеве.)

280 3. Различные перспективы
Эта тема не заканчивается доказательством существования.
Так же как уравнение Эйри
d2w
является представителем простой линейной точки поворота, так
и уравнение C.7.32) является представителем класса простых
нелинейных точек поворота. Так, например, Хаберман [193] по-
казал, что слаболинейное решение уравнения
C.7.35) -т^г-{-k (ez) и = е$ (ez) и3, е< 1,
в окрестности нуля функции k(ez) аппроксимируется (асимпто-
тически) решением уравнения C.7.32). Таким образом, качест-
венное поведение такого решения уравнения C.7.35) является
слабонелинейным и экспоненциально убывающим при k < 0,
слабонелинейным и осциллирующим при k > 0, но существенно
нелинейным в переходной области, где оно аппроксимируется ре-
шением уравнения C.7.32). Это побуждает нас более детально
изучить решения уравнения C.7.32), так как через них произво-
дится сшивка двух областей, в которых решения уравнения
C.7.35) имеют качественно различное поведение. Таким образом,
мы приходим к задаче о связи асимптотик:
Задана асимптотика ограниченного вещественного решения
уравнения C.7.32) при г->+оо; найти асимптотику
этого же решения при г-*- —оо.
Решения этой задачи было бы вполне достаточно, чтобы свя-
зать две области слабой нелинейности решения уравнения
C.7.35).
Совершенно очевидно, что задача о связи асимптотик яв-
ляется глобальной и не может быть решена с помощью локаль-
ного анализа уравнения C.7.32). Напомним (разд. 1.7), что для
почти всех гладких быстроубывающих начальных данных для
уравнения мКдФ C.7.9) асимптотика решения (/-»-оо) пред-
ставлена тремя областями с различным качественным поведе-
нием:
(i) Для х > tm решение экспоненциально убывает (по х).
(И) Для |л:| = О(/1/3) решение является автомодельным и
удовлетворяет уравнению C.7.32).
(ш) При — х > tw решение осциллирует.
Сигур и Абловиц [457] нашли решение задачи о связи асим-
птотик для уравнения C.7.32) с помощью переходов к пределам
в областях (i) и (Hi) асимптотического решения уравнения
мКдФ. Результаты можно сформулировать следующим образом.
Имеется однопараметрическое (с параметром г) семейство
ограниченных вещественных решений уравнения C.7.32). Эти

3,7. Трансценденты Пенлеве
281
решения экспоненциально убывают (при увеличении z) при
Baw2 -f z) >0 и осциллируют при (low2 -f- z) < 0. Типичное
решение показано на рис. 3.2. При 2->-foo все эти решения
имеют асимптотику C.7.33) с произвольным вещественным г при
а = —1 и — 1 < л < 1 при а = +1. Без потери общности можно
-а -20 -15 -10-5
-0,6
Рис. 3.2. Характерный вид решения уравнения C.7.32) с граничными усло-
виями C.7.33). Здесь а = +1> г = 0. На рисунке показана разделяющая
парабола 2w2 + г = 0.
считать г ^ 0. При 2->—оо эти решения имеют формальное
асимптотическое разложение
C.7.36)
где
ом
Постоянные d(^0) и б зависят от г, а по следующему закону:
C.7.37)
их графики приведены на рис. 3.3. Других ограниченных веще-
ственных решений уравнение C.7.32) не имеет,

282
3. Различные перспективы
Рассмотрим теперь общий случай уравнения Рц:
d2w
dz2
-f- a.
Эро [35], Боити и Пзмпинели [72] воспользовались преобразо-
ванием Бэклунда для уравнения КдФ в автомодельном виде и
1
0,1
dz
J
¦ 6
1 г
= +
1
10
100 Г
Рис. 3.3. Асимптотические (при г-*-—оо) амплитуды (d) и фазы (9)
уравнения Рц как функции начальной амплитуды (см. C.7.37)).
для
вывели рекуррентное соотношение между решениями
ния Рц:
C.7.38) w (z, а + 1) = - w {z, а) - 2a+l
уравне-
2оJ (г, а) + г + 2wz (z, a) '
Это соотношение было ранее получено из других соображений
в работе [337]. Кроме того, уравнение Рц допускает преобразо-
вание симметрии
C.7.39) w(z, a)-> — wB, —a).
Если воспользоваться C.7.38), C.7.39) и любым точным реше-
иием уравнения Рц, то можно построить бесконечную серию ре-
шений w(z, а ± п), п = 0, 1, 2 .... Начав с тривиального реше-
ния (w(z, 0) = 0), Эро построил таким способом все рацио-
нальные решения уравнения КдФ [35] (см. разд. 3.4).
Однопараметрическое семейство ограниченных вещественных
решений уравнения Рц при а = 0 порождает однопараметриче-
ское семейство вещественных решений уравнения Рц при любом
целом а. Все эти решения ограничены при г-^+оо, но, как мы
покажем, среди них нет решений, ограниченных на всей вещест-
венной оси z. Иначе говоря, для целых значений а уравнение Рц
не имеет никаких ограниченных вещественных решений.
Начнем со случая а = 0, и пусть 0 ^ г < 1; в этом случае
ограниченное вещественное решение качественно ведет себя так
же, как решение, показанное на рис. 3.2. Из рисунка видно, что
знаменатель в формуле C.7.38) имеет отрицательный знак в
точке пересечения графика решения с параболой Bдо2 -\- z) =0,

3.7. Трансценденты Пенлеве 283
а при ,г->+00 знак знаменателя положительный. Таким обра-
зом, знаменатель обращается в нуль в некоторой промежуточ-
ной точке. Эта точка будет полюсом решения w(г, 1). (Анало-
гично рассматривается случай г < 0.) Таким образом, любое ве-
щественное решение уравнения Рц при а — 1, ограниченное при
г-> +оо, имеет по крайней мере один полюс в некоторой конеч-
ной точке z.
Пусть а— любое положительное целое число. Если w (z, а)
имеет полюс, то мы покажем, что его также имеет решение w(z,
а + 1), построенное по формуле C.7.38). Пусть самый правый
полюс функции w (z, а) расположен в точке z0. В окрестности z0
разложение решения w (г, а) в ряд Лорана имеет либо вид
C.7.40а) w (z, a) = w+~{z- г0)"' - -f- (z - г0) —
1—(г-гоJ + ....
либо вид
C.7.40b) w (z, а) = ш_ ~ - (z - zo)~l + ^ (г - г0) -,
В этих случаях знаменатель в C.7.38) принимает вид
C.7.41а) 2w% + z + 2dz(w+) Bа + l)(z-z0)
или
C.7.41Ь) 2да2- + z + 2dz (w_) ~ 4 (z - zo)~2.
Для w~(z, а) первый член в правой части формулы C.7.38)
имеет полюс в точке z = zq, а второй член в этой точке равен
нулю. Таким образом, точка го является полюсом решения до_(г,
а+1).
Для w+(z, а) при а, >> 0 знаменатель в C.7.38) отрицателен
в точках 20 + е @ < е < 1) и положителен при г->+оо, по-
этому он обязан обращаться в нуль в некоторой промежуточной
точке. Но точка z0 является по предположению самым правым
полюсом функции w(z, а), поэтому в нуле знаменателя будет
полюс решения w+(z, а+1). Таким образом, при а > 0, если
w(г, а) убывает при г-*- +оо и имеет полюс в некоторой конеч-
ной точке zq, то такими же свойствами обладает решение w(z,
а+1). Поскольку w (г, 1) имеет полюс, то его имеет и w (z, n),
п — целое положительное число. Согласно C.7.39), полюс в той
же точке имеет решение w (z, —п).
Здесь мы остановились только на уравнении Рц, но совер-
шенно ясно, что остальные уравнения Пенлеве также можно

284 3. Различные перспективы
исследовать этим методом. Например, преобразования Бэклунда
для Pi были найдены в работе [73], для Рш, P|V, Pv в [35], для
Piv в [165]. Преобразование C.7.38) для Рп и некоторые резуль-
таты для других уравнений были ранее другими методами по-
лучены советскими математиками (Громак, Еругин, Лукашевич
и Яблонский, обзор советских работ и дополнительную библио-
графию можно найти в статье Еругина [149]).
С другой стороны, Абловиц, Рамани и Сигур [23] нашли ли-
нейные интегральные уравнения, обслуживающие ОДУ Рш и
Piv. Там же на основе линейного интегрального уравнения были
построены сходящиеся ряды для семейства решений уравнения
Рпь Эти ряды оказались эквивалентными рядам, построенным
ранее с помощью совершенно другого подхода в работе Мак-Коя,
Трэйси и By [363]. Авторам этой работы удалось установить
формулы связи асимптотик для Рш, аналогичные C.7.37) для
Рп.
Уравнение Рш возникает в скэйлинговом пределе корреля-
ционной функции спинов в двумерной модели Изинга; это об-
стоятельство послужило стимулом работы Мак-Коя, Треэси, By
и Бароша [508]. Хотя их работа никак не связана с МОЗР, но
в некоторых аспектах эти подходы весьма близки. Поэтому на-
прашивается вопрос: имеется ли какая-нибудь связь двумерной
модели Изинга и МОЗР?
Серия весьма важных работ Сато, Мивы и Джимбо [444]
была связана с: (i) деформациями линейных дифференциаль-
ных уравнений, сохраняющими матрицу монодромии; (ii) голо-
номной квантовой теорией поля; (iii) скэйлинговым пределом
двумерной модели Изинга; (iv) теорией групп Клиффорда; (v)
МОЗР (см. также [256], [488] и исчерпывающий обзор Джимбо,
Мива, Мори, Сато [243]). Идеи, лежащие в основе этих работ,
мы опишем, опираясь на близкую по духу работу Флашки и
Ньюэлла [163], в которой подчеркивалась связь с трансценден-
тами Пенлеве.
Нам понадобится ряд определений. Рассмотрим (матричную)
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
C.7.42) _?в
где Aj — постоянные т X m-матрицы, а х является комплексной
переменной. Решение уравнения C.7.42) обычно является мно-
гозначной функцией х; обозначим через Y(x) однозначную ветвь
фундаментального решения. Если точка х обойдет одну из син-
гулярных точек а, по замкнутому контуру, то полученная функ-
ция Y (х), как правило, будет отличаться от своего исходного

3.7. Трансценденты Пенлеве 285
значения, но непременно имеется линейная связь
C.7.43) Y (х) = M,Y (x).
Матрицу М,- называют матрицей монодромии точки а;- (см.
разд. 2.3). Вопрос о деформациях, сохраняющих матрицы моно-
дромии, формулируется следующим образом. Допустим, что точ-
ке а,- разрешено двигаться по комплексной плоскости; как при
этом следует изменять матрицу Alt чтобы матрица монодромии
(Mj) оставалась постоянной? В простейшем нетривиальном слу-
чае, когда является 2Х 2-матрицами, N = 4 и позволено дви-
гаться только одной сингулярности, эта задача сводится к ре-
шению уравнения PVi! Другими словами, уравнение PVi можно
рассматривать как условие на деформации коэффициентов ли-
нейной системы, при которых сохраняются матрицы монодро-
мии ').
В рассмотренном примере ОДУ имеет только регулярные осо-
бые точки. В работе Флашки и Ньюэла основное внимание было
уделено нерегулярным особым точкам, когда матрица монодро-
мии заменяется на множители Стокса.
В некотором смысле мы все время имели дело с теорией де-
формаций линейных уравнений. Например, в гл. 1 мы рассма-
тривали линейный дифференциальный оператор
и задавали вопрос: как следует изменять коэффициентную функ-
цию q{x) с изменением внешнего параметра (t), чтобы спектр
оператора L оставался инвариантным? Ответ состоит в.том, что
функция q(x, t) должна удовлетворять уравнению КдФ или од-
ному из его высших аналогов A.5.21).
Таким образом, имеется еще один путь рассмотрения МОЗР
и трансцендентов Пенлеве с точки зрения теории деформаций
линейных дифференциальных уравнений. При этом основное вни-
мание направлено на прямую задачу рассеяния в МОЗР и пред-
полагается, что задача рассеяния для мКдФ должна быть пре-
образована к автомодельной форме. Преобразование
z = 7dW • X = С C')'/3> Я (х, 0 = C/)-1/3 w (г),
(at)
Vt(x, /, t) = «p,(z, X)
') Вопрос о деформациях, сохраняющих матрицу монодромии, был по-
ставлен и решен в классических работах Шрезингера и Ганье, там же была
обнаружена связь с уравнениями Пенлеве. По этому поводу см. [11*]
стр. 283. — Прим. перев.

286 3. Различные перспективы
приводит в результате к системе линейных ОДУ
ф, = — / D%2 -j- z + 2w2) ф( -f- {4%w -f- 2iwz) ф2,
C.7.44) * —и о- JL.4 2 1 2„ 2х
Множители Стокса решений системы C.7.44) в окрестности не-
регулярных особых точек не зависят от z только в том случае,
если w(z) удовлетворяет уравнению Рц. Зная свойства матриц
монодромии и расположение особых точек, Флашка и Ньюэлл
сумели переформулировать задачу в терминах сингулярных ли-
нейных интегральных уравнений. Они не рассматривали вопроса
о существовании решений этих уравнений. В некоторых частных
случаях интегральное уравнение воспроизводит известные ре-
зультаты.
Подведем итоги этого раздела. Имеется тесная связь между
уравнениями в частных производных, интегрируемыми методом
обратной задачи рассеяния, и ОДУ Р-типа. Эту связь можно с
успехом использовать как при изучении уравнений в частных
производных, так и ОДУ. При изучении ОДУ (в особенности
Рп) оказалось, что почти каждый аспект МОЗР (прямая задача
рассеяния, обратная задача рассеяния, преобразование Бэклун-
да и т. д.) имеет важное значение.
3.8. Возмущения и устойчивость солитонов и уединенных
волн относительно поперечных возмущений. В этом разделе мы
кратко обсудим, какое влияние оказывают малые возмущения
(например, поперечные) на солитоны и уединенные волны. Это-
му очень естественному вопросу посвящено довольно много
работ.
Здесь мы рассмотрим задачи следующих типов: (а) действие
диссипативных возмущений на солитон, (Ь) действие диссипа-
ции на уединенную волну и (с) действие поперечных возмуще-
ний на солитон (аналогично можно рассматривать задачу об
устойчивости уединенных волн относительно поперечных возму-
щений). Подразделы можно читать независимо друг от друга.
Что касается теории возмущения для солитонов, то на этот
счет имеется довольно много методов, развитых на основе МОЗР
(см., например, [260], [267], [255], [272]). Методы Каупа, Нью-
эла [267] и Карпмана, Маслова [255] позволяют вывести воз-
мущенные уравнения, описывающие эволюцию данных рассея-
ния, используя теорию возмущений соответствующей линейной
задачи рассеяния. Исходные зависимые переменные восстанав-
ливаются по решению обратной задачи рассеяния (т. е. линей-
ного интегрального уравнения Гельфанда — Левитана — Мар-
ченко). Отправляясь от другой точки зрения, Кинер и Мак-Лаф-
дин [272] развили теорию возмущений, воспользовавшись функ-

3.8. Возмущение и устойчивость солитонов 287
цией Грина для решения линеаризованного уравнения, отвечаю-
щего исходному уравнению более высокого порядка. Но для вы-
числения функции Грина необходимо прибегнуть к МОЗР.
С другой стороны, хорошо известно, что существует весьма
общая теория возмущений для частных решений нелинейных
уравнений (таких, как солитоны, бризеры, уединенные волны,
периодические решения). Она применялась для многих задач
(см., например, [478], [1], [245], [505], [543], [252], [509],
[279], [286], [282]). В этом разделе мы покажем, как эти под-
ходы применяются к задачам с солитонами и уединенными вол-
нами. Здесь мы вовсе не пытаемся сделать сколько-нибудь ис-
черпывающий обзор существующих теорий возмущений для со-
литонов или уединенных волн.
Основная идея теории возмущений состоит в следующем. Мы
изучаем решение возмущенного нелинейного уравнения весьма
общего вида
C.8.1) K(q, qt, Чх, ...) = eF(q, qx, ...). 0<e«l,
где К и F — нелинейные функции от q, qx, ... . Невозмущенное
уравнение (е = 0)
C.8.2) K(f\ qf\ qf, ...) = 0
имеет решение qm. В качестве qw можно брать как солитонное
решение, так и уединенную волну (а также бризер или более
сложное солитонное решение). Мы запишем это решение явно,
указав естественные «быстрые» и «медленные» переменные:
C.8.3) <7«)) = <7<С) @1. 02 9т. Т : Р„ Р2, ..., Р„).
В C.8.3) 8» (i = 1, ..., m) обозначают быстрые переменные,
Т = et —медленная переменная, Pi A=1, ..., N) — парамет-
ры, зависящие от медленных переменных (в некоторых задачах
может потребоваться введение медленной переменной X = ех;
см., например, [506], [1]). Во многих задачах для невозмущен-
ного решения можно ограничиться одной быстрой переменной
8 = х — PJ. Обобщим 8 так, чтобы дв/дх — 1, ~нт~ = — Pi, и
воспользуемся Pi = Р\(Т) для исключения секулярных членов.
В этом случае решение C.8.3) мы будем называть квазистацио-
нарным и записывать q = q(Q, Т, е). Для Pi, . . ., PN мы выве-
дем уравнение, опираясь на условия вроде условия исключения
секулярных членов (должно быть в точности N независимых ус-
ловий). Некоторые из них возникают из тождества Грина. Пред-
положим, что q выражается в следующем виде:

288 3. Различные перспективы
(после введения подходящих переменных 8„ Гит. д.). Тогда
C.8.2) представляет главный порядок задачи, а в следующем
порядке получим (если предположить, что К зависит от произ-
водных по времени только первого порядка)
C.8.4) L (дв{, <f >) <р = F (<р) —щЯт U<o> - F.
Здесь L(dei, 4@))" — 0 — линеаризация уравнения К (с/, Ци
qx, ...) = 0 после перехода от (х, t) к координатам 9*. Обозна-
чим V[ (i = 1, ..., М) решения однородной сопряженной задачи
с нулевыми граничными условиями (т. е. у,-»-0 при 10j —*¦ оо):
где LA— оператор, сопряженный к L. Левая часть равенства
C.8.5) A<р) и, - (LAvt) <р = Fvt
всегда является дивергенцией (теорема Грина). Интегрирование
этого равенства приводит к секулярным условиям. Эти секуляр-
ные условия позволяют вычислить поправку ф1\ удовлетворяю-
щую подходящим граничным условиям (т. е. <7A) ограничена при
191 —>- оо). Имеется определенная свобода в выборе решения ф1).
Дело в том, что частично решение <7A) можно включить в глав-
ный порядок </@>, немного сдвинув его параметры. Можно до-
биться единственности решения q{1\ если наложить дополни-
тельные условия, отражающие специфику задачи. Для вычисле-
ния высших порядков <7(Л° препятствий не возникает.
Из этого метода следует:
(i) Полученное разложение, вообще говоря, не приближает
решения равномерно на всей оси \х\ < оо (см. [1], [267], [255],
[282]).
(И) В каждой области, где оно справедливо, мы получим
квазистационарное решение, т. е. решение, зависящее только от
8, и Т.
(ш) Чтобы получить равномерно пригодное разложение ре-
шения на всей оси, следует произвести сшивку решения, полу-
ченного описанным методом, с нестационарным решением для
больших |6,-| (т. е. при |0| ~ О {Уз)).
В качестве примера применения этой общей схемы мы рас-
смотрим уравнение КдФ и «сильно нелинейные» уравнения КдФ
со слабо диссипативным возмущением. С физической точки зре-
ния это отвечает распространению солитонов в среде с медлен-
но меняющимися параметрами [245]. Интересной особенностью
решений этих уравнений является возникновение из-за диссипа-
тивных членов полочки за возмущенным солитоном (см, [323],
[267], [255]),

3.8. Возмущение и устойчивость солитонов 289
3.8.а. Уравнение КдФ с затуханием. Пусть возмущенное урав-
нение КдФ имеет вид
C-8.6) qt + 6qqx + qxxx = — syq,
где у, е — постоянные, у > О, у имеет порядок 1 и 0<е< 1.
(Ниже приведен пример анализа конкретного уравнения и его
возмущения. Такой анализ применим в гораздо более общей си-
туации.) Солитонное решение невозмущенного уравнения (е =
= 0) мы запишем в виде
C.8.7) <?@) = 2r12sech2r1(e-e0)) |? = 1, |§-=_4Л2-
Здесь г\ и 8о— произвольные параметры, которые могут зависеть
от «медленного времени Т = et. В предположении квазистацио-
нарности получим
C.8.8) - 4т12<?е + 6<7<7е + <?еее = -eyq- eqT.
Разложив q в ряд по е, в главном порядке получим уравнение
C.8.9) - 4т,2<7«» + 6^°><Г + Се = °
и возьмем его решение в виде (солитон КдФ)
В порядке е получим
C.8.10) ~
Я» = - Y4@) - qf = - Y<7@) ~
1
qf = - Y<7@) ~ Y" {2<7(O) + (9 - б
Функция 4@> является подходящим (быстро убывающим при
|9| -> оо) решением задачи, сопряженной к Си = 0, т. е.
C.8.11) /><7@> = 0, 1А = 4т12ае - 6<т<0>дв - д*.
Условие совместимости
C.8.12)
приводит к
C.8.13) i|l = _|Y> или
Это означает, что из-за диссипации {у > 0) амплитуда и ско-
рость солитона адиабатически убывают — наиболее важный ре-
Ю Зак. 114

290 3. Различные перспективы
зультат в этой задаче. Уравнение C.8.10) при выполнении
C.8.13) можно решить. В результате получим
C.8.14) 0»> =-Х[_ 1 + thq> + 3 (l +^e°r) A -<pthcp)sech2cp +
4- ф B — ф th ф) sech2 ф I,
где ф = т}(8 — 8о) (см. упражнения в конце этой главы). Отме-
тим, что ниже будет найдено 9(г0). Более высокие порядки ука-
зывают на неприменимость этого разложения при 1 Ф | = О (е~1/2).
Это соответствует границе применимости разложения Каупа,
Ньюэла [267] и Карпмана, Маслова [255] при' t ~ О(е~1/2).
Формула C.8.14) показывает, что диссипация приводит к по-
явлению полочки; действительно, в асимптотике получим
C.8.15)
-^-{1-2ф2ехрBф) при 1 <-?«O(S-"
—-gj-ехр (—2ф) при 1 « ф « О (е-1/2).
Это полностью согласуется с результатами, полученными с по-
мощью МОЗР. Отметим, что параметр 6@) может выбираться
произвольно; при этом член 9^A — фШф)зесп2ф можно вклю-
чить в решение главного порядка ф°\ сдвинув аргумент т) -> т| —
— е9^?у8т). Мы привели наиболее существенные результаты, ка-
сающиеся теории возмущений; читатель, не заинтересованный
в более детальном рассмотрении, может перейти прямо к
разд. 3.8. Ь.
Если 1] задана начальным условием, то можно определить,
какому уравнению подчиняется 9@). Рассмотрим задачу Коши,
причем в качестве начального условия выберем невозмущенный
солитон
C.8.16) q (х, 0) = 2ti2 sech2 ч\х.
Из C.8.16) следует соотношение (скорость изменения энергии)
ЭО ОО
C.8.17) 4 \ q2dx = -2ey \q2dx.
— оо —оо
Кроме этого, предположим, что q можно представить в виде
qs + 8q, где qs — солитонная часть решения, а 8д — поправка к
ней. Для того чтобы воспользоваться формулой C.8.17), нам
необходимо знать решение в областях, удаленных от солитона.
Учитывая C.8.13) (в главном порядке C.8.17) совпадает с

3.8. Возмущение и устойчивость солитонов 291
C.8
C.8.
где
.13))
18)
Л@
лучим
C.8,
.19)
, получим
р со
J-OO
FqJ/2}dx. Из условия dq(x, 0) = 0 по-
л @ = 0.
Оказывается, что длина полочки имеет порядок О(е~') для t ~
~ О(е~'). При этих временах порядки первого и второго чле-
нов в A(t) совпадают. На самой начальной стадии задача яв-
ляется нестационарной, но нестационарная часть волны быстро
движется к хвосту солитона. Для времен t ~ О(е~') решение в
области | 9 | <С О (е~1/2) является квазистационарным, и там
8q = 8q(d, T). Поэтому для определения уравнения, которому
подчиняется параметр 8@), потребуем выполнения следующего
дополнительного условия:
C.8.20)
Условие C.8.20) дает
C.8,21)
Отметим, что в интервале времени 0A) </<О(е-') вторым
членом в C.8.21) 1т. е. \ FqJdx в A(t)\ можно пренебречь.
В этом интервале времен формула C.8.21) согласуется с резуль-
татами работы [255]. Для того чтобы пользоваться формулами
C.8.20), C.8.21), нужно знать б^ при -6 < О (е'2).
В области |8 | <С О (е~1/2) решение является квазистацио-
нарным, но вне ее оно существенно зависит от х и t. Для времен
t порядка О (е-1), т. е. в области О (е~1/2)< (— х) < оо, за соли-
юном, разложение является неравномерным из-за наличия по-
лочки. Решение уравнения C.8.6) в этой области аппроксими-
руется, как показано в работе [278], решением q уравнения
C.8.22) qt + qxxx = -
с граничными условиями
C.8.23) ?(*

292 3. Различные перспективы
С учетом этих граничных условий (с подвижной границей) по-
лучим решение уравнения C.8.22)
C.8.24) g(*.O--g
где Ai (г) — функция Эйри, z = x/CtI13 и Т0(ех) определяется
°4y\(T')dT'. Отметим, что 6q
о
в C.8.20), C.8.21) можно заменить на q.
В области 0 ^> 0(е~1/2), т. е. перед солитоном, разложение
также является неравномерным. В ней из-за экспоненциальной
малости решения снова применимо уравнение C.8.22). Решение
q можно получить, воспользовавшись методом ВКБ:
C.8.25) Фг-4т12фу + ф3у = 0,
Y = е F - 90), Т = et.
Таким образом, «равномерное» приближенное решение имеет
вид
(q, -e>O(e-1/2),
C.8.26) q (х, 0 = ] <7<0) (в, Т) + е^«> (9, Т), \ 6 | <С О (е'2),
lq, Э > О (е-1'2).
Мы не будем здесь углубляться в детали, но отметим, что поучи-
тельно проанализировать законы сохранения. С их помощью
можно проверить полученную формулу, но, кроме этого, законы
сохранения могут служить отправным пунктом для анализа. При
этом следует проявлять предельную осторожность, но если все
сделать правильно, то можно воспроизвести все полученные ре-
зультаты. (См., например, [414] (отметим, что результаты этой
работы следует модифицировать из-за наличия полочки), [267],
[278].) Другой пример — диссипативное возмущение нелиней-
ного уравнения Шрёдингера — приведен в упражнениях.
3.8.Ь. Сильно нелинейное уравнение КдФ с затуханием. Те-
перь мы кратко рассмотрим диссипативные возмущения сильно
нелинейных неинтегрируемых уравнений КдФ и Шрёдингера.
При достаточно сильной нелинейности мы обнаружим, что тео-
рия возмущений указывает на возможность коллапса возмущен-
ной волны, приводящего к образованию сингулярностей, таких,
как в сильнонелинейном уравнении Шрёдингера (Захаров и Сы-
нах A976) [549]),

3.8. Возмущение и устойчивость солитонов 293
Рассмотрим сильно нелинейное уравнение
C.8.27) qt + Aqpqx + qxxx =
невозмущенное солитонное решение которого можно предста-
вить в виде
C.8.28) <7@> = a sech2'? i\ F - 9°),
<Элг ' dt ~ р
1
2 '
где а определяется из соотношения Аар = 2(р + 1) (р + 2)г|2//?2.
В предположении квазистационарности возмущенного решения
имеем
F (Ф = — Y9 —
В порядке е получим
C.8.30)
1|
Воспользуемся тем, что LAqi0) = Q. При этом условие совмести-
мости
C.8.31) J 4@)^A) D@)) ^ = 0
— оо
приводит к
/ооооч 1 аг| _ 2р
\.ал-а*> г\ дТ ~ 4-р У-
Из C.8.30), C.8.32) следует наличие полочки, так как
оо
C.8.33) 4A)->- w1?-p) \ГЫ6 при е->-°°-
Этот результат (полученный понижением порядка в уравнении
C.8.30)) согласуется при р = 1 с C.8.15). Равномерное прибли-
жение (при р < 4) может быть получено уже описанным мето-
дом. Из C.8.32) видно, что теория возмущений перестает быть
справедливой при р = 4. Это означает, что гипотеза квазиста-
ционарности несправедлива при такой нелинейности. Другими
словами, возмущение не является адиабатическим. При р ^ 4
это может означать, что уравнение допускает коллапсирующие
сингулярности. В рассматриваемой задаче мы не доказали су-
ществования этих сингулярностей, но мы покажем, что они воз-

294 3. Различные перспективы
пикают в аналогичной задаче для «сильно нелинейного» уравне-
ния Шрёдингера.
Рассмотрим уравнение
C.8.34) iqt + qxx + A\q\2pq=-ieyq, р>2,
имеющее невозмущенное решение в виде уединенной волны
C.8.35) q0 = a sech"? r| (в — 9<°>) ехр i (а - а<°>),
где Аа2р = (р -f- 1)ц2/р2. Здесь для простоты мы ограничимся
покоящимся решением, т. е.
C.8.36) #=1, #- = 0, -^ = 0, -Й- = 4-
v ' дх ' dt ' дх dt p2
В предположении квазистационарности решения q — q{QT, е) X
Хехр(йт — /а@)) получим
(Т/Р) <7 + 4ео + А | </|2р ^ = eF (q),
(о.о.о/)
В порядке е имеем
C.8.38) — (Л-J <7A) + ^ее + (Р '
Подставив ^A) = фA) + $1\ получим
C.8.39а) _(Л1)ф<1) + Ф(е^ + ^Bр+ 1) (^>JрфA) = Re
C.8.39Ь) - (^) фA» + ^ + Л ^(°)Jр ф«) = Im
Условие совместимости
C.8.40)
дает
П84П 1 <?^1 _ 2Р
ld.e-41) ч аг — 2_р Y-
При р = 2 теория возмущений неприменима! Таким образом,
если степень нелинейности равна или превосходит 5, то возмуще-
ние существенным образом влияет на решение. Но по существу
этот эффект вызван не возмущением, а скорее является неотъем-
лемой чертой самого уравнения. Сейчас мы покажем, как, ис-
пользуя законы сохранения, Захаров и Сынах [549] доказали,
что уравнение C.8.34) допускает коллапсирующие решения,

3.8. Возмущение и устойчивость солитонов 295
Рассмотрим эволюцию во времени следующей величины:
оо
C.8.42) /= J x2\q2\dx.
— оо
Из C.8.34) следует
C.8.43) -g- + 4eY -? + W = 8 $ {I <?* f - .ц^ту I <7 Г2} dx.
При р = 2 получим
C.8.44) -g. = 8/3 + O(e),
где /з является интегралом движения (при у =
C.8.45) /3
Если /з < 0, то это означает, что J обратится в нуль в конечный
момент времени, т. е. решение станет сингулярным (фокусиров-
ка). Для уравнения C.8.27) при р ^ 4 доказательство сущест-
вования коллапса пока отсутствует.
Отметим, что аналогичным способом можно доказать суще-
ствование коллапсирующих решений у двумерного нелинейного
уравнения Шрёдингера
C.8.46) iAt + Лхх + Ауу + 21 А ? А = 0.
Это уравнение имеет следующие интегралы движения:
C.8.47)
Прямым вычислением (Захаров, Сынах [549], Таланов [473])
проверяется, что
C.8.48) -tfr
При этом если в начальный момент /2 < 0, то за конечное время
в решении возникает сингулярность.
3.8.с. Устойчивость солитона уравнения Кадомцева — Пет-
виашвили относительно поперечных возмущений. Возникает есте-
ственный вопрос об устойчивости солитонов и уединенных волн.
Обычная устойчивость солитонов (не поперечная) не вызывает
сомнения, когда к уравнению применим МОЗР. Но довольно ча-
сто оказывается, что решение является неустойчивым по отно-
шению к поперечным возмущениям. В качестве примера мы

296 3. Различные перспективы
рассмотрим уравнение Кадомцева — Петвиашвили (т. е. двумер-
ное уравнение КдФ).
Уравнение К—П имеет вид
C.8.49) дх (щ + 6иих + иххх) = - 3^оиуу, а = ±1.
Предположим, что имеется длинноволновое возмущение в на-
правлении у, т. е. |р| <С 1.
Невозмущенное уравнение
C.8.50а) N (и<°>) = дх (uf + 6и<%«» + ufxx) = 0
имеет решение
(о> = 2n2 sech2 "Л (9 —
6 = х - 4т]2*, 9<°> = 610> (Т, у), л = const.
C.8.50b) о_„ ,2i
Воспользовавшись стандартным многомасштабным разложе-
нием, перепишем уравнение К—П в переменных 9, Т, у:
C.8.51) ае (— 4ifMe + 6мме + "еее) = — идт — Зр2аи^.
Разложив и = м@) + риA) + р2иB) + ... и собрав коэффициенты
при одинаковых степенях р, получим серию соотношений
C.8.52а) ЛГ (м<°>) = де (- 4т12и*е°> + 6и<0>и{,°> + м^°е>9) = 0,
C.8.52b) dBL(u^)
где
C.8.52с) deL («<»») = дв (- 4^M(9") + 6
Удобнее работать с C.8.52Ь) в проинтегрированной форме
е
C.8.53) L (и<»>) = - Ayfuf + 6 {ФЫп\ + м^е = #"("> = J Я»> rf6'.
Оператор, сопряженный к L, имеет вид
C.8.54) /Л> = 4т12уе — 6м<°)уе - weee.
Ясно, что v = м@) является решением уравнения LAv = 0. Вос-
пользовавшись тождеством Грина vLu{n) — u{n)LAv = ^"(">, полу-
чим (с помощью интегрирования), что для существования огра-
ниченного решения и(п) должно выполняться условие
C.8.55) jj ЗГ^и^ rf9 = 0.
При га=1 мы имеем Т^ = 8<г°>и№, и условие C.8.55) вы-
полняется автоматически. Решение м'1' неоднородного уравнения

3.8. Возмущение и устойчивость солитонов 297
имеет вид
C.8.56) u«> = -gj
решение однородного уравнения включено в ы@). При п = 2 по-
лучим
C.8.57) ЗГ® = — дв (бы»)) 4" + «Vr1 ~ За \ ufy
Условие C.8.55) приводит к
C.8.58а) --gj^e^ J B (u
или
C.8.58b) 6<$ - 48atis««» = 0;
для условия C.8.55) существенна только четная по переменной
б — б@) часть функций @~(п). Таким образом, при a = +1 соли-
тон является неустойчивым по отношению к поперечным возму-
щениям, при a = —1 солитон, по-видимому, является нейтраль-
но устойчивым (хотя этот факт нами не доказан) '). Для волн
на поверхности воды неустойчивый случай реализуется, если по-
верхностное натяжение является достаточно сильным.
В упражнениях обсуждается пример поперечной неустойчи-
вости солитонов двумерного нелинейного уравнения Шрёдин-
гера. Отметим, что в этом случае одномерный солитон оказы-
вается неустойчивым.
Следует отметить, что:
(i) В большинстве случаев задачу об устойчивости можно
решить с помощью обычных многомасштабных разложений либо
более стандартного подхода (см. Захаров, Рубенчик [543]J);
(ii) Эти идеи применимы также в случае многомерной за-
дачи о самоиндуцированной прозрачности (см. разд. 4.4 и [13])
и при изучении устойчивости волновых пакетов на поверхности
жидкости конечной глубины (солитоны опять оказываются не-
устойчивыми относительно поперечных возмущений, см. Абловиц,
Сигур [28]). При этом опять оказывается, что и солитоны, и
бризеры неустойчивы относительно длинноволновых поперечных
возмущений.
') В этом случае, как показано в работах [11*, 12*], солитон является
асимптотически устойчивым, так как поперечные возмущения затухают со
временем, излучая свою энергию в непреывный спектр. — Прим. перев.
2) См. также обзор [13*], [14*].

298 3. Различные перспективы
Упражнения
Раздел 3.1
1. Пусть C(k2/4)—целая функция k2. Покажите, что преоб-
разование C.1.1) отображает любое высшее уравнение мКдФ
в соответствующее высшее уравнение КдФ
(°° \
при этом С(&2/4) в обоих случаях является фазовой скоростью
линеаризованного уравнения. (Сделать это можно различными
способами. Красивое решение было предложено А. Рамани; он
воспользовался линейными интегральными уравнениями A.3.27),
A.3.37) и отождествил (Ki + Ki) в A.3.27) с К в A.3.37).)
2. Совершенно ясно, что, подставив C.1.2) в любое уравне-
ние D(u) = О, мы получим Е(В) = 0, которое отображается в
D{u) = 0 с помощью C.1.2). Обратно, предположим, что
E(Q) = 0 является линейным уравнением с заданным диспер-
сионным соотношением ®(k) (т. е. обобщением C.1.3)). Что есть
в этом случае D(u) = 0?
3. Рассмотрим
где а — постоянная, а к == К((и — v)/2) удовлетворяет уравне-
нию
К'" + 2<хП' = 0.
Рунд [436] предложил эти соотношения в качестве ПБ уравне-
ния
в себя. Это уравнение является весьма интересным, так как, по-
ложив их = ф, мы получим уравнение
Ф, + щ\х + <рххх = 0,
не имеющее солитонов и обладающее только тремя полино-
миальными законами сохранения. Покажите, что предложенное
ПБ на самом деле не является ПБ,

Упражнения 299
4. Пусть
где а, р — произвольные функции, a C\, с2 — постоянные.
(a) Покажите, что это преобразование не является ПБ.
(b) Покажите, что это преобразование является точечным,
т. е. v = V(x, t, u(x, t)). Найдите функцию V.
5. (а) Задача рассеяния для уравнения sin-Гордон имеет вид
(это следует из A.2.17), A.2.18))
Найдите D(u) = О и E(v) = 0. Как связаны уравнения D(u) — 0
и sin-Гордон?
(Ь) Определим V — V\/v2 и U = q — г. Покажите, что задача
рассеяния определяет ПБ между D(U) =0 и E(V) =0. Выве-
дите C.1.7) из ПБ.
6. Захаров A974) [527] представил уравнение Буссинескав
виде
ut = Ax, At = [и + и2 + i- ихх^х
и получил его из задачи рассеяния
+ A + 2м) ^ = Лг|з,
4 \ 1/2 , , .4 .
Покажите, что это является преобразованием Бэклунда.
7. Покажите, что задача рассеяния для уравнения трехвол-
нового взаимодействия (разд. 2.1) является преобразованием
Бэклунда.
8. (а) Найти преобразование Бэклунда между уравнениями
КдФ пятого порядка и мКдФ пятого порядка.
(Ь) Найти ПБ уравнения КдФ пятого порядка в себя.
Раздел 3.2
1. Покажите, что ПБ C.1.19), C.1.20) уравнения КдФ в се-
бя может быть приведено к виду C.2.5) при N — 1. Таким об-
разом, это ПБ является псевдопотенциалом.
2. (а) Покажите, что

300
3. Различные перспективы
является ПБ уравнения C.2.6) в себя при произвольном значе-
нии параметра X.
(b) Найти общий вид решения уравнения C.2.6) типа бегу-
щей волны, предположив, что и = и(х — ct).
(c) Отправляясь от этого решения, найти при помощи ПБ
другое точное решение уравнения C.2.6). Можно ли рассматри-
вать это решение как двухсолитонное?
(d) Это ПБ можно вывести из преобразования Коула — Хоп-
фа следующим образом: (i) если 0 удовлетворяет уравнению
теплопроводности, то функция и, вычисленная по формуле
C.1.2), удовлетворяет уравнению C.2.6); (и) -ф = 9* также удо-
влетворяет уравнению теплопроводности; (ш) функция V, оп-
ределенная по -ф с помощью C.1.2), удовлетворяет уравнению
C.2.6); (iv) связь между V а и является искомым ПБ (см.
п. «а») (М. Краскал, частное сообщение).
3. Найти матричное представление решения соотношений
C.2.19). Построить линейный псевдопотенциал. Является ли он
ПБ?
4. (а) Покажите, что уравнение C.2.20) имеет псевдопотен-
циал тогда и только тогда, когда соотношения C.2.21) обладают
нетривиальными решениями. Покажите, что псевдопотенциал
тривиален, если а = у = 0.
(b) Покажите, что при N = 1 единственное решение соотно-
шений C.2.21) имеет а = у = 0.
(c) Уравнение C.2.20) не имеет очевидных законов сохра-
нения. Чему соответствует абелево решение соотношений
C.2.21)?
5. Предположим, что в C.2.30) а\ имеет каноническую жор-
данову форму
Я, 1 0 ...
0 X 1 0 ...
0 0 X 1 0 ..
о %
и единственный собственный вектор vn- Пусть
такой ортонормированный базис, что
i, ..., vn)
и т. д.
(а) Покажите, что линейная оболочка векторов (vm, vm+u ..,
, vn) является инвариантным подпространством ai для лю-

Упражнения 301
бого т = 1, . .., п. Покажите, что две коммутирующие матрицы
имеют одинаковые инвариантые подпространства.
(b) Покажите, что собственный вектор vn матрицы а\ отве-
чает закону сохранения, зависящему от (и, их, ..., щр-\)Х), что
vn-\ отвечает закону сохранения, зависящему от (vn, и, их, ...
... , «(р-1)л), И Т. Д.
(c) Покажите, что любая абелева алгебра Ли соответствует
набору законов сохранения рассматриваемого уравнения и что
они могут быть как тривиальными, так и нетривиальными.
6. Покажите, что уравнение
Щ + иххх + f(u)ux = 0
имеет псевдопотенциал, зависящий от (и, их, цхх), тогда и толь-
ко тогда, когда
f (и) — с0 -f схи -f с2и2
(Уолквист и Эстабрук [497]).
7. Докажите, что соотношения C.2.21) не имеют неабелевых
решений. Пусть а, 0, \, б являются N X jV-матрицами; выберем
систему координат для q так, чтобы в ней матрица а имела нор-
мальную жорданову форму.
(a) Предположим, что а диагональна. Покажите из C.2.21а),
что а = 0. Покажите, что при этом алгебра Ли является абеле-
вой.
(b) Теперь предположим, что матрица а не может быть диа-
гонализована. Пусть матрица а имеет только одно собственное
значение (Я,) и один собственный вектор. Вычислите след соот-
ношения C.2.21а) и покажите, что X = 0. Поэтому
а«, ,-+1 = Ь а«/ = 0 (j?=i+ !)•
Покажите, что из B.2.21а) следуют соотношения
Y,-, / = 0 если i > /,
Y/, г = г -j- A1 для некоторого М, / = 1 ..., N.
Вычислите след выражения B.2.21 d) и покажите, что
Покажите, воспользовавшись C.2.21d), что
pf+,,, = i(JV — 0/2 > 0, /=1, 2, ..., N-\.
В 'C.2.21b) обозначим Q = [а, б] + [0, \] — а. Вычислите
2/_i (Q)(+i, « и покажите, что при этом возникает противоречие
для N > 1.
(с) Осталась единственная возможность: матрица а имеет
более чем один, но менее Af собственных векторов. Таким обра-

302 3. Различные перспективы
зом, а имеет две или более жордановы клетки вдоль диагонали
и нули в остальных местах. Базис можно выбрать так, чтобы
самая большая клетка была располжена в левом углу. Вычис-
лите частичный след соотношения C.2.21а) для каждой клетки и
покажите, что все собственные значения матрицы а равны нулю.
Матрицу \ можно разбить на блоки, согласованные с а, но при
этом ее недиагональные блоки (которые, вообще говоря, могут
не быть квадратными) не обязательно равны нулю. Покажите,
что диагональные блоки имеют точно такой же вид, как в слу-
чае (Ь), и что каждый недиагональный блок является верхне-
треугольным. В остальном доказательство такое же, как в
п. (Ь), за исключением того, что, воспользовавшись C.2.21A),
следует доказать равенство нулю собственных диагоналей не-
диагональных блоков Y- Определим R = [«, Р] — Y. тогда
2;(К( + 1.г) (см. C.2.21 d) приводит, как и в предыущем случае,
к противоречию, если N ф \.
(d) Таким образом, соотношения C.2.21) не имеют решений
при недиагонализуемой матрице а. Если матрица а диагонали-
зуема, то решение является абелевым.
8. Рассмотрим уравнение
щ-\-и2их — иххх = ихх.
(a) Покажите, что это уравнение имеет ограниченные на
всей оси —оо << х < оо стационарные решения (и = f(x— ct)),
но среди них нет периодических решений. Опишите апериодиче-
ское решение.
(b) Более тонкий вопрос состоит в следующем. Существуют
ли ограниченные неосциллирующие стационарные решения?
(c) Коронес и Теста [122] показали, что это уравнение имеет
неабелев псевдопотенциал. Они не проверили, приводит ли этот
псевдопотенциал к ПБ или к задаче рассеяния, взаимодействуют
ли решения из п. а) как солитоны и можно ли эту задачу точно
решить. Имеет ли это уравнение псевдопотенциал?
Раздел 3.3
1. Исследовать сдвиги фаз солитонов в двухсолитонном ре-
шении уравнения мКдФ. То же самое для уравнения sin-Гордон
и нелинейного уравнения Шрёдингера.
2. Воспользовавшись преобразованием Бэклунда в билиней-
ной форме C.3.72), вычислить двухсолитонное решение C.3.76),
отправляясь от односолитонного решения C.3.74).
3. Воспользовавшись формулой суперпозиции солитонов и
солитонными решениями с небольшим числом солитонов, вычис-
лить константу С в C.3.86).
4. Воспользовавшись C.3.87), вычислить собственную функ-
цию г|> по первым двум солитонным решениям.

Упражнения 303
Раздел 3.4
1. Покажите, что C.4.25) вместе с уравнением КдФ C.4.1)
либо вместе с вырожденным ПБ C.4.26) даст одинаковые ра-
циональные решения.
2. Чем отличаются автомодельные рациональные решения
уравнения КдФ, т. е. и = Ct)~2/iw(z), z = x/Ct)l/3, от всего
класса рациональных решений уравнения КдФ?
3. Получите следующее рациональное решение уравнения
Буссинеска C.4.34) (отвечающее F3) и уравнение мКдФ C.4.43)
с ненулевыми асимптотиками (отвечающее F3, G3).
Раздел 3.5
1. Изучите структуру двухсолитонного решения C.5.1). Ка-
кой сдвиг фаз возникает в результате взаимодействия? Каким
он будет для jV-солитонного решения?
2. Как получить C.5.38) из C.5.37)?
3. Проверьте, что C.5.39) в самом деле приводит к C.5.41)
при б -> 0 и к C.5.42) при б -> оо.
4. Имеется решение C.5.48). Предположим, что &i->0. По-
кажите, что, за исключением случая 6k ~ п, результат перехода
к пределу является тривиальным.
5. В каком смысле C.5.63) представляет собой задачу Ри-
мана — Гильберта? Можно ли это представление рассматривать
как задачу рассеяния?
Раздел 3.6
1. В каком смысле подход, основанный на уравнении C.6.8)
с LiF = 0 и операторами L\, L2, определенными в C.6.12),
C.6.16), является более общим, чем метод обратной задачи рас-
сеяния, описанный в гл. 1? В каком смысле полученная инфор-
мация будет меньше?
2. Покажите, что «факторизованное» уравнение C.6.51) дает
уравнение Гельфанда — Левитана C.6.53).
3. Пусть Mi, M2 заданы формулой C.6.61). Покажите, что
условие (ТЙь М2) = 0 в самом деле приводит к уравнению Ка-
домцева— Петвиашвили C.6.63).
4. Как получить резонансное решение Майлза [376] из
C.6.68)?
Раздел 3.7
1. (а) Покажите, что / = г/2 является точным решением урав-
нения C.7.1с). Какое решение уравнения C.7.1а) соответ-
ствует f?
(b) Пусть f(z) = z/2 -\- g(z). Какому уравнению удовлетво-
ряет функция g(z)? Проверьте, что g является интегрирующим
множителем, и проинтегрируйте уравнение один раз. Получен-
ное уравнение второго порядка содержится в списке книги [238,

304 3. Различные перспективы
гл. 14] под номером XXXIV. Покажите, что приведенное там «ре-
шение» этого уравнения является на самом деле преобразова-
нием Миуры [379].
2. После формулы C.7.5а) намечено «частичное доказатель-
ство» гипотезы о свойстве Пенлеве. В каком смысле это доказа-
тельство является частичным?
3. Уравнение Бюргерса
щ + иих = ихх
точно линеаризуется преобразованием Коула — Хопфа (см.
разд. 3.1, 3.2). Покажите, что оно допускает решение типа бегу-
щей волны и автомодельное решение. Покажите, что в обоих
случаях соответствующее ОДУ можно один раз проинтегриро-
вать, и в результате получится обобщенное уравнение Риккати
C.7.3), т. е. оно Р-типа.
4. Уравнение Фишера
ut — u — и2 + ихх
не имеет псевдопотенциала (см. разд. 3.2). Какому ОДУ подчи-
няются решения типа бегущей волны и = и(х — ctO Покажите,
что это уравнение будет Р-типа только в случае с2 = 25/6.
При этих специальных значениях Абловиц и Зепетела [30]
проинтегрировали это ОДУ и нашли, по-видимому, единственные
явные решения этого уравнения.
5. Обобщенное уравнение КдФ имеет вид
щ + ипих + иххх = 0.
Какому семейству ОДУ удовлетворяют решения этого уравнения
в виде бегущей волны? Для каких п эти уравнения будут Р-ти-
па? (Сравнить полученное утверждение с результатом для упр. 6
разд. 3.2.)
6. (а) Каков автомодельный вид уравнения C.7.10)? Пока-
жите, что решения этого ОДУ имеют подвижные логарифмиче-
ские точки ветвления. Это указывает на то, что решение линей-
ного интегрального уравнения обратной задачи рассеяния не мо-
жет непосредственно удовлетворять уравнению sin-Гордон.
(Ь) Покажите, что подвижные точки ветвления исчезнут либо
после дифференцирования, либо после экспоненциальной заме-
ны, указанной сразу за формулой C.7.11). Напомним, (см.
A.2.18)), что МОЗР позволяет определить их, а не и. Этот при-
мер показывает, что если подвижная критическая точка являет-
ся достаточно простой, то ее можно исключить подходящим пре-
образованием.
7. Имеются серьезные основания считать, что «двойное урав-
нение sin-Гордон»
uxt = sin и -f- К sin 2«

Упражнения 305
нельзя проинтегрировать с помощью МОЗР (см. разд. 4.4). Най-
дите его автомодельное решение. Соответствующее ОДУ имеет
подвижные логарифмические точки ветвления, как и в случае
уравнения sin-Гордон. Покажите, что после экспоненциальной
замены это уравнение по-прежнему будет иметь подвижные кри-
тические точки.
8. Михайлов ') A979) [374] показал, что к уравнению
применим МОЗР. Покажите, что соответствующее автомодель-
ное уравнение не имеет вида C.7.4), но приводится к нему экс-
поненциальной подстановкой. Покажите, что это уравнение Р-
типа. (Это ОДУ, в сущности, является уравнением Рщ, но оно
отсутствует в списке Айнса [238]! Это показывает, насколько
опасно поверхностное сравнение со списком. Дело в том, что
указанные в списке уравнения приведены к «каноническому»
виду, а эквивалентные им уравнения не указаны. Поэтому мы
рекомендуем каждый раз анализировать структуру критических
точек, а не пользоваться готовым списком.)
9. Захаров A981) [530] сообщал о численных эксперимен-
тах, результаты которых наводят на мысль, что уравнение
может обладать некоторыми специальными свойствами. Най-
дите автомодельное решение. Покажите, что соответствующее
ОДУ не является уравнением Р-типа.
10. «Уравнения Буссинеска» (обращаем внимание на множе-
ственное число)
тт
Щ + uux + ghx + -T hxtt = 0
>) Уравнение, о котором идет речь в этом упражнении, в качестве канди-
дата в интегрируемые системы впервые повилось в работе Жибера и Ша-
бата A979) [1*]. В этой работе была впервые решена задача о классифика-
ции уравнений заданного вида, точнее uxt = F(u), обладающих симметрией
достаточно высокого порядка, причем никаких вспомогательных гипотез при
этом сделано не было. Под непосредственным влиянием работы [1*] воз-
никла работа [14], в которой была найдена необходимая для применения
МОЗР задача рассеяния и получена рекуррентная формула для бесконечной
последовательности законов сохранения. МОЗР для этого уравнения был
развит в работе [374], там же было показано, что нетривиальных локаль-
ных законов сохранения существует бесконечно много. Следует отметить, что
еще раньше это уравнение было выписано в работе Булоу и Додда [16*],
где оно фигурировало в качестве примера уравнения, не имеющего локаль-
ных законов сохранения, а следовательно, и симметрии с порядком боль-
шим 11 (теорема 9). Но ошибки в доказательстве своей теоремы авторы
пока не обнаружили (см. [79], стр. 159—160). — Прим. перев.

306 3. Различные перспективы
описывают эволюцию длинных волн, распространяющихся в обо-
их направлениях (см., например, Уизем [505]). Найдите ста-
ционарное решение и исключите и. Покажите, что полученное
ОДУ на h не является уравнением Р-типа,
11. Рассмотрите уравнение
"Р* + 4>хх — Ъу — 21 Ф 12Ф = 0,
описывающее эволюцию волновых пакетов на поверхности глу-
бокого водоема без учета поверхностного натяжения (см.
разд. 4.3). Покажите, что у этого уравнения имеется точная ре-
дукция к уравнению C.7.26). Можно ли к нему применить
МОЗР?
12. Уравнение Кадомцева — Петвиашвили
(щ + 6иих + иххх)х + 3оиуу = 0, <т=±1,
интегрируется с помощью МОЗР. Покажите, что:
(a) не зависящие от у решения удовлетворяют уравнению
КдФ;
(b) решения типа бегущей волны и(х — ct, у) удовлетворяют
уравнению Буссинеска;
(c) при с = 0 оно дает стационарное решение (стоячие
волны);
(d) автомодельной переменной является
Покажите, что полученное при этом ОДУ для функции F(z)
один раз можно проинтегрировать. Умножьте уравнение на F и
покажите, что F2 удовлетворяет уравнению Рц [429];
(е) «модифицированное уравнение К—П»
(vt — Qv2vx + vxxx)x + avyy = 0
можно рассматривать как B -f 1)-мерный аналог уравнения
мКдФ (см. разд. 4.1), Какому ОДУ подчиняется автомодельное,
не зависящее от времени решение этого уравнения? Покажите,
что это ОДУ не является уравнением Р-типа.
13. Здесь мы покажем, что тривиальную формулировку свой-
ства Пенлеве, предложенную в работе [22], следует модицифи-
цировать. Уравнение Бенджамина — Оно
Щ -\-иих + Н (ихх) = 0
(Н — преобразование Гильберта) является, по-видимому, инте-
грируемым при помощи МОЗР (см. разд. 3.5, 4.1). В разд. 3.5
при построении рациональных решений обсуждалась точная ре-
дукция этого уравнения к системе ОДУ. Мы получили систему

Упражнения 307
уравнений Калоджеро — Мозера и, в частности,
" _ 2 °° 2
Мы могли бы смотреть на эти ОДУ как на нелинейные эволю-
ционные уравнения, интегрируемые с помощью МОЗР. Но реше-
ние системы Калоджеро — Мозера не связано с каким-либо ли-
нейным интегральным уравнением типа C.7.5а).
(а) Покажите, что эта система ОДУ допускает подвижные
алгебраические точки ветвления, т. е. при ?-> /о
(b) Получите указанный результат, воспользовавшись об-
щим решением этой системы ОДУ, приведенной в разд. 3.5. Это
демонстрирует важность точных редукций в ОДУ в перемен-
ных, присущих линейному интегральному уравнению.
(c) Возникшая ситуация вовсе не связана с тем, что урав-
нение Б—О не является дифференциальным в частных произ-
водных. Покажите, что система C.5.36), полученная при изуче-
нии рациональных решений уравнения КдФ, также допускает
подвижные алгебраические точки ветвления.
(d) Еще проще редукцию C.7.1а) к C.7.1с) можно полу-
чить, положив
и(х, t) = g(()f{z), z = —^з-.
(it)
При этом ОДУ для f(z) совпадает с C.7.1с) и является урав-
нением Р-типа. Покажите, что ОДУ для g(t) не является урав-
нением Р-типа. Еще раз подчеркнем, что (t) не играет никакой
роли в линейном интегральном уравнении.
(e) Тем не менее следует отметить, что в обоих обсуждав-
шихся случаях соответствующие уравнения могут быть преобра-
зованы к ОДУ Р-типа. Возможность таких преобразований сле-
дует учесть в формулировке гипотезы о свойстве Пенлеве.
Раздел 3.8
1. (а) Покажите, что если мы положим y = thr\(Q — 9@)),
то C.8.10) можно переписать в виде
где
Зт) 1 + у ^ Зт) Ш 1 - у ^ дТ
(Ь) Учитывая, что Lv = 0 является уравнением Лежандра,
покажите, что о = Р\{у) = 15г/A — у2) является единственным

308 3. Различные перспективы
подходящим решением. Затем, воспользовавшись методом ва-
риации постоянной, т. е. представив
получите уравнение для B(y) = dA/dy:
dB 2(l-V) _
dy + у (l-у*) В~^'
n _ 2y 1 - у 2y 1 ¦ 1 + у 2 d8@> 1
45л УО~У2K ^ 45л i/U-2/2J \~У "^ 15 <5Г г/ A — г/2J *
(с) Получите решение этого уравнения первого порядка
2. Рассмотрите возмущенное НУШ следующего вида:
A) iqt + qxx + 2q2qr=-ieyq.
(а) Покажите, что
<7о = Ц sech Ti F — 0<О)) ехр [% F - 6<0') + / (а — а<°))],
где
является решением невозмущенного уравнения. Здесь |, т], 0@' и
о@) — произвольные функции медленной переменной Т = е^.
(Ь) Предположим, что квазистационарное решение уравне-
ния A) имеет вид
q = q F, Т, е) ехр Ш F - б*0*) + i(a- <т<°>)].
Подставьте его в A) и получите
= - /Y^ - iqT + (9 -
Предположим, что $ разлагается в ряд
q@, Т, е) = <7<0)F, Г) + е4("F, Т) + ...
и главный порядок решения есть
<f> = л sech т) F - 6«»).
Покажите, что в первом по е порядке получится
- чЧ1) + Ш + 4 ^@)J ^U) + 2

Упражнения 309
где Я» = F (<f°>). Представив дA) = Ф0) + 4(|) (ФA). ?1] — веще-
ственные функции), получите
? 6 D'°)J ф"> = Re [Я1»],
ф{1) = Im
(с) Заметив, что операторы L, М являются самосопряжен-
ными и Lq^ = 0, М$<0) = 0, покажите, что условия разреши-
мости даются условиями секулярности
qi0) Im [Я1*] d6 = 0.
Воспользуйтесь этими условиями и получите эволюционные ура-
внения
показывающие, что амплитуда солитона уменьшается (у > 0),
а скорость остается неизменной. Затем вычислите решение
ф«) = _ -JL A0@) + 0(о>) {1 - F - 6<°>) th т| F - 6<°>)} sech r\ F - 9<0>),
,j,(i) = -3. @ _ 0@)) {0@) -f у F - 6<°>)} sech т) F - 6'°))
(при достаточно больших [6 — 0(О)| это разложение следует мо-
дифицировать анало1ично тому, как это было сделано в случае
уравнения КдФ). Здесь мы имеем два произвольных параметра
0@) и сг@)> определяющих фазу и пространственное расположе-
ние солитона. Покажите, что в случае задачи с начальными ус-
ловиями мы должны удовлетворить условиям ортогональности
J $рф = 0, \ 4@)ФA) dQ = 0,
— оо
которые дают
дТ "~U> дТ
Покажите, что эти условия, как в случае уравнения КдФ, мож-
но получить из следующих соотношений (модифицированных за-

310 3. Различные перспективы
конов сохранения):
оо оо
оо
4t \
3. Рассмотрите многомерное НУШ (Захаров, Рубенчик
A974) [543]):
iqt + qxx + 2 \q I2 q = s,2aqyy.
(а) Покажите, что имеется следующее точное невозмущен-
ное решение этого уравнения:
(Ъ) Пусть T = et, о®) = оМ(Т, у), 6<0> = 0<°> (Г, г/) и
• «9« + qxx + 2 к Р <7 = е2а^9 — ieqT.
Положите
и получите
- Щ + qxx + 2\q?q = Mofq - ieqT +
+ M (ЙУУ + Wofqy + Wo „,fl - W {off q).
Разложив q в ряд q = ф0) + е^A> + •••, покажите, что для
обсуждавшегося солитонного решения
- А2<7<0) + С + 21 <?<«> |2 <f> = 0.
Покажите, что в порядке О (е)
<i> + 2
(с) Расщепите это уравнение на вещественную и мнимую
части i?A) = фA) + ?i|>A) и получите
где Lo, L\ — самосопряженные операторы

Упражнения
311
(d) Заметив, что LoqiO),
стимости
= 0, получите условия совме-
= О,
и проверьте, что ipi, Ф1 даются явными формулами
(e) Покажите, что в порядке О (г2) функции удовлетворяют
уравнениям
¦ 2сЛ20(о><7(О) + аЛ20<°><7(О)
аф0) _ аЦ (а@)у фО) _
2 ((фA)J ('Ф'1'J) Ф® 4о'
(f) Покажите, что условия совместимости дают
)dx = 0,
или
аЩ. - 4aX2afy = О
4- ^*а 0(о> = О
' з w
Поэтому независимо от знака а мы получаем, что это решение
НУШ неустойчиво относительно поперечных возмущений. Как
мы уже отмечали, в случае а = —1 уравнение C.8.46) может
иметь коллапсирующее решение (см., например, Захаров и Сы-
нах A976) [549]).
4. В этом упражнении мы покажем, что результаты предыду-
щего упражнения можно получить из других соображений.
(а) Вначале линеаризуем уравнения из упр. 3, положив
«» О) |(О>11AI и найдем
р
<7(О>1>1<7AI.
? + <Й + 41
) V" =

312 3. Различные перспективы
(b) Определим
ф» = Л sech (Л*) еач == #°> (*) ewt,
ф» = (ф (х) + /ф (*)) ешеш sin ky
и покажем, что ф, ф удовлетворяют системе уравнений
(Lo + ak?) г|з = - Оф,
где Lo, Li даны в упр. 3.
(с) Разложите в длинноволновом пределе k-*-0:
Тогда в порядке 0A) имеем
/-оФ@) = О,
L^«» = О
и возьмем безразлично устойчивое решение
В порядке О(k)
Покажите, что имеется решение
d) Покажите, что условия совместимости удовлетворяются
автоматически при п— 1. А в порядке 0(й2) мы имеем
— аф@)
f().
Покажите, что теперь условия совместимости дают
a
— оо

Упражнения
ИЛИ
и
или
оо
a jj qf(\
— оо
р<°> dx —
QA'2
а,
оо
J
— оо
3
313
Последнее согласуется с результатами упр. 3.

Глава 4. Приложения
В этой главе мы рассмотрим некоторые вполне интегрируемые
уравнения в качестве моделей конкретных явлений. Уравнения,
представляющие физические модели, могут обслуживать сразу
много различных физических ситуаций, так как в основу их вы-
вода положены сходные предположения. В каждом случае мы
остановимся главным образом на двух-трех физических задачах
для того, чтобы продемонстрировать «типичный способ» вывода
этих уравнений. Другие задачи могут быть рассмотрены анало-
гичным образом. При таком подходе из нашего поля зрения вы-
падают некоторые важные примеры, однако в данной книге не-
возможно дать исчерпывающий обзор нелинейных явлений. Дру-
гие приложения обсуждаются в работах [254], [511], [344] и
[510].
В большинстве случаев вывод уравнений осуществляется бо-
лее или менее стандартно, путем исследования относительно ма-
лых отклонений физической системы от ее равновесного состоя-
ния. В главном порядке это означает просто линеаризацию за-
дачи около равновесного состояния. Затем делается попытка по-
строить асимптотическое разложение; при этом в следующих по-
рядках обычно возникают секулярные члены. Для того чтобы
исключить секулярные члены с целью расширить область при-
менимости разложения, используют метод многих времен (на-
пример, Коул A968) [115]). Таким образом, наиболее общей
чертой нелинейных эволюционных уравнений является то, что
они возникают в результате исключения секулярных членов в
формальном асимптотическом разложении.
Тот факт, что эти уравнения играют именно такую роль, при-
водит к некоторым следствиям, полезным для установления свя-
зи между теорией солитонов и физическими явлениями.
(i) Эволюционные уравнения являются нелинейными, и их
решения необязательно малы. Несмотря на это, решения, имею-
щие первый порядок, в физической задаче соответствуют отно-
сительно малым отклонениям от равновесного состояния.
(И) Преимущество нелинейных эволюционных уравнений со-
стоит не в том, что они позволяют изучать большие отклонения
от равновесного состояния, а скорее в том, что появилась воз-
можность исследования малых отклонений в течение длитель-
ного времени.

4. Приложение 315
(iii)Нелинейные эволюционные уравнения охватывают сле-
дующий по сравнению с линейными задачами временной мас-
штаб. При интерпретации наблюдений физических явлений не
имеет смысла говорить о солитонах, если время наблюдения не
превышает характерного времени, соответствующего линейной
задаче.
(iv) В поведении решений вполне интегрируемых уравнений
не проявляется стохастичность. Однако аналогичный вывод о фи-
зической системе справедлив лишь для относительно малых от-
клонений от равновесия и для соответствующих характерных
временных масштабов. Стохастичность может иметь место для
больших отклонений от равновесия и на больших временах.
Прежде чем мы обсудим конкретные примеры, уместно при-
вести еще один комментарий общего характера. Мир, в котором
мы живем, имеет 3 (пространственных)-}- 1 (временную) размер-
ности, в то время как изучаемые нами уравнения являются
A + 1)-мерными. В каком смысле эти уравнения могут модели-
ровать физические явления?
В зависимости от конкретной проблемы можно убедиться, что
линеаризованная задача допускает распространение волн в
A + 1) или C + 1) измерениях. В первом случае трудностей
не существует; нелинейные эволюционные уравнения описывают
явления, которые по сути своей A + 1)-мерны. В двух других
случаях эти уравнения возникают только после того, как они све-
дены от размерностей B+ 1) или C+1) к размерности A +
+ 1). Тогда возможны две интерпретации.
(i) Уравнение размерности A + 1) является (нетривиаль-
ной) модельной задачей, решение которой позволяет понять суть
явлений, имеющих место в задачах с большими размерностями.
Однако сравнение решений уравнения непосредственно с физи-
ческими наблюдениями не является целью данной работы.
(и) Уравнения размерности A+ 1) имеют непосредственный
физический смысл. Существуют реальные условия, когда реше-
ние задачи большей размерности, по крайней мере приблизи-
тельно, может эволюционировать таким образом. Это возможно
только в том случае, если A + 1)-мерные решения устойчивы
относительно возмущений по остальным измерениям. В против-
ном случае такая эволюция в низшей размерности теоретически
возможна, но практически неправдоподобна.
Ниже мы обсудим все такие случаи, имеющие место в при-
ложениях.
4.1. КдФ и родственные уравнения. Исходной моделью слу»
жит уравнение Кортевега — де Фриза
D.1.1) щ + Quux + иххх = О,

316 4. Приложение
Однако изменение исходных упрощающих предпосылок приво-
дит к появлению других интегрируемых моделей. Они включают
в себя модифицированное уравнение КдФ
D.1.2) щ + 6аи2их + иххх = О,
уравнение Бенджамина — Оно
D.1.3) ut + 2uux + H[uxx] = 0,
где Н — преобразование Гильберта
оо
1 Г f (У)
= 1Г J Т^
и уравнение Кадомцева — Петвиашвили
D.1.4) (щ + Ыих + аиххх)х + иуу = 0.
Каждое из них возникает как условие, необходимое для уст-
ранения секулярных членов формального асимптотического раз-
ложения по малой амплитуде. От уравнений, рассмотренных в
разд. 4.2 и 4.3, их отличает то, что они появились в задачах, ко-
торые в главном порядке не обладают дисперсией. Поэтому низ-
шим порядком аппроксимации является волновое уравнение
Фтт == с Фхх1
которое обычно возникает в пределе длинных волн, но сущест-
вуют и исключения.
Сущность вывода уравнений, который мы сейчас рассматри-
ваем, была понята несколькими исследователями, включая Бен-
ни A966) [55], Гарднера и Су A969) [175], Карпмана A975)
[245]. Метод был формализован Таниути, Ваем и др. (напри-
мер, A968) [478]) и был назван ими упрощенным методом воз-
мущений. Ряд приложений, помимо тех, которые здесь обсу-
ждаются, может быть найден в работах, на которые ссылаются
Карпман [245], Ядзима и Какутани [511], Махань [344] и Яд-
зима и Исикава [510].
4.1.а. Волны на воде. Проблема длинных волн на воде берет
начало с ранней экспериментальной работы Рассела (см. A938)
[438], A844) [438]) и теорий Эйри A845) [37]. Первоначаль-
ной целью Кортвега и де Фриза A895) [291] было создание
теории, альтернативной теории Эйри, которая бы точнее соот-
ветствовала наблюдениям Рассела. Обширное описание этого
вопроса с несколько отличной от приводимой здесь точки зре-
ния было дано Лэмбом A932) [314], Стокером A957) [466],
Вехаусеном и Лейтоном (I960) [500], Уиземом A974) [506] и
Майлсом A980) [378].

4.1. Кдф и родственные уравнения 317
Классическая задач волн на воде заключается в определе-
нии безвихревого движения невязкой несжимаемой однородной
жидкости с плотностью р под действием постоянной силы тяже-
сти. Жидкость находится над горизонтальным непроницаемым
дном, простирающимся бесконечно (z =—h), и имеет свобод-
ную поверхность z = t,(x, у, t), на которой действует сила по-
верхностного натяжения Т. Во многих приложениях сила по-
верхностного натяжения несущественна и может быть прирав-
нена нулю. Мы сохраним ее, потому что для наших целей учет
поверхностного натяжения в некоторых случаях важен.
Жидкость имеет потенциал скоростей ф, удовлетворяющий
уравнению
D.1.5) У2ф = 0, -h<z<?(x, у, i)
(безвихревое движение несжимаемой жидкости). Потенциал
подчиняется граничным условиям на дне (z = —h)
D.1.6) 4z — Q (Дно непроницаемо)
и на свободной поверхности (z = ?)
Г)?
D.1.7а) -j^j- == t,t + Vxlx + 4>у1у = <Vz (кинематическое условие),
D.1.7b) фf + ^ + 4lVфl2 = yX
X -^—: ( Ц^—ТхШ ХУ " "' (динамическое условие).
Нужны также начальные и граничные условия по (х, у).
Если рассматриваемые волны являются уединенными, то |Vq>|
и ? должны стремиться к нулю при (х2 + г/2)->- °°. В других за-
дачах могут быть уместны периодические по х и у условия.
Мы можем линеаризовать D.1.5—7) около состояния |V<p| =
= 0, ? = 0 и искать решения линеаризованных уравнений, про-
порциональные exp {i(kx -\- ту — со/)} (см., например, [314]).
Результатом является линеаризованное дисперсионное соотно-
шение
D.1.8) со2 = (gx + x3T) th (/г/г),
где к = k2 + m2. (Эти следствия, вытекающие из линейной тео-
рии, обсуждаются в приложении.) Отсюда вычисляется груп-
повая скорость и показывается, что имеется дисперсия для боль-
шинства волновых чисел, и только в окрестности % — 0 (т. е.
для длинных волн) дисперсия является слабой. Это существен-
ный момент при выводе уравнения КдФ (мы будем рассматри-
вать только такие волны, для которых дисперсия в линеаризо-

318 4. Приложение
ванной задаче мала). Во многих задачах это осуществляется
при х = 0.
Для вывода уравнения КдФ мы предполагаем, что:
(A) Движение строго двумерно, т = 0.
(B) Характерный масштаб волны в направлении х много боль-
ше глубины:
(С) Амплитуды волн малы:
(D) Две последние величины имеют одинаковый порядок:
[khf = О (е).
Замечание. При таких дополнительных предположениях
D.1.5—7) преобразуются к упрощенной модели, которая, как
это станет ясно впоследствии, является уравнением D.1.1). Мо-
дель является самосогласованной, если ее решения удовлетво-
ряют перечисленным предположениям для t > О, при условии
что им удовлетворяло начальное условие. Тот факт, что модель
выведена явно рациональным способом, еще не гарантирует ее
самосогласованности или реалистичности.
Замечание. Предположение (А) можно ослабить. Необхо-
димо только, чтобы волны были почти одномерными, или
(m/kJ <C 1. Мы можем заменить (А) условием
<е
и по-прежнему получим D.1.1); однако если взамен мы пред-
положим
то тот же способ вывода приведет к D.1.4).
Замечание. Предположение (D) является примером «прин-
ципа максимального упрощения» Краскала A963) [295], кото-
рый гласит, что в рядах теории возмущений, содержащих два
или больше малых параметров, наибольший интерес представ-
ляет выбор масштаба, максимально упрощающего задачу.
Предположения (A) —(D) наводят на мысль ввести в рас-
смотрение безразмерные переменные (помеченные *):
<• — ~Т~ 1 Л — V ° и > * — п~' 1>
D.1.9) h h h

4.1. Кдф и родственные уравнения 319
Если ф аналитична при г = —h, ее можно представить в виде
степенного сходящегося ряда:
у X B'+1)яф;(*', п.
Рэлей в 1876 г. [426] обнаружил, что в случае длинных волн
это разложение является асимптотическим. Подставляя этот ряд
в D.1.5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
нях 2*, получаем
D'1-10) (Р/г+2= ~ („ + 2)(«+ О д{х*J '
Из D.1.6) и D.1.10) следует, что ф^„+1 = 0. Таким образом,
До этого момента мы не сделали никаких приближений.
В главном порядке условия на свободной поверхности можно
записать в виде
dt* ^ дх* дх*
D.1.12)
Чтобы решить D.1.12), предположим, что
D.1.13) Е' = 5о + вЕ,+ .... -^-
Чтобы избавиться от секулярных членов, которые возникают в
порядке О(е), введем медленное время (см. [115])
D.1.14а) т = еГ,
так что
D.1.14b) -dF~+lF + s^-
Теперь D.1.12) превратилось в линейное волновое уравнение
для (?о, «о), общее решение которого имеет вид
Л X).

320 4. Приложение
Все это можно выразить через (линейные) характеристиче-
ские переменные
D.1.16) r = x-r
Таким образом, за короткое время (t* = 0A)) произвольное
начальное условие расщепляется на волны, бегущие вправо и
влево. В течение этого времени наблюдение солитонов невоз-
можно ввиду того, что каждое решение представляет собой (ли-
нейную) суперпропорцию волн неизменной формы. В данном
случае взаимодействие отсутствует, потому что нелинейные чле-
ны слишком малы, чтобы их влияние успело проявиться.
В следующем порядке D.1.12) принимает вид
dt* дх* Idt дх* 6 дх*3 J'
<4ЛЛ7>аЯ| ас, _ Тди0 в D\ ' *Ч , f д\Л
х* L дх "*" дх* \ 2 / 2 dx*2dt* "•" дх*3\'
dt* ^ дх*
где Т = T/pgh2 — безразмерное поверхностное натяжение.
Эти уравнения проще интегрировать, используя характери-
стические переменные D.1.16). Решения, полученные таким об-
разом, содержат слагаемые, линейно растущие по /, и другие,
линейно растущие по г. Они являются секулярными членами и
приводят к неравномерной сходимости разложений D.1.13). Мы
избавимся от них, положив коэффициенты при / и г равными
нулю:
DU8>
Таким образом, волны, бегущие влево и вправо, эволюцио-
нируют согласно своим собственным уравнениям КдФ, описы-
вающим взаимодействия внутри каждого из двух наборов волн
в течение длительного времени (х = el* = 0A)).
На поверхности раздела вода—воздух A/3—Т) > 0, если
h > 0,5 см. Обычно Т <С 1/3, и мы вполне можем пренебречь Т.
Тогда форма поверхности, соответствующая одному солитону,
принимает вид
D.1.19) ^iI==l

4.1. Кдф и родственные уравнения 321
Отметим, что:
(i) Произвол в выборе е несуществен, потому что в фор-
мулу D.1.19) входит лишь комбинация (еа2).
(ii) Солитоны поднимают свободную поверхность, в каком
бы направлении они ни двигались.
(iii) Скорость каждого солитона превышает д/gh.
(iv) В главном порядке скорость солитона с амплитудой а
равна с = ^Jg(h + а). Это выражение было найдено Расселом
A938) [437] экспериментально.
(v) Для тонкого слоя воды Т > 1/3, и утверждения (ii),
(iii) следует заменить на противоположные.
Взаимодействие между волнами, бегущими влево и вправо,
может быть найдено интегрированием D.1.17):
г
D.1.20) 4g, (/, г; т) = [dtg (/) - dlg (/„)] \ f dr +
Га
I
+ Ш (г) - drf (/"о)] \g dl + 2 [g (I) - g (Zo)] [/ (r) - f(r0)];
выражение для и\ имеет аналогичный вид. Для того чтобы эти
члены не стали секулярными, потребуем также
D.1.21) |/|, |<Ш \\fdr\' \8\> \dtg\. \\gdl\< со.
Эти условия гарантируют, что взаимодействие между левой
и правой волнами является одновременно слабым и локализо-
ванным. Для применимости модели КдФ необходимо, чтобы ус-
ловия D.1.21) удовлетворялись в течение всего времени (т), если
им удовлетворяют начальные условия.
В предположениях (А) — (D) мы заменили D.1.5—7) упро-
щенной задачей, решение котрой формально аппроксимирует ре-
шение уравнений D.1.5—7) с точностью до О(е2). Именно в этом
смысле уравнение КдФ моделирует длинные волны умеренной
амплитуды на воде. Прежде чем сравнивать результаты, пред-
сказанные этой моделью, с экспериментальными данными, мож-
но сделать несколько замечаний по способу ее вывода.
(i) «Модель КдФ» для волн на воде фактически состоит из
линейного волнового уравнения D.1.12) для «быстрого времени»
t* и двух уравнений КдФ на масштабе времен т. Модель долж-
на быть асимптотически справедливой при е-*-0, и важно
чтобы как D.1.12), так и D.1.18) оставались нетривиальными
в пределе е-*-0. Как показал Краскал A975) [298], модель КдФ
предпочтительнее в этом отношении других моделей длинных
волн умеренной амплитуды на воде, таких, как уравнение Бус-
11 Зак. 114

322 4. Приложение
синеска D.1..22):
D.1.22) utt = ихх + е [(и\х + ихххх] + О (г2).
В пределе е->0 D.1.22) трансформируется в D.1.12) и
D.1.18).
(ii) В выводе уравнений, приведенном здесь, т представляло
собой медленно меняющееся время, и решения КдФ при фикси-
рованном т соответствуют моментальному снимку волны на воде.
В свете D.1.16) х* и t* являются в некоторой степени взаимо-
заменяемыми, и вместо т можно ввести в рассмотрение медлен-
но меняющуюся пространственную переменную %. По-прежнему
остается два уравнения КдФ, но теперь решение КдФ при фикси-
рованном % будет соответствовать движению поверхности воды
при прохождении волны над измерительным зондом, установлен-
ным в определенном месте. Таким способом выполнено большин-
ство волновых измерений.
(iii) Этот вывод является формальным и фактически не до-
казывает того, что решения КдФ являются асимптотическими по
отношению к D.1.5—7). Такого доказательства в нашем распо-
ряжении нет. В действительности лишь недавно было доказано,
что D.1.5—7) допускают существование волн с углом наклона
поверхности воды вплоть до я/6, т. е. вплоть до предельного слу-
чая Стокса (Амик и Толанд A979) [40]).
(iv) Жидкость считается невязкой, и модель не допускает
никакой диссипации. Но вода имеет конечную вязкость, и мож-
но оценить характерное время диссипации на основе ламинарного
или турбулентного погранслоев [275]. Для применимости модели
КдФ необходимо, чтобы характерное время диссипации намного
превышало характерный временной масштаб КдФ (т = 0A)).
(v) Исходные уравнения движения D.1.5—7) инвариантны
относительно преобразований Галилея. Из D.1.15Ь) следует, что
уравнения КдФ сохраняют эту инвариантность, если / (или g)
интерпретировать как горизонтальную скорость. Поэтому преоб-
разование
т->т, г->г — ст, f-*f-\-c
не изменяет D.1.18а).
(vi) Рассмотренный вывод уравнения КдФ наводит на мысль,
что его можно получить лишь при отсутствии вихрей. Но, как по-
казал Бенни [55], это неверно: см. также [52].
(vii) Динамическое условие на свободной поверхности
D.1.7Ь) означает, что давление на ней равно нулю. Для боль-
шинства случаев волн на воде это выполняется лишь приблизи-
тельно. Более точным является утверждение, что давление дол-
жно совпадать с давлением воздуха на этой поверхности, т. е.
поверхностные волны фактически являются внутренними волна-

4.1. Кдф и родственные уравнения 323
ми. Ввиду того что отношение плотности воздуха к плотности
воды рално приблизительно 10~3, этим тонким различием обычно
пренебрегают. Однако для длинных волн (kh <С 10~3) этим эф-
фектом пренебрегать нельзя, поэтому в качестве соответствую-
щей модели следовало бы выбрать уравнение D.1.3), а не
D.1.1). Аналогичные соображения применяются при исследова-
нии вращения Земли и формы ее поверхности.
Уравнение КдФ было опробовано как модель волн на воде
Забужским и Галвином [522], Хаммаком и Сигуром [196, 197],
Вейдманом и Максуорси [501]. До сих пор заслуживает внима-
ния также первая эксперименталь-
ная работа Рассела A838, 1845)
[437, 438].
. Е1СМ.
ТГ
Обширная работа в этом направле-
нии, которая сейчас будет обсуждать-
ся, была проделана Хаммаком и Сигу-
ром. Эксперимент осуществлялся в (
бассейне ДЛИНОЙ 31,6 м, глубиной 61СМ рис 4.1. Схема волнопро-
и шириной 39,4 см. Как схематично дуктора (Хаммак и Сигур
изображено на рис. 4.1, волнопродук- [196]).
тор состоит из прямоугольного порш-
ня, устройства для управления им и стен бассейна. Поршень
в экспериментах, которые будут обсуждаться, имел длину 61 см
и ширину 39,4 см. Вертикальное движение поршня задавалось
для каждого эксперимента индивидуально.
Во время эксперимента в нескольких точках вдоль бассейна
были проведены измерения при помощи датчиков с параллель-
ными проволочными сопротивлениями. В первой серии экспери-
ментов A974 г.) глубина жидкости равнялась 5 см, измерения
проводились при x/h = 0, 20, 120 и 400, где х — 0 на краю порш-
ня. Во второй серии A978 г.) h = 10 см, волны измерялись при
x/h = 0, 50, 100 и 200.
На рис. 4.2 изображены волны, генерируемые простым при-
подниманием поршня. Движение поршня было достаточно бы-
стрым для того, чтобы форма волны при x/h = 0 соответство-
вала форме поршня (благодаря наличию стенки у левого края
поршня длина волны, измеряемая в точке х = 0, равнялась уд-
военной длине поршня, а высота — половине его смещения).
На коротких временах, согласно D.1.15), движение должно
осуществляться путем параллельного переноса со скоростью
л/gh. Волна, измеренная при x/h = 20 (рис. 4.2,6), прибли-
женно соответствует этому описанию; ее форма в основном та
же, что у волны в точке х = 0. (Фронт волны изображен сле-
ва.) Из рисунка видно, что между сменяющимися конфигура-
циями (в движущейся системе отсчета, перемещающейся со ско-
ростью ^Jgh), нет горизонтального смещения.
Ц*

324
4. Приложение
б -
123
Солитоны, возникающие на следующем временном масштабе,
можно видеть на рис. 4.2, г и в. Решение задачи на собственные
значения для оператора Шрёдингера A.3.33) с измеренной при
х = 0 волной в качестве потенциала дает три собственных зна-
чения, соответствующие трем солитонам. Это отвечает трем по-
ложительным более или ме-
нее неизменным волнам, на-
блюдаемым в точках x/h =
= 180 и x/h = 400. Соглас-
но D.1.19), все эти волны
на рисунках должны сме-
щаться влево, так как все
их скорости превышают
л/gh. То, что этот эффект
в эксперименте не наблю-
дается, свидетельствует о
влиянии вязкости.
И все-таки, основываясь
на наблюдении формы волн,
мы утверждаем, что они яв-
ляются солитонами. Про-
филь солитона определяется
из D.1.14) после того, как
известна его амплитуда.
Были измерены пики ампли-
туд первых двух волн на
рис. 4.2 и отмечены точками
результаты вычислений (на
основе этих измерений) по
формуле D.1.19). Соответ-
ствие с измеренными про-
филями волн является пора-
зительным.
Результаты, приведенные
на рис. 4.2, раскрывают
0,06
0,04
0,02
о
0,06
0,04
0,02
о
0,06
0,04
0,02
о
0,06
0,04
0,02
0
I 2 3
-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Рис. 4.3. Эволюция длинной положи-
тельной волны на поверхности воды в
три солитона КдФ; h = 5 см. Сплош-
ная линия соответствует измеренному
профилю, пунктирная — вычисленному
с использованием D.1.19) профилю
солитона: (а) ф = 0; (б) xjh = 20;
(е) xjh — 180; (г) ф = 400. (Хам мак
и Сигур [196].)
следующую картину длинных волн умеренной амплитуды на
воде.
(О Существует быстрый (линейный) масштаб времени, в
течение которого волны, бегущие вправо и влево, отделяются
друг от друга.
(И) Существует более медленный масштаб времени, в тече-
ние которого волна, бегущая вправо (влево), трансформируется
а солитоны плюс излучение.
(Hi) Существует еще более медленный масштаб характер-
ного времени вязкости, в течение которого энергия солитона по-
немногу диссипирует (теряется). Однако ввиду того, что харак-

4.1. Кдф и родственные уравнения 3?5
терное время для уравнения КдФ короче, солитоны непрерывно
«подправляют» свою форму и скорость в соответствии с энерге-
тическими потерями, так что локально они выглядят и ведут се-
бя подобно солитонам.
Заметим, что на рис. 4.2, в, г средний уровень поверхности во-
ды осцилляторных волн является положительным. Вспомним
(см. разд. 1.7), что средний уровень осцилляторных волн, удо-
влетворяющих уравнению КдФ на больших временах, является
отрицательным (см. A.7.51)). Несоответствие обусловлено влия-
нием вязкости и может быть объяснено следующим образом.
Солитоны медленно теряют энергию вследствие вязкости, однако
полная масса волны не изменяется. Поэтому когда масса «вы-
тесняется» из солитона, она образует «полку», располагающую-
ся сзади него, которая увеличивает средний уровень воды. Это
является аналогом полки, обсуждавшейся в разд. 3.8.
В этой серии было также сделано несколько других экспери-
ментов с участием солитонов. В некоторых экспериментах на-
чальные амплитуды волн были очень малы, и солитоны не на-
блюдались даже при x/h = 400. В каждом эксперименте, когда
явно прослеживалось число солитонов в точке x/h = 400, оно
находилось в соответствии с числом солитонов, предсказанным
по начальному условию из эксперимента. Начальное условие иг-
рало роль потенциала в задаче на собственные значения для опе-
ратора Шрёдингера. Амплитуда первого солитона при x/h — 400
также с достаточной точностью совпала с предсказанной ампли-
тудой, которая была вычислена в два этапа: 1) амплитуда (без
учета вязкости) определялась путем решения задачи на собст-
венные значения; 2) на основе формулы из работы [275] для
определения вязкого затухания уединенной волны с такой ам-
плитудой, прошедшей расстояние в 400 раз большее, чем глу-
бина бассейна. С деталями можно ознакомиться в работе Хам-
мака и Сигура [196]. На рис. 4.3 приведена картина, соответ-
ствующая в точности противоположному по сравнению с рис. 4.2
движению поршня. Если бы волна эволюционировала линейно,
каждая картина, изображенная на рис. 4.3, была бы противопо-
ложна изображенной на 4.2. Это приблизительно соответствует
наблюдениям в первых двух отметках, которые осуществлялись
на коротком масштабе времени, где справедливо линейное при-
ближение. Однако на большем временном масштабе результаты
измерений совсем другие. Первоначально отрицательная волна
не может произвести ни одного солитона; вся ее энергия должна
перейти в непрерывный спектр. Рис. 4.3 дает наглядный пример
решения уравнения КдФ, соответствующего непрерывному излу-
чению.
Более тщательный анализ соответствия следствий из модели
КдФ такому излучению может быть сделан с помощью рис. 4.4,

326
4. Приложение
на котором изображена волна большей амплитуды в случае не-
сколько большей глубины. Напомним (разд. 1.7), что асимпто-
тическое решение уравнения D.1.1) в отсутствие солитонов со-
стоит из четырех областей.
-20 0 20 40 60 80 100120 Н0160 180
—Г
Рис. 4.3. Эволюция длинной от-
рицательной волны на поверх-
ности воды в пакет осцилля-
торных волн без солитонов;
h = 5 см. Непрерывная линия
соответствует измеренному про-
филю: (a) */й = 0; (б) x/h =
= 20; (в) x/h = 180; (г) x/h =
= 400 (Хаммак и Сигур [196].)
О 25 50 75 100 125 150 175 200 225
Рис. 4.4. Эволюция длинной
отрицательной волны в сово-
купность осцилляторных волн
с явно выраженными волновы-
ми группами. Начальная ам-
плитуда больше, чем на рис. 4.3;
h = 10 см. Сплошная линия —
измеренные профили, стрел-
ки — траектории волновых
групп, построенные при помо-
щи усреднения измеренной ча-
стоты волн и линеаризованного
дисперсионого соотношения
D.1.8): (a) xjh = 0; (б) ф =
= 50; (s) x/h = 100; (г) Ф =
= 150; {д) x/h = 200. (Хам-
мак и Сигур [197].)
I/3
(i) Для х ~^> {3(I/3 решение экспоненциально мало,
(ii) Для |л;|^О(C/I/3)решение является примерно автомо-
дельным и аппроксимирует частное решение

4.1. Кдф и родственные уравнения
327
1Я
5 10
Л
-\
\
¦ I
- \
\
" 1
- \
\
15
1 1
1
1
1
J
|
J
1
1
¦ \J
20
¦—
25
"—
30
'
35
40
45 50
/
J
Uii) Вблизи —х> 10((З/I/3 (log 302/3+р], 1 > р > 0, суще-
ствует относительно тонкий слой, соответствующий бесстолкно-
вительной ударной волне.
(iv) При (—x)>C01/3(log3/J/3+p решение состоит из убы-
вающих осцилляции. Эти осцилляции преобразуются в группы
волн, узлы которых опреде-
ляются нулями коэффициен-
та отражения р(/г).
Волновые числа каждого
пакета, который движется
с групповой скоростью соот-
ветствующей линеаризован-
ной задачи, фиксированы.
Скорость определяется пре-
обладающим волновым чис-
лом в группе.
Это описание находится
в качественном согласии с
экспериментальными ре-
зультатами, приведенными
на рис. 4.4. Количественное
сравнение для областей (i)
и (и) приведено на рис. 4.5,
где лидирующая часть вол-
ны, изображенная на рис.
4.4,(9, сравнивается с асимп-
тотическим решением урав-
нения КдФ, вычисленным в
соответствующий момент
времени. Для сравнения так-
же вычерчено асимптотическое решение линеаризованной задачи
(П.1.49) с теми же самыми начальными условиями. В этом экс-
перименте совпадение теоретической кривой с результатами из-
мерений лидирующей волны удивительно точное. Более того, оче-
видно, что соответствие улучшается, если учесть вязкость жидко-
сти (Хаммак и Сигур A978) [197]).
В этом эксперименте предсказание теории КдФ для осцилля-
торной области не столь точно в основном потому, что волны,
генерируемые в этой области, не являются длинными в смысле
нашего основного предположения (В), с. 278. Другими словами,
начальное условие вначале состоит из длинных волн, но длинные
волны порождают короткие волны, и уравнение КдФ не очень
хорошо моделирует их эволюцию. И все-таки качественная кар-
тина является правильной. Волновые группы ясно видны на
рис. 4.46, в, г, и тщательный анализ показывает, что преобла-
дающие волновые числа существенно не изменяются при эво-
0.05
шо
0.15
OiD
Q25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
Рис. 4.5. Теоретический и эксперимен-
тальный профили волнового фронта при
x/ft = 200 (рис. 4.4, случай (<5)). Сплош-
ная линия — измеренный профиль; штри-
ховая — линейная асимптотическая тео-
рия (П.1.58); пунктирная — асимптоти-
ческая теория КдФ A.7.41—45). (Хам-
мак и Сигур [197].)

328
4. Приложение
0.2
0.1
0
0.2
0.1
о
0.2
0.1
О
0,2
0,1
о
4-
0 24 6 810 14- 16
Ч 1 Ц
x/h=ZQ
1—h-
Абижение дна
О 2 4 6 В10 14 18
x/k=Q /V = 4 -¦
x/h=20
Дбижение дна
0'V'4 6 810 14 18
.'. '. I ' '. 1,1 1 I 1 L.
-40 0 40 80 120 160 200 -40 б 4A 8~0 120 160 200-40 0 40 80 120160 200 240
Рис. 4.6. Три случая движения поршня: графики движений и волны на воде,
которые они порождают; ft = 5 см. Случай (а) — монотонное движение, (б)
и (в) — монотонное движение с наложением осцилляции. N — число дискрет-
ных собственных значений, полученных в каждом из экспериментов с исполь-
зованием измеренных волновых профилей при x/h = 0 в задаче рассеяния
A.3.33). (Хаммак и Сигур [196].)
люции волн. Более того, траектории, изображенные на рис. 4.4,
которые, очевидно, совпадают с наблюдаемыми траекториями
волновых групп, были получены вычислением линеаризованной
групповой скорости D.1.8) при измеренных частотах волн.
То, что реальные начальные условия для D.1.5—7) обычно
содержат некоторые высокочастотные волны, поднимает вопрос
о том, не ведет ли наличие этих коротких волн к несостоятель-
ности модели КдФ. Другими словами, если эволюция длинных
волн обусловлена главным образом наличием коротких волн и
если модель КдФ правомерна только тогда, когда короткие вол-
ны отсутствуют, то уравнение КдФ не будет адекватной моделью
D.1.5—7). Результаты серии экспериментов, выполненных для
проверки такой возможности, изображены на рис. 4.6. В трех не-
зависимых экспериментах (на рисунке каждому соответствует
вертикальный столбец) поршень одинаковым образом смещался

4.1. Кдф и родственные уравнения 329
вверх, но с возрастающей долей высокочастотных колебаний.
Первый эксперимент был качественно подобен изображенному
на рис. 4.2: начальное возмущение примерно имело вид поршня
и распалось на четыре отдельных солитона. Два других экспе-
римента на ранней стадии выглядят по-другому, так как еще не
разделены короткие и длинные волны. Однако поверхностные
волны малой амплитуды являются существенно дисперсионными
(см. D.1.8)), и при x/h= 180 (т. е. в масштабе времени КдФ)
длинные и короткие волны физически разделены. Солитоны, ко-
торые появляются при наблюдениях в точке x/h = 400, не от-
личаются от зафиксированных в предыдущих экспериментах.
Подведем итог. Уравнение КдФ является частью модели, опи-
сывающей эволюцию длинных двумерных волн на воде с уме-
ренной амплитудой в течение относительно длительного времени.
Оно довольно неплохо предсказывает эволюцию длинных волн,
особенно если производится поправка на влияние вязкости.
Предсказания, касающиеся коротких волн, неправильны, однако
наличие коротких волн вследствие сильной дисперсии поверх-
ностных волн несущественно ухудшает точность модели для
длинных волн.
В тех случаях, когда волны на поверхности воды не являют-
ся точно одномерными, возникает несколько вариантов (см.
[378]). Одна из возможностей состоит в том, что волны являют-
ся близкими к двумерным. В этом случае D.1.18) следует заме-
нить на
D.1.23)
где ri = ey/h. Приведем сводку результатов, известных о реше-
ниях D.1.23).
(i) Каждое решение D.1.18) удовлетворяет D.1.23).
(ii) Согласно результатам Кадомцева и Петвиашвили A970)
[252], одномерные солитоны неустойчивы по отношению к длин-
ным поперечным возмущениям, если A/3 — Т) <0 (т. е. когда
слой воды очень тонок); в обычном случае, когда A/3 — Т) < 0,
утверждение о неустойчивости теряет силу.
Экспериментальные результаты, приведенные на рис. 4.2 и
4.6, свидетельствуют о том, что солитоны устойчивы по отноше-
нию к коротким поперечным возмущениям в обоих случаях.
(ш) Если Т < 1/3 (обычный случай), D.1.23) имеет М-со-
литонные решения и солитоны, которые взаимодействуют, пере-
секаясь под углом C.3.90, 91). Взаимодействие двух наклонных
солитонов, являющихся в соответствующей системе координат
стационарными, изображено на рис. 4.7а.
Этот вид взаимодействия очень напоминает океанские волны,
изображенные на фотографии 4.76. Они сфотографированы на

330
4. Приложение
Рис. 4.7а. Эскиз двухсолитонного реше-
ния уравнения Кадомцева — Петвиаш-
вили C.3.91). В этом симметричном слу-
чае ki = kt, pi = Pi = УЗй,. Картин-
ка движется в направлении х со ско-
ростью ?]f + k\i
побережье Орегона. По сло-
вам фотографа, глубина во-
ды, где происходило взаи-
модействие, составляла око-
ло полуметра. На рисунке
видно, что каждая из двух
волн связана с периодиче-
скими цугами волн (по-ви-
димому, пришедшими из об-
ласти глубокой воды), но
каждая волна имеет столь
большую длину по отноше-
нию к малой глубине во-
ды, что волны можно счи-
тать уединенными. Никакой
количественной информа-
ции, касающихся этих волн,
больше нет, и все-таки сход-
ство между этой картиной и
предсказанной теоретически
уравнением D.1.23) порази-
тельно.
Рис. 4.7Ь. «Наклонное» взаимодействие двух волн на отмели. (Фотография
любезно предоставлена Т. Тёдтемайером.)
(iv) Поверхностное натяжение оказывает большее влияние,
чем сила тяжести, для очень тонких слоев воды, когда Т > 1/3.
В этом случае одномерные солитоны неустойчивы, но сущест-

4.1. Кдф и родственные уравнения 331
вуют решения D.1.23) в виде «лампов»; см. разд. 3.4. Эти B +
+ 1)-мерные аналоги солитонов экспериментально пока еще не
наблюдались.
Экспериментаторам, которых интересует поиск лампов, сле-
дует иметь в виду, что для этой цели также применимо D.1.23)
с f > 1/3, если пренебречь силой тяжести, удалить горизонталь-
ное дно и связанный с ним вязкий погранслой и ограничиться
только симметричными модами (для которых справедливо
D.1.7)). При этом мы рассматриваем волны на слое воды, ко-
торый находится во взвешенном состоянии, так же как в случае,
изучавшемся Тейлором A969) [479]. Основное преимущество
такой конфигурации состоит в том, что эффекты вязкости пре-
небрежимо малы.
(v) Для Т > 1/3 (преобладает поверхностное натяжение)
Захаров и Манаков A979) [530] получили точное решение урав-
нения D.1.23) при помощи обобщения МОЗР. Наложенные ими
граничные условия a priori исключали лампы. Манаков, Сан-
тини и Тахтаджан A980) [349] при таких граничных условиях
описали асимптотическое поведение решения (t-*-<&).
4.1. b. Внутренние волны. Внутренние колебания жидкости с
устойчивой стратификацией, обусловленные силой тяжести, из-
вестны как внутренние волны. Океан и атмосфера обычно стра-
тифицированы и обладают богатым спектром таких волн (см.,
например, [422]). Действительно, волны на поверхности раздела
воздух — вода, которые мы только что обсуждали, можно пред-
ставить как предельный случай внутренних волн (обусловлен-
ных чрезвычайно большим градиентом плотности на границе
раздела).
При соответствующих условиях длинные внутренние волны
умеренной амплитуды, так же как поверхностные волны, эволю-
ционируют согласно уравнению КдФ. Однако для внутренних
волн уравнения КдФ не играют столь универсальной роли, как
это было в случае поверхностных волн. В зависимости от обстоя-
тельств длинные внутренние волны могут эволюционировать со-
гласно уравнению КдФ D.1.2), уравнению Бенджамина — Оно
D.1.3) или модели, промежуточной между КдФ и D.1.3). В этом
подразделе мы будем анализировать одну довольно простую
(двухслойную) модель внутренних волн для того, чтобы пока-
зать, как возникают эти уравнения и в каком смысле они моде-
лируют эволюцию длинных внутренних волн.
Рассмотрим две несжимаемые несмешиваемые жидкости с
плотностями pi < рг и глубинами h\, h2 (H = hi + h2), как по-
казано на рис. 4.8. Нижний слой более тяжелой жидкости по-
коится на горизонтальном непроницаемом дне, в то время как
жидкость, находящаяся сверху, имеет свободную поверхность.

332 4. Приложение
На обе жидкости действует вертикальная сила тяжести. Мы пре-
небрежем поверхностным натяжением как на поверхности раз-
дела, так и на свободной поверхности. Пренебрежем также и вра-
щением Земли (ем. [185]). Если предположить, что движение
каждой жидкости является безвихревым, то существуют потен-
циалы скоростей (<pii qJ), которые удовлетворяют в соответствую-
щих областях уравнению Лапласа. Граничные условия ставятся
следующим образом: на дне (г =•—Н) вертикальная скорость
Pi
Рис. 4.8. Двухслойная модель. Поверхностные волны имеют максимальную
амплитуду на свободной поверхности, внутренние волны — на поверхности
раздела.
должна обращаться в нуль; на поверхности раздела (г = —h\-\-
-f- r](x, у, t)) вертикальная скорость и давление меняются непре-
рывно; на свободной поверхности (г = t,(x, у, t)) условия те же,
что и в случае D.1.7) с Т = 0; при х2-\- у2-+оо потребуем, что-
бы (V<pi, Vq>2, ?, ц) стремились к нулю. После того как задано
начальное условие (при / = 0), можно ставить вопрос об эволю-
ции ц(х, у, t), их, у, /), %(х, у, z, 0 и ф2(дс, У, z, t) для t > 0.
Далее главным образом будет изучаться двумерное движение
(<Э„ = 0).
Начнем с исследования линеаризованной задачи и поиска ее
дисперсионного соотношения. Эти вопросы был рассмотрены
Лэмбом [314, §231].
Обозначим
D.1.24) A = (Pi
Следовательно,
D.1.25) со4 [1 + A — A) th khx th kh2] - tfgk [th khx + th kh2] +
Представляют интерес следующие моменты:
(i) Для каждого k D.1.25) —это уравнение четвертого по-
рядка относительно &{k), тогда как линеаризованное диспер-
сионное соотношение для поверхностных волн D.1.8) является
квадратичным

4.1. Кдф и родственные уравнения 333
(ii) D.1.25) сводится к D.1.8) при 7 = 0, если Д = 0, или
h2 = 0, или h\ = 0, или Д = 1 (заметим, что Д->- 1 можно ин-
терпретировать либо как pi -> 0, либо как рг ->• оо).
(Hi) Для достаточно малых Д, сравнивая ? (свободная по-
верхность) и т] (поверхность раздела), можно видеть, что при
фиксированных k большая (по величине) пара корней D.1.25)
соответствует двум волнам, максимальные амплитуды которых
достигаются на свободной поверхности. Эти две моды назы-
ваются поверхностными волнами; при Д->0 они превращаются
в волны на поверхности однородной жидкости.
(iv) Меньшая (по величине) пара корней D.1.25) соответ-
ствует двум волнам, максимальные амплитуды которых реали-
зуются на поверхности раздела, если Д достаточно мало. Эти две
моды называются внутренними волнами; они исчезают, когда
Д = 0. В первую очередь нас будет интересовать эволюция вну-
тренних волн на длительном отрезке времени.
(v) И для поверхностных, и для внутренних волн
ш2 = О(А:2) при khi> kh2->0,
D.1.26) Ж>0' JS<0 для k>0>
со2 = О A /г 1) при khu kh2->oo.
Отсюда следует, что длинные внутренние волны движутся бы-
стрее остальных внутренних волн, но при этом существуют как
более быстрые, так и более медленные поверхностные волны (в
смысле групповой скорости).
Далее будем решать D.1.25) в длинноволновом пределе. Од-
нако, как отмечал Бенджамин [53] (см. также [133] и [314,
§ 231]), уравнение D.1.25) имеет несколько предельных слу-
чаев, каждый из которых можно было бы назвать «пределом
длинных волн». Все эти пределы имеют физический смысл.
(i) Если длина изучаемой волны больше, чем все вертикаль-
ные глубины, то khu kh2, &# <С 1. В этом пределе D.1.25) сво-
дится к
D.1.27) (^-L - gH (^J + g^hA = О (k>)
и все четыре корня принимают вид
D.1.28) «>~Ck + ak3 для kH<€.\.
Этот случай аналогичен уже обсуждавшейся задаче о по-
верхностных волнах. Начальное возмущение малой амплитуды,
состоящее только из длинных волн (в том смысле, что Ш <С 1),
расщепляется на две поверхностные и две внутренние волны на
коротком (линейном и бездисперсионном) масштабе времени

334 4. Приложение
(см. [314, § 231—234]). Если скорости всех четырех волн раз-
личны, то четыре волны пространственно разделяются за корот-
кое время, и каждая взаимодействует лишь сама с собой на сле-
дующем (нелинейном и дисперсионном) временном масштабе.
Как будет показано ниже, основным уравнением на длитель-
ном временном масштабе является либо КдФ D.1.1), либо
мКдФ D.1.2).
(И) Если hi <C h2, то изучаемые волны могут быть длинными
по сравнению с толщиной слоя (kh\ <С 1) и короткими по срав-
нению с полной глубиной (kH ;$> 1). Этот «длинноволновый пре-
дел» часто имеет место в случае океанских волн. Например, ле-
том глубина термоклина примерно равна 50—100 м, в то время
как глубина океана может быть равна нескольким тысячам мет-
ров. Как детально обсуждал Бенджамин [53], в этом пределе
уравнение D.1.25) сводится к
®2 = g\k\ (короткие поверхностные волны)
и
Г-yJ — gA/*i = О (| & | AJ (длинные внутренние волны),
D.1.29)
Как и прежде, начальное возмущение малой амплитуды за ко-
роткое время распадается на четыре линейные волновые моды
(две поверхностные и две внутренние). В следующем временном
масштабе каждая из внутренних волн описывается уравнением
Бенджамина — Оно D.1.3) (см. также [409] и [29]). Напомним,
что D.1.3), по-видимому, решается применением некоторого ва-
рианта МОЗР, хотя общая теория до настоящего времени не за-
вершена.
(ш) Другая возможность состоит в том, что kh\ <с 1, kH =
— 0A). В этом случае «длинноволнового предела» Джозеф
[246] и Кубота, Коул и Доббс [301] получили уравнение C.5.39)
как промежуточное между D.1.1) и D.1.3). Оно содержит про-
извольный параметр (который в действительности равен kH) и
сводится к D.1.1), если kH-+0, и к D.1.3), если kH-+<x>. Урав-
нение C.5.39) также решается точно (см. разд. 3.5).
Вернемся к случаю kH <c 1. Для простоты потребуем, чтобы
А< 1 (в океане обычно Л<0,02). Из D.1.27) для скорости
длинной волны вытекает соотношение
(т)"
= gH (поверхностные волны),
(внутренние волны).
Ввиду того что Д <С 1, эти скорости различаются. Следовательно,
если внутреннее возмущение имеет конечную протяженность и

4.1. Кдф и родственные уравнения 335
состоит только из длинных волн, то поверхностные и внутренние
волны разделяются на «линейном» масштабе времени.
Для того чтобы рассмотреть внутренние волны на следующем
масштабе времени, определим
D.1.30) т = -{^-
6 V Я
где Ц[ — пространственное отклонение границы раздела, вызван-
ное внутренней волновой модой, скорость которой равна С,.
Далее можно показать, что эта внутренняя волна эволюцио-
нирует согласно уравнению КдФ
D.1.31) fx + 6//х + /Ххх = °-
Ввиду того что солитон является существенно положитель-
ным решением D.1.31), из D.1.30) следует, что внутренний со-
литон всегда является волной, в которой тонкий слой утолщает-
ся. Таким образом, отклонения поверхности раздела направлены
вниз, если тоньше верхний слой, и вверх, если тоньше нижний
слой. Такие внутренние солитоны впервые обсуждались в ра-
боте [276].
Пример внутреннего солитона, который был образован в бас-
сейне, использованном в экспериментах Хаммака и Сигура
(рис. 4.1—4.6), приведен на рис. 4.9. В этом случае жидкость
была стратифицирована по плотности. На рисунке изображены
начальная внутренняя волна и результат ее эволюции. Как и на
рис. 4.2, точками отмечена форма точного односолитонного ре-
шения, которое вычислено по максимуму измеренной амплитуды.
Детали можно найти в работе D58). Аналогичные эксперимен-
ты выполнили Куп и Бутлер [289].
Чтобы непосредственно сравнить теоретические результаты с
экспериментом, как и в случае поверхностных волн, необходим
учет вязкостных потерь. Оказывается, что в случае длинных вну-
тренних волн потери больше, чем в случае длинных поверхност-
ных волн. Причина состоит в том, что дополнительно ко всем по-
гранслоям, возникающим в поверхностных волнах, внутренние
волны имеют погранслои на границе раздела, где сдвиговая ско-
рость больше. Фактически этот дополнительный погранслои ча-
сто служит наиболее важной причиной энергетических потерь.
Обобщение теории Коулегана [275], которое позволяет учесть
этот дополнительный погранслои, не представляет никаких прин-
ципиальных трудностей [324]. Эта обобщенная теория связана
с моделью КдФ для невязкой жидкости и поэтому способна
предсказать эволюцию длинноволновых внутренних солитонов
[325].
Из D.1.30) следует, что f обращается в нуль, если оба слоя
имеют одинаковую глубину и разница их плотностей мала. При

336
4. ГТриложение
-1.7
20
= 100
-В
,= 191
10
дл Н
20
Рис. 4.9. Трансформация начального профиля длинной внутренней волны в
два солитона. Сплошная линия обозначает результат измерений, пунктир-
ная соответствующее солитонное решение уравнения КдФ.
такой специальной конфигурации в задаче возникает симме-
трия, приводящая к исчезновению нелинейных членов. В этом
случае изменение масштабов, неявно содержащееся в предпо-
ложении (D), непригодно, и уравнение КдФ не является аде-
кватной асимптотической моделью. Правильный масштаб в этом
случае выбирается из условия
kh = O (г).
В этом случае асимптотическим уравнением служит уравнение
мКдФ, которое определяет эволюцию волны для следующего
масштаба времени (е2* = ОA)). Обычно уравнение мКдФ воз-
никает в длинноволновом пределе, когда w(k) ~ Cok + акъ. Рас-
сматриваемая задача обладает симметрией, обуславливающей
динамическую неразличимость положительных и отрицательных
волн, что имеет место в случае h\ = h2.
Можно упомянуть еще об одной дополнительной аномалии.
Если соответствующее одномерное уравнение, обусловленное
симметрией задачи, является уравнением мКдФ, то почти одно-
мерные волны удовлетворяют не уравнению D.1.4), а
D.1.32) (ut -j- аи2их + Ьиххх)х + ицц = О,

4.1. КдФ и родственные уравнения 337
где а, Ь являются константами. Как отмечалось в разд. 3.7, эти
уравнения не обладают свойством Пенлеве. Вероятно, по этой
причине отсутствуют все особенности (солитоны, законы сохра-
нения, полная интегрируемость и т. д.), позволяющие выделить
D.1.32) в особый класс уравнений.
Наконец, отметим еще одну модификацию уравнений, опре-
деляющих эволюцию длинных внутренних волн умеренной ам-
плитуды. Такие волны могут быть резонансно связаны с паке-
том коротких поверхностных волн, групповая скорость которых
соответствует скорости внутренних волн. В результате возни-
кают не D.1.1), D.1.2) или D.1.3), а система из двух нелиней-
ных эволюционных уравнений [192], [138], [339], [340]. Из-за
такого взаимодействия длинные внутренние волны иногда могут
наблюдаться в виде резонансно возбужденных поверхностных
волн. Наблюдения таких явлений приведены Филлипсом [421] и
Осборном и Бэрчем [413].
4.1. с. Волны Россби. В атмосфере вращающихся планет ча-
стицы обладают угловой скоростью, определяемой их географи-
ческой широтой. Следовательно, закон сохранения углового мо-
мента препятствует движению частиц в направлении север — юг,
подобно тому как сила тяжести препятствует вертикальному дви-
жению стратифицированной по плотности жидкости. Крупно-
масштабные атмосферные волны, обусловленные вариацией уг-
ловой скорости частиц по широте, известны как волны Россби
[434].
Можно ожидать, что между внутренними волнами и волнами
Россби при соответствующих предположениях существует ана-
логия. Поскольку уравнение КдФ моделирует внутренние волны,
то можно предположить, что оно справедливо и для волн Росс-
би. Это было показано Бенни A966) [55] и Лонгом A964) [331]
(см. также [378] и цитируемые гам работы). При простейших
предположениях (длинные волны, несжимаемая жидкость, при-
ближение р-плоскости и т. д.) в присутствии стационарного во-
сточно-западного зонального потока вывод уравнения КдФ как
модели волн Россби производится стандартным образом, опи-
санным в работе Бенни [55], к которой мы отсылаем читателя,
интересующегося подробностями. Особое внимание к такому
приложению уравнения КдФ обусловлено предположением Мак-
суорси и Редекоппа A976) [356] о том, что Большое красное
пятно Юпитера может быть уединенной волной Россби.
На рис. 4.10 изображена фотография Юпитера, полученная
в ходе осуществления недавней программы «Вояджер». Картина
облачности показывает, что в атмосферном движении Юпитера
преобладает ряд восточно-западных зональных потоков, похо-
жих на конверсионный след реактивных самолетов в нашей зем-

4. Приложение
.".-V
Рис. 4.10. Юпитер. Большим красным пятном называется обширное завихре-
ние овальной формы ниже экватора. Полость лежит точно к северу от пятна.
(Фотография любезно предоставлена НАСА.)
ной атмосфере. Можно видеть также несколько овальных пятен,
включая хорошо известное Большое красное пятно в Южном
полушарии. Большое красное пятно было обнаружено примерно
на этой же широте сотни лет назад; известно, что оно медленно
перемещается на запад и сохраняет свою целостность, несмотря
на взаимодействие с другими атмосферными объектами. В тече-
ние ряда лет было предложено большое число моделей для объ-
яснения загадочного объекта в атмосфере Юпитера, включая
модель уединенной волны.
В соответствии с недавней версией такой модели, описанЕЮй
Редекоппом и Вейдманом [430], рассмотрим квазигеострофич-

4.1. Кдф и родственные уравнения 339
ную форму уравнения потенциала скоростей для несжимаемой
жидкости [417]:
D.1.33) Цд, + идх) + *Ьу(дх-^
Здесь (х, у, г) соответствуют восточному, северному и вер-
тикальному направлениям. Функцию полного горизонтального
потока ^Р запишем в виде
у
?(х, y,z,t)=\u(л)di\ + е-ф(х, у, г, t).
у
Первый член соответствует неоднородному зональному течению,
второй — возмущениям. Затем воспользуемся приближением Р-
плоскости; тогда параметр Кориолиса аппроксимируется форму-
лой
D.1.34) / = 2Q sin 9 + рг/.
Кроме того,
,, , ос» ь- I \ 2Q sin 80/2
D.1.35) ^(Z) =____,
где N (z) является частотой Брента — Вяйсяля и h, d — харак-
терные масштабы длины восточно-западного и вертикального на-
правлений соответственно. Величина К характеризует соотноше-
ние эффектов вращения и вариаций плотности (т. е. центробеж-
ной и гравитационной сил). И наконец,
|i = l2jl\
представляет отношение характерных масштабов в направле-
ниях север — юг и восток — запад.
В линейном (е->0) длинноволновом (|х —»- 0) пределе я|з при-
нимает вид
D.1.36) *=ЕЛ„(^-с„0ф»(у)Р»(г).
п
где сп является конечным результатом решения двух задач на
собственные значения:
D.1.37)
ф" — kl<fn + (Р — U") ф/({/ — с„) = 0, ф„ (ys) = <рп {yN) = 0.
Здесь предполагается, что атмосфера заключена между дву-
мя горизонтальными «твердыми крышками» (при г = 0, 1) и не-
однородный зональный поток течет между ys и ум. Из D.1.37)

340
4. Приложение
следует, что распространение волн возможно только в восточно-
западном направлении, т. е. проблема является существенно од-
номерной, поэтому вопрос о поперечной неустойчивости здесь не
возникает.
Если различные моды D.1.36) разделяются на коротком мас-
штабе времени, следовательно, можно вывести эволюционное
уравнение, описывающее взаимодействие мод самих с собой на
более длительных временных масштабах. Аналогично рассмо-
тренным случаям уравнения выводятся путем исключения секу-
лярных членов, возникающих в следующем порядке разложения.
В зависимости от природы и устойчивости стратификации по
плотности, характеризуемой величиной N(z), для данной моды
может возникнуть либо уравнение КдФ, либо мКдФ. Если две или
-ж/г
20
Рис. 4.11. Картина линий тока для солитона Россби в однородной атмосфере.
Фоновый профиль скоростей показан слева. (Редекопп и Вейдман [430].)
более мод имеют примерно одинаковые линейные фазовые ско-
рости, могут возникнуть также системы эволюционных уравне-
ний. К сожалению, об атмосфере Юпитера известно настолько
мало, что модель в настоящее время невозможно сделать бо-
лее точной или пригодной для количественной проверки.
На рис. 4.11 изображена горизонтальная картина линий тока,
соответствующая одному солитону в системе координат, движу-
щейся вместе с волной. Движение происходит в однородной ат-
мосфере и, как предполагалось выше, в неоднородном зональ-
ном потоке. Форма завихрения очень похожа на Большое крас-
ное пятно, изображенное на рис. 4.10. Область над вихрем на
рис. 4.11 можно сопоставить «дырке», которая находится север-
нее пятна. Однако, повторяем, это сравнение в настоящее время
следует рассматривать как гипотетическое.
Если солитонная модель Большого красного пятна и «дырки»
адекватна, то их комбинация должна взаимодействовать с дру-
гими волнами, подобно солитону. Максуорси и Редекопп [356]
заметили, что в Южном полушарии существовало другое боль-
шое возмущение, известное как южное тропическое возмущение,
появившееся в начале нынешнего века и сохранявшееся несколь-
ко десятилетий. Эти два объекта имели разные скорости и за

4.2. Трехволновые взаимодействия 341
время существования южного тропического возмущения прохо-
дили друг через друга девять раз. Одно из взаимодействий де-
тально описал Пик [418]:
«За шесть недель, необходимых для прохождения граничной
точки р южного тропического возмущения от одного конца «дыр-
ки» до другого... не наблюдалось никаких признаков взаимо-
проникновения; вместо этого в течение нескольких дней после
прибытия граничной точки р возмущения в точку f «дырки» на
противоположном краю дырки... стал возникать образ р-края
возмущения... Это новое образование впоследствии оказалось
истинным р-краем возмущения, которое удалялось от Красного
пятна примерно с той же скоростью (с которой оно к нему ранее
приближалось). Таким образом, вместо трех месяцев, необходи-
мых для взаимного прохождения при нормальном положении ве-
щей, процесс взаимодействия завершился за четырнадцать
дней».
Максуорси и Редекопп [356] интерпретируют это взаимо-
прохождение как взаимодействие двух солитонов с соответст-
вующим фазовым сдвигом. Более детальный анализ приведен в
работе [357].
Для простоты изложения мы опустили некоторые важные ас-
пекты проблемы. Один из них состоит в том, что амплитуда
Большого красного пятна не мала, т. е. 8 = 0A) в D.1.33), по-
этому е-разложение, использованное выше, является чисто фор-
мальным. Следующий аспект заключается в том, что любая реа-
листичная модель Красного пятна должна включать некий меха-
низм отбора энергии из неравновесного зонального течения со
скоростью, достаточной для компенсации диссипативных потерь.
Это обусловлено длительным существованием Красного пятна.
Обсуждение подробного круга вопросов можно найти в работах
[356], [428], [430] и [357].
4.2. Трехволновые взаимодействия. Резонансное взаимодей-
ствие трех волн, по-видимому, является простейшим нелиней-
ным взаимодействием, линейный предел которого учитывает дис-
персию. Обычно соответствующие уравнения возникают при изу-
чении дисперсионных систем в слабо нелинейном пределе и дол-
жны иметь две характерные особенности.
(i) В низшем порядке разложения по малой амплитуде опре-
деляется линеаризованное дисперсионное соотношение со (к).
Оно должно допускать существование резонансной триады, т. е.
трех линейных волн, удовлетворяющих резонансному соотноше-
нию
D.2.1) k,+k2 + k3 = 0, со, + со2 + со, = 0.
(В этом разделе мы предположим, что ш(к) =. — со(—к), иначе
D.2.1) будет неполной.)

342 4. Приложение
(ii) В следующем порядке разложения могут появиться ква-
дратичные взаимодействия. Поэтому если медленно меняющиеся
амплитуды этих трех волн не удовлетворяют уравнениям
,< с^ д^ + (С • V) «1 = iYiO3, dTa2 + (С2 • \) а2 = il]
D.2.2)
д%а3 + (С • V) «з == гу
то могут возникнуть секулярные члены. Здесь С,- — линеаризо-
ванные групповые скорости, вычисленные при к/. Если исходная
система консервативна, то yi, у2, уз вещественны и Y1Y2Y3 ^ 0.
На общую природу таких уравнений прямо указали (наряду
с другими авторами) Бенни и Ньюэлл A967) [58], хотя част-
ные случаи были известны и ранее. Некоторые ситуации, в ко-
торых возникают резонансные триады, можно найти в работах
[132], [259] и [421].
Большое внимание привлек частный случай D.2.2), в кото-
ром комплексные амплитуды волн зависят только от одной не-
зависимой переменной. Ему соответствует немодулированный, од-
нородный цуг волн, и эволюционные уравнения D.2.2) сводятся
к виду
D.2.2') «! == *Yi«^. а2 = 1у^\, az
где di = dtdt или d; = Cidxa.i. Так же как и D.2.2), уравнения
D.2.2) могут быть решены точно при помощи МОЗР в эллипти-
ческих функциях [47], [77].
4.2.а. Нелинейная оптика. Идеальный диэлектрик можно рас-
сматривать как вещество, в молекулах которого электроны проч-
но связаны с ядрами. Воздействие электрического поля на та-
кую среду не вызывает электрического тока, но приводит к не-
которому смещению каждого связанного электрона. Макроскопи-
ческий эффект суммирования всех смещений в единице объема
называется поляризацией Р.
Соотношение между поляризацией и электрическим полем яв-
ляется одним из фундаментальных соотношений, которые харак-
теризуют вещество. В простейшем случае это соотношене яв-
ляется линейным,
D.2.3) Pt^XuE,,
где %,-/ —(линеьшая) восприимчивость среды. Для изотропных
сред %ц сводится к скаляру. Простейшим обобщением D.2.3) слу-
жит случай, когда поле представляет собой плоскую волну с ча-
стотой со и %<7 зависит от со.
До изобретения лазера этой модели было достаточно для
большинства задач оптики. Однако лазеры оказались способ-
ными создавать поля столь высокой интенсивности, что стал не-

4.2. Трехволновые взаимодействия 343
обходимым учет нелинейных эффектов в восприимчивости. Под
«нелинейной оптикой» обычно понимается класс явлений, обус-
ловленных нелинейными поправками к восприимчивости диэлек-
трических материалов. Исследования таких эффектов ведутся
во многих наиболее интенсивно развивающихся разделах при-
кладной физики, поэтому наше изложение будет заведомо не-
полным. Последующее обсуждение будет основано на работах
Ахманова и Хохлова A972) [38], Уизема A974) [50] и Ярива
A975) [51]; см. также [277].
Рассмотрим идеальный немагнитный и однородный диэлек-
трик. Уравнения Максвелла (в системе МКС) имеют вид
D.2.4а) vXH=d,D, V X Е = - <Э,В,
D.2.4b) v.D=0, V-B = 0,
где
D.2.4с) D (Е) = -75- Е + Р, В = ЦОН,
с — скорость света в вакууме. Их можно преобразовать к виду
D.2.5) 7i-a?E + a?p + vXvXE = o.
Смещение электрона Z в среде без диссипации можно описать
при помощи неоднородного уравнения ангармонического осцил-
лятора:
D.2.С) тЪн + VZU (Z) == iqE,
где т — эффективная масса осциллятора, U — его потенциаль-
ная энергия, вектор 1@ направлен вдоль электрического ди-
польного момента, q — заряд электрона, Е — локальная напря-
женность поля. В простейшем случае все молекулы одинаковы,
поэтому
D.2.7) Р = NqZ,
где N — число осцилляторов в единице объема. В конце кон-
цов получаем, что Р удовлетворяет уравнению
D.2.8) d?P + \pV (P) = ^- Е = ^ Е,
где V учитывает как суммирование по всем индивидуальным по-
тенциальным энергиям, так и разницу между локальным и ма-
кроскопическим полями. Уравнения D.2.5) и D.2.8), после того
как V задано, вместе с граничными и начальными условиями
определяют поле. Заметим, что и нелинейность, и анизотропия
среды учтены в V(P).

344 4. Приложение
Многие недиссипирующие диэлектрические материалы в при-
ближении слабых полей являются изотропными, и для них фор-
мулу D.2.8) можно приближенно записать в виде
D.2.9) d)Pi + alPt + dukPiPk ~ К- Ей 1 = 1, 2, 3.
По соображениям симметрии йцн — d;*/. В работе Ярива
A975) [517] приводится таблица значений йцк для некоторых
кристаллов. Для кристалла кварца d\u ф О, и все три взаимо-
действующих вектора поляризации параллельны. Для дигидро-
фосфата аммония (АДФ) и для дигидрофосфата калия (КДФ)
йцк = 0, если не все индексы различны. (Эти два кристалла в
линейном приближении также являются анизотропными.)
Если вещество изотропно или является кристаллом с центром
симметрии, то йцн. = 0, и нелинейный эффект будет, обусловлен
приближением следующего порядка:
D.2.10) д?Р( + «о§Р| + г,/*,/у>*Р,~-|тЕ,, /=1,2,3.
В случае таких материалов резонансные триады отсутствуют,
и существенными становятся резонансные квартеты.
В линейном пределе решение уравнений D.2.5—9) может
быть представлено в виде плоско-поперечных волн:
D.2.11) E = Eoeie, Р = Рое'е, в = к-х-«о/.
Здесь к-Ео = О. Эта подстановка приводит к линеаризованному
дисперсионному соотношению
D.2.12) ^
которое приведено на рис. 4.12. В тех случаях, когда рассматри-
вается начальная задача, мы используем дисперсионное соотно-
шение в виде со (к). В оптических экспериментах более естест-
венно рассматривать к (со), т. е. со дано и к определяется иссле-
дователем. Более того, в оптике общепринято вводить показа-
тель преломления
D.2.13) n = k?
и выражать дисперсионное соотношение в виде (п2 = п-п)
D.2.14) „2=1_^2Ц
а>г — ©о
Очевидно, что эта линейная бездиссипативная модель несо-
стоятельна для ы, близких к оH, когда частота действующего
поля почти совпадает с частотой осцилляции атомов среды.

4.2. Трехволновые взаимодействия
345
Рис. 4.12. Линеаризованное дисперсионное соотношение B.2.12) для изотроп-
ного диэлектрического вещества. А, (—В) и О — форма резонансной триады:
А + (—В) + С = 0.
В разд. 4.4 мы рассмотрим этот резонансный случай более де-
тально. Здесь будет рассматриваться только нерезонансный слу-
чай.
Теперь с помощью рис 4.12 мы проиллюстрируем метод на-
хождения резонансных триад, допускаемых линеаризованным
дисперсионным соотношением, подобным D.2.12). Эта процеду-
ра была переоткрыта несколько раз (см., например, Займан
A960) [550], Болл A964) [47]). Сначала выберем произволь-
ную точку А на одной из ветвей дисперсионной кривой. Затем
воспроизведем все ветви дисперсионного соотношения, сместиз
начало координат из О в Л. На рис. 4.12 они изображены штри-
ховыми линиями. Каждое пересечение штриховой и сплошной
линий (например, точка В) представляет вторую волну, кото-
рая вместе с Л может включаться в резонансную триаду. Из В
проведем вектор, параллельный и равный АО. По построению,
этот вектор упирается в дисперсионную кривую в точке С. Сле-
довательно, все точки А, В к С лежат на дисперсионной кривой
и поэтому представляют решения D.2.12). Более того, очевидно,
что ОА -f- ОС = ОВ, так что волны, соответствующие (Л, —В,
С), также удовлетворяют D.2.1).
Триады, найденные таким путем, являются одномерными (kj,
кг, к3—коллинеарны). В более общем случае, когда ki, k2 и k3

346 4. Приложение
компланарны, решения D.2.12) лежат на поверхности, которая
может быть получена вращением рис. 4.12 относительно оси со.
Только что изложенный геометрический метод поиска резонанс-
ных триад до сих пор используется при решении задач более вы-
сокой размерности.
Если в обсуждаемой проблеме диэлектрический материал
остается анизотропным в линейном приближении, то размер-
ность дисперсионного соотношения будет обязательно выше.
В этом случае тоже используется геометрический метод, хотя
очевидно, что он может оказаться довольно сложным.
Далее, найдем слабонелинейные решения D.2.5,9). Соответ-
ствующей мерой нелинейности, как это следует из D.2.9), яв-
ляется
e =
Поле является слабо нелинейным, если е -С 1. Будем искать ре-
шение в виде
Е (х, U е) = еЕ, (х, /, е) + е2Е2 + О (е3),
D.2.15а) р (Х) и е) = еР]
где
N
, „, v Ei = Е {Am (у, т) ехр (Юж) + А^ ехр (- «„)},
D.2.15Ь) т-\
x = Bt, y = ex, 0m = кт • х — (x>J.
Поясним сказанное.
(i) В лабораторных условиях, обеспечивающих точное уп-
равление входящими волнами, представление поля в виде дис-
кретной суммы N волн является вполне оправданным. Однако
если входящие волны содержат две волны резонансной триады,
третья волна триады также должна содержаться в Ei. Изна-
чально она может иметь нулевую амплитуду.
(п) В этой задаче временные и пространственные перемен-
ные меняются своими обычными ролями. Электрическое поле,
определенное на границе материала во все моменты времени,
эволюционирует в пространстве, проходя через среду. Возмож-
ные медленные модуляции входящего волнового пакета опреде-
ляются зависимостью \т от т.
(in) Термин «медленные» модуляции нужно понимать сле-
дующим образом. Период волны, испускаемой рубиновым лазе-
ром, примерно равен 2Х Ю~15 с. Для того чтобы достичь боль-
шей интенсивности поля, лазерный импульс (модулируя доброт-

4.2. Трехволновые взаимодействия 347
ность) делают столь коротким во времени, что он может изме-
ряться пикосекундами (т. е. 10~12 с). Такие короткие импульсы
содержат порядка тысячи осцилляции поля и могут рассматри-
ваться как медленная модуляция!
В низшем порядке разложения D.2.15) мы просто получаем
решение линейной задачи
2 2 *-
где (km, com) связаны соотношением D.2.12).
Предположим, что это линеаризованное решение имеет един-
ственную резонансную триаду, в которой (к, со) удовлетворяют
D.2.1), а вектор поля имеет постоянную ориентацию, определяе-
мую dijk- Например, в случае кристалла кварца (dm Ф 0)
Ат = \ат (у, т), т=1, 2, 3,
где v — постоянный единичный вектор, а все ат — скаляры. Та-
кое решение в низшем порядке порождает сингулярные члены
следующего порядка, если отсутствует трехволновое резонансное
взаимодействие на больших масштабах пространственных коор-
динат, определяемое уравнениями
д%а{ + (с, • у„)«! = iyfife, дха2 + (
D.2.16а)
где
з
D.2.16b)
2
Ввиду того что dijk ^ 0, a (coi, сог, соз) не могут иметь один и тот
же знак (этот факт следует из D.2.1)), то уи у2, уз также имеют
разные знаки.
Таким образом, мы имеем дело с распадной неустойчивостью,
обсуждавшейся в разд. 2.1.
Генерация второй гармоники является особым случаем резо-
нансной триады, в котором со3 = coi, со2 = —2соь Более того, мы
можем отождествить а3 с а\ и преобразовать уравнения к виду
D>2Л7) ^, + (W,)a1 = iaft,
3A+(WJ/W)\

348 4. Приложение
Следовательно, вторая гармоника а2, даже если она первона-
чально отсутствовала, будет возбуждаться основной гармоникой
ci. В нелинейной оптике этот частный случай широко представ-
лен в эксперименте. В формулировке метода обратной задачи
он оказывается сингулярным пределом (см. [263]).
Ограничимся исследованием стационарной одномерной зада-
чи, когда все три волны распространяются вдоль одной оси, т. е.
(кь k2, k3) параллельны и (Аь А2, А3) ориентированы в соот-
ветствии с йцк. Обозначим основную пространственную коорди-
нату буквой у. Тогда D.2.16) сводится к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений
D.2.18) al = iyia^ycl, а2 =
где а=ду(а).
Два интеграла этих уравнений, иногда называемые соотно-
шениями Менли — Роу, имеют следующий вид:
D.2.19) iil?iJL—?ii«iJL = const, -5ii?i"l_M«»Jl= const.
Yi Y2 Vi Уз
Отсюда следует закон сохранения энергии
D.2.20)
Здесь мы воспользовались формулами D.2.16b), D.2.12) и
D.2.1). Таким образом, полная энергия входящих волн распре-
деляется по трем взаимодействующим волнам. Эти соотношения
имеют также квантовомеханическую интерпретацию, обсуждав-
шуюся Ахмановым и Хохловым A972) [38]. Как отмечал Болл
[47], полное решение системы D.2.18) можно выразить через эл-
липтические функции.
Как же обстоит дело с непосредственными эксперименталь-
ными данными? Можно сказать, что нелинейная оптика берет
начало с экспериментальной демонстрации эффекта генерации
второй гармоники Франкеном, Хиллом, Петерсом и Вейнрей-
хом A961) [167].
Они сфокусировали «стационарный» луч рубинового лазера
@,6943 мкм) на торцевой поверхности кристалла кварца и за-
регистрировали излучение удвоенной частоты, испускаемое с об-
ратной стороны, что соответствует синему цвету с длиной волны
0,347 мкм. (В данном случае импульс, длительность которого
превышает 10~6 с, можно считать стационарным.) Доля мощно-
сти второй гармоники в этом стационарном одномерном экспе-
рименте составила всего К)-8. В последующих более тонких экс-
периментах удалось существенно увеличить долю мощности вто-
рой гармоники.

4.2 Трехволновые взаимодействия 349
Впечатляющая демонстрация этого эффекта запечатлена на
фотографии 4.13. Более детальное обсуждение данного вопроса
приведено в работах Ярива A975) [515] и Клейнмана A972)
[277].
Следует отметить, что эти эксперименты имеют важное прак-
тическое значение. Получить источник когерентного излучения
с частотой, вдвое большей, чем у рубинового лазера, — это зна-
чит сделать «синий лазер». Очевидно, что с этой целью жела-
тельно перераспределить как можно больше энергии в гармони-
ческую моду.
Рис. 4.13. Оптическая демонстрация генерации второй гармоники: луч крас-
ного цвета, проходя сквозь кристалл кислого фосфорно-кислого аммония,
генерирует луч голубого цвета. (Фотография любезно предоставлена Р. В. Те-
руном.)
Это только один из примеров применения трехволнового вза-
имодействия в нелинейной оптике. Фактически в этой области
было реализовано несколько тонких следствий из формулы
D.2.1), которые обсуждались Ахмановым и Хохловым A972)
[38], а также Яривом A975) [515]. Здесь мы рассмотрим только
цва из них.
(i) Параметрические осцилляции возникают в тех случаях,
когда лазерный луч высокой частоты (—со3) используется для
«накачки» в резонаторе двух более низкочастотных сигналов «и,
0J (coi -\-а>2 = — соз). При этом нелинейное взаимодействие дол-
жно быть достаточно интенсивным, чтобы сигналы a»i и со2 полу-
чали по крайней мере столько же энергии, сколько они теряют
из-за несовершенства зеркал и других потерь. Практическая вы-
года заключается в том, что хотя шз фиксирована частотой резо-

350 4. Приложение
нансных переходов лазера, но частоты щ и со2 определяются
только формулой D.2.1) и дисперсионным соотношением для
среды. Таким образом, ценой некоторого уменьшения КПД мы
получили возможность перестраивать частоты соь о>2 в довольно
широких пределах. Следовательно, получен источник когерент-
ного излучения с переменной частотой.
(И) Повышение частоты относится к взаимодействию низко-
частотного оптического сигнала coi с интенсивным лазерным из-
лучением частоты оJ для получения сигнала высокой частоты
—шз = coi + «2- Практическая ценность такого преобразования
состоит в том, что оно позволяет регистрировать излучение в ин-
фракрасной части спектра, в которой возможности существую-
щих детекторов весьма органиченны. Регистрация осуществляет-
ся путем преобразования сигнала в видимую область спектра,
для которой существуют детекторы значительно более высокого
качества.
Для всех этих приложений следует повторить, что даже если
задача одномерна, формулы D.2.18) справедливы только в тех
случаях, когда входящий луч стационарен. Если он представляет
собой существенно короткий импульс, то справедливы уравне-
ния D.2.16).
4.2.Ь. Внутренние волны. Одна из фундаментальных про-
блем физической океанологии [177, 178] — объяснение динамиче-
ских источников спектра внутренних волн, измеряемого в океа-
нах [177, 178]. Одним из аспектов этой проблемы является объ-
яснение начальной генерации внутренних волн. Другим аспек-
том является объяснение механизма перераспределения энергии
по различным модам внутренних волн. Полагают, что резонанс-
ные триады играют роль в обоих процессах, здесь мы обсудим
только первый (см. также [421], [499], [362], [404]).
Один из возможных механизмов генерации внутренних
волн — это резонансная триада, включающая комбинацию по-
верхностных и внутренних волн. В частности, если первоначаль-
но имели место только поверхностные волны, а внутренние от-
сутствовали, то эта триада может возбудить внутреннее волно-
вое движение.
Простая двухслойная модель, обсуждавшаяся в разд. 4.1, до-
пускает резонансные триады, включающие поверхностные и вну-
тренние волны [47]. Поэтому в целях упрощения анализа вза-
имодействия мы будем использовать эту модель. Однако чита-
тель должен заметить, что эта система в дополнение к поверх-
ностным волнам допускает только один набор внутренних волн.
Поэтому на ее примере можно продемонстрировать перенос энер-
гии в первую внутреннюю волновую моду, но не перенос энергии
из этой моды в другие внутренние волны. Это ограничение суще-

4.2 Трехволновые взаимодействия
351
ственно, если система используется для изучения океанских
волн.
Рассматриваемая конфигурация показана на рис. 4.8. Линеа-
ризованное дисперсионное соотношение для волн в этой системе
было дано формулой D.1.25), рис. 4.14. Используя геометриче-
ский метод Болла [47] (см. также [455]), легко показать, что
D.1.25) допускает несколько резонансных триад, включающих
либо две поверхностные и одну внутреннюю волны, либо две
внутренние и одну поверхностную волну.
Рис. 4.14. Линеаризованное дисперсионное соотношение для двухслойной си-
стемы D.1.25). Рисунок соответствует случаю h2 = °°. Показаны две резо-
нансные триады, одна из них включает две поверхностные волны, другая две
внутренние волны.
Далее, необходимо показать, что коэффициенты взаимодей-
ствия в D.2.2) не обращаются в нуль. Соответствующие вычис-
ления можно выполнить несколькими способами, одним из кото-
рых является обычное применение метода нескольких временных
масштабов (см., например, [483], [248]). Для того чтобы избе-
жать утомительных алгебраических вычислений, с которыми
связан этот подход, Симоне [462] изобрел вариационный метод,
более эффективный в вычислительном плане. С другими мето-
дами можно ознакомиться в работах, на которые ссылается Фил-
липс [421]. Обычно эти построения включают однородные вол-
новые цуги, так что эволюционные уравнения соответствуют
B.2.2'), а не D.2.2). Учет пространственной и временной моду-
ляции, однако, несложен. Важным моментом в нашем обсужде-
нии является то, что коэффициенты резонансных триад в двух-
слойной модели не равны нулю тождественно.
Каково значение этих триад? Для простоты рассмотрим сна-
чала случай пространственно однородного цуга волн. Изменив
порядок нумерации мод линеаризованных волн, можно перепи-
сать кинематическое условие D.2.1) в виде
D.2.21) k, + k2 = k3) щ + а>2 = а3,

352 4. Приложение
где со,- > 0. Для консервативных систем, не зависящих от про-
странственных переменных, Хассельман [204] заметил возмож-
ность следующего представления условия D.2.2а):
D.2.22) d^al = iayy dxa.2 = ia3a\, дха3= — ia\a2,
т. е. отрицательному коэффициенту взаимодействия в D.2.22)
соответствует наибольшая частота в D.2.21). Это соответствие
не зависит от вида коэффициентов взаимодействия, достаточно
только, что бы они не обращались в нуль. Рассмотрим однород-
ный цуг волн частоты cos с безразмерной амплитудой аз (поряд-
ка единицы). Если а\ и а2 вначале бесконечно малы, то на на-
чальной стадии, как это следует из D.2.22), а3 постоянно, и
D.2.23) d\at ~|а3|Ч' *=1. 2-
Таким образом, бесконечно малые моды экспоненциально нара-
стают за счет аз, т. е. а3 является нелинейно неустойчивой мо-
дой по отношению к малым возмущениям в триаде, определяе-
мой D.2.21). (Следует иметь в виду, что эта неустойчивость
кратковременна, общее решение D.2.22) является периодиче-
ским.)
Если резонансные триады, связанные с двухслойной моделью,
пронумерованы в соответствии с D.2.21), где со > 0, то а»з обя-
зательно относится к поверхностной волне (см. рис. 4.14). Ввиду
того что коэффициенты взаимодействия не обращаются в нуль,
из теоремы Хассельмана следует, что поверхностные волны в
двухжидкостной системе неустойчивы. Начальная скорость раз-
вития неустойчивости пропорциональна амплитуде \а3\ из
D.2.23). Заметим, что в данном случае скорость развития не-
устойчивости выше, чем неустойчивость Бенджамина — Фейера,
которая пропорциональна |аз|2 (см. разд. 4.3).
Как обстоит дело с экспериментальным подтверждением та-
кой неустойчивости? Льюис, Лейк и Коу [326] изучали D.2.22)
с точки зрения устойчивости и рассматривал только начальную
стадию возникновения внутренних мод за счет возбуждения двух
поверхностных волн. Предсказанные наблюдения оказались в
сравнительно хорошем соответствии с решениями D.2.22) на на-
чальной стадии, но эксперимент прекращался раньше, чем мог
проявиться периодический характер решения.
Возбуждением двумя поверхностными волнами внутреннего
волнового движения занимался также Джойс [248]. В его экс-
периментах вязкие потери были сравнимы с нелинейным ростом,
поэтому в уравнения D.2.22) были добавлены слагаемые, учи-
тывающие потери по линейному приближению. Одной из его ос-
новных задач являлось наблюдение переходного процесса уста-
новления стационарного состояния, в котором подпитка поверх-

4.2. Трехволновые взаимодействия 353
постных волн происходит с тон же скоростью, что и диссипация
всех трех волн. Ясно, что периодические решения D.2.22) в этом
эксперименте не возникали.
В тех случаях, когда в уравнения D.2.22) включены линей-
ные вязкостные слагаемые, как отметил Мак-Эван [364], суще-
ствует минимальная амплитуда аз, ниже которой неустойчивость
исчезает. Он также экспериментально продемонстрировал эту
амплитудную отсечку (см. также [365]).
Отметим, что во всех перечисленных экспериментах изуча-
лись модуляции однородных волновых шлейфов по времени или
пространству, что соответствует D.2.2'), а не D.2.2). Заметим
также, что в экспериментах не наблюдались точные периоди-
ческие решения D.2.2'); причиной тому служит или сильная дис-
сипация, которая не учитывается в D.2.2'), или малая продол-
жительность эксперимента.
Рассмотрим резонансные триады волновых пакетов, промоду-
лированных как по времени, так и по пространству, что соответ-
ствует уравнениям D.2.2). Не вызывает сомнений, что в случае
океанских волн эта модель более предпочтительна. Ввиду того
что кинематическое условие B.2.21) не зависит от групповых
скоростей волн, три волновых пакета резонансных волн (конеч-
ных размеров) могут пространственно разделиться, что и про-
исходит на самом деле (см. разд. 2.1). Таким образом, из всех
резонансных триад, допускаемых линеаризованным дисперсион-
ным соотношением D.1.25), особое внимание следует уделять
тем триадам, в которых близки групповые скорости, что приво-
дит к увеличению времени их эффективного взаимодействия.
Существуе семейство триад, удовлетворяющих D.1.25), в ко-
торых k[ представляет длинные внутренние волны, а къ k3 — ко-
роткие поверхностные волны, причем k\ = k3 — k2 <C k3.
Из D.2.21) следует, что
Для достаточно малых k3 — k2 левая часть D.2.24) является
групповой скоростью поверхностной волны k3 (« k2), а правая
часть — фазовой скоростью внутренней волны. Но поскольку
внутренняя волна длинная, то эта фазовая скорость равна груп-
повой. Таким образом, длинные внутренние и короткие поверх-
ностные волны распространяются совместно. В некоторых слу-
чаях этот факт известен как взаимодействие длинных и корот-
ких волн ([176], [421], [57], [432], [340]).
Наконец отметим, что нами не рассматривались волновые
процессы, происходящие на фоне неоднородного по вертикали
(сдвигового) течения. Керне A979) [84] и Крейк и Адам A979)
[126] показали, что если равновесной конфигурации соответ-
12 Зак. 114

354 4. Приложение
ствует устойчивая стратификация (т. е. существует горизонталь-
ная скорость U(г), где O'(z) =0), то все коэффициенты вза-
имодействия могут иметь один и тот же знак. В этом случае
имеет место «взрывная неустойчивость», первоначально извест-
ная только для плазмы (см. [132], [468]). Она состоит в том,
что три резонансные волны поглощают энергию из фонового те-
чения, формируя сингулярность за конечное время (в данном
приближении).
4.2. с. Резонансные квартеты. Мы видели, кто в пределе ма-
лой амплитуды резонансные триады зачастую адекватны первой
нелинейной поправке линейной теории. Основные уравнения
D.2.2) или D.2.2') являются условиями подавления секулярных
членов О (г2). Если в этом порядке нет растущих секулярных
членов, то первая нетривиальная нелинейная поправка возни-
кает для О (г3). В нелинейной оптике это имеет место, когда ди-
электрик является изотропным или кристаллом с центром сим-
метрии. Для внутренних и поверхностных волн такая ситуация
возникает при рассмотрении взаимодействий только между раз-
личными волнами одной и той же вертикальной моды. В частном
случае поверхностных волн в однородной жидкости резонансных
триад нет [420].
Резонансные квартеты, если соответствующие коэффициенты
взаимодействия не обращаются в нуль, возникают в следующем
порядке. Резонансное условие, соответствующее D.2.1), имеет
вид
D.2.25) ki + k2 + k3 + k4 = 0, CO[ + co2-[-co3-f-co4 = 0,
где co, = co(k,) определяется из линеаризованного дисперсион-
ного соотношения. Ввиду того что мы предположили со (к) =
= —со(—к), D.2.25) имеет решения вида
D.2.26) к, = - к2, ка = - к4.
Таким образом, дисперсионное соотношение всегда допускает
существование резонансных квартетов. (Это остается в силе, да-
же если со (к) + со(—к) ф 0.)
Для резонансных триад соответствующими медленными пере-
менными являлись (ех, е^). Так как резонансные квартеты воз-
никают в следующем порядке, их медленными переменными яв-
ляются (е2х, е2^); нелинейная связь является более слабой и эво-
люция более медленной. Определяющие уравнения имеют вид
4
дхат + {Cm'V)am=-zt ^ $тРатарар + l L щ4mqrsaqaЛ»
D.2.27)

4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения 355
где т = 1, 2, 3, 4 и с„, — линеаризованная групповая скорость,
соответствующая вектору km (см., например, Бенни и Ньюэлл
[58]). Бенни и Ньюэлл также отметили, что если D.2.26) яв-
ляется единственным решением D.2.25), то последняя сумма в
D.2.27) обращается в нуль, и решение упрощенных уравнений
может быть представлено в компактном виде:
ft \
ат (х, т)=/т (х—стх) ехр / \ ^ ]Г pmp | fp (х—стт+(ст—ср) Г) f dT >,
D.2.28)
где ат(х, 0) =fm(x)—начальные комплексные амплитуды.
Другие общие результаты, касающиеся системы D.2.27), нам не
известны. В частности, вопрос о полной интегрируемости D.2.27)
остается открытым.
Совершенно иная картина наблюдается в теории четырехвол-
нового взаимодействия, развитой Хассельманом [202, 203] для
поверхностных волн; см. также [205], [504] и [507]. При выводе
уравнения D.2.27) предполагалось, что эффекты нелинейности
преобладают над эффектами случайности, а в модели Хассель-
мана и др. предполагается обратное. Результатом является урав-
нение переноса типа уравнения Больцмана, а не D.2.27). По-
видимому, решения этих двух моделей не совпадают, поскольку
их исходные предположения различны. Необходимо тщательное
изучение области применимости каждой модели. По нашим све-
дениям, это еще не сделано.
4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения.
В разд. 4.2 мы видели, что в зависимости от специфики задачи
один и тот же метод построения уравнений может привести к
взаимодействию либо трех, либо четырех (может быть, и боль-
ше) волн. Нелинейное уравнение Шрёдингера (кубическое)
D.3.1) n^ + ^* + 2ahM2a|; = 0, a = ±l
возникает как результат применения подобного метода к линей-
ной системе с дисперсией, но соответствует другой совокупности
взаимно компенсирующих слагаемых. Мы можем уточнить это
утверждение.
Предположим, что некоторая физическая величина представ-
ляет собой суперпозицию N плоских волн с комплексными ска-
лярными амплитудами a«, i = 1, 2, . . ., N. Как показано в
разд. 4.2, уравнения для скалярных триад или квартетов возни-
кают в том случае, если N огибающих медленно меняются во
времени и пространстве так, чтобы (d< + c,--V)a,- по порядку ве-
личины совпадало с нелинейными членами. Здесь с,- — группо-
вая скорость i-й волны. В тех случаях, когда нелинейные члены

356 4. Приложение
много меньше, т. е. (dt + сг V)'a,- « 0, возникает другая ситуа-
ция. В этом случае каждый волновой пакет на данной времен-
ной шкале, не взаимодействуя, движется со своей собственной
групповой скоростью. Если групповые скорости не совпадают и
если все волновые пакеты локализованы, то они разделяются в
пространстве. Поэтому нелинейности, возникающие в следующем
временном масштабе, приводят к взаимодействию каждого вол-
нового пакета только с самим собой. Для размерности 1 + 1 в
этом масштабе определяющим уравнением часто служит D.3.1).
При некоторых ограничениях этот вывод справедлив и в том слу-
чае, когда начальными условиями являются локальные возму-
щения, которые не могут быть выражены через N плоских волн.
В разд. 4.2 читатель мог заметить, что линеаризованная груп-
повая скорость, допускающая одну резонансную триаду, как
правило, допускает и несколько триад (например, см. рис. 4.12
и 4.14). Требуются дополнительные соображения, чтобы выбрать
из них одну «доминирующую» триаду, основными уравнениями
которой являются D.2.2). При исследовании уравнения D.3.1)
таких проблем не возникает, если никакие две линейные группо-
вые скорости не совпадают. В такой ситуации имеет место толь-
ко автовзаимодействие; так как волновые пакеты разошлись на
предыдущем временном масштабе. Однако поперечная неустой-
чивость, как мы увидели ниже, ограничивает физическую при-
менимость A + 1)-мерной модели D.3.1).
4.3. а. Нелиейнная оптика. Рассмотрим изотропный диэлек-
трический материал, показатель преломления которого демон-
стрирует нелинейную поправку в электрическом поле умеренной
напряженности:
D.3.2) п (и, | Е |) = ^ ~ п0 (со) + п2 (со) | Е |2.
Для определенности выберем п0 > 0. Ахманов, Хохлов и Сухо-
руков A972) [39] обсуждали несколько механизмов возникно-
вения такого нелинейного поправочного члена (см. также [515]
и [254]):
(i) «Ориентационный» (или высокочастотный) эффект Кер-
ра, отражающий тенденцию анизотропных молекул жидкости
ориентироваться вдоль напряженности сильного электрического
поля. Естественно, что среда в присутствии поля приобретает
анизотропию. Этот эффект в ряде случаев дает основной вклад
В «2-
(И) «Электрострикция» относится к эффекту сжатия диэлек-
трического материала электрическим полем. Сжатие в свою оче-
редь меняет показатель преломления. Этот эффект обычно пре-
обладает в жидкостях с изотропными молекулами, в газах и изо-
тропных твердых телах,

4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения 357
(Hi) Если вещество поглощает какое-то количество света, то
поглощенная энергия приводит к его разогреву и расширению.
Ландауэр A967) [316] показал, что при отсутствии поглоще-
ния п2 > 0. Будет показано, что неравенство п2 > 0 отвечает са-
мофокусировке, а п2 < 0 — самодефокусировке света. Следова-
тельно, самодефокусировка может иметь место только в среде,
поглощающей свет. Каков бы ни был механизм, формула D.3.2)
предполагает, что отклик среды является квазилокальным и ква-
зистатическим для каждой частоты. Ахманов, Хохлов и Сухору-
ков A972) [39] отметили, что электрострикционный и тепловой
эффекты обычно нелокальны, а последний к тому же часто яв-
ляется нестатическим. Далее будет рассмотрен простейший спо-
соб вывода уравнения D.3.1), основанный на предположении о
применимости D.3.2). Однако, как мы увидим ниже, обсуждая
волны на воде (разд. 4.3.Ь), в некоторых случаях возможен учет
нелокальных эффектов.
Предположим, что стационарная плоская волна фиксирован-
ной частоты, распространяясь в направлении Х\, падает на ди-
электрик. Комплексная амплитуда поля может медленно менять-
ся в пространстве, но не во времени (по предположению). В со-
ответствии с D.3.2) подходящей мерой нелинейности является
«2 I Е !2
X, t П"
предполагаем, что е< 1. В соответствии с D.3.2)
D.3.3) с'Р = (/г2 - 1) Е ~ (/г2 - 1 + 2п0п2 | Е |2) Е,
так что соотношение D.2.5) принимает вид
D.3.4) c~Vi {{nl + 2п0п21 Е |2) Е} + V X V X Е - 0.
Введем в рассмотрение медленные пространственные пере-
менные
D.3.5) г/,=ех1, г/2===ех2, у3 = ех3, x = e2*i-
В главном порядке (О(е)) выражение для электрического
поля принимает вид
D.3.6) Е = ее {Ц> (у; х) exp {ikxx - Ш) + (*)} + О (е2),
где ё — единичный вектор, ортогональный к к, и соF) опреде-
ляется линейным дисперсионным соотношением (т. е. посред-
ством по(а>), D.2.14)). Пренебрегая однородными членами сле-
дующего порядка, мы получаем

358 4. Приложение
Это значит, что на расстояниях порядка О(е~') вдоль направле-
ния распространения модуляции волн нет.
Условие исключения секулярных членов, возникающих в по-
рядке О(е2), имеет вид
D.3.8) 2ikdx$ + v2, t + {2со2/72с-2 sign (л2)} | г|> |2 г|> = О,
где Vx = д2 + д2 — поперечный лапласиан. Уравнение D.3.8)
получил Келли A965) [273] и независимо Таланов A965) [473].
При рассмотрении стационарной задачи форма входящего луча
задается функцией гр(г/2, Уз, X = 0). Следовательно, D.3.8) вме-
сте с граничными условиями (г/г, Уз) определяет пространствен-
ную эволюцию луча при прохождении диэлектрика в направле-
нии Xl.
Заметим, что D.3.8) не зависит от е, так же как D.3.7) и
D.2.14). Поэтому указанные уравнения не вырождаются в пре-
деле 8->-0. Это свойство желательно, поскольку указанные ура-
внения были получены как часть асимптотического разложения
по степеням е.
Обсудим две экспериментальные ситуации. В менее тради-
ционной входящий луч промодулирован только в одном попе-
речном направлении.
Пусть
^4- = о
дуз
В этом случае уравнение D.3.8) описывает эволюцию в раз-
мерности A + 1). Оно может быть приведено к виду D.3.1),
позволяющему применить результаты метода обратной задачи
(см. гл. 1). В частности, если i|) быстро стремится к нулю при
\у2\ -+оо и если пч > 0, то входящий луч, имеющий достаточ-
ную напряженность, будет «самофокусироваться» в N солитонов
плюс остаточное излучение (связанное с непрерывным спектром).
В данном контексте солитоны имеют вид прямых линий (в пло-
скости (у2, %)), вдоль которых интенсивность луча при х~^°°
становится постоянной. Эти солитоны иногда называются волно-
водами, и параметр, в обычной ситуации определяющий ско-
рость солитона, задает ориентацию волновода в окружающей
среде. Этот эффект иногда именуется автолокализацией для то-
го, чтобы отличать его от более сильной самофокусировки, воз-
никающей в случае размерности B + 1).
Термин «автолокализованный волновод» в диэлектрике яв-
ляется более предпочтительным, так как луч не подвержен влия-
нию дисперсии (или дифракции, что было оговорено выше).
К сожалению, как отмечалось в разд. 3.8, A + 1)-мерные вол-
новоды неустойчивы по отношению к длинным поперечным воз-
мущениям (т. е, в направлении t/з)- Возможно, что недостаточ*

4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения 359
ность экспериментальной информации об автоволноводах обус-
ловлена их неустойчивостью. В этой связи уместно заметить, что
соответствующие солитоны огибающих в волнах на воде также
неустойчивы по отношению к длинноволновым возмущениям.
Тем не менее в эксперименте они получены без особых трудно-
стей: одна из волновых картин приведена на рис. 4.16. Хитрость
заключалась в использовании узкого бассейна, поэтому неустой-
чивые поперечные моды исключались геометрией эксперимен-
тальной установки. В принципе аналогичный подход может быть
использован для получения устойчивых автоволноводов в ди-
электрике. Однако, насколько нам известно, экспериментальная
работа в этом направлении не ведется.
Перейдем к рассмотрению более естественной постановки за-
дачи для уравнения D.3.8), в которой входящий луч имеет сече-
ние, близкое к круговому. Фундаментальным является вопрос:
'можно ли решить уравнение D.3.8) при помощи МОЗР в случае
размерности B+ 1)? По-видимому, ответ отрицателен: по край-
ней мере уравнение D.3.8) не обладает свойством Пенлеве (см.
р-азд. 3.7). Чтобы убедиться в этом, заметим, что анзатц
D.3.9)
¦ (у* Уг; X) - Я 12ю24Г21 ~* R (r) exp A&)
позволяет осуществить редукцию D.3.8) к обыкновенному диф-
ференциальному уравнению
D.3.10) R? + j R' + sign (п2) R3 - R = 0.
Это уравнение обладает сильными подвижными логарифмиче-
скими сингулярностями, а значит, не относится к Р-типу. По-
этому, основываясь на предположениях разд. 3.7, не следует рас-
считывать на то, что уравнение D.3.8) может быть решено при
помощи МОЗР, имеет полный набор переменных действие —
угол, обладает свойством возвращаемости и т. д.
Другой фундаментальный вопрос относится к природе само-
фокусировки в случае размерности B+1). Захаров и Сынах
A976) [549] доказали, что решения D.3.8) с щ > 0 должны фо-
кусироваться за конечное время (см. разд. 3.8).
Существование неустойчивости взрывного типа в решений
уравнения D.3.8) свидетельствует лишь о неприменимости пред-
ставления в виде ряда по степеням е, при помощи которого было
получено D.3.8). Ее наличие не является свидетельством суще-
ствования сингулярности в исходной задаче. Однако характер
сингулярности в уравнении D.3.8) может быть использован для
отдельного анализа, который необходим в данной области. Оцен-

360 4. Приложение
ка порядка сингулярности была произведена в работах Келли
A965) [273] и Захарова, Сынаха A976) [549]. Однако, как от-
мечено в [28], ни одна из этих оценок, по-видимому, не является
исчерпывающей. Точный характер самофокусирующихся сингу-
лярностей решений уравнения D.3.8) в настоящее время остает-
ся невыясненным.
Ахманов, Хохлов и Сухоруков A972) [39] обсуждали много
экспериментальных наблюдений эффекта самофокусировки для
размерности B+ 1). В некоторых случаях сфокусированный луч
был столь интенсивным, что происходило физическое поврежде-
ние материала. Как отметил Ярив [515], «этот эффект очень ин-
тересует экспериментаторов, работающих с очень мощными ла-
зерными импульсами, так как эти повреждения могут происхо-
дить внутри самого источника лазерного излучения».
До сих пор мы рассматривали только стационарные падаю-
щие лучи. Это ограничение с физической точки зрения нежела-
тельно, потому что высокие интенсивности, необходимые для вы-
полнения D.3.2), часто достигаются применением лазеров с мо-
дуляцией добротности, излучающих короткие или ультракорот-
кие импульсы. К тому же без него можно обойтись. Для того
чтобы устранить это ограничение, наряду с D.3.5) рассмотрим
медленное время
D.3.11) т=*е/
и обобщим D.3.6) так, что *ф = -ф (у, т; %). Следовательно, с точ-
ностью до О (г2) D.3.7) должно быть заменено на
D.3.12) (а, + с1дл)ф = О,
где с\ — одномерная линеаризованная групповая скорость. Это
значит, что импульс распространяется, не меняя форму, с линеа-
ризованной групповой скоростью несущей волны. В следующем
порядке D.3.8) принимает вид
D.3.13) 2ikdfl + adfi + Vi* + {2^п20с-2 sign (л2)} | ф |2 ф = О,
где а = —k(d2k)/(da>2) и т) = т — у\/с\. Здесь эволюция осу-
ществляется в размерности C+ 1), но качественно совпадает со
случаем размерности B+ 1)- Уравнения D.3.13) не обладают
свойством Пенлеве и, по-видимому, не могут быть решены при
помощи МОЗР. Существование самофокусирующейся сингуляр-
ности для а > 0 доказали Захаров и Сынах A976) [549], а
также Глэсси A977) [187]. В этом случае природа сингулярно-
сти, по-видимому, является не столь тонкой, и Захаров и Сы-
нах A976) [549] установили, что для %-*-%
D.3.14) ^~(X-X)-1/2.

4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения 361
4.3. Ь. Волны на воде. Нелинейное уравнение Шрёдингера мо-
делирует эволюцию одномерного пакета волн на поверхности до-
статочно глубокой воды. Различные способы вывода уравнения
в этом случае дал1Г Захаров A968) [524], Бенни и Роскес A969)
[59], Хасимото и Оно A972) [201], Дэви и Стюардсон A974)
[131], Юэн и Лейк A975) [517], Фриман и Дэви A975) [168],
Джорджевик и Редекопп A977) [138], см. также [28], [518].
Существуют два принципиальных различия между проблемой
волн на воде и задачами нелинейной оптики, которые мы обсу-
дим. Во-первых, в случае конечной глубины осцилляторные вол-
ны возбуждают среднее течение, которое является нелокальным
эффектом. (Нелокальные эффекты могут появляться также и в
нелинейной оптике, но в предыдущем обсуждении мы их не рас-
сматривали.) Во-вторых, существует различие в интерпретации
уравнения и соответствующих граничных условий. Имеется не-
сколько контекстов, в которых возникало уравнение D.3.1) или
его обобщения для размерности B + 1).
(i) Монохроматические волны можно генерировать пластин-
кой, осциллирующей на одном из концов длинного бассейна.
Эволюция этих волн очень похожа на эволюцию электромагнит-
ных волн, обсуждавшихся выше.
(и) Локальный шторм на море возбуждает широкий спектр
волн, которые разбегаются по горизонтали во всех направле-
ниях. Если бегущие волны имеют малые амплитуды и не взаимо-
действуют с ветром, выйдя из зоны шторма, то в силу своей дис-
персионной природы они в итоге преобразуются в квазиодно-
мерные пакеты квазимонохроматических волн. Если масштабы
выбраны правильно, то уравнение, обобщающее D.3.1) на слу-
чай размерности B+ 1), описывает эволюцию каждого из этих
пакетов в течение длительного времени. Если пакет существенно
локализован, то естественно потребовать, чтобы волны исчезали
на больших расстояниях от центра пакета.
(iii) Квазимонохроматические и квазиодномерные волны мо-
гут покрывать обширные области поверхности моря в результате
действия длительного, устойчивого ветра. То же самое уравне-
ние, обобщающее D.3.1) на случай размерности B+ 1), может
описывать эволюцию этих волн после прекращения ветра. В этом
случае естественно наложить периодические граничные условия
в горизонтальных направлениях (см., однако, упр. 5).
В любом случае нас интересует решение D.1.5) — D.1.7),
имеющее вид совокупности квазимонохроматических, квазиодно-
мерных волновых цугов малой амплитуды. Эти цуги движутся
в направлении х с соответствующим (средним) волновым чис-
лом и == {k, l). Пусть а обозначает характерную амплитуду воз-
мущения и §к — характерную вариацию к. Нелинейное уравне-

362 4. Приложение
ние Шрёдингера для размерности B+1) является следствием
следующих предположений (х2 = k2 + /2):
(i) малость амплитуды
D.3.15а) е = ха<1;
(и) медленное изменение модуляций
D.3.15b) ? < 1;
(ш) квазиодномерность волн
D.3.15с) -Ш < 1;
(iv) баланс всех трех эффектов
D.3.15d) J?i = O(e),
D.3.15е) HL = o(e).
Безразмерная глубина й/г может быть конечной или бесконечной,
но для того, чтобы исключить предельный случай мелкой воды
(и КдФ), необходимо потребовать
D.3.16) (feftJ>e.
В этом предельном случае решением линейной задачи в низшем
порядке является
D.3.17а) Ф ~ 8 (ch^A)) [А ехр (В) + (')] + const),
где (*) обозначает комплексное сопряжение,
D.3.17b) B = kx — et(k)t,
и (d(k) определяется формулой D.1.8). Для того чтобы учесть
более высокий порядок, введем в рассмотрение медленные (про-
странственные) переменные (снова используем метод несколь-
ких масштабов)
D.3.18) хх — гх, yi = ey, 1х = г1, 1г = ъН
и разложим ф и % в ряд
ф ~ 8 {Ф (XU if,, /„ /2) + Ch*h^A) И (Jfl. УЛ, к) X
D.3.19) X ехр (Ю) + (')]]+ О (е2),
? == е {?„ ехр (Ю) + (')} + О (е2), ?п = —^L_ Д,

4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения 363
Разложение должно быть произведено до членов порядка
О(е3). Переменные, введенные в Л, отражают то обстоятельство,
что рассматриваются волновые пакеты, а не однородные наборы
волн, причем Ф описывает возбуждаемое пакетом среднее те-
чение. Далее будут обсуждаться секулярные эффекты, воздей-
ствие которых на Ф и Л проявляется в членах более высокого
порядка. Детали обсуждения можно найти в работах Бенни и
Роскеса [59], Дэви и Стюартсона [131] или Джорджевика и
Редекоппа [138].
В следующем порядке аппроксимации условие секулярности
требует перемещения волнового пакета с линейной групповой
скоростью
D.3.20) *Х. + Св(к)? = 0.
где Cg = da/dx. В этом масштабе времени Ф удовлетворяет не-
однородному волновому уравнению
где
=
F1
Решение D.3.21) изменяется коренным образом в зависимости
от того, выполнено или нет неравенство
D.3.22) _ gh>C2g.
Если отношение Cg/-^gh интерпретировать как «число Маха»
волнового пакета, то D.3.22) является условием того, что поток
«дозвуковой». Когда Л имеет компактный носитель, Ф содержит
слагаемое, которое является решением неоднородного уравне-
ния. Эта компонента решения описывает вынужденное движение
со скоростью Cg, т. е. удовлетворяет D.3.20). Волна, соответ-
ствующая решению однородного уравнения (свободная компо-
нента), по порядку величины равна OjjT112) при t\ -><х>; она
излучается из области со скоростью -\/gh. Поэтому при выпол-
нении D.3.22), когда /i->-oo, Ф удовлетворяет как D.3.20), так и
/л о г*о\ д Ф I д Ф km п д , ~z ,<i
\_t.u.iiOy. U 2 \ о Pi I -^* I »
ax] dy\ gh ox
где
а =
вместе с граничными условиями су->0 при {х2-}- у\)—> оо.

364 4. Приложение
Эти граничные условия были сформулированы Дэви и Стю-
артсоном A974) [131], они корректны в тех случаях, когда нет
поверхностного натяжения.
Если поверхностное натяжение достаточно велико, то D.3.22)
нарушается, и поток становится «сверхзвуковым». В данном слу-
чае, даже если Л имеет компактный носитель, Ф и ее производ-
ные отличны от нуля вдоль «линии Маха», выходящей из носи-
теля Л. В пределе ti-+oo, как и прежде, Ф удовлетворяет одно-
временно D.3.20, 23). Однако теперь соответствующими гранич-
ными условиями уравнения D.3.23) является обращение Ф вме-
сте со своими производными в нуль впереди носителя А (т. е.
при Х\—¦оо); при jci —»—оо никаких граничных условий нет.
Поэтому в общем случае нельзя ожидать сходимости инте-
гралов, содержащих Ф при интегрировании по всей области.
Предел ti-*- оо интересен тем, что нелинейное уравнение
Шрёдингера возникает при устранении секулярных членов в сле-
дующем временном масштабе t = O(e~2). Выполняя это, под-
ставляя результат в безразмерной форме и вводя новые обозна-
чения
| = 8fe (х — Cgt), г\ = tky,
D.3.24) T = e2(gk)v<2t,
мы убеждаемся, что А и Ф удовлетворяют уравнениям
D.3.25а) iAx
D.3.25Ь)
где
I2,
'О,
D.3.26) x =
2»o 2@0
A - a2) (9 - a2) + Г B - a2) G - a2)
a2 - f C - a2)
+ 8ff2-2(l-a2J(l+f)-

4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения
365
2@
а = ¦
В предыдущих формулах все функции вычислялись при / =
= 0, так как мы предполагаем, что рассматриваемые цуги волн
распространяются только в направлении х.
4
3
kh
г
a
\ x>o,
x<o,
8
i f
t)>0
1 1
0.25
0.5
О.?5
1.0
1.25
1.5
Рис. 4.15. Карта пространства параметров для пакетов осцилляторных волн
на вдое, показывающая, где коэффициенты уравнений D.3.25) меняют знак.
Динамика эволюции волн различна в каждой области. Самофокусировка воз-
можна в области F. (Абловиц и Сигур [28].)
Пара связанных уравнений D.3.25) описывает эволюцию ком-
плексной амплитуды волн А и возбуждаемое или среднее тече-
ние (VO). Если волновой пакет локален, естественно потребо-
вать, чтобы А стремилось к нулю при |2 + ц2 -*¦ <х>. Как указано
выше, граничные условия для Ф зависят от знака а. Характер
решений D.3.25) существенно зависит от знаков коэффициен-
тов уравнений. На рис. 4.15 изображена карта пространства па-
раметров, показывающая, где изменяются эти знаки. Как видно
из рисунка, каждая граничная линия соответствует простому
нулю коэффициента, за исключением двух кривых, ограничиваю-
щих область F, Эти две кривые отвечают сингулярности v. В ок-

366 4. Приложение
рестности каждой из этих кривых процессы происходят на бо-
лее коротком временном масштабе, чем О(е~2), имеющем место
в других случаях (см. [138]).
Этим завершается вывод основных уравнений D.3.26). Пре-
жде чем перейти к рассмотрению их следствий, сделаем два до-
полнительных замечания, которые помогут уяснить место полу-
ченных уравнений в нашем обсуждении.
(i) В недавних работах Лонгет-Хиггинса A975) [333], Коке-
лета A977) [113] и др. были выяснены некоторые аспекты дина-
мики волн на воде в состоянии, близком к опрокидыванию. Оче-
видно, что между этими работами и D.3.25) нет ничего общего,
поскольку в первом случае изучались волны большой амплиту-
ды, в то время как уравнения D.3.25) описывают волны малой
амплитуды.
(И) С уравнениями D.2.21, 25а) тесно связаны уравнения За-
харова A972) [526], полученные в физике плазмы. В случае раз-
мерности A + 1) мы можем отождествить осцилляторные волны
на воде с высокочастотными ленгмюровскими волнами в плазме,
а Ф^ — с плотностью ионов. Поэтому D.3.2) описывает ионно-
акустические моды с учетом пондермоторных сил в правой части
уравнения, в то время как D.3.25а) при % = 0 описывает эволю-
цию ленгмюровских волн.
Рассмотрим теперь разрешимость D.3.25) в различных пре-
дельных случаях. В случае глубокой воды (kh->oo) среднее те-
чение обращается в нуль, и D.3.25) сводится к нелинейному
уравнению Шрёдингера для размерности B+1):
D.3.27) tAx+'A
где
l - 6Г — зг2
= а0 8+Г + 2Г2
Хо° 4@ A-27-)A + Г) '
Соответствующие граничные условия для локализованных на-
чальных данных имеют вид А ->¦ 0 при |2 + гJ-»-<х>.
Как указано выше, это уравнение не обладает свойством Пен-
леве и, по-видимому, не может быть решено при помощи МОЗР.
Более того, в случае периодических условий нет надежды на на-
блюдение возвращаемости в течение сколь угодно большого про-
межутка времени. В работах Иена и Фергюсона A978) [516]
сообщалось о почти возвращаемости численного решения D.3.27)
за сравнительно короткое время. Интегрирование на больших

4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения 367
временных масштабах, по-видимому, должно показать, что воз-
вращаемость приближенно реализуется лишь в течение корот-
кого времени. Последующая работа Мартина и Йена A980)
[353], похоже, согласуется с этим предположением.
В области F рис. 4.15 (т. е. в случае достаточно сильного по-
верхностного натяжения для достаточно глубокой воды) уравне-
ние D.3.27) имеет решения, которые фокусируются за конечное
время, так же как это было в случае D.3.8). Предельный случай
бесконечно глубокой воды не исключает возможности фокуси-
ровки, которая может иметь место и в решениях D.3.25) для об-
ласти F. В отличие от оптики этот эффект пока не наблюдался
для волн на воде. Подробности можно найти в работе Абловица
иСигура [28].
В пределе мелкой воды, т. е. когда kh -*¦ 0, но е «С (khJ, си-
туация совсем другая. В этом пределе после масштабных пре-
образований мы получим уравнения
а ч 9^ iA* ~ аАхх + Ауу = а' А |2 Л + АФх'
^ Л аФ + Ф = 2(\А\\
где а = sign (-j — f J . К этому уравнению применим МОЗР, и
точные Af-солитонные решения были получены в работах [7] и
[42]. Решения типа лампов были найдены в [447]. Таким обра-
зом, очевидно, что решения D.3.25) ведут себя хорошо в пределе
мелкой воды и имеют плохое поведение, если глубина достаточ-
но велика.
В заключение рассмотрим уравнения D.3.25) в случае раз-
мерности A + 1). Как отмечено в [28] и [236], возможны раз-
личные способы понижения порядка в зависимости от того, в ка-
ком направлении допустима модуляция огибающей. Однако экс-
периментально модуляция волн наблюдалась только в направле-
нии их распространения, и поэтому мы рассмотрим только этот
случай. Если в уравнениях D.3.25) дп = 0, то второе уравнение
может быть один раз проинтегрировано, и D.3.25а) принимает
вид
D.3.29) iAx + XAn = v\A?A,
где "К, v определены формулами D.3.26). Начальные данные в
эксперименте можно сформировать, модулируя (во времени) ам-
плитуду осциллирующей пластинки на одном из концов одно-
мерного бассейна. Если Kv > 0, что соответствует областям А, В
и ? на рис. 4.15, то солитонов нет. Произвольные начальные дан-
ные, гладкие и обращающиеся в нуль при ||| ->-оо, порождают
излучение, которое убывает как т~1/2 (см. разд. 1.7).

368
4. Приложение
Солитоны огибающих возможны в областях С, D и F, где
< 0. Односолитонным решением D.3.29) является функция
1/2
sech {а (| - 26т)} ехр {ib% + ik (а2 - b2) т}.
D.3.30) А = а
(Напомним, что возвышение свободной поверхности, см. D.3.19),
пропорционально [А ехр(Ю) — (*)].) На рис. 4.16 изображены
результаты эксперимен-
тальных измерений таких
волн в двух точках бас-
сейна, расположенных ни-
же по направлению дви-
жения волн.
На рисунке мы совме-
стили солитонное реше-
ние уравнения D.3.29) с
соответствующим пиком
амплитуды в каждой точ-
ке. Заметим, что амплиту-
да волн во втором изме-
рении уменьшилась, что
свидетельствует о нали-
чии эффектов, обуслов-
ленных вязкостью. И все-
таки ввиду того, что ха-
рактерный временной
масштаб, на котором
влияние вязкости стано-
вится заметным, больше
характерного времени эф-
фектов, описываемых
уравнением D.3.29), то
0.12
008
0В4
0.04
0.08
012
а
Передний
' фронт
" \
-
А
Ц
\|
'1ГИ\
1
к
у
'¦Дух _ .
Рис. 4.16. Смещение поверхности воды, по-
казывающее эволюцию огибающей в двух
отметках вдоль потока. Здесь А = 1 м,
kh = 4,0, ш = 1 Гц, Т = 1 • 10-4, сплошной
линией показано смещение поверхности в
эксперименте, штриховой — теоретическая
форма огибающей; й? = Maseeh (г), г =
= [ag/co](v/8A)'/2 (Cgt-x).
(а) 6 м от волнопродуктора, ka = 0,132:
(б) 30 м от волнопродуктора, Аа = 0,116.
(Абловиц и Сигур [28].)
волна сохраняет свою
форму, чтобы локально
выглядеть как солитон.
Напомним, что в разд.
1.1 солитоны были опре-
делены через их свойство
сохранять форму незави-
симо от взаимодействия.
Иен и Лейк [517] пока-
зали интересную экспери-
ментальную демонстрацию этого свойства, запечатленную на
рис. 4.17. В первом столбце изображена картина распростране-
ния солитона огибающей без изменения формы на расстояние
9,15 м. Второй столбец изображает другую волну с несколько

4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения
369
иной частотой несущих волн. Эта волна не является солитоном,
и при распространении на то же расстояние ясно наблюдается
эволюция волнового пакета. Последний столбец демонстрирует
взаимодействие этих двух волновых пакетов. Несмотря на то
что взаимодействие сложно, измеренная форма волны яв-
ляется суперпозицией двух волн, зарегистрированных ранее,
т. е. после взаимодей-
ствия волны снова восста- ¦до^с~>'гч№!т~:т!":~
навливают свои исходные l^rijjfej1 \Ш. -ИыПЛА' })*-оч'-.'г
формы.
Лейк, йен, Рангальдер
и Фергюсон A977) [308]
рассмотрели также D.3.29)
при периодических гра-
ничных условиях. В этом
случае теория предсказы-
вает возвращаемость, кото-
рую они наблюдали экспе-
риментально. Они также
установили связь между
временем возвращения и на-
чальной неустойчивостью
(Бенджамина — Фейра) на-
бора стоксовских волн на
этой частоте, йен и Лейк
A980) [518] дали более Рис АЛ7 Взаимодействие двух движу-
ПОЛНОе Описание ЭТОГО ЭКС- щихся волновых пакетов, Слева: первый
k
>.
\- "г
х=.яо,г,.-
#4'
перимента.
К
единичный импульс, соо = 1,5 Гц, на-
Кя^лпр пршрнир упяинр- чальное (?а)=0,10, пакет содержит
/Лот РеШеНИе УРавне 6 периодов; в центре: второй единичный
ния D.3.29), разумеется,так- иып{лъс> Шо=3 Гц, начальное (йа)гаах=
же удовлетворяет D.3.25), но, = 0,2, пакет, содержащий 12 периодов,
как обсуждалось В разд. 3.8, распадается на два солитоиа; справа:
солитоны неустойчивы по от- т^ХЙбтТ* ВОЛНОВЫХ паКет°в"
ношению к длинноволновым
поперечным возмущениям.
Солитоны, показанные на рис. 4.16, 4.17, измерены в сравни-
тельно узких бассейнах, которые исключают дестабилизирую-
щие моды. Следовательно, те же самые эксперименты не могут
быть проведены успешно в бассейнах существенно большей ши-
рины. Экспериментальное подтверждение этой неустойчивости
можно видеть, сравнивая результаты измерений волн, получен-
ные Хаммаком [195] и приведенные на рис. 4.16 и 4.18. Началь-
ные и прочие условия, при которых выполнялись оба экспери-
мента, были почти одинаковы, за исключением того, что рис. 4.16
соответствует сравнительно узкому бассейну( шириной 86,4 см),
в то время как рис. 4.18 —более широкому B44 см). В частно^

4. Приложение
сти, широкий бассейн допускает существование дестабилизирую-
щих поперечных мод, которых нет в узком бассейне. Неустойчи-
вый характер солитона огибающей ясно виден на рис. 4.18.
Подведем итог: уравнения D.3.25) описывают эволюцию ло-
кализованных волновых пакетов осцилляторных волн на воде
относительно малой амплитуды для размерности B+1). При
уменьшении размерности до A + 1) уравнения могут быть ре-
шены точно при помощи МОЗР. Теоретические результаты с при-
h- 150 см
h •- 244 ..-м
к-\ Гц
Рис. 4.18. Эволюция волнового пакета в широком бассейне, демонстрирующая
поперечную неустойчивость, отсутствующую на рис. 4.16. (Материал любезно
предостазлен Дж. Л. Хаммаком.)
емлемой точностью совпадают с экспериментами, проведенными
при условиях, также обеспечивающих размерность A + 1). Од-
нако ввиду неустойчивости солитонов по отношению к длинно-
волновым поперечным возмущениям ни теория, ни эксперимен-
ты, соответствующие размерности A + 1), не могут быть ис-
пользованы для прогноза эволюции волн размерности B+1).
Теории, пригодной для описания таких волн, в настоящее время
не существует.
4.4. Уравнения типа sin-Гордон. Уравнение sin-Гордон для
размерности A + 1) может быть представлено в виде
D.4.1а) ф** —«p« = sin(p
или в ко"^сных переменных:
D.4.1Ь) фд., = sin ф.

4.4. Уравнения типа sin-Гордон 371
Подобно другим уравнениям, которые мы рассмотрели в этой
главе, оно возникает в самых различных областях. Скотт, Чу и
Мак-Лафлин [452] перечислили некоторые из них, приведя об-
ширный библиографический список. Будет показано, что в пре-
дельном случае бесконечно узкой спектральной линии в задаче о
самоиндуцированной прозрачности это уравнение возникает как
условие отсутствия секулярных членов при разложении в ряд
по теории возмущений. При этом предполагается малость ампли-
туд. Гиббон, Джеймс, Мороз A979) [185] показали, что анало-
гичный анализ бароклинной неустойчивости вращающейся си-
стемы двух слоев жидкости также приводит к уравнениям
D.4.1). По-видимому, такой способ вывода уравнений D.4.1) яв-
ляется типичным. Он соответствует процедуре, рассмотренной в
разд. 4.1, 4.2 и 4.3 в том смысле, что эволюционные уравнения
возникали как некоторые условия на секулярные члены в разло-
жениях по теории возмущений, возникавшие в более высоком
порядке. Однако существуют и другие случаи, такие, как описа-
ние псевдосферических поверхностей в дифференциальной гео-
метрии или распространение магнитного вихря в бесконечно
длинном джозефсоновском контакте, в которых уравнение sin-
Гордон возникает без применения теории возмущений^ Примеры,
представленные здесь, были выбраны главным образом с целью
демонстрации разнообразия явлений, описываемых уравнением
sin-Гордон.
4.4. а. Дифференциальная геометрия. Начнем с самого ран-
него из известных приложений уравнения sin-Гордон. Уравнение
D.4.1) описывает двумерные поверхности с постоянной отрица-
тельной кривизной. В этом случае модель является точной, ин-
тересующая нас задача имеет размерность A+1) и не является
сужением задачи с большей размерностью. Важная работа Бэк-
лунда о преобразованиях поверхностей (см. разд. 3.1) была по-
священа этим приложениям. Приводимое здесь обсуждение
проблемы, которое предполагает знакомство читателя с диффе-
ренциальной геометрией, является сокращенным вариантом бо-
лее подробного обсуждения проблемы из работы Эйзенхарта
A909) [148].
Рассмотрим гладкую двумерную поверхность в трехмерном
евклидовом пространстве. Пустьyi-(i = 1,2,3) обозначают орто-
гональные декартовы координаты в трехмерном пространстве,
а иа (а = 1, 2)—координаты на поверхности. Три уравнения
вида
определяют поверхность. Пусть г (у1)—радиус-вектор точки Р,
лежащей на поверхности. Если точку Р переместить вдоль по-

372 4. Приложение
верхности на бесконечно малую величину, приращение радиуса-
вектора определяется формулой
(здесь и далее по повторяющемуся индексу производится сум-
мирование).
Модуль приращения определяется первой фундаментальной
квадратичной формой
D.4.2) I = dv ¦ dv = g4 dua
где
dr дг
g
ga*~ диа ди*
является ковариантным метрическим тензором поверхности. Ана-
логично пусть п — единичный вектор, нормальный к поверхности
в точке Р. При бесконечно малом перемещении Р п изменяется
согласно формуле
dn = -^-dua.
диа
Вторая фундаментальная квадратичная форма имеет вид
D.4.3) II = — dn ¦ dr = h4 dua d«e,
где Aag — тензор внешней кривизны. Любая гладкая кривая на
поверхности, проходящая через точку Р, имеет в этой точке не-
который радиус кривизны (в евклидовом пространстве). Меняя
направление, в котором кривая пересекает точку Р, можно найти
максимальный (pi) и минимальный (р2) радиусы кривизны, со-
ответствующие двум главным направлениям в точке Р, эти на-
правления ортогональны друг к другу. Полная (гауссова) кри-
визна поверхности в точке Р определяется формулой
D.4.4)
Поверхность имеет отрицательную полную кривизну (К <С 0),
если главные радиусы находятся с противоположных сторон ка-
сательной плоскости в точке Р. Раструб духовой трубы, седло
и тонкие ломтики жареного картофеля — все это примеры по-
верхностей с отрицательной кривизной.
Пусть V, X2 — единичный касательный вектор к кривой С,
которая пересекает точку Р. С является асимптотической ли-
нией, если
D.4.5) НаЛа№ = О

4.4. Уравнения типа sin-Гордон 373
вдоль С. Точку на поверхности пересекают две различные веще-
ственные асимптотические линии тогда и только тогда, когда
полная кривизна в этой точке отрицательна. Если вся поверх-
ность целиком имеет отрицательную кривизну, мы можем ис-
пользовать систему асимптотических линий в качестве внутрен-
них координат на поверхности.
Рассмотрим поверхность постоянной отрицательной кривизны
{К = —1/а2) с внутренними координатами, определенными при
помощи асимптотических линий. При соответствующем выборе
масштаба первая фундаментальная квадратичная форма может
быть записана в виде
D.4.6) I = a2 (du2 + 2 cos cp dudv + dv2),
где ф — угол между асимптотическими линиями. В этих коор-
динатах уравнение Гаусса превращается в уравнение sin-Гордон
Уравнение Гаусса является условием совместности, которому
должен удовлетворять произвольный тензор /iap, для того чтобы
он мог быть тензором внешней кривизны поверхности. Таким об-
разом, каждое решение этого уравнения определяет поверхность
постоянной отрицательной кривизны (— 1/а2) с первой фунда-
ментальной формой, определяемой формулой D.4.6). Такие по-
верхности называются псевдосферическими. Некоторые специаль-
ные случаи обсуждаются в работе Эйзенхарта A909, § 116, 117)
[148].
Это приложение мы приводим в качестве первого примера,
когда уравнение, решаемое при помощи МОЗР, возникает' как
точная модель. При выводе уравнения даже не предполагалось
никаких асимптотических разложений. Отсюда следует вопрос,
отличается ли фундаментальным образом уравнение sin-Гордон
от других уравнений, к которым применим МОЗР? Ответ отри-
цателен. Сасаки [442,> 443] показал, что каждое уравнение вида
A.5.16) описывает поверхности с постоянной отрицательной кри-
визной. Различные уравнения из этого класса просто соответст-
вуют различным метрикам. То, что это геометрическое свойство
ассоциируется скорее с уравнением sin-Гордон, чем с уравне-
нием мКдФ, — это факт истории математики, а не самой мате-
матики.
Для того чтобы обобщить уравнения D.4.1) на большую раз-
мерность, естественно задать вопрос, какие уравнения опреде-
ляют псевдосферические поверхности размерности 3 или больше.
Недавние исследования по этому вопросу опубликовали Черн и

374 4. Приложение
Тернг [107]. Вопрос об интегрируемости полученных ими обоб-
щений уравнения sin-Гордон при помощи МОЗР остается откры-
тым.
4.4.Ь. Самоиндуцированная прозрачность (СИП). В разд. 4.2
было установлено, что показатель преломления (т. е. линеари-
зованное дисперсионное соотношение) идеального диэлектрика
сингулярен на частоте, совпадающей с любой из резонансных
частот атомов вещества. Самоиндуцированная прозрачность яв-
ляется одним из эффектов, возникающих при взаимодействии
диэлектрика с электрическим полем на частоте, близкой к резо-
нансу.
Эффект был открыт Мак-Коллом и Ханом в 1965 г., см. [358,
359, 360, 361]. К настоящему времени по данному вопросу суще-
ствует обширная библиография, мы выделим особо работы Мак-
Колла и Хана A969) [360], Лэма A971) [309], Слашера и Гиб-
бса A972) [465], Куртена A972) [125] и Каупа A977) [261].
Каждая из них к моменту своего появления более или менее
полно отражала состояние вопроса.
Мы начнем с физического описания самоиндуцированной про-
зрачности. В простейшем случае СИП диэлектрик состоит из
двухуровневых атомов, каждый из которых имеет основное и
возбужденное состояния. Предположим, что эти два состояния
не имеют вырождения по моменту. Далее, пусть вначале атомы
находятся в основном состоянии, т. е. среда является аттенюато-
ром, а не усилителем. Падающее электрическое поле, настроен-
ное на резонансную частоту, возбуждает атомы. Такой перенос
энергии от электрического поля к веществу обычно необратим и
в конце концов истощает энергетический запас электрического
импульса. Скорость поглощения энергии веществом определяет-
ся законом Бэра A852) [50].
СИП возникает, когда достаточно мощный и очень короткий
падающий импульс формируется во времени так, что фронт им-
пульса отдает энергию (когерентно) в среду, которая запасает ее,
а затем возвращает ее (когерентно) назад в импульс. Взаимо-
действуя с таким импульсом, атомы вещества остаются в своем
основном состоянии, суммарный перенос энергии от излучения
к веществу равен нулю, а импульс распространяется с постоян-
ной (меньшей чем скорость света) скоростью сквозь среду, ко-
торая становится как бы прозрачной. Это и есть самоиндуциро-
ванная прозрачность.
Теперь мы рассмотрим основные уравнения (уравнения Мак-
свелла— Блоха). Уравнение Максвелла для идеального диэлек-
трика имеет вид
D.4.7) c~2d2tE + д]9 + у X V X Е = 0.

4.4. Уравнения типа sin-Гордон 375
В этом уравнении Р обозначает полную поляризацию, обуслов-
ленную полной совокупностью как резонансных, так и нерезо-
нансных диполей. (Например, эксперимент Мак-Колла и Хана
был проведен в рубине, в котором резонировали ионы Сг+3, со-
ставляющие лишь очень небольшую часть от общего числа ато-
мов. «Основная среда» А12О3 являлась нерезонансной. Для даль-
нейшего обсуждения будет удобно предположить, что Р соответ-
ствует поляризации, обусловленной резонансными или околоре-
зонансными диполями. Такая интерпретация допустима в том
случае, если мы обозначим через с фазовую скорость света в
среде без резонансных или околорезонансных атомов. Следова-
тельно, для рубина с обозначает фазовую скорость света в А12Оз
и Р соответствует поляризации, обусловленной только ионами
Сг+3.
В задаче о СИП предполагается, что резонансные диполи
распределены так редко, что они, взаимодействуя с внешним по-
лем, не взаимодействуют друг с другом. При таких условиях
предположим, что р(х, t; ю) соответствует поляризации индиви-
дуального двухуровневого атома с частотой перехода ю и fj(x, t, w)
соответствует относительной разности заселенностей между воз-
бужденным и основным состояниями. Таким образом, |fj|^
^ 1; г\ — —1, если все диполи с частотой ю находятся в основном
состоянии (по предположению это имеет место при t->—оо).
Лэм A971) [309] из квантовомеханических соображений пока-
зал, что р, ц и Е удовлетворяют уравнениям типа Блоха
1 /2ш/Ч
D.4.8а) д]р + ш2р = - т(-f-) Щ,
D.4.8b) d,fj = (^) Е • dtp,
где А — постоянная Планка, р— элемент дипольной матрицы для
данного перехода,
где q — заряд электрона, г — средний радиус атома. В задаче
размерности A+1) из формулы D.4.8а) следует исключить
множитель 1/3. Заметим, что если мы пренебрежем правой
частью уравнения D.4.8Ь), то D.4.8а) эквивалентно линеаризо-
ванному уравнению D.2.6).
В уравнения D.4.8) также могут быть включены члены, учи-
тывающие различные медленные релаксации и потери (см., на-
пример, [465]). Мы не будем принимать во внимание эти эффек-
ты, но следует учесть, что наша модель будет несостоятельна в
том случае, когда индивидуальные диполи остаются возбужден-
ными в течение времени, сравнимого с характерными временами

376 4. Приложение
релаксации: для паров Rb наименьшее из этих времен примерно
равно 3-10~8 с [465]. Говорят, что среда неоднородно уширена,
если частоты переходов резонансных диполей не равны друг
другу и сосредоточены вблизи резонансной частоты. Такое уши-
рение спектральной линии обусловлено доплеровским сдвигом
частоты в газах и статическими магнитными или электрическими
полями в твердых телах (Мак-Колл и Хан [360]). В любом слу-
чае мы потребуем
D.4.9) |(u-(u0|<co0.
Далее, если в единице объема находится No( = const) резо-
нансных диполей, то полная поляризация равна
оо
D.4.10) Р = Л',, J р (х, /, со) g («) da == No <p>,
— оо
где g(v>)—нормированная на единицу плотность вероятности,
характеризующая неоднородное уширение:
Уравнения D.4.7, 8, 10) известны как уравнения Максвелла —
Блоха, не учитывающие потерь.
Существенным моментом в теории СИП является то, что ре-
зонансные диполи настолько разрежены, что их полная поляри-
зация мала, т. е.
D.4.11) |с-2<3?Е|»|д?Р|.
Поэтому в уравнении D.4.7) можно пренебречь рассеянием на-
зад. Элбек A972) [145] показал, что в качестве меры разрежен-
ности можно выбрать величину
D.4.12)
которую можно интерпретировать как отношение энергий. Для
того чтобы из уравнений Максвелла — Блоха получить уравне-
ния СИП, необходимо потребовать малость параметра б.
Аналогично всем обсуждавшимся выше динамическим моде-
лям уравнения СИП возникают в пределе слабых полей. В дан-
ном случае потребуем, чтобы
Таким образом, мы предположили, что электрическое поле пред-
ставляет собой слабую поперечную волну с частотой соо, дви-
жущуюся в направлении х, амплитуда которой является медлен-

4.4. Уравнения типа sin-Гордон 377
но меняющейся величиной. Для размерности A + 1) имеем
D.4.13а) Е ~ -|^ [6] {Е (%, т) e'e + ?V'e} + 62EJ,
где
G = kox — mj, x = 6kQx, x = 6оо0Л
Здесь мы рассматриваем линейно поляризованное поле; случай
круговой поляризации отличается незначительно. В соответствии
с D.4.7, 8, 10) рассмотрим:
D.4.13Ь) ¦ю = ©иA +2ба),
D.4.13с) fj ~ 11о(х, т; а) + бт^,
D.4.13d) р ~ 4- J tP (X. т; а) е'6-'"'2 + р'в-»+«ч/2}
D.4.13е) Р = б
Таким образом, в главном порядке из уравнения D.4.7) следует
соотношение
D.4.14) *§ = ¦?.
так что волновое число несущей волны определяется свойствами
основной среды при отсутствии резонансных атомов. Условие
подавления секулярных членов, которые могли бы появиться в
следующем порядке (в члене j-Ei), имеет вид
Аналогичное устранение секулярных членов в D.4.8) приводит
к уравнениям
D.4.16а) дтр + 2iap = Ец,
D.4.16Ь)
В характеристических переменных
мы получаем уравнения СИП в том виде, в котором они приве-
дены у Лэма [310]:
D.4.17)

378 4. Приложение
Соответствующие начально-граничные условия таковы: для
всех %>0 имеем ?->0 при 7->±оо, р ->- 0, ц -у 0 при Г->
->—оо; кроме того, задается Е(% = 0, Т), достаточно быстро
стремящаяся к нулю при Т-*¦ ±оо. Различные аспекты этих ура-
внений были рассмотрены в работе Элбека, Гиббона и Буллоу
[147].
Уравнение sin-Гордон является частным случаем D.4.17) и
возникает в пределе бесконечно узкой линии, когда не учиты-
вается неоднородное уширение. В этом пределе
g (со) = 6 (со — о»0)
и уравнения D.4.17) принимают вид
D.4.18)
Из двух последних уравнений следует соотношение
D.4.19) tf + lpp—l,
которое наводит на мысль о параметризации следующего вида;
D.4.20а) ii = cos G, р = exp (nf>) sin 9.
Тогда если в начале Е обладала постоянной фазой, то
D.4.20Ь) г|з = const, E = ехр (гг|з) djQ
и
D.4.21) ехГ = sin 9.
Ввиду того что и D.4.21), и D.4.17) могут быть решены при
помощи МОЗР, нет причин ограничиваться исследованием
D.4.21).
Следуя важной работе Лэма [310], Абловиц, Кауп и Ньюэлл
[9] рассмотрели задачу рассеяния
D.4.22а) j
dTv2 — itPi = —  E*v{
вместе с «временной» зависимостью
D.4.22b) лх п я
v ' dxv2 = Cvl — A v2.

4.4. Уравнения типа sin-Гордон 379
Из условий интегрируемости D.4.22) вытекают уравнения
D.4.23) Вт + 2^6 = 4 ЕХ — АЕ,
п О/гР — F* Л F*
которые соответствуют A.2.8). Сравнивая 'эти . уравнения с
D.4.17), они нашли, что решения D.4.23) имеют вид
D.4.24)
Следовательно, D.4 17) могут быть решены при помощи
МОЗР, хотя для этого требуется некоторое обобщение метода.
Различные аспекты решения этой задачи детально обсуждались
в работах [310], [9] и [261]. Здесь мы рассмотрим несколько
основных моментов.
1) В литературе солитон часто называют «2я-импульсом».
Огибающая электрического поля для изолированного солитона
определяется формулой
D.4.25а) Е {%, Т) = 4?t ехр (— щ) sech гр,
где ? = t,r + it,i является собственным значением, соответствую-
щим этому солитону,
D.'4.25Ь) * = QiX
D.4.25с) ф = Од
D.4.25d)
Для симметричной относительно «о функции g(co) в случае ког-
да %г = 0, формула D.4.25а) сводится к солитону, который впер-
вые был найден Мак-Колом и Ханом A967) [359]. Скорость
распространения 2я-импульса равна
D.4.26) y =
Следовательно, импульс движется со скоростью, меньшей скоро-
сти света в основной среде. Запаздывание импульса при движе-

380 4. Приложение
нии в аттенюаторе дает принципиальную возможность экспери-
ментального обнаружения (Патель [416]).
2) Аналогом бризера является «Ол-импульс». Огибающая
электрического поля в этом случае имеет вид
?,г ch ф sin ф + Si sh ф cos ф
g2. ch2 ф + S2 cos2 ф
где г|з, <р определены формулами D.4.25). Такие решения имеют
особый практический интерес, поскольку соответствующие реше-
ния существуют и при наличии вырождения уровней (см. [309],
[269]).
3) В разд. П.2 в деталях показано, что линеаризованный ва-
риант уравнения не имеет дисперсионного соотношения, и возни-
кает затухание типа затухания Ландау. Соответственно решения
уравнений D.4.17), относящиеся к непрерывному спектру, убы-
вают не по степенному закону, как описано в разд. 1.7, а как
затухание Ландау экспоненциально. Как показано в [9], ско-
рость затухания пропорциональна g(o)o [1 + ба]). Таким обра-
зом, все моды затухают экспоненциально в том и только том слу-
чае, когда g(co)>0. Скорость затухания в законе Бэра обычно
содержит коэффициент g(coo).
4) Согласно A.3.16), если выполнено неравенство
Е | dx < 0,904,
то нет дискретного спектра, а вместе с ним и самоиндуцирован-
ной прозрачности. Каупом [261, 262] обсуждался вопрос об от-
ношении этого результата и знаменитой теоремы площадей Мак-
Кола—Хана [370]; см. также [232].
5) Произвольный начальный импульс достаточной напряжен-
ности будет распадаться на конечное число 2я- и Оя-импульсов
плюс излучение (или «рябь»), которое затухает экспоненциаль-
но. Гиббс и Слашер [186] наблюдали этот эффект эксперимен-
тально (рис. 4.19). На рисунке слева показаны результаты се-
рии экспериментов, в которых меняются интенсивности началь-
ных импульсов. Как видно из рисунка, в случае (а) происходит
поглощение, (в) —трансформация в 2я-импульс, г и д — распад
на два или три 2я-импульса.
6) Уравнения СИП D.4.17) вступают в противоречие со мно-
гими общими утверждениями, которые представляются справед-
ливыми для задач, решаемых при помощи МОЗР. Конкретно мы
должны отметить, что: (i) D.4.17) не имеет дисперсионного со-
отношения; (п) за исключением специальных случаев, описывае-
мые процессы являются необратимыми; (Ш) существует беско-

4.4. Уравнения типа sin-Гордон
381
нечно много локальных законов сохранения, но D.4.19) может
быть единственным глобальным интегралом движения; (iv) ко-
эффициент прохождения а (?) зависит от времени и поэтому не
порождает переменные типа действие — угол. Конечно, все эти
утверждения связаны между собой. В частности, все они тре-
буют некоторого неоднородного уширения (g(a) ф б (и — со0)). Но
даже с учетом этого факта они все равно показывают, насколько
необычна задача о СИП.
5 10 15
Время, не
5 10 15
Время, не
Рис. 4.19. Эволюция оптических импульсов разных интенсивностей в случае,
близком к резонансу. Форма входного импульса показана пунктиром, выход-
ного— сплошной линией. Слабый импульс (рис. (а)) поглощается; более
сильные (кривые (в), (г) и (д)) демонстрируют СИП. Соответствующие ре-
зультаты численного счета приведены справа. (Гиббс и Слашер [186].)
На этом завершается наше обсуждение A + 1)-мерной мо-
дели без затухания или без вырождения уровней. Как обычно, в
случае размерности C+1) возникает вопрос об устойчивости
2я- и Оя-импульсов по отношению к поперечным возмущениям.
Кодама и Абловиц [282, 283] показали, что оба эти импульса
неустойчивы. Поперечную неустойчивость наблюдали эксперимен-
тально Мак-Кол и Хан A969) [360], которые называли этот эф-
фект «обдиранием импульса»; см. также [354]. Однако Слашер
и Гиббс [465] сообщали, что входную и выходную апертуры ат-
тенюатора можно с успехом использовать на практике для кон-
троля неустойчивости.
Проблема вырождения уровней, по-видимому, более серьез-
на. В большинстве аттенюаторов для подходящих переходов на-
блюдается вырождение одного или другого уровня. В работе Лэ-

382 4. Приложение
ма [309] дано обширное обсуждение данной проблемы. Для на-
шей цели важно отметить, что для простейшего случая вырожде-
ния уровней в пределе узкой линии (g((o)=6(a) — <йо)) урав-
нение D.4.20) следует заменить на ')
D.4.28) Qxt == sin 9 + I sin 20.
Нетрудно показать, что автомодельное решение этого уравне-
ния не обладает свойством Пенлеве и, по-видимому, D.4.28) не
может быть решено при помощи МОЗР. Додд, Буллор и Дакворт
A975) [139] пришли к такому же выводу, основываясь на том,
что для D.4.28) не существует преобразований Бэклунда опре-
деленного типа. Численные эксперименты Абловица, Краскала
и Ладика [15] подтвердили, что две уединенные волны, являю-
щиеся решениями уравнения D.4.28), взаимодействуя, при 0 <
< к < оо генерируют излучение, которое при некоторых усло-
виях может быть очень мало. Саламо, Гиббс и Черчиль [439],
основываясь на своих экспериментах в парах натрия, отметили,
что излучение является слабым. Буллоу и Кодри [78] также от-
метили слабый характер излучения, наблюдавшийся в числен-
ных экспериментах. По-видимому, D.4.28) и его обобщения на
случай неоднородного уширения хорошо аппроксимируются точ-
но решаемыми моделями. Для практических приложений этого
может оказаться достаточным. Однако нет оснований ожидать,
что эти задачи адекватны самоиндуцированной прозрачности в
общем смысле или что они могут быть точно решены при по-
мощи МОЗР.
4.4. с. Общая теория относительности. Одной из наиболее
впечатляющих возможностей МОЗР является то, что он спосо-
бен дать новый класс нетривиальных решений уравнений Эйн-
штейна общей теории относительности. Существенные резуль-
таты в этом направлении были получены Мейзоном [342], Бе-
линским и Захаровым [51], Харрисоном [199]; см. также ра-
боты Мейзона [343] и Ногебауэра [395]. Ввиду того что эти ре-
зультаты являются предварительными, мы охарактеризуем лишь
основные моменты. По всей видимости, наше обсуждение вскоре
устареет.
В четырехмерном пространстве — времени как Мейзон [342],
так и Белинский с Захаровым [51] использовали обозначения, в
которых метрика имеет вид
— ds2 = gij dx{ dx1,
где gn обладает сигнатурой (—Н—\-). Мейзон изучал, модель
') На самом деле вырожденность уровней приводит к необходимости
учитывать обе поляризации. Оказывается, что соответствующая модель яв-
ляется интегрируемой с помощью МОЗР (см. [1*]). — Прим. перее.

4.4. Уравнения типа sin-Гордон 383
стационарно вращающейся звезды (зависимость от угла отсут-
ствовала), поэтому он предположил, что
D,4.29а) ds2 = kt, dxl dx! - h (dz2 + dr2), i, / = 1, 2,
где ktj и h зависят только от (z, г) и det к < 0. Белинский и За-
харов интересовались космологическими вопросами и предпола-
гали
D.4.29b) ds2 = Кц dxl dx1 - h (dz2 + dt2), i, / = 1, 2.
Однако эти предположения трансформируются одно в другое при
помощи сложной замены переменных, и способы дальнейшего
анализа аналогичны. В обоих случаях определим
D.4.30) т2 = — det A > 0.
Уравнения Эйнштейна в пустоте означают равенство нулю
тензора Риччи
D.4.31) R,, = 0.
Для D.4.29а) каждая компонента D.4.31) равнозначна 2X2-
матричному уравнению
D.4.32) д1/(хХ~1д{'А) = 0,
где i = 3,4 и г3 = z, х4 = г. Опустим уравнение для h, которое
содержится в D.4.31), так как оно может быть проинтегриро-
вано в квадратурах, если известно к.
Мейзон ввел новые координаты
D.4.33) I = z + ir, l' = z — ir,
и заметил, что след D.4.32) стал равным нулю:
D.4.34) тй. = 0.
Уравнение D.4.34) интегрируется тривиально. Вплоть до на-
стоящего момента между работами Мейзона и Белинского и За-
харова существенных различий не было. Далее возникают рас-
хождения.
Мейзон определил новые переменные, а (вещественное) и А
(комплексное), и показал, что D.4.32) можно представить в ви-
де D.4.34) плюс
2Л|« + %- !Т|Л* cos а — х~ {х\*А = 0,
D.4.35) 2А\ + x~\vA cos а + х~ 'т|Л* = 0,
ац* + | Л |2 sin а — Re {т~ ]хъ (^j) sin а| == 0.
Это и есть уравнения, которые следует решать. Их можно рас-
сматривать как обобщение (евклидова) уравнения sin-Гордон,
к которому они сводятся, если т = Л = 1.

384 4. Приложение
Затем Мейзон сформулировал задачу рассеяния и показал,
что условие ее разрешимости совпадает с D.4.35). Это является
центральным моментом при решении уравнений методом обрат-
ной задачи. Более того, если т = А = 1, задача рассеяния сво-
дится к евклидовой версии A.2.7)—обычного уравнения sin-
Гордон.
Данная задача рассеяния относится к задачам эллиптиче-
ского типа, а не гиперболического, что препятствует применению
к уравнениям D.4.35) стандартного формализма МОЗР. Несмо-
тря на это, как обсуждалось в разд. 3.1, ее можно рассматривать
с точки зрения преобразований Бэклунда. Действительно, такой
подход для уравнений Эрнста, которые по существу эквивалент-
ны D.4.32), привел Харрисона [199] к преобразованиям Бэк-
лунда.
Далее сравним эти результаты с результатами Белинского
и Захарова [51]. Они тоже сформулировали задачу рассеяния,
условия разрешимости которой соответствуют D.4.35). Однако
их задача рассеяния по виду значительно отличается от постав-
ленной Мейзоном. В действительности она, по-видимому, пред-
ставляет собой новый тип задач рассеяния хотя бы потому, что
содержит дифференцирование по спектральному параметру. Она
была использована для построения точных одно- и двухсолитон-
ных решений приведением к задаче Римана — Гильберта. Заха-
ровым и Белинским было отмечено, что стационарное решение
Керра путем комплексной замены переменных может быть полу-
чено из солитонных решений.
4.5. Квантовая теория поля. Забужский и Краскал A965)
[523] первыми употребили слово «солитон» для описания нели-
нейных волн, взаимодействующих как частицы. В настоящее
время солитоны являются строго определенным математическим
объектом, поэтому можно провести обратное сравнение. Здесь
мы рассмотрим некоторые из работ, чтобы выяснить, в какой
мере физические частицы могут быть описаны при помощи соли-
тонов. Эта проблема была в центре внимания многих недавних
исследований в квантовой теории поля. Краткое описание, при-
веденное ниже, главным образом дает возможность ориентиро-
ваться в литературе.
Квантовая теория поля по ряду аспектов отличается от дру-
гих обсуждавшихся приложений. Одно из отличий состоит в том,
что во многих случаях уравнения, допускающие солитонные ре-
шения (sin-Гордон, нелинейное уравнение Шрёдингера и т. д.),
не являются аппроксимацией более обширного набора основных
уравнений. Скорее сами солитонные уравнения выбраны как мо-
дели основных уравнений. Более того, во многих аспектах кван-
товой теории поля не существует «основных уравнений», а су-

4.5. Квантовая теория поля 385
ществуют лишь принципы симметрии (такие, как галилеева или
лоренцева инвариантность), и любые динамические модели, удо-
влетворяющие этим принципам, считаются приемлемыми. По-
этому к вопросу квантования нелинейных моделей Шрёдингера
D.5.1а) г'ф< = — Ф** — а IФI2 ф
и sin-Гордон
D.5.1Ь) ихх — ин = т2 sin и
был проявлен большой интерес.
Модель D.5.1а) представляет собой простейшую (нетриви-
альную) бесконечномерную гамильтонову систему, которая яв-
ляется вполне интегрируемой, в то время как D.5.1Ь) —простей-
шая вполне интегрируемая, нелинейная и релятивистски-инва-
риантная гамильтонова система.
Как обычно, решенные уравнения являются A + 1)-мерными.
Квантовые результаты для размерности 1 + 1 имеют физиче-
ский смысл в некоторых разделах физики твердого тела, но не
в физике высоких энергий. Модели элементарных частиц, имею-
щие физический смысл, являются C + 1)-мерными. Таким об-
разом, большинство результатов, полученных квантованием ура-
внений, подобных D.5.1), следует рассматривать как подсказку
того, что может быть в случае большей размерности.
Как обсуждалось в разд. 1.6, большинство уравнений, решае-
мых при помощи МОЗР, могут быть рассмотрены как бесконеч-
номерные вполне интегрируемые гамильтоновы системы. Этот
подход к классическим (т. е. не квантовым) уравнениям совер-
шенно естественно использовать в целях квантования. Гамильто-
нианы уравнений D.5.1а, Ь) имеют вид (NLS— нелинейное урав-
нение Шрёдингера, SG — sin-Гордон)
— оо
D.5.2а) ^nls^ — l
оо
D.5.2b) HSQ = \ {1 {и\ + р2) + т2 A - cos и)} dx
соответственно. Сопряженными переменными в этих двух случаях
являются (ф, ф*) и (и, р). Уравнения Гамильтона и скобки Пуас-
сона были определены формулами A.6.22) и A.6.29) соответствен-
но. Следует заметить, что уравнения Гамильтона можно запи-
сать при помощи скобок Пуассона в следующем виде:
D.5.3) q = -(H,q), pt = -(H,p),
13 Зак. 114

386 4. Приложение
Что означает проквантовать эти уравнения? Во-первых, что
существует гильбертово пространство Ж, а сопряженные пере-
менные классической теории теперь интерпретируются как опе-
раторы, действующие в Ж. Во-вторых, скобки Пуассона заме-
няются на «коммутационные соотношения»
D.5.4а) [Ф (х, (), Ф* (у, t)] = 6 (х - у),
D.5.4b) [p(x,t),u(y,l)] = 6(x-y)
соответственно, где Л = 1 и
[а, Ь] = аЬ — Ьа.
Более точно, D.5.4) означает, что для любых двух элементов из
Ж, обозначенных а, р,
(а, [р, <7]р) = (а, 6(х-г/)р),
где (•, •) —скалярное произведение в Ж. Таким образом мож-
но интерпретировать все операторные уравнения. В-третьих, ди-
намические уравнения, которые теперь определяют эволюцию
операторов, имеют вид
D.5.5) Pt = -W,p], qt = -[H,q},
а не D.5.3).
В данной процедуре есть некоторые тонкие моменты. Один
из них заключается в явном определении Ж, таком, чтобы все
величины в теории имели бы смысл. Эту проблему иногда счи-
тают надуманной, однако результаты Оксфорда [415] о том, что
в квантовой версии присутствует лишь малая часть.из бесконеч-
ного ряда интегралов движения уравнения D.5.1а), наводит на
мысль, что к ней следует отнестись со всей серьезностью.
Другой тонкий вопрос относится к упорядочиванию операто-
ров в квантовой задаче. Тэкер и Уилкинсон [481] использовали
D.5.2а) в качестве квантового гамильтониана, соответствующего
D.5.1а), в то время как Кауп [257] использовал
D.5.6) Я = —
Они эквивалентны в классической, но не в квантовой задаче, по-
тому что ф и ф* теперь уже не коммутируют. Действительно,
окончательные результаты отличаются; по-видимому, это вы-
звано различиями в упорядочивании операторов.
Такие расхождения свидетельствуют о том, что полное ре-
шение квантовой задачи не является очевидным, даже когда
классическая задача хорошо понята. Исторически квантование
вполне интегрируемых систем осуществлялось поэтапно, с про-
стейших моделей ко все более сложным. Первым шагом (т. е.
низшим уровнем аппроксимации) является квазиклассическое

4.5. Квантовая теория поля 387
приближение. Для нелинейного уравнения Шрёдингера это сво-
дится к преобразованию классической задачи к переменным дей-
ствие— угол (см. разд. 1.6) и квантованию этих переменных
[257], [304]. Как отмечалось во второй из этих работ, не суще-
ствует гарантии, что преобразование с последующим квантова-
нием даст тот же результат, что и квантование с последующим
преобразованием. Однако результаты, полученные посредством
квазиклассического квантования, эквивалентны (с точностью до
упорядочивания) результатам, полученным с использованием ан-
затца Бете [63] для решения полностью квантованной задачи,
как это сделано Либом и Ленингером A963) [327], Березиным,
Похилем, Финкельбергом A964) [61] и Мак-Тиром A964) [366].
Другими словами, в этом случае квазиклассическая аппроксима-
ция дала результаты, которые оказались точными. В этой связи
интересны также результаты Тэкера [480] и Оксфорда [415].
Для уравнения sin-Гордон квазиклассическое (или полуклас-
сическое) квантование несколько сложнее. Дашен, Хасслахер
и Неве [128], а также Корепин и Фаддеев [290] развили остро-
умные методы, в основу которых положено вычисление кванто-
вых поправок к точному решению классической задачи. Следует
подчеркнуть, что эти результаты не основываются на обычной
теории возмущений, которая примерно соответствует (в класси-
ческой задаче) разложению по малой амплитуде. Дашен с со-
авторами применили свои методы также для исследования дру-
гих моделей, включая модель Гросса — Неве.
Следующим уровнем уточнения должно быть развитие пол-
ностью квантовой версии МОЗР, вполне аналогичной рассмо-
тренной в гл. 1, но такой, в которой все функции (потенциалы,
собственные функции, данные рассеяния) заменяются операто-
рами. После того как будет реализована данная программа,
классическая задача будет использоваться только как вспомога-
тельное средство. Все переменные будут квантовомеханически-
ми. Последние результаты по некоторым квантовым моделям в
этой области опубликовали Склянин и Фаддеев A978) [464],
Склянин A979) [463], Тэкер и Уилкинсон A979) [481], Бергк-
ноф и Тэкер A979) [62], Хонеркамп, Вебер и Вейслер A981)
[233] и Тахтаджян A981) [472]. Некоторые из этих работ су-
щественно опираются на важные результаты Бакстера A972)
[49]. Сейчас стало ясно, что полностью квантовая версия пря-
мой задачи рассеяния имеет место для некоторых квантовых мо-
делей, включая D.5.2). Обратная задача рассеяния до сих пор
не проквантована.
Как проквантовать солитоны? Это вопрос, ответ на который
ищется в настоящее время, и всесторонний обзор этой проб-
лемы будет, вероятно, дан в ближайшие несколько лет. Нашей
целью являлось просто указать некоторые важные работы в дан-

388
4. Приложение
ной области. В дополнение к только что упомянутым работам
следует также отметить:
(i) вводные статьи Флашки, Мак-Лафлина, Хасслахера и
Неве, Кэмпбелла, Нелла и Сюзерленда в материалах конферен-
ции под редакцией Флашки и Мак-Лафлина [161];
(и) статью Ребби A979) [427] в журнале «Scientific Ameri-
can» о том, что автор в этой статье называет солитоном (а мы
называем уединенной волной);
(ш) обзор интегрируемых квантовых систем, сделанный Руй-
зенарсом [435], который содержит обширную библиографию;
(iv) применение обычной теории возмущений к квантовым
солитонам, например Каллан и Гросс [85];
(v) работу Корепина, Кулиша и Соколова в сборнике под
редакцией Захарова и Манакова [538].
Упражнения
Раздел 4.1
Физическим приложениям вполне интегрируемых длинновол-
новых моделей поистине нет конца, и каждый конкретный слу-
чай требует нового описания физической задачи, терминологии,
исследуемых величин и т. д. Все приводимые здесь упражнения
относятся к одному приложению, выбранному из-за того, что с
F(x+Sx) Т(х+8х)
W \
Рис. 4.20.
ним знакомы почти все. Таким примером служат поперечные ко-
лебания натянутой струны типа гитарной струны или телефон-
ного шнура. Общие сведения об этой задаче можно найти в
[336], [170] или [389].
1. Рассмотрим бесконечно малый элемент натянутой струны,
поперечное сечение которой при отсутствии деформаций всюду
одинаково, как показано на рис. 4.20.
(а) Покажите, что
d2W
= -j- {T sin a -+- F cos а),
дх

Упражнения 389
где р — постоянная линейная плотность материала, и
dw ,
(Ь) Покажите, что если можно пренебречь моментом инер-
ции элемента, то
ox cos a
(с) Согласно гипотезе Эйлера — Лагранжа,
М =-Ц-= -El-^-(sin а),
где Е — модуль Юнга, / — момент инерции поперечного сечения
относительно оси, совпадающей с нейтральной линией, R — ра-
диус кривизны нейтральной линии. Используя это, получите
уравнение
дг dw д2 fs, . CJ 2 д* • 1
Р -5TF ~г- = -зт и sin а — El cos а -г-*- sin а >.
r dt2 дх дх2 1 дх2 J
Каков физический смысл каждого слагаемого этого уравне-
ния?
(d). Пусть Т обозначает натяжение неотклоненной струны.
Покажите, что
где ц — неотрицательная эмпирическая константа. При каких ус-
ловиях можно, пренебречь изменениями 7"? (В этом случае удоб-
но рассмотреть как продольные, так и поперечные моды.)
2. Движение струны определяется уравнением п. (с) упр. 1
совместно с уравнениями пи. (а) и (Ь). На основе этих уравне-
ний объясните смысл понятия «длинная волна». Что такое волна
малой амплитуды? Выведите безразмерное уравнение
где е — мера малости амплитуды, б — параметр, показывающий,
в какой степени волны можно считать длинными. Покажите, что
предположение б = О (г) приводит к минимальным упрощениям
уравнений. В линейном пределе (е -*~ 0) совсем другим способом
это уравнение вывел Мотт [389]. Мы рассмотрим три возмож-
ных типа граничных условий.
А. Струна гитары защемлена в двух точках, расстояние ме-
жду которыми L. Длина волны возмущения к обычно имеет по-
рядок O(L).
Б. Струна защемлена в двух точках, но L ^> К,

390 4. Приложение
С. Струна с натяжением сматывается с одной катушки на
другую. Расстояние между катушками равно L, скорость стру-
ны V.
3. Пусть 6 = е в уравнении упр. 2. Разложим и в ряд по сте-
пеням е2:
и — и0 -f- e2«, + е4«2 +
(а) Покажите, что в главном порядке общее решение имеет
вид
i i
(b) Покажите, что в случае граничных условий А и В в упр. 2
/ и g являются периодическими функциями с периодом
2L6{T/EIY12 и что
f dx — 0 = § g dx.
(с) Покажите, что в случае граничных условий С период f и
g равен 2Л/| 1 ± v\, где
и/2 ,._т//'p^I/2
Покажите, что если V2 > Т/р, то один из этих периодов меньше
чем Л, и произвольное начальное условие нельзя наложить на
всей длине струны Каков физический смысл этого ограничения?
Какие предположения не могут быть выполнены в случае V2 >
> Т/р?
4. Покажите, что если V2 < Т/р, то условия отсутствия секу-
лярных членов при О (г2) в уравнении упр. 2 имеют вид
где
Покажите, что С; v Cg являются интегралами движения для этих
уравнений; следовательно, эволюционные уравнения для волн,
бегущих влево и вправо, фактически расщепляются. Каковы фи-
зические предпосылки того, что поперечные колебания струны
моделируются уравнениями мКдФ, в то время как продольные
колебания моделируются уравнением КдФ? Если струна имеет
круглое сечение, можно ли ожидать, что крутильные колебания
будут моделироваться уравнениями КдФ или мКдФ?
5. (а) Показать, что каждое из уравнений упр. 4 имеет пе-
решение вида f = bk с.П {b{r+ Ux);k}, где b — npQ-

Упражнений 391
извольная постоянная и cn@; k) —эллиптическая функция Яко-
би (см. [83]). Запишите это решение в размерных переменных
для wx.
(b) Если струна имеет начальное отклонение с суммарным
импульсом, равным нулю, то / = g при t = 0, и соответствующее
решение будет представлять нелинейное движение струны. Пусть
Wo обозначает частоту колебаний струны в линейном приближе-
нии. Покажите, что нелинейная частота определяется формулой
где K(k), E(k)—полные эллиптические интегралы первого и
второго рода. Следовательно, частотный сдвиг обусловлен двумя
эффектами. Первый соответствует изменению скорости волны,
бегущей вправо, в результате взаимодействия с волной, бегущей
влево. Он всегда приводит к уменьшению частоты. Второе сла-
гаемое является результатом самовзаимодействия волны, бегу-
щей вправо, и понижает частоту, только если k2 > 1/2.
(с) Это решение также можно интерпретировать в терминах
граничных условий С упр. 2. Если V2 < Т/р, то все длинные
волны с бесконечно малой амплитудой движутся быстрее, чем
струна. Какой должна быть амплитуда волны в п. (а), чтобы ее
скорость соответствовала скорости струны? Каков физический
смысл такой возможности? Применимо ли асимптотическое раз-
ложение для волн такой амплитуды?
6. При условии В упр. 2 мы можем решить уравнение мКдФ
на оси (—оо, оо). Покажите, что в этом случае решение при со-
ответствующих граничных условиях принимает вид упорядочен-
ной по амплитуде совокупности из N солитонов (самый боль-
шой сзади), которой предшествует цуг дисперсных волн.
7. Ниже приведены оценки масштабов, при которых возмож-
но экспериментальное наблюдение солитонов (g = О в упр. 4).
(а) Для того чтобы получить по крайней мере один солитон,
мы должны существенно нарушить неравенство A.7.1). В раз-
мерных величинах этому соответствует
дх
(Ъ) Самый большой солитон удаляется от бесконечно малых
волн со скоростью, которая не должна превосходить B|f|ma*J-
Если Я — начальная безразмерная длина волны, то время, необ-
ходимое для появления солитона, имеет порядок величины
B I f |maxJ

392 4. Приложение
Если волны остаются в экспериментальном устройстве в тече-
ние этого времени, то отношение длины устройства к длине на-
чальной волны должно удовлетворять неравенству
- Ц \ I дх
гаа
Отметим, что в это неравенство не входит линеаризованная ско-
рость волн д/^/Р •
(с) Рассмотрим нейлоновую Е-струну от гитары (Е-струна—•
самая толстая струна гитары, настроенная на ноту «ми»). Пред-
положим, Т ~ 0,1 YA, где У — предел текучести. Для нейлона
?/У ~ 50. Для Е-струны I/A — @,018 смJ. Следовательно,
длинные волны удовлетворяют неравенству
А2> 10 у- ^-@,4 смJ,
поэтому следует использовать волны длиннее чем 2 см. Если
приравнять две величины
ТК ~° \ 2 )\\ дх
так что максимальный наклон примерно равен 1/5, то солитоны
должны возникать, на удалении около 1 м. Скорость волны при-
мерно равна 2 м/с, поэтому полный эксперимент занимает толь-
ко долю секунды.
(d) Возможна более доступная демонстрация, если нейлоно-
вую струну заменить длинным телефонным шнуром. В этом слу-
чае перемещения будут больше, а скорости — меньше.
Раздел 4.2
1. (а) В экспериментальной ситуации D.2.1а) следует заме-
нить на
ki + к2 + к3 = х,
где 6= |и|/|к3| является малой величиной. Как модифици-
руется D.2.16), если б = О(е), б > е, б < е?
(Ь) Как изменятся результаты в одномерном случае?
2. Добавьте к Е| в формуле D.2.15) еще две волны с часто-
тами (оL, cos), такими, что в дополнение к D.2.1) справедливы
соотношения
кз + 1ц + h —0, со3 + щ + % == 0.
(а) Если среди этих волн нет других резонансов, взаимодей-
ствие осуществляется в двух триадах, каждая из которых со-
держит из. Как следует модифицировать D.2.16)? Если А/ не
зависят от у, взаимодействие описывается пятью комплексными
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Имеют ли

Упражнения 393
они свойство Пенлеве? (Предупреждение: вычисления утоми-
тельны.)
(Ь) Определите шестую волну в виде
к6 = к, — к5.
Покажите, что если волны резонансно связаны, т. е. если (о6 =
= coi — @5, то каждая из 6" волн взаимодействует в двух триа-
дах. Как в этом случае выглядят основные уравнения? Абловиц
и Хаберман [8] показали, что в A + 1)-мерном случае к соот-
ветствующим уравнениям применим МОЗР. Однако формализм
МОЗР для возникающей спектральной задачи D X 4) ими не
развивался.
3. (а) В неидеальной диэлектрической среде приложенное
электрическое поле в дополнение к поляризации вызывает сла-
бый ток. Покажите, что D.2.5) принимает вид
где а — малая проводимость среды. Предположим, что других
потерь в среде нет и что а = О (г). Как изменяется D.2.16)?
(Ь) Рассмотрим в такой среде однородный цуг волн вместе
с двумя (или более) слабыми паразитными волнами, могущими,
как в упр. 2, образовать резонансную триаду. Как отразится на-
личие тока на неустойчивости?
4. Выразите D.2.20) через (ЕХН), т. е. поток плотности
электромагнитной энергии.
5. Каков период волн в D.2.18)? Оцените оптимальный раз-
мер кристалла, при котором как можно больше энергии входя-
щей волны преобразуется во вторую гармонику. Этот размер
фактически является ограничением сверху, потому что другие
малые эффекты также приводят к ограничению размеров кри-
сталла. Некоторые из этих вопросов обсуждались в [515].
6. (а) Точно решите D.1.25) для <й2 в пределе h2-> оо. По-
кажите, что большая пара корней для поверхностных волн в
этом пределе не зависит от плотности.
(b) Обозначим три волновых числа B.2.24) k\ = 8k, k% =
= A — b)k, k3 =.k. Покажите, что для.Аг = °° триада в D.2.24)
возникает, когда 4A&Ai = 1.
(c) Пусть также Ai -> оо. Найдите точные значения волновых
чисел и частот для триады, содержащей две поверхностные и
одну внутреннюю волны, и для триады, содержащей одну по-
верхностную и две внутренние волны.
Раздел 4.3
1. Можно рассмотреть другой вариант, не основанный на ги-
потезе D.3.2), а учитывающий нелинейную поправку к D.2.8)

394 4. Приложение
для изотропной среды
и объединить это выражение с D.2.5).
(a) Покажите, что если амплитуда волны не зависит от вре-
мени, то результатом вычислений будет D.3.2). Найдите явное
выражение п2 через d, Q2, (со2 — со2), с2 и щ.
(b) Получите D.3.8) из D.2.5) и уравнение для Р, рассмо-
тренное выше.
2. Обоснуйте утверждения, следующие за D.3.13).
(a) Найдите C+1)-мерное обобщение D.3.9), приводящее
D.3.13) к обыкновенному дифференциальному уравнению. По-
кажите, что оно не относится к Р-типу.
(b) Основываясь на D.2.12), выясните, для каких и спра-
ведливо неравенство а = —k(d2k/da>2) > 0.
(c) Покажите, что D.3.13) допускает автомодельные сингу-
лярные решения, если а > 0 и «г > 0. Что можно сказать о ре-
шениях в случае а < 0?
3. Приближение глубокой воды для волн на воде равносиль--
но предположению kh->- oo.
(a) Покажите, что если kh ^> 1, то ошибка, вносимая в ли-
нейное приближение (т. е. в D.3.19)) таким предположением,
имеет экспоненциальный по kh порядок. Эта причина лежит в
основе утверждения, что эффектами конечной глубины можно
пренебречь, как только глубина жидкости превысит длину вол-
ны, так как колебательные волны при этом не «чувствуют» дна.
(b) Покажите, что при ft->-oo V<D = O(ft~I). Следовательно,
в этом пределе (нелинейно) возбуждаемый средний поток убы-
вает степенным, а не экспоненциальным образом.
(c) Выбрав f = 0 в D.3.26), рассмотрим одномерные волны
на воде с периодом 1 с и максимальным наклоном свободной по-
верхности, равным 0.1. Чему равна длина волны, если она дви-
жется в океане, глубина которого равна 3 км? Оцените средний
поток, возбуждаемый этой волной у дна. Арми [43] в качестве
характерного значения тока у дна использовал величину 4 см/с.
Является ли индуцированный средний поток существенным в
глубоком океане? Что будет, если та же самая волна движется
над континентальным шельфом, где глубина примерно равна
200 м?
4. Стоке A847) [467] отметил, что осцилляторные волны на
воде возбуждают во втором порядке (по е) «дрейфовую ско-
рость». Следовательно, частицы жидкости испытывают медлен-
ное среднее движение в направлении групповой скорости волн,
(Более подробно см. |422].)

Упражнения 395
(a) Покажите, что среднее движение, соответствующее Ф в
D.3.25), происходит в противоположном направлении и должно
отделяться от дрейфовой скорости Стокса.
(b) Любая стационарная теория волн на воде конечной глу-
бины без учета вязкости является недостаточной для описания
вызываемого ими полного переноса жидкости. Это обусловлено
тем, что уравнения инвариантны относительно добавления про-
извольного однородного горизонтального потока. Одним из пу-
тей устранения этой неоднозначности является учет малой вяз-
кости. Обзор работ в этой области сделан в работе [330]. Дру-
тая возможность состоит в исследовании решений уравнения
D.3.23), описывающих локализованные волновые пакеты, ам-
ллитуда которых стремится к нулю при (х2{ + yf) -*¦ °о и допол-
нительном условии, что на бесконечности движения нет. Пока-
жите, что этот метод позволяет устранить неоднозначность в опи-
сании движения невязкой жидкости. Найдите величину полного
переноса жидкости.
5. В случае локальных волн уравнение D.3.21) было преобра-
зовано в D.3.23). Если амплитуда А периодична по (х\, у{), по-
кажите, что такое преобразование можно сохранить, предполо-
жив, что Ф удовлетворяет также и D.3.20). Если такое пред-
положение не сДелано, то чему соответствуют уравнения D.3.25)?
6. Эксперимент, изображенный на рис. 4.17, демонстрирует
¦взаимодействие солитонов только в том случае, когда частоты
двух несущих волн настолько близки, что взаимодействие двух
волновых пакетов осуществляется достаточно долго: гЧ ~ 1. Ос-
новываясь на этих измерениях, определите соответствующую ве-
личину е и оцените время взаимодействия. В какой степени этот
эксперимент подтверждает теорию?
7. (а) Для размерности A + 1) мы можем определить массу
.локализованной волны
тде р — плотность жидкости. Таким же образом определите го-
ризонтальный импульс и полную (потенциальную + кинетиче-
скую), энергию волны. Эти три величины для D.1.5—7) сохра-
няются точно.
(Ь) Используя разложение, необходимое для вывода урав-
нений D.3.25), разложите массу, горизонтальную проекцию им-
лульса и энергию до порядка О (г2). Покажите, что
где /i, h, h пропорциональны первым трем законам сохранения
уравнения D.3.29). Каково соответствующее разложение для го-

396 4. Приложение
ризонтального импульса и энергии? Это дает некоторое понима-
ние того, почему D.3.29) имеет бесконечно много интегралов
движения: они являются коэффициентами асимптотического раз-
ложения точно сохраняющейся величины, такой, как М. Остает-
ся открытым вопрос, почему другие аппроксимирующие уравне-
ния имеют лишь конечное число таких интегралов.
Раздел 4.4
1. Псевдосферические поверхности.
(a) Каждое решение уравнения sin-Гордон определяет се-
мейство псевдосферических поверхностей. Здесь <р обозначает
угол между асимптотическими линиями, которые совпадают, если
ф = пп. Но они должны отличаться, если полная кривизна от-
рицательна; таким образом, линии, вдоль которых <р = пп, яв-
ляются сингулярными линиями поверхности. Согласно теореме
Гильберта, каждая псевдосферическая поверхность содержит по
крайней мере одну сингулярную линию: это есть следствие тео-
ремы Гаусса — Бонне.
(b) В нашем распоряжении имеется огромное множество ре-
шений уравнения sin-Гордон, включая точные солитонные реше-
ния (или «кинки» D.4.1)). Каждое такое решение определяет
псевдосферические поверхности, которые соединяются вдоль
своих сингулярных линий. Интересно построить геометрические
объекты, соответствующие одному кинку, двум кинкам, паре
кинк — антикинк, бризеру и т. д.
2. Мак-Кол и Хан предложили простую механическую анало-
гию СИП. Рассмотрим ряд идеальных одинаковых маятников,
отделенных друг от друга и подвешенных в линию над горизон-
тальной поверхностью.
(a) Если шар, масса которого превосходит массу маятника
тш > tnM, катится по плоскости, то он отдает часть своего им-
пульса каждому маятнику, с которым сталкивается, до тех пор,
пока не отдаст весь свой импульс среде (маятникам). Покажите,
что скорость шара после я-го соударения равна Vn =
= Voexp(—an), где a = 1п((тш + тм)/{тш — т„)). Это ана-
лог закона Бэра.
(b) Если масса шара равна массе маятника и если его на-
чальная скорость достаточна для полного оборота маятника, по-
кажите, что шар отдаст весь свой импульс маятнику, подождет,
пока маятник совершит полный оборот, получит обратно весь
свой импульс и покатится с первоначальной скоростью к следую-
щему маятнику. Это является аналогом СИП. Какой началь-
ный импульс необходим для СИП? Какова средняя скорость
шара, если превышена минимальная скорость? Что если началь-
ная скорость равна ей точно? Что произойдет, если начальная
скорость слишком мала?

Упражнения 397
(c) Что произойдет, если масса маятника больше, чем масса
шара?
(d) Эти результаты мы получили, предполагая, что шар и
маятники являются точечными. Что произойдет, если они оба
имеют конечные диаметры?
3. Покажите из D.4.8), что для любого электрического поля
Каков физический смысл этого тождества? Покажите, что от-
сюда следует |р| = О(/*).
4. Покажите, что любые другие слагаемые, добавленные к
имеющимся в D.4.13), не являются секулярными и не изме-
няют D.4.14, 15, 16).
5. (а) Покажите, что увеличение амплитуды 2л-импульса в
СИП увеличивает скорость его распространения.
(Ь) Конкретный вид D.4.10) можно найти, полагая
, . 1 г
ё Vй' ~ я (« — «оJ + Г2 '
Для этого случая точно вычислите скорость 2л-импульса.

Приложение. Линейные задачи
П.1. Преобразование Фурье. Цель данного раздела — описать
особенности применения методов преобразования Фурье для ре-
шения некоторых линейных уравнений и продемонстрировать ме-
тод на нескольких примерах. Более точно, описываемый метод
представляет собой разделение переменных, конечным результа-
том которого является представление решения через его фурье-
образ. Метод также можно интерпретировать как отыскание
«нормальных мод», или отыскание решений в виде е'кх~ш. Дан-
ный метод не всегда эквивалентен преобразованию Фурье —
Лапласа, мы обсудим отличие между этими двумя подходами в
следующем разделе.
Простейшие типы эволюционных уравнений, для которых эф-
фективен метод преобразования Фурье, могут быть выражены
в виде
(П.1.1) ut = F(u.ux,uxx,...),
где F линейна по своим аргументам, однородна и имеет постоян-
ные коэффициенты. (П.1.1) рассматривается в области —оо <
<дс<оо, (>0 и предполагается, что и стремится к нулю при
|х|->оо и и(х, t)-+u(x) при /-»-0, где и(х)—заданная функ-
ция (начальное значение).
Даже для линейных эволюционных уравнений методы преоб-
разований Фурье применимы к более широкому классу задач,
чем (П.1.1). Можно исследовать уравнения, включающие произ-
водные по времени более высокого порядка, или заменить ска-
ляр и в (П.1.1) вектором («ь «2, ..., mjv), производя соответ-
ствующие изменения в F. Интерес могут также представлять
уравнения, рассматриваемые на конечном интервале а < х < Ь,
возможно, с периодическими граничными условиями. Некоторые
из перечисленных обобщений исследованы в примерах и упраж-
нениях в конце раздела.
Рассмотрим основные шаги, осуществляемые при реализации
метода.
1. Имеет ли задача единственное решение?
Полезная информация часто может быть получена путем
отыскания нескольких «законов сохранения», т. е. связей

П. 1. Преобразование Фурье 399
вида
* Si
(П. 1.2) «7-4* /7 =
где Т и F могут зависеть от х, t и производных от и. Во многих
случаях уравнение само по себе имеет вид (П.1.2). Иногда по-
средством умножения этого уравнения на некоторую функцию
(в том числе и, их и т. д.) и последующего интегрирования по
частям удается получить другие законы сохранения. В любом
случае, если граничные условия требуют, чтобы F стремилась
Т dx определен при t = 0, то
— оо
этот интеграл не зависит от времени. Особое значение имеют те
законы сохранения, из которых следует положительная опреде-
ленность Т, т. е.
(П. 1.3) Г>0 и Г = 0=>и = 0.
Тогда \.Tdx может определять норму для некоторого простран-
ства функций, и единственность решения (в этом пространстве)
следует непосредственно из закона сохранения. В этих случаях
\ Т dx будет интерпретироваться как «интеграл энергии» си-
стемы независимо от того, соответствует ли он физической энер-
гии. Более того, этот интеграл энергии не обязательно должен
быть связанным с гамильтонианом, системы, если таковой суще-
ствует. Фридрихе [169] широко использовал «энергетический ме-
тод» для исследования единственности решений симметричных,
положительно определенных систем дифференциальных уравне-
ний. Как обсуждали Рихтмайер и Мортон [431], похожие ме-
тоды могут быть использованы для проверки устойчивости ко-
нечно-разностных схем. Этот подход особенно полезен для ура-
внений, к которым применим МОЗР, так как зачастую одна из
сохраняющихся величин допускает энергетическую интерпрета-
цию.
Не во всех задачах возникают интегралы энергии, а в некото-
рых случаях функциональные пространства недостаточно богаты
для того, чтобы применить рассмотренный подход. В этих слу-
чаях на вопрос о единственности нужно отвечать другими спосо-
бами.
2. Существует ли дисперсионное соотношение?
Подставим пробное решение в форме
(П. 1.4) и (х, t) ~ A exp (ikx — iat)
в дифференциальное уравнение. Здесь k вещественное, а со —
некоторое комплексное число. Для того чтобы метод работал.

400 Приложение. Линейные задачи
дифференциальное уравнение должно быть сведено к
(П. 1.5) D (со, k) Aexp (ikx — по/) = 0
(для всех (х, t)). Экспонента (или даже ее вещественная или
мнимая части) не может обращаться в нуль при всех (х, t), a
А = 0 представляет собой тривиальное решение. Таким образом,
(П. 1.4) является нетривиальным решением дифференциального
уравнения в частных производных только в том случае, когда «
и k связаны дисперсионным соотношением
(П. 1.6) D(a>, ft) = 0.
Этот шаг можно реализовать несколькими способами.
(i) Если задача определена на отрезке а < х < Ь, а не на
—оо < х < оо, то k обычно сводится к счетному множеству ве-
щественных величин.
(И) Для системы уравнений л-го порядка заменим (П. 1.4)
на
(П. 1.7) v (х, /) ~ A exp (ikx — Ш).
Тогда (П.1.5) принимает вид
М_А exp (ikx — Ш) == 0,
где М_—матрица п X п. Дисперсионное соотношение определит-
ся выражением
(П. 1.8) det(M)=0.
(Hi) Для дифференциально-разностных уравнений (дискрет-
ных в пространстве и непрерывных во времени) заменим (П. 1.4)
на
(П. 1.9) ип@~Аг"ехр(—и»/).
где г — комплексное число на единичной окружности, а п — це-
лое. (Аналогия с (П. 1.4) станет более очевидна, если положить
z = exp(i6), где 9 —- вещественное число.) Тогда дисперсионное
соотношение принимает вид
(П.1.10) D(<d, z) = 0.
(iv) Для конечно-разностной схемы (дискретной по про-
странственной и временной переменным) заменим (П.1.4) на
(П. 1.11) u?~AQ.mzn,
где z лежит на единичной окружности, Q — комплексное число,
/П, п — целые. Дисперсионное соотношение имеет вид
(П.1.12) 0(Q, z) = 0,

П. t. Преобразование Фурье 401
Следуя работе фон Неймана [491], посвященной устойчивости
разностных схем, величину Q в численном анализе часто назы-
вают множителем перехода.
Вернемся к непрерывной задаче и к (П. 1.6).
3. Полна ли система нормальных мод?
Решим (П.1.6) относительно w(k). Для каждого k число реше-
ний должно быть равно порядку (производных по t) дифферен-
циального уравнения.
При любом фиксированном / каждое [k, a(k)] в (П.1.4)
представляет одну «моду» в интеграле Фурье (или сумме), и
суммирование по модам определяет (формальное) решение диф-
ференциальных уравнений. Суммирование производится по всем
вещественным k (для —оо < х < оо):
(П. 1.13) и(х, 0 = ^- \ A(k)exp(ikx — mt)dk,
если на k не наложены дополнительные ограничения. Метод при-
меним, если в виде суммы может быть выражено произвольное
начальное условие и, щ и т. д. при t = 0. («Произвол» следует
понимать в смысле некоторого функционального пространства,
такого, как, например, L2) т. е. в пространстве квадратично ин-
тегрируемых функций.)
Описанный выше метод не применим, если не существует дис-
персионного соотношения (т.е. для фиксированного k ю не огра-
ничено) или если система нормальных мод не полна и, следова-
тельно, не может представить начальное условие. Несколько по-
добных примеров дается в следующем разделе.
В тех случаях, когда метод работает, возникает интеграль-
ное представление решения. В каком смысле это «решение» дей-
ствительно решает задачу — вопрос довольно тонкий, и он будет
обсуждаться в контексте конкретных примеров.
4. Каков характер решения?
Реальное преимущество преобразований Фурье проявляется
именно на этом шаге. После того как установлено, что нами по-
лучено общее решение начальной задачи, большая часть необ-
ходимой информации может быть получена из анализа диспер-
сионного соотношения. Скорость роста любой конкретной моды
определяется по 1ш(«).
(О'Если 1т(ю)>0 для некоторого действительного k (т. е.
для одной из возможных мод системы), то данная мода экспо-
ненциально растет во времени, и задача является неустойчивой.
Наиболее неустойчива та мода, которая имеет максимальную
мнимую часть Im(co), если таковая существует. В тех случаях,
когда начальная амплитуда такой моды не была в точности рав-

402 Приложение. Линейные задачи
на 0, то через достаточный промежуток времени она будет опре-
делять решение. Если же начальное условие было известно лишь
внутри некоторого промежутка (который может зависеть, напри-
мер, от метода измерения), то независимо от начальных условий
следует ожидать, что решение будет определяться преобладаю-
щей модой.
(И) Если Im(w)->oo в любом пределе (например, &->-оо),
то не существует ограничений на скорость роста, и задача яв-
ляется некорректной (в смысле Адамара). В этом случае любая
неопределенность в начальных данных фактически разрушает
все предположения относительно поведения решения при t > 0.
Если модель физической задачи некорректна, то на ее основе не-
возможно адекватным образом сформулировать математическую
задачу.
(ш) Если 1т(ю) < 0 для всех вещественных k, то задача
является асимптотически устойчивой (или диссипативной), по-
тому что каждая мода экспоненциально затухает при t > 0. По
истечении достаточно долгого времени доминирующей модой, за
исключением очень специальных начальных условий, является
та, которая максимизирует Im(w).
(iv) Если решение (П.1.1) может быть представлено в форме
(П. 1.13) с однозначно определенной a>(k), тогда ее интегралом
энергии является \|м|2йдс. На основании равенства Парсеваля
djc = -^- J I Л (ft) р ехр {2 Im (
J
Таким образом, в задаче существует не зависящий от времени
интеграл энергии только в том случае, если 1ш((о)= 0 для веще-
ственных k, т. е. дисперсионное соотношение является веществен-
ным. В этом случае характерной особенностью решения является
распространение волн, а не экспоненциальное затухание или
рост. Таким свойством после линеаризации обладает большин-
ство задач, обсуждавшихся в этой книге.
(v) Аналогично можно установить, что разностная схема яв-
ляется неустойчивой, если |Q| > 1 для некоторого z, лежащего
на единичной окружности, и устойчивой, если \z\ = 1 ==> |Q| ^
^ 1. Вещественное дисперсионное соотношение соответствует
Эти определения согласуются с теорией обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (см., например, [65]). Это легко уста-
новить, представляя решения (П. 1.1) в виде
Ц\Х, I) „ \U\K, 1L UK,

П. 1. Преобразование Фурье 403
тогда u(k, t) формально удовлетворяет обыкновенному диффе-
ренциальному уравнению
устойчивость которого определяется через Im (ю).
5. Каково поведение решения в задачах с вещественными
дисперсионными соотношениями при больших временах?
Для задачи на ограниченном одномерном интервале соответ-
ствующее решение имеет вид
оо
(П. 1.14) и(х, () = Yi Anexp(iknx — iant).
Здесь {kn} зависит от длины интервала, а>п = а>(кп)—от дис-
персионного соотношения и {А„} — от начального условия. Здесь
kn и Юп вещественны, и мы предполагаем, что ып однозначно оп-
ределена. Тогда интеграл энергии определяется формулой
если эта сумма существует.
Интуитивно ясно, что если фиксированное количество энер-
гии заключено в ограниченном интервале в модах, которые не
могут перераспределять энергию между собой, то тогда не дол-
жно быть и никакого асимптотического (t-*-oo) состояния. Это
утверждение действительно справедливо: вместо стремления к
асимптотическому состоянию система почти возвращается к свое-
му начальному состоянию через конечное время («возвращае-
мость Пуанкаре»).
Обоснованность этого утверждения может быть проверена
путем аппроксимации решения (П.1.14) с любой желаемой точ-
ностью ограниченным набором мод:
N
иы (х, 0 = S Лп ехр ($„), 6„ = knx — ant.
—N
Легко показать (см., например, [44]), что эта частичная сум-
ма соответствует решению системы Гамильтона с BЛ/ -j- 1) сте-
пенями свободы. (Гамильтониан имеет вид # = /?_wl ^nl2fl)n,
где |ЛП|2 — переменные действия, a iQn — угловые переменные.)
Далее по теореме Лиувилля о сохранении объема в фазовом
пространстве устанавливаем, что не существует никакого асим-
птотического состояния, а по теореме возврата Пуанкаре видим,
что почти каждое начальное состояние повторяется за конечное
время. На неограниченном интервале обычное решение имеет

404 Приложение. Линейные задачи
вид
16) и(х () = -—¦
(П. 1.16) и(х, () = -—¦ J A{k)exp(ikx-ia()dk,
—оо
где функция ta(k) вещественна.
Приблизительная оценка таких интегралов — отдельная тема.
Мы приводим здесь только основные идеи, более полное изложе-
ние читатель может найти в работах [116], [408] или [67].
В этих задачах также сохраняется энергия, но так как она мо-
жет распределяться по бесконечному интервалу, то возможны
асимптотические состояния. Для каждой моды точки постоянной
фазы перемещаются с фазовой скоростью
(П. 1.17) Ср(*) = ю/Л.
Если каждая волна имеет одну и ту же фазовую скорость
(т. е. и = cok), то решение в любой момент времени t > 0 яв-
ляется просто начальной функцией со сдвигом аргумента на ве-
личину Cot:
(П. 1.18) и {х, t) = -L § A (k) exp (ik (х - cot)) dk = u(x- cot, 0).
— 00
Задача является дисперсионной, если
Здесь различные волны имеют уже различные фазовые ско-
рости, и поведение решения зависит от того, как волны интер-
ферируют друг с другом. В этом случае важным является поня-
тие групповой скорости
(ПЛ.20) ce(k)
Значение этой скорости состоит в том, что по истечении доста-
точно большого времени каждое волновое число k преобладает
в решении в области
(П.1.21) x~cg{k)l+o(i).
Точный вид решения в этой области может быть найден путем
оценки (П. 1.16) любым из двух родственных методов — методом
стационарной фазы или методом наибыстрейшего спуска.
Некоторые уравнения в частных производных допускают ав-
томодельные решения в форме
(П. 1.22) u(x,t) = rpf(x/f),
где р, q — постоянные, a f удовлетворяет обыкновенному диффе-
ренциальному уравнению. Другими словами, уравнение инва-

П. 1. Преобразование Фурье 405
риантно относительно преобразования
Tb:l-*bi, x-^b"x, и->Ь~"и,
где b — скаляр. Множество всех таких преобразований (Г&) об-
разует группу (см., например, [194]). Эти решения часто лежат
вне интересующего нас функционального пространства (напри-
мер, они необязательно должны быть квадратично интегрируемы
по х). Тем не менее во многих задачах асимптотическое (t-*- oo)
решение локально становится приблизительно автомодельным,
но модулируется «медленно меняющейся» функцией, которая за-
висит от начального условия. Преимущества такого представ-
ления, когда оно возможно, следующие: (i) оно ясно указывает,
какая часть решения обусловлена дифференциальным уравне-
нием, а какая — начальными данными, (п) оно может быть рав-
номерно применимо для всех х (при t-+oo), даже если пред-
ставление, полученное методом стационарной фазы, этим свой-
ством не обладает.
Этим завершается обсуждение метода. Далее мы покажем
его применение на некоторых характерных примерах.
Пример 1: Уравнение Шрёдингера
(П.1.23) ty* + 1>« = 0, —оо<х<оо, />0,
(П. 1.24) i|)->0 при *--»оо,
(П.1.25) Чф, t = Q) = ip(x) с
В квантовой механике t|i(x, t) есть (комплексная) волновая
функция свободной частицы, |if>|2(.K, t) —плотность вероятности
нахождения частицы в точке х в момент времени t, a \ 1i|) fdx —
= 1 допускает эту же интерпретацию при t = 0.
Интересующий нас закон сохранения
(п. 1.26) /(|*р),+(+ч-**;),«= о
получен умножением (П.1.23) на ф* (величина, комплексно-со-
пряженная if) и вычитанием комплексно-сопряженного уравне-
ния. Интегрирование (П. 1.26) по х дает не зависящий от вре-
мени «интеграл энергии»
(П.1.27)
Этот интеграл определяет L2 как естественное пространство дан-
ной задачи, что хорошо согласуется с вероятностной интерпре-
тацией. Покажем далее, что задача не может иметь двух раз-
личных решений в L2.

406 Приложение. Линейные задачи
Предположим, что существует два таких решения в L2. Тогда
их разность А(дс, t) лежит в L2, удовлетворяет (П. 1.23, 24) и
равна нулю при t = 0. Следовательно,
(П.1.28)
для любого момента времени, так что A(jc, t) тождественно рав-
на нулю.
Для того чтобы найти дисперсионное соотношение, положим
(П. 1.29) -ф ~ ^о exp (ikx — iwt)
и получим
(П. 1.30) ®(k) = k2.
Здесь со вещественно для вещественных k, что мы предвидели из
существования интеграла энергии.
Прежде чем приступить к построению решения, необходимо
сделать следующее замечание. Если ц>{х) лежит в L2) то ее
фурье-преобразование определяется через
(П. 1.31) Ф(*)= \ <f(x)e~lkxdx.
— оо
Тогда обратное фурье-преобразование есть
(П. 1.32)
Мы используем эти обозначения на протяжении всей книги. Что-
бы получить формальное решение, просуммируем (П. 1.29) по
всем модам:
(П. 1.33) -ф (л;, 0 = -^- J W(k)eikx-ik4dk,
где Ф(?) —фурье-преобразование начального условия.
В каком смысле этот интеграл решает задачу? Ясно, что он
воспроизводит ^(х) при / = 0 по условию. Если Ф" абсолютно
интегрируема на —оо < х < оо (т. е. является элементом L\)y
то интеграл удовлетворяет (П.1.24) по теореме Римана — Ле-
бега. (Эта известная теорема приведена в большинстве книг по
анализу функций вещественной переменной, например [209].)
Если W сходится достаточно быстро при |&|->-оо, чтобы выпол-
нялось условие двукратной дифференцируемости под знаком ин-
теграла, то интеграл также удовлетворяет (П. 1.23) и является
(поточечным) решением задачи.

П. 1. Преобразование Фурье
407
Н-плоскоат
Исходный контур
Рис. П.1. Контур
в (П. 1.32).
интегрирования
Если -ф (х) или ее производная разрывны, то дифференциро-
вать под интегралом нельзя. Дифференцирование будет воз-
можно, если W (k) аналитически продолжаема в комплексную
плоскость. В простейшем случае контур интегрирования по k
может быть повернут относительно вещественной оси на угол
(—6), 0 < 6 < л/2, так, чтобы при этом не происходило пересе-
чения сингулярности на огра-
ниченной части плоскости, как
показано на рис. П.1. Нам
также нужно, чтобы 4?(k)-*~0
при |&|-»-оо достаточно быст-
ро в секторе, ометаемом при
деформации контура. При этих
условиях, согласно интеграль-
ной теореме Коши, интегриро-
вание вдоль деформированно-
го контура дает тот же резуль-
тат, что и интеграл вдоль пер-
воначального контура интегральной теоремы Гаусса. Но для
преобразования
&->п?'6, Im(r) = 0, 0<6<y,
(П.1.34) чч . .N
«»-<*''_>ехр (гЧ cos (-5- + 26J J ехр (-irH sin (-?+26j)
и при t >• О интеграл сходится экспоненциально быстро, когда
\г\ ->оо, Следовательно, даже если 'ф(я) разрывна, то решение
(П. 1.23), которое получается из него при t > О, не только не-
прерывно, но и бесконечно дифференцируемо! Это демонстри-
рует сглаживающее действие оператора Шрёдингера. Характер-
ный пример рассматривается в упр. 1.
Если W не допускает ни дифференцирования под интегралом,
ни продолжения в комплексную плоскость, то становится необ-
ходимым рассмотрение «слабого решения» (см, [317] или
[319]). Тем не менее обычно может быть применен либо один,
либо другой из обсуждавшихся выше методов. Таким образом,
мы показали, что задача имеет не более одного решения вида
(П.1.33) в12-
Остается описать асимптотическое поведение решения при
f-voo. Для того чтобы сделать это, заметим, что (П.1.33) имеет
вид
(П. 1.35а)
где
(П. 1.35Ь) ф(?)==/г-|---(»F)==/г-у-/г2,

408 Приложение. Линейные задачи
если зафиксирована величина (x/t) при *->оо. Интуитивная
картина, на которой основан метод стационарной фазы Кельвина
(см. [116]), состоит в следующем. Рассматриваемый интеграл
является суперпозицией бесконечного числа волновых цугов, но
для достаточно больших t фазы волновых цугов, представлен-
ных через k и (k + bk), будут значительно различаться до тех
пор, пока не обратится в нуль <р'(&). Таким образом, при инте-
грировании следует ожидать взаимного уничтожения большин-
ства интерферирующих волновых цугов, и поэтому основные
вклады в интеграл должны внести малые окрестности точек,
где ф'(&) обращается в нуль (т. е. где фаза <p(k)t стационар-
на). Согласно этому, естественно предположить, что отдельное
волновое число k будет определять решение, где
(П. 1.36) q/(ft) =-у-— 2й =-^ - с„ (fe) = 0.
Это показывает важность понятия групповой скорости: при
t -*¦ оо каждое волновое число k определяет решение в области,
приближенно задаваемой (П.1.36).
Таким образом, (ft — 6ft) преобладает вдоль одной прямой
линии в пространстве (х, /), a (ft -\- 6ft) вдоль слегка отличной
прямой линии. Следовательно, не зависящий от времени вклад в
интеграл энергии от пакета волновых чисел
kb
k-bk
распределен по области пространства, которая растет линейно
во времени. Это предполагает, что | ф |2 будет уменьшаться как
р р
t~x (сохраняя \|i|)|2fi?xj, так что
(П. 1.37) |-ф| = О(Г1/2) при
Для того чтобы эти эвристические рассуждения оказались спра-
ведливыми, необходимо, чтобы ф (ft) Ф 0. Если (f"(k) =¦- 0, то
траектории (ft ± 6ft) разделяются более медленно, и скорость
затухания соответственно медленнее, чем определяемая форму-
лой (П. 1.37).
Метод стационарной фазы дает явные формулы, описываю-
щие характерное поведение г|>, однако самый легкий способ по-
лучения этих формул состоит в использовании метода наибы-
стрейшего спуска Дебая (см. [116]). Для определенного значе-
ния (х/Г) он состоит из продолжения W(k) в комплексную ft-пло-
скость и деформации пути интегрирования по k так, чтобы
(i) он проходил через нуль <p'(ft);

П. 1. Преобразование Фурье 409
(и) вещественная часть <р(&) оставалась постоянной вдоль
пути;
(Hi) мнимая часть ф(&) была максимальна в нуле ф'F).
В некоторых случаях могут возникнуть некоторые затрудне-
ния, но для (П.1.35) единственный нуль ф'(?) определяется фор-
мулой k = (x/2t) и полностью деформированный путь задается
формулой
—оо < г < оо. При таком преобразовании переменных (П. 1.33)
принимает вид
(П. 1.38) ф (х, 0 = -^ exp (it (~J - •
где снова предполагается, что при повороте не пересекаются ни-
какие сингулярности Ф (см., однако, упр. 2). Если Ф не имеет
особенностей, то основной вклад в интеграл при t -> оо дает ок-
рестность г = 0. Таким образом, мы разлагаем Ф в ряд Тейлора
вблизи k = (x/2t) и оцениваем каждый из получающихся инте-
гралов. В результате получим
(П.1.39) ¦o.0~
Как установлено выше, ясно прослеживается роль групповой
скорости (k = x/2t), и амплитуда затухает как /~1/2. Если ф
ведет себя достаточно хорошо, то (П. 1.39) справедливо для всех
(x/t) при t-*- оо.
Наконец, нам нужно установить связь (П.1.39) с «медленно
меняющимися автомодельными решениями» уравнения (П. 1.23).
С этой целью будем искать частное решение I. 1.23) в форме
и найдем, что q = -$ и f{r\; p) удовлетворяет уравнению
(П. 1.40) f/r-~r]f'~ipf = O.
С помощью преобразования г = щ/4 f можно отождествить
с вырожденной гипергеометрической функцией. Однако для на-

410 Приложение. Линейные задачи
ших целей достаточно увидеть, что одно из решений (П. 1.40)
при р = 1/2 имеет вид
где А — постоянная. Таким образом, при t-*-oo решение
(П. 1.23—25) стремится к решению, которое локально автомо-
дельно, но модулировано медленно меняющейся функцией (т. е.
А теперь должна рассматриваться как медленно меняющаяся
функция), которая зависит от начальных условий:
(П.1.42) * (х, 0 ~ [Г"У*
Пример 2: Уравнение теплопроводности
Tt — %TXX, — оо < х < оо, х,/>0, Г-*0 при | х|->оо,
Л43>
Если Т0(х)—вещественная функция, то Т можно интерпре-
тировать (например) как температуру одноатомного неподвиж-
ного газа в длинной трубке. Боковая поверхность трубки должна
быть теплоизолирована. Температура измерена относительно не-
которой температуры Т > 0, так что G+ Т) является абсолют-
ной температурой. Поток тепла определяется выражением
(-кТх).
Уравнение всегда можно представить в виде закона сохра-
нения
ь
(П. 1.44) -§f
который гласит, что любое изменение средней температуры эле-
ментарного интервала обусловлено разностью потоков тепла че-
рез его границы.
Температура газа является мерой кинетической энергии (хао-
тического движения) молекул, а (П.1.44)—это закон сохране-
ния энергии для уравнения (П. 1.43). Однако величина Т не обя-
зательно положительна, поэтому для изучения вопросов един-
ственности формула (П.1.44) бесполезна.
Подходящий «интеграл энергии», который не имеет отноше-
ния к физической энергии, может быть получен умножением
(П. 1.43) на Г и последующим интегрированием по частям:
ь ь
(П. 1.45) j ± \ Г dx = ХГХТ \ьа - и J {Tx? dx.

П. 1. Преобразование Фурье 411
Это выражение не является законом сохранения (интеграл Vl^dx
не сохраняется), однако его можно использовать длядоказатель-
Т2 dx cy-
—оо
ществует в начальный момент времени и положительно опреде-
лен. Из формулы (П. 1.45) следует, что если первое слагаемое
обращается в нуль на границе, то рассмотренный интеграл не
возрастает со временем и, следовательно, решение остается в L2
при t > 0. Как и в предыдущей задаче, единственность доказы-
вается вычислением \ A2 dx для разности двух решений, имею-
щих одно и то же начальное условие, и применением формулы
(П. 1.45), из которой следует, что разность остается равной нулю
при t > 0.
Дисперсионное соотношение для (П. 1.43) имеет вид
(П. 1.46) <о = —т/г2.
Отсюда следует, что Im(w) ^0, т. е. задача является асимпто-
тически устойчивой. Это утверждение остается в силе для слу-
чая, когда в (П. 1,45) —оо < х < оо, и означает, что энергети-
ческий интеграл должен убывать во времени при любом положи-
тельном начальном значении. Действительно, 1т(<в) = 0 только
для k = 0; тот факт, что со = 0 при k = 0, означает независи-
мость от времени величины
f (k = 0) = jj T dx.
f (k 0) jj T dx.
Это утверждение является перефразировкой (П. 1.44).
Решение уравнения (П.1.43) имеет вид
с»
(П. 1.47) Г(лг, 0=^- J То {к)е~*т+1к* dk,
где То (—k) = fl(k), так как Т0(х) — вещественная функция. Про-
верка этого факта не представляет труда, в формуле (П. 1.47)
допустимо дифференцирование под знаком интеграла при t > 0
(любое число раз).
Для больших i->oo основной вклад в интеграл (П. 1.47) дает
окрестность точки k = 0, в которой Im(w) = 0. Если Tn(k) яв-
ляется аналитической функцией, то ее можно разложить в ряд
Тейлора в окрестности k = 0 и по отдельности вычислить инте-
гралы. Используя тождества
iT'^0)=^xT0(x)dx и т. д.,

412 Приложение. Линейные задачи
мы получим
Ws)rf| / *\
Т (х, 0 = - frr-expf — —) +
(П. 1.48) r
+
2Bx/)
Г75
ехР
I : I +
V. 4х</
Вновь мы приходим к выводу, что при /->-оо решение стремит-
ся к автомодельному. В этом случае медленных модуляций нет,
потому что весь вклад определяется окрестностью х = 0.
Пример 3: Линеаризованное уравнение Кортевега —де Фриза
ut + uxxx=0> — °° < х < °°> t>0,
(П.1.49) ы-+0 при |*|->оо,
и (х, 0) = U (х).
Открытие МОЗР последовало после открытия Миурой A968)
C79) точного взаимного преобразования уравнения Кортевега—
де Фриза (КдФ)
Щ + иих + иххх = 0
и модифицированного уравнения КдФ
В пределе малых амплитуд оба этих уравнения сводятся к
(П. 1.49). Другие приложения (П. 1.49) обсуждаются в упражне-
ниях.
Если функция U (х) вещественна, то и остается вещественной
для t > 0. Мы будем рассматривать только вещественные реше-
ния. Независящим от времени энергетическим интегралом в этой
задаче является \u2dx. Таким образом, пространство. L2 под-
ходит для наших исследований, и решения (П. 1.49) единствен-
ны в Z-2- Ввиду того что \ и2 dx не зависит от времени, диспер-
сионное соотношение должно быть вещественно, что подтвер-
ждается подстановкой exp(ikx — Ш) в (П. 1.49):
(П. 1.50) ш = — k3.
Формальное решение в виде преобразования Фурье имеет вид
(П. 1.51) и(х, t)=-^
где О(—k) = O*(k), так как U(x) вещественна. Из работы Коэ-
на [112], который не делал никаких предположений относитедь-

П. 1. Преобразование Фурье
413
но поведения U (k) где-либо, кроме как на вещественной оси к,
следует, в каком смысле формула (П.1.51) является решением
задачи (П.1.49).
При вычислении (П.1.51) при ?->-оо мы ограничимся функ-
циями 0(k), которые могут быть продолжены с вещественной
оси k. Кроме того, будем предполагать, что при деформациях
fe-контуры не пересекают сингулярностей функции О (к). Из-за
этих ограничений вычисление асимптотики (П. 1.51) тесно свя-
зано с вычислением функции Эйри
(П. 1.52)
оо
что подробно обсуждается в работе [116]. Функция Эйри изобра-
жена на рис. П. 2.
Рис. П.2. Функция Эйри Ai(r)).
Рис. П.З. Кривая наискорейшего спуска
для x/t > 0 в (П.1.51).
Точки стационарной фазы в интеграле (П.1.51) определяются
из уравнения
? + 3k2 = 0.
Результаты вычислений будут отличаться, если
| = o@ при t
f>0,
oo.
Для x/t < 0 существуют стационарные точки k— ± \х/{Ы) |1/2,
как показано на рис. П.З. Кривая наискорейшего спуска должна
пройти через обе эти точки.
В окрестности этих точек локальное уравнение контура имеет
вид
(П. 1.53) /е =
X
W
1/2
Отсюда можно найти главный член в разложении О при боль-
ших t для (П.1.51). Если (-+ооц x/t < 0, асимптотика (П.1.51)
имеет вид

414 Приложение. Линейные задачи
где
Заметим, что функция U в точке х при x/t -»—оо стремится
к нулю быстрее, чем (x/t)~V4, поэтому О тоже стремится к нулю.
Для x/t > 0 вещественных стационарных точек нет. Основ-
ной вклад при t-*¦ оо определяется смещением контура вверх
так, чтобы он пересекал стационарную точку, лежащую в верх-
ней полуплоскости k,
*-<(?)¦"+<.
и разложением О в ее окрестности. Таким образом, при /->оо,
Обе формулы, (П.1.54) и (П.1.55), неприменимы, когда
x/t -v 0. Для того чтобы исследовать поведение решений в этой
области, удобно сделать замену переменных в (П.1.51):
(П. 1.56) s ^
В новых переменных (П. 1.51) принимает вид
(П. 1.57) и (х, 0 = -^L- \ U (-^_) ехр (йЧ + if) ds.
Разложение в ряд Тейлора функции О в окрестности s = 0
позволяет выразить асимптотику для и при t-*-oo через функ-
цию Эйри и ее производную:
(П. 1.58) и {х, () ~ C/Г1/3 0 @) Ai (tj) -
- Щ- iG'@)Aif(rd +О {Ct)-1).
Используя асимптотические свойства Ai(r]), можно показать, что
(П.1.58) гладко переходит в (П.1.55) при т)->4-°° и в (П.1,54)
при г] -*—схз.
Таким образом, решение (П. 1.49) убывает как t-^2 при
x/t < 0, как Н/3 в окрестности x/t = 0 и экспоненциально при
x/t > 0. Честер, Фридман и Урселл [108] показали, каким об-
разом можно получить асимптотическое решение, равномерное.

П. 1. Преобразование Фурье 415
по (x/t). Они получили формулу
(П.1.59) и(х, 0-C/r'/3Ai(
где
_ х , __
11 ~ @1/3 '
которая заменяет (П.1.54, 55, 58). Важно, что в обоих случаях
/3Ai(ri) и « = C0~2/3Ai'(ri)
являются автомодельными решениями (П.1.49) и (П.1.59) имеет
вид «квазиавтомодельного решения», в котором модуляция зави-
сит от начальных условий О.
Пример 4: Уравнение Клейна — Гордона
/тт . йпч итт — ихх + и = 0, -оо<Х<оо, т>0,
(ПЛ.оО) „ , v.
v ' ы->0 при |Х|-*оо.
Кроме того, заданы две вещественные функции и(Х, Т = 0)
и ит(Х, Г = 0). Уравнение Клейна — Гордона возникает в раз-
личных разделах релятивистской квантовой механики (см., на-
пример, Морс и фешбах [385]). Нас оно интересует главным об-
разом потому, что является линеаризацией уравнения sin-Гор-
дон, хотя исторически эти уравнения были получены в обратном
порядке.
Рассматриваемая задача относится к гиперболическому типу,
поэтому для ее исследования удобнее использовать метод харак-
теристик. Определим характеристические координаты (через
«лабораторные координаты») формулами
(г\ 1 Р. п v — Т Ч~ -У. f X — Т_
Уравнение (П. 1.60) принимает вид
(П.1.62) uxt = u, х —/>0.
Теория гиперболических уравнений слишком обширна, чтобы
ее можно было развивать здесь, претендуя на строгость. Клас-
сический труд Куранта и Фридрихса [124] для наших целей яв-
ляется одним из лучших, которые мы могли бы рекомендовать
читателю. Существуют два важных следствия гиперболичности
(П.1.60).
(i) Любое возмущение распространяется вдоль выходящей из
него характеристики. Из этого следует, что если начальные ус-

416
Приложение. Линейные задачи
ловия (П. 1.60) имеют компактный носитель, то (в лаборатор-
ных координатах) решение (П. 1.60) будет иметь компактный но-
ситель во все моменты времени. Далее мы ограничимся рассмо-
трением этого случая.
(И) Разрывы и или ее производных распространяются вдоль
характеристик. Преобразование (П.1.60) в (П.1.62) использует-
ся только тогда, когда определены вторые производные и.
Энергетический интеграл в этом случае имеет более сложный
вид:
оо
(П. 1.63) ±г \ D + и\ + ы2) dX - 2ихит |-м = 0.
Следовательно, для наших целей теперь недостаточно того,
что и е L2, необходимо также чтобы ит и их также были из L2.
Если начальные условия принадлежат такому несколько сужен-
ному пространству, то (П.1.63) гарантирует, что решение остает-
ся в нем при Т > 0. Более того, в этом пространстве существует
по крайней мере одно решение задачи. С другой стороны,
(П. 1.63) означает также, что если начальные условия не при-
надлежат данному пространству, то соответствующее решение
также не будет ему принадлежать. (Заметим, что в этом отно-
шении (П. 1.60) отличается от уравнения теплопроводности.)
Причина состоит в том, что если интеграл существует, то из
(П. 1.63) следует равенство нулю его производной по времени
для любого Т.
Дисперсионное соотношение получается подстановкой и ~
(ЬХ — iQT):
(П.1.64) Q = x2+L
В соответствии с (П. 1.63) дисперсионное соотношение веществен-
но. Каждому вещественному х соответствуют два корня (П.1.64).
Это объясняется тем, что задача содержит вторую производную
по времени. Таким образом, существуют три представляющие
интерес скорости:
(i) разрывы и или ее производных распространяются вдоль
характеристик со скоростью / («скорость света»);
(и) фазовой скоростью для заданного и является
Q
X
¦
(ш) групповой скоростью для заданного % является
dii
—
Vx2+ 1

П. 1. Преобразование Фурье 417
Решение задачи в виде интеграла Фурье имеет вид
и(Х,Т)=~[А (ус)
(П. 1.65)
\ ЫХ~1
Если ы и «г вещественны при Т = 0, то для всех вещественных
х второй интеграл в (П. 1.65) комплексно сопряжен к первому.
Если начальные данные имеют конечный интеграл энергии, то
(П.1.66) -4-
Со временем решение не становится более гладким, и классиче-
ское решение существует для всех Х(Т > 0) только в том слу-
чае, если ихх и иТх определены всюду при Т = 0; в противном
случае решения являются «слабыми». В частности, и имеет не-
прерывные вторые производные, согласно лемме Римана — Ле-
бега, если
(П.1.67)
Для того чтобы определить поведение и при больших вре-
менах, мы должны найти точки стационарной фазы в (П. 1.65).
Для фиксированного отношения Х/Т в первом интеграле стацио-
нарность имеет место, когда
(П.1.68) 2^у Х
Используя формулу для стационарной фазы, при Т-*-оо для
\Х/Т\ < 1 получаем
(П...69) u
X ехр (« УР-Г + -f) + С).
Таким образом, асимптотическое решение внутри светового ко-
нуса представляет собой осцилляции, амплитуда которых убы-
вает как Т~х/2. Вне светового конуса поле и тождественно равно
нулю, если в начальный момент оно имело компактный носи-
тель.
Поведение и вдоль светового конуса {Х/Т = ±1) представ-
ляет интерес, в частности, потому, что оно позволяет найти «на-
чальные данные», если (П. 1.62) рассматривается как задача о
начальных условиях. Ее решение может быть получено из
(П.1.69), если существует предел -4(х) при х->±оо; предполо-
14 Зак. 114

418 Приложение. Линейные задачи
жим, что это требование выполнено. Если А также удовлетво-
ряет (П. 1.66), то
и3/2Л (и) = оA) при и->±оо.
Таким образом, из (П. 1.68, 69) следует, что при \Х/Т\ -*¦ 1 и
Т> 1
Следовательно, только из предположения, что начальные усло-
вия имеют конечный энергетический интеграл и существует пре-
дел Л(х), при х-»-±°° вытекает убывание решения (П. 1.60)
вдоль любой характеристики при Г-^-оо, даже если оно являет-
ся только слабым решением. Решение является классическим,
если также выполнено и (П. 1.67), что обеспечивает более бы-
строе убывание.
Наконец, перепишем (П. 1.65) в характеристических коорди-
натах. Это удобнее сделать, заменив переменные интегрирова-
ния. Пусть
"— 2 <> ?;•
для первого интеграла используем % > 0, для второго 5 < 0.
Формула (П. 1.65) принимает вид
00
(П. 1.70) и = -L \ ?Ф (I) ехр ($* - j) dZ,
— оо
где
¦?(С-Г1)).
Ясно, что (П.1.70) имеет вид решений (П.1.62) в форме преоб-
разования Фурье. Также ясно, что интеграл не имеет смысла при
t Ф 0, если не выполнено условие
(П.1.71)
На первый взгляд это дополнительное ограничение на «началь-
ные данные» (т. е. вдоль характеристики t = 0) может показать-
ся неестественным. Однако если начальные данные удовлетво-
ряют в лабораторных координатах условию (П. 1.67), с тем что-
бы всюду было определено преобразование по характеристиче-
ским координатам, то гарантировано выполнение (П.1.71). Ана-
логичное условие для уравнения sin-Гордон было получено Kay-
пом и Ньюэллом [268]

П. 1. Преобразование Фурье 419
Пример 5: Дискретные задачи. Полудискретным вариантом
(П. 1.23—25) служит
я = 0, ±1, ±2 т>0,
(П. 1.72) ф„-»0 при |«|->оо, т>0,
Фп(т = 0) = ^„, причем Z |^J2=1.
rt= —оо
Здесь ij3«(t) является я-й функцией, зависящей от времени т.
В этих примерах индекс (•)„ обозначает дискретную коорди-
нату, а не дифференцирование.
Конечно-разностная схема (Кранка — Никольсона) для
(П. 1.23—25) имеет вид
.lJcS) —I ^ = 5^5
п 2/г2
Здесь $%->0 при |д|->оо, 'ф° = Ч/'„; Ч^ заданы, причем
Л™. oo|^Fn|2 = 1. Верхний индекс обозначает дискретное время, а
не степень. Выражение (П.1.73) представляет собой подходящую
схему для вычисления приближенного решения (П. 1.23—25).
Уравнения (П. 1.72) мы можем рассматривать как промежуточ-
ные между (П. 1.23) и (П.1.73).
Методы исследования моделей (П.1.72) и (П.1.73) во многом
схожи и являются аналогом уже обсуждавшихся методов, осно-
ванных на преобразовании Фурье. Мы остановимся на изучении
G.1.72), оставив (П.1.73) в качестве упражнения. Для начала
мы получим «энергетический интеграл» уравнений (П.1.72), ум-
ножая их на а|э* и вычитая уравнение, комплексно сопряженное
к полученному в результате такого умножения. Суммируя по
всем п, получаем формулу
(П. 1.74)
±
которая является аналогом (П. 1.27). В качестве соответствую-
щего функционального пространства для рассматриваемой за-
дачи выбирается /2 — множество квадратично суммируемых по-
следовательностей. Из формулы (П. 1.74) следует единственность
решения.
14*

420 Приложение. Линейные задачи
Дисперсионное соотношение определяется подстановкой
(П.1.9) в (П.1.72) и имеет вид
(П.1.75) ю= ~(гг~1J •
При \z\ = 1 величина со вещественна. Как и ранее, веществен-
ное дисперсионное соотношение согласуется с существованием
не зависящего от времени энергетического интеграла.
Следующим шагом является имитация преобразования
Фурье. В простейшем случае можно предположить, что
(П.1.76) ? |4>т|<оо.
Поэтому функция
(П.1.77) Ф(г)=1*„2-«,
т
определенная для комплексного z, лежащего на единичном кру-
ге, является аналогом фурье-образа. Обратное преобразование
есть результат умножения (П.1.77) на z"~i и последующего ин-
тегрирования по единичной окружности:
Принимая во внимание (П.1.76) и то, что интегрирование непре-
рывной функции производится на ограниченном интервале, мож-
но, применяя теорему Фубини, поменять местами порядок инте-
грирования и суммирования. Использованием интегральной тео-
ремы Коши получим формулу, обратную к (П.1.77):
(П. 1.78) $n = ^
Теперь можно строить решение (П. 1.72), используя «преоб-
разование Фурье»:
(П.1.79а) $n(r)--i
где интегрирование производится вдоль единичной окружности и
(П. 1.79b) W{z) = ? Wmz~m.
т
Другое представление можно получить подстановкой

П. 1. Преобразование Фурье 421
так что (П.1.79а) принимает вид
2л
(П. 1.80) г|>„ (т) = -L J W (в) exp {inв + 2/т (cos 9 - 1)} dQ.
о
Строя решения уравнений (П. 1.72), мы считали п. дискрет-
ной переменной, принимающей только целые значения. Однако
решения определены для любого вещественного п хотя, быть мо-
жет, случай целых значений п более интересен. Это небольшое
изменение точки зрения позволяет вычислить (П. 1.80) при т-»-
-*¦ °о обычными асимптотическими методами. Предположим, что
отношение я/т является произвольной фиксированной постоян-
ной, а т велико. Фаза подынтегральной функции (П. 1.80) равна
тФ(б; ^-) = [^0
и стационарные точки определяются из
Формула (П.1.81) определяет групповую скорость, соответст-
вующую дисперсионному соотношению (П. 1.75). Важно заме-
тить, что групповая скорость (П. 1.72) ограничена. Это свиде-
тельствует о качественном различии между (П.1.72) и (П.1.23).
В задаче (П. 1.23) групповая скорость определяется формулой
(П. 1.36) и сколько угодно большим волновым числам соответ-
ствуют сколько угодно большие скорости. Пространственная дис-
кретизация в (П.1.72) приводит к ограничению максимального
волнового числа, что в свою очередь ограничивает групповую
скорость, как видно из формулы (П.1.81).
В стационарных точках вторая производная
за исключением точек в = я/2 и Зя/2, в которых п/х = +2 и
—2 соответственно, не равна нулю. Третья производная ф'"(Э)
в таких особых точках не равна нулю. Эта информация позво-
ляет определить асимптотическое поведение решения при х-*- со.
Приведем сводку основных результатов.
(i) Если \п\ <С 2т, то решение осциллирует с амплитудой,
убывающей как х~1/2. Поведение решения (П.1.72) в этой обла-
сти качественно совпадает с (П. 1.23).
(и) При \п\ > 2т интеграл не имеет стационарных точек,
поэтому решение убывает быстрее, чем т~'. Если начальные ус-
ловия имеют компактный носитель, то скорость убывания в этой
области будет экспоненциальной. Как мы обсуждали, эта отно-
сительно спокойная область своим существованием обязана то-

422 Приложение. Линейные задачи
му, что из решения (П. 1.72) исключаются очень большие волно-
вые числа (по х).
(iii) Вблизи п = ±2я существует волновой фронт, не имею-
щий аналога в непрерывной задаче. Вблизи волнового фронта,
который при т -*• оо становится главной отличительной чертой
решения, убывание происходит по закону т~1/3.
В свете качественного характера различия между асимптоти-
ческими решениями (П. 1.23) и (П. 1.72) интересно было бы по-
нять, в каком смысле они аппроксимируют друг друга. Начнем
с рассмотрения (П.1.23) при —оо < х < оо. Равноудаленные
точки на оси х представим в виде
хп = nh,
где h — некоторая постоянная h <C 1. Тогда
(П.1.82)
и (П.1.23) принимает вид
01.1.83) -i4r^=
Это уравнение аппроксимируется уравнением (П. 1.72) до тех
пор, пока не станет заметным совокупный эффект от слагаемых,
которыми мы пренебрегли для того, чтобы получить (П. 1.83).
Основываясь на (П.1.83), можно оценить время, за которое на-
рушается аппроксимация (П.1.23) моделью (П.1.72), формулой
Таким образом, (П.1.72) аппроксимирует (П.1.23) только в тече-
ние ограниченного времени. Поэтому разница в асимптотиче-
ском поведении при (t-*-oo) не является столь неожиданной.
Существует два предельных перехода, t->-oo и А-»-0, которые
не коммутируют во всем пространстве п.
И все-таки стоит задать вопрос, в каких случаях в решении
(П. 1.72) появляется волновой фронт. Для того чтобы (П. 1.83)
привести в соответствие с (П. 1.72), положим
r = t/h2
и пренебрежем членами более высокого порядка. Волновой
фронт возникает при
п == ± 2т,
т. е. при
xjh = ± 2t/h2, или хп = ± 2//А.

П. 2. Неадекватность метода Фурье 423
Сравнивая полученный результат с (П. 1.36), находим, что эта
траектория соответствует волновому числу
(П. 1.84) k=l/h.
Существуют две возможности.
(i) Начальные данные для (П.1.23) не содержат никакой ин-
формации о таких больших волновых числах. В этом случае ме-
жду решениями (П.1.23) и (П.1.72) нет существенных различий,
потому что там, где амплитуда обращается в нуль, имеет место
медленно затухающий волновой фронт.
(И) Начальные условия для (П. 1.23) содержат существен-
ную информацию об этих (и последующих) волновых числах.
В этом случае (П.1.82) является плохой аппроксимацией, отбро-
шенные члены относительно быстро становятся важными, и
асимптотическая формула становится справедливой после того,
как (П.1.72) перестает аппроксимировать (П. 1.23).
В этой задаче мы непосредственно столкнулись с аппрокси-
мацией, которая имеет силу в течение ограниченного времени.
Трудности такого сорта возникали также в гл. 4, где обсужда-
лись физические приложения эволюционных уравнений.
На этом завершается описание «метода преобразования»
Фурье применительно к линейным эволюционным уравнениям
с постоянными коэффициентами. Преимущества метода заклю-
чаются в его простоте и в том, что качественное поведение реше-
ния на достаточно больших временах определяется непосред-
ственно из дисперсионного соотношения. Недостаток состоит в
том, что он не является в такой же степени общим, как некото-
рые другие методы, скажем преобразование Фурье — Лапласа.
Однако в задачах, где этот метод не приводит к успеху, неудача
возникает как следствие двух следующих причин (или их ком-
бинации):
(i) дисперсионное соотношение отсутствует;
(и) набор фурье-мод не является полным.
В следующем разделе мы рассмотрим некоторые задачи, в
которых метод Фурье не применим. Смешение фаз, алгебраиче-
ски растущие моды и затухание Ландау являются общими осо-
бенностями этих задач, а линейный предел задачи о самоинду-
цированной прозрачности (СИП)—один из таких примеров.
Однако, за исключением этой задачи, материал разд. П.2 не
имеет прямого отношения к СИП или к задачам, решаемым та-
ким образом.
П.2. Неадекватность метода преобразования Фурье. Рассмо-
трим некоторые задачи, в которых метод Фурье не приводит к
успеху. Часто бросается в глаза, что при этом нет дисперсион-
ного соотношения, и для каждого фиксированного со допустим

424 Приложение. Линейные задачи
непрерывный ряд значений k. В противоположность задачам,
для которых дисперсионное соотношение существует, в этих за-
дачах возможно экспоненциальное затухание решения (во вре-
мени), даже если со вещественно для вещественного k. Примером
такого затухания в физике плазмы является эффект «затухания
Ландау».
Пример 1: Модель одномерной кинетической теории
оо
= -a \u(x)g(x, t)dx,
g(x, ^)->0 при x-> —оо
U (х), /@), g(x, 0) = G(x) заданы и вещественны,
U(x), G(x)e=L2.
Эта задача была предложена Раманатаном и Сандри A969)
[426] как простая модель для проверки обоснованности гипо-
тез, на которых основана кинетическая теория газов. В этой си-
туации / соответствует отклонению от равновесия одночастич-
ной функции распределения, a g — отклонению от равновесия
двухчастичной корреляционной функции, v и a — положитель-
ные постоянные, причем a <С 1. Интегральные модели записаны
для случая взаимодействия двух тел; взаимодействием трех и
более тел пренебрегается. Модель (П.2.1) будет детально про-
анализирована, потому что она служит прототипом множества
линейных задач, которые не имеют дисперсионных соотношений.
Для (П.2.1) легко находится не зависящий от времени инте-
грал энергии
(П.2.2) 4t
хотя для g задается только одно граничное условие (при х-*-
-»—оо). Однако если U(x) и G(x) имеют компактный носитель,
то можно показать, что в любой момент времени g(x, t) имеет
компактный носитель. Следовательно, правая часть (П.2.2) об-
ращается в нуль.
Для завершения обсуждения мы предположим, что U(x) и
G(x) достаточно быстро стремятся к 0, так что в любой момент
времени правая часть ^П.2.2) обращается в нуль. Следователь-
но, getjB любой момент времени, и (П.2.1) имеет единствен-
ное решение.
Таким образом, (П.2.1) имеет интеграл энергии, не завися-
щий от времени, но это не исключает экспоненциального затуха-

П. 2. Неадекватность метода Фурье 425
ния / к нулю при ^-*-оо, что обеспечивает соответствующий
рост g.
Действительно, если U(x) симметрична и G(x) антисимме-
трична по х, то задача (П.2.1) строго обратима во времени, т. е.
инвариантна относительно преобразования
(П.2.3) /->-/, х-+ — х, g-*-g.
Даже при этом условии f может убывать при ?->-оо; обрати-
мость во времени означает только то, что она также убывает
при t-*-—оо. (Такое поведение коренным образом отличается от
решений уравнения теплопроводности, которые также экспонен-
циально затухает, но необратимо во времени.) .
Покажем, что метод преобразования Фурье неприменим к
(П.2.1), потому что задача не имеет дисперсионного соотноше-
ния. Применяя обычный анзатц, следует проявлять некоторую
осторожность. Это обусловлено наличием в уравнении инте-
гральных членов. Используя тот факт, что g и U принадлежат
L2, применим преобразование Фурье (по х) и получим
(П.2.4а) 4" f® = ~ "ИГ S U (~ k)g {k' f) dk>
(П.2.4Ь) -br&(k,t) + ikvg (k, t) = U (k) f (t).
Затем предположим, что для каждой моды
, со) е~ш.
Более точно,
(П.2.5) /@=5?Ие~ш<*®> g(k, t)=\g(k, со)е~
где f и g для того, чтобы интеграл был определен, следует пони-
мать как обобщенные функции (см., например, [329]). Тогда
(П.2.4) принимает вид
(П.2.6а) - to] (®) = --?\O(-k)§ (k, со) dk,
(П.2.6Ь) (- /со + ikv) g (k, ta) = U (k) f (со).
Если исключить J из (П.2.6), умножить полученное уравнение на
g, использовать вещественность U(x) и проинтегрировать по
всем вещественным k, то в результате получим формулу
(П.2.7) -c

426 Приложение. Линейные задачи
Это — квадратичное уравнение с вещественными коэффициен-
тами относительно со. Его дискриминант положителен, следова-
тельно, (П.2.7) имеет два вещественных корня. Таким образом,
если g вещественно, то со должна быть вещественной, что согла-
суется с существованием интеграла энергии (П.2.2). Однако из
(П.2.7) не следует ни существования дисперсионного соотноше-
ния, ни его отсутствия, потому что g осталась неопределенной.
Решим (П.2.6Ь) относительно g. Общее решение (формаль-
ное) (см. [329]) имеет вид
(П.2.8) g (k, со) = fffZff + 1С (со) 6(kv- со).
В первом слагаемом мы берем только главную часть сингуляр-
ной функции, во втором слагаемом б — это дельта-функция Ди-
рака, С (со) произвольна. Особыми случаями являются С1 (со) =
= ±я??((й/о)/(со); они соответствуют контурам, обходящим син-
гулярность на комплексной плоскости со сверху или снизу.
Подставляя (П.2.8) в (П.2.6а), получим
Но это выражение лишь устанавливает зависимость С1 (со) от
/(со); оно не определяет со (/г). Это — важное различие между
(П.2.1) и задачей, обсужденной в предыдущем разделе: для лю-
бого фиксированного k в (П.2.1) допустимы все вещественные со
и не существует дисперсионного соотношения. (Это отличие яс-
но сформулировал ван Кампен [489] для линеаризованного ура-
внения Власова.)
Читателю может показаться неожиданным появление обоб-
щенных функций. В действительности они все время подразуме-
вались, однако не было необходимости их рассматривать. Чтобы
увидеть это, рассмотрим некоторую разновидность задачи (П.2.1),
у которой есть дисперсионное соотношение:
\ = -ag(O,t),
(П.2.10) J
Поступая как выше, из (П.2.10) получаем
(П.2.11а) - mf (со) = - ag @, со),
(П.2.1 lb) / (kv - со) g (k, со) = U (k) f (со).
Из уравнения (П.2.1 lb) следует (П.2.8) при k = О,

П. 2. Неадекватность метода Фурье 427
Однако, подставив это выражение в (П.2.11аУ и умножив на. м,
получим
(П.2.12) [ю2 - аО @)] f (со) = 0.
Так как f (со) произвольна, то (П.2.12) определяет со2. Таким об-
разом, в этой задаче также появляются обобщенные функции,
но у нее есть вполне определенное дисперсионное соотношение.
На данном этапе мы показали неприменимость метода преобра-
зований Фурье, если нет дисперсионного соотношения. Преобра-
зования же Фурье — Лапласа представляют другой подход, ко-
торый часто приводит к успеху в тех случаях, когда метод пре-
образования Фурье неприменим. Далее используем преобразова-
ния Фурье — Лапласа для того, чтобы решить (П.2.1).
Решим (П.2.4Ь) относительно @(k, t) в зависимости от f(t),
а затем проделаем обратное преобразование Фурье. Получим
(П.2.13) g(x, l)=
Затем преобразуем (П.2.1) к единственному уравнению относи-
тельно
t оо
(П.2.14) -|?- = - a J / (т) К (о (/ — т)) dx — а J U {x) G (х — vt) dx,
0 —оо
где
ОО 00
(П.2.15) К(у)= \u(x-y)U(x)dx = ±: \\0{k)felk«dk.
— оо —оо
(Так как К (у) —четная функция, знак в последующем рассмо-
трении может быть произвольным. Конечный результат не будет
зависеть от его выбора, поэтому, зафиксировав знак один раз,
следует последовательно придерживаться этого выбора.)
Ограничим рассмотрение случаями, в которых G(*)= 0 (при
t = 0 нет парных корреляций частиц). Тогда (П.2.15) сводится к
(П.2.16) ^-^-
Для специального семейства потенциалов (П.2.16) можно ре-
шить в замкнутой форме (см. упр. 1). Нас интересуют общие
свойства, которые не требуют специальных предположений отно-
сительно U(x). Преобразование Лапласа (П.2.16) после замены
порядка интегрирования дает формулу

428 Приложение. Линейные задачи
Обратное преобразование приводит к формальному решению
уравнения (П.2.16)
(П.2.17) f(t) =
где контур Бромвича С параллелен мнимой оси и расположен
справа от всех сингулярностей. Эти сингулярности являются ре-
шениями уравнения
0
а
(П.2.18) P+l
Оценивая (П.2.17), видим, как появляется затухание Ландау.
Нетрудно показать, что решения (П.2.18) являются чисто мни-
мыми. Если мы положим р = по, то это эквивалентно тому, что
к-п/юскость
а) Исходный контур б) Эквивалентный контур 8) Эквивалентный контур
Re(/>)>0 Re(/»>0 Re(p)=O
Рис. П.4. Контуры интегрирования в (П.2.18).
ш должна быть вещественна для вещественного k, как мы уста-
новили ранее в (П.2.7). Однако необходима некоторая осторож-
ность при перемещении контура Бромвича через мнимую ось
р-плоскости. (Эта дополнительная предосторожность и выявила
различие между подходами Власова A945) [490] и Ландау
A946) [315] к уравнению Власова для бесстолкновительной
плазмы.) Если Re(p) > 0, то интеграл по k в (П.2.18) берется
вдоль контура, который обходит сингулярность k = ip/v снизу,
как показано на рис. П.4а.
Согласно теореме Коши, интеграл по k не изменяется, если
его контур деформируется, как показано на рис. П.46.
Пусть в соответствии с рис. П.4в Re(p)->0; в этом случае
контур по-прежнему будет обходить сингулярность снизу. Но
при этом R не обязательно должно быть вещественным чис-
лом, © также может быть комплексной. Следовательно, (П.2.18)
принимает вид (при р = ico)
Afgg&'»+ °"»а/°"' "¦
где
= Hm Г Г JtML dx + \ -*«. dx]
I ao S J
(П.2.20)
е

П. 2. Неадекватность метода Фурье 429
есть интеграл в смысле главного значения. Решая (П.2.19) и со-
храняя только члены порядка О (а), получаем приближенное ре-
шение:
со = со, + «»*,
(П.2.21) <Oi = -^\
щ = о (а).
Наконец, мы, подставляя это обратно в (П.2.17), определяем
характерное поведение f при t->oo:
(П.2.22а) f(t) ~ f @) ехр{-^ (J UdxJt}.
Эта формула также может быть записана в виде
(П.2.22Ь) / @ ~ f @) ехр 1 - -?- J
что соответствует формуле Боголюбова [71], описывающей
стремление к равновесию неравновесного распределения частиц.
Из (П.2.22) следует, что существуют две возможности. Если
W dx = 0, то в низшем порядке по а нет ни убывания, ни роста
f(t). Для исследования асимптотического поведения решения
(П.2.1) требуется более точное решение (П.2.19), чем то, кото-
рое дается формулами (П.2.21). В главном порядке по a f так
же, как и \ g2 dx, при / ->- со является постоянной.
Если \Udx=it=0, то /экспоненциально стремится к нулю при
t-*-oo или (/->—оо). Можно задать вопрос, насколько право-
мерно называть этот эффект «затуханием», но дело в том, что
нуль является единственной устойчивой точкой функции /.
Задавая f(t) (приближенно) из (П.2.13), можно найти g(x,
t) (приближенно) при больших временах, если \ Udx=?0:
(П.2.23) g (х, 0 ~ / @) J U (х - vt + от) е-*«° dx ==
U[n)(x-vt)(vto)n,
rt—0
где

430 Приложение. Линейные задачи
Таким образом, g(x, t) стремится принять вид уединенной
волны, не меняющей свою форму, которая движется со ско-
ростью v и для которой справедлива формула а\ g2dx = f2 @).
Форма волны зависит от U(x).
В заключение, если
(П.2.24) G(*) = 0, U (х) = U (— х),
то (П.2.1) допускает обратимость по времени и обладает не за-
висящим от времени интегралом энергии. Однако в данном слу-
чае дисперсионного соотношения не существует, и при t -> со
(или t-*-—оо) энергия с экспоненциальной скоростью перерас-
пределяется от f2 к \ g2 dx. Единственной устойчивой конфигура-
цией системы является f = 0, где g имеет вид уединенной волны
неизменной формы.
Пример 2. Самоиндуцированная прозрачность (СИП) (ли-
нейное приближение).
Явление самоиндуцированной прозрачности подробно обсуж-
дается в гл. 4. Уравнения имеют вид
(П.2.25) iVT = — -^(е'А + еЯ*) К х>0, -оо<т<оо.
Здесь г(х, т) — (комплексная) огибающая электрического поля,
К(х, х, а)— комплексная индуцированная поляризация, JV(*, т, а)—
(вещественная) нормированная инверсная заселенность и
оо
(П.2.26а) (X) = ^ g (а) К (х, т, a) da,
— оо
где g(a) —неоднородное уширение спектральной линии. Пред-
положим, что g — вещественная неотрицательная функция, нор-
мированная следующим образом:
(П.2.26Ь)
Обычные лабораторные эксперименты проводятся так, как
если бы решалась задача с начальными значениями для х; х —
= 0 есть та точка, где электромагнитная волна впервые входит
в резонансную среду. Соответствующие начальные и граничные
условия для (П.2.25) имеют вид
к-*0, N~+—1 при х—>—оо для всех х > 0,
= 0, т) задана, \|е@, T)|d/
<oo.

П. 2. Неадекватность метода Фурье 431
В этой задаче важно помнить, что х и т поменялись ролями:
х — временная переменная, т — пространственная.
Нелинейная задача (П.2.25) для каждого х имеет не завися-
щий от времени интеграл энергии
Из граничных условий (т->—оо) следует, что для всех (х,х,а)
(П.2.28) ЯГ + #2=1.
Если электрическое поле в точке х = 0 слабо, то приближенное
решение может быть получено линеаризацией (П.2.25) около его
невозмущенного состояния при т = —оо.
Таким образом, для б <С 1
е (х, t) ~ ЬЕ {х, т; б) + • • • .
(П.2.29) X {х, t, а) ~ 6Л (*, т, а; б) + ... ,
N(x, t, а) l+6Nw(x, т, а;б)+... ,
и линеаризованные уравнения имеют вид
= — Е, —оо<т<оо, х>0,
(П.2.30) f'f
Л, ?->0 при т-> — оо,
?@, т) задана ?@, т)->0 при т-> —оо.
Заметим, что линеаризованные уравнения содержат меньше
неизвестных, чем исходная задача, и что после линеаризации не
зависящего от времени интеграла движения больше не сущест-
вует. Используя анзатц
(Л, Е) - (Л, Е) е1кх~ш,
преобразуем (П. 2.30) к виду
(П.2.31,
Из этих уравнений следует, что
(П.2.32) 2k <<х| К |2) + Ь)<| I \) = |
Для фиксированного вещественного со (напомним, что х и т по-
менялись ролями) (П.2.32) является линейным уравнением на k
с вещественными коэффициентами. Таким образом, k должно

432 Приложение. Линейные задачи
быть вещественным, если вещественна со, но получить из (П.2.32)
дисперсионного соотношения нельзя, так как А, пока неизвестно.
Как и прежде, можно решить (П.2.31) относительно Л:
(П.2.33) А = 2J1 ffl - iC (k, со) 6 Ba — со),
где первое слагаемое справа понимается в смысле главного зна-
чения, C(k, со)—произвольная величина. Поэтому
(П.2.34) (Л) = Ш(-^Ъг) + ТС {k' а)ё ("Г) = [кЪ¦
Это уравнение определяет C(k, со) через Е; на (k, со) никаких
ограничений не налагается. Таким образом, (П.2.30) не имеет
дисперсионного соотношения, и мы должны решать эти уравне-
ния другими средствами.
Анализ линеаризованных уравнений несколько упрощается,
если предположить, что
(П.2.35) ?@, т) = 0, т<0,
т. е. падающее электрическое поле «выключено» до момента
t = 0. Непосредственно проверяется, что как Л, так и Е обра-
щаются в нуль при всех х > 0, т < 0. Это позволяет наложить
граничное условие при т = —оо взамен т = 0.
Удобно исключить Л из (П.2.30):
(П.2.36)
т
А(х, т, оо) == — С Е {х, т) ехр {2щ (Т — т)} dT,
о
Т
<Л>= J Agda= - J E(x, T) J g(a)exp{2ia(T-r)}dadT.
о
Изменение порядка интегрирования для конечного т и ограни-
ченного Е объясняется тем, что g e L\. Определим
(П.2.37) G(m)=^g (a) е~2{ат da.
что является преобразованием Фурье функции g. Следователь-
но, (П.2.30) сводится к
т
(П.2.38) Ех (х, х) = - ^Е (х, T)G(x — Т) dT, х > 0, т > 0,
о
Поучительно исследовать следующий тип неоднородного уши-
рения:
(П.2.39) S^) = i^r, a>0.

П. 2. Неадекватность метода Фурье 433
В пределе а-*-0 g принимает вид дельта-функции, и можно го-
ворить, что уширения нет. Для произвольного а (П.2.38) прини-
мает вид
(П.2.40) Ехх= — Е—2аЕх, х>0, т > 0.
Это уравнение имеет дисперсионное соотношение
<ak = — 1 — 2iak,
или
/т-1 i) д1\ у— (о .2га
Таким образом, (П.2.30) не имеет дисперсионного соотношения,
но оно возникает, если мы исключим Л и перейдем к уравнению
(П.2.40)! Величина Im(fe) > 0 для любого а > 0; таким обра-
зом, (П.2.40) устойчиво; каждая фурье-мода убывает (по х) к
нулю экспоненциально. В пределе а->0 (П.2.40) принимает вид
уравнения Клейна — Гордона (П.1.26) без затухания. Даже для
а > 0 (П.2.40) является по-прежнему гиперболическим, и раз-
рывы будут распространяться вдоль характеристик. Затухание
слишком мало для того, чтобы сгладить разрывы.
Точным решением (П.2.40) является
(П.2.42) ?(х,т) = {«^оBл^)при т>0, х > 0,
I 9 при т<0, х>0,
где Jo (г)—функция Бесселя нулевого порядка. Это решение
скачком вырастает до Е@, т) в момент времени т = 0 и затем
медленно убывает по экспоненте. Разрыв в точке распростра-
няется по всей оси т = 0. Во всех других направлениях решение
убывает при я-»-оо или при т->-0. Индуцированная поляриза-
ция Л ведет себя намного сложнее. Из (П.2.36) следует, что при
любом фиксированном х, Л возникает в результате совокупного
воздействия Е. Возникнув однажды, поляризация остается нену-
левой при т-*-оо, даже если поле исчезло. Таким образом, при
т->- со Е стремится к нулю, а Л не имеет предельного значения.
Совершенно различное поведение различных компонент решения
является общей чертой задач, не имеющих дисперсионного соот-
ношения.
Вернемся к общему случаю (П.2.38). Оказывается, что после
исключения Л из уравнений поляризации (П.2.38) имеет дис-
персионное соотношение для любого уширения g(a). Чтобы уви-
деть это, воспользуемся преобразованием Лапласа по т:
(П.2.43) Ех (х, р) = -Е (х, р) G (р),

434 Приложение. Линейные задачи
где 0(р)—аналитическая функция для Re(p)> 0, имеющая точ-
ное представление в виде
Заметим, что для Re(p) > 0 контур интегрирования проходит
ниже точки сингулярности а = ip/2. Решая (П.2.43) и совер-
шая обратное преобразование, получаем
(П.2.44а) Е (х, т) = -^- J Е (О, р) ехр {рх - G (p) x) dp,
с
где С обозначает контур Бромвича. Функция Е(О,р) не может
иметь еингулярностей для Re(p) > 0, потому что Е@, т) стре-
мится к нулю при т->оо. Таким образом, контур в (П.2.44а)
можно сдвинуть к мнимой оси и положить р = ко, если мы од-
новременно деформируем контур интегрирования по ос так, что-
бы он оставался под сингулярностью. В результате получаем
оо
(П.2.44Ь) Е(х, т) = -j^ [Ё@, — ia>) ехр {— /сот — G {— /со) х) da>.
— оо
Соответствующее дисперсионное соотношение имеет вид
(П.2.45) k (со) = Ю{- /со) = \ 28а{«\ da,
и
где контур U обходит сингулярность снизу. В частности,
(П.2.46) fa, (?) = .*.
(i) Ввиду того что g(a) неотрицательна, не существует не-
устойчивых мод.
(и) Если g(a) > 0, как в случае (П.2.39), то все моды зату-
хают. При этом \ \E\2dx->~Q, когда х-»-оо; Е(х, т) также мо-
жет затухать поточечно, при д;-*-оо, однако, как это было в
(П.2.42), такое затухание имеет место не всегда.
(iii) Если g(a) ^0, некоторые моды затухают, остальные
являются нейтральными. Асимптотическое поведение Е (я-»-оо)
определяется незатухающими диспергирующими модами.
Это завершает обсуждение линеаризованных уравнений са-
моиндуцированной прозрачности. В гл. 4 мы видели, что в не-
линейной задаче часть решения, соответствующая непрерывному
спектру, ведет себя качественно как линеаризованное решение.
Поведение солитона, конечно, от него отличается.

Упражнения 435
В физике существует ряд других линейных задач, не имею-
щих дисперсионного соотношения. Две из них обсуждаются в
упр. 2 и 5. Как упоминалось ранее, даже если в линейной за-
даче есть дисперсионное соотношение, но набор мод не является
полным, то метод Фурье обречен на неудачу. Здесь этот вопрос
обсуждаться не будет. Однако такой пример приводится в
упр. 6 и 7.
Упражнения
Раздел П.1
1. (а) Методом преобразования Фурье найти решение урав-
нения Шрёдингера (П. 1.23—25) (пример 1) с начальным усло-
вием
а» \х\<-^-,
О, |*1>-зг.
т. е. известно, что в начальный момент частица находится вну-
три интервала шириной 21а2.
(b) Покажите, что после разворота колтура можно диффе-
ренцировать под знаком интеграла.
(c) Указать область, в которой частица находится с подав-
ляющей вероятностью при t -*¦ оо.
2. Решите это же уравнение с начальным условием
При f-»-oo вычислите интеграл Фурье методом перевала. Пока-
жите, что в дополнение к (П. 1.39) может возникнуть вклад, свя-
занный с одним из полюсов функции 4*(k) и зависящий от x/t.
Как этот дополнительный вклад отражается на асимптотическом
поведении функции ф? Какова вероятностная интерпретация
этого вклада?
3. Решите уравнение теплопроводности:
Tt = xTxx, х>0, />0, %>0,
Г = 0 при х = 0,
Г->0 при jc-*oo,
Т(х,
Г 1, x<L,
10, х > L.
При t > 0 в точке максимума (по х) температуры имеем Тх =
= 0. Найдите приближенную формулу, описывающую располо-
жение этого максимума x(t) при /-¦оо. С какого момента эта
формула применима? Остается ли x(t) внутри интервала [0, L]?

436 Приложение. Линейные задачи
Почему нет? Как зависит от времени величина максимума тем-
пературы (при ^->оо)? Сравните полученные результаты с ре-
шением аналогичной задачи на бесконечном интервале. Является
ли движение x(t) волной?
4. Покажите, что решение уравнения
щ + сих + аиххх = О, —с» < х < оо, / > О,
связано с решением уравнения (П.1.49) преобразованием Гали-
лея.
5. Дифференциальное уравнение первого порядка
Щ + сих = 0
можно приблизить конечно-разностным уравнением
" а, " + in К++.' - «Si1] + ~h К+1 - С-,] = о-
(а) Умножив конечно-разностное уравнение на (и™+1 + и™),
просуммируйте по и. Покажите, что
Это «интеграл энергии» конечно-разностного уравнения. Какой
интеграл энергии имеет дифференциальное уравнение?
(b) Какое дисперсионное соотношение имеют дифференциаль-
ное уравнение и конечно-разностная схема?
(c) Эта аппроксимация не дает численной диффузии (т. е.
|Q| = 1), но приводит к фазовым ошибкам. Разложив каждый
член разностного уравнения в ряд Тейлора (т. е. а™+1 = и™ +
ди т
+ "з^~ А+...) вблизи «™+1/2, покажите, что решение этого
конечно-разностного уравнения гораздо лучше аппроксимирует
решение уравнения из упр. 4, чем исходного дифференциального
уравнения первого порядка (упр. 5). Выразите а из упр. 4 через
(h, At, с). При заданных начальных данных определите время,
по истечейии которого решения этих двух уравнений становятся
существенно различными (при этом вам потребуется определить,
что такое «существенное различие»). Дальнейшее обсуждение
фазовых ошибок и библиографию по этому вопросу можно найти
в работе [412].
6. (а) Найдите интеграл энергии уравнения
utt = с ихх — е ихххк, —°о <. х < оо, ; > и.
(b) Покажите, что решение этого уравнения методом Фурье
при подходящих начальных данных расщепляется на две волны:
волну, бегущую влево, и волну, бегущую вправо.
(c) Покажите, что при малых е каждую из них можно опи-
сать уравнением из упр. 4, т. е. формулой типа (П. 1.49). Что

Упражнения 437
нужно потребовать, чтобы е было мало? (Отметим, что на по-
следний вопрос можно ответить многими способами, но всегда
приходится учитывать начальные условия.) Найдите области
применимости (по х, t) этого приближенного решения. Восста-
новите решения задачи из п. (а) по этим двум приближенным
решениям. Дайте качественное обсуждение того, как изменится
решение, если начальные условия содержат достаточно коротко-
волновые колебания.
7. (а). Линеаризованное уравнение Буссинеска имеет вид
ии = с2ихх + е?ихххх, —оо < х < оо, / > 0.
Покажите, что эта задача некорректна. Как это* проявляется при
попытке найти интеграл энергии? Дисперсионное соотношение
линеаризованного уравнения, описывающего волны на поверхно-
сти воды, имеет вид
со2 = gk th kh.
Покажите, что это дисперсионное соотношение отвечает коррект-
но поставленной задаче, а некорректность указанной выше за-
дачи появляется вследствие ограничения первыми двумя чле-
нами разложения функции thkh при малых k. Покажите, что
приближение
и« = <?ихх + (-§-) "ttxx
является столь же точным при малых k, но корректным. Имеет
ли оно интеграл энергии?
(Ь) Уравнение
иуу = с2ихх + е2ихххх
является линеаризацией стационарного уравнения Кадомцева —
Петвиашвили (см. разд. 2.1). Предположим, что функция и(х, у)
периодична по х с периодом L ¦< 2яе/с. Покажите, что при фик-
сированных граничных условиях и(х, 0) и и(х, Y), Уф 0, эта за-
дача поставлена корректно.
8. (а) Покажите, что при изменении знака в уравнении
(П.1.60)
итт ихх = и
интеграл энергии по-прежнему сохраняется, но перестает быть
положительно определенным. Покажите, что задача с началь-
ными условиями для этого уравнения неустойчива. Каков мак-
симум инкремента неустойчивости?

438 Приложение, Линейные задачи
(Ь) Покажите, что
Г ,-1_ /, (<s/W=T2), т2 > х2,
и{Х'Т)-\0, Г<Р
является точным автомодельным решением уравнения (П. 1.60).
Какому начальному условию отвечает это решение? Конечен ли
для него интеграл энергии?
9. Решите уравнение (П.1.72) с начальными условиями из
упр. 1. Вычислите основной вклад в асимптотическое решение.
Где находится волновой фронт? Как отличаются два решения
за фронтом волны?
10. (а) Покажите, что интеграл энергии для уравнения
(П. 1.73) имеет вид
El ^m+ i |2 ___ у | л.т 12
(b) Найдите дисперсионное соотношение уравнения (П.1.73)\
Покажите, что
|2|=l=HQ|=l.
(c) Постройте решение при помощи преобразования Фурье
(аналогичное (П.1.80)). В каком смысле оно удовлетворяет ура-
внению?
(d) Покажите, что в этой задаче групповая скорость ограни-
чена, а фазовая нет. Найдите максимум групповой скорости.
(e) Найдите асимптотическое поведение решения при т-»-оо.
Сравните его с асимптотиками решений уравнений (П. 1.23),
(П.1.72).
({) Покажите, что если заменить (П. 1.73) на явную схему
то и фазовая и групповая скорости будут неограниченными.
11. Линеаризованная цепочка Тоды имеет вид
-rfP" фл V) = фл+1 + Фи-1 — 2Фп-
(a) Имеет ли эта система интеграл энергии?
(b) Найдите дисперсионное соотношение. Является ли ча-
стота со вещественной функцией при \z\ = 1?
(c) Методом преобразования Фурье постройте решение этой
системы.
(d) Как ведет себя это решение при больших временах?
Сравните ею с решением волнового уравнения utt — икк = 0.

Упражнения 439
Раздел П.2
1. (а) Пусть U(x) в (П.2.1) является вещественной. Пока-
жите, что:
(i) U(x)^0
(И) К(-у) =
(ш) \К{у)\<К@).
(Указание: воспользуйтесь преобразованием Фурье функции
(b) Вычислите К (у), если
?/(*) = Ле-«1*1, а>0.
Покажите, что если G(x) = 0, то уравнение (П.2.16) эквива-
лентно линейному обыкновенному дифференциальному уравне-
нию третьего порядка, причем все три корня характеристиче-
ского уравнения вещественны и отрицательны, если параметр а
достаточно мал.
Найдите приближенное решение для / и покажите, что асим-
птотическая скорость убывания при t -*- оо может быть получена
из формулы (П.2.22).
(c) Каков асимптотический вид функции g(x, t)? Локализо-
ванность функции g(x, t) означает, что частицы, находящиеся
на расстоянии, превышающем характерный размер функции g,
являются некоррелированными. Даже в случае пренебрежения
трехчастичным взаимодействием' это свойство модели весьма
важно для статистической механики [294].
(d) К каким следствиям приведет неравенство G(x) ФО в
задаче (П.2.1)?
2. Модель радиоактивного распада нестабильных частиц
Вайскопфа — Вигнера [502], ограниченная на случай одной про-
странственной переменной, имеет вид
f
= \u(x)*(x,t)dx, t>0,
1р->-0 при |je|->°o,
U(х) — заданная вещественная функция, U(x)^.L2(]Lu
%@), ip(jc, 0) заданы, ip(jc, 0).eL2.
С различных точек зрения она была проанализирована в рабо-
тах [503], [74]. Ее можно проанализировать точно так же, как
модель (П.2.1).

440 Приложение. Линейные задачи
(а) Покажите, что интеграл энергии для этой задачи имеет
вид
(b) Вычислив преобразование Фурье и исключив % (со), пока-
жите, что о подчиняется квадратному уравнению, коэффициенты
которого вещественны при вещественных k, и при этом его кор-
ни также вещественны (т. е. вещественные к =>¦ вещественные со).
(c) Покажите, что у этой задачи нет дисперсионного соотно-
шения.
(d) Выразите я]>(х, t) через %(t). Покажите, что в случае
$(х, 0) ез 0 функция %(t) удовлетворяет уравнению
где
(e) Решите это интегро-дифференциальное уравнение мето-
дом преобразования Лапласа. Покажите, что единственная осо-
бенность в обратном преобразовании возникает на мнимой оси.
(f) Вычислите асимптотическую скорость убывания функ-
ции %(t) при /->-оо. Существует ли потенциал U(x), для кото-
рого нет распада? Какое асимптотическое поведение имеет функ-
ция <k(x, tO
(g) Что происходит при t-*—оо?
3. Линеаризованное уравнение Бенджамина — Оно имеет вид
ди . д2 1 7 1 ,
(a) Найдите интеграл энергии.
(b) Покажите, что это интегро-дифференциальное уравнение
имеет следующее дисперсионное соотношение:
(с) Покажите, что более общее интегро-дифференциальное
уравнение
имеет дисперсионное соотношение [505, гл. 11].

Упражнения 441
(d) Покажите, что интегральный член в (П.2.10) имеет вид
свертки.
4. Опишите поведение поля Е в (П.2.42) при а > 0; при
а = 0. Что вы можете сказать о поведении Л?
5. Линеаризованное уравнение Власова для бесстолкнови-
тельной плазмы в одномерном случае имеет вид
Ех = — Dпе) \fdv, — оо < х, v < оо, / > 0,
/->0 при |л;|->оо.
(Все интегралы берутся от —®о до +°о.) Здесь {F(v) -\-f(x, v,
t)}—функция распределения электронов по скоростям, причем
|/| <С F. Функция F является неотрицательной, а / может
иметь оба знака. Число электронов в равновесии п = \ Fdv.
Функция E(x,t) обозначает среднее (возмущение) напряженно-
сти электромагнитного поля, а е и т обозначают заряд и массу
электрона.
(а) Линеаризованное уравнение имеет бесконечно много за-
конов сохранения. Покажите, что
(\fdv) -\-\\vfdv) =0 (сохранение возмущенного за-
VJ }t U '* ряда),
(\v2fdvj + (\о3/dv\ =0 (сохранение возмущенной ки-
' * нетической энергии),
0
гдее=\?'с?л;, а* = 4ппе2/т. (Бесконечный набор законов со-
хранения описан в работах Краскала и Обермана [299] и
Кэйса [92].)
Отметим, что ни один из этих законов сохранения не являет-
ся положительно определенным. Последнее уравнение означает,
что е осциллирует с плазменной частотой юр, т. е. е можно счи-
тать аналогом \ Tdx в уравнении теплопроводности.
(Ь) Найдите решения вида
j
dv
Покажите, что
(' \~l\
таким образом, и вещественна при вещественных k.

442 Приложение. Линейные задачи
(c) Покажите, что это уравнение не имеет дисперсионного
соотношения [489].
(d) Найдите преобразование Фурье — Лапласа для этой за-
дачи. Покажите, что самая правая сингулярность на комплекс-
ной плоскости р определяется решением уравнения
т J v ¦
и
i + со/й
при k > 0 и й = ip. Приближенное решение Ландау [315] этого
уравнения имеет вид о = ar -f ifi>,-, где
со,
6. (а) Используя ряды Фурье, найдите решения следующей
задачи:
<Pf + Сфд; = Цф^д;, 0 < X < L, t > О,
ф@,0=1. с<0, |А>0,
ф(л;, 0) задано и вещественно, причем \<tfdx< оо.
о
(Ь) В пределе L -*¦ оо перейдите к интегралу Фурье. По-
стройте пример, показывающий, что при t = 0 это «решение» не
может представить произвольную функцию из еЬг(О, оо). Пока-
жите, что интеграл Фурье представляет истинное решение, если
начальные данные удовлетворяют одновременно двум неравен-
ствам
оо оо
C||loUA2n)rf< \\?iclxl»dx< оо.
(с) Это пример, в котором набор мод, возникших при разде-
лении переменных, не является полным. Используя преобразо-
вание Лапласа, найдите общее решение этой задачи для на-
чальных данных, удовлетворяющих неравенствам
х < оо.
7. Задача об устойчивости двумерного невязкого плоского те-
чения Куэтта (впервые правильно рассмотренная Кэйсом [91])

Упражнения 443
является замечательным примером неполноты собственных мод,
полученных при разделении переменных. В этой задаче невозму-
щенное поле скорости имеет вид
Щ(х, у, () = у, 0< у< 1,
Вот уравнения, описывающие малые отклонения от этого состоя-
ния:
dt ' а дх ' дх
dt > у дх ~ ду '
дх + ду U
с граничными условиями
Найдите решение этой задачи в виде
Ф(дс, г/, О
где (ft, о) — постоянные. Приведите дифференциальное уравне-
ние к виду
Покажите, что это уравнение не имеет нетривиальных решений,
удовлетворяющих граничным условиям при у — 0 и у = 1. Та-
ким образом, этот набор нормальных мод является пустым и, ра-
зумеется, неполным. Кэйс назвал этот подход «беззаботным».
Он решил линеаризованную задачу, сделав преобразование
Фурье по х и преобразование Лапласа по /. Подробности заин-
тересованный читатель может найти в оригинальной работе [91].

Литература
1. М. J. Ablowitz A971), Applications of slowly varying nonlinear dispersive
wave theories, Stud. Appl. Math., 50, pp. 329—344.
2. — A972), Approximate methods for obtaining multi-phase modes in non-
linear dispersive wave problems, Stud. Appl. Math., 51, pp. 51—56.
3. — A978), Lectures on the inverse scattering transform, Stud. Appl. Math.,
58, pp. 17—94.
4. M. J. Ablowitz and D. J. Benney A970), The evolution of multiphase modes
for nonlinear dispersive waves, Stud. Appl. Math., 49, pp. 225—238.
5. M, J. Ablowitz and H. Airault A981), Perturbations finies et forme parti-
culiere de certaines solutions de l'equation de Korteweg-de Vries, Comptes
Rendus Acad. Sci. Paris, 292 A981), pp. 279—281.
6. M. J. Ablowitz and H. Cornille A979), On solutions of the Korteweg-de
Vries equation, Phys. Lett., 72A, pp. 277—280.
7. M. J. Ablowitz and R. Haberraan A975a), Nonlinear evolution equations —
two and three dimensions, Phys. Rev. Lett., 35, pp. 1185—1188.
8. — A975b), Resonantly coupled nonlinear evolution equations, J. Math.
Phys., 16, pp. 2301—2305.
9. M. J. Ablowitz, D. J. Kaup and A. C. Newell A974), Coherent pulse pro-
pagation, a dispersive, irreversible phenomenon, J. Math. Phys., 15,
pp. 1852—1858.
10. M. J. Ablowitz, D. J. Каир, А. С Newell and H. Segur A973a), Method
for solving the sine-Gordon equation, Phys. Rev. Lett., 30, pp. 1262—1264.
11. — A973b), Nonlinear evolution equations of physical significance, Phys.
Rev. Lett., 31, pp. 125—127.
12. — A974), The inverse scattering transform — Fourier analysis for non-
linear problems, Stud. Appl. Math., 53, pp. 249—315.
13. M. J. Ablowitz and Y. Kodama A979), Transverse instability of one-
dimensional transparent optical pulses in resonant media, Phys. Lett. 70A,
pp. 83—86.
14. — A980), A note on the asyraptotics of the Korteweg-de Vries equation
with solitons, Stud. Appl. Math.
15. M. J. Ablowitz, M. D Kruskal and J. F. Ladik A979), Solitary wave colli-
sions, SIAM, J. Appl. Math., 36, pp. 428—437.
16. M. J. Ablowitz, M, D. Kruskal and H. Segur A979), A note on Miura's
transformation, J. Math. Phys., 20, pp. 999—1003.
17. M. J. Ablowitz and J. Ladik A975), Nonlinear differential-difference equa-
tions, J. Math. Phys., 16, pp. 598—603,

Литература 445
18. — A976а), Nonlinear differential-difference equations and Fourier analy-
sis, J. Math. Phys., 17, pp. 1011—1018.
19. — A976b), A977), on the solution of a class of nonlinear partial differ-
ence equations, Stud. Appl. Math., 55, pp. 213ff., 57, pp. 1—12.
20. M. J. Ablowitz, and Y. C. Ma A981), The periodic cubic Schrodinger equa-
tion, Stud. Appl. Math.
21. M. J. Ablowitz and Y. С Newell A973), The decay of the continuous
spectrum for solutions of the Korteweg-de Vries equation, J. Math. Phys.,
pp. 1277—1284.
22. M. J. Ablowitz, A. Ramani and H. Segur A978), Nonlinear evolution equa-
tions of Painleve type, Lett. Nuovo Cim., 23, pp. 333—338.
23. — A980a, b), A connection between nonlinear evolution equations and
ordinary differential equations of p-type, I, II, J. Math. Phys., 21,
pp. 715—721, pp. 1006—1015.
24. M. J. Ablowitz and J. Satsuma A978), Solitons and rational solutions of
nonlinear evolution equations, J. Math. Phys., 19, pp. 2180—1286.
25. M. J. Ablowitz and H Segur A975), The inverse scattering trar
semi-infinite interval, J. Math. Phys., 16, pp. 1054—1056.
26. — A977a), Asymptotic solutions of the Korteweg-de Vries equatio
Appl. Math., 57, pp. 13—44.
27. — A977b), Exact linearization of a Painleve transcendent, Phys.
Lett, 38, pp. 1103—1106.
28. — A979), Oh the evolution of packets of water waves, J. Fluid Mech.,
92, pp. 691—715.
29. — A980), Long interval waves in fluids of great depth, Stud. Appl. Math.,
62, pp. 249—262
30. M. J. Ablowitz and A. Zeppetella A979), Explicit solutions of Fischer's
equation for a special wave speed, Bull. Math. Biol., 41, pp. 835—840.
31. M. Adler A979), On a trace functional for formal pseudo-differential
operators and the symplectic structure of the Korteweg-de Vries equation,
Inv. Math., 50, pp. 219—248.
32. M. Adler and J. Moser A978), On a class of polynomials connected with
the Korteweg-de Vries equation, Comm. Math. Phys., 61, pp. 1—30.
33. 3. С. Агранович, В. А. Марченко A960). Обратная задача теории рас-
сеяния. — Изд. Харьковского университета, Харьков.
34. М. Aikawa and M. Toda A979), private communication.
35. H. Airault A979), Rational solutions of Painleve equations, Stud. Appl.
Math., 61, pp. 33—54.
3G. H. Airault, H. P. McKean and J. Moser A977), Rational and elliptic solu-
tions of the KdV equation and related many-body problems, Comm. Pure
Appl. Math., 30, pp. 95—198.
37. G. B. Airy A845), Tides and waves, Encyclopedia Metropolitana, vol. 5,
London, pp. 241—396.
38. С. А. Ахманов, Р. В. Хохлов A964). Проблемы нелинейной оптики,
ВНИИТИ.
39. S. A. Akhmanov, R. V. Khokhlov and A. P. Sukhorukov A972), Self-fo-
cusing, self-defocusing and self-modulation of laser beams, in Laser Hand-

446 Литература
book, F. T. Arecchi and E. O. Schulz-Dubois, eds., North-Holland, Am-
sterdam.
40. C. J. Amick, J. F. Toland A979), Finite amplitude solitary water waves,
MRC Rep. 2012, Mathematics Research Center, Univ. of Wisconsin, Ma-
dison.
41. R. L. Anderson and N. J. Ibragimov A979), Lie-Backlund Transformations
in Applications, SIAM Studies 1, Society for Industrial and Applied Ma-
thematics, Philadelphia.
42. D. Anker and N. С Freeman A978), On the soliton solutions of the
Davey-Stewartson equation for long waves, Proc. Roy. Soc. London A,
360, pp. 529—540.
43. L. Armi A977), The dynamics of the bottom boundary layer of the deep
ocean, in Bottom Turbulence, J. С J. Nihoul, ed., Elsevier, Amsterdam.
44. В. И. Арнольд A974). Математические методы классической механики.—
М.: Наука.
45. V. I. Arnold and A. A. Avez A968), Ergodic Problems in Classical Mecha-
nics, W. A. Benjamin, New York.
46. A. V. Backlund A880), Zur Theorie der partiellen Differential gleichungen
erster Ordnung, Math. Ann., 17, pp. 285—328.
47. F. К Ball A964), Energy transfer between external and internal gravity
waves, J. Fluid Mech., 19, pp. 465—478.
48. E. Barouch, В. М. McCoy and Т. Т. Wu A973), Zero-field susceptibility of
the two-dimensional Ising Model Near Tc, Phys. Rev. Lett., 31, pp. 1409—
1411.
49. R. J. Baxter A972), Partition function of the eight vertex lattice model,
Ann. Phys., 70, pp. 193—229.
50. A. Beer A852), Bestimmung der Absorption des rothen Lichts in farbiger
Flussigkeigen, Ann. Physic. Chem., 26 ser. 3, pp. 78—88.
51. В. А. Белинский, В. Е. Захаров A978). Интегрирование уравнений Эйн-
штейна методом обратной задачи и вычисление точных солитонных ре-
шений. — ЖЭТФ, 75, № 6, с. 1953—1971.
52. Т. В. Benjamin A966), Internal waves of finite amplitude and permanent
form, J. Fluid Mech., 25, pp. 241—270.
53. — A967), Internal waves of permanent form in fluids of great depth,
J. Fluid Mech., 29, pp. 559—592.
54. T. B. Benjamin and J. F. Feir A967), The disintegration of wave trains
on deep water, J. Fluid Mech., 27, pp. 471—430.
55. D. J. Benney A966), Long nonlinear waves in fluid flows, J. Math. Phys,
(Stud, on Appl. Math.), 45, pp. 52—63.
56. — A973), Some properties of long waves, Stud. Appl. Math., 52, pp. 45—
69.
57. — A977), A general theory for interactions between short and long wa-
ves, Stud. Appl. Math., 56, pp. 81—94.
58. D. J. Benney and A. C. Newell A967), The propagation of nonlinear wave
envelopes, J. Math. Phys., (Stud. Appl. Math.), 46, pp. 133—139.
59. D. J. Benney and G. J. Roskes A969), Wave instabilities, Stud. Appl.
Math, 48; pp 377—385.

Литература 447
60. F. A. Berezin and A. M. Perelomov A980), Group theoretic interpretation
of the Korteweg-de Vries type equations, Comm. Math. Phys., 74, pp. 129—
140.
61. Ф. А. Березин, Г. П. Похил, Ф. М. Финкельберг A964). Уравнение Шрё-
дингера для одномерных систем частиц с точечным взаимодействием. —
Вестник МГУ, сер. 1, с. 21—28.
62. Н.. Bergknoff and H. В. Thacker A979), Structure and solution of the
massive Thirring model, Phys. Rev. D., 19, pp. 3666—3681.
63. H. A. Bethe A931), Zur Theorie der Metalle. I, Z. Physik., 71, pp. 205—
226.
64. L. Bianchi A902), Lezioni de Geometria Differenziale, vol. II, Pisa.
65. G. Birkhoff and G. С Rota A969), Ordinary Differential Equations,
Blaisdel!-Ginn, Walthara, MA.
66. M. Blazek A966), On a method for solving the inverse problem in poten-
tial scattering, Comm. Math. Phys., 3, pp. 282—291.
67. N. A. Bleistein and R. A. Handlesman A975), Asymptotic Expansions of
Integrals, Hols, Rinehart, Winston, New York.
68. T. L. Bock and M. K. Kruskal A979), A two-parameter Miura transfor-
mation of the Benjamin-Ono equation, Phys. Lett., 74A, pp. 173—176.
69. И. Л. Боголюбский, В. Г. Маханьков A976). О времени жизни пульси-
рующих солитонов в некоторых классических моделях. — Письма в
ЖЭТФ, 24, вып. 1, с. 15—19.
70. I. L. Bogolubsky, V. G. Makhankov and A. V. Shvachka A977), Dynamics
of the collisions of two space-dimensional pulsons in field theory, Phys.
Lett., A63, pp. 225—227.
71. N. N. Bogolyubov A962) Studies in Statistical Mechanics. North Holland,
Amsterdam.
72. M. Boiti and F. Pempinelli A979), Similarity solutions of the Korteweg-
de Vries equatoin, И Nuovo Cimento, 51B, pp. 70—78
73. — A980), Similarity solutions and Backlund transformations of the Bous-
sinesq equation, II Nuovo Cimento, 56B, ser. 11, pp. 148—156.
74. E. Boldt and G. Sandri A964), Theory of unstable particles, Phys. Rev. В.,
135, pp. SI086—В1088.
75. J. Boussinesq A871), Theorie de 1'intumescence liquid appelee onde soli-
taire ou de translation, se propagente dans un canal rectangulaire, Compte
Rendus Acad. Sci. Paris, 72, pp. 755—759.
76. — A872), Theorie des ondes et de remous qui se propagent..., J. Math.
Pures Appl., Ser. 2, 17, pp. 55—108.
77. F. P. Bretherton A964), Resonant interactions between waves: the case of
discrete oscillations, J. Fluid Mech.. 20. pp. 457—479.
78. R. K. Bullough and P. J. Caudrev A978), The double-sine-Gordon equation:
wobbling solitons? Rocky Mountain J. Math., 8, pp. 53—70.
79. — eds. A980), Solitons, Spnnger-Verlag, New York. [Имеется перевод:
Солитоны. Под ред С. П. Новикова. — М.: Мир, 1983.]
80. F. J. Bureau A972), Integration of some nonlinear systems of ordinary
differential equations, Ann. Matematica N 94, pp. 344—359.
81. J. M. Burgers A948), A mathematical model illustrating the theory of
turbulence, Adv. Appl Mech., 1, pp. 171—199.

448 Литература
82. Р. В. Burt A978), Exact, multiple soliton solutions of the double sine-
Gordon equation, Proc. Roy. Soc. London A, 359, 479—495.
83. P. F. Byrd and M. D. Friedman A971), Handbook oi Elliptic Integrals
for Scientists and Engineers. Springer-Verlag, New York.
84. R. A. Cairns A979), The role of negative energy waves in some instabili-
ties of parallel flows, J Fluid Mech., 92, pp. 1—14.
85. С G. Callan and D. J. Cross A975), Quantum perturbation theory of soli-
tons, Nucl. Phys. В., 93, pp. 29—55.
86. F. Calogero A971), Solution of the one-dimensional N-body problems with
quadratic and/or inversely quadratic pair potentials, J. Math. Phys., 12,
pp. 419—436.
87. — A976), Exactly solvable two-dimensional many-body problem, Lett., I!
Nuovo Cimento, 16, pp. 35—38.
88. — ed. A978a), Nonlinear Evolution Equations Solvable by the Spectral
Transform, Pitman, London.
89. — A978b), Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral
transform, in Mathematcal Problems in Theoretical physics, F. Calogero,
ed., Springer-Verlag, New York.
90. F. Calogero and A. Degasperis A976), A977), Nonlinear Evolution equa-
tions solvable by the inverse spectral transform, I, II, II Nuovo Cimento,
32B, pp. 201—242; 39B, pp. 1—54.
91. К. М. Case A960), Stability of inviscid plane Couette flow, Phys. Fluids,
3, pp. 143—148.
92. — A965), Constants of the linearized motion of Vlasov plasmas. Phys.
Fluids, 8, pp. 96—101.
93. — A973), On discrete inverse scattering problems II, J. Math. Phys., 14,
pp. 916—920.
94. — A978a), Some properties of internal waves, Phys. Fluids, 21, pp. 18—
29.
95. — A978b), The N-soliton of the Benjamin-Ono equation, Proc. Nat'l Acad.
Sci., 75, pp. 3562—3563.
96. — A979), Benjamin-Ono-related equations and their solutions, Proc. Nat'l.
Acad Sci., 76, pp. 1—3.
97. K. Case and M. Kac A973), A discrete version of the inverse scattering
problem, J Math. Phys., 14, pp. 594—603.
98. P. J. Caudrey, R. K. Dodd and J. D. Gibbon A976), A new hierarchy of
Korteweg-de Vries equations, Proc. Roy. Soc, London A, 351, pp. 407—
422.
99. P. J. Caudrey, J. D. Gibbon, J. С Eilbock and R. K. Bullough A973a),
Exact multisoliton solutions of the self-induced transparency and sine-Gor-
don equations, Phys. Rev. Lett., 30, pp. 237—238.
100. — A973b), Multiple soliton and bisoliton bound state solutions of the
sine-Gordon equation and related equations in non-linear optics, J. Phys.
A, 6, pp. LI 12—1115.
101. H. H. Chen A974), General derivatien of Backlund transformations from
inverse scattering problems, Phys Rev. Lett., 33, pp. 925—928.
102. — A976), Relation between Backlund transformations and inverse scatter-
ing problems, in Backlund Transformations, R. M. Miura ed., Lecture notes
in Mathematics 515, Springer-Verlag, New York.

Литература 449
103. Н. Н. Chen and Y. С. Lee A979), Internal-wave solitons of fluids with
finite depth., Phys. Rev. Lett., 43, pp. 264—266.
104. H. H. Chen, Y. С Lee and С S. Liu A979), Integrability of nonlinear Ha-
miltonian systems by inverse scattering method, Physica Scripta, 20,
pp. 490—492.
105. H. H. Chen, Y. С Lee, and N. R. Pereira A979), Algebraic internal wave
solitons and the integrable Calogero-Moser-Surtherland N-body problem,
Phys Fluids, 22, pp. 187—188.
106. И. В. Чередник A978). Дифференциальные уравнения для функций Бей-
кера — Ахиезера алгебраических кривых. Функц. анализ и его прилож.,
12, № 3, 45—54.
107. S. S. Chern and C-L. Terng A980), Analogue of Backlund's theorem in
affine geometry, Rocky Mountain J. Math. 10, pp. 105»—124.
108. С Chester, B. Friedman and F. Ursell A957), An extension of the method
of steepest descents, Proc. Camb Phil. Soc, 53, pp. 599—611.
109. S. C. Chiu and J. F. Ladik A977), Generating exactly soluble nonlinear
discrete evolution equations by a generalized Wronskian technique, J. Math.
Phys., 18, pp. 690—700.
110 D. V. Chudnovsky and G. V. Chudnovsky A977), Pole expansions of non-
linear partial differential equations, II Nuovo Cimento, 40B, pp. 339—353.
111 J. Clairin A903), Sur quelques equations aux derivees partielles du second
ordre, Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 2" Ser., 5, pp. 437—458.
112. A. Cohen A979), Existence and regularity of solutions of the Korteweg-
de Vries equation, Arch Rat. Mech. Anal., 71, pp 143—175.
113. E. D. Cokelet A977), Steep gravity waves on water of arbitrary uniform
depth, Phil. Trans. Roy. Soc. London, A, 286, pp. 183—230.
114. J. D. Cole A951), On a quasilinear parabolic equation occurring in aero-
dynamics, Quart App. Math., 9, pp. 225—236.
115. — A968), Perturbation Methods in Applied Mathematics, Ginn-Blaisdell,
Waltham, MA.
116. E. T. Copson A965), Asymptotic Expansions, Cambridge University Press,
London.
117. H. Cornille A967), Connection between the Marchenko formalism and N/D
equations: regular interactions, I., J. Math. Phys., 8, pp. 2268—2280.
118. — A976a), Differential equations satisfied by Fredholm determinants and
application to the inversion formalism for parameter-dependent potentials,
J. Math. Phys., 17, pp. 2143—2158.
119. — A976b), Generalization of the inversion equations and application to
nonlinear partial differential equations. I. J. Math. Phys., 18, pp 1855—
1869.
120. — A979), Solutions of the nonlinear 3-wave equations in three spatial
dimensions, J. Math. Phys. 20, pp. 1653—1666.
121. J. P. Corones A976), Solitons and simple pseudopotentials, J. Math. Phys.,
17, pp. 756—759.
122. J. P. Corones and F. J. Testa A976), Pseudopotentials and their applica-
tions, in Backlund Transformations, R. M. Miura, ed., Lecture Notes in
Mathematics 515, Springer-Verlag, New York.
15 Зак. 114

450 Литература
123. J. P. Corones, В. L. Markovski and V. A. Rizov A977), A Lie group
framework for soliton equations, J. Math. Phys., 18, pp. 2207—2213.
124. R. Courant and К. О Friedrichs A948), Supersonic Flow and Shock Wa-
ves, Interscience, New York.
125. E. Courtens A972), Nonlinear coherent resonant phenomena, in Laser
Handbook, F. T. Arecchi and E. O. Schultz-DuBois, eds., North-Holland,
Amsterdam.
126. A. D. Craik and J. A. Adam A979), «Explosive» instability in a three-
layer fluid flow, J. Fluid .Mech., 92, pp. 15—33.
127. M, M. Crum A955), Associated Sturm-Liouville systems, Quart. J. Math.,
6, pp. 121—127.
128. R. F. Dashen, B. Hasslacher and A. Neveu A974), A975), Nonperturba-
tive methods and extended-hadron models in field theory, Phys. Rev. D.,
10, pp. 4114—4138; 11, pp. 3424—3450; 12, pp. 2443—2458.
129. E. Date and S. Tanaka A976a), Analogue of inverse scattering theory
for the discrete Hill's equation and exact solutions for the periodic Toda
lattice, Prog. Theoret. Phys., 55, pp. 457—465.
130. — A976b), Periodic multi-soliton solutions of Korteweg-de Vries equation
and Toda lattice, Prog. Theoret. Phys. Suppl., 59, pp. 107—126.
131. A. Davey and K. Stewartson A974), On three-dimensional packets of sur-
face waves, Proc. Roy. Soc. London A, 338, pp. 101—110.
132. R. С Davidson A972), Methods in Nonlinear Plasma Theory, Academic
Press, New York.
133. R. E. Davis and A. Acrivos A967), Solitary internal waves, J. Fluid.
Mech., 29, pp. 593—608.
134. P. Debye A916), Vortrage ober die Kinetische Theorie der Materie und
der Electrizitat, Leipzig, Germany.
135. P. Deift, F. Lund and E. Trubowitz A980), Nonlinear wave equations and
constrained harmonic motion, Comm. Math. Phys., 74, pp. 141—188.
136. P. Deift and E. Trubowitz A979), Inverse scattering on the line Comm.
Appl. Math., 32, pp. 121—251.
137. — A980), Some remarks on the Korteweg-de Vries and Hill's equations,
in Nonlinear Dynamics, R. G. Helleman, ed., Ann. New York Academy of
Science, vol. 357, pp. 55—64.
138. V. D. Djordjevic and L. G. Redekopp A977), On two-dimensional packets
of capillary gravity waves, J. Fluid Mech., 79, pp. 703—714.
139. R. K. Dodd, R. K. Bullough and S. Duckworth A975), Multisoliton solu-
tions of nonlinear dispersive wave equations not solvable by the inverse
method, J. Phys. A, 8, pp. 164—168.
140. Л. А. Дикий, И. Я. Дорфман, И. М. Гельфанд A979). Гамильтоновы
операторы и связанные с ними алгебраические структуры. Функц. ана-
лиз и его прилож. 13, с. 13—30.
141. В. С. Дргома A974). Об аналитическом решении Двумерного уравнения
Кортевега —де Вриза (КдВ), Письма в ЖЭТФ. т. 19, с. 753—757.
142. Б. А. Дубровин A975). Периодическая задача для уравнения Кортеве-
га-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов. — Функц. анализ и
его прилож., 9, вып. 3, с. 41—51.

Литература 451
143. Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков A976). Нелинейные
уравнения типа Кортевега — де Фриза, конечнозонные линейные опера-
торы и абелевы многообразия. — УМН, 31, № 1, с. 55—136.
144. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков A974). Периодический и условноперио-
дический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега-де
Фриза, ЖЭТФ.т. 67, вып. 6, с. 2131—2144.
145. J. С. Eilbeck A972), Reflection of short pulses in linear optics, J. Phys.
A., 5, pp. 1355—1363.
146. — A978), Numerical stuides of solitons, Proc. Symposium on Nonlinear
Structure and Dynamics in Condensed Matter, Bishop and Schneider, eds.,
Springer-Verlag, New York.
147. J. C. Eilbeck, J. D. Gibbon, P. J. Caudrey and R. К Bullough A973),
Solitons in nonlinear optics I. A more accurate description of the 2n-pu!se
in self-induced transparency, J. Phys. A., 6, pp. 1337^—1347.
148. L. P. Eisenhart A909), A Treatise on the Differential Geometry of Curves
and Surfaces, Ginn and Co.; reprinted by Dover, New York, 1960.
149. H. П. Еругин A976), Теория подвижных особых точек уравнений вто-
рого порядка. I. — Дифф. ур., т. 12, вып. 3, с. 387—416; II, т. 12, вып. 4,
с. 579—598.
150. F. В. Estarbrook A981), Prolongation structures of nonlinear evolution
equations, preprint,
151. F. Estabrook and H. Wahlquist A978), Prolongation structures, connection
theory and Backlund transformation, in Nonlinear Evolutions Equations
Solvable by the Spectral Transform, F. Calogero, ed., Pitman, London.
152. Л. Д. Фаддеев A959). Обратная задача в квантовой теории рассеяния.—
УМН, 14, с. 57.
153. Е. Fermi, J. Pasta and S. Ulam A974), Studies of nonlinear problems,
I. Los Alamos Rep. LA1940, 1955; reprod. in Nonlinear Wave Motion,
A. C. Newell, ed., American Mathematical Society, Providence, RI.
154. R. A. Fischer A937), The wave of advance of an advantageous gene, Ann.
Eugen., 7, pp. 355—369.
155. H. Flaschka A974a), The Toda Lattice, I. Existence of integrals, Phys.
Rev., B, 9, pp. 1924—1925.
156. — A974b), On the Toda lattice II. Inverse scattering solution, Prog.
Theoret. Phys. 51, pp. 703—706.
157. — A980), A commutator representation of Painleve equations, J. Math
Phys., 21, pp. 1016—1018.
158. H. Flaschka, G. Forest and D. W. McLaughlin A979), Multiphase averag-
ing and the inverse spectral solution of KdV, Comm. Pure Appl. Math.,
33, pp. 739—784.
159. H. Flaschka and D. W. McLaughlin A976a), Canonically conjugate vari-
ables for KdV and Toda lattice under periodic boundary conditions, Prog.
Theoret. Phys. 55, pp. 438—456.
160. — A976b), Some comments on Backlund transformations, canonical trans-
formations and the inverse scattering method, in Backlund Transforma-
tions, R. M. Miura, ed., Lecture Notes in Mathematics, 515, Springer-Ver-
lag, New York.
]gl — eds., A978), Proceedings of Conference on Theory and Appl. of Soli-
tons, (Tucson, 1976) Rocky Mountain J. Math., 8, 1, 2,
15*

452 Литература
162. Н. Flaschka and А. С. Newell A975), Integrable systems of nonlinear
evoluton equations, in Dynamical Systems, Theory and Applications, J. Mo-
ser, ed., Lecture Notes in Physics, 38, Springer-Verlag, New York.
163. — A980), Monodromy and spectrum preserving deformations, I, Comm.
Math. Phys., 76, pp. 65—116.
164. A. S. Fokas A980), A symmetry approach to exactly solvable evolution
equations, J. Math. Phys., 21, pp. 1318—1326.
165. A. S. Fokas and Y. С Yortsos A980), The transformation properties of
the sixth Painleve equation and one-parameter families of solutions, Lett.
Nuovo Cimento, 30, pp. 539—540.
166. A. R. Forsyth A906), Theory of Differential Equations, reprinted by Dover
New York.
167. P. A. Franken, A. E. Hill, С W. Peters and G. Weinreich A961), Gene-
ration of optical harmonics, Phys. Rev. Lett.. 7, pp. 118—119.
168. N. С Freeman and A Davey A975), On the evolution of packets of long
surface waves, Proc. Roy. Soc. London A, 344, pp. 427—433.
169. К. О. Friedrichs A958), Symmetric positive linear differential equations,
Comm. Pure App. Math., 11, pp. 333—418.
170. Y. С Fung A965), Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, Engle-
wood Cliffs, NJ.
171. C. S. Gardner A971), The Korteweg-de Vries equation and generaliza-
tions. IV. The Korteweg-de Vries equation as a Hamiltonian system,
J. Math. Phys., 12, pp. 1548—1551.
172. C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal and R. M. Miura A967),
Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett., 19,
pp. 1095—1097.
173. — A974), The Korteweg-de Vries equation and generalizations. VI. Me-
thods for exact solution, Comm. Pure Appl. Math., 27, pp. 97—133.
174. С S. Gardner and G. К Morikawa A960), Similarity in the asymptotic
behaviour of collision free hydromagnetic waves and water waves, Courant
Inst. Math. Sci. Res. Rep., NYO-9082, New York.
175. С S. Gardner and С S. Su A969), The Korteweg-de Vries equation and
generalizations. Ill, J. Math. Phys., 10, pp. 536—539.
176. A. G. Gargett and B. A. Hughes A972), On the interaction of surface and
internal waves, J. Fluid Mech., 52, pp. 179—191.
177. С Garrett and W. Munk A972), Space-time scales of internal waves
Geophys. Fluid Dyn., 2, pp. 225—264.
178. — A975), Space-time scales of internal waves: a progress report, J. Geo-
phys. Res., 80, pp. 291—297.
179. M. Г. Гасымов, Б. М. Левитан A966). Определение системы Дирака по
фазе рассеяния. ДАН, 167, № 6, с. 1219—1222.
180. I. M. Gel'fand A979), comment made at Joint US-USSR Symposium on
Soliton Theory, Kiev, USSR, Sept. 1979.
181. И. М. Гельфанд, Л. А. Дикий A977). Резольвенты и гамильтоновы си-
стемы.— Функц. анализ и его прилож. 11, № 2, с. 11—27.
182. И. М. Гельфанд, В. М. Левитан A951). Об определении дифференциаль-
ного уравнения по его спектральной функции. — Изв, АН СССР, сер,
^атем., 15, 309—360, f

Литература 453
183. J. D. Gibbon, P. J. Caudrey, R. K. Bullough and J. C. Eilbeck A973),
An Af-soliton solution of a nonlinear optics equation derived by a general
inverse method, Lett. Nuovo Cimento, 8, pp. 775—779.
184. J. D. Gibbon, N. С Freeman and A. Davey A978), Three-dimensional
multiple soliton-like solutions of nonlinear Klein-Gordon equations, J.
Phys. A: Math, 11, pp. Z.93—Z.96.
185. J. D. Gibbon, I. N. James and I. M. Moroz A979), An example of soliton
behaviour in a rotating baroclinic fluid, Proc. Roy. Soc. London A, 367,
pp. 219—237.
186. H. M. Gibbs and R. E. Slusher A970), Peak amplification and breakup
of a coherent optical pulse in a simple atomic absorber, Phys. Rev. Lett.,
24, pp. 638—641.
187. R. T. Glassey A977), On the blowing up of solutions to the Cauchy
problem for nonlinear Schrodinger equations, J. Math. Phys., pp 1794—
1797.
188. H. Goldstein A950), Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA.
[Имеется перевод: Г. Голдстейн A975). Классическая механика. — М.:
Наука, 1975.]
189. В. В. Голубев A953). Лекции по интегрированию уравнений движения
тяжелого твердого тела около неподвижной точки. — Гостехиздат, Москва.
190. К. A. Gorshkov and L. A. Ostrovsky A981), Interactions of solitons in
nonintegrable systems; direct perturbation method and applications, Proc.
Joint US-USSR Symposium on Soliton Theory, V. E. Zakharov and
S. V. Manakov, eds., North-Holland, Amsterdam, pp. 428 ff.
191. К. А. Горшков, Л. А. Островский, В. В. Папко A976). Взаимодействия
и связанные состояния солитонов как классических частиц. — ЖЭТФ,
т. 71, вып. 2 с. 585—593.
192. R. H. J. Grimshaw A975), The modulation and stability of an internal
gravity wave, Res. Rep't. School of Math. ScL, Univ. Melbourne.
193. R. Haberman A977), Nonlinear transition layers -the 2nd Painleve trans-
cendent, Stud. Appl. Math., 57, pp. 247—270.
194. M. Hall, Jr. A959), The theory of Groups, Macmillan, New York.
195. J. L. Hammack A979), private communication.
196. J. L. Hammack and H. Segur A974), The Korteweg-de Vries equation and
water waves part 2. Comparison with experiments, J. Fluid Mech., 65,
pp. 289—314.
197. — A978), The Korteweg-de Vries equation and water waves part 3. Oscil-
latory waves, J. Fluid Mech., 84, pp. 337—358.
198. R. H. Hardin and F. D. Tappert A973), Applications of the split-step
Fourier method to the numerical solution of nonlinear and variable coeffi-
cient wave equations, SIAM-SIGNUM Fall Meeting, Austin, Texas, Oct.
1972; SIAM Rev. (Chronicle) 15, p. 423.
199. B. Harrison A978), Backlund transformation for the Ernst equation of
general relativity, Phys. Rev. Lett., 41, pp. 1197—1200.
200. A. Hasegawa and F. Tappert A973), Transmission of stationary optical
pulses in dispersive dielectric fibers, II. Normal dispersion, Appl. Phys.
Lett, 23, pp. 171.
201. H. Hasimoto and H. Ono A972), Nonlinear modulation of gravity waves,
J. Phys. Soc. Japan, 33, pp. 805—ЗП,

454 Литература
202. К. Hasselmann A962), On the nonlinear energy transfer in a. gravity-
wave spectrum. Part I, general theory, J. Fluid Mech., 12, pp. 481—500.
203. — A963a, b), On the nonlinear energy transfer in a gravity-wave spect-
rum, part II, Conservation theorem; wave-particle analogy; irreversibility,
J. Fluid Mech., 15, pp. 273—281; Part III, 15, pp. 385—398.
204. — A967), A criterion for nonlinear wave stability, J.- Fluid Mech., 30,
pp. 737—739.
205. K. Hasselmann et al. A973), Measurements of wind-wave growth and
swell decay during the Joint North Sea Wave Project (JONSWAP), Deut.
Hydrogr. Z., Suppl. A, 8.
206. S. P. Hastings and J. B. McLeod A980), A boundary value problem asso-
ciated with the second Painleve transcendent and the Korteweg-de Vries
equation, Arch. Rat. Mech. Anal., 73, pp. 31—51.
207. M. Henon A974), Integrals of the Toda lattice, Phys. Rev. B9, pp. 1921—
1923.
208. R. Hermann A978), Prolongatios, Backlund transformations, and Lie
theory as algorithms for solving and understanding nonlinear differential
equations, in Solitons in Action, K. Lonngren and A. C. Scott, eds., Aca-
demic Press, New York.
209. E. Hewitt and K. Stromberg A969), Real and Abstract Analysis, Springer-
Verlag, Berlin.
210. E. Hille A976), Ordinary Differential Equations in the Complex Domain,
John Wiley, New York.
211. R. Hirota A971), Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for
multiple collisions of solitons, Phys. Rev. Lett., 27, pp. 1192—1194.
212. — A972), Exact solution of the sine-Gordon equation for multiple colli-
sions of solitons, J. Phys. Soc. Japan, 33, pp. 1459—1463.
213. — A973a), Exact envelope-soliton solutions of a nonlinear wave equa-
tion, J. Math. Phys., 14, pp. 805—809.
214. — A973b), Exact N-soliton solution of a nonlinear lumped network equa-
tion, J. Phys. Soc, Japan, 35, pp. 289—294.
215. — A973c), Exact N-soliton solution of the wave equation of long waves
in shallow water and in nonlinear lattices, J. Math. Phys., 14, pp. 810—
814.
216. — A973d), Exact three-soliton solution of the two-dimensional sine-Gordon
equation, J. Phys. Soc. Japan, 35, p. 1566.
217. — A974), A new form of Backlung transformation and its relation to the
inverse scattering problem, Prog. Theoret. Phys., 52, pp. 1498—1512.
218. — A976), Direct methods of finding exact solutions of nonlinear evolution
equations, in Backlund transformations, R. M. Miura, ed., Lecture Notes
in Mathematics 515, Springer-Verlag, New York.
219. — A977a), Nonlinear partial difference equations. I. A difference analo-
gue of the Korteweg-de Vries equation, J. Phys. Soc. Japan, 43, pp. 1429—
1433.
220. — A977b), Nonlinear partial difference equations II. Discrete time Toda
equation, J. Phys. Soc. Japan, 43, pp. 2074—2078.
221. — A977c), NonlineaF partial difference equations III. Discrete sine-Qo,r«
don equations, J. Phys. Soc. Japan, 43, pp. 2079—2089,

Литература 455
222. — A978), Nonlinear partial difference equations IV. Backlund transforma-
tion for the discrete Toda equation, J. Phys. Soc. Japan, 45, pp. 321—332.
223. — A979a), Lecture delivered ot Soliton Workshop/Jadwisin, Warsaw, Po-
land, Aug. 1979.
224. — A979b), Nonlinear partial difference equations V. Nonlinear equations
reducible to linear equations, J. Phys. Soc. Japan, 46, pp. 312—319.
225. — A980), Direct methods in soliton theory, in Solitons, R. K. Bullough
and P. J. Caudrey, eds., Topics of Modern Physics, Springer-Verlag, New
York.
226. R. Hirota and J. Satsuma A976a), A variety of nonlinear network equa-
tions generated from the Backlund transformation for the Toda lattice.
Prog. Theoret. Phys. Suppl., 59, pp. 64—100.
227. — A976b), N-soliton of nonlinear network equations describing a Volterra
system, J. Phys. Soc. Japan, 40, pp. 891—900.
228. — A978), A simple structure of superposition formula of the Backlund
transformation, J. Phys. Soc. Japan, 45, pp. 1741—1750.
229. R. Hirota and K. Suzuki A970), Studies on lattice solitons by using elec-
trical networks, J. Phys Soc. Japan, 28, pp. 1366—1369.
230. — A973), Theoretical and experimental studies of lattice solitons in non-
linear lumped networks, Proc. IEEE, 61, pp. 1483—1491.
231. R. Hirota and M. Wadati A979), A functional integral representation of
the soliton solutions, J. Phys. Soc. Japan, 47, pp. 1385—1386.
232. L. V. Hmurcik and D. J. Каир A979), Solitons, created by chirped initial
profiles in coherent pulse propagation, J. Opt. Sci. Amer., 69, pp. 597—604.
233. J. Honerkamp, P. Weber and A. Wiesler A979), On the connection between
the inverse transform method and the exact quantum states, Nucl. Phys. B,
152, pp. 266—272.
234. E. Hopf A950), The partial differential equation щ + uux = \mxx, Comm.
Pure Appl. Math., pp. 201—230.
235. F. Hoppenstaedt A975), Mathematical Theories of Populations: Demogra-
phics, Genetics and Epidemics, CBMS Regional Conference Series in App-
lied Mathematics 20, Society for Industrial and Applied Mathematics, Phi-
ladelphia.
236. W. H. Hui and J. Hamilton A979), Exact solutions of a three-dimensional
Schrodinger'applied to gravity waves, J. Fluid Mech., 93, pp. 117—133.
237. H. X. Ибрагимов, А. Б. Шабат A979). Уравнение Кортевега-де Фриза С
групповой точки зрения. — ДАН СССР, 244, № 1, 56—61.
238. Э. Л. Айне A939). Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харь-
ков, ДНТВУ.
239. М. Но A980), An extension of nonlinear evolution equations of the KdV
(mKdV) type to higher orders, preprint
240. A. P. Итс, В. Б. Матвеев A975). Об операторах Хилла с конечным чио
лом лакуи. Функ. анализ и его прилож., 9, вып. 1, с. 69—71.
241. N. Jacobson A962), Lie Algebras, Wiley-Interscience, New York.
[Имеется перевод: Н. Джекобсон. Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964.]
242. М. Jaulent A976), Inverse scattering problems in absorbing media, J.
Math. Ppys. 17, pp. 1351—1360.

456 Литература
243. М. Jimbo, Т. Mori and M. Sato A979), Density matrix of impenetrable
bose gas and the fifth Painleve transecendent, Pub. RIMS, 303, Kyoto
Univ., Japan.
244. M. Jimbo, T. Miwa, У. Mori and M. Sato A979), Density matrix of im-
penetrable bose gas and the fifth Painleve transcendent, Pub. RIMS, 303,
Kyoto Univ., Japan.
245. R. S. Johnson A973), On an asymptotic solution of the Korteweg-de Vries
equation with slowly varying coefficient, J. Fluid Mech., 60, pp. 813—824.
246. R. I. Joseph A977), Solitary waves in a finite depth fluid, J. Phys. A. 10,
pp. ?.225— ?.227.
247. R. I. Joseph and R. Egri A978), Multi-soliton solutions in a finite depth
fluid, J. Phys. A. Math, 11, pp. L97—L102.
248. Т. М. Joyce A974), Nonlinear interactions among standing surface and
internal gravity waves, J. Fluid Mech., 63, pp. 801—825.
249. M. Kac and P. van Moerbeke A975a), On an explicitly soluble system of
nonlinear differential equations related to certain Toda lattices, Advances
in Math., 16, pp. 160—169.
250. — A975b), On periodic Toda lattices, Proc. Nat'l Acad. Sci., 72,
pp. 1627-1629.
251. — A975c), A complete solution of the periodic Toda problem, Proc, Nat'l
Acad. Sci., 72, pp. 2879—2880.
252. Б. Б. Кадомцев, В. И. Петвиашвили A970). Об устойчивости уединенных
волн в среде со слабой дисперсией. — ДАН СССР, 192, с. 753—756.
253. С. F. F. Karney, A. Sen and F. Y. F. Chu A979), Nonlinear evolution of
lower hybrid waves, Phys. Fluids, 22, pp. 940—952.
254. В. И. Карпман. Нелинейные волны в диспергирующих средах. — М.:
Наука, 1973.
255. В. И. Карпман, Е. М. Маслов A978) Структура хвостов, образуюшихся
при воздействии возмущений на солитоны. — ЖЭТФ, 75, вып. 2, с. 504—«
517.
256. М. Kashiwara and T. Kawai A978), Monodromy structure of solutions of
holonomic systems linear differential equations... Pub. RIMS, Kyoto Univ.,
Japan.
257. D. J. Каир A975), Exact quantization of the nonlinear Schrodinger equa-
tion, J. Math. Phys., 16, pp. 2036—2041.
258. — A976a), Closure of the squared Zakharov-Shabat eigenstates, J. Math,
Anal. Appl., 54, pp. 849—864.
259. — A976b), The three-wave interaction -a nondispersive phenomenon, Stud.
Appl. Math., 55, pp. 9—44.
260. — A976c), A perturbation theory for inverse scattering transforms, SIAM
J. Appl. Math., 31, pp. 121—123.
261. — A977a), Coherent pulse propagation: a comparison of the complete so-
lution with the McCall-Hahn theory and others, Phys. Rev; A., 16,
pp. 704—719.
262. — A977b), Soliton particles, and the effects of perturbations in Signific-
ance of Nonlinearity in the Natural Sciences, B, Kursunoghu, A. Perlmut-
ter, and L. F, Scott, eds., Plenum, New York,

Литература 457
263. — A978), Simple harmonic generation: an exact method of solution Stud.
Appl. Math., 59, pp. 25—35.
264. — A980), The Wahlquist-Estabrook method with examples of applications,
Physica D, 1, pp. 391—411.
265. — A981), The solution of the general initial value problem for the full
three dimensional three-wave resonant interaction, Proc. Joint US-USSR
Symposium on Soliton Theory, Kiev, 1979, V. E. Zakharov and S. V. Ma-
nakov, eds., North-Holland, Amsterdam, pp. 374—395.
266. D. J. Каир and A. C. Newell A978a), an exact solution for a derivative
nonlinear Schrodinger equation, J. Math. Phys. 19, pp. 798—801.
267. — A978b), Solitons as particles, oscillators and in slowly changing me-
dia: a singular perturbation theory, Proc. Roy. Soc. London A, 361,
pp. 413—446.
268. — A978s), The Goursat and Cauchy problems for1 the sine-Gordon equa-
tion, S1AM J. Appl. Math., 34, pp. 37—54.
269. D. J. Каир and L. R. Scacca A980), Generation of 0я pulses from a zero-
area in coherent pulse propagation, J. Opt. Sci. Amer., pp. 224—230.
270. I. Kay and H. E. Moses A956), Reflectionless transmission through di-
electrics and scattering potentials, J. Appl. Phys., 27, pp. 1503—1508.
271. D. Kazhdan, B. Kostant and S. Sternberg A978), Hamiltonian group
actions and dynamical systems of Calogero type, Comm. Pure Appl. Math.,
31, pp. 481—507.
272. J. P. Keener and D. W. McLaughlin A977), Solitons under perturbations,
Phys. Rev., 16A, pp. 777—790.
273. P. L. Kelley A965), Self-focusing of optical beams, Phys. Rev. Lett., 15,
pp. 1005—1008.
274. Lord (W. Thompson) Kelvin A887), On the waves produced by a single
impulse in water, in his Math. Phys. Papers, vol. 4, pp. 303—306.
275. G. H. Keulegan A948), Gradual damping of solitary waves, J. Res.,
N. B. S., 40, pp. 487—498.
276. — A953), Characteristics of internal solitary waves, J. Res., N. B. S., 51,
pp. 133—140.
277. D. A. Kleinman A972), Optical harmonic generation in nonlinear media,
in Laser Handbook, F. T. Arecchi and E. D. Schultz-Dubois, eds., North-
Holland, Amsterdam.
278. С J. Knickerbocker and A. C. Newell A980), Shelves and the Korteweg-de
Vries equation, J. Fluid Mech., 98, pp. 803—818.
279. К. Ко and H. H. Kuehl A978), Korteweg-de Vries soliton in a slowly
varying medium, Phys. Rev. Lett. 40, pp. 233—236.
280. K. K. Kobayashi and M. Izutsu A976), Exact solution of the N-dimen-
sional sine-Gordon equation, J. Phys. Soc. Japan, 41, pp. 1091—1092.
281. Y. Kodama A975), Complete integrability of nonlinear evolution equations,
Prog. Theoret. Phys., 54, pp. 669—686.
282. Y. Kodama and M. J. Ablowitz A980), Transverse instability of breathers
in resonant media, J. Math. Phys., 21, pp. 928—931.
283. — A981), Perturbations of solitons and solitary waves, Stud. Appl. Math.,
to appear,

458 Литература
284. Y. Kodama, J. Satsuma and M. J. Ablowitz A981), Nonlinear intermediate
long wave equation: analysis and method of solution, Phys. Rev. Lett., 46,
pp. 687—690.
285. Y. Kodama and T. Taniuti A978), Higher order approximation in the re-
ductive perturbation method. I. The weakly dispersive system, J. Phys.
Soc. Japan, 45, pp. 298—310.
286. — A979), Higher order corrections to the soliton velocity and the linear
dispersion relation, Physica Scripta, 20, pp. 486—489.
287. K. Konno, H. Sanuki and Y. H. Ichikawa A974), Conservation laws of
nonlinear evolution equations, Prog. Theoret. Phys., 52, pp. 886—889.
288. K. Konno and M. Wadati A975), Simple derivation of Backlund trans-
formation from the Ricatti form of the inverse method, Prog. Theoret.
Phys., 53, pp. 1652—1656.
289. С G. Koop and G. Butler A981), An investigation of internal solitons in
a two-fluid system, J. Fluid Mech.
290. В. Е. Корепин, Л. Д. Фаддеев A975). Квантование солитонов. — ТМФ,
25, вып. 2, с. 147—163.
291. D. J. Korteweg and G. de Vries A895), On the change of form of long
waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long statio-
nary waves, Philos. Mag. Ser. 5, 39, pp. 422—443.
292. И. М. Кричевер A976). Алгебраические кривые и коммутирующие мат-
ричные дифференциальные операторы. — Функц. анализ и его прилож.,
10, вып. 2, с. 75—77.
293. I. M. Krichever and S. P. Novikov, Holomorphic bundles and nonlinear
equations, Proc. Joint US-USSR Symposium on Soliton Theory, Kiev, 1979,
V. E. Zakharov and S. V. Manakov, eds., North-Holland, Amsterdam,
pp. 267—293.
294. A. H. Kritz, G. V. Ramanathan and G. Sandri A970), The two-particle
correlation function in nonequilibrium statistical mechanics in Kinetic
Equations, R. Liboff and N. Rostekev, eds., Gordon and Breach, New York.
295. M. D. Kruskal A963), in Asymptology in Mathematical Models in Phy-
sical Sciences, S. Probot, ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ.
296. — A965), in Proc. IBM Scientific Computing Symposium on Large-Scale
Problems in Physics, IBM Data Processing Division, White Plains, NY;
Thomas J. Wabson Research Center, Yorktown Heights, New York.
297. — A974), The Korteweg-de Vries equation and related evolution equa-
tions in Nonlinear Wave Motion, A. C. Newell, ed., AMS Lectures in
Applied Mathematics, 15, American Mathematical Society, Providence, RJ.
298. — A975), Nonlinear wave equations, in Dynamical Systems, Theory and
Applications, J. Moser, ed., Lecture Notes in Physics, 38, Springer-Verlag,
New York.
299. M. Kruskal and С Oberman A965), Some constants of the linearized mo-
tion of Vlasov plasmas, J. Math. Phys., 6, pp. 327—335.
300. M. D. Kruskal and N. J. Zabusky A963), Princeton Plasma Physics La-
boratory annual report MATT-Q-21, pp. 301ff., unpublished.
301. T. Kubota, D. R. S. Ко and L. Dobbs A978a), Propagation of weakly
nonlinear internal waves in a stratified fluid of finite depth, Report of
Д1АА 16th Aerospace Sciences Meeting, Huntsville, Al.

Литература 459
302. — A978b), Weakly nonlinear long interval gravity waves in stratified
fluids of finite depth, AIAA J. Hydronautics, 12, pp. 157—165.
303. A. E. Kudryavasev A975), Soliton-like collisions for a Higgs scalar field,
Sov. Phys. JETP Lett., 22, pp. 82—83.
304. П. П. Кулиш, С. В. Манаков, Л. Д. Фаддеев A976). Сравнение кванто-
вых и квазиклассических ответов для нелинейного уравнения Шрёдингера.
ТМФ, 28, вып. 1, с. 38—45.
305. Б. Б. Купершмидт, Ю. И. Манин A977), A978). Уравнения длинных
волн на свободной поверхности I, II. Функц. анализ и его прилож., II,
вып. 3, с. 31—42; 12, вып. 1, с. 25—37.
306. Е. А. Кузнецов, А. В. Михайлов A947). Устойчивость стационарных
волн в нелинейных средах со слабой дисперсией. ЖЭТФ, 67, 6, 1717—
1727.
307. J. F. Ladik and S. С. Chiu A977), Solutions of nonlinear network equa-
tions by the inverse scattering method, J. Math. Phys. 18, pp. 701—704.
308. B. M. Lake, H. С Yuen, H. Rungaldier and W. E. Ferguson A977), Non-
linear deep water waves: theory and experiment, Part 2, J. Fluid Mech.,
83, pp. 49—74.
309. G. L. Lamb A971), Analytical descriptions of ultrashort optical pulse
propagation in a resonant medium, Rev. Mod. Phys., 43, pp. 99—124.
310. -- A973), Phase variation in coherent-opticalpulse propagation, Phys. Rev.
Lett., 31, pp. 196—199.
311. — A974), Backlund transformations for certain nonlinear evolution equa-
tions, J. Math. Phys., 15, pp. 2157—2165.
312. — A976), Backlund transformations at the turn of the century, in Back-
lund Transformations, R.M. Miura, ed., Lecture Notes in Mathematics, 515,
Springer-Verlag, New York.
313. — A980), Elements of Soliton Theory, John Wiley, New York.
314. H. Lamb A932), Hydrodynamics, Dover, New York.
[Имеется перевод: Г. Ламб. Гидродинамика. — М.: Гостехиздат, 1947.]
315. Л. Д. Ландау A946). О колебаниях электронной плазмы.—ЖЭТФ, 16,
с. 574—583.
316. R. Landauer A967), Sign of slow nonlinearities in nonabsorbing optical
media, Phys. Lett., 25A, pp. 416—417.
317. P. D. Lax A954), Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and
their numerical computation, Comm. Pure Appl. Math., 7, pp. 159—193.
318. — A968), Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary
waves, Comm. Pure Appl. Math., 21, pp. 467—490. .
[Имеется перевод: П. Д. Лаке A969). Интегралы нелинейных эволюцион-
ных уравнений и уединенные волны. — Математика, 13:5, с. 128'—150,
М.: Мир.
319. — A973), Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathema-
tical Theory of Shock Waves, CBMS Regional Conference Series in App-
lied Mathematics 11, Society for Industrial and AppHed Mathematics, Phi-
ladelphia, 1973.
320.— A975), Periodic solutions of the KdV equation, Comm. Pure Appl.
Math., 28, pp. 141—188.

460 Литература
321. P. D. Lax and D. Levermore A979), The zero dispersion limit for the Kor-
teweg-de Vries equation, Proc. Nat'l. Acad. Sci., 76, pp. 3602—3606.
322. Lebedev and Yu. I. Manin A978), Hidden symmetries, ITEP, preprint.
323. S. Leibovich and G. D. Randall A973), Amplification and decay of long
nonlinear waves, J. Fluid Mech., 58, pp. 481—493.
324. C. Leone A974), Gradual damping of internal solitary waves, M S. The-
sis, Clarkson College, New York.
325. С Leone and H. Segur A981), Long internal waves of moderate ampli-
tude II. Viscous decay, preprint.
326. J. E. Lewis, B. M. Lake and D. R. S. Ко A974), On the interaction of
internal waves and surface gravity waves, J. Fluid Mech., 63, pp. 773—800.
327. E. H. Lieb and W. Leninger A963), Exact analysis of an interacting Bose
gas I., Phys. Rev., 130, pp. 1605—1616; (E. N. Lieb), II, 130, pp. 1616—
1624.
328. G. Liebbrandt A978), New exact solutions of the classical sine-Gordon
equation in 2 + 1 and 3+1 dimensions, Phys. Rev. Lett., 41, pp. 435-^
438.
329. M. J. Lighthill A958), Introduction to Fourier Analysis and Generalized
Functions, University Press, Cambridge.
330. A. Liu and S. H. Davis A977), Viscous attenuation of mean drift in water
waves, J. Fluid. Mech., 81, pp. 63—84.
331. R. R. Long A964), Solitary waves in the westerlies, J. Atmos. Sci., 21,
pp. 156—179.
332. K. Lpnngren and A. C. Scott, eds. A978), Solitons in Action, Academic
Press, New York.
333. M. S. Longuet-Higgins A975), Integral properties of periodic gravity
waves of finite amplitude, Proc. Roy. Soc. London A, 392, pp. 157—174.
334. M. S. Longuet-Higgins and M. J. H. Fox A977), Theory of the almost-
highest wave I. The inner solution, J. Fluid Mech., 80, pp. 721—742.
335. — A978), Theory of the almost-highest wave II. Matching and analytic
extension, J. Fluid Mech., 85, p. 769—786.
336. A. E. H. Love A944), A Treatise on the Mathematical Theory of Elasti-
city, Dover, New York.
337. H. А. Лукашевич A971). К теории второго уравнения Пенлеве. Дифф.
ур„ т. VII, вып. 6, с. 1124—1125.
338. F. Lund A977), Example of a relativistic, completely integrable, Hamil-
tonian system, Phys. Rev. Lett., 38, pp. 1175—1178.
339. Y. С Ma A978), On the long-wave/short-wave resonant interaction, Stud.
Appl. Math., 59, pp. 201—221.
340. Y. С Ma and L. G. Redekopp A979), Some solutions pertaining to the
resonant interactions of long and short waves, Phys. Fluids, 22, pp. 1872—
1876.
341. W.Magnus and W. Winkler A966), Hill's Equation, Wiley-Interscience,
New York.
342. D. Maison A978), Are the stationary, axially symmetric Einstein equations
completely integrable?, Phys. Rev. Lett., 41, pp. 521—522.

Литература 461
343. — A979), On the complete integrability of the stationary, axially sym-
metric Einstein equations, J. Math. Phys., 20, pp. S71— 877.
344. V. G. Makhankov A978), Dynamics of classical solutions in non-integrable
systems, Phys. Rep., 35, pp. 1—128.
345. С. А. Манаков A973). Нелинейная дифракция Фраунгофера. ЖЭТФ, 65,
вып. 10, с. 1392—1398.
346. — A973). К теории двумерной стационарной самофокусировки электро-
магнитных волн. — ЖЭТФ, 65, вып. 8, с. 506.
347. — A974). О полной интегрируемости и стахостизации в дискретных
динамических системах. — ЖЭТФ, 67, вып. 2, с. 543—555.
348. — A981), The inverse scattering transform for the time-dependent Schro-
dinger equation and Kadomtsev-Petviashvili equation, Proc. Joint US-
USSR Symposium on Soliton Theory, Kiev, 1979, V. E. Zakharov and
S. V. Manakov, eds., North-Holland, Amsterdam, pp. 420—427.
349. S. V. Manakov, P. M. Santini and L. A. Takhtadzhyan A980), Asymptotic
behavior of the solutions of the Kadomtsev-Petviashvili equation, Phys.
Lett, 75A, pp. 451—454.
350. S. V. Manakov, V. E. Zakharov, L. A. Bordag, A. B. Matveev A977),
Two-dimensional solitons of the Kadomtsev-Petviashvili equation and their
interaction, Phys. Lett., 63A, pp. 205—206.
351. Yu. I. Manin, Hidden symmetries of long waves, Proc. Joint US-USSR
Symposium on Soliton Theory, Kiev, 1979, V. E. Zakharov and S. V. Ma-
nakov, eds, North-Holland, Amsterdam, pp. 400—409,
352. В. А. Марченко A974). Периодическая задача Кортевега-де Фриза.—
Мат. сб., т. 95, № 3, с. 351—356.
353. D. V. Martin and H. С. Yuen A980), Quasi-recurring energy leakage in
the two-space-dimensional nonlinear Schrodinger equation, Phys. Fluids,
23, pp. 881—883.
354. F. P. Mattar and M. С Newstein A977), Transverse effects associated
with the propagation of coherent optical pulses in a resonant media, IEEE
J. Quantum Electronics, QE-13, pp. 507—520.
355. V. B. Matveev A976), Abelian functions and solitons, Inst. Theor. Phys,
Univ. Wroclaw, preprint 373.
356. T. Maxworthy and L. G. Redekopp A976), Theory of the Great Red Spot
and other observed features of the Jovian atmosphere, Icarus, 29, pp. 261—
271.
357. T. Maxworthy, L. G. Redekopp and P. D. Wiedman A978), On the pro-
duction and interaction of planetary waves.., Icarus, 33, pp. 388—409.
358. S. L. McCall and E. L. Hahn A965), cited in Bull. Am. Phys. Soc, 10,
p. 1189.
359. — A967), Self-induced transparency by pulsed coherent light, Phys. Rev.
Lett, 18, pp. 908—911.
360. — A969), Self-induced transparency Phys. Rev, 183, pp. 457—485.
361. — A970), Pulse area-pulse energy description of a traveling wave laser
amplifier, Phys. Rev. A, 2, pp. 861—870.
362. С. Н. McComas and F. P. Bretherton A977), Resonant interaction of
oceanic internal waves, J. Geophys. Res, 82, pp. 1397—1412.

462 Литература
363. В. М. McCoy, С. A. Tracy and Т. Т. Wu A977), Painieve functions of
the third kind, J. Math. Phys., 18, pp. 1058—1092.
364. A. D. McEwan A971), Degeneration of resonantly-excited standing in-
ternal gravity waves, J. Fluid Mech.,50, pp. 431—448.
365. A. D. McEwan, D. W. Mander and R- K. Smith A972), Forced resonant
second-order interaction between damped internal waves, J. FluidMech.,
55, pp. 589—608.
366. J. B. McGuire A964), Study of exactly soluble one-dimensional N-body
problems, J. Math. Phys., 5, pp. 622—636.
367. H. P. McKean A981), The sine-Gordon and sinh -Gordon equations on the
circle, Comm. Pure Appl. Math., 34, pp. 197—257.
368. H. P. McKean and E. Trubowitz A976), Hill's operator and hyperelliptic
function theory in the presence of infinitely many branch points, Comm.
Pure Appl. Math., 29, pp. 143—226.
369. H. P. McKean and P. van Moerbeke A975), The spectrum of Hill's equa-
tion, Invent. Math., 30, pp. 2!7ff.
370. D. W. McLaughlin A975), Four examples of the inverse method as a ca-
nonical transformation, J. Math. Phys., 14, pp. 1817—1828.
371. D. W. McLeod A975), Four examples of the inverse method as a cano-
nical transformation, J. Math. Phys., 14, pp. 1817—1828.
372. J. B. McLeod and P. J. Olver A981), The connection between completely
integrable partial differential equations and ordinary differential equations
of Painleve type, Rep. 2135, Mathematics Research Center, University of
Wisconsin, Madison.
373. N. N. Meiman A977), The theory of one-dimensional Schrodinger opera-
tors with a periodic potential, J. Math. Phys., 18, pp. 834—848.
374. A. V. Mikhailov A981), The reduction problem and the inverse scattering
method, Proc. Joint. US-USSR Symposium on Soliton Theory, Kiev, 1979.
V. E Zakharov and S. V. Manakov, eds., North-Holland, Amsterdam,
pp. 73—117.
375. J. W. Miles A977a), Obliquely interacting solitary waves, J. Fluid Mech.,
79, pp. 157—169.
376. — A977b), Resonantly interacting solitary waves, J. Fluid Mech., 79,
pp. 171—179.
377. — A979), The asymptotic solution of the Korteweg-de Vries equation in
the absense of solitons, Stud. Appl. Math. 60, pp. 59—72.
378. — A980), Solitary waves, Ann. Rev. Fluid Mech., 12, pp. 11—43.
379. R. M. Miura A968), Korteweg-de Vries equation and generalizations I.
A remarkable explicit nonlinear transformation, J. Math. Phys., 9,
pp. 1202—1204.
380. — A974), Conservation laws for the fully nonlinear long-wave equations,
Stud. Appl. Math., 53, pp. 45—56.
381. — A976a), The Korteweg-de Vries quation: a survey of results, SIAM
Rev. 18, pp. 412—459.
382. — ed. A976b), Backlund Ti ansformations, Lecture Notes in Mathematics
515, Springer-Verlag, New York.

Литература 463
383. R. M. Miura, С. S Gardner and M. D. Kruskal A968), Korteweg-de Vries
equation and generalizations II. Existence of conservation laws and con-
stants of motion, J. Math. Phys., 9, pp. 1204—1209.
384. H. С Morris A979), Prolongation structures and nonlinear evolution
equations in two spatial dimensions, J. Phys., A, 12, pp. 261—267.
385. P. M. Morse and H. Feshbach A953), Methods of theoretical physics,
McGraw-Hill, New York.
[Имеется перевод: Ф. М. Морс, Г. Фешбах. Методы теоретической физи-
ки, т. 1, 2, ИЛ, 1958—1959.]
386. J. Moser A975a), Dynamical systems, finitely many mass points on the
line under the influence of an exponential potential — an integrable system,
in Dynamical Systems, Theory and Applications, J. Moser, ed., Lecture
Notes in Physics, 38, Springer-Verlag, New York.
387. — A975b), Integrable systems of nonlinear evolution equations, in Dy-
namical Systems, Theory and Applications, J. Moser, ed., Lecture Notes in
Physics, 38, Springer-Verlag, New York.
388. H. E. Moses A976), a solution of the Korteweg-de Vries equation in a half-
space bounded by a wall, J. Math. Phys., 17, pp. 73—75.
389. G. Mott A973), Elastic wave propagation in an infinite isotropic solid
cylinder, J. Acoust. Soc. Amer., 53, pp. 1129—1135.
390. A. C. Murray A978), Solutions of the Korteweg-de Vries equation evolving
from a «box» and other irregular initial functions, Duke Math. J, 45
pp. 149—181.
391. R. Nakach A977), Tech Rep't 2, School of Electrical Engineering, Chal-
mers Univ. Techn., Goteberg, Sweden.
392. A. Nakamura A979a), A direct method of calculating periodic wave solu-
tions to nonlinear evolution equations I. Exact two-periodic wave solution,
J. Phys. Soc. Japan, 47, pp. 1701—1705.
393. — A979b), Backlund transform and conservative laws of the Benjamin —
Ono equations, J. Phys. Soc. Japan, 47, pp. 1335—1340.
394. V. V. Nemytskii and V. V. Stepanov A960), Qualitative Behaviour of Dif-
ferential Equations, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ.
395. G. Neugebauer A979), Backlund transformations of axially symmetric
stationary gravitational fields, J. Phys. A, 12, pp. 167—170.
396. A. C. Newell A974), Nonlinear Wave Motion, American Mathematical
Society, Providence, RI.
397. A. C. Newell and L. Redekopp A977), Breakdown of Zakharov-Shabat
theory and soliton creation, Phys. Rev. Lett., 38, pp. 377—380.
398. R. G. Newton A966), Scattering Theory of Waves and Particles McGraw-
Hill, New York.
[Имеется перевод: Р. Ньютон. Теория рассеяния волн и частиц. — М.:
Мир, 1969.]
399. — A979), A new result on the inverse scattering problem in three di-
mensions, Phys. Rev. Lett., 43, pp. 541—542.
400. Л.П. Нижник A973). Обратная нестационарная задача рассеяния.—
Киев, Наукова думка.
401. С. П. Новиков A974). Периодическая задача Кортевега-де Фриза.—?
Функц. анализ и его прилож., т. 8, № 3, с. 54—66,

464 Литература
402. S. P. Novikov and I. M. Krichever A981), Algebraic geometry and mathe-
matical physics, cited in Proc. Joint US USSR Symposium on Soliton
Theory, Kiev, 1979, V. E. Zakharov and S. V. Manakov, eds., North-Hol-
land, Amsterdam.
403. S. Oishi A979), Relationship between Hirota's method and the inverse
spectral method — the Korteweg-de Vries equation's case, J. Phys. Soc.
Japan, 47, pp. 1037—1038.
404. D. J. Olbers and K. Herterich A979), The spectral energy transfer from
surface waves to internal waves, J. Fluid Mech., 92, pp. 349—379.
405. M. Olshanetsky and A. Perelpmov A976a), Completey integrabe classical
systems connected with semisimple Lie algebras, Lett. Math. Phys., 1,
pp. 187—193.
406. — A976b), Explicit solutions of some completely integrable systems, Lett.
Nuovo Cimento, 17, pp. 97—101.
407. — A976c), Completely integrable Hamiltonian systems connected with
semisimple Lie algebras, Invent. Math., 37, pp. 93—108.
408. F. W. Olver A974), Asymptotics and Special Functions, Academic Press,
New York.
409. H. Ono A975), Algebraic solitary waves in stratified fluids, J. Phys. Soc,
Japan, 39, pp. 1082—1091.
410. — A976), Algebraic soliton of the modified Korteweg-de Vries equation,
J. Soc. Japan, 41, pp. 1817—1818.
411. L. Onsager A949), Statistical hydrodynamics, II Nuovo cimento, Ser. 9, 6,
Suppl. No. 2, pp. 279—287.
412. S. A. Orszag and M. Israeli A974), Numerical simulation of viscous in-
compressible flows, Ann. Rev. Fluid Mech., 6, pp. 281—318.
413. A. R. Osborne and TL Burch A960), Interval solitons in the Andaman
Sea, Science, 258, pp. 451—460.
414. E. Ott and R. N. Sudan A970), Damping of solitary waves, Phys. Fluids,
13, pp. 1432—1434.
415. S. Oxford A979), The Hamiltonian of the quantized nonlinear Schrodinger
equation, Ph. D. thesis, Univ. of California, Los Angeles.
416. С. К. N. Patel A970), Investigation of pulse delay in selfinduced transpa-
rency, Phys. Rev. A., Ser. 3, 1, pp. 979—982.
417. J. Pedlovsky A971), Geophysical fluid dynamics, Lectures in Applied Ma-
thematics 13, American Mathematical Society, Providence, RI.
418. В. М. Peek A958), The Planet Jupiter, Faber and Faber, London.
419. A. S. Petters and J. J. Stoker A960), Solitary waves in liquids having
nonconstant density, Comm. Pure Appl. Math., 13, pp. 115—164.
420. О. М. Phillips A960), On the dynamics of unsteady gravity waves of finite
amplitude. I. The elementary interactions, J. Fluid Mech., 9, pp. 193—217.
421. — (A974), Nonlinear dispersive waves, Ann. Rev. Fluid Mech., 6, pp.93—
110.
422. — A977), The Dynamics of the Upper Ocean, 2nd ed., Cambridge Univ.
Press, London.
423. F. A. E. Pirani A979), Local Jet Bundle Formulation of Backlund Trans-
formations, Reidel, Boston, 1979,

Литературе 465
424. W. Pogorzelski A966), Integral Equations and Their Applications, Perga-
mon Press, London
425. Q. V. Ramanathan and G. Sandri A969), Model for the derivation of ki-
netic theory, J. Math. Phys., 10, pp. 1763—1773.
426. Lord (J. W. Strutt) Rayleigh A876), On waves, Philos. Mag., Ser. 5, 1,
pp. 257—279.
427. С Rebbi A979), Solitons, Scientific American, February, pp. 92—116.
428. L. G. Redekopp A977), On the theory of solitary Rossby waves, J. Fluid
Mech, 82, p. 225—745.
429. — A980), Similarity solutions of two-dimensional wave equations, Stud.
Appl. Math., 63, pp. 185—207.
430. L. G. Redekopp and P. D. Weidman A978), Solitary Rossby waves in
zonal shear flows and their interactions, J. Atmos. Sci. 35, pp. 790—804.
431. R. D. Richtmeyer and K. W. Morton A967), Difference Methods for ini-
tial-Value Problems, Interscience, New York.
432. M. H. Rizk and D. R. S. Ко A978), Interaction between small-scale sur-
face waves and large scale internal waves, Phys. Fluids, 21, pp. 1900—
1905.
433. R. Rosales A978), Exact solutions of some nonlineay evolution equations,
Stud. Appl. Math., 59, pp. 117—151.
434. G. G. Rossby A939), Relation between variations in the intensity of the
zonal circulation of the atmosphere, J. Marine Res., 2, pp. 38—55.
435. S. N. M. Ruysenaars A980), On one-dimensional integrable quantum
systems with infinitely many degrees of freedom, Ann. Phys., 128,
pp. 335—362.
436. W. Rund A976), Variational problems and Backlund transformations,
R. M. Miura, ed., Lecture Notes in Mathematics, 515, Springer-Verlag,
New York.
437. J. S. Russell A838), Report of the committee on waves, Report of the
7th Meeting of British Association for the Advacement of Science, John
Murray, London, pp. 417—496.
438. — A844), Report on waves, Report of the 14th Meeting of the British
Association for the Advancement of Science, John Murray, London,
pp. 311—390.
439. G. J. Salamo, H. M. Gibbs and G. С Churchill A974), Effects of dege-
neracy on self-induced transparency, Phys. Rev. Lett., 33, pp. 273—276.
440. S Salihoglu A980), Two-dimensional O(N) nonlinear cr-model and the
fifth Painleve transcendent, Phys. Lett, 89B, p. 367.
441 H Samelson A969), Notes on Lie Algebra, Van Nostrand-Reinhold, New
York.
442. R. Sasaki A979a), Geometrization of soliton equations, Phys. Lett., 71A,
pp. 390ff.
443. — A979b), Soliton equations and pseudo spherical, surfaces, Nucl. Phys.
В., 154, pp. 343—357.
444. M. Sato, T. Miwa and M. Jimbo A977), A978)', Studies on holonomic
quantum fields Proc Japan, Ser. A Math. Sci. I, 53, pp. 6—10; II, 53,
pp. 147—152; III, 53, pp. 153—158; IV, 53, pp. 183—185; V, 53, pp. 291—'

466 Литература
224; VI, 54, pp. 1—5; VII, 54, pp. 36—41 (series continues). See also
Holonomic quantum fields, Pub. RIMS, /, 14, pp. 223—267 (series conti-
nues).
445. J. Satsuma A976), N-soliton solution of the two-dimensional Korteweg-
deVries equation, J. Phys. Soc. Japan, 40, pp. 286—290.
446. — A979), private communication.
447. J. Satsuma and M. J. Ablowitz A979), Two-dimensional lumps in nonli-
near dispersive systems, J. Math. Phys., 20, pp. 1496 ff.
448. — A980), Solutions of an internal wave equation describing a stratified
fluid with finite depth, in Nonlinear Partial Differential Equations in Engi-
neering and Applied Science, R. L. Sternberg, A. J. Kalinowski and
J. S. Paradakis, eds. Marcel Dekker, New York.
449. J. Satsuma, M. J. Ablowitz and Y. Kodama A979), On an internal wave
equation describing a stratified fluid with finite depth, Phys. Lett., 73A,
pp. 283—286.
450. J. Satsuma and D. J. Каир A977), a Backlund transformation for a
higher order Korteweg-de Vries equation, J. Phys. Soc. Japan, 43,
pp. 692—697.
451. J. Satsuma and N. Yajima A974), Initial value problems of one-dimen-
sional self modulation of-nonlinear waves in dispersive media, Supp. Prog.
Theoret. Phys., 55, pp. 284—306.
452. A. C. Scott, F. Y. F. Chu and D. W. McLaughlin A973), The soliton —
A new concept in applied science, Proc. IEEE, 61, pp. 1443—1483.
453. H. Segur A973), The Korteweg-de Vries equation and water waves, so-
lutions of the equation, I, J. Fluid Mech., 59, pp. 721—736.
454. — A976), Asymptotic solutions and conservation laws for the nonlinear
Schrodinger equation, Part II, J. Math. Phys., 17, pp. 714—716.
455. — A980), Resonant interactions of surface and internalwaves, Phys.
Fluids, 23, pp. 2556—2557.
456. H. Segur and M. J. Ablowitz A976), Asymptotic solutions and conserva-
tion laws for the nonlinear Schrodinger equation, Part I., J. Math. Phys.
17, pp. 710—713.
457. — A981), Asymptotic solutions of nonlinear evolution equations and a
Painleve transcendent, Proc. Joint US-USSR Symposium on Soliton Theory,
Kiev, 1979, V. E. Zakharov and S. V. Manakov, eds., North-Holland, Am-
sterdam, pp. 165—184.
458. H. Segur and J. L. Hammack A981), Long internal waves of moderate
amplitude. I. Solitons, preprint.
459. А. Б. Шабат A973). Об уравнении Кортевега-де Фриза. ДАН СССР,
№ 6, 211, 1310—1313.
460. — A975). Обратная задача рассеяния для систем дифференциальных
уравнений. — Функ. анализ и его прилож., 9, № 3, 75—78.
461. — Report at joint US-USSR Symposium on Soliton Theory, Kiev, V. E. Za-
kharov and S. V. Manakov, eds., North-Holland, Amsterdam.
462. W. F. Simmons A969), A. variational method for weak resonant wave in-
teractions, Proc. Roy. Soc. London, A, 309, pp. 551—575.
463. E. К.. Склянин A979). Метод обратной задачи рассеяния и нелинейное
квантовое уравнение Шрёдингера, — ДАН СССР, т. 244, с, 1337—1341,

Литература 467
464. Е. К. Склянин, Л. Д. Фаддеев A978). Квантовомеханический подход к
вполне интегрируемым системам. — ДАН ССР, 243, с. 1430—1433.
465. R. E. Slusher and H. M. Gibbs A972), Self-induced transparency in atomic
rubidium, Phys. Rev. A, 5, pp. 1634—1659; Erratum, 6, p. 1255.
466. J. J. Stoker A957), Water Waves, Interscience, New York.
467. G. G. Stokes A847), On the theory of oscillatory waves, Trans. Camb.
Philos. Soc, 8, pp. 441—455.
468. R. Sugaya, M. Sugawa and H. Notnoto A977), Experimental observation
of explosive instability due to a helical electron beam, Phys. Rev. Lett., 39,
pp. 27—31.
469. B. Sutherland A972), Exact results for a quantum manybody problem in
one-dimension, II, Phys. Rev., 5A, pp. 1372—1376.
470. T. Taha and M. J. Ablowitz A981), Numerical simulations, Clarkson
College, Potsdam, NY.
471. Л. А. Тахтаджян A972). Дипломная работа. Ленинградский государ-
ственный Университет.
472. — A981), The quantum inverse problem method and the XYZ Heinsenberg
model, Proc Joint US-USSR Symposium on Soliton Theory, Kiev, 1979,
V. E. Zakharov and S. V. Manakov, eds. North-Holland, Amsterdam,
pp. 231 245.
473. В. И. Таланов A965). О самофокусировке волновых лучей в нелинейных
средах. — Письма в ЖЭТФ, 2, вып. 5, с. 218—222.
474. S. Tanaka A972a), On the N-tuple wave solutions of the Korteweg-de
Vries equation, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 8, pp. 419—428.
475. — A972b), Some remarks on the modified Korteweg-de Vries equation,
Publ. RIMS, Kyoto Univ., 8, pp. 429—437.
476. — A974), Korteweg-de Vries equations: construction of solutions in terms
of scattering data, Osaka J. Math., 11 pp. 49—59.
477. — A975), Korteweg-de Vries equation; asymptotic behaviour of solutions,
Publ. RIMS, Kyoto Univ., 101 PP- 367—379.
478. Т.. Taniuti and С. С Wei A968), Reductive perturbation method in non-
linear wave propagation I, J. Phys. Soc. Japan, 24, pp. 941—946.
479. G. I. Taylor A959), Waves on thin sheets of water II., Proc. Roy. Soc.
London, A, 253, pp. 296—312.
480. H. B. Thacker A978), Polynomial conservation laws in A + ^-dimen-
sional classical and quantum field theory, Phys. Rev. D, 17, pp. 1031—1040.
481. H. B. Thacker and D. Wilkinson A979), Inverse scattering transform as
an operator method in quantum field theory, Phys. Rev. D, 17, pp. 3660—
3665..
482. W. Thickstun A976), A system of particles equivalent to solitons. J. Math.
Anal. Appl., 55, pp. 335—346.
483. S. A. Thorpe A966), On standing internal gravity waves of finite ampli-
tude, J. Fluid Mech., 24, pp. 737—751.
484. M. Toda A967a), Vibration of a chain with nonlinear interaction, J. Phys.
Soc. Japan, 22, pp. 431—436.
485. — A967b), Wave propagation in enharmonic lattices, J. Phys. Soc. Japan,
23, pp. 501—506.

468 Литература
486. — A970), Waves in nonlinear lattices, Prog. Theoret. Phys., Suppl. 45,
pp. 174—200.
487. — A971), private communication.
488. K. Ueno A981), Monodromy preserving deformation and its application
to soliton theory, RIMS Kyoto Univ., preprint.
489. N. G. van Kampen A955), On the theory of stationary waves in plasmas,
Physica, 21, pp. 949—963.
490. A. Vlasov A945), On the kinetic theory of an assembly of particles with
a collective interaction, J. Phys. USSR, 19, pp. 25—40.
491. J. von Neumann A944), Proposal and analysis of a numerical model for
the treatment of hydrodynamical shock problems, Nat. Res. Com. Rep.
AM—551.
492. M. Wadati A972), The modified Korteweg-de Vries equation, J. Phys. Soc.
Japan, 32, pp. 168ff.
493. M. Wadati, K. Konno and Y. H. Ichicawa A979), New integrable non-
linear evolution equations, J. Phis. Soc. Japan, 47, pp. 1698 ff.
494. M. Wadati, H. Sanuki and K. Konno A975), Relationships among inverse
method, Backlund transformation and an infinite number of conservation
laws, Prog. Theoret. Phys., 53, pp. 419—436.
495. M. Wadati and M. Toda A972), The exact Nsoliton of the Korteweg-de
Vries equation, J. Phys. Soc. Japan, 32, pp. 1403—1411.
496. H. D. Wahlquist and F. B. Estabrook A973), Backlund transformation
for solutions of the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett., 23,
pp. 1386—1389.
497. — A975), A976), Prolongation structures and nonlinear evolution equa-
tions, J. Math. Phys., 16, p. 1—7; 17, pp. 1293—1297.
498. O. D. Waters A967), Oceanographic Atlas of the North Atlantic Ocean,
II, Physical Properties, U. S. N. Oceanographic Office, Washington, DC.
499. K. M. Watson, B. J. West and B. I. Cohen A976), Coupling of surface
and internal gravity waves: a mode coupling model, J. Fluid Mech., 77,
pp. 185—208.
500. J. V. Wehausen and E. V. Laitone A960), Surface waves. Handbuch der
Physik, vol. 9, Springer-Verlag, Berlin.
501. P. D. Weidman and T. Maxworthy A978), Experiments on strong inter-
actions between soliatry waves! J. Fluid Mech., 85, pp. 417—431.
502. V. Weisskopf and E. Wigner A930), Berechnung der Naturlichen Linien-
briete auf Grund, Z. Physik, 63, pp. 54—73.
503. M. Wellner A960), Energy renormalization in ordinary wave mechanics,
Phys. Rev., 118, pp. 875—877.
504. B. J. West, J. A. Thomson and К. М. Watson A974), Statistical mechanic»
of ocean waves, J. Hydronaut., 9, pp. 25—31.
505. G. B. Whitham A974), Linear and Nonlinear Waves, Wiley-Interscience,
New York. [Имеется перевод: Дж. Уизем. Линейные и нелинейные вол-
ны. — М.: Мир, 1977.]
506. — A979), Comments on some recent multi-soliton solutions, J. Phys. A.
Math., 12, pp. LI—L3.

Литература 4^9
507. J. Willebrand A975), Energy transport in a nonlinear and inhomogeneous
random gravity wave field, J. Fluid Mech., 70, pp. 113—126.
508. T. T. Wu, B. M. McCoy, С A. Tracy and E. Barough A976), Spin-spin
correlation functions for the two-dimensional Ising model-exact theory in
the scaling region, Phys. Rev. B, 13, pp. 316—374.
509. N. Yajima A974), Stability of envelope solitons, Prog. Theoret. Phys., 52,
pp. 1066 ff.
510. N. Yajima and Y. H. Ichikawa, eds. A979), Soliton Phenomena in Plas-
mas, Selected Papers in Physics 73, Physical Society of Japan.
511. N. Yajima and N. Kakutani, eds. A975), Nonlinear Dispersive Wave Mo-
tion, Selected Papers in Physics 59, Physical Society of Japan.
512. N. Yajima and M. Oikawa A975), A class of exactly solvable nonlinear
evolution equations, Prog. Theoret. Phys., 54, pp. 1576—1578.
513. — A976), Formation and interaction of sonic-Langmuir solitons — inverse
scattering method, Prog. Theoret. Phys., 56, pp. 1719—1739.
514. N. Yajima, M. Oikawa and J. Satsuma A978), Interaction of ionacoustic
solitons in three-dimensional space, J. Phys. Soc. Japan, 44, pp. 1711—
1714.
515. A. Yariv A975), Quantum Electronics, 2nd ed., John Wiley, New York.
516. H. С Yuen and W. Ferguson A978), Fermi — Pasta — Ulam recurrence
in the two-space dimensional nonlinear Schrodinger equation, Phys. Fluid,
21, pp. 2116—21)8
517. H. С Yuen and В. М. Lake A975), Nonlinear deep water waves theory
and experiment, Phys. Fluids, 18, pp. 956—960.
518. — A980), Instabilities of waves on deep water, Ann. Rev. Fluid Mech.,
12, pp. 303—334.
519. N. J. Zabusky A962), Phenomena associated with the oscillations of a
nonlinear model string, Mathematical Models in the Physical Sciences,
S. Drobat, ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ.
520. — A967), A synergetic approach to problems of nonlinear dispersive
wave propagation and interaction, in Proc. Symposium on Nonlinear Par-
tial Differential Equations, W. F. Ames, ed., Academic Press, New York.
521. — A969), Nonlinear lattice dynamics and energy sharing, J. Phys. Soc.
Japan, 26, Suppl., pp. 196 ff.
522. N. J. Zabusky and С J. Galvin A971), Shallow water waves, the Korte-
weg-de Vries equation and solitons, J. Fluids Mech., 47, pp. 811—824.
523. N. J. Zabusky and M. D. Kruskal A965), Interaction of solitons in a
collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys. Rev. Lett.,
15, pp. 240—243.
524. В. Е. Захаров A968). Устойчивость периодических волн конечной ампли-
туды на поверхности глубокой жидкости. ПМТФ, № 6, вып. 2, с. 86—94.
525. — A971). Кинетическое уравнение для солитонов. — ЖЭТФ, 60, вып. 3,
с. 993—1000.
526. — A972). Коллапс лэнгмюровских волн. — ЖЭТФ, 62, вып. 5, с. 1745—
1759.
527. — A973). О стохастизации одномерных цепочек нелинейных осциллято-
ров..—ЖЭТФ, 65, с. 219—225.

470 Литература
528. — A975). Неустойчивость и нелинейные колебания солитонов. — Письма
в ЖЭТФ, т. 22, с. 364—367.
529. — A976). Точное решение задачи о параметрическом взаимодействии
трехмерных волновых пакетов. — ДАН СССР, т. 228, с. 1314.
530. — A981), On the Benny equations, Proc. US-USSR Symposium on Soli-
ton Theory, Kiev, 1979, V. E. Zakharov and S. V. Manakov, eds., North-
Holland, Amsterdam, pp. 193—202. Physica 3D No. 1, 2.
531. Cm. [51].
532. В. Е. Захаров, Д. Д. Фаддеев A971). Уравнение Кортевега-де Фриза —
вполне интегрируемая гамильтонова система. — Функц. анализ и его при-
лож., 5, № 4, с. 18—27.
533. В. Е. Захаров, С. В. Манаков A973). О резонансном взаимодействии
волновых пакетов в нелинейных средах. — Письма в ЖЭТФ, 18, с. 413—
416.
534. — A974). О полной интегрируемости нелинейного уравнения Шрёдин-
гера. — ТМФ, 19, с. 322—332.
535. — A975). Теория резонансного взаимодействия волновых пакетов в не-
линейных средах —ЖЭТФ, 69, с. 1654—1673.
536. — A976). Асимптотическое поведение нелинейных волновых систем, ин-
тегрируемых методом обратной задачи. — ЖЭТФ, 71, с. 203—215.
537. — A979), Soliton theory, Phys. Rev. (Sov. Scient. Rev.) 1, pp. 133—190.
538. — eds. A981), Proceedings of the Joint US-USSR Symposium on Soliton
Theory, Kiev, 1979, Physica 3D Nos 1 + 2.
539. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский A980).
Теория солитонов. Метод обратной задачи. — М.: Наука.
540. В. Е. Захаров, А.В. Михайлов A978). Пример нетривиального рассея-
ния солитонов в двумерной классической теории поля. Письма в ЖЭТФ,
27, № 1, с. 47—51.
541. — A978). Релятивистки инвариантные двумерные теории поля, интегри-
руемые методом обратной задачи. — ЖЭТФ, 74, № 6, с. 1953—1973.
542. В. Е. Захаров, С. Л. Мушер, А. М. Рубенчик A974). О нелинейной ста-
дии возбуждения волн в плазме. — Письма в ЖЭТФ. т. 19, с. 249—251.
543. В. Е. Захаров, А. М. Рубенчик A973). Неустойчивость волноводов и
солитонов в нелинейных средах. — ЖЭТФ, 65, вып. 3, с. 997—1011.
544. В. Е. Захаров, А. Б. Шабат A971). Точная теория двумерной самофо-
кусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде —
ЖЭТФ, 61,с. 118—134.
545. — A972). Взаимодействие солитонов в устойчивой среде. — ЖЭТФ, 64,
вып. 5, с. 1627—1639.
546. — A974). Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений
математической физики методом обратной задачи рассеяния. I. — Функц.
анализ и его прилож., 6, вып. 3, с. 43—53.
547. — A979). Интегрирование нелинейных уравнений математичекой фи-
зики методом обратной задачи рассеяния. II. — Функц. анализ и его
прилож., 13, еып. 3, с. 13—22.
548. V. Е. Zakharov and E. I. Shulman A980), Degenerate dispersion laws,
motion invariance and kinetic equations, Physica D, 1, pp. 192—202.

Литература 471
549. В. Е. Захаров, В. С. Сынах A975). О характере особенности при само-
фокусировке, ЖЭТФ, т. 68, вып. 3, с. 940—947.
550. J. M. Ziman A960), Electrons and Phonons, Clarendon Press, Oxford.
[Имеется перевод: Дж. Займан. Электроны и фононы. Теория явлений
переноса в твердых телах. — ИЛ, 1962.]
Литература, добавленная переводчиком
К главе I
1. Герджиков В. С, Христов Е. X. Об эволюционных уравнениях, решаемых
методом обратной задачи рассеяния. I — Болгарский физ. ж., 1980, 7,
№ 1, 28—41; II. 1980, 7, № 2, 119—133.
2. Каир D. J., Newell А. С. Soliton equations, singular dispersion relations
and moving eigenvalues. — Adv. Math., 1979, 31, 67—100.
3. Герджиков В. С, Иванов М. И. Кулиш П. П. Квадратичный пучок и не-
линейные уравнения. — ТМФ, 1980, 44, № 3, 342—357.
4. Gerdjikov V. S., Kulish P. P. The generating operator for the n X n linear
system A980). Gerdjikov V. S. Inverse problems. Gauge covariant formu-
lation of the generalized Fourier transforms for the soliton equations».—
Physica D, 3D, n. 3, 549—564.
5. Каир D. J. The squared eigenstates of the sine-Gordon eigenvalue pro-
blem.—J. Math. Phys., 1984, 25, p. 8, 2467—2471.
6. Буслаев В. С. Использование детерминантного представления решений
уравнения Кортевега — де Фриза для исследования их асимптотического
поведения при больших временах. — УМН, 1981, т. 36, № 4, с. 217—218.
7. Буслаев В. С, Суханов В. В. Об асимптотическом поведении при t -»¦ оо
Pi
решений уравнения tyXx + «"ф + ~т 'Ф = 0 с потенциалом и, удовлетворяю-
щим уравнению КдФ. — В сб.: Проблемы математической физики, вып. 10,
ЛГУ, 1982.
8. Новокшенов В. Ю, Асимптотика при /-»-оо решения задачи Коши для не-
линейного уравнения Шрёдингера. — ДАН СССР, 1980, т. 251, № 4,
с. 799—801.
9. Новокшенов В. Ю. Асимптотика при t-*-oo решения задачи Коши для
двумерного обобщения цепочки Тоды. — Изв. АН СССР, 1984, сер. матем.,
т. 48, № 2, с. 372—410.
10. Итс А. Р. Асимптотика решений нелинейного уравнения Шрёдингера и
изомонодромные деформации систем линейных дифференциальных уравне-
ний.—ДАН СССР, 1981, т. 261, № 1, с. 14—18.
11. Итс А. Р., Петров В. Э. Изомонодромные решения уравнения Sine-Gordon
и временная асимптотика его быстроубывающих решений.—ДАН СССР,
1982, т. 265, № 6, с. 1302—1304.
К главе 2
1. Захаров В. Е., Манатов С. В. Точная теория резонансного взаимодей-
ствия волновых пакетов в нелинейных средах. — Препринт ИЯФ 74—41,
Новосибирск, 1974.

472 Литература
2. Шабат А. Б. Обратная задача рассеяния. — Дифференц. уравнения, т. XV,
с. 1824—1834.
3 Каир D. J. On the Inverse Scattering Problem for Cubic Eigenvalue
Problems of the Class Ч>*„ + 6QiJ), + 6Rty = Хф Studies in Applied Mathe-
matics, 1980, 62, p. 189—216.
4. Beals R. The Invers Problems for Ordinary Differential Operators on the
Line. — Preprint of the Yale University, 1982,
5. Beals R., Coifman R. R. Scattering and Inverse Scattering for First Order
Systems. — Comm. on Pure and Appl. Math., 1984, V. 37, p. 39.
6. Итс А. Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование
нелинейных дифференциальных уравнений. — Вестник ЛГУ, 1976, сер. ма-
тем.-мех.-астр., № 7, вып. 2, с. 39—46.
7. Итс А. Р., Котляров В. П. Явные формулы для решений нелинейного
уравнения Шрёдингера. — ДАН СССР, 1976, сер. А., № И, с. 965—968.
8. Козел В. А., Котляров В. П. Почти периодические решения уравнения
ии — и** + sin u _ о. — ДАН УССР, сер. А., № 10, с. 878—881.
9. Matveev V. В. Abelian function and solitons. — Preprint of Wroclaw Uni-
versity N 373.
10. Дубровин Б. А. Матричные конечнозонные операторы. — изд. ВИНИТИ,
1983, Итоги науки и техники, сер. «Современные проблемы математики»,
т. 23, с. 33—76.
11. Izergin К. G., Korepin V. E. Lattice versions of quantum field theory mo-
dels in two dimensions. — Nucl. Phys., 1982, В 205 3, p. 401—413,
12. Тарасов В. О., Классический вариант решеточной модели синус-Гордон.—
Записки науч. сем. ЛОМИ, т. 120, с. 173—187, 1982.
13. Корепин В. Е., Изергин А. Г. Решеточная модель, связанная с нелинейным
уравнением Шрёдингера. — ДАН СССР, 1981, 259, № 1, с. 76—79.
К главе 3
1. Жибер А. В., Шабат А. Б. ДАН СССР, 1979, 247, № 5, с. 1103—1105.
2. Ибрагимов Н. X., Шабат А. Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной
группой Ли — Бэклунда. — Функц. анализ и его прилож., 1980, т. 14,
вып. 4, с. 79—80.
3. Ямилов Р. И. УМН, 1983, 38, вып. 6, с. 155—156.
4. Михайлов А. В., Шабат А. Б. Условия интегрируемости систем двух
уравнений вида м< = А(и) (и)*, + F(u, и*). I. ТМФ, 1985, т. 62, № 2,
с. 163—185.
5. Sokolov V. V., Shabat А. В. Classification of Integrable Evolution Equa-
tions. — Sov. Scj. Rev. С V. 4, p. 221—280.
6. Свинолупов С. И., Соколов В. В. Об эволюционных уравнениях с нетри-
виальными законами сохранения. — Функц. анализ, 1982, т. 16, вып. 4,
с. 86—87.
7. Свинолупов С. И. Список формально интегрируемых уравнений вида
u, = h(u)u3 + f(ui, иг, из). Деп. ВИНИТИ № 2962—83, 6 с. Канд. дисс.
УФА, 1985.
8. Свинолупов С. И. Эволюционные уравнения второго порядка, обладающие
симметриями. УМН, 1985, т. 40, вып. 5, с. 263—264,

Литература 473
9. Михайлов А. В., Шабат А. Б. Условия интегрируемости систем двух
уравнений вида щ = Л(и)и« + F(u, и,). II. ТМФ, 1986, 66, № 1, с. 47—
65.
10. Шабат А.Б., Ямилов Р. И. О полном списке интегрируемых систем урав-
нений вида iut = ихх + f(u, v, их, vx), — ivt — vxx + g(u, v, ux, vx). Пре-
принт УФА, 1985.
11. Захаров В. Е. Неустойчивость и нелинейные колебания солитонов. Письма
в ЖЭТФ, 1985, т. 22, с. 364.
12. Бурцев С. П. Затухание колебаний солитона в средах с отрицательным
законом дисперсии ЖЭТФ, 1985, т. 88, вып. 2, с. 461—469.
13. Zakharov V. Е., Kuznetsov E. A., Rubenchik A. M. A986). Soliton Sta-
bility, p. 505—553 in Solitons, eds. S. E. Trullinger, V. E. Zakharov,
V. L. Pokrovskii North Holland P. С
14. Holm D. D., Marsden J. E., Ratiu Т., Weinstein A. Nonlinear stability of
fluid and plasma equilibria — Phys. Reports, 1985, v. 123, N 182, p. 1—116.
15. Михайлов А. В. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода.
Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 30, вып. 7, с. 443—448
16. Dodd R. К., Bullough R. К. Proc. Roy. Soc, 1977, А352, p. 48.
К главе 4
1. Башаров А. М., Маймистов А. И. О самоиндуцированной прозрачности в
условиях вырождения резонансных энергетических уровней, — ЖЭТФ, 1984,
т. 87, вып. 5, с. 1594—1605.

Указатель
Абеля преобразование 168
Адо теорема 196
Алгебра 194
Анализ особых точек 274—278
Антикинк 50, 396
Аттенюатор 374
Бенджамина — Оно (Benjamin—Опо)
(Б —О) уравнение 234, 316, 331,
334, 440
Бенни (Веппеу) уравнения для длин-
ных волн 109
Бете (Bethe) анзатец 383
Блоха (Bloch) функции 158
Боголюбова формула 429
Брента — Вяйсяля (Brunt — Vaisala)
частота 339
Бризер 50, 105, 287, 396
Бромвича (Bromwich) контур 428,
434
Буссинеска (Boussinesq) уравнение
117, 223, 227, 230, 249, 265, 271,
299, 303, 322
— уравнения 305
Бэклунда (Backlund) преобразование
(ПБ) 176, 179—188, 226—227, 246,
302, 384
в билинейной форме 213—218
дискретное 188
между КдФ и мКдФ 190
определение 180
уравнения КдФ в себя 184—
185
Бэра закон 374
Бюргерса (Burgers) уравнение 180,
191, 192, 194, 304
Вайскопфа — Вигнера (Weisskopf —
Wigner) модель 439
Вейерштрасса функция эллиптическая
241
Взаимодействие двух наклонных со-
литонов 329—330, 395
— двухволновое 115
Взаимодействие
— лэнгмюровских и ионозвуковых
волн в плазме 116
— коротких капиллярных волн с
длинными гравитационными волна-
ми 116
— трехволновое 114, 125—131, 132,
341—355
Власова уравнение 426, 441
Волна длинная 389
— интенсивная 110
— кноидальная 168
— малой амплитуды 389
— ударная бесстолкновительная 100
фронт 101
обратимая 16
Волновод автолокализованный 358
Волновой фронт 422
Волновые пакеты 128, 130
Волнопродуктор 323
Волны внутренние 331—337, 350—354
— второго типа 12
— на воде 316—331, 361—370
— длинные 324
модель КдФ 321
— океанские 329—330, 394
— уединенные 12, 16, 52
устойчивость 286—298
Вольтерры интегральные уравнения
28—29, 120, 162
Вояджер 337
Время возвращения 175
Вронскиан 147
Вырождение по моменту 374
Галилея преобразования 322
Гамильтона уравнение 136, 385
Гамильтонова динамическая система
75, 108, 385, 403
— задача N тел с парным взаимо-
действием 237, 241
— механика 74
Гаусса — Бонне теорема 396
Гельфанда — Левитана — Марченко
уравнение 34, 39, 118, 248, 267, 286

Указатель
Гельфанд а—Леей тана—Марченко
¦ дискретный аналог 149
уравнение 220, 303
Генерация второй гармоники 347
Гильберта преобразование 234, 316
— теорема 396
Гильбертово пространство 386
Грина теорема 288
— тождество 287
Гросса — Неве (Gross — Neveu) мо-
дель 387
Гурса (Goursat) задача 34
Диссипация 286, 289, 322, 402
Дифференциальная геометрия 371—
374
Дифференциальные формы внешние
188
Длинноволновой предел 134, 333—334
Дрейфовая скорость 394
Дырка 340
Дэви — Стюартсона (Davey—Stewart-
son) решение 134
Забужского — Краскала (Zabusky —
Kruskal) решение КдФ 14—15
Задача асимптотически устойчивая
402
— диссипативная см. Задача асимп-
тотически устойчивая
— линеаризованная 60, 109
— некорректная (в смысле Адамара)
402
— неустойчивая 401
— об устойчивости двумерного невяз-
кого плоского течения 442—443
— о рассеянии на потенциале 40
самоиндуцированной прозрач-
ности (СИП) 108
связи асимптотик 280
— рассеяния для оператора второго
порядка 19—26
обратная 161—166
для оператора Шрёдингера
40, 68
зависимость от времени 42—
56, 166—172
на бесконечном интервале
26—42
прямая 157—161
— самосопряженная 37
Задачи дискретные 135—156, 419
— многомерные 218—220
— рассеяния 131—135, 151, 190
дифференциально-разностный
случай 151—152
конечно-разностный случай
152-155
475
Задачи дискретные
• поиск 177—178
— с полиномиальным дисперсионным
соотношением 190—194
Закон дисперсии линеаризованной
задачи см. Характеристика пере-
ходная
Законы сохранения 16, 68—73, 106,
109, 115, 173, 176, 188, 196, 301,
399, 405, 410, 441
локальные 70, 109, 126
Законы сохранения полиномиальные
109
Захарова — Манакова метод 89
— Шабата задача рассеяния 19—26,
46, 56, 130, 136
— модификация 21
— • обобщенная 190
метод 68, 134
оператор 46, 52, 67, 139, 146,
262
Зоны запрещенные 159
— разрешенные 159
Изинга (Ising) двумерная модель 284
Инволюция 81, 109
Интеграл энергии 399, 403, 405, 406,
410, 416—418, 424, 440
Интегралы движения 154
Поста (Jost) функции 146, 249
дискретный аналог 155
Кадомцева — Петвиашвили уравнение
(К—П) 132, 134, 157, 218, 221, 227,
249, 262, 303, 316, 330
устойчивость солитона от-
носительно поперечных возмущений
295
Каноническая жорданова форма 300
Карпмана — Маслова метод 286, 290
Каупа — Ньюэла (Каир — Newell)
метод 286, 290
Квантование 174
Квантовая теория поля 384—388
Кеулегана (Keulegan) теория 335
Кинк 50, 396
Клейна — Гордона (Klein — Gordon)
уравнения 177, 415, 433
Клерена (Clairin) метод 191
Ковалевской метод
Колебательный тип волн см. Волны
второго типа
Конечнозонные потенциалы 160
с периодическими граничными
условиями 157
Координаты лабораторные 174, 415
— конусные 174

476
Указатель
Кортевега — де Фриза (Korteweg—de
Vries) (КдФ) уравнение 13, 25, 52,
54, 62, 68, 71, 74, 84, 98—103, 105,
111, 138, 161, 173, 181, 188—189,
200—207, 234,249, 251,315—341, 390
диссипатявное возмущение
292
линеаризованное 412
модифицированное (мКдФ)
17, 19, 32, 93—98, 181, 184—185,
207—211, 221, 227, 249, 251, 260,
302, 316, 390, 412
• дискретное 143
с затуханием 289—292
¦ — сильно нелинейное
292—297
Коула — Хопфа (Cole — Hopf) пре-
образование 180, 193, 194, 197, 300,
304
Кориолиса (Coriolis) параметр 339
Коши — Римана соотношение 180
Коэффициент отражения 40, 155
Крамера правило 53
Кранка — Никольсона (Crank—Nicol-
son) схема 145, 419
Краскала (Kruskal) принцип макси-
мального упрощения 318
Крума (Crum) теорема 186, 187
Лазер рубиновый 348
— сииий 349
Лакса (Lax) представление 265
Ламп 221, 228—229, 266, 331
Ландау затухание 380, 428
Лапласа преобразование 433, 440, 442
— уравнение 332
Лежандра преобразование 182
Ли алгебра 194—197
абелева 195, 301
неабелева 195
— — представление 196
специальная унитарная 195
Лиувилля теорема 403
Ли — Бэклунда (Lie — Backlund) пре-
образования 182
Локальные расслоения джетов 183
Майлза (Miles) решение резонансное
303
Мак-Кола — Хана (McCall — Hahn)
теорема площадей 380
Максвелла — Блоха уравнения 374—
375
Матрица антиэрмитова 195, 239
— монодромии 158, 285
— с нулевым следом 195
Метод ВКБ 89, 121
«— возмущений упрощенный 316
Метод
— наибыстрейшего спуска 404, 408
— обратной задачи рассеяния (МОЗР)
11, 18, 51, 61, 74, 78, 112—175,176,
183, 184, 190, 199, 217, 229, 233,
271—274, 278, 305—307, 382, 385
— стационарной фазы 404
— энергетический 399
Методы построения солитонных ре-
шений прямые 199
Методы, использующие линейное ин-
тегральное уравнение, прямые 248—¦
267
Миуры (Miura) преобразование 17,
98, 106, 179, 187, 246, 304
Модель двухслойная 332
— одномерной кинетической теории
424
Моды нормальные 398, 401
Мэнли — Роу (Manley — Rowe) соот-
ношения 115, 348
Нелинейная оптика 342—350
Непрерывное излучение 325
Неустойчивость взрывная 114, 128,
130, 133
— распадиая 114, 130, 133
Обдирание импульса 381
Общая теория относительности 382—
384
Обыкновенное дифференциальное
уравнение (ОДУ) 267
критическая особая точка
268
неподвижная точка 268
подвижная точка 268
¦ регулярная точка 268
Оператор возмущенный 263
— временной эволюции 112, 125
-г- невозмущенный 263
— сопряженный 58
Осцилляции параметрические 349
Отображение 179
Пакет осцилляторных волн 326—327
Парсеваля тождество 38, 402
Пенлеве (Painleve) свойство 177,
268—270, 272, 273, 304, 382, 393
гипотеза 270
определение 269
— трансценденты 267—286
глобальные свойства 278—286
— уравнение 95, 227, 233, 261
— а-метод 274
Переменные быстрые 287
— медленные 287
¦*- сопряженные 75

Указатель
477
Переменные
— типа действие — угол 68, 74, 77—
79, 83, 84, 108, 174, 176, 381
Переходный слой см. Волна ударная
бесстолкновительна я
Поверхности псевдосферические 373,
396
Поверхность постоянной отрицатель-
ной кривизны 373
— псевдосферическая 373
поле линейно поляризованное 377
Полка 291—292, 325
Полная интегрируемость 74
— (гауссова) кривизна 372
Полнота квадратов собственных функ-
ций 66
Поляризация 342
— индуцированная 433
Поперечные колебания натянутой
струны 368
Поршень 328—329
Преобразование годографа 182
— каноническое 77, 108
— обратной задачи рассеяния Aп-
vers Transform Method) см.
Метод обратной задачи рассея-
ния
Преобразований группа 405
Преобразования контактные 182
— точечные 182
Проблема N тел 233—248
Псевдопотенциал 188—199, 299
— линейный 196, 300
— неабелев 176—177, 190, 302
— определение 190
Пуанкаре возвращаемость 403
Пуассона скобки 77, 84, 106, 107,
385
Рассела (Russel) результаты 12
Рассеяния данные 28, 41—44, 64, 82,
104, 105, 125, 129, 173, 174
— задача обратная 32, 161—166
для оператора Шрёдингера
40
прямая 32
— матрица 27, 119, 129
Резонанс тройной 219
Резонансная триада 345, 392, 393
Резонансные квартеты 354—355
Резонансный диполь 376
Решение волновое 60
— двухламповое 229
— двухполюсное 51
— двухсолитонное 202, 208, 218, 227,
230, 330
— квазипериодическое 157
••— квазистационарное 287
Решение многосолитонное 48, 52—56
134, 177, 187, 202—203, 209, 210—
211, 213, 215, 224, 255
— односолитонное 208, 210—211 212
214, 227, 232
— периодическое 287, 302
— ЛГ-ламповое 229
Решения автомодельные 54, 96, 111
226, 382, 409
Решетка нелинейная автомодельная
136, 143, 153
Римана —Гильберта задача 38—39,
248, 303, 384
— задача 118
— Лебега теорема 406
— тэта-функция 171
Риманова поверхность 171
¦ деформированная ЛГ-зонная 172
Риккати уравнение 68, 71
обобщенное 266, 304
Риччи тензор 383
Россби (Rossby) волны 337—341
— рябь 378
— солитон 340
Самоиндуцированная прозрачность
(СИП) 374—382
линейное приближение 430
¦ механическая аналогия 396
уравнения 377
Секулярные члены 90, ПО, 314, 320,
342, 390
Система динамическая изоспектраль-
ная 237
— распадающаяся 60
Скалярное произведение 58
Скорость групповая 421
— фазовая 404
Среды восприимчивость 342
Схема конечно-разностная 400
неустойчивая 402
Схемы локальные 146
— нелокальные 145
Собственная функция 125
— — нормированная 155
Солитон 11, 15, 48—56, 105, 109, ПО,
126, 130, 173, 174, 176, 187, 324,
325, 391
— алгебраически несингулярный 233
— взрывающийся 48
— внутренний 335
— возмущения 286—297
— двумерный см. Ламп
— квантовый 388
— невозмущенный 290
— огибающей 42
— связанное состояние 49
— устойчивость 286—297

478
Указатель
Состояния связанные 49, 173
Спектр вспомогательный 156
— непрерывный 220
— основной 156
Спектральные свойства 160
Спектральный параметр 191
Среда неоднородно уширенная 376
Стокса множители 285
Структуры продолжения 188—199
— исследование 178—179
определение 189
Теорема о суперпозиции 185
Теория возмущений 116, 212, 286
Теория многофазных волн 172
— однофазных волн 172
— рассеяния 118—125, 146—156
— характеристик 34
Тоды (Toda) цепочка 135—138, 143,
146, 155, 156, 174, 211, 234
Точка поворота линейная 280
— — нелинейная 280
Уолквиста — Эстабрука (Wahlquist—
Estabrook) метод 191
Уравнение тепловодности 410
— sin-Гордон (sine-Gordon) 19, 32,
49, 52, 106, ПО, 157, 181, 186, 198,
209, 219, 249, 271, 272, 299, 302,
370—384, 385, 387, 396, 415, 418
двойное 304
— sh-Гордон 24
Уравнения билинейные 200
— дифференциально-разностные 400
нелинейные 139—146
— квазилинейные третьего порядка
177
— Я-типа 269
связь с МОЗР 270—274
Усилитель 374
Условия интегрируемости 176—177
— ортогональности 58, 63—67
Ферми — Паста—У лама (Fermi—Pas-
ta— Ulam) проблема 13
Фишера уравнение 193, 304
Формула суперпозиции солитонов
217
Формулы следов 71—73, 126, 174
Фредгольма альтернатива 36
— детерминанты 220
Фреше производная 161
Функции гиперэллиптические 179
— почти-периодические 157
— эллиптические 272
Фурье анализ нелинейный 62—63
— интеграл 442
— Лапласа преобразование 398, 431,
442
Фурье анализ
— метод 44
— преобразование 38, 109, 111, 398—
423, 439, 440
неприменимость 423, 435
Характеристика переходная 144
Хевисайда (Heaviside) функция 79
Хенона (Нёпоп) интегралы 174
Хироты (Hirota) метод 48, 199—220
Цепочка экспоненциальная см. Тоды
цепочка
Частоты повышение 350
Шрёдингера (Schrodinger) оператор
25, 26, 31, 45, 52, 67, 136, 146, 155
157, 324, 325, 407
— уравнение 18, 19, 23, 32, 45 47
48, 54, 61, 76, 109, 116, 153, 154'
157, 162, 209, 210, 249, 254, 27''
276, 302, 355—370, 384, 405, 435
Шрёдингера уравнение, диссипатив-
ное возмущение 292
• дифференциально-разностное
140, 142
Эволюционные уравнения 23—26,56—
62, 67, 105, 112—118, 136—146,183,
196, 248, 398
дискретные 211—213
нелинейные 233—248, 314
рациональные решения 220—
233
Эволюционный оператор общий 56—
67
Эволюция длинной отрицательной
волны 326
— оптических импульсов 381
Эйлера — Лагранжа гипотеза 389
Эйнштейна уравнения 382—383
Эйри (Airy) теория 13
— функция 95, 261, 292, 413—414
Эрнста (Ernst) уравнения 384
Юнга модуль 389
Юпитера фотография 338
— Большое красное пятно 338—341
Якоби функция эллиптическая 168,
391
cond (ц, v) 204
Е-струна 392
Оя -импульс 380—381
2л-импульс 379—381, 397

Содержание
Предисловие редактора перевода 5
Пролог. 9
Глава 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интер-
вале и
1.1. Введение II
1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка и связан-
ные с ней интегрируемые уравнения в частных производных 19
1.3. Вывод линейного интегрального уравнения и обратная зада-
ча рассеяния на бесконечном интервале 26
1.4. Зависимость от времени и частные решения 42
1.5. Оператор эволюции 56
1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 68
1.7. Поведение решений на больших временах 84
Упражнения 103
Глава 2. МОЗР в других постановках 112
2.1. Задачи на собственные значения для операторов более вы-
сокого порядка и многомерные задачи рассеяния 112
2.2. Дискретные задачи 135
2.3. Периодические граничные условия для уравнения Кортеве-
га — де Фриза 156
Упражнения 172
Глава 3. Различные перспективы 176
Краткий обзор 176
3.1. Преобразование Бэклунда 179
3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения 188
3.3. Прямые методы построения солитонных решений. Метод Хи-
роты 199
3.4. Рациональные решения нелинейных эволюционных уравнений 220
3.5. Проблема N гел и нелинейные эволюционные уравнения . . 233
3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение . . 248
3.7. Трансценденты Пенлеве 267
3.8. Возмущения и устойчивость солитонов и уединенных волн
относительно поперечных возмущений 286
Упражнения . 298

Глава 4. Приложения 314
4.1. КдФ и родственные уравнения 315
4.2. Трехволновые взаимодействия 341
4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения . . . 355
4.4. Уравнения типа «sin-Гордон» 370
4.5. Квантовая теория поля 384
Упражнения 388
Приложение. Линейные задачи 398
П.1. Преобразование Фурье , 398
П.2. Неадекватность метода преобразования Фурье 423
Упражнения 435
Литература 444
Указатель 474