А. ПЧЕЛКО

ли
МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО
К СТАБИЛЬНЫМ УЧЕБНИКАМ
АРИФМЕТИКИ
ДЛЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ
t: с *
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА - 1934
А П Ч Е Л К О
МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО
К СТАБИЛЬНЫМ УЧЕБНИКАМ
АРИФМЕТИКИ
ДЛЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ
Допущено коллегией Наркомпроса. РСФСР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА — 1934

sis наr
Технич. редактор M Лесина.	<	.  4/
Сдана в набор 5,'Х1 — 1933 г. Подписана к печати 3/1-1934 г,
Формат 62 X 94*/16. Тираж 25 000.
Изд, листов 5. Бум. л. 2‘,3. В печ. листе 53856 п. зн.
У-24. Учгиз № 5625. Заказ 424?.
Уполномоченный Главлита Б-34280.
1-я Образцовая тип. Огиза РСФСР треста .Полиграфкнига". Москва, Валовая. 28.
ВВЕДЕНИЕ.
В задачу учебников арифметики и сборников задач и упражнений входит дать арифметический материал, достато^ый для усвоения тех знаний и навыков,! жэ/орые^ указаны в программе по математике для начальной школы. МйтершД подобран с таким расчетом, чтобы на проработке его у учащихся не только создавались математические .навыки но вместе с тем развивались логическое мышление, сметка и сообразительность, развивались конструктивные и комбинаторные способности ребенка. Перед учебниками арифметики стоит также задача способствовать осуществлению воспитательных целей, стоящих перед школой; в этих целях в содержание задач введен материал социалисти-ского строительства, показывающий рост и динамику развития хозяйственной и культурной жизни СССР; в тематике задач нашли отражение материалы, помогающие антирелигиозному и интернациональному воспитанию ребенка.
Материал учебника и сборников по своему объему и расположению согласован с программой для начальной школы изд. 1933 г.
Книги по арифметике построены для разных групп по разным принципам. Для I и II группы изданы учебники арифметики; в них входят задачи и упражнения и кроме того краткие и самые элементарные сведения теоретического характера, доступные для учащихся восьми-де-нягилетнего возраста. Такое построение учебника является наиболее целесообразным: теория здесь занимает сравнительно небольшое место, она дается в самой тесной связи с практическими упражнениями, и отделять ее от задач и упражнений было бы нецелесообразно. В старших группах теория занимает более видное место. Здесь учащиеся на основе навыком, приобретенных в младших группах, подводятся к целому ряду обобщений, выводов, правил и определений. Поэтому для каждой из старших групп (III и IV) понадобилось дать две книги по арифметике: одну книгу — сборник задач и упражнений, а другую—учебник арифметики.
Обучение начальной арифметике должно быть в высшей степени наглядным и конкретным. С этой цепью книги по арифметике довольно богато илтюстрированы рисунками, чертежами, таблицами, тиаграммами и пр. Но такого рода наглядности недостаточно. В работе нужно использовать еще целый ряд предметных наглядных пособий. Сюда относятся арифметический ящик, палочки, спички, счеты, образцы мер, геометрические тела и т. д., а также материал, заготовленный самими учащимися: камешки, орехи, жолуди, соломинки и т. п. Рисунки и чертежи помогают уяснению многих арифметических понятий, но во многих случаях начинать работу надо не с чертежа, а с предметного наглядного пособия, которое обладает наибольшей силой наглядности и убедительности, и затем уже переходить к иллюстрациям-картинкам, рисункам, чертежам.
___	Q
Работу по арифметике можно считать поставленной хорошо только в том случае, если она будет проводиться не только по учебнику, но и сопровождаться целым рядом практических работ — измерениями, черчением, ведением простейшего счетоводства, использованием арифметики на уроках труда и т. п., на которых учащиеся упражняются в приобретении новых навыков и в применении на практике навыков, полеченных ранее.
Как правило, в учебнике и сборниках на каждый навык дано столько материала, сколько это необходимо для его усвоения. Но в отдельных случаях может оказаться материала или недостаточно или в избытке. В случае недостатка задачи и примеры могут быть или составлены самим учителем или взяты из учебников прежних изданий (Волковский, Пчелко, Поляк, Зенченко' и Эменов, Кавун и др.). При составлении задач содержание их нужно брать преимущественно из местной жизни, наполняя их материалом социалистического строительства своей местности, своего района, своей области. Такие задачи могут быть ие только материалом, завершающим работу, но и вводным в тот или иной навык. Он тем более необходим, что стабильные учебники, как учебники республиканского значения, не могли отразить всех местных условий в том объеме, в каком это необходимо для каждой конкретной школы.
Работа по учебникам должна сопровождаться усвоением правил, определений, выводов. К правилам и выводам учащиеся должны подводиться путем решения ряда задач и примеров. Эти задачи и примеры должны даваться с таким расчетом, чтобы учащиеся на основе наблюдения математических фактов могли сами подойти к определенному выводу. Учитель вносит только поправки в формулировки и дает окончательный текст, который потом при помощи учебника закрепляется и усваивается учащимися.
Учебники по математике должны быть использованы для того, чтобы научить учащихся самостоятельно читать математическую книжку. К выработке такого уменья надо итти постепенно. Учебники для I и II групп используются учащимися при самой активной и непосредственной помощи учителя. По учебникам для 111 и IV групп учащиеся работают уже более самостоятельно. Но и в этих группах, прежде чем давать текст учащимся для усвоения, учитель должен обязательно прочитать его в классе вместе с учащимися, объяснить как общий смысл его, так и отдельные места, могущие быть непонятыми. Только после такой предварительной работы можно давать текст учебника для прочтения и запоминания.
Материал учебника и сборников может быть проработан полностью только при том условии, если он будет прорабатываться не только во время классных занятий, ио и задаваться на дом. Около четверти всего материала в книгах для младших групп и около одной трети всего материала в книгах для старших групп должно быть проработано учащимися н качестве заданий для домашних работ.
В прошлой практике был распространен обычай записывать в тетрадях не только решение задач и примеров, но и текст различного рода обобщений, выводов, правил, определений и т. д. С изданием стабильных учебников математики надобность в такого рода списывании отпадает.
КАК РАБОТАТЬ ПО СТАБИЛЬНОМУ УЧЕБНИКУ ДЛЯ ПЕРВОГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ.
Учебник арифметики для первого года обучения программе соответствует полностью. Материал учебника нужно прорабатывать в том порядке и в той последовательности, в какой он дан в учебнике.
На первом году в обучении арифметике требуется наибольшая ааглядность и конкретность. Число здесь действительно должно вырастать у ребенка из счета и измерения. Оно должно постоянно связываться с соответствующим количеством предметов. Развитие числовых представлений должно заключаться ие только в усвоении названия чисел, в уменьи считать по порядку и в разбивку, ио и в развитии у ребенка способности всякий раз представлять себе ту совокупность предметов, вещей и явлений, которые обозначаются данным числом.
Потому именно, что начало обучения арифметике должно быть в высшей степени наглядным, учебник для первого года богато иллюстрирован: в, нем много картинок, рисунков, чертежей. Они занимают здесь равноправное место с текстом и арифметическими упражнениями. Они дают конкретный материал для счета, для обучения арифметическим действиям, для измерения, для развития представлений о форме. Они прорабатываются так же, как и текст задач, как столбики численных примеров. Их значение усиливается еще тем, что на первых порах работы с учебником ребенок еще неграмотен или по крайней мере малограмотен, и язык рисунка'ему доступнее языка печатного текста.
Но рисунок, картинка — не единственная и не главная форма наглядности. Ограничивать наглядность работы только иллюстрациями нельзя. Высшая фэрма наглядности, с которой надо начинать работу с учащимися,—это предметные наглядные пособия: кубики, палочки, спички, Соломинки, камешки н т. п. Предметом счета могут быть и другие объекты, находящиеся перед глазами уиащихся: парты, ручки, карандаши, предметы классной обстанозки и т. д. или предметы, собранные детьми: камешки, соломинки, жолудн и т. п.
Постепенный переход от конкретного к отвлеченному должен итти 110 следующим ступеням:
1)	предметные наглядные пособия;
2)	картинки, рисунки, чертежи;
3)	предметы, знакомые учащимся, но не находящиеся у них перед разами;
4)	отвлеченный счет.
Обучение должно быть так организовано, чтобы учащийся активно, действенно воспринимал материал. Он должен иметь дело непосредственно ^еаглядными пособиями: пересчитывать нарисованные предметы, сам
Знакомство с фигурами, монетами, линиями и метром перемежается изучением чисел и арифметических действий, причем введение так Называемого геометрического или измерительного материала служит одновременно и для закрепления счетных навыков. Из ориентировок в про-гранстве даны „длинный — короткий-*, „направо — налево", „вверху — вцизу — посередине". Есе другие ориентировки, указанные в программе ^большой — маленький", „больше — меньше", „шире — уже" и др.), прорабатываются без учебника.
Приступая к работе, учителю нужно ознакомиться с материалом первых 23 страниц, с особенностями его трактовки и расположения.
Задания на дом могут даваться только по истечении месяца работы в школе под непосредственным руководством учителя. Заданиям на дом должны предшествовать упражнения в самостоятельных работах в классе по вы полнению небольших заданий, на которых дети приучаются самостоятельно работать. Материала нужно давать столько, чтобы учащиеся могли выполнить работу в 15—20 минут.
В первые часы занятий нужно выявить, что знают пришедшие в школу дети, какой запас представлений имеют, и в зависимости от этого построить план работы. Проверка того, что знают ребята, — для I группы очень важный момент. От того, что знают ребята, зависят темпы дальнейшей работы. Начинать работу всегда с телуе г (за исключением групп грамотных детей) с проработки каждого числа в пределе 10, т. е. L 1-й страницы учебника. Но прорабатывать этот материал нужно разными темпами в зависимости от уровня развития детей и их знаний. Есин группа состоит из малоразвитых детей, плохо справляющихся со счетом до 10 или даже умеющих только называть числа, то первые стра ницы надо прорабатывать медленно, не спеша, затратив на первые 13 страниц до 16—20 часов. С более подготовленными ребятами тот же материал можно проработать вдвое быстрее, затратив 8—10 часов или даже меньше.
К началу работы учитель должен подготовить дидактический материал и наглядные пособия, работа с которыми должна сопровождать буквально каждую страницу учебника.
Какие пособия здесь нужны? Прежде всего кубики из арифметического ящика; при отсутствии ящика их может заменить набор палочек (длиной в дециметр), спички или соломинки. Последние неудобны тем, что они мЪ1КИ. Набор этих пособий должен быть не только у учи. тетя для демонстративных целей, но и у каждого ученика. Затем важ ным дидактическим материалом, на использовании которого построены первые 6 страниц учебника, являются разрезные цифры.
Кроме того у каждого ученика должна быть тетрадь, разлинованная в клеточку, где учащийся делает зарисовки (рисует кружки, бревно, ресенку, наклеивает цифры), разноцветная бумага или картон.
Рисовать, раскрашивать, составлять фигурки, вырезывать, наклеива» комбинировать, нанизывать бусинки, заштриховывать нужное число клгд, и т. д., проявляя все время творческое отношение к работе.
Интерес к занятиям арифметикой усиливает введение математнчест, игр. Игры не получили отражения в учебнике, так как игровой маъ риал должен преподноситься непосредственно учителем. Организуй и руководство математической игрой — это живое дело учителя.] математических игр для I группы наиболее полезными являются и, в арифметическое лото, в домино, в мяч (число попаданий и промаху в спички (выкладывание различных фигур), игра в молчанку (вычис* ння по кругу) и др. К математическим играм относятся загадки с числа» и задачи-шутки.
Учебник арифметики дается учащимся с первых дней занятий, т. । тогда, когда ребята еще неграмотны и чтение текста им недоступн! В это время учащиеся пользуются картинками, по которым произвтЛ счет, читают цифры, производят над ними указанные действия (ело» ние, вычитание), рисуют кружки, наклеивают цифры и т. д. Введс ный в учебник небольшой текст используется учителем, для которе, он служит методическим путеводителем: именно в такой форме учите, ставит перед учащимися вопрос, дает им задания.
После этих общих замечаний дадим более конкретные и подроби указания, как проработать каждый раздел учебника, следуя тому г рядку, в каком расположен материал в учебнике.
Первый деСЯТОК (стр. 3—25). На проработку первых 23 страна учебника, исчерпывающих изучение первого десятка, может быть noipi чено 55 часов классных занятий в течение всей первой четверти учеб зиИ года (сентябрь, октябрь и первая шестидневка ноября). За это время уч щиеся должны изучить прямой и обратный счет в пределе 10, изу i. каждое число в отдельности, изучить таблицы сложения и вычитав* в пределе 10, познакомиться с, фигурами и линиями и первой едим ней измерения — метром.
Изучение чисел от 1 до 10 в методическом отношении подразделяет на две ступени: первая ступень обнимает числа 1—5 (стр. 3 — 8) и вь рад ступень — числа 6 —10 (стр. 9 — И). Эти ступени отличаются oJ от другой тем, что на первой ступени более подробно изучается сос I каждого числа на основе Особенность данного числа сразу же подводит жением и вычитанием), страница 2) встречается
2 — 1—. Прибавление н отнимание дается параллельно. Знакомей с письменным начертанием цифр дается после знакомства с их ш чатным изображением: сначала учащиеся знакомятся (примерно, с тр< з его урока) с печатным изображением цифр, обозначающих первые 5 чнее и только после этого (примерно, на десятом уроке) знакомятся с пис* мом цифр 1 и 2. Таким образом, примерно, к пятнадцатому уроку у*| щиеся будут знать печатное начертание всех первых 9 цифр и ну i»l Что же касается уменья писать цифры, то этого уменья ученики достиШ нут значительно позже,—примерно, к двадцать пятому—тридцатому vpi *1 (одни группы раньше, другие—позже, в зависимости от уровня разаЧ ия детей и их предшествующей подготовки).	I
счета и работы с разрезными цифрами, учебника заключается в том, что изучен! учащихся к ознакомлению с действиями (chi Вот почему уже на странице 4 (фактичеа упражнение на разрезных цифрах 1	1 Я
Проработка первой страницы, на которой выясняются понятия „много", „один*, заключается в том, что учитель ставит к картинкам вопросы: „Сколько гвоздей на картинке?1' „Сколько молотков?" „Сколько больших домов?" „Сколько маленьких домиков нарисовано?" Ответы ''чащихся будут: „много-', „один". После рассматривания картинок и Ряда вопросов по отношению к предметам, окружающим учащихся
(сколько парг в классе, сколько столов, сколько учеников, сколько у< телей, сколько чернильниц, сколько классных досок и т. д.), учите» предлагает учащимся нарисоаать один и много аналогичных претме; по выбору учащихся (домиков, деревьев и др.) и знакомит с печати? цифрой 1.
На следующих 5 страницах дается материал для восприятия чис« 2, 3, 4 и 5. Одновременно учащиеся знакомятся с прибавлением । отниманием чисел на разрезных цифрах.
Изучение каждого числа ведется, как мы уже указывали, не толы по картинкам, но прежде всего на предметных наглядных пособии Изучая, например, число 4, учитель предлагает детям отложить 4 пале, ки, разбить 4 на разные группы (3 да 1, 2 да 2, 1 да 3), отчитать , па^ты, 4 учеников и т. д. И только после этого обращается к картинке где нарисованы 4 трактора, лошадь и др.
Работа с разрезными цифрами требует, чтобы уже на третьем и.ц четвертом уроке учащиеся ознакомились со знаками сложения и вычита ния и знаком равенства.
Объяснение дается, примерно, в такой форме: „Сколько у гок в берегу? (Одна.) — Сколько уток подплывает к берегу? (Одна.) -Сколько уток стоят на берегу? (Две.) — Это можно обозначив так: к одной прибавить одну, будет две. Вместо слова «прибавить) ставят прямой крестик, вместо „будет“ ’ставятся две черточки. I
„Сколько птичек сидело иа ветке? (Две.)—• Когда одна улетела, сколько осталось? (Одна.) — Это можно обозначить так: от двух отнять одну, останется одна. Что означает здесь черта? (Отнять.) — Что означает две черточки? (Останется.)”
Прибавление и отнимание на разрезных цифрах проводятся так.
Сначала рассматривается рисунок и выясняется его содержание, пото) читается пример, помещенный под рисунком; затем учащиеся вык.ч бывают его иа своих разрезных цифрах. Не ограничиваясь только рисун ками книжки, учитель может сам делать рисунки иа классной лоске или производить те или иные операции с наглядными пособиями (кубиками' так. чтобы они были видны всем учащимся, а учащиеся затем выкладывают! их на разрезных цифрах. Например, учитель кладет 3 кубика, затеи! придвигает к ним 2 кубика и спрашивает: „Что я сделал?“— „К 3 прибавили 2”.— „Сделайте это на своих палочках, соломинках и т. п.,1 затем на разрезных цифрах.” Учащиеся подбирают цифру 3, зате| цифру 2, ставят между ними плюс, а после 2 знак равенства, после которого ставят цифру 5.
Письмо цифр (стр. 8—18). После того как учащиеся изучат чися в пределе 5 и ознакомятся с печатными цифрами, вводится иовш момент в работу — письмо цифр. Уменье писать цифры тается при изу| чении материала, расположенного на протяжении последующих 10стр>| ниц (8—18 стр) и идет параллельно изучению чисел 6, 7, 8, 9, 10, || также прибавлению и отниманию по 1, по 2 и по 3 (что занимай ।обой, примерно, 15—20 уроков).	,	I
Письмо цифр идет в порядке их естестзенной последовательноеifll 1, 2, 3, 4 и т. д. При обучении письму цифр нужно прндерживатьд| той формы начертания, какая дана в учебнике. На каждом уроке целее сообразно знакомить учащихся с письмом одной цифры. затрачигаЯ 8	_____
а зЮ не больше половины урока и О|Давия другую половину урока '.С1ным занятиям по счету.
Восприятие чисел 6, 7, 8, 9 и 10 (стр. 9—11). Проработка этих чисел отличается от проработки чисел до 5 тем, что здесь не даетси работа (присчитывание и отсчитывание) с разрезными цифрами; следо-отельно, учащиеся не упражняются в сложений и вычитании чисел до 10 р~«отд заключается 1) в восприятии числа, 2) в восприятии отдельных 1руПП, из которых состоит число, 3) в восприятии числовой фигуры и печатной цифры Разница в проработке объясняется тем, что числа 6 — 10 менее знакомы учащимся, объем их больше; проработка их в той форме, как это былс до 5, труднее для учащихся. Зато особое внима ние наДи обратить на те упражнения, при помощи которых изучается состав числа. („Покажи: 8, 7 и 1; 6 и 2“ и Т. д.) Такого рода устные упражнения надо проделать, пользуясь не только картинками, но и ^биками, спичками и др. („Положи 7 спйчек; покажи 4 и 3 спички; покажи 5 и 2 спички. Сложи 3 спички, еще 3 спички и 1 спичку —
сколько будет спичек?”)
Ознакомление с фигурами — квадрат, прямоугольник, треугольник, круг (стр. 12—13). Восприятием числа 10 заканчивается первый этап работы; иа нем можно несколько остановиться (урока на 2), чтобы познакомить учащихся с геометрическими формами, с которыми им приходится все время иметь дело. В учебнике сначала даются эти фигуры каждая в отдельности, затем эти же фигуры даются в разных сочетаниях — в изображении печи, сарайчика, паровоза и др., которые рисуются учащимися, потом эти фигуры выкладываются ими из спичек. При рисовании можно не ограничиваться только данными рисунками, а предоставлять детям право рисовать и другие предметы, куда входят данные фигуры (домик, башня, монета, мяч и т. д.). Одновременно надо упражнять детей в отыскивании изучаемых форм в окружающих предметах (прямоугольники в крышке стола, в фирме окон, дверей, квадраты в арифметическом ящике, треугольники — крыша). Ра-Со.а по изучению форм должна быть тесно связана со счетом: рисуя, ребята подсчитывают число квадратиков, число спичек, которые нужны для составления разных фигур, число" линий в разных фигурах и т. д.
Прибавление и отнимание по одному, по два, по три, по четыре, по пяти, по шести, по семи, по восьми, по девяти (стр. 14—22). Прибавление и отнимание по 1, или прямой и обратный счет до 10, является в сущности завершением работы по ознакомлению с числами до 10. Для того чтобы фиксировать внимание учащихся ни каждом числе и избежать механичности в счете, в учебнике рекомендуется нанизывание на нитку бусинок. Это — хорошее упражнение; при отсутствии подходящих условий оно, впрочем, может быть заменено простым присчитыванием и отсчитыванием кубиков и других предиетов счета Пример 14-I4-I-H+ 1-|-1-|-1-J-1-|-1-)-1 читается сначала так: один да °Д.ш будет два, даа даодин будет три, три да один будет четыре и т. д., а Потом короче: один да один два, да один гри, да один четыре, да один пять и т. л. Там же при пересчитывании белых кружков в рамках /Чащнеся, пользуясь знанием числовых фигур, называют сразу число белых кружков. Так. например, на вопрос: „Сколько белых кружков
Первой рамке?” учащиеся отвечают: „Три /ft два — пять”, а на
Из задач, выясняющих смысл вычиганй
сколько останется, если из данного чпс] например, задача № 7 на странице 15
йеся (если они уже умеют читать) читают вопрос и дальше находят ответ тем сложения чисел, изображенных на монетах. Благодаря рисункам -и задачи отличаются большой конкретностью и представляют большой irtiepec для ребят; решение их имеет и практическое значение для детей, ц>торь'М рано приходится иметь дело с денежными знаками.
В пределе первого десятка помещено всего 30 задач. Ясно, что та-i задач недостаточно Учителю самому нужно составлять задач по образцу приведенных в учебнике, беря содержание их из !кизни близкой, окружающей ребенка.
Измерение (метр). И в этом разделе счетный материал перемещается с геометрическим. Из геометрического материала здесь мется знакомство с прямой и кривой линией и с метром. Знакомство /метром должно носить сугубо практический характер ученики должны видеть метр, иметь метр на руках, сделать его из картона и произвести пяд измерений. Чтобы внести оживление и интерес в измерительные работы, можно соединять измерение метром с измерением шагами, измерением на-глаз („Сколько метров по-твоему имеет длина нашего класса? А ну-ка проверь!" и т. д.). Закрепляются сведения о метре решением задач.	-
Состав чисел первого десятка (стр. 11) С этими упражнениями учащиеся уже встречались, изучая каждое число в отдельности; там эти упражнения носили характер подготовительных к усвоению действий сложения и вычитания, производимых устно, и не сопровождались записями. Здесь эти упражнения завершают работу по усвоению таблицы сложения; вычисления производятся устно, но сопровождаются последующей записью. Решению этих примеров может- предшествовать игра з счетное лото. Примеры проделываются сначала на чертеже.
Работу с чертежом учитель ведет гак: Смотрите на левый прямоугольник. Сколько всего клеточек в каждом ряду? (6.)—Сколько белых и сколько черных клеток в первом ряду? (Белых 5, черных 1.) — А всего? (6.)—Если мы знаем, что всего клеток 6, а белых — 5, то сколько черных? (Одна.) — Почему? (Потому что 6 состоит из 5 и 1.)—Смотрите на первый сверху пример. Там написано: к 5 прибавить некоторое число, получится 6. Вместо неизвестного числа стоит знак вопроса. Какое же число надо поставить вместо знака вопроса? (1.) Сколько клеток во втором ряду? (6.) — Сколько белых и сколько черных? (4 и 2.) — Прочитайте второй пример. Какое же число надо поставить вместо знака вопроса? (2.) — Почему? (Потому что 6 состоит из 4 и 2.) И т. д.
После этого детям даются для решения примеры под номерами 2 и 3. Проделывается работа с монетами. Здесь нужно иметь в виду, что Решение этих примеров основывается всецело на знании состава чисел 11 поэтому к вычитанию при вычислении результатов прибегать не с-1едует. Чтобы подчеркнуть смысл этой работы, целесообразно детям Делать эти примеры в несколько измененном виде, а именно: давать не S-{-?=7, а 7—5—т. е. вначале ставить число, состав которого уз-Нается, потом знак равенства и затем уже оба слагаемые. Решая этч Примеры, учащиеся при списывании сразу ставят искомое, число вместо анака вопроса, г. е. пример ?-|-3=10 они переписывают в свои тетради 6 таком виде: 7-}-3 = 10.
вопрос: „Сколько белых кружков в третьей рамке?" — отвечают: „Чел да четыре — восемь".
Упражнение 8 на странице 15 производится письменно, т. е. i ча щиеся переписывают названные примеры в тетрадь н записывают о» зультат сложения и вычитания.	1
Порядок работы по прибавлению и отниманию каждой следуют-группы (двойка, тройка и т. д.) такой: 1) упражнения на кубика *УГ°^Гпо об 2) упражнения по картинке или чертежу; 3) упражнения с отвлеченны, числами, чередуемыми с решением задач и математическими играми.]
Присчитывание двух сводится к присчитыванию одного и ещ одного, или единицы и еще единицы. Поэтому, прежде чем дать npiiJ 4-|-2, дается такой пример: 4-|-1-}-1. То же и при отнимании. Прис! 1ывание двоек или пар должно быть усвоено особенно твердо.
Присчитывание трех сводится к присчитыванию двух и еще одной поэтому примеру 3-|-3 предшествует такой пример: 3-f-2-f-l; пример 4 3 предшествует пример 4—2—1. После присчитывания и отсчитья ния гроиками производится проверка пройденного. Строчки под ном рами 1 —2 (стр. 18) исчерпывают, все наиболее сложные случаи из про работанного. Проверка производится на одном из уроков. Пример, выписываются учителем на классную доску в том порядке, в каком он даны в учебнике, или в измененном. Примеры учащиеся выполни к самодеятельно с таким расчетом, чтобы выполнение работы занимд 13 20 минут. При выполнении работы надо требовать, чтобы у 1. щийся, списав один пример, сейчас же решил его, затем переходил списыванию и решению следующего примера и т. д.
рибавление четырех сводится к прибавлению двух и еще дв,.\ (добавление пяти сводится к прибавлению четырех и одного или ди и трех. Пои прибавлении 6, 7, 8 и 9 широко используется перемеси гельный закон сложения (не называя, конечно, самого закона).
Таким образом, каждое последующее упражнение опирается ] предыдущее, и если с самого начала работа будет поставлена основатель но, то трудности будут преодолеваться учащимися незаметно, б| особых напряжений.
Задачи. На этой ступени впервые вводятся задачи. Задачи просе с одним вопросом, решаемые одним действием — сложением или вычпг! нием. Из нескольких видов задач, на которых выясняется смысл дейст в сложения в пределе первого десятка, помещены только такие задан когда требуется найти число, равное данным числам, взятым вместе - например: „На полке было 8 книг. Поставили еще одну книгу. Сколь! теперь книг на полке?", в пределе первого десятка, помещены задачи двух видов.
1. Когда надо узнать, вычесть другое данное число, например, задача № 7 на странице 15 „В коробке было 10 карандашей. Один карандаш вынули. Сколько кара* дашей осталось в коробке?"
2. Когда по сумме и одному из слагаемых требуется найти друг< слагаемое; например, задай № 6 на стр. 23: „Из 7 м ткани сшили плть и передник. На платье пошло 5 м. Сколько ткани пошло на передник?
Особой разновидностью задач являются задачи, помещенные на стр нице 21 под заглавием „Монеты". В этих задачах условие дано в аи( рисунка; в тексте стоит только вопрос задачи. Учитель или сами уч»
Ту же цель преследуют и квадраты с незаполненными клетками (nJ мешенными в конце страницы 25) в отделе .Повторение". Этот отдД надо поставить сейчас же после упражнения со спичками с тем, чтоЯ .Проверка пройденного", имеющая значение учета, завершала собе всю работу.
Часть численных примеров, помещенных на страницах 19, 20, 2, и 25, можно исп тльзовать и для упражнений в беглом счете. Тот пример для беглого счета читается учителем так: „К четырем прибавит, два (остановка), отнять три. Сколько будет?" Но вообще-то учитель Са, составляет примеры для упражнений в беглом счете с тремя данными
Нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление до 4) Материал для проработки этого раздела программы занимает 22 сгЛ ницы (с 26 по 47). Согласно программе, этот раздел должен бЛ проработай в течение второй четверти; следовательно, на него мозге быть затрачено 40 часов классных занятий и около 10 часов домашне работы (считая в среднем по 15 минут ежедневно). При планировани! работы это время нужно распределить между проработкой сложения и выти тания стр. (26 — 35) и проработкой умножения и деления (стр. 36—47 так, чтобы умножение и деление заняли больше времени. Однако, ес.я по ходу работы окажется, что данная группа к концу второй чет верти не успеет проработать весь материал, то торопить учащихся ускорять темпы работы за счет качества проработки не следует, памятуя что успешность последующей работы всецело зависит от того, наскольш первые шаги в математике будут сознательными. Лучше незаконченна часть материала перенести в третью четверть, чем комкать всю работу | оставлять детей со сбивчивыми, путаными знаниями и тем создавать шаткую базу для последующей работы.
Наглядность здесь требуется не меньшая, чем при проработке первого десятка, однако здесь иллюстративный материал (особенно при проработке сложения и вычитания) уже не имеет такого большого значения; поэтому иллюстраций к этому разделу в книге дано меньше. Центр тяжести здесь переносится с картинок на предметные наглядны» пособия.	4
Нумерация чисел В пределе 20. Отведенная этому вопросу страничка (26) должна быть проработана особенно тщательно, неторопливо с затратой на это дело 3—4 уроков. Вопрос о нумерации должен быгг расчленен на два вопроса- 1) устная нумерация и 2) письменная нумерация. При проработке устной нумерации надо познакомить учащнха сначала с образованием чисел от 11 до 20 путем соединения отдельный двух чисел (десяток и единицы), а потом с разложением чисел второгв десятка на десятичные группы. Знакомство с образованием чисел от Г1 до 20 проводится вначале не на рисунке, а на палочках (спичках) и.т<‘ на брусках и кубиках (из арифметического ящика). Заметим, что использов(Й ние счет в качестве наглядного пособия на этой ступени преждевременг.с Берется пучок спичек (брусок) и одна спнчка (один кубик) и называете новое число — одиннадцать; берется пучок (брусок) и две спички (дЯ кубика) и называется новое число—двенадцать и т. д. до двадцати Затем прорабатываются задания учебника под номерами I, 2 и 3, связав иые с рисунком (проволока с шариками). После проработки по учебник задания 4 и 5 ученики считают под ряд: 1) от 11 до 20; от 1 до 'С Считают обратно: 1) от 20 до. 10; 2) от 20 до 1. Называют числе
находящиеся между двумя данными числами, например, между 14 и 17, между 17 и 20.
После составления чисел учитель дает учащимся ряд упражнений с разложением чисел (Сколько десятков и единиц в 16? Из скольких десятков и единиц состоит число 18? и т. д.)
Когда деги усвоят устную нумерацию, учитель показывает, как пишется каждое число ( 11, 12, 13 . . .19, 20), объясняя, что сначала пишется 1 (обозначающая 1 десяток), а потом единица. Упражнению в письме предшествует игра, заключающаяся в том, что учащиеся рисуют в тетрадях прямоугольник, разделенный пополам; в одной половине пишется 1, в другой 0; затем на место нуля кладут по заданию учителя разрезные цифры и называют получающиеся числа. Полезно работу по усвоению нумерации завершить письменными упражнениями такого рода:
11 = 10+1	19 = ?Ч-9
12=10-1-2	18=10 + ?
13=10+3	17 = ?+7
Желательно, чтобы знания нумерации в пределе 20 были увязаны с практическими потребностями самого ребенка: отыскать страницу в книге, назвать номера трамваев, проходящих по нашей улице, номер дома,, номер квартиры, подъезда,если они в пределе 20, и т. д.
Сложение и вычитание без перехода через десяток. Соблюдая строжайшую постепенность в переходе от простого к более сложному, от легкого к более трудному, весь материал в учебнике разбит иа 4 ступени, обозначенные римскими цифрами, причем первый случай, т. е. когда к полному десятку присоединяется несколько единиц, и соответствующий ему случай вычитания, когда от двузначного числа отнимаются все единицы, как находящийся в самой тесной связи с нумерацией, в особый параграф не выделен и дан непосредственно вслед за нумерацией.
Сложение и вычитание и здесь прорабатываются совместно, после сложения всякий раз помещается проработка соответствующего ему случая вычитания. 4 ступени, на которые разбивается проработка сложения и вычитания без перехода через десяток, следующие:
1)	К полному десятку прибавляется несколько единиц(10 + 6; 9 + 10); от двузначного числа, состоящего из десятка и единиц, отнимаются все единицы (16 — 6); сюда же отнесен и тот случай вычитания, когда вычитаемое есть 10 (15—10; 13—10).
2)	К двузначному числу, состоящему из одного десятка и нескольких единиц, прибавляется однозначное число (13 + 2).
От двузначного числа, состоящего из десятка и единиц, отнимается несколько единиц, при чем число единиц уменьшаемого больше вычитаемого (18 — 4; 15 — 3).
3)	К двузначному числу, состоящему из одного десятка и нескольких единиц, прибавтяется такое однозначное число, которое дополняет его де двух десятков (14 + 6; 19+1).
От 20 вычитается однозначное число (20—3), от 20 вычитается двузначное число (20— 15).
4)	От двузначного числа отнимается двузначное число (19—ГЗ; 1.6- 14).
13
W57W
Но пгоаничи-
В учебнике подсказаны и приемы проработки некоторых случаев, указаны подготовительные ступени. Например, § 3 на стр. 27 начинается следующими строчками:
Q I о
например, 14 —? = 8. Читается этот пример так: „Сколько нужно отнять от 14, чтобы осталось 8?“. Решается же он так: 14 — 6 = 8.
Весьма занимательными и полезными являются упражнения в раскладывании цифр по клеткам квадрата так, чтобы в каждом ряду и в каждом столбце получалось определенное число. Но не нужно скрывать от себя и то, что эти упражнения в этом месте могут оказаться трудными для массы учащихся; в таком случае эти упражнения можно дать более сильным ученикам, а остальной массе учащихся их можно предлагать в конце проработки второго десятка (после умножения и деления).
В разделе „Повторение" (стр. 35) нужно дать не только примеры, но и задачи (здесь уместны задачи в два действия) Примеры на косвенное сложение и вычитание (2) нужно начать с более легких случаев (94-?= И; 8-(-?=11; и т. д. 8 4-?=12; ?4-?=12 и т д.). Примеры такого вида: ?—7 = 5; 12 — ?=3 и т. д. можно давать только в сильных группах.
Задачи. В начале работы над числами в пределе второго десятка учащиеся продолжают решать задачи в одно действие; здесь однако вводится новая разновидность таких задач, а именно—задачи на сложение и на вычитание, выраженные в косвенной форме. По своей формулировке они несколько труднее задач на те же действия, данные в прямой форме, поэтому таких задач дается немного. В учебнике их всего две, а именно задача № 4 (стр. 28) и задача № 8 на странице 34. Задача № 4: „Ребята прочитали 8 страниц новой книги. Осталось еще 12 страниц. Сколько всего страниц в книге?" Несмотря на го, что здесь есть выражение „осталось", которое как будто говорит о вычитании, тем не менее задача эта решается сложением. Типичным образчиком задачи на вычитание, выраженной в косвенной форме, является выше упомянутая задача № 8: „В начале года в первой группе было 6 безбожников; теперь их уже 15. Сколько прибавилось в группе безбожников?" Задача решается вычитанием (6-f-?= 15; 15 — 6 = 9). Двумя задачами, разумеется, ограничиваться нельзя, и учителю самому придется составить ряд подобных задач.
Новым моментом в области задач на данной ступени является введение задач, решаемых двумя действиями1. Это очень важный шаг в работе. Учащихся нужно подвести к осознанию того, что в некоторых задачах, чтобы ответить на вопрос задачи, нужно бывает ответить еще на один вопрос (какой — это видно из условия задачи).
Производить анализ таких задач не надо. Достаточно при спраши ни куиимА	........ и ill вании ученика, как он решил задачу, поставить перед ним такие во-
Все последующие разделы, обозначенные Римскимв_,,	просы: „Что ты сначала узнал? Как? Что потом узнал? Как?"
, .	‘ t g потом К 8, -задача № 1 иа два действия даш
сел первого десятка сначала к .,	‘ ’.Здесь прежде чем ответить на вопрос.
к 6. Понятно, почему из ран так^	щихся.узнать: „Сколько получили сдачи?". Г _	_ _______ ____
;о;э десятка наиболее	g ПримерыпеРвых задач в два действия, не совсем удачна: во-первых, -
Vi чО мере уменьшения числа ( , •	. . ходит применение только одно действие — сложение, а во-вторых,
стремя слоеным»,	‘ Гп’каХт. „Допускает два решения. ,----------------------
показывают прием вычисления; так, пример У„ щ—-------------------------------
для прибавления 4 к прибавить 3. Г , меры 14
13 -4- ?
13 4-3
c 2 надо сложить 3 ла 2 и затем пример 6-4—11, помещен такой ~	- ле..
Это означает, что при сложении 13 5 прибавить к 10. Прежде чем дать пример: 6 4-1. Это значит, что при сложении 6 с 11 надо к 6 прибавить 1, а затем к полученному числу прибавить 10.
Среди численных примеров в этом раздете впервые встречаюгся примеры на вычитание, выраженные не в прямой, а в косвенной форме. Таковы примеры под номером 8 на странице 28 (5 4-? = 20) и под номером 6 на странице 29 (?4-13 = 16). Читаются эти примеры так: „Сколько надо прибавить к 5, чтобы стало 20?" „К какому числу надо прибавить 13, чтобы получить 16?" В этих упражнениях дано сложение, а решать вопрос можно или сложением (3	13= 16) или вычитанием
(16 — 13 = 3).
Круги с числами (стр. 29) решаются так: учитель чертит эти круги на доске. Вызывает учеников по одному к доске и молча указывает те числа, которые надо сложить или вычесть. Вызванный ученик пишет ответ на доске и и тег на место. К доске вызывается другой ученик. В методиках эти упражнения иногда носят название игры в молчанку, так как эти операции проделываются молча.
Сложение и вычитание с переходом через десяток (стр. 30—34). Этот раздел — очень важный и довольно трудный для детей — начинается с подготовительных упражнений, цель которых научить детей дополнять до 10, что необходимо для сложения двух однозначных чисел, сумма которых превышает 10. (Таких примеров, какие даны в § 1—2, нужно дать учащимся столько, сколько это нужно для того, чтобы они могли это дополнение до 10 делать сразу и безошибочно.) Подготовительным является упражнение 3 (стр. 31), где даются 3 слагаемых, причем от сложения первых двух получается полный десяток (например, 9 4“ 14“ 7), а также упражнения 4, 5, 6, в которых одним из промежуточных результатов счета равными группами является полный десяток. Для большей наглядности все эти примеры необходимо предварительно проделать на кубиках (палочках, спичкзх).
Все последующие pajuv.!,., с.соз;;д':с:::::— ,-----	- ».
IV и V, содержат в себе упражнения (численные примеры и задачи) пР0СЫ-‘ „
на прибавление всех чисел первого десятка сначала к 9, потом к 8, Задача № 1 иа два действия дана в учеб
затем к 7 и, наконец, к 6. Понятно, почему избран такой порядок:^десь прежде чем ответить на вопрос Скотьк^0 ° ИЛлюстРацией-дополнение девяти до полного десятка наиболее легко для учащихся;Узнать: „Сколько получили сдачи?". Задача № 2° СТ°ИТ маРка’“» надо трудности возрастают по мере уменьшения числа (8, 7. 6). ПримерыпеРвых задач в два действия, не совсем удачна- ’ В Качестве одной из с тремя слагаемыми, предшествующие примерам с двтмя слагаемымн,ходит применение только одно дейстпир_____________„„„ во-первых, в ней на-
.......	чтодопускает два решения, из котовых ™ение> а во-вторых, она
...	.: 9 нужно сначала к 9 прибавить 1, а потом к 10-------------- Р шение делает ее задачей
В разделе III среди числовых примеров имеются при- 1 Б зависимости от уровня развития тчт
на сложение и вычитание, выраженные в косвенной форме,может быть несколько отодвинуто и	₽е,иение задач в два действия
гитания в пределе 20. У Й Урочено к повторению сложения и вы-

1_____
I-S,
ам |И-ю-ле-
:ью ве-
17
в один вопрос (первое решение 15-)--2=17; 17-рЗ	20. Второй
решение: 1523 = 20); в-третьих — решение ее затруднено тем, что здесь сложение дано в косвенной форме. Поэтому ее можно опустить и заменить другой, более легкой и определенной задачей. Сначала задачи в два действия решаются только устно, а к концу первогс полугодия можно сопровождать решение записью действий.
Измерения (взвешивание, измерение литром). Упражнение в сложении и вычитании без перехода через десяток завершается ознакомлением учащихся с весами и гирями в 1, 2, 5, 10 кг и с процессом взвешивания, а после упражнений в сложении и вычитании с переходом через десяток учащиеся знакомятся с литром и с измерением литром. Такой порядок вносит необходимое разнообразие и оживление в работу по арифметике; кроме того знакомство с мерами дает конкретный материал для задач.
Вся работа по измерению должна носить в высшей степени наглядный и конкретный характер. Ученики должны ознакомиться не только с названиями мер, „килограмм", „литр", но и с самими мерами —с гирями, с весами, с кружкой в один литр, в пол-литра. И знакомство это должно быть всесторонним, конкретным. Ученики должны видеть гирю в кило грамм, осязать ее, ощутить ее вес и затем научиться взвешивать. То же С литром; сравнение литра со стаканом, отношение между литром и ведром учащиеся должны определить на опыте переливания жидкости, наполнения сосудов водой. Учащиеся могут изготовить себе мешочки и наполнить их песком весом в 1 килограмм, с тем чтобы на самодельных весах производить разного рода взвешивания. Заканчивается работа по измерению приблизительным определением веса разных предметов, объема разных сосудов (в литрах) и решением задач, помещенных в учебнике. На каждую работу по взвешиванию и ознакомлению с литром .нужно употребить по 2 урока *
Умножение и деление ДО 20 (стр. 36—46). Умножение чисел в пределе 20 прорабатывается в такой последовательности: умножение двух. Трех, четырех, пяти и т. д.,т. е. в порядке естественной последовательности натурального ряда чисел. Умножение прорабатывается совместно с делением. Учащиеся иа данной ступени (в пределе 20) получают знакомство с двумя видами деления: с делением на равные части и с делением по содержанию. Сначала в самой тесной связи с умножением учащиеся знакомятся с делением по содержанию как более конкретным и понятным для детей делением, а потом — с делением на равные части. Порядок проработки деления на части иной, чем деления по содержанию, а именно; на 2 и 4, 3 и 6, 5, на 7, 8, 9 и 10 равных частей.
Так как учащиеся ко времени проработки этого материала уже грамотны, то в учебнике здесь дается больше текста, и в текст вводятся элементы теории (в виде инструктивных указаний): „Примеры в последней строчке читать так: по 2 взять 2 раза, по 2 взять 3 раза и т. д." (стр. 36) или: „В целом круге 2 половины. В целом круге 4 четверти" (стр. 42) или: „Напиши под ряд до 20 все числа, которые делятся на 2 равные части. Это четные числа" (стр. 43). И тут же надо добавить: „Числа, которые не делятся на две равные части, называются .Течетными".
Действия умножения и деления являются для детей более трудными по сравнению со сложением и вычитанием, поэтому они даются в учебнике особенно наглядно и конкретно; проработка каждого случая умно-16
«iW’»--------------------------
р£ния и деления сопровождается чертежами и рисунками. Не ограничились только такого рода наглядностью, учитель должен обращаться к ^еД'яетным наглядным пособиям, предваряя ими работу по картинкам.
Суть работы по этому разделу заключается в том, что ученики сна-ij.qa учатся „добывать" таблицы умножения и деления, а потом проде--ывают ряд упражнений, в результате чего запоминают таблицы наизусть.
Проработка первой страницы должна уяснить детям, что умножение е:ть сокращенное сложение, и показать пользу замены сложения умножением. Первый урок следует начать с работы на кубиках (или палочках, спичках) и провести его, примерно, так:
„Возьмите 2 кубика, еще 2 кубика, еще 2 кубика, еще 2 кубика и еще 2 кубика. Положите каждую пару недалеко одну от другой. Сосчитайте, сколько всего кубиков будет и запишите, что прибавляли и сколько будет?" Один ученик на доске, а остальные в тетрадях делают такую запись: 2-f-2 —2 —J—2 —J—2 = 10. „По скольку кубиков вы каждый раз брали? (По 2 кубика.) — Сколько раз вы брали по 2 кубика? (5 раз.) —Сколько же получится, если по 2 кубика взять 5 раз? (По 2 кубика взять 5 раз — будет 10 кубиков.) —Как прочитать эту запись: 2—|—2—|— -J-2 -|- 2	2 = 10? (2 да 2 да 2 да 2 да 2 будет 10.) Так чи-
тать долго,— говорит учитель. Эту запись можно прочитать короче: По 2 взять 5 раз будет десять. Это можно и записать
l ' короче: 2X5=10". Учитель читает эту запись и делает ударе-р > ние на слове „взять", указывая на косой крестик. Тут же проти-I ‘вопоставляются прямой крестик и косой крестнк. Прямой крестик означает прибавить, а косой крестик „взять или повторить". (Слово „умножить" на этой ступени не вводится в употребление.) „Запишите подробно и кратко: по 2 взять 7 раз, по 2 взять 4 раза и т. д.“
Аналогичная работа проделывается над шестью парами и над четырьмя парами кубиков (берется 6 пар кубиков, пет^счр s ется, сколько это будет кубиков, делается запись сначала FinZ :ло-Л жения, а потом в виде умножения и т. д.). И только после S/ko?T^!Ji^\ боты с кубиками учитель предлагает учащимся открыть огргАицу 35s' Учебника.	V* \
„Здесь нарисовано несколько прямоугольников с квадратными клетками белыми и черными. Подсчитайте, столько клеток^ вом прямоугольнике? (Две да две, а всего четыре.) —Как~ записано? (2 да 2.) —А еще как? (По 2 взять 2 раза.) —Подсчитайте, сколько клеток в следующем прямоугольнике? (Две да две, да еще две, всего шесть.) —Как это записано? (2 да 2 да 2). — А ка < еще короче? (По два взять 3 раза)". И т. д.
После нескольких упражнений под руководством учителя ученикам Лаются для самостоятельной работы (в классе, а потом и на дом) при-меры на сложение, которые должны быть заменены примерами на умножение, и наоборот, примеры умножения должны быть заменены примерами на сложение. (Это, примерно, содержание 1-го урока.)
На 2-м уроке учащиеся решают задачи на умножение с записью Решения и упражняются в счете двойками. На дом даются для решения два первых столбика под № 7.
2
Руководство к учебникам арифметики.
17
На 3-м уроке производится проверка знания таблицы умножений и дается понятие о решении примеров со скобками.
На 4-м и 5 м уроках прорабатывается деление по 2 с выяснение его на кубиках, с решением задач, на численных примерах. Численщ примеры и задачи, помещенные в учебнике, таковы, что на них одщ, временно с проработкой умножения и деления повторяется сложец и вычитание.	1
Делению на равные части предшествует ознакомление учащихм с половиной и четвертью. Ознакомление ведется в том плане, как э:1 указано в учебнике. Но для того, чтобы „половина" и „четверть" л j учащихся стали еще более конкретным понятием, надо решить с уча! щимнся ряд задач, в которых требуется целое (метр, килограмм! хлеб, яблоко, лист бумаги и т. д.) разделить на 2 или на 4 частм| отнять половину или четверть от целого, сложить две половины, дЦ или три четверти. Такие задачи могут быть придуманы самим учителем
Заканчивается работа над числами в пределе 20 упражнениями, т, | бующими от учащихся уменья разлагать числа на множители: „СостД чисел второго десятка" (стр. 47). Это очень хорошие упражнения дл| развития комбинаторных способностей учащихся. Эти упражнения ана! логичны упражнениям на странице 35, но там требуется уменье разло] жить сумму на слагаемые, а здесь — уменье разложить произведи ние на сомножители. Работа с конкретным материалом (монетами, кружками, спичками) должна быть проделана раньше, а с воображаемым предметами — потом (сначала должны итти упражнения №№ 1, 2, 6, 7,1 а потом упражнения №№ 3, 4, 5).
Первая СОТНЯ- Материал первой сотни, обнимающий собой пос ледние 16 страниц учебника, прорабатывается в течение третьей i четвертой четвертей учебного года. На проработку его может бы: затрачено максимум 80 часов классных занятий (это в том случае если работа со вторым десятком будет закончена ко времени зимнег» перерыва) и около 25 часов домашних занятий. В учебнике на эк время дано до 90 задач (в одно и два действия), до 550 численны* примеров простых и сложных и около 25 заданий математическое характера. Само собой разумеется, что в процессе работы число зада% решаемых учащимися, должно быть увеличено за счет задач, состава» емых самим учителем, содержание которых берется из окружающе! жизни, близкой и понятной детям. Работы по измерению также должн* носить более разнообразный и живой характер (чем это может бытЦ дано в стандартном учебнике) в зависимости от окружения, в каком! находится школа. Ориентировочно можно распределить весь материаЯ между третьей и четвертой четвертями так:	I
1) нумерация до 100; все действия над круглыми десятками, измерг] тельный материал и простейшие случаи сложения чисел в пределе 100.1 обнимающие собою 10 страниц (стр. 48 — 57)—для третьей четверти}!
2) остальные случаи сложения и вычитания без перехода черс|| десяток, знакомство с телами и измерения на местности — четвертая! четверть.	I
Нумерация ДО 1С0. В учебнике Поповой нумерация полных десят*1 ков и нумерация от 1 до 100 объединены: и та и другая прорабатыи ваются совместно. Но учителю нужно различать их и в проработке] остановиться сначала на нумерации полных десятков, а затем проработав 18	I
„ нумерацию чисел от 1 до 100. И в той и в другой нумерации нужно выделить моменты устной и письменной нумерации.
Работа ведется в такой последовательности:
1. Выясняется понятие десяток и единица; десяток дается как новая счетная единица, т. е. производится прямой и обратный счет десятками; выяснение лучше всего вести на палочках или спичках, связанных в пучки (менее ценным, но допустимым пособием являются также бруски и кубики).
2. Производится раздробление десятков в единицы и превращение единиц в десятки (нужно добиться того, чтобы учащиеся сразу и безошибочно раздробляли десятки в единицы и превращали единицы в десятки: четыре десятка — сорок единиц; семьдесят единиц = семь десятков и т. д.). Хорошим жизненным упражнением является раздробление рубля и гривенников в копейки и превращение копеек в гривенники. Таким образом прорабатываются номера 1, 8 и отчасти 9 учебника.
После этого учитель переходит к счету до 100 (устной нумерации до 100), который складывается из следующих упражнений:
1.	Образование двузначных чисел соединением полных десятков с единицами: „3 пучка палочек и 6 палочек—сколько это палочек?" (36.)
2.	Разложение двузначных чисел на десятки и единицы: „84 палочки— сколько это десятков и единиц?"
3.	Прямой и обратный счет до 100 (можно по частям:—от 20 до 30 и обратно, потом от 30 до 40 и обратно и т. д.).
4.	Счет с переходом из одного десятка в другой: 38, 39, 40, 41.. .68, 69, 70, 71, 72.. .и т. п.
5.	Определение места любого двузначного числа в ряду других чисел (между какими двумя числами находится 40, 90, 37 и т. п.). Для упражнений в устной нумерации из учебника берутся номера 2, 9 и 10.
Только после такой работы можно приступить к письменной нумерации. Пользуясь абаком, здесь впервые надо дать детям понятие о поместном значении цифр, т. е. что единицы пишут на первом месте, десятки на втором (или, как сказано в учебнике: единицы пишут справа, а десятки — слева). Работа складывается из следующих моментов: 1) учитель пишет на доске числа, ученики читают их; 2) учитель диктует числа, а ученики пишут и объясняют, почему так, а не иначе нужно написать данное число.
После таких упражнений учащиеся прорабатывают материал по учебнику под номерами 3, 4, 5, 6 и 7. Практическое приложение знаний нумерации, разумеется, не исчерпывается теми заданиями, которые помещены в § 11: оно должно быть значительно шире.
Таким образом на проработку материала, помещенного на странице 48 и отчасти 49, надо затратить не менее 5 уроков.
Сложение, вычитание, умножение и деление круглых десятков. Подготовительной ступенью к проработке каждого действия над круглыми десятками служат соответственно сложение, вычитание, умножение и деление в пределе 10. Допустим, что учитель переходит к сложению и вычитанию круглых десятков. Сначала он берет такие примеры, где надо сложить 2 числа, сумма которых не превышает 10. Например, учитель спрашивает: „Сколько будет, если сложить 4 да 3?" Затем он прибавляет к каждому слагаемому название десятков. „Сколько будет, если сложить 4 десятка да 3 десятка?" И только после этого
—19
ставит вопрос: „Сколько это будет 40 да 30?" Такого рода подготЯ вительная работа проделывается перед проработкой каждого действие Если ученики при решении примеров из учебника затрудняются найт, результат, то тут опять можно прибегнуть к тому же приему.
Допустим, что затрудняются решить пример: 90 — 60. Тога учитель спрашивает: „90 — это сколько десятков? (9.) — 60 — эь сколько десятков? (6.) — От 9 десятков отнять 6 десятков-, сколько останется? (3 десятка.) — 3 десятка — это сколько еди ниц? (30.) Значит, сколько останется, если от 90 отнять 60? (30.)*
Примеры на сложение и вычитание нужно давать в порядке посте пенно возрастающей трудности (которая в учебнике не всегда, впрочем,] выдержана за недостатком места), а именно: сначала нужно дават! примеры, где прибавляется по 10 (80-|-10), потом — где складываются] одинаковые числа (20 4-20; 40-(-40), затем — где первое * слагаемой больше второго (60 -J- 30), далее — где первое слагаемое меньше второго (20-)-70) и, наконец, такие примеры, в которых чередуются все случаи. Среди примеров на сложение и вычитание даны (стр. 50) примеры на сложение и вычитание в косвенной форме (50 — ?=30). Кж читать и решать такие примеры, об этом сказано выше (см. стр. 14).
Умножение десятков дано только на однозначные числа.
Решая примеры и задачи на деление, нужно иметь в виду, что сначала (под римской цифрой II) дается деление на круглые десятки (40:20; 80:40 и др.). Это деление нужно рассматривать как деление по содержанию; так, пример 40:20 нужно читать так: 40 разделить по 20, получится 2. Но в следующем разделе (под римской цифрой 111, дается деление круглых десятков на однозначные числа. Здесь деление нужно рассматривать как деление на части; так, пример 30:3 нужно читать так: 30 разделить на 3 равные части (или короче на 3) будет 10.
Задачи* Задачи сопровождают собой всю работу по приобретению навыков в производстве четырех арифметических действий. Большинство задач — задачи в 2 действия; в качестве исключения в отделе „Повторение” даны задачи в 3 действия под № 3 (стр. 56) с очень „прозрачным" и легким содержанием. Среди задач нам хочется обратить внимание учителя на задачи, которые решаются способом приведения к единице. Таких задач дано две — № 2 (стр. 53) и № 5 (стр. 54). Для ребят I группы—это не легкие задачи, тем не менее в конце года нужно поупражнять детей в решении таких задач, придумывая, кроме данных, и свои задачи, так как развивающее их значение велико.
Больше или меньше на СТОЛЬКО-ТО (стр. 51). Учитель сделал бы большую ошибку, если бы начал проработку этого раздела с решения задач, данных в учебнике. Решению задач надо сначала предпослать выяснение понятий, объяснение выражений—„на столько-то больше", „на столько-то меньше". Этому объяснению нужно посвятить 1-2 урока зависимости от уровня математического развития группы).
Выяснение понятий „на столько-то больше", „на столько-тс меньше" надо вести обязательно на наглядных пособиях (на кубиках, палочках, спичках, на шариках счетов) примерно так. Вызвав к столу одного ученика, учитель ведет такую беседу: „Положи справа от себя 4 кубика. Положи слева столько же
(В
20
кубиков. Сколько же кубиков нужно положить слева? Теперь число кубиков поровну. Положи слева еще 2 кубика. Поровну ли кубиков справа и слева теперь? (Нет не поровну.) — На какой стороне больше кубиков? На сколько больше? (На два кубика больше)11. То же проделывается на других пособиях, которыми могут быть книги, тетради, ручки, перья, карандаши н пр. Потом учитель предлагает учащимся ряд задач, вроде следующих: „Ваня сделал 12 флажков, а Петя сначала столько же, а потом еще 4. Кто сделал больше флажков и на сколько больше?" „Оля решила 8 примеров, а Катя на 3 больше. Сколько примеров решила Катя?" и т. д.
В таком же роде ведется выяснение понятия „на столько-то меньше". Когда учитель убедится в том, что эти понятия учащимися усвоены, тогда только он приступает с ними к решению задач, помещенных в учебнике на странице 51, причем эти задачи он чередует с самостоятельно составленными задачами, данными которых являются числа в пределе 20 и где кроме терминов „больше", „меньше" встречаются термины „длиннее на столько-то", „короче на столько-то", „дороже — дешевле", „толще—тоньше" и т. п.
Измерение дециметром и сантиметром. Задачи на время. В учебнике наглядность при проработке этого раздела могла быть представтена только рисунком: рисунком дециметра, рисунком часов. Но в своей практической работе с детьми учитель ни в коем случае не должен ограничиваться только такого рода наглядностью; он должен дать в руки учащимся метр, разделенный на дециметры и сантиметры, для подлинного измерения целого ряда доступных им предметов. Работа по измерению протяжений должна привести к тому, чтобы учащиеся, с одной стороны, усвоили единицы измерения, с другой стороны, приобрели навык определять линейные размеры различных предметов на-глаз с большей или меньшей степенью погрешности.
Задание № 7 („Вырежь по бумажной выкройке"...) можно опустить, так как учащиеся к этому времени еще не подготовлены к чтению чертежа.
Знакомя учащихся с мерами времени, полезно на уроке труда сделать с ними картонную модель часов. Полезно также показать учащимся действующие часы (циферблат) — цифры, стрелки часов, заставить детей нарисовать часы. Только на основе такой конкретной работы можно развертывать работу по учебнику—решение задач и запоминание единичных отношений мер („в сутках 24 часа, в месяце 30 суток" и т. д.). Задачи на время решаются так (задача № 3, стр. 55): „От 6 часов утра до 12 чйсов дня — 6 часов (12 — 6 = 6); от 12 часов Дня до 5 часов вечера — 5 часов; 6 часов-]-5 часов=11 часов".
Ответ: в буржуазных странах дети часто работают 11 часов в день.
Сложение и вычитание без перехода через десяток (стр. 57— 60) не представляют для учащихся особой трудности, если в работе будут строго соблюдаться система и последовательность в переходе от легкого к более трудному, от простого к более сложному. В учебнике эта система соблюдена, и учителю нужно ее строго придерживаться. В сложении и вычитании без перехода через десяток в учебнике различаются 6 следующих ступеней: 1) прибавление к круглым десяткам 21
единиц (30-}-5)и отнимание от круглых десятков единиц; этот случаи основывается на знании нумерации н усваивается учащимися лег» (упражнение № 5); 2) прибавление к двузначному числу единиц (54-J-ji (упражнение № 6); отнимание от двузначного числа единиц (25 — 3); эц случаи сводятся к прибавлению единиц к единицам и отниманию единиц от единиц; 3) прибавление к двузначному числу круглых десятка (25-(-70) и отнимание от двузначного числа круглых десятков (65 — 40, (упражнения №№ Зи4 на странице 58; этот случай сводится к прибавлю нию десятков к десяткам двузначного числа (20 4- 70 = 90; 90 -|- 5 = 95. и отниманию десятков от десятков двузначного числа (60 — 40=20 20 -(- 5 = 25); 4) прибавление к круглым десяткам двузначного чисд^ (30-Ц— 53), что представляет собою вариацию предыдущего случая, (упражнения 8, 9 и 10); 5) прибавление к двузначному числу двузначного (36 —|—21); оно производится так: десятки складываются с десятками, единицы складываются с единицами и затем складываются результаты (36	21 = 57; 30 -(- 20 = 50; 6-(- 1 = 7; 50	7 = 57); аналогично
производится и вычитание подобных случаев (48 —16). Но при вычитании лучше культивировать один прием: от всего числа отнимать вычитаемое поразрядно: 48—16= ? 48—10=38; 38 — 6 = 32.
По мере приобретения навыков сложение и вычитание подобных случаев упрощаются, а именно: к двузначному числу прибавляются десятки, а к полученному результату единицы второго слагаемого (36-)-21=? 36-(-20 = 56; 56»-}-1=57) (упражнения №№ 3 и 4 на странице 59) и, наконец, 6) решаются сложные примеры, в которых даются и сложение и вычитание (62-{-10 —12); на решении всех этих примеров повторяются все предыдущие случаи.
На каждый случай в учебнике дается от 2 до 4 задач. Желательно, чтобы число решаемых задач было увеличено за счет задач, составляемых самим учителем. Решение этих задач, а равно и 15 задач, помещенных в отделе „Повторение® (стр. 62), имеет своей целью научить учащихи правильно применять арифметические действия и безошибочно производить вычисление в пределе 100. Из задач некоторую трудность на первых порах представляет для учащихся решение задач такого типа: „Две кол хозницы принесли в кооператив яйца. Одна принесла 30 яиц, друга! на 15 яиц больше. Сколько яиц принесли обе колхозницы?® (Задача № ( на странице 58). Типичная ошибка, которая наблюдается у многих уча щихся при решении подобных задач, заключается в том, что, прибавив 1 к 30, учащиеся полагают, что задача решена, ответ найден. Вопро данной задачи („Сколько яиц принесли обе колхозницы?®) они смеши вают с вопросом: „Сколько яиц принесла другая колхозница?® Боротьс с этой ошибкой можно только путем упражнений учащихся в решенш достаточно большого количества подобных задач. В учебнике приведен! несколько задач подобного рода: смотри, например, задачи за №№ I! и 14 на странице 63, задачу № 2 на странице 61, №№ 9 и 10 на стра нице 62, № 13 на странице 63. Чтобы научить детей различать об указанных выше вопроса, целесообразно предложить учащимся одн' и ту же задачу сначала с одним вопросом:(„Сколько яиц принесла дру гая колхозница?®), а потом с другим вопросом: („Сколько яиц принесл обе колхозницы?®). Сопоставление обеих задач с одним условием, н с разными вопросами, приучит учащихся различать, что спрашиваете в задаче.
КАК РАБОТАТЬ ПО СТАБИЛЬНОМУ УЧЕБНИКУ ДЛЯ ВТОРОГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ.
Общие замечания. 1. Учебник по арифметике для второго года обучения полностью согласован с программой по арифметике для этого ке года как в отношении объема, так и системы расположения материала. Поэтому учитель должен прорабатывать материал в том порядке, в каком он дан в учебнике, ему нет надобности делать в учебнике какие-либо существенные отступления, перестановки и т. д.
При проработке программы может оказаться, что для усвоения отдельных частей программы в учебнике не хватает данного материала. Например, может случиться, что учитель, прорабатывая вопрос об увеличении числа в несколько раз, прорешал примеры и задачи, данные в учебнике, а учащиеся не усвоили и не закрепили как следует, это понятие. Тогда он должен дополнить количество упражнений самостоятельно составленными задачами и примерами, взяв за образец материал учебника и черпая содержание для задач как из жизни самих учащихся, так и из области социалистического строительства, развертываемого в окружающей жизни.
2. Учебник для второго года обучения включает в себе, с одной стороны, задачи и упражнения, а с другой — элементы теории арифметики. Элементы теории (правила, определения, единичные отношения мер) даются в самой тесной и непосредственной связи с упражнениями. Они даются как выводы и самые простые, несложные обобщения, делаемые самими учащимися на основании достаточного количества непосредственных наблюдений, к которым подводит их учитель. Число таких выводов и обобщений, в соответствии с возрастными особенностями учащихся, в учебнике очень ограничено. Они выделены в тексте и напечатаны курсивом. Этот материал подлежит запоминанию.
Ч.	Учащиеся II группы по своей грамотности и по своему общему развитию значительно сильнее учеников I группы, поэтому учебник для II группы дается в гораздо большей степени для непосредственного и самостоятельного использования учащимися, чем в I группе. Здесь ученики сами могут читать текст задач, прочитать задание, прочитать пример. Поэтому около - всего материала рассчитано для выполнения в качестве домашних заданий. Для выполнения на дому дается материал на то правило, которое уже проработано в классе вместе с учителем; домашние работы по существу должны быть упражнениями, тренировкой в том, что уже проработано, осознано, понято в классе и что не содержит в себе ничего принципиально нового по сравнению с тем, что делалось в классе.
4.	Учебник построен таким образом, чтобы он не только развивал У учащихся числовые представления и давал навыки производства четырех арифметических действий, но чтобы он вместе с тем содействовал развитию логического мышления у ребенка, развитию у него
23
конструктивных и комбинаторных способностей. Это дости1аетсН 1) особой формулировкой некоторых задач; 2) внесением специальна] упражнений; 3) развитием у учащихся навыков самостоятельного соста.| вления задач. В области составления задач учащиеся делают тольщ первые шаги, поэтому здесь даются самые элементарные задания.
5.	Содержание значительной части задач взято из жизни и быт; самих детей в семье, в школе. Часть задач связана с детским трудоч в рабочей комнате и на пришкольном участке, с общественной работе» детей. Но и материал социалистического строительства, близкий и доступный пониманию детей-девятилеток, тоже нашел отражение в учебнике; во многих задачах даны: работа фабрики, завода, колхоза, совхоза, культура и быт рабочего и колхозника, материал, способствующий антирелигиозному и интернациональному воспитанию детей. Местный материал должен найти отражение в тех дополнительных упражнениях, о которых говорилось в § 1; он должен отражать рост и динамику хозяйственной и культурно-бытовой жизни в ее наиболее ярких показателях.
6.	При проработке учебника самое широкое применение должна найти наглядность. В качестве наглядных пособий здесь используется то же, что и в I группе: кубики, палочки, спички, иллюстрации учеб» ника (рисунки и чертежи). Из новых наглядных пособий существенное значение имеют счеты. Использование их начинается с проработки тысячи.
Проработка некоторых вопросов должна сопровождать:я математическими играми; последние должны даваться непосредственно самим учителем, который является организатором игр в классе. Желательно так поставить дело, чтобы игры, проведенные на уроках, затем находили свое продолжение и повторение во внешкольных занятиях детей.
После этих общих замечаний перейдем к конкретным указаниям, как прорабатывать отдельные части учебника.
Первая СОТНЯ. В течение первой четверти, согласно программе, должны быть проработаны сложение и вычитание в пределе 100 и начало табличного умножения и деления. Материал, соответствующий этой части программы, расположен на первых 18—20 страницах учебника (стр. 3—20). Для проработки этого материала учитель располагает приблизительно 55 часами классных занятий, и, кроме того, он может еже дневно давать на дом работу по арифметике из расчета ее выполнения в течение 26 минут. Таким образом в среднем на проработку одной страницы учебника падает 3 часа классных занятий плюс домашние работы. Этой нормой и нужно руководствоваться, планируя работу на четверть.
Сложение и вычитание (стр. 3—9). Материал, данный под рубрикой 1, представляет собой повторение простейших случаев сложения и вычитания, пройденных на первом году. И переместительное свойство сложения, сформулированное в § 7, по существу не представляет ничего нового для учащихся: с ним они уже знакомились на первом году. Те--верь от учащихся только требуется, чтобы они умели четко и правильно сформулировать его и применить при сложении меньшего числа с большим. Весь этот материал прорабатывается в течение первых трех уроков^ на первом уроке решаются 2 задачи (№№ 1, 3) и 16 пинчеров под № 5, на дом для решения даются примеры под №6. На втором уроке на ряде 24	В
примеров выясняется переместительное свойство сложения, решаются примеры — 6 первых из столбика № 8 и 6 первых из столбика № 9 — и 2 задачи (№№ 2, 4); на дом даются для решения 12 примеров, оставшихся нерешенными, из столбиков №№ 8 и 9 На третьем уроке решаются задачи №№ 10, 11 и 8 примеров под № 12; остальные примеры даются на дом. Если останется время, учитель предлагает свои задачи, подбирает числа, соответствующие навыку.
Мы нарочно остановились подробно на планировании первой страницы, чтобы показать, как чередуются классные работы с домашними. Каждый новый урок начинается обязательно с проверки домашних работ.
С раздела, обозначенного римской цифрой II, начинается новый материал для II группы: здесь дается тот случай сложения двузначного числа с однозначным и двузначного числа с двузначным, когда в сумме получаются круглые десятки. Для усвоения этого случая (для ребят в общем нетрудного) дано достаточное количество примеров; но все примеры решать необязательно. В связи с этим навыком автор вводит для обозначения неизвестного числа букву х. В учебнике для I группы неизвестное обозначалось знаком вопроса, в учебнике для II группы неизвестное обозначается х.
Знакомство с х дается учащимся, примерно, так. Учитель пишет на доске пример: ?-|~5 = 20 и спрашивает: „Как прочитать пример, написанный на доске? (К какому числу нужно прибавить 5, чтобы получить 20?) — Как решается этот пример? (От 20 отнять 5. будет 15; 15-|-5 = 20.) — Что обозначал здесь знак вопроса? (Неизвестное число.) — Теперь мы будем обозначать неизвестное число не знаком вопроса, а значком (буквой) — х, который называется „икс“. Напишем тот же пример, но вместо знака вопроса поставим х : х-|~5 = 20. Как прочитать этот пример? (К какому числу . . .ит. д.) — Как решить этот пример? (От 20 отнять 5 будет . . . и т. д.) — Что обозначает здесь х? Прочитайте такой пример: х — 20—57. Запишите, пользуясь х: какое число нужно прибавить к 26, чтобы получить 40? Решите этот пример".
После того как ребята поймут значение х, им даются для решения прчмеры под номером 16 (стр. 5). Решение этих примеров заключается в том, что учащиеся, прочитав пример, устно производят действие над числами (сложение или вычитание) и найденное число пишут вместо х; 1-й пример они запишут так: 26-{- 14 = 40; 2-й: 39-{-31 = 70 и т.д. Проработка всего раздела II не должна занимать более 4 уроков.
В разделе III (стр. 6) дается последний и самый трудный случай сложения двух и трех двузначных чисел — с переходом через десяток; этот материал занимает 2 с лишним страницы учебника, которые требуют для своей проработки 6—7 часов классных занятий, сопровождаемых домашними заданиями. К первым задачам дано их примерное решение. Это решение рассматривается и объясняется учителем на классной доске. Заканчивается раздел упражнениями в решении квадратов. Для придания работе с квадратами большего интереса, можно: 1) оставлять в квадратах некоторые клетки пустыми; 2) наиболее способным учащимся можно предложить самим составить такие квадраты.
Раздел IV дает очень ценные упражнения для развития у учащихся комбинаторных способностей: здесь учащиеся по соображению должны
пользоваться переместительным законом (не называя его), законом прЛ бавления суммы чисел. В классе эти примеры решаются устно; в дЯ машних работах решения сопровождаются записью. Первые столбиЯ №№ 2 и 3 носят инструктивный характер; эти столбики обязательД решаются совместно с учителем: учитеть на классной доске иредзарЛ тельно объясняет, не прибегая к учебнику, как можно переставлять! числа дтя удобства их сложения, как прибавляемое число иногда удобно! разложить на 2 числа и сначала прибавить одно, а потом другое; кН иногда удобно округлить число. И только после таких обсгоятелц! ных объяснений и проверки, насколько понято это учащимися, можн<,| давать упражнения из учебника.	I
Задачи. Задачи на сложение и вычитание даны разнообразных типов.! На сложение: 1) найти сумму нескольких слагаемых, 2) одно числя увеличить на несколько единиц. Еще разнообразнее задачи на вычитЯ ние; они даются трех типов: 1) найти остаток; 2) по сумме и одному из I слагаемых найти другое слагаемое; 3) одно число уменьшить на несколыЯ единиц. Большинство задач в 2 действия. Но здесь уже вводятся задачЯ и в 3 действия. Из задач в 2 действия некоторые, несмотря на свою I простоту, часто дают ошибочные решения у детей. Такова, напримерЯ задача 13 (стр. 5): „На мельнице в первый раз смололи 38 мешков зерна, во второй раз—на 6 мешков меньше. Сколько всего мешкав зерна смололи на мельнице?* Решая эту задачу, ученики не улавливают „всего", они обычно вычитанием находят, сколько смололи во второй раз и считают, что задача решена. На эту типичную ошибку надо обратить внимание учащихся и прорешать с ними ряд аналогичных задач. Некоторые задачи так сформулированы, что, прежде чем применить то ил» иное действие, учащиеся должны проявить сметку, сообразительностьИ Такова, например, задача № 14 „В колхозном стаде" (стр. 5), задача № Я (стр. 6) и др. Большой интерес должны вызвать у детей задачи 20—21, рассчитанные на развитие сметки и сообразительности у ребят. Решение таких задач (а их нужно предложить несколько) можно организовать в форме игры: одни ребята пусть будут пассажирами с 20 и 15-копеечными монетами, другие — кондукторами с гривенниками и 15-копеечными монетами.
Если кто-либо из учащихся будет затрудняться в решении задачи, надо поставить такие вопросы: „Если пассажир в уплату за билет дасг 20 коп., а кондуктор сдачи даст 15 коп., то сколько копеек притегся за билет? (5 коп.) — А сколько нужно? (10 коп.) —I Сколько копеек не хватает? (5 коп.) — Что нужно сделать, чтобы пассажир уплатил еще 5 коп. (Еще раз дать кондуктору двугривенный, а тот ему 15 коп.) — Сколько же всего двугривенных должен дать пассажир и сколько 15-копеечных монет кондуктор? (Два! двугривенных и две 15-копеечные монеты.)".
Некоторые задачи допускают двоякий способ решения: например, задача № 19 (стр. 7) решается так:1) 48 —|— 27 = 75; 2) 75-)-25= 100. Но некоторые учащиеся могут решить ее одним действием: 48-}-27-|-+ 25= 100. Оба способа нужно признать правильными, последний более экономный, но для детей более сложный. Вообще детскую инициативу, если она приводит к правильным результатам и связана с экономией
времени, нужно всячески поощрять. Забегая несколько вперед, укажем на задачу № 7 (стр. 12). Она тоже допускает двоякое решение: одни учащиеся могут решить ее так: 1) 65—52 = 13 (сеялок); 2) 32 — 27 = 5 Морон); 3) 13 4-5=18 (орудий). Другие эту же задачу будут решать 'таК- 1) 52 4-27 = 79 (орудий); 2) 65 4-32 = 97 (орудий); 3) 97 — ,-79 = 18 (орудий). И здесь оба способа решения совершенно законны, разные ученики решат ее или одним или другим способом. Оба способа нужно показать классу. Это будит инициативу у ребят и делает их более смелыми и предприимчивыми.
В разделе V даны весьма ценные упражне ия по составлению задач самими учащимися. Научить детей самих составлять задач»—дело трудное. Это уменье нужно вырабатывать у учащихся постепенно, на протяжении ряда лет, начинать на втором году обучения с самого легкого, элементарного, посильного для девятилетних ребят. В качестве такого первого упражнения дается следующее: подобрать к данному условию вопрос и решить задачу, т. е. ответить на этот вопрос, исходя из данных задачи. Тут же задание в параграфе 2 (стр. 9) несколько усложняется: это усложнение состоит в том, что ребята не только подбирают вопрос, но и подбирают числовые данные. Чтобы облегчить учащимся эту работу, нужно направить внимание учащихся на знакомые им факты из жизни школы или из области соцстроительства и не ограничиваться только одной задачей из учебника, а решить несколько (не менее трех). Опыт показывает, что составление своих задач способствует развитию у ребят (даже слабых) уменья решать готовые задачи; подбор вопросов и числовых данных развивает у детей сознательное отношение к структуре готовой задачи.
Проверка пройденного (стр. 9). Для учета знаний и навыков дается 10 примеров и 1 задача. Эти примеры исчерпывают все проработанные случаи сложения и вычитания в пределе 100. Вся контрольная работа должна занять 20 — 25 минут. Примеры и задача заранее (во время перемены) должны быть крупно и четко написаны учителем на доске. Все ученики одновременно приступают к работе. Списывают один пример и решают его; затем списывают другой пример и решают его и т. д. Каждый, выполнивший работу, сейчас же сдает ее учителю, а остаток времени занимается каким-либо другим делом (учитель заранее намечает эти дела). Безошибочно правильное, чистое, аккуратное и быстрое выполнение работы должно повлечь за собой высшую оценку. При допущении одной ошибки считается работа хорошей; при двух-трех ошибках—удовлетворительной; более трех — слабой. Учащимся, допустившим ошибки, даются повторные упражнения соответствиошего типа: ученику, сделавшему ошибку в примере 26 4~47, даются для упражнения такого же типа примеры: 48 4- 36; 63 4- 29 и т. п.
Измерение прямых линий и черчение их по масштабу (стр. 9 —10). Следуя за учебником, учитель дотжен нача:ь проработку этого вопроса с практической работы— измерения при помощи мерной веревки длиной в 10 -« длины школьного огорода, двора, площадки для игр, грядки на огороде и др , а затем их ширины (учащиеся попутно уясняют себе поняти длины и ширины: более длинная сторона — длина, более короткая — ширина). Найденные размеры подсчитываются и туг же записываются. Обмер производится по естественным границам (без провешивания). Этой работе посвящается целый урок. Если позволит время, ____	27
нужно измерить также длину и ширину школьного здания и их размер^ записать. Эти цифры понадобятся в дальнейшей работе.
На следующем уроке учитель ставит перед учащимися вопрос „Как на бумаге изобразить длину и ширину огорода, площадк| и т. д.? (Провести линии.) — Но можно ли провести на бумагь линии таких больших размеров, как на местности? (Нельзя, н« хватит бумаги.)—А если мы условимся одну клетку на бумаг,, принимать за 1 м, тогда как изобразить длину площадки, допу, стим, в 20 м? (Провести линию длиной в 20 клеток.) — Почему линия в 20 клеток означает 20 м? (Потому что мы условилисг считать одну клетку за 1 л.)—Начертите на бумаге ширину огорода в 16 м, длину школы в 24 м и т. д., принимая одну клетку за метр". После этого учащиеся обращаются к чертежам учебника №№ 2 и 3, рассматривают их, объясняют. Запоминают новое для них слово „масштаб", не зная пока никаких определений масштаба. На дом получают задание измерить длину своего дома,
На следующем, третьем, уроке учащиеся вычерчивают длину школьного здания и длину своего дома в более мелком масштабе, принимая длину одной клетки за 5 или даже 10 м (это зависит от длины зданий), а затем рассматривают и объясняют план класса, данный на чертеже. И на этом же уроке ученики вычерчивают план своей классной комнаты (по образцу, данному в учебнике). На дом получают задание — начертить план комнаты, в которой живет учащийся. Если всю эту работу нельзя в данной группе уложить в 3 урока, нужно отвести ей 4 урока.
Обращаем внимание учителей на то, что в учебнике за 1 м принимается не 1 см, а длина одной клетки.
Сложение и вычитание именованных чисел (стр. 10—11;. Здесь учащиеся впервые встречаются с действиями над составными именованными числами (двухсоставными). Никаких определений составного именованного числа давать не надо. Нужно приучить учащихся к тому, что действия над числами с наименованиями производятся так же, как и над числами без наименований.
Задачи и примеры подобраны так, что раздробления и превраще-| ния не приходится делать. Все вычисления производятся устно и сопровождаются только записью результатов устных вычислений. Численные примеры можно располагать или в строчку (как в учебнике) или столбцом, т. е. так:
1	р.	35	к.
—2	р.	26	к.
3	р.	61	к.
Больше трех уроков задерживаться на этом материале не следует, так как он будет неоднократно повторяться в дальнейшем.
Разностное сравнение (стр. 11—12). Проработку этого раздела нужно начинать с выяснения понятия на предметных наглядных пособиях (кубиках, палочках, шариках счетов).
Беседу нужно вести, примерно, так. Вызвав одного ученика к стоту, учитель говорит „Положи с правой стороны 10 кубиков, а с левой —6 кубиков. Где больше кубиков—на правой стороне 28
или на левой? (На правой.)—На сколько кубиков больше на пра' I вой стороне, нежели на левой? Как это узнать? Отдели от 10 кубиков столько кубиков, сколько их на левой стороне, т. е. 6 кубиков. Сколько теперь осталось лишних кубиков на правой стороне? (4 кубика.)—Значит, на сколько кубиков на правой стороне больше, чем на левой стороне? (На 4 кубика.)—Вызвав другого ученика, учитель говорит: Положи справа 8 кубиков, а слева 5 кубиков. Где кубиков меньше — справа или слева? (Слева.)—На сколько меньше? Как это узнать? Отдели от 8 кубиков столько, сколько их слева, т. е. 5 кубиков. Сколько же у 5 кубиков не хватает до 8 кубиков? (3 кубика.)—Значит, на сколько 5 кубиков меньше 8 кубиков? (На 3 кубика.)".
После этого учитель предлагает учащимся открыть страницу 11, посмотреть на рисунок, где изображены молотки, и при этом ставит перед ними те вопросы, какие указаны в учебнике: „Где молотков больше”... и т. д. и подводит их к обобщению: „Чтобы узнать, на сколько 8 больше 6“... Заметим, что в своих обобщениях учитель во П группе не идет дальше тех конкретных случаев, которые проработаны учащимися. Если задача № 2 („В прошлом году в колхозе было”...) будет решаться первой задачей, то ее вопрос для большей простоты можно изменить так: „На сколько больше стало за год колхозное стадо?” (вместо „увеличилось"). Основной термин разностного сравнения „больше— меньше” в дальнейшем, смотря по тому, какие величины берутся, заменяется терминами „длиннее — короче", „дороже—дешевле", „тяжелее— легче" и др. В учебнике на разностное сравнение дано 5 задач; число их должно быть увеличено за счет задач, самостоятельно составленных учителем. На проработку этого раздела следует уделить 3 урока, имея в виду, что дальше задачи на разностное сравнение все время будут повторяться.
Проверка пройденного (стр. 12). Задача №2 при всей своей посиль-ности для учащихся II группы может оказаться для слабых и части средних учащихся в некоторых группах сложной задачей. Поэтому было бы целесообразно наряду с этой задачей предложить учащимся и другую задачу, где числа, которые нужно сравнить в разностном отношении, являлись бы данными, а не искомыми. О том, как проводить учетные работы, см. стр. 27.
Табличное умножение и деление (стр. 12—27). Изучение таблицы умножения и деления — одна из главных задач II группы. Нужно Добиться от учащихся твердого знания этой таблицы, ибо оно обеспечивает успешную работу и в дальнейшем по изучению тысячи, миллиона, миллиарда. Для изучения этих таблиц в учебнике дан достаточно большой материал, занимающий около 15 страниц учебника. На проработку Этого материала потребуется, примерно, около 40 часов. Из этих 40 часов 20 — 25 часов падает на первую четверть и 15 — 20 часов — на вторую четверть. Изучение таблицы умножения и деления каждого числа должно занять в среднем по 5 часов.
Таблица умножения рассматривается автором как ‘таблица результатов счета равными группами. Изучение ее дано в таком порядке: таблица умножения и деления по 2, по 5, по 3, по 4, по 6, по 8, по 9 и по 7. Такой порядок обеспечивает постепенное нарастание трудности Усвоения таблицы, постепенный переход от более легкого и простого -----------------------------------29
к более трудному и сложному. Изучение таблицы деления всецело осноЛ вается на знании таблицы умножения. В учебнике не только дан ма риал, но и показан единообразный и определенный метод прорабов этого материала, обеспечивающий ученику его усвоение. Результате проработки этого материала должно быть твердое и безошибочно знание каждым учащимся таблицы умножения и деления наизусть.
Путь проработки таблицы умножения и деления каждого числа т» ков: 1) Счет (последовательное присчитывание и отсчитывание) равные группами на конкретных предметах; такими конкретными предмета^ могут быть вначале кубики, палочки и пр. и потом рисунки предмете» помещенных в учебнике, а после проработки умножения двух-трех чисел можно ограничиться в качестве наглядных пособий только рисунка^ (колеса, звездочки, квадратики и’ др.). 2) Счет (последовательное при-считывание и отсчитывание) равными группами отвлеченных чисел: ’ 6, 9, 12... 30; 30, 27, 24... 3 3) Набор в определенном порядке раз. ного числа равных групп; порядок набора таков сначала 2, 4-и 8 равных групп; потом 3, 6 и 9 равных групп; затем 5 и 10 равных груш и, наконец, 7 равных групп. Допустим, например, что изучается таб лица умножения 6; учащиеся должны набрать и запомнить: 1) две шестерки (или дважды шесть)—12; затем 2) четыре шестерки (четырежды шесть) — 24 и потом 3) восемь шестерок (восемью шесть) — 48.
Запомнив эти результаты, учащиеся набирают и запоминают: а) три шестерки (трижды шесть) —18.
б) шесть шестерок (шестью шесть) — 36.
в) девять шестерок (девятью шесть) — 54.
Запомнив и эти результаты, учащиеся набирают.
а)	пять шестерок (пятью шесть) — 30.
б)	десять шестерок (десятью шесть) — 60.
Пять шестерок набираются так: четыре шестерки-]-одна шестерка.
Остается еще набрать и запомнить результат набора семи шестерок. Семь шестерок набирается так: пять шестерок -]- две шестерки. Тактй порядок (два, четыре, восемь; три, шесть, девять; пять, десять; семь) применяется при изучении таблицы умножения каждого числа. Набор производится сначала на наглядных пособиях (кубиках, рисунках, чертежах), а затем на отвлеченных числах. Набор сопровождается записью в виде сложения и потом в виде умножения; например, четыре шестерки (четырежды шесть) — 24 записывается так: 6-^6-|-6 -j-6—24; 6X4—24.
4) Решение задач с применением изучаемой таблицы.
5) Решение численных примеров на умножение.
В результате всех этих упражнений учащиеся усвоят таблицу наизусть. Кто не усвоит в процессе упражнений, тот постепенно заучивает таблицу.
Проработав таблицу умножения данного числа, учитель переходит к изучению с учащимися таблицы деления на это же число. Берете деление по содержанию, как основывающееся всецело на знании таб лицы умножения. На двух-трех задачах выясняется смысл действит Затем дается ряд примеров на косвенное деление, связывающих делени с умножением; например: 7Хх = 35; 7ХХ = 56 и т. д. Эти пример^ читаются так: „На какое число нужно умножить 7, чтобы получить 35?*^ (Ответ: „На 5, потому что в 35 пять семерок".) Решаются и записывэ! ются эти примеры так: 35:7 = 5; 56:7 = 8 н т. д.	I
После этого решается ряд сложных примеров, где применяются деле-кие и умножение. И, наконец, таблицы умножения и деления записываются и запоминаются. Начиная с таблицы умножения 8, учащиеся знакомятся с переместительным свойством умножения (обязательно на чертеже), формулируют его так, как это дано в учебнике на странице 43, и применяют его при решении примеров и задач.
Для оживления работы полезно время от времени вводить игры в счетное лото. Полезно также с начала изучения таблицы ввести таблицу Пифагора и постепенно заполнять ее. Поучителен здесь самый процесс заполнения таблицы, но пользоваться ею придется только в начале работы; в дальнейшем учащиеся усваивают таблицу наизусть.
По мере проработки таблицы полезно ее крупными цифрами записать и вывесить на классные стены. На проработку таблицы умножения и деления каждого числа нужно затрачивать 4—5 часов классных занятий, сопровождля их домашними работами. Материал в задачнике подобран так, что наряду с изучением таблицы умножения и деления все время производится повторение сложения и вычитания в пределе 100.
В изучение табличного умножения и деления вклинивается ознакомление учащихся с двумя новыми для них понятиями: 1) с увеличением числа в несколько раз и 2) с простейшими диаграммами.
Во СТОЛЬКО-ТО раз больше (стр. 15). Упражнения для усвоения этого п >нятия сначала ведутся на наглядных пособиях, на задачах и затем на отвлеченных числах.
Прежде чем приступить к проработке учебника, учитель знакомит учащихся с увеличением числа в несколько раз на палочках, спичках или кубиках. Вызвав ученика к столу, учитель говорит: „Положи на правой стороне стола 2 кубика и на левой 2 кубика, затем на левой еще раз 2 и еще раз 2 кубика, т. е. три раза по 2 кубика. Сколько у тебя кубиков на правой стороне и на левой стороне?* На этот вопрос сам учитель дает ответ: „На правой стороне 2 кубика, а на левой в 3 раза больше, или втрое больше. Сколько же кубиков на левой стороне, как это узнать? (Надо по 2 кубика взять 3 раза, — будет 6 кубиков.) — А как это записать? (2X3 = 6.)*.
Проделав то же с другим числом кубиков, учитель обращается к учебнику и предлагает учащимся упражнения: первое задание (обвод клеточек) и второе (рисование кружков), а затем—задачр. Само собой разумеется, что двух задач, помещенных в учебнике, будет совершенно недостаточно. Учитель сам может составить ряд задач, в которых нужно одно число увеличить в несколько раз. В задачи нужно вводить термин не только „во столько-то раз больше*, но и другие адекватные ему термины: „во столько-то раз дороже*, „во столько-то раз длиннее* и др. Учащиеся должны знать, что все такого рода задачи решаются умножением. На усвоение этого понятия нужно затратить 2 урока. Кроме того последующие задачи нужно строить так, чтобы учащиеся упражнялись в применении этого понятия.
Простейшие диаграммы (стр. 23). Здесь учащимся дается первое представление о диаграмме. Диаграмма вычерчивается учителем на Доске, а учащимися в тетрадях, иа клетчатой бумаге. Масштаб —одна «летка принимается за единицу изображаемой величины. Обозначается ------------------------------	-----------------31
масштвб так: „□—один мальчик или одна девочка”. От учащихЛ сразу нужно требовать чистого, аккуратного и точного выполнен! работы.	
Работу можно начать или с ознакомления учащихся с готовой дщ граммой или с вычерчивания диаграммы самими учащимися (например „распределение учащихся на пионеров и непионеров”). Второй способ больше активизирует детей, заинтересовывает их; поэтому с неге предпочтительнее начинать работу. Давать определение, что такое диаграмма, не следует, но учащиеся должны составить себе представление о диаграмме как о рисунке или чертеже, где два числа изображают^ в виде двух столбиков. Первая, готовая диаграмма, которая показывается учащимся, должна быть яркой, красочной, тщательно сделанной и достаточно большой по размерам, доступной для обозрения всему классу. Желательно, чтобы она была простой и содержала в себе сравнение не более двух величин и притом таких, которые близки и понятны учащимся (число учащихся девочек и мальчиков в группе; число пионеров и непионеров в группе; число опозданий в первой и второй четверти и т. д.). Показавши такую диаграмму, учитель должен толково объяснить ее и удостовериться в том, что ученики понимают ее. Только после такой предварительной работы можно перейти к рассмотрению диаграммы, данной в учебнике („Недельное число уроков по предметам во II группе”), которая является сложной диаграммой, содержащей в себе сравнение числа уроков по пяти учебным предметам. Без предварительного объяснения со стороны учителя невозможно было бы ставить ученику вопрос: „Объясни, что показывает диаграмма”. Черчение диаграмм самими учащимися (одной диаграммы на основе материала, собранного в группе по заданию №2, другой—сравнение рабочего дня до революции и теперь по заданию № 3)—является завершением работы.
Задачи на время (стр. 27). Здесь сообщают учащимся сведения о мерах времени, которые являются продолжением того, что знают учащиеся о мерах времени из курса первого года обучения. Учащиеся | узнают, что в году 12 месяцев; узнают, сколько дней в каждом месяце, что в сутках 24 часа, что в часе 60 минут. Знакомятся со сложением и вычитанием именованных чисел (наименование—меры времени).
Из задач здесь даются преимущественно те задачи, в которых приходится вычислять промежуток времени между двумя событиями меньше суток. Эти задачи, как наиболее легкие, посильны для учащихся 11 группы. На примере задачи 13 покажем, как решаются такие задачи.
„Работница отнесла р.ебенка в очаг в 6 часов 45 минут утра и взяла его обратно в 3 часа 20 минут дня. Сколько времени был ребенок в очаге?” Решая эту задачу, дети рассуждают так: с того момента, как работница принесла в очаг ребенка, и до полудня прошло 12 часов минус 6 часов 45 минут, т. е. 5 часов 15 минут, да от полудня до взятия ребенка из очага прошло 3 часа 20 минут: значит, ребенок был в очаге 5 часов 15 минут плюс 3 часа 20 минут, т. е. 8 часов 35 минут. Записать это в две строчки можно так:
12 ч.—6 ч. 45 м. = 5 ч. 15 м.
5 ч. 15 м.-]-3 ч. 20 м. = 8 ч. 35 м.
Таким образом этот вид задач решается в два вопроса и двумя действиями. Задачи же №№ 16, 17, 19 и 22 решаются одним действием (15 часов — 8 часов = 7 часов и т. д ).
32	 —
При решении этих примеров учитель впервые знакомит учащихся £ раздроблением и превращением мер. Запись лучше делать столбиком:
2 года 9 месяцев
+	6 месяцев
2 года 15 месяцев
3 года 3 месяца
Сначала можно допускать промежуточную запись, т. е. писать в сумме 2 года 15 месяцев, а затем по мере овладения учащимися навыком учащиеся устно делают превращение и сразу пишут окончательный результат.	1	,
Все вычисления производятся устно, запись сводится к записыванию результатов устного счета. Так, при решении последнего численного примера из упражнений на странице 28 учащиеся рассуждают так: „37 минут вычесть из 25 минут нельзя; занимаем один час и раздробляем его в минуты; в часе 60 минут да 25 минут, всего 85 минут; вычитаем 37 из 85;.85 без 30 будет 55; 55 без 7 будет 48. Пишем 48 минут под минутами. 5 часов вычтем из 7 часов, останется 2 часа. Пишем 2 часа. В остатке получилось 2 часа 48 минут".
Половина, четверть, восьмая (стр. 30). С половиной и четвертью учащиеся знакомились еще на первом году обучения; новой для учащихся здесь является восьмая доля, поэтому восьмым долям отведено больше места. Доли единицы должны даваться учащимся весьма конкретно и наглядно — на кружках и полосках бумаги, которые вырезаются, наклеиваются, раскрашиваются; учащиеся должны быть ознаком-111 11 11 лены Су, - и - .и, с у и л, с — и —км.
Путь работы таков: 1) ознакомление с долями на наглядных пособиях, 2) решение задач, 3) решение численных примеров (с долями единицы).
Деление на равные части. Сопоставление обоих видов деления (стр. 31—36). Деление в учебнике т. Поповой дано в следующем порядке: сначала в связи с таблицей умножения изучается деление по содержанию; потом также в связи с умножением изучается деление на равные части. Деление по содержанию дано в том же порядке, в каком изучается и таблица умножения. Порядок же деления на равные части иной, а именно: сначала изучается деление на 2, 4 и 8 равных частей, затем — на 3, 6 и 9 и, наконец, на 10, 5 и 7 равных частей. Таким образом деление разбито как бы на 3 группы, из которых каждая содержит кратные числа. Такой порядок допускает не только увязку деления с умножением, но и пользование при дележи приемом так называемого последовательного деления.
До сих пор оба вида деления рассматривались особо; примеры на каждый вид читались различно; такой пример, как 12:3, читался так: „12 разделить по 3 будет 4“ (деление по содержанию); или так: „12 разделить на 3 равные части будет 4“ (деление на равные части). Теперь оба случая деления объединяются, и учащихся приводят к выводу, что разделим ли мы 12 по 3 или 12 на 3 равные части — все равно получим одно и то же число. А потому оба выражения —„разделить на 3 равные части" и „разделить по 3“—можно заменить более
коротким „разделить на 3е, и весь пример можно прочитать короч| „12 разделить на 3 будет 4".
Это объединение дает возможность при отыскании частного пола зоваться тем видом деления, какой в данном случае является удобнед Так, например, при делении на однозначные числа удобнее пользо ваться делением как делением на равные части, а при делении на дву значные числа удобнее пользоваться делением как делением по содер жанию.
Сопоставление обоих видов деления можно провести сначала на наглядных пособиях, а именно: можно предложить одному ученику разде-лить 12 кубиков по 4 кубика и спросить, сколько получилось частей (3 части), а другим предложить 12 кубиков разделить на 4 равные части и спросить, сколько получилось кубиков (3 кубика). Совпадение ответов — 3 кубика, 3 части — покажет учащимся, что в обоих случаях получается один и тот же результат.
Задачи на сопоставление обоих видов деления подобраны так, что каждые 2 задачи даются с аналогичным содержанием и одними и теми же числовыми данными, но одна из них требует деления на части, а другая деления по содержанию. Решение их должно научить учащихся тому, что 1) обе задачи решаются делением, 2) что в обоих случаяя получается один и тот же результат и 3) что деление на части и по содержанию—одно и то же действие.
Во столько-то раз меньше (стр. 32). Кратное сравнение (стр. 40). Эта работа является продолжением того, что давалось на странице 15. Увеличение одного числа в несколько раз, уменьшение числа в несколько раз, кратное сравнение двух чисел — это друг другу близкие математические понятия. Во многих методиках они объединяются в понятии „Кратное сравнение". В учебнике же Поповой эти понятия даются раздельно единственно с той целью, чтобы понятия не нагромождать друг на друга и чтобы учащиеся могли усвоить их постепенно и как раз тогда, когда для этого у учащихся есть математическая база. Понятие „во столько-то раз больше" связано с умножением, так как увеличение числа в несколько раз решается умножением; понятие „во столько-то раз меньше" связано с делением на равные части, так как этот вопрос решается делением; кратное сравнение заключает проработку умножения и деления в пределе 100. Проработка этого материала ведется так же, как и проработка материала для усвоения понятия „во столько-то раз больше" (см. стр. 31). Здесь мы хотим подчеркнуть две мысли: 1) познакомив учащихся с этим понятием, надо вводить соответствующие упражнения и задачи во всей дальнейшей работе для лучшего усвоения и закрепления их и 2) прорабатывая вопросы кратного сравнения, нужно все время сопоставлять его с разностным сравнением. Различение этих понятий дается детям не легко. Это обязывает учителя давать учащимся достаточно большое количество упражнений в сопоставлении кратного и разностного сравнения. Ограниченный размер учебника не позволил автору дать для сопоставления вышеуказанных понятий столько упражнений, сколько это нужно. При проработке разделов „Во столько-то раз больше" и „Во столько-то раз меньше" дано всего по два задания и не дано’ ни одного задания, которое ставило бы учащихся перед необходимостью сопоставлять понятия „во столько-то раз больше или меньше" zc понятием
на столько-то больше или меньше”. Учителю нужно будет восполнить Jtot недостаток и, готовясь к урокам, самому заготовлять по нескольку ^дачек, где бы сопоставлялись эти выражения и требовалось от учащихся применение умножения или сложения, деления или вычитания.
Внетабличное умножение и деление (стр. 36—40). Деление
С остатком (стр. 42). Внетабличное умножение не представляет для учащихся особой трудности, и поэтому при проработке его можно ограничиться тем количеством упражнений, которое дано в учебнике. В учебнике в связи с решением первых двух задач показан прием умножения и деления двузначного числа на однозначное, который основан
да разложении двузначного числа на десятичные группы, т. е. на десятки и единицы, и состоит в умножении сначала десятков, а потом единиц на данное число и затем в сложении полученных результатов (28X2 — ?! 28 = 20-|-8; 20X 2 = 40; 8X2=16; 40-|-16 = 56). В материале на деление даются сначала такие примеры, в которых десятки и единицы делятся без остатка (26:2; 36:3 и т. д ); в упражнении 10 (стр. 37) деление надо начинать с примеров 48:4; 88:4, а затем перейти к таким примерам, в которых десятки в отдельности не делятся без остатка (42:3) и когда делимое приходится разбивать на два числа, из которых каждое делится без остатка (42 = 30-}-12; 30:3 = 10; 12:3 = 4; 10-}-4=14).
Кроме того, в учебнике указан и другой прием деления — прием так называемого последовательного деления (стр. 38, № 15), которым удобно пользоваться при делении на 4, 6, 8. Выяснению этого приема (если учащиеся встречаются с ним впервые) надо предпослать деление линии на 2, 4 и 8 частей, а затем деление линии на 3 и 6 частей.
Проработку умножения и деления на двузначное число (стр. 39) надо начинать с умножения однозначного числа на круглые десятки и с деления круглых десятков на круглые десятки (2 X 30; 3 X 20 и др.; 80:20; 90:30; 60:20 и др.), так как с этими случаями деления учащиеся еще не встречались; проработка этих случаев умножения и деления поможет более легкому усвоению навыков деления вообще двузначного на двузначное. Деление двузначного на двузначное удобнее и легче рассматривать как деление по содержанию, а не как деление на равные части. Прием последовательного деления здесь не годится: он был бы громоздок. Здесь надо пользоваться приемом подбора множителя.
Пусть дано 24 разделить на 12. Надо поставить так вопрос: „Сколько раз надо взять по 12, чтобы получить 24? (2.)—Проверьте это. В некоторых случаях полезно делитель округлять; сюда относятся такие примеры: 76:19; 57:19; 95:19.
76 — к какому числу близко? (К 80.)—19 — к какому числу близко? (к 20.) — На сколько нужно умножить 20, чтобы получить 80? (На 4.)—Теперь посмотрим, не получится ли 76, если 19 умножить на 4. Проверьте это.
Обращаем внимание учителей на задачи №№ 4 и 7 (стр. 39). Эти задачи не только дают материал для деления двузначного числа на двузначное, но они ценны и для развития математического мышления ребенка. Хорошо будет, если учитель не ограничится одной задачей каждого такого типа (тем более, что для некоторых учащихся они
сразу покажутся трудными/, а составит сам несколько задач такого fl типа и предложит учащимся для решения как в классе, так и дома. 1 Изучение деления заканчивается делением с остатком (стр. -*2 Упражнения, данные в учебнике по этому вопросу, разбиваются на т! основных раздела: 1) упражнения 1—6 посвящены делению двузначно^ числа на однозначное, основывающемуся всецело на знании таблиц умножения и деления; 2) упражнения 7,8, И посвящены Млению дьJ значного числа на однозначное при двузначном частном и 3) упражнц ния 9, 10, 12 и 13 посвящены делению двузначного числа на двузначно.] при однозначном частном.	I
При производстве деления с остатком следует ограничиваться про; I тым определением остатка, т. е. неполным частным, не гоняясь з I точным частным, т. е. за получением целого числа с дробью.
Учащиеся здесь впервые встречаются с делением с остатком; д I сих пор им давались примеры с точным частным. Поэтому необходим I работе по учебнику предпослать несколько легких подготовитель! н ы х упражнений, из которых учащиеся узнают, что не все чист I делятся нацело, что при делении ряда чисел получается остаток. ДдЛ этого лучше всего взять числа первого десятка и на них дать понятие! о делении с остатком, проделав это сначала на наглядных пособиях.I
„Возьмите 4 кубика. Разделите их пополам. Сколько получа-| ется в каждой части? (По 2.) — Возьмите 6 кубиков; разделит|| их пополам. Сколько получается в каждой части? (По 3 кубика. I — Теперь возьмите 5 кубиков; разделите их пополам. Сколько! получается в каждой части? (По 2 кубика и, кроме того, 1 кубик I остался неразделенным.) — Тогда учитель поясняет: — 4 на 2 де-1 лится нацело; 6 на 2 тоже делится нацело, а 5 на 2 не делится! нацело; 5 на 2 делится с остатком. От деления получается 2 н I один в остатке. Какие числа в пределе 10 делятся на 2 бе: I остатка? (2, 4, 6, 8, 10.) — Какие числа в пределе 10 делятся на 2 с остатком? (3, 5, 7, 9.) — Какой при этом получается остаток? (Единица, или один.) Потом учитель переходит к делений на 3, 4 и 5 чисел в пределе 10 и на этом делении выясняет, что в остатке может быть не только единица, но и 2, и 3, и 4 Далее знакомит учащихся с записью деления с остатком: 8:3=2 (остаток 2)“.
После этого учитель переходит, руководствуясь уже учебником, к образованию из чисел таблицы умножения промежуточных чисел, которые не делятся нацело ни на один из сомножителей: 5 X 6 -j- 2 = 1 (см. пример 1 из упражнения 6). Читается этот пример так: „5, взятое 6 раз и еще 2, чему равно?" После этого учащимся нетрудно решить стоящий пол этим примером такой пример: 32:5.
Решение последующих примеров из упражнений 5 и 6 сводится к определению по данному промежуточному числу ближайшего меньшего числа таблицы умножения и разложению его на два сомножителя, из которых один есть данный делитель; так, например, решить первый пример из упражнения 6 это значит 23 разложить так: 23 = 214-2; 21 = 3X7; 23:3 = 7 (остаток 2). Разумеется, что все эти этапы вычислений проделываются устно, без записи, записывается только последний результат: 23:3 = 7 (остаток 2).
36	—'
решение примеров при двузначном частном (упражнение 11 и за-,чи №№ 7 и 8) представляет более сложную работу, чем при однозначном дСтном. Здесь делимое приходится разбивать на 3 числа, из которых ервэе число—полные десятки, делящиеся без остатка на данный де-)(тель; второе число — остающиеся десятки с единицами — в свою оче-|еЯь разбиваются на два числа—ближайшее меньшее число из таб-,щы умножения и остаток; так, третий пример из упражнения 11 5,5:4 решается так:
I. 55—40-4-15; 15=12-]-3; 12=4X3;
II. 40:4=10; 12:4=3;	10-J-3=13;
пак, 55:4=13 (остаток 3). Проверка: 13X4=52; 52-|-3=55. Опять-дки и здесь все промежуточные вычисления делаются устно.
Деление двузначного числа на двузначное (упражнение 12—13) производится путем подбора множителя. Решая первый пример из упражнения 12, учитель ставит вопрос: „Сколько раз надо взять по 36, чтобы получить 75, и сколько останется? (2 раза и останется 3.)“ Проверка: ; раза по 36 получится 72; 75—72=3.
Задачи и примеры на все действия в пределе 100 (стр. 43—45). Задачи подобраны с таким расчетом, чтобы при решении их нашли применение все четыре арифметических действия. Задачи решаются двумя-тремя действиями, за исключением № 7, которая решается четырьмя действиями. Задача № 3 решается способом приведения к единице. Задача № 6 допускает двоякий способ решения, из которых каждый является приемлемым.
Один способ: „Один рубль дохода получается с 12 руб. А с 84 руб. получится дохода столько рублей, сколько раз 12 содержится в 84. Через год у рабочего будет 84—|—7=91 руб.“.
Другой способ: „24 руб. содержится в 84 руб. 3 раза, и остаток получится 12 руб. Значит, рабочий получит 3 раза по 2 руб.=6 руб. и еще 1 руб., а всего 7 руб.“,и т. д.
В этом же разделе дано вычисление счета. Нужно познакомить учащихся со структурой счета, показать, что каждый денежный счет имеет четыре графы: 1) название предметов; 2) количество; 3) цена; 4) сумма; показать порядок вычисления счета (сначала вычисляются отдельные суммы, а потом подводится общий итог).
Три задачи (№№ 11, 12, 13) даны на вычисление температуры. Имеется в виду, что учащиеся в связи с ведением календаря погоды имеют представление о термометре и о градусах; здесь эти знания использованы как материал для вычислений. Задачи нужно решать вперемежку с численными примерами (14, 15, 16). Заканчивается этот Раздел упражнениями в подборе вопросов к данному условию задачи, что является продолжением аналогичных упражнений, данных на странице 9 учебника.
Первая тысяча. Проработка нумерации, сложения и вычитания в пределе первой тысячи падает на третью четверть. В третьей четверти на уроки а{йтфметики приходится немного больше 50 часов классных занятий. За это время по учебнику нужно проработать 12 страниц — с 45 по 56. Времени больше чем достаточно. Но нужно иметь в виду, что при перегруженности материалом второй четверти очень возможно, что некоторые школы не успеют в течение второй четверти прорабо-37
тать весь материал, и часть его придется отнести на третью четверо] Перенос части материала из второй четвепти в третью однако ни I коем случае не должен отразиться на общем объеме работы треть четверти: материал третьей четверти должен быть проработан полностью I иначе создалась бы угроза невыполнения по II группе общегодовог.| программы по арифметике.	I
Планируя работу, нужно отвести не менее 10 часов на проработцЛ нумерации в пределе 1000 и около 30 часов на проработку слоись| ния и вычитания.	1
Устная и письменная нумерация (стр. 45—47). В качестве на-| глядных пособий при проработке нумерации в-^чебнике Поповой рек<>. I мендуются: 1) лента из 10 метровых бумажных или картонных полос разделенных иа дециметры и сантиметры (в ленте 1000 см); эта лента прикрепляется к стенам класса; если размеры стен ие велики, можнс прикрепить метровые ленты под углом; при помощи ленты прорабатывается устная нумерация; 2) абак, который изготовляется из картона на уроке труда самими учащимися; он служит для выяснения поразрядного состава числа; 3) счеты. Заметим, что счеты в учебнике вводятся не раньше чем в момент проработки нумерации в пределе 1000. На более ранней ступени их вводить нецелесообразно; десяток и сотню нужно показать учащимся как совокупность 10 и 100 единиц (пучки десятков и сотен). Замена же десяти косточек одной косточкой (десятком), десяти десятков одной косточкой (сотней), десяти сотен одной косточкой (тысячей) представляет собой условность, с которой раньше учащимся трудно справиться.
Проработка нумерации складывается из следующих основных этапов.
1.	Сначала дается на метровой ленте знакомство с сотней как нивой счетной единицей (упражнения 2, 3); все названия (сто, двести, триста...) учитель пишет на доске словами, а дети списывают их в тетради.
2.	Потом учащиеся составляют трехзначные числа соединением полных Сотен, полных десятков и единиц, сначала пользуясь метровой лентой, потом на отвлеченных числах (упражнение 4).
3.	После составления числа проделываются обратные упражнения — разложение трехзиачного числа на его десятичные группы сначала на ленте („Покажите на ленте триста пятьдесят"), а потом на отвлеченных числах („Из скольких сотен, десятков и единиц состоит число 238, 540, 406?“) (упражнения 6 и 7).
4.	Прямой и обратный счет до 1000 сплошь вести не следует, но нужно остановиться на момантах перехода из одной сотни в другую: 397, 398, 399, 400, 401... 798, 799, 800, 801, 802... 998, 999, 1000. В связи с этим прорабатывается упражнение 5.
5.	Вслед за этим переходят к работе с абаком, прорабатывая упражнения 8 и 9.
6.	Дальше прорабатывается письменная нумерация: чтение написанного числа, письмо чисел под диктовку, определение состава чисел; ей предшествует знакомство со счетами и упражнения в откладывании чисел на счетах; откладывание чисел на счетах сопровождается их записью (упражнения 10, И, 12, 13).
7.	После ознакомления учащихся с записью чисел производятся упражнения в разложении трехзначных чисел на слагаемые по разрядам 38
сначала устно, а потом с записью (856—8 сотен 5 десятков 6 единиц; или 856=8 сотен-]- 5 десятков-|-6 единиц; или 856=800-]—50-|-6; или 856=800-]-56; или, наконец, 856=850-]-6). Сюда же относятся упражнения в раздроблении рублей в копейки и превращении копеек в рубли (упражнения 14, 15, 16).
Все эти ступени необходимо тщательно проработать в той последовательности, в какой они указаны. Это обеспечит хорошее усвоение нумерации, которая является сложным материалом для учащихся.
Усвоение нумерации надо сейчас же приложить к разрешению ряда близких детям практических вопросов: записать номера дома, квартиры, если они выходят за пределы сотни, число жильцов дома, жителей в колхозе, в совхозе, число книг в нашей групповой библиотеке, число учащихся в школе (если оно превышает сотню и т. д.).
По программе вслед за нумерацией идет проработка всех действий над круглыми" сотнями в пределе 1000. Но в учебнике порядок проработки материала установлен несколько иной, а именно: вслед за нумерацией дается только сложение и вычитание круглых сотен; что же касается умножения и деления круглых сотен, то они отнесены к простейшим случаям умножения и деления и рассматриваются дальше в связи с проработкой других случаев умножения и деления. С методической точки зрения такой порядок является более целесообразным, выполнение же программы и при этом порядке обеспечено полностью.
Упражнения 17, 18, 19, 20 и 21 основаны всецело на знании нумерации и в свою очередь закрепляют усвоение нумерации. Действия производятся устно с последующей записью результатов.
Взвешивание (стр. 47). Этот раздел имеет своей задачей расширить знания учащихся в области мер веса. Наиболее целесообразно его проработать сейчас же после нумерации, так как он основывается на знании нумерации и, с другой стороны, способствует закреплению знаний в области нумерации. Проработка этого раздела должна носить сугубо конкретный характер. Наглядность должна быть полностью обеспечена, т. е. учащиеся должны иметь под руками весы, разновес, медные монеты, различный материал для взвешивания (соль, песок и т. д.), должны производить процесс взвешивания. На эту работу может быть затрачено до трех часов классных занятий.
Сложение И вычитание (стр. 48—52). Необходимым условием для более легкого усвоения навыков сложения и вычитания в пределе 1000 является строгая последовательность в проработке разных случаев сложения и вычитания. Это условие в учебнике соблюдено полностью; здесь каждый последующий случай представляет некоторое незначительное усложнение по сравнению с предыдущим; вся работа разбита на ряд методических ступеней, обусловливающих постепенное нарастание трудностей. Каждый столбик обычно представляет собою особый случай сложения или вычитания: сначала даются задачи и примеры на сложение и вычитание без перехода через сотню; внутри этой группы существует несколько подразделений:
I. 123-J-5; И. 323-4-7; III. 428-]-4; IV. 340-]-50; V. 112-{-50; VI. 420 { 48; VII. 206-J-48; VIII. 128-J-32; IX. 137-]-28; X. 714-]-134ит. д.
(Примеры взяты из упражнений 4, 5, 8, 9, 13 —стр. 48.)
39
прие.
Каждый из этих примеров нуждается в применении особого вычислений, которые учителю, надеемся, достаточно ясны.
Мы обращаем внимание учителя на следующую особенность работке этого материала: до сих пор все вычисления носили характер; если учащиеся и применяли записи, то был: зультатов устных вычислений. Начиная же со страницы 49, дит письменные вычисления, г " -"1.^aon^nniuvin от ( ности того или иного примера учащиеся пользуются или устными письменными вычислениями. Есс г.р....чрапицы ю вы
устно. Первая задача, на которой целесообразно познакомить с письменным производством сложения и сыдитанид,—эю задача jns щ на странице 48; первые примеры, прн решении которых надо пользоваться приемами письменного сложения, — это примеры 13, 14, 15. Основная разница между устным и письменным производством действия (сложения, вычитания н умножения) заключается в том, что устное вычисление начинается с высших разрядов, а письменное — с низших.’ Пример 714-|-134 устно решается так: 7004-100=800; 14-|-34=48; 8004-48=848, а письменное вычисление производится иначе:
>714	|
' 134
848’  ж т. е. сначала складываются 4 единицы да 4 единицы, потом 1 десяток да 3 десятка и затем 7 сотен да 1 сотня. Но уже следующий столбик примеров под № 4 целесообразнее вычислять устно. Складывая 260 и 40, учащиеся должны устно сложить сначала 60 да 40, затем сложить I 200 да 100; то же с другими примерами под № 5, 6, 7, 10, И и 12 (стр. 49 и 50). Письменный способ вычислений можно применить при решении столбиков под № 8, 12 и 13 (стр. 51), 16, 19 и 20 (стр. 52).
Сложение и вычитание на счетах (стр. 52). Первые два столбика не представляют для учащихся никаких затруднений, ибо присчитывание на счетах производится аналогично устному присчитыванию, т. е. кладется на счетах 124, а затем прибавляется сначала 100, потом к полученному (224) прибавляют 10, к вновь полученному (234) прибавляют 2 и читают 236; в таком же порядке к 236 прибавляют 130 и 223. Остановиться нужно несколько на третьем примере, где приходится делать переход из низшего разряда в высший; здесь । I к 788, получающимся после сложения первых трех слагаемых, нужно прибавить 103 (к 7 шарикам на третьей проволоке прибавить один шарик, к 8 шарикам на первой проволоке прибавить 3 шарика. При- I бавляя к 8 шарикам 3 шарика, учащиеся должны прибавить 10 (положить один шарик на второй проволоке) и от полученного результата отнять 7 шариков (с первой проволоки), потому что, прибавляя 10, мы прибавили 7 лишних шариков. Получится 791. Ясно, что прежде чем решать третий пример 215 4~ 326, нужно подготовить к нему учащихся простыми упражнениями на счетах вроде следующих: к 8 прибавить 4, I к 6 прибавить 7, к 4 прибавить 9. На простых примерах нужно разъяснить: 1) тот случай вычитания, когда приходится делать переход из высшего разряда в низший: в четвертом примере № 2 (472 — 223) при- 1 ходится от двух единиц отнимать 3 единицы; учащиеся для этого дол- I жны сначала отнять 10 (1 шарик со второй проволоки), а затем приба- I 40
в пре. I устны> то это были записи pi ~, учитель вв< и в дальнейшем в зависимости от слож-л J--------- JUIVn ГХ/ХП у<_1ПЫМИ ИЛИ
письменными вычислениями. Все примеры страницы 48 вычисляются
.	— ~,-..-».wwwj7uoriv ыиопдкими 1 ъ учаЩИХСи
с письменным производством сложения и вычитания,—это задача №1(1 |
'5цть 7; в этом случае надо поупражнять детей сначала на решении каких примеров: 13 — 8; 16—9 и т. д; 2) те случаи сложения, когда 10 шариков одной проволоки приходится заменять одним шариком вышерасположенной проволоки (52 4“ 54); 3) те случаи вычитания, когда >аЯ число единиц уменьшаемого меньше числа единиц вычитаемого и при-
ходится занимать сотню, раздробляя ее в десятки (234 —138).
* Раздробление и превращение именованных чисел (стр. 53). Сложение и вычитание именованных чисел (стр. 54, 55, 56). раздробление рублей в копейки, метров в сантиметры нужно делать без умножения, а превращение без деления на 100. Раздробляя 2 р. 65 к.
Е копейки, учащиеся должны сразу сделать такую запись: 2 р. 65 к. = = 265 коп., рассуждая при этом так: „2 руб. это — 200 коп. да 65 коп., всего 265 коп.“ Превращая 945 коп. в рубли, учащиеся сразу делают такую запись: 945 коп. = 9 р. 45 к., рассуждая при этом так: ,900 коп. это — 9 руб. да 45 коп., всего будет 9 р. 45 к.“
Сложение и вычитание именованных чисел дано на именованных числах с двумя соседними наименованиями, с превращением и раздроблением именованных чисел. Записывать числа можно одно под другим; так, пример на вычитание 5 м 25 см—1м 68 см записывается для решения так:
__ 5 л 25 см,	. 4 кг 375 г 1м 68 см	"•”•6 кг 625 г
______________ а на сложение так:	_____________
3 м 57 см	11 кг 000 г
Заканчивается этот раздел составлением и решением задач самими учащимися. По сравнению с предыдущей работой в этом направлении (см. стр. 45) учащиеся здесь делают шаг вперед: они не только подбирают вопрос к данному условию, но и сами составляют условие задачи । на данную тему, т. е. составляют задачу в целом. („Сколько стоят марки на разные письма". „Составь задачи, пользуясь данной таблицей цен“.)
Умножение и деление (стр. 56 — 64). Этот материал должен быть проработан в течение четвертой четвертй. Он занимает 12 страниц. На проработку его может быть затрачено 30 или немного более часов I классных занятий.
Планируя работу, учителю можно ориентироваться на следующие нормы:
I 1)
2)
3)
4)
5)
8
2
10
3
умножение ............
диаграммы.............
деление ..............
знакомство с километром задачи и примеры на все действия в пределе 1000 .................
6) проверка пройденного .
часов часа
часов часа
Если школа может затратить на математику больше 30 часов, то избыток времени она должна употребить на деление, увеличив отведенное на это время до 12 часов, и на повторение пройденного.
5
2
часов часа
30 часов
Умножение и деление даны в учебнике раздельно. Это сделано с той Целью, чтобы учащиеся могли с большей четкостью и в строгой последовательности, переходя от легкого к трудному, проработать отдельные (простейшие) случаи каждого действия.
41
Умножение. Начинается умножение с умножения круглых сотен 1 круглых десятков и затем дается умножение двузначного и трехзна,. ного на однозначное. Вычисления производятся устно; иа этой ступем» учащиеся еще не знакомятся с письменным способом умножения.
Диаграммы (стр. 59 — 60). Эта работа является продолжений работы над простейшими диаграммами второй четверти. Усложнение за. ключается в том,/что здесь одна клетка означает не одну (как было а второй четверто), а несколько единиц изображаемой величины: одщ клетка изображает 4 руб., или 50 руб., или 25 учеников. Упражнение в чтении диаграмм заканчивается составлением учащимися диаграмм^ на основе цифровых данных о числе октябрят и пионеров в школе. 1
Деление (стр. 60 — 64). Задачи и примеры даны в строгой мето, дической последовательности, начиная с деления круглых сотен и д*. сятков и кончая делением любого трехзначного числа на однозначное Все вычисления должны носить устный ' характер с последующей за писью результатов устных вычислений.
Километр. Ознакомление с километром должно носить практический характер: пользуясь мерной веревкой в 10 метров и колышками, учащиеся должны по прямой ровной дороге отмерить один километр, чтобы получить совершенно конкретное и наглядное представление о новой для них единице измерения — километре. Затем с детьми нужно проделать ряд измерений шагами, сопоставив известное число шаго» каждого с соответствующим числом метров. Затем нужно на местности научить детей провешиванию прямых линий длиной не более 50 л Рисунок на странице 64 дает указания, как вести провешивание прямых линий. Одновременно нужно произвести ряд измерений, которые дадут материал для черчения по заданиям, которые указаны под номерами 8 — 9 на странице 65. Выходы на местность нужно широко использовать для развития глазомера у детей, для упражнения в глазомерном определении небольших расстояний. После такой практической работы, которая должна занять не менее двух уроков, учащиеся решают задачи по учебнику и вычерчивают планы площадки, двора в требуемых масштабах.
Задачи и примеры на все действия в пределе 1000 (стр. 66 — 68). Задачи и примеры подобраны таким образом, что на них учащийся повторяет основные моменты из пройденного в течение года: I
1.	Уменье решать задачи в 2 — 3 действия с применением кратного] и разностного сравнения; увеличением числа в несколько раз и на несколько единиц (первые 8 задач на стр. 66 и 67).
2.	Уменье подвести итоги счета и уменье написать самиад счет по нескольким данным.
3.	Уменье использовать для решения практических вопросов справочную таблицу несложного характера (№ 12).
4.	Уменье составить несложную задачку на данную тему (№ 13). I
5.	Уменье производить действия с именованными числами (№№ 14, 15).|
6.	Уменье начертить контурный план (прямоугольной площади) по данному масштабу.
7.	Уменье прочитать и начертить несложную диаграмму (№№ 17—18)-8. Уменье производить вычисления (4 арифметических действия) с числами в пределе 1000.
42
КАК РАБОТАТЬ ПО УЧЕБНИКУ АРИФМЕТИКИ И ПО СБОРНИКУ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ДЛЯ ТРЕТЬЕГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ.
Общие замечания. Для работ по арифметике в III группе учащиеся имеют две книги Н. Поповой: 1) „Учебник арифметики для начальной школы. Часть 111“ и 2) „Сборник арифметических задач и упражнений для начальной школы. Часть I. Третий год обучения". Первая книга содержит в себе краткий курс самой элементарной теории арифметики, доступной для десяти-одиннадцатилетиих ребят. Вторая книга, как показывает ее название, является сборником задач и упражнений. Обе книги прорабатываются одновременно. Так как одновременное пользование этими двумя учебниками может вызвать у учителя некоторое затруднение, мы считаем необходимым дать сначала общую характеристику построения каждой книги, а затем показать, как прорабатывается программа каждой четверти учебного года с одновременным использованием учебника и сборника задач и упражнений.
Сборник по объему материала строго согласован с программой, но в расположении материала есть незначительные отступления от программы, а именно: 1) меры времени приводятся в систему не в первой, а во второй четверти; 2) прямоугольные диаграммы прорабатываются не в третьей, а в четвертой четверти. Эти отступления не нарушают цельности и стройности расположения материала, не изменяют общего объема программы, поэтому учитель может допустить их в своей практической работе.
Весь материал разбит на 4 главы в соответствии с четырьмя четвертями учебного года. Каждая глава, таким образом, обнимает собой материал, который должен быть проработан в течение соответствующей четверти. Материал по. главам (четвертям) расположен более или менее равномерно—от 12 до 14 страниц на каждую четверть.
В состав арифметического материала входят: 1) задачи, 2) численные примеры, 3) материал для упражнения в составлении задач самими учащимися (расположен в конце каждой главы), 4) счета и таблицы, 5) ряд заданий математического характера (по превращению и раздроблению именованных чисел и др.).
Наряду с арифметическим материалом в каждой главе дан и геометрический материал в объеме программы. Основным в геометрическом материале для третьего года является измерение прямоугольных площадей (квадратные меры). В тесной связи с измерениями дается материал и для черчения. Каждая глава начинается упражнением в устном счете. Главное место отведено целым числам, и только начиная с третьей четверти даны обыкновенные дроби.
О задачах. Всего задач с текстовым условием свыше 250. Основную массу задач составляют задачи, решаемые в 2—3 действия, наряду
43
с этим дан ряд’ задач, решаемых четырьмя действиями. По сложности и степени трудности задачи вполне посильны для учащихся десятилетнего возраста. Задачи не расположены по типам; в этом нет ника-J кой надобности. Но по своему арифметическому содержанию и оформлению они достаточно разнообразны. Наряду с арифметическими задачами, решение которых всецело основано на умении правильно применять то или иное арифметическое действие, в сборнике помещен ряд так называемых алгебраических задач, решение которых особенно способствует развитию математического мышления, развитию сообразительности и комбинаторных способностей. Укажем эти задачи и приведем способы решения каждого типа.
1.	Задачи, решаемые способом приведения к единице,-— №№ 65, 407, 411, 412, 415 и др. В эти задачи входят только прямопропорциональные величины: цена и стоимость и др. Способ решения этих задач общеизвестен.
II.	Задачи, в которых требуется найти два числа по их сумме и разности — №№ 36, 84, 85, 86, 87. 221. Укажем решение задачи № 84: „В двух книжных шкафах 270 книг. В одном шкафу на 30 книг больше, чем в другом. Сколько книг в каждом шкафу?11 В этой задаче 270 есть сумма двух неизвестных чисел, а 30—разность этих чисел. Решая эту задачу, нужно поставить перед учащимися такие вопросы: „Что нужно сделать4 чтобы в обоих шкафах'книг стало поровну? (Нужно от общего числа отнять 30, 270 — 30=240.) — Сколько книг было в одноммёньшем шкафу? (Вдвое меньше: 240 :2 = 120.)— Сколько книг было в большем шкафу? (В большем шкафу было на 30 книг больше, а именно: 120-j-30= 150.)“
III.	Задачи, в которых требуется найти два числа по их сумме и частному,— №№ 174, 175, 176, 179, 180. Задача № 174 и др. решается так: „На заводе работают 9936 человек. Рабочих в 8 раз больше, чем служащих. Сколько на заводе рабочих и сколько служащих?"
Предположим, что служащих—одна часть, тогда рабочих—восемь частей, а всего частей 9 (8 -|-1 = 9), и эти 9 частей составляют 9936 человек. На одну часть приходится: 9936 :9= 1104. Столько было служащих. На 8 частей приходится: 1104X 8 = 8832. Столько было рабочих. Таким образом, задача распадается на три задачи: 1) Сколько частей приходится на служащих и рабочих? (1 -]- 8= 9);2) Сколько было служащих? (9936:9=1104); 3) Сколько было рабочих? (1104X8= = 8832).
IV.	Задачи, решаемые способом исключения неизвестного,— №№ 231, 232, 445, 446, 433. Приведем решение задачи 231. „27 м ситцу и 23 м сатину стоят вместе 97 р. 54 к. 27 м ситцу и 58 м сатину стоят вместе 193 р. 79 к. Сколько стоит отдельно 1 м сатину и 1 м ситцу?" Для решения ставятся перед учащимися такие вопросы:
1)	Какая разница в стоимости первой и второй покупки? 193 р. 79 к. — 97 р. 54 к. = 96р. 25 к.
2)	На сколько во второй покупке куплено больше сатину? 58.и — — 23 л; = 35ж.
3)	Сколько стоит 1м сатину? 96 р. 25 к. :35 = 2р. 75 к.
4)	Сколько стоят 23 м сатину? 2 р. 75 к. X 23 = 63 р. 25 к.
5)	Сколько стоит весь ситец (27 ж)? 97 р. 54 к. —63 р. 25 к.=34 р. 29 к.
44
6)	Сколько стоит 1 м ситцу? 34р. 29к.:27 = 1 р. 27к.
Все остальные задачи этого типа решаются по этому образцу.
V. Назовем еще задачи, которые решаются способом пропорционального деления (№ 170), способом отношения (№ 162).
Очень ценными, с точки зрения развития логического мышления у ребенка, являются задачи геометрического характера—работа с масштабом, вычисление периметра, измерение площадей и т. д.
Метод решения задач — аналитико-синтетический. Однако несколько задач (3—5 за четверть) надо решить с четким разделением анализа и синтеза. Для анализа надо брать задачи в 3 — 4 действия. 'Мы рекомендуем использовать для анализа, в качестве первых, задачи №№ 60 и 83. Задачи решаются как с записью плана решения, так и без записи. В классе, когда задачи решаются вместе с учителем, для ускорения работы вопросы формулируются учащимися устно, и записывается только одно решение. Задачи, решаемые по заданию на дому, могут сопровождаться записью вопросов, предваряющих решение. Как составляется план и записывается решение — смотри указание на странице 18 учебника.
Как прорабатывается материал для устных вычислений. Программа требует, чтобы учащиеся овладели основными приемами устного счета. Сборник дает материал для этих упражнений. Материал для устных вычислений дается в начале каждой главы и занимает одну или около одной страницы. Значит ли это, что учащиеся должны прорешать сначала весь материал по устному счету, а потом переходить к письменным вычислениям? Отнюдь нет. Занятия устным счетом должны продолжаться и чередоваться с письменными вычислениями. „Устное умножение и деление" (стр. 17) прорабатывается, примерно, на 8 уроках, в среднем по 5—7 минут на каждом уроке. Понятно, что этого материала на целую четверть не хватит, и учителю придется самому составлять ряд задач и примеров по образцу задач и примеров, данных в сборнике. Упражнения в устном счете не надо ограничивать только теми случаями, которые даются на первых страничках каждой главы. К устным вычислениям надо прибегать и для выяснения каждого нового способа решения задачи. Поясним это примером. Допустим, что учителю нужно научить учащихся решать задачи типа задачи Ms 433 способом исключения неизвестного. Учитель поступит правильно, если он сначала даст учащимся аналогичную задачу с небольшими числовыми данными и учащиеся решат ее устно, а затем уже приступят к решению задачи №433. Пример задачи, аналогичной данной: „Группа получила 15 карандашей простых и химических на 90 коп. Простой карандаш стоит 5 коп., а химический — 8 коп. Сколько получено простых карандашей и сколько химических?"
О наглядности. На третьем году учащиеся вступают уже в область больших чисел, в пределах которых применение большой наглядности и конкретности не всегда возможно. Учащиеся постепенно приучаются к отвлеченным операциям над числами. У ребят к этому времени крепнут и способности отвлеченного мышления. Они способны делать несложные умозаключения. Наглядность в работе над большими числами перестает играть ту исключительно большую роль, какую она играла в I и II группах. Но это касается только целых чисел. В работе же с обыкновенными дробями и с геометрическим материалом наглядность rn-rwiTw- г ................................................    45
сохраняет всю свою силу и все свое значение. Это нашло свое отразим ние и в сборнике, где наиболее иллюстрированными отделами являютс., отдел обыкновенных дробей н раздел измерений. Но наглядность и дей. ственность обучения должна достигаться отнюдь не одними только рисун-ками и чертежами, а введением практических работ (особенно в области измерения), пользованием разного рода предметными, наглядными пособиями (счетами, абаком, кругами, полосками бумаги при ознакомлении с дробями и т. д.), чертежными и измерительными инструментами (линейка, наугольник, эккер, рулетка и др.), использованием знания арифметики на других уроках—уроках труда, географии и пр. I
Сборник должен быть использован для развития у ребят уменья
Самостоятельно работать над книгой. Около 4- ---
О
быть проработано учащимися в порядке заданий каМим. >' материал только на те правила, которые проработаны классе под непосредственным руководством учителя. На как задачи, так и примеры. Все ппопяблтяииг.а «о ™... проверяется учителем.
В стабильном учебнике мог быть дан материал только рактера. Ограничиться этим школа не может. Она
_____-х- всего материала должно о
1 на дом. На дом дается учащимися в , ........а дом даются
примеры. Все проработанное на дому обязательно
общего ха-,	г_. _-г-..... «.пт школа не может, ина должна привлекать и
местный материал, отражающий социалистическое строительство в своей местности и в своем районе, крае. Самостоятельные задачи, которые будут составляться учителем и самими учащимися, должны строиться 1 главным образом на местном материале.	I
Учебник арифметики для начальной школы на третьем и I четвертом годах обучения. Из 6 глав учебника 3 первых главы I прорабатываются в III группе, 3 остальных главы — в IV группе. Первая I глава обнимает собой материал, который должен быть проработан I в первой четверти, вторая глава содержит материал, прорабатываемый I во второй четверти, и третья глава дает материал для проработки I в третьей и четвертой четвертях. Подобно этому распределяется материал I для проработки и на четвертом году обучения (четвертая глава — пер- I вая четверть, пятая глава — вторая четверть, шестая глава—третья и I четвертая четверти).	I
„Основная задача учебника арифметики — систематизировать ариф- 1 метические понятия и вычислительные приемы, приучить учащихся к крат- I кой, точной, последовательной математической речи и дать сжатый, I удобоваримый материал для повторения”. В соответствии с этой зада- I чей материал в учебнике изложен в строгой системе, без излишней для I систематического учебника концентричности и повторений. Учебник I дает конкретный материал для проработки программ: объяснение прие- II мов вычисления, правильные, краткие и точные формулировки правил I и определений; пользуясь учебником, учитель всегда будет уверен в том, I что он ведет учащихся по правильному пути. Учителю нет надобности I ломать голову над собственным „изобретательством” там, где это изо- I I бретательство излишне и рискованно. Значение учебника будет заклю-1 I чаться в том, что он даст четкие формулировки, будет дисциплинировать I математическую мысль учащихся.	И
Для каждого вывода и обобщения дается конкретный и фактический I материал (в виде задач и примеров), который подводит учащихся к I данному выводу. Обычно вывод делается в учебнике на основании
Рассмотрения одной задачи или одного примера. Во многих случаях !ного математического факта может оказаться недостаточно, чтобы делать то или иное обобщение; мы рекомендуем учителю подводить .^ащихся к выводам на нескольких примерах или нескольких задачах, [вставляя для этого свои задачи или примеры по аналогии с теми, которые даны в учебнике.
Учащемуся учебник дает: 1) материал для усвоения; сюда относятся [ некоторые правила, которые учащийся должен уметь формулировать сочно, кратко и ясно (например, правило сложения дробей, правило нахождения части числа и др ); 2) материал для справок, например, ! таблица метрических мер, правила записи больших чисел и др. Ученики должны научиться толково объяснять приемы вычислений и формулировать основные определения и правила; это должно достигаться, с одной стороны, путем такой организации работы, которая заставляет учащихся при решении задач и примеров объяснять, что они делают, как делают, и почему они именно так делают, а не иначе, а с другой стороны, путем работы по учебнику.
Устные объяснения, даваемые учителем, имеют первостепенное значение; если эти объяснении строятся методически правильно, то большинство учащихся будет усваивать материал при объяснениях учителя; учебник им понадобится для закрепления знаний и для повторений. Учитель должен заранее наметить, что он будет давать учащимся для закрепления знаний и что будет рекомендовать в качестве справочного материала. Такой материал должен прочитываться в классе; в классе же даются указания, как пользоваться тем или иным разделом для справки.
Особое значение приобретает учебник при повторении материала в конце каждой четверти и в конце года, когда знания учащихся при-| водятся в систему.
Формулировки выводов и обобщений на третьем и четвертом годах | несколько различны. На третьем году обобщения во многих случаях не идут дальше тех конкретных примеров, на основе которых эти обобщения делаются; например, на основе примеров деления круглых десятков (320:40) дается вывод: „Чтобы разделить 320 на 40, достаточно 32 разделить на цифру десятков 4Такою же конкретностью отличаются 4
выводы о нахождении части числа: „Чтобы найти — числа, надо это чис-5
ю разделить на 5 равных частей и взять такие 4 части” (стр. 27), и т. д. । В IV же группе выводы носят более общий, более 'отвлеченный харак-; тер, например: „Сложить несколько чисел — значит найти число, которое I содержит столько единиц, сколько их во всех данных числах”; или:
„Чтобы сложить две дроби, надо раздробить их в одинаковые доли, f сложить числители и под суммою подписать общий знаменатель” (стр. 50), I и т. д. Но когда речь идет о новых и более трудных понятиях, то I выводы и в IV группе носят конкретный характер, например, вывод I о нахождении числа по данной его части сформулирован вполне конкрет-I	3
но: „Чтобы найти неизвестное число, — которого равняются 12, надо 12 разделить на 3 и полученное число помножить на 5“ (стр. 54).
В каком порядке прорабатывается материал учебника и сборника- Последовательность в проработке материала определяется ^программой и сборником, соответствующим в основном программе.
‘	--------------------------д?
Порядок проработки материала из учебника должен быть согласовав 1 с материалом сборника, в отдельных случаях придется по учебники несколько забегать вперед, в других случаях—возвращаться назади] т, д. Так, например, следуя за программой и сборником, после „Умноженщ и деления в пределе 1000 на однозначное число" учитель перейду к „Прямоугольнику и квадрату" и черчению прямоугольных фигур по масштабу; в связи с этим он должен будет и по учебнику проработан I раздел „Квадрат и прямоугольник" (стр. 10), не считаясь с тем, что] этот раздел стоит в конце первой главы учебника. Далее, учащиеся по сборйику перейдут к проработке „Умножения и деления в пределе 1000 на 10 и круглые десятки" (стр. 7); в связи с этим и по учебнику они вернутся к страницам 4 и 5, где трактуются эти вопросы, и т. д.
Но при повторении пройденного за четверть или меньшие отрезки времени нужно придерживаться системы учебника. То же и при повторении всего пройденного за год.
Первая четверть (первая глава).
В течение первой четверти должно быть проработано 14 первых страниц из сборника и 8 страниц из учебника (3—10). Для про-% работки этого материала III группа располагает 55 часами классных занятий плюс ежедневно полчаса домашней работы.
Планировать работу можно, примерно, следующим образом:
1.	Повторение устного сложения и вычитания (задачи нения 1—5)1 ...........................................
2.	Повторение нумерации .......................
3.	Ознакомление с приемами устного вычисления: сложение, вычитание в пределе 1000 ..................
4.	Письменное сложение и вычитание в пределе 1000 (сборник)..............•..........................
5.	Умножение и деление в пределе 1000 на однозначное число.............................................
6.	Прямоугольник и квадрат (материал учебника и сборника) ............................................
7.	Черчение прямоугольных фигур по масштабу ....
8.	Умножение и деление в пределе 1000 на 10 и на круглые десятки ......................................
9.	Умножение и деление в пределе 1000 на двузначное число.............•...........................
10.	Деление в пределе 1000 на трехзначное число . . .
11.	Задачи на все действия в пределе 1000 ......
12.	Нумерация в пределе 1 000 000 ..............
13.	Понятие об именованном числе (опуская меры времени, которые в сборнике отнесены ко второй четверти) 14. Сложение многозначных чисел....................
15.	Вычитание многозначных чисел ..................
16.	Составление задач учащимися (сборник, № 150 —151)
17.	Повторение и учет работы ......................
и упраж-
2 часа
1 час I
1	час I
2	часа
3	„
3 „
3 .
4 „
3 „
5 часов
6
1 час
5 часов
5 „
2 часа
6 часов
55 часов
1 Для остальных шести номеров не выделяется особых часов, они выполняются на других уроках, на которых отводится 5—7 минут для устного счета.
Как сочетается работа по учебнику с работой по сборнику? „Каждый новый вопрос курса должен прорабатываться методически без учебника“. работа по учебнику с учителем в классе в одних случаях идет непосредственно вслед за объяснениями учителя (как, например, при проработке пунктов 14 и 15 вышеуказанного плана), а в других случаях (чаще всего) завершает собой проработку того или иного вопроса по задачнику, являясь систематизацией и повторением.
Использование учебника в классе имеет основной целью научить детей пользоваться книгой самостоятельно; конечно, вместе с этим чтение текста в классе способствует запоминанию изучаемого. Естественно, что с детьми 10—И-летнего возраста из учебника придется брать главным образом текст правил; остальной же материал должен быть использован учителем как методический материал.
При планировании учитывалось, что классные занятия сопровождаются домашней работой. Приведем пример того, как целесообразнее распределять материал между классными и домашними занятиями. На проработку „Деления в пределе 1000 на трехзначное число" по плану отводится 3 часа. В первый час решается задача № 67 (с некоторым изменением числовых данных; вместо 225 взять 300, вместо 125—200), и учащиеся знакомятся с делением круглых сотен и круглых десятков и решают первые две строчки упражнения 70(8—10 примеров). На дом даются из того же упражнения (70) 6—8 примеров. Во второй час учащиеся знакомятся с делением трехзначного числа на трехзначное, решают верхние две строчки (8 примеров) из упражнения 71 и задачу № 68. На дом даются для решения две нижние строчки из упражнения 71. В третий час учащиеся решают задачи №№ 69 и 73 (в начале урока посвящается 5—7 минут устному счету). На дом дается для решения одна задача, составленная самим учителем.
Укажем на особенности проработки некоторых разделов.
Устное сложение и вычитание (стр. З)1. Первые четыре задачи и примеры под № 5 даются для упражнения в сложении и вычитании с перестановкой слагаемых и вычитаемых. Остальные задачи и числовые примеры даны для упражнения в сложении с округлением одного из слагаемых. Пример: 41 -|- 28 -|- 19 устно вычисляется так: сначала складываются 41 и 19, затем к 60 прибавляется 28. Пример 25-{-29 решается так: 25 4-30—1=54.
Письменное сложение и вычитание в пределе 1000 (стр. 4). Это — отчасти повторение работы второго года, только на более сложных случаях; на втором году не давались, например, такие случаи: 400 — 205; 702 — 398. Их надо проработать тщательно, а число таких примеров увеличить, составив их самостоятельно. Упражнения под номером 15 состоят из примеров на косвенное сложение и вычитание. Пример: 138-{-х=295 читается так: „Сколько надо прибавить к 138, чтобы получить 295?“, а решается так: 295 —138= 157. Пример: х — 230=167 читается так: „От какого числа надо отнять 230, чтобы осталось 167?', а решается так: 2304-167 = 397.
Умножение и деление в пределе 1000 на однозначное число (стр. 4). И задачи и примеры вычисляются устно (с записью действия и его результата). Первые три задачи и два упражнения (21—22) —
См. общие замечания по устному счету, стр 45.
повторение навыков второго года обучения. Задачи №№ 23, 24 и примеры 25 — 28 — новый материал для учащихся, впервые ими про. рабатываемый. Примеры для деления именованных чисел даны двоякого рода: в одних частное — простое именованное число (например, 2 м 32 сл:4 = 58 см; раздробление производится устно; запись делается так: 2 м 32 см.4 = 232 см:4 — 58 см); в других — частное является составным именованным числом, например 34 м 5 <?ж:5 = 6 м 9 дм.
Прямоугольник и квадрат. Черчение прямоугольных фигур по масштабу (стр. 5—6). Прежде чем давать практические упражнения из сборника, учитель должен дать учащимся понятие об угле, о прямоугольнике и квадрате, о черчении этих фигур в том объеме, который указан в учебнике (стр. 10). Задачи №№ 34 и 35 решаются с помощью чертежа, который делает их наглядней. (О способе решения задачи № 36 см. стр. 44.)
Здесь же учащиеся впервые знакомятся с миллиметром (до сих пор они с этой мерой не встречались). Знакомство должно носить наглядный и практический характер: учащиеся находят на сантиметровой линейке миллиметр, чертят линию в 1 см и наносят на ней от руки миллиметре-, вые деления, измеряют сантиметровой линейкой с использованием миллиметров, и, наконец, раздробляют в миллиметры и превращают миллиметры в высшие меры. Умножение и деление при раздроблении и превращении производятся устно. Раздробляя, например, 4 дм 5 мм, учащиеся сразу делают такую запись: 4дм 5мм —405мм; превращая, на-J пример, 930 мм, учащиеся пишут: 930 мм —9 дм 3 см. Задачи Ks№ 40—47 разбиваются по смыслу на 3 категории: 1) по размерам на плане и по масштабу определяются размеры в натуре (задачи №№ 40, 41, 42); 2) по размерам в натуре и по масштабу определяются размеры на плане (задачи №№ 43, 45, 46 и 47) и 3) по размерам в натуре и на плане определяется масштаб; сюда относится только одна задача № 44. Число задач каждой категории должно быть увеличено за счет придуманных самим учителем.
Все эти задачи уясняют учащимся элементы плана, развивают «у них сообразительность, и поэтому упражнения в их решении являются весьма ценными. Несмотря на свою кажущуюся простоту, они представляют для учащихся известную трудность, требуют помощи учителя, по-этому их нужно решать в классе.
Умножение и деление в пределе 1000 на двузначное число (стр. 8). Здесь учащимся дается впервые знакомство с письменным способом умножения. Методическая проработка этого случая обьяснена в учебнике на странице 12 (нз больших числах). Учитель может использовать указанный там прием объяснения, не отсылая однако учащихся к учебнику. Примеры же деления на двузначное число решаются приемами устного счета, т. е делимое разлагается на два слагаемых, из которых каждое делится на делитель; так, например, 264 на 12 делится так: 240:12 = 20; 24:12 = 2; 20-|-2 = 22. Для деления на двузначное число взяты только такие случаи, когда получается двузначное частное. Это — наиболее легкий случай.
Также устно вычисляются и примеры деления трехзначного числа на трехзначное; здесь используется прием подбора множителя. При делении 336 на 112 учитель ставит вопрос: „На какое число нужно умножить 112, чтобы получить 33э?“ Или же: „Сколько раз 112
повторяется в 336?“ Задачу № 60, как указывалось выше, следует использовать для построения анализа решения.
Перед учащимися надо поставить следующие вопросы: „Что спрашивается в задаче? (С какой скоростью шел второй пароход?)— Что означает—скорость? (Число километров, проходимых в один час.) — Что нужно знать, чтобы определить, сколько километров проходит пароход в час? (Расстояние н время.) — Что из них дано в задаче и что не дано? (Дано расстояние — 420 км.) — Можно ли узнать и как узнать число часов (время)? (Нужно узнать, сколько часов шел первый пароход, потому что второй пароход прошел 520км в тоже время; для этого нужно 378 км: 18км: получается 21 час.) — Зная расстояние и время, что можно определить? (Скорость.)—Как же решить задачу г “
Дальше записываются план и решение задачи.
Следует решить еще 1—2 задачи на вычисление скорости (по данному расстоянию'и времени), на вычисление расстояния (по скорости и времени), на вычисление времени (по расстоянию и скорости). Учащиеся должны твердо усвоить, что для решения того или иного вопроса нужно иметь по крайней мере два данных.
При делении именованных чисел (№ 66) новым для учащихся является тот случай, когда при делении простого именованного числа получается составное именованное число. Это — два последних примера: 1) 55 см: 10 = 5 см 5 мм; 2) 51 см: 30—1см 7мм. Число таких примеров, а равно и задач, разумеется, должно быть увеличено (54 руб. :12 = ; 32 часа: 10 = и др.). Решая задачу № 72, надо остановиться на центнере; эта мера дается здесь впервые. Ее нужно по возможности конкретизировать. (Мешок муки весит около центнера; сильный взрослый человек может нести на себе около центнера; какие у нас предметы весят около или больше центнера?)
Задачи на все действия (стр. 9—10) нужно использовать для того, чтобы учащиеся научились делать анализ решения нетрудных задач, записывая правильно и четко план решения задачи.
Нумерация в пределе 1000000 (стр. 10—13) Материал в сборнике распределен по четырем ступеням: на первой ступени дается общее представление о миллионе и состав круглых тысяч. На второй ступени прорабатывается нумерация четырехзначных чисел; на третьей ступени—нумерация пяти- и шестизначных чисел; на четвертой ступени специально выделен вопрос о разложении чисел на разряды и с ним связан вопрос о раздроблении и превращении именованных чисел. На каждой ступени сначала прорабатываются вопросы устной нумерации, затем письменной. В устной нумерации выделяются следующие моменты: 1) состав и образование числа из низших разрядных единиц; 2) разложение числа на составные единицы. В качестве наглядных пособий используются абак и счеты. Раздробление и превращение тесно связываются с нумерацией и способствуют закреплению знания нумерации: раздробляя, например, 70 км 95 л:, учащиеся рассуждают так: 70 км — это 70 тыс. м, да еще 95 м; получится 70 095 м, это записывается так: 70 км 95 ж = 70 095 м. Прорабатывается нумерация путем устных объяснений учителя и использования материала из сборника; материал из учебника читается в качестве повторительного. Усвоение нумерации
нужно сейчас же использовать для записи некоторых числовых данных, близких учащимся: даты рождения учащегося, некоторых исторических дат (событий, изучаемых по обществоведению), населения своего города, количества книг в школьной библиотеке (если оно превышает тысячу) и т д. Вслед за нумерацией приводятся в систему знания учащихся о метрических мерах длины и веса, об именованных числах (по учебнику). ’
Сложение и вычитание многозначных чисел с методической стороны никаких затруднений не представляют. В этом разделе очень удобно дать ряд задач на тему социалистического строительства своей области, своего района. Особым вниманием учителя должны пользоваться последние две задачи этого раздела (№№ 150—151). Значение их заключается в том, что на них учащийся усваивает связь сложения с вычитанием и укрепляет навыки самостоятельного решения задач. Задачи на вычитание, вытекающие из задачи № 150, таковы: 1) „На постройку доставили на двух барках 8640 досок. На одной барке было 4065 досок. Сколько досок было на другой барке?“ 2) То же условие, но с другим данным слагаемым (4575 досок). На основе задачи № 151 могут быть составлены следующие задачи: 1) „В октябре завод израсходовал 8570 кубометров дров, а в ноябре — 9360 кубометров. На сколько в ноябре израсходовали дров больше, чем в сентябре?" 2) „В ноябре завод израсходовал 9360 кубометров дров, а в октябре — на 790 кубо-метров меньше. Сколько дров израсходовал завод в октябре?" Число подобного рода задач может быть увеличено за счет составленных самим учителем.
Вторая четверть (глава вторая).
Материал для проработки во второй четверти занимает в сборнике около 12 страниц (стр. 17—28) и в учебнике —более 8 (стр. 11—19). Весь этот материал должен быть проработан в течение 40—42 часов классных занятий плюс ежедневная работа на дому.
При планировке материал может быть распределен, примерно, следующим образом:
1.	Устное умножение и деление......................... 2	часа
В течение этих часов выводится правило умножения и деления на 5 и решаются, примерно, 4 задачи (№№152,153, 156, 157) и несколько примеров. Остальные задачи и примеры решаются на последующих уроках в те 5—7 минут, которые отводятся на устный счет.
2.	Умножение и деление многозначного числа на однозначное . . ...................................... 5	часов
3.	Умножение и деление многозначного числа на 10 и круглые десятки.................................. 5 „
4.	Умножение многозначного числа на двузначное ...	5
5.	Деление многозначного числа на двузначное .....	8 „
6.	Квадратные меры.................................. 5 я
7.	Вычисление времени............................ .	5
8.	Повторение и контрольная работа................. 5 „
40 часов
52
В сборнике материал дан в несколько ином порядке, чем в про-,рамме, а именно: между умножением и делением многозначного числа яа двузначное вставлены „квадратные меры", так как вычисление площадей построено на умножении. Сверх того здесь дан материал на вычисление времени, которое в программе отнесено на первую четверть. Такая перестановка допущена в целях более стройного расположения материала в сборнике. В учебнике умножение дано раздельно от деления, в то время как в сборнике и программе эти действия изучаются параллельно. В своей практической работе учитель, прорабатывая эти действия, должен следовать за сборником; но повторение пройденного можно провести в той системе, какая дана в учебнике.
Устное умножение и деление на 5. Объяснение умножения дано на странице 4 учебника (пример 3). Прорабатывая в течение четверти этот материал, учащиеся повторяют приемы устного счета из пройденного в первой четверти.
„Разделим 480 на 5. Для этого узнаем сначала, сколько десятков в числе 480. Разделим 480 на 10. Получим 48. В каждом десятке пятерка повторяется 2 раза. Умножим поэтому 48 на 2. Получим 96. Число 5 в числе 480 содержится 96 раз*.
Проделав то же на других примерах, учащиеся приходят к следующему выводу: „Чтобы разделить число на 5, нужно разделить его на 10 и полученное число умножить на 2".
480:5 = (480:10). 2 = 48.2 =96.
Умножение и деление многозначного числа на однозначное. Проработке каждого раздела, обозначенного римскими цифрами, должны предшествовать объяснения, даваемые учителем. На первом уроке в устной беседе раскрывается содержание страницы 11 учебника. Вслед за этим решаются примеры и задачи из сборника (№№ 163 — 169) в течение двух уроков. Затем учитель знакомит учащихся с приемами письменного деления на однозначное число, давая устное объяснение в том плане и с тем содержанием, с каким оно дано в учебнике (стр. 13,14). После упражнений в решении примеров и задач (о решении задач №№ 170, 174, 175, 176, 179, 180 см. стр. 44) учитель знакомит учащихся с делением именованных чисел. Первые 3 примера упражнения 178 нуждаются в тщательной проработке, так как учащиеся дают наибольшее число ошибок при решении такого типа примеров. Ошибка заключается в том, что некоторые учащиеся не ставят в частном на месте единиц нуль. В примере 82 р. 64 к.: 8 у многих получается в частном 1 р. 33 к. вместо 10 р. 33 к. (к сожалению, некоторые учителя сами допускают здесь эту же ошибку). В целях устранения ее нужно, чтобы учащиеся называли тот разряд, который они делят, и разряд частного: 8 десятков разделить на 8 получается один десяток, сносим две единицы; от деления двух единиц на 8 в частном целых единиц не получится, ставим нуль; и т. д. Надо следить за тем, чтобы учащиеся на месте ставили наименование. Число примеров на деление должно быть увеличено.
Умножение и деление многозначного числа на 10 и круглые десятки (стр. 19—20). Умножение многозначного числа на круглые десятки производится так: множитель разлагается на 2 сомножителя и -	53
множимое сначала умножается на значащую цифру, а потом на десять. Нужно особое внимание обратить на те примеры, где в множимом I встречаются нули. Дети должны понять и усвоить, что от умножения I на нуль получается нуль. При делении же на круглые десятки такое I разложение полезно делать только при однозначном частном, при I многозначном же частном к такому разложению прибегать нецелесо. I образно. Прием деления указан в задаче № 191.
Квадратные меры. Этот раздел надо проработать вначале так, как он дан в учебнике (стр. 16-18), чтобы дать учащимся понятие о квадратных мерах и о способах измерения ими площадей. С выводом правила измерения площади прямоугольника спешить не следует; сначала нужно проделать несколько непосредственных измерений путем наложения квадратной меры на площадь прямоугольника; затем перейти к определению площади прямоугольника с данными размерами его длины и ширины путем деления его прямыми линиями на квадратные клетки; надо проделать несколько таких упражнений, чтобы учащиеся на основе наблюденных фактов могли притти к выводу соответствующего правила („Чтобы узнать площадь прямоугольника, надо умножить его длину на ширину"), которое запоминается в такой именно формулировке. Вся проработка должна носить весьма наглядный и действенный характер: ребята должны сделать (вырезать из картона или склеить из газетной бумаги) квадратные сантиметр, дециметр, метр, производить ими непосредственные измерения. Затем они должны путем измерения линейным метром определить площадь своего класса, дома—площадь своей комнаты; дециметром измеряются длина и ширина крышки стола, окна, классной доски н т. д. и определяется их площадь.
На такую действенную, активную, проработку материала наталкивают учителя и задачи в сборнике (№№ 205—213). Эти задачи представляют собой задания для практической работы детей. Учащиеся должны иметь для решения задач №№ 205—208 квадратный сантиметр и непосредственно измерить им ряд небольших прямоугольных площадей. Учащиеся должны сделать квадратный дециметр и произвести те измерения, о которых говорится в задачах №№ 209—211. Задачи №№212 - 213 требуют непосредственного измерения квадратным метром. Остальные задачи решаются по правилу вычисления площадей. Задачи №№ 221,222, 223 дают очень хороший материал для развития сообразительности у детей. Решаются они обязательно на чертеже. Только после того, как учащиеся начертят прямоугольник и покажут, где у него длина и где ширина, для них ясно станет, что при решении задачи № 221 от 172 м нужно отнять не 6, а 12 (в периметре две длины) и что 160 нужно разделить на 4. Задачи №№225 и 226 решаются на основе данных измерения своего класса. Аналогичные зааачи, касающиеся квартиры, где живет каждый учащийся, даются учащимся на дом, учащиеся измеряют свою комнату и на основе полученных данных составляют и решают задачи.
Деление многозначного числа на двузначное. Это наиболее сложный случай деления, поэтому на деление дается наибольшее количество упражнений и притом расположенных в строгой последовательности. В сборнике все упражнения разбиты на три раздел.! (I. П, Ш).
54
В первом разделе дано деление трехзначного числа на двузначное ,1ри однозначном частном. Ему посвящено до сотни примеров и 4 за-1ачи. Такое обилие примеров объясняется большим значением и срав-лптельной трудностью этого навыка, так как к нему сводится, главным образом, деление многозначного числа на двузначное. В самом деле, £сли учащиеся умеют разделить, допустим, 275 на 55, то ничего принципиально нового не встретят они в примере 374 237:59. Деление в этих примерах дается как без остатка, так и с остатком; научить делить с остатком важно потому, что все неполные делимые, которые появляются в процессе деления, делятся обычно с остатком.
Примеры в первых двух столбиках упражнения 229 построены так, что в первом примере дается округленный делитель, а во втором — то же делимое, но с незакругленным делителем; например: I. 488:60; Н. 488:61; I. 568:70; II. 568:71 и т. д. На таких примерах легче всего показать основной прием деления, который сводится к тому, что при делении трехзначного числа на двузначное десятки делимого делятся на первую цифру делителя и таким образом определяется частное. На предпоследнем столбике упражнения 230 (561:791; 734:8 и др.) выясняется необходимость в некоторых случаях (если вторая цифра больше 5) увеличивать первую цифру делителя на 1. На последнем столбике упражнения 230(315:53) выясняется, что пробная цифра частного в некоторых случаях должна быть уменьшена на 1.
Во втором разделе (II) выделены задачи и примеры на деление четырех- пяти- и шестизначных чисел при двух- трех- четырех- и пятизначном частном.
Третий раздел (III), повторяя с №244 и 245 второй раздел, дает материал для упражнения в проверке умножения и деления и в нахождении 1) множителя по данному множимому и произведению, 2) множимого — по произведению и множителю, 3) делимого — по делителю и частному и 4) делителя — по частному и делимому.
В этом разделе имеется ряд типовых задач (№№ 231, 232, 241), о способах решения их см. страницу 44. В задаче № 247 данные 30 000 нужно или заменить другим числом или решить эту задачу устно, деля 30 000 на 15, потому что с письменным приемом деления чисел, оканчивающихся нулями, дети еще не знакомы.
Большой интерес для учащихся должны представлять задачи №№ 253 и 254, требующие от учащихся уменья составить самостоятельно задачу по данным произведению и множимому.
Вычисление Времени (стр. 26 — 28). Здесь учащимся впервые дается представление о секунде и о столетии, или веке, как единицах измерения времени. Необходимо, чтобы с секундою учащиеся познакомились конкретно. Пользуясь карманными или настенными часами, учитель отсчитывает секунды, дает сигнал начала и конца какого-нибудь действия и заставляет учащихся определить его длительность в секундах, сигнализирует начало какого-нибудь действия и указывает, сколько оно продолжается, а ученик сигнализирует конец, и т. д.
Теперь учащиеся со всеми мерами уже знакомы, и им надо привести св-щ знания в систему. Это делается по учебнику (стр. 7). Закрепляют они свои знания на упражнениях в раздроблении и превращении мер, которые производятся или устно или письменно, смотря по трудности задания; например, раздробление 7 минут 38 секунд в секунды произ
водится устно; раздробление 36 минут 58 секунд производится пись менно. Запись располагается так:
47 суток 18 часов = ?
16в
96
. 1128
+ 18
1146
1146 часов
Из типовых задач в сборнике приведены две группы задач: 1) задачи, в которых требуется определить промежуток времени между двумя данными событиями; сюда относятся задачи №№266, 267, 268, 269 и 270, 272, 273; 2) задачи, в которых по началу события и промежутку требуется определить конец события; таких задач только одна — № 271.
В 1-й группе в свою очередь даны два вида задач: задачи, в которых промежуток времени I) больше года (№266— 268) и 2) меньше года, но больше суток. Каждая из групп и каждая из этих видов задач по-разному решается. Приведем образцы решения типовых задач.
Задача № 267 (и подобные ей) решаются вычитанием:
_ 1917 г. Переводить при этом порядковое числительное в коли-1905 г. чественное нет надобности.
12 л. Задача № 269 решается так: 1) Сколько времени (месяцев и дней) прошло от выпадения снега и до конца года?
12 месяцев
10 месяцев 10 дней
1 месяц 20 дней.
2) Сколько времени
прошло до 21 января?
, 1 месяц 20 дней	Эту же задачу можно решить устно так:
‘	21 день	От 10 ноября до 10 декабря—1 месяц; от
1 месяц 41 день Ю декабря до 10 января—1 месяц, да отЮян-2 месяца 11 дней варя д0 21 янваРя — 11 дней, а всего 2 месяца И дней.
Задача № 271. От начала года до 12 ноября прошло полных 10 месяцев 11 дней; поэтому нужно к 10 месяцам И дням прибавить
4 месяца 6 суток; получится:
,10 месяцев И дней
' 4 месяца 6 дней
14 месяцев 17 дней
1 год 2 месяца 17 дней Задача № 274 ценна тем,
Значит, закончился санный путь 18 марта.
Чтобы учащиеся поняли и усвоили прием
решения задач такого типа, надо им предложить еще несколько задач такого рода, что учащиеся здесь встречаются с обратно
пропорциональными величинами — скорость и время. Хорошо бы поре-
шать еще несколько задач с другими обратно-пропорциональными величинами (не употребляя этого термина), например число рабочих и чисто дней, в которые выполняется работа и др.
I В задачах №№ 277 и 278 учащимся приходится иметь дело с делением именованного числа на именованное (196 минут:19 минут 36 секунд; 430 минут: 32 минуты). Теория этого вопроса дана в учебнике на границе 16, которой должны пользоваться учащиеся (после проработки { учителем).
Приведем в заключение образцы записи решения примеров из упражнений 279 и 280 (стр. 28):
1) 5 суток 12 часов X 40 = ?
5 суток X 40 = 200 суток
12 часов X 40 = 480 часов =20 суток
200 суток20 суток = 220 суток
2) 6 минут 31 секунда:!7 = ?
6 минут 31 секунда = 391 секунда (вычисляется устно).
391 секунда! 17
51	23 секунды
Примеры на деление вычисляются полупнсьменно, т. е. с применением устных и письменных вычислений.
Третья четверть (глава третья).
Глава третья сборника, обнимающая собой материал, прорабатываемый в течение третьей четверти, имеет более 11 страниц. Кроме того в течение третьей четверти прорабатывается около 7 страниц из третьей главы учебника. Для проработки этого материала III группа имеет около 50 часов классных занятий.
Ориентировочно материал может быть распланирован следующим образом:
1. Устное умножение и деление ........................... 2	часа
2. Умножение и деление многозначного числа на
100 и на круглые сотни (из сборника и учебника) . . .	4 „
3.	Умножение и деление многозначного числа на трехзначное.............................8 часов
4.	Порядок действий	и скобки...................... 2 часа
5.	.План и площадь................................ 9 часов
6.	Обыкновенные дроби............................. 20 „
7.	Повторение всего пройденного и учет............
5 „
50 „
Умножение и деление многозначного числа на 100 и на круглые сотни (стр. 28). Первый урок посвящается объяснению учителем техники умножения и деления на 100 и на круглые сотни; в конце урока учащиеся под руководством учителя читают соответствующие разделы по учебнику (стр. 19, 20), которые даются им на дом для повторного чтения и усвоения правил (текст правил напечатан курсивом). На последующих трех уроках решаются примеры и задачи ( № 287—299), которые не представляют для учащихся никаких трудностей.
Умножение и деление многозначного числа на трехзначное (стр. 30). Эти случаи умножения и деления представляют полную 57
аналогию с умножением и делением многозначного числа на двузначно. Ничего принципиально нового по сравнению с предыдущими случаям* в них нет, детям эти вычисления даются без особого труда. Поэтов решение всех примеров не обязательно. Обязательно соблюдение ты
системы,
в которой дан этот материал в
сборнике, особенно
в paj
деле деления, где сначала дается деление четырехзначного числа на трех-значное при двузначном частном, потом — деление пяти- и шести, значного числа на трехзначное при двух- и трехзначном частном. Про; верка умножения и деления (упражнения 314 и 315) производится на
основе правил, уже известных учащимся.
Прежде чем перейти к упражнениям 316, 317 и 318, следует проработать вопрос о порядке действий и употреблении скобок; материал дан на стр. 23 учебника. Со скобками учащиеся имели дело на протяжении всех трех годов обучения. Теперь эти знания приводятся в систему, учащиеся получают теоретическое обоснование механизма вычислительных операций, с которыми их раньше знакомили чисто практически Учащиеся приучаются кратко, ясно и точно формулировать правила употребления скобок (из учебника).
После этого учащиеся повторяют вопрос о том, как найти неизвестный член действия по двум данным, и решают две последние задачи (№№319 и 320), которые сопровождают самостоятельным составлением задач. По образцу задачи № 319 могут быть составлены такие новые задачи: „Завком приобрел в домах отдыха места для 125 рабочих по 175 руб. за место. Сколько рублей уплатил местком за места в домах отдыха?"
Вторая задача: „За 21 875 руб. завком приобрел в домах отдыха места для 125 рабочих. Сколько стоит место в домах отдыха для одного рабочего?"
План и площадь. Учитель сначала дает устное объяснение этого вопроса, пользуясь материалом учебника, который содержит в себе теоретические сведения, с одной стороны, подытоживающие то, что знают учащиеся из проработки материала первой четверти, а с другой стороны, дающие новые сведения об измерении площади по плану; затем переходят к проработке упражнений по сборнику — решению задач и примеров.
Все эти задачи имеют целью научить учащихся вычислять площади по ширине и длине. Содержанием их являются жизненные, практические вопросы. На решении этих задач тесно смыкается работа по измерению площадей, по изучению квадратных мер и п> закреплению навыков умножения. Прежде чем решать задачи №№325, 326, 327 и др., нужно сообщить учащимся, что при вычислении площадей длина и ширина должны быть выражены в мерах одного названия. Задачи и упражнения №№333—342 дают материал, закрепляющий у учащихся знания мер земельных площадей. Этот материал нужно проработать весь, так как им в сущности заканчивается работа над квадратными мерами в начальной школе, в дальнейшем подобного рода задачи будут применяться
только как повторительные.
Обыкновенные дроби. На третьем году обучения, кроме
J г’’ Т
и
8 ’
прорабатываются следующие доли:
1	1	1
3’ 6’ 12*
1 i_ 5’ 10 ’
Эти
58
,пли для их изучения сгруппированы в сборнике в трех разделах по л 1 1 1
признаку кратности: в первом разделе объединяются —, — и—; во
втором разделе объединены —, —и в третьем разделе объединены ।	।	о t) 1Z
и —. Четвертый раздел посвящен упражнениям (задачам и примерам) на нахождение части числа. В каком плане изучается каждый раздел? Сначала на наглядном пособии показывается образование доли (учащиеся из курса второго года знают образование только
1
4 И
затем каждая новая доля сравнивается с другими долями, извест
ными учащимся. Потом с помощью чертежа или модели (круга, прямоугольника) производится раздробление и превращение долей. И, наконец, на тех же чертежах производятся сложение и вычитание разноименных долей. После этого решаются примеры и задачи из сборника, причем в целях разнообразия работы чередуются между собой.
Как сочетается работа по сборнику с работой по учебнику?
Объяснение, теория здесь, как и при проработке других разделов, должна предшествовать практическим упражнениям. Объяснение дается учителем в том плане, как это дано в учебнике, т. е. вначале прорабатывается „Образование и запись дроби*, затем „Преобразование смешанного числа", потом „Преобразование дробей" и т. д., причем
вся эта теория прорабатывается только иа знакомых детям долях: —- , 11 2
— и —. Каждый из этих разделов, объясненный предварительно учи
телем на наглядных пособиях и самостоятельно проработанный учащимися в классе на дидактическом материале, повторяется затем в классе на материале учебника, дается на дом учащимся для усвоения. После этого решаются примеры и задачи из сборника, раздел 1. При проработке разделов II и III уже нет надобности пользоваться учебником; здесь достаточно ограничиться объяснениями учителя и упражнениями по сборнику, соблюдая тот порядок проработки, который указан выше.
При проработке раздела IV, в котором дан материал на нахождение части числа, порядок опять несколько меняется, 'а именно: учитель вначале на целом ряде наглядных пособий (кубиках, шариках, счетах, рисунке, линии, полоске бумаги и т. д.) дает объяснение способа нахождения одной и нескольких частей данного числа; затем прорабатывается и объясняется соответствующий текст учебника (стр. 26, гл. „Вычисление части числа") и только потом решаются задачи по сборнику №№ 396—403 и примеры 405 и 406.
С дробями нужно производить не только письменные, но и устные вычисления. Для устных вычислений можно предлагать такие задачи: 2 „Поезд должен был притти в 6 часов, ио пришел с опозданием на — часа; О
во сколько часов и минут пришел поезд?" „Мальчику на рубзшку нужно 6
одни целый метр и — м материи. Сколько метров н сантиметров
материи нужно на рубашку?" „Трактор до обеда вспахал — участка, а
О
х 5
еле обеда — участка. Какую часть Запись примеров на нахождение ’ от 1248= 1248:4 = 312;
4
участка вспахал трактор за день?"
части числа произьодится так:
от 1248 = 312 X 3 = 936.
4
Четвертая четверть (глава четвертая).
В течение четвертой четверти в III группе прорабатывается околс 9 страниц нз сборника (стр. 39—47) и две .темы из учебника: „Осо. бые случаи умножения и деления” (стр. 21—23) и „Прямоугольные диаграммы" (стр. 28). На проработку этого материала школа имеет по учебной сетке от 40 часов (в городской школе) до 50 часов (в сельской школе), которые могут быть распределены следующим образом:
1. Устное умножение на 11, 9, 99 и другие множите-
ли с их округлением . 1...........................  3	часа
2.	Частные случаи умножения многозначных	чисел .	.	6	часов
3.	Частные случаи деления многозначных	чисел ...	6	„	1
4.	Чтение и черчение диаграмм....................... 3	часа
5.	Задачи и примеры на все действия.................6	часов
6.	Измерения........................................3	часа	I
7.	Повторение пройденного за год...................10	часов
8.	Учет.............................................3	часа
40 часов
Устное умножение (стр. 39 — 40). Случаи умножения на 9,99 на 11 и на такие множители, которые легко могут быть округлены, даются учащимся сравнительно легко. Тем не менее на эти случаи нужно прорешать большое количество и примеров и задач, так как они развивают у учащихся способность к запоминанию чисел, к удерживанию в памяти одновременно нескольких чисел. За один урок можно ознакомить учащихся с сущностью приема умножения на 11,9 и 99; за другой урок — с приемом умножения на другие округляемые множители (19). Третий урок нужно отвести решению задач и примеров на все эти случаи, а дальнейшие упражнения производить время от времени в течение всей четверти, отводя на каждом уроке устному счету от 5 до 7 минут.
Особые случаи умножения многозначных чисел (стр. 40 — 42). К особым случаям умножения многозначных чисел отнесены такие слу! чаи, когда: 1) в сомножителях имеются нули в конце; 2) в сомноките лях имеются нули в середине. В сборнике весь материал разбит на три раздела, отмеченные римскими цифрами — I, II, III. В первом разделе даны те случаи умножения многозначных чисел, когда множимое имеет нули в конце и в середине (207 X 125; 620 X 364). Во втором разделе даны такие случаи умножения, когда нули встречаются в конце и множимого и множителя (160 X 130; 700X490). В третьем разделе сгруппированы задачи и примеры на умножение с такими сомножителями, у которых имелся нуль в середине и множимого и множителя (502-304). Прежде чем приступить к решению задач и примеров каждого раздела,
учитель должен объяснить соответствующие приемы умножения, руководствуясь учебником (стр. 21). Из этих объяснений учащиеся должны усвоить (вернее, повторить), что 1) от умножения нуля на любое число получается нуль; 2) когда множимое и множитель оканчиваются нулями, to их перемножают, не обращая внимания на нули, а затем к полученному произведению приписывают столько нулей, сколько их во лножимом и множителе; 3) на нуль, находящийся в середине множителя, не умножают. Образцы записи показаны в учебнике. При решении примеров вначале не следует прибегать к перестановке сомножителей даже там, где это выгодно, с тем чтобы дать уменье решать разные примеры; так, например, нужно научить решать пример 700-345 и в том случае, когда 700 является множимым. Но вслед за этим нужно показать, что удобнее произвести вычисления, переставив сомножители — 345-700.
О способе решения задачи № 433 см. страницу 44. Задачу № 434 следует использовать для того, чтобы провести полный и четкий анализ ее решения, затем — синтез, на основе которых составляется план решения задачи.
Особые случаи деления многозначных чисел (стр. 42 — 43). Здесь два раздела (I, И). В первом разделе (I) даны задачи и примеры с такими случаями деления, когда появляются нули на конце частного (14 960:374 = 40). Во втором разделе (П)сгруппированы задачи и примеры на те случаи деления, в которых нули появляются в середине частного (70 380:345 = 204; 733 647:183 = 4009). В разделе I в свою очередь различаются два случая, в соответствии с чем даны два номера упражнений — 443 и 444; в упражнении 443 приведены такие примеры, в которых в частном получается нуль оттого, что все разряды делимого, предшествующие единицам, делятся без остатка, а на месте единиц стоит нуль (в частном единиц не получается); в упражнении 444 сосредоточены примеры, в которых после сноса единиц получается число, нацело не делящееся иа делитель (в частном опять единиц не получается, и поэтому ставится нуль). Особенно интересны в упражнении 444 с точки зрения техники деления примеры, начиная с третьего столбика.
Две разновидности примеров даны и во втором разделе: 1) примеры с одним нулем в середине частного и 2) примеры с двумя нулями в частном (начиная с третьего столбика упражнения 450).
Следует заметить, что эти случаи деления — наиболее трудный материал из всего курса третьего года обучения: при решении таких примеров учащиеся допускают наибольшее число ошибок. Чтобы устранить ошибки, заключающиеся обычно в пропуске нулей, нужно, чтобы при делении учащийся давал себе ясный отчет в том, что ои делит (какие разряды) и что получается в частном (какой разряд получается в частном— сотни, десятки, единицы). Когда учащийся делит, допустим, 14 960 на 374, нужно, чтобы он говорил при этом, что сначала делит 1496 десятков (а не просто 1496) на 374 и в частном получается 4 десятка (а не просто 4); единиц в делимом нет, поэтому и в частном единиц не будет. О способах решения задач №№ 445 и 446 см. страницу 44.
Задача №451 решается четырьмя действиями: 1) 5 кубометровХ28500= = 142500 кубометров; 2) 142500 кубометров-(-42 920 кубометров =
Чтение и черчение диаграмм (стр. 43) Работа по этому раздеДI распадается на два основных момента: 1) упражнения в чтении готовых диаграмм и 2) упражнения в черчении (изображении) диаграмм на основе числовых данных. Для упражнения в чтении прямоугольны» диаграмм нужно принести в класс диаграмму достаточно больших размеров, хорошо исполненную (печатную или сделанную в школе), которой и показать значение диаграммы, технику ее построения, усл'в-ные обозначения и т. д. После этого нужно прочитать и разъяснить первую часть главы „Прямоугольные диаграммы" из учебника (стр. 8); закончить работу нужно чтением диаграмм в сборнике (упражнение 452) и тех диаграмм, которые имеются в классе. Следующие два занятия посвящаются выработке навыка черчения прямоугольных диаграмм по двум таблицам, каждая с гремя данными (задания №№ 453 и 454). В задании № 453 указано, как при вычислении высоты столбиков приближенно выражать те величины, которые при данном масштабе трудно под. даются точному изображению. При выполнении задания № 454 учащиеся должны самостоятельно решить вопрос о приближенном изображении каждого из трех данных (500------— мм, 900—1мм, 200 отбрасывается).
At
Те знания и уменья, которые получают учащиеся при проработке этого раздела, следует применить для построения такой диаграммы, на которой сравнивались бы какие-либо величины, взятые из местной жизни (школьной или внешкольной; учащимся могут быть даны, примерно, такие задания: „Изобразите рост дворов нашего колхоза’за последние 2—3 года". „Изобразите рост продукции нашего завода или фабрики за последние 2—3 года". „Изобразите результаты соцсоревнования в нашей школе" (взяв определенные показатели) и т. д., причем всякий раз учитель должен давать учащимся готовые числовые данные. Во всей этой работе нужно добиваться, чтобы учащиеся выполняли диаграммы аккуратно, чисто, точно, красиво.
Задачи и примеры на все действия (стр. 44—46). Задачи подобраны так, чтобы на решении их учащиеся не только развили у себя уменье решать задачи, но и повторили основные моменты из пройденного в течение года (целые и дробные числа); поэтому нужно прорешать все задачи. Последние две задачи требуют от учащихся уменья самостоятельно составить задачу и решить ее. По заданию № 475 может быть составлена, примерно, такая задача: „Колхоз засеял рожью участок в 56 га и собрал с каждого га по 9 ц ржи. Сколько он муки может получить со всего урожая, если из 1 ц ржи выходит 75 кг муки?*
Упражнение 477 дано для проверки у учащихся знаний о порядке действий. Вычисления производятся устно с применением упрощенных приемов устных вычислений. Упражнения 478 и 479 решаются письменно; на них производится проверка овладения механизмом письменных вычислений.
Основное в теме „Измерения" — это практические работы учащихся на местности, это — уменье работать с эккером, вехами и рулеткой или мерной веревкой. Для этого нужно сделать 2 — 3 выхода из школы на местность. Задания №№ 484—487 дают учителю темы для работы на местности, а не в классе. Остальной материал служит для повторения квадратных мер и навыков работы с планом.

62
КАК РАБОТАТЬ ПО УЧЕБНИКУ АРИФМЕТИКИ И ПО СБОРНИКУ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ДЛЯ ЧЕТВЕРТОГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ.
Четвертая группа, как и третья, имеет две книги по арифметике: учебники арифметики и сборник задач и упражнений. Обе книги прорабатываются одновременно. Учебник дает теорию, а сборник — упражнения практического характера.
Сборник задач и упражнений построен по программе изд. 1933 г. (с учетом исправлений, сделанных в третьем издании программ) и совпадает с программой как в отношении объема, так и порядка расположения материала; имеющиеся в сборнике отступления от программы крайне незначительны и не принципиальны. Из отступлений нужно отметить следующие: 1) знакомство с числовыми формулами, помеченное в программе в начале III четверти, в сборнике дается в конце второй четверти; 2) решение задач и примеров иа все действия, предусмотренное в программе после нумерации чисел любой величины, в сборнике дается в качестве повторительного отдела перед нумерацией. Такие перестановки не нарушают цельности и стройности системы.
Сборник разбит на 4 главы по числу четвертей учебного года. В течение каждой четверти прорабатывается по одной главе. Каждая глава открывается разделом „Устные задачи и примеры**, в котором дается материал для устного счета на всю четверть. Каждая глава (за исключением последней, повторительной) заканчивается геометрическим материалом, причем в конце четверти дается новый геометрический материал, требуемый программой; кроме того, и внутри каждой главы наряду с арифметическими задачами даются задачи на измерение, на квадратные и кубические меры.
Основным материалом сборника являются задачи и численные примеры. Степень сложности и трудности задач соответствует силам и особенностям возраста 11 — 12-летних ребят. Цель задач — не только дать материал для упражнения в вычислениях, но и развить логическое мышление у ребенка, способствовать развитию его комбинаторных способностей. Для этой цели вносятся некоторые усложнения в построение арифметических задач (с числом действий до 5—6), вводятся так называемые алгебраические задачи (решаемые чисто арифметическим путем), даются материал и задания для составления задач самими учащимися, вводятся числовые формулы для решения несложных задач.
Одновременно через решение задач учащиеся должны осмыслить целый ряд жизненных явлений, уяснить закономерности некоторых, явлений. Для этой цели содержание значительного числа задач построено на материале других дисциплин (географии, естествознания и др.). Задачи служат хорошим средством для создания у учащихся правильных ориентировок в области общественных явлений нашей современности.

С этой целью в содержание задач вводится материал социалистического строительства. Часть задач построена на производственном материал, и на материале из детской трудовой деятельности; таким образом сбор. I ник задач способствует развитию у учащихся политехнического кругозора.
Учебник арифметики в части, предназначенной для четвертого гвда обучения, содержит 3 главы. Каждая из глав в основном исчерпывает работу одной четверти соответственно, но эго только в основном; по отдельным же вопросам в учебнике имеются несовпадения со сборником, обусловленные целевой установкой учебника—систематизировать знания учащихся. Из таких несовпадений или особенностей построения учеб-ника отметим следующие: 1) теория устных вычислений дана в учебнике в одном месте, в начале учебника, и не разбита по главам, как это сделано в сборнике задач и упражнений, 2) теория процентных вычислений также дана в одном месте — в пятой главе, прорабатываемой во второй четверти, в то время как в программе и сборнике проценты расположены концентрически и повторяются в каждой четверти. Вопрос о графиках и о простейших съемках не нашел своего освещения в учебнике. Учащиеся по этим вопросам должны получить устные объяснения со стороны учителя, а также использовать материал сборника задач и упражнений.	Я
Порядок проработки материала определяется сборником задач и упражнений. Повторение же курса IV группы (четвертая четверть) ведется по системе учебника.	В
Каждый новый вопрос программы, как правило, прорабатывается следующим образом:	
1.	Сначала учитель в устной беседе дает изложение и объяснение нового материала, опираясь на наглядные пособия, задачи, примеры; материал и формулировки берутся как из учебника, так и из сборника. 
2.	Затем решаются задачи и примеры из сборника, причем в само-  стоятельных работах учащиеся приучаются пользоваться материалом учебника — правилами, выводами, указаниями.	
3.	Далее дети знакомятся с соответствующим текстом учебника | и усваивают правила, выводы и обобщения в той формулировке, в ка- В кой они даны в учебнике.	1
В зависимости от материала порядок проработки может несколько " меняться: иногда полезно бывает после объяснения учителя познакомиться  с текстом учебника, с тем или иным правилом или определением, и уже В после этого приступить к упражнениям К
Первая четверть (глава первая).
На первую четверть падает проработка первой главы сборника (стр. 3—18) и четвертой главы учебника (стр. 29—40). Для проработки этого материала группа располагает 55 часами классных занятий плюс ежедневно около */3 часа домашней работы. Ориентировочно можно планировать на четверть работу следующим образом:
1.
2.
Устные вычисления ............................. 4	часа 1
Письменные примеры и задачи в пределе милли- I она...........................................  часов
1 О том, 64
как работать с учебником, см. стр 46.
3.	Нумерация целых чисел любой ветчины (прорабогка материала учебника и сборника) .....................
4.	Сложение и вычитание целых чисел любой величины
5.	Зависимость между сложением и вычитанием ....
6.	Изменение суммы и разности . .	...............
7.	Нумерация десятичных дробей...............
8.	Сложение и вычитание десятичных Дробей..........
9.	Процентные вычисления ..........................
10.	Поверхность и объем прямоугольного параллелепипеда и куба ....... . ...............................
11.	Повторение пройденного и учет....................
5 4асов часа
4
4
4
5
5
6
часов
7 „ б .
55 часов
Устные вычисления. Учебник по этому разделу дает материал для проработки в течение первой четверти следующих вопросов: ^Округление при сложеини. Округление при вычитании. Умножение на 25. Умножение на 125. Деление на 25. Деление иа 125“ (остальной Магериал прорабатывается во второй Четверти). Деление на 25 Может быть разъяснено учащимся в более простой форме, а именно: „Разделим 4500 на 25. Для этого узнаем сначала, сколько в числе 4500 сотен. Разделим 4500 на 100. Получим 45. В каждой сотне 25 содержится 4 раза. Умножим 4 на 45 или 45 на 4. Получим 180. Число 25 в числе 4500 содержится 180 раз".
Точно таким же образом разъясняется прием деления иа 125. В сборнике на эти случаи дается 9 номеров упражнений (задач и примеров, расположенных на стр. 3). Порядок работы таков: сначала учитель в устной форме объясняет, разбив материал по урокам, приемы устных вычислений, за<ем учащиеся решают примеры и задачи и в завершение учащиеся прорабатывают материал учебника и усваивают правила, напечатанные курсивом. На это тратится 4 урока. Но в сборнике сверх этого дано еще 18 упражнений по устному счету (стр. 4 и часть пятой). Что представляет собой этот материал? Это четыре арифметических действия над числами в пределе 100 и 1000, выполняемые	и
| знакомые учащимся из курса 11 и 111 групп. Наряду с целыми здесь даются устные вычисления дробей (22) и устные
I «ия площадей. Задачи, помещенные здесь, характерны тем. требуют от учащегося не только уменья считать, но и проявить сметку, сообразительность. Возьмем, например, задачу № 11; учащийся должен сообразить, что 100 г стоят 9 коп, а в 2'12кг — 25 сотен граммов; следовательно, 2’/? кг стоят 9 коп.-25. В задаче № 18 учащийся должен сообразить, что 1 час 10 минут вдвое больше 35 минут, а в задаче №19—что Р/2 часа вдвое больше 45 минут. Эти примеры и задачи решаются в течение всей первой четверти по 1—2 задачи или по 1 — 2 Строчки примеров на уроке. Для облегчения работы действия записываются, а вычисления производятся устно.
Письменные задачи и примеры в пределе миллиона (стр. 5 и 6) ото — повторительный раздел; на решении этих примеров и задач учащиеся во производят знания и навыки, полученные ими на третьем году. Задачи №№ 34—38 подобраны так, что они дают возможность сделать вывод о том, каких домашних животных выгоднее разводить. Решение Задач №Ks 40 и 45 нужно обязательно сопровождать чертежами.

устно и числами устные вычисле-что они

торая изложена в сывая число, его записывают каждый рации завершается Разложение чисел ..„	слагаемые лчинсыиается гаг I
32 750 = 300002000-j-70050. Особое внимание надо обратит,] на упражнения 60 и 61, ибо уменье сразу определить, сколь». ’ всего десятков, сотен и т. д. в данном числе, имеет большое значенщ, для быстрого и правильного производства пеллии« и, -------------
LjVs 77. Во всей этой работе не надо загромождать учащихся многочислен-I ,jh выводами, правилами, формулировками; важно, чтобы учащиеся I ,„яли и сумели рассказать и показать на примерах зависимость, какая чествует между действиями, и умели бы применять эту зависимость 'нахождению неизвестного числа. Полезно для ббльшей наглядности убедительности вопросы задач №№78 и 79 прорешать сначала на несших числах. Вопросы 78 и 79 нужно сначала записать, пользуясь ;(x + 3409= 10 0 J0). Решение этого примера записывается так: i—10 000— 3409 = 6591. На основании знания зависимости между тожением и вычитанием делается поверка сложения вычитанием (упраж-1,.цие 74) и вычитания сложением (упражнение 84).
Изменение суммы и разности. Первоначальное знакомство с эти-L понятиями надо давать не на отвлеченных примерах, как это дано |, учебнике и сборнике, а на задачах, и притом на задачах с неболь-жми числами, которые учащиеся могут решить устно. Вот пример та-4 задачи: „В шкафу иа верхней и средней полках стояло по «2 книги. Потом на верхнюю полку поставили 10 книг, а на нижнюю — |5 книг. На какой полке стало больше книг и на сколько?" При решети этой задачи учитель ставит вопросы: „Почему на нижней полке стало больше книг?" (Потому что больше прибавили.) Нужно ли для решения задачи прибавлять 10 к 22 и 15 к 22 и затем вычитать из первой суммы вторую, чтобы ответить, на какой полке больше книг?" Затем можно решить задачу № 87 из сборника. Когда учащиеся будут подведены к пониманию этого понятия, им предлагаются примеры сначала на увеличение, а потом на уменьшение слагаемого. Третий этап работы—вывод правила.
Свойством суммы — изменяться от изменения слагаемых — пользуются для упрощения вычислений в тех случаях, когда слагаемые — легко закруглимые числа. Чтобы сложить, например, 427 с 297, можно к 427 прибавить 300. Так как при этом слагаемое мы увеличим на 3, то и сумма увеличилась на 3; следовательно, для получения настоящей суммы от полученного результата надо отнять 3.
Замечания, сделанные в отношении изменения суммы, относятся также и к изменению разности. Упражнение 93 дает материал для использования свойства разности для упрощения вычисления в тех случаях, когда вычитаемое легко закруглимое число. Задача № 95 решается так: 1) 775 кг—160 кг = 615 кг-, 2) 615 кг-)-48 кг-|-280 кг — -=943 кг.
Нумерация десятичных Дробей. Нумерация — весьма ответственное место в курсе десятичных дробей; ей нужно отвести достаточное время (ие- менее 5 часов) и в проработке надо соблюдать строгую систему. Система указана в учебнике; ей и нужно следовать. Упражнения нз сборника надо подбирать в соответствии с тем вопросом, который прорабатывается по учебнику. Лучшим наглядным пособием при этом является метр с подразделением иа дециметры и сантиметры. Вначале прорабатывается устная нумерация, куда входит проработка разделов Соотношение между десятичными долями" и „Состав десятичной дроби". В сборнике материал для проработки устной нумерации дают упражнения 97—100. Эти упражнения надо дополнить решением, примерно. I Таких вопросов: составить число из двух десятых и трех сотых долей; из I четырех сотых и пяти тысячных; из одной десятой и восьми сотых 67
Нумерация целых чисел любой величины. Ознакомление с J мерацией нужно начать с проработки материала учебника „Классы чк ла", чтобы дать учащимся понятие о разрядах и классах, в частно;^ о новом для учащихся IV группы классе — миллиарде, чтобы показу] как составляется любое число из разных разрядов, как можно р^Н жить данное число на разрядные единицы. Вслед за этим даются упр^ нения 49—55 из сборника, которые имеют целью дать учащЯ уменье составить число по данным разрядным единицам и разложЗ данные числа иа разряды и классы.
В этом заключается проработка устной нумерации. Далее прораб| тывается раздел „Письменная нумерация" из учебника. При про;, ботке письменной нумерации ударение нужно делать на той мысли, к, тлмо —-------- последнем абзаце этого раздела, а именно: „Защ
разбивают мысленно на классы и разряды и загс .1 числам класс, начиная с высшего класса". Объяснение нуж| ,иМИ постой решением упражнений из сборника под №№ 56—6j 7\„иги П на разрядные слагаемые (59) записывается ' k ino_L7on । «л
на упражнения 60 и 61, ибо уменье всего десятков, сотен и т. д. в данном числе,	_______
для быстрого и правильного производства деления. Из решения ряд. примеров учащиеся должны притти к выводам: „Чтобы узнать, сколь»; | всего десятков в данном числе, надо отбросить единицы н прочитав остающееся число" и т д.
Наглядными пособиями при проработке нумерации являются аба» (или таблица) и счеты. Учащиеся учатся откладывать любое число и. счетах (упражнения 64—65). Заканчивается этот раздел упражнениям! в округлении чисел. Упражнениям должно предшествовать коротко» объяснение того, какое число называется круглым, закругленным, что значит закруглить число („заменить его ближайшим круглым числом^ как закруглить такие числа, как II, 12, 13, 18, 19, и только пос этого перейти к упражнению 67. Здесь же надо познакомить уча ся и с сокращенной записью круглых чисел: вместо 46 000 000 пиш 46 млн.
Сложение и вычитание целых чисел любой величины. Про работку нужно начать с решения задач и примеров под №№ 68- 73 которые имеют своей целью научить учащихся оперировать (складывать и отнимать) большими числами. Особенно надо остановиться ю вычитании, где даны'примеры далеко не легкие для учащихся IV грул пы. В таких примерах письменного вычитания, как 1000 000—95 600000—69999 и др., учащиеся нередко делают ошибки; чтобы устра нить их, надо побольше порешать примеров.	
Сложение и вычитание на счетах (упражнение 75, 76) не содержат ничего нового по сравнению с тем, над чем работали учащиеся во II и III группах; полученные раньше навыки здесь закрепляются, и расши ряется область чисел, с которыми оперируют учащиеся. Упражнение 74 (поверка сложения) надо отложить к концу раздела и предпослать ему проработку теории сложения и вычитания, как она дана в учебнике под заголовками: „Сложение", „Вычитание". Конкретным материалов который поможет учащимся притти к выводам о связи и зависимости меж ду сложением и вычитанием, являются примеры, помещенные в сборнику jJS_______________
1
и т. д. Разложить на десятые, сотые и тысячные доли: 63 сотых, 27^ тых, 185 тысячных, 263 тысячных и т. д. Этим заканчивается у-Л нумерация, и учащиеся переходят к проработке письменной нумерац|( которая складывается из объяснений учителя, чтения учебника и шения примеров 101—103 по сборнику. После этого прорабат»^ ется преобразование десятичных дробей: раздробление и превращу долей, свойство дроби не изменяться при приписывании и отбрасывай,, нулей справа, исключение целого, сокращение дробей. Этот вопрос пр, рабатывается так, как он дан в учебнике, а решаются примеры 108-115, 120, 121, 122. Затем идет раздел „Сравнение десятичных дробд по величине" — номера 116—117 по сборнику, и, наконец, уча^И учатся записывать составное именованное число (метрической систем^ в виде десятичной дроби и, наоборот, дробное именованное число в в« де целого составного именованного числа — номера 104—107 , 118—119 по сборнику.
В связи с нумерацией десятичных дробей и их преобразование, нужно проработать вопрос о полной и сокращенной записи большщ чисел, пользуясь десятичными дробями. Этому вопросу посвящены упражнения 123—126.	I
Сложение и вычитание десятичных дробей. Первоначальна, методическая проработка этого раздела должна включать в себя pt смотрение следующих типичных случаев: 1) 0,6-]-0,2; 2) 0,7—]—0,-3) 0,8-|-0,6; 4) 3,265-]-3,2; 5) 2—]—0,5. Вычитание имеет следующл ступени: 1) 0,8 —0,6; 2) 1—0,4; 3) 1,3—1,5; 4) 0,35 —0,2; 5) 6,2—3
Сначала учащиеся для сложения и вычитания приводят дроби к ofr щему знаменателю, а затем приходят к выводу, что такое преобрази ванне излишне, и производят эти действия, не приводя дроби к общем! знаменателю. Только после того как каждый из вышеуказанных случаев I сложения и вычитания будет объяснен и учащиеся на 3 — 5 пример»! I получат навык в их решении, можно переходить к решению столб* 1 ков 127—131. Решение задач должно итти вперемежку с реше-1 нием примеров. При формулировании правила сложения и вычитаниг I десятичных дробей нужно оттенить, что, подписывая одну дробь под 1 другой, подписывают целые под целыми (а не тотько единицы по" 1 единицами), а запятую в сумме ставят на том же месте, где она стоял I в слагаемых или в данных для вычитания числах.	Я
Процентные вычисления. В учебнике вопрос о процентах рас- I сматривается в пятой главе на стр. 45, где дано краткое изложение теории этого вопроса в объеме программы начальной школы. Но в сборнике проценты прорабатываются концентрически: в первой главе дается уменье вычислить один и несколько процентов от числа, выраженного в круглых сотнях; во второй главе дается уменье вычислить один и несколько процентов от любого целого и дробного числа; в третьей 1 главе дается уменье заменять в некоторых случаях проценты долями единицы (обыкновенной дробью). Учитель может использовать для первоначального ознакомления учащихся с процентами §§ 1—2 учебника,- но давать этот текст учащимся в течение первой четверти не следует. Ознакомление с процентами связано в сборнике с нахождение» : части числа, так как по существу найти несколько процентов от числа это значит найти часть чиста, выраженную десятичной дробью' J 0,01; 0,15 и т. л. Наглядным пособием для ознакомления с пропенп.лД 68
служит фигура квадрата со стороной в 1 дм, разделенного на 100 равных квадратных клеток. Задачи и примеры даиы только на те случаи, когда число, от которого вычисляются проценты, представляет собою круглые сотни. Полезно некоторые наиболее легкие задачи (например, №№ 152, 153) решать устно. В дальнейшем материалом .для устных вычислений должны служить и процентные вычисления.
Поверхность и объем прямоугольного параллелепипеда и куба. Эту тему надо подразделить на два основных раздела: вначале должна итти проработка теории этих вопросов в том объеме и том плане, в каком она дана в учебнике, а затем должны следовать соответствующие упражнения по сборнику. Устные объяснения, даваемые учителем, с широким использованием наглядности и практической раэоты учащихся имеют здесь главное значение; работа по учебнику, знакомство с текстом главы „Куб и прямоугольный параллелепипед" может служить только завершением всей работы, повторением. Проработка должна быть наглядной, конкретной. Знакомство с кубом и параллелепипедом должно быть дано обязательно иа модели куба и параллелепипеда. Для развертки поверхности куба и параллелепипеда должны быть модели куба и параллелепипеда, сделанные из картона. Пользуясь линейкой и наугольником, учащиеся должны начертить развертку куба по данному ребру, развертку параллелепипеда по данным ребрам и вычислить их поверхности. И только после этого прорешать по сборнику упражнения 156, 157, 159, 160. Такой же наглядный характер должна носить и проработка объемов. Ученикам нужно показать единицы измерения объемов—кубические сантиметр, дециметр и метр. Чрезвычайно важно было бы показать учащимся кубический дециметр, заполненный кубическими сантиметрами; на таком наглядном пособии показать бруски, слои, на которые делится весь объем. Бруски и слои можно показать также и на арифметическом ящике. После такой подготовительной работы, включающей в себя и вывод правила вычисления объемов, нужно переходить к решению задач из сборника. Среди задач иа вычисление объемов нужно различать два основных типа: 1) вычисление объема по трем измерениям и 2) вычисление объема по площади и третьему измерению. Желательно дополнить эти задачи такими, в которых по данному объему и одному или двум измерениям требуется найти третье измерение. Для придания практического направления работе желательно, чтобы учащиеся произвели вычисления объема одного-двух помещений, известных им, — какого-либо склада, амбара, погреба, силосной ямы и других по данным размерам.
Вторая четверть (глава вторая).
На вторую четверть падает проработка 17 страниц из сборника /стр. 19—35) и пятой главы (стр. 40—46) из учебника. На проработку этого материала группа может звтрзтить свыше 40 часов классных занятий, не считая домашних работ, которые сопровождают повседневную работу школы.
При планировке время между отдельными темами может быть рас -I нределено, примерно, следующим образом:
I	1. Устные вычисления ............................... 3 часа
I	2. Умножение и деление целых чисел любой.величины . . 8 часов
60
3.	Зависимость между умножением и делением ....	3 час*
4.	Изменение произведения и частного................. 4
5.	Умножение десятичной дроби на целое число ....	4
6.	Деление целого числа и десятичной дроби на целое число............................................. 5	часов
7.	Окружность	................................... 2	часа
8.	Процентные	вычисления.............................. 6	часов
9.	Круговые диаграммы................................. 2	часа
10.	Примеры и задачи на 4 действия с десятичными дробями .. ................................. ........	6 часов
43 часа
Устные задачи и примеры (стр. 19). Здесь учитель должен познакомить учащихся с приемом последовательного умножения и деления (.Чтобы умножить на 15, нужно умножить на 5 и на 3“, „Чтобы умножить на 12, нужно умножить на 4 и на 3“ и т. д.). Теория этого вопроса дана на стр. 30 учебника. Средн задач даны задачи, которые требуют особых приемов решения. Таковы задачи №№ 186, 189, 192, 195, 196. Задача 186 решается так:
„Почему во второй месяц колхозник заработал на 48 кг больше зерна?" (Потому что он выработал больше трудодней.) „На сколько больше?" (29—25 = 4 дня.) „Почем оплачивался один трудодень?" (48 лг:4 = 12 кг.) „Сколько зерна колхозник заработал во второй месяц?" (12 кг • 29 = 318 кг.)
Решение задачи № 189 : 1)6—9 —j— 10 = 25 (мешков); 2) 12^:25 = = 48кг-, 3) 48 кг-6 = 288 кг; 4) 48-9 = 432 кг; 5) 48-10 = 480 кг.
Задача №192 решается так: 1) „Заменим все печи малыми печами. Сколько малых печей надо поставить вместо 4 больших, чтобы получить ту же выплавку?" (4 малых печи-4= 16 малых печей) 2) „Сколько всего малых печей было бы на заводе при замене больших печей малыми?" (14—}— 16 = 30 малых печей.) 3) „Сколько стали выплав-1яет одна малая печь?" (4500 от:30=150 т.) 4) „Сколько стали выплавляет в сутки большая печь?" (150 /71-4 = 600 т.)
Задачи №№ 195 и 196 требуют вычисления среднего арифметического. При решении задачи № 193 учащиеся должны сообразить, что 300 кг — это 3 ц. Отсюда они легко выяснят, сколько расхода натает из зарплаты на один центнер (150 коп.:3 = 50 коп.).
Умножение и деление целых чисел любой величины (стр.23—26). Мы рекомендуем проработать этот раздел по сборнику сейчас же вслед за устными вычислениями. Главная задача этого раздела — закрепить у учащихся навыки письменного умножения и деления целых чисел любой величины и развить уменье безошибочно пользоваться этими действиями при решении задач. Все случаи деления уже встречались на третьем году; теперь они повторяются только на больших числах. В конце этого раздела помещен ряд задач, при решении которых учащиеся упражняются в процентных вычислениях.
Зависимость между умножением и делением. Изменение произведения и частного. Эти разделы прорабатываются на основе предварительных устных весьма конкретных разъяснений со стороны учителя каждого вопроса в том объеме и плане, как это дано в 70	_______.
учебнике на стр. 41 и 42, сборник же дает материал для упражнений, упражнения надо подбирать так, чтобы они целиком соответствовали материалу учебника.
Вопросам умножения и деления соответствуют в сборнике упражнения 198—213.
Вопросу „Изменение произведения" в сборнике соответствуют упражнения 214—222 и, наконец, вопросу „Изменение частного" в сборнике соответствуют упражнения 223—231. Задачи №№ 205—213 тесно связаны с вопросом о зависимости между умножением и делением, так как площадь есть не что иное, как произведение длины на ширину, а длина и ширина — сомножители; точно так же объем есть всегда произведение трех сомножителей. Таким образом, решение задач №№ 205—213 имеет двоякое значение: с одной стороны они уясняют связь деления с умножением, а с другой—они закрепляют навыки' по вычислению площадей и объемов. Решая готовые задачи, ученики должны упражняться и в составлении самостоятельных задач. Образец задания для этого дан в задаче № 208. Запись решения примеров в упражнениях 201 и 203 производится так. Решим первый пример х 15 =240. Запись имеет :акой вид: х = 240:15= 16. Решение примера х:72=15 записывается так: х = 72-15= 1080 и т. д. В примерах 217, 219, 224,226,227 и 228 обязательно надо сравнивать полученные результаты, ставя при этом вопрос: „Почему изменился результат и почему так именно?" Ударение при проработке всей этой темы должно быть сделано не на заучивании правил и выводов (это дело, главным образом, V группы, где этот вопрос прорабатывается основательно), а на понимании вопроса, на умении применить найденную зависимость к решению вопроса. Следует заметить, что изменение результатов в зависимости от изменения компонентов дает незаменимый по своей ценности материал для математических наблюдений, для построения на основе этих наблюдений выводов и обобщений, для воспитания у детей индуктивного мышления. Здесь учителю нужно умело предлагать задачи, в строжайшей системе предлагать примеры, чтобы учащиеся сами подмечали математические закономерности и учились давать им словесное выражение.
Умножение и деление десятичной дроби на целое число (стр. 26—29). Эти разделы следует проработать в той методической последовательности, в какой расположен материал в сборнике, а именно: 1) умножение десятичной дроби на однозначное число, на 10, на круглые десятки и на двузначное число; 2) умножение на 100, на круглые сотни и на трех^начное число. Прежде чем решать сложные примеры типа 0,2-3-(-0,3-5, нужно поупражнять учеников в решении простых примеров на каждый из указанных выше случаев. Запись решения сложного примера, допустим, 0,004-8-(-0,008-6, будет такова: 1) 0,004-8 = 0,032; 2) 0,008-6 = 0,048; 3) 0,032	0,048 = 0,080 =
= 0,08.
Деление прорабатывается в такой системе:
1. Деление целого числа на целое. Здесь различаются два случая: первый, когда делимое меньше делителя, например, 1:4; в таком случае единица раздробляется в десятые доли; 10 десятых от деления на 4 дают 2 десятых и в остатке получается 2 десятых, которые раздробляются в сотые доли; 20 сотых при делении на 4 дают 5 сотых; в частном получается 0,25. Еторой случай, когда делимое больше де-
лигеля (7:4) и в чайном получается целое числи, а ипаток после раз дробления его в десятые и сотые юли дает десятые и сотые ди.ц в частном.
2. Деление десятичных дробей на целое число. Здесь различают^ следующие случаи: 1) деление десятых долей и целых с десятым^, когда в частном получаются десятые доли; например 0,9:3 = 0,3 0,4:2 = 0,2 и Т. д. 1,2:4 = 0,3; 2) деление сотых долей и целых । сотыми, когда в частном получаются сотые доли; например 0,08:4=4 = 0,02; 2,25:9 = 0,25 и т. д.; во избежание ошибок при записи де тения сотых долей (например 0,08:2) следует до записи спрашиват учащихся, какие доли получатся в частном; 3) деление тысячных долей (0,015:5; 0,018:9 и др.) и других десяти дробей, от деления которых получаются в частном тысячные доли (3,27:2 и г. п.); 4) затем должно следовать деление целых и дробных чисел на 10 и на 100, произ-водимое путем переноса запятой, в, Наконец, 5) деление целых и дробных' чисел на любое двузначное число. Наглядными пособиями при этой могут служить метр и квадрат, разделенный на сто клеток.
Процентные вычисления (стр. 32 сборника). Здесь учащимся дается навык находить определенное число процентов от любого чйсла как целого, так и дробного (не ограничиваясь только круглыми сотнями, как 8то делалось в первой четверти). Теперь это можно сделать потому, что учащиеся умеют делить целые и дробные числа на 100. Процентные вычисления попрежнему производятся 'здесь двумя действиями. Проработка идет на основе устных объяснений учителя и решения задач и примеров ,из сборника. Из учебника можно прочитать с детьми только первые два параграфа соответствующей главы „Процентные вычисления" (стр. 45). Параграфы 3 и 4 этой главы должны быть огне» сены на третью четверть.
Окружность. Круговые диаграммы. Вся проработка этих вопросов должна быть сугубо наглядна и конкретна: учащиеся должны иметь циркуль (если нет циркуля, пользоваться булавкой с натянутой ниткой для вычерчивания окружностей), картон, сантиметровую линейку. Опытным путем (измерением) они должны убедиться в равенстве радиусов, в равенстве диаметров в одном и том же круге, в соотношении ради.са и диаметра. Учащимся нужно показать процентный транспортир и как им пользуются для Вычерчивания круговых диаграмм. Оба эти вопроса — окружность и круговые диаграммы — нужно проходить в неразрывной связи, не вставляя меж Гу ними „Процентные вычисления", которые должны быть проработаны раньше. Приобретенное учащимися уменье вычерчивать круговые диаграммы непременно надо использовать для оформления в виде круговой диаграммы какого-либ » явления местной жизни.
С решением задач и примеров на все действия надо связать ознакомление учащихся с числовой формулой (надо следить за правильным ударением в слове „формула"). Для этого решается ряд несложных зад ч из упражнения 358; сначала записывается их полное решение, а затем только обозначается план или ход решения без нахождения результатов каждого действия. Для задач, приведенных в сборнике, числовые формулы будут такие:
1)3-0,65-3; 2)24x4 4-60.3; 3) 18x7:9, 4)12 801x3:24:203.
Третья четверть (глава третья из сборника и глава шест е я из учебника).
Для проработки этих двух глав, обнимающих в общем около 26 страниц, Iруппа имеет около 50 часов классных занятий плюс ежедневная работа учащихся дома в течение получаса.
Для проработки отдельных частей программы может быть, примерно, намечено следующее время:
1.	Устные задачи и примеры .................... 2
2.	Обыкновенные дроби: преобразование дробей, сокращение дробей, сравнение дробей и др..........10
3.	Сложение и вычитание дробей .....................7
4.	Умножение обыкновенной дроби на целое число . . 6
5.	Деление целого числа и обыкновенной дроби на целое число.........................................6
6,	Вычисление части числа ......................... 3
7.	Вычисление числа по данной его части ....	4
8.	'Треугольник ..................................  4
9	График температуры...............................3
10.	Повторение пройденного и учет...................5
часа
часов
часа
л и
я
часов
50 часов
Устные задачи и примеры (стр. 35 — 36). Здесь прорабатывается такой прием устного счета, когда упрощение вычисления достигается путем перестановки сомножителей. Теория этого вопроса достаточно проста и усваивается учащимися довольно легко; нужно предложить учащимся на умножение ряд примеров, специально подобранных, и на этих примерах показать выгоду перестановки сомножителей; например, умножают 4-37-25. Перемножение в том порядке, в каком даны числа, приводит к трудной операции — умножению 148 на 25. Простая перестановка множителей сразу упрощает вычисление, приводя к умножению 100 иа 37. Упражнение в решении 2—3 десятков примеров (упражнение 363) будет достаточным. На объяснение нового приема вычислений и его закрепление нужно отвести в плане 2 часа. В остальных примерах сборника (365 и 366) дается повторение усвоенных раньше приемов устных вычислений. Эти примеры, а также и задачи решаются на последующих уроках в течение тех 5—7 минут, которые специально отводятся и а устный счет.
Задачи №№ 367 — 376 принадлежат к двум типам: 1) задачи, в которых требуется иайти числа по их сумме и по их разности (№№ 361, 362, 367, 368, 369); 2) задачи, в которых требуется найти числа по их сумме и частному (№№ 370—375). О способах решения этих задач см. стр. 44.
Преобразование обыкновенных дробей. План проработки дробей дается учебником; за ним и нужно следовать, т. е. сначала нужно проработать, пользуясь наглядными пособиями, разделы „ Образование дроби", потом „Сравнение дроби с единицей11, затем „Смешанное число" и т. д. (стр. 47 — 49 учебника). Проработку теории каждого вопроса нужно сопровождать решением задач и упражнений; покажем, какие примеры и задачи соответствуют отдельным вопросам, учебника.
73
Учебник-
Сравнение дроби
с единицей.
Смешанное ние гт—....
Исключение целого числа из дроби.
Преобразование дробей (раздробление и превращение).
Сокращение дробей.
Сравнение дробей по величине.

Сборник: № 383 („Выписать •— шие единицы, меньшие равные единице"). №№ 378 -382.
№№ 384, 385, 386.
№№ 387 — 402.
№№ 403 — 405. №№ 406 — 410.
числа. бо.1ь. единицы
1,1	2,1
взаимнопростые (—	-fr- -5- и др.); на этот случай идут упраж-
2 о О 2
нения 416, 417, 418, 419 иза1ачи№№420, 421, 423 и 424. Третий случай,
5	3
6'—Г " др )-
Раздроблению и превращению дробей отводится наибольшее хорошее усвоение этого навыка крайне важно —им придется при сложении и вычитании дробей. Хорошее упражнение дает заполнение таблицы по заданию 400. Заполненная таблица должна иметь следующий вид: <
I '•
место; пользоваться
1
£ 3
4
I
5
1
6
ё См ф со
2
4
1
4
з
3 ж
3
о 3
5
09
ф
4
Е?
Ф ь as
X (У
Ф
£	4
6	6
2
6
з
09 S
.5
10
2
8
2
Л)
6
12
4
12
2
12
5
15
3
15
2
8
16
4
16
9
18
6
18
з
18
I При проработке	нужно широко использовать нагляд-
ные пособия; лучшими наглядными пособиями являются дробные счеты, чертежи (прямая линия, круг). Если бы для той или иной группы материала оказалось мало, можно давать примеры из учебников прежних изданий (Зенченко и Эменова, Кавуна и др.).
Сложение и вычитание. В сложении и вычитании дроби нужно различать 3 случая, соответственно которым расположен материал в сборнике: первый случай, когда один из знаменателей является общим зна-, 1 , 1 1 . 1
менателем (-—-f- —; — -j- — и т. д.); на этот случай даны упражнения о О О	1 и	|
411, 412, 413, 414, 415 и 422 Второй случай, когда знаменатели — числа 74	' _______
этого раздела нужно
1	1
когда знаменатели имеют общие множители!——- — 4	о
| на этот случай даны упражнения 425, 426, 427, 428. Упражнения ' и задачи №№ 429—439 смешанного характера и содержат в себе повторение всех трех случаев. Заметим: 1) что в учебнике не употребляется термин „приведение дроби к общему знаменателю'; вместо него на этой ступени дается более простой и привычный для детей термин „раздробить дроби в одинаковые доли"; 2) решения второго и третьего случаев ничем по существу не отличаются друг от друга, так как учащиеся здесь не прибегают к разложению знаменателей на множители, а раздробляют дроби в одинаковые доли по соображению. Правила сложения и вычитания учащиеся должны уметь формулировать так, как ини даны в учебнике (курсив)
Умножение и деление обыкновенных дробей на целое число. Методическая последовательность проработки этих разделов дана в учебнике. Выводу каждого правила в учебнике предшествует обычно разбор 1 — 2 примеров; этого недостаточно. Нужно предоставить учащимся возможность наблюдать больше „математических фактов", чтобы на основе их сделать тот или иной вывод или обобщение. Например, вывод правила умножения основан на решении одной задачи, которая
3
требует умножения —на 5. Достаточно ли одной задачи, одного при-
мера, чтобы спелать обобщение: „Чтобы умножить дроби на целое чи ело"., и т. д.? Ясно, что недостаточно. Нужно предложить еще 1—2 задачи (например №№ 442, 448) и затем уже из сопоставления трех результатов с данными предложить учащимся сделать вывод и запомнить его так, как он сформулирован в учебнике на стр. 51.	•
Вычисление части числа. Навык нахождения части числа — не новый для учащихся. Он уже рассматривался в III группе. Поэтому здесь даны только упражнения в сборнике, теорию же этого вопроса учащиеся 491-*-496 подобраны так, что число найти, выражено или десятичной или обыкновенной дробью. В обоих случаях вопрос решается двумя действиями (делением и умножением); вычисляя 0,75 от 240, учащиеся находят сначала 0.01 (240:100 = 2,4), а потом 0,75 (2,4X^5=180).
С упражнения 497 продолжается работа с процентами. Расширение знаний о процентах здесь заключается в том, что учащиеся учатся заменять доли, выраженные в процентах, долями обыкновенной дроби
1	3
(20% = — ; 75° 0=-— и т. д.). Это нужно показать учащимся сна-□	т-
чала на наглядном пособии (на квадрате, разделенном на 109 клеток, чтобы учащиеся увидели, что 10 клеток составляют 10% квадрата и эти же 10 клеток составляют квадрата); после такого наглядного объяснения вопроса можно показать замену процентов обыкновенной 75
могут повторить по стр. 26 учебника. Упражнении частей, которые требуется
__________________---V** МДГ (пятью) долями. Учитель должен понятие довольно трудно дается	_	___
г---- . ' j.. ..u...Wnuv>H (к куоикам, к чертежу). Взяв несколько
кубиков, учитель говорит: „У меня есть несколько кубиков, число которых вам неизвестно. Но если я вам скажу, что четвертая часть их составляет 6 кубиков, то вы можете	-	___
б---- 'г-__У‘ П-- задачу з учеоника иллюстрировать прямой линией:
„Лошадь в минуту пробежит неизвестное нам расстояние. Обозначим его
С
~	5	I
прямой линией [Д|—|—I—jBl.	этого расстояния —200 м Обо-
2» м	о
5	16	1
значим -чг линии*. Дальше легко.найти = и затем—. Правило нахож-
6	6	6
дения части числа дано в конкретной форме; в-такой именно форме и должны усвоить его учащиеся, причем нужно требовать от учащихся умения сформулировать правило и для других конкретных чисел. Так, ученик должен уметь ответить на вопрос: „Как найти неизвестное число,!
3
которого равняется 15?“ Задача № 509 — сложная задача: сначала • 4
его части, а потом требуе-..: сначала определяется уро-= 120); потом — с целого га, или -— га
1и
3	*
., с— га (1200:4 = 300,; 300 -3 = 900 кг)' 5	3
№ 513. Всего денег было — ; издержано =; оста-2
; -—всех денег составляют 2,4 руб.
Жженья одной фигуры на другую. Всей эюЙ работе надо придавать  ный лабораторный характер; нужно, чтобы все учащиеся ра-Кг]П с циркулем, с ножницами, наугольником, картоном и пр., а не
>, как это делает учитель. При записи правила вычис-Жч площади прямоугольного треугольника учащиеся снова встретятся Ксловой формулой. Этим нужно воспользоваться для того, чтобы Жвить в памяти учащихся знания, что такое формула, как ее получить и  ..© пользоваться. Зтдачи №№ 522—524 представляют интерес не только Жометрической, но и с арифметической стороны; учащиеся здесь поль-примере прич ~ Л.ся приемом нахождения числа по его сумме и разности. При ре-1 втооой’ В Пе₽' г ,и заяачи №522 ставятся такие вопросы: 1) „На сколько обе из рав-СТОрон треугольника больше третьей стороны?** (2,4 л 4-2,4 м — К,8 м.) 2) „Чему равнялись бы 3 стороны, если бы все они были Le же, как и третья сторона?** (145,5 ж — 4,8 м — 140,7 м.) 3) „Чему Кияется третья сторона?** (140,7 лсЗ = 46,9 м.) 4) „Чему равняется двух равных сторон?** (46,9 м 4-2,4 м =49,3 м.) _____________________________________ ‘	*’ ’° л5 см — 6,37 сл = 6,7 см; 2) 6,7 см:2 — 3) 3,35 еж 4" 6.35 см —9,7 см; 4) 9,7 см 2—4,85 см.
- - п----„ отлм пяалеле — научить учащихся
‘Робью через Ч.роМсЛ)ТСЧИые 3
2о%=1	2/ а имеино; 10 %- ~~~ 1 1
10 7оо'==Г; 25°/о=~ -1	'
ного навыка учащиеся найдут в nJ °°	4 " Пр"Менен,1е	только
вопрос^ да?:/': уче?нике° его’^сти” Хте^ 498"5°S яснено на двух ИКе' где нахс”ВДение числя ™ ледовательность про вой зада*'е часть выражена** °ДН°М отвлечениом г—"Н0Й СГ° Частн обь-' 1пятьий nnna..,, V.. ражена одной долей я ПГ1	Ж
,7 ’ _ -V— »ио, кы	К0‘И1дая из двух равных чири„. .
Лп,В;^?.\Полезнозадачу №2уче^н^а^	неиз Устное число"/^Решение ззда™№ 523;1>}3’°5
У Ика Иллюстс,иоовать ппомон *?.’ »3.35гл; 3) о,оэ см	о,35 см =~9,_ ...
...1 График температуры. Основное в этом разделе
ть и понимать простейший график, с которым они могут встретиться  чтении газет и научно-популярных книг. Учащийся должен понять, । трафик употребляется для наглядного изображения изменения вели-, когда эти изменения происходят непрерывно. Учащиеся должны :ь, чго обозначается цифрами, стоящими снизу и слева графика. i первоначального ознакомления с графиком нужно принести в класс готовый (печатный) i рафик большого размера, удобный для обозре-всем классом, или начертить график самому учителю на классной же. Только после обзора и объяснения такого графика можно перейти рассмотрению и объяснению графика, помещенного в учебнике. За сколько дней до проработки этого вопроса учителю нужно органи-ать ежедневные наблюдения за изменением температуры (если оно ведется в школе регулярно). По данным этих наблюдений нужно -сте с учащимися в классе начертить свой график изменения тем-ратуры за известный промежуток времени.
Четвертая четверть (глава четвертая из сборника).
В четвертой четверти, согласно программе, должно быть повторено пройденное за 4 года. Значит ли это, что нужно проработать все книг по арифметике, изученных за 4’ года? Нет. Курс арифметики Начальной школе прорабатывается строго концентрически; следовательно, ледний концентр — курс четвертого года — обнимает собою все глав-и основное из всего курса. Поэтому повторять проработку всех ’ебников не надо; достаточно повторить только курс четвертого года,  с. три последних главы учебника, а из первых трех глав учебника дует взять для повторения только некоторые разделы: об именован-* числах, о площади прямоугольника и квадрата, о нахождении части ла, о плане и масштабе. Повторение материала из учебника должно Сличаться от первоначальной его проработки тем, что если проработка ^ила индуктивный характер (т. е. учащиеся всегда отправлялись от тных случаев—задач, примеров —и через них приходили к выводам,
77
нужно найти неизвестное число по данной ei мую часть числа. Задача № 510 решается так: жай с га (1680:14 = 120): потом — г (120 • 10 = 1200) и, наконец,
Решение задачи
5	3	2	.	„ л 1
лось — -—— = —; —всех денег составляют 2,4 руб.: —
5	5 э о	J а
5
ляет 2,4 руб. :2 = 1,2 руб.; — всех денег равняется 1,2 руб.  5 = 6 руб.
О
Треугольник. Прорабатывая „Треугольник" в том объеме и в том плане, как он дан в учебнике, учащиеся, пользуясь циркулем, линей кой и наугольником, должны научиться вычерчивать разные виды треугольников, а также, пользуясь палочками, выкладывать разные формы треугольника и, пользуясь картоном и ножницами, вырезывать треугольники Равенство двух прямоугольных треугольников, получившихся из прямоугольников, должно быть показано на примере непосредственного 76
их состав-
обобщениям), то повторение должно носить дедуктивный характер, J учащиеся начинают работу с определений, правил, выводов и затем Л тверждают их примерами и задачами.	’
Повторение курса четвертого года нужно вести в такой послед.^ дельности• сначала повторить все о целых числах, затем десятц^ дроби, потом обыкновенные дроби и, наконец, геометрический матерд Особо надо остановиться на нахождении числа по данной его чао, на процентных вычислениях. Одновременно с повторением теории нуу прорешать задачи и примеры на все действия, помещенные в четве’р, главе сборника. Теория и практика должны быть между собой j заны. Большее место нужно отвести самостоятельному решению учащимися Чтобы достигнуть более легко такой увязки, укажем, на । кие разделы расчленяется материал четвертой главы.
Задачи и примеры на все четыре действия с целыми числами соц жатся в упражнениях 527—547.
Задачи и упражнения на повторение ле«гтииа .	Ш Самое трудное дли	-------------
юрами времени даются в vnna^uou„„v ^метрическими мера1пальто при условии, что число их одинаковое,
рестна, а также известна их общая стоимость. Ч----
Кдность, нужно перед решением задачи № 610 предложить учащимся поЛешить несколько аналогичных задач на небольшие числа, например. и 629 — (ц,1 корзине лежат груши . —	601, a Ti,J--tiT 10 коп., а груша 15 коп
 поровну?" „У	"
Виатил за них
и мерами времени даются в упражнениях 548 — 557.
О плане и масштабе дано в упражнениях 558 — 567.
Четыре действия с десятичными и обыкновенными дробями ряются на задачах и примерах №№ 570 — 596, 602—62
С процентными вычислениями даны задачи №№ 597 задачи №№ 612, 618 и 621.
Вычисления площадей и объемов даны в задачах №№ 624 — 628, также в задачах №№ 568 и 569.
Такое делённе носит условный характер, так. как зачасту! же задача может быть использована для повторения действий и с дробными числами и с процентными вычислениями.
В этой главе помещено около двух десятков так называемых ат.1 браических задач, которые здесь решаются чисто арифметическим пут?» I Значение таких задач заключается в том, что они способствуют разви I тню у учащихся логического мышления, требуют от ребят особой сметы,I сообразительности. Дадим здесь образцы решения нескольких типичны задач (№№ 606, 607, 610).
При решении задачи №606 учитель ставит перед учащимися таий
. вопросы: „На сколько меньше стоили бы оба куска полотна, е- ' бы метр первого куска стоил столько, сколько метр вторсЯ* куска? (0.75 nvA . 94—i« \ г'-------------
w	----- — .	v, vnciunu MCip В1
куска? (0,75 руб.  24 = 18 руб.)—Сколько стоили бы оба ь I ска полотна, если бы цена метра обоих кусков была одинаков'.^. (102 руб. — 18 руб. =84 руб.) — Сколько стоил второй кусо^ро; (84 руб.: 2 = 42 руб.)—Сколько стоил первый кусок? (42 руб- В рт 18 руб. = 60руб.)“
При решении задачи № 607 ставятся такие вопросы; „ПредпоХ жим, что сшили 26 пальто и 26 костюмов. Сколько сукна пошло Я на эту пршивку, если известно, что на одно пальто и на оЯ‘ костюм шло 5,7 л? (5,7 м- 26=148,2 ж.)—На сколько мены>-сукна пошло бы на 26 пальто и на 26 костюмов, чем на 26 палв и на 45 костюмов? (209 м— 148,2 ж = 60,8 м.)-—Почему на прХ полагаемую пошивку пошло бы сукна меньше на 60,8 ж? Как»41 разница в числе костюмов? (45 — 26 — 19.) —Сколько сукна на один костюм? (60,8ж: 19=3,2ж.)“
Ход решения задачи № 610 таков:	
„Предположим, что пальто и костюмов в магазине поровну, т. е. сколько пальто, столько и костюмов. Как это отразилось бы на их общей стоимости? (Стоимость уменьшилась бы на столько, сколько стоят 7 костюмов.)—Сколько стоят 7 костюмов? (75 — — 19)-7 = 392 руб.) —Сколько стоили бы пальто и костюмы, если бы их было поровну? (8121руб.—392 руб. — 7729 руб.)—Какие данные теперь известны?(Стоимость костюмов и пальто; цена пальто и костюма; число костюмов и пальто.)—Что можно узнать на основании этих данных? (По скольку пальто и костюмов в магазине.)—Что для этого нужно сделать? (Узнать общую стоимость пальто и костюма и узнать, сколько раз эта сумма повторится в 7729 руб. Стоимость пальто и костюма: 75 руб.-j-56руб. = = 131 руб. 131 руб. содержится в 7729 руб. 59 раз. Следовательно, в магазине было 59 пальто, а костюмов на 7 больше, т. е. 66.)“
Самое трудное для учащихся в этой задаче — найти число костюмов n yvjivor..,,	___2	------что цена каждого
---- - также известна их общая стоимость. Чтобы облегчить эту ' "	-----Н11МГП
и яблоки стоимостью 1 руб. Одно яблоко £1	IV nv.l. Сколько яблок и груш в корзине, если
Ученик купил поровну цветных и черных карандашей и .................................: 60 коп. По скольку куплено цветных и черных каранда-так	Лий, если черный карандаш стоит 8 коп., а цветной 12 коп.“ и т. д.
___как зачастую одна и вогда ученики освоятся с такого рода задачами, можно предлагать за-и с целымни, подобные задаче № 610, условие которой усложнено добавоч-Вачи данными, выраженными числами любой величины.
ОГЛАВЛЕНИЕ. Стр.
Деление...................... 3
.рк работать по стабильному учеб-j*y для первого года обучения, "рвый десяток.............
Восьмо цифр.................
Приятие чисел 6, 7, 8.9 и 10 - Жакомление с фигурами — ‘.‘аадрат, прямоугольник, тре-I ельник, круг .... • . . . . ^Глбавление и отнимание по од- ' 4V> по два, по три, по четыре, р пяти, по шести, по семи, по **сьми, по девяти.........
рЛачи......................
Р’Мерение (метр)...........
|/’став чисел первого десятка с нумерация, сложение, вычнта-Jj1*. умножение и деление до 20 нумерация чисел в пределе 20 . “Жжение и вычитание без перехода через десяток ......
рожеиие и вычитание с перехо-через десяток. ......
Стр.
. 15
16
16
18
6
8
9
19
20
21
10
11
12
13
14
Задачи ......................
Измерения (взвешивание, измерение литром) ...
Умножение и деление до 20 . . Первая сотня ................
Нумерация до 100.............
Сложение, вычитание, умножение и деление круглых десятков Задачи ......................
Больше или меньше на сголько-то Измерение дециметром и сантиметром. Задачи на время .... Сложение и вычитание без перехода через десяток . . ......
Как работать по стабильному учебнику для второго года обучения
Общие замечания . . . Первая сотня ..... Сложение и вычитание . Задачи ... ...........
Проверка пройденного .
23
24
26
27
79
78
Измерение прямых линий и черчение их по масштабу..........27
Сложение и вычитание именованных чисел.....................23
Разностное сра ...............—-
Проверка пройденногг . ... 29 Табличное умножение и деление — Во столько-то раз больше . . • 31 Простейшие диа<раммы ... — Задачи на время ... ......... 32
Полов, на, четверть восьмая . . 33 Деление на равные части Сопоставление обоих видов .’едения. — Во столько-то раз меньше. Кратное сравнение.................34
Внетабличное умножение и деление. Деление с ос iатком .... 35 Задачи н примеры на все деист вия в пределе 100.............37
Первая тысяча..................—
Устная и письменная нумерация. 38 Вовешивание...................39
Сложение и вычитание .... — Сложение и в «читанае на счетах. 40 Раздробление и пое вращение именованных чисел. Сложение и вычитание именованных чисел . 41 Умножение и деление.........
Диаграммы...................42
Д ел ни г....................—
Километр ....................—
Задачи и примеры на все действия в пределе 10С0...........—
Как работать по учебнику арифметики и по сборнику задач и упражнений для третьего года обучения
Общие замечания...........• • 43
О задачах ...................•	—
Как прорабатывается материал для устных вычислений .... 45 О наглядности..................—
Учебник арифметики "ля начальной школы на третьем и четвертом годах обучения.............46
В каком по ядке прорабатывается материал учебника и сборника.........’.................47
Устное сложение н вычитание . 49
Письменное с ужение и вычитанье в пределе 1000 ............—
У иножение и деление в пределе 1000 на однозначное числт . . . —
прямоугольник и квадрат. Черчение прямоугольных фигур по мае штабу .......................50
Умн окение и деление в пределе 10С0 иа двузначное число . .	—
За'а и на все действия .... 51 Нумерация в пределе 1 000 100 . — Сложение и вычитание мпого-шачных чисел.................52
Устное умножение и деление ня 5. S.J
Умножение и деление мвогознгч- I кого числа на однозначное . , . 1 Умножение и деление мцчп знач- I ною числа на 10 и круглые де- | сятки........................	J
Квадратные меры.............*
Деление мноюзначного числа на " двузначное.........- • . • .1
Вычисление времени..........j
Умножение и деление мноюзнач него числа на 100 и на крутло
сотни....................... .J
Умножение и деление мнегознач-
пого числа на т.ехзначное . . . Ж П ан и площадь ...............В
Обыкновенные дроби...........I
Устное умножение..............м
Особые случаи умножения многозначных чисел ...	. . . , —
Особые случаи деления много, значных чисел...............  f
Чтение н черчение диаграмм . t
Задачи и примеры на все действия —
Как работать по учебнику ариф метики и по сборнику арчфиеИ тических задач и упражиеч ли для четвертого года обучения
Устные вычисления ...... Р Письменные задачи и примеры в пределе миллиона............—
Нумерация целых чисел любой величины...............
Сложение и вычитание чисел любой величины..................-
Изменение суммы и разности . . С Нумерация десятичных дробей . -Сложение и вычитание десятич- I ных дробей . . . ............6f
Процентные вычисления . . . . «4 Поверхность и объем прямоугольного параллелепипеда и куба .  ® Устные задачи и примеры . . .Яг Умножение и деление целых чисел любой величины............—
Зависимость между умножением и делением. Изменение произведения и частного
У множение и деление десятичной дроби на целое число ........ Ц
Процентные вычисления .... Окружность. Круговые диаграммы " Устные задачи и примеры . . .4 Преобразование обыкновенных дробей.................
Сложение и вычитание.........
Умножение и деление обыкно- ' венных дробей на целое число .4 Вычисление части числа ....*• Вычисление числа по данной его части.........................
Треугольник..................*
I рафик температуры .........Я