Цен а 65 коп.
МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО
К СТАБИЛЬНЫМ УЧЕБНИКАМ
АРИФМЕТИКИ
ДЛЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА -1934

А ПЧЕЛКО
МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО
К СТАБИЛЬНЫМ УЧЕБНИКАМ
АРИФМЕТИКИ
ДЛЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ
Допущено коллегией Наркомпроса РСФСР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА — 1934

Ответств. рела!тор В. Снигирев.
Техннч. редактор М. Хасина.
Сдава в набор 5,'XI — 1933 г. Подписана к печати 3/1- 1934 г.
Формат 62 X 94У16. Тираж 25 000.
Пзд. листов 5. Бум. л. 2*/3 В печ. листе 53856 п. эн.
У-24. Учгиз Ks 5625. Заказ 424?.
Уполномоченный Главлита Б-34280.
1-я Образцовая тиа Огиза РСФСР треста ,Полиграфкнига“. Москва, Валовая. 28

ВВЕДЕНИЕ.
В задачу учебников арифметики и сборников задач и упражнений
входит дать ари^ьетнческий материал, достаточный для усвоения тех
знаний и навыков,Цл^орые^ указаны в программе по математике для
начальной школы. Мйтфш^ подобран с таким расчетом, чтобы на
проработке его у учащихся не только создавались математические
навыки, но вместе с тем развивались логическое мышление, сметка и
сообразительность, развивались конструктивные и комбинаторные спо¬
собности ребенка. Перед учебниками арифметики стоит также задача
способствовать осуществлению воспитательных целей, стоящих перед
школой; в этих целях в содержание задач введен материал социалисти-
ского строительства, показывающий рост и динамику развития хозяй¬
ственной и культурной жизни СССР; в тематике задач нашли отраже¬
ние материалы, помогающие антирелигиозному и интернациональному
воспитанию ребенка.
Материал учебника и сборников по своему объему и расположению
согласован с программой для начальной школы изд. 1933 г.
Книги по арифметике построены для разных групп по разным прин¬
ципам. Для 1 и И группы изданы учебники арифметики; в них входят
задачи и упражнения и кроме того краткие и самые элементарные све¬
дения теоретического характера, доступные для учащихся восьми-де-
вягилетнего возраста. Такое построение учебника является наиболее
целесообразным: теория здесь занимает сравнительно небольшое место,
она дается в самой тесной связи с практическими упражнениями, и отде¬
лять ее от задач и упражнений было бы нецелесообразно. В старших группах
теория занимает более видное место. Здесь учащиеся на основе навыков,
приобретенных в младших группах, подводятся к целому ряду обобщений,
выводов, правил и определений. Поэтому для каждой из старших групп
(III и IV) понадобилось дать две книги по арифметике: одну книгу —
сборник задач и упражнений, а другую—учебник арифметики.
Обучение начальной арифметике должно быть в высшей степени
наглядным и конкретным. С этой цепью книги но арифметике
довольно богато иллюстрированы рисунками, чертежами, таблицами,
диаграммами и пр. Но такого рода наглядности недостаточно. В работе
нужно использовать еще целый ряд предметных наглядных пособий.
Сюда относятся арифметический ящик, палочки, спички, счеты, образ
цы мер, геометрические тела и т.д., а также материал, заготовленный
самими учащимися: камешки, орехи, жолуди, соломинки и т. п. Рисун¬
ки и чертежи помогают уяснению многих арифметических понятий, но вс
многих случаях начинать работу надо не с чертежа, а с предметного нагляд¬
ного пособия, которое обладает наибольшей силой наглядности и убе
дительности, и затем уже переходить к иллюстрациям-картинкам,
рисункам, чертежам.

Работу по арифметике можно считать поставленной хорошо только
в том случае, если она будет проводиться не только по учебнуку, но
и сопровождаться целым рядом практических работ — измерениями, чер¬
чением, ведением простейшего счетоводства, использованием арифме¬
тики на уроках труда и т. п., на которых учащиеся упражняются
в приобретении новых навыков и в применении на практике навыков,
полеченных ранее.
Как правило, в учебнике и сборниках на каждый навык дано столь¬
ко материала, сколько это необходимо для его усвоения. Но в отдель¬
ных случаях может оказаться материала или недостаточно или в
избытке. В случае недостатка задачи и примеры могут быть или
составлены самим учителем или взяты из учебников прежних изданий
(Волковский, Пчелко, Поляк, Зенченко и Эменов,
Кавун и др.). При составлении задач содержание их нужно брать
преимущественно из местной жизни, наполняя их материалом социа¬
листического строительства своей местности, своего района, своей
области. Такие задачи могут быть ие только материалом, завершающим
работу, но и вводным в тот или иной навык. Он тем более необхо¬
дим, что стабильные учебники, как учебники республиканского значения,
не могли отразить всех местных условий в том объеме, в каком это
необходимо для каждой конкретной школы.
Работа по учебникам должна сопровождаться усвоением правил,
определений, выводов. К правилам и выводам учащиеся должны подво¬
диться путем решения ряда задач и примеров. Эти задачи и примеры
должны даваться с таким расчетом, чтобы учащиеся на основе наблю¬
дения математических фактов могли сами подойти к определенному
выводу. Учитель вносит только поправки в формулировки и дает окон¬
чательный текст, который потом при помощи учебника закрепляется и
усваивается учащимися.
Учебники по математике должны быть использованы для того, что¬
бы научить учащихся самостоятельно читать математическую книжку.
К выработке такого уменья надо иттн постепенно. Учебники для I и II
групп используются учащимися при самой активной и непосредствен¬
ной помощи учителя. По учебникам для III и IV групп учащиеся
работают уже более самостоятельно. Но и в этих группах, прежде чем
давать текст учащимся для усвоения, учитель должен обязательно про¬
читать его в классе вместе с учащимися, объяснить как общий смысл
его, так и отдельные места, могущие быть непонятыми. Только после
такой предварительной работы можно давать текст учебника для про¬
чтения и запоминания.
Материал учебника и сборников может быть проработан полностью
только при том условии, если он будет прорабатываться не только во
время классных занятий, но и задаваться на дом. Около четверти всего
материала в книгах для младших групп и около одной трети всего
материала в книгах для старших групп должно быть проработано
учащимися н качестве заданий для домашних работ.
В прошлой практике был распространен обычай записывать в тетра¬
дях не только решение задач и примеров, но и текст различного ро¬
да обобщений, выводов, правил, определений и т. д. С изданием ста¬
бильных учебников математики надобность в такого рода списывании
отпадает.

КАК РАБОТАТЬ ПО СТАБИЛЬНОМУ УЧЕБНИКУ
ДЛЯ ПЕРВОГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ.
Учебник арифметики для первого года обучения программе соотоет-
твует полностью. Материал учебника нужно прорабатывать в том
орядке и в той последовательности, в какой он дан в учебнике.
На первом году в обучении арифметике требуется наиббльшая
1аглядность и конкретность. Число здесь действительно дол¬
жно вырастать у ребенка из счета и измерения. Оно должно постоян¬
но связываться с соответствующим количеством предметов. Развитие
исловых представлений должно заключаться ие только в усвоении
названия чисел, в уменьи считать по порядку и в разбивку, ио и в раз¬
витии у ребенка способности всякий раз представлять себе ту сово-
г.упность предметов, вещей и явлений, которые обозначаются данным
числом.
Потому именно, что начало обучения арифметике должно быть
в высшей степени наглядным, учебник для первого года богато иллю¬
стрирован: в, нем много картинок, рисунков, чертежей. Они занимают
•десь равноправное место с текстом и арифметическими упражнениями.
Они дают конкретный материал для счета, для обучения арифметиче¬
ским действиям, для измерения, для развития представлений о форме.
Они прорабатываются так же, как и текст задач, как столбики числен-
чь!х примеров. Их значение усиливается еще тем, что на первых порах
Работы с учебником ребенок еще неграмотен или по крайней мере мало¬
грамотен, и язык рисунка‘ему доступнее языка печатного текста.
Но рисунок, картинка — не единственная и не главная форма нагляд¬
ности. Ограничивать наглядность работы только иллюстрациями нельзя,
высшая фэрма наглядности, с которой надо начинать работу с учащи¬
мися,—это предметные наглядные пособия: кубики, палочки, спички.
;оломинки, камешки н т. п. Предметом счета могут быть и другие
объекты, находящиеся перед глазами уиащихся: парты, ручки, каран¬
даши, предметы классной обстанозки и т. д. или предметы, собранные
аетьми: камешки, соломинки, жолудн и т. п.
Постепенный переход от конкретного к отвпеченному должен иттн
110 следующим ступеням:
1) предметные наглядные пособия;
2) картинки, рисунки, чертежи;
3) предметы, знакомые учащимся, но не находящиеся у них перед
базами;
4) отвлеченный счет.
Обучение должно быть так организовано, чтобы учащийся активно,
действенно воспринимал материал. Он должен иметь дело непосредственно
наглядными пособиями: пересчитывать нарисованные предметы, cav

Рисовать, раскрашивать, составлять фигурки, вырезывать, наклеива»
комбинировать, нанизывать бусинки, заштриховывать нужное число клщ
и т. д., проявляя все время творческое отношение к работе.
Интерес к занятиям арифметикой усиливает введение математичесщ
игр. Игры не получили отражения в учебнике, так как игровой ли*
риал должен преподноситься непосредственно учителем. Организац»
н руководство математической игрой — это живое дело учителя,
математических игр для I группы наиболее полезными являются кгр
в арифметическое лото, в домино, в мяч (число попаданий и промахе*
в спички (выкладывание различных фигур), игра в молчанку (вычис*
ння по кругу) и др. К математическим играм относятся загадки с числа
н задач и-шутки.
Учебник арифметики дается учащимся с первых дней занятий, т.
югда, когда ребята еще неграмотны и чтение текста им недоступк
В это время учащиеся пользуются картинками, по которым произвол
счет, читают цифры, производят над ними указанные действия (ело»
ние, вычитание), рисуют кружки, наклеивают цифры и т. д. Введь
ный в учебник небольшой текст используется учителем, для которс
он служит методическим путеводителем: именно в такой форме учите,
ставит йеред учащимися вопрос, дает им задания.
После этих общих замечаний дадим более конкретные и подроби*
указания, как проработать каждый раздел учебника, следуя тому ш
рядку, в каком расположен материал в учебнике.
Первый деСЯТОК (стр. 3—25). На проработку первых 23 страну
учебника, исчерпывающих изучение первого десятка, может быть потр.
чено 55 часов классных занятий в течение всей первой четверти учебно!
года (сентябрь, октябрь и первая шестидневка ноября). За это время ух
щиеся должны изучить прямой и обратный счет в пределе 10, изущ
каждое число в отдельности, изучить таблицы сложения и вычитав»
в пределе 10, познакомиться с~ фигурами и линиями и первой еди*
щей измерения — метром.
Изучение чисел от 1 до 10 в методическом отношении подразделяеи
на две ступени: первая ступень обнимает числа 1—5 (стр. 3 — 8) и втг
рая ступень — числа 6 — 10 (стр. 9—11). Эти ступени отличаются ол»
от другой тем, что на первой ступени более подробно изучается соси
каждого числа на основе счета и работы с разрезными цифрами.
Особенность данного учебника заключается в том, что изучен»
числа сразу же подводит учащихся к ознакомлению с действиями (c.v
жением и вычитанием). Вот почему уже на странице 4 (фактичеа
страница 2) встречается упражнение на разрезных цифрах 1 -f- 1 —
2 — 1 —. Прибавление н отнимание дается параллельно. Знакомст*
с письменным начертанием цифр дается после знакомства с их и*
чатным изображением: сначала учащиеся знакомятся (примерно, с треп
его урока) с печатным изображением цифр, обозначающих первые 5 чисе»
и только после этого (примерно, на десятом уроке) знакомятся с пис*
мом цифр 1 и 2. Таким образом, примерно, к пятнадцатому уроку у*
щиеся будут знать печатное начертание всех первых 9 цифр и ну.*
Что же касается уменья писать цифры, то этого уменья ученики дост*
нут значительно позже,—примерно, к двадцать пятому—тридцатому у pi»
(одни группы раньше, другие — позже, в зависимости от уровня разв*
гия детей и их предшествующей подготовки).

Знакомство с фигурами, монетами, линиями и метром перемежается
. изучением чисел и арифметических действий, причем введение так
взываемого геометрического или измерительного материала служит одно¬
именно и для закрепления счетных навыков. Из ориентировок в про¬
странстве даны .длинный — короткий*, .направо — налево*, „вверху —
„„изу — посередине*. Бее другие ориентировки, указанные в программе
^большой — маленький*, „больше — меньше*, „шире — уже* и др.),
прорабатываются без учебника.
Приступая к работе, учителю нужно ознакомиться с материалом
первых 23 страниц, с особенностями его трактовки и расположения.
Задания на дом могут даваться только по истечении месяца работы в
школе под непосредственным руководством учителя. Заданиям на дом дол¬
жны предшествовать упражнения в самостоятельных работах в классе по вы¬
полнению небольших заданий, на которых дети приучаются самостоя¬
тельно работать. Материала нужно давать столько, чтобы учащиеся
аогли выполнить работу в 15—20 минут.
В первые часы занятий нужно выявить, что знают пришедшие
в школу дети, какой запас представлений имеют, и в зависимости от
этого построить план работы. Проверка того, что знают ребята, — для
I группы очень важный момент. От того, что знают ребята, зависят темпы
дальнейшей работы. Начинать работу всегда следует (за исключением
групп грамотных детей) с проработки каждого числа в пределе 10, т. е.
: 1-й страницы учебника. Но прорабатывать этот материал нужно раз¬
ными темпами в зависимости от уровня развития детей и их знаний.
Если группа состоит из малоразвитых детей, плохо справляющихся со
счетом до 10 или даже умеющих только называть числа, то первые стра¬
ницы надо прорабатывать медленно, не спеша, затратив на первые
13 страниц до 16—20 часов. С более подготовленными ребятами тот же
материал можно проработать вдвое быстрее, затратив 8—10 часов или
даже меньше.
К началу работы учитель должен подготовить дидактический мате¬
риал и наглядные пособия, работа с которыми должна сопровождать
буквально каждую страницу учебника.
Какие пособия здесь нужны? Прежде всего кубики из арифметиче¬
ского ящика; при отсутствии ящика их может заменить набор палочек
(длиной в дециметр), спички или соломинки. Последние неудобны
тем, что они м^лки. Набор этих пособий должен быть не только у учи¬
теля для демонстративных целей, но и у каждого ученика. Затем важ¬
ным дидактическим материалом, на использовании которого построены
первые 6 страниц учебника, являются разрезные цифры.
Кроме того у каждого ученика должна быть тетрадь, разлинованная
в клеточку, где учащийся делает зарисовки (рисует кружки, бревно,
песенку, наклеивает цифры), разноцветная бумага или картон.
Проработка первой страницы, на которой выясняются понятия „мно-
го“, „один#, заключается в том, что учитель ставит к картинкам во¬
просы: „Сколько гвоздей на картинке?* „Сколько молотков?* „Сколько
больших домов?* „Сколько маленьких домиков нарисовано?* Ответы
Учащихся будут: „много*, „один*. После рассматривания картинок и
Ряда вопросов по отношению к предметам, окружающим учащихся
7

(сколько парг в классе, сколько столов, сколько учеников, сколько ущ
телей, сколько чернильниц, сколько классных досок и т. д.), учите?
предлагает учащимся нарисовать один и много аналогичных предмет»
по выбору учащихся (домнкоб, деревьев и др.) и знакомит с печати-*
цифрой 1.
На следующих 5 страницах дается материал для восприятия чие*
2, 3, 4 н 5. Одновременно учащиеся знакомятся с прибавлением
отниманием чисел на разрезных цифрах.
Изучение каждого числа ведется, как мы уже указывали, не толь*
по картинкам, но прежде всего на предметных наглядных пособия!
Изучая, например, число 4, учитель предлагает детям отложить 4 пало и
ки, разбить 4 на разные группы (3 да 1, 2 да 2, 1 да 3). отсчитать
па^ты, 4 учеников и т. д. И только после этого обращается к картинке
где нарисованы 4 трактора, лошадь и др.
Работа с разрезными цифрами требует, чтобы уже на третьем н.ц
четвертом уроке учащиеся ознакомились со знаками сложения и вымята
ния и знаком равенства.
Объяснение дается, примерно, в такой форме: „Сколько уток н
берегу? (Одна.) — Сколько уток подплывает к берегу? (Одна.)-
Сколько уток стоят на берегу? (Две.) — Это можно обозначит
так: к одной прибавить одну, будет две. Вместо слова «прибавить
ставят прямой крестик, вместо „будет* Ставятся две черточки.
„Сколько птичек сидело иа ветке? (Две.)—-Когда одна улетела
сколько осталось? (Одна.) — Это можно обозначить так: от дну]
отнять одну, останется одна. Что означает здесь черта? (Отнять.) -
Что означает две черточки? (Останется.)*
Прибавление и отнимание на разрезных цифрах проводятся так.
Сначала рассматривается рисунок и выясняется его содержание, пото»
читается пример, помещенный под рисунком; затем учащиеся вык-ча
лывают его иа своих разрезных цифрах. Не ограничиваясь только рисун
ками книжки, учитель может сам делать рисунки иа классной доске ил»
производить те или иные операции с наглядными пособиями (кубиками
так, чтобы они были видны всем учащимся, а учащиеся затем выкладываю:
их на разрезных цифрах. Например, учитель кладет 3 кубика, зате»
придвигает к ним 2 кубика и спрашивает: „Что я сделал?* — „К 3 при
бавили 2*. — „Сделайте это на своих палочках, соломинках и т. п.,
затем на разрезных цифрах.* Учащиеся подбирают цифру 3, зале»
цифру 2, ставят между ними плюс, а после 2 знак равенства, поел*
которого ставят цифру 5.
Письмо цифр (стр. 8—18). После того как учащиеся изучат числ»
в пределе 5 и ознакомятся с печатными цифрами, вводится иоьы*
момент в работу — письмо цифр. Уменье писать цифры дается при изу¬
чении материала, расположенного на протяжении последующих Юстр!'
ниц (8—18 стр.) и идет параллельно изучению чисел 6, 7, 8, 9, 10, »
также прибавлению и отниманию по 1, по 2 и по 3 (что занимав1
собой, примерно, 15—-20 уроков).	,
Письмо цифр идет в порядке их естественной последовательноеi<
1, 2, 3, 4 и т. д. При обучении письму цифр нужно прндерживатьс!
той формы начертания, какая дана в учебнике. На каждом уроке целе¬
сообразно знакомить учащихся с письмом одной цифры, затрачив»
S

,u ло не больше половины урока и сдавая дручую половину урока
,С1ным занятии по счету.
Восприятие чисел 6, 7, 8, 9 и 10 (стр. 9—11). Проработка этих
,|цсел отличается от проработки чисел до 5 тем, что здесь не дается
работа (присчитывание и отсчитывание) с разрезными цифрами; следо-
5ательно, учащиеся не упражняются в сложений и вычитании чисел до
10; р-бота заключается: 1) в восприятии числа, 2) в восприятии отдель¬
ных групп, из которых состоит число, 3) в восприятии числовой фигуры
и печатной цифры. Разница в проработке объясняется тем, что числа
6—10 менее знакомы учащимся, объем их больше; проработка их в той
форме, как это было до 5, труднее для учащихся. Зато особое внима
ние надо обратить на те упражнения, при помощи которых изучается
состав числа. („Покажи; 8, 7 и 1; 6 и 2° и т. д.) Такого рода устные
упражнения надо проделать, пользуясь не только картинками, но и
юбиками, спичками и др. („Положи 7 спйчек; покажи 4 и 3 спички;
покажи 5 и 2 спички. Сложи 3 спички, еще 3 спички и 1 спичку —
сколько будет спичек?*)
Ознакомление с фигурами —квадрат, прямоугольник, тре¬
угольник, круг (стр. 12—13). Восприятием числа 10 заканчивается
первый этап работы; иа нем можно несколько остановиться (урока на 2),
чтобы познакомить учащихся с геометрическими формами, с которыми
им приходится все время иметь дело. В учебнике сначала даются эти
фигуры каждая в отдельности, затем эти же фигуры даются в разных
сочетаниях — в изображении печи, сарайчика, паровоза и др., которые
рисуются учащимися, потом эти фигуры выкладываются ими из спичек.
При рисовании можно не ограничиваться только данными рисунками, а
предоставлять детям право рисовать и другие предметы, куда входят дан¬
ные фигуры (домик, башня, ыонега, мяч и т. д.). Одновременно надо
упражнять детей в отыскивании изучаемых форм в окружаю¬
щих предметах (прямоугольники в крышке стола, в форме окон, две¬
рей, квадраты в арифметическом ящике, треугольники — крыша). Ра¬
бота по изучению форм должна быть тесно связана со счетом:
рисуя, ребята подсчитывают число квадратиков, число спнчек, ко¬
торые нужны для составления разных фигур, число" линий в разных фи¬
гурах и т. д.
Прибавление и отнимание по одному, по два, по три, по
чзтыре, по пяти, по шести, по семи, по восьми, по девяти
(стр. 14—22). Прибавление и отнимание no 1, или прямой и обратный
счет до 10, является в сущности завершением работы по ознакомлению
с числами до 10. Для того чтобы фиксировать внимание учащихся на
каждом числе и избежать механичности в счете, в учебнике рекомендуется
Нанизывание на нитку бусинок. Это — хорошее упражнение; при отсут¬
ствии подходящих условий оно, впрочем, может быть заменено простым
присчитыванием и отсчитыванием кубиков и других предметов счета.
Пример 1-{—1-{—1-f-1 —}- 1—{—1 -j-1 -)-1—j—1 -)—1 читается сначала так: один да
Один будет два, два даодин будет три, три да один будет четыре и т. д., а
йотом короче; один да один два, да один три, да один четыре, да
один пять и т. д. Там же при пересчитывании белых кружков в рамках
Учащиеся, пользуясь знанием числовых фигур, называют сразу число
белых кружков. Так. например, на вопрос; „Сколько белых кружков
в Первой рамке?* учащиеся отвечают; „Три zft два — пять*, а на

вопрос: „Сколько белых кружков в третьей рамке?* — отвечают: „Четир
да четыре — восемь*.
Упражнение 8 на странице 15 производится письменно, т. е. \ча
щиеся переписывают названные примеры в тетрадь н записывают р*
зультат сложения и вычитания.
Порядок работы по прибавлению и отниманию каждой следуют*
группы (двойка, тройка и т. д.) такой: 1) упражнения на кубика»
2)	упражнения по картинке или чертежу; 3) упражнения с отвлеченны*
числами, чередуемыми с решением задач и математическими играми.
Присчитывание двух сводится к присчитыванию одного и ещ
одного, или единицы и еще единицы. Поэтому, прежде чем дать приме
4+2, дается такой пример: 4+1+1 • То же и при отнимании. Прист
гывание двоек или пар должно быть усвоено особенно твердо.
Присчитывание трех сводится к присчитыванию двух и еще одног«
поэтому примеру 3+3 предшествует такой пример: 3+2+1; пример
4—3 предшествует пример 4—2—1. После присчитывания и отсчитые»
ния тройками производится проверка пройденного. Строчки под ноч*
рами 1—2 (стр. 18) исчерпывают, все наиболее сложные случаи из про
работанного. Проверка производится на одном из уроков. Пример
выписываются учителем на классную доску в том порядке, в каком пн
даны в учебнике, или в измененном. Примеры учащиеся вы полня к
самостоятельно с таким расчетом, чтобы выполнение работы занимал
18—20 минут. При выполнении работы надо требовать, чтобы уча
щийся, списав один пример, сейчас же решил его, затем переходил
списыванию и решению следующего примера и т. д.
Прибавление четырех сводится к прибавлению двух и еще дву»
Прибавление пяти сводится к прибавлению четырех и одного или дну
и трех. При прибавлении 6, 7, 8 и 9 широко используется перемести
гельный закон сложения (не называя, конечно, самого закона).
Таким образом, каждое последующее упражнение опирается в
предыдущее, и если с самого начала работа будет поставлена основатель
но, то трудности будут преодолеваться учащимися незаметно, б»
особых напряжений.
Задачи. На этой ступени впервые вводятся задачи. Задачи прост*
с одним вопросом, решаемые одним действием — сложением или вычпП
нием. Из нескольких видов задач, на которых выясняется смысл действ»
сложения в пределе первого десятка, помещены только такие задач»
когда требуется найти число, равное данным числам, взятым вместг
например: „На полке было 8 книг. Поставили еще одну книгу. Сколь*
теперь книг на полке?*. Из задач, выясняющих смысл вычитан»
в пределе первого десятка, помещены задачи двух видов.
1. Когда надо узнать, сколько останется, если из данного чнсв
вычесть другое данное число, например, задача № 7 на странице 15
„В коробке было 10 карандашей. Один карандаш вынули. Сколько кард»*
дашей осталось в коробке?*
2. Когда по сумме и одному из слагаемых требуется найти друг»
слагаемое; например, задача № 6 на стр. 23: „Из 7 м ткани сшили плат»
и передник. На платье пошло 5 м. Сколько ткани пошло на передник?
Особой разновидностью задач являются задачи, помещенные на стр>
нице 21 под заглавием „Монеты*. В этих задачах условие дано в вь*
рисунка; в тексте стоит только вопрос задачи. Учитель или сами у»

[иеся (если они уже умеют читать) читают вопрос и дальше находят ответ
„?тем сложения чисел, изображенных на монетах. Благодаря рисункам
задачи отличаются большой конкретностью и представляют большой
г1Терес для ребят; решение их имеет и практическое значение для детей,
которым рано приходится иметь дело с денежными знаками.
В пределе первого десятка помещено всего 30 задач. Ясно, что та¬
кого количества задач недостаточно Учителю самому нужно составлять
-,ид задач по образцу приведенных в учебнике, беря содержание их из
*изни близкой, окружающей ребенка.
Измерение (метр). И в этом разделе счетный материал переме¬
щается с геометрическим. Из геометрического материала здесь
1ается знакомство с прямой и кривой линией и с метром. Знакомство
метром должно носить сугубо практический характер: ученики должны
щдеть метр, иметь метр на руках, сделать его из картона и произвести
->яд измерений. Чтобы внести оживление и интерес в измерительные
работы, можно соединять измерение метром с измерением шагами, из¬
мерением на-глаз („Сколько метров по-твоему имеет длина нашего
класса? А ну ка проверь!" и т. д.). Закрепляются сведения о метре
решением задач.	г
Состав чисел первого десятка (стр. 11). С этими упражнениями
учащиеся уже встречались, изучая каждое число в отдельности; там эти
тражнения носили характер подготовительных к усвоению действий
:ложения и вычитания, производимых устно, и не сопровождались запи¬
сями. Здесь эти упражнения завершают работу по усвоению таблицы
сложения; вычисления производятся устно, но сопровождаются последую¬
щей записью. Решению этих примеров может* предшествовать игра в
счетное лото. Примеры проделываются сначала на чертеже.
Работу с чертежом учитель ведет так: Смотрите на левый пря¬
моугольник. Сколько всего клеточек в каждом ряду? (6.)—Сколько
белых и сколько черных клеток в первом ряду? (Белых 5, черных
1.) — А всего? (6.) — Если мы знаем, что всего клеток 6, а бе¬
лых — 5, то сколько черных? (Одна.) — Почему? (Потому что 6 со¬
стоит из 5 и 1.)—Смотрите на первый сверху пример. Там напи¬
сано: к 5 прибавить некоторое число, получится 6. Вместо неиз¬
вестного числа стоит знак вопроса. Какое же число надо поставить
вместо знака вопроса? (1.) Сколько клеток во втором ряду? (6.)—
Сколько белых и сколько черных? (4 и 2.) — Прочитайте второй
пример. Какое же число надо поставить вместо знака вопроса?
(2.) — Почему? (Потому что 6 состоит из 4 и 2.) И т. д.
После этого детям даются для решения примеры под номерами 2 и 3.
Проделывается работа с монетами. Здесь нужно иметь в виду, что
Решение этих примеров основывается всецело на знании состава чисел
11 поэтому к вычитанию при вычислении результатов прибегать не
бедует* Чтобы подчеркнуть смысл этой работы, целесообразно детям
делать эти примеры в несколько измененном виде, а именно: давать не
а4-?=7, а 7=5-)-?, т. е. вначале ставить число, состав которого уз-
Чается, потом знак равенства и затем уже оба слагаемые. Решая эти
Примеры, учащиеся при списывании сразу ставят искомое число вместо
Знака вопроса, т. е. пример ?-|-3—10 они переписывают в свои тетради
6 гаком виде:	7-|-3=10.
!1

Ту же цель преследуют и квадраты с незаполненными клетками (Я
мешенными в конце страницы 25) в отделе „Повторение". Этот отя
надо поставить сейчас же после упражнения со спичками с тем, чтЛ
„Проверка пройденного", имеющая значение учета, завершапа со(Щ
всю работу.
Часть численных примеров, помещенных на страницах 19, 20,/
и 25, можно исп кльзовать и для упражнений в беглом счете. Тот
пример для беглого счета читается учителем так: „К четырем прибав!
два (остановка), отнять три. Сколько будет?" Но вообще-то учитель <
составляет примеры для упражнений в беглом счете с тремя данньп
Нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление до
Материал для проработки этого раздела программы занимает 22 ст
ницы (с 26 по 47). Согласно программе, этот раздел должен б|
проработай в течение второй четверти; следовательно, на него моя
быть затрачено 40 часов классных занятий и около 10 часов домапп
работы (считая в среднем по 15/минут ежедневно). При планирован
работы это время нужно распределить между проработкой сложения и вьг
тания стр. (26 — 35) и проработкой умножения и деления (стр. 36—
так, чтобы умножение и деление заняли больше времени. Однако, ес
по ходу работы окажется, что данная группа к концу второй ч(
верги не успеет проработать весь материал, то торопить учащихс
ускорять темпы работы за счет качества проработки не следует, памяту
что успешность последующей работы всецело зависит от того, насколь
первые шаги в математике будут сознательными. Лучше незаконченну
часть материала перенести в третью четверть, чем комкать всю работу
оставлять детей со сбивчивыми, путаными знаниями и тем создавать ша
кую базу для последующей работы.
Наглядность здесь требуется не меньшая, чем при проработке пе
вого десятка, однако здесь иллюстративный материал (особенно п
проработке сложения и вычитания) уже не имеет такого большого зн
чения; поэтому иллюстраций к этому разделу в книге дано меныш
Центр тяжести здесь переносится с картинок на предметные наг ляд к:
пособия.	6
Нумерация чисел В пределе 20. Отведенная этому вопросу ст(
ничка (26) должна быть проработана особенно тщательно, нетороплш
с затратой на это дело 3—4 уроков. Вопрос о нумерации должен бы
расчленен на два вопроса: 1) устная нумерация и 2) письменная нумер
ция. При проработке устной нумерации надо познакомить учащих
сначала с образованием чисел от 11 до 20 путем соединения отдельн!
двух чисел (десяток и единицы), а потом с разложением чисел второ
десятка на десятичные группы. Знакомство с образованием чисел от 1
до 20 проводится вначале не на рисунке, а на палочках (спичках) и4
иа брусках и кубиках (из арифметического ящика). Заметим, что использов!
ние счет в качестве наглядного пособия на этой ступени преждевременм
Берется пучок спичек (брусок) и одна спичка (один кубик) и называете
новое число — одиннадцать; берется пучок (брусок) и две спички (д|
кубика) и называется новое число—двенадцать и т. д. до двадцат»
Затем прорабатываются задания учебника под номерами 1, 2 и 3, с вяза»
иые с рисунком (проволока с шариками). После проработки по учебни*
задания 4 и 5 ученики считают под ряд: 1) от 11 до 20; от 1 до 21
( читают обратно: 1) от 20 до. 10; 2) от 20 до 1. Называют чнеж
(2

находящиеся между двумя данными числами, например, между 14 и 17
между 17 и 20.
После составления чисел учитель	дает учащимся	ряд	упражнений
с разложением	чисел (Сколько	десятков и единиц в	16? Из	скольких
десятков и единиц состоит число 18? и т. д.)
Когда деги усвоят устную нумерацию, учитель показывает, как пи¬
шется каждое число (11, 12, 13. . .19, 20), объясняя, что сначала
пишется 1 (обозначающая 1 десяток), а потом единица. Упражнению в
письме предшествует игра, заключающаяся в том, что учащиеся рисуют
в тетрадях прямоугольник, разделенный пополам; в одной половине пи¬
шется 1, в другой 0; затем на место нуля кладут по заданию учителя
разрезные цифры и называют получающиеся числа. Полезно работу по
усвоению нумерации завершить письменными упражнениями такого рода:
11 = 10-+-1	19	= ?4- 9
12=10 + 2
13 = 10 + 3	17	= ?+ 7
Желательно, чтобы знания нумерации в пределе 20 были увязаны с
практическими потребностями самого ребенка: отыскать страницу в
книге, назвать номера трамваев, проходящих по нашей улице, номер
дома,, номер квартиры, подъезда, если они в пределе 20, и т. д.
Сложение и вычитание без перехода через десяток. Соблю¬
дая строжайшую постепенность в переходе от простого к более слож¬
ному, от легкого к более трудному, весь материал в учебнике разбит
иа 4 ступени, обозначенные римскими цифрами, причем первый случай,
т. е. когда к полному десятку присоединяется несколько единиц, и со¬
ответствующий ему случай вычитания, когда от двузначного числа
отнимаются все единицы, как находящийся в самой тесной связи с
нумерацией, в особый параграф не выделен н дан непосредственно вслед
за нумерацией.
Сложение и вычитание и здесь прорабатываются совместно, после
сложения всякий раз помещается проработка соответствующего ему слу¬
чая вычитания. 4 ступени, на которые разбивается проработка сложе¬
ния и вычитания без перехода через десяток, следующие:
1) К полному десятку прибавляется несколько единиц(10 + 6; 9 + 10);
от двузначного числа, состоящего из десятка и единиц, отнимаются все
единицы (16 — 6); сюда же отнесен и тот случай вычитания, когда вы¬
читаемое есть 10 (15—10; 13—10).
2) К двузначному числу, состоящему из одного десятка и несколь¬
ких единиц, прибавляется однозначное число (13 + 2).
От двузначного числа, состоящего из десятка и единиц, отнимается
несколько единиц, при чем число единиц уменьшаемого больше вычита¬
емого (18 — 4; 15 — 3).
3) К двузначному числу, состоящему из одного десятка и несколь¬
ких единиц, прибав1яется такое однозначное число, которое дополняет
его до двух десятков (14 + 6; 19+1).
От 20 вычитается однозначное число (20—3), от 20 вычитается
двузначное число (20—15).
4) От двузначного числа отнимается двузначное число (19—13:
16- 14).
1.4

В учебнике подсказаны и приемы проработки некоторых случаев,
указаны подготовительные ступени. Например, § 3 на стр. 27 начинается
следующими строчками:
3 + 2
13+2
3 + 3
13 + 3
Это означает, что при сложении 13 с 2 надо сложить 3 да 2 и затем
5 прибавить к 10. Прежде чем дать пример 6+11, помещен такой
пример: 6+1. Это значит, что при сложении 6 с 11 надо к 6 приба¬
вить 1, а затем к полученному числу прибавить 10.
Среди численных примеров в этом раздете впервые встречаются при¬
меры на вычитание, выраженные не в прямой, а в косвенной форме.
Таковы примеры под номером 8 на странице 28 (5+? = 20) и под
номером 6 на странице 29 (?+13 = 16). Читаются эти примеры так:
„Сколько надо прибавить к 5, чтобы стало 20?“ „К какому числу надо
прибавить 13, чтобы получить 16?“ В этих упражнениях дано сложение,
а решать вопрос можно или сложением (3+ 13=16) или вычитанием
(16 — 13 = 3).
Круги с числами (стр. 29) решаются так: учитель чертит эти круги
на доске. Вызывает учеников по одному к доске и молча указывает те
числа, которые надо сложить или вычесть. Вызванный ученик пишет
ответ на доске и идет на место. К доске вызывается другой ученик. В
методиках эти упражнения иногда носят название игры в молчанку, так
как эти операции проделываются молча.
Сложенней вычитание с переходом через десяток (стр. 30—34).
Этот раздел — очень важный и довольно трудный для детей — начина¬
ется с подготовительных упражнений, цель которых научить детей допол¬
нять до 10, что необходимо для сложения двух однозначных чисел,
сумма которых превышает 10. (Таких примеров, какие даны в § 1—2,
нужно дать учащимся Столько, сколько это нужно для того, чтобы они
могли это дополнение до 10 делать сразу и безошибочно.) Подгото¬
вительным является упражнение 3 (стр. 31), где даются 3 слагаемых,
причем от сложения первых двух получается полный десяток (например,
”+1+7)' а также упражнения 4, 5, 6, в которых одним из промежу¬
точных результатов счета равными группами является полный десяток.
Для большей наглядности все эти примеры необходимо предварительно
проделать на кубиках (палочках, спичюх).
Все последующие разделы, обозначенные римскими цифрами И, ill,
IV и V, содержат в себе упражнения (численные примеры и задачи)
на прибавление всех чисел первого десятка сначала к 9, потом к 8,
затем к 7 и, наконец, к 6. Понятно, почему избран такой порядок:
дополнение девяти до полного десятка наиболее легко для учащихся;
трудности возрастают по мере уменьшения числа (8, 7. 6). Примеры
с тремя слагаемыми, предшествующие примерам с двтмя слагаемыми,
показывают прием вычисления; так, пример 9+1+3 'показывает, что
для прибавления 4 к 9 нужно сначала к 9 прибавить 1, а потом к 10
прибавить 3. В разделе III среди числовых примеров имеются при¬
меры га сложение и вычитание, выраженные в косвенной форме
14

например, 14 — ? = 8. Читается эгот пример так: „Сколько нужно от¬
нять от 14, чтобы осталось 8?“. Решается же он так: 14 — 6 = 8.
Весьма занимательными и полезными являются упражнения в рас¬
кладывании цифр по клеткам квадрата так, чтобы в каждом ряду
и в каждом столбце получалось определенное число. Но не нужно
скрывать от себя и то, что эти упражнения в этом месте могут ока¬
заться трудными для массы учащихся; в таком случае эти упражнения
можно дать более сильным ученикам, а остальной массе учащихся их
можно предлагать в конце проработки второго десятка (после умноже¬
ния и деления).
В разделе „Повторение" (стр. 35) нужно дать не только примеры,
но и задачи (здесь уместны задачи в два действия) Примеры на кос¬
венное сложение и вычитание (2) нужно начать с более легких слу¬
чаев (9 + ?=11; 8 -+ ? = 11; и т. д. 8-Р?=12; 7 + ?=12 и т д.).
Примеры такого вида: ?—7 = 5; 12 — ?=3 и т. д. можно давать
только в сильных группах.
Задачи. В начале работы над числами в пределе второго десятка
учащиеся продолжают решать задачи в одно действие; здесь однако
вводится новая разновидность таких задач, а именно—задачи на сло¬
жение и на вычитание, выраженные в косвенной форме. По своей фор¬
мулировке они несколько труднее задач на те же действия, данные
в прямой форме, поэтому таких задач дается немного. В учебнике
их всего две, а именно задача № 4 (стр. 28) и задача № 8 на стра¬
нице 34. Задача № 4: „Ребята прочитали 8 страниц новой книги. Оста¬
лось еще 12 страниц. Сколько всего страниц в книге?" Несмотря на
го, что здесь есть выражение „осталось", которое как будто говорит
о вычитании, тем не менее задача эта решается сложением. Типичным
образчиком задачи на вычитание, выраженной в косвенной форме, является
выше упомянутая задача № 8: „В начале года в первой группе было
6 безбожников; теперь их уже 15. Сколько прибавилось в группе без¬
божников?" Задача решается вычитанием (6+ ?= 15; 15 — 6 = 9). Двумя
задачами, разумеется, ограничиваться нельзя, и учителю самому при¬
дется составить ряд подобных задач.
Новым моментом в области задач на данной ступени является введе¬
ние задач, решаемых двумя действиями С Это очень важный шаг в работе.
Учащихся нужно подвести к осознанию того, что в некоторых задачах,
чтобы ответить на вопрос задачи, нужно бывает ответить еще на один
вопрос (какой — это видно из условия задачи).
Производить анализ таких задач не надо. Достаточно при спраши
вании ученика, как он решил задачу, поставить перед ним такие во¬
просы: „Что ты сначала узнал? Как? Что потом узнал? Как?"
Задача N° 1 иа два действия дана в учебнике с иллюстрацией
Здесь прежде чем ответить на вопрос. „Сколько стоит марка?", надо
узнать: „Сколько получили сдачи?". Задача № 2, в качестве одной из
первых задач в два действия, не совсем удачна: во-первых, в ней на¬
ходит применение только одно действие — сложение, а во-вторых, она
топускает два решения, из которых одно решение делает ее задачей
1 В зависимости от уровня развития учащихся решение задач в два действия
шжет быть несколько отодвинуто и приурочено к повторению сложения и вы-
(итания в пределе 20.

в один вопрос (первое решение: 15 + 2=17; 17+3 = 20. Второе
решение:	15 + 2 + 3 = 20); в-третьих — решение ее затруднено тем,
что здесь сложение дано в косвенной форме. Поэтому ее можно опу¬
стить и заменить другой, более легкой и определенной задачей. Сна^
чала задачи в два действия решаются только устно, а к концу первой!
полугодия можно сопровождать решение записью действий.
Измерения (взвешивание, измерение литром). Упражнение в ело*
женин и вычитании без перехода через десяток завершается ознаком¬
лением учащихся с весами и гирями в 1, 2, 5, 10 кг и с процессом
взвешивания, а после упражнений в сложении и^ вычитании с переходим
через десяток учащиеся знакомятся с литром и с измерением литром.
Такой порядок вносит необходимое разнообразие и оживление в работу
по арифметике; кроме того знакомство с мерами дает конкретный ма¬
териал для задач.
Вся работа по измерению должна носить в высшей степени наглядный
и конкретный характер. Ученики должны ознакомиться не только с наз¬
ваниями мер, „килограмм", „литр", но и с самими мерами —с гирями,
с весами, с кружкой в один льтр, в пол-литра. И знакомство это должно
быть всесторонним, конкретным. Ученики должны видеть гирю в кило
грамм, осязать ее, ощутить ее вес и затем научиться взвешивать. То же
С литром; сравнение литра со стаканом, отношение между литром и вед¬
ром учащиеся должны определить на опыте переливания жидкости,
наполнения сосудов водой. Учащиеся могут изготовить себе мешочки
и наполнить их песком весом в 1 килограмм, с тем чтобы на самодель¬
ных весах производить разного рода взвешивания. Заканчивается работе
по измерению приблизительным определением веса разных предметов,
объема разных сосудов (в литрах) и решением задач, помещенных
в учебнике. На каждую работу по взвешиванию и ознакомлению с лит¬
ром .нужно употребить по 2 урока f
Умножение и деление ДО 20 (стр. 36—46). Умножение чисел в пре¬
деле 20 прорабатывается в такой последовательности: умножение двух,
Трдх, четырех, пяти и т. д., т. е. в порядке естественной последовательно¬
сти натурального ряда чисел. Умножение прорабатывается совместно с деле¬
нием. Учащиеся иа данной ступени (в пределе 20) получают знакомство
с двумя видами деления: с делением на равные части и с делением по
содержанию. Сначала в самой тесной связи с умножением учащиеся
знакомятся с делением по содержанию как более конкретным р понят¬
ным для детей делением, а потом — с делением на равные части. Поря¬
док проработки деления на части иной, чем деления по содержанию,
а именно: на 2 и 4, 3 и 6, 5, на 7, 8, 9 и 10 равных частей.
Так как учащиеся ко времени проработки этого материала уже
грамотны, то в учебнике здесь дается больше текста, и в текст вводятся
элементы теории (в виде инструктивных указаний): „Примеры в послед¬
ней строчке читать так: по 2 взять 2 раза, по 2 взять 3 раза и т. д.*
(стр. 36) или: „В целом круге 2 половины. В целом круге 4 четверти"
(стр. 42) или: „Напиши подряд до 20 все числа, которые делятся на 2
равные части. Это четные числа" (стр. 43). И тут же надо добавить:
„Числа, которые не делятся на две равные части, называются .Чечетными".
Действия умножения и деления являются для детей более трудными
по сравнению со сложением и вычитанием, поэтому они даются в учеб¬
нике особенно наглядно и конкретно; проработка каждого случая умно-
16

(,-fния и деления сопровождается чертежами и рисунками. Не ограничи¬
лась только такого рода наглядностью, учитель должен обращаться к
юеД'яетным наглядным пособиям, предваряя ими работу по картинкам.
Суть работы по этому разделу заключается в том, что ученики сна-
1ала учатся „добывать" таблицы умножения и деления, а потом проде-
дывают ряд упражнений, в результате чего запоминают таблицы наизусть.
Проработка первой страницы должна уяснить детям, что умножение
е:ть сокращенное сложение, и показать пользу замены сложения умно¬
жением. Первый урок следует начать с работы на кубиках (или палоч¬
ках, спичках) и провести его, примерно, так:
„Возьмите 2 кубика, еще 2 кубика, еще 2 кубика, еще 2 ку¬
бика и еще 2 кубика. Положите каждую пару недалеко одну от
другой. Сосчитайте, сколько всего кубиков будет и запишите,
что прибавляли и сколько будет?" Один ученик на доске, а осталь¬
ные в тетрадях делают такую запись: 2-}-2-[-2-f-2-j-2= 10.
„По скольку кубиков вы каждый раз брали? (По 2 кубика.)
— Сколько раз вы брали по 2 кубика? (о раз.) —Сколько же по¬
лучится, если по 2 кубика взять 5 раз? (По 2 кубика взять 5
раз — будет 10 кубиков.) —Как прочитать эту запись: 2 —(— 2 —|—
—}— 2 —|- 2 —{— 2 = 10? (2 да 2 дз 2 да £ да 2 будет 10.) — Так чи¬
тать долго,— говорит учитель. Эту запись можно прочитать
короче: По 2 взять 5 раз будет десять. Это можно н записать
короче: 2X5=10". Учитель читает эту запись и делает ударе¬
ние на слове „взять", указывая на косой крестик. Тут же проти¬
вопоставляются прямой крестик и косой крестик. Прямой крестик
означает прибавить, а косой крестик „взять или повторить".
(Слово „умножить" на этой ступени не вводится в употребление.)
„Запишите подробно и кратко: по 2 взять 7 раз, по 2 взять
4 раза и т. л."
Аналогичная работа проделывается над шестью парг
и над четырьмя парами кубиков (берется 6 пар кубиков,
егся, сколько это будет кубиков, делается запись сначала
жения, а потом в виде умножения и т. д.). И только пос:
боты с кубиками учитель предлагает учащимся открыть
„Здесь нарисовано несколько прямоугольников с
клетками белыми и черными. Подсчитайте, а олько к
вом прямоугольнике? (Две да две, а всего четыре.,
записано? (2 да 2.) —А еще как? (По 2 взять 2 раза.) —Под¬
считайте, сколько клеток в следующем прямоугольнике? (Две да две,
да еще две, всего шесть.) —Как это записано? (2 да 2 да 2).
— А ка с еще короче? (По два взять 3 раза)". И т. д.
После нескольких упражнений под руководством учителя ученикам
Даются для самостоятельной работы (в классе, а потом и на дом) при¬
оры на сложение, которые должны быть заменены примерами на умно¬
жение, и наоборот, примеры умножения должны быть заменены приме¬
рами на сложение. (Это, примерно, содержание 1-го урока.)
На 2-м уроке учащиеся решают задачи на умножение с записью
Решения и упражняются в счете двойками. На дом даются для реше¬
ния два первых столбика под № 7.
Учебника.
2
Руковоиство к учебникам арифмешкн.
17

На 3-м уроке производится проверка знания таблицы умноженщ
и дается понятие о решении примеров со скобками.
На 4-м и 5 м уроках прорабатывается деление по 2 с выяснение
его на кубиках, с решением задач, на численных примерах. Численнь
примеры и задачи, помещенные в учебнике, таковы, что на них одщ
временно с проработкой умножения и деления повторяется сложен*
и вычитание.
Делению на равные части предшествует ознакомление учащихц
с половиной и четвертью. Ознакомление ведется в том плане, как эт]
указано в учебнике. Но для того, чтобы „половина" и „четверть" z.r
учащихся стали еще более конкретным понятием, надо решить с ущ
щимнся ряд задач, в которых требуется целое (метр, килограмм
хлеб, яблоко, лист бумаги и т. д.) разделить на 2 или на 4 части
отнять половину или четверть от целого, сложить две половины, д»
или три четверти. Такие задачи могут быть придуманы самим учителен
Заканчивается работа над числами в пределе 20 упражнениями, tjx
бующими от учащихся уменья разлагать числа на множители: „Состт
чисел второго десятка" (стр. 47). Это очень хорошие упражнения дл
развития комбинаторных способностей учащихся Эти упражнения ана
логичны упражнениям на странице 35, но там требуется уменье разлс
жить сумму на слагаемые, а здесь — уменье разложить произведи
ние на сомножители. Работа с конкретным материалом (монетами, круж
ками, спичками) должна быть проделана раньше, а с воображаемым
предметами — потом (сначала должны итти упражнения №№ 1, 2, 6, 7, 8
а потом упражнения №№ 3, 4, 5).
Первая сотня- Материал первой сотни, обнимающий собой пос
ледние 16 страниц учебника,	прорабатывается в	течение третьей i
четвертой четвертей учебного года. На проработку его может бнц
затрачено максимум 80	часов	классных занятий	(это в том	случае
если работа со вторым	десятком будет закончена	ко времени	зимнеп
перерыва) и около 25	часов	домашних занятий.	В учебнике	на эгс
время дано до 90 задач (в одно и два действия), до 550 численны»
примеров простых и сложных и около 25 заданий математически'!
характера. Само собой разумеется, что в процессе работы число задач
решаемых учащимися, должно быть увеличено за счет задач, составлч
емых самим учителем, содержание которых берется из окружающей
жизни, близкой и понятной детям. Работы по измерению также должнь
носить более разнообразный и живой характер (чем это может бытг
дано в стандартном учебнике) в зависимости от окружения, в како*
находится школа. Ориентировочно можно распределить весь материи-’
между третьей и четвертой четвертями так:
1) нумерация до 100; все действия над круглыми десятками, измери¬
тельный материал и простейшие случаи сложения чисел в пределе 100.
обнимающие собою 10 страниц (стр. 48—57)—для третьей четверти
2) остальные случаи сложения и вычитания без перехода черс!
десяток, знакомство с телами и измерения на местности — четвертая
четверть.
Нумерация до 1С0. В учебнике Поповой нумерация полных десят¬
ков и нумерация от 1 до 100 объединены- и та и другая прорабаты¬
ваются совместно. Но учителю нужно различать их и в нроработг*
остановиться сначала на нумерации полных десятков, а затем проработать
18

„ нумерацию чисел от 1 до 100. И в той и в яругой нумерации нужно
йыдолить моменты устной и письменной нумерации.
Работа ведется в такой последовательности:
1. Выясняется понятие десяток и единица; десяток дается как новая
счетная единица, т. е. производится прямой и обратный счет десятками;
выяснение лучше всего вести на палочках или спичках, связанных
в пучки (менее ценным, но допустимым пособием являются также бруски
н кубики).
2. Производится раздробление десятков в единицы и превращение
единиц в десятки (нужно добиться того, чтобы учащиеся сразу и без¬
ошибочно раздробляли десятки в единицы и превращали единицы
вдесятки: четыре десятка = сорок единиц; семьдесят единица семь десят¬
ков и т. д.). Хорошим жизненным упражнением является раздробление
рубля и гривенников в копейки и превращение копеек в гривенники.
Таким образом прорабатываются номера 1, 8 и отчасти 9 учебника!
После этого учитель переходит к счету до 100 (устной нумера!
ции до 100), который складывается из следующих упражнений:
1. Образование двузначных чисел соединением полных десятков
с единицами: „3 пучка палочек и 6 палочек—сколько это палочек?” (36.)
2. Разложение двузначных чисел на десятки и единицы: „84 па¬
лочки— сколько это десятков и единиц?”
3. Прямой и обратный счет до 100 (можно по частям:—от 20 до
30 и обратно, потом от 30 до 40 и обратно и т. д.).
4. Счет с переходом из одного десятка в другой: 38, 39, 40, 41	68
69, 70, 71, 72...и т. п.	’
5. Определение места любого двузначного числа в ряду других чисел
(между какими двумя числами находится 40, 90, 37 и т. п.). Для
упражнений в устной нумерации из учебника берутся номера 2, 9 и 10.
Только после такой работы можно приступить к письменной нуме¬
рации. Пользуясь абаком, здесь впервые надо дать детям понятие о по¬
местном значении цифр, т. е. что единицы пишут на первом месте,
десятки на втором (или, как сказано в учебнике: единицы пишут справа,
а десятки слева). Работа складывается из следующих моментов: 1) учи¬
тель пишет на доске числа, ученики читают их; 2) учитель диктует
числа, а ученики пишут и объясняют, почему так, а не иначе нужно
написать данное число.
После таких упражнений учащиеся прорабатывают материал по учеб¬
нику под номерами 3, 4, 5, 6 и 7. Практическое приложение знаний
нумерации, разумеется, не исчерпывается теми заданиями, которые поме¬
щены в § 11: оно должно быть значительно шире.
Таким образом на проработку материала, помещенного на странице
48 и отчасти 49, надо затратить не менее 5 уроков.
Сложение, вычитание, умножение и деление круглых десят¬
ков. Подготовительной ступенью к проработке каждого действия над
круглыми десятками служат соответственно сложение, вычитание, умно¬
жение и деление в пределе 10. Допустим, что учитель переходит к сло¬
жению и вычитанию круглых десятков. Сначала он берет такие при¬
меры, где надо сложить 2 числа, сумма которых не превышает 10.
Например, учитель спрашивает: „Сколько будет, если сложить 4 да 3?”
■Затем он прибавляет к каждому слагаемому название десятков. „Сколько
будет, если сложить 4 десятка да 3 десятка?” И только после этого

ставит вопрос: „Сколько это будет 40 да 30?“ Такого рода подго*
вительная работа проделывается перед проработкой каждого действ*,
Если ученики при решении примеров из учебника затрудняются на8|
результат, то тут опять можно прибегнуть к тому же приему.
Допустим, что затрудняются решить пример: 90 — 60. Тог*
учитель спрашивает: „90 — это сколько десятков? (9.) — 60 — эц
сколько десятков? (6.) — От 9 десятков отнять 6 десятков -
сколько останется? (3 десятка.) — 3 десятка—это сколько еди-
ниц? (30.) Значит, сколько останется, если от 90 отнять 60? (30.)
Примеры на сложение и вычитание нужно давать в порядке посте¬
пенно возрастающей трудности (которая в учебнике не всегда, впрочем
выдержана за недостатком места), а именно: сначала нужно дават:
примеры, где прибавляется по 10 (80 +10), потом — где складываютс,
одинаковые числа (20-4-20; 40-|-40), затем — где первое > слагаема
больше второго (60 -)- 30), далее — где первое слагаемое меньше вто¬
рого (20 -(- 70) и, наконец, такие примеры, в которых чередуются вс{
случаи. Среди примеров на сложение и вычитание даны (стр. 50) при
меры на сложение и вычитание в косвенной форме (50 — ?=30). Kat
читать и решать такие примеры, об этом сказано выше (см. стр. 14)
Умножение десятков дано только на однозначные числа.
Решая примеры и задачи на деление, нужно иметь в виду, что
сначала (под римской цифрой II) дается деление на круглые десятки
(40:20; 80:40 и др.). Это деление нужно рассматривать как деление
по содержанию; так, пример 40:20 нужно читать так: 40 разделить пе
20, получится 2. Но в следующем разделе (под римской цифрой Ш]
дается деление круглых десятков на однозначные числа. Здесь деле¬
ние нужно рассматривать как деление на части; так, пример 30:3 нужно
читать так: 30 разделить на 3 равные части (или короче на 3) бу¬
дет 10.
Задачи. Задачи сопровождают собой всю работу по приобретению
навыков в производстве четырех арифметических действий. Большинство
задач — задачи в 2 действия; в качестве исключения в отделе „Повто¬
рение" даны задачи в 3 действия под № 3 (стр. 56) с очень „прозрач¬
ным" и легким содержанием. Среди задач нам хочется обратить внима¬
ние учителя на задачи, которые решаются способом приведения к единице.
Таких задач дано две — № 2 (стр. 53) и № 5 (стр. 54). Для ребят
I группы—это не легкие задачи, тем не менее в конце года нужно
поупражнять детей е решении таких задач, придумывая, кроме данных,
и свои задачи, так как развивающее их значение велико.
Больше ИЛИ меньше на СТОЛЬКО-ТО (стр. 51). Учитель сделал бы
большую ошибку, если бы начал проработку этого раздела с решения
задач, данных в учебнике. Решению задач надо сначала предпослать
выяснение понятий, объяснение выражений — „на столько-то больше",
„на столько-то меньше". Этому объяснению нужно посвятить 1-2 урока
(в зависимости от уровня математического развития группы).
Выяснение понятий „на столько-то больше", „на столько-тс
меньше" надо вести обязательно на наглядных пособиях (на куби¬
ках, палочках, спичках, на шариках счетов) примерно так. Вы¬
звав к столу одного ученика, учитель ведет такую беседу: „По¬
ложи справа от себя 4 кубика. Положи слева столько же
20

кубиков. Сколько же кубиков нужно положить слева? Теперь
число кубиков поровну. Положи слева еще 2 кубика. Поровну ли
кубиков справа и слева теперь? (Нет не поровну.) — На какой
стороне больше кубиков? На сколько больше? (На два кубика
больше)". То же проделывается на других пособиях, которыми
могут быть книги, тетради, ручки, перья, карандаши н пр. Потом
учитель предлагает учащимся ряд задач, вроде следующих: „Ваня
сделал 12 флажков, а Петя сначала столько же, а потом еще 4.
Кто сделал больше флажков и на сколько больше?" „Оля решила
8 примеров, а Катя на 3 больше. Сколько примеров решила
Катя?" и т. д.
В таком же роде ведется выяснение понятия „на столько-то меньше".
Когда учитель убедится в том, что эти понятия учащимися усвоены,
тогда только он приступает с ними к решению задач, помещенных
в учебнике на странице 51, причем эти задачи он чередует с самостоя¬
тельно составленными задачами, данными "которых являются числа
в пределе 20 и где кроме терминов „больше", „меньше" встречаются
термины „длиннее на столько-то", „короче на столько-то", „дороже —
дешевле", „толще — тоньше" и т. п.
Измерение дециметром и сантиметром. Задачи на время.
В учебнике наглядность при проработке этого раздела могла быть
представтена только рисунком: рисунком дециметра, рисунком часов.
Но в своей практической работе с детьми учитель ни в коем случае
не должен ограничиваться только такого рода наглядностью; он должен
дать в руки учащимся метр, разделенный на дециметры и сантиметры,
для подлинного измерения целого ряда доступных им предметов.
Работа по измерению протяжений должна привести к тому, чтобы
учащиеся, с одной стороны, усвоили единицы измерения, с другой
стороны, приобрели навык определять линейные размеры различных
предметов на-глаз с большей или меньшей степенью погрешности.
Задание № 7 („Вырежь по бумажной выкройке"...) можно опустить,
так как учащиеся к этому времени еще не подготовлены к чтению
чертежа.
Знакомя учащихся с мерами времени, полезно на уроке труда сде¬
лать с ними картонную модель часов. Полезно также показать уча¬
щимся действующие часы (циферблат) — цифры, стрелки часов, заста¬
вить детей нарисовать часы. Только на основе такой конкретной работы
можно развертывать работу по учебнику—решение задач и запомина¬
ние единичных отношений мер („в сутках 24 часа, в месяце 30 суток"
и т. д.). Задачи на время решаются так (задача № 3, стр. 55):
„От 6 часов утра до 12 часов дня — 6 часов (12 — 6 = 6); от 12 часов
Дня до 5 часов вечера — 5 часов; 6 часов-f- 5 часов=11 часов".
Ответ: в буржуазных странах дети часто ртботают 11 часов в день.
Сложение и вычитаниг без перехода через десяток (стр. 57—
60) не представляют для учащихся особой трудности, если в работе
будут строго соблюдаться система и последовательность в переходе от
легкого к более трудному, от простого к более сложному. В учебнике
эта система соблюдена, и учителю нужно ее строго придерживаться.
В сложении и вычитании без перехода через десяток в учебнике разли¬
чаются 6 следующих ступеней: 1) прибавление к круглым десяткам
21

единиц (30-(-5) и отнимание от круглых десятков единиц; этот случь
основывается на знании нумерации н усваивается учащимися лег»
(упражнение № 5); 2) прибавление к двузначному числу единиц (54 —(-
(упражнение № 6); отнимание от двузначного числа единиц (25 — 3); эт,
случаи сводятся к прибавлению единиц к единицам и отниманию едини:
от единиц; 3) прибавление к двузначному числу круглых десятко
(25 —j— 70) и отнимание от двузначного числа круглых десятков (65 — 40
(упражнения №№ Зи4 на странице 58; этот случай сводится к прибавле
нию десятков к десяткам двузначного числа (20 4- 70 = 90; 90 -f 5= 95
и отниманию десятков от десятков двузначного числа (60—40=20
20 -}- 5 = 25); 4) прибавление к круглым десяткам двузначного числ.
(30-{-53), что представляет собою вариацию предыдущего случая
(упражнения 8, 9 и 10); 5) прибавление к двузначному числу двузнач¬
ного (36 —{— 21); оно производится так: десятки складываются с десят¬
ками, единицы складываются с единицами и затем складываются резуль¬
таты (36 -f- 21 = 57; 30 —{— 20 = 50; 6 —f— 1 = 7; 50 —}- 7 = 57); аналогично
производится и вычитание подобных случаев (48 — 16). Но при вычита¬
нии лучше культивировать один прием: от всего числа отнимать вычи¬
таемое поразрядно: 48—16= ? 48—10=38; 38—6 = 32.
По мере приобретения навыков сложение и вычитание подобных
случаев упрощаются, а именно: к двузначному числу прибавляются
десятки, а к полученному результату единицы второго слагаемого
(36 —{— 21 = ? 36-{-20 = 56; 56я—{— 1 =57) (упражнения №№ 3 и 4
на странице 59) и, наконец, 6) решаются сложные примеры, в которых
даются и сложение и вычитание (62-|-10 —12); на решении всех этих
примеров повторяются все предыдущие случаи.
На каждый случай в учебнике дается от 2 до 4 задач. Желательно,
чтобы число решаемых задач было увеличено за счет задач, составляемых
самим учителем. Решение этих задач, а равно и 15 задач, помещенных
в отделе „Повторение* (стр. 62), имеет своей целью научить учащихся
правильно применять арифметические действия и безошибочно произво¬
дить вычисление в пределе 100. Из задач некоторую трудность на первых
порах представляет для учащихся решение задач такого типа: „Две кол¬
хозницы принесли в кооператив яйца. Одна принесла 30 яиц, другая
на 15 яиц больше. Сколько яиц принесли обе колхозницы?* (Задача № 6
на странице 58). Типичная ошибка, которая наблюдается у многих уча¬
щихся при решении подобных задач, заключается в том, что, прибавив 15
к 30, учащиеся полагают, что задача решена, ответ найден. Вопрос
данной задачи („Сколько яиц принесли обе колхозницы?*) они смеши¬
вают с вопросом: „Сколько яиц принесла другая колхозница?* Бороться
с этой ошибкой можно только путем упражнений учащихся в решении
достаточно большого количества подобных задач В учебнике приведено
несколько задач подобного рода: смотри, например, задачи за №№ 13
и 14 на странице 63, задачу № 2 на странице 61, №№ 9 и 10 на стра¬
нице 62, № 13 на странице 63. Чтобы научить детей различать оба
указанных выше вопроса, целесообразно предложить учащимся одну
и ту же задачу сначала с одним вопросом: („Сколько яиц принесла дру¬
гая колхозница?*), а потом с другим вопросом-(„Сколько яиц принесли
обе колхозницы?*). Сопоставление обеих задач с одним условием, но
с разными вопросами, приучит учащихся различать, что спрашивается
в задаче.
22

КАК РАБОТАТЬ ПО СТАБИЛЬНОМУ УЧЕБНИКУ
ДЛЯ ВТОРОГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ.
Общие замечания. 1. Учебник по арифметике для второго года
обучения полностью согласован с программой по арифметике для этого
же года как в отношении объема, так и системы расположения мате¬
риала. Поэтому учитель должен прорабатывать материал в том порядке
в каком он дан в учебнике, ему нет надобности делать в учебнике
какие-либо существенные отступления, перестановки и т. д.
При проработке программы может оказаться, что для усвоения
отдельных частей программы в учебнике не хватает данного материала.
Например, может случиться, что учитель, прорабатывая вопрос об увели¬
чении числа в несколько раз, прорешал примеры и задачи, данные в учеб¬
нике, а учащиеся не усвоили и не закрепили как следует, это понятие
Тогда он должен дополнить количество упражнений самостоятельно соста¬
вленными задачами и примерами, взяв за образец материал учебника и чер¬
пая содержание для задач как из жизни самих учащихся, так и из области
социалистического строительства, развертываемого в окружающей жизни.
2.	Учебник для второго года обучения включает в себе, с одной
стороны, задачи и упражнения, а с другой — элементы теории арифме¬
тики. Элементы теории (правила, определения, единичные отношения
мер) даются в самой тесной и непосредственной связи с упражнениями.
Они даются как выводы и самые простые, несложные обобщения, дела¬
емые самими учащимися на основании достаточного количества непосредст¬
венных наблюдений, к которым подводит их учитель. Число таких выводов
и обобщений, в соответствии с возрастными особенностями учащихся
в учебнике очень ограничено. Они выделены в тексте и напечатаны
курсивом. Этот материал подлежит запоминанию.
Ч.	Учащиеся II группы по своей грамотности и по своему общему
развитию значительно сильнее учеников I группы, поэтому учебник для
II группы дается в гораздо большей степени для непосредственного
и самостоятельного использования учащимися, чем в I группе. Здесь уче¬
ники сами могут читать текст задач, прочитать задание, прочитать при¬
мер. Поэтому около - всего материала рассчитано для выполнения
в качестве домашних заданий. Для выполнения на дому дается материал
на то правило, которое уже проработано в классе вместе с учителем-
Домашние работы по существу должны быть упражнениями, трениров¬
кой в том, что уже проработано, осознано, понято в классе и что не
содержит в себе ничего принципиально нового по сравнению с тем
что делалось в классе.	’
4.	Учебник построен таким образом, чтобы он не только развивал
У учащихся числовые представления и давал навыки производства
четырех арифметических действий, но чтобы он вместе с тем содейст¬
вовал развитию логического мышления у ребенка, развитию у него
23

констр) ктивных н комбинаторных способностей. Это достшаетс»
1)	особой формулировкой некоторых задач; 2) внесением специальна
упражнений; 3) развитием у учащихся навыков самостоятельного cocTd.
вления задач. В области составления задач учащиеся делают толь^
первые шаги, поэтому здесь даются самые элементарные задания.
5. Содержание значительной части задач взято из жизни и быц
самих детей в семье, в школе. Часть задач связана с детским трудо»
в рабочей комнате и на пришкольном участке, с общественной работе*
детей. Но и материал социалистического строительства, близкий и дос¬
тупный пониманию детей-девятилеток, тоже нашел отражение в учебнике
во многих задачах даны: работа фабрики, завода, колхоза, совхоза,
культура и быт рабочего и колхозника, материал, способствующий ангн-
религиозному и интернациональному воспитанию детей. Местный мате¬
риал должен найти отражение в тех дополнительных упражнениях,
о которых говорилось в § I; он должен отражать рост и динамик»
хозяйственной и культ} рно-бытовой жизни в ее наиболее ярких пока
зателях.
6. При проработке учебника самое широкое применение должна
найти наглядность. В качестве наглядных пособий здесь используется
то же, что и в I группе: куб.ики, палочки, спички, иллюстрации учеб¬
ника (рисунки и чертежи). Из новых наглядных пособий существенное
значение имеют счеты. Использование их начинается с проработки
тысячи.
Проработка некоторых вопросов должна сопровождаться математи¬
ческими играми; последние должны даваться непосредственно самим
учителем, который является организатором игр в классе. Желательно
так поставить дело, чтобы игры, проведенные на уроках, затем находи¬
ли свое продолжение и повторение во внешкольных занятиях детей.
После этих общих замечаний перейдем к конкретным указаниям, как
прорабатывать отдельные части учебника.
Первая СОТНЯ. В течение первой четверти, согласно программе,
должны быть проработаны сложение и вычитание в пределе 100 и на¬
чало табличного умножения и деления. Материал, соответствующий этой
части программы, расположен на первых 18—20 страницах учебника
(стр. 3—20). Для проработки этого материала учитель располагает при¬
близительно 55 часами классных занятий, и, кроме того, он может еже¬
дневно давать на дом работу по арифметике из расчета ее выполнения
в течение 2© минут. Таким образом в среднем на проработку одной
страницы учебника падает 3 часа классных занятий плюс домашние ра¬
боты. Этой нормой и нужно руководствоваться, планируя работу на
четверть.
Сложение и вычитание (стр. 3—9). Материал, данный под руб¬
рикой 1, представляет собой повторение простейших случаев сложения
и вычитания, пройденных на первом году. И переместительное свойство
сложения, сформулированное в § 7, по существу не представляет ничего
нового для учащихся: с ним они уже знакомились на первом году. Те¬
перь от учащихся только требуется, чтобы они умели четко и правильно
сформулировать его и применить при сложении меньшего числа с боль¬
шим. Весь этот материал прорабатывается в течение первых трех урокош
на первом уроке решаются 2 задачи (№№ 1, 3) и 16 щичеров под № 5,
на дом для решения даются примеры под № 6. На втором уроке на ряде
24

примеров выясняется переместительное свойство сложения, решаются при¬
меры — 6 первых из столбика Ле 8 и 6 первых из столбика № 9 — и 2
задачи (№№ 2, 4); на дом даются для решения 12 примеров, остав¬
шихся нерешенными, из столбиков №№ 8 и 9 На третьем уроке решаются
задачи №№ 10, 11 и 8 примеров под № 12; остальные примеры даются
на дом. Если останется время, учитель предлагает свои задачи, подби¬
рает числа, соответствующие навыку.
Мы нарочно остановились подробно на планировании первой стра¬
ницы, чтобы показать, как чередуются классные работы с домашними.
Каждый новый урок начинается обязательно с проверки домашних работ.
С раздела, обозначенного римской цифрой II, начинается новый мате¬
риал для II группы: здесь дается тот случай сложения двузначного числа
с однозначным и двузначного числа с двузначным, когда в сумме
получаются круглые десятки. Для усвоения этого случая (для ребят
в общем нетрудного) дано достаточное количество примеров; но все
примеры решать необязательно. В связи с этим навыком автор вводит
для обозначения неизвестного числа букву лг. В учебнике для I группы
неизвестное обозначалось знаком вопроса, в учебнике для II группы
неизвестное обозначается х.
Знакомство с х дается учащимся, примерно, так. Учитель пишет
на доске пример: ?-f-5 = 20 и спрашивает: „Как прочитать при¬
мер, написанный на доске? (К какому числу нужно прибавить 5,
чтобы получить 20?) — Как решается этот пример? (От 20 отнять 5.
будет 15; 15-(-5 = 20.)— Что обозначал здесь знак вопроса?
(Неизвестное число.) — Теперь мы будем обозначать неизвестное
число не знаком вопроса, а значком (буквой)—лг, который назы¬
вается „икс". Напишем тот же пример, но вместо знака вопроса
поставим х : лг-(- 5 = 20. Как прочитать этот пример? (К какому
числу . . .ит. д.) — Как решить этот пример? (От 20 отнять 5
будет . . . и т. д.) — Что обозначает здесь лг? Прочитайте такой
пример: х—20 = 57. Запишите, пользуясь х: какое число нужно
прибавить к 26, чтобы получить 40? Решите этот пример".
После того как ребята поймут значение х, им даются для решения
прчмеры под номером 16 (стр. 5). Решение этих примеров заключается
в том, что учащиеся, прочитав пример, устно производят действие над
числами (сложение или вычитание) и найденное число пишут вместо х;
1-й пример они запишут так: 26-f-14 = 40; 2-й:.39-)-31 =70 и т.д.
Проработка всего раздела II не должна занимать более 4 уроков.
В разделе III (стр. 6) дается последний и самый трудный случай
сложения двух и трех двузначных чисел — с переходом через десяток;
этот материал занимает 2 с лишним страницы учебника, которые тре¬
буют для своей проработки 6—7 часов классных занятий, сопрово¬
ждаемых домашними заданиями. К первым задачам дано их примерное
решение. Это решение рассматривается и объясняется учителем на класс¬
ной доске. Заканчивается раздел упражнениями в решении квадратов.
Для придания работе с квадратами большего интереса, можно: 1) остав¬
лять в квадратах некоторые клетки пустыми; 2) наиболее способным
учащимся можно предложить самим составить такие квадраты.
Раздел IV дает очень ценные упражнения для развития у учащихся
комбинаторных способностей: здесь учащиеся по соображению должны

пользоваться переместительным законом (не называя его), законом при.
бавления суммы чисел. В классе эти примеры решаются устно; в до.
маиших работах решения сопровождаются записью. Первые столбик.
№№ 2 и 3 носят инструктивный характер; эти столбики обязательно
решаются совместно с учителем: учитеть на классной доске предварю
тельно объясняет, не прибегая к учебнику, как можно переставлять
числа дтя удобства их сложения, как прибавляемое число иногда удобно
разложить на 2 числа и сначала прибавить одно, а потом другое; кап
иногда удобно округлить число. И только после таких обсгоятел!
ных объяснений и проверки, насколько понято это учащимися, можно
давать упражнения из учебника.
Задачи. Задачи на сложение и вычитание даны разнообразных типов.
На сложение: 1) найти сумму нескольких слагаемых, 2) одно число
увеличить на несколько единиц. Еще разнообразнее задачи на вычита¬
ние; они даются трех типов: 1) найти остаток; 2) по сумме и одному из
слагаемых найти другое слагаемое; 3) одно число уменьшить на несколько
единиц. Большинство задач в 2 действия. Но здесь уже вводятся задачи
н в 3 действия. Из задач в 2 действия некоторые, несмотря на свою
простоту, часто дают ошибочные решения у детей. Такова, например,
задача 13 (стр. 5): „На мельнице в первый раз смололи 38 мешков зер¬
на, во второй раз—на 6 мешков меньше. Сколько всего мешков зерна
смололи на мельнице?" Решая эту задачу, ученики не улавливают „всего",
они обычно вычитанием находят, сколько смололи во второй раз и
считают, что задача решена. На эту типичную ошибку надо обратить
внимание учащихся и прорешать с ними ряд аналогичных задач. Неко¬
торые задачи так сформулированы, что, прежде чем применить то или
иное действие, учащиеся должны проявить сметку, сообразительность
Такова, например, задача № 14 „В колхозном стаде" (стр. 5), задача № 5
(стр. 6) и др. Большой интерес должны вызвать у детей задачи 20—21,
рассчитанные на развитие сметки и сообразительности у ребят. Решение
таких задач (а их нужно предложить несколько) можно организовать
в форме игры: одни ребята пусть будут пассажирами с 20 и 15-ко¬
пеечными монетами, другие — кондукторами с гривенниками и 15-ко-
пеечными монетами.
Если кто-либо из учащихся будет затрудняться в решении задачи,
надо поставить такие вопросы: „Если пассажир в уплату за билет
дасг 20 коп., а кондуктор сдачи даст 15 коп., то сколько копеек
приаегся за билет? (5 коп.) — А сколько нужно? (10 коп.) —
Сколько копеек не хватает? (5 коп.) — Что нужно сделать, чтобы
пассажир уплатил еще 5 коп. (Еще раз дать кондуктору двугривен¬
ный, а тот ему 15 коп.) — Сколько же всего двугривенных должен
дать пассажир и сколько 15-копеечных монет кондуктор? (Два
двугривенных и две 15-копеечные монеты.)".
Некоторые задачи допускают двоякий способ решения: например,
задача № 19 (стр. 7) решается так:1) 48 —J— 27 = 75; 2) 75-|-25=100.
Но некоторые учащиеся могут решить ее одним действием: 48-f-27-f-
-f- 25= 100. Оба способа нужно признать правильными, последний более
экономный, но для детей более сложный. Вообще детскую инициативу,
если она приводит к правильным результатам и связана с экономией
OR

времени, нужно всячески поощрять. Забегая несколько вперед, укажем
на задачу № 7 (стр. 12). Она тоже допускает двоякое решение: одни уча¬
щиеся могут решить ее так: 1) 65 — 52 = 13 (сеялок); 2) 32 — 27 = 5
(борон), 3) 13-)-о=18 (орудий). Другие эту же задачу будут решать
так: 1) 52-}-27 = 79 (орудий); 2) 65 -{- 32 = 97 (орудий); 3) 97 —
,-79 = 18 (орудий). И здесь оба способа решения совершенно законны,
разные ученики решат ее или одним или другим способом. Оба способа
ружно показать классу. Это будит инициативу у ребят и делает их
более смелыми и предприимчивыми
В разделе V даны весьма ценные упражне ия по составлению
задач самими учащимися. Научить детей самих составлять задачи — дело
трудное. Это уменье нужно вырабатывать у учащихся постепенно, на
протяжении ряда лет, начинать на втором году обучения с самого лег¬
кого, элементарного, посильного для девятилетних ребят. В качестве
такого первого упражнения дается следующее: подобрать к данному
условию вопрос и решить задачу, т. е. ответить на этот вопрос, исходя
из данных задачи. Тут же задание в параграфе 2 (стр. 9) несколько
усложняется: это усложнение состоит в том, что ребята не только под¬
бирают вопрос, но и подбирают числовые данные. Чтобы облегчить
учащимся эту работу, нужно направить внимание учащихся на знако¬
мые им факты из жизни школы или из области соцстроительства и не
ограничиваться только одной задачей из учебника, а решить несколько
(не менее трех). Опыт показывает, что составление своих задач спо¬
собствует развитию у ребят (даже слабых) уменья решать готовые
задачи; подбор вопросов и числовых данных развивает у детей созна¬
тельное отношение к структуре готовой задачи.
Проверка пройденного (стр. 9). Для учета знаний и навыков
дается 10 примеров и 1 задача. Эти примеры исчерпывают все прорабо¬
танные случаи сложения и вычитания в пределе 100. Вся контрольная
работа должна занять 20 — 25 минут. Примеры и задача заранее (во
время перемены) должны быть крупно и четко написаны учителем на
доске. Все ученики одновременно приступают к работе. Списывают
один пример и решают его; затем списывают другой пример и решают
его и т. д. Каждый, выполнивший работу, сейчас же сдает ее учителю,
а остаток времени занимается каким-либо другим делом (учитель заранее
намечает эти дела). Безошибочно правильное, чистое, аккуратное и быст¬
рое выполнение работы должно повлечь за собой высшую оценку. При
допущении одной ошибки считается работа хорошей; при двух-трех
ошибках — удовлетворительной; более трех — слабой. Учащимся, допус¬
тившим ошибки, даются повторные упражнения соответствующего типа:
ученику, сделавшему ошибку в примере 26-{-47, даются для упражнения
такого же типа примеры: 48 + 36; 63+ 29 и т. п.
Измерение прямых линий и черчение их по масштабу (стр.
9 10). Следуя за учебником, учитель должен начать проработку этого
вопроса с практической работы—измерения при помощи мерной веревки
длиной в 10 м длины школьного огорода, двора, площадки для игр,
грядки на огороде и др , а затем их ширины (учащиеся попутно уясняют
себе поняти длины и ширины: более длинная сторона — длина, более
короткая — ширина). Найденные размеры подсчитываются и туг же за¬
писываются. Обмер производится по естественным границам (без про¬
вешивания). Этой работе посвящается целый урок. Если позволит время,
27

нужно измерить также длину и ширину школьного здания и их размер*
записать. Эти цифры понадобятся в дальнейшей работе.
На следующем уроке учитель ставит перед учащимися вопрос
„Как на бумаге изобразить длину и ширину огорода, площадю
и т. д.? (Провести линии.) — Но можно ли провести на бума«
линии таких больших размеров, как на местности? (Нельзя,
хватит бумаги.)—А если мы условимся одну клетку на бума™
принимать за 1 м, тогда как изобразить длину площадки, допу
стим, в 20 Mi (Провести линию длиной в 20 клеток.) — Почему
линия в 20 клеток означает 20 Mi (Потому что мы условились
считать одну клетку за 1 м.)—Начертите на бумаге ширину ого¬
рода в 16 л, длину школы в 24 л и т. д., принимая одну клетку
за метр". После этого учащиеся обращаются к чертежам учебни¬
ка №№ 2 и 3, рассматривают их, объясняют. Запоминают новое
для них слово „масштаб", не зная пока никаких определений
масштаба. На дом получают задание измерить длину своего дома,
На следующем, третьем, уроке учащиеся вычерчивают длину школь¬
ного здания и длину своего дома в более мелком масштабе, принимая
длину одной клетки за 5 или даже 10 м (это зависит от длины зданий)
а затем рассматривают и объясняют план класса, данный на чертеже.
И на этом же уроке ученики вычерчивают план своей классной комнаты
(по образцу, данному в учебнике). На дом получают задание — начертить
план комнаты, в которой живет учащийся. Если всю эту работу нельзя
в данной группе уложить в 3 урока, нужно отвести ей 4 урока.
Обращаем внимание учителей на то, что в учебнике за 1м при¬
нимается не 1 см, а длина одной клетки.
Сложение и вычитание именованных чисел (стр. 10—Uj.
Здесь учащиеся впервые встречаются с действиями над составными
именованными числами (двухсоставными). Никаких определений состав¬
ного именованного числа давать не надо. Нужно приучить учащихся
к тому, что действия над числами с наименованиями производятся так
же, как и над числами без наименований.
Задачи и примеры подобраны так, что раздробления и превраще¬
ния не приходится делать. Все вычисления производятся устно и сопро¬
вождаются только записью результатов устных вычислений. Численные
примеры можно располагать или в строчку (как в учебнике) или столб¬
цом, т. е. так:
1 р. 35 к.
-f~2 р. 26 к.
3 р. 61 к.
Больше трех уроков задерживаться на этом материале не следует,
так как он будет неоднократно повторяться в дальнейшем.
Разностное сравнение (стр. 11—12). Проработку этого раздела
нужно начинать с выяснения понятия на предметных наглятных посо¬
биях (кубиках, палочках, шариках счетов).
Беседу нужно вести, примерно, так. Вызвав одного ученика
к стоту, учитель говорит: „Положи с правой стороны 10 кубиков,
а с левой—-6 кубиков. Где больше кубиков—на правой стороне
28

или на левой? (На правой.)—На сколько кубиков больше непра¬
вой стороне, нежели на левой? Как это узнать? Отдели от 10 куби¬
ков столько кубиков, сколько их на левой стороне, т. е. 6 куби¬
ков. Сколько теперь осталось лишних кубиков на правой стороне?
(4 кубика.)—Значит, на сколько кубиков на правой стороне боль¬
ше, чем на левой стороне? (На 4 кубика.)—Вызвав другого уче¬
ника, учитель говорит: Положи справа 8 кубиков, а слева 5 куби¬
ков. Где кубиков меньше — справа или слева? (Слева.)—На сколько
меньше? Как это узнать? Отдели от 8 кубиков столько, сколько
их слева, т. е. 5 кубиков. Сколько же у 5 кубиков не хватает
до 8 кубиков? (3 кубика.)—Значит, на сколько 5 кубиков мень¬
ше 8 кубиков? (На 3 кубика.)".
После этого учитель предлагает учащимся открыть страницу 11,
посмотреть на рисунок, где изображены молотки, и при этом ставит
перед ними те вопросы, какие указаны в учебнике: „Где молотков
больше"... и т. д. и подводит их к обобщению: „Чтобы узнать, на
сколько 8 больше 6“... Заметим, что в своих обобщениях учитель во
П фуппе не идет дальше тех конкретных случаев, которые прорабо¬
таны учащимися. Если задача № 2 („В прошлом году в колхозе было*...)
будет решаться первой задачей, то ее вопрос для большей простоты
можно изменить так: „На сколько больше стало за год колхозное стадо?"
(вместо „увеличилось"). Основной термин разностного сравнения „боль¬
ше— меньше" в дальнейшем, смотря по тому, какие величины берутся,
заменяется терминами „длиннее — короче", „дороже—дешевле", „тяже¬
лее— легче" и др. В учебнике на разностное сравнение дано 5 задач;
число их должно -быть увеличено за счет задач, самостоятельно состав¬
ленных учителем. На проработку этого раздела следует уделить 3 урока,
имея в виду, что дальше задачи на разностное сравнение все время
будут повторяться.
Проверка пройденного (стр. 12). Задача №2 при всей своей посиль-
ности для учащихся II группы может оказаться для слабых и части
средних учащихся в некоторых группах сложной задачей. Поэтому было
бы целесообразно наряду с этой задачей предложить учащимся и другую
задачу, где числа, которые нужно сравнить в разностном отношении,
являлись бы данными, а не искомыми. О том, как проводить учетные
работы, см. стр. 27.
Табличное умножение и деление (стр. 12—27). Изучение таб¬
лицы умножения и деления — одна из главных задач II группы. Нужно
добиться от учащихся твердого знания этой таблицы, ибо оно обеспе¬
чивает успешную работу и в дальнейшем по изучению тысячи, миллиона,
миллиарда. Для изучения этих таблиц в учебнике дан достаточно боль¬
шой материал, занимающий около 15 страниц учебника. На проработку
этого материала потребуется, примерно, около 40 часов. Из этих 40 ча¬
сов 20 — 25 часов падает на первую четверть и 15 — 20 часов —
на вторую четверть. Изучение таблицы умножения и деления каждого
числа должно занять в среднем по 5 часов.
Таблица умножения рассматривается автором как ‘таблица резуль¬
татов счета равными группами. Изучение ее дано в таком порядке:
таблица умножении и деления по 2, по 5, по 3, по 4, по 6, по 8, по 9
н по 7. Такой порядок обеспечивает постепенное нарастание трудности
усвоения таблицы, постепенный переход от более легкого и простого
29

к более трудному и сложному. Изучение таблицы деления всецело основ*
вается на знании таблицы умножения. В учебнике не только дан мат*
риал, но и показан единообразный и определенный метод проработ*
этого материала, обеспечивающий ученику его усвоение. Результат»
проработки этого материала должно быть твердое и безошибочно
знание каждым учащимся таблицы умножения и деления наизусть.
Путь проработки таблицы умножения и деления каждого числа т»
ков: 1) Счет (последовательное присчитывание и отсчитывание) равньш,
группами на конкретных предметах; такими конкретными предмета*
могут быть вначале кубики, палочки и пр. и потом рисунки предмете»
помещенных в учебнике, а после проработки умножения двух-трех ч*
сел можно ограничиться в качестве наглядных пособий только рисунка**
(колеса, звездочки, квадратики и’ др.). 2) Счет (последовательное при
считывание и отсчитывание) равными группами отвлеченных чисел: ?)
6, 9, 12... 30; 30, 27, 24... 3 3) Набор в определенном порядке раз
ного числа равных групп; порядок набора таков: сначала 2, 4- и 8 рав
ных групп; потом 3, 6 и 9 равных групп; затем 5 и 10 равных груш
и, наконец, 7 равных групп. Допустим, например, что изучается таб
лица умножения 6; учащиеся должны набрать и запомнить: 1) две ше
стерки (или дважды шесть)—12; затем 2) четыре шестерки (четырежды
шесть) — 24 и потом 3) восемь шестерок (восемью шесть) — 48.
Запомнив эти результаты, учащиеся набирают и запоминают:
а) три шестерки (трижды шесть) — 18.
б) шесть шестерок (шестью шесть) — 36.
в) девять шестерок (девятью шесть) — 54.
Запомнив и эти результаты, учащиеся набирают.
а) пять шестерок (пятью шесть) — 30.
б) десять шестерок (десятью шесть) — 60.
Пять шестерок набираются так: четыре шестерки-|-одна шестергз.
Остается еще набрать и запомнить результат набора семи шестерок
Семь шестерок набирается так: пять шестерок-f-две шестерки. Такой
порядок (два, четыре, восемь; три, шесть, девять; пять, десять: семь)
применяется при изучении таблицы умножения каждого числа. Набор
производится сначала на наглядных пособиях (кубиках, рисунках, чер
тежах), а затем на отвлеченных числах. Набор сопровождается записьк
в виде сложения и потом в виде умножения; например, четыре шестерю
(четырежды шесть) — 24 записывается так: 6-f^6-j-6 -{-6=24; 6X4—24.
4) Решение задач с применением изучаемой таблицы.
5) Решение численных примеров на умножение.
В результате всех этих упражнений учащиеся усвоят таблицу наи¬
зусть. Кто не усвоит в процессе упражнений, тот постепенно заучивает
таблицу.
Проработав таблицу умножения данного числа, учитель переходит
к изучению с учащимися таблицы деления на это же число. Берете»
деление по содержанию, как основывающееся всецело на знании таб¬
лицы умножения. На двух-трех задачах выясняется смысл действия
Затем дается ряд примеров на косвенное деление, связывающих деле hi*'-'
с умножением; например: 7Х-х = 35; 7 Хх — 56 и т. д. Эти пример*»
читаются так: „На какое число нужно умножить 7, чтобы получить 35?"
(Ответ: „На 5, потому что в 35 пять семерок".) Решаются и записыв;»-
ются эти примеры так: 35:7 = 5; 56:7 = 8 н т. д.
30

После этого решается ряд сложных примеров, где применяются деле¬
ние и умножение. И, наконец, таблицы умножения и деления записыва¬
ются и запоминаются. Начиная с таблицы умножения 8, учащиеся зна¬
комятся с переместительным свойством умножения (обязательно на чер-
,еже), формулируют его так, как это дано в учебнике на странице 43,
и применяют его при решении примеров и задач.
Для оживления работы полезно время от времени вводить игры
в счетное лото. Полезно также с начала изучения таблицы ввести таб¬
лицу Пифагора и постепенно заполнять ее. Поучителен здесь самый
процесс заполнения таблицы, но пользоваться ею придется только
в начале работы; в дальнейшем учащиеся усваивают таблицу наизусть.
По мере проработки таблицы полезно ее крупными цифрами запи¬
сать и вывесить на классные стены. На проработку таблицы умножения
и деления каждого числа нужно затрачивать 4—5 часов классных занятий,
сопровождая их домашними работами. Материал в задачнике подобран так,
что наряду с изучением таблицы умножения и деления все время про¬
изводится повторение сложения и вычитания в пределе 100.
В изучение табличного умножения и деления вклинивается ознаком¬
ление учащихся с двумя новыми для них понятиями: 1) с увеличением
числа в несколько раз и 2) с простейшими диаграммами.
Во СТОЛЬКО-ТО раз больше (стр. 15). Упражнения для усвоения
этого п жятия сначала ведутся на наглядных пособиях, на задачах и
затем на отвлеченных числах.
Прежде чем приступить к проработке учебника, учитель зна¬
комит учащихся с увеличением числа в несколько раз на палочках,
спичках или кубиках. Вызвав ученика к столу, учитель говорит:
„Положи на правой стороне стола 2 кубика и на левой 2 кубика,
затем на левой еще раз 2 и еще раз 2 кубика, т. е. три раза
по 2 кубика. Сколько у тебя кубиков на правой стороне и на
левой стороне?" На этот вопрос сам учитель дает ответ: „На
правой стороне 2 кубика, а на левой в 3 раза больше, или втрое
больше. Сколько же кубиков на левой стороне, как это узнать?
(Надо по 2 кубика взять 3 раза, — будет 6 кубиков.) —А как
это записать? (2X3=6.)“.
Проделав то же с другим числом кубиков, учитель обращается
к учебнику и предлагает учащимся упражнения: первое задание (об¬
вод клеточек) и второе (рисование кружков), а затем—задачр.
Само собой разумеется, что двух задач, помещенных в учебнике, будет
совершенно недостаточно. Учитель сам может составить ряд задач, в ко¬
торых нужно одно число увеличить в несколько раз. В задачи нужно вво¬
дить термин не только „во столько-то раз больше", но и другие адекват¬
ные ему термины: „во столько-то раз дороже", „во столько-то раз
длиннее" и др. Учащиеся должны знать, что все такого рода задачи
решаются умножением. На усвоение этого понятия нужно затратить 2
урока. Кроме того последующие задачи нужно строить так, чтобы уча¬
щиеся упражнялись в применении этого понятия.
Простейшие диаграммы (стр. 23). Здесь учащимся дается пер¬
вое представление о диаграмме. Диаграмма вычерчивается учителем на
доске, а учащимися в тетрадях, иа клетчатой бумаге. Масштаб —одна
клетка принимается за единицу изображаемой величины. Обозначается
31

масштвб так: „□—одни мальчик или одна девочка*'. От учащих»
сразу нужно требовать чистого, аккуратного и точного выполнен»
работы.
Работу можно начать или с ознакомления учащихся с готовой дщ
граммой или с вычерчивания диаграммы самими учащимися (например
„распределение учащихся на пионеров и непионеров**). Второй спос:*
больше активизирует детей, заинтересовывает их; поэтому с неге
предпочтительнее начинать работу. Давать определение, что такое два
грамма, не следует, но учащиеся должны составить себе представление
о диаграмме как о рисунке или чертеже, где два числа изображают^
в виде двух столбиков. Первая, готовая диаграмма, которая показыва¬
ется учащимся, должна быть яркой, красочной, тщательно сделанной и
достаточно большой по размерам, доступной для обозрения всему классу.
Желательно, чтобы она была простой и содержала в себе сравнение
не более двух величин и притом таких, которые близки и понятны
учащимся (число учащихся девочек и мальчиков в группе; число пио¬
неров и непионеров в группе; число опозданий в первой и второй
четверти и т. д.). Показавши такую диаграмму, учитель должен толково
объяснить ее и удостовериться в том, что ученики понимают ее. Только
после такой предварительной работы можно перейти к рассмотрению
диаграммы, данной в учебнике („Недельное число уроков по предметам
во II группе"), которая является сложной диаграммой, содержащей
в себе сравнение числа уроков по пяти учебным предметам. Без пред¬
варительного объяснения со стороны учителя невозможно было бы ста¬
вить ученику вопрос: „Объясни, что показывает диаграмма". Черчение
диаграмм самими учащимися (одной диаграммы на основе материала,
собранного в группе по заданию № 2, другой — сравнение рабочего дня
до революции и теперь по заданию № 3)—является завершением работы.
Задачи на время (стр. 27). Здесь сообщают учащимся сведения
о мерах времени, которые являются продолжением того, что знают
учащиеся о мерах времени из курса первого года обучения. Учащиеся
узнают, что в году 12 месяцев; узнают, сколько дней в каждом месяце,
что в сутках 24 часа, что в часе 60 минут. Знакомятся со сложением
и вычитанием именованных чисел (наименование—меры времени).
Из задач здесь даются преимущественно те задачи, в которых при¬
ходится вычислять промежуток времени между двумя событиями меньше
суток. Эти задачи, как наиболее легкие, посильны для учащихся II
группы. На примере задачи 13 покажем, как решаются такие задачи.
„Работница отнесла ребенка в очаг в 6 часов 45 минут утра и
взял'а его обратно в 3 часа 20 минут дня. Сколько времени был ребе¬
нок в очаге?" Решая эту задачу, дети рассуждают так: с того момента,
как работница принесла в очаг ребенка, и до полудня прошло 12 ча¬
сов минус 6 часов 45 минут, т. е. 5 часов 15 минут, да от полу¬
дня до взятия ребенка из очага прошло 3 часа 20 минут:	значит,
ребенок был в очаге 5 часов 15 минут плюс 3 часа 20 минут, т. е.
8 часов 35 минут. Записать это в две строчки можно так:
12 ч.—6 ч. 45 м. = 5 ч. 15 м.
5 ч. 15 м. -)- 3 ч. 20 м. = 8 ч. 35 м.
Таким образом этот вид задач решается в два вопроса и двумя
действиями. Задачи же №№ 16, 17, 19 и 22 решаются одним дейст¬
вием (15 часов — S часов = 7 часов и т. д ).
32

При	решении этих	примеров	учитель впервые	знакомит	учащихся
с раздроблением и превращением	мер. Запись	лучше	делать	столбиком:
2 года	9 месяцев
-f-	6 месяцев
2 года	15 месяцев
3 года 3 месяца
Сначала можно допускать промежуточную запись, т. е. писать в сум¬
ме 2 года 15 месяцев, а затем по мере овладения учащимися навыком
учащиеся устно делают превращение и сразу пишут окончательный ре¬
зультат.	,
Все вычисления производятся устно, запись сводится к записыванию
результатов устного счета. Так, при решении последнего численного
примера из упражнений на странице 28 учащиеся рассуждают так: „37
минут вычесть из 25 минут нельзя; занимаем один час и раздробляем
его в минуты; в часе 60 минут да 25 минут, всего 85 минут; вычитаем
37 из 85;-85 без 30 будет 55; 55 без 7 будет 48. Пишем 48 минут под
минутами. 5 часов вычтем из 7 часов, останется 2 часа. Пишем 2 часа.
В остатке получилось 2 часа 48 минут".
Половина, четверть, восьмая (стр. 30). С половиной и четвертью
учащиеся знакомились еще на первом году обучения; новой для уча¬
щихся здесь является восьмая доля, поэтому восьмым долям отведено
больше места. Доли единицы должны даваться учащимся весьма кон¬
кретно и наглядно — на кружках и полосках бумаги, которые выреза¬
ются, наклеиваются, раскрашиваются; учащиеся должны быть ознаком-
111 11 11
лены Су, — и у	м,	с у и — л, с у и	— км .
Путь работы таков: 1) ознакомление с долями на наглядных пособиях,
2)	решение задач,	3)	решение численных	примеров	(с	долями еди¬
ницы).
Деление на равные части. Сопоставление обоих видов деле¬
ния (стр. 31—36). Деление в учебнике т. Поповой дано в следующем
порядке: сначала в связи с таблицей умножения изучается деление по
содержанию; потом также в связи с умножением изучается деление
на равные части. Деление по содержанию дано в том же порядке,
в каком изучается	и	таблица умножения.	Порядок	же	деления на
равные части иной, а именно: сначала изучается деление на 2, 4 и
8 равных частей, затем — на 3, 6 и 9 и, наконец, на 10,5 и 7 равных
частей. Таким образом деление разбито как бы иа 3 группы, из кото¬
рых каждая содержит кратные числа. Такой порядок допускает не только
увязку деления с умножением, но и пользование при деленЛи приемом
так называемого последовательного деления.
До сих пор оба вида деления рассматривались особо; примеры на
каждый вид читались различно; такой пример, как 12:3, читался так:
„12 разделить по 3 будет 4“ (деление по содержанию); или так:
„12 разделить на 3 равные части будет 4“ (деление на равные части).
Теперь оба случая деления объединяются, и учащихся приводят к вы¬
воду, что разделим ли мы 12 по 3 или 12 на 3 равные части — все
равно получим одно и то же число. А потому оба выражения —„разде¬
лить на 3 равные части" и „разделить по 3“—можно заменить более
33

коротким „разделить на 3“, и весь пример можно прочитать короче
„12 разделить на 3 будет 4".
Это объединение дает возможность при отыскании частного поль.
зоваться тем видом деления, какой в данном случае является удобнее.
Так, например, при	делении	на	однозначные числа удобнее	пользо.
ваться делением как	делением	на	равные части, а при делении	на дву.
значные числа удобнее пользоваться делением как делением по содер.
жанию.
Сопоставление обоих видов деления можно провести сначала на на¬
глядных пособиях, а именно: можно предложить одному ученику разде.
лить 12 кубиков по	4 кубика	и	спросить, сколько получилось частей
(3 части), а другим	предложить	12 кубиков разделить на 4	равные
части и спросить, сколько получилось кубиков (3 кубика). Совпадение
ответов — 3 кубика, 3 части — покажет учащимся, что в обоих случаях
получается один и тот же результат.
Задачи на сопоставление обоих видов деления подобраны так, что
каждые 2 задачи даются с аналогичным содержанием и одними и темн
же числовыми данными, но одна из них требует деления на части, а
другая деления по содержанию. Решение их должно научить учащихся
тому, что 1) обе задачи решаются делением, 2) что в обоих случаях
получается один и тот же результат и 3) что деление на части и по
содержанию—одно и то же действие.
Во столько-то раз меньше (стр. 32). Кратное сравнение
(стр. 40). Эта работа является продолжением того, что давалось на
странице 15. Увеличение одного числа в несколько раз, уменьшение
числа в несколько раз, кратное сравнение двух чисел — это друг другу
близкие математические понятия. Во многих методиках они объединя¬
ются в понятии „Кратное сравнение". В учебнике же Поповой эти
понятия даются раздельно единственно с той целью, чтобы понятия
не нагромождать друг на друга и чтобы учащиеся могли усвоить их
постепенно и как раз тогда, когда для этого у учащихся есть матема¬
тическая база. Понятие „во столько-то раз больше" связано с умно¬
жением, так как увеличение числа в несколько раз решается умножением;
понятие „во столько-то раз меньше" связано с делением на равные части,
так как этот вопрос решается делением; кратное сравнение заключает
проработку умножения и деления в пределе 100. Проработка этого
материала ведется так же, как и проработка материала для усвоения
понятия „во столько-то раз больше" (см. стр. 31). Здесь мы хотим
подчеркнуть две мысли: 1) познакомив учащихся с этим понятием, надо
вводить соответствующие упражнения и задачи во всей дальнейшей
работе для лучшего усвоения и закрепления их и 2) прорабатывая во¬
просы кратного сравнения, нужно все время сопоставлять его с разно¬
стным сравнением. Различение этих понятий дается детям не легко.
Это обязывает учителя давать учащимся достаточно большое количество
упражнений в сопёставленин кратного и разностного сравнения. Огра¬
ниченный размер учебника не позволил автору дать для сопостав¬
ления вышеуказанных понятий столько упражнений, сколько это нужно.
При проработке разделов „Во столько-то раз больше" и „Во столь¬
ко-то раз меньше" дано всего по два задания и не дано’ ни одного
задания, которое ставило бы учащихся перед необходимостью сопо¬
ставлять понятия „во столько-то раз больше или меньше" с понятием
•УЛ

на столько-то больше или меньше". Учителю нужно будет восполнить
jtot недостаток и, готовясь к урокам, самому заготовлять по нескольку
раачек, где бы сопоставлялись эти выражения и требовалось от учащихся
„рименение умножения или сложения, деления или вычитания.
Внетабличное умножение и деление (стр. 36—40). Деление
С остатком (стр. 42). Внетабличное умножение не представляет для
учащихся особой трудности, и поэтому при проработке его можно
ограничиться тем количеством упражнений, которое дано в учебнике,
g учебнике в связи с решением первых двух задач показан прием умно¬
жения и деления двузначного числа на однозначное, который основан
на разложении двузначного числа на десятичные группы, т. е. на десятки
и единицы, и состоит в умножении сначала десятков, а потом единиц на
данное число и затем в сложении полученных результатов (28X2 = ?;
28 = 20-)- 8 ; 20 X2 = 40; 8X2 = 16; 40 -{- 16 = 56). В материале на
деление даются сначала такие примеры, в которых десятки и единицы
делятся без остатка (26:2; 36:3и т. д.); в упражнении 10 (стр. 37) деле¬
ние надо начинать с примеров 48:4; 88:4, а затем перейти к таким
примерам, в которых десятки в отдельности не делятся без остатка
(42:3) и когда делимое приходится разбивать на два числа, из кото¬
рых каждое делится без остатка (42 = 30-(-12; 30:3=10; 12:3 = 4;
10 + 4=14).
Кроме того, в учебнике указан и другой прием деления — прием
так называемого последовательного деления (стр. 38, № 15),
которым удобно пользоваться при делении на 4, 6, 8. Выяснению этого
приема (если учащиеся встречаются с ним впервые) надо предпослать
деление линии на 2, 4 и 8 частей, а затем деление линии на 3 и 6 частей.
Проработку умножения и деления на двузначное число (стр. 39)
надо начинать с умножения однозначного числа на круглые десятки
и с деления круглых десятков на круглые десятки (2 X 30; 3 X 20 и др.;
80:20; 90:30; 60:20 и др.), так как с этими случаями деления уча¬
щиеся еще не встречались; проработка этих случаев умножения и деле¬
ния поможет более легкому усвоению навыков деления вообще дву¬
значного на двузначное. Деление двузначного на двузначное удобнее
и легче рассматривать как деление по содержанию, а не как деление
на равные части. Прием последовательного деления здесь не годится:
он был бы громоздок. Здесь надо пользоваться приемом подбора
множителя.
Пусть дано 24 разделить на 12. Надо поставить так вопрос:
„Сколько раз надо взять по 12, чтобы получить 24? (2.)-—Про"
верьте это. В некоторых случаях полезно делитель округ¬
лять; сюда относятся такие примеры: 76:19; 57:19; 95:19.
76 — к какому числу близко? (К 80.) —19 — к какому числу
близко? (к 20.)—На сколько нужно умножить 20, чтобы полу¬
чить 80? (На 4.)—Теперь посмотрим, не получится ли 76, если
19 умножить на 4. Проверьте это.
Обращаем внимание учителей на задачи №№ 4 и 7 (стр. 39). Эти за¬
дачи не только дают материал для деления двузначного числа на дву¬
значное, но они ценны и для развития математического мышления
ребенка. Хорошо будет, если учитель не ограничится одной задачей
каждого такого типа (тем более, что для некоторых учащихся они
35

сразу покажутся трудными;, а составит сам несколько задач такого
типа и предложит учащимся для решения как в классе, так и дома.
Изучение деления заканчивается делением с остатком (стр. 4j
Упражнения, данные в учебнике по этому вопросу, разбиваются на ц
основных раздела: 1) упражнения 1—6 посвящены делению двузначна
числа на однозначное, основывающемуся всецело на знании таблиц
умножения и деления; 2) упражнения 7, 8, 11 посвящены Млению дц,
значного числа на однозначное при двузначном частном и 3) упражщ
ния 0, 10, 12 и 13 посвящены делению двузначного числа на двузначно
при однозначном частном.
При производстве деления с остатком следует ограничиваться про;
тым определением остатка, т. е. неполным частным, не гоняясь а
точным частным, т. е. за получением целого числа с дробью.
Учащиеся здесь впервые встречаются с делением с остатком; д
сих пор им давались примеры с точным частным. Поэтому необходицг
работе по учебнику предпослать несколько легких подготовитель
н ы х упражнений, из которых учащиеся узнают, что не все чисд
делятся нацело, что при делении ряда чисел получается остаток. Д®
этого лучше всего взять числа первого десятка и на них дать понятие
о делении с остатком, проделав это сначала на наглядных пособиях
„Возьмите 4 кубика. Разделите их пополам. Сколько получа¬
ется в каждой части? (По 2.) — Возьмите 6 кубиков; разделит,
их пополам. Сколько получается в каждой части? (По 3 кубика.
— Теперь возьмите 5 кубиков; разделите их пополам. Скольы
получается в каждой части? (По 2 кубика и, кроме того, 1 кубик
остался неразделенным.) — Тогда учитель поясняет:—4 на 2 де¬
лится нацело; 6 на 2 тоже делится нацело, а 5 на 2 не делится
нацело; 5 на 2 делится с остатком. От деления получается 2 и
один в остатке. Какие числа в пределе 10 делятся на 2 бе:
остатка? (2, 4, 6, 8, 10.)—-Какие числа в пределе 10 делятся
на 2 с остатком? (3, 5, 7, 9.) — Какой при этом получается оста¬
ток? (Единица, или один.) Потом учитель переходит к делении
на 3, 4 и 5 чисел в пределе 10 и на этом делении выясняет,
что в остатке может быть не только единица, но и 2, и 3, и 4.
Далее знакомит учащихся с записью деления с остатком: 8:3=2
(остаток 2)“.
После этого учитель переходит, руководствуясь уже учебником,
к образованию из чисел таблицы умножения промежуточных чисел,
которые не делятся нацело ни на один из сомножителей: 5 X 6-f-2 = ?
(см. пример 1 из упражнения 6). Читается этот пример так: „5, взятое
6 раз и еще 2, чему равно?” После этого учащимся нетрудно решить
стоящий под этим примером такой пример: 32:5.
Решение последующих примеров из упражнений 5 и 6 сводится
к определению по данному промежуточному числу ближайшего меньшего
числа таблицы умножения и разложению его на два сомножителя, из
которых один есть данный делитель; так, например, решить первый
пример из упражнения 6 это значит 23 разложить так: 23 = 21-f-2;
21 = 3X7; 23:3 = 7 (остаток 2). Разумеется, что все эти этапы вычис¬
лений проделываются устно, без записи, записывается только последний
результат: 23:3 = 7 (остаток 2).
36

решение примеров при двузначном частном (упражнение 11 и за-
оци №№ 7 и 8) представляет более сложную работу, чем при однозначном
+тном. Здесь делимое приходится разбивать на 3 числа, из которых
■ервэе число—полные десятки, делящиеся без остатка на данный де¬
ятель; второе число — остающиеся десятки с единицами — в свою оче-
^дь разбиваются на два числа—ближайшее меньшее число из таб-
:ицы умножения и остаток; так, третий пример из упражнения 11
):4 решается так:
I. 55=40+15; 15=12+3; 12=4X3;
II. 40:4=10; 12:4=3;	10+3=13;
гак, 55:4=13 (остаток 3). Проверка: 13X4=52; 52+3=55. Опять-
аки и здесь все промежуточные вычисления делаются устно.
Деление двузначного числа на двузначное (упражнение 12—13)
производится путем подбора множителя. Решая первый пример из упраж¬
нения 12, учитель ставит вопрос: „Сколько раз надо взять по 36, чтобы
получить 75, и сколько останется? (2 раза и останется 3.)“ Проверка:
: раза по 36 получится 72; 75—72=3.
Задачи и примеры на все действия в пределе 100 (стр. 43—45).
Задачи подобраны с таким расчетом, чтобы при решении их нашли
применение все четыре арифметических действия. Задачи решаются двумя-
тремя действиями, за исключением № 7, которая решается четырьмя дей¬
ствиями. Задача № 3 решается способом приведения к единице. Задача
№ 6 допускает двоякий способ решения, из которых каждый является
приемлемым.
Один способ: „Один рубль дохода получается с 12 руб. А с 84 руб.
получится дохода столько рублей, сколько раз 12 содержится в 84.
Через год у рабочего будет 84+7 = 91 руб.“.
Другой способ: „24 руб. содержится в 84 руб. 3 раза, и остаток
получится 12 руб. Значит, рабочий получит 3 раза по 2 руб.=6 руб.
и еще 1 руб., а всего 7 руб.“,и т.д.
В этом же разделе дано вычисление счета. Нужно познакомить уча¬
щихся со структурой счета, показать, что каждый денежный счет имеет
четыре графы: 1) название предметов; 2) количество; 3) цена; 4) сумма;
показать порядок вычисления счета (сначала вычисляются отдельные
суммы, а потом подводится общий итог).
Три задачи (№№ 11, 12, 13) даны на вычисление температуры.
Имеется в виду, что учащиеся в связи с ведением календаря погоды
имеют представление о термометре и о градусах; здесь эти знания ис¬
пользованы как материал для вычислений. Задачи нужно решать впере¬
межку с численными примерами (14, 15, 16). Заканчивается этот
раздел упражнениями в подборе вопросов к данному условию задачи,
что является продолжением аналогичных упражнений, данных на стра¬
нице 9 учебника.
Первая тысяча. Проработка нумерации, сложения и вычитания в
пределе первой тысячи падает на третью четверть. В третьей четверти
на уроки а(Й1фметики приходится немного больше 50 часов классных
занятий. За это время по учебнику нужно проработать 12 страниц —
с 45 по 56. Времени больше чем достаточно. Но нужно иметь в виду,
что при перегруженности материалом второй четверти очень возможно,
что некоторые школы не успеют в течение второй четверти прорабо¬
37

тать весь материал, и часть его придется отнести на третью четверо
Перенос части материала из второй четверти в третью однако ни
коем случае не должен отразиться на общем объеме работы треть*
четверти: материал третьей четверти должен быть проработан полностью
иначе создалась бы угроза невыполнения по II группе общегодово}
программы по арифметике.
Планируя работу, нужно отвести не менее 10 часов на проработ**
нумерации в пределе 1000 и около 30 часов на проработку сложь
ния и вычитания.
Устная и письменная нумерация (стр. 45—47). В качестве на-
глядных пособий при проработке нумерации в-цьчебнике Поповой реко¬
мендуются: 1) лента из 10 метровых бумажных или картонных полос
разделенных иа дециметры и сантиметры (в ленте 1000 см); эта лента
прикрепляется к стенам класса; если размеры стен ие велики, можнс
прикрепить метровые ленты под углом; при помощи ленты прораба¬
тывается устная нумерация; 2) абак, который изготовляется из картона
на уроке труда самими учащимися; он служит для выяснения поразряд¬
ного состава числа; 3) счеты. Заметим, что счеты в учебнике вводятся
не раньше чем в момент проработки нумерации в пределе 1000. На
более ранней ступени их вводить нецелесообразно; десяток и сотню
нужно показать учащимся как совокупность 10 и 100 единиц (пучки
десятков и сотен). Замена же десяти косточек одной косточкой (десят¬
ком), десяти десятков одной косточкой (сотней), десяти сотен одной
косточкой (тысячей) представляет собой условность, с которой раньше
учащимся трудно справиться.
Проработка нумерации складывается из следующих основных этапов.
1. Сначала дается на метровой ленте знакомство с сотней как но¬
вой счетной единицей (упражнения 2, 3); все названия (сто, двести, три¬
ста...) учитель пишет на доске словами, а дети списывают их в тет¬
ради.
2. Потом учащиеся составляют трехзначные числа соединением
полных Сотен, полных десятков и единиц, сначала пользуясь метровой
лентой, потом на отвлеченных числах (упражнение 4).
3. После составления числа проделываются обратные упражнения —
разложение трехзиачного числа на его десятичные группы сначала на
ленте („Покажите на ленте триста пятьдесят"), а потом на отвлеченных
числах („Из скольких сотен, десятков и единиц состоит число 238,
540, 406?“) (упражнения 6 и 7).
4. Прямой и обратный счет до 1000 сплошь вести не следует, но
нужно остановиться на моментах перехода из одной сотни в другую:
397, 398, 399, 400, 401... 798, 799, 800, 801, 802... 998, 999, 1000.
В связи с этим прорабатывается упражнение 5.
5. Вслед за этим переходят к работе с абаком, прорабатывая упраж¬
нения 8 и 9.
6. Дальше прорабатывается письменная нумерация: чтение написан¬
ного числа, письмо чисел под диктовку, определение состава чисел; ей
предшествует знакомство со счетами и упражнения в откладывании чи¬
сел на счетах; откладывание чисел на счетах сопровождается их записью
(упражнения 10, 11, 12, 13).
7. После ознакомления учащихся с записью чисел производятся уп¬
ражнения в разложении трехзначных чисел на слагаемые по разрядам
38

сначала устно, а потом с записью (856=8 сотен 5 десятков 6 единиц;
или 856=8 сотен-f- 5 десятков-|-6 единиц; или 856=800-j-50-)-6; или
856=800-}-56; или, наконец, 856=850-{-6). Сюда же относятся упраж¬
нения в раздроблении рублей в копейки и превращении копеек в рубли
(упражнения 14, 15, 16).
Все эти ступени необходимо тщательно проработать в той последо¬
вательности, в какой они указаны. Это обеспечит хорошее усвоение
нумерации, которая является сложным материалом для учащихся.
Усвоение нумерации надо сейчас же приложить к разрешению ряда
близких детям практических вопросов: записать номера дома, квартиры,
если они выходят за пределы сотни, число жильцов дома, жителей в
колхозе, в совхозе, число книг в нашей групповой библиотеке, число
учащихся в школе (если оно превышает сотню и т. д.).
По программе вслед за нумерацией идет проработка всех действий
над круглыми'сотнями в пределе 1000. Но в учебнике порядок прора¬
ботки материала установлен несколько иной, а именно: вслед за нуме¬
рацией дается только сложение и вычитание круглых сотен; что же ка¬
сается умножения и деления круглых сотен, то они отнесены к про¬
стейшим случаям умножения и деления и рассматриваются дальше i
связи с проработкой других случаев умножения и деления. С метода
ческой точки зрения такой порядок является более целесообразным, вы
полмение же программы и при этом порядке обеспечено полностью.
Упражнения 17, 18, 19, 20 и 21 основаны всецело на знании ну¬
мерации и в свою очередь закрепляют усвоение нумерации. Действия
производятся устно с последующей записью результатов.
Взвешивание (стр. 47). Этот раздел имеет своей задачей расширить
знания учащихся в области мер веса. Наиболее целесообразно его прора¬
ботать сейчас же после нумерации, так как он основывается назнании нуме¬
рации и, с другой стороны, способствует закреплению знаний в области
нумерации. Проработка этого раздела должна носить сугубо конкрет¬
ный характер. Наглядность должна быть полностью обеспечена, т. е.
учащиеся должны иметь под руками весы, разновес, медные монеты, раз¬
личный материал для взвешивания (соль, песок и т. д.), должны про¬
изводить процесс взвешивания. На эту работу может быть затрачено
до трех часов классных занятий.
Сложение и вычитание (стр. 48—52). Необходимым условием
для более легкого усвоения навыков сложения и вычитания в пределе
1000 является строгая последовательность в проработке разных случаев
сложения и вычитания. Это условие в учебнике соблюдено полностью;
здесь каждый последующий случай представляет некоторое незначитель¬
ное усложнение по сравнению с предыдущим; вся работа разбита на
ряд методических ступеней, обусловливающих постепенное нарастание
трудностей. Каждый столбик обычно представляет собою особый слу¬
чай сложения или вычитания: сначала даются задачи и примеры на сло¬
жение и вычитание без перехода через сотню; внутри этой группы су*
шествует несколько подразделений:
I. 1234-5; И. 3234-7; III. 428-J-4; IV. 340 4-50; V. 1124*50;
VI. 420 4 48; VII. 206*1-48; VIII. 128-J-32; IX. 1374-28; X. 7144-134 и т. д.
(Примеры взяты из упражнений 4, 5, 8, 9, 13 — стр. 48.)

Каждый из этих примеров нуждается в применении особого прием
вычислений, которые учителю, надеемся, достаточно ясны.
Мы обращаем внимание учителя на следующую особенность в про.
работке этого материала: до сих пор все вычисления носили устны*
характер; если учащиеся и применяли записи, то это были записи рек
зультатов устных вычислений. Начиная же со страницы 49, учитель ввь.
дит письменные вычисления, и в дальнейшем в зависимости от ело»
ности того или иного примера учащиеся пользуются или устными или
письменными вычислениями. Все примеры страницы 48 вычисляют»
устно. Первая задача, на которой целесообразно познакомить учащих»
с письменным производством сложения и вычитания,—это задача №10
на странице 48; первые примеры, прн решении которых надо, пользо¬
ваться приемами письменного сложения, — это примеры 13, 14, 15.
Основная разница между устным и письменным производством действия
(сложения, вычитания н умножения) заключается в том, что устное вы¬
числение начинается с высших разрядов, а письменное — с низших.
Пример 714—j—134 устно решается так: ^00-f-100=800; 14-1—34=48;
800-}-48=848, а письменное вычисление производится иначе:
848’
т. е. сначала складываются 4 единицы да 4 единицы, потом 1 десяток
да 3 десятка и затем 7 сотен да 1 сотня. Но уже следующий столбик
примеров под № 4 целесообразнее вычислять устно. Складывая 260 и
40, учащиеся должны устно сложить сначала 60 да 40, затем сложить
200 да 100; то же с другими примерами под № 5, 6, 7, 10, 11 и
12 (стр. 49 и 50). Письменный способ вычислений можно применить при
решении столбиков под № 8, 12 и 13 (стр. 51), 16, 19 и 20 (стр. 52).
Сложение и вычитание на счетах (стр. 52). Первые два стол¬
бика не представляют для учащихся никаких затруднений, ибо присчи¬
тывание на счетах производится аналогично устному присчитыванию,
т. е. кладется на счетах 124, а затем прибавляется сначала 100, потом
к полученному (224) прибавляют 10, к вновь полученному (234)
прибавляют 2 и читают 236; в таком же порядке к 236 прибав¬
ляют 130 и 223. Остановиться нужно несколько на третьем примере,
где приходится делать переход из низшего разряда в высший; здесь
к 788, получающимся после сложения первых трех слагаемых, нужно
прибавить 103 (к 7 шарикам на третьей проволоке прибавить один
шарик, к 8 шарикам на первой проволоке прибавить 3 шарика. При¬
бавляя к 8 шарикам 3 шарика, учащиеся должны прибавить 10 (поло¬
жить один шарик на второй проволоке) и от полученного результата от¬
нять 7 шариков (с первой проволоки), потому что, прибавляя 10, мы
прибавили 7 лишних шариков. Получится 791. Ясно, что прежде чем ре¬
шать третий пример 215-}-326, нужно подготовить к нему учащихся
простыми упражнениями на счетах вроде следующих: к 8 прибавить 4,
к 6 прибавить 7, к 4 прибавить 9. На простых примерах нужно разъ¬
яснить: 1) тот случай вычитания, когда приходится делать переход из
высшего разряда в низший: в четвертом примере № 2 (472 — 223) при¬
ходится от двух единиц отнимать 3 единицы; учащиеся для этого дол¬
жны сначала отнять 10 (1 шарик со второй проволоки), а затем приба-
40

деть 7; в этом случае надо поупражнять детей сначала на решении
га«их примеров: 13 — 8; 16—9 и т. д; 2) те случаи сложения, когда 10
^ариков одной проволоки приходится заменять одним шариком выше-
расположенной проволоки (52 + 54); 3) те случаи вычитания, когда
цисло единиц уменьшаемого меньше числа единиц вычитаемого и при¬
ходится занимать сотню, раздробляя ее в десятки (234 —138).
Раздробление и превращение именованных чисел (стр. 53).
Сложение и вычитание именованных чисел (стр. 54, 55, 56).
раздробление рублей в копейки, метров в сантиметры нужно делать
без умножения, а превращение без деления на 100. Раздробляя 2 р. 65 к.
в копейки, учащиеся должны сразу сделать такую запись: 2 р. 65 к. =
= 265 коп., рассуждая при этом так: „2 руб. это — 200 коп. да 65 коп.,
всего 265 коп.“ Превращая 945 коп. в рубли, учащиеся сразу дела¬
ют такую запись: 945 коп. = 9 р. 45 к., рассуждая при этом так:
,900 коп. это — 9 руб. да 45 коп., всего будет 9 р. 45 к.”
Сложение и вычитание именованных чисел дано на именованных
числах с двумя соседними наименованиями, с превращением и раздроб¬
лением именованных чисел. Записывать числа можно одно под другим;
так, пример на вычитание 5 м 25 см—1 м 68 см записывается для
решения так:
_ 5 м 25 см,	,4	кг	375	г
1м 68 см	-6	кг	625	г
	  а	на сложение так:
3 м 57 см	11	кг	000	г
Заканчивается этот раздел составлением и решением задач самими
учащимися. По сравнению с предыдущей работой в этом направлении
(см. стр. 45) учащиеся здесь делают шаг вперед: они не только под¬
бирают вопрос к данному условию, но и сами составляют условие задачи
на данную тему, т. е. составляют задачу в целом. („Сколько стоят марки
на разные письма”. „Составь задачи, пользуясь данной таблицей цен“.)
Умножение и деление (стр. 56 — 64). Этот материал должен быть
проработан в течение четвертой четвертй. Он занимает 12 страниц.
На проработку его может быть затрачено 30 или немного более часов
классных занятий.
Планируя работу, учителю можно ориентироваться на следующие
нормы:
1) умножение	 8	часов''
2) диаграммы  	 2	часа
3) деление	10	часов
4) знакомство с километром 3	часа
5) задачи и примеры на
все действия в пределе
1000 	 5	часов
6) проверка пройденного .	2	часа
30 часов
Если школа может затра¬
тить на математику больше
30 часов, то избыток вре¬
мени она должна употребить
на деление, увеличив отве¬
денное на это время до
12 часов, и на повторение
пройденного.
Умножение и деление даны в учебнике раздельно. Это сделано с той
Целью, чтобы учащиеся могли с большей четкостью и в строгой после¬
довательности, переходя от легкого к трудному, проработать отдельные
(простейшие) случаи каждого действия.
41

Умножение. Начинается умножение с умножения круглых сотен
круглых десятков и затем дается умножение двузначного и трехзнау
ного на однозначное. Вычисления производятся устно; иа этой ступец>
учащиеся еще не знакомятся с письменным способом умножения.
Диаграммы (стр. 59 — 60). Эта работа является продолжение
работы над простейшими диаграммами второй четверти. Усложнение за.
ключается в том,/что здесь одна клетка означает не одну (как было а
второй четверто), а несколько единиц изображаемой величины: одщ
клетка изображает 4 руб., или 50 руб., или 25 учеников. Упражненн?
в чтении диаграмм заканчивается составлением учащимися диаграмм!,
на основе цифровых данных о числе октябрят и пионеров в школе.
Деление (стр. 60 — 64). Задачи и примеры даны в строгой мето
дической последовательности, начиная с деления круглых сотен и д?.
сятков и кончая делением любого трехзначного числа на однозначное
Все вычисления должны носить устный ' характер с последующей за
писью результатов устных вычислений.
Километр. Ознакомление с километром должно носить практиче¬
ский характер- пользуясь мерной веревкой в 10 метров и колышками
учащиеся должны по прямой ровной дороге отмерить один километр
чтобы получить совершенно конкретное и наглядное представление
о новой для них единице измерения -— километре. Затем с детьми нуж¬
но проделать ряд измерений шагами, сопоставив известное число maroi
каждого с соответствующим числом метров. Затем нужно на местнос¬
ти научить детей провешиванию прямых линий длиной не более 50 м
Рисунок на странице 64 дает указания, как вести провешивание пря
мых линий. Одновременно нужно произвести ряд измерений, которые
дадут материал для черчения по заданиям, которые указаны под номе¬
рами 8 — 9 на странице 65. Выходы на местность нужно широко ис¬
пользовать для развития глазомера у детей, для упражнения в глазо¬
мерном определении небольших расстояний. После такой практической
работы, которая должна занять не менее двух уроков, учащиеся реша¬
ют задачи по учебнику и вычерчивают планы площадки, двора в тре¬
буемых масштабах.
Задачи и примеры на все действия в пределе 1000 (стр. 66 —
68). Задачи и примеры подобраны таким образом, что на них уча¬
щийся повторяет основные моменты из пройденного в течение года:
1. Уменье решать задачи в 2 — 3 действия с применением кратного
и разностного сравнения; увеличением числа в несколько раз и на
несколько единиц (первые 8 задач на стр. 66 и 67).
2. Уменье подвести итоги счета и уменье написать самил; счет по
нескольким данным.
3. Уменье использовать для решения практических вопросов спра¬
вочную таблицу несложного характера (№ 12).
4. Уменье составить несложную задачку на данную тему (№ 13).
5. Уменье производить действия с именованными числами (№№ 14, 15).
6. Уменье начертить контурный план (прямоугольной площади) по
данному масштабу.
7. Уменье прочитать и начертить несложную диаграмму (№№ 17—18).
8. Уменье производить вычисления (4 арифметических действия) с
числами в пределе 1000.
42

КАК РАБОТАТЬ ПО УЧЕБНИКУ АРИФМЕТИКИ И
ПО СБОРНИКУ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ДЛЯ ТРЕТЬЕГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ.
Общие замечания. Для работ по арифметике в III группе учащие¬
ся имеют две книги Н. Поповой: 1) „Учебник арифметики для началь¬
ной школы. Часть Ш“ и 2) „Сборник арифметических задач и упраж¬
нений для начальной школы. Часть I. Третий год обучения”. Первая
книга содержит в себе краткий курс самой элементарной теории ариф¬
метики, доступной для десяти-одиннадцатилетиих ребят. Вторая книга,
как показывает ее название, является сборником задач и упражнений.
Обе книги прорабатываются одновременно. Так как одновременное
пользование этими двумя учебниками может вызвать у учителя некото¬
рое затруднение, мы считаем необходимым дать сначала общую харак¬
теристику построения каждой книги, а затем показать, как прораба¬
тывается программа каждой четверти учебного года с одновременным
использованием учебника и сборника задач и упражнений.
Сборник по объему материала строго согласован с программой, но
в расположении материала есть незначительные отступления от програм¬
мы, а именно: 1) меры времени приводятся в систему не в первой, а
во второй четверти; 2) прямоугольные диаграммы прорабатываются не
в третьей, а в четвертой четверти. Эти отступления не нарушают цель¬
ности и стройности расположения материала, не изменяют общего объе¬
ма программы, поэтому учитель может допустить их в своей практической
работе.
Весь материал разбит на 4 главы в соответствии с четырьмя чет¬
вертями учебного года. Каждая глава, таким образом, обнимает собой
материал, который должен быть проработан в течение соответствую¬
щей четверти. Материал по главам (четвертям) расположен более или
менее равномерно—от 12 до 14 страниц на каждую четверть.
В состав арифметического материала входят: 1) задачи, 2) числен¬
ные примеры, 3) материал для упражнения в составлении задач сами¬
ми учащимися (расположен в конце каждой главы), 4) счета и табли¬
цы, 5) ряд заданий математического характера (по превращению и
раздроблению именованных чисел и др.).
Наряду с арифметическим материалом в каждой главе дан и гео¬
метрический материал в объеме программы. Основным в геометриче¬
ском материале для третьего года является измерение прямоугольных
площадей (квадратные меры). В тесной связи с измерениями дается ма¬
териал и для черчения. Каждая глава начинается упражнением в устном
счете. Главное место отведено целым числам, и только начиная с третьей
четверти даны обыкновенные дроби.
О задачах. Всего задач с текстовым условием свыше 250. Основ¬
ную массу задач составляют задачи, решаемые в 2—3 действия, наряду
43

с этим дан ряд- задач, решаемых четырьмя действиями. По сложности
и степени трудности задачи вполне посильны для учащихся десяти¬
летнего возраста. Задачи не расположены по типам; в этом нет ника¬
кой надобности. Но по своему арифметическому содержанию и офор¬
млению они достаточно разнообразны. Наряду с арифметическими зада¬
чами, решение которых всецело основано на умении правильно при¬
менять то или иное арифметическое действие, в сборнике помещен
ряд так называемых алгебраическ их задач, решение которых
особенно способствует развитию математического мышления, развитию
сообразительности и комбинаторных способностей. Укажем эти задачи
и приведем способы решения каждого типа.
I.	Задачи, решаемые способом приведения к единице,— №№ 65,
407, 411, 412, 415 и др. В эти задачи входят только прямопропор¬
циональные величины: цена и стоимость и др. Способ решения этих
задач общеизвестен.
И. Задачи, в которых требуется найти два числа по их сумме и
разности— №№ 36, 84, 85, 86, 87. 221. Укажем решение задачи
№ 84: „В двух книжных шкафах 270 книг. В одном шкафу на 30 книг
больше, чем в другом. Сколько книг в каждом шкафу?” В этой зада¬
че 270 есть сумма двух неизвестных чисел, а 30—разность этих чи¬
сел. Решая эту задачу, нужно поставить перед учащимися такие во¬
просы: „Что нужно сделать,^ чтобы в обоих шкафах книг стало поровну?
(Нужно от общего числа отнять 30, 270—30=240.) — Сколько книг
было в одноммёньшем шкафу? (Вдвое меньше: 240 :2 = 120.)— Сколько
книг было в большем шкафу? (В большем шкафу было на 30 книг
больше, а именно: 120-J- 30= 150.)“
III. Задачи, в которых требуется найти два числа по их сумме и
частному,— №№ 174, 175, 176, 179, 180. Задача № 174 и др. решается
так: „На заводе работают 9936 человек. Рабочих в 8 раз больше, чем
служащих. Сколько на заводе рабочих и сколько служащих?”
Предположим, что служащих—одна часть, тогда рабочих—восемь ча¬
стей, а всего частей 9 (8 —(— 1 = 9), и эти 9 частей составляют 9936
человек. На одну часть приходится: 9936 :9= 1104. Столько было слу¬
жащих. На 8 частей приходится: 1104X8 = 8832. Столько было ра¬
бочих. Таким образом, задача распадается на три задачи: 1) Сколько
частей приходится на служащих и рабочих?(1 -J- 8 = 9);2) Сколько бы¬
ло служащих? (9936 :9 = 1104); 3) Сколько было рабочих? (1104X8=
= 8832).
IV. Задачи, решаемые способом исключения неизвестного,— №№231,
232, 445, 446, 433. Приведем решение задачи 231. „27 м ситцу
и 23 м сатину стоят вместе 97 р. 54 к. 27 м ситцу и 58 лг са¬
тину стоят вместе 193 р. 79 к. Сколько стоит отдельно 1 м сатину
и 1 м ситцу?” Для решения ставятся перед учащимися такие во¬
просы:
1) Какая разница в стоимости первой и второй покупки? 193 р.
79 к.—97 р. 54 к. = 96 р. 25 к.
2) На сколько во второй покупке куплено больше сатину? 58.« —
— 23лг = 35лг.
3) Сколько стоит 1 лг сатину? 96 р. 25 к. :35 = 2р. 75 к.
4) Сколько стоят 23м сатину? 2 р. 75 к. X 23 = 63 р. 25 к.
5) Сколько стоит весь ситец (27 лг)? 97 р. 54 к. —63 р. 25 к.=34 р. 29 к.
44

6)	Сколько стоит 1 м ситиу? 34 р. 29 к. :27= 1 р. 27 к.
Все остальные задачи этого типа решаются по этому образцу.
V.	Назовем еще задачи, которые решаются способом пропорцио¬
нального деления (№ 170), способом отношения (№ 162).
Очень ценными, с точки зрения развития логического мышления у
ребенка, являются задачи геометрического характера—работа с масшта¬
бом, вычисление периметра, измерение площадей и т. д.
Метод решения задач — аналитико-синтетический. Однако несколькс
задач (3—5 за четверть) надо решить с четким разделением анализа
и синтеза. Для анализа надо брать задачи в 3—4 действия. >Мы ре¬
комендуем использовать для анализа, в качестве первых, задачи №№ 60 и
83. Задачи решаются как с записью плана решения, так и без записи.
В классе, когда задачи решаются вместе с учителем, для ускорения ра¬
боты вопросы формулируются учащимися устно, и записывается только
одно решение. Задачи, решаемые по заданию на дому, могут сопро¬
вождаться записью вопросов, предваряющих решение. Как составляется
план и записывается решение — смотри указание на странице 18 учеб¬
ника.
Как прорабатывается материал для устных вычислений.
Программа требует, чтобы учащиеся овладели основными приемами уст¬
ного счета. Сборник дает материал для этих упражнений. Материал для
устных вычислений дается в начале каждой главы и занимает одну или
около одной страницы. Значит ли это, что учащиеся должны прорешать
сначала весь материал по устному счету, а потом переходить к пись¬
менным вычислениям? Отнюдь нет. Занятия устным счетом должны про¬
должаться и чередоваться с письменными вычислениями. „Устное умноже¬
ние и деление" (стр. 17) прорабатывается, примерно, на 8 уроках,
в среднем по 5—7 минут на каждом уроке. Понятно, что этого мате¬
риала на целую четверть не хватит, и учителю придется самому состав¬
лять ряд задач и примеров по образцу задач и примеров, данных
в сборнике. Упражнения в устном счете не надо ограничивать только
теми случаями, которые даются на первых страничках каждой главы.
К устным вычислениям надо прибегать и для выяснения каждого нового
способа решения задачи. Поясним это примером. Допустим, что учителю
нужно научить учащихся решать задачи типа задачи № 433 способом
исключения неизвестного. Учитель поступит правильно, если он сначала
даст учащимся аналогичную задачу с небольшими числовыми данными
и учащиеся решат ее устно, а затем уже приступят к решению зада¬
чи №433. Пример задачи, аналогичной данной: „Группа получила ^каран¬
дашей простых и химических на 90 коп. Простой карандаш стоит 5 коп.,
а химический — 8 коп. Сколько получено простых карандашей и сколь¬
ко химических?"
О наглядности. На третьем году учащиеся вступают уже в область
больших чисел, в пределах которых применение большой наглядности
и конкретности не всегда возможно. Учащиеся постепенно приучаются
к отвлеченным операциям над числами. У ребят к этому времени креп¬
нут и способности отвлеченного мышления. Они способны делать не¬
сложные умозаключения. Наглядность в работе над большими числами
перестает играть ту исключительно большую роль, какую она играла
в I и II группах. Но это касается только целых чисел. В работе же
с обыкновенными дробями и с геометрическим материалом наглядность
45

сохраняет всю свою силу и все свое значение. Это нашло свое отраже.
ние и в сборнике, где наиболее иллюстрированными отделами являютс*
отдел обыкновенных дробей н раздел измерений. Но наглядность и дей¬
ственность обучения должна достигаться отнюдь не одними только рисун-
ками и чертежами, а введением практических работ (особенно в обла¬
сти измерения), пользованием разного рода предметными, наглядными
пособиями (счетами, абаком, кругами, полосками бумаги при ознакомле¬
нии с дробями и т. д.), чертежными и измерительными инструментами
(линейка, наугольник, эккер, рулетка и др.), использованием знании
арифметики на других уроках—уроках труда, географии и пр.
Сборник должен быть использован для развития у ребят уменья
Самостоятельно работать над книгой. Около — всего материала должно
О
быть проработано учащимися в порядке заданий на дом. На дом дается
материал только на те правила, которые проработаны учащимися в
классе под непосредственным руководством учителя. На дом даются
как задачи, так и примеры. Все проработанное на дому обязательно
проверяется учителем.
В стабильном учебнике мог быть дан материал только общего ха¬
рактера. Ограничиться этим школа не может. Она должна привлекать и
местный материал, отражающий социалистическое строительство в своей
местности и в своем районе, крае. Самостоятельные задачи, которые
будут составляться учителем и самими учащимися, должны строиться
главным образом на местном материале.
Учебник арифметики для начальной школы на третьем и
четвертом годах обучения. Из 6 глав учебника 3 первых главы
прорабатываются в III группе, 3 остальных главы — в IV группе. Первая
глава обнимает собой материал, который должен быть проработан
в первой четверти, вторая глава содержит материал, прорабатываемый
во второй четверти, и третья глава дает материал для проработки
в третьей и четвертой четвертях. Подобно этому распределяется материал
для проработки и на четвертом году обучения (четвертая глава — пер¬
вая четверть, пятая глава — вторая четверть, шестая глава — третья и
четвертая четверти).
„Основная задача учебника арифметики — систематизировать ариф
метические понятия и вычислительные приемы, приучить учащихся к крат
кой, точной, последовательной математической речи и дать сжатый,
удобоваримый материал для повторения". В соответствии с этой зада
чей материал в учебнике изложен в строгой системе, без излишней для
систематического учебника концентричности и повторений. Учебник
дает конкретный материал для проработки программ: объяснение прие¬
мов вычисления, правильные, краткие и точные формулировки правил
н определений; пользуясь учебником, учитель всегда будет уверен в том,
что он ведет учащихся по правильному пути. Учителю нет надобности
ломать голову над собственным „изобретательством" там, где это изо¬
бретательство излишне и рискованно. Значение учебника будет заклю¬
чаться в том, что он даст четкие формулировки, будет дисциплинировать
математическую мысль учащихся.
Для каждого вывода и обобщения дается конкретный и фактический
материал (в виде задач и примеров),' который подводит учащихся к
данному выводу. Обычно вывод делается в учебнике на основании

рассмотрения одной задачи или одного примера. Во многих случаях
jiHoro математического факта может оказаться недостаточно, чтобы
(делать то или иное обобщение; мы рекомендуем учителю подводить
..чэщихся к выводам на нескольких примерах или нескольких задачах,
вставляя для этого свои задачи или примеры по аналогии с теми, кото¬
рые даны в учебнике.
Учащемуся учебник дает: 1) материал для усвоения; сюда относятся
некоторые правила, которые учащийся должен уметь формулировать
точно, кратко и ясно (например, правило сложения дробей, правило
нахождения части числа и др ); 2) материал для справок, например,
таблица метрических мер, правила записи больших чисел и др. Ученики
должны научиться толково объяснять приемы вычислений и формулиро¬
вать основные определения и'правила; это должно достигаться, с одной
стороны, путем такой организации работы, которая заставляет учащихся
при решении задач и примеров объяснять, что они делают, как делают,
и почему они именно так делают, а не иначе, а с другой стороны, путем
работы по учебнику.
Устные объяснения, даваемые учителем, имеют первостепенное значе¬
ние; если эти объяснение строятся методически правильно, то боль¬
шинство учащихся будет усваивать материал при объяснениях учителя;
учебник им понадобится для закрепления знаний и для повторений.
Учитель должен заранее наметить, что он будет давать учащимся для
закрепления знаний и что будет рекомендовать в качестве справочногс
материала. Такой материал должен прочитываться в классе; в классе же
даются указания, как пользоваться тем или иным разделом для справки.
Особое значение приобретает учебник при повторении материала
в конце каждой четверти и в конце года, когда знания учащихся при¬
водятся в систему.
Формулировки выводов и обобщений на третьем и четвертом годах
несколько различны. На третьем году обобщения во многих случаях
не идут дальше тех конкретных примеров, на основе которых эти
обобщения делаются; например, на основе примеров деления круглых
десятков (320:40) дается вывод: „Чтобы разделить 320 на 40, достаточно
32 разделить на цифру десятков 4Такою же конкретностью отличаются
4
выводы о нахождении части числа: „Чтобы найти v- числа, надо это чис-
о
ло разделить на 5 равных частей и взять тзкие 4 части" (стр. 27), и т. д.
В IV же группе выводы носят более общий, более 'отвлеченный харак¬
тер, например: „Сложить несколько чисел — значит найти число, которое
содержит столько единиц, сколько их во всех данных числах"; или:
„Чтобы сложить две дроби, надо раздробить их в одинаковые доли,
сложить числители и под суммою подписать общий знаменатель" (стр. 50),
и т. д. Но когда речь идет о новых и более трудных понятиях, то
выводы и в IV группе носят конкретный характер, например, вывод
о нахождении числа по данной его части сформулирован вполне конкрет-
3
но: „Чтобы найти неизвестное число, — которого равняются 12, надо
12 разделить на 3 и полученное число помножить на 5“ (стр. 54).
В каком порядке прорабатывается материал учебника и
Сборника. Последовательность в проработке материала определяется
программой и сборником, соответствующим в основном программе.

Порядок проработки материала из учебника должен быть согласов^
с материалом сборника, в отдельных случаях придется по учебник-
несколько забегать вперед, в других случаях—возвращаться назад „
т. д. Так, например, следуя за программой и сборником, после „Умноженщ
и деления в пределе 1000 на однозначное число" учитель перейду
к „Прямоугольнику и квадрату" и черчению прямоугольных фигур по
масштабу; в связи с этим он должен будет и по учебнику проработать
раздел „Квадрат и прямоугольник" (стр. 10), не считаясь с тем, что
этот раздел стоит в конце первой главы учебника. Далее, учащиеся по
сборнику перейдут к проработке „Умножения и деления в пределе
1000 на 10 и круглые десятки" (стр. 7); в связи с этим и по учебнику
они вернутся к страницам 4 и 5, где трактуются эти вопросы, и т. д.
Но при повторении пройденного за четверть или меньшие отрезки
времени нужно придерживаться системы учебника. То же и при повто¬
рении всего пройденного за год.
Первая четверть (первая глава).
В течение первой четверти должно быть проработано 14 первых
страниц из сборника и 8 страниц из учебника (3—10). Для про¬
работки этого материала III группа располагает 55 часами классных
занятий плюс ежедневно полчаса/домашней работы.
Планировать работу можно, примерно, следующим образом:
1.	Повторение устного сложения и вычитания (задачи и упраж
нения 1—5)1
2. Повторение нумерации
3. Ознакомление с приемами устного вычисления:ело
жение, вычитание в пределе 1000 . .
4. Письменное сложение н вычитание в пределе 1000
(сборник)
5. Умножение и деление в пределе 1000 на однозначное
число
6. Прямоугольник и квадрат (материал учебника и сбор
ника)
7. Черчение прямоугольных фигур по масштабу
8. Умножение и деление в пределе 1000 на 10 и на круг
лые десятки
9. Умножение и деление в пределе 1000 на двузнач
ное число	•
10. Деление в пределе 1000 на трехзначное число
11. Задачи на все действия в пределе 1000	. .
12. Нумерация в пределе 1000 000
13. Понятие об именованном числе (опуская меры време
ни, которые в сборнике отнесены ко второй четверти
14. Сложение многозначных чисел .
15. Вычитание многозначных чисел
16. Составление задач учащимися (сборник, № 150 —151)
17. Повторение и учет работы
2 часа
1 час
1 час
2 часа
4	„
3	„
5 часов
6 „
1 час
5 часов
5	„
2 часа
6 часов
55 часов
1 Для остальных шести номеров не выделяется особых часов, они выполня¬
ются на других уроках, на которых отводится 5—7 минут для устного счета.
48

Как сочетается работа по учебнику с работой по сборнику? „Каждый
новый вопрос курса должен прорабатываться методически без учебника"
работа по учебнику с учителем в классе в одних случаях идет непосред
ственно вслед за объяснениями учителя (как, например, при проработке
пунктов 14 и 15 вышеуказанного плана), а в других случаях (чаще
всего) завершает собой проработку того или иного вопроса по задачнику,
являясь систематизацией и повторением.
Использование учебника в классе имеет основной целью научить
детей пользоваться книгой самостоятельно; конечно, вместе с этим
чтение текста в классе способствует запоминанию изучаемого. Есте¬
ственно, что с детьми 10—11-летнего возраста из учебника придется
брать главным образом текст правил; остальной же материал должен
быть использован учителем как методический материал.
При планировании учитывалось, что классные занятия сопровожда¬
ются домашней работой. Приведем пример того, как целесообразнее
распределять материал между классными и домашними занятиями. На
проработку „Деления в пределе 1000 на трехзначное число" по плану
отводится 3 часа. В первый час решается задача № 67 (с некоторым
изменением числовых данных; вместо 225 взять 300, вместо 125—200),
и учащиеся знакомятся с делением круглых сотен и круглых десятков
и решают первые две строчки упражнения 70(8—10 примеров). На дом
даются из того же упражнения (70) 6—8 примеров. Во второй час уча¬
щиеся знакомятся с делением трехзначного числа на трехзначное, решают
верхние две строчки (8 примеров) из упражнения 71 и задачу № 68. На
дом даются для решения две нижние строчки из упражнения 71. В
третий час учащиеся решают задачи №№ 69 и 73 (в начале урока посвя¬
щается 5—7 минут устному счету). На дом дается для решения одна
задача, составленная самим учителем.
Укажем на особенности проработки некоторых разделов.
Устное сложение и вычитание (стр. З)1. Первые четыре задачи
и примеры под № 5 даются для упражнения в сложении и вычита¬
нии с перестановкой слагаемых и вычитаемых. Остальные задачи и
числовые примеры даны для упражнения в сложении с округлением
одного из слагаемых. Пример: 41 -|- 28 -f- 19 устно вычисляется так: сна¬
чала складываются 41 и 19, затем к 60 прибавляется 28. Пример 25-)-29
решается так: 25 4- 30 — 1 = 54.
Письменное сложение и вычитание в пределе 1000 (стр. 4).
Это — отчасти повторение работы второго года, только на более слож¬
ных случаях; на втором году не давались, например, такие случаи:
400 — 205; 702 — 398. Их надо проработать тщательно, а число таких
примеров увеличить, составив их самостоятельно. Упражнения под
номером 15 состоят из примеров на косвенное сложение и вычитание.
Пример; 138-j-je=295 читается так: „Сколько надо прибавить к 138,
чтобы получить 295?“, а решается так: 295 —138=157. Пример:
х — 230=167 читается так: „От какого числа надо отнять 230, чтобы
осталось 167?“, а решается так: 230-)- 167 = 397.
Умножение и деление в пределе 1000 на однозначное число
(стр. 4). И задачи и примеры вычисляются устно (с записью действия
и его результата). Первые три задачи и два упражнения (21—22) —
* См. общие замечания по устному счету, стр 45.

повторение навыков второго года обучения. Задачи №№ 23, 24 и
примеры 25 — 28 — новый материал для учащихся, впервые ими про.
рабатываемый. Примеры для деления именованных чисел даны двоякого
рода: в одних частное — простое именованное число (например,
2 ж 32 сж:4 = 58 см; раздробление производится устно; запись делается
так: 2 м 32 гж:4 = 232 см'Л =58 см); в других — частное является
составным именованным числом, например 34 м 5 дм.5 = 6 м 9 дм.
Прямоугольник и квадрат. Черчение прямоугольных фигур
по масштабу (стр. 5—6). прежде чем давать практические упражне¬
ния из сборника, учитель должен дать учащимся понятие об угле, о
прямоугольнике и квадрате, о черчении этих фигур в том объеме, кото-
рый указан в учебнике (стр. 10). Задачи №№ 34 и 35 решаются с помощью
чертежа, который делает их наглядней. (О способе решения задачи
№ 36 см. стр. 44.)
Здесь же учащиеся впервые знакомятся с миллиметром (до сих пор
они с этой мерой не встречались). Знакомство должно носить наглядный
и практический характер: учащиеся находят на сантиметровой линейке
миллиметр, чертят линию в 1 см и наносят на ней от руки миллиметро¬
вые деления, измеряют сантиметровой линейкой с использованием мил¬
лиметров, и, наконец, раздробляют в миллиметры и превращают мил¬
лиметры в высшие меры. Умножение и деление при раздроблении и
превращении производятся устно. Раздробляя, например, 4 дм 5 мм,
учащиеся сразу делают такую запись: 4 дм 5л.и = 405лш; превращая, на¬
пример, 930 мм, учащиеся пишут: 930 мм —9 дм 3 см. Задачи №№ 40—47
разбиваются по смыслу на 3 категории: 1) по размерам на плане и по
масштабу определяются размеры в натуре (задачи №№ 40, 41, 42);
2)	по размерам в натуре и по масштабу определяются размеры на плане
(задачи №№ 43, 45, 46 и 47) и 3) по размерам в натуре и на плане
определяется масштаб; сюда относится только одна задача № 44. Число
задач каждой категории должно быть увеличено за счет придуманных
самим учителем.
Все эти задачи уясняют учащимся элементы плана, развивают ,у них
сообразительность, и поэтому упражнения в их решении являются
весьма ценными. Несмотря на свою кажущуюся простоту, они представ¬
ляют для учащихся известную трудность, требуют помощи учителя, по¬
этому их нужно решать в классе.
Умножение и деление в пределе 1000 иа двузначное число
(стр. 8). Здесь учащимся дается впервые знакомство с письменным
способом умножения. Методическая проработка этого случая обьяснена
в учебнике на странице 12 (на больших числах). Учитель может исполь¬
зовать указанный там прием объяснения, не отсылая однако учащихся
к учебнику. Примеры же деления на двузначное число решаются
приемами устного счета, т. е делимое разлагается на два слагаемых,
из которых каждое делится на делитель; так, например, 264 на 12
делится так: 240:12 = 20; 24:12 = 2; 20 -f- 2 = 22. Для деления на
двузначное число взяты только такие случаи, когда получается двузначное
частное. Это—наиболее легкий случай.
Также устно вычисляются и примеры деления трехзначного числа
на трехзначное; здесь используется прием подбора множителя. При де¬
лении 336 на 112 учитель ставит вопрос: „На какое число нужно
умножить 112, чтобы получить 33з?“ Или же: „Сколько раз 112

повторяется в 336?“ Задачу № 60, как указывалось выше, следует ис¬
пользовать для построения анализа решения.
Перед учащимися надо поставить следующие вопросы: „Что
спрашивается в задаче? (С какой скоростью шел второй пароход?)—
Что означает — скорость? (Число километров, проходимых в один
час.) — Что нужно знать, чтобы определить, сколько километров
проходит пароход в час? (Расстояние н время.) — Что из них
дано в задаче и что не дано? (Дано расстояние — 420 км.)—
Можно ли узнать и как узнать число часов (время)? (Нужно уз¬
нать, сколько часов шел первый пароход, потому что второй па¬
роход прошел 520км в тоже время;для этого нужно 378 км: 18кж;
получается 21 час.)—Зная расстояние и время, что можно опре¬
делить? (Скорость.)—Как же решить задачу г “
Дальше записываются план и решение задачи.
Следует решить еще 1—2 задачи на вычисление скорости (по дан¬
ному расстоянию'и времени), на вычисление расстояния (по скорости
и времени), на вычисление времени (по расстоянию и скорости). Уча¬
щиеся должны твердо усвоить, что для решения того или иного вопроса
нужно иметь по крайней мере два данных.
При делении именованных чисел (№ 66) новым для учащихся явля¬
ется тот случай, когда при делении простого именованного числа
получается составное именованное число. Это — два последних примера:
1)	55 с.«:10 = 5 см 5мм; 2) 51 см:30~1см 7мм. Число таких
примеров, а равно и задач, разумеется, должно быть увеличено
(54 руб.: 12 = ; 32 часа: 10— и др.). Решая задачу № 72, надо оста¬
новиться на центнере; эта мера дается здесь впервые. Ее нужно по воз¬
можности конкретизировать. (Мешок муки весит около центнера; силь¬
ный взрослый человек может нести на себе около центнера; какие у нас
предметы весят около или больше центнера?)
Задачи на все действия (стр. 9—10) нужно использовать для
того, чтобы учащиеся научились делать анализ решения нетрудных
задач, записывая правильно и четко план решения задачи.
Нумерация в пределе 1000000 (стр. 10—13) Материал в сбор¬
нике распределен по четырем ступеням: на первой ступени дается
общее представление о миллионе и состав круглых тысяч. На второй
ступени прорабатывается нумерация четырехзначных чисел; на третьей
ступени—нумерация пяти- и шестизначных чисел; на четвертой ступени
специально выделен вопрос о разложении чисел на разряды и с ним
связан вопрос о раздроблении и превращении именованных чисел. На
каждой ступени сначала прорабатываются вопросы устной нумерации,
затем письменной. В устной нумерации выделяются следующие моменты:
1)	состав и образование числа из низших разрядных единиц; 2) разло¬
жение числа на составные единйцы. В качестве наглядных пособий
используются абак и счеты. Раздробление и превращение тесно связы¬
ваются с нумерацией и способствуют закреплению знания нумерации:
раздробляя, например, 70 км 95 яг, учащиеся рассуждают так: 70 км —
это 70 тыс. м, да еще 95 м; получится 70 095 м, это записывается
так: 70 км 95 м = 70 095 м. Прорабатывается нумерация путем устных
объяснений учителя и использования материала из сборника; материал из
учебника читается в качестве повторительного. Усвоение нумерации
51

нужно сейчас же использовать для записи некоторых числовых данных,
близких учащимся: даты рождения учащегося, некоторых исторических
дат (событий, изучаемых по обществоведению), населения своего города,
количества книг в школьной библиотеке (если оно превышает тысячу)
и т д. Вслед за нумерацией приводятся в систему знания учащихся о
метрических мерах длины и веса, об именованных числах (по учебнику).
Сложение и вычитание многозначных чисел с методической
стороны никаких затруднений не представляют В этом разделе очень
удобно дать ряд задач на тему социалистического строительства своей
области, своего района. Особым вниманием учителя должны пользо¬
ваться последние две задачи этого раздела (№№ 150—151). Значение их
заключается в том, что на них учащийся усваивает связь сложения с
вычитанием и укрепляет навыки самостоятельного решения задач. За¬
дачи на вычитание, вытекающие из задачи № 150, таковы: 1) „На по¬
стройку доставили на двух барках 8640 досок. На одной барке было
4065 досок. Сколько досок было на другой барке?“ 2) То же условие,
но с другим данным слагаемым (4575 досок). На основе задачи № 151
могут быть составлены следующие задачи: 1) „В октябре завод израсхо¬
довал 8570 кубометров дров, а в ноябре — 9360 кубометров. На сколько
в ноябре израсходовали дров больше, чем в сентябре?" 2) „В ноябре
завод израсходовал 9360 кубометров дров, а в октябре — на 790 кубо^
метров меньше. Сколько дров израсходовал завод в октябре?" Число
подобного рода задач может быть увеличено за счет составленных
самим учителем.
Вторая четверть (глава вторая).
Материал для проработки во второй четверти занимает в сборнике
около 12 страниц (стр. 17—28) и в учебнике — более 8 (стр. 11—19).
Весь этот материал должен быть проработан в течение 40—42 часов
классных занятий плюс ежедневная работа на дому.
При планировке материал может быть распределен, примерно, сле¬
дующим образом:
1. Устное умножение и деление
В течение этих часов выводится правило умноже¬
ния и деления на 5 и решаются, примерно, 4 зада¬
чи (№№152,153, 156, 157) и несколько примеров.
Остальные задачи и примеры решаются на после¬
дующих уроках в те 5—7 минут, которые отводят¬
ся на устный счет.
2. Умножение и деление многозначного числа на
однозначное . . .
3. Умножение и деление многозначного числа на 10
и круглые десятки	  .
4. Умножение многозначного числа на двузначное . . .
5. Деление многозначного числа на двузначное . . . ..
6. Квадратные меры
7. Вычисление времени
8. Повторение и контрольная работа
40 часов
2 часа
5 часов
5 „
5 „
8 „
5 „
5 „
5 „
52

В сборнике материал дан в несколько ином порядке, чем в про-
грамме, а именно: между умножением и делением многозначного числа
„а двузначное вставлены „квадратные меры", так как вычисление пло¬
щадей построено на умножении. Сверх того здесь дан материал на
вычисление времени, которое в программе отнесено на первую четверть.
Такая перестановка допущена в целях более стройного расположения
материала в сборнике. В учебнике умножение дано раздельно от деле¬
ния, в то время как в .сборнике и программе эти действия изучаются
параллельно. В своей практической работе учитель, прорабатывая эти
действия, должен следовать за сборником; но повторение пройденного
можно провести в той системе, какая дана в учебнике.
Устное умножение и деление на 5- Объяснение умножения
дано на странице 4 учебника (пример 3). Прорабатывая в течение
четверти этот материал, учащиеся повторяют приемы устного счета из
пройденного в первой четверти.
„Разделим 480 на 5. Для этого узнаем сначала, сколько де¬
сятков в числе 480. Разделим 480 на 10. Получим 48. В каждом
десятке пятерка повторяется 2 раза. Умножим поэтому 48 на 2.
Получим 96. Число 5 в числе 480 содержится 96 раз".
Проделав то же на других примерах, учащиеся приходят к сле¬
дующему выводу: „Чтобы разделить число на 5, нужно разде¬
лить его на 10 и полученное число умножить на 2".
480:5 = (480:10). 2 = 48-2 =96.
Умножение и деление многозначного числа на однознач¬
ное. Проработке каждого раздела, обозначенного римскими цифрами,
должны предшествовать объяснения, даваемые учителем. На первом
уроке в устной беседе раскрывается содержание страницы 11 учебника.
Вслед за этим решаются примеры и задачи из сборника (№№ 163 —
169) в течение двух уроков. Затем учитель знакомит учащихся с прие¬
мами письменного деления на однозначное число, давая устное объяс¬
нение в том плане и с тем содержанием, с каким оно дано в учебнике
(стр. 13,14). После упражнений в решении примеров и задач (о реше¬
нии задач №№ 170, 174, 175, 176, 179, 180 см. стр. 44) учитель
знакомит учащихся с делением именованных чисел. Первые 3 примера
упражнения 178 нуждаются в тщательной проработке, так как
учащиеся дают наибольшее число ошибок при решении такого типа
примеров. Ошибка заключается в том, что некоторые учащиеся не
ставят в частном на месте единиц нуль. В примере 82 р. 64 к.: 8
у многих получается в частном 1 р. 33 к. вместо 10 р. 33 к.
(к сожалению, некоторые учителя сами допускают здесь эту же ошибку).
В целях устранения ее нужно, чтобы учащиеся называли тот разряд,
который они делят, и разряд частного: 8 десятков разделить на 8 полу¬
чается одни десяток, сносим две единицы; от деления двух единиц на
8 в частном целых единиц не получится, ставим нуль; и т. д. Надо
следить за тем, чтобы учащиеся на месте ставили наименование. Число
примеров на деление должно быть увеличено.
Умножение и деление многозначного числа на 10 и круглые
десятки (стр. 19—20). Умножение многозначного числа на круглые
десятки производится так: множитель разлагается на 2 сомножителя и
53

множимое сначала умножается на значащую цифру, а потом на десять.
Нужно особое внимание обратить на те примеры, где в множимо*
встречаются нули. Дети должны понять и усвоить, что от умножении
на нуль получается нуль. При делении же на круглые десятки такое
разложение полезно делать только при однозначном частном, пр*
многозначном же частном к такому разложению прибегать нецелесо.
образно. Прием деления указан в задаче № 191
Квадратные меры. Этот раздел надо проработать вначале так,
как он дан в учебнике (стр. 16-18), чтобы дать учащимся понятие
о квадратных мерах и о способах измерения ими площадей. С
выводом правила измерения площади прямоугольника спешить не
следует; сначала нужно проделать несколько непосредственных изме¬
рений путем наложения квадратной меры на площадь прямоуголь¬
ника; затем перейти к определению площади прямоугольника с дан¬
ными размерами его длины и ширины путем деления его прямыми
линиями на квадратные клетки; надо проделать несколько таких упраж¬
нений, чтобы учащиеся на основе наблюденных фактов могли притти к
выводу соответствующего правила („Чтобы узнать площадь прямо¬
угольника, надо умножить его длину на ширину"), которое запо¬
минается в такой именно формулировке. Вся проработка должна
носить весьма наглядный и действенный характер: ребята должны сде¬
лать (вырезать из картона или склеить из газетной бумаги) квадратные
сантиметр, дециметр, метр, производить ими непосредственные измере¬
ния. Затем они должны путем измерения линейным метром определить
площадь своего класса, дома — площадь своей комнаты; дециметром
измеряются длина и ширина крышки стола, окна, классной доски
и т. д. и определяется их площадь.
На такую действенную, активную, проработку материала наталкивают
учителя и задачи в сборнике (№№ 205—213). Эти задачи представляют
собой задания для практической работы детей. Учащиеся должны иметь
для решения задач №№ 205—208 квадратный сантиметр и непосредственно
измерить им ряд небольших прямоугольных площадей. Учащиеся
должны сделать квадратный дециметр и произвести те измерения, о ко¬
торых говорится в задачах №№ 209—211. Задачи №№ 212 — 213 требуют
непосредственного измерения квадратным метром. Остальные задачи
решаются по правилу вычисления площадей. Задачи №№ 221, 222, 223
дают очень хороший материал для развития сообразительности у детей.
Решаются они обязательно на чертеже. Только после того, как уча¬
щиеся начертят прямоугольник и покажут, где у него длина и где
ширина, для них ясно станет, что при решении задачи № 221 от 172 м
нужно отнять не 6, а 12 (в периметре две длины) и что 160 нужно раз¬
делить на 4. Задачи №№225 и 226 решаются на основе данных измерения
своего класса. Аналогичные залачи, касающиеся квартиры, где живет
каждый учащийся, даются учащимся на дом, учащиеся измеряют свою
комнату и на основе полученных данных составляют и решают
задачи.
Деление многозначного числа на двузначное. Это наиболее
сложный случай деления, поэтому на деление дается наибольшее коли¬
чество упражнений и притом расположенных в строгой последова¬
тельности. В сборнике все упражнения разбиты на три раздела
(I. Н, III).
54

В первом разделе дано деление трехзначного числа на двузначное
,ри однозначном частном. Ему посвящено до сотни примеров и 4 за
13чи. Такое обилие примеров объясняется большим значением и срав
ицтельной трудностью этого навыка, так как к нему сводится, главным
образом, деление многозначного числа на двузначное. В самом деле,
если учащиеся умеют разделить, допустим, 275 на 55, то ничего принци¬
пиально нового не встретят они в примере 374 237:59. Деление в
этих примерах дается как без остатка, так и с остатком; научить
делить с остатком важно потому, что все неполные делимые, которые
появляются в процессе деления, делятся обычно с остатком.
Примеры в первых двух столбиках упражнения 229 построены так,
что в первом примере дается округленный делитель, а во втором —
то же делимое, но с незакругленным делителем; например: {. 488:60;
II.	488:61; 1. 568:70; II. 568:71 и т. д. На таких примерах легче
всего показать основной прием деления, который сводится к тому,
что при делении трехзначного числа на двузначное десятки делимого
делятся на первую цифру делителя и таким образом определяется
частное. На предпоследнем столбике упражнения 230 (561:791; 734:8
и др.) выясняется необходимость в некоторых случаях (если вторая
цифра больше 5) увеличивать первую цифру делителя на 1. На послед¬
нем столбике упражнения 230(315:53) выясняется, что пробная цифра
частного в некоторых случаях должна быть уменьшена на 1.
Во втором разделе (II) выделены задачи и примеры на деление
четырех-пяти-и шестизначных чисел при двух-трех-четырех-и пятизнач¬
ном частном.
Третий раздел (III), повторяя с №244 и 245 второй раздел, дает
материал для упражнения в проверке умножения и деления и в нахож¬
дении 1) множителя по данному множимому и произведению, 2) множи¬
мого — по произведению и множителю, 3) делимого — по делителю и
частному и 4) делителя — по частному и делимому.
В этом разделе имеется ряд типовых задач (.№№ 231, 232, 241),
о способах решения их см. страницу 44. В задаче № 247 данные
30 000 нужно или заменить другим числом или решить эту задачу
устно, деля 30 000 на 15, потому что с письменным приемом деления
чисел, оканчивающихся нулями, дети еще не знакомы.
Большой интерес для учащихся должны представлять задачи №№ 253
и 254, требующие от учащихся уменья составить самостоятельно за¬
дачу по данным произведению и множимому.
Вычисление времени (стр. 26 — 28). Здесь учащимся впервые
дается представление о секунде и о столетии, или веке, как единицах
измерения времени. Необходимо, чтобы с секундою учащиеся познако¬
мились конкретно. Пользуясь карманными или настенными часами, учи¬
тель отсчитывает секунды, дает сигнал начала и конца какого-нибудь
действия и заставляет учащихся определить его длительность в секундах,
сигнализирует начало какого-нибудь действия н указывает, сколько оно
продолжается, а ученик сигнализирует конец, и т. д.
Теперь учащиеся со всеми мерами уже знакомы, и им надо привести
сваи знания в систему. Это делается по учебнику (стр. 7). Закрепляют
они свои знания на упражнениях в раздроблении и превращении мер,
которые производятся или устно или письменно, смотря по трудности
задания; например, раздробление 7 минут 38 секунд в секунды произ-

водится устно; раздробление 36 минут 58 секунд производится
менно. Запись располагается так:
47 суток 18 часов — ?
7724
А 47
16»
96
. 1128
' 18
1146
1146 часов
Из типовых задач в сборнике приведены две группы задач: 1) задачи
в которых требуется определить промежуток времени между двумя дан¬
ными событиями; сюда относятся задачи №№266, 267, 268, 269 и 270,
272, 273; 2) задачи, в которых по началу события и промежутку тре¬
буется определить конец события; таких задач только одна — № 271.
В 1-й группе в свою очередь даны два вида задач: задачи, в которых
промежуток времени I) больше года (№266— 268) и 2) меньше года,
но больше суток. Каждая из групп и каждая из этих видов задач по-
разному решается. Приведем образцы решения типовых задач.
Задача № 267 (и подобные ей) решаются вычитанием:
 1917	г.	Переводить при этом порядковое	числительное в	коли-
1905	г.	чественное нет надобности.
12	л.	Задача № 269 решается .так: 1)	Сколько времени (ме¬
сяцев и дней) прошло от выпадения	снега и до конца	года?
_ 12 месяцев
10 месяцев 10 дней
+
1 месяц 20 дней.
2)	Сколько времени прошло до 21 января?
1 месяц 20 дней	Эту же задачу можно решить устно так:
21 день	От 10 ноября до 10 декабря—1 месяц;	от
1 месяц 41 день Ю декабря до 10 января—1 месяц, да от 10 ян-
2 месяца 11 дней варя д0 21 янваРя — 11 Дней> а всего 2 месяца
11 дней.
Задача № 271. От начала года до 12 ноября прошло полных
10 месяцев 11 дней; поэтому нужно к 10 месяцам 11 дням прибавить
4 месяца 6 суток; получится:
.10 месяцев 11 дней	Значит, закончился санный путь 18
"т" 4 месяца 6 дней марта.
14 месяцев 17 дней	Чтобы учащиеся поняли и усвоили прием
1 год 2 месяца 17 дней Ре11|ения задач такого типа, надо им предло¬
жить еще несколько задач такого рода.
Задача № 274 ценна тем, что учащиеся здесь встречаются с обратно¬
пропорциональными величинами — скорость и время. Хорошо бы поре¬
шать еще несколько задач с другими обратно-пропорциональными вели¬
чинами (не употребляя этого термина), например число рабочих н число
дней, в которые выполняется работа и др.

В задачах №№ 277 и 278 учащимся приходится иметь дело с делением
именованного числа на именованное (196 минут:19 минут 36 секунд;
4S0 минут:32 минуты). Теория этого вопроса дана в учебнике на
странице 16, которой должны пользоваться учащиеся (после проработки
с учителем).
Приведем в заключение образцы записи решения примеров из уп¬
ражнений 279 и 280 (стр. 28):
1)	5 суток 12 часов X 40 = ?
5 суток X 40 = 200 суток
12 часов X 40 = 480 часов = 20 суток
200 суток -)- 20 суток = 220 суток
2)	6 минут 31 секунда: 17 = ?
6 минут 31 секунда = 391 секунда (вычисляется устно).
391 секунда] 17
51	23 секунды
Примеры на деление вычисляются полупнсьменно, т. е. с примене¬
нием устных и письменных вычислений.
Третья четверть (глава третья).
Глава третья сборника, обнимающая собой материал, прорабаты¬
ваемый в течение третьей четверти, имеет более 11 страниц. Кроме
того в течение третьей четверти прорабатывается около 7 страниц из
третьей главы учебника. Для проработки этого материала III группа
имеет около 50 часов классных занятий.
Ориентировочно материал может быть распланирован следующим об¬
разом:
1. Устное умножение и деление 	 2	часа
2. Умножение и деление	многозначного	числа	на
100 и на круглые сотни (из сборника и учебника) ...	4	„
3. Умножение и деление	многозначного	числа	на
трехзначное	.*....	8	часов
4. Порядок действий и скобки 	 2	часа
5. .План и площадь	 9	часов
6. Обыкновенные дроби 	 20	я
7. Повторение всего пройденного и учет	 5	„
50 я
Умножение и деление многозначного числа на 100 и на
круглые сотни (стр. 28). Первый урок посвящается объяснению
учителем техники умножения и деления на 100 и на круглые сотни;
в конце урока учащиеся под руководством учителя читают соответст¬
вующие разделы по учебнику (стр. 19, 20), которые даются им на
дом для повторного чтения и усвоения правил (текст правил напеча¬
тан курсивом). На последующих трех уроках решаются примеры и
задачи ( №287—299), которые не представляют для учащихся ника¬
ких трудностей.
Умножение и деление многозначного числа на трехзначное
(стр. 30). Эти случаи умножения и деления представляют полную
57

аналогию с умножением и делением многозначного числа на двузначно*
Ничего принципиально нового по сравнению с предыдущими случая*,,
в них нет, детям эти вычисления даются без особого труда. Поэтоу.
решение всех примеров не обязательно. Обязательно соблюдение то»
системы, в которой дан этот материал в сборнике, особенно в paj
деле деления, где сначала дается деление четырехзначного числа на трех,
значное при двузначном частном, потом — деление пяти- и шест*
значного числа на трехзначное при двух- и трехзначном частном. Про¬
верка умножения и деления (упражнения 314 и 315) производится на
основе правил, уже известных учащимся.
Прежде чем перейти к упражнениям 316, 317 и 318, следует
проработать вопрос о порядке действий и употреблении
скобок; материал дан на стр. 23 учебника. Со скобками учащиеся
имели дело на протяжении всех трех годов обучения. Теперь эти зна¬
ния приводятся в систему, учащиеся получают теоретическое обоснова¬
ние механизма вычислительных операций, с которыми их раньше зна¬
комили чисто практически Учащиеся приучаются кратко, ясно и точно
формулировать правила употребления скобок (из учебника).
После этого учащиеся повторяют вопрос о том, как найти неиз¬
вестный член действия	по	двум	данным, и	решают две последние	за¬
дачи (№№319 и 320), которые сопровождают самостоятельным со¬
ставлением задач. По образцу задачи № 319 могут быть составлены такие
новые задачи: „Завком приобрел в домах отдыха места для 125 ра¬
бочих по 175 руб. за место. Сколько рублей уплатил местком за
места в домах отдыха?"
Вторая задача: „За	21	875 руб. завком	приобрел в домах отдыха
места для 125 рабочих.	Сколько	стоит место в домах отдыха для	од¬
ного рабочего?"
План и площадь. Учитель сначала дает устное объяснение этого
вотроса, пользуясь материалом учебника, который содержит в себе
теоретические сведения,	с	одной	стороны,	подытоживающие то,	что
знают учащиеся из проработки материала первой четверти, а с другой
стороны, дающие новые сведения об измерении площади по плану; за¬
тем переходят к проработке упражнений по сборнику — решению за¬
дач и примеров.
Все эти задачи имеют целью научить учащихся вычислять площади
по ширине и длине. Содержанием их являются жизненные, практические
вопросы. На решении этих задач тесно смыкается работа по измере¬
нию площадей, по изучению квадратных мер и п > закреплению навы¬
ков умножения. Прежде чем решать задачи №№ 325, 326, 327 и др., нужно
сообщить учащимся, что при вычислении площадей длина и ширина
должны быть выражены в мерах одного названия. Задачи и упражнения
№№333—342 дают материал, закрепляющий у учащихся знания мер зе¬
мельных площадей. Этот материал нужно проработать весь, так как
им в сущности заканчивается работа над квадратными мерами в началь¬
ной школе, в дальнейшем подобного рода задачи будут применяться
только как повторительные.	^
Обыкновенные Дроби. На третьем году об) чения, кроме—, — и
^	7
1	1	1	1	1	1	о
—, прорабатываются следующие доли: -5-, —, —,	.	Эти
о	<3	о I С>	IU
58

д;тли для их изучения сгруппированы в сборнике в трех разделах по
признаку кратности: в первом разделе объединяются ~ и вс
-ь т О
1 1 1
втором разделе объединены —, —и —; в третьем разделе объединены
I I	о t) 1Z
^ и —. Четвертый раздел посвящен упражнениям (задачам и приме¬
рам) на нахождение части числа. В каком плане изучается каждый
раздел? Сначала на наглядном пособии показывается образование доли
(учащиеся из курса второго года знают образование только —, — и
Л); затем каждая новая доля сравнивается с другими долями, извест-
В
ными учащимся. Потом с помощью чертежа или модели (круга, прямо¬
угольника) производится раздробление и превращение долей. И, на¬
конец, на тех же чертежах производятся сложение и вычитание разно¬
именных долей. После этого решаются примеры и задачи из сборника,
причем в целях разнообразия работы чередуются между собой.
Как сочетается работа по сборнику с работой по учебнику?
Объяснение, теория здесь, как и при проработке других разделов,
должна предшествовать практическим упражнениям. Объяснение дается
учителем в том плане, как это дано в учебнике, т. е. вначале про¬
рабатывается „Образование и запись дроби", затем „Преобразование
смешанного числа", потом „Преобразование дробей" и т. д., причем
вся эта теория прорабатывается только иа знакомых детям долях: — ,
1 1 2
— и —. Каждый из этих разделов, объясненный предварительно учи¬
телем на наглядных пособиях и самостоятельно проработанный учащи¬
мися в классе на дидактическом материале, повторяется затем в классе
на материале учебника, дается на дом учащимся для усвоения. После
этого решаются примеры и задачи из сборника, раздел I. При про¬
работке разделов II и 111 уже нет надобности пользоваться учебником;
здесь достаточно ограничиться объяснениями учителя и упражнениями
по сборнику, соблюдая тот порядок проработки, который указан выше.
При проработке раздела IV, в котором дан материал на нахождение
части числа, порядок опять несколько меняется, а именно: учитель
вначале на целом ряде наглядных пособий (кубиках, шариках, счетах,
рисунке, линии, полоске бумаги и т. д.) дает объяснение способа на¬
хождения одной и нескольких частей данного числа; затем прорабаты¬
вается и объясняется соответствующий текст учебника (стр. 26, гл.
„Вычисление части числа") и только потом решаются задачи по сбор¬
нику №№ 396—403 и примеры 405 и 406.	i
С дробями нужно производить не только письменные, но и устные
вычисления. Для устных вычислений можно предлагать такие задачи:
2
„Поезд должен был притти в 6 часов, ио пришел с опозданием на — часа;
«3
во сколько часов и минут пришел поезд?" „Мальчику на рубашку нужно
0
один целый метр и — м материи. Сколько метров и сантиметров

материи нужно на рубашку?" „Трактор до обеда вспахал — участка, а гу^
еле обеда участка. Какую часть участка вспахал трактор за день?*
о
Запись примеров на нахождение части числа производится так:
I от 1248=- 1248:4 = 312;	% от 1248 = 312 X 3 = 936.
4	4
Четвертая четверть (глава четвертая).
В течение четвертой четверти в III группе прорабатывается околь
9 страниц нз сборника (стр. 39—47) и две .темы нз учебника: „Осо
бые случаи умножения и деления" (стр. 21 — 23) и „Прямоугольные
диаграммы" (стр. 28). На проработку этого материала школа имеет по
учебной сетке от 40 часов (в городской школе) до 50 часов (в сель¬
ской школе), которые могут быть распределены следующим образом:
1. Устное умножение на 11, 9, 99 и другие множите¬
ли с их округлением .1	  3	часа
2. Частные случаи умножения многозначных чисел . . 6 часов
3. Частные случаи деления многозначных чисел .... 6	„
4. Чтение и черчение диаграмм	  .	.	3	часа
5.	Задачи и примеры	на	все действия	6	часов
6.	Измерения	3	часа
7.	Повторение	пройденного	за	год	10	часов
8.	Учет			3	часа
40 часов
Устное умножение (стр. 39 — 40). Случаи умножения на 9,99 на И
и на такие множители, которые легко могут быть округлены, даются
учащимся сравнительно легко. Тем не менее на эти случаи нужно про¬
решать большое количество и примеров и задач, так как они развивают
у учащихся способность к запоминанию чисел, к удерживанию в памяти
одновременно нескольких чисел. За один урок можно ознакомить уча¬
щихся с сущностью приема умножения на 11,9 и 99; за другой урок —
с приемом умножения на другие округляемые множители (19). Третий
урок нужно отвести решению задач и примеров на все эти случаи,
а дальнейшие упражнения производить время от времени в течение всей
четверти, отводя на каждом уроке устному счету от 5 до 7 минут.
Особые случаи умножения многозначных чисел (стр. 40 — 42).
К особым случаям умножения многозначных чисел отнесены такие слу¬
чаи, когда: 1) в сомножителях имеются нули в конце; 2) в сомноките
лях имеются нули в середине. В сборнике весь материал разбит на три
раздела, отмеченные римскими цифрами — I, И, III. В первом разделе
даны те случаи умножения многозначных чисел, когда множимое имеет
нули в конце и в середине (207 X 125; 620 X 364). Во втором разделе
даны такие случаи умножения, когда нули встречаются в конце и мно¬
жимого и множителя (160 X 130; 700 X 490). В третьем разделе сгруп¬
пированы задачи и примеры на умножение с такими сомножителями,
у которых имелся нуль в середине и множимого и множителя (502-304).
Прежде чем приступить к решению задач и примеров каждого раздела,
60

учитель должен объяснить соответствующие приемы умножения, руко¬
водствуясь учебником (стр. 21). Из этих объяснений учащиеся должны
усвоить (вернее, повторить), что 1) от умножения нуля на любое число
получается нуль; 2) когда множимое и множитель оканчиваются нулями,
то их перемножают, не обращая внимания на нули, а затем к полу¬
ченному произведению приписывают столько нулей, сколько их во
множимом и множителе; 3) на нуль, находящийся в середине множителя,
не умножают. Образцы записи показаны в учебнике. При решении при¬
меров вначале не следует прибегать к перестановке сомножителей даже
там, где это выгодно, с тем чтобы дать уменье решать разные при¬
меры; так, например, нужно научить решать пример 700-345 и в том
случае, когда 700 является множимым. Но вслед за этим нужно пока¬
зать, что удобнее произвести вычисления, переставив сомножи¬
тели — 345-700.
О способе решения задачи № 433 см. страницу 44. Задачу № 434 следует
использовать для того, чтобы провести полный и четкий анализ ее решения,
затем — синтез, на основе которых составляется план решения задачи.'
Особые случаи деления многозначных чисел (стр. 42 — 43).
Здесь два раздела (I, II). В первом разделе (I) даны задачи и примеры
с такими случаями деления, когда появляются нули на конце частного
(14 960:374 = 40). Во втором разделе (II) сгруппированы задачи и при¬
меры на те случаи деления, в которых нули появляются в середине
частного (70 380:345 = 204; 733 647:183 = 4009). В разделе I в свою
очередь различаются два случая, в соответствии с чем даны два номера
упражнений — 443 и 444; в упражнении 443 приведены такие при¬
меры, в которых в частном получается нуль оттого, что все разряды де¬
лимого, предшествующие единицам, делятся без остатка, а на месте
единиц стоит нуль (в частном единиц не получается); в упражнении
444 сосредоточены примеры, в которых после сноса единиц полу¬
чается число, нацело не делящееся иа делитель (в частном опять единиц
не получается, и поэтому ставится нуль). Особенно интересны в упраж¬
нении 444 с точки зрения техники деления примеры, начиная с треть¬
его столбика.
Две разновидности примеров даны и во втором разделе: 1) примеры
с одним нулем в середине частного и 2) примеры с двумя нулями
в частном (начиная с третьего столбика упражнения 450).
Следует заметить, что эти случаи деления — наиболее трудный мате¬
риал из всего курса третьего года обучения: при решении таких приме¬
ров учащиеся допускают наибольшее число ошибок. Чтобы устранить
ошибки, заключающиеся обычно в пропуске нулей, нужно, чтобы при
делении учащийся давал себе ясный отчет в том, что ои делит (какие
разряды) и что получается в частном (какой разряд получается в част¬
ном— сотни, десятки, единицы). Когда учащийся делит, допустим,
14960 на 374, нужно, чтобы он говорил при этом, что сначала делит
1496 десятков (а не просто 1496) на 374 и в частном получается
4 десятка (а не просто 4); единиц в делимом нет, поэтому и в частном еди¬
ниц не будет. О способах решения задач №№ 445 и 446 см. страницу 44.
Задача Мв 451 решается четырьмя действиями: 1) 5 кубометровХ28500—
= 142500 кубометров; 2) 142500 кубометров42 920 кубометров =
= 185 420 кубометров дров; 3) 185 420 кубометров:365 = 508 кубо¬
метров; 4) 54 864 кубометра: 508 кубометров = 108 (дней).
61

Чтение и черчение диаграмм (стр. 43) Работа по этому раздел
распадается на два основных момента: 1) упражнения в чтении гото¬
вых диаграмм и 2) упражнения в черчении (изображении) диаграмм
на основе числовых данных. Для упражнения в чтении прямоугольны»
диаграмм нужно принести в класс диаграмму достаточно больших раз¬
меров, хорошо исполненную (печатную или сделанную в школе), щ
которой и показать значение диаграммы, технику ее построения, усл в-
ные обозначения и т. д. После этого нужно прочитать и разъяснить
первую часть главы „Прямоугольные диаграммы* из учебника (стр. 8);
закончить работу нужно чтением диаграмм в сборнике (упражнение 452j
и тех диаграмм, которые имеются в классе. Следующие два занятия
посвящаются выработке навыка черчения прямоугольных диаграмм по
двум таблицам, каждая с гремя данными (задания №№ 453 и 454). В за¬
дании № 453 указано, как при вычислении высоты столбиков прибли¬
женно выражать те величины, которые при данном масштабе трудно под¬
даются точному изображению. При выполнении задания № 454 учащиеся
должны самостоятельно решить вопрос о приближенном изображении
каждого из трех данных (500 — — мм, 900 — 1 мм, 200 отбрасывается)
Те знания и уменья, которые получают учащиеся при проработке
этого раздела, следует применить для построения такой диаграммы, на
которой сравнивались бы какие-либо величины, взятые из местной
жизни (школьной или внешкольной; учащимся могут быть даны, при¬
мерно, такие задания: „Изобразите рост дворов нашего колхоза за по¬
следние 2—3 года*. „Изобразите рост продукции нашего завода или
фабрики за последние 2—3 года*. „Изобразите результаты соцсорев¬
нования в нашей школе* (взяв определенные показатели) и т. д., при¬
чем всякий раз учитель должен давать учащимся готовые числовые дан¬
ные. Во всей этой работе нужно добиваться, чтобы учащиеся выполняли
диаграммы аккуратно, чисто, точно, красиво.
Задачи и примеры на все действия (стр. 44—46). Задачи
подобраны так, чтобы на решении их учащиеся не только развили
у себя уменье решать задачи, но и повторили основные моменты из
пройденного в течение года (целые и дробные числа); поэтому нужно
прорешать все задачи. Последние две задачи требуют от учащихся
уменья самостоятельно составить задачу и решить ее. По заданию № 475
может быть составлена, примерно, такая задача: „Колхоз засеял рожью
участок в 56 га и собрал с каждого га по 9 ц ржи. Сколько он муки мо¬
жет получить со всего урожая, если из 1 ц ржи выходит 75 кг муки?*
Упражнение 477 дано для проверки у учащихся знаний о порядке
действий. Вычисления производятся устно с применением упрощен¬
ных приемов устных вычислений. Упражнения 478 и 479 решаются
письменно; на них производится проверка овладения механизмом пись¬
менных вычислений.
Основное в теме „Измерения* — это практические работы учащихся
на местности, это — уменье работать с эккером, вехами и рулеткой
или мерной веревкой. Для этого нужно сделать 2 — 3 выхода из школы
на местность. Задания №№ 484 —487 дают учителю темы для работы на
местности, а не в классе. Остальной материал служит для повторения
квадратных мер и навыков работы с планом.
62

КАК РАБОТАТЬ ПО УЧЕБНИКУ АРИФМЕТИКИ И
ПО СБОРНИКУ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ДЛЯ ЧЕТВЕРТОГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ.
Четвертая группа, как и третья, имеет две книги по арифметике:
учебники арифметики и сборник задач и упражнений. Обе книги
прорабатываются одновременно. Учебник дает теорию, а сборник —
■упражнения практического характера.
Сборник задач и упражнений построен по программе изд. 1933 г.
(с учетом исправлений, сделанных в третьем издании программ) и совпа¬
дает с программой как в отношении объема, так и порядка располо¬
жения материала; имеющиеся в сборнике отступления от программы
крайне незначительны и не принципиальны. Из отступлений нужно от¬
метить следующие: 1) знакомство с числовыми формулами, помеченное
в программе в начале III четверти, в сборнике дается в конце вто¬
рой четверти; 2) решение задач и примеров иа все действия, преду¬
смотренное в программе после нумерации чисел любой величины,
в сборнике дается в качестве повторительного отдела перед нумерацией.
Такие перестановки не нарушают цельности и стройности системы.
Сборник разбит на 4 главы по числу четвертей учебного года. В те¬
чение каждой четверти прорабатывается по одной главе. Каждая глава
открывается разделом „ Устные задачи и примеры“, в котором дается
материал для устного счета на всю четверть. Каждая глава (за исклю¬
чением последней, повторительной) заканчивается геометрическим мате¬
риалом, причем в конце четверти дается новый геометрический мате¬
риал, требуемый программой; кроме того, и внутри каждой главы наряду
с арифметическими задачами даются задачи на измерение, на квадратные
и кубические меры.
Основным материалом сборника являются задачи и численные примеры.
Степень сложности и трудности задач соответствует силам и особен¬
ностям возраста 11 — 12-летних ребят. Цель задач — не только дать
материал для упражнения в вычислениях, но и развить логическое мыш¬
ление у ребенка, способствовать развитию его комбинаторных способ¬
ностей. Для этой цели вносятся некоторые усложнения в построение
арифметических задач (с числом действий до 5—6), вводятся так назы¬
ваемые алгебраические задачи (решаемые чисто арифметическим путем),
даются материал и задания для составления задач самими учащимися,
вводятся числовые формулы для решения несложных задач.
Одновременно через решение задач учащиеся должны осмыслить
целый ряд жизненных явлений, уяснить закономерности некоторых, яв¬
лений. Для этой цели содержание значительного числа задач построено
на материале других дисциплин (географии, естествознания и др.). За¬
дачи служат хорошим средством для создания у учащихся правильных
ориентировок в области общественных явлений нашей современности.
Со

С этой целью в содержание задач вводится матернэл социалистического
строительства. Часть задач построена на производственном материале
и на материале из детской трудовой деятельности; таким образом сбор,
ник задач способствует развитию у учащихся политехнического кругозора,
Учебник арифметики в части, предназначенной для четвертого гада
обучения, содержит 3 главы. Каждая из глав в основном исчерпывает
работу одной четверти соответственно, но эго только в основном; по
отдельным же вопросам в учебнике имеются несовпадения со сборником,
обусловленные целевой установкой учебника—систематизировать знания
учащихся. Из таких несовпадений или особенностей построения учеб-
ника отметим следующие: 1) теория устных вычислений дана в учеб¬
нике в одном месте, в начале учебника, и не разбита по главам, как это
сделано в сборнике задач и упражнений, 2) теория процентных вычисле¬
ний также дана в одном месте — в пятой главе, прорабатываемой вс
второй четверти, в то время как в программе и сборнике проценты рас¬
положены концентрически и повторяются в каждой четверти. Вопрос о гра¬
фиках и о простейших съемках не нашел своего освещения в учебнике.
Учащиеся по этим вопросам должны получить устные объяснения со
стороны учителя, а также использовать материал сборника задач и упраж¬
нений.
Порядок проработки материала определяется сборником задач
и упражнений. Повторение же курса IV группы (четвертая четверть)
ведется по системе учебника.
Каждый новый вопрос программы, как правило, прорабатывается
следующим образом:
1. Сначала учитель в устной беседе дает изложение и объяснение
нового материала, опираясь на наглядные пособия, задачи, примеры;
материал и формулировки берутся как из учебника, так и из сборника.
2. Затем решаются задачи и примеры из сборника, причем в само¬
стоятельных работах учащиеся приучаются пользоваться материа¬
лом учебника — правилами, выводами, указаниями.
3. Далее дети знакомятся с соответствующим текстом учебника
и усваивают правила, выводы и обобщения в той формулировке, в ка¬
кой они даны в учебнике.
В зависимости от материала порядок проработки может несколько
меняться: иногда полезно бывает после объяснения учителя познакомиться
с текстом учебника, с тем или иным правилом или определением, и уже
после этого приступить к упражнениям *.
Первая четверть (глава первая).
На первую четверть падает проработка первой главы сборника (стр.
3—18) и четвертой главы учебника (стр. 29—40). Для проработки этого
материала группа располагает 55 часами классных занятий плюс ежеднев¬
но около 1/2 часа домашней работы. Ориентировочно можно плани¬
ровать на четверть работу следующим образом:
1. Устные вычисления	4	часа
2. Письменные примеры и задачи в пределе милли¬
она 	 5	часов
* О том, как работать с учебником, см. стр. 46.
64

5 'Тасок
4 часа
4	„
4	.
5 часов
5 *
6 *
7 „
б .
55 часов
Устные вычисления. Учебник по этому разделу дает мате¬
риал для проработки в течение первой четверти следующих вопросов:
.Округление при сложении. Округление при вычитании. Умножение
на 25. Умножение на 125. Деление на 25. Деление иа 125“ (остальной
материал прорабатывается во второй Четверти). Деление на 25 может
быть разъяснено учащимся в более простой форме, а именно: „РазДЕ-
тим 4500 на 25. Для этого узнаем сначала, сколько в числе 4500 сотен.
Разделим 4500 на 100. Получим 45. В каждой сотне 25 содержится
4 раза. Умножим 4 не 45 или 45 на 4. Получим 180. Число 25 в числе
1500 содержится 180 раз".
Точно таким же образом разъясняется прием деления иа 125. В сбор¬
нике на эти случаи дается 9 номеров упражнений (задач и примеров,
расположенных на стр. 3). Порядок работы таков: сначала учитель
в устной форме объясняет, разбив материал по урокам, приемы устных
вычислений, за1ем учащиеся решают примеры и задачи и в завершение
учащиеся прорабатывают материал учебника и усваивают правила, нэпе'
чатанные курсивом. На это тратится 4 урока. Но в сборнике сверх
этого дано еще 18 упражнений по устному счету (стр. 4 и часть пятой).
Что представляет собой этот материал? Это четыре арифметических
действия над числами в пределе 100 и 1000, выполняемые устно и
знакомые учащимся из курса II и III групп. Наряду с целыми числами
здесь даются устные вычисления дробей (22) и устные вычисле¬
ния площадей. Задачи, помещенные здесь, характерны тем. что они
требуют от учащегося не только уменья считать, но и проявить сметку,
сообразительность. Возьмем, например, задачу № 11; учащийся должен со¬
образить, что 100 г стоят 9 коп, а в 2'/а*-2 — сотен граммов; сле¬
довательно, 2т/2 кг стоят 9 коп.-25. В задаче № 18 учащийся должен
сообразить, что 1 час 10 минут вдвое больше 35 минут, а в задаче
№19—что I1/2 часа вдвое больше 45 минут. Эти примеры и задачи ре
баются в течение всей первой четверти по 1—2 задачи или по 1 — 2
строчки примеров на уроке. Для облегчения работы действия записыва¬
ются, а вычисления производятся устно.
Письменные задачи и примеры в пределе миллиона (стр. 5 и 6).
■это — повторительный раздел; на решении этих примеров и задач уча¬
щиеся во'производят знания и навыки, полученные ими на третьем году.
Задачи №№ 34—38 подобраны так, что они дают возможность сделать вы¬
вод о том, каких домашних животных выгоднее разводить. Решение
Задач №№ 40 и 45 нужно обязательно сопровождать чертежами.
пв
3. Нумерация целых чисел любой ветчины (прорабогка
материала учебника и сборника)		 .	.	.
4. Сложение и вычитание целых чисел любой величины
5.	Зависимость между сложением	и	вычитанием	.	.	.	.
6.	Изменение суммы и разности	 .	.	.
7.	Нумерация десятичных дробей	.....	.	.	.
8. Сложение и вычитание десятичных дробей
9. Процентные вычисления
10. Поверхность и объем прямоугольного параллелепи¬
педа и куба . . . i . . .
11. Повторение пройденного и учет .........

Нумерация целых чисел любой величины. Ознакомление с „
мерацией нужно начать с проработки материала учебника „Классы ч„
ла“, чтобы дать учащимся понятие о разрядах и классах, в частно -
о новом для учащихся IV группы классе — миллиарде, чтобы покаа^
как составляется любое число из разных разрядов, как можно раа^
жить данное число на разрядные единицы. Вслед за этим даются упра<
нения 49—55 из сборника, которые имеют целью дать учащие
уменье составить число по данным разрядным единицам и разложу
данные числа иа разряды и классы.
В этом заключается проработка устной нумерации. Далее прораб
тываетоя раздел „Письменная нумерация* из учебника. При npopi
ботке письменной нумерации ударение нужно делать на той мысли, ^
торая изложена в последнем абзаце этого раздела, а именно: „Защ
сывая число, его разбивают мысленно на классы и разряды и загек
записывают каждый класс, начиная с высшего класса*. Объяснение нум-.
рации завершается решением упражнений из сборника под №№ 56—6i
Разложение чисел на разрядные слагаемые (59) записывается ш
32 750 = 30 ООО 2000 -f- 700	50. Особое внимание надо обратит
на упражнения 60 и 61, ибо уменье сразу определить, сколы
всего десятков, сотен и т. д. в данном числе, имеет большое значет
для быстрого и правильного производства деления. Из решения ряд
примеров учащиеся должны притти к выводам: „Чтобы узнать, сколы
всего десятков в данном числе, надо отбросить единицы н прочитат
остающееся число* и т. д.
Наглядными пособиями при проработке нумерации являются аба
(или таблица) и счеты. Учащиеся учатся откладывать любое число и.
счетах (упражнения 64—65). Заканчивается этот раздел упражнениям
в округлении чисел. Упражнениям должно предшествовать коротка
объяснение того, какое число называется круглым, закругленным, чт
значит закруглить число („заменить его ближайшим круглым числом*:
как закруглить такие числа, как II, 12, 13, 18, 19, и только поел
этого перейти к упражнению 67. Здесь же надо познакомить учащш
ся и с сокращенной записью круглых чисел: вместо 46 000 000 пишу:
46 млн.
Сложение и вычитание целых чисел любой величины. Про
работку нужно начать с решения задач и примеров под №№ 68- 73
которые имеют своей целью научить учащихся оперировать (склады¬
вать и отнимать) большими числами. Особенно надо остановиться ю
вычитании, где даны'примеры далеко не легкие для учащихся IV груп
пы. В таких примерах письменного вычитания, как 1000 000—93
600 000—69 999 и яр , учащиеся нередко делают ошибки; чтобы устрз
нить их, надо побольше порешать примеров.
Сложение и вычитание на счетах (упражнение 75, 76) не содер¬
жат ничего нового по сравнению с тем, над чем работали учащиеся во
И и III группах; полученные раньше навыки здесь закрепляются, и расшй
ряется область чисел, с которыми оперируют учащиеся. Упражнение
74 (поверка сложения) надо отложить к концу раздела и предпослан-
ему проработку теории сложения и вычитания, как она дана в учебник*
под заголовками: „Сложение*, „Вычитание*. Конкретным материале»1
который поможет учащимся притти к выводам о связи и зависимости меж
ду сложением и вычитанием, являются примеры, помещенные в сборник*
бв

^Ms 77. Во всей этой работе не надо загромождать учащихся многочислен¬
ней выводами, правилами, формулировками; важно, чтобы учащиеся
1Вяли и сумели рассказать и показать на примерах зависимость, какая
■ществует между действиями, и умели бы применять эту зависимость
нахождению неизвестного числа. Полезно для бблыией наглядности
убедительности вопросы задач №№ 78 и 79 прорешать сначала на не¬
сших числах. Вопросы 78 и 79 нужно сначала записать, пользуясь
(х + 3409= 100J0). Решение этого примера записывается так:
-=10 000 — 3409 = 6591. На основании знания зависимости между
10жением и вычитанием делается поверка сложения вычитанием (упраж-
к.ние 74) и вычитания сложением (упражнение 84).
Изменение суммы и разности. Первоначальное знакомство с этн-
,и понятиями надо давать не на отвлеченных примерах, как это дано
, учебнике и сборнике, а на задачах, и притом на задачах с неболь¬
шими числами, которые учащиеся могут решить устно. Вот пример та-
(0Й простой задачи: „В шкафу иа верхней и средней полках стояло по
книги. Потом на верхнюю полку поставили 10 книг, а на нижнюю —
|5 книг. На какой полке стало больше книг и на сколько?" При реше¬
ти этой задачи учитель ставит вопросы: „Почему на нижней полке
стало больше книг?" (Потому что больше прибавили.) Нужно ли для ре¬
шения задачи прибавлять 10к22и 15 к 22 и затем вычитать из пер¬
вой суммы вторую, чтобы ответить, на какой полке больше книг?" За¬
тем можно решить задачу № 87 из сборника. Когда учащиеся будут
подведены к пониманию этого понятия, им предлагаются примеры сна¬
чала на увеличение, а потом на уменьшение слагаемого. Третий этап
работы — вывод правила.
Свойством суммы — изменяться от изменения слагаемых — поль¬
зуются для упрощения вычислений в тех случаях, когда слагаемые — лег¬
ко закруглимье числа. Чтобы сложить, например, 427 с 297, можно
к 427 прибавить 300 Так как при этом слагаемое мы увеличим на 3,
то и сумма увеличилась на 3; следовательно, для получения настоящей
суммы от полученного результата надо отнять 3.
Замечания, сделанные в отношении изменения суммы, относятся
также и к изменению разности. Упражнение 93 дает материал для
использования свойства разности для упрощения вычисления в тех случа¬
ях, когда вычитаемое легко закруглимое число. Задача № 95 реша¬
ется так: 1) 775 кг—160 кг = 615 кг; 2) 615 кг-ф48 кг-{-280 кг —
-=943 кг.
Нумерация десятичных дробей. Нумерация — весьма ответствен¬
ное место в курсе десятичных дробей; ей нужно отвести достаточное
время (не менее 5 часов) и в проработке надо соблюдать строгую си¬
нему. Система указана в учебнике; ей и нужно следовать. Упражнения
нз сборника надо подбирать в соответствии с тем вопросом, который
прорабатывается по учебнику. Лучшим наглядным пособием при этом
является метр с подразделением иа дециметры и сантиметры. Вначале
прорабатывается устная нумерация, куда входит проработка разделов
.Соотношение между десятичными долями" и „Состав десятичной дроби".
В сборнике материал для проработки устной нумерации дают упражне¬
ния 97—100. Эти упражнения надо дополнить решением, примерно.
таких вопросов: составить чисто из двух десятых и трех сотых долей; ил
Четырех сотых и пяти тысячных; нз одной десятой и восьми сотых

и т. д. Разложить на десятые, сотые н тысячные долге: 63 сотых, 27 й
тых, 185 тысячных, 263 тысячных и т. д. Этим заканчивается ycrh.
нумерация, и учащиеся переходят к проработке письменной нумерац,.
которая складывается из объяснений учителя, чтения учебника и д
шеиия примеров 101—103 по сборнику. После этого прорабах*,.,
ется преобразование десятичных дробей: раздробление и превращ»*,
долей, свойство дроби не изменяться при приписывании и отбрасывай*
нулей справа, исключение целого, сокращение дробей. Этот вопрос пр.-,
рабатываетс» так, как он дан в учебнике, а решаются примеры 108-
115, 120, 121, 122. Затем идет раздел „Сравнение десятичных дробп
по величине" — номера 116—117 по сборнику, и, наконец, учащие-,
учатся записывать составное именованное число (метрической систед
в виде десятичной дроби и, наоборот, дробное именованное число в в»
де целого составного именованного числа — номера 104—107
118—-119 по сборнику.
В связи с нумерацией десятичных дробей и их преобразована
нужно проработать вопрос о полной и сокращенной записи болыщ,
чисел, пользуясь десятичными дробями. Этому вопросу посвящены уп
ражнения 123—126.
Сложение и вычитание десятичных дробей. Первоначальна)
методическая проработка этого раздела должна включать в себя рас
смотрение следующих типичных случаев: 1) 0,6-}-0,2; 2) 0,7
3)	0,8-f-0,6; 4) 3,265-f-3,2; 5) 2 —}— 0,5. Вычитание имеет слелующн,
ступени: 1) 0,8 —0,6; 2) 1 —0,4; 3) 1,3— 1,5; 4) 0,35 — 0,2; 5) 6,2—3
Сначала учащиеся для сложения и вычитания приводят дроби к об¬
щему знаменателю, а затем приходят к выводу, что такое преобрази
вание излишне, и производят эти действия, не приводя дроби к обще*'
знаменателю. Только после того как каждый из вышеуказанных случаи
сложения и вычитания будет объяснен и учащиеся на 3 — 5 примера'
получат навык в их решении, можно переходить к решению столб»
ков 127—131. Решение задач должно итти вперемежку с реше
нием примеров. При формулировании правила сложения и вычитание
десятичных дробей нужно оттенить, что, подписывая одну дробь пол
другой, подписывают целые под целыми (а не только единицы по"
единицами), а запятую в сумме ставят на том же месте, где она стоял»
в слагаемых или в данных для вычитания числах.
Процентные вычисления. В учебнике вопрос о процентах рас¬
сматривается в пятой главе на стр. 45, где дано краткое изложение
теории этого вопроса в объеме программы начальной школы. Но в сбор
нике проценты прорабатываются концентрически: в первой главе дается
уменье вычислить один и несколько процентов от числа, выраженного
в круглых сотнях; во второй главе дается уменье вычислить один и
несколько процентов от любого целого и дробного числа; в третьей
главе дается уменье заменять в некоторых случаях проценты долями
единицы (обыкновенной дробью). Учитель может использовать для пер¬
воначального ознакомления учащихся с процентами §§ 1—2 учеб¬
ника,- но давать этот текст учащимся в течение первой четверти не
следует. Ознакомление с процентами связано в сборнике с нахождение»»
части числа, так как по существу найти несколько процентов о1
числа это значит найти часть числа, выраженную десятичной дробью
0.01; 0,15 и т. д. Наглядным пособием для ознакомления с процент**'1
68

служит фигура квадрата со стороной в 1 дм, раззеленного на 100 рав¬
ных квадратных клеток. Задачи и примеры даиы только на те случаи,
когда число, от которого вычисляются проценты, представляет собою
круглые сотни. Полезно некоторые наиболее легкие задачи (например,
X°Ms 152, 153) решать устно. В дальнейшем материалом .для устных вы¬
числений должны служить и процентные вычисления.
Поверхность и объем прямоугольного параллелепипеда и
куба. Эту тему надо подразделить на два основных раздела: вначале
должна итти проработка теории этих вопросов в том объеме и том
плане, в каком она дана в учебнике, а затем должны следовать соот¬
ветствующие упражнения по сборнику. Устные объяснения, даваемые
учителем, с широким использованием наглядности и практической работы
учащихся имеют здесь главное значение; работа по учебнику, знакомство
с текстом главы „Куб и прямоугольный параллелепипед” может служить
только завершением всей работы, повторением. Проработка должна
быть наглядной, конкретной. Знакомство с кубом и параллелепипедом
должно быть дано обязательно иа модели куба и параллелепипеда. Для
развертки поверхности куба и параллелепипеда должны быть модели
куба и параллелепипеда, сделанные из картона. Пользуясь линейкой и
наугольником, учащиеся должны начертить развертку куба по данному
ребру, развертку параллелепипеда по данным ребрам и вычислить их
поверхности. И только после этого прорешать по сборнику упражне¬
ния 156, 157, 159, 160. Такой же наглядный характер должна но¬
сить и проработка объемов. Ученикам нужно показать единицы измерения
объемов—кубические сантиметр, дециметр и метр. Чрезвычайно важно
было бы показать учащимся кубический дециметр, заполненный куби¬
ческими сантиметрами; на таком наглядном пособии показать бруски,
слои, на которые делится весь объем. Бруски и слои можно показать
также и на арифметическом ящике. После такой подготовительной ра¬
боты, включающей в себя и вывод правила вычисления объемов, нужно
переходить к решению задач из сборника. Среди задач иа вычисление
объемов нужно различать два основных типа: 1) вычисление объема по
трем измерениям и 2) вычисление объема по площади и третьему изме¬
рению. Желательно дополнить эти задачи такими, в которых По дан¬
ному объему и одному или двум измерениям требуется найти третье
измерение. Для придания практического направления работе желательно,
чтобы учащиеся произвели вычисления объема одного-двух помещений,
известных им, — какого-либо склада, амбара, погреба, силосной ямы и
других по данным размерам.
Вторая четверть ('глава вторая).
На вторую четверть падает проработка 17 страниц из сборника
(стр. 19—35) и пятой главы (стр. 40—46) из учебника. На проработку
этого материала группа может звтрзтить свыше 40 часов классных за¬
нятий, не считая домашних работ, которые сопровождают повседневную
работу школы.
При планировке время между отдельными темами может быть рас¬
пределено, примерно, следующим образом:
1. Устные вычисления 	 3	часа
2. Умножение и деление целых чисел любой, величины .... 8 часов
ап

3. Зависимость между умножением и делением	....	3	час»
4. Изменение произведения и частного	 4	.
5. Умножение десятичной дроби на целое число	....	4	„
6. Деление целого числа и десятичной дроби на це¬
лое число	 5	часов
7. Окружность	 2	часа
8. Процентные	вычисления	 6	часов
9. Круговые диаграммы	 2	часа
10.	Примеры и задачи на 4 д-йствия с десятичными
дробями	 6	часов
43 часа
Устные задачи и примеры (стр. 19). Здесь учитель должен по¬
знакомить учащихся с приемом последовательного умножения и деления
(„Чтобы умножить на 15, нужно умножить иа 5 и на 3", „Чтобы умно¬
жить на 12, нужно умножить на 4 и на 3“ и т. д.). Теория этого
вопроса дана на стр. 30 учебника. Среди задач даны задачи, ко¬
торые требуют особых приемов решения. Таковы задачи №№ 186, 189,
192, 195, 196. Задача 186 решается так:
„Почему во второй месяц колхозник заработал на 48 кг
больше зерна?" (Потому что он выработал больше трудодней.)
„На сколько больше?" (29—25 =4 дня.) „Почем оплачивался
один трудодень?" (48 лг:4 = 12 кг.) „Сколько зерна колхозник
заработал во второй месяц?" (12 кг -29 = 318 кг.)
Решение задачи № 189 : I) 6—(— У —J— 10 = 25 (мешков); 2) 12 ц~- 25 =
= 48кг; 3) 48 кг-6 = 288 кг; 4) 48-9 = 432 кг; 5) 48 10 = 480 кг.
Задача №192 решается так: 1) „Заменим все печи малыми печами.
Сколько малых печей надо поставить вместо 4 больших, чтобы по¬
лучить ту же выплавку?" (4 малых печи • 4 = 16 малых печей)
2)	„Сколько всего малых печей было бы на заводе при замене больших
печей малыми?" (14-}-16 = 30 малых печей.) 3) „Сколько стали выплав-
шет одна малая печь?" (4500 ет:30=150 т.) 4) „Сколько стали вы¬
плавляет в сутки большая печь?" (150 /те • 4 = 600 т.)
Задачи №№ 195 и 196 требуют вычисления среднего арифметического.
При решении задачи № 193 учащиеся должны сообразить, что 300 кг —
это 3 ц. Отсюда они легко выяснят, сколько расхода налает из зарплаты
на один центнер (150 коп.:3 = 50 коп.).
Умножение и деление целых чисел любой величины (стр.23—26).
Мы рекомендуем проработать этот раздел по сборнику сейчас же вслед
за устными вычислениями. Главная задача этого раздела — закрепить
у учащихся навыки письменного умножения и деления целых чисел
любой величины и развить уменье безошибочно пользоваться этими
действиями при решении задач. Все случаи деления уже встречались
на третьем году; теперь они повторяются только на больших числах.
В конце этого раздела помещен ряд задач, при решении которых уча¬
щиеся упражняются в процентных вычислениях.
Зависимость между умножением и делением. Изменение про¬
изведения и частного. Эти разделы прорабатываются на основе
предварительных устных весьма конкретных разъяснений со сторо¬
ны учителя каждого вопроса в том объеме и плане, как это дано в
70

учебнике на стр. 41 и 42, сборник же дает материал для упражнений,
упражнения надо подбирать так, чтобы они целиком соответствовали
«атерналу учебника.
Вопросам умножения и деления соответствуют в сборнике упражне¬
ния 198—213.
Вопросу „Изменение произведения" в сборнике соответствуют упраж¬
нения 214—222 и, наконец, вопросу „Изменение частного" в сбор¬
нике соответствуют упражнения 223—231. Задачи №№ 205—213 тесно
связаны с вопросом о зависимости между умножением и делением, так
как площадь есть не что иное, как произведение длины на ширину,
а длина и ширина — сомножители; точно так же объем есть всегда про¬
изведение трех сомножителей. Таким образом, решение задач №№ 205—213
имеет двоякое значение: с одной стороны они уясняют связь деления
с умножением, а с другой — они закрепляют навыки’ по вычислению
площадей и объемов. Решая готовые задачи, ученики должны упраж¬
няться и в составлении самостоятельных задач. Образец задания для
зтого дан в задаче № 208. Запись решения примеров в упражнениях 201 и
203 производится так Решим первый пример лг-15=240. Запись имеет
(экой вид: лг = 240:15— 16". Решение примера лг:72 = 15 записывается
гак: х— 72-15= 1080 и т. д. В примерах 217, 219, 224, 226, 227 и
228 обязательно надо сравнивать полученные результаты, ставя при этом,
вопрос: „Почему изменился результат и почему так именно?" Ударе¬
ние при проработке всей этой темы должно быть сделано не на заучи¬
вании правил и выводов (это дело, главным образом, V группы, где этот
вопрос прорабатывается основательно), а на понимании вопроса, на
умении применить найденную зависимость к решению вопроса. Следует
заметить, что изменение результатов в зависимости от изменения ком¬
понентов дает незаменимый по своей ценности материал для матема¬
тических наблюдений, для построения на основе этих наблюдений
выводов и обобщений, для воспитания у детей индуктивного мышле¬
ния. Здесь учителю нужно умело предлагать задачи, в строжайшей си¬
стеме предлагать примеры, чтобы учащиеся сами подмечали математи¬
ческие закономерности и учились давать им словесное выражение.
Умножение и деление десятичной дроби на целое число
(стр. 26—29). Эти разделы следует проработать в той методиче¬
ской последовательности, в какой расположен материал в сборнике, а
именно: 1) умножение десятичной дроби на однозначное число, на 10,
на круглые десятки и на двузначное число; 2) умножение на 100, на
круглые сотни и на трех^начное число. Прежде чем решать сложные
примеры типа 0,2-3-)-0,3-5, нужно поупражнять учеников в решении
простых примеров на каждый из указанных выше случаев. Запись ре¬
шения сложного примера, допустим, 0,004-8-J-0,008-6, будет тако¬
ва: 1) 0,004*8 = 0,032; 2) 0.008-6=0,048; 3) 0,032-{-0,048 = 0,080 =
= 0,08.
Деление прорабатывается в такой системе:
1.	Деление целого числа на целое. Здесь различаются два случая:
первый, когда делимое меньше делителя, например, 1:4; в таком слу¬
чае единица раздробляется в десятые доли; 10 десятых от деления
на 4 дают 2 десятых и в остатке получается 2 десятых, которые раз¬
дробляются в сотые доли; 20 сотых при делении на 4 дают 5 сотых;
в частном получается 0,25. Еторой случай, когда делимое больше де-
71

лигелй (7:4) н к частном получается целое число, а иьглтик пос
дробления его в десятые и сотые доли лает десятые и соты
в частном.
2. Деление десятичных дробей на целое число. Здесь разлт
следующие случаи: 1) деление десятых долей и целых с деСя'
когда в частном получаются десятые доли; например 0,9:3^
0,4:2 = 0,2 и т. д. 1,2:4 ±=0,3; 2) деление сотых долей и цел
сотыми, когда в частном получаются сотые до ли; например 0,08:
= 0,02; 2,25:9 = 0,25 и т, д.; во избежание ошибок при записи
ления сотых долей (например 0,08:2) следует до записи спрашив,
учащихся, какие доли получатся в частном; 6) деление тысячных дол
(0,015:5; 0,018:9 и др.) и других десяти дробей, от деления котор1
получаются в частном тысячные доли (3,27:2 и г. п.); 4) затем доля
но следовать деление целых и дробных чисел на 10 и на 100, произ
водимое путем переноса запятой, и, наконец, 5) деление целых и
дробных' чисел на любое двузначное число. Наглядными пособиями
при это» могут служить метр и квадрат, разделенный на сто
клеток.
Процентные вычисления (стр. 32 сборника). Здесь учахцимо
дается навык находить определенное число Процентов от любого чйсла
как целого, так и дробного (не ограничиваясь только круглыми сотнями,
как это делалось в первой четверти). Теперь 9ТО можно сделать потому,
что учащиеся умеют делить целые и дробные числа на 100. Процент*
ные вычисления попрежнему производятся здесь двумя действиями. Про¬
работка идет на основе устных объяснений учителя и решения задач
и примеров .из сборника. Из учебника можно прочитать с детьми
только первые два параграфа соответствующей главы „Процентные вы¬
числения" (стр. 45). Параграфы 3 и 4 этой главы должны быть отне¬
сены на третью четверть.
Окружность. Круговые диаграммы. Вся проработка этих во¬
просов должна быть сугубо наглядна и конкретна: учащиеся должны
иметь циркуль (если нет циркуля, пользоваться булавкой с натянутой
ниткой для вычерчивания окружностей), картон, сантиметровую линей¬
ку. Опытным путем (измерением) они должны убедиться в равенстве
радиусов, в равенстве диаметров в одном и том же круге, в соотноше¬
нии ради.са и диаметра. Учащимся нужно показать процентный тран¬
спортир и как им пользуются для Вычерчивания круговых диаграмм.
Оба эти вопроса — окружность и круговые диаграммы — нужно прохо¬
дить в неразрывной связи, не вставляя меж (у ними „Процентные вы¬
числения", которые должны быть проработаны раньше. Приобретенное
учащимися уменье вычерчивать круговые диаграммы непременно надс
использовать для оформления в виде круговой диаграммы какого-либ >
явления местной жизни.
С решением задач и примеров на все действия надо свп
зать ознакомление учащихся с числовой формулой (надо следить за
правильным ударением в слове „формула"). Для этого решается ряд
несложных зад,ч из упражнения 358; сначала записывается их пол¬
ное решение, а затем только обозначается план или ход решения без
нахождения результатов каждого действия. Для задач, приведенных в
сборнике, числовые формулы будут такие:
1)3-0,65-3; 2) 21 х 4 -j-60-З; 3) 18x7:9. 4)12 803x3:24:205.
72

Третья четверть (глава третья из сборника
и глава шестая из учебника).
Для проработки этих двух глав, обнимающих в общем около 26
страниц, Iруппа имеет около 50 часов классных занятий плюс еже¬
дневная работа учащихся дома в течение получаса.
Для проработки отдельных частей программы может быть, примерно,
намечено следующее время:
1. Устные задачи и примеры
2. Обыкновенные дроби:	преобразование	дробей
сокращение дробей, сравнение дробей и др. . .
3. Сложение и вычитание дробей
4. Умножение обыкновенной дроби на целое число
5. Деление целого числа и обыкновенной дроби н
целое число
6. Вычисление части числа
7. Вычисление числа по данной его части . .
8.'Треугольник
9 График температуры
10. Повторение пройденного и учет ......
2 часа
10 часов
7	„
6 .
3 часа
4	„
4	„
3	.
5 часов
50 часов
Устные задачи и примеры (стр. 35 —36). Здесь прорабатывается
такой прием устного счета, когда упрощение вычисления достигается пу¬
тем перестановки сомножителей. Теория этого вопроса достаточно про¬
ста и усваивается учащимися довольно легко; нужно предложить уча¬
щимся на умножение ряд примеров, специально подобранных, и на этих
примерах показать выгоду перестановки сомножителей; например, умно¬
жают 4-37-25. Перемножение в том порядке, в каком даны числа,
приводит к трудной операции — умножению 148 на 25. Простая пере¬
становка множителей сразу упрощает вычисление, приводя к умножению
100 иа 37. Упражнение в решении 2—3 десятков примеров (упражне¬
ние 363) будет достаточным. На объяснение нового приема вычислений
и его закрепление нужно отвести в плане 2 часа. В остальных при¬
мерах сборника (365 и 366) дается повторение усвоенных раньше при¬
емов устных вычислений. Эти примеры, а также и задачи решаются
на последующих уроках в течение тех 5—7 минут, которые специально
отводятся иа устный счет.
Задачи №№ 367 — 376 принадлежат к двум типам: 1) задачи, в
которых требуется иайти числа по их сумме и по их разности
(№МЬ 361, 362, 367, 368, 369); 2) задачи, в которых требуется найти
числа по их сумме и частному (МЬ№ 370—375). О способах решения
этих задач см. стр. 44.
Преобразование обыкновенных дробей. План проработки дро¬
бей дается учебником; за ним и нужно следовать, т. е. сначала нужно
проработать, пользуясь наглядными пособиями, разделы „Образование
дроби", потом „Сравнение дроби с единицей", затем „Смешанное число"
и т. д. (стр. 47 — 49 учебника). Проработку теории каждого вопроса
нужно сопровождать решением задач и упражнений; покажем, какие
примеры н задачи соответствуют отдельным вопросам учебника.
73

Учебник-
Сравнение дроби с единицей.
Смешанное число и преобразова¬
ние смешанного числа.
Исключение целого числа из
дроби.
Преобразование дробей (раздро¬
бление и превращение).
Сокращение дробей.
Сравнение дробей по величине.
Сборник:
№ 383 („Выписать числа, боль
шие единицы, меньшие единицы
равные единице").
1Ш 378 - 382.
№№ 384, 385, 386.
№№ 387 — 402.
№№ 403
№№ 406
■405.
410.
Раздроблению и превращению дробей отводится наибольшее место:
хорошее усвоение этого навыка крайне важно —им придется пользоваться
при сложении и вычитании дробей. Хорошее упражнение дает запол¬
нение таблицы по Заданию 400. Заполненная таблица должна иметь
следующий вид:	«
Четвертые
Шестые
Восьмые
Девятые
Десятые
Двеюдца-
тые
Пятнадца¬
тые
Шестнад¬
цатые
Восемнал-
патые
1
2
3
4
.5
6
8
9
2
4
6
В
10
12
ТВ
18
1
2
3
4
5
6
3
6
1)
12
15
18
1
1
2
3
4
4
4
8
12
16
1
2
3
б
11)
15
1
2
3
6
12
18
При проработке этого раздела нужно широко использовать нагляд¬
ные пособия; лучшими наглядными пособиями являются дробные счеты,
чертежи (прямая линия, круг). Если бы для той или иной группы мате¬
риала оказалось мало, можно давать примеры из учебников прежних
изданий (Зенченко и Эменова, Кавуна и др.).
Сложение и вычитание. В сложении и вычитании дроби нужно
различать 3 случая, соответственно которым расположен материал в сбор¬
нике: первый случай, когда один из знаменателей является общим зна¬
менателем (-5-+ -г—{- т-у; и т. д.); на этот случай даны упражнения
о и О 1U
411, 412, 413, 414, 415 и 422. Второй случай, когда знаменатели — числа
74

ззаимнопрэстые (-g- + -g-; -g- + -g- и лр.); на этот случай идут упраж¬
нения 416, 417, 418, 419 и за ]ачи №№ 420, 421, 423 и 424. Третий случай,
, 1	15	3
когда знаменатели имеют общие множители!—   ;	 nD	v
4	6	6	4	и	-1’
на этот случай даны упражнения 425, 426, 427, 428. Упражнения
и задачи №№ 429—439 смешанного характера и содержат в себе пов¬
торение всех трех случаев. Залетим: 1) что в учебнике не употребляется
термин „приведение дроби к общему знаменателю*; вместо него на
этой ступени дается более простой и привычный для детей термин „раз¬
дробить дроби в одинаковые доли*; 2) решения второго и третьего
случаев ничем по существу не отличаются друг от друга, так как уча¬
щиеся здесь не прибегают к разложению знаменателей на множители,
а разпробляют дроби в одинаковые доли по соображению. Правила
сложения и вычитания учащиеся должны уметь формулировать так, как
ини даны в учебнике (курсив).
Умножение и деление обыкновенных дробей на целое чи¬
сло. Методическая последовательность проработки этих разделов дана
в учебнике. Выводу каждого правила в учебнике предшествует обычно
разбор 1 — 2 примеров; этого недостаточно. Нужно предоставить уча¬
щимся возможность наблюдать больше „математических фактов*, чтобы
на основе их сделать тот или иной вывод или обобщение. Например,
вывод правила умножения основан на решении одной задачи, которая
требует умножения —на 5, Достаточно ли одной задачи, одного при¬
мера, чтобы спелать обобщение: „Чтобы умножить дроби на целое чи¬
сло*... и т. д.? Ясно, что недостаточно. Нужно предложить еще 1—2 33-
дачи (например №№ 442, 448) и затем уже'из сопоставления трех
результатов с данными предложить учащимся сделать вывод и запом¬
нить его так, как он сформулирован в учебнике на стр. 51.
Вычисление части числа. Навык нахождения части числа — не
новый для учащихся. Он уже рассматривался в III группе. Поэтому
здесь даны только упражнения в сборнике, теорию же этого вопроса
учащиеся могут повторить по стр. 26 учебника. Упражнения
491-»- 496 подобраны так, что число частей, которые требуется
найти, выражено или десятичной или обыкновенной дробью. В обоих
случаях вопрос решается двумя действиями (делением и умножением);
вычисляя 0,75 от 240, учащиеся находят сначала 0.01 (240:100 = 2,4),
з потом 0,75 (2,4 X 75=-180).
С упражнения 497 продолжается работа с процентами. Расшире¬
ние знаний о процентах здесь заключается в том, что учащиеся учатся
заменять доли, выраженные в процентах, долями обыкновенной дроби
1	3
(20°/0 = —; 75° 0=— и г. д.). Это нужно показать учащимся сна-
О	'т
чала на наглядном пособии (на квадрате, разделенном на 109 клеток,
чтобы учащиеся увидели, что 10 клеток составляют Ю°/0 квадрата и
эти же 10 клеток составляют ^ квадрата); после такого наглядного
объяснения вопроса можно показать замену процентов обыкновенной
75

!0	i
дробью через >иримежуточные записи, а именно: 10'%=*=- ■	^
20° L — — - = -L; 25°/п = -	и	т. д. Применение полу чей
/0	100	5	0	100	4
ного навыка учащиеся найдут в решении примеров и задач №№ 498—503
Вычисление числа по данной его части. Материал по этому
вопросу дан и в учебнике и в сборнике, так как этот вопрос прора¬
батывается учащимися впервые. Методическая последовательность про.
работки дана в учебнике, где нахождение числа по данной его части объ¬
яснено на двух задачах и на одном отвлеченном примере, причем в пер¬
вой задаче часть выражена одной долей, а во второй — несколькими
(пятью) долями. Учитель должен следовать именно такому порядку. Это
понятие довольно трудно дается детям; для облегчения его усвоения
нужно прибегнуть к наглядности (к кубикам, к чертежу). Взяв несколько
кубиков, учитель говорит: „У меня есть несколько кубиков, число ко¬
торых вам неизвестно. Но если я вам скажу, что четвертая часть их
составляет б кубиков, то вы можете узнать все неизвестное число ку¬
биков. Как?" Полезно задачу № 2 учебника иллюстрировать прямой линией-
„Лошадь в минуту пробежит неизвестное нам расстояние. Обозначим его
«
~	5
прямой линией [A I—|—|~j—I—I—i В], —	этого расстояния	—200 м.	Обо-
23JM	b
5	I	0	„
значим -т- линии*. Дальше легко.найти — и затем—Правило нахож-
b	о	о
дения части числа дано в конкретной форме; в такой именно форме и
должны усвоить его учащиеся, причем	нужно	требовать	от учащихся
умения сформулировать правило и для	других	конкретных чисел.	Так,
ученик должен уметь ответить на вопрос: „Как найти неизвестное число,
3
которого равняется 15?“ Задача № 509 — сложная задача: сначала
4
нужно найти неизвестное число по данной его части, а потом требуе¬
мую	часть	числа.	Задача	№	510 решается	так:	сначала определяется уро¬
жай	с	-j-Q-	га	(1680:14	=	120);	потом	— с	целого	га,	или	га
3	•
(120 • 10= 1200) и, наконец, с — га (1200:4=300; 300 ■ 3 = 900 кг)
5	3
Решение задачи № 513. Всего денег было — ; издержано —; оста-
5	о
5	3	2	2	1
лось -г - = — ; —всех денег составляют 2,4 руб.; — их состав-
э	о	о	о	о
5
ляет 2,4 руб. :2= 1,2 руб.; — всех денег равняется 1,2 руб. -5 = 6 руб.
О
Треугольник. Прорабатывая „Треугольник" в том объеме и в том
плане, как он дан в учебнике, учащиеся, пользуясь циркулем, линей
кой и наугольником, должны научиться вычерчивать разные виды тре¬
угольников, а также, пользуясь палочками, выкладывать разные формы
треугольника и, пользуясь картоном и ножницами, вырезывать треуголь¬
ники Равенство двух прямоугольных треугольников, получившихся из
прямоугольников, должно быть показано на примере непосредственного

пенья одной фигуры на другую. Всей эюй работе надо придавать
ный лабораторный характер; нужно, чтобы все учащиеся pa¬
in с циркулем, с ножницами, наугольником, картоном и пр., а не
лепи только, как это делает учитель. При записи правила вычис-
я площади прямоугольного треугольника учащиеся снова встретятся
■ловой формулой. Эгим нужно воспользоваться для того, чтобы
зить в памяти учащихся знания, что такое формула, как ее получить и
пользоваться. З^ачи №№ 522—524 представляют интерес не только
ометрической, но и с арифметической стороны; учащиеся здесь поль-
ся приемом нахождения числа по его сумме и разности. При ре-
ии задачи №522 ставятся такие вопросы: 1) „На сколько обе из рав-
сторон треугольника больше третьей стороны?* (2,4 м-}-2,4 м —
i,8 м.) 2) „Чему равнялись бы 3 стороны, если бы все они были
,ie же, как и третья сторона?" (145,5 л — 4,8 м— 140,7 м.) 3) „Чему
ылется третья сторона?" (140,7 л:3 = 4б,9 м.) 4) „Чему равняется
,аая из двух равных сторон?" (46,9 м-\-2,4 м = 49,3 м.)
Решение задачи № 523:1) 13,05 см — 6,37 см — 6,7 см\ 2) 6,7 см : 2 =
1,35 гм; 3) 3,35 см -J- 6,35 см =9,7 см; 4) 9,7 см :2 =4,85 см.
График температуры. Основное в этом разделе— научить учащихся
:ать и понимать простейший график, с которым они могут встретиться
« чтении газет и научно-популярных книг. Учащийся должен понять,
>и график употребляется для наглядного изображения изменения вели-
ш, когда эти изменения происходят непрерывно. Учащиеся должны
.г.ь. чго обозначается цифрами, стоящими снизу и слева графика.
& первоначального ознакомления с графиком нужно принести в класс
и готовый (печатный) i рафик большого размера, удобный для обозре-
■я всем классом, или начертить график самому учителю на классной
ске. Только после обзора и объяснения такого графика можно перейти
рассмотрению и объяснению графика, помещенного в учебнике. За
■сколько дней до проработки этого вопроса учителю нужно органи-
лить ежедневные наблюдения за изменением температуры (если оно
* ведется в школе регулярно). По данным этих наблюдений нужно
гсге с учащимися в классе начертить свой график изменения тем-
'ратуры за известный промежуток времени.
Четвертая четверть (глава четвертая из сборника).
В четвертой четверти, согласно программе, должно быть повторено
7* пройденное за 4 года. Значит ли это, что нужно проработать все
1 книг по арифметике, изученных за 4* года? Нет, Курс арифметики
‘начальной школе прорабатывается строго концентрически; следовательно,
4°следний концентр — курс четвертого года — обнимает собою все глав-
и основное из всего курса. Поэтому повторять проработку всех
''ебников не надо; достаточно повторить только курс четвертого года,
■ е. три последних главы учебника, а из первых трех глав учебника
■*бдует взять для повторения только некоторые разделы: об именован-
**х числах, о площади прямоугольника и квадрата, о нахождении части
'"•"-ла, о плане и масштабе. Повторение материала из учебника должно
Сличаться от первоначальной его проработки тем, что если проработка
^ила индуктивный характер (т. е. учащиеся всегда отправлялись от
^тных случаев—задач, примеров —и через них приходили к выводам,
"7

обобщениям), то повторение должно носить дедуктивный характер 7
учащиеся начинают работу с определений, правил, выводов и затея ц
тверждают их примерами и задачами.
Повторение курса четвертого года нужно вести в такой послед
тельности сначала повторить все о целых числах, затем десяти]
дроби, потом обыкновенные дроби и, наконец, геометрический матещ
Особо надо остановиться на нахождении числа по данной его ча^,
на процентных вычислениях. Одновременно с повторением теории ну»
прорешать задачи и примеры на все действия, помещенные в четвёр,
главе сборника. Теория и практика должны быть между собой
заны. Большее место нужно отвести самостоятельному решению
учащимися Чтобы достигнуть более легко такой увязки, укажем, на
кие разделы расчленяется материал четвертой главы.
Задачи и примеры на все четыре действия с целыми числами соц
жатсн в упражнениях 527—547.
Задачи и упражнения на повторение действий с метрическими мера,
и мерами времени даются в упражнениях 548 — 557.
О плане и масштабе дано в упражнениях 558 — 567.
Четыре действия с десятичными и обыкновенными дробями пот
ряются на задачах и примерах №№ 570 — 596, 602—622 и 629 — 6.;
С процентными вычислениями даны задачи №№ 597 — 601, а таи
задачи №№ 612, 618 и 621.
Вычисления площадей и объемов даны в задачах №№ 624 — 628,
также в задачах №№ 568 и 569.
Такое делённе носит условный характер, так как зачастую одна hi
же задача может быть использована для повторения действий и с целым
и с дробными числами и с процентными вычислениями.
В этой главе помещено около двух десятков так называемых атг
браических задач, которые здесь решаются чисто арифметическим пут?*
Значение таких задач заключается в том, что они способствуют разе,
тню у учащихся логического мышления, требуют от ребяг особой сметы
сообразительности. Дадим Здесь образцы решения нескольких типична*
задач (№№ 606, 607, 610).
При решении задачи №606 учитель ставит перед учащимися так*
вопросы: „На сколько меньше стоили бы оба куска полотна, к*’
бы метр первого куска стоил столько, сколько метр второй
куска? (0,75 руб. -24=18 руб.)—Сколько стоили бы оба КУ
ска полотна, если бы цена метра обоих кусков была одинаков:
(102 руб. — 18 руб. =84 руб.) —Сколько стоил второй кус»
(84руб.:2 = 42руб.)—Сколько стоил первый кусок? (42руб.'
-4- 18 руб. =60руб.)“
При решении задачи № 607 ставятсн такие вопросы: „Предло¬
жим, что сшили 26 пальто и 26 костюмов. Сколько сукна пошло б*"
на эту пошивку, если известно, что на одно пальто и на оД*'
костюм шло 5,7 Mi (5,7 м ■ 26=148,2 м.)—На сколько менык-
сукна пошло бы на 26 пальто и на 26 костюмов, чем на 26 паль*
и на 45 костюмов? (209 м— 148,2 л = 60,8 м.)—Почему на пр*-’1
полагаемую пошивку пошло бы сукна меньше на 60,8 ж? Как»1
разница в числе костюмов? (45 — 26 = 19.) —Сколько сукна и»-’
на один костюм? (60,8л: 19=3,2.«.)“
Ход решения задачи № 610 таков:
78

„Предположим, что пальто и костюмов в магазине поровну, т. е.
сколько пальто, столько и костюмов. Как это отразилось бы на
их общей стоимости? (Стоимость уменьшилась бы на столько,
сколько стоят 7 костюмов.)—Сколько стоят 7 костюмов? (75 —
— 19)-7 = 392 руб.)—Сколько стоили бы пальто и костюмы, если
бы их было поровну? (8121руб. — 392 руб. = 7729 руб.)—Какие
данные теперь известны? (Стоимость костюмов и пальто; цена пальто
и костюма; число костюмов и пальто.)—Что можно узнать на
основании этих данных? (По скольку пальто и костюмов в мага¬
зине.)—Что для этого нужно сделать? (Узнать общую стоимость
пальто и костюма и узнать, сколько раз эта сумма повторится
в 7729 руб. Стоимость пальто и костюма: 75 руб.-j-56 руб. =
=131 руб. 131 руб. содержится в 7729 руб. 59 раз. Следовательно,
в магазине было 59 пальто, а костюмов на 7 больше, т. е. 66.)“
Самое трудное для учащихся в этой задаче — найти число костюмов
пальто при условии, что число их одинаковое, что цена каждого
честна, а также известна их общая стоимость. Чтобы облегчить эту
дность, нужно перед решением задачи № 610 предложить учащимся
ешнть несколько аналогичных задач на небольшие числа, например.
1 корзине лежат груши и яблоки стоимостью 1 руб. Одно яблоко
лт 10 коп., а груша 15 коп. Сколько яблок и груш в корзине, если
поровну?*4 „Ученик купил поровну цветных и черных карандашей и
платил за них 60 коп. По скольку куплено цветных и черных каранда-
*й, если черный карандаш стоит 8 коп., а цветной 12 коп.*4 и т. д.
•лгда ученики освоятся с такого рода задачами, можно предлагать за-
1чи, подобные задаче № 610, условие которой усложнено добавоч¬
ен данными, выраженными числами любой величины.
бдение
'ак работать по стабильному учеб-
"*у для первого года обучения.
*рвый десяток	 6
,“:ьмо цифр	 8
сприятие чясел б, 7, 8. 9 и 10	9
’энакомление с фигурами —
'ВДдрат, прямоугольник, тре-
одьник, кртг .........	—
Убавление и отнимание по од¬
ну, по два, по три, по четыре.
- пяти, по шести, по семи, по
'сьми, по девяти	 —
а3ачи . .	  10
Чиерение (метр)	 II
''став чисел первого десятка „	—
УМерация, сложение, вычита-
"е. умножение и деление до 20	12
,‘У.черация чисел в пределе 20 .	—
-Жжение и вычитание без пе¬
нтода через десяток 	 13
‘-’ожеиие и вычитание с перехо¬
ди через десяток		 .	14
Стр.
Задачи . .	.	16
Измерения (взвешивание, изме¬
рение литром) .	.	.	16
Умножение и деление до 20 . . 16
Первая сотня	 18
Нумерация до 100 .  	 —
Сложение, вычитание, умноже¬
ние и деление круглых десятков	19
Задачи	 20
Больше или меньше на сголько-то	—
Измерение дециметром и санти¬
метром. Задачи на время ....	21
Сложение и вычитание без пере¬
хода через десяток	 —
Как работать по стабильному учеб¬
нику для второго года обучения
Общие замечания	 23
Первая сотня	24
Сложение и вычитание .
Задачи 	  26
Проверка пройденного	 27
79
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
3

Измерение прямы* линий и чер¬
чение их по масштабу	27
Сложение и вычитание именован¬
ных чисел	25
Разностное с.ра  	—
Проверка пройденного .... 29
Табличное умножение и деление —
Во столько-то раз больше . . ■ 31
Простейшие диаграммы .... —
Задачи на время  	32
Полов на, четверть, восьмая , . 33
Деление на равные части. Сопо¬
ставление обоих видов .' едения. —
Во столько-то раз меньше. Крат¬
ное сравнение	34
Внетабличное умножение и деле¬
ние. Деление с оаатком .... 35
Задачи н примеры иа все деист
вия в пределе 100	37
Первая тысяча	—-
Устная и письменная нумерация. 28
Взвешивание	39
Сложение и вычитание . . ■ . —
Сложение и в «читаное на счетах. 40
Раздробление и превращение
именованных чисел. Сложение и
вычитание именованных чисел . 41
Умножение и деление	—
Диаграммы	42
Дел. низ	—
Километр	—
Задачи и примеры иа все дейст¬
вия в пределе 10С0	—
Как работать по учебнику ариф¬
метики и по сборнику задач и
упражнений для третьего года
обучения
Общие замечания	•	•	43
О задачах 	■	—
Как прорабатывается материал
для устных вычислений .... 45
О наглядности
Учебник арифметики для началь¬
ной школы на третьем и четвер¬
том годах обучения	46
В каком по ’ядке прорабатыва¬
ется материал учебника и сбор¬
ника	."	47
Устное сложение н вычитание . 49
Письменное с ожение и вычита¬
ние в пределе 1000 	—
Умножение и деление в пределе
1000 на однозначное чиелз . . . —
прямоугольник и квадрат. Черче¬
ние прямоугольных фигур по мас¬
штабу 	50
Умн окение и деление в пределе
10С0 иа двузначное число . .	—
За'-а и на все действия .... 51
Нумерация в пределе 1 000 000 . —
Сложение и вычитание много¬
значных чисел	32
Устное умножение и деление на 5. 53
Умножение и деление ьнюгозпе
ного числа на однозначное .
Умножение и деление миогч. анач-
ною чиста на 10 и круглые де¬
сятки
Квпдратные меры	^
Деление мноюзнзчного числа на
двузначное	- ...
Вычисление времени
Умножение и деление многознач¬
ного числа на 100 и на круыые
сотни	 з
Умножение и детение мнегознтч-
ного числа на г. епэначное . .	_
П ан и площадь 	щ
Обыкновенные дроби
Устное умножение	 р,
Особые случаи умножения мно¬
гозначных чисел	  .	,	-
Особые случаи деления много.
значных чисел
Чтение н черчение диаграмм . 0
Задачи и примеры иа все действия ~
Как работать по учебнику арнф
метики и по сборнику врчфж
тических задач и упражнений*
для четвертого года обучена»
Устные вычисления	65
Письменные задачи и примеры
в пределе миллиона 	 -
Нумерация целых чисел любой
величины	  ...	66
Сложение и вычитание чисел лю¬
бой величины	-
Изменение суммы и разности . . (П
Нумерация десятичных дробей . -
Сложение и вычитание десятич¬
ных дробей . . . .	6f
Процентные вычисления . . . . —
Поверхность и объем прямоу! №•
ного параллелепипеда и куш . 68
Устные задачи и примеры .	. 7Р
Умножение и деление целых чи¬
сел любой величины	"
Зависимость между умножением
и делением. Изменение произве¬
дения и частного
Умножение и деление десятичной
дроби на целое число 	 71
Процентные вычисления ....	77
Окружность. Круговые диаграммы
Устные задачи и примеры ... 7’
Преобразование обыкновенных
дробей	  "
Сложение и вычитание ...	7/
Умножение и деление обыкно-
вечных дробей на целое чис : . 79
Вычисление части числа . .	. —
Вычисление числа по данной :го
части	 7Ь
Треугольник
I рафик температуры	 ’