Конструктивная теория функций - Патансон И.П.

Author: Патансон И.П.
Tags: математика теория функций
Year: 1949
Similar
С.Н. Бернштейн. Собрание сочинений Т.1. Конструктивная теория функции
С.Н. Бернштейн. Собрание сочинений Т.2. Конструктивная теория функции
Лекции по конструктивному математическому анализу
Собрание сочинений Т.1 Метрическая теория функций и теория функций комплексного переменного
Text
                    И. П. НЛТЛНСОЙ
КОНСТРУКТИВНАЯ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 94 9 ЛЕНИНГРАД
11-5-4
Редактор В. И. Битюцков.	Техн, редактор Н. Я. Мурашова,
Подписано к Печати 29/IV 1949 Г. 43 пел. л. 36,05 уч.-ивд. л. 35 200
тип. эн. в печ. листе. А-04336. Тираж 5000. Цена книги 21 р. 60 К.
Переплёт 2 р. Закаа № 1161.
16-я типография Главполиграфивдата при Совете Министров СССР,
Москва, Трёхпрудный, 9.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие . . . .................................   8
Введение.......................................... 13
 ЧАСТЬПЕРВАЯ.
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ.
Глава I. Теоремы Вейерштраеса....................... 19
§ 1.	Первая теорема Вейерштраеса................  19
§ 2.	Вторая теорема Вейерштраеса................. 26
§ 3.	Связь теорем Вейерштраеса между собой.....	35
Глава П. Алгебраические полиномы наилучшего при-
ближения ........................................... 40
§ 1.	Основные понятия............................ 40
§ 2.	Теоремы П. Л. Чебышева...................... 49
§ 3.	Примеры. Полиномы Чебышева.................. 58
§ 4.	Дальнейшие свойства полиномов Чебышева ...	66
Глава III. Тригонометрические полиномы наилучшего
приближения  ......................................  84
§ 1.	Корни тригонометрического полинома..........	84
§ 2.	Метод изображающих точек.................... 87
§ 3.	Тригонометрический полином наилучшего прибли-
жения .......................................    93
§ 4.	Теоремы П. Л. Чебышева...................... 95
§ 5.	Примеры...................................  103
Глава IV. Влияние структурных свойств функции на
порядок её приближения тригонометрическими поли-
номами ........................................   .	106
§ 1.	Постановка вопроса. Модуль непрерывности. Усло-
вие Липшица ..................................  106
§ 2.	Вспомогательные предложения................ Ill
§ 3.	Теоремы Д. Джексона........................ 117
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Характеристика структурных свойств функции
из основании поведения её наилучшего приближения
тригонометрическими полиномами....................  .	123
§ 1.	Неравенство G. Н. Бернштейна................... 123
§ 2.	Некоторые сведения из теории рядов............. 126
§ 3.	Теоремы С. Н. Бернштейна....................... 132
§ 4.	Теоремы А. Зигмунда............................ 141
§ 5.	Существование функции, имеющей наперёд задан-
ные наилучшие приближения........................  145
§ 6.	Плотность класса в классе Ырла................. 154
Глава VI. Связь структурных свойств функции о её
приближениями алгебраическими полиномами ....	156
§ 1.	Вспомогательные предложения ................... 156
§ 2.	Влияние структурных свойств функции на её при-
ближения ......................................... 161
§ 3.	Обратные теоремы............................... 165
§ 4.	Второе неравенство	С.	Н.	Бернштейна............ 169
§ 5.	Существование функции с наперёд заданными
приближениями..................................... 173
§	6.	Неравенство А.	А.	Маркова. 174
Глава VII. Ряды Фурье кав аппарат приближения . 	180
§	1.	Ряд Фурье.................................... 180
§	2.	Оценка отклонения	частных сумм ряда Фурье. .	189
§ 3.	Пример непрерывной функции, не разлагающейся
в ряд Фурье . ».............................  .	.	194
Глава VIII. Суммы Фейера и Валле-Пуссена .....	199
§ 1.	Суммы Фейера................................... 199
§ 2.	Некоторые оценки для отклонения сумм Фейера .	203
§ 3.	Суммы Валле-Пуссена............................ 211
Глава IX. Наилучшее приближение [аналитических
функций . .........................................   216
§ 1.	Понятие аналитической функции.................. 216
§ 2.	Теоремы С. Н. Бернштейна о наилучшем прибли-
жении периодических аналитических функций . .	222
$ 3.	Наилучшее приближение функций, аналитических
на сегменте ........ ^ 1 . ..................... 228
Глава X. Свойства некоторых аналитических аппаратов
приближения . ....................................... 243
§ 1.	Разложения по полиномам Чебышева............... 243
§ 2.	Некоторые свойства полиномов	Бернштейна	.	.	.	245
§ 3.	Некоторые свойства интеграла	Валле-Пуссена	.	.	257
$ 4.	Суммы С. Н. Бернштейна — В. Рогозинского	.	.	.	269
§ 5.	Множители сходимости....................... .	273
ОГЛАВЛЕНИЕ	$
ЧАСТЬ ВТОРАЯ.
КВАДРАТИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ.
Глава I. Пространство L^x)......................... 285
§ 1.	Постановка вопроса......................... 285
§ 2.	Весовая функция. Пространство Е’(а:)....... 287
§ 3.	Сходимость в среднем......................  291
§ 4.	Функциональные классы, /плотные в ....	295
Глава II. Ортогональные системы .	............ 299
§ 1.	Ортогональность. Примеры.........:......... 299
§ 2.	Коэффициенты Фурье......................... 304
§ 3.	Полнота и вамкнутость................... . .	312
Глава III. Линейно независимые системы функций . .	316
§ 1.	Линейная независимость. Определитель Грама.
Теорема Шмидта................................. 316
§ 2.	Приближение линейно независимыми функциями.	321
§ 3.	Теоремы Мюнтца...............•............. 326
Глава IV. Общие свойства ортогональных полиномов .	332
§ 1.	Основные определения....................... 332
§ 2.	Корни ортогональных полиномов. Рекуррентная
формула.......................................  338
§ 3.	Связь с теорией непрерывных дробей......... 350
§ 4.	Формула Кристоффеля—Дарбу. Сходимость ортого-
. . нальных разложений............................. 360
§ 5.	Преобразования весовой функции............. 369
Глава V. Полиномы Лежандра........................  379
§ 1.	Формула Родрига..........................   379
§ 2.	Производящая функция....................... 387
§ 3.	Интеграл Лапласа.........................•	391
§ 4.	Разложения по полиномам Лежандра..........  394
Глава VI. Полиномы Якоби . .	................ 404
§ 1;	Обобщённая формула Родрига .	............ 404
§ 2.	Рекуррентная формула. Производящая функция.
Дифференциальное уравнение..................... 411
§ 3.	Оценки полиномов Якоби. Проблема разложения.	414
§ 4.	Полиномы Чебышева второго рода .......	419
1 1
§ 5.	Полиномы Якоби для а=--, (1= —	......	429
Глава VII. Проблема моментов для конечного проме-
жутка ........................................   433
§ 1.	Постановка вопроса . .....................  433
§ 2.	Теоремы Хаусдорфа ......... . .	439
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.	Линейные функционалы в С и L*............... 446
§ 4.	Позитивные последовательности .............  453
Глава VIII. Случай бесконечного промежутка.........	459
§ 1.	Предварительные замечания................... 459
§ 2.	Полиномы Лагерра............................ 464
§ 3.	Обобщённые полиномы Лагерра............	467
§ 4.	Полиномы Эрмита............................  470
§ 5.	Проблема моментов для бесконечного промежутка 474
§ 6.	Теорема Фавара ............................  485
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ.
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ
КВАДРАТУРЫ.
Глава I. Различные виды интерполирования............ 491
§ 1.	Постановка вопроса.......................... 491
§ 2.	Формула Лагранжа............................ 492
§ 3.	Другой вид формулы Лагранжа. Формула Ньютона 496
§ 4.	Интерполирование с кратными узлами.......... 501
§ 5,	Тригонометрическое интерполирование......... 505
Глава II. Результаты отрицательного характера ....	511
§ 1.	Теоремы С. Н. Бернштейна и Г. Фабера.......	511
§ 2.	Пример С. Н. Бернштейна...................... 519	.
§ 3.	Пример И. Марцинкевича...................... 525
Глава III. Сходимость интерполяционных процессов. .	538
§ 1.	Роль функции .............................   538
§ 2.	Теоремы Грюнвальда—Турана................... 543
§ 3.	Сходимость в среднем.......................  547
§ 4.	Интерполяционный процесс Л. Фейера.......... 549
§ 5.	Обобщение предыдущего результата............ 552
§ 6.	Нормальные матрицы ......................... 554
Глава IV. Некоторые сходящиеся процессы,, связанные
с интерполированием ............................  561
§ 1.	Первый процесс С. Н. Бернштейна............. 561
§ 2.	Второй процесс С. Н. Бернштейна............. 566
§ 3.	Теорема С. М. Лозинского и процесс С. И. Рап-
попорт .......................................   571
§ 4.	Третий процесс С. Н. Бернштейна............. 574
§ 5.	Некоторые общие свойства сумматорных формул.	582
Глава V, Механические квадратуры.................... 590
§ 1.	Постановка вопроса . ....................... 590
§ 2.	Остаточный член формулы квадратур ......	594
ОГЛАВЛЕНИЕ	7
§ 3.	Квадратуры типа Гаусса ................. 601
§ 4.	Частные случаи квадратур типа Гаусса .....	608
Глава VI. Дополнительные сведения по теории механи-
ческих квадратур............................. 619
§ 1.	Общий квадратурный процесс и его сходимость .	619
§ 2.	Случай положительных коэффициентов...... 628
§ 3.	Теорема Р. О. Кузьмина.................  633
§ 4.	Проблема П. Л. Чебышева и теорема С. Н. Берн-
штейна .....................................  641
§ 5.	Теорема К. А. Поссе .................... 659
Добавление 1. Формула Стирлинга................. 664
Добавление 2. О теоремах Мюнтца................  668
Добавление 3. Теоремы С. М. Лозинского—Ф.И. Хар-
шиладзе и В. Ф. Николаева.................... 672
Цитированная литература........................  679
Предметный указатель..........................   687
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Конструктивная теория функций берёт своё напало
в замечательных работах нашего великого математика
П. Л. Чебышева по теории интерполирования, по
механическим квадратурам, Но проблеме моментов
и особенно по полиномам, наименее уклоняющимся от
заданной функции. Исследования П. Л. Чебышева
были продолжены его учениками А. Н. Коркиным,
Е. И. Золотарёвым, А. А. и В. А. Марковыми. Даль-
нейшее развитие конструктивной теории также связано
с именами русских и советских учёных. Из них в пер-
вую очередь следует указать на С. Н. Бернштейна,
который, собственно, и оформил конструктивную тео-
рию функций как самостоятельную математическую
дисциплину, поставив и разрешив ряд основных про-
блем этой отрасли анализа. Кстати, и самый термин
«конструктивная теория функций» предложен С. Н. Берн-
штейном.
Несмотря на блестящий. расцвет конструктивной
теории функций, как научной дисциплины, чисто мето-
дическая проблема построения систематического курса
этой дисциплины ещё не может считаться решённой,
хотя весьма значительный шаг в решении указанной
проблемы был сделан В. Л. Гончаровым в его прево-
сходной книге «Теория интерполирования и приближе-
ния функций».
ПРЕДИСЛОВИЕ
При написании своей книги (она представляет собой
обработку факультативных курсов, которые я читал
й последние годы в Ленинградском университете
и Ленинградском педагогическом институте им. Герце-
на) я ставил перед собой задачу удовлетворительного
решения указанной методической проблемы. При этом
я прежде всего заботился о выяснении идейной сущ-
ности вопроса и лишь на втором' плане ставил задачу
сообщения читателю большого фактического материала.
В связи с этим я не старался вести изложения ни Наи-
более общим, ни наиболее экономным способом. В свя-
зи с этим находится и то, что многие вопросы конструктив-
ной теории функций в книге не затрагиваются вовсе.
Однако я хочу надеяться на то, что читатель, изучивший
мою книгу, уже не затруднится при чтении как журналь-
ной литературы, так и более обстоятельных сочинений.
Из таких сочинений следует рекомендовать книги
С. Н. Бернштейна «Экстремальные свойства полиномов»
и Н. И. Ахиезера «Лекции по теории аппроксимации».
В действующих учебных планах математических
факультетов наших университетов конструктивная теория
функций фигурирует лишь в качестве предмета, реко-
мендуемого для факультативного курса. Я полагаю,
что такой курс следует читать в течение нескольких
лет: на втором, третьем и четвёртом курсах. Свою кни-
гу я старался сделать руководством, пригодным именно
для подобной постановки преподавания. Поэтому В первой
части книги я не использую аппарата теории функций
вещественного переменного, обходясь средствами клас-
сического анализа. Начиная со второй части, я уже не
ставил такого ограничения. Что касается теории функ-
ций комплексного переменного, то она в моей книге
почти не используется, ибо я занимался, главным об-
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
разом, чисто вещественной проблематикой, в связи с чем
и старался обходиться вещественными же средствами.
Специалисты могут не согласиться со мной в построении
IX главы первой части, где идёт речь о приближении
аналитических функций. В защиту избранного мной
способа изложения, помимо уже отмеченного стремле-
ния решать вещественные задачи вещественными сред-
ствами, я приведу ещё два соображения: во-первых,
этот способ изложения гармонирует со всем построе-
нием первой части, где всюду сначала изучаются пери-
одические функции и тригонометрические приближения,
а алгебраический случай сводится к тригонометриче-
скому с помощью индуцированных функций. Во-вторых,
надо иметь в виду, что не всегда наиболее элегантный
метод изложения является и наиболее поучительным
в смысле раскрытия внутренней сущности вопроса.
Разумеется, привлечение аппарата теории функций
комплексного переменного сократило бы изложение, но
мне кажется, что существо дела выступает яснее при
том способе рассуждения, который принят в книге.
В то же время я должен сознаться, что Неизбежный
при этом отказ от вывода замечательной формулы
С. Н. Бернштейна
iimj/E7=y
заставил меня долго колебаться, прежде чем я остано-
вился на том изложении вопроса, которое принял
в конце концов.
Объём книги довольно значителен. Главной причи-
ной этого обстоятельства является обилие излагаемого
материала. Однако есть и другая причина: я стремился
писать как только мог подробно и ясно. В настоящее
время стала весьма распространённой манера очень
ПРЕДИСЛОВИЕ
11
сжатого изложения математических произведений, ко-
гда расшифровки многочисленных «легко видеть» и «без
труда получаем» превращаются для читателя в тяжё-
лый труд. Эта манера представляется мне крайне
вредной, и я старался всячески её избегать. Весьма
вероятно, что квалифицированный читатель найдёт моё
изложение в целом ряде мест, особенно в первой части
книги, чрезмерно подробным. Я считаю, однако, что,
•стремясь объяснить что-либо, лучше дать слишком
много, чем слишком мало. Впрочем, по мере продви-
жения к концу книги изложение становится всё более
и более сжатым.
В заключение я хочу поблагодарить своих друзей
М. К. Гавурина, Л. В. Канторовича, Р. О. Кузьмина
и особенно Д. К. Фаддеева за целый ряд ценных сове-
тов и указаний.
4/IV—1948 г.	н. Натансон
Ленинград
ВВЕДЕНИЕ.
Конструктивная теория функций есть ветвь матема-
тического анализа, занимающаяся вопросами прибли-
жённого представления произвольных функций с по-
мощью простейших аналитических аппаратов.
В первой части этого курса мы не будем занимать-
ся рассмотрением очень общих классов функций, а
ограничимся изучением следующих двух важных
классов:
I. Вещественные функции, заданные и непрерывные
на некотором сегменте [а, 6]. Множество всех таких
функций мы будем обозначать через С ([а, 6]).
II. Вещественные функции, заданные и непрерыв-
ные на всей вещественной оси (— со, + со) и имеющие
период 2ft, так что при любом х будет
/(« + 2л) = /(ж).
Множество всех таких функций в дальнейшем обо-
значается через Сгя-
В качестве тех простейших аналитических аппара-
тов, с помощью которых мы будем приближённо пред-
ставлять функции, будут служить: для класса С ([а, 6])
обыкновенные алгебраические полиномы
Р (х) = с„ 4- сух + сйхг 4- • •• + cn®n
с вещественными коэффициентами, а для класса —
тригонометрические полиномы, т. е. функции вида
Т(ж) = Л4-(П1 cos х4-sinх) 4- • —|- (апcos пх4- bnsinпх)
с вещественными же коэффициентами А, ак, Ьк.

ВВЯДЁЙИЁ
Наконец, мы должны остановиться на объяснений
смысла утверждения, что полином Р (ж) (или Т (х))
близок к некоторой функции /(ж). Здесь возможны
различные трактовки вопроса.
Так, Например, в первой части нашего курса мы
будем говорить, что полином Р (ж) близок к некоторой
функции / (ж) из С ([а, Ь]), если при всех х £ [а, 6]
где в > 0 есть некоторое постоянное число, характери-
зующее степень достигнутого приближения.
Аналогично этому тригонометрический полином
Т (х) мы будем считать близким к функции /(x)ECg*,
если при всех вещественных х
| Г(ж) —/(ж) | < е.
Впрочем, поскольку ни Т(х), ни /(ж) не изменяются
от замены ж на ж + 2л, достаточно, чтобы последнее
неравенство выполнялось на каком-либо сегменте длины
2л, например на [0, 2л] (и даже на полусегменте
[О, 2л), открытом справа), чтобы оно «автоматически»
было выполнено на всей оси.
В связи с этим принципом оценки приближения
полинома к функции мы будем называть соответству-
ющую теорию теорией равномерного приближения
функций.
Нетрудно видеть, что при указанном подходе «изме-
рителем» достигнутого приближения может служить
величина
max | Р (ж) —- / (ж) |
а^сх^Ь
в случае функций класса С ([а, Ь]) и величина
max | Т (ж) — / (ж) |
-ос<х<+эо
при f(x)£Cin. Это, так сказать, «расстояние» меж-
ду /(ж) и Р(ж) (или, соответственно, между /(ж)
и Т(х)).
ВВЕДЕНИЯ
15
Во второй части курса, посвящённой теории ква-
дратических приближений, мы будем заниматься при-
ближённым представлением функций /(ж) значительно
более общего вида с Помощью, главным образом, тех
же аналитических средств, т. е. обыкновенных алге-
браических полиномов Р(х) я тригонометрических по-
линомов Т(х), но изменим критерий оценки достигае-
мого приближения.
Именно, за «измеритель расстояния» между /(ж) и
Р(х) мы будем-принимать интеграл
ь
$ [Р(х)-/(ж)Гйж,
а
а для оценки отклонения тригонометрического поли-
нома Т (х) от функции f(x), заданной на [—к, к], при-
влечём интеграл
^[Т (х) — f (х)]г dx.
Мы увидим, что такое изменение точки зрения при-
водит к совершенно другой теории с другой проблема-
тикой и другими результатами.
Наконец, в третьей части мы будем изучать вопро-
сы интерполирования. Здесь критерием «близости»
полинома Р (х) к функции / (ж) £ С ([а, 6]) будет служить
уже не малость величины
max | Р (ж) — f (ж) |,
а^х^Ь
или
ь
- f(x)]'dx,
а
а факт совпадения значений Р(х) и /(ж) в некоторых
заранее выбранных точках
®i> ®г’ • • • >
сегмента [а, 6] («узлах интерполирования»). Так же
ie	йьйденйё
ставится вопрос и при приближении функции /(а:) из
полиномом 1Г(«), с оговоркой, что узлы должны
лежать на каком-либо сегменте длины 2л.
Мы увидим, что все эти подходы к вопросу тесней-
шим образом связаны между собой, так что соответ-
ствующие теории будут глубоко проникать друг в друга.
Наличие этого взаимного переплетения разнообразных
алгебраических и аналитических идей, методов и фактов
делает конструктивную теорию функций, помимо её
большого прикладного значения, одним из красивейших
отделов математики.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
ГЛАВА I.
ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА.
§ 1. Первая теорема Вейерштрасса.
Первый и основной вопрос, который встает перед
нами в теории равномерного приближения, есть вопрос
о том, можно ли приблизить произвольную непрерыв-
ную функцию полиномом с любой наперёд заданной
степенью точности. Утвердительный ответ на этот во-
прос был дан в 1885 году Вейерштрассом [1]*). Его
результат формулируется так:
Первая теорема Вейерштрасса. Пусть
/(ж)£С([а, fej). Для всякого е>0 существует такой
полином Р{х), что при всех £>]
|Р(ж) — /(ж)| < в.
В настоящее время имеется большое число различ-
ных доказательств этой замечательной теоремы. Я при-
веду то из них, которое основано на другой важной
теореме анализа — теореме С. Н. Бернштейна [1].
Лемма 1. Справедливы тождества
п
(1)
/с-0
п
2 (* — пх)’^nxk (1 — х)п~к в пх (1 — х).	(2)
Л-0
♦) Цифры в квадратных скобках относятся к списку литера-
туры, помещённому в конце книги.
2*
20	ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА	[гл, f
Доказательство. Тождество (1)— тривиально.
Оно получается из биномиальной формулы Ньютона
(a + P=2CnW-\	(3)
к» О
если в Ней положить а = х, b = 1 — х.
Второе тождество доказывается сложнее. Положив ‘
в формуле (3) а = z, 6 = 1, получим тождество
п
2c^ = (z + l)".	(4)
к-0
Дифференцируя (4) и умножая полученный результат
на г, находим
%/cCkzk = nzCz+l)"’1.	(5)
к-0
Дифференцируя (5) и снова умножая результат на z,
получаем
2A2C*zk = nz(7iz4-l)(z+l)n'\	(6)
А«=0
Положим в тождествах (4), (5) и (6)
и умножим полученные равенства на (1 — х)п. Это
приводит к трём Новым тождествам:
п
Скхк [1 — х)п~~к == 1,	(7)’
Л-0
п
2 кСпхк (1 — a?)n~* = пх,	(8)'
*-о
п
2	(1 — х)п~к = пх (пх +1 —«).	(9)
к-0
§ 1]	ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА	21
Чтобы получить отсюда требуемое тождество (2),
достаточно умножить (7), (8) и (9) соответственно на
п’ж8, — 2пх и 1 и сложить полученные результаты.
Следствие. При, любом х
J (к - пх)8 C*sfc (1 - х)п~к <£.	(10)
*-0
В самом деде,
4а;8 — 4ж +1 = (2ж — 1)2>0,
и потому
/Л \	1
®(1-г)<^-,
Лемма 2. Пусть х £ [0, 1 ] и 8 > 0 — произвольное
положительное число. Обозначим через Дп (х) множество
тех значений к из ряда 0, 1, 2, ..., п, для которых
|£--я|>8.	(И)
Тогда
2 ^(1-х)"-*<4-Ь.	(12)
fc6An(*)
Доказательство. Если Л£Дп(а;), то в силу (И)
(ft - пх)« .
Поэтому
2 С^ь(1-х)п-\<-±а 2 (fc~ пх)гСкхк{1-х)п~к.
tfW	*6АП(®)
Если в сумме, стоящей справа, мы распространим
суммирование на А = 0, 1, 2,..., п, то разве лишь
увеличим эту сумму, ибо при х £ [0, 1] все вновь доба-
вленные слагаемые (отвечающие тем Айз ряда 0, 1, ..., п,
которые не входят в Дп (х)) не отрицательны. Но тогда
неравенство (10) сразу приведёт нас к требуемому
неравенству (12).
2J	ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА	[гл.Л
Смысл доказанной леммы, грубо говоря, состоит
в том, что при очень больших п в сумме
п
%C*x*(i-*F* '	...	(13)
л-о
существенными оказываются лишь те слагаемые, кото-
рые отвечают значениям к, удовлетворяющим условию
|4“ж1<8’
а прочие почти не влияют на величину суммы.
Определение. Пусть /(ж) есть функция, задан-
ная на сегменте [0, 1]. Полином
п
А—0
называется полиномом Бернштейна функции /(ж).
Нетрудно предвидеть, что, если f(x) непрерывна,
то при больших значениях п этот полином весьма мало
отличается от /(ж). В самом деле, мы уже отметили,
что в сумме (13) те слагаемые, для которых удале-
но от х, не играют почти никакой роли. Это спра->
ведливо и для полинома Вп(х), ибо множители
ограничены. Поэтому в полиноме Вп(х) существенно
к
важны лишь те слагаемые, для которых — весьма
близко к х. Но для таких слагаемых (непрерывность!)
множитель / почти не отличается от /(ж). Зна-
чит, полином Вп (х) почти не изменится, если в его
слагаемых /заменить на /(ж). Иначе говоря,
справедливо приближённое равенство
п
*-о
Я]
ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
М
Отсюда ясе и из (1) сразу вытекает, что
Вп (х) я» / (ж).
Нижеследующая теорема даёт точное оформление
этого наводящего рассуждения:
Теорема С. Н. Бернштейна. Если /(«) непре-
рывна на сегменте [0,1], то равномерно относительно х
ПшБп(ж) = /(х).	(14)
п-но
Доказательство. Обозначим через Мнаибольшее
значение | / (ж) |. Далее, взяв произвольное в > 0, найдём
такое 8 > 0, что при
|®" — а:'|<8
будет
что возможно благодаря равномерной непрерывности
функции / (ж). Сделав всё это, выберем произвольное ж
из ГО, 1].
В силу (1) будет
п
/(x) = S /(^^ (l-x)"-*,
*-D
так что
п
Вп(х)~/(ж)=3 {/(£)-7(ж)}с*х*(1-ж)«-*. (15)
Разобьём ряд чисел к = 0, 1, ...» п на две катего-
рии: Гп(х) и Дп(х), полагая
если - —х <8,
Л
ь
к Е &п (х), если--х > 8.
Л
Соответственно этому и сумма (15) разобьётся на две
суммы: 2Г и 2Д. В первой из них
М	ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА	[гп. I
и потому
|SrM 2 М-г*,
*егп(х)
а так как
2 С“хк (1 - х)п-к < 2 Спхк (! — х)п~к = 1,
к6Гп(*)	к-О
ТО
|3г|<1-	(16)
Во второй сумме
а потому, в силу (12),	'
|3Л|<2« 2
к£Ы*)
Сопоставляя это неравенство с неравенством (16),
находим
\Bn(x)-f(x)\<^ + ^.
Если п достаточно велико (n > iVe), то
и
\ВП(Х)— }(Х)\ <8,
что и доказывает теорему, ибо выбор Ns определяется
неравенством (17) и никак не связан с рассматривае-
мым значением х.
Теперь мы можем доказать вышеприведённую тео-
рему Вейерштрасса. Действительно, если сегмент [а, 6]
совпадает с сегментом [0, 1], то теорема Вейерштрасса
сразу следует*) из теоремы Бернштейна. Допустим
*) Заметим, однако, что теорема Бернштейна и в этом слу-
чае даёт больше, чем теорема Вейерштрасса, ибо она устанавли-
вает поведение совершенно определённых полиномов Вп{х), в то
время как теорема Вейерштрасса лишь констатирует существо-
вание приближающих полиномов, не давая их конструкции.
§ 1]	ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА	25
теперь, что сегмент [а, 6] отличен от [0, 1]. Введём
в рассмотрение функцию
<?(р) = fla + y(b — a)J.
Она задана и непрерывна на сегменте [0, 1]. Значит,
по уже доказанному, существует такой полином
п
Q (р) = 2 скУк’
что при всех у С [0, 1]
п
| / [а + У (Ь~ «)] — 2 скУк | < е- (18)
л=о
Но для любого х£{а, 6]' дробь находится в сег-
менте [0, 1] и её можно подставить в (18) вместо у,
что даёт
Это и показывает, что полином
к=0
приближает функцию /(х) с требуемой точностью.
Теореме Вейерштрасса можно дать другую форму-
лировку:
А.	Всякая непрерывная на. сегменте [а, 6] функция
f (х) служит пределом некоторой равномерно сходящейся
последовательности полиномов.
г.	1
В самом деле, взяв последовательность еп = — , можно
для каждого из этих вп найти такой полином Рп (х),
для которого
I Рп	f (&) I < 7»	(и^х^д).
J6	л ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА	[гл. 1
Легко видеть, что *) при п —> со
Наконец, теорему Вейерштрасса можно формулиро-
вать и так:
В.	Всякая непрерывная на некотором сегменте
функция разлагается в равномерно сходящийся ряд поли*
номов.
Действительно, найдя последовательность полиномов
Рп(х), равномерно сходящуюся к /(ж), положим
Qi (х) = Рг (X), Qn (X) = Рп (ж) - Рп_х (ж) (П > 1).
Так как частные суммы ряда'
СО
п—1
совпадают с полиномами Рп(х), то этот ряд равно-
мерно сходится к сумме /(ж).
§ 2. Вторая теорема Вейерштрасса.
Вторая теорема Вейерштрасса устанавливает воз-
можность неограниченного приближения к периодиче-
ским непрерывным функциям с помощью тригоно-
метрических полиномов.
Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть
f (x)^Czn. Для всякого Q существует такой триго-
нометрический полином Т(х), что при всех веществен-
ных х
|2? (х) —/(х) | < е.
Аналогично первой теореме и здесь можно дать
формулировки типа А и В. Весьма простое доказа-
тельство второй теоремы Вейерштрасса было дано
в 1908 году Валле-Пуссеном [1]. Его я и привожу.
*) Равномерное стремление мы иногда будем обозначать
символом =3-
}2]	ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА	27
Ле^||а 1. Если <р(®)€^2я» то при всяком а спра*
ведливо'^^енство
'	а+2«	2Л
*' 5	\ <р (ж) dx —= \ <f> (ж) dx.
• <!/ ‘ ' °
Действительно,
<»+Wg::	О	S*	в+2я
у (ж) dx — <р (ж) dx + \ ф (я)	+ J ф (®) dx.
a--	а	0	2в
Пблагая в последнем интеграле правой части ж = z-f-2ir
и принимая во внимание, что <j>(z-|-2k) = <p(z), убе-
ждаемся, что этот интеграл равен
о
— <p(z)dz,
а
откуда и следует лемма.
Лемма 2. Справедливо тождество*)
«/2
(19)
Доказательство. Обозначая интеграл (19) через
. U,п и интегрируя по частям, находим
я/2
Uw =	cos’"-1 td (sin Z) =
о
Tt/2
= (sin t cos’”'1 Z]"/2 + (2n — 1) j cos’"-’ t sin11 dt,
откуда
r/2
Uin = (2n - 1) (cos^-cos’" t) dz= (2n-l) (Utn^t-Utn)
0
*) Символом n!l обозначается произведение всех натураль-
ных чисел, не превосходящих п и имеющих с п одинаковую
чётность. Например, 811—2 • 4 • 6 • 8«
28	ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА	[гл. I
и, стало быть,
Заменяя здесь п последовательно на п — 1, п — 2,..., 1
и перемножая полученные равенства, мы придём к (19).
Определение. Пусть /(x)gC2„. Интеграл
называется сингулярным интегралом Валле-Пуссена.
Теорема Валл е-П у с с е н а. Равномерно для всех
вещественных х
limKn(x)'=/(х).
П-ХО
Доказательство. Положим в интеграле Валле-
Пуссена t~x-}-u. В силу леммы 1 мы можем, произ-
водя эту подстановку, не менять пределов интегрирова-
ния, так что
W^T2n2-l)!i^ 5 /^ + “) cos2n
—я
Заменяя и на 2t, находим
-•кЦ
Разобьём этот интеграл на два, распространённых
на сегменты £ —£• , 0 j и £ 0, у- ] • Если в первом
из них заменить / на — t, то получится
«/2
упW “ (£л)й Т $	+ 2*) + / cos’n гdt-
о
Из этой формы представления интеграла уже видно,
каков будет характер его поведения. Именно, множи-
тель cos”1/ при больших п будет очень мал, как
$ 2]	ВТОРАЯ.ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА	29
только t сколько-нибудь заметно удалится от нуля.
Значит, в интеграле играют роль лишь те элементы,
для которых t вымыв близко к нулю. Но для этих зна-
чений t множитель f(x-\-2t)-[-f(x — 2t) почти не отли-
чается от 2/(х) и без большой погрешности может
быть заменён на 2/(х). Проделывая же эту замену,
мы приходим к приближённому равенству
л/2
cos"'*’
о
которое, в силу (19), можно записать и так:
Vn(*W(*).
Ввиду того что точность этого приближённого ра-
венства повышается с увеличением п, оно и приводит
нас к утверждению теоремы Валле-Пуссена. Само собой
разумеется, что эти наводящие соображения не заме-
няют точного доказательства теоремы, но они очень
поучительны, ибо вскрывают истинный механизм, упра-
вляющий поведением целого ряда сходных аналитиче-
ских аппаратов. Мы уже видели, напримёр, что и для
полиномов Бернштейна существо дела в таком же
механизме.
Вернёмся к доказательству теоремы. Взяв произ-
вольное в > 0, найдём такое 8 > 0, чтобы при
|ж’-х'|<28
оказывалось
Возможность выбора такого 8 вытекает из равно-
мерной непрерывности / (я:). Здесь нужно войти в неко-
торые подробности, однако, чтобы не прерывать изложе-
ния, мы остановимся на них по окончании доказательства.
Для любого вещественного х, в силу (19), будет
/^=(2^Жт52/(а:)СО0аП/Л’
о
30	ТВЮЕНЫ ВЕЙНРОГГРАССД;	[гл. I
откуда
Vn(*)-/(*) =
{f^ + ^) + f(x-2t)^2f(z)}cOentdt.
о
Разбивая этот интеграл на два, распространённых
на сегменты [О, о] и [ &> у ] » мы замечаем, что в пер-
вом из них будет
|/(ж + 2г) + /(х-20-2/(Ж)|<
<	| f (х + 2t) - f (х)| +1 / (х - 2t) - f (x)| < .,
а во втором
I / (X + 2t) + / (x - 2t) - 2/ (x)| < 4M,
где	•
M = max | / (x)|.
Отсюда
\Vn{x)~t^\<
<	/q —.rrr - ls cossn t dt -f- 4 Л/ eoe3n t dt 1 •
(2Л — 1)U Л I J	J	J
0	«
Ho	'	.	.
C08’"«d/< \cOS*ntdt=(^=^^.
0
G другой стороны, замечая, что функция cosi
убывает на сегменте 0, j , и обозначая co»’ S через д,
мы находим, что
CO8,n t dt < ff.
Сопоставляя всё сказанное, приходим к оценке
I Vn W - /ЮК 1+2Л/’"-
4 2]	ВТОРАЯ ТЕОРЕЙА ВЕЙЕРШТРАССА	31
Но, так как
(2л)! 1	2	4 2п —2
(2л — 1)1! ““ 3 ‘ 5 ’ ’1 2^Т ‘
ТО
|Vn(x) - / (x)|<| + 4Mngn.
Как известно, при 0 < g < 1
lira nqn = 0.
n-*oo
Поэтому, для п > 2V, окажется
4Mng" < |
и
|ГП (*)-/(*)!<«,.
что и доказывает теорему, ибо Nt не зависит от рас-
сматриваемого значения х.
Нам остаётся установить равномерную непрерыв-
ность функции f{x). Дело в том, что известная из эле-
ментов анализа теорема Кантора о равномерной непре-
рывности непрерывной функции относится к случаю
функции, заданной на сегменте, и не переносится
на функции, заданные на всей оси. Например, легко
проверить, что непрерывная функция у = хг не явля-
ется равномерно непрерывной на всей оси. Однако
функция / (аг), рассматриваемая в теореме Валле-Пуссена,
периодична, и это обстоятельство обеспечивает ёе равно-
мерную непрерывность.
В самом деле, взяв произвольное е > 0 и опираясь
на равномерную непрерывность f (х) в сегменте [0,4к],
мы можем найти такое 8 > 0, что при
| ж* — я:'К 8, 0<х"<4к, 0<«'<4ir
окажется
Не ограничивая общности, можно считать при этом,
что 8<2тг. Пусть теперь хну суть произвольные
точки, для которых
I® — У\<8,
причём для определённости х < у. Представим х в форме
32	ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА	[гл. 1
х — 2пл 4- а, где 0<и < 2л, и пусть с = у — 2пп. Тогда
v > и > 0 и, кроме того, и — и ~у — х < 8 < 2л, откуда
v < 4л. Таким образом обе точки ни» лежат в сегмен-
те [0,4л] и, стало быть,
|/(»)-/(»)!<’•
Но ведь /(я:) = /(н), f(y) = /(v), и потому
Этим завершено доказательство теоремы Валле-
Пуссена.
Чтобы получить отсюда вторую теорему Вейерштрасса,
очевидно достаточно показать, что Vn (ж) есть триго-
нометрический полином. Для этого понадобится
Лемма 3. Произведение двух т ригонометрических
полиномов также есть тригонометрический полином,
порядок*) которого равен сумме порядков сомножителей.
Доказательство. Перемножая полиномы
л
Тп (®) = -4 + У| («л cos kx + bk sin kx)
k-i
и
Я1
(ж) = С + У, (ck cos кх 4- dk sin kx),
*=i
мы получим сумму членов следующих трёх видов:
cos kx cos ix, sin kx sin ix, cos kx sin ix.	(20)
Пользуясь формулами
1 '
cos a cos p = у [cos (a —p) 4- cos (a 4- p)],
sina sinp =-|-[cos(a —p) —cos(a4-P)], )	(21)
sin a cos p = 4 [sin (a 4-0)4-sin (a—p)], i
*) Если | an | +16n | > 0, то порядком полинома
n
T (x) = A 4- 2 (ak cos kx + bk sin kx)
k-i
называется число n.
ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
33
§ 2]
мы убеждаемся, что каждое из произведений (20) есть
тригонометрический полином, а значит, такова же и их
сумма. Остаётся подсчитать порядок произведения.
Из формул (21) сразу видно, что он не может превзой-
ти суммы п + т. Покажем, что он и не меньше, чем
п-{-т. Действительно, произведение старших членов
Гп(ж) и Um(x) есть*)
(ancosnx + bnsinnx) (ст cos mx + dm sin тх) =
= у [(ancm — Mm) cos (и + m) x +
+ (Mm + bncm) sin (n + m) x] + k,
где k состоит из членов низшего порядка. Числа
ап, Ьп, ст и dm вещественны, значит, вещественны
и коэффициенты при cos (п-\-т)х и sin («4- т) х, и
чтобы проверить, что они одновременно не исчезают,
достаточно найти сумму их квадратов. Но
(a„cm — bndm)* + (andm + Ьпст)г = (а*п + b£) (с'т + d^) > 0.
Замечание. Мы рассматриваем только веществен-
ные полиномы. Если же допустить к рассмотрению
и комплексные коэффициенты, то порядок произведения
сможет оказаться ниже суммы порядков сомножителей.
Например,
(cos x + i sin х) (сов х — i sin ж) = 1.
Докажем в заключение ещё один простой факт.
Лемма 4. Если тригонометрический полином Т (ж)
есть функция чётная, т. е. Т( — ж) = Т (ж), то его
можно представить в форме
п
Ф (ж) = .4 + 3 ak cos кх,
не содержащей синусов кратных дуг.
*) Из тех же формул (21) вытекает, что члены cos (п-\-т)х
и sin(п + т) х в произведении получаются только от перемно-
жения старших членов Тп(х) и Um(x)-
3 Конструктивная теория функций
34
ТЕореМьцвеЙерштрассА
[гл. i
Для доказательства достаточно сложить равенства
п
t (х) = А + 2 (ал cos + h Bin kx),
k-=l
n
Г(-х)=Л+2(а* coskx— bk sin kx)
ft=i
и результат разделить на два.
Теперь легко показать, что Vn (х) есть тригономе-
трический полином. В самом деле,
, U 1 + C4SU
сов* - = -г-
есть полином первого порядка. Значит, cos’”y есть
полином н-го порядка и, будучи чётной функцией, пред-
ставляется в форме
сов’" у = L 4- 2 cos ^х-
ft-1
Отсюда
к	й
[£+ 3х)]dt.
'	-ж	ft—1
Значит,
гс '	п
X “ J/(0 [l+2 lk (cos kt cos kx + sin kt sin kx) j dt
— ГС	/с*>1
и, стало быть,
n
(ж) = Л 4-2 (aft cos k*+Aft sin
ft-=i
I 3] СВЙ8Ь ТЕОРЕМ ВЕЙЕРШТРАССА МЕЖДУ СОВОЙ 35
где. положено для краткости
. _ (2n)l 1 L С .. . ,
• ~(2п-1)!1 2» J
я
afc=*/9(2№)L fe- { f(t) cos kt dt,
к (2n — 1)!! 2я J ' ' '
-я
feS /И™»*.
Вторая теорема Вейерштрасса доказана полностью.
§ 3. Связь теорем Вейерштрасса между собой.
Покажем, Ято первая теорема Вейерштрасса является
следствием второй. Действительно, пусть /(х) есть
функция заданная и непрерывная на сегменте [ —к, я].
Введём функцию g (х), полагая
g (x) = f (х) +	х•
Легко видеть, что g(^)=g( —л). Поэтому функцию
g (х) можно доопределить для всех вещественных х
равенством g (х + 2л) = g (х), причём расширенная таким
образом функция g (х) входит в класс Значит,
по второй теореме Вейерштрасса для любого е > О
найдётся тригонометрический полином
п
JP (х) — А 4- 2 (.ак С06	+ bk sin кх)
k-i
такой, что при всех вещественных х
|g(x)-T(x)|<|.
Найдя такой полином, положим
п
3(Ы+1М=м-
k-i
8»
36	ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА	[гл. I
Из элементов анализа известно, что функции cosz
и sinz разлагаются в степенные ряды
COBZ=l-^ + 4-y-...,	81n2=z--+5-r-...,
которые равномерно сходятся На всяком конечном
сегменте. В частности, их сходимость равномерна
на сегменте [ — гиг, + гиг], где п — порядок полинома
Ф(х). Поэтому существует столь большое т, что при
всех z из [ — ПК, + гиг]
[cosz-Cm(z)| <2^, |sinz-5m(z)|< Д ,
где Cm(z) и 5TO(z) суть частные суммы вышенаписанных
разложений. В таком Случае при любом ж из [—к, к]
и любом к из чисел 1,2, ...,п окажется
• \c,oskx — Cm(kx)\< |sinЛж — 5ТО(Ах-)| <	,
и потому
п	п
| 2 [flfccos/cai + ^sinfa:]— 2 [«kCm (кх) + bkSm (Лж)]|<у 
Л«=1
Если мы положим
Q (ж) = А + 2 [ai£m (^ж) + Ьк8т (Л®)],
Л=1
то Q (х) будет обыкновенным алгебраическим полино-'
мом, который при всех ж из [ — к, к] удовлетворяет
неравенству
\T(x)-Q(x)\<^
и, стало быть, удовлетворяет неравенству
|g(a)-(>(*)l <е-
Но в таком случае полином
S3]
СВЯЗЬ ТЕОРЕМ ВЕЙЕРШТРАССА МЕЖДУ СОБОЙ
37
при. всех х из [ — л, к] удовлетворяет неравенству .
|/(ж)-Р(х)|<е.
Иначе говоря, нами установлена первая теорема
Вейерштраеса для случая функции, непрерывной на
специально выбранном сегменте [ — тс, тс]. Но тогда,
совершенно так же, как в § 1 мы перешли от специального
сегмента [0,1] к произвольному сегменту [а, 6], мы
и теперь перенесём полученный результат на любой
сегмент [а, 6].
Несколько сложнее доказывается, что вторая тео-
рема Вейерштраеса является следствием первой. Чтобы
установить этот факт, докажем сначала следующее
предложение:
Лемма. Если f(x) есть функция, заданная и непре-
рывная на сегменте [0,тс], то для всякого е>0 суще-
ствует чётный тригонометрический полином Т(х),
удовлетворяющий неравенству
Т(х)\ < з (0<а:<тс).
Действительно, функция / (arc cos у) задана и непре-
рывна на сегменте [—1, 4-1]. Значит, по первой тео-
п
реме Вейерштраеса найдётся полином 3 ск Ук такой,
к=0
что при всех у из [ — 1, 4-1]
п
|/(arc cosy) -	<®>
или, что то же самое, для всех х из [0, тс]
п
| / (я) — 2 ск COS* х | < ®>
*=0
п
и остаётся лишь заметить, что 2 с* cos* я есть чётный
к-0
тригонометрический полином.
Теперь мы можем перейти к доказательству второй
теоремы В.ейерштрасса. Пусть. / (ж) — произвольная функ-
88	ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА	[гл. 1
ция класса Cin. Тогда по только что доказанной лемме
для чётных функций
f(x) + f{-x), [/ (ж) — / (- s)hin х
Найдутся чётные же тригонометрические полиномы
Ti(x) и Тг(ж) такие, что при 0<ж<к
|/(^ + /(-х)-Л(ж)|<|,
|[/(*) -/(-«)] sins-Ге (ж)|<у .
Однако, само собой ясно, что эти неравенства выпол-
няются и при — к<ж<0, ибо их левые части не
изменяются от замены х на —ж. В таком случае, в силу
периодичности всех написанных здесь функций, эти
неравенства справедливы при всех вещественных ж.
Переписав эти неравенства в виде равенств
/(ж) + /(-ж) = Т1 (ж) + ах (х),
[f (») ~ / (~ »)] sin ж 4-	(ж) 4- а3 (ж),
где ] а, (ж)| < у, умножим первое из них на sin3 ж, второе
на sin ж и сложим. Это даёт (после деления на два)
/ (ж) sin3 ж = Т, (х) + £(ж) Q ₽ (ж)| < -0 ,
где Тг (ж) есть некоторый новый тригонометрический
полином.
В последнем равенстве / (ж) есть совершенно произ-
вольная функция из Значит, такое же равенство
справедливо и для функции / (х — у) :
f (ж - sin3 ж = Т4 (ж) + у (ж) (j у (ж)| < у) .
Заменим здесь ж на ж + у . Полагая
I 3] СВЯЗЬ ТЕОРЕМ ВЕЙЕРП1ТРАССА МЕЖДУ СОВОЙ
39
Получим	>
/(х)созах = !Г,(х) + 8 (х) (| 8 (х)| < у) ,
причём и (х) есть некоторый тригонометрический
полином.
В таком случае
f № = Т, (х) + Tt (х) + р (х) + 8 (х),
и полином Г, (х) + Tt (х) при всех х отличается от / (х)
меньше, чем на в *).
♦) Валле-Пуссен [2].
ГЛАВА II.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ.
§ 1. Основные понятия.
Первая теорема Вейерштраеса показывает нам, что
всякую функцию класса С ([а, 6]) можно представить
полиномом с любой наперёд заданной точностью. Однако
при этом степень приближающего полинома может
оказаться очень высокой. Естественно спросить, какой
точности приближения можно добиться, если заранее
ограничить степень приближающих полиномов. Такая
постановка вопроса приводит к ряду новых понятий.
Обозначим через Нп множество всех полиномов сте-
пени не выше n-й, т. е. полиномов вида
Р(«) = с0 + с1я: + с2а:3 + . . ,4-спжп.
Здесь коэффициенты с0, сх, . .сп могут быть любыми
вещественными числами. В частности, старший коэф-
фициент сп может быть нулём, и потому
Я.СЯхС^С...	(22)
Пусть /(ж) есть какая-нибудь функция класса
С ([а, 6]). Выберем из Нп определённый полином Р(х)
и положим
Д (Р) = шах | Р (х) — f (ж) |.
Ь
Число Д (Р) называется отклонением полинома Р (ж)
от функции /(ж). Если мы будем изменять полином
Р(ж), заставляя его пробежать всё множество Нп> то
ОСНОВНЫЕ понятия
41
§ и
величина Д (Р) также будет изменяться, но так как
она остаётся неотрицательной, то множество её значе-
ний ограничено снизу и имеет точную нижнюю границу
Еп = En(f) = inf {Д (*>)}•
Р£НП
Величина Еп называется наименьшим отклонением
полиномов из Нп от / (ж) или наилучшим приближением
к /(ж) полиномами из Нп. Оба эти термина пока не
вполне оправданы, ибо вовсе неясно, что вообще в Нп
найдётся полином Р*(х), для которого окажется
Д(Р*) = Е/%	(23)
так что нет оснований причислять Еп к отклонениям.
Ниже, однако, мы установим существование полино-
ма Р*(х), удовлетворяющего соотношению (23), что и
оправдает введённую терминологию.
Нетрудно видеть, что
Еп>0.
Далее, соотношения (22) показывают, что, увеличи-
вая п, мы будем расширять множество чисел Д (Р), от
чего его точная нижняя граница может лишь умень-
шаться, и потому
'	Ео>Ej >	> . . .
Отсюда и из первой теоремы Вейерштрасса следует, что
lim Еп = 0.
П->со
В самом деле, для любого е > 0 найдётся полином
Р(ж), для которого
Д (Р) < е.
Если степень этого полинома есть пй> то Ens> < в и, тем
более, при п > п0 будет
Еа < в.
Определения. Пусть
п
(ж) = 2 ckxk
Л=0
42
ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
[гл. И
есть некоторый полином. Положим
п
М (Р) = max | Р (х) |,
а^х^Ь
ЦР} = ^\ск\
Л-0
и будем называть числа М (Р) и L(P), соответственно,
нормой п квазинормой полинома Р(х). Норма полинома
зависит не только от самого этого полинома, но и от
того сегмента [а, 6], на котором мы пожелаем его
рассматривать. Квазинорма свободна от.этого недостатка.
Теорема 1. Пусть дан onределённый сегмент
[а, 6] и фиксировано целое число п^-0. Тогда сущест-
вуют такие постоянные положительные числа А и В,
что для всякого полинома Р(х)£Нп справедливы нера-
венства
М(Р)<АЦР), .	(24)
L(P)<BM(P).	...	(25)
Доказательство. Существование постоянной А
тривиально. Действительно, каждая из конечного числа
непрерывных функций
1, х, ж3,. . ., хп
ограничена на сегменте [а, 6]. Если через А обозначить
число, большее абсолютной величины каждой из этих
функций, то при любом х из [а, 6] окажется
**	п
ft-О
Существование числа В доказывается сложнее.
Именно, возьмём на сегменте [а, Ь] группу из п +1
точек
х < у < . . . < t.
(26)
Эти точки мы закрепим и в дальнейшем менять не будем.
Тогда
с0 + ctx + сажа + . . . + спх" = Р (®),
Со 4- Cty + С2у' + ... 4- спуп ~ Р (у),
(27)
Со + С/ + Cft3 +	+ cntn = P(t).
J 1]	ОСНОВНЫЕ понятия
48
Таким образом, зная точки (26) и значения полинома
в этих точках, мы можем найти коэффициенты этого
полинома с0, сп .. ., с„ из системы линейных уравне-
ний (27).
Определитель этой системы
D =
1 X хг... хп
1 У У* • • • уп
1 t
есть определитель Вандермонда и потому отличен от
нуля. Стало быть, по известным формулам Крамера
1 х ... хк~* Р (х) xkil . .. хп
1 у • • • И"1 р (у) yktl ---У"
1 'i'. Л ?-1'P(t) i*;’.’Л" 
(А=0,1, ..., n).
Развёртывая этот определитель по элементам (Л-|- 1)-го
столбца, найдём
ск = Z**> Р (х) +	Р (у) + ... + tk)P Ю,
где коэффициенты №>	• • ., № вполне определяются
точками (26) и числом к и не зависят от выбора рас-
сматриваемого полинома.
Отсюда следует, что
|efc|<{|Z(/)i + ll/Vc)| + . . . + |ДА)|}М(Р).
Складывая эти неравенства для к — 0, 1,.. ., п, мы
и придём к неравенству (25), если обозначим через В
сумму
к-0
Следствие 1. Пусть S = {Р(ж)} есть произвольное
семейство полиномов из Нп. Для того чтобы все поли-
номы этого семейства на каком-либо сегменте [а, 6]
были ограничены одним и тем же числом, необходимо
44 ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. II
и достаточно, чтобы множество их квазинорм было
ограничено.
В самом деле, ограниченность всех полиномов из S
одним числом К означает, что при Р£$
М(Р)<К.
Но в таком случае
L(P)<BK.
Обратно, если при всех Р(х) из S
ЦР)<К,
то для этих полиномов окажется
М(Р)<АК.
Следствие 2. Пусть {Рт(ж)} есть последователь-
ность полиномов, принадлежащих Нп1 и Р (х) какой-
нибудь полином из Нп. Для того чтобы последователь-
ность {Рт(х)} на каком-либо сегменте [а, 6] равномерно
сходилась к Р(х), необходимо и достаточно, чтобы было
lim L(Pm — Р) = 0.
Действительно, равномерное стремление Рт (х) к Р (х)
означает, что
lim М (Рт — Р) = 0.
rzwco
Заметив это, мы доказываем настоящее следствие совер-
шенно так же, как и предыдущее.
Замечание. Из отмеченных следствий вытекает,
что равномерная ограниченность множества полиномов
из Нп или равномерная сходимость последовательности
таких полиномов, имея место на одном каком-либо
сегменте [а, Ь], обязательно имеет место и на всяком
другом сегменте [с, d], ибо квазинорма полинома не
зависит от того, На каком сегменте мы пожелаем его
рассматривать. Однако читатель должен обратить вни-
мание на то, что всё это верно лишь до тех пор, пока
мы ограничиваемся полиномами, стейень которых не
§ 1]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
45
превосходит фиксированного числа п. Так, Например,
последовательность полиномов
1,	X, X2, ж8,, . .
равномерно сходится к нулю на сегменте [о, у j , не
обладая этим свойством на [0, 1]. Она же, будучи огра-
ниченной на этом последнем сегменте, не ограничена
на [0,2].
Определения:
1.	Система N (х1г ж2,. .., хп), состоящая иа п веще-
ственных чисел х1} хг ,..хп, взятых в определённом
порядке, называется точкой n-мерного пространства.
2.	Множество Е = {N (жх, ж2,. .., жп)} точек п-мерного
пространства назовём ограниченным, если существует
такая постоянная С, что при всех N (жп ж2,. ;., жп)
из Е оказывается
Л	—
31»<кс.
3.	Будем говорить, что последовательность
{^(44 44...-,44)1,
точек re-мерного пространства сходится к точке
N (xlt ж2,..., жп), если
lim 2 |	— ж, | — 0.
Л-юо . .
г=>1	f
Поставим в соответствие каждому полиному из Нп
Р (®) = со + cix +	+ • • • + W'
точку (п +1)-мерНого пространства, координатами кото-
рой служат коэффициенты полинома, т. е. точку
N (с0, сп . .., сп). Условимся называть эту точку изо-
бражающей точкой полинома Р(х). С помощью этого
термина вышеприведённые следствия теоремы 1 можно
высказать в следующей форме:
1. Для ограниченности (на каком-либо сегменте)
некоторого семейства полиномов из Нп необходима и
46	- ПОЙИНОЙЫ НАИЛ^ЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. II
достаточна ограниченность соответствующего множе-
ства изображающих тачек.
2. Для того чтобы последовательность {Рт (я)} по-
линомов из Нп на каком-либо сегменте равномерно схо-
дилась к полиному Р (х) € Нп, необходимо и достаточно,
чтобы соответствующая последовательность изобра-
жающих точек {Nm} сходилась к изображающей точке N
полинома Р (ж).
Эти предложения позволяют переносить на полиномы
геометрические теоремы, доказанные для изобража-
ющих точек.
Приведём важный пример такого переноса.
Теорема 2 (Многомерный принцип выбора Боль-
цано-Вейерштрасса.) Из всякой ограниченной последова-
тельности точек п-мерного пространства можно выделить
сходящуюся частичную последовательность.
Доказательство. Чтобы не загромождать изло-
жения, рассмотрим случай двухмерного пространства.
Пусть {Мп (хп, yn)} (п = 1, 2, 3,...) есть последова-
тельность точек, для которой
+ | Уп\<С.
Отсюда следует, в частности, ограниченность после-
довательности ж-координат
#!, Хг, Ж8, . . .,
так что на основании известного из элементов анализа
принципа выбора из неё выделяется сходящаяся под-
последовательность
Я'Пя, •Ч'Щ) • • •> 1пП Хп]{ — х.	(28)
Рассмотрим теперь последовательности у-координат
уп„ ynt> Упа,...	(29)
тех точек МПк> ^-координаты которых попали в после-
довательность (28). Применяя к последовательности (29)
принцип выбора, приходим к сходящейся частичной
по следовательности
Упк}> У*кг> Упка • • ’ Упк( ~ У'
§ lj	", Основные понйтия	4?
Заметим при этом, что
— х,
ибо последовательность {xnfci} есть частичная для (28).
В таком случае последовательность точек
{Мпк. (ХПк{, Упк.)}
сходится к точке М{х, у).
Благодаря понятию изображающей точки отсюда
вытекает
Следствие. Если полиномы последовательности
{Рт{х)}^,Нп ограничены {на каком-либо сегменте) одним
числом
\Рт{х)\<К, '	(30)
то из этой последовательности выделяется частичная
последовательность, равномерно сходящаяся к некоторому
полиному Р{х) из Нп.
Действительно, в силу (30), последовательность
точек {2VTO), изображающих наши полиномы, ограниче-
на. Стало быть, из неё выделяется последовательность
{Nm{}, сходящаяся к некоторой точке N (с0, сх, ... , сп),
а тогда соответствующая подпоследовательность поли-
номов {Ап, (ж)} равномерно сходится к полиному
Р (х) = Со + cix + • • • + спхп.
В свою очередь отсюда вытекает интересное, хотя
и стоящее несколько в стороне,
Замечание. Если последовательность полиномов
{Рт(х)} из Нп равномерно сходится к какой-нибудь
функции f{x), то эта последняя функция сама есть
полином из Нп.
Действительно, последовательность {РЛ {х}} очевид-
ным образом ограничена и, стало быть, из неё выде-
ляется подпоследовательность {Рт£ (я)}, равномерно схо-
дящаяся к полиному Р (х) £ Нп. Но так как функция
f(x)> будучи предельной для всей последовательности
{Лп(я)}, будет предельной и для полиномов {Рт, (я)),
ТО f{x) = P{x).
48 ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. И
Теперь мы в состоянии доказать высказанное выше
утверждение о существовании в Нп полинома, имею-
щего наименьшее отклонение от заданной непрерывной
функции.
Теорема 3(Э. Борель). Для всякой Цх)$С ([в, 6])
в множестве Нп существует такой полином Р(х), что
Д(Р) = £П«	(31)
Доказательство. По самому определению по-
нятия точной нижней границы для каждого Натураль-
ного т в Нп Найдётся такой полином Рт(х), что
Еп<Д(Рт)<Еп+1.	(32)
Покажем, что все полиномы последовательности
{Рт (х)} ограничены (на сегменте [а, 6]) одним числом.
В самом деле, при х £ [а, Ь] окажется
\PM\<\Pm^)-f(x)\ + \f(x}\<En + ^+\f(x)\.
Стало быть, для этих х
1Лп(®)| <En + l +тах\f(x)\ = С,
что и устанавливает ограниченность полиномов нашей
последовательности. Но тогда из Неё выделяется частич-
ная последовательность {Рт/ (ж)}, равномерно сходящаяся
к некоторому полиному Р (х)£Нп. Легко показать, что
этот предельный полином и будет искомым. Действи-
тельно, в силу (32),
lira Д (Pmi) = Еп.
Значит, переходя в неравенстве
\Pm{(x)-f\x)\^(Pmi)
к пределу, мы получим
\PW-f№\<En.
Так как это неравенство верно при всех х £ [а, Ь],
то и Д (Р) не превосходит Еп, а так как ни для одного
j	ТЕОРЕМЫ П. л. ЧЕБЫШЕВА
Р(х) из Нп отклонение Д(Р) не может быть меныпйм,
чем Еп, то справедливо (31).
Цолином Р (х) называется полиномом наилучшего
приближения к функции /(а;), или полиномом наимень-
шего отклонения от этой функции. Впервые такие по-
линомы рассмотрел великий русский математик П. Л. Че-
бышев (1821—1894), который с полным основанием *)
может считаться создателем конструктивной теории
функций. Однако существование этих полиномов П. Л. Че-
бышев считал очевидным. В 1905 году Э. Борель [1]
сделал указанное добавление к исследованиям П. Л. Че-
бышева.
§ 2.	Теоремы П. Л. Чебышева.
В этом параграфе мы установим некоторые свой-
ства полиномов наилучшего приближения. Пусть
/(ж)€С([а, 6]); фиксируем какое-нибудь и>0 и обозна-
чим через Р(х) один**) из полиномов найлучшего при-
ближения к f(x) в множестве Нп. Это значит, что
max|P(®)-/(®)|=En.
Если бы оказалось, что Еп — 0, то это означало бы,
что сама функция f(x) есть полином степени не выше п.
Этот тривиальный случай мы оставим в стороне и бу-
дем считать, что Еп > 0.
Так как непрерывная на сегменте [а, 5] функция
| Р(х)~f(x) | достигает своего наибольшего значения,
то найдётся хотя бы одна такая точка х„, что
\PM~fM\ = En.
^Всякую такую точку мы будем называть (е)-точкой
полинома Р(х). При этом мы будем говорить, что
♦) Следует упомянуть, что первые исследования П. Л. Чебы-
шева [1, 2] по теории приближений относятся к 1853 году, т. е.
более, чем на 30 лет опережают появление теорем Вейерштрасса.
♦*) На самом деле в каждом Н п имеется только один поли-
ном наилучшего приближения, но так как это ещё не доказано
(это делается в .этом же параграфе), то нам и приходится гово-
рить об «одном» из таких полиномов.
Конструктивная теория функций
50
ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
[гл. И
(е)-точка х„ есть (+ уточка, если
Р(®0)-/(®0)-£п,
ч
и что она есть (—уточка, если
Р(^о)-/(^) = -^п-
Теорема 1. Существуют и ( + )-точкии (-)-точки.
Доказательство. Допустим, например, что у
полинома Р(х) не существует (—)-точек. Тогда при
всех х из [а, 6] будет
P(x)—f(x)>—En.
В частности, и наименьшее значение непрерывной
функции Р(х) — f(x) больше, чем — Еа. Обозначим это
наименьшее значение через — Еп + 2Л, где h > 0. Тогда
при чвсех х из [а, д] окажется
~En + 2h<P(x)-f(x)<En,
откуда
—Еп +	[Р (x)-h]-f (х) < En~h
и, стало быть,
\[P(x)-h]^f(x)\<En-h.
Но это означает, что полином P(x)—h отклоняется
от f(x) меньше, чем на Еп, что противоречит, однако,
самому определению Еп.
Доказанная теорема геометрически совершенно оче-
видна.
В самом деле, вообразим себе кривые
У = №) + Еп, y=f(x) — En.	(33)
График полинома Р(х) (при а<ж<6) лежит в по-
лосе между кривыми (33). Доказанная теорема озна-
чает, что этот график должен, хотя бы по одному
разу, коснуться как верхней, так и нижней кривой (33).
Но это вполне очевидно, ибо, если бы кривая у = Р (х)
ни разу не выходила бы, например, на нижнюю кри-
вую yt=f(x) — Еп (отсутствие (—)-точек), то мы могли
§ 2]
ТЕОРЕМЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА
51
бы сдвинуть её незначительно вниз и получить кривую,
идущую в более узкой полосе около кривой
Вышеприведённое доказательство, собственно говоря,
и представляет точную форму этого рассуждения.
.Однако, как показал П. Л. Чебышев, число выхо-
дов кривой у = Р(х) на граничные кривые (33) гораздо
больше. Именно, имеет место
Теорема 2 (П. Л. Чебышев [2]). На сегменте fa,d]
существует последовательность, состоящая из (п + 2)
точек
®1 < хг < • • • < ^п+2 '
которые попеременно суть ( + )-точки и (-)-точхи.
Такую систему точек я буду называть чебышевским
альтернансом.
Доказательство. Разобьём [а, 6] точками
и0 = а<«1<и4< ... <us = b
на столь мелкие сегменты [мА, пА+1], чтобы в каждом
из них колебание непрерывной функции Р (ж)—f(x) ока-
залось меньшим, чем у7?п.
Если сегмент [пл, ufc+1] содержит хотя бы одну
(е)-точку, то мы будем называть его (е)-сегментом.
Легко видеть, что на (е)-сегменте разность P(x)—f(x)
не может обратиться в нуль и потому необходимо со-
храняет знак. Поэтому мы можем разбить множество
(е)-сегментов на две категории, назвав (+ )-сегментами
те из них, на которых разность P(x)~f(x) положи-
тельна, и (—)-сегментами те, на которых она отрица-
тельна.
Сделав это, перенумеруем все (е)-сегменты в том
порядке, в котором они следуют друг за другом слева
направо,	х
ds, da, ... , dN.	(34)
Для определённости будем считать, что dt есть
(+ )-сегмент.
4*
52 ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. 1
[(+ )-сегменты],
[(— )-сегменты],
Последовательность (34) мы разобьём на группы по
следующей схеме:
• • • > ^*1
<41+2>  -  > dki
(35)
dfcm-l+i, dfcm-j+2, • • • , dkm [(- l)m-’^сегменты].
Каждая из этих групп содержит хоть один сегмент,
причём в каждом сегменте 1-й группы имеется хоть по
одной ( + )-точке, в каждом сегменте 2-й группы—хоть
по одной (—)-точке и т. д. Поэтому для доказательства
теоремы достаточно показать, что
т > п 4- 2	(36)
(предыдущая теорема гарантирует лишь, что т>2).
Допустим, что
т<п-Ь2. .	(37)
Ввиду того что на сегментах dki и разность
Р(ж)—/(ж) имеет разные знаки, правый конец сегмента
dki не может совпасть с левым концом dkv\A- Поэтому
можно выбрать точку zx, лежащую правее dkx и левее
dkj+i, что символически мы запишем так:
dk} < zx <
Совершенно аналогично можно выбрать такие точки
Za, z8, ..zm.lt для которых
dki < z8 < dkt+i,
dkm.i Zm-l dkm-i +1 •
Проделав это, положим
p (х) = (zx — x) (zs-«)... (z^i-a).
В силу нашего допущения (37) окажется т—1<п,
так что полином p(«) входит в На. Кроме точек z( по-
лином р(а?) других корней не имеет, и потому он не
обращается в нуль на сегментах dk и, тем более, со-
храняет знак на этих сегментах. Нетрудно видеть, что
J 2]	.	/ ТЕОРЕМЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА	83
в каждом из сегментов первой группы (35) полином
р (ж) положителен (потому что положительны все мно-
жители Zi—x). На сегментах 2-й группы (35) полином
р(ж) отрицателен (ибо в его состав войдёт один отри-
цательный множитель Zi—х). Продолжая рассуждать
подобным же образом, мы убеждаемся, что на всех
(е)-сегмептах (34) полином р (ж) имеет тот же знак,
что и разность Р(ж)—/(ж).
Если [вг, Вы]—какой-нибудь сегмент первоначаль-
ного дробления, который не является (е)-сегментом, то
величина
max |Р(ж)-/(ж)|	(38)
строго меньше, чем Еп; поэтому, обозначив через Е*
наибольшее из чисел (38), мы получим, что
Е*<Еп.
Положим
R=a max |р(ж)
и выберем столь малое положительное число X, чтобы
оказалось*)
kR<En-E*,	(39)
Если положить
^(х) = Р(х)-Хр(ж),
то можно показать, что полином Q(x) (очевидно вхо-
дящий в Нп) отклоняется от /(ж) меньше, чем на Еп.
•) Легко видеть, что Еп — Е* < у Еп, так что второе из не-
равенств (39) следует из первого. В самом деле, если и- есть
1
правый конец сегмента dki, то P(up)-/(up)> у Еп (это следует
из того, что dki содержит ( + )-точку, а колебание Р(х) —/(х)
на dkt меньше, чем у Е^. G другой стороны, точка иг служит
левым концом сегмента [ир, ир+1], прилегающего к d*, справа
и уже не являющегося (е)-сегментом, так что |Р(вр)-/(ир) (<,£♦.
Отсюда видно, что Е* > 4- Еп.
Л
54	ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. II
Так как afro Невозможно, то мы и получим требуемое
противоречие. Итак, всё приведено к доказательству
неравенства
Д(е)<Яп.	(40)
Пусть [nf, Wf+1] есть сегмент первоначального дро-
бления, который не является (е)-сегментом и х£ [uo
Тогда
\Q{x)-f(x)\<\P{x)-f(x)\ + \\?(x)\<E-+ lR<En.
Допустим теперь, что х входит в какой-нибудь из
(е)-сегментов dk. Тогда числа
Р (ж) - / (ж) и кр (а;)
имеют один и тот же знак. При этом
|Р(х)-/(®)1 > Мр(*)Ь
ибо
\P(x)-f(x)\>±En, ШМКтЯп.
Отсюда
= |Р(®)-/(®)|-Х|р(ж)|
и, стало быть,
|^(®)-.7(®)|<Яя-Х|р(ж)| <ЯП,
так как На (е)-сегментах р (х) =# 0.
Итак, при любом х из [а, Ь] оказывается
\Q(x)-f(x)\<En,
откуда следует (40), что и доказывает теорему.
Заметим, что построить полином Q (х) можно неза-
висимо'от допущения (37), и для него неравенство (40)
будет справедливо, но при лг>п+2 мы не получаем
никакого противоречия, потому что при таком т по-
лином Q (х) не войдёт в Нп.
Несмотря на сравнительно сложный характер дока-
зательства теоремы, в существе его лежат всё же до-
вольно простые соображения, сходные с приведёнными
§2]	ТЕОРЕМЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА	55
выше по поводу теоремы 1. П. Л. Чебышев хочет по-
казать, что при отсутствии (ге + 2)-членного альтер-
ната отклонение Р{х) от /(ж) можно уменьшить, вы-
читая из Р(х) надлежащим образом подобранный по-
лином р (х). Так как для этого нужно уменьшить абсо-
лютное значение, разности Р(ж) — f(x) на всех (веточ-
ках, то в этих точках знак р (х) должен совпадать со
знаком указанной разности. Если бы эта разность ме-
няла знак меньше чем п + 2 раза, то поставленному
требованию можно было бы удовлетворить полино-
мом р(я), степень которого не превышает п. Возника-
ющая при этом опасность, что полином Р(х) — /(ж)
отклонится от f (х) больше, чем на Еп, в других точ-
ках, легко устраняется умножением р (х) на достаточно
малый положительный множитель л. Таким образом и
получается, что при отсутствии альтернанса полином
Р(х) не может быть полиномом наилучшего приближе-
ния. Я рекомендую читателю ещё раз проДумать дока-
зательство теоремы в свете этого наводящего рас-
суждения.
Из доказанной теоремы непосредственно следует
единственность полинома наилучшего приближения.
Теорема 3. В Нп существует только один поли-
ном наименьшего отклонения.
Доказательство. Допустим, что в Нп имеются
два полинома наименьшего отклонения Р(х) и
Тогда при всех х из [а, Ь]
— En<^P(x)-f{x)^En,
-En<Q{x)-f{x)<En.
Складывая эти неравенства и деля результат на два,
Находим
Это показывает, что полусумма
Я(») = PW+Q.W
56 ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ.^1
также является полиномом наименьшего отклонения
от /(is). Но тогда для Я (ж) существует чебышевский
альтернанс
Si < z, < •.. < ®п+1.	(41)
Пусть хк есть одна из (+ )-точек R (ж). Это значит, что
Р («к) - / (я>) , Q (*/с) - f	_ г,
2'2
Но <?(xfc) —/(жк)<Еп, значит,
P(xfr)-/(a:fc) Еп р
— 2 г т "
И
Р&к}-1{хк)>Еп.	(42)
Так как разность Р(ж) — f(x) не превосходит Еп, то
в (42) стоит'знак равенства. Иначе говоря, хк является
(+ )-точкой и для Р (ж). По тем же соображениям она
служит ( + )-точкой и для Q(x). Таким образом
Р (®*) ~ / (®k) = Еп = Q (xk) -f (ж*)
и, стало быть, Р (хк) = Q (хк). Аналогично устанавли-
вается совпадение Р(х) и Q (ж) и на (— )-точках аль-
тернанса (41). Мы видим, что полиномы Р{х) и Q(x),
степени не выше п каждый, должны совпадать на (« + 2)-х
точках (41). Это возможно лишь при их тождественности.
Нетрудно показать, что существование чебышевского
альтернанса характерно для полинома наилучшего при-
ближения.
Теорема 4 (П. Л. Чебышев). Пусть /(ж)СС([в,6])
в Q{x)—какой-нибудь полином из Нп. Положим
A —max Q (ж) — /(ж) |.
Если на сегменте [а, 6] существуют такие точки
*4 • • • < xatt)	(43) _
что

(4 = 1, 2,.,., П + 2) (44)
| 2} ".	’ ТЕОРЕМЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА	37
u знак разности Q (xt) — / to) меняется при переходе
от каждой точки х( к следующей xttl, то А = Еп uQ(x)
есть полином наилучшего приближения к f\x).
Доказательство. Так как А=д(0, то Л>£п.
Покажем, что А = Еп. Если это не так, то
А> Еп.	(45)
Обозначим через Р (х) полином наилучшего прибли-
жения к J (г). Тогда
<2 to) - Р to) = {Q to)} - {Р to) - / to)}.
Но
l₽to)-/to)|<^«<A
откуда в связи с (44) ясно, что знак разности Q (xt)—P(x)
совпадает .со знаком разности Q (xt) — / (xt) и, стало быть,
меняется при переходе от каждой точки xt к следу-
ющей ®1+v Поэтому в каждом из интервалов (xt, xt),
(xt, х„),..., (жп+1, xn+i) у разности Q(x) — P(x) имеется
по корню. Имея, таким образом, п +1 корень, эта раз-
ность (будучи полиномом степени <п) должна быть тож-
дественной нулю, что, однако, невозможно, так как
Д(0=А>Еп = Д(Р)
и полиномы Q(x} и Р (х) не тождественны. Полученное
противоречие убеждает нас в том, что А — Еп. А в таком
случае получается, что
Д(С) = ЯП
и Q(x) есть полином наименьшего отклонения.
В том же порядке идей можно установить ещё
одну теорему, дающую для Еп оценку снизу.
Теорема 5. Пусть для функции f(x)£C ([а, 6])
удалось найти такой полином Q(x)£Hn и такие точки
а?!	< ... < xnti,
что разность Qlxt)— f(xt) меняет знак при каждом
переходе от xt к xtil. Если А означает наименьшее
из чисел
l<?to)-/to)l	(i = l,2, ...,п + 2),
то
А -С Еп.
58	ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [Гл. Ц
В самом деле, если бы оказалось, что А > Еп, то,
буквально повторяя вышеприведённые рассуждения,
мы' снова пришли бы к противоречию.
§ 3^ Примеры. Полиномы Чебышева.
Теоремы Бореля и Чебышева устанавливают суще-
ствование и единственность полинома наименьшего
отклонения для любой непрерывной функции, но они
не дают никакого способа для фактического нахожде-
ния этого полинома. Эта последняя задача представляет
значительные трудности и до настоящего времени в об-
щем случае не решена. Мы остановимся на ней для
простейших случаев и —0 и п = 1.
Для п = 0 решение совсем просто. Именно, если.т
и М суть, соответственно, наименьшее и наибольшее
значения функции /(ж), заданной и непрерывной на
сегменте [а, 6], то из всех постоянных величин наимень-
шее отклонение от /(ж) имеет величина
п_т + М
2	1
Это вполне ясно геометрически, ибо Д (Р) »	,
а сдвинув прямую у = Р вверх или вниз, мы очевидным
образом увеличим это отклонение.
Формальное доказательство также не предста-
вляет никаких затруднений. Действительно, если ху и ж2
такие точки, что
/ (ж,) = М, / (ж2) = т,
то
. М — т
а так как Д (Р) = —%— , то точки ж, и х2 и представляют
чебышевский альтернанс, наличие которого характери-
зует полином наилучшего приближения.
Для п = 1 задача также довольно проста, если допу-
стить, что /(ж) дважды дифференцируема и /"(ж)
§ 3J	ПРИМЕРЫ. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
не меняет знака, например,
/Дж) > 0.	(46)
В самом деле, пусть
Р(х) = Ах + В
есть полином наилучшего приближения. Из трёх точек
чебышевского альтернанса
< я2 < х2
средняя хг, обязательно лежит внутри [а, 6], т. е.
является точкой экстремума *) разности f(x) — P(x).
Поэтому
Г (жа) — Р'(ж,) = 0,
откуда
В силу (46), производная /'(ж) есть строго возра-
стающая функция, и потому значение А она может
принять только один раз. Это показывает, что внутри
[а, 6] других точек экстремума разности / (ж) — Р (ж)
не имеется и, стало быть, остальные точки альтернанса
ж, и ж8 попадают на концы сегмента [а, 6]
Ж, —। Uf Х2
Для простоты точку ж2 будем обозначать через с.
Тогда приведённые соображения показывают, что
/	(«) ~ Р («) - / (Ь) - Р (Ь) - - {/ (с) - Р (с)},
или подробнее
/	(а) - Аа - В = / (6) - АЬ - В = Ас + В - / (с).
Первое из этих равенств даёт
А =	>	(47)
Ъ — а ’	' ’
*) Из условия (46) ясно, что это минимум разности f(x) — P (а),
т. е. xt есть ( + )-точка Р (х).
во ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПУИБЛИЖЕНИЯ [гл. II
а тогда легко найти а В:
n_f(a) + f(c)	/(b)-f(a) а + с
2	Ь — а 2 '
. Эти равенства и решают задачу, так как точка с
находится из уравнения
f (с)=А=	(*8)
Полученное решение имеет очень простой геоме-
трический смысл. Именно, равенство (47) показывает,
что прямая у=‘Р(х) параллельна хорде MN (черт. 1),
соединяющей точки М[а, /(а)] и N[b,f(b)]. Далее,
записав уравнение этой прямой в форме
мы видим, что она проходит через середину D хорды MQ,
соединяющей точку М с точкой @[с,/(с)].
Таким образом, мы приходим к следующему приёму:
чтобы построить для функции /(ж) линейный полином
наилучшего приближения, поступаем так:
1)	строим хорду MN;
2)	на дуге MN находим точку Q, в которой каса-
тельная параллельна хорде
I з)	' ПРИМЕРЫ. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА^	61
3)	соединяем Q с М и N п проводим среднюю линию KL
треугольника MQN.
Прямая K.L и служит графиком искомого полинома.
Рассмотрим, например, линейный полином, наиме-
нее отклоняющийся от функции у = \(х на сегменте [0,1J.
Здерь угловой коэффициент хорды MN равен едини-
це. Уравнение (48) принимает вид
2/с
откуда с=« y и точки Q и D, соответственно, суть
<?(4.4)-Ч4 !)• Поэтому уравнение прямой KL
будет
и искомый полином есть
Рассмотрим теперь такой вопрос: найти в Нп-Х поли-
ном Р(х), который наименее отклоняется от функ-
ции Цх)=*хп на сегменте [—1,4-1],
Если искомый полином есть
Р (х) = ахп~14- Ьхп~* 4-... 4- г
и мы положим*)
Я (ж) = хп — (ах*”14- Ьх*~* 4- ... 4- г),	(49)
то вопрос сводится к подбору таких коэффициентов
а, Ъ, ,.., г, чтобы величина
М — max | R (х) |
имела наименьшее возможное значение. Так как в фор-
ме (49) можно записать всякий полином, старший коэф-
•) Символом R (х) (или Р (х) и т. п.) мы будем отмечать (следуя
В. Л. Гончарову) тот факт, что старший коэффициент полинома
й (х) равен единице.
62 ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. II
фициент которого равен единице, а величина М есть
не что иное, как отклонение этого полинома от нуля,
то мы видим, что поставленная задача вполне равно-
сильна такой задаче: из всех полиномов степени п
со старшим коэффициентом, равным единице, найти
тот, который имеет наименьшее отклонение от нуля
на сегменте [ — 1, 4- 1].
Для решения этих весьма важных задач нам пона-
добятся некоторые вспомогательные предложения.
Лемма. Справедливо тождество
п-1
cos п 9 = 2п'* cos’* б + 2 a^cos* 6
л=о
(п = 1, 2, з,...),
где	— некоторые постоянные числа.
Доказательство. Лемма тривиальна для п = 1.
Допустим, что она верна до какого-нибудь п (включи-
тельно). Так как ,
cos а 4- cos р = 2 сов —cos -4х ,
А	*
то
cos (n +1) б + соз (и —1)6 = 2 cos 6 cos и 9,
откуда
cos (и +1) 9 =
п-1	п-1
= 2 cos б 12"-1 cos" 6 4- 2 cos* б } - 2 cos* б,
*-0
и, стало быть,
п
соз(п4-1)9 = 2"cosn+16 4- 2 v* cos* б,
fc-D
что и доказывает лемму.
Полагая, в частности, для — 1<а;<1
б = arc cos х,
получим *)
*) Напомним, что символом arc cos х обозначается тот (един-
ственный) угол 9, косинус которого равен х и который удовле-
творяет неравенству 0
$ 3]	ПРИМЕРЫ. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА	63
Следствие. При —1<ж<1 справедливо тожде-
ство
п-1
cos(пarccosх) — 2"'1 хп + У, 'i^xk (п> 1). (50)
*=о
Определение. Полином
Tn(#) = cos (n arc cos x)	(51)
Называется *) полиномом Чебышева. «•
Равенство (51) определяет этот полином только
для —1<х< 1, однако, как и всякий полином, 1Рп(х)
определён для всех вещественных (и даже комплекс-
ных) х; правая часть тождества (50) и даёт его пред-
ставление для х, не лежащих на [ — 1, + 1]. Отметим,
что
Т.(*) = 1.
Вычисление значения Тп (х) для х £ [ — 1, + 1] удобно
производить в два шага: 1) найти в [0, тс] такой угол в,
что
cos в = х,
и 2) вычислить
Тп («) = cos п 6,
Полиномы Чебышева и дают решение поставленных
выше задач. Именно, справедлива
Теорема. Из всех полиномов степени п со стар-
шим коэффициентом, равным единице, наименее откло-
няется от нуля на сегменте [—Г, -4-1] полином
$п (ж) = 2^=1	(я) = 2^1cos (П агс cos ХУ
Доказательство. Мы уже установили, что для
нахождения требуемого полинома
R (х) — хп — (axn_1 + Ьхп~* + ... + г)
нужно найти полином
Р (х) = axn~1-{-bxn-i + ... + г,
*) Такие полиномы введены П. Л. Чебышевым [2] в 1857 году.
64 ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ (гл. П
дающий наилучшее приближение функции f(x) = xn на
сегменте [ —1,4-1]. Чтобы полином Р(х) удовлетво-
рял атому требованию, достаточно существование (n4-1)-
членного *) чебышевского альтернанса, т. е. такой по-
следовательности точек
... <«п+1	(~1<я:А<1),
что на каждой из них полином R(x) достигает наиболь-
шего своего абсолютного значения, меняя знак при
каждом переходе от хк к жА+1.
Мы и проверим, что полином ®п(х) обладает таким
альтернансом. Действительно, если
то
сов п 0А = (—1)й ,
поэтому для
®А = сов0А	(Л==0, 1, . ..,п) (52)
будет
Так как, с другой стороны,
max |Tn(x)Hii,	(53)
-Is^l	2
то точки (52) и образуют требуемый альтернанс.
Замечание. Сам П. Л. Чебышев пришёл к своим
полиномам примерно так: пусть Т (х) есть искомый
полином, имеющий старший коэффициент, равный еди-
нице, и наименее уклоняющийся от нуля на сег-
менте [ — 1,	1]. Его отклонение, т. е. max | Т (х) | при
—1<я;<4-1, обозначим через М. Как уже сказано,
полином Т (х) должен достигать значений ± М в »4-1
*) Напомним, что здесь полином наименьшего отклонения
(от хп) ищется fee в Нп, а в Hn-V в связи с чем и число точек
альтернанса понижается на единицу.
$ 3]	ПРИМЕРЫ. ПОЛИНОМЫ ЧЕЁЫШЁЁА	65
точках сегмента [ — 1, +1]. В тех из Них, которые
лежат внутри [ — 1, 4-1], обязательно будет Г (г) = 0.
Но Ф'(х) есть полином степени п — 1. Значит, IF (ж)
не может иметь больше п — 1 корней. Отсюда выте-
кает, что п—1 точек отклонения лежат внутри сег-
мента [—1, 4-1], а две — на его концах; Стало быть,
полиномы
М2-Г3(ж) и (1 - ж3) Т'а (ж)
имеют одни и те же корни, причём корни, лежащие
внутри (-1,4-1), в обоих случаях суть двойные.
Отсюда следует, что рассматриваемые полиномы могут
отличаться лишь постоянным множителем. Сравнение
старших коэффициентов показывает, что
Ма — Р (х) =	.	(М)
Это соотношение представляет и самостоятельный инте-
рес. Из (54) следует, что
]/М2- F (ж) = ± 1 ]/Г 1 — ж3 & (ж).
Производная Ф' (ж) меняет знак при переходе через
каждую точку альтернанса. Пусть в интервале (а, (3)
она положительна; тогда в этом интервале будет
%' (х)	п
Vm*~t?(x) ~~ /1-ж2'
Интегрируя это соотношение, находим
arc cos = п arc cos ж 4- С.
М	'
Значит,
. Т (ж) = М cos [n arc cos ж 4- С],
или
Т (ж) = М [cos С cos (п arc cos ж)— sin С sin (и arc cos ж)].
Ввиду того что Ф (ж) есть полином, должно быть
sin С = 0, т. е. cosC= ±1. Но старший коэффициент
5 Конструктивная теория функций
66 ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. tt
cos (п arc cos х) есть2п"1. Значит, cos С = 4-1, a Af«2~n+1,
откуда
W (ж) = "2n=i cos (П агс 008 ж)’
Это равенство установлено лишь в интервале (а, р), но
так как обе части его суть полиномы, то оно верно всегда.
Возвращаясь к доказанной теореме и сопоставляя
её с равенством (53), получим
Следствие. Для всякого полинома Рп(х) сте-
пени п со старшим коэффициентом, равным единице,
справедливо неравенство
шах |Рл(ж)|>'
Если старший коэффициент полинома Рп(х) сте-
пени п будет не единица, а Ло, то
max ]Рп(г)|> zfe .
Заметив это, рассмотрим полином
Рп (®) = с0«п+ С1 ®п'* + ... +сп
степени п. Полагая
а+Ъ ,Ъ—а
х = —+—у.,
мы видим, что Рп(х) можно рассматривать как поли-
ном аргумента у со старшим коэффициентом
С«С 2 > •
Стало быть,
max ]Pn(a:)| = max | Рп (ж) | >	.
а^х^ь
§ 4. Дальнейшие свойства полиномов Чебышева.
Полиномы Чебышева
Тл (ж) =: cos (п arc cos х),
помимо того, что являются полиномами, наименее укло-
няющимися от нуля, обладают и многими другими
§4] ДАЛЬНЕЙШИЙ СВОЙСТВА ЙОЛЙНОМОВ ЧЕВЫШЕВА 69
замечательными свойствами. На некоторых из них мы
остановимся.
Прежде всего, из формулы
cos п0 == 2 cos 6 cos (n — 1) 0 — cos (n — 2) 0 (n = 2,3...)
с помощь» подстановки 0 = arc cos x получается рекур-
рентное соотношение
1ГЯ(®) = 2®Tn_1(®) —	(®) (n = 2,3, ...), (55)
Связывающее три последовательных полинома Чебы-
шева.
Зная, что
Г о (я) = 1;	(%) — х,
мы Из равенства (55) последовательно находим:
Tt lx) = 2®’— 1,
(F, (ж) == 4»’ — 3®,
Tt (х) = 8®* — 8®’ + 1,
Tt (х) = 16®’ — 20®* + 5®,
Тв (®) = 32®* - 48®* + 18®’ - 1.
Этот ряд можно продолжать неограниченног.
Другой способ получения полиномов 3?п(®) основан
на применении так называемой «производящей функ-
ции». Для его изложения нам понадобится следующая
формула	z
(-!<<<«). (56)
п-0
левая часть которой, очевидно, является абсолютно
сходящимся рядом.
Чтобы доказать эту формулу заметим, что её левая
часть есть вещественная компонента суммы геометри-
ческой прогрессии
00
п-0
5*
68 ЙбЙЙНОМЫ НАИЛУЧШЕ1*О ПРИБЛИЖЁННА [гл. й
Но
1_____________1___________1 — t cos В -Mt sin О
1 _ te*i ~~ (1 — t cos 0 — it sin 0) ~~ (1 — t cos B)24-t2 sin® В ’
так что вещественная компонента этой дроби как раз
и представляется правой частью формулы (56).
Если мы положим в (56) 0 — аге соз х, то получим
СО
WnW (-1<»<1), (57)
п=0
так что последовательные полиномы Чебышева оказы-
ваются коэффициентами при различных степенях t в раз-
ложении функции
® х\ 1 — tx
1 '’ > ~ l-2tx + t2
Эта функция и называется производящей для поли-
номов Чебышева. Ввиду того что разложение <Р (t, х) по
степеням t можно получить формальным делением'!—tx
на 1 — 2tx + i2, то мы и приходим к новому способу
фактического вычисления полиномов Фп(х):
t — tx 11 — 2tx-\-t2
1 - 2tx + t2| 1 4- tx +12 (2a:2 - 1)+1* (4a:3 - 3z) 4-    ‘
fa: — t2
tx-2t2x2 + f3x
t2 (2a:2 - 1) - t3x	x
t2(2x2 - 1) - 2t3 (2a:3 - »)+ t4 (2a:3 - 1)
f3(4x3 —3x) —t4(2x3 — 1)
Коэффициенты частного
1 + tx +t* (2«2 — 1) H- i3 (4a;8 — 3») + • • •
действительно совпадают с Ta (х),	(х), Та (х), Та (х), *..
Нетрудно написать и явную формулу для полино-
ма Тп (х).
Для этой цели мы докажем сначала теорему, име-
ющую и самостоятельный интерес.
§ 4] ДАЛЬНЕЙШИЕ-СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА 69
Теорема 1. Полином у =<Рп (ж) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
(1 — я2) г/" — ху' + п3у = 0.	(58)
В самом деле, если
у = cos (га arc cos ж),
то
у' = sin (га arc cos х).
у i — X3
и	_____
— «3 у'=п sin (n arc cos х).
Дифференцируя это тождество, находим
l/1 — хг у"--~у~~ = —7== cos (га аге сов ж),
r	я Vi-х3 Yi-x3 '	• ’
откуда и следует*) (58). Ещё проще получить (58), диф-
ференцируя соотношение
а п3 ’
которому удовлетворяет полином Чебышева (см. (54)).
Возвращаясь к интересующей нас задаче нахожде-
ния явной формулы для Тп(х), положим
п
к«=о
и подставим это выражение в (58). Это даёт тождество
(1 — ж2) 2 (п-к)(п — к — 1)акхп~к-г —
к-0
— х 2 (га—Л) а^в1*-*-* + га2 2 <Vn-* =? 0,
fc=0	ft=0
♦) Наше рассуждение показывает, собственно, лишь то,
что Тп(х) есть решение уравнения (58) при —	Но так
как у = Тп(х) есть полином, то и (1 — х3)у’ — ху' + п3у есть поли-
ном, так что обращение его в нуль при — 1 < х 1 влечёт спра-
ведливость теоремы в полном объёме.
70 ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гп. П
которое можно представить и так:
2 (» - А) (л “ А -1) ЦТ? •»"
*-о
+ 2 I»’ - (п - А)’] ака^~к « 0.	(59)
Л-0
Здесь в первой сумме исчезают слагаемые, отвеча-
ющие значениям к = п и к = п—1. Поэтому, вводя но-
вый индекс суммирования i = k-j-2 и обозначая его
снова через к, представим эту сумму так:
2 (п —А + 2)(п —A + l)aft_asn-ft.
k-2
Во второй сумме исчезает слагаемое/ отвечающее
значению А = 0, и тождество (59) принимает вид
(га_ 1)’] +
+ 2 «п~* + 2)	+ *) (га-А)’Ю ^~к » 0,
к-2
откуда вытекает, что в, = 0и что
_ (n-ft + 2)(n-» + l)
а*“	А(2п —А) й*-»‘
Последнее соотношение сразу показывает, что все
коэффициенты с нечётными значками равны нулю.
Заменяя к на 2к, получим
„ (n - 2ft + 2)(n - 2Л+ 1) „
aik =	*к~*'
Но «0®2'1‘1. Значит,
n(n-l) 9n_,	n(n-l)(n-2)(n-3)an_e
Я»----’ *	21(n —1)(п —2) Л
и вообще
_ . t л\ь п(п— !)••• *(n —2R +1) rm-ik-i.
««k-.t-1) Й1(Пz
§4] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА Л
что легко подтвердить индукцией. Замечая, далее, что
п(п- 1)-»-(п-2й+1) _
й! (п — !)• •-(n— ft)
п (л — й) (п — й —!)•
• (п-2*4-1) _ п
получаем окончательно
[»•]
V. (г) = 2 (- 1)» ~
к-0
где ч^рез [ у ] обозначается целая часть у .
Можно написать ещё одно явное выражение для
полинома Чебышева. Именно, из формулы Моавра
,	cosn04-isinn0 = (cos94-isin9)n
вытекает, что
cos п9 — i sin п9 » (cos 9—i sin 9)n,
откуда
cos n9 = 4- [(cos. 94-1 sin 6)" 4- (cos 9 — i sin 9)n].
A
Если здесь положить 6 = arc cos а: (считая	то
мы получим, что
Тп (*) = у [(ж + i	+ (я-ij№yj.
Это равенство установлено нами лишь при
но легко видеть, что оно верно для всех вещественных
и комплексных х, потому что его правая часть есть
целый полином. В этом мы убеждаемся, переписав её
в форме
п
4 2 с* х”-к* О+(-1)*)
к-0
и замечая, что здесь отличны от нуля только те сла-
гаемые, которые отвечают чётным значениям к.
72 ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. II
Для тех вещественных х, у которых |ж| > 1, послед-
нее выражение Тп (х) полезно несколько преобразовать.
Именно, если к чётное, то
ik (j/T^),c = (]^х^Л)к.
Значит,
п
тп (*)=42 с-хП~к (1+(-1)*),
* = 0
откуда
flW == 4 [(ж+/£^Т)П+(X -
Это выражение не содержит мнимостей (при |ж| > 1).
Из него, в частности*, следует важная оценка для Фп(х):
Теорема 2. Если, х — вещественное число, причём
[ я? | > 1, то	.
Действительно, каждый из двучленов x-^f/'x3—1
и ж—}/ж2—1 имеет модуль,не больший, чем	х3—1.
Остановимся теперь на изучении корней полино-
мов Фп (ж).
Ввиду того что
!Fn (ж) — cos п0,
где 9 == arc cos х, ясно, что корнями Фп (ж) будут слу-
жить такие значения х, для которых соответствующие
значения 9 удовлетворяют уравнению
cos и9 = 0.
Такими значениями 0 (напомним, что 0<9<к)
будут, очевидно,
В — 75 п —Зя	о	л (2л —1) я
01 2п ’ °г —2п ’ ‘	2п »•••>’’" 2п
Поэтому числа
Ж<П> = СО8^, ®<n) = cos|£, ..., ж^п) = соз
4 71	А’*1
§ 4] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА
73
и будут корнями полинома Тп(х). Так как количество
этих чисел равно степени полинома, то ими исчерпы-
ваются все корни Тп(х}, причём каждое из них является
корнем простым.
Таким образом нами установлена
Теорема 3. Корни полинома <Fn{x) даются фор-
мулой
ж*п) = cos	(к = 1, 2..п).
Все они вещественные, простые и лежат в интер-
вале (—1, +1).
Из приведённой формулы вытекает свойство «пере-
межаемости» корней соседних полиномов Чебышева:
Теорема 4. Между двумя соседними корнями х^
и полинома Тп(х) обязательно находится один и
только один корень предыдущего полинома Тп^(х).
В самом деле, А-й корень полинома (х) есть
Установим, что*)
х^>х^>х^,
(60J
или, что то же самое, что
2R-1	2R-1	2ЙЦ-1
2га	2п — 2 2га
Но первая часть этого двойного неравенства три-
виальна, а вторая равносильна неравенству
2k < 2п—1,’
вытекающему из того, что &<п. Таким образом нера-
венство (60) доказано. Так как между п корнями х^
имеется п—1 интервалов, каждый из которых содер-
жит по корню полинома Тп-г{х}, то ясно, что в этих
*) Так как cos fl есть функция убывающая (при 0 fl те),
то корни 4”>.......расположены в порядке убыв алия.
К ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. П
интервалах находится ровно по одному корню, ибо
корней этих тоже п — 1.
Следствие. Два соседних полинома Фп(х) и Tn-i(x)
не имеют общих корней.
Заметим, что это следствие очень просто вытекает
из рекуррентной формулы (55). Действительно, если бы
Г,, (ж) и Г„_х (ж) имели общий корень ж0, то из (55) вы-
текало бы, что и
^П-2 (®о) = О,
т. е. ж0 оказался бы и корнем полинома (Рп_, (ж). Но,
повторив это рассуждение, мы убедились бы, что ж0
будет корнем полинома Тп_г(х), а тогда он был бы
корнем Тп-,\х), и т. д. В конце концов хл должен
был бы оказаться и корнем полинома То (ж) = 1, что
явно нелепо.
Рассмотрим вопрос о том, как распределяются корни
полинома Тп (х) при весьма больших п. В целях большей
наглядности мы дадим этому вопросу механическую
интерпретацию. Именно, вообразим себе некоторую
материальную массу М, размещённую поровну на корнях
ж(»), ж(М,.„, ж^полинома Тп(х), так что на каждом из
м
этих корней находится — массы. Выясним, какое коли-
ъ
чество Мп массы при этом окажется на каком-либо сег-
а
менте [«, &JCZ [ — 1, + 1J. Очевидно,
где tn есть число корней ж*"\ лежащих на [a, 6J. Иными
словами, нам нужно найти количество таких чисел к
из ряда 1,2, ..п, которые удовлетворяют неравенству
. (2ft — 1) я ,
а < cos'—s—— < о.
it Fl
Это неравенство равносильно неравенству
(2ft —1)л й
.	.	Я> 2п >?’
J 4] ^Дальнейшие свойства полиномов чебышева 73
где ?4
а» arc cos а, arc cosb,
а последнее неравенство можно записать в такой форме:
£	4 \_	« /	* \ Л J
Ийк, нам надо решить такую задачу: даны числа Р
и Причём Р <Q, определить количество натуральных
чисел!;, удовлетворяющих неравенству
P<k^Q.
г <1 +1 < i + 2 < • • • < t + m < ^ < 4 + те 4-1,
то искомое количество равно т. Легко видеть, что
тп — 1 <,Q — Р< /и 4-1,
откуда
Q—Р— 1 <m^Q—P4-I
и, стало быть,
m — Q—P + f*	( —
В интересующем нас вопросе
. ₽ = 'K, + v)' <?-K‘ + v)-
и потому
'1п=»?4г+Р'П	(—1<рп<<1).
Отсюда
Мп=^(«-Р)+^
или же
(arc cos а — arc cos b) 4- ~5.
Это равенство показывает, что при неограниченном
возрастании п распределение нашей массы стремится
16
ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гЛ.П
к некоторому предельному распределению, при котором
на сегмент [а, 6] попадает масса
ь м
Мт — — (arc cos а — агссов 6).
Как это обычно делается в механике, постараемся
охарактеризовать найденное предельное распределе-
ние массы его плотностью.
Так как количество массы, находящееся на отрезке
[ж, хДж], равно
ж+Аж Щ
. Моа = — [arc cos х — arc cos (х + Дж)],
X ”
то средняя плотность этого отрезка есть
1	' М Eire cos я —arc cos (ж 4-Дг)
Si 3е0“ «	Д^
Поэтому истинная плотность в точке х равна
, х М v arc cos х — arc cos (х + Дж)
р(х) =—lim ---------д----—----.
4	" Аж-+0
Стоящий направо предел только знаком отличается
от производной функции arc cos х в точке х. Значит,
р(®)= — -у=£==
г' л V1 - жа
Это и есть плотность предельного распределения
корней полиномов Чебышева Тп (х) на сегменте]—1, 4-1].
Само собой ясно, что существенное значение здесь
1
имеет только множитель	так что, приняв, что
исходное количество массы равно л (это связано с вы-
бором единицы измерения массы), получим для р(х)
более простое выражение:
г>М = Г<Ь-	‘61>
Формула (61) позволяет дать приближённое выраже-
ние количества корней полинома <Рп(х)> попадающих
f 4] ^йьнёйшиё свойства полиноМоё чебЬппёёа 75
на малый отрезок [х, х-|-Дх]. Именно, если Думало, то
х+Дх	д„
X	/1-х’
Если число п весьма велико, то налево можно вместо
Х+&Х	х+Лх	Ь
М<х> написать 7ИП, а так как Мп = — 'п> т0 Для искомого
х .	х	а	п
количества корней имеем выражение
п Дх
я /*1 —
Отсюда ясно, что при больших п корни полинома
Фп(х) сгущаются у концов сегмента [ — 1, +1].
Между функцией (61) и полиномами Чебышева имеется
тесная связь и совершенно другого характера. Для её
формулировки введём следующее
Определение. Две функции /(ж) и g(x) назы-
ваются взаимно ортогональными по весу р (х) на сегменте
[а, 6], если
b
§ p(x) f{x) g (x)dx = O.
a
Теорема б. Всякие два полинома Чебышева Тп{х)
и Ф«ЛХ) взаимно ортогональны по весу
Р (х) = А—
/1-х’
на сегменте [ — 1, +1].
Для доказательства достаточно вычислить интеграл
г ___ С Тп (х) 'Pm (х) л
/г^
Произведём с этой целью подстановку х = сов 9. Так
как Тп (сов 0) = сов «9 (мы считаем 0<9<л), то
15
Znm = \ cosn9.cosm9d9.
о
5s Иойиноь4ы НАИЙУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. it
Отсюда
1пт = зА [c°s (п — т}10 4- cos (п + т) 6] d0 =
Z J
о
_ 1 Г sin <n — m) 9	sin (n + m) 9 "] ”
~ 2 L п — т "г” п + т Jo
и, стало быть,
I пт = О’
Во второй части нашего курса, в связи с общей
теорией ортогональных полиномов, мы ещё вернёмся
к полиномам Чебышева, а теперь дополним сказанное
двумя их экстремальными свойствами.
Теорема 6 (П. Л. Чебышев [3]). Пусть Р(х) есть
полином степени не- выше п и М есть максимум его
модуля на сегменте [—1, 4-1].
Если х„ —вещественное число, причём |«0|>1, то
|РСМ|<м|тп(яс)|.
Доказательство. Допустим, что теорема не-
верна. Тогда*)
М<|£Ш	(62)
Введём в рассмотрение полином
Л(х) = ЙЙ)7’"м-‘₽(а:>-
В точках yt = cos	(i = 0,1, 2,.,в) будет
^rn(У^) = cos^7r^(-l),. •
Значит, у разности
модуль уменьшаемого больше модуля вычитаемого (ибо
—	и, стало быть, |Р(^)|<М). Поэтому ука-
*) Отметим, что	ибо все корни Та(х) лежат
в интервале (— 1, +1).
'  • - ' .
4] Дальнейшие свойства полиномов чЁбышёйа
занная разность меняет знак при каждом переходе
от yi к ^/+1. Отсюда следует, что в каждом из п интер-
валов
{Уо> У1)> (У1>Уг)> •••> (Уп-1> Уп)
находится корень полинома Я (ж). Но, кроме того, и
Я(жй) = 0. Значит, Я (ж), будучи полиномом степени п,
имеет n +1 корень. Это возможно лишь при условии,
что Я (ж) есть тождественный нуль; поэтому
Полагая здесь ж=1 и замечая, что 7’п(1) = 1 (ибо
Ml) = cos (n arc cos 1) = cos 0), находим, что
,	•* п\то/
а это противоречит допущению (62).
Сопоставляя теорему 6 с теоремой 2, получаем
важное
Следствие. Я обозначениях теоремы 6
1?(ж0)|<ЛГ(1жв| + /^)п.	(63).
Этот результат мы используем в главе IX.
При закреплении старшего коэффициента полином
Чебышева наименее уклоняется от нуля. Оказывается,
что и прочие его коэффициенты разделяют со старшим
то же свойство. Чтобы установить этот результат, при-
надлежащий В. А. Маркову, нам понадобится
Лемма. У функции
/ (ж) = Лж*! 4- .42а42 + ... + 4т+1жлти,
еде < X, < ... < km+i суть любые вещественные числа,
не может быть больше, чем т положительных корней*).
В самом деле, для т = 1 лемма очевидна. Пусть она
верна для какого-нибудь значения т, а для т +1 не-
верна. Тогда найдётся функция
/ (ж) = ж*14- Аг х^ 4-... + Amtl х*т 4- -4т+1 х*т «»,
*) Мы предполагаем все числа Ai не равными нулю.
80 ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [гЛ. П
число положительных корней которой больше, чем
zw-Ь 1. Все эти корни будут также корнями функции
=Л +	. +Лт+1Жл'"+1-Я1 + Лт+2Хдт+2-Л1,
Но тогда по теореме Ролля производная этой последней
функции будет иметь больше т положительных кор-
ней, что, однако, противоречит допущению, ибо эта произ-
водная имеет вид
' 2?!	+ 5,	. + 5m+1 х|Хт*1.
Лемма доказана.
Теорема 7 (В. А. Марков). Если п и р^п имеют
одинаковую чётность, то из всех полиномов степени
не выше п, имеющих при хр коэффициент 1, наименее
уклоняется от нуля на сегменте [ — 1, +1] полином
 (64>
р
где Тп(х) —полином Чебышева, а — коэффициент при
хр в этом полиноме. Если же чётность пир
то этим свойством обладает полином
Т П-1 (Х)
4п-1)'
Возможны*) следующие четыре случая:
1)	р чётное, п чётное,
2)	р нечётное, п нечётное,
3)	р чётное, п нечётное,
4)	р нечётное, п чётное.
Предположим, что в случае 1) нашёлся
Р (х) £ЯП, имеющий при хр коэффициент, равный единице,
и уклоняющийся от нуля меньше, чем полином (64),
т. е. такой, что при всех — 1, 4-1]
разная,
(65)
полином
*) Доказательство мы ведём, следуя С. Н. Бернштейну.
^>4] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА 81
Тогда полином Р(—х) обладает теми же свойствами
(ибо р чётное), а значит, и
I Р(х)+Р(-х) I 1
I 2 Г|^Г
Заметив это, рассмотрим разность
р/.л Тп(^) Р(х) + Р(-х)
-«W——	2
Это —полином степени не выше п, Не содержащий хр.
Нетрудно видеть, что R (х) состоит только из таких
слагаемых «т, показатели т которых суть чётные числа.
Таким образом
Я
2
=	,(с₽=0).
*-0	8
Положим
_ п
„ 2
Q (у) = 2 ск у*-
к«0
Так как Q (г/) содержит у слагаемых (или ещё меньше,
если обращаются в нуль какие-либо коэффициенты ск,
кроме Срц), то у Q(y) число положительных корней
не больше, чем £ — 1.
Однако, положив
, In
мы получим,
<?(у,)=я(сов -^) =
тп (cos. 5-)	p(coS iQ + p( -c68
ЛРП)	2
6 Конструктивная теория функций
Si полиномы йаилучшего приближения [rii.ti
Отсюда ввиду равенства
!ГП (cos = cos in = (— 1)'
f
вытекает, что Q (yt) имеет тот же знак, что и (— 1)*
Значит, в каждом из у интервалов
(Уп_> У п ,)» (У» .» У » „)> • • •> (Уг> У1)> (У1> Уо)
2	2	2	2	>
лежит по корню Q(y). Полученное противоречие до-
казывает теорему для случая 1).
Случай 3) исследуется аналогично, надо лишь обра-
Р I- Р ( — х)
тить внимание на то, что — ---------- 6 Нп-г, так что
\	А
п—1
R& = Т-^ -Р{х} + Р^х}- = 2 Скх*	(с^ = 0),
Лр	к=0	2
после чего доказательство завершается, как и выше.
Наконец, в случаях 2) и 4) нужно вместо Р (ж)4-Р(—х)
рассмотреть Р(х)—Р ( — х). Например, в случае 4) мы
будем иметь
т-
R (*) =	- Р(ж)~2Р(.-1 = з ск *2Й+1
АР	*=0
т-1
и следует ввести полином Q (у) = 2 ск Ук- Дальнейшие
к-=0
подробности предоставляем читателю.
Можно показать, что полином (64) (или, соответ-
ственно (65)) будет единственным полиномом, имеющим
при Xе коэффициент, равный единице, и наименее укло-
няющимся от нуля в [ — 1, + 1], но мы на этом не будем
останавливаться. Вместо этого мы приведём несколько
следствий теоремы В. А. Маркова.
§ 4] Дальнейшие свойства полиномов чебышеВА 83
Следствие 1. Если Р(х) есть полином с/йепенип,'
имеющий при хр, где р^.п, коэффициент, равный единице,
то
max j Р (ж) | >	-2—4— ,
или
fep.-A'A I
“J1? (Ж) 1 > 2^Г dn 0 + p-3) , ’
смотря по тому, одинакова или различна чётность чисел
пир.
Это следствие немедленно вытекает из явного выра-
жения коэффициентов ЛрП) и ЛрП-1\
Ясно, что если коэффициент при ж₽ в полиноме Р (aS)
есть не 1, а ср, то правые части последних неравенств
следует умножить На 1ср|. Отсюда вытекает
Следствие 2. Если Р (ж)— полином степени П-
то его коэффициент ср при хр допускает оценку
или
(.w.+p-3> J
смотря по тому, будет ли разность п — р чётной или
нет.
6*
ГЛАВА III.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШЕГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ.
§ 1. Корни тригонометрического полинома.
В этой главе мы будем заниматься вопросом о при-
ближении непрерывной 2л-периодической функции три-
гонометрическими полиномами n-го порядка
п
(F (ж)=А 4- 2 (й* с08 + bk sin кх)
к-1
с вещественными коэффициентами А, ак, Ък. В даль-
нейшем нам будет нужна оценка числа вещественных
корней такого полинома. Заметим, прежде всего, что
таких корней может и вовсе не быть*), как, например,
у полинома сов ж — 5. Однако, если у полинома IF (х)
имеется один корень xv, то и всякое число
ж0 + 2тптс	(m= ± 1, ± 2, ...)
также будет его корнем и притом той же кратности,
что и ж0 (напомним, что ж„ есть корень кратности г по-
линома Т(х), если 5Р(ж0) = !?'(жв)«е ... =	(ж0)«*О,
*) Алгебраический полином также может не иметь веществен-
ных корней, но комплексные у него имеются обязательно. На-
против, тригонометрический полином может не иметь ни веще-
ственных, ни комплексных корней, как, например, полином
сов х +1 sin х.
§ 1J ' КОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА .  < 85
8z 5Г(г) (же)=#0). Ввиду этого мы в дальнейшем вообще не
будем различать таких точек х и у, для которых
х—у=2т'к	(тп => ± 1, ± 2, ...),
называя их эквивалентными: тху.
Теорема. Тригонометрический полином Т (ж) п-го
порядка {не тождественный нулю) не может иметь
более, чем 2п, вещественных попарно неэквивалентных
корней, если даже каждый ив них считать за столько
корней, сколько единиц в его кратности.
Доказательство. Пользуясь известными форму-
лами Эйлера
мы можем переписать полином
п
Т {х) =я А 4- 2 (ак с08 кх + Ьк sin кх)
к-1
следующим образом.:
п
{Ок 2	+ Ьк в—~~) .
Л-1
Отсюда
7\(ж) “2 е* ekXt ~ e*nxt S сл е<*+")х<
Л--п	к—-п
и, стало быть,
2п
Т(ж)=е-Пх<2 dke**1.	(66)
'	- к-О
i Введём в рассмотрение алгебраический полином 2п-й
степени
Р (z) ~ da diZ + d^ -J- ... + din zin.
Если каждому вещественному х отнести комплексно©
число	. ,
86 ТРИГОНОМ. ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШ. ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. III
то (66) можно записать так:
P(z) = enxiIP (х).	(67)
Важно заметить при этом, что если х' и х" не экви-
валентны, то соответствующие им г' = ех'‘ и г" = ех"1
не равны друг другу, z' ¥= z".
Дифференцируя (67) по аргументу х, находим
Р' (z) z'x = enxi [ni W (ж) +	(ж)],
откуда, замечая, что z^ = iext, получаем
Р' (z) = ef"-1)xi [пТ (ж) - iT' (ж)].
Вторичное дифференцирование даёт
Р" (z) = е<"-2)xi [аУ (ж) + W' (ж) + уТ" (ж)],
где а, ₽, у — некоторые численные коэффициенты, точное
выражение которых нам не понадобится. Аналогичным
образом (что легко подтвердить полной индукцией)
получается
P(s)(z) =	[к0 !Р (ж) + Г (ж) + ... + £Р<*)(ж)].
Допустим, что ж0 есть т-кратный корень У (ж). Тогда
V (ж.) = Г (ж.) = ... = Я(т-*> (ж0) = 0.
Значит, для
х i
z0 = e«
оказывается
Р(z0) = Р'(z0)= ... =	(z0) = О,
и потому z0 является для P(z) корнем кратности I,
Не меньшей, чем т‘.
1^т.
Отсюда следует, что, если у (ж) имеется р попарно
неэквивалентных вещественных корней:
хг—кратности т1г
*
жг — кратности т2>
— кратности тр)
§ 2]	МЕТОД ИЗОБРАЖАЮЩИХ ТОЧЕК
87
причём
+ т3+ ... +mp = N,
то у P(z) имеется :р различных корней:
zx = eXli — кратности l^m^,
z2 = ех^ — кратности Za > т2,
zp = ехр* —- кратности 1р	тр.
Но, так как степень *) Р (z) есть 2п, то
li + If + • • • + -С 2п,
откуда и поДавно
2V<2n.
Следствие. Если два тригонометрических полинома
п-го порядка совпадают в (2п+1)-й попарно неэквива-
лентных точках, то они тождественны.
§ 2. Метод изображающих точек.
В предыдущей главе мы видели, насколько полез-
ным оказался метод соотнесения каждому алгебраичес-
кому полиному из Нп изображающей его точки (и + ^-мер-
ного пространства. Теперь мы проведём эту же идею
для полиномов тригонометрических. Это можно было
бы сделать, опираясь на тот факт; что определитель
1 cos ж sin ж	cos 2ж .	.. sin nx
1 cosy sin у	cos2y .	.. sin nу
1 cos t sin t	cos 2г .	.. sin nt
при попарно неэквивалентных ж, у, ..., t отличен от
нуля (последнее легко выводится из теоремы преды-
дущего параграфа). Соответствующие рассуждения ни-
*) Полезно отметить, что Р (z) не есть тождественный нуль,
ибо в этом случае и Т (х)—е~пх{ P(z) был бы тождественным
нулём-
88 ТРИГОНОМ. ПОЛИНОМЫ; НАИЛУЧШ. ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. Ш
чем не отличались бы от рассмотренного выше алге-.
браического случая. Мне кажется поучительным прове-
сти метод изображающей точки с помощью других
средств.
Лемма 1. Любые две функции, последовательности
1, cos х, sin х, cos 2ж, sin 2ж, cos Зх, ...	(68)
взаимно ортогональны на сегменте [— л, я], т. е. ка-
ждый из интегралов от их попарных произведений
•к	п
совпжйж, Bin nxdx,
—к	-я
•п	я
cos пх cos тх dx, sin пх sin mxdx (п&т),
— К	—я
я
> cos пх sin тх dx (п=т)
равен нулю.
Доказательство состоит в фактическом вычислении
этих интегралов. Мы предоставим его читателю. Заме-
тим, что, в силу 2л-периодичности всех функций (68),
мы могли бы говорить не о сегменте [—я, л], а о лю-
бом другом сегменте той же длины, например, о [0, 2л].
Ле Kim а 2. Если и = 1, 2, 3, ..., то
«	я
/•	.	с
\ cos’ nxdx— 81п’ижс?ж = л.
“К	-«
Простую проверку этих равенств мы опускаем.
Лемма 3. Если .
п
Т (ж) = А + 2 (ак С08 кх + bi, sin кх),
к-1
то
я	п
5 ТЧжИж = я[2Л’ + 2(а1 + И)].	(69)
j;2]	МЕТОД ИЗОБРАЖАЮЩИХ ТОЧЕК	89
Равенство (69) называется формулой Парсеваля. Для
его доказательства заметим, что
7” (®) — А' + - J (®S cos’ kx + 6* sin’ kx) + 23', (70)
k-1
где 2* означает сумму попарных произведений различ-
ных членов Т(х). Интегрируя (70), мы замечаем, что,
в силу, .леммы 1 (об ортогональности функций (68)),
интеграл от JJ' оказывается равным нулю, а тогда (69)
вытекает из леммы 2.
Лемма 4. Ест
а1> ai> г • • > ат> ^1»	• • • > fyn
—два ряда вещественных чисел, то справедливо нера-
венство
т	т	' т
(РФ (71)
k-i,.	к-1	.
Мы*) будем называть это неравенство неравенством
Вуняковского.
Доказательство. Положим
т	т	т
Л = 2 ак> В = akbk> С~ 2 ЭД*
к-1	 ' к-1
Если бы оказалось Л = 0, то означало бы, что
а1 = а!=...=бт = 0,
и неравенство (71) было бы очевидным. Предпола-
гая Л > 0, положим
<72)
•) Иногда его называют неравенством Шварца, но это оши-
бочно, ибо оно было установлено задолго до Шварца известным
русским математиком В, Д. Буняковским 0804 —1889).
90 ТРИГОНОМ. ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШ. ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. Ill
и пусть
'	т
г~ 2 (ала;+^й)а’
к-1
Очевидно г > 0. С другой стороны,
тп,
г=2 (^х2 + 2акЬкх + Ы),
К=1
откуда
г = Ах2 + 2Вх + С
и, в силу (72),
Таким образом АС — В2 > 0, а это и есть нера-
венство (71).
Применяя неравенство Буняковского к числам
|«iL |«8|, ...лК!; 1, 1,	1> -
получим полезное неравенство
т	j-----
2Ы</™1/2а*-	(73)
Теперь мы можем перейти к теореме, лежащей
в основе метода изображающих точек. Условимся назы-
вать нормой и квазинормой тригонометрического поли-
нома
п
' Т (ж) = А + 2 (ак cos kx 4- Ък sin кх)
к=1
соответственно числа
п
М (F) = max | 7^)|, L(T)= |А| + 2
К-1
Множество всех тригонометрических полиномов
порядка не выше п будем обозначать через Н?-
§ 2]
МЕТОД ИЗОБРАЖАЮЩИХ. ТОЧЕК	91
- Теорема 1. Для любого !F (х) из Н? справедливы
неравенства
М^ХЦТ),	(74)
L (Т)<1/4и + 2М(Г).	(75)
Доказывать нужно только (75), ибо (74) очевидно.
В силу (73) имеем
-- -- . П
/ п
1(?)</2Й+Г1/ 4а+3(4+4).
г	А=1
С другой стороны, формула Парсеваля (69) показы-
вает, что
п	я
л3 + 2 (4+62)<4 j
к—1	-те
—те
Таким образом
L (?) < /211+1 /2Ма (Г),
откуда и следует (75).
Опираясь на эту теорему, совершенно так же, как
ив предыдущей главе, мы докажем её следствия:
Следствие 1. Для равномерной ограниченности
семейства 6’ = {5Р(ж)} полиномов из Н? необходима
и достаточна ограниченность множества квазинорм этих
полиномов.
Следствие 2. Для. того чтобы последователь-
ность {Тт(ж)} полиномов из Н? равномерно сходилась к
полиному Т (х) £НТ, необходимо и достаточно, чтобы было
lim L (Тт — Т) = 0.
т-юо
Условившись называть точку
N ai, bi, ..., ап) Ьп)
92 ТРИГОНОМ. ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШ. ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. III
(2« +1)-мерного пространства изображающей для поли-
нома
п
Т (ж) =» А + 2 (°л С08 кх + \
и сохраняя геометрическую терминологию стр. 45, мы
можем эти следствия формулировать так:	v
Следствие Г. Для того чтобы семейство триго-
нометрических полиномов не выше п-го порядка было равно-
мерно ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы
было ограничено множество их изображающих точек.
Следствие 2'. Для того чтобы последователь-
ность {У’т(ж)} тригонометрических полиномов из Нх
t равномерно сходилась к полиному Т (ж) £Яп, необходимо
и достаточно, чтобы последовательность изображающих
их точек сходилась к точке, изображающей полином Т(х).
Из сопоставления этих предложений с многомерным
принципом1 выбора Больцано—Вейерштрасса (стр. 46)
вытекает
Теорема 2. Из всякой равномерно ограниченной
последовательности полиномов {Тт(х)} из Н?выделяется
подпоследовательность {Т^Дж)}, равномерно сходящаяся
к некоторому полиному Т(х), также входящему вНх,
Неравенство (75) позволяет .установить ещё один
важный факт. Именно, оно показывает, что если три-
гонометрический полином тождественно равен нулю,
то и все его коэффициенты суть нули. Отсюда следует
Теорема 3. Если два полинома*)
п
Т (х) = А 4- 2 (ак сое kx + bk sin kx),
tn
U (x)^C-^^(ckco3kx + dkeinkx)
k-i
*) Записывая T (x) и U(x) в форме полиномов одного порядка,
мы не сужаем общности, ибо всякий полином можно записать
в виде полинома более высокого порядка, чем он имеет на самом
деле, если вверти несколько коэффициентов, равных нулю-
I 3] ТРИГОЙОМ. ПОЛИНОМ НАИЛУЧШ. ПРЙБЛИкЬЙЙЯ 93
равны между собой при всех вещественных х, то их
коэффициенты одинаковы:
А=С, ^k~^lt’	= ^k’	f
К атому полезно добавить, что из совпадения Т (ж)
и U (х) в 2п4-1 попарно неэквивалентных точках выте-
кает их совпадение при всех х.
Выше мы установили, что чётный полином Ф (х)
можно представить в виде Л+ ^аксовкх. Теперь мы-
видим, что иначе его представить и нельзя.
§ 3. Тригонометрический полином наилучшего
приближения.
Пусть функция /(ж) принадлежит Сц,п> т. е- непре-
рывна и имеет период 2те. Взяв произвольный тригоно-
метрический полином I? (ж) порядка Не выше п, поло-
жим
Д [Т) = шах | IF (ж) — / (ж) |.
Мы будем называть эту величину отклонением поли-
нома (Г(ж) от фуйкции /(ж). Заставляя полином IF (ж)
пробегать всё множество Н?, мы получим целое мно-
жество неотрицательных отклонений {д (F)}. Точная
Нижняя граница
V*n(f) = W)}
этого множества называется наименьшим отклонением
полиномов из Н% от /(ж) или наилучшим приближе-
нием к /(ж) полиномами из Я£. Иногда, желая подчер-
кнуть, что речь идёт о приближении тригонометриче-
скими, а не алгебраическими полиномами, мы будем
писать Еп вместо Яп-
Чтобы оправдать введённую терминологию, мы так
же, как и для случая алгебраических полиномов, уста-
новим, что граница Еп достигается отклонением неко-
торого полинома из Я£.
94 ТРИГОНОМ. ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШ. ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. Ш
Теорема (Э. Борель). При каждом п в Н? имеет-
ся такой полином Т (ж), дня которого
.	(76)
Доказательство ничем не отличается от алгебраиче-
ского случая. Именно, для каждого натурального т
строится такой полином Фт (ж) из НТп, для которого
£п<А(77,п)<£п + 4'’
Все полиномы Тт (ж) ограничены одним числом,
потому что
+	/(®)1 <М + Еп+1,
где М = тах|/(ж) |. Значит, из последовательности
{?т(®)} выделяется подпоследовательность {?т<(ж)},
равномерно сходящаяся к некоторому полиному Ф (ж)
из Н?. Переходя в неравенстве
|7Ч(ж)-/(ж) | <Еп + ±
к пределу при г—»ео, получим, что для всех вещест-
венных ж
|7(ж) - /(ж)|<Еп,
а потому и Д (?) < Еп. Но, так как неравенство Д (?) < Еп
противоречило бы самому определению Еп> то справед-
ливо (76).
Полином ? (ж), для которого выполняется (76), назы-
вается полиномом наименьшего отклонения, или наи-
лучшего приближения.
Совершенно аналогично алгебраическому случаю
устанавливаются соотношения
Еп > О,
lim Еп = О,
'	П-КЮ
последнее из которых равносильно второй теореме
Вейерштрасса.
J14]	ТЕдРЕМЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА	95
§ 4. Теоремы П. Л. Чебышева.
Тригонометрические полиномы наилучшего прибли-
жения, подобно алгебраическим, характеризуются нали-
чием достаточного количества точек, в которых они
достигают своего отклонения с надлежащим альтер-
нированием знаков. '
Пусть / (ж) С Сгп и (®) — её полином наименьшего
отклонения в Я£. Те точки х, в которых
IW- f(x)\ = En,
мы будем называть (е)-точками, причём (е)-точка назы-
вается (4- уточкой, если
и (—уточкой, если
т-/(ж)=-еп.
(Мы считаем, что Е„ > 0, ибо иначе сама / (ж) есть
полином из Н^, и всё становится тривиальным).
Теорема 1. Существуют и (+ )-точки и (— Уточки.
Действительно, если бы, например, ( —)-точек не
существовало, то оказалось бы, что
min {(?(»)— /(ж)} = —	(Я > 0),
откуда следовало бы, что при всех х
-En + 2h<V(x)-f (ж) < Еп
и, стало быть,
-(Е„-Л) <W(x)-h-f(x)<En-h,
Т. 0.
^(T-h)<En-h<En,
что противоречит определению Еп.
Теорема 2 (П. Л. Чебышев). Существуют (в тех
же обозначениях) 2n-j-2 (е)-точки
«><«»< ... < ж2п+а	(0<жй<2к),
которые попеременно являются (+)-« (—Уточками.
96 'гРИГОНОЙ. ПОЙИНОМЫ ИАИЛУЧШ. ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. Щ
Эту систему точек мы попрежнему будем называть
чебышевским алътернансом *).
Доказательство теоремы в основном такое же, как
и для алгебраического случая, но технически несколько
сложнее. Именно, как и прежде, мы разбиваем сегмент
[О, 2тг] точками
ив = 0 < ut < иг . < us = 2л
На столь малые сегменты [иА, ui+1], чтобы в каждом из
них колебание разности Т (х) — / (ж) оказалось меньшим,
чем у Еп. Назовём (е)-сегментами те сегменты [ыл, мА+1],
которые содержат хоть одну (е)-точку. Легко видеть,
что на (е)-сегменте разность Т(ж) — /(ж) по абсолютной
величине не меньше, чем у Еп. Поэтому на (е)-сегмен-
тах эта разность не обращается в нуль и не меняет
знака. Благодаря этому обстоятельству мы можем раз-
бить множество всех (е)-сегментов на две категории:
(+ )-сегментов, на которых разность |?(ж) —/(ж) поло-
жительна, и (— )-сегментов, на которых она отрица-
тельна.
Проделав это, перенумеруем все (е)-сегменты в том
порядке, в котором они следуют друг за другом на
[0,2л], при движении слева направо:
• • • > &N‘
Для определённости будем считать, что первый сег-
мент dj = [а, р] есть (4- )-сегмент.
Введём в рассмотрение ещё один сегмент
<^v+i = [® + 2л, р 2л],
получающийся из dx сдвигом на 2л вправо. Разумеется,
этот новый сегмент уже не будет содержаться в [0,2л].
В силу периодичности разности 5F (ж) — / (ж), сегмент
dy+l так же, как и dx, будёт ( + )-сегментом.
*) В алгёбраическом случае альтернанс состоял ив (п + 2)-х
точек, в тригонометрическом—ив (2п+2)-х. Суть в том, что
число точек альте рнанса на единицу больше числа коэффициен-
тов полинома.
§ 4]	ТеореМы й. л. чёбыШейа	gj
Разобьём дополненную серию (е)-сегментов
da, da, .. •> d^f, djv+i
на группы по следующей схеме:
db d2, .,., dka ~~	(4- )-сегменты,
dfci+ь d*1+2, ..., dkt — (— )-сегменты,
dkm-i+i> • • •> dkm — (+ )-сегменты.
Последняя, m-я, группа наверное состоит из (4- ^сег-
ментов, ибо в неё входит d*m = d1v+i.
Покажем, что
m > 2«4-3.	(77)
Если бы соотношение (77) не выполнялось, то можно
было бы утверждать не только, что т < 2п + 2, но даже
и то, что
m<2n-f-l,	(78)
ибо число т, очевидно, нечетное (потому, что т есть
число знаков последовательности +, —,
которая и/ начинается и кончается одним и тем же
знаком +).
Допустим же, что имеет место неравенство (78).
Ввиду того, что правый конец сегмента dkl лежит левее
левого конца сегмента d*1+i, можно взять точку zt,
лежащую между этими сегментами, что мы символиче-
ски запишем так:
&ki <	< dk1+i-
Аналогичным образом можно построить точки
Zt, zs, Zm.i, для которых
dk2 <	< d*2+i,
dkm-i <
Легко видеть, что
р < zlt zm_i < а 4- 2к.	(79)
7 Конструктивная теория функций
№ ‘тритоном. полиномы наиЛуЧш.приближения [гл. Ш
Положим
р (ж) = Sin -у-1 Sin -у-* ... sin -—-1 .
Число множителей здесь равно т — 1, т. е. оно чёт-
ное и не большее, чем 2п. Объединяя их по два и за-
мечая, что
. х т- а .. . х.—.Ъ ,1 Г. Ь — а ,	/ а + ЬХ"!
Sin — siri —= - [60S— -С08 (ж--------2-Д],
мы убеждаемся, что р (ж) есть тригонометрический поли-
ном*) порядка не выше п, т. е.
Р(я)€Ят
Точки zn z2,	являющиеся корнями р(ж),
лежат (в силу (79)) в сегменте [£, а + 2«] и тем более
в сегменте [а, Р + Зк], в котором содержатся и все сег-
менты dk.
Установим, что в этом сегменте [а, £ -}- 2л] у поли-
нома р(ж) нет корней, отличных от точек гг.
В самом деле, сомножитель sin имеет корнями
только члены арифметической прогрессии
.zt — 4п,	2л, z(, zt + 2it, zi + 4ir, ....	(80)
В силу (79) оказывается
zf — 2л < a, p + 2л < zt +2л,
так что из всех точек (80) в сегмент [а, р 2л] попа-
дает только zt.
Из установленного свойства р (ж) следует, что он не
обращается в нуль ни На одном из Сегментов dk.
Отметим далее, что когда ж, возрастая, дроходит
значение zh то множитель
X— Zt
• •  sin-p-’.
•) Полезно подчеркнуть, что отдельный сомножитель sin ——
не есть тригонометрический полином, ибо последний есть сумма
синусов и косинусов целых кратных угла х.
§4)	Теоремы rj. Ji. чебышёва
меняет знак с « — » на «+ », причём х = zt есть единст-
венная точка сегмента [а, {3 + 2л], где этот множитель
меняет знак.
Отсюда следует, что на всех сегментах dk знак полино-
ма р (ж) совпадает со знаком разности Т (х) ~ / (ж). Дейст-
вительно, на сегментах первой группы dlr d^, .. .,dk{,
где разность Т (ж) — / (ж) положительна, все сомножи-
тели полинома р (ж) отрицательны, а так как число их,
чётное, то сам полином положителен. На сегментах
второй; группы d^+i, dk^z, ...,dks первый сомножитель
sm—положителен, а прочие отрицательны, и т. д.
Рассмотрим теперь какой-нибудь сегмент первона-
чального дробления [и,-, ui+1], который не является
(е)-сегментом. Для него
max |?(ж)-/(ж)|<Еп.
Значит, и наибольшее из чисел
max | Т(ж) — / (ж)'|,
построенных для всех сегментов [иг, в1+1], которые не
суть (е)-сегменты, будет меньше, чем Еп. Обозначим это
наибольшее число через Е*, так что
Е*<Еп.
Пусть, наконец, X есть столь малое положительное
число, что *)
\<Еп-Е*, Х<|яп.	(81)
Положим
U(x)^T(x)~),?(x).	'	'
-Мы покажем, что хотя U (ж) входит в H'L, Нр
*(U)<En.	(82)
Поскольку это соотношение противоречит самому
определению Еп, то из него и будет вытекать (77).
*) Как и выше (см. сноску на стр. 53), второе иа нера-
венств (81) вытекает из первого.
7*
Юо ТРиРонбм, ПОЙИНбМЫ НАИЛУЧШ. ПРИБЛИЖЕНИЯ (гл. Ш
Если кг+1], Рде [иг, uf+x] не является (е)-сег-
ментом, то
|?7(ж)-/(ж)|< |Г(ж)-/(ж)| + Х|р(я)|<
<Е*4-Х|р(ж)|<£* + Х<£п.	,
' (Мы пользуемся тем, что |р(ж)| < 1.)
Еслй же ж попадает на один из (е)-сегментов dk,
то числа Т (ж) — / (ж) и Хр (ж) одного знака, причём
|Т(ж)-/(ж)|>4£п>Х|?(ж)|.
Поэтому
|17(ж) —/(ж) | = | {Т(ж) —/(ж)} —Хр (ж)| =
= |Т(ж) — /(ж)| — X|р(ж)| < Е„-Х|р(ж)1,
и так как на сегментах dk полином р (ж) =# 0, то
|<7(ж) — /(ж)| < Еп.
Таким образом неравенство
1<7(ж)—/(ж)| <Еп
справедливо при всех ж. Но тогда должно иметь место
(82), что, как мы видели, невозможно. Значит, (77)
доказано.
Теперь уже нетрудно закончить доказательство тео-
ремы. Именно, выберем по (е)-точке ж2, ж2, ..., ж2п+2 на
каждом из сегментов dkl, dk2, ..., d*2n+2. Эти точки
и будут попеременно (+)- и (— )-точками. Остаётся лишь
показать, что последняя из них Ж2п+г расположена
левее, чем 2л. Но это совсем просто. Действительно,
так как 2п + 2< т, то сегмент dkinti лежит левее, чем
dkm = dN+i. Значит, d*2n+2 содержится в [0, 2л] и ж2 л+2 < 2л.
Если бы имело место равенство ж2п+2 = 2л, то точка 2л,
а с ней и точка 0, была бы ( —)-точкой. Но, будучи,
таким образом, (е)-точкой, точка 0 должна была бы
входить в самый левый из (е)-сегментов, т. е. в
и, следовательно, была бы (+ )-точкой, что нелепо.
Значит,
®in+s < 2л,
и теорема доказана полностью.
J 4]	ТЕОРЕМЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА	Ю1
Так же, как и в предыдущей главе, из этой тео-
ремы вытекает единственность полинома наилучшего
приближения:
Теорема 3. В- Н? имеется только один полином
наилучшего приближения данной функции /(ж).
Доказательство. Допустим, что таких полино-
мов два: Т (х) и U (ж).
Из неравенств
— Еп <(?(») — /(ж) < Еп, —Еп< £7(ж)-/(ж)< Еп
следует, что
-En<T(x^U-^-f(x)<En,
так что и полусумма
Я(ж) = Г(-а:)^а:)
оказывается полиномом наилучшего приближения той
же функции f(x). Поэтому для полусуммы Я (ж) суще-
ствует чебышевский альтернанс
< • • • < ^2П + 2	(0<жй<2к). (83)
Буквально повторяя рассуждения, подробно прове-
дённые для алгебраического случая, мы установим, что
полиномы IP (ж) и U (ж) совпадают во всех точках (83).
Поскольку порядок этих полиномов не превосходит п,
а число точек (83) равно 2п + 2, то полиномы Т (ж) и
U (ж) должны быть тождественными.
Наличие чебышевского альтернанса характеризует
полином наименьшего отклонения.
Теорема 4 (П. Л. Чебышев). Пусть /(ж) есть
непрерывная 2п-периодическая функция, a U (х)—триго-
нометрический полином порядка не выше п. Если суще-
ствуют 2п + 2 точки
< ^2< *^2п + 2	(О < жй < 2::),
в которых разность
U (ж) —/(ж)
достигает своего наибольшего абсолютного значения Д (С7),
причём знак этой разности меняется при каждом
.102 ТРИГОНОМ. ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШ. ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл.-Ш
переходе от точки xt к следующей xitl, то U (х) есть
полином наименьшего отклонения от f(x).
Доказательство. Допустим, что U (ж) не являет-
ся полиномом наименьшего отклонения; это значит,
что
Д(Щ>£П.'
Введём в рассмотрение полином'наименьшего откло-
нения от функции /(ж), обозначив его через Т (ж). Так
как
U (х,)-Т (ж,) = {U (xt) - / (ж,)} - {Т (ж,-) - / (ж,)}
и
IТ (х{) - / (ж,-) I < Еп < Д (U) = I и (xt) - f (Ж/) |,
то знак разности U- (xt) — Т (х() совпадает со знаком раз-
ности U (xt) — / (xt) и, стало быть, изменяется при каж-
дом переходе от х( к жЬ1. Отсюда вытекает, что каж-
дой из интервалов (х1} хг), (xt, х8), ..., (ж2п+1, ж2П+2)
содержит по корню разности U (х) — Т(х). Имея, таким
образом, 2п-{-1 (неэквивалентных!) корней, эта разность
должна была бы быть тождественной нулю, что, однако,
нелепо,-ибо
A (U) > Д (Т) = Е,п.
Полученное противоречие и доказывает теорему..
Сходным образом доказывается
Теорема 5. Пусть /(ж)€С%п и полином U (х) из Н?
обладает следующим свойством: существуют (2п + 2)
точки
хх < ж2 < ... < ж2П+2	(0 < хк < 2л)
такие, что разность U (жг) — / (х{) меняет знак при
каждом переходе от xt к жЬ1. В таком случав
. Еп > min|U(xf) — }(х{)\..
Полезно отметить, что (в силу периодичности разно-
сти T(x) — f(x)) вместо полусегмента [0,2л) во всех
вышеприведённых теоремах мы могли бы говорить о лю-
полусегменте [а, а + 2л)...............  .	.. . j ;
| 5)	ПРИМЕРЫ	• .	40S
г „
i В заключение докажем одно предложение, которое
ниже будет нами использовано.
Тео рей а 6. Если f(x)£.C<i.n есть функция чётная,
то и её полином наименьшего отклонения оказывается
чётным, т. е. имеет вид
п
Я-(ж) = Л + 2 яЛ cos kx.
*=-1
В" самом деле, по определению полинома наимень-
шего отклонения при всех вещественных х
\f(x)-T(x)\< Еп.
Заменив здесь, х на — х и учтя, что
/(_х) = /(ж),
мы находим, что
|/(ж)-Т(-ж)|<Еп,.	.
так что Т (— х) является наряду с Т (ж) также поли-
номом наименьшего отклонения от /(ж). Отсюда, в силу
единственности такого полинома, и вытекает, что
!F(-x)^T(x).
Теорема доказана.
§ 5. Примеры.
Рассмотрим несколько простых примеров, где легко
построить полином наименьшего отклонения.
I. Если тт? > п, то из всех полиномов порядка не
выше п от функции
/ (ж) = A cos тх 4- В sin тх
наименее отклоняется тождественный нуль.
Действительно,'функцию /(ж) можно *) представить
в форме
.	/ (ж) = Д COS 77? (ж — ж0).	(84)
*) Для этого обозначаем через R и о> полярные координаты точ-
ки (А, В). Очевидно, А = R cos ®, В = R sin <л и f (х)=R cos (тх - ш),
что и приводит к представлению- (84), в котором 2? = }/Ла Ва,
104 ТРИГОНОМ. ПОЛИНОМЫ НАИЛУЧШ. ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. III/
Рассмотрим точки
, «	, 2п	. (2п+1) «	1
Х„, Ж„4 , Ял 4 , Хл 4-  —— .
•’ 01 т л ' т ’	’	01 т
'Функция / (ж) в каждой из них принимает наиболь-
шее по абсолютной величине значение, меняя знак при
каждом переходе от одной точки к следующей. Иначе
говоря, эти точки образуют альтернапс для «разности»
0—/(ж). Так как все эти точки лежат в полусегменте
[ж0, Жо + 2К)> то выполнены все условия теоремы 4 пре-
дыдущего параграфа. Самое наилучшее приближение
для /(ж) равно Н =	+ Ва.
То же рассуждение показывает, что
II. Из всех полиномов, не выше п-го порядка, наи-
менее отклоняется от функции
П + 1
/ (ж)А = 4* 2 со8 8*п кх)
/с-1
полином
п
Т (ж) = Л+2 (akcoskx + bksinkx),
fc=i
причём
В качестве следующего примера рассмотрим недиф-
ференцируемую функцию Вейерштраеса
f (ж) — 2 С08+ 1)кж (0<д<1). (85)
fc-0
Оказывается*), что её полиномом наилучшего прибли-
жения, порядка не выше п, служит отрезок ряда (85)
Т (ж) = 2 Qk с°8 {2т + 1)*ж,	(86)
k-i
*} Это’-результат С. Н. Бернштейна (2],
§5]
ПРИМЕРЫ
105
где s определено условием
(2т + l)s < п < (2т + l)s+1.
Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим раз-
ность
/(ж)-гЧж) = J cos (2пг + 1)*ж.
Если положить
то окажется
оо
f(xi)~T(xi) = (-!)' J =
ft=s+l
Легко видеть, что это наибольшее по абсолютной
величине значение разности / (х) — Т (х). Альтерниро-
вание знаков здесь также налицо. Наконец, все точки
xt лежат в [0,2л), а число их равно 2(2m + l)s+1, т. е.
не меньше, чем 2(п + 1). Сопоставляя всё это с теоре-
мой 4 предыдущего параграфа, мы и убеждаемся, что
полином Т (х) наименее отклоняется от f(x). Отметим,
что
En = b(D = l-q.
ГЛАВА IV.
ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ
НА ПОРЯДОК ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИ-
ЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ.
§ 1. Постановка вопроса. Модуль непрерывности.
Условие Липшица.
Пусть / (х) есть непрерывная. 2тс — периодическая
функция, а Еп—её наилучшее приближение тригоно-
метрическими полиномами не выше n-го порядка. Как
мы уже говорили, в силу второй теоремы Вейерштрасса
оказывается, что
lim Еп = 0.
п-*оо
Естественно ожидать, что чем «проще» будет при-
ближаемая функция f(x), тем точнее она будет пред-
ставляться тригонометрическим полиномом. Иными сло-
вами, для более простых функций стремление Еп
к нулю должно происходить быстрее, чем для функций
Сложной природы. В настоящей главе мы и будем
заниматься вопросом о том, как, влияет улучшение
структурных свойств приближаемой функции на порядок
убывания её наилучшего приближения Еп. Излагаемые
ниже результаты принадлежат, главным образом, Джек-
сону [1, 2].
Удобной характеристикой структурных свойств функ-
ции является величина, называемая «модулем непре-
рывности» этой функции.
Определение. Пусть на промежутке < а, Ь >
(это может быть сегмент [а, 6] или интервал (а, Ь),
в частности, вся ось (—со, + со), или полусегмент
j 1] МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ. УСЛОВИЕ! ЛИПШИЦА ' 107
[а, Ь) и т. п.) задана функция f(x). Возьмём какое-
нибудь положительное число 8 и рассмотрим все пары
чисел х и у, которые принадлежат <в, &> и удовле-
творяют неравенству
I® —у|<8-
Точная верхняя граница чисел |/(«) —/(у) [ (кото-
рая может оказаться и бесконечной):
“ (8) - sup {|/(ж)-/(2/)|}
называется модулем непрерывности функции f(x). Грубо
говоря, модуль непрерывности показывает, насколько
могут различаться друг от друга два значения функции,
если известно, что значения аргумента различаются
не больше, чем на 8.
Отметим ряд простых свойств модуля непрерывности:
I.	Функция ш(8) монотонно возрастает. Действи-
тельно, если 8а > 8, ;> 0, то множество пар (ж, у),
удовлетворяющих условию |ж —	<82, обширнее, чем
множество таких пар, для которых |а: —у|<8х. Ввиду
того что при расширении числового множества его точ-
ная верхняя граница может разве лишь увеличиться,
ясно, что
ш(81)<ш(82).
II.	Для того чтобы функция /(ж) была на проме-
жутке < а, 6> равномерно непрерывна, необходимо
и достаточно, чтобы было
lim <» (8) = 0.
&—>0
Это свойство вполне очевидно.	1
III.	Если п — натуральное число,, то
ш (нВ) < п<о (8).
В самом деле, пусть
-	I® ~ <^й8, /
*  1
108 ВЛИЯНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ НА ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЕ [гл. IV
Разобьём сегмент [х, у] на п равных частей точками
2< = «+4-(У_а:) (i = 0, 1, . ..,п).
Очевидно,
п-1
. /(у)-/(^)= 2 {/(^i)-/(^)}.
i-0
С другой стороны, —Zz| <8, откуда
и потому
1/(у) — /(®)|<ПФ(8).
Отсюда и следует III.
IV.	При любом положительном к
ф(ХВ)<(Х + 1)ф(8).
Действительно, пусть п есть целая часть X, так что
п < X < п + 1. Тогда
<в (Х8)<о> [(n+ 1)8]< (n+ 1) ф (В)< (X +’1)<в (8).
Определение. Если функция fix) задана на
промежутке <а, 6> и при всех х и у из этого про-
межутка удовлетворяет неравенству
7(2/) — f(*)l <М]у~ х]а (а>0),
то говорят, что функция /(ж) удовлетворяет условию
Липшица с показателем' а и коэффициентом М, и пишут
/ (ж) £LipMa.
В тех случаях, когда коэффициент М не существенен,
употребляют более простое обозначение:
/(ж) £ Lip а.
Иными словами, LipMa есть класс всех функций,
удовлетворяющих условию" Липшица данного порядка a
с заданным коэффициентом М, а Lipa означает класс
функций, удовлетворяющих условию Липшица порядка a
с каким бы то ни было коэффициентом,
§ 1] Модуль непрерывности. условие липйшЦа кгё
Нетрудно видеть, что функция, удовлетворяющая
какому-нибудь условию Липшица, равномерно непре-
рывна.
V. Если / (я) £ L'ip а, где а>1, mof(x) есть величина
постоянная.
В самом деле, для такой функции
—|< W-®!’-1-
Заставляя здесь точку у стремиться к совпаде-
нию с х, находим, что f (я) = 0, откуда и следует
постоянство /(я). Во всём дальнейшем мы предполагаем,
что а<1,
VI.	Если всюду в интервале {а, Ь) существует произ-
водная /' (ж), причём | /' (х) | < М, то
/(®)eLipMl.
Это следует аз формулы Лагранжа
/(у)-/И = /'(2) (у — ®)	(x<z<y).
VII.	Если основной промежуток <а, Ь> конечен
и а < р, то Lip'a Z) Lip р.
Грубо говоря, функции, удовлетворяющие условию
Липшица с большим показателем, «лучше», чем удовле-
творяющие такому же условию с показателем меньшим.
В частности, самыми «лучшими» будут функции класса
Lip 1.
Для доказательства VII рассмотрим функцию
/(®)€LipBp.
Если х и у тадовы, что | х — у | < 1, то
|/(у)~ /(®)|<-В|у-я:|»<В|у—®|’.
Если же ж — у \ > 1, то
Ш ~f№\ <{|/(®)1 + 1/(у)|}|®~ yV<2K\x~ у\‘,
'I
(ЮйЛИянИЁ Свойств функции На её-приближений [гл. IV-
где •♦) A7=sup {] / (ж) |таким образом при всех х и у
будет
где А есть большее из чисел В и 2К.
Связь между условием Липшица и модулем непре-
рывности даётся следующим предложением:
VIII.	Соотношения
/ (ж) g LipM а и «в (8) < Л/8а
вполне равносильны.
Если ш (6) < МЪЛ, то при любых ж и у
1/(у)-/(а;)1<<»(1г/— ж|)<М|1/— ж|\
Обратно, если / (ж) g LipM а, то при | у — ж | < 8
I / (у) — / (®) I <^| у — МЬа.
Поскольку это неравенство справедливо при всех ж и у,
для которых | ж — у f< 8, то и
ш(8)<Ш’.	(87)
Заметим, что» если неравенство (87) выполняется
при всех достаточно малых 8, а / (ж) ограничена, то / (ж)
удовлетворяет условию Липшица порядка а, хотя, может
быть и с другим коэффициентом. Именно, если (87)
справедливо при условии 8<8в, то для 8 > 80 имеем
«(8)<В<^’,
где Q означает колебание f(x) на всём <-а, 6>. Значит,
/ (ж) g LipA а, где .4=тах -Г М, — } .
I J -
*) Функция / (я), будучи равномерно непрерывной - на конеч-
ном промежутке, очевидно, ограничена.
В случае бесконечного промежутка свойство VII не имеет
места, например, функция /(х) = х входит (на всей оси) в Lip 1,
1
но не входит в Lip . Впрочем, как вйдно из рассуждений
текста, всякая ограниченная функция, входящая в Lip р, входит
и в Lip а при а < р.
J 2]	ВСЬоУоГАТЕЛЬНЫЁ предйожёнЙя	Hi
В дальнейшем нам понадобится ещё один класс
функций, который мы будем обозначать через W. Это—
класс, состоящий из таких функций, для которых
ф(8)<Л8(1 + |1п8|),	(88)
где А не зависит от 8.
Если неравенство (88) выполняется только для 8 < 80,
а функция f(®) ограничена, что заведомо имеет место
на конечном промежутке, то при 8 > 80
ш(8)<е<£8(1 + |1п8|),
°?
и функция f(x) всё-таки принадлежит классу W.
Этот класс’ W' Является промежуточным между клас-
сом Lip 1 и всеми классами Lipa при а<1. Именно,
IX. На конечном промежутке справедливы включения’.
Lip a Z) W Z) Lip 1	(0<а<1).
Если / (ж) 6 Lip 1, то <» (8)< Л/8 < М 8 (1+| In 81), и второе
из включений доказано. Далее, если <» (8)< Л8 (1 +1 In81),
то при 0 < a < 1 будет lim — 0, и следовательно,
а-»о °
для 8 < 8в окажется
<в (8) < 8е,
а это, как мы уже знаем, обеспечивает включение
f(x) в Lipa.
§ 2. .Вспомогательные предложения.
Лемма 1_. Справедливо тождество
./ . nt \4	......... •	•  •.........  .	,
’ vinl/ ~	<
«=п+2[(п—l)cos,f + (п—2) соз2г+... +сов(п—1) <]. (89)
Доказательство. Прежде всего,
sin4 ~ —1 — cosnt
2 ~	2	~
= О ~ °08 О + (сов t — cos 2t)-|-... 4- [ (cos (и — 1) t — cos nt]
- ,
112 влияний свойств Функции на её приближение [гл. IV
Отсюда, применяя тождество
г о • a-i-b . bi—а
cos а — cos Ь — 2 sin —~~ sin	,
& *
находим
. 2 nt Г . t , . 3t .	. . (2n-l)t "1 . t
sin2 у = [ein-y 4- sin у + ... + sin -—2— J sin у . (90)
Ho
t . t
Sin у = Sin j ,
.31	.	t . / . 3t	.	t A
sin-2 =sin-2 + (jnny —81ПуJ ,
. (2n-l)t	.	t , / . 3t	•	t \	.
sin'—Y2— = sin У + ^sm J — sin --J + ... x
, f . (2n-\>>t	. (2n —3)t\
. . . + ^sin --Y1---sin---2---) 
Применим к каждой скобке формулу
. , п • а — Ь а-\-Ь
sin а — sinЬ = 2 sin —2~cos —%-.
Это даёт ряд тождеств:
. t . t
siny = siny,
sin = [1 + 2 cos J] sin^-,
sin -y ==[14-2cosZ4-2cos2z]siny,
sin ~= [14- 2 cos t + ... 4- 2 cos (n — 1) f] sin у ,
Подставляя эти выражения в (90) и учитывая, что
число строк здесь равно п, мы и получим (89).
Следствие. Справедливо тождество
/ sin \	2,1-2
I —у- I = L 4- 2 h 008	(9^)
I sin “ /	й«=1
§ 2]	ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ	113
В самом деле, левая часть этого равенства, будучи
квадратом тригонометрического полинома (п — 1)-го
порядка, оказывается полиномом порядка 2п—2. Так
как этот последний полином очевидным образом есть
чётная функция, то в его выражение не входят синусы
кратных дуг, т. е. он имеет вид (91).
Лемма 2. Справедливо равенство
в/2
, (92>
о
Доказательство. В силу (89) можем написать
* /sin^Y	? г "-1
\ I---— I du = \ п-|-2 2 (п—Л)совЛм du.
-п ^sin J- J	-п	к—1
Отсюда и из формулы Парсеваля (69) следует, что
п-1
du == it Г2п* + 42 (п—^)а 1 ’
'	к-1
Ио
п-1
2 (п - Л)’ = Г + 2’ + ... + (п-1)’ =
к-1
и, стало
быть,
'	/ . пц\*
- • sin -	\
---L ) йц = 2пп(2п« + £)
. u I	3
Sin2-/

Остаётся
заметить, что
« /sin у Y	л/2
\ ------- I du = 4 \
-n \sin— /
* Конструктивная теория функций
114 ВЛИЯНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ НА ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЕ [гл. IV
Лемма 3. Справедливы неравенства
| sin nt | < п | sin t1
sinZ> — t
7C
(93)
(94)
Первое из них доказывается индуктивно. Второе
вытекает из того, что функция на сегменте £ 0, ~ J
убывает, ибо её производная в интервале ^0, у) отри-
цательна.
Лемма 4. Справедливо неравенство
и/2
Г t yinnty dt<~ .
J \ sint J	4
0
(95)
Доказательство. Разобьём этот интеграл на два,
распространённых на промежутки [о,
В первом из них воспользуемся оценкой (93), а во
втором оценкой (94) и тем фактом, что | sin nt | < 1. Это
приведёт Нас к неравенству
и
2n ’ 2 J '
л/2	it/2n	ж/2
Но
Tt/2n	-тс/2	+оо
Г	. j _ it2	С dt	С	dt _	2п2
tdt— — , J 71	J	t*~U’
0	it/2n	•п/2п
откуда и следует (95).
Теорема. Пусть f(x)^C^ и имеет модуль непре-
рывности ш (J). Положим
Un («) — 2„п(2га»+1)
—тс
(96)
§ 2]	ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ	И5
Тогда имеют место следующие обстоятельства:
а) Функция Un (ж) представима в форме
2п—2
Un(x)=A+- 2 (ал cos kx 4- bk sin kx),	(97)
k= 0
m. e. Un{x) есть тригонометрический полином порядка
2п — 2.
Р) Если
/ (ж) dx — 0,	(98)
—те
то в формуле (97) будет .4 = 0, т. е. полином Un(x)
не будет иметь свободного члена.
7) При всех х верна оценка
(1).	(99)
Доказательство. В силу (91)
(t — х \ *	9„ 9
sinn—g— \	2П *
---—— ) = L + 2 h (cos cos Аж + sin Аг sin kx),
sin —- - j	*-1
и потому
Un ~ 2nn (2па + 1) Х
п	2п—2
х /(г) [^+ 2 (cos Az cos Аж + sin Аг sin Аж) Тйг,
-75,	Й = 1	J
что и доказывает утверждения а) и Р).
Переходя к доказательству оценки (99), сделаем
в интеграле (96) подстановку t — u + x. Ввиду перио-
дичности подинтегральной функции мы можем при этом
сохранить старые пределы интегрирования. Таким
образом
Un (X) =
те
3 С
2пп (2п»+1) } /(ж+ и)
—те
Кб ВЛИЯНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ НА ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЕ [гл. IV
Разобьём этот интеграл на два, распространённых
на промежутки [—те, 0] и [0, те], и в первом из них заме-
ним о на —и:
W - 2.»g».+T> $№ + “) +	- “Я
о
Наконец, полагая и = 2t, получим окончательное
выражение 27п(а:):
те/2
«=s^+T) $ +*)+/<*- 201 (тег)* «а-
о
С другой стороны, в силу (92)
я/2
.	6 С /ein nt\4 ,
1 =»»(2n« + l) J ksintj ai'
Умножая это равенство на /(ж) и вычитая из пре-
дыдущего, находим
Un(x)-f(x)=*
«/2
- snsnnA У №+f	WJ (‘ОД
О
Легко видеть, что
| / (ж + 2t) + / (ж - 2t) - 2/ (ж) | < 2ф (2t).
Но по четвёртому свойству функции в» (3)
ш (2f) — ш Qint	< (2nt +1) ф ^0 .
Значит,
6а> (—те/2
|^м-/мк^(М,5(2«+1)(тет) <“
о
Отсюда с помощью (92) получаем
те/2
uz„w -/WK. (I) [1 + дагП) $‘	-
I 3]	ТЕОРЕМЫ Д. ДЖЕКСОНА	ш
что в связи с (95)’ даёт оценку
Так как 3-гс < 10, то отсюда следует (99), что и завер-
шает доказательство.
§ 3. Теоремы Д. Джексона.
Теперь мы можем перейти, к изложению джексо-
новских оценок для Ёп, которые уже были упомянуты
в § 1.
Теорема 1. Для любой функции	верка
оценка
Еп<12ш(|).	(101)
Доказательство. В теореме предыдущего пара-
графа мы показали, что
Йо так как Un{x)CHln-2, то тем более
Если теперь п есть чётное натуральное число, п — 2т,
то -
Е1г —	=6ш 0-^) <12ш ^-0 .
Если же п число нечётное, п = 2т — 1, то
Итак, оценка (101) верна при любом натуральном п.
Ввиду того что для любой функции из Сяк
limw fi') = 0,
118 ВЛИЯНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ НА ЕЙ ПРИБЛИЖЕНИЕ [гл. LV
ясно, что только что доказанная теорема Джексона
содержит в себе вторую теорему Вейерштрасса.
Теперь мы должны остановиться на одном обстоятель-
стве, которое будет играть в дальнейшем изложении
очень важную роль.
Введём в рассмотрение кроме Еп ещё величину еп,
понимая под этим наилучшее приближение функции
/(ж) такими полиномами из Нп> которые не имеют сво-
бодного члена, т. е. полиномами вида
п
Т (ж) = У, (ак cos kx + bk sin кх).	(102)
k-i
Иначе говоря,
еп = inf {Д (7)},
где !Г(ж) есть полином вида (102). Мы будем
обозначать множество полиномов вида (102) через h„.
Легко видеть, что
с0 еа ^>...,
’Еп<еп.
В теореме предыдущего параграфа мы показали,
что при условии (98) (мы будем обозначать через
класс тех /(ж) из С^, для которых выполнено (98))
будет ?7П (ж) € йгп-2- Но это означает, что для такой
функции
e2n-s<6<» Q-) .
Опираясь на это замечание и буквально повторяя
доказательство теоремы Джексона, получим
Добавление к теореме 1. Если	то
еп<12ш G) •
Это добавление мы и имели в виду получить.
Возвращаясь к теореме 1, отметим, что из неё выте-
кает
М]
ТЕОРЕМЫ Д. ДЖЕКСОНА
119
Следствие 1. Если /(ж)€1ярма (0 < а< 1), то
Еп<'™-	(ЮЗ)
В. свою очередь отсюда имеем
Следствие 2. Если у f(x)^C^ существует огра-
ниченная производная /' (ж), причём | /' (ж) | < Мг, то
Еп<™\	(104)
Действительно, при этих условиях / (ж) £ LipMi 1 •
Заметим, что если функция / (ж) удовлетворяет усло-
вию (98), то в обоих соотношениях (103) и (104) можно
Еп заменить на еп.
Лемма. Пусть у функции / (ж) существует ограни-
ченная производная f (ж). Обозначим через е'п наилучшее
приближение производной /'(ж) полиномами из hn. Тогда
Е»<~>
а если f (ж) £ Сг«, то и
_12«; -
г
Доказательство. По определениюе'п существует
такой полином без свободного члена
п
U (x)=’^i(akcoskx-\-bksinkx),
k-l	’
что для всех ж
| f (х) - и (ж) | <е'п.	(105)
Введём в рассмотрение интеграл от U (ж):
к
п
у ______ 2 ак s*n ~~ bk COS
к=1
Очевидно, что и V (ж) принадлежит hn. Полагая
/ (ж) — V (ж) = 9 (ж),
120 ВЛИЯНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ НА ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЕ [гл, IV
ин сможем неравенство (105) записать так:
?' (ж)|<е„.
Поэтому, применяя к ?(ж) следствие 2 теоремы 1,
находим
(106)
где Еп (?) есть наилучшее приближение ? (ж) полино-
мами из Нп-
Заметим далее, что
к	я	те	те
^?(ж)йж = ^f(x)dx — V(x)dx= f(x)dx.
—я	—я	-те	—те
Поэтому, если /(ж) €<^2-л, то й ?(ж)бС2Я и в (106)
можно заменить Ел (?) на еп (?), где еп (?) есть наилучшее
приближение ?(ж) полиномами из h*.
Из (106) вытекает существование такого тригоно-
метрического полинома W (х), порядка не выше п, для
которого
(107)
Если же / (х) g Cz-k> то стоящий здесь полином W (х)
можно взять лишённым свободного члена.
Переписав (107) в форме
|/(ж)--{Г(ж)4-1Г(ж)}|<^.,
мы видим, что полином V (ж) + W (ж) отклоняется от f (ж)
не больше, чем на Значит, и подавно
Еп^^.
п п
Если же / (ж) g С^п, то W (ж), а с ним и сумма
V (ж) -|- W (ж), входит в hn, так что и
Лемма доказана полностью.
$ 3]
ТЕОРЕМЫ Д. ДЖЕКСОНА
121
Теорема 2. Пусть /(ж) есть непрерывная, 2к-перио-
дическая функция, имеющая р непрерывных производных
f(x), Г(х), ...,№(х).
Если <а (3)— модуль непрерывности р-й производной
/(р)(ж), то
12P+1“P ()
Еп<------(108)
Доказательство. По предыдущей лемме
я 12е«
Далее, ввиду того что производная /' (ж) входит в С%п, ибо
/'(ж)с?ж = /(к) —/(—к) = 0,
—Л
то по той же лемме
п >
где вп есть паилучшее приближение второй производной
/" (ж) тригонометрическими полиномами из hn. Ввиду
того что и остальные производные входят в С%к, полу-
чаем /
12е"'
п
12е<р) '
где введённые обозначения понятны сами собой. Отсюда
12ре(р)
Еп	„— •
Наконец, на основании добавления к теореме 1
откуда и следует (108).
122 ВЛИЯНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ НА ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЕ [гл-. IV
Следствие 1. Если в условиях теоремы
/(р) (ж) б LipM а	(0 < а < 1),
то
Еп
12р+1М
пр+в
Следствие 2. Если существует /(₽+1>(ж), причём
|/(p+‘)(a;)|<j|fp+b то
Е <
пр+1
. Следствие 3. Если у функции f (ж) б сущест-
вуют конечные производные всех порядков, то при любом
р окажется
1цп(1ЛЕп) = 0.	(109)
п-к»
В самом деле, все эти производные должны быть
непрерывными и, стало быть, каждая из них ограни-
чена. По предыдущему следствию при каждом фиксиро-
ванном р
прЕп<^^
" п
и, стало быть, выполняется (109).
В том же направлении С. Н. Бернштейном было
показано, что для аналитической функции будет
En^Aqa	(0<д<1).
Этот результат мы изложим Ниже в главе IX.
ГЛАВА V.
ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНК-
ЦИИ ИА ОСНОВАНИИ ПОВЕДЕНИЯ ЕЁ НАИЛУЧШЕГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ
ПОЛИНОМАМИ.
§ 1. Неравенство С. Н. Бернштейна.
В предыдущей главе мы, отправляясь от структурных
свойств функции (модуль непрерывности, наличие опре-
делённого числа производных и т. п.), делали заключе-
ния о скорости убывания её наилучшего приближения Еп.
С. Н. Бернштейну [3] принадлежит ряд важных резуль-
татов, где он решает обратную задачу: задачу характе-
ристики структурно-дифференциальных свойств функции
на основании порядка малости её наилучшего прибли-
жения. В целом все эти исследования дают стройную
классификацию непрерывных функций по порядкам их
наилучших приближений. В настоящей главе мы изло-
жим некоторые из упомянутых результатов С. Н. Берн-
штейна, ограничиваясь, как и выше, рассмотрением
непрерывных, -2«-периодических функций.
Основным средством для получения относящихся
сюда результатов служит весьма замечательное неравен-
ство, также принадлежащее С. Н. Бернштейну [3].
Теорема. Если
п
Т (я) = А + 2 (ак cos + bk sin кх)
есть тригонометрический полином порядка п, то для
'ш
124 ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ [ГЛ Л
его производной У' (ж) справедлива оценка
| (□;) | С n max | Т (ж)	(110)
Доказательство. Предположим, что
max | Т' (х) | = nL,
где £>тах|7’(ж)|.
Ввиду непрерывности функции | Т' (ж) | она достигает
своего наибольшего значения nL в какой-то точке г/
так что T'(z)=±n£. Пусть для определённости
Г(г)«п£.	(111)
Так как nL, очевидно, будет максимальным значением
Т'(х), то
Г (z) = 0.	(112) '
Рассмотрим теперь тригонометрический полином
S (х) = L ein (пх — nz) — Т (ж),
Он сам, так же, как и его производная
R (ж) ае Ln сов (пх — nz) — Т' (ж),
есть полином n-го порядка.
Введём в рассмотрение следующие точки:
»o = z + £> »1 = «о + 7>	= +	•••> «гп=«. + 2л.
Легко видеть, что
5 (м0) = £ — Т («0) > 0,
5 (nt) = — L — Т («i) < 0,
5(«’П) = £-Т(«8П)>6,
потому что max | Т (ж) | < £. В таком случае, в каждом
из 2п интервалов (иа, Ut), (и,, ut), ..., (игп^, «2П) содер-
жится по корню ^0, У1, ..., уй п^! функции S (ж):
5(^)=0	•
I— 0,1,	2п— 1).
§ 1]	НЕРАВЕНСТВО С, Н, БЕРНШТЕЙНА ... Ш
Нетрудно понять, что
3Gn-i<^> + 2«,
ибо
Угп-1 < »,П = и. + 2к < уй + 2л.
Пусть
У»п = ^ + 2л;
тогда 5 (yin) = S (уа) = 0. По теореме Ролля в каждом
из 2п интервалов (yt, yt), (ylt у2),	(у^, ytn) нахо-
дится по корню производной R (х) полинома S (ж). Пусть
эти корни.суть жв, хи Xtnr-l'
Я (ж4) = О
(У1 < *t < Уи»; i = °> 1, . .., 2п - 1).
Легко видеть, что
®ап-1 < “Ь 2л ,
так что корни xt попарно не эквивалентны друг другу.
Заметим теперь, что, в силу (111),
Я (z) = nZ. — i?'(z) = О,	(113)
т. е. z есть корень полинома Я (ж), Так как более, чем
2п, попарно неэквивалентных корней у этого' полинома
быть не может, то z эквивалентен Одному из корней
ж0,	...» ®,п-м пусть, например,
гсоЖр
Так как
Я' (ж) =— n*L ein (пх — nz)i-- Т" (ж),
то, в силу (112), имеем
Я'(2) -0.
Отсюда и из (113) вытекает, что z, а с ним и xt,
является двойным корнем полинома Я (ж). Итак, у Я (ж)
имеются корни
жо> •••> %l-l> xitl> •••> ®ап	,
в количестве (2п — 1)-го и ещё двойной корень xt. Сле-
довательно, с учётом .кратности число , неэквивалентных-
корней Я (ж) оказывается не меныпим 2п4?1.
126 характеристика структурных свойств функции [Гл. V
Это было бы возможно лишь при условии, что
Л(ж)=0. Но тогда должно было бы быть
5 (ж) = const.,
что явно неверно, ибо S («0) > 0, S (иг) < 0. Таким обра-
зом получается противоречие, которое и доказывает тео-
рему.	,
Следствие. В условиях теоремы
I (х) | max | Т (ж) |.
Заметим, между прочим, что в оценке (110)
коэффициента п нельзя уменьшить. Например, для
W (х) = sin пх имеем
шах | Р' (ж) | = п max | <Р (ж) |.
§ 2.	Некоторые сведения из теории рядов.
Нам понадобятся ниже некоторые предложения, отно-
сящиеся к теории рядов, но не всегда излагаемые
в общих курсах анализа.
Лемма 1 (Н. Г. Абель). Пусть даны п чисел
аи аг, ..., ап. Положим
к
$к ~ 2 а1>
i—1
и пусть
|&й| < А (й== 1, 2, ..., п).
Если
<h > 9г > • • • > 9п > 0»
то
п
|2«^|<4ь-
к-1
Доказательство. Если к > 1, то ак — $к — s^.
Значит,
п	п	п	п
2 ак9к ~ 81?! 4- 2 ~ e S м* — 2
k»t	к-l	*-1	к-2
§ 2] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ^ТЕОРИИ РЯДОВ 127
Отсюда
п	п-1
2 ак9и ~ 2 Sk ^к 9ktt). "I" sn9n
k=i	к-1
и, стало быть,
п	п-1
12 а^к |< А [ 2 - &+1)+?п ] = л?».
*-1 1 *=1
Определение. Будем говорить, что ряд
а1 + аг + as+ • • •
удовлетворяет условию Абеля, если существует постоян-
ная А (которую мы будем называть постоянной Абеля),
такая, что
п
12 а,с IА (п = 1, 2, 3, ...).
*«=1
Очевидно, всякий сходящийся ряд удовлетворяет
условию Абеля, но обратное, конечно, неверно, как это
видно, хотя бы из примера ряда 1 —	—
Теорема 1 (Н. Г. Абель). Пусть ряд 2 ак уд°~
к—1
влетворяет условию Абеля с постоянной А. Каковы бы
ни были числа
?1>92> ••• >3п> •••> limgn = 0,
ОО
ряд 2 ак9к сходится, и абсолютная величина его суммы
к-1
не превосходит Aqx.
Доказательство. Положим
п	'
= 2 ак9к'
к-1
При т > п будем иметь
т
$т $п *** 2 акЧк'	(114)
kwn+l
123 ХАРАКТЁВИСТИЙА СТНУДТУРЙЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ [гл. V
Но
<
2 а*
к*=п+1
i	п
2 ак- 2 Ок
к=1	к=1
<2Л.
Значит, применяя к сумме (114) лемму 1, найдём
1S„ | < 2А<7п+1.
Если п достаточно велико, то эта величина сколь
угодно мала, откуда и следует сходимость ряда S akqk.
С другой стороны, переходя к пределу в неравенстве
П'
2 а^к
к-1

сразу получаем требуемую оценку для суммы ряда.
Замеча.ние. Если в условиях теоремы члены ряда
2 ак суть функции аргумента х, заданные на каком-
нибудь множестве 2?= {я:}, но постоянная Абеля может
быть взятой независимо от х, то ряд 2 akqk сходится
на множестве Е равномерно.
00
В самом деле, ряд 2 ак удовлетворяет условию
k«n+l
Абеля с постоянной 2А. Применяя к ’нему доказанную
в теореме оценку, получим
СО
2 ак9к
к «п+1
<2Адп+1,
и правая часть этого неравенства станет сколь угодно
мала для п > N, где N не зависит от х.
Лемма 2. Если хф2кп, то каждый из рядов
cosх + cos2х + cosЗх-f- ....	(115)
sin х + sin 2х 4- sin Зх + ...	(116)
удовлетворяет условию Абеля с постоянной
А- ‘
. ж
W
(117)
n
Sn == 2 8*п
k-i
вещественную и мнимую
|	рядоа ; ?
Доказательство. Рассмотрим частные суммы
наших рядов
п
Сп =3 2 cos Az,
Они представляют собой
компоненты суммы
п
м
Но
,	9	1
I I < 11 — е"*| ~ |“ 7 7с j ’
откудй й Подавно
I 1 < j j я] • Г^п К | ' Ж| •
|8ln 2,	|Sln2|
Заметим, что ряды ,
СО •	об
2 cos Az, 2	(х=#2Лтс), s
_ ’	к—п	k«n
получающиеся из (115) и (116) удалением конечного
числа первых членов, удовлетворяют условию Абеля
с той же постоянной (117)*
Из сопоставления леммы 2 с теоремой Абеля выте-
кает
Теорема 2. Если
<h>qt><h> •••> lim?n-0,
то при сходится ряды
СО	.со
2 ?kcos	2	^х‘
к-1	к-1
Их сходимость равномерна в каждом сегменте [а, 6],
не содержащем точек 2к-к.
9 Конструктивная теория функций
130 ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ [гл. V
В самом деле, наименьшее значение непрерывной
функции |sin^| в таком сегменте отлично от нуля, т. е.
jsin^| > f* > 0 •	(а<а:<д),
1
и за постоянную Абеля можно взять число -, не зави-
сящее от х.
Интересно, что ряд синусов 5 Чк 8^п кх тривиальным
образом сходится и для х = 2Агс, т. е. он сходится
на всей оса, но равномерности сходимости на всей оси
гарантировать нельзя. Например, всюду сходящийся ряд
ул sin fra
не сходится равномерно на всей оси. Это видно хотя
бы из такого рассуждения: если бы ряд сходился
равномерно на всей оси, то его частные суммы были
бы ограничены одним числом
п
sin Ля

Л—1 '	<
Отсюда и из формулы Парсеваля (69) следовало бы,
что
п it п
"21- $ (2^)
k~l -it k—1
что, однако, противоречит расходимости гармонического
ряда
Приведённый пример показывает, что частные суммы
всюду сходящегося ряда 2 Чк sin кх могут не быть
равномерно ограничены. В связи с этим отрицательным
результатом докажем лемму, которая будет нами исполь-
зована в дальнейшем.
Лемма 3. При всех х и п 'справедливо неравенство
п
Ssin kx
к
к-1
<2/«.
(118)
| 2] НЕКОТОРЫЙ СВЕДЕНИЙ ЙЗ ТЁОГИИЙЯДОВ 13i
Доказательство. Допустим, что 0 < ж < те. Пусть
т есть целое число, удовлетворяющее неравенству
(119)
X
Тогда
л
Vi sin/cz
тп
к=1
к=1
sin кх
~к~
п
2 s*n
k-m+1
(120)
(Если т =0, то исчезает первое, а если m>n, то—
второе слагаемое правой части.)
В силу элементарного неравенства |sin«( < |а |,
имеем	>
к-1
С другой стороны,
к лемме 2
т	т
2|пР-|<2т-
(121)
к-1
□о лемме Абеля и замечанию
sin кх
~~к~~
1___£_
л I т+1 *
' k—m+1	| °1П 2 J
Принимая во внимание, что, в силу (94) и (119),
• ® - X . л у п
в1Пк>-, m + l>z—,
2 те	х
находим
п
Ssin кх
~~к~
откуда в связи с (121) и
оценка для «6(0, те). Но в силу чётности функции
I хл sinfta: I	,, _
2j—k— из спРавеДЛивости оценки (118) для жЕ(0, те)
вытекает её справедливость и для — те < х < 0. Для
х — 0, те, —те оценка тривиальна, т. е. она верна для
—-те<я:<те, а тогда благодаря периодичности суммы
Ssin кх _
—— она верна при всех х.
те х
(120) и вытекает требуемая
п
1
9*
132 ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКФуРЙЫХ СВОЙСТВ ФУЪШЯШ (8Д. V
§ 3. Теоремы С. Н. Бернштейна.
Теорема 1. Пусть /(х^Сг-к и Ёп—её наилучшее
приближение полиномами ие Hf. Если при всех натураль-
ных п
Е.а<±	(0 <«<!), (122)
то при а < 1 можно утверждать, что
/(ж) € Lip а,
а если а = 1, то
<	fWtw.
Доказательство. Для всякого натурального п
существует Тригонометрический полином Тп (х) порядка
не выше п, для которого
Л
Положим
сгв(ж)=^(ж),
Un (ж) = Т2п (ж) — Tin-i (ж) (л = 1, 2, 3, ...).
Легко видеть, что
/(ж) = 2 им
п-0
ибо
Л'
2(7п(«)₽^(ж)5/(ж).
ftaeO
Возьмём какое-нибудь число 3, для которого
0<8<р
и пусть |ж — у| <8. Тогда
оо
/(х)~/(^) = 2 [Un(x)-Un(y)]'
tlwQ
I 3} . 	 ''‘НЙй-с.1Ь'ЯИ«1Йл < Ж
Пусть натуральное число т подобрано из уеледнн
«	(123)
(очевидно, лг>2). В таком случае
1/(х)-/(у)|< ю	’
<2 \Vn(x)-Ua(y)\+ 2|tfn(*)l+ 3l^n(0|.
n-=0	-	п»т	n*"tn
Оценим полином Un(x):
I Un (х) | < | Г2« (х) - / (х) | + 1 / (х) ~ ?2«-i (х) | <
Л . А _Л(1+2а)
‘ 2^п-1) ’	2П’ *
Отсюда
0°	оо
3 |р„м| <л(ц-г>) 2 ‘ =
п=т	п-гт
и, стало быть, г
I	m-rl
l/(x)-/(y)l<2 |tfn(x)-tfn(y)l +
п=0	*
где положено для краткости
в_21±21л.
1 — 2-в
С другой стороны, Uп(х) есть тригонометрический поли-
ной порядка не выше 2П. Значит, для его производной
на основании неравенства С. Н. Бернштейна (110)
справедлива оценка
! U\ (х) | < 2" max | Un (х) | < 2"	Л(Ц-2’)2п(1-“>..
На основании формулы Лагранжа
|Рп(«)-Ра(У)| « |^(х)1|х-у| <Л<14-2»)2»<‘->)8,
434 ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ [гл. V,
и потому
т-1
/(У)1 <А(1 + 2-)8 2 2«(‘-«)+ А.
п—0
Ввиду того что ж и у стеснены единственным усло-
вием |ж—1/1 <8, последнее неравенство показывает,,
что
„	т-1
ш(8)<С8 2 2n(1-”+i
п=0	2
где С = Л (1 + 2’). Замечая, что, в силу (123),
£<8,
2я*	’
придадим последнему неравенству вид
т-1
ш(8)<С8 2 2"С-’) + В8«.
'	ПтО
(124)
До сих пор рассуждение одинаково относилось как
к тому случаю, когда а < 1, так и к тому, когда а = 1.
Теперь нам придётся различить эти случаи.
Если а < 1, то
т-1
2 2п<1-а) =
nwQ
2m(l-a)_j 2ТО (!““)
Но по (123)
Стало быть,
2»<|.
1
1 —а
«1—«	4
4	<6	1 CF ,
I 3]	ТЕОРЕМЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА	138
Иначе говоря,
“<8)<(?&1С + 5)8, = С8‘	(8<0’
а это и означает, что / (х) g Lip а.
Если же а»1, то неравенство (124) принимает вид
ш (8) < С&п + 2?3.
Из неравенства 2m“I < | вытекает, что т —1 < 1^-1,
а так как m<2(m—1) (ибо тп>2), то
откуда
ш <s)<s [Slln8l +£] •
20
Обозначив через К число, большее, чем и В,
находим
ш(8)<^3(|1п8| 4-1)	(8<0»
что и завершает доказательство.
Сопоставляя теорему С. Н. Бернштейна с результа-
тами Д. Джексона из предыдущей главы, мы видим, что
для Тпого, чтобы функция /(ж) удовлетворяла условию
Липшица порядка а < 1, необходимо и достаточно, чтобы
было
При а= 1 это условие остаётся необходимым для того,
чтёбы f(x) входила в Lip 1, но уже перестаёт быть для
этого достаточным. Естественно спросить, действительно
ли это так или же мы имеем дело здесь с недостатком
доказательства. Как показывает нижеследующий пример,
из неравенства
П . 
не вытекает, что f(x) ^Lip 1,
136 ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУИТуР^Ы? СВО^СТ^ ФУНКЦИИ [ГЛ . у
Пример. Пусть
к-1
(125)
Этот ряд мажорируется сходящимся рядом 2 ’ и по-
тому ф(х)€С2*« Положим
л-i
: Тогда
< 2	3 (л-1])»“
А«эП-}*1	Л«»7г4-1
» у л.х_Г)_л
ZJ	к) ~ п' ‘
к—n+1
Значит, и подавно для функции (125)
Еп<\ • (
Вместе с тем она не удовлетворяет условию Липшица
первого порядка. Чтобы обнаружить этот факт, заметим,
что ряд
к-1
созйх
к
S
получающийся формальным дифференцированием ряда
(125), равномерно сходится во всяком сегменте
не содержащем точек 0, ± 2п, & 4<... Значит,	при
0<х<2я
СО
VI соекх
к-1
Мы покажем, что
+<ю.	(126)
j-ij * . >\ ' •	с. н. рдвцщШнл 	-  ш
ДОДядоадоде, взяв произвольное А > 0, найдём
такое ЛГ, что
N	-s
2?>л+2,
k»i
Пусть 0 < х < ^r. ъ X — целая часть числа £ |
л/V	«X
x<£<x+i.
Очевидно, X>N. Тогда
N	X	оо
k-=i	k-N+i	к-Х+1
Если	Л<Х,	то	| и,	стало быть,	сов&ОО.
Отсюда
N	оо
/	Vt	cosftx	.	v	COS кх
ф (®)> 2	~т~	+	xj	—г~’
к-1	к-Х+1
Применяя теорему Абеля и лемму 2 из предыдущего
параграфа, находим
ео
5Л СОВ кх
XJ й
1	1	1 ~Ъх
®*»2	sm2
а так как ein| > j, то
fc-X+i
сое fa:
~т~
<2,
откуда
фЧа!)>|22^^.
It «4
3
138 ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ [гл. V
Если х —* О, то coskx—> 1, значит, для достаточно
малых х (0 < х < а) окажется
N
Л-1
и, стало быть, для х, меньших, чем min {a,	,
что и доказывает (126).
Если х и у стремятся к нулю, то
и ф(ж) Не входит в Lipa.
Полученный результат наводит на мысль, что может
быть теорема Джексона допускает усиление, т. е. что
для функций, входящих в Lip 1, имеет место более
быстрое стремление Еп к нулю, чем это даёт оценка
Еп<^.	(127)
Однако и это не так, и оценка (127) является окон-
чательной; просто здесь мы сталкиваемся с тем обстоя-
тельством, что класс Lip 1 есть правильная часть класса
функций /(а;), для которых £п(/)< - (который в свою
очередь содержится в ТУ).
Примером, показывающим, что оценку (127) улучшить
нельзя, может служить функция
|ein»|.
Она, очевидно^ входит в Lip 1, но, как это будет
установлено в § 3 главы 8, для неё
n 2it(2n + l) •
Теорема 2. Пусть /(aj)£C2lt и Еп — её наилучгаее
приближение полиномами из Н*. Если
§ 3]	ТЕОРЕМЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА	439
еде р — натуральное число, а 0<а<1, то у f(x) суще-
ствуют непрерывные производные f (ж), /"(ж), ..., /W (ж),
причём последняя из них (ж) входит в Lip а, если
а<4, и она входит в W, если а=1.
Доказательство. Как и выше, вводим полиномы
Тп (х) € НТ, Для которых
\Tn(z)-f(x)\<^,
и полагаем
0в(ж) = !7’1 (ж),
JUn (х) = Т2п (х) — Т2п-1 (ж) (п > 0).
Очевидно, Un(x)£H2n. Вместе с тем
I Un (®) I < | Т2П (Ж) - / (ж) I + I / (Ж) - Г2П-! (Ж) | <
А , А
'^'sjnCp+o) "г 2(п“1) (₽+“)’
так что
Применяя к Un(x) следствие неравенства С. Н. Берн-
штейна, находим
|0S”wi<£.	(128>
Значит, ряд
со
3 V™(x),
п—0
получающийся из ряда
/ (ж) = 3 (ж)
п-0
с помощью формального р-кратного дифференцирования,
сходится равномерно. Но это означает существование
р-й (и тем более всех предыдущих) производной /<?>(ж),
и равенства
/₽)(ж)= 2 Г#>(ж).
п-0
Характеристика структурных свойств функции (Гл. у
Остаётся определить класс, которому принадлежит
/(р\я). С этой целью заметим, что, в силу (128),
Ш	СО
/(₽)(®)-2 i/L₽)(®) < 2
п-0
Но, очевидно,
neffl+i
В С
2»и> ~ 2я*® *
т
п«=0
есть тригонометрический полином порядка не выше 2т,
Значит, обозначая наилучшие приближения для /<р)(ж)
через М₽), будем иметь
Если п > 2 есть произвольное натуральное число,
то подбираем такое т, чтобы оказалось
Тогда
лп	2ТОв - 2<m+1)e п« ге« •
Иначе говоря, для р-й производной /<₽> (ж) выполнены
условия первой теоремы Бернштейна, что и завершает
доказательство.
Сопоставляя эту теорему со следствием 1 теоремы 2
из главы IV § 3, мы видим, что неравенство
Ел<—(р—натуральное, 0< «< 1)
необходимо и достаточно, чтобы у f (х) существовали р
непрерывных производных, последняя из которых входит
в Lip«.
Для а=1 это условие, оставаясь необходимым,
уже перестаёт быть достаточным. Это можно подтвер-
дить тем же примером (125), если рассмотреть функ-
цию Т (ж),’ получающуюся из (125) р.-кратным интегри-
рованием ряда (без введения постоянных).
Например, при р = 1
*w—-2тД-
к-1
Для этой функции Еп<-^, но её первая производ-
ная ф(х) не входит в Lip 1.	.
Теорема 3. Для того чтобы непрерывная, 2п-Пе-
риодическая функция /(х) имела производные любого
порядка, необходимо и достаточно, чтобы при любом р
было
lim (прЕп) = 0.	’	(129)
п-*зо
Необходимость условия (129) была нами установлена
в конце предыдущей главы. Предполагая его выполнен-
ным, будем иметь для п > Np, что
иР«£п<1.
Если Ар есть наибольшее из чисел
С l,Et,2^Et, .... N'"ENv,
то При всех п
откуда вытекает существование и непрерывность всех
производных до порядка р (включительно). Ввиду про-
извольности р теорема доказана.
§ 4. Теоремы А. Зигмунда.
В предыдущем параграфе мы установили, что класс
Непрерывных, 2к-периодических функций, для которых
Еп удовлетворяет неравенству Еп < —•, существенно
шире класса Lip 1 и является частью класса W. Инте-
ресно выяснить, какова структурная характеристика
этого промежуточного класса. Эта проблема была решена
в недавней работе А. Зигмунда [2]. Здесь мы приведём
его результаты.
442 характеристика структурных свойств функции [гл. V
Определение. Обозначим через Z класс непре-
рывных, 2я-периодических функций /(ж), для которых
существует такая постоянная М, что при всех х и при
всех Л > О
| у + Л) _ 2/ (х) 4- / (х - Л) | < Mh.
Теорема 1. Для того чтобы непрерывная, 2п-пе-
риодическая функция f(x} входила в класс Z, необходимо
и достаточно, чтобы её наилучшее приближение Еп
тригонометрическими полиномами удовлетворяло нера-
венству
Доказательство. Пусть f(xi)£Z. Введём в рас-
смотрение сингулярный интеграл Джексона (96):
Un{x) —
. t — x
Sin П -
; t — x
Sln—
dt.
Как было установлено в § 2 главы IV, где уже
фигурировал этот интеграл, справедливо равенство
(см. (100))
Un(x)-f(x) =
«/2
=гУ+т) V/ (*+2') -2/ (*>+/(*- ад (то У *
о
Значит, в силу условия f(x)£Z, оказывается
я/2
I Un (я) — / (ж) I < яп(2п»+1) t ) dt.
о
Применяя лемму 4^ из § 2 главы IV, находим отсюда
Un(x)-f(x)\^.
J 4]	ТеореМы А. вигМуНДА	143
Но /7П (х) есть тригонометрический полином порядка
2п — 2. Значит,
17	-- 3wjtf
^2п-2^	
Отсюда, совершенно так же, как при доказательстве
первой теоремы Джексона, мы заключаем, что
< ~2^ •
Итак, в части необходимости высказанного условия
теорема Зигмунда доказана. Допустим-теперь, что
Как и при доказательстве теоремы С. Н. Бернштейна,
вводим полиномы Тп (ж) наилучшего приближения и по-
линомы
Un (ж) = Tin (х) - Tin-, (ж) [tf. (ж) =	(ж)].
Тогда, как и выше,
Н*) = %ип(х), |^п(ж)|<М,
п=б
причём порядок Un{x) есть 2". Выбрав произвольное
натуральное т, мы будем иметь
Е|см*)1<Е^=-У-.
n»m	п=т
Значит, при любом h > 0 окажется
| / (ж + h) — 2/ (ж) + / (ж — Л) | <
<^\Un{x+h)~2Un(x) + Un{x~h)\ + 2-^.
п-0
Но по формуле Лагранжа
Un (ж + Л).- 2Un (ж) + Ua (ж - Л) =
= (£7П (ж + h) - Un (ж)] - [tfn (ж) - Un (ж - Л)] =
=	- седь
где x — A<ij<x<B<X4-A. Второе применение той же
формулы даёт
Un (х + Л) - 2Un (х) + Un (х - h) « Ж (Q (5 - 1),
откуда
1 ил (х 4- Л) — 2£7П (х) + £7П (х — Л) | < 2Л* шах |	(х) |,
С другой стороны, двукратное применение неравен-
ства С. Н, Бернштейна (110) даёт оценку
max | U'n (X) | < 2tn = ЗЛ2л.
Значит,
1/(х + Л)-2/(х) + /(х-Л)|<6ЛЛ‘22п + ^,	‘
n-.fi
или
I / (х + Л) - 2/ (X) + / (х - Л) I < QAh^ +	.
До сих пор т было произвольным натуральным
числом. Теперь подчиним его условию
2»» п 2т*‘1
(мы предположим, что Л < 1). Тогда йредыдущее нера-
. венетцо принимает вид
|/(х + Л) — 2/(х) + /(х —Л)1<36АА,
и теорема Зигмунда доказана полностью. Правда, при
выборе Л мы предположили, что-Л<1, но если Л>1,
то постоянную 36А достаточно заменить на 4 max | / (х) |,
• так что за М нужно взйть большее из чисел 36А
и 4тах|/(х)|.
Приведём без доказательства ещё следующие резуль-
таты А. Зигмунда:
Теорема 2. Неравенство
необходимо и достаточно для того, чтобы у функции f(x)
(мы предполагаем /(х)€С2к) существовали р производных
§ 5] ФУНКЦИЯ С ЗАДАННЫМ НАИЛУЧШИМ ПРИБЛИЖЕНИЕМ 145
/'(«),	•••« /(р)(ж)> причём последняя /Ср) (ж) вхо-
дит в 1.
Теорема 3. Неравенство
ETn[f)<^	(lima„ = 0)
необходимо и достаточно для того, чтобы функция
/(ж)£С2те удовлетворяла условию
I / + h) — 2/ (ж) + / (ж — h) | < a (h)h,
где а (А) стремится к нулю вместе с h.
Теорема 4. Неравенство
(lima„=0)
необходимо и достаточно для того, чтобы функция
f(x) ^C2'K имела р производных, причём последняя, f^(x)
удовлетворяла условию
| /Ср) (ж + h) — 2/Ср) (ж) + /Ср) (ж—А) | < а (A) h (lim а (А)=0).
л->о
§ 5. Существование функции, имеющей наперёд
заданные наилучшие приближения.
Изложенные факты дополняются следующим прин-
ципиальным результатом С. Н. Бернштейна [13]:
Теорема. Каковы бы ни были числа
4> >‘Аг > Яа > ..., lim Ап = О,
П->оо
существует такая непрерывная, 2к-периодическая функ-
ция j{x), для которой именно эти числа являются наи-
лучшими приближениями
En(f) = An (п = 0, 1,2, ...).
Более того, всегда существует чётная функция, удо-
влетворяющая этому условию.
Доказательство этой теоремы имеет весьма сложный
характер. Мы предпошлём ему ряд небольших лемм.
Ю Конструктивная теория функций
146 ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ (гл. V
Лемма 1. Для любой f(x)£CSn и любого постоян-
ного к
Еп(к/) = |к|Ев(/).
Обозначая через Т (х) полином наилучшего прибли-
жения для f(x), будем иметь
|Т(ж)-/(ж)|<Еп(/)-
Умножая это неравенство на |к|, мы найдём,
Е„(к/)<|к|Еп(/).
Отсюда, предполагая к ф 0 (ибо для к = 0 лемма
тривиальна), находим
и лемма доказана.
Лемма 2. Для любых функций f(x) и g(x) из
оказывается
En(f + g)<En(f) + En(g).
Если U (х) в. V (ж)—полиномы, наименёе отклоня-
ющиеся от /(ж) и g(x), то
11/ И + g (*)] - [tf (X) + V (ж)] I <ЕЛ (/) + Еп (g),
что в доказывает лемму.
Лемма 3. Если / (ж) и g (ж) —две функции из
то величина	.
ф(Х)= En(f + lg)
есть непрерывная функция аргумента к.
Фиксируем какое-нибудь к0 и обозначим через Г (ж)
полином наилучшего приближения к функции
так что
1/(®) + Х.§(ж)-Т(ж)|<ф(у.
В таком случае при любом к окажется
|/(®) + к«(ж)~ Я»КФ(к.) + М|к-Х.|,
§ 5] ФУНКЦИЯ С ЗАДАННЫМ НАЙЛУЧШИМ ПРИБЛИЖЕНИЕМ 147
где М ~ max | g (ж) |. Отсюда вытекает
ф(М<Ж) + М|х-Ч1.
Но так как К и Хо совершенно равноправны, то
Лемма доказана.
Лемма 4. Если в условиях леммы 3 функция g (ж)
не входит в Нп, то
Ишф(Х) = + °°-
Я-ют
Действительно, в силу леммы 2,
что, в силу леммы 1, можно записать и так:
|X|£n(g)<9(X) + En(/).
Но так как g (ж) не входит в Н„, то Еп (g) > О,
и лемма становится очевидной.
Лемма Ь. Если Т (ж)—полином из Н„, то для вся-
кой f(x)$.C^
Еп (f + T)=En(f).
Действительно, ЕЛ(Т) = О. Отсюда и из леммы 2 выте-
кает
Ел(/ +Г) <£„(/).
С другой стороны, по той же лемме
Еп (/) = Еп ((/ + Т) + (-Г)) < Еп (f + Т).
Лемма 6. Если /(ж) есть чётная, 2^-периодическая,
непрерывная, функция, то можно найти такую постоян-
ную L, что
Еп (I (®) + L cos (n + 1) ж) = ЕПЛ1 (/).
Пусть Т (ж) есть полином наименьшего отклонения
от /(ж) в классе Яп+i- Так как он есть чётный поли-
ном, то
п+1
1’(ж)«Л + 2в* cos kx.
k-1
40*
148 ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ [гл. V
Неравенство
определяющее Т (х), можно переписать так:
п
[[/(ж) —ап+1сов(п+1)ж] — [л+ У а^созАж^ 1<Еп+1(/).
*=i
Отсюда ясно, что
Еп (J (ж) - an+1 cos (n +1) ж) < Еп„ (/).
С другой стороны, из леммы 5 вытекает, что
Еп (/ (ж) — an+1 сов (n + 1) х) >
> EMi (f (ж) - «п+1 cos (n +1) ж) = Еп+1 (/).
Таким образом искомым значением L является
Е— яп+1«
Лемма 7. Пусть /(ж) есть чётная функция, вхо-
дящая в С^. Если
А>Еп^,
то можно найти такую постоянную М, что
Еп (J (ж) + М cos (n +1) ж) = А.
Если бы имело место равенство А = Eatl(f), то дело
свелось бы к лемме 6. Поэтому можно допустить, что
Л>Е„+1(/).
Введём число L, о котором шла речь в лемме 6,
и построим функцию
Ф (М = Еп (f (ж) + Ь сов (и + 1) ж).
Тогда
9(£) = £n41(/)<4,
а по лемме 4 при достаточно больших X будет
ф(Х)>Л.
Но функция ф(Х) непрерывна (лемма 3), и потому
найдётся такое значение д — М, при котором
ф(М) = А.
§ 5] ФУНКЦИЯ С ЗАДАННЫМ НАИЛУЧШЙМ ПРИБЛИЖЕНИЕМ 149
Лемма 8. Для любой системы чисел
А„ > А,. > А2 > ... > Д, > О
существует чётный тригонометрический полином U (х)
порядка не выше п + 1, для которого
Ek(U) = Ak (А = О, 1, п)
и который удовлетворяет условию
|С7Дж)|<Л0.
Доказательство. Положим /(ж) = 0. Для этой
функции ЕП41(/) = 0. Значит, по лемме 7, найдётся по-
стоянная Mntl такая, что
Еп	сов (п + 1) х) = Ап.
Найдя эту постоянную, положим/(ж)='Мп+1 сов (п+1)«.
Применим к этой функции лемму 7 (с заменой числа п,
фигурировавшего в этой лемме, на п—1). Это приведёт
нас к постоянной Мп такого рода, что
Еп-i (Mntl cos (n +1) х + Мп сов пх) = Ап.г.
Вместе с тем по лемме 5
Еп (^n+l COS (п + 1) X + Мп СОВ пх) =3
= ЕП (Л4+1 cos (п + 1) х) = Аа.
Иначе говоря, прибавление Мп сов па; к Afn+1 сов («+!)«
привело нас к нужному значению Еп^ и не испортило
полученного ранее значения Еп. Полагая
/ (х) — Мп*1 сов (п + 1) х + Мп сов пх
и снова применяя лемму 7, находим такое постоян-
ное Mn-i, что
Еп_2 (Мп+1 сов (п+1) х+Мп сов пх+Мп-! сов (п— 1)х)=Лп_2-
Вместе с тем прибавление к / (х) слагаемого
МЛ_г сов (п — 1)я не изменит ни En-!{f), ни En(f),
так что
En-i (Mn*i сов (п+1) «+ЛГп cos пх-\-Мп^ cos (п— 1) х)=An_t,
Еп (^n+l СОВ (п + 1) « + Мп COS ns + Мп^! cos (п—1) х)=Ап.
150 ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ [гл. V
Продолжая этот процесс, мы придём к полиному
п+1
W (ж) = У, Мк cos кх,
*=1
для которого
Ел (Ю = Ап......Ег (W) = А, Е, (W) ~ А„.
Если постоянную, наименее отклоняющуюся от W (х),
обозначить через — М„, то окажется
п+1
| М„ + У Мк cos кх I < At.
7с-1
Так как, с другой стороны, все отклонения Ek(U)
от полинома
U (х) — М„ + 2 Мк сов кх
к-1
(в силу леммы 5) совпадают с отклонениями Ек(Ж),
то полином U (х) и является искомым.
Теперь мы можем, наконец, перейти к доказатель-
ству формулированной выше теоремы С. Н. Бернштей-
на, Ввиду того что при обращении какого-нибудь Лп+1
в нуль теорема приводится к лемме 8, мы можем
предположить, что все Ап строго положительны.
Построим для каждого п > 0 такой (чётный) поли-
ном Un (х) G HJn, чтобы оказалось (
IU rt (ж) |< Аа,
' Е„(17п) = Аь, E^UJ-A» ..., En(Un) = An.
Мы покажем, что из последовательности построен-
ных полиномов {Z7n (х)} выделяется некоторая равномер-
но сходящаяся подпоследовательность {Unt (ж)}, предель-
ная функция которой и будет удовлетворять требова-
ниям теоремы,
G этой целью мы введём в рассмотрение полиномы
R^(x), наименее отклоняющиеся от Un(x) среди всех
$ 5] ФУНКЦИЯ С ЗАДАННЫМ НАИЛУЧШИМ ПРИБЛИЖЕНИЕМ Ш
полиномов класса Нетрудно видеть, что
?	\R<£4x)-Un&)\<Am
(m == О, 1, 2,
Действительно, при т — 0, 1, 2, ..пэто неравенство
вытекает из того, ,что
Ат = $т (^а)
и из определения (ж). Если же т^п-j-l, то оно
тривиально, так как
Rty(z) = Un(x)
(?n —n-J-1, п + 2, ...).
Из отмеченного неравенства вытекает, что при всех
п, т и х	•
|^)(ж)|<2Аг
Установив это, рассмотрим последовательность «по-
линомов» (на самом деле, это —постоянные):
Я<°>(*),	R^(x) Д(«)(ж), ...
Из этой ограниченной последовательности выделяет-
ся сходящаяся подпоследовательность
7^пЬс)(ж), /?<"*•<>) (ж),	(ж),
lim /?<"*•«) (ж) = Ro (ж),
к-н»
причём номера {nfc>0} строго возрастают:
«м < «2»о < «в,© < • • •
Образуем последовательность полиномов
Я(ш,о)(ж), /?(«г,с)(ж), 2?("s.o) (ж),...
Все они входят в Н? и ограничены одним числом.
Применяя принцип выбора (глава III, § 2, теорема 2),
мы выделим отсюда равномерно сходящуюся подпо-
следовательность
Д<«1,1) (ж),	(ж),	(ж), ..
lim Rf^ka) (ж) = R, (ж),
k~pco
.52 ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ [гл. V
причём строго возрастающая последовательность номе-
ров {пк>1} является частичной для предыдущей после-
довательности {п*>0}.
Продолжая этот процесс, мы для всякого т сможем
построить равномерно сходящуюся последовательность
полиномов
Я([‘1,т) (ж),	(ж),	(ж), . . .,
(s)=/?m (ж),
k->co
причём строго возрастающая последовательность номеров
будет частичной для предыдущей {nA>m_x}.
Проделав это построение, положим
п, = пм.
Если i >• т, то номер nt является одним из членов
последовательности	т. е.
Л,- = И. (т) ,
причём легко понять, что
Фиксируем какое-либо т. Для него найдётся та-
кое Nm, что как только к Nm, так сейчас же
1(®) — Rm (®) I < Дп-
Положим
i (т) = max {т, Nm}.
Если	то
где к^ > г" (m) > Nm. Стало быть,
I Я*»'* (®) — Rm (®) I < Ат-
С другой стороны,
Д/п.(Ж)-ВД(Ж)К Ат,	(130)
и потому при i > i (т)
| Unj (®) “ Rm(x) I <
§ 5] ФУНКЦИЯ С ЗАДАННЫМ НАИЛУЧШИМ ПРИБЛИЖЕНИЕМ 153
Значит, если оба номера i и j превосходят i(m), то
I Unf (®) ~ Uп] (®) | <
что в связи с условием
Нт Ат = О
т-*оо
и обеспечивает равномерную сходимость последователь-
ности {J7nf(^)}.
Положим
/ (ж) = lim СТ-,,, (ж)
i-юэ
и покажем, что эта функция удовлетворяет требовани-
ям теоремы. Её непрерывность, периодичность и чёт-
ность вполне очевидны, и нужн1 лишь убедиться в том,
что она имеет требуемые наилучшие приближения.
Для этого прежде всего перейдём в неравенство (130)
к пределу при фиксированном т и возрастающем i:
I / (®) Ф-т (ж) I < -^т
(здесь мы воспользовались тем, что
(п . .	)
= 7?т » 'т (ж)—»(ж)). Так как Rm(x) входит в Н^, то
доказанное неравенство позволяет заключить
Ещ (/)
Остаётся опровергнуть возможность строгого нера-
венства
Em(f)<Am.
Допустим, напротив, что при каком-нибудь т реа-
лизовалось это строгое неравенство. Обозначим через
V (ж) полином, наименее отклоняющийся от / (ж) среди
всех полиномов из Н£:
|Т(ж)-/(ж)|<Ет(/).
При достаточно большом i окажется
|СМж)-/(ж)|<Лт-Ет(/)
и, стало быть,
|7(ж)-С7П((ж)|<Лт,
ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ[гл. V
откуда,и подавно
Ет W< 4п»
что, одйако, при nt > т противоречит самому опреде-
лению полиномов Un(x),
Теорема доказана полностью.
§ 6. Плотность класса Нп в классе Lip^a.
Джексоновская оценка
(131)
нисколько не противоречит тому факту, что для отдель-
ных функций из LipMa порядок убывания Еп гораздо вы-
ше, чемп_“.
Так именно обстоит дело, например, со всеми
дифференцируемыми функциями, хотя они и входят во
все классы Lipa, Тем не менее для всего класса
Lipa в целом порядок оценки (131) улучшить нельзя..
Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Пусть /(ж) пробегает весь класс * *) Lipxanpn неко-
тором фиксированном а<1. Положим
Гп(а) = 8пр{Еп(/)).
Эта величина является, так сказать, мерой плот-
ности**), с которой в классе Lipxa распределены
полиномы из Н*.
Теорема. При всех n > 1
где К (а) есть положительная постоянная, зависящая
лишь от а.
1
*) Если/(^бЦр^а. то	(х) е Lipx а. С другой стороны,
Еп (Mf) = M Еп (/), Поэтому допущение М = 1 не ограничивает
общности рассуждения.
••) Идея введения таких характеристик принадлежит
А. Н. Колмогорову (А. И. Колмогоров [3]; см. также Н. И. Ахи-
езэр и М. Г. Крейн [II, С. М. Никольский [1, 2, 31, С. Н. Берн-
штейн [14]).
§ 6]	ПЛОТНОСТЬ КЛАССА н£ В КЛАССЕ Ь1рл «	155
В силу неравенства (131), достаточно доказать суще»
ствование постоянной К (а). Пусть сначала а < 1. По
теореме С. Н. Бернштейна из предыдущего параграфа
найдётся такая функция «р* (ж), что
п*
Из результатов того же автора, изложенных в
§ 3, вытекает, что ср, (ж) £ Lip а (здесь и использовано,
что а < 1), Пусть коэффициент того условия Липши-
ца порядка а, которому удовлетроряет <рв (ж), есть Мл:
|?«(а;)-(jf)l<^« I® — ЗИ“.
Тогда функция
входит в Lipja. Стало быть,
Гп (а) > Еп (ft) =	Еп (ср, ) = пл ,
и роль К (а.) играет величина
Для а== 1 этот способ рассуждения не годится,
ибо функция ср, (ж) может и не войти в Lipl. Справед-
ливость теоремы можно установить, например, опира-
ясь на сделанное выше замечание о том, что для функ-
ции |sinх 1 (очевидно, входящей в Liptl) оказывается*)
g"(l8iD*l)>2»(2n+l)’
так что
1
и роль К (1) играет число —.
') Это доказывается в главе VIII (§ 3).
ГЛАВА VI.
СВЯЗЬ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ
С ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ
ПОЛИНОМАМИ.
§ 1. Вспомогательные предложения.
В этой главе мы рассмотрим вопрос о связи
структурно-дифференциальных свойств функции клас-
са С ([я, й]) с порядком убывания её наилучших прибли-
жений обыкновенными алгебраическими полиномами.
Оказывается,, что эта проблема легко сводится к уже
разобранной в двух предшествующих главах аналогич-
ной проблеме тригонометрических приближений. На-
стоящий параграф будет посвящён леммам, связываю-
щим обе эти проблемы.
Пусть / (я) есть непрерывная функция, заданная
на сегменте [я, &]. Если —	то
_	(Ь — а) w+ (а +6)	А
и потому функция
входит в класс С ([—1,4-1]). Положим
ф (0) = <р (cos 6).
Очевидно, ф(6) есть непрерывная функция, задан-
ная для всех вещественных 6 и имеющая период 2к.
Кроме того, ф( — 0)==ф(0), так что функция 0 (0) чёт-
ная. Условимся говорить, что ф(0) есть функция,
индуцированная исходной функцией f(x).
§ 1]
ВСПОМОГАТЕЛЬНА Ё ПРЕДЛОЖЕНИЯ
157
Лемма 1; Пусть Епестъ наилучшее приближение
функции / (ж)£С ([я, 6]) алгебраическими полиномами
степени не выше п, а Е? есть наилучшее приближе-
ние её индуцированной функции ф(0) тригонометриче-
скими полиномами порядка не выше п.
Тогда
Еп = Е1	(132)
Доказательство. Пусть
л
• ₽(*)=2 с*ж*
к=О ,
— полином, наименее отклоняющийся от /(ж). Тогда
при ж £ [я, 6] .
п
i/(«)- 2 слж*1<яп.
к=0
Отсюда при и 61- 1, + 1]
Л
и, стало быть,
п
пе)-2с*
k-0
(b — a) cos 6 +(а
2
Но, в силу леммы 3 из § 2 главы I, функция
2 ск Г (&-«)СО8 0+(«+Ь) 1 к
к=0	J
есть тригонометрический полином не выше n-го порядка.
Значит,
Е1<Еп.	(133)
Установим обратное неравенство. Пусть 7(0) есть
тригонометрический полином наименьшего отклонения
158 СВЯЗЬ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ [гл. Vi
от ф(6). Вместе с <[>(6) он будет чётным, и потому*)
Т (6) — А 4- 2 ак СОВ & б.
По определению полиномов Чебышева
cosA0 = 7\(cos0);
значит,
!F(0)= 2 ск cos* 0.
к=0
(Собственно говоря, нам не приходится опираться на
теорию полиномов Чебышева, так как важен лишь тот
факт, что cosZcO есть полином степени к от cos0, дока-
занный в § 3 главы II.)
Таким образом неравенство
|ф(0)-Т (0)|<Е£
определяющее полином Г(0), можно переписать так:
| <Р (СО8 0) — 2 ск 008* 0 | < Е$,
к-0
так что при всех »€[—1,4-1]
!?(«) — <134>
к-0
Если х 6 [а, 6], то
и эту дробь можно подставить вместо и в неравен-
ство (134):
h ] - 2 '> [ П <
S-0
*) См. главу I, $ 2, ламиа 4.
$ 1]	ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕПРЕДЛОЖЕНИЯ	<59
Но
Г 2х - (а + Ь) 1	, . V
Ч ь-а ]=/(«)>
а
п
SP 2х — (а 4- 6) "1 *
С* L J
л-=о
есть полином из Яп; значит,
Еп<ЕГ.
Лемма доказана
Лемма' 2. Пусть, в тех же обозначениях, о>/(8)
и (8) суть модули непрерывности функций f(x)
и 9(0). Тогда
м8)<“/(ЦгО-	 (135)
Доказательство. Фиксируем какое-нибудь 8>0,
и пусть |0'—0"|<8. Тогда
|ф (6") — 9(0')| = | <р (cos0") —ср (cos 0')|.
Но
| сое 0" — cos 0'К10" — 0'| < 8.
Значит, вводя модуль непрерывности о>ф (8) функции
<р(«), имеем
19(0")-9(0')|<ш<₽(8),
и потому
о)^(8)<шф(8).	(136)
Оценим теперь со¥(8). Если |м" —и'|<8, то точки
(6-a)w" + (<i + b)	, (Ъ-а)и' + (а + Ъ)
х------------ , х -	-
отстоят друг от друга не больше чем на ^у^8« Значит,
I <Р («") - <Р (»') I * I / (И - /(«') К ш/	8) -
-16Q СВЯЗЬ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ [гл. VI
и потому
M8X®f (Цг8) •	(137)
Из (136) и (137) вытекает (135).
Лемма 3. Обозначения те же. Пусть [а', д']—
сегмент, целиком содержащийся в интервале (а, Ь). Если
(3) есть модуль непрерывности функции f(x) на сег-
менте [а', д'], то
ш) (8)<а>ф (ЛГ8),	(138)
где К есть постоянная, зависящая только от сегмен-
тов [а, д] и [а', д'].
Доказательство. Положим
___ 2а' —(а4-6)______ 26'—(а 4-6)
Г Ъ — а ’ ®	6 — а
Очевидно,
— 1 < г < s < +1.
Пусть
К = min {г + 1, 1 —s} = min [ 2 ° ~ a , 2 V~— 1 •
l	. J	[ 6 — a b — aJ
Если x' и x" — две точки сегмента [a', д'], для кото-
рых
I®" — х' |< 8,
то точки
,_2ж'-(а4-6)	_ _ 2«* — (а 4-6)
“------Г~а ’ и----------Ъ=~а
' попадают в [г, s] и удовлетворяют условию
I и” — и' |< 2 8.
1 b — а
Пусть
е' = arc cosi<', 0" = arc cos и",
так что
| / (х") - f(x') | = | ? (и") - <Р (и') I = |ф(б") - ф(0') |. (139)
По формуле Лагранжа
Ъ" — в' =---(и"и'),
г 1-иг
J 2] ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНЩДИИ 161
где а лежит между и' и и" и, тем более, между г п ».
Значит,
1 —г?==(1 —й)(14-й)>(1—s) (1 + r)>V
и, следовательно,
|6" —е'|<-д-|и' — tt'l цъ-а) 8-
Отсюда и из (139)
| / (х") - /(х') |<--„у-)
и, стало быть,
ф< (8)< фф ( Л(бТ~) =
где положено
„	2	fl 1 I
Л (Ь — а)	[ а' — а ’ р т- Ь' J
§ 2. Влияние структурных свойств функции
ца её приближения.
Теорема 1 (Д. Джексон). Если Еп есть наилучшее
приближение функции f(x)£C([a, 6]) полиномами из Нп,
то
(140)
где «о (8) — модуль непрерывности f(x).
В самом деле, если ввести индуцировадн^о функцию
ф(9), то по теореме Джексона из § 3 главы. W
4<12®ф (1).
Остаётся заметить, что, в силу (132) и (135),
Следствие 1. Если
/(«)€LipMa	(0<а<1),
11 Конструктивная теория функций
162 СВЯЗЬ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ С ЕЁ ПРИБЙИЖЁНИЯМИ [ГЛ1 Vi
то .
Еп<^-,	(141)
л*
еде
Следствие 2. Если у функции /(ж) существует
ограниченная производная f(x), причём |/'(ж)|<М1, то
Еп<Ъ-^~^.	(142)
Чтобы продвинуться дальше, нам понадобится сле-
дующая лемма:
Лемма. Пусть у функции /(ж)€С([а, 6]) суще-
ствует непрерывная производная f (ж). Между наилуч-
шими приближениями Еп (функции f(x)) и Е'п-\ (её про-
изводной) существует соотношение
Е^-^-Е^.	(143)
Доказательство. Пусть Р(х) — полином (п— 1)-й
степени, имеющий наименьшее отклонение от произ-
водной /' (ж):
|/'(ж) —Р (ж)	(144)
Если положить
<р(ж) = /(ж)— J P(x)dx,
о
то неравенство (144) можно будет записать так:
|<р'(ж).|<Е£_1,
так что по следствию 2 предыдущей теоремы
Если Q (ж) £Нп~~ полином наилучшего приближения
для <р (ж), то
I 2] ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВФУЙКЦИИ 1&3
или, что то же самое,
I / (*) ~ { $ Р (*) dt + Q (х)} | <	E'n-i.
1 о
. Так как сумма
X
Р [х] dx + Q (х)
а
есть полином не выше n-й степени, то лемма доказана.
Теорема 2 (Д. Джексон). Если функция f(x) на
сегменте [а, 6] имеет р непрерывных производных, причём
модуль непрерывности последней из них (ж) есть шр (8),
то для п> р справедлива оценка
 (*«)
где Ср есть постоянная, зависящая только от р. .
Доказательство. Последовательное применение
предыдущей леммы даёт, при само собой понятных
обозначениях, ряд неравенств:
' Z? ®	~ e) Е"
---п-- &п-Ь
Р'	Т?"	*
n — 1 “n'2'
p(p-i) 6(b —a) £,(₽)
Лп-р+1 < я_р + 1 En-p.
Перемножая эти неравенства, находим
F хг бР^-ау1 р(Р)
п(п-1)...(п-р + 1)£'п’»-
G другой стороны, по теореме 1
Ё^1Р< 12 шр (2(П_ар)) •
Таким образом
Еп <12 в(в-1/..(в-р + 1) шР^2(п-р)) *	£146)
И*
164 СВЯЗЬ СВОЙСТВ-ФУНКЦИЙ СПРИБЛИЖЕНИЯМИ [гл. VI
Так как п> р, то для /с = 1, 2, .... р— 1 имеем
откуда
п —А>^——я.
Р
Перемножая эти неравенства, найдём
(п-1) (П_2) ... (п-р+ П >	пр-1
г
и
П(П-1)(П-2)...(П-р+1)>^П₽.	(147)
»
Сопоставляя (146) и (147), получим
<12-6^р (Ь-а)^(|)	'	(148)
р! nV P\2(n-p)J’	' °'
авто и есть неравенство (145), в котором, как мы видим,
за Ср нужно принять постоянную
Ср=‘2^г-	.	(•«)
Следствие 1. Если в условиях теоремы окажется,
. . /(р)(ж)бЫрма .	(0<а<1),
то при п> р
(150)
где постоянная С'р зависит только от р и от а.
. Действительно, в указанных условиях
Так как п > р, то по меньшей мере n> р +1. Значит,
ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ	165л
§ oj
и, стало быть,
. п
'•-О^+Т-	,
Поэтому,
Z Ъ — а Л ,, /Ь -а\« (р+ 1)*
Сопоставив это неравенство с (145), находим
Чтобы получить (150), остаётся лишь положить
С;=12^(г±1)-.	«и)
Следствие 2. Если у f(x) существует ограничен-
ная производная /(р+4) (ж), причём |/(р+1)(®)|<2Ир41, ™
' (152)
где постоянная Ср зависит лишь от р.
В самом деле, в оценке (150) можно принять а = 1
M — Если принять во внимание (151) (при а=1),
то мы сразу получаем (152), причём
C;=^(P+1).
Следствие 3. Если функция /(ж) имеет произ-
водные всех порядков, то при любом р
Um (np Fn) = 0.
° п-k»
Это сразу вытекает из оценки (152).
§ 3. Обратные теоремы.
Теорема 1 (С. Н. Бернштейн). Пусть наилучшее
приближение Еп функции /(ж) £С([а, £>]) удовлетворяет
неравенству
Ёп<~ (0 <*<!).: (153)
<66' СВЯЗЬ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ [гл. VI
. ?
Если а < 1, то на всяком сегменте [а', b'J> целиком
содержащемся в интервале (а, £>), функция f(x) входит
в класс Lip а. Если же а = 1, то на всяком таком
сегменте f(x) входит в класс W.
Доказательство. Вводя индуцированную функ-
цию ф(0) и "замечая, что по (132) окажется
Яп(ф) = Яп,
мы можем на основании оценки (153) и теоремы 1
§ 3 главы V утверждать, что ф(0) входит в класс Lipa
или W, смотря по тому, будет ли а<1, или а = 1.
Но по лемме 3 из § 1 для всякого сегмента [а', У]
будет
“/(8)<«>ф(^).	(154)
где
. К — max {— ,	г-1-,,-} .
( а' — а ’ Ъ — Ь' J
Если а < 1, то
®ф(8)<М“
и, в силу (154),
т. е. /(®) входит в Lipa с коэффициентом МК*.
Если же а».1, то
®ф(8)<Ш(1 +11п8|)
и
®; (8) <МКЬ (1 + 1 In Я8|).
. Так как
1 + |1пЯ8|<1 + |1п2П + |1аЧ<(1 + |1пЯ|) (1 + |1п8|),
то
®; (8) < мк (1 + ; 1п2£Г I) 8 (1 +11п81),
т. е. f(z)£W.
Как и при приближении тригонометрическими поли-
номами, мы видим, что Случай a = 1 представляет собою
Особенность по сравнению с a< 1, но теперь это Нас
g эд	ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ	<67
уже не должно удивлять. Другой особенностью теоремы
является то, что в ней отсутствует характеристика
свойств /(®) на всём [а, 6], а говорится лишь о её
поведении на всяком внутреннем сегменте [а', 6']*
Оказывается, что это лежит, в самом существе дела.
Например, в § 1 главы VII мы установим, что для
функции
а(х) = У 1-®а	(155)
наилучшее приближение полиномами n-й степени на
[ —1, +1] удовлетворяет неравенству
Еп<^.	(156)
Вместе с тем функция (155) не входит (на всём
сегменте [ — 1, 4-1]) ни в один из классов Lipa, где
а> у. В самом деле,
[9 (Ж)-9 (1)|	. V1 + X
|1-х1*	11 — set*-1/2 ’
Так как правая часть этого равенства не ограничена
около точки х = 1, то не может найтись такой постоян-
ной М, чтобы оказалось
•	'	|a(x)-a(l)|< 1И|1-ж|«.
j Значит, хотя выполнено (156), но а(ж)^₽И, или хотя
2
но а (х) $ Lip — .
О
Теорема 2 (С. Н. Бернштейн). Если (в тех же
обозначениях)
(р — натуральное, 0 < а<1), то во всех точках интерва-
ла (а'Ъ) существует производная fp\x). При г том, если
а < 1, то fp^ (х) на всяком сегменте (а', 6'], целиком содер-
168 СВЯЗЬ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ [гл. VI
жащемся в (а, Ь), входит в Lipa, а если а=з1, то на
всяком таком сегменте (ж) входит в W.
Полное доказательство теоремы довольно громоздкое,
и мы дадим его в следующем параграфе, ограничившись
здесь рассмотрением простейшего случая:
ре= 1 и a < 1.
Как и в предыдущей теореме, индуцированная функ-
ция ф(в) удовлетворяет условию
Значит, существует ф' (6), входящая в Lipa. Но
,, . , Г	2х~~ (а + b) 1
/ (х) = ф I аге сое —•
Поэтому при а < х < Ъ существует f (х), причём
и i \	. z Г « 2ж — (а + Ь) "1	—1	2
/ (ж) == ф аге сов —т——2 —7-____- -	= 1  ? г— .
L	b~a J	px-(a + b)j*b-a
ИЛИ
Г 2х—(a-f-Ь) "I
— ф аге сов —у-1—!—I
/' (ж) = —Ц--------6 °----1.	(157)
’	У(х - а) (Ь - X)	V 7
Остаётся показать, что /' (х) С Lip а на сегменте
[а', 6']. Для этого заметим сначала, что произведение
(ж) двух функций класса Lip а также входит
в этот класс.
Действительно,
1 <Pi (®) ?2(*) — ?i (у) <?3 (у) I <
<1 Ф« (*)|| Ь (*) ~ ?i (у) 1 + 1 <Pi (у) | If, (*) — <PS (у) I-
Значит, если А3 и Аг суть верхние границы функ-
ций | ?! (х) | и |?g(s)|, а М3 и Mt — их коэффициенты
Липшица, то
I(ж)(*) “Ъ (у) <Pi (У) j < W A^M^Ai^x-y
§ 4J
ВТОРОЕ НЕРАВЕНСТВО С. Н. БЕРНШТЕЙНА
169
Отметив это, вернёмся к функции (157). Множители
1 1
У х — а ’ У Ь — х
на сегменте [а', &'] имеют ограниченные производные
-1 +1
2 У (х - а)3 ’	2 У (Ь - ж)»
и потому входят в Lip 1 и, тем более, в Lip а.
Что касается множителя
/ \	,, Г 2ж — (а + Ь) "I
g (я) = Ф [аге сов —ь-а J '
то те же рассуждения, как в лемме 3 § 1, показывают,
что
те (®)	(^8),
где о>р(8) есть модуль непрерывности g(x) на [а', 6'],
а шф, (о) — модуль непрерывности ф'(9) на всей оси.
Отсюда ясно, что g(x)€Lipa на [а', 6'], а значит,
и у (х) входит в этот класс.
§ 4. Второе неравенство С. И. Бернштейна.
Чтобы дать полное доказательство теоремы 2 преды-
дущего параграфа, нам понадобится интересное и само
по себе неравенство, принадлежащее С. Н. Бернштейну.
Теорема. Если полином Р(х) степени п
Р(х) = се + с1х+ ... + сяхп
(с вещественными коэффициентами) на некотором сег-
менте [а, 5] удовлетворяет неравенству
то его производная Р' (х) на интервале (а, Ъ) удовлетво-
ряет неравенству
| Р' (х) | < -у~Мп .	(158)
’	1	У(х-а)(Ь-х)	'	1
170 СВЯЗЬ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ [ГЛ. VI
Доказательство. Рассмотрим индуцированный
полином
(Р [6) _. р £ ~ д)cos 9 4~ (д 4- Ь) J
Это—тригонометрический полином порядка п, причём
|T(6)|<2I/.
Значит, в силу уже известного неравенства С. Н. Берн-
штейна
|Г(9)|<^п.	•	(159)
Но
Г (9) = -Р' Г <Ьа?с.?!«±.Са + ь) 1	8in 0.
I [	«	J 4
Взяв произвольное х из (а, Ь), найдём в (0, к) такое 9, что
(b — a)cos 0 4-(®+Ь)_____________
-	х.
Очевидно, что для этого 9
Ъ-~ sin 9 = У (х — а) (9 — х)
и
Т' (0) = — Р' (х) l/(x — а) (Ь — х).
Подставляя это в (159), приходим к (158)*).
Следствие 1. Если [a', b'] С (а, Ь), то (в тех же
обозначениях) при х£[а',Ь']
[Р'(х)[^КМп,	(160)
. где
^ = юах{^7’	<161>
*) Неравенство (158) точное. Действительно, если а= - 1,
6==+1, Р (х) = cos (n arc cos sc), то Р' (ж) = - s-n^yrf й для
=cos будет р.'(Ж1)Я=	’
,	ВТОРОЕ НЕРАВЕНСТВО С. Н. БЕРНШТЕЙНА	171
В самом деле, при этих х оказывается
____________1	g
}^(х — а)(Ъ — х) У(а' — а)ф — Ь')
Следствие 2. Для тех же х оказывается
\Р(р\х){<КрМРрпр-	(162)
Действительно, разделим каждый из сегментов [а, а']
и [Ь', 6] на р равных частей точками
а=Ч<Л< ••• </₽ = «'; &'=mp<znp.1< ... <ш0=6,
и пусть
А, = [/„«/]•
Последовательно применяя неравенство (160), полу-
чаем
|/>'(*)1<АГ0Л/п [sgAn ЛГ0 = тах{1-47-, —
|P"(s)l<*i^.Mn(n-l)
[хеАг, ^ = тах{^; —L—} ] ,
|Р(р)(а:)|<Яр_г ...KtMn(n — l) ...(п-р+1)
[ х С Ар, Кр^ = max {г—, т^_т* } ] .
Ввиду того что
.	, а’ — а	Ь — Ъ'
ll+i li— > mi ~ mi+i = ——' .
мы имеем, сохраняя обозначение (161):
Ki — р max (	= Кр.
г [а — а ’ Ь — Ъ' J	г
Значит, для х g [а', 6'] оказывается, что
| Р(р) (ж) | < КрРр Мп (п -1) ... (п - р + 1)
и, тем более, верно (162).
Опираясь на (162), мы и можем дать полное дока-
зательство теоремы 2 предыдущего параграфа,
172 СВЯЗЬ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ [ГЛ. VI
G этой целью, предполагая выполненными условия
теоремы, строим для каждого п полином Рп (ж) степени п,
удовлетворяющий условию
и полагаем
Qo (*) = Pi (*), Qn (*) = Р2п (я) -P2n-i («)•
Очевидно,
f
п«0	\
Так как
I <?л (®) I < I P2n (х) - / (Ж) 1 + | / (ж) - Р2П_! (ж) | <
А ', А
2п(р+«) "* 2(п-1)(р+$) ’
то
I <?.(») I < 5551 •
Степень Qn(x) есть 2П. Значит, если [а', 6']С(М)>
то на [а', У] окажется, в силу (162), что
IЙ” WI <	Дй- р"	(163)
Поэтому ряд
оо
2<2(пр)(я)
п«0
сходится равномерно на [а', 6'], и всюду в (а, Ь) суще-
ствует /(р) (ж), причём
ОО
/(р)(®)=2 ^₽)w-
П“0
Если положить
m
В-0
J 5] ФУНКЦИЯ С НАПЕРЁД ЗАДАННЫМИ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ ,473
то по (163) окажется
со
.А	А
n=m+l
Степень. Um (х) есть 2т — р, значит, она меньше,
чем 2т, и потому для наилучшего приближения Еп>
производной /(р)(ж) имеем оценку
р(р)
Если п > 2 —любое натуральное число и 2m<n<2m+1, то
р(р) р (р)	D _ Р2“
r"t 2т	2т<?	2(т+1>в	п® ’
Таким образом для производной /(р) (ж) оказываются
выполненными условия теоремы 1 предыдущего пара-
графа. Этим и завершено доказательство. х
Следствие. Если наилучшие приближения функ-
ции f(x), заданной на [а, 6], при всех р удовлетворяют
условию
lim (пр Еп) = О,
п-»со
то f(x) в интервале (а, Ь) имеет производные любого
порядка.
5. Существование функции с наперёд заданными
приближениями.
Опираясь на результаты § 1, мы можем перенести
теорему С. И. Бернштейна о существовании функции
с заданными тригонометрическим^ приближениями ина
алгебраический случай. Для этого понадобится
Лемма. Всякая чётная, 2к-периодическая, непре-
рывная функция (G) может быть получена как инду-
цированная из некоторой функции (fx)$C§a, 6]), где
сегмент [а, 6] указан наперёд.
В самом деле, если положить
f(x) — ty I arc cos —,
174 СВЯЗЬ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ С ЁЁ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ [гл. VI
то для этой функции индуцированной функцией и бу-
дет ф(6). Собственно для справедливости этой леммы
достаточно, чтобы ф (6) была задана и непрерывна на
сегменте [О,«].
Отсюда легко вытекает
Теорема (С. Н. Бернштейн). Каковы бы ни были
числа
Ао>	. lim Ап=0,
на любом сегменте [а, 6] существует непрерывная функ-
ция f(x), имеющая их своими наилучшими приближе-
ниями',
, Еп(П~АЛ (п=0, 1,2, ...).
В самом деле, найдётся такая чётная функция
Ф (9) € Сгп, для которой числа Ап будут наилучшими
приближениями тригонометрическими полиномами. В
таком случае искомой будет такая функция / (х) € С [(а, 6]),
которая индуцируется в функцию ф(в).
§ 6. Неравенство А. А. Маркова.
Неравенство (158) оценивает производную полино-
ма Р (х) в точках, лежащих внутри интервала (а, Ь). Для
его концов оно оказывается бессодержательным, так как
его правая часть становится бесконечной. В некоторых
вопросах представляет интерес оценка производной по-
линома на всём сегменте [а, 6]. Такая оценка была
найдена в своё время А. А. Марковым [3]; она имеет
вид
где Р (х) есть полином степени п, а М—максимум его
модуля на сегменте [а, 6]. В этом параграфе мы и до-
кажем эту оценку.
Лемма 1. Пусть
Жа=соз(^Ц^ (А=1,2...........п)
j 6j	НЕРАВЕНСТВО А. А. МАРКОВА	175
суть корни полинома Чебышева Тп(х). Тогда для всякого
полинома Q(x) степени не выше п—1 справедливо то-
ждество
п
<? (*)=12 (- v” / 5=3 е ы	
й-1
Доказательство. Выражение
Тп(х)
х — %к
есть полином степени п~ 1. Пусть i есть одно из чисел
1, 2, 3, ..., л; Если к Ф i, то
Tn(.Xl)
xi~~xk ’
корень Тп{х). Чтобы найти значение
при x = xh заметим, что
=Ит-п(-^Ь_?№)==1.^а.)<
X-Xi lx-®,	х_^х/ Я-Xi	"
Но Тп(х) = cos (w arc cos®); стало быть,
Т'„ (ж) = у-”- * sin (п аге сов х).1
так как х{ есть
Тп(х)
полинома
X —
Тп (ж) I
Далее, ид
(2«-1)те
аге COB Xj='—
• 2п
получим
sin (n arc cos a:f)=8in(-^j^=(—
и потому

Таким образом правая часть доказываемого тождества
при х=Х( становится равной Q (х,), т. е. совпадает с его
левой частью*). Но так как и правая и левая части
*) Иначе говоря, правая часть есть интерполяционный поли-
ном Лагранжа для левой части,
176 СВЯЗЬ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПВЦВЛИЖЕНИЯМИ [ГЛ. та
этого тождества суть полиномы степени не высшей, чей
п—1, то из совпадения их в п точках xt и вытекает ия
тождественность.	i
Лемма 2. Пусть Q(x) есть пблином степени не
выше п— 1. Если при всех х из {— 1, 4-1] оказывается
\Q(x) |
то при тех же х
Доказательство. Рассмотрим сначала такое зна-
чение х, которое удовлетворяет неравенству
Так как
2п — 1	к
ХП = СО8	7Г=— СО82-=— Хи
то последнее неравенство означает, что
|х|<Х!.
Поэтому для рассматриваемого значениях оказывается
/1 -х“ > /Г^х» =sin	|,
и доказываемая оценку тривиальна.
Теперь допустим, что выполнено одно из неравенств
— 1<х<хп, х»<х<1.
Применим тождество
п
k-i
доказанное в предыдущей лемме. Так как
/Г^|^(хА)|<1,
ТО
п
k»i
§ б]
НЕРАВЕНСТВО А. А. МАРКОВА
177
Но (и это здесь основное) для рассматриваемого
значения х все разности х~хк имеют один и тот же
знак.
Поэтому последнюю оценку можно записать и в следу-
ющей форме:
k-i
С другой стороны,
п
<-1
Дифференцируя это тождество, мы получаем
п	п
k-ii*k	k-i
Стало быть,
K(x)|<||F (х)|.
Остаётся оценить производную Т'п (я) полином*
Чебышева Еп (ж). Но
nsln (n arc со s ж)
V 1-х«

Полагая аге созж=6, имеем
и, в силу (93),
I ВД| <»*,
что и завершает доказательство.
Лемма 3. Если полином S (ж) степени не выше п
на сегменте [—1, -f-l] удовлетворяет неравенству
|3(а:)|<21/,
то его производная S* (х) при тел же я удовлетворяет
неравенству
|3'(*)|<Мп\
^2 Конструктивная теория функций
 з
i28 СВЯЗЬ СВОЙСТВ функции С ЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ [гл. VI
Доказательство. Неравенство (158) С. Н. Берн-'
штейна даёт
1	' 7 1 у 1 - х2
Значит, полином
удовлетворяет условиям леммы 2 и
Теорема (А. А. Марков). Если полином Р(х)
степени не выше п на сегменте [а, 6] удовлетворяет
неравенству
|Р(з)|<Л/,
то на том же сегменте
2Мп2
(*)!<>—•
Доказат ельство. Положим
5(И)=р[(Ь-а)у<-?±ь1].
Полином S (и) удовлетворяет неравенству | S (w) | < М
на сегменте [—1, 4-1]. Так как
₽(»)-«
ТО
Р' (Ж)=5' Г2;-<а.+ ь>1 2 ,
' '	[_ Ъ — a J Ь — а
и дело сводится к лемме 3;
Заметим, что неравенство Маркова точное. В самом
деле, если а——1, 6=4-1, а
Р (ж)=cos (n arc cos х),
то, как мы уже видели,
Р, , .	sin (n arc cos х)	sinnfl
у 1 _	sin и ’
откуда Р' (1) = па.
g 6j	НЕРАВЕНСТВОМ.. А. МАРКОВА	479
Из неравенства Маркова вытекает, что (в тех же
обозначениях)
IP(m) W । <(S* п* (”“ I)3 • • • ^~т +1)’.
Однако это последнее неравенство не точное. Точное
неравенство для Р^(х) было установлено В. А. Мар-
ковым*) (братом А. А. Маркова). Оно имеет вид
' W I < (Ь _ а)т	(2m-1)1!	’
♦) В. А. Марков [1], стр. 93.
12»
ГЛАВА VII.
РЯДЫ ФУРЬЕ КАК АППАРАТ ПРИБЛИЖЕНИЯ.
§ 1. Ряд Фурье.
Бесконечный ряд вида
оо
А + 2 («ncos nx + &„sin пх)	(164)
п-1
называется тригонометрическим рядом.
Теорема 1. Если функция f(x) разлагается в
равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то его
коэффициенты определяются единственным образом.
Доказательство. Заметим, что в условиях
теоремы функция /(х) входит в С^. Если проинтегри-
ровать равейство
/(ж)=Аф2 («п сов па; sin пх) (165)
п=1
по сегменту [—к, я] и учесть, что
сог nxdx— Binnxdx=0,
—те	— я
то мы получим
/ (х) dx =• 2пА,
11]
РЯД ФУРЬВ
181
откуда
It
А=~ \f(x)dx.	(166)
Zit J	♦
—тс
Если, далее, умножить (165) на cos кх (что не нару-
шит равномерной сходимости ряда) и опять проинтегри-
ровать полученное равенство по сегменту [—к, те], то
на основании лемм 1 и 2 § 2 главы III мы найдём, что
ТС
/ (я) cos kx dx =пак.
-ТС
Таким образом
ТС
afc=^- f(x) сов kxdx.	(167)
' -тс
Аналогично этому
ТС-
/(ж)sinkxdx-.	(168)
—It
Равенства (166), (167) и (168) доказывают теорему.
Определение. Пусть /(ж) есть произвольная
функция из С2п; Числа А, ак, Ьк, построенные, исходя
из этой функции, по формулам (166), (167) и (168),
называются коэффициентами Фурье функции /(ж), а
тригонометрический ряд, коэффициенты которого явля-
ются коэффициентами Фурье /(ж), называется рядом
Фурье этой функции.
G помощью этого определения теореме 1 можно дать
другую формулировку:
Теорема 2. Если функция разлагается в равно-
мерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот
ряд есть её ряд Фурье.
Однако эта теорема вовсе не означает, что, составив
ряд Фурье произвольно заданной функции / (ж), мы по-
лучаем её разложение*). Тем не менее, в широком
*) Этим мы хотим сказать, что функция /(ж) не обязана
служить суммой полученного ряда; он может и не сходиться
или сходиться к другой сумме.
182
РЯДЫ ФУРЬЕ КАК АППАРАТ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. VII
классе случаев это так. Чтобы это установить, докажем
следующее предложение:
Лемма. Если функция <р(х) из ортогональна
ко всем функциям системы
1, совх, sinx, cos2a:, sin2а;, ...,	(169)
т. е. все интегралы
9 (ж) dx,
—1С
я
9 (х) cos пх dx,
“71
9 (х) sin пх dx
равны нулю, то 9 (х) тождественно равна нулю.
Это свойство системы (169) выражают, говоря, что
она полна в классе С2«. Для доказательства заметим,
что, каков бы ни был тригонометрический полином Т (х),
справедливо равенство
Я
J 9 (х) I? (х) dx *= 0.
-Я
Взяв произвольное в > 0, подберём полином Т (х)
так, чтобы при всех х оказывалось
| й7 (х) —9 (х) | < е,
что возможно в силу второй теоремы Вейерштраеса.
Для этого полинома имеем
9* (х) dx= у (х) [<р (х)—Т (х)] dx.
-я	-ж
Если М означает максимум | <р (х) |, то
Итак,
? (х) [<р (х) — й7 (х)]с?х| <2irJfe.
-Я
It
9s (х) dx< 2пМв.
-Я
§ 1]	РЯД ФУРЬЕ	183
Так как правая часть этого неравенства сколь угод-
но мала, то
9* (ж) dx=0,
-Я
откуда и следует, что ^(ж) = 0.
Теорема 3. Если две функции f(x) и g(x) из
класса Симеют одни и те же коэффициенты Фурье,
то они тождественны.
В самом деле, их разность будет ортогональна ко
всем функциям (169) и, стало быть, тождественна нулю.
Отсюда вытекает теорема, которая очень часто
позволяет гарантировать фактическую разложимость
функции в ряд Фурье;
Теорема 4. Если ряд Фурье некоторой функции
f(x) из класса равномерно сходится, то его суммой
служит именно эта функция f(x).
В самом деле, пусть
СО
Л + У (ап cos пх + bn sin пх)	(170)
П=1
есть равномерно сходящийся ряд Фурье функции /(ж).
Обозначим его сумму через g(x). Легко видеть, что и
§(ж) входит в Сяк- По самому определению §(ж) она
разлагается в равномерно сходящийся тригонометри-
ческий ряд (170). Значит, по теореме 2 это есть её
ряд Фурье. Таким образом ряд (170) оказывается рядом
Фурье двух функций класса С%к: исходной функции
/ (ж) и .своей суммы g (ж) . В силу предыдущей теоремы,
эти функции должны быть тождественны.
Таким образом, если мы, составив ряд Фурье, не-
прерывной, 2тс-периодической функции, обнаружим его
равномерную сходимость, то без дальнейших исследова-
ний сможем утверждать, что получили разложение
нашей функции.
Пример. Составим ряд Фурье функции
ф(ж)=|вп1ж|.
1М РЯДЫ ФУРЬЕ КАК АППАРАТ ПРИНИЖЕНИЯ [гл. VII
Так как <]>(#)—-чётная функция, то
К	к
Л=Д I sin х I dx=— \ sina:da:= — .
2те J '	1 те J	к
— 7С	О
Далее,
те	те
а_=— \ I sin ж |cos па? с£ж=— \ sin х cos пх dx,
kJ	к J
-к	О
откуда
к
ап=— \ lsin(n-|-l)a?—sin(n— 1)ж]«?ж=
о
_____£ Г cos (п +1) я  cos (п — 1) я "I *
= « L »4-1	п — 1 Jo
и, следовательно,
_	1 Г cos (п +1) к — 1	cos(n —1)л —1 "1
п	лL п+1	п—1	J'
Если число п—нечётное, то
COS (п+ 1) 7t = COS (п— 1) 1t=l,
так что ап=0. Если же п—чётное, то
_2/_1______________________1 \	-4
п Л \п+1	п-1/ л(па — 1)
Аналогичный подсчёт даёт
Ьп=0.
Таким образом ряд Фурье функции ф (ж) имеет вид
2	4 Г cos 2а; , Cos 4rr .	, cos 2гаа: ,	"]
л	-к L 3	' 15 "г ’ • • "г 4ге« _ j ' • ' " J "
В силу равномерной сходимости этого ряда ^он мажо-
рируется сходящимся положительным рядом 2	’
получаем равенство
ОО
 (‘«)
fc-1
8 <]
РЯД ФУРЬВ
185
Этот пример очень поучителен. Именно, он позво-
ляет оценить наилучшее приближение функции ф (х)
тригонометрическими полиномами порядка не выше п.
Действительно, пусть
[г]
3Лх)=1-^У,	.
" ' ' к я ^-1 4к2 — 1
*=1
Ясно, что 5П (ж) есть полином порядка не выше и (его
порядок равен и, если' п чётно, и и—1, если п нечёт-
но). В силу (171),
оо
й—т
где m=[-| 1 +1. Но
2! 4Л»-1~ 2 2 Qjt-l 2й + 1)~
к=т	к=т
N
1 1
2к - 1 2к +1
откуда
2 4ft2 - 1
к=т
k=m
N >
2 2/с + 1

= У lim Г -1 .
2 N^-го L 2m — 1
1 “I 1
2.V4-1 J ~2(2m-l) •
Таким образом

2	1
Если п четно, то Г п I =— .
L 2 I 2 ’
а
если и нечётно, то
186 РЯДЫ ФУРЬЕ КАК АППАРАТ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. VII
Стало быть,
2Г-1"]4-1==,/п + 1> если п чётно,
L 2 J X и, если п нечётно.
В обоих случаях получается число не меньшее п.
Значит,
{172)
и, тем более,
(173)
Оценка (172) позволяет установить неравенство (156)
для наилучшего приближения Еп функции
а (я) = ]/ i — x*
обыкновенными алгебраическими полиномами на сегмен-
те [ — 1, +1].
Именно, полином 3п{х) допускает представление
п
$п (х) = 2 е *cost х •
к-0
С другой стороны, при всяком х
| sin х | = 1 — cos’ х.
Значит, неравенство (172) можно записать так:
п
I 1 — cos’ X — 2 ск cosfc х | < ~~ >
откуда при — 1 < х < 1
п
/£е=0
и мы приходим*) к оценке (156):
*) Ещё скорее мы придём к этому результату, если заметим,
что | sin в | — функция, индуцированная для а (ж), и сошлёмся на
лемму 1 из § 1 главы VI.
РЯД ФУРЬЕ
(87
И1
Наш пример приводит ещё к одному интересному
заключению. Именно, заменим в (172) аргумент х на
у + -? и заметим, что
♦ fy + у) = | si» (у + у) | = |«<» VI •
 м
с, f , п \	2	4 COS (2ку + кп)
Q?/+ yj = 7 ~ 7 2j 4А’-Г =
*=i
н
_2_ £ V /_ nxfcCOS 2fcy
— я я £j '	*? 4fca—1 ’
fc-1
откуда
n
Sn (з/ + у) = 3 aftcosfcy.
*-u	• ,
Это даёт неравенство
п
hcosyl-2 akcosky |
s=o
или после замены cosy на x:
n
11x I	3	| Sn ’
откуда следует
Теорема 5. Наилучшее приближение Еп (| а? |) функ-
ции |ж| на сегменте [—1, 4-1] алгебраическими поли-
номами степени не выше п удовлетворяет неравенству.
Ниже будет установлено, что порядок этой оценки,
так же как и порядок оценки (173), не может быть
улучшен.
Для применения теоремы 4 прямой путь состоит
в фактическом составлении ряда Фурье функции /(ж)
. 188; РЯДЫ ФУРЬЕ КАК АППАРАТ.ПРИВЛИЖЕНИЯ [гл. VII
и исследовании его сходимости. Однако во многих
случаях можно, опираясь на структурные свойства функ-
ции /(ж), заранее сказать, что её ряд Фурье равно-
мерно сходится. В следующем параграфе в этом напра-
влении будут получены весьма общие результаты, но
простейший из них можно привести здесь же.
Теорема 6. Если функция /(ж) из С2п имеет
производную /' (ж), удовлетворяющую условию Липшица
какого-нибудь положительного порядка а, то f(x) раз-
лагается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
Доказательство. Интегрируя по частям, находим
те
1 с
ап = — \ / (ж) cos пх dx =
-те
= 1 [у(ж)8-^^]’' --L { f'(х) sin nxdx.
it L	" J — к
—те
Ввиду периодичности / (ж) внеинтегральный член
равен нулю и, стало быть,
те
— кпа п— f (х) sin nxdx.	(174)
-те
Сделаем в последнем интеграле подстановку x=t + — •
В силу периодичности подйнтегральной функции мы
можем при этом сохранить старые пределы интеграла:
те
— ппап= /'(t + sin (nt л) dt ==
-те
те
= — ^ У' (ж4~^ sin nxdx.
—те
Отсюда и из (174)
— 2лпа„ =	{у' (ж)-у' (ж + J з1ппжйж.
'	-те
§ 2] ОЦЕНКА ОТКЛОНЕНИЯ ЧАСТНЫХ СУММ РЯДА ФУРЬЕ 189
Так как
то
\Г (у)\<М\х-у\^
|	{/' (ж) - /'	+ sinnzcfa:| <
—ТС
<ЛГ^-^а	| sin пх | dx < 2тгЛ/
-те	п
и, стало быть,
I  I Л*’
Аналогично получается оценка
п‘+’ '
Эти оценки гарантируют сходимость ряда
.2 (1«п1+ю)>
П = 1
откуда и подавно следует равномерная сходимость ряда
Фурье
А + 2 (ап с 08 пх + bn sin пх)
n=i
нашей функции /(ж). Сопоставляя это обстоятельство
с теоремой 4, завершаем доказательство.
§ 2. Оценка отклонения частных сумм ряда Фурье.
Мы видим, что в широком классе случаев ряд Фурье
непрерывной, 2тг-периодической функции представляет
собой равномерно сходящееся разложение этой функции.
В этих случаях частные суммы ряда будут служить
приближёнными выражениями функции. Так как эти
частные суммы суть тригонометрические полиномы,
190 РЯДЫ ФУРЬЕ КАК АППАРАТ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. VII
то мы можем сказать, что ряд Фурье является источ-
ником получения тригонометрических полиномов, пред-
ставляющих функцию *) с любой степенью точности.
Естественно заняться вопросом о порядке приближения
этих полиномов к функции. Этому и посвящён настоящий
параграф.
Лемма 1. Справедливо тождество
2	1
-------а— = Т + cos а + cos + • • •+cos па (175)
2sin|
(а #= 2Ак).
В самом деле, применим ко всем слагаемым правой
части равенства
sm—у- а= siny-f-рШу а —sinyj+
, Г j 5	• 3 I, . Г . 2n +1	. 2ге —11
+ sin-^-а — sm-g-a 4-... + 1 sin—5—a —sm—5—а
L 2	* J	L "*	“ j
известную формулу
sin A — sm В = 2 sm —=— cos —5— .
Это приводит к равенству
sm —— а = 2 sin	+ cos а + cos 2а + ... + cos па L
4	4 I 4	I
равносильному (175).
Пусть /(«) есть функция класса Сук и
П
5п(Ж) = Л + 2 («й cos кх + ЬК sin kx)
*) Конечно, это относится не к любой непрерывной, 2к-пери-
одической функции, а лишь к такой, про которую известна
разложимость в равномерно сходящийся ряд Фурье.
$ 2] ОЦЕНКА ОТКЛОНЕНИЯ ЧАСТНЫХ СУММ РЯДА ФУРЬЕ <91
есть частная сумма её ряда Фурье. Подставив сюда
выражения коэффициентов Фурье
К	К
ак =	/ (г) cos kt dt, bk =	/ (t) sin kt dt,
-Tt	— Tt
получим
$ f^dt +
-Tt
n . Tt
+ 2 ~ f (*) (cos cos +sin & sin kx)' dt.
л-i -Л
Отсюда
•К	n
Sn (x) =	§ / W [ у + 2j cos A (t—x) ] dt.
—n	k—i
На основании тождества
ство представить так:
(175) мы можем это равен-
s.	(») = i \ 1 (О-----——	(061
Sin —
Интеграл правой части называется сингулярным
интегралом Дирихле. Для дальнейшего полезно пре-
образовать полученную формулу. Именно, заменим t
на и + х. В силу периодичности подинтегральной функ-
ции можно сохранить пределы интегрирования
5П(Ж) =
t I - sin^iiw
_ f{u + x)-----—— du.
-л	sln j
192
РЯДЫ ФУРЬЕ КАК АППАРАТ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. VII
Разбивая интеграл на два, распространённых на
промежутки [ — я, 0] и [0, я], сделаем в первом замену и
на — и:
_	. 2n +1
’	8Ш-— и
Sn (ж) = 2^ \ [/ (ж + “) + /	~ ®)1-й----dU'
о	sinT
Наконец, заменяем и на 2t:
я/2
[f(x^2t) + f{x-2t^-^i}t-dt. (177)
7ч	Olli *
о
Лемма 2. Для всякого натурального п>2 спра-
ведливо неравенство
я/2
•	2. С sin(2п + t I tfr < 2 + In n	(178)
я J I sint I 2	*	'	'
o
Доказ ат e л ь с т в о. Разбивая Наш интеграл
на два, распространённых на сегменты £ 0, 2~(2п~+1 j ]
и ”.	, -к- > применим к первому оценку (93):
I & \лТ1 -р 1)	• J
2
|sinn/|<n|sini|, а ко второму оценку (94): sinZ> — t
и оценку | sin(2n+ 1) 11 < 1. В результате получим
•к
те/2	4п+2	те/2
£ С|5Щ2п±1)_1|	1 Г (2n+1)dz+ 1 С dt
я J Sint I	я J v 1	'	1 2 J t ’
0	0	я
4n+2
откуда
я/2
1 С I sin(2n+1) t I .1 . 1 ,	...
я i |—11КГЧ^<-2 +T1n(2n + 1),
0
Ho 2n +1 < ne, значит, In (2n +1) < 1 + In n, и потому
 я/2
. 1 С I sin (2n +1) t I 2 + In n
я j sin t 1*2
Q
§ <$] ОЦЕНКА ОТКЛОНЕНИЯ ЧАСТНЫХ СУММ РЯДА фуРЬЕ 193
Следствие. Если функция f(x) удовлетворяет
неравенству | / (®) | < М, то частная сумма её ряда Фуръё
удовлетворяет неравенству	\
18п (х) ] <М(2 + In п)	(п>2).	(179)
В самом деле, благодаря (177) имеем
к/2
 о
и дело сводится к (178).
Оценка (179) приводит к важной теореме:
Теорема 1 (А. Лебег [1 ]). Если наилучшее прибли-
жение функции f(x) тригонометрическими полиномами
порядка не выше п есть Еп, то для всех ®
I Sn (®) - /(®)К(3 + 1П п) Еп	(п>2).	(180)
Доказательство. Будем обозначать . частную
сумму ряда Фурье функции /(ж) через Sn [/], чтобы
подчеркнуть её зависимость от /(®). В таком случае
можно написать очевидное соотношение
'	Sn[f~g] = Sn[f]-Sn[g].
Заметим, далее, что всякий тригонометрический
полином есть сам себе ряд Фурье. В частности, для
полинома Т (х) порядка не выше и
<	5П[Т] = ?(®).
Обозначим через Тп (х) полином наилучшего прибли-
жения для /(®), так что
\f(x)-Tn(x)\<En.	(181)
В таком случае по (179) имеем
l*Sn[/— Гп]| <(2 + 1пп)Ел,
или, что то же самое,
1ЗД]- Тп (®) | < (2 +In п)Еп. (182)
13 Конструктивная теория функций
194 РЯДЫ ФУРЬЕ КАК АППАРАТ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. VH
Теорема получается простым сопоставлением (181)
и (182).
Так как Inn растёт весьма медленно, то теорема
Лебега, грубо говоря, показывает, что приближение
функции частными суммами её ряда Фурье «не на много
хуже», чем наилучшее.
Между прочим, из теоремы Лебега вытекает разло-
жимость в равномерно сходящийся ряд Фурье всех
функций, у которых
lim (Еп In п) = 0.	(183)
П—>со
Но это не очень удобный критерий сходимости. Удобнее
Теорема 2. Если модуль непрерывности w (8)
2~-периодической функции f(x) удовлетворяет условию
lim [<о (8) In 8] = 0,	(184)
S-.fi
то /(®) разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
Доказательство. По теореме 1 Джексона
из главы IV имеем
Значит,
£п1пп<12ф(|)|1п||,
и выполнено условие (183). ‘
Приведённое доказательство опирается на глубокую
теорему Джексона и потому, несмотря на свою крат-
кость, не может быть признано элементарным. Усло-
вие (184) называется условием Дини-Липшица. Оно
выполняется для функции, удовлетворяющей условию
Липшица любого положительного порядка.
§ 3. Пример непрерывной функции, не разлагающейся
в ряд Фурье.
Признак сходимости, установленный в конце преды-
дущего параграфа, имеет очень общий характер. Мы
отметили, например, что функция, удовлетворяющая
условию Липшица любого положительного порядка,
ПРИМЕР НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
195
удовлетворяет и условию (184), т. е. разлагается в ряд
Фурье. Естественно спросить, нужно ли вообще какое-
нибудь ограничение на функцию /(ж), кроме её непре-
рывности, чтобы она разлагалась в ряд Фурье. Оказы-
вается, что вовсе отказаться от всяких требований,
кроме непрерывности, нельзя. Это было доказано
в 1876 году дю-Буа-Реймондом, который построил пример
непрерывной функции, не разлагающейся в ряд Фурье.
Мы приведём здесь аналогичный пример, принадлежащий
Фейеру.
Лемма. Если
, . Г cos
?л(®)= [ —
СОб2ж	. COS пх 1
••• “
[cos (га+ 2) ж
1
то при всех х
В самом деле,
сое (п + 3) х
2
I ?п («) I < 4 К11’
cos(2га+ 1)ж
га
] . (185.)
(186)
п	п
„	_ V cos(n + l — ft) ж	-Ст cos (га + 14-ft) Ж
Tn w - 2j I	2j-----------к——
7<-1	к=1
Значит, на основании формулы
cos Л —cos 5= 2 sin	sin
Имеем
Фп(Ж) = 28Ь(п4Л)Ж£8-^,
и дело сводится к оценке (118).
Так как <рп (аг) есть тригонометрический полином,
то формула (185) и есть «разложение <рп (х) в ряд Фурье».
Остановимся на частной сумме «Ут[<рп; ж] этого ряда.
Для ее получения нужно из правой части (185) вычерк-
13*
Ш Ряды фурьё как аппарат йрибййжёнйя [гл. VII
путь косинусы углов ix при i > т. Значит,
COS ж , cos 2а:
п *” га-1
cos ma:
n + i — m
5т[?П; *] = <
COS я cos 2а:	COS па: .
п ' П — 1 '' ‘	1
при т = п + 1,	:
[COS X !	1 cos ПХ 1
п + . •. 4 j J -
[cos (я+ 2) ж	, cos та:
1	+ т-п-1
при n + 2<m<2n+1,
[cos а:	. cosпх "|
— + •••+ —J
[cos (п 4* 2) ®
i
cos(2n+l)x j
Эти равенства показывают, что при любых тип
Sm[?n;0]>0. '	-(187)-,
Теперь мы определяем интересующую нас функцию
л*)=2
П=1
(188)
Она, очевидно, непрерывна и 2тг-периодична. Нетрудно,
видеть, что частная сумма 5т[/;ж] её ряда Фурье
выражается так:
СО	J
ад; *1=3 ^М?гп‘;яф (189)
Tle=sl
Действительно, чтобы найти косинус-коэффициент
те
ак (/) =“	/ (*) COS кх dx,
—те
<190)Г
J 3]	ПРИМЕРНЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ	197
нужно умножить. равномерно сходящееся разложе-
ние (188) на совкх и почленно интегрировать. Это даст
СО
(191)
..	ПН
Умножая (191) на cosкх и суммируя от Л= 1 до к = т,
мы и получим (189). Из (187) и (189) имеем при
любых т и п:
^[/;0]>^5т[?2„з;0].	(192)
Пусть, в частности,
т = 2П*.
Так как
С Г . COS X , COS 2х ,	COS пх
то
^2«8 [?2n’’~ + т + • • • + 2^8 •
Оценим эту сумму снизу. Ввиду того что
*+i
.	I С dx
к > J х ’
к
ЯСНО, ЧТО
2п’+1	• ,
^п»192п»; 0] >	= 1П (2’‘3 + 1) > и8 In 2.
1
Отсюда и из (192) следует, что
£,пз[/;0]>п1п2,	(193)
и поэтому ряд Фурье функции f(x) расходится в точке
ж=0.
198 РЯДЫ ФУРЬЕ КАК АППАРАТ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гЛ. VII
Усложнив конструкцию, можно получить непрерывную
функцию, ряд Фурье которой расходится на беско-
нечном множестве точек. Однако до сих пор не решён
вопрос, существуют ли непрерывные функции с везде
расходящимся рядом Фурье. Небезынтересно отметить,
что ряд Фурье непрерывной функции f(x) не может
оказаться сходящимся в какой-нибудь точке х0 к сумме,
отличной от f (x0). Иначе говоря, ряд Фурье функции
из C'zv. или вовсе расходится, или сходится именно
к этой функции. Этот факт будет доказан ниже.
ГЛАВА VIII.
СУММЫ ФЕЙЕРА И ВАЛЛЕ-ПУССЕНА.
§ 1. Суммы Фейера.
Мы видели, что частные’ суммы Sn (ж) ряда Фурье
функции / (ж) С С21? могут и не сходиться к этой функ-
ции. Однако для любой такой функции, исходя из
сумм 5п(ж), можно придти к полиномам, равномерно
стремящимся к функции.
Теорема 1 (Л. Фейер [1]). Пусть / (ж) С С2л и
Sn (х)—частные суммы её ряда Фурье. Положим
_	S0(x) + S1(x)+...+Sn^(x)
Оп (X) -	-		.
Суммы ап (ж) (называемые суммами Фейера) сходятся
к f(x) равномерно на всей оси:
lim а„(ж) = /(ж).
Доказательство. Каждая сумма Sk (ж) пред-
ставляется интегралом Дирихле
те/2
| J [/ [х + 20 + / (г - 2<)) —“й"' it.
о
Отсюда
чс/2	п—1
=	«1п(24+1).>1 *
0	ЛчЦ
200	СУММЫ ФЕЙЕРА И ВАЛЛЕ-ПУССЕНА (rir. VIII
Но *)
п-1
3sin(2A + l)« = s-^,	(194)
и потому
те/2
[/(ж + 2г) + /(*-20] (якт)* 2^- (195)
о
Стоящий направо интеграл называется сингулярным
интегралом Фейера. Таким образом сумма Фейера про-
извольной функции / (ж) выражается через эту функцию
с помощью интеграла Фейера. В частности, это будет
так для функции /(ж) = 1. Но «рад Фурье» этой функ-
ции имеет вид
ОО	.	'	'
1+2о
*=i
и, стало быть, для неё все суммы 5п(ж), а с ними
й суммы Фейера оп(ж), тождественно равны единице,.
Поэтому формула (195) в применении к этой функции
даёт тождество	z
к/s
(196)
ПТ. J \ sin t J	'	•
0
Умножим (196) на / (ж) и вычтем из (195):
»п (®)-/(«)=	'
те/2
= М [/(ж + 2^) + /(ж-2^)-2/(ж)](^Тл. ' (197)
111ч )	Olli V у
Q	-
•) В самом деле, 2 sin A sin В = cos (А — В) — cos (А + В), и по-
тому
п— 1	П-1	.
2 sint 2 sin (2ft+l)t = [cos 2kt — cos (2ft + 2) t] =
fc-fl	fc~0
= 1 — cos 2nt = 2 sin’ nt,
откуда и следует (194).	v.
11]	суммй фёйерх :	./ го!
Взяв произвольное s > 0, подберём такое 5 > 0, что
при	;
| х" —х' | < 28
будет	
после чего разобьём интеграл (197) на два, распростра-
нённых на промежутки [0, 8] и ^8, ~ j . В первом из них
| / (ж + 2t) + / (х — 2/) — 2/ (ж) | < е, •
и потому в силу (196)j
| (ж +.2J) + /(ж - 2t) - 2/ (ж* (да)' dt | <
(1
Я/2
е
пк j\ sin t J 2
о
Во втором интеграле имеем
|/(ж + 2г) + /(ж-2г)-2/(ж)|< 4М,
где 'М = max | / (ж) | и, кроме того,
/sin nt \2	1
\ sin t у sin2®
Стало быть,
’ Л/2	<
Щ [/(ж + 2t) + /(Ж-2z) — 2/(ж)] (да)2^| <
1 4М к 2М
пк, sin2® 2 п sin2® ’
Значит,
Если и настолько велико, что
2М s
п sin2® 2 ’
202	СУММЫ ФЕЙЕРА И ВАЛЛЕ-ПУССЕНА	[гл. VIII
то при всех х окажется
|вп(®)-/(®)| <е>
что и доказывает теорему.
Замечания. 1) Так как ап (ж) есть тригонометри-
ческий полином, то мы получаем ещё одно доказатель-
ство второй теоремы Вейерштраеса.
2) Из доказанной теоремы сразу вытекает свойство
полноты *) тригонометрической системы в С^. В самом
деле, если функция /(ж) ортогональна ко всем функ-
циям (169), то ап(ж) = 0, а тогда и / (ж) = lim ап (ж) = 0.
3) Допустим, что функция f(x) при всех х удовле-
творяет неравенству | / (ж) | < М. Из формулы (195)
находим, что
ж/2
,	/*\ ।	2Л/ Г /sinntM
I’"WI (ж-) *•
о
В силу (196) это последнее неравенство можно пере-
писать так:
| ®п (#) | < М.
Таким образом доказана
Теорема 2. Абсолютная величина суммы Фейера
какой-нибудь функции не превосходит максимума модуля
этой функции.
Нам понадобится следующее простое предложение
теории пределов:	„
Лемма. Если переменная хп имеет предел, то пере-
менная
—	+ *2 + •  • +
Уп—	п
имеет тот же предел.
*) Такое же доказательство полноты можно дать, опираясь
на возможность равномерного приближения /(ж) интегралом
Валле-Пуссена
§ 2] НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ОТКЛОНЕНИЯ СУММ ФЕЙЕРА 203
Доказательство. Действительно, пусть
Нт хп == I.
Для произвольного в > 0 можно указать такое п0
что при п > п„
Для таких п
I Уп -11 < ----------------- +	n	’
так что, полагая
Л (в) = | ajj — 11’+ ... +| хПа—11 >
мы будем иметь
„	Л(е) . е
Если п достаточно велико, то —<-^-и
П	л	•
\Уп-1\< S-
Лемма доказана.
Сопоставляя эту лемму с теоремой Фейера, получаем,
предложение,* о котором мы упоминали в конце пре-
дыдущей главы: если ряд Фурье непрерывной, 2п-перио-
дической функции f(x) сходится в некоторой точке ж0,
то его сумма равна / (я:0). В самом деле, если его сумма
равна А, то по доказанной лемме и сумма оп (х0) должна
стремиться к Л, а так как пределом ап(хл) служит /(я0),
то Л = /(а:0).
§ 2. Некоторые оценки для отклонения сумм Фейера.
Теорема 1 (С. Н. Бернштейн [3]). Если /(х^С^
и f (х) £ Lip.w а, где 0 < а < 1, то при всех х
С„ М. . — .
1 ап (ж) — / (®) I <	,	(198)
Л
где Спостоянная, зависящая только от а.
Ш  СУММЫ ФЕЙЕРА И ВАЛЛЕ-ПУССЕНА [ГЛ. VIH
Доказательство. Воспользуемся формулой (197).
В условиях теоремы
| / (х + 2t) + / (х - 2t) - 2/ (х) | < 2l+*Mt*.
Кроме того, sin2/ > ~ t*. Значит,
ts/2
С
Но подстановка nt = z даёт
гс/2
Г sin2ni 1л
\ ~9 dt==n
с
J Z'
U
Отсюда
।	/ \	, I \ I М п Г si
(I
что и доказывает теорему. Для большей наглядности
оценим, постоянную Со. Очевидно,
Таким образом
г . «2®
Из сопоставления этой теоремы Бернштейна с резуль-
татами глав IV и V можно было бы сделать заключение,
что для функций класса Lipa при a < 1 отклонение сумм
Фейера имеет тот же порядок убывания, что и наимень-
шее отклонение. В такой форме, однако, это заключе-
ние неверно. Дело в том, что для отдельных функций
из Lipa наименьшее отклонение Еп убывает гораздо
скорее, чем п-®* Таковы, например, функции класса
Lip 1 (они и подавно входят в Lip а при a < 1). Тем не
менее, для всего класса Lip а в целом порядок убывания
§ 2] НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЙЯ ОТКЛОНЕНИЯ СУММ ФЕЙЕРА 2^5i
отклонения фейеровских сумм совпадает с порядком
убывания Еп. Разъясним это утверждение подробнее.
В § 6 главы V мы установили, что в классе Lipx а <
тригонометрические полиномы порядка не выше п лежат
с плотностью Гп(а), удовлетворяющей условию
(*99)
Положим далее
Дп(а)= sup {шах | ол (х) — /(ж)||.
/6ЫР1«
Эту величину, введённую С. М. Никольским [1],
естественно назвать мерой приближения всего класса
Lip! а суммами, Фейера. Как показано С. М. Николь-
ским, при а < 1 имеет место асимптотическая формула
где рп стремйтся к нулю при возрастании п. Из нера-
венства (198) непосредственно ясно, что при а<1
।	п
так как Гп (а) < Дп (а), то
, . Дп(«) Са
Это соотношение и показывает, что для всего класса
Lip а в целом отклонение фейеровских сумм имеет поря-
док, одинаковый с наилучшим. Однако для а = 1 это
обстоятельство не имеет места. Для этого случая спра-
ведлива такая теорема:
Теорема 2 (С. Н. Бернштейн). Для всякой 2т.-перио-
дической функции /(ж) класса LipM 1 справедлива оценка
(п>1), (200)
где А есть абсолютная постоянная.
2об	СУММЫ ФЕЙЕРА И ВАЛЛЕ-ЛуССЁНА [Гл. VIII
Доказательство. Снова пользуемся формулой
(197), которая, в силу* неравенства
\f(x + 2t) + f(x~2t)-2f (®)| <4Mt,
даёт оценку
тс/2
О
.	2
Ввиду того что sin t > — t, получаем
1t/2
। i \	± i \ i T'M C sin2nt j.
I ®n (®) - / (®) I < V J ~T~ dt-
c
Ho
тс/2	птс/2	ic/2	птс/2
j	dz+5 J=y+lnn.
C	O'	0	r/2
Если n > 8, TO lnn> у, и потому.
Т.Ц
• Г sin2nt j. ~
\ —-— dt < I In n,
0
так что*)
।	, \	* i \ । 2tcA^ In n
I®» («)-/(«)!< —-—
Порядок оценки (200) окончательный. Это показывает
Теорема 3. Пусть функция f (ж) g Сг-к в точке х0
имеет конечные правостороннюю и левостороннюю произ-
водные f+ (х0) и f'_ (ж0). Тогда
Ит {^K(xo)-/(xJ]}«/Hfo)r^>). (201)
♦) Последнее неравенство устанавливает справедливость
оценки (200) лишь для п>8. Но за счет увеличения А легко по-
лучить (200) для всех п>1.
§ 2] НЕКОТОРЫЕ оЦеЙКЙ ДЛЯ ОТКЛОНЕНИЯ СУЙМ ФЕЙЕРА 207
Чтобы доказать эту асимптотическую формулу, заме-
тим, что
lim /(aotS~/(3:jL) = A(^)-
t->+0	-4 Sint
Поэтому
/ (®0 + 2t) — f (ж0) = 2f'+ (х„) sin t + a (Z) sin I,
где a(Z) стремится к нулю вместе с t. Аналогично
/ (ж0 — 2t) — / (ж0) = — 2/1 (х0) sin t + р (t) sin t,
гДе $ (О бесконечно мало вместе с t. Из этих формул
и из равенства (197) находим
вп(®о)-/(«»)= •	,
•к/2	те/2
2 г,, ,	,, , Ч1 С sin2nt . 1 С sin2nt ,
= — [/+ (я:») —-/-	\ • т dt + — \ у (t) dt,
О/ /	\ 0/J J glnt	nJ i X / Sint
О	с
где
Т(0=7[«(0 + ₽ (01-
Таким образом всё сводится к доказательству ра-
, венств
«/2 .
цтА( 8-*?^(й = 1,	• (202)
n-к» In в J sin t ’	v >
*/2
Um ьМ тМ'тЕГ*”0- <203>
П->со 111 п О	ЫН <-
С
Первое из этих равенств устанавливается так: заме-
няем в формуле (90) t на 2t, что даёт тождество
sina nt = [sin Z + sin 3z -J- ... 4-sin (2ra — 1) Z]sin z.
Отсюда
it/2
J sint at + 3 + 5 + • ‘ • + 2и-1 ’
D
Но при A< x < k+i.	4
27c+ 1	2z-l ** 2/c-l‘
Ш	СУЙМЫ ФЕЙЕРА И ВАЛЛЕ-ПУССеЙА [гл. Vlj
Интегрируя это неравенство, цолучаем
*+i
'2й + 1^- J 2х - 1	2к-1’
к
Значит,
— 4- — 4-	4-	1 <Г
3 Т 5 Т • • • Т 2n_i \ J 2х - 1 ’
п+1
( rfa: < 1 1 1 I. |	1	
J2x-1^	^3^’"'r2n — l
1
и, стало быть,
п+1	п
С da: ^4 | 1 I. I 1	< 4 I V
J 2x-l^ 'r3‘r',''r2n-l^ ‘rJ 2x - 1 ’
1 .1
или, что то же самое,
11п(2п + 1)<Ц-1+... + 2-Ц< 1 + 4 1п(2п — 1).
Таким образом
те/2
4-1п2п<\ 4£^<1+4-1п2п,
л	J 0111 €•	*•
о
откуда и следует (202).
Так как переменная величина, имеющая конечный
предел, ограничена, то при всех п
да/2
1 Г sin2 nt . Т7
:  \  , dt<K
In п J sin t
о
(204)
где К—некоторая постоянная. Взяв произвольное е > 0,
мы можем найти такое 8 > 0, что в сегменте [0,8]
1Y (О I < ®>
। 2]
В таком случае	
я/2
I • f т(/)!^«а.|<.
Inn J * ' ' Sint |
o	*
я/2
1 f |Т(<)|»2^!Л.
1 1 ' '1 am t
s
e C sin* ni , ,
Inn J sint Inn J
O ,	8
Нетрудно видеть, что функция у(<) в сегменте
[$, f-] ограничена *): | у (t) | < А. Значит, принимая во
внимание (204):
я/2
1.1 О / . sin* nt
I In n j ' sin t
0
An
2 sin 8 In n -
1
In n
юди доказывает
^Соотношение i
и при достаточно больших п
Я/2
5т(‘)'иМ<(*+1)-.
о
теорему.
(201) можно записать в форме
t’n <Х») ~ f	= 7 I/+ - /- <М] + Рп>
где рп—величина бесконечно малая. Отсюда
> »п (®о) - / (®о) =	I/+ М - /- (%)] 4-
где tn есть бесконечно малая более высокого порядка,
*) Ибо	и, например,
. = у («о + 2t) - / (Яр) - 2/_; (а0) sin t
v '	sint
Конструктивная теория функций
210	СУММЫ ФЕЙЕРА И ВАЛЛЁ-ПУССЕНА (ГЛ. VtH
Теорема 4 (С. М. Никольский). Если f(x), оста-
ваясь 2п-периодической, пробегает весь класс Lipx 1 и
Дп (1) = sup {шах | ап (х) - / (ж) [},
то справедлива асимптотическая формула *)
А 2Inn. Inn
sr+b—>
где рп стремится к нулю с возрастанием п.
Действительно, в силу (197), имеем „
Tt/2
l»n(®)-/(*)| z (1£гг) dt>
о
так что и Дп (1) не превосходит этого интеграла. С другой
стороны, 2я-периодическая функция б (ж), совпадающая
с | х| на [— к, л], входит в Lipxl. Значит,
Дп (1) > шах| ап (ж) — 6 (ж) | > ап (0) - 6 (0) =
т./2
nn J \ Sin t J
0
Таким образом
Дп(1) = ап(0)-б(0).
Согласно (201)
„^х, Llan 'J	«	Л ’
а это равносильно доказываемой теореме.
В заключение остановимся на одном интересном
обстоятельстве. Суммы Фурье сходятся не для всякой
непрерывной функции, а суммы Фейера для всякой.
С этой стороны суммы Фейера «лучше» сумм Фурье.
Однако в отношении качества доставляемого прибли-
жения это не так. Если структура приближаемой функ-
ции очень хороша (например, она имеет все производ-
*) У С. М. Никольского [1] остаточный член дан в более точ-'
ной форме.
J 3]	.. CVMUtbl ВАЛЛЕ-ПУССЕНА	Г ?li
ные), то суммы Фурье, доставляя приближенно почти
не худшее, чем наилучшее, будут представлять эту
функцию с хорошей точностью, тем лучшей, чем лучше
структура функции. Суммы же оп (х), вообще говоря,
- 1
будут давать приближение только порядка —, и ника-
кое улучшение свойств функции' не повысите этого
порядка. Например, для функции
f (я) = 1 — cos х = 2 sin3 -J
оказывается
it/2
о_ (0) = — sin3 nt dt = — ,
n' ' ПИ J •	n
0
хотя это целая функция (т. е. разлагающаяся в степен-
ной ряд с бесконечным радиусом сходимости). Выража-
ясь несколько вольно, можно сказать, что как аппарат
приближения суммы Фейера, хотя и мощнее; но зато
и грубее, чем суммы Фурье.
§ 3. Суммы Валле-Пуссена.
/. Суммы Фурье 5П[/; х] функции / (ж) обладают тем
важным свойством, что при п > тп они совпадают с функ-
цией / (ж), если сама эта функция есть тригонометри-
ческий полином m-го порядка. Фейеровские суммы
бп [/> этим свойством не обладают, цо зато они удовле-
творяют неравенству
I [/; ®] | < max I / (^ |,
которому не удовлетворяют суммы Фурье. Вал^е-Пуссен*)
построил такие суммы (ж) = тп [/; ж], которые обла-
дают обоими указанными свойствами. Именно, он
полагает
<СП (ж) =	(х) +   • + ^an-i (я) .
’) Валле-Пуссен [3], стр. 34.
44»
2fi	СУММЫ ФЕЙЕРА»ВАЛЛЕ-ПУССЕНА [ГЛ; УЩ
Легко понять, что если /(ж) есть тригонометри-
ческий полином порядка т, то при п > т
*п [/; я] = /(ж).
С другой стороны, из определения ап(х) вытекает,
что
S9{x)+Sl(x)-\- ...+Sfo.l(x) = k<sk(x).
Отсюда
5* (ж) = (Л -И) о*+1 (х) — как (ж),
и потому
8п (®) + *$п*1 («)+••• + Stn^ (х) = 2no,n (х) — n<sn (х),
так что
тп (ж) = 2оап (ж) - оп (ж).
Из этого равенства и отмеченного выше свойства
сумм Фейера вытекает, что
I tn [/; ®] I < 3 max | / (ж) |..	(205)
Наличие множителя 3 в этой оценке существенной роли
не играет.
Теорема 1 (Валле-Пуссен). Если /(х)^Сгп, то
отклонение сумм Валле-Пуссена тл (ж) этой функции
удовлетворяет неравенству*)
N(®)-/(*)l<4£n,	(206)
еде Еп есть наилучшее приближение j(x) тригонометри-
ческими полиномами порядка < п.
В самом деле, аналогично суммам 8п(х) суммы
тп(ж) обладают тем свойством, что
[/ ~ «1 = tn [/J »] ~ tn [#; ж].
. Отметив это, обозначим через IF (ж) полином, наи-
менее отклоняющийся от /(ж) в Н^, так что
|/(ж)--IF (ж)] < Еп.	(207)
•) Читатель обратит внимание на то, что гп(я) имеет порядок
не п, a 2n —1, так что эти суммы не дают решения задачи
отыскания в полинома, отклонение которого имеет тот же
порядок убывания, что и Еп. Эта последняя задача до сих пор
ещё не решена.	ч
I 3]	СУММЫ ВЛЛЛЕ-ПУССБНА ,	!J13
В таком случае по (205) окажется
I тп [/ “	®] I < ЗЕП,
или, что то же самое,
I ТП [/» ®] хп [&> ®] I ЗЕп,
а так как
тп 1^; ®]=^(®)>
KI/jal-TGOlOE,,.	(208)
Из (207) и (208) и вытекает (^06).
Покажем одно приложение этой теоремы. В § 1 гла-
вы VII мы показали, что ряд Фурье функции ф («) = | sin х |
имеет вид
СО
2 _ 4 5", cos 2Дж
я «	• 4fta — 1 ’
к-1
Значит,
[?]«
Но
2п-1
2'tw-frfe' •
V	fflwfl
Полагая, в частности, ® = 0, находим
2п-1 со
1-К0)-«„[ф:о] -i2{ 3 цАг,} •
Каждая из сумм
2	(».“». В + 1...2п-1)
[?>
214	СУММЫ ФЕЙЕРА И ВАЛЛЕ-ПУССЕНА [гл. VIII
. больше, чем сумма
Значит,
□о
*—п+1
и, в силу (206),
*-п+1
Но в § 1 главы VII мы уже подсчитали, что
СО
SI	1
4ft’ — 1 — 2 (2m - 1) •
Значит,
да)
Об этом результате мы упоминали ещё в § 3
главы V.
Оценка (209) приводит ещё к одному интересному
заключению. Именно она показывает, что для любого
тригонометрического полинома 67 (я) не выше n-го порядка
max 11 sin ж | - (/ (ж) | > -	.	(210)
Выберем произвольный полином Т (ж) € Я£ и при-
меним (210) к
Если у9 есть то значение аргумента, при котором
достигается максимум, фигурирующий в (210), то
11 sin у91 — Т (yQ — у| > 2я (2д + ,
$ 3j	СУММЫ ВАЛЛЕ-ПУССЕНА	215
или, полагая у0~-у=«0,
11 СОЗ Жо j — Т (®0) | > 2~	+ ц •
Таким образом, какой бы полипом Т (ж) из Н? ни
взять, его отклонение от функции | cos х | больше, чем
1
2л(2п-|-1)
В частности, это так для всех чётных полиномов
п
Т (х) = 2 ск с°8*«•
*-0
Иначе говоря, при всяком наборе' коэффициентов ск
окажется
п
max 11 cos ж | - 2 с* сов | >	’
*-о
Но это предложение равносильно следующей теореме,
дополняющей теорему 5 из § 1 главы VII:
Теорема 2. Наилучшее приближение алгебраи-
ческими полиномами функции |ж| на сегменте [—1, 4-1]
удовлетворяет неравенству
Е* ( । Х । ) > 2« (2л -j- 1) ’
ГЛАВА IX.
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ.
§ 1. Понятие аналитической функции.
Проще всего определить понятие аналитической
функции было бы, используя аппарат теории функций
комплексного переменного. Однако, как и до сих пор, мы
постараемся обойтись чисто вещественными средствами.
Определение, Функция /(ж), заданная на сег-
менте [а, 6], называется аналитической на этом сег-
менте, если существует такое положительное число R,
что для всякого х0 £ [а, 6] найдётся ’степенной ряд
СО	'	;
2с*(я0)(я-®в)*,
й-С
сходящийся при | ж — ж01 < Я и представляющий функ-к
цию / (ж) во всех точках, одновременно входящих
в [а, Ь] и (ж0 — R, xt + Ry.
СО
—«»)*•
й=0
1
(Можно было бы не требовать независимости числа R
от точки ж0, но это не обобщило бы класса рассматри-
ваемых функций. Если читатель знаком с Теоремой
Бореля о конечном покрытии, то для него это вполне ~
очевидно.) Класс функций, аналитических на сег-	|
менте [a, 6], я буду обозначать через А ([а, 6]). В силу	:
элементарных свойств степенных рядов всякая функция
J !]	ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ	217
класса А ([«, Ф]) бесконечно дифференцируема, но обрат-1
ное неверно. Например, функция *) будучи бес-
конечно дифференцируемой на [0, 1], не разлагается
в степенной ряд по степеням х. Действительно, если
бы оказалось
 е * = с0 *Ь ctx -j-
то, положив г=0, мы нашли бы с, = 0. Отсюда
1 e-®"s = Ci +	+ ctx* + ...
и, перейдя к пределу при ж—>0, мы нашли бы, Что с, —0.
Подобным образом мы могли бы установить, что все
коэффициенты ск равны нулю, а это явно нелепо, ибо
е-ж~2	0 при я; =£ 0. Таким образом существование
всех производных ещё не означает аналитичности
функции: аналитические функции, вообще говоря,
лучше, чем .бесконечно дифференцируемые. При этом
аналитическая функция тем.лучше, чем больше число Л,
фигурировавшее в вышеприведённом определении. Если
R = -f. оо , то функция называется целой.
По аналогии с классом А ([а, 6]) введём следующее
определение:
:> Определение. Пусть /(«)—непрерывная, 2я-пери-
;Одическая функция. Если существует такое R > 0, что
всякому х0 отвечает степенной ряд
СО
*-0
сходящийся при | х — х01 < R и дающий при этих х
функцию /(а:):
СО
(хй)(х — Жд)*,
*-£>
♦) Для х = 0 мы уславливаемся считать в~х =0.
218 НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТ. ФУНКЦИЙ [гл. IX
то мы скажем, что /(ж) входит в класс Л2я. Если при
этом R = 4- оо, то функция /(ж) называется целой.
Класс целых 2л-периодических функций мы обозначаем
через С2те.
Всякая фуйкция класса Ain входит и в класс А ([0, 2л]).
Однако не нужно думать, что достаточно пересечь
классы А ([0, 2л]) и С2я, чтобы получить Л2я. Например,
2л-периодическая функция, совпадающая на [0, 2л]
с (х— л)а, входя в упомянутое пересечение, не входит
в Ain- Само собою ясно, что все функции из Л2я бес-
конечно дифференцируемы.
Теорема 1. Для того чтобы 2п-периодическая
и бесконечно дифференцируемая функция j(x) входила
в Ain, необходимо - и достаточно, чтобы существовала
такая постоянная А, что при всех х а всех т было
выполнено неравенство
| /(гп)0)| < 4й тт.
(2Н)
Доказательство. Пусть /(х)бЛ2т;. В силу
периодичности достаточно установить неравенство (211)
при 0 < х < 2л.
Выберем столь большое натуральное N, чтобы
оказалось
2«
Tv
R
2е
(где Я—число, упоминаемое в определении класса 4>л),
и положим
2 я .
(1 = 1, 2,..., N).
Каждой точке xt отвечает степенной ряд
2 ca(z') (х~хдк>
Л-9
сходящийся при | ж — х( | < R. В силу известных из
элементов анализа свойств степенных рядов, сходимости
g	ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ	219
эта будет абсолютная, и потому N положительных
рядов
СО
(i-l, 2, ...i N) (212)
Л-D
окажутся сходящимися. Пусть S > 1 есть число
большее, чем сумма каждого из рядов (212).
Пусть «€(0, 2л]. Тогда найдётся такое г, что
।	। R
| ж — «, | < 2е,
и при этом I окажется
СО
/(ж)= 2 с* (*/)(*-*,)*.
Л-0
Стало быть,
/<"М= 2 с* м Л (» - 1).. •(* - т +1) (х - х^-т,
Л-т
и потому
со
А=т
откуда
i/‘"w<G)"s imCG)*- -
A—m
Так как
то при х > 0
у». Ж 1
6 > т\'
Значит,
—
^- < m! < тт
220 НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТ. «ЩНКЦИЙ [гл. IX
И
। лт>(®) । < (^)”> S । ч (xt) |(4)\
Отсюда и подавно
|/<т>(«) | < s($)m тт, (214)
а так как S > 1, то
тт,
что и доказывает необходимость условия (211).
Достаточность этого условия доказывается проще.
Именно, для любых х0 и х имеем
/ (®)=2	-*.)*+-х^т-
*-=°	I
Остаточный член, в силу (211), не больше, чем
а, в сйлу (213), эта величина меньше, чем
(Ле|ж —а?0 |)т.
Если Ае | х — ж0| < 1, то эта величина стремится
к нулю с возрастанием т и, стало быть, для этих х
/(») = 2-тг1^-*.)*•
к-0
Теорема доказана.
Замечание. В целях дальнейшего отметим, что
из’ изложенного доказательства вытекает, что при
наличии оценки (211) число R можно считать не
„ 1
меньшим, чем -г-.
’Ле	,
Более того, если неравенство
1Лт)(«)| <Аттт
§ 1 ]	ПОЙЯШе АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЁ^ИИ	221
выполняется не  при всех т, а только при т > т9,
то и в этом случае можно ручаться, что ARe>l, ибо
в равенстве (215) мы с самого начала могли взять т > тй.
Так как (211) можно переписать в виде
можно
необхо-
(216)
где Мт = max | /<т> (ж) то доказанную теорему
высказать и в такой форме:
Теорема 2. Чтобы /(ж) входила в А^,
дима и достаточна *) ограниченность величины
т
Оказывается, что эта же величина позволяет уста-
новить принадлежность функций к классу С2я целых
функций.
Теорема 3. Для того чтобы 2-к-периодическая
и бесконечно дифференцируемая функция f(x) входила
в необходимо и достаточно, чтобы было
lim = Q.	(217)
т-*х> w
Доказательство. Пусть / (ж) £Возьмём про-
извольное с > 0 и подберём столь большое R > О,
чтобы оказалось
Закрепив это R и дословно воспроизводя рассужде-
ния, приведённые при доказательстве теоремы 1, мы
снова придём к неравенству (214), которое можно
записать и в таком виде:
1^2 <VS^'	/(218)
Так как (при закреплённом R) число S постоянно, то
Ит У 8 = 1
т-н»
*) Попрежнему предполагаются 2«-периодичность и неогра-
ниченная дифференцируемость f (ж).
2^2 НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТ. ФУНКЦИЙ [гл. IX
и при достаточно больших т правая часть (218) станет
меньше г, так что и величина •'(216) станет меньше а.
Итак, условие (217) необходимо для включения /(ж)
в Giif
Достаточность его так же в основном доказана
соображениями, приведёнными при доказательстве
теоремы 1. Именно, при выполнении этого условия
для любого сколь угодно малого А найдётся такое тв,
что при тп>7П0 окажется
откуда |/<т>(ж)| < Аттт и по замечанию, сделанному
в конце доказательства теоремы 1, число R будет не
меньше, чем (Ле)-1, т. е. R = 4- °° •
Обе доказанные теоремы переносятся и на случай
функций, заданных на сегменте [а, &]. Именно, почти
дословно повторяя их доказательства, мы получим
следующие предложения:
Теорема 4. Пусть f(x) есть бесконечно дифферен-
цируемая функция, заданная на сегменте [а, &]. Для
того чтобы она входила в Л ([а, 6]), необходимо и доста-
точно, чтобы её производные удовлетворяли условию
|/<m)(a;)| <Amrnm.
Для того, чтобы эта функция была целой, необходимо
- и достаточно выполнение условия
lim 'У Мт _q
№->ОО ул	*
§2. Теоремы С. П. Бернштейна о наилучшем
приближении периодических аналитических функций*
С. Н. Бернштейну [4,5] принадлежат следующие две
теоремы о порядке убывания наилучшего приближения
аналитических периодических функций тригонометри-
ческими полиномами:
j'jj	ТЕОРЕМЫ С. H. ВЕРНШТЕЙНА	228
Теорема 1. Для того чтобы 2к-периодическая
функция f (х) входила в класс Агя, необходимо и доста-
точно выполнение неравенства
ETfJXKq",	(219)
где К и q < 1—постоянные.
Теорема 2. Для того чтобы 2п-перйодическая
функция f(x) входила в класс С^, необходимо и доста-
точно, чтобы было
lim "/ВД) = 0.	(220)
П->со
Мы докажем эти две теоремы одновременно.
Пусть / (ж) G Ап- Тогда эта функция разлагается
в ряд Фурье. Обозначив частную сумму этого ряда
через 8п(х), мы будем иметь
СО
5т(/)<1йах|/(а.)_5п(;с)|< (iM+iM.
*—п + 1
Оценим коэффициенты ак и Ьк. Для этого применим
к правой части формулы
" те
1 С
аk = — \ f (х) cos kxdx
—те
т раз интегрирование по частям. Получающиеся при
этом внеинтегральные члены благодаря условию перио-
дичности исчезают, и мы приходим в зависимости от
чётности числа т к одной из следующих формул:
те
ак = ±	/(т) (ж) сов кх %х,
—те
те
«л = ± -тр- 5 /(т) (®) Sin kx dx,
-те
откуда
(224)
224’- НАИЛУЧПиВЕ ПЖБЛИЙКЕИИВ АЯ^ЙЙТ; ФУНКЦИЙ (Гл/IX: ' *
.1
Но по теореме 1 ив § 1 должна найтись такая Посто- -4
явная А, что	-
Мт<Аттт,
и потому
2Аттт
кт
Предположим, что А>2А и
т== [Й]‘ Тогда
1	1	_	2
\ к J * 2« >	~ Z XV’
22А	\.22А)
Отсюда и из (222) следует, что
где положено
д = 2^.	(223) 
Аналогичная оценка верна и для 6А, и потому при
п>2А
8gntl
1-3
Обозначим через
каждая из дробей
g.T(/)
з’ ’
^(/)<8 2 9к
i—n+l
К число; большее, чем -О- и чем
gf(/)
з1
*%.(/)
qno
где п0 — наибольшее натуральное число, меньшее, чем
2А. В таком, случае при всех п будет выполнено (219).
Итак, необходимость этого условия для включения f(x)
в А2я доказана.
Допустим теперь, что f (x)^G2n; Тогда она входит
и в Л2к, и попрежнему справедлива оценка (221). Так
как по теореме 3 из § 1
lim
КЙ8-О.
т
g 2]	ТЕОРЕМЫ С. H. БЕРЙШТЕЙНА	Ш
то, взяв сколь угодно малое А > 0, мы будем иметь
для т > пг0
Мт < Аттт.
Закрепив это А, мы для т > т0 попрежнему будем
иметь оценку (222). Предполагая А настолько большим,
что	мы снова приходим к неравенствам
\ak\<iqk,
где q попрежнему имеет значение (223). Значит, для
п > п0 = (шо 4-1) 24 окажется
со	со
Z СЫ + 1^1)<8
л-n+l	fc-n+l
и, тем более,
а
^й(7)<Гг?г’-	<224)
Но взяв произвольное е > 0, мы всегда можем найти
такое А > 0, чтобы оказалось
— 1
q = 22А < в.
Будем считать, что нами закреплено именно такое А.
Тогда закрепится и число п0, о котором шла речь выше,
так что n0 = ne(s). Для п>п0 будет выполнено (224).
Но если «>«!, то правая часть (224) меньше в (ибо
она стремится к q, когда п возрастает). Значит, если
n>W = max{n0, nJ, то
^£П7)<8,
чем и доказана необходимость условия (220) для вклю-
чения f (х) в С2я.
Перейдём к установлению достаточности условий
обеих теорем. Пусть выполнено условие (219).
Конструктивная теория функций
226 НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНД ЛИТ. ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Обозначим через Фк(х) тригонометрический полином
порядка к, наименее уклоняющийся от / (#)• Тогда
\f(x}~Tk(x)\<Kqk.
Отсюда
СО
f (х) = Т. (х) + 2	<ж) -	(*)] •
Формальное дифференцирование этого равенства даёт
ОО
/(т) И = 3 1ГИ*) - ЭД-х (Z)](m>	(225)
fc=i
(член ЭД"1) (ж) равен нулю, так как Тв (х) есть постоян-
ная).
Замечая, что
1ЭД(я)-ЭД^(*)|<|ЭД(*)-/(*)1 +
+17 И - ЭД_Х (ж) I < Kqk + Кдк~1 = Lqk,
мы можем утверждать, что, в силу неравенства
С. Н. Бернштейна (110), окажется
| [ЭД (х) - ЭД-! (ф)]^) | < LgW.	(226)
Поэтому ряд (225) равномерно сходится, и почлен-
ное дифференцирование оказывается законным. Но
в таком случае из (225) и (226) вытекает оценка
\f^(x)\<L^ kmqk.	 (227)
*=i
Теперь мы оценим стоящую здесь сумму. Для этого
продифференцируем т раз тождество
и положим x = q~.
СО
2 А (А-• • (А- т +1)	рги.
к •.«
$ 2]	теоремы с. н. бёрнштейна	22?
Отсюда, отбрасывая первые т членов, находим
Но когда А>2т, то к — т-Н>у и, стало быть,
оо
(228)
к~2т
С другой стороны, наибольшее значение функции
xm<f,
достигающееся при
т
будет меньше, чем
Поэтому
2m-1	2m-l
2	(229)
k-i	fc=l
Из (228) и (229) вытекает, что
2*"9*<т"[2И(-1^)’+(Г^5]
к=1
и, стало быть,
| Л”> «К W [2» (-jT-)"
Отсюда, в силу элементарного неравенства,
следует, что
Т| /|т)(*)1 <7/ г Г . 2g t 1
т ' L 1М ~ i —	— q i
328 НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТ. ФУНКЦИЙ [ГЛ. JX
С возрастанием т правая часть этого неравенства имеет
пределом число
___1  2?
Ing'^l —д’
Поэтому при достаточно больших т окажется
V 1/(Я,)(*)1 2 Г____1 , ? I-?
т	lng'1 —
И
_	|/С"1) (я) | < Аттт (тп > т0).
Увеличивая А, мы можем добиться выполнения
этого неравенства уже при всех т, так что f (х) С А^.
Этим завершено доказательство теоремы 1. Чтобы
закончить доказательство теоремы 2, напомним, что
согласно замечанию, сделанному в параграфе 1, число R,
входящее в определение класса Л2п, в нашем случае
может быть взято не меньшим, чем

Но если выполнено условие (220), то при
угодно малом q найдётся такое п0, что при п > п0
ET„(f)<qn.
Значит, найдётся такое К, что неравенство
E*(fj<Kq"
будет выполняться при этом q и любом п. По
ванному отсюда вытекает, что / (ж) входит в А^п, при-
чём число R не меньше числа (230), а так как это
последнее число сколь угодно велико при достаточно
малом <7, то Я =-j-со и f(x)£G2n-
(230)
сколь
дока-
§ 3. Наилучшее приближение функций,
аналитических на сегменте.
Обе теоремы С. Н. Бернштейна из предыдущего
параграфа переносятся и в теорию приближения функ-
ций алгебраическими полиномами.
Террема. Пусть f(x) есть непрерывная функция,
заданная на сегменте [а, Ь], a En—En(f) — ee наилуч-
J 8] НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ИД СЕГМЕНТЕ -	2$
шее приближение полиномами из Нп. Для того чтобы
/ (ж) входила в А ([а, 6]), необходимо и достаточно, чтобы
было
En<Kqn,	(231)
где К и q< 1— постоянные числа. Условие же
limj/K==O	(232)
П~>00	*
является необходимым и достаточным для того, чтобы
функция f (х) была целой.
Наиболее простой способ доказательства этой теоремы
основан на привлечении средств теории функций ком-
плексной переменной. Читатель, знакомый с этой тео-
рией, может найти соответствующее изложение как
в книге самого С. Н. Бернштейна*), так и в извест-
ных руководствах В. Л. Гончарова**) и Я. С. Безико-
вича***). Мы же приведём здесь чисто вещественное
доказательство этих результатов, хотя и более сложное
технически, но зато требующее от читателя меньшей
подготовки.
, Необходимость каждого из условий (231) и (232)
устанавливается довольно просто. Именно, как мы по-
кажем ниже, индуцированная функция
,]) (6) = / (b-a)cosS-Ha + b) ]
будет входить в Л2Л, если / (х) входит в А ([а, 6]),
и <|»(6) войдёт в С2я, если f(x) окажется целой функ-
цией. Но так как (лемма 1 из § 1 главы VI)
ET„W^En(f),
то необходимость условий (231) и (232) является
непосредственным следствием теорем предыдущего па-
раграфа.
*) С. Н. Бернштейн [10], стр. 75 и след.
*♦) В. Л. Гончаров [1], стр. 292 и след.
***) Я, С. Безикович [1], стр. 216 и след.
НЛИЛУЧШЕЕ ПРИВЛИЖВНИВ ДНА Л ИТ. ФУНКЦИИ [гл.
Таким образом дело сводится к установлению вклю-
чений
ф (6)6	<|) (6) б Gzn
на основании соответствующих включений для /(х).
Для этой цели напомним прежде всего, что
ф (6) = Ф (сов 6),
где
и рассмотрим ближе функцию ?.(»), предполагая, что
/(х) б л ([«,&!).
Пусть м0 и и —две точки из [ — 1, для кото-
рых | и — н01 < R, где R есть число, упомянутое
в определении класса Л ([а, 6]) и соответствующее
функции /(ж).
Если
(Ь-а)и + (а + 6)	„ _ (Ь - а) и0+(« + &)
ж —	2	» я'о---------2	’
то [ х — хй | < R и, стало быть,
/(«) = 2 cHze)(z—хв)к.
к=й
Но это равенство можно переписать и в такой форме:
откуда
со
?(w) = 2 dk(«o)(M —«аЛ
• к-0
(233)
где положено
dK{u^ = ck(xt)
j 3} НЛИЛУЧШЕЖ ПРИБЛИЖЕНИЕ НА СЕГМЕНТВ 233
Таким образом функция ф (и) войдёт в А ([ — 1,
если же f(x) оказывается целой, то и <р(ц) будет
целой функцией.
Перейдём теперь к рассмотрению функции ф(8) =
= <p(cos6). Фиксируем какое-нибудь 60 и пусть
|8—60|<&^Н. Тогда и | cos 8 — cos 601 < Я и, в
силу (233), окажется
I
ф (8) = 2 dk (с°8 8 — cos 80)к,
к=0
где положено для краткости dk = dk (cos 80).
Но из элементов анализа известно, что
сов 6 — cos 60 — 2 ai (8 — 80)*’,
i-l
(234)
так что
Ф(8)=2 ^[2а«(е-б0){]*.
k=0 i-l
Так как ряд (234) абсолютно сходящийся, то при
возведении его в степень допустимо почленное пере-
множение и, стало быть,
СО	со
[2ме-ев)-]- = 2 «рФ-е.)'.	(235)
i=l	i=k
Отсюда
со	оо
Ф(6) = 2 [3 «|А) (б-«.)']•	(236)
k-0 Ui-k
G другой стороны,
_ 1 Г d*cos6 ]
а‘~7Г L Jo-e0’
и потому
I ai I "jp*
232 НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТ. ФУНКЦИЙ [гл. IX
Поэтому модули членов ряда (234) не превосходят
соответствующих членов ряда
СО
е1 e-о» 1 — 1 = 2 I.8
i = l
Положим
со	со
i«=l	i=k
Из сказанного выше вытекает, что
I^K^-
Сопоставим с рядом (236) ряд
СО	со
2 141 [2	(237)
fc=Q ' i=k
Так как ряд
СО
2 dkzk
к=0
абсолютно сходящийся при |z[<&—-R, то ряд (237)
сходится при условии
е|О-0о1-1	(238)
Предполагая это условие выполненным, мы можем
рассматривать ряд (237)' как результат суммирования
по строкам двойного ряда
!dol +
+	+	|в-6о|24-|^|	| в —в0|3 + ...+
+1 d,lл‘а) в-в»|»+id2\а?у>।в-вор +...+
+ 1^14” |0-воР+...+
+ ...(239)
g 3] НАИЛУЧШЁЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НА СЕГМЕНТЕ ЭМ
Так как этот двойной ряд положителен, то из того
что он даёт конечную сумму, при суммировании по
строкам вытекает, что он есть ряд сходящийся.. Но
ряд (236) также есть результат суммирования по стро-
кам двойного ряда
+
+М1) (0 - 0.) +^<>(6 - 0о)2+^41)(е-ео)3 + ... +
+М2)(0 - 0»)а + d>82> (0-Л)3+••• +
+ d3a<’)(6-V + ... +
+ -.(240)
Из сказанного выше следует, что сходящийся двой-
ной ряд (239) есть мажорантный для (240). Отсюда же
вытекает, что этот последний двойной ряд есть абсо-
лютно сходящийся и потому допустимо его суммировать
и по столбцам, что сразу приводит к равенству
ОО
Ф(9) = 3 хне-боУ.	'(241)
i=Q
Так как это последнее равенство верно при един-
ственном условии (238) (из него уже автоматически
следует, что | 6 — 9в | < R) и коэффициенты от 9
не зависят, то ф(9)СЛ2я. Если же /(ж) —целая функ-
ция, то R = +'со и условие (238) не налагает на 6 ни-
каких ограничений, так что <|» (9) ббгц. Таким образом
в части необходимости высказанных условий теорема
доказана полностью.
Для доказательства достаточности условий теоремы
докажем предварительно следующую лемму:
Лемма. Если Р (ж) есть полином степени не выше п,
который на сегменте [а, 6] по модулю не превосходит
числа М, то на более широком сегменте [ав, 60], где
a0 = a — h(b~a'j, b0 — b + h(b — a),	(fo>0)
этот полином удовлетворяет неравенству
|Р(ж)|<7И (l + 2A + 2/ATfo3)n.	(242)
ЭД& НАИЛУЧШЕВ ПРИБЛИЖЕНИЙ АНАЛИТ. ФУНКЦИИ (гЛ. IX
Доказательство. Пусть-

Этот полином на сегменте [— 1, 4-1] не превосходит
(по модулю) числа М. Значит, в силу (63), при | и | > 1
)<?(«) | <2И[|и| + /»а - 1]”.
Возьмём какое-нибудь значение ж, входящее в [а0, &0]
и не входящее в [а, 6]; пусть для конкретности Ь < ж< Ьв.
Тогда
2х-(а + Ь)^ .
b-а
и
и (ввиду того, что Р (х) = Q (н)) мы будем иметь
|₽ы|<*[2-т^>+/[^55Г^Г.
откуда
IP(®) I<(jz^p[2-r — в — ь + 2/(ж-а) (ж —6)]" .
Остаётся заметить, что
2ж — а — b < (Ь — а) (1 + 2h),
(ж — а) (ж — 6) < (6 — а)2 (А + Аа),
чтобы придти к (242). Случай а0<ж<а рассматривается
аналогично, а для а<ж<6 оценка (242) тривиальна.
Смысл этой леммы заключается в возможности рас-
пространения оценки полинома с некоторого сегмента
на более широкий сегмент.
Возвращаясь к доказательству достаточности условий
теоремы С. Н. Бернштейна, предположим, что
(243)
Естественный ход мысли был бы таков: вводим инду-
цированную функцию ф(б); так как En(ty) = En(f), то из
(243) вытекает аналитичность ф (8) и остаётся заключить
отсюда об аналитичности исходной функции /(ж). Однако
этого заключения мы не можем сделать без дополни-
$ 3] НДИЛУЧШЕ^ ПРИВЛИЖЕНИЕ НА СЕГМЕНТЕ 235
тельного рассуцедения (хотя на самом деле это и так:
из аналитичности ф (6) следует аналитичность / (ж)) по
той причине, что функция аге сова; не аналитична на всём
сегменте [— 1, +1]. Это обстоятельство и вызывает
необходимость некоторого усложнения доказательства.
Введём полиномы наилучшего приближения Рп(х).
Тогда
/(®)l <Kqn	(244)
и, стало быть,
/ (*) = Р. (*) + 3 [Рп (*) - Рп-г (X)].
п=1
Ввиду того что
I Рп {X) - Рп_х (ж) Г< I Рп (Ж) - f (Ж) | + I / (ж) - Рп^ (ж) I,
из (244) вытекает, что
\Pn№-Pn-iW\<L<f,
где L = K(14- g*1). Эта последняя оценка верна для
а<ж<6.
Подберём теперь столь малое h > 0, чтобы оказалось
51 = 9 (1 + 2/г-}-2	+/г?) < 1.
Тогда На более . широком сегменте [а0, &0], где
ал = а — h(b — a), b„ = b + h(b — а),
окажется
\PAx)-Pn-i№\<Ltf.
Отсюда вытекает, что рцд
СО
Л^ + ЗЕРп^-Рп-!^)]	(245)
п-1
равномерно сходится на упомянутом более широком сег-
менте [аа, 60]. Обозначим его сумму Да этом сегменте
через /в (ж) (таким образом на исходном сегменте [а, 6]
236 НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТ. ФУНКЦИЙ [гл. IX
функция /0 (х) совпадает с первоначальной функцией
/(«)). Ввиду того что
/о (®) - Рп (®) | < 2 \Рк№ -Рк^(х)\<
k=n+l
ОО
< 2	«г.
।	к=п+1
ЯСНО, ЧТО .
*»(/.)< А «Г‘-
1	— 41
Теперь мы введём индуцированную функцию*)
ф (0) = / [ (ьо ~ ао)cos ~ (а + ь) j
т. е. (и в этом состоит основная идея рассуждения) мы
индуцируем не исходную функцию / (х), а её «продолже-
ние» f0(x). Ввиду того что Еп (9) = Еп (/0), последняя
оценка гарантирует нам, что ф (6) входит в класс Лги,
причём соответствующее ей число R удовлетворяет усло-
вию
1
/?>-
2е
+ Л1_ I ‘
In <h l-?iJ
(246)
Нашей задачей является установить, что исходная
функция / (х) будет аналитической на сегменте [а, 6].
Для этого мы сначала установим аналитичность про-
межуточной функции
<р (и) = ф (arc’cos и)
на сегменте	.
Если 6 и 60 — две точки, для которых |6 —60|</?,
то
ф(6)= sс* о») (е—<и*-
к=0
* *) Напомним, что «0 + Ь0=а + 6.
§ 3]	НАИЛУЧЩЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЕ НА СЕГМЕНТЕ	235
Отметим далее, что на сегменте £ —	]
производная функции arc cos и по модулю не больше, чем
н = fl + 2ft
2	/ * + /?’
Значит, если и и в0 — две точки, входящие в
[~гЬ’ 1+У ’ ДЛЯ К0ТОРЫХ 1и~Ио1<|> ТО
| arc cos и — arc сов «01 < R и, стало быть,
<р (и) = 2 dk (arc cos и — arc cos ив)к,
к=0
(247)
где положено для краткости dk = ck (аге совв0).
Из элементарного курса анализа известно, что функ-
ция" аге сов и будет аналитической на всяком сегменте
[— I, 4-Z], где Z < 1, причём соответствующее число R
для неё будет равно 1 — 1. Стало быть, при условии
будет
lB-“ol<W2P
arc cos a—arc cos и0 = 2 «г (и - ив){ (248)
^разумеется мы попрежнему считаем, что и и в0 входят
в сегмент Г — .	*1 А . Важно отметить, что
L 1 + 2л ’ 1 + 2 A J у	’
л __ 1 (d’ arc cosul
а,Т|_ diT< Ju-uo*
В силу аналитичности функции arc cos и на сегменте
Г 1	1	1 ч. ••	Л
I ~ 1 + 2/i' l+~2fej найДется такая постоянная А, что
| (аге совв)(О| < АЧ1
(г = 1,2, 3,	’
238 НДИЛУЧШЕЁ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТ. ФУНКЦИЙ [Гл. 1Х
откуда
1«/|< А'^<А'е1~В' (В = Ае).
Отметим сразу же, что постоянная В уменьшается
при увеличении h. Из последней оценки следует, что
ряд (248) мажорируется геометрической прогрессией
со
Зв'|в- U.IS	(249)
i—i
которая при В j и — «01 < 1 сходится к сумме
Д |а —Ир|
1 - ВI и — ив I *
В силу абсолютной сходимости ряда (248) его можно
возводить в степень при помощи операции почленного
перемножения. То же относится и к мажорантному ряду
(249). Таким образом
со
(arc cos и — arc cos и0)к — 2	(« — ««)/	(250)
i=k
I < грй) >
(25‘)
(В|и —в0| < 1),
причём
Допуская, что |м—и0| меньше каждого из чисел
> 4, мы из равенства (247) находим
п * “г ^/1	**
оо	со
? («)=2 dk [ 5 a(ik) («“».)']’	(252J
k-0	i-fc
Для этого ряда мажорантным будет ряд
3|4Г[ 3	-.I1] •	12531
k-0 L i-k
§ 3]
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НА СЕГМЕНТЕ
239
Заметим ещё, что ряд
(254)
2^*
fc=0
сходится абсолютно при | z | < R. Значит, допуская
в I и-Ц0|
мы можем гарантировать сходимость положительного
ряда (253). Отсюда, рассуждая совершенно так же, как
при доказательстве права перехода от равенства (236)
к равенству (241) (т. е. с привлечением двойных рядов),
мы убедимся, что равенство (252) можно переписать
в форме
? (в) = 2 (» ~ ««)*>	(255)
к=0
где коэффициенты не зависят от точки и. Отметим,
что равенство (255) нами доказано при условии, что
I» Bol < Р —mln > 1 + 2Л ’ в ’ В(1 + Я)}	'
Итак, аналитичность функции <р (и) на сегменте
[—ГТ2Л’ 1^2*] нами установлена. Перейдём теперь
к нашей основной функции /(ж).
Выберем в [а, 6] две точки х и ж0 и положим
2х—(аЦ-Ь)	2х0 —(а + Ь)
U~ ba-a0 ’ U<>- Ъй-аа ’
Легко видеть, что эти числа падают в сегмент
[-fTTvrnd’ причём	Зна'
чит, если
’	।	t
JL2-J!P»
*) Четвёртое из этих чисел появляется из оценки (254). Заме-
R	1
тим ещё, что д < 1, и потому можно устранить число -g-.
•240 НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТ. ФУНКЦИЙ [гл. IX
то (поскольку /(ж) = «р(и)) равенство (255) даёт, что
чем и доказана аналитичность функции / (ж). Таким обра-
зом мы установили, что условие (231) достаточно для
аналитичности функции /(«).
Предположим теперь, что выполнено условие (232).
В таком случае мы можем считать, что условие (231)
выполняется при любом сколь угодно малом q. Но тогда,
взяв заранее сколь угодно большое h, мы можем по нему
подобрать столь малое д, чтобы число
91 ~ Q (1 + 2й + 2 h + Ла)
оказалось сколь угодно малым. Сделав это, снова пост-
роим функции /„(я) и ф(0). Как и выше, функция ф(6)
окажется аналитической, причём соответствующее ей
число R должно будет удовлетворять неравенству (246)
и потому может считаться сколь угодно большим (неза-
висимо от выбора h\). Отсюда мы снова придём к пред-
ставимости функции f(x) рядом (256) (причём этот ряд
не связан с выбором числа h, ибо разложение функции
по степеням х — х0 возможно лишь единственным спо-
собом). Для сходимости ряда (256) мы должны наложить
на х условие, чтобы было |ж — х„ | < — ~а?р, или, по-
дробнее, чтобы разность \х — х0| была меньше каждого
из чисел
в1=3^Ч£(1 + 2/1)- «« = (&-a)h,
R Ъ-а
U»~ B(l + R)' 2 (1 + 2А)-
Но так как и R и k независимо друг от друга могут
быть ВЗЯТЫ СКОЛЬ угодно большими, ТО И Bj и в2 тоже
могут считаться сколь угодно большими. Наконец, ввиду
того что
v 1 + 24
lim —~ = + оо
h —КГГЧ
§ 3] НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НА СЕГМЕНТЕ 241
(ибо В не возрастает при увеличении Л), число Ua тоже
может считаться сколь угодно большим. Таким образом
числа (257) не накладывают на х никаких ограничений,
так что ряд (256) сходится при всех х и представляет
/(я) при а<ж<6, а это и значит, что /(я)—целая
функция.
Теорема С. Н. Бернштейна доказана полностью.
Интересно сопоставить эту теорему с результатами
§ 3 главы VI. В то время как упомянутые результаты
позволяли охарактеризовать структурно-дифференциаль-
ные свойства функции лишь внутри интервала (а, Ь),
последняя теорема даёт характеристику функции на всём
сегменте [а, 6]. Причина этого обстоятельства состоит
в том, что оценка Еп < Kqn обеспечивает достаточную
малость членов .ряда (245) не только на исходном сег-
менте [а, Ь], но и в более широком сегменте fa0, i0],
оценки же вида
Е < —
" пР+«
такой информации нам не доставляют.
Отметим далее одно следствие теорем С. Н. Берн-
штейна, которое уже было вскользь упомянуто выше:
Следствие. Пусть f{x) есть функция, заданная
на сегменте [—1, +1]. Если индуцированная функция
ф (6) = / (cos 6) оказывается аналитической, то и исход-
ная функция f (х) была аналитической на всем сегменте
[ — 1, +1].
В самом деле, En(f) = Е„(ф). Из аналитичности же
ф (6) вытекает, что Е„ (ф) < Eqn. Значит, Еп (/) < Kqn
и / (®) — аналитическая.
Наконец, приведём точную формулировку результата
С. Н. Бернштейна в терминах теории функций комплек-
сного переменного:
I. Если наилучшее приближение функции / (х) класса
С ([«> 6]) таково, что
Нт У En(f) = ±
16 Конструктивная теория функций
(Я> 1), (258)
242 НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТ. ФУНКЦИЙ] [ГЛ. IX
то f(x) голоморфна*) внутри эллипса с фокусами в точ-
ках а и Ь, сумма полуосей которого равна —^—R, и имеет
особую точку на его контуре.
II. Если f(x) голоморфна внутри эллипса с фокусами
в точках а и Ь и имеет особую точку на его контуре,
то её наилучшее приближение полиномами на сегменте
[а, Ь] удовлетворяет условию (258), где Ь-^ R есть сумма
полуосей упомянутого эллипса.
*) Точнее: существует функция комплексного переменного
с указанными свойствами и такая, что её значения на [а, Ь] со-
впадают с / (ж).
ГЛАВА X.
СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ
АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ.
В главах VII и VIII мы исследовали свойства рядов
Фурье, а также сумм Фейера и Валле-Пуссена как
аппаратов приближения. В этой главе я хочу остано-
виться ещё на некоторых аналитических аппаратах для
приближённого представление функций.
§ 1. Разложения по полицрмам Чебышева.
Результаты, полученные нами при изучении рядов
Фурье, легко трансформируются в соответствующие
результаты относительно разложений функций в ряды,
расположенные по полиномам Чебышева Тп (х). В основе
такой трансформации лежит следующая простая лемма:
Лемма. Если 2п-периодическая, непрерывная функ-
ция ф (6) оказывается четной, то её коэффициенты Фуръе
имеют вид
(259)
о
•к
ф (6) cos A0d9,
Доказательство основано на том, что каждый из коэф-
фициентов А, ак, Ьк представляется соответствующим
интегралом, распространённым на сегмент [—к, к]. Раз-
бивая этот интеграл на два, распространённых на [-it, 0]
16*
Щ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
и [0, те], и производя в первом из них подстановку
б = —б', легко получить формулы (259).
Отсюда вытекает
Теорема. Если функция /(ж) класса С([—1, Н-1])
удовлетворяет условию Дини — Липшица
lim о) (8) In 8 = О,
8-И)
то она разлагается в равномерно сходящийся ряд по
полиномам Чебышева
f(x) = A+^akTk(x),	(260)
&=i
где
4-1	+1
Л1 С f(x)dx	2 с ,, к ггу , ч dx
= - \ 	, ak = —\ f(x)Tk (ж) -Т7.- -.Т г.
При этом частные суммы ряда удовлетворяют нера-
венству
|Sn(a)-/(z)|<(3 + lnn)£n(/)	(п>2). (261)
Доказательство. Положим
ф(б) = /(сов б).
Тогда по лемме 2 из § 1 главы VI окажется
<1>Ф (8)<<dj (8),
и функция ф (6), удовлетворяя условию Дини—Липшица
(184), разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье
ф (б) = А + 2 ак cos	(262)
к-1
частные суммы которого удовлетворяют неравенству
Лебега (180).
Подставляя сюда сое б = ж, получаем
СО
/(ж) = л+2 аА(ж)-
к-1
§ 2] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ БЕРНШТЕЙНА 245
При этом подстановка 6 = аге сое х даёт
” J т '	" J 1/1 - ж3 •
О	-1 г
Аналогично устанавливается выражение ак. Наконец,
ввиду того что Еп (ф) = Еп (/) (глава VI, § 1, лемма 1),
неравенство (180) переходит в (261).
Следствие. Если /(х) имеет производную /'(я:),
причём
то она разлагается в ряд (260), причём
1‘ЗД-/(*)1<^ЧЗ + 1пп).
Действительно, по теореме Джексона
§ 2. Некоторые свойства полиномов Бернштейна.
Здесь мы дополним те сведения о полиномах Берн-
штейна Вп(х), которые были изложены в главе I.
Теорема 1 (Т. Поповичиу). Если / (ж) £ С ([0, 1]),
а Вп(х) — её полином Бернштейна, то*}
1#п(«)	•	(263)
Доказательство. Пользуясь формулой (15),
находим
п
вп (х) - / (ж) I < 2 | /	) - / (®) I <^к (1 “ ^п'к’
к-0
Но, в силу неравенства ® (Х8) < (X-ф* 1) ® (3), имеем
*) Поповичиу [1], Кац [2], И. П. Натансон [7].
246 СВОЙСТВА- НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
Стало быть, на основании тождества (1)
|я„ (*)-/(*) К
IX" 2 ^-^^(i-^+i]. (264)
С другой стороны, применяя неравенство Буняковского
(71), имеем
[2 | ~—ж)п-*12<
л=о
п	п
< [ 2 (4 - хУ с^к с1 - xY~k 1 • [	,
*=0	fc=0
откуда, в силу (1) и (10),
п
-Ж|С^(1-«)П-*<Х=-	(265)
*-о	' п
Из (264) и (265) и следует (263).
В частности, если / (ж) g Lip^ а, то
2 У п*
Эта последняя оценка была независимо от Т. Поповичиу
найдена М. Кацом [1], который показал, что её порядок
улучшить нельзя. Таким образом полиномы Бернштейна,
давая приближение любой непрерывной функции, в смы-
сле точности приближения являются довольно плохим
аппаратом. Это последнее обстоятельство можно с осо-
бенной наглядностью проследить на следующем резуль-
тате:
Теорема 2 (Е. В. Вороновская [1]). Если у огра-
ниченной функции /(ж) в точке х существует конечная
вторая производная f"(x), то
ад=/т^м1-*)+^,	(266)
где рп стремится к нулю с возрастанием п.
§2) НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ БЕРНШТЕЙНА 247
Доказательство основано на некоторых вспомогатель-
ных предложениях.
Лемма 1. Полиномы
8т {х} = 2 {к - пх)т Скпхк (1 - х)п~к	(267)
к-й
(zn=O, 1,2,...)
связаны рекуррентной формулой
(«) = ж (1 — ж) [SJn (ж) + nmSm^ (ж)].	(268)
В самом деле, дифференцируя Sm(x), находим
ад =
= 2(А—nx)m~1 Cknxk~l (1—х)п~к~1 [—птх (1—ж)4-(&—пх)г].
*=о
Отсюда
8'т (ж) = - nrnSm^ (ж) + 2 (к - пх)™ Скхк^ (1 - ж)"'*’1
и, следовательно,
х (1 — ж) S'm (х) = — птх (1 — ж) 5т_! (ж) + 5т+1 (х),
что равносильно (268).
Лемма 2. Полином Sm(x) представим в форме
[Я
8щ (®) = 2 ^т, i (х)
i=0
где Ат, i (ж) суть некоторые полиномы, не зависящие от п.
Лемма верна для т = 0,1,2, что непосредственно
вытекает из тождеств (1), (8) и (2). Допустим, что она
доказана для 7и<г.
Тогда, в силу (268),
да г-д
5г+1 (®)—35 (1 х) Г 2	пг 2 ^r-i» < (®)^ 1 >
U i-0
248 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [г/ X
и остается заметить, что
Следствие. На сегменте [0,1]
I Sm(x) \<К(т) пМ,	(269)
где К (т) есть постоянная, зависящая от т, но не
от п.
Лемма 3. Если 8>0 и Д(ж) есть множество тех
к из ряда 0, 1, 2, ... , п, для которых
то при любом т
Spk/rkH „\п-к
1&(х)
В самом деле,
2 с* ж\(1
/<=0
и лемма следует из оценки (269).
Полагая, в частности, т = 3 и 8 = п~г^, находим
2 С№(1-ху-*<^..	(270)
| 7ГХ |>и-1/4
Теперь можно вернуться к теореме Е. В. Воронов-
ской.
Из существования конечйой /"(«) вытекает
/ (0 “ / (®) + f (*) (*-*)+[ ^+* (0 ] (t - ху,
где k(i) стремится к нулю вместе с t — х.
Отсюда
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ БЕРНШТЕЙНА 249
Подставляя эту величину в выражение полинома
Бернштейна и принимая во внимание тождества (1)
и (2), находим
Вп(х) = Цх)+х-^Г(х) + гп,
где
(4) (4 - *)’с**к с1 -*)”-*•	<271)
;с-о
Выбрав е > 0, подбираем столь большое п, что при
\t—x \ <.п~г1* будет | к (t) | < s. При таком п разбиваем
сумму, выражающую гп, на две суммы: 21 и от-
I к I
нося в 21 те слагаемые, для которых — — х
а в 2а все остальные.
В силу неравенства (10) будет
С другой стороны, функция X (<) (t~х)2 ограничена,
и если М верхняя граница модуля этой функции, то,
в силу (270), окажется
|У
I ^2 । , ,	,	У П3
| --Х |>П-’/4
Итак, при достаточно больших п
✓	* Y п
Если же п подчинить ещё условию,
МК(&) . 3	*
то окажется :
nr,J < е, ,
так что пгп есть величина, стремящаяся к нулю.
Остаётся обозначить её через рп, чтобы придти к (266).
Эта формула показывает, что Никакое улучшение свойств
25tf СВОЙСТВА'НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл.'Х
функции /(ж) не даст для полиномов Вп(ж) более вы-
сокого порядка приближения, чем — (исключая случай
линейной функции /(ж), для которой полиномы Вп(ж)
при п > 0 просто совпадают с ней).
Довольно близко по методу доказательства к теореме
Вороновской стоит следующее предложение:
Теорема 3. Если у ограниченной функции /(ж)
в точке ж имеется конечная производная f(x), то
lim BA (ж) = /' (ж).
П->00
Доказательство. Предполагая 0<ж<1, мы
можем записать производную В„ (ж) в виде *)
п
В'п(х) = 3 /(|) (А-пж)С*жк-1
л=о
откуда
п
В'п = х(1-х) 2 f (т) (k ~ ПХ^ CnXk(l— х)п~к.
Заменим здесь f по формуле
/(!)=/«+
где k(i)—>0 при t—*x. Если принять во внимание
тождества (8) и (2), то мы сразу получаем •
п
(*) = /' И +	2 (£)(*- ПХУ СпХк(1-х)“-*,
' к=0
•) Чтобы воспользоваться этой формулой для а:=0илих = 1,
нужно предварительно произвести перегруппировку слагаемых,
-ибо иначе Мы встретим слагаемые вида О-1. Здесь мы сталки-
ваемся с тем же обстоятельством, как и в случае равенств
11	1	•
1е=1+ ------иди t = s • —, которые формально теряют смысл
X £	$
при 1 = 0,
$ 2J НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ БЕРНШТЕЙНА 251
или, если воспользоваться обозначением (271),

И теорема вытекает из того, уже доказанного факта,
что пгп—>0.
Случаиж = 0 или ж = 1 исследуются гораздо проще.
Например, для ж=0 мы переписываем Вп(х) в виде
В4(ж)=-п/(0)(1-ж)"-1 + /(1)п(1 -пж)(1 -ж)п-’ +
п
+ 3 / (4 ) (* - пх) скп х^ (1 - ж)"-*-\
к-2
откуда сразу получается
54(0) = п[/(1)-/(0)]->/'(0).
Доказанная теорема имеет чисто локальный ха-
рактер.
Существует сходное утверждение нелокального ха-
рактера:
Теорема 4. Если /(ж) всюду на [0, 1] имеет, не-
прерывную производную f (ж), то Вп(х) стремится
к f (х) равномерно.
Для доказательства представляем Вп{х) в форме
П-1
Вп (х) = / (0) (1 - ж)" 4- 2 /	Ск ж* (1 - х)"-* + / (1) ж".
Отсюда
п-1
(ж) = - п/ (0) (1 - ж)"-1 + 2 / (4) кхк-г (1-ж)1^-
к=1
п—1
- 3 / (£)	(« ~ *) ** (1 - х?-*-1 + п/ (1) хп'1,
к-1
252 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. Ж
ИЛИ
В'п (х) = 2 / ( £ ) Сп кхк-1 (1 - я)"-* -
-^f^ck(n-k)x^i-xy-^.
/с=0
Если в первой сумме ввести новый индекс сумми-
рования i ~ к — 1 и снова обозначить его через к‘, то
получится
Вп(х) = 2 [/ Vе + £"+1 ~
-	(П- *)С*]аЛ(1-*)'1-1-*.
Но
(к + 1) Ck+l = (п-к)Ск = пСкп
Значит,
в; (х)=п 2 [ / (^) - / (|) ] ск^ (1 - Ху-'-
к=а
Так как производная /' (ж) существует всюду на
[О, 1], то можно воспользоваться формулой Лагранжа,
по которой
Таким образом
5А (х) = 2 /' (4n)) Ck-i х* (1 -ху-'-ь.
*=о
Если мы перепишем это выражение так:
В'п (X) = 2 Г (Сп-1 (1	+
к=0 ,
• +2	с^;жч1-*)п-1л (272)
к-0 U
§ 2] нёкотоЕые Свойства полиномов бернштейна 253
то первая сумма представит собой полином Бернштейна
(п—1)-ГО----------------------—----------------
Житься к
порядка для производной /'(ж) и будет, стре-
/' (х) равномерно на [0, 1]. С другой стороны,
й (п) й 4~ 1 й й й 4~ 1
7» z* <_ п , п ч. п _ ।	д ,
и потому
1г(")___»_|<1
| * п — 11 п ’
откуда, обозначая модуль непрерывности /' (х) через
(Dj (8), находим
(273)
и, стало быть, вторая сумма в (272) не больше, чем
ч>1 (^-^, и равномерно стремится к нулю.
Остановимся ещё на одном свойстве полиномов
Бернштейна:
Теорема 5. Если функция /(ж) есть полином сте-
пени т, то при п>т её полином Бернштейна Вп(х)
имеет степень т (а не и).
Очевидно, достаточно доказать, что это так, когда
/(ж) = жт, а это в свою очередь сводится к установле-
нию того факта, что
2 kmC*xk(l-x)n-k
*=о
при есть полином степени т.
Но если тождество
п
2c*z*=<1+z)n
*=0
подвергнуть  т раз операции дифференцирования и
последующего умножения на z, то слева окажется
п
А’я«0
ш СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
В правой же части получится полином попрежнему
степени п, но делящийся без остатка на (1+ «)"“’’’ (это
проверяется индукцией по т).
Значит
п
к=0
Полагая z — -—^. и умножая на (1 —ж)п, получим
слева (273), а справа
т. е. полином степени т.	\
Следствие. Если полином Бернштейна Вп(х),
построенный для функции х"1, обозначить черезВп\т(х),
то равенство
п->оо
будет верно для всех вещественных х.
В самом деле, это равенство выполняется для [0, 1],
а тогда дело сводится к замечанию, сделанному в § 1
главы II.
Опираясь на это предложение, можно доказать сле-
дующую теорему:
Теорема 6 (Л. В. Канторович [1]). Если /(х)есть
целая функция, то её полином Бернштейна Вп(х) схо-
дится к ней на всей оси.
В самом деле
со
/GO —S **»*’’"*	(274)
Причём ряд направо сходится абсолютно на всей оси.
Отсюда
СО
ВЛ^^стВп,М.	(275)
jii"Q

j 2] некоторые свойства полиномов берйщтейна 235
Каждый член ряда (275) с возрастанием п стремится
к соответствующему члену ряда (274). Поэтому доста-
точно показать, что (при фиксированном х) ряд (275)
сходится равномерно относительно и.
С этой целью заметим прежде всего, что
I Вп, т(х) I = | 2 (4У Ск хк (1-Ж)"-* | <
х '	А=0 4
п
< 2 с* ич1+иг* м2 и+if-
к=0
Поэтому при п<2ти
I Вп,т(х)\<(2\Ж| + 1)3т.
G другой стороны, коэффициент при хТ в выражении
п
Bn, т (X) = 2 (4)m Xk(i~xr-k =
*=0 4
п	п—к
*=0 4	1=0
равен
*=о 4
или (так как СкСГп-к — СгпСг)
^ = ^£(-1)г~*АтС*. •	(276)
*=о
При этом мы можем считать, что г<тгг, ибо более
высоких степеней х в составе Вп,т(х) нет. Из (276)
следует, что
к-О
s £
256 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЙИЖЕЙИЯ [ГЛ. X
и, следовательно,
.	2V
Г | пт ^п-
Если п>2тгг, то при г<ти будет	и потому
ы<
лш ьл.
Так как
Вп,т(х)—^о + ^1Ж+ •••
ТО
|£пи*)1<(™ + 1)^спи + 1)т.
Но
pm _ »(n — 1) ... (п —т-Ц) пт
п	т\	т!
Стало быть,
и, тем более (см. (213)),
|£n,m(*)l < (™ + l)2mem(|ж| + 1)т.
Но т + 1 < 2т и окончательно для и > 2т
\Вп,т(х) I < [4f(И + 1)]т.
Обозначив через А большее из чисел (21 ж |1)а и
4е(|ж|4-1), мы будем иметь уже при всех п
\Bn,m(z)\<Am.
Значит, ряд (275) мажорируется сходящимся рядом
СО
2 к ит>
7П-=0
члены которого не зависят от п. Теорема доказана.
Заметим, что, как это видно из приведённого доказа-
тельства, сходимость оказывается равномерной в любом
сегменте [-Я, +Я].
§ з] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ВАЛЛЕ-ИУССЁНА 257
§ 3.	Некоторые свойства интеграла Валле-Пуссена.
В этом параграфе я изложу некоторые результаты
своих работ, посвящённых свойствам интеграла Валле-
Пуссена.
Теорема 1 (И. П. Натансон [7]). Если f(x)—функ-
ция класса Сгп с модулем непрерывности со (8), а
-Я
—ее интеграл Валле-Пуссена, то при всех х
(277)
Доказательство. Легко видеть, что
x-f-it
''.(•НМ-Дпя 5
Х“«
Но
!/(О-!*-«!)»
а (в силу неравенства <о (Х8)< (X + 1)ш(8))
<o(|i—х | )<(R—х Ц/й-Ь 1)<о^=) .
Таким образом
x+it
Если в последнем интеграле сделать замену переменной
^приняв за новую переменную и учесть равен-
ство
«/8
-и/2
17 Конструктивная теория функций
258 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [Гл. X
то мы найдём, что
/(*)!<
_л/2
-it/2
Рассмотрим выражение
Г (2ft)!!	12	2-4 4-6	(2tt-2)-2n2
L(2n—1)1! j 32 5»”’ (2n — l)a П'
Так как каждая из дробей, написанных здесь, меньше
единицы, то
(278)
С другой стороны,
Tt/2	ть/2
1t1 cos2n t dt = 2 t cosan t dt.
-л/2	0
Поэтому
|Fn(a)-/(a)|<
Tt/2
<Г1+—UcosanZ^'la)	(279)
L ” J	J г n /
Q
Остаётся оценить последний интеграл. Так как при
О < f < у
£<ysiiU,
то
те/2	7t/2
( t coean t dt < -у cos3" t sin tdt —
о	0
= 4 (	=	< T- • (280)
2 J	2(2n + l) 4n A '
0
Сопоставляя (279) и (280), мы и получаем (277).
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ВАЛЛЕ-ПУССЕНА 259
Следствие. Если /(a)£LipMa, то
(281)
у
Замечание. Порядок оценки (281) улучшить нель-
зя. Действительно, приняв за /(ж) функцию |sinх|’
(нетрудно показать, что она входит в Lipa), мы будем
иметь
о
Отсюда
2
о
или
1
^п(0)>	sin® 2tcos-ntdt.
п\ f (2п—1)11 л J
О
Но, при п > 1 будет —L= < £-, так что в проме-
у п *
жутке интегрирования
sin 2t > —I
к
и
1
УТ?
О
где Л —некоторая постоянная, зависящая от а.
Так как
Г (2п)|! *12	22 4а	(2п —2)2	2п ?
L (2п — 1)11 J — 1-3 ’ 3-5 ’ ’ ' '(2n-3j • (2п— 1) 2п -1
и каждая из написанных дробей больше единицы, то
СМИ
(2п —1)1! > У
17*
260 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл- X
откуда
_й
vn (0) > А V п ta cos’n * dt,
о
где Aj — некоторая новая постоянная.
С другой стороны,
cos t > 1 -- у.	(282),
В самом деле, если t > 0, то функция
? (г) = cos t + у
возрастает, ибо </(£) = £ — sini > 0. Поэтому при £>0
будет <р(г) > <р(0) = 1, что и доказывает неравенство
(282) для положительных t, поскольку же обе части
его суть чётные функции, то оно верно всегда. Таким
образом
1
У~п
Vn(0) > А, V п (1 - £)2n dt.
Наконец, отметим известное в анализе неравенство '
Бернулли,
(1 + х)т > 1 + тх,
справедливое при всех х > — 1 (что легко доказывается ’
индукцией по т). Применяя это неравенство, находим
1
7п(0) > А,)/и «“(1—nt2)dt,
о
откуда, вычисляя интеграл,	*
^(0)>^г<^(йГ-*(йП=й. ’ 
где Аа—положительная постоянная.
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ВАЛЛЕ-ПУССЕНд 261
Таким образом порядок оценки (281) окончательный.
Этого нельзя сказать о постоянном коэффициенте 3,
входящем в эту оценку.
Именно, справедлива
Теорема 2 (И. П. Натансон [9]). Если
Un (а) == sup {max | Vn (ж) — / (ж) |},
где /(ж), оставаясь 2к-периодической, пробегает весь
класс Lip а а, то
С7п(а) = -£=Г	,	(283)
У нп* \ 2 z у и«
где рп стремится к нулю с возрастанием п.
Мы докажем эту теорему для частного случая а = 1,
когда формула (283) принимает более простой вид:
tfn(l)e 2 +Ж.	(284)
У пк у п
Если / (ж) € LiPi 1, то
X—к
_ (2n)!l	1 f j #| ап ( 4,
~ (2п-1)П 2« } 1*1 COS 2at-
-те
Поэтому и £7„(1) не превосходит этого интеграла.
С другой стороны, 2те-периодическая функция 8 (ж), ко-
торая на [—к, те] совпадает с | ж |, входит в Lipa 1. Для
неё оказывается
-те
а так как (7П(1)> 7п(0)—6 (0), то справедливо точное
равенство
—те
те/2
twf'tdt'
(2п— 1)11 те J
о
262 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
Отсюда
w/2	it/2
= /9^ПГш	“	Г sin * * cos2” t dt + ( (t~sin t) cos’” t dt 1
(Zn — 1)!I	те-	L	J	J	J
о	0
и, стало быть,
UnW = (2^-1)!! « Gdpi + Tn) ’	<285)
где положено
«/2
тп=	(t—sin ?) cos”1? dt.
0
Если 0<?<-y , to*)
0< t — sin t < 4- < Г5 sin’t.
o 4o
Поэтому
n/2
0 < to < sin8? COS2" t dt=-—;——rs; <	• (286)
° 48 J	24 (In 4-1) (2n + 3)	96na '	'
В силу (278) мы получаем из (285) и (286)
П тт	___ (2п)1! 4	1 п1
v^vnVij (2п_1)П „ 2п + 1	12	.
Таким образом
С другой стороны,
w/2	Tt/2	lt/2
cos2n+1?d?< cos2n?d?< С cos”1-1 tdt.
ООО
Iй
*) Мы видели, что cos t > 1 —— . Значит, функция
t3	1
sin t —1 + —возрастает, и при I >0 она положительна.
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ВАЛЛЕ-ПУССЕНА 263
Средний интеграл был нами уже вычислен (см. (19)),
крайние находятся тем же методом, и мы получаем
(2л)!!	^(2п-1)!! п ^(2п-2)!!
(2п + 1)1!< (2п)1! 2^(2»-1)11 ’
Отсюда*)
(0<в.<1),
и потому
тт (л \_]/~2n + fln 4	, р»
п{ } 2п + 1
что равносильно формуле (284), так как
|^2п 4-6п 4_____________2 _ р,
2п + 1 у 2^ у/п ’
где р* стремится к нулю с возрастанием п.
Изложенные результаты показывают, что интеграл
Валле-Пуссена, несмотря на свою общность (он равно-
мерно приближает любую непрерывную функцию!),
доставляет, так же как и полиномы Бернштейна,
и суммы Фейера, сравнительно плохую точность при-
ближения. При этом никакое улучшение структурных
свойств функции не приведёт к ошибке, меньшей,
4
чем — . Это видно из следующей теоремы:
Теорема 3 (И. П. Натансон [7]). Если у функ-
ции /(«) класса С%г, при некотором х существует конеч-
ная вторая производная f (х), то для этого значения х
справедлива формула
К(^)=/(гс)+^)+^ ,
еде Рп стремится к нулю с возрастанием п.
Доказательство. Рассмотрим отношение
/<0 — /(ж) — (a?) sin (t—x)
sina (t — x)
(287)
*) Эта формула называется формулой Валлиса.
284 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
, Когда t приближается к х, то это отношение при-
нимает вид неопределённости . Раскроем эту неопре-
делённость методом Лопиталя (допуская существование
второй производной в самой точке х, мы тем самым
допускаем существование первой в некоторой окрест-
ности х). Дифференцируя числитель и знаменатель
отношения (287), получаем
f (t)—f cos (t — ж)
2sin(i—®)cos(t —®) '
Так как эта дробь очевидным образом стремится
К уf (х), тс и
/ (0-/(»)-/'(я) sin (*-®)__ 1
-------ibiTtzrj) ;
где а (<) стремится к нулю вместе с t—х. Отсюда выте-
кает некий аналог формулы Тэйлора
/ (0=7 (*) + f (х) sin (t-x)'.+
+ 4- /" (х) sin3 (f—x) + a (t) sin3 (t—x).	(288)
it
С другой стороны, мы ещё в первой главе имели
такое выражение для интеграла Валле-Пуссена:
«/2
Г«(х) = (2^Ж7 i {/(® + 2f) + /(aJ-20}cos3nfdz. (289)
о
В силу (288), мы имеем
/(« + 20 =
—f (х) + f (ж) sin 2t + f (x) sin3 2t -}- a (x + 2t) sin3 2t,
f(x—2t) =
— / (xj—f (x1) sin 2t + у /’ (x) sin3 2t + a (x—2t) sin3 2t,
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ВАЛЛЕ-ПУССЕНА 265
Отсюда и из (289)
^(Sjn 7 $ I2/ № + f" &si“a 2t + ₽ & sin’ 2zI cos’n *dt’
0
где
p (Z)=a (x + 2t) + a (x—2f)
стремится к Нулю вместе с t.
В силу (19), имеем
Vn (x)~f (Ж) + JgIL ££> $ sin2 2t cos2" t dt +
о
+ (£rnii I $ rwsin’aoos»,*. (290)
Ho’
Л/2	n/2
sin2 2£ cos’”	(cos2n+2f—cos2n+4f) dt
о	о
и, в силу (19), будет
л/2
58и-2(о»8»,Л=[21±11!!_<^]2«. (291)
О
Значит, равенство (290) принимает вид
>»W-/W + ^g$5 + ’»-
где положено
л/2
т"=-(£^й Н₽ w sin*2t 1 dt-
о
Ввиду того что
1 2п + 1__________ 1	5/1-1-4
п+2 2п + 2 п	/г (/»4- 2) (2и + 2) ’
266 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
ясно, что для завершения доказательства достаточно
проверить справедливость равенства
lim(nt„)=0.	(292)
п-хзо
С этой целью возьмём произвольное в > 0 и Найдём
такое В > О, что в сегменте [О, В]
1₽(01о
Тогда из равенства
т {5₽ (г) sin’ 2teostn*dt+
о
те/2
4- j р (t)sir? 2t cos2n t dt J
вытекает оценка
I Tn I <	f e sin22? cosin t dt + Mcos*n&] ,
' n 1	(2n —1)11 я L J	2 J ’
где M есть верхняя граница функции [3 (i) sin2 2t (огра-
ниченность которой вытекает хотя бы из (288)). Отсюда,
из (291) и из (278) следует, что

и, стало быть,
I ПХп I < е + Мп У"п COS2n 6.
При достаточно больших п будет
Мп У п cos2" 6 < е
и | птп| < 2в, откуда и следует соотношение (292), а с ним
и теорема.
Докажем ещё две теоремы о производной интеграла
Валле-Пуссена. По существу их следует считать при-
надлежащими Лебегу и Гану, так так они вытекают
J 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ВАЛЛЕ-ПУССЕНА 267
тривиальным образом из общих результатов названных
авторов о сингулярных интегралах. В целях простоты
изложения я приведу здесь прямые доказательства этих
теорем.
Теорема 4. Если у функции f(x) класса С2п при
некотором х существует конечная производная f (х),
то при этом значении х
1ппП(х)=/'(*).	(2931
П-+ОО
Доказательство. Производную интеграла Vn(x)
можно вычислить по правилу Лейбница, т. е. с по-
мощью дифференцирования под знаком интеграла.
Таким образом
(294)
Отсюда
" м - <2п>|! 21 £
—те
/(« + /) cos’"-14 sin dt
& л
(пределы интегрирования не изменены на основании
периодичности подинтегральной функции) и, стало быть,
л/2
V"n = (2п?- l)il Т 5 /	C0S’n-11 sin 1 dt-
—л/2
Разбивая последний интегал на два, распространён-
ных на промежутки [ — у, oj и т] ’ и заменяя
в первом t на — I, найдём
Л/2
=	$ [/(*+ 2t)-f(x~2t)]co^-4sintdt.
268 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
Но в условиях теоремы
/(<)=/ (х) + /' (ж) sin (t—x) + я (г) sin (I—а?),
где я (г) стремится к нулю вместе с t — х (это равенство
доказывается тем же способом, что и (288)). Отсюда
/ (х + 2t) — / (я — 2t) — 2f (х) sin 2t + р (t) sin 2t,
где P (i) стремится к нулю вместе с г. Значит,
«/2
5 C°s2n_1 * sin * Sin 2t dt +
л/2
+ zo'2n--An- \ P Ш cos’”-» f sin f sin 2* Л. (295)
““ 1^11 Я
0
Ho
•Kfi	lt/2
\ cosan-I< sini sin 2г di = 2 cosan t sin21 dt.
о	о
a
Поэтому, применяя формулу (19), легко показать, что
коэффициент при /' (ж) в равенстве (295) есть .
Что касается до второго члена равенства (295), то он
стремится к нулю, что доказывается совершенно так же,
как соотношение (292).
Теорема 5.Если у функции }(х)£Съп существует
непрерывная производная, то
limVn(x) = f'(x)
равномерно относительно х.
Эту теорему можно было бы доказать, анализируя
поведение остаточного члена формулы (295),’ но гораздо
проще доказать её независимо от теоремы 4. Именно,
переписав равенство (294) в форме
$ 4] СУММЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА—В. РОГОЗИНСКОГО 269
применим формулу интегрирования по частям:
ПИ--
- $ /-«««"V *} •
-я
Так как внеинтегральный член благодаря свойству
периодичности исчезает, то
—л
В правой части получился интеграл Валле-Пуссена
для производной /' (г), т. е.
V'[/; 4с]==Г„1Г; «],
а тогда дело сводится к теореме Валле-Пуссена из
главы I.
§ 4, Суммы С. Н. Бернштейна—В. Рогозннского.
Укажем ещё один способ*) построения тригонометри-
ческих  полиномов, дающих равномерное приближение
любой функции из С2п-
Пусть / (х) g С2п и Sn (х) частная сумма ряда Фурье
этой функции. Положим**)
Мы будем называть эту сумму суммой Бернштейна—
Рогозйнскоео.
*) С. Н. Бернштейн [7]; В. Рогозинский [1]; И. П. Натансон
[3, 41; Ф. И. Харши ла дзе [1, 3].
**) Мы пишем В*н{х), а не Вп(х), чтобы избежать смешения
с полиномами Бернштейна.
270 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
Ввиду того, что 8п(х) представляется интегралом
• Дирихле (176), ясно, что
ТС
$ /(Ocos^fi-Х)Х
—тс
Лемма. Справедливо неравенство
я
f* I 2ti -f" 1
11cos ~т~
-и
1
г4пЧ
1
X
sin
dt < 8ла. (296)
Действительно, с помощью обычных преобразований,
использующих четность подинтегральной,функции, при-
дадим входящему сюда интегралу вид
ж/2
4 I |cos/«t
{т — 2п -J-1).
Ввиду того что
не больше, чем
и/2
4и С
т \
О
|sinP—sin«|<|P —я|, этот интеграл
________cos mt______
Sin(?"2^)sin(? + 2^)
4
Разобьём последний интеграл на три (обозначив их
соответственно через Д, It и It), распространённых на
промежутки [0, J ~,
§ 4] СУММЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА—В. РОГ^ИНСКОГО	271
Для оценки Jj заметим, что при 0<f< —
Отсюда
л/т
11 < тг dt = 7пл«
о
С другой стороны,
я 12- л /2т
Если к каждому из сомножителей знаменателя при-
менить оценку sm а > — а, то мы найдем
со
.	. л2 /* dt лти In 3	л»»
7 2	Т \ ~	~ ~4	< "2 •
J 4m2
л/m
Наконец, при *6 [у —^>7] будет (поскольку
т>3)
Значит,
j 2л яти
Из оценок для /х, /2 и /8 и вытекает (296).
ЪП СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
Следствие. Если	то
| В*п [/; ж] |< 2кМ.	(297)
Теорема. Для любой функции f(x) из спра-
ведливо неравенство
I Вп (х) - / (х) | < (2к + 1) Еп + ш	, (298)
где Еп есть наилучшее приближение f(x) полиномами
из Н%, а <о (8) — модуль непрерывности /(ж).
В самом деле/ пусть Ф (ж)—полином порядка не
выше п, для которого
1/(ж)-1г’(ж)|<£п.
Тогда
I Вп [/; ж] — Bn [Tj ж] I ~ | Bn [/	х] I < 2к£п,
где применяемые обозначения понятны сами собой.
С другой стороны,
I Вп [/; х] / (ж) | <
< I Вп [/; ж] - Вп [Т\ ж] | +1 Вп [Г; ж] - / (®л,
и потому
IВп[Л Jf] - /(х) К2пЕп +1 в;[Г; ж] - / (ж) |. (299)
Но Т (ж), будучи тригонометрическим полиномом,
есть своя собственная сумма Фурье. Значит,
В*ГТ-ж]
"n —	2	*
Эта величина отличается от
'G+sT-Q+'G-'sm)	(300)
меньше, чем на £п, а дробь (300), в свою очередь, от Ли-
I 5]	МНОЖИТЕЛИ СХОДИМОСТИ	S73
чается от /(«) меньше, чем на ш ( g^-j) > Значит,
\В*п[Т-, х]-f(x)\<En + v	.
откуда в Связи с (299) и вытекает (298).
Следствие. Для любой f (ж) € Сяп равномерно на
всей оси
limSn(a:) = f(x).
П->ЗО
Суммы Вп(х) обладают и другими интересными свой-
ствами, однако мы Не будем их здесь изучать, отсылая
читателя к литературе, указанной в Начале параграфа.
§ б. Множители сходимости.
Покажем, что теоремы о равномерном приближении
непрерывных 2я-периодических функций суммами Фей-
ера, Бернштейна—Рогозинского и интегралами Валле-
Пуссена можно охватить одной общей точкой зрения.
Пусть дана треугольная матрица вещественных
чисел:
Р(Д
Р<ОЧ Р<Л р<22),
(301)
р<Ч р<«), р<«>,..., pw,
Условимся говорить, что это матрица типа (А), если
выполнены следующие два условия: -
limp^) = l,	(302)
И—ЮТ
п	п
А I pf,n) + 2 У ptn> costal dt < К, (303)
—п	к=1
где А—постоянная, не зависящая от п.
48 Конструктивная теория функций
СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
Возьмём произвольную 2л-периодическую непрерыв-
ную функцию /(«) и составим ее ряд Фурье
00
А + 2 (ак cos кх + Ък sin кх).
к~Л
G помощью этого ряда и матрицы (301) составим
полином
Un(x) = Un[f-,x]=
® р<п> А + 2 р£п) (ак cos кх + sin кх). (304)
/
Теорема 1. Если матрица (301) есть матрица
типа (А), то для любой функции / (х) из С%п равномерно
на всей оси
lim Un (х) = f (х).	(305)
я-юо
Для доказательства этой теоремы покажем прежде
всего, что полином Un (х) удовлетворяет неравенству
|tf„(*)l<^,	(306)
где М — max | f (х) |. Действительно, если в (304) под-
ставить выражение коэффициентов Фурье А, ак, Ьк,
то окажется, что
Un{x) =
•К	п
= 5/(Ш‘> + 2 2 р£п> cos Л (<-*)]&,.
-л	к=1
отсюда в связи с (303) и вытекает (306).
С другой стороны, если
Т (х) = Р + 2 {Рк cos кх + si*1 кх)
7с*»1
J 5]	МНОЖИТЕЛИ СХОДИМОСТИ	27Й
есть некоторый тригонометрический полином порядка т,
то при n>zre
Un [Г; ж] == р<п)Р + 2 (Рк с<>8 кх + qk sin кх),
к-1
откуда благодаря (302) следует, что Un [7; ж] равно-
мерно на всей оси стремится к Т (х).
Заметив это, выберем а > 0 и обозначим через Т (х)
тригонометрический полином, удовлетворяющий условию
|/(ж) — Т (х) | < э.
Тогда, в силу (306),
\Un[f', х]-ип[Т-,х]\<Кв.
Но
1^1/; Ж]-/(Ж)|<|£7П[/; х]~ип[Т-,х]\ +
+ \Un[T-,x]-T(x)\ + \T(x)-f(x)\,
и потому
|^Л [/; ж]-/(ж)|<(ЛГ + 1)е + |г7п[Т;ж]-Т(х) |.
Значит, для достаточно больших п окажется
1^л[/;ж]-/(х)|<(Х + 2)8.
Теорема доказана.
Выбирая числа (они называются множителями
сходимости) тем или иным способом, мы и получим
упомянутые теоремы Фейера, Валле-Пуссена и Берн-
штейна—Рогозинского.
Пример 1. Сумма Фейера
/ \ _ ^'о(«:) +^1(^)4-  •  +‘S'n-i (ж)
Оп \Х) -	-
может быть записана так:
п
ап (ж) = А+2 (1-_ 4) (dfccos^4-&fcsinM-
к «=1
18*
СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
Иначе говоря, это есть сумма вида (304), в которой
!?>-<+	<307)
Свойство (302) для матрицы этих чисел очевидно.
С другой стороны, опираясь на (89), получаем
р<п)+22 Лп) соа =
п	/ . п«\2
Z 7 Ч	, / 61П — \
>1+23(1-Л)сов4(_д -4 .
л-i	\8in -g-у
Значит,
р£п) + 2 2 № cos > 0.
*=i
Поэтому в интеграле, входящем в (303), можно опу-
стить знак абсолютной величины. Но
cosAfdZ = 0,
-я
и потому для чисел (307)
•к	п
к 5 |pon>+22p*n>cosAddf=*•
-я	Л—1
Таким образом теорема Фейера является частным
случаем теоремы этого параграфа.
Заметим, что аналогично сказанному в этом при-
мере условие (303) вытекает из (302) каждый раз,
когда
р<”> + 22 Рап) °os kt > 0.	(308)
л-i
§ 5]	МНОЖИТЕЛИ СХОДИМОСТИ	277
Пример 2. Докажем, что справедливо тождество
п
--W1' [1+2 s T^w+йсм ь ]  (309>
к—1
В самом деле, левая часть этого равенства есть три-
гонометрический полином порядка п. Поэтому
сов8пу = £ + 2 Ik^oskt.	(310)
k=l
Интегрируя это равенство по промежутку (—я, к]
и используя (19), сразу получаем
г	(2п —1)11
(2п)!1	’
Если же (310) умножить на cos/ия: и затем проинте-
грировать, то мы найдём
я
к1т = \ cos2" v cos mtdt.
J	X
-я
Замечая, что
Я
cos2n у sin mt dt = 0,
гЯ
ибо подинтегральная функция здесь нечётная, находим
idm — cos2n yelm( dt.
Ho
Поэтому
in.
22ncos2n4 = S^2neii(k“n)
4
fc—0
278 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
и, стало быть,
2п	я
i-fl	-я
Если р — целое число, то
с . , f 0 , если р Ф 0;
\ е’Р'Л = {	’	/
J	I 2гс, если р = 0.
— 7?
Поэтому
» _________ 2 s-m-m __ 2	(2га)!	__
'm —2JraG2« 22й (га - тп)! (п + тп)! ~
_ 9 (2п-1)!!	(ге!>3
(2га)!I (п-m)! (п + ш)! ’
что и доказывает (309).
Подставляя (309) в выражение интеграла Валле-
Пуссена
получаем
п
Уп (®) = А + 2 (п -'/?)”1(п+К)!	COS + Ь* 81n М.
Jt-1 '
где А, ак, Ък суть коэффициенты Фурье функции -
Поэтому Vn (х) есть полином вида (304), в котором
р*”? (п — к)\(п + к)\ '	(311)
Числа (311), очевидно, удовлетворяют условию (302).
С другой стороны, в силу (309), для них выполнено
и условие (308), а значит, и (303). Поэтому теорема
Валле-Пуссена также является частным случаем тео-
ремы настоящего параграфа *).
Пример 3. Покажем **), что и суммы Бернштейна—
Рогозинского К (л) также получаются из общей фор-
♦) И. П. Натансон [8].	. - п
♦♦) Ф, И, Харщиладзе [1, 3],
МНОЖИТЕЛИ СХОДИМОСТИ
279,
§ 5]
мулы (304) при некотором выборе чисел р£п>. В самом
деле, если
п
5П (я) = А + 2 (ак сов кх + bk sin кх),
к-1
то
.	5n(* +	2ТПГ1)
-On (Я) —	2	—
п
= А + 2 cos 2 *^.'1 (ак cos кя + ^к 8^п ^х)\
к=1
Значит, здесь
р(«) = сов
/си
2п + 1'
(312)
Эти множители, очевидно, -удовлетворяют усло-
вию (302). Условие же (303) для них мы фактически
проверили в предыдущем параграфе. Действительно,
X
п
р£п) + 2 2 pln) со8^ =
к-1
п
= 1 + 2 2 cos cos kt =
Alb ~f 1
Л-1
n
= 1+2 [со’^О + г^О + совЛ^-^)] .
k—l
Как известно (см. (175)),
п	. 2п 4-1
”	Sin а
у+2совЛ« =--------—
к^!	2 sin —
А
J8Q СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [гл. X
Значит,
Р^п) -f- 2 2 cos kt =
Л-1
______1________________1______
sin (^7 + 4л + 2) sin(y “4n + 2^
Таким образом для чисел (312) условие (303) выпол-
нено в силу (296).
К доказанной теореме полезно добавить некоторые
замечания общего характера. Пусть дана матрица (301).
Тогда для любого бесконечного ряда
йо “h ai Н" ~Ь ’ * •	(313)
можно образовать сумму
п
= 3 ак'
й=0
Если существует конечный предел
П-*оо
то говорят, что ряд (313) суммируется методом мно-
жителей р£п), а число Q называют его обобщённой
суммой. Представляют интерес такие методы суммиро-
вания (их называют перманентными методами), с по-
мощью которых суммируется каждый сходящийся
в обычном смысле слова ряд и притом так, что его
обобщённая сумма совпадает с обычной.
Теорема 2. Если матрица (301) такова, что
(314)
и, кроме того, выполнено условие (302), то порождаемый
ею метод суммирования—перманентный.
В самом деле, пусть ряд (313J сходится и его сумма
равна S. Обозначая частные суммы этого ряда через Sk
$ 5]	МНОЖИТЕЛИ СХОДИМОСТИ	281
замечая, что при А>0 будет ак= Sk~ 8к-ь и полагая
f'n+i = 0» находим
п
к*»о
G другой стороны,
п
е=2
*=£>
Отсюда
п
Qn-^S^^-f^tSk-S).	(315)
*=С
Возьмём е > 0 и пусть т таково, что при к > т
\Sk-S\<e.
Если п > т, то из (314) и (315) вытекает, что
т
I <?,. - Й"’SI< S (Pi"> - fl?,) I	- 51 + «й>
В силу (302) имеем (m фиксировано!)
m
lim2^‘)-P<;)1)|5k-5| = 0.
Значит, для n > nx
m
i=0
С другой стороны, опять-таки благодаря (302) при
п > п2 будет pW j < 2. Поэтому, если п > max (т, nlt nt),
то
I Qn - S |< Зг.
282 СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ АППАРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ [ГЛ. Х
Это показывает, что
lim (&-₽<")$) = О,
откуда, снова применяя (302), мы находим
lim Qn — S.
1WOO
Теорема доказана.
Нетрудно видеть, что, в силу теоремы 2, каждый
из методов суммирования с помощью множителей
= 1 — п" ’ И’0	(п-к)\(п + к)\ ’	~ С08 2п + 1
оказывается перманентным. Для первого и третьего это
тривиально, а для второго вытекает из неравенства
__ п"—к .
р(>‘) — п+k + l
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КВАДРАТИЧЕСКИЕ
ПРИБЛИЖЕНИЯ
ГЛАВА I.
ПРОСТРАНСТВО Z|(X).
§ 1. Постановка вопроса.
В этой части нашего курса, так же как и в преды-
дущей, мы будем заниматься, главным образом, вопро-
сами приближения произвольных функций полиномами.
Однако оценку точности приближения функции / (ж)
полиномом Р (х) мы будем производить иначе, чем раньше.
Именно, раньше мы считали, что полином Р (х) бли-
зок к функции f(x), заданной и непрерывной на сег-
менте [а, &], если мала величина
шах | Р (®) — / (х) |.	(1)
Теперь же мы скажем, что полином Р(х) близок
к функции /(я), если мал интеграл*)
ь
^Р(Ж)-/(Ж)]Мх.	(2)
а
Следует указать, что требование непрерывности функ-
ции f(x) при оценке точности приближения с помощью
выражения (1) лежит в самом существе дела. Дейст-
вительно, если при таком методе оценки приближения
функция / (х) представима полиномами с любой сте-
пенью точности, то это означает, что /(«) есть предел
♦) Оценку близости Р(х) к /(г) мы будем обычно произво-
дить с помощью интегралов несколько более общего вида, чем
(2), но сейчас, чтобы не усложнять дела, остановимся на кри-
терии, указанном в тексте.
286
ПРОСТРАНСТЕО L»(e)
[гл. 1
равномерно сходящейся последовательности полиномов,
а это возможно только в том случае, когда / (ж) непре-
рывна.
При оценке приближения интегралом (2) дело обстоит
не так. Пусть, например, функция / (х) задана на [—1,4-1]
следующим образом:
О при — 1 < х < О,
1 при 0< ж<1.
Хотя функция f(x) и разрывна, но существуют такие
полиномы Р (х), для которых интеграл
+1
[Р (х) — / (ж)]3 dx
-1
сколь угодно мал.
Действительно, введём функцию <р (х), полагая
?(х) =
О при
— 1 <ж<0,
1 при
<ж<1
и считая <р(ж) линейной в сегменте £о, -^-j . Легко
видеть, что <р (ж) непрерывна на [ — 1,4-1] и что
+1	Нп
^[<?(х) — f(x)]*dx= [?(х)~ }(х)]Чх<±,
-1	о
ибо | <р (ж) — / (ж) | < 1. Опираясь на теорему Вейерштрасса,
можно подобрать такой полином Р(ж), что при всех х
из [ — 1, 4-1]
|Р(х)-?(х)|<^=’
Для этого полинома, очевидно, окажется
+1
С [Р(ж)--<р(ж)]’</ж<-^.
-1
§ 2]	ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ. ПРОСТРАНСТВО В* (<)	287
Так как
 (а + 6)2 <2(а24-6а),
то
[Р (х) - / (х)]3 < 2 {[Р (х) - т (х)]2 + [? (х) - / (х)]2},
и потому
+1
$[P(x)-f(x)rdx<-£,
-1
откуда и вытекает наше утверждение, ибо п можно
взять сколь угодно большим.
Таким образом при нашей новой точке зрения тре-
бование непрерывности приближаемых функций является
излишним. Мы этого требования ставить не будем,
а введём в рассмотрение и функции разрывные. Однако
эти функции не,могут всё же быть вполне произволь-
ными, ибо мы должны быть уверены в существовании
интеграла (2). Если бы мы положили в основу рима-
новское определение интеграла, то это позволило бы
нам изучать только такие разрывные функции, множе-
ство точек разрыва которых имеет меру, равную нулю.
Это требование, однако, тоже было бы вызвано не сущ-
ностью излагаемой теории, а принятым определением
интеграла. Чтобы изложение приняло более стройную
и законченную форму, мы положим в основу не рима-
ново, а лебегово определение интеграла. Это потребует
от читателя знакомства с основными фактами теории
функций вещественной переменной. В дальнейшем эти
факты считаются известными.
§ 2. Весовая функция. Пространство JDp(X)»
Пусть на сегменте [а, 6] задана неотрицательная
и суммируемая функция р(х). Ввиду особой роли, кото-
рую этой функции предназначено играть в дальнейшем,
мы будем называть её весовой функцией или, короче,
весом. Раз навсегда условимся рассматривать только
такие веса р(х), которые обращаются в нуль разве лишь

ПРОСТРАНСТВО t»(<)
(гл. i
на множестве меры, равной нулю. Впредь мы уже
не будем упоминать об этом соглашении.
Каждой весовой функции р (х) соответствуют два
класса измеримых функций, заданных на [а, Ь]: класс LP(X)
таких функций, для которых суммируемо произведе-
ние р(х) /(я), и класс Lp(Xy функций f(x), для которых
суммируемо произведение р(х) /3 (я). В случае, когда
р(я:) = 1, мы будем эти классы обозначать просто
через L и £2. Иногда нам потребуется, чтобы в самом
обозначении этих классов было указано, нэ каком именно
сегменте заданы все рассматриваемые функции. Тогда
мы будем обозначать их соответственно через Lp ([а, Ь]),
^(.) ([«,*]), ([а, &]) и Г .([а, 6]).
Из неравенства
|/(*)|<
вытекает, что LP(X) содержится в Lp^xy.
Точно так же неравенство
показывает, что произведение двух функций из Lp^
входит в £Р(а:). Отсюда в свою очередь благодаря тож-
деству
(/±^ = /“±2/^
следует, что сумма и разность двух функций класса LP(Xy
также входят в этот класс. Наконец, существенно, что
вместе с /(ж) в Lp^xy входят и все функции с/(я), где
с —постоянная.
Теорема 1. Если f(x) и g(х) — две функции us Lp(Х),
то справедливы неравенства
ь
[ \р(х)/(ж) g(ж)йж]2<
а
b	—ь
Р (я) dx ] (3)
а	а
< [ \ Р (х) Г (®) dx j [ J
§2]	ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ. ПРОСТРАНСТВО 1ф(а!)	289
и
Р № [/(®) + g (®)]’ dx <
а
/7(2) f(x) dx +
р (х) g2 (х) dx,' (4)
называемые соответственно неравенствами Буняковского
и Коши.
Для доказательства неравенства (3) положим
ь
(z) = р (х) [zf (х) 4- g (я:)]2 dx = Az2 -f- 2Bz + С,
а
где
ь
ъ
x)dx, В =^р(х) f(x)g(x)dx,
а
b
С = ^p(x)ga(x)dx.
а
Если А = 0, то / (ж) = О (как обычно в метрической
теории функций, мы не различаем функций, отлича-
ющихся на множестве меры, равной нулю) и неравен-
ство (3) обращается в равенство 0 = 0. Если же А > 0,
то (3) вытекает из того, что <b(z)>0 и
КЧ)=^‘‘
Итак, (3) доказано. Записывая (3) в форме
ь	Г~ъ	Гъ
pfg dx < у ^pf*dx]/
а	а	а
удваивая и прибавляя к обеим частям по
ь	ь
^pf*dx+ ^pg2dx,
а	а
19 Конструктивная теория функций
WO
ПРОСТРАНСТВО :
[гл. 1
приходим к неравенству
^p(f + §Pdx<
^ppdx+j/^ ^pg2dx
равносильному (4).
Отнесём каждой функции f(x) из £р(Я) число
11/11 = )/ 5 р (х) Р (х) dx.
Эта величина, называемая нормой функции / (х), обла-
дает следующими свойствами, сходными со свойствами
модуля числа:
I. ||/||>0, причём ||/|| = 0, тогда и только тогда,
когда /(х) = 0;
П. ||с/|| = |ср||/|| и, в частности, || — /|| = ||/||.
III. ||/ + gl|<||/|| + l|g|l.
Понятие нормы позволяет ввести удобную геометри-
ческую терминологию.
Пусть Е есть множество элементов х, у, z, ,.. любой
природы. Если'каждой паре элементов х и у множества Е
поставлено в соответствие вещественное число г (х, у)
со свойствами:
1)	г(х> причём г(х,у) = 0, тогда и только
тогда, когда х — у,
2)	г (х, у} = г (у, х},
3)	г (х, z) <г(х, у) + г (у, z),
то множество Е называется метрическим пространством,
а г (х, у) расстоянием между х тл у.
Полагая для любых двух функций f(x) и g (х) из Lp(X)
r(f, g) = l|/-g||,
мы превращаем Ц(Х) в метрическое пространство.
I з]	' СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ	291
§ 3. Сходимость в среднем.
Определение 1. Элемент / пространства (Я)
называется пределом последовательности элементов
Д, f2> f»>•••> fn >.•. того же пространства, если
Ига ||/п —/НО.
ч	П—-юо
Это соотношение мы будем записывать обычным
образом:
Иш/П = /,
П-*оо
хотя его теоретико-функциональный смысл таков:
ь
lim р (ж) [/я (ж)—/ (ж)]2 dx — 0.
n-и» J
а
Такой вид сходимости называется сходимостью в сред-
нем с весом р(х).
Теорема 1. Последовательность элементов Lp(X)
не может иметь двух различных пределов.
Действительно, если бы оказалось, что fn —» / и /п —» g,
то предельный переход в неравенстве
0<||/-g||<||/-/n|H-||/n-?||
привёл бы к соотношению ||/ —#|| = 0, откуда f=g.
Теорема 2. Если последовательность функций
{fA^} сходится в среднем к функции / (ж), то из неё
выделяется подпоследовательность {fnk(x)}> сходящаяся
к /(ж) почти везде.
Доказательство этой теоремы основано на следующем
важном предложении теории функций:
Теорема Б. Леви. Если на [а, &] дан ряд неот-
рицательных измеримых функций
и1(х),и2(х),иг(х), ...
и если
со Ь
'2i\uk(x)dx< +оо,
fc=l а
19»
2$г
ПРОСТРАНСТВО i’ w
[гл. (
то*} почти везде на [a, &J
lim ип (ж) = 0.
п-юо
Переходя к доказательству теоремы 2, подбираем
такие < п2 < п, < ..., что
ь
5 Р (х) lfnk (*) ~ / (*)]’ dx < 1.
а
Тогда по теореме Б. Леви почти везде на [а, &]
limp(a;)[/ («)-/ (®)Г = 0,
А-»со	к
а так как р(х)‘ почти везде строго положительна, то
теорема доказана.
Теорема 3. Если fn-+f, то || fn || -> ||/||.
Так как
1|/|1<||/п|1 + ||/-/Л, ||/п1|<|1/1| + ||/п-/1Ь
ТО
- /и-
Остальное ясно.
Определение 2. Последовательность
называется сходящейся в себе, если всякому а > 0 отве-
чает такое N, что при n > N и т > N
(5)
Теорема 4. Последовательность, имеющая предел,
сходится в себе.
Действительно, если /п—» /, то по любому а > 0 можно
найти такое N, что при n > N
1|/п-/||< |.
Если взять п > N и т> N, то окажется
*) У Б. Леви теорема высказана в более общем виде. См.
И. П. Натансон [5], стр. 127.
СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ
£93
S3]
. Справедлива и обратная
Теорема 5 (Э. Фишер [1]). Если последователь-
ность сходится в себе, то она имеет предел.
Свойство пространства £|(Х), выражаемое этой теоре-
мой, называется его полнотой.
Для доказательства подбираем такие пк, что при п > пк
и zn>nA
При этом можно считать, что пг < и, < пъ <... Тогда,
в частности,
ЧМ+1 “ МП < и-
и сходится ряд
со
24 М+1 “ МИ*
к-1
Если применить неравенство (3) к функциям
/=|/ПА+1-/пА|и g = l,
то окажется
$ Р (®) I /пЛ+1 (®)“/nfc (*) I dx < у	р (х) dx I) fnkti - fnkti Ij.
e	a
Стало быть, ряд
co b
3 (®) I M+i ~ fnk <*) Idx
S=1 a
также сходящийся, и по цитированной теореме Б. Леви
почти везде сходится ряд
ОО
, SpWIM+i^m м^ь
к-1
а значит, и ряд
СО
M^+SiM+i^-M^-
к-1
294	ПРОСТРАНСТВО	[ГЛ.
Сходимость этого последнего ряда равносильна нали-
чию конечного предела
lim fnk (аг).
Введём функцию /(«), равную этому пределу всюду,
где он существует и конечен, и равную нулю в осталь-
ных точках.
Мы покажем, что эта функция входит в £р(Ж) и что
она является пределом для (х). С этой целью, взяв в > О,
найдём Такое N, что при п > N и т > N будет выпол-
нено (5). Затем закрепим п > N. При всех достаточно
больших к будет пк> N и, стало быть,
Воспользуемся следующей теоремой *) теории функций:
Теорема П. Фату. Если <рж(ж), ?2(я), ...—после-
довательность неотрицательных измеримых функций,
заданных на [а, &], почти возде сходящаяся к функции «р (х),
и если при всех к
ь
^<pfc (х) dx^A,
а
то и
ь
<р (ж) das < Л.
а
В нашем случае роль <$к (х) играют функции
р(х) Ifn (*)—(и закреплено!), роль <р (as) —функ-
ция р (я:)[/п (as)—/ (а:)]’, роль Л—величина в’.
Значит,
ь
^(x)[/n(a)-/(as)]2dx<ea.	(6)
а
Отсюда уже -вытекает, что разность /п («)—f(x),
а с ней и сама функция /(as), входит в Lp(X), Так как,
*) См., например, И. П. Натансон [5], стр. 125.
§4] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ КЛАССЫ, ПЛОТНЫЕ В Z.«(X)	295
кроме того, для достижения неравенства (6) потребо-
валось лишь, чтобы было п> N, то теорема доказана.
Кроме сходимости в среднем нам придётся иметь
дело ещё с так называемой «слабой сходимостью».
Последовательность {/п (ж)} С Lp(ж) называется слабо
сходящейся к функции /(«) из £Р(Х), если для любой
функции g(x)£LpW
ь	ь
lim р (х) fn (ж) g (х) dx = G (as) / (as) g (as) dx.
”-=° а	а
В силу неравенства Буйяковского,
|5 Pfngdx-^pfgdx\<]/ pg^dx }f ^ptfn-fYdx,
а	а	<j	а
а потому из сходимости некоторой последовательности
в среднем вытекает её слабая сходимость (к той же
предельной функции).
§ 4. Функциональные классы, плотные в !₽(«,)
Пусть Е метрическое пространство и Л —некоторое
его подмножество. Если любой элемент Е можно пред-
ставить как предел последовательности элементов мно-
жества А, то говорят, что А есть множество, всюду
плотное в Е. Очевидно, для того, чтобы А было всюду
плотным в Е, необходимо и достаточно, чтобы для любо-
го f£E и любого в>0 существовал такой элемент g$A,
что
г(/, ?)<е-
Ввиду того что весовую функцию р(х) мы с самого
начала предположили суммируемой, ясно, что в класс £Р(Х)
входят все' измеримые ограниченные функции. Тем
более, в него входят все непрерывные функции, а также
все ступенчатые функции*).
*) Функция / (ж), заданная на [а, 6], называется ступенчатой,
если существует конечное число точек: а==ег< са< ••• < с,— Ь
такого рода, что на интервалах (с4, ci+1) функция постоянна.
296
ПРОСТРАНСТВО
[гл. I
> Условимся в следующих обозначениях: М—класс,
всех измеримых ограниченных функций, С —класс всех
непрерывных функций, S — класс всех ступенчатых функ-
ций (естественно, что имеются в виду функции, задан-
ные на рассматриваемом сегменте [а, &]), Р —класс
всех полиномов, Ф — класс всех тригонометрических
полиномов.
Теорема. Каждый из классов M,C,S,P всюду
плотен в L^xy. Если основной сегмент [а, 6], имеет дли-
ну 2п, то всюду плотен и класс Т.
Доказательство. 1) Пусть / (a:)	Возьмём
е > 0 и подберём такое 8 > О, что для любого измери-
мого множества е, содержащегося в [.?, 6], с мерой те < 8
будет выполнено неравенство
Р (®) /3 (ж) dx < ®2-
в.
Подбор такого 8 возможен благодаря свойству абсо-
лютной непрерывности интеграла.
Ввиду того что функция /(«) почти везде конечна
(иначе она не могла бы входить в Lp(Xy), мы имеем
mfl Е(|/|>и) = 0.	(7)
П=1
G другой стороны,
Е(|/| > 1)ГЗЯ (|/| > 2)Э •••	(8)
Как известно, из (7) и (8) вытекает
lim тЕ (| /1 > п) — 0.
П-+0О
Значит, можно указать такое п, что
mE(|/|>n)<8.
Закрепим это п и положим
вСЛИ
10, если |/(«)|>л.
§ 4] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ КЛАССЫ, ПЛОТНЫЕ В £*(Ж)
297
Очевидно, g(x)£M и
ь
ц/-£||а=Л р(/-?)2^= $
а	Е (7+S)
== pf dx < в3.
Е (|/|>п)
Итак, для М теорема доказана.
2)	Пусть	а 8>0. Находим такую g (ж)
из М, что || f—g || <у. Пусть |g(a:)|< К. По извест-
ной теореме Н. Н. Лузина существует такая непрерыв-
ная функция <pj (х), что
mE(ggfc^)<8, | <?« (®) I < К,
где 3 - любое наперёд заданное положительное число.
Для этой функции оказывается
-||g—<рг||3=	p(g—<fsPdx^4K3	p(x)dx.
Е (»Ф?>з)	Е (дф?з)
Но благодаря абсолютной непрерывности интеграла
число 3 можно считать столь малым, что правая часть
последнего неравенства меньше — . Таким образом для
найденной ср8 (х) окажется
I! /-?s || < |l f~g || + II g~<?t II < s-
Теорема доказана для класса С.
3)	Пусть f(x)eLpw и 8>0. Находим непрерывную
функцию ср (я:), удовлетворяющую условию || /—<р|( < у.
По теореме Кантора сегмент [а, 6] можно разложить
точками с0 = а < сх < • • • < cn = Ь на такие части [сг, сг+1],
что в каждой из них колебание <р (х) будет меньше
некоторого наперёд взятого числа 8 > 0. Введём функ-
цию h(x), полагая Л(6) = ср(&), й Л(а;) = <р(сг) при
С/<ж<с/+1 (г’ = 0,1, п — 1). Это—ступенчатая функ-
ция, обладающая тем свойством, что при всех х из [a, fc]
будет выполнено неравенство
I h (ж)~|? (®) I < s-
298	ПРОСТРАНСТВО LJW)	[гл. I
В таком случае
ь	ь
||fe—¥ ]Г — р(х) [6 (ж)—ф (ж)]’йж<82 p(x)dx.
а	а,
Если 3 достаточно мало, то правая часть этого
g2
неравенства меньше, чем — и || f~h || < в. Теорема дока-
зана для класса 5.
4)	Для класса Р теорема доказывается совершенно
аналогично, ибо по первой теореме Вейерштрасса любо-
му 8 > О соответствует полином Р(х), удовлетворяющий
неравенству
!/(*)-?(ж)| <8.
5)	Наконец, если b—а = 2л, то мы сначала строим непре-
рывную ф(ж), удовлетворяющую условию |/—ф||	, а
затем вводим новую непрерывную функцию <]» (х), полагая
ф(ж) = ф(ж) на [а, Ъ — 8], ф(6)=ф(а)
и считая <]>(ж) линейной на [6 — 8,6]. При этом 8 обо-
значает некоторое положительное число, выбор кото-
рого мы уточним ниже. Если К есть шах | ф (ж) |, то
и I (ж) | < К. Поэтому
ь	ь
1|ф~Ф|1’=	р(?—ф)М«<4£* С p{x)dx.
-5	Ь-8
Будем считать 8 столь малым, что правая часть
этого неравенства меньше, чем $. Тогда
II/—Ф11<|а-
Вместе с тем ф (ж) уже 2л-периодична, так как
ф(а) = <р(6). Поэтому (вторая теорема Вейерштрасса!)
её можно равномерно приблизить с любой степенью
точности тригонометрическим полиномом, что позво-
ляет закончить доказательство так же, как и выше.
ГЛАВА И.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ.
§ 1. Ортогональность. Примеры.
Пусть р(х) — весовая функция, заданная на сег-
менте [а, 6]. Если функции f(x) и g(x) удовлетворяют
соотношению
6
P&)f(x)g(x)dx = O,
а
то говорят, что они взаимно ортогональны по весу р(х)
на сегменте [а, 6]. Если /?(ж) = 1, то указание на вес
опускается и говорят просто, что /(ж) и g(x) взаимно
ортогональны на сегменте [а, 6].
Если (конечная или бесконечная) система функций
®i(*)>	“»(*)>	(а<ж<&)	(9)
такова, что любые две из них взаимно ортогональны
на [а, &] по весу р(х), то эта система называется орто-
гональной системой веса р(х). Если р(х) = 1, то о весе
не упоминают.
Примерами могут служить тригонометрическая си-
стема
1, cos ж, sin®, cos 2®, sin 2®, cos Зж, ...,	(10)
ортогональная на сегменте [ — к, я], а также система
полиномов Чебышева
Т^х), Т9(х), ...	(11)
(Г„ (ж) «= cos (n arc cos ж)),
300	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	[гл. II
ортогональная на сегменте [ — 1, + 1] по весу (1 —
Впредь мы ограничимся рассмотрением только таких
ортогональных систем, в которых ни одна из функ-
ций (х) не эквивалентна нулю и все они входят
в класс Поэтому все интегралы
ь
Ак = р (х) (х) dx	(12)
а
суть конечные положительные числа, 0<4fc< +оо.
Особенно удобны те ортогональные системы, у кото-
рых при всех к оказывается Лл=1. Такие системы
называются ортогоналъными-нормированными или коро-
че, ортонормальными системами.
Легко видеть, что если (9) есть ортогональная си-
стема, то система
(а)	«а(Х)	(13)
/А ’ /А ’ /А ’	k ’
будет уже ортонормальной. Переход от (9) к (13) назы-
вается нормированием функций системы.
Приведём некоторые примеры ортогональных си-
стем, отличных от уже упомянутых систем (10) и (11).
1°. Каждая из систем
1, сов ж, cos 2®, совЗж, ...,	(14)
sin®, sin2®, sin3®,	(15)
ортогональна на [0,те].
2°. Системы Штурма — Лиувилля. Рассмотрим диф-
ференциальное уравнение
§ + Х р(х)у = 0,	(16)
в котором р (х) > 0 есть непрерывная функция, задан-
ная на сегменте [а, fc], а к —числовой параметр.
Нас будут интересовать такие непрерывные реше-
ния этого уравнения у = у(х), которые удовлетворяют
граничным условиям
= Ш =	(17)
§ 1]
ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ. ПРИМЕРЫ
301
Таким решением является, например, тривиальное
решение у=0. Если же такое решение у (ж) не равно
тождественно нулю, то оно называется фундаменталь-
ной функцией нашей задачи. Фундаментальная функция
существует не при всяком значении параметра к. По-
этому целесообразно выделить те значения к, для кото-
рых существуют фундаментальные функции, и дать им
специальное название. Их принято называть характе-
ристическими числами задачи.
В теории дифференциальных уравнений доказывается,
что характеристические числа всегда существуют и что
(с точностью до постоянного множителя) каждому из
них отвечает только одна фундаментальная функция.
Выпишем • се характеристические числа задачи,
подписав под imh соответствующие фундаментальные
'функции
Яц kg Я3 I . .
----------;---------(^=^4)-
Уз(х) ’ • .
Теорема 1. Система фундаментальных функций
УЛх),у2(х),у3(х), ...	(18)
ортогональна на сегменте [а,6] по весу р(х).
Доказательство. Пусть i =# к. Тогда
S + ltP Vt = °’	+ lkP (*) У к = 0.
Умножим первое из этих тождеств на ук, второе
На yt и вычтем второе из первого. Если заметить, что
У к У\ — У1 Ук = ^-Х (У к Vi ~ У, У к),
то мы получим
i~x (Ук y'i - yi У к) + (К/ - кл) р (х) у( ук 0.
Отсюда
ь
[у* y'i - yt у'к ]* + (X,—kfc) р (ж) у{ (ж) ук (ж) dx = 0.
302	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	[глг II
Но так как обе функции yt(x) и ук(х) удовлетво-
ряют условию (17), то
и, поскольку Хх- =# Xft,
ь
^p(x)yt(x)yk(x)dx = Q.
а
Теорема доказана.
Всякая система, подобная (18), называется систе-
мой Штурма—Лиувилля. Примером может служить
система (15), отвечающая задаче
S+^=o	(у(0)=у(к)=0).
Характеристические числа этой задачи суть
ХА = Ла	(Л=1,2,3, ...).
3°. Система Радемахера*). Разделим сегмент [0,1]
на 2к частей точками
л 1 А 2. 1+1	4 но\
2*’ 2fc ’ • • 2*’ 2* ’ •	~~W ’ ’	'
и введём функцию гк (х), полагая
= 0	(«=0,1,2....2й),
М*) = (-1)п при ~к < X <	(и = 0,1,2,...,2*-1).
Система функций
Г! (х), гг (ж), г, (ж), ...	(20)
называется системой Радемахера.
Теорема 2. Система Радемахера ортонормалъна
на сегменте [0,1].
Доказательство. Так как
гк(х) = 1
*) Радемахер [1].
j 1]	ортогональность. примеры	Зой
(кроме точек (19)), то
1
rk(x)dx = 1.	(21)
о
Пусть, далее, к и i, где к < i — два натуральных
числа. Тогда
П4-1
1	2*-1 2*
гк (х~) Г1 (*) dx = 2 rk(x)rt(x)dx —
О	п»0 п
п+1
2к-1	2*
= 2 (-1)П Г^ЛХ'
п—0	_п_
2*
Сегмент	j разбивается точками ~{ на
чётное число частей:
Г п-2^ n-2f-b + l 1
L ' 2‘ ’ it - J ’
Гп-2'’-* + 1 п-2‘-* + 2-|	*Гп.2*-*+2’-*-1 (п+1)-2’-*1
[_	2’’	’	2{ J ’ ' • • ’ L 2*	’	2‘ J ’
внутри которых будет попеременно rt (г) = +1 и
rt (х) = — 1, и поэтому
п+1
2«
rt (х) dx = О,
п
2к
откуда и
1
rk (х) rt (х) dx = 0.	(22)
о
Из (21) и (22) и следует теорема.
304
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл. It
Если положить *)
sign Z SB
+ 1
о
-1
при
при
при
z > О,
z = О,
z < О,
то определение функции гк (х) можйо записать формулой
rfc(a:) = sign [sin (2*гся?)].
В самом деле, если = то sin (2кпх) = 0, если же
< х < г~к^: , то шг.< 2кпх < (п + 1) тг и sin (2*тгж) будет
числом положительным при чётном п и отрицательным
при нечётном.
§ 2. Коэффициенты Фурье.
Пусть на сегменте [а, 6] задана ортогональная по
весу р(х) система (9). Рассмотрим какую-нибудь конеч-
ную линейную комбинацию функций этой системы:
f{x) = с1ш1(я:) + с2ш, («)+••• +спшп(яг). (23)
Умножив (23) на р(х)^>к(х) (А=1, 2, ...,п), проинте-
грируем полученное равенство; это даёт, согласно (12),
ь
Р (х) f(x) “k (х)dx = АкСк>
а
откуда
ь
Ck~xk\p^^x^k^dx-
а
Таким образом, коэффициенты ск в равенстве (23)
определяются однозначно.
В частном случае тригонометрической системы (10)
формулы (24) превращаются в хорошо известные фор-
мулы для коэффициентов Фурье функции /(«). Поэтому
*) Символ sign есть сокращение латинского слова «signum»,
обозначающего «знак».
§ 2]	КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ	305
и в общем случае числа (24) называются коэффициен-
тами Фуръе функции f(x) в системе (9). Для их вычис-
ления вовсе Це обязательно, чтобы /(ж) была линейной
комбинацией функций ®к(х), а нужно лишь, чтобы
имели смысл интегралы, входящие в (24). Как мы знаем,
это во всяком случае имеет место, если /(ж)6^’(х>-
Таким образом для любой /(ж) из L^xy можно со-
ставить коэффициенты ск и образовать ряд
со
2 са(л)	(25)
ь-i
(предполагая систему (9) бесконечной). Этот ряд назы-
вается рядом Фуръе функции /(ж) в системе (9). Само
собой разумеется, что мы не утверждаем сходимости
этого ряда; напротив, нам известен ещё из первой
части пример непрерывной функции, у которой триго-
нометрический ряд Фурье не всюду сходится. Поэтому
никаких оснований писать равенство
оо
/(ж) = 2 «Л(4
вообще говоря, нет. Чтобы отметить всё же связь
ряда (25) с функцией /(ж), употребляется обычно знак
соответствия
’	со
/(ж)со 2 СЛ(Ж)-
Рассмотрим одну проблему, которая позволит нам
подойти к понятию коэффициентов Фурье с новой точки
зрения.
Для этого мы снова возьмём систему (9) и поставим
вопрос о подборе таких коэффициентов а{, аг, ..., ап,
чтобы линейная комбинация
п
СЧж) =2	(26)
/с=1
2® Конструктивная теория функций
Зоб
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
(гл. 11
(подчеркнём, что число п закреплено) представляла бы
некоторую функцию f(x) из с наименьшей средней
квадратической погрешностью, т. е. чтобы интеграл
ь
П-/Па= \p{x)[U(x)-f(x^dx
а
(27)
принял наименьшее возможное значение.
Оказывается, что этот вопрос решается весьма просто.
Действительно, замечая, что
ь
P(x)f (ж) U (х) dx —
а
п Ь	п
= 3 ак 5 Р (ж) / (*) “к (*)dx = 3 Акакск,
где ск—коэффициенты Фурье функции f(x), и что,
с другой стороны, в силу ортогональности системы (9)
р (х) U* (ж) dx = 2 ^*4,
в	*=1
получаем
Ь	п	п
IIU - /||4» $ р (ж) /’ (ж) dx - 2 2 Акакск + 2
а	А-=1	к-1
откуда
Ь	п	п
I U ~ /II* - 5 Р dx~^ Акск + 2 Ак (ah - сл)2-
а	к=1	к—1
В правой части этого равенства от коэффициентов ак
зависит лишь сумма
п
2 (ак Ск)*‘
к-1
j 2]	Коэффициенты фурье	з<у
Она принимает своё наименьшее возможное значение
(равное нулю) тогда и только тогда, когда
afc = cft	(Л= 1, 2, ,.п),
т. е. когда за искомые коэффициенты берутся коэф-
фициенты Фурье функции /(ж).
Таким образом, доказана
Теорема 1 (А. Тендер [1]). Из всех линейных комби-
наций
п
и (ж) = 2 aAWA- (Ж)
к=1
наименьшее возможное значение интегралу
ь
IIU - /1|2 = р (ж) [U (ж) - / (ж)]2 dx
а
доставляет отрезок ряда Фурье функции / (ж):
п
*=1
причём это наименьшее значение равно
1>	п
Рп - / II3 = $ Р (*) f № dx - 2 Akcl. (28)
a	k=i
Так как ||5П —/||а>0, то из (28) следует неравен-
ство Бесселя
п	Ъ
2 Akck < Р (Я) /2 (Ж) dx.
k=l	а
Благодаря произвольности числа п (мы считаем
систему (9) бесконечной), ряд
ОО
%Akcl
k = i
20*
[гл. It
303	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
сходится, и справедливо неравенство
2 АкСк< J Р (®) /’ (®) dx,
fc—1	а
также называемое неравенством Бесселя.
Если, в частности, окажется, что
со	Ъ
2 44 я dx’
к-l	а
(29)
то это равенство называют равенством Парсеваля. Из
(28) ясно, что равенство Парсеваля совершенно равно-
сильно соотношению
lim ||4-/|| = 0.	(30)
п->оо
Теорема 2. Если f (х) есть конечная линейная
комбинация функций системы, то для неё выполняется
равенство Парсеваля.
В самом деле, мы уже видели, что в равенстве
f(x) = cla>1(x)+ ...+спшп(ж)	(31)
коэффициенты ск необходимо должны быть коэффициен-
тами Фурье функции /(ж). Поэтому,' умножая (31)
на р{х) /(ж) и интегрируя, сразу приходим к равен-
ству Парсеваля
Ь	п
J Р (ж) /‘ (я) dx = 2 АкСк-
a	k—i
Можно доказать эту теорему и иначе, если заметить,
что при / (ж) = шк (ж) равенство Парсеваля заведомо
выполняется (ибо превращается в самое определение
чисел 4)> и установить следующее предложение:
Теорема 3. Если равенство Па рсеваля выполняется
для функций
h{x), /,(ж),	/т(ж),
309
§ 2]	КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
то оно выполняется и для их линейной комбинации
т
ж == 2 «</<(*)•	(32)
»=1
Доказательство. Будем обозначать n-й отрезок
ряда Фурье функции /(ж)
п
2 (*)	(33)
к-1
через 5П[/]; это обозначение подчёркивает зависимость
отрезка (33) от функции /(ж). Нетрудно видеть, что для
функции (32)
т
Sn[f]=^aiSn[ft].
i—1
Таким образом
т
ж-<и/] = 2мл w~sn[fi\}
i=
и, стало быть,
m
i=l
Так как для каждой из функций /г(х) равенство
Парсеваля по условию выполнено, то правая часть
этого неравенства стремится к нулю с возрастанием п.
Значит, имеет место соотношение (30), равносильное
равенству Парсеваля (29) для функции / (ж).
Установим ещё следующее предложение:
Теорема 4. • Чтобы для функции f(x) выполнялось
равенство Парсеваля, необходимо и достаточно, чтобы
её можно было приблизить (в смысле метрики про-
странства L£(X)) линейными комбинациями функций (9)
с любой степенью точности, т. е. чтобы для всякого
310	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	[гл. Ц
в > 0 существовала линейная комбинация
п
#(*) = 2 ake>k(x),
*=1
для которой
\\U-f\\<*.
Необходимость условия теоремы очевидна, ибо за
искомую функцию U (ж) можно взять n-ю сумму Фурье
Sn (ж) функции f (ж) при достаточно большом п.
Допустим теперь, что для всякого в > 0 существует
требуемая функция U (ж). Ввиду того что по теореме
Теплера будет выполнено неравенство
|| 5П -/||<||tf-/|| ,
то и Подавно
1|5П-/|| <«.
Остальное ясно.
Поставим вопрос об условии, при котором заданная
числовая последовательность {ск} является последова-
тельностью коэффициентов Фурье какой-нибудь функции
из L^X). Ответ даёт следующая
Теорема 5 (ф. Рисе [1] — 3. Фишер [1]). Пусть
на сегменте [a, i] дана ортогональная система {ш*(ж)}
веса р(ж). Если числа ct, с2, с3, ... таковы, что ряд
03
2 Akcl	(34)
k = i
сходится, то в существует одна и только одна
функция /(ж), для которой:
1) числа ск суть коэффициенты Фурье в системе
{«>*(*)};
2) выполнено равенство Парсеваля.
Доказательство. Положим
п
sn (*) = 2 скшк (ж)
'§ 2]\
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
311
и убедимся, что последовательность {5П} сходится в себе.
Для этого вычислим || 8т — Sn ||. Если т > п, то
m
l|Sm-Sn||’= || S сл||’ =
ЙевПН-1
Ъ	т	т
= />(«)[ 2 сл(«)] <*ж = 2 л*с*-
a	k=n+i	*=n+i
В силу	сходимости	ряда	(34), для	всякого	в > О
будет существовать такое N, что при т > п > N
окажется
т
SACK»*,
fc-n+1
или, что то же самое, || Sm — 8п || < в, а это и значит,
что последовательность {£„} сходится в себе..
Но тогда благодаря полноте пространства L^y в этом
пространстве имеется функция f(x), для которой
lim ||Sn~f|| = 0.	(35)
n-*co
Она является искомой.
В самом деле, из (35) вытекает, что последователь-
ность {5п(ж)} слабо сходится к /(ж), т. е. что для
любой g (ж) из L*(x)
ь	ь
lim С р (ж) 5Л (ж) g (х) dx = р (ж) / (ж) g (х) dx.
71—>00	V	J
о	а
В частности,, при g (х) = шг (ж) имеем
ь	ь
\ р (ж) / (ж) (ж) dx = lim ( р (ж) 8п (ж) сог (ж) dx,
312
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[rft. II
а так как при n>i
ь
^р(х) 5П («)>((«) 4® =
а
b	п
= р («) [ 2 с*ш* ю юdx=AiCt>
а	к=1
ТО
ь
с<=i 5р ю< dx'
а
Таким образом числа ск в самом деле служат коэф-
фициентами Фурье для /(я). Но в таком случае Sn(x)
есть сумма Фурье для этой функции, и равенство (35)
означает, что для неё выполняется равенство Парсеваля.
Остаётся убедиться в единственности требуемой
функции. Но если бы их было две, то по условию 1)
они имели бы общий ряд Фурье, а так как выполне-
ние равенства Парсеваля означает сходимость (в сред-
нем) сумм Фурье к функции, то по условию 2) они
обе должны были бы служить пределом для одной
и той же последовательности {5П}, откуда должно
вытекать совпадение этих функций. Теорема доказана
полностью.
§ 3. Полнота и замкнутость.
Определение 1. Ортогональная система назы-
вается замкнутой, если для любой функции из
имеет место равенство Парсеваля.
Из сказанного выше ясно, что замкнутость ортого-
нальной системы означает, что класс всех линейных
комбинаций функций системы всюду плотен в LP(Xy
Теорема 1. Если ортогональная система замкнута,
то для любых двух функций fix) и g (х) из
Ъ	со
5 Р (я) / (*) g (*)dx = 2 Akakbk, (36)
а	/с=1
I gj	ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ	313
где ак и Ьк соответственно суть коэффициенты Фуръе
функций / (х) и g (ж).
Действительно, для суммы / (ж) + g (ж) коэффициен-
тами Фурье служат числа ak + bk. Поэтому равенство
Парсеваля для суммы / (ж) + g (ж) имеет вид
Ь	со
j Р (f + 2/g + g3) dx = 2 Л (4 + 2akbk + bl). (37)
a
Ho
b	co	b	оэ
pfdx =	2 Akak,	J	2 Akbl-
a	fc=i	a	-I
Отсюда и из (37) и следует (36). Формула (36) есть
обобщённое равенство Парсеваля-^ при §(ж) = /(ж) эта
формула обращается в обычное равенство Парсеваля.
Теорема 2 (В. А. Стеклов [1]). Пусть Л есть
класс функций, всюду плотный в L^X). Если равенство
Парсеваля выполняется для всех функций, входящих в А,
то рассматриваемая ортогональная система замкнута.
В самом деле, какова бы ни была функция /(ж)
из Ъ*(ху, в классе А можно найти функцию g (х) для
которой
где в > 0 взято наперёд. Но для g (ж) равенство Пар-
севаля выполнено. Значит, Найдётся линейная комби-
нация и (ж) функций фй (ж), для которой || и — g|j <	•
В таком случае
Таким образом функцию /(ж) можно с любой точно-
стью приблизить линейными комбинациями функций
системы, а это и означает, что и для / (ж) выполнено
равенство Парсеваля.
Следствие 1. Если равенство Парсеваля выпол-
нено для любого полинома, то система {«в* (ж)} замкнута.
'' /
314	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	[гл. II
Действительно,. класс Р всех полиномов всюду
плотен в
Следствие 2. Тригонометрическая система (10)
замкнута, если основной, сегмент имеет длину 2к.
Действительно, для любого тригонометрического
полинома равенство Парсеваля выполнено потому, что
он является линейной комбинацией функций (10),
а класс таких полиномов всюду плотен в Z’^).
Определение 2. Система функций Ф = {<р(ж)}
(а<ж<Ь) называется полной, если в L^X) нет функции
(кроме Тождественного нуля) ортогональной ко всем
<р (ж) из Ф.
Теорема 3. Ортогональная система полна тогда
и только тогда, когда она замкнута*).
Действительно, если ортогональная система {о>й(ж)}
веса р(х) замкнута, а функция /(ж) ортогональна
ко всем <ок(х), то все коэффициенты Фурье функции f (ж)
суть нули; с* = 0. Значит, равенство Парсеваля для / (ж)
принимает вид
г
р (ж) f (х) dx = О,
а
возможный лишь при условии, что /(ж) = 0. Поэтому
замкнутость ортогональной системы влечёт её полноту.
Если же система {<»*(»)} не замкнута, то в L^xy
имеется функция g (ж), для которой равенство Парсе-
валя не выполнено.
Если ск суть её коэффициенты Фурье, то, в силу
неравенства Бесселя,
со	Ъ
2 Akcl < р (х) g* (ж) dx.
7с-1	а
По теореме Рисса—Фишера в Lp(X) существует функ-
ция /(ж), для которой числа ск будут служить (так же,
*) Столь простое соотношение между замкнутостью и полно-
той имеет место лишь для пространства L^xy, см. Г. М. Фихтен-
гольц [1].
§ 3]	ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ
315
как и для g (ж)) коэффициентами Фурье, но для которой
оо	а
2^4*4® \p(x)f(x)dx.
ь
Положим / (ж) — ?(«) >= г (ж). Эта функция, не будучи
тождественной нулю, оказывается всё же ортогональ-
ной ко всем функциям <»й(ж), так что система {«о* (ж)}
не полна. Теорема доказана полностью.
Следствие. На сегменте длины 2тс тригонометри-
ческая система полна.
Г ЛАВ A III.
ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ.
§ 1. Линейная независимость. Определитель Грама.
Теорема Шмидта.
Определение 1. Система функций (ж),<р2(ж),...
...,<?п(х), заданных на сегменте [а, 6], называется
линейно зависимой, если существуют постоянные
а1(а2, ... , ап, из которых хоть одна отлична от нуля,
удовлетворяющие условию
«1?1 (») + а2<р2 («)+.'.. +ап<рп (ж) = 0	' (38)
(как всегда, функция, эквивалентная нулю, считается
тождественной нулю). Если не существует таких посто-
янных, а из (38) вытекает, что
а1 = а2= ... =ап==0,
то система функций называется линейно независимой.
Если в числе функций системы имеется функция,
эквивалентная нулю, то система линейно зависима.
Если некоторая часть системы сама образует линейно
зависимую систему, то и вся система линейно зависима.
Примеры. 1°. Всякая конечная ортогональная
система веса р(х) линейно независима. Действительно,
если {ш/с (я)} — такая система и
«1®1 («)+•••+	(®) = О,
то, умножая это равенство на р (х)	(ж) и интегрируя,
находим, что az = 0.
2°. Если п1( п2, . .. ,пт— целые, попарно не равные,
числа, то функции хП1, хп^,,.., xri™ образуют систему, ли-
§ 1] ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА 317
нейно независимую на любом промежутке. Действительно,
целый полином может иметь лишь конечное число корней.
Определение 2. Исчислимая система функций
называется линейно независимой, если линейно незави-
сима всякая конечная часть этой системы.
Так, например, линейно независима система 1, х,
х*, ж8, . . .
Условимся в следующем обозначении: если /(ж)
и g(x) — две функции из Lp(X), то под (/, g) мы будем
понимать интеграл
Р- (*) /(«)?(«)</».
Определение 3. Пусть срх (ж), (ж),..., <рп (х)
суть функции, заданные на [а, Ь] и входящие в £р(Ж).
Определитель
(?», ?2) • • • (<Р1, ?п)
(?»> ?1) (?2, ?2) • • . (<Р2, 9л)
(<?П.<Рх) (фП»?2) ... (?П,?л)
называется определителем Грама *) системы функций
{?»(*)}
Теорема 1. Для того чтобы система функций
была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы
её определитель Грама равнялся нулю.
Действительно, пусть система {<?* (ж)} (k = 1, 2, ... , п)
линейно зависима. Тогда найдётся система постоянных
ак, среди которых имеются отличные от нуля, удов-
летворяющая условию (38). Умножая (38) последова-
тельно на р (ж) <pi (ж), р (ж) <р2 (ж), ... , р (ж) <рп (ж) и каждый
раз интегрируя, получим п равенств:
«1 (?1, ?1) + «2 (?1> ?2) + • • • + «Л (?i> ?л) = О,
“1 (?2> ?х) +	(?„ ?2) + ... + ап (<р2, <рп) = О,
«1 (фл> <Р1) + «2 (фл> ?2) +	+<(?/!, <Рл)=О. .
*) Грам [1].
31й Линейно независимые системы функций [гл. ш
Иначе говоря, числа ап аа, ... , ап образуют решение
однородной системы с определителем Дп, что возможно
лишь при условии
Дп = 0.
Обратно, если Дп = 0, то существуют числа як, не все
равные нулю и удовлетворяющие соотношениям (39).
Запишем (39) в форме
ь
Р (*) ¥1 (*) [«Л И + а2?2 («)+'••+ «п?п (я)] dx = О,
а
b
5 Р (ж) ?2 (®) [«>?! (*) + а2?2 (ж)+...+ м>п (ж)] dx - О,
а
Ь
5 Р («) Фп (®) 1а1?1 (®) + а2?2 (*)+••• + <М>п («)] dx = 0.
а
Если первое из этих равенств умножить на ап второе —
на аа и т. д. и сложить полученные результаты,
то мы найдём
ь
Р («) [*1?1 (Х) + а2?2 («)+•••+ «П?П (Ж)]2 dx = О,
а
откуда вытекает (38), т. е. система {<р* (ж)} линейно
зависима.
Следствие. Если, Дп ¥• О, то и ни один из опре-
делителей*) Дп Да, ... , Дп_1 также не равен нулю.
В самом деле, из того, что Дп #= О, следует линейная
независимость системы <р, (ж), <р2 (ж),	(«), но тогда
линейно независима и всякая укороченная система
Ф1 (я), ф2 (ж), .. к , фт(я) (/« < п), откуда, в свою очередь,
вытекает, что Дт^0.
*) Под Aj подразумевается (?р ?j).
| 1] линейная Независимость, определитель граМа 319
Лемма. Пусть на [a, i] заданы функции «рДж), <р2(ж), ... ,<рп(ж), принадлежащие Lp(X). Положим				
	(?i» ?i)	(?!» <?•)	. А • (?1, ?Л-1)	?1’(^)	
Фл («) =	(?2>?1)	(?2>?2)	...(?.. ?л-1)	(я)	•
Тогда	(?Л»?1)	(?л, ?s)	• • • (фпл <Рп-1) ?П (*)	
	г °- (Фп> ?*)“] А 1		если к < п; если к = п.	(40)
Действительно, чтобы умножить ф„(ж) на р(х)<рк(х),
достаточно умножить на р (х) <рк (х) последний столбец
определителя, написанного выше. Точно так же инте-
грирование полученного произведения можно выполнить,
интегрируя последний столбец. Остальное не требует
пояснений.
Если мы развернём определитель <|»п (ж) по элементам
последнего столбца, то получим
Ф« (®) = «1Ф1 (»)+..•+ «n-ifn-i (я) + Дп-1?п (*)• (41)
Поэтому при условии линейной независимости функ-
ций ip* (ж) функция фл (ж) не может быть нулём (ибо
Дл_х Ф 0). Умножая (41) на р(х) фп(ж), интегрируя
и принимая во внимание (40), находим
ь
\р (®) фп (®) dx - Дп~х Дп.	(42)
а
Отсюда вытекает, что определитель Дп имеет тот
же знак, что и По тем же соображениям одина-
ковы знаки у Дп^! и Дп^2, а значит, и у Дл.и ДП1_2.
Продолжая рассуждать таким же образом, мы установим,
что знак Д„ совпадает со знаком Aj = (<рп <р2) > 0.
Поэтому доказана
Теорема 2. Определитель Г рама линейно независи-
мой системы строго положителен.
Изложенные соображения позволяют доказать важную
«теорему ортогонализации».
320 ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ [гл. Щ
Теорема 3 (Э. Шмидт [1]). Пусть на [a, дана
конечная или исчислимая линейно независимая система
функций ?! (ж), <р, (ж), • • • , входящих в L^*). Тогда можно
построить такую ортонормальную систему шДж),
ш2 (ж), ... , что
1) всякая шп,(ж) .есть, линейная комбинация первых п
функций ?! (ж),	(ж), ...,	(х);
2) всякая <рп (ж) есть линейная комбинация первых п
функций шх (ж), ш2 (ж), ... , шп (ж). -
Доказательство. Положим
где ср„ (ж) есть определитель, рассмотренный в лемме.
Так как фл (ж) есть линейная комбинация функций
ср1(ж), <р2 (ж), ..., <рл (ж), то и шл (ж) есть такая же
линейная комбинация.
Далее, лемма обеспечивает ортогональность фл (ж)
ко всем функциям <р2, <pn_i, а значит, и к их
линейным комбинациям. В частности, фп(ж), а с ней
и шп (ж), ортогональна ко всем функциям (ж), ш2 (ж),...
... > “n-i Таким образом система {шй (ж)} ортогональна
(напомним, что всё время речь идёт об ортогональ-
ности по весу р(ж)). Из (42) вытекает, что при п>2
ь
р (ж) Шп (ж) dx = 1,
а
а при п = 1 это равенство тривиально. Значит, {“^(ж)}
есть ортонормальная система.
Остаётся проверить, что <рл(ж) линейно выражается
через “j (ж), ш2 (ж), •••, шп (ж). Для п=1 это очевидно.
Если это уже доказано для всех п < т, то в силу (41)
имеем
т-1
Заменив здесь фт (ж) на Дт шт (ж), а каждую
<р/ (ж) (i = 1, 2, • • • , т — 1) линейной комбинацией функ-
§ 1] ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИС, ФУНКЦИЯМИ ЗМ
ций фх (ж), .,., (Oj (х), получим, что <рт(ж) есть линейная
комбинация функций о>х (х), • • •, <»т (ж).
Теорема доказана полностью!.
Процесс построения указанной системы {соА (ж)}
называется «ортогонализацией» исходной системы {у*(ж)}«
Ввиду того что функция/(ж), ортогональная ко всем
функцияй фл(ж), будет ортогональна и ко всем <вк(х)
и обратно, справедлива
Теорема 4. Системы {ф*(ж)} и {<»*(«:)} одновре-
менно полны или нет.
g £. Приближение линейно независимыми функциями.
Пусть <pi (ж), <р2 (ж), ..., <рп (ж) есть линейно незави-
симая система функций, заданных на [а, 6] и входящих
в
Возьмём какую-нибудь функцию	и по-
ставим вопрос о наилучшем приближении в среднем
функции / (ж) линейными комбинациями функций <рк (ж).
Эту задачу мы уже рассмотрели в предположении, что
функции <pfc (ж) образуют ортогональную систему веса
р(ж). Сейчас мы этого предположения не делаем.
Ортогонализируя по Шмидту систему {<р*(ж)}, мы
придём к системе {<»й(ж)}. Всякая линейная комбина-
ция функций (ж) будет линейной комбинацией и функ-
ций <о*(ж), и наоборот. Так как по теореме Теплера
существует единственная линейная комбинация
функций (ж), доставляющая минимум интегралу
ь
Р (ж) [/ (ж) — U (ж)]*4?ж,	(43)
а
а именно п-я сумма Фурье функции / (ж), то существует
одна и только одна комбинация
п
	=	(44)
i-l
для которой интеграл (43) принимает наименьшее зна-
чение. Заметим, что не только комбинация U (ж), но и
Ч Конструктивная теория функций
'я
8f2 ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ [гл, Щ
сами коэффициенты dt тоже определяются единствен-
ным образом. Действительно, если бы U (х) кроме
представления (44) допускала представление
п
U(x) = ^idi^i{x),
i«=i
то было бы
п
2&~Ч)М*) = 0,
откуда благодаря линейной независимости функций’
<Pi (ж) следовало бы, что dt = d, (i = 1,2, • • •, п).
Поставим вопрос о фактическом нахождении чисел dt
и минимального значения интеграла (43).
Лемма. Линейная комбинация U(ж), минимизи-
рующая интеграл
ь
\p(x)[f(x)~U(x)]*dx,
такова, что разность
f(x)-U(x)
(45)
ортогональна ко всем функциям % (ж).
Доказательство. Если {e>ft(ж)} есть ортогональ-
ная система, полученная ортогонализацией системы ’
{у4(ж)}, то(?7 (ж) есть п-я сумма Фурье функции /(ж):
п	ь	'
и (ж) = 2 С А W	= $ Р W f (») <°k (ж) <*ж) .
Л=1	а
Вместо ортогональности разности (45) к функциям
<Р/ (ж) достаточно проверить её ортогональность к» функ-
циям (ж). Последняя, однако, вполне очевидна, ибо
Ь	п
р (ж) [ / (ж) — 2 ck («) 1 а>,- (ж) dx = ct - с,=0.
a	k—i
Итак, лемма доказана.
j 2] ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИС. ФУНКЦИЯМИ 323
Поэтому искомые числа таковы, что
ь	п
$/>(«) [ / w—2w dx = °
а	к—1
(I = 1, 2,..., и).
Значит,, эти числа мы найдём из системы уравнений
di (?i> ?i) + d2 (?п ?,)+•••+	(?1, ?п) = (Л ?1),
di.(?»»Ф1) + d> (?2> ?а) + • • • + dn (?а, f п) = U, ?»)>
dl (?Л, ?1) + d2 (<Рл, ?2) + • • • + 4 (<Рл, ?л) = (Л ?л)>
имеющей единственное решение, так как её определи-
телем служит отличный от нуля определитель Грама Дп
линейно независимой .системы- { ¥*(#)}« Это единствен-
ное решение имеет вид
4i~^n ’
где Д«> ест^ определитель, получаемый из Д„ заменой
i-го столбца столбцом свободных членов.
Таким образом числа dt найдены. Перейдём к оты-
сканию минимального значения интеграла (43). Это
минимальное значение есть
*	" (О
.р? Т 5 р W .[~ .2 ?>' Ф ]1 dx'
a	i=
Отсюда
ь	" zn
рп=\р(«) [/ w — 2?*(«)]/(ж)dx-
а	<И1
-2^- 5	[/(ж)~2	?/(»)]
i=l а	<»!
В силу леммы вторая сумма, написанная здесь,
исчезает и
pn = (/,/)-2^(A?i)-	<46)
21*
324 ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ [гл. Щ
Иначе говоря,
(Т1- ?1) • • • (Tn Ti-1) (Т1. /) (Тг Ti*i)- • • (Мп)	)
(Ml) -г • (Та. Ti-i)(Ta./)(Ta.Ti.i) • • - (Та- Tn)	I
(/. Tt)b
...............................................   I
(Тп.Тх) • • • (Tn-Ti-i)(Tn./)(Tn.Ti.i) • • • (Мп) )
* ?(/>/) Дп-2
I 4-1
Легко сообразить, что выражение, написанное
в фигурных- скобках, -равно определителю
. (/,/) (/,Тх) (/х,?х) ... (/,?»)
-	(?Х, /) (?1> ?1) (?х. ?») ... (?х,?п)
(?п. /) (?n, ?х) (fn, ?2) ... (?п> ?п)
являющемуся определителем Грама системы функций
/(я). ?х(ж),	, ?п(ж).	.
В самом деле, развернув D по элементам первой
строки, найдём
Р = (/,/)Дп +
(Тп /) (Тх- Тх) • ’• (Тх. Ti-i) (Tn Ti+i) • • • (Tn Tn)
"	(Ta- /) (Ta- Ti) • • • (Ta- Ti-i) (Ta> Ti+i) • • • (Ta. Tn)
+ 3(-l/(/.Ti)......................................  ’
1 = 1
(Tn- /) (Tn- Ti) • • -(Tn. Ti-i) (Tn- Ti+x). • -(Tn. Tn)
Если в полученных определителях перевести пер-
вый столбец на i-e место, то это вызовет появление
множителя (— I)*-1, и мы в точности придём к выра-
жению, стоящему в фигурных скобках; поэтому
D
Рп = Д’
Если условиться записывать определитель Грама
системы функций fu ft,»,. , fn в виде
Д(/х,
§ 2] приближений Линейно независ. функциями 325
то полученный результат можно переписать так;
_ Д (?1.	 ?П, /) t	'	<
Рп Д(Т1, Та, ••• . ?п)
^Гакова величина наименьшего квадратического укло-
нения линейных комбинаций ср* (ж) от функции /(®).
Определение. Система Ф = {ср(®)} функций,
входящих в Lp(x), называется фундаментальной, если
класс линейных комбинаций функций системы всюду
плотен в Lp(X).
Для случая ортогональной системы понятие фунда-
ментальности очевидным образом совпадает с понятием
замкнутости, и тогда оно равносильно понятию полноты.
Это обстоятельство имеет место и в общем случае.
Теорема. Исчислимая линейно независимая систе-
ма функций фундаментальна тогда и только тогда,
когда она полна.
 Можно было бы показать, что исчислимость й линей-
ная независимость системы не существенны, но такое
обобщение теоремы нам не понадобится.
Для доказательства теоремы отметим, что класс
линейных комбинаций функций системы совпадает
с классом линейных комбинаций функций той ортонор-
мальной системы, которая получается из данной про-
цессом ортогонализации Шмидта. Поэтому фундамен-
тальность исходной системы равносильна фундаменталь-
ности, т. е. замкнутости упомянутой ортонормальной
системы. Эта же последняя замкнута тогда и только
тогда, когда она полна, т. е. когда полна исходная
система.
Критерием фундаментальности системы служит вы-
полнение равенства
П-»=О	Д(?1, ?2, •••, ?п)
для любой функции / (ж) из Lp (Х). Однако вполне доста-
точно, чтобы это равенство выполнялось для функций
/ (х) из какого-нибудь всюду плотного в Lp клас-
са А (ибо в этом случае любая функция из£.р(Х) может
быть приближена элементом Л, а он в свою очередь—
326 ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ (гл. Щ
линейной комбинацией функций ^(ж)). Более того,
если (47) выполняется для всех /(ж), принадлежащих
какой-нибудь фундаментальной системе функций, то
система {?1(ж), <р2(ж), <f>t(x),...} является фундамен-
тальной. Например, система степеней 1, х, х*, ж*,...
фундаментальна, потому что класс всех полиномов
всюду плотен в £р(Х). Значит, если система {?*(ж)}
такова, что при т — 0, 1, 2, 3,...
lim
П->СО
Ь(хт, ?1. У»,.... ?п)
Д (?1. ? ......?п)
= о,
то эта система фундаментальна.
§ 3. Теоремы Мюнтца.
Г. М. Мюнтц [1] рассмотрел вопрос о том, при каких
целых неотрицательных показателях n, < nt < га, <...
система степеней жП1, ж"*, ж"»/ ... оказывается фунда-
ментальной в £’ на сегменте [0, 1] (таким образом
здесь весовая функция р(ж) равна единице). Согласно
сказанному выше для этого необходимо И достаточно,
чтобы при m=Q, 1, 2,... было
v Ь(хт, хп\ хп*...п
пт —*—     —!—с — л
в—*00 Ь(хП1,ХП*...Хп*)
(48)
Если один из показателей п,- совпадает с т, то
при s > i
Д (жт, жп‘, жп‘,..., жп») = 0
и (48) имеет место. Поэтому достаточно раассмотреть
те значения т, которые не совпадают ни с одним п,
(если бы их не было, то. это означало бы, что {иД
исчерпывает весь натуральный ряд, и тогда система
{ж”*} была бы очевидным образом фундаментальной;
поэтому впредь мы этот тривиальный случай исклю-
чаем).
Для изучения проблемы Мюнтца понадобится вспо-
могательная
5 э]
ТЕОРЕМЫ МЮНТЦА
327
Теорема Коши. Справедливо равенство
а1 + в1 +	‘ + Ъп
1 1 1
аг + 62 ‘ ' “z + bn
1 1 1
°n + bi ап-\-Ь2 ‘ " ап+Ьп
i>k________________-
JJ (ai + bk)
i,fc
(49)
Для доказательства следует вычесть последнюю
строку определителя из всех предыдущих, затем выне-
сти множитель*
п-1
П <an~«i)
_______i=l_______________
<an+^l)(an+^2)-"-(an + ^n)
за знак определителя и в полученном определителе
вычесть последний столбец из всех предыдущих. Это
позволит вынести за знак определителя множитель
п-1
П^п-м
____i-i______
(а1 + &п) (а2 + ьп) • • • (ап~1 + ьп) '
после чего порядок определителя понижается на еди-
ницу. Повторное применение этого приёма приведёт
нас к равенству (49). Подробности вычислений предо-
ставляются читателю.
Переходя к проблеме Мюнтца, заметим, что
1
(xv, xq) = xp*qdx = —-i-
о
328	ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ [гл. Ш
Отсюда			1	
	1	1		
	ni + ni+1 1	л1 + лг + 1 ’ 1	' л1 + "» + 1 1	
Д (ж”1, ж”», ..., ж”8) =	п* + П1 + 1 1	ла + геа + 1 1	л, + л« +1 1	
и по формуле (49)	л« + п1 + 1	пг + пг + 1 ‘	л» + л. + 1	
Д (ж"1, Жп», . . ., Ж”8) as	.
JJ (гц + nfc3-1)
i,A
Совершенно аналогично
Д {xm, ж% ж"*, ..., ж”’) =
П(п‘-Лл)а П(т-п‘)8
__ »>jt_______ <=t__________ <
8	2»»4-l*
JJ(ni + «*+l) JJCm + nj + l)8
i,k	i»l
Отсюда
A(s™, a:"1, ...s"8) _	1 rr / m — ni \»
Д(жП1,xns) 2m+ 1 m + nj4-t у ’
и равенство (48) можно записать в виде
8
lim П ^~-” 4 а«0.	(50)
»i + m+l	'	’
1==1
Так как мы исключили случай совпадения т
с каким-нибудь nt) то при любом s произведение, вхо-
дящее в (50), отлично от нуля. С другой стороны,
числа п,- неограниченно возрастают. Поэтому, не огра-
5 3].	ТЕОРЕМЫ МЮНТЦА	31»
ничивая общности, можно считать, что > т при
всех if ибо иначе мы просто исключили бы конечное
число множителей из рассмотрения. .
Равенство (50) можно записать так!
Ит[31п(‘-=-)-21"(1+^)] = -~. (5!)
Если ряд*)
Н <52>
1-1
расходится, то
оо	со
и (51) выполнено. Если же ряд (52) сходится, то схо-
дятся и ряды (53) так, что (51) не выполнено. Таким
образом доказана
Теорема 1 (Г. М. Мюнтц). Система степеней
хП1, хПг, xni, ...
в целыми неотрицательными показателями
П! <	< П, < . . .
фундаментальна в £в([0, 1]) тогда и только тогда, когда
ряд
расходится.
В тесной связи с этим результатом находится
 другая теорема того же автора, решающая следую-
щую проблему: каково должно быть множество целых
*) Само собою разумеется, что при пх — 0 в ряде (52) сумми-
рование происходит, начиная с < = 2.
330 ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ [гл. Ill
неотрицательных показателей {nJ (n0 < nx <jnt <...),
чтобы полиномами
S
2 СгхП‘	(54)
4=0
можно было равномерно приблизить с любой степенью
точности всякую непрерывную на [0, 1] функцию.
Если множество {nJ обладает этим свойством, то
говорят, что система степеней {®nJ фундаментальна
в С ([0,1]).
Теорема 2 (Г. М. Мюитц). Для того чтобы систе-
ма степеней {®nJ (n, < пх < п, <...) была фундамен-
тальна в С ([0, 1 ]), необходимо и достаточно, чтобы
было п, = 0 в чтобы расходился ряд
Sv*	<55)
4=1 1
Необходимость условия по = 0 вытекает из простоте
замечания, что при п0 > 0 все полиномы (54) обраща-
лись бы в нуль в точке' х — 0 и ими нельзя было бы
приблизить те непрерывные функции /(ж), у которых
/ (0) Ф 0. Далее, если система степеней фундаменталь-
на в С ([0, 1]), то она и подавно *) фундаментальна
в Z?([0, 1]), так что по предыдущей теореме ряд (55)
расходится.
Переходя к доказательству достаточности условий
теоремы, допустим, что оба они выполнены.
Если i>2, то nt > 1. Одновременно с рядом (55)
расходится и ряд
СО
4=2
и потому система степеней {ж"*-1} (i>2) фундамен-
тальна в 2Л ([0, 1]). Тем более, это так при »>1.
*) Ибо класс С([0, 1]) всюду плотен в 1Л([0, 1J).
§ 3]
ТЕОРЕМЫ МЮНТЦА
331
Заметив это, возьмём . произвольное натуральное
число m и е > 0. Функция ж"1-1 входит в L* ([0, 1])
и потому существуют такие коэффициенты at, что

Отсюда, благодаря неравенству Вуняковского, сле-
дует, что при 0<ж< 1 будет
ж"1"1 — V d® < —
а значит, и подавно
1<е'
Таким образом полиномами (54) можно приблизить
любую степень хт при т > 0. Но так как п, = 0, то
условие т > 0 несущественно, и потому всякий полином
можно с любой степенью точности приблизить полино-
мом вида (54). Остаётся заметить, что произвольная
непрерывная функция с любой степенью точности
приближается полиномами.
ГЛАВА IV.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ полиномов.
§ 1. Основные определения.
Система степеней {«*}(& = 0, 1,2, ...) линейно неза-
висима На любом сегменте [а, 6]. Поэтому согласно
общей теореме Шмидта её можно ортогонализовать
при всякой весовой функции. Остановимся несколько
на вопросе о том, как будут выглядеть здесь развитые
выше общие соображения.
В теореме Шмидта существенную роль играли опре-
делители Грама исходной системы функций. Если мы
введём обозначение
ь
р(х)хп dx = p-n	(n = 0, 1, 2, ...)
а
(эти числа называются моментами весовой функции
р(х)), то найдём
ь
(хр, ж9) = p(x)xv'9dx = p.ptq.
а
Поэтому определитель*) Грама
	(1,1)	(1, я).	..(1,
Дп =	(®, 1)	(ж, ж) .	.. (ж, ж”)
	(х"> 1)	(жп, ж).	..(ж”, ж”)
•) Это определитель порядка п+1. Поэтому применяемые
здесь обозначения несущественно отличаются от обозначений,
употреблявшихся выше, когда Дп был определителем порядка п.
§ <1
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ	333
принимает вид
дп=
Н.
Pi
Р1 . < • Рп
Р« •• • Рп+1
(56)
в лемме
Рп Рп+11 • • Р»п
Далее, функция фп(®), фигурировавшая
§ 1 главы III, теперь будет иметь вид
	р.	Р1 • •	• Рп-1	1
Фп (*) =	Р1	р. ..	•Рп	ж
	* •	• • • i	• • • в	• »
	Рп	Рп+1« •	• Р»П-1	ж"
а функции о>п(я:), образующие ортонормальную систему,
(п = 1,2,...)
•(57)
х
Рп Pntl • • • Pin^l хП
Заметим, что шп (ж) есть полином степени точно
равной п, ибо коэффициент при хп в о>п(ж) равен
Таким образом ранее доказанная теорема Шмидта
принимает следующий вид:
Теорема 1. Какова бы ни была весовая функция
р(х), заданная на [а, 6], существует система полиномов
% (ж), <Мж), ш2(ж),	(58)
где о)п (ж) — полином точно п-й степени, являющаяся
ортонормальной системой веса р(х).
Мы видели, что систему (58) можно определить
формулой (57). Естественно спросить, не существует ли
ортонормальных систем веса р (ж), отличных от той,
334 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. IV
которая строится по формуле (57). Так как умножение
одной или нескольких из функций системы (58) на — 1
сохраняет ортонормальность системы, то ясно, что
полной единственности нет. Однако, если закрепить
знак старших ’ коэффициентов рассматриваемых поли-
номов*) и потребовать, чтобы в системе n-й полином
имел точно n-ю степень, то будет иметь место един-
ственность системы (58). Чтобы это установить, потре-
буется следующая простая
Лемма. Если
QA$, QA$, QAX)> •••
— система полиномов, в которой полином Qn(x) имеет
точно п-ю степень, то всякий полином Р (ж) степени т>0
единственным образом представляется в форме
Р (ж) = а0<?0 (ж) +	(ж) + ... + umQn (ж).	(59)
Действительно, если
<?„(^) = 9(оп) + ^+ •	(^”>¥=0),
(z) = р0 + № +,. .. + ртхт, .
то равенство (59) будет иметь место тогда и только
тогда, когда
a g(m) = п ,
т"т “т’
m—I’m—1 г т’т—1	"т—1’
+ М(0 } + • • • + am^m) = Pv
Эти уравнения позволяют последовательно найти
(и притом единственным образом) коэффициенты «т>
Ят-1» • • •> ао- . •
Теорема 2. Если система полиномов
?<>(«), ?!(*)> <Р»(Ж)> •••
•) У полиномов (57) старшие коэффициенты положительны.
j 1]	ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ	335
ортонорма льна no весу p{x), полином уп(ж) имеет точно
п-ю степень и старший коэффициент <рп(ж) положите-
лен, то
?п (ж) = «>п (®Ь
еде шп (ж) определены формулой (57).
В самом деле, по лемме
?п (®) = аошо (®) + а1ш1 (®) + • • • + ап® п (®) •	(60)
Но по той же лемме полиномы ш0 (ж), «х (ж), ..®n^i (ж)
линейно выражаются через <р0 (х),	(ж), • • •> ?n-i (ж)
и потому ортогональны к срп(ж). Умножая выраже-
ние (60) последовательно на р(ж)ш0(ж), р(х) ш, (ж),...
..., р (ж) <on-i (®) и каждый раз интегрируя, находим
яо = «1 = ---=ал-1 = 0.
Значит, <рп (ж) = ап<оп(ж). Отсюда
ь	ь
Р(®)?n (ж)dx = ь*п\р(ж)<(ж)dx.
а	а
Но оба эти интеграла равны единице. Следовательно,
ап=±1, и так как знаки старших коэффициентов <р7(ж)
и <оп(ж) совпадают, то ал= 4-1; теорема доказана.
Из доказанной выше леммы вытекает ещё один
важный результат. Именно, всякий полином оказы-
вается линейной комбинацией полиномов (58). Значит,
для всякого полинома выполнено равенство Парсеваля,
а отсюда по теореме Стеклова вытекает
Т е о р е м а 3. Ортонормальная система (58) замкнута.
Следствие. Система степеней 1, ж, ж2, ж*, ... полна.
Впрочем, это следствие тривиально в силу сообра-
жений, указанных в конце § 2 главы III.
Так как множество всех полиномов Нп степени
не выше п оказывается совпадающим с множеством
всех линейных комбинаций полиномов шв (ж), о>х (ж),...
..., <оп (х), то общая теорема Тендера из главы II приво-
дит к следующему результату:
136 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. IV
Теорема 4. Из всех полиномов Р(х) степени не
выше п наименьшее значение интегралу
ь
\p{x)[f{x)-P{x)ydx,	(61)
а
еде / (ж) — заданная функция из Lp^x), доставляет сумма
Фурье
п	ь
8П (я) “ 2 с А <ж)	(с* = Р f Шк №.dx)
к=-0	а
и только эта сумма.
Таким образом задача наилучшего приближения
данной функции полиномами решается гораздо проще,
когда за меру отклонения полинома от функции при-
нимается интеграл (61), а не
шах|/(а;) — P(x)j,
как это делалось в первой части книги.
Остановимся на величине минимального значения
интеграла (61). По общей формуле (28)
Ъ	Ь	п
$ Р (*) [/ (®) - 8п (ж)]2 dx = J р (х) f (ж) dx - 2 с*. .
а	а	к—Ь
С другой стороны, система (58)' замкнута и
Ь	оо
(p(«)/a(«)d»=2с^
а	*=0
Стало быть,
b	оо
p(®)[/(z)-Srt(a;)]ada; = 2 **•
a	k=-n+l
Полиномы фп (х) обладают ещё одним экстремальным
свойством кроме указанного в теореме 4,
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
335
§ 1]
Теорема 5. Из всех полиномов степени п со стар-
шим коэффициентом, равным единице, наименьшее зна-
чение интегралу
ъ
^р(х)РЛ(х)йх	(62)
а
доставляет полином	'
W =/?<%(*)	(63)
в только он один*).
В самом деле, по лемме любой полином степени и
со старшим коэффициентом, равным единице, имеет вид
Р (х) = Яв®0 («)+...+	®" №>	(64)
и обратно, всякая подобная линейная комбинация есть
полином степени п со старшим коэффициентом, равным
единице. Поэтому выбор полинома Р (х) равносилен
выбору коэффициентов а0, ах, ..., ап_,.
Так как по формуле Парсеваля для полинома (64)
Ь	7»-1
р (х) Р! (x)dx — 2а* + д^’
а	/с®0
то ясно, что наименьшее значение интеграл (62) полу-
чит тогда и только тогда, когда
«о = а1=:- • • =ап_! = 0.
Ниже нам придётся иметь дело с ортогональными,
но не ортонормальными системами полиномов. Оказы-
вается, что такая система однозначно определяется
заданием старших коэффициентов всех полиномов.
Теорема 6. Пусть
ФоО*), ?1(ж), Фа(*)>•••
— ортогональная система веса р(х), в которой срп(ж)
*) Вместо закрепления старшего коэффициента можно нало-
жить на коэффициенты Р (х) и другие условия. По этому поводу
см. Шохат [1], Я. Л. Геронимус [1].
22 Конструктивная теория функций
338 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. IV
есть полином точно п-й степени. Если старший коэф-
фициент <рп (ж) есть Кп(п — 0, 1,2,...), то необходимо
будет
=	(п>1). (65)
г ‘"‘п-1
Действительно, значение <р0 (х) очевидно. Выраже-
ние для ipn (х) при п >1 устанавливается так же, как
в теореме 2, на основании ортогональности <рп (х) к
ю0 (ж), («1(ж), ..., <оп^1(ж). Для частного случая Кп = 1
(п — 0, 1, 2,...) мы будем применять обозначение*)
ш0(я) = 1, а>„(ж) = 1/^«шп(а:).	(66)
Г un-l
Из формул (65) вытекает
ь
Л = 5 Р W ?0 (ж) dx = ^0Д0>
а
Ъ
Л =» \р(я) К (X)dx =	(67)
J	un-l
а
(напомним,, что числа Ап входят в выражение коэф-
фициентов Фурье для ненормированной ортогональ-
ной системы).	к
В заключение отметим, что для фактического по-
строения системы (58), нахождения чисел Дп и т. п.
вовсе не нужно знать весовую функцию р(х), а доста-
точно знать её моменты [хи, ибо только они входят
в формулы (56) и (57).
§ 2. Корни ортогональных полиномов.
Рекуррентная формула.
Теорема 1. Есе корни полинома <оп(д:) веществен-
ные, простые и лежат внутри интервала (а, Ь).
Допустим сначала, что в интервале (а, Ь) нет корней
нечётной кратности полинома шп (х). Тогда полином
*) Наскллько мне известно, это удобное обозначение при-
надлежит В. Л. Гончарову.
§2]	КОРНИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ	339
wn (ж) на сегменте [а, 6] не меняет знака, и ортого-
нальность шп (х) и <1>0 (х) = const, выражаемая равенством
ь
Р шп {%) dx = 0,
а
не может иметь места. Итац, внутри интервала (а, Ь)
обязательно имеются корни нечётной кратности. Пусть
их число равно г, где г < п, и пусть ?2, ..., суть
эти корни. Положим
. ^(^) = (®-51)(ж-и ...(ж-и-
Полином Q (ж) имеет степень г и потому ортогона-
лен к <оп (ж) (ибо линейно выражается через ш0,
u>i, ..., «,). Значит, должно быть
ь
Р (х) Q (ж) шп (®) dx = О,
а
что, однако, невозможно потому, что произведение
(?(ж)а>п(ж) имеет на (а, Ь) корни только чётной крат-
ности и не меняет знака на [а, 6]. Таким образом
г — п. Остальное не требует пояснений.
Т е о р е м а 2. Три последовательных полинома «>п+г (ж),
®п+1(ж) и шп (ж) связаны рекуррентным соотношением
“л+2 (*) =	— ал+2)	(*) ~ 4*i«>n (^)	(68)
(п = 0, 1,2,...),
в котором и kn+1 суть некоторые постоянные числа.
Напомним, что полиномы шп(ж), определяемые фор-
мулой (66), имеют старшие коэффициенты, равные
единице.
Для доказательства рассмотрим произведение
Z(on+i(^)- Будучи полиномом степени п + 2, это произ-
ведение,может быть представлено в форме
жшп+1 (®) = С0<»о (Ж) + С1“1 («)+•••+ cnt2 <ont2 (ж). (69)
22*
340 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. IV
Сравнение старших коэффициентов показывает, что
сп+2 = 1. Умножим, далее, равенство (69) на р (ж) <ок (ж),
где к < п, и проинтегрируем полученное равенство. \
Так как произведение ж®* (ж) есть полином степени
низшей, чем п+1, то слева получится 0. Справа же
останется только член
Ь
ск р (ж) и* (ж) dx,
а
ибо прочие исчезнут в силу ортогональности системы
{шп(ж)}; поэтому сА = 0. Таким образом
со = с1 = ... = сл_1 = О,
и равенство (69) принимает вид
*®п+1 (®) = «А (®) + Сп+1®п+1 («) + “п+2 («),
вполне равносильный с (68), если положить cri = kntl
Если в (68) заменить полиномы <оп(х) их выраже-
ниями (66), то получится рекуррентная формула*) для
полиномов (58):
(ж) =
Д	ШП + 2
иП+1
= <+ — an+2) 1/шп+1 (х) - лп+1
* “л
1/(70)
'	‘•п-1
Ввиду некоторой громоздкости этой последней фор-
мулы мы будем в дальнейшем чаще пользоваться фор-
мулой (68).
Числа ап+2 и kn+1, входящие в (68), легко опреде-
ляются. Именно, если умножить (68) на р (х) шп+1 (ж)
и проинтегрировать, то окажется, что
ь
р (ж) (ж — ял+2) <+1 (ж) dx = 0.
а
*) Чтобы формула (70) была пригодна и для п = 0, нужно
положить Д_х = 1.
§ 2]	КОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ	341
Отсюда вытекает, что
ь
J р (sc) х шХ+1 (ж)
.	(71)
J P(®)»n*i(®) dx
а
Числитель последней дроби увеличится, если множи-
тель х, стоящий под интегралом, заменить большей
величиной Ь. Стало быть, ап+, < Ь. Аналогично ап+2 > а.
Итак,
(n = 0, 1, 2,...). (72)
Чтобы определить Хв+и умножим (68) на p(x)wn (х)
и проинтегрируем полученное равенство. В результате
окажется
ь	ь
5 Р dX = 5 Р (Ж) “л+1 (Ж) dx*
а	а
Но произведение ж<о„ (ж) можно представить в форме
жшп(ж) = »п+1(ж) + Я(ж),
где R(x) есть полином степени низшей, чем п + 1,
так что
ь
р (ж) R (ж) <оп+1 (ж) dx = 0.
а
Поэтому
ь
J р (x)dx
= -----------— •	(73)
J P (®)4 (z) dx
a
Отсюда уже видно, что при всех п
Xntl>0.	(74)
342 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. IV
Для дальнейшего этот факт очень важен. Если вос-
пользоваться формулами (67), то (73) примет вид
(75)
Это соотношение верно и для и = 0, если положить
Д_х = 1.
То обстоятельство, что
Ь	' Ь
Р [х) жшп (ж)ш„+1 (ж) dx = р (ж) ш^+1 (ж) dx,
а	а
позволяет дать полезную оценку для кл+1. Именно,
если большее из чисел | а | и | Ь | обозначить через С:
С = шах {| а |, 15|},
то окажется
ь	ъ
Р (®)!“п (ж) I I ®п+1 (х) I dx.
а	а
В силу неравенства Буняковского, находим
ъ
р (х) I Шп (ж) 11 о>21 (х) I
а
i/Т
< у \р(х)шп (ж) dx
а
Значит,
ь
Р (х) <+1 (ж) dx <
а	_______________
< С р (ж)	(ж) dx
а
]/ \ P(x)Z*ntl(x)dx.
а
]/ J р (ж) Шп+1 (х) dx,
а
откуда в связи с (73) и получается интересующая нас
оценка
§ 2]
КОРНИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ полиномов
343
Из теоремы 2 вытекают два следствия:
I. Соседние полиномы <оП4.2 (ж) и ап+1 (ж) не могут
иметь, общего корня.
В <;амом деле, такой общий корень был бы также
и корнем полинома <оп(ж), а тогда он был бы и кор-
нем (ж) и т. д. Рассуждая подобным образом, мы
дошли( бы в конце концов до того, что этот общий
корень,был бы и корнем «полинома» ш0(ж), что нелепо,
так кай ш0 (ж) есть отличная от нуля постоянная.
II. Если ж0 есть корень полинома шл+1(ж), то числа
шп+2 (жа) м юп (®о) имеют разные знаки.
Действительно, формула (70) даёт
;	/(*.) = -	«п (*0),
I ~	“п+1	F Un-1
откуда в связи с (74) и вытекает наше утверждение.
Т ё о р е м а 3. Если п> 0, то корни полиномов «>„ (ж)
и шп+1(ж) перемежаются.
Точный смысл этой теоремы состоит в том, что
между корнями полинома о>п (ж) и корнями
полинома шп+1 (ж) имеют место неравенства
а Лп+1> т(п) <-	<- О <- т(п) <- T("tn h
так что в каждом из п интервалов
(ж<п+1\ ж^+О), (ж|"+1), ж<п+1)), ..., (ж<]п+1>,
между двумя соседними корнями полинома шп+1 (ж) со-
держится в точности по одному корню шп(ж).
Доказательство теоремы проводится индуктивно.
Именно, пустд сначала п = 1, и жС1) есть единственный
корень полинома ш, (ж). Тогда
а < ж(*> < Ь.
Полином ш0 (ж) есть положительная постоянная. Зна-
чит, в силу следствия II предыдущей теоремы, число
ш2 (а^) отрицательно. С другой стороны, числа «>2 (а)
и ш2 (Ь) положительны. В самом деле, корни ж® и ж®
полинома <оа (ж) лежат внутри интервала (а, 6), и потому
344 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [ГЛ.| IV
1
знак <о2 (а) совпадает со знаком <о2(я) при я—— оо,
а так как это полином второй степени с положительным
старшим коэффициентом, то а>2 (а) > 0. Так же рассуждаем
и для <»2(ft).	/
Таким образом каждый из сегментов [a, яр>] и W1), ft]
обладает тем свойством, что на его концах полином
<о2 (я) имеет разные знаки. Отсюда без дальнейших
пояснений видно, что	*
а < х^ < яр < я<2) < Ь.
Итак, теорема доказана для п = 1.
В целях дальнейшего заметим, что при всех п будет
<on (ft) > 0 и .что <оп (а) будет положительно при чётком п
и отрицательно при нечётном. Это устанавливается
тем же рассуждением, которое мы провели для to2(a).
Допустим теперь, что . теорема уже доказана для
некоторого значения п.
Отметим точки
а, яр+1), яр+1>, яр+‘), ..., Ь.
В точке а полиномы а>п+2 (я) и <вп (я) имеют одинаковые
знаки, а в точке яр+1) различные. Но в интервале
(а, яр-1*1)) полином юп (я) корней не имеет. Значит,
<оп (яр+1)) имеет тот же знак, что и а>п (а). Поэтому
полином <оп„2 (я) меняет знак при переходе от х — а к
х = яр+‘> и обязательно имеет корень в интервале
(а, яр+*)),
В точке яр+1) полиномы шп+2 (я) и а>п (х) снова имеют
разные знаки. Но полином <оп(я) имеет в. интервале
(яр+0, яр+*>) в точности один (простой) корень. Значит,
он переменил знак при переходе от я = яр+1) к я =яр+1).
Отсюда следует, что и <вп+2 (я) при этом переходе меняет
знак и имеет корень в интервале (яр+*), яр+*)).
Рассуждая таким же образом, убедимся, что о>П42(я)
имеет корень в каждом из интервалов
(а, яр+1>), (яр+‘>, х^+'У), ... , (яр^, 6),
§ 2]	КОРНИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ	345
а так как этих интервалов п + 2, т. е. столько ясе,
сколько корней у <оп.2(®)> т0 в каждом интервале будет
заключено в точности по одному корню <оп+2 (ж). Итак,
при справедливости теоремы для некоторого значения п
она справедлива и для значения На единицу большего.
Таким образом теорема доказана.
Проведённое рассуждение полезно иллюстрировать
таблицей, построенной (д'ля определённости) для, чётного
значения п:
	а	ж(п + 1)	ж(п + 1) 21	Дп+1) t	...	х(п+1)	®(п+1) п+1	ъ
Sign <%(*)	+	+	—	+	ъ • *	—	+	+
s*gn “п+2 (®)	+	—	+	—	. • «	+		Ч-
Полиномы шп(ж) обладают важным алгебраическим
свойством, сближающим их с функциями Штурма, при-
меняемыми при счёте числа корней полинома.
Пусть
«о» А, о2, «V •••> °п	(76)
— Некоторые вещественные числа, отличные от нуля.
Сосчитаем, сколько раз рядом стоящие числа at и aI+i
имеют разные знаки, и полученное число Назовём числом
перемен знака в ряду (76). Иначе говоря,‘число перемен
знака есть число отрицательных произведений
в/в/+х	(j = 0,1, 2, ...,п-1).
Если же среди чисел (76) имеются нули, то мы:
вычеркнем эти нули, определим числом перемен знака
в оставшемся ряду и назовём его числом перемен знака
в исходном ряду (76). Например, в ряду
0,2, 3,-1, 0, 0, 5,-2
346 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл.1У
число перемен знака по определению есть число пере-
мен знака в ряду
2, 3, -1, 5, - 2
и равно трём.
Так как в ряду
%(«),	<%(«), •••> “>п(«)
соседние числа имеют разные ‘Знаки, то число перемен
знака в нём будет п. Напротив в ряду
o>2(ft), ..., o>n(ft)
число перемен знака равно нулю. Если мы обозначим
число перемен знака в ряду
<о„(ж), ^(х), ш2(ж), <оп(ж) (77)
через к (х), то к (а) = п, к (ft) = 0.
Теорема 4. Число корней полинома ^п{х), содержа-
щихся в полуоткрытом промежутке (а, Р], в точности
равно разности
к(а)-к(Р).
Допустим сначала, что в точках х = а и х = р ни один
из полиномов (77) не обращается в нуль. Отметим все
точки zx, z2, ..., zm, лежащие в интервале (а, Р) и явля-
ющиеся корнями хотя бы одного из ПОЛИНОМОВ (77).
Если в каждом из интервалов (zz, zi+1) выбрать по точке
yt (i — 1, 2, ..., т — 1) и положить у0 = а, Ут = $> то
окажется, что
«1—1
k(a)-k(P) = 2 [M^-k^-J].
"	i=0
Рассмотрим подробнее разность к (?/,) — к (f/^i)- В точ-
ках yt и yitl ни один из полиномов (77) не обращается
в нуль, но в интервале (yif yitl) имеется точка zi+1,
являющаяся корнем одного или нескольких из поли-
номов (77), причём это единственная' точка этого рода.
Предположим, что
ton
HQ
(“>*! (zi+l) = “>к2 (Zi+1) = ...=«>*, (Zltl) = 0.
§ 2]	КОРНИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ	347
Чтобы найти X {уд, нужно составить все произве-
дения
^{уд^Луд, <“i {уд ш2 Ш •••> ®n-i(у<)%(«/,)
и сосчитать, сколько из них отрицательных. Так же
находится и Х(у<+1). Но при переходе от x = yt к x = yiiV
изменяют знак только полиномы ®к1 (я), о)*2 {х), ...
. ..,®4г(а;). Значит, изменить .знак могут только такие
произведения, как
a)A1_i {х)шк1 (ж), <“4j (ж) «>*1+1 (ж),
w*a-i (ж) <%,(«), ..., ш*г (ж) шЛг+1 (ж).
Каждый из полиномов w*s (х) входит в два таких про-
изведения.
Но ни одно из чисел kt ± 1, кг ± 1, ..., kr ± 1 не
содержится среди чисел klf к2, ..., кГ) так как соседние
дголиномы не имеют общих корней. С другой стороны,
если j не совпадает с одним из чисел к1} к2, ... кГ)
то все три числа
<“/ (у<)> ">/ (zi+i), «>/ (yi+1)
имеют один и тот же знак. А так как
(z,+i) <“*i+i (z/+1) < О,
то из двух произведений
<«*1-1 {уд <“*1 {уд, “4-1 {уд <“*1+1 {уд
одно и только одно отрицательно. Точно так же из двух
произведений
<“41-1 {У^д “41 {Уид> <“41 (У1 + 1) <“4i + l (Ум)
одно и только одно отрицательно.
Значит, независимо от того, производим ли мы под-
счёт при x = yt или при ж = уг+1, число отрицательных
произведений, содержащих множитель ®к1{х), равно
единице. То же относится и к прочим полиномам
шк2{х), . шкг{х). Таким образом общее число отрица-
тельных произведений
<“4(®)<“4+1 (я) (Л = 0, 1, 2, ..., и—1)	(78)
348 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. IV
при переходе от x — yt к х = ум не изменяется и
M*/t) = Мз/i+i)-
Предположим теперь, что
<йп.(2/+1) = 0.
Кроме полинома «п (х) в точке z/+1 могут обращаться
в нуль ещё некоторые’полиномы шк1 (х), ..шкг(х), но, как
и выше, мы убедимся, что число отрицательных про-
изведений (78), в которые входят эти полиномы, не
изменяется при переходе от х — у( к х = ум.
Что же касается произведения
(79)
то при х = у( оно отрицательно, а при ж = у/+1 поло- ,
жительно. В самом деле, ведь корни полиномов (х) :
и <ол (ж) перемежаются. Значит, левее точки zI+1 поли-
номы <ол_1(«) и <ьп{х) имеют одинаковое число корней. .
При переходе х через каждый из этих корней произ- i
ведение (79) меняет знак. Поэтому при переходе от
х —— со к а? = оно меняет знак чётное число раз.
При х = — со это произведение отрицательно, значит,
оно отрицательно и при x = yt. При переходе через zi+1
оно ещё раз изменит знак и станет положительным.
Таким образом в рассматриваемом случае окажется
Значит, разность Х(а) — Х(Р) равна числу тех точек
zi+x, которые являются корнями а>п(я).
Остаётся рассмотреть случай, когда одна или обе
из точек а, р служат корнем одного или нескольких
полиномов (77).
Пусть сначала такой «плохой» точкой является
только а. Выберем столь малое h > 0, чтобы в проме-
жутке (а, а-(-Л] не было корней полиномов (77). По до-
казанному, число корней в>л(«) в интервале (а-|-Л, 0)
(или, что то же самое, в сегменте [a + &, pj) равно
разности
л(а + h) — Х(Р).
§ 2]	КОРНИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ	349
Но так как в промежутках (а, р] и (а + h, р] нахо-
дится одна и та же совокупность корней полинома
(ж), то остаётся показать, что к (а) = к (а -f- h).
Пусть в точке а обращаются в нуль полиномы
но не сам полином
Для подсчёта к (а) нужно из ряда
ш0(а), шДа), ш2(а), шп(а)
вычеркнуть все Нули и, взяв все произведения из двух
соседних чисел оставшегося ряда, определить, сколько
из Них окажется отрицательных. В частности, отрица-
тельными будут все произведения
®лв-1 (а) а>*,+1 (а) (s = 1, 2, ..., г).
При переходе к точке x = a. + h каждое из этих про-
изведений заменится двумя произведениями
“*,-i (® + h) ыка (а + А), а>*8 (а + h) u>*s+1 (а + h),
из которых одно и только одно отрицательно. Все прочие
произведения и>/ (я) <о/+1 (ж) имеют одинаковые знаки и при
х — а и при х = а -f- h. Отсюда и видно, что X (а) — к (а-}-Л).
Если же и шп (а) = 0, то при подсчёте к (а) произве-
дение	будет отсутствовать, а при подсчёте
к (а + h) оно хотя и будет фигурировать, но, будучи
положительным, на к (а + Л) не повлияет. Значит, по-
прежнему к (а) = к (а -f- Л).
Если же корнем некоторых полиномов (77) будет
не а, а р, то мы поступаем совершенно аналогично,
т. е. рассматриваем сначала разность к (а) — к (р 4- Л),
равную числу корней и>п(х) в. [а, р], после чего снова
убеждаемся в равенстве к(Р) = к (р4- /г).
Наконец, общий случай приводится к рассмотренным,
если ввести такую точку у (а < у < Р), в которой ни один
полином (77) не обращается в нуль. Тогда число корней
wn (^) в (а, р] получится сложением разностей к (а) — к (у)
и Мт) —к(Р), что и завершает доказательство.
350 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. IV
§ 3. Связь с теорией непрерывных дробей.
Если х закреплено, то частное
“n(*)~MnW	(п > 0)
t — х	\	>
представляет собой целый полином степени п — 1 отно-
сительно t. Ввиду симметричности этой функции она
будет целым полиномом степени п — 1 и относительно х.
Значит, функция
ь ~
фп(0 = 5 р(0	dt (п > 0) (80)
а
тоже есть полином степени n —1.
Теорема 1. Справедлива рекуррентная формула
Фл+2(0 = (®-аП+2)Фп+1(0->>п+1Фп(0	(81)
(п = 1,2,...),
в которой ап+а и kn+1 имеют те же значения, что и
в формуле (68).
В самом деле, в силу (68):
“>п+2 (0 - “п+2 (я) = t шп+1 (i)- х шп+1 (х) -
- »п+2 [®по (0 “ <“n+i (0]	[“п (0 - «>„(«)] •
Отсюда
“п+2 (0 - “п+2 (0 = (t - “пн (0 +
+ (® - %+2) [к+1 (0 - «>П+1 00] - Xn+1 hn (0 -®п 00]'
Разделив это равенство на t — х, умножим результат
на р(£) и проинтегрируем. Так как
Р(0‘оп+1(0^ = О,
а
то мы и получим (81). Формула (81) справедлива и для
п = 0, если условиться, что
Ф. (0 = 0.
§ 3] связь с Теорией непрерывных дробей 351
Введём обозначение
ь
р(х)Лх = ^(х)
а
и обозначим через ах корень полинома шДж). В таком
случае дробь
(х)
Ш„ (ж)
представит собой n-ю подходящую для непрерывной
дроби
---------*4--------.	(83)
"1
-----------=—
В самом деле, первая подходящая для (83)—
_А_АС*) ,
X —	<01(ж)
вторая—
Ар 4*1
(ж-а.)ф1(а)-Л1ф0(ж)  ф2(ж)
(ж - а2) ац (а?) - <оо (ж)	ш2(ж)
после чего доказательство нашего утверждения выте-
кает из общих свойств непрерывных дробей.
Теорема 2 (Т. И. Стилтьес). Если х — вещественное
число, лежащее вне сегмента [а, 6], то дробь (83) схо-
дится и её значением является интеграл
ь
а
Доказательство*). Пусть для определённости
будет х > Ъ. Рассмотрим функцию от п переменных
*) Стилтьес [1] (письмо № 167). Другое доказательство
(того же автора) см. в § 3 главы V третьей части.
852 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. VI
%1>	• • • > %п'
(^1, Z2, • . • j Zn) =
b
= 5 I1 +z1(x-t) + zi (a;-f)3+ ... +zn(a:-On],-^r^-
a
и поставим вопрос о том, прикаких значениях z„ z2,..., zn
эта функция примет наименьшее значение.
Такие значения заведомо существуют и единственны,
потому что поставленная задача есть задача наилучшего
приближения в среднем по весу функции / (t)= — 1
линейными комбинациями линейно независимых функ-
ций х — t, (x — ty, ..., (х — t)n.
Как известно, искомые значения zx, z2, ..., zn должны
удовлетворять уравнениям	V
^2- = О, ^=0, ..., ^=0.
dzt ’ dz2 ’	1 ozn
Поэтому если искомые значения переменных суть
* * * ? ТО
ь
. ..-f-7n(®—= 0 (85)
(i = l,2, ...,n).
Положим для краткости
14-z1(o:-O+^.(®“ *)а+ ••• +zn(x—t)” = H(t).
Тогда (85) означает, что
ь
$ p^HWx-ty^dt^O (i = l, 2, ... ,п).
а
Заменяя здесь i на 1, 2, ...,п, легко убедимся, что
ь
\p(t)H(t)tkdt = O (Л = 0, 1, ...» п-1),
J 3] СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ	353
т, е. Н (t) есть полином степени п, который по весу
p(t) ортогонален ко всем низшим степеням t. В таком
случае Н (t) может лишь постоянным множителем
отличаться от шп(2). Итак,
ff(O = cS„(z).
Полагая здесь t = x, получим, что 1 = С<оп(х), откуда
Таким образом минимальное значение функции Фп,
которое мы обозначим через Мп, есть
ь -
* Lwn(x)J х f
b	п
J «„WL " -Iх ‘
Но
ь
Р W шп (О (ж—£)<-1<Й = 0	(г = 1, 2, ..., п).
а
Значит,
ь м	ь ~	~	„
М и>пv (t) °>п~Мп(х)dt
п И1 ’zn(_x) я-*	(x-t)Zn(X)
Отсюда
ь
м _ С	фп(ж)
Л J ‘	-п(^) 
Таким образом дело свелось к доказательству ра-
• венства
lim>n = 0.	(86)
П-¥~^
С этой целью рассмотрим
М„_х = min {Ф^! (Zx, z2, ..., zn^)}.
23 Конструктивная теория функций
354 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл; IV ’
Если значения переменных, доставляющие минимум
функции Фп_п обозначить через z*, z*> ... , z£_n то,
очевидно, окажется, что при любом X
ь
{[1 + z* («-«)+.,.
а
ибо интеграл, стоящий направо, Является одним из
значений функции Фп.
Полагая, в частности, л = и замечая, что при
a<£.t <£>
находим
ь
0<Мп<Д р (/)[! +z*(«-/)+ ... +zLi(s-*rTA >
V	* ““ ♦
а
или, что то же самое,
О < Мп < д*Мп-1.
Аналогично
и потому
0< Мг<д*М1У
откуда и следует (86). Заметим, что сходимость подхо-
дящих дробей к интегралу (84) оказывается
“nW
равномерной на любом множестве, расстояние которого
от [а, 6] положительно.
Интеграл (84) допускает ещё одно интересное раз-
ложение. Именно, если |£| <|х], то
. t ~ Zj хк *
1-- fc-oa
СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ	355
Сходимость этой прогрессии равномерна для «€[«, 6],
если *)
|«| >тах{|а|, \Ь|}.
Для этих значений х оказывается
b	b	Ъ	оо ,
{	(-^-dt=- (P{t) ГЗЧ1dt-
J x-t a J . t x j	xkJ
a	a 1	~	a	ft=O
В силу равномерной сходимости допустимо почленное
интегрирование, и потому
Ь	со	Ь
(87)
а	к=0	а
Интегралы, входящие в правую часть, суть моменты
весовой функции p{t), и потому окончательно
Ь	оо
( Р(0 /7# — V 1*к
J x-t at~ Zi xk+i •
S	*=o
(1/ (x)
Теорема 3. Подходящая ' обладает тем
ш„ (я)
свойством, что
ь
lim Г ( Р (0, dt -	1	(88)
х-Н-ео L J ® — * шп (х) J
существует и конечен, причём это—единственная рацио-
нальная дробь, знаменатель которой имеет степень не
выше п, Обладающая указанным свойством.
Действительно, из выражения фп(®) вытекает
ь
J X — t
Фп(яО
“п(ж)
b
•) В самом деле, если С = max {I а |, IЬ |}, то [а, Ь]с[—С, С]
и при t £ [а, 6] будет 11 |<С.
23»
356 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. VI
Как и для равенства (87), мы убедимся, что для
достаточно больших х
Ъ	со	Ъ
(О tk dt.
a	a
Но при к < n функции tk и шп (t) ортогональны по ве-
су р (2). Стало быть,
ь
С Р (О .If   Фп (Ж) __ 1 Г Сп | СП4 1 |	~|
p-t	»п(Ж) гп(х) L*nti +^п^'+‘••• г
Так как
тп
lira = 1, .
+*рсс (я?)
. то предел (88) существует и равен сп.
Заметим ещё, что
«n=“nW + p(i),
где степень р (Z) ниже п, и потому
ь	ь
СП=\ Р (t) “п (/) «п dt = \ р (£)< (Z) dt = ^~ .
J	J	un-l
а	а
Остаётся установить, что других рациональных функ-
ций с указанными свойствами не существует. Но если бы
(?(») = «оа:П + я1«п-1+---)
была такой функцией, то должен был бы существовать
конечный предел
lim ж2П+1 Г-^с —
a-»4-oo L 3 о>п(ж) J
С другой стороны, заведомо существует конечный
предел
lim	_ а
11111	Г2П --- UQ*
Х-> + со
§ 3]	СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ	357
Поэтому должен существовать конечный предел
lim х [7г (ж) ып (ж) — q (ж) Ф„ (ж)],
что, однако, возможно лишь при условии
h (ж) wn (ж) — q (ж)	(ж) = О,
, h (х)	„
так что дробь -у-у должна совпадать с нашей под-
з \.х)
ходящей.
Ф (ж)
Заметим, что дробь Несократима. В самом деле,
(ж)
из рекуррентных формул (68) и (81) следует, что
Фп+1 (®) = (ж - ал+1) Ф„ (ж) - кп	(ж);
®n+i (ж) = (ж - а„+1) ®п (ж) —	(ж).
Отсюда
Фп+1 («)	(ж) - <]»„ (ж) шп+1 (х)==
= к[фп(®)®^1(«) — Фп-1 (®) ®п(я)].
С помощью дальнейшего понижения значка п мы
приходим к формуле
Фпо (ж) ®П (я) - Фп (ж) ®nti (ж) = 'КП V1 • • •	> 0> (89)
имеющей и самостоятельный интерес. Из неё же,
в частности, вытекает отсутствие общих корней у Ф„ (ж)
и ш„(ж).
Из теоремы 3 и несократимости дроби вы-
“п (ж)
текает, что если знаменатель рациональной дроби
h (х\
~~ имеет степень не выше п и существует конечный
9 (ж)
предел
ь
lim ж2л 11 Г \ dt —	1,
L J ж-г д(ж) J’
а
358 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [ГЛ. IV
то q (я) отличается от <оп (я) разве лишь постоянным
множителем*). Однако основанный на этом способ
построения полиномов <оп (х) нам представляется мало
практичным.
Иллюстрируем изложенную теорию на примере поли-
номов Чебышева, которые, как нам известно ещё из
первой части курса, образуют на сегменте [ — 1, 4-1]
1
ортогональную систему веса р== .
Рекуррентная формула для полиномов Чебышева
имеет вид
^n+2 ("S) =	(Ж) “
но при п > 0 старший коэффициент у Фп (х) есть 2П~1'.
Значит, для полиномов Тп(х) = -^гТп(х) будет
^n+a (•s) = ® ^п+1 (%)	$ п	(n = 1, 2, . ,
Таким образом числа, обозначенные в общей теории
через ап+1 и Хп+1, суть
®п+а — Xn+i —
(я=1, 2,...).
Если же п = 0, то
Г0(Ж) = 1 = Т0(Ж).
Значит,
*) Действительно,	. Значит,	С.) —д (а),
о»п(х)	°>п (ж)
и д (х) делится нацело на <оп(х).
СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 359'
Таким образом
а2 = 0 и *
Кроме того, eq обозначает корень полинома Т1(х)=х,
и потому «j = 0. Наконец,
и потому

G помощью подстановки <== ц.'ц» последний инте-
грал легко вычисляется:
j/» -	—	>
и потому
(х > 1).
Знаменатели подходящих дробей здесь, как и должно
быть, совпадают с полиномами Тп (х).
Заметим, что по биномиальной формуле Ньютона
"= * Л_1у1/4=
х \ Х*У
Г. , 1 1 | 3!!	1 , 511 1 ,
а: [/'’"г х»"г 2а-21 а:4'1’ 2а-31 х’ ‘ ’ 1
360 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. IV
1
Значит, моменты весовой функции -у — = суть

__ Г dx
+1
_______ С х2и-1Йх
fWi—
+ 1
_С x*ndx _(2п—1)П
*Лап~ ' /1=7»“ 2nn! К‘
§ 4. Формула Кристоффеля—Дарбу.
Сходимость ортогональных разложений.
Пусть {<ол (я)} есть ортонормальная система веса р (ж)
и / (ж)—какая-нибудь функция из L^.
Ряд Фурье этой функции имеет вид
оо	Ъ
2са(«)	(90)
7с=0	а
Если частную сумму
п
^СкШк(х)
’	л=о
обозначить через Sn(x), то для Sn(x) получается вы-
ражение
Ь	п
(91)
a	*=0
Выражение
Л
(1> %) — 2 Шл (^) (а!)	(92)
fc-l.
называется ядром интеграла (91). Оно играет важную
роль при исследовании сходимости ряда (90).
ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ-ДАРБУ
361
И]
Теорема 1. Справедлива формула
т7 , к ,/'1 “n+i (0 “п (Ж) ~ “п + 1 (ж) “п (*)
кп (t, х) = У Ал + 1--------~-------------
(93)
Эта формула называется*) формулой Кристоффеля —
Дарбу-	_
Для доказательства перепишем рекуррентную фор-
мулу (70), уменьшив значок п на единицу:
= (®-«n+x)l/(П>1). (94)
Здесь
(95)
Умножим (94) на <оп (г) и из полученного равенства
вычтем то равенство, которое получается из него пере-
становкой букв t и х:
V^7 [ш,1+1	Шп ~e)n+1	=
= Vf ~ Шп +
+ >‘Л 1/5м [% (®) “п-х М - <»П (С ®П-1 (*)]•
F Рп-9
Умножив это равенство на 1/ ^=1 и приняв во вни-
*
мание (95), получаем
Vkn +1 [®Л+Х («) шп (0 — У) % (s)] = (X — t) (Вп (t) Фп (х) +
+ ]/Х [“n (S) шЛ-х (0 - “>п (0 <0п^1 (ж)]. (96)
Заменим здесь п последовательно нап —1, п — 2,...
..., 1 и сложим полученные равенства друг с другом,
*) Кристоффель ([1], стр. 73) доказал её для р(а?)=1, а= —1,
Ь=+1, т. е. для полиномов Лежандра, а Дарбу ([1], стр, 411)
обобщил на случай произвольного веса.
362 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [г;1.
и с (96). После очевидных сокращений окажется
К^йЮп+1 (Я) «>п (0 -	(0 <“п («)] =
=(«-/) 2 шк (О °>к (®)+/ и (®) ®. w - «>! (о (®)].
fc=i
Но	_	•
‘%(«)=‘во(*)==р=>	=
Значит,
/М®! (я) <»e(f)-®i (0 “<.(»)] = ^«(я~*)®в(О®.(®Ъ
откуда и следует (93).
Как было доказано выше, справедлива оценка
/^<С = тах{|а|, |6|).
Поэтому
Кп («, х)= бп С ?"t^.(9	(?)м" (.0	(о < 6n< 1).
В силу очевидного равенства
ь
p(t) Кп (I, х) dt — 1,
а
оказывается
Sn(x)-f(x) =
= ®П С j Р (t) ?х (0 [<»п+1 («) «>п («) - <оп+1 (Я) <ОП («)] dt, (97)
а
где положено для краткости
(98)
Предположим, что функция ?г(б входит в Lj^t) (это
возможно лишь при условии, что и f(t) входит в этот
класс).
Если коэффициенты Фурье функции <рж («) обозначить
через d„, то равенство (97) можно будет записать в форме
5„(«)-/(®) = 0nC[dn+1e)n(a;)-dn<»nu(«)I.	(99)
S 4]
ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ-ДАРБУ
363
в силу сходимости ряда 3 d\,
lim dn — 0.
«-►оо
Отсюда и из (99) вытекает
Теорема 2. Если все полиномы шл(х) в точке х
ограничены и функция <рж (i) входит в Lp ((), тоц$ точке х
имеет место равенство
СО
*=о
Если полинома <оп (®) равномерно ограничены *) (тако-
вы, например, полиномы Чебышева), то в' теореме 2
нет надобности требовать, чтобы фх(£) входила в
а достаточно включения фх(0€^р(о-
Чтобы это доказать, потребуется
Теорема 3. Если полиномы шп(х) равномерно огра-
ничены, то для любой функции у(х) из Lp<x)
С	4
lim Д р (х) ф (х) шп (х) dx~Q.
«-►ОО J
а
В самом деле, благодаря абсолютной непрерывности
интеграла мы можем для любого a > 0 указать такое
S > 0, что
Р (х) IФ (®) I &х < 
е
каково бы ни было множество е С [а, 6] с мерой те < 8.
G другой стороны, для найденного 8 можно указать
столь большое К, что
тЕ (| <р | > Е) < 8.
Сделав это, введём функции
(ал	f	ф(®)>	если	If (Ж)|<ЛГ, ч
1	I	0,	если	| ф (ж) | > К.1
<₽ («)=(	°’	если
’	I	ф(ж),	если	| ф (ж) | >-К". -
*) Разумеется, речь идёт об ограниченности на основном сег-
менте [а, 6].
364. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. IV
Очевидно,
ъ	ь	ь
p^a>tldx =	P^iwn^x-
а	а	а
Функция ср! (х), будучи ограниченной, входит в Zp^).
Значит, её коэффициенты Фурье стремятся к. нулю и
для достаточно больших п окажется
ь
/Ф) ч>1 (ж)<»n(x)dx
Cl
С другой стороны, если М есть число, которого не
превосходят | шп (я) |, то при всех и
ь
С Р (ж) <р2 (ж) шп (ж) t/ж I < Л/ р (ж) | р (ж) | dx < Me.
а 	E(|;i>K)
Значит, для указанных больших и
ь
| Р (Ж) ? (Ж) Шп (я) dx | < (М + 1) 8.
а
Теорема доказана. Из неё и из (99) вытекает
Теорема 4. Функция /(ж), входящая в ZP(X), раз-
лагается в ряд Фуръе по любой равномерно ограничен-
ной. ортонормальной системе полиномов во всякой точке х,
для которой <рд.(г) входит в LP(ty.
В частности, эта теорема применима к функциям,
входящим в Lip а при любом а > 0, если только вес
р (ж) ограничен, а также к функциям класса Lip 1 при
любом весе.
Из изложенных соображений вытекает следующий
результат, называемый принципом локализации:
Теорема 5. Если две функции /(ж) и g(x), входя-
щие в совпадают в интервале (x0—h, x0 + h), а
в точке х„ полиномы <оп (ж) ограничены, то
lim {£„[/; ж0]-5л [g; ж0]}=0.
j 4]	ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ-ДАРВУ	365
Здесь sn[f-, ж0] означает сумму Фурье функции /(ж),
вычисленную в точке ж0. Для доказательства теоремы
заметим, что
^nl/i^e] > *01= 8п > ^ol-
где г(х) = /(ж)—g(x). Так как г(хе)~0, то дело сво-
дится к теореме 2, ибо функция , исчезающая на
(xa—h,-.x0 + h), заведомо входит в L^ty
Если полиномы <оп(ж) равномерно ограничены на
[а, Ь], то в теореме 5 достаточно потребовать, чтобы функ-
ции /(ж) И g/ж) ВХОДИЛИ В LP(X).
Если не предполагать ограниченности полиномов
о>п(ж), то предыдущие теоремы неприменимы. Тем не
менее справедлива
Теорема 6 (И. П. Натансон [1]). Если £ Lip а,
где а > у , то равенство
СО	,
/ (ж) = 2	(®)	(100)
Jc=fi
выполняется почти везде на [а, Ь].
В самом деле, по теореме Джексона из § 2 главы
VI первой части курса найдётся для любого п поли-
ном Рп (ж) степени не выше п, для которого
|Рп(ж)—/(ж)|<—, 
где Л—некоторая постоянная. Но по. теореме Теплера
сумма Фурье 5п(ж) удовлетворяет условию
ь	ь
§ о(ж)’[5п (ж)-/(ж)]2с?ж< Р(^)[?п(ж)-/(ж)]а da.
а	а
Значит,
ь	. &
5 Р(я)[^п(ж)-/(ж)]2йж<4^°	= p{x)dx^ ,
а	а
•	' 1
ш ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. IV
и ряд
ею Ь
п«=1 а
сходится. Отсюда на основании теоремы Б. Леви и
вытекает наше утверждение.
Пользуясь более сильными средствами, А. Н. Кол-
могоров [2] обобщил этот результат на случай любого
а > 0. При помощи этих же более сильных средств
Й. П. Натансон [2] доказал, что любая функция огра-
ниченной вариации почти везде разлагается но поли-
номам если
р (®) < —".
г ' У 1-х»
Недостатком всех этих исследований является от-
сутствие характеристики точек, в которых имеет место
Существует другой подход к проблемам разложения
функщ!й. в ряды по ортогональным полиномам, связываю-
щий эти проблемы с теорией равномерных приближе-
ний. В основе этого подхода лежит то обстоятельство,
что длй любого Рп(х) степени не выше п
$п [Рп; ~ (®)*	<
Положим
а
Р (0I Кп (^» ®) | ^ = Ln (®) ।
а
эта величина называется функцией, Лебега ортонормаль-
ной системы {®п(®)}« Из формулы (91) вытекает, что
для ограниченной функции /(я), удовлетворяющей не-
равенству | / (х) | < М,
®4>] MLn (х0).
Отсюда следует	.
Теорема 7. Пусть j(x)~непрерывная функция, |
обладающая тем свойством, что её наилучшие прибли-
J 4]	ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ-ДАРБ'у	367
жения полиномами удовлетворяют условию
LMEa(f)^0.
В таком случае эта функция в точке х„ разлагается
в ряд Фурье по полиномам ®п(х)-
В самом деле, пусть Рп{х) есть полином наилуч-
шего приближения нашей функции
Тогда
/(®)—-S»[/; ^f{x)-pn{x)+sn[Pn-t\
и потому
I f (*.)—Ш	<Еп (/) + Ln (х0)Еп (/),	(101)
что и доказывает теорему.
Положим
Ln=max Ln (х).
Из оценки (101) вытекает, что при условии
lim£n£n(/)=0
П->00
можно гарантировать равномерную сходимость ряда
со
2 ckmk(x) = j(x).
k=0
Пример. Найдём функцию Лебега для ортонормаль-
ной системы Полиномов Чебышева*)
^(«) =
Здесь
+ 1 • п
Ln^)= |S 2Ъ(*)| г4=г-
-I- k=0	V
1 А	/2
, Фп (х) = у — cos (п arc сов х).
*) Следуя В. Л. Гончарову, мы обозначаем нормированные
полиномы Чебышева знаком Т„(ж).
368 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. 1\
Полагая arc cosir = 5, arc cos = находим
те	п
£„ (я) == — 11 + 2 2 cos кт cos As! dt,
О	7с-=1
откуда благодаря чётности подинтегральной функции
те	п
$ R + S [cos*(t + E) + cosA(t~S)]pT.
—т,	k=l
Значит,
те .	п
ly+S c°s А (т 4-5) I dr-j-
—те
те	п
+	[4 + S созЛ(т—B)|dt.
-it	k=l
Делая в первом интеграле подстановку t = <р—5, а
во втором т = <р 4- $ (причём, в силу 2к-периодичности,
можно оставить прежние пределы интегрирования),
получим
те	п
^п(®х^ |4+s с°8*?р?«
—п	к—1
Но (см. часть первая, формула (175))
п	. 2л Ц-1	л
Sin---- Ф	ж
1+3	-------!_1„
к-1	2 sin
Стало быть,
« . 2п + Г
. Д' I sin —-I— а .
\ |—'in?	|d?>
—я
откуда
Tt/2
i gj	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ	36$
Пользуясь оценкой (178) из первой части, находим
окончательно
£n («)<2 + 1пп.
Поэтому все функции /(ж), для которых
lim [Еп (/) In п] =» О,
«-►ОО
разлагаются в равномерно сходящийся ряд по полино-
мам Чебышева.
По теореме Джексона последнее условие заведомо
выполнено,, если модуль непрерывности функции /(ж)
таков, что
- lim [ш (5) In S] = О,
б->0
и мы снова получаем теорему, установленную в § 1
главы X первой части.
В заключение приведём чрезвычайно важный отри-
цательный результат, существенно дополняющий сказан-
ное в этом параграфе.
Теорема 8 (В. Ф. Николаев [1]). Не существует
такого веса р(х), чтобы любая непрерывная функция
разлагалась в равномерно сходящийся ряд Фурье по
ортогональным полиномам этого веса.
По поводу доказательства отсылаем читателя к «Добав-
лению 3» в конце книги.
§ б. Преобразования весовой функции.
Как мы видели, в вопросах сходимости ортогональ-
ных разложений важную роль играет ограниченность
полиномов в>п(х) в отдельных точках и на всём сег-
менте [а, 6]. Представляет интерес установить такие
условия, которым должна удовлетворять весовая функ-
ция, чтобы эта ограниченность имела место. Для неко-
торых весовых функций, как, например, для чебышев-
ского веса (1—ж3) % такая ограниченность нам извест-
на. Поэтому естественна следующая
24 Конструктивная теория функций
3^0 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. iv
Задача. Ортогональные полиномы ®п(х)> отвеча-
ющие весовой функции р(х), ограничены в точке ха:
К(я0)|<М (п = 0, 1, 2, ...).
Рассматривается новая весовая функция*) р(х)а(х)
и соответствующие ортогональные полиномы ц>п(х).
Спрашивается, какие свойства множителя <з(х) обеспе-
чивают ограниченность % (х) в точке х0.
Теорема 1. Если <з(х)—полином, то
1Ш1<М/У)+1) ,	(102)
где К~максимум <з(х), а т—степень а (ж).
В самом деле, а (ж) <?п (ж) допускает представление
° (ж) ?n (х) = Co“o (х) +	(«)+ • • • + ^n+mwn+m (х), (103)
где
ь
С; — р(ж)с(ж)<рп(ж)ш1(ж)<?Ж.
а
Если i < п, то с{ = 0, ибо <рп (ж) ортогонален по весу
р(ж)с(ж) ко всем полиномам низшей степени. Зна-
чит, в (ЮЗ) имеется лишь т +1 слагаемых. Пусть
В силу неравенства Буняковского
ь	ъ
с? < (Р(х)о2(ж)(ж)dx) р(х)с»!(ж)dx) .
а	а
Последний интеграл равен единице. С другой сто-
роны,
ь	* ъ
p(x)^(x)^2n(xy)dx^K p(x)a(x)^sn(x)dx = К.
а	а
Значит,
\сА<Ук,
что и доказывает оценку (102).
•) Разумеется в (ж) неотрицательна, входит в Ьр(Х) и почти
везде отлична от нуля.
| j]	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ	871
Следствие 1. Еели полиномы шп(х) равномерно
ограничены, а а(х) имеет положительную нижнюю
границу, то и <рп(х) равномерно ограничены.
Следствие 2. Полиномы, отвечающие весу
А 1	В 1	w
(1-х) "(1+х) *	(-!<«<!),	(104)
еде А и В—натуральные числа, ограничены в каждой
точке интервала (—1, 4-1).
Теорема 2 (Дж. Пиблс). Если з(х) =	, где
Q(x)—полином степени т, то*)
1?п^о)1<^/^(«4-1),	(Ю5)
еде положено K = inaxQ(x).
В самом деле, в равенстве
Фп («)=СЛ («) 4- Cj®! (я) 4- ... 4- «А (») 
будет
ъ
Ci= ^P(x)<fn(x)a>t(x)dx. .
а
Значит, для i < п—т окажется
ъ
cf «= ^ р (я) а (х) <рп (х) [<? (х) («)] dx — О
а
и, стало быть,
?п (®) = <?л-т®П-т(я) 4- . • • 4- сп Ш„ (X).	(106)
Но, в силу Неравенства Буняковского, для п—т<
<г<п будет	*
ь	ь
с« < Р(а:)фн(а:)^а:<^ p(x)o(x)tfKx)dx"^K,
а	а
откуда в связи с (106) и вытекает (105).
*) Пиблс [1], стр. 92.
24*
$72 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНаЛЬЙыХ ПОЛИНОМОВ [гл. И
Комбинируя теоремы 1 и 2, нетрудно установит!»
Надлежащие оценки и для того случая, когда а (х) есть
рациональная дробь.
Теорема 3 (Дж. Кораус[1]). Если а(х) удовлет-
воряет условию Липшица	-
*
а{у) —а(х)\<,К\у—х\	I
и имеет положительный минимум t, то
. (C = max {| а |, 16|}).:
Полином <рп(х) можно записать в форме
ъ
Tn(«)= J p (i)¥„(i)A'n(f,	=
G
ь	ь	>
=-- 5 Р(*) ?п (г) ®П W ®П (я) dt+ <pn (i) (t,x)dt. (107)
a	a
Так как Kn^ (t, x) есть полином степени п — 1 (отно-
сительно I), то
ь
®)Л = 0.
Поэтому
ь
О («) 5 ?л Кп~1 Л “
a
Ъ
- $ Р (t) I® (®) - « 0)] ?п (*) Кп-1	«) dt.
a
На основании формулы Кристоффеля—Дарбу
Хп х (t> x-j уТ^ mn тп-1 (0 - “n (t) °>n-l («) .
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ	8^3
Поэтому последний интеграл равенства (107) можно
записать так:
г— ь
а
X [®п (я)®п-! (*)-®п («) ©п-l (ж)] Л.
Нр
ь
$ Р (0 ' (\~-t ' ° ?П (t) ШП G) dt <
а
Ъ
а в силу неравенства Буняковского,
ъ
Р (*) I ¥п W I I “п W I dt <
а
b
< Р (*){/« (О I ?п Will ®П (*) I dt <
р W ® п (i) dt
=	(108)
У г
Такая же оценка верна и тогда, когда ®п (t) заме-
нён на ®^i(Z).
Стало быть, в силу (107) и (108),
<рп (а;) I	!юп(*)1 | /Лп К +
п	У? о (г)	Ут;
Отсюда благодаря неравенству < С и следует
874 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [Гл. IV
В случае, рассмотренном в теореме 1, когда с (ж)
есть полином, можно дать явное выражение поли-
номов <рп (я) через полиномы шп (ж). Именно, пусть
а (ж) = А (ж — Ех) (ж-Ц. ..(ж- U
разложение а (х) на линейные множители. Мы ограни-
чимся случаем, когда s (х) имеет только простые корни.
Тогда все числа (вещественные или комплексные
и попарно сопряжённые) будут лежать вне интервала
(а, 6), так как в этом интервале с (ж) не меняет знака.
Положим
Шп (М “п (5,) • • • ®n (U ®п (*)
Qn(x)= (-1)	•••<*)n+l(U ®п+1(«)
. (109)
®n+m (^1) ®п+т (^з) • • • ®n+m (^m) ®n+m (®)
Очевидно, Qn(x) есть полином степени пЦ-тп, имею-
щий точки Вх, 5,, ..., корнями. Значит, частное
Qn
в(ж)
есть целый полином степени п. С другой стороны, для
любого полинома Яг (ж) степени г < п будет
ь
Р (ж) Qn («) Ri (х) dx = О,	(НО)
так как Qn(x) есть линейная комбинация полиномов
wn(x), ®ntm(x), каждый из которых ортогонален
по весу р (я) к низшим степеням х.
Равенство (НО) можно записать в форме
&
а,
Отсюда вытекает, что полином степени п ортого-
нален по весу р (х) а (х) ко всем полиномам низших степе-
ней, Это возможно лишь тогда, когда этот полином отли«
\ J»'
I	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ	375
п>Жгл<г от <рп (х) только постоянным множителем. Значит,
9	(in)
Ж Множитель К легко находится из условия нормиро-
ванное™ tpn (х):
ь
К*\ р(х)а(х)Г^1мх = 1.	(112)
a	и □
Замечание 1. Для полноты проведённого рас-
суждения мы должны удостовериться, что Qn (х) не
есть тождественный нуль. Обращая внимание на ми-
нор элемента ">п+т(х), мы видим, что для этого доста-
точна следующая
Лемма. Если вещественные или комплексные и по-
парно сопряжённые числа $г, ..., различны между
собой и лежат вне интервала (а, Ь), то определитель
Д =
шп (М “n (U • • •	<% (U
(^1)	<%+! (^2) • • • ®п+1 (?гп)
(Dn + ni“i(^i) <вп+т-1(^з)	Шп+)П“1 (^т)
отличен от нуля.
Для доказательства *) заметим, что если определи-
тель, столбцы которого вещественны или попарно комп-
лексно сопряжены**), равен нулю, то между его стро-
ками имеет место линейная зависимость с вещественными
коэффициентами, среди которых есть отличные от нуля.
В самом деле, пусть для конкретности вещественны
все столбцы, кроме второго и третьего:
а2 “I* ic j ~~ 1C1 ...
62 + ic2 b2-ic2 ... r2 = Q
an bn-\-icn bn — icn ... r,
*) Это доказательство сообщено мне проф. Д. К. Фаддеевым.
**) Ряд чисел Oj, а2, ..., ап мы для краткости называем ве-
щественным, если вещественны все ак. Точно так же два ряда
ai< аг> •..“п и Pi’ • ••, вп мы ^называем взаимно сопряжён-
ными, если при всех к будет ад=[^.
3J6 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [ГЛ. tV
Если прибавить третий столбец ко второму, вынести
в полученном определителе множитель 2 из второго
столбца и вычесть второй столбец из третьего, то мы
увидим, что равен нулю определитель
в1 bi Ci ... гх
Ь2 с„ ... г2
«л Ьп сп ... гп
в котором уже все элементы вещественны. Поэтому
возможен подбор вещественных чисел Аи А2) ..., Ап,
среди которых есть отличные от нуля и для которых
Лх at Ц- А2 а2 + ... + Ап ап = О,
Лх + А2 Ь2 + ...: + Ап Ьп = О,
Лх Сх + Л2 с2 + ... + Лп сп = О,
ЛхГх + Л2г2+...4-Л„г„=0.
Но тогда справедливы и такие равенства:
2^* ак — 0, 2 -4* +гс*)= о,
2 -4* (£** —1С*) = 0,	..., 2-^* гк — О’
Установив это предложение, допустим, что Д — 0.
Тогда найдутся вещественные числа Лх, Л2, ..., Ат
(не все равные нулю), для которых
Лх®п(В*)4-Ла
®п+1 (В*)4-...+Лт
шп+т*-1 (£*)=о
(к = 1, 2, ..., т).
Положим
Я (ж) = Лх<оп (ж) + Ла
тл+1 (ж)+ ... +Лтш
п*т-1 (ж).
Это — не тождественный нулю полином степени не
выше п + т — 1, ортогональный ко всем полиномам
степени ниже п и имеющий корнями все числа
ct, ?2, ..., Ет. В таком случае И (ж) нацело делится на
° (ж) ~	— ^i)& Sj). ... (®
§ :5]	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ	377
причём частное имеет степень не выше п—- 1. Обозна-.
чая это частное через q(x), будем иметь
ь
р (ж) Н (ж) q (х) dx — 0.
а
Но это невозможно, так как произведение
Я (я) g (я) = с (а;) д’(я)
не меняет знака на [a, 6]. Лемма доказана.
Замечание 2. Может возникнуть сомнение в
возможности нахождения К из равенства (112), так как
Qn(x) есть полином с'комплексными коэффициентами,
и потому можно думать, что
ь
5 />(«)«(«)
а
(113)
ное
Однако равенство (ИЗ) невозможно, так как част-
Qn. (х)	tn (х)
представимо в виде •
Замечание 3. При указанном построении поли-
номов <рп (х) мы опирались только на то, что полиномы
шп(ж) ортогональны по весу р{х), но не использовали
факта их нормированности.
Пример. Построить полиномы Un(x), образующие
на [-1,-f-l] ортонормальную систему по весу 1/1—х*.
Так как
а для вера ^1= ортогональная система нам извест-
на—она состоит из полиномов Чебышева Тп(х), то
искомые полиномы Un(x) лишь постоянным множите-
лем могут отличаться от
П(1) т„(-1) №)
Tn+X(l) rn+1(-l) Япл{х)
1
1 — X*
(114)
379 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ [гл. IV
Ho Тп{х) = cos (n arc cos х). Значит,
= тп(-1) = (-1)п,
и потому (114) есть
__l)n+12 Tn+zjx) ~ Тп (ж)
Отсюда
Un (ж) = К .Тп^(^)- Гп(х) _	(Ц5)
Остаётся найти К из условия
+1
yi^x3Ul(x)dx = i.
-1
Подставляя сюда (115) и делая подстановку х = cos 0,
находим
K = —L^.
Г
Исходя из (115) и того факта, что | Тп (ж) |< 1, мы
получаем оценку
(Ив)
Эта оценка лучше, чем доставляемая теоремой 1.
В самом деле, нормированные полиномы Чебышева
суть JL.Tn(x) (для п>0). Значит, для нашего слу-
чая оценка (102) принимает вид
Полиномы Uп (ж) обладают многими важными свой-
ствами. Ниже, в главе VI, мы ещё вернёмся к ним.
В частности, там мы дадим для них лучшую оценку,
чем (116).
ГЛАВА V.
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА.
§ 1; Формула РоДрига.
Определение. Полиномы Хп(х), образующие
ортогональную систему веса р (х) = 1 на сегменте
[— 1, 4-1], называются полиномами Лежандра.
Так как мы не потребовали здесь нормированности
этих полиномов, то предыдущая фраза определяет их
лишь с точностью до постоянного множителя. В част-
ности, если этот множитель выбран так, что полином
оказывается нормированным (и его старший коэффици-
ент положителен), мы будем, следуя В. Л. Гончарову,
обозначать полином через Хп (х), а если старший ко-
эффициент полинома равен единице, то через Хп (ж).
Рассматриваемые полиномы были введены Лежанд-
ром [1] в 1785 году. В 1814 году О. Родригом была
дана для них простая и удобная формула.
Чтобы вывести эту формулу, проинтегрируем Хп (х)
п раз подряд и полученный в результате полином обо-
значим через ип(х). Его степень будет равна 2п. По-
стоянные интегрирования мы выберем так, чтобы ока-
залось
М-!)=«;(-!)= •••=“(пП-))(-1) = 0.	(117)
Соотношения (117) вместе с равенством и^ (ж)' — Хп (х)
определяют ип (ж) с точностью до постоянного мно-»
жителя.
380	ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА	[гл. V
Обозначим через v (ж) произвольный полином степени
ниже п. Тогда
+1
а^”)(ж) о(ж)<2ж = 0.	(118)
-1
Но согласно обобщённой формуле интегрирования по
частям
+1
u^vdx =
-1
= [ii^n_1)o— ii(n“2>o'+ ... +(—
4-1
+ (.— l)n^ unv<n)da:.
-i	1
G другой стороны, v<n>(o:)=O, и потому из (117) и (118)
вытекает, что
u(?-0(l)0(d)-
-«^(l)»'(!) + ...+(- 1)п-1 вп(1)1?(«-1>(1) = 0.
Но так как числа v (1), v' (1), ..., i/”-1) (1) совер-
шенно произвольны*), то необходимо должно быть
ип (1) = «;(!)=,,.= «(«-о (1) = 0.	(119)
Равенства (117) и (119) показывают, что каждая из
точек ± 1 является корнем кратности п полинома
ип(х). Значит, этот полином делится нацело на
(х — 1)п(ж + 1)п = (х2 — 1)п. Атак как степень иа(х)
равна 2п, то
я„(ж) = Хп (ж’~ 1)п,
а
Xn(x) =	(120)
♦) Какие бы числа Av, Alt Ап^г ни взять, найдётся
полином v(x) степени ниже п, для которого =
(А = 0, 1, п— 1). Именно это будет полином
V (4-л + А -!)+,., + - (Ж - 1Г-1..
| 1]	Формула Родрика	Э|1
Это и есть формула Родриеа.
Ввиду того что
[(х*- 1)п]<”) = 2га (2га- 1) ... («+!)«”+....
ЯСНО, что
у (т')	(а* ~~	Г1213
An W <2n)l dxn '
Чтобы найти, при каком значении Кп получаются
нормированные полиномы j£n(x), снова применим обоб-
щённую формулу интегрирования по частям, положив
v (х) == и<”) (ж). В силу (117) и (119) все внеинтеграль-
ные члены исчезают, и потому
+1	1
[4П) (я)Гdx=(~l)n wn (х) <">(х)dx. (122)
-1	-1
Но
«(2") (х) = Кп (2га) I
С другой стороны, полагая
+ 1
(«’- l)ndx,
-1
имеем
+1
Zn = J х’ (х“ - I)"-1 dx — 1п^.
-1
Интегрируя по частям, находим
+» +1
5 ха (х’ - I)"-1 dx« i ( xd (X* - 1)" = -1 zn.
v	ЛП J	ЛП
—1 —1
Значит,
882
ПОЛИНОНЫ ЛЕЖАНДРА	[гл. V
Заменяя здесь последовательно п на п — 1, п — 2, ..., 1,
перемножая полученные равенства и замечая, что Ц = 2
получаем
г ____z____л\п (2п)!1 о
п '	' (2» + 1)11
Таким образом равенство (122) принимает вид
ИЛИ
\x^z)dx~^^2K*n.
Если потребовать, чтобы этот интеграл равнялся еди-
нице, то надо положить
к — 1
п~ (2п)!!

Итак,
i,w-
2n + l 1
2	(2п)1!
dxn
Согласно общей теории имеет место
Теорема 1. Все корни, полинома Хп (х) вещественны,
различны и лежат в интервале (—1, 4-1).
Однако это обстоятельство легко установить и не
ссылаясь на общую теорию, а исходя из формулы Род-
рига. Действительно, ип (х) = (х2 — 1)п имеет корнями
кратности п точки ± 1. Стало быть, по теореме Ролля
«(,(«) имеет корень в интервале (—1, 4-1). Кроме
того, точки ± 1 будут корнями и„(х) кратности п — 1.
Значит, по теореме Ролля у ил(х) имеются корни тд
и т;2 в интервалах (— 1,и (Вх, 4-1). Кроме того,
точки ± 1 будут корнями и’(ж) кратности п — 2. Допу-
стим, что для к < п производная и^(х) имеет к различ-
ных корней в интервале (—1, 4-1) и что точки ±1
суть её корни кратности п — к. Тогда по теореме Ролля
§ 1]
ФОРМУЛА РОДРЙГА
% ш
У м(п+1)(®) будет к 4-1 различных корней в интервале
(— 1, +1). Отсюда и вытекает теорема.
Из формулы Родрига вытекает и явная формула для
Хп(х). Именно,
п
.	1)"== 2(-1)*С£а:гп-л*;
к=0
поэтому
н
(123)
к=0
Формула (123) показывает, что в состав Хп(х) вхо-
дят только такие степени ж, показатели которых одной
чётности с п.
Отсюда вытекает, что в рекуррентной формуле
•^П + 2 (%) =	ап+2) Хп + 1 (ж)   ^n + 1-^n (х)> (124)
которая должна иметь место по общей теории, будет
ап + 2 = 0.
Что касается лп+1, то, как и в общей теории, этот
коэффициент находится умножением” (124) на Хп(ж)
и интегрированием. Как и выше,
+1 +1
жХп+1 (ж) Хп (ж) dx = X‘tlrl (x)dx. , .
-1-1
Стало быть,
+i
J Х„+1 (®) dx
х _ zl___________
лп+1 — 4-1
У (®)
-1
Но мы видели, что
+1
\ Х*(ж)<2ж =
-1
[(2n)!l]*oga
In 4-1
Ш	ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА	[РЛ. у
а для Хп (х) коэффициент Кп имеет значение ^у,. Отсюда
после простых преобразований получается
X =
n+1	(2n + l)(2n+3) ’
Значит,
Xn+S (х) = Я^п+1 (я) — (2п + 1)(2п + 3)%п
, По формуле Родрига Xi(x)=x. Кроме того, Хо («)=!.
Отсюда и из (125) находим
|.(*) = 1,
X, (ж) = х,
^(®)-|(3®,-1),
Х,(х) = ^(Ьх3~Зх),
^(^«^(Эб^-ЭОс’+Э),
Рекуррентная формула (125) позволяет составить
непрерывную дробь (88), соответствующую полиномам
Лежандра. Для этого надо заметить, что а, = 0 и Х0==2,
t
ибо at есть корень полинома Хх (х), а = J dx. Если
—1
принять во внимание, что
+1
-1
то оказывается
1/з____
4/15
g q	ФОРМУЛА РОДРИГА	385
Во многих вопросах представляют интерес полиномы
Хп (х), получающиеся из (120) при Кп =	• Мы будем
обозначать их через Рп(х):
Очевидно,
ММ X»« = (2^ZTjn₽»W- <126'
Для этих полиномов
+1
Ап =
-1
Рекуррентная формула для них имеет более простой вид:
(п + 2) Рп+2 (х) = (2п + 3) xPntl (х) - (n + 1) Рп (х). (127)
Кроме формул (120) и (123), можно привести ещ8
одну формулу, дающую явное выражение для Хп(я).
Именно, по формуле Лейбница
(»»)<">« 2
k-U
имеем
[(я3 -1)"](")=2 к* - i)n](n“fc) t(®+1)я](А)=
к-0
к-0
Отсюда
Хп (ж) = Клп\ 2 [С*]> (Ж - 1)* (X +1)"-*.
к-0
В частности,
Рп(1) = 1,' Рп(-1) = (-1)п.	(128)
-J Конструктивная теория функций
386
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
[ГЛ. V
Из формулы Родрига вытекает
Теорема 2. Полином Лежандра у = Хп[х) удовле-
творяет дифференциальному уравнению
(1— х2) у" — 2ху' + п(п + 1)у = 0.	(129)
Действительно, дифференцируя равенство
и — (ж2 —1)п
и умножая результат на ж3 —1, получаем
и' (ж3 —1) = 2ижи.
Возьмём от обеих частей этого равенства производные
порядка п+1. Если применить формулу Лейбница,
то окажется
2 C^+1M(«+2-fc) (a:3-l)W = 27i2 C*+iu<n+l-kWk>.
fc-0	fc=0
Отсюда
tt(n+2)	— !) + («+!) u<n+i)2x +	- 2»("> =
= 2n [u<n+1>x + (n + 1) »(”)].
Замечая, что u<n) = y, мы приходим к (129).
Наконец, отметим ещё одно тождество, связывающее
три последовательных полинома Лежандра:
Р'п^ (*) - Р'п-г (*) = (2n +1) рп (*)•	(130)
Для его доказательства запишем левую часть в форме
г г (хг - l)n+l 1 <«+1> г (®а - l)”-11 <и-1> 1'
Л~ { L (2ч+ 2)1! J “ L (2п —2)!l J J '
Это выражение можно переписать так:
_ Г Г (к2 — l)n+1 Т ’	(ж2 -1)”-11 <«>
Я— t L (2» + 2)!! J (2п —2)1! J *
Но
(s2-l)ntl 1' _ (2ч + 1)*»-1 , а _ 4 vn_x
(2n + 2)!lJ ~	(2д)11	1	4
ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
387
§ 2]
Отсюда
<«)
Г r(2re + 1)g!,~1- 1 1	1У1-
I L---(2п)П	(2п - 2)!! J &
-тШ [(“=’-«"Г’’
что и доказывает тождествЬ (130).
§ 2. Производящая функция.
Рассмотрим функцию
X(t, ж)д-—L------.
Покажем, что при закреплённом х и достаточно малом
111 эта функция может быть разложена в ряд по степе-
ням t. В самом деле, в биномиальной формуле
(l_z)-Vi=l+|z + ^.2«+ 5П а.+ ... (131)
все коэффициенты положительны. Заменяя в ней z на
2tx — t3, мы получим представление X [I, х) в форме
ряда
X (t, х) = 2 ак (2tx - «’)*,	(132)
в котором все' ак положительны. G другой стороны,
если в (131) положить z = 2|Za;| +t2, то ряд
2 а*(2|^|-Н3)	(133)
к-=а
оказывается сходящимся при 2|ta| + Z2 < 1. Ряд (132)
можно записать в форме двойного ряда:
ао +
&}2tX~~ Qyt2
+ 4aaxata — 4а2х«8 + ast* +
+ ...
25*
388
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
[гл. V
Этот двойной ряд сходится абсолютно потому, что
он мажорируется подобным же положительным двойным
рядом, полученным из (133). Но тогда в этом ряду допу-
стимы любые перестановки его членов. В частности,
можно объединить все члены, содержащие одинаковые
степени t, что и приводит к равенству вида
X (г, х) = 2 ап (ж)tn.	(134)
п
Полагая г = 0, находим а0(ж) —1. Дифференцируя
(134) по t и снова полагая 1 = 0, находим а1(х)=х.
Таким образом
ао (*) = ро И, «1 (я) = -Р1 («)•
Мы покажем, что и при любом п будет ап(ж) = Рп (ж).
Для этой цели продифференцируем (134) по t:
со	со
=2	=S (”+о «п+1 (®) tn-
'	~ '	п-1	п-0
Умножим это равенство на 1 —и заменим
в левой части (1 — 2га: 4-га)~1/2 по формуле (134):
СО	00
.(«—*) 2 ал(*) =- (1 —2г® 4- *’) 2 (га + *)(®)Л
п—0	п—О
Сравнение коэффициентов при гп даёт (для п>1)
ran (х)~ап-1 (a:)=(n+l) an+l (х)—2пхап (х)4-(п—1) ап^ (х).
Отсюда
(п4-1)ап+1(«) = (2п4- 1)хап(х)—па.п^(х) (п>1).
Заменяя здесь п на л 4-1, мы приходим к формуле
(п 4- 2) а„+1 (х) = (2п 4- 3) хап+1 (х) — (п 4- 1) ап (х) (п> 0),
имеющей в точности тот же вид, что и формула (127),
связывающая три последовательных полинома Рп (х).
Итак, нами доказана
I 2]	ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ	ш
Теорема 1. Справедлива формула
1 со
(l-2tx + ?)"* = ^pn(x)tn.	(135)
п-0
Левая часть этой формулы называется производящей
функцией для полиномов Лежандра.
В качестве приложения формулы (135) можно ука-
зать оценку для полиномов Рп(х).
Теорема 2. На сегменте [ — 1, +1] справедливо
неравенство
|Рп(*)1<1.	(136)
Действительно, выбрав точку х из [—1, 4-1J, запи-
шем'её в виде х = cos 9. По формуле (135)
d
1 00
(1 - 2t cos 6 + /а)"2 = 2 рп (cos 0) tn.
Но
1 — 2t cos 0 4- t* = (1 — teie) (l — te~i3).
Отсюда, в силу биномиальной формулы (131),
(1- 2t cos 6 -Hs)-‘/2 =
ОО	00
*=1	fc=l
Перемножая обычным способом эти ряды, мы полу-
чаем, что коэффициент Рп (cos 0) при tn имеет вид
<«»«)-<TS=)T?!«M+
Wy(2fe-1)!! [2(»-fc)-l]!l К2Л_П)9	(2n—1)1! in9
(2ft)!! [2(n-ft)JII	(2n)!l e
Важно заметить, что все коэффициенты в правой
части положительны. Значит,
р (спя I (2*-1)11 , у1 (2ft-1)1! (2n —2ft—1)1! , (2п - 1)1!
(2n)l! + Zl (2ft)!!	(2n —2ft)l! + (2n)!l '
390	ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА	[гл. V
Но правая часть этого равенства есть не что иное,
как Рп (cosO) = Pn(l) = 1. Теорема доказана. В следу-
ющем параграфе мы дадим и другие оценки для поли-
номов Лежандра.
Другим примером применения формулы (135) может
служить вывод трёх важных соотношений, связывающих
полиномы Лежандра. Именно, дифференцируя формулу
(135) один раз по х, а другой раз по t, находим
t (1 -	-Н3)-8/* = 2 рп (®) tn>
(х -1) (1 - 2tx + «3)>^ = 2 рп (®)П<п’1-
Отсюда
«•	со
(x-l^P^t^^P^nt”,
nwl	П«1
или, что то же самое*),
СО	ОО	СО
2 хРп ю *п - 3 К-* wtn=2 прп (*)л
п—1	П"«1	я«1
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t,
мы находим первое из интересующих нас соотношений:
хР^х)~Р'п_1(х) = пРп(х). .	(137)
Вычитая это равенство из (130), получим второе из
упомянутых соотношений:
р;+1(ж)-жр;(ж) = (п+1)рл(ж).
Наконец, заменяя здесь га на га — 1 и исключая Р^ (ж)
из полученного равенства и (137), приходим к послед-
нему из указанных выше соотношений:
(1 - ж3) Р; (ж) = пРп^ (ж) - пхРп (ж).
♦) Во второй сумме можно суммировать от n=s=l, а не от п = 2,
ибо при п=1 имеем Р4_1(к) = 0.
§ 3]	ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА	391
§ 3. Интеграл Лапласа.
Рассмотрим функцию
уп (ж) = 1- [ж + i1 — ж2 cos 9]п <79.
о
Так как у0 (ж) = 1 и у, (х) = х, то
Уо(х) = Ро(х)> У1(^) = Л(ж).
Мы покажем, что равенство уп(ж) = Рп(ж) имеет место
при любом п. Для этого, очевидно, достаточно показать,
что три последовательные функции уп, yn¥i, уп*г связаны
той же рекуррентной зависимостью
(п + 2) ул+2 - (2п + 3) хупл t + (n + 1) уп = 0,	(138)
что и полиномы Лежандра Рп(х).
G этой целью положим временно x = x + i	1—ж3 cos 9.
Тогда
Уп(х) = ^	d0,
О
%
Уп+1 (®) = -^ [ж + i V1 — я2 cos 9] an de,
о
уп+2 (х) =	[ж + i )/1 —- ж3 cos 9]’ а" de.
о
Внося эти выражения в левую часть (138), запишем её
в виде
- {И de,
mJ
О
где положено для краткости
₽ = (п + 2) (ж + i j/1 — ж3 cos 9)s —
— (2n + 3) ж (ж + i 1 — х1 cos 9) + л-f-1.
М2
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
[ГЛ. V
После простых преобразований получаем
p = (n-)-l)(l — a;’)sina6 4-
4-	i 1 — ж2 (ж + i Y1 — я2 cos 9) сов в.
Обозначим
' (га 4- 1)(1—ж2) sin2 6 через у,
а
i )/1^Р (ж 4- i cos б) cos 6 через 3.
Тогда р = у4-8. Но
8an d9 = i 1 — ж2 an+l cos 0 d9.
о	о
Интегрируя по частям, находим
8and9=»
о
 i)/’ 1 — ж’ |[an+1 sin9]J — (n4-1) ana'sin9d0J.
о
Так как а' = —• i )Л 1 — ж2 sin9, то
8a?1 d9 = —- (п 4-1) (1 — ж2) a" sin2 9 d9 = — yan d9.
о	о	о
Отсюда
^pand9 = O,
/	о
и наше утверждение доказано. Таким образом ,мы уста-
новили, что полиномы Лежандра допускают интеграль-
ное представление
Рп (ж) »=	[ж 4- i )/1 — ж2 cos 9]" d9.	(139)
а
Стоящий здесь интеграл называется интегралом
Лапласа.
I 3]	ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА
Ввиду того что при — 1 < X < 1
I X + I ]/1~Х2 COS 62| = ]/ х2 + (1 — X*) cos’ 9 < 1,
ясно, что при этих х оказывается
Рп (х) < I х + i ]/'i — ж3 cos 61" d6 < 1,
о
т. е. мы снова получили оценку (136). Для точек, лежа-
щих внутри интервала (—1, +1), можно получить более
точную оценку. Именно, представив | ж + г j/1 — ж3 cos 9 |
в форме
/1 — (1 — ж’) sin3 6,
Находим
JPn(*)l< 7 ) [1 -(1 -33)8in’0m
о
Разбивая этот интеграл на два, распространённых
на промежутки [о, yj и [у» сделаем во втором
из них замену 6 на к — 6. Это даёт неравенство
2 ”/2
1Лг(*)1<7 pl-(l~s3)sin39]* dt.
о
Но при 0<9<у будет, как известно,
.	2
sm 9> — 9.
Значит,
1-(1-ж2)81па9<1-^(1 -ж’)92.
G другой стороны, при «> О
1	— а < е-’.
(В самом деле, при « > 0 производная функции ср (а) =
= г“ + а-1 положительна, и потому <р(а) > ?(0)=»0.)
394
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
[гл. V/
Таким образом	*
2	’р2	(1 -®2) 9’
/)пй1<7р’1! Ж
о
и, тем более,
+о° _2п	2
”2 Ж.
с
Полагая здесь 0 = -т=2=г, находим
/2п(1-х«)
л—	+°о
7i=p
о
Но
+«5
о
и потому окончательно
§ 4. Разложения по полиномам Лежандра.
В силу соотношений
|Рп(я)|<1, Хп(х)=-/^Рп(х),
мы получаем, что ядро Кп (t, х) системы полиномов
Лежандра допускает оценку
k=0	fc=0
Значит, для соответствующей функции Лебега
+1 ,
.	(®) = |	G> х) I
-1
j 4] РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ПОЛИНОМАМ ЛЕЖАНДРА	395
оказывается
£П(Ж) <(« + !)’.
Отсюда на основании теоремы 7 из § 4 главы IV
вытекает, что всякая непрерывная функция f(x), наи-
лучшие приближения которой удовлетворяют условию
lim n*En(f) = 0,	(141)
rwco
разлагается в ряд Фурье по полиномам Лежандра, при-
чём сходимость этого ряда равномерна на всём сег-
менте [— 1, +1]. В силу теоремы Джексона (см. часть
первую, главу VI, § 2) условие (141) заведомо выпол-
няется для функций, имеющих непрерывную вторую
производную.'
Таким образом, установлена
Теорема 1. Если функция f(x), заданная на
[—1, 4-1], имеет непрерывную вторую производную f(x),
то она разлагается в равномерно сходящийся ряд Фуръе
по полиномам Лежандра.
Если не требовать разложимости /(ж) на всём сег-
менте [—1, 4-1]> а ограничиться рассмотрением сег-
мента [—14-й, 1 —/i] (0<й< 1), то можно значительно
ослабить условия, налагаемые на /(ж). Это обстоятель-
ство объясняется тем, что оценка |Рп(ж)|^;1 (которую
для всего сегмента [—1, 4-1] улучшить нельзя, ибо
Рп(1) = 1) для сегмента [-14-й. 1—-й] может быть заме-
нена оценкой
<142)
вытекающей из неравенства (140).
Теорема 2. Если f(x) на всём сегменте [—1, 4-1]
удовлетворяет условию Дини—Липшица
lim ш (8) In 8 = 0,	(143)
5 —й)
то во всех точках интервала (—1, 4-1) она разлагается
в ряд Фуръе по полиномам Лежандра, причём сходи-
мость этого ряда равномерна на любом сегменте
[—14- h, 1-й].
3»б
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

Чтобы доказать эту теорему, разобьём интеграл
+1
А (®) = .1 (^> ®) I dt
-1
на пять интегралов по схеме
. , h	1	,1	, А
-1+-	Х--	х+-	1--	t
Ai (®) = \ +	—
_1+*	Х_1	х+£	, *
2	п	2
в А+Ц + Ц + А + А»
Интегралы Ц и /, оцениваются следующим образом:
по формуле Кристоффеля—Дарбу
Кп (г, х) = 0п	<9*" <*> т	(*>** <9	(0 < 6n < 1).
Но когда — 1 +Л<ж< 1 — h, — 1<£< — 1 + у, то
|Z —ж[>у. Кроме того, в силу (142),
и такая же оценка верна для Xnil(x). Поэтому
+i	+1
Л < Ф1 [ 5 I Хп G) I dt + 5 I Хп+1 (О I dt ] .
-1	-1
В силу неравенства Буняковского,	1
+ 1	!
|Хп(0|Л</2,
-1
и потому
Л» •
То же верно и для Ц.	|
л
§ 4]
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ПОЛИНОМАМ ЛЕЖАНДРА
397
Перейдём к рассмотрению интегралов 12 и Ц, оста-
новившись для определённости на It. Здесь
|хп(Ж)|<4^, |хп(01<Ц^,
и потому
| &п (*, Х) I < /;.2 (t-Я} ’
откуда
,+4
Но
и, стало быть, ,
Л<^1пп + ^1п2.
То же верно и для /2.
Наконец, Ц оценивается так:
|Хк(а:.)|<^., |Хк(*)|<^-,
значит,
I Кп (t, z) | < 2 | Xk (t) Xk (z) | < £ (n +1)
и, следовательно,
n
Таким образом для функции Ln(x) нами установлена
оценка
М*)<ЧР+£1пп+-Й+|?1°2.	(4«)
398
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
[гл. V
Если условие (143) выполнено, то по теореме Джек-
сона будет
lim ЕД/) Inn = О
• П-+СО
и, стало быть (в силу (144)),
'limEn(/)£n(s) = 0,
ц-юо
что и доказывает теорему.
В теоремах 1 и 2 предполагается, что разлагаемая
функция /(ж) имеет определённые структурно-дифферен-
циальные свойства на всём сегменте [—1, +1]. В соот-
ветствии с этим. удаётся установить разложимость / (х)
также или на всём сегменте [—1, 4-1] или на интер-
вале (—1, 4-1)- Таким образом эти теоремы имеют
нелокальный характер. Так как в~ каждой внутренней
точке х интервала (—1, 4-1) полиномы Хп (х) ограни-
чены одним числом
IД (®) 1 <	, (445)
1 п' '1 2 Г п У	2	’
то, исходя из теоремы 2 § 4 главы IV, мы можем полу-
чить и чисто локальный результат:
Теорема 3. Функция /(ж) класса L? разлагается
а ряд Фуръе по полиномам Лежандра в каждой тачке х
интервала (—1, 4-1), в которой выполнено условие
^[м>]-А<+оэ.	<14в>
В частности, условие (146) выполнено, если суще-
ствует конечная /'(ж).
Оценка (145) позволяет перенести на полиномы Ле-
жандра общий принцип локализации, доказанный в тео-
реме 5 § 4 главы IV:
Теорема 4. Если две функции f(x) и g(x) из L1
совпадают в интервале (ж0 — h, х9 4- h), то	'
Hm {Sn [/, ж0] - Sn [g, ж.]} = 0.
§ 4] РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ПОЛИНОМАМ ЛЕЖАНДРА 399
Здесь 5„ [/, х] и 5„ [g, х] суть частные суммы разложе-
ний по полиномам Лежандра.
Теорема 5. Пусть функция класса L* и в не-
которой точке х интервала (—1, 4-1) существуют пре-
делы f(x — 0) и / (х + 0).
Если конечны интегралы
$ ро-Црар,,	(147)
-1	X
то ряд Фурье функции f(x) по полиномам Лежандра
в точке х сходится к сумме
/(z— 0) + /(а: + 0)
2
Для доказательства рассмотрим сначала простейшую
функцию h(t), равную 1 при — 1<£<ж и равную 0
при ж<£<1. Её коэффициенты Фурье таковы:
X
ck=^ Xk(t)dt.
-1
Но, в силу (130), при А> 1
ХМ = /“f1 Р* «) = 7?= К..(<) - ₽м(<)]•
Значит, благодаря тому, что Pktl(~ 1) = Рк_1(—1) =
= ( 1)/<; х,
С*	/4Л + 2
С другой стороны, Х„(х) = ^ и с„ = ~^. Поэтому
частная сумма Фурье для функции h(t) в точке х-
такова:
п
$n (ж) — F 2 ^fc+l &к-1 (я)] хк (х).
400	ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА	[гл. V
Но Хк (х) = у ^у^ Рк (х), и потому
п
8п (®)=12	(®) (®) - рк (*)р^ (®л=
*=i
= у [ 1 + X + Рп< х (х) Рп (х) - Pt (х) Р„ (®)].
Замечая, что Р0(ж) = 1, Р1(х) = х, получаем оконча-
тельно
sn (ж) = 4 + 4 Pnti (х) Рп (х),
откуда
limSn(z) = -L
П-+СО	*
С другой стороны, сумма Sn(x) может быть вычис-
лена по формуле
' X
Sn (я) = Кп (t, х) dt.
-1
Поэтому
lim Kn(t, x)dt=>~; ,	(148)
n-к» J
-1
а так как интеграл от ядра Кп (t, х) по всему сег-
менту [—1, 4-1] равен единице, то
1
lim Кп (t, х) dt а» у.
n-*oo J
X
Переходя к рассмотрению функции /(Z), представим
её частную сумму Фурье в виде
X	1
t(t)Kn(t> x)dt+\f(t)Kn(t, x)dt.
§ 4] РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ПОЛИНОМАМ ЛЕЖАНДРА 401
Для доказательства теоремы достаточно установить, что
lim £ f(t)Kn(t, x)dt = ^f(x — O),
n-»oo J	4
-1
1
lim f f(t)Kn(t, x)dz = y/(® + 0).
n~*co J	4
X
Мы ограничимся установлением первого из этих ра-
венств, так как второе доказывается совершенно анало-
гично. В силу (148) дело сводится к доказательству
равенства
lim £ [f (t) — / (х - 0)] Кп (t, х) dt = 0.	(149)
П-+СО J
-1
Но по формуле Кристоффеля—Дарбу
Кп (*> ®) - 9n	*п (x)t ~ fn+1 (х)— -	(0 < fin < 1).
Значит, интеграл, входящий в (149), можно записать
так:
MdntX(x)-dX«(*)l,
где
^»P(t)7^~o)Xn(o^
л
и аналогично для dn+1. Числа dn суть коэффициенты
Фурье функции, равной	ПрИ — 1 < $ < ж
и равной нулю при я<г<1. По условию эта функция
входит в £3, и потому её коэффициенты Фурье стре-
мятся к нулю с возрастанием п. С другой стороны,
числа Хп(х) ограничены. Отсюда вытекает (149). Теорема
доказана.
26 Конструктивная теория функций
402
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
[гл. V
Оценки
|Хп(а;)|<—£=
пч '	/1-х2
(— 1 1),
(-!<«<!),
установленные для полиномов Лежандра, позволяют
получить и некоторые результаты относительно разло-
жений по полиномам <р„ (ж), образующим ортогональную
систему веса а(х), отличного от единицы. Действительно,
в силу теорем § 5 главы IV, в тех случаях, когда а (ж)
есть функция, удовлетворяющая условию Липшица,
с положительной нижней границей на [—1, +1], в част-
ности, когда a(x) = Q(x) или а(ж) = =-г^, где Q(x) есть
V (X)
полином, не имеющий корней на [—1, 4-1], для поли-
номов <fn(x) (п>1) будут справедливы оценки
| «р„ (ж) | л /п (—(150)
|?п(ж)|<Н=Т2	(~1<ж<1)’
где А—некоторая постоянная. Отсюда вытекает
Теорема 6. Функция /(ж), имеющая непрерывную
вторую производную f" (х), разлагается на [—1, +1],
в равномерно сходящийся ряд по полиномам <рп(ж).
Если же f(x) имеет производную только первого по-
рядка /' (ж), удовлетворяющую условию Липшица, с пока-
зателем а. > —, то она разлагается  по полиномам
<рп(т:) в интервале (—1, +1), причём сходимость полу-
ченного ряда будет равномерной в каждом сегменте
[- 1+Л, 1—Л].
В самом деле, в силу только что сказанного, для
ядра Kn(t, х) (п>1) будут справедливы оценки
1^п(^	(—
п
\Kn(t,x)\<--^=r^yk
у 1 — X*
r	А—1
§ 4] РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ПОЛИНОМАМ ЛЕЖАНДРА
408
где Ai—некоторая новая*) постоянная. Поэтому для
функции Лебега
+1
(®) ~ I (t, ж) | dt
-1
окажется
Ln(x)<2A^
Ln(x)<-^=-n*i*
4 7	/1-я»
.(—1 <1),
( —1 < X с 1).
Отсюда, в силу общих результатов § 4 главы IV,
с одной стороны, и теорем Джексона—с другой, и вы-
текает справедливость наших утверждений.
♦) В состав ядра входит слагаемое й>(О?о(з)> для которого
неравенство (150) неприменимо. Это и вызывает необходимость
увеличения постоянной.
ГЛАВА VI.
ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ.
§ 1. Обобщённая формула Родрига.
Определение. Полиномами Якоби*) называются
полиномы, образующие на сегменте [—1, +1] ортого-
нальную систему веса
р (х) = (1 — х)* (1 + х)\
Так как мы всегда предполагаем вес суммируемым,
то показатели а и £ должны удовлетворять условиям
а > — 1, р > — 1.
Так же как и для полиномов Лежандра, вышепри-
ведённое определение определяет полиномы Якоби
лишь с точностью до постоянного множителя. В тех
случаях, когда этот множитель мы не будем фиксиро-
вать, полиномы Якоби будут обозначаться через Jn,W (®).
В случае, когда множитель выбирается. так, что стар-
ший коэффициент полинома равен единице, будет при-
меняться обозначение (х). Когда речь будет идти
о нормированных полиномах Якоби (причём старший
коэффициент полинома положителен), то они будут
обозначаться через ,w (ж). В дальнейшем потребуется
также ещё один специальный выбор упомянутого мно-
жителя, но о нём мы будем говорить ниже.
Нетрудно видеть, что полиномы Лежандра являются
частным случаем полиномов Якоби, отвечающим значе-
*) Якоби [1].
j	ОБОБЩЁННАЯ ФОРМУЛА РОДРИГА	405
I
ниям а = р = 0. Точно так же при а = р = — у полино-
мы Якоби превращаются в уже рассмотренные нами
полиномы Чебышева. Ниже мы остановимся на так
называемых полиномах Чебышева второго рода, явля-
ющихся также частным случаем полиномов Якоби, отве-
чающим значениям а = р = Н-у. Надо заметить, что
вообще случай равных показателей а = р представляет
некоторые особенности; соответствующие этому случаю
полиномы Якоби называются улыпрасферическими поли-
номами.
При изучении полиномов Якоби очень полезной
оказывается формула
Лм)(х) =
ап
= Кп (1 + х)-₽	[(1-ж)«+п (1 + 0!)₽+«J, (151)
являющаяся прямым обобщением формулы Родрига,
в которую и переходит формула (151) при а==р = О.
Для доказательства этой формулы заметим, что по
формуле Лейбница
п
АП
[(1 _ж)«+п(1 +	= J i4(i_xy+n-k(1 +
А-0
где hk — некоторые постоянные коэффициенты. Поэтому
^„[(1-х)‘+п (1 +	= (1-®)’ (1 + *)’уп (х), (152)
гДе Уп(х) есть некоторый полином степени не выше п.
Мы скоро убедимся, что степень уп(х) в точности
равна п, а пока отметим лишь, что уп{х) не есть тож-
дественный нуль*).
•) Если бы. оказалось, что уп (х) = 0, то это означало
бы, что (1 — ж)“+"(14-ж)^+п — полином степени не выше n—1.
Но это невозможно, ибо единственными корнями функции
(1 — ж)'?+п(14-а:)Р+п служат точки ± 1. Значит, если бы эта функ-
ция была полиномом степени —1, то имело бы место тожде-
ство (1 — ж)“+"(14-ж)₽+п»(1—я)® (1-|-а)4, где а и Ъ—целые
неотрицательные числа и	—1. В свою очередь это вле-
чёт за собой равенство « + п = а, противоречащее условию а > — 1.
406	ПОЛИНОМЫ ЯКОВИ	[гл. VI
Отметим далее, что по той же формуле Лейбница
при т < п будет
(®) = 5» [(1 ~ (1 + *)₽+n] =
= 2 Л* (1 — х)*+п~к (1 4-ж)Р+п-т+й.
*=0
В последней сумме показатели а + п—к и р + п—т + к
строго положительны. Поэтому
?m(-l) = ?m( + l)=0.	(153)
Установив это, рассмотрим интеграл
4-1
J — (1—я:)а (1 + о:)? v (х) уп (х) dx, (154)
-1
где v(x) есть произвольный полином степени ниже п.
Согласно (152), этот интеграл можно записать так:
+1
J —	(х) v (х) dx,
-1
где положено
и (х) = (1 — я:)’+п(1 +о:)0+п.
В силу обобщённой формулы интегрирования по
частям:
J=[u(n-1)0 — u(n-^+ ... 4-(_1)п-1Ыг;(’г-1>]1} +
+1
+ (-1)"5	(155)
-1
Но благодаря (153) внеинтегральный член правой
части равен нулю, а так как и о<п) (х) = 0, то
7 = 0.
Таким образом уп (х) ортогонален по весу
(1 — ж)’(1 +я:)₽
§ 1]	ОБОБЩЁННАЯ ФОРМУЛА РОДРЙГА
407
ко всем полиномам степени ниже п. Значит,' степень
уп (х) не может оказаться ниже п, ибо в этом случае
он был бы ортогонален сам к себе, что невозможно,
так как уп(х) — не тождественный нуль. Итак, уп(я:)
есть полином степени п, ортогональный по весу
(1 — ж)* (1+«)? ко всем полиномам низших степеней.
Как мы знаем, это и показывает, что уп(г) и >?> (ж)
могут отличаться друг от друга лишь постоянным мно-
жителем. Формула (151) доказана.
Если мы рассмотрим интеграл (154), положив в нём
v (х) = уп (х), то, снова применив формулу (155), найдём
+1	+1
(1—х)Щ + х)Ьуп(х)<1х=; (—1)" и (х)	(х) dx.
-1	-1
Цо
№ (ж) = п! qn,
где qn есть старший коэффициент уп(х). Значит,
+1
(1 -х)“ (1 + x)iy'n (x)dx =
+i
= ( — l)nn!jn^ (1— ж)’+п (1 + a:)₽+nda:.
Полагая в последнем интеграле х = 2t— 1, приведём
его к виду
1
2«+₽+2п+1 (j — ty+nt^ndt =
о
= 2«+iH2n+iB(a + n+l, ₽ + п + 1),
где
1
В (Р> ?)e (1 — аг)р“1 ж’"1 dx
о
есть известный интеграл Эйлера,
408
ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ
[гл. V.
Так как
п/„	г(р)г(9)
то
+1
(1 — х)а (1 + хУу*п (х) dx =
-1
(_1 \п и| а 2®+№2п+1	(156)
< -1'	Г(а + р + 2п + 2) ' ' J
Теперь мы постараемся' найти выражение для
qn — старшего^ коэффициента полинома уп (х). Попутно
мы найдём и следующий за ним коэффициент, рп, с кото-
рым в состав yn (z) входит ж'1''1, что также потребуется
в дальнейшем.
Для этого прежде всего заметим, что так как •
уп («) = (1 - ж)*’ (1 + &)->£п [(1 ~ ®)’+п (1 + ®)₽+п]>
то на основании формулы Лейбница
Ул (ж) = 2 с*(~1)й(а+п) •  .(а + п-Л+1)Х
Х(1-^(Цп)..,ф + ^+1)(1 + х)М.	(157) I
С другой стороны, при X > 1	j
dn	*	I
(х __ 1)-. {х + 1)-? JL [(ж _ 1)«+П (ж + 1)3+П] =
= 2 ^(« + «) •••(* + « — *+ 1)(ж — !)"'*(₽+ П)...	]
*-0	|
...(₽ + Л+1)(х + 1)’+*. (158)
Сравнивая (157) и (158), мы видим, что для х > 1
полином уп(х) можно представить в форме
Уп(*)~
= (_1)П (Х _ 1)-» (ж +1)-?	((ж _ 1)«+п (ж +1)»+"]. (159)
§ j]	ОБОБЩЁННАЯ ФОРМУЛА РОДРИГА	'.09
Но, в силу биномиальной формулы Ньютона,
(ж— 1)»+п = х’+п —-i^’+n=o:?+n —(а + п)я:в+’1“1 + . •
(я + !)₽+« = х*+п (^1 +4У+”=а:?+П + (Р + П) ®₽+п-1+ •••
Отсюда
(а; _ 1)«+п (а; 4-1)?+” = £“+₽+?" 4- (р — а) х«+$+2п-14.,,,
и
£п[(*-1)’+"(*4Л)₽+"] =
= (pt 4- р 4- 2п) ... (а 4- р 4- п 4-1) a:’+₽+n 4-
4- (р—а) (а 4- Р4- 2га— 1) ... («4- р 4-п) х*+$+п~14- ... (160)
Аналогичным образом
{х _ 1)-« (а; 4-1)-₽ = х-*-> (1 - 4(1 4-4)’“ =
= aj“’"?4- (я — Р)з““~₽~1+ ...	(161)
Сопоставляя (159), (160) и (161), находим
г/n (z) = (—!)"[(« + ₽.4-2п)... («4-Р + n + 1) «п +
4- (а — Р)п (а4-Р4-2га- 1)... (а4-р 4- га 4-1) ж"’14-...]
Таким образом
Qn~ (— 1)” (я 4" Р 4* 2га) ... (а 4- Р 4* л 4~ 1) —
__ /_ < \n l’(a4-fl4-2n4-i)
11 Г(а+Р4-"4-1) ’
Рп = (— 1)”(а — Р)га(а4-Р4- 2га — 1) ... (а4- р + га4-1) =
(1в2!
Подставляя qn в (156) и замечая, что
Г(«4-р+2п + 1)_	1
Г (л 4- Р 4* 2л -|- 2) а 4е Р 4* 2л 4" 1 *
410
ПОЛИНОМЫ якови
[гл. VI
находим
(1-ж)“ (1 +	у* (®) «to =
-1
_ 2«+₽+2«+1 1’(я + та + 1)Г(^ + га+1)	HfiQl
1' 4- 4" а 4“ 1) л 4" Р 4* 2д 4~ 1 '
В силу обобщённой формулы Родрига (151)
(х) = КпУп (х).
Значит,
=	(164)
J(M>(x) = (-l)nX	_
X 1/2-(<f+3+2n+n Г(л+р + п-И) я+Р+2п+1	, . ..grs
Х V Z	Г (а+п+1)Г (Р + п +1)	nl J'nWA1'»)
причём
Уп (*) = (1—х)“® (1 + х)~* ~ [(1 — x)’+n (1 + х)Р+«].
Эти формулы пригодны для всех п > 0. Они вер-
ны и при п = 0, если только а + р + 1 =# 0. Если же
п = а + р + 1 = 0, то формулы теряют смысл. Однако
непосредственно ясно, что
Уо (ж) = 1.
Значит,
Л’,₽) («) = У» («)'•
С другой стороны, подстановка x = 2t—1 даёт
+1	1
(1—ж)® (1 + ж)Мя: = 2®+₽+1 (1—t)afl dt=s
-1	о
= 2®+₽+i в (а + 1, р + 1) = 2»+Ж	+	•
1 К® “Г г “г
Поэтому при а + р + 1 = 0 имеем *)
?(’.₽) (х) =	.
/Г(а + 1)Г(Р+1)
*) Учитывая, что Г(а+р + 2) = Г(1)а«1(
| 2] РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ 411
В некоторых случаях удобно рассматривать полиномы
Якоби, отвечающие значению Кп =	.  Эти полино-
мы мы будем обозначать через PfrV)(x). Таким обра-
зом
^’,₽)(ж)=(-йг	(1+®)Р+П]-
Формулы (164) и (165) принимают вид
3<»’” 2"'1' «'•”<166)
Х'-»(»)=_________________________
— т/	Г(« + Р4-п+1)	a+fi + 2n+l цу».» (дЛ Н67)
~У Г(а + п+1)Г(? + п+1)	2’ + ₽+1 П п (	\	'
В заключение отметим, что обобщённая формула
Родри га позволяет дать новое представление полиномов
Чебышева:
1
П-—
Tn(x) = KRyi=^dn^~^ .
§ 2. Рекуррентная формула. Производящая функция.
Дифференциальное уравнение.
Согласно общей теории ортогональных полиномов три
последовательных полинома Якоби должны быть свя-
заны рекуррентной формулой
(х) = (х - an+2)	(х)- ^n+l^n «(X). (168)
Параметр an+! легко находится сравнением коэффи-
циентов при ж"*1. В силу формул (164) и (162) после
простых преобразований получаем
a =_____________^а~яа_______ (169)
п+а (я+р+2п + 2)(а + р + 2п + 4) *
Коэффициент лп+1 определяется цо формулам (73),
(164) и (163). Очевидно,
к — (« + » +1)(Р4-п + 1)(а4-Р + n +1)	, ,  .\ /лнах
n+1~(a+P + 2n + l)(a+p + 2n4-2)2(a + [J + 2№ + 3)
 	,	~	• ч
/
412	ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ # [гл. VI
Для ультрасферических функций, когда р = а, фор-
мулы (169) и (170) упрощаются и принимают вид
__п ,	__ 2а + и 1	.	..
«п+! — V, An+i — (2а + 2д+1)(2а + 2п + 3) (П + 1 >'
Так как /(’>₽> (ж) == 1, а*)
W- + ^2 ,	. (171)
то рекуррентная формула (168) позволяет вычислять
полиномы 7|®»₽> (х) один за другим. Однако их выражение
становится всё более и более громоздким. Например,
уже J<fM(x) имеет вид
(х)~х +2 а-ТрГ4 х +	.
Другим источником для получения полиномов Якоби
может служить их производящая функция. Именно,
можно показать**), что полиномы Р<{'>₽)(а;) служат коэф-
фициентами при tn в разложении функции
J(t, х) = —У-..-^х
/1 - 2tx + «’
X (1 —z + j/1—2^ + г3)"л(1 + ^ + К 1—2ta-H2)”?*
Однако и здесь вычисления носят весьма тягостный
характер. Пожалуй, наиболее практичной для фактиче-
ского вычисления полиномов Якоби является формула
^Цх) =
— —— У С?. Г(Я + ге + 1) Г(Р+" + 1)/„ Пп-А/д. 1
~2nn!	V"r(a + n-A:-|-l)r (Р + Л-НГ '
к=-0
(172)
непосредственно вытекающая из (157).
*) Равенство (171) непосредственно следует из (164) и обоб-
щённой формулы Родрига.
**) См., например, В. Л. Гончаров [1], стр. 193.
§ 2] РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ 413
В частности, из (172) следует, что
(173)
?<?’>(-1)-(—‘)"йттрйу-	(«4)
Теорема. Полином	удовлетвбряет диф-
ференциальному уравнению
(1—«’)/+[?—а—(а + р + 2) х]у' +
+ п(а + р + п + 1)у = 0. (175)
Для доказательства заметим, что
у =JM) («) = (! — ж)—® (1 +а;)“₽и<п>,	(176)
где
и = (1—ж)’+п (1 + ж)₽+”.
Так как
и' = (1—ж)’+п_1 (1 + «)?+"•1 [р—«—(а + р + 2п) ®],
то
(1—ж2) и' = [р—а—(а + р + 2п) х] и.
От обеих частей этого равенства возьмём производ-
ные порядка п + 1; По формуле Лейбница будем иметь
2 Сп+1 (1-х2)<ь>	=
к-0
= 2 С*+1 [?-«-(» + Р + 2п)	«<п+1"й>.
*=о
Отсюда
(1—ж3) и(п+2)—2 (п + 1) хи^п+1~>—(п +1) пи^ —
~ [₽—«—(а + Р + 2п) ж] н<п+1)—(п + 1) (а + Р + 2п) а<п>
и, стало быть,
(1—ж2) м<п+2) + [а—р + (а + р—2) ж] u<n+i> +
+ (п + 1) (а + р + п) и<п) = 0. (177)
Hi
ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ
[гл. yi
Но из (176) следует, что
= (1 — хУ (1 + ж)₽ у.
Находя отсюда u(n+1> и u(n+2> и подставляя их в (177),
мы и приходим к (175).
§ 3.	Оценки полиномов Якоби. Проблема разложения.
Установим некоторые оценки для полиномов Якоби.
При этом мы ограничимся рассмотрением тех случаев,
когда
а = шах {а, р} > — у,	(178)
так как для а < — 2'1 исследование оказывается зна-
чительно более трудным.
Теорема 1. При условии (178) наибольшее по мо-
дулю (на сегменте [—1, +1]) значение (х) дости-
гается в одной из точек ±1 *).
Для доказательства обозначим (ж) через у и
положим
<|>(ж) = уа4——~г----(179)
Тогда
ф' (ж) = 2уу’	у'* +	2у'у”.
Но, так как у удовлетворяет дифференциальному урав-
нению (175), то
*'(*)= п^Дя-Н) «“ + Н 1) - '(₽ - «)]
Предположим сначала, что
«>-у, ₽>~4-	(180)
*) Если а < — у, то max |	(х) | достигается внутри
(-1,4-1),
§ з] ОЦЕНКИ ПОЛИНОМОВ ЯКОБИ. ПРОБЛЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ 415
Тогда а + р + 1 > 0 и
ty'(x) — K2 (х — х.) у'2,
где положено
_ ji-a
хо~ а+р+Г
Из (180) вытекает, что
— 1 < х0 < 1,
и выражение для ф' (х) показывает, что ф' (х) < 0 при
— 1	< х0 и ф' (ж) > 0 при х0 < х < 1. Значит, ф (ж)
убывает на сегменте [— 1, я0] и возрастает на сегменте
[а?0, + !]• Отсюда вытекает, что при х„ < х < + 1
ф (ж) < ф (1).
Но
[4?₽W.< m [ЛМ)(1)Г-ф(1).
Значит,
!Л‘,?)(*)| < | Л"’В 9 (1)1	(х„<Х<1),
т. е. в сегменте [ж0, 1] наибольшее по модулю значение
полинома Л?:) (X) • достигается в точке х = +1.
Аналогично устанавливается, что
max ’	[ = [ Л“'₽>(— 1)1 •
Таким образом для случая (180) теорема доказана.
Пусть, далее,
«>-у, ₽<~|-	(181)
Тогда относительно суммы а + р + 1 возможны все
три предположения:
( = 0,
а + р +1
(<0.
В первом из этих случаев будет ф' (ж) >0 при всех
вещественных х, кроме конечного числа точек, где у' =0.
Во втором, из того, что 2р< —1, вытекает, что при
416	ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ	[гл. VI
— 1 < х < 1 будет ф' (ж) > 0 (опять-таки за исключением
корней производной у'). В третьем случае, опираясь
на неравенство 2а > 1, снова получим, что ф'(а?) > О,
всюду на [—1, +1], кроме точек, где у'= 0 (и точки
х = 4-1 при а =—Таким образом в случае (181)
функция ф(ж) строго возрастает на [— 1, 4-1], и те же
рассуждения, что и выше показывают, что
max |/ne,fl) (ж)|-j£,M(4-l)|.
1 1
Если же а < —— , р > —• у, то сходные рассу-
ждения приводят к тому, что max | Jn’^ (х) | достигается
при х= — 1.
В случае а> — у,£ — — у будет ф' (х)=К* (ж4-1)/*,
т. е. ф'(ж) > О при ж> — 1. Значит, ф(ж) возрастает
и попрежнему max |Л»’^(х) | достигается при ж=4-1-
Аналогично рассматривается случай а= — у,₽> — у.
Остаётся рассмотреть случай, когда а = р=--у(т.е.
случай полиномов Чебышева). В этом случае ф'(ж) = О
и, стало быть, ф (ж) постоянна. Поэтому
[Лп‘?)(х)]’ < Ф(х)-Ф(1) = [Л’,₽>(1)Ь
и теорема очевидна.
Отметим теперь некоторые простые свойства функ-
ции
Г (ж)=	е’Ч*’1 dt.	(х>0)
о
Её производная Г' (ж) имеет единственный корень н0,
причём 1 < и0 < 2.
Действительно, так как
+°°
Г" (ж) == е-Ч*'ЧпЧЛ>0,
о
J 3] ОЦЁНКИ ПОЛИНОМОВ ЯКОБИ. ПРОБЛЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ 417
то Г' (ж) возрастает и больше одного корня иметь Не
может. С другой стороны,
Г(1) = Г(2) = 1,
и по теореме Ролля между 1 и 2 обязательно имеется
корень Г'(ж). Очевидно, что при ж > и9 функция Г (ж)
возрастает. Оценим характер её роста.
Лемма. Если а > — 1, ₽ > — 1, то при любом нату-
ральном п
Г (а 4- ft 4- га 4* 1)	£ &
Г (а 4~ п 4“ 1)	’
где С есть постоянная, зависящая от а и ft.
Действительно,
I’(a4-ft4-ra4-l) (“4-ft + я) (»4-?4-п — l)...(a4-ft4-2)r(a4"ft4-2)
Г (а 4-n 4-1) =	(a4-n)(a4-n — 1) ... (а 4-2) Г (а 4- 2)
Значит,
In r(a + ft4-n4-l) J r(a + ft + 2) , у J /J . ft \
Г(а4-п4-1)	1П Г(а + 2) Zi Ш V +	’
Ь2
Но при ж > — 1
ln(l 4-ж) < ж.
Стало быть,
In
n
1 (« 4-ft 4-n 4-1) , i Г (а + ft 4- 2) , о V! 1
Г(а4-п4-1)	Г(а + 2) "t" ? .4J а4-ft *
к-2
С другой стороны, если к— 1 <ж < к, то
1 1 1	.,	2.
a4-ft а4-»	a4-ft—1	'
Значит,
к
i + ft <	a + i < a4-ft-l	(Л > 2)
Л-1
п	П-1
Si 1- а4-га - V 1
a4-ft^ а4-1 Zl t + k *
к-2	k-i
27 Конструктивная теория функций
418
ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ
[hi. Vt
Отсюда
n
я+ п 1	' VI ___1 1па^~П
<х4-1	* *' XJ а-\-к	“4-1
А—2
И
Г(л+э + » + 1) £0+2+2) А+”У
Г (а 4-п 4-1)	1'0 + 2) \а + 1у
г(« + р + п + 1) £0+2+2)Дт Га+”У
Г(а + п + 1)	Г(л + 2) с кл + М
(при р > б),
(при р < 0).
Лемма доказана *).
Теорема 2. Если выполнено условие (178), то нор-
мированные полиномы Якоби удовлетворяют неравенству
\№\х)\<Мп+^
(-1 < ж< 1, п = 1,2,3,.	(182)
где М—постоянная, зависящая от а и р.
Действительно, по предыдущей теореме
| Л“,₽) (х) | < max {| ЛМ) ( + 1)1,|	(~1)| }•
Но, в силу (167), (173) и (174):
|Лм)( + 1)| =
1
г о+1)
/ я + Р + 2n + 1
У 2“+₽+1
/Г (я + 0 + п + 1) Г (a + n-t- 1)
Г(Р + п + 1)	l’(n-t-l)
•ЛМ)(-1)|-
= 1	1/«+Р+2п + 1 /Г(а+Р + п +1) Г(Р4-п + 1)
г(? + 1) Г 2e+₽+1 У Г(а + п + 1)	Г(п+1) ’
<а4-п~у
•) В самом деле, отношение —я ----с возрастанием п стре-
л"
мится к единице и потому ограничено.
j 4]	ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА	419'
Отсюда и из предыдущей леммы следует
I Л’’» (+1) I < Сх п+~*, I j£’₽) (- 1) I < ctn9+k
где Cj и С2—постоянные, зависящие от а и р.
Теорема доказана.
1
Теорема 3. Пусть а> —и р есть натураль-
ное число, не меньшее, чем 2а-}-2. Всякая функция /(ж),
заданная на [—1, +1] и имеющая непрерывную произ-
водную порядка р, разлагается в равномерно сходящийся
ряд Фуръе по полиномам (ж).
В самом деле, из (182) вытекает
п	п
I Кп (1, ж) I < 2 ' Л“’₽) (?) 1 | Л‘,₽) (X) | < я’ + Мг 2 *2’+*,
Й-0	й-1
где А = №»(х). Значит, при п>1
I Кп (t, х)\<М1п2я+2,
где Mj—новая постоянная. Отсюда для функции Лебега
Ln (ж) вытекает оценка
/ Ln (х) < 2Мг п2’+2.
С другой стороны, по теореме Джексона
limnpEn(/) = 0.
П->оо
В силу теоремы 7 § 4 главы IV наше утверждение
доказано. Дальнейшие подробности о полиномах Якоби
читатель может найти в монографии Сеге [1].
§ 4. Полиномы Чебышева второго рода.
Полиномами Чебышева второго рода называются поли-
номы Un (ж), образующие на [— 1, +1] ортогональную
систему веса ]/~ 1 — ж2. Мы уже упоминали о них в § 5
главы IV. Сейчас мы остановимся на них борее по-
дробно.
27*
420
ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ
[гл. vi
Лемма 1. Справедливо тождество
п-1
sin-fo «В 2й cosn 6 + V Хлп> сое* 6.
sin u	' *-'
к-0
Лемма доказывается индуктивно на основании фор-
мулы
sin (п + 1) 9 = sin п8 cos 8 + cos п8 sin 8
и того факта, что
п-1
COS п8 = 2п~1 СО8п 6 + 2 и4,1) С08*6.
к-0
Следствие. Если |х| < 1, то функция
sin (га+ 1) arc cos я
есть полином степени п со старшим коэффициентом 2".
Лемма 2. Полиномы sin? образуют на
[— 1, +1] ортогональную систему веса j/1 — ж*.
В самом деле, интеграл
4-1
С 1) arc cos х sin (m +1) arc cos x i/j 21 38 fix
—1
подстановкой ж = cos 8 сводится к интегралу
sin(n + l)8sin (7?i + l)6d8=O.
о
Таким образом для полиномов Un(x) ‘получается
формула
Un вКп +	'	(184)
у 1 — х*
Замечание. Формулу (184) можно вывести из
самого определения полинома Un (ж). Именно, для вся-
j 4]	ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА	4М
кого полинома R («) степени ниже п будет
1 — х* R (a?) Un (ж) dx » 0.
-1
Полагая здесь х = сов 6, находим
R (сов 6) Un (сов 0) ain’ 0 dfi = 0.
о
Так как ей? 6 Un (сов 6) есть тригонометрический
полином порядка п 4- 2, то
п+2
ain’O Un (сое 6) = 2 -4* сов №.
й=0
Подставляя это в предшествующий интеграл и беря
в качестве Я (сов 6) функцию совпгб, где т < п, находим
я	п+2
совпгб £2 Д*совЛ6^ d0 = O.
• о	л=о
Отсюда следует, что Дт = 0. Таким образом
sin* 0С7п (cos 6) =
= Ап cos пб + A ntl cos (п +1) 6 + Дп+а cos (п + 2) 6.
Положим здесь 6 = 0 и 6 = к. Это даёт два условия
на коэффициенты Д:
Ап ^n+i 4“ ^п+а= 0, Ап — Д„+14“ Ап+2 = 0.
Отсюда ДП41 = 0 и Дп4г = —Дп. Значит,
sin8 0 Un (cos 0) = Ап [cos п0 — cos (п 4- 2j 6] =
= 2Дп sin (п + 1) 6 sin 0,
что снова приводит к формуле (184).
Чтобы получить полином Un(x) со старшим коэффи
циентом 1, надо положить ЛГЙ = 2~П. Ввиду того что
+1	п
sin8 (п 4-1)6 d0 = у К‘п,
”’1	(I
422
ПОЛИНОМЫ ЯКОВИ
[гл. VI
ясно, что нормированные полиномы ип (х) получаются
при Кп = j/y.
Рекуррентная формула для Un (х) получается проще
всего из формулы
sin (п + 3) б + sin (n + 1) 6 = 2 sin (п + 2) 6 cos 6,
откуда
&П+. (* *) = *Untl(х) - |	(х).	(185)
Так как
&0(ж) = 1, иг(х) = х,
то
&.(*) = *’--у,
&а(а;) = х’ —уЖ,
r4(«) = ®‘--|-:c + ji>
Чтобы написать непрерывную дробь, связанную
с полиномами Un(x), отметим, что для них
ап+2 = 0, ^n+i = у (п = 0,1, 2, ...).
Кроме того*), 04 = 0, Х0=у.
Так как при х> 1
5 Р dt==n(.x~ — 1)>
-1
+ 1
*) Ибо есть корень 171(а:),..а Ло= \ V l—x2dx,
§ 4]
ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА
423
ТО
2 (х - /5^1) =	.
Отметим ещё, что корни полиномов Un(x) суть
х^ = cos	(к = 1, 2, .,,, п).
Отсюда легко получить, что предельная плотность
. распределения этих корней при п, стремящемся к беско-
нечности, такая же, как у полиномов Тп(х), т. е. рав-
ная
1
1 - г2 ’
Впрочем, это ясно и из того обстоятельства, что поли-
ном Un(x) является производной*) полинома Tnil(x).
Действительно,
^“ = ^[cos(n+-l)arccosa:] =
_ , . л \ sin (п + 1) arc coss
' + ’ V 1-х2
Переходя к вопросам разложения по полиномам
Un (х), отметим, что
!&„(*)!</?(- 1<х<1).
Отсюда, на основании общих теорем главы IV полу-
чаются следующие результаты:
I. Всякая функция, имеющая непрерывную третью
производную, разлагается в равномерно сходящийся ряд
Фурье по полиномам Un(x).
*) В связи с этим возникает задача изучения таких ортого-
нальных по некоторому весу систем функций, что их производные
ортогональны по другому весу. См. Б. м. Гагаев [1].
424
ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ	[гЛ. VI
II. Всякая функция из	разлагается в ряд
Фурье по полиномам Un (х) в каждой точке х, в которой
ГгМ1УР?й< + ..
-1
Однако с помощью тригонометрических рядов фуръе
можно получить более точный результат:
Теорема 1. Если функция f(x), заданная
на [-1,4-1], удоелетворяет условию Дини—Липшица
lim ш (5) In 3 = 0,
8->fl	' .
то в интервале (—1, 4"1) она разлагается в ряд Фуръе
по полиномам Un (х), причём сходимость этого ряда
равномерна в каждом сегменте [—14-h, 1—Л].
Действительно, 2я-периодическая функция sin 0 / (сов 6)
тоже будет удовлетворять условию Дини — Липшица *)
и потому разлагается в равномерно сходящийся ряд
Фурье. Так как эта функция нечётная, то
ср
sin 0 / (cos 0) = 2 ^n+i sin (n 4-1) 0
n-0
w
Q>n = 2. sin0 / (cos0)sin n0d0^.
о
Отсюда при 0 < 0 < я
/<«»•)-
n=0
причём сходимость этого ряда равномерна в каждом
сегменте [*»), к—-»)]. Полагая 0 = агс cos я, мы и приходим
*) Если |0i-08|<9, то, полагая /(сов fl)»= f (9), будем иметь
<| sin 0, - sin fl, 114> (в j) | +1 sin	f (fl,) - ф (9,)	£ 0 4- <0 («).
§ 4]	ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА	425
к высказанной теореме, ибо
г—+i
-1
В заключение докажем интересное экстремальное
свойство полиномов Un(x).
Теорема 2 (Е. И. Золотарёв — А. Н. Коркин).
Иа всех полиномов Рп(х) степени п со старшим коэф-
фициентом, равным единице, наименьшее значение инте-
гралу
+ 1
5 I Al (S)Ids	(186)
доставляет полином Un (х) *).
Для доказательства потребуются некоторые предва-
рительные соображения.
Лемма 1. Пусть п—натуральное число, а'т—одно
из чисел 0, 1, 2, ..., п. Тогда
2 (-l)*cos =	(187)
Действительно,
Опте
_ р Г (-1)»*”»-еп+1
|_	imit
1 + еп+‘
Если числа п и т разной чётности, то
tmn
( l)n+m еп+ 1
(188)
imn
Ц-е"*1
*) А. Н. Коркин и Е. И. Золотарёв [1].
426	ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ	[гл. VI
Если же п и т одной чётности, то левая часть (188}
есть число чисто мнимое, ибо
. 1 — ei] _ 1 — cos fl — i sin 9	;|я 0
1 _|_ei‘ ~ 1 + cos 0 + i sin 9	1 2 *
Лемма доказана.
Лемма 2. Если п—натуральное число, а г-'одно
из чисел 0, 1, ... , п— 1, то
ТС
I = cosr 6 sin 6 sign [sin (n 4- 1) 6] d 6 = 0.
о
В самом деле, если
к те < (n +1) в < (А 4-1) те,
то
sign [sin (n+ 1) 6] = (—!)*;
Отсюда
(ft+1) те
п	п+1
/ = 2(—1)* \ cospesinSd9
/с=»0	к тс
п?!
и, стало быть,
Но
г'+ 1
cosr+19= 2 ат cosm6.
пг=0
Значит; дело сводится к доказательству равенства
п
3(-l)>«[eoB<A±^-coS^]-0, (189)
о
которое можно привести к виду
п+1	п
S(_1)4os^+2(-l)»eos^_0,
й-1	fc-fl
§ 4]
ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА
427
ИЛИ
cosтк + 2^ ( — l)ft cos —4-1 =0.
Л-1
Это же последнее равенство равносильно (187).
С л е д с т в и е. Если п — натуральное число, аг — одно
аз чисел 0, 1, 2,	, п— 1, -то
+1
хТ sign [#п (ж)] <7ж = 0.	(190)
-1
Лемма 3. Справедливо равенство
«"sign\Un(ж)}(191)
-1
Аналогично предыдущему дело сводится к доказа-
тельству равенства
IV
cosn 6 sin 0 sign [sin (n +1) 6] d 6 =	.
о
Но последний интеграл равен
_J_V(—1)Л+1Г cosn+1 	— cos"+1 -^1 .
> L »+l	n+lj
*-0
Замечая, что
cos"+‘ 6 =c-°s(l+l}9 + 2 amcos m 6,
rn—fl
и учитывая (189), сводим лемму к очевидному равенству
п
2"(>Г+ i)S (~1)*+1 Icos (л + !) тс-—cos к *1=2^.
*-о
Возвращаясь к теореме Золотарёва — Коркина, обозна-
чим через Рп(х\ произвольный полином степени п
423
ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ
[гл. VI
со старшим коэффициентом, равным единице. В силу
(190) и (191) имеем
+‘~
Рп (х) sign [Un (z)l das = jn=i •
“ J
Отсюда
+i
l^n(x)lda:-
С другой стороны, при Рп(ж) =Un(x) мы имеем
здесь точное равенство. Таким образом интеграл (186)
действительно минимизируется полиномом Un (ж).
Остаётся показать, что нет других решений проблемы.
Но если бы оказалось, что
+1
\Pn(x)\dx =2^-,,
-1
то отсюда следовало бы, что
+1
\ |Pn(®)|{l-X(®))d® = 0,
-i
где К (ж) — sign [Рп (ж)]-sign [<7Я (ж)]. Значит, необходимо
К (ж) = 1, т. е. полиномы Рп (ж) и Un (ж) имеют одина-
ковые знаки. Так как Un (ж) меняет знак при переходе
через каждый свой корень, то то же должно иметь
место и для Рп(ж). Иначе говоря, Рп(ж) и Un(x) имеют,
общие корни, а так как и старшие коэффициенты у них
одинаковы, то эти два полинома должны быть' тож-
дественны.
Теорема Золотарёва — Коркина была неоднократно
обобщаема в различных направлениях *), но мы огра-
ничимся сказанным.
*) См. Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн [2], Я. Л. Геронимус[2,3].
§ 5]	ПОЛИНОМЫ ЯКОВИ ДЛЯ а —| , >•=-1-	429
1 1
§ б. Полиномы Явоби ДЛЯ Л «» у , $ = — у
В заключение главы о полиномах Якоби остановимся
вкратце ещё на одном их частном случае, именно
на полиномах Wn (х), образующих на [-1,4-1] орто-
гональную систему веса
Явная формула для полиномов Wn (я) может быть
выведена из следующих соображений: для любого поли-
нома R(x) степени ниже п
+1 ------
\ y~R(x)Wn(x)dx = 0.
J г Д "Т” Л
-1
Полагая здесь х = cos 6 и замечая, что
/1 — cos в _ . в
1 + cos в ~ tg ~2 >
находим
R (cos 0) (1—cos 0) Wn (cos 0) d 6 = 0.
о
Ho Wn(cos0) есть тригонометрический полином поряд-
ка п. Значит,
п+1
(1 — COS 0) Wn (в) = 2 С0В в-
*-=0
Подставляя это в предшествующий интеграл и при-
нимая за R (cos 0) функцию cos т 0 при т < п, нахо-
дим Лт = 0. Таким образом
(1—cos©) FKn(cos0)=4ncosn04- Лп+1 cos(n-f-1)0.
Отсюда при 0 = 0 получается, что Лп+1 = — Ап и
(1 —cos0)T7n(cos0) = Ап [cosnO — cos (п 4-1)0].
430
ПОЛИНОМЫ якови
[гл. VI
Значит *),
. 2п + 1я
sin—5—в
Т7п(со86) = Л--------------------Y--
sin7
Используя формулу (175) из первой части, придадим
последнему равенству вид
Wn (cos 0) = Ап [1 + 2 (cos 6 + cos 2 6 + ... + cos n 6)],
откуда вытекает представление РКп(ж) через полиномы
Чебышева:
Wn (ж) = Ап {1 + 2 [ Л (ж) + Г, (ж) + ... + ВД]}.
Так как старший коэффициент у Тп (ж) есть 2""1, то
, 2л + 1 п
_	1 sin —2— О
Жп(ж) =	-----Q—	(6=агсс08ж).
sinT'
•) Ещё проще получается эта формула на основании того,
что
(1 - ж), так что применима формула (111).
Именно, в обозначениях § 5 главы IV имеем

откуда
гг JT	r cos(n4-1) в — cos
FFn(x) = 2Tn ------------Кп-------j-—g-------
. 2л+1.
sm -у-8
“ ~Кп 71
siny.
§ 5]
ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ для«-1, ₽«•- 1
А . Л
431
Чтобы найти нормированные полиномы Жп(ж), заме-
тим, что
sin»
—A—d0=
Sin»y
-1
Л
Wk(x)dx = A‘ (1
о
г . 2	4* 1
\81П -Т~
о
2 Ап
6 d 6=
Значит,
^2,
к» sin4
Отсюда следуют оценки
I T1Z I 2п + 1
sin
Vyn(x) = -J=-
(6=агссо8я:).
1
у 1-х
Опираясь на эти оценки и на общие результаты
главы IV, можно было бы получить теоремы разложе-
ния по полиномам ^„(ж). Так, например, всякая функ-
ция, имеющая на [-1,4-1] непрерывную третью про-
изводную, разлагается в равномерно сходящийся ряд
Фурье по полиномам Wn (ж). Однако более точный резуль-
тат получается, если заметить, что
п
Kn(t,x) = %Wk(t)Wk(x) =
Л-D
п
1 ха Г 27с+1 ,	2Й4-1 / . о, 1
= -----------2 cos—у—(т—6)—cos—у—(т 4-6) ,
2*sin- sfnyi.o
где 6 = arc cos х, т = arc cost Действительно, отсюда
вытекает
______1______ Г в1п(п4-1)(т—9)__sin (п 4-1) О 4- 9)
, . 9 . т L • <с —9	. т + 9
4« sin у sin у - sin—у-	sin—у-

ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ
[гл. V!
Значит,
+ 1	у-____
Ln (х) ~ у Г+t I I “
-1
_	1 С sin ’ |sin(n+l)(t-fl) sin(n + l)(T + e)l ,
”а Г1ПТ	. г-в	ГТТв	01
Snsinjff	sin ——	sin—у-
Отсюда обычными методами выводится
и, стало быть, любая функция / (ж), удовлетворяющая
условию Дини — Липшица lim ш (8) In 8 = 0, разлагается
51°
в ряд Фурье по полиномам Wn (ж) во всех точках про-
межутка [—1,4-1), открытого справа, причём сходимость
ряда равномерна в каждом сегмент [—1,1—Л].
Из формулы
1 2п + 1 в
Sin—Н—в
^п(х) = Л —А-
sin у
вытекает, что корни полинома РУД®) суть
a:*ec0S^T«	(*«1,2,
Предоставляем читателю найти рекуррентную фор-
мулу для полиномов Wn (х) и связанное с ней разложение
интеграла
+1 г___________ ___________ г_____
С _/ 1-t dt , ух + 1-у х-1
3 V i+tx-t K /^+1
(®>1)
в непрерывную дробь.
ГЛАВА Vlt.
ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО
ПРОМЕЖУТКА.
§ 1. Постановка вопроса
Мы уже говорили, что числа
ь
р.п= ж”p(x)dx (п = 0,1,2, ...) (192)
а
называются моментами весовой функции р(х). Зная
эти числа, мы можем построить ортогональную систе-
му полиномов веса р(х), хотя бы сам этот вес нам
и не был известен. Это довольно естественно потому,
что моменты весовой функции определяют её однознач-
ным образом (если, как обычно, не различать между
собою эквивалентных функций). Для случая, когда р(х)
суммируема с квадратом, это ясно из того, что система
степеней {жп} полна в £2, однако справедлива более
общая
Теорема 1. Если f (х) ~ суммируемая функция а
ь
\^nf(x)dx = O (n = 0,1, 2, ...), (193)
а .
пго f(x) есть тождественный нуль.
В самом деле, полагая
ж
а
28 Конструктивная теория функций
434	ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ	[гЛ. VII
получаем из (193) при п — 0, что Г(б) = О. Далее, инте-
грируя по частям, при п > 0 имеем
ь	ь
хп f (ж) dx — [x"F (®)]£—п a?-*F (ж) dx,
а	а
откуда в связи с (193)
ь
xn-'1F(x)dx~0 (п = 1,2,3, ...). (194)
а
Так как F(x) непрерывна, то из (194) следует,
что F(x) есть тождественный нуль, а тогда и /(ж)
есть тождественный нуль.
Из этой теоремы ясно, что совпадение -всех момен-
тов двух весовых функций влечёт тождественность
этих функций*). Однако, как мы увидим дальше, вовсе
не всякая наперёд заданная числовая последователь-
ность является последовательностью моментов какой-
нибудь весовой функции. Если это всё же так, то мы
будем называть заданную последовательность момент-
ной последовательностью. Более общим образом мы
будем говорить, что последовательность {р.„} есть момент-
ная последовательность сегмента [а, 6], если существует
♦) Отсюда следует, что вес р (х) определяется (с точностью до
множителя К > 0) своими ортогональными полиномами однознач-
но. Действительно, система <<оп(ж)}, ортогональная по весу р (ж),
такова же и по весу Кр(х). Обратно, зная
ш„ (ж) <= «п + 5^ a:"-1 + • • • + о<Г>
и полагая
ь
Ио= p(x)dx^\.,
а
находим
ь
(«)“п(ж) ^« = Нп+4п) Нп-1+ •• + <’„’21 Н1 + 1 = &
Эти равенства определяют все моменты цп.
I IJ	ПОСТАНОВКА ВОПТоСА	43K
функция ограниченной вариации g(x), для которой
ъ
a?dg(®) = ц„	(п = 0,1,2,.,.), (195)
а
причём входящий сюда интеграл понимается в смысле
Стилтьеса. Самую функцию g(x) мы будем называть
в этом случае интегральным весом в отличие от диф-
ференциального веса р{х), о котором шла речь выше.
Ясно, что наличие суммируемого дифференциального
.веса, при котором выполнено (192), влечёт существова-
ние абсолютно непрерывного интегрального веса
X
g(x)= p(t)dt.
а
Если при этом р(х) — положительная функция, то
g(x)—возрастающая функция.
В этой главе мы изложим принадлежащие Хаус-
Д°рфу[1] признаки того, является ли заданная последо-
вательность моментной или нет. Этот вопрос и назы-
вается проблемой моментов.
Как известно, интеграл Стилтьеса
ь
J-/(«)dg(a;)	. (196)
*	a
не меняется, если к g(x) добавить любую постоянную.
Отсюда уже видно, что интегральный вес не опреде-
ляется своими моментами однозначно. С целью избе-
жать возможности изменения веса за счёт постоянного
слагаемого, мы раз навсегда условимся рассматривать
только такие веса, для которых
g(a) = 0.	(197)
Однако и это соглашение ещё не приводит к одно-
значной определяемости интегрального веса его момен-
тами, ибо интеграл (196) не изменится, если мы про-
извольным образом изменим значение функции g (я;)
в какой-нибудь точке интервала {а, Ъ) (это видно из
28*
4зб
провлейа йойенФой	-[гл. vil
того, что мы можем не включать эту точку в число то-
чек деления при составлении сумм Римана—Стилтьеса).
Чтобы всё же добиться однозначной определяемости
веса моментами, введём следующее
Определение. Функция ограниченной вариа-
ции g (ж), заданная на [a, j], называется правильной,
если при а < х < b
g (х) = g^~°)+g^a: + <>)
Лемма. Для всякой функции ограниченной вариации
g (ж), заданной на [а, 6], существует одна и только
одна правильная функция ограниченной вариации g (х),
которая совпадает с g (х) во всех точках, где g (ж) не-
прерывна, а также при х = а и х = Ь.
Действительно, положим g(a) = g(a), g(b) — g(b) и
ГW-»<—»)+«<*+'»	(в < х < 6).
Ясно, что g (х) совпадает с g (ж) там, где g (ж) непре-
рывна. Далее, g(x) также есть функция ограниченной
вариации *). Ввиду того что множество точек непре-
рывности g(x) ъск>ку плотно на [а, 6], ясно, что
g(x~ 0) = §(ж—0), §(ж + 0) = §(ж + 0).
Значит, £(ж) правильна. Если бы нашлась ещё одна
правильная функция g(x), удовлетворяющая условиям
леммы, то, совпадая с g(x) на всюду плотном множе-
стве, она должна была бы быть с ней тождественной.
Условимся называть функцию g(x), о которой гово-
рится в лемме, ядром функции g(x).
*) В самом деле, пусть g (х) = п (х) — v (х) есть разложение g (х)
на возрастающие компоненты. Тогда функции к (г) и » (х), совпа-
дающие с п (х) и v (х) в точках а и b и равные, соответственно,
m (х— 0)4-те(х+ 0) м (х — 0) + v(x+0) . ,
— -----—-—!—' и —----------—--—!—- в (а, Ь), тоже возра-
Л	л
стают. Но g(x) = «(x) — v(x)
$ 1]
ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
439
Теорема 2. Не может существовать двух различ-
ных правильных интегральных весов с одинаковыми
моментами.
Действительно, если бы существовали такие веса,
то их разность была бы правильной функцией, у кото-
рой все моменты равны нулю. Обозначим эту разность
через g(x). Тогда из того, что
ь
g (b)-g (а) = J dg (х) = О,
а
и из (197) вытекает, что g(b) = O.
Далее, интегрируя по частям, находим
ь	ь
О = ХП dg (х) = [xng (х)]а— п xn^g (х) dx
(71 = 1,2,3,...)/
откуда
xn-1g(ж)dx — 0 (ге = 1,2,3, ...).
В силу теоремы 1 функция g(x) должна быть экви-
валентной нулю. Значит, множество точек, где она
равна нулю, всюду плотно. Используя именно это мно-
жество для вычисления g(x—0) и g(x + 0), мы убе-
ждаемся в том, что эти величины суть нули, откуда, в силу
правильности g (х), ясно, что эта функция тождественна
нулю.
Так как сам вес и его ядро имеют одни и те же
моменты (ибо при составлении сумм Римана—Стилтьеса
за точки деления можно выбирать только точки непре-
рывности веса), то ядро интегрального веса (в отличие
от самого веса),, определяется его моментами однозначно.
Заметим, что проблему моментов достаточно решить
для сегмента [0,1], чтобы она была решена для любого
сегмента. В самом деле, пусть
ь
P-n= \ a/*dg(x),
438	ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ'	[гл. УЦ
Положим
ft(r) = g[a4-Z (ft—a)J.
Нетрудно видеть, что это—функция ограниченной
вариации, или монотонная на [0,1], если этим свой-
ством обладает g(x) на [a, ft]. Так как
1
[а +1 (Ъ—я)]п dh (t),
ft
то, обозначая моменты /г(1) через Хп, имеем
п
^ = %Скпап'ЧЬ~а)Пк.
к^О
Таким образом всякое условие, наложенное на
числа рп> можно выразить через Хп, и обратно. Поэтому
в дальнейшем мы ограничимся решением проблемы
моментов для [0,1].
В заключение приведём без доказательства две важ-
ные теоремы Хелли *), используемые ниже.
I. Принцип выбора Хелли. Пусть на [а, Ь]
задана последовательность функций ограниченной вариа-
ции {gn(x)}. Если все функции последовательности и их
полные вариации ограничены одним числом
ь
Var(gn)<K,
а
то существует такая последовательность номеров
пх<.пг<. и3<..., что последовательность {gnk (ж)} схо-
дится в каждой точке [а, Ь] к некоторой функции огра-
ниченной вариации.
II. Предельный переход под знаком
интеграла Стилтьеса. Пусть на [a,ft] дана по-
следовательность функций ограниченной вариации {gn (ж)},
которая в каждой точке [а, ft] сходится к некоторой
функции ограниченной вариации g(x). Если вариаций
♦) См., например, И, II, Натансон [5], стр. 184 и 194.
j. 2]	ТЕОРЕМЫ ХАУСДОРФА	439
всех gn(x) ограничены одним числом, то При любой
непрерывной функции f(x), заданной на [а, 6],
ь	ь
lim \ / (х.) dgn (ж) =Л / (х) dg (х).
п->оо •	~
а	а
§ 2. Теоремы Хаусдорфа<
Условимся в следующем обозначении. Пусть дана
произвольная последовательность вещественных чисел
Л» Н, К» На> • • •	(198)
Положим
A°p.fc = p.fc, AntlF.fc = Anp.ft—Anp.fc+1.
Очевидно,
и вообще
п
А\=2С!п(- 1)‘и*+„	(199)
t=0
что легко доказывается индукцией по п. Если сопоста-
вить (199) с разложением хк(1— х)п по степеням х, то
легко заметить, что Anjifc получается из этого разложе-
ния заменой 1, х, ..., х"** числами р.о, рх, ..fin+/c.
Теорема 1 (Ф. Хаусдорф). 1) Если числа (198)
суть моменты возрастающего интегрального веса, то
Дп^>0	(200)
(* = 0,1,2,...; п = 0,1,2, ...).
2) Если числа (198) суть моменты интегрального
веса ограниченной вариации, то
п
2 С*|(201)
*=о
(п = 0,1,2, ...),
где К не зависйт от п. .
ЩЬ	• ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ	[ГЛ. VII
Заметим, что в обоих случаях, говоря о моментах,
мы имеем в виду моменты, связанные с сегментом [0,1].
Допустим, что
1
xkdg(x),
а
где g(х) —функция ограниченной вариации. Тогда,
в силу (199),
1	п	1
$	$ s**'dg(®) = A>*. (202)
О	i-0	0
Если функция g (х) возрастающая, то интеграл
хк (1 ~x)n~kdg (х) не отрицателен, что и доказывает
о
первую часть теоремы.
Не предполагая более g(x) возрастающей, имеем
из (202)
1
xk(l—x)n~,kdg(x').
и
Отсюда, полагая
4n) = sign [An~fcp-fc],
находим
2	£ Г2 ^C^xk(i-xr~k] dg(x).
fc-fl	fl
Но так как при 0<ж<1
|24nW(i-«)n-A|<i,
Л-0
то
2^|A"-4l<Var(g),
itfl	0
что и вавершает доказательство.
J 2]
ТЕОРЕМЫ ХАУСДОРФА
441
Оказывается, что доказанная теорема обратима.
Теорема 2 (Ф. Хаусдорф). 1) Если выполнено
условие (200), то числа (198) являются моментами возра-
стающего интегрального веса:. 2) Если выполнено усло-
вие (201), то числа (198) являются моментами инте-
грального веса ограниченной вариации.
Прежде всего заметим, что числа, удовлетворяющие
условию (200), удовлетворяют также и условию (201).
В самом деле, в этом случае
п	п
к-0	к=0
Согласно замечанию, сделанному перед теоре-
мой 1, правую часть этого равенства можно вычислить,
развернув
2С^(М"'*	(203)
*-о
по степеням х и заменив ж1 на (i = 0,1,2, ...).
Но выражение (203) равно единице. Значит,
п
Переходя к доказательству теоремы, введём ступен-
чатую функцию gn (ж), задав её на [0,1] следующим
образом:
£п(0) = 0,
ёп (ж) = CnAVo	при о < ж < 4 ,
gn (х) = С°пД"Но + CU"'1h	при 4 < Х < 4 ’
ёп(х) = П^Скп^к
₽п(1)-2с»дп'^’
к-0
п — 1 .	.
При — <Ж< 1,
№
ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
[гл. VII
Если выполнено условие (201), то
|gn(®)|<£, Var(gn)<A’.
о
Если же выполнено условие (200), то к сказанному
можно добавить, что gn(x) есть функция возрастающая.
На основании принципа выбора Хелли существует
такая последовательность номеров пх < пг < п, < ...,
что последовательность {gn/ (х)} в каждой точке [0,1]
сходится к некоторой функции ограниченной вариа-
ции g(x). При этом если все функции gn(x) возраста-
ющие, то такова же и g(«).
По второй теореме Хелли можно утверждать, что
1 1
( a^dg(x) = lim xmdgnf (х).	(204)
о	^°°а
Но так как gn(х)—ступенчатая функция со скачками.
Cn^n"kPk в точках то
(4)m
о	fc-o 4
Правая часть этого равенства получается из поли-
нома Бернштейна
5„,т(ж) = 2
построенного для функции хт заменой х* на
Иначе говоря, если*)
Вп,щ(х) = a<n-m> + а[*>т>х + + q£l’m>zm, .
то
i
J xmdgn (х) = а<п-т>р.о + a<n>m) н + • • • +	(205)
а
*) Напомним, что степень есть т, а не.п,
j 2]	ТЕОРЕМЫ ХАУСДОРФА	443
По теореме С. Н. Бернштейна равномерно на [0,1]
lim Вп,т (ж) = хт.
п-хэо
Как мы знаем ещё из первой части, отсюда следует,
что квазинорма разности стремится к. нулю:
lim Г У 1«Г’т) I +1	11 1 =&	(206)
П-К» L {_0	j
Из (205) и (206) следует, что
1
Um \я*Щл(х) = 1>.т,
n-»co J
откуда в связи с (204) имеем
1
жтй§(ж) = ит.
и
Ввиду произвольности т теорема доказана.
Теорема 3 (Ф, Хаусдорф). Для того чтобы было
1
, р.п = жл 7 (ж) dx	(207)
о
(n = 0,1, 2, ...),
где «р (ж) — измеримая ограниченная функция, необходимо
и достаточно, чтобы при всех п было
(n+l)Ci\^^k\<K	(208)
(к — 0,1,2, ..., п),
где К не зависит от п.
Если имеет место (207), причём |ф(ж)|<2Г, то
1	1
I = | ^	~ ж)п-*<р(ж)^ж|	хк(1—x)n"kdx,
о	о
444	ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ	[гл. VII
Но
1
хк (1 — х)п~к dx = В (к + 1, п — к + 1) =
о
-rcbHirot-jt+i) I
Г (И+2) (п + 1)СГ ™
откуда и следует (208).
Пусть теперь выполнено (208). Тогда и подавно
выполнено (201) и, стало быть,
1
Hk = J xkdg (®),
о
где g (ж) — функция ограниченной вариации, которую
можно считать правильной. Условие (208) означает, что
1	1
хк (1 — x)n~kdg (ж) | ж* (1 — х)п~к dx.
о	о
Отсюда, полагая и (ж) —Кх — g (ж), v (ж) = Кх + g (ж),
имеем
1	1
ж*(1 — х)п~к du (х) >0,	ж*(1 — х)п~к dv (х)>0.
о	о
Если суть моменты v (ж), то последнее неравен-
ство означает, что A"~fckfc>0. Значит*), ХА суть мо-
менты некоторой возрастающей функции. По теореме 2
из § 1 её ядром служит и (ж), а так как ядро возра-
стающей функции возрастает, то v (ж) возрастает.
Значит, если ж < у, то
ЛГж + §(ж)<Л'у + §-(у),
т. е.
g(x) — g(y}<,K(y-.x).
*) Здесь мы опираемся на предыдущую теорему. Правда,
в ней фигурировали числа Дпцк, а здесь Д’1-* Ль, но это,
очевидно, всё равно, так как Дмцк» Дп-/сцЛ, где п—т + к.
И)
ТЕоРЕЙЫ ХАУСДОРФА
448
Аналогично, используя функцию а (ж), убеждаемся,
что
K(x-y}<g (ж) —g(y).
Значит, g (ж) удовлетворяет условию Липшица с коэф-
фициентом А. .Но тогда	t
•	X
g (ж) =	? (t) dt,
о
где |ср(ж)КА, и имеет место (207).
Теорема 4 (Ф. Хаусдорф). Для того чтобы имели
место равенства (207), где ф(ж)б£*, необходимо
и достаточно, чтобы было
п
(П+1)	(210)
k=0
(п==0,1,2,...),
где К не зависит от п.
Действительно, если имеет место (207), причём
<р(ж)е2?, то
1
Дп-Ь Н* =	(1 — ж)п~* ср (ж) dx.
о
В силу неравенства Буняковского,
(А«-*Рк)*<
. 1
< { ж* (1 — ж)п~* dx|
о
ж*(1 —ж)п~*
откуда, принимая во внимание (209), получаем
1
(п + 1) Скп Ик)* < хк (1 - ж)”** т* (ж) dx.
’о
ш	ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ	(гл. VI!
Значит.
п
(n+1) 2[cUn~w<
*-0
1	п	1
< ^ [ 2 С*хк (^ ~ «)п~*1 ф* (ж) dx = <р8 (x)dx.
О А=0	О
Таким образом необходимость условия (210) уста-
новлена. Его достаточность мы докажем ниже в § 3.
§ 3. Линейные функционалы в С я I?.
Пусть каждой непрерывной функции f(x), заданной
на сегменте [а, 6], отнесено вещественное число Ф (/),
причём соблюдены условия
Ф(Л+А) = Ф(Л)+Ф(А),	(211)
|Ф(/)|<ЛГтах|/(ж)|.	(212)
В этом случае Ф (/) называется линейным функцио-
налом, заданным на С ([а, Ь]).
Примером линейного функционала служит всякий
интеграл Стилтьеса
ь
Ф(/)= $/(*)<#(*),	(213)
а
где g (ж) — функция ограниченной вариации. Для этого
функционала достаточно положить /£ = Var(g), чтобы
было выполнено условие (212).
Если линейный функционал обладает тем свойством,
что для неотрицательной /(ж) оказывается Ф(/)>0,
то такой функционал называется положительным.
Примером положительного функционала служит инте-
грал (213) с возрастающей интегрирующей функцией g (ж).
Оказывается, что никаких других линейных функ-
ционалов, кроме (213), не существует. Доказательству
этого факта и посвящён настоящий параграф.
Лемма. Если Ф (/) — линейный функционал, то
=	(214)
J з]	ЛИНЕЙНЫЕ-ФУННЦЙОЙАЛЫ ВЙ И 1л	Щ
Для Л = 0 равенство (214) следует из (211), если
взять Д (х) = (ж) = 0. Для натурального к требуемое
соотношение также легко доказывается методом полной
индукции, исходя из (211); Но тогда оно очевидно
и для к вида —, где и — натуральное. Значит, (214)
имеет место при всех ^голожительных рациональных к.
Далее, если к — отрицательное рациональное число, то
Ф(А/) + Ф(-Л/) = Ф(0) = 0,
и потому (214) справедливо при всех рациональных к.
Наконец, если к — число иррациональное, а г—ра-
циональное, то
|Ф(А/)-АФ(/)|<|Ф[(Л-г)Д|4-|й-г1 |Ф(/)|
и, в силу (212),
| Ф (kf) — кФ (/)| < 2К | к — г | шах | / (ж) |,
и (214) очевидно, ибо правая часть последнего нера-
венства может быть сделана сколь угодно малой.
Теорема 1 (Ф. Рисе [2]). Всякий линейный функ-
ционал $(f), заданный на С ([а, &]), может быть пред-
ставлен в форме (213), где g (ж) — некоторая функция
ограниченной вариации.
Заметим, что достаточно доказать эту теорему для
сегмента [0,1], -ибо общий случай приводится к этому
с помощью линейной подстановки. Для этого частного
случая теорема Рисса легко выводится из теоремы
Хаусдорфа.
Действительно, пусть Ф (/) — линейный функционал,
заданный на С ([0,1]). Положим
Ф(ж") = нд (п = 0,1,2,...). (215)
Тогда
п
= 2 ( I)*	~
1-0
= ф[2’(-1)/С<„ж*+<] =Ф[ж*(1 — Ж)11].	(216)
<=о
44g	гй>обЙеМа Моментой	[гл. Vii
Отсюда
2 С*п |	| - Ф [ 5 4П) Скп ж* (1 - х)п~* ] ,
h—О	fc-0
где 4n) «= sign (Дп~* p.ft).
Ввиду того что при 0<ж< 1
|2 Wc*x*u - *)"-*! <i>
л=о
условие (212) даёт
п
3 с* I д-* Ий I < К.
к-0
Таким образом числа р* удовлетворяют условию (201),
и потому существует функция ограниченной вариации,
моментами которой они являются. Иначе говоря,
1
Ф(ж”) = ^dg(x) (п = 0,1,2, ...). (217)
о
Отсюда следует, что равенство (213) верно тогда,
когда /(ж) есть произвольный полином, а так как
всякая непрерывная функция есть предел равномерно
сходящейся последовательности полиномов, то теорема
доказана.
Ещё проще доказывается
Теорема 2 (Ф. Рисе). Всякий положительный
линейный функционал, заданный на С ([а, Ь]), представим
в форме
ъ
Ф(/)-= J
а
где g(x) — некоторая возрастающая функция.
В самом деле, снова ограничиваясь случаем сегмента
[0,1], вводим числа (215). Тогда из (216) и того факта,
что ж*(1-ж)"'*>0 (при 0<ж<1), мы видим, что
§ 3]	ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В С И Г»	44$
дп[лк>0. Значит, найдётся возрастающая ’функция g (х),
удовлетворяющая условиям (217), после чего доказа-
тельство заканчивается так же, как и выше.
Наряду с линейными функционалами в С нам
понадобятся линейные функционалы в L2.
Если каждой функции у (ж), суммируемой с квад-
ратом на сегменте [а/Ь], отнесено вещественное число
Ф(/), причём
Ф(/1 + /.)«Ф(/1) + Ф(/,)> |Ф(/)|<^|/
а
то говорят, что Ф (/) есть линейный функционал, за-
данный в пространстве £’ (причём само это пространство
связано с основным сегментом [а, &]). Аналогично случаю
пространства С и здесь будет иметь место соотно-
шение (214).
Примером линейного функционала в L’ служит
ь
Ф (/)= J У(®)<Р {x)dx,
а
где ср (ж) сама вводит в Оказывается, что это есть
общий вид таких функционалов. Действительно, спра-
ведлива
Теорема 3 (М. Фреше). Всякий линейный функ-
ционал Ф (/) в Z? представим в форме
ь
ф (У) = 5 / (ж) ? (ж)	(218)
а
где ср (ж) С 2?.
Для доказательства выберем какую-нибудь полную
ортонормальную систему {<»*(ж)} и положим
Ф (ш*) = Ак.
29 Конструктивная теория функций
ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
[ГЛ. VII
Тогда
2 л = ф(2
к-1	к-1
и потому
ОО
% АКК*.
к-1
В таком случае существует суммируемая с квадра-
том функция ср (ж), для которой числа Ак служат коэф-
фициентами Фурье в системе {шк (ж)}. Эта функция
и удовлетворяет соотношению (218). В самом деле,
если / (ж) — произвольная функция из Z? и {ск} —ее
коэффициенты Фурье, то
lim \ Г / (ж) - 2 СА (ж) 1 dx = °-
n"*°° a L	k—1
Но
п	п
А-1	к-1
Значит,
П	п	ОО
= lim 2 Аск =* 3 A*°k>
n-~°k-i	k-i
а по обобщённой формуле Парсеваля последняя часть.
этой цепи равенств есть
а
Эта теорема позволяет закончить доказательство
четвёртой теоремы Хаусдорфа из § 2. Действительно,
пусть {|лп} есть последовательность, удовлетворяющая
условию (210).
Ф (/) = lim Ф( 2
П-НХЭ X. ,	.
/ (ж) ср (ж) йж.
ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В С И И	451
В таком случае, в силу неравенства Буняковского,
и
2^|д«-*^|<Кмл1/ 3[С*дп-*Ийг</*,
*=0	'• ~	к-0
и по второй теореме Хаусдорфа найдётся функция
ограниченной вариации*#(ж), для которой
1
хп dg (х) ;= рп 	(« = 0,1,2, ...).
о
Заметив это, возьмём произвольную непрерывную
функцию /(«) и составим её полином Бернштейна
Л
Вп(») = 3/(4)с^(1
к-0
Тогда
1	п
\Bn(x)dg(x)^^f^Ckn^k
О	к-0
и, в силу неравенства Буняковского,
[^Вп(ж)й#(®)]’<
о
Jt=D	к— 0
Отсюда на основании (210) получаем
1	п
О	к-0
и потому, увеличивая п и переходя к пределу:
(2W)
29*
452
ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
{гл. Vlf
Пусть
1
\f(x)dg(x) = ^(f).
о
Этот линейный функционал задан в пространстве С.
Распространим его на всё пространство L3. Для
этого, взяв произвольную функцию /(ж) из Ьг, найдём
последовательность непрерывных функций {/п(ж)}> схо-
дящуюся к / (ж) в среднем.
Тогда эта последовательность сходится в себе,
а так как
' О
то существует конечный предел
1ппФ(/п).
П-^ОО
Этот предел мы и примем за Ф(/). Легко понять, что
он не зависит от выбора той последовательности непре-
рывных функций, которая послужила для его опреде-
ления *). Очевидно также, что функционал Ф (/) линеен**)
и по теореме Фреше представим в форме (218), где’
<р (ж) g Отсюда
1	1
ж" ср(®) dx = Ф (ж") = ж” dg (ж) => рп,
о	о
и доказательство теоремы Хаусдорфа завершено.
♦) Действительно, если {/п (ж)} —другая последовательность»
непрерывных функций, сходящаяся в среднем к /(ж), то разность-
fn (х) — fn (ж) в среднем сходится к нулю и (в силу (219))
lim [Ф(/„)-Ф(М)1=0.
♦♦) Если /'(ж) и /'(ж)—две функции из £’, а и {/£} —
сходящиеся к ним (в среднем) последовательности непре-.
рывных" функций, то последовательность + сходится,
в среднем к /' (®) + /' (ж) и, стало быть, Ф (/' + /*)= "
•ф(/')+Ф(/')- Неравенство же | Ф (/) | <	| / || получается j
предельным переходом из (219).
. ..	ПОЗИТИВНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	А 58
। 4]	у .
§ 4. Позитивные последовательности.
Теорема Риоса о линейных функционалах в про-
странстве С позволяет дать.. ещё одну характеристику
последовательности моментов возрастающего, интеграль-
ного веса.
Условимся называть последовательность веществен-
ных чисел {|in} (п = 071, 2, ...) позитивной на проме-
жутке*) <а,&>, если для всякого полинома
Р (ж) = а0 + врГ + ... + алж",
нетождественного нулю и неотрицательного на <а,6>,
Ф (Р) » яоро +	+ ... + алрл > 0.
Если же для всякого такого полинома будет Ф (Р) >0,
то последовательность {рл} будем называть строго
позитивной.
Теорема 1. Для-того чтобы существовала возра-
стающая на [а, 6] функция g (ж), для которой
ъ
ж" dg (ж) = рп	(п = 0,1, 2, ...),
a
ч
необходимо и достаточно, чтобы последовательность
{рп} была позитивна на [а, 6].	>	.	.
В самом Деле, пусть, выполнено условие теоремы.
Тогда
ь
Ф (Р) = р (ж) dg (ж),
a
и позитивность последовательности {рп} -очевидна.
Обратно, пусть последовательность {рл} позитивна
на [а, 6]. Возьмём произвольный полином
п
р (ж) = 2 а^к
*=0
<	♦) Это может быть сегмент (а, 6], интервал (а, Ь) и т. и.
Случаи — оо или 6= +оо мы также не исключаем.
454	ПРОБЛЕМ AMOMEHTOH	, [гл. VI
и пусть
М— шах |₽(ж)|.
Тогда каждый из полиномов
М + Р(ж), М — Р{х)
неотрицателен на [а, 6], и потому
(М + а0) р.о +	+ • • • + апрп > О,
(М — a0)[xe —	------«пНп>0-
Отсюда следует, что
|Ф(Р)| <Romax|P(s)|. (220)
Заметив это, рассмотрим произвольную непрерывную
функцию /(ж), заданную на [а, 6]. По теореме Вейер-
штрасса найдётся последовательность полиномов {j°n (ж)},
равномерно сходящаяся к /(ж). Для всякого в>0
найдётся такое N, что при п > N
\Pn(x)-f(x)\<^.
Значит, если га > N и т > N, то
|Рп(х)-Р«(®)|<«
и, в силу (220),
|Ф(Рп)-Ф(Рт)|<рое.
Таким образом последовательность {Ф(РП)} сходится
в себе и, стало быть, имеет конечный предел, который
мы обозначим через Ф(/). Нетрудно видеть, что вели-
чина Ф(/) зависит только от функции /(ж) (и последо-
вательности (рп})> н0 не от выбора полиномов Рп(х),
Действительно, если {@л (ж)} —другая последователь-
ность полиномов, равномерно сходящаяся к /(ж),- то •
Iф (А.) ~ ф (<?п) I < Иотах I рп (ж) - <2п (*) I,
а правая часть этого неравенства стремится к нулю. .
Итак, мы определили функционал Ф(/) на множе- .
стве всех непрерывных на- [а, Ь] функций. Легко видеть,
что это положительный линейный функционал, В самом ,
। 4]	ПОЗИТИВНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	Д5»
деле, если / (ж) = /х (ж) + /, (х) и имеет место равномер-
ное стремление
р^ч^ш, ,р1п2ч^ш>
то РпУ(ж) + Рп}(®) /(ж)• Значит,
Ф (/) т Нт Ф [Р« + M2)J = Ф (А) 4-Ф (Д).
, *	к-
Далее, если /(ж)>0, то и полиномы Рп{х} можно
взять неотрицательными *), откуда вытекает, что Ф (/) > 0.
Наконец, если / (ж) — произвольная непрерывная
на [а, 6] функция и М = тах | /(ж) |, то обе функции
М ± / (ж) неотрицательны, откуда
Мрв±Ф(/)>0
и
Таким образом Ф (/) — полоя^ительный^линейный функ-
ционал и по теореме Рисса
ь
ф(/)= J /(*)«*£ (ж),
а
где g (ж) — возрастающая функция. Остаётся заметить,
что Ф(жп) = р.п.
Для того чтобы выяснить, какую роль может играть
условие строгой позитивности последовательности, вве-
дём следующее определение:
Определение. Пусть §(ж) возрастающая функ-
ция, заданная на [а, 6]. Будем говорить, что точка ж0
(« < ж0 < Ь) есть точка роста функции g (ж), если при
любых у и z, где а<у<ж0<гс.6, будет g(у) <g(z).
Точно так же точка а есть точка роста g (z), если
*) Действительно, пусть (я)} —какая-то последователь-
ность полиномов, равномерно сходящаяся к / (я). Положим
Рп = шах | Qn (я) — / (я) |. Очевидно, рп -+ б. Полиномы
Рп (я) = Qn (я)+рп
будут неотрицательными и равномерно стремящимися к /(я).
454	ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ	[гл, VII
g(a).< g(Ж) ПРИ любом х из (а, 6]. Аналогичное согла-
шение устанавливается для точки Ь.
Лемма 1. Отличная от постоянной возрастающая
функция g(x) имеет хотя бы одну точку роста.
В самом деле, по условию g(6)>g(«). Положим
с =	. Одна, по крайней мере, из разностейg (с) — g (а)
и g (6) —g (с) —положительна. Обозначим через [а„ 6Х]
тот из сегментов [а, с] и [с, 6], для которого g (а,) < g(bj).
Продолжая этот процесс, мы построим последователь-
ность вложенных друг в друга сегментов [ап) 6П], для
каждого из которых g(an) < g(bn). Если хЛ есть общая
точка всех этих сегментов, то она и будет точкой
роста g(x).
Следствие. Если возрастающая на [а, 6] функция
g(x) имеет конечное число точек роста, то это—сту-
пенчатая функция, постоянная между своими точками
роста.
Лемма 2. Если g(x) — возрастающая функция
с бесконечным числом точек роста, то для всякого
нетождественного нулю неотрицательного полинома Р(ж)
справедливо неравенство
ь
Р (ж) dg (ж) > 0.
а
Если же у g(x)—только конечное число точек роста,
то найдётся нетождественный нулю неотрицатель-
ный полином Р(х), для которого
ь
Р(ж)^£(ж) = 0.
а
В самом деле, в первом случае для всякого по-
линома Р(ж) можно найти точку роста ж0 функции
g(x), которая не является корнем Р(ж). Пусть /г^>0
столь мало, что [ж0 — h, ж0 + /г] содержится в [а, 6] и в
[ж,— Л, ж04-Л] нет корней Р(ж). Тогда, обозначай
j 4]	ПОЗИТИВНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	457
через т наименьшее значение Р (ж) на [х,—Л, х0 4-Л],
будем иметь
ь
^P(x)dg(«)>
а
яо+^
>	P(x)dg(x)>m[g(x0 + /i)-g(x0 — /г)] > 0 *).
XQ — h
Во втором случае, обозначим через Вх,	5, все
точки роста g(x). Если
р (х)=(х - еа3 {х-w... (Ж - иа>
то Р(х)>0 и
Ь	1
5 Р (х) dg (х) = 2 Р (5ft) [g (?А + 0) - g (Е* - 0)] = 0.
а	Л=1
Теперь следующая теорема становится очевидной.
Теорема 2. Для того чтобы на сегменте [а, 6]
существовала возрастающая функция g (х) с бесконечным
множеством точек роста, для которой
ь
^x"dg(x) = ji„	(n = 0,1, 2, ...),
а
необходимо и достаточно, чтобы последовательность
{р.п} была строго позитивной на [а, 6].
Надо заметить, что установленные здесь характе-
ристики моментных последовательностей менее эффек-
тивны, чем характеристики Хаусдорфа, ибо мы не рас-
полагаем признаком того, является ли данная последо-
вательность позитивной, или нет. Как будет показано
ь
*) Это рассуждение показывает, что неравенство J Р dg > 0
а
выполняется при условии, что число точек роста g(x) больше,
чем степень Р (z). Ниже нам придётся воспользоваться этим
замечанием.
418	ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ	[гл. \’Ц
нйже, для бесконечного промежутка (— оо, 4- со) такой”
признак всё же существует*).
Читатель, желающий углубить свои сведения по во-
просам этой главы, с большой пользой прочтёт очень
содержательную, хотя и несколько трудную моногра-
фию Н. И. Ахиезера и М. Г. Крейна [2] **).
♦) Впрочем, условие Хаусдорфа можно рассматривать,
как эффективный критерий позитивности последовательности
на сегменте [0,1].
*•) См. также Л. В. Канторович [2].
ГЛАВА VIII.
СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА.
§ 1. Предварительные замечания.
Во всём предыдущем изложении основной проме-
жуток [а, 6] предполагался конечным. Теперь мы‘оста-
новимся на случае бесконечного промежутка. Основное
отличие от предыдущего здесь состоит в том, что
теперь уже не имеет места теорема Вейерштраеса,
а значит, и все результаты, которые были основаны
на этой теореме.
Мы попрежнему будем рассматривать классы 1-Р(Х)
и Т2р(г), где />(#)—измеримая неотрицательная весовая
функция, обращающаяся в нуль только на множестве
меры нуль*). Функцию р(х) мы будем, кроме того,
предполагать имеющей все моменты
ь
рп=^хп p(x)dx (п л 0, 1, 2, ...).
а
(Для конечного промежутка существование всех
моментов вытекало из суммируемости веса р(х). Теперь
это не так. Например, вес р(х) = у—, суммируем на
(— оо, + оо), но рп не существует при п > 0.) Функцию
*) Функция, заданная на бесконечном промежутке, назы-
вается измеримой, если она измерима на всяком конечном сег-
менте, входящем в её промежуток задания. Неограниченное
множество называется измеримым, если измеримо его пересече-
ние со всяким конечным промежутком. Оно имеет меру нуль,
если таковы его пересечения с конечными промежутками,
460	СЛУЧАИ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [гл. VIII
/(ж) мы будем включать в £Р(Х), если она измерима и
Ъ
\ |/(«)|/>(ж)с?ж < + 00-
а
Этот интеграл понимается как несобственный, т. е.,
например, для а = 0, Ъ = + оо как
л
'	lim \ | / (х) | р (ж) dx.
А-»+=о J
Если /(ж) измерима и /*(ж)gLp(Х), то мы скажем,
что /(ж) принадлежит Ар(Х). Попрежнему*) имеет
место включение Lp (X)CLP^> ибо |/(ж) |<4[1+/’(*)]•
Попрежнему имеют место неравенства Коши и Буня-
ковского, а также вся основанная на них геометрическая
картина. Попрежнему все ^ограниченные измеримые
функции входят в Ар (Ж), но этого уже нельзя сказать
обо всех непрерывных функциях.
Например, если а = 0, Ь = + со, р (х) = е~х (вес
Лагерра), то /(ж) = е* не входит в Lg-x а тем более
в ,
Тем не менее справедлива
Теорема. Класс С ограниченных непрерывных
функций всюду плотен в Lp (Х).
Докажем эту теорему, например, для случая а = 0,
Ь = + 00.
Пусть /(ж)££р(Х) и s > 0. Тогда можно закрепить
столь большое А, чтобы оказалось
+ со
р(ж)/3(ж)йж<-^-.
А
•) Если бы р (ж) не предполагалась суммируемой, то это было
бы не так. Например, при а = 1, 6= J-co, р (х) =1 функция —
входила бы в но не в £.
g j]	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	461
Так как для конечного сегмента теорема уже была
доказана, то можно построить на [О, Л] непрерывную
функцию (ж), для которой
а	.
J р(ж)[/(ж)~ ф0 (ж)]Чж<-^-.
о
Пусть 8 < А есть Положительное число, выбор ко-
торого мы уточним ниже. Введём функцию ф(х), пола-
гая ф(Л) = О, ф(ж) = фо (х) при 0<ж<Л—8 и счи-
тая ф(ж) линейной на сегменте [Л — 8, Л]. Если
М = max | фо (ж) |, то
А	А
р(ж)[ф0 (ж) — ф (ж)]3с?ж<4/1/2 p(x)dx.
О	А-8
Будем считать 3 столь малым, чтобы правая часть
последнего неравенства была меньше, чем -j-. Тогда
О
А
р(ж)[/(ж)-ф(ж)]Мж<-^-.
Если теперь положить
( ф(ж) при 0<ж<Л,
Ф (ж) = { А	. .
• т' ' I 0 при ж > Л,
то <р (ж) будет непрерывной ограниченной функцией,
для которой
Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы видно, что
в £р(х) всюду плотен уже класс таких непрерывных
функций, которые обращаются в нуль при всех доста-
точно больших х.
Однако класс всех полиномов уже не обязан быть
ВСЮДУ ПЛОТНЫМ В Lp (Ж).
Пример*) (Стилтьес). Пусть
а = О, b = -J-оо, р(ж) = х~1п*.
♦) Стилтьес [2] (русский перевод, стр. 100).
СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [гл. VIII
Функция р(х) непрерывна и ограничена. В самом
Деле,
In р (х) == — In1 х.
Значит, при х —>0 и при ж—>4- 00 будет р(х)-ч>0.
У р(х) существуют все моменты. Действительно, на
всяком конечном промежутке [0, Л] функция р (ж) сум-
мируема.
С другой стороны, при х >еп** б^дет
и существует
+00
хпр (ж) dx	(А = еп+ а).
А
Таким образом р(ж) является весовой функцией
указанного выше типа.
Пусть
/ (ж) = sin (2л In ж).
Эта функция ограничена и потому входит в Др (а).
Покажем, что /(ж) по весу р(ж) ортогональна ко
всем функциям жп(п = 0, 1, 2, ...).
Действительно, с помощью подстановки
получаем
4-оо	/п4-1\2 4-а>
жп/(ж) р(ж) йж = (—1)п+1е 2 e-t’sin2irtdt
О	—со
Последний же интеграл очевидным образом равен
нулю, ибо подинтегральная функция нечётная.
Но тогда и для любого полинома Р(х) будет
ь
f (®) Р (®) р (ж) dx = 0.
g '	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	463
Значит,
\ Р(«)/’ W dx = \p^)f Ф [/~~ Р dx'
О	О
Отсюда, в силу неравенства Буняковского,
4-00	z		’
{ p№p(x)dx] <
+» +001
<{ j P(z)f*(x)dx] | Jp (ж) [/(*)-Р(ж)]Чж|
и, стало быть,
II f-P II >11 /II.
т. е. ни один полином не подходит к /(ж) ближе, чем
на величину || /1| > 0.
Тем не менее существуют всё же весй р(х) такого
рода, что класс всех полиномов всюду плотен в £р(Х).
Ниже мы увидим, что такими весами являются, напри-
мер, вес Лагерра е~х на [0, + со) и вес Эрмита е-1’ на
(—оо, + 6о). Не вдаваясь в подробности, скажем, что
суть дела здесь в надлежащей быстроте убывания весо-
вой функции на бесконечности.
Заметим, далее, что и при бесконечном промежутке
пространство £р(Я) обладает свойством полноты: после-
довательность, сходящаяся в себе, имеет предел. Это
доказывается совершенно так же, как и для конечного
промежутка.
Совершенно так же строится и теория ортогональных
систем, включая теорему Рисса-Фйшера. В частности,
для ортогональных систем попрежнему будут эквива-
лентны свойства полноты и замкнутости, а для произ-
вольных линейно независимых систем—свойства полноты
и фундаментальности.
Попрежнему сохраняются экстремальное свойство
коэффициентов Фурье (теорема Теппера), неравенство
Бесселя, теорема ортогонализации Шмидта и т. п.
464	СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [гл. VIII
В частности, ортогонализируя систему степеней жп,
мы попрежнему можем строить ортогональные системы
полиномов (здесь, именно/и существенно наличие всех
моментов у весовой функции). Мы не будем заниматься
рассмотрением общих свойств таких полиномиальных
систем, а ограничимся в ближайших параграфах рас-
смотрением двух частных случаев: полиномов Лагерра
и полиномов Эрмита.
§ 2. Полиномы Лагерра.
Полиномы, образующие на промежутке [0, + оо)
ортогональную систему веса е~®, называются полиномами
Лагерра*). Они определяются (с точностью до постоян-
ного множителя) формулой
Ln (х)=ех ^(№),
аналогичной формуле Родрига. Чтобы доказать это
утверждение, положим
Un(x) = a*e-*.
По формуле Лейбница имеем
= 2 ( - 1)®-* С* га (га — 1)... (га — А 4-1)	(221)
л-о
Отсюда видно, что Ln(x) есть действительно полином
степени га, имеющий явное представление
Ln(x) = ^ (-l)n-*^n(ra-l)...(n-A+l)®n-fc. (222)
л-=о
В частности, старший коэффициент у Ln (ж) есть
(— 1)п, так что
•) Лагерр [1].
J -гц	ПОЛИНОМЫ ЛаГЕРЙА	465
Равенство (221) показывает, что при и =>0, 1, ...n—1
t/(zim)(0)=^m)( + oo) = 0.
Значит, если V (х)—полином степени ниже п, то
+ =«
e~*V(x) Ln(x)dx =
u
= U^Vdx = [£7<'‘-д’>К	l)n-J	+
'О	-	‘
+ -o
+ (-l)n J UnV^dx = Q.
о
Таким образом Ln(x) действительно образуют орто-
гональную систему веса е~^.
Если в последнем равенстве положить V (х) = Ln (ж),
то окажется, что
е-я[£п(ж)Гйх = (-1)п UnVinidx,
о	о
а так как У(п) = (—1)пи1, то
e-xL3n (х) dx~nl\ ^e~*dx - (nl)‘.	(223)
о	о
Отсюда
f , .	(-1)” x dn(xne~x)
А--и...
В рекуррентной формуле
•^•n+2 (®) = (х — ап+»)	(#)	1^*л (ж)	(224)
по общей теории	•
4-ао
j е~х Ln+i(x)dx
)	__0_______________
'•п+1— +оо
J e~xLn (ж) dx
О
и, в силу (223), будет ХП41 = (п+1)“.
30 Конструктивная теория функций
V .. ; . яда
466	СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧЙОГО ПРОМЕЖУТКА ГГЛ. Vtlt
Коэффициент ‘ ап+8 проще всего найти, сравнивая
в (224) коэффициенты при ж”*1. Благодаря (222) полу-
чаем ап+2 == 2п 4- 3 и формула (224) принимает вид
(*) = [* - (2га + 3) ] Zntl (ж)- (га + 1)’ Ln (ж). (225) <
Так как£0(ж) = 1, 2х(ж) = ж —1, то
Х2(ж) = жа — 4ж + 2,
L3 (ж) = ж3 — 9ж2 + 18ж — 6,
Г
Рассмотрим функцию
1 — :
1^а:)=-1Тте1+г-	<22б>
Нетрудно видеть, что при 111 < 1 она разлагается в ряд
по степеням t:
L(t, ж) = Л0(ж) + Д(ж)г + Л2(ж)г’ + ...
Покажем, что А, (ж) = £л(ж). В самом деле, очевидно,
что Д,(ж) = 1. Кроме того,
- [ 7TW - TF7 ] £ <'• *>•	<22’>
Отсюда прежде всего At (ж) == ж — 1 = i.t (ж).
Если же мы перепишем (227) в форме
(1 + I?L't(t, ж) = (ж — t — 1)L(t, ж)
и сравним коэффициенты при fn+l, то увидим, что
(п + 2) Лп+, (ж) = (ж - (2га + 3)1 Лп+1 (ж) - (га + 1) Ап (ж)
(п=0, 4, 2, ...).	:
Отсюда, умножая на (га-}-1)! и сравнивая с (225),
мы убедимся, что
га! Лл(ж) = £п(ж),	}
что и доказывает наше утверждение. Таким образом
функция (226) есть производящая функция полиномов
Лагерра.	.»
g 3]	ОБОБЩЁННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА	465
Нетрудно показать, что полиномы Лагерра 1п(ж)
удовлетворяют дифференциальному уравнению
+ —a:)y'4-7iy = 0.	(228)
Действительно, если
и^хпе~х, .
то хи' = (п — х)и. Беря отсюда производные порядка п + 1
и применяя формулу Лейбница, находим
жи<п+2) + (ж 4- l)u<n+1>-}-'(« + 1)и<п) = 0.	(229)
Но u<^n\=e~xLn(x) = e~ry. Отсюда и из (229) и сле-
дует (228).
§ 3.	Обобщённые полиномы Лагерра.
В некоторых вопросах играют роль полиномы более
общего вида, чем Ьл(х). Это —так называемые обобщён-
ные полиномы Лагерра 1^(х), образующие на [0, +со)
ортогональную систему веса х+~х, где а> —1. Пере-
числим вкратце их простейшие свойства, которые доказы-
ваются также, как для обыкновенных полиномов
Лагерра.
1.	Полиномы (ж) определяются формулой
(ж) = Кп х-Ч* {хл+пе~х).
2.	Полиномы 1£у(х) со старшим коэффициентом,
равным единице, получаются при Кп = ( — 1)п, а нор-
мированные полиномы ££в) (ж) — при
Г	_ (-1)"
а Уп\ Г(^ + п + 1)
3.	Рекуррентная формула для L„\x) такова:
П-Ш-
- (» - а - 2л - 3) ВД, (х) - (» +1) (» + « +1)	(*)•
30*
468	СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [гл. VIII
4.	Производящей функцией для этих полиномов
служит
act ОО
п-0
Докажем, следующий факт:
Теорема (В. А. Стеклов [4]). Множество всех
полиномов всюду плотно в пространстве L^X), если р(х)
есть вес Лагерра
р(х) = хвегх (0<ж< + оо, а> — 1).
В самом деле, в силу замечания к теореме § 1,
непрерывные функции, обращающиеся в нуль для доста-
точно больших х, лежат в Lj.(X) всюду плотно. Для
каждой такой функции f(x) интеграл
I—	хяе~х £ / (ж) — 2 cfce~fcl]
О	к-0
подстановкой *) х = — In t сводится к интегралу
1	/П
|1пг|’[<р(0-2 с***],<г*’
О	А-0
где <р (г) = / [ — In £] есть непрерывная **) функция. Так
как <р (i) допускает сколь угодно хорошее (даже равно-
мерное!) приближение полиномами, то интеграл I за
счёт выбора коэффициентов ск можно сделать сколь
угодно малым. Таким образом «полиномы» 2c/ce-fc3C лежат
в Lp(Xy всюду плотно и достаточно показать, что именно
их можно приблизить обыкновенными полиномами
с любой степенью точности. Для этого, в свою очередь,
достаточно обнаружить возможность приближения поли-
*) Ввиду специального характера функции / (х) здесь отпа-
дают трудности, связанные с подстановкой в интегралах Лебега.
**) Если/(ж) = 0 при х^А, то у(г) = О при 0<.t<e“A.
В сегменте же [e-A, 1] ?(t) есть суперпозиция непрерывных
функций.
§ 3j	ОБОБЩЁННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА	469
номами любой функции е~тХ (т = 0, 1, 2, ...). При т = О
это вполне тривиально, а для прочих т, очевидно,
сводится к проверке выполнения равенства Парсеваля:
я:«е-ж(е-тх>Мя:= 2сп, (230)
О	п-0
где	•
сп = х*е~хе~тх11п \x)dx.
о
Но
+оо
С x*e~(Zm+l)x dx = —,
J	(2zn+l)’+1
С другой стороны, полагая
и — —^~ (-—L')n—r.^-x^+ne-JC, v = e~mx,
/п1Г(«+п + 1)
находим
+00
сп =	u<”>o dx =
о
= [«("-00— ,,, +( — l)nwv(n“1)]o’°° + ( —l)n uv^dx.
О
Внеинтегральный член здесь исчезает, и потому
-f-co
сп = —  (~	za+ne-<m+i>xdx =
/п| Г(а+-;» + 1) J
(~т)п	f г(« + п + П
(т4-1)*+”+1 V п>
Значит, подлежащее доказательству равенство (230)
принимает вид
г (я+ О _ хт Г (« + n +1)	mtn (23i\
(2n*+i)®+i	nl (m + l)2<f+2n+2 ‘	'
470	СЛУЧАИ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [гл. VIII
Если ПОЛОЖИТЬ
т
т+1	’
то равенство (231) переходит в равенство
г(я + 1) _ у r(«+n-i-l) sn
(l-xV+1 Zl nl ж
n -о
или же в равенство
1	_ V (а+ n) (а + п - 1) ... (а 1)
(1-Я«)’+‘ А	П\
4	'	п-0
а это есть биномиальная формула Ньютона.
Теорема доказана. В частности, из неё следует, что
ортонормальная система {Ln\z)} замкнута в простран-
стве при р (х) — х*е~х.
§ 4. Полиномы Эрмита.
Полиномы Эрмита *) образуют ортогональную си-
стему веса
р(х) = е~х* (—оо < ж<со). (232)
Теорема 1. Полиномы Эрмита определяются фор-
мулой
(233)
В, самом деле, если
„г
и = е~х ,
то
и' .= — 2же“х®, и" = (4г2 — 2)е~хг, и'" = ( — 8«’+ 12х)е_®8
и вообще
= Нп (х) е~х\
♦) Эрмит [1].
§ч
ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА	471
где Нп(х) есть полином степени п со старшим коэф-
фициентом, равным (— 2)п. Это легко проверяется мето-
дом полной индукции. Значит, функция Нп(х), опреде-
лённая формулой (233), действительно есть полином
степени п.
Так как
и<п>(— ор) = и(п)(-{*оо) = 0,
то из формулы
4-со
dx —
= [в<п-1Ь— ... +(—1)n“* wo(n-1>]tS + ( — 1)" avW dx
— ОО
следует, что для любого полинома v(x)
J e-xtHn(x)v(x)dx = (-l)n	e~xiv^(x)dx. ’ (234)
—со	—оо
В частности, если степень v (а?) ниже п, то последний
интеграл равен нулю, откуда и следует, что поли-
номы (233) образуют ортогональную систему веса е-®’.
Если в (234) положить v(x) = Hn(x) и учесть, что
старший коэффициент Нп(х) есть (—2)п, то мы найдём,
что
+<»	+=о
е-®аЯ?4(х)йх = 2пп1 е-»’(2х=2пп!У7.	(235)
— СО	—со
Таким образом
яп(*)=(-4)'Дп(®)»
Hn(x)=--}Z^L^Hn(x).
(236)
Рекуррентная формула для полиномов Эрмита такова:
^Лж)=/Дп+1(®),-^яп(4	.
02	СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [Гл. VIII
В самом деле, из (233) методом полной индукции
легко убедиться, что в состав Нп(х) входят только
те степени хк, показатели которых имеют одинаковую
чётность с п, откуда ясно, что ап+2 = 0. Кроме того,
в силу (73),
+ °° ~
J e~x2Hn+i (х) dx
J е x2H*(x)dx
и из (235) и (236) вытекает, что лп+1 = ^у-^.
Производящая функция полиномов Эрмита есть
H(t, z) = e-*'*-‘2=	(237)
Действительно, если <f(z) = e~zi, то ио формуле
Тэйлора
п=0
Но ^(п)(а;) = е~хгНп(х), откуда и следует (237).
Нетрудно вывести дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяет у = Нп (х). Именно, если и = е-а;2,
то и' = — 2хи. Беря отсюда производные порядкам4-1,
находим
_|_ 2ал^п+1> 4- 2 (п 1) u<n) = О,
но »<п> = е~хгу, и потому
у" — 2ху' 4- 2пу = 0.
В заключение докажем полноту системы полиномов
Эрмита.
Теорема 2 (В. А. Стеклов [3]). При весе Эрмита
р(х) = е~х*	(—оо<ж<4"Оо)
полиномы образуют множество всюду плотное в
§4]
ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
473
Так как непрерывные функции, равные нулю при
достаточно больших |®|, лежат в всюду плотно,
то достаточно показать, что именно эти функции можно
приблизить полиномами с любой степенью точности.
Более того, не ограничивая общности, можно до-
пустить, что рассматриваемые функции обращаются
в нуль в некоторых малых интервалах (—а, -|-а), ибо
и такие функции лежат в Ll(X> всюду плотно.
Итак, пусть / (ж) — непрерывная функция, отличная
от нуля только при а < |®| < А. Предполагая её чётной,
будем иметь
I =	е-»2 £ / (ж) — 2 ск х*к ] dx —
—<х>	к=0
+оп	п
=»2 е~г2 £/(я) —2 dx.
С	k=0
С помощью подстановки ж2 = z, получаем
+оо	п
1= J 4=- [?(z)~2 Ск&Уdz.
О ' Z	/с=0
Функция ?(z) = /(|/"z), будучи непрерывной и огра-
ниченной, входит в (Z) при лагерровом весе р (z) =
= z-1/’e-z. Но в этом пространстве полиномы лежат
всюду плотно, и за счёт выбора коэффициентов ск инте-
грал I можно сделать сколь угодно малым.
Если же / (ж) — функция нечётная, то та же подста-
новка даёт
/= ^ е“«* £/(ж) — 2 скх*к*1
— СО	kmO
СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [гл. VIII
474
где <р (z) =	 непрерывна и ограничена. Значит,
V z
опираясь на плотность полиномов в Lp(Z) при р (z) = z+1/ae“’,
мы снова можем сделать I сколь угодно малым. Остаётся
заметить, что всякая функция /(ж) может быть пред-
ставлена в виде
у _ /(Д^)4-/( — я;)	/(ж) — /( — яс) ,
причём первое слагаемое есть функция чётная, а второе —
нечётная.
§ 5. Проблема моментов для бесконечного промежутка.
Проблема моментов для бесконечного промежутка
существенно сложнее, чем для конечного. Дело в том,
что, как мы видели выше, интегральный вес ограничен-
ной вариации определяется своими моментами на конечном
промежутке «почти» однозначно, ибо ими определяется
его ядро. Для бесконечного промежутка это уже не так.
Например, как мы видели в § 1, справедливы равенства
+°°
ж-1ПЖ sin(2re In ж) ж” с?ж = О (n = 0, 1, 2, ...).
о
Значит, два неотрицательных дифференциальных веса
Pi (ж) = ж-1па:,	(ж) = ж-1пх [1 — sin (2ir In ж)]
имеют одни и те же моменты на промежутке [0, 4-со].
Если положить
X
Pi(t)dt	(1 = 1,2),
о
то мы получим две различные строго возрастающие
непрерывные интегральные весовые функции с одинако-
выми моментами.
Поэтому встаёт задача выделения таких моментных
последовательностей, которые и для бесконечного про-
межутка определяют свою весовую функцию однозначно
(с учётом сделанных выще оговорок).
ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
475
§ 5]
Мы, однако, оставим этот вопрос в стороне, огра-
ничившись рассмотрением условий, при которых задан-
ная числовая последовательность {р.п) является момент-
ной последовательностью на промежутке (— со, -|-оо).
При этом мы ограничимся случаем возрастающего
интегрального веса g(x) с бесконечным числом точек
роста. Интегралы Стилтьеса
+ го
5 xndg(x),	(238)
— СО
с которыми нам придётся иметь дело, мы будем пони-
мать, как несобственные, т. е. как*)
в
lim ж”dg(ж)	(А—>—оо, В~>-}-оо).
А
Так как
в
J dg^) = g(B)-g(A),
А
то интеграл (238) уже при, п — 0 может существовать,
только для ограниченного- веса g(x). Это условие мы
также будем предполагать выполненным.
Лемма 1. Если полином Р(х) с вещественными
коэффициентами неотрицателен при всех вещественных ж,
то он представим в виде суммы квадратов двух поли-
номов с вещественными же коэффициентами.
В самом деле, вещественные корни Р(х) (если они
вообще у него имеются) должны иметь чётную кратность.
Обозначая эти корни через сп с2, ..., ст, будем иметь
Р(ж) = (>(ж)Я!(я),
где 7?(ж) = (ж — Cj)’> (ж — с2)*а ... (ж — ст)*т, a Q(x) имеет
только комплексные .и попарно сопряжённые корни. При
этом два взаимно сопряжённых комплексных корня
•) Очевиднт, что если такой интеграл существует, то он
сходится абсолютно.
476	СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [гл. УП1
a-f-bi и а — Ы имеют одинаковую кратность. Значит,
<?(я:) = А’ f[ [(x-ak — bki)(x-ak + bkiy\k==
А-1
S
= 4»n[(x-ak)’ + ^f*.
s-i
Таким образом Q(x) есть произведение некоторого
количества множителей, каждый из которых есть сумма
квадратов двух полиномов. Но, в силу тождества
(А3 + В3) (С3 + D3) = (АС - BD)3 + (AD + ВС)3,
такое произведение также есть сумма квадратов двух
полиномов. Остальное ясно.
Теорема 1. Последовательность {р.,,} будет строго
позитивной на (—со, 4-со), тогда и только тогда,
когда строго положительны все определители*)
А
п
Го Г1 • • • • Гп
Гх Г2 • • • Гл+х
Гл Гл+х • • • Гап
(п = 0, 1, 2, ...).
Для доказательства определим на множестве всех
полиномов {jP(z)} функционал Ф [Р (аг)], полагая для
Р(ж)=а04-а1ж+ .4-апхп
функционал равным
ф[-Р(®)] = а.Га+ахГ1+ • • • +«пГп-
Это функционал, очевидно, таков, что
Ф [Л (х) + Р2 (ж)] = Ф [Л (ж)] + Ф [Р, (®)],
Ф(ЛР(а;)] = ЛФ[Р(х)1.
*) При этом Д0 = Ив-
§-S]
ПРОВЛЕМА МОМЕНТОВ
477
Пусть
Ро Pi • • • Pn-i 1
Фп(^) =
Pi Pt ••• Рп х
6=1,2, ...). (239)
Рп Рп + 1 • • • Р2п-1 х
Кроме того, мы положим ф0(ж)=1. Тогда
я	>*фп(аО =	Ро Р1	• • • Рп Р1 Р.	•--Рп	-1	хк xktl	9
а Ф[ж,£фп(х)] =	Ро Р1 •• Pi Р2 ••	Рп Рп+1 • • • Psi • Рп-1 Ф К] . Рп Ф К+Ч	1-1	Хк*п Р» • Р1 •	• Рп-1 Рй • Р1/ рй+1
Значит,	Рп Рп+1 • •	• Р2п-1 Ф К+П]		Рп •	• Рап-1 Рй+п
ф [фл (ж)] - Ф Кп (ж)] = ... = ф [я^1 фп (®)] = 0, (240)
Ф[хп фп(ж)] = дп.
(241)
Из (240) вытекает, что для любого полинома R (я)
степени ниже п
Ф[Л(«)Фп(^)] = 0.	(242)
С другой стороны, разлагая tyn(x) по элементам
последнего столбца, находим
Фп (ж) = дп-х *п + Я(Х),
где степень 7? (ж) ниже п. Значит,
‘ Ф[фИ*)]=Дп-1Дп-
Предположим теперь последовательность {рп} строго
позитивной. Тогда прежде всего будет Д0 = ро>0, ибо
р, = Ф[1], а «полином» 1 нетождественен нулю и неотри-
47д	СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [гл. VIH
дателен. В таком случае полином ф, (ж) будет нетождестве-
нен нулю (ибо он есть До ж ф const) и
Д0Д1 = Ф[^(а;)] > 0„
откуда Дх > 0. Но тогда	(ж) — не тождественный нуль и
Д1Д2 = Ф[О’(ж)]>0,
откуда Д2 > 0. Допустим, что мы уже доказали, что
Дп-1 > 0- Тогда (ж) — не нуль и
Дп-1Дп = Ф1№)]>0,
откуда Дп>0. Итак, для строго позитивной последова-
тельности {р.п} все определители Дп положительны.
Обратно, допустим, что Д7 > 0 для га = 0, 1, 2, ...
Рассмотрим какой-нибудь нетождественный нулю по-
лином Р(ж). Если его степень п, то его можно
записать в виде
Р(ж) = Л0%(ж)ф Афх(я:)4- ... + Ллфп(ж) (Ап ф 0).
Тогда
Ф [Р3 (ж)] = Ф [ [ 2 Ак (ж)}2 j « 2 Ai Ак ф (* *) (X)].
A«D	i, к
Но, в силу (242),
Ф [0( (ж) (ж)] = 0	(i Ф к).
Значит *),
ф	(*)] - 3 л 2 ф № (®)1 = 2 д*-! дй > о.
А-0	А-0
Если теперь Р (ж) ф 0 — любой неотрицательный по-
лином, то по лемме 1 он представляется в виде
 Р(ж)=р1!(ж) + рз(ж)
*) Полагая A_j==l.
§ 5]
ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
479.
и по доказанному
Ф [Р (ж)] ='Ф [Р’ (ж)] + Ф [Р’ (х)] >0.
Значит, последовательность {рп} строго позитивна.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если g(x) —возрастающая ограничен-
ная функция ,с бесконечным множеством точек роста
и все интегралы
 +со
рл= $ xndg(x) (п = 0,1,2,...) (243)
существуют, то последовательность их строго позитивна
на ( — со, + сс).
В самом деле, если Р(ж)—неотрицательный и не
тождественный нулю полином, то
+СО •	в
Ф [Р (ж)] = р (ж) dg (ж)> Р (ж) dg (ж),
—оо	А
где А и В — любые конечные числа. Но если их выбрать
1ак, чтобы число точек роста g (ж) в [А, В] было больше
степени Р(ж), то по примечанию к лемме 2 из § 4
главы VII окажется
в
P(x) dg(x)> О,
А •
откуда Ф[Р(ж)]>0, и теорема доказана.
Оказывается, что справедлива и обратная
Теорема 3(Г. Гамбургер [1]). Если последователь-
ность строго позитивна на (— ос, + со), то существует
такая возрастающая ограниченная функция g(x) с бес-
конечным множеством точек роста, что при всех п будет
иметь место равенство
+оо
Rn= xndg(x)
-00
(п = 0 1,2,.. ).
480
СЛИЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [гл. VIII
Доказательство этой теоремы имеет довольно сложный
характер. Мы предпошлём ему ряд вспомогательных
предложений.
Лемма 2. Если последовательность {р.п} строго
позитивна на (—оо, + оо), то все корни полинома (239)
вещественные и простые.
Прежде всего фп(ж) имеет вещественные корни не-
чётной кратности. Действительно, в противном случае
был бы не тождественный нулю неотрицательный
полином, и соотношение
Ф[<М*)]=о
противоречило бы строгой ПОЗИТИВНОСТИ {р-п}.
Пусть $!, ?2, ..., ?s суть все корни нечётной кратности
(ж). Если бы оказалось s < п, то, положив
R(x) = (x~Q(x-^)...(x-^),
мы имели бы (см. (242))
Ф[Я(я:)фп(ж)] = 0,
что также противоречит строгой позитивности {|*п},
ибо (ж)	(ж) — неотрицательный полином. Значит,
s = п и лемма доказана.
Лемма 3. В тех же условиях для любого полинома
Р (х) степени низке 2п
п
Ф[^(^)] = 2 4П)Р(^П)),	(244)
к-1
где суть корни фп(ж), а
В самом деле, деля Р(х) на фп(ж), получим
P(x) — R(x) фп(я:) + р(ж),
где степени 7? (ж) и р (ж) ниже п. В силу (242), имеем
Ф[Р(ж)] = Ф[р(ж)].
§ 5]
ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
481
Но
f (I) = 1 Й* <*- *”>'(е1П,)’
ибо обе части этого равенства суть полиномы степени
ниже п, совпадающие в п точках Остаётся заметить,
что р($кП)) = Р(4п))-
Лемма 4. В тех же условиях коэффициенты л£1)
положительны.
Действительно, пусть i есть одно из чисел 1, 2, ..., п.
Положим
Это—многочлен степени 2п — 2. Подставив его в (244)
и заметив, что при k^i
Р(&°)=?0,
а Р(бГ)) = [фп(Йп>)]’, находим
Ф[Р(Ж)] = ЛН[ф;(О’,
откуда > 0.
Теперь мы можем перейти к доказательству теоремы
Гамбургера. Именно, считая корни полинома фп(®)
перенумерованными в порядке возрастания
£(«) < с(") <	<
введём ступенчатую функцию gn(«), полагая
gn(x) = 0	при -г оо < х < ^п),
gn(x) = A^	цри
gn (ж) = Л^п) + Л(,п) .	'прич	< х <^п),
gn(X) = Л<"> + Л<"> + ... + А<& при	<я<&п),
gn (Ж) = Л<п> + А™ + ... + Л& + Л(п) при	<«<4-00.
Конструктивная теория функций
482	СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА	[гл. Vllf
4
По лемме 4 это — возрастающая функция. Для
любого i
- -о	к-=1
С другой стороны, если i < 2п, то по лемме 3
п
Н = Ф[И = 3(245)
й«=1
‘Значит, при г. =0, 1, 2, ..., 2n—1
+»
х'dSn(x)-
Если в формуле (245) взять i — 0, то окажется
п
gn (+со) = 2 Л<*П> = ИГ
А-1
В связи с тем, что gn( — оо) = 0, это показывает, что
возрастающие функции gn (х) ограничены в совокупно-
сти. Но тогда на основании принципа выбора Хелли *)
найдётся такая последовательность номеров < п2 <
<п8<..., что при всех вещественных х существует
предел
lim g„m(x) = g (ж).
*m-*oo
Функция g (х), очевидно, — ограниченная и возраста-
ющая. Покажем, что она и является искомым интег-
ральным весом.
•) Этот принцип обычно доказывается для конечного сегмента.
Но, взяв последовательность сегментов [—1, 4-1] с [ — 2, 4-2]С
Ct— 3, +3]с.... мы можем сначала выбрать последователь-
ность функций (а)}, сходящуюся на [ — 1, 4-1], из неё вы-
делить последовательность {g^ («)>, сходящуюся на [ — 2, 4-2],
и т. д. Диагональная последовательность	будет схо-
диться на всей. оси.
„ й,	ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ	483
3
Закрепим некоторое i и пусть пт > I. Тогда
" .+ °°
р.,= ^xtdgnm{x).
Пусть А < 0 < В. Тогда
В	А	+~
| х* dgnm (л) | < $ I Х‘ ।dg"m + 5 dgnm
А	-со.	-	В
Обозначим через 2г какое-нибудь чётное число,
большее, чем г. Тогда
А	А
$ И* dgnfn (ж)< | А Д, x"dgnm (ж),
— со	—оо
4-OQ	4-СО
С *	1 с
у х‘ dg.nm (ж)	xiT dgnm (х).
в	в
Значит, если М = miii {] А |, В}, то
А	+*-о
J I «I'dgnm (ж)+ ^хЧ§Пт(ж)< —Zi xirdgntn(x).
—со	В	—со
Когда пт станет больше, чем 2г, последний интеграл
сделается равным р.2Г. Поэтому при таком пт мы будем
иметь
в
I Н ~ х' ^Snm (ж) | <	•
А
Но для конечного сегмента [Л, 2?] можно применить
теорему Хелли о предельном переходе под знаком
интеграла Стилтьеса, что даёт
в
Щ	СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА (гл. Vlfl
Если теперь Л—> — оо и В—> + <», то М—>4-<х>1
поэтому	*
Ч-ео
—00
Остаётся установить, что у g (ж) есть бесконечное
множество точек роста. Но если бы их было только
конечное число, то для неотрицательного полинома
Р{х), имеющего их своими корнями, оказалось бы
Ф[Р(а;)]= ^P(x)dg(^) = O,
что, однако, невозможно, так как последовательность
{р.п} по условию строго позитивна на ( — оо, + оо).
Теорема Гамбургера доказана полностью.
Из простого сопоставления результатов этого пара-
графа вытекает *)
Теорема 4. Для того чтобы существовала ограни-
ченная возрастающая функция g (х) с бесконечным мно-
жеством точек роста, удовлетворяющая условиям
+ 00
xndg(x)=]>.n (п = О, 1, 2, ...),
— ОО
необходимо и достаточно, чтобы было
He Рх • • • Рп
Рх Р4 • • • Рп+х
(п«= 0,1, 2, ...).
Рп Рп+1- • • Psn
Дальнейшие подробности читатель найдёт в моно-
графии Н. И. Ахиезера и М. Г. Крейна [2].
•) Это и есть первоначальная формулировка теоремы Гам-
бургера.
ТЕОРЕМА ФАВАРА •	485
§ в]	.	'
§ в. Теорема Фавара.
С помощью теоремы Гамбургера доказывается следу-
ющее предложение*):
Теорема. Пусть ' {<йп(х)} (п==0, 1, 2,...)-—система
полиномов, в которой <оЛ(х) есть полином степени
п со старшим коэффициентом, равным единице. Если
имеет место рекуррентная формула
®п+» (я) = (®—«п+,) “п+1 (я) — kn+1 “п (я)	(246)
(n=sO, 1,2/...),
причём kn+1 >"~0, то существует такая ограниченная
возрастающая функция g{x) с бесконечным множе-
ством точек роста, что при i-^k
+<Х>
<о/(я:) o>ft (ж) dg (ж) = 0.
' • — СО
Иначе говоря, формула (246) при условии kn+i > О
позволяет утверждать, что {фп (я;)} есть ортогональная
система некоторого возрастающего интегрального веса.
Для доказательства этой теоремы положим
шп (я;) = хп +	я/1’1 + ... +
и определим числа {рп) следующими условиями:
Но=
+	• • •+°^п)Но = ° (л = 1,2, ...). (247)
Равенства (247) позволяют определять числа одно
за другим.
G помощью {н„Ь как и выше, строим функционал
Ф [Р (я;)], определив его для полинома
Р (х) = вожп + а^-1 +...+ ап
*) Фавар [1]. Эта теорема была найдена мною в 1935 году
независимо от Фавара, о чём я тогда же сделал сообщение
в семинаре С. Н. Бернштейна. Однако в связи с появлением
статьи Фавара моя работа не была напечатана,
486
СЛУЧАИ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [гл. VIII
равенством
Ф [Р («)] = а, р.п + «1 fin_i + ... + ап р0.
Тогда равенства (247) показывают, что
Ф[«>пк)] = 0 (n = 1, 2, 3, ...). (248)
Установим более общую формулу
Ф к* к)1 = 0 (n = 1, 2, 3, ...). (249)
Для к — 0 она верна, ибо приводится к (248). Допу-
стим, что для к — т она уже доказана. Тогда, в силу
равенства
^л+т+г к) ~ к ап+пЬг) к) ^'n+m u ® п->т (*^)’
ф кт<°п+2+т к)]=ф km+1 “nwik)]-
- ап+т+2 Ф к"Ч1 + ^т к)] -	km°>n+m Wl-
IIo допущению все члены здесь, кроме первого чле-
на правой части, равны нулю. Значит,
фкт41шп+т,1к)]=°,
и формула (249) доказана. Если изменить обозначения,
то её можно записать так:
Ф [А„ (ж)] = 0
(п = 1, 2, 3, ...; А = 0, 1,	71—1).
Отсюда следует, что для любого полинома R («).
степени ниже п
Ф [7? (ж) о>п («)] = 0 (п = 1,2, 3, ...). (250)
С другой стороны, из (246) следует, что
ф kn «>п+2 к)] =
=ф [ +1 «> п+! к) ]—яГ1,2 ф кл<« л, 1 к) ] —х* 1 ф к"ш п к) 1 •
Отсюда
Фкп*Ч1+! к)Нх/>+1фк''<0/> к)]>
г 6]	ТЕОРЕМА ФАВАРА	487
и последовательное понижение значка п даёт
Хл.	(251)
Ввиду того что
шп (x)=xn + R (х),
где степень R (х) ниже п, из (250) и (251) следует
Ф[<(ж)] = М3... kn.
Для нас важно, что
Ф[«»:(я)]>0,	(252).
причём это неравенство имеет место и для п = 0, ибо,
Ф[1] = 1.
Установив это, рассмотрим какой-нибудь не тожде-
ственный Hyjjio полином Р (х). Если его степень и, то
Р (х)-= с0Фв (х) + с1ш1 (х)+' ...+ сп<оп (х).
Значит,
Ф [Р1 (х)] == 2 С.А Ф К (®) ША- И-
i,k
В силу (250), все слагаемые, у которых i к,
исчезают, и потому благодаря (252)
Ф[^’(^)] = 24Ф[«>Н®)]>0.	(253)
*=о
Так как всякий неотрицательный полином есть сумма
квадратов двух полиномов, то из (253) вытекает строгая
позитивность последовательности {[in} на (—оо, -|-оо).
По тогда существует возрастающая ограниченная функ-
ция g (х), имеющая бесконечное множество точек роста
и такая, что
+^>
pn=^x"dg(x)	(п = 0, 1, 2, ...).
468 СЛУЧАЯ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА [гл? VIII
Для любого полинома Р (х)
4-со
JP(x)^(x)=®[P(x)J,
— 00
и соотношение (250) показывает, что
R (ж) «>п (х) dg (х) =; О,
—00	'
каков бы ни был полином R (х) степени ниже п.
Теорема доказана*).
*) По поводу настоящего' и предыдущего параграфов см.
Я. Л. Геронимус [4, 5].
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
И МЕХАНИЧЕСКИЕ
КВАДРАТУРЫ
ГЛАВА!.
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ.
§ 1. Постановка вопроса.
На предыдущих страницах мы познакомились
с многочисленными и разнообразными способами по-
строения алгебраических и тригонометрических полино-
мов, дающих приближённое выражение заданной непре-
рывной функции /(х). Это были цолиномы Бернштейна,
частные суммы ортогональных разложений функции
/(ж), суммы Фурье, Фейера, Валле-Пуссена и т. п.
В этой последней, части книги мы остановимся ещё на
одном методе получения приближающих полиномов:
методе интерполирования. Суть дела здесь заключается
в построении такого полинома Р (х), который в заранее
заданных точках («узлах интерполирования») совпадал
бы с функцией f(x). Если речь идёт об обыкновенном
алгебраическом полиноме, то с геометрической точки
зрения вопрос приводится к построению некоторой
параболы надлежащей степени, проходящей через точки
/(#())> где Х(—узлы интерполирования. По этой
причине процесс построения упомянутого полинома
называется параболическим интерполированием. В этой
главе мы займёмся, главным образом, формальной
стороной дела. В дальнейших главах мы изучим пове-
дение интерполяционного полинома Р (х) при безгранич-
ном увеличении числа узлов. Если не налагать на
функцию / (х) никаких ограничений, то её значения
в узлах (а только они определяют полином Р (х)) не
будут ни в какой степени связаны со значейиями функ-
ции в других точках. Поэтому увеличение числа узлов
492	РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ [гл. I
вовсе не повлечёт за собой приближения полинома Р (х)
к функции / (х) в точках, отличных от узлов интерполиро-
вания. Для того чтобы этого избежать, мы, как и в первой
части книги, ограничимся рассмотрением функций непре-
рывных, хотя многое из сказанного ниже можно было
бы перенести на более широкий класс функций, инте-
грируемых по Риману*).
В связи с этим нас, главным образом, будет интере-
совать вопрос о равномерном приближении интерполи-
рующего полинома Р(х) к интерполируемой функции
/ (х). Кроме того, мы остановимся и на проблеме сред-
него квадратичного приближения Р(х) к /(х).
Как мы увидим ниже, одной непрерывности функ-
ции /(х) недостаточно для того, чтобы интерполяцион-
ный полином приближался к ней с возрастанием числа
узлов. В следующей главе будет приведён ряд резуль-
татов отрицательного характера, иллюстрирующих это
утверждение. Однако, если на функцию / (х) наложены
дополнительные ограничения, то при удачном выборе
закона расширения множества узлов можно получить
уже и положительные результаты.
Примерно та же проблематика возникает и при
интерполировании не алгебраическими, а тригонометри-
ческими полиномами. Этот вид интерполяции совер-
шенно естественен, если интерполируемая функция
2к-периодична.
§ 2. Формула Лагранжа.
Рассмотрим следующую задачу: даны две группы из
п вещественных чисел:
• • •> (1)
У1, Уг, Уг> • • • > Уп,	(2)
причём все числа (1) различны между собой (о числах
(2) мы этого не предполагаем). Требуется построить
*) Как известно, множество точек разрыва таких функций
не может быть очень «обширным»: оно всегда имеет меру нуль.
§ 2]	ФОРМУЛА. ЛАГРАНЖА	493
полином L(x) по возможности наинизшей степени так,
чтобы оказалось »
, £• (*fy) e yi (i2, ..., я). (3)
Для решения этой задачи достаточно заметить, что
полином
7 (v\ =	~ Ж1)" ’(х ~	(.х~~3'к+1)’ • .(Д *~ Дп)	гл\
> (хк — х1)...(хк-хк_1)(хк-х^1)...(хк-хп)	' 7
таков, что	'.
iw-i ? np”i*f'
и 11 при I — к.
Поэтому полином
п
L\x)=^yklk(z)	(5)
к~
удовлетворяет требованиям (3).- Степень этого полинома
не выше п — 1. С другой стороны, никакого другого
полинома М (а;) степени не выше п — 1, удовлетворя-
ющего условиям (3), существовать не может, ибо иначе
разность Цх) —М (х) была бы не тождественным нулю
полиномом степени не выше и —1, имеющим п корней
(1), что невозможно. Таким образом полином L (г)
и является единственным решением поставленной зада-
чи. Формула (5), дающая его представление через
х{ и уь называется интерполяционной формулой
Лагранжа.
Полиному 1к (х) (который называется фундаменталь-
ным полиномом) можно дать более компактное выраже-
ние. Именно, если мы положим
<о(ж) = (т:— xt)(x—xj...(x—хп),	(6)
то окажется
(aj-ajJ... (х-х^) (х-хк„)... (х-хп) =	,
(®л~а!1)...(хк ajjj-j) (хк xktl).. .{хк хп) =
494	РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ [гл. i
и потому .
1к (®) =	----ч •	(7)
к ' & (я*) (к - Хк)	v '
Если Р (ж) есть некоторый полином степени не
выше п—1, а хи х2, ..., хп—различные значения аргу-
мента, то справедливо тождество
п
Р(х)=%Р(хк)1к(х),	(8)
ибо обе его части суть полиномы степени ниже п, со-
впадающие в п точках xt. В частности,
п
(9)
А = 1
, Если же / (ж) есть произвольная функция, заданная
в некотором .сегменте [а, 6], и узлы xt взяты из этого
сегмента, то полином
п
L(x)= %f(xk)lk(x)	(10)
А=1
есть единственный полином степени не выше п — 1,
который совпадает с /(ж) в узлах xt. Разумеется, что
при х ф xt совпадения L (х) и / (х) может и не быть.
Полином (10) называется интерполяционным полиномом
Лагранжа для функции /(ж). Чтобы подчеркнуть его
зависимость от этой функции, мы будем иногда обо-
значать его через L [/; ж]. Формула (8) означает, что
£[Р;ж] = Р(ж),	(11)
если Р (ж) — полином степени ниже п.
Пусть /(ж) функция, заданная на [а, 6] и'имеющая
там конечную производную порядка п. Тогда можно
найти удобное выражение для разности / (ж) — L (ж)
при ж, не совпадающем ни с одним из узлов жг. Действи-
§ 2 j	формула Лагранжа .	495
тельно, положим*) для такого х (считая его закреплён-
ным в сегменте [а, 6])
К я= /(*)-£(*)	(12)
со (ж)	9	' '
и пусть
? (z) = / (z) — L (z) — Кш (z).
Это функция, заданная на [а, 6] и имеющая там
конечную производную порядка п, причём
?<П)(2)=/<П)(2)-^п!, 	(13)
ибо L (z) есть полином степени ниже п, а «<п> (z) — nl
Очевидно, что
? (®i) = ? (•»,) = •••=? (хп) = 0.
Кроме того, в силу (12),
<р(®) = 0.
Значит, в и интервалах между и-J-l точками х, х1(
х2) ...,хп имеется п корней производной <р' (z), причём
все они оказываются различными между собой (теорема
Ролля).
Вторичное применение теоремы Ролля показывает,
что в п — 1 интервалах между и корнями <j>' (z) имеется
п — 1 (различных !) корней второй производной cp"(z).
Продолжая это рассуждение, мы убедимся, что между
наименьшим и наибольшим из чисел х, xit ..., хп обя-
зательно имеется корень n-й производной <p<n> (z). Обо-
значая его через 5, получаем из (13)
л!
и тогда формула (12) приводит к интерполяционной
формуле Лагранжа с остаточным членом:
f(x) = L(x)+^a(x).	(14)
Важно заметить, что а < $ < Ь.
♦) Так как x^xi (1 = 1, 2, .. п), то w(®)#=0.
496
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ
[гл. I
Из формулы (14) вытекает следующая простая
Теорема. Если / (х) есть целая функция, заданная
на [а, &], то при любом законе введения узлов, лишь
бы число их неограниченно возрастало и они не выходили
из [а, &], равномерно на [а, &]
lim £(«) = / (aj).
В самом деле, при ж£[а, &] будет | о> (х) | <(5 —а)п.
С другой стороны, если положить
Мп — max | /(n) (aj)|,
то из (14) вытекает
\f(x)—L(x)\<^(b—a)n.
Но в § 1 главы IX первой части мы доказали, что
г П/^п л
hm -----= 0.
П-»со п
Отсюда
lim
n-wo
и, тем более,
lim Г en (Ь - а)п 1 = 0.	(15)
n-кю L п	-I
Так как
*~е(Ь--а)1 =0
то из (15) следует, что
Теорема доказана.
§ 3. Другой вид формулы Лагранжа. Формула Ньютона.
Представим себе, что нам известны значения
/(«i), ..., / (хп) некоторой функции в узлах xlt xs, ..., х„
и мы хотим найти её значение в точках, отличных, от
§ з] ДРУГОЙ ВИД ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА. ФОРМУЛА-НЬЮТОНА 497
узлов. Как мы знаем, в случае достаточно хороших
структурных свойств функции её интерполяционный
полином Лагранжа Цх) хорошо представляет её, если
только число узлов достаточно велико. Поэтому есте-
ственно и принять значение L (х) за неизвестное нам
значение / (ж).
Пусть, например, /(ж) есть давление пара в котле
при температуре х. Произведя измерения этого давле-
ния при температурах хи х2, ..., хп и составив интер-
поляционный полином., мы получим формулу, позволяю-
щую вычислять давление и при ненаблюдённой темпера-
туре *). Однако на этом примере видно Неудобство
записи интерполяционного полинома в форме (10).
В самом деле, если мы произведём ещё одно измерение
давления при температуре хп+1, то в сумме (10) изме-
нятся все слагаемые и всё вычисление придётся произ-
водить заново. Поэтому возникает идущая ещё от
Ньютона идея Записывать, полином L (х) не в форме (10),
а в форме
L (х) = Ао + At (х — xj + А2 (х — xj (х — х„) + ...
... + Лп_! (х - xj ... (х — жп+1). (16)
Полагая здесь последовательно ж=ж2, ж = ж2, ...,х = хп
и учитывая, что L (xt) = уи мы найдём все коэффициенты
Ао, Alf ..., Ап_г. Непосредственно ясно, что Ак-1 зави-
сит только от жп ж2, ..., хк и уг, уг, ..., ук, но не от xt
и yt при i > к. Поэтому добавление нового узла потре-
бует лишь введения в (16) одного нового слагаемого
с сохранением всех старых.
Выведем формулу для вычисления А^. Так как
полином
Lk (х) = Ао + Ах (х — ж,) + ... +Aft_i (ж — Xi).. .(ж — хк^)
при значениях ж = жъ ж2, ..., хк принимает значения
Ун у2, ...,ук, то его можно записать в лагранжевой
*) Я намеренно схематизирую ситуацию. В действительности
непосредственное использование интерполяционного полинома
Для получения «эмпирической формулы» применяется редко.
32 Конструктивная теория функций
498	-РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ	[гл-I
форме (5)
*
Lk (®) = 2	Уи
i-1 *
где
(®) = (ж - жх) (ж - ж2) ... (ж - ж*).
Значит/ его старший коэффициент есть
л
Лк-1=2<^)*	(17)
1-1 к
Остаётся заметить, что
®* &) = (ж< — ®1) • • • (xi ~ я<-1)	— ®i*i) •. •	— Хк). (18)
Например,
_д _______Vi___________।__V*_____ I ______У»____#
*	(*1 - sa) (®2 - xt)	(х3 - xt) (х2 - хл) ~ (а:в - xt) (х8 - х2) '
Остановимся подробнее на важном частном случае,
когда узлы образуют арифметическую прогрессию.
С этой целью определим понятие разности. Пусть
У»> Уч Уг> Уч •••	(А9)
есть некоторый конечный или бесконечный ряд чисел.
Положим •)
ДУ* =	— Ук>
^Ук^бУн^-^Ук,
лГ^Ук^ьпУк+1~ ьпУк
Нетрудно видеть, что
&*Ук Ук^ — 2Ук,1 + Ук>
Д*Ук = Ук^~ Зук*г + 3yfc+i — ук
*) Собственно, исходя из переменной у, мы составляем
новые переменные Ду, Д3у, ... Поэтому естественнее были бы
обозначения (Ду)*, (Дау)*,
§ з] ДРУГОЙ ВИД ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА. ФОРМУЛА НЬЮТОНА 499
и вообще
п
ДпУа = 2 ( 1)п“г^*г>
г=0
(20)
что легко подтвердить методом полной индукции. Вели-
чины £ук, д?Ук> • • • называются разностями 1-го, 2-го, ...
порядков ряда (19).
Заметив это, вернёмся к формуле (16), предполагая,
что узлы xt суть
= xt = a + h, xa=:a + 2h, .... хп « а + (п — 1)Л,
где Л—-число, отличное от нуля.
В атом случае будет
Xi — хг = (i — г) Л,
и потому из (18) следует
(xt) — (— 1)*~ГЛ*-1 (г — 1)1 (к — £)!
Подставляя это в (17), находим
или
k-i
Сопоставляя этот результат с (20), находим оконча-
тельно
.	Дк-1г/1
и формула (16) принимает вид
Ь W "У* + Т Т + --------------2!----- + • ’ •
.1	a)(x-a-h) ... [а — а — (п — 2) Л]
• • • Т йп-!	:	(п _ П1	•
(п -1) 1
32*
500	РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ [гл. 1
Формула (21) называется интерполяционной формулой
Ньютона.
В том случае, когда
Ук = /[о + (А-1)М»
применяется обозначение
Д”Уа = Дп/[«+(* —1)^].
При таком обозначении формула Ньютона принимает вид*)
п-1 .
[j. j 2	(ж ~ а) (g а — й)... [д — a—(R—1)й) (22)
к=0 Л
Если, в частности, Р (я) есть полином степени ниже
и, то при любых а и Л справедливо тождество
n-i t
2Д*Р (а) (х — а) (ж— а — h) ... [х — а — (к — 1) Л] /оо\
^к	Л!	•
к-0
Пример. Пусть
»
Р (ж) =	, a==Q h=ii
В этом случае
Р(а) = 1, Р(а + Л)=1,
Р(а + 2h) = ... = Р [а + (п - 1)/г] = О,
и потому	»
к
tfPfa)^ 1)^Р(а + гЛ)х=(- 1)*^-
г-0
Стало быть,
п-1
(п — х)(п — 1 — ж)...(2 — х)	п — к х (х — 1)...(х — к+ 1)
k=0
♦) При этом Д®у* = Ук, Д°/(а) = /(а).
„ г1 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ С КРАТНЫМИ УЗЛАМИ 501
§
Полагая, в частности, x = n + m, получаем полезное
тождество:	-
п-1
(24)
к=0
В дальнейшем это тождество придётся использовать
в несколько иной форме.
Именно, заменив в (24) индекс к на п — i и поме-
няв ролями п и т, находим
т
3(-i)»-^c;a=(-i)"-<=±i=f.	(25)
1=0
§ 4. Интерполирование с кратными узлами.
В предыдущих параграфах интерполяционный полином
строился по его собственным значениям в узлах. Теперь
мы поставим более общую задачу: даны узлы (1) и числа
. УкУт, •	У?1-10,
У„ у'г,	У?2~»,
Уп, Уп, • • •> ^-1)-
Требуется построить полином Я (aj) наинизшей степе-
ни, удовлетворяющий условиям
Я(г>(х4) = у<?	(26)
(г=1, 2, .. .,п; г = 0,1, ..., аг— 1).
Такой вид интерполирования изучал Эрмит [2].
Легко видеть, что поставленная задача имеет реше-
ние и притом единственное. В самом деле, положим
Л(х) = ^О+ЛР(х-х/)+ ... +47_1(а:-^-‘,
и пусть
H(x)=P1(x) + (x-x1^Pt(x) + ...
.;. + (х — Ххр (х~ хг)а*... (х - xn^)a»-i Рп (х). (27)
502	РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ [гл. I
Так как H(x) — Pt(x) имеет точку ®х корнем крат-
ности ах, то, дифференцируя (27) последовательно ах — 1
раз и полагая в (27^ и в полученных равенствах х = хи
мы найдём все коэффициенты полинома Pi(x). После
этого, опираясь на равенство
Н (х) — Рi (х)
= Р2(х)+ ... + (ж - х2)°* ... (х - хп^)ап~* 1 II. III. Рп (х),
мы тем же способом найдём коэффициенты полинома
Р2 (х) и т. д. В результате все коэффициенты Н (х) бу-
дут определены. Ясно, что степень Н (х) будет не выше
т — 1, где т = ях4- а24- ... 4-an. С другой стороны,
никакой другой полином М (х) степени не выше т — 1
не может удовлетворять всем условиям (26), ибо иначе
разность Н (х) — М (х) имела бы т корней (с учётом
их кратности).
Можно было бы найти формулы, выражающие коэф-
фициенты полинома Н (х) через условия задачи, но мы,
не рассматривая этого вопроса в общем виде, ограни-
чимся тремя частными случаями.
I. Если а1 = аг= ... =ап = 1, то рассматриваемая
задача приводится к построению лангражева интерпо-
ляционного полинома.
II. Если п — 1, т. е. имеется лишь один узел, то
решением задачи служит полином Тэйлора
— у, + || (х - жх) 4- ... 4- (ж - жх)“1-‘.
\а1
III. Если ах = а2 = ... = ап = 2, то решение задачи
даётся формулой
п
н № - 3 ук [ 1 -	(* - **) ] п (*)+
п
+ ^Ук(я;~ хк)11(х),	(28)
k-i
§ 4] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ С КРАТНЫМИ УЗЛАМИ 503
где, как и выше,
© (ж) = (х - ж,) (ж - ж,)... (х—хп), 1к (ж) ==	.
Для доказательства формулы (28) прежде всего
заметим, что степень полинома Н (ж) не выше 2п—1.
С другой стороны, легко проверить, что
H(xt) = yt, Н'(xt) =y't	(29)
(i = 1, 2, ..., n).
Действительно,
r tx\ _ ”>'(*) (x-xk)-<t> (x)
7	<»' (xk) (x - Xfc)»
Значит, по правилу Лопиталя
l’k (xk) = lim lk (ж) =
,ас-ке*
 _	<><' (x) (x - xk) + <s>’ (x) - a>' (x) _ <s>" (xk)
 x-*xk	2<л'(Zkltx — Xk)	2<л'(хк)’
Поэтому полином qk (ж) = lk (ж) удовлетворяет усло-
виям
. . JO (i*k),	.	(°	(***)»
Отсюда ясно, что полиномы
(*)i - 2 Ук [ 1 - - хк} “££4] Як (*),
Л-1	4 ю *
п
в (Я) = 3 Ук (х — хк) qk (ж)
k-i
таковы, что
Л (жг)«- yi, А' (х^ = О,
В (жг) = О, В' (ж,) =< yi,
а это равносильно условиям (29).
504	РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ [гл. I
В дальнейшем мы будем записывать формулу (28)
в форме
п	п
н (х) = 2 укАк (ж) + 2 УкВк (х),	(30)
fc=i	/(=1
где положено
— [1 ш> (1*) (х ~ хк) ] ЭД (ж)> | (32)
Bk(x) = (x~xk)l%(x).	j
Возвращаясь к общему случаю, допустим, что на
некотором сегменте [а, 6] дана функция /(«), имеющая
конечную производную порядка т=а1 + а2 + ... +ап,
где а*>1.
Пусть ajn х2, ..., хп — узлы, лежащие в [а, 6], и
у\Г> = ^Г)(х()
(г =: 1,2, ,.., п; г = 0,1, ..., а,- — 1).
Построим эрмитов интерполяционный' полином Н (х)
по условиям (26) и изучим разность
/(г)-Я(я)
при закреплённом х, взятом из [а, 6] и отличном от
узлов xt.
Полагая	•
2 (z) = (z — ®!)“i (z — ж2)а2 ... (z — жп)“",
введём функцию
T(z) = /(z)-#(z)-№ (г),
где
V  / (ж) ~ Ч*(ж)	/оо\
л------a(S) •	W
Легко видеть, что
?<'>(*,) = 0
(г = 1, 2, ...» и; г = 0, 1, ...; с.-х),
ибо xt есть корень 2 (г) кратности аг. Кроме того, из (32)
следует, что
<р (ж) = 0.
§ 5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ 505
Значит (с учётом их кратности), функция ср (г) имеет
на [а, 6] не меньше т + 1 корней.
На основании теоремы Ролля можно утверждать, что
у <р' (z) имеется и, у ср" (z) имеется (т — 1) и т. д. корней.
В частности, у cp<m> (z) имеется корень 5. Но
ср('«) (z) = /<m)(z) — Кт\
Отсюда
у _ /(т)(О
т\
И	'
/(Ж) = я(а:) + /^Й(Ж)
(а < S < Ь).
Это—интерполяционная формула Эрмита с оста-
точным членом. Как и выше, из неё вытекает, что для
целой функции интерполяционный полином Эрмита бу-
дет равномерно стремиться к этой функции при любом
способе введения узлов, лишь бы число их неограни-
ченно возрастало.
§ б. Тригонометрическое интерполирование.
Пусть в полуоткрытом промежутке [0, 2к) заданы
2п+1 точки
xo> xi’	• • • > Х2П-
(33)
Легко построить тригонометрический полином &(х)
наинизшего порядка, который в узлах (33) принимает
заранее заданные значения у„, ylt ...,у2П.
В самом деле, так как
. x — a . x — b 1 Г b — a f a + b
Sin-y- SIH—y- = у I COS —£ COS (x j-
есть тригонометрический полином первого порядка, то
М®) =
2
2
. . X — X.	. X — XL. . X — Xit.1 . Х—Х,-
sin -y-•  • sin —sm--------------. sin-------------
2
sin... sinXk~Xk^ sin*fc~f»** ... sinXk~-X™
(34)
2
2
2
2
506	РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ [гл. I
(важно, что число сомножителей числителя чётное) есть
тригонометрический полином порядка п.
Легко видеть, что
f 0 при i =£ к,
1 при i = к.
Но тогда полином
2п
Г(х)=2 yktk(x)	(35)
к=0
очевидным образом удовлетворяет условиям
FfoHi '	(36)
(i—0,1, ..., 2п).
Порядок Т(х)~не выше п. Других же полиномов
М(х) порядка не выше п, удовлетворяющих этим усло-к
виям, быть не может, ибо иначе разность Т (х)—М(х)
была бы не тождественным нулю тригонометрическим
полиномом порядка не выше п, имеющим 2п +1 кор-
ней (33), что невозможно.
Совершенно аналогично, задав в [0, л] п+1 узел
• • •»	(37)
и положив
. .  (cos Ж — COS а?о)   . (COS X - СОЗ ЖЬ-1)
* ' ' (cos Хк - COS Ха)... (cos хк—cos хк_г) А
(cos X - COS Xktl)   , (cos X —COS я;п)
(COS Xk — COS ®fc+1)...(COS Xk — cos xn) ’
n
с(®)=2
мы получим чётный тригонометрический полином по-
рядка не выше п, для которого
С^) = У1	(38)
(i 0, 1,	п).
Других чётных полиномов порядка не выше п с
тем же свойством быть не может. Действительно, если
бы М(х) был таким полиномом, то разность С(х)~М(х)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ 507
обращалась бы в нуль не только в точках (37), но и
в точках — Если считать х0 < хх < ... < хп, то даже
в случае, когда г, = 0и хп=л, у разности С (х)—М(х)
оказалось бы 2п-Ь1 неэквивалентных корней, ибох0=0
был бы корнем двойным.
Наконец, задав в интервале (0, я) п узлов xt, ..хл
и положив
(COS Ж — COS Ж,).  .(cos X — COS gfc-1) х
— (cos	— COS жг).. .(cos X/t — созж^) A
 (cosx —cosa^^,)... (cosa: —cosжп) sins
L * (cos®^—cosx/t+l).. .(cossfc—cosan)sin’
n
S(®)= 2
k—i
мы получаем нечётный полином порядка не выше п,
для которого
 S.(Xi) = yt	(i = l, 2, ..п).
И здесь легко устанавливается его единственность.
Различие в числе узлов, которые приходится зада-
вать в каждом из этих случаев, легко объясняется тем,
что для полного определения полинома надо знать все
его коэффициенты, а так как
Т (х) = А + 2 (ак cos кх + bk sin кх),
к-1
п	п
С(х)=4+2 ак cos кх, S (х)= 2 bk sin кх,
к-l	к-1
то этих коэффициентов имеется 2п+1 у Т(х), п+1 у
С (х) и п у 5 (х). Условие (36) равносильно линейному
уравнению
п
А + 2 (я* cos kxt + Ьк sin kx^=yt	(39)
A-i
относительно коэффициентов А, ак, Ьк. Число узлов
как раз и оказывается равным числу линейных уравне-
ний, потребных для нахождения всех коэффициентов.
508	РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ [гл. I
Заметим, между прочим, что из факта однозначной
разрешимости системы уравнений типа (39) вытекает,
что определитель
1 со8Ж0 sina:0 cos 2аз0 ... sin пхл
1 cos sin хг cos 2xt ... sin nxt
1 cosa:2n sina:2n cos 2xin... sin nx2n
отличен от нуля при условии, что 0<а:о <	< ... <
< х2П < 2т. Аналогичным образом отличны от нуля и
определители
1 cosх„ cos2z0 ... cosnzo
1 cos xt cos 2x^ .. • cos nxt
1 cos xn cos 2xn ... cos nxn
sin x± sin 2x2 ... sin nxL
sin x2 sin 2x2 .. • sin nx2
sin xn sin 2xn ... sin nxn
при условии 0 < x„ < Xi < ... < xn < я для первого и
0 < Xi < х2 < ... < хп < л для второго из них. В неод-
нократно цитированной монографии В. Л. Гончарова
читатель найдёт и точные значения всех этих опреде-
лителей*).
Особый интерес представляет случай равноотстоящих
узлов
®* = 2Т+Т	(40)
(А = 0, 1,2, ...,2п).
Для этого случая можно сразу написать фундамен-
тальный полином
. 2га+ 1 .
1 sin—(z-Sfc)
^(•®) 2га 4-1	. х — хъ
sm-^-A
Действительно, соотношения
0
1
M*t)=
(1 эь к),
(i = к)
•) В. Л. Гончаров [1], стр. 43.
§ 5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ 509
совершенно очевидны, а тот факт, что tk(x) есть поли-
ном порядка п, вытекает из формулы*)
0111	2 -	1
-----;—-— = у + cos а + . • • + cos па. (41)
2 sin
Таким образом интерполяционный полином для уз-
лов (40) имеет вид
-	2"	sin2”-- (х - хк)
1W = dn-2	’	(42)
fc=o	sm.—
напоминающий интеграл Дирихле. Следует отметить,
что между поведением полинома Т(х) и поведением
частных сумм Фурье имеется далеко идущая аналогия.
Найдём значения коэффициентов А, ат, Ьт, входящих
в выражение полинома .(42), если его записать в «кано-
нической форме»:
п
Т (х)=Л4-2 (ат cos + sin тх). (43)
т=1
С этой целью подставим в (42) выражения для tk (х),
получающиеся из (41):
2п	п
®’(а:)=2Гп2 Ук [1 + 2S coszn(x—a;fc)] .
fc=0	m«l
Отсюда
2n
= 2^71(2 Ук) +
k=0
n 2n
2zt4-1 S [(S yk cos mxk^ cos mx +
m=l fc=0
2n
+ (2	sinznxj (44)
__________ i=n
*) Часть первая, формула (175).
510	РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЙ [Гл. 1
и, стало быть,
2п
А— 27+1 2 У*’
*-0
2 2п	2п
ат " 27+1 2 Ук Со8 тХк' = 27+1 2 Ук sin тхк-
*-0	fc-0
Если у0, уг, ..yin суть значения некоторой функ-
ции /(х) в узлах (40), то полученные значения коэф-
фициентов А, ат, Ьт оказываются не чем иным, как
суммами Римана для коэффициентов Фурье
2«
2^ f^dx>
о
2«	2-л
1	С	1С
к	\ f(x) cos тх dx, ~ \ f (я) sin тх dx. (45)
о	о
Если п велико, то коэффициенты А, ат, Ьт близки
к интегралам (45), а полином Т (х) близок к сумме
Фурье Sn(x) функции f(x). Конечно, это —лишь наво-
дящее соображение, а не точная теорема.
ГЛАВА И.
РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА.
§ 1. Теоремы С. Н. Бернштейна и Г. Фабера.
Поставим следующую проблему. На сегменте [а, 6]
выбираются узлы, образующие бесконечную треуголь-
ную матрицу
Х<2>, Х<2),
х<3), х&>,
х^,	.. •,
........................•	J
(46)
Далее, для определённой функции / (х), заданной на
[а, 6], строится последовательность интерполяционных
полиномов Лагранжа Ln(x), причём для построения
Ln(x) используются узлы n-й строки матрицы (46).
Иначе говоря,
^П(4И,) = /(4П)) (Л=1, 2, ...,п).
Спрашивается, будет ли иметь место стремление
Ln(x) к f(x) во всех точках сегмента [а, 6].
Мы уже знаем, что это будет так (и притом равно-
мерно), если функция f (х) целая. Желательно освобо-
диться от этого тяжелого условия на функцию. Оказы-
вается, что для всякой матрицы (46) существует свой
класс функций, для которых имеет место равномерная
сходимость интерполяционного процесса, порождённого
512 РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [гл. И
матрицей*). Однако этот класс всегда существенно уже
класса С ([а, 5]) всех непрерывных функций, заданных
на [а, 6]. Иначе говоря, универсальной для всех непре-
рывных функций матрица (46) быть не может. Дока-
зательство этого факта составляет содержание теоремы
Фабера, которой в основном посвящён этот параграф. •
При исследовании проблем сходимости полиномов
£п(ж) к функции /(ж) существенную роль играет вели-
чина
(47)
M*)=-SiW)b
где («)—фундаментальные полиномы и-й строки ма-
трицы (46), т. е.
Функция (ж) аналогична функции Лебега, которую
мы рассматривали
Если положить
в теории ортогональных полиномов.
кп = шах \п (х)	(а^х^Ь),
(48)
то имеет место
Теорема!
всякой матрицы (46) справедливо неравенство
 In п
(С. Н. Бернштейн—Г. Фабер).
Для
(49)
Доказательство **) этой важной теоремы основано на
следующих двух леммах.
Лемма 1. Каковы бы ни были п точек С2, . ..,0П
(0<9fc<n), существует чётный тригонометрический
полином Т (6) порядка не выше п—1, для которого
. |7?(9/)1<8/л (г = 1, 2, ..., п) (50)
♦) Этот класс всегда не пуст, ибо содержит все целые функ-
ции (и, совершенно тривиальным образом, все полиномы).
**) С. Н. Бернштейн [6], Фабер [1]. Ниже приводимое доказа-
тельство принадлежит Фейеру [3].
§ q ТЕОРЕМЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА И Г. ФАБЕРА 518
и который в некоторой точке а€[0, я] удовлетворяет
неравенству
(F(a)>lnn.	(51)
В самом деле, пусть ск (6)—чётные тригонометриче-
ские полиномы порядка не выше и—1, для которых
{О при i Фк,
1 при I = к.
Пусть, далее,
. ... cos0 . cos 20	cos (n —1)0
^(е) = ~1 + т^2 +	----i— ’
D/o. cos (n +1) 6 cos (n + 2) 0 .	. cos’(2n—1)0
^(6)—	!	^	2	+•••+ n_i
Как мы знаем *) при всех 0
| Л(0) —5(0)|<4/^	(52)
Введём, наконец, полином
п
С7(0) == Л (20) - 2 [В(9к + 0) + В (0А-0)] сДО).
/с-1
Это—чётный тригонометрический полином. Нетрудно
видеть, что
J7(0)d0 = 45 U(9)d9 = O. (53)
О	“71
В самом деле, А (20) есть тригонометрический поли-
ном без свободного члена. Значит, этот полином на
сегменте [—я, я] ортогонален к 1. С другой стороны,
fi(0fc + в) + В(0к— 0) есть линейная комбинация членов
вида cos тв при т > п, и потому эта комбинация орто-
гональна к полиномам сД0), имеющим порядок ниже п.
Но в таком случае на сегменте [0, я] обязательно
имеется точка а, в которой
U (а) =0.
*) Часть первая, неравенство (18&).
33 Конструктивная теория функций
S14 РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [гл. it
Заметив ето, положим
Г(0)=
= [Л (04-а) +Л (0 —а)] - 2 1®(0*+ а) + В (0к~аЖ(0)-
*-о
Это—чётный тригонометрический полином порядка не
выше*)п— 1. Вместе с тем
Т (0,-) = [Л (0, + а) -В (0( + а)] + [Л (0г-а)-В (0f-a)],
так что в силу (52) выполнено (50). С другой стороны,
Г (а) = Л (0)+ #(«) = Л (0).
Иначе говоря,
г(.)=1+4+...+^> 5^-ь»
i
и выполнено (51).
Лемма 2. Каковы бы ни были -узлы х1г хп
(а^х<Ь), существует полином Р(х) степени не выше
п — 1, для которого
1Р(^)|<8/Й (г=1, 2, п) (54)
и который в некоторой точке eg [а, Ь] удовлетворяет
неравенству
Р(с)>\кп.	(55)
Эта лемма легко сводится к предыдущей. Действи-
тельно, подстановка
D	2т — (а + Ъ)
0 = arc сое —г3-' '•
Ъ — а
переводит сегмент [а, 6] в сегмент [0, тг]. Пусть при
этом точки хк переходят в точки 0к. Если Т(0)—тот
полином, существование которого установлено в лем-
ме 1, то полином
Р (х) = Т [ arc сов	]
♦) Ведь В (Ьк + а) и В (6fe — а) - постоянные числа.
g !] ТЕОРЕМЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА И Г.’ ФАБЕРА 515
удовлетворяет соотношениям (54) и (55), причём
Ъ — а , а 4-Ь
с = — CO8 а + — •
Возвращаясь  к теореме Бернштейна—Фабера, заме-
тим, что полином Р (х), о котором шла речь в лемме 2,
можно записать в форме
п
Р&)=%Р(хк)1к(х).
к-1
Отсюда
п
|Р(Ж)|<8/к 3 IWI
к-1
и, в силу (55),
п	1
•ci	Inn
2'1 ^(С)[ > 8 у- .
к-1
Здесь узлы интерполяции были произвольными точ-
ками из [а, 6]. В частности, они могут образовывать
n-ю строку матрицы (46). Теорема доказана.
Теорема 2 (Г. Фабер). Какова бы ни была мат-
рица (46), существует непрерывная*) функция f(x), для
которой интерполяционный полином Ln(x), порождён-
ный п-й строкой матрицы, не стремится равномерно к
f(x).
Докажем теорему от противного. Пусть некоторая
матрица (46) обладает тем свойством, что для всякой
функции f(x)£C([a, 6]) имеет место равномерное стре-
мление интерполяционного полинома Ln[f-, x] = Ln(x) к
функции j(x). Как и выше, полагаем
п
M®)=SlW)b Хп=таХХп(з), (56)
k—1
*) Все узлы матрицы предполагаются лежащими в закреплён-
ном сегменте [а, Ь]. Функция f(x) также определяется на этом
сегменте.
33*
516
РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХДРАКТЁРА [гл. 11
и пусть точка zn£[a, 6] такова, что
^п(гп)~^п-	(57)
Построим для каждого натурального п непрерывную
функцию <рп(ж)> полагая
<Рп(4я)) = signZ^>(zn) (к = 1, 2, ..п) (58)
и считая фп (ж) линейной между узлами х^. Чтобы функ-
ция фп(х) была задана на всём [a, J], нужно указать
ещё, какова она на сегментах*) [а, ж(п)] и [а#15, 5];
будем считать <рп (х) в этих сегментах постоянной. Впол-
не очевидно, что при всех х из [а, 6]
|фп(^)1<1.	(59)
G другой стороны,
п
Ln[?n; zn] = 2
к<=1
п
= Sl4n)(zn)l = xnCU = ><n.	(60)
k=l
Построим теперь возрастающую последовательность
натуральных чисел пх < п2 < п3 < ..., выбрав их сле-
дующим образом: число п2 подбираем из условия
ХП1 2 • 2 • 3,
что возможно, ибо, в силу теоремы 1, числа лп не-
ограниченно растут. Так как функция —— непрерывна,
то по допущению для неё процесс сходится равно-
мерно. Значит, для всех п > п'
l„ «] | < 1.
Число п2 берём так, чтобы было пг > п', п2 > ni
и, кроме того,
_______________ Ч > 2 • 3  3s.
*) Мы считаем узлы перенумерованными так, что
а<^п><ж<п><...<4п><Ь.
8 1]
ТЕОРЕМЫ С. БЕРНШТЕЙНА И Г. ФАБЕРА
517
Так как функция
Tni (д)  ?nj (д)
з 3’
1 1
непрерывна и её модуль меньше -у +	< 1, то найдёт-
ся такое п", что для п > п"
L Г121. I Упг • J < 1
Мы возьмём п3 > п", па > па и, кроме того, позабо-
тимся, чтобы было
Х„з>2.4.3<
Продолжая этот процесс, мы и получим упомянутую
последовательность номеров пт, причём
I т Г , ^п2 ।	। ^nm-l . _
J z'nni L 3	'  Э2 "•*•••"•* з»я-1 > Л
кпт > 2 (ш + 1)Зт.
С помощью, чисел пт вводим функцию
1,
(61)
(62)
Её непрерывность
tn-l
4 (ж) = 3
Jc-l
то окажется
/(^2 V1-
i-1
очевидна. Если положить
«и- 3
к=т+1
 /(х) = Л(Ж)+.ЦЭ + ^(х),
откуда
[/> ®]= Lnm [-4; х] + gjj, Lnm [<рпт; я] + Lnm [5; х].
Согласно (61) имеем
1^,«т1-4> я] | < 1.	I
(63)
518 РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [гл. Ц
С другой стороны,
|Inm[B;x]| = |3 В{х^)1^{х)\<
s	nm
< max] В (х) | 2 ЩПт>(®)|
к-1
и, значит
I [В; х] |<ХПт тах|В(®)|.
Но
|В(я)|< з^г+з^т+ ... =2^	(64)
и, стало быть,
Л
1ММ<2Л-	(65)
Так как
£пщ [/> ^т] >
з»Г ^nm %пт1 I ^ят [-^j ^ящ] I I L®> ^nml I»
то на основании (60), (63) и (65) находим
1 11
Г и-7 1 S "т 1	Пт — "W —4
I/ , Ляп11 gm	х	2 • 3м 2 • Зт х
и, в силу (62),
Lnm[f‘,znm]>m.	(66)
Таким образом
lim Lnm [/; z„m] = + со	(67)
ТП->СЛ)
и равномерного стремления Ln [/; х] к / (ж) вопреки
сделанному предположению нет*).
Теорема Фабера показывает, что для каждой матри-
цы (46) существует своя собственная функция /(ж),
для которой интерполяционный процесс не сходится
*) Метод доказательства этой теоремы применяется весьма
часто. Я предлагаю назвать его «методом скользящего горба».
§ 2j	ПРИМЕР С. Н. БЕРНШТЕЙНА	519
равномерно. Интересно выяснить, не существует ли
такой функции общей для всех матриц (46). На этот
вопрос приходится ответить отрицательно. Действи-
тельно, имеет место
Теорема 3 (И. Марцинкевич [1]). Для всякой
непрерывной функции f (х) существует такая матрица
(46), что соответствующая последовательность интер-
поляционных полиномов равномерно сходится к f(x).
В самом деле, пусть Pn-i(x) есть полином степени
не выше п— 1, имеющий наименьшее отклонение от / (ж)
по сравнению со всеми полиномами из Hn_i. Тогда
существует (п-|-1)-членный чебышевский альтернанс,
состоящий из точек < уг < ... < yniU в которых
разность PnJi (х) — / (ж) принимает значения  разных
знаков. Значит, в каждом интервале (yk, ук+1) имеется
по корню упомянутой разности. Примем эти корни
за узлы n-й строки матрицы (46). Тогда полином Рп_х (х)
и будет интерполяционным полиномом для /(ж) по
узлам д<").
Остаётся заметить, что с возрастанием п полином
Рп~1(х) равномерно стремится к }(х).
§ 2. Пример С. И. Бернштейна.
В теореме Фабера речь идёт об отсутствии равно-
мерной сходимости полиномов £„(ж) к функции /(ж).
Таким образом не исключено, что в некоторых (а может
быть, даже и во всех) точках полиномы Ln (х) стремятся
к /(ж). Нижеследующий пример иллюстрирует возмож-
ность расходимости интерполяционного процесса в от-
дельных точках.
Теорема (С. Н. Бернштейн[6]). Интерполяционный
полином Ln(x), построенный для функции | а? | по равно-
отстоящим узлам сегмента [— 1, 4-1] (так что
х1 = — 1, хп=+1), не стремится с возрастанием п
к | а? | ни в одной точке сегмента [— 1, 4-1], отличной*)
от — 1, 0 и 4-1.
*) Точки ± 1 служат узлами, и в них интерполяционный полит
ном при всех п совпадает с | х |.
520 РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [гл. Ц
Мы проведём доказательство теоремы для точки х,
где — 1 < х < 0. Случай 0 < х < 1 исследуется ана-
логично.
Для доказательства введём функцию
[0 при —
Ф \Х) ~ 1 „ „„„	п ~ 4
( х при	0 х л •
Так как | х | = 2<р (х) — х, то достаточно установить
расходимость интерполяционного процесса для функ-
ции ф(ж). С этой целью рассмотрим узлов вида
+	(Л=1,2,...,2п+1) (68)
и обозначим через £2ntl (ж) интерполяционный полином,
совпадающий в узлах (68) с функцией <? (х).
Согласно формуле Ньютона (22) имеем
2п
^an+i (*) = 3 пк	(х ~	(« — XJ  •(* — хк}- (69)
*-0
Но, в силу (20),
к
Д*Ф(-1) = 3 (_i)*-rCf£?(~l + -L).
r*=D
Если r<n, то <р —1 -|-	=0, и потому
Д*Ф(- 1) = 0	(А = 0, 1, 2,.. ,,п).
Если же г = и + г (i = 1, 2,..п), то<р	= •
Значит, при к = п + т (т = 1, 2,..п) будет
д-т?(-1)==2 (-1)m“'cX V-
t=i
или на основании (25)
ПРИМЕР С. Н. БЕРНШТЕЙНА.
521
§ 2]
Поэтому равенство (69) принимает вид
S <-*)“- Ййй та (^х
т»1
х	(70)
Покажем, что все слагаемые здесь имеют одинако-
вые знаки. Действительно, пусть
•	(71)
и	п	* '
Произведение
(а; + 1)^+^у..^+1)х
хЧ^-О-Ч*-^) (72)
содержит п + т множителей. Из них т + г множителей
(*+1)Хй)    XI) • • -О -Й*)
отрицательны, а остальные положительны. Значит, знак
произведения (72) есть (— 1)т+‘. Отсюда и следует, что
все слагаемые суммы (70) имеют один и тот же знак
и потому абсолютная величина этой суммы больше,
чем у её последнего слагаемого, т. е.
Iwof я+i-^-Y..r ж-7Чг')|
I Т мк J________S_____П '	____П ''
2(2п —1)(п|)а	П ‘
,,	I;c..._______/п-г олгп-i-i оп\
1 2n+1 Wl^2(2n-l)(n!)2 X п п )\ п nJ
\ п п у п \71 п J \ п nJ
Правая часть последнего неравенства Не увеличится,
если в первых п —4 — 1 сомножителях мы заменим 6Л
2Л +
В силу (71), имеем
Поэтому
, ,	....	п2"
522 РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [гл. I
единицей, а в последних n-J-i—l—нулём. Поэтому
I Чп+1 W I	.2 <2тг — 1)<тг!)а М1 “’’пЬ
Рассмотрим в отдельности можитель
__(тг — 4 — l)!(n + i— 1)!
*	2(2п — 1)(п|)а
Очевидно,
К'+SX*+»-^Нт) •   (?+й>
Из последних i — 1 скобок наименьшей является по-
следняя. Значит,
1 Г. , < + 1 М-»
°л> 4п»(.1+п-2У *
Но, в силу (71),
1+1	л	о
-Е- > — аг, г — 1 > — пх — 2.
п — 2	'
Стало быть,
<^>-4^(1-я)-4’*'*.	(73)
Отсюда видно, что
lim ап — 4- оо.	(74)
П-+ОО
До сих пор п было произвольным натуральным чис-
лом. Теперь мы специализируем его выбор. С этой
целью закрепим число q, подчинив его условию
п .	.1+х
0<?<-2~.
Тогда при любом натуральном г длина интервала
) брлыпе единицы, и в нём обязательно
имеется хоть одно натуральное число п
— X

§ 2]	ПРИМЕР С. Н. БЕРНШТЕЙНА	523
При таком п (его можно считать сколь угодно боль-
шим за счёт выбора г) будет
<— х<t+1 — -£
п • п	п п'
Значит, для такого п будет
вп>?> 1—0п>?»
и потому
I £«ntl (х) 1> ? ®п>
откуда в связи с (74) и следует теорема.
Добавление. В точке х=0 интерполяционный
полином, о котором шла речь в теореме, стремится
к функции | х |.
В самом деле, если число узлов нечётное, то точка
х = 0 является одним из этих узлов и говорить не
о чем. Пусть же число узлов чётное и равно 2п:
=	(Л = 1,2,.,., 2и).
Запишем интерполяционный полином по этим узлам
в форме Лагранжа
(®) =
2п
= V I Ж I ~ ж1) '' • ~ xk-i) (« ~	•••(«- «ап)
, . к I	_ Ж1) ... (Zfc _ (a.ft _ Хк j ...(хк~ xtn) '
k—1
Тогда
|1,п(0)|<
2п
1	‘ * xin I
, | хк ~ xi | • • • | хк ~ xk-i I |жк	жк+1 | • • • I хк ~ хзп I
А— 1
Замечая, что
находим
2п
I ^»п (0) I < I xixt • • • х»п I 2 ~2,п_1(/с-1)?(2л-Ь). ’
к-1
524 РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [гл. I
С другой стороны,
\хх х I -
Отсюда
2п
I т (0) I <<:	~ V____________!____________
I ъап I зап-! (2n _ jx ZJ (* _ 1)1 (2га - к)\ ’
к=1
или, что то же самое,
2п
1 Г /О'! I С [(2га-I)!!]2 у, кСк
l4n(U)|< 22П-1 (2га)1 (2га — 1)	К^2п-
k^i
Но по формуле Стирлинга*)
— ]/ 2пп ппе~п (1 + шп) (lim шп ~ 0)
имеем
К2га -1)ПР _ (2га)1	_ (2га)1	__ 1+Лп
(2га)1	~ [(2га)!Ц2 “ 22"(га!)2 ~	(ишлп-и).
С другой стороны, дифференцируя тождество
2п
2 Скпяк = (Д + х)гп
к=0
и полагая х = 1, находим
2П
2 кСк2п= п2’".
*=1
Значит,
!^<о)|с2-^т. («)
и, стало быть, Z.2n(0) стремится к нулю.
Замечание. В работе самого С. Н. Бернштейна
случай х = 0 не рассматривался. На сходимость про-
цесса для этого случая впервые указал в 1939 году
*) Эта формула доказывается в «Добавлении 1» в конце
кдиги,
§ 3j	ПРИМЕР и. Марцинкевича	535
Д. Л. Берман в студенческой курсовой работе. Как
было указано С. М. Лозинским,.справедлива оценка
более точная, чем (75). Оценка G. М. Лозинского еле-
дует из равенства
L (0) ==Г
но мы не будем останавливаться на его доказательстве.
§ 3. Пример И. Марцинкевича.
Как мы знаем, причины расходимости интерполя-
ционных процессов лежат в неограниченности функции
Неравенство (73) показывает, что для равноот-
стоящих узлов имеет место оценка
2
|^П + 1(®)|>йз-(1-^)-П^2	(®<0),
причём п здесь может принимать хотя и не все подряд,
но всё же сколь угодно большие натуральные значения.
Если заметить, что функция (х), для которой строился
полином £2П+1(я:), по модулю не больше единицы, то
станет ясно, что при всех п
I ^2П+1 (*S) I ^2п + 1 (Ж) •
Поэтому функция Хп (я), построенная для равноотсто-
ящих узлов, растёт быстрее общего члена геометри-
ческой прогрессии*). Именно этот чрезвычайно быстрый
рост кп (ж) и обусловливает расходимость интерполя-
ционного процесса даже для такой «хорошей» функций,
как |ж|. Естественно поставить вопрос о возможности
построения таких непрерывных функций, для которых
всюду расходятся интерполяционные процессы, соот-
ветствующие более медленному росту Хп(ж). Из тео-
ремы Бернштейна—Фабера следует, что медленнее,
*) По крайней мере для бесконечного множества значений п.
526
РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [гл. И
чем In п, функция Хп (ж) расти не может. С другой
стороны, ниже устанавливается, что для чебышевских
узлов
cos « (к = 1, 2, ..п) (76)
функция Х„ (ж) растёт и не быстрее, чем In п. G этой
точки зрения узлы (76) оказываются наилучшими.
И всё же, как будет показ!ано, существуют непрерыв-
ные функции, для которых интерполяционный процесс
по узлам (76) оказывается всюду расходящимся.
Такие непрерывные функции были независимо друг
от друга и одновременно построены И. Марцинкеви-
чем [2] и Г. Грюнвальдом [1]. Я излагаю с несуществен-
ными изменениями конструкцию Марцинкевича. Пример
Грюнвальда читатель может найти в книге Я. С. Бези-
ковича *).
Лемма 1. Отнесём каждому натуральному числу п
две группы чисел
D^\ f 1	3	2» + 1 I
[» + Г h + I’**"’ п+1 J'
Тогда А(п)В(п) = 0. Кроме того, каково бы ни было
конечное множество S рациональных чисел из интер-
вала (0,2), найдутся сколь угодно большие значения п,
при которых A(n)S = Q, а пересечение В (п) S или
пусто, или содержит только число 1.
Первое -утверждение леммы очевидно**). Далее,
пусть 5 состоит из несократимых дробей^-(г=1, 2, ..., s).
Положим
n = 2mq1qi ... qs,
24—1. От-
♦) Я. С. Безикович [1], стр. 168— 180.
♦*) Если —= 2-» то ( 1 + -^-') С2*-0 =
'	п n-f-1	n J
2ft — 1	24 — 1
сюда —-—’число целое и п нечётно, но тогда не может
быть целым.
§ 3]
Пример и. Марцинкевича
517
где т — натуральное число. Если бы оказалось, что
Pi _ 2ft -1
9i “ » ’
то отсюда вытекало-бы нелепое равенство
2тр^ ... q^ qitl ... qg = 2к - 1.
Значит, A (n) S = 0.
С другой стороны, если
Pi 2ft -1	..
9i n+ 1 ’
TO
2mplql... qt^i qtil ... q, + £* = 2k -1.
Стало быть, есть число целое, и потому -^= 1.
Остаётся заметить, что п сколь угодно велико вме-
сте с т.
Будем обозначать через. Ln [/; ж] интерполяционный
полином, совпадающий е функцией /(х) в узлах (76).
Этот полином имеет вид
(77)
где *)’ Тп (х) = cos (n arc cos х). Так как
^(Ж) = п81п(пагссэ8х)
2ft—1
то,полагаях=сов6 (0<6 <л) и6к=-^-7г(Л=1,2, ..., п),
мы можем переписать Ln [/; х] так:
(’в)
к-1
♦) Строго говоря, в соответствии с (6) надо было бы принять
® (я) = Тп(я). Но в формулу Лагранжа входят лишь отношения
(О
' ПОЭТОМУ “ можно снабдить любым постоянным множи-
телем.
528 РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [Гл. П
Лемма 2. При любом к из совокупности 1,2, ..п
справедливо ге равенство
11 cos nfl I • с п
— -—Е------s- sin 6ft < 2.
п I cos 0 — cos fl* I K
Действительно, пусть для определённости 0	0А. Так
как cos п0л = 0, то
| cos п01 — | соя п0 — cos n6ft | < 21 sin п * ~	.
Отсюда
2 I sin	I sin flft	.
J________2 I	„ sin Ofc
_ . Sfc + в! . Ofc-fll^4" . Ofc + fl ’
2 sin j sin | 81nJy-
ибо | sin na | < n | sin a |.
С другой стороны,
sinflfc ^.sinflfc + sinfl _ o„„„ flfc-fl o
. Ofc + 0^	. flfc+fl ~zcos 2
sinJr~	81ПЛ~'
| cos пfl|
| cos fl — cos Ofc |
откуда и следует лемма.
Лемма 3. Пусть на сегменте [а, 6] дана непрерыв-
ная функция <р (ж) и пусть < ж2 < ... < жп суть
различные точки этого сегмента. Каково бы ни было
в > 0, существует полином R(x), для которого*)
R(xk) = <f(xk)	(А—1,2, ...,п), (79)
|Я(ж) — <р(ж)| <е	(а<ж<6). (80)
Действительно, пусть
q = min (жй+1 — xk) (k = 1, 2, ..., п — 1)
и
В силу теоремы Вейерштрасса, существует полином
Р(х), для которого
|Р(Х)-?(х)|<|.
*) Заметим, что о степени полинома R («) в лемме не утвер-
ждается ничего.
§ 8]
ПРИМЕР И. МАРЦИНКЕВИЧА
529
Пусть
Рк - Л(*&) “ ? (®л)-
Доложим
«у (х - х{) ... (ж - жй_х) (ж - ж^) ... (а: - жте)
Р к®/	(а:^ — жх) ... (хк — ж^_х) (хк — а:/с+1) .. . (хк — жп) к
к= 1
Очевидно, что
Р М = Рл» I Р (я) I < л •
Поэтому ПОЛИНОМ '
R (ж) = Р (х) — р (х)
удовлетворяет соотношениям (79) и (80).
Лемма 4. Пусть р> 2 есть натуральное число.
Существует полином Пр(х), удовлетворяющий неравен-
ству
	|Яр(Ж)|<2	(-1<®<1) (81)
и такой, что для всякого х из сегмента — cos —, cos —
L р р J
найдётся индекс п — п(х)>р, при котором
I Ln [ЯР;«] I > Р-	(82)
Пусть т есть натуральное число. Его выбор мы уточ-
ним ниже, а пока будем предполагать только, что
т > р.
Кроме того, условимся обозначать через Sn множе-
ство узлов {4"^} (А я 1, 2, ..., п), а через Sn (а) — множе-
ство тех из этих узлов, которые попадают в сегмент
[— 1, cos а]. В силу леммы 1 имеем 5п5п+1 = 0.
Положим пх = т и определим функцию <р (я) на точ-
ках множества «5Пх + 5Пх+1, положив
о м Г0’ если х*1У 6 5ni “Sni (£) ’
(— I)*-1, если 4ni)€ Sni ;
Г 0, если 4"1+1)€5П1+1 — 5„x+i	,
((—1 если 4"1+1)е 5„х+1	.
Конструктивная теория функций
530 Результаты отрицательного характера [гл. и
Проделав это, найдём натуральное число n2 > пп для
которого пересечение (5ns + 5Пг+1) (^„j + 5П1+1) или
пусто, или состоит только из точки 0 = cos у. Такое
число существует в силу леммы 1. Определим теперь
нашу функцию и на точках множества Sni + 5n2+i (исклю-
чая точку 0, если в ней <р(ж) уже была определена)
следующим образом:
? (4Яг+1)) =
о,
.(-1)*-1,
если	4”2)^П!~5Па(^),
если	4"‘>е
если	4П2+1)€5„2+1-5п>+1(^),
если	(пг+О с с	/ хк	С ^пг+1 (^m J •
Допустим, что мы уже определили числа <
< пг < ... < где i < т. Тогда число пг > мы
выбираем так, чтобы множество + или вовсе
не имело общих точек с множеством
i-i
2 (Snk+Snk^
или чтобы единственной общей точкой у них была точка
0. Найдя п{, мы определяем функцию <р (х) в точках
множества 8П{ + 5^+1 (кроме точки 0, если <р(0) уже
определено) следующим образом:
Ч> (4ni)) =
0, если
(— l)®’1. если
(0, если
(— I)*’1, если
4”г) 6 8щ — Sni >
4м е ;
t	ипг+1 ( — I,
Таким образом мы можем считать, что нами опре-
делены числа п1} пг1 пт^г и что функция <р (х) опре-
ПРИМЕР И. МАРЦИНКЕВИЧА
531
§ 3]
делена на всех точках множества
т—1
3(^ + 5п<+1).	(83)
i=i
Положим <р (— 1) — <р (+ 1) = 0 и доопределим <р (ж)
во всех точках сегмента [—1, -J-1], считая её линейной
между теми точками, где она уже была определена.
Очевидно, что |ф(ж)|<1. Обозначим через R{x) поли-
ном*), совпадающий с <? (х) па точках множества (83)
и такой, что "при всех х из [—1, 4-1] будет
| Я(®) — <р (®) | < 1. Ясно, что | R (®) | < 2 при — 1 <® < 1.
Пусть теперь — cosy <®< cos-^ . Положим 0=агс cos®;
тогда у < 6 < п------~ . Определим число i условием
~~ я < б < ли рассмотрим полиномы Ln{ [R-, ®]
и £n/+i [Я; #]• Если обозначить через г наименьшее
из значений к, при которых
то согласно (78) мы будем иметь
cosn fl sin fl(n^
(84)
k=r	K
Здесь a (i) = 0, если точка 0 не является одним
из узлов ®к"‘\ в противном случае возможно, что а (г)	0,
но (в силу леммы 2) можно ручаться, что |а(г)|<4.
Рассмотрим теперь отдельно сумму, стоящую направо,
опуская для краткости значок г. Функция
sin®
cos 0 — cos х
на промежутке (6, к) убывает, так как её производная
есть
COS 0 COS X — 1 Q
(cos 9 — cos x)1
*) Его существование обеспечивается леммой 3.
34*
532
РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [гл.
Поэтому при 9Sбудет
sin flfc	sing
cos в — cos Ofc cos 0 — cos x'
Отсюда
es+i
к sin Ofc 	C sin x
n cos 0 — cos Qjt	J cos 0 — cos x 1
(A = r, r+ 1, ..n—1).
Кроме того,
К
я sin 0n . Г sin x
2n cos 0 — cos 0n -'> j cos S — cos z1
On
Таким образом
n	it
я у sin Ofc	f sinz
. n A cos 0 — cos 0*	j cos 0 — cos x
k=r	0r
откуда
n
А V sin Bfc > — In
n & cos 0 — cos 0Л я
Zc=r
1 + cos 0
cos 0 - cos Qr *
Ho cos6>— cos — , G другой стороны;
cos 6 — cos fr < 0r — 0 —
. я
1 — COS —
----5----
Отсюда имеем
n
_£ у sin 0fc £ |n
n cos 0— cos О* n 1
До сих пор мы не уточняли выбора т. Будем счи-
тать его выбранным настолько большим, чтобы правая
часть последнего неравенства оказалась больше, чем
ра + 4р.
g gj	ПРИМЕР И. МАРЦИНКЕВИЧА	533
Тогда, в силу (84), окажется, что
|£ni [Я; «] | > (р’4-4р) | cos nf61 — 4. .	(85)
Совершенно аналогичные рассуждения приведут
к оценке
I LnM [Я; х] | > (ра 4- 4р) | cos (га, 4-1) б | - 4.	(86)
Но так как — < 6 < л — —, то
Р	Р . .
. sin6>sin —> —,	(87)
Р Р
С другой стороны,
sin б = sin (п 4-1) б cos «б — sin пб cos (п 4-1) 6.
Поэтому
sin 6 < | cos nfi | 4-1 cos (nt 4-1)iO |.
и хоть одно из чисел nt и nt 4-1 (обозначим его просто
через п) таково*), что
cos Пб > — .
1	р
Значит, в силу (85) и (86), или для п = п; или для
п — nt +1 окажется
|£п[Я;хЦ>р.	(88)
Таким образом полином R(x) удовлетворяет усло-
виям (81) и (82).
Замечание. Мы видим, что индекс п = п (ж), при
котором выполняется (88), может быть выбран из сово-
купности чисел пи «14-1, п2, ..., n^i, п^14-1. Зна-
чит, п > р, Кроме того, обозначив через N (р) число
nm-i +1 (важно, что т вполне определяется заданием
р), мы будем иметь
n(®)<2V(p)	( — co#-^<»<cos-^ .
Теорема. Существует непрерывная на сегменте
[—1, 4-1] функция /(ж), для которой интерполяцион-
*) Иначе невозможно (87).
534 РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [ГЛ. II
ный процесс по узлам
4n) = cos л (А = 1, 2, ..., п)
расходится во всех топках интервала (—1, +1).
Доказательство проводится тем же «методом сколь-
зящего горба», что и теорема Фабера из § 1. Именно,
положим
п
kn = max
Л = 1
TnW
(- 1).
Тогда для любой функции / (я), заданной на [—1, + 1],
имеем
lLn[/; ж1|<кптах|/(ж)|.
Заметив это, построим полиномы Rp(x), о которых
шла речь в лемме 4, для р = 3, 4, 5, ..., и обозначим
через г(р) степень полинома Rp(x), а через п(х, р)
то значение индекса п, при котором
I ^-п [Я? ж] I > Р
(Л	_ It '
— COS — < X < cos —
р	р
В силу предшествующего замечания, окажется
р < п (х, р) < N (р)	(— cos — <®<cos— . (89)
фпределим числа рх, /?2, р3, ... следующим образом:
Pi = 3,
Pk+i > max {г (р,), г (р2), ..., г (рк)},	(90)
Pk+i > Рк,	(91)
Pk+i > max {l'pk, ^рк+ь • • •,	. (92)
В таком случае функция
00 (®)
/и-2-^- от
/с-1 Г
требуемая.
ПРИМЕР И. МАРЦИНКЕВИЧА
535
§ 3]
В самом деле, ряд (93) мажорируется рядом
(94)
сходящимся по признаку Даламбера, благодаря
Значит, /(ж) непрерывна.
Пусть
— 1 < хй < 1 и т настолько велико, что
Рт
• п
Рт
Тогда
Rr (х)
/(ж) = Л(ж) + -^- + 5(ж),
V Рт
где
(91).
(95)
абсо-
m~l R (х)	00	R	(х)
^>2^	2
k-i ' ™	k-m+i	'	™
Пусть п— n(xtt рт). Тогда
^•п [/> •г'в]=:'1'п [^1;	4* -z—- ^п. [-^Рт» *ol 4" 1-л	^в].
У Рт
Второй член правой части этого равенства по
лютной величине больше )/рт. Далее, А (ж) есть поли-
ном степени <max{r(p1), г (р8), ..., г(рт^)} < рт
и (благодаря (89))
:	®] = А (ж),
так что при всех ж из'[— 1, -}-1]
I [-4; #] | "С S,
(96)
где через S. обозначена сумма ряда (94). Наконец, при
всех ж из [— 1, 4- 1]
ж]| <Хптах|5(ж)|,
откуда
СО
I ; ж] |	— •
*-т+1 У Рк
к-1 ' ™

536 РЕЗУЛЬТАТЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА [ГЛ. II
Но в силу (91)
Ртч > Pmti> Рпн-з > PmtiPmtit • • •> Pm+i+i > PmtiPmti.) • • •>
что легко подтвердить индукцией по i. Значит,
у 2_ <	1 Г?+ 2 + -2	I - 1 < 2±5
к=^+^Рк " рm+i I-	Vpm+i Vpт+2 J у р
m+i
откуда
, |Zn[B; х](<7^=(2 + 5)
У Рт+1
и благодаря (92)
l^n L®» х] К 2 4-5.
Сопоставляя это с (95) и (96), находим
1^п[/; жо11 >	— 2 (1 4-5).
Устремив т к бесконечности, получаем*)
lim L„ [/; ж0] == оо .	(97)
Теорема доказана. Несколько усложнив конструкцию,
легко получить и такую функцию, для которой процесс
будет расходиться не только в интервале (— 1, 4-1),
но и в сегменте [— 1, 4- 1]. Для этого достаточно при-
бавить к /(ж) непрерывную функцию g(ar), для которой
интерполяционный процесс сходится в интервале
(— 1, 4-1) и расходится в точках ± 1, но мы не будем
заниматься построением такой функции.
Весьма сходным образом строится непрерывная, 2л-пе-
риодическая функция, для которой тригонометриче-
ский интерполяционный процесс по узлам
(* = 0,1,2, ...,2л) (98)
АП Л
расходится во всех точках [0, 2к]. Мы отмечали анало-
гию между интерполяционным полиномом по узлам (98)
*) В соотношении (97) индекс п — п(х0, рт) пробегает не весь
натуральный ряд, а некоторую возрастающую последовательность
натуральных значений,
\	ПРИМЕР И. МАРЦИНКЕВИЧА	537
'§ 3]
для функции /(ж) и её частной суммой Фурье. Благо-
даря этой аналогии среди ряда специалистов до появле-
ния работ Гринвальда и Марцинкевича было распростра-
нено мнение, что. проблема построения . непрерывной,
2л-периодической функции с всюду расходящимся интер-
поляционным (по узлам (98)) процессом, если и не равно-
сильна, то очень тесно связана с проблемой построения
непрерывной функции, имеющей всюду расходящийся
ряд Фурье. Однако это оказалось не так. Мы уже отме-
чали в первой части, что вторая из указанных проблем
и до сих пор не разрешена *).
*) А. Н. Колмогоровым [1] построена суммируемая функция
с всюду расходящимся рядом Фурье.
ГЛАВА III.
СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ.
§ 1. Роль функции Xn(sc).
Рассмотрим, как и выше, матрицу узлов, располо-
женных на конечном сегменте [а, 6]:
х“>,	1
........................... (99)
~<»>
1 9 ***2	1 • • • 9	9
Пусть, как и выше,
п
01,1(ж)=Д(*~(ж) = “МП))"*-4П)) ’
п
>^(®)=21/*П>(а:)Ь k„ = max|kn(x)|.
л-i	°^b
Как мы знаем, числа kn при любой матрице (99)
стремятся к бесконечности. Выражаясь несколько вольно,
можно сказать, что чем медленнее рост этих чисел,
тем обширнее класс функций, для которых сходится
интерполяционный процесс. Именно, имеет место
Теорема 1. Пусть /(х)—-непрерывная на сегменте
[а, 6] функция и Еп—её наилучшее приближение поли-
номами степени не выше п. Если
limXn(®0)£„^ = 0,
71->се
539
РОЛЬ ФУНКЦИИ Хп (х)
§ П
то интерполяционный полином Ln[f‘,x], совпадающий
с функцией f(x) в узлах х(Лп) (к -1, 2, ... , п), в точке
стремится к f(xa) при возрастании п. Если же
НтХп£„_х = 0,
п-*го
то*) P,[f‘-> Ж1 стремится к f{x) равномерно на [а, 6].
В самом деле; пусть Рп-,(х) есть полином, наиме-
нее отклоняющийся от /(ж) по сравнению со всеми
полиномами из Нп~и Так как Ln [РА_Х; ж] = Рл_, (ж), то
I Рп I/; *•]- / (Ж) I < I Ln [/;	Ln [Рп_!; ж] I+1 Рп-г (ж)-/(«)[.
Но
Рп [/j а?] Рп P’n-ii Д'] = Рп [/ РЛ-l) ж].
Отсюда, ввиду того для всякой функции /(ж)
Г£п1М1<М*) max|/(®)|,
вытекает, что
\Рп[К *]-/(*)1<1М*)+ 1]^Х.
Остальное ясно.
Замечание. Доказанная теорема допускает следу-
ющее очевидное усиление: если S есть произвольное мно-
жество, содержащееся в [а, 6], и р.п есть точная верхняя
граница кп (х) на этом множестве, то условие
Итр„Яп_х = 0
п-кю
достаточно для равномерной сходимости £п[/;ж] к/(ж)
на множестве. S.
Покажем, как применяется теорема 1.
Теорема 2 (С. Н. Бернштейн [6]). Пусть матрица
(99) составлена из узлов Чебышева
<п\	2ft — 1
Ж* = «К=С08—^-л.
♦) По поводу необходимости условий теоремы см. С. М. Ло-
зинский [4].
540
СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. III
Тогда
Xn<8+-ilnn.
В самом деле, здесь
к=1
причём >yn(a:) = cos(narccos®). Полагая
л	с «(nl 2ft — 1
9 = arc cos х. 9 , = 9* = ——=• те,
' к •	2п,
(100)
(101)
имеем
п
к (ж) = 1у I |sin 6/t.
n' ' П ZJ ] COS fl — COSfljJ K
fc-1
Если 9 совпадаете одной из точек 9fc, то k„(ar) = l и
доказывать нечего. Пусть же
Тогда
< 0 < ®т+г
М*) =
т	п
1 VI I cos nfl I • с , 1 VI I cos П0 I „• C
= — >.—-s-------L-sSinflfrH— >.—д-------‘д- sm 9fc,	(102)
n XJ COS 0ft — cosfl * ' n 4J COS0 —COS0fc	K '	'
A=1	/c=m+l
причём, если 0<9<9n то отсутствует первая, а если
9П < 9 < те, то вторая сумма. Обе суммы оцениваются
одинаково. Мы займёмся для определённости первой из
них (предполагая, стало быть, что 6, < 9). Обозначая
эту сумму через а, имеем
т—2
1 хп Icosnfll . д . 1	|СО8П0|	. .	.
3	смВд-совВ 81П б* + п ЪБвО ~ - cos fl 81П 6^1 +
fc-1
Г | cosnfl|
n” cos 0m—cosfl
8in9m.
(103)
Если /и = 1, то налицо только третье слагаемое пра-
вой части, если т = 2, то второе и третье, а если т> 2,
то все три слагаемых.
§ 1]
РОЛЬ ФУНКЦИИ Хп (X)
541
Согласно лемме 2 из § 3 главы II второе и третье
слагаемые правой части не превосходят 2. Значит,
т-2
3<4 + -У__________sinflfc
п. Za c'osfl/c—cos в
к=1
Но функция
sin х
 COS X — cos в
возрастает при 0 < х < в. Следовательно,
sinaft	sing
COS flk~COS fl COS ГС— COS fl '	ft + l
Отсюда
. n 4+1 .
n sin Ofc . C sin xdx
n COS0A—COSfl J COS X — COS fl
•fc
и, стало быть,
m-2	®m-l
1 sinflfc 1 C sin ж аж
n Xlcosfl/C— COS f)*'' tt J cos x —cos 6
k«l	G1
Значит, и подавно
Но
®m-i
1 С sin х dx
m J COS X—COS fl
0
-=4-1.-110____^2^________.
' n COS Om-J — COS 6
1 —COS 6 < 2,	COS 6m_! —COS 6 > COS.S^J—cos 6m.
Отсюда
a < 4- -In sin Qm-1 + 6m - A In sin .
n	2	it	2n
Ввиду того, что
ясно, что
• Qm—1 Ч" Am	•
sin Л > sin — .
2	2n
542 СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. III
Поэтому
»	2 .	. it
а < 4---In sin
2п
и, тем более ^поскольку sin-^ >	,
а < 4 -J— In п.
75
Та же оценка верна и для второй суммы, входящей
в (102). Теорема’ доказана.
Следствие. Если функция /(х) на сегменте
[—1, +1] удовлетворяет условию Дини-Липшица
Иш и (8) In 8 = 0,	(104)
г->о
то интерполяционный полином Ln[f-t х], совпадающий
с f(x) в узлах Чебышева, равномерно на [—1, + 1] стре-
мится к f(x).
В самом деле, для такой функции
lim <о ( —In п = О,
Л->=о \n-ij
а по теореме Джексона £n_i<12e>	
Замечание. Теорема, аналогичная теореме 1,
имеет место и для тригонометрического интерполи-
рования, только функцию /(х) нужно предполагать
2к-периодической, под Еп разуметь её наилучшее при-
ближение тригонометрическими 'полиномами, а функцию
Х ;(ж) определять формулой
2П
,хп (х)=214n) (х) I,
*=0
где фундаментальные полиномы №(х) даются равен-
ством (34). В случае равноотстоящих узлов
(А = 0, 1, ..., 2и) (105)
для функции kn(«) верна оценка
кл (®) < А 4- В In п,
§ 2]	ТЕОРЕМЫ ГРЮНВАЛЬДА-ТУ t> АН А	543
которая доказывается примерно так же, как и нера-
венство (100), а потому для 2к-периодических функций,
удовлетворяющих условию (104), тригонометрический
интерполяционный процесс по узлам (105) равномерно
сходится на всей оси.
§ 2. Теоремы Грюнвальда—Турана.'
Интересные результаты были получены в совмест-
ной работе Г. Грюнвальда-и П. Турана [1] относительно
матриц (99), составленных из корней полиномов какой-
нибудь ортогональной системы.
Часть этих результатов мы излагаем в настоящем
параграфе.
Условимся в следующих обозначениях: {о>п(х)} есть
ортогональная на сегменте [а, 6] по весу р(х) система
полиномов и
: xjn) < 4П) < • • < х(„п)	(106)
суть корни полинома в>п(х). Если /(х) — какая-нибудь
функция, заданная на [а, 6], то Z.n [/; х\ есть её интер-
поляционный полином по узлам (106).
Лемма. Если i =# к, то фундаментальные полиномы
/(") {,(п) , v 	»В(Х)
взаимно ортогональны на [а, 6] по весу р(х).
В самом .деле, частное
а (х\_________*nW
’
будучи целым полиномом степени п — 2, ортогонально
на [а, 6] по весу р(х) к полиному <»п(х'), а так как
то
ь
$ p(x)fin)(x)l(kny(x)dx = 0.
(Ю7)
544 СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. Ill
Следствие. В тех же обозначениях
п Ъ	Ъ
2	(%)]* dx= p(x)dx. (108)
Л=1 а	а
Действительно, ещё в главе I было отмечено, что
п
SW) = 1.
*=1
Возвышая это равенство в квадрат, умножая на р(х)
и интегрируя, мы и получаем (108), потому что бла-
годаря (107) интегралы от всех удвоенных произведе-
ний исчезают.
Теорема 1. Пусть а= — 1, Ь = -|-1. Если весовая
функция р(х) удовлетворяет условию
р(х)^т>§,	(109)
то
Ъп^Ап,	(110)
а при — 1 < х < 1
(Ш)
Действительно, закрепим a;og[ — 1, + 1], положим
ek = sign {l^(х„)}
и введём в рассмотрение функцию
п
9.(ж) = еЛПЧх)-
k=i
Это полином степени п — 1, и потому
.	п-1
Л-0
где Хк (ж) —нормированные полиномы Лежандра, а ск—
коэффициенты Фурье функции <1>(х) в системе полино-
§ 2]	ТЕОРЕМЫ ГРЮНВАЛЬДА-ТУРАНА	545
мов Лежандра. Если применить к написанной сумме
неравенство Буняковского, то окажется
п-1	п-1
л*(*)<[24] [2 &(*)].	(П2)
. к-0	Л-=0
Пользуясь сначала формулой Парсеваля, а затем
неравенством (109), находим
п-1	+1 •	+1
2 с* = 5' 'l*3 dx^ т\Р (Х) dx<
*«=0	-1	-1
Но так как числа &к могут принимать лишь значе-
ния — 1, 0 и 4-1, то в силу (107) и (108),
р (х) ф2 (х) dx = р (х) [ 2 8лДП) № ] 2 dx < Р (х)dx-
-1	-1	*-i	-1
Таким образом
2 cl^M*~+Sp(x)dx.	(ИЗ)
к-0	-1
G другой стороны, в главе V второй части было
показано (см, формулы (126), (136) и (140)), что
(—1<х<1, А = 0, 1, 2, ...),
(-1 <«<!,.* = 1,2, 3, ...).
Если положить
Зл _ j~f2
то второе из этих неравенств можно усилить:
35 Конструктивная теория функций
(115)
§46 СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. lit
В таком виде оно справедливо и дляА = 0. Из (114)
вытекает, что при —1 < х < 1
к=0
откуда в связи с (112) и (ИЗ) следует оценка
। , / ч I . Мп.
HWKpy.
а так как ф(я:()) = ^п(х0), то неравенство (110) доказано.
Неравенство (111) аналогичным образом вытекает из
(112), (ИЗ) и (115).
Из сопоставления этой теоремы с результатами § 1
и теоремами Джексона из первой части вытекает
Теорема 2. В условиях теоремы 1 соотношение
limLn[f- x] = f(x)	(116)
П-+СО
выполняется равномерно на [—1, +1] для всякой функ-
ции j (х), имеющей непрерывную производную f (х). Если
/ (ж) £ Lip а при а> —, то соотношение (116) выпол-
няется во всех точках интервала (—1, +1) и притом
равномерно на всяком сегменте [а, 5], содержащемся
в (-1, +1).
Условия теорем. 1 и 2 выполняются, в частности,
для веса Якоби р(х) = (1—х)Л (1 +ж)₽, если а <0, р<0.
Однако (мы не будем этого доказывать) при интерпо-
лировании по корням полиномов Якоби интерполяцион-
ный полином сходится к функции /(«) равномерно
в каждом сегменте [a, b]CZ(—1, +1) при любых аир,
если только f(x) удовлетворяет условию Дини-Лип-
хпица *) (104).
Теорема 3. Если а= — 1., 6 = -}-1 и весовая функ-
ция р(х) удовлетворяет условию
*(*»7Г=г>()’	<117)
♦) Сеге [1], стр. 328.
§ з]	СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ	541
то	_	-
кп<Л]/п.
Доказательство последней оценки ничем не отли-
чается от доказательства теоремы 1, только функцию
(ж) Нужно разлагать не по полиномам Лежандра, апо
полиномам Чебышева и использовать факт равномерной
ограниченности этих последних полиномов на [—1, -J- 1].
Опираясь на теорему 3, легко показать, что при
условии (117) равенство (116) имеет место равномерно
на [—1, +1] для любой /.(ж) 6 Lip а при а > у .
В заключение отметим, что (117) выполняется для
веса Якоби (1 — ж)“ (1 + я:)р при	[3 < — -1 .
Однако, как указано выше, этот факт сравнительно
мало интересен, ибо для интерполирования по корням
полиномов Якоби сходимость процесса имеет место для
более широкого класса функций.
§ 3. Сходимость в среднем.
Теорема Фабера из предыдущей главы устанавли-
вает, что равномерной сходимости интерполяционного
процесса • для любой непрерывной функции нельзя обес-
печить никаким выбором узлов. По отношению к схо-
димости в среднем положение вещей оказывается го-
раздо более благоприятным. Именно, в предположе-
ниях и обозначениях предыдущего параграфа спра-
ведлива.
Теорема. Для любой непрерывной функции f{x)
имеет место равенство*)
ъ
lim \ p(x){Ln[f-,x]-f(x)}*dx = O. (118)
П-.СО J
а
*) Этот результат (и притом в более общем виде) установ-
лен в работе Эрдеша и Турана [1]. Приведённое в тексте доказа-
тельство заимствовано из статьи Р. О. Кузьмина и И. П. Натан-
сона [1].
35'
548
СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. Ц
Действительно, пусть Еп есть наилучшее приближе-
ние /(я) полиномами из Нп и Рп(х) самый полином
наилучшего приближения. Тогда
I Л.-! (*) -/(*) |<ЯП-Х	(ПЭ)
и, стало быть,
ь	ь
\ Р W [Рп-1 (*) - t{x)Ydx <E2n-i р (х) dx. (120)
о	а
С другой стороны, Рп-1 (х) 5= Еп[Рп-1;х]. Поэтому
п
£п [/; - Pn~i (х)=2 (/ да -	т] w (®).
Отсюда на основании (107) вытекает
ь
J Р (®) {Ln If', *] ~Pn-i (x)}2dx ==
а
п
-2[/да-^п-1(4п))г J p(ww<fc.
Л=1	а
В силу (119) и (108), последнее неравенство можно
усилить:
ь	ь
P(x:){Ln[f‘,x]~ Pn^(x)Ydx^,E2n^i ^p(x)dx. (121)
а	а
Но, как известно, (Л +В)2 <2 (А’ + Ва). Поэтому
из (120) и (121) вытекает, что
ь	ь
\p{^}{I-ntf\x} — f(x)}2dx<likEin_l jj p{x)dx.
а	а
Теорема доказана.
С л ед с т вие. Если весовая функция удовлетворяет
условию
р («) > т > 0,
§ 4] ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС Л.- ФЕЙЕРА 549
то
ь
lim \{Ln[f;x]-f(x)}3dx = Q. (122)
П-ю> J
Интересно спросить, не будет ли справедливым
соотношение (122) без дополнительных условий на вес.
Э. Фельдгейм [1] указал, что это не так, и отметил
без доказательства, что если
р\х) =•]/1 — х3,
то существуют непрерывные функции, для которых (122)
не выполняется. В упомянутой работе Р. О. Кузьмина
и И. П. Натансона построен пример такой функции *).
§ 4. Интерполяционный процесс Л. Фейера.
До сих пор мы занимались вопросами сходимости
интерполяционных процессов Лагранжа. Для процессов
Эрмита, т. е. для интерполирования с кратными уз-
лами, Л. Фёйером был установлен целый ряд резуль-
татов положительного характера. Простейший из них
мы приведем в этом параграфе.
Теорем'а (Л. Фейер [2]). Пусть
хк = х^ — cosя (А = 1,2, ..., п)
суть узлы Чебышева, a f(x) — непрерывная функция,
заданная на [—1,4-1]. Если Н2П^{х} есть полином
степени не выше 2п — 1, удовлетворяющий условиям
Н= / (хк)> Hzn-i (ж*) = 0,	(^23)
то равномерно на [— 1, 4-1] будет
limH2n^(x) = f(x).	(124)
П->со
Действительно, для рассматриваемых узлов
<в («) = <Рп (®) = cos (n arc cos х).
*) По поводу вопросов, затронутых в этом параграфе, см,
С. М. Лозинский [1, 2].
550
СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. Ill
Так как
т, . . sin (п arc cos х)
-• _
у» _ п х 3*n (n arc cos ж~	1 ~ 32cos (arc cos х)
то
(1-хг)3/з

Поэтому для узлов Чебышева общие формулы (31)
и (30) принимают вид
|(126)
Г Т (x'i Л3	И"**’
вр(х) = [т(?Ну]
п	п
+	В™(х).	(126)
* = 1	А-1
Ввиду ТОГО ЧТО—1 < Хк < +1, ясно, что
4п)(а=)>0 (-!<»< +1).(127)
Как мы увидим, это неравенство играет весьма важ-
ную роль.
Если Р (х) есть произвольный полином степени не
выше 2п — 1, то он совпадает со своим интерполяцион-
ным полиномом Эрмита по узлам х^, и потому
п	п
Р (х) = 2Р (хк) А^\х) + 2 P’k (Хк) В(кп} (Z). (128)
ft-l	А=1
В частности,
п
2ДП)(®) = 1.	(129)
§ 4] ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС Л. ФЕЙЕРД	.551
Полином Hin-t (х), удовлетворяющий условиям (123),
согласно (126) имеет , вид
п
Яап-х(я)=3 /(ха)Дп) (я).	(130)
*=1
Отсюда, из (129) и из (127) вытекает
Itfsn-xW-fWK 2l/(^)-/(®)Min)(x). (131)
*•-1
Возьмём s > 0 й подберём такое 8 > 0, чтобы нера-
венство | х" — х' | < а влекло неравенство
I / (х")-/(«') I < S.
Сделав это, разобьем (при закреплённом х из [— 1,+ 1])
множество чисел 1,2, ..., п на две группы I и II,—от-
неся в I те к, для которых | хк — х | < 8, а в II—осталь-
ные числа. Очевидно (благодаря (127) и (129)),
п
31 / (®*) - / № 14п) (®) <®3 л*п) (®) =s- <132)
*ei	i-i
С другой стороны, если А СП, то из (125) следует,
что
(133)
ибо 0<1 — ххк<2 и ^„(«Jl-Cl. Таким образом, обоз-
начая через М наибольшее значение | / (х) |, имеем
31 / м —7 (*) 14П) (®) <	,	(134)
леи
ибо число слагаемых в последней сумме не больше п.
Сопоставляя (131), (132) и (134), получаем
|Я2П^)-/(*)1<е+-^->
и при достаточно больших п
|Я!П-1(*)-/(*)|<2е.
Теоремад оказана.
552 СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. lit
§ 5. Обобщение предыдущего результата.
Вышеизложенная теорема была найдена Фейером в
1916 году. В 1930 году Фейер снова вернулся к тому
же вопросу и получил более общие результаты. При
их изложении мы сохраняем все обозначения предыду-
щего параграфа.
Из (125) вытекает, что
4n)	=-FSr	<135>
Но дробь
z ч	ГС — хъ
<?(х) = т^г
(её знаменатель на сегменте [—1,4-1] строго положи-
телен) при | а; К1 удовлетворяет неравенству | <р (х)1.
В самом деле,
. 2
?'(я=) = -7Г—>0»
т. е. <р (я) — возрастающая функция. Остаётся заметить,
что <р(1) = 1 и <р( —1)=—1. Таким образом из (135)
и вытекает
I Mn) (*) | <4П) (ж)	(-1	+1)
и потому (см. (129))
п
2i 4n)(*)i<i	(-к®< + 1).	(136)
/е-=1
Из сказанного вытекает
Теорема 1 (Л. Фейер [3]). Если полином Р (х)
степени не выше 2п — 1 в узлах Чебышева
(n) 2k — 1
хк~хк ~ COS —----К
к К	2п
удовлетворяет условиям
|Р(^)|<4, \P'{xh)\<B,	(137)
§ 5] ОБОБЩЕНИЕ ПРЕДЫДУЩЕГО РЕЗУЛЬТАТА	553
то для всех х из [ — 1,4-1]
|Р(т)|<Л + 5.	.(138)
В самом деле, достаточно записать Р(х) в форме
(128), чтобы (опираясь на (127), (129) и (136)) убе-
диться в справедливости (138). •
Оценка (138) точная, ибо для линейной функции
в ней достигается знак равенства (при п = 1).
Наряду с (136) справедлива оценка
ilMn)Wl<v(8 + vIn«) (~1<х<1). (139)
А=1	.
В самом деле, из (125) благодаря неравенству
| Тп (х) | < 1 вытекает
1^п,(х)|<^-|^1(1-4).
Отсюда и из (100) получается оценка
-	" <8+v‘"").	<«°>
*=i у 1~хк
даже более сильная, чем (139).
Из (139) вытекает
Теорема 2 (Л. Фейер [3]). Если полином Р(х)
степени не выше 2п— 1 удовлетворяет условиям (137),
то для всех х из [-1,4-1]
|Р(г)|<Л4-4(8 + 41п”)-	<141>
*
Более того, благодаря (140), неравенство (141) сле-
дует из условий
|P(sk)|<4, \Р'(хк)\
более общих, чем (137).
Оценки (139) и (140) позволяют следующим образом
усилить теорему из § 4;
554 - СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. 1П
Теорема 3 (Л. Фейер [3]). Пусть f(х) — непрерыв-
ная функция, заданная на [— 1,-f- 1]. Если
<п) 2ft — 1
xk = xi' = cos —-т— гс
к	2п
и полином (х) удовлетворяет условиям
СМ = /(**),	(142)
где еп стремится к нулю с возрастанием п, то равно-
мерно на [ — 1, + 1]
НшЯ!ПЧ(а;) = /(г).
Действительно, согласно (128) имеем
п	п
Нгп-1(х) ~ 3 /(М	(ж)4~ 3 ^2n-l (®*) В* ) (а:)-
А=1	А = 1
Первая из этих сумм с возрастанием п равномерно
стремится к /(«) по теореме предыдущего параграфа,
а вторая (тоже равномерно) стремится к нулю благо-
даря второму из условий (142) и неравенству (140).
Теорема доказана.
§ 6. Нормальные матрицы.
Вернёмся к матрице (99), попрежнему предполагая
все узлы Xj^ — x^ содержащимися в конечном сегменте
[а, 6]. Если сохранить все обозначения § 1 этой главы,
то эрмитова интерполяционная формула (30) примет
вид
П	п
н^^)= S ^4n)(®)+ 2 у'кв^(х\
к=1	‘	Л=1
где
4ПМ = [ 1 - (х - хк) ] 1*к (х),
В$\х}~(х-хк)11(х),
п
. 1к (х)= № (Г) =	, ш (X) = шп (X) = П (х - хк).
§6]
НОРМАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
555
Остановим свое внимание на линейных функциях
(Ж) = 4n) (X) = 1 -	(х - хк),	(143)
входящих в выражение Л*п) (ж).
Определение. Если при всех х из [а, 6] и при
всех А и п (п—1, 2, 3, ...; А = 1, 2, п) оказы-
вается
»*n)(z)>0,
то матрица (99) называется нормальной. Она называ-
ется строго нормальной (или р-нормальной), если при
тех же условиях
4П)(«)>Р > 0.
Эти понятия были введены Фейером [4], показав-
шим их важную роль в теории интерполирования
(и притом не только эрмитова, но и лагранжева).
Здесь мы излагаем некоторые результаты Фейера
о нормальных матрицах. Самое существование подобных
матриц обнаруживается на следующих примерах (также
принадлежащих Фейеру).
Пример 1. Если узлы хк = х^ суть корни поли-
нома Якоби J^> ₽'(х), то матрица (99) нормальна при
а<0, и р<0 и строго нормальна при а < 0, fl < 0.
Здесь основным сегментом [a, 6] является сегмент
[ —1,4-1]. Поэтому для доказательства высказанного
утверждения достаточно рассмотреть величины yft(l)
и уй(—-1). Во второй части (формула (175)) было пока-
зано, что полином Якоби «> (х) —- Д®,₽> (я) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
(1 — я:3) ш" (ж) 4- а — («4-₽ + 2) х]«/ (я:) 4-
4- п (а 4- р 4- п 4-1) “ (х) = 0.
Так как хк есть корень <о (х), то
^"(хк) __ (« 4-Р 4-2) ftfc — fl 4-«
<>' (я*)	1 -
556 СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. III
Значит,
», w _ t _
1 Хк
Отсюда
vk (1) ~ — « + (1 + Р) ’
и, стало быть,
(!)>-«,
ибо — 1 < rcfc < +1 и {3 > — 1. Аналогичным образом
»А( —1)> —
Поэтому при — 1<ж<1
в*(я) > Р = пнп{ —а, —₽}.
В частности, матрица корней полиномов Лежандра
нормальна, а матрица корней полиномов Чебышева
1
-g -нормальна.
Пример 2. Матрица, п-я строка которой состоит
из корней полинома
X
® (я) = ©„(«) = J Xn^(t)dt
(где Xn^(t)—полином Лежандра), 1-нормальна *).
В пояснение заметим, что шх (х) = ж 4- так что
Если же п>2, то полином ®п(х) можно записать
в форме
% № = ТОГИ) № “	<144>
Действительно, (t) удовлетворяет дифференци-
альному уравнению
(1 - г2) X'n-iit) ~ 2t X'n-i (t) 4- п (п —1) Хп.г (t) = 0, (145)
откуда
[(1 - X'n-i («)] + П (п - 1) Хп^ (t) = 0.
*) Здесь также речь идёт о сегменте [ — 1,4-lj.
§ 6]	НОРМАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ	557
Интегрируя это равенство по промежутку [— 1, х],
мы и получим (144). Из (144) вытекает, что шп(х)
имеет п различных корней хк = х^к\ причём
ж<п) = —1, х^\ = 4-1,
-1<ж(«>< +1 (Л = 2, 3 ...,п-1).
Из определения <о (х) следует, что при п>2*)
<0" (хкУ _-^п-1(хк)
“> (хк)	*п-1 (ж*)
Если 1 < к < п, то % есть корень X»—i (Z) и потому
«*(«) = !.
Если же Л==1, то (как это видно из (145))
п(п-1)
Хп-1( -1) “	2
и, стало быть,
(ж) = 1 + %-*) (ж +1) > 1.
Аналогичным образом
»п (я) = 1 - п(п~-г> (х - 1) > 1.
Лемма 1. Если матрица нормальна и 0< Л
то в сегменте [a-ph, Ь — Л]
vkW>T=~a'	(146)
В самом деле, о* (ж) есть линейная функция и
vk (хк)= Если vk (ж) есть величина постоянная, то
оценка (146) тривиальна. Если vk (ж) — убывающая
функция, то
vk(x)>vk(b — h)	(x^b — h).
♦) Случай п = 1 вообще можно не рассматривать, ибо для
любой матрицы <oj(a:)=0 и	(®) = 1.
558
СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. 111
С другой стороны*)
(xQ - Pfc (Ь) _^k(b-h)-vl{(b)
хк — b	— h ’
откуда
{b - Л) = vk (b) + -r^- [1-»*(&)] >
о •t'k
Аналогично проверяется (146) для того случая,
когда vk(x) есть функция возрастающая.
Лемма 2. Если матрица нормальна, то при
a+h^x^b—h
(147)
Если же матрица ^-нормальна, то
kn<-U/n.	(148)
_	V Р
В самом деле,
(149)
k-i
Это означает, что
%»к(х)Ц(х) = 1.
к-1
Отсюда и из леммы 1 следует, что
2ZH*)<^ (a + h<x<b-h).	(150)
л-i
Но, в силу неравенства Вуйяковского,
М*) = SlZ*(*)l</n 1/ } /ЦЖ),
k-i	| к- ,
*) Приращение линейной функции пропорционально прира-
щению аргумента.
НОРМАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ-
559
§ 6]
чем и доказано (147). Аналогично устанавливается (148).
Из доказанной леммы непосредственно вытекает
Теорема 1. Если /(ж)ЕЫра при а>у, то при
интерполировании по узлам нормальной матрицы интер-
поляционный полином Лагранжа Ln(x) сходится к /(ж)
всюду в интервале (а, Ь) и притом равномерно в каждом
сегменте [а + h, Ь — h]. Если же матрица строго нор-
мальна, то равномерная сходимость Ln(x) к /(ж) имеет
место на всём [а, &].. • •
Если, в частности, узлы интерполирования суть
корни полиномов Якоби 7п’₽)(ж) (а<0, |3<0), то полу-
чаются результаты того же характера, что и в § 2.
В заключение приведём один результат, относящийся
к теории эрмитова интерполирования.
Теорема 2. Пусть /(ж) задана на [а, 6] и имеет
непрерывную производную /' (ж). Если матрица узлов
Хк—х^У нормальна и Hin_1(x') есть эрмитов интерпо-
ляционный полином, удовлетворяющий условиям
Htre-l (^ft) = / (®/с)>	(•£/[) ~ / (^к),
то всюду на (а, Ь)
ИшЯ2П.1(ж) = /(ж),	(151)
причём это соотношение выполняется равномерно на
всяком сегменте [a-j-h, b — h\. Если же матрица строго
нормальна, то (151) имеет место равномерно на [а, 6].
Действительно, пусть Е'п есть наилучшее приближе-
ние производной /'(ж) полиномами степени не выше п
и пусть Рп (ж) — самый полином наилучшего приближения.
Тогда
|Р;(ж)-/'(ж)|<£А.	(152)
Положим
X
Л» («) = /(«) +	Pn(t)dt.
а
Очевидно,
\РМ-Нх)\^(Ь-а)Е'п.	(153)
560 СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ [гл. Ilf
Так как Р2П_2 (ж)—полином степени не выше 2n—1, то-
п	п
Ptn-t (*) = 2	(хк) А<Р (х) + 2 р'^г М ВР (ж).
к-1	/с=1
G другой стороны,
П	п	Г
Н,п~Л*)= ^К*к)АР(х)+% f(xk)BP(x).
k-i	k=i
Если принять во внимание, , что АР(х)^0 (ибо г
матрица нормальна) и соотношение (149), то из (152)>
и (153) станет ясно, что
п
1#,П~1(®)-Лп^(®)1<^2 [Ь~ «+ 2 1^П)(®)| ]• .
к-1
Но вР(х) = (х-хк)Ц(х) и |ж — жл|<Ь — а. Значит,
(см. (150)):
п	п
2iMn)(*)i<(5-«) 2zu*)<
k-i	k-i
Таким образом
[tftn^)-*v2(®)i< (ь~а)0'
и, тем более,
|Я,п-х (*)-/(*) К (* ~ «) (^ +	£2'п_2,
откуда и следует первая часть теоремы. Вторая дока-
зывается аналогично, ибо для р-нормальной матрицы ?
п
V
к“1
Дальнейшие подробности о нормальных матрицах ч
читатель найдёт в статьях Д. Л. Бермана [1J и Г. Грюн-
вальда [2].
. Г Л А В A IV.
НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ,
СВЯЗАННЫЕ С ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕМ.
§ 1. Первый процесс С. Н. Бернштейна.
Как мы видели в главе II, интерполяционные поли-
номы не представляют собой аппарата, дающего равно-
мерное приближение для любой непрерывной функции.
В этом отношении они подобны частным суммам Фурье.
Но ещё в первой части мы видели, что, исходя из частных
сумм Фурье непрерывной функции, можно получить
и такие тригонометрические полиномы, которые доста-
вляют сколь угодно хорошее равномерное приближение
этой функции. Таковы, например, суммы Фейера или
Валле-Пуссена и т. п. Возникает естественная мысль
построить такие сходящиеся процессы, исходя из интер-
поляционных полиномов. Эта мысль с большим успехом
была в различных направлениях проведена С. Н. Берн-
штейном, указавшим, целый ряд подобных сходящихся
процессов *). Особенно просто строятся эти процессы,
исходя из тригонометрических интерполяционных поли-
номов по равноотстоящим узлам
^ = 4n) = 2^i (А = 0,1, ...,2п), (154)
ибо (как уже отмечалось) сами эти полиномы весьма
аналогичны частным суммам Фурье.
В этом параграфе мы приведём процесс С. Н. Берн-
штейна, аналогичный процессу Чезаро—Фейера.
*) См. также И. П. Натансон (6].
36 Конструктивная теория функций
562	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩЕЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гл. IV
Пусть
п
Тп (х) —	+ 2 (am) C0S тх +	®*П тх}
т=1
есть тригонометрический полином, который в узлах (154)
совпадает с некоторой функцией f(x) из	В § 5
главы I было установлено, что
2п

fc-!)
2п а(т 2^П 3 f C0S тХк>	(155>
к=0
2П
6тП)~2п+1
*=0	j
Положим ТП)о (ж) = Л<п) и пусть
Р
Тп,р (ж) = А(п) 4- 2	cos тх 4-6^) sin тх) (1 </»<,«).
т=1
Подставляя сюда выражения коэффициентов А<п),
а(т’ нахоДиМ
Т п,р (х) —
2п	р	2п
=2ТТ1 {3/^fc)+2 Ё [ Зн®*)0087”^—®*)]} •
к=0	т=1 к=й
Отсюда
2п	р
Тп’Р = 2^ТТ 2 / <**) [ 1 + 2 Ё с08 т (Х~ Хк) ] •
к=0	m»i '	.
Опираясь На формулу (41), получим
2П	*	4" / V
1	sm-^-g—(«-«*)
=	 05в)
Л»0	81П—2
Это представление Тп>р(х) пригодно и для р = 0.
§ 1]	ПЕРВЫЙ ПРОЦЕСС С. Н. БЕРНШТЕЙНА	563
Положим теперь
£у(п) (®) — ^*П’О	^п’1	‘	^п>9
Пользуясь формулой (156),,. имеем
(/№=
' 2n	g
=	2'Лйг [ 2 Ап2-1±1(х- ,.)] .
Но ещё в
зано, что

2	*
первой части (формула (194)) было пока-
9
2 sin
p=0
2р + 1
2
• s g "Ь 1
Sin2 2-х— а
Л=-----
2
siny
Поэтому
U^\x} =
fc-0 I	B1U —2—
Теорема (С. Н. Бернштейн [9]). Если п и }(?<«)
неограниченно возрастают, то равномерно на всей оси
lira С7дП) (ж) = /(«).
Действительно, рассмотрим, какой вид примет и^\х),
если /(«)== 1. Прежде всего согласно (157)
2"	ж*)]*
(,+1) 2 —-<168>
*=о L sm—г-
С другой стороны, для /(а?)==1 имеем '
А(и) = 1,
flm> = 2^1 2 cos тх*> bW =	2 sin mxk.
k~D	A-0
1
+ l)(g + l)
2П
2 /(жл)
• . g 4~ 1
S1B -=-2— (X — :
. X — хк
^fc)
a
.(157)
36*
56'*	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV
Покажем, что при
2п	2п
2	cos тхк — 3 S*n тхк ~ О’
к=0	Л=0
(159)
Обе эти суммы суть
ненты суммы
вещественная и мнимая компо-
2п
^eimXk.
к-й
Но так как
грессию, то
узлы хк
образуют арифметическую про-
2п
2 е1тхк =
*=о
1 _ »«2тя
-— ------= 0,
. 2тд ’
1-е 2n+1
откуда и следует (159).
Таким образом aW =	= 0. Значит,
Tn,P(z) = Aw=l	(р = 0, 1,
и потому для /(®) = 1 оказывается
^п)(ж) = 1.
Сопоставляя это с (158), получаем тождество
j 2n sinMp-Cz-zO
1	(2n + l)(g + l) S х — хк
к=0 L sln 2	-
(160)
Из (157) и (160) вытекает, что*)
4	2n	sin (х -хк)
< (2п + 1)(8 + 1)	'
*) xvIm считаем, что 0<z<2n. Ввиду 2л-периодичности f(x)
достаточно ограничиться этими значениями х.
§ 1]
ПЕРВЫЙ ПРОЦЕСС С. Н. БЕРНШТЕЙНА	565
Возьмём е > 0. и подберём такое 8 > 0, чтобы неравен-
ство |®" — ж'| < 8 влекло неравенство | /(«")—/(«') | <е.
Сделав это, разобьём числа 0, 1, 2, . .., п в две
группы I и II, отнеся к в группу I в следующих трёх
случаях:
| хк — х — 2тс | < 8,
1®л — ®1<8, |жк —« + 2л|<8,
и в группу II, если не выполнено ни одно из этих трёх
неравенств.
Так как; / (х ± 2к) = f(x), то, опираясь на (160),
имеем
!	. 81П	(® - Xfc).
A£I	L ВШ 9
С другой стороны, если к£ II, то *)
I . х — хк1 • 8
Поэтому, обозначив через М наибольшее значение
|/(ж)|, имеем
г . g + 1,	+|2
j	sin2-^-(ж- хк)
(2п + 1)(д + 1) 2	/(ж)1	. х-хк
*€П	L sin 2
2п
<---------------5 3 sin’ (г - хк)
(2n+l)(g + l)sin2-y *=0
и, тем более,
г . д + 1,	/1*
sin 2-^— (х-Хк)
(2п + Щд+1) 2 1/(^)-/(ж)1  ; ж—— <
*еп	L sin—2—
< ш
(g+l)sin2-|-
А
*) Очевидно,
| тк — х | < 2 те, поэтому при ЙЕН будет
5	| хк — х
2~
£
2
566	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гл. IV
Итак, при любых га и q (q^n)
\U^(x)-f(x)\<e +...............2М 8 ,
(q + 1) sin2 —
что и доказывает теорему.
§ 2. Второй процесс С. И. Бернштейца.
Другой способ получения сумм, равномерно прибли-
жающих любую непрерывную, 2л-периодическую функ-
цию, представляет аналог процесса Бернштейна—Рого-
зинского, рассмотренного в главе X первой части.
Пусть, как и выше, 5РП (х) £ Нп есть тригонометри-
ческий полином, совпадающий в узлах (154) с неко-
торой 'функцией /(ж) из Сг*. Положим вместе
с С. Н. Бернштейном *)
ип(X) = ип [/; ж] = -А--2?+17_---------2НЛ / . (161)
Теорема 1 (С. Н. Бернштейн). Для любой f (ж) g
равноме рно на всей оси
lim Un (ж) = / (ж).	(162)
п-*х>
Для доказательства этого факта мы установим сначала
некоторые вспомогательные утверждения.
Теорема 2 (А. Зигмунд). Если К (ж) есть триго-
нометрический полином порядка йе выше п, то**)
2я	2it
| А'(ж)|с?ж<-2га |Х(ж)|с£ж.	(163)
о	о
*) С. Н. Бернштейн [9]. См. также Ф. И. Харщиладзе [2].
Я следую здесь изложению Харшиладзе.
**) Зигмунд [1], стр. 156 — 157. В другом месте Зигмунд
показал, что без нарушения справедливости неравенства (163)
в правой его части можно устранить множитель 2.
§ 2]	ВТОРОЙ ПРОЦЕСС С. Н. БЕРНШТЕЙНА	567
В самом деле, если
п
К (ж) = А + 2 (ал cos kx + sin kx),
k=A
ТО
1 С
ak— — \ K(t)cosktdt,
о
2я
~ К (t) sin kt dt.
о
Подставляя эти выражения в равенство
п
К'(х)~ 2 k {bk cos кх — ак sin кх),
Л=1
находим, что
2п	п
К*(х) — -j- К (t) £ 2 к sin к (t — х) j dt.
О	Л=1
Но
2«	л-1
K(t) £ 2 Asin (2n — k)(t~	d« = O,
О	к-=1
ибо функция
sin (2га — к) (t — х) = '
= sin (2га — k)t cos (2га — к) x — cos(2га — A) ^sin (2ra — k)x
при 1</с<га—1 ортогональна на [0, 2тс] к поли-
ному K(t), порядок которого не выше п. Значит,
2п
К'(х) =	| га sin п (t — «) +
а
n-1
+ 2 A [sin к (t — х) + sin (2га — к) {t — «)] j dt,
k=i
568	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гл. IV
откуда
К'(х) =
2-к	n-i
=	К (t) sin п (t — ж) £га + 22 Acos(ra—k)(t—х) jdf.
О	k-i
Но в первой части (формула (89)) было установлено,
что
п-1
га 4-2 2 Асов (га — A)f>0.
*=1
Значит,
I К' (ж) | <	| К (I) | £ п + 2 2 А сов (п—A) (t~х) 1 dt.
О	А-1
Интегрируя это неравенство, меняя в правой части
порядок интегрирований и замечая, что
2я	п-1
5 £ га + 2 2 c°s (п — k){t — х) j dx = 2nit,
:о L	A-l
мы и приходим к (163).
Следствие. Если К (ж)^Я„ и хк =	> то
2п	2л	2те
k=fl	О	О
В самом деле,
2п	2п	хк+1
±^|Х(0|Л=А 2 $ И(0|*-
О	А=о	Хк
Применяя к каждому слагаемому теорему о среднем,
находим
2«	2л
А 5 |Я(0|dt = 2-^у 2 1^(М1
Р	Л«=0
ВТОРОЙ ПРОЦЕСС С. Н. БЕРНШТЕЙНА	569
Поэтому левая часть неравенства (164) не больше,
чем *)
2n	2n Ejt
3 $ \К' (t)\dt.
к—О	к=0 хк
Но сегменты [хк, £к] не имеют общих внутренних
точек и все содержатся в сегменте fO, 2л]. Поэтому
2п 1к	2л
, 2	\K'(t)\dt< I K'(t} |<й.
..A—fl хк	С
Отсюда и из (163) и вытекает (164).
Возвращаясь к теореме С. Н. Бернштейна, заметим,
что, в силу (42),
. 2га 4-1
;n Sin —(хк - х)
' 2га 4-1	. хк — х
а=о sin~V~
Поэтому
2п
п “ 4^2 S C0S ~ Х
A-D
-1 1
• (хк~х ,	Л . / Ль — Я
181Ч~2~+^+2? ЯЧЛ-
Положим (считая х закреплённым)
К (z) = cos (t~x) X
у Г	* -1
Lsi<—+4T+2J	81Ч~
Это—тригонометрический полином порядка га, относи-
тельно которого в первой части (неравенство (296))
было доказано, что
2л
1^(01^ <8л2.
о
*) Надо учесть, что ||а|—|£||<|а — Ь|.
570	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гл. IV
Применяя к нему неравенство (164), получим
2п
йТ2 Sl*(^)l<2ir + 4A
k-0
Отсюда и из (165) вытекает
I Un[f; ж]|<(2к + 4к’)М,	(166)
где М = шах | / (ж) |.
Дальнейшие рассуждения уже не представляют
затруднений. Именно, обозначая через Т(х) тригоно-
метрический полином порядка не выше га, наименее
отклоняющийся от /(ж), будем иметь
|Т(ж)-/(ж)|<2?п.
Поэтому
\Un[T~f- ж] | < (2n + 4w3)En,
или, что то же самое,
IUn[T\ x]r-Un[f‘,x]\<(2к + 4^)Еп.
Но так как полином Т (ж) совпадает со своим интер-
поляционным полиномом, то
V п (У , Ж] —	-	.
Эта величина отличается от
.....
2	\1и1)
меньше, чем на Еп, а дробь (167) в свою очередь отли-
чается от /(ж) меньше, чем на ш f а \ где <о(8) —
непрерывности функции /(ж). Таким образом
I Un [/; ж] - /(ж) | < (1 + 2к + 41?)Еп + ш	,
дтр и доказывает теорему.
§ з] ТЕОРЕМА С. М. ЛОЗИНСКОГО И ПРОЦЕСС С. И. РАППОПОРТ 57 Г
§ 3. Теорема С. М. Лозинского
и процесс С. И. Раппопорт.
Рассуждения предыдущего параграфа допускают
существенное обобщение:
Теорема 1 (С. М. Лозинский). Пусть матрица
множителей
? /Л
.....р™,
удовлетворяет условиям
lim = 1,
П-ко
7Q	П
|р<”)+2 2 pV*)costo|d<<-^-
—п	й=1
Если f (х) 6 С2те и
Тп (ж) — А(п) 4- 2 (aml) COS тх +	тх)
m =
2Jhc
есть полином, совпадающий с /(ж) в узлах хк =
(к = 0, 1, ..., 2га), то полином
^•п (®) — Ln [/; х] —
п
=рОП)Л(П)4- 2	(«т° COS 7ПЖ + b^sin га?ж)
m=l
с возрастанием п равномерно стремится*) к / (ж).
*) С. М. Лозинский [3], стр. 237. В работе Лозинского уста-
навливается несколько более общий результат, чем в тексте.
572	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гл. IV
В самом деле, подставляя в Ln (®) вместо коэффи-
циентов	их выражения (155), находим
2n	п
L" = 2/+? 2 / (Ж*) [	+ 2 2 f'm)c0S т ~ Ж) ]
k=0	m=i
ИЛИ
2п
А=0
где положено для краткости
п
K(t)==p(^ + 2 3 [><£) cos т (t - х].
771=1
По условию теоремы
2«
4- 5\К (t)\dt <к.
о
Значит, на основании (164)
2п •
^j-r2l7ir(^)l<(2^+1)^,
л=о
и потому
|Zn[/; z]|<(2k + 1)W,	(168)
где М = max | / (z)
Заметив это, возьмём в > 0, и пусть
ч
U (x)=R+ 2 (rm cos тх + sm sin mx)
— тригонометрический полином, удовлетворяющий нера-
венству
I U (х) — / (ж) | < в.
Тогда благодаря (168)
|£П[Г; х]- Ln[f; *]| <.(2* + 1Ив.
Но при п></ полином U (ж) совпадает со своим ин-
§ з] ТЕОРЕМА С. М. ЛОЗИНСКОГО И ПРОЦЕСС С. И. РАППОПОРТ 573
терполяционным полиномом по узлам хк. Значит,
«
Ln [и-, х] =	+ 2 (rrn cos тх + sm sin тх)
m=l
и, в силу’условия
lim р(”) = 1
*т 1
для достаточно, больших п справедливо неравенство
х] - t/(z)| <s.
При этих п, очевидно, окажется
|ГП[/;	— /(гг) | < [(2в: + 1) ^ + 2]е,
что и завершает доказательство.
По существу эта интересная теорема означает, что
всякий процесс, позволяющий получать равномерное
приближение, исходя из частных сумм Фурье, применим
и к тригонометрическому интерполированию по равно-
отстоящим узлам.
Положим, в частности,
Р(п) =_____(20!____.
(п — т)\ (zi-pm.)!
Полином Ln (х) перейдёт в полином
п
Rn (х) = Л(п) + 2	cosтх +	sin тх1>
т=1
которому на основании (155) можно дать вид
Яп(ж) =
= ....Vt У / (жл) Г1+2 У ,-----ч?1? , cos т (xk—x) 1.
2га + 1 Л-i > ' L	(га —тп)! (га + тга)! '	’ J
к==0	тп=1
Но в первой части было показано (формула (309)),
что
п
1 + 2 2 ?-----к*? 4-~ cos mt — ,/2ft cos2" ~.
’ ZJ (n — m)\ (nm)\	(27i—l)!i	2
m=l
5%	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гЛ. IV
Поэтому полином Rn(x) можно переписать в форме,
аналогичной интегралу Валле-Пуссена
2п
к=0
Таким образом, получается*)
Теорема 2 (С. И. Раппопорт). Если f(x)^C^,, то
равномерно на всей оси
lim Rn (ж) = /(«).
П->СО
§ 4. Третий процесс С. Н. Бернштейна.
В предыдущей главе был изложен интерполяцион-
ный процесс Фейера, состоящий в построении полинома
Н2п_1(х), совпадающего с заданной непрерывной функ-
цией /(ж) в чебышевских узлах ж*п) и равномерно стре-
мящегося к этой функции с возрастанием п. При этом,
однако, полином Htn~t (х), будучи не лагранжевым, а
эрмитовым интерполяционным полиномом, имел степень
2га — 1, совпадая с функцией лишь в п узлах. Естествен-
но попытаться построить такие равномерно сходящиеся
интерполяционные процессы, в которых отношение
степени га-го полинома к числу точек, в которых он
совпадает с интерполируемой функцией, было бы по
возможности близко к единице. Эта проблема была
поставлена G. И. Бернштейном. Ему же принадлежит **)
одно из возможных её решений, которое и излагается
в этом параграфе.
Пусть жк = х^у = cos Ot, где 6* = 6^ =	к суть
узлы Чебышева. Обозначим через I какое-нибудь нату-
ральное число и, предполагая га >2/, разобьём всё мно-
♦) С. И. Раппопорт [1]. В работе показано, между прочим,
что |Bn(a:)-/(a:)Ke>	^3 + ^^===^^, где <а(8)-мо-
дуль непрерывности f(x).
**) С. Н. Бернштейн [8].
§ 4]	ТРЕТИЙ ПРОЦЕСС С. Н. БЕРНШТЕЙНА	575
жество узлов
4П), 4П), 4П),	ж£°
на группы по , 21 узлов в каждой (кроме последней,
в которой число узлов будет меньше чем 21, если п
не делится нацело на 21).
Если n = 2lq-\-r (0<г < 21), то упомянутые группы
таковы:
 3-1,	Х2,	. . ., Хц, _
J»2Z+b %21+2>	Хц,
x2l(s-l)+l, »2I(s-l)+2> •••> ^2Zs,
Ж2гд+Ь ®2Z(Z+2>	•••> x2lq+r.
Пусть / (x) — произвольная непрерывная функция,
заданная на [—1, 4-1]. Положим
Ak~A<P-f(xV>),
если к есть число (из ряда 1, 2, ..п), не делящееся
на 21; если же к делится на 21 и k = 2ls(s = l, 2,..., q),
то мы полагаем*)
^2Zs=^lZs = [/(®2Z(s-i)+l)4-/(a:2Z(s-l)+3)4- ’ ' ’ 4* У (®2Z$-1)]—
— [/ (®2Z(»-l)+2) + / (®2Z(»-l)+4) 4- •  • 4- / (»2Zs-2)].
G помощью чисел Akn) построим полином
Pn (ж) = Рп [/; х] = 2 Д } T^xk)(x-xk) ’
где Tn (ж) = cos (ware cos ж) есть полином Чебышева.
Степень полинома Рп (ж) равна п — 1. Так как
Рп (ж!п>) = 4п), то при к, не делящемся на 21, окажется
Рп(4п)) = /(4П)).
♦) Например) при I = 4 будет
А» =[/(*») 4- У (®ц) 4- f («и) 4- / («и)] - [/ («ю) 4- / («1 а) 4- / («ц)1 •
5J6	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гл. 1V
Таким образом Рп(х) совпадает с /(«) в n—q узлах
х^, где к ф 21,	..., 2lq. Значит, отношение степени
Рп(х) к числу точек, в которых имеет место совпадение
Л»(®) с /(ж), равно
п-1
п —д’
Но 3 = 4г' Поэтому
а эта величина при достаточно большом I сколь угодно
близка к единице (надо заметить, однако, что I есть
заранее выбранное и закреплённое число).
Теперь мы установим, что равномерно на [— 1, +1]
' lim Рп (ж) = /(«).	(169)
П-*со
Для этого прежде всего заметим, что
V Тп(х) _ j
2n(xfc) (® ~ хк)
и, стало быть,
п
л и - №)=2 [А - / Wj	•
k-1
Если заменить здесь Тп (х) и Т’п (ж) их выражениями,
то мы получим
Лг (*)-/(*) =
«К <».4 з (_ 1)w [Л _ у W]	.
*-1
или, вводя обозначение 6 — arc cos х,
Pn(x)-t№ =
п
=4 2 (- 1)А+1[Л - / (*)] sin 6-
k=i
§ 4]	ТРЕТИЙ ПРОЦЕСС С. Н. БЕРНШТЕЙНА	577
Пусть 0р < 6 < 6p+li Тогда последнюю сумму можно
разбить на две суммы по схеме
к=1	й—р+1
(если 0 < 01( то отсутствует первая, а если 0 > 0,„— то
вторая сумма). Обе эти суммы изучаются одинаковым
образом, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь
второй суммй
h
А«=р+1
Таким образом мы предполагаем, что 0 < 0п. Но
тогда с увеличением п число узлов 0fc, попавших
в интервал (0, л), будет неограниченно возрастать.
Обозначим через h некоторое натуральное число, боль-
шее, чем 21. В дальнейшем мы уточним выбор этого
числа h. Предполагая п настолько большим, что п — р
(т. е. число узлов 0^=6^, попавших в (0, it)) больше
чем h, положим
р+й
Й=р+1
И пусть < (х) =	(«) — Хп (х).
Если к есть одно из чисел p + i, р + 2, p+h
и Л не делится на 21, то
I Л - / (®) | = I / (®й) - / (®) I < ш (I хк - х I) < Ш (0р,Л - 0D),
ибо
| хк — х | = | cos 0k — cos 0 | <. О* — 0 < 0p+h — 0p.
Но 6р+й —0р = -^-. Значит, для указанных значений Л
IV/WK® •
Кроме того (см. лемму 2 из § 3 главы II),
— I- flcosnflB--Isin0fc<2.	(170)
п | cos 0—0 cos* |
37 Конструктивная теория функций
578	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гл. IV
Поэтому сумма тех слагаемых которые отве-
чают значениям к, не кратным 21, не больше, чем
2Ы (£)
(ибо число этих к во всяком случае не больше К).
Если же k = 2ls, то
I 4ils — / («)[< I / («21(5—1)4-1) ~ / («21(5-1)4-2) | + • • 
• ‘ • +1 /(«215-з)	(«215-2)1+ l/(«2Is-l) — /(«)|.
Каждое слагаемое правой части, кроме последнего,
не больше*), чем	Последнее же слагаемое не
больше, чем ш (| 621S-1 — 61)- Но
6 "С 6p4-l,	6р4-1	021s^ ®р4-й*
Второе из этих двойных неравенств показывает, что
6р ®2ls-l 6р4-Л—1*
Значит,
I e,IS_x - 61 < бр+л_х - 6Р=Ц-1 к <	.
Таким образом
I л,„ -f и I < (I-1). (Л) + • (^) < I. (£-) .
Если принять во внимание оценку (170) и заметить
что среди чисел р + 1, р + 2, ..., p-f-Л имеется не
больше**), чем -^ +1,, кратных 21, то станет ясным,
*) Ибо I Xfc+l — I	8j; + 1 — 0/с= — .
**) Если это суть числа
2Z(i-M), 21(14-2), .... 2l(i + m),
то их количество есть т. Но
2!(i + m)<p + i, 2Ц’ + 1)>р + 1.
Стало быть,
21 (т-1)<Л-1.
§ 4]	ТРЕТИЙ ПРОЦЕСС С. Н. БЕРНШТЕЙНА	579
что сумма тех слагаемых (х), которые отвечают зна-
чениям к, делящимся на 21, не больше
Сопоставляя это со сказанным выше, получаем
|5п(^1<(ЗЛ + 2/)ш ^) .	(171)
Установив это, перейдём к рассмотрению суммы
<(х)'=4 5 (-1)№,/ье,.
к=р+й+1
В этой сумме мы прежде всего выделим группу 21
слагаемых 5S, отвечающих значениям
к = 21 (s-1)4-1, 2Z(s-1)4-2, ..., 2ls-l, 2ls. (172)
Если ввести обозначения
/(®k)=yfc, /(®)=/,	=
то упомянутая часть суммы т„(ж) равна
(	2Н-1
5s==cos^	2	(-!)*+! (fk-f)uk~
A=2Z(s-i)+l
— CQ^-nB {[/2i(S-i)+i4-/2i(s-i)+3+ +hls-i] —
— [/2Z(s-l)+2+	4- /2IS-2] —'/} U21s,
или; что то же самое,
5s = ^{S(-l)ft/Mfc4-S(-1),£+1/H^-«s!s)} >
причём суммирование распространяется на все числа
(172).
Отсюда
ш < 4- {| з (- *)*I+s ।	।} > (173)
где М г= max | / (ж)
37*
580
НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ
[гл. IV
Замечая, что положительная величина
_____sin 6^
COS 6 — COS Ofc
с возрастанием к убывает*), мы видим, что
( — l)fcKft| = (W2Z(s-l)+l — «2Z(S-l)+2) + ’ • •
‘ • • + («2ls-i~«2Zs) = «2l (s-l)+l—(«21 (s-l)+2—«2!(«-1)+з)-
• • • —’ («2Zs-2~ «2Zs-l) ~ u2ls,
откуда
| S (~l),C«/£|<K2Z(s-l)+l —«21s-	(174)
G другой стороны, все разности u* — uils положи-
тельны, и каждая из них не больше, чем «2z (s-i)+i —«2Zs‘
Значит,
2 I Uk — «2ZS I < (2Z — 1) («2Z(s-l)+l“«2Zs)-
Отсюда и из (173) и (174) следует, что
| S, | <	(«21 (s-l)-M — «2ls)>
Пусть в ряду чисел р4-Л-[-1, р + Л4-2,..., п
содержатся группы (172) для « = н + 1> • ..»Х. Кроме
того, в этом ряду может быть некоторое количество
чисел, не попадающих ни в одну из групп (172). Таких
значений к (т. е. не попавших в группы (172)) во всяком
случае меньше, чем 4Z. Так как | Afc|< (21 — 1) М, то
часть суммы vn(x), отвечающая этим значениям к,
меньше, чем
Ч1М Xi
~Т~ 2
где через Q обозначено множество этих к.
(sin ж	cos fl соя ж —1
cos fl — cos х ) (cos 0 — cos ж)2
§ 4]
ТРЕТИЙ ПРОЦЕСС С. Н. БЕРНШТЕЙНА	581
Таким образом
л
I < (ж) | <	{ 2 [И21 <*-‘>+1 — M21s] + 2 “*} •
s=P	kEQ
Но
л
2 [M2Z(s-l)+l — «2Is] = в21(|л-1)4-1 — (в21|л ~ в21ц4-1)---
S=|A
• • — (в21(Л-1)— В21(Л—1)4-1) — В21Л < в2.Л(|л—1)4-1*
Значит,
I <(«) | < {кгКи-1)4-1 + 2 и* } •
fc£Q
Все фигурирующие здесь индексы не меньше, чем
р + Л4-1. Значит, учитывая, что ик убывает с возра-
станием к, мы находим
I tn (®) К - Up+h+i'
Остаётся оценить ггр+й4-1. Но
„	_ gin вр-*А-и	 sin 9р4л4.х_
Р+Л4-1 cos fl — cos 0?+A+1 cos 0р+1 - cos flp+A+1
и, тем более,
sis flP41+sin flptA41 _
Up+h+t^ cosflp + 1-cosflp + A+1
2 sin B^1 + B1».1^A.. cos	•
2	2
2 sin -B.gJi-± B?_t*li_ sin-B£i*tL-j^i ’
2	2
откуда
1
вр4-Л4-1 <
sin
Замечая, что 6р+л+1 —0p+i

2
hn
— , имеем
n ’
,	1 n
uP+h+l < —h^<~T ’
sin —
2n
582	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гл. IV
Таким образом
Сопоставляя это с неравенством (171), имеем
К(я)1<4/и»(£) + 8-^.
Та же оценка имеет место и для суммы
— i(-i)^[A-/WJ—ApSfe й.
П -Л-1 '	'	1 к	COS 0 — COS0fc
А=1
Поэтому
I Рп (®) - / (®) I < 8йш
Теперь, взяв произвольное е>0, мы закрепляем
такое h, что
16Л»1 . е
“Л~< Г’
после чего берём п столь большим, что
При таком п будет
|Рп(®)-/(®)|<в,
чем и доказано (169).
§ 5. Некоторые общие свойства сумматорных формул.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые свойства
так называемых сумматорных формул. Пусть заданы
две треугольные матрицы:
«узлов»
~<i>
х?\...,х<£\
(175)
§ 5] НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА СУММАТОРНЫХ ФОРМУЛ 58З ’
и «фундаментальных функций»
(®),
тГЧ®), ^>(х),
(176)
При этом все узлы а4п) лежат на некотором сегменте
[а, 6], в котором определены и функции
В таком случае каждой функции /(ж), заданной
на [а, 6], можно сопоставить «сумматорный полином»
п
=	(177)
Jc=l
Таким образом понятие сумматорного полинома со-
держит как частный случай понятие интерполяционного
полинома Лагранжа, но является существенно более
общим. Например, полиномы Бернштейна
п	*’•
5П(Ж)=2 /(1)^(1-^,
к=0
или полиномы Фейера
п
н№-, w=3 /(4">) [	1-(1 - »{•>)
А=1	L хк ) j
являются сумматорными полиномами.
Точно так же (если только не ставить несуществен-
ного условия, чтобы n-е строки вышеуказанных матриц
содержали точно по п элементов) тригонометрические
интерполяционные полиномы и полиномы, получающиеся
из них в результате тех или иных процессов суммиро-
вания, являются сумматорными. Поэтому теоремы,
относящиеся к сумматорным полиномам, обладают зна-
чительной степенью общности. Впредь, не оговаривая
Этого, мы будем предполагать, что все фундаментальные
584	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гл. IV
функции <$Д(я) ограничены (но не обязательно одним
числом).
Каждой паре матриц (175) и (176) отнесём функции
п
/t-i
и числа
Xn= sup {).„(»)}	(а<ж<6).
Теорема 1. Для того чтобы для всякой функции
/(ж) класса С ([а, 6]) равномерно на [а, 6] выполнялось
соотношение
lim Фп(ж) = /(ж),	(178)
П -+ СО
необходимо и достаточно выполнение двух условий-.
1) соотношение (178) выполняется {равномерно} вся-
кий раз, когда /(ж) есть полином*)-,
2) существует такая постоянная К, что при всех п
Достаточность этих условий почти очевидна. В самом
деле, пусть они йыполнены и пусть / (ж) — функция класса
С([а, fe]). Тогда, взяв произвольное з>0, подбираем
такой полином Р(ж), что при а<ж<6
I Р (ж) - / (ж) I < 8.
Легко видеть, что
|ФП[Р; ж] — Фл[/; ж]|*=|Фп[Р —/; *]|<*..
Отсюда и из того, что
®]-фл[Р; *]|+ '
+1Фп [Р; ж]—Р (ж) | +1Р (ж) — /(ж) |,
вытекает неравенство
|ФП[/; *]-У(®) К (* + 1)з + |Фп[Р; я]-Р(х) |,
и, в силу условия 1, при достаточно больших п ока-
*) Требование, чтобы /(ж) была полиномом, можно заменить
требованием, чтобы / (ж) принадлежала какому-нибудь классу,
всюду плотному в С ([а, &]),
g 5] НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА СУММАТОРНЫХ ФОРМУЛ 535
7К6ТСЯ
Переходя к рассмотрению необходимости условий
1 и 2, мы видим, что необходимость условия 1 триви-
альна, ибо если соотношение (178) имеет место для
всякой непрерывной функции, то это тем более так
для полинома. Необходимость условия 2 доказывается
от противного методом «скользящего горба» аналогично
теореме Фабе-ра из главы П.
Именно, предполагая для всякой непрерывной функ-
ции соотношение (178) выполненным и допуская, что
условие 2 не выполнено, находим точки zn, в которых
xn(zn)>>«n-l-
Затем для каждого натурального п строим функцию
Фл(ж), полагая
Фп (4n)) = siSn t?ln) (zn) (А <= 1, 2 п)
и считая её линейной между узлами х^ и концами
сегмента [а, 6], в которых полагаем (я) равной нулю
(если только она уже не определена там).
Сделав это, подбираем такое натуральное пх, что
^П1 > 2 • 2 • 3,
что возможно, ибо условие 2 не выполнено.
Так как фщ(ж) непрерывна, то, в силу условия (178),
Ф Г*!И;
n L 3 J 3
и для п > п' будет при всех о: из [а, 6]
Ф
п
Пусть n2 > п’, n2 > и, кроме того,
ХП2>2. 3 - З2.
Так как
I Мо
I з
Фп2 (ж) I	1
З2 |	2 ’
586	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гл. IV
то найдётся такое пг > п2, что
ФпГ —+ ~'a:l <-
1	3 Г 3З ? I Хч2>
Хпз > 2 • 4 • З8.
Продолжая этот процесс, мы построим бесконечную
последовательность чисел пх < п2 < п9 < ... таких, что
I ф Г l*'ni I	I ^nm-i . х 1 <• .£
х	I з т • • т з»|-1 ’ л I 2 ’
ХПт > 2 (т + 1) Зт.
Проделав это, положим
*=1
Ясно, что /(«)—непрерывная функция. Если положить
т-‘ Ф„/*)	“ ФпЛ«)
л (ж) — 2	р-~ ’ в(х) — 2 Зь »
fc=l	7c=m+l
то окажется
Фпт [/; X] >	- ] ФПт [Л; я] НФПт [В; х]
Но по построению	’
|Фит[Л;ж]|<4 .
Далее,
I фпт [5; | «= | 2 В ^кт) (ж) | < knm тах I В (*) I»
*=1
а так как
то
Л
|ФПш[В;
g 5] НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА СУММАТОРНЫХ ФОРМУЛ 587
Наконец,
[tynmi Znml ~ '
"т
= 2 ^пт ?(fcnm) = Xnm (Znm) > Xnm - 1.
*=1
Таким образом
Ф Г/- ’ 1S ^nm ~ * - ?‘Пт
^пт I/? **nmJ	2 2«3м
и, тем более, ••
х* 2 . з>п 1 > /И.
Значит, для построенной функции /(ж) полином
Фл (ж) не стремится к Ней равномерно.
Теорема доказана полностью.
Нетрудно получить также условия того, чтобы сум-
маторный полином равномерно сходился к любой
функции класса С2я, Нужно лишь в условии 1 говорить
не об обыкновенном алгебраическом, а о тригонометри-
ческом полиноме.
Практически иногда удобнее иметь критерий сходи-
мости в другой форме:
Теорема 2. Для того чтобы соотношение
lim Фп (ж) = /(ж)
П—»СО
выполнялось равномерно для всякой / (ж) £С ([а, Ь]),
достаточно, чтобы выполнялись условие 2 теоремы 1
и условия:
1') при безграничном возрастании п
п
2 <г(лп)(я0г:1;
fc=l
1") существует функция ап (8), стремящаяся к нулю
при каждом постоянном 8 > 0 м возрастающем п и та-
кая, что если обозначить через Дп (ж, 6) множество
тех к из ряда 1, 2, ..., п, для которых |ж^п>—ж|>8, то
2 И1п)(а:)1<ап(8)-
588	НЕКОТОРЫЕ СХОДЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ [гл. IV
В самом деле, пусть все эти условия выполнены.
Если / (ж) € С ([<?, &]), то
1фп[/;
п	п
<|ф„[/; x]-f (х) 2	(*) | +1 / (*) 112 т1п) (®) -11 •
fc=l	k=l
Второе слагаемое правой части равномерно стре-
мится к нулю, и потому достаточно убедиться в равно-
мерном стремлении к нулю суммы
Л
2	(179)
Взяв s > 0, подбираем такое о > 0, что при | х”~х' | < 8
будет |/ («")—/ (ж') | < е, и разбиваем сумму (179) на
две: 21 и Sa’ отнеся в 21 слагаемые, отвечающие
тем к, для которых ж|<8, а в 22 все остальные.
Легко понять, что
|Sj<akn> |Sj<2^an(S)f
где М = шах | / (ж) |. Таким образом сумма (179) меньше,
чем	а
Ке-]-2Ма.п (8).
Остальное ясно.
Само собою разумеется, что условие Т необходимо
для выполнения (178). Не так обстоит дело с усло-
вием 1". Это показывает следующий
Пример. Пусть а ~ О, Ь—1
х^) = |, ?(кп) (ж) = С*х* (1 - х)п~к + хк
(к— 0, 1, <.., и),
где
т0 = 1,	= ~ 1, 'с2 = т3= ... =тп = 0.
Легко понять, что
Ф„[/; ^] = 5п[/;ж] + /(0)-/(^) ,
§ 5] НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА СУММАТОРНЫХ ФОРМУЛ 589
где Вп [/; ж] есть полином Бернштейна функции / (ж).
£
Значит, (178) выполняется. Вместе с тем при 2 = у
2	(|) |+1 т 1- (4) |=2-	,
Л£дп(|, |)
и 1" не выполнено *).
В заключение установим ещё одно предложение.
Теорема’ 3. Если сумматорный полином обладает
тем свойством; что для всякого полинома Рп (ж) степе-
ни < п
^п[Рп\х}=Рп{х),	(180)
то соотношение
lim Фп (ж) = / (ж)
выполняется равномерно для всех функций f(x), наилуч-
шее приближение En(f) которых удовлетворяет условию
limkn^n(/)=0.
П->оо
В самом деле, если / (ж) —такая функция и Рп(х)—её
полином наилучшего приближения, то
|фп[/; *]-/(*)!<
< I фп [f-Pn, *] I + 1Л № - / (ж) | < (хл +1) 2?п (/),
что и доказывает теорему.
Условие (180) представляет собой усиление усло-
вия 1 теоремы 1, зато здесь не требуется ограничен-
ности чисел Хп.
*) Как показала С. И. Раппопорт, в случае, когда все фун-
даментальные функции	неотрицательны, условие 1"
также становится необходимым для равномерного стремления
ФП(Ж) к /(«).
ГЛАВА V.
МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ.
§ 1. Постановка вопроса.
Пусть / (х) — непрерывная функция, заданная на
сегменте [а, 6]; требуется вычислить интеграл
ъ
^f(x)dx.	(181)
а
В тех случаях, когда известна функция F (х),
являющаяся первообразной для / (ж), задача решается
по формуле Ньютона — Лейбница
ь
f(x)dx = F(b) — F(a).
а
Однако весьма часто этой формулой воспользоваться
невозможно, так как F (ж) нам неизвестна. Тогда при-
ходится искать других путей для вычисления интегра*
ла (181). Одним из таких других путей является сле-
дующий: выбираем на [а, 6] п точек ж1( х2, ..хп
и строим интерполяционный полйном Лагранжа А (ж),
совпадающий с /(ж) в точках хк:
п
L(x)^^f(xk)lk(x).
к<=1
Если /(ж) — «хорошая» функция (например, целая),
то полином L (ж) можно считать её приближённым вы-
§ 1]	ПОСТАНОВКА ВОПРОСА	591
ражением. Значит, вместо интеграла (181) можно вы-
числить
Ь	п	Ь '
L (я) dx = 2 / (хк). he (ж) dx.
а	Л=1	а
Полагая
. ь
lk(x)dx = Ak, .
а
мы получим приближённую формулу
 Ь	п
\f(x)dx = ^Akf(xk).	(182)
а	А=1
Формулы такого вида называются формулами меха-
нических квадратур. Они могут быть весьма разно-
образными ввиду возможности различного выбора
узлов хк. Важно заметить при этом, что
I (х) =	~ •1 • (Ж ~~	gfc+i) • • • (? ~ хп)
(хк ~~ xi)-• •(®fc— xk-i) (хк ~~ хк-и)‘ • • (хк ~ хп) ’
так что коэффициенты Ак от выбора функции /(«) не
зависят. Это замечание имеет следующее приложение:
пусть нам приходится вычислять много интегралов
вида (181), в которых стоят разные подинтегральные
функции /(ж), но промежуток [а, 6] один и тот же.
Тогда можно заранее выбрать узлы хк и вычислить
коэффициенты Ак, после чего применять формулу (182)
для различных f(x). Это облегчает работу вычислителя.
В качестве примера установим так называемую
«формулу трапеций». Именно, если взять п = 2 и за
узлы выбрать концы сегмента [а, 6], то полином Ла-
гранжа будет
Так как
ъ	ь
f х — Ъ , С x — aj	Ъ—а
\ К 6*3/ - \ 7	— Q )
J а-Ъ	J о — а	2
а	а
592	МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ	[гл. V
то формула (182) принимает вид
ь
\f(x)dx~b-^[f(a) + f(b)].	(183)
а
Это и есть формула трапеций.
В тех случаях, когда подинтегральная функция имеет
одну (или несколько) производных, можно вместо ла-
гранжева интерполяционного полинома применять поли-
ном Эрмита. Это приводит, вообще говоря, к таким
формулам квадратур, в которых, кроме значений самой
функции /(ж) в узлах, присутствуют также1 значения
её производных. Впрочем, иногда члены с производны-
ми исчезают, и мы снова получаем формулы вида (182).
Интересным примером этого является так называемая
«формула Симпсона».
Для её вывода положим
а + Ь
С~ 2
и построим интерполяционный полином Эрмита Н (ж)
по условиям *)
Я (а) = / (а), Я (с) = / (с), Я' (с) = f (с), Я (6) = / (6). (184)
Согласно с результатами § 4 главы 1 мы должны
ввести полиномы
Р1(х) = А, Р2^) = В, Ps(x) = Cl + C2(x-c)
и, положив
Я (ж) = А + В (х — а) (ж — а) (ж — Ь) [<7Я + С2(ж — с)], (185)
подобрать коэффициенты А, В, Си С* так, чтобы удо-
влетворить условиям (184).
Полагая х = а, сразу находим Л = /(а). Далее, учи-
тывая найденное значение А и полагая ж = Ь, находим
/(b)-/(а)
*) Таким образом мы предполагаем существование f (ж), по
крайней мере, в точке ж = с.
ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
593
§ 1]
Наконец, полагая в (185) ж = с, находим
Ь1 ~Z	(Ь-аУ •
Что касается коэффициента С2, то его выражение
будет содержать /'(с), но в окончательную формулу
этот коэффициент не войдёт. Поэтому мы не будем его
находить.
Полагая
ь	ь
/ (ж) dx = Н (ж) dx
а	а
ц пользуясь формулой (185), получаем
ь	ьь-
f [x)dx = A^ dx +В	(ж— a) dx4-
а	а	а
ь	ь
4-Cj (ж — а) (x-b)dx-f-Ct (ж —а) (ж —6) (ж—с) dx.
а	а
Но *)
ь	ь
^dx = b—a,	(ж—a}	dx =	,
а	а
Ъ
(ж— а) (ж—Ь) с/ж = — ~,
а
b
(ж—а) (ж—b) (x—c)dx — rj.
а
*) Первое и второе равенства очевидны. Для нахождения
третьего и четвёртого интегралов целесообразна подстановка
ь
х — с + i . Например,	(х — а) (х — Ь) (х — c)dx =
\ °
== (Ъ t (t2 — 1) dt = 0, ибо подинтегральная функция
16 J	'
-1
нечётна.
38 Конструктивная теория функций
594	Механические Квадратуры	[гл. V
Поэтому
ь
^f(x)dx = b-^ [f (а) + Ц (С) + / (&)].	(186)
а
Это и 'есть формула Симпсона.
Изложенные соображения естественно приводят
к целому ряду проблем. Прежде всего возникает
вопрос о том, можно ли этим путём за счёт надлежа-
щего выбора узлов хк получить для всякой непрерыв-
ной функции / (ж) значение интеграла (181) с любой
наперёд заданной степенью точности.
Если принять во внимание тот факт, что никакой
закон введения узлов не позволяет получить интерпо-
ляционного процесса, равномерно сходящегося для
всякой непрерывной функции, то покажется вероят-
ным, что и на поставленный вопрос следует дать
отрицательный ответ. Тем не менее это не так. Напри-
мер, ниже будет показано, что если а = — 1, 6= +1,
и узлы хк суть корни полинома Лежандра Хп (х), то при
достаточно большом п ошибка формулы (182) будет
сколь угодно мала.
Далее, естественно искать выражение остаточного
члена формулы (182), если относительно функции f(x)
сделаны надлежащие предположения. Затем возникает
вопрос о . наиболее рациональном выборе узлов, т. е.
о таком их выборе, при котором или точность фор-
мулы (182) оказалась бы по возможности высокой
или коэффициенты Ак были бы наиболее простыми,
И т. п.
Ниже мы и занимаемся как указанными вопросами,
так и другими, относящимися к исследованию форму-
лы (182).
§ 2. Остаточный член формулы квадратур.
Если функция f(x) имеет непрерывные производные
до порядка п включительно (где п есть число узлов хк),
то, как было установлено ещё в главе I, имеет место
g 2] ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕЙ ФОРМУЛЫ ЙВАДРАТур	595
точная формула
f(x) = L(x) + ^^><o{x)
(а <&<&),
где <i> (ж) = (ж — xj (ж — ж2).. .(ж — жп). Отсюда
Ь	п	Ь
^f(x)dx~ ^Akf (хк) + i /<п> (5) ш (ж) dx. (187)
а	к~1	а
Точное выражение остаточного члена найти затрудни-
тельно, ибо нам неизвестна зависимость Е от ж, но
оценку его дать нетрудно. Действительно, если
Мп = max | /<п> (ж) |,
то очевидно, что*)
ь	п	ь
| f(x)dx— 2 А/(жь)|<^г J 1«> (®) И®- (188)
а	к=1	а
Отсюда видно, что для целой функции /(ж) при любом
законе введения узлов, при котором число п этих узлов
неограниченно возрастает, справедливо равенство **)
п	ь
lim У Л/(^) = f(x)dx.
*)	По теореме Коркина—Золотарёва (стр. 425) множитель
ъ
| ш (ж) | dx имеет наименьшее значение, если за узлы интерпо-
лирования приняты корни полинома
sin (п + 1) arc cos ——-
о — а
рДж — а) (Ь — х)
ь
**	) Действительно, | ш (ж) [ dx < (Ь - й)п*1, а для целой
Функции lim ——Л—=0.
38*
596	механические квадратуры [гл.
Если квадратурная формула получена интегрирова-i
нием интерполяционного полинома Эрмита Я (ж), по-:
строенного по условиям
Я(О(Жк) = /(О(Жк)	'
(Zc= 1, 2..n; i = 0, 1, ..ак—1),
то её ошибка не превзойдет величины
ь
а
(189)
где т = в1 + о4тЬ...+ап, 2lfm=max|/<т>(ж)|, а* *)
2 (x)=Lx~xi)ai (® — ®»)а* * • • (® — хп)“п-
В том случае, когда полином 2 (ж) сохраняет знак
на [а, 6) (это будет так, например, когда все числа
ai, а2, ..., ап—чётные), вместо границы (189) можно
дать точное выражение остаточного члена в виде
^$e(®)d® (а<$<&). (190)
а
Так как значение $ нам неизвестно, то (190) при-
водит к той же оценке (189), .но зато теперь ясно, что
порядок этой оценки нельзя улучшить, ибо граница
(189) будет достигаться для функций, у которых т-я
производная постоянна. Точно так же, в тех случаях,
когда «(ж) сохраняет знак на [а, 6], формула (187)
может быть записана так:
ъ	п
5 f[xYdx = 2 Akftxk)
а	„ i-l
+ --у-р «> (ж) dx. (191)
а
Г 2х — (а + р) *1
I b — а I ’
Ь
*) Если аг = а2 «а ... = ап = 2, то | Q (х) | dx получит наимень-
а
шее значение, когда хк суть корни полинома Хп
где Xn(t) — полином Лежандра.
§ 2] ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН ФОРМУЛЫ КВАДРАТУР 597
Рассмотрим для примера- остаточные члены формул
трапеций и Симпсона.
Для формулы трапеций имеем п=2 и ш(®)=
— (ж—а) (я—Ь). Таким образом здесь как раз имеет
место сохранение знака <о (ж) на [а, 6], и потому, замечая,
что *)
ь
(ж—a) (x—b] dx— —	,
а
мы получаем
ъ '
y{x)dx^b-^[f{a) + f{b)]-^^r^ . (192)
(a<S<6).
Аналогично в случае формулы Симпсона будет т =4
и Q(x)=(x — а)(х—сУ(х— 6), где 2с—а + Ь. И здесь
также имеет место сохранение знака 2 (х) на [а, 6],
и потому, замечая что**)
»
(ж—а) (х—с)г (x—bj dx*=—^-^£ ,
а
мы находим
ь
J /(х)^=^[/(а) + 4Яс) + /(&)]-(^/^Ш (193)
’ (а<5<&).
Для повышения точности квадратурной формулы
можно увеличивать число узлов и тем самым поднимать
степень интерполяционного полинома. По этому поводу
надо заметить следующее: закон введения новых узлов,
вообще говоря, не безразличен; для целой функции,
*) Этот интеграл проще всего вычисляется ^подстановкой
х = а + 4.(6 — а).
**) Рекомендуется подстановка ж = сф-=-^4.
4
j
598	МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ	[ГЛ. V
как было указано выше, всякий способ введения новых
узлов позволяет добиться любой степени точности, но
для произвольной непрерывной функции это не так.
Кроме того, построение интерполяционного полинома
высокой степени связано с весьма тягостными вычисле-
ниями.
Поэтому на практике применяют, кроме указанного,
и другой способ повышения точности квадратурной
формулы. Именно, разбив промежуток интегрирования
на части, применяют к каждому частичному промежут-
ку квадратурную формулу с малым числом узлов
и затем складывают результаты.
Иллюстрируем этот способ на примерах формул
трапеций и Симпсона.
Допустим, что промежуток [а, 5] разбит точками
й/Q—а	3/„—b
на п равных частей [a;fc, жй+1]. Применяя к сегментам
[жь, формулу трапеций (183), находим п прибли-
жённых равенств
$ f{x}dx=~(yk + yk^ (А=0, 1,2,...,п-1), (194)'
хк
где положено для краткости / (хк)=ук. Отсюда вытекает
«большая» формула трапеций
ь
J / (ж) dx =	[у0 + 2 (^ + у2 + ... + уп^) + уп]. (195)
а
Найдём ошибку этой формулы. Ошибка каждого из
равенств (194) (в предположении, что существует не-
прерывная вторая производная /" (ж)) есть
Значит, ошибка формулы (195) равна
п-1
(Ь ~ а)3 V и (t \
12п8 А ' '**'*
А=0
§ 2] ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН ФОРМУЛЫ КВАДРАТУР 599
Легко видеть, что величина
п-1
лежит между наименьшим и наибольшим значениями
/"(ж) на [а, 6]. Поэтому благодаря непрерывности /"(ж)
на [а, 6] найдётся точка 6, в которой
п-1
к=6
Таким образом
ъ
/(ж) dx=b-^[yB + 2(y1+y2+ ...+уп_1)'+уп]-
а
,(«<?<&). (196)
Формула (196) показывает, что для любой функции
/ (ж) с непрерывной второй производной справедливо
равенство
lim Ь/о + 2 (2/1 + У* + ••• + J/n-i) + 2/п1=
П-»со]
Ъ
~^f(x)dx.	(197)
а
Однако равенство (197) справедливо не только для
таких функций, но и для любой функции, интегриру-
емой R. В самом деле, ведь
[*/о + 2 (Ух + У2 + • • • + уп~х) + 2/п]
есть полусумма двух римановых сумм
®i = ^(2/o + «/i + ... + 2/п-1),
Ъ-а	(198)
°2= “(«/1+2/2+ ••• +Уп)>
каждая из которых стремится к интегралу функции / (ж).
600	МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ . [гл.
Аналогичным образом, разбивая [a, ft] на чётное
число п равных промежутков [®fc, жА+1] и применяя
к каждому двойному промежутку [жаЛ, ®aft+a] формулу
Симпсона (193), находим
/ (х) dx = [yafc + 4уаЛ+1 + ?/2fc+a]-(^ /<*> (У,
Х2к .
откуда вытекает «большая» формула Симпсона с оста-
точным членом:
ь
§ f(x)dx = ^[г/0 + 4(У1+ь + -..	+
а
+ 2 (у, +	. • + Уп-t) + yj- fW (*)• (199) •
Наличие степени и* в знаменателе остаточного чле-
на указывает на большую точность формулы Симпсона *)
по сравнению с формулой (196), в остаточном члене
которой стоит только п8. При этом затрата вычисли-
тельного труда при пользовании обеими формулами
(при одинаковых п) примерно одинакова.
 Те же рассуждения, что и выше, показывают, что
для.любой функции, интегрируемой R:
1ппЬ^[г/0ф4(у14-у3+ ...Ол-1) +
П-+СО *'П
Ъ
+ 2(2/г + У*+ • • • +уп-2)4-2/п]=5 f№dx‘ (200J
а
Действительно, полагая
°8=2 (V~g)	+У»+У» + • • • +
*) Мы выражаемся здесь не абсолютно точно. Формулы (196)
и (199) —не приближённые, а точные. Речь идёт о формуле (195)
и о приближённой формуле, получаемой из (199) откидыванием
остаточного члена.
§ з]	КВАДРАТУРЫ ТИПА ГАУССА	€01
будем иметь
з"“ [j/o + (yi + у,+ ... 4-уп~1) +
+ 2 (уг +	+ . . . + Уп*-а) + Уп] ~	•’ ,
где зх и аа определены в (198). Остаётся заметить, что
и з8 есть риманов'а сумма функции /(а?), отвечающая
дроблению [а, 6] точками х0, хг, xt, ..хгп.
§ 3. Квадратуры типа Гаусса.
Квадратурная формула
ь	п
(201)
а	к «=1
при любом выборе узлов хк абсолютно точна всякий
раз, когда /(ж) есть полином степени <n—1, ибо
в этом случае имеет место точное равенство функции
f(x) своему интерполяционному полиному Лагранжа.
Гаусс [1] поставил и решил задачу такого специально-
го подбора узлов хк, чтобы формула (201) оказывалась
точной для всякой функции /(ж), являющейся полино-
мом степени не выше 2п—1. Впоследствии результат
Гаусса был обобщён К. А. Поссе [1]. Мы излагаем
здесь теорию К. А. Поссе, расширенную и дополненную
в работах А. А. Маркова [1, 2] и Стилтьеса [1].
Пусть на [а, 6] дана весовая _ функция р (ж) > 0
с обычными предположениями её суммируемости и
обращения в нуль разве лишь на множестве меры 0.
Выбираем на [а, 6] узлы хи xt, .хп и для любой
непрерывной /(ж) строим интерполяционный полином
Лагранжа
п
1(ж)= ^t(xk]lk(x),
(202)
602
МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ
[гл. V
где, как всегда,
п
А=1
Умножая (202) на р(ж) и интегрируя, находим
ь	п
$ p(x) L(x)dx = 2 Akf&k'),
a	k=i
где
ъ
ЛЛ= р (х) 1к (ж) dx.	(203)
а
Считая, что L (ж) есть приближённое выражение
для / (ж), получаем приближённую формулу квадратур
ь	п
р (ж) / (ж) йж = 2 Ак / (»*),	(204)
а	*=1
которая, как и формула (201), абсолютно точна всякий
раз, когда /(ж) есть полином степени 1. Ставится
вопрос о таком выборе узлов хк, при котором формула
(204) оказывается точной, если /(ж) есть полином
степени <2n—1. Проблема Гаусса получается отсюда
как частный случай при р(ж)=1. Условимся называть
узлы хк узлами типа Гаусса, если выполнено поста-
вленное требование.
Теорема 1. Для того чтобы узлы хк были узлами
типа Гаусса, необходимо и достаточно, чтобы они были
корнями полинома <оп (ж), имеющего степень п и орто-
гонального по весу р(х) ко всем полиномам низших
степеней.
Доказательство. Пусть узлы хк суть узлы тира
Гаусса.
Положим
шп (ж) = (ж — ж^ (ж — ж2)... (ж—жп), (205)
и пусть 6 (ж) есть любой полином степени —1. Тогда
произведение / (ж) = 0 (ж) <оп (ж) есть полином степени
§ 3]	КВАДРАТУРЫ ТИПА ГАУССА
603
< 2n ~-1, и потому справедливо точное равенство
Ь	п
а	k=t
Но /(жх) = /(хг) =... = /(хп) = 0. Значит,
ь
р (ж) 6 (ж) <оп (ж) dx = 0
а
и ®п(ж) ортогонален по весу р(ж) к 6 (ж). Ввиду про-
извольности полинома 6 (ж) необходимость условий
теоремы доказана.
Теперь предположим, что полином (205) Ортогонален
по всему весу р(ж) ко всем полиномам низших степе-
ней.
Допустим, что / (ж) есть произвольный полином сте-
пени <2n—1. Деля /(ж) на % (ж), получим
/(ж) = 6(ж)<1>п(ж)-|-р(ж),	(206)
где степени частного 0 (ж) и остатка р (ж) не выше п— 1.
Отсюда
ь	ь	ъ
р(ж)/(ж)с/ж = р (ж) 9 (ж) <1>п (ж) dx + р(ж)р(ж)йж.
а	а	а
В силу сделанного предположения, первый интеграл
правой час^и равен нулю, и потому
ь	ь	п
^(ж)/(ж)</ж= р(ж)р(ж)йж = 2 АР(жь)’
a	a	fc“=l
Но из (206) видно, что р(жЛ) = /(хк) (А = 1, 2, ...,п).
Поэтому справедливо точное равенство
ь	п
P(x)f(x)dx=^ Akf(xk),
а	к=1
и узлы хк суть узлы типа Гаусса.	rt
604
МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ
[гл. V
Следствие. Если а = — 1, 6=4-1, р(х)=1, то
решением задачи Гаусса являются корни полинома
Лежандра Хп(х).
Отметим, что коэффициенты формулы (204) (при
любом выборе узлов) удовлетворяют соотношению
п	Ь
^Ак=^р(х)<1х,	(207)
а
ибо формула (204) верна для любого -полинома степени ,
<n —1 и, в частности, для f(x)=l.
Если же узлы суть узлы типа Гаусса (в этом случае мы
будем называть формулу (204) формулой типа Гаусса),
то, кроме (207), имеет место
Лемма. Все коэффициенты формулы. типа
Гаусса положительны.
В самом деле, подставим в (204) функцию
гни*-
L * *г J	,
Так как это — полином степени 2п — 2, то справедливо
равенство
Ь	п	
 5 Р f <Ж) dx = 2	f (хк)‘
a	k*=l
Но
{0, если А Ф г;
[<i>n (ж{)]а, если А = г.
Значит,	>
ь
р (х) / (х) dx = At [<i>n (ж*)]3
а
И
Ь
(2о8>
а
что и доказывает лемму •).
♦) Отметим, что ®4(x4)gfeO, ибо х» есть простой корень поли-
нома
§ 3]	КВАДРАТУРЫ *ГИЙА ГАУССА	605
С помощью этой леммы легко доказывается
Теорема 2 (Т. И. Стилтьес [1]). Пусть, р(х) —
весовая функция и {%(»)}— ортогональная система
полиномов, отвечающая. этому весу. Пусть, далее,
ж(п>, ж£п),	суть корни полинома ®п(х), а
Х'1),	суть коэффициенты квадратурной
формулы, отвечающей этим узлам. Тогда для любой
непрерывной функции f(x)
п :	ь
lim 2 Дп>/(х^) =\p(x)f (х)dx.	(209)
П‘+С°Л=1	а
В самом деле, если f(x) непрерывна, то по любому
в > 0 можно найти такой полином Р (х), что при всех х
из [а, 6] будет выполнено неравенство
Р(«)-/(*)|<«.	(2Ю)
Полагая для краткости
п
9п(/)=34п)/(Л	(211)
будем иметь
ь
| J j0(®)/(®H®-<?n(/)|<
а
Ъ	b
p(x)f(x)dx— р(х)Р(х)dx| +
а	а
Ь
+ IJ p(x)P(x)dx-Qn(P)\ + \ Qn(P)^Qn(f)\.
Но, в силу (210),
Ь	' ъ	ъ
| 5 Р(х) f(x)dx — р(х)Р(x)dx |< в Ptydx,
= 12 aP {p (4n)) - / (4n))} I < * 2 4n)=e $ j? (*)
A-l	A-l	а
666
МехайичёСйиё квадратуры
[гл. V
Таким образом
ь
| p(x)f(x)dx-Qn(f)\<
а
b	Ь
< 2s р (х) dx +1 р (х) Р (х) dx — Qn (Р)|.
а	а
Если т есть степень полинома Р(х), то при 2п — 1>т
будет
ъ
Qn(P)=* 5 P(x)p(x)dx>
а
И ДЛЯ ЭТИХ П
Ь	. Ь
| р (х) / (®)dx — Qn (/) | < 2e J р (х) dx,
а	а
что и доказывает теорему *).
Заметим, что теорема Стилтьеса (из § 3 главы IV
второй части) о разложении интеграла
в непрерывную дробь является простым следствием
только что доказанной теоремы.
Действительно, если х лежит вне сегмента [а, Ь],
то функция
непрерывна на [а, 6] и, в силу (209),
Р /А	п
(212)
♦) Эта теорема является также непосредственным следствием
теоремы § 3 главы III о сходимости в среднем интерполяционного
полинома Лагранжа.
§ 3]
Квадратуры Типа гаусса
' бо>
d<")_______L__
к ~ <»А(4П>)
Но (в обозначениях § 3 главы IV второй части)
«МО j, _ 1п(4п))
t-4n)	“П(4П))’
а
Значит,
п
п
|„(4П))
, х - 4п)
к=1 к
Правая
нальной
In (®)
<»А(4П)) (®-4п)>
часть этого равенства есть разложение рацио-
дроби
In(я) . __________________________
шп (х) = (х — ®(л)) (х — Нп)) ... (х — xW)
на простейшие дроби *)» Поэтому
V, Ак^ __ Info)
" х — Х^ °>П (ж)
и (212) принимает вид
ь
t на dt=
J X — t	n-к» “n (®)
a
Это доказательство проще, чем приведённое во второй
части книги, но
ность стремления
гралу.
В заключение
точности формулы типа Гаусса, предполагая, что функ-
зато здесь не установлена равномер-
дроби |'п^у к разлагаемому инте-
остановимся на вопросе об оценке
*) Из элементов алгебры известно, что
п
In (д) _ у Cfc	,
“nte) ^x-xtn)'
к=1 к
Умножая это равенство на х — х^ и полагая » = находим
in (421
Ci"4(4n) ’
668	ИеХайическив КВАДРАТУРЫ	[гл. V
ция f(x) имеет непрерывные производные до порядка
2п включительно.
Именно, если построить интерполяционный полином
Эрмита Н(х) по условиям
Я (хк) = f(xk), Н'(хк) — f (хк) (А=1, 2, ..., п),
то, в силу результатов § 4 главы I, окажется
/(ж) = Я(ж) + ^^ (x-xrftx- xty ... (х-хпу.
Отсюда
ь	I
\ P^H^dx^
а.
Ъ	Ъ
= J />(*)# (a;) dx + ~\ jo(a;) /(2П> (5) <»й(ж) Яаг.
а	а
Но степень Я (ж) не выше 2n — 1. Значит,
ь
\p(x)H(x)dx~Qn(H)~Qn(f).
а
С другой стороны, множитель p(x)<s>n(x) положи-
телен.
Поэтому окончательно*)
Ь	(2п)	6
J p(x)f(x)dx=Qn(f) + ±^T^ p(x)<»2n(x)dx. (213)
а	а
Эта формула принадлежит А. А. Маркову [1].
§ 4. Частные случаи квадратур типа Гаусса.
1.	Формула Гаусса. Если р(ж)=1, а—— J,
Ъ — +1,. то, как уже указывалось, узлами типа Гаусса
*) Полезно отметить, что в этом параграфе через <on(z) мы
обозначаем тот ортогональный Полином веса р (х), старший
коэффициент которого есть 1 (т. е. <оп(х) в обозначениях второй
части).
§ 4] ЧАСТНЫЙ СЛУЧАИ КВАДРАТУ? ТИПА ГАУССА 609
будут корни полинома Лежандра Хп(х). Обозначая эти
корни через	получим формулу квадратур
J 4П)/(Л
-1
(214)
в которой
№
+ 1
t С *n(0
(215)
и которая верна всякий раз, когда /(») есть полином
степени не выше 2h — 1. Эта формула принадлежит
самому Гауссу [1].
Согласно общей формуле А. А. Маркова (213) оста-
точный член формулы (214) будет
Но в § 1 главы V второй части было показано, что
Xn(t)dt~2
l(2n)lip
2n-f-l
Г nl ~la
L <2«)< J *
Значит
д	(П1)« /(2П)(О
n	[(2n)IJ*. 2n-f-l
(-1<В< +1).
Числа и ЛйП) были найдены ещё Гауссом для
п = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Мы приводим (см. таблицу) их значения для и <5,
отсылая читателя, интересующегося случаями га = 6
и га = 7, к монографии А. А. Маркова [4].
Кристоффель [1] нашёл весьма простые выражения
для коэффициентов формулы Гаусса. Чтобы вывести
эти выражения, применим формулу Кристоффеля—Дарбу
(часть вторая, формула (93)) к полиномам Лежандра.
39 Конструктивная теория функций
do
Механические Квадратуры
(гл. V
п	£<П)		log
1	0	2	0,3010300
	-0,5773503	1	0
1	+0,5773503	1	0
	-0,7745967	= 0,5555556 9	1,7447275
3	0	X = 0,8888889 9	1,9488475
	+0,7745967	* 4- = 0,5555556 У	1,7447275
	—0,8611363	0,3478548	1,5413981
Л	-0,3399810	0,6521452	1,8143443
	0,3399810	0,6521452	1,8143443
	0,8611363	0,3478548	1,5413981
	-0,9061799	0,2369269	1,3746143
	-0,5384693	0,4786287	1,6799987
3	0	0,5688889	1,7550275
	0,5384693	0,4786287	1,6799987 '
	0,9061799	0,2369269	1,3746143
Так как для этих полиномов л
упомянутая формула будет (после
___ (п-Н)а______
71+1	(2n-+1) (2п + 3)
замены п на п—
-, то
1):
п-1
*»0
/(2п-1)(2п + 1)	t~x
§41 частные случай НвадРаГур типа Гаусса gtl
Интегрируя это равенство и вспоминая, что
л
Х9 (О = I получим
4 __ _____Ц_______ С *п(О	(Х) ~*-^П (Х)Хп-1 (О rff
/(2n-«)(2n + l) J
Если вместо нормированных полиномов Хп (х) ввести
в рассмотрение полиномы Лежандра
то предыдущее равенство примет вид
С Рп (О РП-1(Х) — Рп (Ж) Рп-1 (О
J	t — я	п
-1
Положим, здесь х = ^. Так как Pn = О, то
F -РпО) dt =_____?___
nPn_1(^))*
Но в § 2 главы V второй части было установлено,
что
(1 — ха) Р'п (х) = пРп_! (ж) — пх Рп (х).
Значит
npn~i№) =[i-(eln))8]p;(^n)),
и в связи с (215) мы получаем окончательно
4П) = -----------г4т~ •	(216)
[Рп4п))р
Формула Гаусса полезна не только тогда, когда
требуется вычислить интеграл по промежутку [ — 1, +1].
Действительно, всякий другой промежуток сводится
к этому линейной подстановкой.
П. Формула Эрмита. Пусть а— — 1, 6 = 4-1,
. В этом случае за узлы хк следует
у 1 — я*
39*
Механические квадратуры	[рл. V
принять корни йолинома Чебышева Фп (х), ибо это
и есть ортогональный полином веса . Ввиду того
У 1 — х3
что &п (х) — сов (п аге сов х), эти корни суть
хк = сов 2-\~ * я (Л = 1, 2, ..., и).
Коэффициенты Ак формулы квадратур суть
л С Уп (д)____________dx
к J Т'л(хк)(х-хк) /1-х»'
Полагая х = сов б, находим
те
л 1 С cosnfl	/ л _ 2й— 1 \
Ajc ~ Т'п(хк) J cosfl -cos6к	2п "J *
О
Т (х)
Так как есть целый полином (степени п — 1),
то
cos п6
cos 0 - cos 0к
есть полином степени и —1 относительно сов б и, стало
быть, это тригонометрический полином порядка п — 1,
т. е.
сове--1ТовХ = В. + Вх СОВ б + ... + ^ сов (п-1) б. (217)
uVo и UV0 ид*
В таком случае
w
Г cos nO dO _ п
j cose — cos0* — Я °'
О	.	. '
Остаётся найти В„. С этой целью положим в (217)
последовательно
6 = бк, 6 = 6* + -^,
б = бА + 2^, .... б = 6л + (п-1)^
§4] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТУР ТИПА ГАУССА 613
Так как
со» nO I	ainnflfc
cos 9 — cos 0ft	= n sin Ofc ’
a*)
cos n ( Ofc + m — Л
----.5.	- = 0	(m-1, 2,..., л -1),
cos ( fl* + m — J ~ cos Ofc
то мы получим n равенств
B„ + cos Од. + B, cos 20А + ...
... + Bn^ cos (n — 1) 9fc = n
Z?Q + B1cos(6fc + -£) + Z?,cos2 (eA + ^)+ ...
...-+Bn.1cos(«-l)(6ft + ^) = 0,
S.+^cos (\ + (n-!)£-) +
+ 5, cos 2 (Ofc +(n-!)£)+ ...
... + B^ cos (n-1).	+ (n -1)	= 0.
*) Числитель этой дроби очевидно равен нулю. Знамена-
тель яге её отличен от нуля. Действительно равенство cos а=cos [3
возможно в двух случаях: a—(3 = 22V« и а-f-(3 == 2Nn. Но
^Ofc + m	— Ofc 22V«, так как т = 1, 2, ..., а — 1. С другой
Стороны, 2flfc + т ~~= ——^Л,с> ”6° 2А — 1 + 2?» ?Л'п.
614
МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ
[гл. V
Складывая эти равенства и замечая, что*)
п-1
2 cosm (бй + г-^-) =0,
r«0
находим
р — sin №flfc
° sin Ofc
Таким образом
д —	1	- sin
* ~ W K sin в* •
С другой стороны, Тп (ж) = cos (п arc cos x).
sin (n arc cos x) sinnO
Tn (ж) = n -	> - ——= n
x ' у 1 —	sm 0
и
(218)
Значит,

(219)
Сопоставляя (218) и (219), находим окончательно
А
Весьма замечательно, что Ак не зависит от к.
Таким образом для рассматриваемого случая квадра-
турная формула имеет вид
S	<220>
-1	Л=1
*) В самом деле, умножая сумму
п-1
•S = 2 cos т ^6/с + г
г=0
на 2 sin — ф 0 и применяя формулу
2 cos A sin В =sin(A + B) — sin (А —В),
находим
„„ . тп . Л ,2п-1 \	.	иХ Л
26 sm -^-= sinm Г 6fc -J--— nj — sin т ( 0А— — J =0,
§ 4] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТУР ТИПА ГАУСЙА 615
Эта формула обычно называется формулой Эрмита.
Её остаточный член согласно общей теории имеет
вид
(- 1<Е< + 1).
(2 л)!	у 1—ж’
Но Тп (х) = 2п=1cos (п агс cos и). Значит,
= (2п)1 22П-1 ^(2П)
Чтобы использовать формулу (220) для вычисления
интеграла
ъ
I=^F(t) dt,
а
(Ь — а) х 4- а 4- Ь
следует сделать подстановку t —---—%------, приводя-
щую интеграл I к виду
+ 1
I = <р (х) dx,
-1
и затем положить /(а;) = <р(а;)]/1 — х2. Тогда
7 = С i^dx
и можно применить формулу (220).	_____
Ш. Если а = — 1, Ь — + 1 и р(х) — 1 — х2, то за
узлы надлежит принять корни полинома Чебышева вто-
рого рода, т. е. полинома
ТТ f ч sin [(п + 1) arc cos я]
и^х>~	/Г=Т»
Эти корни суть
=	(А = 1,2, ..., п).
616
МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ
[гл. V
Коэффициенты Лк для рассматриваемого случая
таковы:
+1
л   С Un (ж)	1/" 4  
к J и'л(хк)(х — хк)'
-1
в _1_Д Sin<№+1.>-V sine de,
Un (% к) J cos 0 — cos Bfc
о
Ля
где положено 6А = ——;. Но
К п+1
sin(n + 1) 6 sin 6 = у [cos пб — cos (п + 2) 6].
Замечая, что*) cos(n + 2)6fc = cosn6k, получим
п
. _	1 f Г cos nO - cos nfl*
к ~ 2U'n (хк) I J cos е - cos 0fc
о
я
С cos (п + 2) 8 — cos (п + 2) 8к 1 ’
j cos 8 — cos8'fc	j
о
Полином Тп (х) — (хк) делится на х — хк нацело.
Поэтому
cosnS — cos п6к
cos 8 — cos 6*
есть тригонометрический полином порядка п — 1:
cosn8-cosn6fc = в в 0	в cogе
откуда
C cos n6 — cos п0к ,0 n
\	д	л 0rv ~~~
J COS 6 — COS 6fc	0
0
Как и выше, коэффициент Ва оказывается равным
□ ___sin п0к
Z’° “ shTe? ’
*) Это следует из того, что (п + 2) 4- п8к =
§4] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТУР ТИПА ГАУССА 617
причём и способ нахождения В„ точно такой, как
и выше.
Аналогично получается
С соз (п + 2) 6 — соз (п + 2) 9fc __ sin (« 4- 2) 8*
j соз 8 — соз 0*	sin hk
О .	'
Таким образом
л *	sin п0£ — sin (п + 2) Ofc
*“ 217'(a*) sin 0*	~
с08('г+1)°л =	•
un\xk)	Vn\xk)
Но
—(п 4-1) cos [(n^-l) arc cos a]+sin [(n 4-1) arc cos я]
t/„w=—:-------------—------------
X
V1-Х»
Значит,
TT’ \ — -(« + *) cos («4-1) Од _ ,	, 4fc+J «4-1
n'	sin2 Ofc	’	' sin’ 0*'
Отсюда следует
Afc = sin2 вк,
K n 4-1 K
и формула квадратур имеет вид
+ 1	п
if 1 — х2 / (ж) dx — V sin2 / (COS .
v , n + 1	n4-l,\.	«4-1/
-i	ft-i
Остаточный член этой формулы есть
K^-^\V^~^U\{x}dx.
Но Un (х) = 1	. Поэтому
й"=да^|/(гл,«	(-!<$<!).
618	МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ	[гл, V
IV. Не вдаваясь в подробности выкладок, которые
очень похожи на предыдущие, отметим, что для а = — 1,
6 = 4-1 и
получается квадратурная формула
+1  ____ п
\ dx = 2^Т 3 Sin2 2^4 i (C0S Й1) ’
-1	*=1
остаточный член которой имеет вид
«п =(Й25"П/(2П)(Е)
ГЛАВА VI.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ
МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР.
§ 1.	Общий квадратурный процесс и его сходимость.
Формула
ъ	п
V /(х) da: == 2 Akt (®*)	(221)
а	Л-1
была получена нами в результате интегрирования при-
ближённого равенства f(x) = L(x), где Цх~) есть лагран-
жев интерполяционный полином функции /(ж). Однако
к подобной формуле мы приходим не только исходя из
интерполяционного полинома. Действительно, всякое
приближённое Предъявление f(x) с помощью сумматор-
ной формулы
п
Л—1
после интегрирования приведёт нас к приближённой
формуле вида (221). Например, используя полиномы
Бернштейна
п
получаем квадратурную формулу,
1	п
/(a:) dx= 2 Akf (“)•
О	*•»
620 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
Здесь
1
А = сЦ хк (1 - х)п~к dx = С„ В (к 4-1, п - к +1)»
о
_ „к Г(й + 1)Г(п-* + 1) _ 1
—	Г(п4-2)	п + 1‘
Ещё более общим образом можно рассматривать фор-
мулы вида (221), совершенно не ставя вопроса о том,
каково происхождение коэффициентов Ак. Само собой
разумеется, что в отличие от ранее рассмотренного слу-
чая, когда формула (221) была получена интегрирова-
нием интерполяционного полинома, теперь уже нельзя
утверждать, что формула будет точной Для всякого
полинома степени < п — 1.
Всё сказанное естественно приводит к постановке
следующего вопроса: даны две- треугольные матрицы—
узлов и коэффициентов
жр>, хр,	Л<2), 4<2),
ж<п), хр, 4") 4<п>, Ар, ..., Ар,
(222)
причём узлы принадлежат некоторому сегменту [а, Ь}.
Для всякой функции /(ж), заданной на [а, 6], составляет-
ся функционал
п
ел(/) = 2Дп)/(4п)).	(223)
Л-1
Спрашивается, при каких условиях	i
ъ	1
lim <?„(/)= \f(x) dx.	(224) -
а
В тех случаях, когда (224) выполнено, мы будем .
говорить, что для функции /(ж) квадратурный процесс, •
порождаемый матрицами (222), сходится,
. Ч
§ 1] ОБГЦИЙ кВАДРАТУРНьШ ПРОЦЕСС И ЕГО СХОДИМОСТЬ 621
Теорема 1. Для того чтобы квадратурный про-
цесс, порождаемый матрицами (222), сходился для вся-
кой функции /(ж), непрерывной на [а, 6], необходимо
и достаточно выполнение двух условий:
1) процесс сходится для всякого полинома;
2) существует такая постоянная К, что
2,|4П)|< К (Л = 1,2,	(225)
Достаточность *) условий теоремы устанавливается
так; пусть эти условия выполнены и f(x) £С([а,6]).
Взяв любое е>0, мы можем подобрать такой полином
Р (ж), что при всех х из [а, 6] будет выполняться нера-
венство
В таком случае
п
1 Qn U>) - Qn (/) I = I s 4n) [Р (4П)) - / (4n>)J I <
п
< «214П)| < я.,
k-i
и неравенство
ь	ь	ь
| /(«). dx~~ <2п(/)| < | § f[x)dx — Р(ж)йж| +
а	а	а
Ъ
+ IJ P(x)dx-Qn(P)\±\Qn(P)~Qn(j)\
а
показывает, что
ь	ь
| f(x)dx — (>n(/)| <e[i — a-f-A’I+l ^P(x)dx—^n(P)|.
a	a
*) Достаточность условий теоремы была впервые доказана
В. А. Стекловым [2], необходимость — Г. Полна [1].
622 дополнения к теории Механических кйадратуР [гл. Vi
Ввиду того что Р(х) есть полином, при достаточно
больших п окажется
ъ
I dx-^n(P)|<e,
а
и при этих п будет
6
| $ /.(я) d® — (?n(/)|<«[&—« + * + 1],
а
так что выполнено (224).
В доказательстве необходимости нуждается лишь
условие 2. Проведём его от противного, «методом сколь-
зящего горба». Именно, предположим, что квадратурный
процесс сходится для всякой непрерывной функции, но
условие 2 не выполнено. Зададим на [а, 6] непрерывную
функцию <?п(х), удовлетворяющую условиям
l?n(®)| < 1, ?n(4n))=sign Дп) (к = 1,2, ...,п).
Для этого достаточно задать эту функцию сначала
только в узлах и определить её как линейную между
узлами (и как постоянную в сегментах [а, 4°]и [4П), 6]).
Нетрудно видеть, что
п	п
Qn (?n) = 2 4П) Фп (4П>)=314п) ।.
k-i	*-1
В целях простоты обозначений положим
п
2l4n)l = In, '	(226)
*=1
так что
Qn (фп) =
Построив функции <рп (®) Для всех натуральных п, i
положим Hi = 1. Так как для функции <рП1 (®) (она непре- |
рывна!) квадратурный процесс	сходится, то	|
ь	I
Hm Qn (фт) =	?	Фт (*)	dx.	j
П-too	'
а
§ 1] овЩий Квадратурный процесс и ёго Сходимость 623
Но |<р„1 (я) | <,1. Значит,.
ь
| <рП1 (ж) dx | < b — а,
а
и найдётся такое N1} что при п > N3 окажется
|^п(?п1)|<е(6 —а).
С другой стороны, условие 2 не выполнено, и най-
дётся такой номер n2 > Nu что
Ln„_ > 2 - 21.
Функция
?П1(®)	?п2(®)
11 + 2!
непрерывна, для неё квадратурный процесс сходится, а
а
Поэтому найдётся такое 2У2, что при п > N2 окажется
<«(>-«).
С другой стороны, условие 2 не выполнено/ и най-
дётся такой номер п3 > N2, что
Lnt > 3 • 3!
Допустим, что нами уже построены номера nlt пг, ...,
«m-i- Функция
т-1
2j 1!
i»l
непрерывна, и для неё квадратурный процесс сходится.
Но
624 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
Поэтому
Цр] <ь| < (в- 1) (6 —а),
и найдётся такое Nm^lt что при п > Nm^ будет
ш-1
р71 [_ AJ Й J ** е в)‘
u/-i
С другой стороны, условие 2 не выполнено и, стало
быть, найдётся номер пт > для которого
Lnm > /и • ml	(227)
Таким образом можно считать, что нами определена
бесконечная последовательность номеров n,, n2 па, ...
Положим
/.W = S^.
t-1
Это, очевидно, — непрерывная функция. Однако вопреки
сделанному допущению, квадратурный процесс для неё
расходится. В самом деле, пусть т > 1—натуральное
число. Тогда
/w = 3!^ + !^+ з
i—1	i-m+i
И
<2nm(/) =
m-1	со
=9»»(3	3 тг)-	(228)
i=l	i=m+l
Так как пт^> Nm^lt то
т-1
1—1
(229)
§ i] ОБЩИЙ КВАДРАТУРНЫЙ ПРОЦЕСС И ЕГО СХОДИМОСТЬ 625
С другой стороны, функция
p(®)= 2 й
f «771 + 1
допускает оценку
ат
|р (»)!< 2 tT =
i—m+l
- 1 ' fl,.,, 1 1	1	1 - I
(m +1)1 L * m + 2 ‘ (m + 2) (m 4- 3) ' ' ’' J ’
Ho
1 "J* m + 2 "J* (m + 2)(m + 3) 4“ • • • < 1 + m+j + {m + 2)a + • • • =
mH-2 m+ 1
m+ 1 m
Значит,
IpWK^i •
В таком случае
iПт	' I г
IQnm(p)J = 2 4Пт)р (4Пт)) I <	•	(230)
k-1
Сопоставляя (228), (229) и (230), находим
Qnm (/) > “| Lnm — e(b — a) — m Lnm,
и благодаря (227)
<?nm(/) >m - 1 ~e(b-a).
Таким образом
lim<2n,„(/) = + op,
m-+oo
и квадратурный процесс для / (ж) расходится. Теорема
доказана.
Как видно из формулы (223), функционал Qn (/) зависит
от 2п параметров: х\п\ ..., х^ и Л1П\ А^, .. .,А^.
Вообще говоря, эти параметры независимы друг от
*0 Конструктивная теория функций
626 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
друга. Каждое условие, наложенное на Qn (/), понижает
число свободных параметров. Например, требование
Гаусса, чтобы формула квадратур была точна для всех
полиномов степени не выше 2п — 1, даёт как раз 2п
условий и тем самым однозначно определяет и узлы
и коэффициенты.
В тех случаях, когда матрицы (222) связаны соотно-
шениями
ъ
4П) = /£п) (ж) dx,	(231)
а
где
п
 & W - ,	w “ П <* -
">п(4	')	k-i
мы будем говорить, что квадратурный процесс является
интерполяционно-квадратурным. В таком процессе узлы
произвольны, а коэффициенты определены однозначно.
Теорема 2. Для того чтобы квадратурный про-
цесс был интерполяционно-квадратурным, необходимо
и достаточно, чтобы формула
ъ
Qn(f)=\f(x)dx	(232)
а
была точна для всякого полинома степени ниже п.
Действительно, пусть выполнено (231). Если / (х) есть
полином степени ниже п, то f(x) совпадает со своим ла-
гранжевым интерполяционным полиномом по узлам х^’.
/и = 2/(Ж’(*).
к-1
Интегрируя это равенство и принимая во внимание
(231), мы приходим к (232). Обратно, если равенство
(232) справедливо для всякого полинома степени ниже п,
§ 1] ОБЩИЙ КВАДРАТУРНЫЙ ПРОЦЕСС И ЕГО СХОДИМОСТЬ.
то, в частности, оно справедливо для Z;n) (х):
п	? ь
2 аР йп) (4П)) = z«n) № dx- <233)
*-1	а
Но /<п)(ж,п)) = 1- и l\n) (4П)) = 0 приk^i. Поэтому (233)
приводится к (231).'
Интерполяционно-квадратурный процесс очевидным
образом сходится для всякого полинома, ибо если /(ж)
полином степени т, то при п>т выполняется (232).
Таким образом получается
Т е о р е м а 3. Для сходимости интерполяционно-квад-
ратурного процесса для всякой непрерывной функции
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
п .
(234)
Отметим в заключение одно необходимое условие
сходимости квадратурного процесса.
Теорема 4 (В. А. Стеклов [2]). Если квадратур-
ный процесс сходится для всякой непрерывной функции,
то для всякого сегмента [р, g] Q [а, 6] можно указать
такое N, что при n > N имеются узлы х$\ содержа-
щиеся в [р, д].
В самом деле, пусть это условие не выполнено и [р, ?]
есть такой частичный сегмент, для которого нет соответ-
ствующего числа N. Тогда найдётся бесконечная после-
довательность номеров п, < п2 < п„ < ... такого рода,
что ни один из узлов х<^ (А = 1, 2, ..., п4) не попадает
в [р, Ф\..
Пусть h = и функция ф (ж) определена следующим
образом *):
О при а<ж<р и
ф(ж) =
1 при р + Л<ж<д — h,
«линейна при р<ж<р4-Л и $ —
*) Читателю рекомендуется начертить график функции ф (»)•
40*
628 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР (Гл. VI
Так как 9 (ж) непрерывна, то должно быть
»•
lim Qn (ф) = ( ф (ж) dx.
П-*оо	*
а
Но это явно нелепо. Действительно, х^ф [р, д].
Значит, 9 (я*п<)) = 0 и
<?пД9)~3 Дп<)9(4п°) = 0,
*-i
а, с другой стороны, 9(ж) неотрицательна и
Ь	g-h
^ty(x)dx> 9 (ж) dx — > 0.
a	p+h
Теорема доказана.
§ 2. Случай положительных коэффициентов.
Остановимся на изучении таких квадратурных про-
цессов, в которых все коэффициенты неотрицатель-
ны. Эти процессы обладают рядом интересных особен-
ностей.
Теорема 1 (В. А. Стеклов [2]). Если вес коэффи-
циенты Дп) неотрицательны, то, для того чтобы квад-
ратурный процесс сходился для всякой непрерывной
функции, необходимо и достаточно, чтобы он сходился
для всякого полинома.
В самом деле, необходимость условия теоремы три-
виальна. Его достаточность вытекает из того, что функ-
ция / (ж) = 1 есть полином и, стало быть,
6
lim Qn (1)» ( dx = Ь — а.
п^=°	а
Значит, числа Qn(l) ограничены. С другой стороны,
п	п
е.Ю-3 4"’=3 14">|,
k-i	fc—1
§2]	СЛУЧАЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ» . 629
и потому выполнено и второе условие теоремы 1 § 1,
что и обеспечивает сходимость процесса для всякой
непрерывной функции.
Следствие. Интерполяционно-квадратурный про-
цесс с неотрицательными коэффициентами сходится
для всякой непрерывной функции.
Действительно, мы уже отмечали, что интерполя-
ционно-квадратурный процесс сходится для всякого
полинома.
Примером интерполяционно-квадратурного процесса
с неотрицательными коэффициентами Л^п) является про-
цесс Гаусса, т. е. процесс, в котором а — — 1, 6=4-1,
а узлы суть корни полинома Лежандра. Это дока-
зано нами в лемме § 3 главы V.
Приведём примеры других интерполяционно-квадра-
турных процессов, в которых коэффициенты Л*п)неотри-
цательны.
Теорема 2. Если а=—1, 6 = 4-1, о узлы
суть корни полинома Чебышева Тп (ж), то коэффициенты
4П) положительны*).
Заметим, что эта теорема не содержится в лемме
§ 3 главы V, ибо указанная лемма для нашего случая
даёт положительность коэффициентов
+1
Г Тп(х)dx
4
а нам нужно рассмотреть коэффициенты
+i
—	dx
~_JTn(4n))(-4n))
(235)
Переходя к доказательству теоремы, положим в
(235) « = cos0. Замечая, что
IF' (®<п)) = ~ У*?*
> sinfifc
2k —1
2п ”
♦) Фейер [5].
630 ДОПОЛНЕНИЙ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
получим
Д"> = (_ !)»-. j	sin в М. (236)
О
Положим
п-1
?й(0)= 2cosr0cosr0*-
r=l
Тогда, в силу известной тригонометрической фор-
мулы, мы будем иметь
п-1
2?* (6) = 2 tcos г <° + + cos г (0 ~ °*)]-
г=1
Отсюда (в силу той же тригонометрической формулы)
п-1
4tpfc(0)cos0= 2 {cos[(r + l)6 + r0fc] + cos [(r—l)0 + r0ft]+
+ cos [(г + 1) 0 — rSft] + cos [(г — 1) 0 — Г0д]}.
Аналогично
4?* (0) cos 0* =
п-1
= 2 {cos IrS + (г + 1) 8*] + cos [r0 + (г — 1) 0*] +
г—1
+ cos[rO — (г — l)0JH-cos[r9 — (r + /t)0ft]}.
Вычитая это равенство из предыдущего и производя
надлежащие группировки слагаемых, получаем
4yfc (6) (cos 0 — cos Од.) — cos [n0 + (n— 1) 0ft] —
— cos [(n — 1)0 + n0A] + cos [n9 — (n — 1) 8ft] —
— cos [(n — 1) 0 — nQfc] — 2 (cos 0 — cos 0fc).	(237)
Ho
cos [n0 + (га — 1) Од] + cos [n0 — (n — 1) Од] =
= 2cos nO cos (n — 1) Од
cos [(n — 1)0 + n0k] + cos [(n — 1) 0 — nOfc] —
= 2c os (n — 1) 0 cos n0fc.
§ 2]
СЛУЧАЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ .	631
Замечая, что cos nfik — 0, cos (п — 1) 9fc — sin п6к sin 6ft=
= (— l^-^inSj, придадим равенству (237) вид
2<рл (6) (cos 6—cos 6ft) = (—I)*-1 sin 9k cos n9— (cos 9—cos 9fc).
Отсюда
(- l)*-1 -.-°-0?-8--- sin 9ft = 14- 29k (9).
'	’	cos fl — cos fl^	T '
Поэтому формула (236) примет вид
я	п-1
ЛйП) = “	1 + 2 2 cos r® cos г®л ] sin ®
о	г-1
Но
Я	я
2 cos г9 sin 9 d9 = [sin (г + 1) 9 — sin (г — 1) 9] rf9.
о	о
Если г — число нечётное, то интеграл, стоящий
в правой части, равен нулю. Если же г — число чётное,
то его значение есть
_<_?______
V-l r + lj'
Стадо быть,
- (т - 4) cos 4’> -   • - (s4i - iJTi)cos mM >
где m = n — 1 при нечётном n и m = n — 2 при чёт-
ном n.
В таком случае
и, тем более, Лд.п) > 0. Теорема доказана,
Unix =
вза ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
Сходным образом доказывается
Теорема 3. Если а = — 1, 6 = 4-1, а узлы суть
корни полинома Чебышева второго рода
sin (п 4-1) arc cos х
/l-i»	’
то коэффициенты положите иъны*).
Мы не будем останавливаться на доказательстве
этой теоремы.
Теорема 4. Если квадратурный процесс с неотри-
цательными коэффициентами**) сходится для всякой
непрерывной функции и
Вп = max Дп) (k = 1, 2, ..., п),
то
lim Вп = 0.
П->00
Теорема доказывается от противного. Если Вп не
стремится к нулю, то найдётся число о > 0 и бесконеч-
ная последовательность номеров nt такого рода, что
Вщ > в. '
Пусть к (i) таково, что — Вщ- Точки zl"/) имеют
на [а, 6] точку сгущения L Пусть для определённости
а < 5 < 6.
*)	Фейер [5]. Теоремы 2 и 3 были обобщены Сеге [1], стр. 350,
показавшим, что Л^п'>0, если асуть корни ультрасфериче-
ского полинома Якоби J^e,a\x) при -1<а<0 и	1.
Если — 1 < a < у , то неравенство > 0 выполняется для
достаточно больших п.
**	) Условие > 0 существенно. Например, процесс
®.<л-|з/(!)+/<•>-/(^)
fc«=i
сходится для любой /(х)€С([0, 1]), но
max 14П>1 > 1.
§ 3]	ТЕОРЕМА Р. О. КУЗЬМИНА	•	633
Введём в рассмотрение число 8 > 0, выбор которого
мы уточним ниже, а пока подчиним его условиям
г<^.
2 ’	2
Сделав это, введём функцию ф(ж), положив*)
[	0 при а<ж<5 —28 и 5-)-28<ж<6,
ф(ж) = ^	1	- при 5 — 3<ж<?4-8,
( линейна при?—28<ж<5—8, 5 + 8<ж<54-28.
Так как ф(ж) непрерывна, то
ь
1нп()п(ф) = ф(ж) dx.	(238)
n->co	J
а
Но
ь	е+2в
^.ф(ж)й« —	ф(ж)с/ж<48,
а	е-2«
ибо ф(ж)<1. С другой стороны, найдутся сколь угодно
большие i, при которых ж^ € [5 — 8, 5 + 8]; при таких i
nt
Qn (Ф) = 2 4п°ф (®1П°) >	>°-
к~1
Поэтому, если позаботиться, чтобы было 48 < а, то
равенство (238) будет невозможным. Теорема доказана.
§ 3. Теорема Р. О. Кузьмина.
Предыдущие результаты показывают, что «хорошими»
интерполяционно-квадратурными процессами являются
такие, у которых
2|ДП)|<.К,	(239)
к-1
*) Читателю рекомендуется сделать чертёж.
634 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. Vj
так как они сходятся для всякой непрерывной функ-
ции. Мы видели, что такие хорошие процессы получаются,
если за узлы выбраны корни полиномов Лежандра или
корни полиномов Чебышева, но у нас ещё не было ни
одного примера, когда условие (239) не соблюдается.
Можно предположить, что все интерполяционно-квадра-
турные процессы удовлетворяют условию (239). Ниже-
следующая теорема показывает, что это не так. Ока-
зывается, что равноотстоящие узлы приводят к «пло-
хому» интерполяционно-квадратурному процессу. Это
довольно естественно, ибо мы видели в главе II, что
интерполяционный процесс по равноотстоящим узлам
ведёт себя чрезвычайно плохо благодаря очень быст-
рому росту функции кп(я).
Теорема (Р. О. Кузьмин [1]). Если за узлы интер-
поляционно-квадратурного процесса взяты равноотсто-
ящие точки сегмента [—1, -}-1] (причём х1= — 1,
хп = -f-1), то условие
не выполнено.
Собственно говоря, Р. О. Кузьминым доказано больше,
чем утверждает приведённая теорема, ибо им даны
асимптотические формулы для всех коэффициентов
А^, показывающие, что все эти коэффициенты неогра-
ниченно возрастают (по модулю) с увеличением п, но
я ограничусь доказательством формулированной теоремы.
Приводимое доказательство любезно сообщено мне
Р. О. Кузьминым в личной беседе. Оно значительно
проще, чем вывод упомянутых асимптотических формул.
Переходя к доказательству теоремы, рассмотрим узлы
хк = ~ 1 + Ц-^	(&= 1, 2, ..., 2п + 1). (240)
Коэффициент Л„+1 для этих узлов имеет вид
+ 1
sg С____*• I3- ^i) *•(ж — хп) (х ••• (ж — ж3№41)__
J (гп+х —	‘ ’ (ж1П+1 хп)(хп-и ~ хп-и) ’ ’  (я-п+а — я-ап+а)
1 '  •
§ 3]	ТЕОРЕМА Р. О. КУЗЬМИНА	 635
Значит,
^П+1 в	.	»	.
t<®+i> (*+1-4) ••• (? +4) G-4)
\	п п-l 1 — 1—2	— п	Лх'
п п п п п п
откуда
^П + 1 =
G помощью подстановки пх = t находим
^n+i =	5 (t + п) • • • (* +1) (t - 1) • • • (t - П) dt.
— n
Подинтегральная функция здесь чётная, и потому
Л
К+1 = так S («+ п)... (f +1) (i-l)... (i-n) dt. (241)
/Ь I)
U
Рассмотрим отдельно величину
i
й" “ та S (Z + п) • (i + !)(«-!)... (i -n)dt.
о
Нетрудно видеть, что
—Ш1-юта-ста
о
Подинтегральная функция здесь положительная и не
превосходит единицы. Значит, 0<ап< —, откуда
lim кп == 0.	(242)
Л->зо
636 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
В интеграле
п
(t + п)... (t +1) (t — 1)... (t — n) dt
I
сделаем подстановку t = n — z. Это приведёт нас к фор-
муле
А — а ।	у
лп+1-«п± п(п1), X.
п-1
X (2п—z) ... (п + 1 — z)(n—1—z) ... (1— z) (— z)dz,
о
откуда
п-1
+ j <^)
0
где положено для краткости
ф (z) = (2п —-z) (2п — 1 — z) ... (1 — z).	(244)
Разобьём интеграл
О
на слагаемые по схеме	—-
п-1	1	2	8	4	6	п-1
5=5 + $ + 5 + 5+ 5+ 5’	(245)
0	0	1	2	8	4	6
обозначив эти слагаемые, соответственно, через /0,
Iv It, It и I*. Оказывается, что главным из них
будет 1„, а остальные будут бесконечно малы по срав-
нению с /0.
Интеграл Ц имеет вид
1
/„«= [(2n — z)(2n — 1 -z) ... (2 - z)J dz-
о
§ з]	ТЕОРЕМА ?• о. КУЗЬМИНА	637
Множитель, стоящий в квадратных скобках, больше
чем (2п — 1)1. Значит,
/.Xb-llljMl*,
о
а так как
то
(246)
Теперь мы покажем, что каждый из интегралов
Л, I» ?»> (кР0Ме Z,) бесконечно мал по сравне-
нию с предыдущим. Действительно,
*4-2
4+1= J (2n-z)(2n-l-z)...(2-«)^p-dz.
k+l
Сделаем здесь подстановку z= 14-и:
fc+i
4+1 = J (2п - 1—и) (2п — 2 — и)... (1 - u)~uJl^da.
к
Этот интеграл можно переписать так:
*+1
т______С (1 + и)(п-ц)
*+1~ J (n- 1—и)(2п —и) Л
к
х[(2п-В)(2п-1-а)...(1-и)]^в,
откуда
*+1
к
Но при Л<в<Л+1 имеем
(1 + 10 (n-ц)	(ft+ 2) (п—к)
(п — 1 — и) (2п— и) (п—к—2)(2п—Л— 1) *
638 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. V1
Поэтому
*4-1	•
Г4+11 < Г~I (2п—в).. .(1-и)|	.
' K+l 1	(л—к — 2) (2п—к — 1) J "	' v '• п—и
к
Произведение (2п— и)(2п— 1 — в)...(1— и) в сег-
менте [к, Л-f-l] сохраняет знак*) (—1)*. Значит,
|(2п — в).. .(1 — и)| — (—•!)*(2ге — в).. ,(1 — в).
Отсюда
*-Ы
1А+1|<7-4±^Г7ГГ^-Га(-1),с (2в-в)...(1— в)— du,
1 к+11	(п-й-2)(2л-й-1)у	’ J v	х ’ п—и
к
а так как интеграл, стоящий направо, есть не что
иное, как 1к, то
I J I <	(&4-2)(п-Е)	, , .
1 *+1|^-(n-/c-2)(2n-/c-l)1 fcl’
откуда и вытекает, что Iktl бесконечно мал по сра-
внению с 1к.
Но в таком случае каждый из интегралов Ilt I2,1-3, It,
а, значит, и их сумма, есть величина бесконечно малая
по сравнению с /0:
Л + Л + Л + ДМЛ (lim₽n==0).(247)
Остаётся изучить интеграл /*. С этой целью обратим
внимание на то, что
ф(г-Н) = (2n-l-z) (2п —2 —z) ...(1-z) (—z),
откуда в связи с (244) вытекает функциональное уравне-
ние для ф(г)
ф(2+1)_ -2
ф (2) In — t ’
или, что то же самое,
^Z+1) = 2^TI^W-
*) Ибо в нём имеется ровно к отрицательных множителей
(к — и), (к — 1 — и),.,(1 — и).
§ 3]
ТЕОРЕМА Р. О. КУЗЬМИНА
639
Пусть Мк есть максимальное значение | ф (z) | на
сегменте [Л, к +1]. Тогда предыдущее соотношение
показывает, что
^‘<2^^*-	(248>
Написав такие неравенства для к = 0, 1, 2, 3, 4,
перемножим их. Это даёт неравенство
120	м
< (2п - 1) (2п - 2) (2п - 3) (2п - 4) (2п - 5) М«‘
Но из (244) непосредственно видно, что Мй— (2п)1.
Значит,
(249)
где К—абсолютная постоянная.
С другой стороны, если	—1, то
к + 1	4
2п — к — п + 1	'	' '
Отсюда и из (248) следует, что
Мк^<Мк	(к<п~2).
Таким образом каждая из величин Mt, М„.. .,Мп_2
удовлетворяет тому же неравенству (249), что и М6.
Значит, на всём сегменте [5, n — 1] будет
. , , . ।’	К(2п)\
п&
Отсюда следует, что
п-1
5
Но при 5 < z < п — 1
О < -±— < —-1—1
П — Z	п — (л — 1)
П-1
I С z dz
J n — z
ь
Значит,
2K$n~i)l
пг
649 ДОПОЛНЕНИЯ П ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
Сопоставляя этот результат с (246), мы видим, что
и 7* бесконечно мал по сравнению с 1„:
=	(limYn = 0). (250)
Таким образом из (243), (245), (247) и (250) полу-
чаемся, что
/ — 1>п+19
^n + l ~ ап 4 п G 4* Рп 4" Тп) ’
где ап, рп, Yn стремятся к нулю с возрастанием п.
Если п настолько велико, что
I*„|< 1, ipj<4> IТп <
то (учитывая, что 1в > 0) справедливо неравенство
> 1
и, в силу (246),
М |> С2»"1)1 1
бп2(п!)’
По формуле Стирлинга *)
п! = ]/2лп ппе~п (1 + шп) (lim шп = 0)
имеем
(2л - 1)! _ 1 (2п)! _
<п!)а	• 2п(п!)» ~
_ 1/4^Г(2п^пе-’п 1 + «>8п _ 2ап-1 м А
~2п 2«пп»пе-»п (Ц-шп)а	nh
где а„ стремится к нулю. Значит,
|Лпп|>-4-7=(1 + оп)-1,
&п9у пп
*) Си. «Добавление 1» в конце книги.
4]
ПРОБЛЕМА П. Л. ЧЕБЫШЕВА
641
откуда вытекает, что
lim|4ntl| — + со.
П-4-СО
Теорема доказана.
Из неё вытекает, что среди коэффициентов
отвечающих равноотстоящим узлам, обязательно должны
появляться отрицательные. Действительно, из теоремы
Кузьмина вытекает, что существуют непрерывные функ-
ции, для которых интерполяционно-квадратурный про-
цесс по равноотстоящим узлам расходится, а тогда
сделанное утверждение сразу следует из теоремы
Стеклова.
§ 4. Проблема И. Л. Чебышева
и теорема С. Н. Бернштейна.
Наш великий математик П. Л. Чебышев уделял
значительное внимание потребностям вычислительной
практики. Исходя из интересов этой практики, он обратил
внимание на то, что вычисление интеграла по квадра-
турной формуле
ь	п
/.(ж) dx = 2 Ак / (®*)
а	А-1
требует производства п умножений АкХ / (ж*) и п сло-
жений, что влечёт за собой весьма тягостные выкладки,
если, как это бывает обычно, коэффициент^ Ак выра-
жаются числами с большим количеством десятичных
знаков. В то же время, если бы все коэффициенты Ак
оказались равными друг другу, формула приняла бы вид
ъ	п
\f(x)dx — A^f (®fc)	(251)
а	А—1
и выкладка потребовала бы п сложений и лишь одного
умножения.
41 Конструктивная теория функций
.642 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
Поэтому представляет интерес построение квадра-
турной формулы *) типа (251). Однако такая формула
будет совершенно бесполезной, если она (хотя бы для
«хороших» функций /(«)) не будет давать удовлетвори-
тельной точности. В связи с этим естественно наложить
на формулу (251) требование, чтобы она оказывалась
точной всякий раз, когда / (я) есть полином по возмож-
ности высокой степени.
При этом достаточно уметь строить формулу
типа (251) для сегмента [ — 1, 4-1], ибо любой другой
сегмент сводится к этому с помощью линейной под-
становки.
Для того чтобы формула
+1	п
j{x)dx = А 2 /(®л)
-1
(252)
была точна для всякого полинома степени не выше т,
необходимо и достаточно, чтобы она была верна для
функций / (ж) = хТ (г = 0, 1, 2,..., т), т. е. чтобы выпол-
нялись т +1 условий
п	+1
А 2®а= xrdx.	(253)
i=l	-1
•) Полезно заметить, что формула Эрмита (220) не имеет отно-
шения к затронутому вопросу. Действительно, чтобы вычислить
+1
интеграл F (ж) dx по формуле (220), его следует записать^
-1
в виде 1 = \ j (ж) ~Г==~
J у 1 — х1
-1
т. е. ввести функцию/(a;) = F(®)yr !-»’•
п
Значит, правая часть формулы (220) будет —
к=1
и коэффициентами при значениях подинтегральной функции
будут не равные между собою числа —ifi—xl.
п
J 4]	ПРОБЛЕМА П. Л. ЧЕБЫШЕВА	-	§43
Так как в нашем распоряжении имеется п + 1 пара-
метр А, «а, ..хп, то естественно требовать,
чтобы было т = п.
Все эти соображения привели П. Л. Чебышева [4]
к постановке следующей задачи: для заданного п подо-
брать коэффициент А и узлы хг, ,.хп так, чтобы
формула (252) оказывалась точной всякий раз, когда
f(x) есть полином степени не выше п.
Согласно сказанному для этого надо решить п +1
уравнений (253). В частности, при г = 0 сразу находим
Л = 4’.	(254)
Величины же х„ хг, ..'хп надо найти из остальных
п нелинейных уравнений. (253). П. Л. Чебышев факти-
чески решил эту систему для п = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Для п = 1 мы будем иметь лишь одно уравнение
+1
2жх = х dx — О,
-1
откуда хг = 0, и формула Чебышева примет вид
+1
/ (ж) dx = 2/ (0).
-1
Для п = 2 получается система уравнений
+1
ж1 + жг ~ х^х — 0>
-1
+1
4- А =	= 4 •
-1
1/^ о”
Отсюда —жх = жа = -J-g- = 0,5773503, и формула
Чебышева такова:
—4
41*
6U ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
Для п = 3 получится система уравнений
Ж| “f* Ж^ “f* Ж| 0,
xi + ж» + х» ~
x* + x* + х» = 0"
Если из первого уравнения найти xt и подставить
в третье уравнение, то мы придём к уравнению .
Х1Х2(Х1+Х1) =0-
Отсюда хгхгх3 — 0. Примем ж, = 0 (мы считаем
xi < х» < ж»)- Это даёт
- xt = ж, =	= 0,7071068,
и формула Чебышева будет
Проведём решение ещё для п = 4. Система уравне-
ний будет:
^1 + », + ®. + ^ = 0,
xl + xl + xl + xl =
ж’+х’ + ж’а + ж’= 0,
ж} + ж* + ж‘+ж* = -|-.
(255)
Прежде всего ни одно из неизвестных не равно
нулю. Действительно, если принять, например, ж4 = 0,
то из первых трёх уравнений, как и в предыдущем
случае, найдём Ж! = — |/1-, ж8 = 0, ж, = |/"-|-, что
не удовлетворяет четвёртому уравнению.
Так как четыре не равных нулю величины не могут
попарно иметь разных знаков, то можно принять, что
§4]	ПРОБЛЕМА П. Л. ЧЕБЫШЕВА	645
я1 и xt имеют одинаковые знаки и ха + ха 0. Пред-
ставив первое уравнение в форме
= — (®8 +	(256)
возведя его в куб и сопоставив с третьим уравнением,
найдём
(«1 + ®2) (®1®2 ~ %) = °>
откуда хаха — xaxt и, стало быть, х3 и xt одного знака.
Будем считать ха и а?2 отрицательными, а xt и xt
положительными. )
Если равенство (256) возвести в квадрат и учесть,
что хаха = xtxir то станет ясно, что
х1 + х1 = х; + х1 .	(257)
Отсюда и из второго уравнения (255)
+ =	(258)
Возводя (257) в квадрат и сопоставляя с четвёртым
уравнением (255), находим
4.4	2
xi + xt = -5-
Отсюда и из (258) без труда получаем, считая ж, < ха,
ж, =-0,7946544,	. .
V 3|/5
*2= -]/	-0,1875925.
Аналогичный подсчёт даёт xt—— ха, xt= —хг.
Значит, для п = 4 формула Чебышева будет иметь вид
646 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
Как уже отмечалось, П. Л. Чебышев построил свои
формулы ещё для п — 5, 6, 7. Когда же, уже после опубли-
кования работы Чебышева, было проведено решение
системы для и = 8, то корни её оказались мнимыми.
С. Н. Бернштейн подробно исследовал проблему Чебы-
шева. G помощью замечательно изящных соображений
он установил, что при п > 9 задача Чебышева неразре-
шима. Этот результат мы и излагаем.
Лемма 1. Пусть формула
+1	Л
=	(259)
-1
верна для всякого полинома степени не выше 2т—1,
где т<п. Обозначим через Хт(х) полином Лежандра
степени т и пусть Е<т>— его наименьший корень. Тогда,
считая узлы хк перенумерованными в порядке возраста-
ния, будем иметь
«1 <
В самом деле, пусть
D 1-уЛ _
Так как есть полином степени т — 1, то этот
полином ортогонален к Хт(х).
Отсюда
+ 1
Р (х) dx = 0.
-1
С другой стороны, степень Р(х) есть 2m—1,
и потому предыдущий интеграл можно вычислить и по
формуле (259). Значит,
п
k-i
Все п слагаемых здесь не могут быть нулями, так
как у Р{х) только т различных корней, a n>m,
§4]
ПРОБЛЕМА П. Л. ЧЕБЫШЕВА
647
Поэтому имеются и отрицательные слагаемые. Но/* (ж) <0
при х < Цт>. Стало быть, есть такие к, что хк <
а тогда и подавно хг < Цт>, ибо это наименьший
из узлов хк.
Дальнейшее основано на сопоставлении формулы
Чебышева (259) с формулой Гаусса
5
-1 .
(260)
в которой узлами являются корни полинома Лежандра.
Лемма 2. Если формула Чебышева
+1	’л
j f{x')dx = ^f{xk)	(261)
-1	k=l
верна для всех полиномов степени не выше 2m —1, где
т < и, то
— < А(т>.
п 1
В самом деле, пусть
(262)
Р{х)~
Хщ (ж)
Это полином степени 2m — 2. Значит, интеграл
+1
Р (х) dx
-1
можно вычислять как по формуле Чебышева (261),
так и по формуле*) Гаусса (260). Первый способ
вычисления даёт
+1	л
\p[x)dx = ^ ^Р{хк),
-1	й-1
♦) Напомним, что формула Гаусса верна для всех полиномов
степени —1.
649 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
а второй:
+1
Р (х) dx = А\т\
-1
ибо Р (?£")) — 0, если к > 1 и Р (£[m)) = 1 •
Значит,
Л
к-1
Так как полином Р (х) не отрицателен, то
(263)
Полином Р (х) имеет корни второй кратности
jjGn), SjOr), ... ($(»). Значит, все эти т — 1 точки суть
корни и его производной Р' (ж). Кроме того, по тео-
реме Ролля у Р' (ж) имеется т — 2 корня в интервалах
(^т>,£<т>), • • • , (£®-Ьtyty- Таким образом в сегменте
а тем более в сегменте [^т), 5^], имеется
2m —3 корня Р‘ (ж). Но Р’ (х) есть полином степени
как раз 2m — 3. Значит, при ж < у Р' (ж) корней нет,
и Р' (ж) сохраняет знак в интервале (— оо, !•("•)).
Но, будучи полиномом нечётной степени, Р' (ж) стано-
вится отрицательным при ж—» —оо. Стало быть, упо-
мянутый знак Р* (х) в интервале (—ооД(т>) есть минус.
Поэтому Р (ж) в этом интервале убывает. По лемме 1
имеем ж, < Следовательно, Р (ж,) > Р (^m)) = 1.
Сопоставляя это с (263), мы и приходим к (262).
Теорема (С. Н. Бернштейн [11,12]). Задача Чебы-
шева неразрешима при п> 9.
Доказательство этой теоремы с большой простотой
вытекает из предыдущей леммы и принадлежащих
С. Н. Бернштейну же оценок
Л<т)<	(264)
_1<{(В)<_1 + _!_ (т>6). (265)
§ 4]	ПРОБЛЕМА П. Л. ЧЕБЫШЕВА	649
В самом деле, из этих оценок следует, что при т > 6
(266)
Установив это, допустим, что задача Чебышева
разрешима для какого-нибудь п > 11. Предположим
сначала это п нечётным и пусть 2т — 1 = п. В силу
леммы 2 будет выполнено (262), а так как т > 6,
то из (266) вытекает, что
п	(п +1)»
Значит, (п + 1)!<16п и
п* — 14n + 1 < О,
так что п лежит между корнями трёхчлена х*—14а: +1.
Больший из этих корней есть
7 +/48 <14.
Таким образом п<13. Допустим, что формула Чебы-
шева верна для п = 13 при каком-нибудь выборе узлов.
Тогда, полагая т = 7, будем иметь в силу (262)
^<Л<7>.	(267)
Но, как уже было упомянуто, коэффициент лр был
вычислен Гауссом. Его значение таково:
Лр = 0,12958...	(268)
В то же время
П = 0,153.'..
10
Таким образом (267) неверно, и для и = 13 формулу
Чебышева построить нельзя. То же заключение надо
сделать и для п = 11, ибо
Лр = 0,17132 < £ .	(269)
Итак, наибольшее нечётное п, при котором может
существовать формула Чебышева, есть п =* 9 (и она дей’
650 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
ствительно существует для этого п, что было установ-
лено уже после Чебышева).
Перейдём теперь к рассмотрению чётных п.
Допустим, что система уравнений
Хх +	. + хп = 0,
х] + х* + ... + хгп = у ,
+	• • • + ®’ = 0, к (270)
zf-1 + н + ... +	1 = 0,
х^+...+хпп=^
оказалась разрешимой, причём в найденном её решении
все Xj вещественны, различны и лежат в сегменте
[—1, 4-1]. Если наложить требование, чтобы было
ж, < х2 < ... < хп, то числа Xj определяются системой
(270) однозначно. В самом деле, как известно из алгебры,
заданием степенных сумм
=	(А= 1, 2, ... ,п)
однозначно определяется уравнение, имеющее числа х{
корнями. Иначе говоря, степенные суммы sk определя-
ют всю совокупность чисел xit а тогда неравенства
хг < хг <  • • < хп однозначно определяют и самые xt.
G другой стороны, ясно, что при чётном п наряду
с решением (ж1?ж2, ...,жп) система (270) имеет также
решение (— х1г — хг, ... , — яп).
Значит, благодаря упомянутой однозначности будет
Хх~ хп> хг =	хп—1> •  • > хп = Хп ’
Г Г+1
откуда
+ x£+1 + . .. + x%+i — 0.
Таким образом, если п — число чётное и равенство
+1	п
хт dx = 2 Х1
-1	*-1
§4]	ПРОБЛЕМА П. Л. ЧЕБЫШЕВА
6'51
справедливо для г = 0, 1, 2, . .. , п, то оно само собой
будет верным и для г = п + 1.
Это показывает, что при чётном п формула Чебы-
шева с п узлами, справедливая для всех полиномов
степени не выше п, будет, так сказать, «автоматически»
справедливой и для полиномов степени п + 1. Заметив
это, предположим, что для некоторого чётного п > 10
решена задача Чебышева.
Полагая 2т — 1 = п + 1, будем иметь на основании
(262) и (266)
2	4«^б
п < (п + 2)а •
Отсюда (п + 2)’ < 16п и	»
п8-12п + 4<0.
Так как больший из корней трёхчлена ж2-— 12х + 4
есть
6 +/32 < 12,
то п<10.
Значит, для п > 10 задача Чебышева неразрешима.
Но и для п = 10 она тоже неразрешима, ибо
^<1.
Таким образом всё приведено к доказательству
неравенств (264) и (265). Второе из них доказывается
сравнительно просто. Именно, записав хг — 1 в форме
ж2 — 1= (х +1)2 — 2 (х +1),
имеем по биномиальной формуле Ньютона
(ж2 - 1)п = Сп (- 2)п^ (х + 1)п+ь.
А--О
Отсюда
[(ж2 - 1)"]("> =
=(-2)п2(~1)* (п + Л)(п + Л-1)...(Л+1)С*(^у.
*-о
652 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
Так как полиномы Лежандра определяются с точно-
стью до постоянного множителя, то можно положить
Хп (®) = £ (-1)* (п + А) (я + Л-1)... (А -И) Сп (Ц-1)* .
к-0
Значит, Хп(~~ 1) = nl. С другой стороны,
1 +п(п + 1)) =
= 2 (- 1)‘(я + Л) (п + Л- 1)-....	]* .
Ы
Положим, считая п закреплённым,
Тогда
л к(к-1)
«к __ 3(»+*)(»-»+!) _ 3	n(n + l)	(271)
u^-1	2 ft’n(n-H)	2 к1
Отсюда видно, что отношение с возрастанием к
убывает.
Так как ик > 0 и
Х"(~ 1 + п(п + 1) ) = 2 (~^как>
к-0
то очевидно, что
Хп (- 1+ n(n + 1)) <
< (и0 — «! + иа — и8) + (и4 + и, + И8 + . . . ).
Вычислим отдельно и„ — их + «а — и„. Эта сумма
равна
, Г 1 .	3	,	9	]
L32‘t‘ 8n(n+l)+ 8n’(n + l)» J •
§4]	ПРОБЛЕМА П. Л. ЧЕБЫШЕВА	65S
Значит, при всех п будет
г	nl
ов~«1 + и, —»,< —32-
С другой стороны, так как убывает, то мы имеем
__ utk > цяк+а
u»fc-a. Uik-i utk-t uakti U»k utk
Стало быть,
Mg s. Mg w Mio
ue	‘ ‘
Отсюда
“1 _«в . «« < (<\*. £1»< (IfsY.
«4	«4 “4	v«4/ ’ «4 X \«4/ ’ ’ ’ 
И4 + и» + И» + • • • <
«4
Ввиду (271) будет*)
_ 30 _ 20
и» _ 9_	n(n +1)	»(»+!)	1
u4 ~ 4	6»	5»	400 ‘
Кроме того, опять-таки опираясь на (271), находим
12 е 2
____81 n(n-Hl)	n(n+l)	n(n4-l) 1	9»!
и* ~ 16	4»	3»	21	1«	1024 *
Значит,
«4	9nl 75»!
и4	400
Таким образом
Хп 1 + n(n+I)J <В1 [8572~~32 ] <0*
з
Значит, Хп (х) меняет знак менаду — 1 и — 1 + „ , ,
чем и доказано (265).
*) Напомним, что п > 6.
654 дополнения к теории Механических квадратур [гл. VI
Остаётся доказать неравенство (264). G этой целью
введём в рассмотрение лежандров полином
р 1г} ~	1
и пусть
<р (0) = |/"sin9Pm(cos9).	(272)
Тогда
?"(6) =
_4 sin16 Pm (cos 6) — 8 sin3 fl cos fl Pm(cos fl) —(1 + sin1 fl)Pm(costi)
4 ]/sin3 fl
Но полином Лежандра Pm(x) удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению
(1 — ж2) у" — 2ху' + т {т + 1) у = 0.
. Подставляя сюда Рт (х), заменяя х на cos 9 и умножая
на 4 sin2 6, находим
4sin4ЪР"т (cos 0) — 8 sin2 9 cosfiP^ (созб) =
= — кт(тп + 1) sin2 6 Pm (cos9).
Отсюда и из (272) получаем
Если положить
4(9)=—=^=,
у (2т + I)2 sin2 fl +1
то предыдущее равенство примет вид
Х2(9)?"(6) + ?(9) = 0.	(273)
Заметив это, введём функцию
«(0) = ?2(е)+^(0)?'8(е)-
Дифференцируя эту функцию и принимая во внимание
(273), сразу находим, что
и'(9) = 2X(9)V(9)Y* (9).
§4]	- ПРОБЛЕМА П,Л; ЧЕБЫШЕВА	655
Но
8 sin в cos в
(9) л (0) - [(2да+1)а sin2fl + 1]! •
Это показывает, что при -^ < б < к
2Х (0) л'(0) < 0.
С другой стороны, из определения и (9) видно, что
«(0)>л2(0)?'2(6).
Значит,
« (6) < 2л (6) л' (0)	(9) = «' (9).
Отсюда вытекает неравенство
«'(в)	2Л'(в)	JY
W>W '	<T<6<’t/
Интегрируя это неравенство по сегменту £ —, 9 j ;
находим
“(й
Замечая, что
?46)=~=f Лп(соз 6) - /sin’0 К (cos 9),
2 у sm о
и учитывая определение и (9), видим, что при у < 9 <
sin9Pm(cos9) +
+ X2 (9) Г Pm(cos 9) - /sin8 9 Р'т (cos 9) Г >
L 2 у sin 6	J
656 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. Vt
Заменим здесь 8 на arc cos х. Тогда для — 1 < х < О
получается неравенство
+ к’ (arc cos я) Г „77^= Рт (я) - VG - х*)а Р'т (*) Т >
L 2 / 1 — ж3	J
“Ci)
> --7--7- X2 (arc cos х).
<f)
Подставим сюда х — Если учесть, что это корень
полинома Рт(х), то мы сразу получаем
«Г-')
(1_[ет)-/.р-(5<«>)>_к|2,
<т)
Но
л 4 2/ 2тг + 2т +1 ’
а
Если т—число чётное, то Р^(0)=0 и*)
Но (часть первая, стр. 263 (формула Валлиса)) при чёт-
ном т
<S=T>n-/^+’/f	(0<«<1).
♦> Из рекуррентной формулы (127) (часть вторая) вытекает
при я = 0 и чётном п, что
Рп«(0)-5т|р„(0).
Г» “Т“ X
Полагая п = 0, 2, 4, .... т — 2 и перемножая полученные
равенства, находим
Р„(0)= (от~.|)1-1- Ро(О) 	.
" ' ml! ' m!l
§ 4]	ПРОБЛЕМА П. Л, ЧЕБЫШЕВА	657
Значит,
Г(т-1)!!1»	2
L »»!! J	w(m+T)
и
(1 - [ч]2)1'-« ft,") > ™“ПГ > ? •
Если т—число нечётное, то Рт(0) = 0 и
а Ст) ~ 2т» 4-2m +1
Во второй части (глава V, § 2) было показано, что
(1 — ж2) Р'т (х) = тРтл (х) — гпхРт (х).
Полагая х = 0, находим
P^(0) = mPm.1(0).
Значит,
=____________________2____т» г<^^тг=
4 2 ) Ъп* + '1т + 1т L(m- 1)1! J
_	, 2т»________2
2т» + 2т +1 (т — 1 4- 0) г ’
Отсюда
(п \	4т
2 ) > (2т’+ 2т 4-1) я
И
(l_[^)y)»/»p-(SW)>2«.
Таким образом последнее неравенство справедливо при
всех т, так что при всех т
* 1/" 4 _ rt(m)l3 V. 2________
m 11 J >	P^(4m)) ’
Остаётся сослаться на формулу (216), чтобы придти
к (264). Теорема С. Н. Бернштейна доказана полностью.
42 Ковструктдвная теория функций
658 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
Замечание. Неразрешимость задачи Чебышева
своей единственной причиной может иметь наличие
среди корней системы
п	+1
=	(г = 0, 1, 2, ..п) (274)
fc=i	-1
мнимых чисел.
Действительно, из алгебры известно, что любое зада-
ние степенных сумм
п
8г=^Хк (г = 0, 1, 2, ..., п)
позволяет построить алгебраическое уравнение сте-
пени п, имеющее числа хк, х2, ..., хп своими корнями.
Таким образом с чисто алгебраической точки зрения
система (274) разрешима всегда. Но при чётном п по-
следнее из уравнений (274) имеет вид
п
Поэтому в случае вещественности всех хк они обя-
зательно попадали бы в [—1, +1], и задача Чебышева
оказалась бы разрешимой. То же рассуждение можно
провести и для нечётного п, так как тогда предпослед-
нее уравнение (274) будет
ЗхГ=1.
Таким образом теорема Бернштейна позволяет утвер-
ждать, что среди корней системы (274) при п > 9 име-
ются мнимые. Р. О. Кузьмин [2, 3] установил закон
распределения этих корней на плоскости при весьма
больших п.
$ 5]
ТЕОРЕМА к. а. ПОССЕ
659
§ 5. Теорема К. А. Поссе.
Мы уже обращали внимание читателя naj то, что
коэффициенты квадратурной формулы Эрмита
— 1 Г
не зависят от к. Естественно встаёт вопрос о существо-
вании других формул типа Гаусса с тем же свойством.
К. А. Поссе [1] установил, что формула Эрмита един-
ственная, обладающая указанным свойством. В насто-
ящем параграфе я даю доказательство Я. Л. Герони-
муса [6] этой теоремы Поссе. Я. Л. Геронимусом доказан
следующий более общий результат:
Теорема. Пусть р(х) весовая, функция, заданная
на сегменте [—1, 4-1], «	(к—1,2, ..., п)—корни
полинома <»п(х), ортогонального по весу р(х) ко всем
полиномам низших степеней. Если при всяком п суще-
ствует постоянная Ап такого рода, что формула
+1	п
\p(x)xmdx = An%[x^]m	(275)
-1	k=t
верна для*) т = 0, 1, 2, то р(х) есть вес Чебышева.
Доказательство. Полагая в формуле (275) т—0,
находим	............... ’
•+U
р (х) dx — пАп.
-1
Не ограничивая общности, можно считать, что
+1
( р (х) dx = 1
“1
(вес можно снабдить любым положительным постоян-
ным множителем). Стало быть,
*) Значение т = 2 рассматривается только для п > 1.
42*
660 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. Vi
Полагая в (275) т = 1,"получим
п	+1
2'ДП> = (н = J Р^yx'dx^ .
k-i	-1
Если записать полином <оп(ж) (считая его старший
коэффициент равным единице) в форме
<мл (ж) = хп + РпХ11^ + цлх™ + ...,
то, как известно из алгебры,
2 4П)= — рп.
Таким образом
р„ = — пн-	(276)
Сравним в рекуррентной формуле
U)n+i(«) = .(»-an+ll)a>ntl(a:)-kn+l<on(2:)	(п>0) (277)
коэффициенты при а/1*1:
Рп*» ~~ ®л+а 4* Рп*1*
Аналогично
Pnti — ®n+i 4“ Рп. >
Рп = ап 4“ Pn'-i >
Р» = ~ ®а 4- Pi •
Складывая все эти равенства, находим
Рп*» ~ ~ (®s 4-«»4- • • • 4- ®n+s) 4- Pi’
Но о»! (х) = «+ рг = х — «х. Стало быть,
п
Рп= ~~ 2а**
Л-1
Сравнение этого равенства с (276) показывает, что
п
2 «л = ген-
к-1
| 5J	ТЕОРЕМА К. А. ПОССЕ	661
Полагая здесь последовательно п = 1, 2, 3, 4, . ..,
найдём, что
ах = я, = яв = «4= ... =рх.
Пусть для краткости ак == я.
Применим, наконец, формулу (275) к случаю т = 2
(считая п>2):
п	+1
12 НП)Г=н (н* = § я®)	•
Л-1	-1
Как известно,
2 [4"’Г = [ 2 ^"Т -2 S »f'М?’ - А - 2?„.
Л-1	К-1	i<k
Поэтому
?П = 7 [Рп - П[*,] =л OJ - |Л9].	(278)
С другой стороны, сравнение коэффициентов при хп
в формуле (277) даёт
Jn+s	“ “Рл + 1 4” 7л+1 ' ^л+г
Аналогично
7л+1 ~ “ %Рп Qn ^л>
• ‘ .......................... • • • t
~apt + qt —
= — “Pi —
Отсюда после сложения
n+i	n+1
?n+»= ® 2 Pk 2
k-i	k-i
Учитывая, что pk = —- ia, получим
дл=М^)а._2кл (n>21.
662 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР [гл. VI
Сравнение этого равенетва с (278) даёт
п—1	1
23Ч = В(р,-р!).
Полагая здесь последовательно п = 2, 3, 4, ..находим
у’Ч = ^з = Л4=
Пусть *)
Г ,	2\	°2
~2 (l*2 Hl) J" *
Тогда
X _ г _ к _ х -
А1 —	- А3 — Л4 —
Таким образом, рекуррентная формула (277) примет
вид
= (ж-а)шл+1(ж) — ^-®п(ж)	(»>1),
®2 (ж) = (х - а) ш, (ж) - 4 шо (z).
Кроме того,
ш0 (ж) = 1, Wj (ж) = х — а.
Напомним, что полиномы Чебышева !У„(ж) таковы,
что	.... .............
(я) = 1,	(ж) = ж,
$2(ж) = жТ\(ж)—-|$0(ж),
^п+2 (ж) ~	п+1 (ж)	4" 'Рп (Я")	1)'
Сравнение этих формул с полученными для о>п (ж)
показывает прежде всего, что
•) Напомним, что Afc > 0.
К 5]	ТЕОРЕМА К. А. ПОССЕ	663
Отсюда
»,(») = .(х-«) «У,	£ 0. (^)= .
и, стало быть,
°>» (ж) = а3^	•
С помощью полной индукции легко показать, что
Отсюда следует, что корни, полинома <»п (х) суть
х^ = а + ° cos "^2n~ п (Л = 1, 2, . •,, п).
Эти корни при п = 1, 2, 3, ... расположены всюду
плотно в сегменте [а — а,, а 4-а], не выходя из этого
сегмента.
С другой стороны, квадратурная формула типа Гаусса
сходится для любой непрерывной функции. Буквально
повторяя доказательство теоремы 4 (Стеклова) из § 1,
мы убедимся, что узлы х^ должны быть расположены
всюду плотно в [—1, 4-1], не выходя из этого сегмента.
Стало быть,
а —а = —1, а4-а=1,
откуда « = 0, о=1 и
(®) = №.
Поскольку ортогональные полиномы определяют свой
вес ортогонализации (для случая конечного промежутка)
однозначно, теорема доказана.
ДОБАВЛЕНИЕ 1.
Формула Стирлинга.
На предыдущих страницах нам неоднократно прихо-
дилось пользоваться формулой Стирлинга
nl = j/2nn + <»n) .(lim<»rt = 0).	(279)
Так как эта формула не всегда выводится в курсах
анализа, то мы дадим её доказательство. G этой целью
рассмотрим переменную
~ п°\Сп
Хп ~ e»nl ‘
Нашей ближайшей целью будет показать, что хп имеет
конечный предел, для чего мы убедимся, что хп есть
возрастающая и ограниченная величина.
Так как еП4(п + 1),~ , то
*п+1 _р + 1\п4 1
«п \ п J е
и, стало быть,
Так как гипербола ху = 1 обращена вогнутостью
вверх, то площадь криволинейной трапеции, ограничен-
ной этой гиперболой, осью абсцисс и ординатами ж=п
и ж = п + 1, больное, чем площадь прямолинейной трапе-
ции, ограниченной осью абсцисс, теми же ординатами
и касательной к гиперболе в точке	г'дтО
ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
665
(черт. 2). Из этого замечания следует, что
п+1
С dx 2
) ~х 2п'+1 ’
откуда
и, стало быть,
1п?п±» >0.
жп
Последнее неравенство означает, что з:пи>гл, так
что хп возрастает.
G другой сторонки, площадь упомянутой криволи-
нейной трапеции меньше, чем площадь прямолинейной
трапеции, ограниченной осью абсцисс, теми же ор-
динатами и хордой, соединяющей точки ^п, и
нашей гиперболы.
Отсюда
п+1
С ds 1 / 1 ,	1 >	^2
J х <'' 2 \ п +	п(п +1)
666
ДОБАВЛЕНИЕ 1
и, стало быть,
(в + 4)1<1 + 1)<4^1=1 + _2_.
Отсюда вытекает, что
ь^*<4^+т>=4(|-^>)-	(280>
Полагая в этом неравенстве п — 1, 2,..., т — 1
и складывая полученные неравенства, находим
откуда
Тем более,
1п*-2-
£
4
и хп < xt е. Значит, переменная хп имеет предел. Обо-
значим этот предел через А:
A — lim
п->со
ППУп
ennl
В первой части (формула Валлиса, стр. 263) нами
было установлено, что
Но
(2П)|| = 2»п!, (2»-1)l!=^r=g!.
Таким образом предыдущая формула принимает вид
<281)
ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
667
Из самого определения переменной хп имеем
и формула (281) принимает вид
Деля обе части этого равенства на j/”— и
ходя к пределу при возрастающем п, находим
пере-
А»
откуда А =
Итак,
n”Vn 1
lim —й-t— = -т=.
n-юо е"л1	/2«
Стало быть,
/2лпппе~" .
lim -----,----= 1,
п->00 nl
что равносильно формуле (279).
Замечание. Нетрудно дать оценку точности
мулы Стирлинга. Действительно, из (280) вытекает, что
1 • • / 1 1
4 L Ч п
фор-
п +т — 1	п + гп) ]
Увеличивая т и переходя к пределу, находим
1 1 1
In-—: <7- .
/2я хп
Значит,
1
Д--<е4п
/2wan
__ ______1_
и 2nxn^e~in. С другой стороны, хп возрастает и по-
668
ДОБАВЛЕНИЕ 2
тому остаётся меньше своего предела А =р^= > так что
]/2ла;п<1. Таким образом
.“А е V2"n
е	nl
< 1,
т. в.
откуда
1
е“4п<
1
1 + «>п
1,
1
О < <Bn<e4n— 1.
ДОБАВЛЕНИЕ 2.
О теоремах Мюнтца.
В целях простоты изложения в теоремах Мюнтца
(часть вторая, глава III, § 3) показатели п,- предпола-
гались целыми и неотрицательными. Однако существом
дела эти ограничения не вызывались. Рассмотрим про-
блемы Мюнтца с большей общностью.
Пусть {pj — произвольные вещественные числа, под-
чинённые единственному условию р( > — у (это усло-
вие надо поставить, чтобы функции хр* входили в
V ([0, 1])).
Так же, как и ранее, мы убеждаемся, что множе-
ство степеней {xPi} фундаментально в £’ ([0, 1]) тогда
и только тогда, когда для всякого неотрицательного
и целого т выполнено условие
НтП
I Pi - w |
»*+Pi + i
0.
(282)
Если
11m pt= + co,
О ТЕОРЕМАХ МЮНТЦА
660
то, как и в основном тексте, мы увидим, что (282)
равносильно соотношению
Допустим теперь, что
Птд=а	1 < а < + аЛ .
В этом случае система степеней {xPi} обязательно
фундаментальна в L3 ([О, 1]). Действительно, при неотри-
цательном т
— (т + а-|-1)< а — тп <те + а-Ь 1,
так что
|« —mj
«+«4-1	'
Выбрав число q, лежащее в интервале	, 1
для достаточно больших i будем иметь
I /ч - I
m + pi + 1
откуда следует (282).
Рассмотрим, наконец, случай
Птр< = -у.
Считая i9 настолько большим, что при i>i0 будет
pt < 0, получим
i-ia
= “
i-fo \
, I
Pi + y
, 1
m 4-у
— S +
t-to \
, 1
+ T
m + y
6?0
ДОБАВЛЕНИЕ! 2
Отсюда ясно, что условие (282) равносильно соотно-
шению
СО
з (а+|)=+<».
Из сказанного вытекает
Теорема (Г. М. Мюнтц). Система степеней {жр}
(^Р>—фундаментальна в случае, если из множе-
ства показателей {р} выделяется последовательность
{р(} одного из трёх типов'.
1) limp, = +оо,	2^= + °°;
2) limp, = а, — 4<в<+°°;
3)limp,= -|,	3(а+|) = + со.
В противном случае система {хр} не фундаментальна.
В доказательстве нуждается только последнее утвер-
ждение теоремы. Пусть из {р} нельзя выделить последо-
вательности одного из указанных трёх типов. Не имея
внутри интервала — у , со точек сгущения, множе-
ство {р} разве лишь исчислимо: {р} = {р,}. Разобьём
это множество на две части: А и В, включив в А все
отрицательные, а в В все неотрицательные р,.
Тогда *) при Pi € А
limp,= —4> S(^ + 4)< + 00’
а при pt^B
limp, = +оо, Vl< + oo.
Pl
Значит, оба бесконечных произведения
П1 - Pi I ТТ I ~ Рг I
m + Pi + i ’ И т 4- pi 4-1
А	в
отличны от нуля, и (282) не выполнено.
*) Мы предполагаем, что А п В бесконечны, иначе всё три-
виально.
о ТеореМах МюнтЦа	6Я
Переходя к рассмотрению условий, при которых
линейными комбинациями степеней {жр} можно с любой
степенью точности равномерно приблизить всякую функ-
цию из С ([0, 1]), заметим, что все показатели р можно
предполагать неотрицательными. Действительно, если бы
среди них и были отрицательные, то всё равно члены
вида схр при р < 0 в приближающие полиномы не вой-
дут (иначе такой полином обращался бы в бесконеч-
ность при х — 0).
Нижеследующий результат в основном принадлежит
С. Н. Бернштейну*) и был получен им ранее опубликова-
ния работы Мюнтца.
Теорема. Пусть S={p}—множество неотрица-
тельных вещественных чисел. Для того чтобы полиномы
п
2С^	(Pfc€S)
Л’=1
образовывали множество, всюду плотное в С ([0, 1]), доста-
точно, чтобы число р = 0 входило в S и, кроме того,
S удовлетворяло одному из условий:
1) Из S выделяется последовательность у кото-
рой
Нтр,= +оо, 2^=+°°‘
2) Из S выделяется последовательность {р,}, у кото-
рой
О < lim Pi < + со.
Достаточность условия 1) (в соединении с включе-
нием 0€<5) доказывается, как в основном тексте книги.
Если выполнено условие 2) и
lim pi > -J ,
Pj-1
то система степеней [х } фундаментальна в Z.a([0, 1]),
откуда без труда вытекает доказательство теоремы.
*) С. Н. Бернштейн [3]. Метод С. Н. Бернштейна отличен
от приводимого нами.
6?2	Добавлений з
Допустим теперь, что Umpf<y. Подберём столь
большое s, чтобы было Ит«Д>у. По доказанному
полиномы 2 ckxspx образуют множество, всюду плотное
в С ([0, 1]). Заметив это, возьмём произвольную функ-
цию /(ж) б С ([О, 1]) и положим <f(y)~f(ys)" Эта функ-
ция тоже входит в С ([0, 1]), и потому найдутся коэф-
фициенты ск, при которых
lS^SP/f-/(?/s)l<s	(0
где в > 0 задано наперёд. Остаётся заменить у* через х.
ДОБАВЛЕНИЕ 3.
Теоремы С. М. Лозинского — Ф. И. Харшиладзо
и В. Ф. Николаева.
В § 4 главы IV второй части мы уже упоминали
о теореме В. Ф4, Николаева, согласно которой не суще-
ствует такой ортонормальной по какому-нибудь весу
системы полиномов, чтобы всякая непрерывная функция
разлагалась в равномерно сходящийся ряд по этим
полиномам. Этот результат был доложен В. Ф. Нико-
лаевым на заседании семинара по теорий функций
при кафедре математического анализа Ленинградского
университета. Участниками семинара С. М. Лозинским
и Ф. И. Харшиладзе было замечено, чте метод Нико-
лаева позволяет доказать и значительно более общую
теорему. В настоящем добавлении излагаются указан-
ные результаты.
Условимся в следующем способе речи: пусть каждой
функции ф (х) € С ([а, 6]) отнесена некоторая функция
ф (ж) того же класса С ([а, 6])
ф(х) = ф[ф;ж] = С/ (<р).
Если соблюдены условия
«) г7(т*4-Ф.) = ^(тх)4-г7(?а)л
8) max | ф (ж) |< К max | <р (ж)|,
ТЕОРЕМЫ ЛОЗИНСКОГО-ХАРШИЛАД8Е Й НИКОЛАЕВА 673
причём постоянная К не зависит от выбора ?(ж),
то говорят, что U (?) есть «линейный оператор из про-
странства С ([а, 6]) в пространство С([а,Ъ])».
Нетрудно понять, что такой оператор однороден, т. е.
при любой постоянной с
Y) U (с ?) = eV (?).
Числа К, удовлетворяющие неравенству {3), неотри-
цательны. Значит, они имеют точную нижнюю границу Кй.
Легко видеть, что Ко также удовлетворяет неравенству Р).
Число Ко называется нормой оператора U (?) и обозна-
чается через || U ||.
Лемма 1. Пусть иг{ч),	есть
последовательность линейных операторов из С ([а, 6])
в С([а,Ь]). Если для каждой функции ?(я) соответ-
ствующие функции
(«) = Un (?)
ограничены на [а, 6] одним числом, не зависящим от п,
|фп(«)|<л (?)	(а<я<6; п = 1, 2,3, ...),
то нормы операторов Un (?) также ограничены числом,
не зависящим от п.
Доказательство проводится «методом скользящего
горба». Именно, допуская, что нормы операторов Un (?)
не ограничены, построим для каждого п такую функцию
?п(ж), чтобы было справедливо неравенство* *)
шах | Un (?п) | > 11| Un 1| max | ?„ (ж)|.
Полагая 2Мп — ||Z7n|l и
 п тах| ?п(г)| ’
*) Если при некоторых п будет || Vn || = 0, то такие п мы не
будем рассматривать. Значит, у || ?7n || < || Z7n || и <fn (х) суще-
ствует.
Конструктивная теория функций
624
ДОБАВЛЕНИЕ 3
будем иметь при всех и:
шах | Г,, (?п) I > мп, max|yn(a?)| = l;
причём множество чисел Мп не ограничено.
Построив функции <рп(а:), определим возрастающую
последовательность п1 < пг < п3 <_ следующим спо-
собом. Пусть zij = 1. За п3 берём такое натуральное
число, что
Л/"!>3'4’[Л(т) + 2]-
далее обозначаем через п3 такое натуральное число,
что
(т + ^)+3] ’
причём п3 > п.,. Продолжая этот процесс, мы опреде-
лим пт под условием, чтобы было
гп—1
ЛЛ,„>3 4”[Л(2 £)+».],
к-1
причём пт > nm-i. Это и будет требуемая последова-
тельность.
Пусть
k = l
Это непрерывная функция. Значит, при всех п будет
(283)
С другой стороны,
т-1
к = 1
+М s
k=m+i
ТЕОРЕМЫ ЛОЗИНСКОГО-ХАРШИЛАДЗЕ и НИКОЛАЕВА 675
По условию
m-1	т—1
К(2 £)К(2£)-
*=1	fc=l
Кроме того,
ОО	GO	•
КС 2 тОИ'мН 2 '-К’!<
Аагт+1	к—т+1
<22И„ 2 ^ = 2Д^.
нт лшл	3 • V"
fcs=m4-l
Стало быть, при всех х£[а,Ь] будет.
т-1
I ЬГпт(«Р)1>4».| Unm(<?nJ\ — A (2	Т7^
Zc = l
Но. по самому построению функции <рп (х) найдётся
такая точка ят€[а, 6], в которой
I Un (<рп )| > Мп
В этой точке окажется
т-1 „
*(2
к-1
что противоречит неравенству (283). Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть Un(y)—линейный оператор из
С ([О»к]) в С ([0> к])> обладающий следующими двумя
свойствами:
1) Для всякой <р (х) € С ([0, к]) значение оператора
Un (<р) есть чётный тригонометрический полином порядка
не выше п.
2) Если Тп(х) есть чётный тригонометрический
полином порядка не выше п, то
им^тп(х).
В таком случае верна оценка
43ф
6J6
ДОБАВЛЕНИЕ 8
Для доказательства введём полиномы
В(х) =
4 z . cos х .
А&) = — +
cos 2х
п-1
+ ...
cos пх
i
cos (п + 2) х
1
. cos (п 4-3) х
+	2
+ • •• +
cos (2п 4-1) ж
п
которые мы уже рассматривали в первой части
(гл. VII, § 3), где установили, что
| А (ж) — В (ж)| <4 п.
Пусть у—некоторое постоянное число и
&(х) = ^В(ж + ?/) + 7?(ж-у)].
Так как
2п+1
г> , , ч । п / ч vi 2 cos кх cos ку
В(х + у)-^В(х-у)= 2 ~п-Г ’
k=ni2
ТО
2п+1
<?»(«)=	М^) cos fa/,
к«=п4 2
где положено для краткости
Vk(x) = Un
Важно отметить, что порядок Vk (ж) не выше п.
Поэтому
•к	ж	2п+1
\Qu(y)dy=j \ [ 2 cos fa/] dy = O.
О	-к k—n+2
С другой стороны, А (2у) есть полином без свобод-
ного члена и потому
A(2y)dy = 0.
ТЕОРЕМЫ ЛОЗИНСКОГО—ХАРТПИЛАДЗЕ И НИКОЛАЕВА 677
Но тогда
\[A(2y)-Qv(y)}dy = Q
о
и на [0, те] обязательно имеется такая точка а, что
Л(2«)-^(а) = 0.
Установив это, положим
Т (ж) = [ А (х + а) + А (х — а)] — [5 (ж -f- а) + В (х — а)].
Ясно, что
|7’(ж)|<8/к.
G другой стороны, если V (х) = Un (Т), то
V (ж) = А (х + а) 4- А (х —а) — Q& (х)
и, стало быть,
У (а) = Л (0)—2 у > 1п
*=1
Таким образом	
In п < max | У (ж)] < || Un || max | Т (ж)| < 8 к || Un ||.
Лемма доказана.
Лемма 3. Если Un(y)—линейный оператор, перево-
дящий любую функцию <р (ж) б С ([а, 6]) в некоторый
алгебраический полином степени и такой, что
всякий такой полином Рп(х) переводится сам в себя
Un(Pn)==Pn(x),
то
Действительно, установим взаимно однозначное со-
ответствие между С ([а, 6]) и С ([0,«]), относя каждой
<р (ж)€С ([а, 6]) индуцированную функцию
~Г (6 — a) COS в + « + Ь I
ф(®) = Т [ -----Т------ j •
Важно отметить, что это соответствие относит сум-
ме fiJ+'f’s cyMM*y4?» + ?s и что max |<р(ж)( = тах
678
ДОБАВЛЕНИЕ 3
При этом соответствии множество Нп всех алгеб-
раических полиномов степени < п (которое входит
в класс С ([а, 6])) отобразится взаимно однозначным
образом на множество всех чётных тригонометрических
полиномов порядка < п.
Значит, задать функцию <р (х)£С ([а, 6])—это то же самое,
что задать соответствующую ей функцию <p(6)gC([O,те]),
и то же относится к полиномам. Но тогда оператор Un
может считаться заданным на С ([0, л]) и обладающим
свойствами 1) и 2) леммы 2. Остальное ясно.
Теперь уже без труда получается теорема Лозин-
ского—Харшиладзе:
Теорема. Не может существовать такой последо-
вательности линейных операторов {?7n(<p)} (n = 1, 2, 3,...),
чтобы
1)	^п(?) переводил всякую £ ([<Ъ &]) в полином
из Нп.
2)	Для всякого Р(х)£Нп было Un (Р) = Р(х).
3)	Для любой <%(х)^С ([а, 6]) равномерно на [а, 6] было
lim Un (?) = <?(£)•
П-*оо
В самом деле, если бы такие операторы существо-
вали, то по лемме 3 их нормы должны были бы ока-
заться неограниченными, а из условия 3) вытекает,
что при всех п будет
|^(Т)|<А(Т),
что противоречит лемме 1.
Если заметить, что частные суммы ряда Фурье
непрерывной функции по любой ортонормальной системе
полиномов представляют собой линейные операторы,
для которых очевидно выполняются условия 1) и 2)
доказанной теоремы, то станет ясной справедливость
и вышеупомянутой теоремы Николаева.
В заключение отметим, что и теорема Фабера также
есть следствие теоремы Лозинского—Харшиладзе.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА.
Ахиезер Н. И. иКрейн М. Г.
[1] О наилучшем приближении тригонометрическими суммами диф-
ференцируемых периодических функций. ДАН, 15 (1937),
107—112.
[2] О некоторых вопросах теории моментов. Харьков, ГОНТИ
УССР (1938).
Безикович Я. С.
[1]	Исчисление конечных разностей. Л., Изд. ун-та (1939).
Берман Д. Л.
[1]	Об одном интерполяционном процессе Эрмита. ДАН, 58 (1947),
1569—1571.
Бернштейн С. Н.
[1]	Demonstration du fheoreme de Weierstrass fondee sur le calcul
des probabilitis. Харьков, Сообщ. матем. об-ва (2), 13 (191'2),
1—2.
[2]	Sur la valeur asymptotique de la meilleure approximation des fonc-
tions analytiques. C. R. Acad. Sc., 155 (1912), 1062—1065.
[3]	Sur 1’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues
par des polynomes de degre аоппё. Mem. Acad, de Belgique (2),
4 (1912), 1—103.
[4]	Об асимптотическом значении наилучшего приближения анали-
тических функций. Харьков, Сообщ. матем. об-ва (2); 13 (1913),
263—273.
[5]	Sur la valeur asymptotique de la meilleure approximation des
fonctions analytiques, admettant des singularit6s donnfies.
Bull. Acad, de Belgique, 2 (1913), 76—90.
[6]	Quelques remarques sur 1’interpolation. Харьков, Сообщ. матем.
об-ва (2), 15 (191ф, 49—61.
[7]	Sur un proced6 de sommation des зёнез trigonom£triques. C. R.
Acad. Sc., 191 (1930), 976—979.
[8]	Sur une modification de la formule d’interpolation de Lagrange.
Харьков, Зап. матем. т-ва (4), 5 (1932), 49—57.
[9]	О тригонометрическом интерполировании по способу наимень-
ших квадратов. ДАН, 4 (1934), 1—8.
686
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[10]	Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближе-
ние непрерывных функций одной вещественной переменной.
М.—Л., ОНТИ (1937).
Г11] О формулах квадратур Котеса и Чебышева. ДАН, 14 (1937),
323—327.
[12]	Sur un systfeme d’ Equations indfeterminfees. Journ. math. pur. et
appl. (9), 17 (1938), 179—186.
[	13] Sur le probl feme inverse de la thfeorie de la meilleure approxima-
tion des fonctions continues. C. R. Acad. Sc., 206 (1938), 1520—
1523.
[14]	Обобщение одного результата С. М. Никольского. ДАН,
53 (1946), 587—589.
Борель (Borel Е.).
[1]	Legonssur les fonctions de variables rfeelles. Paris (1905).
Валл е-П уссен (V allfee-Poussin Ch.-J.).
[1]	Sur 1’approximation des fonctions d’une variable rfeelle et Де
leur dferivfees par des polynomes et des suites finies de Fourier.
Bull. Acad, de Belgique, 3 (1908), 193—254.
[2]	L’approximation des fonctions d’une variable rfeelle. L'Enseign.
math., I (1918).
[3]	Legons sur Г approximation des fonctions d’une variable rfeelle.
Paris (1919).
Вейерштрасс (Weierstrass K.).
[1] Ueber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkurlicher
Funktionen einer reellen Veranderlichen. Sltzungsherlchte der
Akad. zu Berlin (1885), 633—639;' 789—805.
ВороновскаяЕ. В.
[1]	Определение асимптотического вида приближения функций
полиномами С. Н. Бернштейна. ДАН (А), (1932), 79—85.
Г а г а е в Б. М.
[1]	О некоторых классах ортогональных функций. ИАН, сер. машем.-,
10 (1946), 197—206.
Гамбургер (Н amburger Н.).
[1]	Ueber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems.
Math. Ann., 81 (1920), 235—3,19; 82 (1921), 120—164, 168—187.
Гаусс (Gauss C. F).
[1]	Metnodus nova integralium valores per approximationem inve-
niendi. (1814). Werke, Bd. 3, S. 163—196.
Геронимус Я. Л.
[1]	On a problem of M. J. Shohat. Amer. Journ. Math., 54 (1932), 85—91.
[2]	О некоторых экстремальных задачах. ИАН, сер. машем. (1937),
185—202.
[3]	Об одной экстремальной задаче Чебышева. ИАН, сер. матем,
(1938), 445—456.
J-'
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА	681
[4]	Обобщённые ортогональные полиномы и формула Кристоффеля-
Дарбу. ДАН, 26 (1940), 843—846.
[5]	О некоторых свойствах обобщённых ортогональных полино-
мов. ДАН, 29 (1940), 5—8.
[6]	On Gauss and Tchebycheff’s quadrature Formulas. Bull. Amer.
Math. Soc„ 50 (1944), 217—221.
Гончаров В. Л.
[1] Теория интерполирования и приближения функций. М.—Л.,
ГТТИ (1934).
Грам (Gr a m I. Р.).
[1] Ueber die Entwicklung reeller Funktionen in Reihen mittels der
Methode der kleinsten Quadrate. Journ. fur Math., 94 (1883),
41—73.
Гринвальд (Griinwald G.).
[1] Ueber Divergenzerscheinungen der-Lagrangeschen Interpolations-
polynome stetiger Funktionen. Ann. of Math., 87 (1936), 908—918.
[2] On the theory of interpolation: Acta Math., 75 (1943), 219—245.
Гринвальд и Туран (Griinwald G.,und Turan P.).
[1] Ueber Interpolation. Ann. di Sc. Norm, di Pisa, 7 (1938), 137—146.
Дарбу (DarbouxG.).
[1] Mfimoire sur 1’approximation des fonctions de tr£s grands nombres.
Journ. de Math. (3), 4 (1878), 5—56; 377—416.
(Джексон (Jackson D.).
[1] Ueber die Genauigkeit der AnnSherung stetiger Funktionen dutch
ganze rationale Funktionen. Dissertation, Gdttingen (1911).
[2] On approximation by trigonometric sums and polynomials.
Trans. Amer. Math. Soc., 14 (1912), 491—515.
Зигмунд (Zygmund A.).
[1] Тригонометрические ряды. M.—Л. (1939).
[2] Smooth Functions. Duke Math. Journ., 12 (1945), 47—76.
Канторович Л. В.
[1] О сходимости последовательности полиномов, С. Н. Бернштейна
за пределами основного интервала. ИАН, сер. физ.-машем.
(1931), 1103—1115.
[2] К проблеме моментов для конечного интервала. ДАН,
14 (1937), 531—536.
Кац (К ас М.)
[1] Une remarquesur les polynSmes de M. S. Bernstein. Stadia Math.,
7 (1938), 49—51.
[2] Reconnaissance de priorit6 relative & ma Note «Une remarque
sur les’ polyn&mes de M. S. Bernstein». Stud la Math.,
8 (1939), 170,
682
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Колмогоров А. Н.
[1]	Une зёпе de Fourier-Lebesgue divergente partout. C. R. Acad.
Set., 183 (1926), 1327—1328.
[2]	О сходимости рядов по ортогональным полиномам. ДАН, 1
(1934), 291—294.
[3]	Zur GrSssenordjiung des Restgliedes Fouriersche Reihen differen-
zierbarer Funktionen. Ann. of Math., 86 (1935), 521—526.
К о p а у с (Ко г о u s J.).
[1] О rozvoji funkci jedn6 гёа1иё рготёппё v fadu jistych ortogondl.
nich polynomd. Rozpravy (jeske Akademie, 48 (1938), 1—12-
КоркинА. H. и Золотарёв E. И.
[1] Sur un certain minimum (1873). Собр. соч. E. И. Золотарёва,
т. I, 138—153.
Кристоффель (Ghristoffel Е. В.).
[1]	Ueber die Gaussische Quadratur und eine Verallgemeinerung der-
selben. Journ. fiir Math., 55 (1858), 61—82.
Кузьмин P. 0.
[1]	К теории механических квадратур. Л., Изв. политехи, ин-та,
отд. техн, естеств. и матем., 33 (1931), 5—14.
[2]	Sur la тёИюйе de Tchebycheff pour Evaluation арргосЬёе des
intёgrales. G. R. Acad. Sc., 201 (1935), 1094—1095.
[3]	О распределении корней полиномов, связанных с квадратурами
Чебышева. ИАН, сер. матем. (1938), 427—444.
[1]
[1]
Кузьмин Р. О. иНатансон И. П.
О сильной сходимости интерполяционного полинома Лагранжа.
Л., Учён. зап. ун-та, сер. матем., 37 : 6 (1939), 81—89.
Лагерр (Laguerre Е. N.).
Sur l’int4grale	. Bull. Soc. Math, de France, 7 (1879),
J x
X
72—81.
Лебег (Lebesgue H.).
[1]	Sur les intёgrales singulieres. Ann. de Toulouse, I (1909), 25—
117.
Лежандр (Ltgendre A. M.).
[1]	Recherches sur Г attraction des spl^roides homogenes. Мёт. math.-
phys. presenter a I’Acad. Sc., 10 (1785), 411—434.
Лозинский С. M.
[1]	О сильной сходимости интерполяционных процессов. ДАН,
28 (1940), 202—205.
[2]	О сильной сходимости интерполяционных процессов. ДАН,
80 (1941), 384—388.
[3]	On convergence and summability of Fourier series and interpola-
tion processes. Матем. сб., 14 (56), (1944), 175—268.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА	€83
[4]	Пространства С® и С* и сходимость интерполяционных процес-
сов в них. ДАН, 59 (1948), 1389—1392.
М а р к о в А. А.
[1]	О некоторых приложениях алгебраических непрерывных дро-
бей. СПБ (1884).
[2]	Sur la mithode de Gauss pour le calcul approchi des intigrales
Math. Ann., 25 (1885), 427—432.
[3]	Об одном вопросе Д. И. Менделеева. СПБ, ИАН, 62 (1889), 1—24.
[4]	Исчисление конечных разностей. Одесса (1910).
М а р к о в В. А.
[1]	О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном проме-
жутке. СПБ (1892).
Марцинкевич (Marcin kiewiez I.)
[1] Quelques remarques sur 1’interpolation. Acta Litterarum ac Sci-
entiarum, Szeged, 8 (1937), 127—130.
[2] Sur la divergence des polynomes d’interpolation. Acta Littera-
rum ac Scientiarum, Szeged, 8 (1937), 131—135.
Мюнтц (Muntz Ch.).
[1]	Ueber den Approximationssatz von Weierstrass. Schwarz Fest-
schrift (1914), 303—312.
Натансон И. П.
[1]	К вопросу о разложении функций по ортогональным полино-
мам. ИАН, сер. физ.-матем. (1933), 85—88.
(2]	О сходимости рядов по ортогональным полиномам. ДАН,
2 (1934), 209—212.
[3]	О суммировании рядов Фурье по методу С. Н. Бернштейна и
В. Рогозинского. Л., Труды индустр. ин-та, раздел физ.-
матем., 4 (1937), 39—44.
[4]	К теории бернштейновского способа суммирования рядов
Фурье. Л., Труды ин-та точной механики и оптики,
1:3 (1941), 197—206.
[5]	Основы теории функций вещественной переменной. Л., изд.
ун-та (1941).
[6]	On the convergence of trigonometrical interpolation at equidis-
tant knots. Ann. of Math., 45 (1944), 457—471.
[7]	Некоторые оценки, связанные с сингулярным интегралом Валле-
Пуссена. ДАН, 45 (1944), 290—293.
[8]	Приложения интеграла Валле-Пуссена в теории рядов Фурье.
ДАН, 49 (1945), 402—404.
[9]	О приближённом представлении функций, удовлетворяющих
условию Липшица, с помощью интеграла Валле-Пуссена.
ДАН, 54 (1946), 11—14.
Николаев В. Ф.
[1] К вопросу о приближении непрерывных функций полиномами,
ДАН, 61 (1948), 201—204.
684
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Никольский С. М.
[1]	Об асимптотическом, поведении' остатка при приближении
функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами
Фейера. ИАН, сер. машем., 4 (1940), 501—507.
[2]	Приближение периодических функций тригонометрическими
полиномами. Труды машем, ин-та им. Стеклова, 16 (1945).
[3]	Наилучшее приближение многочленами функций, удовлетво-
ряющих условию Липшица. ДАН, 52 (1946), 7—9.
[4]	Ряд Фурье функции с данным модулем непрерывности. ДАН,
52 (1946), 191—194.
Пиблс (Peebles G.).
[1]	Some generalizations of the theory of orthogonal polynomials.
Duke Math. Journ., 6 (1940), 89—100.
Полна (Polya G.).
[1] Ueber die Konvergenz von Quadraturverfahren. Math. Z., 87 (1933),
264—286.
Поповичиу (Popoviciu T.).
[1] Sur ^approximation des fonctions convexes d’ordre sup^rieur.
Mathematica, 10 (1934), 49—54.
По cce K. A.
[1] Sur les quadratures. Nona. Ann. de Math. (2) 14 (1875), 49—62.
Радемахер (R a d e m a c he r H.).
[1] Einige Satze uber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen.
Math. Ann., 87 (1922), 112—138.
Раппопорт С. И.
[1] Об одном процессе приближения функций тригонометричес-
кими полиномами. ДАН, 56 (1947), 11—12.
Ри сс (R i esz F.).
[1] Sur les syst6mes orthogonaux de fonctions. C. R. Acad. Sc ,
144 (1907), 615-619; 734—736.
[2] Sur les opfiratiors fonctionnelles linfiaires. C. R. Acad. Sc.,
149 (1909), 974—977.
Рогоз и некий (Rogosinski W.).
[1]	Ueber die Abschnitte trigonometrischer Reihen. Math. Ann.,
95 (1925), 110—134.
Cere (Szeg6 G.).
[1]	Orthogonal polynomials. Amer. Math. Soc. Colloq, Public.,
23 (1939).
Стеклов В. A.
[1]	Sur la th6orie de fermeturedes systfemes de fonctions orthogonales
dependant d’un nombre quelconque de variables. Зап. AH (8),
80:4 (19И), 1—86.
Цитированная литература	685
[2]	О приближенном вычислении определённых интегралов при
помощи формул механических квадратур. ИАН (6), 10 (1916).
169—186.
[3]	ТЬёогёте defermeture pour les polyn6mes de Laplace-Hermite-
Tch6bychef. ИАН (6), 10. (1916), 403—416.
[4]	ТЬёогёте de fermeture pour les polynSmes de TclUbychef-Laguerre.
ИАН (6), 10 (1916), 633—642.
Стилтьес (Stieltjes T. J.).
[1]	Quelques recherches sur la thiorie des quadratures dites mfcani-
ques. Ann. de I’Ec. Norm., 1 (1884), 409—426.
[2]	Исследования о непрерывных дробях. Харьков (1936). (Перевод
из Ann. de Toulouse, 8 (1894), 1—122; 9 (1895), 1—47.)
[3]	Correspondance d’Hermite et de Stieltjes, i. I, Paris (1905).
T e п л e p (T о e p 1 e r A.).
[1]	Bemerkenswerte Eigenschaften der periodischen Reihen. Wiener
Akad. Anz., 13 (1876), 205—209. •
Фабер (Faber G.).
[1]	Ueber die interpolatorische Darstellung stetiger Funktionen.
Jahresber. der DMV, 23 (1914), 192—210.
Фавар (Favard J.).
[tj Sur les polyndmes de Tchebicheff. C. R. Acad. Sc., 200 (1935),
2052—2053.
Фейер (F e j ё r L.).
[1]	Untersuchungen uber Fouriersche Reihen. Math. Ann., 58 (1904),
501—569.
[2]	Ueber Interpolation. Gott. Nachr. (1916), 66—91.
[3]	Die AbscMtzung eines Polynoms in einem Intervalle, wenn Schran-
kenifir seine Werte und ersten Ableitungswerte in eii.zelnen Punk-
ten des Intervalles gegehen sind, und ihre Anwendung auf die
Konvergenzfrage Hermitescher Interpolationsreihen. Math. Z.,
82 (1930), 426—457.
[4]	bagrangesche Interpolation und die zugehOrigen konjugierten
 Punkte. Math. Ann., 100 (1932), 1—55.
[5]	Mechanische Quadraturen mit positiven Cotesschen Zahlen. Math.
Z., 87 (1933), 287—309.
Фельдгейм (Feldheim E.).
[1] О характере сходимости при интерполировании методом Ла
гранжа. ДАН, 14 (1937), 329—333.
Фихтенгольц Г. М.
[1] Sur la notion de fermeture des зуз1ётез de fonctions. Rend. Ctr
Mat. Palermo, 50 (1926), 385—398.
Фишер (Fischer E.).
[1] Sur la convergence en moyenne. C. R. Aca)d..Sc., 144 (1907), 1022—
1024; 1148—1150.
686
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Фреше (FrfichetM.).
[1]	Sur les ensembles de fonctions et les opfirations linfiaires.
C. R. Acad. Sc., 144 (1907), 1414-4416.
Харшиладзе Ф. И.
[1]	О методе суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского.
ДАН, 30 (1941), 692—695.
[2]	Об одной теореме С. Н. Бернштейна из теории интерполяций.
Л., Труды ин-та тонн, механ. и оптики, 1 : 3 (1941), 207—212.
[3]	О методе суммирования С. Н. Бернштейна. Матем. сб., 11 (53),
(1942), 121—148.
Хаусдорф (Hausdorff F.).
[1]	Momentprobleme fur ein endliches Interval!. Math. Z., 16(1923),
220—248.
Чебышев П. Л.
[1]	Теория механизмов, известных под именем параллелограммов.
(1853). Сочинения, т. I, стр. 111—143.
[2]	Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближён-
ным представлением функций. (1857—1859). Сочинения, т.- I,
стр. 273—378.
(3]	О функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых вели-
чинах переменной. (1880—1881), Сочинения, т. II, стр. 335—356.
[4]	О квадратурах. (1873). Сочинения, т. II, стр. 165—180.
Шмидт (Schmidt Е.).
[1] Entwicklung willkiirlicher Funktionen nach Systemen vorge-
schriebener. Math. Ann., 63 (1907), 433—476.
Шохат (S ho ha t J.).
[1] On a genera] formula in the theory of Tchebyscheff polynomial
and its applications. Trans. Amer. Muth. Soo., 29 (1927), 569—583.
Эрдеш и Туран (Erdfis P. and Tur £n P.).
[1] On interpolation, I. Ann. of Math., 38 (1937), 142—155.
Эрмит (Hermite Ch.).
[1] Sur un nouveau dfrveloppement en serie de fonctiens. C. R. Acad.
Sc., 58 (1864), 93—100; 266—273.
[2] Sur la formule d’interpolation de Lagrange. Journ. fur Math.,
84 (1878), 70—79.
Якоби (Jacobi G. G. J.).
[1] Untersuchungen fiber die Differentialgleichung der hypergeomet-
rischen Reihe. Journ. fur Math., 56 (1859), 149—165.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.
Альтернате чебышевский 51, 96
Бернштейна неравенство 124,
126
------ второе 169
— теорема 23
Бесселя неравенство 307
Буняковского неравенство 89,
288
Валле-Пуссена теорема 28
Валлиса формула 263
Вейерштраеса теорема первая 19
---- вторая 26
Весовая функция 287
Грама определитель 317—319
Дини-Липшица условие 194
Изображающая точка полино-
ма 45, 92
Интеграл сингулярный Валле-
Пуссена 28, 257, 261, 263, 267,
268
----Дирихле 191
----Фейера 200
Интерполяционная формула Ла-
гранжа 493, 495
----Ньютона 499, 500
----Эрмита 503
Интерполяционно-квадратур-
ный процесс 626, 627,' 629,
634
Интерполяционный полином
Лагранжа 494
Квадратур механических фор-
мула 591
— — формулы остаточный член
595—597, 615
Квадратурная формула Чебы-
шева 641, 643, 648
Квадратурный процесс 620, 621
628, 632
Квадратуры типа Гаусса 601,
608, 611, 615, 618
Квазинорма полинома 42, 43, 90
Коши неравенство 289
Кристоффеля-Дарбу формула
361
/
Липшица условие 108
Маркова А. А. неравенство 174
Маркова В. А. неравенство 179
Метрическое пространство 290
Модуль непрерывности 107, 108,
110, 114, <15
Моменты 332, 433, 474
Норма полинома 42, 90, 91
— функции 290
Нормальные матрицы 555
Отклонение 40, 93
— наименьшее 41, 48, 93
Парсеваля равенство 308, 312
— формула 89
Позитивная последовательность
453
638
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Полиномы Бернштейна 22, 245,
246, 250, 251, 253, 254
— Лагерра 464—467
----обобщённые 467, 468
— Лежандра 379, 382, 386, 389,
395, 398, 399
— наилучшего приближения
(наименьшего отклонения) 49,
55, 94, 101, 117, 119, 121, 122,
132, 135, 138—142, 145, 161—
167, 174 , 223, 229
— ортогональные 333, 338, 339,
340, 343
— ультрасферические 405, 442
— Чебышева 63, 67—69, 72—74,
77, 80, 243—245, 358—360,
367—369
----второго рода 405, 419, 420,
422—425, 427
— Эрмита 470—472
— Якоби 404,411—414, 418, 419,
429
Полнота пространства 293
— системы функций 182, 314
Приближение наилучшее 41,48,
93
Родрига формула 380
----обобщенная 405
Симпсона формула 594, 597, 600
Система функций замкнутая 312
---- линейно независимая 317
Система функций, ортогональ-j
ная по весу 88, 299
---- ортонормальная 300 .
----полная 182, 314
---- Радемахера 302
---- фундаментальная 325
----Штурма-Лиувилля 300, 301
Стирлинга формула 664
Сумма Бернштейна-Рогозинско-
го 269, 271, 272
— Валле-Пуссена 211, 212
— Фейера 199, 202—206, 210
— частная ряда Фурье 190, 193,
307, 335
Сходимость в среднем 291
— слабая 295
Сходимости множители 273, 275
Сходящаяся в себе последова-
тельность 292, 293
Трапеций формула 592, 597, 598
Узлы интерполирования 491—
493, 501, 505
— типа Гаусса 602, 604
Функционал линейный 446—449
Функция весовая 287
Функции линейно независимые
316
—ортогональные по весу 77
Фурье коэффициенты 181, 305
— ряд 181—183, 187, 188, 194, 305